Analysis und mathematische Physik [Reprint 2022 ed.] 9783112618967, 9783112618950

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Hans Triebel

Analysis und mathematische Physik

m

LEIPZIG

B S B B. G. Teubner Verlagsgesellschaft 1981

© B S B B . G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1981 V L J i 294-375/64/81 • L S V 1034 L e k t o r : Dorothea Ziegler Printed in the German Democratic Republic Gesamtherstellung: I V / 2 / 1 4 V E B Druckerei »Gottfried Wilhelm Leibniz«, 4 4 5 0 Gräfenhainichen • 5689 Bestell-Nr. 666 044 2

DDR

59,-

M

Vorwort

Von 1974 bis 1979 h a t t e ich a n der Friedrich-Schiller-Universität in J e n a die sicherlich nicht alltägliche Gelegenheit, einen durchgehenden lOsemestrigen K u r s f ü r M a t h e m a t i k s t u d e n t e n zu lesen. E n t s p r e c h e n d dem Studienplan h a t t e n diese Vorlesungen verschiedene N a m e n (Differential- u n d Integralrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen usw.), I n h a l t u n d Zielstellung werden aber wohl a m besten durch „Analysis u n d m a t h e m a t i s c h e P h y s i k " ausgedrückt. D a s B u c h ist das erweiterte Skelett dieses Kurses. Skelett insofern, als auf Beweise weitgehend verzichtet wurde (im Gegensatz zu großen Teilen der Vorlesung). Andererseits wurden die Kapitel 27, 32 u n d 33 nachträglich eingefügt. Das Ziel des Kurses ist klar, wenn man einen Blick in das Inhaltsverzeichnis dieses Buches w i r f t : Einerseits h a t die M a t h e m a t i k großartige, elegante, in sich geschlossene Theorien entwickelt, die keiner weiteren R e c h t f e r t i g u n g b e d ü r f e n . Andererseits sind es o f t gerade die schönsten dieser Theorien, die zugleich das F u n d a m e n t bilden, auf d e m klassische u n d moderne theoretische Physik ruhen. E s war das Ziel, nicht n u r diese F u n d a m e n t e zu beschreiben, sondern a u c h einen E i n d r u c k von den Gebäuden zu vermitteln, die über ihnen errichtet werden können. Getreu d e m Hilbertschen Ideal werden hierbei m a t h e m a t i s c h e Theorien u n d ihre physikalischen I n t e r p r e t a t i o n e n u n d Anwendungen säuberlich g e t r e n n t . D a s B u c h wendet sich an Mathematiker, Physiker u n d S t u d e n t e n der M a t h e m a tik u n d der Physik. Insbesondere die M a t h e m a t i k k a p i t e l sind so abgefaßt, d a ß sie auch als Nachschlagewerk dienen können. M a t h e m a t i k e r finden die Darstellung von Prinzipien der klassischen u n d modernen theoretischen Physik in einer ihnen geläufigen Sprache. Durch die zusammenfassende Beschreibung einiger m a t h e m a tischer Grundlagen klassischer u n d moderner theoretischer Physik h o f f t das B u c h , auch f ü r P h y s i k e r nützlich zu sein. I n jüngster Zeit h a t eine W i e d e r a n n ä h e r u n g zwischen theoretischer P h y s i k u n d M a t h e m a t i k s t a t t g e f u n d e n . D a s Buch möchte f ü r diesen T r e n d werben: bei Mathematikern u n d Physikern, insbesondere aber bei den S t u d e n t e n beider Richtungen. Nachdem gesagt wurde, was das Buch eventuell leisten k a n n , soll noch e r w ä h n t werden, wozu es nicht in der Lage ist. E s ist weder ein L e h r b u c h , noch eine S a m m lung kurzer Monographien. E i n e m M a t h e m a t i k s t u d e n t e n bleibt es nicht erspart, sich in entsprechenden L e h r b ü c h e r n Zeile f ü r Zeile durch die Beweise jener Sätze zu k ä m p f e n , die hier n u r formuliert und k o m m e n t i e r t werden. Manche Passagen dieses Buches erfüllen ihren Zweck, wenn sie den Appetit anregen. W e i t e r f ü h r e n d e Details und Beweise müssen in der angegebenen L i t e r a t u r nachgelesen werden. Auf eine Eigenheit soll noch hingewiesen werden, die d a m i t z u s a m m e n h ä n g t , d a ß auch ein lOsemestriger K u r s methodische Rücksichten zu n e h m e n h a t . (Die Vorlesungen waren bis z u m 5. Semester, d e m entspricht K a p . 19, obligatorisch f ü r alle S t u d e n t e n des betreffenden Studienjahres, später n u r noch f ü r die Analysisspezialisten. Der Schluß war f a k u l t a t i v . ) Manche Gegenstände erscheinen m e h r f a c h in sich steigernden A b s t r a k t i o n s s t u f e n . Hier ein Beispiel: K a p . 19 e n t h ä l t die klassischen Grundlagen der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, ohne Schnörkel und modernes Beiwerk. W e r m e h r wissen will, m u ß auch mehr investieren! N a c h d e m die Theorie der Distributionen dargelegt wurde, werden auf dieser

4

Vorwort

Grundlage in Kap. 23 nochmals partielle Differentialgleichungen behandelt. Schließlich wird die Wellengleichung in gekrümmten Raum-Zeiten in Kap. 33 untersucht. Die Basis hierfür sind die vorangehenden Geometriekapitel 29 und 32. Ein Blick in das Inhaltsverzeichnis zeigt, daß es weitere Ketten dieser Art gibt, so etwa die stufenweise Entwicklung des Integralbegriffs oder die Kapitel über Tensoren, Formen und Differentialgeometrie. Es war ein Prinzip dieses Kurses, einerseits die dargestellten Gebiete der Mathematik exakt und (nach Möglichkeit) lückenlos zu entwickeln, andererseits aber nur jenen Allgemeinheitsgrad anzustreben, der zum Verständnis der nachfolgenden Physikkapitel unbedingt notwendig ist. Mitunter wird inhaltlichen (anschaulichen bildhaft-geometrischen) Argumenten der Vorzug vor formal-logischen Schlüssen gegeben. Das ist nicht nur eine Zeit- und Platzfrage, sondern auch eine Angelegenheit des persönlichen Geschmacks. Der Kurs überstreicht ein relativ weites Feld, und es ist fast selbstverständlich, daß der Verfasser an vielen Stellen keine Darstellungen aus eigener Kraft hat geben können, die Anspruch auf Orginalität erheben könnten. Viele Kapitel sind die aufbereitete Wiedergabe entsprechender Monographien. Das beginnt bereits mit den Kapiteln 13 und 14, die in enger Anlehnung an P. R. Haimos ([15]) gelesen und geschrieben wurden. Weitere Beispiele sind Kap. 32/33 (F. G. Friedlander, [9]), Kap. 34 ( Y . - C . Lu, [27]) und Kap. 28 ([43]). A m Ende des Buches findet man Literaturangaben und Literaturhinweise. Sie dienen als Quellenangaben, aber auch als Empfehlungen für weitere Vertiefungen. Die Bücher ab Nummer [53] und die diesbezüglichen Stellen im Text wurden erst später eingefügt. Schließlich möchte ich der Teubner Verlagsgesellschaft in Leipzig und insbesondere Frau Ziegler für harmonische Zusammenarbeit danken. Jena, Herbst 1979

Hans Triebel

Inhalt

1.

Zahlen und B ä u m e 2 2

1.1.

Reelle Zahlen 22

1.1.1.

Zahlsysteme 22

1.1.2.

Abstand und Vollständigkeitsaxiom 23

1.2.

Komplexe Zahlen 23

1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.3.

Definitionen 23 Eigenschaften 24 Konjugierte Elemente, Subtraktion und Division 24 Normaldarstellung 25 R„, Cn und metrische Räume 26

1.3.1. 1.3.2. 1.3.3.

Der »-dimensionale reelle Raum En 26 Der «-dimensionale komplexe Raum Cn 26 Der metrische Raum 27

2.

K o n v e r g e n z und Stetigkeit 2 8

2.1.

Folgen 28

2.1.1. 2.1.2.

Infimum, Supremum und Limes 28 Eigenschaften konvergenter Folgen 29

2.1.3.

Beispiele 29

2.2.

Reihen 30

2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.3.

Konvergenz und Divergenz 30 Beispiele 31 Konvergenzkriterien 31 Umordnungen, Multiplikationen und Additionen 32 Reelle Funktionen im R\ 33

2.3.1. 2.3.2.

Definition 33 Eigenschaften stetiger Funktionen 35

2.4.

Stetige Abbildungen in metrischen Räumen 36

2.4.1. 2.4.2. 2.4.3.

Definition 36 Beispiele 36 Reelle stetige Funktionen im R n 37

2.5.

Vollständige metrische Räume 38

2.5.1. 2.5.2. 2.5.3.

Definitionen 38 Der R a u m C [a, 6] 38 Der Banachsche Fixpunktsatz 39

6

Inhalt

3.

Differential- und Integralrechnung im

3.1.

Differentiation 40

3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.1.5. 3.1.6.

Definitionen 40 Regeln 41 Beispiele (Rationale Funktionen) 41 Umkehrfunktionen 42 Mittelwertsätze 42 Ableitungen höherer Ordnung, Ableitungen komplexer Funktionen 43

3.2.

Integration reeller Funktionen 44

3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. 3.2.5. 3.2.6.

Definition des Riemannschen Integrals 44 Eigenschaften 45 Vertauschbarkeit von Limes und Integration 45 Beispiele und Gegenbeispiele integrierbarer Funktionen 46 S t a m m f u n k t i o n e n 46 Integraloperatoren 47

4.

Gewöhnliche Differentialgleichungen (Existenz- und Unitätssätze) 49

4.1.

Anfangswertprobleme 49

4.1.1.

Die Differentialgleichung f(n\x)

4.1.2.

Problemstellung 49

4.2.

Existenz- und Unitätssätze 50

4.2.1. 4.2.2. 4.2.3.

Systeme erster Ordnungn-ter 50 Ordnung 50 Differentialgleichungen Lokale Existenz- und Unitätssätze 51

5.

Elementare Funktionen und Potenzreihen 51

5.1.

Exponentialfunktionen und Fotenzfunktionen (reell) 51

5.1.1. 5.1.2. 5.1.3. 5.1.4. 5.1.5.

Die Die Die Die Die

5.2.

Trigonometrische Funktionen 54

5.2.1. 5.2.2. 5.2.3. 5.2.4.

Die Die Die Die

5.3.

Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen (komplex) 57

5.3.1. 5.3.2. 5.3.3.

Die Funktionen e z u n d In z 57 Die F u n k t i o n zw, Riemannsche Flächen 58 Einheitswurzeln, F u n d a m e n t a l s a t z der Algebra 58

=0

(Grundbegriffe) 40

49

F u n k t i o n e* 51 F u n k t i o n log x 52 Zahl e 53 Funktionen ax und log 0 x 53 F u n k t i o n x* 53

Funktionen sin x und cos x 54 Funktionen t a n x und cot x 55 Funktionen aresin x und a r e t a n x 55 F u n k t i o n e*9> 56

Inhalt 5.4.

Potenzreihen 60

5.4.1. 5.4.2. 5.4.3. 5.4.4. 5.4.5. 5.4.6. 5.4.7.

K o n v e r g e n z r a d i u s 60 Addition u n d Multiplikation v o n P o t e n z r e i h e n 60 D i f f e r e n t i a t i o n v o n F u n k t i o n e n f o l g e n u n d P o t e n z r e i h e n 61 Taylorreihen 61 Beispiele u n d Gegenbeispiele f ü r Taylorreihen 62 Potenzreihe f ü r e 2 , analytische F u n k t i o n e n 63 I r r a t i o n a l i t ä t v o n e 63

6.

Banachräume 64

6.1.

Definitionen und Beispiele 64

6.1.1. 6.1.2.

D e f i n i t i o n e n 64 Beispiele 65

6.2.

B ä u m e v o m Typ l p 65

6.2.1. 6.2.2.

Ungleichungen 65 Die R ä u m e lp,c> l p , s u n d l v ß 65

7.

Integralrechnung im Ri (Fortsetzung) 67

7.1.

Klassen integrierbarer Funktionen 67

7.1.1. 7.1.2. 7.1.3.

Allgemeine Regeln (partielle I n t e g r a t i o n , V a r i a b l e n s u b s t i t u t i o n ) 67 I n t e g r a t i o n r a t i o n a l e r F u n k t i o n e n , P a r t i a l b r u c h z e r l e g u n g 68 I n t e g r a t i o n v o n R(cos x, sin x) 69

7.1.4.

I n t e g r a t i o n v o n R(ex),

7.1.5.

I n t e g r a t i o n v o n R (x, H —x2) 70

R (x, ì f x ì - i ) u n d R (x, V x H T ) 70

7.1.6. 7.2.

Uneigentliche Integrale 71

7.2.1. 7.2.2. 7.2.3.

T y p e n uneigentlicher Integrale, Beispiele 71 I n t e g r a l k r i t e r i u m f ü r R e i h e n , Euler-Mascheronische Zahl 72 Die T - F u n k t i o n 73

8.

Differentialrechnung im R n 73

8.1.

Partielle Ableitungen 73

8.1.1. 8.1.2. 8.1.3. 8.1.4. 8.1.5.

Definition 73 V e r t a u s c h b a r k e i t partieller Ableitungen 74 T a y l o r p o l y n o m e 75 m-dimensionale P o t e n z r e i h e n 75 K u r v e n u n d F l ä c h e n im Rn. K e t t e n r e g e l 76 Geometrische I n t e r p r e t a t i o n des T a y l o r p o l y n o m s 78 R i c h t u n g s a b l e i t u n g 78

8.1.6.

8.1.7.

7

8

Inhalt

8.2.

Implizite Funktionen und Auflösungssätze 79

8.2.1. 8.2.2. 8.2.3. 8.2.4.

Problemstellung 79 Auflösungssatz, krummlinige Koordinaten 80 Parameterabhängiger Auflösungssatz 81 Implizite Funktionen 81

8.3.

Extremwerte von Funktionen 82

8.3.1. 8.3.2.

Der eindimensionale Fall 82 Der ra-dimensionale Fall 82

9.

Integralrechnung im R„ 83

9.1.

Definitionen und Eigenschaften 83

9.1.1. 9.1.2. 9.1.3. 9.1.4. 9.1.5. 9.1.6.

Q-Gebiete u n d / - G e b i e t e 83 Integrale in Ö-Gebieten 84 Eigenschaften 85 Integrierbare Funktionen 85 Integrale i n / - G e b i e t e n 85 Iterationssatz f ü r ra-dimensionale Integrale 86

ij.2.

Transformationsformeln, Volumenmessung, Flächenmessung 86

9.2.1. 9.2.2. 9.2.3. 9.2.4. 9.2.5.

Volumenmessung 86 Transformationsformeln 87 Bogenlänge von K u r v e n 87 Flächenmessung 88 Flächenintegrale 89

9.2.6.

Die Einheitskugel, r

9.2.7.

Uneigentliche Integrale 90

9.3.

Integralsätze 91

9.3.1. 9.3.2.

Der Gaußsche Satz 91 Die Greenschen Sätze 92

10.

Gewöhnliche Differentialgleichungen (Lösungsmethoden) 93

10.1.

Trennbare, homogene und exakte Differentialgleichungen 93

10.1.1. 10.1.2. 10.1.3. 10.1.4. 10.1.5.

Problemstellung 93 Trennbare Differentialgleichungen 93 Homogene Differentialgleichungen 94 E x a k t e Differentialgleichungen 95 Der integrierende F a k t o r 96

10.2.

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 96

10.2.1. 10.2.2.

Die Gleichung y'=f{x) y 96 Die inhomogene lineare Differentialgleichung 97

10.3.

Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung 97

10.3.1.

Fundamentalsysteme und Wronskideterminante 97

89

Inhalt 10.3.2. 10.3.3. 10.3.4.

Inhomogene Differentialgleichungssysteme 99 Spezielle Differentialgleichungssysteme 99 Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten 100

10.4.

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 100

10.4.1. 10.4.2. 10.4.3.

Problemstellung 100 Fundamentalsysteme und Wronskideterminante 101 Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 102

10.5.

Stetige Abhängigkeit von Anfangsdaten 102

10.5.1. 10.5.2. 10.5.3.

Differentialgleichungssysteme erster Ordnung 102 Differentialgleichungen M-ter Ordnung 103 Stetige Abhängigkeit von der rechten Seite 103

11.

Variationsrechnung 104

11.1.

Die Grundgleichungen der Variationsrechnung 104

11.1.1. 11.1.3.

Problemstellung 104 Vorbereitungen 105 Die Eulerschen Gleichungen 105

11.2.

Beispiele 106

11.2.1. 11.2.2.

11.2.3. 11.2.4.

Eine physikalische Vorbemerkung 106 Die Brachistochrone 107 Das Problem von der Geraden als kürzeste Verbindung zweier P u n k t e 108 Rotationssymmetrische Minimalflächen 109

12.

Prinzipien der klassischen Mechanik 110

12.1.

Modellbildung in der Physik 110

12.1.1. 12.1.2.

12.1.3. 12.1.4.

Zum Verhältnis von Mathematik und Physik 110 Mathematische Modelle 111 Kriterien f ü r Modelle 112 Ein Beispiel 113

12.2.

Das Modell für die Punktmechanik 113

12.2.1. 12.2.2.

12.2.3.

Das Hamiltonprinzip 113 Ein Beispiel (Freier Fall) 114 Das erste Integral 114

12.3.

Systeme von n Massenpunkten 114

12.3.1. 12.3.2. 12.3.3. 12.3.4.

Das Grundmodell 114 Kräftefreie Systeme 115 Konservative Systeme 115

11.1.2.

12.4. 12.4.1. 12.4.2.

Teilchen im Potentialtopf, harmonischer Oszillator 116 Planetenbewegung 117 Problemstellung und Grundmodell 117 Ebene Bahnen, zweites Keplersches Gesetz 119

9

10

Inhalt

12.4.3. 12.4.4.

Erstes Keplersches Gesetz 119 Drittes Keplersches Gesetz 120

13.

Maßtheorie 121

18.1.

Mengensysteme 121

13.1.1. 13.1.2.

Algebren und -. ^ gelten als bekannt.

Potenzen: Ist (cc)=0

In diesem Kapitel betrachten wir nur reelle Funktionen. Ist n eine natürliche Zahl, so ist n-1 f(x) = 2 aixi> «€(«> b), —o=0, y>0, 0, «4=1.

yiRv

(d) log a 2 = log b x für x=-0, a > 0 , 6 > 0 , «4=1, 6 4=1. In a Bemerkung 3. Die Kurven ax mit a > 0 und x £ E i füllen die obere Halbebene mit Ausnahme der Menge {(x, y)\x = 0, 2/4=1} lückenlos aus. Istz. B. £ > 0 , so gilt a x ~ für a-+ ~ und x a -»0 für a \ 0.

5.1.5.

Die Funktion x"

Nach den obigen Betrachtungen ist x* für x>0 und y^Rt definiert. Bisher haben wir x = a festgehalten und y variiert. Jetzt fixieren wir y = 0, x*y* = (xy)', x'x? = xa+P, = für x>-0, y> 0, a ^ A und ßtRv (b) Ist a > 0 , so ist x' streng monoton wachsend, a;'*->-°° für x u n d x®|0 für x\0. Ist a-=0, so ist x* streng monoton fallend, x" \ 0 für x —und x"-*-•>= für «jO. Es ist xß = t. (c) Für x>0 und ol^R1 ist («")' = ax"-1 .

54

5.2.1.

5. Funktionen und Potenzreihen

Bemerkung 1. (a) ist die Umschrift von Satz 5.1.4(a). P Bemerkung 2. I s t 0 «= ot = — eine rationale Zahl (p und q natürliche Zahlen), so schreiben wir q_ _ i auch x" = f xP , ferner x'2 ~}'x , x 2 = —= . Schließlich setzt man 0* = 0 f ü r a > 0.

ix

5.2.

Trigonometrische Funktionen

5.2.1.

Die Funktionen sin x und cos x

Definition (ä) sin x ist die in Ri eindeutig bestimmte Lösung der Differentialgleichung f"{x) = —f(x) mit den Anfangsbedingungen f(0) = 0 , /'(0) = 1. (b) cos x ist die in R^ eindeutig bestimmte Lösung der Differentialgleichung f"(x) = = — f(x) mit den Anfangsbedingungen /(0) = 1, /'(0) = 1. Bemerkung 1. I m Sinne v o n 4.1.2. ist h(x, y, z) = y. Nach Satz 4.2.2 besitzt somit f"(x) = - f ( x ) mit /(0) = 0 u n d / ' ( 0 ) = l im Intervall [ — N , JV] genau eine Lösung. N — zeigt, daß diese Aussage auch mit Bl s t a t t [ — N, A7] richtig bleibt.

Bemerkung 2 (Geometrische Interpretation). Später werden wir die Länge glatter K u r v e n L berechnen. I s t L etwa der Einheitskreis (Kreis vom B a d i u s 1), so betrachtet m a n die Länge einbeschriebener Polygonzüge. Das Supremum dieser Längen ist endlich u n d wird mit 2iz bezeichnet. E s ist n = 3,141. . . Das Verfahren k l a p p t auch, wenn man die Länge des Bogens P0Pi ermitteln will, die mit x bezeichnet wird. E s ist also Ö s . - c £ 2 - , Ferner haben / ( z ^ u n d g(x) die eingetragene Bedeutung, wobei Vorzeichen zu berücksichtigen sind.

Lemma. Für 0 S x ^ 27t ist g(x) = sin x und f{x) = cos x. Bemerkung 8. Der Beweis wird geführt, indem m a n nachweist, daß/(:r) und g(x) die obigen Differentialgleichungen und Anfangsbedingungen erfüllen.

Satz. Es ist und y^R±. (a) sin x = sin (x+2iz), cos x = eos (x + 2n) (-periodische Funktionen). (b) sin x = 0 gilt genau dann, wenn x = kiz (k ganze Zahl) ist; cos x = 0 gilt genau dann, wenn x =

+ kiz (k ganze Zahl) ist. ¿i (c) sin x= —sin (— x) (ungerade Funktion Funktion bezüglich 0). (d) sin 2 x + cos2 xsl für x£Rv

bezüglich 0), cos x = cos ( — x) (gerade

(e) sin x = cos ^x — — j . (f) (sin x)' = cos x, (cos x)' = — sin x. (g) sin (x + y) = sin x cos y + sin y cos x, cos (x + y)= cos x cos y — sin x sin y.

5.2.3.

5.2. Trigonometrische

Funktionen

55

Bemerkung 4. Der Satz wird unter Verwendung der Existenz- und Unitätssätze aus Kap. 4 und des obigen Lemmas bewiesen.

smx

Bemerkung 5. Insbesondere ist |sin x\ s 1 und |cos £¡=51. Ferner folgt sin (x + -) = — sin x und COS (X + 7T) =

5.2.2.

— COS X.

Die Funktionen tan x und cot x

Definition, t a n x =

sin ic

cos x

mit dem Definitionsgebiet D(tan x) =

cot x = C°S X mit dem Definitionsgebiet sin x

Dl cot x) =

U

k =

Uctz,

tt +

kr»),

Satz. Es ist t a n (x + tz) = tan x, cot {x + tz) = cot x, (tan x)' = 1 + t a n 2 x,

(cot x)' = — 1 — cot 2 x ,

wobei x 6 Ri aus dem jeweiligen Definitionsgebiet

cotx

tan x

smx

x '2-1

T~i

5.2.3.

ist.

r f

Die Funktionen aresin x und aretan x

Definition, aresin x ist die Umkehrfunktion die Umkehrfunktion

TZ

TZ

von sin ymit - — TT

von t a n y mit — — aber zj4= % für k = r + i, . . ., n, so sagt man, daß zl eine Nullstelle der Vielfachn heit (oder Ordnung) r ist. Hat 2 ®3Z' genau l verschiedene Nullstellen wu . . ., u

X2

cosx = l - -

+

x'' X6

- - -

+ .....

Bemerkung 1. Im Sinne von Satz 5.4.4/2 ist x0=0,

Satz 2. Ist a > 0 , so gilt lim — =

und es gilt (5.4.4/4).

l i m e _ : V = 0, lim

= 0 , lim x" lln x\ = 0 .

Bemerkung 2. Die erste Aussage folgt aus Satz l,die anderen Aussagen gewinnt man hieraus.

Satz 3 (Gegenbeispiel). *

/( )

=

{o

X

Die flr

Funktion (Zeichnung auf S. 61)

ist in Ri beliebig oft differenzierbar, aber im Punkt 0 nicht in eine Taylorreihe positivem Konvergenzradius entwickelbar.

mit

5.4.7.

5.4. Potenzreihen 6

63

x

Bemerkung 3. F ü r / ( x ) aus Satz 3 ist/W(a;) = _ Pk(%) für x > 0 , wobei Pk{x) ein Polynom xk + l in x ist. Satz 2 zeigt dann, daß / im Punkt 0 beliebig oft differenzierbar ist und /W(0) = 0 ist. Hieraus folgt aber, daß (5.4.4/1) mit a;0 = 0 in einer Umgebung von 0 nicht richtig sein kann.

5.4.6.

Potenzreihe für e®, analytische Funktionen

Es zeigt sich, daß man die Betrachtungen für reelle Funktionen aus den letzten Abschnitten auf komplexe Funktionen ausdehnen kann. I m Kap. 15 werden wir uns damit systematisch beschäftigen. Einige Aussagen können wir aber bereits jetzt machen. Definition. G sei ein ofjenes Gebiet in der komplexen Ebene C\. Eine komplexwertige Funktion f(z) heißt in G analytisch, falls j(z) in jedem Punkt z0£G in eine absolut konvergente Potenzreihe 2 ist.

a z

A — zoY

positivem Konvergenzradius

entwickelbar

Satz. e z ist in G = Ci eine analytische Funktion, und es gilt °° z }

e z = 2 — für alle z£(JL. j=o V-

Bemerkung. Auch die anderen früher betrachteten komplexen Funktionen sind analytisch, sofern man die obige Definition geringfügig modifiziert. So sind In z und zw auf der Riemannschen Fläche für In z analytisch.

5.4.7.

Irrationalität von e

Eine reelle Zahl, die nicht rational ist, heißt irrational. Satz, e ist eine irrationale

Zahl.

^ - i Bemerkung. Der Beweis beruht auf der Darstellung e = 2 Ti •

6.

Banachräume

6.1.

Definitionen und Beispiele

6.1.1.

Definitionen

Aus der analytischen Geometrie ist der lineare Vektorraum gut bekannt: Eine nicht leere Menge M, in der zwei Operationen erklärt sind, nämlich eine Addition beliebiger Elemente aus M, sowie eine Multiplikation von Elementen aus M mit reellen oder komplexen Zahlen. Bezüglich der Addition müssen hierbei folgende Forderungen erfüllt sein: x+y=y+x (Kommutativität), x + o = x (Existenz eines neutralen Elementes o £ M), (x + y) + z = x + (y + z) (Assoziativität). Hierbei sind x, y und z beliebige Elemente aus M. Ferner muß es zu je zwei Elementen x£M und ii£M ein eindeutig bestimmtes Element z£M mit x + z = y geben. Bezüglich der Multiplikation von Elementen aus M mit reellen oder komplexen Zahlen muß gelten: X (x + y) = Xx + Xy, (X +/x) x = Xx + fix, 1 • X = X, X(flX) = (Xfl) X . Hierbei sind x£M und y 6 M, während X und ¡x reelle oder komplexe Zahlen sind. Sind nur reelle Zahlen zur Multiplikation zugelassen, so spricht man von einem reellen linearen Vektorraum. Sind komplexe Zahlen zur Multiplikation zugelassen, so spricht man von einem komplexen linearen Vektorraum. Statt o schreiben wir in Zukunft 0. Ferner sei z = —y, falls y + z = 0 ist. Definition 1. Ein (reeller oder komplexer) normierter Raum besteht aus einem (reellen oder komplexen) linearen Vektorraum M und einer Vorschrift, die jedem x£M eine nicht-negative Zahl ||x|| mit den Eigenschaften 1. ||zj| ^0, wobei ||x|| =0 genau dann gilt, wenn x = 0 ist, 2. M = W INI, 3. ||y + x\\ S ||x|| + ||i/|| (Dreiecksungleichung), zuordnet. Hierbei ist x£M, y£M und X reell oder komplex, ||a;|| heißt Norm. Lemma. Mit g(x, y)=]\x—y\\

wird ein normierter Raum zu einem metrischen Raum.

Bemerkung. Das Lemma folgt aus Def. 1.3.3/1. In Zukunft betrachten wir normierte Räume als spezielle metrische Räume.

Definition 2. Ein (reeller oder komplexer) Banachraum ist ein (reeller oder komplexer) normierter Raum, der (als metrischer Raum betrachtet) vollständig ist.

6.2. Räume, vom Typ

6.2.2.

6.1.2.

lp

65

Beispiele »

Der Baum R„. Mit ||a| ; | = 2 Ixi\ für

x

3=1

= (xi, • • • > xn) ist Rn ein Banachraum, siehe

Lemma 2.5.1/2. Hierbei sind die Addition von x = (x t , . . ., xn) und y = (yi, • • •, Vn) und die Multiplikation mit reellen Zahlen A auf natürliche Weise erklärt: x + y = = (xL+yi> • • •> xn + yn), Aa; = (Ax1, . . ., Xxn). Der Baum Cn. Betrachtet man komplexe Folgen x = (xl, . . ., xn) und Multiplikationen mit komplexen Zahlen A, so ist Cn bezüglich der obigen Norm ||z|| ein Banachraum. (Das ist eine geringfügige Modifikation gegenüber 1.3.2.) Der Baum C[a, b]. Mit ||/||cr[a,6] = sup \f(x)\ ist C\a, 6] aus 2.5.2. ein Banachraum, x£[a,b]

siehe Satz 2.5.2. Hierbei sind die Addition von Funktionen und die Multiplikation mit reellen Zahlen auf natürliche Weise erklärt: (f + g)(x)=f(x)+g(x),

W)(z)

6.2.

Räume vom Typ l p

6.2.1.

Ungleichungen

Lemma. Für x > 0 , y > 0 , 1 < jj < xy s xp/p

= Xf(x) .

und l/p + Up' = 1 ist

-(- yp'ljj'

Bemerkung 1. p' mit 1 lp + Up' = 1 nennt man auch die zu p konjugierte Zahl. Satz. Sind so gilt

xi:

. . ., xn und yu

. . ., yn komplexe

Zahlen,

ist 1 < ¡rx °° und \/p + 1/p' = 1,

(1) und

(2) Bemerkung 2. (1) heißt die Höldersche Ungleichung, (2) die Minkowskische Ungleichung.

6.2.2.

Die Bäume

l£ )C , IP,r und LP

so gilt für alle

x£l\ß

M n^\\x\\ n. l j> M

Bemerkung 2. Betrachtet man in der zweiten Ungleichung für alle •

so erhält man' ¡¡xih^

Definition 2. Zwei Normen (jxljj und ||a;|]2 in einem linearen Vektorraum M heißen äquivalent, falls es zwei positive Zahlen c1 und c2 gibt, so daß für alle x£M cjzii^Hj^iMl!

gilt. Bemerkung 3. Die beiden normierten Räume aus Def. 2 betrachten wir als spezielle metrische Räume mit den Metriken Qj(x, y) = [\x — y\\j, j = 1, 2. Cauchyfolgen bezüglich p, sind auch Cauchyfolgen bezüglich q2 und umgekehrt. Analoges gilt für konvergente Folgen. Bezüglich des Konvergenzverhaltens sind also die Normen | u n d ||a;||2 vollkommen gleichwertig. Bemerkung 4. Aus dem Lemma folgt, daß alle Normen ||ar||;M mit 1 ^ p ~ in p äquivalent sind.

bzw. in l\ t C

Satz, (a) Ist n eine natürliche Zahl und 1 s j x » , so ist lnv reell. W i r b e t r a c h t e n reelle F u n k t i o n e n f(x) — f(x^, . . ., xn), d e r e n D e f i n i t i o n s g e b i e t e D{f) o f f e n e M e n g e n i n R n sind. D e f i n i t i o n 1. f(x) besitzt im Punkt Xj, falls

= (z?, . . ., x'n) (xj) als reelle F u n k t i o n im ^•-Intervall [o, 6] mit x'^fjfl, b). Existiert 0 ist). Normalenvektor einer Ebene. E i n V e k t o r v = (vly . . ., vH) h e i ß t N o r m a l e n v e k t o r f ü r n

F(x) = 2 aixi — c — 0, f a l l s v o r t h o g o n a l z u a l l e n G e r a d e n ( g e n a u e r : j=i a l l e n R i c h t u n g e n v o n G e r a d e n ) i s t , d i e i n d e r E b e n e e n t h a l t e n s i n d . I s t x° e i n f e s t e r u n d x e i n v a r i a b l e r P u n k t d e r E b e n e , so s i n d s ä m t l i c h e f r a g l i c h e n R i c h t u n g e n die E b e n e

n

d u r c h x — x° g e g e b e n . Also m u ß 2 vAxi ~x0 Tangentialebene ; =i von n F{x)2 aj(x)--x-Richtung übereinstimmt, muß jetzt f(xu

.. ., xn) dg

. ., n

2

a

i,k Vk, • • • j = 9(yi> • •

df

=

gelten. Setzt m a n

Vn), so folgt

Bf )ai 1=

' Tv

im Punkt x = y = Q. Die Richtungsableitung ist somit eine ganz gewöhnliche partielle Ableitung bez. yt.

$.2.

Implizite Funktionen und Auflösungssätze

8.2.1.

Problemstellung

stetig differenzierIn 3.1.4. hatten wir uns mit Umkehrfunktionen g(y)=f~l{y) barer Funktionen f(x) in der Umgebung eines Punktes a;0 £ beschäftigt. Die entscheidende Forderung war /'(»°)=t=0. Dann vermittelte / eine eineindeutige Abbily

y~—„

-fix)

(xl

fM

ly)

dung einer Umgebung U von x° auf eine Umgebung V von y° = f(x°). Wir wollen die Betrachtungen auf den n-dimensionalen Fall ausdehnen. y = f{x) = (fx(x), . . .,. /»(#)) sei eine Vektorfunktion, fj(x) seien stetige Funktionen in einer Umgebung U des Punktes x°£ Rn. Wir suchen Bedingungen, die sichern, daß y = f(x) eine eineindeutige Abbildung von U auf eine Umgebung V des Punktes y° = f(x°) ist. Sind die Funktionen f/c(x) in U zweimal stetig differenzierbar, so folgt aus Satz 8.1.3 » 0/. j= 1 OXj

Aus der analytischen Geometrie ist bekannt, daß die beiden ersten Terme auf der rechten Seite von (1) genau dann eine eineindeutige (und lineare) Abbildung des R n auf sich vermitteln, wenn die Determinante der Koeffizienten -— (x°) mit OXj

j = 1, . . ., n und k = l, . . ., n von Null verschieden ist. Man kann jetzt hoffen, daß der „Störterm" 0(\x — x°|2) für kleine Werte von \x — x°| diese Eigenschaft nicht ändert. Die obige Koeffizientendeterminante spielt eine fundamentale Rolle und bekommt deshalb einen besonderen Namen.

80

8. Differentialrechnung im Bn

8.2.2.

Definition. Besitzt y(x) = f(x) = (fi{x), . . ., fn(x)) partielle Ableitungen so heißt

s/i

dxi d{xi, . . ., xn)

8(xl,

Funktionaldeterminante

. . .,

xn)

erster Ordnung,

e/i

8xn

% djn 8xi

dxn

(oder Jacobische Determinante).

(

—— |

bezeichnet

die Unterdeterminante, die durch Streichen der j-ten Zeile und der lc-ten Sj>alte in s(yu • • •» y«) entsteht ( Minor zum Element 8(xi, . . ., xn)

(

8.2.2.

Auflösungssatz, krummlinige Koordinaten

Satz 1. Sind die Funktionen

fj(x) mit j = 1, . . ., n in einer Umgebung U von x0 £ Rn

—— (a;0) 4=0, so gibt es eine Umgebung o(Xi, . . ., xn) W von x°, so daß f{x) = (fi(x), . . ., /»(«)) eine eineindeutige Abbildung von W auf eine Umgebung V von i/° = f(x°) vermittelt. Die Umkehrabbildung x = g(y) = {g^y), • . ., gn(y)) ist in V zweimal stetig differenzierbar, und es gilt für k = i, . . ., n und) = 1, . ..,n zweimal stetig differenzierbar

dyj 'V '

(ö(a;i, . .

und ist

xn))k,j ^ ^ [ 8(xv . . ., xn) ^

Bemerkung 1. F ü r ?; = 1 h a t m a n die zu Beginn von 8.2.1. beschriebene Situation, siehe 3.1.4.

Bemerkung 2. Nach den Betrachtungen in 8.2.1. ist der Satz plausibel. Sein Beweis ist aber relativ kompliziert und beruht auf dem Banachschen Fixpunktsatz 2.5.3.

Satz 2. Es gelten die Voraussetzungen von Satz 1. Die Funktionen fj(x) seien m-mal stetig differenzierbar in U. Dann sind die Funktionen gj{y) mit j = \, . . ., n in V ebenfalls m-mal stetig differenzierbar. Bemerkung 3. Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, so erhält m a n bei passender Wahl von Cj durch

fj{xu . . ., xn) =Cj mit j = l, . . ., n Flächen in W. Man braucht hierzu nur (c 1; . . c«)6 V zu wählen. Aus Satz 1 folgt dann, daß jeder P u n k t x6 W in eineindeutiger Weise durch die Angabe der Parameterwerte cit . . ., cn gekennzeichnet werden kann. Man nennt ch . . cn krummlinige Koordinaten.

8.2. Implizite Funktionen

8.2.4. 8.2.3.

81

Parameterabhängiger Auflösungssatz

W i r betrachten Funktionen fj(x, A) = fj{xlt..., xn, A t ,..., Ar), die von x = (x1,.. .,xn) und den Parametern A = (A1; . . ., Ar) abhängen. Es ist / = 1, . . ., n. Hierbei variiert A in einer Kugel K = { X | | A — A°| < r j } c . R r . Satz, (a) Sind bei fixiertem X^K die Voraussetzungen von Satz 8.2.2/1 erfüllt und sind fi{x, X) und —- (x, A) in einer (n + r) - dimensionalen Umgebung von (x°, A°) stetig, dxk so sind auch die Umkehrfunktionen gt(y, A) aus Satz 8.2.2/1 in einer (n + ^-dimensionalen Umgebung von (y°, A°) stetig. Hierbei ist y° = f{x°, A°). (b) Sind die Funktionen fj(x, A) zusätzlich m-mal stetig differenzierbar bez. A1; . . ., Xr in einer Umgebung von A°, so haben auch die Umkehrfunktionen gk{y, A) partielle Ableitungen bis zur Ordnung m einschließlich bez. A1; . . Ar in einer Umgebung von tyk aus A°. Hierbei berechnen sich 8Xt 8fi+

|

8/;S£i

8XS

t = i Sxt 8XS

= 0

mit

j = 1, . . ., n

und

« = 1,

(1)

d(h,...,/„) (x°) ungleich 0 ist, ist (1) einBemerkung. Da die Funktionaldeterminante d(Xt xn) dgt deutig nach -r- auflösbar. 0 ist positiv-definit.

Satz. f(x) sei dreimal

stetig

differenzierbar

in einer

(a) Ist f(x°) ein relatives Extremum (Minimum für j = l , . . .,n. Öf « (b) Es sei —— (cc°) =0 für j= 1, . . ., n. Ist 2

CXj

f(x°) ein relatives Minimum. relatives Maximum.

n 2

Ist

= 1

Umgebung

von x° £ Rti-

d2f -—-—

(x(y)^k

(,i = 1 OTjOTj

Q2f 7—7— (x°)£j£ie ox cx i k

9.

Integralrechnung im Ä,

9.1.

Definitionen und Eigenschaften

9.1.1.

Q-Gebiete und /-Gebiete

ef so ist —— {x°) = 0 dx i

oder Maximum),

positiv-definit,

negativ-definit,

so

so ist f{x°)

ist ein

Ist Q={x | x€Rn, \x — x*j\-=-aj für j = l , . . n} ein achsenparalleler Quader im Rn, so sei \Q\ =2 n a l . . . a„ sein Volumen. Hierbei sind a, positive Zahlen. Ein QGebiet Q ist eine endliche Vereinigung achsenparalleler Quader, -V _

S2=

U Q,-d[

3=1

N

_ \

\j=l

/

/

U Qj) .

(1)

Hierbei ist Qj der Abschluß des offenen Quaders Qj (also der Quader einschließlich seiner Randfläche). Ferner sei 8m der Rand einer Menge co in Rn: y£do) genau dann, wenn es in jeder Umgebung von y P u n k t e gibt, die zu co gehören, aber auch P u n k t e die nicht zu co gehören. Gebiet heißt bei uns stets, daß die betreffende Menge offen ist. I n diesem Sinne ist Q aus (1) ein Gebiet. Definition. Ein beschränktes Zahl

e eine X^

endliche

d ß c

U Qr, so daß r=1

y^

Gebiet Überdeckung

2 \QV\^e r=1

Lemma. Q sei ein beschränktes 6»

Q im Rn heißt I-Gebiet, falls von 8Q mit achsenparallelen

es für jede positive Quadern Q' gibt,

ist. N

Gebiet

im Rn mit

cQ

= U Fj , wobei Fj ein j=l

inneres

9.1.1.

9.1. Definitionen

sitiv-definit, und

falls

sie heißt

alle le-R»

es eine

positive

negativ-definit,

gibt,

Bemerkung. 2

£= (fi,. .

83

Eigenschaften

n 2 ai,k£}£k — c\£I2 für j,k = 1 n es eine positive Zahl c mit 2 j,k = 1

Zahl

falls

und

c mit

c

Rn

gibt,

2

für

= ~ |£|

I»).

c

jSj mit Cj > 0 ist positiv-definit.

Satz. f(x) sei dreimal

stetig

differenzierbar

in einer

(a) Ist f(x°) ein relatives Extremum (Minimum für j = l , . . .,n. Öf « (b) Es sei —— (cc°) =0 für j= 1, . . ., n. Ist 2

CXj

f(x°) ein relatives Minimum. relatives Maximum.

n 2

Ist

= 1

Umgebung

von x° £ Rti-

d2f -—-—

(x(y)^k

(,i = 1 OTjOTj

Q2f 7—7— (x°)£j£ie ox cx i k

9.

Integralrechnung im Ä,

9.1.

Definitionen und Eigenschaften

9.1.1.

Q-Gebiete und /-Gebiete

ef so ist —— {x°) = 0 dx i

oder Maximum),

positiv-definit,

negativ-definit,

so

so ist f{x°)

ist ein

Ist Q={x | x€Rn, \x — x*j\-=-aj für j = l , . . n} ein achsenparalleler Quader im Rn, so sei \Q\ =2 n a l . . . a„ sein Volumen. Hierbei sind a, positive Zahlen. Ein QGebiet Q ist eine endliche Vereinigung achsenparalleler Quader, -V _

S2=

U Q,-d[

3=1

N

_ \

\j=l

/

/

U Qj) .

(1)

Hierbei ist Qj der Abschluß des offenen Quaders Qj (also der Quader einschließlich seiner Randfläche). Ferner sei 8m der Rand einer Menge co in Rn: y£do) genau dann, wenn es in jeder Umgebung von y P u n k t e gibt, die zu co gehören, aber auch P u n k t e die nicht zu co gehören. Gebiet heißt bei uns stets, daß die betreffende Menge offen ist. I n diesem Sinne ist Q aus (1) ein Gebiet. Definition. Ein beschränktes Zahl

e eine X^

endliche

d ß c

U Qr, so daß r=1

y^

Gebiet Überdeckung

2 \QV\^e r=1

Lemma. Q sei ein beschränktes 6»

Q im Rn heißt I-Gebiet, falls von 8Q mit achsenparallelen

es für jede positive Quadern Q' gibt,

ist. N

Gebiet

im Rn mit

cQ

= U Fj , wobei Fj ein j=l

inneres

84

9. Integralrechnung

9.1.2.

im if,

Stück einer Fläche Gj im Rn ist, die durch Gj(x) = 0 beschrieben wird. Hat Gj(x) 8Gpartielle Ableitungen und ist 2 ' (x) - 0 für x^Gj, so ist Q ein I-Gebiet. i = i dx.

stetige

dm

Bemerkung. Die /-Gebiete sind relativ allgemein. Sie umfassen beschränkte Gebiete mit glatten Rändern (auch mit Löchern), aber auch gewisse Gebiete mit Kanten und Ecken.

9.1.2.

Integrale in Q-Gebieten

I s t Q ein Q-Gebiet, so w e r d e n beliebige endliche Zerlegungen Z i n achsenparallele JV Quader b e t r a c h t e t , Ü= U Qj . j=l Definition. f(x) mit dem Definitionsgebiet wobei Q ein Q-Gebiet ist. (a)

//0r)dz = sup2I, ~ Z

wobei

D{f) = D sei eine reelle beschränkte

Funktion,

2 1 = 2 10*1 inf f(y), }=1 ^viQj

Tf{x)

da; = inf 2%*, wobei Zz* = 2 10,1 s u p f(y) . z vzQj (b) f(x) heißt integrierbar, falls f f(x) d x = f f(x) da; ist. Bemerkung 1. Das ist die Verallgemeinerung von Def. 3.2.1. Wie dort heißt sup (bzw. inf) das z z Supremum (bzw. Infimum) über alle zulässigen Zerlegungen der obigen Art, wobei N variabel ist. Bemerkung 2. Die Aussagen aus 3.2.1. lassen sich sofort übertragen: Lemma 3.2.1/1 bleibt richtig. Nach passender Modifikation gilt auch Lemma 3.2.1/2. Bemerkung 3. Ist / integrierbar, so schreiben wir / f(x) dx oder / f(x) dx s t a t t / f(x) da; oder f f ( x ) dx. °

9.1.5.

9.1.3.

9.1. Definitionen

und

Eigenschaften

85

Eigenschaften

Die Sätze dieses Abschnitts sind die Analoga entsprechender Aussagen aus 3.2.2. und 3.2.3. Satz 1. f(x) und g(x) seien integrierbare Funktionen im Q-Gebiet ü. (a) Sind % und \x reelle Zahlen, so ist Af(x) + fig(x) in Q integrierbar,

und es gilt

/ (Xf{x) + [ig{x)) dz = A / f(x) dx + /j, f g{x) dx . a a n (b) \f{x)\ ist integrierbar,

und es gilt \ f f(x) dx\ ^ / \f(x)\ da;. e

(c) Ist zusätzlich f(x) ^g(x), so gilt f f(x) dxS o

ß

f g{x) da;. ß

Definition. Sind {fj(x)}JL1 und f(x) in Ü definierte reelle Funktionen, so bedeutet /,=>•/ in Q (gleichmäßige Konvergenz), daß es zu jeder positiven Zahl e eine natürliche Zahl j0(e) mit sup \j(x) —fj(x)\ s e für alle j mit j = jo(e) gibt. Satz 2. Die Funktionen fj(x) mit j = 1, 2, 3, . . . seien in dem Q-Gebiet Q integrierbar, und es sei fj=>f in Q. Dann ist f(x) in Q integrierbar, und es gilt f f{x) da; = lim / fj(x) dx . a j—^a 9.1.4.

Integrierbare Funktionen

Satz, (a) Ist ü ein Q-Gebiet, so ist jede in Ü stetige Funktion integrierbar. (b) a> sei ein I-Gebiet, und f(x) sei in a> stetig. Ist Q ein Q-Gebiet mit ö c ß , so ist n M

_//(*)

in Q integrierbar

für

für

x£w

xtü-w

(siehe Zeichnung auf S. 84).

Bemerkung, oi und ü sind offen. Aus m c ß folgt, dann daß a> von dSi einen positiven Abstand hat. Ferner ergibt sich, daß / g(x) da; von Q unabhängig ist.

a

9.1.5.

Integrale in /-Gebieten

Definition. f(x) sei eine in ä> stetige Funktion, Q-Gebiet mit ü> c ß, so wird f f(x) da;= fg(x)

dx

mit

wobei o> ein I-Gebiet

g(x)=^

ist. Ist Q ein

**

gesetzt. Bemerkung. Aus Satz 9.1.4 und Bemerkung 9.1.4 folgt, daß die Definition sinnvoll ist und daß / /(x) da; von Q unabhängig ist. u)

Satz. 1. Beschränkt man sich auf stetige Funktionen, 9.1.3/2 auch für I-Gebiete richtig. Satz 2. Sind a>, to1 für jede in co stetige f f(x)dx= Oi

so bleiben die Sätze 9.1.3/1 und

und a>2 drei I-Gebiete und ist = wl Ucö2 und cot fl a>2 = 0, so gilt Funktion f(x) f f(x)dx+ f f(x) dx. iüi 0>2

86

9. Integralrechnung

9.1.6.

Iterationssatz für n-dimensionale Integrale

im

Hn

9.2.1.

Ist co ein Gebiet im E„, so sei mc = a>C\{x | xn = c} der Schnitt von co mit der Ebene xn = c. Ist co ein w-dimensionales Q-Gebiet, so ist OJc entweder leer oder ein («• — 1)dimensionales ^-Gebiet.

—b

Satz.

Hierbei

Ist

co ein

Q-Gebiet

f f(x)

d X = f

ist

x* = (xt.

und (

f

ist f(x) fix*,

. . ., xn^i)

in a> stetig,

Xn) dx*)

und

so

gilt

dXn .

(1)

da;* = d a ^ . . .

.

Bemerkung 1. Nach den obigen Betrachtungen ist das innere (n — l)-dimensionale Integral über a>xn sinnvoll. Es liefert eine im Intervall [a, 6] integrierbare Funktion. Bemerkung 2. Ist m~Q ein Quader und ist f(x)=g(x*) h(xn), so erhält man s f(x) Q

dx=

Bemerkung 3. Ist

f g(x*) Q'

da;* /

b h{x„)

a>=Q = {x | a j • • •.

Xn)

d(y\, • • y n ) Bemerkung 1. Ist (x°)4=0, so folgt aus Satz 8.2.2/1, daß y(x) eine eineindeutige d(xu . . ., xn) Abbildung einer Umgebung co von x° auf eine Umgebung Q von y° ist. Insbesondere existiert eine Umkehrabbildung. Satz, y = y(x) sei eine eineindeutige Abbildung des I-Gebietes co in Rn auf das I-Gebiet d{yL, • • •, yn) Q in Rn mit (x) 4= 0 für x€oj. Ist f(x) in w stetig und ist x = x(y) die C(Xi, . . ., xn) Umkehrabbildung zu y(x), so ist g(y) = f(x(y)) in Ü stetig, und es gilt f fix) äx=

jg(y)

. .

., Xn)

%1> • •

yn)

d(xt,

(y) d y .

Bemerkung 2. Man beachte, daß nicht die Funktionaldeterminante, sondern ihr Betrag in der letzten Formel erscheint.

9.2.3.

Bogenlänge von Kurven

Differenzierbare Kurven x(t) = (| = 1 (vgl.8.1.5.: Ist die grad F \ ' Fläche durch F ( x ) = 0 gegeben, so ist v = ± - j — — ) . Diese Normale existiert Igrad F| in jedem Randpunkt, abgesehen von eventuellen Kantenpunkten, die keine Rolle spielen. Sind a = (ai, . . ., an) und b = (bL, . . ., bn) zwei Vektoren aus Rn, so ist (a, b)=

n

2

das Skalarprodukt. Ist \a\ = 1 und \b\ = 1 , so folgt

aPi

3=1

n

/ n

K«, 6 ) 1 - 2

M l6?l = ( 2

\~2 / n a

n

\ 2

(Zt>l)

=i-

Wir können somit (a, b) = cos a mit 0 2 a £ 7r setzen, a wird als der von den normierten Vektoren a und b eingeschlossene Winkel bezeichnet. Ohne Verwechslungsgefahr schreiben wir cos (a, b) statt cos a, wobei dann (a, b) in cos (a, b) nicht das Skalarprodukt (a, b) bedeutet. Ist e.j = (0, . . ., 0, 1, 0, . . ., 0) der Einheitsvektor i

in z 3 -Richtung, so ist v.j = (v, e/) ---- cos (v, x.j), wobei das letzte eine übliche (wenn auch mit ganz korrekte) Schreibweise ist. Also v = (cos (v, x{), . . ., cos (v, xn)) . Satz 1

(Integralformal

differenzi>erbar,

von

so gilt

Punkt

ein

Normalgebiet

und

ist

f ( x ) in

Q

stetig

/ f(s)

d s das

c o s ( v s , Xj) d s .

»h Flächenelement

von

8Q,

und

v3 ist die

normierte

äußere

Normale

im

sddQ.

Definition. bar,

( x ) d x = 1

a

ü

r

—

ist

Ist

j — i , . . . , n

r 8f

Hierbei

Gauß).

jür

so

Sind

die

Funktionen

f j ( x ) mit

j = 1, -. . ., n im

ist

(diVf) ( * 0 ) = 2

=i

S

8xj

w

mit

/ = (/i> •• •>/»)•

Punkt

xß^Rn

differenzier-

92

9.3.2.

9. Integralrechnung im R,

Satz 2. Ist Q ein Normalgebiet stetig differenzierbar, so ist / ( d i v / ) (x) dx=f(f, a »a mit /=/(i,

..

und sind die Funktionen

fj(x) mit

....

n in Q

v) ds

n fn) und (/, v) = 2 fiis)

(vs>

cos

Hierbei ist ds das

Flächenelement

9= 1

von 80, und vs ist die normierte äußere Normale im Punkt s Ç 80. 9.3.2.

Die Greenschen Sätze

Definition. Ist f(x) im Punkt " e2/ = 2 (x°) 9esetet (Laplacescher

zweimal

differenzierbar,

n

ist f(x) in D zweimal

und

(4f) (*) dx= - j (grad f , grad g) dx + j g ^ ds . a

da

Hierbei ist v = vs die normierte äußere Normale leitung aus 8.1.7. Bemerkung,

=

Ausdruck).

Satz 1 (Erster Greenscher Satz). Ist O ein Normalgebiet, g(x) in D einmal stetig differenzierbar, so gilt jg(x)

so wird

ds ist wieder das Flächenelement

" (grad/, grad S)= 2

df da

an 80, und — ist die ^"

von dQ und

•

j— 1 OXj ÖXj Satz 2 (Zweiter Greenscher Satz). Ist Q ein Normalgebiet zweimal stetig differenzierbar, so gilt J (g(x) (Af) (x) -f{x){Ag) a Hierbei ist v = vs die normierte leitung aus 8.1.7.

Richtungsab-

{x)) dx=

[(ff^-f

und sind f{x) und g(.r) in ü ds .

aa äußere Normale

pi

an 8Q und — ist die dv

Richtungsab-

10.

Gewöhnliche Differentialgleichungen (Lösungsmethoden)

10.1.

Trennbare, homogene und exakte Differentialgleichungen

10.1.1.

Problemstellung

In 4.1.2. und 4.2.3. hatten wir das typische Anfangswertproblem für gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung formuliert: In einer Umgebung von x0 sind »i-mal stetig difierenzierbare reelle Funktionen f(x) gesucht, die die Differentialgleichung f(n){x)=h{x, f(x), . . fn~1\x)) erfüllen und im Punkt x0 vorgeschriebene Anfangswerte f^\x0)=Cj annehmen, j = 0, . . ,,n — 1, Entsprechendes gilt für Systeme von Differentialgleichungen. Kap. 4 sicherte Existenz und Unität derartiger Probleme, sofern h gewisse Glattheitseigenschaften besaß. In Kap. 5 hatten wir elementare Funktionen mit Hilfe gewöhnlicher Differentialgleichungen definiert. Jetzt nehmen wir den umgekehrten Standpunkt ein: Für spezielle Klassen gewöhnlicher Differentialgleichungen werden explizite Lösungen gesucht. Hilfsmittel sind hierbei die Theorie der elementaren Funktionen und die Integralrechnung einer Variablen.

10.1.2.

Trennbare Differentialgleichungen

Satz. Es seien —°o Vi(x)' • • •> yn(x)), y^x0) =Cj, (i) mit j= 1, . . ., n in [a, 6]. Hierbei ist - = » u n d x0£[a, 6]. Die Punktionen hj{x, xh . . ., xn) sollen die Bedingungen aus Problem 4.1.2/2 erfüllen. Nach Satz 4.2.1 besitzt (1) genau eine Lösung. Gefragt wird nach der Abhängigkeit dieser Lösung yj(x, c 1; . . ., cn) mit j = 1, . . ., n von den Anfangsdaten c t , . . ., cn. Satz. Es gibt eine Zahl 0 , so daß n n 2 \vAx> cl> • • •> Cn)-yj{%, Ci, . . Cn)\r=L^\ci-Ci\ j=1 1=1

10.5.3.

10.5. Stetige Abhängigkeit von

Anfangsdaten

103

für alle reellen Zahlen c t , . . ., cn, c 1; . . ., cn und alle x mit xd[x0 — 0 , so daß \y{x)-y(x)\^L(6

sup \h(u, v)-h{u,v)\ {«,!)} 5 fl

für alle zulässigen x0, y0, y0 und xf[xu

+ \yQ-y0\)

— •/ (Konvergenz f. ü.) heißt, daß es eine Menge i? € 93mit fi(E) = 0 gibt, so daß f.ü.

fj(x) -f(x) für alle x£X\E gilt (punktweise Konvergenz f.ü.). (b) {fj{x)}J= x heißt f.ü.-Fundamentalfolge (oder f.ü.-Cauchyfolge), Menge .7? 6 93 mit i-i(E) = 0 gibt, so daß für alle E > 0 und alle xdX\E Zahl m 0 = m0(e, x) mit

falls eine

\fn(x) - fm{x)\ ^ S für alle n m ss m0 existiert. (c) f(x) sei eine meßbare Funktion, f j -v / {/x-Konvergenz heißt, daß für alle e 0 lim p({z | |/(as)-fj(x)\g 8 }) = 0 gilt .

Maßkonvergenz)

(d) {fj(x))J=i heißt ¡x-Fundamentalfolge (oder p-Cauchyfolge), und alle ¿>0 eine natürliche Zahl m0 = m0(s, d) gibt mit

oder

es eine natürliche

falls es für alle e > 0 (1)

H{{x\\ft{x)-h{x)\^ey)*» für alle

l^k^r/;(l.

Bemerkung 1. Für (c) und (d) ist folgende Verallgemeinerung von Interesse. Ist A £ S , so heißt —>-/ (/«-Konvergenz in A), daß für alle e > 0 MlA

lim n({x\xdA,

| f(x) -fj(x) |

=0

gilt. Analog gilt für //-Fundamentalfolgen in A: In (1) muß man {x \ . . . durch {x \ x£A ersetzen.

. . .

13.4. Meßbare

13.4.4.

Satz 1. [X, 33, sei ein Maßraum, und {jj(x))J=i sei eine Folge meßbarer (a) Aus f j f folgt /,->/ für jede Menge A £ 93 mit ¿tt(A) < f-ü.

133

Funktionen

Funktionen.

iAA

(b) Eine f.ü.-Fundamentalfolge Menge A £ 93 mit n{A) < «>.

ist auch

eine p-Fundamentalfolge

in A für jede

(c) Ist f-j —> / , so existiert eine Folge natürlicher Zahlen ji < j-, < < . . . mit f j —>f fürk + ~. " " (d) Ist {fj}J= i eine fi-Funda nie iitalfolge, so gibt es eine Teilfolge {fjk}k=udie f. ü.-Fundamentalfolge ist. Bemerkung 2. Ist/,- - > f , so folgt aus Bemerkung 13.4.3/2, daß f(x) meßbar ist. Aussage (a) des f. ü. Satzes ist also sinnvoll. Bemerkung 3. Die Aussagen (a) und (b) lassen sich nicht auf A = X ausdehen, wenn fi(X) = Man kann leicht Gegenbeispiele angeben. Bemerkung 4. Man kann {fj^x)}^

i aus (c) so konstruieren, daß es eine Folge Et n E-,

ist.

K^ n>. . .

von Mengen aus SS gibt mit ß ( E i ) s 2 ~ l und SUP

xiX-Ei

l/jj.«(»)-/(«)l-0

für

und 1 = 1, 2, 3, . . . Mit anderen Worten: F ü r jedes e > 0 gibt es eine Menge Ee£ SB mit ß(Ee) S c , so daß fjt(x) auf X\Ee gleichmäßig gegen /(x) konvergiert. Als Ausnahmemenge kann man in (c) etwa fl Ei nehmen. 1= l Bemerkung 5. Ist ß(X) < =», so kann man A = X in (a) und (b) setzen. Aus der f. ü.-Konvergenz folgt dann die //-Konvergenz. Die Umkehrung ist im allgemeinen nicht richtig, aber für eine passende Teilfolge hat man die Aussage (c).

Satz 2. [X, 93, sei ein Maßraum, und {fj{xVij=i sei eine Folge meßbarer (a) Aus f j - > / folgt, daß {fj{x)}J= i eine f.ü.-Fundamentalfolge ist. f. u. (b) Aus fj-^f folgt, daß {fj{x)}°j=i eine ¡x-Fundamentalfolge ist. (c) Ist {fj(x)}J= i eine f.ü.-Fundamentalfolge, mit fj~> f. Ist fj~> g, so gilt f(x) =g{x) f. ü. (d) Ist {fj{x)}J= i eine /i-Fundamentalfolge, fj-±f. Ist fj-+g, so gilt f{x) =g(x) f. ü.

Funktionen.

so gibt es eine meßbare Funktion so gibt es eine meßbare Funktion

f(x)

f(x) mit

14.

Integrationstheorie

14.1.

Integrierbare Funktionen, Eigenschaften von Integralen

14.1.1.

Integrierbare einfache Funktionen

Definition. [X, 33, ß) sei ein

Maßraum. N N (a) Eine einfache Funktion f(x) = 2 ^jXE-(x) mit aj reell, Ej £ 93, U Ej = X, E^f] Ei = Q 3=1

'

3=1

für k=tl und XEj{%) als charakteristische Funktion integrierbar, falls n(Ej) 0 für x £ X. Ist f j(x) dp = 0, so gilt p(E) = 0. E (c) Ist f(x) integrierbar und ist X = U Ej mit Ej € 33 und Ek f] El — 0 für k =t= l, so gilt }'= l

/ / ( * ) dA.= 2

/

4 = 1 Ek

(absolut konvergente

Reihe).

Bemerkung 2. Aus (c) gewinnt man folgendes Resultat: Ist f(x) integrierbar und ist E i ( z E 2 c i-Konvergenz

Definition. [X, 33, p] sei ein Maßraum, f(x) und fj(x) mit j = 1, 2, 3, . . . seien integrierbare Funktionen. (a) /,->-/ (LvKonvergenz oder Konvergenz im Mittel) bedeutet, daß Li lim/!/,(*)-/(z)|d/. = 0 gilt. (b) {/j(x)}"=i heißt - Funda mentalfolge (oder LrCauchyfolge), eine natürliche Zahl m0 = mü(e) mit f \fn(x) — fm{x)\

für alle

existiert. Lemma. [X, 33, p] sei ein Maßraum. (a) Aus /,-->-/ folgt f>->f.

n^m^m0

falls für alle e > 0

14:2. Hauptsätze

14.2.3.

(b) Ist {fj(x)}j°=t eine L^-Fundamentalfolge, talfolge.

137

soist {fj{x)}f=i auch eine ¡x-Fundamen-

Bemerkung. Ist /u(X)< so hat man nach 13.4.4. folgende Situation: Aus der f. ü.-Konvergenz folgt die ^«-Konvergenz, aus der ¿(-Konvergenz folgt ebenfalls die /«-Konvergenz. Aus der //-Konvergenz einer Folge folgt die f. ü.-Konvergenz einer geeigneten Teilfolge. Insbesondere kann man also aus einer -konvergenten Folge eine fast überall konvergente Teilfolge auswählen.

3

14.2.2.

2

Der Satz von Lebesgue

Satz. [X, 33, i-i] sei ein Maßraum, nen, g(x) sei integrierbar und \fj(x) \ Sg{x)

für

Ist entweder fj—ff oder f j

{fj(x)}J= i sei eine Folge integrierbarer

j= 1, 2, 3, . . . und x£X

Funktio-

.

f oder fj—>/, so ist f(x) integrierbar, und es gilt

//(i)d^lmi//,.Wd^.

(1)

Bemerkung. Formal kann man (1) als

/ ( lim fj(x)) dß = lim f f i ( x ) d/* schreiben. Der Satz von Lebesgue drückt also die Vertauschbarkeit von Limes und Integration aus. g(x) nennt man eine integrierbare Majorante. Ohne die Existenz einer derartigen integrierbaren Majorante ist der Satz nicht mehr richtig, wie folgendes Beispiel zeigt: I m 7?j sei f j ( x ) =j für

O S I S T

und fj(x) = 0 sonst. Dann ist f f j ( x ) dx-- l f ü r j = 1, 2, . . . Andererseits i s t / , - f . ü.

und / 0 dx = 0. Das zeigt, daß der Satz von Lebesgue in diesem Fall nicht gelten kann.

14.2.3.

Weitere Eigenschaften integrierbarer Funktionen

Aus dem Satz von Lebesgue und früheren Betrachtungen kann man einige einfache Folgerungen ziehen. Satz 1. [X, 33, ¡a] sei ein Maßraum, und j{x) nen fj(x) die Bedeutung aus (13.4.3/1), so gilt

sei integrierbar. Haben die

/ / ( * ) dp = jl i m / / , ( * ) d p . Bemerkung 1. Der Satz folgt sofort aus Satz 14.2.2, wenn m a n 0 =fj(x)

Funktio(1)

und/,-—>-/bef.ü. rücksichtigt. Das Integral über eine nichtnegative integrierbare Funktion kann man somit als Limes von Integralen über Treppenfunktionen darstellen. Das erinnert an das Riemannsche Integral. Die Verfahren sind aber unterschiedlich. Es sei e t w a i = Ä 1 , und ß sei das Lebes-

138

14.

Integrationstheorie

14.2.4.

guesche Maß im R^ Zur Konstruktion approximierender Treppenfunktionen unterteilt man beim Riemannschen Integral die x-Achse (siehe 3.2.1.), beim Lebesgueschen Integral aber die {/-Aciise.

y

fix) I I

J

I I

I

I I I I I I

I II

Lebesguesches Integral, guergestreift

Riemannsches Integral, längsgestreift

Satz 2. [X, 33, n] sei ein Maßraum. integrierbar ist.

f(x) ist genau dann integrierbar, wenn \f{x)\

Bemerkung 2. Zu diesem Satz gibt es kein Analogon in der Riemannsehen Integrationstheorie. Man vergleiche mit Satz 3.2.2/2(b) und dem Gegenbeispiel aus 3.2.4. Die dort betrachtete Funktion /(x) ist Lebesgue-integrierbar.

Satz 3. [X, 33, ¡i] sei ein Maßraum. Ist f(x) meßbar und g(x) integrierbar f{x) \ s \g{x)\ für x£X, so ist auch f(x) integrierbar. 14.2.4.

mit

Der Banachraum Lx(X, $8, fi)

Ist [X, 33, jti] ein Maßraum, so führen wir in der Gesamtheit der meßbaren Funktionen eine Äquivalenzrelation ein: / ~ g, falls f(x) = g(x) f. ü. gilt. Man sieht leicht, daß ~ die Forderungen erfüllt, die man an eine Äquivalenzrelation stellt: / (reflexiv); /~gr genau dann, wenn gr~/ (symmetrisch); aus f ~ g und g ~ h folgt (transitiv). Somit kann man die meßbaren Funktionen in Äquivalenzklassen unterteilen: [/] sei die Äquivalenzklasse, die f(x) als Repräsentanten enthält. Definition. Ll=Li(X, Funktionen, für die gilt.

33, ¡x) ist die Gesamtheit

ll[/]|IWIA(*)|di"

mit

h(x)£[f]

der Äquivalenzklassen

meßbarer (1)

Bemerkung 1. Man sieht leicht, daß (1) unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten h(x) (•_ [ / ] ist. Somit ist (1) sinnvoll.

Satz. L± ist ein Banachraum mit ||[-]||i1 als Norm. Bemerkung 2. Einen entsprechenden Satz f ü r Riemannsche Integrale gibt es nicht. Hier zeigt sich ein entscheidender Vorteil der jetzigen allgemeineren Auffassung. Bemerkung 3 (Vereinbarung). S t a t t mit Äquivalenzklassen [/] rechnen wir in Zukunft mit Repräsentanten Wir schreiben auch H/Hx, statt If/jjjx^ I m Sinne von L ± sind also zwei Funktionen gleich, wenn sie f. ü. übereinstimmen. Bemerkung 4. A u s / , • - > / folgt f\fj(x)\

d p f \ f ( x ) \ dß.

14.3.1.

14.2.0.

14.3. Transformationsformeln

1 39

Die Sätze von B. Levi und Fatou

Satz 1 (B. Levi). [X, 93, ¡i\ sei ein Maßraum, und 0 ^f\{x) = f2ix) — fz{x) = • • • se"i eine monotone Folge integrierbarer Funktionen. Es sei sup / fj{x) d n