Mathématiques, 6e : livre du professeur 9782218968310, 2218968312

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Mathématiques, 6e : livre du professeur
 9782218968310, 2218968312

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Livre du professeur

Sous la direction de

Agnès Duranthon

IA-IPR de mathématiques de l’académie de Bordeaux Auteurs

Agnès Duranthon Marie-Ève Joly

Professeure de mathématiques au collège Maurice Chastang de Saint-Genis-de-Saintonge

Aurélie Roux

Professeure de mathématiques au collège Antoine de Saint-Exupéry de Lempdes

Frédéric Testard

Maître de conférences à l’Université de La Rochelle

Édition : Nicole Rêve Maquette : Nicolas Balbo (Domino) Mise en page : Pierre Florette (Domino) Schémas : Dominique Gueveneux (Domino)

© Hatier, Paris, 2014 ISBN : 978-2-218-96831-0

Sous réserve des exceptions légales, toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite, par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par le Code de la Propriété intellectuelle. Le CFC est le seul habilité à délivrer des autorisations de reproduction par reprographie, sous réserve en cas d’utilisation aux fins de vente, de location, de publicité ou de promotion de l’accord de l’auteur ou des ayants droit. 

SOMMAIRE Les tâches complexes : mode d’emploi.....................................................................................

4

Corrigés des exercices................................................................................................................. 7 partie

1

chapitre

Nombres et calculs 1. Les nombres .......................................................................................................... 9

chapitre 2. Les

quatre opérations ...................................................................................... 13

chapitre 3. Multiplication chapitre 4. Nombres

partie

2

et division avec les décimaux ........................................... 17

en écriture fractionnaire .............................................................. 23

Organisation et gestion de données

chapitre 5. Proportionnalité ................................................................................................. 29 chapitre 6. Organisation

partie

3

et représentation de données ............................................. 35

Géométrie

chapitre 7. Construction

de figures planes ..................................................................... 41

chapitre 8. Axes

de symétrie - Symétrie axiale ............................................................ 47

chapitre 9. Axes

de symétrie des figures planes ......................................................... 53

chapitre 10. Géométrie

partie

4

dans l’espace .............................................................................. 59

Grandeurs et mesures

chapitre 11. Les

angles .......................................................................................................... 65

chapitre 12. Périmètres

et aires ......................................................................................... 69

chapitre 13. Volumes .............................................................................................................. 75

  •  3

LES TÂCHES COMPLEXES : MODE D’EMPLOI Les tâches complexes : pour quoi faire ? Les tâches complexes permettent de travailler, puis d’évaluer des compétences que les traditionnels activités ou exercices ne mobilisent pas.

Les tâches complexes : à quel moment ? Odyssée 6e propose des tâches complexes à deux endroits-clés du manuel : au début de chaque grande partie du programme et à la fin de l’ouvrage.  1  Les tâches complexes « Pour commencer » Les tâches complexes « Pour commencer » ont un double objectif : –  pour l’élève : mobiliser de façon autonome ses connaissances dans un cadre a priori non mathématique ;

–  pour le professeur : prendre la mesure des acquis des élèves et motiver les nouvelles notions. Ces tâches complexes peuvent constituer l’activité d’entrée d’une nouvelle séquence ; il est dans ce cas conseillé de ne pas avoir étudié les outils de la séquence en question.  2  Les tâches complexes « Au fil de l’année » Les tâches complexes « Au fil de l’année » font appel aux nouvelles notions du programme. Pour l’élève, l’objectif reste de mobiliser de façon autonome ses connaissances afin de répondre à un problème. Pour le professeur, il s’agit de faire vivre les nouvelles notions, de s’assurer des acquis des élèves et, le cas échéant, de remédier aux difficultés observées. Ces tâches complexes ne constituent pas des applications directes d’une notion qui vient d’être travaillée avec les élèves. Si l’on souhaite mesurer les acquis des élèves et leur capacité à mobiliser certaines connaissances, il est conseillé de les proposer bien après la séquence qui traite de cette notion.

Les tâches complexes : comment les mener ? Selon la nature de la tâche complexe, différents traitements peuvent être envisagés : en une heure, sur plusieurs heures, avec recherche hors temps scolaire, etc. Dans tous les cas, il convient d’identifier différents temps, plus ou moins longs : –  temps individuel d’appropriation par l’élève, –  temps d’échange entre pairs et élaboration d’une stratégie de résolution, –  temps de recherche et construction d’une solution, –  temps de communication des différentes solutions à la classe, –  temps de synthèse collective.

L’accompagnement d’Odyssée Pour accompagner les tâches complexes proposées dans le manuel de 6e, un ensemble de compléments pédagogiques est prévu dans le manuel interactif enrichi (gratuit sur adoption du manuel papier). •  Les documents photocopiables En cas d’accès restreint à Internet, des documents photocopiables à exploiter par les élèves sont disponibles dans le manuel interactif enrichi.

4 • LES TÂCHES COMPLEXES : MODE D’EMPLOI

•  La fiche professeur Les tâches complexes, tout comme les activités proposées dans le manuel, sont accompagnées d’une fiche professeur donnant, entre autres, des exemples de mise en œuvre. •  Les exemples de grille pour l’évaluation d’items du socle commun Ils donnent une idée des compétences qui peuvent être évaluées avec des critères de réussite.  1  La fiche professeur La fiche professeur est conçue selon le plan suivant : •  Objectifs généraux Ces objectifs sont définis en termes de connaissances et de savoir-faire. •  Objectifs « socle » possibles Ces objectifs sont repérés par C1 pour compétence 1, C2 pour compétence 2, C3 pour compétence 3, etc. et par les domaines. Ils sont utilisés pour élaborer la grille d’évaluation fournie avec la tâche complexe. •  Prérequis Ils listent les connaissances sur lesquelles s’appuie la tâche complexe. •  Durée C’est une durée approximative, car elle dépend du profil de la classe et des objectifs visés. •  Matériel Il s’agit à la fois du matériel de l’élève et de celui à disposer dans la classe. •  Ressources utilisables Ce sont soit des documents à photocopier, soit des fichiers utilisant des logiciels de géométrie dynamique ou un tableur, disponibles dans le manuel interactif enrichi. •  Mise en œuvre Il ne s’agit que d’exemples de mise en œuvre, celle-ci pouvant être différente selon la classe et la place de la tâche complexe dans la progression. •  Exploitation des résultats des élèves Des exemples d’exploitation des résultats des élèves sont proposés, dont certains à l’aide des T.I.C.E. et des ressources utilisables disponibles dans le manuel interactif enrichi. •  Aides possibles Elles sont là pour permettre à tous les élèves d’entrer dans l’activité mathématique.  2  Les grilles d’évaluation des items du socle Le choix des items du socle pour l’évaluation dépend de l’objectif visé propre à la séquence d’apprentissage élaborée par le professeur. Il peut aussi dépendre de l’élève évalué. Aussi, les grilles proposées ne le sont qu’à titre d’exemple. Les compétences du livret personnel de compétences sont repérées par C1 pour compétence 1, C2 pour compétence 2, C3 pour compétence 3, etc. Volontairement, le nombre d’items est limité à 2 ou 3. Chaque grille est conçue de la façon suivante :

Tâche complexe Domaines

C3 : Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des problèmes.

Items

Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer.

Critères de réussite Tout élève cherchant une méthode par essais réalisant : – des mesures, des calculs, – des croquis d’étude à main levée, – des constructions en adaptant sa méthode au fur et à mesure de la recherche, pourra être évalué positivement même s’il n’a pas abouti.

LES TÂCHES COMPLEXES : MODE D’EMPLOI •

5



CORRIGÉS DES EXERCICES

chapitre

1

Les nombres

Savoir-faire 1 à 8 Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève.

b.

À l’oral 9

Cent quatre-vingts ; trois mille sept cent quatrevingt-deux ; dix-neuf ; six cent vingt-sept mille trois cent cinquante-deux ; huit millions cinq cent un mille neuf cent onze ; cinquante-six mille vingt-huit ; neuf milliards quatre cent cinquante-trois millions sept cent douze mille trois cent cinquante-trois ; mille vingt-sept ; soixante-douze mille soixante ; quinze millions huit cent quarante-deux mille trois cent quatre-vingt-douze.

10 a. 1.

b. 3. e. 14.

d. 0.

c. 4. f. 523.

b.

b.

1,41

74,017

482,4

6 327,456

30 et 0,3 100 fois

1 et 0,01 100 fois

70 et 0,007 10 000 fois

400 et 0,4 1 000 fois

6 000 et 0,006 1 000 000 fois

17 a. 3 dixièmes. c. 52 dix-millièmes. e. 45 centièmes. 18 a. 56.

b. 27 centièmes. d. 794 millièmes.

b. 20.

19 1. B et C.

c. 0.

2. B et C.

20 a. 0,38. e. 0,5. f. 0,1. j. 0,0001.

e. 98.

3. A et C.

b. 0,01. g. 0,75172.

1 . 10

d. 6.

b. 0,33 =

4. B et C.

c. 0,967. h. 0,00001. 33 . 100

747

7 078

75 127

67 817

127 537

70 et 7 10 fois

700 et 7 100 fois

7 000 et 70 100 fois

70 000 et 7 10 000 fois

7 000 et 7 1 000 fois

7 000 et 7 1 000 fois

7,7

72,7

7,07

7 et 0,7 10 fois

70 et 0,7 100 fois

7 et 0,07 100 fois

17,984 7 874,37 7 et 0,000 7 10 000 fois

57,067

70 7 et 0,07 et 0,007 1 000 1 000 fois fois

13 1, 2 et 3 donnent le classement des trois premiers nageurs. WR 24.04 : record du monde en secondes. La virgule est remplacée par un point. CR 24.04 : record du championnat en secondes. Fina 24.42 : temps de la finale en secondes.

c. 0,654 =

22

23 a. 0,7.

b. 0,45.

c. 0,86.

d. 0,348. e. 0.

24 C’est Lila qui fait le plus long footing. 25 William est le plus éloigné de Paris tandis que Sofiane est le plus proche. 1 052 > 328 > 153. 26 2 < 13 < 15 < 56 < 98 < 102 < 110 < 248 < 249 < 1 010. 27 3 010 > 2 052 > 341 > 308 > 127 > 58 > 45 > 23 > 7. 28 La boulangerie Thomas vend sa baguette moins chère que la boulangerie Martin. 0,88 < 0,90. 29 Medhi a dépensé plus que Lina, car 8,50 > 8,05. 30 2,49 < 2,75 < 3,59 < 3,98. Pomme Royal Gala ; Pomme Golden ; Orange de table Bio ; Citron Bio. 31 8,05 < 8,55 < 9,01 < 9,1 < 9,141 < 9,23 < 9, 41.

14 a. 12 centièmes ; 457 millièmes ; 5 dixièmes ; 8 719 dixmillièmes ; 36 centièmes ; 954 millièmes ; 7 dixièmes.

32 250, 5 > 25,5 > 25,05 > 25,015 > 2,55 > 2,05.

b. 564 centièmes ; 40 129 millièmes ; 802 centièmes ; 1 717 centièmes ; 982 dixièmes ; 38 652 dix-millièmes ; 15 dixièmes. a. 78.

f. 54.

b. 572. g. 0.

c. 1 489. h. 100.

d. 50. i. 6 300.

e. 720. j. 7 300.

b.

33 Il doit acheter le produit A pour dépenser le moins possible.

34 Lors de la dernière crue du Cher en 1960, l’eau est montée à plus de 3 m de hauteur dans la rue des Aubéries du Renard. Elle n’a pas dépassé 3,50 m. 35 a. 2 < 2 +

16

a.

654 . 1 000

2 31 100 . e. 7,31 = 7 + . f. 1 = . 10 100 100 a. 25. b. 130. c. 43. d. 99. e. 0.

4 : numéro du couloir du vainqueur.

15

d. 0,001. i. 0,2144.

d. 4,2 = 4 + 77

12 a.

31,3

5 et 0,5 10 fois

21 a. 0, 1 =

11 a.

a.

5,5

22

121

4 041

9 257 109 85 187

102 705

20 et 2 10 fois

100 et 1 100 fois

4 000 et 40 100 fois

9 000 000 80 000 et 9 et 80 1 000 000 1 000 fois fois

0 et 0 –

5 < 3. 10

b.

12 < 12 +

99 < 13 . 100

21 263 < 3. d. 0 < < 1. 10 1000 30 € ; 30,01 € ; 30,02 € ; etc. ; 30,97 € ; 30,98 €.

c. 2
18,555 > 18,08 > 17,83 > 17,141 > 17,14.

84 > 1. 10

57 a. Il y a 37 centimes dans 0,37 € et 2 137 centimes dans

c. 82,16 =

66 et 67 Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève.

c.

55 et 56 Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève.

58

65 a. On doit regarder le chiffre des cent-millièmes car 4,558 243 7 et 4,558 274 ont la même partie entière, le même chiffre des dixièmes, des centièmes, des millièmes et des dixmillièmes. b. 4 < 7 donc 4,558 243 7 < 4,558 274.

70 À faire avec les élèves et leurs tables, entre 2 et 3.

53 Cet exercice est corrigé dans le manuel de l’élève. 54 a. 4,5. e. 1,932 27.

64 a. Oui, car il compare les dixièmes. b. Non, car il compare des dixièmes et des centièmes. Il aurait dû comparer 50 et 47.

100 = 1. 100

b. f.

75 7 5 = + . 100 10 100

b.

63 a. Au dernier recensement, l’aire urbaine de La Rochelle comptait plus de 200 000 habitants. b. Le Pariou est un ancien volcan de la chaîne des Puys dans le Massif central. Il culmine à plus de 1 200 m d’altitude. c. Joakim Noah est un basketteur qui mesure plus de 2 m. d. Au 1er janvier 2014, le salaire minimum interprofessionnel de croissance (Smic) a été fixé pour l’année à moins de 10 euros brut par heure. e. Le prix moyen d’un paquet de pâtes de 500 g vendu en métropole était en novembre 2013 à moins de 1 €.

21 < 5. 10

b. 5 < 5 + d. 2
534 > 453 > 435 > 354 > 345 > 54 > 53 > 45 > 43 > 35 > 34 > 5 > 4 > 3. 2. a. Sans virgule, il y aurait 6 nombres. Avec la virgule, il y en a deux fois plus soit 12 nombres. b. 3,45 < 3,54 < 4,35 < 4,53 < 5,34 < 5,43 < 34,5 < 35,4 < 43,5 < 45,3 < 53,4 < 54,3.

115 a. L’abscisse du point I est comprise entre 5 et 7. b. L’abscisse du point R est comprise entre 5 et 6. c. L’abscisse du point A est comprise entre 5 et 5,5. d. Ces points se rapprochent du point P et l’abscisse de ces points se rapproche de celle de P, c’est-à-dire 5.

116 1. a. b. A

I

B

7 7,2 7,4 7,6 7,8 8 8,2 8,4 8,6 8,8 9 9,2 9,4 9,6 9,8 10 c. L’abscisse de I vaut 8,5. d. C’est la demi-somme des abscisses de A et de B. 2. a.

A

J

I

6,9 7 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 b. (7 + 8,5) ÷ 2 = 7,75.

1. Lesnombres• 11

chapitre

2

Les quatre opérations

Savoir-faire

23 20,5 hg < 245 dag < 2 500 g < 52 000 dg < 25 kg.

1 à 9 Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève.

24 a. 120. d. 10.

À l’oral 10 a. 11.

b. 12. e. 13.

d. 12.

c. 11. f. 7.

11 Il s’agit de s’entraîner avec les compléments à 10. a. 2. d. 3.

b. 5. e. 1.

c. 6. f. 8.

12 Il s’agit de s’entraîner avec les compléments à 100. a. c. e. g.

b. 30. d. 10. f. 65. h. 33.

80. 60. 45. 54.

14 a. 48.

15 a. 300. d. 200.

c. 40. f. 8 × 8. i. 8.

b. 100.

c. 100.

e. 1 000.

f. 300.

b. 8 × 20 = 160. d. 2 × 24 = 48. f. 50 ÷ 2 = 25. h. (2 × 15) + 10 = 40.

c. 120 – 30 = 90. e. 30 ÷ 3 = 10. g. 3 × 60 = 180.

17 a. Faux, 12 est un diviseur de 24. b. c. d. e.

f.

3 ou 0,75. 4

Je m’entraîne 25 1. b.

2. c.

3. a.

26 a. On peut proposer 6 + 6 ; 5 + 7 ; 11,5 + 0,5 ;… b. On peut proposer 14 – 2 ; 13,7 – 1,7 ;… c. 6 × 2 ; 3 × 4 ; 1,2 × 10 ;… 27 a. 1 × 15 et 3 × 5. b. 1 × 24 ; 2 × 12 ; 3 × 8 et 4 × 6. c. 1 × 40 ; 2 × 20 ; 4 × 10 et 5 × 8.

29 39 est le produit de 3 par 13. La différence entre 13 et 3 est 10. Les nombres cherchés sont donc 3 et 13.

b. 3. e. 4. h. 63.

16 a. 13 + 17 = 30.

c. 15.

28 Il est plus simple de commencer par raisonner avec le produit des deux nombres cherchés. 21 est le produit de 3 par 7. La somme de 3 et 7 est égale à 10. Les nombres cherchés sont donc 3 et 7.

13 Ajouter 11, c’est ajouter 10, puis 1. a. 34. b. 56. c. 48. d. 100. Ajouter 9, c’est ajouter 10, puis enlever 1. e. 63. f. 87. g. 144. h. 171. d. 6. g. 4.

1 ou 0,5. 2 e. 3 600.

b.

Vrai car 48 = 6 × 8. Faux. Vrai. Faux, 15 a exactement 4 diviseurs : 1, 3, 5 et 15.

30 On peut procéder par tâtonnement ou alors ainsi : 24 ÷ 3 = 8. On choisit 7, 8 et 9. 7 + 8 + 9 = 24. Les nombres cherchés sont 7, 8 et 9. 31 et 32 Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève. 33 a. L’opération d’Alice est mal posée, les chiffres des unités des deux nombres ne sont pas alignés. 1 249 + 123,4 372,4 b. Dans l’opération posée par Jordan, lorsqu’il ajoute les 9 4 13 + , il trouve au lieu de deux chiffres des dixièmes : 10 10 100

19 a. 25 = 12 × 2 + 1, Quotient = 2. b. 30 = 9 × 3 + 3, Reste = 3. c. 51 = 11 × 4 + 7, Quotient = 4. d. 66 = 22 × 3 + 0, Reste = 0.

13 3 c’est-à-dire 1 unité + . Ce qui se traduirait par 10 10 une retenue aux unités. 1 247,9 + 121,4 369,3

20 a. Avec 50 muffins, on peut faire 8 paquets de 6 muffins. b. 123 = 10 × 12 + 3, il restera 3 tulipes non utilisées. c. 57 = 5 × 11 + 2, on pourra former 11 équipes complètes.

34 a. En ce qui concerne les unités, Hamdi a enlevé 5 unités à 8 unités au lieu de chercher à enlever 8 unités à 15 unités en utilisant les retenues :

18 1. A.

21 a. 125. d. 2,84. g. 0,135.

2. C.

3. B.

b. 8 700. e. 0,135. h. 850.

22 a. Vrai. c. Faux. 2,4 kg = 240 000 cg.

4. C.

c. 4. f. 0,009. i. 0,006 2.

b. Faux. 13 cm = 0,13 m. d. Faux. 30 dm = 300 cm.

trouver

7 415, 6 – 411 8, 2 3 2 7, 4 b. En ce qui concerne les dixièmes, Myriam a bien compris qu’elle ne peut pas enlever 5 dixièmes à 4 dixièmes, elle utilise les retenues mais ne comprend pas le sens de

2. Lesquatreopérations• 13

ces retenues. La retenue qu’elle a écrite à côté du chiffre des dixièmes 4 ne signifie pas 1 dixième mais 10 dixièmes. 9 5 3,14 7

50 1.  –

–   2 311, 5

7 2 1, 9 7

3

7

0

3

2 5

0



4

35 Lorsqu’elle passe à la deuxième ligne de son calcul, Léonie a effectué 1 × 4 908, le chiffre 8 a le même rang que le chiffre 4 qui est au-dessus. Or, dans 13, le chiffre 1 est le chiffre des dizaines. Il faut montrer qu’il s’agit d’une dizaine.

4 9, 0 8 × 1 3         1 4 7 2 4 + 4 9 0 8 0  6 3 8, 0 4

8 4

6

8 2

2. a. On peut réaliser 46 équipes. b. Sa femme recevra 2 roses. c. Il faut 47 tables. d. Chaque boîte contiendra 8 madeleines.

51 à  54  Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève. 55 a.  La somme des chiffres du nombre 324 est égale à 9.

Un ordre de grandeur de la somme à payer est 150 €. Pour le calculer, on a choisi trois ordres de grandeur légèrement supérieurs aux véritables prix. Par conséquent, Blaise a assez d’argent pour payer ses achats.

9 est un multiple de 3 donc 324 est divisible par 3 et chaque sachet peut donc contenir 3 chocolats sans qu’il reste de chocolats non utilisés. b. 24 est un multiple de 4 donc 324 est divisible par 4 et chaque sachet peut donc contenir 4 chocolats sans qu’il reste de chocolats non utilisés. c. La somme des chiffres du nombre 324 est égale à 9. 9 est un multiple de 9 donc 324 est divisible par 9 et chaque sachet peut donc contenir 9 chocolats sans qu’il reste de chocolats non utilisés.

39 à  43  Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève.

56 En utilisant les critères de divisibilité, on sait que le

36 Cet exercice est corrigé dans le manuel de l’élève. 37 1.  B.

2.  C.

3.  C.

38 20 € + 6 × 5 € + 100 € = 150 €.

44 La famille de Lou doit choisir la formule « 2 jours consécutifs ». Somme totale versée pour les forfaits de toute la famille : (2 × 54 ,60 €) + 38,10 € + (2 × 44,20 €) = 109,20 € + 38,10 € +  88,40 € = 235,70 €. 500 € – 235,70 € = 264,30 €. Il reste 264,30 € à cette famille pour louer un appartement.

45 Cet exercice est corrigé dans le manuel de l’élève. 46 (2 × 2,845 km) + (6 × 0,330 km) = 5,69 km + 1 ,98 km = 7,67 km.

47 a.  9.

b.  3.

c.  8.

48 a.  –

5

9

3

9 6

9

6

1

3

3

5

5 4

0,54 m + 0,37 m = 2,4 m. Le plafond est trop bas.

62 65 kg + 52 kg + 87 kg + 72 kg + 90 kg + (4 × 0,850 kg)  = 369,4 kg. 1 t = 1 000 kg donc 0,4 t = 400 kg. 400 kg > 369,4 kg donc Yvan n’aura pas besoin de louer un camion.

63 à  66  Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève.

68 On peut choisir de convertir toutes les durées en heures

49 a.  1

5

4

1

2 2

6 8

5

2

5 3

2 3

6

3

3

6



61 15 cm + 1,34 m + 5,4 dm + 37 cm = 0,15 m + 1,34 m + 

= 9 h + 1 h + 20 min  = 10 h 20 min. Lorsque l’avion atterrit à Tokyo, nous sommes le vendredi 10/01/2014, il est 10 h 20 min.

b. 459 = 13 × 35 + 4.



57 à  60  Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève.

67 7 h 55 min + 2 h 25 min = 9 h 80 min 

4



multiple de 5 le plus proche de 147 est 145. 2 perles sont donc non utilisées.



5

6

4

2

3

6

8

et minutes, ou en minutes. 2 jours 5 h 8 min = 2 × 24 h + 5 h 8 min = 48 h + 5 h + 8 min = 53 h 8 min. 3 180 = 60 × 53 donc 3 180 min = 53 h. La personne qui est partie en premier est celle qui a mis le plus de temps, il s’agit donc de la première : celle qui a mis 2 jours 5 heures et 8 minutes pour effectuer ce trajet.

Chacun son exercice 69

0 b. Le reste dans la division euclidienne de 15 456 par 42 est égal à 0. Donc, 42 est un diviseur de 15 456 ou encore 15 456 est un multiple de 42.

14 • 2. Les quatre opérations

12,3 14,5 30,9

2,2 3

17,5 13,4

5,2 10,4

5,2

70

78 73 097 = 3 600 × 20 + 1 097. Dans 73 097 secondes, on 7,6 10,5 20,5 40,7

2,9 10

20,2

7,1 10,2

3.1

71 a.  AB = 15,7 + 34,3 = 50. b. AB = 19 – 8,6 = 10,4. c. AB = 5 × 7,2 = 36.

72 a.  𝒫 = 3 × 5,4 = 16,2. b. 𝒫 =  (2 × 6,25) + (2 × 3,5) = 12,5 + 7 = 19,5. c. 𝒫 = 2 × (1,3 + 2,7) + 2 × (3,2 + 1,3)  = (2 × 4) + (2 × 4,5) = 8 + 9 = 17.

73 On calcule d’abord la somme des prix des articles connus : 2,85 € + 1,74 € + 4,50 € = 9,09 €. On calcule le prix de deux quiches : 16,09 € – 9,09 € = 7 €. Une quiche coûte donc 3,50 €.

74 3 tartes aux myrtilles coûtent 8,52 € donc 6 tartes aux myrtilles coûtent deux fois plus cher soit : 2 × 8,52 €, c’est-à-dire 17,04 €. 3,65 € + 2,14 € + 0,99 € + 8,52 € = 15,30 €. 22,30 € – 15,30 € = 7 €. Deux pizzas coûtent 7 €, une pizza coûte 3,50 € et trois pizzas coûtent 3 × 3,50 €, soit 10,50 €. 10,50 € + 17,04 € + 3,65 € = 31,19 €. Avec 30 €, Sarah n’aura pas assez d’argent.

75 Le nombre cherché est un nombre entier inférieur à 100, divisible par 2 donc pair. Il est aussi divisible par 5, son chiffre des unités est donc 0 ou 5. Puisqu’il est pair, son chiffre des unités est 0. C’est aussi un multiple de 3, on peut alors écrire la liste des nombres correspondant à tous ces critères : 30, 60, 90. 30 = 7 × 4 + 2. 60 = 7 × 8 + 4. 90 = 7 × 12 + 6. Le reste dans la division euclidienne de 90 par 7 est 6. Le nombre cherché est donc 90.

76 Le nombre cherché est un nombre entier compris entre 100 et 200 divisible par 9. C’est aussi un nombre pair, puisque le reste dans la division euclidienne de ce nombre par 4 est 2. Le reste dans la division euclidienne de ce nombre par 5 est 3, par conséquent le chiffre des unités du nombre cherché est soit 3 soit 8. Comme ce nombre est pair, alors le chiffre des unités de ce nombre est 8. On obtient alors la liste des nombres suivants : 108, 198. 108 est divisible par 4. 198 = 4 × 49 + 2. 198 est le nombre cherché. La démarche décrite précédemment est une démarche experte. On pourrait tout à fait trouver le nombre cherché en n’utilisant qu’une partie du raisonnement proposé et compléter ce raisonnement par des méthodes « essais-erreurs ».

compte 20 heures complètes. 1 097 = 60 × 18 + 17. Il reste 18 minutes et 17 secondes. Le gagnant de l’Ultra-Trail a remporté cette course en 20 h  18 min 17 s. 22 h + 2 h = 24 h. Au bout de 2 heures de course, la date change : mardi 27 août 2013 00 h 00. Le gagnant a donc terminé sa course le mardi 27 août 2013 à 18 h 18 min 17 s.

Mon test 79 à  90  Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève.

J’approfondis 91 Puisque le nombre entier cherché doit comporter 4 chiffres significatifs, on peut considérer que le chiffre des milliers doit être 1. On essaie ensuite de choisir le chiffre 0 pour le chiffre des centaines. La somme des chiffres des dizaines et unités doit être égale à 12. On ne peut pas choisir 1 ou 2 comme chiffre des dizaines, car 12 = 1 + 11 et 12 = 2 + 10. On choisit donc 3 comme chiffre des dizaines : 12 = 3 + 9. Le nombre cherché est 1 039.

92 Les deux nombres entiers cherchés sont 13 et 26. Les élèves peuvent procéder en utilisant la méthode « essaiserreurs » ou tout autre stratégie qui se ramène à la résolution du système d’équations par méthode de combinaison.

93 a.  2 013 ÷ 3 = 671. Axel a choisi les nombres 670, 671 et 672. b. Pour trouver les deux nombres entiers consécutifs dont le produit est égal à 4 290, on peut commencer par raisonner sur les ordres de grandeurs. Par exemple : 50 × 50 = 2 500 donc les nombres cherchés sont supérieurs à 50. 100 × 100 = 10 000, donc les nombres cherchés sont inférieurs à 100. 70 × 70 = 4 900 donc les nombres cherchés sont inférieurs à 70. On procède ensuite par « essais-erreurs » ou en raisonnant sur le chiffre des unités 0 qui indique que l’un des deux facteurs a pour chiffre des unités 0 ou 5. Les nombres cherchés sont 65 et 66.

94 600 € ÷ 50 = 12 €. Une équerre coûte 12 €. 30 × 12 € = 360 €. 600 € – 360 € = 240 €.  240 € ÷ 60 = 4 €. Un feutre coûte 4 €. 20 × 12 € + 40 × 4 € = 240 € + 160 € = 400 €. 600 € – 400 € = 200 € et 200 € ÷ 10 = 20 €. Un compas coûte 20 €.

95 a.  9 – 7 = 2 ; 2 × 2 = 4 ; 4 × 25 = 100 ; 100 × 6 = 600. b. 4 × 50 = 200 ; 200 + 25 = 225 ; 225 × 3 = 675.

77 Différentes procédures sont envisageables, voici l’une

96 a.  Vrai.

d’elles : Si le séchage avait duré 3 jours complets, il se serait terminé le jeudi à 15 h 35. 15 h 35 min – 11 h 20 min = 4 h 15 min. 24 h – 4 h 15 min = 19 h 45 min. Le séchage a donc duré 2 jours, 19 heures et 45 minutes.

b. Faux, contre-exemple : 3 + 5 = 8. c. Vrai. d. Faux, le produit d’un nombre pair par un nombre impair est un nombre pair. e. Faux, contre-exemple : 6 est un nombre pair qui n’est pas divisible par 4.

2. Les quatre opérations • 15

97 2,60 € – 2,15 € = 0,45 € donc une sucette coûte 0,45 €. 3 × 0,45 € = 1,35 €. 2,60 € – 1,35 € = 1,25 € donc une tartelette coûte 1,25 €. Prix de 6 sucettes et 5 tartelettes : (6 × 0,45 €) + (5 × 1,25 €) = 2,7 € + 6,25 € = 8,95 €.

98 Diverses stratégies sont possibles. L’une d’elles peut consister à considérer que les parts de Pierre et d’Étienne sont quasiment équivalentes. Justine recevant deux fois plus de timbres que Pierre, on peut donc considérer que Pierre et Étienne reçoivent une part proche du quart du nombre total de timbres soit environ 207 timbres. Part de Pierre : 207 timbres, part d’Étienne : 197 timbres, part de Justine : 2 × 207 = 414 timbres. 207 + 197 + 414 = 818. Il manque des timbres puisque le nombre total de timbres est 830. On raisonne ensuite par « essais-erreurs ». La solution est la suivante : Part de Pierre : 210 timbres, part d’Étienne : 200 timbres, part de Justine : 420 timbres.

99 1.  1 n’est pas un nombre premier, car il n’a qu’un diviseur. 2. a. 7 est un nombre premier inférieur à 10. b. 23 est un nombre premier compris entre 20 et 30. c. 31 est un nombre premier compris entre 30 et 40. 100 On effectue par exemple la division euclidienne de 323 par 6 : 323 = 6 × 53 + 5.

16 • 2. Les quatre opérations

Pour compter les 323 premières places, il faut 53 rangées complètes, la place 323 se situe à la 5e place de la 54e rangée. Les places 323 et 324 sont donc côte à côte, mais les places 325, 326, 327 sont dans la rangée suivante. Il reste à savoir si ces deux rangées sont dans le même wagon. 53 = 8 × 6 + 5. La 53e rangée est la 5e rangée du 7e wagon. Un wagon comporte 8 rangées donc la 53e et la 54e rangée sont dans le même wagon.

101 50 000 = 3 600 × 13 + 3 200. Dans 50 000 secondes, on compte 13 heures complètes. 3 200 = 60 × 53 + 20. Dans 3 200 secondes, on compte 53 minutes et 20 secondes. 50 000 s = 13 h 53 min 20 s. 24 h – 13 h 53 min 20 s = 10 h 6 min 40 s. Nous sommes donc le 30 avril à 10 h 6 min 40 s.

102 En observant les trois horloges, on déduit que celle qui retarde de 15 minutes est la deuxième horloge, elle indique 7 h 50 min et retarde de 15 minutes, il est donc 8 h 5 min.

103 À chaque kilomètre, le second coureur reprend 2 secondes sur le premier. Au bout de 44 km, il aura repris 88 secondes. 88 s = 1 min 22 s. 1,5 min = 1 min 30 s. 1 min 22 s  50 cm. On ne peut pas mettre 11 pièces en largeur, mais seulement 10. 6 × 186 mm = 1 116 mm = 111,6 cm. 111,6 cm  0,25. On a donc > . 2 2 4 4 On peut aussi raisonner à l’aide d’un schéma.

En effet :

7 3 . b. . 3 7 1. Réponse B.

21 a. 22

23 a. 4 ×

3 = 3. 4

24 a. 11 × 2 = 22. b. 7 × 5 = 35.

3 4 . d. . 4 3 2. Réponses A et C. c.

b. 7 ×

3 = 3. 7

c.

3 × 5 = 3. 5

5,5 × 4 = 22.

22 × 3 = 22. 3

8,75 × 4 = 35.

35 × 3 = 35. 3

33 a. 18 €.

b. 12 €.

c. 9 €.

d. 4,5 €.

34 a. 17 €.

b. 7 €.

c. 24 €.

d. 6 €.

35 a. 9.

b. 3.

c. 12.

b. 15 min. e. 12 min.

c. 7 min 30 s. f. 5 min.

36 a. 30 min. d. 6 min.

37 a. 9 (on divise 24 par 8 et on multiplie par 3). b. 7,5 (on divise 15 par 2). 4. Nombresenécriturefractionnaire• 23

c. d. e. f.

5 (on divise 9 par 9 et on multiplie par 5). 7,5 (on divise 10 par 4 et on multiplie par 3). 18 (on prend la moitié de 12 et on multiplie par 3). 2 (on voit que 13 divisé par 13 est égal à 1).

c. Pour colorier le neuvième de la surface du rectangle, il faut le partager en neuf parts égales et en colorier une. Voilà un exemple de coloriage :

D

38 a. 8 élèves portent des lunettes (24 ÷ 3 = 8).

E 3 cm

b. 12 élèves sont des garçons. c. 6 élèves ont les yeux bleus (24÷ 4 = 6).

Je m’entraîne

I

b. c. d. e. 2. 3.

Bénéficier du tiers payant. Être considéré comme une demi-portion. Démarrer au quart de tour. Être au poste de demi de mêlée. Question non corrigée. Le tiers-monde, le tiers état, effectuer un demi-tour…

40 a. Un demi. c. Trois quarts. e. Cinq sixièmes. 41 a. e.

1 . 8

5 . 4

b. Deux tiers. d. Quatre cinquièmes.

b. f.

7 . 3

c.

17 . 13

g.

3 . 2

d.

3 . 10

15 . 100

7 12 11 42 a. ; et sont plus grandes que 1, car le numé2 4 3 rateur est plus grand que le dénominateur. 12 b. = 3. 4 2 1 1 3 ; ; et sont plus petites que 1, car le numé5 10 3 5 rateur est plus petit que le dénominateur. 1 b. n’est pas un nombre décimal. 3

43 a.

44 a. et b. La part de Zoé est représentée en gris foncé, et la part d’Arthur est représentée en gris clair.

M

6 cm

39 1. a. Peindre un portrait de trois quarts.

7 d. Finalement, il reste de la surface du rectangle qui n’est 18 pas coloriée.

49 Cet exercice est corrigé dans le manuel de l’élève. 50 a.

1 L. 10

b.

1 L. 2

c.

100 L = 1 L. 100

51 a.

1 kg. 10

b.

1 kg. 5

c.

1 kg. 4

d.

3 kg. 2

f.

3 kg. 4

b.

5 . 4

c.

3 . 10

d.

11 . 4

e.

1 kg. 1000

52 a. e.

5 . 2

12 6 ou . 10 5

53 Cet exercice est corrigé dans le manuel de l’élève. 54 a. 0,25.

b. 1. e. 5.

d. 3.

c. 1,5. f. 25.

55 Les fractions égales à 1,5 sont :

3 15 21 ; et . 2 10 14

16 22 7 98 . 21 2 Si on imagine une classe avec 28 élèves dont 15 filles et qu’une nouvelle élève arrive dans la classe, la part des filles est plus importante après l’arrivée de la nouvelle élève donc : 16 15 > . 29 28 84 a. 1,8 million de salariés représentent 5 % des salariés en France donc 18 millions représentent 50 % et finalement 36 millions représentent 100 %. En 2010, il y avait environ 36 millions de salariés en France. b. 1,8 million × 0,9 = 1,62 million. 1,62 million de femmes travaillaient au domicile de particuliers pour des services à la personne. 1 c. 1,8 million × = 0,6 million. 3 600 000 personnes travaillaient également en dehors du secteur des services à la personne. 3,3 33 11 55 85 a. = = = . Soit 55 % provient des rejets 6 60 20 100 terrestres. 2,1 21 7 35 = = = . Soit 35 % provient des activités de b. 6 60 20 100 navigation. 0,6 6 1 10 = = = . Soit 10 % provient des suintements c. 6 60 10 100 naturels. 9 86 a. Prendre 9 % de 995, c’est prendre de 995. Cela 100 revient à multiplier 995 par 0,09. 995 × 0,09 = 89,55. 90 orthophonistes exerçaient dans les Landes. b. 995 orthophonistes représentent environ 4,7 % des orthophonistes de France. Donc 9 950 orthophonistes représentent environ 47 % des orthophonistes de France. On effectue une règle de trois : (9 950 ÷ 47) × 100 ≈ 21 170. Il y avait en 2012, environ 21 170 orthophonistes en France. 87 1 cm sur la carte représente 10 km. Sur la carte, la distance Bourges-Châteauroux mesure 6 cm. À vol d’oiseau, la distance Bourges-Châteauroux est de 60 km. 1 Le pigeon parcourt 72 km en 1 heure donc 1 km en h et 72

par conséquent 60 km en

60 h. 72

60 30 5 5 60 h= h = h = × 60 min = 5 × min = 50 min. 72 36 6 6 10 Le pigeon sera à Châteauroux à 7 h 50. Sur la carte, la distance Bourges-Montluçon mesure 8,3 cm. À vol d’oiseau, la distance Bourges-Montluçon est de 83 km. Le pigeon parcourt 83 km en 1 heure donc il sera à Montluçon à 8 heures.

88 Sur le tableau, on voit que Léa a parcouru au total 20 km. Comme elle a pris le même chemin au retour de sa balade, on en déduit qu’elle s’est arrêtée après 10 km, c’està-dire après 50 minutes.

Dans la deuxième partie du tableau, on remarque qu’elle parcourt 4 km en 10 minutes donc 2 km en 5 minutes et par conséquent 10 km en 25 minutes. Au total, Léa aura roulé 75 minutes alors que sa sortie a duré 90 minutes. Elle s’est donc arrêtée 15 minutes.

89 Kenza a raison. 90 Faux. 91 Non.

5. Proportionnalité• 33

chapitre

6 

Organisation et représentation de données

Savoir-faire 1 à  3  Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève.

À l’oral 4 a.  C’est à Atlanta qu’il y a eu le plus de passagers (95,462 millions) et à Dallas qu’il y en a eu le moins (58,591 millions). b. Les flèches bleues signifient que le classement n’a pas changé, les vertes qu’il a augmenté et les rouges qu’il a diminué. Les chiffres entre parenthèses représentent le nombre de places gagnées ou perdues. c. En 2011, l'aéroport de Chicago était au rang 4. Il est maintenant au rang 5, car il a perdu une place. 5 En additionnant les nombres de la colonne « Grand cahier », elle sait qu’il lui faudra 5 grands cahiers. De la même manière, il lui faudra 2 classeurs et 600 feuilles.

6 a.  Les apports en sucre sont indiqués par la colonne « Glucides ». Les deux variétés de légumes les plus riches en glucides sont les pommes de terre et les petits pois : ce sont les variétés à éviter. b. Les petits pois sont la variété la plus riche en protides (6,5 g pour 100 g de produit). Après, on trouve les asperges (2,4 g) et les haricots verts (2,3 g). c. Les légumes les moins riches en calories sont la laitue (17 kcal pour 100 g), les radis et les tomates (21 kcal). Ce sont les légumes à privilégier.

7 a.  Pour obtenir le classement, on doit multiplier le nombre de victoires par 3, le nombre de matches nuls par 1 et additionner. On trouve : Rohan : 21 × 3 + 9 × 1 = 72 points. Bray : 18 × 3 + 17 × 1 = 71 points. Comté : 17 × 3 + 19 × 1 = 70 points. L’équipe la mieux classée est celle de Rohan, la moins bien classée est celle de Comté. b. Si chaque victoire ne rapportait que 2 points, les nouveaux totaux seraient les suivants. Rohan : 21 × 2 + 9 × 1 = 51 points. Bray : 18 × 2 + 17 × 1 = 53 points. Comté : 17 × 2 + 19 × 1 = 53 points. L’équipe de Rohan est maintenant la moins bien classée. Les deux autres sont à égalité et on les départage grâce au « goalaverage ». Il est égal à 66 – 24, c’est-à-dire 42 pour Bray. Il est égal à 64 – 21, c’est-à-dire 43 pour Comté. Avec ce mode de calcul, c’est donc cette fois l’équipe de Comté qui est la mieux classée.

8 a.  Le pourcentage le plus important (36 %) est atteint pour les séjours en résidence principale de parents ou d’amis. b. Les séjours dont parle la question correspondent à plusieurs catégories du tableau : – Résidence principale de parents ou d’amis : 36 %. – Résidence secondaire de parents ou d’amis : 11 %. – Résidence secondaire du ménage : 8 %.

Cela fait au total 55 % des types de séjour : l’affirmation est donc vraie.

9 a.  On trace des lignes verticales, correspondant à 1960 et 2000 et on regarde le niveau correspondant sur la courbe. En 1960, ce niveau est compris entre 45 et 46 millions. En 2000, il est voisin de 58 millions.

Population (en millions) 65 55 45 35 1900

Années 1920

1940

1960

1980

2000

2020

b. On observe une baisse de la courbe pendant la période 1910-1920. Ceci correspond à une diminution de la population. Elle s’explique sans doute par les pertes dues à la guerre, mais aussi par la sous-natalité due à l’absence des hommes jeunes, en âge de procréer, partis au front. Enfin, une très importante pandémie grippale en 1917 a contribué à accentuer ce phénomène. c. On observe un phénomène analogue entre 1930 et 1946. Il s’explique sans doute pour les mêmes raisons dans la période de guerre : 1939-1945. L’explication pour la décennie précédente semble liée au fait que la population ait adapté sa natalité à la faiblesse de ses ressources (comportement appelé malthusianisme). d. En traçant une ligne horizontale au niveau 50 millions, on coupe la courbe entre les marques correspondant aux années 1968 et 1969. On peut donc estimer que le cap des 50 millions a été franchi vers 1968.

Population (en millions) 65 55 45 35 1900

Années 1920

1940

1960

1980

2000

2020

10 a.  Le climat de Bombay est de type tropical : les températures sont élevées toute l’année (moyennes comprises entre 24 °C et 29 °C) et alternance entre une saison très pluvieuse (de juin à septembre) et une saison sèche (d’octobre à mai). Le climat du Caire est de type désertique : températures élevées toute l’année (quoiqu’elles le soient moins qu’à Bombay pendant les mois d’hiver) et pluies très faibles toute l’année (leur niveau maximal n’excède pas 10 mm par mois, alors qu’à Bombay il culmine à plus de 800 mm). b. Le type de climat manquant est le climat équatorial.

6. Organisation et représentation de données • 35

Je m’entraîne

c. Il y a un sixième de desserts parmi les propositions de la carte.

11 Cet exercice est corrigé dans le manuel de l’élève.

24 Le tableau à réaliser peut comporter 12 colonnes et

12 a.  Il a parcouru 16,4 km en janvier. b. Il a parcouru 27,2 km en avril. c. Il a parcouru moins de 15 km en février (13,5), en juin (14), en novembre (10,8) et en décembre (11). d. En additionnant mois après mois les distances parcourues, on trouve qu’il a parcouru 29,9 km entre janvier et février, 47,9 km entre janvier et mars, etc. On trouve qu’il a parcouru 203,7 km entre janvier et octobre et 214,5 km entre janvier et novembre. C’est donc pendant le mois de novembre qu’il a dépassé sa performance de l’année précédente. Remarque : On peut utiliser l’outil somme du tableur pour les calculs de cette question.

13 Cet exercice est corrigé dans le manuel de l’élève. 14 a.  Le nombre 14 est le nombre total de garçons. Le nombre 21 est le nombre total de demi-pensionnaires. b. On complète d’abord les cases « garçons externes » et « filles demi-pensionnaires ». Ceci permet de compléter « Total filles », « Total externes » et « Total total » (nombre total d’élèves). Garçons

2 lignes (noms des mois, nombre d’enfants) ou 12 lignes et 2 colonnes.

25 On peut réaliser deux tableaux tels que celui ci-dessous (un pour les nombres de frères, un pour les nombres de sœurs). Nombre de frères

0

1

2

3

Effectif

5

7

4

2

Dans cet exemple, le nombre 7 dans la deuxième ligne signifie que 7 élèves ont 1 frère. On peut évidemment ajouter des colonnes si nécessaire.

26 On peut utiliser un tableau à deux colonnes. Dans la première colonne, on indique les noms des écoles, dans la seconde le nombre d’élèves provenant de l’école.

27 Le secteur correspondant à la catégorie la plus nombreuse est de couleur orange : il correspond aux employés du tertiaire. Viennent ensuite les secteurs pourpre (industrie), rose (construction) et bleu (agriculture). La légende est donc :

Externes

Demi-pensionnaires

Total

4

10

14

Orange

Tertiaire

Pourpre

Industrie

Rose

Construction

Bleu

Agriculture

Filles

3

11

14

Total

7

21

28

c. Il y a 14 filles et 14 garçons dans cette classe. d. La proportion d’externes dans la classe est égale à 7 ÷ 28 = 0,25. Le pourcentage d’externes est donc 25 %.

15 à  22  Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève. 23 Remarque : Cet exercice, qui fait usage de proportions, est l’occasion de retravailler le fait que prendre le sixième, c’est diviser par six, etc. a. La moitié des propositions sont des plats. Il y a donc 60 ÷ 2 = 30 plats. Le tiers des plats sont des salades. Il y a donc 30 ÷ 3 = 10 salades. b. Le tiers des propositions sont des entrées. Il y a donc 60 ÷ 3 = 20 entrées. Parmi les 30 plats, il y a 10 salades et 30 – 10 = 20 galettes. Les galettes représentent aussi le tiers des propositions. Les salades représentent le sixième des propositions. Les autres propositions sont des desserts. Il y a donc 60 – 20 – 30 = 10 desserts. Les desserts représentent aussi le sixième des propositions. Il y a quatre secteurs dans le diagramme circulaire : Entrées : l’angle est égal au tiers de 360°, c’est-à-dire 120°. Galettes : l’angle est aussi égal au tiers de 360°. Salades : l’angle est égal au sixième de 360°, c’est-à-dire 60°. Desserts : l’angle est aussi égal à 60°. Répartition des propositions Entrées : 120° Galettes : 120° Salades : 60° Desserts : 60°

36 • 6. Organisation et représentation de données

28 1. a. On lit sur le diagramme qu’il y a 18 voitures, 36 camionnettes et 24 camions. b. Le secteur bleu correspond à la catégorie la plus importante : les camionnettes. Viennent ensuite les secteurs verts (camions) et orange (voitures). 2. a. Les augmentations seront : – Voitures : 9 (50 % de 18, c’est-à-dire la moitié de 18) – Camionnettes : 9 (25 % de 36, c’est-à-dire le quart de 36). – Camions : 24 (100 % de 24). La société possèdera donc 27 voitures, 45 camionnettes et 48 camions. Au total, elle aura donc 120 véhicules. Remarque : Ces calculs sont l’occasion de retravailler sur les liens entre les proportions, les pourcentages et les divisions correspondantes. b. En utilisant un tableur pour entrer les deux séries de données, on obtient le tableau et le diagramme suivants. Type de véhicule

Voiture

Camionnette

Camion

Année en cours

18

36

24

Année prochaîne

27

45

48

60 50 40 30 20 10 0

Évolution du parc de véhicules Nombre

Voiture Camionnette Camion Année prochaine Année en cours

29 En utilisant le diagramme circulaire, on observe que : – 50 % des membres, c’est-à-dire 56, pratiquent un sport collectif. – 25 % des membres, c’est-à-dire 28, pratiquent l’athlétisme. – 25 % des membres pratiquent un sport de raquette. Parmi ceux-ci, la moitié (14) font du tennis et l’autre moitié (14) font du badminton. On peut donc compléter le graphique.

60 50 40 30 20 10 0

c. On obtient le diagramme suivant (par exemple en utilisant un tableur).

Musée Rodin Musée du quai Branly Musée d’Orsay Musée de Versailles Musée du Louvre

Effectifs

0

33 a.  Entre 2000 et 2011, le nombre de visiteurs du musée

Sport Athlétisme Badminton Tennis collectif

Chacun son exercice 30 a.  Les impôts et taxes représentent 50 %, c’est-à-dire la moitié des recettes (diagramme de gauche). Donc le total des recettes est égal au double du montant des impôts et taxes, c’est-à-dire 2 × 225 000 € = 450 000 €. Le budget est équilibré donc le total des dépenses est aussi égal à 450 000 €. Les salaires représentent 9 % des dépenses, c’est-à-dire (450 000 × 9) ÷ 100 €. 450 000 × 9 = 4 050 000 ; 4 050 000 ÷ 100 = 40 500. Le total des salaires s’élève à 40 500 €. De la même manière, les charges représentent 3 % des dépenses. 450 000 × 3 = 1 350 000 ; 1 350 000 ÷ 100 = 13 500. Le total des charges s’élève à 13 500 €. Le total des salaires et charges s’élève donc à 54 000 €. Le total des impôts et taxes est supérieur à 54 000 € donc ceux-ci suffisent à payer les salaires et charges. Remarque : On peut aussi montrer aux élèves que le total des salaires et charges représente 12 % des dépenses, que le total des impôts et taxes représente 50 % des recettes et que, puisque les dépenses sont égales aux recettes, les 12 % sont inférieurs aux 50 %.

du Louvre est passé de 6 095 milliers à 8 711 milliers. En milliers de visiteurs, cela représente une augmentation de 8 711 – 6 095 = 2 616. Pendant la même période, le nombre de visiteurs du musée et domaine de Versailles a augmenté de 2 863 milliers à 6 746 milliers. En milliers de visiteurs, cela représente une augmentation de 6 740 – 2 863 = 3 877. C’est donc le musée et domaine de Versailles qui a vu sa fréquentation augmenter le plus. Remarque : On pourra également s’intéresser aux pourcentages d’augmentation par rapport aux fréquentations en 2000. Le pourcentage d’augmentation pour le musée du Louvre est égal à (2 616 ÷ 6 095) × 100 ≈ 43 %. Le pourcentage d’augmentation pour le musée de Versailles est égal à (3 877 ÷ 2 863) × 100 ≈ 136 %. Avec une augmentation supérieure à 100 %, la fréquentation a plus que doublé à Versailles. Elle a augmenté d’un peu moins de la moitié au Louvre. b. On obtient le graphique suivant.

9 000 7 000 6 000 5 000

calcul qu’à l’exercice 30).

4 000

Impôts, taxes Dotation de l’État Loyers Emprunts, subventions Autres

Dépenses (en milliers d’euros)

225 18 40,5

Investissements Charges Salaires

184,5 13,5 40,5

58,5

Communauté

76,5

108

Emprunts

135

32 a.  Le musée du quai Branly a été inauguré en 2007. b. Cette répartition ne peut être que celle de 2007, 2009 ou 2011 (à cause du musée du quai Branly). En 2009, le musée de Versailles avait plus de 5 500 milliers de visiteurs. En 2011, il en avait plus de 6000 milliers. On voit sur le diagramme que pour l’année étudiée cette fréquentation est dans la première moitié de l’intervalle allant de 5 000 à 6 000 : elle est donc inférieure à 5 500 milliers, et par conséquent l’année représentée ne peut être que 2007.

Visiteurs (en milliers)

8 000

31 On obtient le tableau suivant (avec les mêmes types de Recettes (en milliers d’euros)

2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 Visiteurs (en milliers)

3 000 2 000 1 000

Années 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2001 2003 2005 2007 2009 2011 Louvre Versailles Orsay

Mon test 34 à  37  Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève.

6. Organisation et représentation de données • 37

J’approfondis

La somme (en euros) dépensée pour les remboursements est égale à : 17 × 72 + 40 × 48 + 24 × 75  = 1224 + 1920 + 1800 = 4944. L’entreprise a dépensé 4944 € pour les remboursements des déplacements du mois de septembre. Remarque : On peut éventuellement proposer aux élèves d’utiliser un tableur et la fonction « sommeprod » pour certains des calculs de cet exercice.

38 a.  On crée et complète le tableau. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A B Montant de la cotisation Membre ordinaire Membre bienfaiteur Nombre d’adhérents Membre ordinaire Membre bienfaiteur Total des cotisations Kermesse Participants adhérents Participants non adhérents : 18 ans et plus Moins de 18 ans Nombre de boissons vendues Recettes kermesse Dépenses kermesse Solde disponible

C 20 30

41 a.  La tranche d’âge la plus nombreuse correspond à

32 15 1 090 19 31 14 81 475 344,3 1 220,7

Insister sur la possibilité d’utiliser les fonctions du tableur pour automatiser certains calculs : par exemple, le solde disponible se calcule en utilisant la formule « = C7 + C14 – C15 » : on ajoute le total des cotisations qui se trouve dans la case C7 aux recettes de la kermesse (en C14) et on retranche les dépenses de la kermesse (en C15). On peut aussi utiliser des formules pour calculer le total des cotisations et les recettes et dépenses de la kermesse. b. On utilise les indications données ci-dessus. La somme disponible est égale à 1 220,70 € (cellule C16).

39 a.  On obtient le diagramme double ci-dessous.

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Pourcentage de temps passé dans chaque vitesse

1re 2e Voiture A

3e Voiture B

4e

la barre la plus longue. Chez les hommes comme chez les femmes, c’est la tranche des 41-50 ans. b. Pour les hommes, on lit un effectif compris entre 4 400 000 et 4 600 000. Une valeur approchée par défaut à 200 000 près est donc 4 400 000. Pour les femmes, on lit un effectif de 4 600 000. c. Il faut comparer l’effectif total des tranches d’âge supérieures à 40 ans à celui des tranches d’âge jusqu’à 40 ans et vérifier si ces effectifs totaux sont proches l’un de l’autre. En prenant une valeur approchée par défaut à 200 000 près pour chaque tranche d’âge, on trouve que le nombre de millions d’hommes âgés de plus de 40 ans est : 4,4 + 4,2 + 3,4 + 2 + 1 + 0,2 = 15,2. Le nombre de millions de femmes âgées de plus de 40 ans est : 4,6 + 4,4 + 3,8 + 2,4 + 1,8 + 0,4 = 17,4. Une valeur approchée du nombre de personnes âgées de plus de 40 ans est donc 32,6 millions. Le même calcul pour les quatre tranches d’âge inférieures à 40 ans donne pour les hommes : 4 + 4,2 + 4 + 4 = 16,2 millions et pour les femmes : 4,2 + 4 + 3,8 + 3,8 = 15,8 millions. Une valeur approchée du nombre de personnes âgées de moins de 40 ans est donc 32 millions. Les nombres 32 et 32,6 sont voisins. On peut donc considérer que l’affirmation est vraie.

42 a.  Les 0 correspondent aux distances entre une ville et elle-même. b. La partie grise n’est pas remplie parce que la distance à vol d’oiseau entre deux villes est la même quelle que soit la première des deux villes. Par exemple, la distance entre Brest et Bordeaux est la même que celle entre Bordeaux et Brest (495 km). c. La distance entre Nice et Paris est 687 km. d. La ville la plus proche est Nantes (275 km). e. Les deux villes les plus éloignées sont Nice et Brest (1 046  km).

5e

b. On voit sur le graphique (et aussi dans le tableau) que la voiture B passe plus de temps dans les petites vitesses (1re, 2e et 3e) et moins en 5e. Ceci correspond à un temps plus important passé à rouler en ville.

40 a.  La somme (en euros) dépensée par l’entreprise est égale à : 12 × 17 + 8 × 40 + 3 × 75  = 204 + 320 + 225 = 749. L’entreprise a dépensé 749 € pour les remboursements des déplacements du mois d’août. b. On détermine le nombre de déplacements de chaque type. La moitié de 144 est égale à 72 : il y a eu 72 déplacements de type A. Le tiers de 144 est égal à 48 : il y a eu 48 déplacements de type B. Il reste 144 – 72 – 48 = 24 déplacements de type C.

38 • 6. Organisation et représentation de données

43 a.  Elle a colorié les cases sans tenir compte de la matière enseignée. Elle ne peut pas associer de légende à son coloriage. b. Associe à chaque matière une couleur.

44 a.  Le cardinalis ne peut pas cohabiter avec le guppy, le platy, le xipho, le barbus. b. Le danio peut cohabiter avec toutes les autres espèces (il n’y a pas de croix dans sa ligne). C’est le seul. c. Les aquariums 1 et 3 conviennent. Mais dans l’aquarium 2, le colisa ne peut cohabiter ni avec le platy, ni avec le xipho. d. Avec trois aquariums, il suffit de modifier les aquariums 1 et 2 de la question précédente, en mettant le colisa dans l’aquarium 1 puisqu’il peut cohabiter avec le guppy, le danio et le barbus. Si on n’a que deux aquariums : il y a forcément le cardinalis dans un et le platy dans l’autre. On doit alors mettre avec le cardinalis ceux qui ne peuvent pas cohabiter avec le platy : le colisa. On doit mettre avec le platy ceux qui ne peuvent

cohabiter avec le cardinalis et le colisa : guppy, xipho, barbus, corydoras. On peut mettre le danio où l’on veut et on a bien une répartition sur deux aquariums : – Aquarium 1 : cardinalis, colisa, danio. – Aquarium 2 : platy, guppy, xipho, barbus, corydoras.

45 1.  C’est une population d’enfants d’âge compris entre 4 et 10 ans. Les caractéristiques étudiées sont d’une part l’âge, d’autre part l'activité favorite, répartie selon cinq catégories. 2. a. Le tableau et le diagramme en bâtons indiquent que c’est à 10 ans que les enfants s’intéressent le plus aux jeux de construction. b. L’évolution de l’intérêt pour la lecture est certainement liée à l’âge d’apprentissage de la lecture. c. On constate, tant dans le tableau que sur le diagramme en bâtons, une nette diminution de l’intérêt pour les jeux de forme à partir de 8 ans. 46 1. a. Question non corrigée. b. On a le tableau suivant. 1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29 39 49

10 20 30 40 50

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29 39 49

10 20 30 40 50

9 19 29 39 49

10 20 30 40 50

c. On obtient le tableau suivant. 1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

d. À la fin, on obtient le tableau suivant. 1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

Avec 5 : on a coloré 25 et 35. Avec 7 : on a coloré 49. Avec les nombres suivants, on n’a plus rien coloré. 2. a. La case 12 est colorée à la première étape (12 est un multiple de 2). b. La case 15 est colorée à la deuxième étape : 15 n’est pas multiple de 2, mais est multiple de 3. c. La case 17 n’est pas coloriée. d. La case qui contient un nombre est colorée si ce nombre est multiple d’un autre nombre plus petit que lui (et différent de 1). Remarque : On pourra indiquer aux élèves que les nombres distincts de 1 qui ne sont multiples d’aucun nombre plus petit qu’eux (sauf 1) sont appelés nombres premiers. La méthode ci-dessus, connue sous le nom de crible d’Eratosthène, permet en théorie de les trouver tous.

47 a.  On obtient la courbe suivante. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Hauteur d’eau (en cm)

Nombre de litres versés 0

1

2

3

b. La bonne forme est la forme 1 : le récipient est de plus en plus étroit, donc ajouter une même quantité d’eau fait monter le niveau de plus en plus vite. Dans le récipient 2, on aurait observé une forte augmen­ tation de hauteur pour la première bouteille, une moins forte pour la deuxième et une encore moins forte pour la troisième. Dans le récipient 3, on aurait observé la même augmen­ tation de hauteur pour chacune des trois bouteilles versées.

48 La formule à utiliser pour calculer le prix en euros est : Prix = 11 × Aire + 2 × Périmètre. Prix = 11 × Longueur × Largeur + 2 × (2 × Longueur + 2 × Largeur). Sur le tableur, on peut écrire la formule « = 11 * L2C * LC2 + 2 * (2 * L2C + 2 * LC2) » Le symbole L2C représente le nombre qui se trouve sur la ligne 2 et la même colonne que la cellule où on fait le calcul : c’est la longueur en m. Le symbole LC2 représente le nombre qui se trouve sur la colonne 2 et la même ligne que la cellule où on fait le calcul. C’est la largeur en m. On obtient le tableau suivant. Longueur (en m)

Largeur (en m)

10

20

30

40

50

10

1 180

2 320

3 460

4 600

5 740

20

2 320

4 560

6 800

9 040

11 280

30

3 460

6 800

10 140

13 480

16 820

40

4 600

9 040

13 480

17 920

22 360

50

5 740

11 280

16 820

22 360

27 900

Par exemple, pour calculer le prix pour un terrain de longueur L = 30 m et de largeur ℓ = 20 m, on se place sur la cellule marquée en gris ci-dessus. Le nombre indiqué dans cette cellule est égal à : 11 × 30 × 20 + 2 × (2 × 30 + 2 × 20) = 6 800 €. (Les valeurs 30 et 20 sont lues dans les deux autres cellules de couleur grise.)

6. Organisation et représentation de données • 39

chapitre

7 

Construction de figures planes

Savoir-faire 1 à   4   Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève.

À l’oral 5 a.  Par exemple, (d2) et (d3) sont des droites sécantes, mais il y a aussi : (d2) et (d1) ; (d2) et (d5)… b. (d1) ⊥ (d5) et (d5) ⊥ (d3) c. (d2) // (d4) d. (d2) et (d5) sont sécantes en B. e. Les droites (BC) et (d2) sont confondues. Elles désignent la même droite. f. A est le point d’intersection des droites (d3), (d4) et (d5). g. (d2) et (d3) sont sécantes, même si leur point d’inter­ section n’est pas visible.

6 a.  Faux. C’est le point I qui est le centre du cercle. b. Vrai. c. Faux. [EX] est une corde. d. Vrai. e. Faux. [OH] est une corde. f. Vrai. Mais on peut être plus précis : [EG] est un diamètre. g. Faux. Six rayons du cercle sont tracés : [IH], [IO], [IG], [IA], [IX] et [IE].

7 Expression a.  avec figure (2). Expression b. avec figure (3). Expression c. avec figure (1).

8 Le but de cet exercice est de reconnaître des formes géométriques à partir de motifs, en rappelant leurs définitions. On peut observer par exemple des carrés, des losanges, des rectangles, des triangles rectangles et isocèles.

9 a. b. La figure (1) est composée de rectangles et de carrés. Il y a 4 rectangles (non carrés) et 2 carrés. La figure (2) est composée de carrés, de rectangles et de triangles rectangles. Il y a 5 carrés, 8 rectangles (non carrés) et 16 triangles rectangles. La figure (3) est composée de rectangles et de carrés. Il y a 5 carrés et 11 rectangles non carrés. La figure (4) est composée de carrés et de losanges. Il y a 2 carrés et 3 losanges non carrés.

10 Il y a 8 possibilités de nommer ce quadrilatère : PUMA ; UMAP ; MAPU : APUM ; PAMU ; AMUP ; MUPA ; UPAM.

11 a.  Il y a 10 façons de nommer le pentagone PENTA et 12 façons de nommer l’hexagone HEXAGO. b. Pour trouver le nombre de possibilités pour nommer un polygone, il suffit de multiplier le nombre de sommets du polygone par 2.

12 a.  Vrai : un pentagone a cinq côtés et cinq diagonales. b. Faux : un hexagone a six côtés et neuf diagonales.

13 1.  Dans le quadrilatère FIAC : a. [FC] et [IA] sont des côtés opposés.

b. c. d. 2. a. b. c. d.

[CI] et [FA] sont les diagonales. F et A sont des sommets opposés. [CA] et [AI] sont des côtés consécutifs. Dans le quadrilatère ALBI : [LA] et [LB] (ou [AI]) sont deux côtés consécutifs. Par exemple, B et A sont deux sommets opposés. [IL] et [AB] sont les diagonales. [BL] et [AI] sont deux côtés opposés.

14 (1) Deux côtés consécutifs. (2) Deux côtés opposés de même longueur. (3) Un quadrilatère. (4) Deux diagonales. (5) Deux segments qui se coupent. (6) Un sommet.

15 a.  DEF est un triangle équilatéral. b. ABC est un triangle rectangle en B. c. JKL est un triangle rectangle et isocèle en K. d. GHI est un triangle isocèle en I.

16 Comme le codage indique que TE = ER = RT, le triangle TER est un triangle équilatéral. Il est donc isocèle en E, en T et en R.

17 Périmètre ARC = 3 × 5,5 cm = 16,5 cm. Périmètre TIR = 2 × 5 cm + 6 cm = 16 cm. Périmètre MIL = 2 × 6 cm + 5 cm = 17 cm. On a donc : Périmètre TIR