Zahlen und Einheiten der Physik 9783111655840, 9783110035261

Table of contents :
Vorwort des Übersetzers
Vorwort
Zielsetzung
Wie dieses Buch zu benutzen ist
Inhaltsverzeichnis
Abschnitt I. Die Beschreibung von physikalischen Variablen
Abschnitt II. Zahlenwert einer physikalischen Variablen
Abschnitt III. Präzision der Aussage
Abschnitt IV. Einheiten und Umwandlung von Einheiten
Abschnitt V. Die Einheiten der Mechanik
Abschnitt VI. Die Einheiten von Elektrizität und Magnetismus
Abschnitt VII. Einheiten der Thermodynamik
Abschnitt VIII. Dimensionsanalyse
Anhang Α. Numerische Vorsatzsilben
Anhang Β. Tabellen zur Einheitenumwandlung
Anhang C. Physikalische Fundamentalkonstanten
Anhang D. Bibliographie
Sachregister

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de Gruyter Lehrbuch Carman • Zahlen und Einheiten der Physik

Zahlen und Einheiten der Physik

Robert A. Carman Department of Physics Santa Barbara City College

w DE

G Walter de Gruyter · Berlin · New York · 1972

Titel der Originalausgabe: "Number and Units for Physics" Copyright © 1969 by John Wiley & Sons, Inc., New York · London • Sydney · Toronto Übersetzt und bearbeitet von Dr.-Ing. H.W. Sichting

ISBN 3 11 0 0 3 5 2 6 X © Copyright 1971 by Walter de Gruyter & Co., Berlin, vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung, J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung, Georg Reimer, Karl J. Trübner, Veit & Comp. Alle Rechte, insbesondere die der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form — durch Photokopie, Mikrofilm oder irgendein anderes Verfahren — reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsmaschinen, verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden. Satz: Fotosatz Prill, Berlin — Druck: Mercedes-Druck, Berlin Printed in Germany.

Vorwort des Übersetzers

Jeder, der auf dem Gebiet der Naturwissenschaft und Technik arbeitet, wird die Schwierigkeiten kennen, die sich aus der Vielzahl der heute noch existierenden Einheiten und Einheitensysteme ergeben. Das sichere und mühelose Umgehen mit Zahlenwerten und Einheiten ist daher für die klare und unzweideutige Darstellung von Meßergebnissen von entscheidender Bedeutung, jedoch wird dem Studenten in den seltensten Fällen ein geschlossener Kursus zu diesem Thema angeboten, da derart selbstverständliche' Dinge im Studiengang gern übersehen werden. Das vorliegende Buch möchte den Studenten und ihren Lehrern helfen, diese Schwierigkeiten zu überwinden. Es bietet dem Studenten einen Ausbildungskurs in programmierter Form über die Darstellung von Zahlen, Abrunden, signifikante Stellen, Dimensionen, Einheiten*, Einheitensysteme und Dimensionsanalyse, während es dem Lehrer das ermüdende „Griffe klopfen" abnimmt, das das Einüben dieser Grundkenntnisse nun einmal mit sich bringt. Die Programmform regt den Leser dabei stärker als andere Lehrbuchtexte zur Mitarbeit an und erlaubt darüber hinaus eine genaue Voraussage des Lernerfolgs, der sich beim Durcharbeiten des Programms einstellen wird, wobei das Lerntempo und der Zeitpunkt des Lernens dem Leser selbst überlassen bleiben. Anhand der reichhaltigen Aufgabensammlungen, die am Ende der einzelnen Abschnitte zusammen mit ihren eingehend erläuterten Lösungen angegeben sind, läßt sich dieser Lernerfolg sowohl vom Leser selbst als auch vom Ausbilder (z.B. in einem schriftlichen Test) überprüfen. * Da das Buch aus dem Amerikanischen übersetzt wurde, findet sich im Abschnitt V I I , Einheiten der Thermodynamik, ein umfangreiches Programm zur Umwandlung von Fahrenheit- in Celsius-Temperaturen, die im allgemeinen für deutsche Leser keine große Bedeutung haben dürfte, so daß dieser Teil des Textes beim Studium des Programms weggelassen werden kann.

V

Im Anhang des Buches findet der Leser ausgedehnte Tabellen zur Umwandlung der Einheiten für die wichtigsten physikalischen Größen in den verschiedenen Maßsystemen, die das Buch zu einem praktischen Nachschlagewerk machen. Falls Sie das Programm durcharbeiten möchten, sehen Sie es bitte als Denksportaufgabe oder wie ein Kreuzworträtsel an — lernen darf ja auch Spaß machen!

Berlin 1971

VI

H . W . Sichting

Vorwort

Die übliche Vorlesungs- und Seminararbeit in Physik, Chemie oder den Ingenieurwissenschaften hat zum Ziel, dem Studenten bei der Entwicklung eines Netzwerkes von Vorstellungen und Ideen zu helfen, das seine Erfahrungen aus der dinglichen Welt miteinander verknüpft. Z u diesem Zweck werden gewöhnlich sorgfältige Schritte angegeben, um Demonstrationen ausgewählter Phänomene vorzuführen und Experimente, theoretische Strukturen und die Mathematik zu ihrer Beschreibung zu vermitteln. Unglücklicherweise wird der Geschicklichkeit bei der Formulierung und Umwandlung quantitativer Aussagen wenig Aufmerksamkeit gewidmet. Die meisten Studenten in den naturwissenschaftlichen Anfangskursen erhalten, wenn überhaupt, nur sehr wenig exakte Anleitungen für das Schreiben von Zahlen in Exponentialform, für signifikante Stellen bei einer Messung, Dimensionen, Einheiten und Umwandlung von Einheiten. Die Sprache, die sie zur Beschreibung all dessen verwenden werden, was sie in den Naturwissenschaften lernen, wird üblicherweise auf's Geratewohl erworben. Bei vielen verläuft dieser Vorgang schmerzhaft langsam und es bildet sich eine Sprachbarriere heraus, die häufig zukünftigem Verständnis und der Leistungsfähigkeit im Wege ist. Diese Barriere ist häufig für die hohe Verlustquote verantwortlich, die für Kurse in den Naturwissenschaften kennzeichnend ist. Es ist nicht wahr, daß der Naturwissenschaftler jeden Aspekt einer jeden wissenschaftlichen Aussage, die er macht, sorgfältig überdenkt. Es ist vielmehr ein Maß für sein Verständnis seines Sachgebiets, in welchem Umfang er wichtige Operationen durchführen kann, ohne überhaupt über sie nachzudenken. Der Zweck dieses Buches ist es, dem Studenten dabei zu helfen, sich die Grundbegriffe unserer quantitativen, wissenschaftlichen Sprache anzueignen, damit er sie richtig anwenden kann, ohne wirklich an sie zu denken, und sie gleich vom Anfang seines Studiums an verwendet.

VII

Aldous Huxley sagte einmal: „Die alte Vorstellung, daß Wörter magische Kraft besitzen, ist falsch; aber ihr Fehler ist die Verzerrung einer sehr wichtigen Wahrheit. Wörter haben einen magischen Effekt — aber nicht auf die Weise, wie die Zauberer annahmen, und nicht auf die Gegenstände, die sie zu beeinflussen versuchten. Wörter sind magisch in dem Sinne, daß sie die Gedanken derer beeinflussen, die sie verwenden." Jeder Lehrer hat gelernt, daß dies wahr ist. Sage die richtigen Wörter, und die Neigung, einen Begriff richtig zu benutzen, wird anwachsen. Verwende die geeignete physikalische Sprache, und die Vorstellung wird sich viel leichter einprägen. Dieses Buch versucht nicht, irgendwelche physikalischen Begriffe in aller Tiefe zu entwickeln. Es soll kein Physik- oder Chemielehrbuch ersetzen. Es ist als Ergänzung zu bereits vorliegenden Lehrbüchern dieser Gebiete gedacht und soll diese besser zur Wirkung bringen. Es soll die formale Kursusarbeit ergänzen, ohne Zeit im Hörsaal oder Seminar zu verbrauchen. Da es in programmierter Form geschrieben ist, bietet es sich als besonders geeignet für den Selbstunterricht, für die Nachhilfe und die Wiederauffrischung des Stoffes an. Das ganze Buch hindurch liegt die Betonung auf der Aufforderung an den Studenten, aktiv am Lernprozeß teilzunehmen anstatt unverbindlich durch viele Hektar von Prosa zu schlafen. Studienanfänger in Physik, Chemie und den anderen Natur- und Ingenieurwissenschaften sollten in diesem Buch eine nützliche Einleitung zur quantitativen Arbeit auf diesen Gebieten finden. Es wird vorausgesetzt, daß der Leser an einem Kurs teilnimmt, in dem die formalen physikalischen Grundbegriffe gelehrt werden und daß er dieses Buch als Ergänzung zu seinem Lehrbuch und den Vorlesungen verwendet. Ausgedehntes Erproben hat bewiesen, daß das Programm mit Erfolg zum Selbstunterricht, als eine Einleitung zu Grundbegriffen und als Nachschlagewerk eingesetzt werden kann. Die mathematischen Anforderungen für dieses Programm würden durch einen Einführungskurs in Algebra befriedigt. Die meisten der mathematischen Operationen, die hier verwendet werden, werden im Text entwickelt. Die ausgedehnten Tabellen zur Umwandlung von Einheiten sollten sich als wertvolles Bezugsmaterial für das Arbeiten in den Naturwissenschaften und der Technik erweisen. Die beste Beschreibung für die Ziele eines Lehrbuchs ist eine Liste von Aufgaben, die der Leser wird lösen können, wenn er das Buch richtig durchgearbeitet hat. Hier haben Sie eine solche Liste. Behandeln Sie diese Reihe von Aufgaben wie einen Eingangstest, und verwenden Sie VIII

die Tabellen im Anhang. Wenn Sie diese Aufgaben schnell und erfolgreich erledigen, werden Sie dieses Buch nur zum Vergnügen nützlich finden.

EINGANGSTEST 1.

Berechnen Sie: (a)

(3 Χ 106 - 8 Χ 105) 1,4 X 10~3 (c) 4,1 X 10!5 Bestimmen Sie Α = , , wobei nach Messung R = 1,016 cm (R-rr und r = 1,020 cm sind. Runden Sie auf drei signifikante Stellen ab: (a) 1,46459 (b) 1300 (c) 199,99 (b)

2. 3.

4. 5. 6.

7.

λ/3,71 X K T 3

Wie groß ist die Länge eines Stabes von 1,5 cm in Nanometer? Drücken Sie eine Ladung von 1,5 X 10~7 emE in esE und MKSAEinheiten aus. Das Stokes'sche Gesetz beschreibt die Brems- oder Reibungskraft F, die auf eine Kugel des Radius R wirkt, wenn diese sich mit einer Geschwindigkeit ν in einer Flüssigkeit der Viskosität η bewegt. Bestimmen Sie die Form des Stokes'schen Gesetzes mit Hilfe einer Dimensionsanalyse. Unterscheiden Sie zwischen 2 °C und 2 C°.

LÖSUNGEN ZUM EINGANGSTEST 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(a) 6,09 Χ 10"2 (b) 2 X 1 0 6 (c) 3 , 4 Χ 1 0 ' 9 5 2 7,854 X 10 cm' (a) 1,46 (b) 1,30 Χ 103 (c) 2,00 Χ 102 7 1,5 Χ 10 nm 4,5 Χ 103 esE, 1,5 Χ 10"6 Coulomb F = KRv-η 2 °C ist ein Punkt auf der Celsius-Temperatur-Skala; 2 C° ist ein Intervall auf dieser Skala. IX

Es ist mir ein Vergnügen, meiner Dankespflicht gegenüber einer Anzahl von Leuten nachzukommen, die eine sehr wichtige Rolle beim Zustandekommen dieses Buches gespielt haben. Ich hatte das Glück, die Unterstützung zweier hervorragender Col lege-Verwalter zu haben, Dr. H. J. Sheffield und J. W. McDaniel. Ich bin dankbar für die Freiheit und Anleitung, die sie mir gewährten. Mein Kollege, John C. Menzie, hat größere Beiträge zur Form, zum Inhalt und zur Erprobung dieses Programms geliefert. Seine Hilfe und Begeisterung haben meinen tiefsten Dank verdient. Es war für mich ein besonderes Vergnügen, mit der Redaktion von John Wiley and Sons zusammenzuarbeiten; sie war sehr geduldig und verständnisvoll, mit mir eine Anzahl von Verzögerungen und Frustrationen zu ertragen. Emerson sagte einmal, daß unser Hauptmangel im Leben jemand ist, der uns dazu bringt, das zu tun, was wir tun können. Ich muß voll Dankbarkeit die Art anerkennen, in der meine Frau 'Lyn diesem Mangel begegnete. Sie bewährte sich als Schreibkraft, Ratgeber für alle Teile des Manuskripts, Hauptinspiration und Mitstreiter. Es ist mit Sicherheit wahr, daß dieses Buch ohne ihre Hilfe jetzt nicht vorliegen würde. Schließlich bin ich den vielen, lange leidenden Studenten zu Dank verpflichtet, die sich durch die aufeinanderfolgenden Stadien dieses Programms durcharbeiteten und von denen ich viel gelernt habe. Ich will nicht versuchen, eine Namensliste aufzustellen, damit sie nicht gleichen Rang auf der Titelseite beanspruchen. August 1969

Goleta, Kalifornien

X

Robert A. Carman

Zielsetzung

Ein Programm zum Selbstunterricht wird anders als traditionelle Texte nicht völlig auf Grund von geistigen Bemühungen eines Autors in der Stille seines Arbeitszimmers geschaffen. Programme werden mit Hilfe von Studenten erprobt und revidiert, um ihre Brauchbarkeit sicherzustellen. Dieses Vorgehen erlaubt uns, mit Sicherheit vorauszusagen, was die meisten Studenten nach dem Programm lernen werden. Eine detaillierte Liste dieser Voraussagen folgt — die erzieherische Zielsetzung dieses Textes. Abschnitt I Dieser ist eine kurze Einführung in die Probleme der unzweideutigen Beschreibung physikalischer Größen. Studenten, die diesen Abschnitt erledigt haben, werden in der Lage sein, die Notwendigkeit der genauen Angabe von Größe, Einheiten und Präzision physikalischer Variabler zu diskutieren. Abschnitt II Die Größe einer physikalischen Variablen kann in exponentieller oder Zehnerpotenz-Schreibweise angegeben werden. Ein Student, der dieses Programm durcharbeitet, kann: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Zahlen von der Dezimal- in die Exponentialform übersetzen, Zahlen von der Exponential- in die Dezimalform übersetzen, die Standard-Exponentialform erkennen, die Größenordnung einer Zahl bestimmen, Zahlen, die in Exponentialform geschrieben sind, multiplizieren, dividieren, addieren und subtrahieren, die Quadratwurzel einer Zahl, die in Exponentialform geschrieben ist, bestimmen.

XI

Abschnitt III Die Bestimmung des Wertes einer physikalischen Größe setzt irgendeine Messung voraus, und jede Beschreibung dieser Größe sollte daher implizit oder explizit eine Aussage über die Präzision der Messung enthalten. Nach Abschluß dieses Abschnitts wird der Student in der Lage sein: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

die Grundbegriffe von Messung, wahren Wert und Unsicherheit der Messung zu diskutieren, die Skalengrenze für jede Meßaussage zu bestimmen, die Zahl der signifikanten Dezimalstellen einer jeden Meßaussage zu ermitteln, den Bereich anzugeben, innerhalb dessen der wahre Wert einer jeden Messung bekannt ist, jeden Meßwert auf eine vorgegebene Anzahl von signifikanten Stellen abzurunden, jede beliebige Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division durchzuführen und die Lösung mit der angemessenen Zahl von signifikanten Stellen anzugeben.

Abschnitt IV Das Wesen von Einheiten und die Probleme bei der Umwandlung von Einheiten werden in diesem Abschnitt untersucht. Die erfolgreiche Durcharbeitung dieses Materials wird es dem Studenten ermöglichen: 1. 2. 3. 4.

das Wesen von einfachen und zusammengesetzten oder abgeleiteten Einheiten zu diskutieren, eine Gleichung auf die richtigen Dimensionen zu überprüfen, Einheiten richtig bei der Auswertung einer physikalischen Gleichung einzusetzen, eine physikalische Größe von den Einheiten, in denen sie ausgedrückt wird, unter Verwendung von Einheitsbrüchen in beliebige andere Einheiten umzuwandeln.

Eine ausführliche Tabelle von Einheitsbrüchen zur Verwendung für die Umwandlung von Einheiten ist im Anhang angegeben. Abschnitt V Das Wesen der in der Mechanik üblichen Einheitensysteme wird hier untersucht. Nach sorgfältigem Durcharbeiten dieses Abschnitts kann von den Studenten erwartet werden, daß sie: 1. 2. XII

unterscheiden zwischen [M] [/.] [ Γ ] und [F] [Z.] [7~]-Systemen, die CGS-, M K S - und FPS-Einheitensysteme beschreiben können,

3.

4. 5.

die Rolle von Vergleichsstandards bei der Bestimmung von Einheiten diskutieren und die Standards für Masse, Länge und Zeit beschreiben können, unterscheiden zwischen Masse und Gewicht, unter Verwendung anderer Grundeinheiten für Masse, Länge und Zeit andere Einheitensysteme entwerfen können.

Abschnitt VI Die beim Studium des Elektromagnetismus verwendeten Einheiten sind gewöhnlich für die Studenten in einem Einführungskurs in die Physik eine Quelle von Verwirrung und Angst. Dieser Abschnitt wird den Studenten in die Lage versetzen: 1. 2. 3.

zu unterscheiden zwischen den MKSA-, emE-, esE- und Gaußschen Einheitensystemen, zu beschreiben, wie diese Systeme entworfen wurden, das Elektronenvolt als Energieeinheit zu verwenden.

Abschnitt VII Eine-Beschreibung der in der Thermodynamik interessierenden Variablen setzt die Benutzung einer Temperatur-Dimension voraus. Ein Student, der diesen Abschnitt erledigt hat, kann: 1.

6.

die Eigenschaften der Temperatur und das Wesen und das Entwerfen von Temperaturskalen diskutieren, zwischen Fahrenheit-, Celsius- und Kelvin-Temperaturskalen unterscheiden, Punkte auf diesen Skalen ineinander umwandeln, Temperaturintervalle auf diesen Skalen ineinander umwandeln, Wärme definieren und Wärmeeinheiten in Beziehung zu mechanischen Energieeinheiten setzen, die Kalorie und die BTU definieren,

7.

den Druck und seine Einheiten definieren: psi, Torr, atm usw.

2. 3. 4. 5.

Abschnitt VIII Das Ziel dieses Abschnitts ist es, dem Studenten dabei zu helfen, die Prinzipien der Dimensionsanalyse in der Elementarphysik zu benutzen. Studenten, die diesen Abschnitt mit Erfolg abschließen, werden in der Lage sein: 1. die Richtigkeit der Dimensionen einer physikalischen Gleichung zu überprüfen, 2. eine einfache Dimensionsanalyse durchzuführen, um die Form eines physikalischen Zusammenhangs zu entdecken. XIII

Wie dieses Buch zu benutzen ist

Viele Teile dieses Buches unterscheiden sich sehr stark von den üblichen Lehrbüchern; sie können nicht gelesen werden, wie herkömmliche Lehrbücher gelesen werden. Sie müssen vielmehr durchgearbeitet als gelesen werden. Durch das ganze Buch hindurch wird Lehrstoff angeboten, den Sie zunächst einmal richtig anzuwenden wissen müssen, bevor Sie zu weiter fortgeschrittenem Material übergehen. Bei der Benutzung dieses Buches ist folgendes Vorgehen unbedingt einzuhalten: 1.

Lesen Sie die Informationen über den Lehrstoff, und arbeiten Sie sorgfältig alle Beispiele durch.

2.

Wenn Sie physikalische Grundbegriffe antreffen, die Sie nicht verstehen oder die Ihnen noch nie zuvor begegnet sind, ist dies ein Zeichen dafür, daß Sie auf Ihr Lehrbuch oder eine andere Quelle für eine Einführung in diese Grundvorstellungen zurückgreifen müssen. Dieses Buch ist kein Ersatz für ein Physik-, Chemie- oder irgendein anderes naturwissenschaftliches Lehrbuch, es ist eine Ergänzung zu bestehenden Texten und sollte im Zusammenhang mit diesen verwendet werden.

3.

Wenn am Ende des Informationsabschnitts Aufgaben gestellt werden, lösen Sie diese sorgfältig. Gewöhnlich werden verschiedene mögliche Antworten nach jeder Aufgabe aufgeführt. Jede Antwort wird Sie zu verschiedenen Stellen in diesem Buch führen. Wählen Sie die Antwort, von der Sie meinen, es sei die richtige, und wenden Sie sich dann dem angegebenen Abschnitt zu. Die Seiten dieses Buches sind in Abschnitt Α, Β C usw. eingeteilt. Z.B. bezieht sich Seite 13D auf einen Abschnitt unten auf Seite 13, Seite 39A auf einen Abschnitt oben auf Seite 39.

4.

XIV

5.

6.

7.

Auf verschiedenen Seiten werden Sie gefragt werden, welche aus einer Anzahl von Aussagen nicht richtig ist. Um diese Art von Frage richtig zu beantworten, sollten Sie jede Aussage überprüfen, entscheiden, welche falsch ist und zu der Seite und dem Abschnitt weitergehen, der dann angegeben wird. Gelegentlich wird von Ihnen verlangt werden, selbst eine Antwort zu liefern. Es wird keine Liste von Antworten zur Auswahl angegeben, aber Sie werden die Anleitung erhalten, Ihre Lösung mit der in einem anderen Abschnitt angegebenen zu vergleichen. Einige Fragen am Ende eines Abschnitts können recht schwierig aussehen. Diese verlangen gewöhnlich, daß Sie das bereits vorliegende Material sinnvoll weiter ausdehnen. Es wird sich für Sie sehr lohnen, wenn Sie sich die Zeit nehmen und diese Aufgaben selbst ausarbeiten. Behandeln Sie sie wie ein Abenteuer!

Um jetzt zu beginnen, schlagen Sie Seite 1 auf.

XV

Inhaltsverzeichnis

Abschnitt I. Abschnitt II.

DIE B E S C H R E I B U N G V O N PHYSIKALISCHEN V A R I A B L E N Z A H L E N W E R T EINER P H Y S I K A L I S C H E N

1

VARIABLEN

7A

Abschnitt III.

P R Ä Z I S I O N DER A U S S A G E

49

Abschnitt IV.

EINHEITEN UND UMWANDLUNG V O N

Abschnitt V . Abschnitt VI.

EINHEITEN

90A

DIE E I N H E I T E N DER M E C H A N I K

115

DIE E I N H E I T E N V O N E L E K T R I Z I T Ä T UND MAGNETISMUS

144

Abschnitt VII.

E I N H E I T E N DER T H E R M O D Y N A M I K

154

Abschnitt VIII.

DIMENSIONSANALYSE

Anhang A. Anhang B.

NUMERISCHE VORSATZSILBEN T A B E L L E N ZUR EINHEITENUMWANDLUNG PHYSIKALISCHE

AnhangC. Anhang D. SACHREGISTER

179A 195 199

FUNDAMENTALKONSTANTEN

224

BIBLIOGRAPHIE

225 227

XVII

Meinen Vätern Ed und Caroli

Abschnitt I. Die Beschreibung von physikalischen Variablen

Wenn du das, wovon du sprichst, messen und in Zahlen ausdrücken kannst, weißt du etwas davon; wenn du es jedoch nicht messen kannst, wenn du es nicht in Zahlen ausdrücken kannst, ist dein Wissen von dürftiger und unbefriedigender Art. -Lord Kelvin (1824-1907)-

Diese Feststellung eines berühmten Physikers drückt sehr gut die Einstellung aus, die ein Physiker gegenüber seinem Studium der Natur einnimmt. Beinah jede Operation in der Physik hängt von einer Messung ab, und es ist die Haltung des Physikers, daß nur in Zahlenwerten ausdrückbare Beobachtungen für ihn von Nutzen beim Ausweiten seines Verstehens der dinglichen Welt sein werden. Dieses ist nicht notwendigerweise in anderen Studiengebieten wahr, bei denen der Untersuchungsgegenstand Ergebnisse liefern kann, die qualitativ oder beschreibend sind. Der Biologe oder Psychologe z.B. müssen häufig mit Beschreibungen und Klassifizierungen an Stelle von numerischen Daten arbeiten. Der sorgfältige Naturwissenschaftler darf nicht damit zufrieden sein, seine Beobachtungen in so grobe Kategorien einzuteilen wie groß oder klein, Fisch oder Federvieh, introvert oder extrovert. Er muß ständig versuchen, seinen Begriffen quantitative so gut wie qualitative Bedeutung zu geben. Er muß die Fragen beantworten: „Wie groß?" „Wie klein?" „Welches sind die präzisen Grenzen dieser Kategorien?" Nur auf diese Art kann er sicher sein, Naturgesetze zu formulieren, die zuverlässig das komplexe Geschehen in der Natur wiederspiegeln. Der höchste Ruhm eines physikalischen Gesetzes ist, daß es funktioniert, und es ist sein quantitativer oder numerischer Aspekt, der es uns ermöglicht, festzustellen, daß es wirklich funktioniert. In diesem Buch werden wir das Studium der Natur als gleichbedeutend mit dem Studium dessen ansehen, was wir physikalische Variable oder 1

physikalische Größen nennen. Diese Größen, welche wegen ihrer Nützlichkeit bei der Beschreibung der dinglichen Welt wichtig sind, werden durch zwei Eigenschaften charakterisiert. Es wird möglich sein, eine physikalische Größe numerisch auszudrücken (d.h. ihr einen Zahlenwert zuzuschreiben). Zweitens wird es immer möglich sein, eine exakte Methode zur Messung der Größe anzugeben. Der österreichische Physiker-Philosoph Ernst Mach (1838-1916) bestand darauf, daß Naturgesetze so formuliert sein müssen, daß sie nur Begriffe enthalten, die durch direkte Beobachtung der Natur oder durch eine kurze Folge von Überlegungen aus diesen Beobachtungen definiert werden können. Die Formulierung der Gesetze der Physik wird seit langem von Machs Ausspruch beherrscht, und die sich daraus ergebende Einfachheit und Schönheit unserer Anschauung von der Natur ist eine Reflektion seiner Richtigkeit. Somit definieren wir einen physikalischen Begriff, indem wir beschreiben, wie er zu messen ist. Wir nennen dies eine Operations-Definition. Alle physikalischen Variablen müssen auf diese Weise definiert werden, wenn auch sehr komplexe Begriffe nur indirekt gemessen werden können. Jede Größe, die nicht auf irgendeine Weise gemessen werden kann, auch nicht indirekt durch Berechnung aus Meßgrößen, kann ganz sicher keinen physikalischen Sinn haben. Vages Einverständnis hat hier keinen Platz. Wir benutzen eine präzise Sprache und unsere Begriffe haben Substanz; sie sind real; sie sind aufzeigbar. Wir arbeiten nicht mit den flüchtigen Rauchringen des PseudoWissenschaftlers, dessen Begriffe schillern und sich in ihrer Bedeutung verzerren und mit Zustand seiner Verdauung schwanken. Wenn unsere Operations-Definition richtig ausgeführt wurde, ist unser Begriff nicht nur meßbar, sondern auch wiederholtmeßbar. Nach der Definition einer Größe können wir sie wieder unter gewissen, genau beschriebenen Bedingungen messen und im wesentlichen das gleiche Resultat erhalten. Wie gut oder wie reproduzierbar wir sie messen können, ist ein Teil der Aussage über eine Messung. Es ist ein wesentliches Charakteristikum der Naturwissenschaften, daß die betrachteten Ereignisse nicht einzigartig sind. Bei der Untersuchung der dinglichen Welt unternehmen wir den Versuch, aus einzigartigen Ereignissen gewisse ständig wiederkehrende Themen oder Beziehungen herauszudestillieren. Jedes chemische Element ist einzigartig, dennoch findet der Atomwissenschaftler, daß es möglich ist, gewisse Aspekte des Verhaltens der chemischen Elemente mit einer einzigen Aussage oder Gleichung genau zu beschreiben, die physikalische Variable verknüpft. Eine physikalische Gleichung ist eine mathematische Aussage über die Beziehung zwischen physikalischen Variablen. Eine solche Aussage ist 2

eine Beschreibung des physikalischen Verhaltens. Z.B. ist die effektive Temperatur eines Sterns mit seinem Durchmesser und seiner Lichtstärke, wie sie uns erscheint, verknüpft. Die physikalische Gleichung, die diese Variablen verknüpft, lautet: Τ =5770 ty L/D2. Es würde vollkommen korrekt sein, diese physikalische Beziehung in einem nichtmathematischen Satz auszudrücken, der sich aus Substantiven, Verben usw. zusammensetzt. Das Ergebnis würde als eine Beschreibung der Natur zwar schwerfällig, aber akzeptabel sein. Jede der physikalischen Variablen, Temperatur, Lichtstärke und Durchmesser ist selbst durch eine Operationsdefinition in einem Meßvorgang bestimmt. In einem sehr realen Sinn spielt der Physiker ein einfaches Spiel, bei dem er gewisse (gewöhnlich visuelle) physikalische Ereignisse auswählt und versucht, diese mit anderen physikalischen Ereignissen in Beziehung zu setzen. Er lebt in einer Welt elektronischer Anzeigen, Zeigerpositionen, photographischen Aufzeichnungen und Markierungen auf Metermaßen. Er sucht sich bestimmte dieser Ereignisse aus verschiedenen, anderweitigen Gründen aus und versucht, eine Regelmäßigkeit in ihrem Verhalten zu entdecken und sie zu anderen, ähnlichen Ereignissen in Beziehung zu setzen. Die Auswahl der Ereignisse ist ganz und gar nicht zufällig oder willkürlich, denn der Physiker hat erkannt,daß er bestimmte Ereignisse und entsprechende Meßinstrumentablesungen zuverlässig durch Manipulation der Natur hervorrufen kann. In dem Maße, in dem er mit Sicherheit die Ergebnisse seiner Manipulationen beschreiben kann, sagen wir, daß er Kontrolle über die Natur besitzt. Wenn er einfallsreich bei der Auswahl von Ereignissen für die Untersuchung und erfindungsreich bei seiner Erforschung der möglichen Zusammenhänge ist, die zwischen den ausgewählten pyhsikalischen Variablen bestehen könnten, kann er einige wenige Geheimnisse der Natur entreißen. Unglücklicherweise zeigt uns die Natur nicht so leicht die tiefsten Geheimnisse der Schöpfung, und die Geschichte der wissenschaftlichen Entdeckungen ist die Geschichte von geduldiger Suche, versuchsweisen Schlußfolgerungen und Annäherungen an die Wirklichkeit. Die präzise Beschreibung physikalischer Variablen ist die Grundlage der Wissenschaft und das Anliegen dieses Buches. Wir weisen daher qualitative oder verbale Beschreibungen zurück, in denen keine Zahlen erscheinen und betrachten quantitative Beschreibungen. Jede quantitative Angabe einer physikalischen Variablen wird drei Teile enthalten: Größe oder Zahlenwert, Präzision und Einheit. Der Zahlenwert einer Variablen ist ein Maß ihrer Größe, Ausdehnung, Menge oder Betrag. Er 3

ist ein einfacher Zahlenwert, eine reine Zahl. Die Präzision der Variablen ist ein Anzeichen dafür, wie reproduzierbar sie ist. Sie beantwortet die Frage: „Wieviel Vertrauen haben wir darauf, daß die nächste Messung dieselbe Zahl ergibt?" Die Einheit der Messung ist eine ausgewählte Größe der Variablen, mit deren Hilfe andere Größen derselben Variablen ausgedrückt werden können. Sie ist ein Vergleichsstandard. (Darüber hinaus gibt es einige physikalische Größen, die Vektoreigenschaften besitzen und es erforderlich machen, daß eine Richtung angegeben wird oder daß die Variable durch einen Satz von Zahlen an Stelle einer einzigen Zahl beschrieben wird. Wir werden uns hier nicht speziell mit Vektorvariablen beschäftigen, sondern mit den Eigenschaften aller physikalischen Variablen.) Jede dieser drei Eigenschaften ist wichtig für die Beschreibung einer physikalischen Variablen. Wenn eine von ihnen fehlt, ist die Aussage unrichtig und kann zu ernsthaften Schwierigkeiten bei der Lösung physikalischer Probleme führen. Ehe wir noch weiter physikalische Variable bloß diskutieren, lassen Sie uns lernen, wie mit ihnen gearbeitet wird. Um zu beginnen, gehen Sie nach Seite 5C.

4

5A

Sie haben die Anweisungen nicht befolgt. An keiner Stelle in diesem Buch wird Ihnen gesagt, zu diesem Abschnitt zu gehen. Gehen Sie auf den Abschnitt mit dem Titel „Wie dieses Buch zu benutzen ist" zurück, lesen Sie die Anweisungen sorgfältig und fahren Sie dann wie angegeben fort. (Ich weiß, um alles für Ihr Geld aus diesem Buch zu holen, fühlen Sie sich verpflichtet, jede Seite zu lesen!)

5B

Von S. 5C

Wenn Sie sorgfältig gemessen haben, haben Sie wahrscheinlich aufgeschrieben, daß das Ergebnis lautet: Länge = 6,35 cm Aber Sie hätten genauso gut etwa folgendes schreiben können: Länge = 2,5 Zoll (in.), Länge = 5 / 2 4 Fuß (ft.), Länge = 63,5 m m , oder irgendwelche anderen Angaben für die Länge der Linie machen können. Jede dieser Aussagen enthält die drei grundlegenden Bestandteile einer physikalischen Variablen: (a) . (b) (c) siehe S. 6 A

5C Die Länge dieser Linie ist eine physikalische Variable:

Nehmen Sie einen Maßstab (Metermaß, Lineal, Zollstock usw.) und bestimmen Sie die Länge dieser Linie. Schreiben Sie Ihre A n t w o r t hier nieder: Länge = und gehen Sie nach S. 5B.

6A

Von S. 5B

(a) Zahlenwert der Größe (b) Präzision der Messung (c) Einheit der Messung In diesem Fall ist der Zahlenwert der Größe die Maßzahl vor der Einheit, die Präzision ist ein Maß dafür, wie sorgfältig oder wie präzis die Messung durchgeführt wurde, und die Einheit der Messung gibt an, welcher Standard bei der Messung verwendet wurde. Dieses wird mit weiteren Einzelheiten auf S. 6B gezeigt. 6B

Von S. 6A

Länge

6,35

Zentimeter

Größenart oder Name der physikalischen Variablen (a) Zahlenwert, eine reine Zahl und ein direktes Ergebnis der Messung

(b) Die Präzision der Messung wird durch die Zahl der signifikanten Stellen gekennzeichnet (d.h. 6,35 cm oder 6,350 cm oder 6,35000 cm)

(c) Die Einheit, eine Aussage in Wörtern oder Symbolen des Grundstandards der Messung. Es steht uns frei, irgendeine aus einer Vielzahl von Einheiten zu benutzen; Zoll, Fuß, Centimeter, Kilometer, Angström usw.

Wenn wir uns den tatsächlichen Meßvorgang ansehen, der zur Bestimmung dieser Beschreibung durchgeführt wurde, erkennen wir, daß es vernünftig ist, diese Größe zu schreiben als Länge = 6,35 X 1 cm Diese Art der Darstellung sagt uns, daß die unbekannte Länge mit einem Standard der Länge 1 cm verglichen wurde und sich zu 6,35 mal so lang wie der Standard ergab. Jede Messung, so komplex sie auch sein mag, umfaßt diese beiden Vorgänge: (a) Auswahl eines Standard- oder Einheitsbetrages der zu messenden Größe und (b) Abzählen, wie oft der Standard in der zu messenden Größe enthalten ist. Im nächsten Abschnitt werden wir uns mit dem mathematischen Handwerkszeug beschäftigen, wie der Zahlenwert einer physikalischen Variablen klar und rationell anzugeben ist. Um damit zu beginnen, gehen Sie nach Seite 7A.

Abschnitt II. Zahlenwert einer physikalischen Variablen

Der Leser darf es nicht zulassen, daß er von der Mathematik geprellt wird. -Ε. A. MUne—

Es ist für den Alltagsgebrauch völlig vernünftig zu sagen, daß ein Mann 1,80 m groß oder 4 5 Jahre alt ist oder daß ein Sandkorn einen Durchmesser von 0 , 0 8 cm hat. Es ist gleichermaßen einzusehen, daß dieselbe Art von Angaben völlig unbrauchbar sein wird, sobald wir Größen diskutieren, die für den Wissenschaftler interessant sind. Wie schwerfällig ist es zu schreiben, daß der Radius des Universums auf annähernd 3 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 Meilen geschätzt wird, sein Alter auf etwa 1 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 Sekunden oder daß der Radius des Wasserstoffatoms 0 , 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 5 . 2 9 cm beträgt, wogegen der Durchmesser der Sonne 1 3 . 9 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 cm und der des bekannten Universums ungefähr 1 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 cm ausmacht. (Das sind 27 Nullen, falls Sie sich verzählt haben sollten.) Wegen dieser sehr großen Schwankungen im Ausmaß der Größen, mit denen wir arbeiten, müssen wir entweder eine kompakte Schreibweise finden oder viel Zeit damit verschwenden, über Nullen zu stolpern. Die kompakte Sprache, die alle Naturwissenschaftler verwenden, heißt „Exponential-" oder „Zehnerpotenz-"Schreibweise. Wie würden Sie 1000 als Zehnerpotenz schreiben, wenn Sie beachten, daß 100 = 10 X 10 = 10 2 ist? (a) (b)

100 X 10 100 X 100

siehe S. 9C siehe S. 9 D

(c)

10 X 10 X 10

siehe S. 9B 7A

8A

Von S. 10C

Tut mir leid, Sie haben sich gleich zweimal geirrt! Denken Sie daran, daß der Exponent bei der Zehnerpotenz-Schreibweise (die 3 in 103) gleich der Zahl von Nullen ist, die der Eins in der Dezimalschreibweise folgen. (10 3 = 1000 und hier folgen 3 Nullen der 1 in 1000.) Gehen Sie nach Seite 10C zurück, und versuchen Sie es noch einmal.

8B

Von S. 9B

Sie sind also der Ansicht, daß die 10 in 107 der Exponent ist. Ich glaube, Sie wollen mich auf den Arm nehmen. Erinnern Sie sich, wir sagten, daß der Exponent in 107 die Anzahl von Zehnen angibt, die wir miteinander multiplizieren müssen, um die entsprechende Dezimalzahl zu erhalten: 10.000.000 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10. Nun zurück an die Arbeit. Seite 8C als nächste.

8C

V o n S. 9B oder 8B

Sie haben recht. 7 ist der Exponent in 107 und er gibt die Anzahl von Zehnen an, die miteinander multipliziert werden müssen, um 107 zu erhalten. Somit bedeutet 107 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 (sieben Zehnen) = 10.000.000. Die Exponentialform ist sicherlich eine kompakte Art, die Zahl zu schreiben. Nun probieren Sie einmal dies: 100.000 = 10* (a) (b)

χ =5 χ =4

siehe Seite 10C siehe Seite 10B

9A

Von S. 10C

Sie haben falsch geantwortet. Sehen Sie sich die erste Aufgabe an. Wenn 101 = M ist, was ist dann M? Die Eins in 101 ist ein Exponent, und er sagt uns, wie oft die Zehn als Faktor verwendet wurde, um die Zahl 101 zu erhalten. Z.B. werden wir in 102 angewiesen, zwei Zehnen miteinander zu multiplizieren: 10 X 10 = 100. Daraus folgt: 102 = 100. Beachten Sie, daß hier zwei Nullen hinter der Eins in 100 stehen. Gehen Sie nach Seite 10C zurück und versuchen Sie es noch einmal. 9B

Von S. 7 A oder 9C

Richtig! Und Sie können dies als 10 X 10 X 10 = 103 wegen der Kürze schreiben. 103 wird „Zehn hoch drei"gelesen, und die hochgestellte 3 wird als Exponent bezeichnet. Der Exponent nennt uns die Anzahl, wie oft die Zehn als Faktor verwendet wurde, um die Zahl 103 zu erhalten. Z.B. 104 = 10 X 10 X 10 X 10 (vier Zehnen) und 106 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 (sechs Zehnen). Bei der Zahl 107 ist der Exponent: (a) (b)

7 10

siehe Seite 8C siehe Seite 8B

Von S. 7A

9C

Es ist sicher richtig, daß 1000 = 100 X 10 ist, aber Sie haben den Ausdruck nicht in die Form eines Produktes von Zehnen gebracht. Wenn wir 100 in Zehnerproduktform schreiben, schreiben wir 10 X 10 und nicht 100 X 1 oder 20 X 5. Schreiben Sie jetzt 1000 als ein Produkt von Zehnen. Prüfen Sie Ihre Antwort auf Seite 9B. Von S. 7A

Versuchen Sie, 100 X 100 auszumultiplizieren und prüfen Sie, ob das Produkt 1000 ist. Es ist es nicht. Wenn von Ihnen verlangt wird, eine Zahl als Zehnerpotenz zu schreiben, sollten Sie sie als Produkt mehrerer Zehnen ausdrücken. Ζ. B. 100 = 10 X 10. Gehen Sie nach Seite 7A zurück und versuchen Sie es noch einmal.

9D

10A

Von S. 11A

Sieht vernünftig aus, nicht wahr? Jedoch (Seufzer), es ist falsch. Stellen Sie sich das so vor: Wenn Sie einen negativen Exponenten haben, formen Sie ihn um, indem Sie den Reziprokwert ermitteln und wie zuvor weitermachen. Also: 10" 2 = —L ; 10*

1 0 - 7 = - L7; 10

usw.

Gehen Sie nun nach Seite 11A zurück.

10B

Von S. 8 C

Haben Sie sich verzählt, oder verstehen Sie's nicht? 10000

=

10 X 10 X 10 X 10

4 Nullen

=

4 Zehnen

1000000

=

104 Exponent ist 4

1 0 χ 10 χ ί ο χ 1 0 χ i o x 1 0

6 Nullen

6 Zehnen

=

10 6 Exponent ist 6

Wenn die Zahl als Zehnerprodukt vorliegt, ist es ein einfacher Vorgang, sie in Exponentialschreibweise auszudrücken. Gehen Sie jetzt nach Seite 8C zurück und versuchen Sie's noch einmal.

10C

Von S. 8C oder 9 A

Sie haben recht. Versuchen Sie 'mal dies: 101 =M,

10 °=/V,

(a) M= 1, (b) M = 10, (c) M= 10,

N = 10, N = 1, N = 0,

1000 = 10", /? = 4, R = 3, /? = 3,

10,000,000,000,000 = 10 s S =13 S = 13 5=12

siehe Seite 9A siehe Seite 11A siehe Seite 8A

11A

Von S. IOC Hervorragend! 10° ist ein ganz besonderes Ding und wir definieren es als 1 (Eins ohne Nullen). 101 = 1 0 jede Zahl, die in die erste Potenz erhoben wird, ergibt sich selbst. 10 2 = 1 0 0 10 3 = 1 0 0 0 10 4 =10000 usw. Wir können auch negative Exponenten verwenden, indem wir einfach festsetzen, daß eine Zehn mit negativem Exponenten gleich dem Kehrwert von Zehn mit demselben positiven Exponenten ist. Z.B.: 1 0 ' 3 = 1/10 3 = 1/1000 = 0,001. Welches ist die Dezimalform von 10~1 ? (a) (b)

0,01 0,1

siehe Seite 10A siehe Seite 12A

Von S. 14A und 11C

11B

Die Standard-Exponentialform verlangt, daß Sie die Zahl in Zehnerpotenzen ausdrücken. Bei den von Ihnen ausgewählten Antworten gibt es keine Zehnerpotenzen. Schreiben Sie 400 als irgendeine Zahl zwischen 1 und 10 multipliziert mit einer Zehnerpotenz. Denken Sie daran, wenn wir „Zehnerpotenz" sagen, meinen wir 10, 100, 1000 usw. oder 1/10, 1/100, 1/1000 usw. und schreiben diese Zehnerpotenzen als 10 1 , 1 0 2 , 1 0 3 usw. oder 1 0 " \ 10" 2 , 1 0 ' 3 u s w . Gehen Sie nach Seite 14A zurück und suchen Sie eine bessere Antwort aus. VonS. 14A

11C

Sie haben 400 in Exponentialform ausgedrückt, aber nicht als Zehnerpotenz. Siehe 11B hier darüber. VonS. 14A

HD

Sie liegen ganz sicher richtig. 400 = 4 X 100 = 4 Χ 10 2 . Bei dem Ausdruck 4 Χ 10 2 ist der Exponent Koeffizient ist ?

, und der

Vervollständigen Sie den letzten Satz und prüfen Sie Ihre Antwort auf Seite 12B.

12A

Von S. 11A

10"1 =0,1 ist richtig. 10"1 bedeutet einfach 1/10. Schreiben Sie jede der folgenden Zahlen in Zehnerpotenz-Schreibweise: (a) 0,001 (b) 100.000 (c) 0,0001 (d) 1/100 Prüfen Sie Ihre Antworten auf Seite 14A. 12B

Von S. 11D

Bei dem Ausdruck 4 Χ 102 ist der Exponent +2 und der Koeffizient ist 4 . (Wenn Sie einige Erfahrung im Umgang mit Logarithmen haben, gehen Sie nach 12C; wenn nicht, machen Sie mit diesem Abschnitt weiter.) Drücken Sie 23 000 in Standard-Exponentialform aus. (a) 23 X 103 (b) 2,3 Χ 104 (c) 2,3 Χ 103

siehe Seite 13A siehe Seite 15B siehe Seite 13C

12C

Von S. 12B

Es ist erstaunlich, daß so viele Studienanfänger der Mathematik niemals den Zusammenhang zwischen der Exponentialschreibweise und den Logarithmen erkennen. Die Zahl 3720 kann in der Standard-Exponentialform als 3,72 Χ 103 geschrieben werden, und es ist: log 10 (3720) = log10(3,72 Χ 103) = log 10 (3,72) + log 1o (10 3 ) = = 3 + log 10 (3,72) = 3 + 0,57054 = 3,57054 (auf fünf Stellen). der Exponent, häufig Charakteristik oder Kennziffer genannt

der log des Koeffizienten 3,72 wird häufig Mantisse genannt (aus dem Lateinischen: „Nutzloses Anhängsel")!

Nun zurück an die Arbeit! Gehen Sie wieder nach Seite 12B.

13A

Von S. 12B Sie haben geantwortet, daß 23 000 = 23 X 103 ist, was richtig ist. Es ist jedoch nicht die Sfancfera'-Exponentialform. Um die Zahl auf die Standardform zu bringen, muß der Zahlenfaktor, mit dem die Zehnerpotenz zu multiplizieren ist (der Koeffizient), eine Zahl wischen 1 und 10sein. Bringen Sie die Zahl auf die Standardform, gehen Sie nach Seite 12B zurück und fahren Sie fort.

VonS. 15B

13B

Sie haben geantwortet, daß 4 Χ 10" 2 = 0,004 ist. Aber: 10" 2 = 1/102 = 1/100 = 0,01 (Dividieren Sie!). Dann folgt: 4 X 0,01 = 0,04. Gehen Sie rasch nach Seite 15B zurück, und versuchen Sie's noch einmal.

VonS. 12B

13C

Es ist in Standardform, aber es ist falsch. Haben Sie den Exponenten 3 ermittelt, indem Sie die Nullen zählten? Das ist nicht ganz richtig. Machen Sie es so: 23 000 = 2,3 X 10000 Zählen Sie jetzt die Nullen und bringen Sie die Zahl auf die Standardform. Gehen Sie nach Seite 12B zurück, und suchen Sie sich eine bessere Antwort aus.

13D

Von S. 15B Sie haben recht. Setzen Sie 0,0012 in die Standard-Exponentialform um. (a) (b)

12 Χ 10" 4 1,2 Χ 10" 3

siehe Seite 15A siehe Seite 16A

Von S. 12A

14A Die richtigen Antworten lauten: (a) (b)

0,001 = - X 3r = 1,0 Χ 10" 3 oder einfach 10" 3 10 100.000 = 1,0 X 10 5

(c)

0,001 = - L - = 1,0 X 10- 4 oder 10" 4 1o

(d) V

- J — = - L 2- = 1 0 ' 2 100 10

10" 1 10" 2 10" 3 10" 4

=0,1 =0,01 =0,001 =0,0001 usw.

Vielleicht haben Sie bemerkt, daß der Exponent negativ und gleich der Zahl der vorangehenden Nullen plus eins ist, wenn die Zahl, die in die Zehnerpotenz-Schreibweise überführt werden soll, kleiner als Eins ist (z.B. 0,001). Also: 0,001 = 10 3 . Die Zehnerpotenz-Schreibweise ist bei wissenschaftlichen Arbeiten so weit verbreitet, daß wir spezielle Namen oder Vorsatzsilben entwickelt haben, die den Gebrauch dieser Exponenten kennzeichnen. Z.B. wird der Betrag von eintausend Watt, 10 3 Watt, als ein /C/'/owatt bezeichnet, eine Eine-Million-Mark-Note (DM 10 6 ) würde eine Megamark sein, eine Dekade ist ein Zeitraum von 10 Jahren. Eine Tabelle der meistgebrauchten Vorsatzsilben ist im Anhang als »Tabelle der numerischen Vorsatzsilben' angegeben. Wenn eine Zahl auf die Form A X 10 a gebracht worden ist, gibt die erste Zahl A den Koeffizienten oder numerischen Teil an, während der E x p o n e n t s die Größenordnung bestimmt. Eine Zahl in dieser Form ist in der Standard-Exponentialform ausgedrückt. Wenn 10 3 für sich allein auftritt, bedeutet dies 1 X 10 3 . Drücken Sie die Zahl 400 in Standard-Exponentialform aus: (a) (b) (c)

20 2 2 0 X 20 4 Χ 10 2

siehe Seite 11Β siehe Seite 11C siehe Seite 11D

15A

Von S. 13D

Die „Standard-Exponentialform" setzt voraus, daß der numerische Teil oder Koeffizient, das A in ,4 X 10 e , kleiner als zehn ist. Daher ist 12 Χ 10" 4 keine Standardform. 0,012 = 1,2 X 0,001 (multiplizieren Sie's aus, wenn Sie sich nicht sicher sind!) Gehen Sie nun nach Seite 13D zurück und wählen Sie die richtige Antwort.

15B

V o n S. 1 2 B

Richtig. Versuchen Sie 'mal dies: Drücken Sie 0,004 in Standard-Exponentialform aus. (a) (b) (c)

4 x 10~3 4 Χ 10" 2 keins von beiden

siehe Seite 13D siehe Seite 13B siehe Seite 15C

15C

Von S. 15B

Sie haben wirklich Schwierigkeiten — oder vielmehr, wir haben Schwierigkeiten. (Ich hoffe, daß Sie nicht die falschen Antworten auswählen, nur um mich zu ärgern.) Zuerst einmal, wenn die Zahl, die auf die Exponentialform gebracht werden soll, kleiner als eins ist, wird ihr Exponent negativ sein. Zweitens, denken Sie daran, die Zahl als ein Produkt zu schreiben von (a) einer Zahl zwischen eins und zehn (der Koeffizient) und (b) einer Zahl, die als ein Produkt von Zehnen dargestellt werden kann. Z.B.: 0,0007 = 7 X 0,0001. Drittens, schreiben Sie den zweiten Teil der Zahl als Bruch: 0,0001 = — - — = I 10 000 drei N u l l e n u n d eine E i n s hier

10"V u n d eine vier hier

ergeben vier N u l l e n hier

Gehen Sie nun zurück auf Seite 15B und versuchen Sie es noch einmal.

16A

Von S. 13D

Richtig. 0 , 0 0 1 2 = 1,2 Χ 0,001 = 1,2 Χ 10" 3 . Überführen Sie jede der folgenden Zahlen in die Standard-Zehnerpotenzform : (a) (d) (g) (j)

20.100 0,17 100,02 1 Milliarde

(b) (e) (h)

0,000271 0,01001 2000

(c) (f) (i)

81.640.000 3,14159 1 Million

Lösen Sie jede Aufgabe, schreiben Sie Ihre Lösungen auf und vergleichen Sie diese mit den richtigen Antworten auf Seite 18B.

16B

Von S. 18B

1.

2.

Geben Sie jede der folgenden Zahlen in Dezimalform an: (a) (d)

10 2 10" 4

(b) (e)

10 3 4,17 Χ 10 3

(c) (f)

10" 2 8,2X10"5

(g)

4 0 X 10 4

(h)

2,0 Χ 10 7

(i)

1,10 Χ 10 3

(j)

17,4 Χ 10" 1

(k)

6,01 Χ 10 3

(I)

17X10"4

Schreiben Sie jede der folgenden Zahlen in Standard-Exponentialform: (a) (d)

107.200 0,002

(b) (e)

0,00763 0,005176

(c) (f)

93.230.000 1.002.000

(g) (j)

5280 43.200

(h) (k)

0,017200 0,005

(i) (I)

560,1000 1,001

Schreiben Sie Ihre Antworten hier auf und gehen Sie nach Lösung aller Aufgaben nach Seite 18A. Es dürfte für Sie sehr nützlich sein, jede Antwort noch einmal auf ihre Richtigkeit zu überprüfen.

17A

Von S. 18A

Die Exponentialschreibweise ist kompakt und rationell. Es ist ganz sicher leichter und schneller, 1,42 Χ 10" 1 1 zu schreiben als 0,0000000000142. Jedoch, während es ganz offensichtlich ist, daß 411.623.001.000 viel größer ist als 410, ist es nicht im gleichen Maße intuitiv klar, daß 10 5 4 viel größer ist als 10 4 5 . Welche der folgenden Behauptungen ist wahr? (a) (b) (c)

10 12 ist doppelt so groß wie 10 6 siehe Seite 19A 10 12 ist sechsmal so groß wie 10 6 siehe Seite 20B 10 12 ist eine Million mal so groß wie 10 6 siehe Seite 19C

17B

Von S. 19C

Durch die Wahl dieser Antwort geben Sie zu erkennen, daß alle drei dieser Aussagen wahr sind. Das ist falsch. Die Größenordnung einer Zahl ist einfach ihr Exponent. Die Aussage, daß sich zwei Zahlen um vier Größenordnungen unterscheiden, bedeutet, daß sich die Exponenten um vier unterscheiden. Ist es klar, daß sich +4 und - 2 z.B. um 6 Einheiten unterscheiden? Wenn Ihnen das klar ist, gehen Sie nach Seite 19C zurück und versuchen es noch einmal. Falls Sie etwas Hilfe bei den negativen Zahlen für nötig halten, gehen Sie nach Seite 17C.

Von S. 17B und 20A

(a) (b)

(c)

(d)

Die Differenz zwischen +4 und +2 beträgt +4 - (+2) = 4 - 2 = 2. Die Differenz zwischen +4 und - 2 beträgt +4 - (-2). Die arithmetische Aussage - (-2)kann immer durch +2 ersetzt werden. Damit folgt: +4 - (-2) = +4 + 2 = +6. Die Differenz zwischen - 4 und +2 beträgt - 4 - (+2). Die arithmetische Aussage - (+2) kann immer durch - 2 ersetzt werden. Damit folgt: - 4 - (+2) = - 4 - 2 = -6. Die Differenz zwischen - 4 und - 2 beträgt - 4 - (-2). Wie zuvor ist - (-2) = +2. Damit folgt: - 4 - (-2) = - 4 + 2 = -2.

Gehen Sie nun nach Seite 19C und fahren Sie fort.

17C

18A

Von S. 16B

1.

(a) (d) (9) (j)

2.

(a) (d) (g) (j)

100 0,0001 400.000 1,74

(b) (e) (h) (k)

1000 4170 20.000.000 6010

(c) (f) (i) (I)

0,01 0,000082 1100 0,0017

1,072 Χ 10 5 2 Χ 10" 3 5,28 Χ 10 3 4,32 Χ 104

(b) (e) (h) (k)

7,63 X 10- 3 5,176 Χ 1 0 ' 3 1,72 Χ 10' 2 5 Χ 10" 3

(c) (f) (i) (I)

9,323 Χ 107 1,002 Χ 106 5,601 Χ 10 2 1,001

Gestatten Sie mir, an diesem Punkt realistisch zu sein. Wenn Sie nicht alle obigen Aufgaben lösen können, besteht nur eine kleine Chance, daß Sie etwas davon haben werden, wenn Sie weitermachen. Sehen Sie sich noch einmal jede Aufgabe an, die Ihnen besondere Schwierigkeiten gemacht hat, und stellen Sie sicher, daß Sie sie lösen können. Falls erforderlich, denken Sie sich selbst einige Aufgaben aus und prüfen Sie Ihre Antworten durch Ausmultiplizieren. Wenn Sie diese Aufgaben zu Ihrer Zufriedenheit verstanden haben, gehen Sie weiter nach Seite 17A.

18B

Von S. 16A

(a) (d) (g) (j)

2,01 Χ 10 4 (b) 2,71 Χ 10" 4 1 1,7 X 10~ (e) 1,001 Χ Ι Ο ' 2 2 1,0002 Χ 10 (h) 2000 = 2 X 10 3 1.000.000.000 = 10 9 *.

(c) (f) (i)

8,164X107 3,14159 1.000.000 = 106

Falls Sie irgendeine der Fragen auf Seite 16A falsch beantwortet haben, dürfte es wahrscheinlich für Sie von Nutzen sein, nach Seite 7 zurückzugehen und schnell noch einmal den gesamten Stoff bis zu diesem Punkt durchzulesen. Andernfalls gehen Sie weiter nach Seite 16B und arbeiten Sie die dort angegebenen Wiederholungsprobleme durch. * In den Vereinigten Staaten u n d in Frankreich bedeutet „ 1 B i l l i o n " 1 0 9 . In G r o ß b r i t a n n i e n und Deutschland ist „1 B i l l i o n " jedoch gleich 1 0 1 2 . Die Briten verwenden das W o r t B i l l i o n in der Bedeutung Bi-million (aus d e m Lateinischen: bis = zweimal) oder eine M i l l i o n - M i l l i o n , was ganz logisch ist. Ä h n l i c h e Probleme treten bei der transatlantischen Interpretation von Trillion, Quadrillion usw. bei der nichtwissenschaftlichen K o m m u n i k a t i o n auf. Im allgemeinen ist es weitaus einfacher, eine Z a h l als Zehnerpotenz zu schreiben und nicht mißverstanden zu werden.

Von S. 17A

19A 106 = 1.000.000 10 12 = 1.000.000.000.000

12

Sieht 10 jetzt noch zweimal so groß aus wie 106? Denken Sie daran, falls Sie Zweifel haben, schreiben Sie die Zahl in Dezimalform nieder. Gehen Sie jetzt nach Seite 17A und wählen Sie eine andere Antwort.

19B

Von S. 20C

Sie haben geantwortet, daß 102 Χ 103 = 106 ist. Das ist falsch. In allen Einzelheiten ausgedrückt sieht das so aus: 102 Χ 103 = (10 X 10) X (10 X 10X 10). Die Klammern sind dabei überflüssig, und es ergibt sich: 102 X 103 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 = 10Ä Rechnen Sie das aus, gehen Sie dann nach Seite 20C zurück und wählen Sie die richtige Antwort.

Von S. 17A

19C

Richtig. 106 = 1.000.000 und 1012 = 1.000.000.000.000. 1012 ist nicht zweimal, sondern eine Million mal größer als 106. Der Exponent ist der Schlüssel für die relative Größe zweier Zahlen. 103 ist größer als 102, und 103 ist tatsächlich um eine Einheit im Exponenten oder um einen Faktor zehn größer. Wir sagen, daß 103 um eine Größenordnung größer ist als 102. 105 ist um drei Größenordnungen größer als 102, da der Exponent in 105 um drei Einheiten größer ist als der Exponent in 102. Welche der folgenden Aussagenreihen ist vollständig richtig? (a)

(b)

(c)

107 ist drei Größenordnungen größer als 10.000. 104 ist zwei Größenordnungen kleiner als 10 6 . 102 ist sechs Größenordnungen größer als 10~3. 104 ist sechs Größenordnungen größer als 0,01. 105 ist sieben Größenordnungen kleiner als 1013. 10~2 ist drei Größenordnungen größer als 10" 5 . 106 ist fünf Größenordnungen größer als 10. 10~5 ist drei Größenordnungen kleiner als 10~2. 102 ist sechs Größenordnungen größer als 10~4.

siehe Seite 20A siehe Seite 17B siehe Seite 20C

Von S. 19C

20A

Sie haben damit angedeutet, daß alle drei Behauptungen im Teil (a) richtig sind. Das ist falsch. Die Größenordnung einer Zahl ist einfach ihr Exponent. Die Aussage, daß sich zwei Zahlen um vier Größenordnungen unterscheiden, bedeutet, daß sich die Exponenten um vier unterscheiden. Ist es klar, daß sich z.B. +4 und -2 um sechs Einheiten unterscheiden? Wenn Ihnen dies klar ist, gehen Sie nach Seite 19C zurück und versuchen Sie es noch einmal. Wenn Sie aber ein bißchen Hilfe bei den negativen Zahlen für nötig erachten, gehen Sie nach Seite 17C. 20B

VonS. 17A 106 = 1.000.000 und 6 Χ 106 würde ergeben: 6.000.000. Aber

10 12 = 1.000.000.000.000.

Gehen Sie nach Seite 17A zurück und wählen Sie eine bessere Antwort. 20C

Von S. 19C Richtig. Sehr gut. Der Begriff der Größenordnung ist in der Physik häufig von großem Nutzen. Es ist z.B. nützlich zu wissen, daß alle bekannten Sterne eine Masse besitzen, die um zwei Größenordnungen größer oder kleiner ist als die unserer Sonne, oder daß ein weißer Zwergstern eine Masse von angenähert der unserer Sonne hat und einen um zwei Größenordnungen kleineren Radius besitzt. Auf diese Art angegebene Information ermöglicht es uns häufig, schnelle Berechnungen zur Bestimmung der ungefähren Größe eines physikalischen Phänomens durchzuführen. Die Exponentialschreibweise kommt nur dann voll zu ihrer Wirkung, wenn wir in der Lage sind, alle üblichen Rechenoperationen (Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion und Potenzierung) mit in dieser Form geschriebenen Zahlen durchzuführen. Was von dem folgenden ist richtig? (a) 102 Χ 103 = 105 siehe Seite 22A (b) 102 Χ 103 = 106 siehe Seite 19B (c) Ich weiß nicht. siehe Seite 21A Sie machen mir zu schnell.

21A

Von S. 20C und 21C Keine Angst. Wir werden es schon schaffen.

Wenn Sie sich daran erinnern, daß 102 = 10 X 10 ist (der Exponent 2 verlangt, daßzwe/ Zehnen miteinander multipliziert werden) und 10 3 = 10 X 10 X 10 (der Exponent 3 verlangt, daß drei Zehnen miteinander multipliziert werden), dann folgt 102 Χ 10 3 = (10 X 10) X (10 X 10 X 10). Natürlich sind hierbei die Klammern überflüssig. 10 2 Χ 103 = 10X 10X 1 0 X 10X 10 Können Sie jetzt die rechte Seite dieser Gleichung in eine Zehnerpotenz übersetzen? Falls Sie es nicht können, gehen Sie nach Seite 7 zurück und wiederholen Sie den Stoff. Andernfalls schreiben Sie 10 X 10 X 10 X 10 X 10 als Zehnerpotenz und machen sie auf Seite 20C weiter.

VonS. 22A (a) (b) (c) (d) (e) (f)

21Β 104 Χ 10 = 10 4 X 101 = 10 5 10 3 Χ 10 10 = 10 13 10 5 X 10~2 = 10 5 " 2 = 103 Ι Ο ' 2 Χ 10" 4 = 10-2+("4) = IO" 6 104 Χ 104 = 10 8 10"1X107=106

Die negativen Exponenten sollten keine Schwierigkeiten machen; summieren Sie einfach die Exponenten wie üblich. Versuchen Sie 'mal dies: (a) (b) (c)

14 Χ 10 6 14 Χ 10 5 1,4 Χ 106

(7 X 102) X (2 Χ 103) = siehe Seite 21C siehe Seite 22D siehe Seite 23C

VonS. 21Β Offensichtlich haben Sie noch nicht gelernt, wie 102 Χ 10 3 zu multiplizieren ist. Versuchen wir einmal einen anderen Weg um diesen Teufelskreis. Gehen Sie nach Seite 21A.

21C

22A

Von S. 20C

Hervorragend! 10 2 X 10 3 = (10 Χ 10) Χ (10 Χ 10 Χ 10) = 10 Χ 10 Χ 10 Χ 10 Χ 10 = 10 5 und wir stellen sogleich die Regel auf, daß Zahlen in dieser Form multipliziert werden, indem die Exponenten einfach addiert werden. Versuchen Sie einmal dies zur Übung: (a) (d)

10 4 X 10 10" 2 Χ 10" 4

(b) (e)

10 3 Χ 10 1 0 10 4 Χ 10 4

(c) (f)

10 5 Χ 1 0 ' 2 Ι Ο ' 1 Χ 10 7

Beschäftigen Sie sich gründlich mit jeder Aufgabe, schreiben Sie Ihre A n t w o r t auf und prüfen Sie sie auf Seite 21B.

22B

Von S. 23C

Ihre A n t w o r t ist falsch. (4,4 X 1 0 ' 2 ) X (3,5 X IO" 3 ) = (4,4 X 3,5) X (10" 2 Χ 10" 3 ) = 15,4 Χ 10" 5 Aber 15,4 muß als 1,54 X 10 oder 1,54 Χ 10 1 geschrieben werden, um die A n t w o r t auf die Standardform zu bringen. Dann ergibt sich also: (4,4 X 10" 2 ) X (3,5 X 10" 3 ) = 1 , 5 4 X 10 1 X 10" 5 = 1,54 X 10 ? Gehen Sie nach Seite 23C zurück und wählen Sie die richtige A n t w o r t .

22C

Von S. 23C

15,4 Χ 10~5 kann unmöglich die gewünschte A n t w o r t sein, da es nicht die Standardform ist. Schreiben Sie 15,4 als 1,54 X 10 = 1,54 Χ 10 1 . Gehen Sie nun zurück nach Seite 23C und suchen Sie sich eine bessere A n t w o r t aus. 22D

Von S.

21Β

Ihre A n t w o r t ist im wesentlichen richtig, jedoch Sie haben sie nicht in der Standard-Exponentialform geschrieben. Der Koeffizient sollte eine Zahl sein zwischen eins und zehn. Wandeln Sie Ihre A n t w o r t in die Standardform um und gehen Sie nach Seite 21Β zurück.

23A

Von S. 23C

Sie haben recht. Wandeln Sie jede der folgenden Aufgaben in die Exponentialschreibweise um, multiplizieren Sie und geben Sie Ihre Antwort in Dezimalschreibweise an: Antwort in

Antwort in

Exponentialform

(a) (b) (c) (d) (e)

0,005 X 4.000 X 0,070 X 620.000 3.200 X

80000 = 0,02 = 0,00006 = X 500 = 0,000005 =

Dezimalform

= = = = =

Lösen Sie jede Aufgabe, schreiben Sie Ihre Antworten auf und prüfen Sie sie auf Seite 24B.

23B

Von S. 24B

Sie haben offensichtlich einen Fehler bei der Umwandlung des Exponentialteils der Aufgabe gemacht. 7.2 X IQ 5 - 7.2 y 1 0 ΐ 3 X 10 2 3 10 2

=

24χ '

10Î 10 2

Erinnern Sie sich, daß - L 2- = 10" 2 und = 10 5 Χ 10" 2 ist und wir 2 10 10 diese Ausdrücke durch Addition der Exponenten multiplizieren. Vervollständigen Sie diese Aufgabe und wählen Sie die richtige Antwort auf Seite 24B aus.

23C

Von S. 21Β

Richtig. Die Koeffizienten können unabhängig von der Zehnerpotenz multipliziert werden, aber die Antwort muß in der Standardform angegeben werden. Damit folgt: (7 X IO 2 ) X (2 Χ 10 3 ) = 14 Χ 10 5 = (1,4 X 10 1 ) Χ 10 5 = 1,4 Χ 10 6 2 Versuchen Sie dies: (4,4 X IO" ) X (3,5 X 10" 3 ) = (a) (b) (c)

1,54 Χ 10~4 1,54 Χ 10" 6 15,4 Χ 10" 5

siehe Seite 23Α siehe Seite 22B siehe Seite 22C

24A

Von S. 25B

Sie haben einen sehr häufig vorkommenden Fehler gemacht. 10~5 kommt als 10 5 nach oben, aber man kann nicht einfach die Zwei dazu mitnehmen: 1 - 1 0 5 - 10X 104 5 2 X KT 2 2

=

10x 2

104

Jetzt können wir dividieren und die Zahl auf die Standardform bringen. Gehen Sie nach Seite 25B zurück und suchen Sie sich eine bessere Antwort aus. 24B

Von S. 23A

(a) (b) (c) (d) (e)

0,005 X 80000 = 5 X 10' 3 X 8 Χ 104 = 4X 102 = 400 4000 X 0,02 = 4 X 103 X 2 Χ 10" 2 = 8 X 101 = 8 0 0,070 X 0,00006 = 7 Χ 1 0 ' 2 X 6 X 1 0 " 5 = 4 , 2 X 10" 6 = 0,0000042 620.000 X 500 = 6,2 X 105 X 5 Χ 102 = 3,1 Χ 108 = 310.000.000 3200 X 0,000005 + 3,2 X 103 X 5 Χ 10" 6 = 1,6 Χ 10" 2

= 0,016 Im allgemeinen zerlegen wir das Problem in drei Teile: (1 ) Multiplikation der Koeffizienten, (2) Zusammenfassen des Zehnerpotenzteils durch Addition der Exponenten und (3) Angabe der Lösung in Standardform. Ein im wesentlichen gleiches Vorgehen gilt bei der Division. Der Exponentialteil bei irgendeiner Divisionsaufgabe kann schnell gelöst werden, wenn man daran denkt, daß gilt: ^ L = 10-2, J L = 102 103

10-3,

- L = 10-^ 104

usw

_ J L = 1 0 2 , — ! — = 10 3 , — L = 1 0 4 usw. 10 10- 3 10" 4

und

Schreiben Sie die folgende Größe in Standard-Exponentialform: 7,2 Χ 105 3 Χ 102 (a) (b) (c)

2,16 Χ 104 2,4 Χ 103 2,4 Χ 107

siehe Seite 27A siehe Seite 25B siehe Seite 23B

25A

Von S. 25B

Selbstverständlich! Es ist ganz einfach, nicht wahr? Schreiben Sie jeden der folgenden Ausdrücke in Standardform um: (a) (a>

1

(b) (b '

4 Χ 106

2 X

10 3 " 5X10-7

(c) (C '

1

' 8 x 104 6X10-2

Erledigen Sie jede Aufgabe mit Sorgfalt. Falls nötig, überprüfen Sie Ihre Antwort, indem Sie die Dezimalschreibweise verwenden. Gehen Sie nach Seite 26A, um Ihre Lösungen zu prüfen.

25B

Von S. 24B

Sehr gut. Ihre Antwort ist völlig richtig. 7,2 Χ 105 3 x 10

=

7 χ 2 χ lOf 3 10

=

L2 3

X

10

5

χ KT2 = ^ X 3

Versuchen Sie folgendes: Schreiben Sie tialform. (a) (b) (c)

2 Χ 10 5 5 Χ 104 1/2 Χ 10 5

siehe Seite 24A siehe Seite 25A siehe Seite 27B

!

10 3 = 2,4 Χ 10 3

— i n Standard-Exponen-

2 Χ 10'5

Von S. 25A

26A (a)

(b)

(c)

— 3 — τ = ί-Χ 10~6= 0,25 Χ 10"6. Aber das ist noch nicht 4X10 4 die Standardform. Also schreiben wir 0,25 als 0,25 = 2,5 X 0,1. Dann folgt: 0,25 Χ 10"6 = 2,5 X 0,1 Χ 10"6 = 2,5 Χ 10" 1 X 10"6 = 2,5 X IO"7

2 X 10-;. 2 5 Χ 10"7

5

1,8 χ 104 6 X IO"2

=

Lg 6

10^3 = 10' 7

x

10.3-(-7) =

04χ

10 -3 + 7

= 0,4 X 104 = 4 X 10"1 Χ 104 = 4 X 10:

101. = 0 3 χ 1Q6 = 3 Χ 10' 1 Χ 106 IO"2 = 3 Χ 105

Versuchen Sie nun, diese Reihe von Wiederholungsaufgaben zu lösen: 1 1 (a) 3 1,6 Χ 10"

Μ 0 ±

=

104

V 6 X

a 5

44,7

e r g i b t >4 = 1 , 8 X 1 0 7 Χ 2 , 7 Χ = 4 , 8 6 Χ 1017

— ^ 2,7 Χ 10

A 2

102

= 5Χ

a 4,47 X 101 =

2.

-β

y/ÄÜ = 4,74 Χ

4

103 103

9,28 Χ

^

χ

3 Χ 1Q-4

_

5

102

3,42 Χ

= 3

102

10~3

37A

Von S. 36A

f

\ / 4 Χ 10

=

A

3x10

, ergibt^ = 3X 103 X V 4 X 1011 . = (3 X 103) X V 4 0 X 1010 = 3 X 103 X V 4 0 X 10B = 3χ/40Χ 8 108 35 19 Χ 10 3£ 1,9 Χ 109

Gehen Sie nun nach Seite 33C, und wir werden uns mit der Addition von Zahlen in Exponentialform beschäftigen.

38A

Von S. 33C

Sie haben geantwortet, daß (3 Χ 10 3 ) + (2 Χ 10 5 ) = 5 Χ 10 8 ist. Ich nehme an, daß Sie nach dem Erlernen der Regel für die Multiplikation solcher Zahlen es für logisch halten, daß dies die richtige Lösung für die Addition ist. Ihre Logik ist unfehlbar. Ihre Lösung jedoch ist falsch. Versuchen Sie einmal, diese Größen zu einer schnellen Überprüfung in die Dezimalform umzuwandeln: (3 Χ 10 3 ) + (2 Χ 10 5 ) = 3 0 0 0 + 2 0 0 . 0 0 0 , wogegen 5 Χ 10 8 = 500.000.000. Gehen Sie nach Seite 3 3 C zurück und wählen Sie eine bessere Antwort.

38B

Von S. 43A

Sie sagten, daß (4 Χ 1 0 6 ) + (2 Χ 10 3 ) angenähert gleich 4 Χ 10 6 ist. Das ist richtig. (4 Χ 10 6 ) + (2 Χ 10 3 ) = 10 6 X (4 + 2 Χ 10" 3 ) = 10 6 X (4 + 0 , 0 0 2 ) = 4 , 0 0 2 Χ 10 6 = 4 X 10 6 Behandeln Sie diese Additionsaufgaben auf ähnliche A r t : (a) (b) (c) (d)

(3 (2 (4 (4

Χ X Χ Χ

10 3 ) + (4 Χ 1 0 2 ) 10~ 6 ) + (7 X 10~ 8 ) 10 3 ) + (3 Χ 10~ 2 ) + (9 Χ 10 2 ) 10 1 2 ) + (6 Χ 10 2 ) + (3 Χ 1 0 ' 5 )

Prüfen Sie Ihre Antworten auf Seite 4 0 A nach.

38C

Von S. 40A

Ihre A n t w o r t ist unrichtig. Machen Sie es auf genau dieselbe A r t wie bei einem Additionsproblem: (4 Χ 10 9 ) - (7 Χ 1 0 7 ) = (4 Χ 10 9 ) - (7 X 10 9 Χ 10" 2 ) = 10 9 X (4 - 7 Χ 1 0 " 2 ) = 10 9 X ( 4 - 0 , 0 7 ) = 3 , 9 3 Χ 10 9 Gehen Sie jetzt nach Seite 4 0 A zur Lösung der dort angegebenen Aufgabe zurück.

39A

Von S. 43A

Sie meinten, daß (4 Χ 10 6 ) + (2 Χ 10 3 ) = 6 Χ 10 6 ist. Das ist falsch. Offensichtlich haben Sie einfach die Koeffizienten addiert. Unglücklicherweise ist die A d d i t i o n von Zahlen in Exponentialform nicht so einfach. Hier ist ein richtig durchgerechnetes Beispiel: (6 Χ 10 8 ) + ( 8 X 10 4 ) = ? 1. 2.

Suchen Sie zuerst die größere Zahl: 6 Χ 10 8 ist größer als 8 Χ 10 4 . Ziehen Sie den Exponentialteil der größeren Zahl (10 8 ) heraus: (6 Χ 10 8 ) + (8 Χ 10 4 ) = 6 Χ 10 8 + 8 X 10 8 Χ 10" 4 (da 10 8 Χ Ι Ο ' 4 = 10 4 ist). 10 8 X (6 + 8 X I O ' 4 )

3. 4.

Bringen Sie 6 + 8 Χ 10~4 auf die Dezimalform: 6 + 8 Χ 10" 4 = 6 + 0,0008 = 6,0008 Dann ist: (6 Χ 10 8 ) + (8 Χ 10 4 ) = 6,0008 Χ 10 8 s 6 Χ 10 8 .

Beachten Sie, daß bei dieser Aufgabe die Endsumme angenähert gleich der größeren der beiden Zahlen ist. 8 Χ 10 4 ist fast zehntausendmal kleiner als 6 Χ 10 8 und trägt daher sehr wenig zur Summe bei. Gehen Sie nun nach Seite 4 3 A zurück und verwenden Sie die hier gezeigte Methode, um die dort angegebene Summe zu berechnen.

Von S. 33C

Sie haben falsch geantwortet. Versuchen Sie, diese Zahlen in Dezimalform zu übertragen und zu addieren, um auf die Lösung zu kpmmen. Gehen Sie dann nach Seite 33C zurück und machen Sie weiter.

39B

40A

Von S. 38B

(a)

(3 Χ 10 3 ) + (4 Χ 10 2 ) = (3 Χ Ι Ο 3 ) + (4 Χ 10 3 Χ Ι Ο ' 1 ) = 10 3 Χ ( 3 + 4 Χ 10- 1 ) = 10 3 Χ (3 + 0,4) = 3 , 4 Χ 10 3

(b)

(2 Χ Ι Ο " 6 ) + (7 Χ 1 0 " 8 ) = (2 Χ 1 0 " 6 ) + (7 Χ 10~ 6 Χ 1 0 ' 2 ) = 1 0 " 6 Χ (2 + 7 Χ 1 0 " 2 ) = 10~ 6 Χ (2 + 0,07) = 2,07 Χ Ί Ο " 6 -6 (2 Χ 1 0 ist größer als 7 Χ 1 0 " 8 , also ziehen wir 1 0 " 6 heraus.)

(c)

(4 Χ 10 3 ) + (3 X I O " 2 ) + (9 Χ 10 2 ) = (4 Χ 10 3 ) + (3 X 10 3 Χ 1 0 " 5 ) + (9 X 10 3 X I O ' 1 ) = 10 3 X (4 + 3 Χ 1 0 " 5 + 9 Χ 10" 1 ) = 10 3 X (4 + 0,00003 + 0,9) = 4,90003 Χ 10 3 - 4,9 Χ 10 3

(d)

(4 Χ 10 1 2 ) + (6 Χ 10 2 ) + (3 Χ 1 0 " 5 ) = 4 Χ 10 1 2 Es sollte sogleich, von Anfang an, klar sein, daß 6 Χ 10 1 2 und 3 X 1 0 " 5 im Vergleich zu 4 Χ 10 1 2 keine Bedeutung haben, also lassen wir sie einfach weg.

Die Subtraktion ist im wesentlichen dasselbe wie die Addition. Wieviel ist (3 Χ 10 6 ) - ( 8 X 10 5 )? (a) (b)

- 5 Χ 10 6 2,2 Χ 10 6

siehe Seite 3 8 C siehe Seite 4 3 B

Von S. 43B

(a)

106 - 105 = 106 Χ ( 1 , 0 - 10"1) = 106 Χ

(1,0-0,1)

= 0,9 Χ 106 = 9x (b)

104 + 105 + 104 - 102 = (IO5 Χ 1 0 ' 1 - ίο6 χ = 105 Χ ( Ι Ο

1

+ 105 + 105 Χ

(c)

ίο-3) 1,2 Χ

(8 Χ 1 0 ) - (4 Χ 1 0 ) + (2 Χ 1 0 ) = ( 8 Χ 1 0 4

5

+ (2 Χ = 1 0 5 Χ (8 Χ 1 0 " 1 - 4 Χ 1 0 ' 1

Χ

5

10

ΙΟ1)

106)

105

(4 Χ 1 0 6 ) - (2,1 Χ 1 0 7 ) - (8 Χ 1 0 3 ) = (4 Χ 1 0 7 Χ - (2,1 Χ 1 0 ) - (8 Χ 1 0 7

= 10

Χ (4 Χ 10"

7

1

-2,1 - 8 Χ

7

10"1) Χ

10"4)

10" ) 4

= 1 0 7 Χ (0,4 - 2,1 - 0 , 0 0 0 8 ) 3£ 1 , 7 Χ (e)

107

( 3 , 4 Χ 1 0 " 6 ) - (7,1 Χ 1 0 ' 4 ) + ( 1 , 9 Χ = (3,4 Χ 1 0 "

4

Χ 1 0 " ) - (7,1 Χ 2

10'5) 10"4)

+ (1,9 Χ 10"4 Χ = 10"

4

Χ (3,4 Χ 10"

2

= 10"4 Χ (0,034-7,1 = -6,876 Χ 10"4 (f)

-7,1 + 1,9 Χ

= (1,462 Χ 10

Χ 10"

10' )

10~4

(1,462 Χ 1 0 ' 8 ) + (3,14 Χ 104) + (1,6 Χ 4

10"1) 1

+0,19)

-6,9 Χ

12

) + (3,14 Χ

10"3) 104)

+ (1,6 Χ 1 0 4 Χ = 104 Χ (1,462 Χ 10"12 + 3 , 1 4 + 1 , 6 Χ -3,14 Χ

10"7) 10"7)

104

Gehen Sie jetzt nach Seite 4 4 und arbeiten Sie den Aufgabensatz 1 durch.

1,0

5

+2)

= 1 0 5 Χ (0,8 - 0 , 4 + 2) = 2,4 Χ (d)

10"1

+ 1 , 0 + 1 0 - 1 - 1 0 " 3 ) = 1 0 5 Χ (0,1 + + 0,1 - 0 , 0 0 1 ) -

4

105

42A

Von S.43B

Lassen Sie uns jetzt schnell einmal wiederholen, wo wir gewesen sind und wohin wir von hier aus gehen werden. Wir haben gezeigt, daß die physikalischen Variablen wegen ihres weiten Größenbereichs eine spezielle Schreibweise verlangen, um sie überschaubar darstellen zu können. Diese wissenschaftliche oder Zehnerpotenz- oder Exponentialschreibweise ist diskutiert worden. Wir haben gesehen, daß jede Zahl in der Form A X 10a dargestellt werden kann, wobei A und a reale Zahlen sind. Wenn A positiv ist, haben wir es mit positiven Zahlen zu tun. Wenn A negativ ist, liegen negative Zahlen vor. Wir haben ferner gesehen, daß 10° = 1, 10"a = -L—und 10 a = — ai s t . a 10

10

Wir haben die Arithmetik der Exponentialschreibweise erforscht und dabei gezeigt, daß (A X 10a)2 X (5 X 10 ù ) = (A Χ Β) Χ 10 a+6 , (ΑΧ 10a)2 = A2 Χ 10 2a , sjA X 10a X 10 a/2 ist und andere ähnliche Resultate kennengelernt. Der Hauptvorteil dieser Schreibweise ist ihre kompakte Form und ihre leichte Handhabung bei wissenschaftlichen Arbeiten. Im nächsten Abschnitt werden wir die Präzision der Messung einer physikalischen Variablen diskutieren und darauf eingehen, wie sie durch ihre Schreibweise gekennzeichnet werden kann. (a)

Halten Sie es für nötig, die Arithmetik von Exponentialgrößen zu wiederholen? Falls das der Fall ist, gehen Sie nach Seite 7A zurück. (b) Falls nicht, versuchen Sie 'mal den Aufgabensatz 1 auf Seite 44.

43A

Von S. 33C

Haben Sie bei der Addition dieser Zahlen beachtet, daß man die Exponenten weder addiert noch multipliziert? 103 + 102 ist nicht gleich 105 oder 106. Die Summe zweier solcher Zahlen wird stets eine Zahl der Größenordnung des größeren Summanden sein. Somit ist 103 + 107 angenähert gleich 107. Um Zahlen zu addieren, die in Exponentialform geschrieben sind: 1. 2. 3.

Suchen Sie die größere Zahl und ziehen Sie ihren Exponentialteil aus jeder Zahl der Summe heraus.(Z.B.: 3 Χ 104 + 2 Χ 102 = 104 X (3 + 2 X KT 2 )). Wandeln Sie den neuen Koeffizienten (3 + 2 X 10~2) in die Dezimalform um. (3 + 2 X 10~2 = 3 + 0,02 = 3,02). Die Summe ist dann das Produkt dieses Koeffizienten mit dem Exponentialfaktor. (3 Χ 104 + 2 X 102 = 3,02X 104).

Es gibt keinen einfacheren Weg, das zu tun. Wir können nicht einfach die Koeffizienten addieren. Versuchen Sie einmal diese Summe: (4 Χ 106) + (2 X 103) = ? (a) 6 Χ 106 siehe Seite 39A 6 (b) 4 Χ 10 siehe Seite 38B Von S. 40A

Richtig. (3 Χ 106) - (8 Χ 105) = (3 Χ 106) - (8 X 106X10"1) = 106 Χ ( 3 - 8 X 10" 1 ) = 106 X ( 3 - 0 , 8 ) = 2,2 Χ 106 Wieder hat die Lösung die Größenordnung des größeren Exponentialfaktors. Hier haben Sie ein paar Wiederholungsaufgaben, an denen Sie Ihre Fertigkeit in der Subtraktion und Addition von Zahlen in Exponentialform überprüfen können: (a) 106 - 105 (b) 104 + 105 + 104 - 102 (c) (8 Χ 104) - (4 Χ 104) + (2 Χ 105) (d) (4 Χ 106) - (2,1 Χ 107) - (8 Χ 103) (e) (3,4 Χ 10"6) - (7,1 Χ 10"4) + (1,9 Χ 10"5) (f) (1,462 Χ 10"8) + (3,14 Χ 10 4 ) + (1,6 Χ 10' 3 ) Die richtigen Lösungen finden Sie auf Seite 41A.

43B

41A

Von S. 41A

AUFGABENSATZ 1 I.

Wandeln Sie jede der folgenden Zahlen in die Standard-Exponentialform um: 1. 0,000701 3. 0,0001501 5. 720.000 1 7. 2000 9. 12 Χ 10"4 11. 0,03 X IO' 5 13. 141 Χ 104 15. 0,0001250 X IO' 7

2. 0,00070 4. 14.000 6. 13.100.000 1 8. 1.010.000 10. 351 Χ 106 12. 60 Χ ΙΟ" 12 14. 0,00021 Χ 108 16. 401 Χ 106

1 Χ 10"7 200 19. 0,02 X 10~7

18. — L - X 108 5000 20. 10,0 Χ 10"5

17.

Wandeln Sie jede der folgenden Zahlen in die Dezimalform um: 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.

4,1 Χ 102 1,17 X IO' 7 20 X 10-2 14,601 X 10-5 0,021 X 103 0,0037 Χ 10"4 0,0007 X IO' 7 0,0034 Χ 10~2 0,001 X 104 0,0004 X IO 2

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

3,15 Χ ΙΟ 3 80,1 Χ 103 17,9 Χ 10-1 307,1 Χ 104 0,05 Χ 10 2 0,019 Χ 104 0,001 Χ 10"5 0,00002 Χ 103 0,008 Χ 103 0,00052 Χ 102

Vervollständigen Sie jede der folgenden Aufgaben und geben Si Ihre Antworten in Standardform an: 1. 3. 5. 6. 7. 8. 9.

44

(8 X 102) X (0,3 Χ 103) 2. (200 X 10"5) X (7,1 Χ 104) 4. (2,5 X IO"6) X (3,1 X 102) (0,002 X 104) X (4,2 X 10"3 ) (0,0058 X 10"6) X (12 X 107) (7,50 Χ ΊΟ 3 ) Χ (,504 Χ 102) (4 Χ ΙΟ"6)2 10.

(20 Χ 103) Χ (300 Χ 10 (11 Χ 108) Χ (81 Χ 1 0 f

(3 Χ 104)2

11. 13. 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 28. 30. 31. 32. 33.

10"9 10"5 4,12 Χ 10'6 3,0 Χ 102 0,003 Χ 106 10 (4,2 X I O ' 7 ) X (0,002 Χ 1 0 " 6 ) (3,14 Χ 1013) (8,1 X 1 0 6 ) X (7 Χ I O ' 2 ) (0,009 Χ 1 0 " 5 ) (3,14 X 109) Χ ( 2 X 10~2)2

12.

(0,02 Χ 1 0 3 ) 2

15. 17. 19. 21. 23.

(10 Χ (0,001 V16X χ/12 Χ χ/8 Χ 107 102 10"8 103 0,02 Χ 3,5 Χ

25. 27. 29.

106)2 Χ 10"6)2 105 107 ΙΟ'5

10"5 104

39.

V 4 X 105 (3,1 Χ 1 0 " 3 ) + ( 4 , 5 X I O ' 4 ) (4 Χ 1 0 " 5 ) - ( 8 X 1 0 e ) + (9 X 1 0 •4) (2,0 Χ 1 0 ' 6 ) (3,1 X I O " 4 - 2 , 8 Χ 1 0 ' 4 ) (4,15 Χ 103)2 5 (4,305 Χ 1 0 ' - 4 . 3 1 0 2 Χ 1 0 ' 5 ) 2 5 Χ 1010 5 3 X 101,4 Χ 104 0,02 Χ 106 2 X IO15 5 2 (0,03 Χ 1 0 ) - 3 Χ 1 0 3

40

(λ/0,004 Χ 1 0 9 ) 3

1.

Wandeln Sie jede der folgenden Z a h l e n in die StandardExponentialform um:

(a) (c)

0,00012 0,4 Χ 1 0 " 4

(b) (d)

(e)

0,03 Χ

(f)

(g)

1 10

34. 35. 36. 37. 38.

IV.

(2 Χ 1 0 2 ) 3 ( 0 , 0 1 2 X 1 0 2 ) X (0,001 X 1 0 5 ) 2 (10 Χ 1 0 " 6 ) 2 (100 Χ 1 0 " 6 ) 2 V 6 X 106 V 9 X 10-3 V 4 X 108 10"5 10-6

ΙΟ'3

(h)

41000 16 Χ 1 0 4 1 100 201

45

2.

Vervollständigen Sie jede der folgenden Aufgaben und geben Sie Ihre Lösungen in Standardform an: (a) (b)

(4 X 10~3) X (6 Χ 10~6) (3 Χ 10 4 ) 3 (c)

(d)

3 X

(f) (g) (i) (j) (k) (k) (I)

10

"6

(e)

%/4X 106 V3X

IO" 7 '

10 (1,4 X 10 6 ) X (4.2 Χ 10" 2 ) 6 Χ 10 8 6 10 X IO' (h) (2 Χ 10 4 ) + (3 Χ 10 2 ) 4 4 (7,4 Χ 10~ ) - (3 X 10~ ) (2 Χ 10 16 ) + (8 Χ 10 14 ) - (6 Χ 103) IO' 3 (9,4 X 10~5) + (8 Χ 10~6)

3.

Die Fläche einer Kugel ist durch die Gleichung A = 4π/?2 gegeben, wobei R den Radius kennzeichnet. Wie groß würde die Oberfläche einer Kugel (der Erde) vom Radius 6,38 Χ 10 8 emsein? (π = 3,14).

4.

Die Dichte einer Kugel der Masse M und des Radius R ist gegeben durch: £> = 4zl/L 3 . 3M

Für die Sonne gilt: R = 7 X 10 10 cm M =2xl033 g

Wie groß ist die Dichte der Sonne? (π =3,1). 5.

Vervollständigen Sie jede der folgenden Aufgaben und geben Sie Ihre Lösungen in Standardform an: / ν (c) (d)

21,4 Χ 360 (b) 91.200X 0,082 (3 Χ 10' 3 ) 2 X (4100) 10° X 0,0045 0,0003 X 30000 X 0.003 30 X 300000 X 0,000003

0.0014 X 114 2100X 0,0003

Wenn Sie alle Aufgaben erledigt haben, gehen Sie nach Seite 47 und prüfen Sie dort Ihre Antworten nach.

46

LÖSUNGEN FÜR AUFGABENSATZ 1 10"4

1.

7,01 Χ

3.

1,501 Χ 7,2 Χ

5. 7. 9. 11. 13. 15. 17.

5 X

10

7,0 Χ

10"4

4.

1,4 Χ 1 0 4

5

6.

1,31 Χ 1 0 7

8.

9,9 X

4

10'

7

1,2 X I O 10"7

3 Χ

1,41 X

10

6

108

10.

3,51 Χ

12.

6,0 Χ

10"11

14.

2,1 Χ

104

16.

4,01 Χ 108

10"

18.

2 Χ

104

10"

9

20.

1 Χ

10"4

10"

11

10'7

10

1,250 Χ 5 X

104

2.

19.

2 Χ

1.

410

2.

0,00315

3.

0,000000117

4.

80.100

5.

0,2

6.

7.

0,00014601

8.

1,79 3.071.000

9.

21

10.

11.

0,00000037

12.

190

13.

0,00000000007

14.

0,00000001

0,0005

15.

0,000034

16.

0,02

17.

10

18.

8

19.

0,000004

20.

0,052

1. 3. 5. 7. 9.

2,4 Χ

10

1,42 Χ 6,96 X

6.

8,4 Χ

IO'

1

8.

3,78 X

10"

1,2 Χ

15.

1 X

1014

17.

1 X

10"18

23.

10"1

10 10

9 Χ

10"

25.

1 X

5

27.

1

X

10

Χ

5,7

31.

2,67 X

33.

Χ Χ

35.

9

3

4

3

10~ 1 1

29.

2

11

106

1,1 X

10-1

10

8

10.

9 Χ

12.

4 Χ 102

14.

1 X

16.

1 χ io-8

18.

2,4 Χ

103

20.

9,4 X

10"2

22.

2 Χ 104

24.

1 0 = 10 1

26.

1 Χ

10"4

Χ

10'10

10"8

28.

1,37

30.

3

Χ

IO'29

32.

6,3 Χ

1012

34.

3,6

10'3

36.

3,5

Χ X

3

10"

10"2

11

10"

10

10s

10"

13.

21.

6 X

8,91 Χ 104

8 Χ

1,26 Χ

2. 4.

11.

19.

2 4

10

7,75 Χ 1,6 Χ

5

4

10

2

10'18

IV.

37. 39.

5 X IO'16 9 Χ 10 6

1.

(a) (c) (e)

1,2 Χ 10" 4 4 Χ ΙΟ" 5 3 Χ ΙΟ'5

(g)

10- 1

(a) (c) (e)

2,4 Χ 10" 8 2 Χ 10 3 - 5 , 5 Χ 10" 4

(g)

10- 5 4,4 Χ 10- 4 10" 1

2.

(¡) (k)

38. 40.

1,5 Χ ΙΟ" 9 8 Χ 10 9

(b) (d) (f) (h)

4,1 Χ 10 4 1,6 Χ 10 5 ΙΟ'2 2,01 Χ 10 2

(b) (d) (f) (h) (j) (I)

2,7 Χ 10 1 3 3 Χ IO'7 9,8 Χ 1 0 ' 5 2,03 Χ 10 4 -2,08X1016 1,02 X 10- 4

3.

A = 5,11 Χ 10 1 8 cm 2

4.

D ^ 0,71 — ^ (Die Dichte von Wasser beträgt 1,0 g/cm 3 , so c m daß die Dichte der Sonne kleiner ist als die des Wassers. Sie schwimmt!)

5.

(a) (c)

1,03 8,2

(b) (d)

2,5 X 10" 1 1 X 10" 3

Wenn Sie alle diese Aufgaben richtig gelöst haben, gehen Sie nach Seite 4 9 und machen Sie dort weiter. Falls Sie eine oder zwei Aufgaben nicht geschafft haben, stellen Sie sicher, daß Sie sie beherrschen, bevor Sie fortfahren. Wenn Sie mehr als zwei Aufgaben falsch gemacht haben, gehen Sie nach Seite 7 A zurück und wiederholen Sie diesen Stoff noch einmal.

48

Abschnitt III. Präzision der Aussage

Doch Forscher, klug durch Augenschein, versichern uns, das muß so sein... . Oh, daß uns keiner Zweifel nennt an Dingen, die ja niemand kennt! — HHaire Bel toc —

Physikalische Variablen werden gemessen. Der Betrag einer physikalischen G r ö ß e w i r d nicht durch göttliche Erleuchtung verkündet, noch wird sie durch einen Prozeß abstrakten Denkens abgeleitet. Ein physikalisches Meßergebnis ist eine Z a h l oder eine Reihe von Zahlen, die mit äußerster Sorgfalt aus einer häufig verwirrenden Menge von Sinneseindrücken herausgefiltert werden. Dieser Filtervorgang setzt gewöhnlich ein gewisses M a ß an subjektivem Urteil oder Einschätzung voraus. Da diese G r ö ß e n gemessen werden, sind sie niemals genau bekannt, niemals sicher. Sie sind tatsächlich nur so zuverlässig und sicher, wie das Meßinstrument und der Experimentator genau und zuverlässig sind. Der Prozeß, durch den wissenschaftliche Theorien und Vermutungen eingeschätzt werden und Ansehen erwerben oder auch abgelehnt werden, ist im wesentlichen ein gesellschaftlicher Prozeß: Die Ergebnisse von physikalischen Experimenten müssen mitgeteilt und veröffentlicht werden. Sie müssen weit verbreitet werden und die Prüfung einer kritischen Untersuchung durch eine große Z a h l von Wissenschaftlern mit Erfolg bestehen. Es ist daher von Bedeutung, daß wir unsere physikalischen Variablen so schreiben können, daß sie richtig verstanden werden. Das Ergebnis einer Messung m u ß derart angegeben werden, daß es ehrlich die dem Meßvorgang innewohnende Unsicherheit wiederspiegelt. Wir müssen in unserer Veröffentlichung nur das z u m A u s d r u c k bringen, was wir ausdrücken wollen, und w i r müssen in der Lage sein, klar zu interpretieren, was irgendein anderer uns mitteilen möchte. Unsere Schreibweise darf weder die Messung übertreiben noch herab49

setzen, sondern muß ihr nur ihren angemessenen Grad von Genauigkeit zuweisen. Sobald wir einmal Übereinstimmung über die physikalische Existenz eines Begriffes erreicht haben und zu einer befriedigenden OperationsD e f i n i t i o n für ihn gekommen sind, können w i r ihn messen. Unsere Messung hat das Ziel, den wahren Wert der Größe zu ermitteln oder wenigstens einen Näherungswert für den wahren Wert zu erhalten. Die Länge dieser Linie

ist nach der Operations-Definition eine sinnvolle Größe: w i r wissen, wie w i r sie zu messen haben, und w i r erwarten, daß die Linie irgendeine wahre Länge besitzt, die sich in unseren Meßergebnissen wiederspiegelt. Wenn w i r nun ein Meßinstrument anlegen:

O

l

2

3

4

5

6

7

8.

9

cm

können w i r sagen, ihre gemessene Länge beträgt 7 cm. Ist es gleicherweise gestattet zu sagen, daß ihre Länge gleich 7,0 c m ist? Oder 7,000 cm? Oder sogar 7,000000 cm? Sind diese Längenwerte miteinander vertauschbar? Wenn w i r uns die Skala etwas genauer ansehen, könnten wir feststellen, daß die Länge der Linie 7,2 cm beträgt. Können w i r genau so gut behaupten, ihre Länge ist 7,20 cm? Oder vielleicht 7,22 cm? Die A n t w o r t auf jede dieser Fragen ist: „ N e i n ! " 7; 7,0; 7,000 und 7,000000 haben in der wissenschaftlichen Schreibweise sehr verschiedene Bedeutung. Eine Längenangabe von 7 cm schließt ein, daß w i r den wahren Wert nur ziemlich angenähert als etwa bei 7 cm liegend bes t i m m t haben. Eine Längenangabe von 7,000000 cm setzt voraus, daß wir den wahren Wert sehr genau kennen, in der Tat auf einen millionste! Zentimeter genau, eine Genauigkeit, die w i r m i t dem hier verwendeten Meßgerät nicht erreichen können. Eine sorgfältigere Beobachtung des Maßstabs läßt erkennen, daß 7,2 cm ein besserer Wert für den wahren Wert zu sein scheint. Jedoch können w i r unser Meßergebnis nicht als 7,20 cm oder 7,22 cm aufschreiben. Eine vernünftige Konvention gestattet uns, nur auf das nächste Zehntel einer Skaleneinteilung zu schätzen. Wenn w i r sagen, die Länge beträgt 7,2 cm, meinen w i r damit, daß sie näher bei 7,2 cm als bei 7,1 c m oder 7,3 cm liegt.

50

Die Erfahrung läßt uns erwarten, daß bei wiederholten Messungen der beobachtete Meßwert schwanken wird. Dies beruht auf unvorhersagbaren und unbekannten Variationen der Meßbedingungen, wie z.B. Beleuchtung, Temperatur, Schwingungen usw. Wir protokollieren daher unsere Messung auf das nächste Zehntel einer Skalenteilung genau, womit wir kennzeichnen wollen, daß wir die letzte Stelle des Ergebnisses abgeschätzt haben und daß wir erwarten, daß wiederholte Messungen nicht mehr als ein Zehntel einer Skalenteilung davon abweichen. Somit würden wir bei der obigen Messung die Länge richtig als 7,2 cm protokollieren. Die letzte Stelle ist unsicher. Wir haben unser Ergebnis auf 0,1 cm oder ein Zehntel der Skalenteilung abgeschätzt. Wir würden sie gewiß nicht als 7,20 cm oder 7,21 cm angeben, denn es gibt keinerlei Grund dafür, noch eine zweite unsichere Dezimalstelle mitzunehmen. Wie groß würde die richtige Länge dieser Linie bei Verwendung des gezeigten Maßstabs sein?

I 0 (a) (b) (c) (d)

2.4 Zoll 2.40 Zoll 2.43 Zoll 2.430 Z o l l

I siehe siehe siehe siehe

1 Seite Seite Seite Seite

2

I

I

3

Zoll

55A 53A 54A 53B

51A

52A

V o n S. 5 6 A

Messung

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

Grenze der

0,134 in 1,43 A 3,51 s 112,9 psi 29,8 Hz 24,68 Ω 24,1 °C 54 kmph

Skalenteilung

0,001 in 0,01 A 0,01 s 0,1 psi 0,1 Hz 0,01 Ω 0,1 °C 1 kmph

Bei der Messung von 0,134 in ist die 4 unsicher. Wir haben die letzte Dezimalstelle auf 0,004 oder 4 X 0,001 abgeschätzt, daher ist die Grenze der Skalenteilung 0,001. Die Grenze der Skalenteilung (häufig auch „Fehlergrenze" genannt) ist leicht zu erkennen, wenn das Meßergebnis richtig geschrieben wird, und wir können aus ihr sogleich einige Rückschlüsse auf das verwendete Meßinstrument machen. Die Grenze der Skalenteilung von 3,64 X 1 0 " cm ist 0,01 X 10" 4 cm oder 1,0 X 10"6 cm. Welches ist die Skalengrenze der Messung von 4,705 Χ 106 s? (a) (b) (c) (d) (e)

52B

103 s 5 X 106 s 109 s 106 s 10" 3 s

siehe Seite siehe Seite siehe Seite siehe Seite siehe Seite

59A 52B 58A 58C 57 Β

Von S. 5 2 A oder 58C

Ein Meßergebnis mit dem Wert 4,705 Χ 106 s besagt, daß die 5 geschätzt wurde. Mit anderen Worten, wir haben 0,005 Χ 106 abgelesen und die Grenze unserer Skalenteilung liegt bei 0,001 Χ 106. Schreiben Sie dies als Zehnerpotenz, gehen Sie nach Seite 52A zurück und wählen Sie eine bessere Antwort aus.

Von S. 51A

53A

Erinnern Sie sich, wenn Sie eine Größe messen, protokollieren Sie den nächstliegenden, tatsächlichen Skalenwert und schätzen dann eine Stelle mehr ab. Die letzte Stelle rechts bei Ihrer Lösung wird von der gleichen Größenordnung sein wie ein Zehntel der kleinsten Skaleneinheit. Die in diesem Fall benutzte Skala ist in Zehntel Zoll (in) geteilt. Die kleinste Skaleneinheit ist 0,1 in, Ihre Lösung muß also auf ein Zehntel von 0,1 in oder 0,01 in angegeben werden. 2,4_? in. Gehen Sie nach Seite 5 1 A zurück und schätzen Sie die letzte Stelle ab.

Von S. 51A

Ihre A n t w o r t lautete 2,430 in. Mit dieser Aussage deuten Sie an, daß Sie die Länge auf 0,001 in genau kennen. Aber die Skala ist nur auf 0,1 in geteilt und die Regel lautet, daß Sie auf ein Zehntel der Skalenteilung abschätzen dürfen. Ein Zehntel von 0,1 in ist 0,01 in und Sie haben die Lösung auf 0,001 in genau angegeben. Bemerken Sie, daß das etwa so ähnlich ist, wie wenn ich sagte, ich hätte D M 6,470 in meiner Tasche? Die Null ist hier verhältnismäßig harmlos, da Sie wissen, daß die kleinste Währungseinheit in Deutschland D M 0,01 oder 1 Pfennig ist. Aber die Null ist bedeutungslos. Bei einer physikalischen Messung bedeutet diese weitere Null, daß Sie Ihre Messung mit einer in Hundertstel Zoll geteilten Skala gemacht haben. Gehen Sie nun nach Seite 5 1 A und versuchen Sie es noch einmal.

53B

54A

Von S. 51A

Richtig. Haben Sie erkannt, warum wir 2,43 in und nicht 2,430 in schreiben? Es ist bedeutungslos, 2,430 oder 2,4300 in zu schreiben, genau so, wie es bedeutungslos ist, wenn man eine Summe Geldes als DM 3,460 oder DM 3,4600 angibt. Wir haben einfach keine Währungseinheit von DM 0,001 oder DM 0,0001 und genau so kann die Skala auf Seite 51A direkt nur auf 0,1 in abgelesen und auf 0,01 in abgeschätzt werden. Aber es ist unmöglich, sie auf 0,001 in genau abzulesen oder gar auf 0,0001 in. Lesen Sie jede der folgenden Skalen ab, schreiben Sie Ihre Antwort auf und überprüfen Sie sie auf Seite 56A: in

(a)

(b)

(c)

- i:o Γ ί- 1 10

(d)

Hz

(e)

(f)

(g)

(h)

psi

—3 —2 —1

10 ;0

—5 —4 —3

—8 —7 —6

Ω

30 40 kmph

Von S. 51A

Ihre Antwort ist unrichtig in dem Sinne, daß die dargestellte Skala eine genauere Antwort möglich macht. Die Skala ist auf Zehntel Zoll kalibriert und kann daher direkt auf 0,1 in genau abgelesen werden. Die Länge der Linie liegt offensichtlich zwischen 2,4 und 2,5 in. Wir können unsere Antwort auf ein Zehntel eines Skalenteils oder 0,01 in genau abschätzen, so daß die richtige Lösung lautet: 2 , 4 2 ' n · Gehen Sie nach Seite 51A zurück für einen neuen Versuch.

55A

Von S. 54A

0.134 in (Zoll)

(a)

1,43 A (Ampere)

(b)

(c)

3.51 s (Sekunde)

(d)

112.9 psi (pounds per square inch)

29.8 Hz (Hertz)

(e)

(f)

(g)

(h)

10

ι 0

1

:0

— 5

8

— 4

— 7

3

6

30

40

' ' ' I ' ' ' '1 100

24.68 Ω (Ohm)

24.1 °C (Grad Celsius)

54 kmph (Kilometer pro Stunde)

Fortsetzung von S. 56A

57A

Beachten Sie, daß die richtige Antwort in jedem Fall bis auf ein Zehntel der kleinsten markierten Skalenteilung angegeben wird. Die niedrigste Dezimalstelle (am weitesten rechts stehend) ist unsicher und wurde abgeschätzt. Wir können jede Messung mit Hilfe zweier sehr wichtiger Größen charakterisieren: (1 ) die Grenze der Skalenteilung oder Skalengrenze und (2) die Anzahl der signifikanten Stellen. Die Skalengrenze eines Meßergebnisses ist die Größenordnung der niedrigsten (am weitesten rechts stehenden) Dezimalstelle. Sie ist ein Maß für die Empfindlichkeit der Skala, das häufig als Auflösungsvermögen der Skala bezeichnet wird. Messung Skalengrenze 4 1 ,4 0,1 ,45 0,01 ,456 0,001 . . . usw. Nennen Sie die Grenze der Skalenteilung für jede auf der Seite 56A gezeigten Messungen. Überprüfen Sie Ihre Antworten auf Seite 52A. Von S. 52A

Anscheinend haben Sie vergessen, mit 106 zu multiplizieren. Denken Sie daran, daß 4,705 Χ 106 = 4.705.000 ist und wir die 5000 abgeschätzt haben. Gehen Sie für einen weiteren Versuch nach Seite 52A zurück.

57 Β

58A

Von S. 52A

Sie haben mehr Schwierigkeiten als ein in einen Dudelsack verliebter Oktopus! Die am weitesten rechts stehende oder niedrigste Dezimalstelle bei 4,705 Χ 10 6 ist die 5. Wir haben den Meßwert auf 0,005 Χ 10 6 abgeschätzt und die Skalengrenze liegt bei 0,001 Χ 10 6 . Die Skala, die diesen Meßwert lieferte, könnte wie folgt aussehen:

4.68

4.69

4.70

4.71

4.72

4.73

X IO 6 ,

so daß die kleinste Skalenteilung (ein Skalenteil) 0,01 Χ 10 6 beträgt. Wir schätzen den Meßwert auf ein Zehntel Skalenteil oder 0,001 Χ 10 6 genau ab. Gehen Sie nach Seite 52A zurück und versuchen Sie es auf ein neues.

58B

Von S. 59A

Versuchen Sie 'mal diese Aufgaben. Vervollständigen Sie die Tabelle und prüfen Sie Ihre Lösungen auf Seite 60A nach: Meßwert (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

Skalengrenze

125 ft (Fuß) 10,4 Ib (Pfund) 0,006 g 1,4 Χ 10~7 s 2 , 6 1 X 1 0 " 3 cm 3,14 X 10 4 Hz 243.000 mi (Meile) 2,998 X 10 1 0 cm/s 14,7 psi 9,3 X IO 7 mi

Bereich, innerhalb dessen der wahre Wert Hegt 124,5 bis 125,5 ft

01,1b

58C

Von S. 52A

Sie haben nicht richtig geantwortet. Gehen Sie weiter nach Seite 52B.

Von S. 52A

Richtig. Wenn ein Meßwert angegeben wird, kann das Intervall der Skalengrenze leicht ermittelt werden. Z.B. ist eine Länge von 124,4 f t mit einer Grenze der Skalenteilung von 0,1 f t verknüpft. Der wahre Wert der gemessenen Größe muß irgendwo in einem Intervall dieser Abmessung liegen. Die Aussage, daß sich eine Länge nach Messung zu 124,4 f t ergeben hat, sollte derart interpretiert werden, daß die wahre Länge irgendwo zwischen 124,35 f t und 124,45 f t liegt, ein Intervall von 0,1 ft. Ganz gleich, wie sorgfältig auch die Messung durchgeführt wird, die wahre Länge wird niemals exakt bestimmt werden. Da ich im Augenblick gerade völlig von Weihnachtsvorfreude durchtränkt bin, möchte ich Ihnen folgendes Beispiel nennen: Der Gangster, von dem ich meinen Weihnachtsbaum kaufen muß, verlangt einen Dollar pro Fuß Baumlänge. Er mißt diese Bäume mit einer in Fuß geteilten Latte. Wenn er sagt, daß ein bestimmter Baum 6 f t lang ist, kann ich nur sicher sein, daß seine Länge zwischen 5,5 und 6,5 f t liegt. Seine wahre Länge liegt also innerhalb dieses Intervalls von 1 f t , welches das Skalengrenzintervall für die vom Verkäufer benutzte Meßlatte ist. Es ist wichtig, daß dies klar verstanden wird, denn alle Meßwerte für physikalische Größen und alle Zahlen, die physikalische Variablen kennzeichnen, müssen so gedeutet werden. Auch wenn eine Größe mit einer einzigen Zahl beschrieben wird, müssen wir verstehen, daß ihr wahrer Wert nur innerhalb eines gewissen Bereichs bekannt ist. Wir behaupten niemals, vollständige und exakte Kenntnis von der Größe einer physikalischen Variablen zu besitzen. Wir sind gezwungen zuzugeben, daß wir uns über ihren wahren Wert nur innerhalb des Intervalls der Skalengrenze sicher sind. Natürlich verfeinern wir unsere Instrumente, so daß dieses Intervall so klein wie nur möglich wird. Bei der Messung mit einem Metermaß kann einem Stab die Länge 12,44 cm zugeschrieben werden, und wir interpretieren dies so, daß damit gemeint ist, seine wahre Länge liege zwischen 12,435 und 12,445 cm. Mit Hilfe einer Schiebelehre bestimmen wir seine wahre Länge zu 12,438 cm, womit wir meinen, daß seine wahre Länge zwischen 12,4375 und 12,4385 cm liegt. Bei Verwendung eines geeichten Meßmikroskops ermitteln wir seine Länge zu 12,4382 cm und interpretieren, das bedeutet, daß seine wahre Länge zwischen 12,43815 und 12,43825 cm liegt. Und so geht es. Bei der Verfeinerung unserer Meßinstrumente wird die Skalengrenze enger, und der wahre Wert wird durch unser Meßergebnis immer besser angenähert. Gehen Sie nach Seite 58B und behandeln Sie die dort genannten Aufgaben.

59A

60A

Von S. 58B

Skalengrenze

Meßwert

(a) (b) (c) (d)

125 ft 10,4 Ib 0,006 g 1,4 Χ 10" 7 s

1 ft 0,1 Ib 0,001 g 10" 8 s

(e)

2,61 Χ 10" 3 cm

10~5 cm

(f)

3,14 Χ 10 4 Hz

102 Hz

(g) (h)

243.000 mi 2,998 Χ 10 10 cm/s

1000 mi* 107 cm/s

14,7 psi 9,3 Χ 10 7 mi

0,1 psi 106 mi

(i) (j)

Bereich,

innerhalb

dessen

der wahre Wert liegt

124,5 bis 125,5 ft 10,35 bis 10,45 Ib 0,0055 bis 0,0065 g 1,35 X IO" 7 bis 1,45 X IO" 7 s 2,605 Χ 10' 3 bis 2,615 X IO' 3 cm 3,135 X 10 4 bis 3,145 X 104 Hz 242.500 bis 243.500 mi 2,9975 X 10 10 bis 2,9985 X 10 10 cm/s 14,65 bis 14,75 psi 9,25 X 107 bis 9,35 X 10 7 mi

* Dieses könnte ein besonderes Problem für Sie sein. Schreiben Sie 2 4 3 . 0 0 0 als 2 , 4 3 X 1 0 s und machen Sie dann weiter. Jene zusätzlichen Nullen sind nicht w i r k l i c h das Resultat einer Messung, sondern dienen nur als Stellenanzeiger.

Wir können auch jede Aussage über eine physikalische Größe mit Hilfe der Anzahl der signifikanten Stellen charakterisieren, die sie umfaßt. Eine signifikante Stelle ist jede Dezimalstelle, die einen tatsächlichen physikalischen Betrag angibt. Die Länge 7,3 cm hat zwei signifikante Stellen; 7,345 cm hat vier signifikante Stellen. Wieviel signifikante Stellen hat 0,73 cm? (a) (b)

zwei drei

siehe Seite 61A siehe Seite 60B

60B

Von S. 60A

Es ist richtig, daß die Zahl 0,73 drei Dezimalstellen enthält, aber nur zwei von ihnen sind signifikante Stellen. Die Null dient nur zur Kenntlichmachung der Stellung des Kommas. Sie ist kein Ergebnis einer Skalenablesung. Gehen Sie nach Seite 61A.

61A

Von S. 60A oder 6OB

Die Null ist hier keine signifikante Stelle, sie hilft Ihnen nur dabei, das Komma aufzufinden. Wenn wir eine Länge von 16 cm mit einem in Millimeter geteilten Maßstab messen, sollten wir als Meßergebnis 16,00 cm schreiben. In diesem Fall wollen wir damit andeuten, daß alle vier Stellen signifikant sind — wir haben auf Millimeter und Zehntel Millimeter genau abgelesen und keine gefunden (16 cm bedeutet, daß wir nicht so genau abgelesen haben oder das unsere Skala nicht so genau abzulesen war). Es wäre nicht korrekt, unser Ergebnis als 16 cm, 16,0 cm, 16,00000 cm, 160 mm, 0,16 m oder 0,00016 km anzugeben. Wir müssen vier signifikante Stellen angeben, ganz gleich, welche Einheiten wir verwenden. Die unzweideutigste Art dies zu tun, ist es, die Zahl in der Standard-Exponentialform auszudrücken mit einem vierstelligen Koeffizienten, d.h.: 16,00 cm = 1,600 Χ 101 cm = 1,600 X 10 2 mm = 1,600 Χ 10' 1 m = 1,600 X 10" 4 km Bei der Standard-Exponentialschreibweise nehmen wir an, daß jede Stelle des Koeffizienten (Nullen mitgerechnet) signifikant ist. Z.B.: 1,02 Χ 10 3 hat 3 signifikante Stellen 4,100 Χ 10~2 hat 4 signifikante Stellen Schreiben Sie jede der folgenden Zahlen in Standard-Exponentialform um, und bestimmen Sie die Zahl der signifikanten Stellen: (a)

4000

(b)

0,00024

(c)

0,000240

(d)

1041,0

Prüfen Sie Ihre Antworten auf Seite 6 2 A nach.

Von S. 64A

Sie haben recht. 31.000 = 3,1 Χ 10 4 hat zwei signifikante Stellen. Die mit Nullen besetzten Stellen am Ende einer ganzen Zahl sind nicht signifikant. 1210,0 = 1,2100 Χ 10 3 hat fünf signifikante Dezimalstellen. Nullen am Ende sind nur dann signifikant, wenn sie rechts vom Komma stehen. Gehen Sie über zu Seite 6 5 A für einen kleinen Quiz.

61B

62A

Von S. 61A

(a)

4 0 0 0 = 4 X 10 3 , eine signifikante Stelle. Die Regel besagt, daß bei ganzen Zahlen Endnullen nicht signifikant sind.

(b)

0 , 0 0 0 2 4 = 2,4 X 10" 4 , zwei signifikante Stellen. Nullen am linken Ende sind nie signifikant.

(c)

0 , 0 0 0 2 4 0 = 2,40 X 10" 4 , drei signifikante Stellen. Nullen am Ende einer Z a h l sind signifikante, w e n n sie rechts v o m K o m m a stehen.

(d)

1041,0 = 1,0410 X 10 3 , fünf signifikante Stellen. N u l l e n innerhalb einer Z a h l sind immer signifikant.

Geben Sie die A n z a h l der signifikanten Stellen bei jeder der folgenden Zahlen an: 420 700,0 3,14160 0,0015 0,004 7000

0,41 3,1415963 3,1416 0,00105 0,01004

301,4 3,141596 100,1 0,00150 82,0

Verwenden Sie die oben angegebenen Regeln als Hilfe bei der Bestimmung der signifikanten Stellen und überprüfen Sie Ihre A n t w o r t e n auf Seite 6 4 B .

Nirgendwo

Von nirgendwoher

Was suchen Sie hier? Hier gibt es nichts für Sie! Machen Sie, daß Sie wieder an Ihre A r b e i t k o m m e n .

Von S. 62B

Die Regeln zur Bestimmung, ob eine Dezimalstelle signifikant ist, lauten 1.

Alle Stellen, die nicht Null sind, sind signifikante Stellen. Z.B. sind bei den Zahlen 214; 3,14; 2728; 1,5 und 9,911 alle Dezimalstellen signifikant.

2.

Alle Nullen im Inneren einer Zahl zwischen zwei signifikanten Stellen sind signifikant. Z.B. sind bei den Zahlen 304; 1602; 1,503 und 100.001 alle Stellen signifikant.

3.

A m linken Ende stehende Nullen sind niemals signifikant. Z.B. besitzen die Zahlen 0412; 0,257; 0,00153 und 0,0000102 alle nur drei signifikante Stellen.

4.

A m rechten Ende einer Zahl stehende Nullen sind signifikant, wenn sie rechts v o m Dezimalkomma stehen. Z.B. haben die Zahlen 142,0; 14,20; 0,1400; 0,001400 und 0 , 0 1 0 4 0 alle vier signifikante Dezimalstellen.

5.

Alle Konstanten (π, e usw.) und alle natürlichen Zahlen (2 bei 2irfí, 3 und 6 bei 1/6TTD3 usw.) sind signifikant.

6.

Nullen am rechten Ende von ganzen Zahlen sind nicht signifikant. Z.B. besitzen die Zahlen 4000, 200 und 50 alle nur eine signifikante Stelle.

Versuchen Sie j e t z t einmal diese Aufgaben. Nennen Sie die Anzahl der signifikanten Stellen. 401 0,41 41,01 0,003010 30,010

410 0,041 40,01 3000 410,10

Prüfen Sie Ihre A n t w o r t auf Seite 65B.

041 41,0 0,00301 3,000 300,001

64A

Von S. 62B oder 65B

Viele Lehrbücher benutzen eine spezielle Schreibweise, die niedrigste signifikante Stelle in einer Zahl zu kennzeichnen. Eine Überstreichung 0 oder Unterstreichung 0 oder Kursivdruck 0 kann dazu verwendet werden. Also: 4000 = 4,000 Χ 10 3 , vier signifikante Stellen („wir haben nach einer Zahl in der Einerstelle gesucht und keine gefunden"). 4000 = 4,00 Χ 10 3 , drei signifikante Stellen („wir haben nach einer Zahl in der Zehnerstelle gesucht und keine gefunden"). 4000 = 4,0 Χ 10 3 , zwei signifikante Stellen. Die Grundregel lautet, zur Vermeidung von Verwirrungen und Unklarheiten muß die Zahl in Standard-Exponentialform angegeben werden oder irgendeine andere Schreibweise (Unterstreichen, Überstreichen oder Kursivdruck) muß verwendet werden, um bedeutsame Nullen von Stellenanzeigen, Fingerübungen oder sonstigem Gekritzel zu unterscheiden. Es ist sicher das einfachste und am wenigsten Verwirrung hervorrufende Verfahren, die Exponentialschreibweise zu benutzen, und wir werden hier diese Praxis befolgen. Wir werden Zahlen in der Exponentialform schreiben, so daßa//e Stellen des Koeffizienten signifikant sind. Was ist beim Folgenden richtig?

64B

(a)

31.000 = 3,1 Χ 104 hat zwei signifikante Stellen siehe Seite 61Β

(b)

1210,0 = 1,21 Χ 103 hat drei signifikante Stellen siehe Seite 65C

Von S. 62A

2 0,41 4 420 2 301,4 4 7 700,0 3,1415963 8 3,141596 4 3,14160 6 3,1416 5 100,1 0,0015 2 0,00105 3 0,00150 3 0,004 1 0,01004 4 3 82,0 7000 1 Wenn Sie mehr als zwei dieser Fragen falsch beantwortet haben, gehen Sie nach Seite 63A. Andernfalls machen Sie auf Seite 64A weiter.

65A

Von S. 61B

Vervollständigen Sie die folgende Tabelle: In Exponential· Schreibweise ausgedrückt

Meßwert

Skalengrenze

Anzahl der signifikanten Stellen

1400 420,0 0,00000131 0,010 1600 1000,0 0,000060002 101.000 Die richtigen Antworten finden Sie auf Seite 66B.

65B

Von S. 63A

401 0,41 41,01 0,003010 30,010

3 2 4 4 5

410 0,041 40,01 3000 410,10

2 2 4 1 5

041 41,0 0,00301 3,000 300,001

2 3 3 4 6

Gehen Sie jetzt nach Seite 64A

Von S. 64A

65C

Sie irren sich. Nullen am Ende einer Zahl sind signifikant, wenn sie rechts vom Komma stehen. Daher ist die am weitesten rechts stehende Null signifikant, und alle Stellen links von ihr sind signifikant. Wir hätten schreiben müssen: 1210,0= 1,2100 Χ 10 3 mit fünf signifikanten Stellen. Gehen Sie nach Seite 64A zurück, lesen Sie die dort angegebenen Informationen sorgfältig durch und machen Sie dann weiter.

66A

Von S. 67A

Ehe wir die Bevölkerung der Provinz Salzburg als 327.232 angeben, sollten wir vielmehr dafür schreiben 327.230, wobei wir annehmen, daß wir sie auf zehn Leute genau angeben können (was immer noch unwahrscheinlich ist), oder noch besser 327.200, wobei wir voraussetzen, daß wir die Skalengrenze von einhundert Leuten einhalten können. Diese letzte Zahl ist eine Aussage, daß wir wissen, die Bevölkerungszahl liegt zwischen 327.150 und 327.250. Wir nehmen bescheidenerweise an, daß vier signifikante Stellen dem Meßvorgang besser entsprechen als die ursprünglichen sechs signifikanten Zahlen. Dieser Prozeß der Reduzierung der A n z a h l von signifikanten Stellen wird Abrunden genannt und wird für uns nützlich sein, wenn wir lernen, mit solchen Zahlen zu rechnen. Welches ist die Darstellung von 142.616 mit fünf signifikanten Stellen? (a) (b)

142.610 142.620

siehe Seite 6 8 A siehe Seite 6 9 A

Von S.65A

Meßwert 1400 420,0 0,00000131 0,010 1600 1000,0 0,000060002 101.000

In Exponentialschreibweise ausgedrückt 3

1,4 Χ 10 4,200 Χ 10 2 1,31 X 10" 6 1,0 Χ 10" 2 1,600 Χ 10 3 1,0000 X 10 3 6,0002 Χ 10" 5 1,01 X 10 5

Skalengrenze 100 oder 10 2 0,1 oder 1 0 ' 1 10" 8 ,001 oder 10" 3 1 0,1 oder 1 0 1 10" 9 1000 oder 10 3

Anzahl der signifikanten Stellen 2 4 3 2 4 5 5 3

Falls Sie irgendeine A n t w o r t in der Spalte „Skalengrenze" falsch hatten, gehen Sie nach Seite 5 6 A zurück. Wenn Sie in der Spalte „signifikante Stellen" etwas nicht ganz richtig hatten, wiederholen Sie Seite 6 0 A . Haben Sie alle Punkte richtig beantwortet, dann gehen Sie weiter nach Seite 6 7 A .

67A

Von S. 66B

Viele Studenten legen sich irgendwie die fehlerhafte Meinung zu, daß das Thema der signifikanten Stellen insgesamt unwichtig ist und nur zu dem Zweck eingeführt wurde, sie mit mehr Arbeit zu belasten. Ich hoffe, daß die hier vorliegende Einführung dabei helfen wird, diese Meinung zu vertreiben und die Bedeutung des Themas hervorzuheben. A l s ein Beispiel für die Vernachlässigung signifikanter Stellen lassen Sie mich einen 1951er Bericht des Österreichischen Finanzministeriums erwähnen.* In diesem Bericht wurde festgestellt, daß die Bevölkerungszahl der Provinz Salzburg 327.232 betrug, das sind 4,719303% der Gesamtbevölkerung. Merken Sie, daß es lächerlich ist, die Bevölkerungszahl mit einer Skalengrenze von eins anzugeben? Das setzt voraus, daß während der ganzen Dauer der Befragung der fast sieben Millionen Einwohner Österreichs niemandem gestattet war zu sterben, geboren zu werden, auszuwandern, sich zu verstecken usw. Ich frage mich, zu welcher Sekunde welcher Minute welcher Stunde welchen Tages des Jahres 1951 die Zählung erfolgte! Wie würden Sie unter den Bedingungen, die bei einer schwierigen Messung dieser A r t wahrscheinlich vorherrschen, diese Zahlen berichten? Versuchen Sie's und prüfen Sie dann Ihre A n t w o r t auf Seite 6 6 A nach.

* Zitiert in On the Accuracy

of Economic

Observations

University Press, Princeton, New Jersey, 1964.

von Oskar Morgenstern, Princeton

68A

Von S. 66A

Es ist richtig, daß 142.610 eine Zahl mit fünf signifikanten Stellen ist, aber es ist nicht der abgerundete Wert für 142.616. 142.610 ist eine Zahl zwischen 142.605 und 142.615. Die ursprüngliche Zahl, 142.616, fällt nicht in dieses Intervall. Die Regel für das Abrunden von Zahlen in Exponentialform ist recht einfach: 1. Wenn die letzte Stelle rechts gleich 0, 1,2, 3, oder 4 ist, lassen Sie sie einfach weg, um auf eine um eine signifikante Stelle kleinere Zahl zu kommen. Z.B.: 3,141 Χ 107 wird 3,14 Χ 10 7 4,064 X IO" 3 wird 4,06 Χ 10" 3 4,000 Χ 10 3 wird 4,00 Χ 10 3 2.

Wenn die letzte Stelle 5, 6, 7, 8 oder 9 beträgt, lassen Sie sie weg und erhöhen Sie die neue letzte Stelle um eins. Z.B.: 8,07 Χ 10 2 wird 8,1 Χ 10 2 9,16 Χ 10" 7 wird 9,2 Χ 10" 7 1,996 Χ 10 4 wird 2,00 Χ 10 4

Machen Sie jetzt auf Seite 66A weiter.

69A

Von S. 66A

Sie liegen richtig. Die Regel für das Abrunden einer Zahl in Exponentialform ist recht einfach: 1.

Wenn die letzte Stelle rechts gleich 0,1, 2, 3 oder 4 ist, lassen Sie sie weg, um auf eine signifikante Stelle weniger abzurunden. Z.B.: 3,141 Χ 107 ergibt 3,14 Χ 107 4,064 Χ 10" 3 ergibt 4,06 Χ 10" 3 4,000 Χ 103 ergibt 4,00 Χ 103

2.

Wenn die letzte Stelle 5, 6, 7, 8 oder 9 ist, lassen Sie sie weg und addieren Sie eins zu der neuen letzten Stelle. Z.B.: 8,07 Χ 102 ergibt 8,1 Χ 102 9,16 Χ 10"7 ergibt 9,2 Χ 10"7 1,996 Χ 104 ergibt 2,00 Χ 104

3.

Bei der Abrundung von mehr als einer Stelle addieren Sie eins zu der letzten Stelle nur dann, wenn der aufgerundete Betrag größer oder gleich 50, 500, 5000 usw. ist. Z.B. Abrundung auf drei signifikante Stellen: 2,5647 Χ 103 ergibt 2,56 Χ 103 1,3559 X 10- 6 ergibt 1,36 Χ 10" 6

Runden Sie jetzt 214.567 auf vier signifikante Stellen ab. (Bringen Sie die Zahl dazu erst auf die Exponentialform, natürlich.) (a) (b) (c)

2146 214600 214500

siehe Seite 70A siehe Seite 70B siehe Seite 71Β

70A

Von S. 69A

Niemand ist vollkommen, aber ich glaube, Sie wollen das ausnutzen. Runden Sie ab, aber zerhacken Sie die Zahl nicht in kleine Stücke. Ich hätte nichts dagegen, wenn mein Chef mein Gehalt auf den nächsten Dollar abrundet, aber ich würde an die Decke gehen, wenn er es durch hundert teilen würde. Noch einmal zurück nach Seite 69A.

70B

Von S. 68A

Hervorragend. Vervollständigen Sie diese Tabelle, wobei Sie auf die angegebene Zahl von signifikanten Stellen abrunden: Meßwert

Exponentialform

Anzahl der signifikanten Stellen

4.167.025

4,167025 Χ 106

7 6 5 4 3 2

0,0025946

2,5946 X 10-3

5 4 3 2 1

101

3 2

4,072

3 2 1

933,8

3

0,8995

3

Überprüfen Sie Ihre Antworten auf Seite 72A.

Von S. 72A

71A

Es ist richtig, daß 61 X 137 = 8357 ist, aber Sie müssen bedenken, daß Sie in dieser Situation nicht ganz exakt bekannte Zahlen miteinander multiplizieren. Diese Zahlen sind das Ergebnis einer Messung und daher nur angenähert bekannt. Die Breite des Grundstückes ist nicht genau 61 Fuß, sondern liegt irgendwo zwischen 60,5 bis 61,5 Fuß. Das Produkt zweier Näherungswerte ist auch nur näherungsweise bekannt: Ein Resultat kann nicht genauer bekannt sein als die ungenaueste Zahl, die zu seiner Ermittlung herangezogen wurde. Gehen Sie für einen neuen Versuch zurück nach Seite 72A.

Von S. 69A

71B

Nicht ganz. 214.567 = 2,14567 Χ 105 Man würde auf fünf Stellen abrunden, indem die 7 weggelassen und eins zur 6 zuaddiert würde. Man würde auf vier Stellen abrunden, indem die beiden letzten Stellen weggelassen und eins zur 5 zuaddiert würde, da 67 größer ist als 50. Runden Sie die Zahl jetzt noch einmal ab und gehen Sie nach Seite 69A zurück.

Von S. 72A

Sie haben schon den richtigen Gedanken, aber Ihre Antwort ist nicht so ganz richtig. Runden Sie Ihr Ergebnis so ab, daß es mit der Anzahl der signifikanten Stellen der am wenigsten genauen Messung übereinstimmt, die zur Bestimmung herangezogen wurde. Eine Berechnung kann niemals die den ursprünglichen Meßdaten anhaftende Genauigkeit vergrößern. Gehen Sie zurück nach Seite 72A und machen Sie dort weiter.

71C

72A

Von S. 70B

Meßwert

Exponentialform

Anzahl signifikanten

4.167.025

4,167025 Χ 10 6 4,16703 Χ IO 6 4,1670 Χ 106 4,167 Χ 106 4,17 Χ 106 4,2 Χ 106

7 6 5 4 3 2

0,0025946

2,5946X IO" 3 2,595 Χ 10' 3 2,60 X 10" 3 2,6 Χ 10" 3 3 Χ 10'3

5 4 3 2 1

101

1,01 X 10 2 1,0 X 10 2

3 2

4,07 4,1 4

3 2 1

4,072

4,07

9,34 Χ 10 2

933,8 0,8995

9,00 Χ 10"

der Stellen

3 1

3

Zahlen können aus den verschiedensten Gründen abgerundet werden. Z.B. werden die Informationen in wissenschaftlichen Tabellenwerken häufig mit einer weit über das Erforderliche hinausgehenden Genauigkeit angegeben und sollten dann abgerundet werden, um Zeit bei ihrer Verwendung bei Berechnungen zu sparen. Beim Entwerfen von graphischen Darstellungen wird es oft notwendig werden, die Meßdaten auf zwei oder drei signifikante Stellen abzurunden. A m häufigsten wird das Abrunden benutzt, wenn ein berechnetes Ergebnis abgerundet werden muß, damit es mit der Genauigkeit der Meßdaten übereinstimmt, aus denen es sich ergibt. Ein berechnetes Ergebnis kann niemals genauer bekannt sein als die ungenaueste Zahl, die zur Ermittlung des Resultats herangezogen wurde. Angenommen, ein Grundstück von 61 ft mal 137 ft ist zu verkaufen zu einem Preis von $ 1,00 pro Quadratfuß. Was müßten Sie Ihrer Meinung nach für das Land bezahlen? (Derselbe Gangster, der Weihnachtsbäume verkauft, handelt auch mit Unterwasser-Grundstücken.) (a) (b) (c)

$8360 $ 8400 $8357

siehe Seite 71C siehe Seite 73A siehe Seite 71A

73A

Von S. 72A

Ausgezeichnet. Eine Messung von 61 ft liegt bekanntlich innerhalb des Intervalls 60,5 bis 61,5 ft, und 137 ft bedeuten, daß das Ergebnis innerhalb des Intervalls 136,5 bis 137,5 ft liegt. Das Produkt ist somit innerhalb des Intervalls zwischen 8258,25 ft 2 (136,5 ft Χ 60,5 ft) und 8456,25 ft 2 (137,5 ft X 61,5 ft) zu suchen oder zwischen 8258+ und 8456+ ft 2 . Es gibt für uns keine Möglichkeit, genauer zu bestimmen, wo in diesem Intervall der wahre Wert liegt. Der sinnvollste Weg, das Ergebnis dieses Produkts anzugeben, ist der, das Resultat auf zwei signifikante Stellen abzurunden, da das ungenaueste Meßergebnis, 61 ft, nur auf zwei signifikante Stellen bekannt ist. 137 ft X 61 ft = 8357 ft 2 oder 8400 ft 2 . (Wir werden dafür schreiben 137 ft X 61 ft=s= 8400 ft 2 , wobei =b= bedeutet: „abgerundet gleich".) Die Regel, der wir folgen sollten, lautet: Wenn zwei oder mehr angenäherte Zahlenwerte miteinander multipliziert oder dividiert werden, sollen im Produkt soviel signifikante Stellen erscheinen, wie sie der ungenaueste Faktor besitzt. Manche Lehrbücher empfehlen, eine signifikante Stelle mehr im Ergebnis beizubehalten. Also würde die obige Berechnung danach 137 ft X 61 ft = 8357 ft 2 =n=8360 ft 2 ergeben. Dieses Verfahren ist logisch nicht haltbar und wird in diesem Buch auch nicht befolgt. Wir werden immer auf die Genauigkeit des ungenauesten Faktors abrunden. Falls irgendwelche exakt bekannten Zahlen bei dem Produkt oder der Division auftreten (wie z.B. die 2 oder π bei 2nfí), denken Sie daran, daß diese mit soviel signifikanten Stellen geschrieben werden können, wie Sie wollen, aber daß sie niemals die Anzahl der signifikanten Stellen des Endergebnisses bestimmen können. Welcher der folgenden Sätze von Berechnungen enthält einen Fehler? (a)

(b)

(c)

1. 2.

4,2 X 117 =n= 490 4,0 X 217 zsz: 870

3.

2§2zo=19 21

1.

4116,25 X 350 =a= 1.400.000

2. 3.

9*672 = 0 , 0 1 6 8 = 3 = 0 , 0 2 40 20,3X11=11=220

1.

8,45 2 ra=71,4

siehe Seite 75A

siehe Seite 75B

siehe Seite 74A 3.

16,1X2=0=30

Von S. 73A

Richtig. 1.

2. 3.

8,45 2 = 8,45 X 8,45 = 71,4025 =s= 71,4 auf drei signifikante Stellen abgerundet, um mit der Anzahl der signifikanten Stellen bei 8,45 im Einklang zu stehen. on -=ü-= 5,7971 . . . =o=6 auf eine signifikante Stelle abgerundet 3,45 wegen der Übereinstimmung mit 20. 16,1 X 2 = 32,2 30 auf eine signifikante Stelle abgerundet, um der 2 zu entsprechen.

Das allgemeine Verfahren lautet, die geforderte Rechenoperation ist auf eine signifikante Stelle mehr durchzuführen, als der ungenaueste Faktor signifikante Stellen besitzt, und das Ergebnis ist dann abzurunden, damit es mit der Anzahl von signifikanten Stellen des ungenauesten Faktors übereinstimmt. Wenn einer der Faktoren mit größerer Genauigkeit als die anderen angegeben ist, runden Sie ihn vor der Berechnung auf eine signifikante Stelle mehr ab, als der ungenaueste Faktor besitzt. Z.B. wird aus 321,816 X 12 nach der Rundung: 322 X 12 = 3864 :πς= 3900. Die Potenzierung wird genau so wie die Multiplikation behandelt: 2,1 2 =4,41 32=4,4 3,5 3 = 42,825 zn= 43 Die Quadratwurzel einer Zahl wird als einer ihrer zwei gleichen Faktoren definiert, daher muß das Endergebnis die gleiche Anzahl von signifikanten Stellen haben wie die ursprüngliche Zahl: \ f S = 2,23 . . . =b= 2 s/Tg 1 4 , 0 V 6 ^ g = 2,5258 . . . z a r 2,53 Wieder müssen wir noch einmal betonen, daß diese Regeln nur gelten, wenn wir mit Näherungswerten arbeiten, die das Ergebnis von Messungen sind. Mit exakten Zahlen dagegen ist 1/7 = 0,142857 . . . solange wir die Stellen schreiben wollen. Für einen Näherungswert von 1/7 gilt: 1/7 za= 0,1 ; und wir haben kein Recht, das Resultat über die eine signifikante Stelle hinaus anzugeben. Versuchen Sie jetzt, die Aufgaben auf Seite 76A zur Übung durchzurechnen.

Von S. 73A

1. 2. 3.

75A

4,2 Χ 117 = 491,4 ZQ= 490 auf zwei signifikante Stellen wegen der 4,2 abgerundet. 4,0 X 217 = 868,0 =B= 870 auf zwei signifikante Stellen wegen der 4,0 abgerundet. 389/21 = 18,524 . . . =o= 19 auf zwei signifikante Stellen wegen der 21 abgerundet.

Alle angegebenen Antworten waren richtig. Gehen Sie nach Seite 73A zurück und prüfen Sie die anderen Antworten nach.

Von S.73A

1.

2.

3.

4116,25X 350 = 1440692,50 =a= 1.400.000 auf zwei signifikante Stellen wegen der 350 abgerundet. (Für die Multiplikation dieser Zahlen runden Sie 4166,25 auf 4210 ab, eine signifikante Stelle mehr als bei 350, und multiplizieren Sie 4120 X 350 = 1.442.000 zmz 1.400.000.) 0,672/40 = 0,0168 . . . =n= 0,02 auf eine signifikante Stelle zur Übereinstimmung mit 40 abgerundet. (Die tatsächliche Division brauchte nur bis auf zwei signifikante Stellen durchgeführt zu werden: 0,016+, um dann nach Abrundung 0,02 zu ergeben.) 20,3 X 11 = 223,3 zsnz 220 wegen der 11 auf zwei signifikante Stellen abgerundet.

Alle hier angegebenen Antworten waren richtig. Gehen Sie nach Seite 73A zurück und überprüfen Sie die anderen Antworten.

75B

76A

Von S. 74A

Erledigen Sie die folgenden Aufgaben: 1.

2.

3.

4.

5. 6. 7.

Der Durchmesser einer Kreisscheibe wird durch Messung zu 13,12 Zoll bestimmt. Wie groß ist die Fläche dieser Scheibe? (Verwenden Sie: Fläche = 1/4 Χ π Durchmesser 2 , π = 3,141592653589... und runden Sie wie erforderlich ab.) Wie groß ist die Dichte eines Metallzylinders der Masse 48,4815 g, der Höhe h = 10,2 cm und des Durchmesser D = 0,81 cm? (Verwenden Sie die Gleichung: Dichte = Masse/Volumen, Volumen = (1/4 UD2h.) Das Fürstentum Monaco, mit einer Fläche von 0,61 m i 2 , nannte bei einer neueren Umfrage eine Bevölkerungszahl von 22.500 Einwohnern. Angenommen, die Monegassen sind gleichmäßig über ihr Land verteilt (in Wirklichkeit sind sie sehr gesellig), wie weit wären sie im Durchschnitt voneinander entfernt? Wieviel Atome befinden sich in 20 cm 3 eines Gases, dessen Dichte 6,02257 Χ 10 23 Atome/cm 3 beträgt? (Verwenden Sie: Zahl der Atome = Dichte X Volumen.) Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Automobils, das 57,4 km in 1,5 Stunden zurückgelegt hat? Ein rechteckiges Grundstück hat Seiten der Länge 447,6 f t und 31,0 ft. Wie groß ist die Fläche dieses Rechtecks? Landvermesser benutzen häufig die sogenannte Gunter-Kette, um Entfernungen auf einer Oberfläche zu messen. Eine Kette ist 66 Fuß lang und besteht aus 100 gleichen Kettengliedern. Wie groß ist die Fläche (in Quadrat-Ketten) eines Rechtecks, das 2 Ketten und 4 Glieder breit und 5 Ketten und 25 Glieder lang ist?

Gehen Sie nach Seite 76B oder 77A, falls Sie bei irgendeiner Aufgabe Hilfe brauchen. Gehen Sie nach Seite 78A, um Ihre Endergebnisse zu überprüfen.

76B

Von S. 76A

Bei der Gleichung: Fläche = (1/4)TTD2 sind die 1 und die 4 exakte Zahlen. Sie sind nicht das Ergebnis einer Messung; π ist auf so viele Stellen bekannt, wie wir benötigen; D ist ein Näherungswert und wird auf vier signifikante Stellen angegeben. Daher wird unsere A n t w o r t auch nur vier signifikante Stellen besitzen, und π wird höchstens auf fünf signifikante Stellen benötigt. Damit ergibt sich: Fläche = 1/4 X 3,1416 X 13,12 2 cm 2 . Vervollständigen Sie diese Multiplikation, runden Sie Ihr Ergebnis richtig ab und prüfen Sie seine Richtigkeit auf Seite 78A nach.

Von S. 76A

2.

Die ungenaueste Zahl, die verwendet wird, ist D = 0,81 cm, die nur auf zwei signifikante Stellen genau angegeben ist; π wird daher nur mit drei signifikanten Stellen benötigt, 3,14; und die Masse kann ebenfalls auf drei signifikante Stellen abgerundet werden, 48,5 g. Also ergibt sich: Dichte 1/4 X 3,14 X 0,812 cm2 X 10,2 cm Vervollständigen Sie diese Berechnung, runden Sie Ihre Antwort richtig ab und prüfen Sie das Ergebnis auf Seite 78A nach.

3.

Die Annahme, daß die Leute gleichmäßig verteilt sind, bedeutet, daß jeder ein Quadrat von

4.

5.

6.

7.

m ¡ Seitenlänge einnimmt. Da22.500 ^ ^ her ist der Abstand zwischen den Leuten ^ ' mi oder 5.280 X /ÏT6Î 22.500 % ' ft. Vervollständigen Sie diese Berechnung, runden Sie Ihre 22.500 Antwort richtig ab und überprüfen Sie Ihr Ergebnis auf Seite 78A. Das Volumen von 20 cm3 ist nur mit einer signifikanten Stelle angegeben, daher muß die Dichte der Atome, 6,02257 X 1023 Atome/cm3, auf zwei signifikante Stellen abgerundet werden: 6,0 Χ 1023 Atome/cm3. (Merken Sie, warum die Null bei 6,0 X 1023 signifikant ist, aber die Null bei 20 nicht? Wenn nein, gehen Sie nach Seite 61A für eine schnelle Wiederholung zurück.) Anzahl der Atome = 20 cm3 X 6,0 X 1023 Atome/cm3. Vervollständigen Sie diese Berechnung, runden Sie das Ergebnis richtig ab und prüfen Sie es auf Seite 78A nach. Die Entfernung 57,4 km ist auf drei signifikante Stellen genau angegeben. Das ist eine Stelle mehr, als die Zeit 1,5 Stunden besitzt, daher ist keine Abrundung vor der Berechnung nötig. Die Geschwindigkeit beträgt 57,4 km/1,5 h. Vervollständigen Sie diese Berechnung, runden Sie die Antwort ab und prüfen Sie sie auf Seite 78A nach. Die Breite von 31,0 ft ist eine Zahl mit drei signifikanten Stellen. (Erinnern Sie sich? Eine Null rechts vom Komma ist immer signifikant. Siehe Seite 61A.) Die Länge ist auf vier signifikante Stellen, eine mehr als die Breite, angegeben. Führen Sie die Berechnung der Fläche durch und prüfen Sie Ihre Antwort auf Seite 78A nach. Breite = 2 Ketten + 4 Glieder = 2,04 Ketten. Länge = 5 Ketten + 25 Glieder = 5,25 Ketten. Beide Messungen sind auf drei signifikante Stellen genau. Vervollständigen Sie die Berechnung der Fläche und überprüfen Sie Ihr Ergebnis auf Seite 78A.

77A

78A

Von S. 76A oder 76B

1.

Fläche = 1/4 X 3,1416 X 13,12 2 cm 2 Fläche = 1/4 X 3,1416 X 172,13 cm 2 = 135,1909 cm 2 =5=135,2 cm 2 auf vier Stellen abgerundet, um mit dem Durchmesser übereinzustimmen.

2.

0,81 2 = 0 , 6 5 6 1

3

°> 61 =0,0000271 = 27,1 Χ 10 6 und 22.500 Abstand zwischen den Leuten = 5280^27,11 Χ 10" 6 ft = 5280 X 5,2 Χ 10" 3 ft Abstand zwischen den Leuten =g= 27 ft auf zwei Stellen abgerundet.

4.

Anzahl der Atome = 20 cm 3 X 6,0 X 10 2 3 Atome/cm 3 = 120 Χ 10 23 Atome =g= 1 Χ 10 25 Atome auf eine signifikante Stelle abgerundet, um mit dem Volumen übereinzustimmen.

5.

Geschwindigkeit =

6.

1,5 h auf zwei Stellen abgerundet, um mit der Zeit übereinzustimmen. Fläche = 447,6 ft X 31,0 ft = 13875,60 ft 2 =π= 13900 ft 2 auf drei signifikante Stellen abgerundet, um mit der ungenauesten Zahl bei der Berechnung übereinzustimmen.

7.

0,656 48 5 / τ DÌChte ^ 1/4 X 3,14 X 0,656 X 10,2 48,5 g/cm3 5,57 Dichte zssr: 8,7 g/cm3 auf zwei Stellen abgerundet, um mit der ungenauesten Zahl, dem Durchmesser, übereinzustimmen.

57 4 k m

'

=a= 38 kmph (Kilometer pro Stunde)

Fläche = 2,04 Ketten X 5,25 Ketten = 10,7100 Quadratketten - g - 10,7 Quadratketten auf drei Stellen abgerundet, um mit den Messungen übereinzustimmen.

Wenn Sie diese Aufgaben erledigt haben, gehen Sie nach Seite 79A.

79A

Von S. 78A

Sehen Sie sich folgende Situation an: Drei Chemiestudenten wiegen Proben von NaCI für ein Experiment ab. Student A, der eine grobe Waage benutzt, hat 6 g NaCI; Student B, der eine einfache Γ «newaage verwendet, hat 3,17 g NaCI; Student C, dem eine hochpräzise elektronische Analysenwaage zur Verfügung steht, hat 4,356194 g NaCI. Wie ist die Gesamtmenge von NaCI richtig anzugeben, wenn sie die Proben zusammenschütten? Würden es 13,526194 g sein? Oder 10 g? Oder 13,5 g? Sollten wir die A n t w o r t abrunden, und wenn ja, auf wieviel Stellen? Wann runden wir ab, vor oder nach der Addition? Die Aufgabe, Meßwerte zu addieren, kann sogar noch kniffliger werden. Führen Sie z.B. einmal folgende Berechnung durch: A = 2 x 10 5 (25,0878 - 25,01 ) 2 (a) (b) (c)

A= 0 siehe Seite 79B A = 1000 siehe Seite 79C Ich weigere mich, diese Aufgabe zu versuchen, da sie mich auf's Glatteis führen könnte. Verstecken Sie sich auf Seite 80A.

Von S. 79A

79B

Wenn wir bei der Berechnung Λ = 2 Χ 10 5 (25,0878 - 25,01 ) 2 alle Zahlen vor dem Rechnen abrunden, erhalten w i r / \ = 2 Χ 10 5 (25 - 25) 2 = 0. Das ist jedoch nicht die richtige A n t w o r t . Gehen Sie nach Seite 80A.

Von S. 79A

79C

Wenn wir bei der Berechnung: A = 2 Χ 10 5 (25,0878 - 25,01 ) 2 nur das Endergebnis abrunden, erhalten wir den Wert: A = 2 Χ 10 5 (0,0778) 2 = 1210 :JBH 1000. Dies ist die richtige A n t w o r t , aber wir haben eine beträchtliche Menge unnötiger Rechenarbeit geleistet. Die richtige Methode wird auf Seite 80A beschrieben.

80A

Von S. 79A. 79B oder 79C

Der Schlüssel für die Addition zweier Meßwerte liegt in der Verwendung des Begriffs von der Grenze der Skalenteilung. Alle Glieder einer Summe müssen vor der Addition solange abgerundet werden, bis sie alle mit der gleichen Skalengrenze auftreten. Also wird aus dem obigen Beispiel: A = 2 X 105 (25,0878 - 25,01 ) 2 = 2 Χ 105 (25,09 - 25,01 ) 2 , wobei 25,0878 auf 25,09 abgerundet wurde, um in der Skalengrenze mit 25,01 übereinzustimmen. Beim Beispiel von Seite 79A würden die drei ratlosen Chemiker erhalten: 6 g + 3,17 g + 4,356194 g oder 6 g + 3 g + 4 g = 13g NaCI. Die Summe

3,127 3,13 + 0,82613 +0,83 + 4,11 wird zu +4,11 8,07

Alle Glieder der Summe sind auf die Skalengrenze 0,01 vor der Addition abgerundet worden. Wie groß ist der Wert von 14,427 - 1,63 + 5,1284? (a) (b) (c)

17,9 17,93 17,9254

siehe Seite 80B siehe Seite 81Β siehe Seite 81A

80B

Von S.80A

Anscheinend haben Sie das Endergebnis abgerundet, so daß es nur auf drei signifikante Stellen genau angegeben ist, um mit 1,63 übereinzustimmen. Das ist nicht richtig. Wenn man eine Addition oder Subtraktion mit Näherungszahlen durchführt, müssen die Glieder der Summe auf die gleiche Grenze der Skalenteilung vor der Berechnung abgerundet werden. Weder die Glieder der Summe noch das Endergebnis brauchen abgerundet zu werden, um in der Zahl der signifikanten Stellen übereinzustimmen. Zur Berechnung der Summe 3,14159 + 12,25 z.B. runden wir die erste Zahl auf 3,14 ab, d.h. auf zwei Kommastellen oder auf eine Skalengrenze von 0,01, um mit 12,25 übereinzustimmen, die auf zwei Stellen hinter dem Komma oder mit einer Skalengrenze von 0,01 angegeben ist. Die Antwort würde lauten: 3,14 + 12,25 = 15,39 und sollte nicht weiter abgerundet werden. Versuchen Sie's auf Seite 80A noch einmal.

81A

Von S. 80A

Es ist nicht sehr sinnvoll, einfach die Zahlen bei der Summe zu addieren, ohne sie zuvor abzurunden, so daß sie ein gleiches Maß der Präzision in den Meßwerten besitzen. Gehen Sie zurück nach Seite 8 0 A , sehen Sie sich das dort angegebene Beispiel an und machen Sie weiter.

81Β

Von S. 80A

Richtig. 14,427 - 1,63 + 5,1284 =0=: 14,43 - 1,63 + 5,13 = 17,93 Welche der folgenden Summen wurde nicht ganz richtig gebildet? 1.

2. ,016 + 4,10 + 20 24,1

(a) (b) (c)

1 ist falsch 2 ist falsch 3 ist falsch

3. 13,40 + 2,1481 + 7,365 22,92

17,2216 + 3,1 + 137,24 157,5

siehe Seite 82B siehe Seite 8 3 A siehe Seite 83C

81C

Von S. 82B oder 82A

Diese A n t w o r t kann unmöglich richtig sein. Ein prozentualer Fehler oder ein prozentualer Unterschied wird immer auf zwei signifikante Stellen abgerundet. Weiterhin scheinen Sie die Begriffe von prozentualem Fehler und prozentualem Unterschied durcheinandergebracht zu haben. Der prozentuale Unterschied zwischen einem Meßwert und einem genau bekannten Wert wird prozentualer Fehler genannt: Prozentualer Fehler = D i f f e r e n z — χ bekannter Wert

100

Der Unterschied zwischen zwei gleichermaßen unsicheren Größen oder Meßwerten wird prozentualer Unterschied genannt, wenn er in Prozenten des kleineren Werts ausgedrückt wird: Prozentualer Unterschied =

Dlfferenz X 100 kleinerer Wert

Gehen Sie nach Seite 82B zurück und versuchen Sie's noch einmal.

82A

Von S. 82B

Sie haben den prozentualen Fehler mit prozentualem Unterschied verwechselt. Wenden Sie sich an Seite 81C und machen Sie dort weiter.

82B

Von S. 81Β

Hier liegen Sie richtig! Wir müssen alle Glieder der Summe auf eine Skalengrenze von 10 abrunden. Aus der Summe wird dann: 0 + 0 + 20 = 20. Alle Glieder einer Summe müssen auf die größte Skalengrenze abgerundet werden. Das Ergebnis kann nie präziser als die ungenaueste Zahl sein, die bei der Bestimmung des Resultats verwendet wurde. Denken Sie daran: 1.

Bei der Multiplikation oder Division von Meßwerten ist die Zahl mit der größeren Anzahl von signifikanten Stellen so abzurunden, daß sie eine signifikante Stelle mehr als die ungenaueste Zahl besitzt. Nach Durchführung der Rechnung ist das Ergebnis so abzurunden, daß es in der Anzahl der signifikanten Stellen mit der ungenauesten Zahl bei der Berechnung übereinstimmt.

2.

Bei der Addition oder Subtraktion von Meßwerten sind zunächst alle Zahlen so abzurunden, daß sie in der Skalengrenze mit der Zahl übereinstimmen, die die größte Skalengrenze besitzt.

Eine weitere Regel, die gewöhnlich bei wissenschaftlichen Arbeiten eingehalten wird, besagt, daß der prozentuale Fehler oder der prozentuale Unterschied zwischen zwei Größen auf nicht mehr als zwei signifikante Stellen angegeben wird. Wenn die Wärmeleitfähigkeit von Luft bei 0 °C z.B. zu 0,000051 cal/s cm C° bestimmt wurde und der Tabellenwert als 0,000057 cal/s cm C° angegeben ist, ergibt sich welcher prozentuale Fehler des Meßwerts? (a) (b) (c) (d)

0% (sie sind gleich auf vier Dezimalstellen) 11 % 10,5% 12%

siehe Seite 84A siehe Seite 83B siehe Seite 81C siehe Seite 82A

83Α

Von S. 81Β

Die Regel sagt, daß wir jede Zahl auf die gleiche Skalengrenze, wie sie die gröbste Messung besitzt, abrunden sollen. Also ergibt sich 13,40 + 2 , 1 4 8 1 + 7 , 3 6 5 nach Abrundung zu 13,40 + 2,15 + 7,37. Alle Glieder dieser Summe sind mit einer Skalengrenze von 0,01 angegeben. Sehen Sie sich 'mal die anderen Antworten auf Seite 81Β an.

83B

Von S. 82B

Ausgezeichnet. Der prozentuale Fehler eines Meßwerts im Bezug zu einem bekannten Wert ist: prozentualer Fehler = (Differenz/bekannter Wert) X 100 auf zwei signifikante Stellen abgerundet. Wenn keine der beiden Zahlen genau bekannt ist, ergibt sich der prozentuale Unterschied: prozentualer Unterschied = — D l f f e r e n z X 100 kleinerer Wert auf zwei signifikante Stellen abgerundet. Gehen Sie jetzt nach Seite 8 5 für einige Aufgaben, die Ihnen bei der Wiederholung der in diesem Abschnitt behandelten Begriffe dienen sollen.

Von S. 81Β

Die Regel lautet, daß wir jede Zahl auf die gleiche Skalengrenze, wie sie der ungenaueste Meßwert besitzt, abrunden sollen. 17,22 + 3,1 + 137,24 geht also über in 17,2 + 3,1 + 137,2. Nach der Abrundung haben alle Glieder der Summe die Skalengrenze 0,1. Gehen Sie nach Seite 81Β zurück und sehen Sie sich noch einmal die anderen Antworten an.

83C

84A

Von S. 82B

Wenn wir diese Zahlen in Exponentialschreibweise angeben, erkennen wir, daß sie in der Tat recht unterschiedlich sind. 0,000051 = 5,1 X 10" 5 cal/s cm C° und 0,000057 = 5,7 Χ 10" 5 cal/s cm C°. Wenn eine der Größen, die wir miteinander vergleichen, genau bekannt ist (es scheint vernünftig zu sein, dies für den Tabellenwert als richtig anzunehmen), wird der prozentuale Fehler gegeben durch: prozentualer Fehler

Differenz

X 100 = ° ' 6 x 1 0 X bekannter Wert 5,7 X 10~5

100

Vervollständigen Sie die Berechnung, gehen Sie nach Seite 82B zurück und wählen Sie eine andere Antwort.

Von S. 83B

AUFGABENSATZ 2 Sehen Sie alle Zahlen als Meßergebnisse an. I.

Auf wie viele signifikante Stellen sind die folgenden Zahlen angegeben? 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.

305 3050 0,0050 1.000.000 0,00701 3,6 Χ 10 5 3,060 Χ 105 0,00003 Χ 108 0,00600 Χ 102 3,2480

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

0,005 3050,0 600 16,670 0,4 3,0 Χ 105 30 Χ 104 4001 8,003 Χ 103 10,02

Wie groß ist die Skalengrenze bei den folgenden Meßw 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.

4 40 2150 1,45 0,00029 3 Χ 104 6,007 Χ 10' 5 1216,2 X IO 5 0,007 Χ 10"8 0,0081 Χ 107

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

43 1.000 0,03 3,1416 0,000047 5,1 Χ 104 41,26 X 10" 0,002 X 10": 0,006 Χ 105 345 Χ 106

85

III.

Runden Sie jede der Zahlen in der linken Spalte wie angegeben ab: Auf sign.

Zahl

Auf

eine Stelle

sign.

zwei

abgerundet

abgerundet

Auf

Stellen

sign.

drei Stellen

abgerundet

Auf sign.

vier Stellen

abgerundet

41620 0,00139 55.555 0.4949 8.7456 3.14159265 2.71828 0.00011 0.65432 65,450 IV.

Vervollständigen Sie die folgende Tabelle. Multiplizieren Sie jedes Wertepaar, runden Sie das Produkt ab und tragen Sie das Ergebnis an richtiger Stelle ein. Z.B. 3,8 X 0,125 =33=0,48.

Multiplizieren

Sie

0,026

400

100 9.15 2.0 X 104 2.0 0.125 0,0036 si.

3,00 X 10~3

7,24

81,52

0,48

Vervollständigen Sie die folgende Tabelle. Addieren Sie jedes Wertepaar, runden Sie richtig ab und tragen Sie das Ergebnis an richtiger Stelle ein. Z.B. 3,8 + 0,125 =n= 3,8 + 0,1 = 3,9.

Addieren

100 9.15 2.0 X 104 2.0 0.125 0,0036

86

3,8

Sie

0,026

400

3,8

3.9

3,00 X

10'z

7,24

81,52

VI.

Führen Sie die genannten Berechnungen durch und runden Sie richtig ab: 1. (3,75 - 3,501 )2 3. V4.5-4,3 5. 4,52 7. 7Γ(8,1 )2

91,4 X (6,52 + 1,0165) 4. 6,144π -0,012 6. 56- (102,9 - 95,381 )2 100.0- 10 X (0,21 )2 8. 3,12 - 0,22 2 10. (9,5 - 0,05) 2.

9. 4,5 + 4,51 -4,561 -4,5661 11. 4,1 Χ 105 - 3,9 Χ 104 12. (8,5- 1,26) X IO"3 X (41 Χ 104) 13. 15. 16. 17. 19.

1 14 0,067 X 10"10X 4 X ,21 2 (0,54 X IQ' 8 ) 2 4 5 2 2 χ/8,1 Χ 10" + (3 X IO' ) (5,5 Χ 104) X (40 X 107) X 6 (2,416+3) X 10"3 18 (5 Χ 1010) + (50 Χ 1010) 5 6 (2 X 10~ ) + (2 X 10~ ) 20 (4 X 10~5) X (40 Χ 105)

LÖSUNGEN ZUM AUFGABENSATZ 2 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.

3 3 2 1 3 2 4 1 3 5

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

1 5 1 5 1 2 2 4 4 4

1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.

1 10 10 0,01 0,00001 1 X 104 1 χ io 8 1 X 10-6 1 Χ 10"11 1 Χ 103 =1000

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

1 1000 0,01 0,0001 0,000001 1 X 103 1 X 10' 9 1 Χ 10"6 1 Χ 102 =100 1 X 106

87

III.

Zahl

Auf eine sign. Stelle abgerundet

Auf zwei sign. Stellen abgerundet

Auf drei sign. Stellen abgerundet

Auf vier sign. Stellen abgerundet

41.620 0,00139 55.555 0,4949 8,7456 3,14159265 2,71828 0,00011 0,65432 65,450

40.000 0,001 60.000 0,5 9 3 3 0,0001 0,7 70

42.000 0,0014 56.000 0,49 8,7 3,1 2,7 0,00011 0,65 65

41.600 0,00139 55.600 0,495 8,75 3,14 2,72 0,000110 0,654 65,5

41.620 0,001390 55.560 0,4949 8,746 3,142 2,718 0,0001100 0,6543 65,45

VI. Multiplizieren Sie 100 9,15 2,0 Χ 10 4 2,0 0,125 0,0036

0,026 3 0,24 520 0,052 0,0033 0,000094

400

3,8

3,00 X

40.000 4000 8 Χ 10 6 800 50 1

400 35 7,6 Χ 10 4 7,60 0,48 0,01

IO'3

7M

81,52

0,3 2,75 X 10" 2 60 6,0 X 10" 3 3,75 X 10" 4 1,1 X 10" 5

700 66,2 14 X 10 4 14 0,905 0,026

8000 746 1,6 X 10 6 160 10,2 0,29

3,00 X 10~3

7,24

81,52

100 16,39 2,0 Χ 10 4 9,2 7,37 7,24

200 90,67 2,0 X 10 4 83,5 81,65 81,52

V. Addieren Sie 0,026

400

3,8

100 9,15 2,0 X 10 4 2,0 0,125 0,0036

500 400 2,0 Χ 10 4 400 400 400

100 13,0 2,0 Χ 10 4 5,8 3,9 3,8

88

100 9,18 2,0 Χ 10 4 2,0 0,151 0,030

100 9,15 2,0 X 10 4 2,0 0,128 0,0036

1. 3. 5. 7. 9. 11.

0,0625 0,43 20 210 -0,2 4,5 X 105

2. 4. 6. 8. 10. 12.

13. 15. 17. 19.

3,4 X 1016 9,9 X 10" 3 2,419 2 X 10" 5

14. 16. 18. 20.

689 19,292 0 10 88 3,0 X 103 (Warum nicht 3000?) 2X 10" 1 X 105 5,5 X 1011 200

Wenn Sie alle diese Aufgaben richtig erledigt haben, gehen Sie nach Seite 90A und machen Sie dort weiter. Falls Sie eine oder zwei Aufgaben verhauen haben, überzeugen Sie sich davon, daß Sie sie lösen können, bevor Sie weitermachen. Wenn Sie mehr als zwei Aufgaben falsch gemacht haben, gehen Sie zurück nach Seite 49 und wiederholen Sie diesen Stoff noch einmal.

89

Abschnitt IV. Einheiten und Umwandlung von Einheiten

... der Weise schaut in den Weltenraum und achtet das Kleine nicht als zu gering noch hält er das Große für zu groß, denn er weiß, daß es keine Grenze für die Dimensionen gibt. — Laotse —

Die Beschreibung einer physikalischen Variablen umfaßt sowohl ein Maß für ihre Größe als auch eine Aussage über die Einheiten, in denen sie gemessen wird. Die Größe und Präzision der Messung Länge L = 12 ft werden durch den numerischen Wert oder Maßzahl 12 angegeben, wie wir bereits gesehen haben. Lassen Sie uns nun den Einheitenteil der Beschreibung näher ansehen. Das Wesen einer Maßeinheit kann vielleicht klarer dargestellt werden, wenn wir das obige Meßergebnis so schreiben: Länge L = 12 X 1 ft. Der Zahlenwert 12 beantwortet die Frage „Wie oft ist die Maßeinheit (1 ft) in der physikalischen Größe (L) enthalten?" Die Länge L wird also mit Hilfe einer einfachen Längeneinheit, 1 ft, beschrieben. Natürlich ist die Wahl der Einheit ziemlich willkürlich, und wir können jede beliebige andere Längeneinheit benutzen. Z.B.: L = 12 ft = 3,7 m = 3,9 X K T 1 6 Lichtjahre = 3,7 Χ 10 1 0 A oder sogar: L = 84 Blips. Diese Aussagen sind gleichwertige Beschreibungen der vorgegebenen Länge, obwohl sie mit Hilfe sehr unterschiedlicher Einheiten ausgedrückt wird. Eine Einheit kann formal als eine gewählte Größe einer physikalischen Variablen definiert werden, mit deren Hilfe andere Größen derselben 90A

Variablen ausgedrückt werden können. Der Zahlenwert bei den obigen Meßergebnissen gibt an, wie oft die genannte Einheit wiederholt oder unterteilt werden muß, um die Länge L zu ergeben. Wenn das Meßergebnis bei wissenschaftlicher Arbeit verstanden werden oder nützlich sein soll, muß die Einheit sehr präzis definiert werden. Wissenschaftliche Meßergebnisse müssen in einer Form angegeben werden, die eine unzweideutige Verständigung gestattet, und sogar der armselige Blip (den ich gerade erfunden habe) ist eine erlaubte Einheit, wenn sich alle Benutzer darüber im klaren sind, daß er ein Siebentel Fuß beträgt. Unglücklicherweise ist die Wahl der Einheiten dem Zufall überlassen gewesen, und sie sind traditionell mit Hilfe praktischer und bequemer aber rein willkürlicher physikalischer Größen definiert worden. Historisch haben sich die Längenmaße aus den Maßen des menschlichen Körpers entwickelt. Die Längeneinheit ein Finger entsprach im alten England der Breite eines Männerfingers (heute noch als Whisky-Maß gebräuchlich). Die Bequemlichkeit solcher jederzeit zur Verfügung stehenden Einheiten-Standards ist unübertroffen, aber ihr Betrag schwankt von einem Benutzer zum anderen. Trotz ihrer offenkundigen Mängel wurden solche persönlichen Einheiten früher in großem Umfang verwendet. Vier Finger wurden als eine Hand definiert und die Größe von Pferden wird noch heute in diesem Maß angegeben. Zwei Hände wurden als eine Spanne definiert nach dem angelsächsischen Wort spann. Und so ging das System weiter: 2 Spannen = 1 Elle, der Abstand von den Fingerspitzen zum Ellbogen. 2 Ellen = 1 Arm, der Abstand vom Kinn zu den ausgestreckten Fingerspitzen. 2 Arme = 1 Klafter. 3 Fuß = 1 Arm. Der Fuß ist wahrscheinlich die früheste Längeneinheit. Sie wurde von den Ägyptern, Griechen und Römern verwendet, und zweifelsohne suchten sich sparsame griechische Hausfrauen ihren Toga-Händler nach seiner Schuhnummer aus. Volumeneinheiten sind besonders verzwickt wegen der Vielzahl der einst als Standard benutzten Behälter. Jeder Kreuzworträtselfan wird das Ro als ägyptisches Mundvoll erkennen, aber er wird nicht unbedingt bemerken, daß gilt: 2 ro = 1 Handvoll = 1 Jigger und 2 Jiggers = 1 Jack = M2JM oder Gill. Das alte englische Kinderlied von Jack und Jill aus dem siebzehnten Jahrhundert war ursprünglich ein Protestsong gegen den örtlichen Gastwirt, den man beim Schummeln mit der Größe seiner Trinkgläser erwischte. 91A

Es sollte offensichtlich sein, daß die Einheiten, o b w o h l sie völlig willkürlich gewählt werden können, unzweideutig mit Hilfe eines weit verbreiteten Standards bestimmt werden müssen. Der einfachste und bequemste Weg dies zu tun, ist das Auswählen von Standards für Länge, Gewicht, V o l u m e n usw. und das Aufbewahren dieser Normale an einem zentral gelegenen Ort, w o sie zur Eichung oder Kalibrierung von Meßinstrumenten zur Verfügung stehen. Das genau wurde getan. E i n Gegenstand, der die Standard-Masseneinheiten definiert, w i r d in Sèvres, Frankreich aufbewahrt. K o p i e n davon werden in vielen Ländern der Erde aufbewahrt und zur wissenschaftlichen und kommerziellen Standardisierung v o n Einheiten benutzt. Wir werden solche Einheiten-Standards in einem späteren A b s c h n i t t genauer untersuchen. Der Begriff von einer Einheit als ein kleiner Betrag einer Größe, die bei dem Meßvorgang an einer physikalischen G r ö ß e wiederholt oder vervielfacht wird, ist einfach u n d offensichtlich bei einfachen Größen. A l s o : 1 Jahr = 3 6 5 Tage = 3 6 5 X 1 Tag und 135 P f u n d = 135 X 1 Pfund usw. Einheiten, die ein derartiges, aus einem Wort bestehendes E t i k e t t besitzen, erscheinen grundlegend zu sein wegen der Einfachheit der Aussage. Der Begriff w i r d weniger o f f e n k u n d i g bei komplexeren, zusammengesetzten Einheiten. Z . B . bewegt sich ein Fahrzeug, das 75 k m mit konstanter Geschwindigkeit in 1,5 Stunden zurücklegt, mit einer Geschwindigkeit von ρ = 7 5 k m = go k m 1,5 h h (Häufig als k m / h oder k m p h geschrieben, zur Bequemlichkeit der Setzer oder u m das saubere S c h r i f t b i l d der Seite zu erhalten, k m / h oder k m p h w i r d „ K i l o m e t e r pro S t u n d e " gelesen. Das Wort pro ist dabei die Kennzeichnung einer Division.) Einheiten, die einen Vergleich von zwei oder mehr G r ö ß e n beinhalten und die gewöhnlich eine aus mehreren Worten zusammengesetzte Bezeichnung erfordern, werden als zusammengesetzte oder abgeleitete Einheiten bezeichnet. So besitzt ein Quadrat mit Seiten von 3 m Länge eine Fläche von 3 m X 3 m = 9 m 2 = 9 Quadratmeter (m 2 w i r d als „ Q u a d r a t m e t e r " gelesen). Wir könnten, wenn wir wollten, eine neue Einheit definieren: 1 arf = 1 m 2 , so daß die Fläche gleich 9 arf ist. Diese neue Einheit ist annehmbar, aber nicht besonders brauchbar. Spezialnamen für zusammengesetzte Einheiten dieser A r t sind in Naturwissenschaft und Technik üblich. Z . B . kann der Isolationswert von Kleidungsstücken gemessen werden u n d er w i r d als Wärmeabgabe v o m Menschen an die Umgebung für eine vorgegebene A u ß e n t e m p e r a t u r ausgedrückt. Die Einheit dafür ist k o m p l e x und ihre Benutzung w i r d gewöhnlich dadurch vereinfacht, daß ein C L O - E i n h e i t s w e r t verwendet wird. 92A

In diesen Einheiten besitzt ein typischer Straßenanzug einen Isolationswert von 3,09 ° F X m X s = 1 CLO. Ein Eskimo, der sich wohl fühlt, cal wird ungefähr 4 CLO an Pelzen tragen und gelegentlich findet man einen Bikini mit faszinierenden 1,0 X 10~4 CLO. Es ist manchmal eine Frage der Bequemlichkeit, solche, aus einem Wort bestehenden Einheitennamen für häufig benutzte, zusammengesetzte Einheiten zu erfinden. Sehr häufig können sich die Einheiten einer Größe in der Angabe des Meßergebnisses verstecken. Ein Hügel könnte dadurch beschrieben werden, daß angegeben wird, er habe den Anstieg 6. Das Meßergebnis würde lauten: Anstieg = 6. Offensichtlich besitzt diese Größe keine mit ihr verknüpften Einheiten, da der Anstieg durch das Verhältnis der Höhe einer Erhebung zu ihrer horizontalen Länge definiert wird. Wenn also eine 60 m-Erhebung aus einer horizontalen Bewegung von 10 m resultiert, ist der Anstieg 60 m/10 m = 6. Die Länge meines Bleistifts, 7,5 in, könnte mit Hilfe seines Durchmessers beschrieben werden, der 5/16 in beträgt. Wir würden sagen: Länge = 7,5 Zoll = 24 Durchmesser. Wenn wir alle Bleistifte gleichen Durchmessers hätten, würde es nichts ausmachen, von einer Bleistiftlänge von 24 oder 10 oder Stummeln von 3 zu sprechen, ohne eine explizite Einheit zu benutzen. Solche Einheiten werden häufig als natürliche Einheiten bezeichnet und sind bei naturwissenschaftlichen Arbeiten weit verbreitet. Die Schlankheit eines Stabes wird als Verhältnis seiner Länge zu seiner Dicke in üblichen Einheiten definiert. Jede Winkelgröße kann als Verhältnis der vom Winkel ausgeschnittenen Bogenlänge zum Radius des Bogens dargestellt werden, wobei beide Längen in den gleichen Einheiten zu messen sind. Da es recht ungeschickt ist, von einem Winkel von s 1,2 oder 0,4 zu sprechen, hängen \ wir einen künstlichen Einheitennamen an diese Zahlen an, den Radiant (rad). Dieser Einheitenname wird nicht benötigt, aber er θ rad = γ wird aus Gründen der besseren Kennzeichnung beibehalten. Wenn ein geeigneter Standard vorhanden ist, kann eine Größe häufig mit Hilfe dieses Standards ausgedrückt werden, wodurch die Einheiten unterdrückt werden können. Z.B. beträgt die Dichte von Wasser bei Zimmertemperatur angenähert 1000 kg/m3 und die Dichte von Benzol 93A

879 kg/m3. Aus Bequemlichkeit können wir die spezifische Dichte eines Gegenstands als das Verhältnis seiner Dichte zur Dichte des Wassers definieren. Die spezifische Dichte von Benzol beträgt danach 0,879. Einheiten sind nicht erforderlich. Dieses Verfahren zur Unterdrückung von Einheiten ist in der Physik und den Ingenieurwissenschaften weit verbreitet. Die Länge eines Gegenstands ist ein erkennbarer Begriff, der nicht davon abhängt, wie sie gemessen wird oder welche Einheiten zu ihrer Beschreibung verwendet werden.Die Meßergebnisse: Breite = 10 ft, Länge = 2 Meilen, Dicke = 3 X 10~4 cm, Entfernung = 6,04 Lichtjahre haben alle eines gemeinsam: die Einheiten, obwohl verschieden, sind alle Längeneinheiten. Wir sagen, sie haben alle die gleiche Dimension, Länge. Alles, was in Längeneinheiten gemessen werden kann, besitzt die Dimension der Länge. Also ist der Begriff einer Dimension ein allgemeinerer Begriff als der einer Einheit. Die Verwendung dieses Begriffs erlaubt uns/alle physikalischen Variablen als aus einigen wenigen grundlegenden Dimensionen zusammengesetzte Größen zu charakterisieren. Wir können einen Satz oder System einiger weniger Dimensionen als grundlegend auswählen und die Dimensionen jeder physikalischen Größe, ganz gleich wie komplex sie ist, mit deren Hilfe beschreiben. Wenn Länge, Masse und Zeit als Grunddimensionen angesehen werden, können wir die Dimension einer Geschwindigkeit als Länge/Zeit o d e r ^ J oder [/.] [ 7 T 1 und die Dimensionen der Kraft als Masse X Länge/Zeit2 = [M] [/.] [7~T2 beschreiben. [/.] wird verwendet, um eine Größe zu kennzeichnen, die die Dimension einer Länge hat; [7] bezieht sich auf die Zeit, [M\ auf die Masse. Das Winkelmaß Radiant besitzt keine Dimensionen, ist dimensionslos oder hat die Dimension Eins [ 1]. Auf diese Weise können wir auf das verallgemeinern, was für alle Einheitensysteme gelten muß. Das System von Dimensionen, das wir auswählen, ist grundlegend für das Verständnis der physikalischen Begriffe, die dadurch beschrieben werden, und ist nicht vollkommen willkürlich. Die Dimension einer Größe ist in Wirklichkeit eine nochmalige Beschreibung ihres eigentlichen Wesens. Wir werden das Wesen der Dimensionen von physikalischen Variablen in einem späteren Abschnitt eingehender betrachten. Ein arbeitender Naturwissenschaftler verbringt nur wenig von seiner Zeit damit, Umwandlungen von einem Einheitensystem in ein anderes durchzuführen oder darüber zu diskutieren, welche Einheiten zu verwenden sind. Aber jeder Wissenschaftler muß dazu in der Lage sein, mit den Einheiten in seinen Gleichungen ohne Mühe zu arbeiten und die Angaben von Meßergebnissen seiner Kollegen zu verstehen. 94A

Bestimmte Regeln für den Umgang mit Einheiten müssen ein Teil des methodischen Herangehens an numerische Berechnungen und der naturwissenschaftlichen Ausdrucksweise eines jeden Studenten der Naturwissenschaften und der Technik werden. Zuerst einmal sind, wie wir betont haben, die Einheiten ein wichtiger Bestandteil des Ausdrucks einer physikalischen Variablen. Sie müssen stets angegeben werden. Die Durchschnittsbeschleunigung im Schwerefeld der Erde an der Erdoberfläche beträgt 9,81 m/s 2 , und nicht etwa 9,81. Wenn diese Größe in einer Gleichung auftritt, müssen die entsprechenden Einheiten mit ihr zusammen auftreten. Ein Gegenstand, der aus dem Ruhezustand eine Strecke S frei durchfällt, wird eine theoretische Geschwindigkeit i> erreichen, die durch die Gleichung ν = V g e g e b e n ist. Wenn der Gegenstand 25 ft weit fällt, können wir seine Endgeschwindigkeit berechnen zu: ν = V 2 X 32 ft/s 2 X 25 ft = y¡2 Χ 32 Χ =

/ V

(1 s)2

Χ 25 Χ T f T

1 6 0 0 * 1 ^2 = 40 ft/s (1 s)

Wir schreiben nicht ν = \J2 X 32 X 25 = V1600' = 40 ft/s. Studienanfänger in den Naturwissenschaften sollten stets die Einheiten bei den Zwischengleichungen während der Berechnung mitschreiben. Ein erfahrener Student wird erkennen, daß die Gleichung ν = \/2gS den Dimensionen nach richtig ist ([L] [ 7 T 1 = V U 1 Ι Π " 2 U-l = [*•] [7Ί" 1 ), und er wird schreiben, da er die Einheiten für die Geschwindigkeit in diesem System kennt: ν = V 2 X 32 X 25'ft/s = v ^ T O T f t / s = 40 ft/s. Beachten Sie, daß jede der rechts stehenden Gleichungen die richtigen Einheiten besitzt. Wenn die Einheiten für das Endergebnis nicht bekannt sind, schreiben Sie alle Einheiten in den Zwischengleichungen mit. Berechnen Sie ^ aus der folgenden Gleichung:

»f = wobei vQ = 200 cm/s t = 5,0 s

v + 0 9t

auf zwei signifikante Stellen,

Prüfen Sie Ihre Berechnung auf Seite 97B.

95A

96A

Von S. 97A

Ihre Arbeit sollte etwa so aussehen: Uf = (20 — V ; V s/ vf2 = 400 ¿ i s

+ 2 X 980 ^2 X 5 cm = 20 2 s 9800 ^ 2 s

= 10200

sz

(1 s) 2

+ 2 X 980

(1s) 2 Χ 5(1 cm)

^

y- = 100 cm/s Beachten Sie beim Quadrieren von 20 cm/s, daß man sowohl den numerischen Teil als auch die Einheiten der Größe quadrieren muß. (1 cm) 2 wird praktischer als 1 cm 2 geschrieben. Versuchen Sie 'mal diese Aufgabe: Berechnen Sie die Massendichte eines Kreiszylinders unter Verwendung der Gleichung ρ =

^ [ ,

wobei M = Masse = 340 g R = Radius = 2 cm h = Höhe = 10 cm Prüfen Sie Ihre A n t w o r t auf Seite 9 8 A nach.

96B

Von S. 9SA

Ρ = 2π

/

40 cm X cos 60° 980 cm/s 2

= 2π

= 2π

/ / /

40 X 1 cm X 0,5 oon 1 cm 9 8 0 (Tip ^

¿

X

(1 s) = 0,9 s

(1 cm) .o k a n n sehr leicht berechnet werden, indem man einfach (1 cm)/(1 s) 2 Zähler und Nenner mit (1 s) 2 multipliziert: (1 cm) (1 cm)/(1 s) 2

(1 s) 2 (1 s) 2

_ ( 1 cm)(1 s) 2 _ (1 cm)

n

)2

Beachten Sie weiterhin auch, daß cos 60° = 1/2 ist und keine Einheiten dabei notwendig sind. Die Werte von trigonometrischen, logarithmischen und Exponentialfunktionen sind einfach relie Zahlen.

Wenn 1 in = 2,54 cm und 1 mi = 63360 in sind, drücken Sie 1 Meile in Metern aus: (a) 1,61 X 107 m (b) 1610 m (c) 249 m (d) Ich weiß nicht, wie ich vorzugehen habe.

siehe Seite siehe Seite siehe Seite siehe Seite

98B 100B 100A 98C

97A

Von S. 97B

Ihre Berechnung sollte ungefähr so aussehen: + "f = "η 0 9 t = 200

980 ^Πΐχ 5 s s s 2 = 200 + 980 U-SHl) Χ 5,0 Χ (1 s) (1 s) (1 s)2 = 200 — + 4900 — = 5100 — s s s oder, da die Gleichung dimensionsmäßig richtig ist: '

ν, = (200 + 980 χ 5 ) ^ 1 = 5 1 0 0 ^ 1 J s s Wenn t zu t = 5 s angegeben wurde, würde es erforderlich sein, auf eine signifikante Stelle abzurunden und damit: „/ = 2 0 0 * 1 ^ +980 V - ^2 X 5 X (1 s) (1 s) (1 s) = 200 5m + 4900 ^ 3 = 5000 s s Versuchen Sie jetzt einmal dies: p 2

f

=v

Q2

+

2 9S

s

^

mît s = 5 c m

= 20 5Π1 s Prüfen Sie Ihr Verfahren und Ihr Ergebnis auf Seite 96A nach. 0

Von S. 95A

97B

Haben Sie$> = 980 cm/s2 = 980 X 7-^5· benutzt?¿r muß die Einheiten (1 s r besitzen, die denen entsprechen, die für die anderen Variablen verwendet werden. Wenn Sie den richtigen Wert für «7 eingesetzt haben, prüfen Sie Ihre Antwort auf Seite 97A nach.

98A

Von S. 96A

P

340 g π X (2 cm) 2 X 10 cm 340 χ __g_ 3,1X4X10 cm 3

340 g 3,1 Χ 2 X (1 cm) 2 X 10 X (1 cm) 3 cm 3 ' 2

wobei (1 cm) 2 X (1 cm) = (1 cm) 3 = 1 cm 3 ist. (Chemiker nennen 1 cm 3 gewöhnlich einen „Kubikcentimeter", abgekürzt 1 cc.) Die Periode eines konischen Pendels wird durch die Gleichung ρ = 2π / ^ c o s θ gegeben, wobei L die Länge des Pendels und 0 der V 9 Neigungswinkel ist. Bestimmen Sie die Periode P, wenn L = 40 cm und θ = 60° sind. Überprüfen Sie Ihr Vorgehen auf Seite 96B.

98B

Von S. 96B

Ihre Antwort ist falsch. Denken Sie daran: 1 cm = 10~2 m 1 mi = 5280 f t 1 f t = 12 in 1 in = 2,54 cm

alles nach Definition.

Versuchen Sie noch einmal, diese Beziehungen zu verarbeiten, um die Aussage 1 Meile = Meter zu vervollständigen. Gehen Sie nach Seite 96B zurück und suchen Sie eine andere Antwort.

98C

Von S. 96B

Betrachten Sie die Aufgabe als wie folgt gestellt: Bestimmen Sie die Zahl χ in der Aussage 1 mi = x Meter. Nun wissen wir, daß die Aussage 1 mi = 5280 f t richtig ist; wie wandeln wir jetzt die Einheit Fuß in Meter um? Können Sie bei der obigen Aussage beginnend mit der Beziehung 1 f t = 12 in zu einem Wert von χ gelangen? Versuchen Sie's und prüfen Sie Ihr Ergebnis auf Seite 100B nach.

99A

Von S. 100B

11 cm = 11 cm = 11 c m x f - L i n - Λ χ Γ — V ( ^ ) X ( \2,54 cm J \ 1 2 iny V 3 f t ^ V 220 yd J wobei jeder der in Klammern stehenden Brüche gleich eins ist. — furlongs zs= 5,5 X 10~4 furlongs. 2,54X 12X 3X 220 Welche Geschwindigkeit in ft/s entspricht 65 mi/h? Also: 11 cm =

Prüfen Sie Ihre Antwort auf Seite 99B nach. 99B

Von S. 99A

65 mi/h = 65 mi/h X 5280ft χ 1 mi _ 65 X 5280 χ 1 m i x 60 X 60 1hX

_JJL_ x 1_min 60 min 60 s 1 ft X 1 hX 1 min 1 mi X 1 min X 1 s

ΖΒ=95 ft/s

Ist Ihnen das Verfahren klar geworden? 1. Beginnen Sie mit einer richtigen Aussage, die sich auf die umzuwandelnde Einheit bezieht (z.B. 65 mi/h = 65 mi/h). 2. Entwickeln Sie aus bekannten Beziehungen (z.B. 1 mi = 5280 ft) einen geeigneten Einheitsbruch (1 = 5280 ft/1 mi). (Denken Sie daran, 1 mi/5280 ft ist ebenfalls ein Einheitsbruch!) 3. Multiplizieren Sie die rechte Seite der ursprünglichen Gleichung mit einem oder mehreren Einheitsbrüchen. 4. Trennen Sie jede Größe in einen numerischen und einen Einheitenteil (z.B. 5280 ft = 5280 X 1 ft) und fassen Sie alle numerischen Teile zusammen. 5. Führen Sie die Berechnung durch, nachdem alle Einheitenumwandlungen abgeschlossen sind. Wenn Sie die richtigen Einheitsbrüche gewählt haben, wird sich der resultierende Satz von Einheiten (z.B. 1 m i x 1 f t x 1 hX 1 min } g u f d j e 1 hX 1 mi X 1 min X 1 s gewünschte Einheit (z.B. ft/s) reduzieren. Wieviel Zellen wären erforderlich, um ein Volumen von 1 m 3 zu füllen, wenn für eine Zelle das Volumen eines Würfels von 10 μπι Kantenlänge angenommen wird? (1 μιτι = 10~6 m). (a) (b) (c)

103 105 1015

siehe Seite 101A siehe Seite 101Β siehe Seite 102A

100A

Von S. 96B

Offensichtlich haben Sie die falsche Beziehung 1 cm = 2,54 in verwendet. Gehen Sie zurück nach Seite 96B und versuchen Sie es noch einmal. 100B

Von S. 96B oder 98C

1 Meile = 1610 Meter (auf drei signifikante Stellen). Diese Aufgabe einer Umwandlung von Größen gleicher Dimension von einem Einheitensystem in ein anderes ist für Studienanfänger in den Natur- und Ingenieurwissenschaften ein ständig auftretendes Problem. Der Student muß ein ausreichendes Geschick in solchen Manövern erwerben, damit sie wenig Mühe oder Nachdenken erfordern. Umwandlungen von Einheiten werden beträchtlich durch die Verwendung von Einheitsbrüchen vereinfacht. Wenn 1 ft = 12 in ist, wird das Verhältnis 1 ft/12 in gleich eins, da das Verhältnis von zwei beliebigen, aber gleichen Größen 4 4 , . . ·eins ist: - . 2- = -3 = -4 = 5 , D u Sie c· nach, u gleich —+ 1 = 158 + 59 - (Rechnen y

+

4

wenn Sie mir nicht glauben!) Entsprechend gilt 12 in/1 ft = 1. Somit gibt es für jede Beziehung zwischen Einheiten in der Form 1 ft = 12 in zwei Einheitsbrüche, 12 in/1 ft und 1 ft/12 in. Wir können diese bei der Umwandlung von Einheiten benutzen. 1 mi = 5280 ft X 12JEL= 5280 Χ 121 1 ft

ftX

1 ιη

1 ft

= 63.360 in, da

Die Multiplikation irgendeines Terms in einer Gleichung mit einem solchen Einheitsbruch ändert bloß die Form des Terms. Der Wert des Terms bleibt erhalten, da wir ja nur mit eins multiplizieren. Wenn wir den geeigneten Einheitsbruch wählen, können wir erreichen, daß unerwünschte Einheiten ausgeschlossen werden und daß wir die gewünschte Einheitenumwandlung erhalten. Somit ist 1 mi = 5280 ft = 5280 Χ ( 12 in/1 ft) Χ (2,54 cm/1 in) Χ (1 m/ 100 cm), wobei jeder der Brüche in den Klammern gleich eins ist. 5280 X 12 X 2.54 /1 ft X 1 in X 1 cm X 1 m \ 100 l 1 ft X 1 in X 1 cm l = 1609 m 133= 1610 m Versuchen Sie einmal dies: 1 furlong = 220 yards. Wie groß ist die Länge eines 11 cm langen Stabes in furlongs? (1 yd = 36 in). Prüfen Sie Ihr Ergebnis auf Seite 99A nach. 1 m¡ =

V o n S. 9 9 B

101A

Sie haben nicht richtig geantwortet. Offensichtlich haben Sie vergessen zu beachten, daß wir Volumenmessungen umwandeln. Das Volumen einer Zelle ist (10 Mm)3 = 10 3 X (1 Mm)3 = 10 3 X 1 Mm3. Gehen Sie für einen neuen Anlauf nach Seite 99B zurück.

V o n S. 9 9 B

101B

Nicht ganz! Beginnen Sie bei der Identität 1 m 3 = 1 m 3 , und wandeln Sie dann die rechte Seite der Gleichung in einen Ausdruck um, der das Zellenvolumen enthält. Ein Zellenvolumen = (10 Mm)3 = 103 X (1 Mm)3 = 10 3 X 1 Mm3. Gehen Sie zurück nach Seite 99B und versuchen Sie es noch einmal.

Woher?

Erholen Sie sich, nur keine Aufregung! Geben Sie vor, dies wären hier Ferien.

101C

102A

Von S. 99B

Ihr Vorgehen sollte etwa wie folgt aussehen: 1 m3 = 1 m3 X ί - ^ - Ϋ

Χ Π

V10"6 m j

V

Beachten Sie: 1 μπη \ 3 _ (1 μηι) 3 _ IO'6 m ) ( I O ' 6 m)3 (IO

Zellenvolumen \ 10

μιη

1Ql5

Ze||envolumen

)

1 μΓΠ3 _ 1 μητι3 3 ) Χ 1 m 10" 1 8 m.33 = lois m3 3 3 3 und: 1 Zellenvolumen = (10 Mm) = 10 Χ (1 μιη) = 10 3 μην 3 ; damit folgt:

1=

1

6 3

Zellenvolumen 10

μπ\3

Einheitsbrüche müssen üblicherweise aus einfachen Einheitenbeziehungen gebildet werden wie z.B.: 1 yd = 0 , 9 1 4 4 m oder: 1 Britisches Gill = 1 , 4 2 0 6 5 2 Χ 10~ 4 m 3 (Barkeeper, seht Euch vor!). Tabellen von Einheitsbrüchen sind im Anhang Β angegeben. Jede der Eintragungen in diesen Tabellen ist gleich eins auf vier signifikante Stellen und ist entweder aus der Einheitsdefinition oder aus physikalischen Meßergebnissen berechnet worden. Benutzen Sie diese Tabellen, um die folgenden Aussagen zu vervollständigen: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

7 g= 12 slugs = 4 cal = 8 mi 2 = 3 2 ft/s 2 = 210 km/h = 4 X 1 0 - 3 g/cm 3 = 9

1,5 X 10~ Torr = 3 5 Knoten = 4 5 miph =

kg g ft Ib ft2 mi/min2 ft/min slug/in 3 psi furlongs/14 Tage cm/s

Wenn Sie diese Aussagen ergänzt haben, überprüfen Sie Ihre Antworten auf Seite 103A.

103A

Von S. 102A 1. 7 g = 7 g Χ (ΊΟ - 3 kg/g) = 7 Χ 1 0 ' 3 kg 2. 12 slugs = 12 slugs X (1,459 Χ 10 4 g/slug) zmz 1,8 Χ 10 5 g 3. 4 cal = 4 cal Χ (3087 ft Ib/cal) 3 = 10.000 ft Ib = 1 X IO 4 ft Ib 4.

8 mi 2 = 8 mi 2 Χ ^2,590 X 1θ'

5.

32 ft/s 2 = 32 ft/s 2 Χ f - Z Ù - A Χ / ^ Υ 5280 f t / \min/ mi . 3 2 Χ 3600 mi 22 2 5280 min min 2

Χ 10 8 ft 2

Χ ^10,76 ^ = 2

Denken Sie daran, ( ^ ) = 60 2 , nicht 60 — 2 \min/ min*2 min miri 6.

210 km/h = 210 km/h X 3,281 f t / m X = 210 X 3,281 X 10 3 60

7.

km

ft/mjn

X

1 } χ

1q4

ft/mjn

4 X I O ' 3 g/cm 3 = 4 X I O ' 3 g/cm 3 X ^6,852 Χ 1 0 ' 3 X

16,39 ^ 3 in 9

=51=4 X IO" 3 X 6,8 X I O ' 3 X

^

1 6 3^ in

rstz 4 X 10- 6 slug/in 3 Torr = 1,5 Χ 1 0 ' 9 T o r r X (1,934 Χ 10" 2 psi/Torr) = 1,5 X I O ' 9 X 1,93 Χ 10" 2 psi 2,9 X 10~11 psi

8.

1,5 X I O '

9.

35 Knoten = 3 5 Knoten Χ Χ

14—^— 14 Tage

1,151

mi/h

Knoten

Χ

8

furlon

mi

9s

χ 24 ^ d

=35X1,151X8X24

Χ 14 furlongs/14 Tage 3 = 1 , 1 Χ 10 5 10.

1 h

60 min

4 5 mi/h = 45 mi/h Χ ^1,609 Χ 10 5 X \ mi/ _ 45 Χ 1,609 Χ 10 5 cm 3600 s =H=: 2,0 X 10" 3 SEQ s

furlon

9s 14 Tage

3600 s

Wenn es Ihnen nicht gelungen ist, jede dieser Aussagen richtig zu vervollständigen, gehen Sie nach Seite 104A für eine Wiederholung. Andernfalls gehen Sie nach Seite 105A für einen Satz von Aufgaben, die etwas mehr verlangen.

Von S. 103A

104A

Aus einer Aussage, die Einheiten verknüpft wie 1 f t = 30,48 cm, können wir zwei Einheitsbrüche bilden, die bei der Umwandlung von einem Einheitensystem in das andere nützlich sind. Da jede Zahl der Form ala gleich eins ist, haben wir 1 f t / 1 f t = 1 ft/30,48 cm = 1 und 30,48 cm/1 f t = 1. Um das Meßergebnis L = 16 ft in eine gleichbedeutende Aussage in Zentimetereinheiten umzuwandeln, können wir mit einem dieser Einheitsbrüche multiplizieren. Da dieser Faktor die Größe eins besitzt, ändert sich der Wert des Meßergebnisses nicht. L = 16 f t X /30,48 — V ft y = (16 Χ 30,48)

1

16 X 1 ft X (30,48 — ν ι ft cm

=g=490X 1 cm = 490 cm,

Wir wählen den geeigneten Einheitsbruch aus, so daß die gewünschte Einheit erhalten bleibt. Im Anhang sind Tabellen der Einheitsbrüche angegeben. Jede Eintragung in diesen Tabellen ist gleich eins. Gehen Sie nun nach Seite 99B zurück und wiederholen Sie den Stoff über Einheitenumwandlung.

Von S. 103A

Versuchen Sie, diese Aufgaben zu lösen: 1.

Wieviele Deuteronen werden benötigt, um ein Gramm reiner Deuteronen zu ergeben, wenn ein Deuteron die Masse von 2,014 atomaren Masseneinheiten besitzt?

2.

Es gibt ungefähr 2 Χ 1010 Galaxien im uns bekannten Weltall und ungefähr 1,6 Χ 1011 Sterne in einer Durchschnittsgalaxis. Die Masse eines Durchschnittssterns (unsere Sonne) beträgt ungefähr 2 Χ 1033 g und der Radius des uns bekannten Universums ist ungefähr 1 X 1028 cm. Wie groß ist die durchschnittliche Dichte der Materie im Weltall in Kilogramm pro Kubikmeter?

3.

Wie groß ist die Dichte des Wassers (62,4 lb/ft3) in ,stones per inch'?

4.

In der Astronomie ist der Wert von Hubbies Konstante, die die Bewegung der Galaxien beschreibt, ungefähr gleich 1,0 Χ 102 — ^ ^ — . (1 Lichtjahr = 0,3067 parsec) Wandeln Sie megaparsec dies in Englische Einheiten — — um. Lichtjahr

5.

Die Lichtgeschwindigkeit beträgt angenähert 2,998 X 1010 cm/s.

6.

Wandeln Sie dies in (a) Meilen pro Tag (—) und (b) Fuß pro Jahr , d η um. a Die universelle Gravitationskonstante, die die Anziehungskraft zwischen Massen beschreibt, ist G = 6,670 Χ 10~8 dyn cm 2 /g 2 . Wandeln Sie sie in (a) lbft 2 /slug 2 , (b)'Nm2/kg2 und (c) kpm2/kg2 um.

7.

Die Strahlungsleistung von sichtbarem Licht bei einem Quasar (,quasistellar radio source') ist ungefähr 1,0 Χ 1046 erg/s. Übersetzen Sie dies in (a) Pferdestärken (PS) und (b) Kilowatt (kW).

8.

1 acre ft Wasser ist eine Menge, die eine Fläche von einem ,acre' mit einer Tiefe von einem Fuß bedecken würde. Wie viele U.S.Gallonen sind in dieser Menge enthalten?

9.

Eine äußerst interessante Zeiteinheit ist das Mikrojahrhundert. (a) Übersetzen Sie 1,0 Mikrojahrhundert in Minuten, (b) Wenn ein Millenium 1000 Jahre beträgt, ist die Zeit von 1,0 Mikromillenium in Stunden wie groß?

Prüfen Sie Ihre Antworten auf Seite 106A nach.

105A

Von S. 105A

1.

1 g = 1 gX

=

2.

6

'

1023 A M E / g X

6,024X

l^yîâ^n.

0 2

~ 1 J ° 2 3 D e u t e r o n e n = 2,991 Χ 1 0 2 3 D e u t e r o n e n 2,014 a i 3 Χ 1023 Deuteronen

D u r c h s c h n i t t l i c h e M a s s e n d i c h t e des b e k a n n t e n Weltalls =

Moceo Volumen

M — π/? 3 3 2 Χ 1 0 1 0 G a l a x i e n Χ 1,6 Χ 1 0 "

S t e r n e

Galaxis

J π Χ (1028 cm)3 Χ 3

Χ 2 Χ 1033 — ^ — Χ Stern ( τ ^ \102 cm

_ 2 Χ 1 0 1 0 Χ 1,6 Χ 10 1 1 Χ 2 Χ 1 0 3 3 Χ 1 0 ' 3 - π Χ 10 3 : 3 = 2 χ 1 0 -

3.

84

Χ 10~

kg. m 3

^ m

. u Einsam, nicht wahr?

D i c h t e v o n Wasser = 6 2 , 4

km

χ

X l ^ I î i 14 1b

ft3

- ι10 r>2 Hubbies Konstante = = io2

6

2 7

= 2,58 Χ

4.

-Ι^9103 g

ΙΟ'3

Mt

3

in3

6,223 Χ 1 0 ' 4 mi

χ

km χ

5 , 7 8 7 X 10 in3

km/s megaparsec

103 m

s megaparsec

x

60 min h

χ

60_s

m χ

min

1 megaparsec

χ

q gQgy

1 0 6 parsec

'

= 102 X 103 X 6 , 2 1 4 X 1 0 ' 4 X 3 6 0 0 Χ 1 0 ' 6 X 0 , 3 0 6 7

parsec Lichtjahr m

'/h

Lichtjahr ζ 3 Σ ζ 6 8 χ

1 0

- 2

miph

Lichtjahr (a) L i c h t g e s c h w i n d i g k e i t = 2 , 9 9 8 X 1 0 1 0 — X s

6,223 Χ 10"β

Χ 8 , 6 4 0 Χ 1 0 4 -5d = 1,612 Χ 1010

—

^ cm

107A

Von S. 105A

(b) Lichtgeschwindigkeit = 2 , 9 9 8 X 1 0 1 0 — Χ 0 , 0 3 2 8 1 — Χ 3 , 1 5 6 s cm Χ 107 — = 3,104 Χ 1016 ~

(a) G = 6 , 6 7 0 X 1 0 " 8

d

Y n ,p m -g

X 2,248 X 10"6 — X 1,076 dyn

X 10"3

X (1,459 Χ 104 - S - V cm2 \ ' slug/ G = 6,670 X 10"8 X 2,248 Χ 1 0 ' 6 X 1,076 X 10"3 X 1,4592 2 X 10ί 88 lb f t2 slug 2 lb f t G = 3,434 X 10"8 slug 2 (b) G = 6 , 6 7 0 Χ 1 0 " 8 χ 106

d

Y n ,zc m g

kg 2

X 10-5 - ^ - X 10'4 ^ dyn cnrr 2 = 6 , 6 7 0 Χ 1 0 "-1 1 N m 2 ' kg

J Ìi Xχ — l 1k kP (c) G = 6,670 X I O ' 8 d y n c2 m f i _ χχ g 9,80665 Ν X 10"4

7.

cnrr

Χ 1 0 6 - 9 -¿ = 6,802 Χ 1 0 ' 1 2 kg

(a) Strahlungsleistung = 1 , 0 Χ 1 0 4 6 ^ Χ S =3= 1 , 3 Χ 1 0

36

PS

(b) Strahlungsleistung = 1 , 0 Χ 1 0

46

^ Χ s kW

1,0X 1036 8.

1 0- - 5 - H dyn

10

1 acre ft = 1 acre Χ 1 ft = 1 acre X

kg ¿

1,360 Χ 10"10

10"7 ^ ^ Χ " erg/s

4 3 5 6 0 f

acre

erg/s

10

3

kW Watt

* 2 X 1 ft

= 4 3 5 6 0 f t 3 X 2 , 8 3 2 X 1 0 ' 2 ^ 3 X 1 / 4 U - S . G a l l o n e3 ft 9,464 X 1 0 m zb= 3 2 5 . 0 0 0 Gallonen = s = 3 X

1 0 5 Gallonen

Von S. 105A

108A 9.

(a) 1,0 Mikrojahrhundert = 1,0 X 10"6 X 100 a X

χ 2iiî 1a 1d νX 60 min _ e-, •„ b J min 1h

Das ist eine „akademische Stunde", und wenn der Professor hinreichend langweilig und ermüdend vorträgt, scheint eine Fünfzig-Minuten-Vorlesung tatsächlich Jahrhunderte zu dauern. (b) 1,0 Mikromillenium = 1,0 X 10"6 X 103 a X

1a

χ

24h 1 d

= 8,8 h Das ist angenähert ein Arbeitstag. Je anstrengender und trostloser die Arbeit ist, desto mehr erscheint dieser ein Mikromillenium zu sein. Wenn Sie keinen Erfolg bei den obigen Einheitenumwandlungen hatten, gehen Sie nach Seite 99B zurück für eine Wiederholung des Verfahrens der Einheitenumwandlung. Andernfalls beginnen Sie mit dem Aufgabensatz 3.

Von S. 106A

AUFGABENSATZ 3 1. Drücken Sie die Länge von 1 km aus in (a) Meter, (b) Zentimeter, (c) Dezimeter, (d) Meilen, (e) Zoll, (f) ,rods', (g) Mikrometer und (h) ,furlongs'. 2. Drücken Sie die Länge von 1 mm aus in (a) Meter, (b) Fuß, (c) Angstrom, (d) Fermi und (e) Meilen. 3. Drücken Sie eine Masse von 4,0 X 10~3 slugs aus in (a) Gramm, (b) Kilogramm und (c) atomaren Masseneinheiten (AME). 4. Drücken Sie die Kraft von 150 Ib aus in (a) Unzen, (b) Dyn, (c) Newton, (d) .stones' und (e) ,poundal'. 5. Drücken Sie eine Geschwindigkeit von 24 Knoten aus in (a) Meilen pro Stunde, (b) Fuß pro Sekunde, (c) Meter pro Sekunde, (d) Kilometer pro Stunde und (e),furlongs per fortnight'. 6. Drücken Sie einen Strom von 2,4 A aus in (a) esE, (b) emE, (c) Faraday pro Minute und (d) Elektronen pro Mikrosekunde. pro Mikrosekunde. 7. Ein bestimmtes Magnetfeld besitzt die Feldstärke H = 4,5 X 105 esE. Drücken Sie dies aus in (a) Gauß, (b) Oersted und (c) Amperewindungen pro Meter. 8. Das Alter der „Meere" auf dem Mond wird auf 3,6 X 109 Jahre geschätzt. Drücken Sie dies aus in (a) Sekunden, (b) Minuten, (c) Sonnentagen und (d) fortnights'. 9. Radio-Signale mit einer Frequenz von 1500 Mc/s (c/s = Zyklen pro Sekunde) sind aus dem Weltall empfangen worden. Drücken Sie diese Frequenz in (a) Hertz und (b) kc/s aus. 10. Der 1947 in Rußland einschlagende Meteor (Sikhote-Alin) besaß schätzungsweise eine Masse von 7,0 X 107 g. Drücken Sie die aus in (a) kg und (b) ,slugs'. 11. Wenn 1 Ib das Gewicht von 0,4536 kg ist, wie groß ist dann das Gewicht des Meteoriten aus Aufgabe 10 in (a) Pfund (Ib) und (b) Tonnen? 12. Wenn der Meteorit aus Aufgabe 10 mit einer Geschwindigkeit von 14,5 km/s einschlug, welche kinetische Energie brachte er mit? (Benutzen Sie dazu: kinetische Energie = 1/2 X Masse X Geschwindigkeit 2 .) Drücken Sie Ihre Antwort aus in (a) g cm2/s2 (oder erg), (b) Joule, (c) Kilowattstunden, (d) Kilokalorien, (e) ,foot pounds' und (f) Tonnen von TNT. 13. Drücken Sie ein Volumen von 2,5 yd 3 aus in (a) Kubikfuß, (b) Kubikzoll, (c) Kubikzentimeter, (d) Kubikmeter, (e) .quarts' und (f) Liter. 109

Von S. 106 A

14. 15.

16. 17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

110

Wie groß ist die Fläche ,1 township' in (a) Quadratyards, (b) Quadratmeter, (c) Hektar, (d) Quadratfuß und (e) Quadratzentimeter? Ein Rennwagen beschleunigt mit 7,0 mi/h s. Drücken Sie diese Beschleunigung in (a) Fuß pro Sekunde2, (b) Zentimeter pro Sekunde2 und (c) Kilometer pro Stunde und Sekunde aus. Ein Automotor hat eine Leistung von 40 PS. Drücken Sie dies aus in (a) Watt, (b) Kilowatt und (c) Kilokalorien pro Sekunde. Astronomen schätzen die Zuwachsrate der Kraterbildung auf dem Mond für Krater mit einem Durchmesser über 1 km auf 5 X 10~4 Krater/(Megajahr X km 2 ). Drücken Sie dies aus in Krater/(Jahr X Meile 2 ) (d.h. Krater, die sich pro Jahr pro Quadratmeile bilden). Wenn das Alter der Mondkrater 3 X 10 9 Jahre beträgt und der Durchmesser des Mondes 2160 Meilen ist, wieviele Krater mit einem Durchmesser über 1 km können wir erwarten, auf der Mondoberfläche anzutreffen? Hinweis: Verwenden Sie die Zuwachsrate für die Kraterbildung aus Aufgabe 17. Oberfläche einer Kugel = π X Durchmesser2. Ein typisches Menschenhaar ist 1/280 in dick. Drücken Sie dies aus in (a) Mikrometer, (b) Zentimeter, (c) Millimeter und (d) Millimikrometer (oder besser Nanometer). Die Herstellung künstlicher Diamanten aus Graphit erfordert einen Druck von ungefähr 150 Kilobar. Drücken Sie dies aus in (a) dyn/cm 2 , (b) N/m 2 , (c) Atmosphären, (d) psi, (e) Millimeter Hg, (f) Mikrobar, (g) Pascal und (h) Torr. Ein Rubinlaser verstärkt rotes Licht der Wellenlänge 6943 Â. Drücken Sie diese Länge aus in (a) Fermi, (b) X-Einheiten, (c) Mikrometer, (d) Zoll, (e) Zentimeter und (f) Nanometer. Die Masses eines Uran-235-Atoms beträgt 235,0439 AME. Drükken Sie dies aus in (a) g, (b) kg, (c) Protonenruhemassen und (d) MeV. In Washington, D.C., beträgt die Vertikalkomponente des Magnetfelds der Erde 0,541 X 10~4 Weber/m 2 . Drücken Sie dies aus in (a) Gamma, (b) Gauß und (c) emE. Ungefähr 10 X 10 18 kcal Sonnenenergie werden jährlich vom Antarktischen Ozean aufgenommen. Drücken Sie dies aus in (a) Kilowattstunden und (b) Tonnen von T N T (nukleares Äquivalent).

Von S. 106A 25.

I m Laufe eines Jahres werden ungefähr 4 0 0 Millionen Tonnen Erde den Mississippi hinab in den G o l f von M e x i k o gespült. Drücken Sie dies aus in (a) Pfund (Ib) und (b) G r a m m , (c) Wenn die Dichte der Erde 2 , 7 g / c m 3 beträgt, welches V o l u m e n stellt dann diese Menge dar? ( V o l u m e n = Masse/Dichte.) (d) Diese Erde w i r d von einer Landfläche von ungefähr einer M i l l i o n Quadratmeilen heruntergespült. Wie groß ist die jährliche A b n a h m e der Dicke der Erdschicht? ( V o l u m e n = Dicke X Fläche.)

26.

Die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Gegenstandes ist ein M a ß für die Ä n d e r u n g seiner Winkellage m i t der Z e i t und w i r d gew ö h n l i c h in Radiant pro Sekunde gemessen. Drücken Sie 15 rad/s in (a) Grad pro Sekunde und (b) Umdrehungen pro M i n u t e oder u p m aus.

27.

Bei 2 8 ° C kann L u f t 2 7 g Wasserdampf pro K u b i k m e t e r enthalten. (a) Wie groß ist die Dichte dieses Wasserdampfs in G r a m m / Kubikzentimeter? Welchem spezifischen G e w i c h t würde dies in (b) l b / f t 3 u n d (c) l b / y d 3 entsprechen?

28.

Die Ruhemasse des subatomaren Teilchens m i t d e m N a m e n τ - M e son beträgt 9 6 5 Elektronenruhemassen. Drücken Sie seine Masse aus in (a) G r a m m , (b) A M E , (c) Protonenruhemassen und (d) M e V Energie-Äquivalente.

29.

Eines der H a u p t p r o b l e m e der Bodenerosion ist das Verschieben von Erde durch spritzende Regentropfen. A u f einer spärlich bewachsenen Fläche von einer Quadratmeile westlichen Weidelandes kann das Verspritzen von Erde etwa 2 8 T o n n e n per ,acre' betragen. Drücken Sie dies aus in (a) l b / f t 2 , (b) l b / y d 2 , (c) k g / m 2 , (d) g / c m 2 und (e) lb/acre.

30.

Die Gletscher der Erde enthalten annähernd 5 Millionen Kubikmeilen Wasser, w e n n sie eingeschmolzen werden. (Na, das ist ein furchterregender G e d a n k e ! ) (a) Wenn die Dichte von Wasser 1 , 0 g / c m 2 beträgt, wie groß ist dann die Masse dieses Wassers? (b) Die Gesamtoberfläche der Ozeane der Erde ist 1 3 9 . 7 0 0 . 0 0 0 m i 2 . U m wieviel würde die Oberfläche der Ozeane ansteigen, w e n n alle Gletscher schmelzen würden?

31.

Die Beschleunigung eines frei fallenden Gegenstands nahe der Erdoberfläche beträgt angenähert g - 3 2 , 1 7 f t / s 2 . (a) Drücken Sie fir in einer Einheit aus, bei der die Länge in astronomischen Einheiten ( A E ) und die Z e i t in Sonnenjahren gemessen w i r d , (b) Drücken Sie

Meter (m) Sekunde (s) Kilogramm (kg) (m/s) (m/s 2 ) Newton (kg m/s 2 ) Joule (kg m 2 / s 2 ) Watt (kg m 2 / s 3 )

Es gibt noch andere [/W]-[Z.]-[7~]-Systeme, aber sie werden selten verwendet. Eines von ihnen, das am meisten Verwirrung hervorruft, ist das ,poundal'-System, bei dem das Wort pound oder pound mass zur Bezeichnung der Masseneinheit verwendet wird und daspoundal die Krafteinheit ist. Das ist verwirrend, da das alltägliche Pfund, das in Lebensmittelläden zu Ruhm und Ehren kommt, eine Gewichts- und keine Masseneinheit ist. Wir werden den Unterschied zwischen Gewicht und Masse später in diesem Abschnitt näher untersuchen. Glücklicherweise gelingt es gewissenhaften Physiklehrern, die ihre Schüler bei deren Schwierigkeiten mit diesem seltsamen und verwirrenden System beobachtet haben, es langsam aus der Welt zu schaffen. Das Englische FPS-System oder Fuß-Pfund-Sekunde-System besitzt die Basisdimensionen Länge, Kraft und Zeit. Dieses System, das in vielen englisch sprechenden Ländern verwendet wird, wird allmählich durch das CGS- oder MKS-System ersetzt. Das Englische System ist nur von sehr begrenzter Brauchbarkeit, da es nicht in Elektrizitätslehre und Magnetismus weitergeführt wurde, was auch äußerst schwierig wäre. In ihm ist die Längeneinheit 1 ft, die Krafteinheit 1 Ib und die Zeiteinheit 1 s. Die Masseneinheit 1 slug, benannt und erfunden von A.M. Worthington im Jahre 1902, wird als die Masse definiert, die eine Beschleunigung von 1 ft/s2 erhalten wird, wenn auf sie eine Kraft von einem Pfund einwirkt. Es scheint für viele Leute überraschend zu sein zu erfahren, daß das Gewicht in Wirklichkeit eine Kraft ist, nämlich die Anziehungskraft der Erde auf einen Gegenstand an ihrer Oberfläche. Masse ist dagegen eine ganz andere Sache. Weil im alltäglichen Leben das Gewicht eines Körpers stets proportional zu seiner Masse ist, könnten wir es vielleicht völlig vermeiden — wie von einigen Physikern vorgeschlagen wurde —, überhaupt von Masse zu reden. Glücklicherweise wurde dieser Vor118

schlag nicht ernst genommen. Ein derartiges Manöver würde bei dem Studenten nur ein falsches Gefühl des Verständnisses hervorrufen. Masse ist ein viel zu wichtiger und schöner Begriff der Physik, um auf diese Art versteckt zu werden. Im Englischen FPS-System lautet das zweite Newtonsche Gesetz F = m b und das Gravitationsgesetz F = 3,4 X 10

8

lb ft 2 slug"2 Χ

/7?1

^?2. Die Beschleunigung eines frei fallenden Körpers nahe der Erde

beträgt ungefähr 32 ft/s2. Ein anderes [Z.]-[F]-[7"]-System ist das noch in begrenztem Umfang von europäischen Ingenieuren benutzte Technische oder Meter-Kilopond-Sekunde-System. Ein Kilopond (kp) ist das Gewicht der Masse 1 kg und stellt eine Kraft von annähernd 9,8 Ν dar. Wieder ist die Hauptschwierigkeit die verursachte Verwirrung. Beim normalen naturwissenschaftlichen Gebrauch ist das Kilo(gramm) eine Masseneinheit und wird fast immer mit dem Kilo(pond) der Krafteinheit verwechselt. Alle von uns diskutierten Einheitensysteme sind geeignet, die Phänomene und Meßergebnisse der Mechanik vollständig zu beschreiben. Sie sind nicht alle im gleichen Maße frei von den Möglichkeiten, beim Studienanfänger Verwirrung hervorzurufen. Darüber hinaus ist ihr Anschluß an andere Gebiete des naturwissenschaftlichen Studiums wie Elektrizität, Thermodynamik und Atomphysik nicht bei allen mit gleicher Leichtigkeit und Eleganz möglich. Viele moderne Ingenieure und Naturwissenschaftler müssen im Grenzgebiet zweier oder gar mehrerer traditioneller Forschungsrichtungen arbeiten, wie z.B. beim Erforschen von Regelsystemen oder elektromechanischen Geräten. Dann müssen die Einheitensysteme kompatibel sein. Aus diesem Grund wird hier nur den Einheiten der MKS-, CGS- und FPS-Systeme größere Aufmerksamkeit gewidmet werden. Wir werden uns die Einheiten jedes dieser Systeme genau ansehen, wobei wir sorgfältig die grundlegenden Längen-, Massen-, Zeit- und Krafteinheiten definieren werden. Der Gedanke, einen Vergleichsstandard für die Längenmessung zu finden, ist leicht zu begreifen, und der menschliche Körper ist gewiß eine einfache, stets zur Verfügung stehende Fundgrube für Standards. Der Fuß als Längenstandard hat offensichtliche, wenn auch nicht gerade gut reproduzierbare Vorteile. Das Kubit ist eine ebenso offensichtliche Einheit, wenn Sie wissen, daß das cubitum eine römische Elle ist. Das Kubit war die Länge eines Unterarms vom Ellbogen bis zu den Fingerspitzen. Ein Yard war die Entfernung von der Nasenspitze zu den Fingerspitzen des ausgestreckten Arms. Solche körperbezogenen, unstandardisierten Standards waren für eine nicht technisierte Agrargesellschaft ausreichend, aber sie besaßen keinen übertragbaren Wert. Ich könnte sie mit Erfolg beim Betrieb meiner Farm oder dem Bau meines Hauses verwenden, aber Pygmäen würden aus mehreren Meilen Umkreis herbeiströmen, um von mir vermessenes Holz zu kaufen.

119

Im zwölften Jahrhundert installierte König Edward I ein Standardyard für seine Untertanen. 1760 wurde das Yard als der Abstand zwischen zwei Marken auf zwei in einem Messingbarren eingesetzten Goldstiften bei 62 °F definiert. Der Barren wurde in London aufbewahrt und zur Eichung kommerzieller und technischer Meßinstrumente benutzt. Ein Fuß wurde als ein Drittel dieses Abstands definiert und 1 Zoll als als ein Sechsunddreißigstel davon. 1763 definierte die französische Regierung in dem Bemühen, am Wettlauf um die Vorherrschaft in den Naturwissenschaften teilzunehmen, 1 Meter als ein Zehnmillionstel des Abstands vom Nordpol zum Äquator entlang eines Meridians durch Paris. Unglücklicherweise wurde das Meter später neu definiert, als sich herausstellte, daß die ursprünglichen Landvermessungen ungenau waren. 1812 wurde das Meter offiziell wieder abgeschafft, da es nie populär war; die Mehrzahl der Franzosen verwendete immer noch das Yard. Später wurde das Meter erneut eingeführt und neu definiert als der Abstand zwischen zwei Strichmarken auf einem Platin-Iridium-Stab bei 0 °C und Normalluftdruck. Dieser Stab, der internationale Meterprototyp, wird beim Internationalen Büro für Gewichte und Maße in Sèvres, Frankreich, aufbewahrt. Eine genaue Kopie wird beim Nationalen Büro für Standards in Washington, D.C., aufbewahrt. Der Fuß wird in den USA heute gesetzlich als 0,3048 m, der Zoll als 0,0254 m und das Yard als 0,9144 m definiert. Das so definierte Meter hat sich für mehr als hundert Jahre für technische und kommerzielle Zwecke als ausreichend erwiesen. Jedoch fehlen ihm einige Eigenschaften, die ein Standard besitzen muß, wenn er in den grundlegenden Naturwissenschaften von Nutzen sein soll: (1) Der Standard muß unzerstörbar sein. (2) Der Standard muß überall mit großer Genauigkeit reproduzierbar sein. Es geht nicht, daß die Naturwissenschaftler nach Frankreich pilgern und außerhalb des Tresors Schlange stehen müssen, in dem der Meterprototyp aufbewahrt wird, um ihre Instrumente zu eichen. (3) Der Standard muß unveränderlich sein, er darf sich nicht mit der Zeit ändern. Alle diese Bedingungen werden vom Meterstandard erfüllt, der 1963 vom Internationalen Komitee für Gewichte und Maße eingeführt wurde. Das Meter ist jetzt offiziell als genau „das 1.650.763,73fache der Vakuumwellenlänge des orange-roten Lichts, das von Krypton (Kr 86 ) beim ^310-5 1 I CM α» α α k. α> Q. CJ * · E ι ι < Κ ET 1 CM Μ CM Ζ ίI Í T -J Zj ι __ I—· η I—I η1 α 5 5 5 5

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159

Skala, der bei C = - (59 - 32) = 15 °C auf der Celsius-Skala liegt. Das Temperatur-Umwandlungs-Nomogramm erleichtert diese Aufgabe (s. Seite 159). Um jedoch Temperaturunterschiede umzuwandeln, müssen wir folgende Beziehungen verwenden: 1 Celsius-Einheit = 1 Kelvin-Einheit = 1,8 Fahrenheit-Einheiten. Z.B. ist ein Unterschied von 10 Grad auf der Celsius-Skala gleich einem Unterschied von 18 Grad auf der Fahrenheit-Skala. Es ist von äußerster Wichtigkeit, sich klarzumachen, wie dies geschrieben wird: 100 °C wird gelesen: „einhundert Grad Celsius". Es ist dies ein Punkt auf der Celsius-Skala. 5 C° wird gelesen: „ f ü n f Celsius-Grade". Es ist dies ein Temperaturunterschied von fünf Einheiten auf der Celsius-Skala. 1 C° = 1,8 F° und 1 C° = 1 K° sind kleine Temperaturänderungen. Aber 1 °C = 33,8 °F ist recht kalt für einen Tag im Hochsommer!

Wir müssen jetzt ein Trainingsprogramm durchführen, um feststellen zu können, ob diese Begriffe der Temperatur-Umwandlung Ihnen völlig klar geworden sind. Ich weiß, daß Sie sie im Kopf haben, wenn Sie diesen Abschnitt sorgfältig gelesen haben, aber wenn Sie diese Begriffe auch anwenden können, sind sie Ihnen in Fleisch und Blut übergegangen, und das ist wichtiger. Wir zahlen hier nach Leistung! Welcher Gegenstand ist heißer, ein Metallstück von 77 °F oder eines von 35 °C? (a) (b) (c)

160

77 °F 35 °C Ich kann's nicht sagen.

siehe Seite 161A siehe Seite 162A siehe Seite 161Β

Von S. 160

161A

Sie antworteten, daß ein Objekt von 77 °F heißer ist als eines von 3 5 °C. Das ist nicht richtig. Bei Verwendung der im Text angegebenen Beziehung C = — (F - 32) ist 9 die einer Temperatur von 77 °F entsprechende Celsius-Temperatur I (77 - 32) = I (45) = 25 °C. Natürlich ist eine Temperatur von 25 °C w %7 niedriger als eine von 35 °C. Es ist wichtig, daß Sie wissen, wie Sie diese Umwandlung von einer dieser Skalen in die andere vorzunehmen haben, wenn eine Tafel wie die auf Seite 159 nicht zur Verfügung steht. Es ist auch wichtig, daß Sie ein allgemeines, intuitives Vertrautsein mit diesen beiden Skalen bekommen Gehen Sie nach Seite 160 zurück und versuchen Sie's noch einmal. Ihre Intuition wird sich beim Weitermachen schon entwickeln.

Von S. 160

Die Aufgabe verlangt ganz einfach, daß Sie eine der Temperaturen in die andere Skala übersetzen, so daß die beiden Temperaturen direkt verglichen werden können. Die Beziehung zwischen den Skalen kann als c C = — (F - 32) angegeben werden. U m die Temperatur auf der Celsius9 Skala zu ermitteln, die F Grad Fahrenheit entspricht, setzen Sie den gewünschten Wert für F in diese Gleichung ein. Z.B. entsprechen 113 °F einem Wert von C = ^ ( 113 - 32) = £ (81 ) = 4 5 oder 4 5 °C. 9 9 Gehen Sie nach Seite 160 zurück und versuchen Sie es auf ein neues.

161B

162 A

Von S. 160

Richtig. Für die Umwandlung einer Temperatur auf der Fahrenheit-Skala in den entsprechenden Wert auf der Celsius-Skala ist der Wert einfach in die Beziehung C = — (F - 32) = — (77 — 32) = ^ (45) = 25 °C einzusetzen. 9 9 9 Wenn wir jetzt diese 25 °C mit 35 °C vergleichen, sehen wir, daß das zweite Metallstück heißer ist. Natürlich hätten Sie auch 35 °C in die Fahrenheit-Skala übertragen können: F = — C + 3 2 = — 3 5 + 32 = 95 °F. 5 5 Die folgenden, sich einander entsprechenden Temperaturen werden Ihnen dabei helfen, ein Gefühl für die beiden Skalen zu entwickeln: Eis schmilzt bei 3 2 °F oder 0 °C. Die menschliche Körpertemperatur beträgt 9 8 , 6 °F oder 3 7 °C. Wasser siedet bei 2 1 2 °F oder 100 °C. - 4 0 °F = - 4 0 °C. Bei sehr hohen oder sehr niedrigen Temperaturen ist der Wert auf der Fahrenheit-Skala fast doppelt so groß wie die Celsius-Ablesung. Versuchen Sie 'mal diese Aufgabe: Die höchste Temperatur, die jemals in den Vereinigten Staaten offiziell registriert wurde, sind die 134 °F, die im Tal des Todes in Californien 1913 gemessen wurden. Wandeln Sie diesen Wert in die Celsius-Skala um. (a) (b)

56,7 °C 184 °C

siehe Seite 165A siehe Seite 164A

163A

Von S. 165A Erst einmal, raten Sie's. Wenn wir uns erinnern, daß 0 °C = 32 °F ist, erscheint es vernünftig, daß - 7 6 °F auf der Celsius-Skala einen negativen Wert besitzen wird. Wenn wir uns erinnern, daß - 4 0 °C = - 4 0 °C ist, könnten wir raten, daß - 7 6 °F = - 5 5 bis - 6 5 °C entsprechen. Wenn wir es ausrechnen: C = ^ (-76 - 32) = ^ (-108) = - 6 0 °C. 9 9 Welche der folgenden Aussagegruppen enthält einen Fehler? (Raten Sie zunächst einmal, bevor Sie jede A n t w o r t berechnen!) siehe Seite 164C

siehe Seite 163B

siehe Seite 165B

Von S. 163A

163B

Sehr gut! Wenn der Fahrenheit-Wert bei hohen Temperaturen ungefähr das Doppelte des Celsius-Wertes ausmacht, sollten 3055 °F etwa 1500 bis 1700 °C und nicht 2735 °C entsprechen. Zur Prüfung: C = § (3055 - 32) = | (3023) s 1680 °C. 9 9 Ganz nebenbei, wenn Sie Schwierigkeiten dabei haben, sich die Beziehung zwischen F und C zu merken, versuchen Sie 'mal diese: 5 (F + 40) = 9 (C + 40). (Es sollte leicht zu behalten sein, daß die Fünf zum F gehört.) Diese Beziehung stimmt offensichtlich bei - 4 0 °C = - 4 0 °F. Probieren Sie es mit ein paar anderen Werten von F und C, um sich davon zu überzeugen, daß es funktioniert. Wenn Sie irgendwelche Fehler bis zu diesem Punkt in diesem Abschnitt gemacht haben, gehen Sie nach Seite 166A. Andernfalls gehen Sie nach Seite 166B.

164A

Von S. 162A

Sie haben nicht richtig geantwortet. Versuchen Sie 'mal, intelligent zu raten. Wenn Wasser bei 212 °F siedet und dieser Wert 100 °C entspricht, würden dann 134 °F 184 °C entsprechen? Gehen Sie auf ein neues zurück nach Seite 162A.

164B

VonS. 166A

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

300 °F = 149 °C 2840 °F = 1560 °C - 4 0 °F = - 4 0 °C 0 °F = - 1 8 °C 0 °C = 32 °F 100 °F = 38 °C 100 °C = 212 °F 30 °C = 86 °F 2000 °C = 3632 °F 600 °C = 1112 °F

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

-75 °C = -103 °F -250 °C = 418 °F -400 °F = -240 °C 86 °F = 30 °C 437 °F = 225 °C - 1 8 4 ° F = -120 °C 16 °C = 61 °F 1670 °C = 3038 °F 40 °F = 4 °C - 1 0 ° C = 14 °F

Machen Sie auf Seite 166B weiter.

164C

Von S. 163 A

Diese Aussagen erscheinen mir völlig richtig zu sein. Nur Mut! Gehen Sie zurück nach Seite 163A und versuchen Sie's noch einmal.

Von S. 162A

165A

Richtig! C = § (F - 32) = § (134 - 32) = ^ (102) = 56,7 °C, was man 9 9 9 fast hätte raten können. (Wenn Sie an einer trickreichen Methode zum Erraten der Antwort interessiert sind, gehen Sie nach Seite 166A, andernfalls machen Sie hier weiter.) Erinnern Sie sich, daß 100 °C = 212 °F sind und 37 °C = 98,6 °F, so daß 56,7 °C = 134 °F vernünftig erscheint. Versuchen Sie es einmal mit einer negativen Temperatur. Die tiefste Temperatur, die jemals in den Vereinigten Staaten registriert wurde, waren die -76 °F in Tanana, Alaska, im Jahre 1886. Wie wurde diese Temperatur in sibirischen Zeitungen gemeldet? (in Celsius). Prüfen Sie Ihre Antwort auf Seite 163A nach.

VonS. 163A

Anscheinend liegen Sie hier etwas schief! Wenn Sie wieder gerade liegen, gehen Sie nach Seite 163A zurück und versuchen Sie es auf ein neues.

165B

166 A

Von S. 165A Eine Näherung, die unter dem Namen „Hodges' betrogene Hälfte" bekannt ist, geht wie folgt: Anstelle von C = | (F - 32) 9 1 verwenden Sie C = — (F - 32) als erste Näherung oder C = 1 (F - 32) + — (F - 32) als zweite 2 10 (und bessere) Näherung oder C s 1 (F - 32) + — ( F - 32)

2

20

(F-32) + ^ ( F - 3 2 )

als dritte

(und viel bessere) Näherung. Z.B. ergibt sich f ü r F = 2 1 2 ° F : c

i

(212-32) + — ( 2 1 2 - 3 2 ) 10

_ 1 2

180 + 1 ^ = 99 °C 10 .

Diese Näherungen beruhen auf der Tatsache, daß gilt: - s -I auf etwa 5% 2 9 1 ++ 4J r-= — = - auf etwa 4% -r 2 10 10 9 l + J- _L==11 H s 5 auf e t w a l 2 20 20 9

166B

Von S. 163B Vervollständigen Sie folgende Aussagen, indem Sie zunächst die A n t w o r t erraten, bevor Sie sie exakt niederschreiben. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

s n n °F = 9840 °F = - 4 0 °F = 0 °F = 0°C = 100°F= mn°n = 30 °C = 2000 °C = fiOO °C =

°c °c °c °c °F °C °F °F °F °F

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Prüfen Sie Ihre A n t w o r t auf Seite 164B nach.

- 7 5 °C = - 2 5 0 °C = - 4 0 0 °F = 86 °F = 437 °F = -184°F = 16 °C = 1670 °C = 40 °F = - 1 8 °C =

°F °F °C °C °C °C °F °F °C °F

Von S. 163B

167A

Erinnern Sie sich, daß sich die Kelvin-Temperaturen durch Addition von 273,15 zu den Celsius-Temperaturen ergeben. Z.B.: 6 8 °C = 341,15 °K 135=341 °K Welche der folgenden Aussagen enthält einen Fehler? Í0 °C = 2 7 3 °K (a) ·|-121 °F = 188 °K Uo8 °K = 135 °C Γ-37 °C = 236 °K (b) j 574 °F = 5 7 4 °K U 0 ° K = - 2 0 0 °F h 0 0 °C = 3 7 3 °K (c) [T]

3. 4.

t Masse] = ÎMJ = [M\ [Z.]' 3 [Volumen] [¿P [Kraft] = [Masse] [Beschleunigung] = [Μ] [¿] [ Γ ] " 2

5.

[Druck]

[Dichte] =

[L]2 1 [kinetische Energie] = [ - X MasseX Geschwindigkeit 2 ] [Flache]

6.

1 = [— ] [Masse] [Geschwindigkeit] 2 7.

= [1 }[M][L]2 [7~]~2 = [M\ [L\2 [Leistung] - Ì ^ i g ì , M ^ T ] ' 2 _ 2 [Zeit] [Γ]

8.

[Impuls] = [Masse] [Geschwindigkeit] = [Μ] [Δ] [7"]~1

[TV2 3

Versuchen Sie einmal dieses: Bestimmen Sie [Verhältnis zweier Längen]: (a) (b)

[1] [Z.]

siehe Seite 185A siehe Seite 185B

184B

VonS. 183B Nicht ganz. [Volumen] = [Höhe] [Breite] [Länge] = [Ζ.] [Δ] [/.] Versuchen Sie's auf Seite 183B noch einmal.

185A

Von S. 184A

Sehr gut. [Verhältnis zweier Längen] =

= [ i ] ° = [L°] = [1]

Ein Verhältnis von Größen gleicher Dimensionen ist dimensionslos. Ermitteln Sie die Dimensionen der folgenden Größen: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Verhältnis zweier Massen Produkt zweier Zeiten Summe zweier Längen Differenz zweier Längen Quadrat einer Länge Quadratwurzel aus einer Zeit

Die Antworten finden Sie auf Seite 186A.

VonS. 184A

185B

Nein. [Verhältnis zweier Längen] =

= [Z.]0

Welche Dimension hat wohl dieser Ausdruck? Gehen Sie nach Seite 185A.

VonS. 186A

S = M2at2 [S] = [1/2]

185C

[a][t2]

[/.] = [1] [L] [ 7 T 2 [7~]2 = [/-]· Die Gleichung ist dimensional richtig. Gehen Sie nach Seite 186A zurück. Auf ein neues!

186 A

Von S. 185A

2.

[ Γ ] [ Γ ] = [Γ]2

3.

[ Länge + Länge] = [ Länge] = [L ]

4.

[Länge - Länge] = [Länge] = [Δ]

5.

[Länge 2 ] = [L2] = [L]2

6.

[VzÜt]=[r1/2][r]1/2

Eine Summe oder Differenz hat nur dann eine physikalische Bedeutung, wenn ihre Teile dieselbe Dimension besitzen. Die Summe einer Länge und einer Zeit wäre physikalisch sinnlos. Wenn eine Gleichung oder Formel physikalisch sinnvoll sein soll, müssen die Ausdrücke auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dieselben Dimensionen haben. Z.B.: Entfernung = Geschwindigkeit X Zeit. [Entfernung] = [Geschwindigkeit]-[Zeit] [Ζ.] = [ Δ ] [ Γ ] - 1 -[7-] = [Ζ.] Beide Seiten haben die Dimension [¿]. Welcher der folgenden Ausdrücke ist dimensional nicht richtig: s = Entfernung, ν = Geschwindigkeit, t = Zeit, a = Beschleunigung (a) (b)

s = 1/2 at2 ν = 2 as

siehe Seite 185C siehe Seite 187A

(O

a= ü

siehe Seite 187B

t

Von S. 186A

187A

Richtig. M = [2] la] [s] [Ζ.Π7-]" 1

= [ 1 ] [ Z . ] [ 7 - ] - 2 [L] = [L]2

[TV2

Die Gleichung ist dimensional nicht richtig. Zur Übung bringen Sie jetzt einmal die folgenden Ausdrücke auf ihre einfachste Form:

M LT-2 LT

1.

[ML'' 7"1]

2.

[ML'3] [L][LT-'] ML-3][L] [LT'2]

3. 4.

L-\ ML2 7""1 M LT'2

5.

Prüfen Sie Ihre Antworten auf Seite 188A nach.

VonS. 186A

[a]

=

187B =

[j±

[f]

[¿][Γ]"2 =[Ζ.][Γ]'1 = [ Δ ] [ Π " 1 Die Gleichung ist den Dimensionen nach richtig. Versuchen Sie es noch einmal auf Seite 1 8 6 A .

188A

Von S. 187A 1.

[M][T]-3

2.

[1]

3.

[M][L]-'

4.

2

5.

[T]'2

[Z.]

[Ζ.ΠΠ

Wenn eine Gleichung maf'f gelten: a = e, b = f, c = g.

=mefiP

dimensional richtig sein soll, muß

Angenommen z.B., wir wüßten, daß Kraft, Masse und Beschleunigung irgendwie miteinander zusammenhängen, aber wir wären nicht ganz sicher, was von F = ma2, F = — , F = m2a3 usw. richtig ist. Wie könnten a wir eine Entscheidung fällen? Schreiben Sie zunächst F =m* ay. Bestimmen Sie dann die Dimensionen auf jeder Seite: [F] = [mx an [Μ] [Δ] [ 7 T 2 = [MY [aV = IMV UY

([T]~2)y

= [MY [LY

[TY2y

Drittens, vergleichen Sie die Exponenten jeder Dimension. Sie müssen einander gleich sein. Es ergibt sich für [M] 1 = χ [Δ] 1 = / [ Τ ] - 2 = -2y. Somit ist χ = 1 und y = 1 und die Gleichung lautet F = ma. Versuchen Sie es einmal selbst: Ein Körper der Masse m legt eine Strecke s in der Zeit t unter der Beschleunigung a zurück. Wie sind diese Größen miteinander verknüpft? Ermitteln Sie eine Gleichung fürs in Abhängigkeit von m, a und t. Prüfen Sie Ihr Ergebnis auf Seite 190A nach.

189A

Von S. 190A

Nehmen Sie an: Ρ = R* [Ρ] = [RV lyV

. .. [Ρ] = r ^ P i = [Μ] [Ζ.]'1 [Flache] H=ÛSlËÎ!L

[Länge]

[Μ] [Ζ.]"1 Für [M] Für [Ζ.] Für [Τ]

=

[Τ]'2

[/im7-]-2

IT]-2=[L]* [MY [T]-2y 1 =y -1 = χ -2 = -2y, so daß y = 1, χ = -1,

und die Beziehung lautet Ρ = — oder Κ*—, wobei Κ eine dimensionslose R R Konstante ist. Überrascht? Je größer die Blase ist, desto kleiner wird der Druckunterschied, der nötig ist, um sie zu erhalten. Eine andere Aufgabe: Wenn ein Glasrohr mit sehr kleiner Öffnung senkrecht in Wasser gestellt wird, steigt das Wasser im Rohr empor. Die Gleichgewichtshöhe h dieser Wassersäule dürfte von der Oberflächenspannung y, der Dichte ρ der Flüssigkeit und dem Innendurchmesser D des Rohres abhängen. Ermitteln Sie den Zusammenhang. Nachdem Sie es probiert haben, gehen Sie nach Seite 190B.

Von S. 188A

190A

Nehmen Sie an: s = m* aY f Dann ist: [s] = [m]x [a]Y [T]z [a] = [/.] [ 7 T 2 X 2γ z [L]=[M] [LY [ΤΥ [7"] [L] = [MY [LY [TY'2y Damit eraibt sich für [Μ] 0 = χ [/-] 1 =y [ Γ ] 0 = ζ - 2y, so daßχ = 0, y = ^lz = 2, und die Gleichung lautet s = at2: somit hängt s überhaupt nicht von der Masse ab. Wir sollten schreiben s = kat2, wobei k eine reine Zahl oder dimensionslose Konstante ist. (In diesem Fall kann gezeigt werden, daß k = 1 ist.) Hier ist eine andere Aufgabe: Die Druckdifferenz über der Oberfläche einer Seifenblase hängt ab vom Radius R der Blase und der Oberflächenspannung y der Blase. Γ W ro-f+1 [γ] = ι L_ Bestimmen Sie die Druckdifferenz als Funktion von [Länge] R und 7. Die Antwort steht auf Seite 189A. 190B

VonS. 189A Nehmen Sie an: h = D" -f pz [h] = ÍDY [yY [pY [y] = [M][TY2 x 2y 3 [/.] = [¿] [MY [TY [MY [Ζ.]" ' [p] = [M] [Ζ.]"3 [L] = [MY+Z [Ζ.]*-3* [ΤΥ2γ Damit ergibt sich für [Μ] 0 = y + ζ [¿] 1 = χ - 3ζ [ Γ ] 0 = 2y, so daß y = 0, ζ = 0, χ = 1. UNMÖGLICH! Ein derart seltsames Ergebnis bedeutet gewöhnlich, daß wir eine wichtige Variable oder Dimensionskonstante nicht berücksichtigt haben. Versuchen Sie einmal, g mit einzubeziehen (die Erdbeschleunigung). Nehmen Sie an h = D* yy pz ga, und versuchen Sie's noch einmal. Prüfen Sie Ihre Antwort auf Seite 192A nach.

Von S. 192A

AUFGABENSATZ 7

1. Ermitteln Sie die Beziehung zwischen dem Druck P, Volumen V, Temperatur 7"und Masse M eines Gases. Eine Konstante Κ mit der Dimension [Energie] X [Masse]" 1 X [Temperatur]" 1 wird dazu gebraucht. 2. Wenn ein kleines Loch am Boden eines großen Behälters geöffnet wird, ist der stationäre Flüssigkeitsstrom aus dem Behälter mit der Geschwindigkeit ν abhängig von der Höhe h der Flüssigkeit im Behälter. Ermitteln Sie den Zusammenhang. 3. Eine Kugel mit dem Durchmesser D wird von einer Kraft F mit konstanter Geschwindigkeit ν durch eine Flüssigkeit getrieben. Die Dichte der Flüssigkeit ist p. Wie lautet die Gleichung, die ν mit D, F und ρ verknüpft? 4. Das Stokessche Gesetz beschreibt die Brems- oder flüssige Reibungskraft F, die auf eine mit der Geschwindigkeit ν in der Flüssigkeit fallende Kugel des Radius R wirkt. Die Viskosität η der Flüssigkeit ist ebenfalls eine wichtige Variable. Wenn [η] = [M] [Ζ.]"1 [ Γ ] " 1 ist, hat das Stokessche Gesetz welche Form? 5. Ein einfaches Pendel besteht aus einer Masse M , die an einer leichten Schnur der Länge L aufgehängt ist. Die Periode Ρ ist die Zeit, die für eine Pendelschwingung benötigt wird. Wie hängt Ρ von M und L ab? 6. Wie hängt die kritische Fluchtgeschwindigkeit ν eines kleinen Kör-, pers der Masse M0 von der Masse Mp und dem Radius R des Planeten ab, von dem sie sich entfernen soll? 7. Setzen Sie die Strömungsrate û ( Volumen\ e j n e r F|¡jSS¡gke¡t ¡n \Sekunde/ einem Rohr in Beziehung zu dem Druck P, dem Durchmesser D des Rohres, der Länge L und der Viskosität η. [η] = [Μ] [Ζ.]"1 [ Γ ] " 1 . 8. Ermitteln Sie eine Gleichung für die Kraft, die auf einen Körper einwirken muß, der sich mit einer Masse M mit der Geschwindigkeit ν bewegt, um ihn in der Zeit t anzuhalten. 9. Wenn ein Ball der Masse M mit einer Anfangsgeschwindigkeit vQ senkrecht nach oben geworfen wird, erreicht er eine Maximalhöhe h. Ermitteln Sie eine Gleichung für h. 10. Die mittlere freie Weglänge L eines Moleküls eines Gases ist die Durchschnittsstrecke, die es zurücklegt, bevor es mit anderen Molekülen des Gases zusammenstöP":. Suchen Sie die Beziehung zwischen dem Durchmesser D eines Moleküls, der Dichte ρ l^j _ [Anzahl der Moleküle] u n j ^ [Volumen] Die Antworten stehen auf Seite 193. 191

Von S. 190B

192 A Nehmen Sie an : h = D* •/ pz ga [h] = [ D Y [yY [pY [g]a [Z.] = [LV [MY [Γ]'2" [MY [Ζ.]"3* [L]a [L] = [MY+Z [L]x-3z+a [TY2y-2a

[TV23

Damit ergibt sich für [M\ 0 = y + z [Ζ.] 1 = x - 3 z + a [Γ] 0 = -2y - 2a Es sieht so aus, als ob wir in Schwierigkeiten kommen würden mit vier Unbekannten x, y, ζ und a und nur drei Gleichungen. Die Lösung heißt einfach, einmal intelligent zu raten. Versuchen Sie χ = 1. Das ergibt y = 0, ζ = 0 und a = 0, was sicher nicht richtig ist. Versuchen Siex = -1. Das ergibt y = 1, ζ = -1 und a = -1, und die Beziehung lautet h = — , die noch mit einer dimensionslosen KonDyp stanten multipliziert werden muß. Gehen Sie jetzt nach Seite 191 für einige Aufgaben zu diesem Thema.

Von s. 191

LÖSUNGEN ZUM AUFGABENSATZ 7

1. p=MKT

oder PV = MkT

Die ideale Gasgleichung

2. v = y/gfi 3

4. F = Rvrt g

p=

fü V g

6

ρ= / » V /?

7.

ü =

Die Erdbeschleunigung0 ([g\ = [Ζ.] [Γ]" 2 ) muß verwendet werden. Die Periode hängt nicht von der Masse des Pendels ab. 9 = Gravitationsbeschleunigung des Planeten. Die Fluchtgeschwindigkeit hängt nicht von der Masse des Körpers ab.

nL

8. 2

9. Λ = — 10. L =

g = Erdbeschleunigung

1

0 2 ff

193

Anhang Α. Numerische Vorsatzsilben

Größenordnungen Zehner-

Vorsatz-

potenz

silbe

10

1

Deka (da-)

über Eins

Ursprung Griechisch deka

Beispiel Dekade -

10 Jahre

Decan — ein Kohlenwasserstoff mit 10 Kohlenstoffatomen, z.B. Cío Η22 Dekapod— ein zehnfüßiges Krebstier, z.B. Hummer, Garnele

10 2

Hekta (h-)

Griechisch hecto

In der modernen wissenschaftlichen Literatur nicht mehr häufig verwendet, mit Ausnahme in Frankreich. Hektogramm 100 g.

10 3

Kilo (k-)

10 4

Myria

— eine Masse von

Griechisch chiHoi

Kilometer

— eine Strecke von

Griechisch myrias

In der modernen wissenschaftlichen Literatur nicht mehr häufig verwendet.

1000 m, abgekürzt km. Kiiohertz — eine Frequenz von 1000 Schwingungen pro Sekunde, abgekürzt kHz.

Myriapod — Mitglieder der Familie der Gliederfüßer, die einen gleichmäßig gegliederten Rumpf und viele Beine besitzen, z.B. Tausendfüßer. 10 6

Mega (M-)

Griechisch megas

Megalopolis — ein großer Komplex städtischer Gemeinden Megahertz — eine Frequenz von 10 6 Schwingungen pro Sekunde im Radiowellenbereich.

195

Megatonne — Explosivkraft, die 10 6 Tonnen von T N T entspricht. Eine Einheit zur Messung der Energie thermonuklearer Waffen. Megalomanie — Größenwahn 10 9

Giga (G-)

Griechisch gigas

Gigant —in der griechischen Mythologie eine Rasse von Riesen mit Menschengestalt, die mit den Göttern kämpften. Gigatonne — 10 3 Megatonnen. (Wasserstoffbomben gibt es in drei Größen: Kilotonnen-„PUFF" Megatonnen — „ B U M M S " Gigatonnen — „Ist noch jemand da?") Gigahertz — eine Frequenz von 10 9 Schwingungen pro Sekunde im U H F ( u l t r a high frequency)-bereich der elektromagnetischen Wellen, die für Radio und Fernesehen verwendet werden.

10 12

Tera (T-)

Griechisch teras

Terameter — die Erde ist ungefähr 1/6 Terameter (10 1 2 m) von der Sonne entfernt. Teraohm — ein elektrischer Widerstand von einer Million Million (10 12 Ω) Ohm.

Größenordnungen

kleiner als Eins

1

Deci (d-)

Lateinisch dec1

Dezimal — ein Zahlensystem, das auf der Zahl Zehn aufbaut. Deziliter — ein Volumen von einem zehntel Liter.

IO" 2

Centi (c )

Lateinisch centi

Cent — ein hundertstel von einem Dollar. Centigrad — eine Temperaturskala, auf der das Intervall zwischen der Temperatur des siedenden Wassers und der erstarrenden Wassers (bei Atmosphärendruck) in einhundert Teile geteilt ist.

io-

Zentimeter— eine Länge, die gleich einem hundertstel (10~2) Meter ist. 10- 3

1 0 -6

10"9

10 -12

10 -15

Milli (m-)

Lateinisch mille

Millimeter — eine Länge, die gleich einem tausendstel (10~3) Meter ist. Milliampere — ein Strom von 10~3 Ampere (mA). Milligramm — eine Masse von 10~3 Gramm (mg).

Mikro (μ~)

Griechisch mikro

Mikrometer (μιτι) — eine Länge von einem millionstel (10~6) Meter. Mikrogramm — eine Masse von 10~6 Gramm · Μ— C Ο — C C_ C M 00 — · σ> Ο) CD C M r» co «-

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TEMPERATUR, Τ Der thermodynamische Kelvin Grad (K°) ist die durch den Carnotschen Kreisprozeß bestimmte Temperatureinheit, wobei die Temperatur des Tripelpunktes von Wasser zu genau 2 7 3 , 1 6 °K definiert wird. Die Internationale Praktische Kelvin (°K)-Temperaturskala von 1960 und die Internationale Praktische Celsius (°C)-Temperaturskala von 1960 werden durch eine Reihe von Interpolationsgleichungen definiert, die sich auf die folgenden Referenztemperaturen stützen: °K

°C

Sauerstoff, flüssig-Gas Gleichgewicht Wasser, flüssig-fest Gleichgewicht

90,18

-182,97

273,15

0,00

Wasser, fest-flüssig-Gas Gleichgewicht Wasser, flüssig-Gas Gleichgewicht Zink, fest-flüssig Gleichgewicht

273,16 373,16 692,655

Schwefel, flüssig-Gas Gleichgewicht Silber, fest-flüssig Gleichgewicht Gold, fest-flüssig Gleichgewicht

717,75 1233,95 1336,15

Umwandlung von Celsius in Kelvin

Κ = C + 273,15

Umwandlung von Fahrenheit in Rankin Umwandlung von Rankin in Kelvin Umwandlung von Celsius in Fahrenheit oder Fahrenheit in Celsius oder

R= Κ = C= F = 9(C

0,01 100,00 419,505 444,6 960,8 1063,0

F + 459,67 5/9 R 5 / 9 (F - 32) 9/5 C + 32 + 40) = 5(F + 40)

Die kinetische Temperatur wird definiert als das Temperaturäquivalent der kinetischen Energie einer Ansammlung von Teilchen. Bei Zimmertemperatur bewegt sich ein Durchschnittsgasteilchen mit einer kinetischen Energie von 0 , 0 2 5 eV. 1 eV = 1 1 , 6 X 10 3 °K 15

1 J = 1,858 Χ 10 1 5 °K LICHTSTÄRKE, / Die Candela (cd) ist dadurch definiert, daß die Leuchtdichte eines schwarzen Strahlers bei der Erstarrungstemperatur des Platins 6 0 cd/cm 2 beträgt. 1 stilb = 1 cd/cm 2 = 10 4 c d / m 2 4 1 Lambert = 3 , 1 8 3 0 9 8 8 Χ 10 3 cd/m 2 = — cd/m 2 π

221

LICHTSTROM, F [Μ] [ Γ ] " 3 Das Lumen (Im) ist der in einen Raumwinkel von einem Steradiant ausgestrahlte Lichtstrom einer gleichmäßigen Punktquelle der Lichtstärke von einer Candela. 1 Scorpio, die Intensitätseinheit der Röntgenastronomen, cm s 1 Langley/s ist ein Maß für den Energiestrom einer Strahlung, wobei 1 Langley (Ly) = 1

cm

ist.

BELEUCHTUNGSSTÄRKE, E Die Beleuchtungsstärke auf einer Oberfläche im Abstand von 1 f t von einer Quelle der Lichtstärke von 1 cd beträgt 1 Fuß-Kerze (ft cdl). 1 f t cdl = 10,763910 Im/m 2 1 Lux (Ix) = 1 I m / m 2 1 phot = 10 4 Ix = 10 4 Im/m 2 STRAHLUNGSENERGIE Das Curie (Ci) wird definiert als 3,7000 X 10 10 radioaktive Zerfälle pro Sekunde. 1 g Radium-226 unterliegt 3,61 X 10 10 Zerfällen pro Sekunde. Das Rutherford (Rd) wird definiert als 10 6 Zerfälle pro Sekunde. Das Röntgen (R) ist eine Strahlungsmenge, die einer von einem Kubikzentimeter L u f t bei Standardtemperatur und -druck absorbierten Energie von 0,113 erg oder einer Energie von 87,8 erg pro Gramm L u f t entspricht. Dieser von einem Kubikzentimeter L u f t bei Standardbedingungen absorbierte Betrag der Strahlungsenergie erzeugt Ionen mit einer (positiven oder negativen) Ladung von 3,333 X 10~ 10 Coulomb. Die Sicherheitsgrenze für eine Ganzkörperbestrahlung wird gewöhnlich zu 250 mR pro Woche angenommen. Das rad (radiation absorbed dose) ist eine Dosis absorbierter Strahlung von 100 erg pro Gramm irgendeines absorbierenden Materials. 1 rad = 10" 2 J/kg. Das rep (roentgen equivalent physical) ist eine Dosis von ionisierender Strahlung, die eine Absorption von 97 erg pro Gramm weichen Körpergewebes ergibt. Das rem (roentgen equivalent man) ist eine Einheit für eine biologische Strahlendosis, die gleich der absorbierten Dosis in rad ist, multipliziert mit einem Maß der relativen biologischen Wirksamkeit auf den Menschen. Es gibt unterschiedliche Strahlenempfindlichkeiten für die verschiedenen Körperteile. Z.B. beträgt die maximal zulässige Strahlendosis für einen A r m 1,5 rem/Woche, für ein Auge dagegen 0,10 rem/Woche.

222

ASTRONOMISCHE MASSEN Masse der Sonne = 1,99 Χ 10 33 g = 3,33 Χ 10 5 Erdmassen Masse der Erde = 5,98 Χ 10 27 g ASTRONOMISCHE GESCHWINDIGKEIT 1 AE/a = 2,9456 mi/s = 4,7404 km/s

223

Anhang C. Physikalische Fundamentalkonstanten

Symbol

Wert

Vakuumlichtgeschwindigkeit

c

2 , 9 9 7 9 2 5 Χ 10 8 m/s

Avogadrosche Konstante

No

6 , 0 2 2 5 2 Χ 10 2 3 mol" 1

Elementarladung

e

1,60210 X 10- 19 C 4 , 8 0 2 9 8 X I O ' 1 0 esE

Elektronenruhemasse

Me

9 , 1 0 9 1 X IO" 31 kg

Protonenruhemasse

Mp

1,67252 X IO" 27 kg

Neutronenruhemasse

M„

1,67482 X IO" 27 kg

Plancksches Wirkungsquantum h

6 , 6 2 5 6 Χ 10" 34 J • s

Comptonwellenlänge des Elektrons

2,42621 Χ 10- 12 m

Molare Gaskonstante

R

8 , 3 1 4 3 J/°K-mol

Gravitationskonstante

G

6 , 6 7 0 Χ ΙΟ"11 Ν m 2 / k g 2

Atomare Masseneinheit

AME

9 , 3 1 4 7 8 Χ 10 8 eV (äquivalent) 1,66044 X 10- 27 kg

224

Anhang D. Bibliographie Ein bißchen

Bildung

ist eine gefährliche

Sache.

— Alexander Pope — Die folgenden Bücher und Artikel seien den Lesern empfohlen, die sich noch eingehender mit Einheiten und Dimensionen beschäftigen möchten: Bridgeman, P.W. Dimensional Analysis, Yale University Press, New Haven, Conn., 1931. Ein klassisches Buch über die Dimensionsanalyse für den, der in ihrer Anwendung kompetenter werden möchte. Clemence, G.M. "Standards of Time and Frequency," Science, 123 (April 1956), 567—573. Dies ist eine interessante Diskussion der Zeit-Standards, wie sie in der Astronomie benutzt werden. Cohen, Richard E., K.M. Crowe, und J.W.M. Dumond. Fundamental Constants of Physics, John Wiley, New York, 1957. Prof. Dumond und seine Kollegen haben viele Jahre damit verbracht, die Fundamentalkonstanten zu studieren und ihre Beziehungen untereinander und zur gesamten Physik zu untersuchen. Dies ist kein elementares Buch. Garfinkel, S.B., und W.B. Mann. Radioactivity and Its Measurement, National Bureau of Standards, Van Nostrand, Momentum Books, 1966. Hudson, George E. " O f Time and the A t o m , " Physics Today (August 1965), 34. Ipsen, D.C. Units, Dimensions, and Dimensionless Numbers, McGraw-Hill, New York, 1960. Eine etwas weiterführende Behandlung von Einheiten und Dimensionen. Dieses Buch sollte Studenten höherer Semester in Physik und Ingenieurwissenschaften interessieren. Es enthält eine sehr gelungene Behandlung der Dimensionsanalyse. Kisch, Bruno. Scales and Weights: A Historical Outline (Yale Studies in the History of Science, No. 1.) Dieser einzigartige Bericht zeigt die Geschichte des Wiegens und der dazugehörigen Instrumente von den frühesten Beispielen bis heute auf. Mechtly, E.A. The International System of Units, NASA SP-7012, Washington, D.C., 1964. Diese kleine Druckschrift, die beim U.S. Government Printing Office zu beziehen ist, gibt die offiziellen Definitionen der grundlegenden Sl-Einheiten und aller mit deren Hilfe definierten Einheiten an. Es enthält auch Tabellen von Umwandlungsfaktoren und eine Liste der neuesten Werte für die wichtigsten physikalischen Konstanten. Romer, A. "Mass, Weight and Quantity of a Body," American Journal of Physics, 32, 12 (1964), 965. Eine Diskussion der Probleme, die durch den Mangel an Klarheit bei der Verwendung der Begriffe von Masse und Gewicht entstehen können. Sandfort, J.F. Heat Engines, Doubleday Science Study Series, Garden City, New York, 1962. Dies ist ein hervorragendes, kleines Buch, das die elementare Thermodynamik in leicht verstehbarer und unterhaltender Weise darstellt. Stimson, H.F. "Heat Units and Temperature Scales for Calorimetry," American Journal of Physics, 23, 614 (1955). Stimson, H.F. "International Practical Temperature Scale" of 1948 Text Revision of 1960, Journal of Research, National Bureau of Standards, 65A, 139 (1961). Stimson, H.F. "Celsius versus Centigrade: The Nomenclature of the Temperature Scale of Science," Science, 136 (April 1962), 254-255.

225

Sachregister Abrundung, 68A, 82B

Gallone, 2 0 3

A b s o l u t e Temperaturskala, 157

Gauß, 218

Acre, 2 0 0

Geschwindigkeit, 207, 2 2 3

Ampere, 206

G e w i c h t , 124, 2 0 6

A n g s t r o m , 212

Grain, 2 0 6

A r b e i t , 211

Größe, 3, 6 B

Astronomische Längen, 2 1 9

Größenordnung, 14A, 19C

A t o m a r e Masseneinheit, 2 0 5 Henry, 216 Barn, 2 0 2

Hertz, 2 0 4

Beleuchtungsstärke, 222 Beschleunigung, 2 0 8 Billion, 18B

Horsepower, 212

British thermal unit, 171, 211 Bushel, 2 0 3

Induktivität, 148, 216

Candela, 221

Inch, 2 0 0

Jahr, 122, 2 0 4 Joule, 211, 221

C G S - E i n h e i t e n , 117 C o u l o m b , 144, 214

Kalorie, 170, 211

C u b i t , 91A, 119

Kapazität, 148, 216

Curie, 222

K i l o g r a m m , Definition, 127, 209· Kilopond, 206

Dezibel, 142

Klafter, 9 1 A

Dichte, 2 0 9

Knoten, 207

Dimension, 9 4 A , 115 Dimensionsanalyse, 179—193 Druck, 172, 210 Einheiten, 3, 6B, 90A-115, 199 der Elektrizität, 1 4 4 - 1 5 3 der Mechanik, 1 1 5 - 1 4 3 der T h e r m o d y n a m i k , 154—178 natürliche, 9 3 A Umwandlungstabellen, 1 9 9 - 2 2 3 U m w a n d l u n g von, 90A—115 Einheitensysteme, 115 Einheitsbrüche, 1 0 0 B , 104 A Elektrisches Feld, 148, 217 Elektronenvolt, 211, 213, 221 Energie, 211 Exponentialschreibweise, 7 A — 4 8 Farad, 216 Faraday, 214 Fehlergrenze, 5 2 A — 5 9 A Fläche, 2 0 2 Fortnight, 2 0 4 FPS-Einheiten, 118 Fundamentalkonstanten, 2 2 4 Fuß, 91A, 200 Fuß-Kerze, 222

Längenstandards, 119, 2 0 0 Lambert, 221 Lautstärke, 142 Leistung, 212 Lichtjahr, 219 Lichtstärke, 221 Lichtstrom, 2 2 2 Liter, 2 0 3 Lumen, 222 Magnetischer Fluß, 218 Magnetisches Feld. 148, 2 1 7 - 2 1 8 Masse, 118, 1 2 4 , 2 0 5 , 2 2 3 Maxwell, 218 Meile, 2 0 0 Messungen, 4 9 Meter, Definition, 120, 2 0 0 Mikrometer, 2 2 0 M K S A - S y s t e m , 117, 148

Natürliche Einheiten, 9 3 A Numerische Vorsatzsilben, 195 O h m , 215 Operations-Definition, 2

227

Parsec, 219 Physikalische Konstanten, 224 Physikalische Variable, 1 Pica, 200 Potential, 148, 215 Poundal, 206 Präzision, 3, 6B Prozentualer Fehler, 81C Prozentualer Unterschied, 81C PS,212

Tag, 121,204 Temperatur, 154-159, 221 Temperaturskalen, 156-157, 221 Tesla, 218

Quart, 203

Wahrer Wert, 49 Wärme, 170, 211 Weber, 218 Widerstand, 148, 215 Winkelmaße, 201

Radiant, 93A, 201 Röntgen, 222 Seemeile, 200 Sekunde, Definition, 123 Signifikante Stellen, 4 9 - 8 9 Skalenauflösung, 57A Skalengrenze, 52A, 57A, 59A Spezifisches Gewicht, 209 Strahlungseinheiten, 222 Strom, 148, 214

228

Umwandlungstabellen, 199-223 Umwandlung von Einheiten, 90A—115 Unterdrückte Einheiten, 93A Volt, 215 Volumen, 203

X-Einheit, 220 Zeit, 120, 204 Zehnerpotenz-Schreibweise, 7A Zoll, 200 Zusammengesetzte Einheiten, 92A