Partielle Differentialgleichungen [5. Aufl. Reprint 2019] 9783110829648, 9783110027594

Table of contents :
Inhaltsverzeichnis
Abkürzungen
Literatur
Kapitel I. Die Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
Kapitel II. Die Differentialgleichung erster Ordnung mit n unabhängigen Veränderlichen
Kapitel III. Systeme mit einer und mehr unbekannten Funktionen
Kapitel IV. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
Nachträge
Ergänzungen
Sachverzeichnis
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Partielle Differentialgleichungen

von

Dr. Guido Hoheisel em, Professor an der Universität K ö l n

F ü n f t e Auflage

Sammlung Göschen Band 1003

Walter de Gruyter & Co Berlin 1968 vormale G. J . Gftschen'sche Verlageband!ung • J . G u t t e n t a g Verlagsbuchhandlung • Georg R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r . Veit & Comp.

© Copyright 1968 by Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv.-Nr. 77 14 881. — Druck: W. Hildebrand OHG, Berlin 65. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite 4

Literatur

K a p i t e l I . Die Differentialgleichung erster O r d n u n g mit zwei Veränderlichen § 1. V o r b e m e r k u n g e n § 2. Lineare Gleichungen § 3 . Allgemeines und vollständiges I n t e g r a l § 4. Das vollständige I n t e g r a l § 5. P f a f f s e h e Gleichungen § 6. Cauchyscnes P r o b l e m § 7. Z u s a m m e n h a n g zwischen C h a r a k t e r i s t i k e n u n d d e m vollständigen I n t e g r a l K a p i t e l I I . Die Differentialgleichung erster O r d n u n g m i t n Veränderlichen § 1. Die lineare Gleichung . . § 2. Die allgemeine Differentialgleichung § 3. K a n o n i s c h e T r a n s f o r m a t i o n e n § 4. Die G r u p p e der k a n o n i s c h e n T r a n s f o r m a t i o n e n § 5. K a n o n i s c h e T r a n s f o r m a t i o n e n u n d I n t e g r a t i o n einer Differentialgleichung § 6. K a n o n i s c h e T r a n s f o r m a t i o n e n u n d Cauchysches Anfangswertproblem § 7. B e r ü h r u n g s t r a n s f o r m a t i o n e n K a p i t e l I I I . Systeme m i t einer u n d m e h r u n b e k a n n t e n F u n k t i o n e n . . § 1. Lineare Systeme m i t einer u n b e k a n n t e n F u n k t i o n § 2. Allgemeine involutorische S y s t e m e § 3. Allgemeine involutorische S y s t e m e u n d die I n t e g r a t i o n einer Differentialgleichung § 4. S y s t e m e m i t m e h r e r e n u n b e k a n n t e n F u n k t i o n e n

5 5 8 11 14 20 25 33

35 35 39 44 50 53 61 64 66 66 70 74 79

K a p i t e l I V . Die Differentialgleichung zweiter O r d n u n g mit zwei unabhängigen Veränderlichen 37 § 1. Systeme in I n v o l u t i o n 87 § 2. C h a r a k t e r i s t i k e n zweiter O r d n u n g 96 § 3. Lineare Gleichungen 104 § 4. B a n d w e r t a u f g a b e n bei hyperbolischen Gleichungen 109 § 5. B e s t i m m t e I n t e g r a l e u n d I n t e g r a t i o n linearer Differentialgleic h u n g e n m i t k o n s t a n t e n Koeffizienten 116 Nachträge Ergänzungen Sachverzeichnis

122 130

Abkürzungen G. D. = Gewöhnliche Differentialgleichungen. S a m m l u n g Göschen Bd. 920 (6. Aufl.). 1960. As. = A u f g a b e n s a m m l u n g zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. S a m m l u n g Goschen Bd. 1059 (2. Aufl.) 1951.

Literatur B i e b e r b a c h , Differentialgleichungen, 3. Aufl. Berlin 1937. C a r a t h ö o d o r y , Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen. 1935. C o d d i n g t o n - L e v i n s o n , Theory of Ordinary Differential Equations. New York 1955. C o u r a n t - H i l b e r t , Methoden der mathematischen Physik, B d . I I . H o r n , Partielle Differentialgleichungen. ^Göschens Lehrbücherei, Band 14) 4. Aufl. Berlin 1949. E . L. I n c e , Ordinary Differential Equations. London 1927. K a m i c e , Differentialgleichungen reeller Funktionen. Leipzig 1930. K a m k e , Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen, Bd. I I . 1950. P e t r o w s k i , Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen. Leipzig 1955.

Kapitel I Die Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen § 1. Vorbemerkungen Es wird zunächst an einige Sätze aus der Theorie der reellen Funktionen von mehreren Veränderlichen erinnert. / 1( . . . , / „ seien Funktionen von n Veränderlichen xv ..., xn. Die des Q I

weiteren immer als stetig angenommenen Ableitungen bilden eine (w, n) reihige Matrix, deren Determinante die Funktionaldeterminante heißt:

'''' oder kurz . d(Xi,..., x„) a(x) Für diese Größen gelten ähnliche Kegeln wie für die Ableitungen nach einer Veränderlichen. Sind z. B. die / Funktionen der ylt..., yn und diese wiederum Funktionen von xlt..., x„, so gilt für F((xu ..., x„) = ti(yi{xn • • ..., y„(«„ ..x,J) d(F) _ d(f) d(y) d(x) d(y)'d(x)' Der Satz über implizite Funktionen stellt die Möglichkeit fest, eine Gleichung nach einer Unbekannten aufzulösen. Bei einem System von Gleichungen lautet dieser Satz: Gegeben sind n stetig differenzierbare Funktionen von Veränderlichen f f a , . . . , xn\ xn¥l,..., z B+ p) n+ p (i = I,-..., n), die im Punkte ( z f , . . . , den Wert Null haben. Es sei f / " ' ' " l n \ 4= 0 im Punkte (x°). Dann gibt es o(x„ ..., xn) in einer Umgebung von ( x ° t l , . . . , x°+p) genau ein System von n stetig differenzierbaren Funktionen der p Veränderlichen ***n+v

' * '»

P

6

I. Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Veränderlichen

Xi = ? = 0 (» = 1 n) identisch in xn+1 xn+p erfüllt. Die Ableitungen der g berechnen sich aus dem Gleichungssystem 8fi

^dx = v W £ 89° j n+e • • •> ®ni ^l)' das für x1 = x° die Werte z®,..., x% annimmt. Man erhält das allgemeine Integral, d. h. alle Bahnkurven einer Umgebung von P 0 , wenn man die 3®,..., durch Werte c 2 , . . . , c„ einer Umgebung von . . . , x% ersetzt. Für zwei verschiedene Wertesysteme ( c 2 , . . . , c„) erhält man auch verschiedene Bahnkurven, da die Funktionaldeterminante 8 ( s g ' ' " % i n P ° g l e i c h 1 i s t