Zahnräder: Erster Teil Stirn- und Kegelräder mit geraden Zähnen [3. Aufl.] 978-3-662-41717-1;978-3-662-41856-7

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-VI
Die Verzahnung der Stirnräder (A. Schiebel)....Pages 1-44
Die Verzahnung der Kegelräder (A. Schiebel)....Pages 44-57
Die Zahnreibung (A. Schiebel)....Pages 57-60
Die Abnutzung der Zähne (A. Schiebel)....Pages 61-65
Die Bearbeitung der Stirnräder (A. Schiebel)....Pages 65-76
Die Bearbeitung der Kegelräder (A. Schiebel)....Pages 76-80
Die Unregelmäßigkeiten im Gang fehlerhafter Zahntriebe (A. Schiebel)....Pages 80-96
Dynamische Wirkungen bei Zahnrädertrieben (A. Schiebel)....Pages 96-105
Die Berechnung der Stirnräder (A. Schiebel)....Pages 105-110
Die Berechnung der Kegelräder (A. Schiebel)....Pages 110-111
Die Befestigung der Räder (A. Schiebel)....Pages 111-113
Die Gestaltung der Räder (A. Schiebel)....Pages 113-115
Geteilte Räder (A. Schiebel)....Pages 115-117
Die Ausführung der Zahnradgetriebe (A. Schiebel)....Pages 117-121
Räder mit Holzzähnen (A. Schiebel)....Pages 121-122
Räder aus klangfreiem Werkstoff (A. Schiebel)....Pages 122-125
Federnde Zahnräder (A. Schiebel)....Pages 126-128
Die Triebstockverzahnung (A. Schiebel)....Pages 128-129
Das Grissongetriebe (A. Schiebel)....Pages 129-132

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Einzelkonstruktionen aus dem Maschinenbau Herausgegeben von Dipl.-Ing.

c.

Volk-Berlin

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Drittes Heft

Zahnräder Erster Teil

Stirn- und Kegelräder mit geraden Zähnen Von

Dr. A. Schiebel o. ö . Professor der deutschen technischen Hochschule zu Prag

Dritte, neubearbeitete Auflage Mit 159 Textabbildungen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1930

Alle Rechte, insbesondere das der übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1930 Ursprünglich erschienen bei Julius Springer in Berlin Softcover reprint of the hardcover 3rd edition 1930 ISBN 978-3-662-41717-1 ISBN 978-3-662-41856-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-41856-7

V orwort zur ersten Auflage. Der Verfasser hat es sich zur Aufgabe gestellt, ein zeitgemäßes Bild von dem gegenwärtigen Stande des Zahnräderbaues zu geben; der Konstruktion, Berechnung und Herstellung wurde dabei gleiches Augenmerk gewidmet. Das in den Lehrbüchern der Maschinenelemente bisher Gebotene wurde unter Aussohaltung veralteter Einzelheiten als Grundstock übernommen und durch die Aufnahme von neuen Konstruktionen, von Ergebnissen praktischer Untersuchungen und Erfahrungen, sowie durch ausführliche Besprechung der Bearbeitung erweitert. Den Stoff hierzu holte sich der Verfasser nicht allein aus den Veröffentlichungen der neueren Fachliteratur, eine größere Zahl von Mitteilungen und Zeichnungen verdankt er der Zuwendung von einzelnen mit dem Zahnräderbaue beschäftigten Firmen, denen für diese wertvolle Unterstützung der verbindlichste Dank ausgesprochen sei. Die Aufnahme der Bearbeitung ist gerechtfertigt durch die Tatsache, daß erst mit ihrer Vervollkommnung der eigentliohe Fortschritt im Zahnräderbau einsetzt. Das Zahngetriebe ist sehr feinfühlig, ein ruhiger Gang ist nur bei theoretisch genauer Herstellung der Zahnflächen zu erreichen. Erforderlich ist eine Bearbeitung der Zähne in der Maschine mit möglichst einfach gehaltenen Schneidwerkzeugen ; die Übertragung gezeichneter Profile auf die Ausführung ist zu umständlich und zu ungenau. Es wurde daher die Verzahnungstheorie vom Standpunkte der Bearbeitung behandelt. Sie umfaßt nicht nur die vollständige geometrische Festlegung der Zahnflächen, sondern auch die Ermittlung der Bewegungsvorgänge für die Erzeugung dieser Flächen. Bei der Gewinnung der einzelnen Erkenntnisse wurde von möglichst einfachen Grundlagen und Anschauungen ausgegangen und je naoh der zu erzielenden Einfaohheit und Übersichtlichkeit bald ein rechnerischer, bald ein zeichnerischer Weg eingeschlagen. Daß in einzelnen Fällen auch verwickeltere geometrische Beziehungen herangezogen wurden, ist durch die Schwierigkeiten der Verzahnungstheorie begründet, die vorgeschrittenerer geQmetrischer Vorstellungen nicht entbehren kann. Jedoch handelt es sich dabei um Einzelheiten, die erst beim eingehenden Eindringen in den Gegenstand von Belang sind, daher also vom Anfänger beim ersten Studium ohne Beeinträchtigung des Verständnisses für den übrigen Inhalt weggelassen werden können. Die bekannten Profilkonstruktionen wurden knapp gestreift; weitergehende Ausführungen in dieser Richtung verfolgen den Zweck, eine Einsicht in jene Faktoren zu gewinnen, die die Ausführungsverhältnisse beeinflussen. Es handelt sich hierbei weniger um Profilausmittlungen als um die Untersuchung des Eingriffs. Die Besprechung der Ausfühmngsfehler und ihrer Folgen ist eine notwendige Ergänzung für die Beurteilung der Güte der Bearbeitung, zumal einige Verfahren den theoretischen Vorbedingungen nicht genau entsprechen. Neu eingeführt wurde ein exakt definierter Begriff der Fehlerhaftigkeit als Verhältniswert, die plötzliche

IV

Vorwort zur ersten Auflage.

Geschwindigkeitserhöhung 30,

IX

= 15°.

Unter diesen Grenzzähnezahlen können Satzrädergetriebe nur mit gekürzten Kopfhöhen ausgeführt werden; der Kopfkreis if;lt durch den EndpUnkt N l des ein-:grlffsfähigen Gebietes zu legen (Abb.24). Volk> EInzeIkonstruktionen, 3. Heft, 3. Auf).

2

18

Die Verzahnung der Stirnräder.

Für den Grenzfall der kleinsten Profilüberdeckung e = 1 und einer Ausnützung des vollen Eingriffsgebietes N I N 2 ergeben die Beziehungen und 2n (RI + R 2) = (ZI + Z2) t die kleinste noch ausführbare Zähnesumme Z = (ZI + Z2)' Dabei darf man mit der Zähnezahl ZI des Ritzels nur so weit hinabgehen, daß N 2 im Gebiete der normalen Kopfhöhe verbleibt. Diese Bedingungen bestimmen die Mindestwerte bei Satzrädergetrieben mit gekürzten Kopfhöhen: NI N 2

= t cos IX = (RI + R 2) sin IX

Für

= 15°, IX = 2o°, IX

+ Z2 > 24 = Z, ZI + Z2 > 18 = Z,

>8 ZI > 7.

ZI

ZI

Da Kopfkürzungen unnötig großes Kopfspiel ergeben, kann auch eine Fuß· kürzung vorgenommen werden. Die Fußhöhe ,,~ des Rades ZI wird dann nur so groß bemessen, daß die gekürzte Kopfhöhe ,,~ des kleinsten eingreifenden Rades von der Zähnezahl Z2 = (Z - ZI) das nor-

Abb. 24. Satzrädergetriebe mit kleinen Zähnezahlen.

Falsche Ausführung.

male Kopfspiel vorfindet, also "

,

1

"1 = "2 + 6"' Dann ist die Fußhöhe ausreichend für alle Paarungen. Die Rechnungswerte der gekürzten Fuß höhen betragen bei

Richtige Ausführung.

,," =

Z

7

,," = 0,68

8

9

10

11

12

13

14

15

0,49

0,55

0,61

0,67

0,74

0,82

0.91

1,01

0,78

0,90

1,03

für für

= IX =

IX

15° 20°.

Durch Einhalten der notwendigen Kopfkürzungen und der etwaigen Fußkürzung, sowie durch Ausbilden verstärkter Fußanschlüsse, läßt sich, unbeschadet des Satzrädercharakters, auch für kleine Zähnezahlen noch ein halbwegs befriedi..

19

Satzräderverzahnung nach Evolventen.

gendes VerzahnungsbiId schaffen, während das Festhalten der normalen Zahnhöhe und des radialen Fußanschlusses ohne Unterschneidung zu einer grob fehlerhaften Ausführung wegen der zu weit vorstehenden Zahnköpfe führt. Aus der Gegenüberstellung des richtig und falsch ausgeführten Getriebes in Abb. 24 ist deutlich der erreichte Vorteil zu ersehen. Die zeichnerische Ermittlung der Zahnevolvente samt Fußanschluß ist notwendig bei der Ausführung eines Zahnmodells für das Einformen und bei der Ausführung eines Formfräsers für das Ausschneiden der Zähne. Diese Ermittlung entfällt bei der Bearbeitung der Zähne nach dem Wälzverfahren; hier formt die Werkzeugschneide in abwälzender Bewegung die Zahngestalt, wobei der äußerste Schneidenpunkt S den Fuß anschluß ausarbeitet (Abb. 25). Für die Bearbeitung nach dem Wälzverfahren gestaltet man das Schneidprofil des Werkzeuges als Zahnstangenprofil nach der Satzräderbemessung: Zahndicke in der Profilmittellinie = halbe Teilung, Kopfhöhe = normale Fußhöhe der Zähne, etwa ~ m, Flankenwinkel 20c = doppelter Eingriffswinkel. Die Zahnevolvente wird so weit ausgeschnitten, als der Zahnstangeneingriff des Werkzeuges reicht. Die Kopfgerade der Zahnstange begrenzt in M die Eingriffsstrecke. Am zugehörigen Zahnpunkt P setzt tangierend eine ver1ängerte Evolvente als Anschlußlinie an, die beim Abwälzen der Zahnstange auf dem Teilkreise vom Kopfpunkt S durchlaufen wird. Ihr Scheitel- Abb. 25. Nach dem Wälzverfahren geschnittenes Zahnprofil bei großer Zähnezahl z > 35, = 15° . punkt Po liegt auf einem Halbmesser poGo, der vom TeiIkreispunkt des Profils um den Betrag GGo = PoS absteht. Beim Wälzverfahren wird die Fußecke des Zahnes unnötig weit ausgeräumt; dieser Umstand ist aus Abb.23 zu entnehmen. Notwendig ist die Zahnevolvente nur bis zum Eingriffspunkte P für die Eingriffsfähigkeit mit einer Zahnstange von C(

normaler Kopfhöhe C k. Der bis zur normalen Fußtiefe C Po überhöhte Kopf des

Schneidprofils schneidet den Evolventenfuß weiter nach innen bis zum Eingriffspunkt M aus, wodurch der Fußanschluß schwächer ausfällt. Bei Zähnezahlen über 35 für CI. = 15° und 20 für CI. = 20° liegt der Kopfabschnitt M des Schneidprofils innerhalb des eingriffsfähigen Gebietes C N der Eingriffslinie ; es setzt daher nach der Abb.25 der Fußübergang tangierend an den Evolventenverlauf an. Bei Zähnezahlen unter 35 für a. = 15° und 20 für CI. = 20° schneidet die Kopfgerade PoP des Schneidprofils (Abb.26) außerhalb des dem Radmittelpunkte 0 zunächst liegenden Punktes N; der Betrag dieses außenliegenden Zahnstangenabschnittes auf der Eingriffslinie sei N P' = r./I.. Die Folge hiervon ist eine Unterschneidung des Zahnes, denn der Kopfpunkt S des Zahnstangenprofils beschreibt in relativer Bewegung eine verlängerte Evolvente, die das Fußende F P der Zahnevolvente wegschneidet, wodurch das Eingriffsgebiet um den Betrag NM = r cp gemindert wird. Die Lage des Zahnstangenprofils in E entspreche dem Eindringen des Zahnstangenkopfes S in die Zahnevolvente. Die zugehörige Lage des Zahnes 2*

20

Die Verzahnung der Stirnräder.

ergibt sich aus dem Umstande, daß der im Fußpunkte F der Zahnevolvente anschließende zweite Linienast das Zahnstangenprofil im Eingriffspunkte E berührt. Gemäß der geometrischen Erzeugung der Evolvente bestehen folgende Beziehungen: ~-

~

EN=FN=rtp, np=;:;:F=rrp.

Durch Projektion des Streckenzuges OnP E auf die Richtung der Eingriffsgeraden und auf die hierzu Senkrechte NO erhält man die Gleichungen: cos (11'

sin (11' + rp) - rp cos (11' + rp) = 11' , + cp) + rp sin (11' + rp) + (A. - 11') tg ~ = 1.

....

......

f..~

\, ~

..

......

---......... ......

, ...

/,-

,

,

......

..., ..........

........ ,

Abb. 26. Ermittlung der Zahnunterschneidung.

Das Ausscheiden des Winkels 11' aus beiden Gleichungen führt zu einer Funktion rp = t (A., ~) , bei welcher der Wert rp der Eingriffsminderung abhängig ist vom Zahnstangenabschnitte A. und vom Eingriffswinkel ~. Da zufolge des transzendenten Charakters der Gleichungen eine unmittelbare Berechnung der Werte nicht möglich ist, so sind in der Zahlentafel 1 die Funktionswerte für den Satzräderwinkel ~ = 150 zusammengestellt. Zu den in Hundertstel abgestuften Werten von A. sind die zu~ gehörigen Größen von rp eingetragen; die angeschlossenen Differenzen zweier Nachbarwerte von rp dienen zur Berechnung der Zwischenwerte durch Interpolation. Für leichte Unterschneidungen gilt ungefähr der Grenzwert rp = 0,5 A..

21

Satzräderverzahnung nach Evolventen.

Für mittlere Unterschneidungen kann man sich auch mit der angenäherten Formel cp=0,5J.(I-J.) behelfen. Zahlentafel 1. Verhältniswerte rp der Eingriffsminderung bei Unterschneidung für den Eingriffswinkel a. = 15°.

A '0,'0'0 '0,'01 '0,'02 '0,'03 '0,'04 '0,'05 '0,'06 '0,'07 '0,'08 '0,'09 '0,10 'O,ll '0,12

I

rp

Differenz

A

rp

'0,'0'0'0'0'0 '0,'0'0486 '0,'0'0962 '0,01427 '0,'01882 'O,'0232R '0,'02765 '0,'03194 '0,'03615 '0,'04'028 '0,'04434 '0,'04833 '0,'05226

'0,'0'0486 '0,'0'0476 '0,'0'0465 '0,'0'0455 '0,'0'0446 '0,'0'0437 '0,'0'0429 '0,'0'0421 '0,'0'0413 '0,'0'04'06 '0,'0'0399 '0,'0'0393 '0,'0'0386

'0,13 '0,14 '0,15 '0,16 '0,17 '0,18 '0,19 '0,2'0 '0,21 '0,22 '0,2:1 '0,24 '0,25

'0,'05612 '0,'05992 '0,'06367 '0,'06737 '0,'071'01 '0,'0746'0 '0,'07815 '0,'08165 '0,'08511 '0,'08853 '0,'09191 '0,'09525 '0,'09855

Differenz '0,'0'038'0 '0,'0'0375 '0,'0'037'0 '0,'0'0364 '0,'0'0359 '0,'0'0355 '0,'0'035'0 '0,'0'0346 '0,'0'0342 '0,'0'0338 '0,'0'0334 '0,'0'033'0 '0,'0'0326

I

I

A

I

'0,26 '0,27 '0,28 '0,29 '0,3'0 '0,31 '0,32 '0,33 '0,34 '0,35 '0,36 '0,37 'O,3R

rp

Differenz

'0,10181 '0,1'05'04 '0,10824 'O,ll141 'O,ll454 'O,ll764 '0,12'071 '0,12376 '0,12678 '0,12977 '0,13274 '0,13568 '0,1386'0

'0,00323 '0,'0'032'0 '0,'0'0317 '0,'0'0313 '0,'0'0310 '0,'0'03'07 '0,'0'03'05 '0,'0'03'02 '0,'0'0299 '0,'0'0297 '0,'0'0294 '0,'0'0292 '0,'0'029'0

Bestimmend für die Größe des Zahnstangenabschnittes rA ist die Fußtiefe h" des Zahnes; eine Beziehung zwischen beiden Größen ergibt das Dreieck G Po P' der Abb. 26: h" = r (J. + tg tX.) sin tX. , daraus 1

h"

J.=-.---tgtX.. Sin a. r Durch Einführen der Verhältnisgrößen aus den Gleichungen

h"= x" ~, n

r=

zt

2n cos tX.

gelangt man zum Verhältniswert des Zahnstangenabschnittes J. =zsin2a.x 4 11 t - gtX..

(4)

Für den Satzräderwinkel tX. = 150 ist J. = ~x"0,26795. z

(5)

Die vorstehenden Darlegungen zeigen, daß der Zahnstangeneingriff des Wälz-

verfahrens ein Zahnprofil liefert, dessen Evolvente allgemein nicht bis zum Fußpunkte reicht. Dadurch ergibt sich eine Verkürzung des sonst bis zum Punkt N reichenden Eingriffsgebietes der Eingriffsgeraden im Betrage von NM = r cp. Die Größe der Eingriffsminderung cp ist abhängig von dem Zahnstangenabschnitt J.. Fällt dieser Abschnitt nach auswärts, so ist J. positiv und es besteht eine Unterschneidung. Der zugehörige Wert cp ist aus der Zahlentafel 1 zu entnehmen. Liegt dagegen der Zahnstangenabschnitt innerhalb GN, so wird J. negativ; es ist die Eingriffsminderung längengleich dem Abschnitte, also Cp=-A., und der Fußübergang schließt tangierend an die Zahnevolvente an. Für einen bestimmten Fall ermöglicht die rechnerische Ermittlung von cp das Eintragen des Grenzpunktes M auf der Eingriffsgeraden (Abb. 25, 27). Das Eindrehen des Punktes M auf das Zahnprofil liefert dann den inneren Begrenzungspunkt p der Zahnevolvente, von dem die Übergangslinie ausgeht.

22

Die Verzahnung der Stirnräder.

Beim Aufzeichnen der Unterschneidungslinie kann man sich der Krümmungskreise bedienen. Das Eindrehen des Punktes M der Eingriffslinie (Abb.26) auf die Kopfgerade der Zahnstange liefert den Punkt P der Senkrechten PO für den Anfangspunkt P der Unterschneidungslinie. Die Lage des Krümmungsmittelpunktes m auf dieser Normalen wird nach dem Vorgang der Abb. 10 ermittelt. Der Scheitelpunkt Po liegt auf der radialen Geraden Poc o' deren Abstand im Teilkreis von der Mittenlinie gleich ist: Der Krümmungsmittelpunkt m o fällt ungefähr in den Schnitt der Geraden es und Poco hinein. Abb.27 zeigt die beim Wälzverfahren entstehende Unterschneidung des Zahnfußes mit d~r Eingriffskürzung NM. Die verbleibende Eingriffslänge MX genügt noch bei einer Mindestzähnezahl· Zl = 14 für (1. = 15° und Zl = 11 für (1. = 20°. Die kleinste ausführbare Zähnesumme eines Getriebes ist Zl + Z2 = 38 für (1. = 15° und 27 für (1. = 20°. Die unteren Grenzen der ausführbaren Zähnezahlen bei Evolventensatzrädern liegen demnach höher als bei Zykloidengestaltung. Auch liegen ungünstigere Verhältnisse hinsichtlich Zahnpressung und Abnützung vor, da die erhabenen Zahnflächen der Evolventenzähne sich weniger gut als die Zykloidenzähne anP' schmiegen. Besonders ungünstig I I Z=1/1 verhält sich der unmittelbar am i Fußpunkt liegende Flankenteil Abb. 27. Nachdem WälzverfahrengeschnittenesZahnprofil (Abb. 59), dessen Ausschaltung bei kleiner Zahnzahl z < 35, 01; = 15° . vom Eingriff bei rasch laufenden Getrieben wünschenswert ist. Diesen Unvollkommenheiten stehen jedoch zwei Vorzüge gegenüber, die den Evolventenzähnen zu einer ausgesprochenen Überlegenheit über die Zykloidengestaltung verhelfen. Ein Vorteil der Evolventenzähne, der allerdings mit der Abnützung und bei ungenauer Herstellung verlorengeht, besteht in der Unempfindlichkeit gegen unrichtigen Achsenabstand. Bei einer Verschiebung der Räder bleibt das Übersetzungsverhältnis und der richtige Zahneingriff gewahrt; die Eingriffsgerade folgt tangierend den geänderten Lagen der Grundkreise. Dabei vergrößert sich das Flankenspiel nach GI. (21) etwa um den halben Betrag der Radabrückung. Der zweite Vorteil liegt in der Einfachheit der Zahngestaltung, die die Ausführung erleichtert und einen höheren Genauigkeitsgrad zu erreichen gestattet. Günstig für die Bearbeitung ist nicht allein der Umstand, daß der eingreifende Zahnteil nur einen einzigen Flächenverlauf von geometrisch einfacher Erzeugung aufweist, sondern auch die ebene Zahnfläche der Evolventenzahnstange. Ihre Übertragung auf die Schneidwerkzeuge führt zu geraden Schneidkanten und einfachen Bewegungsvorgängen in den Bearbeitungsmaschinen. Gegenwärtig werden ausnahmslos nur Evolventenzähne geschnitten. Die Unvollkommenheiten der Evolventenzähne bei kleinen Zähnezahlen verursacht die Satzräderbeschränkung. Führt man jedoch Sonderverzahnungen aus, so erreicht man bei den kleinsten Zähnezahlen hinsichtlich Eingriffslänge und Fußdicke noch befriedigende Ausführungen, die den Zykloiden überlegen sind. Ein erweitertes Verwendungsgebiet finden die Evolventenzähne der Stirnräder

23

Sonderverzahnung nach Evolventen.

bei der Ersatzverzahnung der übrigen Radformen; für eine solche Anwendung ist die Evolvente besonders geeignet, da die Eingriffsgerade in einfachster Weise die Profilkrümmung und Tangentenlage im Teilrißpunkt festlegt.

D. Sonderverzahnnng nach Evolventen. Durch Ausführung von Sonderverzahnungen 1 lassen sich die ungünstigen Verhältnisse der Satzräder wesentlich verbessern. Der Zweck der Sonderverzahnung wird erst dann vollkommen erreicht, wenn tatsächlich die beste Zahngestaltung zur Durchführung gelangt. Da die günstigste Zahnform eines Rades nicht allein von der eigenen Zähnezahl, sondern auch von der Übersetzung beeinflußt wird, so erfordert jedes Getriebe besondere Zahnausführungen der Räder. Dieser Umstand macht die Anwendung der Sonderverzahnung abhängig von der Zahnbearbeitung. Keine Schwierigkeit verursacht die Ausführung von Sonderverzahnungen beim Schneiden der Zähne nach dem Wälzverfahren; hier gelingt es durch geii.ndertes Anstellen der für Satzräder bestimmten Werkzeuge die passenden Zahnformen zu erzielen. Dagegen erfordert die Sonderverzahnung ein eigenes Formfräserpaar für jedes Getriebe. Zu ihrer Anfertigung wird man sich wegen der Kosten nur bei einer größeren Ausführungszahl des Getriebes entschließen. Das ungünstige Verzahnungsbild von Ritzeln mit kleiner Zähnezahl läßt sich durch Verlängerung des eigentlichen Evolvententeils der Flanke verbessern; Verschiebung der Zahnhöhe und Änderung des Eingriffswinkels sind die Mittel zur Verbesserung. Eine Übersicht über die Anwendung dieser Mittel gibt die folgende Zusammenstellung: 1. nur Zahnhöhenverschiebung:

Vorschlag von:

a) im festen Werte . . . . . b) in veränderlichem Werte . 2. nur Eingriffswinkeländerung a) im festen Werte IX = 20° . b) in veränderlichem Werte, angewendet beim Schneiden mit Einflankenwerkzeug (Reinecker A. G.) . . . . . 3. gleichzeitig Zahnhöhenverschiebung und Eingriffswinkeländerung, angewendet beim Schneiden mit Profilwerkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lasche Jung DIN 867 Plessing Maag

Durch die Verschiebung der ZahnGroßes! Raa' höhe nach außen wird die wirksame Kopfflanke verlängert und gleichzeitig der nutzlose Fuß ansatz an die Evolvente verkürzt. Größere Verschiebungen verlangen aber eine Verstärkung der Ritzelzahndicke im Teilkreis auf Kosten des Radzahnes, weil sonst die Fußdicken der Zähne zu ungleich ausfallen. Eine Ausführung dieser Art ist die AEG-Verzahnung nach dem Vorschlag von Lasche 2 ; die bestimmenden Angaben Kleines I Raa' Abb. 28. AEG-Verzahnung. (Abb. 28) sind: Eingriffswinkel oc = 15°, Zahnhöhenverschiebung = 0,5m, Zahndicken im Teilkreis 8 1 = 0,6 t beim Ritzel und 8 2 = 0,4 t beim Rad. Dieser Verschiebungswert schließt Unregelmäßigkeiten aus bei Zahnzahlen ZI über 14 und Übersetzungen 1

2

Dieser Begriff soll die sonst geläufige Fremdbezeichnung "Korrigierte Verzahnungen" ersetzen. Vgl. Lasche: Elektrischer Antrieb mittels Zahnräderübertragung. Z. V. d. I. Bd. 43, S. 1492.1899.

Die Verzahnung der Stirnräder.

24

über 3; günstigere Anordnungen ergeben sich jedoch erst bei Ausführungen über diesen Grenzwerten. Eine derartige Festlegung der Zahnhöhenverschiebung schafft also brauchbare Verzahnungen nur für eine verhältnismäßig kleine Ausführungsgruppe. Eine weitergehende Anwendung verlangt bereits eine veränderliche Bemessung der Verschiebung 1 in Abhängigkeit von den Zahnzahlen des Getriebes: Die Übersetzung I: I läßt keine Verschiebung zu; erst bei größeren Übersetzungen über I: 4 sind zureichende Verschiebungen möglich. Bei kleiner Übersetzung bietet die Vergrößerung des Eingriffswinkels eine wirksame Abhilfe. Es ergibt sich dabei eine Verlängerung des Evolventenfußteiles, weil der Grundkreis weiter vom Teilkreis abrückt. Diesen Umstand nützt die neue Norm DIN 867 aus, die als normalen Eingriffswinkel (X = 20° an Stelle des bisher üblichen Winkels von 150 WerH~eugprof"il vorschreibt. Diese Änderung erweitert .-----rt--~ zwar das Verwendungsgebiet der Satzräderausführung auf kleinere' Zähnezahlen, aber dafür nimmt man schon bei ._ahn§!f!!!!J!!!7mltte mittleren Zähnezahlen eine unnötig große ff'!i!.Zff.erl!!!e Schrägstellung des Zahndruckes in den \{Jetriebe } Kauf. Schließlich ist für die kleinsten ErzellgungsWä/zkreis Zähnezahlen auch dieser vergrößerte Eingriffswinkel noch unzureichend. Einen gleichmäßig günstigen Einfluß auf die Verzahnung bewahrt man daher nur durch eine von den Zahnzahlen abhängige Bemessung des Eingriffswinkels. Plessing 2 gebührt das Verdienst, auf die Einfachheit einer solchen Durchführung hingewiesen zu haben; er zeigte, daß man bei der Bearbeitung nach dem Wälzverfahren nur die Zustellung des Werkzeugs zu ändern braucht, um Räder für verschiedene Abb.29. Ungleichheit von Getriebe- und ErzeugungsEingriffswinkel herzustellen. wälzkreis. (z = 12, cx = 150 z, cx' = 25.) Es liegt nämlich keine unbedingte Notwendigkeit vor, das Werkzeug auf dem Getriebewälzkreis R abzuwälzen; man kann die Abwälzung auf jedem anderen Kreise, dem Erzeugungswälzkreise vom Halbmesser R o vornehmen (Abb. 29). Bei einem Eingriffswinkel (X des Werkzeuges wird dann eine Evolvente vom Grundkreis

r = Rocos(X angeschnitten, die am Getriebewälzkreis R im Wälzpunkt 0 einen anderen Eingriffswinkel /

1"

Ro

cos (X = R = R cos (X aufweist. Diese einfache Fertigung von Zähnen mit beliebigen Eingriffswinkeln gestattet die Ausführung 3 von Getrieben, deren Einzelheiten sonst mit der Satzräderaus1

Passende Zahlenwerte gibt Jung: Zahnhöhenkorrektur bei Stirnrädern. Betrieb 1919, S.104.

a VgI. Plessing: Ausführung von Evolventenverzahnungen mit beliebigem Eingriffswinkel auf

Maschinen, die nach dem Wälzverfahren arbeiten. Z. V. d. 1. Bd.54, S.1682. 1910. 3 Für solche Ausführungen sind die Abwälzhobelmaschinen der J. E. Reinecker A. G., Chemnitz, eingerichtet.

25

Sonderverzahnung nach Evolventen.

führung übereinstimmen, ausgenommen den Eingrüfswinkel oc', den man von der Ritzelzahnzahl Zl abhängig macht (etwa von oc' = 15° bei Zl = 25 bis oc' = 25° bei Zl = 10). Der Teilungsmodul m wird auf den Getriebewälzkreis vom Halbmesser

R=;m bezogen (Abb. 29); man erhält somit runde Maße für die Radgrößen und die Achsenentfernung. Normale Kopfhöhe h' = mund Zahndicke am Getriebewälzkreis I

8

mn

=2'

sowie die Annahme eines passenden Eingrüfswinkels oc' legen das Zahnprofil in Form und Größe fest. Für die Bearbeitung eines solchen Profils lassen sich durch Rechnung die Einzelheiten des Werkzeuges einschließlich seiner Zustellung ermitteln. Der Flankenwinkel 20c des zahnstangenförmigen Werkzeuges bestimmt zunächst nach Früherem den Halbmesser R = R cos IX' o

cos

IX

des Erzeugungswälzkreises, auf dem die Zahnstange abzuwälzen ist, und ihre Teilung t

cos IX' o=ncoslXm.

Es verbleibt nur noch das Aufsuchen der Zahndicke (J' auf der Zahnstangenmittellinie, welche den Getriebewälzkreis R berührt. Aus der Dicke 8' des Radzahnes am Getriebewälzkreis kann man nach GI. (8) seine Dicke 8 am Erzeugungswälzkreis berechnen: 8

-

2

8' COS

IX',

2 cos

IX

= --

+ [(tgoc -

Aus dem Umstande, daß

8

folgt schließlich die Zahndicke (J'

(J'

+

(J

r

oc) - (tgoc -oc)]-. COS IX

=

t o'

der Zahnstange:

= (J + 2 (R -

R o) tg oc .

Die Teilung t o und die Zahndicke (J' der Zahnstange sind abhängige Größen des Eingrüfswinkels oc'. Normale Profil- und Kammstähle sind daher für die Bearbeitung derartig genormter Zähne unbrauchbar. Geeignet sind n:ur einseitig schneidende Flankenmesser, bei deren Verwendung ein eigener Teilmechanismus die Teilung besorgt und die der Zahnstärke (J' entsprechende Einstellung des Messers durch eine eigene Seitenstellvorrichtung herbeigeführt wird (siehe Abschn. V Cl). Die bloße Eingrüfswinkeländerung ergibt zwar bereits brauchbare Zahnprofile, aber günstigste Verzahnungsverhältnisse lassen sich nur durch gleichzeitige Anwendung der Höhenverschiebung erzielen. Eine unangenehme Beigabe zu solchen Ausführungen ist der Umstand, daß die Achsenentfernung erst aus den Verschiebungsgrößen berechnet werden muß. Die ersten Ausführungen dieser Art rühren von Ho p p e 1 her. Er verlegte die kennzeichnende Teilung in die Grundkreise und wies jeder Zähnezahl eine passende Zahnform zu. Ein Erfolg war diesen Ausführungen wegen der umständlichen Herstellung nicht beschieden. Überraschend einfach und vorbildlich für alle heutigen Ausführungen ist dagegen die Lösung der Verzahnungsfrage von Maag 2• Sie ist grundsätzlich ver1 Vgl. Kammerer: Technische Mittel für akademische Vorlesungen über Maschinenbau. Z. V. d.1. Bd. 47, S. 854. 1903. 2 Siehe: Die Maag-Zahnräder und ihre Bedeutung für die Maschinenindustrie. Schweiz. Bauzg. Bd.70, Nr.12. 1917.

26

Die Verzahnung der Stirnräder.

schieden von allen übrigen Versuchen, passende Bestimmungen für die Sonderverzahnung festzulegen. Nicht das Zahnprofil wird genormt, sondern das Werkzeug und seine Zustellung. Die alleinige Änderung der Zustellungen genügt schon, Eingriffswinkel, Zahnhöhenverschiebung und Zahndicken im Getriebe so zu beeinflussen, daß nicht nur ein günstiges Verzahnungsbild erreicht wird, sondern auch eine vorgeschriebene Achsenentfernung eingehalten werden kann. 1. Zahngestaltung durch das Bezugsprofil.

Zu einer einfachen Kennzeichnung der Zahnausführung gelahgt man durch die Ableitung des Zahnprofils aus einem spielfreien Zahnstangeneingriff, übereinstimmend mit dem Entstehen des Zahnes bei der Bearbeitung nach dem Wälzverfahren. Eine solche Bezugnahme vereinfacht auch das Messen der Zähne. Die grundlegende Bezugszahnstange erhält Satzräderbemessung (Abb. 30), also IX. = 15° bzw. 20°, Eingriffswinkel. . . . . . . . . . Modulteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . t = m 'lt, Zahndicke auf der Profilmittellinie . . . . . . . . = 0,5 m,

Kopfhöhe über der Mittellinie

Abb. 30. ZahnausbiIdung bei Profilverschiebung.

=

normale Zahnfußhöhe = ~ m.

Abb.31. Zahnformen eines 9zähnigen Rades.

Da alle Punkte der Zahnstange mit gleicher Geschwindigkeit sich fortbewegen, so besteht auch dann ein richtiger Getriebeeingriff, wenn die Wälzbahn außerhalb der Profilmittellinie in einem beliebigen Abstand x.=~m

angeordnet wird. Der auf den Modul bezogene Verhältniswert ~ der Profilverschiebung sei positiv bei einer Lage im Zahnkopfe entsprechend der Abb. 30 und negativ bei entgegengesetzter Lage im Zahnfuße. Der die Wälzbahn in 0 0 berührende Radkreis ist der Erzeugungswälzkreis, auf dem das zahnstangenförmige Werkzeug bei der Zahnbearbeitung abgewälzt wird. Da hierbei die Modulteilung der Zahnstange auf ihn übertragen wird, so ist er der eigentliche Teilkreis des Rades vom Durchmesser

2R=zC~)=zm. Die Profil verschie bung ~ ist die kennzeichnende Größe der Zahngestalt ; durch Änderung von ~ ergeben sich beim gleichen Rade verschiedene Zahn-

Sonderverzahnung nach Evolventen.

27

ausbildungen, die in Fußtiefe und Zahndicke ungleich sind. Aus der Reihe dieser Ausbildungen greift man nun die passendste für ein bestimmtes Übersetzungsverhältnis heraus. Aus der Abb. 31 ist zu entnehmen, daß die Fuß dicke des Zahnes mit wachsender Profilverschiebung zunimmt, dagegen aber der Kopfteil spitzer ausfällt. In der gleichen Abbildung ist gestrichelt das Profil eines 9zähnigen Rades eingetragen, das sich ohne Profilverschiebung einstellt; es ist wegen der großen Unterschneidung unbrauchbar. Die Fußtiefe des Zahnes innerhalb des Teilkreises beträgt nach Abb. 30: (6)

Die Zahndicke der Zahnstange in der Wälzbahn ist um den Betrag 2 x tg oc kleiner als in der Mittellinie; bei spielS freiem Eingriff ist deshalb die Dicke des Radzahnes im Teilkreis um den gleichen Betrag größer als die halbe Teilung, also s

=

t

2

+ 2xtgoc

Dieser Dicke des Zahnes im Teilkreise entspricht eine bestimmte Zahndicke am Grundkreise, deren Einführung die weitere Behandlung vereinfacht; zu ihrer Ermittlung gelangt man durch folgende Überlegung. Der Radius R' eines beliebigen Punktes 0 der Evolvente, deren Grundkreis den Halbmesser r hat, schließe mit der Senkrechten 0 N auf den Fahrstrahl ON (Abb. 32) den Winkel oc' ein. Dieser Winkel bestimmt nicht nur den, Halbmesser

R,=_r_ cos rx'

Abb.32.

Bestimmung der Zahndicke.

des Evolventenpunktes, sondern auch seine Winkelentfernung vom Fußpunkt F der Evolvente gleich (tg oc' - oc') , da gemäß der Erzeugung der Evolvente die Bedingung besteht --------- = rtgoc'. ON = NF

Zum Aufsuchen der Funktionswerte (tg oc - oc) dient die Zahlentafel 2; eingetragen sind die Werte für Winkelabstufungen von 10 Minuten. Zwischenwerte sind aus den beigefügten Differenzen für eine Minute zu ermitteln. Die Zahndicke am Grundkreis (Abb.32) ist festgelegt durch die Angabe des Winkels y der Zahnspitze S im Schnittpunkt der beiden Zahnflanken ; aus der Winkelgröße (tgy -y) dieser halben Zahndicke berechnet sich die halbe Zahndicke an einem beliebigen Radius R' mit

~ 2

=

[(tgy - y) - (tg rt,'

-

rt,')] _ rcos rx'

=

[(tgy - y) - (tg rt,'

_

rt,')] cos rx ~ (~). (8) cos rx' 2

n

Die Verzahnung der Stirnräder.

28

Das Einfühi:en von oc' = oc ergibt die halbe Zahndicke am Teilkreis 8 z 2= [(tgr-r)-(tgoc-oc)]2

Zahlentafel 2. oc

tg oc - oc

Diff.1'

9° 0' lO' 20' 30' 40' 50' 10° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 11° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 12° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 13° 0' 10' 20' 30' 40' 50' l4°0' 10' 20' 30' 40' 50' 15° 0' 10' 20' 30' 40' 50'

0,001304 0,001379 0,001456 0,001536 0,001618 0,001705 0,001794 0,001886 0,001981 0,002079 0,002181 0,002286 0,002394 0,002506 0,002621 0,002739 0,002861 0,002987 0,003117 0,003250 0,003387 0,003528 0,003673 0,003822 0,003975 0,004132 0,004293 0,004459 0,004629 0,004804 0,004982 0,005165 0,005353 0,005545 0,005742 0,005944 0,006150 0,006361 0,006577 0,006798 0,007025 0,007256

7,5 7,7 8,0 8,3 8,6 8,9 9,2 9,5 9,8 10,1 10,4 10,8 11,1 11,5 11,8 12,2 12,5 12,9 13,3 13,7 14,1 14,5 14,9 15,3 15,7 16,1 16,5 17,0 17,4 17,8 18,3 18,7 19,2 19,7 20,2 20,6 21,1 21,6 22,1 22,6 23,1 23,7

(t) n .

Funktionswerte (tg oc - oc).

oc

tg oc - oc

Diff.1'

16° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 17° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 18° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 19° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 20° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 21° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 22° 0' 10' 20' 30' 40' 50'

0,007493 0,007735 0,007982 0,008234 0,008492 0,008756 0,009025 0,009299 0,009580 0,009866 0,010158 0,010457 0,010761 0,011071 0,011387 0,011709 0,012038 0,012374 0,012715 0,013063 0,013417 0,013779 0,014147 0,014523 0,014904 0,015293 0,015689 0,016092 0,016502 0,016920 0,017345 0,017777 0,018217 0,018665 0,019120 0,019584 0,020054 0,020533 0,021020 0,021515 0,022018 0,022530

24,2 24,7 25,3 25,8 26,4 26,9 27,5 28,0 28,6 29,2 29,8 30,4 31,0 31,6 32,2 32,9 33,5 34,1 34,8 35,4 36,1 36,8 37,5 38,2 38,9 39,6 40,3 41,0 41,7 42,5 43,2 44,0 44,8 45.6 46,3 47,1 47,9 48,7 49,5 50,3 51,1 51,9

oc

tgoc-oc

Diff. I'

23° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 24° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 25° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 26° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 27° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 28° 0' 10' 20' 30' 40' 50' 29° 0' 10' 20' 30' 40' 50'

0,023049 0,023577 0,024114 0,024659 0,025214 0,025778 0,026350 0,026931 0,027521 0,028120 0,028729 0,029348 0,029976 0,030613 0,031260 0,031917 0,032583 0,033261 0,033947 0,034644 0,035351 0,036069 0,036797 0,037537 0,038286 0,039047 0,039819 0,040602 0,041396 0,042201 0,043017 0,043845 0,044685 0,045537 0,046401 0,047277 0,048165 0,049065 0,049977 0,050901 0,051838 0,052788

52,8 53,7 54,5 55,4 56,3 57,2 58,1 59,0 59,9 60,9 61,8 62,7 63,7 64,7 65,7 66,7 67,7 68,7 69,7 70,7 71,8 72,8 73,9 75,0 76,1 77,2 78,3 79,4 80,5 81,6 82,8 84,0 85,2 86,4 87,6

88,8 90,0 91,2 92,4 93,7 95,0 96,3

Das Gleichsetzen dieser Größe mit dem früher aus dem Zahnstangeneingriff errechneten Werte in GI. (7) liefert die Beziehung 2tgoc (tgr-r)=-z-~+

[11: ] 2z+(tgoc-oc).

(9)

Dieser Ausdruck bestimmt die Winkelgröße der halben Zahndicke am Grundkreis bei der Profilabrückung ~. Als eigentliche Fuß dicke f kommt die Zahndicke auf einem Kreise in Betracht, welcher die bei der Bearbeitung nach dem Wälzverfahren ausgeschnittene Zahnevolvente innen abgrenzt. Die Lage dieses Grenzpunktes p der Evolvente (Abb. 32) ist nach Früherem (siehe Abschn. 10) aus der Eingriffsmind@rung ,cp festgelegt durch den Fahrstrahl Mp=rcp.

29

Sonderverzahnung nach Evolventen.

Damit sind für den Evolventenpunkt p der zugehörige Winkel 15 aus der Beziehung (10)

und der zugehörige Halbmesser Op=_r_ cos 0. Bei frei gewählten Profilverschiebungen ~1 und ~2 werden im allgemeinen die Fußdicken der Zähne eines Getriebes ungleich groß ausfallen. Aus der Beziehung der GI. (Il) berechnet sich der Unterschied der halben Fußdicken im Verhältniswerte (J

=

[(tg 1'1 - 1'1) - (tg 151 - 151 )] cc:ss 6°C

1

i - [(tgI'2 -

1'2) - (tg 152 - 15 2)] ~::; ~ . 2

(24)

Eine günstige Getriebeausführung soll gleiche Fuß dicken aufweisen, was durch die Bedingung erfüllt ist: (J

=

o.

Das gleichzeitige Einhalten der Forderungen (J

=

0

und

•

=

0

führt zu einer Grenz ausführung, die man als den günstigsten Fall bezeichnen kann. Eine Reihe von Vorteilen ist mit dieser Ausführung verknüpft. Die Profilverschiebungen fallen am kleinsten aus, welcher Umstand dadurch an Bedeutung gewinnt, als größere Verschiebungen beim Schneiden mit Schneckenfräser Bearbeitungsfehler zeitigen. Diese kleinsten Profilverschiebungen bedingen kleinsten Achsenabstand 1 Kutzbach: Grundlagen und neuere Fortschritte der Zahnrädererzeugung, S. 59. Berlin: VDI-Verlag 1925.

Sonderverzahnung nach Evolventen.

33

und kleinsten Eingriffswinkel a' des Getriebes, so daß die Schräge des Zahndruckes nicht unnötig groß ausfällt. Vom Ritzel gelangt das ausgeschnittene Evolventenprofil in ganzer Länge zum Eingriff und die Eingriffsdauer nimmt einen Höchstwert an. Ferner entfallen außer Eingriff die unmittelbar an den Evolventenfußpunkt anschließenden Zahnteile, die ungünstigen Abnützungsverhältnissen ausgesetzt sind. Durch das Nullsetzen der Werte 't' und (J sind die Profilverschiebungen ;1 und ;2 eines Getriebes eindeutig festgelegt; sie lassen sich wegen des transzendenten Charakters der Bestimmungsgleichungen nur durch Näherungsrechnung ermitteln. Die zusammenfassende Darstellung der Rechnungsergebnisse in der Abb.35 gibt eine einfache Unterlage für die Größenbemessung und einen klaren Überblick über die Veränderlichkeit der Profilverschiebungen ;. Die Abhängigkeit der Profilverschiebung von Zähnezahl und Übersetzung ist durch eine Linienschar in voll ausgezogenen Linien ausgedrückt. Die Übersetzung ist in der Abbildung durch die Abszissen gekennzeichnet; um das ganze Ausführungsgebiet einzubeziehen, sind die reziproken Werte 1: z der Zahnzahl vom gepaarten Rade als Abszissen eingetragen. Die einer bestimmten Zähnezahl angehörenden Profilverschiebungen sind die Ordinaten einer Linie, die die Bezeichnung der Zähn6zahl trägt. Aus dem Verlauf der Linien ersieht man deutlich die Veränderlichkeit der Verschiebung bei verschiedenen Übersetzungen. Die kleinste Verschie bung besteht bei Paarungen mit gleicher Zähnezahl ; ihre Größen sind durch Punktandeutung besonders hervorgehoben. Die Verbindungslinie dieser Punkte teilt das Darstellungsgebiet in zwei Zonen. Die links gelegene Zone schließt die Profilverschiebungen für das kleine Rad im Getriebe ein; rechts liegen die Werte für das größere Rad im Getriebe. Je größer die Übersetzung, desto größer die Verschiebung. Aus dem Umstande, daß die Eingriffsminderung q; bei positiven Zahnstangenabschnitten A einem anderen Gesetze folgt als bei negativen, ergibt sich auch ein verschiedener Linienverlauf der Profilverschiebung. Die Grenzlinie AA scheidet das obere Gebiet der unterschnittenen Ritzelzähne von dem unteren Gebiete der nicht unterschnittenen Zähne. In der rechten Zone drängen sich die Kurven für Zähnezahlen unter 24 sehr nahe aneinander; der Deutlichkeit wegen unterblieb ihre Wiedergabe. Eine Ergänzung dieses fehlenden Gebietes ist in Abb. 36 enthalten, in der durch Wahl einer anderen Eintragung der Verschiebung eine deutlichere Darstellung erzielt ist. Die Ordinaten der Profilverschiebungen gehören hier den Zähnezahlen der Abszissen an; die Zahlbezeichnung der Kurven entspricht der Zähnezahl des eingreifenden Rades. Hier sind auch die in der Abb. 35 fehlenden Profilverschiebungen für die Räder aufgenommen, die mit einem 7 zähnigen Ritzel zusammenarbeiten. In der linken Zone der Abb. 35 ist eine zweite Linienschar in punktierten Linien eingetragen. Die Zahlenbezeichnung dieser Linien drückt die Eingriffsdauer s der Paarungen aus, entsprechend der Beziehung in GI. (20). Aus der Lage eines Kurvenpunktes der Profilabrückung gegenüber zweier benachbarten s-Linien läßt sich die Eingriffsdauer der zugehörigen Räderpaarung ohne weiteres einschätzen. Die Linie der Eingriffsdauer s = 1 begrenzt nach unten das ausführbare Gebiet. Die kleinsten Getriebeausführungen sind bei den Zähnezahlen 9/9, 8/11, 7/18 erreicht. Eine weitere Beschränkung der Ausführbarkeit verursacht das Spitzwerden des Zahnkopfes im Ritzel bei kleinen Zähnezahlen. Die Ausführung der Zahnflanken bis zu ihrem Schnittpunkt S (Abb. 32) ist unzulässig. Als Mindestmaß der notwendigen Abstumpfung kann ungefähr' der Betrag Llh Volk, Einzelkonstruktionen, 3. Heft, 3. Aufl.

=

~ (~)

34

Die Verzahnung der Stirnräder.

{-+O,8

z6

·>.li

47 46

Abb.35. Auf den Modul bezogene Verhältniswerte ~ der Profilverschiebung für die Zahnzahl der Linien.

..............................~~{q.................. 1'1

0.5 0.'1 0.3 0.2

2'1

28

{-+0,1

z(--0.1 0,2 0.3

611

0.11

0,6 a7

0.9 0.9

0.8

1.0

0.7

~1

0.6

{=-~z

(-+ q5 7

60,q.

35

Sonderverzahnung nach Evolventen.

Abb.37. Auf den Modul bezogene Verhältniswerte 1'J der Radabrückung für spielfreien Gang.

v

V

V

V

V

V I~

V-

vI-I

r---I---+--+-~, ZZ

V-:"--

1 1

I--.J---..... I--- 0 immer noch erfüllt ist. Die Gleichheit der Zahnstärke bewahrt man bei etwa LI ~l = LI ~2 und die kleinste zulässige Abstumpfung im Gebiet der spitzen Zähne bei etwa LI ~2 = 2 LI ~l' Kleine Zugaben ändern das Eingriffsbild nur unwesentlich; bei größeren Zugaben fällt dagegen die Profilüberdeckung wegen des steileren Getriebeeingriffswinkels (1.' merklich ab. Die Möglichkeit einer Erhöhung von ~ erlaubt folgende Anwendungen: l. Abrunden des Achsenabstandes auf einen größeren Wert. 2. Einbau von Getrieben mit gleicher Zähnesumme, aber verschiedener Übersetzung in den gleichen Achsenabstand, dessen Größe durch das Getriebe der größten Übersetzung festgelegt ist. 3. Einhalten eines bestimmten Achsenabstandes. Diese Forderung setzt einen Werkzeugsatz mit eng abgestuften Teilungsmoduln voraus. Sind mund m1 zwei aufeinanderfolgende Größen der genormten Modulreihe, so beträgt die Zahl der benötigten Zwischenmoduln etwa .

~

=

- m 0,02m -

m1

1

.

(30)

Als Beispiel einer Sonderverzahnung ist die Durchrechnung eines Getriebes aus dem Gebiet der gleich dicken Zähne für den Modul ~ = 10 mm und für die n Zähnezahlen Zl = 16, Z2 = 80 angeführt; das Eingriffsbild dieses Getriebes zeigt Abb.40. Gefordert wird ein Flankenspiel von Lls

= 0,4 mm.

Die Halbmesser der Teil- und Grundkreise sind:

Rl=~~= 80mm, 2 n

r 1 = R I cos IX = 77,3 mm,

R 2 = ~ ~ = 400 mm,

r2 = R 2 COS(1. = 386,4 mm.

Zunächst entnimmt man aus der Abb. 35 die Verhältniswerte der Profilverschiebungen. Die Linie Z = 16 hat auf der Abszisse z = 80 eine Ordinate von ~l

Die Linie z

=

=

+ 0,462.

80 hat auf der Abszisse z ~2

=

16 eine Ordinate von

= - 0,186.

40

Die Verzahnung der Stirnräder.

Ihre Summe ist

~1

+ ~2 =

0,462 - 0,186 = 0,276.

Diese Profilverschiebungen, deren Werte man auch aus der GI. (26) berechnen kann, bedingen nach GI. (12) einen Eingriffswinkel von (tg a' - a') = 2 tg ce (~1 + ~2) + (tga _ a) = 0,2:;95 ·0,276 + 0,006150 = 0,007691. Zl +Z2

Diesem Funktionswert entspricht in der Zahlentafel 2 ein Winkel von a' = 16° 8' 12" . Der Verhältniswert der Radabrückung ist nach GI. (13): 'YJ

=

°

+2 Z2 (~~ _ 1) '---- 48. C03 ce' , 00554 =

Zl

°266. ,

Diesen Wert hätte man übrigens unmittelbar aus der Abb. 37 ablesen können. Für spielfreien Gang ergibt sich somit eine Achsenentfernung

a = BI

+ B + 17 ~n = 2

+ 400 + 0,266 . 10 =

80

482,7 mm .

zz=80

Grundkreis

-___ --/"1i''\"~"rD' "

2~

,

----.---teJTkreis

z1=16

Abb.40. Sonderverzahnung mit Flankenspiel.

Das Flankenspiel erfordert nach GI. (21) eine Zugabe L1s

0.4

Lla = 2since' = 2.0,278 = 0,7mm,

also einen Achsenabstand a' = a + Lla = 482,7 + 0,7 = 483,4 mm. Das Abrunden dieses Wertes auf das etwaige Ausführungsmaß

a' =484mm ändert die Profilverschiebungen. Zu ihrer Ermittlung ist der eben befolgte Rechnungsgang in umgekehrter Folge zu wiederholen, also: 'YJ

n= t

a = a' -

Lla = 484 - 0,7 = 483,3 mm,

a - BI - B 2 = 483,3 - 480 = 3,3 mm

cos ce cos a' = 2 1)--+1 Zl

= 0,95936

I:

"1

+

I:

"2 =

a'

'YJ

= 0,33,

= 16° 23' 30".

+ Z2

Nach Zahlentafel 2 ist (tg a' - a')

und

und

= 0,007981

+ 0,0000253.3,5 = 0,008070.

(tg ce' - ce') - (tg ce - ce) . tg ce

Zl

+ Z2 = 2

0,008070 - 0,006150 .48 0,26795

= 0344 '

•

4:1

Sonderverza.hnung na.ch Evolventen.

Der Unterschied dieser Summe gegen den ursprünglichen Wert der TafelA A ablesung ist LJgI + LJg2 = 0,344 - 0,276 = 0,068. Um gleiche Zahndicken zu bewahren, ist diese Größe in gleichen Teilen auf die Verhältniswerte der Profilverschiebungen aufzuteilen. gl = + 0,462 + 0,034 = + 0,496, E2 = - 0,186 + 0,034 = - 0,152. Die Verhältniswerte der Zahnhöhen werden aus den GI. (16) und (15) berechnet: Kopfhöhe

,,~

=

'YJ

+ 1 - g2 = 1,48,

,,~

=

'YJ

+ 1 - gl = 0,83;

Fußtiefe Gesamtzahnhöhe

,,= 2,15,

,,= 2,15.

Damit sind alle Ausführungsgrößen des Getriebes festgelegt; die Räder erhalten Außendurchmesser D 1 = 2 (BI + ,,~ !) = 189,6 mm,

D2 = 2

(B

2

+,,~!) = 816,6 mm

und sind mit den Profilverschiebungen t

Xl=gl-= +5,Omm n

t

Wld

X 2 =g2- = n

-1,5mm

zu schneiden. Einzubauen sind die Räder im Achsenabstand a' =484mm.

Die Länge der ausgeschnittenen Evolventenflanken bestimmt man nach GI. (5) aus den Verhältniswerten der Zahnstangenabschnitte Ä1

= ~'''~ - 0,26795 = + 0,06755, Zl

Ä2 =

~,,~ - 0,26795 = -0,13605. Z2

Das positive Ä1 bringt eine Unterschneidung; der zugehörige Verhältniswert der Eingriffsminderung ist nach Zahlentafel 1 qJI

=

0,02765 + 0,755.0,00429 = 0,03088.

Nicht unterschnitten sind die Zähne des größeren Rades zufolge des negativen Ä2 , dessen Eingriffsminderung qJ2 = -Ä2 = 0,13605 beträgt. Die wirklichen Größen der Minderungen NI MI = r1qJI = 77,3· 0,03088 = 2,4mm, N 2 M 2 = r 2 qJ2 = 386,4·0,13605 = 52,5 mm sind in der Abb. 40 auf der Eingriffsgeraden von den Punkten NI und N 2 , die den Radmittelpunkten zunächst liegen, aufgetragen. Das Eindrehen der Punkte MI und M 2 liefert dann die inneren Begrenzungspunkte PI und P2 der reinen Evolventenprofile. Der Punkt MI liegt außerhalb des Kopfkreises vom großen Rade, so daß ein unzulässiges Überschneiden nicht besteht. Im Anschluß sei noch die Größe der Eingriffsdauer e berechnet. Nach der GI. (17) sind die Zahnkopfwinkel

cos ß1 = cos ß2 -_

cos oe 2

,,'1 -Zl + 1 ~~

,~

"2 Z2

=

___ -

+

1

0,96593 - = 148

-'8

+1

0,96593

3

0,8 40

+1

0,81512,

= 0,94624,

ßI =

35° 24' 7" ;

42

Die Verzahnung der Stirnräder.

Durch das Abrücken der Räder zur Herbeiführung eines Flankenspiels vergrößert sich der Eingriffswinkel auf cos Cl,

_

-

r1

+r

a'

77,3

2 _

-

+

386,4 484

=

°95805 '

oc' = 16°39' 15".

,

Aus diesen drei Winkelgrößen rechnet man nach GI. (20) die Eingriffsdauer

~ + (tgß2 -tgoc') ~J ~ = 1,59. Dieser Wert zeigt eine Abnahme gegenüber dem Werte e = 1,70 der spielfreien e = [(tgßl -tgoc')

Grenzausführung in Abb.35. Wegen der sich einstellenden Eingriffskürzung ist daher eine Vergrößerung des Achsenabstandes bei Getrieben, die nahe dem Grenzwerte e = 1 liegen, ausgeschlossen. Aus der vorstehenden Rechnung ist zu ersehen, daß geringfügige Änderungen der Profilverschiebungen bereits merkliche Änderungen der Getriebegrößen zeitigen; Ausführung und Rechnung, die wegen der Winkelgrößen zweckmäßig logarithmisch zu erfolgen hat, erheischen deshalb einen hohen Genauigkeitsgrad. Ist das behandelte Getriebe ZI = 16, Z2 = 80 mit dem vorgeschriebenen Achsenabstand von a' = 500mm auszuführen, so ermittelt man zuerst aus den bereits gefundenen Werten Lla = 0,7 mm nach GI. (22) den Teilungsmodul ~ _ :n;

-

und

1]

= 0,266

500 - 0,7 _ 103 - , mm, 48 + 0,266

a' - Lla

_ + Z2 + - 2 - 1J Zl

der zwischen den Größen m 1 = 11 und m = 10 der genormten Modulreihe liegt. In dieser Größenstufe benötigt man nach GI. (30)

i =

m _ 1 0,02 m

m1

=

11 - 10 _ 1 0,2

=

4

Zwischenwerte des Moduls, also 10,2, 10,4, 10,6 und 10,8. Anzuwenden ist der Modul -:n;t = 10,2, der zunächst unter dem berechneten Werte von 10,3 liegt. Die Rückrechnung nach dem Vorgang des vorstehenden Beispieles ergibt: 1]

= 500 - 0,7 _ 10,2

48 =

°951 "

cos 15° ,oc , -_ 18°42'40", t 001212 8 , cos oc , -- 0,951 g oc' - oc , =, 48+ 1

[: + [: = 0,012128tg- 1500,006150 48 =

~1

~2

1 070

,.

Diese Summe erreicht man durch gleich große Zuschläge zu den früher bestimmten Werten der kleinsten Verschiebungen ;1 = 0,462 und ;2 = - 0,186. Es betragen daher die auszuführenden Profilverschiebungen :

+

;1 = + 0,462 + 0,397 = + 0,859, ;2 = -

0,186 + 0,397 =

+ 0,211, ;1 + ;2= 1,070.

5. Getriebeausführung ßei der Bearbeitung mit Stoßrad. Das günstigste Verzahnungsbild der Sonderverzahnung ist aus einem Zahnstangen. eingriff abgeleitet, entsprechend einem der Zahnstange nachgebildeten Werkzeuge. Bei Bearbeitung mit dem Stoßrade können sich jedoch im Getriebeeingriff Beein-

43

Sonderverzahnung nach Evolventen.

trächtigungen ergeben, da das Stoßrad im Fuß und mitunter auch im Kopf der Zahnflanke kleinere Evolventenlängen ausschneidet (siehe Abschn. V C 3). Beim Entwurf des Triebes hat man daher zu untersuchen, ob die Kopfkreise nicht etwa die durch den Zahnschnitt gegebene Eingriffsstrecke übergreüen; Überschreitungen sind dann durch Kopfkürzungen zu beseitigen. Anstandslose Ausführungen der Sonderverzahnung für Zähnezahlen Z > 12 ergeben sich bei einem Stoßrade mit der Zähnezahl Zo = 24 und dem Eingriffswinkel ~ = 20°. Für die Anstellung des Stoßrades (Zähnezahl zo, Profilverschiehung go = 0) an das Werkrad (Zähnezahl z, Profilverschiebung g) gelten die GI. (12) und (13):

(tg~' _ ~')

= 2+tg oc Z

Zo

g + (tg ~ -~) und

_

z

'YJo -

+ Zo (C08 oc 2

Da 'YJo < g wird, so muß das Stoßrad näher als die Zahnstange an das Werkrad angestellt werden; es schneidet größere Fußhöhen heraus, so daß ein größeres Kopfspiel der Zähne verbleibt. Der Achsenabstand zwischen Stoß- und Werkrad beträgt demnach Z

cos oc'

_

1) •

\

+ Zo C08 oc

a o = - 2 - cos oc' rn.

\

\ Hohlräder, die nur nach dem Stoßradveri \ fahren bearbeitet werden können, erhalten zweck\ i \ mäßig negative Profilverschiebungen, um den Ge\ ! \ \ triebeeingriffswinkel und damit die aufliegenden \ / \ Flankenlängen zu vergrößern; auch darf die Kopf\ / höhe die Eingrüfsstrecke desRitzels nicht überragen. / / Die Anwendung der Einzelheiten zeigt die fol/' gende Berechnung eines Planetengetriebes (Abb.41). Um weitergehenden Untersuchungen auszuweichen, sind die früher angeführten Grenz"'\ werte der Rechnung zugrunde gelegt. Das Stoß\ rad hat die Zähnezahl Zo = 24 und den Eingrüfs\ winkel ~ = 20°. Die Außenverzahnungen haben \ die Zähnezahlen ZI = Z2 = 12, die Innenverzahnung Za = - 36; mit dem negativen Vorzeichen ist Za in alle Gleichungen einzuführen. Der ZahnAbb. 41. Planetengetriebe. modul ist m = 10 mm. Bestimmt man die Profilverschiebungen des Außengetriebes nach den GI. (26), so erhält man unter Einführen der Ersatzzähnezahlen wegen ~ = 200 nach GI. (29) \

\

\

\

____ J.

die Werte

Z~

=

z;

gl = g2 =

=

32

1,75z1 = 21

26 - 21 + 0,4.21

= 0,12.

Daraus ergeben sich im normalen Rechnungsgang der Getriebeeingrüfswinkel 1')12 = 0,22 für spielfreies Aufliegen. Die Vergrößerung des zugehörigen Achsenabstandes ~~2

+

= 22° 43' 14" und die Radabrückung a12 = m (1')12 + ZI

t

Z2)

= 122,2 rom

um L1 a = 0,8 mm auf die runde Ausführungsgröße a = 123 mm bringt ein als zulässig erachtetes Flankenspiel von 0,5.0,8 = 0,4 mm. Die Belassung des gleichen Spieles im Innengetriebe bedingt eine Achsenentfernung a 2a = - 123 - 0,8 = - 123,8 mm für spielfreien Gang. Aus dieser Größe berechnet man in umgekehrter

44

Die Verzahnung der Kegelräder.

Folge die Radabrückung 1'J2a = - 0,38, den Eingriffswinkel oc.~3 = 24° 22' 30" und die Summe der Profilverschiebungen ~2 ~a = - 0,42 im Innengetriebe. Da ~2 = 0,12 bereits durch das Außengetriebe festgelegt ist, so wird die Profilverschiebung im Hohlrade ~a = _ 0,42 - 0,12 = - 0,54.

+

Für das Außengetriebe erhält man nach GI. (16) eine Kopfhöhe von

+

x~ = (1'JI2 1 - ~2) = 1,10 und Außendurchmesser von D I = D 2 = (12 2.1,10) 10 = 142 mm. Der gleiche Vorgang bei der Zahnhöhenermittlung für das Hohlrad liefert die übergroße Kopfhöhe

x;

=

(1'J2s + 1- ~2)

+

= (-

0,38

+1-

0,12)

=

0,50,

die aber verkürzt werden muß, damit der Kopfkreis des Hohlrades den brauchbaren Teil der Eingriffslinie in N (Abb. 41) abschließt. Unter sinngemäßer Anwendung der GI. (3) läßt sich aus dem kleinsten zulässigen Kopfwinkel tg ßs = (1 + ::) tg oc.;3' ßs = 16°48' 29" die ausführbare Kopfhöhe x' = (COS 0( _ Za = 33 a

°

1) 2

aos ßa

'

und der Innendurchmesser des Hohlrades Da = (36 - 2·0,33) 10 = 354 mm berechnen. Durch Auswertung der früher angegebenen Gleichungen gelangt man zu den Achsenentfernungen der Stoßradanstellung : und aos = 64,4 mm . Der Überdeckungsgrad des Außengetriebes beträgt 8 = 1,33. aQl

=

a02~= 181,2 mm

11. Die Verzahnung der Kegelräder. Räder, die bei sich schneidender Achsenlage die Bewegung im unveränderlichen Ubersetzungsverhältnis übertragen, weisen zwei Kegelflächen aui, Wälzkegel genannt, die bei der Drehung ohne Gleiten aufeinander abrollen. Jeder Punkt der gemeinsamen Be51 rührungskante 00 (Abb.42) hat in beiden Rädern gleiche Umfangsgeschwindigkeit Riw i =R2 w 2 • Die Wälzkegel sind gewöhnlich auch die Teilrißflächen, deren größte KTeise die Teilkreishalbmesser R I R 2 festlegen. Die Zahnbreite b wird längs der Kegelkante gemessen. Die Kegelwinkel (halber Spitzenwinkel) CfJI CfJ2 der Wälzkegel sind aus der Übersetzung .

Abb.42. Kegelradgetriebe.

und dem Achsenwinkel

'IjJ =

bestimmt durch cot

sin q!2 sin !PI

R2 R1

Z2

W1

ZI

W2

~=--=-=-=-

~

CfJl

=

+ aos tp

--,ZI,--;-_ _ sin tp

CfJl

(31 )

+ CfJ2 Z

cot m

't'2

--l

=

+ aos tp

--=Z2,--;-_ _

sin tp

(32)

45

Zykloidenverzahnung •

Die relative Bewegung der beiden drehenden Systeme entspricht einer Drehung um die Momentanachse 00 mit einer Winkelgeschwindigkeit D. Ihre Größe erhält man aus den Geschwindigkeiten eines über 0 liegenden Punktes, der in der Entfernung 1 von der Ebene der beiden Drehachsen absteht, mit Q

= Ywr +

vg

=

w

w~ + 2 l w 2 cos 'l/' . In einem Eingriffspunkte, dessen Entfernung von der Momentanachse ~ ist, äußert sich somit eine Gleitgeschwindigkeit ~

ywr + w~ + 2 w wcos 'l/' -.l

(33)

2

Für den gewöhnlichen Fall der rech twinklig sich schneidenden Achsen 'l/' = 90° vereinfachen sich die Gleichungen: tg f{J1

Zl

= - , Z2

t g f{J2

Abb. 43. Planmd.

Z2

= - , Zl

Ein besonderer Fall besteht für f{J1 = 90°, der Wälzkegel geht in eine ebene Fläche über (Abb.43). Die zugehörige Radausbildung bezeichnet man als Planrad; diesem Sonderfalle entspricht bei paralleler Achsenlage die Zahnstange.

Abb.44. Kegelrad.

Die Zahnflächen sind Geradenflächen, deren Erzeugende durch die gemeinsame Kegelspitze 0 hindurchgehen (Abb.44). Gleiche Forderungen wie bei den Stirnrädern führen hier zu sphärischen Zykloiden- und Evolventenverzahnungen. Die seitliche Abgrenzung der Zähne erfolgt durch die Mantelfläche des Ergänzungskegels, dessen Erzeugende 010 senkrecht auf der Momentanachse 00 steht.

A. Zykloidenverzahnung. Die Gleitgeschwindigkeit V g eines Punktes P steht senkrecht zu PO (Abb. 45); ihre Richtung entspricht der Tangentenlage P 02 für zwei sich in P berührende Zahnprofile. Stellt man nun die Bedingung, daß für die Eingriffspunkte der in 0 auf der Momentanachse senkrecht stehenden Ebene alle Tangenten durch den nämlichen Punkt 02 hindurchgehen, so ergibt sich als Eingriffslinie ein Kreis mit dem Durchmesser 002' Um gerade Zahnkanten zu erhalten, müssen die Tangentendrehpunkte in den anderen Ebenen auf einer Geraden 00 2 liegen, die im weiteren als Hilfsachse bezeichnet wird und deren Stellung zur Momentanachse durch den Winkel X2 gekennzeichnet sei. Dadurch kommt man zu einer orthogonalen Kegelfläche als Eingriffsfläche ; außer Kreisschnitten in den zur Momentanachse 00 senkrecht stehenden Ebenen weist sie noch solche auch in den Ebenen auf, die senkrecht zur Hilfsachse 00 2 stehen. Die Tangierungsebene der Zahnflächen dreht sich beim Fortschreiten des Eingriffes mit einer Winkelgeschwindigkeit w~ um die Hilfsachse 002; w~ ist nach GI. (31) bestimmt durch w; sin X2

= W l sin f{J1 =

w2 sin 'P2 •

46

Die Verzahnung der Kegelräder .

Die Geschwindigkeit, mit welcher der Eingriff im Kreisschnitte Om 2 des Eingriffskegels fortschreitet, entspricht der U mfangsge'sChwindigkeit im Wälzkreise M 10, wie bei den Stirnrädern. Dieser Umstand ermöglicht das Aufzeichnen der Zahnprofile in einer zur Drehachse senkrechten Radebene (Abb. 46). Man trägt auf dem Wälzkreis R I und dem in die Radebene umgeklappten Kreis der Eingriffsfläche vom Durchmesser 0 m 2 eine Anzahl gleicher Bogenteile 01, 12, 23,01', l' 2', 2' 3' usw. auf, da wegen der daselbst bestehenden gleichen Geschwindigkeiten '02 auch gleiche Wege zurückgelegt werden. Die Durchstoßpunkte der Kegelkanten vom Eingriffskegel mit der Radebene er~be'l~ t~~e mittelt man durch Kollineation. Die Kolli;~" eI'\O~o .0 ~ \~ lAG'" neationsachse ist in 0 und steht senk.1.ei den weitest abliegenden Zahnzahlen zu einem Übersetzungsprung von 4 vH; beim 15teiligen Satze ermäßigt sich der Wert auf 2 vH. Bei kleinen Zahnzahlen verursacht die fehlende Unterschneidung des Zahnfußes Kanteneingriff und damit erheblich größere Stoßwerte. Beim Wälzverfahren wählt man den nächst kleineren Rollbogen, den man in exzentrischer Aufspannung so abwälzt, daß im Zahnpunkt des Wälzkreises das richtige Übersetzungsverhältnis gewahrt bleibt. le .Stimmen die Getriebe- mit den Erzeugungswälzkreisen überein, so ist 'ljJ1 = 'ljJ2 = O. Besteht dagegen entsprechend Abb. 29 eine Ungleichheit in den Eingriffswinkeln 0(. des Werkzeuges und 0(.' des Getriebes, so gelten nach Abb. 99 die Werte 'ljJ1

=

'ljJ2

= (tg 0(.' -

0(.') -

(tg 0(.

-

0(.) •

Bei Stirnradgetrieben verursachen uni LI R I und LI R 2 kleinere Rollbögen einen Übersetzungssprung in der Größe von GI. (64). 3. Teilungsfehler. Ungleiche Teilungslängen werden durch verspätete oder verfrühte Eingriffe, die die notwendige Verdrehung des getriebenen Rades veranlassen, überwunden. Is't der TeilungsI Abb.99. abstand des treibenden Flankenpaares um den Betrag LI t 'If1 bei ungleichem größer als beim getriebenen Rad, so verlängern· die voran- Winkel Getriebe- und Erzeugehenden Flanken den Eingriff so lange, bis das getriebene gungswälzkreis . Rad um den Teilungsunterschied zurückgeblieben ist, worauf das folgende Paar erst den Eingriff übernimmt. Bei kleinerer Teilung des treibenden Rades greift das zurückstehende Paar vorzeitig ein, um die notwendige Verdrehung einzuleiten. Bei sonst richtiger Ausgestaltung der Räder besorgen daher die an das fehlerfreie Eingriffsgebiet sich anreihenden Kanteneingriffe das Ausgleichen der Teilungsunterschiede. Die dabei auftretenden Fehlergrößen berechnet man aus den GI. (61) und (63) des Kanteneingriffes durch Einsetzen von LI x = LI t. Bei größeren Zähnezahlen (z > 34 für 0(. = 15°, z > 22 für 0(. = 20°) lassen sich die Beziehungen der Fehlergrößen durch Vernachlässigen von (LI 0(.)3 in GI. (61) und (LI 0(.)2 in GI. (60) vereinfachen. Aus den Gleichungen LI ß2 = 2!.. cot ß2 [( 1 + ~) tg 0(.

und

Zz

Zl

-

~ tg ß2] LI 0(. Zl

90

Die Unregelmäßigkeiten im Gang fehlerhafter Zahntriebe.

ist dann ein der Raddrehung L1 ß2 proportionaler Verlauf des Übersetzungsfehlers e zu entnehmen; die Übersetzungsfehlerlinie wird zur Geraden. Das später bei der Schwingungsuntersuchung benötigte Produkt aus der Zeitdauer des Kanteneingriffes und dem Übersetzungssprung {} =

Zl

+ Z2 tg oc L1 oc Z2

berechnet sich unter Benutzung der vereinfachten GI. (61) mit

to{} = 4 n tg IX cotg ß2 (~ w1

Zl

+ ~) (~!) . Z2

t

Durch das Einführen des Kopfwinkels aus GI. (62) erhält man für den vorderen Kanteneingriff (65) Der Wert für den hinteren Kanteneingriff ergibt sich durch Vertauschen der Zähnezahl Z2 durch Zl' Die größere Zähnezahl bestimmt den Größtwert. Nach Messungen von Mehner 1 zeitigt die Bearbeitung auf gut gewarteten Maschinen bei Rädern vom Modul 2 bis 8 Teilungsfehler unter 0,04 mm; die besten Ergebnisse liefern Abwälzfräsmaschinen. 4. Zahndurchbiegung. Wegen des veränderlichen Zahnquerschnittes läßt sich die 'Zahndurchbiegung nur auf zeichnerischem Wege nach dem Verfahren von Mohr 2 ermitteln, und zwar als Summenwert der Formänderungen durch Biegemoment und Schubkraft, da bei der verhältnismäßig kleinen Zahnhöhe beide Formänderungen in gleicher Größenordnung auftreten. Die Summe der Durchbiegungen von Zahn und Gegenzahn bestimmt auf dem Wälzkreise den Betrag LI j, um den das getriebene Rad gegenüber dem treibenden zurücksteht. Dieser Betrag wächst ungefähr nach parabolischer Abhängigkeit mit dem Zahnabstande x vom Wälzpunkt ; ferner ist er proportional der Zahnbelastung, die bei gleichzeitigem Eingriff mehrerer Zähne nur einen Teilbetrag "p von der zu übertragenden Umfangskraft P = kbt ausmacht. Den auf die Teilung bezogenen Verhältniswert der gemeinsamen Durch biegung kann man ausdrücken durch (66) Der Festwert a liegt bei normalen Zahnhöhen zwischen 5 und 6. Für Stahl ist die größte Belastungszahl k = 70 und das Elastizitätsmaß E = 2150000, für Gußeisen k = 25 und E = 750000. Beide Baustoffe haben somit die gleichen Werte k W M k E 2150000 = 750000 = 0,000033 und A = a E = 6·0,000033 = 0,0002. 1 Die Genauigkeit normaler Evolventen-Stirnradverzahnungen in Theorie und Praxis. Masch.-B.-Zg. Bd. 2, S. 243. 1923. 2 Siehe: Hütte Bd.l, S.593. Berlin 1925.

91

Die Unregelmäßigkeiten im Gang fehlerhafter Zahntriebe.

Bei der Höchstbelastung des Getriebes beträgt daher die Zahnfederung durchschnittlich (67) ~f = A + (; x = 0,0002 [ 1 + (: x.

n

[1

n

Die Werte der Zahndurchbiegung liegen auf der Größenstufe der zulässigen Teilungsfehler. Bei raschlaufenden Turbogetrieben ist etwa ein Teilungsfehler von 0,003 mm erlaubt, der im schlimmsten Fall zu einem Unterschied der beiden Radteilungen von Lft = 0,006 mm führen kann, entsprechend dem Verhältniswerte

~t

=

~oo.O! = 0,0002 für den Zahnmodul m = 10 mm.

5. Berichtigung der Zahnprofile. Die relative Gesamtverdrehung des getriebenen Rades ist die Summe der Zahndurchbiegung Lf j und der Verdrehung Lf x des starren Zahnprofils, die bei Kantenoder fehlerhaftem Flächeneingriff auftritt. Zwei gleichzeitig eingreifende Flankenpaare müssen deshalb gleiche Summenwerte der Verdrehungen aufweisen: (Lf x

+ Lf j) =

(Lf' x

+ Lf'f) .

(68)

Besitzt das getriebene Rad außerdem noch eine um Lf t größere Zahnteilung, so lautet die allgemeine Bedingung für gleichzeitigen Eingriff zweier Zahnpaare : Lft

= (Lfx + Lfj) - (Lf'x + Lf'f).

(69)

Diese Beziehung liefert beim Einführen der Zahnbiegungen nach GI. (67)

~L

A [1

=

!J/ = A [1

+ (~YJ x + (; -

für die Zahnstellung x und

rJ (1 -

1

x) für die Zahnstellung (x - t)

den Verhältniswert des auf einen Zahn entfallenden Belastungsteiles : x

1rJ A[l+(;)J+A[I+(; -1)J

~f =

-

(!Jtx - !J;X)

+ A[1 + ( ; -

2

2

(70)

•

Der Übersetzungsfehler ist nach GI. (58) der Differentialquotient der relativen Radverdrehung. Für den federnden Zahneingriff ist daher der Übersetzungsfehler e = d (!J x

+ !J f)

dx

= e

p

+ eb

die Summe der Fehler ep des starren Zahneingriffes und eb der Zahnbiegung. Die Übersetzungsfehler e' beim Beginn des zweizähnigen Eingriffes und e" beim Abschluß des einzähnigen Eingriffes bestimmen den Übersetzungsprung {} =

e' - e" = (e; - e~)

+ (e~ -

e~) = {}p

+ (e~- e~).

Der Übersetzungsprung des Profileingriffes ist _Q

_('_

ep

'U p -

,,)_d(!Jx)_d(!J'x) dx dx' -

ep

Für das Zahnpaar, das in der Stellung x den Eingriff X

du

= 0 und A

-

d ( :) -

daher

,= eb

d (!J f) dx

=A[

-f}

v

begin~t,

ist nach GI. (70)

+2A(-~-1) t

-----;c------

[1 + ( ~ )2J + [1 + (: - 1)2J '

+)

1+ (~) 2J ~~ = [- + 2A (T- 1)J[1 + ( 2J . d C) [1 + ( : YJ + [1 + C- 1rJ f} v

t

92

Die Unregelmäßigkeiten im Gang fehlerhafter Zahntriebe.

Für das vorangehende Zahnpaar, das in der Stellung (x - t) den einzähnigen Eingriff beendet, ist nach GI. (67) '" = 1 und " cb - d(iJ'f) dx -- 2A (~-1) t • 'V

Das Einsetzen dieser Größen ergibt für federnde Zähne den Übersetzungs prung beim Zahneintritt in den Eingriff: 19 _ [{} ~ - 2 A [1 +

-

(T - 1)J [1 + (T- 1)2J

(;

rJ + [ + (; 1

1

(71)

YJ .

Ebenso besteht beim Zahnaustritt ein zweiter Übersetzungsprung in gleicher Abhängigkeit. Die Federung veranlaßt daher immer mindestens zwei Stoßwirkungen innerhalb jeder Teilung. Aus dem Aufbau der Formel ist die bemerkenswerte Tatsache zu entnehmen, daß der Übersetzungsprung 19 bei federnden Zähnen nur ein Bruchteil des Wertes 19'0 der starren Zähne ist; es werden eben durch die elastische Nachgiebigkeit. der Zähne die Stoß wirkungen ganz wesentlich abgeschwächt. Bei vollständig genauer Zahnausführung besorgen Kanteneingriffe im Einlauf und Auslauf des Zahnes die Ausgleichung der Zahndurchbiegung. Der Zahn beginnt im Abstande des vorderen Eingriffsbogens x = e1 den Eingriff mit der Durchbiegung j f = und dem Belastungsanteil x = 0. Das vorangehende Flankenpaar hat wegen der Profilrichtigkeit zwar keine Profilverdrehung j ' x = 0, aber seine Durchbiegung j ' f ist nach GI. (68) die Verdrehung j x, bei welcher der Kanteneingriff vorn einsetzt.

°

iJ/ = 0,0002 [ 1 + (e/ - 1rJ .

iJtx =

Eine solche Verdrehung j x würde bei starren Zähnen einen Übersetzungsprung 19'0 verursachen, dessen Größe die GI. (61) und (63) des Kanteneingriffs festlegen. Erst die Einführung von 19'0 in GI. (71) liefert für x = e1 den wirklichen Wert des Sprunges beim Zahneintritt. In gleicher Weise ist der Wert beim Zahnaustritt zu ermitteln. Für das im Abschnitt "Kanteneingriff" untersuchte Getriebe Zl = 16, Z2 = 48, a = 20° berechnen sich aus Beziehungen der GI. (20) die Stellungen für Zahneintritt

e:

= 0,874

e; = 0,749.

und für Zahnaustritt

Für die zugehörigen Verdrehungsgrößen iJtX

= 0,0002 [1

+ 0,126

2]

= 0,0002,

iJtX

= 0,0002 [1

+ 0,2512] =

0,0002

wurden bereits im früheren Abschnitte die Beträge des Übersetzungsprunges bei starren Zähnen 19'0 = 0,0232 19'0 = 0,0204 ermittelt. Aus diesen Werten ergeben sich nach GI. (71) die wirklichen Größen bei federnden Zähnen mit 19 = 0,0085 19 = 0,0083. Daraus ersieht man, daß der schädigende Einfluß der Zahndurchbiegung auf die Ruhe des Ganges nicht unterschätzt werden darf, denn Höchstbelastungen veranlassen bei jedem Zahneintritt und -austritt bereits einen Übersetzungsprung von nahezu 1 vH. Beim Hinzutreten von Teilungsfehlern j t zur Zahndurchbiegung beträgt für Eingriffsbeginn (jf = 0, x = O,j'x = 0) nach GI. (69) die Verdrehung iJtx

=

iJ/ +

iJ;t

=~! + 0,0002 [1

+ (et1 -

YJ.

1

Die Unregelmäßigkeiten im Gang fehlerhafter Zahntriebe.

93

Aus dieser Verdrehung ist nach gleichem Vorgange der durch Teilungsfehler und Biegung verursachte Übersetzungsprung {} zu berechnen. Für das angeführte Getriebe bedingt eine um getriebenen Rade geänderte Verdrehungen beim Zahneintritt iJtX

= 0,0002

+ 0,0002 =

~t = 0,0002 größere Teilung im

und

beim Zahnaustritt iJx -t = -

0,0004

0,0002

+ 0,0002 = 0,

deren Übersetzungsprung beim starren Zahneingriff bereits im früheren Abschnitte ermittelt wurde: {}'j! = 0,0299, Diese Werte führen nach GI. (71) zu den wirklichen Größen des Übersetzungsprunges {} = 0,0109, {} = 0. Eine größere Teilung im getriebenen Rade erhöht daher beim Zahneintritt die Sprunggröße der Durchbiegung, während beim Zahnaustritt sich eine Milderung einstellt. Das umgekehrte Verhalten tritt bei größerer Teilung im treibenden Rade auf. Dieses Verhalten läßt erkennen, daß man durch absichtlich kleinere Bemessung der Grundteilungen im getriebenen Rade den störenden Einfluß der Zahnfederung nicht beseitigen kann. Man erreicht zwar einen sanfteren Einlauf der Zähne, dafür werden aber die Verhältnisse im Zahnauslauf verschlechtert. Das Ausgleichen von Teilungsungenauigkeiten und Zahnfederung durch die Kanteneingriffe führt deshalb zu unerwünscht hohen Werten der Stoßwirkung, weil sich die erforderlichen Verdrehungen des getriebenen Rades nur auf ganz f' I kleinen Wegen vollziehen können. Wesentlich kleiner werden die Stoßwerte, wenn man dem Rade die Gelegenheit bietet, die Ungenauigkeiten im Flächeneingriff auf längerem Wege auszugleichen. Durch Belassen eines genügend großen Flankeneintrittspieles 1 bleibt der Kanteneingriff ausgeschaltet. Im Kopf allein oder gleichzeitig im Kopf und Fuß (Abb. 100) läßt man das ausgeführte Zahnprofil um kleine Beträge t derart gegen den theoretisch richtigen Evolventenverlauf zurücktreten, daß die Beträge t gegen die Wälzbahn auf Null abnehmen. Abb.IOO. FlankenIn einfacher und bequemer Weise läßt sich eine solche Profileintrittsspiel. änderung nach den Ausführungen des vorigen Abschnittes durch eine Evolventenausführung auf exzentrischem Grundkreis bewerkstelligen. Die fehlerhaften Flanken geben dann innerhalb einer Teilungslänge eine Verdrehung von

iJ x

~ iJ' x

x t

=

S(x _ x

m ) tg w

d(; )

=

(X ~~~ -

!) tg w ,

(f-l)

welche Größe beim Eingriffsbeginn (J t = 0) nach GI. (69) mit der Summe von Teilungsfehler und Biegung des vorgehenden Zahnpaares übereinstimmen muß:

Jx-J'x=Jt+J't· Aus dieser Beziehung kann man für eine beliebige' Stellung x des Zahneinlaufes 1 Vgl. Olah: Der Einfluß der Zahnform auf die Güte der Verzahnung. Werkst.-Techn. Bd.18, S.424. 1924.

94

Die Unregelmäßigkeiten im Gang fehlerhafter Zahntriebe.

den erforderlichen Ungenauigkeitsgrad der Verzahnung durch die Größe tg w

LI t

+ 0,0002 [1 + (T - 1) 2J

= ~---c-----=---­ Xm 1

x+

~-t--T

bestimmen und aus GI. (64) die notwendigen Exzentrizitäten aufsuchen. Durch tg w ist weiters der Übersetzungsprung beim starren Flankeneingriff {}p =

tgw

gegeben und damit auch die Möglichkeit der Berechnung von {} beim federnden Eingriff nach GI. (71). iibersetzungsfehlerlinie Zugunsten eines möglichst kleinen Fehlerder starren Zähne grades wird die Eingriffsverlängerung bis zu jener I->---,-~_!!L ' ez t t Endstellung e1 oder e2 der Flächeneingriffszone ausgedehnt, welche zunächst erreicht wird. Bei dem untersuchten Getriebe liegt wegen e2 < e1 der Zahnauslauf näher, vorausgesetzt, daß durch die Art der Bearbeitung ein zum Wälzpunkt 0 symmetrischer Eingriff (x m = 0) gegeben ist (Abb. 101). Unter diesen Umständen ist x = e2 , t

gw

= 0,0002

+ 0,0002 [1 + 0,2512] = 0,749 - 0,5

°00166 '

und nach GI. (64) die Größenbemessung für die exzentrische Ausführung LI R1 ~ R 1 16

I

+ LIRR

I I

I

"'~I

1 11

~'I

~~.

i

I

:

~ ~I _1_1___ __\ _____ i_._ I

I

Abb. 101. Eingriffsbild des Getriebes zl=16, z2=48, C(=20o, mit berichtigten Flanken.

2

~ = Qc00166 = 48

211: tg C(

°000724. ,

Entschließt man sich, nur im Ritzel eme Änderung durchzuführen, so ist

I

I

2

L1 R 2 =

° und

~:l 1

=

0,01l6.

Die notwendigen Profilberichtigungen sind daher so gering, daß man sie zweckmäßig erst beim Schleifen der Zähne vornimmt. Aus dem Übersetzungsprung des starren Zahnes {}p = tgw = 0,00166

ergibt sich für das berichtigte Zahnprofil nach GI. (71) durch die Federung ein Sprung von {} = 0,0007, welcher Wert unter sonst gleichen Umständen (größte Zahnbelastung und Teilungsfehler LI/ = 0,0002) wesentlich kleiner ist als der früher ermittelte Betrag {} = 0,0109 der vollständig genauen Zahngestaltung. In Abb. 101 ist der durch die Zahnfederung beeinflußte Eingriffsverlauf der berichtigten Flanken dargestellt. Die Federung verlängert den auf eine Teilung beschränkten Eingriff der starren Zähne; in der beiderseits bis e1 e2 reichenden Endteilen kann sich der Ausgleich der Teilungsfehler vollziehen. Die Verdrehungslinien zeigen einen verschiedenen Verlauf für ein- und zweizähnigen Eingriff; in den Übergängen beim Zahneintritt und -austritt liegen die Stoßstellungen. Aus der Linie der Belastungsgrade u ist das allmähliche Anwachsen von N uU bis zur V oUast u = 1 beim Zahneinlauf zu ersehen.

Die Unregelmäßigkeiten im Gang fehlerhafter Zahntriebe.

95

Solche Berichtigungen genauer Profile erfüllen nur dann ihren Zweck, wenn der Uberdeckungsgrad nahezu zwei ist und der auf eine Teilungslänge beschränkte Eingriff des starren Profils möglichst in die Mitte des Flankeneingriffsgebietes fällt, damit beiderseits gleich lange Wege zum Ausgleich der Teilungsfehler freibleiben. 6. Fehler der mit Schneckenfräser bearbeiteten Zähne. Das Schneidprofil des Fräsers entspricht der Umrißlinie der Schraubenfläche, gesehen in der Richtung der Tangente an die im Teilriß der Schnecke verlaufende Schraubenlinie vom Steigungswinkel P•. Die Umrißlinie als Einhüllende aller Schraubenlinien der Fläche hat die Gestalt einer hohlen Zahnform (Abb. 102). Ihre gekrümmte Eingriffslinie, die mit der hohlen Seite der Fräserachse zugewendet ist, weicht von der anzustrebenden Eingriffsgeraden (geneigt unter dem Winkel oc nach "" " 'E

/' /,'Eti7g~",lil1ie des

gl18CllI1i111men Zalll1,foBes

Abb. 102. Fräserumriß als Schneidkante.

Abb. 75) ab. Der gekrümmte Verlauf der Eingriffslinie hat zur Folge, daß die mit Schneckenfräser geschnittenen Zahnflanken im Kopf und Fuß gegen das genaue Profil zurückstehen. Da die gekrümmten Eingriffslinien sich im Getriebeeingriff nicht decken, so stellen sich Ubersetzungsfehler ein. Die Größe des Übersetzungsprunges f} beim Eingriffswechsel ist der Hauptsache nach nur vom mittleren Steigungswinkel Ps abhängig; beim Eingriffswinkel oc = 15 ° betragen die Rechnungswerte 1 von f} für die Steigungswinkel 10° 7° Ps = 5° 1,6 vH. 0,6 f} = 0,2 Die Ausführungen der Schneckenfräser weisen ungefähr einen mittleren Steigungswinkel von 5° auf. Der zugehörige Ungenauigkeitsgrad im Werte von 0,2 vH ist so gering, daß der Fehler sich eigentlich als eine willkommene Berichtigung der Zahnprofile nach Abb. 100 auswirkt, durch die der Einfluß der Zahndurchbiegung unschädlich gemacht wird. 7. Fehler von Zykloidenzähnen bei unrichtigem Achsenabstand. Beim Auseinanderrücken der Achsen um den Betrag LI a tritt auf der vorderen Seite des Eingriffs ein Voreilen, rückwärts ein Zurückbleiben des getriebenen Rades ein; es gleichen sich die Unregelmäßigkeiten im Flächeneingriff selbst aus, ohne 1 Siehe den Aufsatz des Verfassers: Die Unregelmäßigkeiten des Ganges fehlerhafter Zahntriebe. Techn. Blätter S. 1. Prag 1910.

96

Dynamische Wirkungen bei Zahnrädertrieben.

daß es zum Kanteneingriff kommt. Der Eingriff geht in drei Abschnitten vor sich; in den äußeren liegt Zahnkopf auf Zahnfuß, während in der Mitte beide Kopfflanken mit den an den Teilkreis sich anschließenden Teilen aufeinander einwirken. Der Übergang dieser einzelnen Eingriffe erfolgt unvermittelt durch ein Überklatschen der Kopfflanke des einen Rades vom Zahnfuß auf den Kopf des anliegenden Zahnes; es stellen sich dabei Änderungen ein, die aber gegenüber dem Übersetzungsprung {} beim Eingriffswechsel geringfügig sind. Es ist {} =

L1; [

2-

J'(,

12 J'(, m1 cos - 4ml

+

1

J'(,

],

m2 cos 2 4 m 2

wobei die Halbmesser der Eingriffskreise ausgedrückt sind durch und

So führt z. B. eine um L1 a

=

t

1 mm größere Achsenentfernung bei -

J'(,

=

10 mm

und m1 = m 2 = ~ bereits zu einem Sprung von 4 v H. Größere Ungenauigkeiten verursacht eine Achsennäherung, weil sich Kanteneingriff einstellt. Es kommt zu 4 Stoßwirkungen innerhalb einer Teilung.

VIII. Dynamische 'Virkungen bei Zahnrädertrieben. Ein ungleichmäßiger Energiedurchgang, hervorgerufen durch schwankende Drehmomente (z. B. beim Antrieb durch Kurbeltrieb), führt zu Drehschwingungen. Übersteigt das Drehmoment der Massenwirkung die Größe des übertragenen Drehmomentes, So wird der Kraftschluß 1 des Getriebes durch den Totgang im Flankenspiel unterbrochen; es treten dann in der Aufeinanderfolge der Druckwechsel reine Stoßwirkungen auf. Drehschwingungen bilden sich aber auch bei schwankender Übersetzung aus, welche Unregelmäßigkeit stets jede Getriebeungenauigkeit im Gefolge hat. 1. Drehschwingungen bei Getriebefehlern.

Fehler der Ausführung und Aufstellung, sowie die elastischen Formänderungen des Zahntriebes bewirken schwankende Werte (i - L1 i) der Übersetzung, wodurch Störungen des gleichförmigen Umlaufes aller Massen auf treibender und getriebener Welle eintreten. Bei diesen erzwungenen Geschwindigkeitsänderungen stellen sich Massenkräfte ein, die eine zusätzliche Belastung zur Beanspruchung durch die übertragene Leistung bedingen. Durch die stetige Änderung der Übersetzung während des Zahneingriffes erlangen die treibenden und getriebenen Massen entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeitsänderungen, die zu einem Geschwindigkeitsunterschied führen. Beim Übersetzungsprung des Eingriffswechsels dagegen vollzieht ein stoß artiger Impuls den notwendigen Ausgleich dieses Unterschiedes. Beide Einwirkungen veranlassen zufolge der .elastischen Nachgiebigkeit der Zwischenteile Drehschwingungen der Massen. Die folgende Untersuchung des geschilderten Verhaltens behandelt der Kürze wegen nur die einfachste Anordnung mit 4 Massen (Abb. llO). Die Massenträgheitsmomente seien J 1 J 2 für die Maschinenrnassen auf treibender und getriebener Welle, J~ J~ für die Räder des Zahntriebes. Ferner bezeichnen C1 C2 die Federungs1 Vgl. R ei ß n er: Über die Kraftschlüssigkeit von Zahnradgetrieben, insbesondere für SchiffspropelJer. ang. Math. Mech. Bd. 4, S. 53. 1924.

97

Dynamische Wirkungen bei Zahnrädertrieben.

zahlen der Wellenstücke zwischen den Massen (einschließlich von etwa eingebauten elastischen Kupplungen) und C die Konstante der Zahnfederung. Obzwar die Zahndurchbiegung sich mit der Eingriffstellung ändert, so kann man dennoch zur Vereinfachung den Mittelwert der GI. (66) von etwa L1/=!(:)

verwenden, der die Federungszahl der Radzähne bestimmt mit C =

P

-;:[{ =

b

6E.

(72)

Die Massen durchlaufen ungleiche Drehwinkel f{J1> f{J~, f{J2' f{J~, wodurch relative Verdrehungen 1)(1' 1)(, 1)(2 zwischen den Massen entstehen. Die Änderungen dieser Verdrehungen nach der Zeit sind: d rt. 1 dt

d qJ1

d qJ~

-dt- - Tc

drt. =dqJ~_(i_L1i)dqJ~ dt dt dt drt. 2

dqJ2

dqJ~

Tt-Tt

liT

Die Verdrehungen werden hervorgerufen durch die Drehmomente Cll)(l und CI)( auf der treibenden Welle, (i - L1i) CI)( und C2 1)(2 auf der getriebenen Welle. Aus diesen Momenten ergeben sich die Massenbeschleunigungen : (73)

In den Gleichungen kann der kleine Wert L1 i des Übersetzungsfehlers unberücksichtigt bleiben; den Einfluß der Fehlergröße bewahrt man nur durch den verhältnismäßig großen Wert des Differentialquotienten, den man zumeist wegen des angenähert geradlinigen Verlaufes der Übersetzungsfehlerlinie ausdrücken kann durch den Festwert p

=

dqJ~

d(Lli)

Tt d t

-

=

-

W2

d(Lli)

dt

( ,1

=

=

Wl

i)

d T -d-t- .

(74)

Das Zusammenziehen der Gleichungen unter Ausscheiden der Massenbeschleunigungen liefert die Bestimmungsgleichungen der Verdrehungen: d 2 rt. 1 dt2

=

d 2rt. (fi2-

=

+ J~1 ) Cl 1)(1 + J~ 1)(, (1J~ + J~i 2) C I)( + icz -J~ 1)(1 J~ 1)(2 -

(

1 J1

C

Cl

d 2 rt.2

ic

(jj2 = nl)( -

(1 J2

P,

1\ + JO C2 1)(2 •

Die durch den Festwert p gestörte Gleichmäßigkeit des Gleichungsaufbaues wird behoben durch das Einführen neuer veränderlicher Größen ß: 1)(1=ßl-ql'

I)(=ß-q,

1)(2=ß2-Q2'

Unter verkürzter Bezeichnung der Festwerte

U+ )J 1

i

C2

y= 2

k

5'

Cl =

i

kl C

J~ =

;~ =

,

k

k2 ,

~

=

k3 ,

(75)

6'

Volk, Einzelkonstruktionen, 3. Heft, 3. Auf!.

7

98

Dynamische Wirkungen bei Zahnrädertrieben.

erhält man das in zwei Teile zerfallende Gleichungssystem : d2 ß dtt' = (- k1 ßl + k2 ß) - ( - k1ql + k2q) , d2 ß dt2 d2 ß2 dt2

=

(k a ßl - k4 ß + k S ß2) - (k aql - k4 q + k S q2

=

(k 6 ß - k7 ß2) - (k 6 q - k7 q2) •

I

+ p) ,

Einerseits führt das Nullsetzen der unveränderlichen Gleichungsteile zur Ermittlung der neuen Festwerte q: - k 1 ql + k 2 q = 0 ka ql - k4 q + ks q2 k 6 q - k 7 q2 = 0

+P=

0

ql

daraus daraus

q2

= =

k

2 --q k 1

(76)

ks

k- q 7

Andererseits kann man aus der partikulären Lösung

ß = A sin (y + w t) der verbleibenden Gleichungsteile durch Einführen der zweiten Differentialquotienten d 2ßl _ 2ß dt2 - - W 1> eine Umformung - w' P, ~ - w2 ß = - w 2 ß2

=

- k.ßd k, P

]

kaßl - k4 ß + k S ß2 k6 ß - k7 ß2

daraus

"1

= ~} =

daraus

"2

=

ß2 ß

=

k2 k} - w 2 k7

(77)

ks -

w2

vornehmen, welche nebst den angeführten Verhältnissen "1"2 der Schwingungsausschläge noch den Gleichungsansatz der Eigenschwingungen liefert: k 2 ka kl - W 2

+ k ks ks

7- W

2

_

(k _ 4

W

2)

= 0

•

Die kubische Gleichung hat die Beiwerte

0 1 = kl k 4 + k l k 7 -+- k 4 k 7 - k 2 ka - ks k a , 00 = k l k 4 k 7 - k l ks k a - k 2 ka k 7 und ergibt drei verschiedene Kreisfrequenzen w, w' und w" der Eigenschwingungen entsprechend der um eins verminderten Massenzahl. Unter Verwendung der Beziehung 02

=

kl

+ k4 + k7 ,

00 = (W)2 (W')2 (W")2

berechnet sich aus GI. (76) der Festwert q=

k} k7

---c; P =

k 1 k7 (W)2 (W')2 (W")2

p.

(78

}

Das allgemeine Integral der Differentialgleichungen bestimmt die Verdrehungen (J. aus dem Unterschied zwischen den Schwingungsausschlägen ß und den Festwerten q: (Xl (X (X2

= Xl A

sin (y = A sin (y = X 2 A sin (y

+ w t) + ,,~A' sin (y' + w' t) + ,,~ A" sin (y" -+- w" t) + w t) + A' sin (y' + w' t) + A" sin (y" + w" t) + w t) + x~A' sin (y' + w' t) + x~ A" sin (y" + w" t) -

q1

q q2

1

(79}

99

Dynamische Wirkungen bei Zahnrädedrieben.

Die Schwingungsausschläge setzen sich aus den Einzelwerten der drei Frequenzen zusammen, wobei der Phasenwinkel y jeder Frequenz gleich ist und die Verhältnisse" der Amplituden A den Bedingungen der GI. (77) genügen. Die Änderung der Verdrehungen erfolgt mit den Geschwindigkeiten:

dd~l =

"1 A

0)

cos (y

+

0)

t)

+ x~ A'

A

0)

cos (y

+

0)

t)

+

A

0)

cos (y

+

0)

t)

+ x; A'

dIX

dt IX dd t2

=

X2

A'

0)'

cos (y'

+

0)'

t)

+ x~ A"

cos (y"

+

0)"

t)

0)'

cos (y'

+

0)'

t)

+

A" 0)" cos (y"

+

0)"

t)

0)'

cos (y'

+

0)'

t)

+ x~ A"

+

0)"

t)

0)"

0)"

cos (y"

I

(80)

An den Uns t e t i g k e i t s s tell endes Übersetzungsverhältnisses wird der Schwingungszustand durch das Hinzutreten einer neuen Impulsschwingung plötzlich flesamfsehwingl.lng als Verdrehung

~(L I

10 -.-.-.._.- -'--r

i

i,

I i i j

I

,

"- \

I Übernom'",ene Schwingung

I I

(w'?

~i

i

~I

-/---,r--:-r--L-I

(tü)

SChwingungs ~

!

A~

_ _ _ i _____ ._~L '0 a Abb. 103. Ursprünglicher Schwingungszustand zur Zeit t = O.

L_____ _

';J

I

Abb. 104. Durch den Impuls geänderter Zustand zur Zeit t = O.

Abb.105. Zeitlicher Verlauf der Verdrehungm vor und nach dem Impuls.

IX

abgeändert. In Abb. 103 ist der Schwingungszustand beim Ablauf eines Schwingungsabschnittes durch die Radiusvektoren A o, A~, A~ der drei Frequenzen 0),0)', W" dargestellt. Der Impuls erregt in jeder Frequenz eine Sinus- und Kosinusschwingung, deren Vektoren a, a', a" und b, b', b" sich mit den ursprünglichen Vektoren zu den Vektoren A, A', A" des neuen Schwingungsbereiches zusammensetzen (Abb. 104). Die Sinusschwingung (Amplitude a, Phasenwinkel y = 0 bei t = 0) wird erregt durch einen Übersetzungssprung, der zwischen den beiden Zahnradmassen einen plötzlichen Geschwindigkeitsunterschied von 0)1# verursacht; zwischen den Zahnrädern und den übrigen Massen besteht keine augenblickliche Geschwindigkeitsänderung. Durch Einsetzen dieser Geschwindigkeitsgrößen in die GI. (80), die auch für die Komponenten der Schwingung gelten, erhält man 3 lineare Gleichungen

o = "1 a + ,,~ a' 0)

#0)1

=

o=

0)'

a 0) + a' 0)' "2 a w + ,,; a' 0)'

+ ,,~ a" + a" + ,,~ a"

0)" , 0)" , 0)" ,

7*

Dynamische Wirkungen bei Zahnrädertrieben.

100

aus denen sich die Amplituden der Sinusschwingungen berechnen mit

a wobei

x

-w {}, w 1

=

a'

x' ,w {}, w 1

=

a"

x" wJ-{} , w

(81)

== -----;;

[(kl - (w)2][k 7 - (W)2] X = [(w')2 _ (W)2][(W")2 _ (W)2] , X

und

"

[kl - (W")2] [k 7 - (W")2]

= [(W)2 _ (W")2] [(W')2 _ (W")2]

x

+ x' + x" == 1.

Die Kosinussch wingung (Amplitude b, Phasenwinkel y = 90° bei t = 0) wird erregt durch eine Verschiedenheit in der Neigung zweier aufeinanderfolgender Übersetzungsfehlerlinien. Die Entfernung der Schwingungsachse von der Nullinie der Verdrehungen IX nimmt dann ungleiche Werte qo und q an; den Zuwachs Llq

=

q - qo

deckt beim Übergang die Amplitudensumme der drei Kosinusschwingungen. Unter Berücksichtigung der Beziehungen in GI. (79) sind deshalb

~1 b + ~'1 b'

+ ~"b" - Ll q - kk Ll q b + b' + b" = Ll q, ~2 b + ~; b' + ~~ b" = Ll q2 = k~6 Ll q 1

-

1 -

2

l

'

7

die Bestimmungsgleichungen der Amplituden; ihre Größen sind ~I'''''

iibersefzungsfehlerl/n/e

~-----T~--~~----T----~

b =y Llq'l b' = y' Llq, b" = y" Ll q, J wobei

(82)

Null/nie der Verdre1iUngen

und

y

+ y' + y" =

1.

2. Schwingungsverlauf bei Profilfehlern. Bei gleichmäßigen Pr 0filfehlern nach Art der Abb. 106. Zeitlicher Verlauf der Verdrehungen bei Profilfehlern. in Abb. 106 eingetragenen Übersetzungsfehlerlinie , deren gerader Verlauf sich unter gleicher Neigung nach dem Durchlaufen einer Zahnteilung in der Zeit T = 2n_ t=o

t=T Senw/ngungSQehse

Zl W 1 '

wiederholt, bilden sich beim Eingriffsübergang nur Sinusimpulse aus, da Ll q = 0 ist. Im Beharrungszustande besorgt der Impuls a eine Phasenverschiebung der ankommenden Schwingung A o im Winkel (- w T), welchen Winkel der neue größengleiche Radiusvektor A während der Schwingung im entgegengesetzten Sinne durchläuft, um am Ende der Periode in die frühere Endlage zurückzukehren.

101

Dynamische Wirkungen bei Zahnrädertrieben.

Es sind daher die Phasenwinkel zu Schwingungsbeginn (t = 0) n-wT

,

Y=--;O-2-

Y

=

n -w'T

n - w" T

y"

2

= --2--

und bei Berücksichtigung der GI. (81) die Amplituden

A=

A' =~~ __x'_

a 2 . wT

2 w' . w' T ' sln-2-

SIllT

A"

=

f} W X" I w"-.-w-'~'=T·

2

sln-2 --

Die Ausschläge der drei Schwingungen addieren sich zum Gesamtausschlag ß (Abb. 106), dessen Linienverlauf .Egleichzeitig die Verdrehungen ('/. darstellt, gemessen von der Nullinie der Verdrehungen, die um den Betrag q von der Schwingungsachse absteht. Die Neigung der Übersetzungsfehlerlinie bestimmt nach GI. (74) den Wert LI i ( d f} 01 1 -d-t- = 01 1 T

T)

p= -

'

und im weiteren nach GI. (76) die mittlere Ordinate des Schwingungsausschlages k 1 k 7 W 1 f} q=(j~~' o

In der Mitte der Periode stellt sich das größte Drehmoment der Massenwirkung eIn:

Mm

+ A' + A" - q) C{}011 - - - wT + ---;'T" +

= C('/.max = C (A

XX'

=

{

2w'sin2-

2wsinT

k I}

x" 1 k7 w" T - (j--T ' 2w" sin-- 2 0

(83)

Eine Einsicht in den Schwingungsverlauf der Massen gewähren die Integrale der GI. (79). Die Umlaufgeschwindigkeit der Masse J 1 , die am freien Ende der treibenden Welle sitzt, d rpl = dt

-S~ dt J ('/.1 1

{A

C

= Jl 1

W

A" 1 "1 cos (y + 01 t) + A' -,,~ cos (y' + 01' t) + ---,-; ,,~' cos (y" + 01" t) + q1 t + 0 f W

W

(ru') /' /'/'

/'

/'

(ru)

------

~t----\

\

\

--T----\-\

\

\

\

,/

"--_//

Abb.l07. Geschwindigkeitsverlauf der erzwungenen Massenschwingung bei Profilfehlern.

setzt sich zusammen aus einer durch den Festwert 0 ausgedrückten mittleren Geschwindigkeit, weiters aus der Summe}; der Geschwindigkeiten, welche die 3 Eigen-

102

Dynamische Wirkungen bei Zahnrädertrieben.

schwingungen hervorrufen, und schließlich aus einem mit der Zeit zunehmenden Geschwindigkeitsteil ql t. Die Summe dieser Geschwindigkeiten zeigt das innerhalb jeder Periode sich wiederholende Bild (Abb. 107) der erzwungenen Schwingung, verursacht durch fehlerhafte Zahngestaltung. 3. Schwingungsverlauf bei Tellungsfehlern. Ein in der Zeit T wiederkehrender Teilungsfehler Llt, der sich im vorderen Kanteneingriff ausgleicht, zeigt bei sonst richtigem Profileingriff eine übersetzungsfehlerlinie nach Abb. 108, die im Gebiete des Kanteneingriffes entsprechend der {}

GI. (74) den Festwert p = W 1 t hat. Bei Periodenbeginn setzen °in jeder Frequenz Impulse ein, und zwar wegen des Übersetzungssprunges f} nach GI. (81) ein Sinusimpuls von der Amplitude

{()

+b

x

a=-w1f}, W

und wegen der ungleichen Neigung in den aufeinanderfolgenden Teilen der Übersetzungsfehlerlinie Llq=q-O=q, a

ein Kosinusimpuls von der Amplitude b. Während der kleinen Zeitdauer t o des Kanteneingriffes (Abb. 109) durchlaufen beide Radiusvektoren den kleinen Win-

r

A

Schwingungs Vektoren

ImpII/s-

I

t=O 0,5d. Räder mit kleiner Zähnezahl tragen die Zähne unmittelbar auf der Nabe. Schwache Naben kann man durch angegossene Seitenscheiben verstärken (Abb. 124), wenn die Zähne nicht zu bearbeiten sind. Seitliche Kranzverstärkungen bei unbearbeiteten Zähnen (Abb. 125) bewahren die Zähne vor seitlichem Ausbrechen. Volk, Einzelkonstruktionen, 3. Heft, 3. Aufl.

8

114

Die Gestaltung der Räder.

Größere Räder erhalten einen eigenen Zahnkranz in der Stärke von 0,5 t, der meistens durch ein bis zwei Kranzrippen versteift wird. Bei Kegelrädern wird der Kranz zweckmäßig über die ganze Breite gleich stark in der Hälfte der größten Zahnteilung gehalten (Abb. 126), da eine gegen die Kegelspitze verjüngte Ausführung mit der Kraftüberführung auf die Arme nicht im Einklang steht. Kranz und Nabe verbindet man bei kleineren Rädern durch eine Scheibe, die durch Rippen versteift und durch kreisrunde Ausnehmungen (Abb. 128) leichter gemacht werden kann. Bei größeren Durchmessern werden 4 bis 8 Arme angeordnet. Für die Zahl der Arme ist die Bedingung maßgebend, daß der Kranz unter dem Druck der radialen Komponente .Abb. 122. Ungeteiltes Stirnrad. des Zahndruckes (Abb. 127), deren Größe durch etwaige Fräswirkung der Zahnkopfkanten sich erheblich steigern kann, eine genügende Festigkeit und Steifheit aufweist.

+

~.

. ~ -- -

,__________ ..l

~

.Abb. 123. Schmalrad.

.Abb. 124. Seitliche Nabenverstärkung .

.Abb. 126. Kegelrad.

~

~

.Abb. 125. Seitliche Kranzverstärkung .

.Abb. 127. Kranzbiegung.

Ein elliptischer Armquerschnitt wird nur bei kleinen Rädern von schmaler Zahnbreite ausgeführt (Abb. 123). Der steife Zusammenhalt verlangt Arm-

115

Geteilte Räder.

+-

querschnitte, die in voller Breite an den Radkranz ansetzen. Üblich sind der ,(Abb. 122) und bei größeren Breiten der I-I-Rippenquerschnitt (Abb. 129), der auch in verdrehter Lage I (Abb. 149) für besonders steife Arme Verwendung findet. Die Arme werden gewöhnlich gerade gehalten, gekrümmte Ausführungen (Abb. 142) sind notwendig, wenn die Befestigungsstelle der Nabe außerhalb der Zahnbreite liegt. Die Hauptrippen der Arme werden bei unveränderter Stärke gegen den Umfang auf 0,8 der inneren Breite verjüngt (Abb. 122). Die Beanspruchung des Armquerschnittes läßt sich schwer genau feststellen, weil die Belastungsgröße eines Armes von der elastischen Formänderung des Kranzes und der Arme abhängt und außerdem auch der Einfluß von Guß spannungen zu berücksichtigen wäre. Man berechnet angenähert den Arm als einen in der Nabe eingespannten Träger, der mit einem Teile der Umfangskraft P im Betrage von Y4 der Armzahl i belastet ist (Abb. 122): P 0,25 i Y = k b W .

Eine gleiche Auf teilung der Umfangskraft auf alle Arme findet nicht statt. Für Gußeisenarme ist der übliche Wert kb = 300. Das Widerstandsmoment W berechnet man unter Weglassung des geringfügigen Anteils von dem Rippenquerschnitt, der in der neutralen Achse liegt. Die Rippenstärke 8 wird ungefähr gleich der Zahnstärke gehalten; die Armhöhe h beträgt beiläufig 58 bis 7 8.

XIII. Geteilte Räder. Das Zusammensetzen der Räder aus zwei Hälften ermöglicht das Aufbringen an der Befestigungsstelle ohne axiales Zuschieben; auch Guß- und Versandschwierigkeiten machen eine solche Tei1ung notwendig. Die Steifheit des Rades bewahrt man durch eine Teilung im Armmittel. Ferner muß im Kranz die Teilungsfuge SehlliHa, a, durch eine Zahnlücke hindurchgehen, um einer Zahnschwächung vorzubeugen. Beim Einzelguß der Radhälften ist eine Bearbeitung der Auflageflächen notwendig; eine ausgehobelte Verschneidung gibt axialen Halt (Abb.128). Einfacher und zweckmäßiger ist das Einformen des Rades im vollen Stücke und nachherige Teilung des Gußstückes durch Sprengen. Durch Einlegen von Blechplatten mit GraphitAbb. 128. Verschneidung der Radhälften. oder Lehmüberzug in die Gußform beschränkt man den Zusammenhang der beiden Radhälften nur auf einige schmale Leisten, so daß die Trennung leicht bewerkstelligt werden kann (Abb. 129). 8*

Geteilte Räder.

116

Abb. 129. Geteiltes Stirnrad.

Abb. 130. Geteiltes Kegelrad.

-,

--------------

rrt,-l I~

----~-----

~-------------·L4~J----------

Abb. 132. SteuerweIlenantrieb.

Abb. 131. Verbindung durch Schrumpfringe.

Die Ausführung der Zahnradgetriebe.

117

Die Verbindung der Radhälften besorgen Schrauben (Abb. 129), die möglichst nahe an Kranz und Welle heranzudrängen sind; aus diesem Grunde werden die Kranzschrauben gewöhnlich beiderseits mit Muttern ausgestattet. Zu beiden Seiten der Schrauben sind Auflagleisten anzuordnen, um Durchbiegungen und unnötige Mehrbeanspruchungen hintanzuhalten. Bei großen Rädern sind Schrauben auch in die Armmitte einzusetzen (Abb. 131). Ist im Radkörper kein Platz zum Unterbringen der Schrauben vorhanden, so verlegt man die Verbindung in die verlängerte Nabe (Abb. 132). Auch kann man die Muttern entfallen lassen und die eingeschraubten Verbindungsbolzen durch Querkeile festhalten (Abb. 133). Die Widerstandsfähigkeit der Schraubenverbindung läßt sich erhöhen durch Aufziehen von Schrumpfringen auf angegossene Zapfen, die an den Seitenflächen

Abb. 133. Ausführung von F. Stolzenberg & Co., Reinickendorf.

Abb. 134. Rad mit Armstern.

des Rades heraustreten (Abb. 131). Die Verstärkung der Nabe durch zentrale Schrumpfringe setzt die Möglichkeit des axialen Aufbringens voraus. Die Teilung von großen Rädern in Kranz und Nabe mit Armstern (Abb. 134) verfolgt den Zweck, unter Beibehaltung des inneren gußeisernen Teiles die Festigkeit der Zähne durch Ausführung des Kranzes in Stahlguß zu erhöhen und auch die Gußschwierigkeiten herabzumindern. Kranz und Armstern werden in zylindrischer Fläche eingepaßt und durch Schrauben zusammengehalten. Der Tangentialschub wird durch das Einschlagen von je zwei mit dem Anzug gegeneinandergekehrten Keilen behoben.

XIV. Die Ausführung der Zahnradgetriebe. Ungenauigkeiten der Getriebeausführung rufen Massenwirkungen hervor, die bei zu raschem Gang den Betrieb gefährden. Maßgebend für die Größe der zulässigen Umlaufgeschwindigkeit ist daher in erster Reihe der Genauigkeitsgrad. Steht die sonstige Genauigkeit der Ausführung im Einklang mit der Zahnbearbeitung, so läßt sich ein anstandsloser Lauf noch erzielen bis zu U mfangsgesc hwindig-

118

Die Ausführung der Zahnradgetriebe.

keiten von v

< 2 m bei unbearbeiteten Zähnen,

v des Daumens. 1\ \ I \ I, In den Eingriffsstellungen \\\ \ \\ \\ \\ \ \ I \ , " " \ ,\ , " unmittelbar neben dem Wälz\\ \ ' \ \ \ \ , \ ,I', 7 / punkt weicht der Zahndruck \ \ \ \ "', / // \\ \ \ I 1 // stark von der tangentialen \\ \ \\ , 'f..../ . .". ." .... - - - - - , .../ / / I /1/1/1 Richtung ab. Es empfiehlt \\ I,', "" . . . . . .. / // sich, diese Zone des ungün"),,~: .... _-~-- - ---~-------stigen Eingriffs dadurch aus---~,::/ // ,,0/ .1~""1 ''-':.--_ -------_daß der Daumenzuschalten, --umfang in der Nähe des Punktes 0 etwas zurückgesetzt wird. Doch darf das Eingriffsgebiet nur so weit geschmälert werden, daß ein Eingriffsbogen größer als die halbe Teilung verbleibt. Mit der Größe des Rollendurchmessers verschlimmert sich die Schrägstellung des Zahndruckes in der ungünstigen Eingriffszone am WälzAbb. 157. Daumenermittlung. punkt. Da außerdem noch die Daumenlänge und Eingriffsdauer sich verringern, ist das Maß der Rolle möglichst klein zu halten. Bestimmend hierfür sind die Abmessungen der Stahlbolzen, die mit einer Biegungsbeanspruchung von 600 kg/cm 2 und einer Flächenpressung

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von höchstens 80 kg/cm 2 bei höheren Umlaufzahlen belastet werden können. Der Rollenkreis wird etwa so groß bemessen, daß seine Sehne im Winkel von 90° um den Betrag von 2 mm außerhalb des Bolzenkreises verbleibt (Abb. 158). Zur Verminderung der Achsenentfernung ist das Daumenrad möglichst klein zu halten; man läßt den Daumenwälzkreis mit dem Nabenkreis zusammenfallen. Die Welle wird beiderseitig gelagert und auf Drehung ungefähr mit 100 bis 200 kg/cm 2

131

Das Grissongetriebe.

(abnehmend mit höherer Umlaufzahl) beansprucht. Die aus Stahl geschmiedeten Daumenräder zeigen in den Ausführungen eine Nabenstärke 8 von nur 8

d1 6 mm. =2