Gewöhnliche Differentialgleichungen [1. Aufl.] 978-3-663-15394-8;978-3-663-15965-0

Table of contents :
Front Matter ....Pages N2-6
Einleitung (Kuno Fladt)....Pages 7-11
Gewöhnliche Differentialgleichungen Erster Ordnung und Ersten Grades (Kuno Fladt)....Pages 12-32
Gewöhnliche Differentialgleichungen Erster Ordnung Und Höheren Grades (Kuno Fladt)....Pages 32-45
Gewöhnliche Differentialgleichungen Zweiter Ordnung (Kuno Fladt)....Pages 45-56
System von Zwei Gewöhnlichen Differ entialgleichungen. Der Integrierende Faktor (Kuno Fladt)....Pages 56-65
Anhang (Kuno Fladt)....Pages 65-67
Back Matter ....Pages 69-71

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Ma thema tisch=Physikalische Bibliothek Unter Mitwirkung von Fachgenossen herausgegeben von

Oberstud.-Dir. Dr. W. Lietzmann und Oberstudienrat Dr. A. Wittlng Fast alle Bändchen enthalten iahlreiche Figut'en. kl. 8. Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Bandehen in zwangloser Folge herausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an den mathematisch-physikalischen Wissenschaften haben, es in angenehmer Form zu ermöglichen, sich ilber das gemeinhin in den Schulen Gebotene hinaus zu belehren. Die Bandehen geben also teils eine Vertiefung solcher elementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung oder besonderes wissenschaftliches Gewicht haben, teils sollen sie Dinge behandeln, die den Leser, ohne z. große Anforderungen an seine Kenntnisse zu stellen, in neue Gebiete der Mathematik und Physik einfilhren.

Bisher sind erschienen: (1912/27): DerGegenstand der Mathematik im Lichte ihrer Entwicklung. Von H. Wie Iei tne r. (Bd.50.) Bei~picle z. Geschichte d. Mathematik. Von A. Wi t t i ng u. M. Ge b h a r d t. 2. Aufl. (Bd.l5.) Ziffern und Ziffernsystemc. Von E. Lö !II er. 2., neubearb. Aufl. I: Die Zahlzeichen d. alt. Kulturvölker. II: Die Zahlzeichen im Mittelalter u. i. d. Neuzeit. (Bd. I u. 34.) Der Begrlfl der Zahl in ielner logischen und historischen Entwicklung. Von H. Wieleitner. 2., durchges. Auf!. (Bd. 2.) Wie man einstens rechnete. Von E. Fettweis. (Bd. 49.) Archimedes. Von A. Czwalina. (Bd. 64.) Die 7 Rechnungsarten mit allgemeinen Zahlen. Von H. ·Wieleitner. 2. Aufl. (Bd. 7.) Abgekürzte Rechnung. Nebst einer Einfilhrung in die Rechnung mit Logarithmen. Von A. Witting. (Bd.47.) lntcrpolationsrechnung. Von B. H eyn e. [ln Vorber. 1927.) Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von 0. Meißner. 2. Auflage. I: Grundlehren. II: Anwendungen. {Bd. 4 u. 33.) Korrclationsrechnung. Von F. Ba ur. [U. d. Pr. 1927.) Die Determinanten. Von L. Peters. (Bd. 65.) Mengenlehre. Von K. Grellina. (Bd . .'iS.) Einf!lhrung in die Infinitesimalrechnung. Von A. Witting. 2. Aufl. 1: Die Differentialrechnung. II: Die Integralrechnung. (Bd. 9 u. 41.) Gewilhnliche Differentialgleichungen. Von K. Fladt. (Bd. 72.) Unendliche Reihen. Von K. Fladt. (Bd. 61.) Kreisevolventen und ganze algebraische Funktionen. Von H. Onnen. (Bd.51.) Konforme Abbildungen. Von E. Wicke. [U. d. Pr. 1927.) Vektoranalysis. Von L. Peters. (Bd. 57.) Ebene Geometrie. Von B. Kerst. (Bd. 10.) Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Ausblick auf das Fermatache Problem. Von W. Lietzm ann. 3. Aufl. (Bd. 3.) Der Goldene Schnitt. Von H. E. Timerdina. 2. Aufl. (Bd. 32.) Einführung in die Trigonometrie. Von A. Wit ting. (Bd. 43.) Sphärische Trigonometrie. Kugelgeometrie in konstruktiver Behandlung. Von L. B als er. (Bd. 69.) Metboden zur Lösung geometrischer Aufgaben. Von B. Kerst. 2. Aufl. (Bd. 26.) Nichteuklidische Geometrie in der Kugelebene. Von W. Die c k. (Bd. 31.) Einführung in die darstellende Geometrie. Von W. Kramer. I. Teil: Senkr. Projektion auf eine Tafel. (Bd. 66.) Il. Teil: Grund- und Aufrißverfahren. Allgemeine Parallelprojektion. Perspektive. [U. d. Pr. 1927.) (Bd. 67.)

Fortsetzung siehe 3. Umschlagseite

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE BIBLIOTHEK HERAUSGEGEBEN VON W. LIETZMANN UND A.WITTING

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GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VON

DR. KUNO FLADT STUDIENRAT AN DER FRIEDRICH-EUGENSREALSCHULE (OBERREALSCHULE) IN STUTTGART

MIT 8 FIGUREN IM TEXT

Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1927

ISBN 978-3-663-15394-8 ISBN 978-3-663-15965-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-15965-0 SCHUTZFORMBL FOR DIB VBRBINIGTBN STAATBN VON AMBRIKA:

Copyright 1927 by Springer Fachmedien Wiesbaden Urspriinglich erschienen bei B.G. Teubner in Leipzig

VORWORT Das vorliegende Bändchen über gewöhnliche Differentialgleichungen versucht die Aufgabe zu lösen, von einem riesig ausgedehnten Stoff eine klare Anschauung zu geben.Daskonntenichtdadurchgeschehen,daßimTelegrammstil möglichst viele Beispiele vor den Augen des Lesers durchgerechnet werden, aber auch nicht dadurch, daß seinem Geiste mit der abstrakten Theorie ein zweifelhaftes Vergnügen bereitet wurde. Es wurde vielmehr versucht, an der Hand typischer und zugleich für die Geometrie, Physik und Technik wichtiger Beispiele in das Wesen der Theorie einzuführen. Daß die Auswahl der Beispiele nicht anders getroffen wurde, mag der Geschmack des Verfassers entschuldigen. Da die Differentiation der impliziten Funktionen nicht als bekannt vorausgesetzt werden konnte, mußte sie an geeigneter Stelle, wenn auch in naiver Weise, behandelt werden. Dies und der W upsch, die Planetenbewegung mit aufzunehmen, bedingte die späte Einfügung des Abschnittes über den integrierenden Faktor. Wer sich weiter bilden will, muß zu einem der vielen größeren Lehrbücher greifen, unter denen für den Theoretiker das von BIEBERBACH, Theorie der Differentialgleichungen, 2. Aufl., Berlin 1926, für den Praktiker das von FoRSYTH, Lehrbuch der Differentialgleichungen, 2. Aufl., Berlin 1912 erwähnt seien, ohne daß damit über die andern irgendein Werturteil ausgesprochen sei. Vaihingen a. F., Oktober 1926 K. PLADT.

1*

INHALT I. Einleitung

Seite

1. Begriff der gewöhnlichen Differentialgleichung 7 2. Die Grundaufgabe. Begriff der Quadratur . . 8 3. Integration einer Differentialgleichung durch Quadraturen. Andre Fassung der Grundaufgabe . . . . . . . . . . . 9

8. 9. 10.

li. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung und ersten Grades Geometrisches Bild einer Differentialgleichung. Geometrisches Näherungsverfahren zu ihrer Lösung Die Existenz der Integrale. Methode der Näherungen Methode der Potenzreihen Trennung der Veränderlichen . . . . . . . . . . • Homogene Differentialgleichungen . . . . . . . . . Die lineare Differentialgleichung. Variation der Konstanten Singuläre Stellen einer Differentialgleichung . . . . . .

12 15 20 22 23 27 30

11. 12. 13. 14.

111. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung und höheren Grades Geometrisches Bild. Die Existenz der Integrale . . . . . Differentialgleichungen von der Formx=f(y') oder y = f (y') D'ALEMBERTsche und CLAIRAUTsche Differentialgleichung . Singuläre Lösungen. Die Diskriminantenkurve . . . . .

32 35 36 40

15. 16. 17. 18.

IV. üewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung Geometrisches Bild. Existenz der Integrale . . . . . . . Die Differentialgleichungen y" = f(x), 11' = f(y), y" = f(y') Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . Differentialgleichungen von der Form y" = f(y, 1/) . . .

45 46 48 55

4. 5. 6.

1.

V. System von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Der integrierende Faktor 19. Geometrisches Bild. Die Existenz der Lösungen . . . . 56 20. Exakte Differentialgleichungen. Der integrierende Faktor 58 21. Die Planetenbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 62 VI. Anhang 22. Geschichtliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

FACHAUSDRÜCKE Dgl. = Differentialgleichung ,Seite Seite Methode der unbestimmten Allgemeines Integral einer Koeffizienten 20 Dgl .. 19 Charakteristische Gleichung 50 - - Variation der Konstanten 28 CLAIRAUTsche Dgl. . 37 61 Diskriminantenkurve 41 Multiplikator einer Dgl. 7 Fundamentalsystem . 49 Ordnung einer Dgl. 8 Gewöhnliche Dgl. 7 Parameter 7 Partikuläres Integral einer Grad einer Dgl. . 19 Dgl .. 23 Homogene Dgl. 9 Homogene lineare Dgl. 27 Quadratur Integral einer Dgl. . . 11 Regulärer Punkt . 12 RICCATische Dgl. 30 Integrieren (Integration einer Dgl.) 11 Richtungsfeld 12 Integrierender Faktor 61 Sattelpunkt 31 Isokline . 13 Singuläre Stelle, singulärer Knotenpunkt . . . 31 12 Punkt Linearunabhängigeintegrale 49 Singuläres Integral 40 Linienelement . 12 Strudelpunkt . 32 LIPSCHITZsche. Bedingung . 18 System von zwei gewöhnMethode der aufeinanderfollichen Dgln. . 56 20 TrennungderVeränderlichen 22 genden Näherungen - - KoeffizientenvergleiUmhüllungskurve 40 chung 20 Vollständiges Differential 59 - - Potenzreihen 20 Wirbelpunkt . . . 32 0

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NAMENVERZEICHNIS

Seite

D'ALEMBERT, JEAN LE ROND (1717-83) BERNOULLI, JAKOB (1654-1705) BERNOULLI, JOHANN {1667-1748) CAUCHY, AUGUSTIN LOUIS (1789-1857) 15, CLAIRAUT, ALEXIS CLAUDE (1713-65) EULER, LEONHARD (1707-83) JACOBI, KARL ÜUSTAV JAKOB (1804-51) LAGRANGE, JOSEPH LOUIS (1736-1813) 28, 51, LEIBNIZ, ÜOTTFRIED WILHELM (1646-1716) 20, LIE, SOPHUS (1842-99) 10, LIPSCHITZ, RUDOLF (1832-1903) MACLAURIN, COLIN (1698-1746) NEWTON, ISAAC (1642-1727) 20, 62, PICARO, EMILE (geb. 1856, Prof. a. d. Sorbonne, Paris) RICCATI, JACOPO (1676-1754) SCHLESINGER, LUDWIG (geb. 1864, Prof. a. d. Univ. Gießen) • TAYLOR, ßROOK (1685-1731) o

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66 66 65 67 66 66 33 66 65 67 15 66 65 15 66 30 66

I. EINLEITUNG 1. Begriff der gewöhnlichen Differentialgleichung. Der Buchstabe x bezeichne eine unabhängig veränderliche Größe, der Buchstabe y eine von x abhängige veränderliche Größe, eine Funktion von x, dy _

dx

=

,

Y'

d 2g _

dx 2

=

dny _

"

Y ' · · · dxn

=

Y

(n)

'· · ·

seien die Differentialquotienten oder Ableitungen der verschiedenen Ordnungen von y nach x 1). Irgendeine Gleichung zwischen beliebig vielen der Größen x, y, y', y", •. ., y 1 ) x] -~·= C'.

Die Ähnlichkeit von (3) und (3') mit (2) nnd (2') springt in die Augen. Tatsächlich geht (3) in (2) Ober, wenn man x und y ver1+." 'II tauscht und ('1 = - - - , (>2 = - - setzt. m m (4). Im zweiten Fall (d = 0) sei 0 die doppelte Nullstelle. Dann muß A1 = 0 und B, = A2 sein. Sei B1 =All=_!_, B,_ = 1, so wird m die Dgl. ' y (4) y = x+ my Diese geht aber, wenn man x und y vertauscht, in die Dgl. (1) über, gibt also wie (3) nichts Neues. (5). Im dritten Fall seien i und - i die Nullstellen. Dann wird B1 = A8 • Sei B1 = A,_ = v, B2 = - 1, dann wird A1 = + 1. Die Dgl. lautet (5) y' = x "y · Das Integral wird vx-y

+

+

J /f/- =-; In W+ 1) +." arctgt + const.

lnx

dt

+

oder x (t 1) = C exp (2" arctg t). Mit t =]!_folgt daraus 1

(5')

1

x

x" + y 1 = C exp

(2." arctg ~ )·

Für C=O enthält diese Gleichung auch die der Gleichung (a) ent· sprechenden Lösungen. Far '11=0 sind die Lösungskurven Kreise um OJO, andernfalls logarithmische Spiralen. 1) Vgl. Wt. II,

S. 36.

Die lineare Differentialgleichung 27 A ufg.: Integriere folgende homogene Dgln. und untersuche soweit möglich die Losungskurven: 1. y' =

A~. y ,

2. y'

-

~ x'

J -

Ait1x+.:BY tY

+ y yt

4

3• y = 2 X ({t X+ y y)"

(besonderer Fall von (3)1). , _ y (3 x 2

•y -

X

+~y

2).

(x"- a y 2)

, 2y(~x 4 +2x 1 y"+~y 4 ) 5. y = x [{t x4 (3 - a (:1) xt yll a y4)"

+

+

(In den Beispielen 2. bis 5. kann man den Nenner des Integranden von ln X in Faktoren zerlegen!)

9. Die lineare Differentialgleichung. Variation der Konstanten. Wir kommen jetzt zu einer weiteren Klasse von Dgln., deren Lösungen durch Quadraturen gefunden werden können. Verlangt man von der Dgl. (16) y' = f(x, y), daß, wenn y eine Lösung ist, auch C y eine Lösung sein soll, wo C eine willkürliche Größe ist, so muß C y' = f(x, C y) sein. Die Funktion f(x, y) muß also für jeden Wert von C der Funktionalgleichung f(x, y) = ~ f(x,Cy) genügen. l Setzt man C = y' so folgt sofort f (x, y) = y · f (x, 1), d. h. f(x,y) ist eine homogene 1) lineare Funktion von y. Die Dgl. lautet dann (1) y' = f(x) · y und heißt eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Durch Trennung der Veränderlichen erhält man sofort td~= y· f(x) dx und daraus In y = f (x) d x const. oder "

J

+

y= c

.r

f (x) dx. Für die einfachste solche Dgl. ist f (x) = const. =

(14)2'.

exp

A und man hat (vgl. (1 2) 2 1) y = C exp Ax. Schreibt man die Dgl. (IJ2 in der Form y' - f (x) · y = 0, so nennt man sie auch eine verkürzte lineare Dgl. im Gegensatz zu der unverkürzten (IJs y'- f(x) · y = g (x), deren rechte Seite eine gegebene Funktion von x ist. l) Beachte die verschiedene Bedeutung des Wortes homogen hier und in der vorigen Nr.

28

II. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung

LAGRANGE (1736-1813) gab zur Lösung einer solchen Dgl. ein Verfahren an, das weitreichender wichtiger Verallgemeinerung fähig ist, die Methode der Variation der Konstanten. Ist C konstant, so genügt die Funktion (IJ 2 ' der homogenen Gleichung (14) 2• Nimmt man jetzt an, C sei eine Funktion von x, so genagt die Funktion (14) 2' sicherlich nicht mehr der Gleichung (14 ) 2 • Kann man C (x) vielleicht so bestimmen, daß die Funktion (1 4) 2 ' der un verknrzten Gleichung (14) 3 genügt? Wir machen die Probe. Es ist y = C (x) · expJ f(x) d x. Daraus folgt y' = c' (x} exp Jr dx

+ f(x) y.

Andrerseits soll y' = f(x) y + g (x) sein. Daraus ergibt sich sofort C' (x) = g (x) · exp (- Jr dx ).

C(x) = J g{x) exp (- J f(x) dx) dx

+ const.

Man erhält daher als Lösung von (1 4) 3, wenn man die Konstante wieder mit C bezeichnet,

(14ls' y = { Jg(x)·exp (-jf(x)dx) dx+C} ·expjf(x)dx.

+ g (x) die Lösung {fg(x)e-Axdx + cJlx.

So hat z. B. die Dgl. (1 4) 1 y' = Ay (14)1'

y=

Zwei Fälle der Dgl. (I) sind für den Physiker von besonderer Wichtigkeit: (1). Der Fall g (x) = const. = B liefert das allgemeine Integral

~ +C·eAx. Den Anfangsbedingungen x=Oiy=O entspricht der Wert ~ von C und das partikuläre Integral y = - (1- eAx). Ist z. B. J der elektrische Strom, der in einer Gleichstromleitung von der Spannung E, dem Widerstand W und der Selbstinduktion L fließt, so gilt für den Stromverlauf die Dgl.

Y=-

!

L

:~ + WJ=E.

Hier ist x=t, y=J,

~=- ~'

-t)

E ( 1 - e- L man erhält das lntegr~ J = W E --t Extrastrom ist W e L •

•

B=

~,und

Der abklingende

29 Die lineare Differentialgleichung (2). Der Fall g (x) :;;= B sin co x liefert das a 11 gemeine IntegraJl) Y=-

A'~co• (A

sincox+cocoscox)

Den Anfangsbedingungen x = 0 I y kuläre Integral y = - A" ~ co" (A sin co x

=0

+ C eAx.

entspricht das parti-

+ co cos co x) + A'B;co"

eAx.

Ist z. B. J der elektrische Strom, der in einer Wechselstromleitung von der Wechselspannung E = E0 sin co t, dem Widerstand W und der Selbstinduktion L fließt, so gilt die Dgl. L :; Es ist also x J

= t,

y

= w• + [" co" Eo

=

+W J =

J, A =

(W ·

Stn CO

t

E0 sin co t.

~. B = ~o L

-

CO COS CO

+

w•

( • E0 sm . t J = W' D aher 1s co t - y )

)

E L + W'-+~[2 0

CO

w

CO 2

e

-

L t

=

W' sin y, so hat man t g y

L + EW'"

e - L t W egen der D eu-

Setzt man noch W = W' cos y, L co L" CO'. CO W' = V W'

= L

f

zu setzen und man erhält

0

w

CO

tung dieser Gleichung sei auf die Lehrbücher der Physik verwiesen.

J

ea x sin b x d x b~rechnet man am rasche1) Das Integral J 1 = eax cos b x dx so: Es ist sten zusammen mit dem Integral J 2 =

.J

+ i sin x = eix,

nach EULER (1707~83) cos x J

•

+i J

JeO 'II X und v < - 1 durch 0 I0 und haben dort für v > 0 die Gerade y = m x, f!lr v 1 in y' sein. So führt die quadratische Schar von Parabeln (6)

C2

-

2CX

+y

2

= 0 oder y 2 = 2 C

zur quadratischen Dgl.

(6')

yy' 2 -

2xy'

+y =

(x -

~)

0.

Die Gleichung F(x, y, C) = 0 der Kurvenschar ordnet "im allgemeinen", d. h. abgesehen von besonderen Fällen, einem beliebigen Punkt der Ebene n durch ihn gehende Kurven der Schar zu, die Dgl. ( 4)

I

l

f{x, y, y')

= IPo (x, y) y'n ;- IP1 (x, y)y'n-l + ···

+ IPn-dx,y)y + IPn(x,y)= 0

ebenso jedem "allgemeinen" Punkt der Ebenen Richtungen y'. Während aber die Aufgabe, zu einer gegebenen Kurvenschar die zugehörige Dgl. zu bestimmen, stets lösbar ist, ist die umgekehrte Aufgabe ein Problem, dessen Schwierigkeit "proportional dem Grade der Dgl." wächst. Die Existenz der Lösungen der Dgl. (4) ergibt sich daraus, daß man ihr für die Umgebung einer bestimmten Stelle x Iy im allgemeinen durch n Reihenentwicklungen y' = P (x, y) genügen kann, die dann ebenso viele Dgln. erster Ordnung und ersten Grades darstellen, deren Lösungen nach dem Früheren unter gewissen Bedingungen existieren. Wir wollen im folgenden den Existenzbeweis dadurch erbringen, daß wir einige Beispiele von Dgln. entweder durch bekannte Funktionen integrieren oder wenigstens auf Quadraturen zurückfUhren. Au fg.: Bestimme Gestalten und Dgln. folgender Kurvenscharen und zeichne die durch einen Punkt x 0 I Yo gehenden Kurven der Schar samt den Linienelementen:

Differentialgleichungen von der Form x=f(y') oder Y=f(y') 35 1. X es- y c a = 0. 2. (x - C)' y' = r' - C'. 3. (x-y)'-2C(x+y)+C'=0 4. y'+2Cx+C 8 a'.

+

+

12. Differentialgleichungen von der Fonn x = f(y') oder y = f(y'). Was zunächst die Dgl. (111)1 y' 2 = A X anbelangt, so erhält man durch Auflösen nach y' sofort 2

~~

y'=+ rAx,

--

y=±3x YAx+C,

also eine Schar NEILscher Parabeln, deren Spitzen auf der y-Achse liegen. Lautet die Dgl. aber

(111)2 X= Ay' + By' 3 ' so wäre das Auflösen nach y' mindestens sehr beschwerlich. Man verfährt hier so, daß man die Ableitung y' als neue Veränderliche p einführt. Ist aUgemein (111)3 X= f(y') = f(p), so erhält man aus y' = p sofort y

p d x und daraus durch

partielle Integration y=px-Jxdp=pf(p)-jf(p) dp. In unserem Beispiel (111) 2 ergibt sich so für die Kurvenschar die Parameterdarstellung (111)s' x = Ap Aus der Dgl. (IIs)1

+ Bp

3,

y

=:

p2

+ 3:

p4

+ C,

y' 2 = A y 3

erhält man durch Trennung der V erän derliehen s y-2dy

dx=± VA

4 Y = A(x- C) 1 '

'

also eine Schar von höheren HyperbeI n. Bei der Dgl. (112)2 y = f(y') führt man wieder y' =

:~ -_p

als neue Veränderliche ein 3*

36

III. Gewöhnliche Differentialgleichungen höheren Grades

dx = dy p ,

und erhält

x

. ldy =!!. _

J p

p

ryd(_!_)=JL +fydp =t

+Jf(p)dp. p p • p' p pi

;) !

So liefert die Dgl. (ll2) 3 die Lösung

(11 2)3,

x

=

2 Ap +3B 2 p 2 + C,

y

=

Ap 2

+ B p s..

13. D' ALEMBERTsche und CLAIRAUTsche Differentialglei~ chung. Die Dgln. der Nr. 12 sind in der allgemeinen Form

(lls)l cp (y') X + 't/J (y') Y = X(y') 1) enthalten, mit der sich zuerst D'ALEMBERT (1707-83) beschäftigt hat. Auch hier führt die Substitution y' = p zum Ziel. Durch Ableiten nach x folgt aus (113)1t wenn man die Ableitung nach p durch Striche bezeichnet: (A)

[cp'(p)x + 't/J'(p)y- x'(p)J

:~+ cp(p)+ p't/J(p)= 0.

In dieser Gleichung kann die eckige Klammer nicht identisch verschwinden, dasonstcp'(p)= 0, 't/J'(p)= 0, x'(p)= 0 sein müßten, die Gleichung (113) 1 also y' gar nicht enthielte. Dagegen kann (B1) cp(p)+ p't/J(p)= 0, d. h. rp(p)=- p't/J(p) sein. Dabei ist dann weder cp (p) noch 't/J (p) gleich Null, da sonst (118 ) 1 trivial würde. Mit (8 1) wird (113 ) 1 zu 1/J (p) (y- P x) = x(p).

Hier kann man ohne Schaden für die Allgmeinheit 1/J (p) = 1 setzen. Die Dgl.lautet dann einfach (IIs)2 Y Aus (A) folgt für sie

=

X

y'

+ X(y').

[x + x'(p)J:~= 0.

(At) Es ist also entweder (1)

dp

dx = 0,

p = const. = C.

1) Absichtlich ist diese und nichtetwa die Form y= f(y')x+g(y') gewählt. da sie rp (y'), 1fi (y') und x(y') als ganze Funktionen zu betrachten erlaubt.

D'ALEMBBRTsche und CLAIRAUTsche Differentialgleichung Das allgemeine Integral von (11 3) 2 ist also einfach (IIs)2' y = Cx X(C).

37

+

Andrerseits folgt aus (A1) noch (2) x = - x'(p) und damit aus (IIs)2 Y = - Px' (p) + x(p).

Die Kurve x = - x' (p), y = - p x' (p) + x(p) ist also ebenfalls ein Integral unserer Dgl. Seine Natur werden wir in der nächsten Nr. zu untersuchen haben. Die Dgl. (11 3) 2 trägt den Namen CLAIRAUT'S (1713-65). Sie hat die merkwürdige Eigenschaft, daß sich ihr allgemeines Integral einfach durch die Substitution y' = C ergibt. Schreibt man sie in der Form y- xy' = x(y} und bedenkt man, daß die Gleichung der Tangente im Punkt x Iy einer Kurve Y- y = y' (X- x) oder Y = y'X + y - xy' lautet, so erkennt man, daß eine CLAIRAUT sehe Dgl. eine Abhängigkeit zwischen den beiden Bestimmungsstücken y' und y - xy' einer Tangente, also eine reine Tangenteneigenschaft darstellt. Wir kehren jetzt zur Gleichung (A) zurück und setzen cp (p) p 1/J (p) $ 0 voraus. Die Gleichung (A) ist eine solche zwischen x und p allein, wenn '1/J' (p) = 0, d. h. 1/J (p) = const. = c ist. Wir setzen c =t= 0 voraus. Dann wird (A) zu

+

(A2)

[cp' (p}x- x'(p)] =~

oder

[cp (p) +cp

+cp(p) +cp= 0

J:; + cp' (p) x- x' (p) =

0.

Ist auch noch cp' (p) = 0, d. h. cp (p)= const. = c', so wird mit (B 3) cp(p)

+ p'l/J(p) $

(A 9) zu (As)

0,

'1/J(p) = c =t= 0,

(c' + cp) dx -x'(p)= 0 dp

und daraus kommt x=

f

x'(p)dp

c'+cp

+ C.

cp (p) = c'

38

Ill. Gewöhnliche Differentialgleichungen höheren Grades

Ist aber (82)