Physik: III Optik, Quantenphänomene und Aufbau der Atome [3., überarb. Aufl. Reprint 2014] 9783486792447, 9783486240542

Table of contents :
Vorwort
A. Optik
1 Einführung und historischer Überblick
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes
2.1 Die Wellengleichung und ihre Lösungen
2.2 Energie und Impuls von Licht
2.3 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
2.4 Dispersion von Licht
2.4.1 Die Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätskonstante
2.4.2 Der Brechungsindex
2.4.3 Die Absorption von Licht
2.4.4 Die Dispersion von dichten Medien
2.4.5 Brechungsindex und Absorption von Metallen
2.5 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen
2.5.1 Reflexions- und Brechungsgesetz
2.5.2 Die Fresnelschen Formeln für den Reflexionsgrad einer Grenzfläche
2.5.3 Anwendungen der Totalreflexion
2.5.4 Totalreflexion und evaneszente Wellen
2.5.5 Das Reflexions vermögen absorbierender Medien
2.5.6 Die Farbe von Gegenständen
2.5.7 Streuung von elektromagnetischen Wellen
3 Die Geometrische Optik
3.1 Das Fermatsche Prinzip
3.1.1 Das Reflexionsgesetz
3.1.2 Das Fermatsche Prinzip und das Brechungsgesetz
3.2 Strahlenablenkung durch ein Prisma
3.3 Die optische Abbildung
3.3.1 Reelle und virtuelle Abbildungen
3.3.2 Abbildung an einem Kugelspiegel
3.3.3 Abbildung durch brechende Kugelflächen
3.3.4 Abbildungsgleichung für dünne Linsen
3.3.5 Dicke Linsen und Linsensysteme
3.3.6 Linsenfehler
3.3.7 Begrenzungen in optischen Systemen
3.3.8 Design und Herstellung von Objektiven
3.4 Instrumente der geometrischen Optik
3.4.1 Der Projektionsapparat
3.4.2 Die photographische Kamera
3.4.3 Das Auge
3.4.4 Vergrößernde optische Instrumente
3.5 Elektronenoptik
4 Welleneigenschaften von Licht
4.1 Die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie
4.2 Fresnelsche und Fraunhofersehe Beugung
4.2.1 Die Fresnelsche Beugung
4.2.2 Fraunhofersche Beugung
4.2.3 Das Babinetsche Prinzip
4.3 Spezielle Fälle der Fraunhoferschen Beugung
4.3.1 Beugung an einem langen Spalt
4.3.2 Beugung an einer Rechteckblende
4.3.3 Beugung an einer kreisförmigen Öffnung
4.3.4 Beugung am Doppelspalt
4.3.5 Beugung am Gitter
4.3.6 Gitterspektrometer
4.3.7 Beugung an mehrdimensionalen Gittern
4.4 Interferenz
4.4.1 Die Kohärenz von Lichtquellen
4.4.2 Spezielle Interferometeranordnungen
4.4.3 Interferenzen dünner Schichten
4.4.4 Vielfachinterferenzen am Beispiel des Fabry-Perot-Interferometers
4.5 Anwendungen von Beugung und Interferenz
4.5.1 Das Auflösungsvermögen optischer Geräte
4.5.2 Die Abbesche Theorie der Bildentstehung und Fourieroptik
4.5.3 Holographie
4.6 Die Polarisation von Licht
4.6.1 Polarisationszustände von Licht
4.6.2 Polarisatoren
4.6.3 Doppelbrechung
4.6.4 Anwendungen der Doppelbrechung
4.6.5 Induzierte Doppelbrechung
4.6.6 Optische Aktivität und Faraday-Effekt
4.7 Nichtlineare Optik
4.7.1 Phänomene, die mit der nichtlinearen Suszeptibilität zweiter Ordnung verknüpft sind
4.7.2 Phänomene, die mit der nichtlinearen Suszeptibilität dritter Ordnung verknüpft sind
4.7.3 Nichtlineare optische Schaltelemente
B. Quantenphänomene und Aufbau der Atome
5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen
5.1 Einführung und Überblick
5.2 Photonen
5.2.1 Die Energie der Photonen: Der Photoeffekt
5.2.2 Anwendungen des Photoeffekts
5.2.3 Der Impuls der Photonen: Der Compton-Effekt
5.2.4 Anwendungen des Compton-Effekts
5.2.5 Erzeugung von Bremsstrahlung und charakteristischer Röntgenstrahlung
5.2.6 Paarerzeugung
5.2.7 Drehimpuls der Photonen
5.2.8 Bemerkungen zum Welle-Teilchen-Dualismus der Photonen
5.3 Emission von Licht
5.3.1 Temperaturstrahler und Strahlungsgesetze
5.3.2 Die Plancksche Strahlungsformel
5.3.3 Beispiele
5.3.4 Bemerkungen zur Funktionsweise des Lasers
5.4 Elektronen und Positronen
5.4.1 Fundamentale Eigenschaften
5.4.2 Quantisierung der elektrischen Ladung
5.4.3 Erzeugung freier Elektronen
5.4.4 Messung der Elektronenladung
5.4.5 Der klassische Elektronenradius
5.4.6 Spezifische Ladung e/m0
5.4.7 Spin-Quantisierung, Stern-Gerlach-Experiment
5.4.8 Weiterführende Diskussion
5.5 Materiewellen
5.5.1 Einführende Bemerkungen
5.5.2 Interferenzphänomene mit Teilchenstrahlen
5.5.3 Wellenpakete
5.5.4 Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion ψ(r,t)
5.5.5 Unschärferelationen
5.5.6 Einige Beispiele für die Bedeutung der Unschärferelation
5.6 Schrödinger-Gleichung
5.6.1 Formulierung
5.6.2 Eine erste Anwendung: Tunnelphänomene
5.7 Quantisierung gebundener Zustände
5.7.1 Vorbemerkung: Kontinuierliche und diskrete Energieeigenwerte
5.7.2 Anregung und Zerfall diskreter Niveaus von Atomen und Molekülen
5.7.3 Quantenmechanische Analyse einiger eindimensionaler Systeme
5.7.4 Probleme in drei Dimensionen: Lösung der Schrödinger- Gleichung im Zentralpotential
5.7.5 Ausgewählte Beispiele
6 Aufbau der Atome
6.1 Einführende Bemerkungen und Nomenklatur
6.2 Rutherford-Streuung
6.3 Größe der Atome
6.4 Massen der Atome, Meßmethoden, Isotopie
6.4.1 Definitionen und Einheiten
6.4.2 Massenmessungen und Isotopie
6.5 Bindungsenergien der Atomkerne
Anhang
A.1 Berechnung der Ausbreitung paraxialer Strahlen mit dem Matrizen-Verfahren
A.1.1 Allgemeines
A.1.2 Wirkung einer Linse
A.1.3 Abbildungen im Matrizenformalismus
Vertiefende Literatur
Sachverzeichnis

Citation preview

Physik III Optik, Quantenphänomene und Aufbau der Atome von Wolfgang Zinth und Hans-Joachim Körner 3., überarbeitete Auflage

Mit 156 Bildern und 13 Tabellen

R.Oldenbourg Verlag München Wien 1998

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Physik : München ; Wien : Oldenbourg 3. Zinth, Wolfgang: Optik, Quantenphänomene und Aufbau der Atome. 3., Überarb. Aufl. - 1998

Zinth, Wolfgang: Optik, Quantenphänomene und Aufbau der Atome : mit 13 Tabellen / von Wolfgang Zinth und Hans-Joachim Körner. - 3., Überarb. Aufl. München ; Wien : Oldenbourg, 1998 (Physik ; 3) ISBN 3-486-24054-4

© 1998 R. Oldenbourg Verlag Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfllmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Andreas Türk Herstellung: Rainer Hartl Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München

ν

Inhalt Vorwort

IX

Α.

Optik

1

1

Einführung und historischer Überblick

1

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.5 2.5.1 2.5.2

5 5 12 14 17 17 19 20 23 25 26 27

2.5.3 2.5.4 2.5.5 2.5.6 2.5.7

Die elektromagnetische Theorie des Lichtes Die Wellengleichung und ihre Lösungen Energie und Impuls von Licht Phasen-und Gruppengeschwindigkeit Dispersion von Licht Die Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätskonstante . . . . Der Brechungsindex Die Absorption von Licht Die Dispersion von dichten Medien Brechungsindex und Absoφtion von Metallen Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen Reflexions-und Brechungsgesetz Die Fresnelschen Formeln für den Reflexionsgrad einer Grenzfläche Anwendungen der Totalreflexion Totalreflexion und evaneszente Wellen Das Reflexionsvermögen absorbierender Medien Die Farbe von Gegenständen Streuung von elektromagnetischen Wellen

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3

Die Geometrische Optik Das Fermatsche Prinzip Das Reflexionsgesetz Das Fermatsche Prinzip und das Brechungsgesetz Strahlenablenkung durch ein Prisma Die optische Abbildung Reelle und virtuelle Abbildungen Abbildung an einem Kugelspiegel Abbildung durch brechende Kugelflächen

47 48 50 52 54 56 57 58 60

30 35 39 40 42 43

VI

Inhalt

3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7 3.3.8 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5

Abbildungsgleichung für dünne Linsen Dicke Linsen und Linsensysteme Linsenfehler Begrenzungen in optischen Systemen Design und Herstellung von Objektiven Instrumente der geometrischen Optik Der Projektionsapparat Die photographische Kamera Das Auge Vergrößernde optische Instramente Elektronenoptik

4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4

Welleneigenschaften von Licht Die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie Fresnelsche und Fraunhofersche Beugung Die Fresnelsche Beugung Fraunhofersche Beugung Das Babinetsche Prinzip Spezielle Fälle der Fraunhoferschen Beugung Beugung an einem langen Spalt Beugung an einer Rechteckblende Beugung an einer kreisförmigen Öffnung Beugung am Doppelspalt Beugung am Gitter Gitterspektrometer Beugung an mehrdimensionalen Gittern Interferenz Die Kohärenz von Lichtquellen Spezielle Interferometeranordnungen Interferenzen dünner Schichten Vielfachinterferenzen am Beispiel des Fabry-Perot-Interferometers Anwendungen von Beugung und Interferenz Das Auflösungsvermögen optischer Geräte Die Abbesche Theorie der Bildentstehung und Fourieroptik Holographie Die Polarisation von Licht Polarisationszustände von Licht Polarisatoren Doppelbrechung Anwendungen der Doppelbrechung Induzierte Doppelbrechung

4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5

62 66 69 74 76 77 78 79 83 85 96 101 103 106 107 110 III III III 114 115 116 120 124 126 130 132 134 139 145 152 152 . 159 163 167 168 171 176 184 187

Inhalt 4.6.6 4.7 4.7.1

VII

4.7.3

Optische Aktivität und Faraday-Effekt Nichtlineare Optik Phänomene, die mit der nichtlinearen Suszeptibilität zweiter Ordnung verknüpft sind Phänomene, die mit der nichtlinearen Suszeptibilität dritter Ordnung verknüpft sind Nichdineare optische Schaltelemente

201 204

B.

Quantenphänomene und Aufbau der Atome

207

5

Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

207

5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5

Einführung und ÜberbHck 207 Photonen 210 Die Energie der Photonen: Der Photoeffekt 210 Anwendungen des Photoeffekts 215 Der Impuls der Photonen: Der Compton-Effekt 218 Anwendungen des Compton-Effekts 222 Erzeugung von Bremsstrahlung und charakteristischer Röntgenstrahlung 226 Paarerzeugung 227 Drehimpuls der Photonen 229 Bemerkungen zum Welle-Teilchen-Dualismus der Photonen . 230 Emission von Licht 232 Temperaturstrahler und Strahlungsgesetze 232 Die Plancksche Strahlungsformel 235 Beispiele 238 Bemerkungen zur Funktionsweise des Lasers 240 Elektronen und Positronen 245 Fundamentale Eigenschaften 245 Quantisierung der elektrischen Ladung 246 Erzeugung freier Elektronen 247 Messung der Elektronenladung 248 Der klassische Elektronenradius 249 Spezifische Ladung e / m o 250 Spin-Quantisierung, Stem-Gerlach-Experiment 251 Weiterführende Diskussion 256 Materiewellen 258 Einführende Bemerkungen 258 Interferenzphänomene mit Teilchenstrahlen 259 Wellenpakete 263 Wahrscheinlichkeitsinteφretation der Wellenfunktion . 266 Unschärferelationen 267

4.7.2

5.2.6 5.2.7 5.2.8 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.4.6 5.4.7 5.4.8 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.5.5

191 196 197

vili 5.5.6 5.6 5.6.1 5.6.2 5.7 5.7.1

Inhalt 270 273 273 277 285

5.7.5

Einige Beispiele für die Bedeutung der Unschärferelation . . . Schrödinger-Gleichung Formuherung Eine erste Anwendung: Tunnelphänomene Quantisierung gebundener Zustände Vorbemerkung: Kontinuierliche und diskrete Energieeigenwerte Anregung und Zerfall diskreter Niveaus von Atomen und Molekülen Quantenmechanische Analyse einiger eindimensionaler Systeme Probleme in drei Dimensionen: Lösung der SchrödingerGleichung im Zentralpotential Ausgewählte Beispiele

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.5

Aufbau der Atome Einführende Bemerkungen und Nomenklatur Rutherford-Streuung Größe der Atome Massen der Atome, Meßmethoden, Isotopie Definitionen und Einheiten Massenmessungen und Isotopie Bindungsenergien der Atomkerne

299 299 300 305 306 307 307 309

Anhang Berechnung der Ausbreitung paraxialer Strahlen mit dem Matrizen-Verfahren Allgemeines Wirkung einer Linse Abbildungen im Matrizenformalismus

313

Vertiefende Literatur

319

Sachverzeichnis

320

5.7.2 5.7.3 5.7.4

A.l A.1.1 A.l.2 A.1.3

285 286 289 294 295

313 313 316 317

IX

Vorwort Das vorliegende Lehrbuch ist für das dritte Semester eines Experimentalphysikkurses gedacht. Es schließt die Lücke zwischen der klassischen Elektrodynamik und der Atomphysik. In diesen Teil des Studiums fällt eine ganz wesentliche Erweiterung der naturwissenschaftlichen Denkweise: Während man in der klassischen Physik noch von einer vollständigen Beschreibbarkeit eines physikalischen Systems ausgehen konnte, die letztendlich eine im Prinzip deterministische Vorhersagbarkeit von Vorgängen ermöglicht, werden in der Quantenphysik Wahrscheinlichkeiten wichtig, die keine eindeutigen Voraussagen mehr erlauben. Diese Erweiterung der Denkweise ist sehr gut in Zusammenhang mit der Optik durchzuführen, da gerade von diesem Gebiet die wesentlichen Anstöße für die Entwicklung der Quantenphysik gegeben wurden. Im vorliegenden Buch Physik III wird deshalb neben der rein klassischen Behandlung der Optik dieser Übergang zur Quantenphysik vorgestellt. Dabei können hier jedoch nur erste einführende Anstöße gegeben werden. Für ein vollständiges Verständnis der Quantenphysik ist eine ausführlichere und wiederholte Beschäftigung mit dieser Problematik notwendig, die sich in Zusammenhang mit der Atom- und Quantenmechanikvorlesung ergeben wird. Nach einem kurzen historischen Überblick wird im Buch Physik III die Optik zunächst als Spezialgebiet der Elektrodynamik behandelt. Mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen und der daraus abgeleiteten Wellengleichung werden die Eigenschaften von Licht als elektromagnetischer Welle in Kapitel 2 vorgestellt. Anschließend diskutieren wir die grundlegenden Phänomene der Lichtausbreitung im Rahmen der „Geometrischen Optik" (Kapitel 3). Die speziellen Welleneigenschaften wie Beugung, Interferenz und Polarisation sind in Kapitel 4 zu finden. Im Kapitel 5 wird die Diskussion der Eigenschaften mikroskopischer Systeme vertieft. Dabei treten neuartige Phänomene auf: Die Teilcheneigenschaften des Lichts und die Welleneigenschaften von Teilchen mit endlicher Ruhemasse. Aus ihrer Analyse entsteht die Beschreibung mikroskopischer Systeme mittels einer Bewegungsgleichung, der Schrödinger-Gleichung. Diese wird benutzt, um die Eigenschaften einfacher mikroskopischer Systeme zu erläutern.

χ

Vorwort

Im Kapitel 6 wird der Aufbau der Atome aus Elektronenhülle und Atomkern beschrieben. Streuexperimente, die wichtigsten Methoden zum Studium subatomarer Struktur, werden eingeführt. Bei der Fertigstellung dieses Manuskripts haben viele Hände mitgeholfen. W.Z. dankt insbesondere Herrn Professor Dr. Wolfgang Kaiser für wichtige inhaltliche Hinweise. H.-J. K. dankt Frau Dr. Gabriele-Elisabeth Körner für die kritische und professionelle Wertung des Texts und vor allem Herrn Andreas Stolz. Er hat die T^-Version des Manuskriptes betreut, alle Bilder im Teil В angefertigt, die Literatur zusammengesucht und immer wieder konstruktive Kritik „aus der Sicht eines Studenten" beigesteuert. Außerdem danken wir den Lesern der beiden ersten Auflagen für umfangreiche Korrekturvorschläge.

W. Zinth H.-J. Kömer

Α. 1

Optik Einführung und historischer •· Uberblick

Das wichtigste Wahmehmungsorgan des Menschen ist das Auge. Es erlaubt ihm, die Umgebung zu sehen. Dieser Sehvorgang und die Eigenschaften des beteihgten Lichtes haben seit dem Altertum die Neugierde der Menschen erregt. Die Optik, die Lehre vom Licht, wurde aus dieser Neugierde heraus entwickelt. Von unserer Kenntnis der Elektrodynamik wissen wir heute, daß Licht eine elektromagnetische Welle ist. Dabei besitzt das für den Menschen sichtbare Licht Frequenzen in einem schmalen Spektralbereich der gerade eine Oktave umfaßt: Das für das Auge sichtbare Licht erstreckt sich vom tief Dunkelroten bei einer Frequenz ν von etwa 385 THz über das Rote, Gelbe, Grüne, Blaue bis hin zum Violetten bei ν = 770 THz (siehe Bild 1.1). In der Praxis ist jedoch die Optik nicht auf den Bereich des sichtbaren Lichtes eingeschränkt. Die Gesetzmäßigkeiten der Optik sind bei höheren Frequenzen bis weit in den Röntgenbereich anwendbar {v к, 10^® Hz), solange man die Bezeichnung

Frequenz ν [THz]

Hochenergetische γ-Strahlen

800

--10" •'S

-Ц0-12

Röntgenstrahlen

700 - -

Frequenz ν Wellenlänge λ [Hz] [m]

1024..

Farbe

Wellenlänge λ [nm]

-•

--400

1021.. violett

1018·. -.10-9

Ultraviolettes Licht Sichtbares Licht

1012.. 109 .. 10^ --

-•10-3 -•1 -•103

blau

J

600

--500

--

grun

Intrarotes Licht

500 --

gelb/orange

--600

Mikrowellen rot Radiowellen

103 i Bild 1.1: Das Spektrum elektromagnetischer Wellen

700

400 -+ 800

Sichtbares Licht: λ и 390nm780 nm

Einführung und historischer Überblick Quanten- oder Koφuskeleigenschaften des Lichtes vernachlässigen kann. Bei niedrigen Frequenzen erstreckt sich eine sinnvolle Anwendung bis in den Radiofrequenzbereich.

Prinzip des kürzesten Weges

17. Jahrhundert: alle wesentlichen Gesetze der klassischen Optik werden bekannt

In der Geschichte der Naturwissenschaften spielte die Lehre vom Licht eine zweifache Rolle: Die Optik war zum einen eine Wegbereiterin neuer Vorstellungen, die auf dem Gebiet der Optik erarbeitet wurden; zum anderen stellte sie wichtige Hilfsmittel für die Entwicklungen anderer Gebiete der Naturwissenschaften zur Verfügung. Bereits sehr früh wurden in der Antike einfache optische Geräte wie Brennglas, Lupe und Hohlspiegel eingesetzt. Wichtige Gesetze der geometrischen Optik wie die geradlinige Ausbreitung von Licht in homogenen Medien und das Reflexionsgesetz waren bekannt. Ebenso wurden Messungen zur Brechung durchgeführt. Im 1. Jahrhundert V. Chr. stellte Heron von Alexandria für die Lichtausbreitung ein Prinzip des kürzesten Weges auf. Im Mittelalter wurde die Optik hauptsächlich in der arabischen Welt weiterentwickelt. Um das Jahr 1000 präsentierte Alhazen wichtige Erkenntnisse zur Reflexion und über die Abbildung im Auge. Ab dem 13. Jahrhundert wurden dann Linsen zur Korrektur von Sehfehlem auch im Abendland eingesetzt. Die wichtigsten Prinzipien und Instrumente der geometrischen Optik und die darauf basierenden Instrumente wurden im 17. Jahrhundert entwickelt und führten zu einer Revolution des damaligen Weltbildes: 1608 wurde von H. Lippershey (1587- 1619) das erste Fernrohr zum Patent angemeldet, das dann von G. Galilei (1564-1642) und J. Kepler (1571 -1630) weiterentwickelt und zur Beobachtung der Sterne eingesetzt wurde. Zur selben Zeit erfand Z. Janssen (1588 -1632) das erste Mikroskop. Kepler entdeckte die Totalreflexion und die Näherung des Brechungsgesetzes für kleine Einfallswinkel. 1621 fand W Snell (1591-1626) das Snelliussches Brechungsgesetz, das dann von R. Descartes ( 1596 -1650) in der heute gebräuchlichen Form formuliert wurde. Die Beugung von Licht wurde von F.M. Grimaldi (1618-1663), erste Interferenzerscheinungen von R. Boyle (1626-1691) und R. Hooke (1635-1703) beobachtet. Die spektrale Zerlegung des weißen Lichtes entdeckte I. Newton (1642-1727); O. Römer (1644-1710) führte die erste erfolgreiche Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit durch und C. Huygens (1629-1695) entdeckte bei der Erklärung der Doppelbrechung die Polarisation des Lichtes. Die Natur des Lichtes wurde zu dieser Zeit durch zwei sich offensichtlich ausschließende Theorien beschrieben: Von Huygens wurde die Undulationstheorie entwickelt, bei der Licht als eine sich wellenförmig ausbreitende Erregung aufgefaßt wurde. Die Emissionstheorie, bei der Licht als ein Strom von Koφuskeln beschrieben wird, wurde von Newton ausgebaut und aufgrund der Autorität Newtons allgemein akzeptiert. Erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts setzte sich die Wellentheorie der klassischen Optik endgültig durch. Entscheidend dafür waren die Beobachtung der polarisationsabhängigen Reflektivität durch E.L.

Einführung und historischer Überblick Malus (1775 -1812), die Entdeckung des Interferenzprinzips und der Transversalität des Lichtes durch T. Young (1773-1829) sowie die zusammenfassende Behandlung von Lichtpropagation, Interferenz und Beugung durch A.J. Fresnel (1788 -1827). Die endgültige Bestätigung der Wellentheorie erreichte J.C. Maxwell (1831 - 1879) als er Licht mit den Wellenlösungen der Maxwell-Gleichungen identifizierte. Der erste experimentelle Nachweis dieser elektromagnetischen Wellen gelang dann H. Hertz (1857-1894). Am Ende des 19. Jahrhunderts waren sämtliche Probleme der Propagation von Licht geklärt. Gleichzeitig traten jedoch die Grenzen der elektromagnetischen Beschreibung des Lichtes bei der Erzeugung und Absoφtion von Licht in den Vordergrund: Zur Erklärung der Emission eines schwarzen Strahlers mußte M. Planck (1858-1947) einführen, daß die Energieabgabe eines schwingenden Systems an das Lichtfeld diskontinuierlich in Form von Quanten erfolgt. Bei der Erklärung des Photoeffektes nahm dann A. Einstein (1879-1955) an, daß diese Lichtquanten oder Photonen real existieren. Paradoxerweise verhält sich also Licht bei der Propagation wie eine Welle, bei der Emission oder Absorption jedoch wie ein Strom von Korpuskeln. Eine einheitliche Beschreibung von Licht war somit durch eine klassische Modellvorstellung - Licht als Welle oder Licht als Teilchen - nicht möglich. Es dauerte noch Jahrzehnte, bis die Erkenntnis, daß die klassischen Anschauungen der makroskopischen Welt nicht auf die Physik der mikroskopischen Atome und Elementarteilchen anwendbar sind, voll in das Bewußtsein der Physiker drang. Erst mit der Entwicklung und der allgemeinen Akzeptanz der Quantenphysik muß die gleichzeitige Gültigkeit von Wellen- und Teilchenbild nicht mehr als Paradoxon verstanden werden. Seit der Erfindung des Lasers im Jahre 1960 haben optische Meßmethoden in den verschiedensten Gebieten der Physik große Bedeutung erlangt. Mit Hilfe von Lasern als intensive, maßgeschneiderte Lichtquellen sind konventionelle optische Verfahren entscheidend verbessert und neue Meßprinzipien entwickelt worden. So ist z.B. optische Spektroskopie mit höchster Frequenzauflösung von besser als 1 Hz ebenso möglich geworden wie die direkte Beobachtung schnellster molekularer Vorgänge auf der Zeitskala von 10-1^ s.

19. Jahrhundert: Licht ist Wellenphänomen

Quantennatur Lichts

1960: Laser

des

2

Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

Dieses Kapitel behandelt die Eigenschaften von Licht als elektromagnetischer Welle. Es wiederholt und vertieft dabei einen Teil der Elektrodynamik aus Physik II und schafft die Grundlagen für die Behandlung von Licht im Rahmen der elektromagnetischen Theorie. Wir gehen dabei von den Maxwellgleichungen im Medium aus, leiten daraus die Wellengleichung ab und betrachten die Ausbreitung von Licht in einem dispersiven Medium. Mit Hilfe der Randbedingungen beim Durchgang von Licht durch Grenzflächen werden wir abschließend die Gesetze für Reflexion und Brechung erhalten.

2.1

Die Wellengleichung und ihre Lösungen

In praktisch allen Anwendungsgebieten der Optik beschäftigt man sich mit der Lichtausbreitung in nichtmagnetischen Medien, in denen wir für die relative Permeabilität den Wert μ = 1 verwenden können. Für den Fall nichtleitender Materialien verschwinden Ladungsdichte ρ und Stromdichte j : ρ = 0 und j = 0. Das Medium wird durch die Verwendung der dielektrischen Verschiebung D anstelle des elektrischen Feldes E berücksichtigt. Für D nimmt man im hier behandelten Fall der linearen Optik eine Proportionalität zum elektrischen Feld E an: D = εοεΕ

(2.1)

εο = 8.854· ist die elektrische Feldkonstante, ε ist die relative Dielektrizitätskonstante des Mediums. In optisch isotropen Medien, dies sind neben Gasen und Flüssigkeiten auch kubische Kristalle, ist die Lichtausbreitung unabhängig von der Richtung, und die Dielektrizitätskonstante ε ist ein Skalar. Für optisch anisotrope Medien erfordert die spezielle Symmetrie des Mediums, daß ε durch den Tensor îjk zu ersetzen ist (siehe Abschnitt 4.6.3). In dem hier behandelten Fall eines optisch isotropen, isolierenden Mediums erhalten wir unter Verwendung des Nablaoperators V die Maxwellgleichungen in der Form:

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

(2.2)

V - D = 0

(2.3) V

X

V

X B =

Maxwellgleichungen

-

ÔÎ ÖD μο ai

(2.4) (2.5)

.-2 die magnetisciie Feldkonstante. Man Dabei ist μο = 1.2566 · 10 ® NA bildet nun die Rotation ( V x ) von Gl. (2.4) und verwendet die Identität V χ V X Ê = V · (V · - (V · V)Ê. Mit V · ¿ = О (Gl. 2.2) und V · V = Δ = öVöx^ + ô V V + d'^/dz'^ ergibt sich aus Gl. (2.5) die Wellengleichung für das elektrische Feld E: л fî д^Е ΑΕ-εεομο-^^ = О Q2ß

ΑΒ-εεομο-^ =О

Wellengleichung für elektromagnetische Wellen

(2.6a) (2.6b)

Die entsprechende Gleichung für das magnetische Feld В ^ kann in gleicher Weise unter Vertauschung von Gl. (2.4) und (2.5) abgeleitet werden. Die Gl. (2.6) beschreiben elektromagnetische Wellen (siehe Physik II). Aus der Behandlung der Wellenphänomene in Physik I wissen wir, daß der Proportionalitätsfaktor εεομο in der Wellengleichung mit der Phasengeschwindigkeit Vph der elektromagnetischen Welle im Medium verknüpft ist: 1

1 = ^/εοεμο Lieh tgesch windigkeit im Vakuum:

_

1

y/εομο « 3 · 10® m/s

—;=c v^

(2.7)

Dabei verwenden wir für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum die allgemein übliche Bezeichnung с = l/^/εöμö = 2.9979 • 10® m/s. In der historischen Entwicklung gab die Identität der experimentell bestimmten Lichtgeschwindigkeit с mit dem Ausdruck 1 / y/εομο, in dem εο und μο aus rein elektrischen bzw. magnetischen Messungen bestimmt worden waren, den Anstoß dafür. ^ Auch in diesem Buch wird wie bereits in Physik II die Größe В als Magnetfeld bezeichnet. Andere Lehrbüchern bezeichnen häufig Η = Β/{μομ) als magnetische Feldstärke, die Größe В hingegen als magnetische Flußdichte oder magnetische Induktion. Da wir in der Optik immer μ = 1 setzen können, ist ß zu Я parallel und alle Richtungsaussagen gelten ebenso für В wie für H.

2.1 Die Weilengleichung und ihre Lösungen Licht als elektromagnetische Welle zu betrachten. Der Einfluß des Mediums wird durch den Faktor = 1 / n beschrieben. Für η — y/ε führt man den Begriff Brechungsindex des Mediums ein.

Brechungsindex

Als einfachste Lösung der Wellengleichung erhalten wir eine ebene Welle, die sich in der Richtung des Wellenvektors к ausbreitet: E { f , t) = EQ cos(a;i - k f + ψ)

(2.8)

Hier ist eine konstante Amplitude EQ der Feldstärke angenommen worden. Der konstante Phasenterm φ dient dazu, den Nulldurchgang der Oszillation festzulegen. Setzt man Gl. (2.8) in die Wellengleichung (2.6) ein, so erhält man den folgenden Zusammenhang zwischen к und ω: Ρ

=

+

+ k^ =

n2,W,2 //„2 c

Dispersionsrelation für Licht

(2.9)

Eine Beziehung der Art von Gl. (2.9) die den Betrag des Wellenvektors mit der Kreisfrequenz der Welle verknüpft, bezeichnet man als Dispersionsrelation. Mit Hilfe der Maxwellgleichungen lassen sich Beziehungen zwischen E, D, В und к aufstellen. Dabei verwenden wir, daß für ebene Wellen А (bei Verwendung der Schreibweise von Gl.(2.12)) gilt: V • А (x к • А und V X А (X к X Α. k±D, É1B,

k±B

aus Gl. (2.2) und (2.3)

D±B

aus Gl. (2.4) und (2.5)

1^1 = -\B\ = — ^ \ B \ n' ' у^ёЩ'

(2.10)

aus Gl. (2.5)

Für optisch isotrope Medien gilt zusätzlich É ± k. Diese Beziehungen zeigen, daß elektromagnetische Wellen transversale Wellen sind, bei denen die Auslenkungen von В bzw. D (oder E ) in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen. Die relativen Orientierungen von k, D und В bilden dabei ein rechtshändiges System. Durch diese Bedingungen erhält man für einen vorgegebenen Wellenvektor к zwei Möglichkeiten der Wahl von D (oder E), die man als die beiden möglichen Polarisationen des Lichtes bezeichnet (näheres siehe Kapitel 4). Da die Wechselwirkung zwischen Licht und Materie im allgemeinen über die elektrische Feldstärke E geschieht und das magnetische Feld В gemäß Gl. (2.10) direkt proportional zu E ist, werden wir uns bei der weiteren Behandlung häufig auf das elektrische Feld E beschränken. Einige weitere Begriffe, die im Zusammenhang mit Wellen wichtig sind, wollen wir hier nun zusammenfassen: Die Wellenlänge A der

Transversalität von elektromagnetischen Wellen

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

Bild 2.1: Ausbreitung von Licht. Momentaufnahme des elektrischen Feldes als Funktion des Ortes. Im Vakuum ist die Wellenlänge λ = c¡v, im Medium (oberer Bildteil rechts) wird die Wellenlänge auf Лщ = с/{пи) verkürzt. Wellenzahì und Wellen Vektor

Welle (siehe Bild 2.1) ist mit der Wellenzahl k, d.h. mit dem Betrag des Wellenvektors к verknüpft über: 2πη k =

X=

2πη к

2-ïïC

с

ω

ν

(2.11)

Als Wellenlänge λ bezeichnete man dabei die Wellenlänge im Vakuum. Ist jedoch im Spezialfall die Wellenlänge im Medium Ащ = λ / η gemeint, so wird dies i.a. explizit angegeben. Neben der Kreisfrequenz ω verwendet man auch den Begriff der Frequenz и = ω/2τΓ oder in der älteren Literatur auch die „Wellenzahl" als Ρ = vjc = 1 / λ in Einheiten von Anstelle der in Gl. (2.8) benützten Schreibweise der Wellenamplitude mit trigonometrischen Funktionen wendet man häufig auch die komplexe Exponentialschreibweise an: Ec{f, Die komplexe Schreibweise für Wellen vereinfacht häufig das Rechnen

t) =

(2.12)

— kr + ψ)]

Diese Schreibweise führt zu einer erheblichen Rechenvereinfachung. Da jedoch das elektrische Feld als physikalische Meßgröße nur reelle Werte annehmen kann, ist am Ende der Rechnung der Realteil von Ec{f, t) zu bilden: d.h. die physikalisch meßbaren Felder E { f , t) entsprechen dem Realteil der komplexen , f e l d e i ^ ' ( л i) : E { f , t ) = - . E c ( r , i ) - | - c . c . . Dabei bezeichnen Ζ

wir mit c.c. das konjugiert Komplexe des vorstehenden Ausdrucks.

2.1 Die Wellengleichung und ihre Lösungen Eine wichtige Eigenschaft der Wellengleichung (2.6) ist, daß gemäß dem Supeφositionsprinzip neben zwei Lösungen E2 und E i der Wellengleichung auch deren Summe Д = + E2 eine Lösung ist. Dadurch wird es möglich, durch Kombination von ebenen Wellen geeigneter Amplitude und Frequenz Wellenpakete mit definiertem zeitlichen und räumlichen Verlauf zu Wellenpakete konstruieren. Der dabei verwendete mathematische Formalismus ist der der Fouriertransformation (siehe auch Physik I): Addiert man eine Vielzahl von ebenen Wellen mit den Frequenzen wj = ω o j und den Amplituden > so läßt sich dadurch jeder beliebige (zeitlich oder räumlich) periodische Feldverlauf E{f, t) darstellen^. Speziell für den Ursprung r = 0 erhalten wir den Zeitverlauf: 00

¿ ( í ) = 5^¿0jexp(ia;jí)

(2.13)

j=o

Verwendet man kontinuierlich verteilte Frequenzkomponenten, so wird aus der Fourierreihe (2.13) ein Fourierintegral, das auch die Darstellung von nichtperiodischen Zeitverläufen gestattet: +00

¿oMexp(icjí)da;

f ν2π J

(2.14)

—co

Da E{t)

eine reelle Größe ist, kann man die Feldstärke für negative Fre-

quenzen wie folgt angeben: Εο{ω)

=

EQ{-u).

Durch Umkehrung der

Fouriertransformation lassen sich die Fourierkomponenten Ε ο { ω ) aus einem vorgegebenen Zeitverlauf des Feldes berechnen: +00

f V2tx J

E{t)e^Y>{-\ut)dt

(2.15)

-00

Die Darstellung des elektrischen Feldes durch seinen Zeitverlauf E{t) oder durch seinen Frequenzverlauf Ε ο { ω ) ist also äquivalent. Beide Darstellungen sind in der Physik in gleicher Weise verwendbar. In Analogie kann man auch bei festgehaltener Zeit die entsprechende Komplementarität zwischen Ortsdarstellung und Impuls- (Wellenvektor-) darstellung des Feldverlaufes zeigen. ^ In analoger Weise kann man auch die Fouriertransformation vom Ortsraum in den ,Jmpulsraum" durchführen. Dadurch erhält man den Übergang von einer räumlichen Verteilung in eine Richtungs- oder Impulsverteilung. Man spricht dabei auch von Raumfrequenzen. Dies wird im Zusammenhang mit der Beugung in Abschnitt 4.1 vertieft.

10

2 Die elektromagnetische Theorìe des Lichtes

Als Beispiel wollen wir einen Frequenzverlauf des Feldes gemäß der Gaußschen Glockenkurve mit einer Zentralfrequenz ωο annehmen (siehe Bild 2.2a): ^ω — ωο^ ^

Ε{ω) = Л е х р

δω

+ Aexp

δω

(2.16)

Den zweiten Teil auf der rechten Seite von Gl. (2.16) benötigen wir, um mit Hilfe von Gl. (2.14) eine reelle Feldstärke E{t) zu erzielen. Setzen wir Gl. (2.16) in Gl. (2.14) ein, so ergibt sich der Zeitverlauf des Feldes zu: +0O

А δω 0F 2

\ 2 ω — cjQ ^ exp(ia;í)dí к

В

Bild 2.3: Schema zur Verdeutlichung des Strahlungsdrucks: Durch das elektrische Feld E der Welle erfährt die Ladung q eine Beschleunigung, die zu einer Geschwindigkeit vq führt. Über das magnetische Feld В der Welle wirkt so die Lorentzkraft auf die bewegte Ladung, die in Richtung des Wellenvektors к der Welle zeigt.

Verbunden mit der Absorption der Strahlungsleistung L aus dem Lichtfeld wird also eine Kraft in Ausbreitungsrichtung auf die Ladung ausgeübt. Bezieht man diese Kraft auf die bestrahlte Fläche, so erhält man den Strahlungsdruck Ps, der bei der Absoφtion von Licht der Intensität I auf den Absorber ausgeübt wird:

p.^i

Strahlungsdruck des Lichtes

(2.24)

с

Bei einer vollständigen Reflexion von Licht an einem Spiegel tritt aufgrund der Impulserhaltung ein doppelt so großer Strahlungsdruck auf. Als Beispiel soll kurz der Strahlungsdruck, der vom Sonnenlicht am Ort der Erdumlaufbahn verursacht wird, bestimmt werden. Bei einer Bestrahlungsstärke durch Sonnenhcht von 1$ = 1.500 W/m^, с = 3-10^ m/s errechnen wir einen Strahlungsdruck Ps = I s / c = 5· 10"^ N/m^ = 5 · 10"'' Pa. Dieser Druck ist sehr klein und ist so für das tägliche Leben vemachlässigbar. Trotzdem ist dieser Strahlungsdruck für eine Reihe von Phänomenen im sonnennahen Bereich verantwortlich: z.B. bewirkt er die Ausrichtung der Kometenschweife und beeinflußt erheblich die Verteilung der geladenen Teilchen in der Ionosphäre

Strahlungsdruck

14

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

der Erde. Andererseits kann der Strahlungsdruck von Licht auch riesige Werte annehmen: Bei den höchsten Lichtintensitäten von ca. 3 • W/m^, 1л

die mit Kurzpulslasem (Pulsdauer < 10 s) zur Zeit hergestellt werden können berechnet man nach Gl. (2.24) einen Strahlungsdruck Ps von Ps = 3 · W/m^/3 · 10® m/s = lO^^Pa. Dieser Druck, Fa oder 1 Gbar, übersteigt alle technisch herstellbaren stationären Drucke und reicht bis auf den Faktor 1000 an typischerweise im Zentrum von Sternen wirkende Drucke heran.

2.3

Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

Wir wollen uns nun mit der Ausbreitung von Licht, speziell von Lichtimpulsen, zuwenden. Dazu schreiben wir im Ansatz für das Wellenpaket von Gl. (2.14) explizit die Ortsabhängigkeit der Phase. Für ein in x-Richtung polarisiertes elektrisches Feld, das sich längs der z-Achse ausbreitet, ergibt sich damit: + 00 E^iz,t)

= ^

J

Ε^{ω)βχρ[ίωί

-ίφ)ζ]άω

(2.25)

—oo k{ω) kann über die Dispersionsrelation Gl. (2.9) bestimmt werden. Dabei ist eine mögliche Frequenzabhängigkeit des Brechungsindexes η{ω) (siehe Abschnitt 2.4) explizit zu berücksichtigen. Betrachtet man ein Wellenpaket mit einem Spektrum EQ^ (ω ), das nur in unmittelbarer Umgebung einer Resonanzfrequenz ωο von Null verschieden ist, so kann man fc(a;) in der Nähe von ωο(ω = ωο + ^ mit Ω 0 ergibt Verstärkung von Licht

ωη\

с

(2.41) 2; Η

z\

. , .ωηκ ζ exp iLüt — 1 г

Das elektrische Feld E{z, t) besitzt dann einen schnell oszillierenden Anteil, dessen Wellenlänge im Medium durch den Realteil riR des Brechungsindexes bestimmt ist. Die Amplitude der Welle (unterstrichen) erhält jedoch über den Imaginärteil des Brechungsindexes eine ^-Abhängigkeit: Für den im allgemeinen realisierten Fall n j < 0 (siehe Gl. (2.40)) nimmt die Feldstärke mit zunehmender Schichttiefe des Mediums exponentiell ab, d.h. der ImaIn der Literatur wird für den komplexen Brechungsindex auch die Schreibweise η = ηκ(1 —i к) verwendet. In diesem Fall ist к im allgemeinen eine positive Größe, к = —nj/riR.

2.4 Dispersion von Licht

21

ginärteil des Brechungsindexes bewirkt eine ΑόβοφΙϊοη des Lichtes. Für die Ortsabhängigkeit der Lichtintensität berechnet man: I(z) = 1(0) exp

2ωηιζ

(2.42)

= /(0) exp[-az] Wir haben hier den Extinktionskoeffizient a eingeführt, für den nach Gl. (2.40) gilt:

a—

e^N εοπτο {ω^ - α;^)^ + -γ'^ω'^

Extinktionskoeffizient (2.43)

Im betrachteten Modellsystem und in allen Systemen, die sich im thermischen Gleichgewicht befinden, ist щ stets negativ. Man erhält dann immer eine Abnahme der Lichtintensität mit zunehmender Schichttiefe. Unter speziellen Nichtgleichgewichtsbedingungen, wie sie z.B. im aktiven Medium eines Lasers realisierbar sind, kann щ auch positiv werden. In diesem Fall erhält man ein Anwachsen der Lichtintensität mit zunehmender Schichttiefe, d.h. das Licht wird im Medium verstärkt. In der praktischen Anwendung werden im Zusammenhang mit der АЬ80ф11on von Licht unterschiedliche Begriffe verwendet: Die Durchlässigkeit oder die Transmission Τ einer Probe ist: Τ = I{z)/I{0) = expf-az]. Um die Eigenschaften einzelner Atome aus denen einer makroskopischen Probe herauszuheben, zieht man die Teilchendichte N im Ausdruck für den Extinktionskoeffizienten heraus und faßt den Rest als Absoφtionsquerschnitt σ zusammen: I{z) = 1(0)

(2.44)

exp[-aNz]

Für Anwendungen in der Chemie verwendet man häufig die Konzentration С der Probe in Einheiten von Mol/Liter. Dabei wird entweder der molare Extinktionskoeffizient а oder der molare Absoφtionskoeffizient ε verwendet: I{z) = 7(0) exp[-aCz]

= 7(0) · 10 -eCz

(2.45)

Für das Produkt eCz ist auch der Ausdruck „optische Dichte" gebräuchlich. In der Lichtübertragung durch Glasfasern wird auch der Begriff der Dämpfung β in Einheiten von dB/km verwendet. Hier ist 2 in Einheiten von 10 km einzusetzen: I{z) = 7(0) · 10 -ßz

(2.46)

Wie müßte ein Modellsystem gestaltet sein, damit Licbtverstärkung anstelle von Absorption auftritt?

22

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

dq 0.8

\ \ \

III

1 mm

M

m 0.6

εM с

M

-

0.4

-

0.2

-

0.0 400

2 mm T V

450

\

500

Rhodamin 6G

///

///

У / 4 mm «¿1 1 550 600

(э) 1 650

700

650

700

Wellenlänge [ nm ]

400

450

500

550

600

Wellenlänge [ nm ] Bild 2.6: Transmissionsspektrum und optische Dichte von Farbstofflösungen (Rhodamin 6G) für drei verschiedene Schichtdicken.

Farbstoffe: Moleküle, bei denen die Resonanzfrequenz ωο im Sichtbaren liegt

Als Beispiel für die Absorption von Licht ist in Bild 2.6 die Wellenabhängigkeit der Transmission eines absorbierenden Farbstoffes (Rhodamin 6 G in Äthanol) für verschiedene Schichttiefen dargestellt. Da die Absorption, d.h. щ stark wellenlängenabhängig ist, erhält man eine unterschiedlich schnelle Abnahme der Lichtintensität mit der Schichttiefe. Für λ = 650 nm tritt praktisch keine Absorption auf. Im Bereich von 530 nm ist die Transmission für die größeren Schichtdicken sehr klein. Aufgrund des exponentiellen Zusammenhangs zwischen Transmission und dem Produkt az aus Extinktionskoeffizient und Schichttiefe ändert der Transmissionsverlauf mit zunehmender Schichttiefe seine Form (siehe Bild 2.6a). Trägt man jedoch den Logarithmus der Transmission auf, so erhält man die schichttiefenunabhängige Form des Verlaufs von α (Bild 2.6b). Bei der Wellenlänge von 530 nm ist die Absorption maximal. Hier kann man die Extinktion α zu Omax = 1-5 · 10^ bestimmen. Daraus läßt sich der Imaginärteil des Breαλ chungsmdexes berechnen: Wir erhalten щ — = - 6 . 2 · 10 , d.h. der 47Г

Absolutwert des Imaginärteil des Brechungsindexes ist sehr klein, obwohl die Farbstofflösung bereits eine sehr intensive Farbe besitzt.

2.4 Dispersion von Licht

23

2.4.4 Die Dispersion von dichten Medien Bisher hatten wir angenommen, daß der Brechungsindex bzw. die Dielektrizitätskonstante einen Wert nahe bei eins besitzt. Für diesen Fall hatten wir den Frequenzverlauf der Dielektrizitätskonstante gemäß Gl. (2.37) errechnet. Berücksichtigt man über die Clausius-Mosotti-Beziehung (siehe Physik II) explizit die Auswirkungen eines dichten Mediums, so erhält man nach geeigneten Umformungen denselben funktionellen Verlauf von ε (ω) bzw. η^(ω) wie in Gl. (2.37). Für Frequenzen weitab der Resonanzen, für die man die Auswirkungen der Dämpfung vernachlässigen kann, ergibt sich: (2.47)

η^Ιω Oj

Der wesentliche Unterschied zu Gl. (2.37) besteht dabei darin, daß anstelle der echten Resonanzfrequenzen woj verschobene Frequenzen ¿oj treten. Zur Vereinfachung der Schreibweise wurden die weiteren Materialparameter im Term ρ^ zusammengefaßt. Mit Hilfe der Beziehung (2.47) lassen sich verschiedene Inter- und Extrapolationsformeln für den Brechungsindex aufstellen, die sich darin unterscheiden, wie im Detail Gl. (2.47) umgeformt wurde und wie die verschiedenen Glieder zusammengefaßt wurden. Häufig wird dabei der Ansatz nach Seilmeier verwendet, bei dem man oft bereits mit dem ersten Glied der Summe ausreichend gute Näherungswerte erhält.

Sellmeier-Beziehung

с X

Ш •D Ç

w O) с

£

о £ ш

J

1 s1

J

!

Í

(2.48)

J

f

ω,Η

sichtbarer Bereich

«UV

Frequenz Bild 2.7: Schematische Darstellung des Frequenzverlaufs des Brechungsindexes: Die Resonanzen im Infrarot-Bereich sind durch Schwingungen der Moleküle, die im Ultraviolettbereich durch elektronische Bewegungen bestimmt. Nur in Nähe der Resonanzfrequenzen im schraffierten Bereich findet man anomale Dispersion, dn/v < 0. In diesen Bereichen tritt gleichzeitig Absoφtion auf.

24 Normale und anomale Dispersion

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

Die freien Konstanten A, Bj und Cj werden dabei mit Hilfe von Meßwerten η(λ) berechnet. Für nichtabsorbierende Materialien im sichtbaren Spektralbereich reicht es dabei häufig aus, nur ein Glied der Summe von Gl. (2.48) zu berücksichtigen. In Bild 2.7 ist der Frequenzverlauf des Realteils des Brechungsindexes für den Fall verschiedener Resonanzfrequenzen ω, schematisch wiedergegeben: Man findet gemäß Gl. (2.48), daß über weite Frequenzbereiche der Brechungsindex mit der Frequenz zunimmt. Diese Bedn

Diskutieren Sie Phasen- und Gruppengeschwindigkeit im Falle anomaler Dispersion

dn

reiche mit — > 0 oder ^ < 0 bezeichnet man als Bereiche normaler da; dA Dispersion. Nur nahe an den Resonanzfrequenzen, wenn der Imaginärteil dn des Brechungsindexes von null verschieden ist, gilt — > 0. In diesen dA Bereichen „anomaler Dispersion" werden die elektromagnetischen Wellen absorbiert (siehe Bild 2.5b). Für transparente Medien gilt, daß die Dispersion im sichtbaren Spektralbereich ganz wesentlich von einer elektronischen Resonanz im ultravioletten Spektralbereich bestimmt ist. Dies bewirkt, daß die Dispersion verschiedener transparenter Medien im Sichtbaren einen qualitativ sehr ähnlichen Wellenlängenverlauf besitzt. In Bild 2.8 ist als Beispiel die Wellenlängenabhängigkeit des Brechungsindexes für verschiedene optische Gläser dargestellt. Der Brechungsindex ist immer größer als eins. Außerdem nimmt η mit steigender Wellenlänge ab (normale Dispersion). Für viele Anwendungen werden Glasarten mit unterschiedlichen Brechungsindizes und Dispersion benötigt (siehe Kap. 3). Die Kunst der „Glasmacher^' besteht nun darin, die Zusammensetzung der Gläser so zu variieren, daß transparente Gläser mit den gewünschten Brechungsindizes und speziellen Dispersionseigenschaften entstehen. Es soll noch kurz auf den praktischen Aspekt der Tabellierung von n(A) für die einzelnen Glassorten eingegangen werden. In der Regel bestimmt 1.8

'

•

1

1

'

SF10

с

1.7

χ ω "D

с 'oí D)

F2 1.6

С

D

.С О

φ со

BK7 1.5 FK 54 1.4 400

•

1

.

1 . 500 600 Wellenlänge [nm]

700

Bild 2.8: Wellenlängenabhängigkeit des Brechungsindexes für verschiedene optische Gläser. Im Sichtbaren findet man immer normale Dispersion άη/ά\ < 0.

2.4 Dispersion von Licht

25

Tabelle 2 . 2 : Spezielle Spektrallinien und ihre Symbole

Symbol

WellenlängeA [nm]

Element

С D d F

656 589 587.6 486

H Na He H

man η nur bei bestimmten Wellenlängen, an denen geeignete Spektrallinien zur Verfügung stehen. Die Brechungsindexwerte dazwischen kann man dann durch Interpolationsformeln, z.B. Gl. (2.48), berechnen. Die in der Praxis verwendeten Spektrallinien sind mit Buchstaben gekennzeichnet. S o verwendet man Tic = '^(Ac) für A = Ac = 6 5 6 nm. Weitere häufig verwendete Zuordnungen sind in Tab. 2.2 angegeben.

2.4.5 Brechungsindex und Absorption von Metallen Metalle zeichnen sich dadurch aus, daß sie leicht bewegliche Elektronen enthalten und somit eine hohe Leitfähigkeit besitzen. In der Elektrodynamik (Physik II) wurde gezeigt, daß im optischen Bereich, d.h. für Frequenzen oberhalb der Stoßfrequenz 1 / r , die Dielektrizitätskonstante geschrieben wer-

Plasmafrequenz ist wichtig für die Lichtausbreitung in Metallen

den kann als:

ε{ω) =

ί-ωΙ/ω'

(2.49)

Dabei ist die Plasmafrequenz ωρ definiert durch

=

e ^ N / e o m . Ein Ver-

gleich mit Gl. (2.36) zeigt, daß man Gl. (2.49) erhalten kann, wenn man in Gl. (2.36) die Resonanzfrequenz WQ gegen null gehen läßt und die Dämpfung vernachlässigt! (Leitungselektronen im Metall sind nicht an einen K e m gebunden, sondern im Metall frei beweglich. Es gibt somit keine Rückstellkraft, und die Resonanzfrequenz geht gegen Null.) Der Frequenzverlauf von ε {ω) gemäß Gl. (2.49) zeigt, daß für große Frequenzen ω >

ωρ die Dielektri-

zitätskonstante positiv ist und damit der Brechungsindex reell wird. Hier tritt also keine Absoφtion auf. Für sehr hohe Frequenzen geht η gegen eins. Im Falle kleiner Frequenzen ω


î·. V

'

/ i Bild 2.9: Durchgang von Licht durch eine Grenzfläche, die einen Bereich mit Brechungsindex Пе (aus dem das Licht einfällt) von einem Bereich mit Brechungsindex щ trennt. Dabei treten die Winkel θ\ zwischen den Wellenvektoren fc der Strahlen und der Normalen Un auf die Grenzfläche auf.

den Randbedingungen. Dabei verwenden wir die folgende reelle Schreibweise für die elektrischen Felder: Ее = ¿eO COS ^ ^ f - U^t^ = Ê^O COS {фе(f, t)) Êr = Êro COS (krf

(2.51)

- Uyt + (Pr) = ¿rO COS {фг{г, t))

El = ÊiQ cos (^ktf - Uit + ψ^ = До cos

t))

(2.52)

(2.53)

In diesem Ansatz müssen die Wellenvektoren к^, 4 und ki die Dispersionsrelationen in dem jeweiligen Medium erfüllen. Die Phasenfaktoren ψ^ und ψι bestimmen die Phasenlage relativ zur einfallenden Welle. Entsprechende Ansätze verwenden wir auch für die magnetischen Felder.

2.5.1 Reflexions- und Brechungsgesetz Wir wollen zunächst die Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes berücksichtigen. Dabei müssen wir oberhalb der Grenzfläche sowohl einfallendes wie reflektiertes Feld berücksichtigen: In der verwendeten Geometrie erfordert die Randbedingung (2.50a), daß die x- und z-Komponenten von E und В unmittelbar oberhalb und unterhalb der Grenzfläche gleich sein müssen: Eoex cos (,(f, t)) Eoez cos {Фе{Г, t)) + Eorz cos {фг{Г, t)) =

EQIZ

COS

{ΦΙ{Γ, t))

(2.54a) (2.54b)

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

28

Eine notwendige Bedingung zur Erfüllung von Gl. (2.54) ist, daß die Phasen auf der Grenzfläche für alle Zeiten gleich sind: fcef — ω^ί = kjT ~ Ujt + ψτ = к{г — ωχί + φ^

(2.55)

für alle f mit у = О und für alle t.

Konstanz der Frequenz der Welle

Diese Beziehung läßt sich nur erfüllen, wenn die Frequenzen cje, Wr und c^t identisch sind. Wir setzen dann ω^ = ω^ = ω^ = ω. Wie nicht anders zu erwarten, wird die Frequenz der Welle beim Übergang von einem Medium in ein anderes nicht geändert. Weiterhin muß auf der Grenzfläche у = 0 gelten: ψι ; (ke - k ^ f

kef = krf+

=

Ψί

kef = ktf+ ψι ; (^fce - k t ^ f = ψι

(2.56) (2.57)

Diese beiden Gleichungen besitzen die Form von Ebenengleichungen für r. Da wir f bereits durch die Ebene у = 0 festgelegt haben, müssen die Differenzvektoren in den Klammem senkrecht zu dieser Ebene stehen (also parallel zu Einheitsvektor êy sein). Damit folgt aus Gl. (2.56), daß die Komponenten von k^ und k^, die parallel zur Grenzfläche liegen, gleich sind: kec = krG- Wir beachten nun die Dispersionsrelation (Gl. 2.9) und erhalten aus ω^ = ojr = ω eine entsprechende Beziehung für die Beträge der Wellenvektoren ke = kr = ωη^/c. Unter Verwendung von Einfallswinkel und Ausfalls-(Reflexions-)winkel ör ergibt sich dann: , feeG

wne . =

S i n

с

oder

I

h = krG =

ШПе

- sin вг

(2.58)

sin 0e = sin e¡

Für die reflektierte Welle muß also gelten, daß sie unter dem Ausfallswinkel вг = abgestrahlt wird. Die Normale der Grenzfläche, ёу, und der Wellenvektorfcedes einfallenden Lichtes spannen die Einfallsebene auf. Gemäß Gl. (2.56) muß auch der Wellenvektor des reflektierten Lichtes in der Einfallsebene liegen. Diese Forderungen lassen sich im Reflexionsgesetz zusammenfassen: Licht wird so reflektiert, daß der Wellenvektor des reflektierten Lichtes in der Einfallsebene liegt. Weiterhin gilt:

Reflexionsgesetz

Ausfallswinkel вг = Einfallswinkel θ^ In analoger Weise verwenden wir Gl. (2.57), um Informationen über den transmittierten Strahl zu erhalten. Forderung (2.57) ergibt: k^c = h c (siehe

2.5 Elektromagnetische

29

Wellen an Grenzflächen (b)

(a)

Пе=1,5

Пе= 1

i

N

ktG к

i

1

keG

kto t l^eG 5 7 - 1 1

nt=1,5

Bild 2.10: Änderang der Lichtausbreitung durch Brechung: (a) Bei Einfall vorn optisch dünneren Medium her wird der Strahl zum Lot hin gebrochen, während beim Einfall vom optisch dichteren Medium (b) der Strahl vom Lot weggebrochen wird. Hier gilt ßt > öe· Die Größen keG und kto geben die Projektionen der Wellenvektoren ke bzw. kt auf die Grenzfläche an. Aufgrund der Randbedingungen muß gelten kec = k t c •

Bild 2.10). Mit Hilfe der Dispersionsrelation folgt daraus: KeG =

wne . ^'^t . а Sin Pe = ^tG = sm "t С

С

(2.59)

Gl. (2.59) liefert direkt das Snelliussche Brechungsgesetz: Пе Sin Уе = Щ Sin t>t

Snelliussches Brechungsgesetz

(2.60)

Auch für das transmittierte Licht gilt, daß sein Wellenvektor in der Einfallsebene liegen muß. Ist der Brechungsindex щ größer als Пд, das Medium Mt also optisch dichter als das Medium Mg, so wird der Wellenvektor zum Lot hin abgelenkt (gebrochen). In Bild (2.10) ist die Änderung der Lichtausbreitung durch Brechung für die beiden Fälle Пе = 1, nt = L5 bzw. Пе = 1.5, nt = 1 wiedergegeben. Man sieht deutlich, daß k^G und ktc gleich sind und wie die Brechung die Ausbreitungsrichtung des Lichtes ändert. Häufig ist es bequem, anstelle von η^ und щ den relativen Brechungsindex net = Пе/щ bei der Berechnung der Brechung an der Grenzfläche von Medium e und Medium t zu verwenden. In diesem Fall gilt: s i n C^t = ÎT-et s i n (Уе

(2.61)

Wir haben in diesem Abschnitt die Änderungen der Wellenvektoren bei Reflexion und Brechung bestimmt. In der geometrischen Optik (Kap. 3), in deren Rahmen wir Brechungs- und Reflexionsgesetz überwiegend einsetzen werden, verwendet man jedoch häufig den Begriff Lichtstrahl, der die Rieh-

30

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

tung des Energieflusses des Lichtes beschreibt. In der Sprechweise der elektromagnetischen Theorie ist also Lichtstrahl mit der Richtung des PoyntingVektors S (siehe Gl. (2.20)) zu identifizieren. Da für optisch isotrope Medien, und für diese wurde die obige Ableitung durchgeführt, der Poynting-Vektor S und der Wellenvektor к die gleiche Richtung besitzen, können wir im Reflexions- und im Brechungsgesetz Strahlrichtung und Wellenvektorrichtung gleichsetzen und erhalten damit die Formulierungen der geometrischen Optik.

2.5.2 Die Fresnelschen Formeln für den Reflexionsgrad einer Grenzfläche Bisher haben wir von den zu erfüllenden Randbedingungen nur die Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes und hiervon nur die Phasenfaktoren berücksichtigt. Wollen wir über die Ausfallswinkel hinaus auch die Stärke des reflektierten bzw. transmittierten Lichtes bestimmen, so müssen wir z.B. von Gl. (2.54) auch den Amplitudenanteil und die entsprechende Beziehung für das magnetische Feld mit berücksichtigen. Wir wollen zunächst den mathematisch einfach zu behandelnden Fall des senkrechten Einfalls einer ebenen Welle bearbeiten. In diesem Fall lauten die Randbedingungen für das elektrische und magnetische Feld: Éo, + Éor = Éot

(2.62)

Boe -f- Bor = Bot

(2.63)

Wir verwenden nun die Maxwellgleichung Gl. (2.4), die für ebene Wellen die Form В = —(k X Ê) annimmt und ersetzen damit in Gl. (2.63) В durch Ê. ω Unter Verwendung von kr = —k^ ergibt sich so eine zweite Beziehung für die elektrischen Felder: Пе-Бое - Пе-Бог = «t-E'ot

(2.64)

Nach dem Eliminieren von EQI ergibt sich für die reflektierte Feldstärke: Eor = ^ ^ ^ ¿ O e - rEo, Пе + Щ

(2.65a)

Êot = tÊoe

(2.65b)

Gl. (2.65) definiert den Reflexionskoeffizient r bzw. den Transmissionskoeffizienten t für das elektrische Feld. Fällt das Licht aus dem optisch dichteren Medium auf die Grenzschicht, so ist r > 0. Д und Ее zeigen in die gleiche Richtung; d.h. beide Wellen sind an der Grenzschicht in Phase. Tritt das Licht

2.5 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen

31

jedoch vom optisch dünneren Medium щ < щ her auf die Grenzschicht, so sind die elektrischen Felder antiparallel. In diesem Fall schwingen beide Felder gegenphasig. Es tritt eine Phasenverschiebung von ψτ = ж auf. Ist man nur an der reflektierten Intensität interessiert, so ist der Phasenfaktor irrelevant. Für den Reflexionsgrad R der Intensitäten ergibt sich bei senkrechtem Einfall: Пе - Щ

1 net + 1 пд -

Пе + nt

\2

1+nte

(2.66)

Bei der Behandlung der reflektierten Intensität ist es unwichtig, von welcher Seite her das Licht auf die Grenzfläche fällt. Der Reflexionsgrad ist für beide Fälle identisch. Der Reflexionsgrad hängt nach Gl. (2.66) nur von der Änderung des relativen Brechungsindexes net ab. Beim Durchgang durch eine Luft-Glas-Grenzschicht mit ncias = 1.5 werden 4 % der einfallenden Lichtintensität reflektiert. Mit wachsendem Brechungsindex nte nimmt die Reflexion zu: z.B. werden an einer Diamantoberfläche (noiamam = 2.41) bereits 17 % des Lichtes reflektiert. Falls die betrachteten Medien eine nicht zu vernachlässigende Absoφtion besitzen, wird der Reflexionskoeffizient r komplex. Man muß anstelle von Gl. (2.51)-(2.53) die entsprechende komplexe Schreibweise für die Felder verwenden. Der Reflexionsgrad R wird in diesem Fall gleich dem Quadrat des Betrages von r werden: Д = = rr*. Zur Behandlung des allgemeinen Falles eines beliebigen Einfallswinkels ffg muß man die elektrischen und magnetischen Felder in ihre Komponenten parallel und senkrecht zur Einfallsebene aufspalten und wieder die Stetigkeitsbedingungen verwenden. Nach einigen Umformungen (im Detail können die Ableitungen in der Literatur, z.B. Hecht: Optik, nachgelesen werden) erhält man die Reflexionskoeffizienten der Feldkomponenten parallel (гц) und senkrecht ( r ^ ) zur Einfallsebene. Diese sogenannten Fresnelschen Formeln lauten: r_L

_

Гц =

_

ПеСОзве

-

ntCOS^t _

Пе cos 0e + Щ COS θχ

SÌn(0e " ^t)

(2.67)

SÌn(0e + ^t)

ntCOS^e

- neCOS^t

Пх Пх cos cos

++ ^e χ Пе COS COS θθχ

_

Phasensprung π bei Reflexion am optisch dichteren Medium

tan(öe

" θχ)

(2.68)

tan(0e + ^t)

Die beiden hier angegeben Ausdrücke lassen sich unter Verwendung der Randbedingungen bzw. des Brechungsgesetzes ineinander umformen. Die Amplituden der transmittierten Felder können analog bestimmt werden. Ist man nur an der transmittierten Leistung Wx (d.h. am Transmissionsgrad T ^ ) der Oberfläche interessiert, so kann man diese durch Anwenden des Energie-

Eine senkrecht stehende Glasoberfläche (n = 1.5) reflektiert « 4 % der Lichtintensität

32

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

(a)

Bild 2.11: Änderung des Strahlquerschnitts bei Brechung (a) und die Möglichkeit, diesen Effekt zur Aufweitung des Bündelquerschnitts zu verwenden (b).

erhaltungssatzes bestimmen: Für die auf die Grenzfläche einfallende (И^е), reflektierte {W^) und transmittierte Leistung (Wt) muß gelten: W^ = + Wt. Mit T™ = Wt/We erhält man dann: (2.69)

T,r = 1 - Irii

Beachte die Änderung des Strahlquerschnitts bei Brechung

Bei der Berechnung der transmittierten Intensität /t = T^h ist zu beachten, daß sich für endliche Einfallswinkel, 0e Φ 0, die Ausdehnung d des Lichtbündels in der Einfallsebene und damit die durchstrahlte Fläche Л oc d aufgrund der Brechung zu A' oc d! ändert. Nach Bild 2.11a gilt dabei: yw

Wt _ hA' _ /tcos^t _ ntltpcos^t oder We hA JeCOSÖe Пе COS öe

γΐ ^ Λ ^ywCOsg, /e COS 9i

(2.70)

Пе.

In Bild 2. IIb ist gezeigt, daß dieser Effekt z.B. zur Aufweitung eines begrenzten Lichtbündels verwendet werden kann. Der Reflexionsgrad bei Einfalt aus dem optisch dünneren Medium

Streifender Ein fall ergibt immer hohe Reflektivität

Wir wollen nun die Winkelabhängigkeit des Reflexionsgrades R = für den Spezialfall behandeln, daß das Licht aus dem optisch dünneren Medium auf die Grenzfläche einfällt und beide Medien nicht absorbieren. Es gelte also Пе < Щ. Wir verwenden wieder die Indizes || und J. für Licht, dessen EVektor parallel bzw. senkrecht zur Einfallsebene schwingt. Der Verlauf von und Ä_L, wie man ihn aus Gl. (2.67) und (2.68) berechnet, ist in Bild 2.12 für щ/пе = 1.5 (Mt ist z.B. ein Kronglas) gezeigt. Für Licht, das senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist, steigt die Reflexion vom Wert = 0.04 stetig an bis für θ^ = 90° ein Wert von R ^ = 1 erreicht wird. Ist das Licht parallel zur Einfallsebene polarisiert, so beobachtet

2.5 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen

33

100%

•D O) (Л

с о •χ

ω

ω СП

20

40

60

80

Einfallswinkel θο Bild 2.12: Abhängigkeit des Reflexionsgrades R vom Einfallswinkel 0e für Licht, das parallel (Ä|l ) bzw. senkrecht ( R ± ) zur Einfallsebene polarisiert ist. Es ist der Fall Пе < щ angegeben. Für den Brewsterwinkel Θβ verschwindet das Reflexionsvermögen Лц.

man zunächst eine Abnahme der Reflexion; Лц verschwindet bei einem bestimmten Einfallswinkel, dem Brewsterwinkel θβ. Danach steigt Щ stetig bis zum Wert 1, der bei θ^ = 90° hegt, an. Der Wert Щ = 0 wird genau dann erreicht, wenn der Nenner von Gl. (2.68) divergiert, d.h. wenn für den Einfallswinkel gilt: tan {θβ + öt) = oo oder öß + öt = 90°. In diesem Fall (siehe Bild 2.13a) stehen der gebrochene und der reflektierte Strahl senkrecht aufeinander. Mit einem einfachen molekularen Modell (Bild 2.13b) kann der mikroskopische Hintergrund der bei θβ verschwindenden Reflexion verdeutlicht werden: Dazu nehmen wir an, daß das reflektierte Licht durch oszillierende Dipole im Medium Mt erzeugt wird, die ein Dipolmoment Ρ (а) Пе

nt Bild 2.13: Für Lichteinfall unter dem Brewsterwinkel findet man, daß transmittierter und reflektierter Strahl (Wellenvektor) senkrecht aufeinander stehen (a). Nimmt man an, daß der reflektierte Strahl durch oszillierende Dipole der Grenzschicht erzeugt wird, so erfolgt in Richtung kr keine Emission, da die Abstrahlung einem (cos^ Ö)-Gesetz folgt (siehe Physik II). Das Reflexionsvermögen Дц wird also null (b).

Brewsterwinkel: fí|l = о , da oszillierende Dipole keine Ausstrahlung längs der Dipolachse besitzen

34

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

parallel zum Feld Д besitzen. In Physik II wurde gezeigt, daß längs der Oszillationsrichtung der Dipole keine Abstrahlung erfolgt und damit in dieser Richtung kein reflektiertes Licht auftritt. Mit Hilfe des Brechungsgesetzes und der Beziehung θβ + θι = 90° läßt sich der Brewsterwinkel berechnen:

tan Θβ = — oder θβ — arctan ( — Пе V ^e

Brewsterplatte: Refíexionsfreies Fenster oder einfacher Polarisator

Brewsterwinkel (2.71)

Für Licht, das aus Luft (n ~ 1) auf Glas mit η = L5 auftrifft, berechnet man den Brewsterwinkel zu Θβ = 56.3°. In der Praxis nützt man das Verschwinden der Reflexion am Brewsterwinkel aus, wenn polarisiertes Licht durch viele Oberflächen ohne Reflexionsverluste transmittiert werden soll (Brewsterfenster) oder wenn mit einfachen Mitteln polarisiertes Licht, d.h. Licht mit definierter Richtung des .Б-Feld-Vektors, hergestellt werden soll. Berechnen Sie dazu als Übergangsfrage, wie viele Glasplatten (n = 1.5) einfallendes unpolarisiertes Licht unter dem Brewsterwinkel durchlaufen muß, damit im transmittierten Licht die Intensität des senkrecht zur Einfallsebene polarisierten Anteils 100 mal kleiner ist als die Intensität des in der Einfallsebene polarisierten Lichts. Der Reflexionsgrad bei EinfaU aus dem optisch dichteren Medium

Totalrefíexion nur fiirnt < Пе

Fällt Licht aus dem optisch dichteren Medium η^ > щ auf die Grenzfläche, so beobachtet man, daß bereits für Einfallswinkel θ^ = θ-γ < 90° das Reflexionsvermögen Д zu 100 % wird (siehe Bild 2.14). Der Totalreflexionswinkel 0T ist gerade der Winkel, bei dem im Snelliusschen Brechungsgesetz sin θι = 1 wird; d.h. hier breitet sich das gebrochene Licht parallel zur Grenzfläche aus. Damit berechnet sich θγ zu: • Û smi^T = — Пе

а

.

t/j = arcsm

Bei Totalrefíexion tritt Phasenverschiebung auf

1

Ht — Пе

Winkel der Totalreflexion

(2.72)

Für größere Einfallswinkel θ^ > θ-γ ist nach dem Snelliusschen Gesetz Gl. (2.60) keine Lösung für einen Brechungswinkel zu finden. In diesem Fall muß jedoch Gl. (2.59), die ohne einschränkende Annahme abgeleitet worden war, weiter gelten. Man kann auch formal die Fresnelschen Gleichungen (2.67) und (2.68) weiter benutzen, wenn man dort cos θ^ durch 1 - (ne/nt)2 sin^ 0e ersetzt. Dieser Ausdruck wird für θe > 0t rein imaginär. Die Intensitätsreflexionsgrade in diesem Bereich werden dann =

2.5 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen

35

100% 80%

1

TO

Пв = 1,5 . n,= 1

60%

с

I

40%

Φ

R„ -ΘΒ 0% 20

40

60

80

Einfallswinkel θ^ Bild 2.14: Abhängigkeit des Reflexionsgrades vom Einfallswinkel ве für Einstrahlung aus dem optisch dichteren Medium, Пе > Щ. Wieder beobachtet man einen Brewsterwinkel Θβ, bei dem die Reflexion Щ verschwindet. Für Einfallswinkel, die größer als der Totalreflexionswinkel θ τ sind, wird Ä|| = R_¡_ = 100%.

Щ = 1, während gleichzeitig rj_ und гц komplex werden. Dieser komplexe Amplitudenreflexionskoeffizient verursacht eine Phasenverschiebung bei der Totalreflexion, die von der Polarisation des Lichtes abhängig ist. Dieses Phänomen kann zur Änderung der Polarisationseigenschaft von Licht verwendet werden. (Stichwort: Fresnel-Rombus). Für kleinere Einfallswinkel beobachtet man, daß bei ΘΒ = arctan(nt/ne) der Reflexionskoeffizient für die parallel polarisierte Komponente des Lichts verschwindet. D.h. auch für den Übergang vom optisch dichteren Medium her gibt es einen Brewsterwinkel. Für den Fall einer planparallelen Platte, die sich in einem homogenen Medium befindet, läßt sich zeigen, daß Licht, das unter dem Brewsterwinkel auf die Platte eingestrahlt wird, auch die Austrittsseite unter dem Brewsterwinkel trifft. Für die Polarisationskomponente parallel zur Einfallsebene tritt beim Durchgang durch die Platte kein Reflexionsverlust auf.

2.5.3 Anwendungen der Totalreflexion Da bei Totalreflexion der ideale Refiexionsgrad von 100% vorliegt, wurde diese in der Vergangenheit immer dann eingesetzt, wenn Licht praktisch verlustfrei abgelenkt werden sollte. Dies läßt sich z.B. mit optischem Kronglas (n = 1.50) an einem 90° Prisma bewerkstelligen (siehe Bild 2.15a). Das auf die Katheten senkrecht einfallende Licht erreicht unter dem Einfallswinkel 9e = 45° die Hypothenuse. Für das verwendete Glas η = 1.5 ist dieser Einfallswinkel größer als der Totalreflexionswinkel Oj = 41.8°, so daß perfekte Reflexion für einen sehr breiten Wellenlängenbereich beobach-

Totalrefìexion: Ideale Refíexion (100%) mit einfachsten technischen Mitteln

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

36

(a)

N

(b)

\

Bild 2.15: Anwendungen der Totalreflexion: (a) Strahlablenkung um 90° durch Reflexion an der Hypothenuse eines 90° Prismas, (b) Zweifache Reflexion an den Katheten eines 90° Prismas führt zu einer Strahlablenkung um 180°.

tet wird. Die Reflexionsverluste an den Ein- und Austrittsflächen des Prismas lassen sich durch dielektrische Antireflex-Schichten (siehe Abschnitt 4.5.3) praktisch vollständig eliminieren. Damit weist das Gesamtsystem eine Effizienz von wesentlich mehr als 99 % auf. In analoger Weise läßt sich die Totalreflexion auch zur Umlenkung des Strahls um 180° in einem 90° Prisma (Strahlengang Bild 2.15b) oder in einer Würfelecke nutzen.

Glasfasern: Verlustarme Lichtleitung über große Entfernungen

Besondere Bedeutung hat die Totalreflexion im Zusammenhang mit der Lichtübertragung in lichtleitenden Glasfasern erlangt. Wir wollen hier die wesentlichen optischen Eigenschaften dieser Glasfasern kurz andiskutieren. Man verwendet i.A. eine Faser aus Kem und Mantel (siehe Bild 2.16). Als lichtleitender „Kern" wird ein Glas höchster Transparenz verwendet, dessen Brechungsindex пк höher ist als der des „Mantels" nu- Damit die Eigenschaften der Totalreflexion nicht durch äußere Verschmutzungen gestört werden, benutzt man als Mantel nicht Luft, sondern ein zweites lichtdurchlässiges Medium mit passendem Brechungsindex пм < такBei dünnen Fasern verwendet man als Mantelmaterial Glas. Nur bei sehr dicken Fasern wird Kunststoff als Mantelmaterial verwendet, um eine ge-

(a)

(b)

Bild 2.16: Lichtleiter: Verwendet man ein System mit einem transparenten Kern, dessen Brechungsindex ш = п м + Δ η größer ist als der Brechungsindex des Mantels п м , so breitet sich Lichtpraktisch verlustfrei aus, wenn es innerhalb des Totalreflexionswinkels Фтах (siehe (b)) zur Strahlachse läuft.

2.5 Elektromagnetische

Wellen an Grenzñáchen

37

wisse Flexibilität der Fasern zu bewahren. Wird der Brechungsunterschied An — ш-пм groß genug gewählt, kann man erreichen, daß das Licht sich auch bei gekrümmten Glasfasern - im Kem verlustfrei ausbreitet: Das Licht „läuft praktisch um die Ecke". Bedingung dafür ist, daß der Einfallswinkel auf die Grenzschicht zwischen Kern und Mantel immer größer als der Totalreflexionswinkel ist. In der Praxis der Glasfaserdatenübertragung verwendet man Fasern mit Quarzglaskernen (пк = 1-46) und mit Mantelgläsern, deren Brechungsindex geringfügig kleiner ist. Δ η ~ 0.02. Der Totalreflexionswinkel beträgt dann ca. 80°, d.h. Licht kann sich in der Faser verlustfrei ausbreiten, wenn es innerhalb eines Kegels mit halbem Öffnungswinkel Фмах ~ 10° zur Faserachse läuft. Die Dauer tp, die das Licht zum Durchlaufen einer Faser der Länge L benötigt, hängt nun davon ab, unter welchem Winkel sich das Licht zur Faserachse ausbreitet. Für eine lineare Faser und Ausbreitung genau längs der Achse erhält man ίψ ~ п^^ L/с, während Licht, das gerade unter dem Totalreflexionswinkel auf dem Fasermantel auftrifft, eine längere Laufzeit aufweist: riKL

1

с

cos Фма

пкЬ

ι

\

1 + - sin^ Фмах

=tF + At

(2.73)

Dieser Unterschied At der Laufzeiten wird bei der Informationsübertragung in Glasfasern bedeutend. Bei dieser Anwendung wird zeitlich moduliertes Licht über große Entfernungen übertragen. In dicken Fasern wird aufgrund der winkelabhängigen Laufzeit von Gl. (2.73) die praktische Übertragungslänge auf wenige Kilometer beschränkt. Verkleinert man jedoch den Kerndurchmesser der Faser bis in den Bereich der Lichtwellenlänge, so ist es nicht mehr erlaubt, mit ebenen Wellen zu rechnen. Es muß dann die transversale Geometrie der Lichtleitfaser explizit berücksichtigt werden. In Analogie zu den geführten Wellen der Elektrodynamik (siehe Physik II) erhält man nun eine Ausbreitung in Moden, die durch ihre Feldverteilungen und Ausbreitungsgeschwindigkeiten charakterisiert sind. Für sehr kleine Kerndurchmesser d gibt es nur noch eine einzige Mode, wenn gilt: d
Oj gilt aufgrund des Brechungsgesetzes: η^ sin im Bereich der Totalreflexion ki± rein imaginär:

(2.77) щ. Damit wird

(2.78)

E{x,y,t)

= Eotex.p{-ßy)exp{[kiGX

-

ϊωί)

(2.79)

Gemäß dieser Beziehung fällt die Feldstärke an der Rückseite der Grenzschicht exponentiell ab. Eine oszillatorische Bewegung findet nur längs der Grenzschicht (hier in z-Richtung) statt. Man hat also eine an die Grenzschicht

Evaneszente Welle: „Licht" im verbotenen Bereich

40

Tunneln von Licht durch den verbotenen Bereich

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

gebundene, sogenannte evaneszente Welle oder Oberflächenwelle. Wichtig ist auch hier der Befund, daß die Feldstärke an der Grenzschicht nicht instantan verschwindet, sondern exponentiell mit dem Koeffizienten β gedämpft abklingt. Die Größe des Koeffizienten β soll kurz abgeschätzt werden: Für Пе = 1.5, nt = 1, 0T = 41.8° und θ^ = 45° erhält man bei λ = бООпт einen Wert von /3 = 3.7 · 1 0 ^ m m " \ oder l / ß Pd A/2. Somit klingt die evaneszente Welle in der Tiefe sehr schnell auf der Längenskala der Wellenlänge ab (siehe Schema im Bild 2.19). Experimentell kann die evaneszente Welle dadurch sichtbar gemacht werden, daß eine zweite Glasplatte sehr nahe an die Rückseite der Grenzschicht herangeführt wird (siehe gestrichelter Teil im Bild 2.19). Hierbei wird der obige Prozeß umgekehrt und aus der evaneszenten Welle wird eine in die zweite Glasplatte hinein laufende Welle ausgekoppelt. In der Reflexion wird dabei ein entsprechender Verlust beobachtet. Man erhält also trotz Totalreflexion eine Energieübertragung durch den „verbotenen" Bereich an der Rückseite der Grenzschicht. Dieses „Tunneln" des Lichtes durch einen verbotenen Bereich wird später im Zusammenhang mit dem Welle-Teilchen-Dualismus weiter diskutiert.

Bild 2.19: Evaneszente Wellen: Fällt aus dem unteren Medium mit großem Brechungsindex Пе Licht auf die Grenzschicht zum Bereich mit nt = 1, so bildet sich für große Einfallswinkel (0e > ÖT) im Bereich der Grenzschicht eine Oberflächenwelle (evaneszente Welle) aus. Nähert man von oben ein zweites Medium mit hohem Brechungsindex, so kann dadurch ein Teil des Lichtes den verbotenen Bereich mit n-t = 1 durchtunneln und sich weiter nach oben ausbreiten (gestrichelter Bildteil).

2.5.5 Das Reflexionsvermögen absorbierender Medien

Absorption erhöht den Refíexionsgrad

Der Reflexionskoeffizient beim Übergang von einem nicht absorbierenden Medium in ein Medium mit endlicher Absorption läßt sich berechnen, wenn man die entsprechenden komplexen Werte des Brechungsindexes HR + inj bei der Ableitung der Formeln für das Reflexionsvermögen (Gl. (2.67) und (2.68)) verwendet. Man gelangt so zu denselben Ausdrücken für r wie im Falle von nichtabsorbierenden Medien. Zu berücksichtigen ist jedoch, daß statt der trigonometrischen Funktionen mit reellem Argument entsprechende

41

2.5 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen

komplexe Funktionen einzusetzen sind. Wir wollen hier nur den senkrechten Lichteinfall behandeln. Für den Lichteinfall von Luft Пе = пь = 1 gilt: r =

n-l bzw. R = rr* = n +1 (пк + 1)2 + п2

(2.80)

Das Reflexionsvermögen nimmt also mit steigender Absorption (steigendem |ni|) des Mediums zu. Für starke Absoφtion (z.B. für den Fall ideal leitender Metalle bei kleinen Frequenzen ω < Шр) wird das Reflexionsvermögen praktisch 100%. Als Beispiel dazu ist in Bild 2.20 das wellenlängenabhängige Reflexionsvermögen für verschiedene Metalle aufgetragen: Im infraroten Spektralbereich ist das Reflexionsvermögen nahe bei 100%. Nähert man sich dem Sichtbaren, so geht das Reflexionsvermögen zurück. Dies läßt sich dadurch erklären, daß die Lichtfrequenzen sich an die Plasmafrequenzen der Metalle annähern und daß in diesem Bereich das Modell eines einfachen Elektronengases für die betrachteten Metalle nicht mehr ausreichend ist. Betrachtet man die Winkelabhängigkeit des Reflexionsvermögens für ein absorbierendes Medium (siehe Bild 2.21), so ñndet man in allen Winkelbereichen eine Zunahme des Reflexionsvermögens durch den Imaginärteil des Brechungsindexes. Qualitativ beobachtet man wieder eine ähnliche Winkelabhängigkeit wie im absoφtionslosen Fall ni = 0. Der augenfälligste Unterschied ist jedoch, daß die Nullstelle für Щ am Brewsterwinkel verschwindet und statt dessen nur noch ein Minimum des Reflexionsvermögens auftritt. Aus der Lage dieses Minimums und dem Verlauf von Ду und R± lassen sich Realteil und Imaginärteil des Brechungsindexes für stark 100 80 :C0 •>

60

2 ω

40

ω CC

20

^2 L

0

2000

1500

2500

100 80

>

60

s ω

40

Ъ

20

CC

1000

500

0

/Ад

/Уои

Al

1 600

800

-

. . 400

1000

Wellenlänge [nm] Bild 2.20: Reflektivität verschiedener Metallschichten als Funktion der Wellenlänge.

Metallische Reñexion

42

2 Die elektromagnetische Theorie des Lichtes

0

20

40

60

80

Einfallswinkel Ge Bild 2.21: Reflexionsgrad einer absorbierenden Schicht bei Einfall aus Luft, Пе = 1. Für einen festen Realteil TIR = 1.5 des Brechungsindexes wurde der Imaginärteil von m = 0 bis ni = 4 variiert.

absorbierende Substanzen ermitteln. Für die Details dieser Bestimmung sei auf die Standardwerke der Optik verwiesen.

2.5.6 Die Farbe von Gegenständen Farbe eines Gegenstands Spektralverteilung des vom Gegenstand kommenden Lichts

Metallischer Glanz durch hohes breitbandiges Reflexionsvermögen

In diesem Abschnitt wollen wir kurz zeigen, wie die dielektrischen Eigenschaften die Farbe eines Materials beeinflussen. Wir verwenden hier die Tatsache, daß die beobachtete Farbe im wesentlichen durch die spektrale Zusammensetzung des Lichtes bestimmt ist, das vom Gegenstand zum Auge des Beobachters gelangt. Dabei wollen wir nicht darauf eingehen, daß die wahrgenommene Farbe auch durch den Sehvorgang des Auges und den Wahmehmungsprozeß im Gehirn mit beeinflußt werden kann. Für Кофег, die Licht aussenden, ist die Farbe durch die spektrale Verteilung des emittierten Lichtes bestimmt. Für nicht selbstleuchtende Körper zählen die spektrale Verteilung (Farbe) des beleuchtenden Lichtes sowie die dielektrischen Eigenschaften des Köφers. Beide beeinflussen die Zusammensetzung des reflektierten oder gestreuten Lichtes. Wir wollen hier nur den Fall diskutieren, daß man zur Beleuchtung weißes Licht verwendet, das spektrale Anteile im gesamten sichtbaren Spektralbereich besitzt. Als Beispiele für die Beleuchtung kann man Sonnenlicht oder Glühlampenlicht verwenden. 1.) Metalle sind charakterisiert durch ihre hohe Leitfähigkeit, die sich - wie oben diskutiert - in einer spektral breitbandigen, hohen Reflexion äußert (Bild 2.20). Diese Materialien zeigen deshalb durch die Reflexion des einfallenden Lichtes „metallischen" Glanz. Ist das Reflexionsvermögen

2.5 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen

43

im Sichtbaren jedoch wellenlängenabhängig, so ergibt sich eine charakteristische Färbung des metallisch glänzenden Köφers. Als Beispiel dazu können Gold und Kupfer dienen, deren gelbe bzw. rote Färbung durch die Abnahme des Reflexionsvermögens (siehe Bild 2.20) im gelb-grünen Spektralbereich verursacht wird. 2.) Isolatoren, die im sichtbaren Spektralbereich keine Absorption besitzen, sind, soweit keine Streuung durch Inhomogenitäten auftritt, transparent (glasklar). Wenn die Oberflächen gestört sind (z.B. in Pulvern), so erscheinen sie aufgrund ihres wellenlängenunabhängigen Reflexionsvermögens weiß. Beispiele sind: Puderzucker oder feinkörniges Kochsalz. Suspendiert man diese Pulver in Flüssigkeiten, deren Brechungsindex nahe dem des Pulvers liegt, so gehen Streuung und damit die Brillanz der weißen Farbe zurück. 3.) Besitzen Isolatoren schwache Absoφtionen im sichtbaren Spektralbereich, so beobachtet man im transmittierten Licht ebenso wie im rückgestreuten Licht diejenige Farbe, die durch die spektrale Verteilung des transmittierten Lichtes bestimmt wird. Es führt dabei Absoφtion im gelb/roten Bereich zu blauer Farbe, Absoφtion im blauen und roten zu grün/gelber Farbe des Stoffes. Ein Beispiel dazu ist verdünnte Tinte. 4.) Bei Isolatoren mit sehr hoher Absoφtion ist die Farbe (in Transmission) wieder durch die Banden optimaler Transparenz bestimmt. In Reflexion wird jedoch die Erhöhung des Reflexionsvermögens bei den Wellenlängen hoher Absoφtion wichtig. So sieht z.B. eine eingetrocknete Schicht blauer Tinte in Transmission blau aus. Betrachtet man dieselbe Schicht in Reflexion, so erscheint sie gelb/rot und glänzt metallisch.

2.5.7 Streuung von elektromagnetischen Wellen In den vorhergehenden Abschnitten hatten wir die dielektrischen Eigenschaften von homogenen Medien mit Hilfe ihrer Dielektrizitätskonstante ε(ω) beschrieben und damit Phänomene wie Absoφtion und Dispersion erklärt. Fällt Licht jedoch auf ein inhomogenes Medium, z.B. auf eine Substanz, in der kleine Teilchen in einem Trägermaterial mit anderer Dielektrizitätskonstante vorkommen, so tritt intensive Streuung des Lichtes auf. Tägliche Beispiele dafür sind Milch (Fetttröpfchen in Wasser), oder Nebel und Wolken (Wassertröpfchen in Luft). Auch bestimmte Farbenphänomene wie das Himmelblau und das Morgen- und Abendrot werden durch Streuung hervorgerufen. Oft werden die Streuphänomene an kleinen Teilchen unter dem Begriff TyndallStreuung zusammengefaßt. Nachdem wesentliche Teilbereiche der Lichtstreuung bereits im Buch Physik II angesprochen worden sind, soll hier die Streuung von Licht zusammenfassend und qualitativ behandelt werden.

Schwach absorbierende Körper: Transmission bestimmt Farbe

Hohe Absorption metallischer

-

Glanz

2 Die elektromagnetische

44

Teilchendurchmesser nahe Wellenlänge: Mie-Streuung

Bei kleinen Streuern: Rayleigh-Streuung

Fällt Licht auf große dielektrische Teilchen mit einem Durchmesser d der weit über der Wellenlänge liegt, so kann man bei bekannter Form der Teilchen die Streuung oder - in diesem Fall genauer gesagt - die Ablenkung des Lichtes durch Anwendung von Reflexions- und Brechungsgesetz behandeln (siehe Abschnitt 2.5.1). Kommt die Größe der Teilchen jedoch in die Größenordnung der Wellenlänge d λ, so müssen explizit die Maxwellgleichungen für die speziellen Randbedingungen gelöst werden. Für kugelförmige Teilchen mit d ^ \ sind die Streuphänomene unter dem Begriff Mie-Streuung zusammengefaßt. Es treten in diesem Bereich starke Änderungen der Streueigenschaften mit der Wellenlänge auf. Während bei großen Wellenlängen A > d die Streuung im wesentlichen vorwärts gerichtet ist, gewinnen zu kleineren Wellenlängen hin zunehmend rückgestreute Komponenten an Bedeutung. Eine Beobachtung der Wellenlängenabhängigkeit und der Richtungsverteilung des gestreuten Lichtes erlaubt es, Informationen über die Teilchengrößen zu gewinnen. Die Rayleigh-Streuung behandelt den Fall von kleinen dielektrischen Teilchen mit á < λ. Wie in Physik II ausgeführt, läßt sich der Streukoeffizient σ für Rayleigh-Streuung einfach berechnen. Wird die Dielektrizitätskonstante durch gebundene Elektronen mit der Resonanzfrequenz ωο verursacht (siehe Abschnitt 2.4.1), so erhält man: 87Γ

σ

ω

=

4πεο mc^ / ω -Verhaltender Streuung bei kleinen Frequenzen

Theorie des Lichtes

(ω^ - ω^)'^

(2.81)

Weit unterhalb der Resonanz, ω Achse

\ \ \ 1 -hl-.., rha-t. • ü1 • ^ *. Bild 3.19: Abbildung durch zwei dünne Linsen im Abstand d (a) und durch eine dicke Linse der Dicke d (b). Die Lage der Hauptebenen ist in beiden Bildern angegeben.

aneinanderliegenden Linsen: d =

(3.26)

J2DÌ

Brechkraft einer dicken Linse Für eine Linse, deren Dicke d bei der Ableitung von Gleichung (3.20) nicht mehr vemachlässigbar ist, erhält man für Brennweite und Lage der Hauptpunkte (siehe Bild 3.19b) die folgenden Beziehungen: (n7 =

η

Г2

ПГ1Г2

h2 =

-

f{n-l)d /11 = -

Für η = 1 . 5 ist der Abstand der Hauptebenen gerade 1/3 der Linsendicke

ПГ2

l)d

/(n-l)d nr\

(3.27) (3.28)

Dabei liegen die Hauptpunkte Ηγ und H2 im Abstand hi bzw. /12 vom entsprechenden Scheitelpunkt Si der Linsenflächen entfernt. Dabei bedeutet ein positives Vorzeichen, daß hi rechts von liegt. Wendet man Gl. (3.28) auf eine Linse mit kleiner Dicke d -C |ri|, |г2| an, so läßt sich für einen Brechungsindex η = 1.5 abschätzen, daß die beiden Hauptebenen gerade um ein Drittel der Linsendicke voneinander entfernt liegen. In Bild 3.20 sind für einige Linsenformen die Lagen der Hauptpunkte eingezeichnet. Man sieht, daß auch bei einfachen Linsen (z.B. bei Meniskuslinsen) die Hauptpunkte außerhalb der Linse liegen können.

3.3 Die optische Abbildung

69

/ \ Bild 3.20: Lage der Hauptebenen für einige gebräuchliche Linsenformen. Es wurde ein Brechungsindex der Linsen von η = 1.5 angenommen.

Diesen Sachverhalt kann man in der Praxis ausnutzen, um durch gezielte Optimierung von mehrlinsigen Objektiven die Lage der Hauptebenen so außerhalb der geometrischen Begrenzungen des Objektivs zu legen, daß damit die Abmessungen optischer Geräte reduziert werden können. Eine alltägliche Anwendung davon sind Teleobjektive von Photoapparaten, die so gebaut sind, daß die bildseitige Hauptebene möglichst weit vor der Filmebene liegt. Damit lassen sich trotz langer Brennweiten noch relativ kompakte Kameras herstellen (siehe Abschnitt 3.4.2).

3.3.6 Linsenfehler Bisher sind wir davon ausgegangen, daß die optische Abbildung ideal ist; d.h., daß dabei ein Punkt wieder auf einen Punkt abgebildet wird. In der praktischen Anwendung treten jedoch Abweichungen (Aberrationen) vom idealen Verhalten auf, die durch die Dispersion (chromatische Aberrationen) oder durch die endliche Öffnung der Lichtbündel, d.h. durch Abweichen vom paraxialen Fall, hervorgerufen werden (monochromatische Aberrationen).

Α00π3ίίοπβη - ein reales abbildendes optisches System ist immer fehlerbehaftet

Die chromatische Aberration Die Gaußsche Abbildungsgleichung (3.21) zeigt direkt, daß die Brennweite einer einfachen Linse eine monotone Funktion des Brechungsindexes ist. D{X) = mit ρ =

1 m ' 1 \ п

= (η(λ) - 1) f - - - ί ) = (η(λ) - 1)^

Vn Г-2/

(3.29)

о Г2)

Aufgrund der normalen Dispersion haben transparente Medien für rotes Licht einen kleineren Brechungsindex als für blaues Licht (siehe Bild 2.8). Damit besitzt eine einfache Linse für rotes Licht eine größere Brennweite als für

Die Brennweite ist bei einer dünnen Linse für rotes Licht immer größer als für blaues Licht

70

3 Die Geometrische

Optik

Bild 3.21: Chromatische Aberration: Durch die Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl wird die Brennweite einer einfachen Linse für blaues Licht kleiner sein als für rotes Licht (a). Dies hat zur Folge, daß bei einer Abbildung das rote und das blaue Bild in verschiedenen Bildweiten mit unterschiedlichen Bildgrößen auftreten (b).

blaues Licht (siehe Bild 3.21a). Dies hat zwei Konsequenzen, die in Bild 3.21b verdeutlicht sind: 1.) Der Ort des durch rotes Licht übertragenen Bildes liegt in einem anderen Abstand òrot hinter der Linse als der Ort des „blauen Bildes" Вв (longitudinale Aberration). Es gibt also keinen Ort, an dem eine scharfe Abbildung durch die roten und blauen Lichtstrahlen erfolgt. 2.) Die unterschiedliche Bildweite òrot φ ^ыаи bewirkt, daß die beiden Bilder unterschiedliche Größen besitzen (laterale Aberration). Aufgrund der Abbildungsgleichung (3.21) und des experimentell bestimmten monotonen Verlaufs der Dispersion ist es nicht möglich, mit einer einfachen Linse Abbildungen ohne Farbfehler zu erhalten. Erst durch die Kombination zweier oder mehrerer Linsen lassen sich korrigierte, d.h. praktisch farbfehlerfreie, optische Systeme aufbauen. Als Beispiel wollen wir hier einen einfachen Achromat berechnen, der aus zwei nahe benachbarten Linsen besteht. Wir fordern dazu, daß für zwei Wellenlängen Ac und Ap im roten (Ac = 656 nm) und im blauen Spektralbereich (Ap = 486 nm) das aus den beiden Linsen gebildete Gesamtsystem dieselbe Brennweite /gesamt besitzt. Dazu berechnen wir zunächst die durch die Dispersion verursachten Unterschiede

3.3 Die optische Abbildung

71

der Brechkraft ADi = Δ ( 1 / / ί ) für beide Linsen (Indizes г = 1,2): AD,

= (npi

-

=

npi - nci

1

(«di - l)/di

t'di/di

(3.30)

Bei dieser Berechnung wurde die Größe ρ, (siehe Gl. (3.29)), die die Krümmungsradien der i-ten Linse enthält, durch die Brennweite bei der mittleren (grünen) Wellenlänge Ad = 587 nm ersetzt. Die Größe Vá.\ = —^^ npi - nci bezeichnet man als Abbé-Zahl. Sie ist ein relatives Maß für die Dispersion eines optischen Glases und ist in optischen Tabellenwerken für die gebräuchlichen Glastypen aufgeführt. Gläser mit kleiner Dispersion - sie besitzen große щ Werte - nennt man Rron-Gläser, Gläser mit hoher Dispersion (fd < 50) bezeichnet man als Flint-Gläser. Die Bedingung für Achromasie erfordert nun, daß die Brechkräfte des Gesamtsystems bei beiden Wellenlängen Ac und Ap gleich sind: DQ = D^: DQ = DQI + Dc2 = Dvi

+ ÖF2 =

ADi

D^

+ AD2

= 0 =

1 t'dl/dl

+

1 I^d2fd2 (3.31)

t'dl/dl + ^'d2/d2 = 0.

Da i^di immer positiv ist, läßt sich (3.31) nur erfüllen, wenn /di -fdi negativ ist, d.h. wenn eine negative und eine positive Linse kombiniert werden. Für einen genügend großen Unterschied in den Abbé-Zahlen \v¿\ — fdal > 20 lassen sich dadurch Achromate mit sinnvollen Dimensionen herstellen. Die Bedingung (3.31) erlaubt noch große Freiheiten im Design des Achromaten, so daß 1

1

E E, ω •t; φ 5 с с φ

m

f

normale Linse aus Kronglas Ш Л ^

103 102 -

zweilinsiger Achromat

101 -

100

•

y

99 500

600

700

1 800

1 900

Wellenlänge [nm] Bild 3.22: Chromatische Aberration bei einer einfachen Linse und bei einem Achromaten. Während bei einer einfachen Kronglaslinse eine starke Wellenlängenabhängigkeit im sichtbaren Spektralbereich vorliegt, tritt bei einem zweilinsigen Achromat ein wesentlich kleinerer chromatischer Fehler auf.

Zweilinsige Systeme erlauben Farbkorrektur bei zwei Wellenlängen

72

3 Die Geometrische Optik

Zusatzforderungen, wie die Möglichkeit, die beiden Linsen aneinanderzukitten oder/und die Korrektur anderer Linsenfehler, ebenfalls erfüllt werden können. Der Verlauf der Brennweite für einen typischen zweilinsigen Achromaten ist in Bild 3.22 mit dem einer Kronglaslinse gleicher Brennweite bei λρ verglichen. Während die Achromasiebedingung bei den beiden Wellenlängen λρ und Ac dieselbe Brennweite ergibt, folgt für den Verlauf der Brennweite des Achromaten zwischen diesen Wellenlängen ein sehr glattes Verhalten mit kleiner Änderung der Gesamtbrennweite. Demgegenüber ist der Farbfehler der einfachen Linse im Bereich des Sichtbaren etwa 10 mal so groß wie der des Achromaten. Monochromatische Aberrationen Wir haben bei der Behandlung des Kugelspiegels gesehen, daß achsenfeme Strahlen nicht der paraxialen Abbildungsgleichung folgen. Ähnliches Verhalten beobachtet man auch bei der Abbildung durch Brechung an Kugelflächen, wenn für den Einfalls- oder den Ausfallswinkel öi die Bedingung 9i ~ sin θί nicht mehr erfüllt ist. Der Sachverhalt dieser sphärischen Aberration ist in Bild 3.23a dargestellt: Bei der hier verwendeten positiven Linse besitzt der achsenparalle, aber achsenferne Lichtstrahl R (d.h. der Randstrahl) eine kleinere Brennweite / als der achsennahe Strahl A. Diese Abweichung wird

Bild 3.23: Durch die sphärische Aberration beobachtet man bei achsenfernen Strahlen (Randstrahl R) eine wesentlich kleinere Brennweite als bei achsennahen Strahlen. Dieser Effekt läßt sich jedoch durch geeignete Wahl der Durchleuchtungsrichtung der hier verwendeten plankonvexen Linse verringern. Im allgemeinen Fall ist eine Korrektur der sphärischen Aberration durch eine Kombination von Linsen oder durch asphärische Linsen möglich.

3.3 Die optische Abbildung

73

durch die Kugelform der Oberfläche verursacht. Die damit verknüpfte Aberration läßt sich verringern bzw. ganz beheben, wenn man nur achsennahe Strahlen zuläßt, eine passend gerechnete Linsenkombination benützt oder wenn man Linsen mit nicht sphärischen Oberflächen einsetzt. Im allgemeinen läßt sich die sphärische Aberration nur für bestimmte Gegenstandsweitenbereiche korrigieren. In besonderen Fällen kann die sphärische Aberration bereits durch einen überlegten Einsatz der Linse verringert werden: Der Einsatz einer plankonvexen Linse zur Fokussierung eines parallelen Lichtbündels war nach Bild 3.23a nicht sehr erfolgreich, da die Strahlablenkung nur an einer Linsenoberfläche, dort aber mit großem Ausfallswinkel, geschah. Orientiert man die Linse mit der gekrümmten Seite zum parallelen Einfallsbündel (siehe Bild 3.23b), so treten an beiden Linsenoberflächen Strahlablenkungen auf. Die beteiligten Winkel werden dadurch kleiner, und die sphärische Aberration kann um etwa einen Faktor 3 reduziert werden. Eine weitere Verbesserung der Abbildung wird erreicht, wenn die Krümmungsradien an beiden Linsenoberflächen so gewählt werden, daß jeweils die gleiche Strahlablenkung auftritt. Zu beachten ist, daß die sphärische Aberration auch bei ebenen Grenzflächen auftreten kann. In Mikroskopen wird deshalb bereits beim Design des Objetivs eine bestimmte Deckglasdicke mit eingerechnet. Andere monochromatische Aberrationen beobachtet man, wenn Bündel mit einem großen Winkel zur optischen Achse eine Linse durchlaufen. Zu diesen Aberrationen schiefer Bündel gehören der Koma-Fehler und der Astigmatismus schiefer Bündel die häufig gemeinsam auftreten. Beim Koma-Fehler spielen „schiefe" Bündel mit großen Öffnungswinkeln eine Rolle. Die Strahlen, die unterschiedliche Bereiche der Linse durchlaufen, werden auf verschiedene Punkte in der Bildebene abgebildet und ergeben ein kometenförmig verschwommenes Bild. Astigmatismus tritt auch bei Bündeln mit kleinen Öffnungswinkeln auf. Wir betrachten ihn für den Fall, daß eine Konvexlinse im schraffierten Bereich von Bild 3.24a von einem parallelen Lichtbündel beleuchtet wird. Die Achse des Lichtbündels schließe dabei einen Winkel a mit der optischen Achse ein (siehe Bild 3.24b). Man beobachtet nun keinen definierten Brennpunkt mehr: Der Querschnitt des Lichtbündels wird vielmehr hinter der Linse ellipsenförmig; er zieht sich zunächst zu einer horizontalen Linie zusammen. Anschließend erhält er am „Ort der kleinsten Konfusion" Kreisform, bevor er eine vertikale Linie bildet und dann endgültig auseinanderläuft (siehe Bild 3.24c). Die Ursache für den Astigmatismus liegt darin, daß Strahlen, die achsenparallel auf eine Linse einfallen, eine andere Brennweite besitzen als Strahlen, die unter einem großen Winkel a laufen. Demnach beobachtet man für die beiden Betrachtungsrichtungen von Bild 3.24b unterschiedliche Brennweiten. Extremen Astigmatismus kann man beobachten, wenn anstelle einer rotationssymmetrischen Linse eine Zylinderlinse verwendet wird. Hier erfolgt eine

Sphärische Aberrationen

Koma-Fehler

Astigmatismus

74

3 Die Geometrische Optik

beleuchteter Bereich

Bild 3.24: Astigmatismus. Durchläuft ein Lichtbündel schief eine sphärische Linse, so findet man keinen Brennpunkt mehr. Vielmehr tritt hinter der Linse zunächst eine Einengung des Lichtbündels längs der y-Achse, danach längs der ж-Achse auf. Anschließend läuft das Bündel endgültig auseinander.

Fokussierang nur noch in der Ebene senkrecht zur Zylinderachse. Der Brennpunkt geht dann in eine Fokallinie über. Weitere bei Abbildungen auftretende Fehler sind die Bildfeldwölbung, bei der verschiedene Bereiche des Bildes in verschiedenen Abständen von der Linse liegen, und die Verzeichnung (kissenförmige bzw. tonnenförmige Verzeichnung), bei der die geometrische Form des Bildes verzerrt wird. Zu allen Zeiten der technischen Anwendung von abbildenden Systemen wurde versucht, Linsenfehler auszuschalten oder wenigstens zu reduzieren. In diesem Zusammenhang hat sich eine umfangreiche Fachliteratur angesammelt. Auf eine ausführlichere Behandlung wurde deshalb in diesem Buch verzichtet.

3.3.7 Begrenzungen in optischen Systemen Neben der Tatsache, daß ein optisches System ein scharfes Abbild eines Gegenstandes liefern kann, ist es wichtig, welche Bildgrößen und welche Bildhelligkeit man mit einem gegebenen System erzielen kann. An diesem Punkt der Behandlung muß auf Begrenzungen des Strahlenganges eingegan-

3.3 Die optische Abbildung

75

gen werden, wie sie z.B. durch die Ränder der Linsen verursacht werden. Es soll hier zunächst die maximal mögliche Bildgröße, das Gesichtsfeld, diskutiert werden. Das Gesichtsfeld kann trivialerweise durch die verfügbare Ausdehnung W der Bildebene beschränkt werden. In der Praxis wird es aber durch die Linsenfehler oder durch Begrenzungen (Blenden, Aperturen) im optischen System eingeschränkt sein (siehe Bild 3.25). Mit dem Gesichtsfelddurchmesser W ist der maximale Gesichtsfeldwinkel ε verknüpft: ε = W/b. (Hier wurde ε vereinfachend bezüglich des Linsenzentrums definiert. Für komplexere optische Systeme muß ε korrekterweise auf das Zentrum der Eintrittspupille bzw. Austrittspupille bezogen werden).

Gesichtsfeld

Blende D entspricht der Eintrittspupille Dg

Bild 3.25: Schematische Zeichnung zur Definition von Gesichtsfeld W und Eintrittspupille De bei einer Abbildung.

Will man den Anteil des Lichtes, das von einem isotrop emittierenden Punkt des Gegenstandes auf die Bildebene abgebildet wird, bestimmen, so ist der vom optischen System erfaßte Raumwinkel (pe wichtig. D.h. es sind die Strahlbegrenzungen im Bereich des abbildenden Systems zu berücksichtigen. In Bild 3.25 begrenzt z.B. die Blende D den abgebildeten Winkelbereich: — D/g. Für allgemeine optische Systeme wird die den Eintrittswinkel bestimmende Öffnung als Eintrittspupille bezeichnet. Die Eintrittspupille Eintrittspupille ist dabei definiert als das Bild der relevanten Begrenzung, das durch alle vor der Begrenzung liegenden Linsen des Systems erzeugt wird. Im Fall von Bild 3.25 ist die Eintrittspupille gleich der Blende D. Die Helligkeit Η des Bildes hängt von der abgebildeten, vom Objektiv erfaßten Lichtmenge und der Fläche des Bildes ab, die proportional zum Quadrat der Bildgröße В ist. Mit Gl. (3.22) erhält man:

Я

ОС

ОС

Б2 ^

/

falls gilt: 5 >

/

Bildhelligkeit

(3.32)

Für eine gegebene große Gegenstandsweite g erhält man eine Bildhelligkeit, die mit dem Durchmesser D^ der Eintrittspupille quadratisch ansteigt, mit der

Helles Bild für großen Blendendurchmesser und kleine Brennweite

76

3 Die Geometrische Optik

verwendeten Brennweite jedoch quadratisch abfällt. In der technischen Anwendung wird deshalb oft die Blendenzahl oder /-Zahl F — f / D benützt. So spricht man z.B. von einem „ / zu 1.4"-Objektiv, wenn gilt: f / D = 1.4. Gebräuchlich sind /-Zahlen von 1.4; 2; 2.8; 3.2; 4; 5.6; 8 ; . . . . Beim Übergang von einer Blendenzahl zur nächst höheren in dieser Reihe ändert sich D um etwa den Faktor l / V ^ . Somit halbiert sich dabei die Bildhelligkeit. Austrittspupille

B i l d 3.26: S c h e m a t i s c h e Darstellung zur Definition der Austrittspupille D a ·

Soll das durch ein erstes optisches System erzeugte Bild über ein weiteres System verarbeitet werden, so ist auch der Öffnungswinkel φ^ wichtig, unter dem das Licht das erste System verläßt und das Zwischenbild beleuchtet. Dieser Austrittswinkel φ^ ist durch die Austrittspupille D^ bestimmt, die analog zur Eintrittspupille definiert ist: Dabei wird das Bild der relevanten Begrenzung, das durch alle hinter der Begrenzung liegenden Linsen erzeugt wird (siehe Bild 3.26), als Austrittspupille bezeichnet. Bei ungünstiger Anordnung der Blenden im Strahlengang kann es zur sogenannten Vignettierung kommen. Dabei werden durch die Blenden Lichtstrahlenbündel, die von verschiedenen Bereichen des Gegenstands her kommen, unterschiedlich stark ausgeblendet. Das Bild wird dann erhebliche, durch die Blenden verursachte Helligkeitsunterschiede aufweisen.

3.3.8 Design und Herstellung von Objektiven Das

ideale

Objektiv, aile Linsen

bei dem fehler

gleichzeitig komgiert es nicht

sind,

gibt

Für optische Abbildungen würde man gerne ein optisches System verwenden, das ein fehlerfreies Bild im gesamten sichtbaren Spektralbereich erzeugt. Gleichzeitig sollte das optische System eine große Öffnung D besitzen (hohe Lichtstärke), damit auch bei schwacher Beleuchtung helle Bilder erzeugt werden können. Die Behandlung der Linsenfehler in Abschnitt 3.3.6 zeigt uns jedoch, daß dies Forderungen sind, die sich gegenseitig ausschließen, da das Ausmaß der monochromatischen Aberrationen in der Regel mit größer werdender Öffnung D anwächst. In der technischen Entwicklung wird nun versucht, hohe Lichtstärke und gutes Auflösungsvermögen dadurch zu erreichen, daß man ein optisches System aus mehreren Einzellinsen unterschiedlicher Glassorten zusammensetzt. Dadurch lassen sich auch

3.4 Instrumente der geometrischen Optik

77

bei großer Öffnung die Abbildungsfehler stark reduzieren. Für diese Optimierangsvorgänge ist jedoch ein erheblicher Rechenaufwand notwendig. In der Vergangenheit war deshalb die Berechnung eines „guten" Objektivs häufig eine Lebensaufgabe. Aufgrund der nun zur Verfügung stehenden schnellen Computer läßt sich aber heute das Design eines neuen Objektivs bereits in kurzer Zeit durchführen. Die Verwendung mehrerer Linsen in einem Objektiv - in modernen Hochleistungsobjektiven werden oft mehr als zehn Einzellinsen eingesetzt (siehe z.B. Bild 3.27) - ergibt jedoch neben den technischen Schwierigkeiten bei der Fassung und der Relativpositionierung der Linsen auch Probleme mit den Reflexionen an den vielen Einzeloberflächen. Dadurch wird die Transmission (Lichtstärke) des Objektivs reduziert, und es treten störende Reflexe im Bild auf. Aus diesem Grund müssen Reflexionen an den Einzeloberflächen weitgehend durch präzise Antireflexbeschichtungen (siehe Abschnitt 4.4.3) unterdrückt werden. Einen Teil dieser Probleme könnte man sich durch den Einsatz von Linsen mit nicht-sphärischen Oberflächen (sogenannte Asphären) ersparen. Die Herstellungskosten von nicht- Asphären bieten sphärischen Oberflächen in der benötigten Qualität sind jedoch so hoch, daß Lösungen für qualitativ hochstehende Asphären nur in teuren Spezialobjektiven Anwen- spezielle Anwendungen dung finden.

Bild 3.27: Weitwinkelobjektiv vom Typ Distagon 3.5/15 mm. Die hohe Anzahl von Einzellinsen ist nötig, um die verschiedenen Linsenfehier weitgehend zu korrigieren. (Bild: Carl Zeiss, Oberkochen).

3.4 Instrumente der geometrischen Optik Das Prinzip der Abbildungen von Gegenständen mit Hilfe von Linsen und Spiegeln haben wir im letzten Kapitel besprochen. Wir wollen nun einfache Instrumente vorstellen, bei denen einzelne Linsen oder spezielle Kombinationen von Linsen oder Spiegeln eingesetzt werden. Zunächst befassen wir

3 Die Geometrische Optik

78

uns mit optischen Geräten, die ein reelles Bild eines Gegenstandes erzeugen, das dann entweder beobachtet wird oder dessen räumliche Helligkeits- und Farbverteilung weiter verarbeitet wird.

3.4.1 Der Projektionsapparat Ein einfaches abbildendes Gerät ist ein Projektionsapparat. Seine Funktion ist es, eine transparente Vorlage - wie es z.B. ein Diapositiv darstellt vergrößert auf eine Projektionsfläche abzubilden. Diese Aufgabe kann im Prinzip durch eine einfache Linse gelöst werden. In der Praxis verwendet man jedoch zur Verringerung der Linsenfehler ein mehrlinsiges, für große Bildweiten ò > / korrigiertes Objektiv (siehe Bild 3.28a). Die normalerweise benötigte hohe Vergrößerung wird erreicht, wenn die Gegenstandsweite g nur geringfügig größer ist als die Brennweite. Die Scharfeinstellung des Bildes erfolgt durch Verschieben des Objektivs. Dies entspricht der Variation der Gegenstandsweite bei festgehaltenem Abstand b-\-g zwischen Objekt und Projektionsfläche. Da der Gegenstand, d.h. das Dia, nicht selbstleuchtend ist, wird er von hinten beleuchtet. Wird keine zusätzliche Optik verwendet, so bildet die Glühwendel der Lampe die Eintrittspupille des Projektionsobjektivs. Konstruiert man nach Abschnitt 3.3.7 die Austrittspupille, so stellt

(a) Glühwendel

- ausgeleuchteter Blldteil

Objektiv

7

Bild der Glühwendel

f

Projektionswanc^

Kondensor

Bild 3.28: Schematische Darstellung des Strahlengangs in einem Projektionsapparat. Während bei der Strahlführung durch das Objektiv allein aufgrund der kleinen Glühwendel nur der zentrale Teil des Dias hell ausgeleuchtet wird (Bild a), kann durch die Verwendung eines passenden Kondensors, der das Bild der Glühwendel in das Objektiv legt, eine vollständige Ausleuchtung des Dias erreicht werden (b).

3.4 Instrumente der geometrischen Optik

79

man fest, daß die Austrittspupille einen sehr kleinen Durchmesser besitzt (siehe Bild 3.28a). Da nur Strahlen, die durch die Austrittspupille laufen, ein leuchtendes Bild auf der Projektionswand erzeugen können, wird dabei nur ein kleiner Teil der zu projezierenden Vorlage (Dia) hell abgebildet. Dieses Ausleuchtungsproblem läßt sich dadurch vermeiden, daß eine Zusatzoptik, d.h. der Kondensor von Bild 3.28b, verwendet wird. Durch den Kondensor wird ein Bild der Glühwendel am Ort des Abbildungsobjektivs erzeugt. Die Eintrittspupille ist nun durch die Umrandung des Kondensors bestimmt. Folglich ist der Durchmesser des Kondensors ausreichend groß zu wählen, damit das gesamte Diapositiv ausgeleuchtet wird. Zur Verbesserung der Lichtstärke des Projektionsapparates wird häufig hinter der Beleuchtungslampe noch ein Hohlspiegel eingebaut, der auch nach hinten abgestrahltes Licht zum Kondensor lenkt.

3.4.2 Die photographische Kamera Bei einer photographischen Kamera wird durch ein Objektiv von einem beleuchteten oder selbstbeleuchtenden Gegenstand ein Bild auf der Filmebene erzeugt. In dieser Ebene liegt der Film, der auf photochemischem Weg die Helligkeitsverteilung speichert. In modernen Videosystemen kann die Aufnahme der Helligkeitsverteilung auch über einen Halbleiter-Lichtempfänger erfolgen. Die Kamera muß zwei Hauptforderungen erfüllen: Sie muß ein scharfes Bild des Gegenstandes mit einer bestimmten Bildgröße liefern; die Helligkeit des Bildes muß der Empfindlichkeit des Films angepaßt sein. Dementsprechend muß eine Kamera verschiedene funktionelle Bestandteile besitzen (siehe Bild 3.29a). Wir betrachten zunächst das Objektiv der Kamera. Für die normalen Anwendungen einer Kamera sollen entfernte Gegenstände im Bereich von g = 1 m bis oo abgebildet werden können. Für die typische Brennweite / einer modernen Kleinbildkamera, / = 50 mm, erhält man dann eine Bildweite b, die zwischen ò = / = 50 mm und b = 52.6 mm liegt. Zur Einstellung der scharfen Abbildung muß deshalb der Abstand des Objektivs b von der Filmebene verändert werden (Auf den Begriff der Schärfentiefe gehen wir später ein). Man beachte dabei, daß die auf den Kameras angegebenen Entfemungseinstellungen sich auf den Abstand χ zwischen Objekt und Filmebene, χ = b + g, beziehen. Die Größe des Bildes auf dem Film hängt von der verwendeten Brennweite ab: Die (transversale) Vergrößerung VT = В/G einer Kamera wird für eine feste, große Gegenstandsweite g zu:

(3.33) 9

9

Ein Projektionsapparat benötigt einen Kondensor

80

3 Die Geometrische Optik

(a)

Entfernungseinstellung

Bild 3.29: (a) Schematische Darstellung einer photographischen Kamera mit den wesentlichen optischen Funktionselementen Objektiv, Blende, Verschluß und Film, (b) Bei einer modernen Kleinbildkamera (Contax 139 Quartz) wird durch den gezielten Einsatz elektronischer Bauelemente eine optimale Steuerang der Belichtung erreicht. (Bild von: Yashica, Hamburg)

(b)

Die Brennweite bestimmt die Bildgröße

Das Bild eines weitentfernten Gegenstands, der unter dem Gesichtsfeldwinkel ε = G/^ beobachtet wird, besitzt somit in der Filmebene die Ausdehnung В ~ ε / . Durch die Brennweite des Objektivs kann man also die Bildgröße dem verwendbaren Filmausschnitt ohne Änderung der Gegenstandsweite anpassen. Man verwendet kurzbrennweitige Weitwinkelobjektive für Standardund Übersichtsaufnahmen. Will man eine hohe Vergrößerung erzielen, so benützt man gemäß Gl. (3.33) ein Objektiv großer Brennweite. Damit die Baulänge L der Kamera dabei nicht zu groß wird, setzt man Teleobjektive ein, bei denen die bildseitige Hauptebene H2 im oder vor dem Objektiv liegt. Dieser Sachverhalt ist in Bild 3.30 dargestellt: Für eine einfache Linse (Bild 3.30a) bestimmt die Brennweite / die Baulänge der Kamera zu L / . Wird das Objektiv aus verschiedenen Linsen geeignet zusammengesetzt, so kann, wie in Bild 3.30b gezeigt, die Hauptebene weit vor die erste Linse gelegt werden und so eine Baulänge L < f erreicht werden. Für viele photographische

3.4 Instrumente der geometrischen Optik

81 Filmebene

(b)

1 V и

N / ή

г

;

к

J φ

f Filmebene

Bild 3.30: Teleobjektive. Durch die Verwendung spezieller Linsenkombinationen (b) anstelle von einfachen Linsen (a) läßt sich trotz langer Brennweite des Objektivs eine kompakte Bauform der Kamera erzielen.

Anwendungen ist eine kontinuierliciie Änderung der Bildgröße erwünscht. Dies wird durch den Einsatz eines Zoom-Objektivs erreicht, bei dem - durch Verschieben eines Teils der Objektivlinsen - die Brennweite des Objektivs verändert und damit die Bildgröße eingestellt werden kann. Ganz allgemein werden an Kameraobjektive hohe Anforderungen gestellt. Zum einen sollen optimale Abbildungseigenschaften erreicht werden, zum anderen wünscht man hohe Lichtstärke und große Gesichtsfeldwinkel. Wie weit dies gehen kann, sieht man an typischen Weitwinkelobjektiven, mit denen selbst für Gesichtsfeldwinkel von über 75° fehlerfreie Abbildungen erstellt werden sollen. Die Kameraobjektive müssen deshalb aufwendig gegenüber den verschiedenen Linsenfehlem korrigiert sein. Zur Einstellung der Bildhelligkeit werden in der Kamera die Blende und der Verschluß eingesetzt. Da die Schwärzung des photographischen Films mit der absorbierten Energiedichte korreliert ist, hat man zur Schwärzungsvariation zwei Möglichkeiten: Die Lichtintensität wird über den Blendendurchmesser, die Belichtungszeit über die Öffnungsdauer des Verschlusses gesteuert. Die Einstellung der Verschlußzeit dient weiterhin dazu, die Unscharfe durch Bewegungen von Objekt oder Kamera zu vermeiden. Mit einem optischen System kann man gemäß der Abbildungsgleichung (3.21) für eine feste Bildweite nur Objekte in der dazu passenden Gegenstandsweite scharf abbilden. In der Praxis läßt sich diese Beschränkung der

82

3 D i e Geometrische

Optik

Bild 3.31: Schemazeichnung zur Schärfentiefe. Verwendet man ein Filmmaterial, das nur eine Auflösung Ζ besitzt, so kann eine Änderung der Gegenstandsweite um Ag zugelassen werden, ohne daß dadurch eine Verschlechterung der Bildqualität auftritt.

Schärfentiefe

Abbildung auf eine einzige Gegenstandsweite glücklicherweise aufweiten. Der Grund dafür ist, daß ein photographischer Film (oder ein HalbleiterPhotosensor) nur ein bestimmtes räumliches Auflösungsvermögen besitzt: Aufgrund der Körnung des Materials können zwei Punkte des Bildes, die innerhalb eines Abstandes Bq (der dem Komdurchmesser entspricht) liegen, nicht mehr getrennt werden. Eine Unschärfe des Bildes, die anstelle eines Punktes ein Scheibchen mit einem Durchmesser ζ < Bq erzeugt, ist deshalb bedeutungslos. Aus Bild 3.31 kann daraus der sogenannte Schärfentiefenbereich Δ ^ bestimmt werden: Für einen Gegenstand im Abstand vom Objektiv berechnet man einen Durchmesser Ζ des Lichtbündels (Zerstreuungskreis) auf der Filmebene, der von dem Objektivblendendurchmesser D und vom Abstand Δ χ des idealen Bildes von der Filmebene abhängt: (3.34)

0

Setzt man nun Ζ — Во, so läßt sich die Schärfentiefe Ag mit Hilfe der longitudinalen Vergrößerung VL (siehe Gl. (3.23)) bestimmen: Δχ

VI Δ5

Bof

g^

D

p

für ff >

/

(3.35)

Bog f - D

p

Man sieht daraus, daß der relative Schärfentiefenbereich А д / g mit wachsender Gegenstandsweite g und Blendenzahl F = f / D zunimmt, mit wachsender Objektivbrennweite / aber stark abnimmt. Für einen möglichst großen Schärfentiefenbereich muß man bei gegebenen g und / die Blende schließen, d.h. die Blendenzahl vergrößern. Benutzt man eine Korngröße von Bq = 25 μτη, so berechnet man bei F = A, g = 5 m und / = 50 mm den

3.4 Instrumente der geometrischen Optik

83

Schärfentiefenbereich zu: ^9/9

=

5 · 4 · 25 · 10"^ ~ 0.2 (50 • 10-3)2

oder

Δ^ί = 1 m

Werden keine sehr hohen Anforderungen an eine Abbildung gewählt, so kann man bei Kameras mit kurzer Brennweite / < 35 mm auf eine Entfemungseinstellung verzichten, solange man sie bei großen Blendenzahlen F > 5.6 und großen Entfernungen g >2m anwendet (Fixfokus-Objektive).

3.4.3 Das Auge Sehnenhaut Netzhaut (Retina)

Kammerwasser η = 1,336

Gelber Fleck (Fovea) Blinder Fleck

Sehnerv

W n e = 14-17 m m

fhinten = •^^-23 m m

Bild 3.32: Schematischer Aufbau des menschlichen Auges.

Das menschliche Auge stellt ein System dar, das zwei Funktionen erfüllen muß. Zum einen soll es eine möglichst perfekte optische Abbildung ermöglichen, zum anderen muß es in der Lage sein, die Helligkeitsinformation aufzunehmen, vorzuverarbeiten und dann an das Gehirn weiterzuleiten. Die Behandlung des kompletten Sehvorganges ist extrem komplex und immer noch Bestandteil der aktuellen Forschung. Wir wollen hier nur eine stark vereinfachte schematische Darstellung geben und verweisen für Details auf die Fachliteratur. Bild 3.32 zeigt den schematischen Aufbau des menschlichen Auges: Das Auge ist im hinteren Teil von der lichtundurchlässigen Sehnenhaut umgeben. Licht gelangt nur durch die Hornhaut in das Auge und wird von einem optischen System, das aus der Hornhaut η ~ 1.37, dem Kammerwasser η ~ 1.336 und der Kristall-Linse η = 1.37 bis 1.42 besteht,

Abbildendes System des Auges: Hornhaut, Kammerwasser und Kristallinse

84

3 Die Geometrische Optik

auf die lichtempflindliche Netzhaut (Retina) abgebildet. Der Raum zwischen Linse und Retina ist mit dem 01а8к0фег (η ~ 1.336) ausgefüllt. Das Auge besitzt deshalb unterschiedliche Brennweiten vor dem Auge /vorne und im Auge /hinten-

Konventionelle Sehweite So = 25 cm

Korrekturen von Fehlsichtigkeit

Anders als bei Photoapparaten erfolgt die Scharfeinstellung des Bildes im Auge durch Variation der Brennweite der Kristallinse mit Hilfe der CiliarMuskeln. Bei dieser Akkommodation des Auges erfolgt eine Variation der Augenbrennweite (/vorne) zwischen 14 mm und 17 mm. Das entspannte Auge besitzt die größte Brennweite, so daß damit unendlich weit entfernte Gegenstände scharf abgebildet werden. Unter Berücksichtigung der Akkommodation erstreckt sich der Bereich scharfen Sehens für Normalsichtige von ca. 15 cm bis unendlich. Ohne Anstrengungen kann man dabei bis zu einer Gegenstandsweite So scharf sehen. Für technische Anwendungen wird diese ,Jionventionelle Sehweite" mit SQ = 25 cm definiert. Die Helligkeitsregelung im Auge erfolgt über die Iris, die als Blende mit variablem Durchmesser unmittelbar vor der Kristallinse liegt: Der Durchmesser der Iris läßt sich schnell, d.h. innerhalb etwa 1 Sekunde, zwischen ca. 1.5 mm und 8 mm variieren. Über einen längeren Zeitbereich kann die Helligkeitsempfindlichkeit des Auges auch durch Anpassung der physiologischen Empfindlichkeit der Retina erfolgen. (Dunkelanpassung des Auges auf der Zeitskala von etwa 30 Minuten). Die Qualität der optischen Abbildung des Auges kann durch verschiedene Arten der Fehlsichtigkeit verringert werden: Weitverbreitet sind die Fälle der Kurz- und Weitsichtigkeit, in denen die Brennweite des optischen Systems nicht der Augenlänge angepaßt ist. Bei Kurzsichtigkeit ist das Auge zu lang, bei Weitsichtigkeit dagegen zu kurz. Die Korrektur dieser Fehlsichtigkeit ist durch Zerstreuungs- bzw. Sammellinsen möglich. Dabei ist jedoch zu beachten, daß die korrigierende Linse etwa im Abstand /vorne vor dem Auge angebracht ist. Dadurch bleibt nach Gl. (3.24) die Brennweite des Gesamtsystems gleich /vorne, die Lage der bildseitigen Hauptebene (und damit die des Bildes) wird jedoch gemäß Gl. (3.25) verschoben und dadurch die Bildschärfe ohne Änderung der Bildgröße korrigiert. (Eine Veränderung der Bildgröße eines Auges könnte das stereoskopische Sehen stark beeinflussen). Eine weitere, verbreitete Fehlsichtigkeit ist das Alterssehen. Hier wird die Akkommodationsfähigkeit des Auges durch nachlassende Elastizität der Kristallinse reduziert: Die Brennweite des Augensystems kann nicht mehr ausreichend verkleinert werden: Der kleinste Abstand für den gerade noch scharfe Abbildung erfolgt wird größer als SQ. Eine Korrektur ist über eine Lesebrille mit Sammellinsen möglich. Berücksichtigt man die Querdimensionen von Bild 3.32, so sieht man, daß im Auge auch achsenfeme Strahlen abgebildet werden. Untersucht man die

3.4 Instrumente der geometrischen Optik

85

Qualität der Abbildung im Auge im Detail, so stellt man jedoch fest, daß nur achsennahe Strahlen mit guter Qualität abgebildet werden. Die subjektive Empfindung eines scharfen Bildes über einen sehr großen Sehwinkel kommt durch die spezielle Art des menschlichen Sehens zustande: durch schnelle Bewegungen des Auges werden verschiedene Bereiche des gesamten erfaßten Bildes in den zentralen Bereich des Blickfeldes gebracht und das so erhaltene scharfe Teilbild im Gehirn in das Gesamtbild aufgenommen. Dieser Art des Sehvorganges ist auch die Sensorfläche der Retina angepaßt. Nur im zentralen Bereich des Sehfeldes, in der ,fovea" oder im „gelben Fleck", sind die Hchtempfindlichen, farbtauglichen Zäpfchen in sehr hoher Dichte (160000/mm^) angeordnet. Diese dichte Anordnung ergibt dort eine lineare Auflösung von etwa 3 /im. Dieser Bereich scharfen Sehens ist nur über einen sehr kleinen Bereich des Gesichtswinkels möglich. Er entspricht dem Gesichtsfeldwinkel, unter dem der Vollmond gesehen wird. Nach außen hin nimmt die Dichte der Zäpfchen auf der Retina und die Qualität der optischen Abbildung stark ab. Weitere bemerkenswerte Fähigkeiten des Auges sind dessen Farbsehvermögen und die außerordentlich hohe Lichtempfindlichkeit des Auges. Ein über längere Zeit (ca. 30 Min.) der totalen Dunkelheit ausgesetztes Auge ist in der Lage, Licht zu erkennen, wenn nur etwa 30 Photonen pro Sekunde (dies entspricht einer mittleren Strahlungsleistung von ca. L 5 · W) auf eine Sehzelle treffen.

Scharfes Sehen nur in der Fovea

Wahrnehmungsgrenze des Auges:

1.5·

W

3.4.4 Vergrößernde optische Instrumente Die subjektive Empfindung der Größe eines Gegenstandes wird durch den Gesichtsfeldwinkel (Sehwinkel) ε bestimmt, unter dem der Gegenstand vom Beobachter wahrgenommen wird. Da der Sehwinkel von der Gegenstandsweite abhängt, ist es sinnvoll, bei der Definition der Vergrößerung eines optischen Intruments auf die speziellen Anwendungsbedingungen einzugehen. In einem ersten Fall sei das zu beobachtende Objekt in einer Entfernung (Gegenstandsweite), die aus irgendwelchen Gründen fest ist, also nicht verringert werden kann (z.B. bei Beobachtung des Mondes von der Erde aus). In diesem Fall ist die sinnvolle Definition der Vergrößerung V

=

Sehwinkel mit Instrument _ ει Sehwinkel ohne Instrument εο

(3.36)

Der zweite Fall tritt dann ein, wenn man die Gegenstandsweite beliebig verringern kann (z.B. bei Beobachtung einer Pflanzenzelle). Hier zählt nun als Referenz der Sehwinkel des unbewaffneten Auges, der im Abstand der kon-

Definition der Vergrößerung

86

3 Die Geometrische Optik

ventionellen Sehweite So = 25 cm auftritt. Es gilt hier: Sehwinkel mit Instrument

ει

Sehwinkel im Abstand So

εο

(3.37)

Die Lupe

Einfachstes vergrößerndes Gerät: Die Lupe

Will man einen Gegenstand genau beobachten, so könnte man ihn sehr nahe ans Auge bringen. In diesem Fall reicht das Akkommodationsvermögen des Auges nicht mehr aus: das Bild wird erst hinter der Netzhaut scharf sein. Ein scharfes Bild am Ort der Netzhaut kann man jedoch erhalten, wenn man eine Sammellinse - eine Lupe - der Brennweite / l zwischen Auge und Gegenstand bringt. Normalerweise hält man die Lupe sehr nahe vor das Auge und wählt den Abstand zwischen Gegenstand und Lupe gleich der Lupenbrennweite / l . In diesem Fall breiten sich die von einem Punkt des Gegenstands auslaufenden Lichtstrahlen nach der Lupe parallel aus und können mit entspanntem Auge scharf abgebildet werden (siehe Bild 3.33a). Die Vergrößerung, die sich dabei erzielen läßt, kann man anhand von Bild 3.33b berechnen. Der Gegenstand wird mit Lupe unter dem Sehwinkel ST = G/JL

(a)

r - k El•xrV.

-fr

(b)

Bild 3.33: Funktion einer Lupe: (a) Bringt man einen Gegenstand im Abstand / l vor eine Sammellinse (Lupe), so breiten sich die Lichtstrahlen hinter der Lupe parallel aus. Bei der Beobachtung mit dem entspannten Auge (b) sieht man dabei ein scharfes, vergrößertes Bild des Gegenstandes.

3.4 Instrumente der geometrischen Optik

87

beobachtet, während für das unbewaffnete Auge εο = G/So galt. Damit ergibt sich die Lupen Vergrößerung zu: sl So 25 cm ^Lupe = — = — = £0

/L

Vergrößerung der Lupe

/L

(3.38)

Mit Hilfe von Lupen lassen sich Vergrößerungen bis zu VL = 20 erreichen. Dabei sind jedoch zur Korrektur der Linsenfehler ab VL — 5 mehrlinsige Lupen notwendig. Werden Lupen am Ausgang eines vorgeschalteten optischen Gerätes verwendet, um ein reelles Zwischenbild zu vergrößern, so verwendet man die Bezeichnung Okular. Zu beachten ist dabei, daß Okulare häufig nicht als Lupen eingesetzt werden können, da die gegenstandseitige Brennweite oft innerhalb der Fassung liegt oder möglicherweise mit dem Okular Abbildungsfehler des vorgeschalteten Instruments behoben werden; das Okular allein ist dann ebenso stark abbildungsfehlerbehaftet. Das Mikroskop Vergrößerte Abbilder von Gegenständen mit einer Vergrößerung von höher als 20fach können nur mit Kombinationen von Linsen, wie sie z.B. ein Mikroskop enthält, hergestellt werden. Das erste funktionsfähige Mikroskop wurde zu Beginn des 17. Jahrhunderts von Zaccharias Janssen hergestellt. Es besteht aus einer Kombination von zwei Linsensystemen (siehe Bild 3.34). Von einem kurzbrennweitigen Objektiv (Brennweite /оь) wird ein reelles, vergrößertes Bild erzeugt, das dann über ein Okular mit Brennweite /ok beobachtet wird. Die Vergrößerung durch das Ojektiv berechnet man aus der Abbildungsgleichung: ь - /оь

t

fob

fob

Mikroskope gibt es seit dem 17. Jahrhundert

(3.39)

Dabei hat man b — /ob zur optischen Tubuslänge t zusammengefaßt. Konventionellerweise verwendet man bei Mikroskopen eine Tubuslänge von t = 160 mm. Berücksichtigt man nun noch das Okular gemäß Gl. (3.38), so ergibt sich die Gesamtvergrößerung zu: t-So

^Mikroskop = Kìbjektiv " ^Okular =

fob • /ок

Vergrößerung eines Mikroskops

(3.40)

Für sehr kurzbrennweitige Objektive erhält man somit die höchsten Vergrößerungen. In diesem Fall gilt g ~ /оь, d.h. das Objekt liegt praktisch im Abstand /оь vor dem Objektiv. In der Mikroskopie werden Objektive bis zu lOOfacher Vergrößerung verwendet. In Kombination mit einem 20fachen

Hohe Vergrößerungen erfordern speziell korrigierte Objektive

3 Die Geometrische Optik

Bild 3.34: Vergrößerung eines Mikroskops. Ein nahe der Brennebene des Objektivs gelegener Gegenstand wird durch das Objektiv vergrößert abgebildet. Dieses Bild wird dann über ein Okular (Lupe) beobachtet. Die Gesamtvergrößerung ist gleich dem Produkt aus Objektivund Okularvergrößerung. In „guten" Mikroskopen wird das Auflösungsvermögen nicht durch die Qualität der Optik, sondern durch die Wellennatur des Lichtes bestimmt. (Siehe dazu Abschnitt 4.5.1).

Bild 3.35: Schnittbild durch ein Mikroskopobjektiv (Planapochromat 100/1.3) mit lOOfacher Vergrößerung. Die Korrektur der verschiedenen Abbildungsfehler wurde hier durch eine Vielzahl von Einzellinsen erreicht, (b) Schemazeichnung des Strahlengangs im Photomikroskop Axiophot von Zeiss (Aufnahmen: Carl Zeiss, Oberkochen)

•Ч i

3.4 Instrumente der geometrischen Optik

89

Okular erreicht man dann eine nominelle Vergrößerung von 2000fach. Hohe Vergrößerungen erfordern komplexe Linsensysteme, die für die spezielle Anwendung (wie Dicke des Deckglases, Brechungsindex des Mediums zwischen Frontlinse und Objektiv) korrigiert sein müssen. Ein Beispiel für ein modernes Hochleistungsobjektiv ist in Bild 3.35a aufgezeigt. Die Grenzen der Vergrößerung eines Mikroskops sind jedoch nicht durch die Abbildungsgleichungen und die Korrektur der Objektive, sondern durch die Anwendbarkeit der geometrischen Optik gegeben. Kommt die Dimension des beobachteten Objektivs in die Größenordnung der Lichtwellenlänge, so kann auch eine nominale Steigerung der Vergrößerung keine zusätzliche Information erbringen. Eine gewisse Verbesserung des Auflösungsvermögens kann man erreichen (siehe Abschnitt 4.5.1), wenn man den Raum zwischen Objektiv und Objekt mit einer Immersionsflüssigkeit (n ~ L5) füllt: Zusätzlich wird dadurch, wie Bild 3.36 zeigt, die Totalreflexionen am Deckglas vermie-

η = 1,5 Öffnungswinkel Öffnungswinkel

θ Medium ' 2 χ θ , total -

2

X

33,6

θ Medium ~ 2 χ θ Objei n i n i < nf П2 < Щ

und nf < П2 und nf > П2 < П2 < Πχ

(4.36)

Der geometrische Gangunterschied GU läßt sich aus Bild 4.30b bestimmen: GU = 2п{Ь - щх. Ähnlich wie bei der Ableitung der Bragg-Beziehung (Gl. 4.30) werden α und χ durch ßf und θ ausgedrückt: α = 2 d t a n 0 f , χ = a s i n a i . Unter Verwendung des Brechungsgesetzes, n i s i n ^ i = nfsinöf, erhält man dann: GU = 2n{d cos 0f. Konstruktive Interferenz tritt auf für: GU ΔΦ + ——=m A 2π

. ^ _ mit m = 0,1, 2 , . . .

4.4 Interferenz

141

2п{ dcosOf =

,

ΑΦ\ m + —— λ für m = 0 , 1 , 2 , . . . 2π /

(4.37)

Interferenzen gleicher Neigung: Bedingung für konstruktive Interferenz Die Interferenzen gleicher Neigung (sie werden auch Haidingersche Ringe genannt) ergeben ein Ringsystem, das um den senkrechten Einfall Of — 0 zentriert ist. Dabei tritt bei senkrechtem Einfall die Interferenz höchster Ordnung auf (siehe Gl. (4.37)). Bei einer Beobachtung der Interferenzen mit einer Linse, die eine kleine Öffnung aufweist (z.B. mit dem Auge), treten jedoch gravierende Einschränkungen der Sichtbarkeit der Interferenzen auf: Ist die planparallele Platte zu dick, so gelangen nicht beide reflektierten Reflexe in das Auge und das Interferenzphänomen verschwindet. Außerdem können bei der Beobachtung des Filmes mit einer Punktlichtquelle nur sehr enge Bereiche des Ringsystems beobachtet werden. Mit Hilfe einer ausgedehnten Lichtquelle (siehe Bild 4.30a) lassen sich jedoch an dünnen Filmen auch ohne zusätzliche Linsen die Interferenzen gut beobachten. Interferenzen gleicher Dicke Bei einem anderen Typ von Interferenzphänomenen zählt nicht so sehr der Einfallswinkel als die optische Dicke rif · d und deren Variationen. Dazu gehören die Interferenzfarben von Seifenblasen oder Ölfilmen. Ein Interferenzstreifen gibt dabei einen Bereich konstanter Dicke des Filmes wieder. Für den Fall eines Ölflecks auf nassem Asphalt ist die Geometrie in Bild 4.31a angegeben. Der Ölfilm щ Ri 1.5 schwimmt dabei auf dem Wasser der Pfütze (п2 = 1.33). Die Funktion des Asphalts ist dabei die eines schwarzen, stark lichtabsorbierenden К0фег5, der Hintergrundlicht wegnimmt und so die Interferenzerscheinungen besonders farbenprächtig erscheinen läßt. Wir nehmen an, daß das Licht praktisch senkrecht auf den Film fällt und erhalten für die angegebenen Werte der Brechungsindizes die Bedingung für konstruktive Interferenz aus Gl. (4.37): 2nfd λ

/

1 Ш+ -

Ausgeprägte äquidistante Interferenzstreifen erhält man für Interferenzen an einem Keil. Dies läßt sich z.B. mit einer Glasplatte (Mikroskopobjektträger), die auf eine zweite Glasplatte gelegt wird, erreichen. Unterstützt man den Objektträger auf einer Seite durch ein Blatt Papier, so entsteht zwischen den Glasplatten ein Luftkeil mit sehr kleinem Öffnungswinkel а (siehe Bild 4.31b). Die Dicke d des Luftkeils als Funktion des Ortes wird damit zu d Ki а • X. Für senkrechte Beleuchtung treten Interferenzstreifen auf, die

142

4 Welleneigenschaften

von Licht

(a) n, = 1

Luft

П2 = 1 , 3 3

Wasser .sphalt

(b)

(c)

Bild 4.31: Interferenzen gleicher Dicke. Beobachtet man eine dünne Schicht unter einem festen Winkel, so treten Interferenzmaxima an Stellen auf, bei denen die jeweilige Schichtdicke zu konstruktiver Interferenz führt. Zu Interferenzen gleicher Dicke gehören die Färbungen von Ölfilmen auf Wasser (a), von dünnen Luftkeilen (b) und die Newtonschen Ringe (c).

äquidistant mit einem Streifenabstand Ax = X/2a sind. Bei χ = 0, d.h. an der Berührungsstelle der beiden Glasplatten, liegt ein Minimum der Reflexion für alle Farben, da aufgrund der Phasensprünge bei der Reflexion für d = 0 eine Phasenverschiebung ΑΦ = π auftritt. Dieser Teil des Luftkeils erscheint bei Beleuchtung mit weißem Licht schwarz. Newtonsche Ringe Der gleiche physikalische Hintergrund ist auch für die Newtonschen Ringe verantwortlich. Newtonsche Ringe entstehen, wenn man, wie in Bild 4.31c angegeben, eine langbrennweitige Linse auf eine ebene Glasplatte legt. Man beobachtet dann im reflektierten Licht konzentrische Kreise, die sich für zunehmenden Abstand vom Zentrum immer näher kommen. Aus der Kugel-

4.4

Interferenz

143

gleichung für die Linsenoberfläche mit Radius R läßt sich der Gangunterschied 2 nfd für konstruktive Interferenz bestimmen: =

d f

f ü r R > d gilt: r^ ~ 2Rd 2 Ufdm = ( m +

1/2)A

Für den m'ten hellen Ring des Lichtes mit Vakuumwellenlänge A erhält man den Radius: ' (m + 1/2) ДА Гщ =

(4.38)

Щ

Mit Hilfe dieser Beziehung lassen sich die Newtonschen Ringe, bei denen im Zentrum immer ein schwarzes Interferenzminimum liegt, klar von den Haidingerschen Ringen der Interferenzen gleicher Neigung (Gl. (4.37)) unterscheiden. Die Interferenzen gleicher Dicke stellen ein wichtiges Hilfsmittel für die Kontrolle der Qualität optischer Oberflächen zur Verfügung: z.B. geben Form und Radien der Newtonschen Ringe einen Hinweis über die Qualität der Linsenfläche. War die Linse nicht exakt kugelförmig, so treten keine ringförmigen Interferenzen mehr auf. Auch für die Untersuchungen ebener Flächen werden diese Interferenzen verwendet. Zum Zwischentest der Ebenheit einer Fläche bei einer Politur legt der Optiker ein Testglas mit hoher Oberflächenebenheit auf das zu untersuchende Objekt, das wie in Bild 4.32 angegeben auf einem schwarzen Untergrund (zur Kontrasterhöhung) liegt. Mit diesem einfachen Meßverfahren lassen sich noch Abweichungen von der Planität von weniger als einem Zehntel der zur Beleuchtung verwendeten Wellenlänge feststellen. Testglas

Testobiekt

schwarzes Papier Bild 4.32: Interferenzen gleicher Dicke. Mit Hilfe einer exakt planen Testglasplatte läßt sich die Oberflächenqualität eines Objektes beurteilen. Aus der Form der Interferenzstreifen gleicher Dicke können die Abweichungen von der Ebenheit des Testobjektes bestimmt werden.

Interferenzen gleicher Dicke: ein einfaches Hüfsmittei zur Abstandsmessung auf der μπι Längenskala

144

4 Welleneigenschaften von Licht

Dielektrische Schichten zur Vergütung von Oberflächen und zur Herstellung von Spiegeln

λ/4-Schicht zur Refíexionswinde-

In der bisherigen Behandlung waren wir davon ausgegangen, daß die Reflexion an dem dünnen Film schwach ist und so nur Zweifachinterferenzen auftreten. In diesem Zusammenhang ist der Spezialfall von besonderem Interesse, beim dem das an der Vorder- und Rückseite des Films reflektierte Licht die gleiche Feldstärke aufweist. Es sollte dann bei destruktiver Interferenz die Reflexion vollständig verschwinden. Dies wird bei der Vergütung von Glasoptiken zur Reflexminderung ausgenutzt. Wir betrachten dazu eine Glasplatte mit Brechungsindex П2, auf die eine dünne Schicht mit dem Brechungsindex Uf mit П{ < П2 aufgebracht wurde. Bei Beleuchtung des Systems aus Luft (ni = 1) gilt: Πι < Hf < П2. Damit wird die Phasenverschiebung durch Reflexion zu null (siehe Gl. (4.36)). Für das Auftreten destruktiver Interferenz muß dann bei senkrechtem Einfall gelten: 2nfd = λ / 2 (1. Interferenzminimum). Damit benötigt man eine optische Schichtdicke nfd des Filmes von nfd = λ/4. Deshalb bezeichnet man eine solche Schicht als ,,λ/4Schicht". Damit die destruktive Interferenz zum Verschwinden der Reflexion führt, müssen die Reflexionskoeffizienten beim Eintritt und Austritt aus der Schicht П{ gleich groß werden. Verwendet man die Amplitudenreflexionskoeffizienten aus Abschnitt 2.5.2, so erhält man für den senkrechten Einfall: n i - nf Uf -П2 = n i + nf nf + П2 nf = л / щ щ

und

oder Hfd = λ / 4 '

(4.39)

Bedingung für Antireflexionsvergütung Mit dieser einfachen dielektrischen Schicht könnte man für eine spezielle Wellenlänge die Reflexion praktisch perfekt unterdrücken. Aufgrund der Umkehrbarkeit der Strahlengänge unterdrückt diese Antireflexbeschichtung die Reflexion sowohl bei Beleuchtung der Glasplatte von der Luftseite als auch bei Beleuchtung der Glasplatte von der Glasseite her. An einem Zahlenbeispiel soll dieses Verfahren kurz erläutert werden. Für ein Schwerflintglas mit dem Brechungsindex П2 = 1.9 tritt bei senkrechtem Lichteinfall ein Reflexionsverlust an der Eintrittsseite (eine Reflexion) von 10% auf. Durch Aufbringen einer Magnesiumfluoridschicht nf = 1.38 w V l ^ mit passender Dicke läßt sich die Reflexion praktisch vollständig unterdrücken. Für ein Standard-Kronglas mit П2 — l-Ъ gibt es jedoch bei dem entsprechenden Brechungsindexwert nf = \/n2 = 1.22 kein passendes Filmmaterial. Man verwendet auch hier λ/4-Schichten aus Magnesiumfluorid und reduziert mit einer dielektrischen Schicht die Reflexion von 4.2 % auf etwa 1.5 %. Durch das Aufbringen von mehreren Schichten passender Dicke läßt sich auch hier

4.4

Interferenz

145

die Reflexion praktisch vollständig auslöschen. Hochwertige Antireflexionsschichten zeigen dann verbleibende Restreflexionskoeffizienten, die kleiner als 0.1 % sind. Die Herstellung von dünnen Schichten zur Vergütung von Optiken erfolgt in speziellen Aufdampfverfahren: Im Ultrahochvakuum werden die Aufdampfmaterialien stark erhitzt und so auf die sorgfältig gereinigten Optiken aufgedampft. Während des Aufdampfprozesses müssen laufend die Schichtdicken kontrolliert werden. Durch die Kombination von verschiedenen Filmen mit unterschiedlicher Dicke und Brechungsindex erhält man zusätzliche Freiheitsgrade und kann die Interferenzen und Gangunterschiede so kombinieren, daß praktisch jedes gewünschte Reflexionsverhalten realisierbar wird. Bezüglich der dabei eingesetzten Rechenverfahren sei auf die Spezialliteratur verwiesen. Hier wollen wir nur kurz die Herstellung von hochreflektierenden Spiegeln diskutieren: Verwendet man paarweise Doppelschichten, die aus hochbrechendem ( щ ) und niederbrechendem («„) Material bestehen, wobei beide Schichten eine optische Dicke щ • dh = Пп • dn = A/4 aufweisen, so ergibt jede Doppelschicht optimale Reflexion. Der Grund dafür ist: Der optische Gangunterschied an jeder Einzelschicht ist λ / 2 , der Phasensprung ist aufgrund der alternierenden Brechungsindizes gerade ΑΦ — ττ, so daß insgesamt ein Gangunterschied von А auftritt. Baut man für einen Spiegel genügend viele (sí 20) Doppelschichten auf, so erhält man Reflexionsvermögen, die für spezielle Wellenlängen weit über 99 % liegen können.

4.4.4 Vielfachinterferenzen am Beispiel des Fabry-Perot-Interferometers In den bisherigen Interferenzanordnungen traten im wesentlichen nur Interferenzen zwischen zwei Strahlen auf. Die dabei resultierenden kosinusförmigen Modulationen sind für Spektroskopie mit höchster Spektralauflösung oft nur schlecht geeignet. Wir werden nun zeigen, daß Vielfachinterferenzen zu sehr scharfen Interferenzfiguren führen können und so ideale Hilfsmittel für die hochauflösende Spektroskopie zur Verfügung stellen können. Das Interferometer, das hier diskutiert werden soll, ist ein Fabry-Perot-Interferometer. Sein Aufbau ist in Bild 4.33 wiedergegeben. Das optisch relevante Element eines Fabry-Perot-Interferometers ist eine planparallele Platte, die von zwei hochreflektierenden Schichten begrenzt wird. Für Routineexperimente mit niedrigem Auflösungsvermögen verwendet man dabei häufig Glasplatten, die außen mit Reflexschichten versehen sind (Bild 4.33b, rechts). Bei Geräten höchster Auflösung werden die hochreflektierenden Schichten auf zwei Keilplatten aufgebracht, die durch Distanzstücke in einem großen Abstand d parallel gehalten werden (Bild 4.33b, links). Damit der optische Weg nicht durch Brechungsindexänderungen der Luft beein-

Warum ergeben λ/4Doppelschicbten hochreñektierende Spiegel, während eine λ/4-Schicht als Antireflexionsvergütung eingesetzt werden kann?

4 Welleneigenschaften

146

Quelle

Unse

Fabry-Perot

von Licht

Schirm

Li

(a)

(b) Bild 4.33: Fabry-Perot-Interferometer. (a) Typischer Aufbau zur Messung der Fabry-Perot-Ringe unter Verwendung einer fläciieniiaften Lichtquelle. Die Beobachtung erfolgt in der Brennebene der Linse ¿ 2 · Man erhält so die Interferenzlinien gleicher Neigung als konzentrische Kreise, (b) Ausführungsformen von Fabry-Perot-Interferometem. Einfach zu handhaben sind Fabry-Perot-Etalons, bei denen die reflektierenden Schichten auf ein exakt eben poliertes, planparalleles Substrat aufgebracht sind (rechts).

flußt wird, werden die Fabry-Perot-Platten bei speziellen Anwendungen im Vakuum gehalten. Ein typischer Meßaufbau unter Verwendung eines FabryPerot-Interferometers ist in Bild 4.33a gezeigt. Monochromatisches Licht aus einer ausgedehnten Quelle wird durch eine Linse divergent auf das Interferometer abgebildet. Jedes Lichtbündel wird an den parallelen Flächen des Fabry-Perot-Interferometers hin und her reflektiert (Reflexionswinkel θρ) und verläßt als Schar paralleler Bündel das Interferometer. In der Brennebene einer Linse L2 beobachtet man dann die Interferenzñgur, die ein konzentrisches Ringsystem bildet (Haidingersche Ringe gleicher Neigung). Wir wollen nun Reflexion und Transmission durch das Interferometer berechnen. Dazu betrachten wir ein ideales Interferometer, in dem keine Verluste durch Streuung oder Absorption auftreten und bei dem links und rechts der planparallelen Platte (Dicke d, Brechungsindex пр) Schichten gleicher Reflexion und Medien mit gleichem Brechungsindex щ auftreten (siehe Bild 4.34). In diesem Fall können wir Amplitudenreflexions- bzw. Amplitudentransmissionskoeffizienten r und t für die äußere Reflexion (Transmission) und r', t' für die innere Reflexion (Transmission) an einer Schicht verwenden. Dabei gilt: t-t' = und r' = -r. Wir haben dabei den Phasensprung für die symmetrische Anordnung der Brechungsindizes im Fabry-Perot durch die

4.4 Interferenz

147

Ез, = EQ t rVr'r'fei28

E3,= Eotr'rrt-ei2S E2, = Eotr-rre¡S Ei, = Entt·

Bild 4.34: Fabry-Perot-Interferometer. Feldstärken der verschiedenen reflektierten und transmittierten Lichtbündel.

Vorzeichen von r und r' berücksichtigt. Im folgenden berechnen wir zunächst die reflektierte Feldstärke E^. Dazu summieren wir über alle reflektierten Teilbündel: (4.40)

E, - Eu + Е2Г + Е3Г + ... = Eor + Eot r' t' é^ +Eot r'r'r't'

+ ...

δ (siehe unten in Gl. (4.43)) ist dabei der geometrische Phasenunterschied im Fabry-Perot. Da |r ^ e"^ | < 1 ist, läßt sich die geometrische Reihe aufsummieren und wir erhalten: E, = Eoi r +

r'tt' e'^ 1 -r'2

(4.41)

Unter Verwendung der obigen Bedingungen für die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten ergibt sich dann für die reflektierten Felder und Intensitäten: Er = Eq

1 -r2

(4.42)

148

4

^ 2r2(l-cos i^ideal(0!,p) ^ " в ideal(a?, У)

Beugung am Objekt liefert die Fouriertransformierte Fideai(a,ß), die dann in das ideale Bild rücktransformiert wird. In der realen Abbildung (Bild 4.42) wird die ideale Fouriertransformierte erst gar nicht erzeugt: Die Linse besitzt nur einen endlichen Durchmesser und kann somit nur niedrige Raumfrequenzen verarbeiten. Zusätzlich treten Linsenfehler auf. Beides wollen wir dadurch berücksichtigen, daß wir vor die Rücktransformation noch einen Filterungsprozeß schalten, der zur gefilterten Fouriertransformierten Ein reales Bild enthält weniger Information als ein ideales Bild

Р г ы { а , р ) = TFilter(a,/?) · Fideal(a,/3) f ü h r t . „ . Filterung: RücktransFouriertrans^ ^ , -, formation „ / o\ 0) / o\ formation „ Щх,У) >Fid^{a,ß) > irreal ( α , / ? ) >

,

s,

Das Bild entspricht dann (nach dem Faltungstheorem) der Faltung von Objektfunktion mit Filterfunktion (Transferfunktion): Ωв real

в ideal

' ^Filter

Diese Abbildungstheorie soll nun kurz auf das einfache Beispiel von Bild 4.42 angewendet werden. Wir verwenden als Objekt ein Strichgitter mit kleinem Strichabstand d. Das Gitter beugt das einfallende Licht in di

4.5 Anwendungen

von Beugung und Interferenz

161

Bild 4.42: Auflösungsvermögen eines Mikroskops nach Abbe. Damit die Periodizität einer Struktur korrekt wiedergegeben wird, muß das abbildende optische System neben der Oten Ordnung auch die ± 1 . Beugungsordnung aufnehmen können.

unterschiedlichen Ordnungen. Je nach Öffnungswinkel des Objektivs werden unterschiedliche Beugungsordnungen ausgefiltert, bzw. zum Aufbau des Bildes verwendet. Läßt man nur die 0-te Ordnung passieren, so entspricht dies einem einzigen Punkt in der Fourierebene (Brennebene), der nur zu gleichmäßiger Helligkeit in der Bildebene Anlaß gibt. Verwendet man zusätzlich die ±1. Ordnung, so entsteht ein Bild, das die Periodizität des Objektgitters richtig wiedergibt. Mit zunehmend mehr Ordnungen nimmt die Schärfe der Abbildung zu. Das Auflösungsvermögen eines Mikroskops ist nach der Abbeschen Theorie so definiert, daß 0-te und ±1. Ordnung innerhalb des Öffnungswinkels des Objektivs fallen müssen. Damit ergibt sich bei senkrechter Beleuchtung des Objektes für den Fall, daß vor dem Objektiv der Brechungsindex η herrscht: Aum = n s i n ö > \/d λ d>

Лп

Korrekte Wiedergabe der Periodizität: 0. und ± I. Beugungsordnung benötigt

oder

Auflösungsvermögen eines Mikroskops nach Abbe

Für schräge Beleuchtung läßt sich die Auflösung noch steigern, wenn man neben der 0-ten Ordnung nur die +1. oder —1. Ordnung verwendet. Das so berechnete Auflösungsvermögen entspricht dann in etwa dem der Helmholtzschen Behandlung von Gl. (4.55). Die Abbesche Theorie der Bildentstehung eröffnet zusätzlich interessante Möglichkeiten der Bildbearbeitung. Durch Auswahl bestimmter Bereiche der Fourierebene durch Masken oder Blenden kann man eine räumliche Filterung des Bildes vornehmen. Man kann damit den Kontrast erhöhen oder erniedrigen, störende Bildelemente unterdrücken und Kantenüberhöhungen

Fourieroptili: Bearbeitung der Bildinformaticn in der Fourierebvne

162

4 Welleneigenschaften

von Licht

ausführen. Anhand einiger einfacher Beispiele ist dies in Bild 4.43 demonstriert. Details dieser interessanten Anwendung der modernen Optik entnehmen Sie bitte der weiterführenden Literatur.

(a)

(b)

(c) Bild 4.43: Bilderläuterungen siehe folgende Seite

4.5 Anwendungen von Beugung und Interferenz

163

(d)

I (e) Bild 4.43: Beispiele der Bildverarbeitung mit Hilfe der Fourieroptik: (a) Originalbild (links) mit zugehöriger Fouriertransformierter (rechts), (b) Gerastertes Bild mit zugehöriger Fouriertransformierter; die Rasterung führt zu der gitterförmigen Beugungsstruktur, (c) Bearbeitete Fouriertransformierte von Bild (b) (links) und Rücktransformierter (rechts); die Einführung der Blende führt dabei zum Unterdrücken des Rasters, (d) Die Überlagerung des Originalbildes mit einem Strichmuster führt zu zusätzlichen eindimensionalen Modulationen in der Fouriertransformierten (d.h. im Beugungsbild), (e) Blendet man diese Modulationen aus, so kann das Strichmuster praktisch vollständig beseitigt werden. (Beachte den dabei auftretenden Informationsverlust)

4.5.3 Holographie Seit über 100 Jahren stellt die Photographie Methoden zur Verfügung, mit deren Hilfe man ebene Abbilder speichern und wieder sichtbar machen kann. Mit Hilfe der Stereophotographie wurde dabei noch der räumliche Eindruck bei der Beobachtung einer Szenerie aus einem ganz bestimmten Blickwinkel vermittelt. Die Photographie ist jedoch nicht in der Lage, die vollständige räumliche Information, die im Licht enthalten ist, aufzunehmen. Im wesentlichen liegt der Grund dafür am photographischen Aufnahme verfahren: Ein photographischer Film oder eine elektronische Kamera registriert nur Intensitäten (Energien) und nicht Felder. Zum Beispiel ist die Schwärzung

Holographie Speicherung von räumlicher Bildinformation

4 Welleneigenschaften

164

Ein Hologramm enthält Informationen über Amplituden und Phasen der Welle

von Licht

eines Filmes nach dem Entwickeln direkt mit der absorbierten Lichtenergie verknüpft. Deshalb ist ein Film auch nicht in der Lage, aus dem direkt auffallenden Licht die Feldstärke aufzunehmen und somit sinnvolle Bildinformationen zu speichern. Ein Bild erhält man erst, wenn mit Hilfe einer optischen Abbildung ein reelles Bild auf dem lichtempfindlichen Material erzeugt wurde. Mit der Holographie wurde von D. Gabor ein Verfahren entwickelt, mit dem es möglich ist, Amplituden und Phaseninformation des elektromagnetischen Feldes aufzunehmen und die Erstellung räumlicher Bilder zu gestatten. In diesem Abschnitt sollen nur die elementaren Grundprinzipien der Holographie und diese stark vereinfacht vorgestellt werden. Für eine Vertiefung sei auf die umfangreiche, weiterführende Spezialliteratur zu diesem Thema verwiesen. Der Weg, über den in der Holographie Amplituden und Phaseninformation mit einem intensitätsempfindlichen Material gespeichert und ausgelesen werden, verwendet Interferenz und Beugung, die in zwei Schritten ausgenutzt werden: 1. Schritt: Aufzeichnung des Hologramms

Speicherung der Phaseninformation mit Hilfe der Referenzwelle

Man beleuchtet das abzubildende Objekt mit einer ebenen Welle monochromatischen Lichtes (siehe Bild 4.44a). Vom Objekt gestreutes und reflektiertes Licht breitet sich dann weiter im Raum aus und fällt auch auf die Photoplatte. Würde man nur dieses Licht registrieren, so hätte man eine mehr oder weniger gleichmäßige Schwärzung der Platte ohne Bildinformation. Die Phaseninformation des auf die Photoplatte fallenden, gestreuten Lichts wird nun dadurch sichtbar gemacht, daß ein Teil der ebenen Welle als Referenzlicht über den Spiegel ebenfalls auf die Photoplatte gelenkt wird. Interferenz zwischen dem Objektlicht und dem Referenzlicht führt zu einem Interferenzstreifenmuster auf der Photoplatte. Damit diese Interferenzstreifen entstehen können, ist es notwendig, daß das beleuchtende Licht eine Kohärenzlänge besitzt, die größer ist als alle bei der Beleuchtung der Platte vorkommenden Wegdifferenzen. Das Ergebnis dieser Bildaufnahme ist also eine Photoplatte mit einem komplexen Streifenmuster. Die mathematische Beschreibung des Aufnahmeverfahrens führen wir folgendermaßen durch: Wir verwenden eine Objektwelle Eo an der Photoplatte (Koordinaten x,y), die durch stark ortsabhängige Amplituden und Phasenanteile charakterisiert sei. Dagegen besitze die Referenzwelle ER konstante Amplitude und einen einfachen Phasenverlauf. Eo{x,y)

= Eoo{x,y)e:>ip[iut

+

ίφο{χ,ν)]

ER{X, y) = -RRO exp[i ωί -Ь i фк{х, у)]

(4.56) (4.57)

4.5 Anwendungen (a)

von Beugung und

Interferenz

165

Aufzeichnen Spiegel

Spiegel

Objekt

y ®—V photographische Platte

I

Bild 4.44: Holographie (a) Aufzeichnung und (b) Wiedergabe eines Hologramms, (c) Der räumliche Eindruck des Hologramms wurde hier durch Photographieren des Hologramms mit unterschiedlicher Scharfstellung und unterschiedlicher Schärfentiefe vermittelt.

Die Intensität auf der Filmebene berechnet sich zu: I{x,

y) (X EI^

+ EI^

+ E-roEoo{X,

y ) { ( e x p [ i фо{х,

у) -

i

у)]

+ е х р [ - 1 ( / . о ( ж , у ) + í A, dann erscheint der Energieüberschuß als kinetische Energie der Photoelektronen. Die maximale kinetische Energie entspricht dem Fall, daß ein Elektron vom oberen Rand des Leitungsbandes in das Kontinuum angehoben wurde. Die Austrittsarbeit A ist aus dem Experiment zu ermitteln. Photoeffekt bei Atomen und Molekülen

Der Photoeffekt tritt auch bei Atomen und Molekülen auf. In diesem Fall ist die Größe A gleich der Bindungsenergie des Elektrons in dem Atom oder Molekül. Wenn die Energie der einfallenden Photonen größer ist als diese Bindungsenergie, dann wird das Elektron freigesetzt, und das Atom wird ionisiert. Die am stärksten gebundenen Elektronen für Elemente, die auf der Erde vorkommen, finden wir in der innersten Elektronenschale des Urans; ihre Bindungsenergie beträgt 115,610 keV. Einige Zahlenwerte für Austrittsarbeiten

Kontinuum E=0

Leitungsband IVIetali

Vakuum

Bild 5.4: Schematische Darstellung der Energieverhältnisse beim Photoeffekt.

5.2 Photonen

215

Tabelle 5.1: Austrittsarbeit und Bindungsenergie des am schwächsten gebundenen Elektrons einiger Metalle. Metall

Л

freies Atom

Bindungsenergie des am schwächsten geb. Elektron

Η

13,6 eV

Cs

1,9 eV

Cs

3,9 eV

Na

2,3 eV

Na

5,9 eV

W

4,6 eV

W

8,9 eV

von Metallen bzw. die Bindungsenergien der am schwächsten gebundenen Elektronen der entsprechenden Atome sind in der Tabelle 5.1 angegeben. Wir weisen an dieser Stelle darauf hin, daß der Energie- und Impulssatz beim Photoeffekt an einem Atom nur dann erfüllt werden kann, wenn auch der Atomkern Impuls übernehmen kann. Es ist daher notwendig, daß das Elektron vor der Wechselwirkung mit der elektromagnetischen Strahlung gebunden war. Diesen Sachverhalt können wir später quantitativ analysieren, wenn wir den Impuls der Photonen diskutiert haben. Das hier skizzierte Modell der Photoemission von Elektronen aus einem Metall wird durch weitere Experimente gestützt, zum Beispiel Daten zur Glühemission von Elektronen: Wenn man ein Metall genügend hoch heizt, treten ebenfalls Elektronen aus. In diesem Fall wird die Austrittarbeit durch die thermische Energie кТ der Elektronen aufgebracht. Die StromSpannungscharakteristik ist ähnlich wie im Fall der Photoemission. Durch Messung der Sättigungsstromdichte bei vorgegebener Temperatur Τ kann man die Austrittsarbeit А bestimmen.

Glühemission

5.2.2 Anwendungen des Photoeffekts Im folgenden diskutieren wir zwei Themen, bei denen der Photoeffekt eine wesentliche Rolle spielt. 1. Nachweis von Photonen Praktische Anwendung findet der Photoeffekt bei Photozellen, die zum Beispiel in Lichtschranken eingesetzt werden, sowie bei SekundärElektronen-Vervielfachem (Photomultipliem), die beim Nachweis von Licht, Röntgen- oder Gamma-Strahlung verwendet werden. Photomultiplier haben Kathoden mit besonders niedriger Austrittsarbeit und hoher Quantenausbeute. Darunter verstehen wir die Wahrscheinlichkeit, mit der ein einfallendes Photon ein Photoelektron erzeugt. Als Beispiel erwähnen wir eine Photokathode aus Sb-K-Cs Material mit einer Quantenausbeu-

Photomultiplier

216

5 Quantenphänomene:

0.01

300

400

500

600

Wellen und Teilchen

7 0 0 λ [nm]

Bild 5.5: Wellenlängenabhängigkeit einer typischen Bialkali-Photokathode. Durchgezogene Linie: Photoelektrische Empfindlichkeit. Gestrichelte Linie: Quantenausbeute.

te von 28% bei Amax = 390 nm. Die spektrale Empfindlichkeit dieser Photokathode ist im Bild 5.5 dargestellt. Darunter verstehen wir den Sättigungsstrom für eine vorgegebene Intensität der Lichtquelle. Man erkennt eine nahezu konstante Empfindlichkeit im Bereich zwischen 350 und 550 nm. Um Röntgen- und Gamma-Strahlung nachzuweisen, benutzt man feste oder flüssige Szintillatoren, die die einfallende hochenergetische Strahlung in Szintillationslicht der geeigneten Wellenlänge wandeln. Photomultiplier haben zusätzlich zur Photokathode weitere Elektroden, die man Dynoden nennt, und eine Anode. Der Aufbau ist im Bild 5.6 Kathode

Dynoden

чАААЛ

Bild 5.6: Prinzipieller Aufbau eines Photomultipliers.

Anode

5.2 Photonen

217

gezeigt. Durch geeignete geometrische Anordnungen und Potentialverteilungen werden die Photoelektronen, die aus der Kathode emittiert werden, auf die erste Dynode hin beschleunigt. Sie lösen dort SekundärElektronen aus und werden auf diese Weise vervielfacht. Die gesamte Stromverstärkung einer solchen Anordnung kann bis zu 10^ betragen. 2. Absoφtion elektromagnetischer Strahlung durch Materie

Wenn No Photonen auf ein absorbierendes Medium der Dicke d fallen, dann wird ein Bruchteil der Photonen absorbiert: Die Energie der durch den Absorber gehenden Photonen ist ungeändert, aber ihre Zahl nimmt exponentiell mit der Dicke d des Absorbers ab: N{d) =

NQ

(5.6)

exp ( - μ d).

Dabei ist der Absoφtionskoeffizient μ abhängig von der atomaren Struktur des Absorbermaterials und von der Energie der Photonen. Im Bereich von Röntgenenergien ist der Photoeffekt an inneren, stark gebundenen Elektronen der Absorberatome der dominante Prozeß, durch den Photonen absorbiert werden. Dabei treten entsprechene Schwellen jeweils dann auf, wenn die Energie der Strahlung ausreicht, ein entsprechend stark gebundenes Elektron ins Kontinuum zu befördern. Bild 5.7 zeigt ein Beispiel: die Energieabhängigkeit des Absoφtionskoeffizienten

0.6

0.8

λ [Â] Bild 5.7: Absorptionskoeffizient von Blei in Abhängigiceit der Wellenlänge.

218

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen μ für das Element Blei im Bereich der Röntgenenergien. Man erkennt die ausgeprägte Absoφtionskantenstruktur: Die am stärksten gebundenen Elektronen haben eine Bindungsenergie von 88,005 keV, entsprechend einer Wellenlänge A = 0,1409 Â. Die entsprechende Absorptionskante ist mit К bezeichnet, weil man die innerste der Elektronenschalen in einem Atom als K-Schale bezeichnet. Die nächst stark gebundenen Elektronen stammen aus der L-Schale. Man erkennt, daß diese Schale eine Feinstruktur aufweist: Die Bindungsenergien sind 15,861 keV, 15,200 keV und 13,035 keV. Die entsprechenden Kanten sind mit Li, Ln und Liii bezeichnet.

5.2.3 Der Impuls der Photonen: Der Compton-Effekt Wir erinnern an den in der relativistischen Mechanik diskutierten Zusammenhang zwischen der Gesamtenergie E, der Ruheenergie moc^ und dem Impuls ρ eines Teilchens. E^

+

{moc^

relativistischer Energiesatz

(5.7)

Weiterhin gilt der von Albert Einstein postulierte Zusammenhang E = m(? zwischen der Gesamtenergie E und der relativistischen Masse m. Photonen breiten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit с aus und haben daher nach den Regeln der relativistischen Mechanik die Ruhemasse Null. Demzufolge sollten sie einen Impuls mit dem Betrag P7 =

E.7

(5.8)

haben. relativistische Masse des Photons

Weiterhin können wir dem Photon eine relativistische Masse m =

hv

(5.9)

zuordnen. Diese Masse bewirkt, daß Photonen mit Gravitationsfeldern wechselwirken und dabei Energie gewinnen oder verlieren können. Derartige Phänomene kann man heutzutage experimentell nachweisen. Wir wollen uns jedoch in diesem Abschnitt darauf beschränken, zu diskutieren, wie man den Impuls der Photonen bestimmt. 1922: Compton-Effekt

Wir beschreiben dazu den Compton-Effekt. Darunter verstehen wir die Streuung eines Photons der Energie E^ und des Impulses p j an einem Elektron. Dieses Problem wird wie ein Stoßprozeß in der Mechanik analysiert. Die

5.2 Photonen

219

Energie des Photons soll dabei im Bereich von Gamma-Strahlung, d.h. bei mindestens 100 keV liegen. Damit ist die Wellenlänge der Strahlung deutlich kleiner als atomare Dimensionen, und wir können von der Streuung an einem einzelnen Elektron sprechen. Bild 5.8 zeigt die Geometrie und die Bezeichnung der verwendeten kinematischen Größen. Als Ergebnis des Streuprozesses ergibt sich ein unter dem Winkel ΰ zur Einfallsrichtung gestreutes Gamma-Quant der Energie E'^ und dem Impuls p!^ und ein Rückstoßelektron mit dem Impuls p^. Die Wellenlänge der Streustrahlung λ' ist größer als die der einfallenden Strahlung, die Energie entsprechend kleiner.

Die Wellenlänge der Streustrahlung ist größer als die der einfallenden Strahlung

Bild 5.8: Geometrie und kinematische Größen beim Compton-Effekt.

Im folgenden wollen wir die Compton-Streuung von Photonen an ruhenden, freien Elektronen quantitativ analysieren und dabei Beziehungen für die Wellenlängen- bzw. Energieverschiebung ableiten. In der Praxis sind natürlich die Elektronen in Atomen, Molekülen oder festen Körpern gebunden und befinden sich nicht in Ruhe. Um unsere Annahme eines freien, ruhenden Elektrons zu rechtfertigen, nehmen wir daher zunächst an, daß der Energieübertrag auf das Elektron beim Compton-Stoß so groß sei, daß wir die Bindungsenergie und die kinetischen Energie des Elektrons im Atom dagegen vernachlässigen können. 1. Energieverschiebung des gestreuten Quants: Wir benutzen den Energie- und Impulssatz in der relativistischen Form: (5.10) E^ + m o c ^ = E'^ + (E, -

+

+ m o c 2 ) 2 = {p^ - p'^fc^

-f E'^"^ + {moc^f

-

2E^E\

+

(moc2)2

+ 2E^moc^

= E^ + E'^^ -

(5.11)

(moc2)2

-

2E'^moc^

2\2 cos ΰ + (moc2)

Compton-Streuung

220

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen E^E'^il {hv){hu'){l

—

-

COSI?) =

-

E'^)

-

COSÍ?)

-

v')

= moc^h{v

(1 - COSÍ?) = с

moc

- - ) = A' - A v'

V

Damit erhalten wir die Beziehungen \ ' - \ rpl

=

h (1 -

(5.12)

COSI?)

moc

I

E-y · rriQC^

!

(5.13)

Die Größe h

= 2,42631 · lO-^^m

moc

Compton-Wellenlänge des Elektrons

wird als Compton-Wellenlänge des Elektrons bezeichnet. Wir erwähnen zwei Spezialfälle: a) Für Vorwärtsstreuung, d.h. einem Streuwinkel i? = 0, ist A = A', d.h. die Energie des Gamma-Quants bleibt unverändert. Ganz generell gilt:

Rayleigh-Streuung

Bei

sichtbarem

Licht wird

keine

Wellenlängenänderung Streulichts beobachtet

des

Wenn die Bindungsenergie der Elektronen im Atom größei ist als der Energieübertrag durch den Compton-Stoß, dann hat das Streulicht die gleiche Wellenlänge wie die einfallende Strahlung. Der Energieiibertrag auf das gesamte Atom kann dabei wegen dessen großer Masse vernachlässigt werden. Der Prozeß wird als Rayleigh-Streuung bezeichnet. Er tritt vor allem bei kleinen Photonenenergien auf. Er ist ein kohärenter Streuprozeß an allen Elektronen eines Atoms. Um die gestreute Intensität zu ermitteln, muß man daher in diesem Fall zunächst die Streuamplituden (oder die elektrischen Feldvektoren) der Einzelstreuprozesse addieren, und dann deren Summe quadrieren. Somit skaliert die Wahrscheinlichkeit für den Rayleigh-Streuprozeß mit Z^; dabei ist Ζ die Ordnungszahl des Elements, d.h. die Zahl der Elektronen im neutralen Atom. Im Gegensatz dazu skaliert die Wahrscheinlichkeit für die Compton-Streuung mit Z. b) Für RückStreuung, d.h. einem Streuwinkel ϋ = π, ist der Energieverlust des Photons maximal. Er beträgt 2E^ moc^

-b

2E^

5.2 Photonen

221

Die Energie des gestreuten Photons ist in diesem Fall für E-y^moc^

4

= 1+

moC

Ä moc^

= 255 keV.

2. Wirkungsquerschnitt für die Compton-Streuung: Klein-Nishina-Formel Im folgenden wollen wir die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, daß ein Photon der Energie a —

aus seiner Einfallsrichtung herausgestreut moc^

wird, wenn es auf einen Stгeuköφer (ein Target) fällt. Die Geometrie des Experiments ist im Bild 5.9 skizziert.

Пс

streu

^ΔΩ

Detektor Bild 5.9: Geometrie des Experiments zur Compton-Streuung.

Dabei bezeichnet η ρ die Zahl der einfallenden Quanten pro Sekunde, п т die Zahl der Target-Atome pro cm^ und ΰ den Streuwinkel, bezogen auf die Richtung der einfallenden Quanten. Die Gesamtzahl der aus der Einfallsrichtung heraus gestreuten Quanten ist gleich der Differenz aus der Zahl der einfallenden und der der durchgehenden Quanten: -^Streu = np

- n'p ^ np

·ητ

• σ.

(5.14)

Diese Beziehung definiert den totalen Wirkungsquerschnitt σ für den Prozeß. Die Einheit ist die einer Fläche, 1 bam = 10" cm^

Einheit des Wirkungsquerschnitts

Wenn wir im Abstand R beim Streuwinkel ΰ einen Detektor mit der empfindlichen Fläche F aufbauen, so überdeckt dieser den Raumwin-

F kel Δ Ω =

und die Zahl der in das Raumwinkelelement άΩ

=

27γ sin ϋ dì? gestreuten Quanten ist gleich = η ρ · η τ

dü

ΔΩ.

Der différentielle Wirkungsquerschnitt

(5.15) kann mit den Methoden

άΩ der Quantenelektrodynamik berechnet werden. Dies wurde zuerst von O. Klein und Y. Nishina (1929) durchgeführt. Das Ergebnis dieser Berech-

¡929: Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnitts durch Klein und Nishina

222

5 Quantenphänomene:

Bild 5.10: Diiferentieller Wirkungsquerschnitt ( ^

ß

gigkeit von Photonenergie a = — ^

moc^

Wellen und Teilchen

) bei der Compton-Streuung in Abhän-

\αΩ /

und Streuwinkel ϋ.

nungen ist für verschiedene Energien der einfallenden Photonen in Form eines Polardiagramms im Bild 5.10 gezeigt. Die Länge eines (gedachten) Pfeils vom Ursprung des Koordinatensystems bis zur Contour-Linie ist ein Maß für den differentiellen Wirkungsquerschnitt ——. Man erkennt diz eine in Vorwärts-Rückwärtsrichtung praktisch symmetrische Verteilung des Streuquerschnitts für kleine Energien der einfallenden Photonen, d.h. für α ~ 0, und die stark nach vorwärts gerichtete Streuwahrscheinlichkeit für höhere Energien.

5.2.4 Anwendungen des Compton-Effekts 1. Funktionsweise des Compton-Teleskops COMPTEE

Messung der Gammastrahlung im Weltraum

Die Tatsache, daß die gestreute Strahlung bei immer höheren Energien immer weiter nach vorn gerichtet ist, wird in dem Weltraumteleskop COMPTEE, das auf dem Satelliten GRO (= Gamma Ray Observatory) die Erde umkreist, ausgenutzt, um die Richtung festzulegen, aus der hochenergetische Gamma-Strahlung aus dem Weltraum auf das Teleskop fällt. Eine Prinzipskizze des COMPTEE-Teleskops ist im Bild 5.11 gezeigt. In diesem Fall wird ein aktiver Streuköφer, d.h. ein GammaDetektor benutzt, in dem das Rückstoßelektron seine gesamte Energie verliert. Dieser erste Detektor bestimmt die Energie des Compton-Elektrons und damit den Energieverlust E^ - E'^. Ein zweiter Detektor,

5.2 Photonen

223

Detektorl: Ε , - Ε /

Detektor2: E'

Bild 5.11: Schematische Funktionsweise des COMPTEL-Teleskop.

im Abstand d vom ersten, bestimmt die Restenergie E'^ des Comptongestreuten Photons. Beide Detektoren zusammen ermitteln also die Gesamtenergie E j des einfallenden Quants und die Energie E'^ des Compton-gestreuten Quants. Aus der Beziehung (5.13) ergibt sich der Streuwinkel ΰ. Da die Richtung des Rückstoß-Elektrons im ersten Detektor nicht gemessen wird, ist damit lediglich ein „Ereigniskreis" festgelegt, aus dem das einfallende Quant gekommen sein muß. Viele Ereignisse, von einer Gamma-Quelle im Weltraum emittiert, ergeben dann viele solche ,^;reigniskreise", ihr gemeinsamer Schnittpunkt die Richtung, aus der die Strahlung auf den Detektor eingefallen ist. Diese Information wird benutzt, den Ort der Quelle zu ermitteln. 2.

Messung der Lineaφolarisation von Gamma-Strahlung Der Compton-Effekt bietet die Möglichkeit, experimentell festzustellen, ob elektromagnetische Strahlung mit Energien im MeV-Bereich linear polarisiert ist. Um dieses Verfahren zu erklären, benutzen wir ein klassisches Wellenbild. Die Argumentation zu diesem Phänomen ist identisch zu der, die zur Erklärung des Brewster-Winkels in der Optik gemacht wurde, nur hier für den inelastischen Prozeß: Linear polarisierte Strahlung ist dadurch charakterisiert, daß der elektrische Feldvektor in einer vorgegebenen Ebene schwingt. Das Elektron im Target wird eine entsprechende periodische Kraft erfahren und ebenfalls eine Schwingung in dieser Richtung ausführen. Dabei strahlt es Energie ab. Nach der Charakteristik eines Hertzschen Dipols ist die abgestrahlte Intensität maximal senkrecht zu der Richtung des ¿-Vektors, und Null in dessen Richtung. Um die Lineaφolarisation der einfallenden Strahlung zu ermitteln, muß man also zwei Detektoren aufbauen, den einen als aktiven Streuer, den zweiten beim Streuwinkel ϋ = π / 2 , und nach zeitlich korrelierten Ereignissen suchen. Wenn die einfallende Strahlung vollständig linear polarisiert ist, wird man in der Ebene der Linearpola-

Wie ¡äßt sich die lineare Polarisation von Gamma-Strahlung messen?

224

5 Quantenphänomene:

Wellen und Teilchen

risation keine Compton-gestreuten Quanten nachweisen, senkrecht dazu eine maximale Anzahl. Strahlungsdruck

Laser-Cooling

Rückstoßenergie eines Kerns, der ein Gamrna-Quant emittiert

3. Der Impuls der Photonen, die auf einen Кофег treffen, erzeugt eine Kraft, den Strahlungsdruck, den man direkt messen kann. Nehmen wir an, ein Laserstrahl mit 10^ Watt Leistung wird von einem drehbar aufgehängten Spiegel reflektiert. Die Kraft auf den Spiegel beträgt dann | N. 4. Der Rückstoß von Laser-Quanten, die von einem frei sich bewegenden Atom absorbiert werden, kann dazu genutzt werden, das „Atom abzubremsen", wenn Quant und Atom aufeinander zulaufen. Man wählt dabei eine Energie der Laser-Quanten, die etwas unterhalb einer Resonanz liegt. Nur Atome, die auf den Laserstrahl zulaufen, werden dann auf Grund der Dopplerverschiebung angeregt und entsprechend gebremst. Die absorbierte Strahlung wird zwar anschließend wieder reemittiert, jedoch in alle Richtungen. Dadurch kann ein Gas gekühlt werden: eine kleinere mittlere Geschwindigkeit der Atome in einem Gas ist gleichbedeutend mit einer niedrigeren Temperatur des Systems. 5. Wir betrachten einen angeregten, in Ruhe befindlichen Atomkern der Masse M. Die Anregungsenergie sei EQ. Durch Emission eines GammaQuants der Energie E^ geht er in seinen Grundzustand über. Dabei erfährt er einen Rückstoßimpuls ркет- Damit verbunden ist eine Rückstoßenergie ЕЦ. Die Gamma-Energie ist daher um diese Rückstoßenergie kleiner als die Anregungsenergie EQ. Die Energiedifferenz läßt sich aus Energieund Impulssatz ableiten. Da die Rückstoßenergie Ец klein gegen die Anregungsenergie EQ ist, benutzen wir die Näherung

\ =

E^

EO

und rechnen nicht-relativistisch: P-r + ЙСегп =

(5.161

0

und ER

=

ER

=

РКеш 2

(5.17)

M

El 2 M c2

Ei

2 M c2 •

(5.18)

Bei einem ^^Fe-Kern,^ der ein Gamma-Quant der Energie 14,4 keV au sendet, beträgt die Rückstoßenergie 1,95 meV. Zur Nomenklatur der Atomkerne siehe Kapitel 6

225

5.2 Photonen Compton-Profile

Bei der Ableitung der Beziehung (5.12) aus dem Energie- und Impulssatz haben wir angenommen, daß das Elektron vor dem Compton-Stoß in Ruhe ist. Nur in diesem Fall ist die Energie des gestreuten Quants bei vorgegebener Energie des einfallenden Quants eine wohl definierte Funktion des Streuwinkels i9. Im allgemeinen ist diese Annahme nicht richtig. Wie erwähnt haben die Elektronen in Atomen, Molekülen und festen Кофегп endliche, von Null verschiedene Impulse. Tatsächlich kann man bei genügend guter Energieauflösung der experimentellen Anordnung (entsprechend guter geometrischer Definition des Streuwinkels und guter Energieauflösung des Detektors) eine verbreiterte Energieverteilung der gestreuten Strahlung beobachten, die man als Compton-Profil bezeichnet. Ein Beispiel für die Compton-Streuung an Lithium-Metall ist im Bild 5.12 gezeigt.

Elektron aus Leitungsband

gebundene Elektronen (1s )

0.4

E [keV]

Bild 5.12: Compton-Profil von Lithium.'^ Durchgezogene Linie: Modeilanpassung bei konstanter Fläche. Gestrichelte Linie: Daten.

Nimmt man an, daß jedes Lithium-Atom eines seiner drei Elektronen, das äußere, an das Leitungsband abgibt, und daß die Leitungselektronen in Lithium-Metall ein kontinuierliches Energiespektrum bis zu einer maximalen Energie von einigen eV haben, so erwartet man eine Parabel als Compton-Profil. Diese Parabel ist in der Abbildung gut zu erkennen. Der Untergrund entsteht durch Compton-Streuung an den beiden inneren gebundenen Elektronen. Damit sei illustriert, daß man aus der experimentellen Untersuchung derartiger Compton-Profile Informationen über das Spektrum der kinetischen Energien der Elektronen in Atomen und festen К о ф е т erhalten kann. W. C. Phillips, Physical Review 171, 790 (1968).

Compton-Proñle

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

226 Inverser Compton-Effekt Erzeugung monoenergetischer Garnma-Strahlung

Wir erwähnen eine Technik, monoenergetische Gamma-Strahlung im Bereich vieler MeV mit Hilfe der Compton-Streuung zu erzeugen. Man benutzt dazu den zeitgespiegelten Prozeß: ein intensiver Laserstrahl, mit typischen Photonenenergien im eV-Bereich, kollidiert mit einem hochenergetischen (einige GeV) Elektronenstrahl und gewinnt dabei entsprechend Energie. Derartige Techniken wurden zuerst am Elektronen-Linearbeschleuniger SLAC in Stanford, USA, entwickelt. Eine moderne Version wird an der europäischen Synchrontonstrahlungsquelle ESRE in Grenoble (Frankreich) aufgebaut.

5.2.5 Erzeugung von Bremsstrahlung und charakteristischer Röntgenstrahlung Wenn ein elektrisch geladenes Teilchen beschleunigt oder abgebremst wird, strahlt es elektromagnetische Energie ab, d.h. es emittiert Photonen. Dieser Prozeß ist bereits in der Vorlesung PHYSIK II angesprochen worden. Er ist die Basis für die Funktionsweise von Röntgen-Apparaturen und von Synchrotron-Strahlungsquellen. Nehmen wir an, Elektronen werden auf eine kinetische Energie = eU beschleunigt und dann in einer Metallanode auf die Energie abgebremst. Dabei wird ein Bremsstrahlquant der Energie hi^ =

Spektrum

der

Bremsstrahiung

-

ELkin

emittiert. Wenn die Metallanode entsprechend dick ist, werden die Elektronen in einer Vielzahl von Stößen vollständig abgebremst. Das resultierende Bremsstrahlspektrum ist kontinuierlich, mit einer oberen Frequenzgrenze, die durch die Energieerhaltung vorgegeben ist: Die maximale Photonenenergie ist gleich der kinetischen Energie des geladenen Teilchens.

/li^max = -E^kin = eU.

Bremsstrahlung: Umkehrung des Photoeffekts

(5.19)

(5.20)

Formal können wir den Bremsstrahlungsprozeß als Umkehrprozeß des Photoeffekts betrachten. Wir schreiben symbolisch

Elektron —> Elektron + Photon

(5.21)

für die Erzeugung von Bremsstrahlung, und

Elektron -b Photon —> Elektron

(5.22)

5.2 Photonen

227

für den Photoeffekt. Wie bereits erwähnt, kann wegen der Impulserhaltung keiner dieser Prozesse für freie Elektronen stattfinden. Die charakteristische Röntgenstrahlung entsteht zusätzlich, wenn das Elektron beim Abbremsprozeß tief gebundene Hüllenelektronen der Atome, aus denen die Metallanode besteht, ins Kontinuum anhebt. Das resultierende Loch in der Elektronenhülle wird dann durch elektromagnetische Übergänge innerhalb der Atomhülle wieder aufgefüllt.

Charakteristische Röntgenlinien können dem kontinuierlichen Spektrum überlagert sein

5.2.6 Paarerzeugung Als Anwendung diskutieren wir den Erzeugungsmechanismus des Positrons, dem Antiteilchen des Elektrons. Dabei benutzen wir die durch vielfältige Experimente bestätigte Information, daß Teilchen und Antiteilchen innerhalb sehr geringer Fehlergrenzen die gleiche Ruhemasse haben und, wenn sie geladen sind, die im Betrag gleiche, im Vorzeichen unterschiedliche Ladung tragen. Neutrale Teilchen haben ebenfalls neutrale Antiteilchen. Die Massendifferenz zwischen dem Proton und dem Antiproton ist zum Beispiel in einem Experiment am Low Energy Antiproton Ring (LEAR) des CERN in Genf mittels einer raffinierten Fallen-Technik extrem genau studiert f: A m _o worden. Das Ergebnis ist 2 moc^ = 1,022 MeV. Die Impulserhaltung bei diesem Prozeß zeigt, daß die Paarerzeugung nur im Feld eines weiteren Stoßpartners möglich ist; dies kann ein Elektron, Atom oder ein Atomkern sein. Dies sieht man folgendermaßen ein: Direkt an der Schwelle, d.h. bei E^ = 2 rriQC?, sind die kinetischen Energien von Elektron und Positron gleich Null, und damit auch deren Impulse. Wie wir gezeigt haben, hat das einfallende Quant der Energie E^ jedoch den E Impuls \p\ = ^ 0, und damit ist der Impulssatz verletzt. G. Gabrielse et a l . Physical Review Letters 65, 1317 (1990).

Positron = Antiteilchen Elektrons

des

Paarerzeugung durch Photoproduktion

228 Für die Paarerzeugung ist ein Stoßpartner erforderlich

5 Quantenphänomene:

Wellen und Teilchen

Die Konsequenz ist, daß ein freies Gamma-Quant kein Teilchen-Antiteilchen-Paar, und demzufolge auch kein Elektron-Positron-Paar erzeugen kann, sondern daß ein weiterer Partner der Reaktion notwendig ist, um Energieund Impulssatz zu erfüllen. Dieser Stoßpartner habe die Masse M ; er erhält eine Rückstoßenergie bei der Paarerzeugung. Die durch den Rückstoßterm modifizierte Schwelle ist (5.24) Die Korrektur ist ein Faktor 2, wenn der Stoßpartner ein Elektron ist, und in erster Näherung vemachlässigbar, wenn der Stoßpartner ein Atomkern ist. Die Physik dieser Photoproduktionsprozesse eines Elektron-Positron-Paares soll an Hand einer Energiebetrachtung für Elektronen bzw. Positronen noch etwas vertieft gedeutet werden. Wir benutzen dazu das Bild 5.13. Die Gesamtenergie Eggg = ±-\/(pc)^ + (moc^)^ eines Elektrons hat zwei Zweige: Freie Elektronen haben eine kinetische Energie TEiektron > 0 und eine Gesamtenergie Bges, die größer als die Ruheenergie moc^ des Elektrons ist und kontinuierliche Werte annehmen kann (Kontinuumszustände). Zustände, bei denen das Elektron in einem Potential V(r) gebunden ist, haben wegen der negativen potentiellen Energie eine Gesamtenergie, die kleiner als die Ruheenergie ist, und die möglichen Energiewerte sind diskret.

Dirac-See

Unterhalb der (negativen) Ruheenergie moc^ gibt es ebenfalls einen formal möglichen Energiebereich. Nach theoretischen Überlegungen ist dieser Bereich, der Dirac-See, vollständig mit Elektronen gefüllt. .À

Kontinuum,freie Elektronen

-rriaC Dirac-See Bild 5.13: Energiebetrachtung für Elektronen bzw. Positronen.

5.2 Photonen

229

Wenn die Gamma-Energie ausreicht, ein Elektron aus einem Zustand im Dirac-See in den Kontinuumsbereich anzuheben, so bleibt ein Loch-Zustand zurück. Dieser Lochzustand ist identisch mit dem Antiteilchen des Elektrons, dem Positron. Der Prozeß erfordert auf Grund dieser Energiebetrachtungen mindestens eine Gamma-Energie von 2 moc^ = 1,022 MeV; in diesem Fall haben Elektron und Positron keine kinetische Energie, d.h. TEiektron = îpositron = 0 . Wenn die Gamma-Energie E j > 2 moc^ ist, so erscheint die überschüssige Energie als kinetische Energie der erzeugten Teilchen.

5.2.7 Drehimpuls der Photonen In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, daß Photonen den Eigendrehimpuls (Spin) ±lh haben, für rechts- bzw. links-zirkular polarisiertes Licht. In der Kernphysik und der Elementarteilchenphysik definiert man den Schraubensinn (die Helizität) eines Teilchens mittels der Beziehung = ±1

h = 0\

•

Helizität eines Teilchens

(5.25)

\σ\

Dabei ist ρ der Impuls und σ der Eigendrehimpuls des Quants. Ein rechtshändiges Teilchen hat demnach die Helizität /i = -Ы; dabei sind Impuls- und Drehimpulsvektor parallel. Dies gilt auch für Photonen. Leider ist diese Definition genau entgegengesetzt zu der Konvention, die in der Optik verwendet wird: Dort wird elektromagnetische Strahlung als rechts-zirkular polarisiert bezeichnet, wenn der ¿-Vektor der auf den Beobachter zukommenden Strahlung im Uhrzeigersinn dreht.

Vorsicht! In der Optik ist

zirkulär

polarisiertes

Licht

genau entgegengesetzt definiert

Wir können diese Diskrepanz hier nicht lösen; sie wird uns jedoch in der folgenden Diskussion nicht wesentlich behindern, da wir keine Experimente analysieren wollen, bei denen das absolute Vorzeichen der Zirkularpolarisation von Photonen eine Rolle spielt. Es gibt eine ganze Reihe indirekter Hinweise auf den Drehimpuls der Photonen; alle basieren auf der Drehimpulserhaltung bei der Emission und Absoφtion von Photonen. Als Beispiel erwähnen wir die Möglichkeit, freie Elektronen mittels des Photoeffekts an Atomen oder Festköφem zu erzeugen. Benutzt man rechts- bzw. links-zirkular polarisiertes Licht, so sind die Elektronen entsprechend polarisiert. Dieses Verfahren wird an modernen Elektronenbeschleunigern angewendet, um polarisierte Elektronenstrahlen zu erzeugen. Eine direkte Messung des Photonenspins geht auf R. A. Beth zurück. Das Experiment ist im Bild 5.14 skizziert. Rechshändige Photonen durchdringen von unten her ein A/2-Plättchen aus Quarz und werden dabei in linkshändige Pho-

Erzeugung polarisierter Elektronenstrahlen

Messung

des

Photonenspins

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

230

Spiegel λ/4-Plättchen, oben verspiegelt

fest

λ/2-Plättchen

drehbar gelagert

Blende

λ/4-Plättchen

fest

Θ linear polarisiertes Licht Bild 5.14: Schematischer Versuchsaufbau zur Messung des Photonen-Spins nach R. A. Beth.

tonen gewandelt. Jedes Quant hat dabei die Drehimpulsänderung | ^ | = 2 h erfahren und übt somit ein Drehmoment |m| = 2 /г auf das Quarzplättchen aus. Nach Reflexion an dem oben verspiegelten fest montierten λ/4-Plättchen durchdringen die Photonen das λ/2-Plättchen ein zweites Mal; dadurch wird der Meßeffekt verdoppelt. Das Quarzplättchen ist an einem Faden aufgehängt und wird so weit aus der Ruhelage heraus gedreht, bis die Rückstellkraft des Torsionsfadens gleich dem von allen Photonen ausgeübten Drehmoment ist. Die Drehung kann man messen, damit ergibt sich der Eigendrehimpuls der Photonen.

5.2.8 Bemerkungen zum Welle-Teilchen-Dualismus der Photonen Was ist ein Photon, Welle oder Teilchen? Hat es eine Substruktur? Die Antwort ist auf alle Fälle komplex: 1. Nach allem, was wir heute wissen, sind Photonen die Quanten der elektromagnetischen Wechselwirkung und elementare Bausteine unserer Welt, ohne jegliche Substruktur. R. A. Beth, Physical Review 50, 115 (1936).

5.2 Photonen

231

2. Photonen haben keine Ruhemasse, bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit, sie wechselwirken wie Teilchen, aber pflanzen sich wie Wellen fort. Die Teilcheneigenschaften zeigen sich in der quantisierten Energie E^ = hv, dem Impuls p = Ej/с, dem Eigendrehimpuls h und dem Einfluß von Gravitationsfelden auf Photonen. Die Welleneigenschaften sind evident bei Beugungs- und Interferenzphänomenen. Was also ist Licht nun wirklich? Teilchen oder Welle? Niels Bohr hat dazu 1927 das Komplementaritätsprinzip formuliert. Es besagt, daß man niemals beide Eigenschaften des Lichts gleichzeitig in einem Experiment nachweisen kann, sondern immer nur die eine oder die andere. Teilchen und Welle schließen sich gegenseitig aus, sie sind zueinander komplementär.

1927: Bohr formuliert das Komplementaritätsprinzip

Wir wollen versuchen, dieses schwierige Problem am Beispiel eines Interferenzexperiments zu erläutern. Wir betrachten eine Lichtquelle, einen LichtDetektor und nehmen an, daß das Licht auf mehr als einem Weg in den Detektor gelangen kann. Siehe dazu das Bild 5.15. Als Beispiele für eine derartige Anordnung nennen wir einen Doppelspalt oder einen Gitterspektrographen.

mehrere Wege

Bild 5.15: Interferenzerscheinungen bei mehreren möglichen Wegen.

Die im Detektor nachgewiesene Intensität der Quelle, d.h. die ankommende Energie pro Zeit- und Flächeneinheit, ist proportional zum Quadrat des elektrischen Feldvektors am Ort des Detektors. Wenn Licht auf mehreren Wegen von der Quelle zum Detektor gelangen kann, die wir experimentell nicht unterscheiden können, dann müssen wir die elektrischen Feldvektoren für die einzelnen Wege zunächst addieren, dann die daraus resultierende Summe quadrieren, um die Intensität am Detektor zu ermitteln. Wir nennen dieses das Superpositionsprinzip. Wenn die Feldvektoren feste Phasenbeziehungen zueinander haben, d.h. wenn die Kohärenzlänge der Lichtquelle genügend groß ist, dann entstehen Interferenzterme, die zu charakteristischen Beugungs- und Interferenzphänomenen Ani aß geben. Die oben formulierten Vorschriften und Folgerungen gelten auch für den Fall, daß wir die Intensität der Lichtquelle extrem stark drosseln. Wann immer mehrere ununterscheidbare Wege vorhanden sind, treten die Interferenzmuster auf; wir müssen nur geduldiger warten, bis am Detektor genügend statistisch signifikante Information gesammelt wurde.

Superpositionsprinzip

232

5 Quantenphänomene:

Wellen und Teilchen

Der Detektor kann ein photographischer Film sein, oder ein Gerät, das einzelne Photonen zählen kann. Wenn wir also die Intensität der Lichtquelle derart drastisch senken, dann werden wir einzelne Photonen nacheinander nachweisen können. Wir zählen also Photonen, d.h. Teilchen, jedes einzelne an einem wohl-definierten Ort. Das Interferenzmuster entsteht erst, wenn wir viele Photonen einzeln nachgewiesen haben und ein Resümee ziehen, wie die Häufigkeit ihrer räumlichen Verteilung aussieht. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, Photonen nachzuweisen, proportional zum Quadrat der Amplitude des elektrischen Feldes. Diese Aussage verknüpft das Teilchen- und das Wellenbild. Wir werden später sehen, daß für Teilchen mit endlicher Ruhemasse die gleichen Prinzipien gelten. Dabei muß man für diese Teilchen eine dem elektrischen Feld entsprechende Größe einführen, die Wellenfunktion ·φ{τΛ). Das Quadrat dieser Wellenfunktion ist dann wiederum proportional zur Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung Teilchen zur Zeit t am Ort f nachzuweisen.

5.3 Emission von Licht 5.3.1 Temperaturstrahler und Strahlungsgesetze Die Quantelung der Photonen-Energie bei der Emission und Absoφtion von Licht durch Materie wurde im Jahr 1900 von Max Planck postuliert, um die kontinuierlichen Spektren heißer strahlender К0фег zu erklären. Man nennt diese Strahlung Temperatur- oder Wärmestrahlung. Wir wissen aus der täglichen Erfahrung, daß die Farbe eines heißen Köφers (z.B. eines elektrisch beheizten Metall-Drahts) sich von rot auf weiß ändert, wenn man die Temperatur des Körpers erhöht. Diese Tatsache wird in Pyrometern zur Messung hoher Temperaturen ausgenutzt. Um die Spektren strahlender К0фег zu diskutieren, müssen wir zunächst die Strahlungsquellen spezifieren. Wir definieren das Konzept eines schwarzen Strahlers mittels der folgenden Überlegung: Definition des Schwarzen Κ0φ6Γ$

Wenn sich ein beliebiger К0фег im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung befindet, dann wird er pro Zeiteinheit genau so viel Energie abstrahlen wie er absorbiert. Daraus folgt, daß ein guter Absorber auch ein guter Emitter ist. Ein perfekter Absorber, der unabhängig von der Wellenlänge alle einfallende Strahlungsenergie absorbiert, heißt ein schwarzer Körper. In der folgenden Diskussion betrachten wir einen schwarzen Strahler. Darunter verstehen wir einen Hohlraum, in dem sich die Strahlung im thermischen Gleichgewicht mit den Wänden befindet. Diese absorbieren und reemittieren

5.3 Emission von Licht

233

die Temperaturstrahlung. Ein kleines Loch in der Wand des Hohlraums erlaubt es, das Spektrum der Strahlung auszumessen. Wir ermitteln die im Inneren des Hohlraums herrschende spektrale Energiedichte u{u, Τ)άν des Strahlungsfeldes durch eine Messung der aus dem Loch austretenden Strahldichte Τ)άν. Diese Größen sind durch die folgenden Beziehungen definiert: , , Strahlungsenergie im Frequenzbereich iv, ν -Ь du) u{u, Τ)άυ = — ——— Volumen des Hohlraums Τ)ά

Strahlungsleistung im Frequenzbereich (г/, ν + du)

^ ^^^ (5.26) ^^ ^^^

Raumwinkel · Fläche des Strahlers Zwischen der Energiedichte u{u,T) im Hohlraum und der gemessenen Strahldichte L{v, T) besteht die Beziehung ΔΩ

L{u, T)du = u{v, T)du с Л — . 4

7Г

Dabei ist А die strahlende Fläche des Lochs und Δ Ω der Raumwinkel, den das Detektorsystem abdeckt. Somit ist die Strahldichte L(i/, T)du (Einheit Wsr~^m~^) die von der Einheitsfläche {A = Im^) in den Raumwinkel ΔΩ = 1 sr pro Sekunde in Richtung der Flächennormalen abgestrahlte Energie. In diesem Fall gilt L{u,T)

= ^u{v,T)

(5.28)

47Г

Diese Beziehung wird im folgenden benutzt werden, um die spektrale Energiedichte u{u, T) und die Strahldichte L{u, T) ineinander umzurechnen. Im allgemeinen wird die Strahlung einen ganzen Halbraum erfüllen. Nach dem Lambertschen Gesetz fällt die Strahldichte mit cos ϋ ab; der Winkel ϋ mißt die Abweichung von der Richtung der Normalen auf der Fläche A. Wenn wir über eine Halbkugel integrieren, erhalten wir für die gesamte Abstrahlung in den Halbraum: 27Г

= ^

u{u,T)

^7rL{u,T).

7Γ/2

y d ( / 5

У

0

0

C O S Î ?

sini9d?9

(5.29)

234

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

14 ,2000 К

E =!.

"e > 8

5

λ

[μΓΓ]

Bild 5.16: Intensitätsverteilung der Schwarzköφerstrahlung bei versciiiedenen Temperaturen. Die gestrichelte Linie verbindet die Maxima der verschiedenen Verteilungen.

Die Wellenlängenabhängigkeit L{X, T) dieser Spektren ist im Bild 5.16 gezeigt. Sie ist kontinuierlich mit einem deutlich ausgeprägten Maximum, das bei Zimmertemperatur im Infraroten liegt. Die Form des Spektrums hängt bei einem schwarzen Кофег nur von der Temperatur Τ des Strahlers und nicht von dessen Geometrie ab. Um die Jahrhundertwende waren aus der Analyse experimenteller Daten einige Strahlungsgesetze bekannt, die wir im folgenden zusammenstellen wollen. Sie erwiesen sich nachträglich als Speziai- oder Grenzfälle des Planckschen Strahlungsgesetzes, das wir anschließend diskutieren. 1. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz

Das StefanBoltzrnann-Gesetz beschreibt die integrierte Strahlungsleistung

Die gesamte, über alle Frequenzen и integrierte Strahlungsleistung M, die ein schwarzer Strahler in den oben spezifizierten Halbraum abgibt, ist gleich StefanBoltzmannGesetz mit - 2 T^-4 σ - 5, 67051 (19) · 10"« W m"^ К Stefan-Boltzmann-Konstante

(5.30)

5.3 Emission von Licht

235

2. Das Wiensche Verschiebungsgesetz Die Wellenlänge Amax der mit maximaler Intensität emittierten Strahlung und die Temperatur Τ (in Kelvin) des schwarzen Strahlers sind durch die Beziehung Amax

· τ

=

0 , 2 9

c m

Wiensches Verschiebungsgesetz

к

(5.31)

miteinander verknüpft. Für die Oberfläche der Sonne, mit Τ = 6000 К, ergibt sich eine Wellenlänge Amax = 480 nm. 3. Das Rayleigh-Jeans-Gesetz Durch Überlegungen aus der klassischen Elektrodynamik leiteten Rayleigh und Jeans einen Ausdruck für die Energiedichte des Strahlungsfeldes ab:

u(iy, T)diy

=

^ ^

кТ

Rayleigh-JeansGesetz

di/.

(5.32)

Dabei ist к die Boltzmann-Konstante. Diese Beziehung beschreibt die experimentellen Daten für kleine Werte der Frequenz i/ gut. Für große Werte von ν divergiert sie mit i/^ (Ultraviolett-Katastrophe).

Das RaykighJeans-Gesetz ist eine gute Näherung für kleine Frequenzen UV-Katastrophe

4. Wiensches Strahlungsgesetz Für hohe Frequenzen hatte Wien die Näherung

u{u,T)du=:

exp

-

hu du

(5.33)

Wiensches Strahlungsgesetz abgeleitet. Diese Beschreibung versagt bei kleinen Frequenzen. Die Lösung des Problems wurde erst durch Max Planck gefunden.

5.3.2 Die Plancksche Strahlungsformel Max Planck hat folgende Annahmen gemacht: 1. Die Atome in den Wänden des Hohlraums verhalten sich wie Oszillatoren einer vorgegebenen Frequenz Sie strahlen Energie in den Hohlraum ab und absorbieren Energie aus dem Strahlungsfeld. Dabei herrscht thermisches Gleichgewicht zwischen Strahlung und Hohlraum.

Das Wiensche Strahlungsgesetz ist eine gute Näherung für große Frequenzen

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

236

2. Die Oszillatoren können nur diskrete Energiewerte En

= η

hu

(5.34)

annehmen, mit η = 1 , 2 , 3 , . . . 3. Solange der Oszillator keine Energie aufnimmt oder abstrahlt, bleibt er in seinem quantisierten Zustand, der durch die Quantenzahl η charakterisiert ist. 4. Die Zahl der möglichen Oszillatorzustände des elektromagnetischen Feldes im Hohlraum mit Frequenzen zwischen и und du ist proportional zu u^du.

Wir wollen die Überlegungen von Max Planck an dieser Stelle nicht im Detail referieren, sondern statt dessen eine Ableitung vorführen, die 1917 von Albert Einstein publiziert wurde. Ableitung der Planckschen Strahlungsformel nach Einstein Wir wollen hier Einsteins Gedankengang verfolgen

Zur Ableitung des Planckschen Gesetzes nach Einstein betrachten wir ein System mit zwei Niveaus, die sich in ihrer Energie 6i und 62 unterscheiden, mit 62 — 61 > 0. Wir nehmen an, daß zwischen diesen beiden Niveaus drei voneinander verschiedene Typen von Strahlungsübergängen möglich sind, mit hu = €2 -

e\.

(5.35)

1. Absorption: Dabei geht das System vom energetisch tieferen Zustand mit der Energie 61 in den energetisch höheren Zustand mit der Energie 62 über. Die dazu notwendige Energie 62 — 61 wird dem Strahlungsfeld entzogen. 2. Spontane Emission: Dieser Prozeß ist durch eine mittlere Lebensdauer τ charakterisiert. Das System geht vom Zustand mit der höheren Energie in den energetisch tieferen Zustand über und emittiert dabei ein Photon der Energie hu. 3. Induzierte Emission: Die stimulierte Emission wurde von Einstein ad hoc eingeführt EinsteinKoeffizienten

Das Strahlungsfeld erzwingt einen Übergang vom energetisch höheren in den energetisch tieferen Zustand; dabei wird wiederum ein Quant an das Strahlungsfeld abgegeben. Diese Prozesse sind im Bild 5.17 illustriert. Die entsprechenden Übergangsraten sind durch die Einstein-Koeffizienten B12 (für die Absoφtion), A21 =

5.3 Emission von Licht

237 £2

B12 hv

tìV

n/WVV>·

νΛΑΑΛΑ^

Agi

ε,

El

hv

wvw>·

spontane Emission

Absorption

ει

hv

νΑΛΑΑ/>· wvvv>·

B21

induzierte Emission

Bild 5.17: Strahlungsübergänge nach Einstein.

1 / r (für die spontane Emission) und B21 (für die induzierte Emission) charakterisiert. Im folgenden betrachten wir ein System vom N Atomen, mit Λ''ι Atomen im Zustand der Energie ei und N2 Atomen im Zustand der Energie 62, im Gleichgewicht mit einem elektromagnetischen Strahlungsfeld der Energiedichte u{u, T)di/. Für die Änderungen der Besetzungszahlen Λ^^ι und N2 ergeben sich die Beziehungen dNi = B12 u{v, T) N1 dt

(5.36)

dN2 = ^21 N2 di + 521

T) N2 dt. (5.37)

Im thermischen Gleichgewicht ist dNi = dN2.

(5.38)

Daraus folgt B12 u{u, T) N1 dt =

[Л21 +

B21 u{v, T)] N2 dt. (5.39)

Im folgenden nutzen wir ein Ergebnis aus der statistischen Mechanik, daß zwei Niveaus eines physikalischen Systems mit dem Energieunterschied AE Bohzmannim thermischen Gleichgewicht entsprechend einer Boltzmann-Statistik be- Statistik Д PI setzt sind, d.h. daß sich ihre Besetzungszahlen wie exp ( - - — ) verhalten. кТ Demzufolge gilt für die Besetzungszahlen Νχ und N2 der beiden Niveaus Ih = exp Ni

-

hiy\ кТ

Boltzmann-Verteilung

(5.40)

238

5 Quantenpbänomene: Wellen und Teilchen

Damit ergibt sich (5.41) Für Τ oo muß die Energiedichte des Strahlungfeldes ebenfalls beliebig groß werden, d.h. T) oo. Da der Einstein-Koeffizient A21 endlich ist, folgt Bl2

=

(5.42)

B2l.

Damit erhalten wir A21

B12

(5.43) (exp|^-l)·

Die verbleibenden Konstanten erhalten wir aus einem Vergleich mit dem Rayleigh-Jeans-Gesetz, für hv < кТ. Damit ergibt sich die Plancksche Strahlungsformel für die Strahldichte L{p, T) A21

_

Ж~2 ~

(5.44a)

C3

с Ц е х р ^ - 1 )

Plancksches Strahlungsgesetz

(5.44b)

Sie ist in vielfältigen Experimenten bestätigt worden. Wir wollen die Standarddaten hier nicht reproduzieren, sondern statt dessen zwei neuere Experimente beschreiben, einmal den Grenzfall sehr niedriger Temperaturen, zum anderen das Spektrum eines sehr heißen, im Labor erzeugten Plasmas.

5.3.3 Beispiele 1. Die Kosmische Hintergrundstrahlung 1965: A. Penzias und R. Wilson entdecken eher zufallig die vorausgesagte kosmische Hintergrundstrahlung

Theorien über die Entstehung des Universums sagen voraus, daß das Weltall von einer Hintergrundstrahlung erfüllt sein muß, einem Überbleibsel des Urknalls. Infolge der Expansion des Weltalls sollte die Gleichgewichtstemperatur des Photonengases auf einen Wert von ca. 3 Kelvin abgesunken sein. Das Satellitenexperiment СОВЕ hat es in jüngster Zeit ermöglicht, dieses Spektrum mit großer Präzision auszumessen. Die Daten sind im Bild 5.18 gezeigt. Die Übereinstimmung mit der spektralen Verteilung eines Planckschen Strahlers bei Τ = 2,730 К ist beeindruckend.

5.3 Emission von Licht

239

С О В Е / F l RAS Spektrum der Kosmischen Hintergrundstrahlung 5 mm

Ml

2 mm

I

J

1 mm

1

500 ц т

CG .

10 Wellenzahl (cm')

Bild 5.18: Kosmische Hintergrundstrahlung, gemessen von FIRAS auf dem N A S A С О В Е Satelliten. Durchgezogene Linie: Schwarzköφerstrahlung 2,730 K. Mit freundlicher Genehmigung der С О В Е Science Working Group.

2. Strahlung eines Laserplasmas In Experimenten am Max-Planck-Institut für Quantenoptik in Garching bei München wird die Strahlung eines heißen Plasmas studiert, das beim Beschüß einer Metalloberfläche mit einem intensiven Laserstrahl entsteht. Experimentell realisiert man einen solchen Strahler mittels einer Hohlraum-Kugel aus Gold, die zwei kleine Öffnungen hat: eine, durch die der Laser-Strahl eindringt, der den Hohlraum aufheizt, und eine zweite, durch die man das Spektrum der Hohlraumstrahlung anschauen kann. Bild 5.19 zeigt eine Skizze der experimentellen Anordnung. Der LaserStrahl erzeugt beim Auftreffen auf das Innere der Goldkugel ein heißes Plasma, das in einem weiten Frequenzbereich strahlt. Diese Strahlung trifft auf die Wände, wird teilweise absorbiert und teilweise reemittiert. Da der Durchmesser der Anordnung nur wenige mm beträgt und die Goldkügelchen

Laserstrahl

J Diagnostikloch

ßild 5.19: Experiment zur Erzeugung eines thermischen Spektrums in Hohlkugeln.

Strahiungs Verteilung eines heißen Plasmas

5 Quantenphänomene:

240

Wellen und Teilchen

20 30 Wellenlänge [A] Bild 5.20: Messung der spektralen Verteilung der Hohlraumstrahlung eines Laserplasmas.

Strahlung sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, hat sich nach wenigen 10" ^^ s ein Gleichgewicht zwischen der Innenwand der Goldkugel und dem Strahlungsfeld eingestellt. Bild 5.20 zeigt ein Beispiel für eine experimentell ermittelte spektrale Verteilung. Die Daten werden durch ein Plancksches Spektrum und eine Temperatur von 2,2 · 10® К sehr gut reproduziert.

5.3.4 Bemerkungen zur Funktionsweise des Lasers LASER

In diesem Abschnitt wollen wir einige Bemerkungen zur Funktionsweise von Lasern machen. Der Ausdruck LASER ist eine Abkürzung des englischen Ausdrucks Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation. In einem Laser wird die stimulierte Emission ausgenutzt, um eine Lichtquelle höchster Brillianz zu realisieren. In unserer kurzen Behandlung wollen wir hier ein halbklassisches Modell einsetzen: Das Lasermedium wird als quantisiertes System mit Energieniveaus behandelt, das Licht als elektromagnetische Welle, von der wir im wesentlichen nur die Energiedichte betrachten. Der Aufbau eines Lasers ist schematisch im Bild 5.21 skizziert. Ein Laser als ,4!.icht-Oszillatot^' benötigt für seine Funktion wie jeder Oszillator zwei wesentliche Elemente: eine Rückkopplung (a) und einen Verstärker (b). (a) Der rückkoppelnde

Die Resonatorgcometrie bestimmt die Lasermoden

Laserresonator:

Der Laserresonator wird im einfachsten Fall aus zwei Spiegeln gebildet, die genau parallel justiert sein müssen. Die Geometrie dieses Resona„ ® R. Sigel, SPIE Vol. 1140 X-Ray Instrumentation (1989).

5.3 Emission von Licht

241 Pumplichtquelle

Spiegel

/

\

Spiegel, halbdurchlässig

aktives Medium Bild 5.21: Prinzipieller Aufbaueines Lasers.

tors bestimmt als Hohlraum zum einen die Feldverteilung (d.h. die Lasermoden) des Strahlungsfeldes. Zum anderen bildet der Resonator ein Fabry-Perot-Interferometer, das die Frequenz des abgestrahlten Lichts festlegt. Der Resonator bewirkt auch, daß Licht, das sich längs der Achse ausbreitet, von den Spiegeln immer wieder zurückgeworfen wird und deshalb lange im Resonator verbleibt. Nur durch Verluste (z.B. aufgrund der Transmission der Spiegel oder der Beugung an Begrenzungen) wird diese Verweilzeit to begrenzt. Licht, das sich unter einem Winkel zur Achse ausbreitet, veriäßt jedoch sehr schnell den Resonator. (b) Das lichtverstärkende

Lasermedium:

Das Lasermedium besitzt die Energieniveaus ει und ε2, die durch Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld (Energie der Photonen hu = 62 —εχ) ineinander übergehen können. Wir nehmen an, daß 82 > ει ist. Durch eine Pumpquelle wird dabei die Besetzung der Energeiniveaus verändert. Eine Lichtverstärkung kann nur dann auftreten, wenn das obere Niveau (ε2) stärker besetzt ist als das untere (Besetzungsinversion). Wir werden hier anstelle der Energiedichte des Strahlungsfeldes auch die Begriffe Photonen und Photonendichte verwenden. Genaugenommen ersetzen wir die Energiedichte des Strahlungsfeldes u(iy, T)di/ durch die Photonendichte η in der Resonatormode bei der Frequenz u. Es gilt dabei η = u(iy, T)ávl{hv). Da ein Laser im allgemeinen eine intensive Lichtquelle ist, wird die Photonendichte sehr groß sein: η 1. In diesem Fall muß die diskrete Natur der Photonen nicht berücksichtigt werden, und das halbklassische Bild ist gerechtfertigt. Die zeitliche Änderung der Photonendichte im Laser wird durch verschiedene Prozesse in Lasermedium und Laserresonator bestimmt: 1. Die spontane Emission hängt von der Besetzung N2 des angeregten Zustandes S2 ab: ή oc A21N2. Da die spontante Emission in alle Raumrichtungen erfolgt, führt sie nur zu einer kleinen Änderung der Photonenzahl in der Resonatormode. Sie bildet jedoch häufig die Anfangsbedingung für den eigentlichen Verstärkungsprozeß.

Besetzungsinversion

242

2.

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen Emission: Die Zahl der Photonen im Strahlungsfeld wächst infolge der induzierten Emission, und diese ist nach Einstein proportional zur Zahl N2 der Atome im angeregten Zustand der Energie 62 und zur schon vorhandenen Photonendichte η selbst: ή oc Bi2N2n.

Stimulierte

3. Durch Absorption verringert sich die Photonenzahl um einen Betrag, der proportional zur Zahl Λ''ι der Atome im energetisch tieferen Zustand 62 und zur Zahl η der Photonen ist: ή oc - 5 ΐ 2 Λ ' ' ι η . 4. Schließlich gibt es Resonatorverluste, da Licht aus dem Laserresonator entweichen kann. Sie sind proportional zur Photonendichte η und umgekehrt proportional zur Verweilzeit ίο der Photonen im Medium: oc - η / ί ο

ή

zeitliche Änderung der Photonendichte

Die Gesamtbilanz dieser Vorgänge ergibt nun eine Ratengleichung für di zeitìiche Änderung der Photonendichte: dn —

di

= =

hu „ ^^ — B M n

dn

hu ^ —Bi2{N2 an

-

,,,

hu ^ —B^Ni au

^^ -

,, , -

Ni)n

η -

η to

(5.45)

ÍQ

Für zeitlich konstante Werte von N2 und JVi erhält man eine exponentielle Änderung der Photonendichte: n{t)

Bei einem reinen Zwei-NiveauSystem kann keine Besetzungsinversion erreicht werden

=

n(0) exp

(5.46)

Bei der Ableitung wurde - wie oben erwähnt - der Beitrag der spontanen Emission nicht berücksichtigt. Er liefert im allgemeinen die Anfangsbedingung n(0) und trägt zum Rauschen bei. Aus (5.46) sehen wir, daß die Besetzung der Energieniveaus die zeitliche Änderung der Lichtintensität bestimmt: Ist das Lasermedium im thermischen Gleichgewicht, so gilt immer N2 < N1, und die Photonenzahl nimmt mit der Zeit ab. Nur wenn N2 > N1 gilt, kann die Photonenzahl anwachsen ( d n / d i > 0) und somit Licht verstärkt werden. Dieser Fall einer Besetzungsinversion - der energetisch höher liegende Zustand ist stärker besetzt als der energetisch niedrigere, N2 > N1 - kann nur durch einen Pumpvorgang, d.h. durch eine Energiezufuhr von außen, realisiert werden. Dabei hängt die benötigte Pumpintensität kritisch davon ab, wie die Energieniveaus angeordnet sind: In einem reinen Zwei-Niveau-System (Bild 5.22a) kann durch optische Anregung gemäß (5.45) keine Besetzungsinversion erreicht werden. Der Grund dafür ist direkt aus (5.45) zu sehen. Bei einem Zwei-Niveau-System ist nur die direkte Anregung von N1 nach N2 möglich. Startet man bei N2 < N1 den

5.3 Emission von Licht

243 ερ ερ

ω Ъ) φ с ш

£2

ε2

Τ

п

Pumpen

Pumpen =

Ш (a) Zwei-Niveau-System

£2

Relaxation

Pumpen Laser

ε^

—

εο _

I

Relaxation

Laser

1

Relaxation

ει

-

(b) Drei-Niveau-System

(с) Vier-Niveau-System

Bild 5.22: Verschiedene Energieniveau-Schemata zur Erklärung des Pumpvorgangs in einem Laser.

Pumpvorgang, so wird man N2 solange erhöhen, bis bei N2 = N1 die Nettoabsorption von Licht verschwindet und somit keine weitere Erhöhung von N2 - N1 mehr möglich ist. In einem Drei-Niveau-System (Bild 5.22b) wird der Pumpvorgang über eine höherliegendes Pumpniveau ερ gewährleistet, das seine Besetzung schnell an das obere Laserniveau 62 transferieren soll. Ein Drei-Niveau-System erfordert einen intensiven Pumpvorgang, da hier der Grundzustand als unteres Lasemiveau mindestens zur Hälfte entvölkert sein muß. Der Rubinlaser, der erste technisch realisierte Laser, besitzt genähert ein Drei-Niveau-Schema (siehe Bild 5.23a). Erheblich geringere Anforderungen an die Pumpquellen werden von Vier-Niveau-Laser-Materialien gestellt. Hier liegt das untere Lasemiveau ει soweit oberhalb des Grundzustandes εο, daß die thermische Besetzung dieses Niveaus vernachlässigt werden kann (Bild 5.22c). Eine schnelle Entvölkerung von ει erlaubt es dann, selbst mit einer kleinen Besetzung des oberen Lasemiveaus, Beset-

0) с •а ηа. E =3 •D

Q.

ω σι ш с

ш

opt. Pumpen 410 nm 560 nm

Laser 694,3 nm

Relaxation

i

opt. Pumpen 530 nm 580 nm 750 nm . 780 nm

ε2 Laser 1064 nm

Relaxation (a) Rubinlaser

(b) Neodym:YAG-Laser

Bild 5.23: Energieniveaus für verschiedene Lasertypen: (a) der Rubinlaser als Drei-NiveauLaser und (b) der Neodyrn:YAG-Laser.

244

5 Quantenpbänomene: Wellen und Teilchen

Zungsinversion und damit Lasertätigkeit zu realisieren. Praktisch alle heute verwendeten Lasersysteme arbeiten als Vier-Niveau-Laser. Als Beispiele sind in Bild 5.23 die Niveauschemata des Rubinlasers (Cr^"*"-Ionen in einem Saphir(Al203)-Wirtskristall) und des Nd: YAG-Lasers (Nd^+ -Ionen in einem Yttrium-Aluminium-Granat(Y3Al50i2)-Kristall) skizziert.

Rubinlaser und Nd:Yag-Laser

Wann Jasen" das Medium?

Berücksichtigt man die Verluste im Laser, so sieht man, daß Lasertätigkeit erst dann auftritt, wenn die Laserschwelle überschritten ist, d.h., wenn die Verstärkung die Verluste überwiegt. Die dazu nötige Besetzungsinversion läßt sich aus (5.44) und (5.45) für eine Emissionsbreite d:^ des Lasers berechnen:

N 2 - N i >

di/ tQB2lhv

_

Snv'^du C4QA2I

Snv'^duT

(5.47)

CHQ

Laserbedingung Diese Gleichung zeigt, nach welchen Kriterien Laseφarameter ausgewählt werden müssen, damit einfach Lasertätigkeit erreicht wird: z.B. sollten sowohl die Resonatorverluste als auch die Laserbandbreite du klein sein. Es zeigt sich aber auch, daß bei hohen Frequenzen sehr große Besetzungsinversionen benötigt werden, um überhaupt Lasertätigkeit realisieren zu können. Die Ursache dafür liegt in der starken Zunahme der spontanen Emission verglichen zur stimulierten Emission bei hohen Frequenzen (A21 oc v ^ B ^ ) . Deshalb wird es im ultravioletten Spektralbereich immer schwieriger Laser zu betreiben. Röntgenlaser sind nur unter größtem Aufwand zu realisieren. Anwendungen Lasers

des

Laser haben als maßgeschneiderte intensive Lichtquellen vielfältige Anwendungen in der Grundlagenforschung und in der angewandten Forschung gefunden. Sie werden technisch bei der Datenübertragung, der Datenspeicherung, dem Druck und der Materialbearbeitung in großem Umfang eingesetzt. Inzwischen ist der Laser auch in der Medizin nicht mehr wegzudenken. Die mit Lasern zur Verfügung stehenen Lichtqualitäten wurden im Laufe der technischen Entwicklung kontinuierlich verbessert. In Tabelle 5.2 wird ein kurzer Überblick über die heute verfügbaren Parameter gegeben. Dabei ist zu beachten, daß diese Laseφarameter nicht simultan realisierbar sind. (Überlegen Sie sich, ob es immer nur rein technische Gründe gibt, oder ob auch Grundprinzipien der Physik dagegen sprechen). Abschließend soll noch eine kurze Bemerkung zum Verständnis der Lichtverstärkung im Photonenbild gemacht werden. In der bisher präsentierten Behandlung des Lasers hatten wir die Lichtverstärkung in einem Lasermedium im Wellenbild als Veränderung der Energiedichte (Photonendichte) in einer Lasermode behandelt und dabei keine offensichtlichen Verständnisschwierigkeiten erhalten. Wenn man jedoch das reine Photonenbild verwendet, wäre

5.4 Elektronen und Positronen

245

Tabelle 5.2: Optimale Ьа8ефагате1ег

kürzeste Wellenlänge Maximale Leistung (Dauerstrich, kommerziell) Spitzenintensität Höchste Pulsenergie (bei einer Dauer von « 3 ns, λ = L06 ^m) Minimale Frequenzbreite (di^) und relative Breite (di'/i/) Farbstofflaser: HeNe- und Festkörperlaser: Kürzeste Impulsdauer

'^min = 3.6 nm ΡγΐΐΆχ= 3 0 ООО Imax = 1 · ^^max = 1 2 0

ООО

w

W/m2 J

dz/ = 0.5 Hz d://!/« 10-15 dl/ = 10"^ Hz tp = 4.5fs = 4.5-10-i5s

es schwierig zu verstehen, warum das stimuliert ausgesandte Photon genau in die gleiche Richtung fliegt wie das stimulierende Photon. Dazu nur eine kurze Bemerkung: Zum tieferen Verständnis der Funktionsweise eines Lasers im Photonenbild gehört noch eine Eigenschaft von Lichtquanten, die wir hier nur erwähnen können: Photonen sind Bosonen und gehorchen als solche Gesetzen der statistischen Physik, die es erzwingen, daß alle Photonen das gleiche Phasenraumvolumen besetzen wollen. Phasenraum heißt hier Impuls- und Ortskomponenten, d.h. das induziert emittierte Photon hat nicht nur die gleiche Energie wie das stimulierende Photon, sondern es fliegt auch bevorzugt in die gleiche Richtung.

Quantenstatistik

5.4 Elektronen und Positronen 5.4.1 Fundamentale Eigenschaften Nach unserem heutigen Wissensstand gibt es genau drei Generationen von Bausteinen der uns bekannten Welt. Die elementaren Teilchen sind die Quarks und die Leptonen. Die experimentelle Information über die Zahl der Generationen ist (2,983 ± 0,025); sie stammt aus jüngsten, äußerst präzisen Messungen der Zerfallswahrscheinlichkeit des sogenannten Zo-Teilchens, die am CERN in Genf durchgeführt w u r d e n . E i n e Zusammenstellung der Quarks und Leptonen aller drei Generationen ist in der Tabelle 5.3 gegeben. Zu jeder Generation gehören zwei Quarks und zwei Leptonen, und die jedem Teilchen zugeordneten Antiteilchen. Quarks haben außer ihrer elektrischen Ladung eine Farbladung; jedes Quark tritt in drei verschiedenen Farben auf. Elektron (e~) und Positron (e"*") sind zusammen mit dem Elektron-Neutrino Review of Particle Properties; Phys. Rev. D 50, 1417 (1994)

Quarks und Leptonen

Farbladung

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

246

Tabelle 5.3: Elementare Bausteine der Materie. Die Quarks heißen

up, down,

charm,

Strange, bottom und top.

Leptonen

1

2

3

Ladung [e]

г^е

νμ

fr

0

Т~

-1

e~ Quarks

2

и

с

t

d

s

b

+ 3 1 ~3

(fe) und -Antineutrino (z/g) Leptonen der ersten Generation. Sie sind stabile Teilchen. Sie könnten aus Energieerhaltungsgründen nur in leichtere Teilchen zerfallen, z.B. in Photonen und Neutrinos. Dies ist nie beobachtet worden. Fundamentale Eigenschaften des Elektrons sind seine Ruhemasse т о , bzw. seine Ruheenergie mo = 9,109 389 7 - 1 0 - ^ 1 kg moc^ = 0,510 999 06 MeV

Ruhemasse und Ruheenergie des Elektrons

und seine Ladung, die Elementarladung q, die auch mit e bezeichnet wird:

oder nur mit e

= 1,602 177 33 · 10-^^ Coulomb (auf 0 , 3 ppm genau)

Elementarladung Wir werden in den folgenden Abschnitten beschreiben, wie man diese Größen experimentell ermittelt.

5.4.2 Quantisierung der elel^trischen Ladung Unter der Quantisierung der elektrischen Ladung verstehen wir die Tatsache, daß alle in der Natur auftretenden elektrischen Ladungen ganzzahlige Vielfache der Elementarladung e sind. Es gibt zwei wichtige Kommentare dazu: 1. Die negative Ladung des Elektrons und die positive Ladung des Protons sind dem Betrag nach identisch, innerhalb einer sehr hohen Meßgenauigkeit. Daraus folgt, daß alle in der Natur vorkommenden Atome elektrisch neutral sind: die positive Ladung des Atomkerns und die negative Ladung der Elektronenhülle kompensieren sich exakt.

5.4 Elektronen und Positronen

247

2. Obwohl die Quarks, nach unserer jetzigen Vorstellung fundamentale Bausteine unserer Welt, die Ladungen · e und + § · e tragen, konnten trotz größter experimenteller Anstrengungen niemals eindeutig freie Teilchen nachgewiesen werden, die Bruchteile der Elementarladung e tragen. Die Quarks treten ganz offensichtlich immer in Gruppen von zwei oder drei Quarks zusammen auf, und zwar immer in solchen Kombinationen, daß die Ladung der gesamten Gruppe entweder Null oder ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung beträgt. Dieses Phänomen ist eines der unverstandenen Rätsel, die uns die Natur zur Lösung aufgibt.

Ladungen der Quarks

5.4.3 Erzeugung freier Elektronen Ein Standardverfahren, freie Elektronen zu erzeugen, ist die Glühemission aus Metallen. Elektronenröhren benutzten dieses Prinzip: Man heizt einen Metalldraht, im allgemeinen dadurch, daß man einen Heizstrom hindurchschickt, und es treten Elektronen aus. Die Sättigungsstromdichte j hängt von der Temperatur Τ des Drahtes und der Austrittarbeit A des Metalls ab. Die quantitative Beziehung ist die Richardson-Gleichung j = C-T^·

exp

Í

A кТ \

А cm^

(5.48)

Die Größen С und А sind Materialkonstanten. Andere Techniken nutzen den Photoeffekt aus Atomen, Molekülen und Festköφern, oder die Feldemission aus festen К0фегп. Diese Phänomene haben wir im Abschnitt 5.2 beschrieben. Wenn man zirkulär polarisiertes Licht benutzt, kann man mittels des Photoeffekts polarisierte Elektronen, d.h. solche einer wohl definierten Richtung des Eigendrehimpulses erhalten. Moderne Elektronenbeschleuniger der Grundlagenforschung benutzen dieses Verfahren. Eine andere, viel benutzte Quelle für freie Elektronen ist der /?~-Zerfall radioaktiver Atomkerne. Der Prototyp dieses Prozesses ist der Beta-Zerfall des freien Neutrons: η

p +e

Die Zeitabhängigkeit dieses Zerfalls ist durch die Beziehung N{t) = ATo · exp

-

1п2Л T,1/2/

(5.49)

ß-Zerfall

248 Halbwertszeit

Γ1/2

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

gegeben, mit der Halbwertszeit Ti/2 = 10,2 min. Radioaktive neutronenreiche Atomkerne bauen ihren Neutronenüberschuß durch diesen Zerfallstyp ab. Die Energien dieser Elektronen aus den BetaZerfällen neutronenreicher Kerne liegen zwischen einigen keV und mehreren MeV, das Spektrum ist kontinuierlich. Monoenergetische Elektronen mit Energien bis zu einigen MeV erhält man aus speziellen radioaktiven Quellen, z.B. Diese Elektronen stammen aus einem Konkurrenzprozeß des elektromagnetischen Gamma-Zerfalls angeregter Kernniveaus; wir nennen diesen Prozeß Konversion. Die Energiedifferenz zwischen zwei (diskreten) Energieniveaus eines Atomkerns wird dabei auf ein Hüllenelektron übertragen. In der Praxis werden derartige Elektronenquellen zum Testen von Detektoranordnungen benutzt.

5.4.4 Messung der Elektronenladung Im folgenden skizzieren wir drei Verfahren, die Ladung der Elektronen zu ermitteln: 1. Earaday-Zahl der Elektrolyse: Man bestimmt die Ladung F , die erforderlich ist, um ein Mol einer einwertigen Sustanz elektrolytisch abzuscheiden. Das Ergebnis ist:

Faraday-Zahl

F = 96485 A s . Wenn man die Loschmidt-Zahl iV¿ = 6,02 · Elementarladung aus

Loschmidt-Zahl

e = 2.

F Ж'

einsetzt, ergibt sich die

(5.50)

Millikan-Experiment(1911): Man beobachtet die Bewegung geladener Öltröpfchen unter dem Einfluß des Gravitationsfeldes und des homogenen elektrischen Feld E eines Plattenkondensators. Die Ladung η e eines einzelnen Tropfens entsteht durch den Photoeffekt: man bestrahlt die Tröpfchen mit Röntgenstrahlung. Die Zahl η ist zunächst unbekannt. Die Masse m des Öltröpfchens wird aus dem mikroskopisch ermittelten Radius berechnet. Die Originalanordnung von R. A. Millikan aus dem Jahr 1911 ist im Bild 5.24 skizziert. Im Gleichgewicht gilt

5.4 Elektronen und Positronen

249 zur Pumpe

Wärmebad

regelbare Hochspannung'

a

Beleuchtung

Röntgenstrahlung zur Ionisation

Bild 5.24: Schematische Darstellung der Versuchsanordnung zum Öltröpfchenversuch von Millikan.'^ m g = η e

¡É¡.

(5.51)

Man erhält aus dem Experiment eine Vielzahl diskreter Meßwerte щ е und kann daraus den Wert der Elementarladung ermitteln. 3. Feinstruktur-Konstante Die Feinstrukturkonstante а =

ist eine fundamentale άπεοάο 137 Größe (die Kopplungskonstante) der Quantenelektrodynamik. Sie bestimmt die Stärke aller elektromagnetischen Wechselwirkungsprozesse und ist aus diesen Gründen mit hoher Präzision vermessen worden. Wir erwähnen spektroskopische Daten aus der Atomphysik und den mit dem Nobelpreis 1985 ausgezeichneten, von Klaus von Klitzing entdeckten quantisierten Hall-Effekt. Auf Einzelheiten können wir hier nicht eingehen. Da man die Größe h с unabhängig ermitteln kann, läßt sich damit ein Wert für die Elementarladung angeben.

5.4.5 Der klassische Elektronenradius Der klassische Elektronenradius ro ist eine reine Rechengröße, die dadurch definiert wird, daß man die Ruheenergie des Elektrons gleich der Coulombenergie einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius ro setzt:

moc

• π 6o) ro

•R. A. Millikan, Physical Review 32, 349 (1911).

(5.52)

Die FeinstrukturKonstante bestimmt die Stärke aller elektromagnetischen Wechselwirkungen

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

250

Mit moc = 0,511 MeV ergibt sich ro = 2,82 •

m

klassischer Elektronenradius

Wir nehmen nach unserem heutigen Kenntnisstand an, daß die Leptonen, zu denen Elektron und Positron gehören, punktförmige Objekte sind, mit Dimensionen < m. Diese Information stammt aus Experimenten, bei denen im Stoß eines Elektrons und eines Positrons ein Myonenpaar entsteht: e+ + e~

Elektron und Positron werden als punktförmig angenommen

Derartige Prozesse wurden an Speicherringen, zum Beispiel bei DESY in Hamburg oder am CERN bei Genf zur Normierung der e"*" — e~-Streuexperimente benutzt. Die Analyse dieser Daten zeigt, daß diese Objekte auch noch bei den höchsten Kollisionsenergien von mehr als 20 GeV als punktförmig angenommen werden können. Damit wird deutlich, daß die oben verwendete klassische Beschreibung eines Elektrons als eine homogen geladene Kugel nicht mehr haltbar ist: Die Coulombenergie divergiert, wenn der Radius der Kugel gegen Null geht.

5.4.6 Spezifische Ladung e / то Werden Elektronen mit einer definierten kinetischen Energie i^kin in einem homogenen Magnetfeld abgelenkt, das senkrecht zum Geschwindigkeitsvekg tor der Elektronen angelegt ist, so läßt sich das Verhältnis — ermitteln. то

Die Apparatur ist im Bild 5.25 skizziert. Sie besteht aus einem evakuierten Glasgefäß, einer elektrisch beheizten Glühkathode, einer Beschleunigungsstruktur, die auf der Spannung Uв gegenüber der Kathode liegt, und einem Spulenpaar, das außerhalb des Vakuumsgefäßes angebracht ist, und das das homogene Magnetfeld В = \B\ erzeugt. Das Magnetfeld steht senkrecht auf der Bahnebene der Elektronen. B-Feld

Bild 5.25: Experiment zur Messung von

e/то.

5.4 Elektronen und Positronen

251

Die Glühkathode emittiert die Elektronen ins Vakuum; sie werden durch die Spannung и в auf die kinetische Energie E^in — eUß =

beschleunigt 2mo und durchlaufen anschließend in homogenen Magnetfeld eine Kreisbahn mit dem Krümmungsradius ρ. Aus den Beziehungen ^

=

(5.53)

Q folgt ρ = mov = e ρ B.

(5.54)

Еш ^ T ^ ^ e Ü B 2mo

(5.55)

Mit

ergibt sich

то

(5.56)

ρ2 5 2 ·

Das experimentelle Resultat derartiger Messungen ist

mo

= 1,7588-101^

kg

Spezifische Ladung

Wir weisen an dieser Stelle darauf hin, daß man in derartigen Experimenten auch die relativistische Massenzunahme des Elektrons gemäß

m =

(5.57)

mit sehr hoher Genauigkeit testen kann.

5.4.7 Spin-Quantisierung, Stern-Gerlach-Experiment In diesem Abschnitt wollen wir eine fundamentale Eigenschaft der Elektronen diskutieren: die Quantisierung des Eigendrehimpulses, der im folgenden als Spin s bezeichnet werden wird. Wir definieren dazu drei Größen:

Elektronenspin

252

5 Quantenphänomene:

Wellen und Teilchen

1. Die Spinquantenzahl s. Für Elektronen ist 1

2. Der Betrag, d.h. die Länge des Drehimpulsvektors, bzw. das Quadrat dieses Betrages: ¿-2 ^

^

^

^ 3

3. Die z-Komponente s^ des Drehimpulsvektors s s. =

h.

Der Spin eines Teilchens ist mit einem magnetischen Moment (Eigenmoment) μ verknüpft. Für Elektronen gilt

μ = 93μΒ

(5.58)

^

und μζ = 9s

Bohrsches Magneton und Spin-g-Faktor

Dabei hi μ в

(5.59)

μβ

=

e

h

das Bohrsche Magneton und gs ~ 2 der Spin-g2 то Faktor oder gymmagnetische Faktor Qs des Elektrons. Die z-Komponente des magnetischen Moments des Elektrons ist damit quantisiert, und gleich ±μΒ· Drei Experimente waren wesentlich, diese Phänomene experimentell zu verifizieren:

1924: Stern-GerlachExperiment Í915:

Einstein-de

Haas-Effekt

1. Das Stern-Gerlach-Experiment, das die Quantisierung der z-Komponente des magnetischen Moments μζ = ί μ β demonstriert. 2. Das Experiment von Einstein und de Haas, in dem das magnetische Moment makroskopischer Proben ermittelt wird. Daraus ergibt sich die Information über den Betrag des magnetischen Moments. 3. Die ^-Abhängigkeit der Suszeptibilität paramagnetischer Systeme. Zur Erläuterung dieser Experimente betrachten wir zunächst einen klassischen magnetischen Dipol in einem homogenen Magnetfeld В = (0,0, B^).

5.4 Elektronen und Positronen

253

Die potentielle Energie dieses Systems ist (5.60) Der energetisch tiefste Zustand ist realisiert, wenn der Dipol parallel zum Feld steht. Der klassische Dipol kann beliebige Winkel zum Magnetfeld annehmen, und daher hat die potentielle Energie beliebige Werte. Wenn wir die oben formulierten Quantisierungsvorschriften zunächst einmal akzeptieren, dann hat der quantenmechanische Dipol, der mit dem Elektronenspin verknüpft ist, nur zwei Einstellmöglichkeiten im Magnetfeld. Dies ist im Bild 5.26 dargestellt. Man bezeichnet dieses Phänomen als Richtungsquantisierung. Der Energieunterschied zwischen den beiden möglichen Einstellungen des Elektronenspins zum Magnetfeld beträgt Δίφροι

= Qs μβ

(5.61)

|β|·

As,
h

Unschärferelation

(5.91)

Diese Unschärfe experimentell zu ermittelnder Variablen wird vor allem in Systemen mit mikroskopischen Dimensionen wichtig. Sie hat nichts mit den Unzulänglichkeiten der Meßapparatur zu tun, sondern ist die Folge prinzipieller physikalisch-mathematischer Gesetzmäßigkeiten. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, daß es bei der Diskussion der Eigenschaften mikroskopischer Systeme unerläßlich ist, den Meßvorgang in die Argumentation mit einzubeziehen. Der Grund dafür liegt in der Tatsache, daß der Meßvorgang das System beeinflussen und modifizieren kann. Dieses Phänomen ist uns schon in der Optik begegnet. Im folgenden diskutieren wir die Heisenbergsche Unschärferelationen für die kanonische konjugierten Variablen (Ort-Impuls) und (Energie-Zeit):

268

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

1. Unscharfe im Ort und Impuls Ort-Impuls-

Die Unschärferelation lautet:

Unschärfe

Ax Ap^ > h.

(5.92)

und entsprechend für die y- und z-Komponenten des Orts- und Impulsvektors f und p. Dies bedeutet, daß es unmöglich ist, den Ort und den Impuls eines Teilchens gleichzeitig scharf zu messen. Wir wollen dazu zwei Fälle erläutern: (a) Die ebene Welle mit Αρχ = 0: Die Wellenfunktion sei i>{x,t) =

(5.93)

Ф{х) =

(5.94)

mit

Der Teilchenimpuls p^ = hkx ist genau festgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen am Ort χ nachzuweisen, ist unabhängig vom Ort x: \·φ{χ)γ = φ*{χ)φ{χ)

= const.

Das Teilchen ist daher nicht lokalisierbar. Aus Αρχ

(5.95) 0 folgt Ax

oo.

(b) Wellenpakete: Um die Wellenfunktion eines im Ortsraum lokalisierten Teilchens zu beschreiben, benutzen wir eine Überlagerung ebener Wellen mit einer kontinuierlichen Verteilung von k-Vektoren, mit einer Unschärfe Ak um einen Mittelwert ко. ко-\-Лк φ{χ,ί)=

J

α

(5.96)

ко-Лк Mit к = ko + {к - ко) und

, ω = ωο+

η , Ν, -rr [к - ко) + ... \dkj

(5-97)

5.5 Materiewellen

269

folgt •φ{χ, t) = a expí-iuot

sin Küü't — xìAfcl + гкох) • 2 — — ( 5 . 9 8 ) ω'ί

— X

da' Dabei wird die Bezeichnung ω — — benutzt. Für feste Zeiten, z.B. ák

t — O, ist dies eine Funktion vom Typ ,, , φ(χ)

sin(a; ΔΑ;) ^ X

(5.99)

Der Nullstellenabstand Аж ist durch die Beziehung (Δχ)(ΔΑ;) = 2π

(5.100)

festgelegt. Damit ergibt sich für die Orts- und Impulsunschärfe (Δρ^)(Δ3;)

= h.

(5.101)

2. Unschärfe in Energie E und Zeit t In der Wellenfunktion für die ebenen Wellen ~ exp i[kx - ωί), von der wir zu Beginn dieses Abschnitts ausgegangen waren, treten der Ort χ und die Zeit t symmetrisch auf. Wir können also Wellenpakete aufbauen, die eine maximale Amplitude zu einer Zeit t mit einer Unschärfe At aufweisen. An Stelle der Relation Ax Ak = 2π tritt dann die Ungleichung At Αω = 2π, bzw. {AE){At)

= h

(5.102)

Energie-Zeit-

Dies bedeutet, daß man die Energie eines Systems nur mit einer Unschärfe AE ermitteln kann, und dazu mindestens eine Meßzeit At aufwenden muß. Zwei Beispiele sind: (a) Zerfallsbreite Angeregte Niveaus eines Atoms oder Atomkerns, die durch Abstrahlung von Photonen spontan zerfallen, seien durch eine Zerfallskonstante λ = 1 / r charakterisiert. Das Zerfallsgesetz lautet iV(0 = i V o e x p ( - A i ) .

(5.103) besitzen immer

Die Emissionszeit der Photonen ist daher im Ensemblemittel nur mit der ¿¡„g endliche Unsicherheit τ meßbar. Damit verknüpft ist eine Unschärfe Γ der emit- Breite

270

5 Quantenpbänomene: Wellen und Teilchen tierten Strahlung, mit Гт>П.

(5.104)

Die Tatsache, daß hier in der Unschärferelation die Größe h auftaucht, und nicht wie bisher diskutiert die Größe h, liegt an der speziellen Definition der Zeit- und Energieunschärfe τ und Γ. (b) Wechselwirkungszeiten von Neutronen im Magnetfeld Wenn wir einen Strahl langsamer Neutronen durch ein homogenes Magnetfeld В schicken, dann erfahren die Neutronen eine Wechselwirkung ihrer magnetischen Momente μ mit dem Feld B. Die Wechselwirkungsenergie ist E· = -{μ· B). Wenn wir diese Energie messen, dann gelingt dies nur mit einer gewissen Unscharfe, die umgekehrt proportional zur Durchflugszeit Δ ί der Neutronen durch das Magnetfeld ist. Wenn wir also die Wechselwirkungsenergie sehr genau ermitteln wollen, dann sollten die Neutronen möglichst langsam sein. Physiker an Forschungsreaktoren haben daher besondere Techniken ersonnen, ultrakalte Neutronen herzustellen, die sich besonders langsam durch die Meßapparatur bewegen.

5.5.6 Einige Beispiele für die Bedeutung der Unschärferelation 1. Beugung eines Elektronenbündels am Spalt Elektronenbeugung

am Spalt

Ein Strahl von Elektronen mit dem Impuls \p\ = Pz fliegt in z-Richtung und wird durch einen Spalt begrenzt, der eine Breite а in der (dazu senkrechten) y-Richtung hat. Wenn man viele Teilchen beobachtet, dann ergibt sich auf einem entfernt aufgestellten Detektor eine Intensitätsverteilung der Elektronen, die wir aus der Beugung von Licht kennen: Das erste Minimum der Intensitätsverteilung liegt bei einem Winkel Ф, der durch die Beziehung sincri ~ ^^ ~ Α/α gegeben ist. Diese Bündelverbreiterung wird auch durch die Unschärferelation erklärt: Durch die experimentelle Anordnung werden die Teilchen in der Koordinate у = a lokalisiert. Damit muß die zu у konjugierte Größe py mindestens eine Unschärfe Δρ^ = h/а besitzen. Mit à.py ist eine Winkelabweichung Δ(?!> = Δρ^^/ρ^ verknüpft. Mit рг = /ι/λ müssen wir daher eine Strahl Verbreiterung mit einem Öffnungswinkel /\ф > λ / α erwarten, in Übereinstimmung mit dem Resultat aus der Optik.

5.5 Materiewellen

271

2. Linienbreite charakteristischer Röntgenstrahlung G. Barreau und Mitarbeiter'^ haben am Hochflußreaktor des ILL in Grenoble, Frankreich, Spektren von Röntgen- und Kern-Gammalinien nach dem Einfang thermischer Neutronen mit höchster Auflösung vermessen. Die charakteristischen Röntgenlinien entstehen dadurch, daß die Anregungsenergie des Atomkerns teilweise dazu dient, ein Elektron aus der innersten Schale des Atoms ins Kontinuum anzuheben. Das entstehende Loch wird durch den Übergang eines schwächer gebundenen Elektrons unter Emission der charakteristischen Röntgenstrahlung aufgefüllt. Bild 5.36 zeigt Daten für den ^^^Th-Kem'''. Die KemGammalinie ist scharf und zeigt die experimentelle Energieauflösung der Apparatur (45 eV). Die Röntgenlinie ist ungefähr doppelt so breit. Dies ist durch die geringe Lebensdauer des Lochs in der Atomhülle des Thorium-Atoms verursacht. Für eine Breite von 100 eV läßt sich aus der Unschärferelation eine Lebensdauer von ca. 4 · 10"^^ s abschätzen. Solch kurze Zeiten sind mit elektronischen Techniken nicht mehr zu messen.

2« с 0)

90

Röntgenlinie

Th

Gammalinie

_L

91

90

-L

89

E[keV]

Bild 5.36: Linienbreite charakteristischer Röntgenstrahlung mit Gamma-Linie als Referenz.

3. Larmor-Präzession eines magnetischen Dipols In diesem Beispiel demonstrieren wir, daß die Unschärferelation in Energie und Zeit dafür verantwortlich ist, daß man in einem mikroskopischen ^ G. Barreau et al., Zeitschrift für Physik A 308, 209 (1982). ' Zur Nomenklatur der Atomkerne siehe Kapitel 6

Charakteristische Röntgenlinien

272 In mikroskopischen Systemen können immer nur der Betrag des Drehimpulses und eine seiner Komponenten gleichzeitig gemessen werden

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen System immer nur den Betrag eines Drehimpulsvektors und eine seiner Komponenten experimentell ermitteln kann. Die anderen beiden Drehimpulskomponenten sind nicht gleichzeitig meßbar. Aus dem Experiment von Stern und Gerlach wissen wir, daß ein Elektron den Eigendrehimpuls (Spin) s = 1/2 hat und zwei Einstellmöglickeiten in Bezug auf ein äußeres Magnetfeld B, mit Sz = ± 1 / 2 ^ . Mit dem Eigendrehimpuls (Spin) s ist ein magnetisches Moment (5.105) verknüpft; dabei ist das gyromagnetische Verhältnis ~ 2 und μ в das Bohrsche Magneton. Wir nehmen an, daß das homogene äußere Magnetfeld die z-Richtung unseres Koordinatensystems definiert. B =

(5.106)

{0,0,Bz).

Das Magnetfeld verursacht ein Drehmoment m

ds di

μ ' l'i

(5.107)

auf dem Elektronenspin^ das zu einer Präzession des Drehimpulsvektors s um die Feldrichtung В = (0,0, B^) führt. Mit den Bezeichnungen des Bildes 5.37 erhalten wir -É^pot = Δίφροι

= gs μβ

= - gs μβ Bz

,

As^

=

Bz

—

h

Bild 5.37: Larmor-Präzession.

(5.108)

5.6 Schrödinger-Gleichung

9s ßBj^

I

в

273

Sin(;9 =

ds di

sm(/?

LOL = a = COL =

(5.109) (5.110)

di

di

{\Щ siiK^) = g s ß B j ^ В

huL = gs μ в -Bz = AEpot.

(5.111) (5.112) (5.113)

Um experimentell festzustellen, ob der Elektronenspin parallel (s^ = +1/2 h) oder antiparallel (s^ = -1/2 h) zum äußeren Magnetfeld В = В ζ steht, müssen wir eine Energiemessung machen mit einer Genauigkeit Δ Ε < AEpot-Nach der Unschärferelation braucht man dazu mindestens eine Meßzeit von Δί >

h h > >Tl. AE,'pot h • Vi

(5.114)

In der Praxis bedeutet dies, daß wir mindestens eine volle Larmor-Periode lang messen müssen, um s ζ festzulegen. Dabei geht jegliche Information über die Komponenten Sx und Sy verloren. In makroskopischen Systemen sind die Drehimpulse so groß, daß es nicht darauf ankommt, mit der Genauigkeit von der Größenordnung h Messungen zu machen. Daher kann man für makroskopische Systeme immer alle Drehimpulskomponenten gleichzeitig und genügend genau messen.

5.6

Schrödinger-Gleichung

5.6.1 Formulierung 1. Vorbemerkungen In diesem Abschnitt wollen wir eine Bewegungsgleichung für die Wellenfunktion ip{r, t) diskutieren, die es uns erlauben wird, mikroskopische Systeme in einer nicht-relativistischen Näherung zu beschreiben. Zur Einführung erinnern wir an die Diskussion in der PHYSIK I, dabei wurde eine dispersionslose Störung betrachtet, die sich in Richtung der f-Koordinate mit der Geschwindigkeit ϋ ausbreitet. Die Wellenfunktion •φ{χ, t) beschreibt die zeit- und ortsabhängige Amplitude der Störung.

274

5 Quantenpbänomene: Wellen und Teilchen Sie ist von der Form φ{χ,ί)

(5.115)

=f{x±vt).

Die entsprechende Bewegungsgleichung lautet дЦ

_

1 дЦ

Weilengleichung

(5.116)

Eine harmonische Welle vom Typ ^{x, t) — Asmk{x

-

vt)

(5.117)

erfüllt die Bewegungsgleichung. 2.

Materiewellen Wir beschreiben Teilchen mit endlicher Ruhemasse durch das im Bild 5.34 dargestellte Wellenpaket, das sich mit der Geschwindigkeit ^теЛсНеп = ^Gruppe bewegt. Wir müssen dabei beachten, daß das Wellenpaket Disper-sion zeigt, d.h. daß es mit wachsender Zeit auseinanderfließt. Für ein nicht-relativistisches sich frei bewegendes Teilchen gilt

E =

Ρ 2m

(5.118)

Einsetzen der Beziehungen E = hw und p = hk ergibt die Dispersionsrelation {hkf (M

=

2m

Dispersionsrelation

(5.119)

Im allgemeinen Fall, daß zusätzlich noch eine potentielle Energie V{f) auftritt, ist die Dispersionsrelation entsprechend zu ergänzen:

ζ m

(5.120)

Gesucht wird eine Bewegungsgleichung für die Wellenfunktion ^ { r , t ) mit den folgenden Eigenschaften: (a) Sie muß eine Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit sein, damit ^{r, t) durch die Anfangsverteilung i¡){r, 0) bestimmt ist.

5.6

Schrödinger-Gleichung

275

(b) Sie muß linear in ф{г, t) sein, um die Superposition mehrerer Lösungen zu ermöglichen. (c) Sie muß homogen sein, damit die resultierenden Wellenfunktionen für alle Zeiten normierbar sind. (d) Harmonische Wellen vom Typ i) = Л exp[i{k • r — ωί)] sollen Lösungen sein, damit man die Wellenpakete konstruieren kann. (e) Die Dispersionsrelation (5.120) sollte erfüllt sein. Diese Bedingungen werden durch die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

i n ^ i ^ Ol

^ - ^ V M r , t) + F(r)^(r, ¿m

t)

(5.121)

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung erfüllt. Dabei haben wir den Nabla-Operator V =

д д d\ дх' ду' dz

benutzt, um die Schreibweise zu vereinfachen. Die Schrödinger-Gleichung ist eine Differentialgleichung für die Wellenfunktionen 'φ{ν,ί). Das Potential erzwingt Randbedingungen, denen die Lösungsfunktionen gehorchen müssen. Die Wellenfunktionen sind im allgemeinen komplexe Funktionen. Ihre physikalische Interpretation haben wir schon diskutiert: Die Größe ¿) I ^ d ^ r ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, Teilchen zum Zeitpunkt t in einem Volumenelement d^f am Ort f z u finden. 3. Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, stationäre Lösungen Im folgenden nehmen wir an, daß das Potential t abhängig ist. Durch einen Ansatz vom Typ ip{x,y,z,t)

=ф{х,у,г)

• T{t)

nicht von der Zeit Separationsansatz

(5.122)

können wir eine Separation der Variablen (x, y, z) und t durchführen. Der Operator V^ wirkt nicht auf T(t) und der Operator d/dt wirkt nicht auf

276

5 Quantenpbänomene: Wellen und Teilchen 7j;{x, y, z). Division von Gleichung (5.121) durch φ • Τ ergibt ih дТ

1

Τ

Φ

dt

φ.

(5.123)

Die linke Seite dieser Gleichung hängt nur von der Zeit t ab, die rechte nur von den Ortskoordinaten (x, y, z). Da diese Beziehung für alle Zeiten und alle Ortskoordinaten immer erfüllt sein muß, müssen beide Seiten konstant sein. Wenn wir die Konstante E nennen, ergibt sich T{t) = To exp

.Et

(5.124)

Wenn wir die Konstante Го in die Funktion φ hineinziehen, erhalten wir ф{г, t) = ф{г) e„-iEt ft

(5.125)

Aus dem Vergleich mit einer ebenen Welle erkennen wir, daß die Konstante E identisch mit der Gesamtenergie des untersuchten Systems ist. Einsetzen in die Gleichung (5.121) ergibt die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

ф{7^ =

Es ist üblich, den

Еф{г).

(5.126)

Hamilton-Operator

Hamilton-Operator

(5.127)

einzuführen. Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung schreibt sich dann Чф{г) Eigen wertproblem

=

Εφ{η

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

(5.128)

Die Gleichung (5.128) stellt ein Eigen wertproblem dar: Die Größe E nimmt ein Spektrum von Werten En an; diese sind die Eigenwerte zum Operator Tí für die Eigenfunktionen φη- Die Eigenwerte En sind die möglichen Energiewerte des Systems und sind nach Voraussetzung zeitlich konstant. Die Zahlenwerte von En müssen aus der Lösung der zeitunabhängigen Eigenwertgleichung (5.128) ermittelt werden.

5.6

Schrödinger-Gleichung

277

Die Wahrscheinlichkeitsdichte -φ* • φ — e'^ft' φ*• e

φ = φ*

(5.129)

ist unabhängig von der Zeit. Aus diesem Grund nennen wir die Zustände, die durch die Eigenwerte En und die Eigenfunktionen φ^η beschrieben werden, stationäre Zustände des Systems. Das Konzept der stationären Zustände eines Systems basiert auf der Annahme, daß der HamiltonOperator nicht explizit von der Zeit abhängig ist. Wenn Η die stationären Zustände eines Atoms beschreiben soll, nehmen wir insbesondere an, daß die Wechselwirkung des Atoms mit einem zeitabhängigen Strahlungsfeld so schwach ist, daß der Einfluß des Feldes vernachlässigt werden kann. Das Atom kann in diesem Fall als ein isoliertes System betrachtet werden, charakterisiert durch die Werte von En-

Stationäre Zustände

5.6.2 Eine erste Anwendung: Hinnelphänomene Als erstes Beispiel für die Beschreibung eines mikroskopischen Systems mittels der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung diskutieren wir Tunnelphänomene. Sie treten immer dann auf, wenn Teilchen gegen eine Potentialbarriere anlaufen, die sie nach den Regeln der klassischen Physik nicht überwinden können, weil ihre kinetische Energie dazu nicht ausreicht. Das Problem ist im Bild 5.38 skizziert. Die Potentialbarriere sei durch die Funktion V(r) charakterisiert, mit r = |r |. Wir betrachten also ein eindimensionales Problem. Wenn die kinetische Energie E des Teilchens größer ist als dem Maximum der Barriere entspricht, kann es sich in f-Richtung weiter bewegen. Wenn dagegen die kinetische Energie des Teilchens kleiner ist als

E >

V(rJ

V(r) = Potential-Barriere

Bild 5.38: Potentialbarriere.

Tunneleffekt

5 Quantenpbänomene: Wellen und Teilchen

278

dem Maximum der Barriere entspricht, so ist eine Bewegung des Teilchens in Bereiche jenseits der Barriere nach den Regeln der klassischen Physik nicht möglich. Im Falle mikroskopischer Systeme kann das Teilchen jedoch mit einer gewissen, im allgemeinen kleinen Wahrscheinlichkeit durch die Barriere hindurchtunneln. Das Phänomen ist analog zur Totalreflexion in der Optik, bei der die Amplitude der elektromagnetischen Welle beim Übergang in das Medium mit dem kleineren Brechungsindex auch nicht abrupt, sondern exponentiell gegen Null geht. Tunnelphänomene treten in vielen Bereichen der Physik auf. Wir erwähnen •

Den a-Zerfall und die Spontanspaltung schwerer Atomkerne

•

Die Feldemission von Elektronen aus festen К о ф е т

•

Die Josephson-Effekte in supraleitenden Systemen

Als ein Beispiel wollen wir im folgenden Abschnitt den α-Zerfall diskutieren und mittels der Schrödinger-Gleichung analysieren. 1. Der α-Zerfall schwerer Atomkerne Viele Atomkerne mit einer Ordnungszahl größer als Ζ = 82 (Blei) emittieren spontan, d.h. ohne äußere Einflußnahme, Atomkerne des | Н е , des häufigsten, in der Natur vorkommenden Helium-Isotops^*^. Wir nennen diese Atomkerne α-Teilchen. Die kinetische Energie der α-Teilchen hat wohl definierte, diskrete Werte. Daraus folgert man, daß es sich um einen Zweikörper-Zerfall handelt. Als Beispiel betrachten wir den spontanen α-Zerfall des Polonium-Isotops mit der Massenzahl А = 210: 210p84 ^ O

82®Pb + α

Die kinetische Energie der α-Teilchen beträgt in diesem Fall E a = 5,30 MeV. Der spontane Zerfall bedeutet, daß die Zahl N{t) der Poloniumkerne exponentiell mit der Zeit t abnimmt N{t)

=

Noexp{-\t)

(5.130)

mit Λ- i r Der а-Zerfall ist ein Tunnelphänomen

h l

(5.131)

Γι/2 '

Die Halbwertszeiten Ti/2 variieren zwischen 10 ® s für Zur Nomenklatur der Atomkerne siehe Kapitel 6

und 10^" s

5.6

Schrödinger-Gleichung

279

für d.h. über 24 Zehnerpotenzen. Gamow hat zuerst darauf hingewiesen, daß der α-Zerfall ein Tunnelphänomen ist. Dies sieht man folgendermaßen ein (siehe dazu das Bild 5.39). ί

Λ,

Гк

r

gebundene Zustände

Bild 5.39: Tunneleffekt bei α-Zerfall.

Man weiß aus Streuexperimenten mit α-Teilchen an schweren Atomkernen, daß die Atomkerne einen recht scharf definierten Rand haben, und daß die Radien der Atomkerne in guter Näherung mit der dritten Wurzel aus der Massenzahl A skalieren. ГК -

(1,4-10-i^m)

(5.132)

Für den Kem errechnet man einen Radius r ^ ~ 8,3 · 10 ^^ m. Aus der Beziehung

V{r) =

· {Z2 - 2) · e2 (47Γ6Ο)

(5.133)

· R

für die Radialabhängigkeit der potentiellen Energie zwischen dem a Teilchen mit Ζχ = 2 und dem Tochterkern mit {Z2 - 2) = 82 errechnet man, daß die Potentialbarriere am Kemrand 28 MeV hoch ist. Das α-Teilchen hat jedoch nur eine kinetische Energie von 5,30 MeV. Dies entspricht dem Wert des Potentials bei einem Relativabstand von

280

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen ri = 44 · m. Wir folgern, mit Gamow, daß das a-Teilchen die Barriere durchtunnelt hat. Die Wahrscheinlichkeit, daß dies gelingt, ist so klein, daß die Halbwertszeit für diesen Prozeß 1,2 · 10^ s beträgt.

2. Analyse des Tunnelphänomens mittels der Quantenmechanik In diesem Abschnitt wollen wir den α-Zerfall mit Hilfe der Quantenmechanik analysieren. Wir diskutieren dazu zunächst den Einfluß einer Potentialstufe auf die Bewegung eines Teilchens und approximieren dann das eigentliche Problem, die Transmission eines Teilchens durch die Coulombbarriere eines schweren Atomkerns, mittels einer Serie aufeinanderfolgender Potentialstufen. Schließlich werden die Ergebnisse einer derartigen Analyse mit realen Daten verglichen. Aus der exzellenten Übereinstimmung vieler experimenteller Daten schließt man, daß die Analyse den physikalischen Sachverhalt richtig wiedergibt. Für ein Teilchen, das sich in einem Zentralpotential V{r) bewegt, ist das Problem auf eine Dimension, den Relativabstand r, reduziert. Wir nehmen der Einfachheit halber an, daß das α-Teilchen keinen Bahndrehimpuls fortträgt; in realen Berechnungen wird das natürlich berücksichtigt. (a) Einfluß einer Potentialstufe auf die Bewegung eines Teilchens Wir betrachten dazu das im Bild 5.40 skizzierte eindimensionale Problem. Im linken Bereich I ist das Potential gleich Null, die Gesamtenergie des Teilchens ist gleich der kinetischen Energie. Beim Übergang in den Bereich II springt das Potential auf den positiven Wert Fq > -E^kin· Wir benutzen die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, um das Problem zu analysieren. Im linken Bereich I, für V{x) = 0, gilt

Die Lösungen sind vom Typ ^i(x) -

+

(5.135) ' E

и

Θ

® x=0

Bild 5.40: Potentialstufe.

X

5.6 Schrödinger-Gleichung

281

mit 2mE k = ] J ^ ·

(5.136)

Im rechten Bereich II, mit V{x) = VQ, gilt

Die Lösungen sind vom Typ νΊι(χ) = Ce^^ + Ö e " " ^

(5.138)

mit

Unter den gewählten Bedingungen ist die Größe q > 0. Aus der Forderung, daß die Wellenfunktion im Bereich II normierbar sein muß, folgt С = 0. Die übrigen Konstanten A, В und D ermitteln wir aus den Stetigkeitsbedingungen für die Wellenfunktionen und deren Ableitungen an der Potentialstufe, d.h. bei χ = 0. Schließlich normieren wir die von links einlaufende Welle auf eins, d.h. wir wählen А = l. Die Bedingungen lauten somit

^

M Q ) = ^11 (0)

(5.140)

A +B = D

(5.141)

дМО) дх

дфи{0) дх

(5.142)

ik{A-B)

= -qD.

(5.143)

und

Mit A = 1

282

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen folgt

^i(x) =

+

^ ^

(5.144)

und

(5.145)

•фи{х) = l . n / l - l mit 4 Ρ

(5.146)

I/o

к

л

4E

/Л

\/\/

x=0

X

Bild 5.41: Wahrscheinlichkeitsdichte an Potentialstufe.

Im Bereich I ergibt sich eine einlaufende und eine auslaufende (reflektierte) Welle, im Bereich II eine Lösung mit einer exponentiell abfallenden Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Der Abfall hängt von der Größe q, d.h. von der Differenz zwischen der Barrierenhöhe und der kinetischen Energie des Teilchens, und von der Länge χ der durchtunnelten Strecke ab. (b) Einfluß einer Barriere endlicher Dicke. Als nächsten Schritt betrachten wir eine Barriere der Dicke a, d.h. y(x) =

Vbfür 0 < ж < а 0 sonst.

5.6 Scbrödinger-GIeichung

283

Dann gilt Ha) ~ e -aq

(5.147)

m Für die Tunnelwahrscheinlichkeit Τ erhalten wir 2

T =

= exp

-2a

ф{0)

2m(Vb - E) ñ2

(5.148)

(с) Coulombbarriere Um die Tunnelwahrscheinlichkeit durch die Coulombbarriere zu berechnen, approximieren wir diese durch eine Folge von Potentialstufen der Breite α und jeweils angepaßter Höhe (siehe Bild 5.42). Für die Radialkoordinate r gilt nach Bild 5.39 die Beziehung г к < r < r i . Die Transmissionswahrscheinlichkeit Τ eines Teilchens der Energie E durch die gesamte Barriere ist gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Wir schreiben Τ = exp[-2G] 1 п Г = - 2 С = 1ПГ1+1ПТ2 + . . .

(5.149)

Die Größe G wird als Gamow-Faktor bezeichnet. Als Lösung dieser In- Gamow-Faktor

V(r) ~ }

Bild 5.42: Approximation des Coulombpotentials durch Summe von Stufen.

284

5 Quantenpbänomene: Wellen und Teilchen tegration ergibt sich

E J mit χ = гк/ri. terkerns.

άττεο

arceos \/x - л/х(1 - χ)

(5.150)

Die Größe {Z2 - 2) ist die Kernladungszahl des Toch-

Eine Abschätzung für die Lebensdauer eines α-instabilen Kerns ergibt sich in der folgenden Weise: Die Geschwindigkeit des a-Teilchens im Kem beträgt зд = \/2E/m. Die Zeit zwischen zwei Stößen, die das aTeilchen von innen gegen die Barriere am Kernrand macht, ist daher TQ = 2τ·κ/νο. Bei jedem „Versuch" beträgt die Tunnelwahrscheinlichkeit T. Die mittlere Lebensdauer des a-Teilchens im Kem ist daher r = TQ/T. Damit folgt λ = 1 / r = T/TQ und In λ ~ —G. Wir erwarten daher einen Zusammenhang der Art

Geiger-NuttallBeziehung

In λ

+

(5.151)

b.

VË Diese nach Geiger und Nuttall (1911) benannte Beziehung stimmt sehr gut mit den experimentellen Befunden überein. Bild 5.43 zeigt Originaldaten aus einer Arbeit von Geiger. Er benutzt als Abszisse den Logarithmus der Reichweite R der α-Strahlen in Luft. Diese Reichweite ist in guter Näherung proportional zu E^'^. Daher erwartet man auch nur einen linearen Zusammenhang zwischen den Größen log А und log R. Die Daten bestätigen dies eindrucksvoll.

-log λ

log R 0.4

0.5

0.6

Bild 5.43: Zusammenhang zwischen Zerfallskonstante А und der Energie der Q-Teilchen, hier dargestellt über die Reichweite in Luft.^^

' H. Geiger, Zeitschrift für Physik 3, 45 (1921).

5.7 Quantisierung

gebundener

Zustände

285

5.7 Quantisierung gebundener Zustände 5.7.1 Vorbemerkung: Kontinuierliche und diskrete Energieeigenwerte In diesem Abschnitt wollen wir das bisher erarbeitete Instrumentarium der Quantenmechanik anwenden, um die Eigenschaften einiger einfacher Systeme zu analysieren. Dabei werden wir das oben eingeführte Konzept der stationären Zustände nutzen. Im folgenden diskutieren wir sich frei bewegende Teilchen und gebundene Systeme: 1. Kontinuumszustände freier Teilchen: Die Schrödinger-Gleichung, die die Bewegung eines freien Teilchens beschreibt, unterliegt einer allgemeinen Normierungsvorschrift und eventuell weiteren Randbedingungen, die durch ein Potential vorgegeben sind. Entscheidend ist, daß für freie Teilchen alle Werte der Gesamtenergie E erlaubt sind, und damit auch alle Werte der kinetischen Energie. Daher bezeichnet man diese Zustände als Kontinuumszustände. Als Beispiel betrachten wir α-Teilchen, die unter dem Einfluß einer abstoßenden Coulomb-Kraft auf einer Hyperbelbahn an einem GoldAtomkem gestreut werden. So lange nur die Coulombkraft wirkt, gibt es keine gebundenen Zustände in diesem System. Die a-Teilchen können daher je nach Wahl der kinematischen Variablen (Einschußenergie, Stoßparameter und Streuwinkel) beliebige Werte der kinetischen Energie und des Drehimpulses annehmen. 2. Diskrete Energieeigenwerte in gebundenen Systemen: Im Gegensatz dazu sind gebundene Teilchen durch ein Potential V{r) auf ein bestimmtes Volumen beschränkt. Wenn die Dimension dieses Volumens vergleichbar mit der de Broglie-Wellenlänge des Teilchens ist, sind nur noch Zustände des Teilchens mit bestimmten diskreten Werten der Gesamtenergie E erlaubt: Die Eigenwerte Ei der SchrödingerGleichung (5.128) bilden ein Spektrum diskreter Werte. Als Beispiel betrachten wir gebundene Zustände des Elektron-ProtonSystems. Das Elektron in einem neutralen Wasserstoffatom ist durch das Coulombpotential an den Atomkern, das Proton gebunden (siehe dazu das Bild 5.13). Auf Grund der Randbedingungen, die durch das 1 / r Potential vorgegeben sind, kann das Elektron mr stationäre Zustände mit diskreten Werten der Energie besetzen. Den energetisch tiefsten nennen wir den Grundzustand des neutralen Atoms. Die Beobachtung optischer

Kontinuumszustände

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

286

Übergänge zwischen diesen Niveaus erlaubt es, die diskreten Energien experimentell festzulegen.

1913: Bohrsche Postulate

Dieses Verhalten des Elektron-Proton-Systems ist nach den Gesetzen der klassischen Physik nicht zu verstehen. Wenn man das Elektron als ein geladenes Teilchen betrachtet, das sich auf einer Kreisbahn um das Proton bewegt, wobei Coulombkraft und Zentrifugalkraft im Gleichgewicht sind, dann wären Bahnen mit beliebigen Radien möglich. Weiterhin müßte das Elektron auf seiner beschleunigten, planetenartigen Bewegung um den Atomkern Energie abstrahlen und somit letztendlich in das Zentrum seiner Bahn hineinstürzen. Zur Lösung dieses Problems hat Niels Bohr im Jahr 1913 dazu die folgenden, zunächst nicht näher begründeten Postulate aufgestellt: (a) Für Elektronen in Atomen und Molekülen gibt es gewisse, ausgezeichnete Bahnen mit diskret liegenden Energiewerten, die ohne Abstrahlung durchlaufen werden (Quantelung der Energie). (b) Die Bahnen werden dadurch festgelegt, daß der Betrag des Bahndrehimpulses l = pr шг ein Vielfaches der Einheit h beträgt (Quantelung des Drehimpulses). pr = nh,

mit η = 1, 2 , 3 , . . .

(5.152)

(с) Bei einem Übergang eines Elektrons von einer Bahn mit der Energie E j auf eine andere mit der Energie Ek wird Licht mit der Energie h^jk

Bohrs Postulate sind der klassischen Mechanik und Elektrodynamik völlig fremd

= Ej

-

Ek

(5.153)

emittiert. Eine Begründung dieser Postulate wird erst durch die Quantenmechanik und das Konzept der stationären Zustände gegeben. In den folgenden Abschnitten werden wir zunächst einige der Experimente beschreiben, mit denen diese Zustände mit diskreten Energiewerten experimentell studiert wurden. Anschließend nutzen wir die erarbeiteten Konzepte der Quantenmechanik, um einige einfache Systeme zu analysieren.

5.7.2 Anregung und Zerfall diskreter Niveaus von Atomen und Molekülen 1. Spektroskopie von Emissions- und Absorptionslinien Man untersucht die Spektren hoch angeregter Atome oder Ionen, die in einer Gas- oder Funkenentladung, durch Teilchenbeschuß, Lichteinstrah-

5.7 Quantisierung gebundener

Zustände

287

Bild 5.44: Ritzsches Kombinationsprinzip.

lung oder in einem Plasma erzeugt wurden, mit Hilfe hochauflösender Instrumente. Historisch gesehen war das Zustandekommen der beobachteten diskreten Emissions- und Absoφtionslinien lange Zeit unverstanden. Es gelang jedoch, die beobachteten Linien in Serien zu ordnen und auf diese Weise die diskreten Werte der Energien des untersuchten Systems zu ermitteln. Um die Reihenfolgen der einzelnen Niveaus festzulegen, benutzte man das Ritzsche Kombinationsprinzip, das an Hand des Bildes 5.44 erläutert werden soll: Man addiert die gemessenen Energien der einzelnen Übergänge und sucht nach Summenlinien, die diesen Kombinationen entsprechen. Im Beispiel wäre Ез2

+

E21 =

Ез1.

Warum werden diskrete Emissionsund Absorptionslinien beobachtet?

(5.154)

Dabei haben wir die Energie des Übergang vom Niveau г zum Niveau j mit E i j bezeichnet. Damit ist noch nicht geklärt, ob in unserem Beispiel die Reihenfolge der Niveaus nicht invertiert ist. Intensitätsargumente helfen, diese Reihenfolge festzulegen: Die höher angeregten Niveaus sind im allgemeinen schwächer besetzt als die niedrig angeregten, und daher sind die elektromagnetischen Übergänge, die von den höher angeregten Niveaus ausgehen, intensitätsschwächer als solche, die von niedrig angeregten Niveaus ausgehen. 2. Der Versuch von Franck und Hertz (1914) James Franck und Gustav Hertz zeigten, daß Atome durch Elektronenstoß nur quantisiert Energie aufnehmen können. Die Atome gehen dabei von ihrem Grundzustand mit der Energie Eq in einen angeregten Zustand der Energie Εχ über. Eine Anregung findet erst statt, wenn die kinetische Energie der Elektronen einen für jedes Atom charakteristischen Energiebetrag E l — Eq übersteigt. In einem zweiten Schritt geben diese Atome ihre Anregungsenergie wieder ab und emittieren dabei elektromagnetische Strahlung der Energie hu = E\ - Eq.

1914: FranckHertz-Versuch

5 Quantenpbänomene: Wellen und Teilchen

288 Glühdraht

Bild 5.45: Schematischer Aufbau des Franck-Hertz-Versuchs.

Der Aufbau des Franck-Hertz-Versuchs ist im Bild 5.45 gezeigt. In einem Glasgefäß, das mit Quecksilberdampf unter geringem Druck gefüllt war, befand sich eine Glühkathode und eine Anode, deren Spannung gegen den Glühdraht im Verlauf des Versuchs verändert werden konnte. Die in dem elektrischen Feld beschleunigten Elektronen, die mit vernachlässigbar kleiner Energie aus der Glühkathode austreten, stoßen auf ihrem Weg zur Anode elastisch mit den Quecksilberatomen zusammen. Dabei erfahren sie zwar eine Impulsänderung, verlieren jedoch wegen des großen Massenverhältnisses zwischen dem Quecksilberatom und dem Elektron praktisch keine Energie, so lange ihre Energie nicht ausreicht, die Quecksilberatome von ihrem Grundzustand mit der Energie EQ auf das niedrigst angeregte Niveau mit der Energie EI anzuheben. Um diesen Anregungsprozeß nachzuweisen, verwendeten Franck und Hertz als Anode ein Drahtnetz, das weiter außen von einer weiteren Auffangelektrode umgeben war. Zwischen dieser und dem Drahtnetz lag eine während der ganzen Versuche konstante Gegenspannung von ca. 0,5 Volt, so daß Elektronen, die mit Energien kleiner als 0,5 eV durch das Drahtnetz durchtraten, nicht zur Außenelektrode gelangen konnten. Gemessen wurde der Elektronenstrom I zur Außenelektrode in Abhängigkeit von der Spannung U zwischen dem Drahtnetz und dem Glühdraht. Sobald e U größer ist als die Energiedifferenz ΕΧ — ΕΟ, sinkt dieser Strom stark ab. Bei weiterer Erhöhung von U steigt er wieder an, um beim Überschreiten der doppelten Spannung erneut rasch abzusinken. Meßdaten sind im Bild 5.46 gezeigt. Der Abstand der Maxima ist daher gleich der Anregungsenergie AE = EI — EQ. Franck und Hertz erhielten für diese Energiedifferenz AE bei Quecksilber den Wert 4,9 eV. Zusätzlich beobachteten sie ein schwaches Leuchten in dem Quecksilberdampf mit der Wellenlänge λ = 253,7 nm, sobald U den Wert des ersten Strommaximums überschritt. Aus dem bekannten Emissionsspektrum von Quecksilberatomen trat nur diese eine Linie auf. ^ J. Franck, G. Hertz, Verhandlungen d. Deutschen Physikalischen Gesellschaft 16, 457 (1914).

5.7 Quantisierung gebundener Zustände

15

U[V]

289

Bild 5.46: Messung der lonisierungsspannung von Quecksilber im Franck-HertzVersuch.'"

Ihre Wellenlänge genügt der Gleichung (5.155) Λ

Damit war die Existenz diskreter Energieniveaus in den Quecksilberatomen und die Gültigkeit der Bohrschen Frequenzbedingung = hxjj experimentell verifiziert. Durchstimmbare Laser und die Nutzung von Synchrotronstrahlungsquellen erlauben es heute, Atome und Moleküle gezielt mit monoenergetischen Photonen anzuregen. Durch die Nutzung mehrerer Laser und von Vielfachanregungsprozessen erreicht man immer höher angeregte Niveaus und schließlich eine selektive Ionisierung. Als ein Beispiel erwähnen wir die Anregung von Rydbergzuständen in Atomen oder Ionen. Raffinierte experimentelle Techniken haben es ermöglicht, den Einfluß von Dopplerverschiebungen und Dopplerverbreiterungen weitestgehend zu eliminieren. Auf die Einzelheiten solcher Experimente kann hier nicht eingegangen werden.

5.7.3 Quantenmechanische Analyse einiger eindimensionaler Systeme Die Diskussion in diesem Abschnitt soll in die Techniken einführen, Quantensysteme mittels der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung zu beschreiben. Diese lautet:

2m

dx^

+ ν{χ)φ{χ)

=

Εφ{χ).

(5.156)

Rydbergzustände

290

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

1. Das freie Teilchen

freie, zeitunabhängige Schrödinger-

Im Prinzip haben wir dieses Problem schon bei der Diskussion des a Zerfalls behandelt. Da keine Kräfte auftreten, setzen wir V{x) überall gleich Null. Damit erhalten wir 2mE

(5.157)

ф{х).

Gleichung

Die Lösung dieser Differentialgleichung kann in der Form (5.158) geschrieben werden, mit 2mE к

(5.159)

=

Die Größen А und В sind Konstanten. Der erste Term repräsentiert eine ebene Welle, die in der Richtung der positiven x-Achse läuft, der zweite eine, die in die Richtung der negativen x-Achse läuft. Die Quadrate der jeweiligen Amplituden und sind ein Maß für die Intensitäten der Teilchen, die durch diese Wellen beschrieben werden. Da es keine Randbedingungen durch ein Potential gibt, existieren keinerlei Einschränkungen hinsichtlich der Energie E: Alle Werte von E erfüllen die Schrödinger-Gleichung (5.156). Die Lösungen sind Kontinuumslösungen. Die Normierungsbedingung

Normierungsbedingung

(5.160)

kann in diesem Fall nicht angewendet werden, da Integrale über sin oder cos^ im Intervall χ — —oo bis χ = -j-oo nicht konvergieren. Daher benutzen wir in diesem Fall eine andere Überlegung: Wir nehmen an, es gäbe eine Quelle, zum Beispiel einen Beschleuniger, der bei ж = — oo steht und pro Sekunde / Teilchen emittiert, die mit der Geschwindigkeit υ — — in die Richtung der positiven x-Achse fliegen. Wir nehmen weim

terhin an, daß es keine Teilchen gibt, die in die Richtung der negativen

5.7 Quantisierung gebundener

Zustände

291

X-Achse fliegen. Die Amplitude В ist somit gleich Null. Der Teilchenstrom ist (5.161)

m Somit erhalten wir die Normierungsbedingung A =

ml Jk'

2. Der unendlich hohe Potentialtopf Das Potential ist von der Form V{x)

oo О

=

für X < 0, ж > α sonst.

(siehe Bild 5.47). Damit ist das Teilchen zwischen den Koordinaten X = 0 und X = а eingesperrt. Die Wände bei χ = 0 und χ = α sind undurchdringbar; daher ist das Teilchen niemals außerhalb des Topfes und es gilt i/j(x) = 0 für X < 0 und χ > a. Innerhalb des Topfs ist die Schrödinger-Gleichung durch die Beziehung (5.157) gegeben. Wir schreiben die Lösung in der Form (5.162)

ip(x) = А sin kx -l· В cos kx.

Die Randbedingung für ф{х) bei χ = 0 ergibt 'φ{0) = 0, und damit muß В — 0 sein. Bei X = α ergibt die Randbedingung А sin ka = 0.

(5.163)

Die Lösung А = 0 ist nicht akzeptabel, denn dann wäre гр{х) = 0 für alle Werte von x. Somit muß sin ka = 0 sein, d.h. ka — nix

mit η = 1, 2, 3 , . . .

(5.164)

V(x) -

®

Ξ

®

Η

(Ш)

v=o X-·

=0

x==a

*

Bild 5.47: Unendlich hoher Potentialtopf.

eingesperrtes Teilchen im

Ρο^η'^'^Ρ^

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

292

Damit erhält man die Eigenwerte 2 u2 Er,.

mit EQ =

=

2m h^

h^

7Γ2

2 ma?

n^

=

Eoit

(5.165)

7Γ2

Die Energie des Teilchens ist quantisiert. Die ent2 m o^ sprechenden Zustände sind gebundene Zustände, da das Potential das Teilchen in einem vorgegebenen Bereich der Ortskoordinate fixiert. Die entsprechenden Wellenfunktionen sind

gebundene Zustände

Фп{х)

/ 2 . ηπχ = V - sin .

Va

(5.166)

a

Dabei ist die Konstante A aus der Normierungsbedingung (5.160) ermittelt worden. Die Eigenfunktionen, Aufenthaltswahrscheinlichkeiten und Energieeigenwerte für die Werte η = 1 , 2 , 3 , . . . der Quantenzahl η sind im Bild 5.48 dargestellt. Die stationären Lösungen entsprechen stehenden Wellen in dem Topf. Die Frequenzen der Eigenschwingungen nehmen linear mit η zu. Die Analogie mit den stehenden Wellen in einem abgeschlossenen System, z.B. einer schwingenden Saite, ist offensichtlich. Es ist an dieser Stelle interessant anzumerken, daß der Grundzustand des Systems, d.h. der energetisch tiefste Zustand, nicht die Energie

Die Energie des Grundzustands ist nicht Null

E = 0 hat, sondern den Wert

Der Grund dafür liegt in der

Unschärferelation: Da der Ort des Teilchens nur innerhalb eines Inter-

Ψη

4Í

AAA,

n=3

n=2 n=1 x=0

x=a

x=0

x-a

Bild 5.48: Eigenfunktionen, Wahrscheinlichkeitsdichte und Energieeigenwerte eines Teilchens im unendlich hohen Potentialtopf.

5.7 Quantisierung gebundener

Zustände

293

valls der Dimension Δα; = a festgelegt ist, ist die Impulsunschärfe des Teilchens mindestens gleich Ap = h/a. Wenn wir annehmen, daß der Impuls ρ selbst mindestens den Wert von Ap haben muß, schätzen wir eine minimale Energie Eq = ab. Diese Abschätzung ist bis auf 2 ma? einen Faktor 4 korrekt. 3. Der harmonische Oszillator Die potentielle Energie eines eindimensionalen harmonischen Oszillators Harmonischer ist

Oszillator

(5.167) Die Schrödinger-Gleichung für diesen Fall kann durch die Substitution о? 2 VD то gelöst werden. Die mit а = •φΐχ) = h{x)exp{— 2 ' % Funktion h{x) erweist sich als ein Polynom in x. Die höchste Potenz von χ in diesem Polynom ist durch die Quantenzahl η vorgegeben, die die Energie der Eigenzustände festlegt. Aus der Lösung der SchrödingerGleichung, die wir hier nicht vorführen können, ergibt sich En^ñíxJo{n + ^), Δ

(5.168)

mitn = 1,2,3,...

Dabei ist ωο = \ j D / m die aus der Mechanik bekannte Oszillatorfrequenz. Im Bild 5.49 sind das Potential, die niedrigsten drei Energieeigenwerte t . V(r)

^

n=3

n=2

n=1

г Bild 5.49: Potential, Eigenfunktionen und Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators.

294

5 Quantenphänomene:

Wellen und Teilchen

und die dazugehörigen Wellenfunktionen dargestellt. Wichtig sind zwei Beobachtungen: (a) Die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators sind äquidistant. Nullpunktsenergie des harmonischen Oszillators

(b) Auch in diesem Fall gibt es eine Nullpunktsenergie, vom Betrag 1/2 HLOQ, die in gleicher Weise wie für den Potentialtopf durch die Unschärferelation erklärt werden kann. Im Fall des dreidimensionalen harmonischen Oszillator ist der Vorfaktor 1/2 durch 3/2 zu ersetzen.

5.7.4 Probleme in drei Dimensionen: Lösung der Schrödinger-Gleichung im Zentralpotential Lösungen der Schrödinger-Gleichung für ein Zentralpotential F ( | f | ) werden in den Vorlesungen PHYSIK IV und in der Quantenmechanik ausführlich erörtert. Wir beschränken uns daher auf eine Diskussion einiger weniger, physikalisch wichtiger Fragen. Zentralpotentiale vom Typ F ( | f |) sind in der PHYSIK I und PHYSIK II diskutiert worden. Klassische Beispiele sind die Planetenbewegung und die Rutherford-Streuung. Zur Lösung der Bewegungsgleichungen werden im allgemeinen Polarkoordinaten |r | = r, θ und φ eingeführt. Wenn das Potential nicht von den Winkeln θ und φ abhängig ist, ist der Bahndrehimpuls l Erhaltungsgröße, und zwar der Betrag des entsprechenden Vektors und dessen Richtung Dieses Ergebnis sollte auch bei einer quantenmechanischen Analyse herauskommen. Es erweist sich daher als zweckmäßig, auch die Schrödinger-Gleichung in Polarkoordinaten umzuschreiben. Dabei treten Ableitungen nach der Radialkoordinate r und nach den Winkelkoordinaten auf. Ein Produktansatz vom Typ Φ{γ,Θ,Φ)^Κ{Γ)·Υ{Θ,Φ)

(5.169)

ergibt zwei voneinander in den Variablen separierte Differentialgleichungen und erlaubt es, die Lösungen R{r) der Radialgleichung und Υ{θ, φ) des Winkelanteils separat zu berechnen. Die Radialgleichung ist durch den ZenP trifugalterm ^ modifiziert, stellt aber ansonsten ein eindimensionales Problem dar. Aus der Lösung des Winkelanteils erhalten wir die Winkelanteile der Wellenfunktionen und die möglichen Werte für den Betrag des Drehimpulsvektors \l \ und seine z-Komponente l^·

5.7 Quantisierung gebundener Zustände

295

5.7.5 Ausgewählte Beispiele 1. Potentialtöpfe In reellen physikalischen Systemen ist der unendlich hohe Potentialtopf nur als Näherung realisiert. Im allgemeinen sind die Töpfe nur endlich tief, und der Rand etwas diffus. Beispiele sind (a) Das Deuteron, der leichteste, aus einem Proton und einem Neutron zusammengesetzte stabile Atomkern. Die starke Kraft, die die beiden Nukleonen zusammenhält, wird in diesem Fall durch ein Kastenpotential angenähert. Die Analyse dieses Systems wird in Lehrbüchern und Vorlesungen der Kernphysik diskutiert. Wir können an dieser Stelle nicht darauf eingehen. (b) Quantentöpfe und Quantendrähte. In der Halbleiterphysik gelingt es, Halbleitermaterialien so geschickt zu präparieren, daß Ladungsträger Potentialstufen in einer oder mehreren Dimensionen sehen. Die Abmessungen dieser Quantentöpfe sind dabei von der Größenordnung der Wellenlänge der Ladungsträger. Damit ergeben sich wiederum quantisierte Energiezustände. (c) Metall-Cluster In jüngster Zeit ist es gelungen, kleine Metallkugeln herzustellen, deren Dimensionen mit der Wellenlänge frei beweglicher Elektronen vergleichbar sind. Auch hier läßt sich zeigen, daß die Energieniveaus quantisiert sind. 2. Harmonischer Oszillator Der harmonische Oszillator ist auch in der Diskussion mikroskopischer Systeme ein immer wieder auftretendes System. Wir erwähnen Phänomene, bei der die chemische Bindung zwischen Atomen eine Rolle spielt. Die Schwingungen der Atome in Molekülen um ihre Gleichgewichtslage lassen sich sehr gut als harmonische Schwingungen mit äquidistenten Energieabständen deuten. 3. Elektronische Niveaus in wasserstoffähnlichen Atomen Das Wasserstoffatom ist ein dreidimensionales Objekt. Wie wir diskutiert haben, erlaubt das zentrale Potential V{r) =

4 π eo r

(5.170)

eine Aufspaltung der resultierenden Wellenfunktionen in einen Radialteil R{r) und einen Winkelanteil Y{ß, φ). Die Lösung der Radialgleichung ist wiederum ein eindimensionales Problem.

296

5 Quantenphänomene: Wellen und Teilchen

Bild 5.50: Potential und Energieeigenwerte des Wasserstoffatoms.

Die Energieeigenwerte und der Radialteil der Wellenfunktionen ergeben sich aus der Lösung der Differentialgleichung für die oben eingeführte Radialwellenfunktion R(r). Die einzelnen Schritte dieser Berechnung können wir hier nicht vorführen. Das Ergebnis ist me E„.

Quantenzahlen

=

-

1

2(47гео)2/г2

n^

Energieeigenwerte des (5.171) Wasserstoffatoms

Die Energieeigenwerte skalieren mit 1/n^. Es treten insgesamt drei voneinander verschiedene Quantenzahlen auf: die Hauptquantenzahlen n, mit den Werten (5.172)

n = 1,2,3,...

die Bahndrehimpulsquantenzahlen /, die den Betrag des Bahndrehimpulses fixiert, mit (5.173) und deren z-Komponenten тгц, die magnetische Quantenzahl, mit ihren insgesamt (2/ 1) Werten: rrii = 1,1 — 1,...

,—l.

(5.174)

Wie wir bereits diskutiert haben, erwarten wir, daß der Betrag des

5.7 Quantisierung gebundener Zustände

297

Drehimpulses und eine seiner Komponenten in einem Zentralpotential Erhaltungsgrößen (Konstanten der Bewegung) sind, und dies wird durch die Lösung der Schrödinger-Gleichung bestätigt. Die Eigenfunktionen entsprechen stehenden Wellen, d.h. jede stationäre Lösung der Schrödinger-Gleichung ist eine Schwingung mit einer Wellenlänge, die gerade n-mal in den Umfang der Elektronenumlaufbahn um den Atomkern, das Proton, paßt. Wir erkennen das Postulat von Niels Bohr wieder, daß der Bahndrehimpuls der Kreisbahn nur Vielfache von h annehmen dürfe: Aus pr = nh folgt hkr 4.

= ~r = nh und damit 2πτ = η λ. л

Mehr-Elektronen-Atome Atome mit mehr als einem Elektron sind nicht mehr durch ein 1 / r Potential zu beschreiben. Zusätzlich zu der Coulomb-Wechselwirkung zwischen dem Atomkern und den einzelnen Elektronen müssen die elektrischen und magnetischen Wechselwirkungen der Elektronen untereinander berücksichtigt werden. Dadurch werden die Energieniveaus der Elektronen gegenüber denen des Wasserstoffatoms modifiziert. Man hilft sich im allgemeinen in nullter Näherung mit einem effektiven Zentralpotential und Korrekturen im Rahmen einer Störungstheorie. Auf Details können wir hier nicht eingehen. Das Problem wird in der Vorlesung PHYSIK IV ausführlich behandelt werden.

299

6

Aufbau der Atome

6.1

Einführende Bemerkungen und Nomenklatur

Atome sind die Bausteine der Moleküle und festen Кофег, aus denen alle makroskopische Materie besteht. In diesem Kapitel wollen wir einige Informationen zu den wichtigsten Eigenschaften und zum Aufbau der Atome zusammenstellen und beschreiben, wie man diese Eigenschaften experimentell ermitteln kann. Atome bestehen aus einem Atomkern, der die elektrische Ladung -\-Z • e trägt, und einer Elektronenhülle, die aus insgesamt Ζ Elektronen zusammengesetzt ist. Dabei bezeichnet die Größe e den Betrag der Elementarladung. Die Kernladungszahl Ζ ist identisch mit der Ordnungszahl des jeweiligen Elements im periodischen System. Atome sind elektrisch neutral, d.h. die positive Ladung des Kerns und die negative Ladung der Ζ Elektronen sind dem Betrag nach exakt gleich. Dies ist eine experimentelle Erfahrung; eine theoretische Begründung dafür gibt es bisher nicht. Atome, die ein zusätzliches Elektron gebunden haben, also insgesamt {Z+1) Elektronen, bezeichnet man als einfach negativ geladene Ionen. Mehrfach negativ geladene Ionen sind nicht stabil. Atome, die ein oder mehrere Elektronen verloren haben, heißen entsprechend einfach bzw. mehrfach positiv geladene Ionen. Nackte positiv geladene Ionen sind demzufolge Z-fach geladen und bestehen nur aus dem Atomkern. Der Atomkern besteht aus Ζ Protonen und N Neutronen. Jedes Proton trägt eine positive Elementarladung. Wir nennen A = Ζ + N àie, Massenzahl des Atomkerns. Die Kembausteine Proton und Neutron werden mit dem zusammenfassenden Begriff Nukleon bezeichnet. Das Atom wird durch die Nomenklatur Z^N

bezeichnet, wobei das Symbol, für die chemische Bezeichnung des Elements mit der Ordnungszahl Ζ steht. Atome mit gleicher Protonenzahl Ζ und unterschiedlichen Neutronenzahlen N bezeichnet man als Isotope.

Atowe sind elektrisch neutral

Nukleonen

300

Masse des Atomkerns

6 Aufbau der Atome

Die Radien der Atomkerne sind von der Größenordnung 1 0 " m , die der Atome m. Wir werden im folgenden skizzieren, wie man diese Radien experimentell ermitteln kann. Die Ruhemasse des Nukleons ist ca. 2000 mal größer als die des Elektrons (mo,,/v/mo,e = 1836). Somit ist praktisch die gesamte Masse des Atoms im Atomkern konzentriert, der zudem noch 10^ mal kleiner als das Atom selbst ist.

6.2

Rutherford-Streuung

In diesem Abschnitt skizzieren wir Experimente, die zuerst 1911 von Geiger und Marsden durchgeführt und von Rutherford analysiert wurden. Dabei werden schnelle Atomkerne (Projektile) bekannter Kernladungszahl Ζχ an ruhenden Atomkernen (Target-Kemen) der Kernladungszahl Z2 elastisch gestreut. Meßgröße ist die Zahl der gestreuten Projektile als Funktion des Streuwinkels ΰ. Der Streuwinkel (im Labor-System) beschreibt die Ablenkung des Projektils von der Einschußrichtung. In der Praxis hat der Detektor einen endlichen Raumwinkel ΔΩ, der durch die Fläche F und den Abstand d des Detektors vom Streuzentrum festgelegt ist. Es gilt ΔΩ = F / ( f . Nach einer (trivialen) Transformation des Streuwinkels und der Meßdaten vom Labor- in das Schweφunktsystem der beiden Stoßpartner ermittelt man daraus ein Maß für die Streuwahrscheinlichkeit, den differentiellen Wirkungsquerschnitt — {ύ). Dieser wiederum ermöglicht eine Aussage über die Kernladungszahl Z2 und über den Radius R2 des Targetkerns. Die Analyse derartiger Experimente wollen wir im folgenden diskutieren: Die Geometrie eines Einzelstoßes ist im Bild 6.1 skizziert.

Projektil

i

^ —Stoßparameter ^

T T "

Au-Kern

Bild 6.1: Streuung von Q-Teilchen an Gold. Trajektorien für zwei voneinander verschiedene Stoßparameter b. Die Achse z - z bezeichnet die Symmetrieachse des Streuproblems.

6.2 Rutherford-Streuung

301

Wir nehmen zunächst an, der Relativabstand r der beiden Streupartner im Schwerpunktsystem sei größer als die Summe der beiden Kemradien, Ri + R2. Das Potential der beiden Streupartner ist in diesem Fall das CoulombPotential von zwei Punkt-Ladungen

4πεο

г

(вЛ)

Der Abstand des Projektils von der Symmetrieachse für r ^ 00 = Гоо wird als Stoßparameter Ь bezeichnet. Wenn man die Coulomb-Wechselwirkung abschalten könnte, wäre dies der Abstand, in dem das Projektil am Targetkern vorbeifliegen würde. Das gesamte Streuproblem ist rotationssymmetrisch um die Achse (z - z), da das Potential unabhängig von dem Polarwinkel φ ist. Der Stoßparameter h eines einzelnen Stoßprozesses läßt sich experimentell nicht festlegen. Das Experiment ergibt daher lediglich eine Aussage über viele Streuprozesse, mit entsprechend vielen, voneinander verschiedenen Werten des Stoßparameters. Es wird in der folgenden Weise analysiert. 1. Für das oben angegebene Potential zweier Punktkerne gibt es einen eindeutigen Zusammenhang zwischen dem Streuwinkel ΰ und dem Stoßparameter h, der in Lehrbüchern der theoretischen Mechanik abgeleitet wird, und den wir hier nur angeben: к ΰ , 2ΖιΖ2β2 b = — ^ cot - , k = — .

(6.2)

Dabei ist die kinetische Energie des Projektils (im Schweφunktsystem) gleich Eoo — l'mvl^. Diese, im allgemeinen als Ablenkfunktion bezeichnete Beziehung, ist im Bild 6.2 dargestellt: Zentrale Stöße, mit dem Stoßparameter ò = 0, führen zur Rückstreuung, mit = тг; je größer der Stoßparameter, desto kleiner der Ablenkwinkel ΰ. 2. Wir betrachten, aus der Sicht des einlaufenden Projektils, verschiedene Intervalle des Stoßparameters b, mit einer Schachtelung dò, und nehmen an, daß jedes Projektil, das das Target in einem vorgegebenen Intervall (Ò, ò+dò) von Stoßparametern trifft, in den Winkelbereich {ΰ, abgelenkt wird. Die Fläche der entsprechenden Zielscheibe beträgt 27ròdò. Dabei sind Terme von der Größenordnung (dò)^ vernachlässigt, (siehe dazu das Bild 6.3). differentieller WirSomit erhalten wir für den differentiellen Wirkungsquerschnitt, d.h. die kungsquerschnitt

302

6 Aufbau der Atome

^

13

[10 m] 2 H

1.5-

1

-

0.5-

π/2 Bild 6.2: Ablenkfunktion von a-Teilchen (E^

b'

' b+db

π

ô

= 6 MeV) an Gold {Z = 79).

Bild 6.3: Definition des Stoßparameter-Intervalls.

Streuwahrscheinlichkeit d a pro Raumwinkelelement άΩ da

27ròdò

dn

2πsin1?dг?

dò ήηΰ

(6.3)

dì?

Aus der Ableitung der Ablenkfunktion ό(ί?) ergibt sich die RutherfordStreuformel: RutherfordStreuformel

(6.4)

Nach diesen Überlegungen müssen wir noch zwei Probleme diskutieren: 1. Den Zusammenhang zwischen der Zahl Ν{ΰ) der unter dem Winkel -d im Detektor nachgewiesenen, gestreuten Teilchen und dem differentiellen Wirkungsquerschnitt:

6.2 Rutherford-Streuung

303

Wir nehmen dabei an, daß η ρ Projektile pro Sekunde auf das Target treffen. Dieses habe п т Targetkerne pro cm^. Die Zahl der in den Raumwinkel Δ Ω gestreuten Teilchen beträgt dann Ν(ϋ)

= ηρ·ητ

/da λ ^ ΔΩ.

(6.5)

\dSÍ /

Für ein dünnes Target ist die Zahl der aus dem Strahl herausgestreuten Teilchen vemachlässigbar gegen die Zahl η ρ der einfallenden Teilchen. Deshalb bestimmt man η ρ mittels einer „Faraday-Tasse", die in Strahlrichtung hinter dem Target aufgestellt ist, und die Ladungen der einfallenden Teilchen aufintegriert. Die Zahl π χ der Targetatome ermittelt man durch Wägung; der Öffnungswinkel Δ Ω des Detektors wird aus dessen Fläche und Abstand vom Target berechnet. Somit ergibt sich der différentielle Wirkungsquerschnitt direkt aus der Zahl der gestreuten Teilchen. 2. Den Einfluß eines endlich ausgedehnten Atomkerns auf das Meßergebnis: Um dieses Problem zu diskutieren, machen wir zunächst drei Annahmen: (a) (b)

(c)

Projektil und Targetkem seien Kugeln mit den Radien R i und R2· Das Target sei ein vollkommen schwarzer Absorber: Das Projektil wird daher vom Targetkem absorbiert, wenn sich die beiden Streupartner berühren, d.h. wenn der Relativabstand r kleiner als die Summe der Radien (i?i -b R2) ist. Die Einschußenergie Eoo = im Schweφunktsystem sei größer als die potentielle Energie der beiden Stoßpartner bei einem Relativabstand r = i?i -|-Ä2· Diese wird i. A. als Coulomb-Barriere bezeichnet.

In diesem Fall wird der experimentell ermittelte différentielle Wirkungsquerschnitt bei kleinen Streuwinkeln gleich dem Rutherford-Querschnitt sein, und zwar so lange, wie r > {Ri + R2) ist. Für r = (i?i -b R2) ergibt sich ein „Streifschuß", bei dem sich die Kerne gerade berühren. Den entsprechenden Winkel, den man aus der Ablenkfunktion ablesen kann, nennen wir den Streifschuß-Winkel т^д} Für größere Streuwinkel ist r < {Ri + R2) und alle einlaufenden Teilchen werden absorbiert. Demzufolge werden unter diesen Winkeln keine elastisch gestreuten Teilchen registriert. Wir erwarten daher, daß der Querschnitt abrupt auf Null fällt, sobald ^ Index g steht für grazing = streifend.

„Faraday-Tasse"

304

6 Aufbau der Atome

Bild 6.4: Fresnel-Beugung bei elastischer Streuung.

(bei fester Einschußenergie) der Streuwinkel größer als i9g wird. Dies ist im Bild 6.4 gestrichelt skizziert. Um die Darstellung übersichtlicher da

zu machen, ist dabei der gemessene Querschnitt ά Ω ' normiert auf den Rutherford-Querschnitt, aufgetragen. Eine genauere Analyse zeigt, daß bei den Streifschüssen am Kemrand Beugungsphänomene auftreten, in Analogie zur Absoφtion von Licht an einer vollkommen absorbierenden Halbebene. Dadurch entsteht eine Fresnel-Struktur, auf deren quantitative Analyse wir hier nicht eingehen können. Diese ist ebenfalls im Bild 6.4 eingetragen. Beim Winkel âg ist die Zahl der getreuten Teilchen auf 1/4 des Wertes abgesunken, der nach der Rutherford-Formel zu erwarten wäre. Kerne sind keine Kugeln wit scharf definierten Rändern

In der Praxis mißt man den differentiellen Wirkungsquerschnitt, normiert die Daten mit dem Rutherford-Querschnitt, liest den Winkel i9g ab und errechnet mit Hilfe der Ablenkfunktion die Summe der Radien (Ri + R2). Exaktere Analysen geben die Annahme auf, daß die Kerne Kugeln mit scharf definierten Radien sind, sondern lassen einen „diffusen" Randbereich für die Ladungsverteilung der Atomkerne zu. Das Streuproblem wird dann durch ein „optisches Potential" mit Real- und Imaginärteil beschrieben, dessen Geometrie durch Anpassung an die Meßdaten für die elastische Streuung ermittelt wird. Die Einzelheiten derartiger Analysen können hier ebenfalls nicht besprochen werden. Fassen wir diesen Abschnitt zusammen: Aus der elastischen Streuung von Atomkernen läßt sich die Summe der Radien der Stoßpartner ermitteln, wenn die Einschußenergie Eoo im Schwer-

6.3 Größe der Atome

305

Punktsystem größer als die Coulombbarriere ist. Um diese Barriere zu berechnen, nehmen wir ein Ergebnis derartiger Experimente voraus : Die Radien der Atomkerne sind typischerweise von der Größenordnung Größenordnung der Kernradien Dabei ist 1 f m =

m.

Für die Streuung von Alpha-Teilchen an Kohlenstoff beträgt diese Barriere 3.2 MeV, für die Streuung von Alpha-Teilchen an Blei entsprechend 22 MeV. Der Wirkungsquerschnitt für die elastische Streuung zweier Atomkerne skaϋ liert mit {Zi • Z2) und fällt mit l/(sin^ — ) ab, so lange der Relativabstand r Zd der Stoßpartner größer als die Summe der Radien {Ri + R2) ist. Für kleinere Relativabstände, d.h. größere Streuwinkel, fällt der Querschnitt sehr viel schneller als der Rutherford-Querschnitt ab. Die Information über die Radien der Stoßpartner ergibt sich also aus der Abweichung der Meßdaten von der Rutherford-Vorhersage für punktförmige Streuzentren. Die ersten Experimente dieser Art wurden mit Alpha-Teilchen durchgeführt; dabei wurden natürliche radioaktive Quellen benutzt. Heutzutage nutzt man moderne Teilchenbeschleuniger, die es erlauben, die Energie und lonensorte des Projektilstrahls in optimaler Weise zu wählen. Es soll nicht verschwiegen werden, daß die genauesten Aussagen über die Ladungsverteilungen der Atomkerne nicht aus der Streuung von Atomkernen aneinander, sondern aus der Analyse der Streuung von Elektronen an Atomkernen erhalten werden. Der Grund dafür liegt in der Tatsache, daß bei der Elektronenstreuung nur die genau bekannte elektromagnetische Wechselwirkung zwischen Projektil und Targetkern zu berücksichtigen ist, während beim Stoß zweier Atomkerne die komplizierte Kern-Kem-Wechselwirkung zusätzlich zur elektromagnetischen Wechselwirkung auftritt, und die Analyse durch die Absoφtion sehr viel komplexer wird.

6.3

Größe der Atome

Es gibt eine ganze Reihe von Verfahren, die Größe der Atome zu ermitteln. Wir erwähnen: 1. Streuexperimente, z.B. Atom-Atom-Stöße oder Elektron-Atom-Stöße. Diese werden in ähnlicher Weise wie die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Rutherford-Streuexperimente durchgeführt. Aus dem gemessenen differentiellen oder (über den Streuwinkel ΰ integrierten)

306

6 Aufbau

der

Atome

totalen Wirkungsquerschnitt lassen sich Aussagen über die radiale Verteilung der Elektronenhülle extrahieren. 2. Für reale Gase kann das „Ко-Volumen" der Atome aus der Van der Waals Zustands-Gleichung ermittelt werden; es ist proportional zum Eigenvolumen der Atome. 3. Durch Beugung von Röntgenstrahlung an den Netzebenen eines Kristalls läßt sich der Abstand d der Atome ermitteln, aus denen der Kristall aufgebaut ist. Konstruktive Interferenz der von den einzelnen Elektronenhüllen der Atome gestreuten Röntgen-Quanten tritt immer dann auf, wenn die Bragg-Bedingung 2d

sin-â

= n -λ

Bragg-Bedingung

erfüllt ist, d.h. wenn der Gangunterschied der unter dem Winkel 2ΰ gestreuten Wellen einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge entspricht. Die Größe d bezeichnet den Abstand der Gitteratome in dem Kristall. Wenn wir annehmen, daß die Atome in dem untersuchten Festkörper so dicht wie möglich gepackt sind, können wir die Atomradien ermitteln. Da die Atome keine harten Kugeln sind, ergeben die verschiedenen Meßverfahren, die Radien der Atome zu ermitteln, etwas voneinander abweichende Ergebnisse. Typische Zahlen werte für atomare Radien sind 1 - 3 Λ.

6.4

Isotope

Massen der Atome, Meßmethoden, Isotopie

Chemiker ermitteln die Massen der Atome durch Wägung, Physiker durch die Verfolgung der Trajektorien geladener Atome (Ionen) in elektrischen und magnetischen Feldern. Es zeigt sich, daß die beiden Verfahren etwas voneinander verschiedene Größen messen; die Chemiker messen „Mittelwerte" für die in der Natur vorkommenden Isotope eines spezifischen Elements, die Physiker messen die Massen der Isotope getrennt voneinander. Isotope eines Elements verhalten sich chemisch gleich, unterscheiden sich jedoch durch die Zahl der Neutronen im jeweiligen Atomkern. Als Beispiel für die Qualität der Daten erwähnen wir eine Messung an dem Element Wismuth (Bi, Ζ = 83), von dem nur ein stabiles Isotop mit der Massenzahl A = 209 in der Natur vorkommt. Demzufolge sollten die beiden Meßverfahren übereinstimmende Ergebnisse liefern. Die Werte sind:

6.4 Massen der Atome, Meßmethoden, Isotopie

307

Tabelle 6.1: Meßwerte für das Atomgewicht von Wismuth.^

MAtoш(^°^Bi)[u] Chemiker

208,976 (2)

Physiker

208,980 401 (2)

6.4.1 Definitionen und Einheiten Alle tabellierten Massenangaben beziehen sich auf die Ruhemassen neutraler Atome. Die Einheit ist (1/12) der Masse eines (neutralen) ^^C-Atoms; die ,4iochgestellte z w ö l f , für A = 12, charakterisiert dabei das in der Natur mit 9 8 , 9 0 % vorkommende häufigste Kohlenstoff-Isotop, dessen Atomkern aus sechs Protonen und sechs Neutronen besteht. lu = 1,660

5 4 0 k g

= 931,494 MeV/c^

atomare Masseneinheit

Wir geben hier bereits die Umrechnung der Ruhemasse in eine äquivalente Ruheenergie an, die in der Atom- und Kernphysik häufig verwendet wird. Die Molmasse eines Atoms oder Moleküls entspricht dem Atomgewicht oder Molekülgewicht (in Gramm) und ist gleich der Masse des Atoms oder Moleküls (in Gramm) multipliziert mit der Loschmidt-Zahl iV¿. N l = 6 , 0 2 2 1 3 6 7 · IO^VMOI

Loschmidt-Zahl

Methoden, die Loschmidt-Zahl zu bestimmen, sollen hier nicht detailliert besprochen werden. Wir erwähnen lediglich die Technik, den Abstand der Atome in einem Kristall mittels der Beugung von Röntgenstrahlung zu ermitteln. Wenn man dies zum Beispiel für ein Mol eines hochreinen Silizium-Kristall getan hat, so läßt die iV¿ aus der Geometrie des Kristalls berechnen.

6.4.2 Massenmessungen und Isotopie Die chemischen Eigenschaften der Elemente werden weitestgehend durch die Eigenschaften der Elektronenhülle bestimmt. Diese wiederum ist durch die Ladung des Atomkerns, d.h. die Zahl der Protonen im Kern festgelegt. Die Masse eines Atoms ist jedoch durch die Massen seiner Bausteine, der Protonen, Neutronen und Elektronen und deren jeweilige Bindungsenergien gegeben. Atomkerne, die sich bei gleicher Zahl Ζ der Protonen in der Zahl N der Neutronen unterscheiden, nennt man Isotope.

Die Elektronenhiiììe bestimmt das chemische Verhalten eines Elements

Moderne Massenmessungen nutzen die Ablenkung positiv geladener Ionen

Massenspektroskopie

R.J. Holt et al., Physical Review Letters 36, 183 (1976).

6 Aufbau der Atome

308

in elektrischen und magnetischen Feldern. Die Trajektorie eines einfach geladenen Ions der Geschwindigkeit υ in einem homogenen elektrischen Feld E ist im Bild 6.5 skizziert.

Bild 6.5: Ablenkung eines Ions in einem elektrischen Feld.

Die Kraft in y-Richtung beträgt Fy = my — eE.

(6.7)

Daraus ergibt sich die Ablenkung in der y-Richtung nach dem Durchflug durch ein Feld Ê der Länge l in x-Richtung 1 У = 2ñ

E

1e

m

2

m

(6.8)

In einem homogenem Magnetfeld В , das senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor V eines Ions steht, beschreibt das Ion eine Kreisbahn mit dem Radius r г =

m m

(6.9)

e В Durch Kombination von zwei Feldern läßt sich die Masse m ermitteln. Beispiele sind: 1. Man mißt die Ablenkung y und den Radius r , eliminiert die Geschwindigkeit V und erhält die Masse

6.5 Bindungsenergien der Atomkerne

309

2. Wien-Filter: In zueinander senkrecht angeordneten È und B-Feldem wird ein Teilchen der Geschwindigkeit υ genau dann nicht abgelenkt, wenn

E = em В

ν =

(6.10)

Damit ist die Geschwindigkeit |i;| festgelegt. Aus einer weiteren Ablenkung in einem homogenen Magnetfeld ergibt sich dann die Masse. Moderne Massenspektrographen sind im allgemeinen als fokussierende SyАЛ steme aufgebaut und erreichen relative Genauigkeiten bis zu Es zeigt sich, daß es für viele Elemente mehrere in der Natur vorkommende, stabile Isotope gibt, und dazu noch viele, die zwar nicht stabil sind, sondern nach einiger Zeit zerfallen, aber immerhin so lange leben, daß man ihre Massen ebenfalls ermitteln kann. Einige Ergebnisse für die leichtesten Atomkerne sind in der Tabelle 6.2 zusammengestellt. Dabei ist für jedes Isotop der Massenüberschuß A = M - A{in MeV) und die relative Häufigkeit (für stabile) bzw. die Halbwertszeit T1/2 (für radioaktive Isotope) angegeben. Tabelle 6.2: Massenüberschuß, relatives Atomgewicht bzw. Halbwertszeit für die leichtesten Atomkerne.

Ζ

Element

A

Δ [Mev]

0 1 1 2 2 3 3 3 3 3

η Η

1 1 2 3 4 6 7 8 9 И

8,071 7,289 13,136 14,931 2,425 14,086 14,907 20,945 24,954 40,900

6.5

He Li

Ti/2 oder Häufigkeit 10,2 min 99,985 % 0,015 % 0,000138 % 99,999862 % 7,5% 92,5 % 838 msec 178,3 msec 8,7 msec

Bindungsenergien der Atomkerne

Im vorigen Abschnitt haben wir Massenmessungen für Atome und Atomkerne diskutiert. Die Massen der Bausteine, Elektron, Proton und Neutron lassen sich mit entsprechenden Techniken ermitteln. Nun können wir die Ergebnisse miteinander vergleichen. Dabei zeigt sich, daß die Atomkerne leichter sind

6 Aufbau

310 Massendefekt

der

Atome

als die Summe der Massen der Bausteine. Die Massendifferenz (Massendefekt) entsteht durch die Bindungsenergie der Atomkerne. Dieses Phänomen tritt selbstverständlich auch schon für Atome auf: Ein Wasserstoff-Atom der Massenzahl Л = 1 ist leichter als die Summe der Masse des nackten Wasserstoff-Atomkerns (des Protons) und der Masse des Elektrons, da dieses durch die elektromagnetische Wechselwirkung gebunden ist. Die Bindungsenergie beträgt in diesem Fall 13,6 eV, und dies ist ein kleiner Bruchteil der Ruheenergie moc^ = 511 keV des Elektrons. Für die Atomkerne definieren wir die Bindungsenergie В des Systems mittels der Beziehung MAC^

= Zmuc^

+

- Z)mNC^

-

(6.11)

В

Dabei bezeichnet Ma die Masse des (neutralen) Atoms der Massenzahl A, m H die Masse des (neutralen) Wasserstoffatoms und m^j die Masse des Neutrons. In dieser Beziehung sind die Ruhemassen der Ζ Elektronen exakt berücksichtigt, nicht jedoch die Bindungsenergien der Elektronen, da diese in einem Atom der Kernladungszahl Ζ unterschiedlich von der Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoff-Atom sind. Im Bild 6.6 ist die mittels dieser Beziehung berechnete Bindungsenergie pro Nukleon B/A für die in der Natur vorkommenden Isotope gegen die Massenzahl A aufgetragen. Für die stabilsten Kerne, in der Eisen-Gegend mit A = 56, erreicht sie Werte von 8,5 MeV pro Nukleon, d.h. fast 1% der Ruheenergie des Nukleons von 931 MeV.

9Q.

6 -

5-

§ 3-

2 -

0

50

100

150

Bild 6.6: Bindungsenergie pro Nuicleon gegen Massenzaiil A.

200

A

6.5 Bindungsenergien der Atomkerne

311

Der Verlauf dieser Daten mit der Massenzahl A hat weitreichende Konsequenzen für die Brennprozesse in Sternen und für die Synthese der Elemente in derartigen Brennprozessen. Für Atomkerne bis zum Eisen gewinnt man Energie durch Verschmelzen von zwei leichteren Kernen (Fusion). Auf diese Weise brennen die Sterne. Schwerere Elemente als Eisen, bis hin zum Uran, müssen dann mit anderen Prozessen synthetisiert werden; dies geschieht überwiegend durch sukzessive schnelle oder langsame Anlagerung von Neutronen in verschiedenen Stadien des Brennprozesses von Sternen. Umgekehrt kann man durch Spaltung eines schweren Kerns Energie gewinnen. Dies ist die Grundlage der Energieproduktion durch die Spaltung von Uran-Kernen.

313

Anhang Α. 1 Berechnung der Ausbreitung paraxialer Strahlen mit dem Matrizen-Verfahren A.1.1 Allgemeines Bei der Berechnung der Abbildung durch komplizierte optische Systeme ergibt die mehrfache Anwendung der Gaußschen Abbildungsgleichung (3.16) schnell unhandHche Ausdrücke (siehe auch Abschnitt 3.2.5). Als alternatives Rechenverfahren - das auch einige interessante allgemeine Aussagen zur optischen Abbildung erlaubt - soll deshalb hier kurz das Matrizenverfahren vorgestellt werden. Der zu behandelnde Sachverhalt ist in Bild A. 1. la dargestellt: Ein paraxialer Strahl (wir nehmen zur Vereinfachung an, daß er nicht windschief zur optischen Achse läuft) kann an einer Stelle ZQ durch 2 Größen, seine Höhe χ über der optischen Achse und seinen Winkel a zur optischen Achse charakterisiert werden. Berücksichtigt man noch den Brechungsindex n, der am Ort

(a)

(b)

η

X

Пз

X

0.

A.

/

0.

A.

Bild A.1.1: Matrizenverfahren zur Berechnung paraxialer Strahlen. Die Strahlenmatrix beschreibt an einer beliebigen Stelle zo den Strahl durch seinen Abstand χ von der optischen Achse (O.A.) und durch den Winkel a zur optischen Achse (a). Durch die Einführung des Brechungsindexes gemäß Gl. (A.1.1) in die Strahlenmatrix wird automatisch die Brechung an einer senkrecht zur optischen Achse stehenden Grenzfläche berücksichtigt (b).

Beachte: Es gibt auch eine andere Definition der Strahlenmatrix, bei der die beiden Zeilen vertauscht sind

Anhang 1

314

ζ vorliegt, so schreibt man den Strahl als zweizeilige (einspaltige) Strahlenmatrix S. na

s =

(A.1.1)

X

Durch diese Schreibweise wird automatisch die Brechung an einer senkrecht zur optischen Achse stehenden Fläche berücksichtigt: Liegt an der Stelle zo ein Übergang von einem Medium mit dem Brechungsindex щ zu einem Medium mit dem Brechungsindex щ vor (siehe Bild A . l . l b ) , so wird das Brechungsgesetz für den paraxialen Fall, щ а ^ = щ а ь , automatisch durch die folgende Gleichung für die Strahlenmatrizen erfüllt.

5a =

V

X

Ì

Wir wollen nun die Änderung der Strahlenmatrix durch Brechung an einer zentrierten, gekrümmten Kugelfläche mit Radius Гаь berechnen. Nach Bild 3.14 und Gleichung (3.14) und (3.15) erhält man nach entsprechenden Umbenennungen ( 7

« а , /3 —> -аъ,

h

χ, щ

а —>• ж/гаь) für den Winkel аь". щ а ъ —

щ, П2

щ und

— а ) = щвг — щ а

=

«atta - (Пь - Па)х/ГаЬ. Der Abstand χ ändert sich dabei natürlich nicht. Die Strahlenmatrix auf der rechten Seite der Kugelfläche wird also wie folgt verändert: ^Ib = ¿"la - (пь - Па)5'2а/ГаЬ

Und 52b = Sja

Diese Änderung hat die Form einer linearen Transformation, die man mit Hil•Í—>

Strahlausbreitung

-

f e einer sogenannten Brechungsmatrix В in Matrizenform schreiben kann:

lineare Transformation

( Α . 1.2)

5b — -Bab5a •Sab =

-Pab'

0

\

1

mit Pab = (i^b - щ)/гль

( Α . 1.3)

Dabei ist der Ausdruck { щ — Па)/г^ь durch die Konstante Раь - die Brechkraft - abgekürzt worden. Für den Fall einer ebenen Fläche gilt РаЬ =

0,

В geht in die Einheitsmatrix über und die Strahlenmatrix ändert sich dabei nicht. Die Wirkung einer Translation, d.h. die eines homogenen Mediums mit Brechungsindex щ der Dicke Db auf die Strahlenmatrix, läßt sich einfach

Α. 1 Berechnung der Ausbreitung paraxialer Strahlen

315

angeben: Der Winkel α bleibt konstant und der Abstand χ von der optischen Achse ändert sich folgendermaßen: Xb = Ха + CK-Db oder Sjb = Siü + SxuDb/rib Auch die Translation läßt sich durch eine Matrizenmultiplikation beschreiben. Wir erhalten hier: (A.1.4)

Sb = TbS^ mit: 1 0 Tb = Db/ub 1

(A.1.5)

Mit Hilfe der Gleichungen (A. 1.2) - (A. 1.5) können wir nun die Strahlausbreitung in willkürlichen zentrierten Systemen dadurch berechnen, daß wir die entsprechenden Transformationsmatrizen (Brechungs- oder Translationsmatrizen) nacheinander anwenden. Dies soll kurz für das Beispiel von Bild A.1.2 vorgeführt werden: Beginnt man an der Stelle ZQ mit dem Ausgangsstrahl SQ so ergibt die erste Translation die neue Strahlenmatrix S\ = T^SQ, die darauffolgende Brechung führt zu: S2 — — U.S.W.. Die gesamte Wirkung des optischen Systems faßt man nun in eine Transformationsmatrix M zusammen, die man durch Matrizenmultiplikation der Einzelmatrizen erhält: (Α. 1.6)

5e - M So mit M = Те · · • rdScdTcSbcTbSabTa

Für jedes beliebige zentrierte optische System kann man also die Strahlenausbreitung durch eine einfache Matrizenmultiplikation berechnen. Da für die Einzeloperationen - Translation und Brechung - gilt, daß die Determinante

^ab ^bc

\ -

ζ

e

BiJd A.1.2: Schemazeichnung zur Abbildung an einem beliebigen zentrierten optischen System gemäß Gl. (A.1.6).

Allgemeine Eigenschaft von Transformationsmatrizen: Det(ÂÎ) = 1

Anhang 1

316

der Transformationsmatrix gleich 1 ist, muß dies auch für deren Produkt, d.h. für M ganz allgemein gelten: Det(iVi) = 1

A.1.2 Wirkung einer Linse Wir wollen nun Änderungen berechnen, die durch eine Linse auf einen Strahl ausgeübt werden: Die dabei verwendeten Bezeichnungen sind dem Bild A.1.3 zu entnehmen. Wir erhalten nach Anwendung zweier Brechungen (an Vorder- und Rückseite der Linse) und einer Translation (über die Linsendicke d) folgende Beziehung: Sc =

ВьсТъВаъЗа,

η

-РьЛ

vO

1

(

1

\ d/пъ 1

0

1 7 '

/ 1 -

\ =

Дс

Щ

"(Ab + Pbc - РгьРъс — пь

А

Пь

Пъ (А. 1.7)

MunseSa

Betrachtet man nun den Fall einer dünnen Linse (d 0), die sich in Luft (па = Пс = 1) befindet, so erhält die Transformationsmatrix die einfache Form: Transformationsmatrix einer dünnen Linse

À^dUnne Linse —

1

-(РаЬ +

0

1

Л,с)

о \

-1//X

о 1

(АЛ.8)

Dabei wurde gemäß Gleichung (3.21) die Brennweite / der dünnen Linse eingeführt.

""ab ""bc / —

la

1

По

Bild А Л . З : Strahlenänderang an einer Linse. Definition der zur Behandlung benötigten Bezeichnungen.

л. 1 Berechnung der Ausbreitung paraxialer Strahlen

317

A.1.3 Abbildungen im Matrizenformalismus Es sollen nun einige Eigenschaften der Transformationsmatrix diskutiert werden, die die optische Abbildung von einer Gegenstandsebene (bezeichnet mit dem Index g) auf eine Bildebene (bezeichnet mit dem Index b) beschreibt: « Abb ^

Sb = M

s.

(Α. 1.9)

Für den Fall einer optischen Abbildung zwischen den beiden Ebenen müssen alle von einem Punkt der Gegenstandsebene ausgehenden Strahlen sich in einem Punkt der Bildebene treffen, d.h. der Ort χ in der Bildebene {x = ¿"ab) muß unabhängig vom Winkel a (a = Sig) in der Gegenstandsebene sein. Führt man die Matrizenmultiplikation in Gleichung (A.1.9) aus, so erhält man: Abb,

S2b = M^^^Si,

+ M^f

(A.1.10)

52g

Die Unabhängigkeit von 52ь von S¡g läßt sich nur dann erreichen, wenn = 0 wird. Daneben läßt sich eine Beziehung für die Transversalvergrößerung Vj erhalten. I^TI = S2b/S2g

=

Abb Μζ^

(A.1.11)

Es zeigt sich also, daß für den Fall einer Abbildung die Transformationsmatrix ganz spezielle Eigenschaften besitzen muß. Abschließend soll mit Hilfe des Matrizenformalismus gezeigt werden, daß jedes zentrierte optische System M durch Anfügen je einer Translation TL und TR über Abstände hl und h2 vor bzw. hinter dem System auf die Form einer dünnen Linse übergeführt werden kann (siehe Bild A.1.4). Wir verwenden hier wieder die

Bild A.1.4: Jedes beliebige zentrierte abbildende System kann durch Einführen zweier Translationen vor (TL) und hinter (TR) dem System auf die Form einer dünnen Linse Lo übergeführt werden.

Spezielle Eigenschaften Ki bei einer Abbildung

von

Anhang 1

318

Einführung der Hauptebenen

Vorzeichenkonvention aus Abschnitt 3.3.5, nach der die Größen hi positiv sind, wenn die Hauptebene rechts der entsprechenden brechenden Fläche liegt. i l - p TRMTL = L

=

0 1

(A.1.12)

= bo

Verwendet man zunächst eine beliebige Transformationsmatrix M D e t ( M ) = l , so erhält man für L die Form:

mit

i—t·

/

M,i -

L =

\M21

-

M22/11 щ

\

Muhl M12

Πι

Miih2

Mi2hih2 M22

П2

П1П2

+

M12/Ì2 П2

(A.1.13)

7

Die Bedingung, daß die Diagonalelemente L u und L22 von L gleich eins sein müssen (siehe Gl. (A. 1.12)), läßt sich für den nichttrivialen Fall mit M12 φ 0 durch geeignete Wahl der Abstände und h2 erfüllen: (A.1.14) M12

(A.1.15)

Aus der Beziehung Det(L) = 1 d.h. ¿11^22—¿12-^21 = 1—L12L21 = 1 folgt mit Li2 = M12 φ 0, daß L21 = 0 werden muß. Folglich hat L die Form Lq, die man bei einer dünnen Linse erwartet. Da diese Ableitung ganz allgemein gilt, haben wir damit die Behauptung aus dem Abschnitt 3.2.5 bewiesen und die dort erfolgte Einführung der Hauptebenen gerechtfertigt. Lage der Hauptebenen

Für die Hauptebenen, die in Abständen hi bzw. /12 zum System liegen, gilt dabei: Punkte der Hauptebene werden mit der Transversalvergrößerung Vt = 1 ineinander abgebildet. Mit dieser Beziehung kann man z.B. experimentell die Lage der Hauptebenen bestimmen. Dem Leser sei es überlassen mit Hilfe der obigen Formeln die Beziehungen für Brennweiten und Hauptebenen für die im Abschnitt 3.2.5 angegebenen Fälle zu verifizieren.

319

Vertiefende Literatur 1) E. Hecht: Optik, Oldenbourg Verlag München, 1989 2) L. Bergmann, C. Schäfer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band III Optik, Verlag Walter de Gruyter, Berlin, 1993 3) M.V. Klein, Т.Е. Furtak: Optik, Springer-Verlag Berlin, 1988 4) Max Born: Optik, Ein Lehrbuch der elektromagnetischen Lichttheorie, Springer-Verlag Berlin, 1985 5) A. Sommerfeld: Vorlesungen über theoretische Physik, Band IV: Optik, Verlag Harri Deutsch, 1978 6) L.D. Landau, E.M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, VIII, Elektrodynamik der Kontinua, Akademie-Verlag Berlin, 1985 (in Zusammenhang mit der Doppelbrechung Kap. 4.6.3) 7) H. Haken, H.C. Wolf: Atom- und Quantenphysik, Springer-Verlag Berlin, 1993

320

Sachverzeichnis Abbesche Abbildungstheorie 159 - Theorie der Bildentstehung 161 und Fourieroptik 159 Abbildung 56, 317 - durch brechende Kugelflächen 60 - Sammellinsen 65 - einer brechenden Kugeloberfläche 62 Abbildungen im Matrizenformalismus 317 Abbildungseigenschaften dünner Linsen 65 Abbildungsgleichung für brechende Kugelfläche 61 - - dünne Linsen 62, 63 - einen Kugelspiegel 59 Abbildungstheorie 160 Abendrot 43 Ablenkfunktion 301 Ablenkwinkel 51, 113 - an einem Prisma 55 absorbierende Halbebene 108 Absorption 20, 41, 236, 242 - d e s Lichtes 21 - von Metallen 25 Absorptionskante 218 Absoφtionskantenstruktur 218 Absorptionskoeffizient 217 Absoφtionsquerschnitt 21 ADP 200 Airy Funktion 148 Akkommodation 84 Akkommodationsfähigkeit 84 aktive Optik 94 Alhazen 2 Q-Zerfall 278 Alterssehen 84 Ammoniumdihydrogenphosphat 200 Analysator 171

Änderung der Strahlrichtung bei einer Reflexion 51 - des Polarisationszustandes von Licht 185 anomale Dispersion 24 Antireflexionsschichten 145 Antireflexionsvergütung 144 Anwendungen des Lasers 244 Astigmatismus 59, 73, 74 astronomisches Fernrohr 90 Äther 138 Atom, Masse 306, 307 Atome, Größe 305 - , wasserstoffähnliche 295 Atomkern 299 - , Bindungsenergie 310 - , Massenzahl 299 Atomradien 306 Aufdampfverfahren 145 Auflösungsvermögen 92, 124, 152, 155-157, 167 - abbildender optischer Geräte 157 - eines Fabry-Perot-Interferometers 150, 153 - Femrohrs 157 - Gitterspektralapparates 123 - - Gitterspektrometers 153 - - M i k r o s k o p s 158, 161 nach Abbe 161 nach Helmholtz 158 - Prismenspektrographs 155 - optischer Geräte 152 - von Spektralapparaten 152 - - Spektrometem 156 - , Wirkung auf Wellenpaket 155 Auge 83 Augenbrennweite 84 Ausbreitung von Licht 8 Ausfalls(Reflexions)winkel 28

Sachverzeichnis Auslesefeld 166 Ausleseprozeß 166 außerordentlicherstrahl 180, 182 Austrittsarbeit 213, 215 Austrittspupille 76, 91 Babinetsches Prinzip 111 Bandbreitenprodukt 10 Bariumborat 200 Bedingung für räumliche Kohärenz 134 Benzol 188 Besetzungsinversion 241, 244 Besselfunktion 115 -Zerfall 247 beugendes Objekt 103 Beugung 2 - am Doppelspalt 116 - - G i t t e r 121 - - Strichgitter 120 - an der Pupille 116 - - einem Doppelspalt 118 langen Spalt 111 Spalt 112 - - einer Kreisblende 116 kreisförmigen Öffnung 115 Rechteckblende 114, 115 Beugungseffizienzen 126 Beugungsgitter 120 Beugungswinkel 121 Bildbearbeitung 161 Bildebene 160 Bildfeldwölbung 74 Bildgröße 81 Bildkorrektur 96 Bildleiter 38 bildseitige Brennweite 61 Bindungsenergie pro Nukleon 310 BiStabilität 204 Blau 1 blazed 126 Blende 81, 103 Blendenebene 104 Blendenzahl 76, 82 Bohrsches Magneton 252 Boltzmann-Statistik 237

321 Bosonen 245 Boyle 2 Bragg-Bedingung 306 Bragg-Beziehung 130 Bragg-Reflexion 129, 130 Brechung an einem doppelbrechenden Kristall 181, 182 - von Licht an optisch isotropen Medien 105 Brechungsgesetz 52, 180 - für kleine Einfalls- und Ausfallswinkel 60 Brechungsindex 7, 19 - für Elektronen 96 - - verschiedene optische Gläser 24 - , nichtlinearer 201 Brechungsindizes in einachsigen Kristallen 180 Brechungsmatrix 314 Bremsstrahlung 226 Brennweite 59, 61 Brewsterfenster 34 Brewster-Winkel 33-35, 173 Brillouin-Streuung 45 Calcit 184 Cassegrain 92 Chromatische Aberration 70 Ciliar-Muskeln 84 СОВЕ 238 Compton-Effekt 218, 222 - , inverser 226 Compton-Profile 225 Compton-Streuung 45 Compton-Teleskop COMPTEE 222 Compton-Wellenlänge des Elektrons

220 cos^ 0-Gesetz 33 Cotton-Mouton-Effekt 190 Coulomb-Barriere 303 Coulomb-Potential 301 Curiesches Gesetz 254 Dämpfung 21 Datenübertragung 16 de Broglie-Wellenlänge 259

322

Debye-Scherrer Verfahren 129 Descartes 2 Deuteron 295 Diaprojektor 78 Dichroismus 174, 175 dichroitische Polarisationsfolien 175 Dicke Linsen 66 dielektrische Verschiebung 5 Dielektrizitätskonstante 17, 25 Dielektrizitätstensor 176 Differenzfrequenz 198 Differenzfrequenzerzeugung 199 Dioptrie 67 Dipolmoment 18 Dirac-See 228 Dispersion 17, 18, 24, 264 - der Gruppengeschwindigkeit 16 - von dichten Medien 23 Dispersionsrelation 7, 274 Doppelbrechende Polarisatoren 184 Doppelbrechung 2, 174-176, 179, 183 Doppelfiguren (Beugung) 119 Doppelspah 117 Doppelspaltexperiment 266 Dopplerverbreiterung 151 Drahtgitter-Polarisatoren 176 Drehimpuls, Photonen 229 Drehkristall verfahren 129 Drehsinn des Feldvektors 169 Drehung der Polarisationsebene 174 Polarisationsrichtung bei optischer Aktivität, 192 Drei-Niveau-System 243 dünne Linse 62, 63 Durchlichtelektronenmikroskopie 99 ebene Welle 7 Ebenengleichungen 28 Effizienzkurven (Gitter) 175 Eigendrehimpuls, Photonen 230 Eigenwerte 276 Eindringtiefe 26 Einfallsebene 28 Einfallswinkel 26, 28 Einstein 3

Sachverzeichnis Einstein-de Haas-Experiment 254 Einstein-Koeffizienten 236 Eintrittspupille 75, 91 - des Projektionsobjektivs 78 elektromagnetische Theorie des Lichtes 5 - Wellen an Grenzflächen 26 Elektronenladung 248 Elektronenmikroskop 96 Elektronenoptik 96 Elektronenradius 249 elektrostatische Linse 97 - Rohrlinse 98 Elementarladung 246 Elementarwellen 104, 105 Elliptisch polarisiertes Licht 170 elliptischer Polarisator 171 Emission, induzierte 236 - , spontane 236 Emissionstheorie 2 Energiedichte, spektrale 233 Energieeigenwerte, diskrete 285 - , kontinuierliche 285 Energieniveaus, diskrete 289 Energiestromdichte 12 Entfernungseinstellung 79 entspanntes Auge 84 Erzeugung der dritten Harmonischen 201 - - zweiten Harmonischen 198 Etalons 146 evaneszente Wellen 39 Extinktionskoeffizient 21 Extremum des optischen Weges 49 Fabry-Perot 146 - : Auflösungsvermögen 150 - : Lage der Transmissionsmaxima 148 - : Reflektierte Intensität 147 - : Transmission 148 Fabry-Perot-Interferometer 145, 146 - als Spektrometer 150 Fabry-Perot-Ringe 146 Faltungstheorem 128 - der Fouriertransformation 117

Sachverzeichnis Faraday-Effekt 191, 194, 195 Faraday-Rotator 195 Faraday-Zahl 248 Farbe von Gegenständen 42 Farbladung 245 Fata Morgana 53, 54 Feinstruktur-Konstante 249 Feldkonstante 5 Fermatsches Prinzip 48 — und das Brechungsgesetz 52 Femdatenübertragung per Lichtleiter 37 Femrohr 90, 157 - , Auflösungsvermögen 157 Fernrohrtypen 92 Film 79 Filmebene 79 Finesse 150, 151, 154 Fixfokus-Objektive 83 Flächenhelligkeit 91 Flächenvergrößerung 91 Fourierebene 160 Fourierintegral 9 Fourieroptik 159 Fourierraum 137 Fourierreihe 9 Fouriertransformation 9, 107, 117 Fouriertransformationsspektroskopie 137 Fouriertransformierte 113 - des Objektes 160 Fovea 85 Fraunhofersche Beugung 106, 110, 259 freier Spektralbereich 150 Frequenzabhängigkeit des Brechungsindexes 20 Frequenzverdopplung 197 Fresnel 3, 105 Fresnelbeugung an einer Halbebene

108 - - K r e i s b l e n d e n 109, 110 Fresnel-Huygenssches Prinzip 105 Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie 103 Fresnel-Rombus 35

323

Fresnelsche Beugung bei Hochleistungslasem 110 - Elektronenbeugung 260 - F o r m e l n 30,31 - Z o n e 107, 109 Fresnelscher Doppelspiegel 135 - R h o m b u s 174 Fresnelsches Biprisma 135 Fresnel-Struktur 304 Fresnelzonen 108, 109 Funktionsweise, Laser 240 Gabor 164 Galilei 2, 90 Galileisches Femrohr 90 Gamow-Faktor 283 Gaußsche Abbildungsgleichung 66 - Linsenformel 63 - Optik 56 Gedankenexperimente 117 gefilterte Fouriertransformierte 160 geführte Wellen 37 Gegenstandspunkt 58 gegenstandsseitige Brennweite 61 Gegenstandsweite 59 Geiger-Nuttall-Beziehung 284 Gelb 1 gelber Fleck 85 Geometrische Konstruktion der Abbildung 64 - - des Bildes 64 - Optik 47 - Schattengrenze 106 Geonium 257 geradlinige Lichtausbreitung 50 Geschwindigkeitsfläche 180, 181 Gesichtsfeld 75 Gesichtsfeldwinkel 75, 80, 85 Gitter: Auflösungsvermögen eines realen Gitterspektrometers, 125 Breite eines Hauptmaximums 123 Lage der Hauptmaxima 121 - - Nebenmaxima 122 Nullstellen der Beugungsintensität 122

324

Gittergleichung 121 - für Littrow-Anordnung 125 Gitterkonstante 120 Gitterspektralapparate 124 Gitterspektrometer 124 Glan-Foucault-Polarisator 184 Glan-Thomson-Polarisator 184 Glasfasern 16, 21, 36 Glaskörper 84 Glühemission 247 - von Elektronen 215 Glühlampenlicht 42 (5-2)-Experimente 256 Greensscher Integralsatz 104 Gregory 92 Grenzen der geometrischen Optik 101 Grenzfläche 26, 34 Grimaldi 2 GRÒ ( - Gamma Ray Observatory) 222 Grün 1 Grundgesetze der geometrischen Optik 48 Gruppengeschwindigkeit 15, 263 gyromagnetischer Faktor 252 Haidinger Ringe 141, 146 Halbebene 109 Hamilton-Operator 276 Harmonischenerzeugung 199 harmonischer Oszillator 18 Hauptachsenform 170 - des Dielektrizitätstensors 176 Hauptebenen 66, 318 Hauptmaxima 121 Hauptpunkte 66, 67 Heisenbergsche Unschärferelation 267 Helizität 229 Helmholtz 159 Heron von Alexandria 2 Herstellung großer Teleskopspiegel 94 - von dünnen Schichten 145 Hertz 3

Sachverzeichnis

Himmelblau 43 Hintergmndstrahlung, kosmische 238 hochreflektierende Spiegel 145 Hohlspiegel 59 Hologramm 166, 167 - : Aufzeichnung 164 Holographie 164, 165 Hooke 2 Hornhaut 83 Huygens 104 Huygenssches Prinzip 104, 105, 181 ideale Auflösung 125 Idler-Photon 199 Immersionsflüssigkeit 89, 158 Impuls der Photonen 218 induzierte Doppelbrechung 187 inelastische Streuung 45 Inhomogenitäten der Atmosphäre 94 Intensität der Lichtquelle 213 Intensitätsüberhöhungen 110 Interferenz 2, 131 Interferenzen dünner Schichten 139, 140 - durch Aufspalten der Wellenamplitude 135 Wellenfront 134 - gleicher Dicke 142, 143 - Neigung 141 Interferenzexperiment 231 Interferenzfarben von Seifenblasen oder Ölfilmen 141 Interferenzfilter 151 Interferenzlinien gleicher Neigung 146 Interferenzprinzip 3 Interferometeranordnungen 134 Inversionszentrum 192 Iris 84 Isolatoren 43 - mit sehr hoher Absorption 43 Isotope 299, 307, 309 isotrope Medien 177 Janssen 2, 87

Sachverzeichnis Kaliumdihydrogenphosphat 2 0 0 Kalkspat 184 Kamera 79 Kammerwasser 83 KDP 200 Keck Teleskop 94 Keilplatte 55 Kepler 2, 90 Keplersches Fernrohr 9 0 Kerr-Effekt 187 Kerr-Konstante 188 Kerr-Lense-Modelocking 2 0 2 Kirchhoff 105 Kleinbildkamera 79 Klein-Nishina-Formel 221 Kohärenz von Lichtquellen 132 Kohärenzlänge 132, 164 - v o n Licht 132 Kohärenzzeit 131, 132 Koma-Fehler 73 Kombination zweier dünner Linsen 67 Komplementaritätsprinzip 231 komplexer Brechungsindex 20 Kondensor 79 konkave Linsen 62 konkaver Spiegel 59 Kontinuumsgrenze 2 1 4 Kontinuumszustände 2 8 5 Kontrolle der Qualität optischer Oberflächen 143 konventionelle Sehweite 84 Konversion 2 4 8 konvexe Linse 62 Korndurchmesser 82 Körnung 82 Koφuskel 2 kreisförmige Begrenzungen 115 Kreisstrom 192 Kreuzgitter 126, 127 - : Lage der Hauptmaxima 127 Kristall-Linse 83 Kristallstruktur 130 krummer Pfad 54 Kugelspiegel 58 Kugel weilen 104

325 Kurzsichtigkeit 84 L a g e der Hauptebenen 69 A/2-Platte 185,186 λ/4-Platte 186 λ/4-Schicht 144 Längenstandard 136 Larmor-Präzession 256, 271 Laser 3, 2 4 0 Laserbedingung 2 4 4 Laser-Gyroskope 139 Lasermoden 241 Laserparameter 2 4 4 Laserplasma 2 3 9 Laserresonator 2 4 0 Laue-Verfahren 129 Laufzeit 37 Leitfähigkeit 25 Leptonen 2 4 5 Lesebrille 84 Lichtausbreitung in doppelbrechenden Medien 177, 179 Lichtempfindlichkeit des Auges 85 Lichtgeschwindigkeit 2, 6 Lichtintensität 12 Lichtleiter 36 Lichtstärke 92 - des Mikroskops 89 Lichtstrahl 29, 4 8 Linear polarisiertes Licht 168 lineare Optik 5 linearer elektrooptischer Effekt 190 Linearpolarisation, Gammastrahlung 2 2 3 Lineaφolarisator 171 Linienbreite 271 linksdrehend 192 linkszirkular polarisiert 169 Linse: Transformationsmatrix 3 1 6 Linsenschleiferformel 63 Linsensysteme 6 6 Lippershey 2 Lithiumjodat 2 0 0 Lithiumniobat 2 0 0 Littrow-Anordnung 125

326

longitudinale (axiale) Vergrößerung 65 Lorentzsche Längenkontraktion 138 Loschmidt-Zahl 307 Luftkeil 141 Lupe 86 Mach-Zehnder-Interferometer 138 Magnesiumfluorid 144 Magnetfeld 6 magnetische Feldstärke 6 - Induktion 6 - Linse 99 Malus 3, 172 Malussches Gesetz 172 Mantel 36 Massendefekt 310 Massenspektrographen 309 Massenüberschuß 309 Massenzunahme, relativistische 251 Materiewellen 258, 274 Matrizenmethode 67 Matrizen-Verfahren 313 Maxima bei Beugung am Spalt 114 Maxwell 3 Maxwell-Gleichungen 177 Maxwellgleichungen 3, 5, 49 mehrdimensionale Gitter 126 Mehr-Elektronen-Atome 297 Meniskusspiegel 94 Metall-Cluster 295 metallischer Glanz 42 Michelson-Interferometer 135, 136 Michelson-Moreley-Experiment 138 Michelsonsches Steminterferometer 134 Mie-Streuung 44 Mikroskop 87 Milchsäurelösungen 192 Millikan-Experiment 248 Minima bei Beugung am Spalt 114 Moden 37 molarer Absorptionskoeffizient 21 Molekülaggregaten 194 Moment, magnetisches 252 Monochromatische Aberrationen 73

Sachverzeichnis Mono-Mode-Fasem 37 Mount Palomar 93 Multi-Mode-Fasem 38 Nacht-Femgläser 92 natürliches Licht 171 Nd:YAG-Laser244 negativ einachsig 180 negative Linsen 62 - Vergrößerung 65 Netzebenen 130 Netzhaut 84 Neutronen, ultrakalte 270 Neutronen-Interferometrie 261 Newton 2 Newtonsche Ringe 142, 143 - - : Radius der Ringe 143 nichtlineare Optik 196 - optische Schaltelemente 204 - Spektroskopie 151 - Suszeptibilität χ2 200 - - dritter Ordnung 201 - zweiter Ordnung 197 -Wellengleichung 197 nichtlinearer Brechungsindex 201 nichtlineares Fabry-PerotInterferometer 205 Nichtlineari täten 197 Nicol-Prisma 184 Nitrobenzol 188 normale Dispersion 24 Nukleon 299 Nullpunktsenergie 294 numerische Apertur 158 nutzbare Bündelbreite 154 Oberflächenqualität 143 Oberflächenwelle 40 Oberwellenerzeugung 197 Objektiv 79, 87 Objektraum 56 Objektwelle 164 Okular 87 Optik, adaptive 96 optisch anisotrope Medien 5, 178 - dichter 29

Sachverzeichnis optisch dünner 29 - einachsige Kristalle 177, 180 - isotrope Medien 5, 7, 177 - parametrischer Prozeß 199 - zweiachsige Kristalle 177 optische Achse 58, 188 -Aktivität 191, 193 - D i c h t e 21 - D i o d e 194, 195 - Geräte 78 - Gleichrichtung 197 -Modulatoren 189 - Systeme 62 optischer Kerr-Effekt 189 -Modulator 189 - Weg 48 ordentlicher Strahl 180 Orientierungsbeitrag zum Brechungsindex 18 Orientierungsrelaxationszeit 189 Oszillator, harmonischer 293 Paarerzeugung 227 Parabolspiegel 60 paraxiale Optik 56 -Strahlen 110,313 Phasenanpassungsbedingung 198 Phasenflächen 182 Phasengeschwindigkeit 6, 15, 263 Phasenraum 245 Phasenverschiebung 31,35 Photoeffekt 210, 215 Photographie 163 photographische Kamera 79 Photokathode 215 Photomultiplier 215 Photonen 210 Photonendichte 241 Photonenspin 229 Photoproduktion 227 Photozelle 215 Planck 3 Plancksche Strahlungsformel 235 Plancksches Wirkungsquantum 213 Planität 143 Plankonvexlinse 63

327

Plasmafrequenz 25, 41 Pockels-Effekt 187, 190 Polarimetrie 193 Polarisation 2, 7 - durch Reflexion 173 - von Licht 167 Polarisationsrichtungen 179 Polarisator 171, 173 Polaroid-Folien 176 positiv einachsig 180 positive Linse 62 Potential, optisches 304 Potentialtopf, unendlich hoher 291 Potentialtöpfe 295 Poynting-Vektor 12, 30, 48, 213 Präzisionsbestimmung des Brechungsindexes 56 primäre Wellenfront 104 Primär-Spiegel 92 Prinzip der kürzesten Zeit 49 - des kürzesten Weges 2 Prisma 54, 154 Prismenfemglas 90 Prismenspektrograph: Auflösungsvermögen 155 Prismenspektrometer 55 Projektionsapparat 78 Pumpquelle 241 Quanten 3 Quantenausbeute 215 Quantendrähte 295 Quantenstatistik 245 Quantentöpfe 295 Quantisierung 246 Quarks 245 Quarz 184 Radioastronomie 134 Radiofrequenzbereich 2 Raman-Streuung 45 Randbedingungen 26, 27 Randwertproblem 103 Rasterelektronenmikroskopie 99 Raumfrequenzen 107 Raumgitter 128

328

räumliche Filterung des Bildes 161 - Kohärenz 133 räumliches Auflösungsvermögen 82 Rayleigh-Jeans-Gesetz 235 Rayleigh-Kriterium 123, 152-154 Rayleigh-Streuung 44, 96, 220 Realteil t i r des Brechungsindexes 19 rechtsdrehend 192 rechts-polarisiertes Licht 229 rechtszirkular polarisiert 169, 191 reelle Abbildung 57 reelles Bild 57 Referenzwelle 164 reflektierte Intensität 31 - Welle 26 Reflektivität verschiedener Metallschichten 41 Reflexion an einer überkrümmten Ellipse 50 - - räumlichen Strukturen 51 Reflexions- und Brechungsgesetz 27 Reflexionsgesetz 28, 30, 34, 37, 50 Reflexionsgitter 124, 125, 175, 176 Reflexionskoeffizient 30 Reflexionsvermögen absorbierender Medien 40 Reflexminderung 144 relative Dielektrizitätskonstante 5 relativer Schärfentiefenbereich 82 Relativitätstheorie 16, 138 Resonanz-Fluoreszenz 96 Resonanzstreuung 44 Resonatorverluste 242 Retina 84 Reziprokes Gitter 128, 130 Rhodamin6G22 Richardson-Gleichung 247 Richtungskosinus 106, 110, 113 Richtungsquantisierung 253 Ringlaser 139 Ringsystem 149 Ritzsches Kombinationsprinzip 287 Römer 2 Röntgen-Apparaturen 226 Röntgenbereich 1 Röntgenlaser 244

Sachverzeichnis Röntgenlicht 129 Röntgenspektrometer 130 Röntgenstrahlung, Beugung 306 - , charakteristische 226 Rot 1 Rotationsbewegungen 139 Rotationsellipsoid 60 Rotationswinkel 191 Rubinlaser 243 Rückstoß von Laser-Quanten 224 Rückwirkung des gebeugten Lichtes 103 Ruheenergie 246, 310 Ruhemasse 246 Rutherford-Streuformel 302 Rutherford-Streuung 300 Rydbergzustände 289 Sagnac-Interferometer 138, 139 Sammellinsen 62 Schärfentiefe 82 Schärfentiefenbereich 82 Scheitelpunkt 58 Scheitelwinkel 54 Schlieren 53 schmalbandige Laser 132 schraubenförmiges Molekül 192 Schrödinger-Gleichung 273 - , zeitunabhängig 289 - , zeitunabhängige, stationäre Lösungen, 275 schwarzer Strahler 232 Schwarzköφerstrahlung 234 Schwefelkohlenstoff 188 Schwerflintglas 144 segmentierte Spiegel 94 Sehnenhaut 83 Sehvorgang 42, 83 Sehwinkel 85 Seifenblase 139 Sekundär-Elektronen-Vervielfacher 215 Sekundärspiegel 92 Selbstfokussierang 202 selbstleuchtende Körper (Farbe) 42 Selbstphasenmodulation 202

Sachverzeichnis Seilmeier 23 Sellmeier-Beziehung 24 sichtbares Licht 1 Signalgeschwindigkeit 16 Silber 25 Silberthiagolat 200 Single-Mode-Fasern 37 skalares ,j:.icht"-Feld 103 Snell 2 Snellius 52 Snelliussches Brechungsgesetz 2, 29 Sonnenlicht 42 Spannungsdoppelbrechung 187, 190, 191 spektrale Analyse von Licht 121 -Auflösung 123 - Empfindlichkeit, Photokathode 216 - Komponenten 55 Spektrallampen 132 Spektrallinien 25 Spektroskopie, Emissions- und АЬ80ф110п8Нп1еп 286 Spektrum elektromagnetischer Wellen 1 Sperrbereich 152 spezifische Ladung e / m o 250 sphärische Aberration 72, 73 Spiegel großer Öffnung 60 Spiegelteleskope 92 Spin-g-Faktor 252 Spinquantenzahl 252 Spin-Quantisierung 251 spontane Emission 241 stationäre Zustände des Systems 277 Stefan-Boltzmann-Gesetz 234 Stern-Gerlach-Experiment 251, 253 stimulierte Emission 242 Stoßfrequenz 25 Stoßparameter 301 Strahlablenkung durch Brechung an einem Prisma 55 Strahldichte 233 Strahlen 47 Strahlenablenkung durch ein Prisma 54 Strahlenausbreitung 315

329

Strahlenellipsoid 180, 181 Strahlenmatrix 314 Strahlenoptik 47 Strahlrichtung 48, 179 Strahlungsdruck 13, 224 Strahlungsflußdichte 12 Strahlungsgesetze 232 Streuung 43 Struktur von Kristallen 128 Summenfrequenz 198 Summenfrequenzerzeugung 199 Superposition 104 Superpositionsprinzip 9, 231 Suszeptibilität 254 - paramagnetischer Systeme 252 symmetrische Durchstrahlung des Prismas 55 -Strahlablenkung 154 Synchrotron-Strahlungsquellen 226 Teleobjektive 80, 81 Temperaturgradienten 54 Temperaturstrahler 232 terrestrisches Femrohr 90, 91 Testglasplatte 143 theoretisches Auflösungsvermögen 123 thermische Lichtquellen 132 Thomson-Streuung 45 Totalreflexion 35, 37 Totalreflexionswinkel 34, 35, 56 Transformationsmatrix für eine Linse 316 Translation 315 Translationsmatrix 315 Transmission 21 Transmissionsfunktion 117 Transmissionsgitter 126 Transmissionsgrad 31 transmittierte Welle 26 transversale Vergrößerung 65 - Wellen 7 Transversalität der elektromagnetischen Wellen 167 Tunneleffekt für Licht 40 Tunnelphänomene 277

330

Turmalin 175 Uhrzeigersinn 192 umkehrbar 49 Undulationstheorie 2 unpolarisiertes Licht 171 Unschärfe 82 Unschärfebeziehung 11, 267 Vakuum 17 Vektorielle Formulierung des Reflexionsgesetzes 51 Vergrößerung 79, 85 - der Lupe 87 - eines Fernrohrs 90 - - Mikroskops 87, 88 Vergütung von Oberflächen 144 Verschluß 81 Versuch von Franck und Hertz 287 Very large telescope 95 Verzeichnung 74 Vielfachinterferenzen 145 Vier-Niveau-Laser 243 Violett 1 virtuell 59 virtuelle Abbildung 57, 65 virtuelles Bild 57 Vorzeichenkonvention 62, 125 Wahmehmungsprozeß 42 weiß 43 weißes Licht 42 Weitsichtigkeit 84 Weitwinkelobjektiv 77, 80 Welleneigenschaften des Lichtes 101 Wellenfront des Lichtes 104 Wellengleichung 5 Wellenlänge 7 - im Medium 8 Wellenlängenauflösung 125 Wellennatur des Lichtes 102 Wellenpakete 9, 263 Wellentheorie 117 Wellenvektor 7 Wellenzahl 8 Welle-Teilchen-Dualismus 210, 230, 258

Sachverzeichnis

Wien-Filter 309 Wiensches Strahlungsgesetz 235 - Verschiebungsgesetz 235 Winkelabhängigkeit des Reflexionsgrades 32 — Reflexionsvermögens für ein absorbierendes Medium, 41 Winkelspiegel 51, 52 Wirkungsquerschnitt, ComptonStreuung 221 - , differentieller 300 Wollaston-Prisma 184 Würfelecke 36, 51 Young 117 Youngscher Doppelspalt 135 Youngsches Interferometer 133, 134 Zäpfchen 85 Zentralpotential 294 zentriertes optisches System 66 Zerstreuungslinsen 62 Zirkular polarisiertes Licht 168, 169, 229 Zirkulardichroismus 194 zirkuläre Doppelbrechung 191 Zirkulaφolarisator 171 Zoom-Objektiv 81 Zucker 192 Zustände, gebundene 292 - , stationäre 285 Zweifachinterferenzen 139 Zwei-Niveau-System 242 Zyklotronfrequenz 256 Zylinderlinse 73