Symmetrien und Erhaltungssätze der Physik [Reprint 2021 ed.] 9783112596302, 9783112596296

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Wissenschaftliche Taschenbücher

Mathematik • Physik

Symmetrien und Erhaltungssätze der Physik

Akademie-Verlag • Berlin Pergamon Press • Oxford Vieweg + Sohn • Braunschweig

wTB

Wissenschaftliche Taschenbücher

R O L F B O R S D O R F / M A N F R E D SCHOLZ

Spektroskopische Methoden in der organischen Chemie WERNER HABERDITZL

Magnetochemie GERHARD H E B E R

Mathematische Hilfsmittel der Physik, Teil I und II A. A. SOKOLOW

Elementarteilchen HEINZ AHRENS

Varianzanalyse HANS-JÜRGEN TREDER

Relativität und Kosmos Raum und Zeit in Physik, Astronomie und Kosmologie ALBERT EINSTEIN

Grundzüge der Relativitätstheorie ALBERT EINSTEIN

Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie GÜNTHER LUDWIG

Wellenmechanik. Einführung und Originaltexte H A R R Y PAUL

Lasertheorie, Teil I und II FRANZ R U D O L F K E S S L E R

Einführung in die physikalischen Grundlagen der Kernenergiegewinnung EBERHARD TEUSCHER

Pharmakognosie, Teil I und II D. TER HAAR

Quantentheorie. Einführung und Originaltexte

J H. S A N D E R S

Die Lichtgeschwindigkeit. E i n f ü h r u n g und Originaltexte JEAN KUNTZMANN

Unendliche Reihen Mathematische Hilfsmittel der Physik und Chemie Mit 94 Übungen und 29 Aufgaben JEAN

KUNTZMANN

Systeme von Differentialgleichungen Mathematische Hilfsmittel der Physik und Chemie Mit 88 Übungen und 40 Aufgaben JEAN

KUNTZMANN

Komplexe Veränderliche Mathematische Hilfsmittel der Physik und Chemie Mit 90 Übungen und 37 Aufgaben F E R D I N A N D CAP

Einführung in die Plasmaphysik I. Theoretische Grundlagen F E R D I N A N D CAP

Einführung in die Plasmaphysik II. Wellen und Instabilitäten F E R D I N A N D CAP

Einführung in die Plasmaphysik I I I . Magnetohydrodynamik J A

ROSANOW

Wahrscheinlichkeitstheorie HARRY

PFEIFER

Theorie linearer Bauelemente Elektronik für den Physiker I HARRY

PFEIFER

Die Elektronenröhre Elektronik für den Physiker I I HARRY

PFEIFER

Schaltungen mit Elektronenröhren Elektronik für den Physiker I I I

1

Schmutzer

HARRY

PFEIFER

Leitungen und Antennen Elektronik für den Physiker IV HARRY PFEIFER

Mikrowellenelektronik Elektronik für den Physiker V HARRY

PFEIFER

Halbleiterelektronik Elektronik für. den Physiker VI S I E G F R I E D HAUPTMANN"

Über den Ablauf organisch-chemischer Reaktionen G E R H A R D H Ü B N E R / KLAUS J U N G / ECKART W I N K L E R

Die Rolle des Wassers in biologischen Systemen S T E P H E N G. B R U S H

Kinetische Theorie. Teil I und II Einführung und Originaltexte EBERHARD

HOFMANN

Eiweiße und Nucleinsäuren als biologische Makromoleküle Dynamische Biochemie, Teil I EBERHARD

HOFMANN

Enzyme und energieliefernde Stoffwechselreaktionen Dynamische Biochemie, Teil II EBERHARD

HOFMANN

Intermediärstoffwechsel Dynamische Biochemie, Teil III EBERHARD

HOFMANN

Grundlagen der Molekularbiologie und Regulation des Zellstoffwechsels Dynamische Biochemie, Teil IV HERBERT

GOERING

Elementare Methoden zur Lösung von Differentialgleichungsproblemen PETER KRUMBIEGEL

Isotopieeffekte

D. M. B R I N K

Kernkräfte. Einführung und Originaltexte DIETER

ONKEN

Steroide

Zur Chemie und Anwendung HEINZ

GEILER

Ökologie der Land- und Süßwassertiere

A R T H U R P. C R A C K N E L L

Angewandte Gruppentheorie. Einführung und Originaltexte DIETER KLAUA

Elementare Axiome der Mengenlehre GÜNTER

TEMBROCK

Grundlagen der Tierpsychologie J. F. V I N S O N

Optische Kohärenz in der klassischen Theorie und in der Quantentheorie W. R. H I N D M A R S H

Atomspektren. Einführung und Originaltexte GÜNTER

TEMBROCK

Biokommunikation Informationsübertragung im biologischen Bereich Teil I und II ADOLF

ZSCHUNKE

Kernmagnetische Resonanzspektroskopie in der organischen Chemie DIETER

MERKEL

Riechstoffe JOHN

CUNNINGHAM

Vektoren GEORG

DAUTCOURT

Relativistische Astrophysik ERNST

SCHMUTZER

Symmetrien und Erhaltungssätze der Physik

Vorschau auf die nächsten Bände: MICHAEL GÖSSEL

Angewandte Automatentheorie I. Grundbegriffe MICHAEL GÖSSEL

Angewandte Automatentheorie II. Lineare Automaten und Schieberegister H E I N R I C H K I N D LEB.

Der Regelkreis. Eine Einführung

WTB Ernst

Schmutzer

Symmetrien und Erhaltungssätze der Physik Mit 1 Abbildung

AK AD E M I E - V E R LAG • B E R L I N PERGAMON P R E S S • O X F O R D IVI

VIEWEG + SOHN • BRAUNSCHWEIG

Reihe M A T H E M A T I K U N D P H Y S I K Herausgeber: Prof. D r . rer. n a t . habil. G. Heber, Dresden P r o f . D r . pliil. h a b i l . W . H o l z m ü l l e r , Leipzig P r o f . D r . p h i l . h a b i l . A . L ö s c h e , Leipzig P r o f . D r . p h i l . h a b i l . H . R e i c h a r d t , Berlin P r o f . D r phil. habil. K . Schröder, Berlin P r o f . D r . phil. habil. K . Schröter, Berlin P r o f . D r . rer. n a t . h a b i l . H . - J . T r e d e r , P o t s d a m Verfasser:

Professor

Dr. Ernst

Schmutzer

Friedrich-Schill e r - U n i v e r s i t ä t J e n a

ISBN

3 528 06075 1

1972 Alle R e c h t e v o r b e h a l t e n C o p y r i g h t 1972 b y A k a d e m i e -Verlag G m b H , 108 Berlin L i z e n z n u m m e r : 202 . 100/437/72 Gesamtherstellung: V E B D r u c k h a u s „ M a x i m Gorki", 74 Altenburg B e s t e l l n u m m e r : A k a d e m i e - V e r l a g 7615061 (7075) E S 18 B 1 P e r g a m o n P r e s s 08 017286 5 Vieweg + S o h n 6075 Printed in German Democratic Republic

Vorwort Im vorliegenden Buch wird in gedrängter Form ein Überblick über die in den physikalischen Naturgesetzen enthaltenen Symmetrien und deren Beziehungen zu den Erhaltungssätzen der Physik gegeben. Aufgedeckt wurde dieser Zusammenhang vor etwa einem halben Jahrhundert von E. N O E T H E R [ 1 ] für die kontinuierlichen Symmetrien. Erste physikalische Anwendungen gehen auf E. B E S S E L - H A G E N [2] zurück. In meiner Monographie [3] habe ich diese Art von Symmetrien ausführlich dargestellt. Hier werde ich mich auf diese Grundlage stützen. In der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie spielen darüberhinaus die diskreten Symmetrien eine hervorragende Rolle. Gerade ihnen ist es zu verdanken, daß dieses Gebiet der Theoretischen Physik in den letzten zwei Jahrzehnten hohe Aktualität, insbesondere im Zusammenhang mit dem Sturz der Erhaltung der Parität durch T . D . L E E und C . N. Y A N G [ 4 ] erlangt hat. Der hier abgesteckte Rahmen umfaßt die speziellrelativistische und allgemein-relativistische klassische Feldtheorie sowie die speziell-relativistische Quantenfeldtheorie. Da die allgemein-relativistische Quantenfeldtheorie noch im Anfangsstadium ihrer Entwicklung steht, wurde sie hier ausgeklammert. Um eine rationelle Darstellung des behandelten Stoffes zu gewährleisten, wurde vorwiegend ein deduktiver Aufbau gewählt. Deshalb erscheint die allgemein-relativistische Theorie gegenüber der speziell-relativistischen im Vordergrund. Letztere wird im wesentlichen durch Spezialisierung aus erster er gewonnen. Da bei dem vorgegebenen Umfang des Buches eine

4

Vorwort

durchgehende Deduktion nicht möglich ist, können nur die physikalischen Grundgedanken und der mathematische Leitfaden vermittelt werden. Der tiefer eindringende Leser wird auf die angegebene Literatur verwiesen, bei der es sich allerdings auch nur um ein Minimum handelt, das aber als Startpunkt für weiter gehende Studien dienen kann. Das vorliegende Bändchen ist an Studenten, Diplomanden und Doktoranden der Physik und Mathematik gerichtet. Aber auch mancher Wissenschaftler dieser Disziplinen wird es benutzen, um sich über den Stand der Wissenschaft auf diesem Gebiet zu informieren oder um auch direkte Anregungen zu erhalten. Meinem verehrten Kollegen Prof. Dr. G . W E B E R danke ich für manche interessante Diskussion. Herrn Dr. H E R L T bin ich für Kontrollrechnungen zu Dank verpflichtet. Jena, im Juni 1970

E R N S T SCHMUTZER

Inhaltsverzeichnis Einige wichtige Konventionen

8

Teil A : Klassische Feldtheorie und klassische Mechanik 1.

Kontinuierliche Symmetrien in der allgemein-relativistischen klassischen Feldtheorie

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Infinitesimale Transformationen und Variationen HAMiLTOF-Prinzip und LAGEANGE-Formalismus . NoETHER-Theorem Zerlegung des Gesamtfeldes in metrisches und metrisches Feld 1.5. ElNSTEiNsche Feldgleichungen der Gravitation . 1.6. Différentielle Erhaltungssätze 1.7. Integrale Erhaltungssätze

2.

. . . . . .

9 15 18

nicht. . .

20 26 28 37

Anwendung des NoETHER-Theorems auf die Mechanik und Feldtheorie

2.1. Nichtrelativistische Punktmechanik 51 2.2. Relativistische Punktmechanik 59 2.3. System Gravitationsfeld, MAXWELL-Feld und KLEINGORDON-Feld 62 2.4. System Gravitationsfeld, MAXWELL-Feld und DIRACFeld 67 3.

Kontinuierliche Symmetrien in der schen klassischen Feldtheorie

speziell-relativisti-

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Eigentliche (kontinuierliche) LoRENTZ-Transformationen NoETHER-Theorem Différentielle Erhaltungssätze Integrale Erhaltungssätze Anwendung auf physikalische Felder

70 73 75 79 84

6 4.

Inhaltsverzeichnis Diskrete Symmetrien in der klassischen Feldtheorie und Mechanik

4.1. Uneigentliche (diskrete) LoRENTZ-Transformationen . . 4.2. Anwendung auf physikalische Felder und die Mechanik

88 90

Teil B: Quantenfeldtheorie und Quantenmechanik 5.

Kontinuierliche Symmetrien in der speziell-relativistischen Quäntenfeldtheorie und nichtrelativistischen Quantenmechanik

5.1. Klassische Feldtheorie und Quantenfeldtheorie . . . . 5.2. LAGEANßE-Formalismus, NoETHER-Theorem, différentielle und integrale Erhaltungssätze 5.3. Endliche unitäre Transformationen . . 5.4. Infinitesimale unitäre Transformationen 5.5. Auswertung der infinitesimalen unitären Transformationen für die Feldoperatoren und Herleitung von Vertauschungsregeln für die Erhaltungsgrößen 5.6. Anwendung auf physikalische Felder und die Quantenmechanik

101 104 108 111 115 118

6.

Diskrete Symmetrien in der nichtrelativistischen Quantenmechanik und in der speziell-relativistischen Quantenfeldtheorie

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Allgemeine Theorie 124 Quantenmechanik 127 Quantenfeldtheorie 139 System MAXWBLL-Feld und KLEIN-GOEDON-Feld . . . 1 4 2 System MAXWELL-Feld und DiRAC-Feld 151

6.6. P T C - T h e o r e m v o n PAULI u n d LÜDEKS

. 156

Literaturverzeichnis

161

Sachverzeichnis

163

Einige wichtige Konventionen 1. Kleine griechische Indizes laufen von 1 bis 3 (räumliche Dimensionen). 2. Kleine lateinische Indizes laufen von 1 bis 4 (RaumZeit). 3. 0 und E laufen von 1 bis N (Anzahl der unabhängigen Feldfunktionen). 4. ü, r, A laufen von 1 bis N (Anzahl der nichtmetrischen Feldfunktionen). Auf doppelte Indizes, von denen einer kovarianten und einer kontravarianten Charakter besitzt, wird die EINS T E i N s c h e Summenkonvention angewendet.

Teil A. Klassische Feldtheorie und klassische Mechanik 1. Kontinuierliche Symmetrien in der allgemeinrelativistischen klassischen Feldtheorie 1.1. Infinitesimale

Transformationen und Variationen

Wir betrachten ein System von klassischen Feldern, im allgemeinen bestehend aus verschiedenen Feldarten, das durch den Satz (Ve) = (V1, V2, ...,

VB)

von N voneinander unabhängigen Feldfunktionen Vß (xa) beschrieben werden möge. Diese Feldfunktionen seien geometrische Objekte, also z. B. Tensoren, Spinoren, Bispinoren, und besitzen deshalb bei Koordinatentransformationen ein bestimmtes Transformationsverhalten. Der das Gravitationsfeld beschreibende metrische Tensor gab sei ausdrücklich in diesen Satz von Feldfunktionen hier mit einbezogen. Für das gesamte Buch legen wir fest: Kleine lateinische Indizes durchlaufen von 1 bis 4 die Dimensionen von Raum und Zeit, kleine griechische Indizes durchlaufen von 1 bis 3 die rein räumlichen Dimensionen. Auf doppelt auftretende Indizes, von denen der eine koVarianten und der andere kontravarianten Charakter besitzt, wird die E i N S T E i N s c h e Summenkonvention angewandt. In sinnentsprechender Form wenden wir letztere auch auf die Indizes der Feldfunktionen an. Dabei durchläuft die Summation die jeweilige Anzahl der Feldfunktionen. Die hier vorgesehenen Indizes 0 und E mögen von 1 bis N laufen. In diesem Abschnitt befassen wir uns mit zwei verschiedenen, nicht miteinander verkoppelten Arten von Transformationen, nämlich erstens mit den Koordinatentransformationen, die in wohl definierter Weise Transformationen der geometrischen Objekte (Feldfunktionen)

10

Teil A: Klassische Feldtheorie und klassische Mechanik

nach sich ziehen, und zweitens mit den Funktionaltransformationen, die eine Abänderung der Funktionsstruktur beinhalten. Aus diesem Grunde haben wir diesen Begriff als Oberbegriff für Eichtransformationen, Phasentransformationen usw. eingeführt. Koordinatentransformationen werden wir durch Striche an den Indizes und Funktionaltransformationen durch Tilden über dem Grand Symbol kennzeichnen. Zuerst beschäftigen wir uns mit den Koordinatentransformationen: Unter einer infinitesimalen Koordinatentransformation verstehen wir eine durch die Beziehung X"'

=

x°

+

£ a(x b)

(1.1.1)

beschriebene infinitesimale Abänderung des Koordinatensystems, die selbst von R a u m und Zeit abhängen kann. Eine Koordinatentransformation möge einfach eine Änderung von Namen oder Marken sein, das physikalische Objekt dabei aber unbeeinflußt lassen. Gemäß den Transformationsformeln für die geometrischen Objekte ziehen diese Transformationen die Beziehung V0>(x°') = V0(xa) + AsVe

(1.1.2)

für die geometrischen Objekte nach sich. Dabei heißen die Größen Ac V$ substantielle Variationen. Sinngemäß gilt für die Ableitungen Vf.A^')

=

ASVOJ.

Hier wie im folgenden soll ein Komma die partielle Ableitung nach der entsprechenden Koordinate bezeichnen. Aus (.1.1.1) resultiert für die Transformationsmatrizen von Tensoren Aam' = 9am + Zm,a, m

m

Aa'm = gam -

(1.1.3)

Dabei ist ga = da der KRONECKER-Tensor. Die Operation der substantiellen Variationen ist mit

1.1. Infinitesimale Transformationen und Variationen

11

der Operation der partiellen Ableitung nicht vertausch bar. Eine derartige Vertauschbarkeit gewährleistet aber an Stelle der substantiellen Variation die lokale Variation: AlVO

= A,Vt

-

Vo,a

AiVo.a

= AsF„.a

-

V,.a,b (1.1.4)

deren negativer Wert als Lmsches ist: Acg Vä =

-

Differential

Al

bekannt

V0.

Für die anschauliche Deutung ist die folgende Identität für die lokale Variation von Nutzen: AiVe=

V0'(x°)

-

Ve(x").

Wir führen nun die Funktionalvariation ein: Im oben dargelegten Sinne ist sie durch die Gleichung =

Ve(x")

+

+ e') -X(Vt,

Vo,a,x").

Durch TAYLOR-Entwicklung resultiert bei Beachtung der Tatsache, daß im Infinitesimalkalkül Größen höherer als 1. Ordnung vernachlässigbar sind, das Ergebnis

AI

dl AVe Wo

/81'

-AV, 8 V,0. a

)

/expl

Das Zeichen „expl" kennzeichnet die explizite Differentation nach den Koordinaten. Eliminiert man die totalen Variationen mittels (1.1.6) und (1.1.4), so folgt bei Verwendung der Variationsableitungen

öl JTe

8V e

die neue Form

AI = -jrrSVe + o Vo

81 8 V,O.a/.a

81 SV e 8 VO.a 81

~t"" ' 0, m (-) \dx ),expl 8 Vr, m

81 AiVe 8 VO.a

o TT-

dl Jv6

ALVO

81 Vo 8 VO.a

(1.1.8)

1.1. Infinitesimale Transformationen und Variationen

13

Bei Benutzung der Identität

+

S^/expi

WeVB'm

+

Ve a

' -m

und der Abkürzung =

(1.1.9) oVe.a

resultiert schließlich AX = £LöV,+ O Vg

[77«» ó Vela

+ ^ - ( A

o v6

+

s

[WA,Vt

V

0

V6,m$m)

-

+ tm(2gma

-

n°*Ve,m)],a.

(1.1.10)

Unsere weiteren Überlegungen beziehen sich auf das das als invariantes 4-dimensionales Integral über einen herausgegriffenen Raum-Zeit-Bereich F 4 folgendermaßen definiert ist: Wirkungsintegral,

W

= 1 J

AdWf

= ^

vt 4

j

(1.1.11)

JfdWx.

vt 4

Dabei ist d / = fg dv,dfa=0. (1.2.5) d f a als Dual-

1.2. HAMILTON-Prinzip und LAGRANGE-Formalismus

tensor des Tensors des Maschenelements definiert: dfa =

17

d Vl'k wie folgt

Saükd V*'k.

(1.2.6)

Der LEVI-CiviTAScAe Pseudotensor eaijk ist mit dem LEVIOiviTA-Symbol Aaijk durch die Beziehung verbunden. Wegen (1.2.2) verschwindet das Oberflächenintegral in ( 1 . 2 . 5 ) , so d a ß d a s HAMILTON-Prinzip die G e s t a l t

bekommt. Notwendige Bedingung für das Verschwinden dieses Integrals ist die Erfüllung der LAG RANG E - Ze i chungen (1.2.7)

die als Feldgleichungen fungieren. Es ist interessant zu bemerken, daß die Addition einer Größe von der Struktur einer gewöhnlichen Divergenz zur LAGRANGE-Funktion die Feldgleichungen nicht verändert, wenn die aus der Gleichung X (Ve, Fil0,

= X (Ve, Ve,a, *>) -

(1.2.8)

abzulesende Größe Üa die Funktionalstruktur Q° =ß°(F«,

Ve.i,,x»)

besitzt. Es läßt sich nämlich durch direkte Ausrechnung zeigen, daß die Gleichung öß" ^= 0 SV,

(1.2.9)

18

Teil A: Klassische Feldtheorie und klassische Mechanik

gilt. Damit folgt dann dI

_

81

W e ~ W

1.3.

e

~

"

Noether-Theorem

Abweichend von der ursprünglichen Darstellungsweise durch E . N O E T H E R [ 1 ] , die dieses Theorem abstrakt gruppentheoretisch abgehandelt hat, schneiden wir hier den mathematischen Apparat bewußt auf die physikalischen Bedürfnisse zu. Ein grundlegender Begriff der N o E T H E R s c h e n Theorie ist der Begriff der Symmetrietransformation. Wir wollen darunter eine Transformation, im allgemeinen vom Charakter einer Koordinatentransformation und einer Funktionaltransformation, verstehen, für die eine vorgegebene LAGRANGE-Dichte A die Eigenschaft A(Ve', Vr.a', x"') f§ = A(Ve,

V,.a, x?)

-

0%

(1.3.1)

besitzt, wobei 0" eine Tensordichte 1. Stufe sein soll, die die Funktionalstruktur &«

=&°(Ve,Ve,xa)

haben möge. Abgesehen vom Divergenzglied und dem metrischen Einfluß läuft eine Symmetrietransformation also auf die Forminvarianz der LAGRANGE-Dichte hinaus. Multiplizieren wir (1.3.1) mit d ^ x durch und beachten wir die Umrechnungsformel j/0 d^x

= Vr

d^x',

so resultiert durch Integration über F 4 /Z(Ve',

F4

Ve'.a',xa')

d^x'

= f J?(Ve, Ve,a,x") Vi - / ßa,ad^x. y.

d^x

19

1.3. NoETHER-Theorem

Da nach Voraussetzung eine Tensordichte 1. Stufe sein sollte, so läßt sich das letzte Glied nach dem GAUSSschen Satz in kovarianter Weise in ein Oberflächenintegral umwandeln. Weil nun auf der Oberfläche von F 4 die Feldfunktionen gemäß dem HAMILTON-Prinzip festgehalten werden, so resultiert 5 / I(Vä>,V0'.a',za')

F,. a i a»)d(« > z = 0 .

dWz' = df l{Ve,

V,

V,

Die Konsequenz davon ist die Forminvarianz der Feldgleichungen gegen Symmetrietransformationen:

0

1Tt7~ "Ot

oUq + >m -

dUa namsat

+ vr,a]

+

vt(ma)

= o

(1.4.7) annimmt. Dabei bedeuten die runden Klammern um Indizes die symmetrischen BACHSchen Klammern, also die symmetrischen Anteile. Wegen der Unabhängigkeit

1.4. Zerlegung des Gesamtfeldes

der

23

und deren Ableitungen folgt daraus

\v? + &g? - nnasat \ -

+ ^ s oUD

a

f

t

ur + 2

+ Sai)

T — 9mn,t - Tjf~ Wo.t ou q ogmn

g \ J >a

ögma

= 0,

(1.4.8)

v r + &9tm - n ° " s o t + v r , a = o,

(1.4.9)

7/ j (mo) = 0

(1.4.10)

Durch Differentiation von (1.4.6a) resultiert

ffi"+(£L.-«i^-reib*»--0-

{iW)

während aus (1.4.10) vr.m.a= 0

(1.4.12)

hervorgeht. Weiter folgt durch Differentiation (1.4.9) und Vergleich mit (1.4.12) die Beziehung (vr

+ e>g,m - namsn).m

= o.

von

(1.4.13)

Durch Elimination von &,t aus (1.4.11) und (1.4.13) ergibt sich

Schließlich finden wir aus (1.4.8) und (1.4.13) das Resultat [ öl 1 TFT l o Ua

at

dZ \ dl Ur + ^ rz 9mt\ ~~~ 7~ ogma J >0 ogmn X (Ua,t

+ Sat)

=0.

öI 9mn,t — TTT d UQ (1.4.15)

24

Teil A : Klassische Feldtheorie und klassische Mechanik

Der Gleichung (1.4.12) können wir bei Verwendung der Definition c

=

(vtb

-

n""8nt

+

>»)

X« +

Vt»"

(1.4.16)

die interessante Form Jt t b a , b -= 0

(1.4.17)

geben. Damit haben wir den Inhalt der NoETHERschen Identität (1.4.3) ausgeschöpft. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Formeln (1.4.13) und (1.4.17), da sie die Gestalt differentieller Erhaltungssätze in Form gewöhnlicher (nicht kovarianter) Divergenzen besitzen. Man nennt Erhaltungssätze dieser Art sogenannte starke Erhaltungssätze, da das Verschwinden der gewöhnlichen Divergenzen alleinige Folge der Symmetrieeigenschaften der LAGRANGE-Funktion ist. I m Unterschied dazu hat Gleichung (1.4.8) die Struktur eines sogenannten schwachen Erhaltungssatzes, da in diesem Fall erst durch Erfüllung der Feldgleichungen, d. h. durch Nullsetzen der Variationsableitungen, ein verschwindender Divergenzausdruck zu stehen kommt. Von eigentlicher physikalischer Bedeutung erweisen sich im allgemeinen die schwachen Erhaltungssätze. Schließlich erwähnen wir noch, daß die Größen Vtam Superpotentiale genannt werden, da sich im Sinne der Beziehung (1.4.9) daraus durch Differentiation die Größen V t m gewinnen lassen, die, wie die nachfolgenden physikalischen Anwendungen zeigen, mit dem EnergieImpuls-Komplex verknüpft sind. Es empfiehlt sich an dieser Stelle noch, die Aufspaltung der LAGRANGE-Dichte bzw. LAGRANGE-Funktion in einen rein gravitativen (metrischen) Anteil und einen nichtmetrischen Restanteil aufzuspalten: G

U

A = A + A

C,

bzw.

1 = 1

V

+

1.

(1.4.18)

1.4. Zerlegung des Gesamtfeldes

Dabei ist

G G 1 = A yg

25

U .U _ 1 = A y'g .

und

Für die eben eingeführten Funktionen mögen folgende Funktionalstrukturen zugelassen werden: G A = A(gmn,

G gmn,a,xa),

U ü A = A{UQ,

Ua.a, gmn, gmn_a,

xa).

Unter diesen Umständen folgen aus (1.2.7) die metrischen Feldgleichungen G G 81 /( 31 81 \\, öl dl81 I 81 dg mn

8g dgmn mn u 81 + ö dgmn

\^9mn,aJ ,a \dgmn,a)'.a 1 81 U Vgmn.a,

d

gmn

=0

(1.4.19)

und die nichtmetrischen Feldgleichungen dl 6Ua Sinngemäß

u öl 6 UQ

spaltet

1

Ya = — nmnadgmn 1Ig

/

sich (1.2.4) in Ya

mit G

u 81 8Uq G = Ya +

und

t u dl \8VQ,a

= 0 . (1.4.20)

der.Form V Ya

U l ü Ya = — nQaÖUß lg

(1.4.21) (1.4.22)

auf. Wegen der Unabhängigkeit dieser beiden Anteile haben wir für jeden in Fortführung unserer früheren Forderung Tensorcharakter zu postulieren, falls wir auf einem allgemein-kovarianten HAMiLTON-Prinzip bestehen u wollen. Da die LAGRANGE-Dichten A der physikalisch bedeutsamen Felder von sich aus bei Koordinatentransformationen Invarianten sind, so ist unsere Forderung

26

Teil A : Klassische Feldtheorie und klassische Mechanik U

G

für Y" von selbst erfüllt. Die Situation für Ya muß besonders untersucht werden.

1.5. Einsteinsche Feldgleichungen der Gravitation Die allgemeine Form der gravitativen (metrischen) Feldgleichungen haben wir in (1.4.19) in Gestalt von Lagrange-Gleichungen stehen. Es taucht nun die Frage auf, wann diese Gleichungen mit den EiNSTEiN-CrteicAwwgen Rkl-^gklR

= *Tkl

(1.5.1)

identisch werden. Dabei sind

Rkl

im] im) f a 1 im 1 falim) = \ km], ~ \kl\,m + \km]\al] ~ \kl]\am]

(L6'2)

der Ricci-Tensor, R=Rmm

(1-5.3)

die Krümmungsinvariante, Tki der symmetrische EnergieImpuls-Tensor der Materie und * = ^ I f = 2,08 • 10-48 g-1 cm-1 s2 c

(1.5.4)

die EnsrsTEiN.se/ie Gravitationskonstante. In der letzten Formel bedeutet c — 3 • 1010 cm s_1 die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit,-wählend yN = • 6,67 • 10-8 cm3 - g ^ s - 2 die NEWTONscÄe Gravitationskonstante ist. In Gleichung (1.5.2) wurden die CHRiSTOFFEL-$f/m&oZe k 1

nü

1 =

2 9 " a ^am+

9la-m

benutzt. Die Rechnung ergibt im einzelnen, daß zwei in der Literatur näher untersuchte gravitative L a g r a n g e -

27

1.5. EiNSTEiNsehe Feldgleichungen der Gravitation

Dichten von (1.4.19) auf (1.5.1) führen: Die erste hat die Gestalt A = —— R

(kovariante Version)

(1.5.6)

Bis auf einen Dimensionsfaktor ist diese LAGRANGE Dichte mit der Krümmungsinvarianten identisch. Die LAGRANGE-Dichte wird damit eine LAGRANGE-Dichte 2. Ordnung, d. h. sie enthält zweite Ableitungen des metrischen Tensors. Sie fällt deshalb aus dem Rahmen unserer Betrachtungen. Die Untersuchungen ergeben im einzelnen [3], daß der darauf aufgebaute Energie-ImpulsKomplex physikalisch nicht befriedigend ist. Obwohl in diesem Fall das HAMILTON-Prinzip allgemein-kovarianten Charakter besitzt und dadurch die in der Allgemeinen Relativitätstheorie besonders hervorgehobene Wertlegung auf die allgemeine Kovarianz auch in dieser Hinsicht unterstrichen wird, bewährt sich diese LAGRANGEDichte an entscheidenden Stellen nicht, wie C. MOLLER ausführlich gezeigt hat [5]. In der EnsrsTEiNschen Version besitzt die LAGRANGEDichte die Gestalt (1.5.7) Dabei geht die Definition von WR aus den folgenden Gleichungen hervor: R =(Q)R + WR = V»R - (Q)R,

»wTO-ltO

(1.5.8)

-

(1 59) (1.5.10)

(1.5.11)

28

Teil A : Klassische Feldtheorie und klassische Mechanik

Die Indizes ,,Q" bzw. ,,L" haben wir angebracht, um anzudeuten, daß es sich um quadratische bzw. lineare Ausdrücke in den CHRiSTOFFEL-Symbolen resp. deren Ableitungen handelt. Der Index „D" soll darauf hinweisen, daß dieser Ausdruck divergenzartig ist. Daß beide angegebenen Lagbange-Dichten auf die EiNSTEiN-Gleichungen führen, geht daraus hervor, daß gemäß (1.2.9) ¿

K

i g )

= o

wird, so daß à{R

ifr)

=

_

ö K ß j / ^ )

^ (Jmn

3

9mn

gilt. Im einzelnen liefert nun die Rechnung [3] das Ergebnis ¿(wjgyg) àÇmn

= v?

R"

— q y

2

R

w n

(1.5.12)

Gehen wir damit in (1.4.19) ein, so finden wir durch Vergleich mit (1.5.1) die Beziehung fjpmn

_2_ f g

für den

1.6.

ÔÏ ôÇmn

symmetrischen

Différentielle

_

_2 tfg

G Ô X àgm„

(1.5.13)

Energie-Impuls-Tensor.

Erhaltungssätze

Unter einem differentiellen Erhaltungssatz verstehen wir eine mit partiellen Ableitungen geschriebene Kontinuitätsgleichung der Struktur = o.

Auf die Benutzung der partiellen Ableitung statt der kovarianten wird wegen des Überganges zur integralen

29

1.6. Différentielle Erhaltungssätze

Formulierung besonderer Wert gelegt. Würde statt der partiellen Ableitung die kovariante stehen, so würde dieser Übergang nicht gelingen. u Da, wie bereits erwähnt, die LAGRANGE-Dichte A des nichtmetrischen Feldes eine Invariante gegenüber Koordinatentransformationen sein soll, so gelten für sie uneingeschränkt alle in Abschnitt 1.4 hergeleiteten Beziehungen. Die wichtigsten schreiben wir in dieser Spezialisierung hier auf: Da die praktisch vorkommenden LAGRANGE-Dichten nicht explizit von den Koordinaten abhängen, resultiert

S) e x p l = 0

u n d

0

=

a-6- 1 )

0

Die Abkürzungen (1.4.6a) und (1.4.6b) erhalten bei Be= T FG) nutzung von (1.5.13) und (1.4.20) die Form {% TA

Ü

U

Vt° = Xgt•

T A

u

U

- N^Usj

F)=0. 3 Schmutzer

=0,

(1.6.3) (i.6.4) (1.6.5)

30

Teil A : Klassische Feldtheorie und klassische Mechanik

Die Relation (1.4.11) ist identisch erfüllt. Die Formel (1.4.12) bekommt die Gestalt m a

V t

0,

. m , a =

(1-6.6)

und aus (1.4.13) bzw. (1.4.14) geht V«».»= 0

(1.6.7)

hervor. Weiter läßt sich mittels (1.5.13) die Beziehung (1.4.15) als -

^mn9mn.a = 0

(1.6.8)

schreiben, während (1.4.16) und (1.4.17) die Gestalt U M

t

V b

a

u

=

V t

b

x "

+

V

t

b a

(1.6.9)

und u

Jltbaib = 0

(1.6.10) bekommen. Wesentlich anders ist nun die Situation bei der Anwendung des NoETHER-Theorems auf die L A G R A N G E ü

G

Dichte A = A + A für das Gesamtfeld unter Benutzung der EiNSTEiNschen LAGRANGE-Dichte für das Gravitationsfeld, da sich dann A wegen des nichtinvarianten G

Charakters von A nur bei linearen Transformationen wie eine Invariante verhält. Unter diesen Umständen müssen wir an die volle Beziehung (1.4.7) anknüpfen und erhalten daraus woraus

W ,

0

+ ? . j y r + v r . a ] = o, V f . a

=0

(1.6.12)

und v

t

«

=

-

v r

(l.e.ii)

a

,

m

(1.6.13)

1.6. Differentielle Erhaltungssätze

31

hervorgeht. Die beiden letzten Formeln haben V t ma . m .a = 0

(1.6.14)

zu Folge. In Anlehnung an (1.4.16) schreiben wir hier J l ?

=

a

V ? x

+

a

Vt

b a

(1.6.15)

.

Für diese Größe gilt analog zu (1.4.17) Jttba,b=0.

(1.6.16)

Die kanonischen Energiekomplexe des metrischen und nichtmetrischen Feldes sind wie folgt definiert: G 0 )%

(can a

d l

=

V ü

=

8 1 - j -

G

^

_ je g a >

(1 ß

1?)

ü U a j

+

d i - ^ — - g

Ö^ß.a

u m n

,

-

t

? g

t a

.

(1.6.18)

vQmn.a

Sinngemäß gilt für das Gesamtfeld G

(caiD^a ^ (can)£(a

V

(can)^

(1.6.19)

Damit schreibt sich dann (1.4.6a) als ya so daß (1.6.12) in

=

_(can)£ ((i)

(can)2;(ao=0

(1.6.20) (1.6.21)

übergeht. Der Vollständigkeit halber geben wir auch noch die Relationen wieder, die durch Spezialisierung der eben abgeleiteten Formeln für den Fall G A - > A

3*

32

Teil A : Klassische Feldtheorie und klassische Mechanik

resultieren. Wir werden dabei auf die Definitionen Vt'

dl

= Xgf =

G

G bX " 1 9mt og ma

dQmn.a

- ( V

«^st,0),

+

0 V am

t

= -

2

(1.6.22)

G 81

— 0«. ^9mn,a

(1.6 23)

und ltba = Vt»xa + V

(1.6.24)

geführt, für die die Formeln Vt% = - ( V + ß vtm

=

7/ u im

t

xl

( A (mathematischer Parameter) bzw. xm —> < [ r (Eigenzeit).

60

Teil A : Klassische Feldtheorie und klassische Mechanik

Das HAMILTON-Prinzip besitzt die Form (Punkt bedeutet in diesem Abschnitt totale Ableitung nach X) ö fL(x\

x*) dX=ò

f i (x\ Pi \

'

dr = 0 .

(2.2.1)

Dabei sind die Punkte Px und P2 feste Punkte in der Raum-Zeit. Die hAGRA'NGE-Gleichungen haben die Gestalt =

òxi

=

dtf

q

( 2 2 2

dX dx' '

K

' ' '

wenn X als Parameter fungiert bzw. [3] 01 _ di ~öxi ~ Jxi

d i dr '

dl 1 / dl dx* \ dxj ( d x > c 5 ( TJdsÄ ~dr ~~ ) ~dr

je\gmn'>

dr

dr

~

0 ,

(2.2.3) wenn r Parameter ist. Der kanonische durch 3L . dx*

dl Jdx*\^ 8[dr t

+

Viererimpuls

1 / dl dx>v\dr ¡dot?\ c22 | Jdx

ist

\ dzj I dr

definiert. Im Falle eines elektrisch geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld ist 6 1 = -m0c2 + - A c

m

dxm — ar

(2.2.5)

(m0 Ruhmasse des Teilchens, e elektrische Ladung, Am Viererpotential). Der kanonische Viererimpuls nimmt

61

2.2. Relativistische Punktmechanik dann die Gestalt dx; e . Vi = m0 — -f - Ai dT c an, während die LAGRANGE-Gleichung Bewegungsgleichung m„

d2Xi

dxm •ti dr ~J

dxn ~J dt

=

—

c

Bi