Gewöhnliche Differentialgleichungen [6., vollst. umgearb. Aufl. Reprint 2018] 9783111337500, 9783110989076

Table of contents :
Vorwort zur sechsten Auflage
Inhaltsverzeichnis
Erstes Kapitel. Elementare Integrationsmethoden
Zweites Kapitel. Existenzbeweise, Methode der schrittweisen Näherung
Drittes Kapitel. Numerische und graphische Näherungsmethoden
Viertes Kapitel Lineare Differentialgleichungen; elementare Integrationsmethoden
Fünftes Kapitel. Lineare Differentialgleichungen;weitere Untersuchungen im reellen Gebiet
Sechstes Kapitel. Existenzbeweis im komplexen Gebiet
Siebentes Kapitel.Lineare Differentialgleichungen im Komplexen
Achtes Kapitel. Spezielle lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Neuntes Kapitel.Abhängigkeit der Lösungen von Parametern und Anfangswerten
Zehntes Kapitel.Singularitäten nichtlinearer Differentialgleichungen
Elftes Kapitel.Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
Namen- und Sachverzeichnis

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Göschens Lehrbücherei ι. Gruppe

Reine und angewandte Mathematik Band 10

Gewöhnliche Differentialgleichungen Von

Prof. Dr. Jakob Horn f und

Prof. Dr. Hans Wittich

W a l t e r de G r u y t e r & C o . v o r m a l s G. J. G ö s c h c n ' s c b c V e r l a g s h a n d l u n g J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g — G e o r g R e i m e r — K a r l J. T r ü b n e r — V e i t & C o m p .

Berlin

i960

Gewöhnliche Differentialgleichungen Von

Dr. Jakob Horn f ehem. o. Professor an del Technischen Hochschule Darmstadt

Sechste, vollständig umgearbeitete

Auflage

Von

Dr. Hans Wittich o . Professor an der Technischen Hochschule Karlsruhe

Mit io Figuren

Walter de G r u y t e r & C o . Y o t m a l s G. J. G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g — G e o r g R e i m e r — K a r l J. T r ü b n e r — V e i t & C o m p .

Berlin

i960

© Copyright 1960 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Str. 13. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vorbehalten. — Archiv-Nr. 12 05 60. — Satz und Druck: Mercedes-Druck, Berlin SW 61. — Printed in Germany.

Vorwort zur sechsten Auflage Als der Verlag mit der Bitte an mich herantrat, eine Neuauflage des bewährten Hornschen Buches „Gewöhnliche Differentialgleichungen" zu besorgen, war ich mir darüber im klaren, daß eine gründliche Umarbeitung nötig sein würde. Bei der Neugestaltung schwebte mir das Ziel vor, die außer Frage stehenden Vorzüge des Werkes möglichst zu erhalten. Dabei mußten eine ausführliche Darstellung des Stoffes gewählt und die erforderlichen Vorkenntnisse niedrig gehalten werden. Die Vielzahl der vollständig durchgerechneten Beispiele soll jene Routine im Lösen einfacher Differentialgleichungen vermitteln, die neben der nötigen Theorie bei einer Einführung in diese Disziplin erworben werden muß. Die Theorie der Differentialgleichungen im Komplexen wurde gegenüber den früheren Auflagen wesentlich erweitert und gleichzeitig damit die Theorie der speziellen Funktionen, die gewöhnlichen Differentialgleichungen genügen, stärker betont. Gerade zum Studium ihres Gesamt Verhaltens kann das Komplexe kaum entbehrt werden. Eine Darstellung der Theorie der Sturmschen Differentialgleichung wurde auch jetzt, wie in den früheren Auflagen, außer acht gelassen. Man findet eine Einführung, die auf der Theorie der Integralgleichungen basiert, in dem Band über partielle Differentialgleichungen. Wenn auch Feinheiten der Theorie an vielen Stellen zurückstehen mußten, hoffe ich doch, mit diesem Band eine für Mathematiker, Physiker und Studierende der Ingenieurwissenschaften brauchbare Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen vorzulegen, die den Zugang zu Tabellenwerken und einschlägigen Arbeiten erleichtert. Für Mithilfe beim Lesen der Korrekturen bin ich Fräulein F. Ullrich und den Herren Dr. H. Heuser, R. Gorenflo und E. Gauß zu großem Dank verpflichtet. Karlsruhe, im September 1959 Hans

Wittich

Inhaltsverzeichnis Erstes Kapitel Elementare Integrationsmethoden 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Gewöhnliche Differentialgleichungen Geometrische Deutung einer Differentialgleichung erster Ordnung Trennung der Veränderlichen Homogene Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung E x a k t e Differentialgleichungen Integrierender Faktor Clairautsche Differentialgleichung Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die sich auf Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen lassen 10. Differentialgleichung zweiter Ordnung und System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung

Seite 9 10 11 13 17 20 23 25 27 35

Zweites Kapitel Existenzbeweise, Methode der schrittweisen Näherung 11. Differentialgleichung erster Ordnung 12. Systeme von Differentialgleichungen

37 46

Drittes Kapitel Numerische und graphische Näherungsmethoden 13. 14. 15. 16.

Methode von Runge und K u t t a Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung Verfahren von Adams-Störmer Graphische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen

52 56 58 61

Viertes Kapitel Lineare Differentialgleichungen; elementare Integrationsmethoden 17. Existenz der Lösungen linearer Differentialgleichungen 18. Fundamentalsystem von Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung 19. Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 20. Nichthomogene lineare Differentialgleichungen 21. Nichthomogene lineare Differentialgleichungen, besondere Fälle 22. Kleine Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad 23. Reduktion linearer Differentialgleichungen

67 68 71 76 80 86 90

Inhaltsverzeichnis

7 Seite

24. 25. 26. 27.

Systeme linearer Differentialgleichungen Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Systeme höherer Ordnung Kleine Schwingungen eines mechanischen Systems

93 101 111 115

Fünftes Kapitel Lineare Differentialgleichungen; weitere Untersuchungen im reellen Gebiet 28. Über die Nullstellen der Integrale linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung 123 29. Verallgemeinerungen 127 30. Verhalten der Lösungen f ü r große χ 129 Sechstes Kapitel Existenzbeweis im komplexen Gebiet 31. Existenz der Lösungen einer Differentialgleichung erster Ordnung 32. Existenz der Lösungen eines Systems von Differentialgleichungen 33. Abhängigkeit der Lösungen von Parametern und Anfangswerten

133 139 140

Siebentes Kapitel Lineare Differentialgleichungen im Komplexen 34. Reguläre und singuläre Stellen einer linearen Differentialgleichung 142 35. Reihenentwicklung der Integrale in der Umgebung einer singulären Stelle der Bestimmtheit 144 36. Konstruktion eines Fundamentalsystems 148 37. Reihenentwicklung der Integrale in der Umgebung einer singulären Stelle 152 38. Differentialgleichungen vom Fuchsschen Typus 159 Achtes Kapitel Spezielle lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 39. 40. 41. 42. 43. 44.

Die Gaußsche Differentialgleichung Die Legendresche Differentialgleichung Die Besseische Differentialgleichung Integraldarstellungen Asymptotische Entwicklungen Die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung

164 171 180 189 196 201

Neuntes Kapitel Abhängigkeit der Lösungen von Parametern und Anfangswerten 45. 46. 47. 48. 49.

Abhängigkeit der Lösungen von Parametern Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangswerten Weitere Untersuchungen über Differentialgleichungen mit einem P a r a m e t e r . . . Abhängigkeit von Parametern und Anfangswerten Periodische Lösungen eines Differentialgleichungssystems mit einem Parameter ¿2 x 50. Differentialgleichung — - + χ = F (χ)

208 212 215 222 225 230

8

Inhaltsverzeichnis Seite

Zehntes Kapitel Singularitäten nichtlinearer Differentialgleichungen 51. 62. 53. 54.

Lineare Systeme Nichtlineare Systeme, Fortsetzung der Lösungen Asymptotisch stabile Lösungen Singularitäten des nichtlinearen Systems

233 240 243 247

Elftes Kapitel Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten 55. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 56. Hillsche Differentialgleichung 57. Mathieusche Differentialgleichung Namen- und Sachverzeichnis

256 269 261 273

Erstes Kapitel

Elementare Integrationsmethoden 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung zwischen einer unabhängigen Veränderlichen x, einer Funktion y von χ und einem oder mehreren d n ö? u âP u Differentialquotienten — , , . . . . Ist die höchste vorkommende d xn d χ d x" Ableitung, so liegt eine Differentialgleichung η-ter Ordnung vor. Wir schreiben sie in der Form

( x

dy

dn y \

' y ' dj 1χ ' · · · >d τxnΛJ \

= 0

;

hierbei ist F (tit t2, ... , i n+2 ) eine Funktion der Argumente tltt2, ... , y) Q (χ, y) setzt, erhält die Differentialgleichung die Gestalt Ρ (χ, y) d χ + Q {χ, y) d y = 0 , wobei Ρ und Q gegebene Funktionen der beiden Veränderlichen x, y sind. Dabei läßt sich y als Funktion von χ oder χ als Funktion von y auffassen. Die Differentialgleichung

d χ

= / (x), f (χ) stetig auf α < χ < b, xa e (a, b)1 ),

X hat die Lösung y (χ) = J f (t) dt + C, C eine willkürliche Konstante. Durch Vorgabe einer Anfangsbedingung y (x0) = y0 ist die Lösung y {χ) = y0 X + J f(t)dt eindeutig festgelegt. Die Berechnung eines Integrals J f (x) dx, x„ die Quadratur genannt wird, erscheint so als besonderer Fall der Integration einer Differentialgleichung. I n der Entwicklung der Theorie hat man sich zunächst in erster Linie mit solchen Differentialgleichungen beschäftigt, welche sich mit Hilfe von Quadraturen lösen lassen. Die neuere Theorie verlangt die Betrachtung der folgenden

Aufgaben:

1. Beweis der Existenz von Lösungen y (χ). 2. Erforschung der Eigenschaften dieser Funktionen y (χ). Dabei werden oft durch Differentialgleichungen neue Funktionen definiert. Wir betrachten, dem Gange der geschichtlichen Entwicklung folgend, zunächst einige Klassen von Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung, welche sich durch Quadraturen lösen lassen. Später wenden wir uns, da eine Integration durch Quadraturen nur ausnahmsweise möglich ist, anderen Integrationsmethoden zu. 2. Geometrische Deutung einer Differentialgleichung erster Ordnung Eine Lösung y = φ (χ) einer Differentialgleichung läßt sich, indem man x, y als rechtwinklige Koordinaten eines Punktes der Ebene auffaßt, geometrisch durch eine Kurve darstellen, die Integralkurve der Differentialgleichung. 1

) x0 e (α, b) bedeutet, daß x0 dem Intervall α < χ < b angehört. Ist 2K eine Menge, dann besagt α e 2K: o ist ein Element der Menge TO.

3. Trennung der Veränderlichen

11

Die Differentialgleichung erster Ordnung (1,1)

mit der wir uns zunächst beschäftigen wollen, kann folgendermaßen geometrisch gedeutet werden. Jedem Punkt x, y eines gewissen Gebietes der x, y-Ebene möge durch die Differentialgleichung (1,1) eine bestimmte Richtung (1,2)

tg Λ = y' = / (x, y)

zugeordnet werden. Das Zahlentripel (x, y, tg tx) = (x, y, y') heißt Linienelement durch den Trägerpunkt (χ, y). Die Gesamtheit der Linienelemente heißt Richtungsfeld. Die Kurve y = φ (χ) ist eine Integralkurve der Differentialgleichung, wenn die Tangente in jedem Kurvenpunkt x, y die Richtung hat, welche dem Punkt x, y vermöge der Gleichung (1,2) zugeordnet ist. Um einen vorlâuïïgen Überblick über die Integralkurven der Differentialgleichung (1,1) zu gewinnen, wenden wir ein Näherungsverfahren an. Durch einen gegebenen Punkt P0 mit den Koordinaten a, b legen wir ein Geradenstück, welches die dem Punkt P0 entsprechende Richtung t g « 0 = / (a, b) hat. Wir nehmen auf diesem Geradenstück in der Nähe von P 0 einen Punkt Px mit den Koordinaten ax, b1 an, wobei etwa ax > a sein möge. Durch den Punkt P1 legen wir ein Geradenstück, welches die dem Punkt P1 zugeordnete Richtung tg « ! = / («!, bx) hat, und wählen auf dieser Geraden in der Nähe von Px einen Punkt P2 mit den Koordinaten a2, δ2, wobei wieder « 2 > ax sein möge. Wenn wir so fortfahren, erhalten wir eine gebrochene Linie P 0 Ρ x P 2 Wir können vermuten, daß dieser Polygonzug von einer Integralkurve der Differentialgleichung (1,1) um so weniger abweicht, je näher Px bei P 0 , P 2 bei Px usw. angenommen wird. Von dieser geometrischen Deutung ausgehend, hat G. PEANO1) gezeigt, daß für a-^x^a' mindestens eine durch den Punkt P0 — (a, b) gehende Integralkurve y = φ (χ) der Differentialgleichung (1,1) existiert, wenn die Funktion / (x, y) in a ^ χ ^ a', — oo < y < + oo stetig und beschränkt ist. 3. Trennung der Veränderlichen Eine Differentialgleichung erster Ordnung kann nach 1. auf die Form gebracht werden: (1,3)

Ρ (x, y) d χ + Q (x, y) d y = 0.

Wir betrachten den besonderen Fall, daß Ρ nur von x, Q nur von y abhängt, so daß die Differentialgleichung (1,4) l

) Math. Ann. 37 (1890).

P(x)dx

+ Q(y)dy

= 0

12

Erstes Kapitel. Elementare Integrationsmethoden

vorliegt. Die linke Seite dieser Gleichung ist das Differential der Funktion / P(x)dx

+

¡Q(y)dy,

wobei wir uns die Integrationskonstante willkürlich, aber fest gewählt denken. Diese Funktion muß, da nach (1,4) ihr Differential verschwindet, konstant sein. Also gilt (1,4')

/ Ρ (χ) d χ + f Q (y) d y = G,

wo G eine willkürliche Konstante bedeutet. Wenn sich eine Differentialgleichung erster Ordnung auf die Form (1,4) bringen läßt oder, anders ausgedrückt, wenn sich die Veränderlichen x, y trennen lassen, ist die Integration durch Quadraturen möglich. Differentialgleichungen von anderer Form lassen sich bisweilen durch Einführung neuer Veränderlicher auf Differentialgleichungen zurückführen, in denen die Veränderlichen getrennt sind. Die Gleichung (1,4'), eine Gleichung zwischen χ und y mit einer willkürlichen Konstanten G, stellt geometrisch eine Schar von Integralkurven der Differentialgleichung dar. In der Gleichung (1,4') haben wir, solange C unbestimmt bleibt, das allgemeine Integral oder die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1,4). Legt man der Konstanten G einen bestimmten Wert bei, so hat man ein partikuläres Integral, welches geometrisch durch eine einzelne Integralkurve dargestellt wird. B e i s p i e l . Die Differentialgleichung dy dχ

χ y

schreibt sich nach Trennung der Veränderlichen xd χ

y d y = 0.

Die Integration ergibt f x d x + f y d y = Ç + Ç

=G

oder, wenn man die willkürliche Konstante C gleich — setzt, 2 X* + J/2 = c. Das allgemeine Integral wird für c > 0 durch eine Schar konzentrischer Kreise dargestellt. Durch jeden Punkt χ = a, y = b geht ein bestimmter Kreis der Schar entsprechend der Konstanten c = α2 + b2. B e i s p i e l . Die Kurven, für welche die Subtangente gleich der doppelten Abszisse ist, genügen der Differentialgleichung

4. Homogene Differentialgleichungen

13

oder d χ „d y — = 2 —- . χ y Die Integration ergibt, wenn links die willkürliche Konstante log G beigefügt wird, log G + log χ = 2 log y oder y* =C x. Wir haben eine Schar von Parabeln, welche die «/-Achse im Anfangspunkt berühren. Wenn eine Differentialgleichung y' = / (x, y) auf die Form Ρ (χ) d χ + Q (y) d y = 0 gebracht werden kann, können bei der Umformung Integrale verloren gehen. Beispielsweise hat die Differentialgleichung (x* + 1) (y* — 1) d χ + χ y d y = 0 die Integrale χ = 0, y = 1 und y = — 1. Aus x*-l· 1 ν ^ dχ Η 2 dy = 0 « y — ι folgt y*(x) = 1 + G e—2 . χ ( 7 = 0 ergibt die Lösungen y (χ) = 1 und y (χ) = — 1. Die Lösung χ = 0 kann nicht durch passende Wahl von G aus y2 (x) = 1 + C

e-*'

gewonnen

werden. i . Homogene Differentialgleichungen Die Differentialgleichung (1.5)

d

/

αχ

= t{-)> \xj

y deren rechte Seite nur von dem, Quotienten — abhängt, geht, wenn man χ (1.6) y = xz und demnach dy dz = X f- 2 d x d χ setzt, in dζ X— = / (ζ)— ζ d χ

14

Erstes Kapitel. Elementare Integrationsmethoden

und, wenn χ =(= 0, / (ζ) — ζ Φ 0 ist, in d χ

dz

χ

f (ζ) — ζ

über. Die beiderseitige Integration ergibt log

+ log

f——

χ =

C,

wo C eine willkürliche positive Konstante bedeutet, oder dz

(1.7)

x =

C e

J m

~ *

y

Wenn man auf der rechten Seite ζ durch — ersetzt, erhält man χ

χ =

(1,8)

C φ

Die Differentialgleichung Ρ

( χ , y) d χ +

Q ( χ , y) d y

= 0

kann auf die Form (1,5) gebracht werden, wenn Ρ und Q homogene Funktionen gleichen Grades von x, y sind. Ist dieser Grad m, so hat man, wenn λ eine willkürliche Größe darstellt, Ρ

(λ χ, λ y)

=

Ρ { χ , y),

Q ( X x , X y ) = Xm Q ( x ,

y).

Die Differentialgleichung schreibt sich in der Gestalt Ρ (», dx

y) =

_

Q ( χ , y)

λ"

Ρ

Xm

Q ( χ , y)

( χ , y)

=

_

Ρ (λ χ,

λ y)

Q (λ χ, λ y)

1 oder, wenn λ = — gesetzt wird, χ

dy d χ

y

so daß die rechte Seite nur von — abhängt. Die Differentialgleichung (1,5) besitzt außerdem die Lösung y = k x, wenn die Konstante k der Gleichung / (k) = k genügt. Diese Lösung ist durch die Division mit f (ζ) — ζ verlorengegangen.

4. Homogene Differentialgleichungen

15

Eine Differentialgleichung von der Form (1,5) wird als homogene Differentialgleichung bezeichnet. B e i s p i e l : Die Differentialgleichung (x2 — y%) d χ + 2 χ y d y = 0,

die man auch in der Form ,ay

d χ

=

("F" \xj „«

1

2— χ

schreiben kann, geht, wenn y = xz,

d y = χ dz

ζd χ

gesetzt wird, über in (1

z%) dx

2 xzdz

= 0

oder dχ

2zdz

a;

' 1 + 22

0.

=

Die Integration ergibt log χ + log (1 + z2) = log (2 C), wo rechts eine willkürliche Konstante steht. Daraus folgt χ (1 -f ζη =2

G

und £2 + 3/2 = 2 C X, d. i. eine Schar von Kreisen, welche die y-Achse im Koordinatenanfang berühren. I n Verbindung mit den homogenen Differentialgleichungen betrachten wir die Differentialgleichung d,5')

i i = d χ

f

Iax + b y + c \ . \a'x + b'y + c'j

Diese Gleichung ist homogen, wenn c = 0, c' = 0 ist. Sind c und c' nicht beide Null, so führt man an Stelle von x, y neue Veränderliche ξ, η ein, indem man setzt : χ = ξ + h,

y =η

+ k.

Dann ist dx = άξ, dy = dr¡ und άη ~dì

Ιαξ

+ όη + ah + bk + c \

1 \α'ξ + ό'η + a'h + b' k + c')

16

Erstes Kapitel. Elementare Integrationsmethoden

Bestimmt man h und k aus den beiden linearen Gleichungen a' h + b' k + c' = 0 ,

ah + bk + c=0,

was im Falle a b ' — α ' 6 Φ 0 möglich ist, so hat man die homogene Differentialgleichung άη

¡a£

+

bV\

[α'ξ

+ νη)

•

In geometrischer Ausdrucksweise können wir sagen: wir verschieben die Achsen parallel, indem wir den Punkt χ = h, y = k, den Schnittpunkt der Geraden ax + by-\-c=0,

α' χ

b' y

c' = 0

zum Anfangspunkt machen ; dabei ist vorausgesetzt, daß diese beiden Geraden nicht parallel sind. Wenn ab' — a' b = 0 und b =)= 0 ist, setzen wir b' = m b, a' = m a, so daß wir die Differentialgleichung haben: d y d χ

I ax + by

+ c

\

^ \m (α χ + b y) + c'j

Setzen wir jetzt dz

ζ = α χ + b y,

dy

—- = α + δ — , α %

cl χ

so erhalten wir die Differentialgleichung dζ

d~x=a

+

bf

\m ζ + c J

die durch Trennung der Veränderlichen integriert wird. Wenn 6' Φ 0 ist, kann d y

man ζ = α' χ + b' y setzen. Im Falle 6 = 0, b' = 0 ist -— als Funktion von α χ χ allein dargestellt. B e i s p i e l : Die Differentialgleichung geht durch die Substitution χ = ξ — 1, y = η + l in eine homogene Differentialgleichung über. Sie hat das allgemeine Integral 2^

+ 3 xy+y*

+ x + y = C.

B e i s p i e l : Die Lösung der Differentialgleichung (x — 2y

+ 9)dx

= (3x —

6y+19)dy

ergibt sich vermittels der Substitution χ — 2 y — ζ in der Form χ - 3 y + 8 log (x — 2 y + 1) = O.

5. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

17

5. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Die Differentialgleichung ^ + P ( x ) y = Q(x) ,

(1.0)

Ρ (χ)

und Q ( χ ) stetig in einem Intervall J : α < χ < b, wird als lineare D i f f e erster Ordnung bezeichnet.

rentialgleichung

I n der homogenen

linearen

Differentialgleichung

(1.10)

^ + α χ

Ρ (x) y =

o

lassen sich die Veränderlichen trennen: Ρ (x) d χ +

—

= 0.

y

In J gibt es genau eine Lösung y ( χ ) , die durch den Punkt ( x 0 , y0) hindurchgeht, a < x0 i -\-e2x~x' — ex . «o=0,

y0 = 1 ergibt y (χ) = 2 e2* — e*.

2) Der Widerstand eines Stromkreises sei R und der Koeffizient der Selbstinduktion L. Zwischen der von der Zeit t abhängigen Stromstärke J und der Spannung E besteht nach dem OHMschen Gesetz unter Berücksichtigung der Selbstinduktion die Gleichung (λ)

dJ E = R J + L — . dt

Mit E = A sin q t und J (0) = 0 folgt aus (1,13) J (t) — e

L

ΓΑ h / — sin qteL dt.

5. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

19

Nun wird die Formel f e a i s i n ßtdt

J

F

dabei ist

y

=

' + ß*

g» i cosißt) ~ ,. sin (ßt—y) V«2 + /S2

(txsinßt—β

=arctg^cosy =

p L = , s i n

y

benutzt;

= p L = .

qL Es folgt mit y = arc tg —=K J(i) =

A p ? + w i

f

(

s i n

{qt

~

Y) + e

¿

s i n

Ì T

Da die im letzten Glied enthaltene Exponentialfunktion mit wachsender Zeit rasch abnimmt, ist angenähert J(t)~

fn {qt~V). ]/R* + f L2

Ä

Zwischen dem Strom J und der Spannung E besteht die Phasenverschiebung y. Im Falle einer konstanten Spannung E und J (0) = 0 ist R 3) Die BEKNOTJLLiscAe (1,14)

~

Differentialgleichung

+ Ρ (χ) y = Q (χ) y»,

»+0,1,

geht durch Multiplikation mit y n über in y~n Mit y1" = ζ, y-"

α χ

+ Ρ (X) y1-" = Q (χ).

d y 1 dz = — ergibt sich die lineare Differentialα χ 1— η α χ

gleichung 1 dz — + Ρ (χ) ζ = Q (χ) . 1 —η d χ Die BERKOULLische Differentialgleichung d y Tx 2

+ 2 x y

= y*

20

Erstes Kapitel. Elementare Integrationsmethoden

wird durch die Substitution ζ = y 1 in die lineare Differentialgleichung dζ — d χ

=

2xz — l

mit dem allgemeinen Integral ζ = β χΐ (C— f e ~ x 2 d x ) übergeführt; es ist also β'* 2 y W = C — fe-*dx

"

Im Falle η = 2 heißt (1,14) eine RiCCATiscAe Differentialgleichung. 6. Exakte Differentialgleichungen In der Differentialgleichung (1,3) sollen die Funktionen Ρ (χ, y), Q {χ, y) in einem Gebiet G der χ, «/-Ebene eindeutige und stetige Funktionen sein. Die Differentialgleichung heißt eine exakte Differentialgleichung, wenn Pdx + Qdy ein vollständiges Differential ist, d. h. wenn es eine Funktion F (x, y) gibt, so daß (1.15)

dF = P(x, y)dx

+ Q(x, y) d y

in G gilt, also (1.16)

Fx = Ρ und F y = Q.

Wir nehmen nun an, daß y — y (χ) für a < χ < 6 die exakte Differentialgleichung (1,3) löst. Dann güt -^F

(x, y (x)) =FX (x, y (χ)) + Fy (χ, y(x))

= Ρ (x, y (χ)) + Q (χ, y (χ)) y' (χ) = 0 für a < χ < b, also F {x,-y) == C für a < χ < ό. Falls die Integralkurve y (χ) durch den Punkt (x0, y0) hindurchgeht, ist F (x, y) = F (x0, ya) = C. Nun gehöre umgekehrt das Schaubild der differenzierbaren Funktion y (χ) G an. Aus der Annahme F (x, y (χ)) = G folgt ^-F α χ

(χ, y(x)) = 0 = Fx (χ, y(x)) + Fy (x, y(x)) y' (x) = P{x,y(x))

+Q(x,y(x))y'

(x).

y — y {x) ist also Lösung der Differentialgleichung. Ist also (1,3) eine exakte Differentialgleichung mit einer Stammfunktion F (x, y), so ergeben sich die Integrale der Differentialgleichung durch Auflösung der Gleichung (1.17)

F (χ,

y)=C

nach y. G ist eine willkürliche Konstante. Die Integration einer exakten Differentialgleichung läuft also auf die Bestimmung der Stammfunktion F (x, y) hinaus. Wir nehmen jetzt weiter an,

β. Exakte Differentialgleichungen

21

daß neben Ρ (χ, y), Q (χ, y) auch noch Ρν {χ, y) und Qx (χ, y) stetig in G sind. Ist F {χ, y) eine Stammfunktion, so folgt wegen e* F 8χ 8y

8 Í8F\ 8 y\8

xj

8

I8F\

8 x\8

y)

8P 8Q -7— = -7— · 8y 8x

(1.18)

Ist umgekehrt diese Bedingung (Integrabilitätsbedingung) erfüllt und das Gebiet G einfach zusammenhängend, so gibt es eine Stammfunktion F(x, y)1). Beispiele : 1. Die Differentialgleichung (3 x2 + 6 χ y2) d χ + (6 x2 y + 4 y2) d y = 0 ist exakt, da 8 8 — ( 3 ^ + 6 α ; ί / 2 ) = — (6 ζ 2 y + 4 οχ οy ist.

8F Aus — = 3x2 + 6 χ y* folgt

= 12 χ y

F (χ, y) = χ3 + 3 χ2 y2 + Φ (y),

wobei

Φ (y) die Rolle der Integrationskonstanten spielt. Partielle Differentiation nach y ergibt 8F dΦ 4 — = 6 ζ 2 y + — = Q {χ, y) = 6 ζ 2 y + 4 y2. Daraus folgt Φ (y) = - y3 8y dy 3 unter Weglassung der Integrationskonstanten. Demnach ist F (χ, y) = x3 + 3x*y2

4 + - y3.

Die Differentialgleichung hat das allgemeine Integral (in impliziter Form) 4 χ3 + 3 x2y2 + - y3 = G .

Für « 0 = 1 , v

16 y (x0) = y0 = 1 ist G = — zu wählen. o

) Man vgl. dazu etwa Mangoldt-Knopp, Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 3

(1957), S. 431.

22

Erstes Kapitel. Elementare Integrationsmethoden

2. Für die exakte Differentialgleichung x d x

+

y d

y =

0

χ2

δ F

άΦ

2

ó y

a y

ist F {χ, y) = — + Φ (y) und wegen — - = — xi

ψ

Φ (y) = γ ,

also F (χ, y) = — + y

y2

= y

.

Die Integralkurve, die durch den Punkt (x0, y0) geht, ergibt sich aus z2

+

2

zu y (*) = ± 1/xS + ^ - x

y* =

,

+

\x I < V ï T + r i ·

In einem einfach zusammenhängenden Gebiet G läßt sich ein Punkt (x0, y0) mit einem Punkt (x, y) stets durch einen Polygonzug Γ verbinden, der sich aus endlich vielen achsenparallelen Strecken zusammensetzt. In der Differential· und Integralrechnung wird gezeigt, daß das Kurvenintegral (1,19)

F

( x , y ) = f

( P d x +

Q d y )

r

für alle Polygonzüge Γ, die (x0, y0) mit (x, y) verbinden, denselben Wert hat und eine Stammfunktion darstellt, wenn die Integrabilitätsbedingung (1,18) erfüllt ist. In beiden eben behandelten Beispielen setzen wir x0 = 0, y0 = 0 und wählen für Γ den Streckenzug, der sich aus den Strecken I : (0,0) . . . (x,0) und I I : (a;,0) . . . (x,y) zusammensetzt. Mit Ρ — x, Q = y erhält man

F ( x , y) = J ( P d x

+

Q d y )

= J x d x + J y d y

Γ

0

=

Y

+

Y ·

0

I m ersten Beispiel war Ρ (x, y) = 3 χ 2 + 6 χ y2, Q (χ, y) = 6 x*y + 4 y2. Es reduziert sich X j

( P d x

+

Q d y )

auf

J Ρ

f

0

I

auf

X d χ =

ν

o

o

2

=

o

F(x, y) = a* + 3a,·2 y* +

4

und

+

4 · J y

-y3.

4. 2

d y

f ( P d x

+

Q d y )

II

V

J y d y

x3

0

y

j Q d y ~ ô x

3 x* d x

=

3x2

y2+

— y3.

^

Damit ergibt

sich

23

7. Integrierender Faktor

7. Integrierender Faktor Die Differentialgleichung (1,3) ändert ihre Lösungen nicht, wenn man ihre linke Seite mit einer Funktion μ (χ, y) Φ 0 multipliziert. Wenn die linke Seite der Differentialgleichung kein vollständiges Differential ist, suchen wir den Faktor μ so zu bestimmen, daß die Gleichung (1,20)

d F = μ ( P d x + Qdy)

durch eine Funktion F der beiden unabhängigen Veränderlichen x, y erfüllt wird. Dies ist der Fall, wenn in dem einfach zusammenhängenden Gebiet ψ

, 8y

_

^ οχ

erfüllt ist oder, mit anderen Worten, wenn μ der partiellen Differentialgleichung (1,22)

dχ

8y

+

\8 χ

8yj

=

0

genügt. Jede Funktion μ von der Art, daß die mit μ multiplizierte linke Seite der Differentialgleichung (1,3) ein vollständiges Differential ist, wird integrierender Faktor oder EULERscÄer Multiplikator der Differentialgleichung (1,3) genannt. Ist ein solcher Multiplikator bekannt, so findet man die zugehörige Funktion F durch Integration eines vollständigen Differentials vermittels Quadraturen nach der in 6. dargestellten Methode. Die Differentialgleichung geht dann über in (1.23) und man hat die Gleichung (1.24)

dF = 0, F = C.

Auf die Frage, ob immer Multiplikatoren μ vorhanden sind und wie groß deren Mannigfaltigkeit ist, wollen wir hier nicht eingehen. Im allgemeinen ist die Bestimmung einer Funktion μ, welche der Gleichung (1,22) genügt, keine leichtere Aufgabe als die Lösung der Differentialgleichung (1,3). Man braucht allerdings nicht die allgemeinste der Differentialgleichung (1,22) genügende Funktion μ zu kennen, sondern nur eine solche Funktion. Es gibt wenigstens Ausnahmefälle, in denen es gelingt, einen Multiplikator μ ohne besondere Schwierigkeit zu finden. Man kann z.B. fragen, ob ein von y unabhängiger Multiplikator μ vordμ handen ist. Dann ist —— = 0, und die Gleichung (1,22) schreibt sich 8y 8Ρ 8Q d log μ _ d y 8χ dx Q '

24

Erstes Kapitel. Elementare Integrationsmethoden

wenn die rechte Seite von y unabhängig ist, ergibt sich durch eine Quadratur μ als Funktion von x. So findet man für die in 5. behandelte lineare Differentialgleichung dy+(P

(x)y — Q(x))dx

= 0

den Multiplikator JP (χ)

dx

μ = e Man bestätigt auch ohne weiteres, daß für das Produkt ¿***[dy+(Py

—

Q)dzi

die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist ; denn es ist & JF tPdx fPrfrr 8Ó Γ ¡Pdx da „ 1 JJ n_ tPdx n ' Jy L (Py — Q)\=Pe 8X Die homogene Differentialgleichung dy — f PI dx = 0 hat den Multiplikator μ = j y — χ f denn der Ausdruck

Jj

;

" - ' - 3 H »-MS

welcher durch die Substitution y — χ ζ in dχ dz χ ζ — f (ζ) übergeht, ist das vollständige Differential der Funktion r dz die man nur gleich einer willkürlichen Konstanten log G zu setzen braucht, um die frühere Lösung der homogenen Differentialgleichung zu erhalten. Wir wollen noch als Beispiel eine Differentialgleichung behandeln, die in keine der bisher behandelten Klassen fällt, für die sich aber ein integrierender Faktor angeben läßt. B e i s p i e l : Die Differentialgleichung (x y2 — y3) d χ + (1 — χ y2) d y = 0 1 geht durch Multiplikation mit μ — — in die Gleichung (x-y)dx

~ sj

d

y =

0

8. Clairautsche Differentialgleichung

25

über, deren linke Seite wegen 8(x-•~y)

=

8

[y

2

8 y

x

) _

1

d χ

ein vollständiges Differential ist. Integration ergibt χ2

1

Das allgemeine Integral der vorgelegten Differentialgleichung ist F — C oder x*y—2xy*

— 2Cy

— 2 =

0.

8. Clairautsche Differentialgleichung1) Als B'ÁLEMSERTsche Differentialgleichung bezeichnet man eine in x, y lineare Gleichung, deren Koeffizienten von d y V =

d-x

abhängen : (1,25)

y = i / ( p ) + ?(i).

Indem wir (1,25) nach χ differenzieren, erhalten wir die Gleichung Ρ = /(2>) + [ « / »

+ ?' ( P ) ] ^ ·

welche, wenn / (P) 4= Ρ ist, auf die Form dx T~ dp

+

χ

f (ρ) ΤΤ~\ f (Ρ)—Ρ

+

φ' (ρ) ΤΓ\ f {ρ)~ Ρ

=

0

gebracht werden kann. F a ß t man ρ als unabhängige, χ als abhängige Veränderliche auf, so hat man eine lineare Differentialgleichung, welche nach 5. integriert wird. Man erhält so χ als Funktion von ρ mit einer willkürlichen Konstanten C: x=F(p,

C).

Durch Einsetzen dieses Ausdrucks in die Gleichung (1,25) ergibt sich auch y als Funktion von ρ und C: y = 0{p,

G).

x ) Auf eine eingehende Theorie wird verzichtet. Man vgl. dazu die sehr genauen Ausführungen bei KAMKE, Differentialgleichungen reeller Funktionen (Leipzig 1950), S. 103 bis 112.

26

Erstes Kapitel. Elementare Integrationsmethoden

Damit ist eine Schar von Integralkurven der Benutzung der Hilfsveränderlichen ρ dargestellt. ergibt sich eine Gleichung zwischen χ und y mit der I n dem Sonderfall f (ρ) = ρ haben wir die gleichung (1,26)

Differentialgleichung unter Läßt sich ρ eliminieren, so willkürlichen Konstanten C. C laie.aut.scÄe Differential-

y = ρ χ + φ (ρ) ,

bei der wir auf eine neue Art von Integralen stoßen. Durch Differentiation nach χ erhält man d ρ ρ = ρ + [χ + φ' (ρ)] — oder

d τ) Diese Gleichung kann auf zwei Arten befriedigt werden. Entweder ist — = 0 , d χ also ρ = C konstant, so daß sieh die Lösung (1.27)

y = G χ + φ (C)

ergibt. Oder es ist (1.28) also

x+) — Ρ ψ' {ρ) • Die beiden letzten Gleichungen stellen eine Integralkurve der Differentialgleichung mit der Hilfsveränderlichen ρ dar. Durch Elimination von ρ erhält man eine Gleichung (1.29)

F (χ, y)=

0

ohne willkürliche Konstante. Die in χ, y lineare Gleichung (1,27) mit der willkürlichen Konstanten C stellt eine Schar von geraden Linien dar. Die Hüllkurve dieser Geradenschar findet man, indem man die Gleichung partiell nach C differenziert und die so erhaltene Gleichung χ + φ' (G)

0

9. Differentialgleichungen zweiter Ordnung

27

mit der Gleichung (1,27) verbindet. So ergibt sich die Parameterdarstellung der Hüllkurve χ= — φ'(0), ν = φ{Ρ) — Οφ· ( G ) ; hieraus erhält man durch Elimination von G als Gleichung der Hüllkurve die Gleichung F (χ, y) = 0 , welche oben durch Elimination von ρ aus den beiden Gleichungen (1,26) und (1,28) gefunden wurde. Die Gleichung (1,29) enthält keine willkürliche Konstante, sie geht aber auch nicht aus dem allgemeinen Integral (1,27) durch Einsetzen eines speziellen Wertes für die Konstante G hervor. Das Integral (1,29) ist hiernach kein partikuläres Integral; man bezeichnet die zum allgemeinen Integral (1,27) noch hinzukommende Lösung (1,29) als singulare Lösung. Geometrisch stellt diese singulare Lösung die Hüllkurve der durch das allgemeine Integral dargestellten Geradenschar dar. B e i s p i e l : Gesucht ist die Kurve, deren Tangenten mit den Koordinaten2 achsen Dreiecke von konstanter Fläche — ¿i α bilden. Die Tangente im Kurvenpunkt (χ, y) hat die Gleichung

η — y = Ρ (i — s). also die Achsenabschnitte 1 — - (y — ν χ),

y—

px,

deren Produkt gleich a a sein soll. So ergibt sich die CLAißAUTsche Differentialgleichung y = ρ χ -f a ]/— ρ . Ihr allgemeines Integral y

=

G χ + α,γ— C

stellt die Geraden dar, welche mit den Achsen Dreiecke von der Fläche — α2 à bilden. Die Hüllkurve dieser Geradenschar, die gleichseitige Hyperbel a? stellt die singuläre Lösung der Differentialgleichung dar. 9. Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die sich auf Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen lassen Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung enthält im allgemeinen die vier Größen d y d*y χ υ — ' d χ ' dx*'

28

Erstes Kapitel. Elementare Integrationsmethoden

Sie läßt sich auf eine Differentialgleichung erster Ordnung zurückführen, wenn entweder χ oder y in der Gleichung nicht vorkommt. a) Wenn y fehlt, die Gleichung also die Form I d y d?y\ . F[*'£>d¿)=° 1 30 i · ) hat, setzt man (1,31)

d y d*y -A=V> d χ d χ2

dφ dχ

Man hat dann (1,32) also eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen χ und p. Im allgemeinen ist die Differentialgleichung (1,32) nach den bisherigen Methoden nicht lösbar. Wenn es aber gelingt, ihr allgemeines Integral in der Form p = ]/ (a^ - x0)2 + ( y 1 — î/0)2 vorgegebene Zahlen, y (χ) stellt dann die Form einer Kette der Länge L dar, die zwischen den Punkten (x0, y„), (xlt y χ) aufgehängt ist. Für L gilt L = j y i + y'2 dx = a J y" (x) dx = a (y' ( x j — y' (a;0)) oder Xo Xo

(

xi

©in Aus (λ) und

x» — — Ci x1 — x0 x1 + x0 — 2 Cj (Soi · a — ©in a J = 2 a ©in —2 a 2a

(

χι~

®0Î

folgt

Gì

—

xo~G1\ Koí

" V I

=

2 a

®in

x1—x0 ~2ΊΓ

@in

x1-¡-x0—2O1 2α

/JJ

£ 2 - (y x - í/0)2 = 4 a 2 ©in2 2 « ©in Mit

Δa

Jj &

5

oder

= I ¡ U - {y, - y o)2 •

= ξ lautet die letzte Bedingung s™ ç ζ

=

y¿2 - ( y , - y0f Xl Xq

Die rechte Seite ist eine gegebene Zahl k > 1. Die transzendente Gleichung ©in ξ — x„ —-— = k hat genau eine positive Lösung ξ0. Damit ergeben sich a = ———— > ζ 2 ξ0 C1 und C2. B e i s p i e l : Der Winkel φ, den ein mathematisches Pendel der Länge L mit der Vertikalen bildet, genügt, wenn t die Zeit bedeutet, der Differentialgleichung (γ)

d2œ g -Jr + bein^o, b =

32

Erstes Kapitel. Elementare Integrationsmethoden

„ T , -, dw d2a> du du dφ Zur Integration von (γ) wird — - = u gesetzt. —— = — = — .— 2 dt dt dt d φ dt

=

u

du • — d

deren rechte Seite eine bekannte Funktion von χ ist, mit der Anfangsbedingung χ = a, yx = b; wir erhalten X Vi

-

b =

f a

f ( x , y

0

) d x .

Aus der Differentialgleichung d ya

mit der Anfangsbedingung χ — α, y2 = b ergibt sich X Vi

-

b =

f a

f

(x,

yx)

d

X.

Allgemein ergibt sich yn aus der Differentialgleichung (2.5)

d yη

=

11. Differentialgleichung erster Ordnung

39

mit der Anfangsbedingung χ = a, yn = 6 in der Form X (2.6)

9»-b

=

ff(x,y,-i)dx. a

Wir weisen nach, dieser welche

Grenzwert

oo

daß für η

y im

(2,1)

der Differentialgleichung

Für I

χ

y„ einem

\χ — a |
a Y —y I

Κ J μΚ

(χ — a) d χ = μ

Κ2 (χ -

ay

2!

und, wenn man so fortfährt, für jede ganze positive Zahl η \1 Y — y \ < μ

Kn (χ — a)n (Κ τ)« ¡ < μ ¡— . η! η!

Die rechte Seite wird beliebig klein, wenn man η hinreichend groß annimmt. Daher ist die von η unabhängige linke Seite | Y — y | gleich Null oder Y (x) =y

(χ) •

Wir können nunmehr den folgenden S a t z aussprechen: In der Differentialgleichung d y (2,1)

~ñ=

t { x

'

y )

sei f (x, y) eine stetige Funktion der auf das Gebiet I a; - α I < A, \y -b\Ä — 0 Λ

b + f f (t, y (t)) d t. Falls der Punkt χ = α, y = β in Ο liegt, wird durch die α χ

Anfangsbedingung y1 ( « ) =ß

genau eine Lösung y1(x) =ß + f f (t, y1 (t)) dt ot

der Differentialgleichung y' = f (x, y) festgelegt, die im Intervall [oc, « J erklärt ist. Die im Intervall [α, ocj) stetige Funktion Y

v i

.

[®> (*)> « e [ « . « 0 x e

y

_

( V i

X

istdannin [α,ΐΧχ) Lösung der Differentialgleichung. Aus y (χ)

—

b

+

f

f ( t , y ( t ) ) d t ,

a χ y-¡.{χ)

=

β

+

f

f

α {

t

,

y !

(ί))

d

t

und

β

=

b

+

λ

f

(t,

y

( a nicht möglich, dann kommt die Integralkurve Υ (χ), χ e [a, a.*) dem Rand von G beliebig nahe. I m anderen Falle würde nämlich lim Υ (χ) = β* existieren und der Punkt χ = oc*, y = β* dem χ—— o „ Gebiet G angehören. Dann wäre aber im Gegensatz zur Annahme eine Fortsetzung über oc* nach rechts möglich. Die Fortsetzung von y (χ) nach links wird entsprechend durchgeführt. Wie S. 42 bemerkt wurde, läßt sich bei stetigem / (x, y) nachweisen, daß durch einen gegebenen Punkt mindestens eine Integralkurve hindurchgeht. Für jedes λ, 0 < λ < 1, ist auf 0 ^ χ 5Í 1 die stetig differenzierbare Funktion y {χ, λ) =

0,

0 < χ ^ λ

(χ - λ)\. |(2 XJ 12 "

, λ < χ ^ 1

eine der Anfangsbedingung t/ (0) = 0 genügende Lösung der Differential1 gleichung y' = yz. Dieses Beispiel zeigt, daß für die Eindeutigkeit der Lösung mehr als die Stetigkeit von f (x, y) gefordert werden muß. Einen besonders einfachen E i n d e u t i g k e i t s s a t z fand NAGUMO 1926: Wenn die Funktion f (x, y) im Rechteck \ x — a \ oo η=1 η—>· oo sind also für | χ — a | ^ r absolut und gleichmäßig konvergent. Daß die so bestimmten Funktionen y, ζ den Differentialgleichungen (2,13) genügen, er(2,19)

1

) Die Fehlergrößen in (2,15) sind i.a. verschieden. Da nur die Eigenschaft | | ίΞ ε wichtig ist, unterscheiden wir sie nicht durch Indizes.

48

Zweites Kapitel. Existenzbeweise, Methode der schrittweisen Näherung

gibt sich wie in 11. Wie dort sieht man auch, daß es andere Funktionen y (χ), ζ (χ), welche für χ = a die Werte y = b, ζ = c annehmen und den Differentialgleichungen (2,13) genügen, nicht geben kann. Die Differenzen y — y0, ζ — z0 lassen sich wie in 11. abschätzen. Man hat nur Κ durch 2 Κ zu ersetzen und findet für | χ — a | < ρ (2.20) \ y - y

0

\ f ¿ ^ ( e « l — I - 1),

| * - z01 ^ ~

(e

« l — l _ i),

wenn die Funktionen y, ζ den Differentialgleichungen (2,13) genügen, die Funktionen y0, z0 aber nur bis auf Fehler vom absoluten Betrage ε, und wenn für χ = a y = y0 = b, ζ = ζ0 — c ist. Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall, daß (2.21)

U (χ, y, z) = A¡ (χ) y + Β( (χ) ζ + Ct (χ)

(ί = 1, 2)

eine lineare Funktion von y und ζ ist, deren Koeffizienten A¿ (χ), B¡ (χ), Ci (χ) in dem Intervall | χ — a | < h stetig sind. Die Differentialgleichungen

(2,22)

pf- = A1 (x) y + Β! (χ) ζ + Gx (χ), α χ Ρ- = Α2 (χ) y + α χ

(ζ) ζ + C2 (χ),

welche in bezug auf die abhängigen Veränderlichen y, ζ und deren Differentialdy dz quotienten - — , -— linear sind, bilden ein System linearer Differentialit χ αχ gleichungen. Indem wir die Methode der schrittweisen Annäherung wie bisher anwenden, erhalten wir Funktionen y (χ), ζ (χ), welche das Differentialgleichungssystem (2,22) befriedigen und für χ — a die vorgeschriebenen Werte y = b und ζ = c annehmen. Wir zeigen, daß diese Funktionen jetzt für | χ — a | < h dargestellt sind, daß also ρ = h gesetzt werden kann. H Die Annahme, daß | χ — a \ < — sein sollte, wurde oben nur gemacht, damit I y„ — b \ < H, | zn — c \ < H wurde, d. h. damit die Werte y = y„, ζ = 2„ dem Stetigkeitsgebiet der Funktionen /¡ (χ, y, ζ) angehörten. Da jetzt fi (χ, y, ζ) für alle endlichen Werte von y und ζ stetig ist, wenn nur | χ — a \ < h bleibt, kann ρ gleich h angenommen werden. Der Beweis der Konvergenz der Reihen oo oo Σ(y„-y„-1), Σ(ζ„-ζη-λ) η=1 η= 1

12. Systeme von Differentialgleichungen

49

wird wie oben geführt. Es sei jetzt für | χ — a | < h \Ai{x)\^K,

\Bi{x)\^K-,

dann ist I ft ( a; ) yn, zn) I

= ^

Ai

(χ)

fi

(yn -

Vn- υ

l) I

yη -1) + Bi (χ) (z„ -

zn.x) I

(I yn - y « - i I + I ζ« - « » - ι I)·

K

Obere Schranken für die absoluten Beträge von yn — yn_ 1 und z„ — z„ _ j ergeben sich wie oben. Wir können, indem wir zu η abhängigen Veränderlichen übergehen, den folgenden Satz aussprechen: In dem Differentialgleichungssystem du ι - f - = h (χ, ylt ... ,y„) (i = αχ , /„ stetige Funktionen der auf das Gebiet

(2,23) seien flt ...

\ χ-a

\ ' k2 = hfix0 + - , y. + y l , k = k2. Eine längere Rechnung, die unterdrückt wird, führt für m = 3 und m = 4 zu k1 = hf (x0, y0) k1 = hf (x0, y„) I h kA k2 = hf \x0 + - , y0+ y I (3,1.) i . = A/(«o + A , y « - i i + É.)

I k2 = hfix0 (3.1«)

1 k = - (K + 4 k2 + k3)

h k-λ + - , 2/o + y l

I h k 3 = A/Ix„+-,2/O + -

A

ki = hf(x0

+ h, y0 + k3)

k = ^ | i f c 1 + 2jfe1 + 2 t I + i I In der Formel (3,1,·) sind die Fehler von der Ordnung die Differentialgleichung y' = f (x) ergibt im Falle

+

(3.11)

k = h · f (x0)

Rechteckregel

(3,1,)

* = | [ / (*o) + / ( * » +

Trapezregel

Anwendung auf

/ (3.12) (3,1a) (ïl )

k=hflx0-Jr—\ *

=

ρ «^ L

{Xv) + á f

Tangentenregel [ IX o + 2h\¡ +

f{Xo +

Ä)

JΊ

SiMPSONsche Regel

55

13. Methode von Runge und Kutta

Zur numerischen Lösung von y' = / (x, y) benützt man meistens die Formel die K u t t a nach Vorarbeiten von R u n g e angegeben hat. Da der Fehler von der Ordnung h5 ist, nimmt er bei Verkleinerung von h rasch ab. Gleichzeitig wächst aber die Rechenarbeit an, so daß der richtigen Wahl der Schrittweite h eine große Bedeutung zukommt. Nach R. ZubmÜHL1) soll erfahrungsgemäß die „Schrittkennzahl" (3,14),

Κ h

ti bei mittleren Genauigkeitsansprüchen zwischen 0.1 und 0.2 liegen. Κ bedeutet dabei eine Schranke für | f v j. Als Beispiel betrachten wir die Differentialgleichung

,

y2

·

yα = τχ —

χ

y io " mit der Anfangsbedingung x0 = 0, y0 = 1. Nach (3,14) finden wir mit h = 0.2 beim ersten Schritt :

χ

y

f(x,y)

0.0 0.1 0.1 0.2

1.0 1.01 1.000 101 1.000 002

0.2

1.000 068

hf (x, y)

0.1 0.001010 0.000 010 - 0.100 000

fc4

Κ = = ka= = -

0.02 0.000 202 0.000 002 0.020 000

k

0.000 068

Es ergeben sich die folgenden Näherungswerte y (χ): X

y (*)

Genauer 6-stell. Wert y (χ)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.000 00 1.000 07 0.960 54 0.885 37 0.782 68 0.663 28

1.000 000 1.000 067 0.960 537 0.885 370 0.782 681 0.663 283

Die Differentialgleichung läßt sich als BERNOULLische Differentialgleichung nach 5. integrieren. Man findet y(x)

ιI

;

- r o l · 1

dt 2

'

) R. Zurmühl, Praktische Mathematik. Springer-Verlag 1957.

56

Drittes Kapitel. Numerische und graphische Näherungsmethoden

Hieraus erhält man durch Reihenentwicklung die in der letzten Spalte der obigen Tabelle enthaltenen genauen Werte. Für Abschätzungen des Fehlers vergleiche man eine neuere Arbeit von L . BIEBERBACH : Z. angew. Math. Phys. Bd. 2 (1951), S. 2 3 3 - 2 4 8 . 14. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung Die im vorigen Abschnitt angegebene Methode läßt sich auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen übertragen. Man betrachtet hierzu das System d y y Z) dx = f{x' ' (A)

,1 dζ dx

=

g{X

> y > Z)

mit den Anfangsbedingungen y (x0) = y0, ζ (x0) = z0. Eine Lösung von (A) stellt, wenn x, y, ζ als rechtwinklige Koordinaten eines Raumpunktes gedeutet werden, eine Raumkurve durch den Punkt x0, ya, z0 dar. Sind Ρ = (χ, y, ζ) und Ρ' = (χ + h, y -f- k, ζ + l) zwei benachbarte Punkte der Integralkurve, dy dz so treten, wenn man die Differentialquotienten > -r~ durch die Differenzendχ αχ k l quotienten — , — ersetzt, an die Stelle von (A) die Gleichungen h Λ k = h • f (χ, y, ζ) die sich auch aus

I = h · g (χ, y, ζ),

χ+h = f f[x,y (χ), ζ (a;)] d χ Χ χ+h ζ (χ + h) - ζ (χ) = f g [χ, y (χ), ζ (χ)] d χ χ durch Anwendung der Rechteckformel ergeben. Werden die Stellen x¡ so gewählt, daß x0 < a^ < . . . < x„ bzw. xn < ... < x1 yi-i> zi-ì)< = (Xj — Xj-1) g ( x j - ii y j-1! zj-1)> ? = 1) 2,

n.

Der Streckenzug mit den Ecken Ρ,· = (x¿, y¡, Zj), j = 0, 1, ..., n, approximiert die Integralkurve y (χ), ζ (χ) mit einem Fehler, der von der Ordnung h? ist. Auch für das System (A) lassen sich nach dem Vorbild von RTJNGE-KUTTA Ausdrücke angeben, für die der Fehler von der Ordnung Ä5 ist. Die Berechnung einer solchen Näherungslösung geschieht nach folgendem Schema:

57

y

«0

x0 +

+

x0

k2 y

°+2 h h

II

2/0 + γ

h X

ζ

il

y» h

°

2~

l·

h

Κ

y» +

II £

X

Ss" SS"

14. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung

«O

k

z

h

° + 2 h

2

ki~\-2kî-\-2k3-\~k4

~~ l1 + 2lÎ

7

»+ 2

h

20 + h

h

6 +

2lî+l1

6

Z1 = Z0 + 1

yi = y0 + k

Die Differentialgleichung zweiter Ordnung d*y (B)

d t f

I

dy\

= F

y

y

'J^J'

=

y

°'

y

=

' ^

y

°'

kann als System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen y (χ), ζ (χ) d y —

= z

= / (χ, y, ζ)

d ζ — = F{x,y,z)

=g

(x, y, z)

geschrieben und nach der soeben dargestellten Methode behandelt werden. Man kann aber auch, wie NYSTRÖM gezeigt hat, das Verfahren von RTJNGEKUTTA ohne Umweg über Systeme erster Ordnung auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung übertragen. Die Berechnung einer Näherungslösung geschieht nach dem folgenden Schema:

Il =

ζ1 = u0 = hy'0

Vi — yo h "+2

f , = x°+2

1 v* =y«s II

Vi

f,

+

i

1

1

Cz = ua-\-

£3 =

il

k1

3 2 k'

U

0

Ci = Wo + 2 k3

=

k1+2ki+2k3+ki Κ

3

58

Drittes Kapitel. Numerische und graphische Näherungsmethoden

Der nächste Rechenschritt beginnt mit den Ausgangsdaten ξ 1 = »0 + Κ Vi = Vx = yo + Mo + h ζχ = hy'1 = u0 + 2 k'. I m Falle y" = F (x, y) fallen k2 und k3 zusammen. Das Rechenschema vereinfacht sich: k,= JT II •kji

Vi

fi Si— xo

Vi = y

f a = xo + 2

1 í?2 = 2/O+2

h

£i = «o = hy'o 1

Κ Je 2

V3=y 0 + u 0 + k2

ξ3= %o + h li= «o + h Vi=yi

Wl·

A2 η,)' 2

h

h=l-{kx+ l

-

2k2)

2 k' = {k1+ákí+k3)

= yo + u 0 + k Ci = u0 + 2k' 15. Verfahren von Adams-Störmer

Das in 11. beim Existenzbeweis angewandte Verfahren der schrittweisen Näherung kann für die numerische Behandlung von gewöhnlichen Differentialgleichungen ausgenützt werden. Gesucht ist eine Lösung, die der Anfangsbedingung y (x0) = y0 genügt. Ist Υ (χ) eine Lösung, so besteht die Beziehung X Y (x) = y0 + f f [χ, Y (*)] d χ . X«

Mit einer Ausgangsfunktion Y° (x) bildet man X X 1 Y (*) = &, + / / [«, Y° (*)] dx = y0 + fF0(x)d x9 x0

χ .

Zur Berechnung des Integrals liegt es nahe, die Funktion F0 (x) durch ein X Interpolationspolynom P0(x) zu approximieren und J P0 (x) dx zu beX, stimmen. Dazu wird eine Folge x0 < x1 < ... < x„, x¿ — Xj-x = h > 0, gewählt und P0 (x) als Polynom n-ten Grades durch die Forderungen P0 (x¡) = F0 (Xj) = / [Xj, Y" (x,·)], j = 0, 1, . . . , n, bestimmt. Dann berechnet m a n Xj Xj J P0 (x) d χ und erhält y) = y1 (x}) = y0 + J P0 {x) d x. X„ Xo Mit diesen Werten wird / (x¿, «/*•) gebildet und das Interpolationspolynom vom w-ten Grade P1 (x) gemäß P1 (x¡) = / (χ,·, y\) konstruiert. Die Integration ergibt wie eben die Werte y2 (a;,·) usw. Das Verfahren setzt man so lange fort, bis sich die Werte y = y"(Xj) nicht mehr ändern. I n dieser Form Hegt

59

15. Verfahren von Adams-Störmer

also ein kombiniertes Interpolations- und Iterationsverfahren vor. Man kann das Verfahren auch zur Kontrolle der nach RUNGE-KTJTTA berechneten Näherungslösung verwenden. Auf die Ausgestaltung dieses Verfahrens für die praktische Rechnung gehen wir nicht weiter ein, sondern besprechen das Verfahren von ADAMS-STÖRMER, das heute häufig benützt wird. Dieses Verfahren setzt voraus, daß schon eine Anzahl von Näherungswerten yBi y1 = y (xj), ..., yn bekannt ist. Es ist dann yn + x zu berechnen. Mit den Werten /„_ g, /„_ g+1, . . . , /„, /,· = f (x¡, y¡), bildet man das Interpolationsx

polynom Pg (x) vom Grade g und berechnet damit yn+i='!/nJrfPg

n+l

x

( x ) dx.

n Dieser durch Extrapolation gewonnene Rohwert y n + 1 wird i. a. eine schlechte Näherung darstellen. U m ihn zu verbessern, bildet man mit f„ + x _ g, ...,/„, fn +1 — / ( x n + l) yn + 1) ein neues Interpolationspolynom Qg(x) und berechnet x n+\ damit yn +1 = y„ + J Qg (x) d x.

Dieser Wert kann dann, wenn erforderlich,

durch Iteration verbessert werden. Es kommt nun darauf an, diesen einfachen Grundgedanken f ü r die numerische Rechnung zu verwerten und ein bequemes Rechenschema anzugeben. Als Quadraturformel wählen wir die SiMPSONsche Regel und bilden deshalb das Integral auch nicht über das Intervall xn ... xn+1, sondern über x n - 1 · · · xn + 1 · h / F (χ) d χ = - [F (xn . 0 + áF (xn) +F{xn+1)] x n-1

= h\2F{xn)

+

1

-ViF{xn+í)],

VF (xn) = F (x„) — F (xn_ j). Die Schrittweite h ist so zu wählen, daß der Quadraturfehler — sein Betrag wird durch

angenähert

wiedergegeben — keinen Einfluß auf die mitgeführten Stellen hat. Damit ergibt sich χ

(3,5) yn + 1 = yn-x

η*1 + ff[x,y(x)]dx

= yn.1 + h

I

1 \ + — F 2 f„+1J + Fehler.

I n dieser Formel kommt V2 }n +1 vor, also der Funktionswert fn+1 = / (%n +1; y«+ i)> der noch nicht bekannt ist. Nun kann man aber aus dem Gang der Differenzen V2 f ,·, j = n, 1, . . . , eine Näherung für V2 fn+ ι schätzen und damit nach (3,5) einen Rohwert y n + 1 berechnen, der dann durch Iteration verbessert wird. Diese Schätzung und Anwendung von (3,5) ersetzt die oben vorgeschlagene Bestimmung eines Rohwertes y n + 1 durch Extrapolation. Die Iteration setzt man so lange fort, bis sich yn + j im Rahmen

60

Drittes Kapitel. Numerische und graphische Näherungsmethoden

der mitgeführten Stellenzahl nicht mehr ändert. Zur Rechnung kann man das folgende Schema benützen : xi

Vi

Xq

xn

-2

xn

-

1

hfl

Va

h h

y « - i

hfn- 2

y « ~

ι

h f n - 1

y¡¡_

Z»

h fn

h F2 f j

h V fj

h V3 fn

hVfn-l h

h Va f j

hV'fn

VU

+1 Mit Hilfe der dritten Differenzen V3fj, j = n, . . . , wird V3fn+i

geschätzt.

B e i s p i e l : Wir betrachten wieder die Differentialgleichung y' =

—χy

mit der Anfangsbedingung y (0) = 1. Aus 13. übernehmen wir die nach dem Verfahren

von

RUNGE-KUTTA gewonnenen W e r t e

y (0.1),

y (0.2),

y (0.3).

Zu b e r e c h n e n i s t y (0.4).

xi

h-fi

yi

0

1.000 000

0.010 000

0.1

1.005 046

0.000 051

0.2

1.000 067

- 0.010 000

0.3

0.985 113

- 0.019 849

0.4

0.960 536

- 0.029 195

h V fj

h V3 f j

hV*fj

- 0.009 949 - 0.010 051 - 0.009 849 - 0.009 346

- 0.000 102 0.000 202 0.000 503

0.000 304 0.000 301

Wir wählen h Ρ72 /4 = 0.0005. Damit ergibt sich nach (3,5) der Wert y i = 1.000 067 - 2 · 0.019 849 +

0.0005 = 0.960 536 .

Dazu gehört h ft = - 0.029 195, h V U = - 0.009 346, A P / < = 0.000 503. Nochmalige Anwendung von (3,5) zeigt, daß 0.906 536 schon der gesuchte Wert ist. Die weitere Rechnung nach diesem Schema ergibt yh = 0.926 985

ys = 0.782 678

ye = 0.885 368

y9 = 0.724 341

y7 = 0.836 831

y w = 0.663 280.

16. Graphische Lösung yon gewöhnlichen Differentialgleichungen

61

Für die Anlaufrechnung, d. h. für die Beschaffung der Ausgangsdaten, steht neben dem RIINGE-KUTTA-Verfahren und dem Iterationsverfahren von PICARD-LINDELÖF noch die Reihenentwicklung nach Potenzen von h in einer Umgebung von χ = x0 zur Verfügung. Bei Verwendung des angegebenen Schemas verschafft man sich zweckmäßigerweise die Werte ylt yi und y3. Das Verfahren von ADAMS-STÖRMER läßt sich auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme übertragen. Ausführliche Darstellungen und Fehlerabschätzungen findet man in den einschlägigen Werken über numerische Lösung von Differentialgleichungen. (Man vergleiche die Literaturangaben am Schluß dieses Kapitels.) 16. Graphische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen Es liege wieder die Differentialgleichung

vor. Jedem Punkt (x,y) eines gewissen Gebietes der x, y-Ebene wird eine Richtung t g « = y' = f (x, y) zugeordnet. Es ist nun zweckmäßig, Punkte, denen durch y' = / (x,y) die gleiche Richtung t g « = λ zugeordnet wird, durch Kurven zu verbinden. Diese Kurven heißen Isoklinen\ sie werden durch die Beziehung f (x,y) = λ

festgelegt. Durch einen Pol O auf der negativen x-Achse, der vom Punkt (0,0) den Abstand L hat, legen wir den durch den Punkt (0, y) festgelegten Rieht-

62

Drittes Kapitel. Numerische und graphische Näherungsmethoden

strahl l, wobei zwischen dem Steigungswinkel des Richtstrahles l, y und dem Polabstand L der Zusammenhang y = L tg α besteht. Um die Integralkurve durch einen gegebenen Punkt P 0 angenähert zu zeichnen, konstruieren wir eine Schar von Isoklinen G0, C\, C\, . . . , deren erste, C0, durch P 0 geht, und die diesen Isoklinen entsprechenden Richtstrahlen l0, l l t l2< . . . . Wir ziehen durch P 0 eine Parallele zu l0 bis zu einem Punkte Px ungefähr in der Mitte zwischen C 0 und C\ ; durch P1 legen wir eine Parallele zu l1 bis zum Punkte P 2 ungefähr in der Mitte zwischen C^und 0 2 usw. Durch den Streckenzug Ρ,,Ρ^^... wird die Integralkurve y (χ) approximiert (Abb. 1). Als Annäherung können wir auch eine Kurve zeichnen, welche den Streckenzug in den Schnittpunkten mit den Isoklinen G„, C 1 ; C2, . . . berührt. Nach dieser Methode kann man sich in vielen Fällen einen ersten Überblick über den Verlauf der Integralkurven verschaffen. Ein besonders einfaches Beispiel liegt bei der Differentialgleichung y'

=

z2

+

?/ 2

vor, die mit der Anfangsbedingung x0 = 0.3, y0 = 0.4 integriert werden soll. Die Isokline y' = λ ist der Kreis x 2 + y 2 = λ mit dem Radius ]/ λ . Der Punkt 1 1 ( x , y ) liegt auf dem Kreis vom Radius —, also auf der Isoklinen λ = — . 0

0

Δ

4:

1 1 3 8 In der Abb. 2 sind die Isoklinen λ = —, —, — , . . . , — , d. h. Kreise um 4 2 4 4 1 1 , - 1 , den Koordinatenanfangspunkt mit den Radien —, — J/2, — J/3 , . . . , |/2

gezeichnet und eine Näherung y ° ( x ) , die den Streckenzug Schnittpunkten mit den Isoklinen C 0 , Clt . . . berührt.

P

0

P x . . . in den

16. Graphische Lösung yon gewöhnlichen Differentialgleichungen

63

Durch schrittweise Näherung läßt sich die nach der Isoklinenmethode gefundene Näherung y° (χ) verbessern. Dazu kann man die Funktion / [x, y° (»;)] X = F0 (x) zeichnen und das Integral in y1 (x) = y„ + J F„ (x) d χ graphisch Χo auswerten. Hierbei ist die folgende Bemerkung nützlich: Schneidet y° (x) die Isokline C ,· : / (x, y) = λ, im Punkte Q ¡ = (x¡, y j), so gilt F0 (x¿) = f \Xj, y° (a;,·)] = f (Xj,yj) = A,·. In der Abb. 2 sind die Punkte [x, y1 (a;)] durch Kreuzchen (χ) markiert. Eine Modifikation des EuLER-CATJCHYschen Streckenzuges führt zum Verfahren der eingeschalteten Halbschritte. Aus y' = f (x, y) wird die Richtung y0' = f (x 0) y0) bestimmt. In dieser Richtung geht man von x0, y0 bis zum Punkte η1 und berechnet r¡¿ — f {ξ1, η^). Nun geht man von x0, y0 in der Richtung r¡í aus, und zwar doppelt so weit wie beim ersten Halbschritt bis zum Punkte xu yx. Jetzt wird das Verfahren von xlt y1 ausgehend wiederholt und ergibt x2, y2 usw. Das Verfahren von ADAMS-STÖRMER legt die folgende graphische Ausgestaltung nahe. Liegt die Integralkurve y (χ) für x0 χ ¿Ξ x„ gezeichnet vor, so setzt man die Integralkurve nach Gefühl über x„ hinaus fort. Dieser „Fortsetzung" entspricht beim rechnerischen Verfahren die Extrapolation bzw. die Schätzung der Differenzen \/2 /„ + j. Nun bildet man mit der fortgesetzten Kurve f (x,y) = y' und arbeitet sich durch Iteration an eine gesuchte Lösung in einem Intervall xn χ 5Í xn + x heran. Neben diesem Verfahren sind noch zahlreiche andere entwickelt worden, die sich allerdings nur bei mehr oder weniger speziellen Funktionen / {x,y) anwenden lassen. So kann man nach CZTJBER für eine lineare Differentialgleichung y' + Ρ (x) y = Q (χ) folgendes Verfahren anwenden. Dem Punkt x, y entspricht die Richtung y' = Q (χ) — Ρ (x) y oder die Gerade η - y = [Q{x) - P{x) y] (ξ - χ), die durch den Punkt 1 Q {x) (3>6>

TW)

geht, der nur von x, aber nicht von y abhängt. Jedem x-Wert, d. h. jeder Parallelen zur y-Achse entspricht ein Strahlpunkt (3,6), durch welchen alle Richtungen gehen, die den verschiedenen Punkten der y-Parallelen zugeordnet sind. Man zeichnet eine Schar von y-Parallelen und die entsprechenden Strahlpunkte, wobei jeder Strahlpunkt mit derselben Nummer versehen wird wie die ^-Parallele, zu der er gehört. Dann kann man bequemer das Richtungsfeld konstruieren und mit seiner Hilfe die Integralkurve, welche durch einen gegebenen Punkt geht, angenähert zeichnen.

64

Drittes Kapitel. Numerische und graphische Näherungsmethoden

Beispiel. Die lineare Differentialgleichung d y

,h

αχ

xy

=

χ2

1 soll mit der Anfangsbedingung xa == —,

1 y0 = — integriert werden.

Zur Abszisse χ gehört der Strahlpunkt ξ =

X -\

1 X

, 7] =

X.

der auf der Hyperbel ξ η — η2 — 1 = 0 Hegt. Abb. 3 enthält die zu den 1 3 5 6 7 Abszissen χ — — , —, 1,—, —, —, 2 gehörigen Strahlpunkte, an welche diese Abszissenwerte geschrieben sind, und ein mit Hilfe dieser Strahlpunkte bestimmtes Stück der gesuchten Integralkurve1).

y

'

Z )

(A) d ζ g { X

dTx = 1)

'y'Z)

Die Punkte χ wurden mit Hilfe der Lösung

y (χ) =

X-

, i.

e 2 \i

J

_ϊ! 2

Γ

/ e2

-

dt

bestimmt.

16. Graphische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen

65

zu bestimmen, die durch den Punkt χ = x0, y = y0, ζ = z0 geht, zeichnet man in einer Ebene die x,y-Projektion y = φ (χ) und in einer anderen Ebene die «.«-Projektion ζ = ψ (x) der Raumkurve. Es sei auf irgendeinem Wege, ζ. B. durch das Verfahren von ETJLEReine Näherungslösung y = y" (χ), ζ = ζ" (χ) des Systems (Α) bestimmt worden. Nach 12. ist CATJCHY,

X X yl{x) = yo + f f[x, y°(x),z° (z)] dx, z1{x) = z0 + f g [x, y0 {χ), ζ" (χ)] dx Xa Xo eine zweite Näherungslösung. Da die Funktionen y" (x), z° (x) bekannt sind, kann man in der x,«/-Ebene die Kurve y = / (x,y°,z°) = F0(x) und in der ζ,ζ-Ebene die Kurve ζ = g (x,y",ζ") — G0 (x) zeichnen. Indem man die erste Kurve mit Benutzung des Ausgangspunktes χ = x0, y = y0 graphisch integriert, erhält man die Kurve y1 (x) ; durch graphische Integration der zweiten

Kurve mit dem Ausgangspunkt χ = x0, ζ = z0 ergibt sich die Kurve z1 (x) in der a;,z-Ebene. Wenn die Funktionen y1 (χ), ζ1 (χ) noch merklich von den Funktionen y° (x), z° (x) abweichen, erhält man durch Fortsetzung dieses Verfahrens weitere Näherungskurven. Wenn man die Differentialgleichung zweiter Ordnung d>y

I

dy\

als System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen schreibt, kann man die Methode der schrittweisen Näherung in der Form anwenden, wie sie eben angegeben wurde. Als B e i s p i e l betrachten wir die erste PAlNLEvÉsche Differentialgleichung y" = 6 «/2 - 6 χ 5 Horn — W i t t i c h , Gewöhnliche Differentialgleichungen

66

Drittes Kapitel. Numerische und graphische Näherungsmethoden

mit der Anfangsbedingung y (0) = 0, y' (0) = 1. Mit ζ (χ) = y' (χ) erhalten wir das S y s t e m d y d χ

für das die Anfangsbedingungen lauten: y (0) = 0 , ζ ( 0 ) = 1. Für das Intervall θ IG χ I S 1 wurde nach dem Verfahren v o n E U L E R - C A T J C H Y die Näherung y° (x), z° ( χ ) bestimmt. Die in Abb. 4 gezeichneten Näherungen wurden durch graphisch durchgeführte Iteration ermittelt.

Literatur: COLLATZ, L. : Numerische Behandlung von Differentialgleichungen. Berlin/Göttingen/Heidelberg. 2. Aufl., 1955.

Springer-Verlag

KAMKE, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen. Akademische Verlagsgesellschaft Leipzig 1944. SCHULZ, G. : Formelsammlung zur praktischen Mathematik. Walter de Gruyter & Co. Berlin. Sammlung Göschen, Bd. 1110. 1945. A. : Methoden der praktischen Analysis. Walter de Gruyter & Co. Berlin. 3. Aufl., 1957.

WILLERS, F .

ZURMÜHL, R. : Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker. Berlin/Göttingen/Heidelberg. 2. Aufl., 1957.

Springer-Verlag

Viertes Kapitel

Lineare Differentialgleichungen ; elementare Integrationsmethoden 17. Existenz der Lösungen linearer Differentialgleichungen Wir betrachten eine lineare Differentialgleichung η-ter Ordnung dnv

{ (xa), k = 0, 1, ..., n-1 , i=ι

das

wegen W(x„) φ 0 eindeutig lösbar nach den Unbekannten C\, ..., Cn. h(x) = y (χ) — Υ (χ) ist dann eine Lösung von (H), die den Anfangsbedingungen h (x0) = h' (x0) = ... = h f"- 1 ' (x0) = 0 genügt, also identisch Null in J, d. h. y (χ) = F (a;). Wegen dieser Eigenschaft nannte L. FUCHS ein aus η Funktionen bestehendes linear unabhängiges Lösungssystem von (H) ein Fundamentalsystem oder ein Hauptsystem. Mit der Angabe eines Fundamentalsystems ist die vollständige Integration der homogenen linearen Differentialgleichung w-ter Ordnung L(y) = 0 geleistet. Die allgemeine η Lösung y (χ) — Σθ j y j (x) enthält η freie Größen Clt...,Cn, die durch ι die Anfangsbedingungen y (a) — b, y' (a) = 6', . . . , ι/ ( η " ι ) (a) = a e J, festgelegt werden. Die Koeffizienten P,· (x) lassen sich durch ein Fundamentalsystem y¡ (χ) ausdrücken. Es gelten nämlich die η Gleichungen P„ (x) y, (χ) + Pn_, (x) y) (χ) + ...

+ Ρ, (x) yf'1'

(χ) = - y«"» (χ),

19. Lineare homogene Differentialgleichungen

71

j = 1, 2, . . . , η, für die Unbekannten P„ (x), . . . , P1 (χ). Nach der CKAMER-

schen Regel erhält man (4,6)

PA*)=

W ^ T '

«

=

1

'···'»ΐ

W„ +1_ α (χ) entsteht aus W (x) dadurch, daß man die (η + 1 — «)-te Zeile durch die Zeile (2/i(n), y 2 (n) , . . . , 2/n) ersetzt. Wird außerdem noch die Bed W (x) ziehung —; = W„ (x) beachtet, so folgt αχ W'(x) Integration ergibt

d

X

I

W{x)

x,

also (4.7)

,

W(x)=W

(x0) exp ( - / Λ ( . . . (f — ρ m) xm gilt nach (4,9), wenn wir statt ρ D° einfacher ρ schreiben, F(D) = (D -

Λ

ρι)

' ...

(D -

?m)V

Diese Beziehung bildet die Grundlage für die Integration von (4,8). Zunächst erkennt man nach (4,10"), daß jede Lösung der Differentialgleichung (D — Qj)xi y = 0 auch Lösung von (4,8) ist. Eine partikuläre Lösung von (D — ρ)λ y = 0 ist y = G e 0 1 ; im Falle λ = 1 ist es sogar die allgemeine Lösung. Zur Bestimmung der allgemeinen Lösung im Falle λ ég 2 machen wir den Ansatz y = eex • G (χ). Es gilt dann (4,11) (D - ρ)λ t/ = eex Ζ>λ G (χ), wie aus (D — ρ)λ y = (D — ρ)λ - 1 {(D — ρ) y) = = = =

(D (D (D eex

- ρ)*"1 {ρ ee*C(x) + e