Phare Mathématiques 3e - Livre du professeur - Edition 2012 2011201098, 9782011201096

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Collection

PHARE

3

e

Mathématiques Roger Brault Professeur au Lycée du Maréchal Soult à Mazamet (81) Marie-Claire Cipolin Professeur au Collège Montesquieu à Cugnaux (31) Sébastien Cuq Professeur au Collège Honoré de Balzac à Albi (81)

Isabelle Daro Professeur au Collège Jean-Auguste Ingres à Montauban (82) Christine Ferrero Professeur au Collège Bellevue à Toulouse (31) Isabelle Marfaing Professeur au Collège René Cassin à Saint-Orens (31) Benoît Ripaud Professeur au Collège François Mitterrand à Fenouillet (31)

Livre du professeur

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Tous les tableaux à compléter et les figures (en couleurs) sont disponibles à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Maquette de couverture : N. Piroux Maquette intérieure : F. Jély Mise en page : CMB Graphic Crédit photographique couverture : Phare Peggy’s Point, Canada, © Jean Guichard

© Hachette Livre 2012, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15. ISBN : 978-2-01-120109-6

Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, d’une part que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et on destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droits ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

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So S o mmaire mmai re Introduction à la classe de Troisième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Nombres et calculs 1

Calcul numérique ● ●

2

● ●

● ●

●

5

Déterminer le PGCD de deux nombres entiers positifs. Déterminer si deux nombres entiers donnés sont premiers entre eux. Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. 47

Définir la racine carrée d’un nombre positif. Utiliser des propriétés de la racine carrée.

Identités remarquables et applications ● ● ● ●

6

33

Racine carrée ●

● ●

55

Connaître les identités remarquables. Utiliser ces identités pour développer ou pour factoriser une expression. Utiliser ces identités pour résoudre une équation. Résoudre l’équation : x² = a, où a est un nombre donné.

Inéquations – Systèmes d’équations ●

17

Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur commun est apparent. Mettre en équation et résoudre un problème concret se ramenant à une équation de degré 1. Reconnaître et résoudre une équation produit nul.

Arithmétique ●

4

Effectuer des opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire. Utiliser les règles de calcul sur les puissances d’exposant entier relatif.

Calcul littéral – Équations produit nul ●

3

8

67

Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue et représenter ses solutions. Résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues. Donner une interprétation graphique de la résolution d’un tel système.

Organisation et gestion de données 7

Notion de fonction ● ● ●

8

● ● ●

9

● ●

● ●

11

●

120

Déterminer l’étendue, la médiane d’une série statistique. Déterminer les quartiles d’une série statistique.

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110

Comprendre et utiliser les notions élémentaires de probabilité. Calculer des probabilités dans des contextes familiers. Calculer des probabilités lors d’une expérience à deux épreuves.

Statistiques ●

98

Connaître la définition d’une fonction affine. Déterminer par le calcul l’image et l’antécédent d’un nombre donné par une fonction affine. Représenter graphiquement une fonction affine.

Probabilités ●

89

Définir la fonction linéaire qui traduit une situation de proportionnalité. Déterminer par le calcul l’image et l’antécédent d’un nombre donné par une fonction linéaire. Représenter graphiquement une fonction linéaire. Traduire une augmentation ou une diminution en pourcentage par une fonction linéaire.

Fonctions affines ●

10

Approcher la notion de fonction. Utiliser le vocabulaire et les notations. Déterminer l’image d’un nombre par une fonction. Lire et interpréter la représentation graphique d’une fonction.

Proportionnalité et fonctions linéaires ●

80

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S ommaire ommai re Géométrie 12

Théorème de Thalès et sa réciproque ● ● ●

13

●

140

Connaître et utiliser les définitions du cosinus, du sinus ou de la tangente d’un angle aigu. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, des valeurs approchées : – du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné ; – de l’angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente.

Géométrie dans l’espace ● ● ●

●

15

Revoir l’agrandissement ou la réduction d’une figure. Connaître et utiliser le théorème de Thalès. Connaître et utiliser la réciproque du théorème de Thalès.

Trigonométrie dans le triangle rectangle ●

14

128

151

Définir la sphère et la boule. Représenter la sphère et certains de ses grands cercles. Connaître et utiliser la nature de certaines sections planes du cube, du parallélépipède rectangle, du cylindre de révolution, du cône de révolution et de la pyramide. Connaître et utiliser la nature de la section d’une sphère par un plan.

Angles inscrits – Polygones réguliers ●

●

160

Connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit dans un cercle et l’angle au centre qui intercepte le même arc. Définir et construire certains polygones réguliers.

Grandeurs et mesures 16

Aires et volumes ● ● ●

17

Grandeurs et mesures ● ●

4

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171

Calculer l’aire d’une sphère de rayon donné. Calculer le volume d’une boule de rayon donné. Connaître et utiliser le fait que, dans un agrandissement ou une réduction de rapport k : – l’aire d’une surface est multipliée par k² ; – le volume d’un solide est multiplié par k3. 179

Définir les grandeurs produits et les grandeurs quotients. Effectuer des changements d’unités sur les grandeurs.

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Introduction à la classe de Troisième OBJECTIFS Les objectifs généraux et l’organisation de l’enseignement des mathématiques décrits dans l’introduction générale des programmes de mathématiques pour le collège demeurent valables pour la classe de troisième : consolider, enrichir et structurer les acquis des classes précédentes, conforter l’acquisition des méthodes et des modes de pensée caractéristiques des mathématiques, développer la capacité à utiliser les mathématiques dans différents domaines (vie courante, autres disciplines), notamment à l’occasion de l’étude de thèmes de convergence. À la fin de cette classe terminale du collège, la maîtrise par les élèves de plusieurs types de savoirs est visée : dans le domaine des nombres et du calcul : calcul numérique (nombres entiers, décimaux et fractionnaires, relatifs ou non, proportionnalité) et premiers éléments de calcul littéral ;

●

dans le domaine de l’organisation et la gestion de données : premiers éléments de base en statistique descriptive et en probabilité ;

●

dans le domaine géométrique : figures de base et propriétés de configurations du plan et de l’espace ;

●

dans le domaine des grandeurs et de la mesure  : grandeurs usuelles, grandeurs composées et changements d’unités ;

●

dans le domaine des TICE : utilisation d’un tableurgrapheur et d’un logiciel de construction géométrique.

●

FINALITÉS Les élèves disposent ainsi de connaissances et d’outils utiles dans de nombreux contextes et sur lesquels se construira l’enseignement au lycée aussi bien professionnel que technologique ou général. Parallèlement, ils acquièrent aussi la maîtrise d’un ensemble de valeurs, de savoirs, de langages et de pratiques qui participent à la constitution du socle commun des connaissances et des compétences. Comme dans les classes antérieures, l’enseignement des mathématiques renforce la formation intellectuelle des élèves, et concourt à celle du citoyen, en développant leur aptitude à chercher, leur capacité à critiquer, justifier ou infirmer une affirmation, et en les habituant à s’exprimer clairement aussi bien à l’oral qu’à l’écrit. Le travail expérimental (calculs numériques avec ou sans calculatrice, représentations à l’aide ou non d’instruments de dessin et de logiciels) permet d’émettre des conjectures. La résolution de problèmes vise à donner du sens aux connaissances travaillées, puis à en élargir les domaines d’utilisation.

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Ces démarches s’accompagnent de la formulation de définitions et de théorèmes (Cf. : Introduction commune à l’ensemble des disciplines du pôle des sciences, III. Les méthodes). Comme par le passé, les élèves sont conduits à distinguer conjecture et théorème, à reconnaître les propriétés démontrées et celles qui sont admises. Ils sont le plus souvent possible, en classe et en dehors de la classe, mis en situation d’élaborer des démonstrations et de travailler à leur mise en forme. Les activités de recherche, d’élaboration et de rédaction d’une démonstration sont de nature différente et doivent faire l’objet d’une différenciation explicite. L’activité de l’élève est indispensable y compris lors des temps de synthèse, essentiels à l’apprentissage, qui rythment les acquisitions communes. Les activités de formation ne peuvent pas se réduire à la mise en œuvre des compétences exigibles et doivent donc être aussi riches et diversifiées que possible.

SOCLE COMMUN DES CONNAISSANCES ET DES COMPÉTENCES Comme pour le cycle central, il n’est pas possible d’associer à chaque partie du programme le développement d’attitudes spécifiques décrites dans le socle commun des connaissances et des compétences. La pratique des mathématiques en classe de troisième doit permettre aux élèves d’appréhender l’existence de lois logiques et développe notamment : – le sens de l’observation, l’imagination raisonnée, l’ouverture d’esprit ; – l’esprit critique : distinction entre le probable et l’incertain, situation d’un résultat ou d’une information dans son contexte, attitude critique et réfléchie vis-à-vis de l’information disponible ; – la rigueur et la précision, en particulier dans l’expression écrite et orale ; – le respect de la vérité rationnellement établie, le goût du raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver ; – l’envie de prendre des initiatives, d’anticiper, d’être indépendant et inventif en développant les qualités de curiosité et créativité ; – la volonté de se prendre en charge personnellement ; – l’ouverture à la communication, au dialogue, au débat.

NOTATIONS II est tenu compte, dans la rédaction de ce programme, des rééquilibrages intervenus au cycle central. Le vocabulaire et les notations nouvelles (兹莥, sin, tan, 哫) sont introduits, comme dans les classes antérieures, au fur et à mesure de leur utilité. La notation f(x) est utilisée, en distinguant le rôle joué ici par les parenthèses, de celui qu’elles ont ordinairement dans le calcul littéral.

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ORGANISATION DES CONTENUS ●

Organisation et gestion de données, fonctions

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italique. Contenus : – approcher la notion de fonction ; – acquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines et de synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures ; – poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d’une série statistique et d’envisager ainsi la notion de résumé statistique ; – mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité. Commentaires : L’un des objectifs est de faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre. Les exemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires. Les fonctions linéaires et affines apparaissent alors comme des exemples particuliers de tels processus. L’utilisation des expressions « est fonction de » ou « varie en fonction de  », amorcée dans les classes précédentes, est poursuivie et est associée à l’introduction de la notation f(x). L’usage du tableur-grapheur contribue aussi à la mise en place du concept, dans ses aspects numériques comme dans ses aspects graphiques. La notion d’équation de droite n’est pas au programme de la classe de troisième. Pour les séries statistiques, l’étude des paramètres de position est poursuivie : médiane et quartiles. Une première approche de la dispersion est envisagée. L’éducation mathématique rejoint ici l’éducation du citoyen : prendre l’habitude de s’interroger sur la signification des nombres utilisés, sur l’information apportée par un résumé statistique. De même, c’est pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle que sont introduits les premiers éléments relatifs à la notion de probabilité. ●

Nombres et Calculs

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italique. Contenus : – assurer la maîtrise des calculs sur les nombres rationnels ; – faire une première synthèse sur les nombres avec un éclairage historique ; – amorcer les calculs sur les radicaux et de poursuivre les calculs sur les puissances ; – compléter les bases du calcul littéral et d’en conforter le sens, notamment par le recours à des équations ou des inéquations du 1er degré pour résoudre des problèmes.

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Commentaires : Comme dans les classes antérieures, la résolution de problèmes (issus de la géométrie, de la gestion de données, des autres disciplines, de la vie courante) constitue un objectif essentiel de cette partie du programme. Elle nourrit les activités, tant dans le domaine numérique que dans le domaine littéral. S’y ajoutent certains problèmes numériques purs, qui jouent un rôle dans l’appropriation de concepts importants, tels ceux de racine carrée ou de fraction irréductible. Ce sont ces études qu’il convient de privilégier et non pas la recherche d’une technicité dans les calculs. Les activités de technique pure doivent donc occuper une place limitée. La pratique du calcul numérique (exact ou approché) sous ses différentes formes en interaction (calcul mental, calcul à la main, calcul à la machine ou avec un ordinateur) a les mêmes objectifs que dans les classes antérieures : – maîtrise des procédures de calcul effectivement utilisées ; – acquisition de savoir-faire dans la comparaison des nombres ; – réflexion et initiative dans le choix de l’écriture appropriée d’un nombre suivant la situation. Pour le calcul littéral, l’un des objectifs visés est qu’il prenne sa place dans les moyens d’expression des élèves, à côté de la langue usuelle, de l’emploi des nombres ou des représentations graphiques. C’est en développant notamment des activités où le calcul littéral présente du sens et où il reste simple à effectuer que l’on amène l’élève à recourir à l’écriture algébrique lorsqu’elle est pertinente. ●

Géométrie

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italique. Contenus : – compléter la connaissance de propriétés et de relations métriques dans le plan et dans l’espace. Commentaires : Les objectifs des travaux géométriques demeurent ceux des classes antérieures du collège. L’étude et la représentation d’objets usuels du plan et de l’espace se poursuivent ainsi que le calcul de grandeurs attachées à ces objets. Le développement des capacités heuristiques reste un objectif majeur. Il en est de même pour les capacités relatives à la formalisation d’une démonstration. Les configurations usuelles déjà étudiées sont complétées par les polygones réguliers pour le plan et par la sphère pour l’espace. Les travaux sur les configurations et les solides permettent de mobiliser largement les résultats des classes antérieures ; ceux-ci sont enrichis en particulier de la réciproque du théorème de Thalès et de l’étude de l’angle inscrit. Le recours à des logiciels de construction géométrique (par les élèves ou de manière collective) est intégré aux séquences d’enseignement, dans l’approche d’une notion ou dans la résolution de problèmes.

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Grandeurs et mesures Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italique.

●

Contenus : – compléter les connaissances relatives aux aires et volumes ; – étudier des situations dans lesquelles interviennent des grandeurs composées, notamment du point de vue des changements d’unités. Commentaires : Les situations mettant en jeu des grandeurs sont souvent empruntées à la vie courante (aires de terrains, volumes de gaz, de liquides, vitesses, débits, coûts...) mais aussi à d’autres disciplines, notamment scientifiques, et permettent l’interaction entre les mathématiques et d’autres domaines. Elles contribuent d’une manière indispensable

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à une compréhension globale des enseignements scientifiques et à celle du rôle des mathématiques en leur sein. Les activités de comparaison d’aires, d’une part, et de volumes, d’autre part de figures ou d’objets obtenus par agrandissement ou réduction, sont, en particulier, autant d’occasions de manipulations de formules et de transformations d’expressions algébriques. Comme dans les classes précédentes, l’utilisation d’unités dans les calculs sur les grandeurs est légitime. Elle est de nature à en faciliter le contrôle et à en soutenir le sens. La réflexion sur l’incertitude liée au mesurage d’une grandeur lors d’une activité à caractère expérimental, déjà entreprise au cours des années précédentes, est poursuivie dans le cadre de la partie 1.3 de l’organisation et la gestion de données. La notion de vitesse en tant que grandeur quotient est abordée en classe de quatrième. Elle est la première grandeur quotient étudiée.

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A P I TR H

C

E

1

Calcul numérique

PROGRAMME Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES

CAPACITÉS

Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire

Utiliser sur des exemples les égalités : am = am - n ; (am)n = am × n ; an × bn = (ab)n ; a × an = am + n ; an n n a a = où a et b sont des nombres non nuls, et b bn m et n des entiers relatifs.

■ Commentaires

●

m

Dans le cadre du socle commun, l’addition, la soustraction et la multiplication « à la main » de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, sont exigibles seulement dans des cas simples ; pour l’addition et la soustraction, il s’agit uniquement des cas où un calcul mental est possible. Dans les autres cas, la calculatrice est utilisée.

> CONNAISSANCES Puissances

()

■ Commentaires Comme en classe de Quatrième, ces résultats sont construits et retrouvés, si besoin est, en s’appuyant sur la signification de la notation puissance qui reste l’objectif prioritaire. La mémorisation de ces égalités est favorisée par l’entraînement à leur utilisation en calcul mental.

Socle commun des connaissances Savoir opérer sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire devient une capacité exigible dans le cadre du socle commun. Sa mise en œuvre est envisagée uniquement dans des situations simples.

Notamment, l’addition et la soustraction de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, qui demande un travail sur la recherche de multiples communs à deux nombres entiers, est exigible uniquement dans des cas où un calcul mental est possible.

Capacités des programmes des classes antérieures ● Nombres relatifs – Additionner, soustraire, multiplier, diviser des nombres relatifs en écriture fractionnaire. – Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres relatifs. ● Puissances – Comprendre les notations a n et a- n et savoir les utiliser sur des exemples numériques, pour des exposants très simples et pour des égalités telles que : a² × a3 = a5 ; (ab)² = a² b² ; a2 × a- 5 = a- 3 où a et b sont des nombres relatifs non nuls.

– Utiliser sur des exemples numériques les égalités : 1 = 10- n ; (10m)n = 10m × n où m et n sont 10m × 10n = 10m + n ; 10n des entiers relatifs. – Sur des exemples numériques, écrire et interpréter un nombre décimal sous différentes formes faisant intervenir des puissances de 10. – Utiliser la notation scientifique pour obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur du résultat d’un calcul.

Commentaires des auteurs ➜ En classe de Cinquième, les élèves ont appris à : – additionner et soustraire des nombres relatifs ; – additionner (ou soustraire) et multiplier des nombres positifs en écriture fractionnaire. En classe de Quatrième, les élèves ont appris à : – multiplier et diviser des nombres relatifs ; – additionner, multiplier et diviser des nombres relatifs en écriture fractionnaire. En classe de Troisième, une synthèse sur les opéra-

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tions des nombres relatifs en écriture fractionnaire est proposée. ➜ En classe de Quatrième, les puissances entières d’un nombre relatif ont été définies et des règles de calcul établies uniquement pour les puissances de 10. En classe de Troisième, ces compétences sont consolidées et les règles de calculs sont généralisées. ➜ La notation scientifique d’un nombre positif, étudiée en classe de Quatrième, est généralisée aux nombres relatifs. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O M M E NTAIR E S Cette activité permet aux élèves de revoir l’écriture scientifique d’un grand nombre entier.

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C ORRIGÉ 1) Nombre de pulsations sur une journée : 70 × 60 × 24 = 100 800. 2) a) Nombre de pulsations durant 60 années de sa vie : 100 800 × 365 × 60 = 2 207 520 000. b) Écriture scientifique : 2 207 520 000 = 2,207 52 × 109.

JE CALCULE AVEC DES FRACTIONS Égalité #  : Le quotient de deux nombres relatifs de signes différents est négatif.

Objectif

Revoir les opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.

●

Prérequis

● Règles d’addition, de multiplication des fractions ● Notion d’inverse et règle de division par un nombre non nul

Paragraphes introduits

! Calculs avec des écritures fractionnaires  a) Addition et soustraction b) Multiplication et division

B ● Égalité ! : On détermine le signe du produit en utilisant la « règle des signes ». ● Égalité @ : Pour multiplier deux écritures fractionnaires, on multiplie les numérateurs entre eux et on multiplie les dénominateurs entre eux. ● Égalité # : On décompose le numérateur et le dénominateur pour simplifier. ● Égalité $ : On simplifie la fraction.

C O RRI G É

A ● Égalité !  : Pour soustraire deux écritures fractionnaires de dénominateurs différents, on commence par les mettre au même dénominateur (ici 12). ● Égalité @   : Pour soustraire deux écritures fractionnaires de même dénominateur, on garde le dénominateur commun et on soustrait les numérateurs.

2

C ● Égalité ! : Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse. ● Égalité @ : Pour multiplier deux écritures fractionnaires, on multiplie les numérateurs entre eux et on multiplie les dénominateurs entre eux. ● Égalité # : On effectue les produits au numérateur et les produits au dénominateur.

J’UTILISE LA NOTATION PUISSANCE

Objectif

Revoir la notation puissance.

C ORRIGÉ

Prérequis

Signe d’un produit de nombres relatifs

A 1 a) 34 2 a) 125

Paragraphes introduits

@ Puissances d’un nombre relatif

3

a) Puissances d’exposant entier positif b) Puissances d’exposant entier négatif

c) (- 7)3 c) 0,49

c)

d) - 1

1 49

J’UTILISE L’ÉCRITURE SCIENTIFIQUE D’UN NOMBRE DÉCIMAL

Objectif

Revoir l’écriture scientifique.

Prérequis

Écriture scientifique d’un nombre relatif ● Utiliser la vitesse moyenne pour calculer une durée.

Paragraphe introduit

# Écriture scientifique d’un nombre décimal

●

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b) 0,85 b) 81 1 1 B 1 2- 3 =  3 =  2 8 1 1 2 a) b) – 64 2

C ORRIGÉ

1 a) Cent cinquante millions = 150 000 000 = 1,5 × 108. b) Trois cent mille = 300 000 = 3 × 105. 8 8 2 a) t = d = 1,5 × 10 km = 1,5 × 105 s = 0,5 × 103 s = 500 s 5 v 3 × 10 km/s 3 10 b) 500 s = 8 min 20 s

CHAP. 1 - CALCUL NUMÉRIQUE

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4

J’ÉTABLIS DES REGLES DE CALCUL POUR LES PUISSANCES D’UN NOMBRE RELATIF

Objectif

Conjecturer trois règles de calcul sur les puissances.

Prérequis

Puissances entières d’un nombre relatif

Paragraphe introduit

$ Règles de calcul pour les puissances de nombres relatifs

b) c)

3 b)

■ C O MMENTAIR E S

c)

Cette activité permet de mettre en évidence les règles am = am - n ; (am)n = am × n . am × an = am + n ; an Les démonstrations sont possibles dans le cas général (pour n et p entiers relatifs).

d) e)

B b)

C O RRI G É

A 1 a) a4 = a × a × a × a ; a3 = a × a × a. b) Le produit a4 × a3 comporte 7 facteurs égaux à a. c) a4 × a3 = a4 + 3 = a7

5

2 a) a7 = a × a × a × a × a × a × a ; a4 = a × a × a × a.

2 b)

a7 a × a × a × a × a × a × a = a3 = a4 a×a×a×a a7 = a7 – 4 = a3 a4 a) a5 × a- 3 = a5 - 3 = a2 a3 × a- 7 = a3 - 7 = a- 4 a2 = a2 – 5 = a– 3 a5 a6 = a6 × a3 = a6 + 3 = a9 a– 3 a– 5 = a– 5 × a8 = a– 5 + 8 = a3 a– 8 1 a) (a2)3 = a2 × a2 × a2 = a2 × 3 = a6 3 (a– 2)3 = 12 = 12 × 12 × 12 = 16 = a– 2 × 3 = a– 6 a a a a a 1 1 1 –3 a) (a2) = = = = a2 × (– 3) = a– 6 (a2)3 a2 × a2 × a2 a6 1 1 (a– 2)– 3 = –12 3 = 1 3 = = = a– 2 × (– 3) = a6 1 1 1 1 1 (a ) × × a2 a2 a2 a2 a6

()

( )

J’ÉTABLIS DES REGLES DE CALCUL POUR LES PUISSANCES DE NOMBRES RELATIFS

Objectif

Conjecturer, puis démontrer deux règles de calcul sur les puissances.

Prérequis

Puissances entières d’un nombre relatif (am)n = am × n 

Paragraphe introduit

$ Règles de calcul pour les puissances de nombres relatifs

C O RRI G É

A 1 a) (ab)3 = ab × ab × ab = a × a × a × b × b × b = a3 × b3 b) (ab)– 5 =

1 1 1 = = = a– 5 × b– 5 (ab)5 ab × ab × ab × ab × ab a5 × b5

2 (2 × 10)6 = (2 × 10) × (2 × 10) × (2 × 10) × (2 × 10)

× (2 × 10) × (2 × 10) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 26 × 106 3 3 B 1 a = a × a × a = a × a × a = a3 b b b b b×b×b b 1 1 1 1 a –2 b2 2 a) = 2= = = 2 = 2 a a a × a a a b a × 2 b b b b × b b 1 a– 2 1 b2 b2 a – 2 b2 a– 2 a2 b) = = × = , donc = = 1 b– 2 a2 1 a2 b a2 b– 2 b2

() () () () () () () ()

()

EXERCICES 1

a)

8 9

b) –

2

a)

19 24

b)  

d) –

8 35

3

a)

d) –

10 7

4

a)

35 12

a)

7 20 16 e) 7

b)

24 5

e) 2 28 15

5 d) – 12 5

1 2

3 28

10

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c)

37 24

31 14 11 f) – 4

c) –

45 14 1 f) – 21 c) –

e) – 4

1 f) 8

20 21

c) –

b)

a)

7

a) 49

1 e) 25 i) 13

c)

24 35

b)

3 14

6

10 7

32 7

8

a) 62

d) 3- 1

b) –

1 28

c)

1 64 f) 1 1 j) 8

5 3

1 9 g) 32 c)

b)

k) - 8 b) (- 2)3 7 –1 e) 5

()

d)

2 3

d) 0 1 6 l) - 8

h) –

c) (- 3)4 f) 2- 2

9 a) 104 d) - 103

b) 10- 2  e) - 10- 5

c) 10- 4 f) - 10- 2

10 a) 0,08 d) 12 000

b) – 7 320 e) – 86 000

c) - 0,14 f) 0,284 

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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11 a) 3,56 × 102 d) 3,784 × 100

b) 7,8 × 10- 3 e) - 1,384 5 × 102

12 a) 8 × 101  13 a) 78 d) 95

b) 1,3 × 10- 1

c) 2,7 × 102 

b) 5- 4 e) (- 2)8

c) 3- 5 f) 6- 9

b) 3- 4

14 a) 25 15 a) 415 d) 58 16 a) 107

c) 7- 13

17 a) 0,47

b) 1- 2  2 5 e) 21

c) (- 15)6

15

1 000 – 100 900 = = 90 10 10 10 000 + 1 000 11 000 = = 110 B =  100 100 0,01 – 0,001 0,009 C =  = = 90 0,000 1 0,000 1

d) 51 c) 4- 42 f) (- 3)16

( 37)

b) -

510 – 27 483 = = 1. Donc D est un nombre entier. 32 D =  483 483

f) 103

c) 23

d)

(31)

–8

= 38

18 d) 49x2 19 b) –

8

20 2 × 57 = 26 × 56 × 51 = 106 × 51 = 5 000 000 21 A = 8 + 9 = 17 22 A = (6 - 6)2 = 0 C = 3 × 22 = 12

B = 25 + 49 = 74

C = 3 + 36 = 39

B = 6 - 3 × 4 = 6 - 12 = - 6 D = 6 - 62 = 6 - 36 = - 30

24 A = 16 – 30 + 49 = 35 B = 6 - 2 × 9 - (- 8) = 6 - 18 + 8 = - 4 C = 27 + 16 + 21 = 64 D = 1,5 × 8 + 33 = 12 + 27 = 39

B=

9 8

C = 

1 17 = 4 4 1 4 D = 4 : = 4 × = 16 4 1

1 15 –4=– 4 4 1 73 E =  + 9 = 8 8

28 A = – 8 + 8 = 0

B = 

27 A = 4 +

1 65 =– –8 8

B=

25 4

1 =1 4 1 71 F = 8 – = 9 9 C = 4 ×

1 1 2 1 + = = 16 16 16 8 1 255 D = 16 – = 16 16

5 41 29 A =  + 4 = 9 9 1 1 1 8 = –3 + = – B = – × 15 + 4 × 5 12 3 3 1 1 7 1 7 8 1 ×7–3× = – = – =– C =  16 6 16 2 16 16 16 1 1 46 13 46 6 276 D =  9 + : 2 + = : = × = 5 6 5 6 5 13 65

)

30 A = 125 - (16 + 4)2 = 125 - 202 = 125 - 400 = - 275 1 5 45 57 B = 36 × + × 27 = 3 + = = 14,25 12 12 4 4 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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8

36 a) 4- 1

b) 2,11 

d) 2- 9

e) 62

37 a) 3- 1

40 A = C=

c) 1010

(47) 4 c) ( ) 7

e) (- 2)8

b) 5- 11

f) (- 4)- 4

c) (- 7)– 5

B=

36 = 33 33

d) 2,44 

b) 14- 3 

1×34= 3 4 43 a) 35 5×7 3 24 3 = 83 c) 4 × 6 = 3 3

( ) ( ) ( ) ( )

b) (- 3)- 7 

c) 310  f) 132

3,4– 8 = 3,40 3,4– 8 2– 1 D =  = 2- 14 213

23 × 2– 18 = 2– 15 = 2- 10 41 E = 2– 5 2– 5

44 a) 35

4

–3

b) 4- 21  e) 0,8- 12

58 = 5- 10 518

42 a) 154

f)

b) 24 

39 a) 5- 8 d) (- 7)15

28 28 = = – 14 10 – 3 × 4 – 2 27 – 24 3 = = – 0,2 B = 27 – 6 × 4 =  – 15 – 15 12 – 27 9 + 16 25 25 1+4 5 5 = =– D =  = =– C =  9 – 16 – 7 7 1 – 8 –7 7 26 A = 8 × 9 = 72

b) 1,817 

(32)

d)

38 a) 32

25 A = 

)(

34 1) A = 8 + 4 × (4 × 3 - 9) = 8 + 4 × 3 = 20 1 8 2) B = (49 – 35) : 7 × – 4 = 14 × – 4 = 16 – 4 = 12 8 7 3) A - B = 20 – 12 = 8 = 23 35 a) 37

B = 3 : 4 = 0,75 23 A = (- 5 + 4) 2 = (- 1)2 = 1 C = - 5 + 8 : 4 = - 5 + 2 = – 3 D = – 5 + 42 = – 5 + 16 = 11

(

33 E =3 - 0,5 + 0,04 = 2,54 3 000 000 + 600 000 3 600 000 36 3 F =  = = = = 0,024 150 000 000 150 000 000 1 500 125

( )

x3

6

C = – 8 +

8 × 3 + 5 × 4 44 2 = 44 × =8 = 11 1 11 5+ 2 2 4 5 8 5 D =  × 6 – ×4= – =1 9 12 3 3 C = 

31 A = 

b) 7- 6  e) (- 6)- 6

( )

d) 1- 4

c) 6,7 × 108  f) - 5,6 × 10- 1 

26 2– 15 F= 8×8 = = 84 830 × 8– 7 2– 5

c) (- 24)– 1

d) (- 12)7 -7

b) ((- 5) × (- 2)) = 10- 7  5 24 5 d) 3 × (– 8) = – = (- 12)5 2 2

(

c) 0,83

) ( )

d) 0,4- 2

– 12 5 B =  3 × 4 = 3– 19 × 4- 2 C = 23 × 39 7 7 3 ×4 4 6 76 × 3– 6 = 3– 2 × 7- 3 E =  8 × 3 = 3– 3 × 8- 5 46 D = 9 – 4 9 7 ×3 3 × 89 – 5 × 52 7 9 8 F =  = 5 × 7 73 × 5– 7

45 A = 5– 3 × 7- 7

35 × 106 × 3– 5 × 103 = 35 × 3– 5 × 106 × 103 47 G = 3– 5 × (104)3 3– 5 × 1012 = 36 × 10- 3 = 729 × 10- 3 = 0,729 H = 72 × 10- 4 = 49 × 10- 4 = 0,004 9 48 a)

4 5 16 5 21 7 + = + = = 3 12 12 12 12 4 CHAP. 1 - CALCUL NUMÉRIQUE

11

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4 5 16 5 11 – = – = 3 12 12 12 12 4 5 5 c) × = 4×5 = 3 12 3 × 4 × 3 9 4 5 4 12 4 × 3 × 4 16 = d) : = × = 3 12 3 5 5 3×5

57 a) 25 = 52   1 d) = 2- 2   4

b)

–2 8 6 8 2 + =– + = 7 21 21 21 21 –2 8 6 8 14 2 b) – =– – =– =– 7 21 21 21 21 3 –2 8 16 c) × =– 2×8 =– 7 21 147 7 × 21 –2 8 2 21 3 2 d) : =– × =– ×7×3=– 7 21 7 8 4 7×2×4

59 A = (7 + 3)2 = 102 = 100 C = 72 + 32 = 49 + 9 = 58 E = 7 × 32 = 7 × 9 = 63

3 –6 3 6 21 30 51 + =– – =– – =– –5 7 5 7 35 35 35 3 –6 3 6 21 30 9 b) – =– + =– + =– –5 7 5 7 35 35 35 3 – 6 3 × 6 18 c) = × = – 5 7 5 × 7 35 3 –6 3 6 3 7 7 d) : = : = × = 3×7 = – 5 7 5 7 5 6 5 × 3 × 2 10 2 5 4 2 20 14 20 34 = + = 51 A =  + × = + 3 3 7 3 21 21 21 12 1 7 2 1 14 3 14 11 B =  – × = – = – =– 5 5 3 5 15 15 15 15 7 4 5 7 4 2 7 8 7 16 9 3 C =  – : = – × = – = – =– =– 30 3 2 30 3 5 30 15 30 30 30 10 1 5 12 1 5 11 5 44 15 59 D= 4– + = – + = + = + = 3 4 3 3 4 3 4 12 12 12

)

8 5 1 8 8 1 24 1 25 + × = + 5×1 = + = + = 7 7 15 7 7 × 5 × 3 7 21 21 21 21 4 8 16 4 8 5 4 4 5 3 1 B =  – : = – × = – 8×5 = – = = 9 9 5 9 9 16 9 9 × 8 × 2 9 18 18 6 1 7 7 8 – –2 – 4 4 4 4 1 4 1 =– × = C =  =– = 5 12 12 5 4 17 17 + +3 4 4 4 4 2 25 2 23 5– – 5 5 5 5 23 5 23 × = = = D =  = 4 36 36 5 36 36 ×9 5 5 5 52 A =

5 1 4 7 5 4 7 20 4 56 80 10 + = + + = = 53 A =  + × + =   + 6 3 8 3 6 24 3 24 24 24 24 3 4 5 3 4 7 3 28 3 28 15 13 – = – = B= – = × – = 5 5 5 5 5 25 5 25 25 25 7 5 3 10 9 1 – + – + – 6 4 12 12 12 1 42 7 = = =– × =– 6 × 7 =– C =  7 6 49 – 36 13 12 13 26 6 × 2 × 13 – 6 7 42 42 42 3 5 2 1 3 5 4 1 3 5 5 3 5 6 D =  + : + = + : + = + : = + × 8 8 3 6 8 8 6 6 8 8 6 8 8 5 3 6 9 = + = 8 8 8

(

)

(

3 4 =  7 7 3 12 15 12 27 3) + = + = 7 35 35 35 35 54 1) 1 –

55 a) 72 = 49 d) 07 = 0 g) (– 2)– 3 = – 0,125 56 a) 9– 2 =

12

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)

2)

4 3 12 × = 7 5 35

b) (– 3)3 = – 27  e) 0,82 = 0,64 h) (– 2)3 = – 8

1 1 b) (– 3)– 4 = 81 81

c) 2– 3 =

()

B = 7 + 32 = 7 + 9 = 16 D = (7 × 3)2 = 212 = 441 F = 72 × 32 = 49 × 9 = 441

60 A = 2 + 23 × 72 = 2 + 8 × 49 = 2 + 392 = 394 B = (– 3)3 + 2 × 52 = - 27 + 2 × 25 = - 27 + 50 = 23 C = [2 × 3 - (– 2)3] : 22  = [6 - (– 8)] : 4 = 14 : 4 = 3,5 2 D = [53 - 2 × (– 5)2] = [53 - 2 × 25]2 = [53 - 50]2 = 32 = 9

50 a)

(

()

c) 49 = 72 27 3 3 f) = 8 2

b) 27 = 33 58 a) 32 = 2 × 16 = 2 × 42 = 2 × 24 = 25 1 d) = 81– 1 = 9– 2 = 3– 4 c) 100 000 = 105 81

49 a)

( )

b) - 27 = (- 3)3 5 7 –1 e) = 7 5

c) 27  = 128 f) – 23 = – 8 1 1 d) 4– 3 = 8 64

61 A = (8 - 5)2 + (2 - 5)3 + (8 - 9)3 = 32 + (– 3)3 + (– 1)3 = 9 - 27 - 1 = - 19 B = 22 - 5 × (21 - 2 × 32)- 1 = 4 - 5 × (21 - 2 × 9)- 1 5 12 5 7 = 4 - 5 × (21 - 18)- 1 = 4 - 5 × 3- 1 = 4 – = – = 3 3 3 3 5 5 C = 5 × 2- 1 × (8 - 6)2 = × 22 = × 4 = 10  2 3 - 3 - 2- 1 × 32 + 7 × 4- 1 = 1 – 1 × 9 + 7 × 1 D = 2 8 2 4 1 36 14 21 = – + =– 8 8 8 8 (2 × 3)2 + 22 = 62 + 4 = 36 + 4 = 40 = 5 62 A =  8 8 8 23 2 45 9 5 × 3 = 5×9 = = B =  2 5 – 5 × 3 25 – 15 10 2 63 1) a) C = 33 - 7 × 3 - 4 = 27 - 21 – 4 = 2 D = 32 - 3 - 4 = 9 - 3 - 4 = 2 b) C = (– 2)3 - 7 × (– 2) - 4 = – 8 + 14 - 4 = 2  D = (– 2)2 - (– 2) - 4 = 4 + 2 - 4 = 2 c) C = 03 - 7 × 0 - 4 = – 4 D = 02 - 0 - 4 = – 4 2) a) Non. b) Pour x = 1 : C = 13 - 7 × 1 - 4 = 1 - 7 - 4 = – 10 D = 12 - 1 - 4 = – 4 Donc C ≠ D. 64 123 × 10- 4 = 0,012 3  123 000 × 10- 7 = 0,012 3 12,3 × 104 = 123 000

12,3 × 10- 3 = 0,012 3 0,012 3 × 107 = 123 000

b) 457 = 0,457 × 103 65 a) – 854 000 = – 854 × 103 c) 6 = 0,006 × 103 d) – 2,456 = - 0,002 456 × 103 66 a) 35 000 = 3,5 × 10 4 c) - 438,7 = - 4,387 × 102 e) 0,57 = 5,7 × 10- 1

b) 0,000 56 = 5,6 × 10- 4 d) – 328 000 = – 3,28 × 105  f) – 0,000 08 = – 8 × 10- 5

67 a) 0,034 5 = 3,45 × 10-2 b) – 457 000 = – 4,57 × 105 c) 12,67 = 1,267 × 101 d) – 562 = – 5,62 × 102 e) 0,001 = 1 × 10- 3 f) – 0,036 = – 3,6 × 10-2 68 5L = 5 × 103 mL 43 × 105 × 5 × 10 3 = 215 × 108 = 21 500 000 000 = 2,15 × 1010 69 G = 4,8 × 103 + 5,4 × 104 = 4 800 + 54 000 = 58 800 = 5,88 × 104 H = 2,4 × 10- 3 + 72 × 10- 4 = 0,002 4 + 0,007 2 = 0,009 6 = 9,6 × 10- 3 20 800 m 20,8 km = 70 20 800 m/s = 1 1s h 3 600 3 600 km/h = 74 880 km/h = 20,8 × 1 4 = 7,488 × 10  km/h © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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71 a) a3 × a- 5 = a- 2

b) (a- 2)4 = a- 8 a3 d) = a7 a– 4 a3 f) = a- 8 a11

c) a- 6 × a- 1 = a- 7 e)

a– 7 = a- 12 a5

a– 7 a– 7 a5 × a– 4 = a1 = a– 7 b) = = a– 7 72 a) 8 –5 5 8 a a ×a a0 a –4 3 9 – 12 9 a– 3 c) (a ) × a = a × a = = a– 16 8 5 13 a13 a ×a a –4 8 a4 a4 d) a 2× a = = = a14 (a– 8) × a6 a– 16 × a6 a– 10 73 1) 80 000² 2) 80 000² = (8 × 104)2 = 64 × 108 = 6,4 × 109 7 × (7– 2)– 4 = 7 × 78 = 79 = 7– 2 74 A = 711 711 711 75 1) a) Comme le numérateur et le dénominateur sont des produits, Léo regroupe les nombres et les puissances de 10, puis il décompose les nombres pour simplifier. 9 –5 9 –5 104 b) B = 5 × 12 × 10 × 10 = 5 × 4 × 3 × 10 × 10 = 3 × 6 6 106 10 20 5×4 10 = 3 × 10– 2 = 0,03 24 1017 24 × 1017 2) C = = × 6 × 108 × 2 × 106 6 × 2 108 × 106 1017 = 3 × 103 = 2 000 =6×2×2× 1014 6×2 –4 –5 –4 –5 D = 36 × 10 × 7 × 10 = 36 × 7 × 10 × 10 42 × 10– 18 × 4 × 1012 42 × 4 10– 18 × 1012 10– 9 3 = × 10– 3 = 1,5 × 10– 3 = 0,001 5 = 4×3×3×7 × 3 × 2 × 7 × 4 10– 6 2 20 7 4 9 4 5 × =3– 5×4×7 =3– = – = 21 5 3 3 3 3 7×3×5 2 1 7 5 6 7 7 5 1 7 5 E =  – × – = × – =– – × – 7 3 4 4 21 21 4 4 21 4 4 5 1 5 1 15 16 4 – =– – =– =– =– 1×7 – =– 12 4 12 12 12 3 7×3×4 4 1 4 7 1 9 7 7 1 7 1 × 9 F =  : + = + = × + = + 45 9 3 45 4 3 9 × 5 × 4 3 20 3 3 140 143 + = = 60 60 60 5 3 7 6 10 9 49 36 1 13 G =  – + : – = – + : – =– : 6 4 6 7 12 12 42 42 12 42 1 42 1 × 6 × 7 2 =– =– × = 12 13 6 × 2 × 13 26 76 D = 3 –

( )

(

(

)

)( ) (

)(

)

1 3 1 4 5 = ; = ; . Donc les points A, B et C sont 77 4 12 3 12 12 régulièrement espacés sur la droite graduée.

( )

7 3 7 3 78 a) r + s – t =  + (– 5) – – = – 5 + 3 7 3 7 49 105 9 47 = – + =– 21 21 21 21 7 3 7 7 245 b) r × s : t = × (– 5) : – = × 5 × = 3 7 3 3 9 7 7 7 15 22 – (– 5) +5 + 3 3 3 3 r–s 3 22 7 154 = × =– = =– c) = = 3 3 3 3 t 3 3 9 – – – – 7 7 7 7 7 7 7 7 3 3 3 3 r 7 7 49 = × = d) = = = = t – s – 3 – (– 5) – 3 + 5 – 3 – 35 32 3 32 96 7 7 7 7 7

( )

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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79 1 – 4 + 1 + 17 = 1 – 16 + 15 + 17 = 1 – 48 15 4 60 60 60 60 60 60 48 12 1 – = = = 60 60 60 5 1 La dernière relayeuse parcourt du temps en 14 minutes. 5 Donc : 5 × 14 min = 70 min = 1 h 10 min.

(

)

(

)

80 1) a) A + B = 2,4 × 10 4 + 6 × 10- 3 = 24 000 + 0,006 = 24 000,006 b) A - B = 2,4 × 104 - 6 × 10- 3 = 24 000 - 0,006 = 23 999,994 c) A × B = 2,4 × 104 × 6 × 10- 3 = 2,4 × 6 × 10- 3 × 10 4 = 14,4 × 101 = 144 4 2,4 104 × d) A : B = 2,4 × 104 : (6 × 10- 3) = 2,4 × 10 = –3 6 10–3 6 × 10 = 0,4 × 107 = 4 000 000 2) a) A + B = 24 000,006 = 2,400 000 6 × 104 b) A - B = 23 999,994 = 2,399 999 4 × 104 c) A × B = 144 = 1,44 ×102 d) A : B = 4 000 000 = 4 × 106 7 × 1012 × (10– 7)4 = 7 × 1012 × (10– 7)4 81 K =  35 35 × 10– 16 10– 16 10– 16 1 1012 × 10– 28 = × = 0,2 × – 16 = 0,2 = 2 × 10– 1 10 5 10– 16 21 × (2 × 10– 8)3 21 × 23 × 10– 24 6 × 10 6 × 10 L= = – 6 32 × 10 32 × 10– 6 21 – 24 10– 3 3 6 × 8 10 × 10 2 × 3 × 8 × × = = = × 103 = 1,5 × 103 32 2 × 2 × 8 10– 6 2 10– 6 7 36 107 M =  36 × 10 = = 40 × 103 = 4 × 102 × 103 × 4 0,9 104 0,9 × 10 = 4 × 105 –3 2 3 –3 2 3 N =  3,2 × 10 × 5 × (10 ) = 3,2 × 5 × 10 × (10 ) –2 – 2 4 4 × 10 10 –3 –6 103 = 4 × 0,8 × 5 × 10 × 10 = 0,8 × 5 × = 4 × 105 10–2 10–2 4

82 1) a) A = 300 + 10 + 0,4 + 0,02 = 310,42 b) A = 310,42 = 3,104 2 × 10 2 2) a) A = 310,42 = 31 042 × 10 -2 42 b) A = 310,42 = 310 + 100 83 6,02 × 1023 : 11,2 = 0,5375 × 1023 = 5,375 × 1022 84 Masse du noyau d’un atome de cuivre (en kg) : 29 × 1,673 × 10- 27 + 34 × 1,675 × 10- 27 = 1,054 67 × 10- 25 85 1) 9 × 10- 3 kg : 1028 = 9 × 10- 31 kg 2) 9 × 10- 31 kg × (1,84 × 103) = 1,656 × 10- 27 kg 1 86 1) t = un soixante-quinzième de seconde =  s 75 v = 3 × 105 km/s 1 s × 3 × 105 km/s = 4 000 km d = v × t = 75 2) t = 8 minutes et 30 secondes = 8 × 60 s + 30 s = 510 s v = 3 × 105 km/s d = v × t = 510 s × 3 × 105 km/s = 1,53 × 108 km 87 1) Mercure : 2π × 5,8 × 107 km ≈ 3,6 × 108 km  Mars : 2π × 2,3 × 108 km ≈ 1,4 × 109 km  Uranus : 2π × 2,9 × 109 km ≈ 1,8 × 1 010 km 8 8 2) Mercure : 3,6 × 10  km = 3,6 × 10  km  ≈ 47 km/s 88 jours 88 × 24 × 3 600 s 9 km 1,4 × 10 1,4 × 108 km  ≈ 24 km/s Mars :  = 687 jours 687 × 24 × 3 600 s 8 km 1,8 × 10 3,6 × 108 km Uranus :  =  ≈ 7 km/s 30 700 jours 30 700 × 24 × 3 600 s 3) Plus la planète est proche du Soleil, plus elle va vite. CHAP. 1 - CALCUL NUMÉRIQUE

13

03/07/12 17:25

88 AB² + BC² = (25)2 + (25)2 = 210 + 210 = 210 × 2 = 211 AC² = 211 Donc : AB² + BC² = AC². On a l’égalité de Pythagore, donc le triangle ABC est rectangle en B.

n

n

(13) × ℓ = (43) × s × ℓ 4 c) Comme P = s × ℓ , P = ( ) × P . 3 4 4 3) 1 km = 10  cm = 100 000 cm ; P = ( ) × P = ( ) × 48,6. 3 3 4 Pour n = 30, P = ( ) × 48,6 ≈ 272 144 cm. 3 b) Pn = sn × ℓn = 4n × s0 ×

0

0

0

n

0

0

0

n

0

n

5

n

n

0

30

89 A = 215 + 216 = 215 (1 + 2) = 215 × 3 B = 517 - 518 = 517 (1 - 5) = 517 × (- 4)   C = 3- 23 - 3- 25 = 3- 25 (32 - 1) = 3- 25 × 8

30

Le périmètre du polygone n peut être supérieur à 1 km.  3

1 1 2 –5 35 3 5 = 5= 5 = = 2 2 3 25 2 3 35 2 – 5 16 3 5 16 35 24 3 b) A =  × × × = = = 3 81 2 81 25 34 2 –3 5 3 5 5 7 5 7 5 7 2) B =  × × × = = = 7 49 5 49 53 72 25 5 –9 5 –9 5 –9 79 = (– 1) × = (– 1)– 9 × =– 91 – 7 7 7 5 90 1) a)

()

()

() () () () () ( ) ( )

()

()

p

92 1) a) (- 7)2p =  ((- 7)2) =  49p et (- 7)2p est de signe positif. b) (– 7)2p + 1 = (– 7)2p × (- 7)1 = 49p × (– 7) et (– 7)2p + 1 est de signe négatif. 2) Si n est pair, alors il existe un entier positif p tel que n = 2p. Ainsi : (- 7)n = (- 7)2p est de signe positif. Si n est impair, alors il existe un entier positif p tel que n = 2p + 1. Ainsi : (- 7)n = (– 7)2p + 1 est de signe négatif. 93 (32)3 36 4 93 A = 27 = 33 ; B = 94 = (32) = 38 ; C =  4 = 4 = 4 = 32 ; 3 3 3 -2 5 D = 33 × 9- 2 × 275= 33 × (32) × (33) = 33 × 3- 4 × 315 = 314. 24 1017 24 × 1017 × = 6 × 108 × 2 × 106 6 × 2 108 × 106 B = 37 × 6- 5 × 26 = 37 × (2 × 3)- 5 × 26 = 37 × 2- 5 × 3- 5 × 26 = 21 × 32 C = 4- 3 × 93 × 27 = (22)- 3 × (32)3 × 27 = 2- 6 × 36 × 27 = 21 × 36  D = 85 × 12- 2 × 32 = (23)5 × (22 × 3)- 2 × 32 = 215 × 2- 4 × 3- 2 × 32 = 211 × 30 94 A = 

95 3212 = (16 × 2)12 = 1612 × 212 = 1612 × 24 × 3 = 1612 × (24 )3 = 1612 × 163 = 1615 96 24 h : 45 min = 1 440 min : 45 min = 32 3 × 10- 3 mm = 3 × 10- 3 × 10- 3 m = 3 × 10- 6 m 3 × 10- 6 × 232 m ≈ 12 885 m 97 1) Volume d’eau = 10 m × 5 m × 1,5 m = 75 m3 0,7 10 2) 75 m3 × 1 – ≈ 70 m3 100

(

)

98 L’unité est le centimètre. B 1) s0 = 3 ; s1 = 12 et s2 = 48. 2) a) Pour n = 0, s0 = 4n × s0 = 40 × s0 = s0. Pour n = 1, s1 = 41 × s0 = 4 × s0 = 4 × 3 = 12. Pour n = 2, s2 = 42 × s0 = 16 × 3 = 48. b) Pour n = 5, s5 = 45 × s0 = 1024 × 3 = 3 072. Le polygone 5 a plus de 3 000 côtés. C 1) ℓ0 = 16,2  ℓ1 = 16,2 : 3 = 5,4  ℓ2 = 5,4 : 3 = 1,8  ℓ3 = 1,8 : 3 = 0,6  14 2) a) Pour n = 4, ℓ4 =  × 16,2 = 0,2 et ℓ4 = 0,6 : 3 = 0,2. 3 5 1  × 16,2 ≈ 0,07. b) Pour n = 5, ℓ5 = 3 À partir de la 5e étape, la longueur ℓn d’un côté sera inférieure ou égale à un dixième de millimètre. D 1) P0 = 3 × 16,2 = 48,6 ; P1 = 12 × 5,4 = 64,8 ; P2 = 48 × 1,8 = 86,4. 2) a) Pn = sn × ℓn

()

14

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()

99 Volume du cube (en cm3) = a15 = a3 × 5 = (a5) , donc le cube a son arête qui mesure a5. Aire totale du cube (en cm2) = 6 × a5 × a5 = 6a10.

x × 5x - x2 100 Aire de la surface bleue : 2 × x × 5x - 2 2 = 10x2 - 5x2 - x2 = 4x2. Aire de la surface rose : 2x × 2x = 4x2. Donc l’aire de la surface bleue est égale à l’aire de la surface rouge. 101 234 = 233 × 2 = 8 589 934 592 × 2 = 17 179 869 184 102 1) A = 812 - 924 ≈ - 7,98 × 1022 ;B = 8112 + 1 - 924 = 0. 2) B = A + 1. Donc les résultats donnés par la calculatrice ne peuvent pas être justes tous les deux. 12 3) B = 8112 + 1 - 924 = (92) + 1 - 924 = 924 + 1 - 924 = 1. 4) Les nombres sont trop grands, donc la calculatrice donne une valeur approchée et fausse de l’expression A. –6 2 18 10 8 + =– + =– 5 3 15 15 15 15 – 4 45 28 73 b) A - D =  – = + = 7 3 21 21 21 15 – 6 15 × 6 18 c) A × B = = – 5 × 3 × 6 = –3 × 6 = – × = 7 5 7 7×5 7×5 7 2 –4 2 3 2 1 d) C : D =  : =– × =– =– 3 3 3 4 4 2 103 a) B + C =

–3 7 2 3 3 3 7 + × =– +7×2=– + 7×2 =– + 4 4 3 4 4×3 4 2×2×3 4 6 9 14 5 + = =– 12 12 12 3 5 5 3 10 5 1 5 1 4 4 F= – : = – : =– : =– × = 2 3 4 2 6 4 6 4 6 5 6×5 2 =– 2×2 =– 15 2×3×5 104 E = 

( )

(

)

1 4 1 1 6 5 ×4–3= –3= –3= – =– 23 8 2 2 2 2 1 4 4 1 4 4 × 1 -1 + =– H = - 4 × 12 + 2² : 5 = – 4 × + =– + 12 5 3 5 4×3 5 5 12 7 + = =– 15 15 15 105 G = 2- 3 × 4 - 3 = 

7 × 1016 × 9 × 10– 3 = 7 × 9 × 1016 × 10– 3 106 J =  21 21 × 1017 1017 13 10 = 3 × 10– 4 =7×3×3× 1017 7×3 8 –5 6 108 × 10– 5 3 × 2 103 2 × K = 10 × 6 × 10– 4 = = = × 1031 × 7 15 3 × 5 10– 28 5 15 × (10 ) (107)– 4 = 0,4 × 1031 = 4 × 10– 1 × 1031 = 4 × 1030 23 = 27 2–4 c) 73 × 7- 8 × 7 = 7- 4

5

107 a)

e) 3- 5 × 2- 5 = (3 × 2)- 5 = 6- 5 108

b) (4- 3)  = 4- 15 15– 7 15 – 7 d) = = 5– 7 – 7 3 3 (– 30)4 – 30 4 f) = = (– 3)4 = 34 10 104

( ) ( )

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

03/07/12 17:25

× (7– 6)– 2 = 3– 3 × 712 = 3– 9 × 7– 1 713 × 36 713 × 36 2 5 3 2 2 9 × ( 3 ) ( 3 ) × ( 35)3 = 34 × 315 B= = 318 × 21– 2 318 × (3 × 7)– 2 318 × 3– 2 × 7– 2 4 15 1 = 3 ×3 × 318 × 3– 2 7– 2 = 33 × 72 –3

3 109 A = 

111

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com 5– 4 × 73 5 ×7 3

4

5– 2 ¥ 7– 1

110 V0 = π × (0,6 m)2 × 1,2 m = 0,432π m3 V10 = 0,910 × v0 = 0,910 × 0,432π m3 ≈ 0,47 m3

51 ¥ 7– 2 –1

5

50 ¥ 75

×7

5– 5

2

5– 3 ¥ 76

52 ¥ 71

112 9,352 × 10- 26 kg = 9,352 × 10- 26 × 103 g = 9,352 × 10- 23 g 11,69 g : (9,352 × 10- 23 g) = 1,25 × 1023 113 300 × 25 = 300 × 32 = 9 600

JE FAIS LE POINT

Les exercices 114 à 123 sont corrigés à la page 305 du manuel élève.

62 × 23 = (2 ¥ 3)2 × 23 = 22 ¥ 32 × 23 = 21 × 3– 2 = 2 124 A =  9 24 × 34 24 × 34 24 × 34 6 1 12 3 15 1 B =  + = + = = 15 10 30 30 30 2 6 1 3 6 1 5 6 5 12 5 7 C =  – : = – × = – = – = 15 10 5 15 10 3 15 30 30 30 30 3 14 3 11 = – = 7 7 7 7 1 1 1 6 3 2 11 1 2) 1 – + + = 1 – =1– + + = 2 4 6 12 12 12 12 12 3 11 22 3) – 2 : = –2 × =– 11 3 3 125 1) 2 –

(

)

(

(

)

(

)

√

)

(

132 B = 

)

1 1 3 1 1 2 1 1 + × =1– + =1– =1– = 4 3 4 4 4 4 2 2 2) 2 × 40 hectares = 80 hectares 126 1) 1 –

D = –

1 1 2 – × 3 4 5 1 1 1 1 2 1 1 12 4 3 2 2) 1 – – – 1 – – × = 1 – – – × – – 3 4 3 4 5 3 4 12 12 12 5 1 1 5 2 1 1 2 12 4 3 2 × =1– – – = – – – =1– – – 3 4 12 5 3 4 12 12 12 12 12 3 1 = = 12 4 127 1) B =  1 –

(

)

(

)

128 d = 4,5 années-lumière = 4,5 × 9,5 × 1 012 km = 4,275 × 1013 km t = 20 ans 23 d v = =  4,275 × 10  km = 2,137 5 × 1 012 km / an t 20 ans 2

129 D = (23) = 26 E = 45 × 35 = (4 × 3)5 = 125 526 = 59 F =  517 8 + 3 ¥ 4 = 8 + 12 = 20 = 5 130 1) A = 4 1 + 2 × 1,5 1 + 3 2) a) 23 b) Il manque les parenthèses (8 + 3 × 4) : (1 + 2 × 1,5).

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d 70 km 3 600 70 km = 70 × = = km/h 132 t 132 s 132 3 600 h = 1 909 km/h 2) a) r + h = 6,4 ×106 m + 1,9 × 106 m = 8,3 × 106 m – 11 – 11 24 b) v2 =  13,4 × 10 × M = 13,4 × 10 × 6 × 10 r+h 8,3 × 106 – 11 24 Donc : v = 13,4 × 10 × 6 × 10 ≈ 9 842 m/s. 8,3 × 106 Soit environ 9,842 × 103 m/s. 131 1) v =

229 150

9 19

133 G = - 7,6 × 10- 13

C = - 7 772 E = - 5 H = 3,2 × 10- 12

I = 2,4 × 10- 9 

8 c , donc 5,5 × 1014 Hz = 3 × 10 m/s λ λ 8 8 d’où λ =  3 × 10 m = 3 × 10 × 10 9 nm ≈ 545 nm. 5,5 × 1014 5,5 × 1014 L’œil humain perçoit les couleurs de longueur d’onde comprise entre 380 et 780 nanomètres. Donc il perçoit cette couleur.

134 f =

135 ● Pour Vénus, n =  1, donc r =  0,4 +  0,3 × 21 - 1 ua = 0,4 ua = 0,4 × 150 × 106 km = 6 × 107 km. ● Pour la Terre, n =  2, donc r =  0,4 +  0,3 × 22 - 1 =  1 ua = 1 × 150 × 106 km = 1,50 × 108 km. ● Pour Mars, n =  3, donc r =  0,4 +  0,3 × 23 - 1 =  1,6 ua = 1,6 × 150 × 106 km = 2,4 × 108 km. 136 1) Pour Jupiter, n =  4, donc r =  0,4 +  0,3 × 24 - 1 = 2,8 ua = 2,8 × 150 × 106 km = 4,2 × 108 km. Or le rayon de l’orbite de Jupiter est 7,8 × 108 km. Donc la formule de Titius-Bode ne permet pas de retrouver ce rayon pour n = 4. 2) Pour n = 5, r = 0,4 + 0,3 × 25 - 1 = 5,2 ua = 5,2 × 150 × 106 km = 7,8 × 108 km. La formule de Titius-Bode permet de retrouver ce rayon pour n = 5.

CHAP. 1 - CALCUL NUMÉRIQUE

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Exercices d’évaluation du socle commun 1

A=

2 4 14 12 2 – = – = 3 7 21 21 21

2

C=

6 4 24 × = 7 5 35

3

74 × 78 = 74 + 8 = 712

4

59 = 59 - 6 = 53 56

5

(32)4 = 32 × 4 = 38

16

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6

34 × 54 = (3 × 5)4 = 154

7 228 = 227 × 2. Or le chiffre des unités du nombre 227 est 8 et 8 × 2 = 16. Donc le chiffre des unités du nombre 228 est 6. 8 52 = 25 et 25 se termine par 5. Donc 513 se termine par 5. 9

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A P I TR H

C

E

Calcul littéral – Équations produit nul

2

PROGRAMME Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES

CAPACITÉS

Factorisation

●

Mettre en équation un problème.

■ Commentaires

CAPACITÉS Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur est apparent. ●

■ Commentaires Les travaux se développent dans trois directions : – utilisation d’expressions littérales donnant lieu à des calculs numériques ; – utilisation du calcul littéral pour la mise en équation et la résolution de problèmes ; – utilisation du calcul littéral pour prouver un résultat général (en particulier en arithmétique). Les activités visent la maîtrise du développement ou de la factorisation d’expressions simples.

La notion d’équation ne fait pas partie du socle commun. Néanmoins, les élèves peuvent être amenés à résoudre des problèmes du premier degré (méthode arithmétique, méthode par essais successifs…).

> CONNAISSANCES Problèmes se ramenant au premier degré  : équations produits

CAPACITÉS Résoudre une équation mise sous la forme A(x).B(x) =  0, où A(x) et B(x) sont deux expressions du premier degré de la même variable x.

●

■ Commentaires

> CONNAISSANCES

L’étude du signe d’un produit ou d’un quotient de deux expressions du premier degré de la même variable est hors programme.

Équations du premier degré

Programme de la classe de Seconde Expressions algébriques Transformations d’expressions algébriques en vue d’une résolution de problème – Associer à un problème une expression algébrique. – Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d’une expression en vue de la résolution du problème donné. – Développer, factoriser des expressions polynomiales simples ; transformer des expressions rationnelles simples. ●

Les activités de calcul nécessitent une certaine maîtrise technique et doivent être l’occasion de raisonner. Les élèves apprennent à développer des stratégies s’appuyant sur l’observation de courbes, l’anticipation et l’intelligence du calcul.

Le cas échéant, cela s’accompagne d’une mobilisation éclairée et pertinente des logiciels de calcul formel.

Équations ● Résolution graphique et algébrique d’équations – Mettre un problème en équation. – Résoudre une équation se ramenant au premier degré. – Encadrer une racine d’une équation grâce à un algorithme de dichotomie.

Pour un même problème, combiner résolution graphique et contrôle algébrique. Utiliser, en particulier, les représentations graphiques données sur écran par une calculatrice, un logiciel.

Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Troisième Conduire un calcul littéral simple. Le calcul littéral porte sur :

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– le calcul de la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques ; – la transformation d’une expression du premier degré à une variable. CHAP. 2 - CALCUL LITTÉRAL – ÉQUATIONS PRODUIT NUL

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Capacités des programmes des classes antérieures ● Calculer la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. L’apprentissage du calcul littéral est conduit très progressivement à partir de situations qui permettent aux élèves de donner du sens à ce type de calcul. Le travail proposé s’articule autour de trois axes : – utilisation d’expressions littérales donnant lieu à des calculs numériques ; – utilisation du calcul littéral pour la mise en équation et la résolution de problèmes divers ; – utilisation du calcul littéral pour prouver un résultat général (en particulier en arithmétique).

● Réduire une expression littérale à une variable, du type : 3x – (4x – 2) ; 2x2 – 3x + x2… Les situations proposées doivent exclure tout type de virtuosité et viser un objectif précis (résolution d’une équation, gestion d’un calcul numérique, établissement d’un résultat général).

Développer une expression de la forme (a + b) (c + d). L’objectif reste de développer pas à pas, puis de réduire l’expression obtenue. Les identités remarquables ne sont pas au programme. Les activités de factorisation se limitent aux cas où le facteur commun est du type a, ax ou x2.

●

● Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue. Les problèmes issus d’autres parties du programme et d’autres disciplines conduisent à l’introduction d’équations et à leur résolution. À chaque fois sont dégagées les différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l’équation et interprétation du résultat. Les élèves, dans le cadre du socle commun, peuvent être amenés à résoudre des problèmes se ramenant à une équation du premier degré sans que la méthode experte soit exigible.

Commentaires des auteurs ➜ Concernant le calcul littéral, ce chapitre permet de revoir la notion d’expression littérale et la distributivité de la multiplication sur l’addition. Les élèves savent déjà développer un produit, mais les calculs proposés peuvent être plus complexes (notamment lorsque l’on doit soustraire un produit). Le travail de réduction d’une expression littérale, amorcé en Quatrième, est poursuivi. Pour la factorisation, on étudiera le cas où le facteur commun est une expression littérale. Les identités remarquables seront étudiées au chapitre 5. ➜ La résolution d’une équation du premier degré à une inconnue est une compétence de Quatrième. Toutefois, les programmes demandent de reprendre cette compétence en Troisième, notamment pour résoudre de nombreux exercices (calcul numérique, fonctions, géométrie...).

Nous avons aussi rappelé les propriétés des égalités, essentielles à la résolution d’une équation. La résolution d’équations particulières (0x = 0 et 0x = 1) n’est pas au programme du collège. Comme en Quatrième, les propriétés étant énoncées sous forme d’implication (Si ... , alors ... .), il est nécessaire de vérifier que chaque nombre trouvé est bien solution de l’équation. La résolution étape par étape d’un problème concret est retravaillée dans ce chapitre. ➜ La résolution d’une équation produit nul est une compétence de la classe de Troisième. Cette compétence sera réinvestie dans le chapitre 5 : « Identités remarquables et applications ». Pour simplifier la résolution d’une équation produit nul, nous avons choisi de rédiger en utilisant la propriété sous forme d’équivalence (... si et seulement si ...). D’autant plus que cette rédaction sera largement utilisée au lycée.

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE C O MMENTAIR E S

C ORRIGÉ

Ce slogan publicitaire peut se traduire par : « L’alcool est plus fort que vous le pensez. » Le taux d’alcoolémie sera aussi étudié à l’aide d’un tableur dans le chapitre 17 (page 297).

V = 75 cL : 2 = 37,5 cL = 375 mL p = 0,12 m = 56 kg c = 0,6 t = 375 ¥ 0,12 ¥ 0,8 ≈ 1,07 g / L 56 × 0,6 Cette personne n’a pas le droit de conduire.

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JE DÉVELOPPE, JE FACTORISE UNE EXPRESSION LITTÉRALE

Objectifs

Développer, puis réduire une expression littérale. ● Factoriser une expression littérale. ● Justifier que deux expressions littérales sont égales.

Prérequis

Calcul littéral de la classe de Quatrième (double distributivité, développement, factorisation)

Paragraphes introduits

! Calcul littéral a) Expression littérale b) Distributivité de la multiplication

●

■ C O M M E NTAIR E S Cette activité permet de réinvestir le calcul littéral étudié en classe de Quatrième. C O RRI G É

b) Pour x = 1 : A = 9 × 5 = 45 ; B = – 1 × 5 = – 5 ; C = 2 + 5 – 12 = – 5 et D = 4. c) On remarque que pour x = 0 et x = 1, on a : A = D et B = C. Il est donc possible (mais pas certain !) que : A = D et B = C. 2 a) A = 9x × x – 5 × x b) A = (9x – 5) × x c) Donc l’expression D est égale à l’expression A. d) Si on développait l’expression D, on obtiendrait l’expression A. 3 a) Non, on ne peut pas factoriser l’expression C comme appris en Quatrième car il n’y a pas de facteur commun visible. b) B = 2x × x + 2x × 4 – 3 × x – 3 × 4 B = 2x² + 8x – 3x – 12 B = 2x² + 5x – 12 c) On a donc : B = C.

1 a) Pour x = 0 : A = 0 ; B = – 3 × 4 = – 12 ; C = – 12 et D = 0.

2

JE FACTORISE UNE EXPRESSION LITTÉRALE

Objectif

Prérequis Paragraphe introduit

3

Factoriser une expression littérale dont le facteur commun est une expression littérale. Factoriser une expression littérale (facteur commun simple). Savoir faire 1, page 37

On considère l’expression littérale : E = (2x – 1)(x + 2) + (2x – 1)(3 – 2x) 1 ab + ac = a × (b + c) 2 a) E = (2x – 1)(x + 2) + (2x – 1)(3 – 2x) Les deux facteurs écrits en gras (en orange) dans l’expression E sont égaux. b) E = (2x – 1) [(x + 2) + (3 – 2x)] c) E = (2x – 1) [x + 2 + 3 – 2x] E = (2x – 1)(5 – x)

JE RÉSOUS UNE ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ

Objectif

Prérequis

Résoudre, étape par étape, une équation du premier degré à une inconnue. Connaître les propriétés des égalités. Résoudre une équation du premier degré. ● ●

Paragraphes introduits

! Propriétés des égalités # Notion d’équation a) Équation à une inconnue

■ C O M M E NTAIR E S Le travail réalisé par Valérie correspond à une copie modèle d’un élève de Quatrième. En classe de Troisième, il sera possible de réaliser mentalement certaines étapes (1 ; 3 et 5).

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C ORRIGÉ

C ORRIGÉ

1 Lors de l’étape 1, Valérie a additionné (– 3x) à chaque membre de l’égalité. Ceci lui permet de ne plus avoir de terme en x dans le membre de droite de cette égalité. 2 Lors de l’étape 2, Valérie a réduit chaque membre de l’égalité. Lors de l’étape 3, Valérie a ajouté (+ 7) à chaque membre de l’égalité. Lors de l’étape 4, Valérie a réduit chaque membre de l’égalité. 1 Lors de l’étape 5, Valérie a divisé par 2 ou multiplié par 2 chaque membre de l’égalité. Lors de l’étape 6, Valérie a réduit chaque membre de l’égalité. 3 Lors de l’étape 7, Valérie vérifie que le nombre trouvé (– 4) est bien solution de l’équation initiale. 4 Lors de l’étape 8, Valérie rédige sa conclusion.

(

CHAP. 2 - CALCUL LITTÉRAL – ÉQUATIONS PRODUIT NUL

)

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4

JE RÉSOUS DES ÉQUATIONS PARTICULIERES

Objectif

Étudier un produit de facteurs dont un facteur est nul.

Prérequis Paragraphes introduits

—

# Notion d’équation b) Équations produit nul (Propriété directe)

■ C O MMENTAIR E S La résolution des équations 0x = 8 et 0x = 0 n’est pas au programme du collège. Dans cette activité, on étudie intuitivement ces équations.

5

1 a) 7 + 8 = 15 b) 3 × (– 4) = – 12 c) 0 × 7 = 0 d) (– 3) + 5 = 2 e) – 2 × 0 = 0 2 a) La solution de cette équation est 12. b) La solution de cette équation est – 6. c) La solution de cette équation est 0. d) La solution de cette équation est – 6. e) La solution de cette équation est 0. 3 Pour toute valeur de x, on a : 0 × x = 0. Donc il n’existe pas de nombre x tel que 0 × x = 8. 4 a) Par exemple, 0 × 4 = 0 ; 0 × 254 = 0 ; 0 × (– 9) = 0… Tout nombre proposé ( y compris 0) convient. b) Il n’est pas possible de trouver un nombre qui ne vérifie pas cette égalité. c) Tout nombre proposé ( y compris 0) est solution de l’équation 0 × x = 0. Cette équation admet donc une infinité de solutions.

J’ÉTUDIE QUAND UN PRODUIT EST NUL

Objectif

Étudier un produit de facteurs dont le résultat est nul.

Prérequis

Notion d’équation

Paragraphes introduits

# Notion d’équation b) Équations produit nul (Propriété directe et propriété réciproque)

■ C O MMENTAIR E S On introduit ici la notion de « nombre nul ». Comme pour l’activité précédente, l’approche est uniquement intuitive : aucune démonstration n’est attendue.

6

C ORRIGÉ

C ORRIGÉ

1 a) On a : 0 × r = 0 et r × 0 = 0. b) Le produit de deux facteurs dont l’un est égal à 0 est égal à 0. 2 a) Cette équation admet pour solution 0. b) Cette équation admet pour solution 0. 3 a) On ne peut pas avoir t ≠ 0 et s ≠ 0, sinon leur produit ne serait pas nul. b) Il est possible d’avoir t = 0 et s ≠ 0. c) Il est possible d’avoir t ≠ 0 et s = 0. d) Il est aussi possible d’avoir t =  0 et s =  0 (en effet, 0 × 0 = 0). 4 « Si un produit a un facteur nul, alors ce produit est nul. » « Si le produit de deux facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul. »

JE RÉSOUS UNE ÉQUATION PRODUIT NUL

Objectifs

● Découvrir la notion d’équation produit nul. ● Résoudre une équation produit nul.

Prérequis

Connaître les propriétés (directe et réciproque) concernant un produit nul.

Paragraphes introduits

# Notion d’équation b) Équations produit nul (Définition et dernière remarque du cours)

■ C O MMENTAIR E S Par la suite, on préférera la rédaction sous forme d’équivalence. C O RRI G É

1 a) (x – 5)(7 + x) = 7x + x² – 35 – 5x = x² + 2x – 35 Vivian obtient ainsi l’équation : x² + 2x – 35 = 0.

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b) Non, il ne sait pas résoudre cette équation car il ne s’agit pas d’une équation du premier degré. 2 a) Le premier membre de cette équation est un produit et ce produit est nul. b) Le premier facteur de ce produit est (x – 5), le second est (7 + x). c) Pour que leur produit soit nul, il faut que l’un au moins des facteurs soit nul. d) Pour x = 5, le facteur (x – 5) = 0, donc (x – 5)(7 + x) = 0. Pour x = – 7, le facteur (7 + x) = 0, donc (x – 5)(7 + x) = 0. Les nombres 5 et – 7 sont donc des solutions de l’équation (x – 5)(7 + x) = 0. e) De plus, cette équation ne peut pas avoir d’autres solutions car 5 et – 7 sont les seuls nombres qui annulent l’un des facteurs. Ainsi, les nombres 5 et – 7 sont donc les solutions de l’équation (x – 5)(7 + x) = 0.

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EXERCICES (7 cm + 5 cm) × 3 cm 2 A = 6 cm × 3 cm = 18 cm²

11 De ces nombres, – 2 est solution de l’équation 3x + 17 = 7 – 2x.

2 a) 7(x + 9) = 7x + 63 b) 9(y – 3) = 9y – 27 c) – 3(z – 5) = –3z + 15 d) 4(3 + 5x) = 12 + 20x e) 6(9y – 8) = 63y – 48 f) – 5(5 – 7z) = – 25 + 35z

x² – 2 = x.

1

A = 

3 a) (x + 3)( y + 7) = xy + 7x + 3y + 21 b) (x + 5)( y – 6) = xy – 6x + 5y – 30 c) (x – 4)( y + 8) = xy + 8x – 4y – 32 d) (x – 7)( y – 2) = xy – 2x – 7y + 14 e) (2x + 5)( y – 9) = 2xy – 18x + 5y – 45 f) (3x – 1)(4y + 5) = 12xy + 15x – 4y – 5 4 a) 7x + 7 × 3 = 7(x + 3) b) 9y – 9 × 4 = 9( y – 4) c) 3a – 3b = 3(a – b) d) 6x + 30 = 6(x + 5) e) 5y – 25 = 5(y – 5) f) 7a – 4a = a(7 – 4) = 3a g) 6x + x = (6 + 1)x = 7x h) 8y – 8 = 8( y – 1) i) – 3a – 3 = – 3(a + 1) ou – 3a – 3 = 3(– a – 1) 5 a) 2a – 7 + 5a = 7a – 7 b) 10b + 9 – 7b + 5 = 3b + 14 c) 5a – 6 – 8a + 9 = – 3a + 3 d) a + 8b – 3a + 6 – b = – 2a + 7b + 6 6 a) 7x² + 3x – 2x² = 5x² + 3x b) 8y² + 8 – 3y (on ne peut pas réduire) c) 3t² – 8t + t = 3t² – 7t d) 25z² – 20z (on ne peut pas réduire) 7 a) x(x – 4) + x² = x² – 4x + x² = 2x² – 4x b) x(2x + 5) – x = 2x² + 5x – x = 2x² + 4x c) (x + 1)(x + 2) = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2 d) (x + 5)(x – 1) = x² – x + 5x – 5 = x² + 4x – 5 e) (2x + 1)(3x + 1) = 6x² + 2x + 3x + 1 = 6x² + 5x + 1 f) (x – 3)(x – 4) = x² – 4x – 3x + 12 = x² – 7x + 12 8 1) Le facteur commun de cette expression est (3x – 1). 2) E = (3x – 1)[(2x + 5) + 7] E = (3x – 1)(2x + 12) 9 1) Le facteur commun de cette expression est (7 – x). 2) F = [(x – 4) + (x + 3)](7 – x) F = (2x – 1) (7 – x) 10 1) La fille ne peut pas conclure que les deux expressions sont égales en testant pour une seule valeur de x. Le garçon trouve une valeur de x qui ne vérifie pas l’égalité. Il peut donc conclure que l’égalité n’est pas toujours vraie. 2) Le nombre 0 est une solution (donnée par la fille) de l’équation. Il y en a peut-être d’autres… © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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12 De ces nombres, 2 et – 1 sont solutions de l’équation

13 a) Cette équation a pour solution – 4. b) Cette équation a pour solution – 25.  c) Cette équation a pour solution – 100.  d) Cette équation a pour solution – 8.  e) Cette équation a pour solution 0.  7 f) Cette équation a pour solution . 3 14 L’un de ces trois nombres relatifs doit être nul. Les trois nombres cherchés sont : ● soit 0 ; 1 et 2. ● soit – 1 ; 0 et 1. ● soit – 2 ; –1 et 0. 15 a) «  (x – 1)(2x +  7) =  1  » n’est pas une équation produit nul car il s’agit bien d’un produit, mais celui-ci n’est pas nul. b) « (x – 1)(x – 9) = 0 » est une équation produit nul car il s’agit bien d’un produit qui est nul. c) « (x – 1) – (2x + 7) » = 0 n’est pas une équation produit nul car il s’agit d’une différence et non d’un produit. d) «  11x(x +7) =  0  » est une équation produit nul car il s’agit bien d’un produit qui est nul. 16 a) Cette équation a pour solutions – 3 et 7. b) Cette équation a pour solutions – 5 et – 4. c) Cette équation a pour solutions 8 et 2. d) Cette équation a pour solutions 0 et 1. 17 1) C = (3x – 1)(2 – 5x) + (3x + 4)x C = 6x – 15x² – 2 + 5x + 3x² + 4x C = – 12x² + 15x – 2 2) Pour x = 0, C = – 2. 18 1) D = (x + 5)(2x – 3) – 3(4x + 1) D = 2x² – 3x + 10x – 15 – 12x – 3 D = 2x² – 5x – 18 2) Pour x = 1, D = – 21. 19 1) E = 7(3 – x) + (x + 4)(x – 5) E = 21 – 7x + x² – 5x + 4x – 20 E = x² – 8x + 1 2) Pour x = 0, E = 1. 20 1) G = x(x – 2) – (x – 1)(x + 2) G = x² – 2x – [x² + 2x – x – 2] G = x² – 2x – x² – 2x + x + 2 G = – 3x + 2 1 2) Pour x =  , G = – 1 + 2 = 1. 3 21 ● H = 3(2x – 5) – x(5x + 6) H = 6x – 15 – 5x² – 6x H = – 15 – 5x² ● I = – 5(x² + 3) I = – 5x² – 15 = – 15 – 5x² ● Donc les expressions H et I sont égales. CHAP. 2 - CALCUL LITTÉRAL – ÉQUATIONS PRODUIT NUL

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22 1) J = (x + 7)[(5x – 1) – x] J = (x + 7)(4x – 1) 2) Pour x = – 5, J = 2 × (– 21) = – 42. 23 1) K = (x – 3)(4x – 1) + (x – 3)(4x + 1) 2) K = (x – 3)[(4x – 1) + (4x + 1)] K = (x – 3)[4x – 1 + 4x + 1] K = (x – 3) × 8x 3) Pour x = 0, K = 0. 24 1) L = (3x – 2)(5x – 1) – (3x – 5)(5x – 1) 2) L = [(3x – 2) – (3x – 5)] (5x – 1) L = [3x – 2 – 3x + 5](5x – 1) L = 3 (5x – 1) 3) Pour x = – 2, L = 3 × (– 11) = – 33. 25 1) M = (7x + 5)[(3x – 2) + (2x – 3)] M = (7x + 5)[3x – 2 + 2x – 3] M = (7x + 5)(5x – 5) 2) Pour x = 0, M = 5 × (– 5) = – 25. 26 1) N = (4x – 5)[(x – 3) – (3x + 1)] N = (4x – 5)[x – 3 – 3x – 1] N = (4x – 5)(– 2x – 4) 2) Pour x = – 1, N = – 9 × (– 2) = 18. 27 a) (x – 3)(x + 1) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (x – 3) = 0 ou (x + 1) = 0. x = 3 ou x = – 1 Vérification : Pour x = 3, le premier facteur (x – 3) est nul. Pour x = – 1, le deuxième facteur (x – 3) est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont 3 et – 1. b) x(7 – x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : x = 0 ou (7 – x) = 0. x = 0 ou x = 7 Vérification : Pour x = 0, le premier facteur x est nul. Pour x = 7, le deuxième facteur (7 – x) est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont 0 et – 7. c) (x + 9)(– 1 + x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (x + 9) = 0 ou (– 1 + x) = 0. x = – 9 ou x = 1 Vérification : Pour x = – 9, le premier facteur (x + 9) est nul. Pour x = 1, le deuxième facteur (– 1 + x) est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont – 9 et 1. d) 8x(– x – 3) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : 8x = 0 ou (– x – 3) = 0. x = 0 : 8 ou – x = 3 x = 0 ou x = – 3 Vérification : Pour x = 0, le premier facteur 8x est nul. Pour x = – 3, le deuxième facteur (– x – 3) est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont 0 et – 3.

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28 a) (– x – 5)(x + 6) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (– x – 5) = 0 ou (x + 6) = 0. – 5 = x ou x = – 6 Vérification : Pour x = – 5, le premier facteur (– x – 5) est nul. Pour x = – 6, le deuxième facteur (x + 6) est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont – 5 et – 6. b) (– 9 + 3x)(8 – 2x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (– 9 + 3x) = 0 ou (8 – 2x) = 0. 3x = 9 ou 8 = 2x x = 3 ou 4 = x Vérification : Pour x = 3, (– 9 + 3x) = – 9 + 9 = 0 ; le premier facteur est nul. Pour x = 4, (8 – 2x) = 8 – 8 = 0 ; le deuxième facteur est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont 3 et 4. 29 a) (4x – 12)(3x + 12) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (4x – 12) = 0 ou (3x + 12) = 0. 4x = 12 ou 3x = – 12 x = 3 ou x = – 4 Vérification : Pour x = 3, (4x – 12) = 12 – 12 = 0 ; le premier facteur est nul. Pour x = – 4, (3x + 12) = – 12 + 12 = 0 ; le deuxième facteur est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont 3 et – 4. b) (– 20 + 4x)(20 – 5x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (– 20 + 4x) = 0 ou (20 – 5x) = 0. 4x = 20 ou 20 = 5x x = 5 ou 4 = x Vérification : Pour x = 5, (– 20 + 4x) = – 20 + 20 = 0 ; le premier facteur est nul. Pour x = 4, (20 – 5x) = 20 – 20 = 0 ; le deuxième facteur est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont 5 et 4. 30 a) (2x – 7)(5x + 1) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (2x – 7) = 0 ou (5x + 1) = 0. 2x = 7 ou 5x = – 1 x = 7 ou x = – 1 2 5 Vérification : 7 Pour x =  , (2x – 7) = 7 – 7 = 0 ; le premier facteur est nul. 2 1 Pour x = – , (5x + 1) = – 1 + 1 = 0 ; le deuxième facteur est 5 nul. Conclusion : 7 1 Les solutions de cette équation sont et – . 2 5 b) (5 – 3x)(10 + 4x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (5 – 3x) = 0 ou (10 + 4x) = 0. – 3x = –5 ou 4x = – 10 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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x =  – 5 ou x = – 10

–3 x = 5 Vérification : 3

ou

4 5 x = – 2

5 Pour x =  , (5 – 3x) = 5 – 5 = 0 ; le premier facteur est nul. 3 5 Pour x = – , (10 + 4x) = 10 – 10 = 0 ; le deuxième facteur est nul. 2 Conclusion : 5 5 Les solutions de cette équation sont et – . 3 2 31 Suite à une erreur d’édition, l’énoncé de l’exercice 31 est identique à l’exercice 28. Nous vous proposons un autre énoncé : Nouvel énoncé : a) (6x + 15)(15x – 6) = 0  b) (21x + 14)(– 14x – 21) = 0 Corrigé : a) (6x + 15)(15x – 6) = 0  Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (6x + 15) = 0 ou (15x – 6) = 0. 6x = –15 ou 15x = 6 x = – 15 ou x =  6 6 15 5 2 x = – ou x =  2 5 Vérification : 5 30 Pour x = – , (6x + 15) = – + 15 = 0 ; le premier facteur 2 2 est nul. 2 30 Pour x =  , (15x – 6) =  – 6 = 0 ; le deuxième facteur est 5 5 nul. Conclusion : 5 2 Les solutions de cette équation sont – et . 2 5 b) (21x + 14)(– 14x – 21) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (21x + 14) = 0 ou (– 14x – 21) = 0. 21x = – 14 ou – 14x = 21 x = – 14 ou x =  21 21 – 14 x = – 2 ou x = – 3 3 2 Vérification : 2 42 Pour x = – , (21x + 14) = – + 14 = 0 ; le premier facteur 3 est nul. 3 3 42 Pour x = – , (– 14x – 21) =  – 21 = 0 ; le deuxième facteur 2 2 est nul. Conclusion : 2 3 Les solutions de cette équation sont – et – . 3 2 32 a) (– 8x + 8)(5x – 1) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (– 8x + 8) = 0 ou (5x – 1) = 0. 8 = 8x ou 5x = 1 1 1 = x ou x =  5 Vérification : Pour x = 1, (– 8x + 8) = – 8 + 8 = 0 ; le premier facteur est nul. 1 Pour x =  , (5x – 1) = 1 – 1 = 0 ; le deuxième facteur est 5 nul. Conclusion : 1 Les solutions de cette équation sont 1 et . 5 b) (7 + 4x)(4x – 7) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (7 + 4x) = 0 ou (4x – 7) = 0. 4x = – 7 ou 4x = 7 x = – 7 ou x = 7 4 4 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Vérification : 7 Pour x = – , (7 + 4x) = 7 – 7 = 0 ; le premier facteur est nul. 4 7 Pour x =  , (4x – 7) = 7 – 7 = 0 ; le deuxième facteur est nul. 4 Conclusion : 7 7 Les solutions de cette équation sont – et . 4 4 33 a) (2x – 4)(9 – 3x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (2x – 4) = 0 ou (9 – 3x) = 0. 2x = 4 ou 9 = 3x x = 2 ou 3 = x Vérification : Pour x = 2, le premier facteur est nul. Pour x = 3, le deuxième facteur est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont 2 et 3. b) (3x + 1)(1 + 3x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (3x + 1) = 0 ou (1 + 3x) = 0. 3x = –1 ou 3x = – 1 x = – 1 ou x = – 1 3 Vérification : 3 1 Pour x = – , le premier facteur et le deuxième facteur sont 3 nuls. Conclusion : 1 La solution de cette équation est – . 3 c) 7x(1 – 2x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : 7x = 0 ou (1 – 2x) = 0. x = 0 ou 1 = 2x 7 x = 0 ou 1 = x 2 Vérification : Pour x = 0, le premier facteur est nul. 1 Pour x =  , le deuxième facteur est nul. 2 Conclusion : 1 Les solutions de cette équation sont 0 et . 2 d) (5x – 10)(8 – 4x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (5x – 10) = 0 ou (8 – 4x) = 0. 5x = 10 ou 8 = 4x x = 2 ou 2 = x Vérification : Pour x = 2 , le premier facteur et le deuxième facteur sont nuls. Conclusion : La solution de cette équation est 2. 34 a) 5x(9x – 9) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : 5x = 0 ou (9x – 9) = 0. x = 0 ou x = 1 Vérification : Pour x = 0, le premier facteur est nul. Pour x = 1, le deuxième facteur est nul. Conclusion : Cette équation admet deux solutions : 0 et 1. b) (7x – 1)(1 – 7x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. CHAP. 2 - CALCUL LITTÉRAL – ÉQUATIONS PRODUIT NUL

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Ainsi : 7x – 1 = 0 ou 1 – 7x = 0. x = 1 ou x = 1 7 7 Vérification : 1 Pour x =  , le premier facteur et le deuxième facteur sont 7 nuls. Conclusion : 1 Cette équation admet une solution : . 7 c) (5x – 4)² = 0  c’est-à-dire : (5x – 4)(5x – 4) = 0.  Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (5x – 4) = 0 ou (5x – 4) = 0. x = 4 ou x = 4 5 5 Vérification : 4 Pour x =  , le premier facteur et le deuxième facteur sont 5 nuls. Conclusion : 4 Cette équation admet une solution : . 5 d) (5x + 1)(5x – 1) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (5x + 1) = 0 ou (5x – 1) = 0. x = – 1 ou x = 1 5 5 Vérification : 1 Pour x = – , le premier facteur est nul. 5 1 Pour x =  , le deuxième facteur est nul. 5 Conclusion : 1 1 Cette équation admet deux solutions : – et . 5 5 35 (4x + 12)(5x – 15)(7x + 21) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (4x + 12) = 0 ou (5x – 15) = 0 ou (7x + 21) = 0. x = – 3 ou x = 3 ou x = – 3 Vérification : Pour x = – 3, le premier facteur et le troisième facteur sont nuls. Pour x = 3, le deuxième facteur est nul. Conclusion : Cette équation admet deux solutions : – 3 et 3. 36 1) E = (2x + 3)[(4 – x) + 7x] E = (2x + 3)(4 + 6x) 2) (2x + 3)(4 + 6x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (2x + 3) = 0 ou (4 + 6x) = 0. x = – 3 ou x = – 2 2 3 Vérification : 3 Pour x = – , le premier facteur est nul. 2 2 Pour x = – , le deuxième facteur est nul. 3 Conclusion : 3 2 Cette équation admet deux solutions : – et – . 2 3 37 1) A = (3x + 1)[(3 – 2x) – (x + 5)] A = (3x + 1)[3 – 2x – x – 5] A = (3x + 1)(– 3x – 2) 2) (3x + 1)(– 3x – 2) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (3x + 1) = 0 ou (– 3x – 2) = 0. x = – 1 ou x = – 2 3 3

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Vérification : 1 Pour x = – , le premier facteur est nul. 3 2 Pour x = – , le deuxième facteur est nul. 3 Conclusion : 1 2 L’équation A = 0 admet deux solutions : – et – . 3 3 38 1) Notons E = (4x – 7)(2 – 3x) + (4x – 7)(4x + 5). E = (4x – 7)[(2 – 3x) + (4x + 5)] E = (4x – 7)[2 – 3x + 4x + 5] E = (4x – 7)(x + 7) 2) (4x – 7)(x + 7) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (4x – 7) = 0 ou (x + 7) = 0. x = 7 ou x = – 7 4 Vérification : 7 Pour x =  , le premier facteur est nul. 4 Pour x = – 7, le deuxième facteur est nul. Conclusion : 7 Cette équation admet pour solutions et – 7. 4 39 ● Notons F = (5x + 3)(3 – x) – (3 – x)(4x – 7). F = (3 – x)[(5x + 3) – (4x – 7)] F = (3 – x)[5x + 3 – 4x + 7] F = (3 – x)(x + 10) ● On résout ainsi l’équation (3 – x)(x + 10) = 0. Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (3 – x) = 0 ou (x + 10) = 0. x = 3 ou x = – 10 Vérification : Pour x = 3, le premier facteur est nul. Pour x = – 10, le deuxième facteur est nul. Conclusion : Cette équation admet pour solutions 3 et – 10. 40 ● On note x le nombre choisi par Kenzo. Mise en équation : 5x + 12 = 2x ● Résolution : 5x – 2x = – 12 3x = – 12 x = – 4 ● Vérification : (– 4) × 5 + 12 = – 20 + 12 = – 8 (– 4) × 2 = – 8 ● Conclusion : Kenzo a choisi le nombre – 4. ●

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●

On note x le nombre choisi par Naya.

x

Mise en équation : (x + 15) × 2 =  2 ● Résolution : 1 2x + 30 =  x 2 1 2 – x = –30 2 3 x = – 30 2 x = –30 × 2 3 x = – 20 ● Vérification : (– 20 + 15) × 2 = – 5 × 2 = – 10 – 20 : 2 = – 10 ● Conclusion : Naya a choisi le nombre – 20. ●

( )

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42 ● On note x le nombre de saumons. ● Mise en équation : (x + 2 800) + x + (x – 3 000) = 33 400 ● Résolution : x + 2 800 + x + x – 3 000 = 33 400 3x – 200 = 33 400 3x = 33 600 x = 11 200 ● Vérification : Il est important de trouver un nombre entier positif. Saumons : 11 200 Truites : 11 200 + 2 800 = 14 000 Carpes : 11 200 – 3 000 = 8 200 11 200 + 14 000 + 8 200 = 33 400 ● Conclusion : Dans ces bassins, il y a 11 200 saumons, 14 000 truites et 8 200 carpes. 43 ● On note x le nombre d’albums belges d’Alisson. ● Mise en équation : 2x + x + 25 = 148 ● Résolution : 3x + 25 = 148 3x = 123 x = 123 : 3 x = 41 ● Vérification : Il est important de trouver un nombre entier positif. Albums belges : 41 Albums français : 41 × 2 = 82 Autres albums : 25 41 + 82 + 25 = 148 ● Conclusion : Alisson possède 41 albums belges et 82 albums français. 44 Il peut être utile de faire un schéma. On note x la mesure en degrés du plus petit angle aigu de ce triangle rectangle. ● Mise en équation : La somme de mesures des angles d’un triangle est égale à 180o. x + 3x + 90 = 180 ● Résolution : 4x + 90 = 180 4x = 90 x = 90 : 4 x = 22,5 ● Vérification : 22,5 × 3 = 67,5 67,5o + 22,5o + 90o = 180o ● Conclusion : Les angles de ce triangle mesurent 67,5o ; 22,5o et 90o. ●

45 ● On note x la taille en centimètres d’Alice. Mise en équation : Taille d’Alexia : x + 12 Taille d’Abel : x + 12 + 10 = x + 22 4 m = 400 cm x + x + 12 + x + 22 = 400 ● Résolution : 3x + 34 = 400 3x = 366 x = 366 : 3 x = 122 ● Vérification : 122 + 134 + 144 = 400 ● Conclusion : Il est important de trouver des tailles d’enfant qui sont cohérentes.

Taille d’Alice : 122 cm = 1,22 m Taille d’Alexia : 134 cm = 1,34 m Taille d’Abel : 144 cm = 1,44 m 135 + 2 × 75 285 =  = 95 3 3 La pression artérielle moyenne de ce patient est de 95 mm Hg. 46 PAM =

30 m = 15 m 2 P = 1,14 × 15² × 103 = 256 500 Cette éolienne peut capter une puissance de 256 500 W. 2) P = 1,14 × 2,5² × 163 = 29 184 P = 29 184 : 2 = 14 592 2 La puissance produite par cette éolienne est de 14 592 W. 47 1) r = 

48 1) a) L’aire du carré bleu est : (8 – x)² . b) L’aire du rectangle rose est : (8 – x)[x – (8 – x)]. Autre réponse possible : 8x – x² – (8 – x)². 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b) Le rectangle rose a pour dimensions 3 cm par 2 cm. Son aire est 6 cm². c) A = (8 – x)[x – (8 – x)] A = (8 – 5)[5 – (8 – 5)] A = 3 × [5 – 3] A = 3 × 2 A = 6 La formule est vérifiée. 49 a) 5(x – 4) = 5x – 20 b) 7(y + 2) = 7y + 14 c) – 2(z – 1) = – 2z + 2 d) (3x – 8) × 6 = 18x – 48 e) (3y – 5) × (– 4) = – 12y + 20 50 a) (x + 5)(y – 3) = xy – 3x + 5y – 15 b) (5a – 4)(b + 2) = 5ab + 10a – 4b – 8 c) (x – 7)(3y – 1) = 3xy – x – 21y + 7 d) (2a – 1)(b + 3) = 2ab + 6a – b – 3 51 a) 5x + 3x = (5 + 3)x b) 7y + 7 × 4 = 7(y + 4) c) 5 – 5y = 5(1 – y) d) 6(x – 3) – x(x – 3) = (6 – x)(x – 3) e) y(2y + 1) – (2y + 1) = (y – 1)(2y + 1) 52 a) 9x + 3 – 3x = 6x + 3 b) 4y – 3 – 7y + 4 = – 3y + 1 c) – 3x + 1 – x + 4 = – 4x + 5 d) 2y + z – 2y + z – 1 = 2z – 1

●

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53 ● A = 2a – 7 – 3a + 3 – 5a A = – 6a – 4 ● B = 2a + 3 – 1 + 3a – 2a + 7 + 2 – a B = 2a + 11 ● C = – 4a – b + 2 – 5b – 3a + b + 1 – 3a C = – 10a – 5b + 3 54 a) 5x(3x – 1) – 10x² = 15x² – 5x – 10x² = 5x² – 5x b) 6x(– 2x + 3) – 4x = – 12x² + 18x – 4x = – 12x² + 14x c) (x + 3)(2x – 1) = 2x² – x + 6x – 3 = 2x² + 5x – 3 d) (5 – 3x)(4x – 7) = 20x – 35 – 12x² + 21x = – 12x² + 41x – 35 55 1) Pour x = 0, Léa trouve –18. Pour x = 0, Matias trouve –6. CHAP. 2 - CALCUL LITTÉRAL – ÉQUATIONS PRODUIT NUL

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2) Pour x = 0, on a : E = –6. Léa s’est trompée car elle a multiplié par 3 chacun des deux facteurs. 3) E = 3(x – 1)(2 – x) E = (3x – 3)(2 – x) E = 6x – 3x² – 6 + 6x E = – 3x² + 12x – 6 56 ● F = (10x + 5)(3 – 4x) F = 30x – 40x² + 15 – 20x F = – 40x² + 10x + 15 ● G = (– 4x + 28)(3x – 7) G = – 12x² + 28x + 84x – 196 G = – 12x² + 112x – 196 ● H = (4x² – 2x)(5 – x) H = 20x² – 4x3 – 10x + 2x² H = 22x² – 4x3 – 10x

b) 7 + x = – 7 c) x = 3 × 6 2 d) x = – 3 e) x = – 1 × f)

7 5

x = – 8 x = – 7 – 7 x = – 14 x = 18

x = – 7 5

3 x = – 2 4 5

x = – 2 × 4 5 3 x = – 8 15

60 a) 5x – 3 = 6 – 3x 8x = 9

x = 9

8 Vérification : 9 45 24 21 5 × – 3 =  – =  8 8 8 8 9 48 27 21 – = 6 – 3 × =  8 8 8 8 9 Cette équation a pour solution . 8 b) 7 – 4x = –3 + 2x 10 = 6x 10 = x 6 5 = x 3 Vérification : 5 21 20 1 – =  7 – 4 × =  3 3 3 3 5 – 9 10 1 –3 + 2 × = + = 3 3 3 3 5 Cette équation a pour solution . 3 c) 3(5 – 2x) = 7 – 4x 15 – 6x = 7 – 4x 8 = 2x 4 = x Vérification : 3(5 – 2 × 4) = 3 × ( 5 – 8) = 3 × (– 3) = – 9 7 – 4 × 4 = 7 – 16 = – 9 Cette équation a pour solution 4. d) 3 – (2x – 4) = x + 7 3 – 2x + 4 = x + 7 3 + 4 – 7 = 3x 0 = 3x 0 = x

26

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)

(

58 De ces nombres, 2 et – 3 sont solutions de l’équation. 32 4

61 a) 3(2x + 7) – 4 = 7 – 5(4 – 3x) 6x + 21 – 4 = 7 – 20 + 15x 6x + 17 = – 13 + 15x 30 = 9x 10 = x 3 Vérification : 10 41 +7 –4=3× – 4 = 41 – 4 = 37 32× 3 3 10 = 7 – 5(4 – 10) = 7 + 30 = 37 7–54–3× 3 10 Cette équation a pour solution . 3 b) 2x(3x – 4) + 5 = 3x(2x – 5) – 4 6x² – 8x + 5 = 6x² – 15x – 4 – 8x + 5 = – 15x – 4 7x = –9 x = – 9 7 Vérification : 9 9 – 18 – 27 28 1 235 × – +5= 2×– 3×– –4 +5= 7 7 7 7 7 49 9 9 27 – 18 35 1 235 × – 3×– 2×– –5 –4= –4= 7 7 7 7 7 49 9 Cette équation a pour solution – . 7

(

57 De ces nombres, seul – 1 est solution de l’équation.

59 a) x = –

Vérification : 3 – (0 – 4) = 3 + 4 = 7 0 + 7= 7 Cette équation a pour solution 0.

)

( (

) )

(

(

)

)

62 a) (x + 8)(9 – x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (x + 8) = 0 ou (9 – x) = 0. x = – 8 ou 9 = x Vérification : Pour x = – 8 : – 8 + 8 = 0 ; le premier facteur est nul. Pour x = 9 : 9 – 9 = 0 ; le deuxième facteur est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont – 8 et 9. b) (2x + 4)(3 + x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (2x + 4) = 0 ou (3 + x) = 0. x = – 2 ou x = – 3 Vérification : Pour x = – 2 : – 4 + 4 = 0 ; le premier facteur est nul. Pour x = – 3 : 3 – 3 = 0 ; le deuxième facteur est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont – 2 et – 3. c) 7x(9x + 11) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : 7x = 0 ou (9x + 11) = 0. x = 0 ou x = – 11 9 Vérification : Pour x = 0 : 7 × 0 = 0 ; le premier facteur est nul. 11 : Pour x = – 9 – 11 + 11 = 0 ; le deuxième facteur est nul. Conclusion : 11 Les solutions de cette équation sont 0 et – . 9 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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d) (5x – 7)(1 – 4x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (5x – 7) = 0 ou (1 – 4x) = 0. x = 7 ou 1 = x 5 4 Vérification : 7 Pour x =   : 5 7 – 7 = 0 ; le premier facteur est nul. 1 Pour x =  : 4 1 – 1 = 0 ; le deuxième facteur est nul. Conclusion : 7 1 Les solutions de cette équation sont et . 5 4 63 a) 11x(7x – 4)(55 + 11x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : 11x = 0 ou (7x – 4) = 0 ou (55 + 11x) = 0. x = 0 ou x = 4 ou x = – 5 7 Vérification : Pour x = 0 : 11 × 0 = 0 ; le premier facteur est nul. 4 Pour x =   : 7 4 – 4 = 0 ; le deuxième facteur est nul. Pour x = – 5 : 55 – 55 = 0 ; le troisième facteur est nul. Conclusion : 4 Les solutions de cette équation sont 0 ; et – 5. 7 b) (5x + 3)(6 + 3x)(4x + 8) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (5x + 3) = 0 ou (6 + 3x) = 0 ou (4x + 8) = 0. x = – 3 ou x = – 2 ou x = – 2 5 Vérification : 3 Pour x = –  : 5 – 3 + 3 = 0 ; le premier facteur est nul. Pour x = – 2 : 6 – 6 = 0 et – 8 + 8 = 0 ; le deuxième facteur et le troisième facteur sont nuls. Conclusion : 3 Les solutions de cette équation sont – et – 2. 5 64 1) B = (2x + 6)[(3x – 1) + (x – 3)] B = (2x + 6)[3x – 1 + x – 3] B = (2x + 6)(4x – 4) 2) (2x + 6)(4x – 4) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (2x + 6) = 0 ou (4x – 4) = 0. x = – 3 ou x = 1 Vérification : Pour x = – 3 : B = 0 × (3x – 1) + 0 × (x – 3) = 0. Pour x = 1 : B = 8 × 2 + 8 × (– 2) = 16 – 16 = 0. Conclusion : Les solutions de l’équation B = 0 sont – 3 et 1. 65 1) F = (3x – 6)[(3x – 5) – (2x – 1)] F = (3x – 6)[3x – 5 – 2x + 1] F = (3x – 6)(x – 4) 2) (3x – 6)(x – 4) = 0 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (3x – 6) = 0 ou (x – 4) = 0. x = 2 ou x = 4 Vérification : Pour x = 2 : F = 0 × (3x – 5) – 0 × (2x – 1) = 0. Pour x = 4 : F = 6 × 7 – 6 × 7 = 42 – 42 = 0. Conclusion : Les solutions de cette équation sont 2 et 4. 66 1) A = (x − 3)(4 – x) + (x − 3)(1 − 2x) A = 4x – x² – 12 + 3x + x – 2x² – 3 + 6x A = – 3x² + 14x – 15 2) A = (x − 3)[(4 – x) + (1 − 2x)] A = (x − 3)[4 – x + 1 − 2x] A = (x − 3)(5 – 3x) 3) (x − 3)(5 – 3x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (x – 3) = 0 ou (5 – 3x) = 0. x = 3 ou 5 = x 3 Vérification : Pour x = 3 : A = 0 × 1 + 0 × (–5) = 0. 5 Pour x =   : 3 5 5 5 5 A =  − 3 4 – + − 3 1 – 2 × 3 3 3 3 4 7 4 7 28 28 A = – × + – × – = – + = 0. 3 3 3 3 9 9 Conclusion : 5 Les solutions de cette équation sont 3 et . 3

(

)( ) ( )( ( ) ( )

)

67 1) a) 3 × 5 = 15 et 15 – 7 = 8. b) Si Samir choisit –3, alors il obtient – 16. 5 c) Si Samir choisit , alors il obtient – 4,5. 6 d) Si Samir choisit – 0,4, alors il obtient – 8,2. 2) x × 3 – 7 = 3x – 7 3) a) 3x – 7 = x b) 3x – 7 = x 2x = 7 x = 3,5 c) Vérification : 3,5 × 3 – 7 = 3,5. Le nombre initial choisi par Samir est 3,5. 68 1) x × 7 + 5 = 7x + 5 2) (x + 7) × 5 = 5x + 35 3) a) 7x + 5 = 5x + 35 b) 7x – 5x = 35 – 5 2x = 30 x = 15 c) Vérification : 15 × 7 + 5 = 110 et (15 + 7) × 5 = 110. Willy et Kate ont choisi le nombre 15. 69 On note x le nombre choisi par Sofia. (x + 12) × 2 = 5x 2x + 24 = 5x 24 = 3x 8 = x Vérification : 8 + 12 = 20 et 20 × 2 = 40. De plus, 5 × 8 = 40. Le nombre choisi par Sofia est 8. CHAP. 2 - CALCUL LITTÉRAL – ÉQUATIONS PRODUIT NUL

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70 On note x la longueur (en centimètres) du carré vert. Périmètre du carré : 4x cm. Périmètre du triangle : 3 × (7 – x) cm. Ainsi : 4x = 3(7 – x) 4x = 21 – 3x 7x = 21 x = 3 Vérification : 4 × 3 cm = 12 cm ; 7 cm – 3 cm = 4 cm et 3 × 4 cm = 12 cm. Le carré vert a pour côté 3 cm. 71 1) a) Pour x = 1 : A = 4 × (– 1) + (– 2) × 0 = – 4 ; B = – 8 × 5 + 3 × 0 + 36 = – 40 + 36 = – 4. b) Non, on ne peut pas affirmer que A =  B pour toute valeur de x : seulement pour x = 1. 2) a) ● A = 6x² – 9x + 2x – 3 + 3 – 3x – 5x + 5x² A = 11x² – 15x ● B = 8x² + 12x – 24x – 36 + 3x² – 3x + 36 B = 11x² – 15x b) Oui, on peut affirmer que A = B pOur tOute valeur de x. 72 1) A = (2x + 1)(5 – 6x) + 4x(4 + 3x) A = 10x – 12x² + 5 – 6x + 16x + 12x² A = 20x + 5 2) 20x + 5 = 10 20x = 5 x = 1 4 Vérification : A = (2 × 0,25 + 1)(5 – 6 × 0,25) + 4 × 0,25 ×(4 + 3 × 0,25) A = 1,5 × 3,5 + 1 × 4,75 = 10 La solution de cette équation est 0,25. 73 1) a) E = (x − 5)(x + 1) + (x − 5)(2x – 3) E = x² + x – 5x – 5 + 2x² – 3x – 10x + 15 E = 3x² – 17x + 10 b) Pour x = 1, on peut choisir la forme réduite. E = 3 – 17 + 10 = – 4 2) Béatrice a remarqué que (x – 5) est un facteur commun. Ainsi, 5 est une solution de l’équation E = 0. 3) a) On peut factoriser l’expression E pour obtenir une équation produit nul. b) ● E = (x − 5)[(x + 1) + (2x – 3)] E = (x – 5)(3x – 2) ● (x – 5)(3x – 2) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (x – 5) = 0 ou (3x – 2) = 0. x = 5 ou x = 2 3 Vérification : Pour x =  5, E = 0. 2 Pour x =   : 3 2 2 2 2 E =  − 5 + 1 + − 5 2 × – 3 3 3 3 3 13 5 13 5 65 65 + E = – × – =– × + – =0 3 3 3 3 9 9 Conclusion : 2 Les solutions de cette équation sont 5 et . 3

(

)(

) ( )( ( ) ( )

)

74 1) a) Aire du carré ABCD : (2x + 1)². b) Aire du rectangle ABEF : (2x + 1)(x + 3). c) Aire du rectangle FECD : (2x + 1)² – (2x + 1)(x + 3). 2) a) Longueur FD : (2x + 1) – (x + 3).

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b) Aire du rectangle FECD : (2x + 1)[(2x + 1) – (x + 3)]. 3) Les deux expressions trouvées sont égales, l’une est factorisée, l’autre ne l’est pas. 75 1) 3 × 5 = 15, puis 15 – 4 = 11, enfin 11 × 2 = 22. Le résultat avec le programme B est 22. 2) (− 2) × 3 = – 6 et – 6 + 7 = 1. Le résultat avec le programme A est 1. 3) Notons x le nombre choisi. x × 3 + 7 = – 2 3x = – 9 x = – 3 Vérification : – 3 × 3 + 7 = – 9 + 7 = – 2. Il faut choisir – 3 pour obtenir – 2 avec le programme A. 4) Notons x le nombre choisi. (x × 5 – 4) × 2 = 0 10x – 8 = 0 10x = 8 x = 0,8 Vérification : 0,8 × 5 = 4, puis 4 – 4 = 0, enfin 0 × 2 = 0. Il faut choisir 0,8 pour obtenir 0 avec le programme B. 5) 3x + 7 = 10x – 8 15 = 7x Vérification : 15 45 + 49 94 ● Programme A : 3 ×  +7= = . 7 7 7 15 150 – 56 94 ● Programme B : 10 × –8= = . 7 7 7 15 Il faut choisir pour obtenir le même résultat avec les 7 programmes A et B. 76 1) a) PA = 48 × n b) PB = 43 × n + 45 2) PA = PB 48 × n = 43 × n + 45 48n = 43n + 45 5n = 45 n = 9 Vérification : Il est cohérent de trouver un nombre entier de sacs. 9 × 48 € = 432 € 9 × 43 € + 45 € = 432 € L’entreprise a commandé 9 sacs de café. 77 Aire du rectangle vert : (7 – x) × 5. Aire du triangle rectangle rose : x × 5 . 2 Ainsi : (7 – x) × 5 =  x × 5 2 (7 – x) × 10 = 5x 70 – 10x = 5x 70 = 15x 14 = x 3 Vérification : Aire du rectangle vert : 14 7 35 . 7– ×5= ×5= 3 3 3 Aire du triangle rectangle rose : 14 ×5 70 1 35 3 × = . = 3 2 3 3 14 Les aires sont égales lorsque ED =   cm. 3

(

)

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A 1) a) et b) Figures disponibles à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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2) ● Polygone I : b = 3, r = 0 et A = 0,5. ● Polygone J : b = 4, r = 0 et A = 1. ● Polygone K : b = 4, r = 1 et A = 2. ● Polygone L : b = 11, r = 0 et A = 4,5. ● Polygone M : b = 8, r = 6 et A = 9. ● Polygone N : b = 14, r = 3 et A = 9. B 1) ● Polygone I : 3 A =  + 0 – 1 = 0,5. Formule vérifiée. 2 ● Polygone J : 4 A =  + 0 – 1 = 1. Formule vérifiée. 2 ● Polygone K : 4 A =  + 1 – 1 = 2. Formule vérifiée. 2 ● Polygone L : 11 A =  + 0 – 1 = 4,5. Formule vérifiée. 2 ● Polygone M : 8 A =  + 6 – 1 = 9. Formule vérifiée. 2 ● Polygone N : 14 A =  + 3 – 1 = 9. Formule vérifiée. 2 2) Par exemple, si on trace un triangle rectangle isocèle de côtés adjacents à l’angle droit de longueur 3 cm, on compte : b = 18, r = 10 et A = 18. 18 Formule de Pick : A =  + 10 – 1 = 18. Formule vérifiée. 2 Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) On compte : b = 3  et r = 11. 3 Formule de Pick : A =  + 11 – 1 = 11,5. Formule vérifiée. 2 C 1) a) Il y a plusieurs possibilités (s’inspirer du polygone L en l’allongeant). b) Tous ces polygones ont 16 pastilles bleues. c) Pour chacun de ces polygones, on a : A = 7 et r = 0. b La formule de Pick étant vérifiée, on a : 7 =  – 1. 2 2) a) A = 6 et r = 2. b La formule de Pick étant vérifiée, on a : 6 =  + 2 – 1 . 2 b Ainsi : 6 =  + 1 2 b 5= 2 10 = b b) On ne cherche pas selon l’aire, mais en fonction des 10 pastilles bleues et des 2 pastilles rouges. Par exemple : Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) a) A = 5 et b = 6. 6 La formule de Pick étant vérifiée, on a : 5 =  + r – 1. 2 Ainsi : 5 = 3 + r – 1 5 = r + 2 3 = r b) Par exemple : Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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79 On a : b = r et A = 11. D’après la formule de Pick : b 11 = + b – 1 2 3 12 = b 2 2 12 × = b 3 8 = b On trace un polygone avec 8 pastilles bleues et 8 pastilles rouges. Par exemple : Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

80 Il peut être utile de faire un ou plusieurs schémas. 1) a) b = 2n + 2(p – 2) = 2n + 2p – 4 b) r = (n – 2) × (p – 2) c) A = (n – 1) × (p – 1) 2) En utilisant la formule de Pick : 2n + 2p – 4 + (n – 2) × (p – 2) – 1 A =  2 A = n + p – 2 + np – 2n – 2p + 4 – 1 A = np – n – p + 1 Aire trouvée sans cette formule : (n – 1) × (p – 1) = np – n – p + 1. La formule de Pick est donc vérifiée. 3 81 𝒱 =   × π × 42 × 4,5² 2 𝒱 ≈ 1 781,283 Le volume de ce ballon dirigeable est environ 1 781 m3. 82 1) A = 5(7x – 2) + 3(5 – 4x) – 8x A = 35x – 10 + 15 – 12x – 8x A = 15x + 5 2) B = (5 – 3x)[(2x + 3) + (3x – 1)] B = (5 – 3x)[2x + 3 + 3x – 1] B = (5 – 3x)(5x + 2) 83 1) C = (3x – 5)(x – 3) – 4x(5x – 1) C = 3x² – 9x – 5x + 15 – 20x² + 4x C = – 17x² – 10x + 15 2) D = (7 + 2x)(4x – 5) – (3 – 2x)(7 + 2x) D = (7 + 2x)[(4x – 5) – (3 – 2x)] D = (7 + 2x)[4x – 5 – 3 + 2x] D = (7 + 2x)(6x – 8) 84 a) 3(4x + 1) = – 5(4 – 2x) 12x + 3 = – 20 + 10x 2x = – 23 x = – 11,5 Vérification : 3 × [4 × (– 11,5) + 1] = 3 × (– 45) = – 135 ; – 5 × [4 – 2 × (– 11,5)] = – 5 × 27 = – 135. La solution de cette équation est – 11,5. b) (9x + 3)(20 – 4x) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (9x + 3) = 0 ou (20 – 4x) = 0. 9x = –3 ou 20 = 4x x = – 1 ou 5 = x 3 Vérification : 1 Pour x = –  : 3 9x + 3 = – 3 + 3 = 0. Le premier facteur est nul. Pour x = 5 : 20 – 4x = 20 – 20 = 0. Le deuxième facteur est nul. CHAP. 2 - CALCUL LITTÉRAL – ÉQUATIONS PRODUIT NUL

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Conclusion : 1 Les solutions de cette équation sont 5 et – . 3 85 x est solution de l’équation 3x = 2(x + 1). 3x = 2x + 2 x = 2 Vérification : Il est cohérent de trouver un nombre entier. 2 × 3 = 6 et 2 × (2 + 1) = 6. Le nombre cherché est 2. 86

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

87 On note x le nombre d’années cherché. Dans x années, Victor aura (45 + x) ans. Les âges de ses enfants seront de 13 + x ; 10 + x et 4 + x. 13 + x + 10 + x + 4 + x = 45 + x 27 + 3x = 45 + x 2x = 18 x = 9 Vérification : Dans 9 années, ses enfants auront 22 ; 19 et 13 ans et Victor aura 54 ans. 22 + 19 + 13 = 54 Victor aura exactement la somme des âges de ses enfants dans 9 ans. 88 On note x le prix d’un CD. 5x + 11,4 = 7x – 3,1 14,5 = 2x 7,25 = x Vérification : 5 × 7,25 + 11,4 = 47,65 ; 7 × 7,25 – 3,1 = 47,65. 1) Chaque CD coûte 7,25 €. 2) Garance avait 47,65 € pour ses achats. 89 a) 2(3x + 5) = 8 – x 6x + 10 = 8 – x 7x = – 2 x = – 2 7 Vérification : 2 29 58 = ; 2× 3× – +5 =2× 7 7 7 2 56 + 2 58 8– – = = . 7 7 7 2 La solution de cette équation est – . 7 b) (5x + 7)(12 – 3 ) = 0 Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (5x + 7) = 0 ou (12 – 3x) = 0. 5x = – 7 ou 12 = 3x x = – 7 ou 4 = x 5 Vérification : 7 Pour x = –  : 5 5x + 7 = –7 + 7 = 0. Le premier facteur est nul.

[ ( ) ] ( )

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Pour x = 4 : 12 – 3x = 12 – 12 = 0. Le deuxième facteur est nul. Conclusion : 7 Les solutions de cette équation sont 4 et – . 5 90 ● Aire du rectangle bleu : (3 + 6) (x + 3) = 9(x + 3). ● Aire du rectangle jaune : 6x. Ainsi, 9(x + 3) = 2 × 6x. 9x + 27 = 12x 27 = 3x 9 = x Vérification : 9(9 + 3) = 9 × 12 = 108 ; 6 × 9 = 64 et 64 × 2 = 108. La longueur du rectangle jaune est 9 cm. 91 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Dans le triangle ABC, les droites (EF) et (AC) sont parallèles. D’où, d’après le théorème de Thalès : BE BF EF = = . BA BC AC x BF = EF . C’est-à-dire : = 8 10 7 On en déduit que : 8 10 BF =  x = 1,6x et EF =  x = 2x. 5 5 3) a) Pour que le triangle EFC soit isocèle en F, il faut que EF = FC. Or EF = 2x et FC = BC – BF = 8 – 1,6x. Le nombre x est donc solution de l’équation  « 2x = 8 – 1,6 x ». ● Résolution de l’équation : 2x = 8 – 1,6x 2x + 1,6x = 8 3,6x = 8 x = 8 : 3,6 x =  20 9 ● Vérification : 20 40 =  2× 9 9 2 20 32 72 – 32 40 8– × =8– = = 7 9 9 9 9 Conclusion : 20 Le triangle EFC est isocèle lorsque BE =   cm. 9 b) Dans cette question, le triangle EFC est isocèle en F. ● Les droites (EF) et (AC) sont coupées par la sécante (EC),

l et CEF l sont alternes-internes. donc les angles ECA De plus, les droites (EF) et (AC) sont parallèles, donc les angles alternes-internes ont même mesure. l = CEF. l Donc : ECA Par ailleurs, le triangle EFC est isocèle en F, donc ses angles à la base ont même mesure. ●

l = ECF. l Donc : CEF ●

l = ECF. l On en déduit : ECA

l Donc la demi-droite [CE) est la bissectrice de l’angle ACB.

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JE FAIS LE POINT

Les exercices 92 à 101 sont corrigés à la page 305 du manuel élève.

102 1) Dans le tableau, on lit que le résultat qui correspond au nombre 2 est 4. Margot a donc raison. 2) Non, Léo a lu le tableau à l’envers : 4 est solution de l’équation « x² + x – 2 = 18 ». De plus, pour x = 18, x² + x – 2 = 18² + 18 – 2 = 340 ≠ 4. 3) On cherche le nombre 4 dans la colonne B. On le trouve deux fois. Les nombres correspondants dans la colonne A sont – 3 et 2. Donc – 3 et 2 sont des solutions de l’équation « x² + x – 2 = 4 ». 103 1) E = 6 – 4x + 8 E = 14 – 4x 2) F = (2x + 3)[(3x + 5) + (x – 2)] F = (2x + 3)[3x + 5 + x – 2] F = (2x + 3)(4x + 3) 3) Pour x = – 3 : G = (– 15 + 3)(4 + 6) = – 12 × 10 = – 120 104 1) A = (2x + 1)(x − 5) A = 2x² – 10x + x – 5 A = 2x² – 9x – 5 2) Pour x = − 3 : A = (– 6 + 1)(– 3 – 5) = – 5 × – 8 = 40 3) Résoudre l’équation (2x + 1)(x − 5) = 0. Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (2x + 1) = 0 ou (x – 5)= 0. 2x = – 1 ou x = 5 x = – 0,5 ou x = 5 Vérification : Pour x = – 0,5 : – 1 + 1 = 0. Le premier facteur est nul. Pour x = 5 : 5 – 5 = 0. Le deuxième facteur est nul. Conclusion : Les solutions de cette équation sont – 0,5 et 5. 105 1) D = (12x + 3)(2x − 7) − 5x(2x − 7) D = 24x² – 84x + 6x – 21 – 10x² + 35x D = 14x² – 43x – 21 2) D = [(12x + 3) − 5x](2x − 7) D = (7x + 3)(2x − 7) 3) Résoudre l’équation (7x + 3)(2x − 7) = 0. Or, un produit est nul, si et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi : (7x + 3) = 0 ou (2x – 7)= 0. 7x = – 3 ou 2x = 7 x = – 3 ou x = 7 7 2 Vérification : 3 Pour x = –  : 7 – 3 + 3 = 0. Le premier facteur est nul. 7 Pour x =   : 2 7 – 7 = 0. Le deuxième facteur est nul. Conclusion : 3 7 Les solutions de cette équation sont – et . 7 2 106 ● On peut résoudre la première équation qui est une équation produit nul. Ainsi : (x – 6) = 0 ou (x + 1)= 0. x = 6 ou x = – 1 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Vérification : Pour x = 6 : 6 – 6 = 0. Le premier facteur est nul. Pour x = – 1: – 1 + 1 = 0. Le deuxième facteur est nul. Conclusion : Les solutions de la première équation sont 6 et – 1. ● On vérifie si ces nombres sont solution de la seconde équation. Pour x = 6 : x² – 3x = 6² – 3 × 6 = 36 – 18 = 18. Le nombre 6 est solution de la seconde équation. Pour x = – 1 : x² – 3x = (– 1)² – 3 × (– 1) = 1 + 3 = 4 ≠ 18. Le nombre – 1 n’est pas solution de la seconde équation. ● Ces équations ont une seule solution commune (x = 6). 107 1) ● Pour x = 1,2 : 1 1,2 × = 0,3 et 0,3 + 6 = 6,3. 4 Le résultat est 6,3. 8 ● Pour x = –  : 7 8 1 2 2 – 2 + 42 40 – × = – et – + 6 = =  . 7 4 7 7 7 7 40 . Le résultat est 7 1 2) Si le nombre choisi est x, le résultat est : x × + 6. 4 1 3) Pour obtenir 15, il faut que : x × + 6 = 15. 4 Résolution de l’équation : x × 1 = 15 – 6 4 x × 1 = 9 4 x = 9 × 4 1 x = 36 Vérification : 1 36 × = 9 et 9 + 6 = 15. 4 Le nombre choisi est 6. 108 1) Si on choisit 2 : 2 + 3 = 5, puis 5 × 4 = 20, enfin 20 – 12 = 8. Le résultat est 8. 1 2) Si on choisit –  : 3 1 8 8 32 32 32 – 36 – 4 , enfin – 12 = =  . – + 3 =  , puis × 4 =  3 3 3 3 3 3 3 4 Le résultat est – . 3 3) a) Il semble que le résultat final soit égal au quadruple du nombre choisi au départ. b) On note x le nombre choisi au départ. Le résultat est : (x + 3) × 4 – 12 = 4x + 12 – 12 = 4x. Donc le résultat final est le quadruple du nombre choisi au départ. 109 1) a) Lorsque x = 20 : PA = 20 × 0,5 = 10. b) PA = x × 0,5 = 0,5x 2) a) Lorsque x = 20 : PB = 7,5 + 20 × 0,2 = 7,5 + 4 = 11,5. CHAP. 2 - CALCUL LITTÉRAL – ÉQUATIONS PRODUIT NUL

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b) PB = 7,5 + x × 0,2 = 0,2x + 7,5 3) a) PA = PB , c’est-à-dire : 0,5x = 0,2x + 7,5 0,5x – 0,2x = 7,5 0,3x = 7,5 x = 7,5 : 0,3 x = 25 Vérification : 0,5 × 25 = 12,5 ; 0,2 × 25 + 7,5 = 5 + 7,5 = 12,5. La solution de l’équation PA = PB est 25. b) Si l’on emprunte 25 livres, on paie exactement le même prix avec la formule A et la formule B. 110 On choisit un pas de 0,001. On trouve : x ≈ 1,772 ou x ≈ 1,773. 111 x

–2

–1

0

1

2

3

4

5

B

27

17

9

3

–1

–3

–3

–1

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

112 1) x

–4 –3 –2 –1

0

1

C

47 34 23 14

7

2

2)

2

3

4

–1 –2 –1

x

1,4

1,5

1,6

1,7

C

0,56

0,25

– 0,04

– 0,31

5

6

7

8

2

7

14 23

Tableaux disponibles à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La solution t est comprise entre 1,5 et 1,6.

113 On a : S = 845 m² ; ρ = 0,525 0 kg/m3 ; v = 250 m/s ; k = 0,29. 1 F =  × 845 × 0,525 × 250² × 0,29 2 F ≈ 4 020 351 N Remarque : Cette force de portance est supérieure au poids de l’avion. P = m × g P ≈ 400 000 kg × 9,81 N/kg P ≈ 3 924 000 N 114 L = 1,13 m et D = 9,6 cm = 0,096 m. 340 N =  5 1,13 + × 0,096 3 N ≈ 263,566 N ≈ 264 Le son produit par ce tuyau d’orgue vibre à 264 vibrations par seconde. 115 ● D = 42 cm = 0,42 m et on veut que : N = 33 vibrations par seconde. La longueur L doit être solution de l’équation suivante : 340 33 =  5 L + × 0,42 3 340 . C’est-à-dire : 33 =  L + 0,7 D’après l’égalité des produits en croix : 33(L + 0,7) = 340. C’est-à-dire : 33 L + 23,1 = 340. 33 L = 316,9 L = 316,9 : 33 L ≈ 9,6 m ● Or ce tuyau a une longueur de 9,8 m, il faut donc le raccourcir de 0,2 m, c’est-à-dire de 20 cm.

Exercices d’évaluation du socle commun 1 Pour Jupiter : 100 × 24,8 = 2 480 N. Pour Mars : 100 × 3,711 = 371,1 N. Pour Neptune : 100 × 11,15 = 1 115 N. Pour la Terre : 100 × 9,81 = 981 N. Pour Vénus : 100 × 8,87 = 887 N. 2 A = 6(3x – 2) + 3(4 – 5x) Pour x = – 2 : A = 6(– 6 – 2) + 3(4 + 10) A = 6 × (– 8) + 3 × 14 A = – 48 + 42 A = – 6

4 C = (x – 2)(3x + 5) + (x – 2)(4x – 7) C = (x – 2)[(3x + 5) + (4x – 7)] C = (x – 2)[3x + 5 + 4x – 7] C = (x – 2)(7x – 2) 5 On utilise le schéma pour lire les valeurs suivantes : Longueur du guindant : 9,1 m ● Plus grande largeur : 5,3 m Ainsi : 𝒜 = 9,1 m × 5,3 m × 0,95. 𝒜 = 45,818 5 m² Ce spi symétrique a une aire d’environ 45,8 m². ●

3 B = 5(2x – 3) + 2(7 – 4x) B = 10x – 15 + 14 – 8x B = 2x – 1

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A P I TR H

C

E

3

Arithmétique PROGRAMME

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e • Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. • Simplifier une fraction pour la rendre irréductible.

> CONNAISSANCES Diviseurs communs à deux entiers – PGCD de deux entiers – Fractions irréductibles

CAPACITÉS

■ Commentaires

• Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux entiers (algorithme des soustractions, algorithme d’Euclide). • Calculer le PGCD de deux entiers.

La connaissance de relations arithmétiques entre les nombres – que la pratique du calcul mental a permis de développer – permet d’identifier des diviseurs communs à deux entiers.

Socle commun des connaissances Déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers. ● Déterminer le PGCD de deux nombres entiers. ●

Rendre une fraction irréductible en utilisant la calculatrice. ● Simplifier une fraction. ●

Capacités des programmes des classes antérieures ● Calculer le quotient et le reste d’une division euclidienne. ● Connaître les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 9.

Savoir simplifier une fraction, c’est-à-dire connaître la ac a = (b ≠ 0 et c ≠ 0). propriété : bc b ●

Commentaires des auteurs ➜ Ce chapitre propose une synthèse sur la division euclidienne (étudiée dès l’école primaire). ➜ Pour déterminer le PGCD de deux entiers, trois méthodes sont présentées : – en listant tous les diviseurs communs aux deux nombres ; – en appliquant l’algorithme des soustractions successives ; – en appliquant l’algorithme d’Euclide. ➜ Les élèves apprennent aussi à déterminer le PGCD de deux entiers avec la calculatrice.

➜ Dès les classes précédentes, les élèves ont appris à simplifier des fractions, en identifiant des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur (à partir des tables de multiplication ou en des critères de divisibilité). ➜ En Troisième, les élèves apprennent à justifier qu’une fraction est irréductible, en montrant que le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1. ➜ La décomposition en produit de facteurs de nombres premiers n’est pas exigible. ➜ L’étude de l’arithmétique ne sera poursuivie qu’en classe de Terminale S.

P r o g r a m m e d u Ly c é e Algorithme (objectifs pour le lycée) La démarche algorithmique est, depuis composante essentielle de l’activité Au collège, les élèves ont rencontré (algorithmes opératoires, algorithme algorithme d’Euclide, algorithmes de géométrie).

les origines, une mathématique. des algorithmes des différences, construction en

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Ce qui est proposé dans le programme est une formalisation en langage naturel propre à donner lieu à une traduction sur une calculatrice ou à l’aide d’un logiciel.

CHAP. 3 - ARITHMÉTIQUE

33

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Programme de Terminale S (enseignement de spécialité) ● Arithmétique – Divisibilité dans Z, division euclidienne. – Algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD, congruences dans Z. – Entiers premiers entre eux, PPCM. – Nombres premiers. Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers. – Théorème de Bézout, Théorème de Gauss.

On fera la synthèse des connaissances acquises dans ce domaine au collège. On étudiera quelques algorithmes simples et on les mettra en œuvre sur calculatrice ou ordinateur : recherche d’un PGCD, décomposition d’un entier en facteurs premiers, reconnaissance de la primalité d’un entier. On démontrera que l’ensemble des nombres premiers est infini. L’unicité de la décomposition en facteurs premiers pourra être admise.

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O MMENTAIR E S Cette activité permet aux élèves de revoir sur un exemple la notion de diviseur d’un nombre entier. C O RRI G É On cherche la longueur possible pour le côté d’une photographie. On exclut un côté de 1 cm (trop petit pour une photo).

1

JE REVOIS LE VOCABULAIRE DE LA DIVISION EUCLIDIENNE

Objectifs

Prérequis

Paragraphe introduit

2

On identifie facilement que 55 et 33 sont tous les deux multiples de 11. Les diviseurs (différents de 1) du nombre 33 sont : 3 ; 11 et 33 et ils ne sont pas des diviseurs de 55. Donc la seule longueur possible est 11 cm. 55 = 5 × 11 et 33 = 3 × 11. 5 × 3 = 15. L’artiste utilisera 15 exemplaires de photographies identiques.

Revoir le vocabulaire de la division euclidienne et l’égalité qui implique les 4 nombres de la division euclidienne. ● Revoir le sens des mots « multiple » et « diviseur ». ●

Identifier dans une division euclidienne posée, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste.

! Division euclidienne

■ C OM M E NTAIRE S Cette activité permet de revoir le vocabulaire (dividende, diviseur, quotient et reste) et l’égalité dividende = diviseur × quotient + reste. Elle permet aussi de revoir le sens des expressions «  est multiple de » (ou « est divisible par ») et « est un diviseur de » (ou « divise »). C ORRIGÉ

1 a) Le nombre 263 s’appelle le dividende et 17 s’appelle le diviseur. b) Le quotient (entier) est 15 et le reste est 8. c) 263 = 17 × 15 + 8 2 a) 442 = 26 × 17 b) 442 est un multiple de 17 ou 442 est divisible par 17. c) 17 est un diviseur de 442 ou 17 divise 442.

JE DÉTERMINE LES DIVISEURS D’UN NOMBRE ENTIER

Objectif

Mettre en place une méthode pour rechercher et trouver tous les diviseurs d’un nombre entier.

Prérequis

Les tables de multiplication

Paragraphe introduit

@ Diviseurs d’un nombre entier

C ORRIGÉ

■ C O MMENTAIR E S Cette activité met en place une méthode qui permet de trouver, de manière exhaustive, tous les diviseurs d’un nombre entier. On met en évidence le fait de trouver les diviseurs deux par deux.

34

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Le cas d’un nombre qui possède plus de deux diviseurs et le cas d’un nombre qui possède exactement deux diviseurs sont étudiés. On introduit le vocabulaire « nombre premier ».

A 1 et 2 28 = 1 × 28 ; 28 = 2 × 14 ; 28 = 3 × ... ; 28 = 4 × 7 ; 28 = 5 × ... ; 28 = 6 × ... . 3 a) 28 = 7 × 4 b) C’est une égalité que l’on a déjà écrite (28 = 4 × 7). 4 Les six diviseurs de 28 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 et 28. B 1 23 = 1 × 23 ; 23 = 2 × ... ; 23 = 3 × ... ; 23 = 4 × ... ; 23 = 5 × ... . 3 Le nombre 23 a deux diviseurs : 1 et 23. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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3

JE DÉCOUVRE LE PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS

Objectif

Introduire la notion de PGCD de deux entiers et établir des propriétés dans des cas particuliers.

Prérequis

Savoir déterminer les diviseurs d’un entier.

Paragraphe introduit

# Plus grand commun diviseur de deux entiers

■ C O M M E NTAIR E S Cette activité introduit le plus grand diviseur commun à deux entiers et présente la notation PGCD (… ; ….). Dans la deuxième partie, on découvre des propriétés du PGCD dans trois cas particuliers : lorsqu’un des entiers est 1, lorsque les deux entiers sont égaux, lorsque l’un est multiple de l’autre. C O RRI G É A 1 a) Les diviseurs de 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 et 36.

4

B 1 a) n = n × 1, donc 1 est un diviseur de n. Et 1 est le seul diviseur de 1, donc 1 est le seul diviseur commun à 1 et à n, donc c’est le plus grand. Par conséquent : PGCD (n ; 1) = 1. b) n = n × 1, donc n est un diviseur de n. n est le plus grand diviseur de n, donc : PGCD (n ; n) = n. 2 a) 68 = 4 × 17 b) D’après l’égalité précédente, 17 est un diviseur de 68. 17 = 17 × 1, donc 17 est un diviseur de 17 et c’est le plus grand. 17 est le plus grand diviseur commun de 68 et de 17, donc : PGCD (68 ; 17) = 17. c) Lorsque PGCD (a ; b) = b cela signifie que b est un diviseur de a (autrement dit : a est un multiple de b).

JE DÉCOUVRE UNE PROPRIÉTÉ DU PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS

Objectif

Découvrir que PGCD (a ; b) = PGCD (a – b ; b).

Prérequis

Notion de diviseurs et de PGCD de deux entiers

Paragraphe introduit

$ a) Propriété

■ C O M M E NTAIR E S Cette activité permet de démontrer que le PGCD de deux nombres est égal au PGCD de la différence des deux avec le plus petit des deux (en admettant une partie de la démonstration). Les deux algorithmes évoqués dans le programme (celui des soustractions successives et celui d’Euclide) reposent sur cette propriété. C O RRI G É

1 a) Comme a > b alors a – b > 0, donc 9 (k – k’) > 0. Or 9 étant positif, alors (k – k’) l’est aussi.

5

b) Les diviseurs de 54 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 et 54. c) On entoure en vert : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18. 2 a) On entoure en rouge 18. b) PGCD (36 ; 54) = 18

b) k et k’ sont des nombres entiers, donc la différence (k – k’) est aussi un nombre entier. c) D’après les questions précédentes, la différence (k – k’) est un nombre entier et positif. Donc la différence (a – b) s’écrit sous la forme du produit de 9 par un entier, donc (a – b) est divisible par 9. 2 9 est un diviseur de (a – b), donc a – b s’écrit : a = 9 × k avec k un nombre entier. 9 est un diviseur de b, donc b s’écrit : b = 9 × k’ avec k’ un nombre entier. a = (a – b) + b = 9 × k + 9 × k’ a = 9 × (k + k’) k et k’ sont des nombres entiers positifs, donc la somme (k + k’) est aussi un nombre entier positif. Donc a s’écrit sous la forme du produit de 9 par un entier, donc a est divisible par 9. 3 Les diviseurs communs de a et b sont les mêmes que les diviseurs communs de b et de (a – b). Donc le plus grand des diviseurs de a et de b est aussi le plus grand des diviseurs de b et de (a – b). Donc : PGCD (a ; b) = PGCD (a – b ; b).

JE DÉCOUVRE DEUX MÉTHODES DE CALCUL D’UN PGCD

Objectif

Calculer le PGCD par l’algorithme des soustractions successives, puis par l’algorithme d’Euclide.

Prérequis

● Savoir effectuer une division euclidienne et connaître la propriété précédente. ● Notion de PGCD

Paragraphe introduit

$ Méthodes de calcul du PGCD de deux entiers

L’objectif de la partie B est de faire comprendre qu’effectuer plusieurs soustractions, dans lesquelles on enlève le même nombre, revient à effectuer la division euclidienne par ce nombre. Puis, on applique la propriété admise : PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r). Cette activité met en évidence l’efficacité de l’algorithme d’Euclide par rapport à l’algorithme des soustractions successives. C ORRIGÉ

■ C O M M E NTAIR E S La partie A propose, sur un exemple, de déterminer le PGCD de deux nombres en appliquant à chaque étape la propriété de l’activité précédente : ainsi, on se ramène au calcul du PGCD de nombres de plus en plus petits. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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A 1 PGCD (238 ; 136) = PGCD (102 ; 136) car 238 – 136 = 102. PGCD (102 ; 136) = PGCD (102 ; 34) car 136 – 102 = 34. PGCD (102 ; 34) = PGCD (68 ; 34) car 102 – 34 = 68. PGCD (68 ; 34) = PGCD (34 ; 34) car 68 – 34 = 34. CHAP. 3 - ARITHMÉTIQUE

35

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2 C’est 34. 3 PGCD (238 ; 136) = 34 B 1 a) PGCD (712 ; 100) = PGCD (612 ; 100) = PGCD (512 ; 100) = PGCD (412 ; 100) = PGCD (312 ; 100) = PGCD (212 ; 100) = PGCD (112 ; 100) = PGCD (100 ; 12). b) On a utilisé 7 soustractions.

6

2 a) La division euclidienne de 712 par 100. b) 712 = 7 × 100 + 12 c) 12 est le reste. 3 a) PGCD (712 ; 100) = PGCD (100 ; 12) b) PGCD (100 ; 12) = PGCD (12 ; 4) PGCD (712 ; 100) = PGCD (100 ; 12) 4 PGCD (712 ; 100) = PGCD (12 ; 4) = 4

JE DÉCOUVRE LA NOTION DE FRACTION IRRÉDUCTIBLE

Objectif

Rendre une fraction irréductible.

Prérequis

Savoir déterminer les diviseurs d’un entier. ● Déterminer le PGCD de deux entiers. ● Simplifier une fraction.

Paragraphe introduit

% Nombres premiers entre eux

●

et fractions irréductibles

■ C O MMENTAIR E S La partie A introduit la notion de nombres premiers entre eux sur un exemple. Dans la partie B , on justifie sur un exemple qu’en divisant le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD, on obtient une fraction irréductible.

C ORRIGÉ

A 1 a) Les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 et 24. b) Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 et 35. c) Le plus grand diviseur commun de 24 et de 35 est : 1, donc PGCD (24 ; 35) = 1. B 1 On applique l’algorithme d’Euclide : 595 = 1 × 498 + 187 ; 408 = 2 × 187 + 34 ; 187 = 5 × 34 + 17 ; 34 = 2 × 17 + 0  Donc PGCD (408 ; 595) = 17. 2 a) Cela signifie que 17 est un diviseur commun à 408 et à 595 (et que c’est le plus grand), donc on peut simplifier la fraction par 17. 408 24 = b) 595 35 c) Non, car 17 est le plus grand diviseur commun à 408 et 595, donc les nombres 24 et 35 n’ont pas de diviseurs communs (autres que 1).

EXERCICES 1 a) q = 6 ; r = 3 d) q = 10 ; r = 5

b) q = 6 ; r = 4 e) q = 5 ; r = 0

c) q = 9 ; r = 3 f) q = 9 ; r = 19

2 a) 78 ; 504 ; 210 et 954 sont divisibles par 2. b) 63 ; 78 ; 504 ; 210 ; 1 455 et 954 sont divisibles par 3. c) 125 ; 210 et 1 455 sont divisibles par 5. d) 63 ; 504 et 954 sont divisibles par 9. b) diviseur 3 a) multiple d) multiple e) diviseur g) multiple ou diviseur

c) impossible f) impossible

4 a) Vraie. 42 est divisible par 21 car 42 = 2 × 21. b) Vraie. 13 divise 65 car 13 × 5 = 65. c) Fausse. 12 n’est pas un diviseur de 112 car 112 = 12 × 9 + 4. d) Vraie. 105 est un multiple de 5 car son chiffre des unités est 5. e) Vraie. 7 est un diviseur commun à 28 et à 70 car 28 = 7 × 4 et 70 = 7 × 10. f) Fausse. 9 n’est pas un diviseur commun à 351 et à 429 car 429 = 9 × 47 + 6. 5 a) Vraie. Tout nombre n est un diviseur de lui-même, car n = n × 1. b) Vraie. 1 divise tout nombre entier n car n = 1 × n. 6 a) 14 = 1 × 14 = 2 × 7. Les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 7 et 14. b) 20 = 1 × 20 = 2 × 10 = 4 × 5. Les diviseurs de 20 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 et 20. c) 11 = 1 × 11. Les diviseurs de 11 sont : 1 et 11. 

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d) 21 = 1 × 21 = 3 × 7. Les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 et 21. e) 49 = 1 × 49. Les diviseurs de 49 sont : 1 ; 7 et 49. 7 La proposition de Léo est fausse. Par exemple, 49 a trois diviseurs et 20 en a six. 8 a) Par exemple, 9 est un diviseur commun à 18 et 63. b) Par exemple, 15 est un diviseur commun à 45 et 90. c) 11 est un diviseur commun à 110 et 77. 9 a) PGCD (14 ; 12) = 2 c) PGCD (20 ; 40) = 20 e) PGCD (27 ; 18) = 9

b) PGCD (1 ; 29) = 1 d) PGCD (10 ; 15) = 5 f) PGCD (54 ; 54) = 54

10 a) Faux. 4 n’est pas un diviseur de 14. b) Faux. 6 n’est pas un diviseur de 3. c) Faux. Le nombre 10 divise 30 et 40 et 10 > 5. d) Faux. 21 n’est pas un diviseur de 7. 11 a) 1 et 2 ont leur PGCD égal à 1. b) 4 et 2 ont leur PGCD égal à 2. c) 7 et 49 ont leur PGCD égal à 7. d) 22 et 33 ont leur PGCD égal à 11. 12 Par exemple, on choisit : a = 24 et b = 12. PGCD (24 ; 12) = 12. 13 a) 7 et 22 sont premiers entre eux. Les seuls diviseurs de 7 sont : 1 et 7 ; or 7 ne divise pas 22 donc PGCD (7 ; 22) = 1. b) 9 et 24 ne sont pas premiers entre eux car 3 divise 9 et 24. c) 14 et 15 sont premiers entre eux car les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5 et 15 ; et ni 3, ni 5, ni 15 ne divise 14. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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14 a) 6 + 7 + 5 = 18 et 9 + 4 + 2 = 15, donc 675 et 942 sont divisibles par 3. Par conséquent, 675 et 942 ne sont pas premiers entre eux. b) 1 055 et 7 140 sont divisibles par 5, donc ils ne sont pas premiers entre eux. c) 2 184 et 1 788 sont divisibles par 2, donc ils ne sont pas premiers entre eux. d) 5 + 1 + 3 + 0 = 9 et 1 + 0 + 3 + 2 = 6, donc 5 130 et 1 032 sont divisibles par 3. Par conséquent, 5 130 et 1 032 ne sont pas premiers entre eux. 15 Les diviseurs de 9 sont : 1, 3 et 9. Or ni 3 ni 9 ne divise 10, donc 10 et 9 sont premiers entre eux. 16 a) 50 et 70 sont divisibles par 10. b) 33 et 15 sont divisibles par 3. c) 276 et 318 sont divisibles par 3. d) 320 et 245 sont divisibles par 5. 17 a)

35 7 = 45 9

b)

49 7 = 56 8

c)

60 4 = 15 1

d)

110 10 = 77 7

18 1) Les nombres 123 et 21 sont tous divisibles par 3, donc on peut simplifier la fraction par 3. 123 41 2) = 21 7 3) Les diviseurs de 7 sont 1 et 7. Or 41 n’est pas un multiple de 7, donc les nombres 41 et 7 sont premiers entre eux. Par conséquent, la fraction est irréductible. 19 a) 15 =  1 × 15 =  3 × 5. Les diviseurs de 15 sont  : 1 ; 3 ; 5 et 15. 24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6. Les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 et 24. Donc PGCD (15 ; 24) = 3. b) 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4. Les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12. 56 = 1 × 56 = 2 × 28 = 4 × 14 = 7 × 8. Les diviseurs de 56 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 et 56. Donc PGCD (12 ; 56) = 4. c) 40 = 1 × 40 = 2 × 20 = 4 × 10 = 5 × 8. Les diviseurs de 40 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 et 40. 75 = 1 × 75 = 3 × 25 = 5 × 15. Les diviseurs de 75 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 et 75. Donc PGCD (40 ; 75) = 5. 20 1) a) 100 =  1 × 100 =  2 × 50 =  4 × 25 =  5 × 20 = 10 × 10 Les diviseurs de 100 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 ; 25 ; 50 et 100. b) 32 = 1 × 32 = 2 × 16 = 4 × 8. Les diviseurs de 32 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 et 32. c) 55 = 1 × 55 = 5 × 11. Les diviseurs de 55 sont : 1 ; 5 ; 11 et 55. d) 13 = 1 × 13. Les diviseurs de 13 sont : 1 et 13.  2) a) PGCD (100 ; 32) = 4 b) PGCD (100 ; 55) = 5 c) PGCD (13 ; 32) = 1 21 1) 140 = 35 × 4 2) Le plus grand diviseur de 35 est 35. Or 35 divise 140. Donc 35 est le plus grand diviseur de 35 et de 140. Par conséquent, PGCD (35 ; 140) = 35. 22 1) 446 = 1 × 418 + 28 ; 418 = 14 × 28 + 26 ; 28 = 1 × 26 + 2 ; 26 = 13 × 2 + 0. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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2) Par l’algorithme d’Euclide, PGCD (446 ; 418) est le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives, donc c’est 2. 23 a) Paolo a calculé le PGCD de 195 et 36. b) Paolo a appliqué l’algorithme d’Euclide. Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives est 3, donc PGCD (195 ; 36) = 3. 24 a) On applique l’algorithme d’Euclide : 132 = 2 × 55 + 22 ; 55 = 2 × 22 + 11 ; 22 = 2 × 11 + 0. Donc PGCD (132 ; 55) = 11. b) On applique l’algorithme d’Euclide : 416 = 2 × 160 + 96 ; 160 = 1 × 96 + 64 ; 96 = 1 × 64 + 32 ; 64 = 2 × 32 + 0. Donc PGCD (416 ; 160) = 32. c) On applique l’algorithme d’Euclide : 715 = 3 × 204 + 103 ; 204 = 1 × 103 + 101 ; 103 = 1 × 101 + 2 ; 101 = 2 × 50 + 1 ; 2 = 2 × 1 + 0. Donc PGCD (715 ; 204) = 1. 25 a) 315 = 1 × 225 + 90 ; 225 = 2 × 90 + 45 ; 90 = 2 × 45 + 0. Donc PGCD (315 ; 225) = 45. b) 189 =  1 × 97 +  92 ; 97 =  1 × 92 +  5 ; 92 =  18 × 5 +2 ; 5 = 2 × 2 + 1 ; 2 = 2 × 1 + 0. Donc PGCD (189 ; 97) = 1. 26 a) 246 = 1 × 154 + 92 ; 154 = 1 × 92 + 62 ; 92 = 1 × 62 + 30 ; 62 = 2 × 30 + 2 ; 30 = 2 × 15 + 0. Donc PGCD (246 ; 154) = 2. b) 2 450 = 3 × 675 + 425 ; 675 = 1 × 425 + 250 ; 425 = 1 × 250 + 175 ; 250 = 1 × 175 + 75 ; 175 = 2 × 75 + 25 ; 75 = 3 × 25 + 0. Donc PGCD (2 450 ; 675) = 25. 27 a) 540 = 1 × 288 + 252 ; 288 = 1 × 252 + 36 ; 252 = 7 × 36 + 0. Donc PGCD (540 ; 288) = 36. b) 693 = 4 × 154 + 77 ; 1 540 = 2 × 693 + 154 ; 154 = 2 × 77 + 0. Donc PGCD (1 540 ; 693) = 77. 28 a) On écrit la liste des diviseurs de 40 et de 65. 40 = 1 × 40 = 2 × 20 = 4 × 10 = 5 × 8. Les diviseurs de 40 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 et 40. 65 = 1 × 65 = 5 × 13. Les diviseurs de 65 sont : 1 ; 5 ; 13 et 65. Donc PGCD (40 ; 65) = 5. b) On applique l’algorithme d’Euclide : 114 = 8 × 14 + 2 ; 14 = 7 × 2 + 0. Donc PGCD (114 ; 14) = 2. c) On applique l’algorithme d’Euclide : 444 = 6 × 74 + 0, donc 74 est un multiple de 444. Donc PGCD (444 ; 74) = 74. 1 170 117 = 630 63 117 13 × 9 13 = 2) = 63 7 7×9 3) Les diviseurs de 7 sont 1 et 7. Or 13 n’est pas divisible par 7, donc 13 et 7 sont premiers entre eux. 13 est irréductible. La fraction 7 29 1)

110 11 = . 50 5 Les seuls diviseurs de 5 sont 1 et 5. Or 11 n’est pas divisible par 5, donc la fraction obtenue est irréductible. 30 a) 110 et 50 sont divisibles par 10, donc :

CHAP. 3 - ARITHMÉTIQUE

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14 7 1 = = . 84 42 6 1 La fraction est irréductible (son numérateur est 1). 6 21 7 c) 21 et 45 sont divisibles par 3, donc : = . 45 15 Les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7. Or 15 n’est pas divisible par 7, donc la fraction obtenue est irréductible. 55 11 = . d) 55 et 35 sont divisibles par 5, donc : 35 7 Les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7. Or 11 n’est pas divisible par 7, donc la fraction obtenue est irréductible. b) 14 et 84 sont divisibles par 2.

31 180 et 650 sont tous divisibles par 10, donc 10 est un diviseur commun à 180 et à 650. Donc PGCD (180 ; 650) ≠ 1. Par conséquent, les nombres 180 et 650 ne sont pas pre180 miers entre eux, donc la fraction n’est pas irréductible. 650 32 1) On applique l’algorithme d’Euclide : 195 = 1 × 132 + 63 ; 132 = 2 × 63 + 6 ; 63 = 10 × 6 + 3 ; 6 = 2 × 3 + 0. Donc PGCD (195 ; 132) = 3. 2) a) On doit simplifier cette fraction par : PGCD (195 ; 132), soit 3. 195 195 : 3 65 b) = = 132 132 : 3 44 33 1) On applique l’algorithme d’Euclide : 644 = 5 × 119 + 49 ; 119 = 2 × 49 + 21 ; 49 = 2 × 21 + 7 ; 21 = 3 × 7 + 0. Donc PGCD (644 ; 119) = 7. 2) Pour rendre la fraction irréductible, on la simplifie par PGCD (644 ; 119), soit 7. 644 644 : 7 92 = = 119 119 : 7 17 34 1) On applique l’algorithme d’Euclide : 567 = 2 × 238 + 91 ; 238 = 2 × 91 + 56 ; 91 = 1 × 56 + 35 ; 56 = 1 × 35 + 21 ; 35 =1 × 21 +14 ; 21 = 1 × 14 + 7 ; 14 = 2 × 7 + 0. Donc PGCD (567 ; 238) = 7. 2) Pour rendre la fraction irréductible, on la simplifie par PGCD (567 ; 238), soit 7. 567 567 : 7 81 = = 238 238 : 7 34 35 1) On applique l’algorithme d’Euclide : 531= 1 × 457 + 74 ; 457 = 6 × 74 + 13 ; 74 = 5 × 13 + 9 ; 13 = 1 × 9 + 4 ; 9 = 2 × 4 + 1 ; 4 = 4 × 1 + 0. Donc PGCD (531 ; 457) = 1. 2) Comme PGCD (531 ; 457) = 1, les nombres 531 et 457 531 est irréducsont premiers entre eux ; donc la fraction 457 tible. 36 1) On applique l’algorithme d’Euclide : 817= 1 × 731 + 86 ; 731 = 8 × 86 + 43 ; 86 = 2 × 43 + 0. Donc PGCD (731 ; 817) = 43. 2) Comme PGCD (731 ; 817) = 43, les nombres 817 et 731 731 ne sont pas premiers entre eux, donc la fraction n’est 817 pas irréductible (on peut la simplifier par 43). 37 1) 4 114 et 7 650 sont pairs, donc on peut simplifier 4 114 par 2. la fraction 7 650 2) On applique l’algorithme d’Euclide : 7 650 = 1 × 4 114 + 3 536 ; 4 114 = 1 × 3 536 + 578 ;

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3 536 = 6 × 578 + 68 ; 578 = 8 × 68 + 34 ; 68 = 2 × 34 + 0. Donc PGCD (7 650 ; 4 114) = 34. 4 114 4 114 : 34 121 3) On simplifie par 34 : = = . 7 650 7 650 : 34 225 38 a) PGCD (86 ; 301) = 43 Pour rendre la fraction irréductible, on la simplifie par 43 : 86 2 = . 301 7 b) PGCD (210 ; 273) = 21 Pour rendre la fraction irréductible, on la simplifie par 210 10 21 : = . 273 13 c) PGCD (54 ; 180) = 18 Pour rendre la fraction irréductible, on la simplifie par 18 : 54 3 = . 180 10 d) PGCD (157 ; 89) = 1. Donc les nombres 157 et 89 sont premiers entre eux. 157 est irréductible. Donc la fraction 89 308 308 : 28 11 = = . 532 532 : 28 19 455 455 : 35 13 = = . PGCD (455 ; 665) = 35 et 665 665 : 35 19 308 455 11 13 24 + = + = 2) 532 665 19 19 19 39 1) PGCD (308 ; 532) = 28 et

40 a) Dans la division euclidienne de 845 par 23, le quotient est 36 et le reste est 17. b) Dans la division euclidienne de 662 par 41, le quotient est 16 et le reste est 6. 41 a) 880 = 110 × 8, donc 880 est un multiple de 11. b) 175 > 25, donc 175 n’est pas un diviseur de 25. c) 45 > 15, donc 45 ne divise pas 15. d) 340 = 17 × 20, donc 340 est divisible par 17. 42 On pose la division euclidienne de 690 par 46. Le quotient est 15 et le reste est nul. Donc 690 est divisible par 46. 43 1) Les restes possibles sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8. 2) Les dividendes possibles sont : 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223 et 224. 44 800 = 21 × 37 + 23 ; 37 × 22 = 814 ; 37 × 23 = 851 ; 37 × 24 = 888. (37 × 25 > 900). Les nombres entiers divisibles par 37 sont  : 814, 851 et 888. 45 Ce nombre est divisible par 2, donc ♣ est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. Testons la divisibilité par 3 : Pour 6 070 : 6 + 7 = 13, donc 6 070 n’est pas divisible par 3. Pour 6 072 : 6 + 7 + 2 = 15, donc 6 072 est divisible par 3. Pour 6 074 : 6 + 7 + 4 = 17, donc 6 074 n’est pas divisible par 3. Pour 6 076 : 6 + 7 + 6 = 19, donc 6 076 n’est pas divisible par 3. Pour 6 078 : 6 + 7 + 8 = 21, donc 6 078 est divisible par 3. Les nombres possibles sont : 6 072 et 6 078. 46 250 = 18 × 13 + 16 On doit prévoir au minimum 14 salles. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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47 a) 22 = 1 × 22 = 2 × 11. Les diviseurs de 22 sont : 1 ; 2 ; 11 et 22. b) 45 = 1 × 45 = 3 × 15 = 5 × 9. Les diviseurs de 45 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 et 45. c) 50 = 1 × 50 = 2 × 25 = 5 × 10. Les diviseurs de 50 sont : 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 25 et 50.  d) 42 = 1 × 42 = 2 × 21 = 3 × 14 = 6 × 7. Les diviseurs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 et 42. e) 37 = 1 × 37. Les diviseurs de 37 sont : 1 et 37. f) 60 = 1 × 60 = 2 × 30 = 5 × 12 = 6 × 10. Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 30 et 60. 48 C’est vrai. 51 = 1 × 51 = 3 × 17 21 = 1 × 21 = 3 × 7 Les diviseurs de 51 sont 1 ; 3 ; 17 et 51.Ceux de 21 sont 1 ; 3 ; 7 et 21. Ils ont tous les deux quatre diviseurs. 49 1 n’a qu’un seul diviseur (lui-même). 2 ; 3 ; 5 et 7 ont deux diviseurs (1 et eux-mêmes). 4 a trois diviseurs : 1 ; 2 et 4. 6 a quatre diviseurs : 1 ; 2 ; 3 et 6. 8 a quatre diviseurs : 1 ; 2 ; 4 et 8. 9 a trois diviseurs : 1 ; 3 et 9. 10 a quatre diviseurs : 1 ; 2 ; 5 et 10. Les deux nombres inférieurs ou égaux à 10 qui possèdent 3 diviseurs sont : 4 et 9. 50 1) 120 = 1 × 120 = 2 × 60 = 3 × 40 = 4 × 30 = 5 × 24 = 6 × 20 = 8 × 15 = 10 × 12. Les diviseurs de 120 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 24 ; 30 ; 40 ; 60 et 120. 2) Les diviseurs de 120 strictement compris entre 15 et 30 sont : 20 et 24. Il y a deux répartitions possibles : 6 groupes de 20 adolescents ou 5 groupes de 24 adolescents. 51 1) a) 35 = 1 × 35 = 5 × 7. Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 et 35. b) 55 = 1 × 55 = 5 × 11. Les diviseurs de 55 sont : 1 ; 5 ; 11 et 55. c) Les diviseurs communs à 35 et à 55 sont : 1 et 5. 2) 36 est un multiple de 18 (36 = 18 × 2), donc les diviseurs communs à 18 et à 36 sont les diviseurs de 18. 18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6. Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18. Les diviseurs communs à 18 et à 36 sont  : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18. 3) 21 = 1 × 21 = 3 × 7. Les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 et 21. 10 = 1 × 10 = 2 × 5. Les diviseurs de 10 sont : 1 ; 2 ; 5 et 10. 1 est le seul diviseur commun à 21 et à 10. 52 280 = 56 × 5, donc 56 est un diviseur de 280. 450 = 56 × 8 + 2, donc 56 n’est pas un diviseur de 450. Par conséquent, 56 n’est pas un diviseur commun à 280 et à 450. 53 578 = 17 × 34, donc 17 est un diviseur de 578. 714 = 17 × 42, donc 17 est un diviseur de 714. Par conséquent, 17 est un diviseur commun à 578 et à 714. 54 1) a) 64 = 40 × 1 + 24 En composant 40 bouquets, il restera 24 pivoines, les fleurs ne seront donc pas toutes utilisées. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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b) 64 = 4 × 16 et 160 = 10 × 16. En composant 16 bouquets, il ne restera aucune pivoine, ni aucune rose. Donc toutes les fleurs seront utilisées. 2) a) 64 = 32 × 2 et 160 = 32 × 5. En composant 32 bouquets, il ne restera aucune pivoine, ni aucune rose. Donc toutes les fleurs seront utilisées. b) Chaque bouquet comportera 2 pivoines et 5 roses. 55 a) 32 = 1 × 32 = 2 × 16 = 4 × 8. Les diviseurs de 32 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 et 32. 50 = 1 × 50 = 2 × 25 = 5 × 10. Les diviseurs de 50 sont : 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 25 et 50.  Les diviseurs communs à 32 et à 50 sont : 1 et 2. Donc PGCD (32 ; 50) = 2. b) 21 = 1 × 21 = 3 × 7. Les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 et 21. 46 = 1 × 46 = 2 × 23. Les diviseurs de 46 sont : 1 ; 2 ; 23 et 46.  Le seul diviseur commun à 21 et à 46 est 1. Donc PGCD (21 ; 46) = 1. c) 81 = 1 × 81 = 3 × 27 = 9 × 9. Les diviseurs de 81 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27 et 81. 36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 6 × 6 = 4 × 9. Les diviseurs de 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 et 36.  Les diviseurs communs à 81 et à 36 sont : 1 et 3 et 9. Donc PGCD (81 ; 36) = 9. 56 a) 451 – 187 = 264 ; 264 – 187 = 77 ; 187 – 77 = 110 ; 110 – 77 = 33 ; 77 – 33 = 44 ; 44 – 33 = 11 ; 33 – 11 = 22 ; 22 – 11 = 11. PGCD (451 ; 187) = PGCD (11 ; 11) = 11. b) 156 – 29 = 127 ; 127 – 29 = 98 ; 98 – 29 = 69 ; 69 – 29 = 40 ; 40 – 29 = 11 ; 29 – 11 = 18 ; 18 – 11 = 9 ; 11 – 9 = 2 ; 9 – 2 = 7 ; 7 – 2 = 5 ; 5 – 2 = 3 ; 3 – 2 = 1 ; 2 – 1 = 1. PGCD (156 ; 29) = 1. 57 a) 378 – 140 = 238 ; 238 – 140 = 98 ; 140 – 98 = 42 ; 98 – 42 = 56 ; 56 – 42 = 14 ; 42 – 14 = 28 ; 28 – 14 = 14. PGCD (378 ; 140) = PGCD (14 ; 14) = 14. b) 189 – 105 = 84 ; 105 – 84 = 21 ; 84 – 21 = 63 ; 84 – 63 = 21 ; 63 – 21 = 42 ; 42 – 21 = 21. PGCD (189 ; 105) = PGCD (21 ; 21) = 21. 58 a) 665 – 315 = 350 ; 350 – 315 = 35 ; 315 – 35 = 280 ; 280 – 35 = 245 ; 245 – 35 = 210 ; 210 – 35 = 175 ; 175 – 35 = 140 ; 140 – 35 = 105 ; 105 – 35 = 70 ; 70 – 35 = 35. PGCD (665 ; 315) = PGCD (35 ; 35) = 35. b) 3 160 – 632 = 2 528 ; 2 528 – 632 = 1 896 ; 1 896 – 632 = 1 264 ; 1 264 – 632 = 632. PGCD (3 160 ; 632) = PGCD (632 ; 632) = 632. 59 a) 247 = 1 × 145 + 102 ; 145 = 1 × 102 + 43 ; 102 = 2 × 43 + 16 ; 43 = 2 × 16 + 11 ; 16 = 1 × 11 + 5 ; 11 = 2 × 5 + 1 ; 5 = 5 × 1 + 0. Donc PGCD (247 ; 145) = 1. b) 651 = 1 × 372 + 279 ; 372 = 1 × 279 + 93 ; 279 = 3 × 93 + 0. Donc PGCD (651 ; 372) = 93. c) 1 452 = 1 × 1 020 + 432 ; 1 020 = 2 × 432 + 156 ; 432 = 2 × 156 + 120 ; 156 = 1 × 120 + 36 ; 120 = 3 × 36 + 12 ; 36 = 3 × 12 + 0. Donc PGCD (1 452 ; 1 020) = 12. 60 1) a) Par l’algorithme des soustractions successives : 1 147 – 925 = 222 ; 925 – 222 = 703 ; 703 – 222 = 481 ; 481 – 222 = 259 ; 259 – 222 = 37 ; 222 – 37 = 185 ; 185 – 37 = 148 ; 148 – 37 = 111 ; CHAP. 3 - ARITHMÉTIQUE

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111 – 37 = 74 ; 74 – 37= 37. PGCD (1 147 ; 925) = PGCD (37 ; 37) = 37. b) On a effectué 10 soustractions. 2) a) Par l’algorithme d’Euclide : 1 147 = 1 × 925 + 222 ; 925 = 4 × 222 + 37 ; 222 = 6 × 37 + 0. PGCD (1 147 ; 925) = 37. b) On a effectué 3 divisions. 61 Stéphanie a raison  : il est impossible de trouver un nombre n tel que PGCD (n ; 45) = 12. En effet, 12 n’est pas un diviseur de 45 (45 = 12 × 3 + 9), donc 12 ne peut pas être un diviseur commun à 45 et à un autre nombre. 62 1) On applique l’algorithme d’Euclide : 644 = 1 × 581 + 63 ; 581 = 9 × 63 + 14 ; 63 = 4 × 14 + 7 ; 14 = 2 × 7 + 0. Donc PGCD (581 ; 644) = 7. 2) Le PGCD de 581 et de 644 n’est pas égal à 1, donc les nombres 581 et 644 ne sont pas premiers entre eux. 63 a) Les diviseurs de 81 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27 et 81. Les diviseurs de 25 sont : 1 ; 5 et 25. Donc PGCD (81 ; 25) = 1. Par conséquent, les nombres 81 et 25 sont premiers entre eux. b) Les diviseurs de 49 sont : 1 ; 7 et 49. Or 7 ne divise pas 100 (donc 49 ne divise pas 100 non plus). Le seul diviseur commun à 49 et à 100 est 1. Donc PGCD (49 ; 100) = 1. Par conséquent, les nombres 49 et 100 sont premiers entre eux. c) On applique l’algorithme d’Euclide : 684 = 3 × 199 + 87 ; 199 = 2 × 87 + 25 ; 87 = 3 × 25 + 12 ; 25 = 2 × 12 + 1 ; 12 = 1 × 12 + 0. Donc PGCD (684 ; 199) = 1. Le PGCD de 684 et de 199 est égal à 1, donc les nombres 684 et 199 sont premiers entre eux. 64 a) 105 et 200 sont tous les deux divisibles par 5, le nombre 5 est donc un diviseur commun à 105 et à 200. Donc PGCD (105 ; 200) ≠ 1. Par conséquent, les nombres 105 et 200 ne sont pas premiers entre eux. b) 153 et 279 sont tous les deux divisibles par 9 (1 + 5 + 3 = 9 et 2 + 7 + 9 = 18) ; 9 est donc un diviseur commun à 153 et à 279. Donc PGCD (153 ; 279) ≠ 1. Par conséquent, les nombres 153 et 279 ne sont pas premiers entre eux. c) 99 et 77 sont tous les deux divisibles par 11, le nombre 11 est donc un diviseur commun à 99 et à 77. Donc PGCD (99 ; 77) ≠ 1. Par conséquent, les nombres 99 et 77 ne sont pas premiers entre eux. 65 a) 39 et 21 sont divisibles par 3, donc on peut 39 13 = . simplifier la fraction par 3 : 21 7 Les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7. Or 13 n’est pas divisible par 7, donc la fraction obtenue est irréductible. b) 240 et 105 sont divisibles par 5, donc on peut simpli240 48 fier la fraction par 5 : = . 105 21 48 16 48 et 21 sont divisibles par 3, donc : = . 21 7 Les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7. Or 16 n’est pas divisible par 7, donc la fraction obtenue est irréductible. c) 126 et 81 sont divisibles par 9, donc on peut simplifier 126 14 la fraction par 9 : = . 81 9

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Les seuls diviseurs de 9 sont 1 ; 3 et 9. Or 14 n’est pas divisible par 9, ni par 3. Donc la fraction obtenue est irréductible. d) 180 et 210 sont divisibles par 10, donc on peut simpli180 18 fier la fraction par 10 : = . 210 21 18 et 21 sont divisibles par 3, donc on simplifie par 3 : 18 6 = . 21 7 6 La fraction est irréductible. 7 66 a) Calcul du PGCD par l’algorithme d’Euclide : 4 862 = 2 × 2 145 + 572 ; 2 145 = 3 × 572 + 429 ; 572 = 1 × 429 + 143 ; 429 = 3 × 143 + 0. Donc PGCD (4 862 ; 2 145) = 143. En simplifiant la fraction par 143, on obtient une fraction irréductible : 4 862 143 × 34 34 = = . 2 145 143 × 15 15 b) Calcul du PGCD par l’algorithme d’Euclide : 3 450 = 4 × 759 + 414 ; 759 = 1 × 414 + 345 ; 414 = 1 × 345 + 69 ; 345 = 5 × 69 + 0. Donc PGCD (3 450 ; 759) = 69. En simplifiant la fraction par 69, on obtient une fraction irréductible : 3 450 69 × 50 50 = = . 69 × 11 11 759 67 1) 850 et 918 sont pairs, donc 2 est un diviseur commun à 850 et à 918. Donc PGCD (850 ; 918) ≠ 1. Les nombres 850 et 918 ne sont pas premiers entre eux. 2) a) Calcul du PGCD par l’algorithme d’Euclide : 918 = 1 × 850 + 68 ; 850 = 12 × 68 + 34 ; 68 = 2 × 34 + 0. Donc PGCD (918 ; 850) = 34. 918 34 × 25 25 = = b) 850 34 × 27 27 25 On a simplifié par 34, donc la fraction est irréductible. 27 68 Les nombres 51 et 33 sont divisibles par 3, donc la 51 fraction n’est pas irréductible. 33 Les nombres 170 et 502 sont divisibles par 2, donc la 170 fraction n’est pas irréductible. 502 Les nombres 135 et 490 sont divisibles par 5, donc la 135 fraction n’est pas irréductible. 490 Calcul du PGCD de 96 et de 67 : 96 = 1 × 67 + 29 ; 67 = 2 × 29 + 9 ; 29 = 3 × 9 + 2 ; 9 = 4 × 2 + 1 ; 2 = 2 × 1 + 0. 96 est irréductible. Donc PGCD (96 ; 27) = 1. La fraction 67 Les nombres 49 et 63 sont divisibles par 7, donc la fraction 49 n’est pas irréductible. 63 69 Calcul du PGCD (108 ; 65) par l’algorithme d’Euclide : 108 = 1 × 65 + 43 ; 65 = 1 × 43 + 22 ; 43 = 1 × 22 + 21 ; 22 = 1 × 21 + 1 ; 21 = 21 × 1 + 0. Donc PGCD (108 ; 65) = 1. Les nombres 108 et 65 étant premiers entre eux, la fraction 108 est irréductible. 65 70 1) a) Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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®

2

3

5

9

1 035 est divisible par...

non

774 est divisible par...

oui

oui

oui

oui

oui

non

oui

322 est divisible par...

oui

non

non

non

b) D’après le tableau : 774 et 1 035 sont tous les deux divisibles par 3, donc la 774 fraction n’est pas irréductible. 1 035 322 et 774 sont tous les deux divisibles par 2, donc la 322 fraction n’est pas irréductible. 774 2) a) D’après le tableau, on ne peut pas dire que la fraction est irréductible : on sait seulement qu’on ne peut la simplifier ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 9. b) Calcul du PGCD de 322 et 1 035, par l’algorithme d’Euclide : 1 035 = 3 × 322 + 69 ; 322 = 4 × 69 + 46 ; 69 = 1 × 46 + 23 ; 46 = 2 × 23 + 0. PGCD (322 ; 1 035) = 23. 322 c) La fraction n’est pas irréductible car les nombres 1 035 322 et 1 035 ne sont pas premiers entre eux. 14 On peut simplifier cette fraction par 23. On obtient : . 45 71 1) a) Calcul du PGCD (315 ; 504) par l’algorithme d’Euclide : 504 = 1 × 315 + 189 ; 315 = 1 × 189 + 126 ; 189 = 1 × 126 + 63 ; 126 = 2 × 63 + 0. PGCD (315 ; 504) = 63. 63 × 5 315 5 b) = = . On a simplifié par 63, donc la 63 × 8 504 8 fraction obtenue est irréductible. 315 11 5 11 16 2) A =  + = + = =2 504 8 8 8 8 A = 2, donc A est bien un nombre entier. 72 1) a) 5 + 4 + 5 = 14, donc 545 n’est pas divisible par 9. Donc le nombre cherché ne peut pas être égal à 545. b) 324 n’est pas divisible par 5. Donc le nombre cherché ne peut pas être égal à 324. c) 7 + 2 + 0 = 9, donc 720 est divisible par 9 et 720 est aussi divisible par 5. De plus, 720 est compris entre 100 et 1 000, donc le nombre cherché peut être égal à 720. 2) • Pour trouver le plus grand, on cherche parmi les multiples de 5, par ordre décroissant en commençant à 999, ceux qui sont divisibles par 9 : 995 n’est pas divisible par 9 (9 + 9 + 5 = 23) ; 990 est divisible par 9 (9 + 9 + 0 = 18). Donc le plus grand des nombres cherchés est 990. • Pour trouver le plus petit, on cherche parmi les multiples de 5, par ordre croissant en commençant à 101, ceux qui sont divisibles par 9 : – 105 n’est pas divisible par 9 (1 + 0 + 5 = 6) ; – 110 n’est pas divisible par 9 (1 + 1 + 0 = 2) ; – 115 n’est pas divisible par 9 (1 + 1 + 5 = 7) ; – 120 n’est pas divisible par 9 (1 + 2 + 0 = 3) ; – 125 n’est pas divisible par 9 (1 + 2 + 5 = 8) ; – 130 n’est pas divisible par 9 (1 + 3 + 0 = 4) ; – 135 est divisible par 9 (1 + 3 + 5 = 9). Donc le plus petit des nombres cherchés est 135. 73 Les nombres qui sont premiers avec 15 ne doivent avoir aucun diviseur commun avec 15 (différent de 1). Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 et 15. On cherche parmi les nombres ceux qui ne sont ni divisibles par 3, ni divisibles par 5. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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– 72 est divisible par 3, donc 72 n’est pas premier avec 15. – 53 n’est divisible ni par 3, ni par 5, donc 53 est premier avec 15. – 450 est divisible par 5 (et par 3), donc 450 n’est pas premier avec 15. – 35 est divisible par 5, donc 35 n’est pas premier avec 15. – 100 est divisible par 5, donc 100 n’est pas premier avec 15. – 23 n’est divisible ni par 3, ni par 5, donc 23 est premier avec 15. – 99 est divisible par 3, donc 99 n’est pas premier avec 15. – 102 est divisible par 3, donc 102 n’est pas premier avec 15 74 Les nombres qui sont premiers avec 36 ne doivent avoir aucun diviseur commun avec 36 (différent de 1). Les diviseurs de 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 et 36. On cherche parmi les nombres inférieurs à 18 ceux qui ne sont ni divisibles par 2, ni divisibles par 3. 1 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 et 17 sont premiers avec 36. 75 168 est divisible par 2. Donc ♣ ne peut pas être : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8 (sinon 27♣ et 168 auraient 2 comme diviseur commun). 1 + 6 + 8 = 15, donc 168 est divisible par 3. La somme des chiffres du nombre 27♣ est : 2 + 7 + ♣ = 9 + ♣. Donc ♣ ne peut pas être : 0 ; 3 ; 6 ou 9 (sinon 27♣ et 168 auraient 3 comme diviseur commun). Finalement, ♣ ne peut être égal qu’à : 1 ; 5 ou 7. 76 1) a) Lian est née 5 ans avant Chang, donc elle est du signe « cochon ». b) Kim est né 5 ans après Chang, donc il est du signe « coq ». 2) 60 = 12 × 5. Comme 60 est un multiple de 12, alors Lian et sa grand-mère sont du même signe. 3) 2012 – 1900 = 112 ; 112 = 12 × 9 + 4. Donc le signe l’année 1900 est le même que celui de 4 ans avant l’année du dragon, soit « rat ». 77 1) n et n’ sont divisibles par 13, donc : n s’écrit 13 × k avec k un entier ; n’ s’écrit 13 × k’ avec k’ un entier ; n + n’ = 13 × k + 13 × k’ = 13 × (k + k’) ; k et k’ sont des entiers, donc (k + k’) est aussi un entier. Donc la somme (n + n’) est bien divisible par 13. 2) nn’ = 13 k × 13 k’ = 13(13 kk’) avec 13 kk’ entier. Donc il en est de même pour le produit (il est divisible par 13). 78 Le plus grand diviseur commun à a et b est 37. a = 37 × 5 = 185 et b = 37 × 9 = 333. 79 1) Comme PGCD (k ; 32) = 16, alors k a pour diviseur 16 (mais pas 32 sinon le PGCD de k et de 32 serait égal à 32). Donc la seule valeur possible de k (inférieure ou égale à 16) est 16. 2) 48 est un multiple de 16 (48 = 3 × 16) mais pas de 32, donc k peut être égal à 48. 80 1) a) 294 = 36 × 8 + 6 294 n’est pas divisible par 8. Si Lukas choisissait 8 cm de côté, il serait obligé de découper un carré, donc il y aurait des chutes. Lukas ne peut donc pas choisir 8 cm de côté. b) Pas de calcul possible. CHAP. 3 - ARITHMÉTIQUE

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2) a) 294 = 42 × 7 et 224 = 32 × 7. 294 et 224 sont divisibles par 7, donc il n’y aura pas de découpes nécessaires et ainsi pas de chutes. Lukas peut choisir 7 cm de côté. b) 42 × 32 = 1 344. Lukas obtiendra 1 344 carrés de 7 cm de côté. 3) a) n doit être un diviseur commun à 294 et à 224 pour qu’il n’y ait pas de chutes. De plus, Lukas veut des carrés avec le plus grand côté possible, donc n est le PGCD de 294 et de 224. b) PGCD (294 ; 224) = 14 294 : 14 = 21 ; 224 : 14 = 16 ; 16 × 21 = 336. Le nombre de carrés de 14 cm de côté est 336. 81 Soit n le plus grand nombre possible de lots. Tout le stock doit être vendu, donc n doit être un diviseur commun à 132 et à 220. On cherche le plus grand possible, donc : n = PGCD (132 ; 220). PGCD (132 ; 220) = 44 Le plus grand nombre de lots que le responsable peut réaliser est 44. 2) 132 : 44 = 3 et 220 : 44 = 5. Chaque lot comporte 3 boules et 5 étoiles. 82 1) Soit n le plus grand nombre possible d’équipes. Tous les élèves participent, donc n doit être un diviseur commun à 294 et à 210. On cherche le plus grand nombre possible d’équipes, donc : n = PGCD (294 ; 210). PGCD (294 ; 210) = 42 Le plus grand nombre d’équipes que les professeurs peuvent constituer est 42. 2) 294 : 42 = 7 et 210 : 42 = 5. Chaque équipe comporte 7 garçons et 5 filles. 83 1) PGCD (165 ; 154) = 11 et PGCD (165 ; 242) = 11. 2) a) D’après la question précédente, 11 est le PGCD de 165 et de 154, donc 11 divise 154. 11 est aussi le PGCD de 165 et de 242, donc 11 divise 242. b) Non, PGCD (154 ; 242) = 22. (Les résultats de la question a) nous permettent seulement de savoir que 11 est un diviseur commun de 154 et de 242.) 84 Par exemple : a = 2 ; b = 3 et c = 4. PGCD (2 ; 3) = 1 et PGCD (3 ; 4) = 1, or PGCD (2 ; 4) = 2. (On peut reprendre les valeurs de l’exercice 83.) 85 1) Les calculs d’Enzo sont justes. 2) Enzo ne prend pas en compte la contrainte « sans laisser d’espace vide et sans découpe ». 243 = 16 × 15 + 3, donc 243 n’est pas divisible par 15. Cela signifie qu’en découpant des carrés de 15 cm de côté, il y aura des espaces vides ou des découpes. 86 1) Pour qu’il n’y ait pas d’espace vide, l’arête d’un cube doit être un diviseur de 364, de 280 et de 448. Et il doit être le plus grand possible. PGCD (364 ; 280) = 28. Et 448 = 28 × 16. La plus grande longueur d’arête possible est de 28 cm. 2) 364 : 28 = 13 ; 280 : 28 = 10 ; 448 : 28 = 16. 2 080 cubes d’arête 28 cm seront contenus dans ce pavé. 87 n ; n + 1 et n + 2 sont trois entiers consécutifs. n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1). Or (n + 1) est un entier, donc 3(n + 1) est un multiple de 3. Donc la somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3.

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88 n est nombre pair, donc n s’écrit 2k avec k entier. m est un nombre impair, donc m s’écrit 2k’ + 1 avec k’ entier. n × m = 2k × (2k’ + 1) = 4kk’ + 2k = 2(2kk’ + k) (2kk’ + k) est un entier, donc 2(2kk’ + k) est un nombre pair. Le produit d’un nombre pair par un nombre impair est bien un nombre pair. 89 n1 est nombre impair, donc n1 s’écrit 2k1 + 1 avec k1 entier. n2 est un nombre impair, donc n2 s’écrit 2k2 +  1 avec k2 entier. n1 + n2 = (2k1 + 1) + (2k2 + 1) = 2k1 + 2k2 + 2 = 2(k1 + k2 + 1) (k1 + k2 + 1) est un nombre entier, donc 2(k1 + k2 + 1) est pair. La somme de deux nombres impairs est bien un nombre pair. 90 Un nombre impair s’écrit 2k + 1 avec k entier. Le nombre impair consécutif est 2k + 3. (2k + 1) + (2k + 3) = 4k + 4 = 4(k + 1) (k + 1) est un entier, donc 4(k +1) est divisible par 4. La somme de deux nombres impairs consécutifs est bien divisible par 4. 91 1) On lit sur le graphique les nombres qui ont deux diviseurs. Les nombres premiers inférieurs à 30 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 et 29. 2) 31 est premier car il a exactement deux diviseurs. 92 a) 37 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 4, ni par 5, ni par 6, ni par 7. Et 7 × 7 =  49 > 36, donc 49 n’a pas d’autres diviseurs (à part lui-même). Le nombre 37 est un nombre premier. b) 49 est divisible par 7, donc il n’est pas premier. c) 51 est divisible par 3, donc il n’est pas premier. d) 73 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 4, ni par 5, ni par 6, ni par 7, ni par 8, ni par 9. Et 9 × 9 =  81 > 73. Donc 73 n’a pas d’autres diviseurs (à part lui-même). Le nombre 73 est un nombre premier. 93 1) 131 n’est pas divisible par 2, donc il n’est divisible par aucun nombre pair. 131 n’est pas divisible par 3 (1 + 3 + 1 = 5), donc il n’est divisible par aucun multiple de 3. 131 n’est pas divisible par 5. On teste la divisibilité par 7 (131 =  18 × 7 +  5), par 11 (131 = 11 × 11 + 10). 12 × 12 = 144 et 144 > 131, donc 131 n’a aucun diviseur supérieur à 12 (à part lui-même). Donc le nombre 131 est premier. 2) 133 = 7 × 19, donc 133 admet 7 et 19 comme diviseurs. Le nombre 133 n’est pas premier. 94 A 1) La longueur c du côté d’un carré de tissu doit être un diviseur commun à 135 et à 210. On cherche le plus grand carré possible, donc c = PGCD (135 ; 210). PGCD (135 ; 210) = 15. Le plus grand carré possible a un côté de 15 cm. 2) 135 : 15 = 9 et 210 : 15 = 14. 9 × 14 = 126. Il faudra 126 carrés de tissu de 15 cm de côté. B 1) a) 15 × 2 = 30 ; 15 × 3 = 45. La longueur de chaque motif est 45  cm et sa largeur est 30 cm. b) Il faut 7 coutures. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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7 × 15 = 105 La longueur totale des coutures est 105 cm. 2) a) 210 = 4 × 45 + 30. 210 n’est pas divisible par 45, donc la couturière ne peut pas disposer les motifs comme sur le schéma 1. b) 135 : 45 = 3 et 210 : 30 = 7. 135 est divisible par 45 et 210 est divisible par 30, donc la couturière peut disposer les motifs comme sur le schéma 2. 3) a) 3 × 7 = 21. La couturière va utiliser 21 motifs rectangulaires. b) Il y a 6 coutures de 135 cm et 2 coutures de 210 cm. 6 × 135 + 2 × 210 = 810 + 420 = 1 230 La longueur totale des coutures est de 1 230 cm.

change plus. Donc, à la fin du processus, la porte no 4 sera ouverte. e) 5 a pour diviseurs 1 et 5. À l’étape 1, la porte no 5 sera ouverte. Aux étapes 2, 3 et 4, elle ne change pas d’état. Puis à l’étape 5, elle est fermée. Ensuite, son état ne change plus. Donc, à la fin du processus, la porte no 5 sera fermée. f) 6 a pour diviseurs 1 ; 2 ; 3 et 6. À l’étape 1, la porte no 6 sera ouverte. À l’étape 2, elle est fermée. À l’étape 3, elle est ouverte. Aux étapes 4 et 5, elle ne change pas d’état. Puis à l’étape 6, elle est fermée. Ensuite, son état ne change plus. Donc, à la fin du processus, la porte no 6 sera fermée. 2) a) Les diviseurs de 30 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 et 30. b) 30 possède 8 diviseurs, donc la porte no 30 va changer d’état 8 fois (aux étapes 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 et 30), donc elle va être fermée à la fin du processus. 3) a) Les diviseurs de 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 et 36. b) 36 possède 9 diviseurs, donc la porte no 36 va changer d’état 9 fois (aux étapes 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 et 36), donc elle va être ouverte à la fin du processus. 4) Les portes qui sont ouvertes à la fin du processus sont celles qui ont un nombre impair de diviseurs. Lorsque l’on recherche les diviseurs d’un nombre, on les trouve en écrivant ce nombre sous la forme d’un produit de deux entiers. Seuls ceux qui sont des carrés auront un nombre impair de diviseurs. Les portes qui sont ouvertes à la fin du processus ont pour numéro : 1² ; 2² ; 3² ; 4²… Le 23e carré est : 23² = 529. La 23e porte qui est ouverte à la fin du processus est celle qui porte le numéro 529.

95 1) a) 1 est un multiple de 1, donc à l’étape 1, la porte no 1 sera ouverte. Ensuite, à partir de l’étape 2, 1 n’étant un multiple d’aucun autre nombre (plus grand ou égal à 2), la porte no 1 ne change plus d’état. Donc, à la fin du processus, la porte no 1 sera ouverte. b) 2 a pour diviseurs 1 et 2. Donc à l’étape 1, la porte no 2 sera ouverte, puis à l’étape 2, la porte no 2 est fermée. Puis elle ne change plus d’état. Donc, à la fin du processus, la porte no 2 sera fermée. c) 3 a pour diviseurs 1 et 3. Donc à l’étape 1, la porte no 3 sera ouverte. À l’étape 2, elle reste ouverte, puis se ferme à l’étape 3, et son état ne change plus. Donc, à la fin du processus, la porte no 3 sera fermée. d) 4 a pour diviseurs 1 ; 2 et 4. À l’étape 1, la porte no 4 sera ouverte. À l’étape 2, elle est fermée, puis à l’étape 3, elle reste fermée et s’ouvre à l’étape 4. Ensuite, son état ne 96 1)

Nombre

1

2

3

4

5

6

7

8

Liste des diviseurs

1

1; 2

1; 3

1; 2; 4

1; 5

1; 2; 3; 6

1; 7

1; 2; 4; 8

9

Nombre de diviseurs

1

2

2

3

2

4

2

4

10

1 ; 3 ; 9 1 ; 2 ; 5 ; 10 3

4

11 1 ; 11 2

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Le nombre 12 a pour diviseurs : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12. 12 possède 6 diviseurs, et chacun des nombres inférieurs à 12 en ont moins (voir tableau ci-dessus), donc 12 est un nombre « glouton ». 2) Le nombre 15 a pour diviseurs : 1 ; 3 ; 5 et 15. 15 possède 4 diviseurs. Or 12 < 15 et 12 possède 6 diviseurs, donc 15 n’est pas un nombre « glouton ». 3) On cherche le premier nombre supérieur à 12 qui a plus de 6 diviseurs. Nombre

14

Liste des diviseurs

1; 2; 7; 14

Nombre de diviseurs

4

15

16

17

18

19

20

1; 2; 4; 5; 1 ; 3 ; 5 ;15 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 1 ;17 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 1 ; 19 10 ; 20 4

5

2

6

2

6

21

22

23

1 ; 3 ; 7 ; 21 1 ; 2 ; 11 ; 22 1 ; 23 4

4

2

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

24 a pour diviseurs : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 et 24. Il a 8 diviseurs. Le premier nombre « glouton » (supérieur à 12) est 24. 345 23 × 15 15 = = 851 23 × 37 37

97 1) 18 =  1 × 18 =  2 × 9 =  3 × 6. Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18. 2) 42 = 1 × 42 = 2 × 21 = 3 × 14 = 6 × 7. Les diviseurs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 et 42. 3) a) Les diviseurs communs à 18 et 42 sont : 1 ; 2 ; 3 et 6. b) PGCD (18 ; 42) = 6

540 15 = 288 8 2) 540 : 15 = 36 et 288 : 8 = 36. La fraction a été simplifiée par 36.

98 1) 493 et 851 n’ont aucun diviseur commun autre que 1, donc leur PGCD est 1. Par conséquent, ils sont premiers entre eux. 2) Le plus grand diviseur commun de 345 et de 851 est 23, donc ils ne sont pas premiers entre eux.

100 a) Recherche du PGCD en listant les diviseurs : 15 = 1 × 15 = 3 × 5. Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 et 15. 50 = 1 × 50 = 2 × 25 = 5 × 10. Les diviseurs de 50 sont : 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 25 et 50. Le plus grand diviseur commun est 5.

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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3)

99 1)

CHAP. 3 - ARITHMÉTIQUE

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Ceci signifie que les nombres (n +  1) et n sont premiers entre eux. Deux nombres entiers consécutifs sont bien premiers entre eux. 2) 2k – 1 et 2k + 1 sont deux nombres impairs consécutifs, avec k entier. (2k + 1) – (2k – 1) = 2k + 1 – 2k + 1 = 2. Leur différence est égale à 2. On applique la propriété rappelée dans l’énoncé : PGCD (2k + 1 ; 2k – 1) = PGCD (2k – 1 ; 2). Or 2k – 1 est un nombre impair, donc il n’est pas divisible par 2. Les seuls diviseurs de 2 sont 1 et 2, donc le seul diviseur commun à 2k – 1 et à 2 est 1. PGCD (2k – 1 ; 2) = 1 donc PGCD (2k + 1 ; 2k – 1) = 1. Ceci signifie que les nombres 2k + 1 et 2k – 1 sont premiers entre eux. Deux nombres impairs consécutifs sont bien premiers entre eux. 3) Non. Deux nombres pairs sont divisibles par 2, donc 2 est un diviseur commun à ces deux nombres. Donc leur PGCD n’est pas égal à 1, ce qui signifie que deux nombres pairs ne sont pas premiers entre eux.

b) En remarquant que 770 est un multiple de 77 : 770 = 77 × 10, donc PGCD (770 ; 77) = 77. c) Par l’algorithme d’Euclide : 17 × 42 + 21 ; 42 = 2 × 21 + 0. Donc PGCD (735 ; 42) = 21. 101 Calcul du PGCD (84 ; 108) par l’algorithme d’Euclide : 108 = 1 × 84 + 24 ; 84 = 3 × 24 + 12 ; 24 = 2 × 12 + 0. Donc PGCD (84 ; 108) = 12. 84 irréductible, on la simplifie Pour rendre la fraction 108 par 12 : 12 × 7 7 84 = . = 108 12 × 9 9 102

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

103 1) n et n + 1 sont deux nombres entiers consécutifs. (n + 1) – n = 1 On applique la propriété rappelée dans l’énoncé : PGCD (n + 1 ; n) = PGCD (n ; 1). Or PGCD (n ; 1) = 1, donc PGCD (n + 1 ; n) = 1.

104 1) 28 = 1 × 28 = 2 × 14 = 4 × 7. Les diviseurs de 28 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 et 28. 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Donc 28 est un nombre parfait. 2) 45 = 1 × 45 = 3 × 15 = 5 × 9. Les diviseurs de 45 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 et 45. 1 + 3 + 5 + 9 + 15 = 33. Or 33 ≠ 45, donc 45 n’est pas un nombre parfait. 3) 1 n’a pas de diviseur autre que lui-même, donc il n’est pas parfait. Nombre Liste des diviseurs Somme des diviseurs autres que le nombre lui-même

2

3

4

5

6

7

8

1; 2 1; 3 1; 2; 4 1; 5 1; 2; 3; 6 1; 7 1; 2; 4; 8 1

1

7

1

6

1

7

9

10

1; 3; 9

1 ; 2 ; 5 ; 10

4

8

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Seul le nombre 6 est parfait parmi les entiers inférieurs ou égaux à 10.

105 N a pour chiffre des centaines 8 et N est composé de trois chiffres, donc N s’écrit 8♣♦ avec ♣ représentant le chiffre des dizaines et ♦ celui des unités. N est divisible par 5, donc ♦ est 0 ou 5. 1) N sera le plus petit possible pour ♣ le plus petit possible. Si ♣ = 0, alors N = 800 ou N = 805, mais aucun de ces deux nombres ne sont divisibles par 3. Si ♣ = 1, alors N = 810 ou N = 815 ; 810 est divisible par 3 (8 + 1 + 0 = 9), donc le nombre N le plus petit possible est 810. 2) N sera le plus grand possible pour ♣ le plus grand possible. Si ♣ = 9, alors N = 890 ou N = 895, mais aucun de ces deux nombres n’est divisible par 3. Si ♣ = 8, alors N = 880 ou N = 885, 880 n’est pas divisible par 3 (8 + 8 + 0 = 16) et 885 est divisible par 3 (8 + 8 + 5 = 21), donc le nombre N le plus grand possible est 885. 106 1) Soit n le nombre maximal d’équipes. Toutes les fourmis noires sont réparties, donc n doit être un diviseur de 6 510. Toutes les fourmis rouges sont réparties, donc n doit être un diviseur de 4 650.

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Finalement, n doit être un diviseur commun à 6 510 et à 4 650. On cherche le plus grand nombre possible d’équipes, donc : n = PGCD (6 510 ; 4 650). On calcule PGCD (6 510 ; 4 650) en appliquant l’algorithme d’Euclide : 6 510 = 1 × 4 650 + 1 860 ; 4 650 = 2 × 1 860 + 930 ; 1 860 = 2 × 930 + 0. Donc PGCD (6 510 ; 4 650) = 930. Le nombre maximal d’équipes que la reine peut former est 930 équipes. 2) Soit x la taille en mm d’une fourmi noire, alors la taille d’une fourmi rouge est : x + 2 (en mm). 42,78 m = 42 780 mm 4 650 (x + 2) + 6 510 x = 42 780 4 650x + 9 300 + 6 510x = 42 780 11 160x = 42 780 – 9 300 11 160x = 33 480 x =  33 480 d’où x = 3. 11 160 On vérifie : 4 650 × (3 + 2) + 6 510 × 3 = 4 650 × 5 + 19 530 = 42 780. La taille d’une fourmi noire est 3 mm et celle d’une fourmi rouge est 5 mm.

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JE FAIS LE POINT

Les exercices 107 à 116 sont corrigés à la page 306 du manuel élève.

117 1) On calcule PGCD (238 ; 170) en appliquant l’algorithme d’Euclide : 238 = 1 × 170 + 68 ; 170 = 2 × 68 + 34 ; 68 = 2 × 34 + 0. Donc PGCD (238 ; 170) = 34. 2) Pour rendre la fraction irréductible, on la simplifie par 34 : 170 34 × 5 5 5 = . La forme irréductible est . = 238 34 × 5 7 7 118 1) 648 et 972 sont tous les deux divisibles par 2, donc leur PGCD n’est pas égal à 1. Par conséquent, ils ne sont pas premiers entre eux. 2) a) On calcule PGCD (972 ; 648) en appliquant l’algorithme d’Euclide : 972 = 1 × 648 + 324 ; 648 = 2 × 324 + 0. Donc PGCD (972 ; 648) = 324. 648 irréductible, on la simplifie b) Pour rendre la fraction 972 par 324 : 648 324 × 2 2 2 = = . L’écriture irréductible est . 972 324 × 3 3 3

119 Le nombre cherché est divisible par 2, donc il est pair. Le plus petit nombre pair qui est supérieur à 681 est 682. On va tester la divisibilité par 3 des nombres pairs supérieurs ou égaux à 682. Testons 682 : 6 + 8 + 2 = 16, donc 682 n’est pas divisible par 3. Testons 684 : 6 + 8 + 4 = 18. Or 18 est divisible par 3, donc 684 l’est aussi. Le nombre cherché est 684. 120 Le nombre cherché N est divisible par 11 et il est compris entre 100 et 400. 100 = 9 × 11 + 1 et 400 = 36 × 11 + 4. Donc 10 × 11 < N < 36 × 11. N est divisible par 5, donc son chiffre des unités est 0 ou 5, mais N est aussi pair donc son chiffre des unités est 0. Les multiples de 11 qui ont un chiffre des unités égal à 0 sont : 110 (11 × 10) ; 220 (11 × 20) et 330 (11 × 30). On va tester la divisibilité par 3 de ces nombres : 1 + 1 + 0 = 2, donc 110 n’est pas divisible par 3 ; 2 + 2 + 0 = 4, donc 220 n’est pas divisible par 3 ; 3 + 3 + 0 = 6, donc 330 est divisible par 3. Le nombre cherché est 330. 121 1) On calcule PGCD (806 ; 496) en appliquant l’algorithme d’Euclide : 806 = 1 × 496 + 310 ; 496 = 1 × 310 + 186 ; 310 = 1 × 186 + 124 ; 186 = 1 × 124 + 62 ; 124 = 2 × 62 + 0. Donc PGCD (806 ; 496) = 62. 496 irréductible, on la simpli2) Pour rendre la fraction 806 fie par 62 : 496 8 496 = 62 × 8 = . La fraction irréductible égale à 806 62 × 13 13 806 8 est . 13 496 3 8 3 16 3 13 1 – = – = – = = 806 26 13 26 26 26 26 2 122 1) La proposition est fausse. Les nombres 570 et 795 sont tous les deux divisibles par 5, ce qui signifie que 5 est un diviseur commun à 570 et 795, donc PGCD (570 ; 795) ≠ 1. Par conséquent, 570 et 795 ne sont pas premiers entre eux. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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2) La proposition est vraie. Soit n et m deux entiers. n est multiple de 5, donc n s’écrit 5k avec k entier. m est un multiple de 5, donc m s’écrit 5k’ avec k’ entier. n + m = 5k + 5k’ = 5(k + k’) (k + k’) est un entier, donc 5(k + k’) est un multiple de 5. Donc (m + n) est un multiple de 5. La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. 123 1) Soit n le nombre maximal de groupes. Chaque choriste (homme ou femme) appartient à un groupe, donc n doit être un diviseur commun à 372 et à 775. On cherche le plus grand nombre possible de groupes, donc : n = PGCD (372 ; 775). On calcule PGCD (372 ; 775) en appliquant l’algorithme d’Euclide : 775 = 2 × 372 + 31 ; 372 = 12 × 31 + 0. Donc PGCD (372 ; 775) = 31. Le nombre maximal de groupes que le chef pourra constituer est 31. 2) 372 : 31 = 12 ; 775 : 31 = 25. Chaque groupe comportera 12 choristes hommes et 25 choristes femmes. 1 053 irréductible, on la 1 755 simplifie par PGCD (1 053 ; 1 755). On calcule PGCD (1 053 ; 1 755) en appliquant l’algorithme d’Euclide : 1 755 = 1 × 1 053 + 702 ; 1 053 = 1 × 702 + 351 ; 702 = 2 × 351 + 0. Donc PGCD (1 053 ; 1 755) = 351. 1 053 1 053 351 × 3 3 On simplifie = . par 351 : = 1 755 1 755 351 × 5 5 1 053 3 est  . La fraction irréductible égale à 1 755 5 2) a) Le nombre de lots doit être un diviseur de 1 755 et de 1 053 pour que tous les coquillages soient répartis dans des lots identiques. Ce nombre doit être maximum, donc c’est le PGCD de 1 755 et de 1 053. Dans la question 1), on a trouvé : PGCD (1 755 ; 1 053) = 351. Donc le nombre maximum de lots est 351. b) 1 755 : 351 = 5 ; 1 053 : 351 = 3. Chaque lot comportera 5 cônes et 3 porcelaines. 124 1) Pour rendre la fraction

125 1) Le nombre de viennoiseries de chaque sachet doit être un diviseur de 910 et de 693 puisque chaque sachet contient le même nombre (de pains au chocolat ou de croissants) et que tous les pains au chocolat et tous les croissants ont été répartis. On calcule PGCD (910 ; 693) en appliquant l’algorithme d’Euclide : 910 = 1 × 693 + 217 ; 693 = 3 × 217 + 42 ; 217 = 5 × 42 + 7 ; 42 = 6 × 7 + 0. Donc PGCD (910 ; 693) = 7. Chaque sachet contient soit 7 pains au chocolat, soit 7 croissants. 2) 910 : 7 = 130 ; 693 : 7 = 99 ; 130 + 99 = 229. Le pâtissier a préparé en tout 229 sachets. CHAP. 3 - ARITHMÉTIQUE

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96 3 = 64 2 696 8 d) = 1 305 15 126 a)

645 43 = 255 17 360 3 e) = 1 320 11

b)

c)

1 002 167 = 426 71

127 a) Dans la division de 457 par 112, le quotient est 4 et le reste est 9. b) Dans la division de 87 par 14, le quotient est 6 et le reste est 3. c) Dans la division de 1 200 par 75, le quotient est 16 et le reste est 0. d) Dans la division de 56 par 124, le quotient est 0 et le reste est 56. e) Dans la division de 9 896 par 728, le quotient est 13 et le reste est 432. 128 a) PGCD (21 ; 873) = 3 c) PGCD (2 802 ; 365) =1

b) PGDC (468 ; 702) = 234

129 1) a) 6 × 20 + 2 = 122. Le nombre écrit est 122. b) 12 × 20 + 8 = 248. Le nombre écrit est 248. c) 10 × 20 + 0 = 200 2) a) Le quotient est 3 et le reste est 14. L’égalité correspondante est : 74 = 3 × 20 + 14. b) 74 s’écrit : 3) a) On effectue la division euclidienne de 185 par 20 : 185 = 9 × 20 + 5. Donc : 185 = 9 × 201 + 5 x 200. 185 s’écrit : b) On effectue la division euclidienne de 211 par 20  : 211 = 10 × 20 + 11. Donc : 211 = 10 × 201 + 11 × 200.

211 s’écrit : c) On effectue la division euclidienne de 320 par 20  : 320 = 16 × 20 + 0. Donc : 320 = 16 × 201 + 0 × 200. 320 s’écrit :

4) a) Le plus grand nombre que l’on peut écrire comporte 19 à chaque étage. Il s’écrit :

b) 19 × 201 + 19 × 200 = 19 × 20 + 19 = 380 + 19 = 399 Dans notre numération, ce nombre correspond à 399. 130 1) a) 101 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 4 + 1 = 5 On a écrit le nombre 5. b) 10 011 = 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 16 + 2 + 1 = 19 On a écrit le nombre 19. c) 10 100 = 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20 = 16 + 4 = 20 On a écrit le nombre 20. d) 1 010 011 = 1 × 26 + 0 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 64 + 16 + 2 + 1 = 83 On a écrit le nombre 83. 2) a) 24 = 16 ; 25 = 32. Donc la plus grande puissance de 2 contenue dans 25 est 16. b) 25 = 1 × 16 + 9. Le reste est 9. c) 25 = 1 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 d) 25 s’écrit : 25 = 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20. Donc 25 s’écrit en écriture binaire : 11 001.

Exercices d’évaluation du socle commun 1 1) 36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6 Les neuf diviseurs du nombre 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 et 36. 2) 48 = 1 × 48 = 2 × 24 = 3 × 16 = 4 × 12 = 6 × 8 Les dix diviseurs du nombre 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 et 48. 3) Les diviseurs communs de 36 et de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12. 4) Le PGCD de 36 et de 48 est 12. 2 On recherche tous les diviseurs de 80 et tous ceux de 64 : • 80 = 1 × 80 = 2 × 40 = 4 × 20 = 5 × 16 = 8 × 10 Les diviseurs du nombre 80 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 16 ; 20 ; 40 et 80. • 64 = 1 × 64 = 2 × 32 = 4 × 16 = 8 × 8 Les diviseurs du nombre 64 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 et 64. Les diviseurs communs de 80 et de 64 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 et 16. Le PGCD de 80 et de 64 est donc 16. 60 60 : 4 15 15 15 : 3 5 = = et = = , 84 84 : 4 21 21 21 : 3 7 60 5 = . donc 84 7 18 18 : 6 3 18 3 = = , donc : = . b) 12 12 : 6 2 12 2 3

a)

46

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4

1 512 24 = 693 11

5 1) a) Les zelliges doivent être placés sans les découper et sans laisser d’espace vide, donc le côté d’un zellige doit être un diviseur de la longueur (138) et aussi un diviseur de la largeur (30). Or 138 n’est pas divisible par 5, donc Julian ne peut pas choisir un zellige de côté 5 cm. b) 1 + 3 + 8 = 12, donc 138 est divisible par 3. De plus, 30 est aussi divisible par 3. Donc 3 est un diviseur commun à 138 et à 30. Par conséquent, Julian peut choisir un zellige de côté 3 cm. 2) La longueur que Julian peut choisir doit être un diviseur commun à 138 et à 30. De plus, cette longueur est la plus grande possible, donc c’est le PGCD de 138 et de 30. On calcule PGCD (138 ; 30) en appliquant l’algorithme d’Euclide : 138 = 4 × 30 + 18 ; 30 = 1 × 18 + 12 ; 18 = 1 × 12 + 6 ; 12 = 2 × 6 + 0. Donc PGCD (138 ; 30) = 6. La plus grande longueur de côté que Julian peut choisir est 6 cm.

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A P I TR H

C

E

4

Racine carrée PROGRAMME

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES

■ Commentaires

– Racine carrée d’un nombre positif – Produit et quotient de deux radicaux

Dans le cadre du socle commun, la seule capacité exigible, relative à la racine carrée, concerne le calcul à la calculatrice de la valeur exacte ou approchée de la racine carrée d’un nombre positif. Ces résultats permettent de transformer l’écriture d’un nombre et de choisir la forme la mieux adaptée à la résolution d’un problème posé.

CAPACITÉS ● Savoir que, si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carré est a et utiliser les égalités : (√a)² = a, √a2 = a. ● Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x² = a, où a est un nombre positif. ● Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités : √ab = √a × √b, a =  √a (b non nul). b √b

√

Socle commun des connaissances ● ●

Mener à bien un calcul instrumenté (calculatrice, tableur). Conduire un calcul littéral simple.

Capacités des programmes des classes antérieures Déterminer le nombre positif dont on connaît le carré à l’aide de la calculatrice.

Capacités du programme de Seconde ● ●

Connaître les variations des fonctions carré et inverse. Représenter graphiquement les fonctions carré et inverse.

Commentaires des auteurs ➜ En Quatrième, les élèves ont appris à déterminer le nombre positif dont on connaît le carré à l’aide de la calculatrice. ➜ Ce chapitre permet de réactiver ces connaissances en utilisant la notion de racine carrée. Ceci est notamment nécessaire en géométrie dans l’égalité de Pythagore. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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➜ La découverte des propriétés des racines carrées se fait par conjecture grâce à l’utilisation de la calculatrice. Ces propriétés sont ensuite démontrées. ➜ La résolution de l’équation x² = a sera étudiée dans le chapitre 5 « Identités remarquables et applications ».

CHAP. 4 - RACINE CARRÉE

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ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O MMENTAIR E S

C ORRIGÉ

Cette activité permet à l’élève de manipuler une expression contenant un nombre élevé au carré. Elle permet également de revoir la notion d’arrondi, de

1 On a : 10 385 = π × r² × 12 × 1,225. D’où : 10 385 = π × 14,7 × r². 10 385 ≈ 224,87 m². Enfin : r² =  π × 14,7 2 r ≈ 15 m

冑■

valeur approchée et enfin l’utilisation de la touche la calculatrice.

1

de

JE DÉCOUVRE LE NOMBRE POSITIF DONT LE CARRÉ EST 2

Objectif

Découvrir un nombre positif dont on connaît le carré.

Prérequis

● ●

Paragraphe introduit

Égalité de Pythagore Déterminer l’arrondi d’un nombre.

! Carré d’un nombre positif

■ C O MMENTAIR E S Cette activité permet de revoir l’égalité de Pythagore. Elle permet aussi de définir ce qu’est la racine carrée d’un nombre positif.

2

C ORRIGÉ

1 b) Aire de chaque carré : côté × côté = 1 × 1 = 1 dm². 2 c) Le grand carré est formé de deux plus petits de 1 dm² d’aire respective. Ce grand carré a donc une aire de 2 dm². 3 a) a ⩾ 0 car a représente une longueur, c’est donc un nombre positif. b) L’aire du grand carré est donc égale à a × a = a². On a vu que cette aire était aussi égale à 2, donc a² = 2. c) a ≈ 1,414 dm

JE DÉCOUVRE DES PROPRIÉTÉS DES RACINES CARRÉES

Objectif

Découvrir les règles de calculs concernant les racines carrées.

Prérequis

Définition de la racine carrée d’un nombre positif

Paragraphe introduit

@ Règles de calculs

■ C O MMENTAIR E S À l’aide de la calculatrice et de la définition de la racine carrée d’un nombre positif, l’élève découvre les propriétés des racines carrées. Cette activité montre également à l’élève que les propriétés trouvées ne fonctionnent pas avec toutes les opérations. C O RRI G É

A 1 a) √8 × √2 = 4

b) Elle a calculé 8 × 2 = 16, puis Sidonie a cherché le nombre positif dont le carré est 16. c) Il semble que √a × √b = √a × b . 2 a) (√a × √b )² = (√a × √b )² × (√a × √b )² = (√a )² × (√b )² =a×b

b) √a × √b est positif car a et b sont positifs. c) Ainsi le nombre √a × √b est le nombre positif dont le carré est égal à a × b. Par définition, le nombre √a × √b est égal à √a × b. Donc √a × √b = √a × b. √ B 1 a) 12 = 2 √3 12 b) = 4 et √4 = 2. 3 √ 2 √ √ √ 2 2 a) a =  a × a = ( a) =  a √b √b √b (√b)2 b √ b) Ainsi le nombre a est le nombre positif dont le carré √ b a est égal à . b √ a Donc a =  . √b b C 1 a) On peut penser que √a + √b = √a + b. b) √9 + √16 = 3 + 4 = 7 et √9 + 16 = √25 = 5. La conjecture n’est donc pas vérifiée. 2 En prenant a = 25 et b = 16, on a : √25 − √16 = 5 – 4 = 1 et √25 – 16 = √9 = 3. Cela justifie donc que √a − √b ≠ √a – b.

( )

√

EXERCICES 1 Pour les valeurs du a), b), d), e), f), g), h) et i), la racine carrée existe car ce sont tous des nombres positifs ou nuls. Pour le cas c), la racine carrée n’existe pas car le nombre est négatif.

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2 a) √0 = 0  c) √4 = 2  e) √16 = 4  g) √36 = 6  i) √25 = 5

b) √64 = 8  d) √100 = 10 f) √1 = 1  h) √81 = 9 j) √121 = 11 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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3 a) √400 = 20  c) √0,81 = 0,9  4 2 e) =   9 3 81 9 g) = 100 10

b) √1 600 = 40  d) √0,01 = 0,1  25 5 f) = 36 6 49 7 h) =  9 3

√ √

√ √

24 A = 

√( ) √ √ 2

1 1 =  2 2

a) √32 = 3

2 b) (√5 ) = 5

c)

5

a) √6 × √6 = 6

b) (– √23 ) = 23

c)

6

2 a) (√27 ) = 27

2 b) (√2 × 3) = 6

2 c) (√4 × 5) = 20

4 b) 1 × 16 = 3 3 3

c)

7

a)

√( )

√

2

4 4 = 5 5

1 1 1 × = 3 3 3

√

16 9 =1 + 25 25

8 1) Ce que dit Teihotu est faux car la racine carrée d’un nombre est toujours un nombre positif quand elle existe. 2 2) A = (– √4 ) = √16 = 4 9 a) 3√5 + 4√5 = 7√5 b) − 3√6 + 5√6 = 2√6 c) 2√7 − 5√7 = − 3√7 d) − 5√11 − 3√11 = − 8√11 10 a) 4√2 + 6√2 − 10√2 = 0 b) √13 + 2√13 − 8√13 + 6√13 = √13 11 a) √2 × √8 = 4 c) √2 × √32 = 8

√ 12 a) 72  = 6 √2

b)

b) √27 × √3 = 9 d) √2 × √6 × √3 = 6

√5 1  = √20 2

13 1) a) 1 000² = 1 000 000 2) √640 000 = 800

B = 

√ 25 A =  363 = 11 √3

4

2

√75 =5 √3

√ c) 27  = 3 √3

√ d) 48 = 2 √12

b) √25 000 000 = 5 000

27 √12 = 2√3 √27 = 3√3

√75 = 5√3 √243 = 11√3

√48 = 6√3 √108 = 6√3

28 √28 = 2√7 √175 = 5√7

√252 = 6√7 √847 = 11√7

√700 = 10√7

√ √ √ √ √

2 √ 2 × 2 =  9 3 10 6 B =  × =2 3 5 45 2 3√2 × = C =  2 12 5 26 A = 

29 M = √18 = 3√2 O = √147 = 7√3

N = √20 = 2√5 P = √325 = 5√7

30 R = √180 = 6√5 T = √250 = 5√10

S = √32 = 4√2 U = √720 = 12√5

31 A = 3√20 = 6√5 C = − 7√75 = − 35√5

B = 6√500 = 60√5

32 A = √14 × √28 = 14√2 C = − 2√216 = − 12√6

B = 3√200 = 30√2

33 a) √35 ≈ 5,916 68 c) ≈ 1,356 37 592 ≈ 3,168 e) 59

b) √685,7 ≈ 26,186

√ √

34 a) √7 + 3 ≈ 3,162 c) √7 + √3 ≈ 4,378 e) √40 × 1,2 ≈ 6,928

15 a) √16 × 2 = 4√2 c) √2 × 9 = 3√2 e) √6 × 100 = 10√6

b) √81 × 10 = 9√10 d) √7 × 4 = 2√7 f) √25 × 3 = 5√3

35 a) √169 = 13 d) √0,64 = 0,8

c) √75 = 5√3 f) √45 = 3√5

17 a) √6 × √12 = 6√2

b) √2 × √5 × √30 = 10√3

√ × √6 3 √  = 2 18 a) 3 √2 × √2 2

√ × √2 b) 27 =1 √18 × √3

19 1) 3√3 + 5√4 × 3 = 3√3 + 5 × √4 × √3 = 3√3 + 10√3 = 13√3 2) 2√7 + √9 × 7 = 5√7 20 a) 3√7 – √28 = 3√7 – 3√4 × 7 = – 3√7 b) √45 – √20 = √9 × 5 – √4 × 5 = √5 21 A = √50 × √2 = 10 C = √3 × √27 = 9

B = √8,1 × √10 = 9 D = √18 × √2 = 6

22 A = √2 × √32 = 8 C = √90 × √10 = 30

B = √72 × √2 = 12 D = √60,5 × √2 = 11

23 A = √3 × √5 × √15 = 15 C = √0,5 × √18 = 3

B = √7 × √0,07 = 0,7 D = √4 × √0,25 = 1

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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√6 1 = √24 2

√ C =  500 = 10 √5

b) √9 + √16 = 7 d) √25 – 16 = 3 f) √15 – 14 = 1

b) √18 = 3√2 e) √72 = 6√2

C = 

√ 1 B =  12 = √48 2

14 a) √9 + 16 = 5 c) √25 − √16 = 1 e) √100 + √0,36 = 10,6

16 a) √8 = 2√2 d) √32 = 4√2

√72 =6 √2

36 a) √0 = 0 169 13 = d) 81 9

√

d) √693,57 ≈ 26,336 f) √0,006 7 ≈ 0,082 b) √7 + 3 ≈ 5,646 d) √18 – 6 ≈ 3,464 f) √3 × 7 – 2 ≈ 4,359 b) √2,56 = 1,6 e) √29,16 = 5,4

b) √361 = 19 64 4 e) = 2 500 25

√

c) √1,21 = 1,1 f) √784 = 28

c) √283,922 5 = 16,85 288 f) =4 18

√

37 a) √100 = 10 b) La racine carrée de – 4 n’existe pas. –9 3 = c) √0,49 = 0,7 d) –4 2 f) La valeur exacte de √15 n’existe pas.

√

e) √(– 3)2 = 3

38 a) Vrai : (– 6)² = 36. b) Faux  : la racine carrée d’un nombre est un nombre positif. c) Faux : la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas. d) Faux : 36² = 1 296. 39 a) 9

b) 0,8

c) 10

d) 0,7

40 Les nombres qui sont des carrés de nombres entiers sont : 49 ; 6² ; 74. a) 49 = 7² b) 0,25 = 0,5² c) 6²  ² 9 3 e) d) √9 = 3 =  f) 74 = (7²)² 16 4 CHAP. 4 - RACINE CARRÉE

49

03/07/12 17:26

41 a) √1 = 1 

b) √16 < 16

c) √0,01 > 0,01

42 a) √62 = 6 6² 6 d) = 7 7

2 b) (√4 ) = 4

2 c) (√5 ) = 5

e) √18 = 1

f) √(– 7)2 = 7

(√ )

43 a) (3√8 ) = 72 2

c) √(5 × 6)2 = 30 e)

√8

2

( 5 ) = 258

b) (7√2 )  = 98 32 3 d) = 2 2 5 2 25 = f) √3 3 2

(√ ) ( )

44 A = 3√7 − 10√7 = − 7√7 B = − 3√2 − √2 + 8√2 = 4√2 C = 6 × 4√6 + 3√6 = 27√6 D = 5√5 + 3√5 − 12√5 = − 4√5 45 Périmètre de la figure : 4 + √7 + 1 + √7 + 2 + √7 = 7 + 3√7 46 A = 6(√11 − 4) = − 24 + 6√11 B = √5(2 + √5) = 5 + 2√5 C = (√7 + 3)( 2 + √7) = 2√7 + 7 + 6 + 3√7 = 13 + 5√7 D = (6 − √3)(√3 + 4) = 6√3 + 24 – 3 − 4√3 = 21 + 2√3 47 A = (2 +  √3)²  = (2 + √3)(2 + √3) = 4 + 2√3 + 2√3 + 3 = 7 + 4√3 B = (√29 + 3)² = (√29 + 3)(√29 + 3) = 29 + 3√29 + 3√29 + 9 = 38 + 6√29 C = (√13 – 4)²  = (√13 – 4)(√13 – 4) = 13 − 4√13 − 4√13 + 4 = 17 − 8√13 D = (√2 − √5)² = (√2 − √5)(√2 − √5) = 2 − √2 × √5 − √2 × √5 + 5 = 7 − 2√10 48 Aire de la figure verte : 3√2 × 4 + 4√2 × 1,5 = 12√2 + 6√2 = 18√2 49 a) √12 = √4 × 3 = 2√3 b) √54 = √9 × 6 = 3√6 c) √50 = √25 × 2 = 5√2 d) √98 = √49 × 2 = 7√2 e) √36 = 6 f) √15 = √15 50 a) √75 = √25 × 3 = 5√3 b) √18 = √9 × 2 = 3√2 c) √72 = √36 × 2 = 6√2 d) √243 = √81 × 3 = 9√3 e) √180 = √9 × 10 = 3√10 f) √162 = √81 × 2 = 9√2 51 a) Faux : 2 × √6 = √4 × √6 = √24 ≠ √12. √ √ b) Vrai : 32 =  32 = √2. √16 4 c) Faux : 3√7 × 2√7 = 6 × √7 ² = 42 ≠ 6√7. √ 8 d) Vrai : 8 =  = √4 = 2. √2 2

√

52 a) A = 3√80 = 3√16 × 5 = 3 × √16 × √5 = 12√5 B = 4√45 = √49 × 5 = 4 × √9 × √5 = 12√5 Donc A = B. b) A = 7√108 = 7√36 × 3 = 7 × √36 × 3 = 42√3 B = 6√147 = 6√49 × 3 = 6 × 7 × √3 = 42√3 Donc A = B.

50

BAT_001a097.indd 50

53 Périmètre du triangle :

√20 + √45 + √80 = √4 × 5 + √9 × 5 + √16 × 5 = 2√5 + 3√5 + 4√5 = 9√5 54 A = 5√18 + 3√2 − 4√8 + 7√50 A = 5√9 × 2 + 3√2 − 4√4 × 2 A = 15√2 + 3√2 − 8√2 A = 10√2 B = 5√72 − 6√32 − 9√2 + √98 B = 5√36 × 2 − 6√16 × 2 + √49 × 2 B = 30√2 − 24√2 + 7√2 B = 13√2 55 C = √20 − √152 × 5 + 2√45 C = √4 × 5 − 15√5 + 2√9 × 5 C = 2√5 − 15√5 + 6√5 C = − 7√5 D = 3√72 − 5√2 + 7√128 D = 3√36 × 2 − 5√2 + 7√64 × 2 D = 18√2 − 5√2 + 56√2 D = 69√2 56 E = √12 − 5√75 + 2√147 E = √4 × 3 − 5√25 × 3 + 2√49 × 3 E = 2√3 − 25√3 + 14√3 E = 9√3 F = √24 + 3√54 − 7√96 F = √4 × 6 + 3√9 × 6 − 7√16 × 6 F = 2√6 + 9√3 − 28√3 F = − 17√3 G = √250 − √4 000 + 3√360 + √9 000 G = √25 × 10 − √400 × 10 + 3 √36 × 10 + √900 × 10 G = 5√10 − 20√10 + 18√10 + 30√10 G = 33√10 57 1) ABC est un triangle rectangle en B. On a donc l’égalité de Pythagore dans ce triangle : 2 2 AC² = AB² + BC² = (√5 ) + (√14) = 5 + 14 = 19. D’où : AC = √19. 2) Dans un triangle, la longueur d’un côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. On a donc : AC < AB + BC. D’où : √19 < √5 + √14. 58 Puisque EFGH est un rectangle, le triangle EFG est rectangle en F. On a donc l’égalité de Pythagore dans ce triangle : EG² = EF² + FG². 2 2 D’où : EG² = (√32) + (√17) = 32 + 17 = 49. √ Donc : EG =  49 = 7 cm. Les diagonales du rectangle ont des longueurs toutes égales à la longueur EG et valent 7 cm. 59 On note c la longueur d’un côté du carré. Le carré est formé de deux triangles rectangles. On a donc 2 l’égalité de Pythagore dans ces triangles : c² + c² = (√30) . 30 D’où : 2c² = 30 et c² =  = 15. 2 Enfin : c = 15 cm. 60 Le triangle ABC est rectangle en A. On a donc l’égalité de Pythagore dans ce triangle : 2 2 BC² = AB² + AC² = (√10) + (√2 ) = 12. D’où : BC = √12 = √4 × 3 = 2√3 . BC √ =  3. On en déduit que : BD =  2 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Le triangle BCD est rectangle en D. On a donc l’égalité de Pythagore dans ce triangle : BC² = BD² + DC². 2 D’où : 12 = (√3 ) + DC². Alors : DC² = 12 – 3 = 9. Donc : DC = √9 = 3.

Lorsque l’on trace une diagonale dans un carré, cela forme deux triangles rectangles isocèles. On a donc l’égalité de Pythagore  dans chacun de ces triangles : a² + a² = d². D’où : 2a² = d². Donc : d = √2a2 = √2a.

61 1) Pour x = 20 : 2 A = 2 × (√20) − 6 × √20 − 8 = 40 − 6√20 − 8 = 32 − 6√20 2 2) B = 2 × √20 × (0,8 × √20 − 3) = 1,6 × (√20) − 6√20 √ = 32 − 6 20 On remarque que A = B. 3) On ne peut pas en déduire que A =  B car pour x =  0, on a : A = − 8 et B = 0.

66 a désigne la longueur de l’arête d’un cube et c la longueur d’un côté du cube. Le triangle ABD est rectangle en A et, d’après l’exercice précédent, on a : BD = √2c. Le triangle BDG est rectangle en B. On a donc l’égalité de Pythagore : DG² = DB² + BG². 2 a² = (√2c) + c² = 2c² + c² = 3c² Donc : a = √3c2 = √3c.

62 Un losange a une diagonale de longueur √72 cm et l’autre de longueur 18 cm. 1) √72 = √36 × 2 = √72 × 2 = 6√2 2) Les diagonales d’un losange sont de la même longueur, se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Elles forment 4 triangles rectangles superposables dont l’hypoténuse est un côté du losange. En notant c la longueur d’un côté du losange, on a donc l’égalité de Pythagore dans chacun des triangles : 6√ 2 18 2 = 9 × 2 + 81 = 99 c² =  2 +  2 2 Donc : c = √99 = √9 × 11 = 3√11.

( ) ( )

2√50 + 3√8 4√2 + √32 2√25 × 2 + 3√4 × 2

63 A =  A =  A =  A =  A = 

4√2 + √16 × 2 2 × √25 × √2 + 3 × √4 × √2 4√2 + √16 + √2 √ 10 2 + 6√2 4√2 + 4√2 16√2

8√2 A = 2

√27 + 3√48 √3 + 3√12 √9 × 3 + 3√16 × 3 B =  √3 – 3√4 × √3 √9 × √3 + 3√16 × √3 B =  √3 – 3√4 × 3 √ 3 3 + 12√3 B =  √3 – 6√3 15√3 B =  – 5√3 B = 

B = − 3

3√128 × 5√112 C =  2√56 3√64 × 2 + 5√2 × 56 C =  2√56 √ 3 × 64 × √2 + 5 × √2 × √56 C =  2√56 C = 3 × 8 × 5 = 120

5√162 × 7√72 D =  10√144 5√81 × 2 + 7√72 D =  10√144 5 × 9 × √2 × 7 × √72 D =  10√144 315 = 31,5 D =  10

64 1) Le triangle EFG est rectangle en G. On a donc l’égalité de Pythagore dans ce triangle : EG² = EF² − GF². 2 2 EG² = (13√7 ) − (√175) = 169 × 7 – 175 = 1 008 EG = √1 008 = √144 × 7 = 12√7 2) a) Aire du triangle EFG : EG × GF 12√7 × √175 12√7 × √25 × 7 = = 2 2 2 12 × √7 × √25 × √7 12 × 7 × 5 = 210 = 2 2 b) Périmètre du triangle EFG : EG + GF + EF = 13√7 + √175 + 12√7 = 13√7 + 5√7 + 12√7 = 30√7 =

65 a désigne la longueur du côté d’un carré et d la longueur d’une de ses diagonales. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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67 Toutes les faces triangulaires sont des triangles rectangles. Aire de la face BFE rectangle en F : BF × FE 3 × 3 =  = 4,5 cm² 2 2 Aire de la face BEH rectangle en E : BE × EH 3√2 × 3 =  = 4,5√2 cm² 2 2 Aire de la face EFGH : EF × EG = 3 × 3 = 9 cm². Les triangles EFB et BFG sont superposables, ils ont donc la même aire. De même pour les triangles BEH et GBH. On a alors : Airetotale = AireBFE + AireBFG + AireBEH + AireBGH + AireEFGH Airetotale = 4,5 + 4,5 + 4,5√2 + 4,5√2 + 9 = 18 + 9√2 cm²

68 AI = 3√6 ; AC = 6√2 ; AJ = 4√21 et AB = 4√28. AI AJ 3√6 3 4√21 √3 =  =  =  et =  . 2 AC 6√2 2 AB 4√28 Les droites (AC) et (AB) sont sécantes en A et I ∈ [AC] AI AJ et J ∈ [AB]. De plus =  . Donc, d’après le théorème AC AB réciproque de Thalès, les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.

√ √

2h =  2 × 90 ≈ 4,28 s g 9,81 La durée de la chute est d’environ 4,28 s. 69 t = 

70 Calcul de la longueur AB : AB × AM AB × 2√3 . D’où : 14√6 =  AireABM = = AB × √3. 2 2 14√6 = 14√2 cm. Donc : AB =  √3 Le triangle ABM est rectangle en A, on a donc l’égalité de Pythagore : 2 2 BM² = AB² + AM² = (14√2 ) + (2√3 ) = 196 × 2 + 4 × 3 = 404 Donc : BM = √404 = √4 × 101 = 2√101 cm. 71 1) Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2)

x

0

0,25

1

4

9

16

g(x)

0

0,5

1

2

3

4

Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

72 Le triangle ABI est rectangle en A, on a donc l’égalité de Pythagore : BI² = AB² + AI² = 5² + 3² = 34 CHAP. 4 - RACINE CARRÉE

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Donc : BI = √34 m. Le triangle CDE est rectangle en D, on a donc l’égalité de Pythagore : CE² = CD² + DE² = 15² + 9² = 306 Donc : CE = √306 = √9 × 34 = 3√34 m. Le triangle IHG est rectangle en H, on a donc l’égalité de Pythagore : IG² = IH² + HG² = 12² + 20² = 544 Donc : IG = √544 = √16 × 34 = 4√34 m. Le triangle EFG est rectangle en F, on a donc l’égalité de Pythagore : GE² = EF² + FG² = (12 + 3 – 9)² + 10² = 136 Donc : GE = √136 = √4 × 34 = 2√34 m. BC = AD – AB – CD = (20 + 10) – 5 – 15 = 10 m Périmètre de la cour : BI + IG + GE + EC + CB = √34 + 4√34 + 2√34 + 3√34 + 10 = 10 + 10√34 m La longueur exacte du périmètre de la cour est 10 + 10√34 m, soit environ 68,3 m.

0

f(x)

1

0,5

1

− 1,75 − 4

2)

2

2,5

3

3,5

4

− 5,75

−7

− 7,75

−8

− 7,75

−7

Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) On doit lire sur le graphique l’abscisse des points qui ont pour ordonnée 0. Une valeur approchée des solutions du problème sont donc 0,25 et 3,75. C 1) (2 + √3 ) = 2² + 2 × 2 × √3 + (√3 ) = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3 2 2 2) a) f(2 + √3 ) = (2 + √3 ) − 4 × (2 + √3 ) + 1 = 7 + 4√3 − 8 − 4√3 + 1 = 0 2 b) f (2 – √3 ) = (2 – √3 ) − 4 × (2 – √3 ) + 1 √ = 7 − 4 3 − 8 + 4√3 + 1 = 0 2

D 1) Pour avoir ax² + bx + c =  x² – 4x + 1, il suffit que a = 1 ; b = − 4 et c = 1. 2) Les solutions de l’équation x² – 4x + 1 = 0 sont donc : – b + √b2 – 4ac – b – √b2 – 4ac et . 2a 2a C’est-à-dire : 4 + √(– 4)2 – 4 × 1 × 1 2×1

=

4 + √4 × 3 2

=

4 + 2√3

2 = 2 + √3 De même, pour la deuxième solution, on trouve : 4 – √(– 4)2 – 4 × 1 × 1 = 2 − √3 2×1 4) a) On a bien : 2 + √3 ≈ 3,75 et 2 − √3 ≈ 0,25. b) Les deux solutions trouvées sont dans les deux cas  : 2 + √3 et 2 − √3. 74 1) Le triangle AOB est rectangle en O. On a donc l’égalité de Pythagore : OB² = OA² + AB² = 1² + 1² = 2 D’où : OB = √2 cm. De même, le triangle OBC est rectangle en B. On a donc l’égalité de Pythagore :

52

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75 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

L’hypoténuse du triangle rectangle a pour longueur √37 cm car (√37)2 = 6² + 1². 2)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

77

1,5

2

www.hachette-education.com

2)

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

x

2

76 1)

73 A 1) Aire du carré rouge : (x + 1)² = x² + 2x + 1. Aire du rectangle vert : 6x. 2) x doit vérifier l’équation : Aire du carré = Aire du rectangle x² + 2x + 1 = 6x D’où x doit vérifier : x² − 6x + 1 = 0, donc f(x) = 0. B 1)

OC² = OB² + BC² = (√2 ) + 1² = 2 + 1 = 3 D’où : OC = √3 cm. Enfin, le triangle OCD est rectangle en C. On a donc l’égalité de Pythagore : 2 OD² = OC² + CD² = (√3 ) + 1 = 3 + 1 = 4 √ D’où : OD =  4 = 2 cm. 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

78 a) √1 024 = 32  256 16 =   c) 361 19

b) √42,771 6 = 6,54  1 156 34 d) =  441 21

79 a) √2,68 ≈ 5,177 11 c) ≈ 0,692 23

b) √1,6 ≈ 1,265 3 d) ≈ 0,247 49

80 a) √5,62 = 5,6 9 2 9 c) = 57 57 2 e) (√2,1 ) = 2,1

2 b) (√357) = 357 –3 2 3 d) = 7 –7 f) √(– 3,5)2 = 3,5

√

√

√

(√ )

√

√( )

81 a) √36 × 16 = 24 c) √3 × √12 = 6

√

25 5 =  49 7 √ 1 d) 5 = √45 9 b)

82 a) √24 = 2√6 c) √96 = √16 × 6 = 4√6

b) √150 = 5√6 d) 3√486 = 27√6

83 a) √99 = 3√11 c) √891 = 9√11

b) √275 = 5√11 d) − 2√1 584 = − 24√11

84 a) √300 = 10√3 c) − 3√28 = − 6√7 e) – 2√75 = − 10√3

b) 448 = 16√3 d) 7√54 = 21√6 f) 6√56 = 12√14

85

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

b) − 12√252 = − 72√7 86 a) 3√490 = 21√10 c) − 7√243 = − 63√3 d) 5√0,12 = √3 e) 6√3 − 5√108 + 7√48 − 3√12 = 6√3 − 30√3 + 28√3 − 6√3 = − 2√3 f) 2√98 + 8√72 − 5√162 − 4√8 = 14√2 + 48√2 − 45√2 − 8√2 = 19√2 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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87

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Le losange est formé de 4 triangles rectangles tous superposables. La longueur de l’hypoténuse de chaque triangle est égale à 6√ 41√5 cm, et la longueur d’un côté de l’angle droit 45  cm. 2 L’autre côté de l’angle droit a une longueur égale à la moitié de la longueur de la deuxième diagonale. Pour chaque triangle, on a l’égalité de Pythagore : AB² = OA² + OB² 2 6√ 2 D’où : (41√5 ) =  45 + OB². 2 On en déduit : OB² = 41² × 5 – 9 × 45 = 8 000. Donc : OB = √8 000 = √100 × 16 × 5 = 40√5. La longueur de la deuxième diagonale est donc de 2 × OB = 80√5 cm. 88 a) √26,52 = 26,5 c) √(– 6,1)2 = 6,1

(√29)  = 29 7 7 d) √( ) = 3 3 2

b)

2

e) √81 × 4 = √81 × √4 = 9 × 2 = 18 16 √16 4 f) = = 25 √25 5 g) √9 × √49 = 3 × 7 = 21 √ 40 √ h) 40 = = 4=2 √10 10

√

√

JE FAIS LE POINT

102 1) A = √20 + 3√5 − 4√45 = √4 × 5 + 3√5 − 4√9 × 5 = 2√5 + 3√5 − 12√5 = − 7√5 2) B = √15 × √48 = √5 × 3 × √3 × 16 = √9 × √16 × √5 = 12√5 103 1) ABC est un triangle rectangle en A, on a donc l’égalité de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 100² + 100² = 20 000 Donc : BC = √20 000 = 100√2 m. 2) a) Superficie de ce terrain : 1002 Aireterrain = AireABC + Airedemi-disque =  100 × 100 + π × 2 2 ≈ 36 415,93 m² b) Périmètre de ce terrain :

2 × π × 1002 Périmètreterrain = AB + AC + BC = 100 + 100 +  2 ≈ 644,289 m 104 a = AB = 16 ; b = AC = 10 ; c = BC = 8 et p = AB + AC + BC = 34. AireABC =  34 × 34 – 16 × 34 – 10 × 34 × 8 2 2 2 2 = √17 × 1 × 7 × 9 = 3√119 cm²

√

105 1) R = √63 + 3√28 − √700 = √9 × 7 + 3√4 × 7 − √100 × 7 = 3√7 + 6√7 − 10√7 = − √7 2) U = (2√3 ) × (2√3 ) = 2² − √3 ² = 4 – 3 = 1 1 3) a) 5 − 4√2 ≈ − 0,657 b) ≈ 4,236 √5 – 2

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√

90

√

√

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

ABCDEFGH est un pavé droit. EGCA est un rectangle de centre O avec OE = √6. 1) EGCA est un rectangle, ses diagonales sont de la même longueur et se coupent en leur milieu. AEC est un triangle rectangle en E, on a donc l’égalité de Pythagore : EC² = AC² + EA² 2 D’où : (2√6 ) = AC² + √3 ². 2 Donc : AC² = (2√6 ) − √3 ² = 24 – 3 = 21. On en déduit : AC = √21 cm. Aire du rectangle EGCA : AC × GC = √21 × √3 = 3√7 cm² 2) Le triangle ABC est rectangle en B, on a donc l’égalité de Pythagore : AC² = AB² + BC² 2 D’où : (√21) = √5 ² + BC². Donc : BC² = 21 – 5 = 16 et BC = √16 = 4 cm. La longueur BC a bien une valeur entière.

Les exercices 91 à 100 sont corrigés à la page 306 du manuel élève.

101 1) S = 7√63 − 3√28 + √7 = 7√9 × 7 − 3√4 × 7 + √7 = 21√7 − 6√7 + √7 = 16√7 2 2) A = (13√31) = 13² × √31² = 169 × 31 = 5 239

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

89 a) √3 × √12 × √5 = √36 × √5 = 6√5 b) √6 × √14 × √7 = √3 × 2 × √2 × 7 × √7 = √3 × 2 × 7 = 14√3 √ 10 √ × 5 = √5 × √5 = 5 c) 10 × √5 = √2 2 √ √ 2 √2 2×6 = d) 2 × 6 = = √27 √2 9 3 27 × 2

106 1) D = (2x – 3)(3x – 1) + (2x – 3)² = 6x² − 2x – 9x + 3 + (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² D = 6x² + 4x² − 2x – 9x – 12x + 3 + 9 = 10x² − 23x + 12 2) D = (2x – 3)[(3x – 1) + (2x – 3)] = (2x – 3)(5x – 4) 3) Pour x = √2 : D = 10 × √2 ² − 23 × √2 + 12 = 20 − 23√2 − 23 = − 3 − 23√2 4) (2x – 3)(5x – 4) = 0 On sait que si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0 r 2x – 3 = 0 r 2x = 3 r x = 3 2 e e e w ou On a donc : w ou d’où w ou et e e e 4 q 5x – 4 = 0 q 5x = 4 q x =  5 1 o 107 1) a) cos (60 ) = 2 1 b) BC² = AB² + AC² − 2AC × AB × 2 Donc : BC² = AB² + AC² − AC × AB. c) BC² = 6² + 12² − 12 × 6 = 36 + 144 – 72 = 108 Donc : BC = √108 cm. 2) AC² = 12² = 144 ; BC² + AC² = 108 + 6² = 108 + 36 = 144. On a donc : AC² = BC² + AC². Alors le triangle ABC est rectangle en B. 3) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

108 1) ABCD est un carré, donc ses diagonales se coupent AC en leur milieu et on a : AO =  = 6 cm. 2 Le triangle AOS est rectangle en O, on a donc l’égalité de Pythagore : CHAP. 4 - RACINE CARRÉE

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SA² = AO² + SO² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 SA = √100 = 10 cm 2) Le triangle AOB est rectangle isocèle en O, on a donc l’égalité de Pythagore : AB² = OA² + OB² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72 AB = √72 = √36 × 2 = 6√2 cm AireABCD × SO 6√2 × 8 =  = 192 cm3 3) VolumeSABCD =  3 3 SA’ 3 SB’ 3 =  ; =  . 4) SA 10 SB 10 Les droites (SA) et (SB) se coupent en S ; A’ appartient au SA’ SB’ =  . segment [SA] ; B’ appartient au segment [SB] et SA SB Donc, d’après le théorème réciproque de Thalès, les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles. 109 a) √33 ≈ 5,7 2 d) ≈ 0,5 7

√

b) √11 ≈ 3,3 

c) √0,089 ≈ 0,3 

e) √5 + √7 ≈ 4,9

110 a) √68 = √4 × 17 = 2√17 b) √128 = √64 × 2 = 8√2 c) √640 = √64 × 10 = 8√10 d) – 3√40 = − 3√4 × 10 = − 6√10 e) 7√320 = 7√64 × 5 = 56√5 f) – 9√950 = − 9√25 × 38 = − 45√38

2) a) Le triangle CED est rectangle en E, on a donc l’égalité de Pythagore : DE² = CD² − CE² = 20² − 10² = 400 – 100 = 300 Donc : ED = √300 = 10√3 m. b) AD =  AF +  FE +  ED =  10 +  10 +  10√3 =  20 +  10√3 ≈ 37,32 m 3) Le triangle CED est rectangle en E, on a donc : m = CE = 10 = 1 sin(CDE) CD 20 2 m = 30o. D’où : CDE 113 1) AB = AH + BH = 1 + x AB 1 + x AO =  =  2 2 1+x x+1 OH = AO – AH =  − 1 =  2 2 2) a) Le triangle OHM est rectangle en H, on a donc l’égalité de Pythagore : OM² = OH² + HM² De plus, OM et OA sont deux rayons du même cercle, donc OA = OM et on a : OA² = OH² + HM². x+12– x+12 b) HM² = OA² − OH² =  2 2 1 1 HM² =  (x² + 2x + 1) – (x² − 2x + 1) 4 4 1 1 =  (x² + 2x + 1 − x² + 2x – 1) =  × 4x = x 4 4 c) x représente une longueur, c’est donc un nombre positif. On a donc : HM = √x . 3) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site

(

111 A = √147 + 5√108 = √49 × 3 + 5√36 × 3 = 7√3 + 30√3 = 37√3 B = 4√80 − 3√125 + √5 = 4√16 × 5 − 3√25 × 5 + √5 = 16√5 − 15√5 + √5 = 2√5 C = 6√175 − 7√448 + √567 = 6√25 × 7 − 7√64 × 7 + √81 × 7 = 30√7 − 56√7 + 9√7 = − 17√7 112 1) Le triangle ABF est rectangle en F, on a donc l’égalité de Pythagore : AB² = AF² + BF² = 10² + 10² = 200 Donc : AB = √200 = 10√2 ≈ 14,14 m.

) (

)

www.hachette-education.com

En mesurant sur la figure, on a bien HM = 3 cm. 114 Pour construire un segment de longueur √15 cm, on reprend la figure précédente en prenant x = 15 cm. La longueur HM sera alors √15 cm.

Exercices d’évaluation du socle commun a) √9,61 = 3,1

1

c) √0,04   = 0,2

√

169 13 =  49 7 2 809 53 = c) 196 14 a)

2

√

3 a) √135  = 3√15 c) √464  = 4√29

54

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√

1 1 = 25 5 d) √4 225 = 65

b)

√ √

784 28 = 121 11 529 23 d) =  625 25

b)

b) √684  = 6√19 d) √960 = 8√15

4 a) √61 ≈ 8 c) √67 ≈ 8 5

b) √11 ≈ 3 d) √97 ≈ 10

AC = √AB2 + BC2 = √6,52 + 7,22 = √94,09 = 9,7 cm

6 (Différence d’altitude)² =  (Longueur de la piste)² − 800² = 152 100 Différence d’altitude = √152 100 = 390 m

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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A P I TR H

C

E

Identités remarquables et applications

5

PROGRAMME Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES :

> CONNAISSANCES :

Identités remarquables

Résolution de l’équation x2 = a où a est un nombre relatif

CAPACITÉS

CAPACITÉS 2

2

Connaître les identités  : (a +  b)(a – b) =  a – b ; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. ● Les utiliser dans les deux sens sur des exemples numériques ou littéraux simples. ●

■ Commentaires Dans le cadre du socle commun, les élèves connaissent l’existence des identités remarquables et doivent savoir les utiliser pour calculer une expression numérique, mais aucune mémorisation des formules n’est exigée.

Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x2 = a, où a est un nombre positif.

●

■ Commentaires L’objectif premier est de donner du sens à la notion de racine carrée, à partir de problèmes posés dans des situations géométriques ou dans le cadre algébrique. À partir de 冑■

là, les élèves peuvent comprendre le rôle de la touche de la calculatrice, déjà utilisée en classe de Quatrième, qui fournit une valeur exacte ou approchée de la racine carrée.

Socle commun des connaissances Dans le cadre du socle commun, les élèves connaissent l’existence des identités remarquables et doivent savoir les utiliser pour calculer une expression numérique, mais aucune mémorisation des formules n’est exigée.

La seule capacité exigible, relative à la racine carrée, concerne le calcul à l’aide de la calculatrice de la racine carrée d’un nombre positif.

Capacités des programmes des classes antérieures Utiliser une expression littérale. Produire une expression littérale. ● Écrire une expression correspondant à une succession donnée d’opérations. ● Sur des exemples numériques ou littéraux, utiliser dans les deux sens les égalités : k(a + b) = ka + kb et k(a – b) = ka – kb. ● Sur des exemples numériques, écrire, en utilisant correctement des parenthèses, des programmes de calcul portant sur des sommes ou des produits de nombres relatifs. ● Calculer la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. ● ●

● Résoudre une équation du premier degré à une inconnue. ● Tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie lorsque l’on leur attribue des valeurs numériques. ● Organiser et effectuer à la main ou à la calculatrice les séquences de calcul correspondantes. ● Calculer la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. ● Réduire une expression littérale à une variable, du type : 3x – (4x – 2) ; 2x2 – 3x + x2... ● Développer une expression de la forme (a + b)(c + d).

Programme de la classe de Seconde Transformations d’expressions algébriques en vue d’une résolution de problème

● Développer, factoriser des expressions polynomiales simples ; transformer des expressions rationnelles simples.

Associer à un problème une expression algébrique. Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d’une expression en vue de la résolution du problème donné. ● ●

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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CHAP. 5 - IDENTITÉS REMARQUABLES ET APPLICATIONS

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Commentaires des auteurs ➜ En classe de Quatrième, les élèves ont appris à développer des expressions littérales en utilisant la double distributivité. Cette compétence est reprise dans ce chapitre pour établir les trois identités remarquables. Une large part des exercices est consacrée à la maîtrise des identités remarquables pour le développement ou la factorisation d’expressions algébriques. Ce travail prolonge celui réalisé au chapitre 2 « Calcul littéral – Équations produit nul ». ➜ Dans le cadre du socle commun, l’utilisation des identités remarquables ne se fait que dans un cadre numérique. Il est précisé que les identités remarquables doivent alors être données.

Nous avons considéré inutile de redonner les identités remarquables déjà écrites dans le manuel élève. Toutefois, il sera nécessaire de redonner ces identités dans le cas d’une évaluation du socle commun. Les identités remarquables dans le cadre numérique permettent d’effectuer mentalement certains calculs. ➜ La résolution d’une équation de type x2 = a est étudiée dans ce chapitre comme application des identités remarquables et des équations produit nul (voir chapitre 4). Les élèves ont découvert et étudié la notion de racine carrée dans le chapitre 4 « Racine carrée ».

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O MMENTAIR E S

C ORRIGÉ

Cette activité permet de faire découvrir aux élèves une technique de calcul mental reposant sur la distributivité simple qui a été vue en classe de Cinquième.

1) a) 101 × (100 + 1) = 101 × 100 + 101 × 1 b) 1012 = 101 × (100 + 1) = 10 100 + 101 = 10 201 2) 992 = 99 × (100 – 1) = 99 × 100 – 99 × 1 = 9 900 – 99 = 9 801

1

JE DÉMONTRE LES TROIS IDENTITÉS REMARQUABLES

Objectif

Établir les trois identités remarquables.

Prérequis

Double distributivité

Paragraphe introduit

! Les identités remarquables

■ C O MMENTAIR E S Cette activité permet d’établir les trois identités remarquables en utilisant la double distributivité vue en classe de Quatrième. Cette démonstration donne une méthode pour retrouver les trois identités remarquables. C O RRI G É

b) Étape 1 : On développe en utilisant la double distributivité. Étape 2 : On simplifie les écritures algébriques. Étape 3 : On réduit en écrivant que ab + ab = 2ab. 2 (a – b)2 = (a – b)(a – b) (a – b)2 = a × a – a × b – b × a + b × b (a – b)2 = a2 – ab – ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 3 a) (a + b)(a – b) = a × a – a × b + b × a – b × b (a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 b) La troisième identité remarquable est : (a + b)(a – b) = a2 – b2

1 a) Le carré d’une quantité est égal au produit de cette quantité par elle-même.

2

J’UTILISE LES IDENTITÉS REMARQUABLES

Objectif

Appliquer les identités remarquables pour développer ou factoriser une expression algébrique.

Prérequis

Les trois identités remarquables

Paragraphe introduit

! Les identités remarquables

■ C O MMENTAIR E S L’utilisation des identités remarquables est peu naturelle pour les élèves. En effet, beaucoup continuent d’utiliser la

56

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double distributivité pour développer le carré d’une expression algébrique. Une autre difficulté réside dans l’identification de l’identité qui doit être appliquée. Dans le cadre de la factorisation (Partie B ), l’élève découvre une nouvelle technique dont il aura besoin pour l’Activité  3 . C ORRIGÉ

A 1 a) Eléonore va utiliser l’identité remarquable (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. b) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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2 a) (x – 5)2 = x2 – 2 × x × 5 + 52 b) (x – 5)2 = x2 – 10x + 25 B 1 F = x2 – 62 2 a2 – b2 = (a + b)(a – b)

3

JE RÉSOUS L’ÉQUATION

Objectif Prérequis

Paragraphe introduit

3 La lettre a correspond à x et la lettre b correspond au nombre 6. 4 F = x2 – 62 F = (x + 6)(x – 6)

x2

=

a

OÙ

a

Déterminer par le calcul les solutions éventuelles de l’équation x2 = a. ● L’identité remarquable a2 – b2 = (a + b)(a – b) ● Racine carrée d’un nombre ● Équation produit nul ● Résolution d’une équation du premier degré à une inconnue

@ Résolution de l’équation x2 = a

■ C O M M E NTAIR E S

Pour les élèves, le mauvais réflexe «  x2 = √a donc x = a » est déjà bien ancré. Cette activité a pour but de démontrer que dans le cas où a est positif, on obtient deux solutions. Les deux autres cas, a = 0 et a 0 donc l’équation x2 = 25 admet deux solutions : – 5 et 5. b) 1 > 0, donc l’équation x2 = 1 admet deux solutions : – 1 et 1. c) 121 > 0, donc l’équation x2 =  121 admet deux solutions : – 11 et 11. d) 36 > 0, donc l’équation x2 = 36 admet deux solutions : – 6 et 6. 16 a) 2 > 0, donc l’équation x2 =  2 admet deux solutions : – √2 et √2. b) 11 > 0, donc l’équation x2 = 11 admet deux solutions : – √11 et √11. 4 4 c) > 0, donc l’équation x2 =  admet deux solutions : 9 9 2 2 – et . 3 3 1 1 d) > 0, donc l’équation x2 =  admet deux solutions : 25 25 1 1 – et . 5 5 17 a) L’équation x2 = 0 admet une seule solution : 0. b) 4 > 0, donc l’équation x2 = 4 admet deux solutions : – 2 et 2. c) (– 3)2 =  9 > 0, donc l’équation x2 =  (– 3)2 admet deux solutions : – 3 et 3. d) π > 0, donc l’équation x2 = π admet deux solutions : – √π et √π .

25 A = (x + 2)2 + 9 = x2 + 2 × x × 2 + 22 + 9 = x2 + 4x + 4 + 9 = x2 + 4x + 13 B = (2x + 1)2 – x + 3 = (2x)2 + 2 × 2x × 1 + 12 – x + 3 = 4x2 + 4x + 1 – x + 3 = 4x2 + 3x + 4 C = (3x – 2)2 – 5(x + 3) = (3x)2 – 2 × 3x × 2 + 22 – 5x – 15 = 9x2 – 12x + 4 – 5x – 15 = 9x2 – 17x – 11 D = (x + 5)2 + 3(x + 6) = x2 + 2 × x × 5 + 52 + 3x + 18 = x2 + 10x + 25 + 3x + 18 = x2 + 13x + 43 26 1) 9992 = (1 000 – 1)2 = 1 0002 – 2 × 1 000 × 1 + 12 = 1 000 000 – 2 000 + 1 = 998 001 2) 1 0032 = (1 000 + 3)2 = 1 0002 + 2 × 1 000 × 3 + 32 = 1 000 000 + 6 000 + 9 = 1 006 009 27 1) K = (a + 1)2 – (a – 1)2 = a2 + 2a + 1 – (a2 – 2a + 1) = a2 + 2a + 1 – a2 + 2a – 1 = 4a 2) Il s’agit de calculer K pour a = 100 000. On a donc : 100 0012 – 99 9992 = (100 000 + 1)(100 000 – 1) = 4 × 100 000 = 400 000 28 1) F = (2x + 3)2 – (4 + 3x)2 2 F = (2x)2 + 2 × 2x × 3 + 32 – (42 + 2 × 4 × 3x + (3x) ) 2 2 F = 4x + 12x + 9 – (16 + 24x + 9x ) F = 4x2 + 12x + 9 – 16 – 24x – 9x2 F = – 5x2 – 12x – 7 2) Pour x = – 1, on a : F = – 5 × (– 1)2 – 12 × (– 1) – 7 = – 5 + 12 – 7 = 0 29 G = (3 – 5x)(3 + 5x) + (6x – 2)2 G = 32 – (5x)2 + (6x)2 – 2 × 6x × 2 + 22 G = 9 – 25x2 + 36x2 – 24x + 4 = 11x2 – 24x + 13

18 a) (x + 3)2 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = x2 + 6x + 9 b) (x + 6)2 = x2 + 2 × x × 6 + 62 = x2 + 12x + 36 c) (3x + 2)2 = (3x)2 + 2 × 3x × 2 + 22 = 9x2 + 12x + 4 d) (1 + 5a)2 = 12 + 2 × 1 × 5a + (5a)2 = 1 + 10a + 25a2

30 (x + y)2 + (x – y)2 = x2 + 2 × x × y + y2 + x2 – 2 × x × y + y2 (x + y)2 + (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2 (x + y)2 + (x – y)2 = 2x2 + 2y2 = 2(x2 + y2)

19 a) (x – 4)2 = x2 – 2 × x × 4 + 42 = x2 – 8x + 16 b) (x – 5)2 = x2 – 2 × x × 5 + 52 = x2 – 10x + 25 c) (5x – 1)2 = (5x)2 – 2 × 5x × 1 + 12 = 25x2 – 10x + 1 d) (10 – 3x)2 = 102 – 2 × 10 × 3x + (3x)2 = 100 – 60x + 9x2

31 a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2 × x × 3 + (3)2 Donc : x2 + 6x + 9 = (x + 3)2. b) 36 – 12x + x2 = (6)2 + 2 × 6 × x + (x)2 Donc : 36 – 12x + x2 = (6 – x)2. c) 100 – 4x2 = (10)2 – (2x)2 Donc : 100 – 4x2 = (10 + 2x)(10 – 2x).

20 a) (7 – x)(7 + x) = 72 – x2 = 49 – x2 b) (1 – y)(1 + y) = 12 – y2 = 1 – y2 c) (1 – 3x)(1 + 3x) = 12 – (3x)2 = 1 – 9x2 d) (5b + 2)(5b – 2) = (5b)2 – 22 = 25b2 – 4

32 a) 16 + 2 × 4 × x + x2 = (4 + x)2 b) (4x)2 – 2 × 4x × 6 + 36 = (4x – 6)2 c) 9x2 – 2 × 3x × 7 + 49 = (3x – 7)2

21 a) (1 + x)2 = 12 + 2 × 1 × x + x2 = 1 + 2x + x2 b) (1 – b)2 = 12 – 2 × 1 × b + b2 = 1 – 2b + b2 c) (2x + 6)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 6 + 62 = 4x2 + 24x + 36 d) (a + 10)(a – 10) = a2 – 102 = a2 – 100

33 a) x2 – 2x + 1 = x2 – 2 × x × 1 + 12 = (x – 1)2 b) x2 + 8x + 16 = x2 + 2 × x × 4 + 42 = (x + 4)2 c) x2 – 10x + 25 = x2 – 2 × x × 5 + 52 = (x – 5)2 d) x2 + 6x + 9 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = (x + 3)2

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34 a) x2 – 14x + 49 = x2 – 2 × x × 7 + 72 = (x – 7)2 b) 9 – 6x + x2 = 32 – 2 × 3 × x + x2 = (3 – x)2 c) 4x2 + 4x + 1 = (2x)2 + 2 × 2x × 1 + 12 = (2x + 1)2 d) 9x2 – 6x + 1 = (3x)2 – 2 × 3x × 1 + 12 = (3x – 1)2 35 a) 36 + 24x + 4x2 = 62 + 2 × 6 × 2x + (2x)2 = (6 + 2x)2 b) 1 – 6b + 9b2 = 1 – 2 × 1 × 3b + (3b)2 = (1 – 3b)2 c) 100x2 – 140x + 49 = (10x)2 – 2 × 10x × 7 + 72 = (10x – 7)2 d) 25 + 30y + 9y2 = 52 + 2 × 5 × 3y + (3y)2 = (5 + 3y)2 36 a) x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4)(x – 4) b) 121 – x2 = 112 – x2 = (11 + x)(11 – x) c) 1 – x2 = 12 – x2 = (1 + x)(1 – x) d) x2 – 144 = x2 – 122 = (x + 12)(x – 12) 37 a) 64x2 – 25 = (8x)2 – 52 = (8x + 5)(8x – 5) b) 36x2 – 16 = (6x)2 – 42 = (6x + 4)(6x – 4) c) 1 – 100x2 = 12 – (10x)2 = (1 + 10x)(1 – 10x) d) – 9 + x2 = x2 – 9 = x2 – 32 = (x + 3)(x – 3) 38 1) 9x2 – 100 = 3x2 – 102 = (3x + 10)(3x – 10) 2) L’équation s’écrit : (3x + 10)(3x – 10) = 0. On reconnaît une équation produit. 10 Donc : 3x + 10 = 0, c’est-à-dire : x = – . 3 10 Ou bien : (3x – 10) = 0, c’est-à-dire x =  . 3 10 10 Les solutions de l’équation 9x2 – 100 = 0 sont : – et . 3 3 39 On factorise 49 – 4x2 = 72 – 2x2 = (7 + 2x)(7 – 2x). L’équation 49 – 4x2 = 0 s’écrit : (7 + 2x)(7 – 2x) = 0. On reconnaît une équation produit. –7 Donc : 7 + 2x = 0, c’est-à-dire x =  . 2 7 Ou bien : (7 – 2x) = 0, c’est-à-dire x =  . 2 7 7 Les solutions de l’équation 49 – 4x2 = 0 sont : – et . 2 2 40 1) a) (√3 x) = 3x2 2 b) E = 3x2 – 1 = (√3 x) – 12 2) E = (√3 x + 1) (√3 x – 1) 2

42 1) G = 4x2 – 20x + 25 + (2x – 5)(3x + 4) G = 4x2 – 20x + 25 + 6x2 + 8x – 15x – 20 G = 10x2 – 27x + 5 2) 4x2 – 20x + 25 = (2x)2 – 2 × 2x × 5 + 52 = (2x – 5)2 3) G = (2x – 5)2 + (2x – 5)(3x + 4) G = (2x – 5)[(2x – 5) + (3x + 4)] G = (2x – 5)(5x – 1) 43 1) H = (3x + 8)2 + 2(9x2 – 64) H = (3x)2 + 2 × 3x × 8 + 82 + 18x2 – 128 H = 9x2 + 48x + 64 + 18x2 – 128 H = 27x2 + 48x – 64 2) a) 9x2 – 64 = (3x)2 – 82 = (3x + 8)(3x – 8) b) H = 3x + 82 + 2(3x + 8)(3x – 8) H = (3x + 8)[(3x + 8) + 2(3x – 8)] H = (3x + 8)(3x + 8 + 6x – 16) H = (3x + 8)(9x – 8) b) a2 + b2 d) (a – b)2 f) 2 × a × b

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b) (4x)2 = 16x2 d) – (6x)2 = – 36x2 f) – 2 × 8a × 3 = – 48a

46 a) (m + p)2 = m2 + 2 × m × p + p2 = m2 + 2mp + p2 b) (a + 1)2 = a2 + 2 × a × 1 + 12 = a2 + 2a + 1 c) (r – t)2 = r2 – 2 × r × t + t2 = r2 – 2rt + t2 d) (b – 1)2 = b2 – 2 × b × 1 + 12 = b2 – 2b + 1 e) (x + y)(x – y) = x2 – y2 f) (a – b)(a + b) = a2 – b2 47 a) (x + 9)2 = x2 + 2 × x × 9 + 92 = x2 + 18x + 81 b) (y – 4)2 = y2 – 2 × y × 4 + 42 = y2 – 8y + 16 c) (t + 5)(t – 5) = t2 – 52 = t2 – 25 48 a) (x – 11)2 = x2 – 2 × x × 11 + 112 = x2 – 22x + 121 b) (8 – 10x)(8 + 10x) = 82 – (10x)2 = 64 – 100x2 1 1 12 1 c) – a2 =  – a2 + a – a =  2 2 2 4 d) (6x – 9)2 = (6x)2 – 2 × 6x × 9 + 92 = 36x2 – 108x + 81 e) (14 + 13x)2 = 142 + 2 × 14 × 13x + (13x)2 = 196 + 364x + 169x2 f) (0,1x – 10)2 = (0,1x)2 – 2 × 0,1x × 10 + 102 = 0,01x2 – 2x + 100

(

)( ) ( )

2

2

( 56) = (3x) + 2 × 3x × 56 + (56) = 9x + 5x +  25 36 3 3 3 9 b) ( + a) = ( ) – 2 × × a + a =  – 3a + a 2 2 2 4 4 x 4 4 16 x x x – c) ( + )( – ) = ( ) – ( ) =  5 25 3 5 3 5 3 9 1 1 1 1 d) ( + 2x) = ( ) + 2 × × 2x + (2x) =  + x + 4x 4 4 4 16 49 a) 3x + 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

50 A = (5x + 2)2 + (1 + 3x)2 A = 25x2 + 20x + 4 + 1 + 6x + 9x2 A = 34x2 + 26x + 5 B = (2x – 3)(2x + 3) – (1 + x)2 B = 4x2 – 9 – (1 + 2x + x2) B = 4x2 – 9 – 1 – 2x – x2 B = 3x2 – 2x – 10

41 1) 25x2 – 49 = (5x)2 – 72 2) F = (5x + 7)(5x – 7) – (3x + 4)(5x – 7) F = (5x – 7)[(5x + 7) – (3x + 4)] F = (5x – 7)(5x + 7 – 3x – 4) F = (5x – 7)(2x + 3)

44 a) (a + b)2 c) (a + b)(a – b) e) a2 – b2

45 a) (3x)2 = 9x2 c) 2 × 3x × 52 = 150x e) (– 4x)2 = 16x2

C = (3x + 2)2 – (2x + 3)2 C = 9x2 + 12x + 4 – (4x2 + 12x + 9) C = 9x2 + 12x + 4 – 4x2 – 12x – 9 C = 5x2 – 5 D = (4 – 6x)2 + (5 – 8x)(5 + 8x) D = 16 – 48x + 36x2 + 25 – 64x2 D = – 28x2 – 48x + 41 51 A = (x + y)2 + (x – y)2 – 2(x + y)(x – y) A = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2 – 2(x2 – y2) A = 2x2 + 2y2 – 2x2 + 2y2 A = 4y2 52 (x + y)2 – (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – (x2 – 2xy + y2) = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 2 Ainsi : (x + y) – (x – y)2 = 4xy. 53 1) B = (x + 5)2 – (x – 5)2 = x2 + 10x + 25 – (x2 – 10x + 25) B = x2 + 10x + 25 – x2 + 10x – 25 = 20x 2) Pour x = 10 000, on obtient : B = (10 000 + 5)2 – (10 000 – 5)2 = 20 × 10 000 = 200 000 54 1) 1042 = (100 + 4)2 = 1002 + 2 × 100 × 4 + 42 = 10 000 + 800 + 16 = 10 816 2) 9 9992 = (10 000 – 1)2 = 10 0002 – 2 × 10 000 × 1 + 12 = 100 000 000 – 20 000 + 1 = 99 980 001 CHAP. 5 - IDENTITÉS REMARQUABLES ET APPLICATIONS

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55 1 000 0032 = (1 000 000 + 3)2 = 1 000 0002 + 2 × 1 000 000 × 1 + 32 = 1 000 000 000 000 + 2 000 000 + 9 = 1 000 002 000 009 56 a) x2 + 2 × x × y + y2 = (x + y)2 b) t2 + 2tv + v2 = (t + v)2 c) d2 – 2df + f 2 = (d + f )2 d) c2 – 2cf + f 2 = (c – f )2 e) m2 – n2 = (m + n)(m – n) f) r2 – 36 = r2 – 62 = (r + 6)(r – 6)

66 a) (√3 + 2) = (√3 ) + 2 × √3 × 2 + 22 = 3 + 4√3 + 4 = 7 + 4√3 2 2 b) (√3 – 2) = (√3 ) – 2 × √3 × 2 + 22 = 3 – 4√3 + 4 = 7 – 4√3 2 √ √ ( )( ) c) 3 + 2 3 – 2 = (√3 ) – 22 = 3 – 4 = – 1 2 d) (2 + √3 )(2 – √3 ) = 22 – (√3 ) = 4 – 3 = 1 2

57 a) x2 – 20x + 100 = (x – 10)2 b) 49 – 14x + x2 = (7 – x)2 c) 9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2 d) 81 – 25x2 = (9 + 5x)(9 – 5x)

59 a) 25x2 – 1 = (5x)2 – 1 = (5x – 1)(5x + 1) b) 1 + 4x + 4x2 = 1 + 2 × 1 × 2x + (2x)2 = (1 + 2x)2

x2 = 72 – x 2 =  7 – x 7 +  x

() (

)(

)

36 6 6 6 d) 100x2 – 60x + 9 = (10x)2 – 2 × 10x × 3 + 32 = (10x – 3)2 e) 1 – 2a + a2 = 12 – 2 × 1 × a + a2 = (1 – a)2 f) 16m2 + 24m + 9 = (4m)2 + 2 × 4m × 3 + 32 = (4m + 3)2 60 1) 16x2 – 8x + 1 = (4x)2 – 2 × 4x × 1 + 12 = (4x – 1)2 2) F = (5 – 6x)(4x – 1) + (4x – 1)2 F = (4x – 1)[(5 – 6x) + (4x – 1)] F = (4x – 1)(– 2x + 4) 61 1) 9 – 16x2 = 32 – (4x)2 = (3 + 4x)(3 – 4x) 2) G = (3 + 4x)(3 – 4x) + (3 + 4x)(7 – 2x) G = (3 + 4x)[(3 – 4x) + (7 – 2x)] G = (3 + 4x)(– 6x + 10) 62 a) 1042 = (100 + 4)2 = 1002 + 2 × 100 × 4 + 42 = 10 000 + 800 + 16 = 10 816 b) 532 – 472 = (53 + 47)(53 – 47) = 100 × 6 = 600 c) 999 × 1 001 = (1 000 – 1)(1 000 + 1) = 1 0002 – 12 = 1 000 000 – 1 = 999 999 d) 5 0012 – 4 9992 = (5 001 + 4 999)(5 001 – 4 999) = 10 000 × 2 = 20 000 63 1) 9,92 = (10 – 0,1)2 = 102 – 2 × 10 × 0,1 + 0,12 = 100 – 2 + 0,01 = 98,01 2) 99,92 = (100 – 0,1)2 = 1002 – 2 × 100 × 0,1 + 0,12 = 10 000 – 20 + 0,01 = 9 980,01 3) 57,62 – 42,42 = (57,6 + 42,4)(57,6 – 42,4) = 100 × 15,2 = 1 520 4) 100,12 = (100 + 0,1)2 = 1002 + 2 × 100 × 0,1 + 0,12 = 10 000 + 20 + 0,01 = 10 020,01 64 1) A = (x – 2)2 – (x – 1)(x – 4) A = x2 – 4x + 4 – (x2 – 4x – x + 4) A = x2 – 4x + 4 – x2 + 4x + x – 4 A = x 2) Pour x = 1 236, on a : A = (1 236 – 2)2 – (1 236 – 1)(1 236 – 4) = 1 2342 – 1 235 × 1 232 Donc : 1 2342 – 1 235 × 1 232 = 2 × 1 236 – 4 = 2 472 – 4 = 1 236 65 1) L’aire du carré FGKL est égale à FG2. Pour calculer FG2, on écrit l’égalité de Pythagore dans le triangle EFG rectangle en E.

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2

67 a) (√3 + 2) = (√5 ) + 2 × 5 × 2 + 22 = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5 2 2 b) (3 – √2 ) = 32 – 2 × 3 × √2 + √2 = 9 – 6√2 + 2 = 11 – 6√2 2 2 c) (1 + √2 ) = 12 + 2 × 1 × √2 + √2 = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2 2 2 d) (√3 + √2 )(√3 – √2 ) = (√3 ) – (√2 ) = 3 – 2 = 1 2

58 a) 4x2 – 121 = (2x – 11)(2x + 11) b) 4x2 – 24x + 36 = (2x – 6)2 c) 9x2 + 48x + 64 = (3x + 8)2 d) 81 – 25x2 = (9 – 5x)(9 + 5x)

c) 49 –

FG2 = EF2 + EG2 FG2 = (n + 3)2 + (2n + 1)2 L’aire de FGKL est : (n + 3)2 + (2n + 1)2. 2) (n + 3)2 + (2n + 1)2 = n2 + 6n + 9 + 4n2 + 4n + 1 = 5n2 + 10n + 10

2

68 a) (2 + √7 ) = 22 + 2 × 2 × √7 + √7 = 4 + 4√7 + 7 = 11 + 4√7 2 2 b) (√3 – √10)(√3 + √10) = (√3 ) – (√10) = 3 – 10 = – 7 2 2 √ √ √ c) ( 5 – 5) = ( 5 ) – 2 × 5 × 5 + 52 = 5 – 10√5 + 25 = 30 – 10√5 2 2 d) (√3 + √6 )(√3 – √6 ) = (√3 ) – (√6 ) = 3 – 6 = – 3 2

2

69 a) Pour x = √3, on a : 2 D = 3 × (√3 ) + 5 × √3 – 1 = 9 + 5√3 – 1 = 8 + 5√3 b) Pour x = √2 + 1, on a : 2 D = 3 × (√2 + 1) + 5 × (√2 + 1) – 1 D = 3 × (2 + 2√2 + 1) + 5√2 + 5 – 1 D = 6 + 6√2 + 3 + 5√2 + 5 – 1 D = 13 + 11√2 c) Pour x = √2 – 1, on a : 2 D = 3 × (√2 – 1) + 5 × (√2 – 1) – 1 √ ( D = 3 × 2 – 2 2 + 1) + 5√2 – 5 – 1 D = 6 – 6√2 + 3 + 5√2 – 5 – 1 D = 3 – √2 70 Paulo a utilisé la forme factorisée et a remarqué que 3 pour x =  : 5 3 (5x – 3) =  5 × – 3 = 3 – 3 = 0 5 3 Ainsi la valeur annule un des facteurs de la forme fac5 torisée de H, donc annule H.

(

)

71 1) 49x2 + 28x + 4 = (7x)2 + 2 × 7x × 2 + 22 = (7x + 2)2 2) I = (7x + 2)2 – (1 – 4x)(7x + 2) I = (7x + 2)[(7x + 2 – 1 – 4x)] I = (7x + 2)(7x + 2 – 1 + 4x) I = (7x + 2)(11x + 1) 2 3) Pour x = –  :  7 –2 + 2 = – 2 + 2 = 0, donc I = 0. 7x + 2 = 7 × 7 72 1) 49x2 – 25 = (7x)2 – 52 2) F = (5 + 7x)(8 – x) – (7x + 5)(7x – 5) F = (5 + 7x)[(8 – x) – (7x – 5)] F = (5 + 7x)(8 – x – 7x + 5) F = (5 + 7x)(13 – 8x) 73 1) a) Si m =  0, l’équation x2 =  0 admet une seule solution : 0. b) Si m 0, l’équation x2 = 0 admet deux solutions : – √m et √m . 2) a) 36 > 0, donc l’équation x2 = 36 admet deux solutions : – 6 et 6. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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b) 12 > 0, donc l’équation x2 = 12 admet deux solutions : – √12 et √12. 3) On a : m = √172 = √17. 74 1) 2x2 – 7 = 0 Donc : 2x2 – 7 + 7 = 0 + 7. Ainsi : 2x2 = 7. 1 1 Donc : × 2x2 =  × 7. 2 2 7 Ainsi : x2 =  . 2 7 7 2) > 0, donc l’équation x2 =  admet deux solutions. 2 2 3) Les solutions de l’équation 2x2 – 7 =  0 sont donc les 7 solutions de l’équation x2 =  , 2 7 7 et . c’est-à-dire : – 2 2

√ √

75 a) 1 > 0, donc l’équation x2 =  1 admet deux solutions : – 1 et 1. b) L’équation x2 – 121 = 0 peut s’écrire x2 = 121. 121 > 0, donc l’équation x2 – 121 = 0 admet deux solutions : – 11 et 11. c) L’équation 16 + x2 = 0 peut s’écrire x2 = – 16. – 16 0, donc l’équation 3x2 – 1 = 8 admet deux solutions : – √3 et √3. f) L’équation 2 – x2 = 0 peut s’écrire x2 = 2. 2 > 0, donc l’équation 2 – x2 = 0 admet deux solutions : – √2 et √2. 76 1) a) (2x + 1)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 1 + 12 = 4x2 + 4x + 1 b) 5 × (4x2 + 4x + 1) = 20x2 + 20x + 5 2) a) 5(2x + 1) = 10x + 5 b) (10x + 5)2 = (10x)2 + 2 × 10x × 5 + 52 = 100x2 + 100x + 25 3) C’est la consigne 1) qui permet de développer l’expression A =  5(2x +  1)2 car le carré ne porte que sur l’expression (2x + 1). 77 a) D = (6x – 9)2 + 9(3 – 2x)2 D = (6x)2 – 2 × 6x × 9 + 92 + 9(32 – 2 × 3 × 2x + (2x)2) D = 36x2 – 108x + 81 + 9(9 – 12x + 4x2) D = 36x2 – 108x + 81 + 81 – 108x + 36x2 D = 72x2 – 216x + 162 b) E = 5(8x – 1)(8x + 1) E = 5[(8x)2 – 12] E = 5(64x2 – 1) E = 320x2 – 5 78 a) A2 = (4x – 5)2 = (4x)2 – 2 × 4x × 5 + 52 = 16x2 – 40x + 25 b) B2 = (1 + 3x)2 = 12 + 2 × 1 × 3x + (3x)2 = 1 + 6x + 9x2 c) (A + B)(A – B) = A2 – B2 = (16x2 – 40x + 25) – (1 + 6x + 9x2) (A + B)(A – B) = 16x2 – 40x + 25 – 1 – 6x – 9x2 = 7x2 – 46x + 24 79 a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 = 16x2 – 40x + 25 + 2(4x – 5)(1 + 3x) + 1 + 6x + 9x2 (A + B)2 = 25x2 – 34x + 26 + 2(4x + 12x2 – 5 – 15x) (A + B)2 = 25x2 – 34x + 26 + 8x + 24x2 – 10 – 30x (A + B)2 = 49x2 – 56x + 16 b) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 = 16x2 – 40x + 25 – 2(4x – 5)(1 + 3x) + 1 + 6x + 9x2 (A + B)2 = 25x2 – 34x + 26 – 2(4x + 12x2 – 5 – 15x) (A + B)2 = 25x2 – 34x + 26 – 8x – 24x2 + 10 + 30x (A + B)2 = x2 – 12x + 36 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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c) 2AB = 2(4x – 5)(1 + 3x) = 2(4x + 12x2 – 5 – 15x) 2AB = 8x + 24x2 – 10 – 30x = 24x2 – 22x – 10 80 1) a) ● Pour a = 1 , on a : N = (1 + 1)2 – (1 – 1)2 = 22 – 02 = 4 ● Pour a = – 2 , on a : 1 2 1 2 – –2 – N =  – 2 + –2 –2 –5 2 –3 2 N =  – 2 2 25 9 16 N =  – =  = 4 4 4 4 3 ● Pour a =  , on a : 2 3 2 2 3 2 2 9 4 2 9 4 2 13 2 5 2 N =  + – – = + – – = – 2 3 2 3 6 6 6 6 6 6 169 25 144 N =  – =  = 4 36 36 36 b) On remarque que le résultat est 4 dans chacun des cas précédents. On peut émettre la conjecture que N = 4 quel que soit le nombre a. 12 12 2) N =  a + – a– a a 1 12 12 – a2 – 2 × a × 1a +  N = a2 + 2 × a × +  a a a 1 1 1 1 2 2 2 N = a + 2 +  – a – 2 +  = a + 2 +  – a2 + 2 – = 4 a2 a2 a2 a2

( ) ( ( ) ( ) (

) (

(

)

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) (

) ( ) ()

) ( ) () ( ( )

( ))

81 a) H = 5,172 + 2 × 5,17 × 4,83 + 4,832 = (5,17 + 4,83)2 = 102 = 100 b) V = 5 4632 – 4 5372 = (5 463 – 4 537)(5 463 + 4 537) = 926 × 10 000 = 9 260 000 82 1) a) La calculatrice affiche 1.12 ce qui signifie 1 × 1012. b) Le chiffre des unités du nombre K se détermine en multipliant le chiffre des unités de 1 000 002 par le chiffre des unités de 999 998, c’est-à-dire 2 × 8 = 16. Le nombre K se termine donc par un 6. La calculatrice affiche une valeur approchée du nombre K en effectuant l’approximation : K ≅ 1 000 000 × 1 000 000, c’est-à-dire K ≈ 1012. 2 2) K = 1 000 002 × 999 998 = (106 + 2)(106 – 2) = (106) – 22 = 1012 – 4 = 999 999 999 996 83 1) (a – b)(a + b) – a2 = a2 – b2 – a2 = – b2 2) En posant a = 8 454 740 et b = 1 et en utilisant le résultat de la question 1), on a : S = (8 454 740 – 1)(8 454 740 + 1) – 8 454 7402 = – 12 = – 1 84 A = (2 + x)2 – (3x + 5)2 A = [(2 + x) + (3x + 5)][(2 + x) – (3x + 5)] A = (2 + x + 3x + 5)(2 + x – 3x – 5) A = (4x + 7)(– 2x – 3) 85 1) Capucine a oublié d’inverser le signe devant 3 en supprimant les parenthèses précédées d’un signe négatif. 2) B = (3x + 2)2 – (2x – 3)2 B = [(3x + 2) + (2x – 3)][(3x + 2) – (2x – 3)] B = (3x + 2 + 2x – 3)(3x + 2 – 2x + 3) B = (5x – 1)(x + 5) 86 a) C = (2x + 3)2 – 49 C = (2x + 3)2 – 72 C = (2x + 3 + 7)(2x + 3 – 7) C = (2x + 10)(2x – 4) b) D = (2 + x)2 – (4x + 5)2 D = [(2 + x) + (4x + 5)][(2 + x) – (4x + 5)] CHAP. 5 - IDENTITÉS REMARQUABLES ET APPLICATIONS

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D = (2 + x + 4x + 5)(2 + x – 4x – 5) D = (5x + 7)(– 3x – 3) c) E = 25 – (3x – 1)2 E = 52 – (3x – 1)2 E = [5 + (3x – 1)][5 – (3x – 1)] E = (5 + 3x – 1)(5 – 3x + 1) E = (3x + 4)(– 3x + 6) d) F = (4x + 1)2 – (7 – 2x)2 F = [(4x + 1) + (7 – 2x)][(4x + 1) – (7 – 2x)] F = (4x + 1 + 7 – 2x)(4x + 1 – 7 + 2x) F = (2x + 8)(6x – 6)

2) (4√3 + 3√2 ) = (4√3 ) + 2 × 4√3 × 3√6 + (3√2 ) = 48 + 24√6 + 18 = 66 + 24√6 2

2

2

92 a) (2√3 + 3√5 ) = (2√3 ) + 2 × 2√3 × 3√5 + (3√5 ) = 12 + 12√15 + 45 = 57 + 12√15 2 2 b) (3√7 – 5√2 )(3√7 + 5√2 ) = (3√7 ) – (5√2 ) = 63 – 50 = 13 2 2 2 c) (4√2 + 2√6 ) = (4√2 ) + 2 × 4√2 × 2√6 + (2√6 ) = 32 + 16√12 + 24 = 56 + 16√12 2 2 d) (6√3 + 3√6 )(6√3 – 3√6 ) = (6√3 ) – (3√6 ) = 108 – 54 = 54 2

2

2

93 1) x2 – 2√3 x + 3 = x2 – 2√3 x + (√3 ) = (x – √3 ) 2 2) 5 + 4√5 x + 4x2 =  (√5 ) + 2 × √5 × 2x + (2x)2 = (√5 + 2x)2 2

2

87 1) 10x – 3 > 0 car cette expression représente une longueur. Comme 10x – 3 > 0, on a : 10x > 3, c’est-à-dire : x > 0,3. 2) a) Aire de ABCD = (10x + 1)2 = 100x2 + 20x + 1. b) Aire de AEFG = (10x – 3)2 = 100x2 – 60x + 9. 3) Aire de la surface bleue = Aire de ABCD – Aire de AEFG Aire de la surface bleue = 100x2 + 20x + 1 – (100x2 – 60x + 9) Aire de la surface bleue = 100x2 + 20x + 1 – 100x2 + 60x – 9 Aire de la surface bleue = 80x – 8 4) On résout l’équation 80x – 8 = 272. On obtient 80x = 280, c’est-à-dire : x = 3,5.

94 Aire de la surface bleue = πx2 – π × 25 = π(x2 – 25) cm2 Aire de la surface rouge = π × 625 – πx2 = π(625 – x2) cm2 x doit donc être solution de l’équation π(x2 – 25) = π(625 – x2) On a donc : x2 – 25 = 625 – x2, c’est-à-dire : 2x2 = 650 ; x2 = 325. Donc : x = – √325 ou x = √325. Comme x représente une longueur, on ne garde que la solution positive. La solution est donc : x = √325 = 5√13.

88 C’est l’élève de droite qui a raison. (3x – 1)2 = (2x – 5)2 (3x – 1)2 – (2x – 5)2 = 0 [(3x – 1) + (2x – 5)][(3x – 1) – (2x – 5)] = 0 (3x – 1 + 2x – 5)(3x – 1 – 2x – 5) = 0 Donc : 5x – 6x – 4 = 0. On reconnaît une équation produit nul. 6 Donc : 5x – 6 = 0, c’est-à-dire x =  . 5 Ou bien : x – 4 = 0, c’est-à-dire x = 4. 6 Les deux solutions sont : et 4. 5

95 1) a) Le quadrilatère est un rectangle car il a quatre angles droits. De plus, EF = FG = GH = HE = b – a. Donc EFGH est un carré. b) Aire de EFGH = (b – a)2 2) Aire de ABCD = c2 Mais, on a aussi : Aire de ABCD ab = Aire des 4 triangles jaunes + Aire de EFGH = 4 + (b – a)2 2 ab + (b – a)2 = c2, 3) D’après la question 2), on a : 4 2 c’est-à-dire : 2ab + b2 – 2ab + a2 = c2. On obtient : a2 + b2 = c2, ce qui traduit l’égalité de Pythagore.

89 a) (3 – 2x)2 = 36 (3 – 2x)2 – 36 = 0 (3 – 2x)2 – 62 = 0 (3 – 2x + 6)(3 – 2x – 6) = 0 (9 – 2x)(– 3 – 2x) = 0 On reconnaît une équation produit nul. 9 Donc : 9 – 2x = 0, c’est-à-dire x =  . 2 3 Ou bien : – 3 – 2x = 0, c’est-à-dire x = – . 2 3 9 Les deux solutions sont : – et . 2 2 b) (5x + 8)2 = (4 – 7x)2 (5x + 8)2 – (4 – 7x)2 = 0 [(5x + 8) + (4 – 7x)][(5x + 8) – (4 – 7x)] = 0 (5x + 8 + 4 – 7x)(5x + 8 – 4 + 7x) = 0 (– 2x + 12)(12x + 4) = 0 On reconnaît une équation produit nul. Donc : – 2x + 12 = 0, c’est-à-dire x = 6. 1 Ou bien : 12x + 4 = 0, c’est-à-dire x = – . 3 1 Les deux solutions sont : – et 6. 3 90 a) (2√3 + 1) = (2√3 ) + 2 × 2√3 × 1 + 12 = 12 + 4√3 + 1 = 13 + 4√3 2 b) (2√3 + 1) (2√3 – 1) = (2√3 ) – 12 = 12 – 1 = 11 2 2 c) (3√2 – 1) = (3√2 ) – 2 × 3√2 × 1 + 12 = 18 – 6√2 + 1 = 19 – 6√2 2 d) (1 + 3√2 )(1 – 3√2 ) = 12 – (3√2 ) = 1 – 18 = – 17 2

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91 1) (4√3 ) = 16 × 3 = 48 (3√2 )2 = 9 × 2 = 18 4√3 × 3√2 = 12√6 2

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96 1) (n – 1)2 + n2 = (n + 1)2 n2 – 2n + 1 + n2 = n2 + 2n + 1 (On a développé chaque membre.) 2n2 – 2n + 1 = n2 + 2n + 1 2n2 – n2 – 2n + 1 = n2 – n2 + 2n + 1 n2 – 2n + 1 = 2n + 1 n2 – 2n – 2n + 1 = 2n – 2n + 1 n2 – 4n + 1 = 1 n2 – 4n + 1 – 1 = 1 – 1 n2 – 4n = 0 n(n – 4) = 0 On reconnaît une équation produit nul. Donc n = 0 ou bien n – 4 = 0, c’est-à-dire : n = 4. L’équation admet deux solutions : 0 et 4. 2) En notant n la longueur d’un des côtés de l’angle droit, la longueur de l’autre côté de l’angle droit se note alors (n – 1), et la longueur de l’hypoténuse, qui est le côté le plus long, se note (n + 1). L’égalité de Pythagore s’écrit : (n – 1)2 + n2 = (n + 1)2. D’après la question 1), on a alors : n = 0 ou n = 4. Comme la longueur d’un côté ne peut pas être nulle, la seule solution est n = 4. On en déduit les côtés du triangle : 3 ; 4 et 5. Vérification : on a bien : 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52. 97 On note x le nombre cherché. Le problème se traduit par l’équation (x + 2)2 = x2 + 48. x2 + 4x + 4 = x2 + 48 x2 – x2 + 4x + 4 = x2 – x2 + 48 4x + 4 = 48 4x = 48 – 4 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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e) Comme x représente le deuxième nombre, on obtient les deux séries de nombres : ● pour x = – 2 : – 3 ; – 2 et – 1. ● pour x = 2 : 1 ; 2 et 3.

4x = 44 x = 11 Le nombre cherché est 11. Vérification : (11 + 2)2 = 132 = 169 112 + 48 = 121 + 48 = 169 98 1) Aire de la croix verte = 100 – 4x cm 2) x doit vérifier l’égalité 1002 – 4x2 = 0,64 × 1002. 10 000 – 4x2 = 6 400 4x2 = 10 000 – 6 400 4x2 = 3 600 x2 = 900 Donc : x = – 30 ou x = 30. Comme x représente une longueur, la solution est x = 30 cm. 3) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site 2

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99 A 1) Le professeur a choisi les nombres : 9 ; 10 et 11. 2) a) Leslie a trouvé : 11 × (2 × 9) = 198. b) Jonathan effectue le calcul : 102 + 2 = 102. B 1) – 5 représente le deuxième nombre, donc les nombres choisis par le professeur sont : – 6 ; – 5 et – 4. 2) Leslie : – 4 × (2 × (– 4)) = 32. Jonathan : (– 5)2 + 2 = 27. Leslie et Jonathan ne trouvent pas le même résultat. C 1) a) Les deux autres nombres sont (n + 1) et (n + 2). b) Leslie : (n + 2) × 2 × n. Jonathan : (n + 1)2 + 2. c) Puisque dans cette partie Leslie et Jonathan obtiennent le même résultat, on a : (n + 2) × 2 × n = (n + 1)2 + 2 2n2 + 4n = n2 + 2n + 1 + 2 2n2 + 4n = n2 + 2n + 3 2n2 – n2 + 4n = 2n + 3 n2 + 4n – 2n = 3 n2 + 2n – 3 = 0 On ne sait pas résoudre cette équation car on ne sait pas factoriser l’expression n2 + 2n – 3. d) On a : n2 + 2n + 1 = (n + 1)2. Donc : n2 + 2n = (n + 1)2 – 1. Par conséquent, a = 1. e) On a : n2 + 2n – 3 = 0. Donc : (n + 1)2 – 1 – 3 = 0. Ainsi : (n + 1)2 – 4 = 0. f) (n + 1)2 – 4 = 0 (n + 1)2 – 22 = 0 (n + 1 + 2)(n + 1 – 2) = 0 (n + 3)(n – 1) = 0 On reconnaît une équation produit nul. Donc : n + 3 = 0, c’est-à-dire n = – 3. Ou bien : n – 1 = 0, c’est-à-dire n = 1. On trouve deux solutions : – 3 et 1. g) Les deux listes sont donc : ● lorsque n = – 3 : – 3 ; – 2 ; – 1 ; ● lorsque n = 1 : 1 ; 2 ; 3. Vérification : – 1 × 2 × (– 3) = 6 et (– 2)2 + 2 = 6. 3 × 2 × 1 = 6 et 22 + 2 = 6. 2) a) Le premier nombre s’écrit (x –  1) et le troisième nombre s’écrit (x + 1). b) Leslie : (x + 1) × (2 × x) – 1. c) (x + 1) × 2 × (x – 1) = x2 + 2 d) 2 × (x + 1) (x – 1) = x2 + 2 2 × (x2 – 1)2 = x2 + 2 2x2 – 2 = x2 + 2 x2 – 2 = 2 x2 = 4 Donc : x = –2 ou x = 2. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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100 1) (a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 (ac + bd)2 + (bc – ad)2 = a2c2 + 2acbd + b2d2 + b2c2 – 2bcad + a2d2 (ac + bd)2 + (bc – ad)2 = a2c2 + 2acbd + b2d2 + b2c2 – 2acbd + a2d2 (ac + bd)2 + (bc – ad)2 = a2c2 + b2d2 + b2c2 + a2d2 Donc : (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (bc – ad)2. 2) On a : 13 = 4 + 9 = 22 + 32 et 41 = 16 + 25 = 42 + 52. D’après la formule établie à la question 1), on peut écrire en posant a = 2 ; b = 3 ; c = 4 et d = 5 : 13 × 41 = (22 + 32)(42 + 52) = (2 × 4 + 3 × 5)2 + (3 × 4 – 2 × 5)2 13 × 41 = (232 + 22) 101 Cela revient à chercher la valeur de x pour laquelle la somme des aires jaunes est égale à la moitié du demidisque de rayon 5. 1 x 2 1 10 – x 2 On a : Somme des aires jaunes =  π +  π . 2 2 2 2 La moitié de l’aire du demi-disque de rayon 5 est égale à 1 1 × π × 25 . 2 2 1 x 2 1 10 – x 2 1 1 +  π =  × π × 25. Donc : π 2 2 2 2 2 2 1 En simplifiant les deux membres par π, on obtient : 2 x 2 +  10 – x 2 = 1 × 25 2 2 2 x2 +  (10 – x)2 = 25 2 4 4 En multipliant les deux membres par 4, on obtient : x2 + (10 – x)2 = 50 x2 + 100 – 20x + x2 = 50 2x2 – 20x + 100 = 50 2x2 – 20x + 50 = 0 On divise les deux membres par 2, on obtient : x2 – 10x + 25 = 0 (x – 5)2 = 0 Ce qui revient à (x – 5) = 0, c’est-à-dire : x = 5. La valeur cherchée est x = 5.

()

(

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)

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)

102 On note n le nombre de musiciens sur le côté du premier carré formé par le chef de la fanfare. On a : n2 + 8 = (n + 1)2 – 5. n2 + 8 = n2 + 2n + 1 – 5 n2 + 8 = n2 + 2n – 4 En soustrayant – n2 aux deux membres on obtient : 2n – 4 = 8 2n = 12 n = 6 On en déduit le nombre de musiciens : n2 + 8 = 62 + 8 = 36 + 8 = 44 Il y a 44 musiciens dans cette fanfare. 103 1) On a : S = a + b , D = a – b et P = ab. D2 = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 S2 – 4P = (a + b)2 – 4ab = a2 + 2ab + b2 – 4ab = a2 – 2ab + b2 On a donc bien : D2 = S2 – 4P. 2) On a : S = 468 et P = 54 755. D’après la question 1), on a : D2 = 4682 – 4 × 54 755 = 4. Donc : D = 2 (ou – 2 mais, dans ce cas, l’ordre des nombres a et b est inversé). Ainsi, si on pose : a > b, on a : a = b + 2 et, en utilisant la somme, on peut écrire : a + b = a + (a + 2) = 2a + 2 = 468 2a = 466 a = 233 CHAP. 5 - IDENTITÉS REMARQUABLES ET APPLICATIONS

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Les nombres cherchés sont : 233 et 235. Vérification : 233 + 235 = 468 ; 235 – 233 = 2 et 233 × 235 = 54 755.

111 On fait un schéma (voir page 300 du manuel élève). On note h la profondeur de la rivière exprimée en m. On écrit l’égalité de Pythagore : (h + 0,50)2 = h2 + 1,502. On résout cette équation : h2 + 2 × h × 0,50 + 0,502 = h2 + 1,502 h2 + h + 0,25 = h2 + 2,25 h + 0,25 = 2,25 h = 2,25 – 0,25 h = 2 La profondeur de la rivière à cet endroit est 2 mètres.

104 a) (x – 3)2 = x2 – 2 × x × 3 + 32 = x2 – 6x + 9 b) (5 + 3x)2 = 52 + 2 × 5 × 3x + (3x)2 = 25 + 30x + 9x2 c) (4 – x)(4 + x) = 42 – x2 = 16 – x2 105 a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = (x + 3)2 b) y2 – 8y + 16 = y2 – 2 × y × 4 + 42 = (y – 4)2 c) 64x2 – 100 = (8x)2 – 102 = (8x + 10)(8x – 10) d) 1 – 16y2 = 12 – (4y)2 = (1 + 4y)(1 – 4y)

112 a) (3x + 1)2 = (3x)2 + 2 × 3x × 1 + 12 = 9x2 + 6x + 1 b) (7 – x)2 = 72 – 2 × 7 × x + x2 = 49 – 14x + x2 c) (9 – 5x)(9 + 5x) = 92 – (5x)2 = 81 – 25x2

106 1) F = (7 + 3x)2 + (8 – x)2 F = 49 + 42x + 9x2 + 64 – 16x + x2 F = 10x2 + 26x + 113 2) Pour x = 1, on a : F = 10 × 12 + 26 × 1 + 113 = 10 + 26 + 113 = 149

113 a) 36 – 60x + 25x2 = 62 – 2 × 6 × 5x + (5x)2 = (6 – 5x)2 b) 9x2 + 42x + 49 = (3x)2 + 2 × 3x × 7 + 72 = (3x + 7)2 9 32 3 3 c) x2 – =  x – x + = x2 – 16 4 4 4 d) 1 – 16y2 = 1 – (4y)2 = (1 + 4y)(1 – 4y)

( ) ( )(

107 a) 25 > 0, donc l’équation x2 = 25 admet deux solutions : – 5 et 5. b) – 36 0, donc l’équation x2 = 17 admet deux solutions : – √17 et √17. d) x2 + 1 = 1, donc x2 = 0. Ainsi l’équation x2 + 1 = 1 a une seule solution : 0. 108 a) (5 + 3)2 = 82 = 64 b) 9992 = (1 000 – 1)2 = 1 0002 – 2 × 1 000 × 1 + 12 = 1 000 000 – 2 000 + 1 = 998 001 2 c) (√3 – 1)(√3 + 1) = (√3 ) – 12 = 3 – 1 = 2

Aire d’un triangle jaune = 

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.fr

JE FAIS LE POINT

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x2

2 x2 Aire de la partie bleue = 36 – 4 × = 36 – 2x2 2 Puisque l’aire de la partie bleue est égale aux trois quarts de l’aire du carré ABCD, on peut écrire : 3 36 – 2x2 =  × 36 4 36 – 2x2 = 27 – 2x2 = 27 – 36 – 2x2 = – 9 2x2 = 9 x2 = 4,5 Donc : x = – √4,5 ou x = √4,5 . Comme x désigne une longueur, on conserve la valeur positive. La solution est : x = √4,5 .

Les exercices 116 à 125 sont corrigés à la page 306 du manuel élève.

126 1) Pour x = 5, on a : A = (5 – 5)2 = 02 = 0 ; et B = 52 – 10 × 5 + 25 = 25 – 50 + 25 = 0. 2) Pour x = – 1, on a : A = (– 1 – 5)2 = – 62 = 36 ; et B = (– 1)2 – 10 × (– 1) + 25 = 1 + 10 + 25 = 36. 3) Pour x = 5, on a : A = B. Pour x = – 1, on a : A = B. On a prouvé que A = B seulement pour deux valeurs. (x – 5)2 = x2 – 2 × x × 5 + 52 = x2 – 10x + 25. Ce qui prouve que A =  B pour n’importe quelle valeur de x.

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114 1) K = (n + 1)2 – (n – 1)2 K = n2 + 2n + 1 – (n2 – 2n + 1) K = n2 + 2n + 1 – n2 + 2n – 1 K = 4n 2) K = [(n + 1) + (n – 1)][(n + 1) – (n – 1)] K = (n + 1 + n – 1)(n + 1 – n + 1) K = 2n × 2 = 4n 115 On a : Aire de ABCD = 36 cm2.

109 1) (2x)2 = 576 2) 4x2 = 576 Donc : x2 = 144. 144 > 0, donc l’équation x2 = 144 admet deux solutions : – 12 et 12. 3) Marcel a choisi un nombre négatif, donc Marcel a choisi le nombre – 12. Vérification : (2 × (– 12)2) = (– 24)2 = 576. 110

)

127 1) E = 36 – 12x + x2 + (3 – 4x)(6 – x) E = 36 – 12x + x2 + 18 – 3x – 24x + 4x2 E = 5x2 – 39x + 54 2) a) 36 – 12x + x2 = 62 – 2 × 6 × x + x2 = (6 – x)2 b) E = (6 – x)2 + (3 – 4x)(6 – x) E = (6 – x)[(6 – x) + (3 – 4x)] E = (6 – x)(9 – 5x) 3) (6 – x)(9 – 5x) = 0 On reconnaît une équation produit nul. Donc : 6 – (– x) = 0, c’est-à-dire x = 6. 9 Ou bien : 9 – 5x = 0, c’est-à-dire 5x = 9 ; x =  . 5 9 Les solutions sont : et 6. 5 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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128 1) a) AH = 4 – x b) Aire de AHIJ = (4 – x)2 Aire de la partie hachurée = Aire de AHIJ – Aire de AEFG = (4 – x)2 – 22 = M 2) Q = (4 – x)2 – 4 = 42 – 2 × 4 × x + x2 – 4 = 16 – 8x + x2 – 4 = 12 – 8x + x2 4) Pour x = 2, on a : Q = 12 – 8 × 2 + 22 = 12 – 16 + 4 = 0. Dans ce cas, les points E et H, d’une part, et les points G et J, d’autre part, sont confondus. Il n’y a plus de partie hachurée, donc son aire est nulle. 129 1) a) 25x2 – 36 = (5x)2 – 62 = (5x + 6)(5x – 6) b) 15x – 18 = (35x – 6) 2) G = 25x2 – 36 – (15x – 18)(x + 7) G = (5x + 6)(5x – 6) – 3(5x – 6)(x + 7) G = (5x – 6)[(5x + 6) – (3x + 7)] G = (5x – 6)(5x + 6 – 3x – 21) G = (5x – 6)(2x – 15) 130 1) Pour a = 1 et b = 5,on a : 1 1 1 A =  [(1 + 5)2 – (1 – 5)2] = (62 – (– 4)2) =  (36 – 16) 4 4 4 1 =  × 20 = 5 4 2) Pour a = – 2 et b = – 3, on a : 1 1 1 A =  [(– 2 + (– 3)2) – (– 2 – (– 3)2)] = ((– 5)2 – (1)2) = (25 – 1) 4 4 4 1 = × 24 = 6 4 1 1 3) A =  [(a + b)2 – (a – b)2] =  [a2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2)] 4 4 1 A =  (a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2) 4 1 A =  (4ab) = ab 4 Alex a raison. 131 1) a) (1 + 1)2 – 12 = 22 – 1 = 4 – 1 = 3 b) (2 + 1)2 – 22 = 32 – 22 = 9 – 4 = 5 2) a) (x + 1)2 – x2 b) (x + 1)2 – x2 = x2 + 2x + 1 – x2 = 2x + 1 3) Il faut résoudre l’équation 2x + 1 = 15. 2x = 14 x = 7 Le nombre cherché est 7. Vérification : (7 + 1)2 – 72 = 82 – 49 = 64 – 49 = 15. 132 1) a) H = (x – 4)2 – x(x – 10) H = x2 – 8x + 16 – x2 + 10x H = 2x + 16 b) H = 16 2x + 16 = 16 2x = 0 x = 0 La solution de l’équation H = 0 est 0. 2) a) I = (7x – 3)2 – 52 I = (7x – 3 + 5)(7x – 3 – 5) I = (7x + 2)(7x – 8) b) (7x + 2)(7x – 8) = 0 On reconnaît une équation produit nul. –2 . Donc : 7x + 2 = 0, c’est-à-dire 7x = – 2 ; x = – 7 8 Ou bien : 7x – 8 = 0, c’est-à-dire 7x = 8 ; x =  . 7 –2 Les solutions de l’équation I = 0 sont les nombres : – 7 8 et . 7 133 1) A = (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 A = x2 – 2x + 1 + x2 + x2 + 2x + 1 A = 3x2 + 2 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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2) Il faut résoudre (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 1 325 c’est-à-dire A = 1 325. Donc, d’après la question 1), cela revient à résoudre 3x2 + 2 = 1 325. Donc : 3x2 = 1 325 – 2. 3x2 = 1 323 x2 = 441 Ainsi : x = – 21 ou x = 21. Ce qui donne deux séries de trois nombres : ● si x = – 21, on a les nombres – 22 ; – 21 et – 20 ; ● si x = 21, on a les nombres 20 ; 21 et 22. Vérification : 202 + 212 + 222 = 400 + 441 + 484 = 1 325. Et (– 20)2 + (– 21)2 + (– 22)2 = 400 + 441 + 484 = 1 325. 134 1) F = 9x2 – 48x + 64 = (3x)2 – 2 × 3x × 8 + 82 G = (3x – 7)2 – 1 = (3x – 7)2 – 12 = (3x – 7 + 1)(3x – 7 – 1) = (3x – 6)(3x – 8) 2) H = F + G H = (3x – 8)2 + (3x – 6)(3x – 8) H = (3x – 8)(3x – 8 + 3x – 6) H = (3x – 8)(6x – 14) 3) H = 0 (3x – 8)(6x – 14) = 0 On reconnaît une équation produit nul. 8 Donc : 3x – 8 = 0, c’est-à-dire (3x – 8) ; x =  . 3 14 7 =  . Ou bien  : 6x – 14 =  0, c’est-à-dire 6x =  14 ; x =  6 3 8 7 Les solutions de l’équation H = 0 sont les nombres : et . 3 3 135 A 1) a) Si x = 3, alors : Aire terrasse + Aire maison = 122 = 144 m2 Or Aire maison = 9 × 7 = 63 m2. Aire terrasse = 144 – 63 = 81 m2. Or 81 > 63, donc la terrasse est trop grande. b) Comme x désigne une longueur, x doit de plus être strictement positif (si x = 0, il n’y a pas de terrasse !), donc au final, on a : 0 CONNAISSANCES

CAPACITÉS

Fonctions linéaires et fonctions affines

Modéliser un problème par une inéquation. Résoudre graphiquement des inéquations de la forme : f (x) < k ; f (x) < g(x). ● Résoudre une inéquation à partir de l’étude du signe d’une expression produit ou quotient de facteurs du premier degré. ● Résoudre algébriquement les inéquations nécessaires à la résolution d’un problème. ●

●

CAPACITÉS ● Donner le tableau de signes de ax + b pour des valeurs numériques données de a et b.

■ Commentaires On fait le lien entre le signe de ax + b, le sens de variation de la fonction et sa courbe représentative.

> CONNAISSANCES Inéquations

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■ Commentaires Pour un même problème, il s’agit de : – combiner les apports de l’utilisation d’un graphique et d’une résolution algébrique, – mettre en relief les limites de l’information donnée par une représentation graphique. Les fonctions utilisables sont les fonctions polynômes de degré 2 ou homographiques. CHAP. 6 - INÉQUATIONS – SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

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Commentaires des auteurs ➜ Pour résoudre une inéquation, on utilise les propriétés des inégalités étudiées en classe de Quatrième et rappelées dans le cours. La méthode de résolution d’une inéquation est similaire à celle de résolution d’une équation du premier degré à une inconnue : on « isole » étape par étape l’inconnue en raisonnant par implication. Contrairement à la résolution d’une équation, la vérification étant impossible, on admet que les nombres trouvés sont bien solutions de l’inéquation. ➜ Pour la résolution d’un système, nous proposons trois méthodes de résolution : – résolution par substitution d’une inconnue ; – résolution par élimination d’une seule inconnue, puis détermination de l’autre par substitution ;

– résolution par élimination d’une inconnue, puis de l’autre. Ces méthodes sont rédigées par implication, c’est pourquoi la vérification est obligatoire dans chaque cas. ➜ Tous les systèmes présentés dans ce chapitre admettent un unique couple solution. L’étude des cas particuliers (aucune solution ou une infinité de solutions) n’est pas au programme du collège. ➜ L’interprétation graphique d’un système de deux équations à deux inconnues permet de revoir la représentation graphique des fonctions affines. Dans les exercices, une réflexion sur la précision de la lecture graphique du couple solution est amorcée.

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O MMENTAIR E S Cette activité permet d’aborder un problème faisant apparaître deux inconnues. Sa résolution ne nécessite aucune connaissance des méthodes de résolution d’un système de deux équations à deux inconnues. C O RRI G É La différence entre les deux sommes payées par chaque famille correspond au prix payé pour deux enfants.

1

Ainsi, pour deux enfants, le prix est 20 €. On en déduit que le tarif enfant est 10 €. Connaissant le tarif enfant, on détermine le tarif adulte avec, par exemple, le prix total payé par la famille composée de deux adultes et trois enfants. 70 – 3 × 10 = 70 – 30 = 40 Ainsi, deux adultes paient 40 €, donc un adulte paie 20 €. Le tarif adulte est 20 €.

JE DÉCOUVRE LA NOTION D’INÉQUATION

Objectif

Tester une inégalité et découvrir la notion d’inéquation.

Prérequis

Calculer une expression algébrique pour une valeur donnée.

Paragraphes introduits

! Inéquations à une inconnue a) Vocabulaire

■ C O MMENTAIR E S Cette activité fait découvrir à l’élève la notion d’inéquation. Il apprend à justifier qu’un nombre est ou n’est pas solution. C O RRI G É

1 a) Tarif Amorgos : 0,90 × x. b) Tarif Mykonos : 30 + 0,50 × x.

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2 D’après ce qui précède, puisque x désigne le nombre de kilomètres parcourus, on traduit que le tarif Mykonos doit être strictement inférieur au tarif Amorgos. x doit donc vérifier l’inégalité 30 + 0,5x – 21 2 b)

d)

18 a) 4 > x – 9 4 + 9 >x 13 > x b) 3 – 22, on peut dire que le nombre – 3 est solution de l’inéquation 4(x + 3) > 6x – 4. ● Pour x = 8, on a : 4(x + 3) = 4(8 + 3) = 44 et 6x – 4 = 6 × 8 – 4 = 44. Comme il y a égalité, on peut dire que le nombre 8 n’est pas solution de l’inéquation 4(x + 3) > 6x – 4. ● Pour x = 10, on a : 4(x + 3) = 4(10 + 3) = 52 et 6x – 4 = 6 × 10 – 4 = 56. Comme 52  6x – 4. ● Pour x = – 5, on a : 4(x + 3) = 4(– 5 + 3) = – 8 et 6x – 4 = 6 × (– 5) – 4 = – 34. Comme – 8 > – 34, on peut dire que le nombre – 5 est solution de l’inéquation. 2) 4(x + 3) > 6x – 4 4x + 12 > 6x – 4 – 2x + 12 > – 4 – 2x > – 16 x  29 9 4 x > 24 9 x > 24 × 9 4 Donc : x > 54.

53 54 55 56

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–3 x + 4 ⩽ –2 2 –3 x ⩽ –6 2 x ⩾ –6 × 2 –3 Donc : x ⩾ 4. b)

22 a) (2 ; 2) 23 a)

47 ;– ) (31 11 11

24 a) (109 ; 62) 25 a) (2 ; 1) 1 ;– ) ( 23 36 54 2 2 a) ( ;– ) 21 21

26 a) – 27

3

4

5

6

b) (4 ; 5) 34 ; ( 123 23 23 ) 65 39 b) ( ; 66 22 )

b) –

b) (1 ; – 2)

( 841 ; 125 ) 3 1 b) (– ; ) 2 2 b) –

28 1) Le prix payé par Louis est : x + 2y = 26. Le prix payé par Paul est : 5x + 4y = 88. 2) Le système formé par ces deux équations est : r x + 2y = 26 w q 5x + 4y = 88 La solution du système est (12 ; 7). 3) Le prix d’un DVD est 12 € et le prix d’un CD est 7 €. 29 On note x le prix d’une Tour Eiffel et y le prix d’un porte-clés. Thalia a payé : 2x + 3y = 31. Quirino a payé : 5x + 2y = 50. r 2x + 3y = 31 On obtient donc le système w q 5x + 2y = 50 La solution du système est (8 ; 5). Le prix d’une Tour Eiffel est 8 € et le prix d’un porte-clés est 5 €. 30 a) a < – 4 Donc : a + 10  4. d) a < – 4 Donc : 3a < – 12. e) a < – 4 Donc : – 2a > 8. f) a < – 4 2 8 Donc : a < – . 3 3 31 a) a < – 4 Donc : – a > 4 6 – a > 10. b) a < – 4 Donc : 20a < – 80 20a – 1 < – 81. c) a < – 4 Donc : – 5a > 20 1 39 – 5a – >  . 2 2 32 a) 5x ⩽ 8 8 Donc : x ⩽  . 5 b) – 7 + x > 1 Donc : x > 8. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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c) – 9x < – 27 Donc : x > 3. d) x – 4 ⩾ – 4 Donc : x ⩾ 0. 4 + x ⩽ 2 e) 5 6 Donc : x ⩽  . 5 x f) > – 11 7 Donc : x > – 77. 33 a) 3x – 5  1 est associée au graphique W. c) L’inéquation x ⩾ 1 est associée au graphique Q. d) L’inéquation x < – 1 est associée au graphique E. 35 a)

4

5

6

7

b)

–5 –4 –3 –2 c)

0

1

2

3

–1

0

1

2

d)

36 a) x > – 5

b) x ⩽ 3

37 a) 5x + 1  1 Donc : x < – 1.

–2 –1

0

1

1

2

8 3

3

38 a) – 7x + 1  0 – 3x > – 8 8 Donc : x  4(x – 5) 7 + 6 – 7x > 4x – 20 13 – 7x > 4x – 20 33 – 7x > 4x 33 > 11x Donc : 3 > x.

41 1) On note n le nombre entier positif choisi par Rocco. Rocco effectue le calcul : 2 × (n + 5). Vincenzo effectue le calcul : 3n + 2. On a donc : 2 × (n + 5) > 3n + 2. 2) 2 × (n + 5) > 3n + 2 2n + 10 > 3n + 2 10 > n + 2 Donc : 8 > n. Rocco a donc pu choisir les nombres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 et 8. 42 On note ℓ la largeur du rectangle. Le périmètre du rectangle est : 2 × (ℓ + 9,3) = 2ℓ + 18,6. On a donc : 2ℓ + 18,6 ⩽ 31. 2ℓ ⩽ 12,4 ℓ ⩽ 6,2 43 1) La masse totale du camion est : 7 000 + 40n. On a donc l’inéquation 7 000 + 40n ⩽ 12 000. 2) 7 000 + 40n ⩽ 12 000 40n ⩽ 5 000 Donc : n ⩽ 125. 3) On peut donc charger au maximum 125 caisses sur ce camion. 44 ● 4 × 1 + 1 =  5. Le couple (1 ; 1) est solution de la première équation. 5 × 1 + 3 × 1 = 8. Le couple (1 ; 1) n’est pas solution de la deuxième équation. Donc le couple (1 ; 1) n’est pas solution du système. ● 4 × 0,5 + 3 = 5. Le couple (0,5 ; 3) est solution de la première équation. 5 × 0,5 + 3 × 3 = 11,5. Le couple (0,5 ; 3) n’est pas solution de la deuxième équation. Donc le couple (0,5 ; 3) n’est pas solution du système. ● 4 × 1 + (– 2) = 2. Le couple (1 ; – 2) n’est pas solution de la première équation. Donc le couple (1 ; – 2) n’est pas solution du système. ● 4 × 2 + (– 3) = 5. Le couple (2 ; – 3) est solution de la première équation. 5 × 2 + 3 × (– 3) = 1. Le couple (2 ; – 3) est solution de la deuxième équation. Donc le couple (2 ; – 3) est solution du système. 45 a) (3 ; 3) 46 a) (5 ; 1) 47 a)

2

3

4

5

40 1) 2n + 3 > 2(2n – 1) 2n + 3 > 4n – 2 – 2n + 3 > – 2 – 2n > – 5 Donc : n  1. 8 En résolvant l’équation, on trouve : x >  . 5 2 Pour x = – 3, on a : x + 2 = – 3 + 2 = – 1 et – x = 3. Comme – 3 Préambule  : 1. Organisation et gestion de données, fonctions L’un des objectifs est de faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre. Les exemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires. Les fonctions linéaires et affines apparaissent alors comme des exemples particuliers de tels processus. L’utilisation des expressions « est fonction de » ou « varie en fonction de », amorcée dans les classes précédentes, est poursuivie et est associée à l’introduction de la notation f(x). L’usage du tableur-grapheur contribue aussi à la mise en place du concept, dans ses aspects numériques comme dans ses aspects graphiques. La notion d’équation de droite n’est pas au programme de la classe de Troisième.

> CONNAISSANCES 1.1. Notion de fonction Image, antécédent, notations f (x), x ↦ f (x).

CAPACITÉS • Déterminer l’image d’un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. • Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.

■ Commentaires Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d’ensemble de définition sont hors programme. La détermination d’un antécédent à partir de l’expression algébrique d’une fonction n’est exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines.

Socle commun des connaissances Aucune compétence de ce chapitre n’est exigible au socle commun des connaissances.

Capacités des programmes des classes antérieures Classe de Quatrième Comme en classe de Cinquième, le mot « fonction » est employé, chaque fois que nécessaire, en situation, et sans ●

qu’une définition formelle de la notion de fonction soit donnée. ● Utiliser dans le plan muni d’un repère la caractérisation de la proportionnalité par l’alignement de points avec l’origine.

Capacités des programmes des classes supérieures Classe de Seconde  Image, antécédent, courbe représentative – Traduire le lien entre deux quantités par une formule. – Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule : – identifier la variable et, éventuellement, l’ensemble de définition ; – déterminer l’image d’un nombre ; – chercher des antécédents d’un nombre. ●

Fonction croissante, fonction décroissante ; maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle – Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d’une fonction définie par une courbe. – Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations. – Lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations : – comparer les images de deux nombres d’un intervalle ;

●

80

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– déterminer tous les nombres dont l’image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée. ● Fonctions linéaires et fonctions affines – Donner le sens de variation d’une fonction affine. – Donner le tableau de signes de ax + b pour des valeurs numériques données de a et b. ● Variations de la fonction carré, de la fonction inverse – Connaître les variations des fonctions carré et inverse. – Représenter graphiquement les fonctions carré et inverse. ● Fonctions polynômes de degré 2 – Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes. ● Fonctions homographiques – Identifier l’ensemble de définition d’une fonction homographique.

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Classe de Première

Étude de fonctions de référence x ↦ x2, x ↦ x3, x ↦ √x , x ↦ x. Fonction dérivée.

Classe de Terminale

Notion de limites. Primitives d’une fonction sur un intervalle. Fonctions logarithme népérien et exponentielle. Fonctions : x ↦ ax. Composition des fonctions. Calcul intégral.

Langage de la continuité.

Commentaires des auteurs ➜ La notion de fonction est une nouveauté de la classe de Troisième. L’étude de fonctions particulières sera poursuivie dans les chapitres 8 et 9. Ce chapitre est le deuxième de la progression, ce qui permet de réinvestir la notion de fonction dans de nombreux exercices des chapitres suivants. ➜ La notion d’ensemble de définition d’une fonction n’est pas au programme du collège.

➜ Dans ce chapitre, l’accent est mis sur le vocabulaire et les notations. Le calcul de l’image d’un nombre par une fonction est au programme de la classe de Troisième. Le calcul d’un antécédent d’un nombre par une fonction ne sera étudié que pour les fonctions linéaires (chapitre 8) et les fonctions affines (chapitre 9). ➜ Dans ce chapitre, la représentation graphique d’une fonction est obtenue en plaçant, puis en reliant, des points d’un tableau de valeurs dans un repère.

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE C O MME NTAIR E S

C ORRIGÉ

Cette activité d’introduction permet aux élèves de lire et d’interpréter un graphique.

1 Le graphique (page 117 du manuel) représente la hauteur d’eau au Mont-Saint-Michel en fonction de l’heure de la journée. 2 a) et b) D’après ce graphique, l’heure de la pleine mer est à 15 h et celle de la basse mer est à 9 h. 3 D’après ce graphique, le marnage est 4 mètres (9 m – 5 m = 4 m).

1

JE DÉCOUVRE LA NOTION DE FONCTION

Objectif Prérequis Paragraphe introduit

Définir et noter une fonction. —

! Définition, notations et vocabulaire

C O MME NTAIR E S Comme le veut le programme, la notion de fonction est introduite à partir d’une situation concrète. Ici, il s’agit d’une situation géométrique. Il est expliqué qu’une fonction peut être définie à partir d’une phrase. La notation d’une fonction est aussi introduite. C O RRI G É

1 a) Le cube possède six faces, chacune ayant pour aire x2. L’aire du cube est donc 6x2. b) Le cube possède 12 arêtes de longueur x. La somme des longueurs des arêtes du cube est égale à 12x. c) Le volume du cube est x3. 2 a) 6 × 22 = 6 × 4 = 24 Lorsque x = 2, l’aire du cube est 24 cm2. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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b) 6 × 52 = 6 × 25 = 150 Lorsque x = 5, l’aire du cube est 150 cm2. 7 49 147 = c) 6 × = 6 × 2 4 2 7 147 Lorsque x =  , l’aire du cube est  cm2. 2 2 3 a) «  La fonction f, au nombre x, fait correspondre le produit de 6 par le carré de x. » b) Le nombre associé au nombre 2 par la fonction f est le nombre 24. c) Le nombre associé au nombre 5 par la fonction f est le nombre 150. 7 d) Le nombre associé au nombre par la fonction f est 2 147 . le nombre 2 3 a) La fonction g permet de calculer la somme des longueurs des arêtes du cube. b) La fonction g, au nombre x, fait correspondre le produit de 12 par x. 4 a) « h : x ↦ x3 » b) La fonction h, au nombre x, fait correspondre le cube de x.

CHAP. 7 - NOTION DE FONCTION

81

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2

JE DÉCOUVRE LE VOCABULAIRE DES FONCTIONS

Objectif

Définir le vocabulaire : image et antécédent.

Prérequis

La définition et la notation d’une fonction

Paragraphe introduit

! Définition, notations et vocabulaire

C O MMENTAIR E S La notation f(x) est introduite ainsi que le vocabulaire image et antécédent. Les élèves découvrent qu’un nombre a une seule image ; un nombre peut avoir un ou plusieurs antécédents. Le cas où un nombre n’a pas d’antécédent est traité en exercice.

3

C ORRIGÉ

1 32 – 2 × 3 + 15 = 9 – 6 + 15 = 18 La fonction f, au nombre 3, fait correspondre le nombre 18. 2 a) f (2) = 22 – 2 × 2 + 15 = 4 – 4 + 15 = 15 « L’image de 2 par la fonction f est 15. On note f (2) = 15. » b) f (1) = 12 – 2 × 1 + 15 = 1 – 2 + 15 = 14 f (– 1) = (– 1)2 – 2 × (– 1) + 15 = 1 + 2 + 15 = 18 f (4) = 42 – 2 × 4 + 15 = 16 – 8 + 15 = 23 3 a) D’après 2 b), f (– 1) = 18. Le nombre – 1 est un antécédent du nombre 18 par la fonction f. b) D’après 2 a), f (2) = 15. Le nombre 2 est un antécédent du nombre 15 par la fonction f.

JE DÉCOUVRE LA REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION

Objectif Prérequis

Paragraphe introduit

Définir la représentation graphique d’une fonction. ● Calculer l’image d’un nombre par une fonction. ● Savoir tracer un graphique dans un repère.

@ Représentation graphique d’une fonction

C ORRIGÉ

A Tableau de valeurs de la fonction f x

–2

–1

0

1

2

f (x)

3

0

–1

0

3

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

B Représentation graphique de la fonction f 3 b)

C O MMENTAIR E S

Abscisse du point A

L’activité permet aux élèves de représenter une fonction en utilisant le logiciel GeoGebra. Les élèves remarquent ainsi que la représentation graphique d’une fonction est constituée de points de coordonnées (x ; f (x)).

Ordonnée du point A

–2

–1

0

1

2

3

0

–1

0

3

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

4 a) Les résultats du tableau de la partie A et celui de la partie B sont identiques. b) L’ordonnée d’un point situé sur la représentation graphique de la fonction f est égale à l’image de son abscisse.

4

JE TRADUIS UNE SITUATION PAR UNE FONCTION

Objectif

Utiliser une fonction dans une situation concrète.

Prérequis

Savoir lire la représentation graphique d’une fonction.

Paragraphe introduit

—

C O MMENTAI R E S De nombreuses situations concrètes peuvent être représentées par une fonction, mais seulement pour des valeurs de x particulières (nombres entiers, nombres positifs, nombres compris entre deux valeurs…). Les élèves remarquent alors que certaines lectures d’images ou d’antécédents ne peuvent être interprétées pour le contexte donné. C O RRI G É

1 x est une longueur, donc x ⩾ 0. Marc enlève x mètres sur la longueur AB qui est égale à 3 mètres. Ainsi, on a : 0 ⩽ x < 3.

82

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2 a) AM = AB – MB = 3 – x AP = AD + DP = 1 + x 𝒜 (AMNP) = AM × AP 𝒜 (AMNP) = (3 – x)(1 + x) L’aire du nouveau potager AMNP est : (3 – x)(1 + x). b) La fonction f qui, au nombre x, fait correspondre l’aire du rectangle AMNP se note : f : x ↦ (3 – x)(1 + x) 3 a) L’image par la fonction f du nombre 2 est 3. Lorsque Marc enlève 2 m à la longueur AB de son potager, l’aire du nouveau potager est alors 3 m2. b) L’image par la fonction f du nombre 4 est – 5. On ne peut pas interpréter ce résultat car, dans le contexte du potager, le nombre x ne peut pas être égal à 4 m. c) L’image par la fonction f du nombre – 1 est 0. On ne peut pas interpréter ce résultat car, dans le contexte du potager, le nombre x ne peut pas être égal à – 1 m. 4 Pour que l’aire de son potager soit la plus grande possible, Marc doit choisir x = 1 m.

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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EXERCICES 1 1) La fonction g, à un nombre, fait correspondre son double. 2) La fonction h, à un nombre, fait correspondre sa moitié. 3) La fonction f, à un nombre, fait correspondre son carré. La fonction i, à un nombre, fait correspondre la somme de ce nombre et de 2. 2 a) La fonction f, à un nombre, fait correspondre le produit de ce nombre par 5. b) La fonction g, à un nombre, fait correspondre la différence de ce nombre et de 3. c) La fonction h, à un nombre, fait correspondre le carré de la somme de ce nombre et de 5. d) La fonction i, à un nombre, fait correspondre son opposé. 3 a) f : x ↦ 4x b) g : x ↦ πx2 c) h : x ↦ x3 4 «  f est la fonction qui, au nombre 3, fait correspondre – 2. – 2 est l’image du nombre 3 par la fonction f. 3 est un antécédent du nombre – 2 par la fonction f. » 5 1) a) L’image par la fonction g du nombre 3 est 2. b) L’image par la fonction g du nombre – 1 est – 2. c) L’image par la fonction g du nombre 0 est – 7. 2) a) 5 est un antécédent par la fonction g du nombre 8. b) 0 et – 2 sont deux antécédents par la fonction g du nombre – 7. c) – 1 est un antécédent par la fonction g du nombre – 2. 6 a) g(2) = 3 × 2 – 8 = 6 – 8 = – 2 b) g(0) = 3 × 0 – 8 = – 8 c) g(– 1) = 3 × (– 1) – 8 = – 3 – 8 = – 11 d) g(2,5) = 3 × 2,5 – 8 = 7,5 – 8 = – 0,5 7 a) f (7) = 72 – 2 = 49 – 2 = 47 b) f (10) = 102 – 2 = 98 c) f (– 3)= (– 3)2 – 2 = 9 – 2 = 7 d) f (0,5) = 0,52 – 2 = 0,25 – 2 = – 1,75  8 a) h(0) = 1 – 2 × 0 + 02 = 1 b) h(3) = 1 – 2 × 3 + 32 = 1 – 6 + 9 = 4 c) h(– 1) = 1 – 2 × (– 1) + (– 1)2 = 1 + 2 + 1 = 4 d) h(0,5) = 1 – 2 × 0,5 + 0,52 = 1 – 1 + 0,25 = 0,25 9 1) a) L’image de 4 par la fonction f est 2,5. b) L’image de – 10 par la fonction f est 7. c) L’image de 0 par la fonction f est – 3. d) L’image de 2,5 par la fonction f est 0. 2) a) – 10 est un antécédent par la fonction f de 7. b) 1 est un antécédent par la fonction f de – 2. c) 2,5 est un antécédent par la fonction f de 0. d) – 3 et 4 sont deux antécédents par la fonction f de 2,5. b) g(4) = – 7 10 1) a) g(3) = – 2 c) g(– 7) = 3 d) g(– 12) = 5  2) a) g(3) = – 2 b) g(7) = 4 c) g(– 7) = 3 et g(15) = 3 11 1) a) Par lecture graphique, l’image de – 4 par la fonction f est – 2. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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b) Par lecture graphique, l’image de – 3 par la fonction f est – 3. c) Par lecture graphique, l’image de 0 par la fonction f est 3. d) Par lecture graphique, l’image de 1 par la fonction f est 2,5. 2) a) Par lecture graphique, – 4 et – 2 sont deux antécédents par la fonction f de – 2. b) Par lecture graphique, – 1 ; 2 et 7 sont trois antécédents par la fonction f de 1. c) Par lecture graphique, – 3 n’a pas d’antécédent par la fonction f.  d) Par lecture graphique, – 1,3 ; 2,7 et 6 sont trois antécédents de 0 par la fonction f. 12 a) f (2) ≈ 1 c) f (– 2) ≈ – 2

b) f (7) ≈ 1 d) f (1,5) ≈ 1,75

13 1) – 2 a pour image lui-même par la fonction f. – 3 a pour image lui-même par la fonction f. 2) a) – 3 a exactement un antécédent par la fonction f. b) 4 n’a pas d’antécédent par la fonction f. 14 1) a) f (1) = 3 × 1 – 2 × 12 f (1) = 3 – 2 f (1) = 1 L’image du nombre 1 par la fonction f est 1. b) f (– 2) = 3 × (– 2) – 2 × (– 2)2 f (– 2) = – 6 – 2 × 4 f (– 2) = – 6 – 8 f (– 2) = – 14  L’image du nombre – 2 par la fonction f est – 14. c) f (– 1,5) = 3 × (– 1,5) – 2 × (– 1,5)2 f (– 1,5) = – 4,5 – 2 × 2,25 f (– 1,5) = – 4,5 – 4,5 f (– 1,5) = – 9 L’image du nombre –1,5 par la fonction f est – 9. 2) f (3) = 3 × 3 – 2 × 32 f (3) = 9 – 2 ×9 f (3) = 9 – 18 f (3) = – 9 Le nombre 3 est bien un antécédent du nombre – 9 par la fonction f. 15 1) a) g(– 4) = 3 × (– 4) – 7 g(– 4) = – 12 – 7 g(– 4) = – 19 L’image du nombre – 4 par la fonction g est – 19. b) g(6) = 3 × 6 – 7 g(6) = 18 – 7 g(6) = 11 L’image du nombre 6 par la fonction g est 11. 5 5 5 5 c) g = 3 × –7 ; g = – 2. g = 5 – 7; 3 3 3 3 5 L’image du nombre par la fonction g est – 2. 3 1 1 1 1 – 7; g = 1 – 7; g = – 6. 2) g = 3 × 3 3 3 3 1 Le nombre n’est pas un antécédent du nombre 5 par la 3 fonction g.

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4 ; h(4) = 8 + 2 ; h(4) = 10. 2 L’image du nombre 4 par la fonction h est 10. 16 1) a) h(4) = 2 × 4 +

CHAP. 7 - NOTION DE FONCTION

83

03/07/12 17:26

b) h(– 5) = 2 × (– 5) +

–5 ; h(– 5) = – 10 – 2,5 ; 2

h(– 5) = – 12,5. L’image du nombre – 5 par la fonction h est – 12,5. 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ; h =1+ × ; c) h = 2 × + h = 1 +  ; 2 2 2 2 2 2 2 4 1 5 h = . 2 4 1 5 L’image du nombre par la fonction h est . 2 4 10 ; h(10) = 20 + 5 ; h(10) = 25. 2) h(10) = 2 × 10 + 2 Le nombre 10 est un antécédent du nombre 25 par la fonction h.

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i(4) = – 8 + 8 ; i(4) = 0. 17 1) a) i(4) = – 2 × 4 + 8 ; b) i(– 4) = –2 ×(– 4) + 8 ; i(– 4) = 8 + 8 ; i(– 4) = 16. 5 5 5 5 i = 3. i = –5 + 8; c) i = – 2 × + 8 ; 2 2 2 2 1 1 1 1 i = 7. 2) i = – 2 × + 8 ; i = –1 + 8; 2 2 2 2 1 Le nombre n’est pas un antécédent du nombre 6 par 2 la fonction i.

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() ()

() ()

18 1) a) L’image de – 1 par la fonction f est 1. b) L’image de 1 par la fonction f est – 2. c) L’image de – 2 par la fonction f est 3. 2) Le nombre 3 n’est pas un antécédent du nombre – 2 par la fonction f. C’est – 2 qui est un antécédent de 3 par la fonction f. 19 1) a) L’image de 3 par la fonction g est – 2. b) L’image de 1 par la fonction g est 0. c) L’image de – 2 par la fonction g est 7. 2) a) – 2 est un antécédent par la fonction g du nombre 7. b) 3 est un antécédent par la fonction g du nombre – 2. c) – 4 et 7 sont deux antécédents par la fonction g  du nombre – 5. 20 1) f (50) = 3,85 × 50 = 192,5 L’image du nombre 50 par la fonction f est 192,5. 2) Lorsque la hauteur d’eau dans le récupérateur est de 50 cm, il contient alors 192,5 litres d’eau. 21 a) Par lecture graphique, l’image du nombre 3 par la fonction f est – 2. b) Par lecture graphique, l’image du nombre – 1 par la fonction f est 0,5. c) f (1) ≈ 0,5 d) f (– 3,5) ≈ 3 e) Par lecture graphique, l’antécédent du nombre 1 par la fonction f est – 1,5. f) Par lecture graphique, l’antécédent du nombre 0 par la fonction f est 1,5. g) Par lecture graphique, les antécédents du nombre – 1,5 par la fonction f sont 2,5 et 4,5. h) Par lecture graphique, le nombre – 3 n’a pas d’antécédent par la fonction f. i) Par lecture graphique, les nombres x tels que f (x) = 2,5 sont – 2,5 et – 4,5. 22 a) Par lecture graphique, l’image du nombre 2 par la fonction g est 4. b) Par lecture graphique, l’image du nombre – 3 par la fonction g est – 2. c) g(4) ≈ 0 d) g(– 1) ≈ 0

84

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e) Par lecture graphique, les antécédents du nombre 3 par la fonction g sont 0,5 et 3. f) Par lecture graphique, les antécédents du nombre – 1 par la fonction g sont – 1,6 et – 4. g) Par lecture graphique, le nombre 5 n’a pas d’antécédent par la fonction g. h) Par lecture graphique, les antécédents du nombre 0,5 par la fonction g sont – 4,5 ; – 0,75 et 3,8. i) Par lecture graphique, les nombres x tels que g(x) =  0 sont – 4,3 ; – 1 et 4. 23 Phrase

Notation

Égalité

f, à un nombre, fait correspondre son opposé.

f : x ↦ – x

f (x) = – x

g, à un nombre, fait correspondre lui-même.

g : x ↦ x

g(x) = x

h, à un nombre, fait correspondre son inverse.

h : x ↦

i, à un nombre, fait correspondre le nombre 6

i : x ↦ 6

1

x

h(x) = 

1

x

i(x) = 6

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

24 a) f : x ↦ 3x + x2 ou f (x) = 3x + x2 b) g : x ↦ 2x2 ou g(x) = 2x2 c) h : x ↦ (2x)2 ou h(x) = (2x)2 25 1) v(x) = 5 × 3 × x =15x

2) v : x ↦ 15x

26 a) f : x ↦ x2

b) g : r ↦ 2πr

27 a) f : h ↦ 16πh

16 πh 3 15 d) i : h ↦ h 2

c) h : x ↦

16 2 x 3

b) g : h ↦

28 1) a) L’image du nombre 1 par la fonction f est 3. b) L’image du nombre 0 par la fonction f est 1. 2) a) Le nombre 2 est un antécédent par la fonction f  du nombre – 1. b) Le nombre 0 est un antécédent par la fonction f  du nombre 1. 3) a) Les nombres – 2 et 1 ont la même image par la fonction f. b) Le nombre 3 a au moins deux antécédents par la fonction f. 29 Rémi a mélangé deux notations  : la notation de la fonction et l’égalité. Il aurait dû écrire : f (5) = – 3 × 52 + 7 f (5) = – 3 × 25 +7 f (5) = – 75 + 7 f (5) = – 68 L’image de 5 par la fonction f est – 68. 30 1) Par la fonction i, tous les nombres ont la même image. 2) Pour la fonction h, l’image du nombre 0 est 0, l’image du nombre 1 est 1 et l’image du nombre – 2 est – 2. 31 1) f : x ↦ 2) a) f (3) =

x2

2 32 1 = = 4,5 2 2 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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b) Lorsque AB = 3 cm, l’aire du triangle ABC est 4,5 cm2. (– 6)2 36 = 18 3) a) f (– 6) = = 2 2 b) On ne peut pas interpréter ce résultat car la longueur AB est un nombre positif et ne peut pas donc être égale à – 6. 32 1) a) Par lecture graphique, l’image du nombre  6 par la fonction g est 2. b) Par lecture graphique, l’image du nombre  – 4 par la fonction g est – 3. c) Par lecture graphique, l’image du nombre  0 par la fonction g est 5. d) Par lecture graphique, l’image du nombre  5 par la fonction g est environ 3,7. 2) a) Par lecture graphique, le nombre – 3 admet deux antécédents : – 4 et 8. b) Par lecture graphique, le nombre 3 admet deux antécédents : – 1,5 et 5,5. c) Par lecture graphique, le nombre 6 admet un antécédent : 2. d) Par lecture graphique, le nombre 7 n’admet pas d’antécédent. 33 1) Par lecture graphique : a) l’image du nombre 5 par la fonction f est 8 000 ; b) l’antécédent du nombre 20 000 par la fonction f est 0,5. 2) a) Au bout de 5 ans d’ancienneté, le prix de la voiture est 8 000 €. b) La valeur de la voiture est de 20 000 € au bout de 6 mois d’ancienneté. 3) a) À l’achat, la voiture coûte 22 000 €. b) Au bout de 7,5 ans après l’achat, la voiture coûte 5 000 €. 4) L’image de 0 par la fonction f est 22 000. 5) L’image de 7,5 par la fonction f est 5 000. 34 1) Pour une réduction de 2 €, la recette est d’environ 10 800 €. 2) Pour une recette de 8 000 €, le montant de la réduction est de13 €. Le prix d’une place est alors : 20 – 13 = 7 €. 3) a) Les antécédents par la fonction f du nombre 10 000 sont : 0 et 10. b) La recette est de 10 000 € lorsqu’il n’y a pas de réduction ou bien lorsque la réduction est de 10 €. C’est-à-dire lorsque le prix d’une place est de 20 € ou bien lorsque le prix d’une place est de 10 €. 4) La recette maximale est environ 11 500 €. Le prix d’une place est alors de 15 € (20 – 5 = 15). 35 1)

x

–4

–2

–1

0

1

2

4

f (x)

5

–1

– 2,5

–3

– 2,5

–1

5

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) a) b) c) Représentation graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

36 1) a) Par lecture graphique, l’image du nombre 7 par la fonction f est 7. Le résultat obtenu n’est pas une valeur exacte car c’est une lecture graphique. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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b) On peut obtenir la valeur exacte de l’image du nombre 7 par la fonction f en calculant f (7). f (7) = 0,5 × 72 – 2,8 × 7 + 2 f (7) = 24,5 – 19,6 + 2 f (7) = 6,9 2) a) Par lecture graphique, une valeur approchée de l’image de 5 par la fonction f est 0,5. b) f (5) = 0,5 × 52 – 2,8 × 5 + 2 f (5) = 12,5 – 14 + 2 f (5) = 0,5 L’image de 5 par la fonction f est 0,5. 3) a) Par lecture graphique, les antécédents du nombre 2 par la fonction f sont : 0 et 5,5. b) f (0) = 0,5 × 02 – 2,8 × 0 + 2 f (0) = 2 f (5,5) = 0,5 × 5,52 – 2,8 × 5,5 + 2 f (5,5) = 15,125 – 15,4 + 2 f (5,5) = 1,725 Par lecture graphique, on obtient une valeur exacte (0) et une valeur approchée (2). 4) f (2,8) = 0,5 × 2,82 – 2,8 × 2,8 + 2 f (2,8) = 3,92 – 7,84 + 2 f (2,8) = – 1,92 La valeur minimum du nombre f (x) est –1,92 pour x = 2,8. 37 1) a) f (2) = (2 + 6)(5 – 2) + 22 – 18 f (2) = 8 × 3 + 4 – 18 f (2) = 28 – 18 f (2) = 10 b) g(2) = 12 – 2 g(2) = 10 2) Pour x = 1,5 : f (1,5) = (1,5 + 6)(5 – 1,5) + 1,52 – 18 f (1,5) = 7,5 × 3,5 + 2,25 – 18 f (1,5) = 26,25 +2,25 –18 f (1,5) = 28,5 – 18 f (1,5) = 10,5 g(1,5) = 12 – 1,5 = 10,5 On constate que : f (1,5) = g(1,5). 3) f(x) = (x + 6)(5 – x) + x2 – 18 f(x) = 5x – x2 + 30 – 6x + x2 – 18 f(x) = 5x + 30 – 6x – 18 f(x) = 12 – x f(x) = g(x) 38 h(x) = h(x) + g(x) h(x) = x2 – 8(x + 3) –2x + (–9 + x)(3x + 7) h(x) = x2 – 8x – 24 – 2x –27x – 63 + 3x2 + 7x h(x) = 4x2 – 30x – 87 39 1) h(– 1) = (– 1)2 – 4 × (– 1) + 1 h (– 1) = 1 + 4 + 1 h (– 1) = 6 h (5) = 52 – 4 × 5 + 1 h (5) = 25 – 20 + 1 h (5) = 6 Les nombres – 1 et 5 ont la même image. 2) Le point A appartient à la courbe représentative de la fonction h, donc son ordonnée est égale à l’image de son abscisse. h(3) = 32 – 4× 3 + 1 h(3) = 9 – 12 + 1 h(3) = – 2 Le point A a pour coordonnées (3 ; – 2). 3) h(1,5) = 1,52 – 4 × 1,5 + 1 h (1,5) = 2,25 – 6 + 1 h(3) = – 2,75 h(3) ≠ – 3, donc le point B(1,5 ; – 3) n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction h. CHAP. 7 - NOTION DE FONCTION

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40 1) f (4) = 3 –

5 ×4 4

f (4) = 3 – 5 f (4) = –2 L’ordonnée du point A est l’image de son abscisse. Le point A(4 ; – 2) appartient à la courbe (C). 2) Le point B appartient à la courbe (C), donc son ordonnée est l’image de son abscisse. 5 f (– 2) = 3 – × (– 2) 4 5 f (– 2) = 3 + 2 6 5 f (– 2) = + 2 2 11 f (– 2) = 2 11 Donc les coordonnées du point B sont – 2 ; . 2 5 3) a) f (0) = 3 – × 0 4 f (0) = 3 + 0

(

)

f (0) = 3 b) Le point d’intersection I de la courbe avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées (0 ; 3). 5 4) a) 3 – x = 0 4 5 5 5 3 – x +  x = 0 +  x 4 4 4 5 3 =  x 4 4 3× x 5 12 x =  5 5 12 12 Vérification : 3 – × =3– =3–3=0 4 4 5 5 12 . L’équation 3 – x = 0 admet une solution 4 5 b) Chercher l’antécédent de 0 par la fonction f revient à chercher x tel que f (x) = 0. 5 C’est-à-dire, cela revient à résoudre l’équation 3 – x = 0. 4 D’après la question a), l’antécédent de 0 par la fonction f 12 . est 5 c) Le point d’intersection D de la courbe (C) avec l’axe des 12 abscisses est D  ; 0 . 5 5) a) et b)

(

)

Représentation graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Les points A, B, I et D semblent alignés. 41 1) On peut calculer l’image du nombre 2 par la fonction g. 2–2 0 g(2)= = =0 2–1 1 L’image du nombre 2 par la fonction g est 0. 2) On ne peut pas calculer l’image du nombre 1 par la fonction g. En effet, le dénominateur serait alors 1 – 1 = 0. Or on ne peut pas diviser par 0. 1 1 8 9 – –2 – – – 4 4 4 9 4 9 4 1 3) g – = = = × = = 4 –1 – 1 –1 – 4 –5 4 5 5 4 4 4 4 4 2 2 6 – –2 – 3 4 3 3 3 2 3 = × =4 = 4) g = = 1 3 1 2 3 2 3 – – –1 3 3 3 3 2 g est bien un nombre entier. 3

( ) ()

()

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42 A 1) Les droites (AN) et (BM) sont sécantes au point C et les droites (AB) et (MN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : CN CM MN =  =  CA CB AB 5 MN = 2 6 8 × MN = 5 × 6 30 MN =  8 MN = 3,75 cm 2) a) Les droites (MN) et (AB) sont parallèles, et les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires. On en déduit donc que les droites (MN) et (BC) sont perpendiculaires. Le triangle CMN est donc rectangle en C. Ainsi, 𝒜(CMN) =  CM × MN . 2 𝒜(CMN) =  5 × 3,75 2 𝒜(CMN) = 9,375 L’aire du triangle CMN est 9,375 cm2. b) Le triangle ABC est rectangle en B, donc 𝒜(ABC) =  AB × BC . 2 𝒜(ABC) =  6 × 8 2 48 𝒜(ABC) =  2 𝒜(ABC) = 24 L’aire du triangle ABC est 24 cm2. c) 𝒜(ANMB) = 𝒜(ABC) – 𝒜(CMN) 𝒜(ANMB) = 24 – 9,375 𝒜(ANMB) = 14,625 L’aire du trapèze AMNB est 14,625 cm2. 3) a) L’aire du triangle CNM est inférieure à celle du trapèze ANMB. b) Pour que les deux aires soient égales, on doit placer le point M à plus de 5 cm du point C. B 1) Le point M appartient au segment [BC], donc la longueur CM varie entre 0 (si le point M est confondu avec le point C) et 8 (si le point M est confondu avec le point B). Ainsi : 0 ⩽ x ⩽ 8. 2) Les droites (AN) et (BM) sont sécantes au point C, et les droites (AB) et (MN) sont parallèles. D’après le théorème le de Thalès : CN CM MN =  =  CA CB AB x = MN 6 8 8 × MN = 6 × x 6 MN =  x 8 3 MN =  x 4 3) a) 𝒜(CMN) =  CM × MN 2 3 2 3 x x× x 4 = 4 = 3 x2 × 1 𝒜(CMN) =  4 2 2 2 3 𝒜(CMN) =  x2 8 3 L’aire du triangle CNM est égale à x2. 8 b) La fonction f qui, au nombre x, fait correspondre l’aire du triangle CNM est : 3 f : x ↦ x2 8 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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4) Par lecture graphique, f (5) est environ égale à 9,5. On trouve une valeur approché du résultat trouvé à la question A 2) a) qui était 𝒜(CMN) = 9,375. 5) a) On a : 𝒜(ABC) = 𝒜(CMN) + 𝒜(ANMB) Or 𝒜(CMN) = 𝒜(ANMB). Donc : 𝒜(ABC) = 2 × 𝒜(CMN). Comme 𝒜(ABC) = 24 cm2, alors 𝒜(CMN) = 12 cm2. b) Par lecture graphique, l’antécédent du nombre 12 par la fonction f est environ égal à 5,6 cm. 3 c) f (5,6) = × 5,62 = 11,76 8 Donc 5,6 est une valeur approchée par défaut. 3 d) f (5,7) =  × 5,72 ≈ 12,2 8 Donc pour que l’aire du triangle CNM soit égale à l’aire du quadrilatère ANMB, le point M doit être positionné à environ 5,6 cm du point C. 43 f (1) = 0,5 × 12 – 1 + 1 = 0,5 Donc la fonction f est représentée par la courbe bleue. g (1) = 2 × 12 – 4 × 1 + 1 = 2 – 4 + 1 = – 1 Donc la fonction g est représentée par la courbe rouge. 44 Les nombres qui ont la même image par les fonctions f et g sont : 0 et 2. 45 a) f (x) < g(x) lorsque la courbe bleue est en dessous de la courbe rouge, c’est-à-dire lorsque x < 0 ou x > 2. b) f (x) > g(x) lorsque la courbe bleue est au-dessus de la courbe rouge, c’est-à-dire lorsque 0 < x < 2. 46 1) La fonction f associe au nombre x son triple. 2) g : x ↦ 2x3 3) h(x) = (2x)3

48 1) Par lecture graphique, l’image par la fonction h du nombre : a) 2 est 3 ; b) – 2 est – 1 ; c) 0 est 1 ; d) 1 est 1,25. 2) Par lecture graphique, l’antécédent par la fonction h du nombre : a) 3 est 2 ; b) – 2 est – 2,25 ; c) 0 est – 1,6. Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

JE FAIS LE POINT 63 c) f

2

(23) = 3 × 49 – 5 2 4 15 f( ) = – 3 3 3 2 11 f( ) = – 3 3

f

64 1) Par lecture graphique, l’image du nombre 2 par la fonction f est 1. 2) Par lecture graphique, f (– 1) = – 0,5.

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(34) = 13 × 169 – 32 + 1 3 3 f( ) = 1 × 3 × 3 – + 1 4 3×4×4 2 3 3 24 16 – + f( ) = 4 16 16 16 3 5 f( ) = – 4 16 f

Le point A est tel que son ordonnée est l’image de son abscisse par la fonction f. 3 5 Donc le point A ; appartient à la courbe (C). 4 16

(

)

51 1) f : x ↦ x + x 2) f (– 3) = – 3 + (– 3)2 = – 3 + 9 = 6 L’image du nombre – 3 par la fonction f est 6. 3) a) f (– 2) = – 2 + (– 2)2 = – 2 + 4 = 2 Le nombre – 2 est un antécédent du nombre 2 par la fonction f. b) f (1) = 1 + 12 = 1 + 1 = 2 Le nombre 1 est un antécédent du nombre 2 par la fonction f. c) f (– 1) = – 1 + (– 1)2 = – 1 + 1 = 0 Le nombre – 1 n’est pas un antécédent du nombre 2 par la fonction f. 2

52 1) x

–2

–1

0

0,5

1

1,5

2

3

4

g(x)

–1

4

7

7,75

8

7,75

7

4

–1

2) a) b) c) Représentation graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) Les antécédents par la fonction g du nombre 7 sont : 0 et 2. 4) Le point A d’abscisse 2,5 appartient à la courbe (C), donc son ordonnée est l’image de son abscisse. g(2,5) = 2 × 2,5 + 7 – 2,52 g(2,5) = 5 + 7 – 6,25 g(2,5) = 12 – 6,25 g(2,5) = 5,75 Donc le point A a pour coordonnées (2,5 ; 5,75). 5) Par lecture graphique, les points de la courbe qui ont pour ordonnée 4 ont pour abscisse – 1 et 3.

Les exercices 53 à 62 sont corrigés à la page 307 du manuel élève.

(23) = 3 × (23) – 5

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

2

(34) = 13 × (34) – 2 × 34 + 1

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

47 a) L’image du nombre 3 par la fonction g est – 2. b) g(– 2) = 3 c) Le nombre – 4 est un antécédent du nombre 7 par la fonction g. d) Les nombres – 2 et 5 sont des antécédents du nombre 3 par la fonction g.

49

50 f

3) Par lecture graphique, l’antécédent du nombre 2 par la fonction f est 4. 4) Par lecture graphique, le nombre x tel que f (x) =  – 1 est – 2. 65 a) Par lecture graphique, l’image du nombre 1 par la fonction g est – 4. b) Par lecture graphique, les antécédents du nombre 0 par la fonction g sont : – 1 et 3. c) Par lecture graphique, g(2) = – 3. d) Par lecture graphique, les nombres qui ont pour image – 3 par la fonction g sont : 0 et 2. CHAP. 7 - NOTION DE FONCTION

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66 1) Le panier est à 3 m de hauteur. 2) 0,1 s après le lancer, le ballon est à une hauteur de 3,1 m environ. 3) a) La hauteur maximale atteinte par le ballon est 4,5 m. b) Le ballon atteint cette hauteur maximale au bout de 0,5 s. 67 1) a) Par lecture graphique, la vitesse minimale que le vent doit atteindre pour que l’éolienne fonctionne est 4 m/s. b) Par lecture graphique, une vitesse du vent pour laquelle la puissance de l’éolienne est au moins 200 kW est 10 m/s (toute vitesse comprise entre 9 m/s et 25 m/s). c) Par lecture graphique, la puissance maximale fournie par l’éolienne est 625 kW. 2) La puissance fournie par cette éolienne n’est pas proportionnelle à la vitesse du vent car la courbe représentant la puissance fournie par l’éolienne en fonction de la vitesse du vent n’est pas une droite qui passe par l’origine du repère. 68

A 1) 2) 3) Courbe disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

4) Sur route sèche, la distance de freinage augmente lorsque la vitesse augmente. La distance de freinage n’est pas proportionnelle à la vitesse car la courbe n’est pas une droite passant par l’origine du repère. B 1) 2) 3)

4) Sur route mouillée, la distance de freinage augmente lorsque la vitesse augmente. On ne peut pas facilement comparer les distances de freinage sur route sèche et sur route mouillée. C 1) 2) Courbe disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) Lorsque la vitesse augmente, la distance de freinage augmente plus rapidement lorsque la route est mouillée que lorsque la route est sèche. 69 1) a) Un véhicule léger émet le moins de gaz polluants lorsqu’il roule entre 60 et 70 km/h. b) Par lecture graphique, f (65) = 0,6 et f (130) = 1,2. f (130) est le double de f (65). À 130 km/h, un véhicule léger pollue deux fois plus qu’à 65 km/h. 2) a) Les émissions de gaz d’un poids lourd diminuent lorsque la vitesse augmente. b) À 90  km/h, un poids lourd émet environ 6  g/km de gaz, tandis qu’un véhicule léger, à cette même vitesse, émet environ 0,65 g/km. Donc, à 90 km/h, un poids lourd pollue environ 10 fois plus qu’un véhicule léger. 70 1) À partir de 1974, cette eau souterraine n’était pas potable. Cela correspond au début de l’utilisation du lisier dans les cultures qui est intervenu environ un an plus tôt. 2) La pollution a été maximale en 1979 et 1981. Dix après l’arrêt de l’utilisation du lisier, cette eau souterraine n’est toujours pas potable.

Courbe disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Exercices d’évaluation du socle commun 1 𝒱(5) = 11 × π × 52 𝒱(5) = 11 × π × 25 𝒱(5) = 275π 𝒱(5) ≈ 864 cm3 Le volume de cette boîte de conserve est 275π cm2, soit environ 864 cm2.

2) Pour que les boîtes aient un volume supérieur à 100  cm3, les hauteurs des boîtes doivent être comprises entre 2 cm et 6,5 cm.

2 1) Le volume est maximal lorsque la hauteur de la boîte est environ 4 cm.

4 Claire double sa facture lorsqu’elle dépasse son forfait de 60 minutes, soit 1 h.

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3 La durée de communication du forfait de Claire est 120 minutes, soit 2 heures. Le prix du forfait est 25 €.

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A P I TR H

C

E

8

Proportionnalité et fonctions linéaires PROGRAMME

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e ● Lire et interpréter graphiquement le coefficient d’une fonction linéaire représentée par une droite. ● Déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné et l’antécédent d’un nombre donné.

> CONNAISSANCES Proportionnalité Fonction linéaire  Coefficient directeur de la droite représentant une fonction linéaire

CAPACITÉS Déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné et l’antécédent d’un nombre donné. ● Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire à partir de la donnée d’un nombre non nul et de son image. ● Représenter graphiquement une fonction linéaire. ● Connaître et utiliser la relation y = ax entre les coordonnées (x ; y) d’un point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction linéaire x ↦ ax. ●

■ Commentaires L’utilisation de tableaux de proportionnalité permet de mettre en place le fait que le processus de correspondance est décrit par une formulation du type « je multiplie par a ». Cette formulation est reliée à x ↦ ax. Pour des pourcentages d’augmentation ou de diminution, le fait que, par exemple, augmenter de 5 % c’est multiplier par 1,05 et diminuer de 5 % c’est multiplier par 0,95 est établi. Certains traitements des situations de proportionnalité utilisés dans les classes précédentes sont reliés aux propriétés d’additivité et d’homogénéité de la fonction linéaire.

Socle commun des connaissances ● Reconnaître si deux grandeurs sont ou non proportionnelles et, dans l’affirmative : – déterminer et utiliser un coefficient de proportionnalité ;

● ●

– utiliser les propriétés de linéarité ; – calculer une quatrième proportionnelle. Relier pourcentages et fractions. Appliquer un taux de pourcentage.

Capacités des programmes des classes antérieures Déterminer une quatrième proportionnelle. Déterminer le pourcentage relatif à un caractère d’un groupe constitué de la réunion de deux groupes dont les effectifs et les pourcentages relatifs à ce caractère sont connus. ● ●

● Utiliser, dans le plan muni d’un repère, la caractérisation de la proportionnalité par l’alignement de points avec l’origine.

Capacités des programmes des classes supérieures Classe de Seconde  ● ●

Donner le sens de variation d’une fonction affine. Donner le tableau de signes de ax + b pour des valeurs numériques données de a et b.

Commentaires des auteurs ➜ On étudie dans ce chapitre une fonction particulière : x ↦ ax, où a est un nombre relatif non nul donné. On remarque que cette fonction traduit une situation de proportionnalité. ➜ Les élèves ont vu en Quatrième qu’une situation de proportionnalité est représentée dans un repère par des points alignés avec son origine. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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On en déduit la nature de la représentation graphique d’une fonction linéaire. Toutefois, l’équation cartésienne d’une droite n’est pas au programme du collège. ➜ Les fonctions linéaires permettent de calculer en une étape le résultat d’une augmentation ou d’une diminution exprimée en pourcentage. CHAP. 8 - PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES

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ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O MMENTAIR E S

C ORRIGÉ

Cette activité permet à l’élève de réactiver ses connaissances par l’intermédiaire d’un tableau de données à compléter. L’élève pourra ainsi revoir la différence entre des grandeurs qui sont proportionnelles et des grandeurs qui ne le sont pas.

1) Vitesse (en m/s) Énergie cinétique (en J)

0,5

1

2

0,1875

0,75

3

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) L’énergie cinétique n’est pas proportionnelle à la vitesse car on ne peut pas obtenir la vitesse en multipliant toujours l’énergie cinétique par un même nombre. 3) Dans ce cas, l’énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse car il suffit de multiplier toujours le carré de la vitesse par 0,75 pour obtenir l’énergie cinétique.

1

J’ÉTUDIE UNE FONCTION PARTICULIERE

Objectif

Découvrir la définition et les propriétés d’une fonction linéaire.

Prérequis

Vocabulaire des fonctions

Paragraphes introduits

! Fonction linéaire a) Définition et propriétés

■ C O MMENTAIR E S Cette activité permet de faire découvrir, à l’aide de calculs d’images et d’antécédents d’un nombre donné par une fonction donnée, la définition et les propriétés d’une fonction linéaire.

C ORRIGÉ

A 1 f (4) = − 16

f (− 6) = 24 f (7) = − 28 1 f (0) = 0 f (1) = − 4 f − =2 2 2 «  L’image d’un nombre x par la fonction f s’obtient en multipliant ce nombre par − 4. » B 1 a) Une équation dont le nombre t est solution est : − 4t = 45. 45 45 b) t =  = − –4 4 2 On vient de trouver que si un nombre est l’antécédent 45 de 45, alors il doit être égal à – . 4 45 = 45. Donc le nombre 45 n’admet qu’un De plus, f − 4 seul antécédent.

( )

( )

2

JE FAIS LE LIEN AVEC UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Objectif

Prérequis

Découvrir qu’une situation concrète de proportionnalité peut être liée à une fonction linéaire. ● ●

Paragraphes introduits

Calcul littéral Définition d’une fonction linéaire

! Fonction linéaire b) Lien avec la proportionnalité

■ C O MMENTAIR E S Sur un exemple, l’élève découvre le lien entre une fonction linéaire et une situation de proportionnalité.

3

C ORRIGÉ

1 a) Nombre de paquets

0

1

2

3

4

Prix payé (en €)

0

5,7

11,4

17,1

22,8

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b) Oui, le prix est proportionnel au nombre de paquets achetés. Le coefficient de proportionnalité est 5,7. 2 a) x désigne le nombre de paquets achetés. p(x) = 5,7x b) La fonction p est une fonction linéaire de coefficient 5,7.

JE REPRÉSENTE GRAPHIQUEMENT UNE FONCTION LINÉAIRE

Objectif

Découvrir la représentation graphique d’une fonction linéaire.

Prérequis

Représenter graphiquement une fonction à l’aide d’un logiciel de géométrie (GeoGebra).

Paragraphes introduits

@ Représentation graphique a) Représentation graphique d’une fonction linéaire

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■ C OM M E NTAIRE S Cette activité permet, d’une part, de montrer à l’élève la représentation graphique d’une fonction linéaire et, d’autre part, de réinvestir ses connaissances concernant un logiciel de géométrie.

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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C O RRI G É

2 a) Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

4

b) La fonction f est une fonction linéaire. c) La représentation graphique de la fonction f  semble être une droite passant par l’origine du repère. d) « La représentation graphique d’une fonction semble être une droite qui passe par l’origine du repère. »

J’INTERPRETE GRAPHIQUEMENT LE COEFFICIENT D’UNE FONCTION LINÉAIRE

Objectif

Découvrir le lien entre le coefficient d’une fonction linéaire et la représentation graphique de cette fonction.

Prérequis

Lire graphiquement les coordonnées d’un point dans un repère.

Paragraphes introduits

@ Représentation graphique b) Interprétation graphique du coefficient directeur d’une droite

C ORRIGÉ

A 1 f (x + 1) = a(x + 1) = ax + a 2 Comme f (x) = ax, d’après ce qui précède, on a : f (x + 1) = f(x) + a B 1 a>0 « Pour la droite (d1), lorsque l’on augmente l’abscisse de 1, l’ordonnée augmente de 1,5. » 2 a 1; 1 – = = . 4 4 4 100 f traduit une augmentation de 25 %. 150 . b) 2,5 > 1 ; 2,5 – 1 = 1,5 = 100 g traduit une augmentation de 150 %. 2 2 3 60 . c) < 1 ; 1 – = = 5 5 5 100 h correspond à une diminution de 60 %. 11 11 1 10 > 1; −1= = . d) 10 10 10 100 k correspond à une augmentation de 10 %. 45 a)

(

)

(

)

47 Nombre d’élèves au 1er septembre 2010 : 5 5 × 1− = 400 × 1,05 × 0,95 = 399 400 × 1 + 100 100

(

) (

)

48 1) a) Capital détenu au bout d’un an : 2,5 = 10 000 × 1,025 = 10 250 € 10 000 × 1 + 100 b) Capital détenu au bout de 2 ans : 2,5 = 10 250 × 1,025 = 10 506,25 € 10 250 × 1 + 100 2) Au bout de 4 ans, le capital de départ aura été multiplié par : 10,909 468 26 = 10,909 468 26 % 1,0254 = 1,090 946 826 = 100 Kévin a gagné plus de 10 % de la somme de départ.

(

)

(

)

3 49 f (x) = x – 3x(2x + 4) + 4x x – 2 2 f (x) = x – 6x² − 12x + 6x² − 8x f (x) = − 19x La fonction f est linéaire et son coefficient est − 19.

(

)

50 1) a) f1(x) = 15x b) f2(x) = 120 c) f1 est une fonction linéaire de coefficient 15 car on multiplie le nombre d’entrées par 15. 2) f1(20) = 15 × 20 = 300 ; f2(20) = 120. 3) a) Le point A a pour coordonnées (3,3 ; 50). Avec le tarif no 1, on peut donc acheter 3 places avec 50 €. b) Le point D a pour coordonnées (8 ; 120). Avec le tarif no 1, on peut donc acheter 8 places avec 120 €. 5) À partir de la neuvième place, le tarif no 2 est plus avantageux que le tarif no 1. Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

51 1) Volume de sirop de menthe : 4 × 4 × x = 16x 2) g(x) = (7 + 1) × Volume de sirop = 8 × 16x = 128x 3) On a : 128x = 179,2. 179,2 = 1,4. Donc : x =  128 La hauteur de sirop de menthe dans le verre est de 1,4 cm.

94

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)

(

35 × 170 = 0,65 × 170 = 100,5 100 Le prix après remise de 35 % est de 110,50 €. 2) Une tenue de sport coûtant 82 € est affichée à 69,70 € pendant les soldes. Pourcentage de réduction : Diminution 82 – 69,7 12,3 15 = = = 0,15 = = 15 % Prix de départ 82 82 100 2,5 3) Le prix de départ a été multiplié par 1 + = 1,025. 100 Pour obtenir le prix de départ à partir du loyer après augmentation, il faut diviser le prix final par 1,025. 533 = 520 1,025 Le loyer de départ était de 520 €.

(

46 1) 1 −

52 1) a) Montant de l’assurance la deuxième année : 5 420 × 1 − = 420 × 0,95 = 399 100 Théa a payé 399 € la deuxième année. 5 b) 399 × 1 − = 399 × 0,95 = 379,05 100 Théa a payé 379,05 € la troisième année. c) Pourcentage de diminution depuis la première année : Diminution 420 – 379,05 10,05 9,75 = = = 0,0975 = Prix de départ 420 420 100 Le pourcentage de diminution est de 9,75 % durant cette période. 2) Montant de l’assurance au bout de 4 ans : 420 × 0,956 > 300 et 420 × 0,957 < 300 Théa payera moins de 300 € au bout de la septième année.

)

1 53 1) f (x) =  × AireABCD × Hauteur 3 1 =  × 2,4 × 1,2 × x = 0,96x 3 2) Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) a) Le point A a pour coordonnées (6,5 ; 6,3). L’image de 6,5 par la fonction f est environ 6,3. b) Cette image représente le volume de la pyramide pour une hauteur de 6,5 cm. 4) a) Le point D a pour coordonnées (7,5 ; 7,2). L’antécédent du nombre 7,2 par la fonction f est environ 7,5. b) Cet antécédent représente la hauteur de la pyramide pour un volume de 7,2 cm3. 54 1) Les droites (AE) et (BD) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (EC). Elles sont donc parallèles entre elles. Dans le triangle ABC, B ∈ [AC] et D ∈ [EC]. De plus, les droites (AE) et (BD) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès. CD BD =  . On peut écrire : CE EA x =  BD  ; donc : BD =  7x = 0,7x. D’où : 7 10 10 On en déduit que h(x) = 0,7x. 2) h est une fonction linéaire car on doit multiplier x par 0,7 pour trouver la longueur BD. 55 A 1) a) f (x) = 4 × 5 × x = 20x b) f est une fonction linéaire car f(x) est de la forme ax avec a = 20. c) Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) a) Le point A a pour coordonnées (0,3 ; 6). Pour une hauteur d’eau de 0,3  m, le volume d’eau est d’environ 6 m3. b) Le point D a pour coordonnées (0,45 ; 9). Pour un volume de 9 m3, la hauteur d’eau dans la piscine est de 0,45 m. 3) f (0,3) = 20 × 0,3 = 6 f (0,45) = 20 × 0,45 = 9 Les résultats précédents sont bien vérifiés. B 1) V(x) = 1,6 × 4 × 5 + (x – 1,6) × (4 + 4) × 5 V(x) = 32 + 40x – 64 D’où : V(x) = 40x – 32. 2) Non, la fonction V n’est pas une fonction linéaire car elle n’est pas de la forme ax. 3) a) Lorsque le niveau est maximal : x = 2,2 et V(2,2) = 40 × 2,2 – 32 = 56. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Le volume d’eau dans la piscine est de 56  m3 lorsque le niveau d’eau est maximal. b) V(x) = 38 On a : 40x – 32 = 38. D’où : 40x = 70. 70 = 1,75. Donc : x =  40 Lorsque le volume d’eau dans la piscine est de 38 m3, la hauteur d’eau est de 1,75 m. 4) a) V(x) = 32 On a : 40x – 32 = 32. D’où : 40x = 64. 64 = 1,6. Donc : x =  40 L’antécédent de 32 par la fonction V est 1,6. b) Ce nombre correspond à la hauteur d’eau dans la piscine pour un volume d’eau de 32 m3. C 1) On convertit les longueurs en centimètres pour avoir des nombres entiers. 22,5 m = 2 250 cm et 17,5 m = 1 750 cm. La distance entre les poteaux doit diviser 2 250 et 1 750 et être la plus grande possible. C’est donc le PGCD de 2 250 et 1 750. Par divisions successives, on a : 2 250 : 1 750 = 1 et reste 500 ; 1 750 : 500 = 3 et reste 250 ; 500 : 250 = 2 et reste 0. Le PGCD de 2 250 et 1 750 est donc 250. La distance entre deux poteaux est donc de 250 cm, c’està-dire 2,5 m. 2) Puisqu’il y a un poteau sur chaque sommet du rectangle, il y a autant d’intervalles entre les poteaux que de poteaux. On peut donc écrire : Périmètre du rectangle Nombre de poteaux =  PGCD(2 250 ; 1 750) =  2 × (2 250 + 1 750) = 32 250 Il faut donc 32 poteaux pour clôturer le terrain. 56 1) a) Pour x = 8, le coefficient de cette fonction est 7 7 égal à : = . x 8 7 Donc : f (x) =  x. 8 7 35 b) f (5) = × 5 = 8 8 35 . Donc : y =  8 7 y 2) Le coefficient de la fonction f est égal à et à . 5 x Puisque y = − 3, on a : 7 –3 35 35 = , d’où : – 3x = 7 × 5, donc : x =  = − . –3 3 x 5 3) Pour x = 7, on a y = 5 et pour x = 14, y = 2,5. 57 Puisque OC = 10 cm, le point C est sur le cercle de centre O et de rayon 10 cm. De plus, C est sur la droite (d) et a une abscisse positive. Le point C est donc le point de la droite (d) qui se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 10 cm et qui a une abscisse positive. On lit sur le graphique que C a pour coordonnées (8 ; − 6). Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

58 a) g n’est pas une fonction linéaire car elle n’est pas du type ax. 3 b) p est une fonction linéaire de coefficient . 7 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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59 f (6) = 25 × 6 = 150 Le point A(6 ;150) est sur la droite qui représente la fonction linéaire f de même origine que l’origine du repère. La représentation graphique de la fonction f est donc la droite (OA). Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

60 1) k  est une fonction linéaire car sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère. 2) a) Le point sur la droite (d) qui a pour abscisse 1 a pour ordonnée – 0,5. On a donc : k(1) = − 0,5. b) k(x) = − 0,5x 61 Le coefficient de fonction linéaire f est égal à : f (4) 18 9 =  =  4 4 2 5,2 . 62 a) 1,052 > 1 et 1,052 – 1 = 0,052 =  100 g1 est une fonction linéaire qui traduit une augmentation de 5,2 %. 68 . b) 0,32 < 1 et 1 – 0,32 = 0,68 =  100 g2 est une fonction qui traduit une diminution de 68 %. 63

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

64 Le prix initial a été multiplié par : 4 5 25 1+ × 1+ × 1+ , c’est-à-dire : 100 100 100 1,04 × 1,05 × 0,75 = 0,819 18,1 1 – 0,819 = 0,181 =  1 + 100 Le pourcentage d’évolution du prix de la boîte entre le 1er novembre et le 1er janvier est de 18,1 %.

(

) (

) ( (

)

)

57 =  19. La fonction linéaire dont la représenta3 tion graphique passe par le point A a pour coefficient le nombre 19. –5 = 19. De même, la fonction linéaire dont la représen– 95 tation graphique passe par le point B a pour coefficient le nombre 19. Or, une fonction linéaire est déterminée par son coefficient. Donc il existe une seule fonction linéaire dont la représentation graphique est la droite (AB). 65

66 Le coefficient de la fonction g est égal à : g(– 2) 4 =   = − 2 –2 –2 67 1) Le point de la droite (d) qui a pour abscisse le nombre 2 a pour ordonnée le nombre 0,5. On en déduit que f (2) = 0,5. f (2) 0,5 =  = 0,25. 2) Calcul du coefficient de f : 2 2 On en déduit l’expression de f : f(x) = 0,25x. 68 1) v(x) = π × 2² × x = 4πx 2) v est bien une fonction linéaire car elle est de la forme ax avec a = 4π. 3) a) v(7) = 4π × 7 ≈ 88 b) La représentation graphique de la fonction v est la droite qui passe par l’origine du repère et par le point de coordonnées (7 ; 28π), c’est-à-dire (7 ; 88). Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com CHAP. 8 - PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES

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JE FAIS LE POINT

Les exercices 69 à 78 sont corrigés à la page 307 du manuel élève.

79 1) Le point de la droite bleue d’abscisse 100 a pour ordonnée 250. Le prix payé pour 100 m3 d’eau est de 250 €. 2) La représentation graphique de p est une droite qui passe par l’origine du repère, c’est donc une fonction p(100) . linéaire. Son coefficient est égal, par exemple, à : 100 p(100) 250 Or = 2,5, donc p(x) = 2,5x. =  100 100 80 1) Volume de cette pyramide pour x = 6 cm : 1 1 × AireABCD × Hauteurpyramide =  × 2 × 2 × 6 = 8 cm3 3 3 1 2) a) V(x) =  × AireABCD × Hauteurpyramide 3 1 4 =  × 2 × 2 × x =  x 3 3 4 b) La fonction V est une fonction linéaire de coefficient . 3 Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère et, par exemple, par le point A de coordonnées (6 ; V(6) = 8). Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) a) Le point E d’abscisse 4,5 a pour ordonnée 6. Le volume d’eau lorsque la pyramide a une hauteur de 4,5 cm est d’environ 6 cm3. b) Le point D d’ordonnée 10 a pour abscisse 7,5. La hauteur de la pyramide de volume 10 cm3 est d’environ 7,5 cm. 81 Les ventes initiales ont été multipliées successive30 20 ment par 1 + , puis par 1 + . 100 100 30 20 1+ × 1+ = 1,3 × 1,2 = 1,56 100 100 56 1,56 – 1 = 0,56 = 100 L’augmentation globale en pourcentage sur ces deux années est donc de 56 %.

(

(

) (

)

(

)

)

82 1) a) Salaire de Max au mois de février : 40 × 5 000 = 2 000 40 % de 5 000 =  100 Max a gagné 2 000 € ce mois-ci. 40 100 b) 2 500 : = 2 500 × = 6 250 100 40 Max doit faire 6 250 € de bénéfice pour gagner 2 500 € au mois de mars. 40 2) Salaire de Max : × x = 0,4x. 100 Salaire de Julie : 1 500. 3) a) Le salaire représenté est celui de Max car il n’est pas constant. b) La graduation sur l’axe des abscisses représente le bénéfice réalisé grâce aux ventes. c) La graduation sur l’axe des ordonnées représente le salaire de Max. 4) Le point de la droite qui a pour abscisse 3 000 a pour ordonnée environ 1 200. Une valeur approchée du salaire de Max est donc 1 200 €.

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5) Pour que Max et Julie gagnent le même salaire, le bénéfice x réalisé par Max doit être solution de l’équation 0,4x = 1 500. 1 500 D’où : x =  =3 750. 0,4 Max doit réaliser un bénéfice de 3 750  € pour avoir le même salaire que Julie. 83

A 1) 2) 3) 4) Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

B 1) Dans la cellule D9, on saisie la formule : « =19,6;100*D8 ». 2) Dans la cellule D10, on saisie la formule « =D8+D9 ». On obtient le tableau suivant : Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

C 1) 2) On doit obtenir le tableau suivant : Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

D

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

84 1) Distance dans la réalité : 1 25 000 = 40 × = 1 000 000 40 : 25 000 1 La distance réelle est de 1 000 000 cm, soit 10 km. 2) a) x désigne la distance sur la carte en centimètres. 1 25 000 f (x) = x : = x × = 25 000x 25 000 1 b) f est une fonction linéaire car elle est de la forme ax avec a = 25 000. 3) a) f (x) = 1 800 000 D’où : 25 000x = 1 800 000. 1 800 000 = 72. Donc : x =  25 000 L’antécédent de 1 800 000 par la fonction f est 72. b) Ce nombre correspond à la distance sur la carte entre deux points dont la distance réelle est de 1 800 000 cm. 85 1) On note x l’intensité du courant qui traverse le conducteur. g(x) = R × x = 250x 2) g(0,012) = 250 × 0,012 = 3 Le nombre 3 correspond à la tension aux bornes d’un conducteur de résistance 250  Ω traversé par un courant d’intensité 0,012 A. 3) g(x) = 8 8 = 0,032. D’où : 250x = 8, donc x =  120 Le nombre 0,032 correspond à l’intensité du courant qui traverse un conducteur de résistance 250 Ω ayant une tension de 8 V à ses bornes. 86 Le point de coordonnées (0,5 ; 3) est sur la droite représentant la fonction linéaire qui donne la tension aux bornes d’un conducteur. Le coefficient de cette fonction correspond à la résistance 3 de ce conducteur et est égal à : = 6. 0,5 La résistance de ce conducteur est donc de 6 Ω.

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Exercices d’évaluation du socle commun 10,5 16,5 = 3,5. = 3,5 et 3 3 Le tableau est bien un tableau de proportionnalité car il suffit de multiplier les nombres de la grandeur A pour obtenir ceux qui leur correspondent pour la grandeur B. 1

2 La droite rouge et la droite bleue claire représentent une situation de proportionnalité. Ce sont des droites qui passent par l’origine du repère. 3 Pourcentage d’augmentation : Augmentation 0,09 5 = = 0,05 =  Prix initial 1,8 100 Le pourcentage d’augmentation est de 5 %.

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25 = 54 : 0,75 = 72. 100 Le prix avant les soldes était de 72 €. 4

(

Prix avant les soldes : 54 : 1 –

)

5 Le point sur la droite d’ordonnée 1,25 a pour abscisse 6. La durée d’une communication ayant coûté 1,25 € est de 6 min. 6 Une communication qui a duré 12 min coûte donc 2,50 €.

CHAP. 8 - PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES

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A P I TR H

C

E

9

Fonctions affines PROGRAMME

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e Représenter graphiquement une fonction affine. Lire et interpréter graphiquement les coefficients d’une fonction affine représentée par une droite. ● Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère. ●

> CONNAISSANCES Fonction affine Coefficient directeur et ordonnée à l’origine d’une droite représentant une fonction affine

CAPACITÉS Déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné et l’antécédent d’un nombre donné. ● Connaître et utiliser la relation y = ax + b entre les coordonnées (x, y) d’un point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction linéaire x ↦ ax + b. ● Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. ●

●

■ Commentaires Parmi les situations qui ne relèvent pas de la proportionnalité, certaines sont cependant modélisables par une fonction dont la représentation graphique est une droite. Cette remarque peut constituer un point de départ à l’étude des fonctions affines. Pour les fonctions affines, la proportionnalité des accroissements de x et y est mise en évidence.

Socle commun des connaissances  Aucune compétence de ce chapitre n’est exigible au socle commun des connaissances.

Capacités des programmes des classes antérieures ● Calculer la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. ● Écrire une expression correspondant à une succession donnée d’opérations.

● Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

Programme de la classe de Seconde > CONTENUS Fonctions. Image, antécédent, courbe représentative.

CAPACITÉS Traduire le lien entre deux quantités par une formule. ● Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule : – identifier la variable et, éventuellement, l’ensemble de définition ; ●

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– déterminer l’image d’un nombre ; – rechercher des antécédents d’un nombre.

■ Commentaires Les fonctions abordées sont généralement des fonctions numériques d’une variable réelle pour lesquelles l’ensemble de définition est donné. Quelques exemples de fonctions définies sur un ensemble fini ou sur N, voire de fonctions de deux variables (aire en fonction des dimensions) sont à donner.

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Commentaires des auteurs ➜ Ce chapitre est le troisième et dernier chapitre traitant des fonctions. On réinvestit dans ce chapitre des fonctions étudiées dans les chapitres précédents. Le cas particulier des fonctions constantes est étudié, et on remarque aussi que les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières. ➜ On peut déterminer une fonction affine : – par une expression algébrique : multiplication par le nombre a, suivie d’une addition du nombre b ;

– par la donnée de deux nombres distincts et leurs images ; – par lecture graphique de ses coefficients. ➜ La notion d’équation cartésienne de droite n’est pas au programme du collège. Cependant, l’équivalence entre l’appartenance d’un point à une droite et l’égalité vérifiée par les coordonnées de ce point est admise.

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O M M E NTAIR E S Cette activité est une activité de lecture graphique. L’élève, dans la question 2), est amené à justifier la non proportionnalité des deux grandeurs représentées. C O RRI G É 1) Au bout de 100 s de vol (c’est-à-dire 1 minute et 40  secondes), la fusée Ariane se sépare des moteurs à poudre. Sa vitesse est alors de 2 000 mètres par seconde.

1

JE DÉCOUVRE UN NOUVEAU TYPE DE FONCTION

Objectif

Découvrir la définition d’une fonction affine.

Prérequis

Vocabulaire des fonctions – Proportionnalité

Paragraphes introduits

! Notion de fonction affine Définition

■ C O M M E NTAIR E S Dans cette activité, l’élève est amené à modéliser une situation concrète qui ne relève pas de la proportionnalité. On définit alors la fonction affine. C O RRI G É

1 Chaque calculatrice coûte 13 € et les frais de port sont de 24,80 € pour l’ensemble de la commande. On a alors : 3 × 13 + 24,80 = 39 + 24,80 = 63,80.

2

Le montant de la facture pour l’achat de 3 calculatrices s’élève à 63,80 €. 2 a) Nombre de calculatrices

1

3

10

20

30

x

Montant de la facture 37,80 63,80 154,80 284,80 414,80 13x + 24,80 (en €) Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b) Le montant de la facture n’est pas proportionnel au nombre de calculatrices achetées. Par exemple, le prix de 10 calculatrices (154,80 €) n’est pas égal à 10 fois celui d’une calculatrice (37,80 €). 3 Soit f la fonction qui, au nombre x de calculatrices achetées, associe le montant de la facture. On a : f (x) = 13x + 24,8.

JE CALCULE L’IMAGE D’UN NOMBRE PAR UNE FONCTION AFFINE

Objectif

Calculer l’image d’un nombre par une fonction affine.

Prérequis

● Calcul de l’image d’un nombre par une fonction ● Les fonctions linéaires

Paragraphes introduits

! Notion de fonction affine Remarques

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2) a) Durant la phase Q, la vitesse de la fusée n’est pas proportionnelle à la durée de vol puisque la représentation graphique n’est pas une droite. b) Durant la phase W, la vitesse de la fusée n’est pas proportionnelle à la durée de vol puisque la représentation graphique n’est pas une droite. c) Durant la phase E, la vitesse de la fusée n’est pas proportionnelle à la durée de vol puisque la représentation graphique ne passe pas par l’origine du repère.

■ C OM M E NTAIRE S À partir de trois fonctions affines (une étant linéaire et une autre étant constante), on calcule l’image de deux nombres distincts. On définit alors la fonction constante. C ORRIGÉ 1 La fonction g est linéaire. Elle est de la forme g(x) = a × x avec a = 7. CHAP. 9 - FONCTIONS AFFINES

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2 La fonction f est une fonction affine. Elle est de la forme f (x) = a × x + b, avec a = – 2 et b = 5. La fonction g est une fonction affine. Elle est de la forme g(x) = a × x + b, avec a = 7 et b = 0. La fonction h est une fonction affine. Elle est de la forme h(x) = a × x + b, avec a = 0 et b = 4.

3

JE RECHERCHE DES ANTÉCÉDENTS PAR UNE FONCTION AFFINE

Objectif

Calculer l’antécédent d’un nombre par une fonction affine.

Prérequis

● Antécédent d’un nombre par une fonction ● Résolution d’une équation de degré 1 à une inconnue

Paragraphes introduits

! Notion de fonction affine Propriété (admise)

■ C O MMENTAIR E S La question de l’unicité d’un antécédent pour une fonction affine non constante n’est traitée que dans un exemple. Le cas d’une fonction constante est travaillé dans la seconde partie de l’activité.

4

C ORRIGÉ

A 1 c est un antécédent du nombre – 11 par la fonction g, d’où : g(c) = – 11. Or g(c) = – 5c + 9. Ainsi, le nombre c vérifie l’égalité – 5c + 9 = – 11. 2 On doit résoudre l’équation : – 5c + 9 = – 11. – 5c = – 11 – 9 – 5c = – 20 – 20 Donc : c =  = 4. –5 L’antécédent du nombre – 11 par la fonction g est 4. B 1 Le nombre 10 n’admet aucun antécédent par la fonction f. Il n’existe pas de nombre pour lequel l’image par cette fonction est égale à 10. 2 Le nombre 9 admet une infinité d’antécédents par la fonction f. Tous les nombres ont pour image 9 par cette fonction.

J’ÉTUDIE LA REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION AFFINE

Objectif

Étudier la représentation graphique d’une fonction affine.

Prérequis

● Représentation graphique d’une fonction linéaire ● Connaître les fonctions linéaires

Paragraphes introduits

@ Représentation graphique Propriété (admise) Définition

■ C O MMENTAIR E S À l’aide du logiciel GeoGebra, on étudie la représentation graphique d’une fonction affine dont on peut faire varier les coefficients a et b. Les élèves sont amenés à comparer cette représentation avec celle d’une fonction linéaire de coefficient a. On ne démontre pas que la représentation graphique d’une fonction affine est une droite, l’élève le visualise et doit l’admettre. En faisant varier les coefficients a et b, l’élève donne du sens aux expressions « ordonnée à l’origine » et « coefficient directeur ».

5

3 a) Calcul de l’image de 3 : f (3) = – 2 × 3 + 5 = – 1 ; g(3) = 7 × 3 = 21 ; h(3) = 4. b) Calcul de l’image de – 5 : f (– 5) = – 2 × (– 5) + 5 = 15 ; g(– 5) = 7 × (– 5) = – 35 ; h(– 5) = 4. 4 Par la fonction affine h, tous les nombres ont la même image ; cette image est 4.

C ORRIGÉ

2 La fonction f est linéaire de coefficient a. Donc sa représentation graphique est une droite de coefficient directeur a. 3 b) La représentation graphique de la fonction g semble être une droite. 4 a) Lorsque l’on fait varier le coefficient b, la représentation graphique de la fonction g change, celle de la fonction f reste inchangée. La représentation graphique de la fonction g semble toujours être une droite, mais en faisant varier b, on obtient des droites parallèles. b) Lorsque l’on fait varier le coefficient a, la pente de la représentation graphique de la fonction g et la pente de la représentation graphique de la fonction f varient. Cependant, les deux droites tracées semblent parallèles. c) Les deux droites tracées lorsque a =  0  semblent horizontales.

JE DÉCOUVRE UNE PROPRIÉTÉ DES FONCTIONS AFFINES

Objectif

Étudier les accroissements des f (x) en fonction des accroissements des x.

Prérequis

Représentation graphique d’une fonction affine

Paragraphes introduits

@ Proportionnalité des accroissements Propriété

100

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■ C OM M E NTAIRE S La proportionnalité des accroissements des images f (x) d’une fonction affine et des accroissements de x est une notion difficile à comprendre pour l’élève. Cette activité est traitée à l’aide du logiciel GeoGebra (feuille de dessin et tableur). Une démonstration sur un exemple générique est proposée dans la partie B . © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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C O RRI G É

A 3 On retrouve dans la cellule E3  la valeur 5, c’est-àdire le coefficient directeur de la droite tracée. 4 a) Lorsque l’on déplace le point A sur la droite, les nombres écrits dans le tableur varient, sauf le nombre écrit dans la cellule E3.

b) Lorsque l’on déplace le point B, on peut faire les mêmes remarques. B On considère la fonction h telle que h(x) = 7x – 3. x1 ≠ x2 , on a : h(x1) – h(x2) 7x1 – 3 – (7x2 + 3) 7x1 – 3 – 7x2 + 3 7(x1 – x2) = = = = 7 x1 – x2 x1 – x2 x1 – x2 x1 – x2

EXERCICES 1 1) La fonction affine f qui, à un nombre x, associe son double diminué de 5 est telle que f (x) = 2x – 5. 2) La fonction affine g telle que g(x) = 3x + 2 est la fonction qui, à un nombre x, associe son triple augmenté de 2. 3) La fonction affine h qui, à un nombre x, associe son

x

tiers augmenté de 1 est telle que h(x) =  + 1. 3 a) g : x ↦ – 4x + 5 4x b) h : x ↦ 3 3 c) f : x ↦ – x +  7 d) j : x ↦ x 2

a = − 4 et b = 5. 4 a =  et b = 0. 3 3 a = − 1 et b =  . 7 a = 1 et b = 0.

2 2 a) k : x ↦ – x + 5 est une fonction affine avec a = – 3 3 et b = 5. b) g : x ↦ x 2 – 7 n’est pas une fonction affine car elle n’est pas de la forme ax + b. 1 x c) h : x ↦ – + 1 est une fonction affine avec a = – et 4 4 b = 1. 4 d) j : x ↦ – + 1 n’est pas une fonction affine car elle n’est 3

x

pas de la forme ax + b. e) t : x ↦ √x + 2 n’est pas une fonction affine car elle n’est pas de la forme ax + b. f) f : x ↦ √3 × x + 5 est une fonction affine avec a = √3 et b = 5. 4 a) f (1) = – 3 × 1 – 4 = – 3 – 4 = – 7 b) f (– 2) = – 3 × (– 2) – 4 = 6 – 4 = 2 c) f (0) = – 3 × 0 – 4 = 0 – 4 = – 4 d) f (– 1) = – 3 × (– 1) – 4 = 3 – 4 = – 1 4 4 = –3 × – 4 = –4 – 4 = –8 e) f 3 3

()

5 a) On cherche x tel que g (x) = 1. 2x + 1 = 1 2x = 0 x = 0 b) On cherche x tel que g (x) = 0. 2x + 1 = 0 2x = – 1 x = – 1 2 c) On cherche x tel que g (x) = 3. 2x + 1 = 3 2x = 2 x = 1 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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d) On cherche x tel que f (x) = 2. 2x + 1 = 2 2x = 1 x = 1 2 e) On cherche x tel que f (x) = – 3. 2x + 1 = – 3 2x = – 4 x = – 2 1) h est une fonction affine car elle est de la forme 1 ax + b avec a =  et b = 2. 5 j est une fonction affine car elle est de la forme ax + b avec 6 a =  et b = 0. 5 – 15  + 2 = – 3 + 2 = – 1 2) a) h(– 15) = 5 6 b) j(– 15) = × (– 15) = – 18 5 3) a) On cherche x tel que h(x) = 0. 6

x

x

+ 2 = 0; = –2; x = – 10. 5 5 b) On cherche x tel que j(x) = 0. 6 x = 0 ; x = 0. 5 7 1) Toutes les fonctions sont des fonctions affines car leurs représentations graphiques sont des droites non parallèles à l’axe des ordonnées. 1 2) La fonction f2 est linéaire telle que f2 : x ↦ – x. 2 3) La fonction f3 est constante telle que f3 : x ↦ 4. b) f1(6) = 5 8 a) f1(– 2) = – 3 c) L’antécédent de – 2 par la fonction f1 est – 1. d) L’antécédent de 2 par la fonction f1 est 3. b) f4 (0) = 2 9 a) f4 (1) = 5 c) L’antécédent de – 4 par la fonction f4 est – 2. d) L’antécédent de – 1 par la fonction f4 est – 1. 10 1) Le coefficient directeur de la droite (d1) est égal à 1. 2) L’ordonnée à l’origine de la droite (d1) est égale à – 1. 3) Donc la fonction f1 est telle que f1 : x ↦ x – 1. 11 1) Le coefficient directeur de la droite (d4) est égal à 3. 2) L’ordonnée à l’origine de la droite (d4) est égale à 2. 3) Donc la fonction f4 est telle que f4 : x ↦ 3x + 2. g(1) = 2 – 5 ; 12 1) g(1) = 2 × 1 – 5 ; – 3 est l’image de 1 par la fonction g.

g(1) = – 3.

CHAP. 9 - FONCTIONS AFFINES

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2) g(x) = 7 2x – 5 = 7 ; 2x = 12 ; 6 est l’antécédent de 7 par la fonction g.

j(– 5) = – 1 – 5 j(– 5) = – 6. L’image de – 5 par la fonction j est – 6. 2) ● On cherche x tel que f (x) = 0. – 5x + 1 = 0 – 5x = – 1 x = 1 . L’antécédent de 0 par la fonction f est 1 . 5 5 ● On cherche x tel que g(x) = 0. – x + 5 = 0 – x = – 5 x = 5. L’antécédent de 0 par la fonction g est 5. ● On cherche x tel que h(x) = 0. 1 x + 1 = 0 5 1 x = – 1 5 x = – 5. L’antécédent de 0 par la fonction h est – 5. ● On cherche x tel que j(x) = 0. 1 x – 5 = 0 5 1 x = 5 5 x = 25. L’antécédent de 0 par la fonction j est 25.

x = 6.

13 h(– 1) = 4 × (– 1) + 7 h(– 1) = – 4 + 7 h(– 1) = 3. L’image de – 1 par la fonction h est 3. 14 On cherche x tel que j(x) = – 4. – 3x + 2 = – 4 – 3x = – 6 x = 2. L’antécédent de – 4 par la fonction j est 2. 15 1) f (– 5) = – (– 5) – 6 f (– 5) = 5 – 6 f (– 5) = – 1 L’image de – 5 par la fonction f est – 1. 2) On cherche x tel que f(x) = 10. – x – 6 = 10 ; – x = 16 ; x = – 16. L’antécédent de 10 par la fonction f est – 16. 16 1) On cherche x tel que k(x) = 2. 1 – 5x + 3 = 2 – 5x = – 1x =  5 1 L’antécédent de 2 par la fonction k est . 5 2 k(– 3) = – 5 × (– 3) + 3 k(– 3) = 15 + 3 k(– 3) = 18. L’image de – 3 par la fonction k est 18. 17

x

7

3

t(x)

– 35

5

7 4 0

0 –7

19 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com 3 2 1

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

t(– 7) = 4 × (– 7) – 7 t(– 7) = – 28 – 7 t(– 7) = – 35 t(3) = 4 × 3 – 7 t(3) = 12 – 7 t(3) = 5 4x – 7 = 0 4x = 7 x = 7 4 t(0) = 4 × 0 – 7 t(0) = 0 – 7 t(0) = – 7 4x – 7 = – 1 4x = 6 x = 6 = 3 4 2 18 1) ● f (x) = – 5x + 1 f (– 5) = – 5 × (– 5) + 1 f (– 5) = 25 + 1 f (– 5) = 26. L’image de – 5 par la fonction f est 26. ● g(x) = – x + 5 g(– 5) = – (– 5) + 5 g(– 5) = 5 + 5 g(– 5) = 10. L’image de – 5 par la fonction g est 10. 1 ● h(x) =  x + 1 5 1 h(– 5) = × (– 5) + 1 5 h(– 5) = – 1 + 1 h(– 5) = 0. L’image de – 5 par la fonction h est 0. 1 ● j(x) =  x – 5 5 1 j(– 5) = × (– 5) – 5 5

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La droite (d1) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ; 2). L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = 2. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 1, l’accroissement des f (x) est de + 2. 2 Donc : a =  = 2. 1 La fonction f1 est donc définie par  f1 : x ↦ 2x + 2. 20 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La droite (d2) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ; 1). L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = 1. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 2, l’accroissement des f (x) est de − 1. 1 Donc : a = – . 2 1 La fonction f2 est donc définie par  f2 : x ↦ – x + 1. 2 21 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La droite (d3) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ; 3). L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = 3. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 1, l’accroissement des f (x) est de 0. 0 Donc : a =  = 0. 3 La fonction f3 est donc définie par  f3 : x ↦ 3. 22 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La droite (d4) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ; 0). L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = 0. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 6, l’accroissement des f(x) est de + 1. 1 Donc : a =  . 6 1 La fonction f4 est donc définie par  f4 : x ↦ x. 6 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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23 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La droite (d1) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ; 1). L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = 1. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 1, l’accroissement des g (x) est de + 1. 1 Donc : a =  = 1. 1 La fonction g1 est donc définie par g1 : x ↦ x + 1. 24 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La droite (d2) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ; 3). L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = 3. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 3, l’accroissement des g (x) est de + 1. 1 Donc : a =  . 3 1 La fonction g2 est donc définie par g2 : x ↦ x + 3. 3 25 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La droite (d3) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ; 0). L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = 0. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 5, l’accroissement des g(x) est de + 3. 3 Donc : a =  . 5 3 La fonction g3 est donc définie par  g3 : x ↦ x. 5 26 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La droite (d4) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ; 3). L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = 3. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 3, l’accroissement des g(x) est de − 1. 1 Donc : a = – . 3 1 La fonction g4 est donc définie par  g4 : x ↦ – x +3. 3 27 g(1) = 2 et g(3) = 4. g(3) – g(1) 4 – 2 2 = = 1 = 1) a = 3–1 3–1 2 2) g(x) = x + b Or g(1) = 1 + b. 2=1+b 2 – 1 = b 1=b 3) Donc : g(x) = x + 1. 28 h(4) = 7 et h(2) = 11. h(4) – h(2) 7 – 11 – 4 = 1) a = = = –2 4–2 4–2 2 2) h(x) = – 2x + b Or h(4) = – 2 × 4 + b. 7 = –8 + b 7 + 8 = b 15 = b 3) Donc : h(x) = – 2x + 15. 29 j(– 3) = 7 et j(8) = – 15. j(8) – j(– 3) – 15 – 7 – 22 = 1) a = = = –2 8 – (– 3) 8+3 11 j(x) = – 2x + b Or j(8) = – 2 × 8 + b. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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– 15 = – 16 + b – 15 + 16 = b 1=b Donc : j(x) = – 2x + 1. 2) j(5) = – 2 × 5 + 1 j(5) = – 10 + 1 j(5) = – 9

(23) = – 1 et k(53) = 2. 5 2 k( ) – k( ) 3 3 2 – (– 1) 2 + 1 3 = = = = 3 a= 30 k

5 2 3 1 – 3 3 3 k(x) = 3x + b 2 2 Or k = 3 × + b. 3 3 –1 = 2 + b – 1 – 2 = b – 3 = b. Donc : k(x) = 3x – 3.

1

()

31 L’image de – 3 par la fonction f est 12 et l’image de – 5 par la fonction f est 0. f (– 3) – f (– 5) 12 – 0 12 = =6 = a= – 3 – (– 5) –3 + 5 2 f (x) = 6x + b Or f (– 3) = 6 × (– 3) + b 12 = – 18 + b 12 + 30 = b 30 = b. Donc : f (x) = 6x + 30. 32 1) g(0) = – 9, donc l’ordonnée à l’origine de la droite qui représente la fonction g est égale à – 9. Donc : b = – 9. 2) a) g(x) est donc de la forme ax – 9. D’où : g(– 2) = – 2a – 9. Or g(– 2) = 5. D’où l’équation : – 2a – 9 = 5. b) – 2a – 9 = 5 – 2a = 5 + 9 – 2a = 14 a = – 7. Donc : g(x) = – 7x – 9. 33 h(0) = – 7, donc l’ordonnée à l’origine de la droite qui représente la fonction h est égale à – 7. Donc : b = – 7. h(x) = ax – 7. D’où : h(3) = 3a – 7. 3a – 7 = – 52 3a = – 52 + 7 3a = – 45 a = – 15. Donc : h(x) = – 15x – 7. 34 a) f1 : x ↦ – 4x + 5 est une fonction affine avec a = – 4 et b = 5. 1 1 b) f2 : x ↦ x – 1 est une fonction affine avec a =  et b = – 1. 4 4 c) f3 : x ↦ x2 – 1 n’est pas une fonction affine car elle n’est pas de la forme ax + b. d) f4 : x ↦ – 7 est une fonction affine avec a = 0 et b = – 7 ; c’est une fonction constante. e) f5 : x ↦ – x est une fonction affine avec a = – 1 et b = 0 ; c’est une fonction linéaire. 4 f) f6 : x ↦ + 3 n’est pas une fonction affine car elle n’est

x

pas de la forme ax + b. 35 h(x) = 3(x – 2) – 4(2 – x) h(x) = 3x – 3 × 2 – 4 × 2 + 4x h(x) = 3x – 6 – 8 + 4x h(x) = 7x – 14 Donc h est une fonction affine avec a = 7 et b = – 14. CHAP. 9 - FONCTIONS AFFINES

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36 ! f : x ↦ x2 + 1 n’est pas une fonction affine car elle n’est pas de la forme ax + b. @ g : x ↦ 3x – 1 est une fonction affine avec a = 3 et b = – 1 . 4 1 x 4 # h : x ↦ est une fonction affine avec a =  et b = 0. 4 4 37 1) a) tA : x ↦ 150 b) Cette fonction est une fonction constante avec b = 150. 2) a) tB : x ↦ 7x + 75 b) Cette fonction est une fonction affine avec a =  7 et b = 75. 3) a) tC : x ↦ 20x b) Cette fonction est une fonction linéaire avec a = 20. 38 g(0) = 0. Or g(0) = a × 0 + b. Donc : a × 0 + b = 0. 0 + b = 0 b = 0 La fonction g est de la forme ax, donc c’est une fonction linéaire. 39 1) a) j(2) = – 5 × 2 + 2 j(2) = – 10 + 2 j(2) = – 8 L’image de 2 par la fonction j est égale à – 8. b) j(2) = – 8, donc le point A(2 ; – 8) appartient à la représentation graphique de la fonction j, c’est-à-dire à la droite (d). 2) j(– 1) = – 5 × (– 1) + 2 j(– 1) = 5 + 2 j(– 1) = 7. Donc le point B(– 1 ; 7) appartient à la droite (d). f2(0) = 2 ; f3(0) = 1. 40 1) f1(0) = 6 ; 2) L’antécédent du nombre 0 par la fonction f1 est – 7. L’antécédent du nombre 0 par la fonction f2 est – 4. L’antécédent du nombre 0 par la fonction f3 est 5. g2(1) = 4 ; g3(1) = 0 ; g4(1) = 1,5. 41 1) g1(1) = 0 ; 2) L’antécédent de 4 par la fonction g1 est – 1. L’antécédent de 4 par la fonction g2 est 1. L’antécédent de 4 par la fonction g3 est 3. L’antécédent de 4 par la fonction g4 est 6. 42 1) Le point A appartient à la représentation graphique de la fonction h, donc ses coordonnées sont de la forme (x ; h(x)). D’où : h(4) = – 3. 2) Le point B appartient à la représentation de la fonction h, donc ses coordonnées sont de la forme (x ; h(x)). D’où : h (1) = 3. h(4) – h(1) – 3 – 3 – 6 = = = –2 3) a = 4–1 4–1 3 h(x) = – 2x + b Or h(4) = – 2 × 4 + b. – 3 = – 8 + b – 3 + 8 = b 5 = b. Donc : h(x) = – 2x + 5. 43 On a : M(– 5 ; 1) et N(3 ; 9). Donc f (– 5) = 1 et f (3) = 9. f (– 5) – f (3) 1 – 9 – 8 = = 1. D’où : a = = –5 – 3 –8 –8 f (x) = x + b Or f(3) = 3 + b. 9 = 3 + b 9 – 3 = b 6 = b. Donc : f (x) = x + 6.

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44 On a : B(– 3 ; 4) et C(0 ; 4). Donc : g(– 3) = 4 et g(0) = 4. g(0) = 4 Donc l’ordonnée à l’origine est égale à 4, donc b = 4. g(x) = ax + 4 D’où : g(– 3) = – 3a + 4. – 3a + 4 = 4 – 3a = 4 – 4 – 3a = 0 a = 0. Donc : g(x) = 4. 45 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La droite (d1) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ; 2). L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = 2. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 1, l’accroissement des f (x) est de – 1. –1 = – 1. Donc : a =  1 La fonction f1 est donc définie par  f1 : x ↦ – x + 2. ● La droite (d ) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ; 3). 2 L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = 3. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 1, l’accroissement des f (x) est de + 2. 2 Donc : a =  = 2. 1 La fonction f2 est donc définie par  f2 : x ↦ 2x + 3. ● La droite (d ) coupe l’axe des ordonnées au point 3 B(0 ; – 2). L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = – 2. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 2, l’accroissement des f (x) est de + 1. 1 Donc : a = . 2 1 La fonction f3 est donc définie par f3 : x ↦ x – 2 . 2 ● La droite (d ) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ; 5). 4 L’ordonnée à l’origine de cette droite est donc b = 5. Quand on passe du point B au point C : l’accroissement des x est de + 1, l’accroissement des f (x) est de + 3. 3 Donc : a = = 3 . 1 La fonction f4 est donc définie par f4 : x ↦ 3x + 5. ●

46 1) a) La fonction h est une fonction affine avec a = 2 et b = – 1. b) Donc sa représentation graphique est une droite. c) Il faut deux points pour tracer cette droite. 2) a) –1 3 x h(x)

–3

5

Points de coordonnées (x ; h(x)) A(– 1 ; – 3) B(3 ; 5) Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b)

Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

c) Cette droite est la représentation graphique de la fonction h. 3) a) Voir figure en 2) b). b) Ce nombre est le coefficient a de la fonction affine h. 4) a) L’image de 0 par la fonction h est égale à – 1. b) Ce nombre est le coefficient b de la fonction affine h. 47 1) La représentation graphique de la fonction g  est une droite car g est une fonction affine avec a = – 4 et b = 3. 2) g(0) = – 4 × 0 + 3 = 3, donc la représentation graphique de la fonction g va passer par le point B(0 ; 3). © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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g(1) = – 4 × 1 + 3 = – 4 + 3 = – 1, donc la représentation graphique de la fonction g va passer par le point A(1 ; – 1). Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

48 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La représentation graphique de la fonction j est une droite 3 car j est une fonction affine avec a =  et b = – 2. 7 3 j(0) = × 0 – 2 = – 2 7 3 j(7) = × 7 – 2 = 3 – 2 = 1 7 Donc la représentation graphique de la fonction j va passer par les points B(0 ; – 2) et A(7 ; 1). 49 1) ● f1 est une fonction affine avec a = 3 et b = 1. Donc sa représentation graphique est une droite. f1(0) = 3 × 0 + 1 = 1 et f1(1) = 3 × 1 + 1 = 3 + 1 = 4. Donc cette droite va passer par les points B1(0 ; 1) et A1(1 ; 4). ● f  est une fonction affine avec a = 3 et b = – 4. 2 Donc sa représentation graphique est une droite. f2(0) = 3 × 0 – 4 = – 4 et f2(1) = 3 × 1 – 4 = 3 – 4 = – 1. Donc cette droite va passer par les points B2(0 ; – 4) et A2(1 ; – 1). ● f  est une fonction linéaire avec a = 3. 3 Donc sa représentation graphique est une droite qui va passer par l’origine du repère. f3(1) = 3 × 1 = 3 Donc cette droite va aussi passer par le point A3(1 ; 3). Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) On remarque que ces trois droites sont parallèles. On peut supposer que cela vient de leur coefficient directeur qui est le même et égal à 3. 4 3 4 – 4x + 3 =– x+ =– x+1 3 3 3 3 4 Donc la fonction g est une fonction affine avec a = – et 3 b = 1. Donc sa représentation graphique est une droite. 4 2) g(3) = – × 3 + 1 = − 4 + 1 = − 3, donc le point A(3 ; − 3) 3 appartient à la droite (d). 3 3 4 3 g – = – × – + 1 = 1 + 1 = 2, donc le point B(– ; 2) 4 4 3 4 appartient à la droite (d). 4 8 3 11 3) g(− 2) = – × (– 2) + 1 = + = , donc le point E 3 3 3 3 11 . a pour ordonnée 3 4) On cherche x tel que g(x) = 1. 4 – x+1=1 3 4 – x = 0 3 x = 0 Donc le point F a pour abscisse 0. 5) a) 50 1)

( )

( )

Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b) Pour placer le point B, on part de l’ordonnée 2, puis on rejoint horizontalement la droite (d). À l’intersection, on trouve le point B. c) Pour placer le point E, on prend l’abscisse − 2, puis on rejoint verticalement la droite (d). À l’intersection, on trouve le point E. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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51 1) Les points   A(– 1 ; 3)  et B(3 ; – 5) appartiennent à la représentation graphique de la fonction h, donc h(– 1) = 3 et h(3) = – 5. h(– 1) – h(3) 3 – (– 5) 3 + 5 8 = = = –2 = a =  –1 – 3 –4 –4 –4 Donc : h(x) = – 2x + b. Or h(3) = – 5. – 2 × 3 + b = – 5 – 6 + b = – 5 b = – 5 + 6 b = 1. Donc : h(x) = – 2x + 1. 2) h(– 7) = – 2 × (– 7) + 1 = 14 + 1 = 15 Donc le point C n’appartient pas à la droite (AB) car son ordonnée n’est pas de la forme h(x). 52 Soit f la fonction affine qui a pour représentation graphique la droite (AB). Les points A(4 ; – 8) et B(1 ; 1) appartiennent à la représentation graphique de la fonction f. Donc f (4) = – 8 et f (1) = 1. f (4) – f (1) – 8 – 1 – 9 = = = – 3. a= 4–1 3 3 Donc : f (x) = – 3x + b. Or f (4) = – 8. – 3 × 4 + b = – 8 – 12 + b = – 8 b = – 8 + 12 b = 4. Donc : f (x) = – 3x + 4. Or f (– 7) = – 3 × (–7) + 4 = 21 + 4 = 25. Donc le point C n’appartient pas à la droite (AB) car son ordonnée n’est pas égale à f (– 7). Donc les points A, B et C ne sont pas alignés. 53 1) Soit f la fonction affine qui a pour représentation graphique la droite (PR). Les points P(3 ; – 3) et R(– 9 ; – 13) appartiennent à la représentation graphique de la fonction f. Donc f (3) = – 3 et f (– 9 ) = – 13. f (3) – f (– 9) – 3 – (– 13) – 3 + 13 10 5 = = = . = a= 3 – (– 9) 3+9 12 12 6 5 Donc : f (x) =  x + b. 6 Or f (3) = – 3. 5 × 3 + b = – 3 6 5 + b = – 3 2 5 b = – 3 – 2 11 5 11 b = – . Donc f(x) =  x – est la fonction affine qui a 2 6 2 pour représentation graphique la droite (PR). 2) E est le point d’intersection de la droite (PR) avec l’axe des abscisses, donc son ordonnée est égale à 0. Donc on cherche x tel que f (x) = 0. 5 x – 11 = 0 6 2 5 11 x =  6 2 11 5 x =  × 2 6 x =  33 (= 6,6) 5 33 . Donc l’abscisse du point E est égale à 5 33 Donc : E ;0. 5 F est le point d’intersection de la droite (PR) avec l’axe des ordonnées.

(

)

CHAP. 9 - FONCTIONS AFFINES

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Donc son abscisse est égale à 0 et son ordonnée est l’ordonnée à l’origine de la droite représentative de la fonction f. 11 . Donc : F 0 ; – 2 3)

g est une fonction affine, donc sa représentation graphique est une droite. g(0) = 8 × 0 + 16 = 16 et g(9) = 8 × 9 + 16 = 72 + 16 = 88. Donc la représentation graphique de g va passer par les points (0 ; 16) et (9 ; 88).

Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

(

)

54 A On désigne par x le nombre de jours de croisière. 1) f : x ↦ 75x est la fonction qui modélise le prix (en €) payé par Julien avec la formule A. 2) g : x ↦ 25x + 450 est la fonction qui modélise le prix (en €) payé par Julien avec la formule B. 3) La fonction f est une fonction linéaire avec a =  75, donc sa représentation graphique est une droite qui va passer par l’origine du repère. De plus, f (12) = 12 × 75 = 900. Donc cette droite va aussi passer par le point (12 ; 900). La fonction g est une fonction affine avec a = 25 et b = 450, donc sa représentation graphique est une droite. De plus, g(0) = 25 × 0 + 450 = 450 et g(12) = 25 × 12 + 450 = 300 + 450 = 750. Donc la représentation graphique de g va passer par les points (0 ; 450) et (12 ; 750). Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

4) La formule la plus intéressante pour une croisière de 7 jours est la formule A et le prix correspondant est 525 €. B 1) Le voilier peut sortir du port entre 0 h et 1 h 30, puis entre 8 h et 12 h. 2) La hauteur d’eau est maximale à 10 h 30. 55 A 1) a) Le quadrilatère MBCF possède trois angles droits, donc c’est un rectangle. De plus, BM = AB – AM = 9 – 1 = 8. Donc : BM = BC. Le rectangle MBCF a deux côtés consécutifs de même longueur, donc c’est un carré. b) Aire de la salle de travail = BC × MB = 8 × 8 = 64. Donc l’aire de la salle de travail est de 64 m2. c) Aire de la salle de recherche =  (AM + EF) × MF 2 48 (AM + ED + DF) × BC (1 + 4 + 1) × 8 = 24 = = =6×8= 5 2 2 2 2 Donc l’aire de la salle de recherche est de 24 m . d) Ces deux aires ne sont pas égales. 2) a) Le point M peut se déplacer sur le segment [AB]. S’il est sur le point A, alors x sera égal à 0. S’il est sur le point B, alors x sera égal à AB, c’est-à-dire 9. Donc : 0 ⩽ x ⩽ 9. b) Aire de la salle de recherche =  (AM + EF) × MF 2 = (AM + ED + DF) × BC = (x + 4 + x) × 8 = (2x +4) × 4 2 2 = 8x + 16 c) Aire de la salle de travail = BC × MB = BC × (AB − AM) = 8 × (9 – x) = 72 – 8x. 3) On note f la fonction qui modélise l’aire de la salle de travail en fonction de x. On note g la fonction qui modélise l’aire de la salle de recherche en fonction de x. a) f : x ↦ 72 – 8x est une fonction affine avec a = – 8 et b = 72. g : x ↦ 8x + 16 est une fonction affine avec a = 8 et b = 16. b) f est une fonction affine, donc sa représentation graphique est une droite. f(0) = 72 – 80 × 0 = 72 et f(9) = 72 – 8 × 9 = 72 – 72 = 0. Donc la représentation graphique de f va passer par les points (0 ; 72) et (9 ; 0).

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4) a) f (x) = g(x) 72 – 8x = 8x + 16 72 – 16 = 8x + 8x 56 = 16x x =  56 = 7 = 3,5 16 2 Donc 3,5 est la solution de l’équation f (x) = g(x). b) Pour la documentaliste, cette solution correspond à la longueur de AM qui permet d’avoir la même aire pour la salle de travail et la salle de recherche. c)   Pour retrouver graphiquement cette solution, il faut chercher le point d’intersection des deux droites représentant les fonctions f et g, puis lire l’abscisse de ce point d’intersection. B 1) BM = AB – AM = 9 – x = 9 − 3,5 = 6,5 m = 650 cm et BC = 8 m = 800 cm. 2) a) Puisque le nombre de dalles doit être un nombre entier dans la longueur BC, c doit être un diviseur de 800. De même, il doit être un diviseur de 650. Donc c doit être un diviseur commun à 650 et 800. Comme, de plus, c doit être le plus grand possible, c sera donc égal au PGCD de 800 et 650. On utilise l’algorithme d’Euclide : ● 800 = 650 × 1 + 150 d’où : PGCD (800 ; 650) = PGCD (650 ; 150) ● 650 = 150 × 4 + 50 d’où : PGCD (650 ; 150) = PGCD (150 ; 50) ● 150 = 50 × 3 + 0 d’où PGCD (150 ; 50) = 50. Donc : PGCD (800 ; 650) = 50. Donc : c = 50. b) 800 : 50 = 16 et 650 : 50 = 13. 18 × 13 = 234 Il faudra donc 234 dalles pour couvrir le sol de la salle de travail. 234 : 5 = 46,8. Il faudra donc 47 paquets. 47 × 32 = 1 504 €. Donc on dépensera 1 504 € pour acheter les dalles qui permettront de recouvrir le sol de la salle de travail. 56 1) Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Le stock initial est atteint dans la journée du 18 décembre. 57 a) g : x ↦ – 4x + 2 + 7x = 3x + 2, donc c’est une fonction affine avec a = 3 et b = 2. b) j  : x ↦ – 12x est une fonction affine avec a =  − 12 et b = 0. 1 x c) h : x ↦ + 5 est une fonction affine avec a =  et b = 5. 2 2 d) f : x ↦ – 1 est une fonction affine avec a = 0 et b = − 1. 58 1) f (– 1) = – 3 × (– 1) + 7 = 3 + 7 = 10 L’image du nombre – 1 par la fonction f est égale à 10. 2) On cherche x tel que f (x) = – 1. – 3x + 7 = – 1 – 3x = – 1 – 7 – 3x = – 8 x = 8 . L’antécédent de − 1 par la fonction f est égal à 8 . 3 3 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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59 On considère la fonction g définie par : g(x) = – x + 1. Sa représentation graphique dans un repère est la droite (d). 1) L’ordonnée à l’origine de la droite (d) est égale à 1. 2) Le coefficient directeur de la droite (d) est égal à – 1. 3) Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

60 1) h(1) = – 3 × 1 + 5 = – 3 + 5 = 2 Donc le point A(1 ; 2) appartient à la droite (Δ). 2) h(– 2) = – 3 × (– 2) + 5 = 6 + 5 = 11 Donc le point B(– 2 ; – 1) n’appartient pas à la droite (Δ). 61 j est une fonction affine, donc de la forme ax + b. j(1) = 1,5 et j(3) = – 0,5. j(3) – j(1) – 0,5 – 1,5 – 2 = = = –1 a =  3–1 2 2 Donc : j(x) = – x + b. Or j(1) = 1,5. – 1 × 1 + b = 1,5 b = 1,5 + 1 b = 2,5. Donc j : x ↦ – x + 2,5. 62

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

63 ● La droite (d1) a pour ordonnée à l’origine 0,5 et lorsque x augmente de 0,5, h(x) augmente de 2,5. Donc 2,5 = 5. a =  0,5 Donc h1 : x ↦ 5x + 0,5. h1(10) = 5 × 10 + 0,5 = 50 + 0,5 = 50,5 Donc l’ordonnée du point d’abscisse 10 de la droite (d1) est égale à 50,5. ● La droite (d ) a pour ordonnée à l’origine 2 et lorsque x 2 0,5 = − 1. augmente de 0,5, h(x) diminue de 0,5. Donc a = – 0,5 Donc h  : x ↦ − x + 2. 2

h2(10) = − 10 + 2 = − 8 Donc l’ordonnée du point d’abscisse 10 de la droite (d2) est égale à − 8. 64 1) f (8) = 7 × 8 – 12 = 56 – 12 = 44 Donc l’image de 8 par la fonction f est égale à 44. 2) On cherche x tel que f(x) = 9. 7x – 12 = 9 7x = 9 + 12

JE FAIS LE POINT

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65 Le coefficient directeur de la droite (d) est – 5 et son ordonnée à l’origine est – 7. Donc j : x ↦ – 5x – 7. j(1,5) = – 5 × 1,5 – 7 = – 7,5 – 7 = – 14,5 Donc le point A(1,5 ; – 14,5) appartient à la droite (d). 66 1) a) On cherche x tel que f(x) = – 3. 7 x – 3 = – 3 3 7 x = – 3 + 3 3 7 x = 0 3 x = 0 L’antécédent de – 3 par la fonction f est égal à 0. 7 b) f (3) = × 3 – 3 = 7 – 3 = 4 3 L’image de 3 par la fonction f est égale à 4. 2) f et g sont des fonctions affines, donc leurs représentations graphiques sont des droites. f(0) = – 3 et f (3) = 4. Donc la droite (d1), représentation graphique de f, va passer par les points (0 ; – 3) et (3 ; 4). g(0) = – 3 × 0 + 1 = 0 + 1 = 1 g(1) = – 3 × 1 + 1 = – 3 + 1 = – 2 Donc (d2), la représentation graphique de g, va passer par les points (0 ; 1) et (1 ; – 2). Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) a) L’abscisse du point K est telle que f (x) = g(x). 7 x – 3 = − 3x + 1 3 7 x + 3x = 1 + 3 3 16 x = 4 3 x = 4 × 3 16 x = 3 4 3 Donc l’abscisse du point K est bien égale à . 4 3 3 9 4 5 b) g = – 3 × + 1 = – + = – 4 4 4 4 4 5 L’ordonnée du point K est égale à – . 4

()

Les exercices 67 à 76 sont corrigés à la page 308 du manuel élève.

77 1) f (0) = − 2 × 0 + 3 = 0 + 3 = 3 Donc l’image de 0 par la fonction f est égale à 3 : réponse c . 2) f (– 1) = – 2 × (– 1) + 3 = 2 + 3 = 5 Donc la droite qui représente la fonction f passe par le point B(– 1 ; 5) : réponse b . 3) On cherche x tel que f(x) = 4. – 2x + 3 = 4 – 2x = 4 – 3 – 2x = 1 x = –1 2 1 Donc l’antécédent de 4 par la fonction f est –  : réponse c . 2 4) La fonction f est une fonction affine de la forme ax + b avec b = 3. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

7x = 21 x = 3 Donc l’antécédent de 9 par la fonction f est égal à 3.

Donc l’ordonnée à l’origine de la droite qui représente la fonction f est égale à 3. Donc elle coupe l’axe des ordonnées en E(0 ; 3) : réponse b . 78 1) Le point B a pour coordonnées (– 4 ; 4,6). 2) Les points d’intersection de la courbe (C3) avec l’axe des abscisses ont pour abscisses : – 1 ; 2 et 4. 3) (C1) est la représentation d’une fonction linéaire car c’est une droite qui passe par l’origine du repère. 4) a) f est une fonction affine avec a = – 0,4 et b = 3, donc sa représentation graphique est une droite qui passe par le point (0 ; 3). Donc (C2) est la représentation graphique de la fonction f. b) On cherche x tel que f (x) = 1. – 0,4x + 3 = 1 CHAP. 9 - FONCTIONS AFFINES

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– 0,4x = 1 – 3 – 0,4x = – 2 x = 5. Donc l’antécédent de 1 par la fonction f est égal à 5. c) f (4,5) = – 0,4 × 4,5 + 3 = – 1,8 + 3 = 1,2 Donc le point A(4,5 ; 1,2) appartient à la représentation graphique (C2). 79 A 1) Pour 7 séances : – formule A = 7 × 18 = 126 € ; – formule B =  165  € puisque le nombre de séances est inférieur à 10, donc une seule carte de 10 séances suffit ; – formule C =  70 +  140 =  210  € puisque le nombre de séances est inférieur à 10, donc une seule carte de 10 séances suffit. 2) Pour 18 séances : – formule A = 18 × 18 = 324 € ; – formule B = 2 × 165 = 330 € puisqu’il faut deux cartes de 10 séances ; – formule C = 70 + 2 × 140 = 70 + 280 = 350 € puisqu’il faut deux cartes de 10 séances. B 1) 1 carte

2 cartes

5 cartes

Prix total payé avec la formule B

165

330

825

Prix total payé avec la formule C

210

350

770

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) a) Si la famille choisit la formule B, elle va payer 165x €. b) Si elle choisit la formule C, elle va payer 70 + 140x €. c) 165x = 70 + 140x 165x – 140x = 70 25x = 70 x = 2,8 Donc la formule C devient plus avantageuse à partir de 3 cartes achetées. C 1) et 2) Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

80 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) a) Les points A, B et C semblent alignés. b) Le logiciel affirme que le point C n’appartient pas à la droite (AB). 4) a) Si les points A et B appartiennent à la représentation graphique d’une fonction affine f, alors : f (− 3) = 4 et f (5) = 2. f (– 3) – f (5) 4 – 2 2 1 D’où : a =  = = –  . = –3 – 5 –8 –8 4 1 Donc f est de la forme – x + b. 4 Or f (5) = 2. 1 – ×5+b=2 4 8 5 b =  + 4 4 13 b =  4 1 13 . Donc : f (x) = – x + 4 4 1 13 13 7 f (20) = – × 20 + = –5 + = – = − 1,75 4 4 4 4 Donc le point C(20 ; 1,7) n’appartient pas à la droite (AB).

108

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81 2) b) L’expression de la fonction g donnée par le logiciel est : 0,25x + 3,25. c) g(3) = 0,25 × 3 + 3,25 = 0,75 + 3,25 = 4 On retrouve bien les coordonnées du point A. 3) a) À l’aide du logiciel, la fonction h est égale à − 0,33x + 4,67 h(– 1) – h(2) 5 – 4 1 = b) a =  =– –1 – 2 –3 3 1 Donc h est de la forme – x + b. 3 Or h(2) = 4. 1 – × 2 + b = 4 3 2 b = 4 +  3 13 b =  4 1 14 Donc : h(x) = – x + . 3 3 c) Les deux résultats ne sont pas les mêmes. d) La différence vient du fait que le logiciel affiche avec des valeurs approchées pour l’expression de la fonction. 82 Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Avec le logiciel, on trouve que le point d’intersection a pour coordonnées (1,44 ; – 0,69). 83 Le thermomètre de Galilée indique une température de 21 °C. 84 1) a) Si f est la fonction affine qui permet de donner en degrés Celsius une température exprimée en degrés Fahrenheit, et puisque les températures de glaciation de l’eau correspondantes sont 0 °C pour 32 °F, alors f (32) = 0 et de même avec les températures d’ébullition de l’eau f (212) = 100. f (212) – f (32) 100 – 0 100 5 = = =  b) a =  212 – 32 180 180 9 5 Donc f est de la forme x + b. 9 Or f (32) = 0. 5 × 0 + b = 32 9 5 b = 32. Donc : f (x) =  x + 32. 9 2) g(273) = 32 et g(373) = 212. g(373) – g(273) 212 – 32 180 9 = = =  a =  373 – 273 100 100 5 9 Donc g est de la forme x + b. 5 Or g(273) = 32. 9 × 273 + b = 32 5 2 457 b = 32 – 5 2 297 9 2 297 . Donc : g(x) =  x – . b=– 5 5 5 85 1) Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) La droite formée par ces points coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 4,77), donc b = 4,77. 4,65 – 4,71 0,06 = – = − 1,2 a =  0,1 – 0,05 0,05 Donc : g(I) = − 1,2I + 4,77.

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Exercices d’évaluation du socle commun 1 Il faut regarder la différence entre les ordonnées du point de départ (d’abscisse 0) et du point d’arrivée (d’abscisse 190) de la représentation graphique. Réponse : 180 km.

4 À chaque virage, le kart ralentit, puis accélère en sortie de virage. Il faut donc regarder combien de fois la représentation graphique « descend » puis « remonte ». Réponse : 4 fois.

2 Il faut regarder la différence entre les abscisses des deux points qui délimitent le segment horizontal de la représentation graphique. Réponse : 25 min.

5 Il faut regarder combien de fois la représentation graphique fait un segment horizontal qui signifie une accélération suffisamment longue consécutive à une ligne droite. Réponse : 3 lignes droites.

3 Il faut chercher l’ordonnée du point de la représentation graphique d’abscisse 1 h 20 min, soit 80 minutes. Réponse : 120 kilomètres.

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CHAP. 9 - FONCTIONS AFFINES

109

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A P I TR H

C

E

10

Probabilités PROGRAMME

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES

■ Commentaires

Notion de probabilité

La notion de probabilité est abordée à partir d’expérimentations qui permettent d’observer les fréquences des issues dans des situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes, etc.). La notion de probabilité est utilisée pour modéliser des situations simples de la vie courante. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves.

CAPACITÉS ● Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. ● Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Troisième

Indications pour l’évaluation en situation

Déterminer des probabilités dans des contextes familiers par : ● un calcul exact lorsque la situation le permet ; ● des fréquences observées expérimentalement dans le cas contraire.

Les exigences portent uniquement sur les expériences à une épreuve.

Capacité des programmes des classes antérieures La nation de probabilité est introduite en classe de Troisième.

Programme de la classe de Seconde Objectifs visés par l’enseignement des statistiques et probabilités à l’occasion de résolutions de problèmes dans le cadre des probabilités Rendre les élèves capables : – d’étudier et de modéliser des expériences relevant de l’équiprobabilité (par exemple, lancers de pièces ou de dés, tirage de cartes) ; – de proposer un modèle probabiliste à partir de l’observation de fréquences dans des situations simples ; – d’interpréter des événements de manière ensembliste ; – de mener à bien des calculs de probabilité. Les situations étudiées concernent des expériences à une ou plusieurs épreuves. La répétition d’expériences aléatoires peut donner lieu à l’écriture d’algorithmes (marches aléatoires).

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> CONTENUS Probabilité sur un ensemble fini ● Probabilité d’un événement ● Réunion et intersection de deux événements

CAPACITÉS Déterminer la probabilité d’événements dans des situations d’équiprobabilité. ● Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées. ● Connaître et exploiter cette formule : p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B). ●

■ Commentaires La probabilité d’un événement est définie comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. Pour les calculs de probabilités, on utilise des arbres, des diagrammes ou des tableaux.

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Commentaires des auteurs ➜ L’étude des probabilités est amorcée en classe de Troisième. Pour cela, il est nécessaire de mettre en place le vocabulaire et les notations. La notion de probabilité est à relier à la fréquence obtenue en réalisant un très grand nombre de fois une expérience aléatoire. Cette approche est étudiée à l’activité no 4, à l’exercice 66 (en utilisant un tableur) et à l’exercice 68 (expérience à réaliser du franc carreau). Les exercices proposés doivent rester concrets et assez simples. Ils s’articulent essentiellement autour de la notion d’équiprobabilité. ➜ Pour des événements incompatibles A et B, on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) Il est important de montrer sur des exemples que cette

propriété est fausse si les événements ne sont pas incompatibles. La propriété générale donnant la probabilité de l’événement « A ou B » est : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) Cette dernière propriété n’est pas au programme de Troisième. ➜ L’étude des expériences à deux épreuves est au programme de Troisième. On se limitera toutefois au cas admettant au plus 6 issues. Il est important de montrer l’intérêt de l’utilisation d’un arbre pondéré. La notion de probabilité conditionnelle et la propriété des probabilités totales ne sont pas au programme du collège.

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O M M E NTAIR E S

C ORRIGÉ

Cette activité permet aux élèves d’interpréter un pourcentage de gains dans un cas concret.

La phrase qui traduit le mieux la loi relative à la redistribution des mises des joueurs est la phrase c) : « Sur 100 € misés par des joueurs au casino, plus de 85 € seront redonnés à un ou à plusieurs joueurs. » Les phrases a), b) et d) sont fausses.

1

J’EFFECTUE UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE

Objectifs

Comprendre la notion de hasard. ● Définir une expérience aléatoire et ses issues. ●

Prérequis Paragraphe introduit

—

! Expérience aléatoire

■ C O M M E NTAIR E S Certains élèves proposeront peut-être comme issue «  La pièce tombe sur sa tranche  ». En mathématiques, cette issue est considérée comme impossible. La question 3 risque de poser débat : certains penseront que l’on va obtenir Pile comme aux lancers précédents,

2

C ORRIGÉ

1 Les deux seules issues possibles sont Pile (la face supérieure correspond au côté Pile) ou Face (la face supérieure correspond au côté Face). 2 Il est impossible de prévoir à l’avance laquelle de ces deux issues sera obtenue car le résultat est le seul fait du hasard. 3 Chaque lancer est une expérience aléatoire qui ne dépend que du seul hasard et qui n’est donc pas influencé par les résultats obtenus antérieurement. Après dix lancers où l’on a obtenu Pile, il est impossible de prévoir le résultat du onzième lancer.

JE DÉCOUVRE LE VOCABULAIRE

Objectifs

Prérequis Paragraphe introduit

● Découvrir la notion d’événement et d’événement élémentaire. ● Comprendre la différence entre une issue et un événement.

Reconnaître une expérience aléatoire et ses issues.

@ Événements

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d’autres diront au contraire que l’on va obtenir Face (pour équilibrer les piles).

■ C OM M E NTAIRE S Cette activité permet d’expliquer ce que l’on appelle « urne opaque » et « boules indiscernables au toucher ». C ORRIGÉ

1 Les issues de cette expérience aléatoire sont : « 1 bleu », « 2 rouge » et « 1 rouge ». 2 a) Les issues qui réalisent l’événement R sont « 2 rouge » et « 1 rouge ». CHAP. 10 - PROBABILITÉS

111

03/07/12 17:28

b) « Obtenir une boule bleue » ou « Obtenir le nombre 2 » sont des événements élémentaires. L’événement «  Obtenir une boule bleue  » est réalisé par l’issue : « 1 bleu ». L’événement «  Obtenir le nombre 2  » est réalisé par l’issue : « 2 rouge ».

3

3 L’événement « Obtenir le nombre 1 » n’est pas un événement élémentaire, car il est réalisé par plusieurs issues : « 1 bleu » et « 1 rouge ».

J’UTILISE LA CALCULATRICE POUR DONNER UN NOMBRE ALÉATOIRE

Objectifs

On pourra utiliser la calculatrice pour simuler d’autres expériences. Par exemple, Pile si le nombre est inférieur à 0,5 et Face dans la cas contraire. Cette méthode permet de simuler les lancers de l’activité 4 sans utiliser de pièces de monnaie.

● Utiliser la touche « Random » de la calculatrice. ● Simuler une expérience aléatoire.

Prérequis

—

Paragraphe introduit

—

C ORRIGÉ

■ C O MMENTAIR E S Bien évidemment, les nombres aléatoires affichés par la calculatrice seront différents de ceux du manuel.

4

JE DÉFINIS LA NOTION DE PROBABILITÉ

Objectifs

Déterminer expérimentalement la fréquence de réalisation d’un événement. ● Définir la probabilité d’un événement.

Prérequis

Connaître le vocabulaire.

Paragraphes introduits

# Probabilité d’un événement a) Définition et propriétés

3 4 = 0,2

●

■ C O MMENTAIR E S L’activité 3 permet de simuler cette expérience sans utiliser de pièces de monnaie. C O RRI G É ATTENTION ! Les réponses proposées ci-dessous (en gras) dépendent des expériences réalisées par les élèves.

A 1 et 2

5

Vérifier que les nombres obtenus sont cohérents : que des 0 et des 1, mélangés et dans le désordre.

Nombre de côtés Face obtenus

0

1

2

Effectif

5

11

4

20 Sur les 20 expériences, la fréquence à laquelle l’événement F se réalise est 0,2. (Toute réponse proche de 0,25 sera considérée cohérente.) B 1 Pour répondre à cette question, il faut faire la synthèse des résultats obtenus par tous les élèves de la classe. Avant cela, vérifier la cohérence de chaque résultat. Le plus simple est de demander à chaque élève combien de fois (sur 20 expériences) il a obtenu 2 Faces. On calcule ensuite la somme de tous ces résultats. Enfin, on calcule le quotient de cette somme par le nombre total d’expériences (20 fois le nombre d’élèves). 2 1 = 0,25 4 La fréquence théorique de réalisation de l’événement F est 0,25. Ainsi : p(F) = 0,25. 3 A priori, la fréquence trouvée par l’ensemble des élèves de la classe doit être assez proche de 0,25.

JE JUSTIFIE DES PROPRIÉTÉS DES PROBABILITÉS

Objectif

Découvrir certaines propriétés générales des probabilités.

Prérequis

Connaître la définition de la probabilité d’un événement.

Paragraphes introduits

# Probabilité d’un événement a) Définition et propriétés

■ C O MMENTAIR E S Ces propriétés sont découvertes sur un exemple et pourront être généralisées dans le cours. Pour la question 3 , en profiter pour introduire le vocabulaire : – l’événement R est dit impossible ; – l’événement V est dit certain.

112

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C ORRIGÉ

1 Par définition, p(R) est la fréquence de réalisation de l’événement R. C’est donc un nombre positif inférieur ou égal à 1. Donc : 0 ⩽ p(R) ⩽ 1. 2 La boule tirée est soit Rouge, soit Verte. De plus, la somme des fréquences est égale à 1. Donc on a : p(R) + p(V) = 1. 3 a) Si l’urne ne contient que des boules Vertes, on ne peut pas tirer de boule Rouge. L’événement R ne sera donc jamais réalisé. Ainsi : p(R) = 0. b) Si l’urne ne contient que des boules Vertes, on est certain de tirer une boule Verte. L’événement V sera donc toujours réalisé. Ainsi : p(V) = 1. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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6

JE DÉTERMINE UNE PROBABILITÉ DANS UN CAS D’ÉQUIPROBABILITÉ

Objectifs

Prérequis Paragraphe introduit

Étudier un cas d’équiprobabilité. ● Découvrir comment calculer une probabilité dans ce cas. ●

Connaître la définition et les propriétés d’une probabilité.

# b) Cas d’équiprobabilité

■ C O M M E NTAIR E S La propriété établie sur un exemple de cas d’équiprobabilité est : « La probabilité d’un événement est égale au quotient du nombre d’issues qui réalisent l’événement par le nombre total d’issues. » Cette propriété est établie de façon intuitive sur un exemple.

7

1 Cette expérience aléatoire compte six issues : « 1 » ; « 2 » ; « 3 » ; « 4 » ; « 5 » ; « 6 ». Le dé étant équilibré, chaque issue a la même chance de se réaliser que les autres. Donc les événements élémentaires ont tous la même probabilité. 2 Ainsi, les six événements élémentaires ont tous la même probabilité. De plus, la somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1. Donc la probabilité de chaque événement élémentaire est 1 égale à . 6 3 L’événement B est réalisé par deux issues : « 5 » et « 6 ». Ces deux événements ne peuvent pas être réalisés en même temps. 1 1 2 1 Donc : p(B) = p(5) + p(6) = + = = . 6 6 6 3

J’ÉTUDIE DES ÉVÉNEMENTS INCOMPATIBLES

Objectifs

Définir des événements incompatibles. ● Étudier des événements incompatibles. ● Étudier des événements non incompatibles.

Prérequis

Calculer une probabilité dans un cas d’équiprobabilité.

Paragraphe introduit

●

$ Événements incompatibles

■ C O M M E NTAIR E S Il est important de donner aussi un exemple d’événements non incompatibles. Les notations A ∪ B et A ∩ B ne sont pas au programme du collège.

1 p(B) =  car l’événement B est réalisé par une seule issue : 8 « 7 Bleu ». 3 ● p(C) =  car l’événement C est réalisé par trois issues  : 8 « 8 Jaune » ; « 3 Jaune » et « 7 Bleu ». b) Chaque secteur n’est que d’une seule couleur, il ne peut pas être à la fois Jaune et Bleu. 2 1 3 c) p(A) + p(B) =  +  = 8 8 8 A et B étant deux événements incompatibles, on constate que : p(A) + p(B) = p(A ou B) = p(C). 2 a) Les événements A et D ne sont pas incompatibles car il existe une issue favorable pour A et pour D : « 8 Jaune ». 4 1 b) ● p(D) =  = car il y a 4 issues favorables : 8 2 « 2 Rouge » ; « 4 Rouge » ; « 6 Rouge » ; « 8 Jaune ». ●

2 4 6 3 p(A) + p(D) =  +  = = 8 8 8 4 5 ● p(E) =  car il y a 5 issues favorables : 8 « 8 Jaune » ; « 3 Jaune » ; « 2 Rouge » ; « 4 Rouge » ; « 6 Rouge ». Donc on constate que : p(E) ≠ p(A) + p(D). ●

C O RRI G É

1 L’expérience comporte huit issues : « 1 Vert » ; « 2 Rouge » ; « 3 Jaune » ; « 4 Rouge » ; « 5 Vert » ; « 6 Rouge » ; « 7 Bleu » ; « 8 Jaune ». 2 1 a) ● p(A) =  = car l’événement A est réalisé par deux 8 4 issues : « 8 Jaune » et « 3 Jaune ».

8

C ORRIGÉ

J’UTILISE UN ARBRE PONDÉRÉ

Objectifs

Prérequis Paragraphe introduit

● Utiliser un arbre pondéré pour une expérience à une épreuve. ● Définir et étudier un événement contraire.

Calculer une probabilité dans un cas d’équiprobabilité.

$ Événements incompatibles (événement contraire) Activité 9

■ C OM M E NTAIRE S Il est utile d’utiliser un arbre pondéré pour les expériences à deux épreuves, mais parfois aussi pour celles à une épreuve. C ORRIGÉ

1 Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2 p(non R) = p(Bleu) + p(Vert) + p(Jaune) = 1 + 1 + 1 = 5 8 3 5 p(non R) = 1 – p(Rouge) =  – =  8 8 8

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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8

4

4

8

CHAP. 10 - PROBABILITÉS

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9

J’EFFECTUE UNE EXPÉRIENCE À DEUX ÉPREUVES

Objectif

Utiliser un arbre pondéré pour une expérience à deux épreuves.

Prérequis

Activité 8

Paragraphe introduit

% Utilisation d’un arbre pondéré

■ C O MMENTAIR E S On apprend ici comment utiliser un arbre pondéré pour les expériences à deux épreuves. C O RRI G É

1

2 a) Le nombre théorique de fois « Obtenir P » est égal à : 1 × 6 000 = 3 000. 2 Le nombre théorique de fois « Obtenir P, puis S » est égal 1 à : 3 000 × = 1 000. 3 b) On peut en déduire que : 1 000 1 p(Obtenir P, puis S) =  =  6 000 6 3 a) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

1 1 1 × =  2 3 6 On constate que le produit des probabilités rencontrées en chemin est égal à la probabilité de l’événement auquel conduit ce chemin. b)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

EXERCICES 1 1) Il s’agit d’une expérience aléatoire car ses résultats sont uniquement le fait du hasard. 2) Les différentes issues possibles sont : « 1 » ; « 2 » ; « 3 » ; « 4 » ; « 5 » ; « 6 ». 2 1) Il ne s’agit pas d’une expérience aléatoire car les pommes ne sont pas choisies au hasard mais en fonction de leur poids. 2) La seule issue possible est : « Pomme de 215 g ». 3 Événement A : « 1 Rouge » ; « 2 Rouge » ; « 3 Rouge ». Événement B : « 2 Bleu » ; « 3 Bleu ». Événement C : « 1 Rouge ». Événement D : « 2 Bleu » ; « 2 Rouge ». Événement E : « 1 Rouge » ; « 3 Bleu » ; « 3 Rouge ». 4 a) Des événements élémentaires sont : « Obtenir la couleur jaune » ; « Obtenir la couleur bleu ». b) Des événements élémentaires sont : « Obtenir la lettre L » ; « Obtenir la lettre U ». 5 1) Il y a autant d’issues que d’élèves dans la classe. 2) Obtenir la combinaison d’un prénom et d’un nom constitue un événement élémentaire (sauf homonymie parfaite au sein de la classe !). On peut sans doute aussi proposer un prénom qui correspond à un seul élève. 3) Par exemple, « Obtenir un prénom qui soit partagé par plusieurs élèves de la classe » constitue un événement non élémentaire. 6 Il s’agit d’une situation d’équiprobabilité. 4 a) La probabilité de « Tirer une boule grise » est égale à 6 2 ou . 3 b) La probabilité de « Tirer une boule portant le numéro 2 » 2 1 est égale à ou . 6 3 c) La probabilité de « Tirer une boule grise numérotée 1 » 2 1 est égale à ou . 6 3

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7 Deux approches pour cet exercice sont possibles et justes. Réponse 1  Le nombre de lancers réalisés est égal à la somme des deux issues possibles, soit : 606 + 396 = 1 002. On peut donc conjecturer que la probabilité de l’événe396 ment « Obtenir Pile » est approximativement . 1 002 ● Réponse 2  ●

Le nombre total de lancers réalisés est environ égal à 1 000. On peut donc conjecturer que la probabilité de l’événe400 ment « Obtenir Pile » est environ , soit 0,4. 1 000 8 1) Exemples d’événements certains : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 1 » ; « Obtenir un nombre entier »... 2) Exemples d’événements impossibles  : «  Obtenir 7  » ; « Obtenir un nombre négatif »… 3 3 9 p(E) + p(F) =  +  = 8 4 8 Or si E et F sont incompatibles, alors on a : p(E ou F) = p(E) + p(F). 9 Dans ce cas, p(E ou F) est égal à , donc supérieur à 1, ce 8 qui est impossible. Donc E et F ne peuvent pas être incompatibles. 9

10 L’événement non A peut s’intituler « Obtenir une lettre qui ne soit pas une voyelle », c’est-àdire « Obtenir une consonne ». 2 1 p(non A) =  =  6 3 11 1) Les couples de lettres ainsi obtenus sont : « TA » ; « TE » ; « MA » ; « ME ». 3 3 9 2) p(obtenir MA) =  × =  4 5 20 3 8 4 1 b) p(Obtenir la couleur rouge) =  =  8 2 12 a) p(Obtenir le nombre 1) = 

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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3 13 a) p(Obtenir la lettre T) =  . 8 1 b) p(Obtenir la lettre O) =  . 8 5 c) p(Obtenir une consonne) =  . 8 7 d) p(Obtenir une lettre du mot MATELOT) =  . 8 4 14 a) p(Obtenir une boule rouge) =  . 9 4 b) p(Obtenir une voyelle) =  . 9 7 c) p(Obtenir une couleur du drapeau français) =  . 9 10 1 =  . 15 a) p(15 ans et compétition) =  40 4 22 11 b) p(15 ans) =  =  . 40 20 18 9 =  . c) p(compétition) =  40 20

22 1) Événement A : « 1 Rouge » ; « 2 Rouge ». Événement B : « 2 Vert ». Événement C : « 1 Rouge ». Événement D : « 2 Rouge » ; « 2 Vert ». Événement E : « 2 Rouge » ; « 2 Vert » ; « 4 Jaune ». 2) Les événements B et C sont élémentaires car ils sont réalisés par une seule issue.

10 5 =  . 18 9 10 5 2) p(compétition) =  =  . 22 11

3 5+2+4+3+1 3 1 =  =  15 5 5 1 6 26 ● Cas 1 : p(A) + p(B) =  +  = = 0,75. 8 8 8 p(A) + p(B) ≠ p(A ou B), donc A et B ne sont pas incompatibles. 1 1 7 ● Cas 2 : p(A) + p(B) =  +   = . 3 4 12 p(A) + p(B) = p(A ou B), donc A et B sont incompatibles.

16 1) p(15 ans) = 

Méthode 1  12 + 10 + 8 30 3 p(A) =  =  =  . 40 40 4 ● Méthode 2  p(A) = 1 – p(non A)  p(non A) = p(avoir 16 ans et ne pas faire de compétition) 10 1 =  =    40 4 1 3 Donc : p(A) = 1 – =  . 4 4 17

●

18 1) Les différents couples de lettres possibles sont  : AD ; AE ; BD ; BE ; CD ; CE. 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

1 3 3 3) p(AD) =  × =  . 2 4 8 19 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

1 2 2 . 2) a) p(RR) =  × =  5 5 25 4 3 12 . b) p(VV) =  × =  5 5 25 20 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3 3 9 2) p(Rouge, puis Jaune) =  × =   . 5 4 20 2 1 2 1 =  . 3) p(Jaune, puis Rouge) =  × =  5 4 20 10 4) Le raisonnement suivant en italique n’est pas exigible pour les élèves. Les deux événements dont nous avons calculé les probabilités dans les questions 2) et 3) sont incompatibles. Donc la probabilité que l’un ou l’autre survienne, c’est-à-dire que le tirage fasse apparaître deux boules de couleur différente, est égale à la somme de leurs probabilités respectives : p(deux boules de couleurs différentes) 9 2 11 = p(R, puis J) + p(J, puis R) =  +  = = 0,55. 20 20 20 21

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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23 1) Événement F : « 10 Bleu » ; « 50 Rouge ». Événement N : « 0 cible manquée ». Événement M  : «  0 cible manquée  » ; «  50 Rouge  » ; « 100 Marron ». 2) L’événement N est élémentaire. 24 La probabilité d’obtenir un 4 au seizième lancer est 1 égale à car il s’agit d’une expérience aléatoire dont le 6 résultat n’est pas influencé par les lancers antérieurs. 25 p(Obtenir une boule noire) = 

5 6 8 . p(I) =  . p(R ou I) =  . 12 12 12 b) R et I ne sont pas incompatibles car p(R ou I) ≠ p(R) + p(I). En fait, il y a des boules qui sont de couleur Rouge et portant un numéro impair. 2) N et I sont incompatibles car il n’existe pas de boule de couleur noire portant un nombre impair.  3 9 p(N) =  . p(N ou I) =  . 12 12 On constate que p(N ou I) = p(N) + p(I). 27 1) a) p(R) = 

1 28 1) p(A) =  . 8 3 2) p(M) =  . 8 3) L’événement non A est l’événement contraire de A, c’est-à-dire gagner autre chose qu’un autocollant. 7 ● Méthode 1 : p(non A) = 1 – p(A) =  . 8 4 3 7 ● Méthode 2 : p(non A) = p(T) + p(M) =  + = . 8 8 8 29 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) ● Méthode 1  La probabilité p d’obtenir un Pile et une Face est la somme des probabilités d’obtenir Pile puis face (PF) et d’obtenir Face puis Pile (FP) car ces deux événements sont incompatibles. 1 1 1 p(PF) = × = . 2 2 4 1 1 1 p(FP) =  × = . 2 2 4 1 1 1 Donc p(Obtenir un Pile et une Face) =  +  = . 4 4 2 ● Méthode 2  p(Obtenir un Pile et une Face) 1 1 1 1 = 1 – p(PP) – p(FF) = 1 –  –  = 1 – =  . 4 4 2 2 30 1) Les issues de cette expérience sont «  Pile  » et « Face ». CHAP. 10 - PROBABILITÉS

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2) Il ne s’agit pas d’une expérience aléatoire car son résultat est déterminé par l’issue précédente et non par le hasard. Par exemple, on obtient P, puis F, puis P, puis F, puis P… 31 La fréquence de la position Droite est égale à : 993 ≈ 0,3972 993 + 1 507 Au vu du grand nombre de fois où l’expérience a été réalisée, il est effectivement juste de conjecturer que la probabilité de l’événement «  Obtenir la position Droite  » est égale à 0,4. Ceci reste toutefois une conjecture. 32 1) L’expérience admet 7 issues. 2) a) Événements élémentaires : « Obtenir le chiffre 3 » ; « Obtenir le chiffre 2 ». b) Événements non élémentaires : « Obtenir le chiffre 4 » ; « Obtenir un chiffre impair ». c) Événements certains : « Obtenir un chiffre supérieur ou égal à 1 » ; « Obtenir un chiffre différent de 8 ». d) Événements impossibles  : «  Obtenir le chiffre 0  » ; « Obtenir le chiffre 7 ». 1 1 – 3 4 7 5 = 1 – =  12 12 3 1 34 a) p(Obtenir une voyelle) =  =  . 6 2 0 b) p(Obtenir une lettre du mot COULIS) =  = 0. 6 5 c) p(Obtenir une lettre du mot ORANGE) =  . 6 33 p(Noire) = 1 – p(Verte) – p(Rouge) = 1 –

nombre d’issues favorables nombre total d’issues nombre de boules blanches nombre de boules blanches =  =   nombre total de boules 25 = 0,4 Donc le nombre de boules blanches est N = 0,4 × 25 = 10. 25 – 10 = 15 Puisque l’urne ne contient que 25 boules, on peut en déduire qu’elle contient 15 boules noires. 36 Le nombre total de papiers contenus dans l’urne est : 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55 Le nombre total de papiers portant un nombre impair est : 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25 nombre d’issues favorables p(Obtenir un nombre impair) =  nombre total d’issues 25 5 = =  55 11 35 p(Boule blanche) = 

37 1) Le jeu de trente-deux cartes contient autant de piques que de cœurs, carreaux et trèfles. 32 = 8 piques. Il contient donc : 4 8 1 Donc : p(A) =  =  . 32 4 4 1 Le jeu contient 4 rois, donc : p(B) =  =  . 32 8 2) ● Méthode 1  Les événements A et B ne sont pas incompatibles car il existe la carte du roi de pique qui réalise ces deux événements. ● Méthode 2  8 4 p(A) =  ; p(B) =  ; 32 32 11 p(A ou B) =  . 32 On constate que p(A ou B) ≠ p(A) + p(B), donc les événements A et B ne sont pas incompatibles.

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38 1) La somme des probabilités de chaque événement élémentaire est égale à 1, donc : 2p + 3p + 2p + 2p + p + 2p = 1 12p = 1  1 p =  12 2) p(Obtenir un nombre pair) = p(2) + p(4) + p(6) 7 = 3p + 2p + 2p = 7p =  12 3) La face où le dé est caché sera le plus souvent en dessous. C’est la face No 5 qui a la probabilité la plus faible d’être au-dessus, donc le plomb est caché sous la face du dé portant le nombre 5. a2 a2 1 =  = . (3a)2 9a2 9 (2a)2 – a2 4a2 – a2 3a2 1 p(Région Rose) =  =  = = . (3a)2 9a2 9a2 3 (3a)2 – (2a)2 9a2 – 4a2 5a2 5 p(Région Verte) =  =  = = . (3a)2 9a2 9a2 9 39 p(Région Jaune) = 

40 A 1) a) La somme ne peut pas être égale à 1 car on obtient 2 au minimum : en faisant 1 avec le premier dé et 1 avec le second. b) La somme peut être égale à 12  : en faisant 6 avec le premier dé et 6 avec le second. 2) La cellule D12 contient la formule « = B12 + C12 ». 3) a) La série des 19 sommes obtenues par ordre croissant est : 2 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 11 ; 11 ; 11. La « donnée centrale » est 7. La médiane de cette série de sommes est 7. b) Diagramme disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

B 1) Par exemple, il n’y a qu’une possibilité d’obtenir 2 : en faisant 1 + 1. Il y a plusieurs possibilités d’obtenir 7 : en faisant 1 + 6 ; ou 2 + 5 ; ou 3 + 4 ; ou 6 + 1 ; ou 5 + 2 ; ou 4 + 3. Il est donc normal d’obtenir plus souvent 7 que 2. 2) 170 : 1 000 = 0,17 Pour cette simulation, la fréquence de la somme 7 est 0,17. 3) a) Dé no 2 Somme

o

Dé n  1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b) Il y a donc 36 lancers possibles. 6 1 =  . 6 lancers permettent d’obtenir la somme 7 : 36 6 La probabilité d’obtenir la somme 7 est 0,17. 4) La fréquence obtenue à la question B 2) est 0,17. 1 La probabilité obtenue à la question B 3) b) est ≈ 0,167. 6 Ces deux réponses ne sont pas égales, mais sont assez proches. Pour un grand nombre d’expériences, il est normal de trouver expérimentalement une fréquence proche de la probabilité. 41 1) Sans tenir compte de la couleur des dés  a) Les lancers dont la somme est égale à 9 sont : © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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« 3 / 3 / 3 » ; « 1 / 2 / 6 » ; « 1 / 3 / 5 » ; « 1 / 4 / 4 » ; « 2 / 2 / 5 » ; « 2 / 3 / 4 ».  b) Les lancers dont la somme est égale à 10 sont : « 1 / 3 / 6 » ; «  1 / 4 / 5 » ; « 2 / 2 / 6 » ; « 2 / 3 / 5 » ; « 2 / 4 / 4 » ; « 3 / 3 / 4 ». 2) En tenant compte de la couleur des dés  a) Un seul lancer réalise « 3 / 3 / 3 » : (3 Rouge, 3 Bleu, 3 Vert). b) Trois lancers réalisent « 1 / 4 / 4 » : (1 Rouge, 4 Bleu, 4 Vert) ; (4 Rouge, 1 Bleu, 4 Vert) ; (4 Rouge, 4 Bleu, 1 Vert). c) Six lancers réalisent «  1 / 2 / 6  » : (1 Rouge, 2 Bleu, 6 Vert) ; (1 Rouge, 6 Bleu, 2 Vert) ; (2 Rouge, 1 Bleu, 6 Vert) ; (6 Rouge, 1 Bleu, 2 Vert) ; (2 Rouge, 6 Bleu, 1 Vert) ; (6 Rouge, 2 Bleu, 1 Vert). 3) Pour « 3 / 3 / 3 », il y a 1 lancer. Pour « 1 / 2 / 6 », il y 6 lancers. Pour « 1 / 3 / 5 », il y a 6 lancers. Pour « 1 / 4 / 4 », il y 3 lancers. Pour « 2 / 2 / 5 », il y a 3 lancers. Pour « 2 / 3 / 4 », il y a 6 lancers.  1 + 6 + 6 + 3 + 3 + 6 = 25 En tout, il y a 25 lancers pour lesquels on obtient la somme 9. 4) Pour la somme 10, on calcule de même : 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27 En tenant compte de la couleur des dès, il y a donc 27 lancers pour lesquels on obtient la somme 10. 5) On constate que la probabilité d’obtenir 10 est supérieure à la probabilité d’obtenir 9 car il existe un plus grand nombre de lancers (d’issues favorables) réalisant une somme de 10 qu’une somme de 9. 42 La probabilité d’avoir un garçon après 5 filles est égale à 0,5 car si l’on considère qu’il s’agit d’une expérience aléatoire, le résultat est le seul fait du hasard et n’est donc pas influencé par les résultats précédents. 1 . 43 a) p(Obtenir la dame de cœur) =  32 8 1 b) p(Obtenir un carreau) =  =  . 32 4 16 1 c) p(Obtenir une carte de couleur noire) =  = . 32 2 4 1 =  . d) p(Obtenir un as) =  32 8 1 1 2 1 e) p(Obtenir un 7 ou un 8) = p(7) + p(8) = + = = . 8 8 8 4 f) p(Ne pas obtenir de pique) = 1 – p(Obtenir un pique) 8 24 3 = 1 – =  = 32 32 4

JE FAIS LE POINT 60 1) a) p(Obtenir R) = 

1 . 10

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45

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

46 1) On sait que : p(1) + p(2) + p(3) + p (4) + p (5) = 1. Donc : 2r + 2r + 2r + 3r + r = 1. 10r = 1  1 r =  10 Ainsi, r = 0,1. 2) p(Obtenir un nombre différent de 4) 2 2 2 1 7 = p(1) + p(2) + p(3) + p(5) = + + + = 10 10 10 10 10 p(Obtenir un nombre différent de 4) = 1 – p(Obtenir 4) 3 7 = 1 – =  10 10 2 1 47 1) a) p(A) =  =  6 3 3+2 5 = b) p(B) =  6 6 1 2 2) p(non A) = 1 – p(A) = 1 – =  3 3 48 Puisque l’urne ne contient que des boules de couleur bleue, verte et rouge, on sait que : p(Obtenir une boule bleue) + p(Obtenir une boule verte) + p(Obtenir une boule rouge) = 1 1 1 Donc : p(Rouge) = 1 – p(Bleue) – p(Verte) = 1 – – 3 8 11 13 =  = 1 – 24 24 49 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

5 3 15 5 × =  = 12 4 48 16 b) p(Obtenir deux boules de couleurs différentes) = p(VN) + p(NV) p(Obtenir deux boules de couleurs différentes) 5 3 7 3 5 21 26 13 =  × + × = + = = 12 4 12 4 48 48 48 24

2) a) p(VV) = 

(

) (

)

Les exercices 50 à 59 sont corrigés à la page 308 du manuel élève.

3 b) p(Obtenir S) =  . 10 3 7 c) p(Ne pas obtenir S) = 1 – p(Obtenir S) = 1 – =  . 10 10 2) Il y a davantage de chances de tirer une consonne qu’une voyelle car le nombre d’issues favorables pour une consonne (il y en a 6 : « R » ; « S » ; « S » ; « T » ; « T » ; « S ») est supérieur au nombre d’issues favorables pour une voyelle (il y en a 4 : « O » ; « U » ; « E » ; « E »). © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

2 1 44 1) p(Obtenir vert) =  = . 8 4 2) p(Gagner un lot) = p(Obtenir jaune) + p(Obtenir rose) + (Obtenir orange) 2 3 1 6 3 =  +  + = = 8 8 8 8 4 3) La somme de ces deux probabilités est égale à 1 car les événements « Obtenir vert » et « Gagner un lot » sont deux événements contraires.

4 1 =  180 45 . 12 36 48 4 b) p(Gagner une peluche) =  . +  = = 180 180 180 45 12 36 68 4 c) p(Ne rien gagner) = 1 – +  + + 180 180 180 180 120 60 1 = = =1– 180 180 3 61 a) p(Gagner un lecteur MP3) = 

(

)

CHAP. 10 - PROBABILITÉS

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4 4+2+1+2+1 4 2 = =  10 5 2) a) L’événement « non L » se réalise lorsque Vaite monte sur un animal autre que le lion. 2 8 4 p(non L) = 1 – p(L) = 1 – =  = 10 10 5 b) L’événement « A ou L » se réalise lorsque Vaite monte sur un âne ou sur un lion. Ces deux événements sont incompatibles, donc  : 2 2 4 2 p(A ou L) = p(A) + p(L) =  +  = = 10 10 10 5 62 1) p(Vaite monte sur un cheval) = 

63 1) Aline a la plus grande probabilité de tirer une bille rouge car il s’agit, pour elle, d’un événement certain. 5 p(Tirer une bille rouge pour Aline) =  = 1. 5 Bernard et Claude ont chacun des billes non rouges dans leur sac, donc la probabilité pour chacun d’entre eux de tirer une bille rouge est inférieure à 1. 2) Pour Bernard, la probabilité p est : 10 10 1 p(Tirer une bille rouge) =  =  =  10 + 30 40 4 Soit n le nombre de billes noires à ajouter dans le sac 1 d’Aline pour que p(Tirer une bille rouge) =  . 4 nombre d’issues favorables On a : p(Tirer une bille rouge) =  nombre total d’issues 5 1 =  = 5+n 4 Donc : 5 + n = 5 × 4. n = 20 – 5 n = 15 Il faut ajouter 15 billes noires dans le sac d’Aline afin qu’elle ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. 10 10 1 =  =  . 10 + 6 + 4 20 2 6 4 b) p(noire ou jaune) = p(noire) + p(jaune) =  +   20 20 10 1 =  = 20 2 1 1 2) p(rouge) + p(noire ou jaune) =  +  = 1. 2 2 Ce résultat était prévisible car le sac ne contient que des boules rouges, noires et jaunes. Ainsi, la somme des probabilités d’obtenir une boule rouge, noire ou jaune est égale à la somme des probabilités de chaque issue de cette expérience, c’est-à-dire égale à 1. 3) Soit b le nombre de boules bleues qui ont été ajoutées dans le sac. nombre d’issues favorables b 1 On a : p(b) =   = = . nombre total d’issues 20 + b 5 Donc : 5 × b = 20 + b. 5b – b = 20  4b = 20  64 1) a) p(rouge) = 

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20 4 b = 5 On a donc ajouté 5 boules bleues dans le sac.

b = 

65 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) p(deux vis différentes) =  p(bout rond, puis bout plat) + p(bout plat, puis bout rond) 40 12 60 38 + p(deux vis différentes) =  × × 100 50 100 50 480 2 280 2 760 = + = = 0,552 5 000 5 000 5 000 La probabilité d’obtenir deux vis différentes est supérieure à 0,5. Donc l’électricien a plus d’une chance sur deux d’obtenir deux vis différentes.

(

) (

)

66 B 1) e) Les résultats obtenus dans la colonne F correspondent à la somme des valeurs obtenues dans la colonne E, c’est-à-dire au nombre de fois où le résultat de l’expérience a été 1. F2 2) b) « =  » A2 3) On remarque que cette fréquence se rapproche de 0,25. 67 1) La probabilité d’obtenir un double six est faible : 1 1 1 × =  6 6 36 La probabilité que trois lancers successifs donnent double six est donc bien plus faible encore. Quant à obtenir 7 avec un seul dé, il s’agit d’un événement impossible (en mathématique) ! On peut donc penser que cette histoire est fausse. 2) Pour une pièce de monnaie, on peut citer l’événement impossible qui consisterait à ce que la pièce retombe sur sa tranche. 3) Dans l’histoire de Robin des Bois, on peut trouver un tel événement impossible : lorsque la flèche tirée par Robin partage en deux une flèche déjà fichée au centre de la cible ! 68 Il s’agit de réaliser concrètement cette expérience. Les résultats obtenus différeront selon les élèves. La fréquence obtenue à la question 3) doit être proche de 0,64 (voir exercice 69). 69 1) Si le centre de la pièce, dont le rayon est égal à 0,5 cm, se trouve à moins de 0,5 cm du bord, alors la pièce chevauchera ce bord et le franc carreau ne sera pas réalisé. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Aire du carré rouge 4 × 4 16 =  =  2) p(Faire franc carreau) =  Aire du grand carré 5 × 5 25 = 0,64

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Exercices d’évaluation du socle commun nombre d’issues favorables nombre total d’issues 6 6 6 =  = = 5 + 4 + 4 + 6 + 7 + 5 + 9 40 40 1

p(R’n’B) = 

La conclusion énoncée par Arthur est fausse car en 2 multipliant par 20, celui-ci considère à tort que la proba5 2 bilité de survenance d’un tremblement de terre est de 5 chaque année. 2 En réalité, cette probabilité est de pour l’ensemble de la 5 période de 20 ans à venir. 2

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3 A1 et A2 sont deux propositions fausses car les résultats précédents n’ont aucune influence sur le résultat à venir d’une expérience aléatoire. A3 est une proposition vraie car le tirage du Loto est une expérience aléatoire dont le résultat n’est aucunement influencé par les résultats antérieurs. A4 est une proposition fausse car seul le hasard détermine le résultat d’une expérience aléatoire.

CHAP. 10 - PROBABILITÉS

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A P I TR H

C

E

11

Statistiques PROGRAMME

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES Caractéristiques de position Approche de caractéristiques de dispersion

CAPACITÉS Une série statistique étant donnée (sous forme de liste ou de tableau ou par une représentation graphique) : – déterminer une valeur médiane de cette série et en donner la signification ; – déterminer des valeurs pour les premier et troisième quartiles et en donner la signification ; – déterminer son étendue. ●

● Exprimer et exploiter les résultats de mesures d’une grandeur.

■ Commentaires Le travail est conduit aussi souvent que possible en liaison avec les autres disciplines dans des situations où les données sont exploitables par les élèves. L’utilisation d’un tableur permet d’avoir accès à des situations plus riches que celles qui peuvent être traitées « à la main ». La notion de dispersion est à relier, sur des exemples, au problème posé par la disparité des mesures d’une grandeur lors d’une activité expérimentale, en particulier en physique et chimie.

Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Troisième

Indications pour l’évaluation en situation

Effectuer, à la main ou avec un tableur-grapheur, des traitements de données : ● présenter des données ; ● calculer des effectifs, des fréquences, des moyennes ; ● créer un graphique ou un diagramme.

Il s’agit de créer, analyser, utiliser une formule comprenant non seulement des références relatives, mais aussi des références absolues (les références mixtes sont exclues).

Programme de la classe de Quatrième > CONNAISSANCES

■ Commentaires

Traitement des données. Moyennes pondérées.

Les élèves sont confrontés à des situations familières où deux procédés de calcul différents de la moyenne sont mis en œuvre : – somme des n données divisée par n ; – moyenne pondérée des valeurs par leurs effectifs. Les élèves doivent savoir calculer, pour de petits effectifs, une moyenne par la procédure de leur choix. Pour des effectifs plus grands, cette procédure est basée sur l’usage du tableur ou de la calculatrice.

CAPACITÉS : Calculer la moyenne d’une série de données. Créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule. ● Créer un graphique à partir des données d’une feuille de calcul. ● ●

Programme de la classe de Seconde > CONNAISSANCES

CAPACITÉS

Statistique descriptive, analyse de données. Caractéristiques de position et de dispersion : – médiane, quartiles ; – moyenne.

– Utiliser un logiciel (par exemple, un tableur) ou une calculatrice pour étudier une série statistique. – Passer des effectifs aux fréquences, calculer les caractéristiques d’une série définie par effectifs ou fréquences.

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– Calculer des effectifs cumulés, des fréquences cumulées. – Représenter une série statistique graphiquement (nuage de points, histogramme, courbe des fréquences cumulées).

■ Commentaires L’objectif est de faire réfléchir les élèves sur des données réelles, riches et variées (issues, par exemple, d’un fichier mis à disposition par l’INSEE), synthétiser l’information et proposer des représentations pertinentes.

Commentaires des auteurs ➜ L’étendue d’une série statistique est la seule caractéristique de dispersion étudiée au collège. Au lycée, on en étudie d’autres (écart type, variance ...) La médiane et les quartiles sont des caractéristiques de position. ➜ La médiane et les quartiles sont précisément définis dans le document d’accompagnement des programmes. La médiane n’est pas obligatoirement une donnée et se calcule différemment selon la parité du nombre de

données. Nous avons choisi de parler de « donnée(s) centrale(s) » bien que cette notion ne soit pas mathématiquement définie. Les quartiles sont obligatoirement des données. ➜ La notion d’effectifs cumulés croissant n’est pas au programme du collège, toutefois lorsque la série est exprimée sous forme de données ou d’histogramme, il est nécessaire d’additionner successivement les effectifs.

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE. ■ C O M M E NTAIR E S

2) 3 h 42 min = 3 h + 42 min = 3 h + 

Cette activité permet aux élèves de revoir la notion de vitesse moyenne sur un exemple concret. C O RRI G É Distance 42,195 =  ≈ 3,8 h Vitesse 11 Cet amateur a bien atteint son objectif. 1) Durée = 

1

= 3 h + 0,7 h = 3,7 h Distance 42,195 =  ≈ 11,404 km/h Vitesse =  Durée 11 Pour courir en moins de 3 h 42 min, le sportif amateur aurait dû courir à la vitesse moyenne de 11,5 km/h.

J’ÉTUDIE UNE SÉRIE DE MESURES D’UNE GRANDEUR

Objectif

Comprendre la notion de précision d’une série de données.

Prérequis

● ●

Paragraphe introduit

Vocabulaire lié aux séries statistiques Notion de moyenne —

■ C O M M E NTAI R E S Cette activité permet aux élèves de revoir le vocabulaire nécessaire à la compréhension des nouvelles notions abordées dans ce chapitre. C ORRI G É

1 a) Le caractère étudié est la masse d’or contenue dans les pots.

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42 h 60

b) 6 valeurs sont prises par le caractère  : 499,5 ; 499,8 ; 499,9 ; 500 ; 500,1 ; 500,2. c) On a pesé 16 pots de paillettes. L’effectif total est donc de 16. 2 Moyenne des masses : Somme des masses 7 999,6 =  = 499,975 Nombre de pots 16 La masse moyenne d’or contenue dans un pot est de 499,975 mg. 3 a) Puisque la balance est précise à 0,1 mg près, la masse d’or peut faire 0,1 mg de plus ou de moins que la masse affichée par la balance. Puisque la balance affiche 500,1  mg, la masse réelle est comprise entre 500  mg et 500,2 mg. b) Trois pots devront être reconditionnés, celui de 499,5 mg, celui de 499,8 mg et celui de 500,2 mg.

CHAP. 11 - STATISTIQUES

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2

JE DÉCOUVRE L’ÉTENDUE D’UNE SÉRIE STATISTIQUE

Objectif

Définir l’étendue d’une série statistique.

Prérequis Paragraphe introduit

—

! Étendue

■ C O MMENTAIR E S Cette activité permet aux élèves de comprendre et de découvrir ce qu’est l’étendue d’une série statistique.

3

C ORRIGÉ

1 Bobby est le vainqueur de la compétition. 2 a) Le meilleur saut d’Abassar est de 5,99  m. Le plus mauvais saut est de 4,99 m. La différence entre ces deux valeurs est de 1 m. b) Étendue =  Longueur du meilleur saut – Longueur du plus mauvais saut = 6,12 – 4,78 = 1,34 m. L’étendue de la série de longueurs de Loc est de 1,34 m. c) 6,15 – 5,11 = 1,04 m L’étendue de la série de longueurs de Bobby est de 1,04 m. 3 a) Loc a l’étendue la plus grande. b) Non, le plus régulier est Abassar car il a une plus petite étendue que celle de Bobby.

JE DÉCOUVRE LA MÉDIANE D’UNE SÉRIE STATISTIQUE

Objectif

Définir la médiane d’une série statistique.

Prérequis Paragraphe introduit

groupe 2. 2 a) et b) Groupe 1

—

2 ; 5 ; 7 ; 10 ; 12 ; 14 ; 15 ; 16 ; 16 ; 17 ; 18 ; 18 ; 19.

@ Médiane

■ C O MMENTAIR E S Cette activité permet aux élèves de comprendre et de découvrir ce qu’est la médiane d’une série statistique.

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3 a) et b) Non, car l’effectif de cette série est pair. Groupe 2 10 ; 10 ; 10 ; 11 ; 11 ; 11 ; 14 ; 18 ; 18 ; 19 ; 19 ; 20.

C O RRI G É

1 a) Moyenne du 1er groupe : 18 + 15 + 16 + 2 + 10 + 18 + 14 + 17 + 19 + 16 + 12 + 7 + 5 13 = 13 La moyenne du 1er groupe est : 13. Moyenne du 2e groupe : 11 + 10 + 18 + 14 + 20 + 11 + 19 + 19 + 11 + 10 + 18 + 10 12 = 14,25 La moyenne du 2e groupe est : 14,25. b) Non, il y a 13 élèves dans le groupe 1 et 12 dans le

4

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

c) La médiane correspond à la moyenne des notes centrales.

JE DÉCOUVRE LE PREMIER QUARTILE D’UNE SÉRIE STATISTIQUE

Objectif

Définir le premier quartile d’une série statistique.

Prérequis

Calculs de pourcentages

Paragraphe introduit

# Quartiles

C O MMENTAIR E S Cette activité permet aux élèves de comprendre et de découvrir ce qu’est le premier quartile d’une série statistique. C O RRI G É

A 1 Oui, car l’effectif total est divisible par 4. 2 1,55 ; 1,56 ; 1,56 ; 1,58 ; 1,59 ; 1,6 ; 1,61 ; 1,62 ; 1,63 ; 1,63 ; 1,65 ; 1,66 ; 1,67 ; 1,67 ; 1,69 ; 1,70 ; 1,70 ; 1,72 ; 1,73 ; 1,75 ; 1,76 ; 1,77 ; 1,80 ; 1,80.

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3 Groupe A 1,55 m

1,56 m

1,56 m

1,58 m

1,59 m

1,60 m

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

4 L’élève le plus grand du groupe 1 mesure 1,60 m. 5 Pourcentage d’élèves qui ont une taille inférieure ou égale à 1,60 : 6 1 = = 0,25 = 25 % 24 4 B 1 Il reste 5 élèves dans le groupe A. 5 ≈ 0,22. Le groupe A est donc constitué d’environ 22 % 23 des élèves présents. 2 a) 6 ≈ 0,26. Le groupe A est maintenant constitué 23 d’environ 26 % des élèves présents. b) Le premier quartile de cette série des tailles est 1,61 m. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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EXERCICES 1 1) 1er trimestre : 20 – 8 = 12. L’étendue des notes est égale à 12. 2e trimestre : 20 – 10 = 10. L’étendue des notes est égale à 10. 3e trimestre : 17 – 9 = 8. L’étendue des notes est égale à 8. 2) Les notes sont les plus dispersées au 1er trimestre. 2 1) 3 – 0 = 3. L’étendue des notes est égale à 3. 2) 4 – 0 = 4. L’étendue des notes est égale à 4. 3 1) 1er trimestre : Il y a 8 données. La médiane est la moyenne de la 4e donnée et de la 5e donnée. 12 + 14 = 13. La médiane est égale à 13. 2 e 2 trimestre : Il y a 7 données. La médiane est la 4e donnée, c’est-à-dire 16. 2) Non. Pour le 1er trimestre, la médiane n’est pas une donnée. 4 1) 10 + 24 + 12 + 4 = 50. L’effectif total est de 50. 2) a) La médiane est la moyenne de la 25e donnée et de la 26e donnée. Comme elles sont toutes deux égales à 1, la médiane est égale à 1. b) Marie a tort. 24 + 12 + 4 = 40. 40 élèves ont au moins un frère ou une sœur. 5 1) 10 + 15 +15 + 35 + 25 = 100. L’effectif total de la série est de 100. 2) a) La médiane est la moyenne de la 50e donnée et de la 51e donnée, c’est-à-dire 3. b) Oui. 35 + 25 = 60. 60 élèves ont vu au moins 3 films. 1 6 a) Il y a 8 données. × 8 = 2. Q1 est donc la 2e don4 née, c’est-à-dire 9. 3 × 8 = 6. Q3 est donc la 6e donnée, c’est-à-dire 16. 4 b) Q1 = 11 et Q3 = 19. 1) Q1 = 1 et Q3 = 3. 15 + 15 + 35 + 25 90 =  = 90 %. 2) 100 100 90 % des élèves sont allés au moins une fois au cinéma. 25 3) = 25 %. 25 % des élèves sont allés 4 fois au cinéma. 100 7

10 = 20 %. 20 % des élèves n’ont ni frère ni sœur. 50 2) Il n’y a pas 25 % des élèves qui n’ont ni frère ni sœur. 3) Q1 = 1 8

1)

9 1) 260 – 50 = 210. L’étendue est de 210. 2) a) 25 % b) 0 % c) 25 % d) 25 % e) 100 % f) 50 % 10 1) 2 + 1 + 3 + 1 + 13 + 10 + 6 + 3 = 39 L’effectif total est de 39. 2) La médiane est la valeur centrale, c’est-à-dire la 15e donnée. Elle est égale à 15. 11 1) 6 + 8 + 5 + 3 + 5+ 3 + 2 = 32 L’effectif total est de 32. 2) La médiane est la moyenne de la 16e donnée et de la 17e donnée. Comme elles sont toutes deux égales à 0, la médiane est aussi égale à 0. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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12 1) 18 + 20 + 4 + 15 + 9 + 3 = 69. La médiane est la 35e donnée, c’est-à-dire 50. 2) Oui, 38 conducteurs ont respecté la limitation de vitesse. 13 1) On range les données dans l’ordre croissant. Il y a 22 données. La médiane est donc la moyenne de la 11e donnée et de la 12e donnée, c’est-à-dire 7. 155,5 2) ≈ 7,1. La moyenne est égale à 7,1. 22 3) 7,4 – 6,8 = 0,6. L’étendue est de 0,6. 14 1) On range les données dans l’ordre croissant. Il y a 21 données. La médiane est donc la 11e donnée, c’est-à-dire 171. 3 306,5 =  157,452. La moyenne de cette série est de 2) 21 157,452. 3) La longueur moyenne des étapes est de 157,452 km. 15 1) 6 ; 6 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 13 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 17 ; 17 ; 18 ; 19. 24 = 6. Q1 est la 6e donnée : 8. 2) Il y a 24 données. 4 3 × 24 = 18. Q3 est la 18e donnée : 15. 4 16 1) On range les données dans l’ordre croissant. 18 Il y a 18 données. = 4,5. 4 e Q1 est la 5 donnée : 92. 3 × 18 = 13,5. Q3 est la 14e donnée : 130. 4 3 2) Environ du temps, il y a au moins 92 cm de neige. 4 1 Environ du temps, il y a au moins 130 cm de neige. 4 17 1) 34 ; 34 ; 34 ; 36 ; 36 ; 36 ; 36 ; 36 ; 38 ; 38 ; 38 ; 38 ; 38 ; 38 ; 40 ; 40 ; 40 ; 40 ; 42. 19 = 4,75. Q1 est la 5e donnée : 36. 2) Il y a 19 données. 4 La médiane est la 10e donnée : 38. 3 × 19 = 14,25. Q3 est la 15e donnée : 40. 4 18 45 + 70 + 53 + 60 + 42 + 30 = 300. L’effectif total de la série est de 300. 300 = 75. Q1 est la 75e donnée : 14,5. 4 3 × 300 = 225. Q3 est la 225e donnée : 15,5. 4 19 1) La population étudiée est la confiture. Le caractère étudié est le taux de sucre. Le nombre de valeur est de 5. 3 + 8 + 15 + 7 + 2 = 35. Il y a 35 données. 2) Le sucre n’est pas réparti de façon homogène dans la confiture. 20 1) 2 + 17 + 7 + 3 + 1 = 30. L’effectif total est de 30. 2) 2,49 × 2 + 2,50 × 17 + 2,51 × 7 + 2,52 × 3 + 2,53 × 1 100 ≈ 2,50 3) Les ampoules ne sont pas toutes exactement identiques et les voltmètres non plus. CHAP. 11 - STATISTIQUES

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21 2 + 8 + 10 = 20. 20 réfrigérateurs ont une température dont on est sûr qu’elle est inférieure ou égale à 8 °C. 22 Série 1 : 20 – 2 = 18. L’étendue est égale à 18. Série 2 : 35 – 3 = 32. L’étendue est égale à 32. Série 3 : 18 – (– 3) = 21. L’étendue est égale à 21. 23 1) a) Le vainqueur a réalisé 68 coups. b) Le dernier a réalisé 76 coups. 2) 76 – 68 = 8. L’étendue de cette série est 8. 24 1) La valeur minimale de cette série est 37 et la valeur maximale de cette série est 44. 2) 44 – 37 = 7. L’étendue de cette série est de 7. 25 Anouk : 19 – 3 = 16. L’étendue de la série de notes d’Anouk est de 16.

Noé : 14 – 8 = 6. L’étendue de la série de notes de Noé est de 6. Anouk a les notes les plus dispersées. 26 La médiane est 18 car il faut penser à ranger les données dans l’ordre croissant. 27 1) Il y a 16 données. La médiane est la moyenne de la 8e donnée et de la 9e donnée de la série. 159 + 167 = 163. La médiane est égale à 163. 2 2 545 =  159,0625. La moyenne de cette série est 2) 16 159,0625. 3) Oui, la moitié des personnes ont une taille inférieure ou égale à la médiane et à la moyenne.

6 × 1 + 9 × 7 + 10 × 3 + 12 × 2 + 13 × 2 + 14 × 1 + 16 × 2 + 17 × 2 + 20 × 1 ≈ 11,9 28 1) 23 La moyenne est d’environ 11,9. 2) Il y a 21 données. La médiane est donc la 11e donnée, c’est-à-dire 10. 3) Il y a environ la moitié des élèves qui ont plus de 10 et la moyenne de la classe est de 11,9.

29 1) Moyenne des performances : Somme des performances en Seconde 1 399 =  ≈ 79 s Nombres d’élèves 18 La moyenne est d’environ 79 s. 2) Il y a 18 données. La médiane est la moyenne de la 9e donnée et de la 10e donnée, c’est-à-dire 1 min 18 s. 30 1) On range les données dans l’ordre croissant. Il y a 16 données. 16 3 = 4 et × 16 =  12. Q1 est la 4e donnée et Q3 est la 4 4 12e donnée. Donc : Q1 = 195 et Q3 = 203. 3 environ des services ont une vitesse supérieure à 2) 4 195 km/h. 1 environ des services ont une vitesse supérieure à 4 203 km/h. 31 1) a) On range les données dans l’ordre croissant. Il y a 135 données. 135 = 33,75. Q1 est la 34e donnée. 4 Donc : Q1 = 1. 12 + 25 = 29,6 %. 29,6 % des élèves ont un forfait dont b) 125 la durée est inférieure ou égale à Q1. 3 2) a) × 135 = 101,25. Q3 est la 102e donnée. 4 Donc : Q3 = 2. 12 + 25 + 20 + 45 = 81,6 %. 81,6 % des élèves ont un b) 125 forfait dont la durée est inférieure ou égale à Q3. 32 a) Vrai. b) On ne peut pas savoir. c) Vrai. d) Impossible. La médiane est toujours inférieure ou égale à Q3.

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Les deux groupes ont la même moyenne. La moitié environ des élèves du groupe 1 ont des notes comprises entre 10 et 14. La moitié environ des élèves du groupe 1 ont des notes comprises entre 7 et 16. 34 1) a) Non. Le secteur bleu représente moins d’un quart du diagramme. b) Oui. Le secteur vert représente plus d’un quart du diagramme. c) Oui, les secteurs bleu et jaune réunis représente plus de 25 % des effectifs. 2) Le premier quartile de cette série est 12. 3) Le troisième quartile de cette série est 14. 4) On atteint 50 % de l’effectif total dans le secteur vert. La médiane de cette série est donc égale à 13. 35 Le premier quartile est égal à 5. La médiane est égale à 7. Le troisième quartile est égal à 9. 36

Moyenne

Q1

Q3

Groupe 1

12,625

10

14

Groupe 2

12,625

7

16

124

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4

6

3

1

0

1

2

3

4

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

37 1) Classe d’âge

Valeur centrale

[15 ; 25[

20

90

31,25

[25 ; 35[

30

54

18,75

[35 ; 45[

40

72

25

[45 ; 55[

50

36

12,50

60

36

12,50

Total

288

100

[55 ; 65[

33 1)

7

Effectif Fréquence (en %)

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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2)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) a) Q1 appartient à la classe [15 ; 25[. b) La médiane appartient à la classe [35 ; 45[. c) Q3 appartient à la classe [35 ; 45[. 4) 20 × 90 + 30 × 54 + 40 × 72 + 50 × 36 + 60 × 36 288 = 35,625. La moyenne est égale à 35,625. 38 1) a) Le salaire le plus bas de la série est de 1 000 €. Le salaire le plus haut de la série est de 2 600 €. b) L’étendue des salaires est donc de 1 600 €. 2) Q1 = 1 100. Médiane = 1 300. Q3 = 1 700. 1 3) environ des salariés ont un salaire inférieur ou égal 4 à 1 100 €. La moitié environ a un salaire inférieur ou égale à 1 300 €. 3 environ des salariés ont un salaire inférieur ou égal 4 à 1 700 €. 39 A 1) Le nombre de boîtes constituées doit diviser le nombre de bonbons au chocolat blanc et le nombre de bonbons au chocolat noir et être le plus grand possible. C’est donc le PGCD de 1 575 et 4 410. Par divisions successives : 4 410 : 1 575 = 2 et reste 1 260 ; 1 575 : 1 260 = 1 et reste 315 ; 1 260 : 315 = 4 et reste 0. Le PGCD de 4410 et 1575 est le dernier reste non nul, c’est-à-dire 315. Le chocolatier pourra constituer 315 boîtes identiques. 2) Nombre de bonbons au chocolat blanc dans chaque boîte : 1 575 : 315 = 5. Nombre de bonbons au chocolat noir dans chaque boîte : 4 410 : 315 = 14 B 1) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Pourcentage de boîtes vendues pendant le week-end : 61 + 63 124 = ≈ 0,394 ≈ 39,4 % 15 + 30 + 61 + 55 + 61 + 63 + 30 315 315 = 55. 3) Nombre moyen de boîtes vendues par jour : 7 4) Étendue : 63 – 15 = 48. Dans l’ordre croissant, on a : 15 ; 30 ; 30 ; 55 ; 61 ; 61 ; 63. Il y a 7 données, la médiane est donc la 4e donnée : 55. 7 = 1,75. Le premier quartile est donc la 2e donnée : 30. 4 3 de 7 = 5,25. Le troisième quartile est donc la 6e donnée : 4 61. C 1) Prix d’un ballotin en fonction de x : Prix des chocolats + prix du ballotin = 0,5 × x + 3,50 = 0,5x + 3,5 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) Le point A a pour coordonnées (15 ; 11). Le prix de vente pour 15 chocolats est de 11 €. Le point D a pour coordonnées (19 ; 13). Pour un prix de vente de 13 €, on a 19 chocolats. 4) f (15) = 0,5 × 15 + 3,5 = 11 et f (19) = 0,5 × 19 + 3,5 = 13. On retrouve bien les résultats de la question 3). 2+3+3+4+4+4+5+5+6+6+7+9+x = 5 13 58 + x D’où : = 5 et 58 + x = 13 × 5. 13 Donc : x = 65 – 58 = 7. 40 1)

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2) Étendue : 9 – 2 = 7. Il y a 13 données, la médiane est donc la 7e donnée : 5. 13 = 3,75. Le premier quartile est donc la 4e donnée : 4. 4 3 × 13 = 9,75. Le troisième quartile est donc la 10e donnée : 6. 4 41 Il faut que la 7e donnée soit égale à 5 car la médiane est la 7e donnée. Les extrêmes ne sont pas modifiés pour ne pas modifier l’étendue. x peut donc prendre les valeurs suivantes : 5 ; 6 ; 7 ; 8 ou 9. 42 Le premier quartile est 3 et ce doit être la 4e donnée. L’étendue doit être inférieure ou égale à 8. x peut donc prendre les valeurs suivantes : 1 ; 2 ou 3. 43 1) Bruce : Moyenne ≈ 10,8. Violette : Moyenne = 10. 2) Étendue des notes de Bruce : 18 – 5 = 13. Étendue des notes de Violette : 12 – 8 = 4. Violette a les notes les moins dispersées. 44 1) L’étendue de cette série est égale à 22. 2) Moyenne de la série : 1 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 8 + 9 + 15 + 16 + 23 + 23 = 9,75 12 3) Il y a 12 données. La médiane est donc la moyenne de la 6e donnée et de la 7e donnée, c’est-à-dire de 5 et 8, donc 13 = 6,5. 2 12 = 3. Le premier quartile est donc la 3e donnée : 4. 4) 4 3 × 12 = 9. Le troisième quartile est donc la 9e donnée : 15. 4 45 1) Étendue = 10 – 1 = 9. 2) Moyenne = 1 × 1 + 3 × 2 + 5 × 7 + 8 × 10 + 9 × 4 + 10 × 5 = 208 ≈ 7,17. 29 1+ 2 + 7 + 10 + 4 + 5 3) Il y a 29 données, la médiane est donc la 15e donnée : 8. 29 = 7,25. Le premier quartile est donc la 8e donnée : 5. 4) 4 3 × 29 = 21,75. Le troisième quartile est donc la 22e don4 née : 9. 46 Environ la moitié des élèves a une taille inférieure ou égale à 1,55 m. La différence entre la taille la plus grande et la taille la plus petite est de 52 cm. Environ 25  % des enfants ont une taille inférieure à 1,43 m. Environ 75  % des enfants ont une taille inférieure à 1,68 m. 47

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

48 1) Étendue : 17 – 8 = 9. 296 = 11,84. Moyenne =  25 25 = 6,25. Le premier quartile de la série est la 7e donnée : 4 11. 3 × 25 = 18,75. Le troisième quartile de la série est la 4 19e donnée : 14. 2) L’amplitude des notes est de 9 points. La moyenne des notes est de 11,84. 1 environ des élèves ont une note inférieure à 11. 4 3 environ des élèves ont une note inférieure à 14. 4 CHAP. 11 - STATISTIQUES

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49 Étendue : 28 – 18 = 10. 220 Moyenne =  = 22. 10 10 = 2,5. Le premier quartile de la série est la 3e don4 née : 20. 3 × 10 = 7,5. Le troisième quartile de la série est la 8e don4 née : 22. 50 Étendue : 10 – 3 = 7. 244 Moyenne =  = 7,625. 32 32 = 8. Le premier quartile de la série est la 8e donnée : 7. 4 3 × 32 = 24. Le troisième quartile de la série est la 24e don4 née : 9.

2)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) Étendue : 5 – 0 = 5. 57 Moyenne =  = 1,5. 38 38 = 9,5. Le premier quartile de la série est la 10e don4 née : 0. 3 × 38 = 29,5. Le troisième quartile de la série est la 4 30e donnée : 2. 4) La différence du nombre d’enfants entre les familles est égale 5. La moyenne d’enfants par famille est de 1,5. 1 environ des familles n’ont pas d’enfants. 4 3 environ des familles ont 2 enfants. 4

51 1) Nombre d’enfants

0

1

2

3

4

5

Effectif

10

11

9

5

2

1

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

JE FAIS LE POINT 62 1) Nombre de jeunes de 16 ans : 30 – (7 + 6 + 10) = 30 – 23 = 7 2) Pourcentage de jeunes de 15 ans : 6 1 20 = = = 20 % 30 5 100 3) Âge moyen des jeunes du club : 14 × 7 + 15 × 6 + 16 × 7 + 17 × 10 = 43 ≈ 15,7 7 30 4)

Les exercices 52 à 61 sont corrigés à la page 308 du manuel élève.

64 a) Étendue : 120 – 90 = 30. b) Effectif total : 2 + 6 + 4 + 3 = 15. La médiane est la 8e valeur : 100. c) Moyenne : 90 × 2 + 100 × 6 + 105 × 4 + 120 × 3 = 104. 15

Âges

14

15

16

17

Effectif

7

6

7

10

Mesures (en °)

42

36

42

60

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

63 1 1) Volume du saladier : 4 × π × 123 : 2 = 1 152π cm3 3 2) 3 L = 3 dcm3 = 3 000 cm3 1 152π cm3 ≈ 3 619 cm3 3 619 > 3 000 donc le cuisinier pourra utiliser ce saladier. 2 1) Nombre de saladiers vendus : 220 + 200 + 290 + 250 = 960 2) Pourcentage de saladiers vendus par Lili : 200 20,8 ≈ ≈ 20,8 % 960 100 3) Nombre de saladiers achetés : 80 100 960 : = 960 × = 1 200 100 80

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65 1) a) Temps moyen des garçons : 12,5 × 8 + 17,5 × 14 + 22,5 × 9 + 27,5 × 6 + 32,5 × 3 8 + 14 + 9 + 6 + 3 810 = = 20,25 40 b) Temps moyen des filles : 12,5 × 7 + 17,5 × 8 + 22,5 × 12 + 27,5 × 11 + 32,5 × 12 7 + 8 + 12 + 11 + 12 1 190 = = 23,8 50 c) Temps moyen des élèves : 810 + 1 190 2 000 = ≈ 22,22 40 + 50 90 2) Temps de parcours des garçons : Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Temps de parcours des filles : Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) a) Pourcentage de garçons dont le temps est compris entre 15 et 30 minutes exclu : 40 – 8 32 = 80 % = 40 40 b) Pourcentage de filles dont le temps est compris entre 15 et 30 minutes exclu : 50 – 7 43 = 86 % = 50 50 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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c) Pourcentage d’élèves dont le temps est compris entre 15 et 30 minutes exclu : 32 + 43 75 = ≈ 83,3 % 90 90 4) Les filles ont des résultats plus homogènes que les garçons. 66 Moyenne : 12,33. Médiane : 13. Premier quartile : 8. Troisième quartile : 15. 67 1) Longueur moyenne : 295 + 550 + 215 + 806 + 294 + 425 ≈ 430,83 m 6 2) Médiane de la série formée par les hauteurs : Il y a 6 données, la médiane est la moyenne de la 3e donnée et de la 4e donnée : 150 et 155. La médiane est donc égale à 152,5 m. 3) Âge moyen des barrages : 60 + 28 + 59 + 61 + 78 + 44 = 55 6 En 2012, l’âge moyen des 6 barrages est de 55 ans.

6 = 1,5. Le premier quartile de la série est la 2e donnée : 4 1952. 3 × 6 = 4,5. Le troisième quartile de la série est la 5e don4 née : 1968. 1 5) Parmi les six plus hauts barrages français, ont été mis 4 3 en service avant fin 1952 et les ont été mis en service 4 avant fin 1968. 4)

68 1) La production globale d’électricité a augmenté depuis 1970. 2) À partir de 1980, l’électricité d’origine nucléaire s’est développée. 3) a) Le pourcentage d’hydroélectricité se stabilise depuis 1990. b) La production d’hydroélectricité augmente légèrement. c) Comme la production globale d’électricité augmente, pour que le pourcentage d’électricité d’origine hydraulique reste stable, il faut que la production augmente également.

Exercices d’évaluation du socle commun 1 Nombre moyen de séances de cinéma : 0 × 2 + 1 × 6 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 = 2,2 2+6+3+4+5 2 12 × 6 = 72 Pour avoir 12 de moyenne, Hector doit avoir 72 points. Valeur de la 6e note : 72 – (8 + 16 + 9 + 10 + 14) = 15 3 On suppose que Julie aura 0 au dernier contrôle. Sa moyenne sera alors : 9 + 16 + 12 + 10 + 8 + 17 + 10 + 13 + 14 = 10,9 10 Donc, quelle que soit sa note, Julie est sûre d’avoir au moins 10 de moyenne.

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4

5

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

1)

Sport pratiqué

Foot

Tennis

Judo

Danse

Boxe

Total

Effectif

70

48

24

32

6

180

Angle (en degrés)

140

96

48

64

12

360

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

CHAP. 11 - STATISTIQUES

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A P I TR H

C

E

12

Théorème de Thalès et sa réciproque

PROGRAMME Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES

> CONNAISSANCES

3.1 Figures planes Configuration de Thalès

3.1 Figures planes Agrandissement et réduction [Reprise du programme de Quatrième]

CAPACITÉS Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes. ● Connaître et utiliser un énoncé réciproque. ●

■ Commentaires Il s’agit de prolonger l’étude commencée en classe de Quatrième qui, seule, est exigible dans le cadre du socle commun. La réciproque est formulée en tenant compte de l’ordre relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les élèves n’ont pas à distinguer formellement le théorème direct de sa réciproque. L’utilisation d’un logiciel de construction géométrique permet de créer des situations d’approche ou d’étude du théorème et de sa réciproque.

CAPACITÉS ● Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir.

■ Commentaires Dans le cadre du socle commun, il est attendu des élèves qu’ils sachent, dans des situations d’agrandissement ou de réduction, retrouver des éléments (longueurs ou angles) de l’une des deux figures connaissant l’autre. En ce qui concerne les longueurs, ce travail se fait en relation avec la proportionnalité.

Socle commun des connaissances Les élèves doivent savoir agrandir ou réduire une figure. La détermination d’une longueur à l’aide du théorème de Thalès dans le cas d’un triangle (configuration Quatrième) est exigible en classe de Troisième. ● ●

● Prouver que deux côtés d’un triangle sont parallèles en utilisant la réciproque du théorème de Thalès.

Capacités des programmes des classes antérieures ● Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d’un triangle.

● Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine.

Capacités des programmes des classes supérieures Classe de Seconde L’objectif de l’enseignement de la géométrie plane est de rendre les élèves capables d’étudier un problème dont la résolution repose sur des calculs de distance, la démonstration d’un alignement de points ou du parallélisme de deux droites ou la recherche des coordonnées du point d’intersection de deux droites.

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Les configurations étudiées au collège, à base de triangles, quadrilatères, cercles, sont la source de problèmes pour lesquels la géométrie repérée et les vecteurs fournissent des outils nouveaux et performants.

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Commentaires des auteurs ➜ Le théorème de Thalès a été vu en classe de Quatrième et son étude est poursuivie en classe de Troisième avec la configuration croisée. L’étude de ce théorème permet de revoir l’agrandissement et la réduction de triangles.

➜ En classe de Quatrième, le programme ne distingue pas le théorème de Pythagore de sa réciproque. Par contre, en Troisième, le programme demande de distinguer le théorème de Thalès de sa réciproque. L’importance de l’ordre des points est étudiée.

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O M M E NTAIR E S Cette activité permet de revoir le calcul d’une longueur en utilisant le théorème de Thalès dans un triangle. C O RRI G É Le point A désigne le point où se situe l’observateur. Le point B désigne le pied du Mur pour la paix et le point E son sommet. Le point C désigne le pied de la tour Eiffel et le point D son sommet. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Les deux monuments étant verticaux, les droites (EB) et (DC) sont perpendiculaires à la même droite (AC). Donc les droites (EB) et (DC) sont parallèles.

1

JE DÉCOUVRE UNE NOUVELLE CONFIGURATION

Objectif

Découvrir la configuration croisée.

Prérequis

Symétrie centrale. Théorème de Thalès (configuration Quatrième) ● ●

Paragraphe introduit

! Théorème de Thalès

■ C O M M E NTAIR E S Cette activité permet de découvrir la configuration croisée sur un exemple. C O RRI G É

1 a) b) c) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2 a) Les droites (E’F’) et (EF) sont symétriques par rapport au point A. Deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles. Donc les droites (E’F’) et (EF) sont parallèles. De plus, les droites (BC) et (EF) sont parallèles. On en conclut que les droites (BC) et (E’F’) sont parallèles.

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De plus, le point E appartient au segment [AD] et le point B appartient au segment [AC]. On peut alors utiliser le théorème de Thalès : AB AE BE =  =  AC AD CD 26 BE = 26 + 910 324 26 BE = 936 324 936 × BE = 26 × 324 BE =  26 × 324 936 BE = 9 La hauteur du Mur pour la Paix est de 9 m.

b) Le point E’ est le symétrique du point E par rapport au point A. Les points E, A et E’ sont alors alignés. Les points E, A et B étant alignés, le point E’ appartient à la droite (AB). De même, le point F’ appartient à la droite (AC). Les droites (EF) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : AE’ AF’ E’F’ =  =  AB AC BC AE’ AF’ E’F’ =  =  7 6 BC Par symétrie par rapport au point A, les longueurs AF et AF’ sont égales. Ainsi, AF’ = AF = 4 cm. 4 E’F’ . D’où : = 6 5 20 10 = E’F’ = 4 × 5 = 6 3 6 c) Par symétrie par rapport au point A, les longueurs E’F’ et EF sont égales. 10 Donc : EF =   cm. 3

CHAP. 12 - THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE

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2

JE GÉNÉRALISE UN THÉOREME ÉTUDIÉ EN QUATRIEME

Objectif

Conjecturer le théorème de Thalès (configuration croisée).

Prérequis

Théorème de Thalès (configuration Quatrième)

Paragraphe introduit

! Théorème de Thalès

■ C O MMENTAIR E S C’est à partir de la configuration de Thalès de Quatrième que les élèves découvrent celle de Troisième. C O RRI G É

A

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

B 1 b) Les nombres de la ligne 6 sont tous les trois égaux quelle que soit la position du point M sur la demidroite [AB).

3

JE CHERCHE À SAVOIR SI DES DROITES SONT PARALLELES

Objectif

Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles.

Prérequis

Le théorème de Thalès

Paragraphes introduits

@ Comment reconnaître des droites parallèles Propriété

■ C O MMENTAIR E S Á travers cette activité, les élèves découvrent comment utiliser le théorème de Thalès pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles. Ils découvrent ce qu’est un raisonnement par l’absurde.

4

Le point M appartient à la demi-droite [AB), le point N appartient à la demi-droite [AC) et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On reconnaît une configuration de Thalès de Quatrième. AM AN MN D’après le théorème de Thalès : =  =  . AB AC BC 2 Les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle ABC. Lorsque M ∈ [AB], le triangle AMN est une réduction du triangle ABC. Lorsque M ∈ [AB) et M ∉ [AB], le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC. C 1 b) Les nombres de la ligne 6 sont tous les trois égaux. 2 Il semble que lorsque : – le point M appartient à la droite (AB), – le point N appartient à la droite (AC), – et les droites (MN) et (BC) sont parallèles, AM AN MN alors : =  =  . AB AC BC

C ORRIGÉ

1 a)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b) Les droites (EG) et (BC) semblent parallèles. 2 a) Les points A, E, B sont alignés ainsi que les points A, G et C. Les droites (EG) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : AE AG EG =  =  AB AC BC AE 3 AG 6,1 =  = 0,6 et =  = 0,61. b) AB 5 AC 10 AE AG Les quotients et ne sont donc pas égaux. AB AC c) La supposition faite est alors fausse. Les droites (EG) et (BC) ne sont pas parallèles.

JE RECONNAIS DES DROITES PARALLELES

Objectif

Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles.

Prérequis

Le théorème de Thalès

Paragraphes introduits

@ Comment reconnaître des droites parallèles Propriété : Réciproque du théorème de Thalès

■ C O MMENTAIR E S Cette activité permet de découvrir la réciproque du théorème de Thalès. Les élèves se rendent compte que, seule, l’égalité des rapports ne suffit pas pour conclure que les droites sont parallèles et qu’il faut en plus étudier l’ordre des points. C O RRI G É

A

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

B 1 b) Lorsque les rapports AN et AM sont égaux, les

AC AB droites (MN) et (BC) semblent parallèles.

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AN AM et sont égaux, pourtant les droites AC AB (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. La conjecture faite à la question 1) b) est donc fausse. 2 b) ● Lorsque le point N appartient à la droite (AC) mais pas à la demi-droite [AC), lorsque le point M appartient à la droite (AB) mais pas à la demi-droite [AB), AN AM et sont égaux, et lorsque AC AB alors les droites (MN) et (BC) semblent parallèles. ● Lorsque le point N appartient à la demi-droite [AC), lorsque le point M appartient à la droite (AB) mais pas à la demi-droite [AB), AN AM et lorsque et sont égaux, AC AB alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. ● Finalement, les droites (MN) et (BC) semblent parallèles AN AM lorsque les quotients et sont égaux et lorsque les AC AB points M et N sont « du même côté par rapport au point A  », autrement dit lorsque les points A, M et B puis les points A, N et C sont dans le même ordre. c) Les rapports

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EXERCICES 1 a) Les droites (BC) et (DE) sont sécantes au point A. Les droites (BE) et (CD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : AB AE BE =  =  AC AD CD b) Les droites (IJ) et (LK) sont sécantes au point H. Les droites (IL) et (JK) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : HI HL IL =  =  HJ HK JK 2 a) Les droites (DM) et (RG) sont sécantes au point E. Les droites (DR) et (GM) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : ED ER DR =  =  EM EG MG b) Les droites (SM) et (GC) sont sécantes au point U. Les droites (SG) et (CM) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : US UG SG =  =  UM UC CM 3 a) Les droites (UE) et (AO) sont sécantes au point I. Les droites (OU) et (AE) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : IU IO UO =  =  IE IA AE b) Les droites (OT) et (RY) sont sécantes au point S. Les droites (TY) et (OR) sont perpendiculaires à la même droite (OS), elles sont donc parallèles. D’après le théorème de Thalès : ST SY TY =  =  SO SR OR 4 a) Les droites (CS) et (IR) sont sécantes au point E. Les droites (SR) et (CI) forment avec la sécante (EI) des angles correspondants de même mesure, elles sont donc parallèles. D’après le théorème de Thalès : ES ER SR =  =  EC EI CI b) Dans le triangle ODG, la somme des angles étant égale à 180°, on a : l + GOD l = 180° – (DGO l ) GDO l = 180° – (50° + 70°) GDO l =180° – 120° GDO l = 60° GDO Ainsi, les droites (DG) et (MF) forment aves la sécante (DF) l et OFM l alternes-internes et de même deux angles GDO mesure. Les droites (DG) et (MF) sont donc parallèles. De plus, les droites (GM) et (DF) sont sécantes au point O. D’après le théorème de Thalès : OD OG DG =  =  OF OM FM 5 a) Non, le côté [AI] du triangle IAH ne correspond pas au côté [IM] du triangle IMO. b) Oui. IM MO =  . c) Non, c’est IH AH d) Oui. e) Oui. f) Le segment [MH] n’est pas un côté du triangle IAH, ni du triangle IMO. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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1) Le triangle CAR représente une réduction de rap3 1 , soit du triangle CES. port 12 4 1 1 2) RA =  × ES =  × 4 = 1 cm 4 4 1 RC =  × EC 4 D’où : EC = 4 × RC = 4 × 2,5 = 10 cm. 6

1) Le triangle TIK représente un agrandissement de 3 rapport , soit 3 du triangle ZOT. 1 2) IK = 3 × ZO = 3 × 2,5 = 7,5 cm 1 1 TK = 3 × ZT. Donc : ZT =  × TK =  × 6 = 2 cm. 3 3 7

8 Les droites (SU) et (BO) sont sécantes au point N. De plus, les points S, U et N sont alignés dans le même ordre que les points B, O et N. NU NO Les quotients et  sont : NS NB NU 4 NO 3 =  et =  . NS 5 NB 4 4 3 ≠ ; en effet, 4 × 4 = 16 et 5 × 3 = 15. 5 4 NU NO ≠ . Ainsi, on constate que : NS NB Donc les droites (SB) et (OU) ne sont pas parallèles.  9 Les droites (GK) et (HJ) sont sécantes au point I. De plus, les points G, I et K sont alignés dans le même ordre que les points H, I et J. IK IJ . On calcule les quotients et IG IH IK 2 =  IG 5 IJ 3 6 2 =  = = IH 7,5 15 5 IK IJ Ainsi, on constate que : =  . IG IH Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GH) et (JK) sont parallèles.  10 Les droites (AM) et (BN) sont sécantes au point K. De plus, les points K, A et M sont alignés dans le même ordre que les points K, B et N. KA KB et . On calcule les quotients KM KN KA 1 =  KM 4 KB 1,5 3 1 =  = = KN 6 12 4 KA KB =  . Ainsi on constate que : KM KN Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (MN) sont parallèles.  11 Les droites (CB) et (AE) sont sécantes au point D. Les droites (AC) et (EB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : DE DB EB =  =  DA DC CA 0,7 1,8 EB = =  2,1 DC 4,8 0,7 1,8 Ainsi : = . 2,1 DC CHAP. 12 - THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE

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D’où : DC = 2,1 × 1,8 . 0,7 DC = 5,4 cm 0,7 EB De plus : =  . 2,1 4,8 D’où : EB = 0,7 × 4,8 2,1 EB = 1,6 cm 12 S ∈ [MN], T ∈ [MO] et (ST) // (NO). D’après le théorème de Thalès : MS MT ST =  =  MN MO NO 1,7 1,4 ST = =  6,8 MO 5,2 1,7 1,4 Ainsi : = . 6,8 MO D’où : MO = 6,8 × 1,4 . 2,1 MO = 5,6 cm 1,7 ST De plus : =  . 6,8 5,2 D’où : ST = 1,7 × 5,2 . 6,8 ST = 1,3 cm 13 1) Les droites (AC) et (HG) sont perpendiculaires à la même droite (AB). Elles sont donc parallèles. 2) H ∈ [BA], G ∈ [BC] et (AC) // (HG). D’après le théorème de Thalès : BH BG HG =  =  BA BC AC 2,4 BG GH = =  6 BC 3,5 2,4 GH Ainsi : =  . 6 3,5 D’où : GH = 2,4 × 3,5 = 1,4. 6 GH = 1,4 cm 14 1) a) b) c) et d) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Les droites (PR) et (QT) sont sécantes au point M. Les droites (QP) et (RT) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : MQ MP QP =  =  MT MR TR 1,8 2,4 QP =  = MT 3,6 TR 1,8 2,4 Ainsi : =   . MT 3,6 D’où : MT = 1,8 × 3,6 . 2,4 MT = 2,7 cm 15 Les droites (MB) et (NC) sont sécantes au point A. De plus, les points A, M et B sont alignés dans le même ordre que les points A, N et C. AM AN et  . On calcule les quotients AB AC AM 0,9 9 1 =  = = AB 2,7 27 3 AN 0,8 8 1 =  = = AC 2,4 24 3 AM AN Ainsi on constate que : =   . AB AC Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. 

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16 1) a) b) et c) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Les droites (ES) et (DR) sont sécantes au point F. De plus, les points F, S et E sont alignés dans le même ordre que les points F, R et D. FS FR et  . On calcule les quotients FE FD FS 4,2 42 3 =  = = FE 7 70 5 FR 7,4 74 37 =  = = FD 12 120 60 FS FR Ainsi on constate que : ≠  . FE FD Donc les droites (RS) et (DE) ne sont pas parallèles. 17 Les droites (VW) et (UT) sont sécantes au point O. De plus, les points V, O et W sont alignés dans le même ordre que les points U, O et T. OV OU On calcule les quotients et  . OW OT OV 1,5 15 3 =  = = OW 2 20 4 OU 2,5 25 5 =  = = OT 3,5 35 7 OV OU Ainsi on constate que : ≠  . OW OT Donc les droites (UV) et (WT) ne sont pas parallèles. 18 1) a) b) et c) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Les droites (IJ) et (GK) sont sécantes au point H. De plus, les points I, H et J sont alignés dans le même ordre que les points G, H et K. HI HG et  . On calcule les quotients HJ HK HI 3,6 36 3 =  = = HJ 2,4 24 2 HG 4,5 45 3 =  = = HK 3 30 2 HI HG Ainsi on constate que : =   . HJ HK Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IG) et (KJ) sont parallèles.  19 Les droites (TS) et (UV) sont sécantes au point R. Les droites (TU) et (VS) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : RS RV SV =  =  RT RU TU 4 RV 3,4 = =  9 RU TU 4 3,4 Ainsi : =  . D’où : TU =  9 × 3,4 . 9 TU 4 TU = 7,65 cm 20 1) Les droites (AR) et (SI) sont coupées par la sécante

l et TIS k correspondants (TI) et forment ainsi des angles TRA et de même mesure. Or, si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles. Donc les droites (AR) et (SI) sont parallèles. 2) Les droites (AS) et (RI) sont sécantes au point T. Les droites (AR) et (SI) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : TA TR AR =  =  TS TI SI © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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2,2 4,2 AR = = TS 6,3   5,4 2,2 4,2 Ainsi : = . D’où : TS = 2,2 × 6,3 . TS 6,3 4,2 TS = 3,3 cm 4,2 AR De plus : =  . D’où : AR = 4,2 × 5,4 . 6,3 5,4 6,3 AR = 3,6 cm 21

Schéma disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Les droites (BC) et (ED) sont sécantes au point A. Les droites (BE) et (CD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : AB AE BE =  =  AC AD CD 1,05 AE BE = =  1,65 1,65 0,80 1,05 BE Ainsi : = . D’où : BE = 1,05 × 0,80 . 1,65 0,80 1,65 BE ≈ 0,51 m La longueur de la barre transversale est d’environ 51 cm. 22 Les droites (AC) et (FY) sont sécantes au point P. Les droites (AF) et (YC) sont perpendiculaires à la même droite (AC), elles sont donc parallèles. D’après le théorème de Thalès : PC PY CY =  =  PA PF AF 1,20 PY 1,5 = =  7 PF AF 1,20 1,5 =  . D’où : AF =  7 × 1,5 . Ainsi : 7 AF 1,20 AF = 8,75 m La profondeur des douves de ce château est de 8,75 m. 23 1) Les droites (AH) et (GI) sont sécantes au point B. Les droites (AG) et (HI) sont perpendiculaires à la même droite (AH), elles sont donc parallèles. Le triangle ABG est un agrandissement de rapport 4 du triangle BHI. 2) AG = 4 × HI AG = 4 × 2,1 AG = 8,4 La longueur AG est égale à 8,4 cm. 24 1) Le prisme droit ABCDEF a pour hauteur CF = 4,5 cm. Donc la face latérale ACFD est un rectangle. Ainsi : AD = CF = 4,5 cm. Le solide AIJDLK est un prisme droit de hauteur AD, donc de 4,5 cm. 1 2) Le triangle AIJ est une réduction de rapport du 3 triangle ABC. 1 Donc le segment [AI] est une réduction de rapport du 3 segment [AB]. 1 1 D’où : AI =  × AB =  × 6 = 2 cm. 3 3 1 Le segment [IJ] est une réduction de rapport du segment 3 [BC]. 1 1 D’où : IJ =  × BC =  × 9 = 3 cm. 3 3 25 Les droites (BC) et (DE) sont sécantes au point A. De plus, les points A, B et C sont alignés dans le même ordre que les points A, D et E. AB AD =  . On calcule les quotients AC AE B ∈ [AC], donc AC = AB + BC = 6 + 2 = 8 cm. D ∈ [AE], donc AD = AE – DE = 12 – 3 = 9 cm. AB 6 3 =  = AC 8 4 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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AD 9 3 =  = AE 12 4 AB AD =   . Ainsi on constate que : AC AE Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BD) et (CE) sont parallèles.  26 Les droites (MS) et (RT) sont sécantes au point I. De plus, les points M, I et S sont alignés dans le même ordre que les points R, I et T. IM IR et . On calcule les quotients IS IT IM 3,5 35 7 =  = = IS 6,5 65 13 IR 4 40 8 =  = = IT 7,5 75 15 IM IR ≠  . Ainsi on constate que : IS IT Donc les droites (MR) et (TS) ne sont pas parallèles.  27 1) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Le triangle APM est inscrit dans le cercle (𝒞) de diamètre [AM]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle. Donc le triangle APM est rectangle en P. Ainsi les droites (AP) et (PM) sont perpendiculaires. Le triangle RBM est inscrit dans le cercle (𝒞’) de diamètre [BM]. D’après la même propriété, le triangle RBM est rectangle en R. Ainsi, les droites (BR) et (RM) sont perpendiculaires. Comme les points P, M et R sont alignés, la droite (BR) est perpendiculaire à la droite (PM). Les droites (AP) et (BR) sont perpendiculaires à la même droite (PM), donc elles sont parallèles. 3) Les droites (AB) et (PR) sont sécantes au point M. Les droites (AP) et (BR) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : MP MA AP =  =  MR MB RB M ∈ [AB], donc BM = AB – AM = 10 – 6 = 4 cm. MP 6 3,6 =  =  MR 4 RB 6 3,6 Ainsi : =  . D’où : RB =  4 × 3,6 . 4 RB 6 RB = 2,4 cm 28 ● Les droites (AB) et (CD) sont sécantes au point O. Les droites (AD) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : OA OD AD =  =  (1) OB OC BC ● Les droites (AC) et (BD) sont sécantes au point I. Les droites (AD) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : IA ID AD =  =  (2) IC IB BC AD OA ● D’après (1) : . =  BC OB AD IA D’après (2) : =  . BC IC IA OA On en conclut que : =  . IC OB 29 1) Dans le triangle ADE rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore : DE2 = AD2 + AE2 CHAP. 12 - THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE

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DE2 = 2,72 + 3,62 DE2 = 7,29 + 12,96 DE2 = 20,25 DE = √20,25 DE = 4,5 cm 2) 𝒫(BCDE) = BC + CD + DE + EB 𝒫(BCDE) = BC + CD + 4,5 + EB ● Calcul de la longueur EB : E ∈ [AB]. Donc : EB = AB – AE = 8,4 – 3,6 = 4,8. EB = 4,8 cm ● Calcul des longueurs AC et BC : D ∈ [AC], E ∈ [AB] et (DE) // (CB). D’après le théorème de Thalès : AD AE DE =  =  AC AB CB 2,7 3,6 4,5 =  = AC 8,4 CB 2,7 3,6 Ainsi : =  . D’où : AC = 2,7 × 8,4 . AC 8,4 3,6 AC = 6,3 cm 3,6 4,5 . D’où : CB = 8,4 × 4,5 . De plus : = 8,4 CB 3,6 CB = 10,5 cm ● Calcul de la longueur CD : D ∈ [AC]. Donc : DC = AC – AD = 6,3 – 2,7 = 3,6 cm. DC = 3,6 cm ● Calcul du périmètre du quadrilatère BCDE : 𝒫(BCDE) = 10,5 + 3,6 + 4,5 + 4,8 𝒫(BCDE) = 23,4 cm Le quadrilatère BCDE a un périmètre de 23,4 cm. 30 1) Les points M, I et R sont alignés. Les points M, E et S sont alignés. Les droites (IE) et (RS) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : MI ME IE =  =  MR MS RS x = ME = 5 x + 3 MR 7 x =5. Ainsi : x+3 7 D’où : x × 7 = 5 × (x + 3) 7x = 5x + 15 2) 7x = 5x + 15 7x – 5x = 5x + 15 – 5x 2x = 15 2x 15 =  2 2 x = 7,5 Vérification : ● 7 × 7,5 = 52,5 ● 5 × 7,5 + 15 = 37,5 + 15 = 52,5 7,5 est solution de l’équation 7x = 5x + 15. La longueur MI est égale à 7,5 cm. 31 1) Dans le triangle BHA : BA2 = 402 = 1 600 BH2 + HA2 = 322 + 242 = 1 024 + 576 = 1 600 Ainsi : BA2 = BH2 + HA2. L’égalité de Pythagore est vérifiée, le triangle BHA est rectangle en H. Les droites (BH) et (HA) sont perpendiculaires. Comme les points A, H et C sont alignés  ainsi que les points B, H et M, on en déduit que les droites (BM) et (AC) sont perpendiculaires. 2) Le triangle BHC étant rectangle en H, on peut appliquer le théorème de Pythagore : BC2 = BH2 + HC2 682 = 322 + HC2 HC2 = 682 – 322

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HC2 = 4 624 – 1 024 HC2 = 3 600 HC = √3 600 HC = 60 m 3) ● Les droites (BM) et (AC) sont sécantes au point H. De plus, les points B, H et M sont alignés dans le même ordre que les points C, H et A. HB HC On calcule les quotients et . HM HA HB 32 320 80 5 =  = = = HM 12,8 128 62 2 HC 60 30 5 =  = = HA 24 12 2 HB HC =   . Ainsi on constate que : HM HA Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (AM) sont parallèles.  Comme les points A, M et D sont alignés, on en déduit que les droites (BC) et (AD) sont parallèles. ● On sait que (AB) // (CD) et que (BC) et (AD). Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 32

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

● Le verre a la forme d’un cône de révolution de hauteur [AC]. Donc le triangle ACD est rectangle en C. D’après le théorème de Pythagore, on a : AD2 = AC2 + CD2 132 = AC2 + 52 AC2 = 132 – 52 AC2 = 169 – 25 AC2 = 144 AC = √144 AC = 12 cm ● Le liquide forme un cône de révolution de hauteur [AB]. Le triangle ABE est rectangle en B. Les droites (CD) et (BE) sont perpendiculaires à la même droite (AC), elles sont donc parallèles. De plus, les droites (BC) et (DE) sont sécantes au point A. D’après le théorème de Thalès : AB AE BE =  =  AC AD CD 9 AE BE =  =  12 13 5 9 AE =  . D’où : AE =  9 × 13 . Ainsi : 12 13 12 AE = 9,75 cm. 1 ● 𝒱 (liquide) =  × π × R2 × h 3 1 𝒱 (liquide) =  × π × 52 × 9 3 𝒱 (liquide) =  25 × 3 × 3 × π 3 𝒱 (liquide) = 75π cm3 Le verre contient 75π cm3 de liquide.

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Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Les points B, F et D sont alignés. Les points A, F et C sont alignés. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles (la rétine et le cristallin sont tous les deux perpendiculaires à l’axe optique). D’après le théorème de Thalès : FA FB AB =  =  FC FD CD © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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On note x la longueur AF exprimée en mm. On a : FC = AC – AF = 18 – x. x =  FB =  5,5 . On en déduit que : 18 – x FD 0,5 x =  5,5 . Ainsi : 18 – x 0,5 D’où : 0,5x = 5,5(18 – x) 0,5x = 99 – 5,5x 0,5x + 5,5x = 99 – 5,5x + 5,5x 6x = 99 x = 99 6 x = 16,5 La distance focale AF est égale à 16,5 mm. 34 A 1) BC2 = 72 = 49 AB2 + AC2 = 4,22 + 5,62 = 17,64 + 31,36 = 49 Donc : BC2 = AB2 + AC2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 2) Le quadrilatère APMQ possède 3 angles droits, c’est donc un rectangle. Le quadrilatère APMQ est un rectangle. B 1) On a : – les points B, P et A sont alignés ; – les points B, M et C sont alignés ; – (PM) // (AC) car (PM) et (AC) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (BA). D’après le théorème de Thalès : BP BM PM =  =  BA BC AC BP 2,5 PM =  =  4,2 7 5,6 BP 2,5 =  , d’où BP = 4,2 × 2,5 = 1,5. Ainsi : 4,2 7 7 2,5 PM On a aussi : =  , d’où PM = 2,5 × 5,6 = 2. 7 5,6 7 Donc : BP = 1,5 cm et PM = 2 cm. 2) APMQ est un rectangle donc : 𝒜(APMQ) = AP × PM 𝒜(APMQ) = (4,2 – 1,5) × 2 𝒜(APMQ) = 2,7 × 2 𝒜(APMQ) = 5,4 L’aire du rectangle APMQ est égale à 5,4 cm2. C 1) a) BM = x Le point M appartient au segment [BC] de longueur 7 cm, donc 0 ⩽ x ⩽ 7. b) Lorsque x = 0, le point M est confondu avec le point B. Le rectangle APMQ est réduit à un segment (le segment [AB]). Son aire est égale à 0. Lorsque x = 7, le point M est confondu avec le point C. Le rectangle APMQ est réduit au segment [AC]. Son aire est égale à 0. 2) a) On sait que : – les points B, P et A sont alignés ; – les points B, M et C sont alignés ; – (PM) // (AC). D’après le théorème de Thalès : BP BM PM =  =  BA BC AC BP x PM =  =  4,2 7 5,6 BP x =  . Ainsi : 4,2 7 4,2 × x = 0,6x. D’où : BP =  4,2 × x =  7 7 x PM . On a aussi : =  7 5,6 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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5,6 PM =  x × 5,6 =  × x = 0,8x 7 7 Donc : BP = 0,6x et PM = 0,8x. b) P ∈ [AB]. Donc : AP = AB – BP = 4,2 – 0,6x. AP = 4,2 – 0,6x 3) a) Le rectangle APMQ est un carré lorsque AP =  PM, c’est-à-dire lorsque : 4,2 – 0,6x = 0,8x 4,2 – 0,6x + 0,6x = 0,8x + 0,6x 4,2 = 1,4x 4,2 =x 1,4 3 = x Lorsque x = 3, les longueurs AP et PM sont égales, donc le rectangle APMQ est un carré. b) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

4) 𝒜(x) est l’aire du rectangle APMQ. Donc : 𝒜(x) = AP × PM 𝒜(x) = (4,2 – 0,6x) × 0,8x 𝒜(x) = 4,2 × 0,8x – 0,6x × 0,8x 𝒜(x) = 3,36x – 0,48x2 5) a) Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Par lecture graphique, l’aire du rectangle APMQ est de 3 cm2 lorsque x est environ égal à 1 cm ou à 6 cm. b) Graphique disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Par lecture graphique, l’aire du rectangle APMQ est maximale lorsque x est environ égal à 3,5 cm. Cette aire est environ égale à 5,9 cm2. Le point M est alors le milieu du segment [BC]. 𝒜(3,5) = 3,36 × 3,5 – 0,48 ×3,52 𝒜(3,5) = 11,76 – 5,88 𝒜(3,5) = 5,88 Lorsque M est le milieu de [BC], l’aire du rectangle APMQ est égale à 5,88 m2. 35 1) a) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b) 𝒜(ABC) =  AB × AC 2 𝒜(AMN) =  AM × AN 2 Les droites (BN) et (CM) sont sécantes au point A. Les droites (BM) et (CN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : AB AM BM =  =  AN AC CN AB AM =  . Ainsi : AN AC D’où : AB × AC = AN × AM. On en déduit que : AB × AC =  AM × AN . 2 2 Donc : 𝒜(ABC) = 𝒜(AMN). Les triangles ABC et AMN ont la même aire. 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La démonstration est la même : Les droites (BN) et (CM) sont sécantes au point A. Les droites (BM) et (CN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : AB AM BM =  =  AN AC CN CHAP. 12 - THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE

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AB AM =  . AN AC D’où : AB × AC = AN × AM. On en déduit que : AB × AC =  AN × AM . 2 2 Donc : 𝒜(ABC) = 𝒜(AMN). b) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site Ainsi :

www.hachette-education.com

La démonstration est la même : Les droites (BN) et (CM) sont sécantes au point A. Les droites (BM) et (CN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : AB AM BM =  =  AN AC CN AB AM Ainsi : =  . AN AC D’où : AB × AC = AN × AM. On en déduit que : AB × AC =  AM × AN . 2 2 Donc : 𝒜(ABC) = 𝒜(AMN). 36 ● Les droites (AF) et (BE) sont sécantes au point C. Les droites (BF) et (AE) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : CF CB BF =  =  CA CE AE CF CB 2 =  =  (1) 3 CE AE ● Les droites (AD) et (BE) sont sécantes au point C. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : CA CB BA =  =  CD CE DE 3 CB BA =  =  (2) 6 CE DE CF CB ● D’après (1), on a : =  . 3 CE 3 CB . D’après (2), on a : =  6 CE CF 3 CF 1 On en déduit que : = , c’est-à-dire : = . 3 6 3 2 D’où : CF = 3 × 1 . 2 CF = 1,5 cm 7 × 80 = 7 × 16 × 5 = 35 16 16 La longueur de l’accoudoir rouge est 35 cm.

GE 6 60 10 5 =  =  =  =  GI 3,6 36 6 3 GF 5 =  GH 3 GE GF Ainsi on constate que : =  . GI GH Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (HI) sont parallèles.  40

41

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Les points L, B, A sont alignés ainsi que les points L, P, C. Les droites (CA) et (PB) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite, elles sont donc parallèles. On peut donc utiliser le théorème de Thalès : LP LB PB =  =  LC LA CA PB = 6,7 m – 1,6 m = 5,1 m LA = LB + BA = 30 m + 20 m = 50 m LP 30 5,1 =  =  LC 50 CA 30 5,1 . D’où : CA = 50 × 5,1 = 8,5 m. Ainsi : =  50 CA 30 CA + 1,6 = 8,5 + 1,6 = 10,1 m La hauteur du cerisier est 10,1 m. 42 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Les droites (EM) et (FN) sont sécantes en G. Les droites (MN) et (EF) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : GM GN MN =  =  GE GF EF 2,4 GN MN =  =  9 12 5,4 2,4 GN Ainsi : =  . D’où : GN = 2,4 × 12 . 9 12 9 GN = 3,2 cm 2,4 MN =  . D’où : MN = 2,4 × 5,4 . De plus : 9 5,4 9 MN = 1,44 cm

37

38 Les droites (OR) et (MT) sont sécantes en E. Les droites (OM) et (RT) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : EO EM OM =  =  ER ET RT 5,2 3,9 OM = =  6,4 ET 3,2 5,2 3,9 = , d’où : ET =  6,4 × 3,9 . Ainsi : 6,4 ET 5,2 ET = 4,8 cm 5,2 OM Ainsi : =  , d’où : OM =  5,2 × 3,2 . 6,4 3,2 6,4 OM = 2,6 cm 39 Les droites (EI) et (FH) sont sécantes au point G. De plus, les points E, G et I sont alignés dans le même ordre que les points F, G et H. GE GF On calcule les quotients et . GI GH

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43 Les droites (TD) et (NC) sont sécantes en A. Les droites (NT) et (CD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : AT AN NT =  =  AD AC DC 5 6 4 =  =  7 AC CD 5 6 , d’où : AC = 7 × 6 . Ainsi : =  7 AC 5 AC = 8,4 cm 44 1) Les droites (DG) et (KA) sont sécantes au point N. De plus, les points D, G et N sont alignés dans le même ordre que les points K, A et N. NG NA On calcule les quotients et . ND NK NG 3,5 35 7 =  = = ND 4,5 40 8 NA 4,2 42 7 =  = = NK 5,4 54 9 NG NA Ainsi, on constate que : ≠ . ND NK © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Donc les droites (DK) et (GA) ne sont pas parallèles.  2) Les droites (GL) et (AU) sont sécantes au point N. De plus, les points G, N et L sont alignés dans le même ordre que les points A, N et U. NG NA On calcule les quotients et . NL NU NG 3,5 35 7 =  = = NL 1,5 15 3

JE FAIS LE POINT

56 1) Dans le triangle JKL, le côté le plus long est [JK]. JK2 = 62 = 36 JL2 + KL2 = 3,62 + 4,82 = 12,96 + 23,04 = 36 On constate que : JK2 = JL2 + KL2. L’égalité de Pythagore est vérifiée. Donc le triangle JKL est rectangle en L. 2) Le triangle IJM est inscrit dans le cercle (𝒞) de diamètre [IJ]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle. Donc le triangle IJM est rectangle en M. 3) Les droites (IK) et (LM) sont sécantes en J. Les droites (IM) et (LK) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à la même droite (IK). D’après le théorème de Thalès : JL JK LK =  =  JM JI IM 3,6 6 4,8 =  =  JM 9 IM

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NG NA =  . NL NU Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GA) et (UL) sont parallèles.  Ainsi on constate que :

Les exercices 45 à 54 sont corrigés à la page 309 du manuel élève.

55 1) Le point T est sur le segment [VE]. Donc : TE = VE – VT. Comme BREV est un rectangle, VE = BR = 13 cm. D’où : TE = 13 – 9,6. TE = 3,4 cm l est droit. 2) Comme BREV est un rectangle, l’angle BVT Le triangle BVT est rectangle en V, d’après le théorème de Pythagore : BT2 = BV2 + VT2 BT2 = 7,22 + 9,62 BT2 = 51,84 + 92,16 BT2 = 144 BT = √144 BT = 12 cm 3) ● BREV est un rectangle, donc les droites (BV) et (RE) sont perpendiculaires à la droite (VE). Comme le point N appartient à la droite (RE), la droite (EN) est perpendiculaire à la droite (VE). Ainsi, les droites (BV) et (EN) sont perpendiculaires à la même droite (VE), elles sont donc parallèles. ● Les droites (BN) et (VE) sont sécantes en T. Les droites (BV) et (EN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : TB TV BV =  =  TN TE EN 12 9,6 7,2 =  =  TN 3,4 EN 12 9,6 =  . Ainsi : TN 3,4 D’où : TN =  12 × 3,4 . 9,6 TN = 4,25 cm

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

NA 4,2 42 7 =  =  =  NU 1,8 18 3

3,6 6 =  . D’où : JM =  3,6 × 6 . JM 9 9 JM = 2,4 cm

Ainsi :

57 1) Question : Calculer la longueur AR. Réponse : AR = AR – OA AR = 6,84 – 3,8 AR = 3,04 cm 2) Question : Calculer la longueur OK. Réponse : Les droites (OA) et (KS) sont sécantes en R. Les droites (SA) et (OK) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : RA RS AS =  =  RO RK OK 3,04 RS 5 =  =  6,84 7,2 OK 3,04 5 Ainsi : =  . D’où : OK =  5 × 6,84 . 6,84 OK 3,04 OK = 11,25 cm 3) Question : En déduire le périmètre du triangle ROK. Réponse : 𝒫(ROK) = RK + OK + OR 𝒫(ROK) = 7,2 + 11,25 + 6,84 𝒫(ROK) = 25,29 Le périmètre du triangle ROK est 25,29 cm. 58

Schéma disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Les droites (MN) et (BC) sont sécantes au point H. De plus, les points H, M et N sont alignés dans le même ordre que les points H, B et C. HM HB On calcule les quotients et . HN HC HM 0,8 8 2 =  = = HN 2 20 5 HB 1,6 16 4 2 =  = = = HC 4 40 10 5 HM HB Ainsi, on constate que : =  . HN HC Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BM) et (CN) sont parallèles.  Les deux échelles sont donc parallèles. 59 1) Les points O, D et E sont alignés ainsi que les points O, B et C. Les droites (BD) et (CE) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : OB OD BD =  =  OE OE CE 7,2 6 BD =  =  10,8 OE 5,1 CHAP. 12 - THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE

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7,2 6 =  . D’où : OE =  10,8 × 6 . 10,8 OE 7,2 OE = 9 cm 7,2 BD On a aussi : =  . D’où : BD = 7,2 × 5. 10,8 5,1 10,8 BD = 3,4 cm 2) Les droites (BG) et (DF) sont sécantes au point O. De plus, les points B, O et G sont alignés dans le même ordre que les points D, O et F. OB OD et . On calcule les quotients OG OF OB 7,2 72 9 =  = = =3 OG 2,4 24 3 OD 6 =  = 3 OF 2 OB OD =  . Ainsi, on constate que : OG OF Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BD) et (FG) sont parallèles.  Ainsi :

60 1) Les points P, C et M sont alignés ainsi que les points P, T et W. Les droites (CT) et (MW) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : PC PT CT =  =  PM PW MW 3,78 PT CT =  =  4,2 PW 3,4 3,78 CT =  . D’où : CT =  3,78 × 3,4 . Ainsi : 4,2 3,4 4,2 CT = 3,06 m Si la droite (CT) était parallèle à la droite (MW), la longueur de la couture serait 3,06 m. 2) Les droites (CM) et (TW) sont sécantes au point P. De plus, les points P, C et M sont alignés dans le même ordre que les points P, T et W. PC PT et . On calcule les quotients PM PW PC 3,78 378 =  = 378 × 230 = 86 940 PM 4,2 420 420 × 188 = 78 960 PT 1,88 188 =  = PW 2,30 230 Ainsi, on constate que : 378 × 230 ≠ 420 × 188. PC PT On en déduit que : ≠ . PM PW Donc les droites (CT) et (MW) ne sont pas parallèles.  La couture n’est pas parallèle à la droite (MW). 61 1) et 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) a) Dans le cas où BC =  CD, l’aire du triangle CDE semble égale à l’aire du triangle ABC. 1 b) Dans le cas où CD =  BC, l’aire du triangle CDE ne 2 semble pas être la moitié de l’aire du triangle ABC. L’aire du triangle CDE semble être égale au quart de celle du triangle ABC. c) Lorsque l’on multiplie par 3 les longueurs des côtés du triangle ABC, l’aire du triangle ABC semble être multipliée par 9. 62 1) 2) et 3) a) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) b) Les aires des triangles ACE et ACF semblent égales. c) Cette conjecture reste vraie lorsque l’on déplace le point E sur la droite (AB). 63 1)

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Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) a) Les droites (AE) et (CF) sont sécantes au point B. De plus, les points A, E et B sont alignés dans le même ordre que les points C, F et B. BE BF et . On calcule les quotients BA BC BE 9 =  = 0,9 BA 10 BF 4,5 =  = 0,9 BC 5 BE BF Ainsi, on constate que : =  . BA BC Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AC) sont parallèles.  b) De la même façon, en utilisant la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle ADC, on montre que les droites (HG) et (AC) sont parallèles. On sait que  les droites (EF) et (HG) sont parallèles à la même droite (AC). On conclut que les droites (EF) et (HG) sont parallèles. c) En raisonnant de la même façon qu’aux questions a) et b) : ● On utilise la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle ABD pour montrer que les droites (IJ) et (BD) sont parallèles. ● On utilise la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle BCD pour montrer que les droites (KL) et (BD) sont parallèles. ● On constate que les droites (IJ) et (KL) sont parallèles à la même droite (BD). On conclut alors que les droites (IJ) et (KL) sont parallèles. 3) a) ● On sait que : (EF) // (HG). Comme les points M et N appartiennent à la droite (EF) et que les points P et O appartiennent à la droite (HG), on a : (MN) // (PO). ● On sait que : (IJ) // (KL). Comme les points M et P appartiennent à la droite (IJ) et que les points N et O appartiennent à la droite (KL), on a : (MP) // (NO). ● Le quadrilatère MNOP est tel que  : (MN) // (PO) et (MP) // (NO). Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. Donc le quadrilatère MNOP est un parallélogramme. b) ● Les droites (EI) et (FL) sont sécantes au point B. De plus, les points E, I et B sont alignés dans le même ordre que les points F, L et B. BI BL On calcule les quotients et  . BE BF BI 1 =  BE 9 BL 0,5 5 1 =  = = BF 4,5 45 9 BI BL Ainsi, on constate que : =  . BE BF Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IL) et (EF) sont parallèles. ● Les points M et N appartiennent à la droite (EF), donc (IL) // (MN). (IJ) // (KL), M ∈ (IJ), N ∈ (KL). Donc : (MI) // (NL). ● Le quadrilatère IMNL est tel que  : (IL) // (MN) et (MI) // (NL). Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. Donc le quadrilatère IMNL est un parallélogramme. c) IMNL est un parallélogramme. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont de même longueur. Donc : MN = IL. d) ● De la même façon, on montre que les droites (HE) et (IJ) sont parallèles en utilisant la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle AIJ. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Comme P ∈ (IJ) et M ∈ (IJ), on en déduit que (HE) // (PM). (EF) // (HG), M ∈ (EF) et P ∈ (HG). Donc (EM) // (HP). ● Le quadrilatère HEMP est un parallélogramme car (HE) // (PM) et (EM) // (HP). On en déduit que : PM = EH. e) EH est la longueur de l’hypoténuse du triangle AEH rectangle en A dont les côtés de l’angle droit mesurent 1 cm et 0,5 cm. IL est la longueur de l’hypoténuse du triangle IBL rectangle en B dont les côtés de l’angle droit mesurent aussi 1 cm et 0,5 cm. Donc : EH = IL. f) ● D’après c), MN = IL. D’après d), PM = EH. D’après e), EH = IL. On en conclut que : MN = PM. ● Le quadrilatère MNOP est un parallélogramme tel que PM = MN. Or, si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange. Donc MNOP est un losange. ●

64 1) Le triangle AIO est rectangle en I. D’après le théorème de Pythagore :

AO2 = AI2 + IO2 AO2 = 12,82 + 142 AO2 = 163,84 + 196 AO2 = 359,84 AO = √359,84 AO ≈ 19 m 2) a) Les droites (AD) et (IJ) sont sécantes en O. Les droites (AI) et (JD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : OA OI AI =  =  OD OJ JD K ∈ [OJ], donc OJ = OK + KJ. OJ = 2 × 14 + 3,50 = 31,5 m 19 14 12,8  ≈ = OD 31,5 JD 19 14 Ainsi :  ≈ . D’où : OD ≈ 19 × 31,5 . OD 31,5 14 OD ≈ 42,75 m La longueur OD est environ égale à 42,75 m. b) A, O et D sont alignés. AD = AO + OD AD ≈ 19 + 42,75 AD ≈ 61,75 m La longueur du câble [AD] est d’environ 61,75 m.

Exercices d’évaluation du socle commun 1 Les droites (TG) et (PN) se coupent au point A. Les droites (TP) et (GN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : AT AP TP =  =  AG AN GN 6 4 TP =  =  7,5 AN GN 6 4 . Ainsi : =  7,5 AN D’où : AN =  7,5 × 4 . 6 AN = 5 cm 2 Les droites (JM) et (IL) sont sécantes au point K. De plus, les points J, M et K sont alignés dans le même ordre que les points I, L et K.

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KM KL On calcule les quotients et  . KJ KI KM 13 1 =  = KJ 39 3 KL 10 1 =  = KI 30 3 KM KL Ainsi, on constate que : =  . KJ KI Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IJ) et (LM) sont parallèles. 3 Les droites (CD) et (AB) sont perpendiculaires à la même droite (OC). Or, si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, alors elles sont parallèles. Donc les droites (CD) et (AB) sont parallèles. De plus, les points O, A et C sont alignés  ainsi que les points O, B et D. On peut alors utiliser le théorème de Thalès.

CHAP. 12 - THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE

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A P I TR H

C

E

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Trigonométrie dans le triangle rectangle

PROGRAMME Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES Triangle rectangle, relations trigonométriques

– de l’angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente.

■ Commentaires

CAPACITÉS Connaître et utiliser les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux des côtés d’un triangle rectangle. ● Déterminer, à l’aide de la calculatrice, des valeurs approchées : – du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné ; ●

La définition du cosinus a été vue en classe de Quatrième. Le sinus et la tangente d’un angle aigu sont introduits comme rapports de longueurs. Les formules suivantes sont à démontrer : cos2 j A + sin2 j A = 1 sin j A . et tan j A =  cos j A La seule unité utilisée est le degré décimal.

Socle commun des connaissances ● Effectuer des constructions simples en utilisant : – des outils (instruments de dessin, logiciels) ; – des définitions, des propriétés (en acte et sans nécessité d’indiquer ou de justifier la méthode choisie).

● Utiliser les propriétés d’une figure et les théorèmes de géométrie pour traiter une situation simple. ● Raisonner logiquement, pratiquer la déduction, démontrer.

Indications pour l’évaluation en situation

Indications pour l’évaluation en situation

Les tracés doivent pouvoir être réalisés sur papier uni ou support informatique. Les exigences sont celles du cycle central et portent en outre sur : – l’agrandissement ou la réduction d’une figure ; – la représentation d’une sphère et de certains de ses grands cercles.

Les supports sont des configurations immédiatement lisibles ; les raisonnements ne font pas l’objet d’une mise en forme écrite. L’exigence porte sur la capacité à mobiliser une propriété pour élaborer une déduction simple. L’évaluation s’effectue oralement ou en situation, sans exigence particulière de formulation des justifications.

Capacités des programmes des classes antérieures Triangle rectangle : cosinus d’un angle Utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d’un angle aigu et les longueurs des côtés adjacents. ●

● Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée : – du cosinus d’un angle aigu donné ; – de l’angle aigu dont le cosinus est donné.

Programme de la classe de Seconde > CONNAISSANCES

■ Commentaires

« Enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique et «  définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel »

On fait le lien avec la trigonométrie du triangle rectangle vue au collège. La notion de radian n’est pas exigible.

CAPACITÉS On fait le lien avec les valeurs des sinus et cosinus des angles de 0°, 30°, 45°, 60° et 90°. ●

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Commentaires des auteurs ➜ Le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle a été introduit en classe de Quatrième. Le sinus et la tangente sont introduits en classe de Troisième. La trigonométrie au collège s’étudie dans un triangle rectangle et ne concerne donc que les angles aigus. Le cercle trigonométrique sera étudié en Seconde ainsi que la notion d’angle orienté.

➜ Les calculatrices utilisent des notations (cos– 1 ; arccos...) pour déterminer la mesure d’un angle dont on connaît le cosinus ou le sinus ou la tangente. Ces notations ne sont pas au programme du collège. ➜ Les valeurs exactes du cosinus, sinus et tangente d’un angle de 30°, 45° ou 60° ne sont pas exigibles, mais seront découvertes en exercice (exercices 40 et 41).

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O M M E NTAIR E S Cette activité porte sur les instruments de mesure du qui utilisaient la trigonométrie. Les élèves sont amenés à faire des recherches sur ces divers instruments et à proposer une définition du mot « trigonométrie ».

XVIe siècle

C O RRI G É 1) ● Usage d’un quadrant : instrument de navigation qui permettait de se repérer grâce aux astres célestes.

1

JE DÉCOUVRE LE VOCABULAIRE

Objectif

Découvrir le côté opposé à un angle aigu dans un triangle rectangle.

Prérequis

Vocabulaire du triangle rectangle : hypoténuse, côté adjacent...

Paragraphe introduit

Cette activité a pour but de mettre en place le vocabulaire nécessaire à l’utilisation des définitions du cosinus, du

C ORRIGÉ

1 a)

Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle en utilisant le cosinus d’un angle aigu.

Prérequis

Égalité des produits en croix

Paragraphe introduit

@ Cosinus, sinus, tangente d’un angle aigu

■ C O M M E NTAIR E S Cette activité permet de revoir l’utilisation du cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle pour pouvoir calculer la longueur de l’hypoténuse.

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Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b) Le côté [FP] de ce triangle est l’hypoténuse. l est [FO]. 2 a) Le côté adjacent à l’angle OFP b) Le côté non coloré est le côté [OP], c’est le côté opposé l à l’angle OFP.

J’UTILISE LE COSINUS D’UN ANGLE AIGU

Objectif

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sinus et de la tangente d’un angle aigu d’un triangle rectangle.

! Vocabulaire

■ C O M M E NTAIR E S

2

Il permettait de mesurer la hauteur d’un astre au-dessus de l’horizon. Le navigateur pouvait en déduire la latitude de l’endroit où il se trouvait. ● Usage d’un torquetum : instrument de mesure astronomique médiéval. Le torquetum permettait de calculer la position de corps célestes et de fixer l’heure et la date. ● Usage d’un cadran de berger  : cadran solaire portatif. Il permettait de donner l’heure. ● Usage d’un cadran polyédrique : cadran solaire ayant la forme d’un solide de l’espace à plusieurs faces. 2) Trigonométrie : trouver des mesures dans un triangle.

JE REVOIS C ORRIGÉ

1 Manuel ne parviendra pas à calculer la longueur ES. En effet, pour pouvoir utiliser l’égalité de Pythagore, cet élève doit connaître les longueurs de deux côtés. Ici, il n’en connaît qu’une. 2 Calcul de la longueur ES : l = RS . Dans le triangle RES, rectangle en R, on a : cos (ESR) ES 5 5 Ainsi, cos(32°) = . D’où : ES =  . ES cos (32°) ES ≈ 5,9 cm

CHAP. 13 - TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

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3

J’ÉTUDIE UN QUOTIENT QUI DÉPEND D’UN ANGLE AIGU

Objectif

Découvrir que dans un triangle rectangle, le quotient de la longueur du côté opposé à un angle aigu par la longueur de l’hypoténuse ne varie qu’en fonction de la mesure de l’angle (ou que le quotient de la longueur du côté opposé à un angle aigu par la longueur de son côté adjacent ne varie qu’en fonction de la mesure de l’angle).

Prérequis Paragraphe introduit

—

@ Cosinus, sinus, tangente d’un angle aigu

■ C O MMENTAIR E S Cette activité prépare à l’activité 4 dans laquelle seront définis le sinus et la tangente d’un angle aigu. Elle est réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra (feuille de dessin et tableur).

4

C ORRIGÉ Pour cette activité, on utilise le logiciel de géométrie GeoGebra. 4 a) Le quotient DE varie lorsque l’on déplace le point C. BD Dans ce cas, la mesure de l’angle vert varie. DE b) Le quotient ne varie pas lorsque l’on déplace BD uniquement le point D. Dans ce cas, la mesure de l’angle vert ne varie pas non plus.

JE DÉFINIS LE SINUS ET LA TANGENTE D’UN ANGLE AIGU

Objectif

Définir le sinus et la tangente d’un angle aigu.

Prérequis

● ●

Paragraphe introduit

Le théorème de Thalès Égalité des produits en croix

@ Cosinus, sinus, tangente d’un angle aigu

■ C O MMENTAIR E S Cette activité permet de démontrer la conjecture établie dans l’activité 3 et de définir le sinus et la tangente d’un angle aigu. C O RRI G É

1 Le triangle BED est rectangle en E. Le triangle BE1D1 est rectangle en E1. Les droites (ED) et (E1D1) sont perpendiculaires à la même droite (BE), donc elles sont parallèles. On a : les points B, E et E1 sont alignés, les points B, D et D1 sont alignés, et (ED) // (E1 D1). D’après le théorème de Thalès, on peut écrire : BE BD ED = = BE1 BD1 ED1

5

Elle ne porte que sur l’étude d’un quotient dans un triangle rectangle dont on considère un angle aigu : le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de son hypoténuse. On fait comprendre à l’élève que ce quotient ne dépend pas de la longueur des côtés du triangle, mais de la mesure de l’angle considéré.

2 a) Dans le triangle BED rectangle en E, le côté opposé l est [ED]. à l’angle EBD L’hypoténuse de ce triangle est [BD]. b) Dans le triangle BE1D1 rectangle en E1, le côté opposé à l est [E1D1]. l’angle EBD L’hypoténuse de ce triangle est [BD1]. BD ED = . c) On a : BD1 ED1 D’où les produits en croix sont égaux. Ainsi : BD × E1D1 = ED × BD1. Je divise chaque membre par BD × BD1 . BD × E1D1 ED × BD1 On obtient : = BD × BD1 BD × BD1 ED ED Soit encore : 1 1 = . BD1 BD 3 a) Dans le triangle EBD, le côté [DE] est le côté opposé l à l’angle EBD. l Le côté [EB] est le côté adjacent à l’angle EBD. BE ED b) On a : = . BE1 E1D1 D’où les produits en croix sont égaux. Ainsi : BE × E1D1 = ED × BE1 . Je divise chaque membre par BE × BE1 . BE × E1D1 ED × BE1 On obtient : = . BE × BE1 BE × BE1 ED ED . Soit encore : 1 1 = BE1 BE

JE DÉMONTRE DES RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Objectif

Découvrir des relations entre le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu.

Prérequis

Égalité de Pythagore

Paragraphe introduit

$ Relations trigonométriques

■ C O MMENTAIR E S

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C ORRIGÉ

1 Le triangle ABC est rectangle en B, d’où l’égalité de Pythagore est vérifiée. On a : AB2 + BC2 = AC2. 2 Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : l = AB . sin (BAC) l = BC cos (BAC) AC AC 3 a) Ainsi : 2 2 2 2 l ]2 + [sin (BAC) l ]2 = AB + BC = AB + BC [cos (BAC) AC2 AC2 AC2 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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b) Or, on a vu dans la question 1 que : AB2 + BC2 = AC2. 2 2 2 l ]2 + [sin (BAC) l ]2 = AB + BC = AC = 1. Ainsi : [cos (BAC) 2 2 AC AC BC

4 a)

l sin (BAC)

=

l cos (BAC)

AC BC AC BC = × = AB AC AB AB AC

b) Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : l =  BC tan (BAC) AB l sin (BAC) l Donc : = tan (BAC). l cos (BAC)

EXERCICES 1 1) Son hypoténuse est le segment [RC]. l le côté adjacent  est le segment 2) a) Pour l’angle ORC, [OR]. l le côté opposé est le segment [OC]. b) Pour l’angle ORC, l le côté adjacent est le segment 3) a) Pour l’angle OCR, [OC]. l le côté opposé est le segment [OR]. b) Pour l’angle OCR,

La longueur du côté signalé par ? est notée « L? ». 3 3 a) sin (40°) = d’où : L? =  . L? sin (40°) L? b) cos (51°) = d’où : L? = 5,2 × cos (51°). 5,2 1 1 c) tan (24°) = d’où : L? =  . L? tan (24°)

2 1) a) L’hypoténuse du triangle EFG est le segment [FG]. l est b) Dans le triangle EFG, le côté adjacent à l’angle EGF le segment [EG]. l est le c) Dans le triangle EFG, le côté opposé à l’angle EGF segment [EF]. 2) a) L’hypoténuse du triangle EGH est le segment [EG]. l b) Dans le triangle EGH, le côté adjacent à l’angle EGH est le segment [GH]. l est c) Dans le triangle EGH, le côté opposé à l’angle EGH le segment [EH]. l 3) a) Le côté [EH] représente le côté opposé à l’angle EFH dans le triangle EFH. l b) Le côté [EH] représente le côté adjacent à l’angle HEG dans le triangle EGH.

d) 5,62 = L?2 + 3,42

3

k = a) cos (PLI)

PI LI k = LI e) sin (LPI) PL

k = c) tan (PLI)

LI LP

PI LP k = PI d) cos (LPI) PL k = LI f) tan (LPI) PI

k = b) sin (PLI)

1) a) Dans le triangle RIN rectangle en I, on a : RI RN b) Dans le triangle ERI rectangle en E, on a : l = ER cos (NRI) RI 2) a) Dans le triangle RIN rectangle en I, on a : l = NI sin (NRI) RN l = EI . Dans le triangle ERI rectangle en E, on a : sin (NRI) RI b) Dans le triangle RIN rectangle en I, on a : l = NI tan (NRI) RI l = EI . Dans le triangle ERI rectangle en E, on a : tan (NRI) RE 4

l = cos (NRI)

a) Dans le triangle NIE rectangle en E, on a : l = NE sin (NIE) NI b) Dans le triangle NIE rectangle en E, on a : l = EI tan (ENI) EN c) Dans le triangle ERI rectangle en E, on a : l = EI cos (EIR) RI 5

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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6

d’où : L? = √5,62 – 3,42 .

7 a) Égalité fausse car le cosinus d’un angle aigu n’a pas d’unité : c’est un rapport de longueurs. b) Égalité fausse car le sinus d’un angle aigu est un nombre strictement inférieur à 1. c) Égalité fausse car la tangente d’un angle aigu est un nombre strictement positif. d) Égalité fausse car la tangente d’un angle aigu n’a pas d’unité : c’est un rapport de longueurs. 8 1) [cos (a)]2 = 0,82 = 0,64 2) [cos (a)]2 + [sin (a)]2 = 1 D’où : [sin (a)]2 = 1 – [cos (a)]2 = 1 – 0,64 = 0,36. 3) Le sinus d’un angle aigu est nombre positif donc : sin (a) = √0,36 = 0,6 sin (a) 0,6 3 4) tan(a) =  = = cos (a) 0,8 4 Le triangle RTI est rectangle en R. k = TR cos (RTI) TI 5 cos (40°) = TI cos (40°) 5 = d’où : TI =  5 × 1 . 1 TI cos (40°) À l’aide de la calculatrice, on a : TI ≈ 6,52 cm. L’arrondi au millimètre près de la longueur TI est 6,5 cm. 9

10 Le triangle FAR est rectangle en A. l = FA sin (FRA) FR 3,5 sin (43°) = FR sin (43°) 3,5 = d’où : FR =  3,5 × 1 . 1 FR sin (43°) À l’aide de la calculatrice, on a : FR ≈ 5,13 cm. L’arrondi au millimètre près de la longueur FR est 5,1 cm. 11 Le triangle NOP est rectangle en O. l = OP tan (ONP) ON OP d’où : OP = 5,6 × tan (20°). tan (20°) = 5,6 À l’aide de la calculatrice, on a : OP ≈ 2,03 cm. L’arrondi au millimètre près de la longueur OP est 2 cm. CHAP. 13 - TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

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12 Le triangle ABC est rectangle en C. l = BC cos (ABC) BA BC cos (27°) = 7 BC = 7 × cos (27°) À l’aide de la calculatrice, on a : BC ≈ 6,23 cm. L’arrondi au millimètre près de la longueur BC est 6,2 cm. 13 Le triangle SUO est rectangle en U. l = OU tan (OSU) US 4,7 tan (48°) = US 4,7 . US × tan (48°) = 4,7 d’où : US =  tan (48°) À l’aide de la calculatrice, on a : US ≈ 4,23 cm. L’arrondi au millimètre près de la longueur US est 4,2 cm. 14 Le triangle EFG est rectangle en G. l = EG sin (EFG) EF EG sin (30°) = 5,8 EG = 5,8 × sin (30°) À l’aide de la calculatrice, on a : EG = 2,9 cm. 15 1) Le triangle FNT est rectangle en T. l = NT sin (NFT) NF NT sin (18°) = 6,7 NT = 6,7 × sin (18°) À l’aide de la calculatrice, on a : EG ≈ 2,07 cm. L’arrondi au millimètre près de la longueur NT est 2,1 cm. 2) Le triangle FNT est rectangle en T. l = FT cos (NFT) NF FT cos (18°) = 6,7 FT = 6,7 × cos (18°) À l’aide de la calculatrice, on a : FT ≈ 6,37 cm. L’arrondi au millimètre près de la longueur FT est 6,4 cm. 16 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Le triangle CHM est rectangle en H. l = CH sin (CMH) CM CH sin (52°) = 2,3 CH = 2,3 × sin (52°) À l’aide de la calculatrice, on a : CH ≈ 1,81 cm. L’arrondi au millimètre près de la longueur CH est 1,8 cm. 17 Dans le triangle EFG rectangle en G : l ) = GF tan (GEF GE l ) = 5,3 tan (GEF 2,4 l ≈ 66°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : GEF 18 Dans le triangle BCE rectangle en E : l = CE sin (CBE) CB 2,5 l sin (CBE) = 5,2 l ≈ 29°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : CBE

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19 Dans le triangle CIL rectangle en I : k = LI cos (CLI) LC k = 4,5 cos (CLI) 6 k ≈ 41°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : CLI 20 Le triangle BAN est rectangle en A tel que BA = 3,9 cm et AN = 9 cm. 1) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Dans le triangle BAN rectangle en A : l ) = AN tan (ABN AB 9 l tan (ABN ) = 3,9 l ≈ 67°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : ABN 21 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Dans le triangle KOP rectangle en P : l = OP sin (OKP) OK 2 l sin (OKP) = 4,8 l ≈ 25°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : OKP 22 1) Dans le triangle IPR, on a : RI2 = 12,482 = 155,750 4 PR2 + PI2 = 4,82 + 11,522 = 23,04 + 132,710 4 = 155,750 4 RI2 = PR2 + PI2 On a l’égalité de Pythagore donc le triangle IPR est rectangle en P. 2) Dans le triangle IPR rectangle en P : k ) = PR tan (PIR PI k ) = 4,8 tan (PIR 11,52 k ≈ 23°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : PIR 23 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) a) Le quadrilatère COTE est un losange de centre I. Or les diagonales d’un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu. Donc (CI) et (IO) sont perpendiculaires. D’où, le triangle CIO est rectangle en I. De plus, I est le milieu de [CT], donc : CT 6 = = 3 cm CI =  2 2 Dans le triangle CIO rectangle en I : l = CI cos (ICO) CO l = 3 cos (ICO) 4,6 l ≈ 49°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : ICO b) Le quadrilatère COTE est un losange. Or les diagonales d’un losange sont des axes de symétrie du losange. l l = ICO. Donc : ECI l = ICO l × 2 ≈ 49° × 2 ≈ 98°. Donc : ECO 24 Le triangle JKL est inscrit dans le cercle de diamètre [KL]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle. Donc le triangle JKL est rectangle en J. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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JL KL l = 5,6 sin (JKL) 8 À l’aide de la calculatrice, on obtient : l JKL ≈ 44°.

l = sin (JKL)

25 Un triangle FIJ est rectangle en I. 1) a) Son hypoténuse est le segment [FJ]. k est le segment [FI]. b) Le côté adjacent à l’angle IFJ FI k) = c) cos (IFJ FJ k est le segment [IJ]. 2) a) Le côté opposé à l’angle IFJ IJ k) = b) sin (IFJ FJ k ) = IJ 3) tan (IFJ IF 26 a)

●

Dans le triangle ART rectangle en A :

l = RA cos (TRA)

RT l = RH . Dans le triangle ARH rectangle en H : cos (TRA) RA l = TA  . b) ● Dans le triangle ART rectangle en A : sin (TRA) TR AH l =  . ● Dans le triangle ARH rectangle en H : sin (TRA) AR AR l ● . c) Dans le triangle ART rectangle en A : tan (ATR) = AT l = AH . ● Dans le triangle ATH rectangle en H : tan (ATR) HT ●

27 Le triangle FOS est rectangle en O. l = OS tan (OFS) OF OS d’où : OS = 50 × tan (35°). tan (35°) = 50 À l’aide de la calculatrice, on a : OS ≈ 35,0103 m. L’arrondi au centimètre près du dénivelé du tremplin de saut à ski est de 35,01 m. 28 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Soit A le bas de la rampe et C le haut de la rampe. Soit B le point situé à la verticale du sommet de la rampe et à la même altitude que le pied de la rampe. Le triangle ABC ainsi formé est rectangle en B. 2) Dans le triangle ABC rectangle en B : l = BC sin (BAC) CA BC sin (22°) = 120 BC = 120 × sin (22°) À l’aide de la calculatrice, on a : BC ≈ 44,95 m. L’arrondi au mètre près de la différence d’altitude entre le haut et le bas de la rampe est de 45 m. 29 1) Dans le triangle ABD rectangle en A : l = AB = 5 cos (ABD) BD 6,2 l ≈ 36°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : ABD 2) Dans le triangle BCD rectangle en C : l = CD = 3,4 sin (DBC) BD 6,2 l ≈ 33°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : DBC 30 Arc-boutant gothique dans le triangle ADE rectangle en A : l ) = EA = 6,6 tan (EDA DA 3,8 l ≈ 60°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : EDA © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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31 On donne : cos (a) = 0,8. On sait que pour tout angle aigu a, on a : [cos (a)]2 + [sin (a)]2 = 1 0,82 + [sin (a)]2 = 1 [sin (a)]2 = 1 – 0,64 [sin (a)]2 = 0,36 Le sinus d’un angle aigu est un nombre positif donc : sin (a) = √0,36 sin (a) = 0,6 4 32 On donne : sin (a) =  . 5 On sait que pour tout angle aigu a, on a : [cos (a)]2 + [sin(a)]2 = 1 [cos (a)]2 +  4 = 1 5 [cos (a)]2 = 1 – 16 25 [cos (a)]2 =  9 25 Le cosinus d’un angle aigu est un nombre positif donc : 9 cos (a) =  25 3 cos (a) =  5

()

√

√ 33 On donne : cos(a) =  5 . 3 On sait que pour tout angle aigu a, on a : [cos (a)]2 + [sin (a)]2 = 1 √5 2 + [sin (a)]2 = 1 3 5 [sin(a)]2 = 1 – 9 4 [sin(a)]2 =  9 Le sinus d’un angle aigu est un nombre positif donc : 4 sin (a) =  9 2 sin (a) =  3 sin (a) Or tan (a) =  . cos (a) 2 3 2 3 2 = . Donc : tan (a) = = × √5 3 √5 √5 3

( )

√

34 [cos (a) + sin (a)]2 = [cos (a)]2 + 2 × cos (a) × sin(a) + [sin(a)]2 = [cos (a)]2 + [sin(a)]2 + 2 × cos(a) × sin(a) Or, on sait que pour tout angle aigu a, on a : [cos(a)]2 + [sin(a)]2 = 1 Donc : [cos (a) + sin (a)]2= 1 + 2 × cos (a) × sin (a) 2 2 [tan(a)]2 + 1 = sin (a) + [cos (a)]2 cos (a) [cos (a)] [ sin (a)]2 [cos (a)]2 = + [cos (a)]2 [cos (a)]2 [sin (a)]2 + [cos (a)]2 = [cos (a)]2

35

[

]

Or, on sait que pour tout angle aigu a, on a : [cos (a)]2 + [sin (a)]2 = 1 Donc : 1 [tan (a)]2 + 1 = [cos (a)]2 36 1) ABCDEFGH est un pavé droit, donc toutes les faces sont des rectangles. CHAP. 13 - TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

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Donc : CG = AE = 3 cm et FG = AD = 2 cm. Donc, dans le triangle CFG rectangle en G, d’après le théorème de Pythagore, on a : CF2 = FG2 + GC2 CF2 = 22 + 32 CF2 = 4 + 9 CF2 = 13 CF est une longueur, donc c’est un nombre positif. CF = √13 CF ≈ 3,6 cm 2) Dans le triangle ECF rectangle en F : l ) = EF = AB = 6 tan (ECF CF CF √13 l ≈ 59°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : ECF Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires. l = 90° – ECF l. Donc : CEF l ≈ 90° – 59° CEF l ≈ 31° CEF 37 1) Les points I, M et U d’une part, et les points A, M et O d’autre part, sont alignés dans le même ordre. MA 27 3 × 9 9 = = = MO 21 3 × 7 7 MI 36 4 × 9 9 = = = MU 28 4 × 7 7 MA MI = . Donc : MO MU Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (OU) et (AI) sont parallèles. 2) Les droites (UI) et (AO) sont sécantes en M. Les droites (OU) et (AI) sont parallèles. Donc, d’après le théorème de Thalès, on a : MI MA AI = = MU MO UO 36 27 45 = = 28 21 UO 27 × UO = 21 × 45 UO = 3 × 7 × 9 × 5 3×9 UO = 7 × 5 UO = 35 mm 3) Dans le triangle AMI : AI2 = 452 = 2 025 AM2 + MI2 = 272 + 362 = 729 + 1 296 = 2 025 Donc : AI2 = AM2 + MI2. L’égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle AMI est rectangle en M. 4) Dans le triangle AMI rectangle en M : l = MI = 36 cos (AIM) AI 45 l ≈ 37°. À l’aide la calculatrice, on obtient : AIM l et MOU l sont alternes-internes pour les 5) Les angles MAI droites (UO) et (AI) coupées par la sécante (AO). De plus, les droites (UO) et (AI) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles, alors toute sécante commune définit des angles alternes-internes de même mesure. l et MOU l ont la même mesure. Donc MAI 38 1) Dans le triangle CTM rectangle en C : l = CT sin (CMT) MT 556 sin (18°) = MT MT × sin (18°) = 556 556 MT =  sin (18°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : MT ≈ 1 799,25 m. L’arrondi au mètre près de la longueur MT est 1 799 m.

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2) Dans le triangle BPT rectangle en B : l = BP sin (BTP) TP BP sin (12,1°) = 2 630 BP = 2 630 × sin (12,1°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : BP ≈ 551,29 m. TC = BA = 556 m Donc l’altitude de la gare du Pic du Midi est égale à : 1 753 + 556 + 551 = 2 860 m environ. 39 1) Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore, on a : AC2 = AB2 + BC2 AC2 = 22 + 3,462 AC2 = 4 + 11,971 6 AC2 = 15,971 6 AC est une longueur, donc un nombre positif. AC = √15,971 6 AC ≈ 4 cm Donc l’aire du rectangle ACDE est environ égale à : AC × CD = 4 × 10 = 40 m2 Donc le pan de toit est suffisamment grand pour accueillir l’installation. 2) Dans le triangle ABC rectangle en B : l = AB = 2 tan (ACB) BC 3,46 l ≈ 30°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : (ACB) Donc Monsieur Dulac obtiendra un rendement maximal de ces panneaux. 40 1) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) a) Les points A et H sont équidistants des extrémités du segment [BC]. Donc la droite (AH) est la médiatrice du segment [BC]. Donc : (AH) ⊥ (BC). b) Dans le triangle ABH rectangle en H : l = BH cos (ABC) AB a Or H est le milieu de [BC], donc BH =  . 2 a l = 2 . D’où : cos (ABC) a a l = 2 =a×1=1. c) On sait que : cos (ABC) a 2 a 2 De plus, dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°. 1 D’où : cos(60°) = . 2 3) Le triangle ABH est rectangle en H. Or, dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires. l = 90° – ABC l = 90° – 60° = 30°. Donc : BAH BH l = l sin (BAH) = cos (ABC) AB 1 Donc : sin (30°) = . 2 4) a) On sait que pour tout angle aigu a, on a : [cos (a)]2 + [sin (a)]2 = 1 2 2 D’où : [cos (60°)] + [sin (60°)] = 1. 2 1 + [sin (60°)]2 = 1 2 [sin (60°)]2 = 1 – 1 4 [sin (60°)]2 = 3 4 Le sinus d’un angle aigu est un nombre positif, donc :

()

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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√

3 √3 = 4 √4 √ sin (60°) = 3 √3 2 √ 2 sin (60°) 2 = 3 × = √3 = b) tan (60°) = 1 2 1 cos (60°) 2

sin (60°) =

41 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) a) Dans le triangle FEG rectangle en F : l = FG = a = 1 tan (FEG) EF a b) Le triangle AFG est rectangle et isocèle en F. Or les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Et les angles à la base d’un triangle isocèle ont la même mesure. l = 90° : 2 = 45°. Donc : FEG Donc : tan (45°) = 1. 3) a) Dans le triangle EFG rectangle en F, d’après le théorème de Pythagore, on a : EG2 = EF2 + FG2 EG2 = a2 + a2 EG2 = 2a2 EG est une longueur, donc c’est un nombre positif : EG = √2a2 EG = a√2 b) Dans le triangle EFG rectangle en F : l = EF = a = 1 = √2 cos (FEG) EG a√2 √2 2

√ D’où : cos (45°) = 2 . 2 sin (45°) c) tan (45°) = cos (45°) sin (45°) 1= √2 2 √ D’où : sin (45°) = 2 . 2 42

A 1) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) IDEA est un rectangle, donc ID = EA = 2. Donc : HI = HD – ID = 5 – 2. D’où : HI = 3. Dans le triangle HIE rectangle en I, d’après le théorème de Pythagore, on a : HE2 = HI2 + IE2 HE2 = 32 + 2,252 HE2 = 9 + 5,062 5 HE2 = 14,062 5 HE est une longueur, donc c’est un nombre positif : HE = √14,062 5 D’où : HE = 3,75. 3) Dans le triangle EHI rectangle en I : l = HI = 3 cos (IHE) HE 3,75 l ≈ 37°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : (IHE) B 1) Le triangle HIE est rectangle en I. Or, dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires. Donc : l IEH = 90° – l IHE = 90° – 45° = 45°. Or, si un triangle possède deux angles de même mesure, alors c’est un triangle isocèle. Donc le triangle IHE est isocèle et rectangle en I. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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2) Le triangle HIE est isocèle en I. Donc : HI = IE = AD = 2,25. Donc : AE = ID = HD – HI = 5 – 2,25 = 3,75. 3) Dans le triangle IHE rectangle en I : l = IH cos (IHE) HE 2,25 cos (45°) = HE HE × cos (45°) = 2,25 2,25 HE =  cos (45°) À l’aide la calculatrice, on obtient : HE ≈ 3,181. La valeur approchée au cm près de HE est 3,18. C 1) Dans le triangle IHE rectangle en I : l = IE tan (IHE) HI 2,25 tan (60°) = HI HI × tan (60°) = 2,25 2,25 HI =  tan (60°) À l’aide la calculatrice, on obtient : HI ≈ 1,299. La valeur approchée au cm près de HI est 1,30. 2) AE = ID = HD – HI AE ≈ 5 – 1,3 AE ≈ 3,7 3) Dans le triangle IHE rectangle en I : l = IE sin (IHE) HE 2,25 sin (60°) = HE HE × sin (60°) = 2,25 2,25 HE =  sin (60°) À l’aide la calculatrice, on obtient : HE ≈ 2,598. La valeur approchée au cm près de HE est 2,60. D 1) Lorsque la mesure de l’angle l IHE est égale à 60°, la hauteur AE est environ égale à 3,7 m. 2) L’angle l IHE peut mesurer 50°. 43 ABC est un triangle dont tous les angles sont aigus. On appelle 𝒜 l’aire du triangle ABC. 1) Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Dans le triangle AHB rectangle en H : l = AH sin (ABC) AB l D’où : AH = AB × sin (ABC). base × hauteur . Or 𝒜 =  2 𝒜 =  AH × BC 2 l D’où : 𝒜 = AB × BC × sin (ABC) . 2 2) a)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b) 𝒜 =  EF × FG × sin (EFG) 2 7,4 × 3,9 × sin (40°) 𝒜 =  2 À l’aide de la calculatrice, on obtient : 𝒜 ≈ 9,2 cm2. Donc la valeur approchée au cm2 près de l’aire 𝒜 est 9 cm2.

l

44 Dans le triangle ABD rectangle en A : l = AD tan (ABD) AB AB × tan (56°) = AD AD AB =  tan (56°) CHAP. 13 - TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

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Dans le triangle ACD rectangle en A : l = AD tan (ACD) AC AD tan (24°) = AB + 50 AD tan (24°) = AD + 50 tan (56°)

3) Dans le triangle REC rectangle en R : l = RC = 5 sin (REC) EC 8 l ≈ 39°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : REC

AD × tan (24°) = AD tan (56°) tan (24°) AD × 1 – = 50 × tan (24°) tan (56°) AD = 50 × tan (24°) tan (24°) 1– tan (56°) À l’aide la calculatrice, on obtient : AD ≈ 31,8. La valeur approchée au mètre près de AD est 32 m.

50 1)

49

50 × tan (24°) +

(

)

45 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Dans le triangle ABC rectangle en B : l = AB cos (BAC) AC AB cos (73°) = 4,6 AB = 4,6 × cos (73°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : AB ≈ 1,34 cm. La longueur AB arrondie au millimètre près est 1,3 cm.

52 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Le triangle ERC est inscrit dans le cercle de diamètre [EC]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle. Donc le triangle REC est rectangle en R.

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Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

A est le pied de la rampe, C le seuil de la porte et B le point du sol situé à la verticale du seuil de la porte. 2) Dans le triangle ABC rectangle en B : l = BC = 41 sin (BAC) AC 830 l ≈ 2,83°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : BAC Donc cette rampe fait un angle d’environ 3° avec le sol.

47 Dans le triangle KLI rectangle en L : l = KL sin (KIL) KI 4,7 sin (52°) = KI KI × sin (52°) = 4,7 4,7 KI =  sin (52°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : KI ≈ 5,96 cm. La longueur KI arrondie au millimètre près est 6 cm.

JE FAIS LE POINT

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

l + ABC l = 38° + 52° = 90° 2) ACB Or, si la somme des mesures de deux angles d’un triangle est égale à 90°, alors ce triangle est rectangle. Donc le triangle ABC est rectangle en A. l = CA cos (ACB) CB CA cos (38°) = 7,8 CA = 7,8 × cos (38°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : AC ≈ 6,14 cm. Donc la longueur CA arrondie au millimètre près est 6,1 cm. 51 1)

46 Dans le triangle DEF rectangle en F : l = EF tan (EDF) FD EF tan (25°) = 5,3 EF = 5,3 × tan(25°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : EF ≈ 2,47 cm. La longueur FE arrondie au millimètre près est 2,5 cm.

48 1)

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Dans le triangle GEK rectangle en E : l = KE tan (KGE) GE KE tan (40°) = 4 KE = 4 × tan (40°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : KE ≈ 3,35 cm. La longueur EK arrondie au millimètre près est 3,4 cm. 3) Dans le triangle GEO rectangle en O : l = OE sin (KGE) GE OE sin (40°) = 4 OE = 4 × sin (40°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : OE ≈ 2,57 cm. La longueur OE arrondie au millimètre près est 2,6 cm. 53 Dans le triangle OSA rectangle en O : l = OA = 2,5 tan (OSA) OS 6 l ≈ 23°. À l’aide de la calculatrice, on obtient : OSA

Les exercices 54 à 63 sont corrigés à la page 309 du manuel élève.

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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64 1) a)

67 1) et 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b) Dans le triangle IKS rectangle en S, d’après le théorème de Pythagore, on a : KI2 = IS2 + SK2 10,42 = IS2 + 9,62 108,162 = IS2 + 92,16 KI2 = 108,16 – 92,16 KI2 = 16 KI est une longueur, donc un nombre positif : KI = √16 . KI = 4 cm 2) Dans le triangle IKS rectangle en S : l = KS = 9,6 cos (SKI) KI 10,4 À l’aide de la calculatrice, on obtient : l SKI ≈ 23°. 65 1) Dans le triangle BCD rectangle en D : l = BD cos (DBC) BC 4 cos (60°) = BC BC × cos (60°) = 4 4 BC =  cos (60°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : BC = 8 cm. 2) Dans le triangle BCD rectangle en D : l = CD sin (DBC) BC CD sin (60°) = 8 CD = 8 × sin (60°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : CD ≈ 6,92 cm. La longueur CD arrondie au millimètre près est 6,9 cm. 3) Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore, on a : AC2 = AB2 + BC2 AC2 = 62 + 82 AC2 = 36 + 64 AC2 = 100 AC est une longueur, donc un nombre positif : AC = √100 AC = 10 cm 4) a) Dans le triangle ABC rectangle en B : l = BC = 8 = 4 × 2 = 4 tan (BAC) BA 6 3 × 2 3 l ≈ 53°. b) À l’aide de la calculatrice, on obtient : BAC 66 1) a) Dans le triangle MNP rectangle en P : l = PN = 2√3 = 2√3 = √3 tan (PMN) 6 2×3 3 PM l = 30°. b) À l’aide de la calculatrice, on obtient : PMN c) Dans le triangle MRS rectangle en S : l = RS sin (RMS) MR RS sin (30°) = 5 RS = 5 × sin (30°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : RS = 2,5 cm. 2) Dans le triangle MRS rectangle en S : l = MS cos (RMS) MR MS cos (30°) = 5 MS = 5 × cos (30°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : MS ≈ 4,33 cm. La longueur MS arrondie au millimètre près est 4,3 cm. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) Dans le triangle HOM rectangle en H : l = MH tan (HOM) HO MH tan (25°) = 5 MH = 5 × tan (25°) À l’aide de la calculatrice, on obtient : MH ≈ 2,33 cm. La longueur HM arrondie au millimètre est 2,3 cm. 68 1) RF = FS – RS = 18 – 1,5 = 16,5 m 2) Dans le triangle FPR rectangle en R, d’après le théorème de Pythagore, on a : FP2 = FR2 + RP2 FP2 = 16,52 + 102 FP2 = 272,25 + 100 FP2 = 372,25 FP est une longueur, donc un nombre positif : FP = √372,25 À l’aide la calculatrice, on obtient : FP ≈ 19,3 m. Dans cette position, le pied du camion est situé à environ 19 m de la fenêtre. Donc l’échelle, dont la longueur maximale est de 25  m, sera assez longue pour atteindre la fenêtre. 3) Dans le triangle FPR rectangle en R : l = FR = 16,5 tan (FPR) RP 10 l ≈ 59°. À l’aide la calculatrice, on obtient : FPR Donc l’échelle fait un angle d’environ 59° avec l’horizontale. 69 a) tan (69°) ≈ 2,61 b) sin (30°) = 0,5 c) cos (1°) ≈ 0,99 d) sin (48°) ≈ 0,74 e) tan (45°) = 1 70 a) a ≈ 37° b) a ≈ 17° c) a ≈ 46° d) a ≈ 89° e) a = 45°

l sont opposés par le sommet. SBD et ABC 71 1) Les angles l Or deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. l = ABC. l Donc : SBD Dans le triangle ABC rectangle en A : l = AC tan (ABC) AB AC l = tan (ABC) 5 l AC = 5 × tan (ABC) À l’aide la calculatrice, on obtient : a) pour 20°, AC ≈ 1,8 cm. b) pour 40°, AC ≈ 4,2 cm. c) pour 60°, AC ≈ 8,7 cm. d) pour 80°, AC ≈ 28,4 cm. 2) 40 : 20 = 2 mais 4,2 : 1,8 ≈ 2,33. Donc la longueur de l’ombre n’est pas proportionnelle à la mesure de l’angle que fait le soleil avec l’horizontale. 3) a) La longueur de l’ombre au lever du soleil est égale à 0 cm. b) Lorsque le soleil est au zénith, il n’y a pas d’ombre. CHAP. 13 - TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

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72 1) On a : sin (i) ≈ 1,33. sin (r) sin (34°) ≈ 1,33. Donc ici : sin (r) D’où : 1,33 × sin (r) ≈ sin (34°). sin (34°) sin (r) ≈ 1,33

À l’aide de la calculatrice, on obtient : r ≈ 25°. 2) a) b) et c) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Exercices d’évaluation du socle commun 1 L’angle formé par l’échelle et le sol a une mesure d’environ 72°. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2

150

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3

La rampe est conforme à la législation. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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A P I TR H

C

E

14

Géométrie dans l’espace PROGRAMME

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES

■ Commentaires

Problèmes de sections planes de solides

Les grands cercles de la sphère et les couples de points diamétralement opposés sont mis en évidence.

CAPACITÉS ● Connaître et utiliser la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête. ● Connaître et utiliser la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe. ● Connaître et utiliser les sections d’un cône de révolution et d’une pyramide par un plan parallèle à la base.

> CONNAISSANCES Sections planes d’une sphère

CAPACITÉS ● Connaître la nature de la section d’une sphère par un plan. ● Calculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère. ● Représenter la sphère et certains de ses grands cercles.

■ Commentaires L’utilisation de logiciels de géométrie dans l’espace permet de conjecturer ou d’illustrer la nature des sections planes. C’est aussi l’occasion de faire des calculs de longueur et d’utiliser les propriétés rencontrées dans d’autres rubriques ou les années antérieures. Les élèves sont également confrontés au problème de représentation d’objets à trois dimensions, ainsi qu’à celle de la représentation en vraie grandeur d’une partie de ces objets dans un plan (par exemple  : section plane, polygone déterminé par des points de l’objet…).

> CONNAISSANCES Sphère, centre, rayon

■ Commentaires Le fait que le centre du cercle d’intersection est l’intersection du plan et de la perpendiculaire menée du centre de la sphère à ce plan est admis. Le cas particulier où le plan est tangent à la sphère est également étudié. Aucune difficulté n’est soulevée sur ces représentations. Le rapprochement est fait avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour le repérage sur la sphère à l’aide des méridiens et des parallèles.

Socle commun des connaissances • Représenter une sphère et certains de ses grands cercles. • Connaître la nature de certaines sections planes de solides.

Capacités des programmes des classes antérieures En Sixième :

En Cinquième :

Fabriquer un parallélépipède rectangle de dimensions données, à partir de la donnée du dessin d’un de ses patrons. ● Reconnaître un parallélépipède rectangle de dimensions données à partir : – du dessin d’un de ses patrons ; – d’un dessin le représentant en perspective cavalière. ● Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière du parallélépipède rectangle les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires. ● Dessiner ou compléter un patron d’un parallélépipède rectangle.

● Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle ou un parallélogramme et dont les dimensions sont données, en particulier à partir d’un patron. ● Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est donné. ● Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière de ces deux solides. ● Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière d’un prisme droit les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires.

●

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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En Quatrième : ●

Réaliser le patron d’une pyramide de dimensions données. CHAP. 14 - GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

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Commentaires des auteurs ➜ Attention ! Les activités réalisées à l’aide du logiciel Geospace nécessitent le téléchargement d’un fichier sur le site : www.phare-prof.hachetteeducation.com. ➜ En classe de Troisième, les élèves étudient des sections planes de solides étudiés les années précédentes. Nous avons considéré un solide comme un objet plein. La section plane d’un solide est donc une surface.

Les sections d’un cube par un plan non parallèle à une arête seront étudiées au lycée. ➜ Les élèves étudient également la sphère et la boule. La sphère est une surface, donc sa section par un plan est un cercle. Les élèves seront amenés à calculer l’aire d’une sphère et le volume d’une boule dans le chapitre 16 (Aires et volumes).

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE C ORRIGÉ

■ C O MMENTAIR E S Cette activité permet à l’élève de se représenter une boule de dimensions données dans un pavé droit.

1

Pavé droit dont les dimensions sont : L la longueur, ℓ la largeur et h la hauteur. h = 50 m + 15 m + 10 m = 75 m L = ℓ = 15 m + 15 m + 15 m = 45 m Les dimensions du hall sont : 45 m × 45 m × 75 m.

JE DÉCOUVRE LE RAYON D’UNE SPHERE

Objectif

Définir la sphère et la boule à partir de leur centre et de leur rayon.

Prérequis Paragraphe introduit

C ORRIGÉ

1 2 3 Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

—

! Sphère et boule

4 La longueur ON est un rayon de la sphère.

■ C O MMENTAIR E S Les élèves utilisent un fichier du logiciel Geospace. Cette activité permet également de tracer un grand cercle de la sphère.

2

JE DÉCOUVRE LA SECTION D’UN PAVÉ DROIT PAR UN PLAN

Objectif

Observer que la section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête est un rectangle.

Prérequis

Définition du parallélépipède rectangle

Paragraphes introduits

@ Sections planes de solides a) Sections planes d’un parallélépipède rectangle

■ C OM M E NTAIRE S Nous avons choisi l’utilisation d’un logiciel de géométrie Geospace pour introduire cette notion. Le logiciel ne permet pas de construire un plan parallèle à une arête. Les élèves peuvent travailler en autonomie à partir des fichiers fournis par le professeur, ou le professeur peut proposer l’activité à la classe à l’aide d’un video-projecteur. C ORRIGÉ Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La section semble être un rectangle.

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JE DÉCOUVRE DES SECTIONS PLANES DE SOLIDES

Objectifs

● Observer que la section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle. ● Observer que la section d’un cylindre de révolution : – par un plan perpendiculaire à son axe est un disque ; – par un plan parallèle à sa base est un rectangle. ● Observer que la section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction du polygone de base. ● Observer que la section d’un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un disque.

Prérequis

Définitions du parallélépipède rectangle, du cylindre de révolution, de la pyramide et du cône de révolution

Paragraphes introduits

@ Sections planes de solides a) Sections planes d’un parallélépipède rectangle b) Sections planes d’un cylindre de révolution c) Sections planes d’une pyramide ou d’un cône de révolution

4

Prérequis

Observer que la section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction du polygone de base. ● ● ●

Paragraphes introduits

Définition d’une pyramide Théorème de Thalès Agrandissement et réduction

@ Sections planes de solides c) Sections planes d’une pyramide ou d’un cône de révolution

C O RRI G É

1 Dans le triangle SAB, I ∈ [SA], J ∈ [SB] et (AB) // (IJ). SI SJ IJ = = . SA SB AB 3 SI SJ IJ 3 = = = . Or SI =  SA, donc 4 SA SB AB 4 D’après le théorème de Thalès :

C ORRIGÉ

1 et 2 et 3 Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com ● La nature de la section d’un pavé droit par un plan parallèle à une de ses faces semble être un rectangle. ● La nature de la section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à ses bases semble être un disque de même rayon que ses deux bases. ● La nature de la section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à ses bases semble être un rectangle. ● La nature de la section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base semble être de la même nature que sa base. ● La nature de la section d’un cône de révolution par un plan parallèle à sa base semble être un disque.

2 a) Dans le triangle SAC : I ∈ [SA], K ∈ [SC] et (AC) // (IK). SI SK IK = = . SA SC AC 3 SI SK IK 3 = = = . Or SI =  SA, donc 4 SA SC AC 4 b) Dans le triangle SBC, J ∈ [SB], K ∈ [SC] et (BC) // (JK). SJ SK JK = = . D’après le théorème de Thalès : SB SC BC SJ 3 SJ SK JK 3 = , donc = = = . D’après la question  1 , SB 4 SB SC BC 4 3 a) On a donc : SI = SJ = IJ = 3 ; SI = SK = IK = 3 SA SB AB 4 SA SC AC 4 SJ SK JK 3 = = = . et SB SC BC 4 JI IK JK 3 = = = . Donc : AB AC BC 4 b) Le triangle IJK est une réduction du triangle ABC de 3 rapport . 4 D’après le théorème de Thalès :

J’ÉTUDIE UNE SECTION PLANE D’UNE SPHERE

Objectif

Observer que la section d’une sphère par un plan est un cercle ou un point.

Prérequis

Définition de la sphère

Paragraphes introduits

@ Sections planes de solides d) Sections planes d’une sphère

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Nous avons choisi l’utilisation d’un logiciel de géométrie Geospace pour introduire cette notion. Les élèves peuvent travailler en autonomie à partir des fichiers fournis par le professeur, ou le professeur peut proposer l’activité à la classe à l’aide d’un video-projecteur.

J’ÉTUDIE UNE SECTION PLANE D’UNE PYRAMIDE

Objectif

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■ C OM M E NTAIRE S

■ C OM M E NTAIRE S Nous avons considéré que la sphère est une surface. Sa section par un plan est donc un cercle. Nous avons choisi l’utilisation d’un logiciel de géométrie Geospace pour introduire cette notion. Les élèves peuvent travailler en autonomie à partir des fichiers fournis par le professeur, ou le professeur peut proposer l’activité à la classe à l’aide d’un video-projecteur. CHAP. 14 - GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

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C ORRI G É

1 et 2 Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2 La longueur HA reste la même. Il semble que la section de la sphère (S) par le plan (P) soit un cercle. 3 Si OH = r, alors la section de la sphère (S) par le plan (P) est le cercle (𝒞) de centre H.

Si OH = 0 (c’est-à-dire les points O et H sont confondus), alors la section de la sphère (S) par le plan (P) est un cercle (𝒞) de centre O et de rayon r. Si OH > r, alors le plan (P) ne coupe pas la sphère (S) et il n’y a pas de section de la sphère (S) par le plan (P). Si 0 < OH < r, alors la section de la sphère (S) par le plan (P) est le cercle (𝒞) de centre H.

EXERCICES 1 a) Sphère  d) Sphère  g) Sphère 

b) Boule  e) Boule  h) Boule 

2 a) Cylindre de révolution  c) Cône de révolution 

c) Sphère  f) Boule  i) Ni boule, ni sphère b) Boule  d) Sphère

3 1) a) Le point A appartient à la sphère de centre O et de rayon 2 cm. b) Le point A appartient à la boule de centre O et de rayon 2 cm.  2) ● Le point O n’appartient pas à la sphère de centre O et de rayon 2 cm ; il appartient à la boule de centre O et de rayon 2 cm. ● Le point B appartient à la sphère de centre O et de rayon 2 cm ; il appartient à la boule de centre O et de rayon 2 cm. ● Le point C appartient à la sphère de centre O et de rayon 2 cm ; il appartient à la boule de centre O et de rayon 2 cm. ● Le point D appartient à la sphère de centre O et de rayon 2 cm ; il appartient à la boule de centre O et de rayon 2 cm. ● Le point E n’appartient pas à la sphère de centre O et de rayon 2 cm ; il n’appartient pas à la boule de centre O et de rayon 2 cm. ● Le point F n’appartient pas à la sphère de centre O et de rayon 2 cm ; il appartient à la boule de centre O et de rayon 2 cm. 4 1) Le quadrilatère RSTU est la section du pavé droit par un plan parallèle à la face DCGH, donc RSTU est un rectangle. 2) a) RS = HG = DC = EF = AB b) RU = HD = GC = AE = BF 5 1) Le quadrilatère KLMN est la section du pavé droit par un plan parallèle à l’arête [AE], donc KLMN est un rectangle. 2) a) MN = HD = GC = AE = BF b) Aucune longueur du pavé droit n’est égale à LM. 6 Le quadrilatère RSCD est la section de ce cube par un plan (P) parallèle à l’arête [EF], donc RSCD est un rectangle. 7 a) La section est un rectangle. b) La section est un carré. 8 a) 5 cm < 8 cm, la section est un cercle. b) 10 cm > 8 cm, pas de section entre la sphère et le plan. c) 4 cm < 8 cm, la section est un cercle. d) 8 cm = 8 cm, la section est un point. e) 7,9 cm < 8 cm, la section est un cercle. f) 0  cm < 8  cm, le plan (P) passe par le centre O de la sphère, donc la section est un grand cercle.

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9 a) 4 cm b) La distance est comprise entre 0 (strictement) et 8 (strictement). c) La distance est 0 cm. 10 1) Le quadrilatère RSTU est la section de ce pavé droit par un plan parallèle à la face ABCD, donc RSTU est un rectangle avec RS = AB = 5 cm et RU = AD = 3,5 cm. 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

11 1) Le quadrilatère MNGF est la section de ce pavé droit par un plan parallèle à l’arête [FG], donc MNGF est un rectangle avec MN = AD = 3,5 cm. 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

12 Le quadrilatère KOQM est la section du cube par un plan parallèle à une arête, donc c’est un rectangle avec KO = MQ = 3 cm. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

13 La section obtenue en coupant le cube par un plan (P) parallèle à l’arête [MQ] est un rectangle. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

14 Le quadrilatère LMNP est la section de ce cylindre par un plan parallèle à son axe (OO’), c’est un rectangle tel que MN = LP = OO’ = 7 cm. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

15 La distance du centre de la sphère au plan (P) est 3,6 cm et 3,6 cm < 8,9 cm (rayon de la sphère). Donc la section est le cercle de centre H et de rayon HA. Le triangle OHA est rectangle en H, donc on a l’égalité de Pythagore : OA2 = HA2 + HO2 92 = HA2 + 7,22 81 = HA2 + 51,84 HA2 = 81 − 51,84 HA2 = 29,16. HA est une longueur, donc c’est un nombre positif. HA = √29,16. Donc : HA = 5,4 cm. 16 1) Le triangle OJM est rectangle en J tel que JM = 4,5 cm et OJ = 6 cm. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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2) Le triangle OJM est rectangle en J, donc on a l’égalité de Pythagore : OM2 = JM2 + JO2  OM2 = 4,52 + 6 cm OM2 = 56,25. OM est une longueur, donc c’est un nombre positif. OM = √56,25. Donc : OM = 7,5 cm. 17 Dans le triangle HOM rectangle en H, on a : l = HM sin (MOH) OM HM sin (48°) = 12 HM = 12 × sin (48°) HM ≈ 8,9 cm 18 On nomme M un point de la section (cercle de centre K et de rayon 3 cm). Le triangle OKM est rectangle en K, donc on a l’égalité de Pythagore : OM2 = KM2 + KO2 (7,8 : 2)2 = 32 + KO2 60,84 = 9 + KO2 KO2 = 60,84 − 9 KO2 = 51,84. KO est une longueur, donc c’est un nombre positif. KO = √51,84. Donc : KO = 7,2 cm. 19

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Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

● OU = 3 cm < 5 cm, donc le point U n’appartient pas à la sphère de centre O et de rayon 5 cm ; il appartient à la boule (B) de centre O et de rayon 5 cm.

25 1) La section du pavé droit ABCDEFGH par un plan parallèle à la face AEHD est un rectangle. 2) La section du pavé droit ABCDEFGH par un plan parallèle à l’arête [AB] est un rectangle. 26 1) et 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

27 1) et 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

28 1) Le quadrilatère BJKF est la section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête, donc BJKF est un rectangle tel que BF = JK = AE = 4 cm. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) a) Le triangle ABJ est rectangle en A, donc on a l’égalité de Pythagore : BJ2 = AB2 + AJ2 BJ2 = 5,22 + 3,92 BJ2 =  42,25. BJ est une longueur, donc c’est un nombre positif. BJ = √42,25. Donc : BJ = 6,5 cm. b) 2 × (6,5 cm + 4 cm) = 2 × 10,5 cm = 21 cm Donc le périmètre de la section est 21 cm. 29 1) et 2)

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Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

22 1) et 2)

30 1) et 2)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) Les segments [AA’] et [BB’] sont des diamètres de la sphère de centre O et de rayon 2cm, donc AA’ = BB’ = 4 cm. 23 Le point M appartient à la sphère (S) de centre O et de diamètre [AB], donc le triangle ABM est inscrit dans le cercle de centre O et de diamètre [AB]. Or, si un triangle est inscrit dans le cercle dont un diamètre est l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle. Donc le triangle ABM est rectangle en M et son hypoténuse est [AB]. Or, si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de son hypoténuse. Donc : OM = AB : 2 = 7 cm : 2 = 3,5 cm. 24 ● Le point O est le centre de la sphère, donc il n’appartient pas à la sphère (S) de centre O et de rayon 5 cm ; il appartient à la boule (B) de centre O et de rayon 5 cm. ● OP = 4 cm < 5 cm, donc le point P n’appartient pas à la sphère (S) de centre O et de rayon 5 cm ; il appartient à la boule (B) de centre O et de rayon 5 cm. ● OR = 5,3 cm > 5 cm, donc le point R n’appartient pas à la sphère de centre O et de rayon 5 cm ; il n’appartient pas à la boule (B) de centre O et de rayon 5 cm. ● OT =  5  cm, donc le point T appartient à la sphère de centre O et de rayon 5 cm ; il appartient à la boule (B) de centre O et de rayon 5 cm. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

31 On coupe le cylindre par un plan (P) parallèle à l’axe (OO’), donc la section est un rectangle. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

32 1) Le cylindre de révolution est coupé par un plan (P) perpendiculaire à l’axe de ce cylindre, donc la section est un cercle de rayon 3,5 cm. 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

33 1) et 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

34 1) SAB et SAD sont des triangles rectangles en A. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) a) Le quadrilatère EFGH est la section de la pyramide par le plan (P) passant par le point E et parallèle à la base ABCD, donc EFGH est un rectangle. b) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com CHAP. 14 - GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

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Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

36 1) [SO] est la hauteur du cône de révolution et [SA] une de ses génératrices, donc le triangle SAO est rectangle en O. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) a) Le cône est coupé par un plan passant par O’ et parallèle à sa base, donc la section est un disque de centre O’. b) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

37 La sphère est coupée par un plan passant par le centre du cercle, donc la section est un grand cercle de cette sphère. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

38 On nomme M un point de la section (cercle de centre I et de rayon 1,2 cm). Le triangle OIM est rectangle en I, donc on a l’égalité de Pythagore : OM2 = IM2 + IO2 3,72 = 1,22 + IO2 13,69 = 1,44 + IO2 IO2 = 13,69 − 1,44 IO2 =  12,25. IO est une longueur, donc c’est un nombre positif. IO = √12,25. Donc : IO = 3,5 cm 39 1) a) ABCDEFGH est un cube, donc la face ADHE est un carré tel que AD = HE = 4 cm. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

b) On coupe le cube ABCDEFGH par un plan (P) parallèle à l’arête [AB] et passant par les points M et N ; donc la section MNLK est un rectangle avec MK = AB = 4 cm. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Aire de la section = MK × MN = 4 cm × MN Les points M et N sont les milieux respectifs des arêtes [AD] et [DH] du cube de côté 4 cm, donc DM = DN = 2 cm. ADHE est une face du cube, donc ADHE est un carré et (AD) ⊥ (DH). Comme M et N sont les milieux respectifs des arêtes [AD] et [DH], alors le triangle DMN est rectangle en D, donc on a l’égalité de Pythagore : MN2 = DM2 + DN2 MN2 = 22 + 22 MN2 =  8. MN est une longueur, donc c’est un nombre positif. MN = √2. Donc : MN = 2√2 cm. Aire de la section = 4 cm × MN = 4 cm × 2√2 cm = 8√2  cm2 40 1) Le triangle KOH est rectangle en H, donc on a l’égalité de Pythagore : KO2 = HO2 + HK2 32 = 22 + HK2 9 = 4 + HK2 HK2 = 9 − 4 HK2 = 5. HK est une longueur, donc c’est un nombre positif.

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Donc : HK = √5 cm. Les points K et L appartiennent au cercle de centre O, donc le triangle OKL est isocèle en O. Comme la droite (OH) est une hauteur dans le triangle OKL isocèle en O et le point H appartient au segment [KL], donc la droite (OH) est la médiatrice du segment [KL] et le point H est le milieu du segment [KL]. Alors, KL = 2 × HK = 2√5 cm. 2) Le quadrilatère KLMN est la section obtenue en coupant un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe (OO’), donc KLMN est un rectangle avec KN = LM = OO’ = 4,5 cm. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

41 1) La figure jaune est la section du cône de révolution par un plan parallèle à sa base et ce plan coupe la hauteur du cône en O’ ; donc c’est un disque de centre O’. 2) Le disque de centre O’ est une réduction du disque de centre O (base du cône de révolution). Notons k ce coefficient de réduction et r’ le rayon du disque de centre O’. SO’ 3 1 k =  = = SO 9 3 La longueur r’ est une réduction de la longueur OA. 1 Donc : r’ = k × OA =  cm = 2 cm. 3 42 La plus grande boule aura un diamètre égal à 8 cm (arête du cube), donc le rayon sera 4 cm. 43 Le plus grand cube aura sa grande diagonale de longueur égale à 8 cm (diamètre de la boule). La diagonale d’un cube de côté c mesure c√3. Donc : c√3 = 8 cm. 8 c= √3 8 × √3 c= √3 × √3 √ c= 3 3 44 1) ABCD est un carré de centre O tel que AC = 12 cm, donc le point O est le milieu de [AC] et OA = 6 cm. SABCD est une pyramide de sommet S, de base carrée ABCD et de hauteur [SO]. Donc le triangle SOA est rectangle en O et on a l’égalité de Pythagore : SA2 = OA2 + OS2 SA2 = 62 + 82 SA2 =  100. SA est une longueur, donc c’est un nombre positif. SA = √100. Donc : SA = 10 cm. 2) A’B’C’D’ est la section par un plan (P) parallèle à la base carrée ABCD de cette pyramide, donc A’B’C’D’ est un carré et c’est une réduction du carré ABCD. Ainsi, le segment [A’C’] est une réduction du segment [AC]. Notons k ce coefficient de réduction. SA’ 3 k =  = = 0,3 et A’C’ = k × AC = 0,3 × 12 cm = 3,6 cm. SA 9 45 1) La figure violette est la section d’un cône de révolution par un plan parallèle à sa base, donc c’est un disque de centre O’ et c’est une réduction du disque de centre O et de rayon 3,5 cm. Notons k ce coefficient de réduction. Énoncé non modifié : O’T ’ 2,8 28 4 k =  = = = = 0,8 OT 3,5 35 5 et SO’ = k × SO = 0,8 × 5,5 cm = 4,4 cm. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Énoncé modifié : SO’ = 4,4 cm O’T’ 2,8 28 4 = = = = 0,8 k =  OT 3,5 35 5 La longueur SO’ est une réduction de la longueur SO. SO’ = k × SO 4,4 cm = 0,8 × SO SO = 4,4 cm : 0,8 SO = 5,5 cm 2) Le triangle SO’T’ est rectangle en O’, donc on a l’égalité de Pythagore : ST’2 = O’S2 + O’T’2 ST’2 = 4,42 + 2,82 ST’2 =  27,2. ST’ est une longueur, donc c’est un nombre positif. ST’2 = √27,2. Donc : ST’ ≈ 5,2 cm. 46 ● Considérons un point M sur la section de la sphère (S). Donc M appartient à la sphère de centre O et de rayon 1,5 cm. Le triangle MOH est rectangle en H, donc on a l’égalité de Pythagore : MO2 = HO2 + HM2 1,52 = 1,22 + HM2 2,25 = 1,44 + HM2 HM2 = 2,25 − 1,44 HM2 = 0,81. HM est une longueur, donc c’est un nombre positif. HM = √0,81. Donc : HM = 0,9 cm. ● La section de la sphère (S) et la section de la sphère (S’) ont le même rayon et on les assemble. Donc H’M = 0,9 cm et M appartient à la sphère (S’) de rayon 4,1  cm et de rayon O’. Le triangle MO’H’ est rectangle en H’, donc on a l’égalité de Pythagore : MO’2 = H’O’2 + H’M2 4,12 = H’O’2 + 0,92 16,81 = H’O’2 + 0,81 H’O’2 = 16,81 − 0,81 H’O’2 = 16. H’O’ est une longueur, donc c’est un nombre positif. H’O’ = √16. Donc : H’O’ = 4 cm. 47 A 1) a) Le sommet de la pyramide DEFGH est le point D. b) ADHE et DHGC sont des faces du pavé droit. Donc ce sont des rectangles et  : (DH) ⊥ (HE) et (DH) ⊥ (HG). Ainsi, la hauteur de la pyramide DEFGH est [DH]. c) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) La section est un quadrilatère JKLM obtenue en coupant la pyramide DEFGH par un plan parallèle à sa base rectangulaire et passant par le point J, donc JKLM est un rectangle. 3) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

DJ 5–2 3 = = = 0,6 B 1) k =  DH 5 5 2) La pyramide DJKLM est une réduction de la pyramide DEFGH, donc le segment [JK] est une réduction du segment [EH] et JK = k × EH = 0,6 × 4 cm = 2,4 cm. 3) De même, le segment [JM] est une réduction du segment [HG] et JM = k × HG = 0,6 × 6 cm = 3,6 cm. 4) 𝒫 = 2 × (3,6 cm + 2,4 cm) = 12 cm C 1) Le point J appartient au segment [DH], DH = 5 cm et JH = x, donc 0 ⩽ x ⩽ 5. 2) f (x) = 2 × (KJ + JM) DJ 5–x 5–x 20 – 4x = , donc : KJ =  ×4= k =  DH 5 5 5 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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5–x 60 – 6x ×6= . 5 5 20 – 4x 30 – 6x 50 – 10x 5(10 – 2x) + = 2 × = 2 × f (x) = 2 × 5 5 5 5 = 2 × (10 − 2x) = 20 − 4x Donc : f (x) = 20 − 4x. 3) a) La fonction f est de la forme f (x) =  ax +  b avec a = − 4 et b = 20, donc c’est une fonction affine. b) f (0) = 20 − 4 × 0 = 20. Donc l’image de 0 par la fonction f est 20. Lorsque x =  0, le point J est confondu avec le point H, la face JKLM est confondue avec la face EFGH, donc le périmètre est celui de la face EFGH. c) f (x) = 8 20 − 4x = 8 20 − 8 = 4x 12 = 4x L’antécédent de 8 par la fonction f est 3. x = 3. 5) a) et JM = 

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L’antécédent de 6 par la fonction f est 3,5. b) Pour que le périmètre 𝒫 soit égal à 6  cm, il faut que JH = 3,5 cm. c) f (3,5) = 20 − 4 × 3,5 = 20 − 14 = 6 48

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49 La sphère s’enfonce dans le cube supérieur, donc on peut considérer que la face supérieure du cube sectionne cette sphère. La section est un cercle de diamètre 5 cm. On considère un point M appartenant à la section de la sphère par cette face ; on nomme le centre de la sphère O et la longueur OH est la distance du point O à la face supérieure. Le triangle MOH est rectangle en H, donc on a l’égalité de Pythagore : MO2 = HO2 + HM2 (8 : 2)2 = HO2 + (5 : 2)2 16 = HO2 + 6,25 HO2 = 16 − 6,25 HO2 = 9,75. HO est une longueur, donc c’est un nombre positif. Donc : HO = √9,75 m. Notons h la hauteur totale du radar. h = 5 m × 3 + √9,75 m + 4 m = (19 + √9,75 ) m   h ≈ 52,1 m 50

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51 1) Le quadrilatère ABCD est la section du cylindre par un plan parallèle à l’axe (OO’), donc ABCD est un rectangle avec AD = CB = OO’ = 8 cm. 2) Le triangle OCD est rectangle et isocèle en O avec OC = 3 cm. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

52 La sphère de centre O et de rayon 4 cm est coupée par un plan (P), la distance du point O au plan (P) est égale à 2,7 cm et 2,7 cm < 4 cm, donc la section est un cercle. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com CHAP. 14 - GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

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53 Le cône de révolution est coupée par un plan (P) passant par O’ et parallèle à sa base, donc la section est un disque de centre O’.

57 Le quadrilatère IJKL est la section d’un pavé droit ABCDEFGH par un plan parallèle à l’arête [AB], donc IJKL est un rectangle.

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Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

55 1) La sphère a pour centre I et pour rayon r = 10 cm. Un plan (P) coupe la sphère, donc la section est un cercle. 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) Le point M appartient à cette section et à la sphère, donc IM = 10 cm. Dans le triangle HIM rectangle en H, on a : l = HM sin (HIM) IM HM sin (54°) =  10 HM = 10 sin (54°) HM ≈ 8,1 cm 56 Un plan (P) coupe le cylindre de révolution de rayon 5 cm perpendiculairement à son axe (HH’), donc la section est un disque de rayon 5 cm.

58 1) On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à sa base ABC et ABC est un triangle équilatéral. Donc la section est un triangle équilatéral et c’est une réduction du triangle ABC. Notons k ce coefficient de réduction. SM 4 2 = = k =  SA 6 3 Notons 𝒫 le périmètre du triangle ABC et 𝒫’ le périmètre de la section. 𝒫 = 3 × 5,6 cm = 16,8 cm. 2 𝒫’ = k × 𝒫 =  × 16,8 cm = 11,2 cm. 3 SM 2) Notons k ce coefficient de réduction : k =  . 6 𝒫’ = k × 𝒫 SM × 16,8 6 14 = 2,8 × SM SM = 14 : 2,8 Donc : SM = 5 cm.

14 =

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JE FAIS LE POINT

Les exercices 59 à 68 sont corrigés à la page 309 du manuel élève.

69 1) Le plan (P) passant par le point O’ est perpendiculaire à la droite (OO’) et le point M appartient au plan (P) et à la sphère. Donc le triangle OO’M est rectangle en O’. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) La sphère est coupée par un plan (P) passant par O’ et le point M appartient à la section et à la sphère. Donc la section est un cercle de centre O’ et de rayon O’M. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

70 1) Le quadrilatère JKNM est la section du cube par un plan parallèle à l’arête [AB], donc JKNM est un rectangle avec JK = AB = 5 cm. 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3) Le solide AJMBKN a trois faces rectangulaires et deux faces superposables triangulaires, donc le solide AJMBKN est un prisme droit. 71 1) La pyramide SABCD à base carrée ABCD de centre O a pour hauteur [SO], donc le triangle SOA est rectangle en O et on a l’égalité de Pythagore : SA2 = OA2 + OS2 202 = 122 + OS2 400 = 144 + OS2 OS2 = 400 − 144 OS2 =  256. OS est une longueur, donc c’est un nombre positif. OS = √256. Donc : OS = 16 cm.

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2) a) Notons k le coefficient de réduction : SM 2 1 k =  = = SO 16 8 b) La longueur SI est une réduction de la longueur SA. 1 SI = k × SA =  × 20 cm = 2,5 cm 8 Les points S, I et A sont alignés dans cet ordre, donc IA = SA − SI = 20 cm − 2,5 cm = 17,5 cm 72 1) Notons 𝒜 l’aire du rectangle ABCD : 𝒜 = AB × AD = 72 mm × 30 mm = 2 160 mm2 2) Le triangle SAD est rectangle en D, donc on a l’égalité de Pythagore : SA2 = DA2 + DS2 SA2 = 302 + 752 SA2 =  6 525. SA est une longueur, donc c’est un nombre positif. SA = √6 525 SA = √25 × 9 × 29 SA = 15√29 Donc : SA ≈ 81 mm. 3) Dans le triangle SAD rectangle en D, on a : l = AD tan (ASD) SD 30 l tan (ASD) = 75 l = 0,4 tan (ASD) l ≈ 22°. Donc : ASD 4) a) La pyramide est coupée par un plan (P) parallèle à sa face ABCD, donc la section EFGH est une réduction du rectangle ABCD. Ainsi, EFGH est un rectangle. b) Notons k le coefficient de réduction : © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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SH 30 2  = = SD 75 3 c) Notons 𝒜’ l’aire du rectangle EFGH : 22 𝒜’= k2 × 𝒜 = × 2 160 mm2 = 960 mm2 3

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

k=

()

73 1) Notons 𝒱 le volume du coquetier en cm3 : 1 𝒱 = π × OA2 × OI − × π × OA2 × OI 3 1 𝒱 = π × 32 × 6 − × π × 32 × 6 3 𝒱 = 54π − 18π 𝒱 = 36π Donc la valeur exacte du volume de ce coquetier en bois est 36π cm3. 2) a) Les droites (O’I) et (AA’) sont sécantes en I. Les droites (OA) et (O’A’) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, on a : IO’ IA’ O’A’ = = IO IA OA 6 – 4 O’A’ = 6 3 2 O’A’ = 6 3 2 O’A’ = × 3 = 1 6 Donc : O’A’ = 1 cm. b) On sectionne l’objet par un plan (P) parallèle à la base du cylindre, donc la section est une couronne.

c) Notons 𝒜 l’aire de la section en cm2 : 𝒜 = π × OA2 − π × O’A’2 = π × 32 − π × 1 = 9π − π = 8π Donc l’aire de la section est 8π cm2. 74

75

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

76 Notons ℓ la longueur d’un méridien : 1 ℓ =  × 2 × π × 6 370 km 2 ℓ ≈ 20 012 km 77 1) Coordonnées d’Istanbul : (30°E ; 40°N). 2) Le point M est en Amérique ; le point K est en Asie ; le point L est en Amérique ; le point R est en Afrique et le point A est en Antarctique. 78 Les coordonnées géographiques sont : (128°E ; 34°N). 180° − 58° = 128°

Exercices d’évaluation du socle commun 1

2

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3 Le pavé droit ABCDEFGH est coupé par un plan parallèle à l’arête [GC], alors la section est un rectangle. 4 Le cylindre de révolution est coupé par un plan perpendiculaire à son axe (OO’), alors la section est un disque dont le rayon est celui du cylindre. 5

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

CHAP. 14 - GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

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A P I TR H

C

E

15

Angles inscrits – Polygones réguliers

PROGRAMME Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES

> CONNAISSANCES

Angle inscrit, angle au centre

Polygones réguliers

CAPACITÉS

CAPACITÉS

Connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit et l’angle au centre qui intercepte le même arc. ●

■ Commentaires Le résultat relatif à l’angle droit, établi en classe de Quatrième (sous une autre formulation), est ainsi généralisé. Cette comparaison entre angle inscrit et angle au centre permet celle de deux angles inscrits sur un même cercle interceptant le même arc. La recherche de l’ensemble des points du plan d’où l’on voit un segment sous un angle donné, autre que droit, est hors programme.

Construire un triangle équilatéral, un carré, un hexagone régulier connaissant son centre et un sommet.

●

■ Commentaires Les activités sur les polygones réguliers, notamment leur tracé à partir d’un côté, portent sur le triangle équilatéral, le carré, l’hexagone et éventuellement l’octogone. Certaines d’entre elles peuvent conduire à utiliser la propriété de l’angle inscrit.

Programme de la classe de Seconde > CONNAISSANCES

■ Commentaires

Triangles, quadrilatères, cercles

Les activités des élèves prennent appui sur les propriétés étudiées au collège.

CAPACITÉS ● Utiliser les propriétés des triangles, des quadrilatères, des cercles.

Socle commun des connaissances Construire un triangle équilatéral, un carré connaissant son centre et un de ses sommets.

Capacités des programmes des classes antérieures Construire le cercle circonscrit à un triangle. Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle.

● ●

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● Caractériser les points d’un cercle de diamètre donné par la propriété de l’angle droit.

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Commentaires des auteurs ➜ Pour un cercle, le vocabulaire relatif aux angles inscrits et aux angles au centre est établi. Deux points distincts A et B d’un cercle délimitent deux arcs de cercle différents : un petit et un grand. Nous avons préféré noter ces deux arcs de cercle de la  et grand arc AB.  même façon : petit arc AB De même, concernant les angles, nous avons préféré noter les angles rentrants (mesure inférieure ou égale à 180°) et les angles saillants (mesure supérieure ou l égale à 180°) de la même façon : AOB. On peut remarquer que les notations classiques d’un  ou d’un angle saillant AOB l ne seront pas grand arc AB utilisées au lycée.

➜ De façon naturelle, un polygone régulier est défini comme un polygone inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur. La propriété caractéristique « Si un polygone est régulier, alors tous ses angles ont la même mesure. » ainsi que la propriété « Si un polygone est régulier, alors tous ses angles au centre ont la même mesure. » sont démontrées en activités. La propriété « Si un polygone est inscrit dans un cercle et si tous ses angles au centre ont la même mesure, alors ce polygone est régulier. » est admise. Ces propriétés peuvent être utilisées lors de la construction de polygones réguliers.

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O M M E NTAIR E S

C ORRIGÉ

Cette activité incite l’élève à observer un polygone (ici un octogone) et remarquer certaines particularités géométriques.

1) a) Le polygone ABCDEFGH possède 8 côtés. b) Les longueurs des côtés paraissent être égales. 2) Un polygone ayant 8 côtés se nomme un octogone.

1

JE DÉCOUVRE LES ANGLES INSCRITS ET LES ANGLES AU CENTRE

Objectif Prérequis Paragraphes introduits

Introduire le vocabulaire spécifique. —

On établit également la notion de petit arc de cercle et de grand arc de cercle.

! Angle inscrit – Angle au centre Définition

C ORRIGÉ

A et B Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

■ C O M M E NTAIR E S Cette activité met en place le vocabulaire nécessaire dans cette leçon. L’élève est amené à différencier les deux types d’angles associés à un cercle (inscrit et au centre).

2

JE MESURE DES ANGLES INSCRITS ET DES ANGLES AU CENTRE

Objectif

Conjecturer la propriété liant angle inscrit et angle au centre.

Prérequis

Activité 1 (vocabulaire)

Paragraphes introduits

! Angle inscrit – Angle au centre Propriété 1

■ C O M M E NTAIR E S À travers l’utilisation d’un logiciel de géométrie, l’élève est amené à établir une conjecture et la vérifier dans tous les cas de figure. Il est nécessaire pour cette activité de maîtriser le vocabulaire. C O RRI G É

1 a) b) 2 a) b) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

c) La somme des deux mesures est égale à 180° car les deux angles forment un tour complet. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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3 a) et b) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

l = 53,58° 4 a) BDC  l intercepte le petit arc BC. b) Figure 1 : L’angle BDC  l intercepte le grand arc BC. Figure 2 : L’angle BDC c) Dans chaque cas, l’angle au centre qui intercepte l’arc  est l’angle BAC. l BC l = 107,16°. Pour la figure 1, on a : BAC l = 126,42°. Pour la figure 2, on a : BAC l = BDC l : 2. d) Dans chaque cas, on a : BAC 5 a) et b) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

La conjecture « Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. » semble être vraie dans tous les cas. CHAP. 15 - ANGLES INSCRITS – POLYGONES RÉGULIERS

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3

JE DÉMONTRE UNE PROPRIÉTÉ DE L’ANGLE AU CENTRE

Objectif

Démontrer la propriété conjecturée à l’activité 2.

Prérequis

● ●

Paragraphes introduits

Vocabulaire Angles d’un triangle isocèle

! Angle inscrit – Angle au centre Propriété 1

■ C O MMENTAIR E S Cette démonstration est classique. Le cas le plus simple est abordé dans la première partie, sa démonstration repose sur des propriétés élémentaires sur les angles. Les deux autres cas utilisent le résultat de la première partie. C O RRI G É

A 1 a) Les points M et B appartiennent au cercle (𝒞), donc OM = OB. Le triangle MOB est donc isocèle en O. b) Puisque le triangle MOB est isocèle en O, on en déduit que les angles associés à la base [BM] du triangle MOB ont l = OBM l = x. la même mesure. Ainsi : OMB c) Comme la somme des angles d’un triangle est égale à l = 180 – 2x. 180°, on a : BOM

4

l et BOM l sont supplémentaires, 2 Les angles AOB l l donc AOB = 180° – BOM = 180° – (180° – 2x) = 180° – 180° + 2x = 2x l = AMB, l on a bien : AOB l = 2 × AMB. l 3 Comme OMB B 1 Le centre du cercle appartient à un des côtés de l l’angle inscrit SMB. On peut donc utiliser le résultat démontré dans la partie A . l l = 2 × SMB. Ainsi, SOB De même, le centre du cercle appartient à un des côtés de l’angle inscrit . l l = 2 × AMS. Donc : AOS l, l + SOB l 2 Ainsi comme AOB = AOS l l ) = 2 × AMB. l l + SMB l l on a : AOB = 2 × AMS + 2 × SMB = 2 × (AMS C 1 Le centre du cercle appartient à un des côtés de l l’angle inscrit BMS. On peut donc utiliser le résultat démontré dans la partie A . l l = 2 × BMS. Ainsi : BOS De même, le centre du cercle appartient à un des côtés de l l’angle inscrit AMS. l l = 2 × AMS. Donc : AOS l + AOS l, l = BOS 2 Ainsi, comme AOB l + 2 × AMS l = 2 × (BMS l + AMS l ) = 2 × AMB. l = 2 × BMS l on a : AOB D « Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc de cercle. »

JE DÉMONTRE UNE PROPRIÉTÉ DE DEUX ANGLES INSCRITS Démontrer l’égalité des mesures de deux angles interceptant le même arc de cercle.

C ORRIGÉ

Prérequis

Propriété de l’angle au centre

Paragraphes introduits

! Angle inscrit – Angle au centre Propriété 2

l et l’angle au centre AOB l inter2 L’angle inscrit AMB l = 2 × AMB. l ceptent le même arc de cercle, donc AOB l et l’angle au centre AOB l interceptent L’angle inscrit ANB l l = 2 × ANB. le même arc de cercle, donc AOB On en déduit que : l l = 2 × ANB 2 × AMB l l donc AMB = ANB. 3 « Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure. »

Objectif

■ C O MMENTAIR E S Cette propriété est une conséquence de la propriété démontrée dans l’activité 3. Le cas où les points n’appartiennent pas au même arc de cercle sera abordé en exercice.

5

1

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

JE DÉCOUVRE DES POLYGONES RÉGULIERS

Objectif

Découvrir la définition d’un polygone régulier.

pour détecter parmi les polygones présentés ceux qui sont réguliers.

Prérequis

Les polygones usuels du collège

C ORRIGÉ

Paragraphes introduits

@ Polygones réguliers Définition

■ C O MMENTAIR E S Nous avons choisi de définir un polygone régulier comme étant un polygone inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur. Dans cette activité, l’élève est amené à considérer les deux conditions de cette définition

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1 Les polygones qui peuvent être inscrits dans un cercle sont : le rectangle, le carré, le triangle équilatéral, l’hexagone, un autre hexagone. 2 Les polygones dont les côtés ont la même longueur sont : le losange, le carré, le triangle équilatéral, un autre hexagone. 3 D’après la définition, les polygones réguliers sont donc : le carré, le triangle équilatéral, un autre hexagone.

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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JE DÉCOUVRE DES PROPRIÉTÉS DES POLYGONES RÉGULIERS

Objectifs

Découvrir le vocabulaire associés aux angles d’un polygone. ● Démontrer des propriétés relatives aux angles d’un polygone régulier.

Prérequis

●

●

●

Paragraphes introduits

Symétrie axiale Médiatrice d’un segment

@ Polygones réguliers Vocabulaire Propriétés 1 et 2

■ C OM M E NTAIR E S Cette activité définit d’abord la notion d’angle et d’angle au centre d’un polygone. Pour la démonstration, l’élève utilise les propriétés de la symétrie axiale. C ORRI G É

A 1 O est situé sur l’axe de la symétrie, donc O a pour symétrique lui-même. B est situé sur l’axe de la symétrie, donc B a pour symétrique lui-même. 2 a) D’après les codages, on peut dire que le point O est équidistant des points A et C.

Donc le point O appartient à la médiatrice de [AC]. De même, le point B est équidistant des points A et C. Donc le point B appartient à la médiatrice de [AC]. La médiatrice [AC] est donc la droite (AB). b) D’après la question précédente, (AB) est la médiatrice de [AC], donc, par définition de la symétrie axiale, on peut dire que le symétrique du point A est le point C. l l est l’angle BOC. 3 Le symétrique de l’angle AOB Comme la symétrie axiale conserve la mesure des angles, l l = BOC. on a : AOB 4 a) La symétrie d’axe (OC) permet de démontrer que l = COD. l BOC b) On démontrerait en considérant successivement les symétries d’axe (OA), (OB), (OC), (OD)… que les angles au l COD... l ont la même mesure. l BOC, centre AOB, 5 a) Un polygone à n côtés possède n angles au centre. b) La somme des mesures de tous les angles au centre est égale à 360°. 360 . c) La mesure d’un angle au centre est donc égale à n l B 1 Le triangle OAB est isocèle en A, donc les angles OAB l ont la même mesure. et OBA l = COD, l l = BOC 2 Comme AOB l l = OBC l = OCB l = OCD. on a : OBA l = BCD. l l + OBC l = OCB l + OCD l = OBA Ainsi : ABC

EXERCICES 1 a) L’angle vert et l’angle rouge interceptent le petit  arc DC. b) L’angle vert et l’angle rouge interceptent le petit  arc BD.  mais l’angle c) L’angle vert intercepte le petit arc BD,  rouge intercepte le petit arc EC. d) L’angle vert intercepte l’arc  EF, mais l’angle rouge  intercepte le petit arc EK. e) L’angle vert et l’angle rouge interceptent le grand  arc PM.  mais l’angle f) L’angle vert intercepte le grand arc KT,  rouge intercepte le petit arc KT. 2 a) L’angle bleu est un angle au centre qui intercepte le même arc que l’angle jaune qui est un angle inscrit. La mesure de l’angle bleu est donc égale au double de la mesure de l’angle jaune. Ainsi, l’angle bleu mesure 64°. b) L’angle bleu et l’angle jaune sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle. Ils ont donc la même mesure. Ainsi, l’angle bleu mesure 38°. c) L’angle bleu qui est un angle inscrit, intercepte le même arc de cercle que l’angle jaune qui est un angle au centre. La mesure de l’angle bleu est donc égale à la moitié de l’angle jaune. Ainsi, l’angle bleu mesure 43°. d) L’angle au centre qui intercepte le même arc de cercle que l’angle jaune mesure 280°. On a : 360° – 280° = 80°, donc l’angle bleu mesure 80°.

k = IFE k = 40°. 3 1) Le triangle IEF est isocèle en I, donc IEF 2) Dans le triangle EIF, on a : k = 180° – 2 × 40° = 180° – 80° = 100° EIF © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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l et l’angle au centre EIF k interceptent le L’angle inscrit EGF même arc de cercle  EF. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = EIF k : 2 = 100° : 2 = 50°. Donc : EGF 4 1) Polyglotte : qui sait parler plusieurs langues. Polyphonie : chant à plusieurs voix. Polymorphe : qui a plusieurs formes. Polyvalent : qui a plusieurs fonctions. 2) Un polygone ayant 5 côtés est un pentagone. Un polygone ayant 6 côtés est un hexagone. Un polygone ayant 8 côtés est un octogone. Un polygone ayant 10 côtés est un décagone. 5 a) Un triangle isocèle n’est pas régulier car ses trois côtés n’ont pas la même longueur. b) Un triangle rectangle n’est pas régulier car ses trois côtés ne peuvent pas avoir la même longueur. c) Un carré est régulier car ses quatre côtés ont la même longueur et il est inscrit dans un cercle. d) Un losange n’est pas régulier car il n’est pas inscrit dans un cercle. e) Un rectangle n’est pas régulier car il n’a pas ses quatre côtés de la même longueur. f) Un triangle équilatéral est régulier car ses trois côtés ont la même longueur et il est inscrit dans un cercle. 6 d)

a)

360° = 120° 3

360° = 45° 8

360° = 90° 4 360° e) = 36° 10 b)

360° = 60° 6 360° f) = 1,8° 200 c)

CHAP. 15 - ANGLES INSCRITS – POLYGONES RÉGULIERS

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a) Le polygone est un hexagone régulier. 360° = 60°. L’angle orange a une mesure égale à 6 L’angle marron mesure le double de l’angle orange, donc mesure 120°. L’angle vert mesure 60° car l’hexagone est divisé en 6 triangles équilatéraux. L’angle bleu mesure 120° car il a une mesure égale à deux fois l’angle vert. b) Le polygone est un pentagone régulier. 360° L’angle vert mesure = 72°. 5 L’angle bleu mesure (180° – 72°) : 2 = 108° : 2 = 54°. 7

8

1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

l et l’angle au centre EIG l inter2) L’angle inscrit EFG  ceptent le même arc de cercle EG. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l × 2 = 58° × 2 = 116°. Donc : l EIG = EFG 9

2)

14

l et l’angle inscrit CBH l inter10 1) L’angle inscrit CAH  ceptent le même arc de cercle CH. Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure. l = CBH l = 65°. Donc : CAH l et l’angle au centre COH l inter2) a) L’angle inscrit CBH  ceptent le même arc de cercle CH. b) Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = CBH l × 2 = 65° × 2 = 130°. Donc : COH l et l’angle au centre BOC l inter11 1) L’angle inscrit BTC  ceptent le même arc de cercle BC. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = BOC l : 2 = 142° : 2 = 71°. Donc : BTC  mesure l qui intercepte le grand arc BC 2) L’angle BOC 360° – 142° = 218°. l et l’angle au centre BOC l interceptent L’angle inscrit BDC  le même arc de cercle : le grand arc BC. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = BOC l : 2 = 218° : 2 = 109°. Donc : BDC

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16 1) Un octogone régulier possède huit côtés, donc un 360° angle au centre mesure = 45°. 8 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

17 Un décagone régulier possède dix côtés, donc un 360° angle au centre mesure = 36°. 10 Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

18 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Pour construire le cercle, on trace deux médiatrices afin d’obtenir le centre du cercle circonscrit. 13 1) Un triangle équilatéral est un polygone régulier ayant trois côtés, donc un angle au centre mesure 360° = 120°. 3

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Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) a) Les points A et B sont sur le cercle (𝒞) de centre O, donc OA = OB. De plus, OA = OB, donc le triangle AOB est équilatéral. De même, les triangles BOC, COD, DOE, EOF et FOA sont des triangles équilatéraux. b) Dans un triangle équilatéral, chaque angle a une mesure de 60°. l = DOE l = 60°. l = COD l = EOF Ainsi : AOB l = 360° – 5 × 60° = 60°. c) On a : FOA l = 60°. 3) Le triangle FOA est isocèle en O et on a : FOA l = OFA l = (180° – 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°. Donc : OAF Chaque angle du triangle AOF a une mesure égale à 60°, donc AOF est un triangle équilatéral. 4) Comme AOF est équilatéral, on en déduit que  : AF = OA = OF. Finalement, on a démontré que : AB = BC = CD = DE = EF = EA. Comme l’hexagone est de plus inscrit dans le cercle (𝒞), on peut affirmer que ABCDEF est un hexagone régulier. 19 On utilise le résultat démontré à l’exercice 18. On trace un cercle de rayon 3,5 cm. On place un point sur le cercle et à partir de ce point, on reporte cinq fois le rayon sur le cercle. On obtient un hexagone régulier. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

20 12 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

15 1) Un carré est un polygone régulier ayant quatre 360° côtés, donc un angle au centre mesure = 90°. 4 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

l et l’angle au centre FIG l interceptent L’angle inscrit FEG  le même arc de cercle FG. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = FEG l × 2 = 75° × 2 = 150°. Donc : FIG

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Le quadrilatère GRTS est inscrit dans un cercle. De plus, comme les segments [RS] et [GT] sont perpendil = ROT l = TOS l = SOG l = 90°. culaires, on a : GOR Si un polygone est inscrit dans un cercle et a tous ses angles au centre de la même mesure, alors ce polygone est régulier. Donc le quadrilatère GRTS est un quadrilatère régulier, c’est-à-dire un carré. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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l et l’angle au centre l et ATB 4) b) Les angles inscrits AKB  l interceptent le même arc de cercle : le petit arc AB. AOB Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = AOB l = AOB l : 2 et ATB l : 2. Donc : AKB 24

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

l et l’angle au centre KOB l inter3) a) L’angle inscrit KAB  ceptent le même arc de cercle : le grand arc KB. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = KAB l × 2 = 152° × 2 = 304°. Donc : KOB b) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

 a une mesure l qui intercepte le petit arc KB L’angle KOB égale à 360° – 304° = 56°. l et l’angle au centre KOB l interceptent L’angle inscrit KTB  le même arc de cercle : le petit arc KB. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = KOB l : 2 = 56° : 2 = 28°. Donc : KTB l et l’angle au centre GOF l inter25 1) L’angle inscrit GKF  ceptent le même arc de cercle : le petit arc GF. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = GOF l : 2 = 140° : 2 = 70°. Donc : GKF l et l’angle inscrit KGH l interceptent le L’angle inscrit KFH  même arc de cercle : le petit arc KH. Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure. l = KGH l = 30°. Donc : KFH 2) Dans le triangle KTF, on a d’après la question 1)  : l = KFH l = 30° et TKF l = GKF l = 70°. KFT Comme la somme des angles d’un triangle est égale à 180°, on en déduit que : l = 180° – (70° + 30°) = 180° – 100° = 80° KTF 26 1) La mesure d’un angle au centre d’un dodécagone 360° = 30°. régulier est égale à 12 2) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

27 1)

2)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Le triangle PRT semble être équilatéral. l + QOR l = 60° + 60° = 120°. l = PQR On a : POR © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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l = TOP l = 120°. De même, on démontre que : ROT De plus, le triangle PRT est inscrit dans le cercle de centre O. Si un polygone est inscrit dans un cercle et a tous ses angles au centre de la même mesure, alors ce polygone est régulier. Donc le triangle PRT est un polygone régulier, c’est-à-dire un triangle équilatéral. l est un angle au centre du nonaL’angle bleu HOG 360° gone régulier, donc sa mesure est égale à = 40°. 9 l et l’angle au centre HOG l ● L’angle inscrit mauve HDG  interceptent le même arc de cercle : le petit arc HG. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = HOG l : 2 = 40° : 2 = 20°. Donc : HDG l = GHO. l ● Le triangle HOG est isocèle en O, donc HGO Comme la somme des angles d’un triangle est égale à 180°, l = (180° – 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°. on a : HGO l a donc une mesure égale à 70°. L’angle jaune HGO k est un angle du nonagone régulier. ● L’angle IAB Si un polygone est régulier, alors tous ses angles ont la même mesure. k = 2 × IAO k = 2 × HGO l = 2 × 70° = 140°. Ainsi : IAB 28

●

29 1)

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2) Le triangle SMT est inscrit dans le cercle (𝒞) et [ST] est un diamètre de ce cercle. Or « Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l’un de ses côtés, alors il est rectangle. » Donc le triangle SMT est rectangle en M, c’est-à-dire l = 90°. SMT l et l’angle au centre SOR l interceptent L’angle inscrit SMR  le même arc de cercle : le petit arc SR. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = SOR l : 2 = 90° : 2 = 45° puisque d’après Donc  : SMR l = 90°. l’énoncé SMR l = SMT l : 2, ce qui prouve que la demi-droite [MR) Ainsi SMR l est la bissectrice de l’angle SMT. 30 a) On a : BC2 = 502 = 2 500 et AB2 + AC2 = 302 + 402 = 900 + 1 600 = 2 500. Donc : AB2 + AC2 = BC2. L’égalité de Pythagore est vérifiée dans le triangle ABC. Le triangle ABC est donc rectangle en A. l et l’angle inscrit ABC l interceptent b) L’angle inscrit AEC  le même arc de cercle : le petit arc AB. Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure. l = AEC l = 50°. Donc : ABC La somme des angles d’un triangle est égale à 180°, donc dans le triangle ABC, on a :

l = 180° – (ABC l + ACB l) BAC = 180° – (50° + 40°) = 180° – 90° = 90° l est droit, donc le triangle ABC est recAinsi l’angle BAC tangle en A. l et l’angle au centre BAC l interc) L’angle inscrit BDC  ceptent le même arc de cercle : le grand arc BC. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = BDC l × 2 = 135° × 2 = 270°. Donc : BAC  mesure donc l qui intercepte le petit arc BC L’angle BAC 360° – 270° = 90°. CHAP. 15 - ANGLES INSCRITS – POLYGONES RÉGULIERS

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l est droit, donc le triangle ABC est recAinsi l’angle BAC tangle en A.

l est donc un angle plat, ce qui prouve que les L’angle DEF points D, E et F sont alignés.

l est un angle au centre du pentagone 31 L’angle EOD l = 360° = 72°. régulier, donc EOD 5 l et l’angle au centre EOD l interceptent L’angle inscrit EKD  le même arc de cercle : le petit arc ED. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = EOD l : 2 = 72° : 2 = 36°. Donc : EKD

l et l’angle au centre POT l inter36 ● L’angle inscrit PRT  ceptent le même arc de cercle : le petit arc PT. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = PRT l × 2 = x × 2 = 2x. Donc : POT l interceptent ● L’angle inscrit PST l et l’angle au centre POT  le même arc de cercle : le grand arc PT. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = PST l l × 2 = 3x × 2 = 6x. Donc : POT 360° ● On a donc : 2x + 6x = 360°, c’est-à-dire = 45°. 8 l = 45°. Conclusion : PRT

32 1)

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2) Comme ABCDEF est un hexagone, on a : l = BOC l = COD l = 60°. AOB l = 3 × 60° = 180°. Donc : AOD Ainsi les points A, O et D sont alignés, donc [AD] est un diamètre du cercle dans lequel est inscrit le triangle ABD. Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l’un de ses côtés, alors il est rectangle. Par conséquent, le triangle ABD est rectangle en B. l et l’angle au centre AOB l inter3) L’angle inscrit ADB  ceptent le même arc de cercle : le petit arc AB. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = AOB l : 2 = 60° : 2 = 30°. Donc : ADB De plus, comme le triangle ADB est rectangle en B, les l et DAB l sont complémentaires. angles ADB l = 90° – 60° = 30°. Ainsi : DAB 33

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34 La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc, dans le triangle FGH, on a :

l + FGH l) l = 180° – (HFG FHG = 180° – (135° + 20°) = 180° – 155° = 25° l et l’angle au centre FOG l interceptent L’angle inscrit FHG  le même arc de cercle : le petit arc FG. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = FHG l × 2 = 25° × 2 = 50°. Donc : FOG Comme [EF] est un diamètre ,alors les points F, O et E sont l = 180° – FOG l = 180° – 50° = 130°. alignés, donc EOG 35 1)

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l et l’angle au centre COM l inter4) ● L’angle inscrit CAM  ceptent le même arc de cercle : le petit arc CM. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = CAM l × 2. Donc : COM l et l’angle au centre MOB l interceptent ● L’angle inscrit MAB  le même arc de cercle : le petit arc BM. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = MAB l × 2. Donc : MOB ● Comme la demi-droite [AM) est la bissectrice de l’angle l = MAB. l on a : CAM l CAB, l = CAM l × 2 = MAB l × 2 = MOB. l Donc : COM Cela prouve donc bien que la demi-droite [OM) est la bisl sectrice de l’angle COB. 38 1)

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l = 60°. 2) ACB est un triangle équilatéral, donc ACB Pour tout point N sur l’arc de cercle rouge, on a  l’angle l et l’angle inscrit ACB l qui interceptent le même inscrit ANC  arc de cercle : le petit arc AB. Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure. l = ACB l = 60°. Donc : ANC 39

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40

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l = 130°. 2) a) Comme ABE est un triangle équilatéral, BAE l – BAE l = 90° – 60° = 30°. l = ABD On a : DAE b) D’après l’énoncé, on a : AE = AB et comme AD = AB, alors AE = AD. Ce qui prouve que le triangle ADE est isocèle en A. l = ADE. l Ainsi : AED l = (180° – 30°) : 2 = 150° : 2 = 75°. On a donc : AED l = 30°. 3) a) On démontre de même que EBC Comme le triangle CBF est un triangle équilatéral, l = 60°. CBF l = EBC l + CBF l = 30° + 60° = 90°. Donc : EBF L’angle l EBF est droit, donc le triangle EBF est rectangle en B. b) Comme EB = BF, le triangle EBF est donc isocèle en B. De plus, on a prouvé qu’il est aussi rectangle en B, donc l = 45°. BEF l + AEB l + BEF l = DEA l = 75° + 60° + 45° = 180° 4) DEF

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37 1) 2) et 3)

Dans chacun des cas, les points A et B ne font pas partie de l’ensemble des solutions. 41

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360° . n Comme le triangle AOB est isocèle en O : l = OAB l = 180° – 360° : 2. OBA n l = 2 × OBA l = 2 × 180° – 360° : 2 = 180° – 360° . Donc : ABC n n

l = BOC l= 1) On a : AOB

(

)

(

)

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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B 1) On a : OC = OA et OA = OD. Donc les triangles OCA et OAD sont isocèles en O. De plus, comme les points C et D sont sur la médiatrice de [OA], alors OC = AC et OD = AD. Donc les triangles OCA et OAD sont équilatéraux. 2) La droite (CD) est la médiatrice du segment [OA], donc le point I est le milieu du segment [OA]. 3) Le triangle IOC est rectangle en I et on sait que OI = 1,5 et OC = 3, donc l’égalité de Pythagore s’écrit : IC2 = OC2 – OI2 = 32 – 1,52 = 9 – 2,25 = 6,75 On en déduit que : IC ≅ 2,6 cm arrondi au mm près. 4) a) Les droites (CD) et (BT) sont perpendiculaires à la droite (AB). Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles. Donc les droites (CD) et (BT) sont parallèles. b) On peut, d’après ce qui précède, appliquer le théorème de Thalès et on a : OC OI IC = = OT OB BT 3 1,5 = . Donc : OT = 3 × 3 = 6 cm. On en déduit que : OT 3 1,5 c) Les points O, M et T sont alignés et on vient de prouver que : OT = 2 × OM. On peut donc affirmer que le point M est le milieu du segment [OT]. C Méthode 1 : 1) Le triangle OCA est équilatéral, donc : l = OCI l = OCA l : 2 = 30° MCD l et l’angle inscrit MAD l interceptent 2) L’angle inscrit MCD  le même arc de cercle : le petit arc MD. Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure. l = MCD l = 30°. Donc : MAD l = 60°. 3) Comme le triangle OAD est équilatéral, on a : OAD l = 60° et MAD l = 30°. 4) On a : OAD Cela signifie que la demi-droite [AM) est la bissectrice issue de A dans le triangle OAD. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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44 Cas 1 : Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

l et l’angle inscrit ADC l interceptent le L’angle inscrit ABC  même arc de cercle : le (petit ou grand) arc AC. Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure. l = ADC. l Donc : ABC Cas 2 : Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

 l l’angle qui intercepte le petit arc CA. On désigne par COA  On désigne par COA l’angle qui intercepte le grand arc CA. l = 360°. On a : COA + COA l et l’angle COA l au centre interceptent L’angle inscrit ABC  le même arc de cercle : le petit arc CA. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = COA l : 2. Donc : ADC l et l’angle au centre COA interceptent L’angle inscrit ABC  le même arc de cercle : le grand arc CA. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = COA. Donc : ABC l + ADC l = COA : 2 + COA l :2 Ainsi : ABC l ) : 2 = 360° : 2 = 180° = (COA + COA l et ADC l sont donc dans ce cas suppléLes angles ABC mentaires. l

A

l

43

l

À l’échelle 1/500, le rayon du cercle est de 5,2 cm. 2) L’angle au centre d’un octogone régulier a une mesure 360° = 45°. de 8 On trace la hauteur issue de O dans le triangle OBC. l Cette hauteur est aussi la bissectrice de l’angle COB. Dans le triangle BOH rectangle en H, on a donc : l = BH sin (BOH) OB l = 45° : 2 = 22,5°, on a ainsi : Comme BOH l = 26 × sin (22,5°). BH = OB × sin (BOH) On en déduit : BC = 2 × 26 × sin (22,5°). Ainsi : BC ≅ 20 m. 3) a) Le petit octogone est une réduction du grand octogone. 15 . Le coefficient de réduction est égal à 20 On en déduit que son rayon est environ égal à : 15 ≈ 20 m. 26 × 20 b) Sur le plan, le rayon OM du petit octogone est égal à 4 cm.

l

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l

42 1)

Comme ce triangle est équilatéral, la bissectrice est aussi la médiatrice du côté [OD]. Par conséquent, la droite (MA) est bien la médiatrice du côté [OD]. 5) La droite (MA) coupe donc le segment [OD] en son milieu, appelons-le K. D’après le théorème des milieux appliqué dans le triangle ODT avec K milieu de [OD] et M milieu de [OT], on en déduit que les droites (AM) et (TD) sont parallèles. Or la droite (AM) est perpendiculaire à la droite (OD). Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Par conséquent, la droite (TD) est perpendiculaire à la droite (OD). Comme elle passe par le point D, la droite (TD) est donc bien la tangente au cercle au point D. Méthode 2 : 1) On sait que le point M est le milieu du segment [OT], donc MO = MT. De plus, I est le milieu de [CD] et O est le milieu de [CM], donc en appliquant le théorème des milieux dans le triangle MDC, on peut affirmer que : MD = 2 × IO = 2 × 1,5 = 3 = MO On a donc bien finalement : MO = MD = MT. 2) D’après la question précédente, M milieu de [OT] est donc le centre du cercle circonscrit du triangle ODT. Le segment [OT] est ainsi un diamètre de ce cercle. Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l’un de ses côtés, alors il est rectangle. Par conséquent, le triangle ODT est rectangle en D. 3) Finalement, la droite (TD) est perpendiculaire à la droite (OD) et elle passe par le point D, la droite (TD) est donc bien la tangente au cercle au point D.

l

360° 360° + = 180°. n n l et AOB l sont donc bien supplémentaires. Les angles ABC

l = 180° – l + AOB 2) ABC

45 1) ● Pour n = 4, le polygone est un quadrilatère. On a : 4 × (4 – 3) = 2. Un carré a bien deux diagonales. 2 La formule est donc bien vraie pour n = 4. CHAP. 15 - ANGLES INSCRITS – POLYGONES RÉGULIERS

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Pour n = 5, le polygone régulier est un pentagone régulier. On a : 5 × (5 – 3) = 5. Un pentagone a bien cinq diagonales. 2 La formule est donc bien vraie pour n = 5. ● Pour n = 6, le polygone régulier est un hexagone. On a : 6 × (6 – 3) = 9. Un hexagone a bien neuf diagonales. 2 La formule est donc bien vraie pour n = 6. 2) Pour un sommet du polygone, une diagonale du polygone se construit en le reliant à un autre sommet du polygone différent de lui-même et des deux sommets voisins. Il y a donc (n – 3) segments reliant ce sommet aux autres sommets du polygone, donc diagonales pour chaque sommet. Comme il y a n sommets, on a donc n(n – 3) procédés de construction des diagonales. Chaque diagonale a été comptée deux fois (une fois par extrémité), il faut donc diviser le résultat par 2.

l est un angle au centre de l’octogone régulier, 2) a) AOB 360° l donc AOB = = 45°. 8 b) Comme le triangle AOB est isocèle en O, la droite (OK) est la bissectrice issue de O et la hauteur issue de O. l = 45° = 22,5°. Donc : AOK 2 l = AK . Le triangle AOK est rectangle en K, donc AOK OA l = 5,2 × sin (22,5°) ≈ 1,99 m Ainsi : AK = OA × sin (AOK) arrondi au cm près. c) On a : AB = 2 × AK, donc AB ≈ 3,98 m. On en déduit le périmètre de l’octogone : 8 × 3,98 = 31,84 m Une valeur approchée du périmètre de la piscine est 31,84 m.

46 Un hexagone a six côtés et un pentagone a cinq côtés. La longueur totale des côtés est : 20 × 6 × 4,3 + 12 × 5 × 4,3 = 516 + 258 = 774 cm Chaque côté est cousu avec un autre côté, il faut donc diviser par deux la longueur totale nécessaire de couture, soit 774 : 2 = 387 cm. La longueur totale de fil nécessaire est donc : 3 × 387 cm = 1 161 cm = 11,61 m

l = 60°. Le triangle OAB est équilatéral, donc AOB l et l’angle au centre AOB l interceptent L’angle inscrit AKB  le même arc de cercle : le petit arc AB. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = AOB l : 2 = 60° : 2 = 30°. Donc : AKB

●

l interl et l’angle inscrit BDC 47 1) L’angle inscrit BEC  ceptent le même arc de cercle : le petit arc BC. Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure. l = 28°. l = BDC Donc : BEC l et l’angle au centre BDC l inter2) L’angle inscrit BAC  ceptent le même arc de cercle : le petit arc BC. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = BDC l × 2 = 28° × 2 = 56°. Donc : BAC l l’angle qui intercepte le petit 48 On désigne par AOB

 arc AB.  On désigne par AOB l’angle qui intercepte le grand arc AB. l = 360°. Donc AOB = 360° – 78° = 282°. On a donc : AOB + BOA l et l’angle au centre AOB l interceptent ● L’angle inscrit ADB  le même arc de cercle : le petit arc AB. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = AOB l : 2 = 78° : 2 = 39°. Donc : ADB l et l’angle AOB au centre interceptent ● L’angle inscrit ACB  le même arc de cercle : le grand arc AB. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = AOB : 2 = 282° : 2 = 141°. Donc : ACB l

l

l

l

l

49

50

51 1)

168

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Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

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52

53 1)

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l est un angle au centre de l’hexagone régulier , 2) a) EOF 360° l donc EOF = = 60°. 6 k et l’angle au centre EOF l interceptent le L’angle inscrit EIF  même arc de cercle : le petit arc EF. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. k = EOF l : 2 = 60° : 2 = 30°. Donc : EIF b) Comme EFGHIJ est un hexagone, on a : l = FOG l = GOH l = 60° EOF l = 3 × 60° = 180°. Donc : EOH Ainsi, les points E, O et H sont alignés, donc [EH] est un diamètre du cercle dans lequel est inscrit le triangle EHI. Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l’un de ses côtés, alors il est rectangle. Par conséquent, le triangle EHI est rectangle en I. l = 90°. Donc : EIH l et l’angle au centre FOG l interc) L’angle inscrit FHG  ceptent le même arc de cercle : le petit arc FG. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = FOG l : 2 = 60° : 2 = 30°. Donc : FHG 54 Le triangle RST est équilatéral, donc :

l = TRS l = RST l = 60° STR Comme le point I est le milieu du segment [SR] et que RST est équilatéral, la demi-droite [TI) est la bissectrice de l Donc : STI k = 30°. l’angle STR. l et ITS k interceptent le même arc ● Les angles inscrits IMS  de cercle : le petit arc IS. Or, dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. l = ITS k = 30°. Donc : IMS l et TSI k interceptent le même arc ● Les angles inscrits TMI  de cercle : le petit arc IT. Or, dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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l = TSI k = 60°. Donc : TMI l et l’angle au centre IOT l interceptent ● L’angle inscrit TMI  le même arc de cercle : le petit arc IT.

JE FAIS LE POINT 65

Les exercices 55 à 64 sont corrigés à la page 310 du manuel élève.

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l et l’angle au centre AOC l interceptent L’angle inscrit ABC  le même arc de cercle : le petit arc AC. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = ABC l × 2 = 60° × 2 = 120°. Donc : AOC 66 1)

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2) Le triangle AEB est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés [AB]. Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l’un de ses côtés, alors il est rectangle. Le triangle AEB est donc rectangle en E. 3) b) Le triangle EOB est isocèle en O, donc : l = OBE l = 35° OEB La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Ainsi, dans le triangle OEB, on a : l = 180° – 2 × 35° = 180° – 70° = 110° EOB l et l’angle au centre EOB l interceptent c) L’angle inscrit EKB  le même arc de cercle : le petit arc EB. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = EOB l : 2 = 110° : 2 = 55°. Donc : EKB 67 1)

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

l et l’angle au centre AOM l inter2) ● L’angle inscrit ACM  ceptent le même arc de cercle : le petit arc AM. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = AOM l : 2. Donc : ACM l et l’angle au centre MOB l interceptent ● L’angle inscrit MCB  le même arc de cercle : le petit arc BM. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = MOB l : 2. Donc : MCB l, ● Comme la demi-droite est la bissectrice de l’angle AOB l = MOB. l alors AOM l = AOM l : 2 = MOB l : 2 = MCB. l Ainsi : ACM Cela prouve donc que la demi-droite [OM) est la bissectrice l de l’angle ACB. 68 1) et 5) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

l et l’angle au centre AEB l inter2) L’angle inscrit ADB  ceptent le même arc de cercle : le petit arc AB. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = TMI l × 2 = 60° × 2 = 120°. Donc : IOT

Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = AEB l : 2 = 43° : 2 = 26°. Donc : ADB 3) [AD] est un diamètre du cercle dans lequel est inscrit le triangle ABD. Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l’un de ses côtés, alors il est rectangle. Par conséquent, le triangle ABD est rectangle en B. 4) Le triangle ABD est rectangle en B. l = AB . Ainsi, on a : sin (ADB) AD l = 9 × sin (23°) ≈ 3,52 cm. Donc : AB = AD × sin (ADB) 6) On a E milieu de [AD], F ∈ [BD] et (EF) // (AB). Donc on peut affirmer que le point F est le milieu de [BD]. Ainsi, dans le triangle ABD, E est le milieu de [AD], F est AB 3,53 le milieu de [BD], donc EF = ≈ ≈ 1,8 cm arrondi 2 2 au dixième de centimètre. 69 1) Le triangle ABD est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés [BD]. Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l’un de ses côtés, alors il est rectangle. Le triangle ABD est donc rectangle en A. 2) Le triangle ABC est équilatéral. Donc : l = ACB l = BAC l = 60° ABC l et l’angle inscrit ACB l interceptent le L’angle inscrit ADB  même arc de cercle : le petit arc AB. Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure. l = ACB l = 60°. Donc : ADB l et l’angle au centre AOB l inter3) L’angle inscrit ACB  ceptent le même arc de cercle : le petit arc AB. Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. l = ACB l × 2 = 60° × 2 = 120°. Donc : AOB 70 1) a) ABCDE est un polygone régulier de centre O, l = 360° = 72°. donc AOB 5 b) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) Le triangle AHO est isocèle en O, donc la bissectrice issue de O est aussi la hauteur issue de O. l = 90°. Ainsi : AHO l, Comme [OH) est la bissectrice de l’angle AOB 72° l= on a : AOH = 36°. 2 3) a) Dans le triangle AOH rectangle en H, on a : l = AH sin (AOH) AO l = 6 × sin (36°) ≈ 3,5 cm. Ainsi : AH = AO × sin(AOH) b) Ainsi : AB = 2 × AH ≅ 7 cm. 4) Comme le triangle AOB est isocèle en O, alors : l = (180° – 72°) : 2 = 54° OBA CHAP. 15 - ANGLES INSCRITS – POLYGONES RÉGULIERS

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l = OBC. l ABCDE est un pentagone régulier, donc ABO l = ABO l + OBC l = 2 × ABO l = 2 × 54° = 108° ABC 71 A 1) Le polygone (P) a n côtés. D’après le procédé de construction, le polygone (R) est obtenu en reliant les n sommets du polygone (P) avec n nouveaux points. Le nombre de côtés du polygone (R) est donc 2n. 2) Pour r = 0,5, on a :

√

(

√

ℓ’ = 2 × 0,5 0,5 – 0,52 –

) √

√

ℓ2 ℓ2 = 0,5 – 0,25 – 4 4

B 1) Comme ABCD est un carré inscrit dans le cercle (𝒞) de centre O, on peut dire que le triangle est isocèle rectangle en O. L’égalité de Pythagore s’écrit : AB2 = OA2 + OB2. Donc : AB2 = 2 × OA2 = 2 × 0,52. On en déduit que : AB = √2 × 0,52 = √2 × √0,52 = 0,5√2. 2) 3) 4) et 5) Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

C Les valeurs de la colonne C semblent s’approcher du nombre. Plus on augmente le nombre de côtés du polygone inscrit dans le cercle, plus on s’approche de la forme du cercle. Le rayon du cercle est égal à 0,5. La longueur du cercle est donc égale, d’après la formule, à : 2 × rayon × π = 2 × 0,5 × π = 1 × π = π Le titre de la colonne C est « Périmètre du polygone ». À chaque étape, le périmètre du polygone s’approche donc de la longueur du cercle. 72 1) Le bâtiment est un polygone ayant cinq côtés, c’est donc géométriquement un pentagone. 2) a) L’échelle est 1/4000. De plus, 28 m = 28 000 cm. 28 000 : 4 000 = 7 La longueur du segment représentant le mur externe est donc égale à 7 cm.

b) Le polygone est un pentagone régulier, donc un angle 360° = 72°. au centre a une mesure de 5 c) Comme le triangle AOB est isocèle en O, l = (180° – 72°) : 2 = 54°. alors OBA l = OBC. l ABCDE est un pentagone régulier, donc ABO l = ABO l + OBC l = 2 × ABO l = 2 × 54° = 108° ABC La mesure d’un angle du Pentagone est égale à 108°. d) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

73 1) Il y a un très grand nombre de côtés. Donc la forme du polygone s’approche de celle d’un cercle (voir exercice 71). 2) a) et b) Le polygone est un polygone régulier ayant 64 côtés. Par conséquent, un angle au centre a une mesure égale 360° à = 5,625°. 64 l est un angle au centre et [OH) est la bissectrice de SOA. l SOA Ainsi : a = 5,625 : 2 = 2,812 5. c) On calcule d’abord l’aire du triangle AOS. [OA] est un rayon du cercle, donc OA = 128 : 2 = 64 m. AH . Le triangle OAH est rectangle en H, donc on a : sin (a) = OA Donc : AH = OA × sin (a) = 64 × sin (2,812 5) ≈ 3,14 m OH et cos (a) = . OA OH = OA × cos (a) = 64 × cos (2,812 5) ≈ 63,92 mm. Ainsi : Aire(OAH) = (2 × AH) × OH = AH × OH 2 ≈ 3,14 × 63,92 ≈ 200,71 m2 Le polygone régulier est composé de 64 rectangles identiques au triangle OAS. On en déduit une valeur approchée de l’aire du polygone (ℛ) : 64 × 200,71 = 12 845,44 m2. d) Le volume du bassin correspond au volume d’un prisme dont la base est le polygone (ℛ) et de hauteur 4,5 m. Donc : Volume = Aire de la base × hauteur ≈ 12 845,44 × 4,5 ≈ 57 804,48 m3

Exercices d’évaluation du socle commun 1

2

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

3 Les points A et B sont sur le cercle de centre O, donc OA = OB. De plus, d’après la construction d’Éléonore, le triangle AOB est équilatéral. De même, les triangles BOC, COD, DOE, EOF et FOA sont des triangles équilatéraux. Dans un triangle équilatéral, chaque angle a une mesure de 60°. l = COD l = DOE l = EOF l = 60°. Ainsi : AOB l = 2 × AOB l = 2 × 60° = 120°. On a donc : AOC l = EOA l = 120°. De même, on démontre que : COE Or, si un polygone est inscrit dans un cercle et si tous ses

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angles au centre ont la même mesure, alors ce polygone est régulier. Donc le triangle ACE est un polygone régulier, c’est-à-dire un triangle équilatéral. 4 Un exemple de « découpe » : Il choisit deux points A et B sur le bord de la pizza ; il découpe en suivant la médiatrice du segment [AB]. La pizza est alors partagée en deux. On note C et D les points d’intersection de cette médiatrice avec le bord de la pizza. ● Il découpe suivant la médiatrice du segment [CD]. La pizza est alors partagée en quatre. ● Il effectue ensuite deux découpes supplémentaires en suivant les bissectrices passant par O des morceaux obtenus. La pizza est ainsi partagée en huit parts équitables d’un point de vue mathématiques mais cela reste bien sûr approximatif (on peut aussi replier la pizza trois fois sur elle-même…). ●

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A P I TR H

C

E

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Aires et volumes PROGRAMME

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES Calculs d’aires et volumes Effet d’une réduction ou d’un agrandissement

CAPACITÉS Calculer l’aire d’une sphère de rayon donné. Calculer le volume d’une boule de rayon donné. ● Connaître et utiliser le fait que, dans un agrandissement ou une réduction de rapport k : – l’aire d’une surface est multipliée par k2, – le volume d’un solide est multiplié par k3. ● ●

■ Commentaires Il s’agit aussi d’entretenir les acquis des années précédentes  : aires des surfaces et volumes des solides étudiés dans ces classes.

Dans le cadre du socle commun, les surfaces dont les aires sont à connaître sont celles du carré, du rectangle, du triangle, du disque et les solides dont les volumes sont à connaître sont ceux du cube, du parallélépipède rectangle, du cylindre droit et de la sphère.

> CONNAISSANCES Sphère, centre, rayon Problèmes de sections planes de solides

CAPACITÉS ● Connaître la nature de la section d’une sphère par un plan. ● Connaître et utiliser les sections d’un cône de révolution et d’une pyramide par un plan parallèle à la base.

Programme de la classe de Seconde Les solides usuels étudiés au collège : parallélépipède rectangle, pyramides, cône et cylindre de révolution, sphère. Manipuler, construire, représenter en perspective des solides.

C’est l’occasion d’effectuer des calculs de longueur, d’aire et de volumes.

Socle commun des connaissances Calculer une longueur, une aire, un volume, une vitesse, une durée.

Indications pour l’évaluation en situation Les exigences relatives aux valeurs en jeu dans les calculs sont les mêmes que celles de la partie «  Nombres et calculs ». Aux exigences du cycle central s’ajoutent la connaissance

et l’utilisation de l’effet d’une réduction ou d’un agrandissement sur l’aire et le volume. Il s’agit par ailleurs : – d’utiliser un multimètre ; – d’utiliser un pied à coulisse ; – de mesurer un volume et une masse, par exemple dans des situations de conservation et de non conservation de ces grandeurs.

Capacités des programmes des classes antérieures ● Les élèves savent calculer les aires des figures suivantes : – rectangle, triangle, disque (école primaire et classe de Sixième) ; – parallélogramme (classe de Cinquième). Ils peuvent aussi décomposer une figure complexe ou la surface d’un solide afin de calculer son aire. ● Les élèves savent calculer les volumes des solides suivants :

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– parallélépipède rectangle (classe de Sixième) ; – prisme droit, cylindre de révolution (classe de Cinquième) ; – pyramide, cône de révolution (classe de Quatrième). ● En Quatrième, les élèves ont aussi appris à agrandir ou réduire une figure plane en utilisant la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir. CHAP. 16 - AIRES ET VOLUMES

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Commentaires des auteurs ➜ Les formules de calcul de l’aire d’une sphère et de volume d’une boule sont données. Il n’est pas possible de démontrer ces formules au collège. L’exercice 74 propose une explication de la formule de l’aire de la sphère. L’exercice 75 propose une explication de la formule du volume de la boule. La page 283 explique comment appliquer ces formules à l’aide de la calculatrice.

➜ La propriété donnant l’aire et le volume d’un solide agrandi ou réduit est étudiée dans ce chapitre. Les natures de sections planes d’une pyramide ou d’un cône de révolution ont été étudiées au chapitre 14 « Géométrie dans l’espace ». Dans ce chapitre, on étudie l’aire et le volume des solides réduits obtenus après section.

ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O MMENTAIR E S Se rendre compte sur un exemple que si on divise toutes les dimensions d’un objet par 2, alors sa masse n’est pas divisée par 2. C O RRI G É 1) Chacune des dimensions de la statue B est deux fois plus petite que celle correspondante de la statue A.

1

JE DÉCOUVRE LA FORMULE DE L’AIRE D’UNE SPHERE

Objectif

Énoncer la formule de l’aire d’une sphère.

Prérequis

Connaître la formule de l’aire du disque.

Paragraphes introduits

! Aire d’une sphère – Volume d’une boule

■ C O MMENTAIR E S Cette activité, utilisant un fichier Geospace, permet de faire le rapport entre l’aire d’un disque et l’aire d’une sphère de même rayon.

2

2) Par contre, la masse de la statue B, si elle se révèle naturellement inférieure à celle de la statue A, n’est pas égale à la moitié de la masse de A. On peut remarquer que : 800 g = 0,8 kg. La masse de la statue A est donc égale à 8 fois celle de la statue B. Ceci est normal car la masse de ces statues est proportionnelle au volume.

C ORRIGÉ

2 Il semble que : Q = 4. C’est-à-dire : 𝒜2 = 4. 𝒜1 Il semble donc que : 𝒜2 = 4 × 𝒜1. L’aire de la sphère bleue semble être égale au quadruple de l’aire du disque rouge. 3 a) Aire d’un disque de rayon r : 𝒜1 = π × r2 b) On admet que l’aire de la sphère est le quadruple de l’aire d’un disque de même rayon. Ainsi : 𝒜2 = 4 × π × r2.

J’AGRANDIS OU JE RÉDUIS UN SOLIDE

Objectif

Comprendre que lorsqu’un pavé droit est agrandi ou réduit (le rapport d’agrandissement ou de réduction étant k) : – l’aire d’une face est multipliée par k2 ; – son volume est multiplié par k3.

Prérequis Paragraphe introduit

—

@ Agrandissement ou réduction d’un solide

■ C O MMENTAIR E S Cette activité permet d’énoncer ces propriétés dans le cas d’un pavé droit. Ces propriétés ne sont pas démontrées ni pour un pavé droit quelconque, ni à fortiori pour un solide quelconque.

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C ORRIGÉ

A 1 L’aire de la face avant du solide violet est égale à 9 × 𝒜. 2 L’aire de la face avant du solide bleu est égale à 1 × 𝒜. 2 3 On remarque que : 9 = 32 et 1 = 1 .

(2)

4

4 Il semble ainsi que l’aire de la face avant du solide obtenu est égale à k2 × 𝒜. B 1 Dans le solide violet, on peut compter 9 solides verts sur 3 couches. Le volume du solide violet est égal à 27 × 𝒱. 2 8 solides bleus peuvent contenir dans le solide vert (4 sur 2 couches). 1 Le volume du solide bleu est égal à × 𝒱. 8 3 3 On remarque que : 27 = 33 et 1 = 1 . 8 2 Il semble ainsi que le volume du solide obtenu est égal à k3 × 𝒱.

()

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EXERCICES 1) La face avant est une base du prisme. 10 = 5 cm2. Aire du triangle bleu : b × h = 2 2 2) La face orange est un rectangle (face latérale d’un prisme). Vu ses dimensions, la face orange est un carré. Aire du carré orange : c2 = (4 cm)2 = 16 cm2. 3) La face de dessous est un rectangle. Aire du rectangle : L × ℓ = 5 cm × 4 cm = 20 cm2. 1

2 1) Les bases du cylindre sont des disques. Aire du disque : π × r2 = 9π cm2. 2) a) Périmètre du disque : 2 × π × r = 6π cm. b) L’aire latérale du cylindre est donc égale à : 6π cm × 7 cm = 42π cm2 3 𝒜 = 4 × π × r2 a) 4 × π × 52 = 4 × π × 25 = 100π cm2 b) 4 × π × 72 = 4 × π × 49 = 196π m2 c) 4 × π × 32 = 4 × π × 9 = 36π mm2 d) 4 × π × 0,52 = 4 × π × 0,25 = π m2

4 6 912 × π × (12 cm)3 = π cm3 3 3 𝒱 = 2 304π cm3 𝒱 ≈ 7 238 cm3 arrondi au centimètre cube près 16 Diamètre = 9 cm, donc rayon r = 4,5 cm. 4 𝒱 = × π × (4,5 cm)3 3 243 π cm3 𝒱 =  2 𝒱 ≈ 382 cm3 arrondi au centimètre cube près

4 a) 13 = 1 × 𝒱 = π m3 3 b) 33 = 3 × 3 × 3 = 27 4 27 × = 9 × 4 = 36 3 𝒱 = 36π mm3 c) 4 : 2 = 2 et 23 = 8. 4 32 8× = 3 3 32 π cm3 𝒱= 3

17 Diamètre = 6,5 cm, donc rayon r = 3,25 cm. 1) 𝒜 = 4 × π × (3,25 cm)2 = 42,25π cm2 𝒜 ≈ 133 cm2 arrondi au centimètre carré près 4 2 197 2) 𝒱 = × π × (3,25 cm)3 = π cm3 3 48 𝒱 ≈ 144 cm3 arrondi au centimètre cube près 18 𝒱 = π × r2 × h = π × (5 cm)2 × (9 cm) 𝒱 = π × 25 cm2 × 9 cm 𝒱 = 225π cm3 𝒱 ≈ 707 cm3 arrondi au centimètre cube près

7 a) Chaque longueur est multipliée par 3. b) 32 = 9. Chaque aire est multipliée par 9. c) 33 = 27. Son volume est multiplié par 27. 1 a) Sa hauteur est multipliée par . 4 2 1 1 1 b) . L’aire de sa base est multipliée par . = 4 16 16 13 1 1 . Son volume est multiplié par . c) = 4 64 64 1 d) Son aire totale est multipliée par . 16 8

() ()

2) 𝒱 = 120 ×

74 = = 37 cm (12) = 148 4 2 2

2

= 15 cm (14) = 120 8 3

3

10 La pizza familiale est un agrandissement de rapport 2 de la pizza individuelle puisque la longueur du rayon est doublée. L’aire de la pizza familiale est donc multipliée par k2 = 4 par rapport à l’aire de la pizza individuelle. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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13 𝒜 = 4 × π × (13 cm)2 𝒜 = 676π cm2 𝒜 ≈ 2 124 cm2 arrondi au centimètre carré près

15 𝒱 =

𝒱 =  π × r3

1) 𝒜 = 148 ×

12 On peut remarquer que : 1 600 = 1,6 × 1 000. De plus : 1 000 = 10 × 10 × 10. Ainsi : 1 600 = 1,6 × 103. Le rapport d’agrandissement serait 10, donc le rapport de 1 réduction est . 10

4 × π × (3,5 cm)3 3 𝒱 ≈ 180 cm3 arrondi au centimètre cube près

5 𝒱 = aire d’une base × 7 cm 𝒱 = 9π cm2 × 7 cm 𝒱 = 63π cm3

9

11 𝒜 = 81π cm2 × 22 = 81 × 4π cm2 𝒜 = 324π cm2

14 𝒱 =

4 𝒱 = aire du triangle bleu × 4 cm 𝒱 = 5 cm2 × 4 cm = 20 cm3

6

La pizza individuelle est donc 4 fois plus petite que la pizza familiale. Seule la fille a raison.

19 ℬ = 6,4 cm × 5 cm = 32 cm2 1 1 𝒱 = × ℬ × h =  × 32 cm2 × 6 cm 3 3 𝒱 = 64 cm3 Il s’agit d’une valeur exacte, donc aussi de l’arrondi au centimètre cube près. 20 1) Lors de l’agrandissement, toutes les longueurs ont 3 été multipliées par . 2 La hauteur h du prisme bleu est donc : 3 h = × 3,2 m = 4,8 m 2 2) Lors de l’agrandissement, les aires ont été multipliées 32 . par 2 32 𝒜 = aire du prisme violet × 2 9 𝒜 = 4,5 cm2 × = 4,5 cm2 × 2,25 4 𝒜 = 10,125 cm2 L’aire du prisme bleu est 10,125 cm2.

()

()

CHAP. 16 - AIRES ET VOLUMES

173

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21 Lors de la réduction, le volume a été multiplié par 0,753. 𝒱boule verte = 0,753 × 𝒱boule rose  𝒱boule verte = 0,753 × 2,304 π 𝒱boule verte = 0,972π cm3 𝒱boule verte ≈ 3,054 mm3 au millimètre cube près 22 1) a) 𝒜 = 6 × (7 m)2 = 6 × 49 m2 = 294 m2 b) 𝒱 = (7 m)3 = 343 m3 2) a) Lors de l’agrandissement, les aires ont été multipliées par 2,52. 𝒜grand cube = 2,52 × 294 m2 = 1 837,5 m2 b) Lors de l’agrandissement, le volume a été multiplié par 2,53. 𝒱grand cube = 2,53 × 343 m3 = 5 359,375 m3 23 1) Lors de la réduction, les aires ont été multipliées 12 . 3 Aire 𝒜 de la face avant du pavé vert : 12 × 18,9 cm2 = 2,1 cm2 𝒜 =  3 1 2) Le pavé vert est une réduction de rapport du pavé 3 orange, donc le pavé orange est un agrandissement de rapport 3 du pavé vert. Lors de l’agrandissement, le volume a été multiplié par 33. 𝒱pavé orange = 33 × 𝒱pavé vert 𝒱pavé orange = 27 × 94,5 cm3 = 2 551,5 cm3 par

()

()

24 La surface du prisme droit se compose de deux triangles identiques et de trois rectangles. Aire de chaque base : 𝒜base =  b × h = 2,1 m × 2,8 m = 2,94 m2 2 2 Aire latérale : 𝒜latérale =  Périmètre de la base × h 𝒜latérale = (2,1 m + 2,8 m + 3,5 m) × 4 m 𝒜latérale = 8,4 m × 4 m = 33,6 m2 Aire totale : 𝒜totale = 2 × 𝒜base + 𝒜latérale = 2 × 2,94 m2 + 33,6 m2 𝒜totale = 39,48 m2 25 La pyramide est constituée d’une base carrée et de quatre triangles identiques. Aire de la base : 𝒜base = c2 = (4,2 cm)2 = 17,64 cm2 Aire latérale : 𝒜latérale =  4 × 4,2 m × 7,5 m = 63 cm2 2 Aire totale de la pyramide : 𝒜totale = 𝒜base + 𝒜latérale 𝒜totale = 17,64 cm2 + 63 cm2 = 80,64 cm2 26 𝒜 = 4 × π × r2 = 4 × π × (20 mm)2 𝒜 = 4 × π × 400 mm2 = 1 600π mm2 𝒜 ≈ 5 027 mm2 arrondi au millimètre carré près

4 4 × π × r3 = × π × (28,5 mm)3 3 3 4 𝒱 = × π × 23 149,125 mm3 3 𝒱 = 30 865,5π mm3 𝒱 ≈ 96 967 mm3 arrondi au millimètre cube près 29 𝒱 =

1 30 1) 𝒱pyramide =  × B × h (B étant l’aire de la base) 3 1 1 𝒱pyramide =  × (6 cm)2 × 3 cm = × 36 cm2 × 3 cm 3 3 𝒱pyramide = 36 cm3 4 2) 𝒱boule =  × π × r3 3 4 𝒱boule =  × π × (3 cm)3 = 36π cm3 3 𝒱boule ≈ 113 cm3 arrondi au centimètre cube près 3) 𝒱pavé droit = a × b × c = 6 cm × 6 cm × 9 cm 𝒱pavé droit = 324 cm3 Le volume 𝒱 non occupé par la boule et la pyramide est : 𝒱 = 324 cm3 – (36 cm3 + 113 cm3) 𝒱 ≈ 175 cm3 13 . 31 Lors de la réduction, le volume est multiplié par 3 13 𝒱= × 54π cm3 3 54π 𝒱= cm3 27 𝒱 = 2π cm3

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32 Soit k la rapport d’agrandissement. Lors de l’agrandissement, les aires sont multipliées par k2. 𝒜solide agrandi = k2 × 𝒜solide initial c’est-à-dire : 200 cm2 = k2 × 8 cm2. 200 cm2 Ainsi : k2 =  = 25. Or k > 0, donc k = √25 = 5. 8 cm2 Le rapport de cet agrandissement est 5. 33 Lors de l’agrandissement, les aires sont multipliées par 1,252. 𝒜A’B’C’D’ = 1,252 × 𝒜ABCD. C’est-à-dire : 24 cm2 = 1,252 × 𝒜ABCD. On peut tester cette égalité avec les aires proposées ou résoudre cette équation. 24 cm2 = 15,36 cm2 𝒜ABCD =  1,252 C’est donc la réponse a). 34 Le diamètre de la boule lyonnaise est le triple de celui du but, donc la boule lyonnaise est un agrandissement de rapport 3 du but. Ainsi le but est une réduction de rapport 1 de la boule lyonnaise. Lors de la réduction, les aires sont 3 12 multipliées par . 3 3 1 Donc : 𝒱but =  × 𝒱boule. 3 1 𝒱but =  × 378 cm3 = 14 cm3 27

() ()

27 Une sphère se compose de deux demi-sphères, donc l’aire de la surface extérieure d’une demi-sphère est égale à la moitié de l’aire de la sphère complète. Le diamètre de la demi-sphère est égal à 31 cm, donc son 31 cm = 15,5 cm. rayon est égal à : 2 2 961π 𝒜 =  4 × π × (15,5 cm) = cm2 2 2 𝒜 ≈ 1 510 cm2 arrondi au centimètre carré près

35 Volume interne de la caisse cubique : 𝒱caisse = (21,6 cm)3 = 10 077,696 cm3 Volume de la boule de bowling : 3 4 21,6 𝒱boule =  × π × cm = 1 679,616π cm3 3 2 Volume d’espace non occupé dans la caisse : 𝒱 = 10 077,696 cm3 – 1 679,616π cm3 𝒱 ≈ 4 801 cm3 Le volume d’espace non occupé dans la caisse est d’environ 4 801 cm3.

28 1) 𝒱 = (18 mm)3 = 5 832 mm3 2) 𝒱 = 7 cm × 8 cm × 4,5 cm = 252 cm3

36 1) La boîte a le même rayon interne que les balles, c’est-à-dire 33 mm.

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Sa hauteur correspond à la hauteur de 4 balles, c’est-àdire : 4 × (2 × 33 mm) = 264 mm. 4 2) ● 𝒱une balle =  × π × (33 mm)3 = 47 916π mm3 3 Le volume occupé par les 4 balles est donc : 𝒱4 balles = 4 × 47 916π mm3 = 191 664π mm3 ● 𝒱 = π × (33 mm)2 × 264 mm = 287 496π mm3 boîte ● Le volume 𝒱 non occupé à l’intérieur de la boîte est : 𝒱 = 287 496π mm3 – 191 664π mm3 𝒱 = 95 832π mm3 𝒱 ≈ 301 065 mm3 1 4 37 1) 𝒱demi-boule =  × × π × (7 cm)3 2 3 𝒱demi-boule ≈ 718,378 cm3 arrondi au millimètre cube près 1 2) 𝒜demi-sphère =  × 4 × π × (7 cm)2 = 98π cm2 2 𝒜disque = π × r2 = π × (7 cm)2 = 49π cm2 𝒜demi-boule = 98π cm2 + 49π cm2 = 147π cm2 𝒜demi-boule ≈ 461,81 cm2 arrondi au millimètre carré près 38 L’aire de la surface d’une demi-boule est égale à la somme de l’aire de la demi-sphère et de l’aire de sa base en forme de disque (voir exercice 37). 1 Donc : 𝒜 =  × 4 × π × r2 + (π × r2). 2 𝒜 = 2πr2 + πr2 = 3πr2 Donc : a = 3.

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Volume extérieur de la boule : 4 4 202,612 𝒱boule =  × π × (3,7 cm)3 = × π × 50,653 cm3 = π cm3 3 3 3 𝒱boule ≈ 212,174 8 cm3 ● Le vide qui se trouve à l’intérieur de la boule de pétanque a la forme d’une boule de rayon égal à : 3,7 cm – 0,6 cm = 3,1 cm 4 119,164 π cm3 𝒱vide =  × π × (3,1 cm)3 = 3 3 𝒱vide ≈ 124,788 2 cm3 ● Donc le volume d’acier nécessaire à la fabrication d’une boule de pétanque est : 𝒱acier ≈ 212,1748 cm3 – 124,7882 cm3 𝒱acier ≈ 87,387 cm3 39

●

1 1 40 1) a) 𝒱cône =  × π × r2 × h =  × π × (1,2 m)2 × 1,6 m 3 3 3 𝒱cône = 0,768π m 3 𝒱cône ≈ 2,413 m arrondi au décimètre cube près (c’est-àdire au millième de mètre cube près). b) 𝒱cylindre = π × r2 × h = π × (1,2 m)2 × 2,4 m = 3,456π m3 𝒱cylindre ≈ 10,857 m3 Donc : 𝒱silo = 𝒱 cône + 𝒱cylindre. 𝒱silo ≈ 2,413 m3 + 10,857 m3 𝒱silo ≈ 13,270 m3 arrondi au millième de mètre cube près 2) a) SA = 1,6 m et SO = 1,2 m. Le petit cône étant une réduction de rapport k du grand cône, on a : SO = k × SA. SO 1,2 m Donc : k =  = = 0,75. SA 1,6 m b) Lors de cette réduction, le volume est multiplié par 0,753. Le volume de grains contenu dans le silo est donc : 𝒱grains = 𝒱cône × 0,753 𝒱grains ≈ 2,413 m3 × 0,753 𝒱grains ≈ 1,018 m3 au millième de mètre cube près 41 1) SO est la hauteur de la pyramide SABCD, donc SO est perpendiculaire au plan ABCD. Le triangle SOA est donc rectangle en O. D’après le théorème de Pythagore, on a : © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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SA2 = SO2 + OA2 2 2 1 1 SA2 = SO2 +  AC = 82 +  × 12 2 2 SA2 = 64 + 36 = 100 Or SA > 0, donc SA = √100 = 10. SA = 10 cm 2) 𝒜ABCD = AB2 = (6√2 cm)2 = 36 × 2 × cm2 = 72 cm2 1 1 3) 𝒱SABCD =  × 𝒜ABCD × h =  × 72 cm2 × 8 cm 3 3 𝒱SABCD = 192 cm3 4) SAB est un triangle isocèle, donc SA = SB = 10 cm. De plus : SA’ = SB’ = 3 cm. SA’ 3 SB’ 3 = et = . Donc on a : SA 10 SB 10 SA’ SB’ = et les points S, A’, A et S, B’, B sont On a donc : SA SB alignés dans le même ordre. Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (A’B’) et (AB) sont parallèles. 5) Soit k le rapport de cette réduction. SA’ 3 On a : k = = = 0,3. SA 10 Lors de cette réduction, le volume est multiplié par 0,33. 𝒱SA’B’C’D’ = 0,33 × 𝒱SABCD 𝒱SA’B’C’D’ = 0,33 × 192 cm3 𝒱SA’B’C’D’ = 5,184 cm3

( )

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)

A 1) La proportion de jus d’abricot est : 8 cL 8 4 = = 8 cL + 6 cL + 2 cL + 2 cL 18 9 2) Pour 2,7 litres de cocktail, il faut : 4 2,7 L × = 1,2 L 9 Il faut 1,2 L de jus d’abricot. 1 B 1) a) 𝒱verre =  × π × (5,9 cm)2 × 6,8 cm 3 𝒱verre ≈ 248 cm3 arrondi au centimètre cube près b) 1 L = 1 dm3 = 1 000 cm3 Donc : 248 cm3 = 0,248 L = 24,8 cL. Ainsi : 𝒱verre ≈ 25 cL. 2) Le cône de hauteur SO’ est une réduction de rapport 4 k =  = 0,8 du cône formé par le verre. 5 Lors de cette réduction, le volume est multiplié par 0,83. Donc : 𝒱liquide = k3 × 𝒱verre = 0,83 × 25 cL 𝒱liquide = 12,8 cL 𝒱liquide ≈ 13 cL arrondi au centilitre près 3) a) Le volume de cocktail n’est pas proportionnel à la hauteur de liquide car le graphique ne représente pas une droite. b) ● Une hauteur de liquide de 6  cm correspond à un volume de cocktail compris entre 12 cL et 13 cL. ● Un volume de 10 cL correspond à une hauteur de liquide d’environ 5,5 cm. 42

4 4 43 𝒱boule =  × π × r3 = × π × (5 cm)3 3 3 4 500 3 π cm3 𝒱boule =  × π × 125 cm = 3 3 Puisque la boule est entièrement constituée de la ficelle enroulée, alors le volume du cylindre de révolution formé par la ficelle est égal au volume de la boule. Or, 𝒱cylindre = π × r2 × h = π × 0,032 × h = π × 0,0009 × h 500 π cm3. Donc on a : π × 0,0009 × h =  3 500 500 π cm3 3 3 500 cm =  h =  = cm π × 0,000 9 cm2 0,000 9 3 × 0,000 9 500 =  cm 0,002 7 h ≈ 185 185 cm CHAP. 16 - AIRES ET VOLUMES

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h ≈ 1,851 km La longueur de la ficelle est environ 1,851 km. 44 ● En coupant le quart de boule selon les pointillés bleus, on obtient un huitième de boule dont l’aire totale est égale au huitième de l’aire de la sphère correspondante de rayon r (il s’agit de l’aire de la croûte du fromage), auquel il faut rajouter l’aire de deux demi-disques (il s’agit de l’aire de la partie visible du fromage), soit l’aire d’un disque de rayon r. Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

1 Aire de la croûte : × 4 × π × r2 8 1 1 3 𝒜 =  × (4 × π × r2) + (π × r2) =  πr2 + πr2 =  πr2 8 2 2 ● En coupant le quart de boule selon les pointillés verts, on obtient un huitième de boule dont l’aire totale est égale au huitième de l’aire de la sphère correspondante de rayon r (il s’agit de l’aire de la croûte du fromage), auquel il faut rajouter l’aire de 3 quarts de disque (il s’agit de l’aire de la partie visible du fromage), soit l’aire d’un disque de 3 rayon r multipliée par . 4 1 3 1 3 5 2 𝒜 =  × (4 × π × r ) +  × (π × r2) = πr2 +  πr2 =  πr2 8 4 2 2 4 L’aire totale est donc plus grande si l’on coupait le fromage selon les pointillés bleus.

(

)

45 𝒜 = 4 × π × r2 = 4 × π × (65 mm)2 = 16 900π mm2 𝒜 ≈ 53 093 mm2 arrondi au millimètre carré près 4 4 × π × r3 = × π × (1,5 cm)3 3 3 𝒱 = 4,5π cm3 46 𝒱 =

47 Lors de cet agrandissement, les aires sont multipliées par 1,253. 𝒜sphère bleue = k2 × 𝒜sphère jaune = 1,252 × 361π cm2 𝒜sphère bleue ≈ 1 772 cm2 arrondi au centimètre carré près 48 1) AC = DF = 7,2 cm BC2 = 92 = 81 AB2 + AC2 = 5,42 + 7,22 = 29,16 + 51,84 = 81 On constate ainsi que : BC2 = AB2 + AC2. Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 2) 𝒜base =  AB × AC = 5,4 cm × 7,2 cm = 19,44 cm2 2 2 Les trois rectangles ont une largeur de 5 cm et pour longueur : 9 cm, 7,2 cm et 5,4 cm. Leur aire est donc égale respectivement à : 5 cm × 9 cm = 45 cm2 5 cm × 7,2 cm = 36 cm2 5 cm × 5,4 cm = 27 cm2

JE FAIS LE POINT

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

1 × 24 cm = 6 cm 4 Le carré réduit BFGC doit mesurer 6 cm de côté. CJ = JL = LB = GK = 2 cm 2) a) 𝒜bande réduite = b × h = GK × h = 2 cm × 6 cm = 12 cm2

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49 𝒱grand pavé = 8 cm × 9 cm × 6 cm = 432 cm3 Lors de cet agrandissement, le volume est multiplié 23 . par 3 23 𝒱pavé réduit = k3 × 𝒱grand pavé =  × 432 cm3 3 𝒱pavé réduit = 128 cm3

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50

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Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

4 32 000 𝒱une balle =  × π × (20 mm)3 = π mm3 3 3 32 000 ● 𝒱 = 3 × π mm3 = 32 000π mm3 trois balles 3 ● La hauteur de la boîte correspond à la hauteur de trois balles de ping-pong, soit trois fois leur diamètre ou six fois leur rayon. Donc : h = 6 × 20 mm = 120 mm. La largeur et la profondeur de la boîte correspondent au diamètre d’une balle. 𝒱boîte = 120 mm × 40 mm × 40 mm = 192 000 mm3. ● Le volume non occupé par les balles dans la boîte est : 𝒱non occupé = 𝒱boîte – 𝒱trois balles 𝒱non occupé = 192 000 mm3 – 32 000 π mm3 𝒱non occupé ≈ 91 469 mm3 51

●

52 Lors de cette réduction, le volume est multiplié par 0,83. 𝒱solide réduit = 0,83 × 𝒱(S) 𝒱solide réduit ≈ 0,83 × 2,375 L = 1,216 L = 121,6 cL 𝒱solide réduit ≈ 122 cL (valeur approchée au centilitre près) 53 𝒱solide (S) = 𝒱cylindre + 𝒱demi-boule 𝒱cylindre =  π × (6 cm)2 × 13 cm = 468π cm3 1 4 𝒱demi-boule =  × × π × (6 cm)3 = 144π cm3 2 3 Donc : 𝒱solide (S) = 468π cm3 + 144π cm3. 𝒱solide (S) = 612π cm3 𝒱solide (S) ≈ 1 923 cm3 au centimètre cube près 54 𝒜solide (S) = 𝒜latérale cylindre + 𝒜base cylindre + 𝒜demi-sphère 𝒜latérale cylindre = 2 × π × r × h = 2π × 6 cm × 13 cm = 156π cm2 𝒜base cylindre = π × r2 = π × (6 cm)2 = 36π cm2 1 1 𝒜demi-sphère =  × 4 × π × r2 =  × 4 × π × (6 cm)2 = 72π cm2 2 2 Donc : 𝒜solide (S) = 156π cm2 + 36π cm2 + 72π cm2 = 264π cm2. 𝒜solide (S) ≈ 829 cm2 arrondi au centimètre carré près

Les exercices 55 à 64 sont corrigés à la page 310 du manuel élève.

65 1)

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L’aire totale du prisme est donc : 𝒜prisme = (2 × 19,44 cm2) + 45 cm2 + 36 cm2 + 27 cm2 𝒜prisme = 146,88 cm2 3) 𝒱 = B × h = 19,44 cm2 × 5 cm 𝒱 = 97,2 cm3

b) Puisque le carré dessiné est une réduction de rapport 1 du carré réel, alors on peut en déduire que le carré réel 4 est un agrandissement de rapport k = 4 du carré réduit. Lors de cet agrandissement, les aires sont multipliées par 42. Donc : 𝒜bande réelle = 42 × 12 cm2 = 192 cm2. De plus, la bande publicitaire est dessinée sur 2 faces. 𝒜bande publicitaire = 2 × 192 cm2 = 384 cm2 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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1 66 1) 𝒱cône (C1) =  × π × (4 cm)2 × 12 cm = 64π cm3 3 2) a) Soit k le coefficient de cette réduction. SO’ 3 1 = = k =  SO 12 4 13 b) Lors de cette réduction, le volume est multiplié par . 4 3 1 1 3 × 𝒱cône (C1) = × 64π cm 𝒱cône (C2) =  4 64 𝒱cône (C2) = π cm3 3) a) 𝒱eau = 𝒱cône (C1) – 𝒱cône (C2) = 64π cm3 – π cm3 𝒱eau = 63π cm3 b) 1 dm3 = 1 000 cm3 = 1 L 𝒱eau = 63π cm3 ≈ 198 cm3 arrondi au centimètre cube près 𝒱eau ≈ 0,198 L Le volume d’eau est donc inférieur à 0,2 litre.

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67 1) a) 𝒱aquarium = 40 cm × 20 cm × 30 cm = 24 000 cm3. b) 1 L = 1 dm3 = 1 000 cm3 𝒱aquarium = 24 000 cm3 = 24 L L’aquarium peut donc contenir 24 litres d’eau. 3 4 4 30  cm 2) a) 𝒱boule =  × π × r3 = × π × 3 3 2 𝒱boule = 4 500π cm3 b) Le volume d’eau 𝒱 contenu dans le second aquarium 3 3 est : 𝒱 =  × 𝒱boule =  × 4 500π cm3 = 3 375π cm3. 4 4 En versant ce volume d’eau dans le premier aquarium, l’eau va prendre la forme d’un parallélépipède rectangle de longueur 40 cm, de largeur 20 cm et de hauteur h. On a : 𝒱 = L × ℓ × h = 40 cm × 20 cm × h = 3 375π cm3 3 375π cm3 . On en déduit que : h =  40 cm × 20 cm C’est-à-dire : h = 4,218 75π cm. h ≈ 13,254 cm L’eau va atteindre une hauteur d’environ 13,3 cm.

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)

68 1) ABCD est un rectangle, donc le triangle ABD est rectangle en A. D’où, d’après le théorème de Pythagore : BD2 = AD2 + AB2. Donc : AD2 = BD2 – AB2 = 502 – 402 = 900. Or AD > 0, d’où : AD = √900 = 30. Donc : AD = 30. 1 1 2) 𝒱SABCD =  × 𝒜ABCD × h =  × (40 cm × 30 cm) × 81 cm 3 3 𝒱SABCD = 32 400 cm3 3) a) Lorsque l’on coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base, la section obtenue est de même nature que la base. Ainsi la section obtenue A’B’C’D’ est un rectangle. b) Soit k le coefficient de cette réduction. On a : SO’ = k × SO. SO’ 54 2 Donc : k =  = = . SO 81 3 c) Lors de cette réduction, le volume est multiplié 23 . par 3 23 𝒱SA’B’C’D’ = × 32 400 cm3 = 9 600 cm3 3

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4) a) SAO est un triangle rectangle en O puisque SO est la hauteur de la pyramide de base ABCD. 1 × AC AO 2 l = Donc : tan (SAO) = . SO SO l = 25 tan (SAO) 81 l ≈ 17° arrondi b) À l’aide de la calculatrice, on trouve : SAO au degré près. 4 × π × (13 cm)3 3 8 788 𝒱= π cm3 3 69 𝒱 =

4 500 × π × (5 cm)3 = π cm3 3 3 𝒱 ≈ 523,599 cm3 70 𝒱 =

71 𝒜 = 4 × π × (7 cm)2 𝒜 = 196π cm2 72 𝒜 = 4 × π × (3,5 cm)2 = 49 π cm2 𝒜 ≈ 153,94 cm2 73 Lors de cette réduction, le volume est multiplié 33 . par 7 33 × 686 cm3 = 54 cm3 𝒱solide réduit =  7

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74 1) Le rayon de la sphère est égal au rayon du cylindre dans lequel s’inscrit la sphère. La hauteur du cylindre est égale au diamètre de la sphère, donc 2 fois son rayon : h = 2r. 2) D’après Archimède : 𝒜sphère = 𝒜latérale du cylindre. Ainsi : 𝒜sphère = 2 × π × r × h = 2 × π × r × 2r. Donc : 𝒜sphère = 4πr2. Calcul du volume du solide (S2) : 1 𝒱 (S2) = 𝒱cylindre – 𝒱cône = (π × r2 × h) – × π × r2 × h 3 1 Or h = r, donc : 𝒱 (S2) = (π × r2 × r) – × π × r2 × r 3 1 𝒱 (S2) = πr3 – πr3 3 2 3 𝒱 (S2) = πr 3 ● Archimède a démontré que : 𝒱 (S ) = 𝒱 (S ). 1 2 2 Donc : 𝒱 (S1) = πr3. 3 Et le volume d’une boule est le double du volume d’une demi-boule. D’où : 𝒱boule = 2 × 𝒱 (S1). 2 𝒱boule = 2 × πr3 3 4 Donc : 𝒱boule =  πr3. 3 75

●

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)

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Exercices d’évaluation du socle commun 1

𝒜 = 4 × π × (7 cm)2 = 196 π cm2

𝒜 ≈ 615,75 cm

2

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2 Lors de l’agrandissement, le volume est multiplié par 1,53. 𝒱 = 48 cm3 × 1,53 𝒱 = 162 cm3 CHAP. 16 - AIRES ET VOLUMES

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3 Plusieurs approches sont possibles. Méthode 1 : ABCD est un carré de côté 6 cm. 𝒜ABCD = (6 cm)2 = 36 cm2 La pyramide SIJKL est une réduction de la pyramide SABCD. SI 1 Le rapport de cette réduction est : k = = . SA 2 12 Lors de cette réduction, les aires sont multipliées par . 2 12 × 36 cm2 = 9 cm2. Donc : 𝒜IJKL =  2 Ainsi, l’aire du plancher IJKL est 9 cm2. ● Méthode 2 : La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est de même nature que sa base. Ainsi le plancher IJKL est un carré. De plus, les points I et J étant les milieux des segments [SA] et [SB], on a : IJ = AB : 2 = 3 cm. Le quadrilatère IJKL est donc un carré de côté 3 cm. 𝒜 = (3 cm)2 = 9 cm2 Ainsi, l’aire du plancher IJKL est 9 cm2. ●

()

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4 Plusieurs approches sont possibles. Méthode 1 : Notons L la longueur en mètres de la scène. La largeur totale de cette salle de spectacles est : 30 m + 3 m + 30 m = 63 m (en utilisant les grands quarts de cercle). 15 m + 3 m + L + 3 m + 15 m = L + 36 m On en déduit l’équation suivante : 63 m = L + 36 m Ainsi : L = 63 m – 36 m = 27 m. Enfin, l’aire de la scène est : 𝒜 = 27 m × 15 m = 405 m2. ● Méthode 2 : On peut se rendre compte que la figure du manuel est réalisée à l’échelle. Pour le manuel grand format, 1 mm représente 1 m. On peut ainsi trouver les dimensions de la scène en mesurant sur le manuel. ●

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A P I TR H

C

E

17

Grandeurs et mesures PROGRAMME

Les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique.

P r o g r a m m e d e l a c l a s s e d e Tr o i s i è m e > CONNAISSANCES

■ Commentaires

Grandeurs composées, changement d’unités

Plusieurs grandeurs produits et grandeurs dérivées peuvent être utilisées  : passagers × kilomètre, kWh, euros/kWh, m3/s ou m3. s–1… Les changements d’unités s’appuient, comme dans les classes antérieures, sur des raisonnements directs et non sur des formules de transformation. Dans le cadre du socle commun, la capacité ne porte que sur des situations de la vie courante, sur des unités et des nombres familiers aux élèves.

CAPACITÉS Vitesse moyenne ● Effectuer des changements d’unités sur des grandeurs produits ou des grandeurs quotients.

Socle commun des connaissances Mesurer une longueur, un angle, une durée. Calculer une longueur, une aire, un volume, une vitesse, une durée. ● ●

Indications pour l’évaluation en situation Les exigences relatives aux valeurs en jeu dans les calculs sont les mêmes que celles de la partie «  Nombres et calculs ». Aux exigences du cycle central s’ajoutent la connaissance et l’utilisation de l’effet d’une réduction ou d’un agrandissement sur l’aire et le volume. Il s’agit par ailleurs : – d’utiliser un multimètre ; – d’utiliser un pied à coulisse ;

– de mesurer un volume et une masse, par exemple dans des situations de conservation et de non conservation de ces grandeurs. ● Effectuer des conversions d’unités relatives aux grandeurs étudiées.

Indications pour l’évaluation en situation Les exigences relatives aux valeurs en jeu sont les mêmes que celles de la partie « Nombres et calculs ». Les changements d’unités portent aussi sur des grandeurs produits ou des grandeurs quotients familières aux élèves et s’appuient sur des raisonnements directs et non sur des formules.

Capacités des programmes des classes antérieures Grandeurs quotients courantes Vitesse moyenne ● Calculer des distances parcourues, des vitesses moyennes et des durées de parcours en utilisant l’égalité d = vt. ● Changer d’unités de vitesse (mètre par seconde et kilomètre par heure).

La notion de vitesse moyenne est définie. Le vocabulaire « kilomètre par heure » et la notation km/h, issus de la vie courante, sont à mettre en relation avec la notation km.h– 1. Les compétences exigibles ne concernent que les vitesses mais d’autres situations de changement d’unités méritent d’être envisagées : problème de change monétaire, débit, consommation de carburant en litres pour 100 kilomètres ou en kilomètres parcourus par litre.

Commentaires des auteurs ➜ Les élèves ont étudié en classe de Quatrième une grandeur quotient : la vitesse moyenne. Ils découvrent en classe de Troisième les grandeurs produits et d’autres grandeurs quotients. Ces grandeurs sont des grandeurs composées particulières. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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➜ Dans ce chapitre, on revoit des unités usuelles déjà étudiées. Les élèves doivent aussi savoir effectuer des changements d’unités pour les grandeurs composées. Pour cela, ils convertissent séparément chaque grandeur. CHAP. 17 - GRANDEURS ET MESURES

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ACTIVITÉS ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O MMENTAIR E S Les élèves sont amenés à effectuer le quotient d’une aire (en mètres carrés) par un nombre de personnes. Une nouvelle unité est introduite (mètres carrés par personne), ils doivent donner une interprétation du quotient qu’ils ont calculé. C O RRI G É 1) Calcul de l’arrondi au dixième du quotient de la surface de cette salle par le nombre de spectateurs total : sur

1

J’ÉTUDIE UNE GRANDEUR QUOTIENT : LA VITESSE

Objectif Prérequis

Voir la vitesse comme une grandeur quotient. Calculer des longueurs. Convertir des heures, minutes, secondes en heures décimales. ● Calculer une vitesse moyenne. ● ●

Paragraphes introduits

@ Grandeurs composées a) Grandeur quotient

■ C O MMENTAIR E S Le but de l’activité est de revoir la notion de vitesse moyenne et de mettre en évidence que la vitesse est une grandeur quotient.

2

une surface intérieure de 13 500 m2, cette salle peut accueillir 14 800 spectateurs lors de concerts. On a alors : 13 500 : 14 800 ≈ 0,912. L’arrondi au dixième du nombre cherché est 0,9. 2) L’unité du nombre que l’on vient de calculer est : les mètres carrés par spectateur. 3) On vient de calculer le nombre de mètres carrés qu’a un spectateur lors d’un concert lorsque cette salle de spectacles est pleine. Chaque spectateur peut se mouvoir sur une surface de 0,9 m².

C ORRIGÉ La course de formule 1 « Le Grand Prix automobile d’Italie » a lieu sur le circuit de Monza long de 5,793 km. Les coureurs doivent effectuer 53 tours de circuit. Le 11  septembre 2011, c’est l’Allemand Sebastian Vettel qui a remporté cette course en 1 h 20 min 46 s. 1 a) 53 × 5,793 = 307,029 Pour cette course, les formule 1 parcourent 307,029 km. 1 1 h + 46 × h ≈ 1,346 h b) 1 h + 20 × 60 3 600 Le temps du vainqueur est environ 1,346 h. c) Valeur approchée de sa vitesse moyenne (en kilomètres par heure) lors de cette course : distance parcourue 307,029 V =  = ≈ 228 km/h durée du parcours 1,346 2 Pour calculer une vitesse, on divise une longueur (ici en kilomètres) par une durée (ici en heures) : une vitesse est une grandeur quotient. Ici, elle est exprimée en km/h.

JE DÉCOUVRE UNE GRANDEUR PRODUIT : LE TRAFIC DE MARCHANDISES

Objectif

Étudier une grandeur produit.

Prérequis Paragraphes introduits

—

@ Grandeurs composées b) Grandeur produit

■ C O MMENTAIR E S L’élève doit faire une remarque au sujet des trafics des péniches Pinocchio et Spider Man. Leur trafic est le même, mais l’une transporte deux fois plus de marchandises que l’autre, et sur un trajet deux fois plus court.

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C ORRIGÉ

1 Calcul du trafic de marchandises de la péniche Pinocchio : elle transporte 700 tonnes de marchandises le long de la Seine Maritime (d’une longueur de 120 km). D’où : 700 × 120 = 84 000 tonnes-kilomètres. Le trafic de marchandises de la péniche Pinocchio est 84 000 tonnes-kilomètres. 2 Calcul du trafic de marchandises de la péniche Spider Man : elle transporte 350 tonnes de marchandises le long de la Basse Seine (d’une longueur de 240 km). D’où : 350 × 240 = 84 000 tonnes-kilomètres. Le trafic de marchandises de la péniche Spider Man  est 84 000 tonnes-kilomètres. 3 Les deux péniches ont le même trafic de marchandises, cependant l’une transporte deux fois moins de marchandises que l’autre, mais sur un trajet deux fois plus long.

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3

JE DÉCOUVRE UNE AUTRE GRANDEUR COMPOSÉE

Objectif

Étudier un débit de fleuve.

Prérequis

Grandeur produit, grandeur composée, unités

Paragraphe introduit

@ Grandeurs composées

■ C OM M E NTAI R E S L’élève découvre une autre grandeur composée : le débit d’un fleuve. Il est amené à étudier la définition de cette grandeur et à proposer une unité.

C ORRIGÉ

1 Pour calculer un volume, on effectue le produit d’une aire par une longueur. Donc un volume est une grandeur produit. 2 Le débit d’un fleuve à un endroit est le quotient du volume d’eau qui s’écoule par la durée de l’écoulement. Donc le débit est une grandeur composée. 3 a) Exemple d’unité de volume : le mètre cube (m3). b) Exemple d’unité de durée : l’heure (h). c) Exemple d’unité de débit  : le mètre cube par heure (m3/h).

EXERCICES 1 a) 1 635 m = 1,635 km  b) 3,5 m = 3 500 mm  c) 3,52 m² = 35 200 cm² d) 42,6 m² = 0,426 dam² e) 1 635 dm3 = 1,635 m3 f) 1 m3 = 1 000 000 cm3 2 1) a) 2 heures = 2 × 60 minutes = 120 minutes b) 1,5 h = 1,5 × 60 min = 90 min c) 1 h 40 min = 60 min + 40 min = 100 min 2) a) 120 min = 120 × 60 s = 7 200 s b) 90 min = 90 × 60 s = 5 400 s c) 100 min = 100 × 60 s = 6 000 s a) 0,12 km/s = 0,12 × 1 000 m/s = 120 m/s 3 600 m/s = 1 m/s b) 3 600 m/h =  3 600 240 m/s = 4 m/s c) 240 m/min =  60 3

4 1) L’intensité de la circulation est une grandeur quotient car elle est égale au quotient du nombre de véhicules par la durée de leur passage. 3 000 = 50. Il y a donc 50 véhicules en moyenne 2) a) 60 qui franchissent ce péage en une minute. 180 000 = 60 b) 3 000 180 000 véhicules auront franchi ce péage au bout de 60 heures. 5 1) La consommation de carburant est une grandeur quotient car elle est égale au quotient de la consommation sur un parcours par la longueur du parcours. 2) 280 × 0,1 = 28 La voiture de Robert aura consommé 28 litres durant ce trajet de 280 km. 5 3) = 50 0,1 Donc la voiture de Robert peut encore parcourir 50 km. 6 1) La puissance est une grandeur quotient car 1 watt est égal au quotient de 1 joule par 1 seconde. 2) L’énergie électrique est une grandeur produit  car elle est égale au produit de la puissance de cet appareil par la durée de son fonctionnement. 3) 2 × 2 000 = 4 000 © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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Donc l’énergie consommée par ce four pendant 2 heures de nettoyage est de 4 000 watts-heures. 7 1) Le volume d’un stage est une grandeur produit car il est égal au produit du nombre de stagiaires par la durée du stage. 2) a) 30 × 15 = 450 Donc le volume de ce stage est de 450. b) L’unité de cette grandeur de ce volume est : heuresstagiaires. 3 000 = 100 30 Si 30 stagiaires ont participé à ce stage, chacun d’entre eux a effectué 100 heures de stage. 3 000 2) = 20 150 Si chaque participant a effectué 150 heures de stage, cette formation comptait 20 stagiaires. 8

1)

9 – Prix horaire en €/h : c’est une grandeur quotient. – Volume en m3 : c’est une grandeur produit. – Vitesse en m.s– 1 : c’est une grandeur quotient. – Intensité d’un trafic en véhicules/h : c’est une grandeur quotient. – Longueur en dam  : il ne s’agit ni d’une grandeur produit, ni d’une grandeur quotient. – Énergie électrique en kWh : c’est une grandeur produit. – Masse surfacique en g/m2 : c’est une grandeur quotient. – Durée en min : il ne s’agit ni d’une grandeur produit, ni d’une grandeur quotient. – Concentration en g/L : c’est une grandeur quotient. 12 = 1,2 mg/cm² 10 La masse surfacique de cette feuille d’or est de 1,2 mg/cm². 2) 1,2 mg = 0,001 2 g 1 cm² = 0,000 1 m² 1,2 mg 0,001 2 g 0,001 2 g 1,2 mg/cm² =  = = × cm2 0,000 1 m2 0,000 1 m2 = 12 g/m² La masse surfacique de cette feuille d’or est de 12 g/m². 10 1)

11 35 kg/m3 = 

35 kg 35 000 g 35 000 g = = m3 1 000 dm3 1 000 L

35 000 g × = 35 g/L 1 000 L La concentration de sel dans l’océan Atlantique est de 35 g/L. =

CHAP. 17 - GRANDEURS ET MESURES

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d 3 = = 0,4 km/min t 12 Sa vitesse moyenne était de 0,4 km/min. 2) 0,4 km/min = 0,4 × 60 km/h = 24 km/h Sa vitesse moyenne était de 24 km/h. 3) 24 km/h = 24 × 1 000 m/h 24 000 = 24 000 m/h =  m/s ≈ 6,7 m/s 3 600 Sa vitesse moyenne était d’environ 6,7 m/s. 12 1) v =

13 1) 5 × 4 = 20 Cette intervention coûte 20 jours-personnes. 2) 20 × 8 = 160 heures-personnes Cette intervention coûte 160 heures-personnes. 14 1) 1 200 × 5 120 = 6 144 000 Le trafic était de 6 144 000 personnes-mètres. 6 144 000 = 6 144 personnes-kilomètres 2) 1 000 Le trafic était de 6 144 personnes-kilomètres. 15 1) 50 × 25 × 90 = 112 500 À la fin de la journée, le déplacement de terre était de 112 500 litres-mètres. 2) 1 litre = 1 dm3 = 0,001 m3 112 500 × 0,001 = 112,5 Le déplacement de terre était de 112,5 mètres cubesmètres. 16 9 hm3/h = 9 000 000 m3/h 9 000 000 3 = m /s = 2 500 m3/s 3 600 Le débit du Nil à son embouchure est égal à environ 2 500 m3/s. 17 a) 2 300 dm² = 23 m² b) 0,04 dam² = 4 m² c) 128 cm² = 0,012 8 m² d) 0,87 hm² = 8 700 m²

23 a) 0,5 h = 0 h + 0,5 × 60 min = 0 h 30 min b) 3,30 h = 3 h + 0,3 × 60 min = 3 h 18 min c) 4,2 h = 4 h + 0,2 × 60 min = 4 h 12 min d) 5,7 h = 5 h + 0,7 × 60 min = 5 h 42 min 468 m/s = 0,13 m/s 3 600 0,36 b) 36 cm/min = 0,36 m/min =  m/s = 0,006 m/s 60 9 720 m/s = 2,7 m/s c) 9,72 km/h = 9 720 m/h =  3 600 24 a) 468 m/h = 

25 a) 360 km/min = 360 × 60 km/h = 21 600 km/h b) 12 m/s = 12 × 3 600 m/h = 43 200 m/h = 43,2 km/h c) 7 900 cm/min = 7 900 × 60 cm/h = 474 000 cm/h = 47,4 km/h 1 600 g 1 600 g 1 600 g = × = 1,6 g/L = 26 1 600 g.m– 3 =  m3 1 000 dm3 1 000 L Donc Teihotu a raison. 32 796 ≈ 16 236 2,02 La densité de population de la principauté de Monaco est d’environ 16 236 habitants par kilomètre carré. 7 489 370 ≈ 181 41 290 La densité de population de la Suisse est d’environ 181 habitants par kilomètre carré. 32 805 041 ≈3 9 984 670 La densité de population du Canada est d’environ 3 habitants par kilomètre carré. 2) Le Canada a une densité de population très faible comparée à celle de la Suisse et à celle de Monaco, ceci à cause de sa très grande superficie. Au contraire, Monaco a une très grande densité de population à cause de sa superficie très réduite. La densité de population de la Suisse se situe entre deux valeurs, qualifiables d’extrêmes, et semble être une valeur plus courante. 27 1)

d 6 = = 0,3 m/s t 20 La vitesse moyenne du train est de 0,3 m/s. 2) 0,3 m/s = 0,3 × 3 600 m/h = 1 080 m/h = 1,08 km/h La vitesse moyenne du train est de 1,08 km/h. 28 1) v =

3

3

18 a) 65 m = 65 000 dm b) 0,019 dam3 = 19 000 dm3 c) 327 cm3 = 0,327 dm3 d) 0,000 87 hm3 = 870 000 dm3

d 3 = = 0,5 m/s t 6 La « vitesse de montée » de cette charge est de 0,5 m/s. 2) 0,5 m/s = 0,5 × 3 600 m/h = 1 800 m/h = 1,8 km/h La « vitesse de montée » de cette charge est de 1,8 km/h. 29 1) v =

2

2

19 a) 16 708 m = 1,607 8 hm b) 1 542 cm3 = 0,001 542 m3 c) 0,003 456 dam2 = 3 456 cm2 d) 0,006 893 dam3 = 6 893 dm3 20 a) 1 dm3 = 1 L b) 1 L = 1 000 mL c) 1 dm3 = 1 000 mL d) 1 cm3 = 1 mL

21 a) 34,9 dm3 = 34,9 L b) 126 cm3 = 0,126 dm3 = 0,126 L c) 0,005 m3 = 5 dm3 = 5 L d) 7 390 m3 = 7 390 000 dm3 = 7 390 000 L 20 1 4 h = 1 h +  h =  h 60 3 3 40 2 11 b) 3 h 40 min = 3 h +  h = 3 h +  h =  h 60 3 3 15 1 17 c) 4 h 15 min = 4 h +  h = 4 h +  h =  h 60 4 4 12 1 d) 12 min =  h =  h 60 5 22 a) 1 h 20 min = 1 h + 

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30 114 950 296 tonnes = 1 149 502 960 quintaux 1 149 502 960 ≈ 47 24 210 075 Le rendement de la culture du blé pour la Chine est environ égal à 47 quintaux par hectare. 60 314 290 tonnes = 603 142 900 quintaux 603 142 900 ≈ 30 20 181 081 Le rendement de la culture du blé pour les États-Unis est environ égal à 30 quintaux par hectare. 38 324 700 tonnes = 383 247 000 quintaux 383 247 000 ≈ 74 5 146 600 Le rendement de la culture du blé pour la France est environ égal à 74 quintaux par hectare. 6,5 × 100 ≈ 147,7 4,4 Avec un plein de carburant, Mourad peut parcourir environ 148 km. 31

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32 1) 120 × 2,5 = 300 L’énergie consommée par le téléviseur est de 300 wattsheures. 2) 600 × 0,5 = 300 L’énergie consommée par ce sèche-cheveux est de 300 watts-heures 3) On peut remarquer que ces deux appareils ont consommé la même quantité d’énergie en watts-heures. 33 1) 375 × 3 700 = 1 387 500 Le trafic de voyageurs du vol était de 1 387 500 voyageurskilomètres. 85 000 2) = 250 340 Il y avait 250 voyageurs sur le vol. 1 450 000 000 = 2 500 580 000 La distance moyenne parcourue par un passager sur un vol est de 2 500 km. 34

35 1) La ligne 4 est la plus fréquentée.  2) 90 × 23,4 = 2 106 La ligne 8 a un trafic environ égal à 2 106  millions de voyageurs-kilomètres. 170 × 10,6 = 1 802 La ligne 4 a un trafic environ égal à 1 802  millions de voyageurs-kilomètres. 3) Les résultats aux questions 1) et 2) diffèrent à cause de la plus grande longueur de la ligne 8 par rapport à la ligne 4 . 36 1) a) On utilise la longueur du réseau de la région et la superficie de cette région. b) On peut exprimer cette grandeur en m/km². 29 473 000 2) ≈ 53,87 547 030 La densité du réseau ferroviaire français est environ égale à 54 m/km². 37 75 × 37 354 = 2 801 550 m = 2 801,55 km. La longueur du réseau ferroviaire aux Pays-Bas est de 2 801,55 km. 38 1) 20 × 10 × 0,15 = 30 m3 Pour réaliser cette dalle, il faut 30 m3 de béton. 2) 2 500 × 30 = 75 000 kg = 75 tonnes La masse de cette dalle est de 75 tonnes. 25 000 000 ≈ 357 39 70 000 La densité d’accueil du grand magasin parisien pour l’année 2009 était de 357 clients par mètre carré. 40 50 × 1,8 = 90 min = 1 h 30 min 13 h 00 min – 1 h 30 min = 11 h 30 min Il doit mettre le poulet au four à 11 h 30 min. 4 000 000 = 500 41 1) 8 000 Chaque ouvrier a travaillé 500 heures en moyenne. 2) 8 000 × 1,25 = 10 000 ouvriers après l’augmentation de 25 % 4 000 000 = 400 heures en moyenne par ouvrier 10 000 500 – 400 × 100 = 20 500 La durée du chantier aurait diminué de 20 %. 42 v1 =

●

t1 = 45 min = 

d1 d ; 120 = 1 t1 0,75

45 h = 0,75 h 60 d’où : d1 = 120 × 0,75 = 90 km.

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35 h 60 d d 35 d’où : d2 = 90 × = 52,5 km. v2 = 2 ; 90 = 1 35 t2 60 60 90 ● t = 45 + 35 + 10 = 90 min =  h = 1,5 h 60 d 90 + 52,5 142,5 = = 95 v= = t 1,5 1,5 La vitesse moyenne de Françoise sur l’ensemble du trajet est de 95 km/h. 220 000 = 88 m3. 43 220 tonnes = 220 000 kg ; 2 500 Le volume de l’obélisque est de 88 m3. ●

t2 = 35 min = 

44 V = 0,8 × 3,12 × 0,9 = 2,246 4 m3 2 000 × 2,246 4 = 4 492,8 kg = 4,492 8 tonnes La masse du bloc est de 4,492 8 tonnes. 45 1) 80 m = 8 000 cm et 0,6 mm = 0,06 cm. 0,06 Donc : r =  = 0,03 cm. 2 2 𝒱 =  B × h = π × 0,03 × 8 000 = 7,54 3 3 Donc le volume 𝒱 est environ égal à 7,54 cm3. 2) 1,38 × 7,54 = 10,405 2 Donc la masse de ce fil est environ égale à 10,4 g. 10,4 = 0,13 3) 80 Le titre de ce fil est environ égal à 0,13 tex. 64 700 000 ≈ 95,7 675 417 La densité de population de la France au 1er janvier 2010 est environ égale à 96 habitants par kilomètre carré. 64 700 000 : 2 32 350 000 2) a) = ≈ 479 675 417 : 10 67 541,7 La densité de cette partie du territoire est environ égale à 479 habitants par kilomètre carré. 32 350 000 32 350 000 = ≈ 53 b) 675417 – 67 541,7 607 875,3 La densité de l’autre partie du territoire est environ égale à 53 habitants par kilomètre carré. 3) La différence entre les deux résultats traduit l’urbanisation de la population française après l’exode rural. 46 1)

47

États-Unis Chine France Italie

Production (en millions de tonnes)

307,4

166

157,9

9,5

Surface cultivée (en millions d’hectares)

31,8

29,9

1,7

1,1

Rendement (en quintaux par hectare)

96,6

55,5

92,9

90,1

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

307,4 millions de tonnes = 3 074 millions de quintaux 3 074 ≈ 31,82 96,6 ● 166 millions de tonnes = 1 660 millions de quintaux 1 660 ≈ 55,51 29,9 ● 92,9 × 1,7 = 157,93 millions de quintaux = 15,793 millions de tonnes ● 9,5 millions de tonnes = 95 millions de quintaux 95 ≈ 1,05 90,1 ●

48 A 1) On veut rentrer un nombre entier de paquets dans la longueur de la caisse, donc la longueur du paquet doit être un diviseur de 156. De même pour la largeur, donc sa longueur doit aussi être un diviseur de 96. CHAP. 17 - GRANDEURS ET MESURES

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Donc la longueur du paquet est un diviseur commun de 96 et 156. Comme la longueur doit être la plus grande possible, la longueur maximale du paquet de lessive sera le PGCD de 156 et 96. 156 = 1 × 96 + 60 d’où PGCD(156 ; 96) = PGCD(96 ; 60) 96 = 1 × 60 + 36 d’où PGCD(96 ; 60) = PGCD(60 ; 36) 60 = 1 × 36 + 24 d’où PGCD(60 ; 36) = PGCD(36 ; 24) 36 = 1 × 24 + 12 d’où PGCD(36 ; 24) = PGCD(24 ; 12) 24 = 2 × 12 + 0 d’où PGCD (24 ; 12) = 12 Donc : PGCD(156 ; 96) = 12. Donc la longueur maximale de l’arête d’un paquet de lessive est de 12 cm. 130 140 ≈ 10,8 et ≈ 11,7. 2) a) 12 12 On peut donc rentrer 11 paquets de lessive. Donc la hauteur intérieure d’une caisse est de 11 × 12 = 132 cm. 156 96 b) = 13 et = 8. 12 12 Donc : 8 × 13 × 11 = 1 144. Chaque caisse pourra contenir 1 144 paquets de lessive. B 1) Volume de lessive (en cm3)

400

800

1 600

x

Masse de lessive (en g)

600

1 200

2 400

1,5x

Masse totale du paquet de lessive (en g)

800

1 400

2 600

1,5x + 200

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

2) a) La fonction f est telle que f : x ↦ 1,5x + 200. b) La fonction f est une fonction affine avec a =  1,5 et b = 200. Sa représentation graphique est une droite qui va passer par les points (400 ; 800) et (1 600 ; 2 600). 3) a) Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site

De même pour le segment de gauche : soit un de plus. Le segment vertical à l’intérieur du carré est compté deux fois dans les périmètres (une fois pour les petits rectangles de gauche, une fois pour ceux de droite). Chacun des côtés horizontaux du carré est compté une fois : il y en a deux. Chaque segment codé avec un trait et chaque segment codé avec deux traits est compté deux fois dans les périmètres (une fois pour le rectangle au-dessus de lui et une fois pour le rectangle au-dessous de lui). De plus, un segment codé un trait ajouté à un segment codé deux traits donnent un segment de longueur c. Cela en fait deux fois deux soit quatre. 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10 La longueur c est comptée dix fois dans le périmètre des rectangles. 120 : 10 = 12 Donc : c = 12. c² = 12² = 144 Donc l’aire du carré est égale à 144 cm². 50 Volume de la citerne = 1,23 = 1,728 m3 1,728 = 0,1152 m3/min Vitesse de remplissage =  15 1,728 = 0,069 12 m3/min Vitesse de sortie =  25 0,115 2 – 0,069 12 = 0,046 08 m3/min Avec la vanne et le robinet ouverts, la citerne se remplit à une vitesse de 0,046 08 m3/min. 1,728 . D’où : 0,046 08 =  t 1,728 t =  = 37,5 min = 37 min + 0,5 × 60 s 0,046 08 = 37 min 30 s Il faudra 37 min 30 s pour que la citerne se remplisse à nouveau.

www.hachette-education.com

Le volume de lessive contenu dans un paquet dont la masse totale est 2 300 g est de 1 400 g. b) On cherche x tel que f (x) = 2 300 : 1,5x + 200 = 2 300 1,5x = 2 300 – 200 1,5x = 2 100 x = 2 100 = 1 400 1,5 Donc le volume de lessive contenu dans un paquet de 2 300 g est bien de 1 400 g. C 1) 123 = 1 728 cm3 Le volume d’un paquet de lessive est de 1 728 cm3. 95 = 1 641,6 1 728 × 100 Un paquet de lessive contient 1 641,6 cm3 de lessive. 1 641,6 × 1,5 + 200 = 2 462,4 + 200 = 2 662,4 Chaque paquet de lessive a une masse de 2 662,4 g. 2) On a vu à la question 2) b) de la partie A, que la caisse pouvait contenir 1 144 paquets de lessive. D’où : 2 662,4 × 1 144 = 3 047 785,6 g. = 3 047,785 6 kg 3 047,785 6 kg + 50 kg = 3 097,785 6 kg = 3,097 078 56 tonnes Une caisse remplie de paquets de lessive a une masse de 3,1 tonnes environ. 49

Figure disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

Pour calculer le périmètre des 6 rectangles, on compte une fois le segment de droite nommé c (pour les périmètres des rectangles de droite).

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51 1) 𝒜 = L × ℓ = 4,5 × 2,8 = 12,6 Lucile doit peindre 12,6 m². 2) 12,6 m² = 0,126 dam² 52 1) 𝒱 = c3 = 6,53 = 274,625 Le cube de verre a un volume de 274,625 cm3. 2) 274,625 cm3 = 274 625 mm3 Le cube de verre a donc un volume de 274 625 mm3. d 80 = = 16 t 5 Sa vitesse est donc de 16 m/s. 2) 16 m/s = 16 × 3 600 m/h = 57 600 m/h = 57,6 km/h Sa vitesse est donc de 57,6 km/h. 53 1) v =

54 25 cm = 0,000 25 km 6 6 min =  h = 0,1 h 60 d 0,000 25 v= = = 0,002 5 km/h t 0,1 La vitesse de l’escargot est de 0,002 5 km/h. 10 1 7 55 1) 1 h 10 min = 1 h +  h = 1 h +  h =  h 60 6 6 7 6 3,36 : = 3,36 × = 2,88 6 7 La puissance du sèche-linge est de 2,88 kilowatts. 45 3 2) 45 min =  min =  h = 0,75 h 60 4 2,88 × 0,75 = 2,16 L’énergie électrique consommée lors d’un cycle de 45 minutes est de 2,16 kWh. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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56

150 = 5,3 × 1,5 = 7,95 100 10 8,4 × = 8,4 × 0,1 = 0,84 100 7,95 + 0,84 = 8,79 8,79 8,79 × 100 = ×100 ≈ 5,49 150 + 10 160 Donc sa consommation moyenne sur l’ensemble du trajet est d’environ 5,49 L/100 km. 2) (150 + 10) × 149 = 160 × 149 = 23 840 g = 23,84 kg La voiture a rejeté 23,84 kg de CO2 pendant le trajet. 57 1) 5,3 ×

58 1) 3 × 5 = 15 Cette prestation sera de 15 personnes-jours. 2) 15 × 8 = 120 Cette prestation sera de 120 personnes-heures.

JE FAIS LE POINT 71

V

d

70 km/h

350 km

5h

9 m/s

450 m

50 s

25 m/s

3 000 m

2 min

60 1) 𝒱 = volume cylindre + volume demi-boule 1 4 = B × h + × × πr3 2 3 3 2 × h 3 π × r + 4 × π × 20 = 3 6 2 3 π × 20 × 40 4 + × π × 20 = 3 6 ≈ 33 510 cm3 Le volume du plot est environ égal à 33 510 cm3. 2) 33 510 cm3 = 0,033 51 m3 0,033 51 × 5 × 1 000 = 167,55 tonnes Il faut donc environ 167,55 tonnes de béton pour fabriquer 1 000 plots.

Les exercices 61 à 70 sont corrigés à la page 310 du manuel élève.

t

Tableau disponible à partir de septembre 2012 sur le site www.hachette-education.com

d 250 d’où : 100 × t = 250. 72 1) v = ; 100 = t t 250 = 2,5 h t =  100 2,5 h = 2 h + 0,5 × 60 min = 2 h 30 min 7 h 25 min + 2 h 30 min = 9 h 55 min Donc le premier car est arrivé à 9 h 55 min. 30 2) 9 h 30 min – 8 h 00 = 1 h 30 min = 1 h + h 60 = 1 h + 0,5 h = 1,5 h d 120 = = 80 km/h t 1,5 La vitesse moyenne du deuxième car est de 80 km/h.

v=

80 = 4 d’où 10 × 4 = 40. 20 Le ressort s’allonge donc de 40  mm pour une masse de 80 g. 40 + 60 = 100 La longueur totale du ressort est alors de 100 mm. 2) a) 𝒱 = a3 = 23 = 8 cm3 73 1)

d 196 = ≈ 5,2 m/s t 38 5,2 m/s = 5,2 × 3 600 m/h = 18 720 m/h = 18,72 km/h La vitesse de l’ascenseur est donc environ égale à 18,7 km/h. 59 v =

Voir la solution rédigée sur le site élève http://phare3.hachette-education.com

19,5 × 8 = 156 Le cube pèse donc 156 g. 156 b) = 7,8 d’où 10 × 7,8 = 78. 20 Le ressort s’allonge donc de 78 mm pour ce cube. 78 + 60 = 138 mm La longueur totale du ressort est alors de 138 mm.

B × h = π × OA2 × OS = π × 42 × 9 ≈ 151 cm3 74 𝒱 = 3 3 3 1 L = 1 dm3 = 1 000 cm3 1 000 ≈ 6,6 151 On peut donc remplir entièrement le verre à 6 reprises. B × h = π × r2 × h = π × 32 × 6 = 18π 75 1) a) 𝒱 =  3 3 3 Le volume du bassin est donc de 18π m3. b) 18π m3 ≈ 56,5 m3 = 56 500 dm3 = 56 500 L Ce volume représente donc plus de 50 000 litres. 2) a) 3 600 × 15 = 54 000 L Or le bassin fait plus de 56 000 L, donc il faut plus d’une heure pour remplir ce bassin. 56 500 b) ≈ 3 766 s = 3 600 s + 166 s 15 = 1 h + 120 s + 46 s = 1 h + 2 min + 46 s Il faut donc 1 h 2 min 46 s pour remplir ce bassin.

76 1) 18 272 + 28 370 + 18 576 + 462 840 + 12 190 = 540 248 km² La superficie terrestre totale de la Mélanésie est de 540 248 km². 18 576 × 100 ≈ 3,4 % 2) 540 248 La superficie de la Nouvelle-Calédonie représente environ 3,4 % de la superficie totale de la Mélanésie. 3) 18 576 × 13 = 241 488 Le nombre d’habitants en Nouvelle-Calédonie en 2005 était de 241 488. 4) 18 272 × 45 + 28 370 × 17 + 18 576 × 13 + 462 840 × 13 + 12 190 × 18 540 248 822 240 + 482 290 + 241 488 + 6 016 920 + 219 420 7 782 358 = = ≈ 14 540 248 540 248 En 2005, la densité de la Mélanésie était d’environ de 14 habitants par kilomètre carré. © Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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CHAP. 17 - GRANDEURS ET MESURES

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𝒱 × p × 0,8 = 𝒱 × 0,06 × 0,8 77 1) t =  60 × 0,7 m×c 𝒱 × 0,06 × 0,8 = 𝒱 × 0,06 × 0,8 6) a) t =  60 × 0,7 60 × 0,7 Donc la fonction t est une fonction linéaire avec a =  0,06 × 0,8 . 60 × 0,7 b) Le taux d’alcool dans le sang d’un homme de 60  kg qui boit une pinte de bière, c’est-à-dire 500 mL de bière, est environ égal à 0,57 g/L. Cette personne n’a donc pas le droit de conduire. 𝒱 × p × 0,8 = 𝒱 × 0,4 × 0,8 78 1) t =  60 × 0,6 m×c 3) 2 × 50 = 100 mL Donc le taux d’alcool dans le sang d’une femme de 60 kg qui boit deux cocktails de ce type est environ égal à 0,89 g/L. Cette personne n’a donc pas le droit de conduire. 79 1) a) 1 mégawatt est égal à 1 million de watts. b) 24 × 10 = 240 mégawatts = 240 000 000 watts = 240 000 kW Donc la puissance totale des turbines de l’usine est égale à 240 000 kW. 550 000 000 ≈ 2 292 h 2) a) 240 000 Pour l’année 2010, elle a fonctionné environ 2 292 heures.

2 292 ≈ 6,3 heures = 6 h + 0,3 × 60 min 365 = 6 h 18 min Elle a fonctionné pendant 6 h 18 min par jour en moyenne sur l’année 2010. b)

118 ≈ 0,284 415,94 La densité d’îles dans sur la commune de Venise est environ égale à 0,3 île par kilomètre carré. 455 ≈ 2,57 2) 177 La densité de ponts sur la commune de Venise est environ égale à 2,6 ponts par canal. 80 1)

60 000 = 7 500 8 En temps normal, la densité de population de Venise est de 7 500 habitants par kilomètre carré. 150 000 = 18 750 b) 8 Lors du premier week-end du Carnaval de l’année 2010, la densité de population de Venise est de 18 750 habitants par kilomètre carré. 18 750 2) = 2,5 7 500 Pendant le carnaval, la densité de population est 2,5 fois plus importante que le reste de l’année. 81 1) a)

Exercices d’évaluation du socle commun 1

0,356 dam = 3 560 mm

2

174 256 m = 174,256 km

3

14,2 m² = 142 000 cm²

4

351 782 dm² = 0,351782 hm²

5

0,1 m3 = 100 000 000 mm3

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6

95 217 cm3 = 0,095217 m3

7

Sa vitesse est : 12 km/h.

8

Yannis a parcouru 3,25 km.

9

Le périmètre de la figure est 32 cm.

10 32 : 6 = 16 et 16 – 6 = 10. La longueur de ce terrain est 10 mètres. Donc la superficie est égale à 60 m².

© Hachette Livre 2012, Mathématiques 3e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit.

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