O Princípio da Relatividade: Matemática (Lições) [3, 1º ed.] 9798605727941

Table of contents :
PREÂMBULO .............................................................................. 10
INTRODUÇÃO ............................................................................ 11
1. PRINCÍPIOS BÁSICOS ......................................................... 18
A. ESPAÇO-TEMPO DE POINCARÉ-MINKOWSKY ......................... 18
B. SIMULTANEIDADE ..................................................................... 23
C. A ANÁLISE DE PAINLÉVE .......................................................... 26
D. A TRANSFORMAÇÃO DE TANGHERLINI-LATTES ..................... 35
E. AS TRANSFORMAÇÕES DE VOIGT............................................. 48
F. ENDOMORFISMOS DO ESPAÇO-TEMPO .................................... 53
G. OS POSTULADOS DE CUNNINGHAM .......................................... 56
H. O TEOREMA ADIÇÃO DAS VELOCIDADES ............................... 69
I. TRANSFORMAÇÕES GERAIS DE LORENTZ................................ 72
J. A TRANSFORMAÇÃO DE MÖBIUS ............................................. 78
K. O PRINCÍPIO DA INÉRCIA ......................................................... 86
L. OS POSTULADOS DE PAINLEVÉ ................................................ 89
M. AS ENGRENAGENS DA RELATIVIDADE .................................... 90
2. CONCEITOS DE ESPAÇO ..................................................... 92
A. GEOMETRIA: A CIÊNCIA DO ESPAÇO ...................................... 92
B. OS FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA ......................................... 95
C. A GEOMETRIA DO ESPAÇO-TEMPO ....................................... 144
D. CARACTERIZAÇÃO DO ESPAÇO .............................................. 151
3. CONCEITOS DE TEMPO ................................................... 153
A. HISTÓRIA: A CIÊNCIA DO TEMPO .......................................... 153
B. O TEMPO LOCAL DE LORENTZ E POINCARÉ ......................... 159
C. TEMPO PRÓPRIO DE EINSTEIN E MINKOWSKI ....................... 168
D. A DIFERENÇA ENTRE O TEMPO DE POINCARÉ E O TEMPO DE
EINSTEIN-MINKOWSKI ................................................................ 172
4. DIMENSIONALIDADE ....................................................... 175
5. CONCEITOS DE MASSA .................................................... 189
A. MASSA INERCIAL PRÓPRIA .................................................... 192
B. MASSA INERCIAL CINÉTICA ................................................... 193
C. MASSA INERCIAL MAUPERTUISIANA DE POINCARÉ .............. 195
D. MASSA INERCIAL ACELERATIVA ........................................... 198
E. MASSA DE REPOUSO DA LUZ .................................................. 200
F. MASSA “RELATIVÍSTICA” ...................................................... 202
6. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ELEMENTARES DA
TEORIA RELATIVIDADE ESPECIAL ................................. 205
A. O ESPAÇO HIPERBÓLICO DE LOBACHESVKY-POINCARÉ ...... 205
B. CONSTRUINDO 4-VETORES ..................................................... 211
C. O CÁLCULO-K ........................................................................ 214
D. O TEOREMA DA FUNÇÃO TANGENTE ..................................... 233
E. O GRUPO DE LORENTZ ........................................................... 236
F. O GRUPO DE POINCARÉ .......................................................... 239
G. MATRIZES DO GRUPO DE POINCARÉ...................................... 243
H. REPRESENTAÇÃO DO GRUPO DE POINCARÉ .......................... 248
I. SPINORES E REPRESENTAÇÃO SPINORAL ................................ 250
J. GERADORES DE UM GRUPO INFINITESIMAL .......................... 251
K. INTERMEZZO PARA UM COMENTÁRIO HISTÓRICO................ 254
L. GERADORES INFINITESIMAIS DO ESPAÇO-TEMPO ................ 255
M. ÁLGEBRA DE LIE NÃO ABELIANA DO ESPAÇO-TEMPO ........ 259
7. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO................................. 262
A. PRINCÍPIOS BÁSICOS ............................................................... 262
B. ESPAÇO-TEMPO 4-DIMENSIONAL .......................................... 268
C. CONSTRUINDO O ESPAÇO-TEMPO .......................................... 277
D. VARIEDADES ESPAÇO-TEMPORAIS ........................................ 286
E. TOPOLOGIA DE BAIXA DIMENSÃO DO ESPAÇO-TEMPO ........ 294
F. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO EUCLIDIANO E3+1 .............. 305
G. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO LORENTZIANO M3+1 .......... 308
8. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL .......... 313
A. COVARIÂNCIA GERAL ............................................................ 313
B. SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEOS ......................... 315
C. VETORES UNITÁRIOS EM SISTEMAS CURVILÍNEOS ............... 316
D. DUALIDADE ............................................................................. 318
E. COMPONENTES CONTRAVARIANTES DE UM VETOR .............. 321
F. COMPONENTES COVARIANTES DE UM VETOR ....................... 324
G. ESPAÇO TANGENTE ................................................................ 326
H. ESPAÇO COTANGENTE ............................................................ 327
I. CAMPOS VETORIAIS................................................................ 328
9. TENSORES ............................................................................ 329
A. CATEGORIZAÇÃO DOS TENSORES .......................................... 329
B. OPERAÇÕES INTERNAS COM TENSORES ................................ 332
C. OPERAÇÕES EXTERNAS COM TENSORES ............................... 333
D. ANÁLISE TENSORIAL .............................................................. 336
E. COVARIÂNCIA DE LORENTZ ................................................... 339
F. DECOMPONDO TENSORES SIMÉTRICOS ................................. 349
G. ÁLGEBRAS DE LIE ABELIANAS E NÃO ABELIANAS ................ 351
H. ÁLGEBRA DE LIE ABELIANA DO ESPAÇO-TEMPO ................. 352
10. ESPAÇOS CURVOS ............................................................ 356
A. VARIEDADE DIFERENCIÁVEL M ............................................. 356
B. CONGRUÊNCIA DE CURVAS .................................................... 357
C. TRANSPORTE DE LIE ............................................................... 357
D. DERIVADA DE LIE ................................................................... 359
E. VETORES DE KILLING DO GRUPO DE POINCARÉ ................... 361
F. BOOSTS DE LORENTZ .............................................................. 365
11. CAMPOS TENSORIAIS ..................................................... 368
A. CONEXÃO AFIM ...................................................................... 369
B. DERIVADA COVARIANTE ........................................................ 370
C. CURVATURA E TORSÃO .......................................................... 373
12. TÉTRADAS E EQUAÇÕES DE CARTAN .................................... 378
A. BASES HOLONÔMICAS ............................................................ 378
B. BASES NÃO-HOLONÔMICAS ................................................... 381
C. CONSTANTES DA ESTRUTURA E GERADORES ........................ 383
D. CONSTANTES DA ESTRUTURA DO ESPAÇO-TEMPO ............... 387
E. TÉTRADAS NULAS ................................................................... 391
F. MUDANÇA DE BASE DA TÉTRADA .......................................... 395
G. SISTEMA DE REFERÊNCIA LOCAL .......................................... 399
H. CLASSIFICAÇÃO DE PETROV .................................................. 401
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................. 405
REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA .................................................. 411
FICHA AUTORAL .......................................................................... 435

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O Princípio da Relatividade

Matemática (Lições)

AYNI R. CAPIBERIBE VOLUME III

ⓒ 2020 Publicado pela ALRISHA Todos os direitos reservados Versão digital ISBN: 9798605727941

ALRISHA Campo Grande, Mato Grosso do Sul www.alrisha.webnode.com Dados de catalogação na publicação da Biblioteca do Congresso CAPIBERIBE, AYNI R. (Autor) O Princípio da Relatividade: Matemática (Lições) – Volume III /Ayni R. Capiberibe. p. 430 Inclui referências bibliográficas e índice. 1. Simultaneidade. 2. Física. 3. História da Ciência. 4. Relatividade. 5. Espaço e tempo. 6. Tempo. 7. Sociologia da Ciência 8. Ensino de Ciências. 9 Albert Einstein. 10. Henri Poincaré. 11. Matemática.

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Ao meus irmãos de Luz: Caerlos Salles “Badan”, Edson Roberto “Bode”, Mik Pereira, Ally, Ergon, Alice e Cunha.

Homenagem

Gostaria que esse livro fosse uma singela homenagem a dois

professores que em momentos distintos me cativaram a estudar relatividade: Paulão e Moacir.

Gostaria de registrar meus agradecimentos ao Henri Poincaré

que me fez ver a magia do espaço e do tempo e ao físico-matemático Kevin Brown, cujas obras foram essenciais para elaboração desse livro.

T

ambém gostaria que esse livro fosse um convite a todos os professores da educação básica e superior a cativarem seus alunos como eu fui cativado.

Gandalf: “Pois um mago nunca se atrasa Frodo Bolseiro, nem se adianta, ele chega exatamente quando pretende chegar.” J. R. R. Tolkien, 1954

Um beijo antes de ir embora Te dou, e parto deste mundo agora; Antes, de contar chegou a hora: Está certo quem supõe Que meus dias foram um sonho. Minh’esperança fugidia, Numa noite, ou em um dia; Numa visão, ou nenhuma, Não pode ser que ela suma? Tudo o que vejo, tudo o que suponho É só um sonho dentro de um sonho. Eu ouço o furioso brado Do oceano atormentado; E seguro em minhas mãos, Da areia dourada, os grãos, Como escorrem, no final, À profundeza abissal, Enquanto choro lágrimas de sal. Oh, Deus, não posso salvar Um só das ondas do mar? Será que tudo o que vejo e suponho É só um sonho dentro de um sonho? Edgar Allan Poe, 1849

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SUMÁRIO PREÂMBULO .............................................................................. 10 INTRODUÇÃO ............................................................................ 11 1. PRINCÍPIOS BÁSICOS ......................................................... 18 A. ESPAÇO-TEMPO DE POINCARÉ-MINKOWSKY ......................... 18 B. SIMULTANEIDADE ..................................................................... 23 C. A ANÁLISE DE PAINLÉVE .......................................................... 26 D. A TRANSFORMAÇÃO DE TANGHERLINI-LATTES ..................... 35 E. AS TRANSFORMAÇÕES DE VOIGT............................................. 48 F. ENDOMORFISMOS DO ESPAÇO-TEMPO .................................... 53 G. OS POSTULADOS DE CUNNINGHAM .......................................... 56 H. O TEOREMA ADIÇÃO DAS VELOCIDADES ............................... 69 I. TRANSFORMAÇÕES GERAIS DE LORENTZ................................ 72 J. A TRANSFORMAÇÃO DE MÖBIUS ............................................. 78 K. O PRINCÍPIO DA INÉRCIA ......................................................... 86 L. OS POSTULADOS DE PAINLEVÉ ................................................ 89 M. AS ENGRENAGENS DA RELATIVIDADE .................................... 90 2. CONCEITOS DE ESPAÇO..................................................... 92 A. GEOMETRIA: A CIÊNCIA DO ESPAÇO ...................................... 92 B. OS FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA ......................................... 95 C. A GEOMETRIA DO ESPAÇO-TEMPO....................................... 144 D. CARACTERIZAÇÃO DO ESPAÇO .............................................. 151

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3. CONCEITOS DE TEMPO ................................................... 153 A. HISTÓRIA: A CIÊNCIA DO TEMPO .......................................... 153 B. O TEMPO LOCAL DE LORENTZ E POINCARÉ ......................... 159 C. TEMPO PRÓPRIO DE EINSTEIN E MINKOWSKI ....................... 168 D. A DIFERENÇA ENTRE O TEMPO DE POINCARÉ E O TEMPO DE EINSTEIN-MINKOWSKI ................................................................ 172 4. DIMENSIONALIDADE ....................................................... 175 5. CONCEITOS DE MASSA .................................................... 189 A. MASSA INERCIAL PRÓPRIA .................................................... 192 B. MASSA INERCIAL CINÉTICA ................................................... 193 C. MASSA INERCIAL MAUPERTUISIANA DE POINCARÉ .............. 195 D. MASSA INERCIAL ACELERATIVA ........................................... 198 E. MASSA DE REPOUSO DA LUZ .................................................. 200 F. MASSA “RELATIVÍSTICA” ...................................................... 202 6. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ELEMENTARES DA TEORIA RELATIVIDADE ESPECIAL ................................. 205 A. O ESPAÇO HIPERBÓLICO DE LOBACHESVKY-POINCARÉ ...... 205 B. CONSTRUINDO 4-VETORES ..................................................... 211 C. O CÁLCULO-K ........................................................................ 214 D. O TEOREMA DA FUNÇÃO TANGENTE ..................................... 233 E. O GRUPO DE LORENTZ ........................................................... 236 F. O GRUPO DE POINCARÉ .......................................................... 239

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G. MATRIZES DO GRUPO DE POINCARÉ...................................... 243 H. REPRESENTAÇÃO DO GRUPO DE POINCARÉ .......................... 248 I. SPINORES E REPRESENTAÇÃO SPINORAL ................................ 250 J. GERADORES DE UM GRUPO INFINITESIMAL .......................... 251 K. INTERMEZZO PARA UM COMENTÁRIO HISTÓRICO................ 254 L. GERADORES INFINITESIMAIS DO ESPAÇO-TEMPO ................ 255 M. ÁLGEBRA DE LIE NÃO ABELIANA DO ESPAÇO-TEMPO ........ 259 7. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO................................. 262 A. PRINCÍPIOS BÁSICOS ............................................................... 262 B. ESPAÇO-TEMPO 4-DIMENSIONAL .......................................... 268 C. CONSTRUINDO O ESPAÇO-TEMPO .......................................... 277 D. VARIEDADES ESPAÇO-TEMPORAIS ........................................ 286 E. TOPOLOGIA DE BAIXA DIMENSÃO DO ESPAÇO-TEMPO ........ 294 F. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO EUCLIDIANO E3+1 .............. 305 G. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO LORENTZIANO M3+1 .......... 308 8. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL .......... 313 A. COVARIÂNCIA GERAL ............................................................ 313 B. SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEOS ......................... 315 C. VETORES UNITÁRIOS EM SISTEMAS CURVILÍNEOS ............... 316 D. DUALIDADE ............................................................................. 318 E. COMPONENTES CONTRAVARIANTES DE UM VETOR .............. 321 F. COMPONENTES COVARIANTES DE UM VETOR ....................... 324

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G. ESPAÇO TANGENTE ................................................................ 326 H. ESPAÇO COTANGENTE ............................................................ 327 I. CAMPOS VETORIAIS................................................................ 328 9. TENSORES ............................................................................ 329 A. CATEGORIZAÇÃO DOS TENSORES .......................................... 329 B. OPERAÇÕES INTERNAS COM TENSORES ................................ 332 C. OPERAÇÕES EXTERNAS COM TENSORES ............................... 333 D. ANÁLISE TENSORIAL .............................................................. 336 E. COVARIÂNCIA DE LORENTZ ................................................... 339 F. DECOMPONDO TENSORES SIMÉTRICOS ................................. 349 G. ÁLGEBRAS DE LIE ABELIANAS E NÃO ABELIANAS ................ 351 H. ÁLGEBRA DE LIE ABELIANA DO ESPAÇO-TEMPO ................. 352 10. ESPAÇOS CURVOS ............................................................ 356 A. VARIEDADE DIFERENCIÁVEL M............................................. 356 B. CONGRUÊNCIA DE CURVAS .................................................... 357 C. TRANSPORTE DE LIE ............................................................... 357 D. DERIVADA DE LIE ................................................................... 359 E. VETORES DE KILLING DO GRUPO DE POINCARÉ ................... 361 F. BOOSTS DE LORENTZ .............................................................. 365 11. CAMPOS TENSORIAIS ..................................................... 368 A. CONEXÃO AFIM ...................................................................... 369 B. DERIVADA COVARIANTE ........................................................ 370 C. CURVATURA E TORSÃO .......................................................... 373

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12. TÉTRADAS E EQUAÇÕES DE CARTAN .................................... 378 A. BASES HOLONÔMICAS ............................................................ 378 B. BASES NÃO-HOLONÔMICAS ................................................... 381 C. CONSTANTES DA ESTRUTURA E GERADORES ........................ 383 D. CONSTANTES DA ESTRUTURA DO ESPAÇO-TEMPO ............... 387 E. TÉTRADAS NULAS ................................................................... 391 F. MUDANÇA DE BASE DA TÉTRADA .......................................... 395 G. SISTEMA DE REFERÊNCIA LOCAL .......................................... 399 H. CLASSIFICAÇÃO DE PETROV .................................................. 401

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................. 405 REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA .................................................. 411 FICHA AUTORAL .......................................................................... 435

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PREÂMBULO A Teoria da Relatividade reformulou não apenas os paradigmas da física, mas os paradigmas da matemática. A descoberta das geometrias não-euclidianas, como a de Lobachevsky, levaram os pesquisadores do século XIX, a buscarem teorias físicas alternativas que incluíam essas geometrias e a questionar qual seria a geometria do nosso universo. O emérito matemático Henri Poincaré, deu importantes contribuições nesse campo e declarou que não existe uma geometria mais verdadeira que a outra, apenas uma geometria mais cômoda. Essas ideias, que compõe uma doutrina da física e da matemática chamada de Convencionalismo, levariam Poincaré e Einstein a formularem o Princípio da Relatividade. Embora Poincaré acreditasse que a geometria mais cômoda sempre seria a euclidiana, devido à nossa experiência diária, o próprio Poincaré e, posteriormente, Minkowski, mostraram que a geometria mais cômoda do espaço-tempo é a geometria hiperbólica. A análise dessa variedade levou a criação do estudo dos espaços pseudo-métricos. Pseudo porque as noções usuais de norma, distância e desigualdade de Schwarz não se aplicam de forma convencional, por isso dizemos que o espaço-tempo de PoincaréMinkowski é um espaço pseudo-euclidiano. Atualmente, a análise dessas variedades permite extrair propriedades gerais e que sobre condições particulares geram o espaço-tempo de PoincaréMinkowski. Registre que esse é um caso em que os desenvolvimentos da física levaram aos matemáticos buscarem uma descrição abstrata da nova estrutura. Nesse livro, buscamos caracterizar matematicamente o espaçotempo sobre o qual se desenrola a física relativística, instrumentalizando o leitor para tratar problemas físico-matemáticos que surgem no desenvolvimento e no estudo da Relatividade.

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INTRODUÇÃO Quando comecei a escrever a série O Princípio da Relatividade, eu havia programado apenas três livros: Henri Poincaré, Albert Einstein e um terceiro volume que seria uma proposta de curso de Teoria da Relatividade para alunos de graduação e mestrado. O meu objetivo era produzir um livro que abordasse os conceitos fundamentais que deram origem a teoria da relatividade especial até os problemas mais avançados. Quando finalmente havia terminado a parte de conceitos e fundamentos matemáticos, percebi que o material era suficiente para compor um livro próprio. Assim, nascia o terceiro volume do Princípio da Relatividade: Matemática (Lições). A princípio o livro abordaria apenas o formalismo necessário para compreender a Relatividade Especial, porém como no quarto volume achei pertinente fazer uma pequena apresentação da Teoria da Relatividade Geral, acrescentei um conteúdo para abordar espaços com curvatura. Essas novas seções não são tão bem detalhadas porque o objetivo é apenas apresentar as ideias elementares, até porque o foco principal é a Teoria da Relatividade Especial. Pretendo, em breve, escrever um volume para essa coleção sobre Teoria da Relatividade Geral, apresentando o desenvolvimento histórico, social, epistemológico e físico-matemático desta teoria. Quanto a estrutura desse livro, podemos dividi-lo em duas partes: (I) Epistemológica Corresponde aos cinco primeiros capítulos. Essa parte tem como o objetivo apresentar os conceitos fundamentais da teoria da relatividade: estrutura do espaço-tempo, transformações de coordenadas (endomorfismos), conceitos de espaço, tempo, dimensão e massa. Embora denominados de “epistemológica", não poupamos o uso da matemática para guiar nossos estudos. Nessa

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parte também aproximamos o leitor à filosofia da matemática, ao apresentar diversos textos originais de Poincaré sobre a Geometria e o conceito de dimensão. (II) Matemática Corresponde aos últimos sete capítulos e é destinada a desenvolver o formalismo matemático da Teoria da Relatividade Especial (capítulos 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12) e parte do formalismo da Teoria da Relatividade Geral (capítulos 10, 11 e 12). O capítulo 6 tem dois grandes tópicos: apresentar ao leitor um método pouco conhecido, mas muito eficiente: o cálculo K de Bondi, que explora a geometria hiperbólica do espaço-tempo para derivar a teoria da relatividade especial. O restante do capítulo tem como objetivo apresentar a estrutura do Grupo de Lorentz e o Grupo de Poincaré e desenvolver sua álgebra de Lie e representação Spinorial. O capítulo 7, é uma introdução à Topologia do Espaço-Tempo, e é o meu favorito, porque foi a partir dele que derivei a minha tese (que se encontra no volume 5 dessa coleção). Esse capítulo utiliza a chamada topologia geométrica que é menos formal e mais intuitiva. Esse capítulo permite ao leitor compreender porque o tempo atua como quarta dimensão e faz uma análise introdutória do espaçotempo euclidiano (espaço-tempo com tempo imaginário e fechado). O capítulo 8 é uma pequena introdução de geometria diferencial para construção do conceito de vetores covariantes e contravariantes. Esses conceitos são generalizados no capítulo 9 por meio da introdução dos Tensores. Nesses dois capítulos, obtemos as transformações particulares que são covariantes em Lorentz. O capítulo 10 e 11 apresenta conceitos e ferramentas para se estudar espaços curvos. Estas ferramentas também podem ser usadas no estudo de espaços planos. Por exemplo, a derivada de Lie permite

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determinar os vetores de Killing, as isometrias, correntes de Noether, a conservação do momento e energia entre outros. Por fim, o capítulo 12 introduz o formalismo das tétradas nulas e as equações de Cartan, dois formalismos que são úteis tanto para a Teoria da Relatividade Especial como a Geral. Os coeficientes da estrutura do espaço-tempo plano bem como os geradores, são todos calculados nesse capítulo. Encerramos com a classificação de Petrov de ondas gravitacionais que é válida para as ondas gravitacionais de Poincaré e as ondas gravitacionais da teoria escalar de Nördstron. Registre-se que esse livro é fundamental para o leitor que por ventura venha a usar o quarto volume e quinto volume, ainda que algumas coisas sejam revistas. Quem conhece meu trabalho de pesquisa talvez se surpreenda que esse livro não apresente nenhum capítulo direcionado aos números hiper-complexos (em particular, os perplexos) e álgebras geométricas. Há três razões para eu ter omitido esses assuntos: (1) o volume 5 contém uma discussão pormenorizada sobre hipercomplexos e álgebras geométricas; (2) por ser um livro de caráter introdutório; (3) porque já tenho um livro em estágio de produção avançada apenas sobre o uso de números hiper-complexos na Teoria da Relatividade, cobrindo de forma satisfatória esses formalismos. Espero que esse livro ajude a contribuir em uma formação epistemológica e matemática mais rigorosa da tão falada e tão incompreendida Teoria da Relatividade. Ayni R. Capiberibe Nunes [email protected] Instituto de Física / GEPECT

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1. Princípios Básicos Para esmiuçarmos a Teoria da Relatividade Especial, precisamos antes compreender seus conceitos fundamentais, em particular o conceito de Simultaneidade. Ao que consta, o primeiro pesquisador a investigar o problema da Simultaneidade foi Henri Poincaré, em um ensaio de 1898, intitulado A Medida do Tempo. Escreveu o físico, matemático e filósofo francês: “De dois relógios não temos o direito de dizer que um funciona bem e o outro funciona mal; podemos dizer apenas que é oportuno nos reportarmos às indicações do primeiro.” (POINCARÉ, 1898). Uma frase que o mago cinzento Gandalf, do universo ficcional de J. R. Tolkien concordaria e é a essência da relatividade. A. Espaço-Tempo de Poincaré-Minkowsky Seja uma fonte de ondas eletromagnéticas L que se afaste com velocidade constante v na direção x em relação a um referencial estacionário S. Seja um segundo referencial K’ inercial que também se afasta com velocidade constante v na direção x em relação à K e para o observador no referencial S’ a fonte L esteja em repouso.

P á g i n a | 19 Em um instante  a fonte emite uma onda eletromagnética esférica. Considerando que o índice de refração do meio seja 1, o postulado da constância da luz e o da isotropia do espaço assegura que essa onda se propagará com velocidade c independente do movimento da fonte para o observador em O fixo em S. Da perspectiva de um observador O’ fixo no referencial S’, a fonte está parada. Pelo postulado do princípio da relatividade, as leis medidas feitas nesse referencial não permitem detectar que ele está em movimento ou em repouso, portanto a velocidade da luz aferida por um observador nesse referencial também deve ser c. Como estes dois eventos estão separados no espaço e no tempo, o observador O’ irá registrar a ocorrência da emissão do sinal luminoso antes do observador O. Para o observador O à luz percorre uma distância r, que corresponde a diagonal OL do paralelepípedo, enquanto para o observador O’ a luz deve percorrer uma distância r’ que é igual a diagonal O’L.

P á g i n a | 20 Dá geometria sabemos que essas distâncias podem ser medidas em relação as coordenadas dos eixos: r   xo2  yo2  zo2

r  xo2  yo2  zo2

Usando a definição cinemática de velocidade, os observadores O e O’ irão aferir a velocidade da luz por meio da relação:

r c o to r c o to

c c

xo2  yo2  zo2 to xo2  yo2  zo2 to

Se multiplicarmos cada equação por seu infinitesimal de tempo e elevarmos as equações ao quadrado, obtemos a seguinte forma quadrática:

c 2to2  xo2  yo2  zo2  0

c 2to2  xo2  yo2  zo2  0 Vamos designar um vetor L para onda eletromagnética que satisfaz a condição: L   cto , xo , yo , zo  L  c 2to2  xo2  yo2  zo2

Esse espaço não apresenta uma norma euclidiana, por isso é chamado de espaço pseudo-euclidiano ou espaço de PoincaréMinkowski. De nossas considerações iniciais, podemos deduzir que à norma do vetor L é nula, L  0 . Em uma geometria euclidiana o vetor L seria o vetor nulo. Mas em espaços mais gerais, como o

P á g i n a | 21 riemanniano e o pseudo-riemmaniano, existem vetores com componentes não-nulas cuja norma é zero. Esse vetores são chamados de null vectors. O vetor L é um exemplo de null vector. Em teoria da relatividade especial isso significa que não existe um referencial próprio para as ondas eletromagnéticas, em outras palavras, não existe um referencial inercial onde uma onda eletromagnética esteja em repouso. O fato do espaço-tempo admitir um campo de vetores e null vectors significa que topologicamente, o nosso espaço é uma variedade diferencial pseudo-euclidiana, simplesmente conexa, munida de transporte paralelo e uma norma. Por ser um domínio conexo, com null vectors, esse espaço é uma variedade exata e localmente fechada. Essa condição satisfaz a inversa do Lema de Poincaré e, portanto, admite que este espaço apresente uma condição de integrabilidade. A forma quadrática pode ser interpretada como a projeção no espaço quadrimensional de uma hipersuperfície. Podemos projetar essa superfície no espaço tridimensional fazendo que alguma de suas coordenadas seja zero. Se tomarmos a coordenada de tempo, teremos uma equação da esfera, que representa a forma de nossa onda eletromagnética. Se tomarmos um dos eixos espaciais igual à zero, por exemplo z, teremos a equação de um cone de raio c. As curvas contidas na hipersuperfície da simultaneidade representam os eventos que são registrados simultaneamente pelo observador. Os vetores que se encontram na superfície do cone (light-like) são os null vectors, pois tem a norma nula. Os vetores que se encontram na região fora do cone (space-like) possuem norma negativa e estão associados a supraluminais que violam o princípio da causalidade. Na região dentro do cone (time-like) se encontram os vetores de norma positiva, que conectam ações que se propagam com velocidade menor que a da luz e estão sujeitos ao princípio da causalidade.

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2

O conjunto de todos os pontos do espaço-tempo é denominado de evento. Os eventos do espaço-tempo são conectados por linhas de mundo (world-line) definidas por vetores-eventos. O conjunto de todos os vetores do espaço-tempo forma um espaço-vetorial pseudoeuclidiano ei: ei   cti , xi , yi , zi  I  ei  c 2ti2  xi2  yi2  zi2

Se elevarmos a norma de ei ao quadrado, obtemos a forma fundamental quadrática do espaço-tempo, que segundo o quarto postulado deve ser a mesma para todos os referenciais inerciais:

I 2  c2t 2  x2  y 2  z 2

http://www.pitt.edu/~jdnorton/teaching/HPS_0410/chapters/spacetime/ https://www.researchgate.net/figure/A-Minkowski-spacetime-light-conediagram-shows-the-different-causal-regions-corresponding_fig1_319622822 1 2

P á g i n a | 23 B. Simultaneidade Suponha que duas estações A e B, que se encontram a uma distância fixa rAB desejam sincronizar seus relógios usando sinais luminosos. No instante 0, a estação A envia um pulso para a estação B. O sinal luminoso alcança a estação B no instante t. Um operador ajusta seu relógio para marcar 0. Vamos supor que este pulso seja refletido pela estação B, retornando à estação A. Considerando a isotropia do espaço, o tempo de retorno deve ser igual ao de ida.

rAB  ctida , rAB  ctvolta ,

2rab  cttotal

Sendo conhecida a distância entre as estações, um operador na estação A poderá calcular o quanto seu relógio se adiantou em relação ao relógio do operador B.

tida 

ttotal 2

Portanto, se o operador na estação A subtrair a metade do tempo total decorrido entre a ida e a volta do sinal luminoso, os relógios da estação A e B estão sincronizados. Suponha que a estação A e a estação B se deslocam na mesma direção com constante v, mantendo fixa distância. Os operadores decidem sincronizar seus relógios utilizando o método que descrevemos no parágrafo anterior. Para um observador externo, em um referencial estacionário, como a velocidade da luz é finita e não depende do movimento da fonte, a distância total percorrida pela luz durante a ida será a distância entre as estações, rAB, mais a distância percorrida pelas estações até a recepção do pulso em B. Quando o pulso é refletido, o observador externo irá registrar que devido ao movimento a estação

P á g i n a | 24 A vai de encontro ao pulso e, portanto, a distância percorrida pelo sinal luminoso será menor:

ctvolta  rAB  vtvolta

ctida  rAB  vtida

rab   c  v  tvolta r tvolta  AB c  v

rab   c  v  tida r tida  AB c  v

Para os operadores na estação, o tempo decorrido durante a ida e a volta do sinal será: 2r   t   AB c

 é a distância entre as estações medidas no referencial dos onde rAB operadores. Porém, para o observador externo o tempo decorrido será diferente: r r  t  AB  AB cv cv 2rAB t  c 1  v 2 c 2  Dividindo o intervalo de tempo medido pelos dois referencias,  1  v 2 c 2   t  rAB  t rAB

Levando em consideração a contração do comprimento de FitzGerald-Lorentz, a razão dos tempos deve ser dada pela relação:

 t 1  t 1  v2 c2

 t 

t 1  v2 c2

P á g i n a | 25 Isso prova que a simultaneidade e o tempo não são absolutos, mas relativos. Vejamos outro caso: vamos supor que existam duas fontes de luz idênticas, L1 e L2. As duas se afastam com velocidade v na direção x do referencial S e em relação ao observador O’ no referencial S’ são equidistantes. Vamos supor que em um determinado instante as fontes emitem uma onda eletromagnética esférica. O observador O’ registra que esses dois eventos foram simultâneos, porém como a velocidade da luz não depende da velocidade da fonte e o espaço é isotrópico, a onda emitida por L1 percorrerá um espaço r1 maior que a onda emitida por L2. Portanto, para o observador O estes dois eventos não são simultâneos, este observador irá registrar que a fonte L2 emite um sinal antes de L1. Pela mesma razão, é fácil ver que se O registrar que L1 e L2 emitem sinais simultaneamente, o observador O’ irá registrar que a fonte L1 emite um sinal antes de L2.

Esse é o princípio da relatividade da simultaneidade, discutido por Poincaré em 1898 e aplicado a física em 1900 e em 1904, e utilizado por Einstein em 1905. Poincaré mostrou que, para primeira ordem em v/c, o tempo local de Lorentz e Voigt era o tempo registrado por observadores em movimento que tentassem sincronizar seus relógios usando sinais luminosos.

P á g i n a | 26 C. A Análise de Painléve Em 1890, o matemático francês Paul Painléve apresentou durante uma conferência na Universidade de Lile como obter uma relação entre a massa longitudinal e transversal usando o triedro de FrenetSerret. Essa análise permitiria desenvolver uma nova dinâmica de massas variáveis e que dependem da direção da aplicação da força, incluindo a relação relativística (DUGAS, 2011). 1- Triedro de Frenet-Serret Seja uma curva C definida em um espaço com métrica gij pelo vetor posição r(u), onde u é o parâmetro próprio da curva. O vetor tangente a essa curva será definido como a derivada desse vetor em relação ao parâmetro u.

dr  u  Tˆ  du

Se tomarmos a taxa de variação do vetor tangente em relação ao elemento de linha da métrica do espaço, obtemos um vetor normal a curva C que é proporcional a curvatura da curva.

dTˆ  kNˆ ds A curvatura e o raio de curvatura de C estão associados pela relação:

k

1 

É fácil ver que que os vetores tangentes e normais são ortogonais:

Tˆ  Tˆ  1

P á g i n a | 27





d ˆ ˆ T T  0 ds dTˆ ˆ ˆ dTˆ 0 T T ds ds dTˆ Tˆ  0 ds

Ou pela relação entre a curvatura e o vetor normal,

Tˆ  Nˆ  0 Como os vetores T e N são ortonormais, podemos construir um terceiro vetor ortonormal a estes dois vetores, a partir do produto vetorial:

Bˆ  Tˆ  Nˆ O vetor B é denominado de vetor binormal. É fácil ver que este vetor é unitário, Bˆ  Tˆ  Nˆ Bˆ  Tˆ Nˆ sin 90º Bˆ  1

Como os vetores T, N e B são linearmente independes, eles formam uma base ortonormal em um espaço euclidiano denominada de triedro de Frenet-Serret. Qualquer ponto P sobre a curva C escrita em uma base T, N e B é chamado de triedro de Frenet-Serret sobre o ponto P. A partir destes vetores, construiremos um conjunto importante de relações: as fórmulas de Frenet-Serret:

P á g i n a | 28

dTˆ  kNˆ ds

dBˆ   Nˆ ds

dNˆ   Bˆ  kTˆ ds

A primeira fórmula já foi demonstrada. Vamos demonstrar a segunda fórmula de Frenet-Serret. Como os vetores T e B são ortogonais, seu produto escalar deve ser zero. Se tomarmos a derivada do produto escalar destes vetores, obteremos a seguinte a relação:

dTˆ dBˆ ˆ  Bˆ  T  0 ds ds

dBˆ ˆ T  0 ds Portanto a derivada do vetor binormal é ortogonal ao vetor tangente. Observe que assim como o vetor tangente, o vetor binormal também é ortogonal a sua derivada:

dBˆ Bˆ  0 ds Isso significa que o vetor derivada do binormal deve ser paralelo ao vetor Normal:

dBˆ   Nˆ ds A constante de proporcionalidade  é chamada de torção. Definimos o raio de torsão pela a equação:



1



P á g i n a | 29 Agora vamos demonstrar a terceira fórmula de Frenet-Serret a partir do produto vetorial dos vetores T e B.

Nˆ  Tˆ  Bˆ dNˆ dTˆ ˆ ˆ dB   B T  ds ds ds dNˆ  k Nˆ  Bˆ   Tˆ  Nˆ ds dNˆ  kTˆ   Bˆ ds



 



Tendo deduzido esse conjunto oportuno de equações fundamentas da geometria diferencial, passemos a sua aplicação ao estudo do movimento das partículas. 2- Aceleração e o Triedro de Frenet-Serret Definimos a trajetória de um corpo como a curva C descrita pelo vetor posição r(t) sobre uma variedade. Para cada ponto sobre a curva, definimos o vetor velocidade sobre um ponto da curva como o vetor tangente a esse ponto:

v  vTˆ Derivando a velocidade em relação ao tempo,

dv dv ˆ dTˆ  T v dt dt dt dv dv ˆ 2 dTˆ  T v dt dt ds dv dv ˆ  T  kv 2 Nˆ dt dt

P á g i n a | 30 Substituindo a curvatura pelo raio de curvatura, obtemos a relação:

dv dv ˆ v 2 ˆ  T N  dt dt O termo que acompanha o vetor tangente é denominado de aceleração tangencial. O termo que acompanha o vetor normal é chamado de aceleração centrípeta. a  atTˆ  ac Nˆ

Se o módulo da velocidade se mantém constante sobre toda trajetória, isto é, se a intensidade do vetor velocidade é a mesma para todos os pontos da curva, então o corpo estará apenas submetido a uma aceleração centrípeta: v2 a  Nˆ



3- Dinâmica de Painléve Após conectarmos o triedro de Frenet-Serret com a cinemática clássica, estamos preparados para analisar os argumentos de Painléve. Infelizmente, não temos acesso a transcrição da conferência de Lile de Painléve, por isso confiaremos na descrição fornecida pelo historiador francês René Dugas (2011, p. 497-500), apresentada no livro A History of Mechanics. Painléve inicia a sua descrição a partir das definições de aceleração:

at 

dv dt

ac 

v2



Para uma partícula P, Painléve escreve as componentes da força por meio das expressões:

P á g i n a | 31 dv mo f  v    cos dt

mo   v 

v2



  sin 

Suponha que um sistema fechado contém apenas duas partículas P e P1. Se a partícula P1 aplica uma força  sobre partícula P, essa interação destas partículas pode ser descrita por uma força central que atua sobre a linha PP1 que conecta as duas partículas e faz um ângulo com a velocidade vprincípio da inércia impõe que a força que age sobre a partícula P seja apenas uma função de sua posição e da sua velocidade em relação à P1. Segundo o princípio da reação, sobre a partícula P1 age uma força –. Como essa força pode ser decomposta em uma componente longitudinal e uma componente transversal à direção da velocidade, para cada força podemos associar uma massa. Segundo Dugas (2011, p. 498): A mecânica construída desta maneira por Painléve, graças a uma generalização puramente matemática e “quando ainda não havia dúvida na física sobre a diferença entre massa longitudinal ou transversal, que coincidem com a mecânica comum quando f(v) ≡ (v) = 1, é compatível com o axioma copernicano da causalidade, com seu corolário, o axioma da simetria e, finalmente, com o axioma da composição das forças...” No interesse das aplicações físicas, é necessário modificar ligeiramente as equações que Painléve obtém.

A modificação mencionada por Dugas consiste em utilizar o princípio fundamental da dinâmica como a variação do momento linear da partícula: d  mv    dt Como a massa é uma função da velocidade, sua derivada será: dm dv vm  dt dt

P á g i n a | 32 Levando em consideração as relações do triedro do Frenet-Serret:

dm ˆ dv ˆ v2 ˆ vT  m T  m N   dt dt  dv  ˆ v2 ˆ  dm v  m T  m N    dt    dt v2 ˆ  dt dm v  dv ˆ m  1 T  m N     dv dt m  dt v2  dm v  dv ds ˆ m T  m Nˆ    1   dv m  ds dt v2  dm v  dv m  1 vTˆ  m Nˆ     dv m  ds Qualquer função derivada em relação ao seu elemento de linha (parâmetro próprio) é a unidade, portanto:

v2  dm v   1 vTˆ  m Nˆ   m   dv m  Denominados de massa longitudinal o termo que acompanha a componente tangente e chamamos de massa transversal, a componente que acompanha a componente normal.

m  m  dm v   1 m  m    dv m 

Ainda não obtivemos a transformação da massa, porém podemos verificar que essa relação é válida para o caso relativístico, como explica Dugas (2011, p. 498):

P á g i n a | 33 Outra inovação da mecânica de Painléve deve ser considerada se for utilizado um potencial retardado - em tal caso, o princípio da igualdade de "ação e reação não é mais válido. Finalmente, a forma da dinâmica da massa variável pode ser modificada considerando-se a massa como uma função da quantidade T, que generaliza imediatamente a energia cinética clássica

Vamos agora construir uma dinâmica dos sistemas de massa variável, usando o formalismo hamiltoniano. Definimos a energia cinética generalizada T a partir da lagrangeana generalizada L pela transformação de Legendre:

T  mv2  L  const ,

Se v = 0, então T =0

O princípio de Hamilton nos impõe a seguinte condição:



t2

t1

 L  U dt  0

Enquanto o princípio da conservação de energia exige que:

T  U W onde W é a energia total do sistema. A condição necessária e suficiente de que T ≡ L, ou, em outras palavras, que a mesma função deva aparecer no princípio de Hamilton e no princípio de energia, é que a massa deve ser constante. Graças ao fato de que T foi considerado, m(T) ou m(U + W) podemos substituir na expressão a massa, m = mo (v). Assim, a generalização da equação de Jacobi é obtida diretamente. (DUGAS, 2011, p. 499)

Portanto a equação de Hamilton-Jacobi e o princípio de mínima ação são escritas como:

1 ij s s g  m U  W d U  W   J U  W  2 xi x j 

P á g i n a | 34

  2 J U  W  gij dxi dx j  0 Sobre estes resultados obtidos pela análise de Painléve, Dugas (2011, p. 499-500) escreve: Não nos preocuparemos com a objeção (que poderia ser chamada de objeção do matemático) que consiste em dizer que é matematicamente inútil falar de massa variável quando é sempre possível retornar à mecânica comum (m = mo) por modificação. - competir com a expressão da força e fazer desta última uma função adequada da velocidade. Isso é perfeitamente preciso. Mas, do ponto de vista físico, não é indiferente se é a lei da força ou a lei da massa que se torna mais complicada. Tudo isso mostra que a dinâmica da massa variável foi concebida - e pode ser desenvolvida - à parte da teoria da relatividade especial. A dinâmica da relatividade especial em um determinado sistema de referência está contida na classe mais geral dos sistemas de variância da dinâmica da massa variável; mas essa dinâmica impõe-se fisicamente, por meio da cinemática da relatividade especial, pela transformação do campo eletromagnético e pela validade da mecânica ordinária no sistema próprio da partícula no tempo t. Além disso, referindo-se à expressão para a energia cinética T no caso geral em que a massa em uma função arbitrária da velocidade, vê-se que a transformação relativística m = mo (1 – v²/c² :)1/2 - é a mais simples que poderia ser considerado, pois é linear em T.

Em sua conferência de 1904, Poincaré declarou que se comprovada as medidas de Kaufmann sobre a variação de massa do elétron, seria necessária construir uma nova mecânica tendo a velocidade da luz limitante. A análise de Painléve antecipa esses resultados, sem precisar se referir a relatividade que passa a ser apenas um caso particular.

P á g i n a | 35 D. A Transformação de Tangherlini-Lattes Em 1960, o físico italiano F. R. Tangherlini propôs uma interpretação alternativa à teoria da relatividade ortodoxa, obtendo um novo conjunto de transformações do espaço e do tempo. Na década de 1980, o professor doutor César Lattes apresentava em seus cursos, este mesmo conjunto de transformações. Ao que tudo indica a dedução do professor Lattes era original e independente de Tangherlini. Seguindo a sugestão de Martins (2012), iremos chamar essas transformações de Tangherlini-Lattes. Como não temos acesso aos métodos empregados pelo professor Lattes, iremos recorrer ao ensaio de Tangherlini (1961), intitulado: An introduction to the general theory of relativity. 1 – Sincronização Absoluta Na seção anterior discutimos o problema do sincronismo de relógios. Nossa análise nos levou a concluir que não é possível, usando sinais ópticos, fazer uma sincronização absoluta. Contudo, essa limitação não esgota toda as possibilidades de sincronização como nos mostra Tangherlini (1961, p. 06): Finalmente, devemos observar ainda que outro método de sincronização poderia ter sido considerado acima, a saber: sincronização com sinais instantâneos ou mais rápidos que a luz. No entanto, sabemos experimentalmente que a velocidade da luz representa um limite superior para a velocidade com a qual um sinal pode ser enviado entre dois pontos. É uma característica fundamental da relatividade que este seja o caso, de modo que a velocidade da luz desempenhe o papel de uma velocidade limitante. Embora, é claro, matematicamente, não há razão para que não possamos considerar e calcular efeitos com esse procedimento de sincronização. Por exemplo, pode-se mostrar que tais sinais levariam a violações de causalidade (A. EINSTEIN: Ann. D. Phys., 23, 371 (1907); ver também C.

P á g i n a | 36 MOLLER, p. 52, W. PAULI, P. 16) se eles se propagaram em um modo invencível de Lorentz. Se eles não se propagassem de uma forma invariante de Lorentz, eles destacariam localmente um quadro de referência privilegiado (o chamado quadro absoluto ou éter); seria então muito difícil entender por que a invariância de Lorentz provou ser tão útil e experimentalmente verificável sobre uma enorme gama de energias.

É possível provar (MARTINS, 2012) que mesmo usando sinais instantâneos ou mais rápidos que a luz, é impossível obter a sincronização absoluta dentro de uma teoria que tome como postulado a invariância da forma da onda. Tomemos a lei de composição de velocidades relativísticas (POINCARÉ, 1905, 1906, EINSTEIN, 1905, 1907):

ux 

ux  v uv 1  x2 c

Se quisermos estudar o que ocorre quando um sinal é propagado instantaneamente, basta fazer com a velocidade do sinal (ux) tenda ao infinito:

ux  v u x  u x  uv 1  x2 c ux v lim u x  lim  lim u x  u x  u v ux  u x v 1  x2 1 2 c c ux v lim u x  lim  lim u x  u x  u v ux  u x v 1  x2 1 c c2 lim u x  lim

P á g i n a | 37 Este último limite leva a uma indeterminação do tipo ∞/∞. Esse caso de indeterminação permite que apliquemos a regra de L’Hospital-Bernoulli:

lim ux

u x 

lim ux

u x 

lim ux

u x 

lim ux

u x 

d  ux  du x  lim u x  d  uxv  1  2  du x  c  1  lim  u x   v   2 c  c2   lim u x  v c2  v

Portanto, a velocidade ux’ não é infinita. Portanto dois eventos simultâneos em um referencial inercial S não será simultâneo em outros referenciais inerciais. Mesmo que os operadores estacionários pudessem trocar sinais instantâneos, para um observador em movimento relativo, esses eventos não seriam instantâneos e nem simultâneos. Isso implica que nenhum tipo de sinal pode ser usado para realizar a sincronização absoluta de relógios, se assumirmos como postulado fundamental a invariância da forma da onda. O grupo de Galileu e sua cinemática de Lie permitem a sincronização a simultaneidade absoluta, pois a forma da onda não é um invariante. Portanto a única forma de garantir a sincronização é assumir que existe um referencial onde a luminosa é deformada devido ao movimento e a velocidade da luz deixa de ser isotrópica e constante S, mesmo que esse referencial seja inacessível à experiência.

P á g i n a | 38 2 – O Intervalo Espaço-Tempo Não Relativístico Como provamos anteriormente, para qualquer raio de luz que se desloque com velocidade c em relação a um referencial S, verificase a seguinte identidade:

c2 t 2  x2  y 2  z 2  0 Tomando o limite das variações tendendo a zero, obtemos a formar diferencial do intervalo:

ds 2  c2 dt 2  dx2  dy 2  dz 2 Definimos a quantidade tempo próprio como a razão entre o elemento de linha do espaço-tempo pela velocidade da luz:

d 

ds c

Tomemos dois eventos no espaço-tempo que estão conectados por uma linha de universo de, cujas coordenadas são definidas pelo 4vetor diretor:

de   cdt , vx dt , v y dt , vz dt  de   c, vx , v y , vz  dt Portanto, o intervalo no espaço-tempo dessa linha será:

ds 2   c 2  vx2  v y2  vz2  dt 2 ds 2   c 2  v 2  dt 2 Se v for menor que c, o intervalo ds é um número positivo. Neste caso temos uma conexão do tipo tempo (time-like). Se v for igual à c, o intervalo ds é nulo e teremos uma conexão do tipo luz (lightlike). Por derradeiro, se v for maior que c, ds é um número imaginário.

P á g i n a | 39 Esse é um intervalo de conexão do tipo espaço (space-like). Dividindo a equação pela velocidade da luz, obtemos: ds 2  v 2  1  2 c2  c ds 2 1  2 dt 2 2 c 

 2  dt 

Extraindo a raiz quadrada e usando a definição de tempo próprio:

d 

dt

 dt   d



agora vamos integrar esses diferenciais para v e c constantes:

 dt    d t 

 t    1

v2 c2

que é a dilatação do tempo deduzida por Einstein em 1905. Agora vamos supor que desejamos medir o comprimento de uma haste rígida usando sinais luminosos. Do ponto de vista técnico, não sabemos como medir diretamente a velocidade da luz, apenas o tempo total entre a ida e a volta de um sinal luminoso. De maneira geral, dizemos que a média da velocidade de ida e volta de um raio luminoso no vácuo é igual a uma constante c:

c

cida  cvolta 2

Em geral, assumimos que o tempo da velocidade da luz na ida e na volta é o mesmo, porém, como bem observa Henri Poincaré, trata-

P á g i n a | 40 se apenas uma convenção oportuna. Não existe uma forma instrumental de medir o tempo apenas de ida (ou volta) da luz. Essa limitação técnica, porém não serve de empecilho para que mensuremos o comprimento da haste usando sinais luminosos. Tomemos uma haste de comprimento dl desconhecido. Em uma das extremidades colocamos um sistema que emite sinais luminosos, enquanto na outra extremidade inserimos um refletor ideal. No momento que um pulso é emitido, um cronômetro é disparado. Assim que o pulso retorna ao emissor, o cronômetro é parado, registrando o tempo total entre ida e volta.

O comprimento da haste deve ser igual à metade do espaço total percorrido pelo pulso. dS dl   dS  2dl 2 Por meio da cinemática, podemos obter o espaço total percorrido pela e calcular o tamanho da haste. O espaço total percorrido dS é igual ao produto do tempo registrado pelo cronômetro, pela soma da velocidade da luz da ida e da volta: dS   cida  cvolta  dt

Escrevendo nossa função da velocidade da luz “média” e do comprimento da haste:

2dl  2cdt  dl  cdt

P á g i n a | 41 Podemos supor que existe pelo menos observador com um cronômetro que ao realizar o mesmo processo para medir o comprimento da haste, registre em seu cronômetro o tempo próprio da barra. Denotando por dr o comprimento da haste, o comprimento medido por esse observador será:

dr  cd Dividindo as equações do comprimento da barra, obtemos:

dl cdt dl dt    dr cd dr d Usando a relação que obtivemos entre o tempo próprio e o tempo local, obtemos uma relação entre o comprimento próprio e o comprimento da barra. dl dr 



ou seja, para o observador que registra o tempo próprio da barra, o comprimento é diferente. Vamos integrar a equação para obtermos a relação entre os comprimentos, supondo v e c constantes:

dl

 dr   

 r 

r  l 1 

l



v2 c2

que é a contração dos comprimentos deduzida por Fitzgerald e Lorentz e, posteriormente por Einstein. Observe que em nossas deduções não fizemos referência a nenhum postulado. Isso mostra que os fenômenos de contração do comprimento e dilatação do tempo não são exclusivos de uma teoria relativística e não exigem a rejeição do espaço e do tempo absoluto.

P á g i n a | 42 3 – A Análise de Tangherlini Na seção anterior conseguimos deduzir a transformação do tempo próprio e do comprimento, sem precisar impor condições sobre a forma da onda luminosa, a velocidade da luz e a forma das leis da física. Portanto podemos impor que as coordenadas entre dois sistemas de referência inerciais seja uma transformação de Galileu.

 x  x  vt  t   t

y  y z  z

Essa é justamente a hipótese que Tangeherlini (1961) adota em sua análise sobre a teoria da relatividade e é o que iremos analisar nessa seção. Inicialmente tomemos os diferenciais da transformação de Galileu, para um corpo com velocidade constante:

dx  dx  vdt  dt   dt

dy   dy dz   dz

Isolando o diferencial dx, obtemos a importante relação:

dx  dx  vdt  Substituindo essas expressões na equação da onda:

ds 2  c 2 dt 2   dx  vdt    dy2  dz 2 2

ds 2  c 2 dt 2  dx2  2vdxdt   v 2 dt 2  dy2  dz 2 ds 2   c 2  v 2  dt 2  dx2  2vdxdt   dy2  dz 2

Tomando o elemento de igual a zero, teremos a seguinte relação:

c

2

 v 2  dt 2  2vdxdt   dx2  dy2  dz2

dt 2  2vdxdt   c 2  v 2    c 2  v 2  1

1

 dx

2

 dy2  dz2 

P á g i n a | 43 Vamos escrever o lado esquerdo como um quadrado perfeito:

dt 2  2vdxdt   c 2  v 2   v 2  c 2  v 2  dx2  1

c

2

 v2 

1

 dx

2

2

 dy2  dz2   v 2  c 2  v 2  dx2 2

2

     v 1 v2  dt   2 2 dx  2 2 1  2 2  dx2  dy2  dz 2     c  v    c  v    c  v    2

 c 2     v 1  dt   2 2 dx  2 2  2 2  dx2  dy2  dz2     c  v    c  v    c  v    Essa nova equação mostra que uma esfera de luz medida em um referencial S se torna um elipsoide achatado de luz. Em suma: a transformação não preserva a forma invariante de uma onda e, como observa Tangherlini (1961, p. 08) “o tempo de propagação da luz não é independente da direção ou da velocidade do sistema de referência”. Vamos explorar as propriedades dessa nova forma de se estudar os eventos no espaço e no tempo. Extraindo a raiz quadrada,

  v 1  dt   2 2 dx    c  v    c2  v2 1/2

1/2

 c 2    2 2  dx2  dy2  dz2    c  v     

Isolando dt’ e abrindo o módulo, 1/2

v 1 dt   2 2 dx   c  v   c2  v2 1/2

 c 2    2 2  dx2  dy2  dz2    c  v     

P á g i n a | 44 Integrando sobre um circuito fechado, a equação se reduz à:

 dt     c

v 2

 v2



dx 



1

c

2

 v2



1/ 2

 c 2   2 2 2  2 2  dx  dy  dz     c  v   

1/ 2

A integral de um circuito fechado no espaço deve ser zero, nestas condições teremos: 1/ 2

 dt   

c

1

2

 v2 

1/ 2

   c2 2 2 2  2        dx dy dz   c  v 2     

Sobre essa equação Tangherlini (1961, p. 08) escreve: Sabemos, no entanto, experimentalmente que nenhum desses efeitos, depende da velocidade de um referencial inercial em relação a outro referencial inercial que foi medido. Segue-se que a transformação de coordenadas acima não descreve o que mede fisicamente no referencial S'. Quais suposições estavam envolvidas na transformação de Galileu? Claramente assume além da linearidade da transformação (que é razoável em bases físicas) que as hastes e relógios em S' mantêm o mesmo comprimento e intervalo como visto por um observador em S, e também dois eventos que foram simultâneos em S, i.e, t = 0 foram simultâneos em S', t' = 0, viso que t '= t. Esta última suposição é razoável a partir do ponto de partida da mecânica newtoniana, uma vez que poderíamos, em princípio, sincronizar os relógios instantaneamente, não havendo velocidade limitante na mecânica newtoniana. Por outro lado, é insustentável na relatividade, pois a velocidade da luz desempenha o papel de uma velocidade limitante.

Essa divergência entre teoria e experiência nos levará aos postulados de Tangherlini.

P á g i n a | 45 4 – Postulados de Tangherlini Para ajustar a sua modificação na teoria da relatividade com os resultados experimentais, Tangherlini (1961, p. 08-09) apresenta dois novos postulados, a saber: 1) Um relógio em repouso no sistema de referência privilegiado não lê o tempo coordenado t', mas o tempo próprio (intervalo):

ds   c 2  v 2 

1/ 2

dt 

2) Se medirmos a distância enviando um sinal luminoso para frente e para trás ao longo de um dado intervalo espacial, o tempo decorrido é simplesmente proporcional à distância euclidiana, independentemente do movimento do sistema de referência.

Do primeiro postulado, podemos escrever a relação entre o tempo próprio e o tempo t:

 

 v2   T  1  2   c 

cT   c  v cT   c  v

2 1/2

2

1/2

 v2  t   T  1  2   c 

2 1/2

2

t

1/2

t

t

ou em função do fator de Lorentz: T   1t  T   1t

Partindo do intervalo relativístico: ds 2   c 2  v 2  dt 2  dx2  2vdxdt   dy2  dz 2

P á g i n a | 46 Substituindo as equações do tempo próprio, ds 2  c 2 dT 2  dx2 

2vcdxdT

c

2

v



2 1/2

 dy2  dz 2

ds  c dT  dx  2v dxdT  dy2  dz2 2

2

2

2

Agora vamos operar a equação do diferencial do tempo, 1/2

dt  

v 1 dx  2 2  c  v   c  v2 1/2 2

 c 2    2 2  dx2  dy2  dz2    c  v     

Em termos do tempo próprio, resulta em: 1/ 2

   dT v c2 2 2 2         dx  dx dy  dz   1/ 2 c   c 2  v 2     c2  v2    1/ 2

dT   vdx   2 dx2  dy2  dz2 

O segundo postulado tem como consequência imediata que o diferencial do tempo próprio seja igual ao dobro do diferencial do vetor deslocamento R:

dT  2dR

(Ida e Volta)

dR  dX 2  dY 2  dZ 2

Substituindo na equação da forma quadrática: 1/2

2dR  2 vdx  2  2 dx2  dy2  dz2 

P á g i n a | 47 Vamos tomar a integral do circuito fechado, correspondendo a ida e a volta do raio luminoso: 1/2

2  dR  2   2 dx2  dy2  dz2 

 dX

2

1/2

 dY 2  dZ 2 



 

2

1/2

dx2  dy2  dz 2 

Essa relação apenas se verifica se o núcleo das integrais for igual.

dX 2  dY 2  dZ 2   2dx2  dy2  dz2 Por inspeção temos que:

dX 2   2 dx2 dX   dx dY 2  dy2 dY  dy dZ  dz dZ 2  dz2

X   x Y  y Z  z

Portanto as transformações de Tangherlini-Lattes serão:

 X    x  vt   1 T   t

Y  y Z  z

O elemento de linha dessa transformação “absoluta” se transforma em:  c2  v2  2 2 2 ds 2  c 2 dT 2  2vdXdT    dX  dY  dZ 2  c  ds 2  c 2 dT 2  2vdXdT   2 dX 2  dY 2  dZ 2

Esse nova transformação goza de propriedades a transformação de Lorentz habitual e permite uma sincronização absoluta desde que existe um observador no referencial especial.

P á g i n a | 48 E.

As Transformações de Voigt

Em 1887, o físico alemão Woldemort Voigt publicou um trabalho o efeito Doppler-Fizeau da luz, onde ele obteve uma ancestral histórico das transformações de Lorentz. Nessa seção apresentaremos uma versão simplificada, porém que preserva a essência do método empregado por Voigt. Ao leitor interessado por por mais detalhes indicamos os trabalhos de Ernsty e Hsu (2001), Heras (2017) e Chashchina, Dudisheva e Silagadze (2019).

O estudo de Voigt consiste em estudar a emissão da luz na perspectiva de um referencial próprio da fonte e um referencial do observador que vê a fonte se deslocar com velocidade v. Para efetuar a análise, Voigt utiliza três postulados tácitos: (a) a constância da velocidade da luz; (b) a invariância da forma esférica da onda luminosa; (c) a validade da transformação clássica para a coordenada x (atualmente conhecida como “transformação de Galileu”). O primeiro postulado implica que a velocidade da luz não depende do estado de movimento na fonte, sendo apenas uma propriedade do meio. Portanto a luz emitida pela fonte em repouso, c e a luz emitida pela fonte em movimento c’, são idênticas:

c  c O segundo postulado implica que a forma da equação da onda deve ser a mesma tanto no referencial próprio quanto no referencial onde se encontra o observador. x  2  y  2  z  2  c 2 t  2 x 2  y 2  z 2  c 2t 2

O terceiro postulado implica que as transformações de coordenadas espaciais devem ter a seguinte forma:

 x, y, z    x  vt , ay, bz 

P á g i n a | 49 Observe que não fizemos hipóteses sobre a transformação do tempo, porém, como será mostrado, obteremos essa transformação por meio do segundo postulado. Também observamos que Voigt considera que possa ocorrer modificações em relação aos eixos transversais. Vamos substituir essas equações na forma da onda e obter os valores dos parâmetros:

 x  vt    ay   bz   c 2t 2 2 2 2 x2  2vtx   vt    a  y2   b  z 2  c 2t 2 2 2 x2   a  y2   b  z2   c 2  v 2  t 2 2vtx 2

2

2

 v2  2 2 x 2   a  y  2   b  z  2  c 2  1  2  t 2  c 

2vtx

Vamos usar a notação moderna para o fator de Lorentz, para simplificar o trabalho algébrico:

x   a  y   b  z  2

2

2

2

2

  1  v 2 c 2 

c2



2

t2

2vtx

1/2

Agora usaremos o processo de completamento de quadrados:

x 2   a  y  2   b  z  2  2

2

v 2 2 2 c 2 2 x  2 t  c2

 v 2 2  2 2 2 2 2 21  1  2  x   a  y    b  z   c  t c   

2vtx 

v 2 2 2 x c2

v  x  c2 

2

Os termos em parêntesis se reduzem as seguintes formas:

P á g i n a | 50

 v 2 2  2 1  2    c   2

v   x    2  t c  

1  t 

 x 

v c2

2

Substituindo essas relações na equação,  

 2 x2   a  y2   b  z2  c 2 2  t 2

2

v c2

 x 

2

Dividindo a equação pelo quadrado do fator de Lorentz, 2

2

a b  x    y2    z2  c 2 t      2

v c2

 x 

2

Identificando o termo em colchetes como o tempo t’ (que Lorentz denominava como o tempo local) e impondo o segundo postulado,

x2  y2  z2  c2t 2 obtemos os fatores procurados:

a b v t  t x c2 Portanto as transformações de coordenadas entre os dois sistemas devem assumir a forma:

 x, y, z    x  vt ,  y,  z   x, y, z    x

vt , y  , z  

t  t  t  t

v x c2 v x c2

P á g i n a | 51 Há exceção da transformação de Galileo, as outras transformações não tinham um significado claro. As transformadas do eixo y e z preveem uma contração transversal do eixos, semelhante a contração longitudinal de FitzGerald-Lorentz. Quanto a transformação do tempo, sua interpretação só veio a ser dada no trabalho de 1900 de Henri Poincaré, como sendo o tempo obtido por observadores em movimento que acertam seus relógios usando sinais ópticos. Para Voigt, há exceção da transformação de x, essas transformações eram apenas um truque matemático que facilitava a resolução das equações diferenciais e não tinham um significado físico. Um fato interessante é que as transformações de Voigt permitem derivar, como um teorema, a fórmula de adição relativísticas e a invariância da velocidade da luz. Tomemos os diferenciais, das transformações de Voigt:



 dx, dy, dz   dx 

dt   dt

vdt ,

dy dz  ,   

v dx c2

Dividindo as equações espaciais pelo diferencial de tempo: dx dx vdt ,  dt  dt v dx c2

dy dy  , v  dt     dt 2 dx  c  

dz dz  v  dt     dt 2 dx  c  

P á g i n a | 52 Evidenciando o diferencial do tempo no lado direito da equação:

ux 

uy 

dt  dx dt v  , v dx   dt 1 2   c dt 

dy  

 dt 1

v dx   c 2 dt 

uz 

,

dz  

 dt 1

v dx   c 2 dt 

Após as simplificações, obtemos a lei de adição de velocidades,

ux  uy 

ux v , ux v 1 2 c

uy ,  ux v   1 2  c  

uz 

uz  u v  1 x2  c  

Se tomarmos a velocidade ux como a velocidade de um raio de luz emitido na direção x, nós teremos que:

c

v cv 1 c2 c v ux  c   c v ux  c

ux 

Esta é a primeira constatação teórica sobre a invariância e a universalidade de velocidade de luz (ERNSTY, HSU, 2001), precedendo os trabalhos de Poincaré e Einstein em 18 anos.

P á g i n a | 53 F. Endomorfismos do Espaço-Tempo Vamos definir o tensor misto da transformação de Voigt, cujas componentes são:

  i Vj     

1 v c 0 0

0   0  0   1

v c 0 1 0 0 1 0 0

O tensor misto da transformação de Lorentz, apresenta as seguintes componentes:

   v c i j    0   0

 v c 0 0  0 0  0 0

1 0  0 1

Portanto existe uma interessante relação entre as transformações de Voigt e as transformações de Lorentz. Se multiplicarmos todos os termos da transformação de Voigt pelo fator de Lorentz, obtemos as transformações de Lorentz:  ij   V ji

Como o tensor de Lorentz representa uma rotação ao redor dos eixos no espaço-tempo 4-dimensional, podemos interpretar a transformação de Voigt como uma rotação no espaço-tempo com uma contração dos eixos. O tensor de Lorentz se associa ao tensor misto de Kroenecker pela seguinte identidade:  ik  ik   ik  kj   ij  ik 1   ik   kj

P á g i n a | 54 A partir dessas relações podemos obter o tensor inverso de Voigt.

 V  V    i k

k

i

i j

Vki 2Vi k   ij

 V  V    i k

k j

i j

Vki 2V jk   ij

Portanto, podemos definir o tensor inverso de Voigt como: Vki 1   2Vi k   2V jk

Assim as matrizes inversas de Voigt, são respectivamente:

 2  2  v c i 1 Vj    0   0

 2v c 0 0   0 0 2  0 0  0 0  

A covariância de Lorentz impõe que a métrica do espaço-tempo de Poincaré-Minkowski se transforme da seguinte forma:  ikil  lj  ij

Usando a relação entre os tensores de Lorentz e Voigt: Vi kil  2V jl  ij

Chamaremos essa propriedade de pseudo-covariância, pois diferente das transformações de Lorentz, as transformações de Voigt não formam um grupo. Para verificarmos esse fato, vamos escrever a pseudo-covariância de Voigt em forma matricial absoluta:

V T 2V   Para qualquer vetor do espaço de Voigt, verifica-se a identidade: Vi T i2Vi  

P á g i n a | 55 Seja o vetor do espaço de Voigt que deve satisfazer a identidade fundamental:

Vi  j  Vi  V j Vi T j  i2 jVi  j  

Usando a definição do próprio vetor, devemos escrever a nossa identidade como: Vi T V jT  i2 jV j Vi  

Para que esta relação se mantenha verdadeira devemos supor que  i  j   i j Vi T  i2 V jT  2jV j Vi  

mas o termo em parêntesis é justamente a matriz 

Vi T  i2Vi   que é a nossa identidade fundamental. O fato que tivemos que supor que  i  j   i j , no entanto Poincaré demonstrou que para que essas transformações formem um grupo e sejam covariantes os fatores de Lorentz devem satisfazer uma relação diferente,

 i  j   i j 1  vi v j c 2  o que mostra que as transformações de Voigt não são covariantes. Mais precisamente, a equação  ikil  lj  ij é uma condição de automorfismo interno e o conjunto de todos os automorfismos internos é um grupo multiplicativo. As transformações de Voigt operam como endomorfismos sobre o espaço-tempo.

P á g i n a | 56 G. Os Postulados de Cunningham Em 1907, o físico-matemático inglês E. Cunningham, publicou um ensaio intitulado On the electromagnetic mass of a moving eléctron, onde ele estudava a transformação da inércia de um elétron submetido a um campo eletromagnético. A análise de Cunningham o levou a concluir que a dedução das transformações de Lorentz poderia ser estabelecida com apenas dois postulados, a saber: (a) A equação de uma onda esférica é um invariante relativístico. (b) As transformações de coordenadas devem ser funções lineares. Do primeiro postulado, resulta que para qualquer sistema inercial de referenciais, uma onda esférica ser dada pela equação de D’Alambert:

 2 

1  2 c 2 t 2

2 

1  2 c 2 t 2

O segundo postulado, segue que a transformação de coordenadas na direção x e t, deve ser pelas seguintes relações: x j  a ij xi

i, j  0,1,2,3

Vamos assumir que a matriz a ij é uma matriz real 4x4, isso implica que existem 16 coeficientes a serem determinados a partir da invariância da equação da onda. Na prática, os autores costumam impor condições físicas para reduzir o número de coeficientes da matriz, como pode ser visto em Resnik (1968). Nosso objetivo é mostrar que esses dois postulados não são suficientes para deduzir a transformação de Lorentz, porque elas levam a uma infinidade de transformações. Por isso, procuraremos as soluções que satisfaçam as seguintes transformações lineares (BROWN, 2017):

P á g i n a | 57

x  Ax  Bt t   Cx  Dt

y  Ey z   Fz

Vamos tomar o diferencial total da função  :

d 

    dx  dy  dz  dt  x y z t 

Tomemos a derivada parcial de x assumindo que as variáveis t, y e z são constantes:   dx  dt    x x dx t  dx

   A C x x t  Realizando o mesmo procedimento para as demais variáveis,

   B D t x t    E y y   F z z Derivando  x em relação a x’:

 2  2  2 A C x 2 xx xt  O teorema de Schwarz garante que se a função  for definida em um domínio conexo, então a derivada parcial deve comutar:

P á g i n a | 58  2         A C     2 x x  x  t   x 

Aplicando esse método as demais coordenadas,

 2         B D     2 t x  t  t   t   2     E   2 y y  y   2     F   2 z z   z  Vamos começar operando com a segunda derivada da coordenada x. Se substituirmos o valor da primeira derivada em relação a x,  2           A C C  A C A    2 x x  x t   t   x t  

Levando em consideração o teorema de Schwarz, 2 2  2  2 2   2   A 2 AC  C   x 2 x2 xt  t 2

Pelo mesmo método as equações para as demais variáveis: 2 2  2  2 2   2   B  2 BD D t 2 x2 xt  t 2 2  2 2    E y 2 y2 2  2 2   F  z 2 z 2

P á g i n a | 59 Portanto, o laplaciano da função  pode ser escrito como:

 2  A2

2 2 2  2  2 2   2   2   E F C 2 AC     x2 y2 z2 t 2 xt 

A invariância da equação da onda, impõe que no referencial S’, as equações devem ter a mesma forma que a equação no referencial S.

2 

1  2 c 2 t 2

Substituindo os valores do laplaciano e da derivada temporal: A2 

2 2 2  2  2 2   2   2       E F C AC 2 x2 y2 z 2 t 2 xt 

2  2 1  2  2 2      B BD D 2   xt  t 2  c 2  x2

2 2  2 B 2   2 BD   2  2   2      F AC 2  A  2  2  E   y2 z 2 c  x c 2  xt     2 1  2  D 2  c 2C 2  2 t  c BD   AC  2  2  2 2 2 2 2    E F c    2  2 2 2 2 2 x  2 B  y  2 B  z   2 B 2  xt    A A   A  2    c2  c2  c     2 2 2 1  D  c C   2  2 c  2 B 2  t 2 A  2  c  

P á g i n a | 60 Impondo a invariância da forma da onda:

 2  2  2 1  2    x2 y2 z2 c 2 t 2 Podemos obter a transformação dos coeficientes por inspeção:

E2  2 B2  A  2  c  

D

2

 1,

 c 2C 2 

 2 B2  A  2  c  

 1,

F2  1,  2 B2  A  2  c   BD    AC  2   0 c  

A primeira equação e quarta equação podem ser escritas como, podemos escrever:  B2  E 2   A2  2  , c  

c 2 AC  BD

Substituindo esses valores nas outras duas equações: F 2  E2,

D

2

 c 2C 2   E 2

E as nossas quatro equações serão:  B2  E 2   A2  2  , c  

D

2

 c 2C 2   E 2 ,

F 2  E2, c 2 AC  BD

Temos quatro equações e seis coeficientes a serem determinados, sendo que E e F estão relacionados. Isso significa que o sistema tem

P á g i n a | 61 um grau de liberdade. Isso significa que podemos “fixar” um valor e determinar os demais coeficientes em função dessas variáveis. Portanto, existem infinitas soluções que satisfazem os postulados de Cunningham. Porém, por se tratar de um problema físico, existem condições não matemáticas que podem reduzir o número de graus do sistema. Embora não seja esse o caso, é interessante explorarmos as possíveis soluções desse sistema de equação. Observe que se tomarmos os incrementos diferenciais do espaço, nós obtemos:

dx  Adx  Bdt Tomando esse acréscimo igual a zero,

Adx  Bdt  0 dx B  dt A O razão no lado esquerdo representa a velocidade de deslocamento do sistema S’ em relação ao sistema S,

v 

B A

B   Av Substituindo essa relação na quarta equação dos coeficientes:

c 2 AC   ADv Dv C 2 c v2 C 2  4 D2 c Substituindo o valor de B na equação do coeficiente E,

P á g i n a | 62

 A2 v 2  E 2   A2  2  c   v2  2 2 E  A 1  2   c   v2  E  A 1  2   c  O termo na raiz quadrada é o inverso do fator de Lorentz,

E

A



Substituindo na equação de F,

F

A



Substituindo os valores que obtivemos na terceira equação, 2  2   A 2 v D c D2       4 c      c 2  2 A2 1  2  D  2   v 

D2

2



2

A2

2

DA

Portanto, a solução de nossas equações são:

A,

B  vA,

C

Av , c2

P á g i n a | 63

D  A,

E

A



,

A

F



Substituindo em nossas transformações lineares, obtemos:

x  A  x  vt 

y 

 vx  t  A  t  2   c 

z 

A

y

 A



z

Todas as nossas equações foram determinadas em função do coeficiente A. Perceba que qualquer que seja a nossa escolha para o coeficiente A é uma solução que satisfaz os dois postulados de Cunningham. Por exemplo, W. Voigt em 1887, impôs que a transformação da coordenada x deve-se ser galileana:

x  x  vt portanto, para obtermos a transformação de Voigt escolhemos o coeficiente A igual à unidade.

xw   x  vt 

yw 

 vx  tw   t  2   c 

z w 

1

 1



y z

Outras escolhas do coeficiente A nos conduzem a outros modelos. Se tomarmos A = l podemos obter o modelo de elétron de Abraham.

x   l  x  vt 

y  ly

 vx  t   l  t  2   c 

z   lz

P á g i n a | 64 No modelo de Abraham, tomamos l = 1, temos o modelo de elétron esférico e indeformável de Max Abraham. É fácil ver que essa condição implica em A = Portanto, o modelo de elétron de Abraham nos conduz diretamente as transformações de Voigt. Por meio dessa relação com o elétron de Abraham podemos interpretar a transformação de Voigt como “a transformação de coordenadas entre referenciais inerciais que preserva a geometria dos corpos”. Em 1905, Bucherer e Langevin propuseram que o elétron poderia sofrer uma contração devido ao movimento, desde que seu volume fosse mantido constante. No referencial S o elétron se comporta como uma esfera de R(1,1,1). No referencial S’, o elétron se torna um elispóide achatado. Nesse novo sistema as coordenadas no raio

1     A A A

serão R  , ,  . Vamos calcular qual deve ser o valor para que o volume do elétron seja o mesmo em todos os referenciais inerciais:

4 3 4 3 2 R  R 3 3 A 3 2  1 3 A 3 A 2 portanto, devemos escolher o coeficiente como A   2 3 . Nessas circunstâncias obtemos um novo tipo de transformação, que chamaremos de transformações de Langevin-Bucherer: x   2 3  x  vt 

y 

 vx  t   2 3  t  2   c 

z 

y

13 z

13

P á g i n a | 65 As transformações de Lorentz e de Langevin-Bucherer se relacionam pela regra:  ij   1/3ij

 23  23  v c ij    0  0 

 2 3v c 23

0 0

0 0

 1 3 0

      1/3  0 0 0

Podemos interpretar a transformação de Langevin-Bucherer como “a transformação de coordenadas entre referenciais inerciais que preserva o volume dos corpos”. O conjunto de todas as soluções para calcular as transformações que mantém a forma da onda invariante lineares em x e t, podem ser expressas por meio da seguinte Matrix de Brown.

 A  Av c i Kj   0   0

Av c A 0 0

0 0 A 0

0   0  0   A

Essa matriz se associa com a matriz de Lorentz pela relação:

 ij 

 i Kj A

Partindo das propriedades da matriz de Lorentz:

 ik  ik  I  ik  kj   ij  ik 1   ik   kj

P á g i n a | 66 Podemos obter as propriedades gerais da matriz de Brown: em especial vamos provar que para esse caso especial de linearidade nas variáveis x e t, somente é a transformação de Lorentz é compatível com o princípio da relatividade. A partir dessas relações podemos obter o equivalente para a matriz de Brown.

  i   k  i  K k  K j    j  A  A  2

  K   K kj   ij  A i k

Portanto, podemos definir a matriz inversa de Brown como: 2

2

  K ik    K kj  A

  K ki 1    K kj  A

Assim a matriz inversa de Brown é:

   i 1 Kj     

 

A

2

 A v 2  A 2

A v c 0 0 2

c

0 0

0   0 0    A 0  0  A  0

A covariância de Lorentz impõe que a métrica do espaço-tempo de Poincaré-Minkowski se transforme da seguinte forma:  ikil  lj  ij

Usando a relação entre as matrizes de Lorentz e Brown: 2

  K il   K lj  ij  A k i

P á g i n a | 67 A partir dessa propriedade vamos procurar os valores de A para qual relação acima forma um grupo. Para verificarmos esse fato, escreveremos a equação na forma matricial absoluta: 2

  K    K   A T

Para qualquer vetor do espaço de Brown, verifica-se a identidade: 2

  K   i  Vi    Ai 

Ki j  Ki  K j

T i

  i j   Ai  j

2

 K   Ki  j       2  i j T T  Ki K j    K j  Vi     Ai  j     T i j

Para que esta relação se mantenha verdadeira devemos supor que

 i j

Ai  j



 i j

Ai Aj   K  i  Ai  T i

2

   K Tj  j   Aj 

2     K  j Ki     

mas o termo em parêntesis é justamente a matriz  2

  K  i   Ki    Ai  T i

que é a nossa identidade fundamental.

P á g i n a | 68 Henri Poincaré demonstrou em 1905, para as transformações formarem um grupo e serem compatíveis com o princípio da relatividade, os fatores gama devem respeitar a seguinte propriedade:

 i  j   i j 1  vi v j c 2  Substituindo a relação dos fatores de Lorentz para transformações (endomorfismos) gerais:

 i j Ai Aj

  i j 1  vi v j c 2 

1  1  vi v j c 2  Ai Aj Ai Aj  1  vi v j c 2 

1

Para calcularmos o valor de A devemos fazer um dos índices ser igual ao aposto:

Ai Ai  1  vi vi c 2 

1

A2  1  v 2 c 2    2 1

Portanto, o único valor do coeficiente A que torna a transformação um automorfismo interno e, portanto, um grupo multiplicativo, compatível com o princípio da relatividade será:

A que é justamente o valor que nos leva a transformação de Lorentz usual. Essa é a mesma conclusão que Poincaré obteve em seu ensaio de 1905 e 1906.

P á g i n a | 69 H. O Teorema Adição das Velocidades Os resultados que obtivemos anteriormente permitem demonstrar que o Teorema Adição de Velocidades, descoberto por Henri Poincaré (1905, 1906) e por Albert Einstein (1905) não é uma consequência do Princípio da Relatividade, como se costuma dizer, mas uma consequência da linearidade das transformações de coordenadas e da invariância da forma da onda. Para demonstrar esse fato, tomemos a transformação geral de coordenadas que obtivemos:

x  A  x  vt 

y 

 vx  t  A  t  2   c 

z 

A

 A



y z

Tomando os diferenciais e evidenciando dt,

dx  Adt  u x  v 

dy 

 u v dt   Adt 1  x2  c  

dz 

A

 A



dy dz

Usando as definições convencionais de velocidade: ux 

dx , dt 

uy 

dy , dt 

uz 

dz dt 

E substituindo os valores, nós obtemos:

ux 

 ux  v   uxv  1  2  c  

uy 

uy  u v  1  x2  c  

uz 

uz  u v  1  x2  c  

P á g i n a | 70 que é a mesma lei deduzida por Poincaré e Einstein, só que não foi necessário se referir ao Princípio da Relatividade. É fácil ver que se um pulso de luz for emitido na direção x, sua velocidade continuará sendo a velocidade da luz em outro referencial inercial:

ux 

cv cv 1 2 c

 cv  ux  c    cv 





ux  c

No século XVIII, Fresnel calculou que a velocidade de um raio de luz c em um meio transparente com índice de refração n que se movesse a uma velocidade constante v, na mesma direção do raio, arrastaria parcialmente o éter. Mais precisamente, Fresnel deduziu que esse arrastamento seria dado pela seguinte equação, válida até a primeira ordem de v/c: c w   v n 1 com   1  2 , sendo o coeficiente de arrastamento de Fresnel. n

w

1 c   v 1  2  n  n 

Esse resultado foi confirmado por Fizeau em 1800 e repetido por Michelson e Morley em 1886. A teoria de Fresnel envolvia uma série de considerações e simplificações complicadas, mas na Teoria da Relatividade Especial, pode ser facialmente explicado por meio do teorema de adição de velocidades deduzido por Poincaré (1905, 1906) e Einstein (1905), w

uv  uv  1  2  c  

P á g i n a | 71 Substituindo u pela velocidade da luz no refringente: c    v n  w  cv   1  2   nc 

v  c  w    v 1   n  nc 



1

Como a fração v nc é sempre menor do que 1, podemos aplicar a expansão binomial. Para uma aproximação de primeira ordem, a fórmula da expansão é dada por:

v   1    nc 

1

1

v nc

Substituindo esse valor em nossa equação, obtemos: v  c  w    v  1   n   nc  c v v2 w v 2  n n nc

Como a velocidade da luz é muito maior que a velocidade de deslocamento do meio transparente, então podemos desprezar a última parcela. Evidenciando v, nós obtemos a seguinte lei:

w

c  v n

  1

1 n2

que é a lei de arrastamento de Fresnel. A análise de W. Voigt (1887) e a análise que empreendemos ao aplicar os postulados Cunningham também nos permite calcular esse arrastamento. Isso se deve ao fato que a adição das velocidades não é um fenômeno decorrente do princípio da relatividade, mas da linearidade das transformações e da forma invariante da equação da onda.

P á g i n a | 72 I.

Transformações Gerais de Lorentz

Até o presente momento, trabalhamos apenas com as transformações de Lorentz considerando que o movimento entre os referenciais inerciais fossem longitudinais. Agora, devemos generalizar essas transformações para o movimento inercial arbitrário. Definimos o vetor posição no espaço-tempo de Galileu pela seguinte equação paramétrica:

ro  r  vt ro  r   vt Vamos decompor o vetor posição em função de suas componentes longitudinal e transversal a velocidade da partícula em dois referenciais inerciais: v r  r  r v v r   r   r v como a componente longitudinal tem o mesmo sentido da velocidade, o versor da posição longitudinal pode ser definido em função da velocidade vetorial. Multiplicando a primeira equação por v: v v  v  r v v2 v r  r v v r  rv v r  r

r 

v  r  v

P á g i n a | 73 Substituindo esse valor na primeira equação,

r r

v  r  v

v  r v

v  r  v  r v2

r  r 



v  r  v v2

Com base nas transformações de Lorentz, descobrimos que as componentes transversais se mantém invariantes (LOGUNOV, 2005). Isso permite que escrevamos as seguintes transformações:

r     r  vt  v   t    t  2 r   c  r  r Vamos substituir a componente longitudinal na transformação do tempo:  v  r   t    t   c2  

Agora vamos substituir os valores da componente longitudinal e transversal em suas respectivas transformações:

 v  ro      v  ro   vt   

v

r 

 

v

 v  ro  v  r   v  ro  v v2

v2

P á g i n a | 74 Para obtermos as transformações gerais de Lorentz, vamos operar a segunda equação:   v  ro   v  v  ro  v r    r  v2  v v

Substituindo a transformação longitudinal no termo em colchetes:

 v  r  v v  r   vt   r  2 v r    v  v v  v  r  v   tv  r   v  r  v r   v2 v2 v  r   v  r  v   tv r  r  2 v   v v2 Evidenciando os fatores comuns, obtemos a transformação geral de Lorentz da posição:

r   r     1

 v  r  v   tv v2

Vamos verificar se essas transformações formam um grupo sobre a álgebra de Poincaré. Para isto devemos verificar se estas transformações mantém a forma quadrática invariante:

J 2  c 2t 2  r 2 Vamos verificar se essas transformações formam um grupo sobre a álgebra de Poincaré. Para isto devemos verificar se estas transformações mantém a forma quadrática invariante. Impondo a transformação do vetor posição: J 2  c 2t 2   ro  vt 

2

P á g i n a | 75 J 2  c 2t 2  ro  ro  2  ro  v   t  v  v  t 2 J 2  c 2t 2  ro2  2  ro  v  t  v 2  t 2

Evidenciando as componentes temporais ao quadrado:

 v2  J 2  c 2 1  2  t 2  ro2  2  ro  v   t  c  J2 

c 2t 2

2

 2  ro  v   t  ro2

Realizando a complementação de quadrados

J2 

c 2t 2



2

 2  ro  v   t 

 2t 2 c

2

 ro  v 

2

 ro2 

 2t 2 c

2

 ro  v 

2

2

r v  t 2 2 J  c    o 2   ro2  2  ro  v  c  c  2

2

Para que a forma quadrática seja invariante, temos que ter:

J 2  c2t 2  r 2 Vamos operar com a componente temporal. Inicialmente evidenciaremos o fator de Lorentz e substituir o valor de ro:

 t  r  vt   v  t    2   c2   2  t r v  v t  t    2   c2    t r  v v 2t  t    2  2  2  c c  

P á g i n a | 76   1 v2  r  v  t     2  2  t  2  c  c   

Observe que: 1

2 1

2

1   

v2 c2

v2 1 c2

Portanto, a transformação do tempo será:

 r v  t    t  2  c   Que é o resultado que havíamos encontrado anteriormente. Vamos obter uma relação envolvendo as coordenadas espaciais igualando as expressões do tempo:

t ro  v   r v    2    t  2  c  c    Multiplicando a expressão por c²/  c 2t   2 r v   2  ro  v    c t        c 2t 2 r  v   2 c t    r v    o   1  r v  ro  v c 2  2  1 t    

P á g i n a | 77  v2  r  v c2   2  t   ro  v   c 

  ro  v    r  v  v 2 t 

Agora vamos operar a parte espacial da forma quadrática: r 2  ro2 

2 c

2

 ro  v 

2

2 1 r  v  v 2 t  2  c 1 2 r 2   r 2  2  r  v  t  v 2t 2   2  r  v   2v 2  r  v  t  v 4 2t 2   c 

r 2   r  vt  

 v2   v2   r  v  r   r  2  r  v   1  2   t  v 2t 2  1  2  2   c2  c   c  2

2

2

Essa expressão pode ser fatorada, resultando em:

   r v   r    r     1  2 v    vt     v     r v   r    r     1  2 v    vt     v 

2

2

Isso prova que as transformações gerais de Lorentz do espaçotempo de Poincaré-Minkowski são:

r   r     1

 v  r  v   tv v2

 v  r   t    t   c2  

P á g i n a | 78 J.

A Transformação de Möbius

Dos resultados obtidos na seção anterior, poderíamos concluir que a formulação axiomática da Teoria da Relatividade depende apenas de três postulados: (a) O Princípio da Relatividade de Henri Poincaré (b) A equação de uma onda esférica é um invariante relativístico. (c) As transformações de coordenadas são funções lineares. Isso seria suficiente se todos os nossos coeficientes fossem números reais. Se assumirmos que nossos coeficientes são números complexos ou um corpo de números que forma uma álgebra de Lie não abeliana, é possível que existam outras transformações que satisfaçam esses três postulados. Todas nossas dificuldades pareciam superadas se impuséssemos que os coeficientes da transformação linear são números reais. Contudo, essa suposição é por demais arbitrária. Não há uma justificativa física imediata para assumir que nossos coeficientes não possam ser outra coisa senão número reais. Em outras palavras, esse postulado se tornaria uma hipótese ad hoc e não falsificável. Existe uma transformação especial, compatível com o Princípio da Relatividade, definida no corpo dos números complexos, denominada de Transformação de Möbius. Obtemos essa transformação por meio de isomorfismo de grupos de Lie. Observe que o grupo de Lorentz é um grupo do tipo SO+(1,3) e, como o grupo SL(2,C) define um mapa de spinores sobre SO+(1,3), então o grupo de Lorentz é isomórfico ao grupo de Möbius PSL(2,C). Vamos definir a ação do mapa sobre o espaço-tempo por meio da seguinte aplicação:

X

QXQ

P á g i n a | 79 onde X é uma matriz hemertiana e Q uma matriz de determinante unitário, definidas como:

 ct  z x  iy  † T X   X X X x  iy ct  z    Q 

  

    1

As condições impostas sobre X e Q fazem com que a aplicação preserve o determinante: det X

det  QXQ 

det X

 det Q  det X   det Q 

det X

det X

Essa transformação tem a mesma estrutura da transformação conforme de Möbius de uma esfera de Riemann C² e o plano complexo estendido:

w

w  w 

    1

O determinante da matriz X deve ser preservado, pois ele define o invariante da forma quadrática fundamental do espaço-tempo: det X   ct  z  ct  z    x  iy  x  iy  det X  c 2t 2  x 2  y 2  z 2

Portanto, a ação desse mapa é definida como:  ct   z x  iy    X     x  iy ct   z   

  ct  z x  iy         x  iy ct  z       

P á g i n a | 80 Vamos realizar o produto da primeira matriz pela segunda:

   ct  z     x  iy    x  iy     ct  z      X        ct  z     x  iy    x  iy     ct  z       Para reduzir o número de elementos, vamos denotar as entradas de matriz por A, B, C e D.  ct   z x  iy   A B    X      x  iy ct   z    C D   

  

Agora realizando o produto pela segunda matriz:  ct   z x  iy    A   B  A   B       x  iy ct   z    C   D  C   D 

Vamos calcular os elementos de cada entrada da matriz:

 A   B    ct  z     x  iy     x  iy     ct  z   A   B    ct  z     x  iy     x  iy     ct  z   C   D    ct  z     x  iy     x  iy     ct  z   C   D    ct  z     x  iy     x  iy     ct  z  Efetuando os produtos e evidenciando as coordenadas:

 A   B   2    ct      x  i      y   2    z  A   B       ct    2    x  i    2  y       z

 C   D      ct     2  x  i   2    y      z  C   D      2  ct       x  i     y      2  z Igualando as entradas das duas matrizes,

P á g i n a | 81 ct   z   2    ct      x  i      y   2    z x  iy       ct    2    x  i    2  y       z

x  iy      ct     2  x  i   2    y      z

ct   z      2  ct       x  i     y      2  z

Somando ou subtraindo as equações, podemos calcular as componentes da transformação: 2 2  ct   z      ct      x  i      y      z  2 2 ct   z       ct       x  i     y       z 2 2   x  iy       ct       x  i     y       z  2 2     x  iy      ct      x  i      y      z

Cada equação fornecerá uma quantidade elevada de parcelas, por isso iremos fazer os cálculos separados. Somando as duas primeiras equações obtemos a transformação de ct’, somando a terceira e a quarta equação obtemos a transformação de x’, e subtraindo esses pares de equação na transformação de y’ e z’:

2ct    2       2  ct          x   2 2 i          y          z 2x           ct    2       2  x   2 2 i         y           z

P á g i n a | 82

2iy           ct    2       2  x  `  2 2         i y z              2z   2       2  ct          x   2 2 i          y          z Para tornar as nossas equações mais compactas, iremos definir 16 coeficientes complexos para cada termo em parêntesis, de forma que nossas equações assuma a seguinte forma:

ct   A0ct  B0 x  iC0 y  D0 z x  A1ct  B1 x  iC1 y  D1 z

y  iA2ct  iB2 x  C2 y  iD2 z z  A3ct  B3 x  iC3 y  D3 z

Como o espaço de configuração das transformações de Lorentz apresenta seis graus de liberdade, o isomorfismo entre o grupo de Lorentz e Möbius exige que este último tenha o mesmo número de graus de liberdade. Para reduzir os coeficientes de transformação temos que levar em consideração que as variáveis x, y, z e t são números reais,

ct   Re  A0  ct  Re  B0  x  Re  iC0  y  Re  D0  z x  Re  A1  ct  Re  B1  x  Re  iC1  y  Re  D1  z y  Re  iA2  ct  Re  iB2  x  Re  C2  y  Re  iD2  z z   Re  A3  ct  Re  B3  x  Re  iC3  y  Re  D3  z A nossa condição de normalização impõe duas novas restrições: Re      1

Im      0

11   2 2  1 1   2  2  1

1 2   21  1 2   2 1  0

P á g i n a | 83 Agora calcularemos os coeficientes da transformação de Möbius:

2 A0   2       2 2 A0   2   2   1  i  2  1  i 2    1  i 2  1  i  2  Realizando a distribuição, chegamos a equação: 2A0   2   2   11   2  2  i 1 2  i  2 1    11   2  2  i 1 2  i  2 1 

Após o cancelamento dos fatores, a equação se reduz à: 2 A0   2   2  2  11   2  2  A0  12  2   2   11   2  2

Usando o mesmo processo, obteremos os 16 coeficientes:

A0 

1 2



2

  2   11   2  2

B0  11   2  2  11   2 2  C0  1 2   2 1  1 2   21  D0 

1 2



2

  2   i  1 2   2 1 

A1  11   2 2  1 1   2  2  B1  1 2   21   2 1  1  2  C1  1 1   2  2  11   2 2  D1  1 1   2  2  11   2 2 

P á g i n a | 84

A2   1 2   21   2 1  1  2  B2  11   2 2  1 1   2  2  C2   1  2   2 1  1 2   21  D2   1  2   2 1  1 2   21  A3 

1 2



2

  2   i  1 2   2 1 

B3  11   2  2  11   2 2  C3  1 2   2 1  1 2   21  D3 

1 2



2

  2    11   2  2 

Os nossos 16 coeficientes são funções de 8 coeficientes, que são restringido por duas equações (resultadas da normalização da matriz Q), portanto o número de graus de liberdade da transformação de Möbius são 6, que representam as componentes da velocidade e as coordenadas angulares para se especificar a latitude e a longitude de uma linha. A pergunta imediata após essa breve análise matemática, qual é a intepretação da transformação de Möbius? Dois observadores no mesmo ponto no espaço-tempo, mas com orientações e velocidades diferentes, "verão" os raios de luz que chegam de diferentes direções relativas em relação a seus próprios quadros de referência, em parte devido à rotação comum, e em parte ao efeito de aberração. Isto leva ao fato notável de que o efeito combinado de qualquer transformação de Lorentz ortocrônica (e homogênea) apropriada nos ângulos de incidência dos raios de luz em um ponto corresponde precisamente ao efeito de uma transformação fracionária linear particular na esfera de Riemann via projeção estereográfica comum de o plano complexo estendido. Roger Penrose descreveu isso como "o primeiro passo de uma poderosa correspondência entre a geometria da relatividade no espaço-

P á g i n a | 85 tempo e a geometria holomórfica de espaços complexos". O número complexo p no plano complexo estendido é identificado com o ponto p 'na esfera unitária que é atingido por uma linha do "Polo Norte" através de p. Desta forma, podemos identificar cada número complexo exclusivamente com um ponto na esfera e vice-versa. (O Polo Norte é identificado com o "ponto no infinito" do plano complexo estendido, por completo). Em relação a um observador localizado no centro da esfera de Riemann, cada ponto da esfera está em uma certa direção, e essas direções podem ser identificadas com as direções dos raios de luz que chegam em um ponto no espaço-tempo. Se aplicarmos uma transformação de Lorentz da forma (1) a este observador, especificada pelos quatro coeficientes complexos a, b, c, d, a mudança resultante nas direções dos raios de luz entrantes é dada exatamente pela aplicação da fração linear transformação (também conhecida como transformação Mobius) aos pontos do plano complexo estendido. (BROWN, 2017).

Assim, concluímos que o princípio da relatividade e os postulados sobre a equação da onda permitem determinar de maneira única a transformação de Lorentz, mas essa não é a única transformação compatível com o princípio da relatividade. Como existe um isomorfismo de grupos entre o grupo de Lorentz e o grupo de Möbius, podemos mapear o espaço-tempo com uma transformação de Möbius. Isso permite estabelecer uma relação entre objetos luminosos, como as estrelas, com os pontos no plano complexo estendido (por essa razão esse problema é conhecido como a descrição do céu noturno). Na próxima seção demonstraremos, por meio da tese de V. Fock, que essa divergência pode ser resolvida tomando como postulado o princípio da inércia (ou impondo que os isomorfismos sejam transformações afins).

P á g i n a | 86 K. O Princípio da Inércia Suponha que uma partícula se desloca no espaço-tempo, com velocidade menor que a da luz, Seja e1 um evento da partícula no espaço-tempo em um diagrama de Minkowski, definido como e1   ct1 , x1 , y1 , z1  . Seja e2   ct2 , x2 , y2 , z2  , um evento posterior no espaço-tempo com um vínculo casual com e1. Podemos traçar entre esses dois eventos uma linha que os conecte chamada de linha de mundo. Por hipótese, essa linha de mundo deve ser inercial. A transformação de Möbius age como um mapa sobre a transformação de Lorentz na variedade espaço-tempo.

w

w  w 

    1 Para definirmos as coordenadas de um evento no espaço-tempo, devemos procurar pontos no plano complexo que não produzem movimentos na esfera de Riemann. Essa transformação estacionária é a transformação identidade, definida como: w w 1  1  1,

2      2  0 Os nossos 16 coeficientes se tornam:

 A0   A1  A2   A3

B0 B1 B2 B3

C0 C1 C2 C3

D0   1  D1   0  D2   0   D3   0

0 1 0 0

0 0 1 0

0  0 0  1

P á g i n a | 87 Substituindo em nossa transformação de Lorentz, nós obtemos:

t  t x  x

y  y z  z

Essas são as coordenadas de um evento no espaço tempo. Sobre o significado físico das transformações de Möbius e sua relação entre as frentes de onda, Fock (1958, p. 383-384): As equações da frente de onda que são conservadas não levam, por si só, às transformações de Lorentz, uma vez que também permitem transformações de Mobius. Para remover este último, pode-se fazer a demanda adicional de que valores finitos das coordenadas iniciais levem a valores finitos dos transformados. Esse requisito adicional é satisfeito apenas se todas as constantes a* na transformação Mobius forem zero, tornando a transformação a identidade. Em vez desse requisito adicional, pode-se fazer outro, a saber, a condição de que o movimento retilíneo uniforme seja conservado (condição (a)); foi assim que procedemos no texto. Qualquer um desses requisitos adicionais leva unicamente à transformação de Lorentz, além de uma possível mudança de escala. Também é importante que a exigência de que as coordenadas permaneçam finitas se refere ao espaço-tempo como um todo, enquanto que a condição de conservação para o movimento uniforme da linha reta é estritamente local.

Em 1958, o físico russo V. Fock avaliou a estrutura axiomática da Teoria da Relatividade Especial e concluiu que era necessário rejeitar o segundo postulado de Einstein e enunciar dois novos postulados (FOCK, 1958, 377): a) Para um movimento retilíneo uniforme nas coordenadas (xI) deve corresponder um movimento da mesma natureza nas coordenadas (x'I) [Princípio da Inércia]

P á g i n a | 88 b) Para um movimento retilíneo uniforme com velocidade de luz nas coordenadas (xI) deve corresponder um movimento da mesma natureza nas coordenadas (xI).

A condição (b) é equivalente à condição: b') Para a equação da frente de onda nas coordenadas 1  2   2  2  2     0 c 2 t 2  x 2 y 2 z 2 

nas coordenadas (xI), deve corresponder exatamente tal equação deve corresponder exatamente tal equação nas coordenadas (x'I) Acrescentando o postulado de Henri Poincaré sobre o Princípio Universal da Relatividade, delimitamos que a Teoria da Relatividade é uma Teoria Covariante apenas em Lorentz. Portanto , podemos definir a teoria da relatividade rigorosamente como: “A teoria da relatividade é uma teoria covariante em Lorentz que preserva invariante a forma quadrática fundamental do espaçotempo, t² - x² - y² - z² e o movimento inercial em todos os referenciais inerciais.” Que deverá satisfazer 3 axiomas: a) Axioma de Poincaré: o princípio da relatividade b) Axioma de Voigt-Cunninghan: a forma invariante da onda c) Axioma de Fock: o princípio da inércia e a isotropia da luz Apesar da restrição imposta pelo teorema da Incompletude as teoria axiomáticas, esses postulados serão suficientes para deduzir os resultados obtidos por Lorentz, Poincaré, Einstein, Minkowski, Planck, Tolman, Lewis, Laue no período de 1898 e 1912.

P á g i n a | 89 L. Os Postulados de Painlevé Em 1922, o matemático francês Paul Painlevé publicou um livro intitulado Les Axiomes de la mecanique, provavelmente inspirado pela formulação axiomática de David Hilbert da geometria. Painléve analisou os axiomas fundamentais da mecânica clássica e os da teoria da relatividade (DUGAS, 2011). Ao penetrar no domínio da relatividade, Painléve (1922, p. 98) afirma que A teoria da relatividade repousa sobre o mesmo postulado fundamental que a mecânica clássica e a ótica de Fresnel; nomeadamente: O Postulado de Kepler-Fresnel. - É possível definir, uma vez por todas e para todo o universo, uma medida de tempo, uma medida de comprimento e um quadro de referência tal que 1) O movimento de cada partícula que é muito distante de todos os outros é retilíneo e uniforme (Princípio da inércia). 2) Longe de toda a matéria a propagação da luz é retilínea e uniforme e tem a mesma velocidade em todas as direções (Princípio de Fresnel). De acordo com a doutrina clássica este quadro de referência será aquele adotado pelo grupo de observadores em uma estrela A, que é muito distante de todas as outras e ", sem rotação em relação às estrelas fixas, se a velocidade absoluta desta estrela é zero. Mas os relativistas acrescentam o seguinte complemento essencial: Postulado da relatividade. - Se o postulado de Kepler-Fresnel é verdadeiro para os observadores da estrela A (escolhendo esta estrela como corpo de referência), também é verdade para os observadores de uma estrela B escolhendo esta estrela como corpo de referência.”

Se acrescentarmos o postulado de Cunningham sobre a invariância da forma da onda, então podemos estabelecer a teoria da

P á g i n a | 90 relatividade é uma teoria covariante em Lorentz onde se observa o princípio da inércia. Em síntese, podemos partir da construção da relatividade à partir de 3 axiomas: 1) O Princípio da Relatividade de Poincaré 2) O Postulado de Kepler-Fresnel. 3) O Postulado de Voigt-Cunningham É claro que o Teorema da Incompletude nos impõe que estes postulados não são suficientes para garantir uma teoria completa e consistente e por isso sejam necessários outros postulados adicionais para melhorar a convergência entre teoria e experiência, mas sem nunca atingir a completude. De fato, haverá sempre fatos em suspeição e verdades não demonstráveis pela estrutura da teoria. Mas esse não é um demérito apenas das teorias axiomáticas, é um demérito de todas teorias, pois não existem teorias completas. Assim, no melhor de nossos esforços devemos buscar teorias consistentes. Esses três axiomas satisfazem essa condição. M. As Engrenagens da Relatividade Após dessa análise, estamos em condição de verificar como cada axioma (engrenagem) contribuem para o funcionamento da máquina conhecida como Teoria da Relatividade Especial. Diferente de que alguns autores propagam, não há diferenças lógicas ou quantitativas entre a abordagem da relatividade de Einstein e a de Poincaré. Na formulação da Teoria da Relatividade Especial, o éter se torna um conceito metafísico cuja aceitação ou rejeição depende da visão epistemológica do pesquisador e não traz qualquer benefício ou prejuízo à teoria.Na tabela abaixo sintetizamos as contribuições dos vários axiomas que estudamos até agora:

P á g i n a | 91

TRANSFORMAÇÃO

Nenhum

VoigtCunningham

Poincaré

KeplerFresnel

Dilatação do Tempo

Teorema de Adição das Velocidades

Relatividade do espaço

Princípio da Inércia

Contração do Espaço

Simultaneidade relativa do tempo

Relatividade do Tempo

Princípio de Fresnel da luz

Lei geral da variação da massa pela velocidade

Invariância e a Constância da Velocidade da Luz

Grupos de Poincaré Euclides Galileu Möbius

Grupos de Poincaré, Euclides, Galileu

Infinitas, em particular:

Brown, em particular:

Galileu, Euclides, Lorentz e Möbius

Lorentz, Euclides, Galileu

Efeito

CONSEQUÊNCIAS

Postulado

Tangherlini -Lattes

Voigt, Lorentz e Möbius

Tabela: A contribuição de cada postulado para a construção da teoria da relatividade. Cada postulado acrescenta uma consequência e restringe as transformações possíveis. Em outras palavras, as consequências se compõe e as transformações se limitam.

P á g i n a | 92

2. Conceitos de Espaço A. Geometria: A Ciência do Espaço Poincaré define a geometria como um campo de estudos que não se esgota na matemática, mas tem um corpo disciplinado próprio e seria por si só uma ciência. A ciência do espaço. Por muito tempo, acreditou-se que a única geometria possível era aquela desenvolvida pelos povos balcânicos e compilada por Euclides. Com a descoberta da esfericidade da Terra, em algum momento no século IV a.C. houve o desenvolvimento da “geometria esférica” e uma “trigonometria esférica”. Registre que essa geometria não é aquela que atribuímos a Riemann, mas uma geometria euclidiana aplicada a superfície de uma esfera. Essa aplicação da geometria esférica mostrou-se extremamente útil no mapeamento do céu e para as navegações. Até hoje a compreensão da trigonometria esférica é essencial para astrônomos (semiprofissionais e profissionais), agrimensores e controladores de navegação marítima e área.

P á g i n a | 93 Somente no século XIX, o matemático húngaro János Bolyai e o matemático russo Nikolai Lobachevsky conseguiram, independentemente, desenvolver uma geometria genuinamente não euclidiana. Essa nova geometria foi denominada de hiperbólica e representou uma revolução no pensamento geométrico. Os axiomas da geometria euclidiana não eram os únicos com consistência lógica que poderíamos usar para expressar os objetos do espaço. Esta revolução, muitas questões apareceram, mas duas são fundamentais para nosso estudo da Relatividade: existem outras geometrias além da euclidiana e a hiperbólica? Qual é a geometria descreve do nosso espaço: euclidiana ou não euclidiana? 1.

Os Princípios Fundamentais da Geometria

A resposta da primeira pergunta foi dada pelo matemático alemão Bertrand Riemann que apresentou uma aula seminal denominada Os Fundamentos da Geometria para a Universidade Göttigen. Nesta palestra, Riemann introduziu os fundamentos do conceito de tensor métrico e tensor de curvatura, como a diferença dos desvios da variação de pontos que são deslocados paralelamente pela geometria. Cada métrica definiria uma geometria e os seus elementos como ângulo, linhas e congêneres. A palestra de Riemann é muitas vezes criticada pela sua falta de rigor, porém a explicação é bastante simples. Os principais resultados de Riemann se concentravam na análise e geometria complexa e teoria dos números. Riemann era professor assistente de F. Gauss, sua remuneração era pequena, vivendo em condições humildes com suas irmãs. Quando foi aberto a vaga de professor titular, Riemann se candidatou, porém, a prova exigia que o candidato apresentasse três trabalhos originais, em ordem de preferência. O primeiro trabalho que Riemann sugeriu era a respeito das condições de diferenciabilidade de funções complexas (condições de Cauchy- Riemann). O segundo trabalho era sobre teoria dos números e as raízes de polinômios complexos, envolvendo

P á g i n a | 94 a função Zeta de Riemann. Mas Riemann não tinha um terceiro trabalho. Apostando que seus avaliadores escolheriam o primeiro ou o segundo, Riemann indicou como terceiro trabalho uma ideia não desenvolvida: sobre os princípios fundamentais da geometria. Para a agonia e êxtase de Riemann, Gauss, que coordenava o processo, escolheu o terceiro tema. A partir da publicação do tema escolhido, o candidato teria apenas uma semana para preparar sua apresentação. Uma semana foi o tempo que Riemann teve que desenvolver sua hipótese. Riemann sabiamente priorizou os resultados fundamentais, ignorando o formalismo. Se há uma lição importante sobre a história de Riemann para o presente e para o futuro é a mesma que pronunciou Pierre Bourdieu aos historiadores: talvez hoje estejamos preocupados demais com o rigor e pouco com conteúdo. A arte de fazer ciência parece-me justamente esse equilíbrio delicado.

P á g i n a | 95 B. Os Fundamentos da Geometria Para discutir o conceito de geometria não-euclidianas, iremos recorrer aquele que junto com David Hilbert, pode ser considerado como maior especialista do século XIX e começo do século XX nesse assunto: Henri Poincaré. Os ensaios abaixo foram retirados do livro A Ciência e a Hipótese3 1 - As Geometrias Não-Euclidianas “Toda conclusão pressupõe premissas. Essas premissas são evidentes e não precisam de demonstração, ou podem ser estabelecidas somente se baseadas em outras proposições; e, como não podemos voltar deste modo ao infinito, toda ciência dedutiva, e geometria em particular, deve repousar sobre um certo número de axiomas indemonstráveis. Todos os tratados de geometria começam, portanto, com a enunciação desses axiomas. Mas há uma distinção a ser traçada entre eles. Algumas delas, por exemplo, “duas quantidades que são iguais a uma terceira são iguais entre si”, não são proposições da geometria, mas proposições da análise. Eu os vejo como juízos analíticos a priori, e eles não me preocupam mais. Mas devo insistir em outros axiomas que são especiais para a geometria. Destes muitos tratados, três são enunciados explicitamente: 1) Apenas uma reta pode passar por dois pontos; 2) uma linha reta é a menor distância entre dois pontos; 3) Através de um ponto, apenas uma reta paralela pode ser desenhada a uma reta dada. A primeira edição foi publicada em 1902. As edições posteriores contém alguns acréscimos. 3

P á g i n a | 96 Embora geralmente dispensemos a prova do segundo desses axiomas, seria possível deduzi-lo dos outros dois e daqueles axiomas muito mais numerosos que são implicitamente admitidos sem enunciação, como explicarei mais adiante. Durante muito tempo, uma prova do terceiro axioma conhecido como postulado de Euclides foi procurada em vão. É impossível imaginar os esforços que foram gastos na busca dessa quimera. Finalmente, no início do século XIX, e quase simultaneamente, dois cientistas, um russo e um húngaro, Lobachevsky e Bolyai, mostraram de forma irrefutável que essa prova é impossível. Eles quase nos livraram de inventores de geometrias sem um postulado, e desde então a Academia das Ciências recebe apenas uma ou duas novas demonstrações por ano. Mas a questão não se esgotou, e não demorou muito para que um grande passo fosse dado pelo célebre livro de memórias de Riemann, intitulado: Ueber die Hypothesen Welche der Geometrie zum Grüde liegen. Este pequeno trabalho inspirou a maioria dos recentes tratados aos quais me referirei mais tarde e entre os quais posso mencionar os de Beltrami e Helmholtz. A GEOMETRIA DE LOBACHEVSKY - Se fosse possível deduzir o postulado de Euclides a partir dos vários axiomas, é evidente que, rejeitando o postulado e retendo os outros axiomas, deveríamos ser levados a consequências contraditórias. Seria, portanto, impossível encontrar nessas premissas uma geometria coerente. Agora, isso é precisamente o que Lobachevsky fez. Ele assume desde o início que: Pode se fazer passar por um ponto várias paralelas através de um ponto dado;

P á g i n a | 97 No mais, e ele retém todos os outros axiomas de Euclides. A partir dessas hipóteses, ele deduz uma série de teoremas entre os quais é impossível encontrar qualquer contradição, e ele constrói uma geometria tão impecável em sua lógica quanto a geometria euclidiana. Os teoremas são muito diferentes, porém, daqueles aos quais estamos acostumados e, a princípio, serão um pouco desconcertantes. Por exemplo, a soma dos ângulos de um triângulo é sempre menor que dois ângulos retos, e a diferença entre essa soma e dois ângulos retos é proporcional à área do triângulo. É impossível construir uma figura semelhante a uma determinada figura, mas de dimensões diferentes. Se a circunferência de um círculo é dividida em n partes iguais e as tangentes são desenhadas nos pontos de intersecção, os n tangentes formarão um polígono se o raio do círculo for pequeno o suficiente, mas se o raio for grande o suficiente, eles nunca se encontrarão. Não precisamos multiplicar esses exemplos. As proposições de Lobaschevsky não têm relação com as de Euclides, mas são logicamente interconectadas. A GEOMETRIA DE RIEMANN – Imaginemos para nós mesmos um mundo apenas povoado de seres sem espessura, e suponhamos que esses animais “infinitamente planos” estejam todos no mesmo plano, do qual não podem emergir. Vamos admitir ainda que este mundo está suficientemente distante de outros mundos para ser retirado de sua influência, e enquanto estamos fazendo essas hipóteses, não nos custará muito dotarmos esses seres de poder de raciocínio, e acreditá-los capazes de fazer uma geometria. Nesse caso, eles certamente atribuirão ao espaço apenas duas dimensões. .

P á g i n a | 98 Mas agora suponha que esses animais imaginários, embora permaneçam sem espessura, tenham a forma de uma figura esférica, e não de uma figura plana, e estejam todos na mesma esfera, da qual não podem escapar. Que tipo de geometria eles vão construir? Em primeiro lugar, é claro que eles atribuirão ao espaço apenas duas dimensões. A linha reta para eles será a menor distância de um ponto da esfera a outro - isto é, um arco de um grande círculo. Em uma palavra, sua geometria será geometria esférica. O que eles chamarão de espaço será a esfera na qual eles estão confinados, e na qual ocorrem todos os fenômenos com os quais eles estão familiarizados. Seu espaço será, portanto, ilimitado, já que em uma esfera pode-se sempre andar para a frente sem nunca ser parado, e ainda assim será finito; o fim nunca será encontrado, mas a turnê completa pode ser feita. Pois bem, a geometria de Riemann é uma geometria esférica estendida a três dimensões. Para construí-lo, o matemático alemão tinha antes de tudo de jogar fora, não apenas o postulado de Euclides, mas também o primeiro axioma: Apenas uma reta pode passar por dois pontos. Em uma esfera, através de dois pontos dados, podemos, em geral, desenhar apenas um grande círculo que, como acabamos de ver, seria para nossos seres imaginários uma linha reta. Mas houve uma exceção. Se os dois pontos dados estão nas extremidades de um diâmetro, um número infinito de grandes círculos pode ser desenhado através deles. Da mesma forma, na geometria de Riemann - pelo menos em uma de suas formas - através de dois pontos, apenas uma linha reta pode ser desenhada em geral, mas há casos excepcionais em que através de dois pontos um número infinito de linhas retas pode ser traçado.

P á g i n a | 99 Portanto, há uma espécie de oposição entre as geometrias de Riemann e Lobachevsky. Por exemplo, a soma dos ângulos de um triângulo é: Igual a dois ângulos retos na geometria de Euclides. Menor que dois ângulos retos, na de Lobachevsky Maior que dois ângulos retos, na de Riemann. O número de retas paralelas que podem ser traçadas através de um dado ponto é igual a: Uma na geometria de Euclides. Nenhuma na de Riemann. Um número infinito na geometria de Lobachevsky. Acrescentemos que o espaço de Riemann é finito, embora ilimitado no sentido que atribuímos acima a essas palavras. AS SUPERFÍCIES DE CURVATURA CONSTANTE – Uma objeção, no entanto, continua sendo possível. Não há contradição entre os teoremas de Lobachevsky e Riemann; mas, por mais numerosas que sejam as outras consequências que esses geômetras deduziram de suas hipóteses, elas tiveram que deter seu curso antes de esgotá-las todas, pois o número seria infinito; e quem pode dizer que, se tivessem levado suas deduções mais longe, não teriam alcançado alguma contradição? . Essa dificuldade não existe para a geometria de Riemann, desde que seja limitada a duas dimensões. Como vimos, a geometria bidimensional de Riemann, na verdade, não difere da geometria esférica, que é apenas um ramo da geometria comum e, portanto, está fora de toda contradição. Beltrami, mostrando que a geometria

P á g i n a | 100 bidimensional de Lobachevsky era apenas um ramo da geometria comum, refutou igualmente a objeção no que lhe diz respeito. Este é o curso de seu argumento: vamos considerar qualquer figura em uma superfície. Imagine esta figura a ser traçada sobre uma tela flexível e inextensível aplicada à superfície, de tal maneira que quando a tela é deslocada e deformada as diferentes linhas da figura mudam de forma sem alterar seu comprimento. Como regra, essa figura flexível e inextensível não pode ser deslocada sem sair da superfície. Mas existem certas superfícies para as quais tal movimento seria possível. São superfícies de curvatura constante. Se retomarmos a comparação que fizemos agora, e imaginarmos seres sem espessura vivendo em uma dessas superfícies, eles considerarão como possível o movimento de uma figura de que todas as linhas permanecem de comprimento constante. Tal movimento pareceria absurdo, por outro lado, a animais sem espessura que vivem em uma superfície de curvatura variável. Essas superfícies de curvatura constante são de dois tipos: Algumas apresentam curvatura positiva, e eles podem ser deformados de modo a serem aplicados a uma esfera. A geometria dessas superfícies é, portanto, reduzida à geometria esférica, ou seja, a de Riemann. Algumas apresentam curvatura negativa. Beltrami mostrou que a geometria dessas superfícies é idêntica à de Lobatschewsky. Assim, as geometrias bidimensionais de Riemann e Lobatschewsky estão ligadas à geometria euclidiana. INTERPRETAÇÃO DAS GEOMETRIAS NÃOEUCLIDIANAS – Assim, desaparece a objeção no que diz respeito às geometrias bidimensionais. .

P á g i n a | 101 Seria fácil estender o raciocínio de Beltrami a geometrias tridimensionais, e mentes que não recuariam diante do espaço de quatro dimensões não verão nenhuma dificuldade nele; mas essas mentes são poucas em número. Eu prefiro, então, proceder do contrário. Vamos considerar um certo plano, que eu chamarei de plano fundamental, e vamos construir um tipo de dicionário fazendo uma série dupla de termos escritos em duas colunas, e correspondendo cada um a cada um, assim como em dicionários comuns as palavras nas duas línguas correspondem entre si e por isso têm a mesma significação: Espaço.................................... A porção do espaço situada acima do plano fundamental. Plano.............................................. Esfera cortando ortogonalmente o plano fundamental. Reta............................................... Círculo cortando ortogonalmente o plano fundamental. Esfera...................................................................................... Esfera. Círculo.................................................................................. Círculo. Ângulo................................................................................... Ângulo. Distância entre dois pontos............................. Logaritmo da relação anarmônica desses dois pontos e da intersecção do plano fundamental com o círculo passando por esses dois pontos e cortando-o ortogonalmente. Vamos agora pegar os teoremas de Lobachevsky e traduzi-los com a ajuda desse dicionário, pois traduziríamos um texto em

P á g i n a | 102 alemão com a ajuda de um dicionário alemão-francês. Nós então obteremos os teoremas da geometria ordinária. Por exemplo, o teorema de Lobachevsky: "A soma dos ângulos de um triângulo é menor que dois ângulos retos" pode ser traduzido assim: "Se um triângulo curvilíneo tem para seus lados arcos de círculos que se produzidos cortariam ortogonalmente o plano fundamental, a soma dos ângulos deste triângulo curvilíneo será menor que dois ângulos retos”. Assim, por mais que as consequências das hipóteses de Lobachevsky sejam levadas em conta, elas nunca levarão a uma contradição; de fato, se dois dos teoremas de Lobachevsky fossem contraditórios, as traduções desses dois teoremas feitos pela ajuda de nosso dicionário também seriam contraditórias. Mas essas traduções são teoremas da geometria comum, e ninguém duvida que a geometria comum esteja isenta de contradição. De onde a certeza é derivada e até que ponto ela é justificada? Essa é uma questão sobre a qual não posso entrar aqui, mas é uma questão muito interessante, e acho que não é insolúvel. Nada, portanto, resta da objeção que formulei acima. Mas isto não é tudo. A geometria de Lobatschewsky sendo suscetível de uma interpretação concreta, deixa de ser um exercício lógico inútil e pode ser aplicada. Não tenho tempo aqui para lidar com esses aplicativos, nem com o que Herr Klein e eu fizemos ao usá-los na integração de equações lineares. Além disso, essa interpretação não é única, e vários dicionários podem ser construídos de forma análoga àquela acima, o que nos permitirá, por meio de uma simples tradução, converter os teoremas de Lobachevsky em teoremas da geometria comum. OS AXIOMAS IMPLÍCITOS – Os axiomas implicitamente enunciados em nossos livros de texto são a única base da geometria? Podemos ter certeza do contrário quando vemos que, quando são

P á g i n a | 103 abandonados um após o outro, ainda restam algumas proposições comuns às geometrias de Euclides, Lobachevsky e Riemann. Essas proposições devem basear-se em premissas que os geômetras admitem sem enunciação. É interessante tentar extraí-los das provas clássicas. John Stuart Mill afirmou que toda definição contém um axioma, porque definindo afirmamos implicitamente a existência do objeto definido. Isso está indo longe demais. É raro na matemática que uma definição é dada sem que a prova da existência do objeto definido seja seguida e, quando isso não é feito, geralmente é porque o leitor pode facilmente fornecê-la; e não se deve esquecer que a palavra “existência” não tem o mesmo significado quando se refere a uma entidade matemática como quando se refere a um objeto material. Uma entidade matemática existe desde que não haja contradição implícita em sua definição, seja em si mesma, seja com as proposições anteriormente admitidas. Mas se a observação de John Stuart Mill não puder ser aplicada a todas as definições, ela não é menos verdade para algumas delas. Às vezes, um plano é definido da seguinte maneira: - O plano é uma superfície tal que a linha que une dois pontos sobre ela está inteiramente sobre a superfície. Agora, há obviamente um novo axioma escondido nesta definição. É verdade que podemos mudá-lo, e isso seria preferível, mas então deveríamos ter que enunciar explicitamente o axioma. Outras definições podem dar origem a reflexões não menos importantes, como, por exemplo, a da igualdade de duas figuras. Duas figuras são iguais quando podem ser superpostas. Para superálos, um deles deve ser deslocado até coincidir com o outro. Mas como deve ser deslocado? Se fizéssemos essa pergunta, sem dúvida deveríamos dizer que ela deveria ser feita sem deformá-la, e como

P á g i n a | 104 um sólido invariável é deslocado. O círculo vicioso seria então evidente. De fato, essa definição não define nada. Não tem sentido para um ser vivendo em um mundo em que há apenas fluidos. Se nos parece claro, é porque estamos acostumados às propriedades dos sólidos naturais, que não diferem muito das dos sólidos ideais, cujas dimensões são invariáveis. No entanto, por mais imperfeita que seja, essa definição implica um axioma. A possibilidade do movimento de uma figura invariável não é uma verdade auto evidente. Pelo menos é só assim na aplicação ao postulado de Euclides, e não como um juízo analítico a priori. Além disso, quando estudamos as definições e as provas da geometria, vemos que somos compelidos a admitir sem provas não apenas a possibilidade desse movimento, mas também algumas de suas propriedades. Este primeiro surge na definição da linha reta. Muitas definições defeituosas foram dadas, mas a verdadeira é aquela que é entendida em todas as provas em que a linha reta intervém. “Pode acontecer que o movimento de uma figura invariável possa ser tal que todos os pontos de uma linha que pertencem à figura estejam imóveis, enquanto todos os pontos situados fora dessa linha estão em movimento. Tal linha seria chamada linha reta”. Nós deliberadamente nesta enunciação separamos a definição do axioma que ela implica. Muitas provas, como as dos casos da igualdade dos triângulos, da possibilidade de traçar uma perpendicular de um ponto a uma linha reta, assumem proposições cujas enunciações são dispensadas, pois implicam necessariamente que é possível mover uma figura no espaço de uma certa maneira. A QUARTA GEOMETRIA – Entre esses axiomas explícitos há um que me parece merecer alguma atenção, porque quando o

P á g i n a | 105 abandonamos podemos construir uma quarta geometria tão coerente quanto a de Euclides, Lobachevsky e Riemann. Para provar que sempre podemos traçar uma perpendicular em um ponto A até uma linha reta AB, consideramos uma linha reta AC móvel em torno do ponto A e inicialmente idêntica à linha reta fixa AB. Podemos, então, fazer com que ele gire sobre o ponto A até que ele esteja em AB produzido. Assim, assumimos duas proposições - primeiro, que tal rotação é possível e, então, que ela pode continuar até que as duas linhas se encontrem na outra produzida. Se o primeiro ponto é concedido e o segundo rejeitado, somos levados a uma série de teoremas ainda mais estranhos do que os de Lobachevsky e Riemann, mas igualmente livres de contradições. Eu darei apenas um desses teoremas, e não escolherei o menos notável deles. Uma linha reta real pode ser perpendicular a si mesma.4 O TEOREMA DE LIE – O número de axiomas implicitamente introduzidos em provas clássicas é maior que o necessário, e seria interessante reduzi-los a um mínimo. Pode-se perguntar, em primeiro lugar, se essa redução é possível - se o número de axiomas necessários e o de geometrias imagináveis não é infinito? Um teorema devido a Sophus Lie é de grande importância nesta discussão. Pode ser enunciado da seguinte maneira: - Suponha que as seguintes premissas sejam admitidas: 1º - O espaço tem n dimensões;

As tétradas nulas são exemplos de retas reais ou imaginárias que são perpendiculares a si mesma. Veremos essa propriedade mais adiante. 4

P á g i n a | 106 2º - O movimento de uma figura invariável é possível; 3º - São necessárias p condições para determinar a posição dessa figura no espaço. O número de geometrias compatíveis com essas premissas será limitado. Posso até acrescentar que se n for dado, um limite superior pode ser atribuído a p. Se, portanto, a possibilidade do movimento é concedida, só podemos inventar um número finito e até mesmo restrito de geometrias tridimensionais. AS GEOMETRIAS DE RIEMANN – No entanto, este resultado parece contradito por Riemann, pois esse cientista constrói um número infinito de geometrias, e aquele ao qual seu nome é normalmente anexado é apenas um caso particular delas. Tudo depende, diz ele, da maneira como o comprimento de uma curva é definido. Agora, há um número infinito de maneiras de definir esse comprimento, e cada uma delas pode ser o ponto inicial de uma nova geometria. Isso é perfeitamente verdade, mas a maioria dessas definições é incompatível com o movimento de uma figura variável, como supomos ser possível no teorema de Lie. Essas geometrias de Riemann, tão interessantes por vários motivos, nunca podem ser, portanto, puramente analíticas, e não se prestariam a provas análogas às de Euclides. AS GEOMETRIAS DE HILBERT – Enfim, Veronese e Hilbert imaginaram novas geometrias, ainda mais estranhas, que chamaram não-arquimedianas. Eles construíram rejeitando o axioma de Arquimedes em virtude do qual todo comprimento dado, multiplicado por um inteiro suficientemente grande, acabará por superar todo outro comprimento dado por meio que seja. Numa reta

P á g i n a | 107 não-arquimediana existem todos os pontos de nossa Geometria comum, mas há uma infinidade de outros que vêm se colocar entre eles de tal modo que, entre dois segmentos, os geômetras da velha escola teriam considerado como contíguos, podemos alojar uma infinidade de novos pontos. Resumindo, o espaço não-arquimediano não é mais um contínuo de segunda ordem, mas um contínuo da terceira ordem. DA NATUREZA DOS AXIOMAS – A maioria dos matemáticos considera a geometria de Lobachevsky como uma mera curiosidade lógica. Alguns deles, no entanto, foram mais longe. Se várias geometrias são possíveis, eles dizem, é certo que nossa geometria é a que é verdadeira? A experiência, sem dúvida, nos ensina que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos, mas isso ocorre porque os triângulos com os quais lidamos são muito pequenos. De acordo com Lobachevsky, a diferença é proporcional à área do triângulo, e isso não se tornará sensível quando operamos em triângulos muito maiores e quando nossas medições se tornam mais precisas? A geometria de Euclides seria, portanto, uma geometria provisória. Agora, para discutir essa visão, devemos antes de mais nos perguntar: qual é a natureza dos axiomas geométricos? Eles são juízos sintéticas a priori, como afirmou Kant? Eles seriam então impostos a nós com tal força que não poderíamos conceber a proposição contrária, nem poderíamos construir nela um edifício teórico. Não haveria geometria nãoeuclidiana. Para nos convencer disso, tomemos uma verdadeira intuição sintética a priori - a seguinte, por exemplo, que desempenhou um papel importante no primeiro capítulo:

P á g i n a | 108 Se um teorema for verdadeiro para o número 1, e se tiver sido provado que é verdade den + 1, desde que seja verdade de n, será verdadeiro para todos os inteiros positivos. Em seguida, tentemos nos livrar disso e, embora rejeitemos essa proposição, construamos uma falsa aritmética análoga à geometria não-euclidiana. Nós não poderemos fazê-lo. Seremos tentados desde o início a considerar esses juízos como analíticas. Além disso, para retomar nossa ficção de animais sem espessura, dificilmente podemos admitir que esses seres, se suas mentes são como as nossas, adotariam a geometria euclidiana, o que seria contradito por toda a sua experiência. Devemos, então, concluir que os axiomas da geometria são verdades experimentais? Mas não fazemos experiências em linhas ideais ou círculos ideais; nós só podemos fazê-los em objetos materiais. Em que, portanto, experiências servindo de base para a geometria seriam baseados? A resposta é fácil. Vimos acima que nós constantemente raciocinamos como se as figuras geométricas se comportassem como sólidos. O que a geometria emprestaria da experiência seria, portanto, as propriedades desses corpos. As propriedades da luz e sua propagação em linha reta também deram origem a algumas das proposições da geometria, e em particular aos da geometria projetiva, de modo que a partir desse ponto de vista se poderia ser tentado a dizer que a geometria métrica é o estudo de sólidos e geometria projetiva da luz. Mas uma dificuldade permanece e é insuperável. Se a geometria fosse uma ciência experimental, não seria uma ciência exata. Estaria sujeito a revisão contínua. Mais do que isso, seria provado ser errôneo, pois sabemos que não existe um sólido rigorosamente invariável.

P á g i n a | 109 Os axiomas geométricos, portanto, não são nem sintéticos nem juízos a priori nem fatos experimentais. Elas são convenções. Nossa escolha entre todas as convenções possíveis é guiada por fatos experimentais; mas permanece livre, e só é limitado pela necessidade de evitar toda contradição, e assim é que os postulados podem permanecer rigorosamente verdadeiros mesmo quando as leis experimentais que determinaram sua adoção são apenas aproximadas. Em outras palavras, os axiomas da geometria (não falo dos da aritmética) são apenas definições disfarçadas. Então, o que devemos pensar da questão: a geometria euclidiana é verdadeira? Ela não tem nenhum sentido. Poderíamos também perguntar se o sistema métrico é verdadeiro e se os pesos e medidas antigos são falsos; se as coordenadas cartesianas forem verdadeiras e as coordenadas polares forem falsas. Uma geometria não pode ser mais verdadeira que outra; só pode ser mais conveniente. Agora, a geometria euclidiana é, e continuará sendo, a mais conveniente5: 1º - Porque é a mais simples, e não é só por causa de nossos hábitos mentais ou pelo tipo de intuição direta que temos do espaço euclidiano; é o mais simples em si, assim como um polinômio de primeiro grau é mais simples que um polinômio de segundo grau;

Pouco tempo depois o próprio Poincaré demonstrou que a geometria mais cômoda para o espaço-tempo é a hiperbólica. Isso não invalida a tese convencionalista de Poincaré, apenas sua aposta que sempre optaríamos pela geometria euclidiana.

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P á g i n a | 110 2º - Porque concorda suficientemente com as propriedades dos sólidos naturais, aqueles corpos que podemos comparar e medir por meio de nossos sentidos. 2 - Experiência e Geometria Vamos começar com um pequeno paradoxo. Seres cujas mentes foram feitas como as nossas, e com sentidos como os nossos, mas sem nenhuma educação preliminar, poderiam receber de um mundo externo adequadamente escolhido impressões que os levariam a construir uma geometria diferente da de Euclides e a localizar os fenômenos desse mundo exterior em um espaço não euclidiano, ou mesmo em um espaço de quatro dimensões. Quanto a nós, cuja educação foi feita pelo nosso mundo atual, se subitamente formos transportados para este novo mundo, não teremos dificuldade em referir fenômenos ao nosso espaço euclidiano. E até mais: com um pouco de esforço, nós também poderíamos fazer, Talvez alguém possa aparecer em cena algum dia que dedique a sua vida a isso e seja capaz de representar para si a quarta dimensão. O ESPAÇO GEOMÉTRICO E O ESPAÇO REPRESENTATIVO – Costuma-se dizer que as imagens que formamos de objetos externos estão localizadas no espaço e mesmo que só possam ser formadas nessa condição. Diz-se também que esse espaço, que serve como um tipo de estrutura preparada para nossas sensações e representações, é idêntico ao espaço dos geômetras, possuindo todas as propriedades desse espaço. Para todos os homens de cabeça clara que pensam dessa maneira, a afirmação anterior pode parecer extraordinária; mas também é bom

P á g i n a | 111 verificar se elas não são vítimas de alguma ilusão que uma análise mais detalhada possa dissipar. Em primeiro lugar, quais são as propriedades do espaço apropriadamente chamadas? Refiro-me àquele espaço que é o objeto da geometria e que chamarei de espaço geométrico. Os seguintes são alguns dos mais essenciais: 1º É contínuo. 2º É infinito. 3º É de três dimensões. 4º É homogêneo - ou seja, todos os seus pontos são idênticos um ao outro; 5º É isotrópico. Compare isso agora com a estrutura de nossas representações e sensações, que posso chamar de espaço representativo. O ESPAÇO VISUAL – Antes de tudo, vamos considerar uma impressão puramente visual, devido a uma imagem formada na parte de trás da retina. Uma análise superficial nos mostra essa imagem como contínua, mas possuindo apenas duas dimensões, que já distinguem puramente visual do que pode ser chamado de espaço geométrico. Por outro lado, a imagem é colocada dentro de uma estrutura limitada; e há uma diferença não menos importante: esse espaço visual puro não é homogêneo. Todos os pontos da retina, além das imagens que podem ser formadas, não desempenham o mesmo papel. A mancha amarela não pode de forma alguma ser considerada idêntica a um ponto na borda da retina. Não apenas o mesmo objeto produz impressões muito mais

P á g i n a | 112 brilhantes, mas em toda a estrutura limitada ao ponto que ocupa o centro não parecerá idêntico a um ponto próximo a uma das bordas. Uma análise mais detalhada, sem dúvida, nos mostraria que essa continuidade do espaço visual e suas duas dimensões são apenas uma ilusão. Isso tornaria o espaço visual ainda mais diferente do que antes do espaço geométrico, mas podemos tratar essa observação como incidental. No entanto, a visão nos permite apreciar a distância e, portanto, perceber uma terceira dimensão. Mas todos sabem que essa percepção da terceira dimensão se reduz a uma sensação de esforço de acomodação que deve ser feita e a uma convergência dos dois olhos, que deve ocorrer para perceber um objeto distintamente. Essas são sensações musculares bem diferentes das sensações visuais que nos deram o conceito das duas primeiras dimensões. A terceira dimensão, portanto, não nos parece desempenhar o mesmo papel que as outras duas. O que pode ser chamado de espaço visual completo não é, portanto, um espaço isotrópico. É verdade que tem exatamente três dimensões; o que significa que os elementos de nossas sensações visuais (aqueles que pelo menos concordam em formar o conceito de extensão) serão completamente definidos se conhecermos três deles; ou, na linguagem matemática, serão funções de três variáveis independentes. Mas vamos olhar o assunto um pouco mais de perto. A terceira dimensão nos é revelada de duas maneiras diferentes: pelo esforço de acomodação e pela convergência dos olhos. Sem dúvida, essas duas indicações estão sempre em harmonia; existe entre eles uma relação constante; ou, na linguagem matemática, as duas variáveis que medem essas duas sensações musculares não nos parecem independentes.

P á g i n a | 113 Ou, novamente, para evitar um apelo a ideias matemáticas que já são refinadas demais, podemos voltar à linguagem do capítulo anterior e enunciar o mesmo fato da seguinte maneira: - Se duas sensações de convergência A e B são indistinguíveis, a duas sensações de acomodação A’ e B’ que as acompanham respectivamente também serão indistinguíveis. Mas isso é, por assim dizer, um fato experimental. Nada nos impede a priori de assumir o contrário, e se o contrário ocorrer, se essas duas sensações musculares variarem independentemente, devemos levar em conta mais uma variável independente e o espaço visual completo nos parecerá como um continuum físico de quatro dimensões. E assim também há um fato de experiência externa. Nada nos impede de supor que um ser com uma mente como a nossa, com os mesmos órgãos dos sentidos que nós mesmos, possa ser colocado em um mundo em que a luz só o alcançaria depois de passar por meios refratários de forma complicada. As duas indicações que nos permitem apreciar distâncias deixariam de ser conectadas por uma relação constante. Um ser que educa seus sentidos em um mundo assim sem dúvida atribuiria quatro dimensões para completar o espaço visual. O ESPAÇO TÁTIL E O ESPAÇO MOTOR – “Espaço tátil” ainda é mais complicado que o espaço visual e difere ainda mais amplamente do espaço geométrico. É inútil repetir para o sentido do tato minhas observações sobre o sentido da visão. Mas fora dos dados da visão e do toque, há outras sensações que contribuem tanto e mais do que contribuem para a gênese do conceito de espaço. Eles são aqueles que todo mundo conhece, que acompanham todos os nossos movimentos e que geralmente chamamos de sensações musculares.

P á g i n a | 114 A estrutura correspondente constitui o que pode ser chamado de espaço motor. Cada músculo gera uma sensação especial que pode ser aumentada ou diminuída, de modo que o conjunto de nossas sensações musculares dependerá de tantas variáveis quanto os músculos. Desse ponto de vista, o espaço motor teria tantas dimensões quanto os músculos. Eu sei que se diz que se as sensações musculares contribuem para formar o conceito de espaço, é porque temos o sentido da direção de cada movimento, e isso é parte integrante da sensação. Se assim fosse, e se um sentido muscular não pudesse ser despertado, a menos que fosse acompanhado por esse senso geométrico de direção, o espaço geométrico certamente seria uma forma imposta à nossa sensibilidade. Mas não vejo isso quando analiso minhas sensações. O que vejo é que as sensações que correspondem a movimentos na mesma direção estão conectadas em minha mente por uma simples associação de ideias. É a essa associação que o que chamamos de senso de direção é reduzido. Não podemos, portanto, descobrir esse sentido em uma única sensação. Essa associação é extremamente complexa, pois a contração do mesmo músculo pode corresponder, de acordo com a posição dos membros, a movimentos com direção muito diferentes. Além disso, é evidentemente adquirido; é como todas as associações de ideias, resultado de um hábito. Esse hábito em si é o resultado de um número muito grande de experiências e, sem dúvida, se a educação de nossos sentidos tivesse ocorrido em um meio diferente, onde teríamos sido submetidos a impressões diferentes, então hábitos contrários teriam sido adquiridos, e nossas sensações musculares teriam sido associadas de acordo com outras leis.

P á g i n a | 115 CARACTERÍSTICAS DO ESPAÇO REPRESENTATIVO – Assim, o espaço representativo em sua forma tripla - visual, tátil e motor - difere essencialmente do espaço geométrico. Não é homogêneo nem isotrópico; nem podemos dizer que tenha três dimensões. Costuma-se dizer que “projetamos” no espaço geométrico os objetos de nossa percepção externa; que nós os “localizamos”. Agora, isso tem algum significado? Em caso afirmativo, qual é esse significado? Significa que representamos para nós objetos externos no espaço geométrico? Nossas representações são apenas a reprodução de nossas sensações; eles não podem, portanto, ser organizados na mesma estrutura - ou seja, no espaço representativo. Também é tão impossível para nós representar objetos externos no espaço geométrico, como é impossível para um pintor pintar em uma superfície plana objetos com suas três dimensões. O espaço representativo é apenas uma imagem do espaço geométrico, uma imagem deformada por um tipo de perspectiva, e só podemos representar objetos para nós mesmos fazendo-os obedecer às leis dessa perspectiva. Assim, não representamos para nós corpos externos no espaço geométrico, mas raciocinamos sobre esses corpos como se estivessem situados no espaço geométrico. Quando se diz, por outro lado, que “localizamos” esse objeto em tal ponto do espaço, o que isso significa? Significa simplesmente que representamos para nós mesmos os movimentos que devem ocorrer para alcançar esse objeto. E isso não significa que, para representar a nós mesmos esses movimentos, eles

P á g i n a | 116 devem ser projetados no espaço, e que o conceito de espaço deve, portanto, preexistir. Quando digo que representamos para nós mesmos esses movimentos, quero apenas dizer que representamos para nós mesmos as sensações musculares que os acompanham e que não têm caráter geométrico e, portanto, de modo algum implicam a preexistência do conceito de espaço. MUDANÇAS DE ESTADO E MUDANÇAS DE POSIÇÃO – Mas, pode-se dizer, se o conceito de espaço geométrico não é imposto a nossas mentes, e se, por outro lado, nenhuma de nossas sensações pode nos fornecer esse conceito, como então ele surgiu? É isso que temos que examinar agora e levará algum tempo; mas posso resumir em poucas palavras a tentativa de explicação que vou desenvolver. Nenhuma de nossas sensações, se isolada, poderia nos levar ao conceito de espaço; somos levados a isso apenas estudando as leis pelas quais essas sensações se sucedem. Vemos a princípio que nossas impressões estão sujeitas a alterações; mas entre as mudanças que determinamos, somos levados muito em breve a fazer uma distinção. Às vezes dizemos que os objetos, as causas dessas impressões, mudaram de estado, às vezes que mudaram de posição, que apenas foram deslocados. Se um objeto altera seu estado ou apenas sua posição, isso sempre é traduzido para nós da mesma maneira, por uma modificação em um conjunto de impressões. Como, então, fomos capazes de diferenciá-los? Se houvesse apenas mudança de posição, poderíamos restaurar o conjunto primitivo de impressões fazendo movimentos que nos confrontariam com o objeto móvel na mesma situação relativa. Corrigimos, assim,

P á g i n a | 117 a modificação produzida e restabelecemos o estado inicial por uma modificação inversa. Se, por exemplo, fosse uma questão de visão, e se um objeto fosse deslocado diante de nossos olhos, poderíamos "segui-lo com o olho" e reter sua imagem no mesmo ponto da retina por movimentos apropriados do globo ocular. Estamos conscientes desses movimentos porque são voluntários e porque são acompanhados por sensações musculares. Mas isso não significa que os representemos para nós mesmos no espaço geométrico. Então, o que caracteriza a mudança de posição, o que a distingue da mudança de estado, é que ela sempre pode ser corrigida por esse meio. Portanto, pode ser que passemos do conjunto de impressões A para o conjunto B de duas maneiras diferentes. Primeiro, involuntariamente e sem experimentar sensações musculares - o que acontece quando é o objeto que é deslocado; segundo, voluntariamente e com sensação muscular - o que acontece quando o objeto está imóvel, mas quando nos deslocamos de tal maneira que o objeto tem um movimento relativo em relação a nós. Nesse caso, a conversão do conjunto A para o conjunto B é apenas uma mudança de posição. Segue-se que a visão e o toque não poderiam ter nos dado a ideia do espaço sem a ajuda do "sentido muscular". Não só esse conceito não poderia ser derivado de uma única sensação, nem mesmo de uma série de sensações; mas um ser imóvel nunca poderia tê-lo adquirido, porque, não sendo capaz de corrigir por seus movimentos os efeitos da mudança de posição de objetos externos, ele não teria motivos para distingui-los das mudanças de estado. Ele também não seria

P á g i n a | 118 capaz de adquiri-lo se seus movimentos não fossem voluntários ou se não fossem acompanhados por nenhuma sensação. CONDIÇÕES DA COMPENSAÇÃO – Como é possível tal compensação de tal maneira que duas mudanças, caso contrário mutuamente independentes, possam ser corrigidas reciprocamente? Uma mente já familiarizada com a geometria raciocina da seguinte maneira: - Se houver compensação, as diferentes partes do objeto externo, por um lado, e os diferentes órgãos de nossos sentidos, por outro, devem estar na mesma posição relativa após a dupla mudança. E para que esse seja o caso, as diferentes partes do corpo externo, por um lado, e os diferentes órgãos de nossos sentidos, por outro, devem ter a mesma posição relativa entre si após a dupla mudança; e assim com as diferentes partes do nosso corpo, uma em relação à outra. Em outras palavras, o objeto externo na primeira mudança deve ser deslocado, como um sólido invariável seria deslocado, e também deve ser o mesmo com todo o nosso corpo na segunda mudança, que é a correção da primeira. Sob essas condições, a compensação pode ser produzida. Mas nós que ainda não sabemos nada de geometria, cujas ideias de espaço ainda não foram formadas, não podemos raciocinar dessa maneira - não podemos prever à priori se a compensação é possível. Mas a experiência mostra que às vezes ocorre, e partimos desse fato experimental para distinguir mudanças de estado de mudanças de posição.

P á g i n a | 119 OS CORPOS SÓLIDOS E A GEOMETRIA – Entre os objetos circundantes, existem alguns que frequentemente sofrem deslocamentos que podem ser corrigidos por um movimento correlativo do nosso próprio corpo - ou seja, corpos sólidos. Os demais objetos, cuja forma é variável, somente em circunstâncias excepcionais sofrem deslocamento semelhante (mudança de posição sem mudança de forma). Quando o deslocamento de um corpo ocorre com deformação, não podemos mais, por movimentos apropriados, colocar os órgãos de nosso corpo na mesma situação relativa em relação a esse corpo; não podemos mais, portanto, reconstruir o conjunto primitivo de impressões Só mais tarde, e após uma série de novas experiências, aprendemos como decompor um corpo de forma variável em elementos menores, de modo que cada um seja deslocado aproximadamente de acordo com as mesmas leis que os corpos sólidos. Assim, distinguimos “deformações” de outras mudanças de estado. Nestas deformações, cada elemento passa por uma simples mudança de posição que pode ser corrigida; mas a modificação do conjunto é mais profunda e não pode mais ser corrigida por um movimento correlativo. Esse conceito é muito complexo, mesmo nesta fase, e tem uma aparência relativamente lenta. Não teria sido concebido se a observação de corpos sólidos não nos mostrasse de antemão como distinguir mudanças de posição. Se, então, não houvesse corpos sólidos na natureza, não haveria geometria. Outra observação merece um momento de atenção. Suponha que um corpo sólido ocupe sucessivamente as posições  e ; na primeira posição, ele nos fornecerá um conjunto de impressões A e, na segunda posição, um conjunto de impressões B. Agora, haverá

P á g i n a | 120 um segundo corpo sólido, de qualidades inteiramente diferentes da primeira - de cor diferente, por exemplo. Suponha que ele passe da posição , onde ele nos fornece o conjunto de impressões A’ para a posição , onde ele fornece o conjunto de impressões B’. Em geral, o conjunto A não terá nada em comum com o conjunto A’, nem o conjunto B terá nada em comum com o conjunto B’. A transição do conjunto A para o conjunto B e a do conjunto A’ para o conjunto B’ são, portanto, duas mudanças que, por si só, não têm em geral nada em comum. No entanto, consideramos essas duas mudanças como deslocamentos; e, além disso, os consideramos o mesmo deslocamento. Como isso pode ser? É simplesmente porque eles podem ser corrigidos pelo mesmo movimento correlativo do nosso corpo. "Movimento correlativo", portanto, constitui a única conexão entre dois fenômenos que, de outro modo, nunca deveríamos ter sonhado em conectar. Por outro lado, nosso corpo, graças ao número de suas articulações e músculos, pode ter uma infinidade de movimentos diferentes, mas nem todos são capazes de "corrigir" uma modificação de objetos externos; somente aqueles são capazes disso em que todo o nosso corpo, ou pelo menos todos aqueles em que os órgãos dos nossos sentidos entram em jogo, são deslocados em bloco - isto é, sem qualquer variação de suas posições relativas, como no caso de um corpo sólido. Resumindo: 1. Em primeiro lugar, distinguimos duas categorias de fenômenos: - o primeiro involuntário, não acompanhado por sensações musculares e atribuído a objetos externos - são mudanças externas;

P á g i n a | 121 o segundo, de caráter oposto e atribuído aos movimentos de nosso próprio corpo, são mudanças internas. 2. Observamos que determinadas alterações de cada uma dessas categorias podem ser corrigidas por uma alteração correlativa da outra categoria. 3. Distinguimos entre mudanças externas aquelas que têm um correlativo na outra categoria - a que chamamos deslocamentos; e da mesma maneira, distinguimos entre as mudanças internas as que têm um correlativo na primeira categoria. Assim, por meio dessa reciprocidade é definida uma classe particular de fenômenos denominada deslocamentos. As leis desses fenômenos são objetos da geometria. LEI DA HOMOGENEIDADE – A primeira dessas leis é a lei da homogeneidade. Suponha que, por uma mudança externa, passemos do conjunto de impressões A para o conjunto B, e que essa alteração seja corrigida por um movimento voluntário correlativo , para que possamos voltar ao conjunto A. Suponha agora que outra mudança externa seja ’ nos traz novamente do conjunto A para o conjunto B. A experiência mostra-nos que essa mudança ’, como a mudança , pode ser corrigida por um movimento correlativo voluntário ’ e que esse movimento ’ corresponde às mesmas sensações musculares de  que o movimento que corrigia . Esse fato é geralmente enunciado da seguinte forma: - O espaço é homogêneo e isotrópico.

P á g i n a | 122 Também podemos dizer que um movimento que já foi produzido pode ser repetido uma segunda e uma terceira vez, e assim por diante, sem qualquer variação de suas propriedades. No primeiro capítulo, no qual discutimos a natureza do raciocínio matemático, vimos a importância que deve ser atribuída à possibilidade de repetir a mesma operação indefinidamente. A virtude do raciocínio matemático se deve a essa repetição; por meio da lei da homogeneidade, fatos geométricos são apreendidos. Para completar, à lei da homogeneidade deve-se acrescentar uma infinidade de outras leis, nos detalhes dos quais não pretendo entrar, mas que os matemáticos resumem dizendo que esses deslocamentos formam um "grupo". O MUNDO NÃO-EUCLIDIANO – Se o espaço geométrico fosse uma estrutura imposta a cada uma de nossas representações consideradas individualmente, seria impossível representar para nós uma imagem sem essa estrutura, e seríamos incapazes de alterar nossa geometria. Mas esse não é o caso; a Geometria é apenas o resumo das leis pelas quais essas imagens se sucedem. Portanto, não há nada que nos impeça de imaginar uma série de representações, semelhantes em todos os aspectos às nossas representações comuns, mas que se sucedam de acordo com leis que diferem daquelas com as quais estamos acostumados. Podemos assim conceber que seres cuja educação ocorreu em um meio no qual essas leis seriam tão diferentes, possam ter uma geometria muito diferente da nossa. Suponha, por exemplo, um mundo fechado em uma grande esfera e sujeito às seguintes leis:

P á g i n a | 123 - A temperatura não é uniforme; é o maior no centro e diminui gradualmente à medida que avançamos em direção à circunferência da esfera, onde é zero absoluto. A lei desta temperatura é a seguinte: - Se R for o raio da esfera e r a distância do ponto considerado do centro, a temperatura absoluta será proporcional a R2 – r2. Além disso, suponho que neste mundo todos os corpos tenham o mesmo coeficiente de dilatação, de modo que a dilatação linear de qualquer corpo seja proporcional à sua temperatura absoluta. Finalmente, assumirei que um corpo transportado de um ponto para outro de temperatura diferente está instantaneamente em equilíbrio térmico com seu novo ambiente. Não há nada nessas hipóteses contraditórias ou inimagináveis. Um objeto em movimento se tornará cada vez menor à medida que se aproxima da circunferência da esfera. Observemos, em primeiro lugar, que embora do ponto de vista de nossa geometria comum este mundo seja finito, para seus habitantes parecerá infinito. À medida que se aproximam da superfície da esfera, tornam-se mais frias e, ao mesmo tempo, menores e menores. Os passos que eles dão são, portanto, também cada vez menores, para que nunca possam alcançar os limites da esfera. Se para nós a geometria é apenas o estudo das leis segundo as quais os sólidos invariáveis se movem, para esses seres imaginários será o estudo das leis do movimento de sólidos deformados pelas diferenças de temperatura aludidas. Sem dúvida, em nosso mundo, os sólidos naturais também sofrem variações de forma e volume devido a diferenças de temperatura. Mas, ao lançar os fundamentos da geometria, negligenciamos essas

P á g i n a | 124 variações; pois além de serem pequenas, são irregulares e, consequentemente, parecem acidentais. Em nosso mundo hipotético, isso não será mais o caso, as variações obedecerão a leis muito simples e regulares. Por outro lado, as diferentes partes sólidas das quais os corpos desses habitantes são compostos sofrerão as mesmas variações de forma e volume. Deixe-me fazer outra hipótese: suponha que a luz passe através de meios com diferentes índices de refração, de modo que o índice de refração seja inversamente proporcional a R2- r2. Sob essas condições, fica claro que os raios de luz não serão mais retilíneos, mas circulares. Para justificar o que foi dito, temos que provar que certas mudanças na posição dos objetos externos podem ser corrigidas por movimentos correlativos dos seres que habitam esse mundo imaginário; e de maneira a restaurar o agregado primitivo das impressões experimentadas por esses seres sencientes. Suponha, por exemplo, que um objeto seja deslocado e deformado, não como um sólido invariável, mas como um sólido sujeito a dilatações desiguais em exata conformidade com a lei da temperatura assumida acima. Para usar uma abreviação, chamaremos esse movimento de deslocamento não euclidiano. Se um senciente estiver na vizinhança de tal deslocamento do objeto, suas impressões serão modificadas; mas, movendo-se de maneira adequada, ele pode reconstruí-los. Para esse propósito, tudo o que é necessário é que o agregado do ser senciente e do objeto, considerados como formando um único corpo, experimentem um daqueles deslocamentos especiais que acabei de chamar de nãoeuclidianos. Isso é possível se supusermos que os membros desses

P á g i n a | 125 seres se dilatam de acordo com as mesmas leis que os outros corpos do mundo em que habitam. Embora do ponto de vista de nossa geometria comum exista uma deformação dos corpos nesse deslocamento, e embora suas partes diferentes não estejam mais na mesma posição relativa, no entanto, veremos que as impressões do senciente permanecem as mesmas que antes. De fato, embora as distâncias mútuas das diferentes partes tenham variado, ainda assim as partes que inicialmente estavam em contato ainda estão em contato. Daqui resulta que as impressões táteis não serão alteradas. Por outro lado, a partir da hipótese de refração e curvatura dos raios de luz, as impressões visuais também permanecerão inalteradas. Esses seres imaginários serão, portanto, levados a classificar os fenômenos que observam e a distinguir entre eles as "mudanças de posição", que podem ser corrigidas por um movimento correlativo voluntário, exatamente como fazemos. Se eles construírem uma geometria, não será como a nossa, que é o estudo dos movimentos de nossos sólidos invariáveis; será o estudo das mudanças de posição que eles terão assim distinguido e serão “deslocamentos não euclidianos”, e essa será a geometria não euclidiana. Desse modo, para seres como nós, educados em um mundo assim, não teriam a mesma geometria que a nossa. O MUNDO DE 4 DIMENSÕES – Assim como imaginamos para nós um mundo não-euclidiano, também podemos imaginar um mundo de quatro dimensões.

P á g i n a | 126 A sensação de luz, mesmo com um olho, juntamente com as sensações musculares relativas aos movimentos do globo ocular, será suficiente para nos permitir conceber o espaço de três dimensões. As imagens de objetos externos são pintadas na retina, que é um plano de duas dimensões; essas são perspectivas. Mas, como os olhos e os objetos são móveis, vemos sucessivamente diferentes perspectivas do mesmo corpo, tiradas de diferentes pontos de vista. Ao mesmo tempo, descobrimos que a transição de uma perspectiva para outra é frequentemente acompanhada de sensações musculares. Se a transição da perspectiva A para a perspectiva B e a da perspectiva A’ para a perspectiva B’ são acompanhadas pelas mesmas sensações musculares, nós as conectamos como fazemos outras operações da mesma natureza. Então, quando estudamos as leis segundo as quais essas operações são combinadas, vemos que elas formam um grupo, que tem a mesma estrutura que a dos movimentos de sólidos invariáveis. Agora, vimos que é das propriedades desse grupo que derivamos a ideia de espaço geométrico e de três dimensões. Assim, entendemos como essas perspectivas deram origem à concepção de três dimensões, embora cada perspectiva tenha apenas duas dimensões - porque elas se sucedem de acordo com certas leis. Pois bem, da mesma maneira que desenhamos a perspectiva de uma figura tridimensional em um plano, para que possamos desenhar a perspectiva de uma figura quadridimensional em uma tela de três (ou duas) dimensões. Para um geômetra, isso é apenas brincadeira de criança.

P á g i n a | 127 Podemos até desenhar várias perspectivas da mesma figura de vários pontos de vista diferentes. Podemos facilmente representar para nós essas perspectivas, uma vez que são de apenas três dimensões. Imagine que as diferentes perspectivas de um e o mesmo objeto ocorram em sucessão e que a transição de um para o outro é acompanhada por sensações musculares. Entende-se que consideraremos duas dessas transições como duas operações da mesma natureza quando associadas às mesmas sensações musculares. Não há nada que nos impeça de imaginar que essas operações sejam combinadas de acordo com qualquer lei que escolhermos - por exemplo, formando um grupo com a mesma estrutura que a dos movimentos de um sólido quadridimensional invariável. Nisto não há nada que não possamos representar para nós mesmos e, além disso, essas sensações são aquelas que um ser experimentaria que possui uma retina de duas dimensões e que pode ser deslocado no espaço de quatro dimensões. Nesse sentido, podemos dizer que podemos representar para nós mesmos a quarta dimensão. Seria impossível que nós representássemos, desse modo, o espaço de Hilbert, de que falamos no capítulo anterior, porque seu espaço não é um contínuo da segunda ordem. Portanto, ele difere demasiadamente do nosso espaço habitual. CONCLUSÕES – Vê-se que o experimento desempenha um papel considerável na gênese da geometria; mas seria um erro concluir que a geometria é, mesmo que parcialmente, uma ciência experimental.

P á g i n a | 128 Se fosse experimental, seria apenas aproximada e provisória. E que aproximação grosseira seria! A geometria seria apenas o estudo dos movimentos de corpos sólidos; mas, na realidade, não se preocupa com sólidos naturais: seu objeto são certos sólidos ideais, absolutamente invariáveis, que são apenas uma imagem deles muito simplificada e muito remota. O conceito desses corpos ideais é inteiramente mental, e o experimento é apenas a oportunidade que nos permite alcançar a ideia. O objeto da geometria é o estudo de um "grupo" específico; mas o conceito geral de grupo preexiste em nossas mentes, pelo menos potencialmente. É imposto a nós não como uma forma de nossa sensibilidade, mas como uma forma de nossa compreensão. Somente, dentre todos os grupos possíveis, devemos escolher um que seja o padrão, por assim dizer, ao qual nos referiremos fenômenos naturais. A experiência nos guia nessa escolha, que não nos impõe. Ele nos diz não qual é a mais verdadeira, mas qual é a geometria mais conveniente. Note-se que minha descrição desses mundos fantásticos não exigiu outra linguagem além da geometria comum. Então, se fossemos transportados para esses mundos, não haveria necessidade de mudar esse idioma. Seres educados lá, sem dúvida, acham mais conveniente criar uma geometria diferente da nossa e mais bem adaptada às suas impressões; mas quanto a nós, na presença das mesmas impressões, é certo que não devemos achar mais conveniente fazer uma alteração.

P á g i n a | 129 3.

Experiência e Geometria

1. Eu tenho em várias ocasiões nas páginas anteriores tentado mostrar como os princípios da geometria não são fatos experimentais, e que, em particular, o postulado de Euclides não pode ser provado por experimentação. Por mais convincentes que sejam as razões já apresentadas, sinto que devo insistir nelas, porque existe uma concepção profundamente falsa profundamente enraizada em muitas mentes. 2. Pense em um círculo material, meça seu raio e circunferência e veja se a proporção dos dois comprimentos é igual a π. O que nós fizemos? Fizemos uma experiência sobre as propriedades da matéria com a qual esse círculo foi construído e da qual a medida que usamos é feita. 3. Geometria e Astronomia - A mesma pergunta também pode ser feita de outra maneira. Se a geometria de Lobachevsky for verdadeira, a paralaxe de uma estrela muito distante será finita. Se é a geometria de Riemann a verdadeira, ela será negativa. Estes são os resultados que parecem ao alcance da experiência, e espera-se que observações astronômicas possam nos permitir decidir entre as três geometrias. Mas o que chamamos de linha reta na astronomia é simplesmente o caminho de um raio de luz. Se, portanto, descobríssemos paralaxes negativas, ou provássemos que todas as paralaxes são mais altas que um certo limite, deveríamos ter uma escolha entre duas conclusões: poderíamos abandonar a geometria euclidiana, ou modificar as leis da ótica, e supor que a luz não é rigorosamente propagada em linha reta.

P á g i n a | 130 É desnecessário acrescentar que cada um consideraria essa solução como a mais vantajosa. A geometria euclidiana, portanto, não tem nada a temer com novas experiências. 4. Será que podemos afirmar que certos fenômenos que são possíveis no espaço euclidiano seriam impossíveis no espaço nãoeuclidiano, de tal modo que a experiência, ao constatar esses fenômenos, contradiria diretamente a hipótese não-euclidiana? Eu acho que essa pergunta sequer pode ser feita. Para mim, é exatamente equivalente ao seguinte, cujo absurdo é óbvio: - Há comprimentos que podem ser expressos em metros e centímetros, mas não podem ser medidos em toesas, pés e polegadas; de modo que a experiência, ao averiguar a existência desses comprimentos, contradiria diretamente essa hipótese, de que há toesas divididos em seis pés. Vamos olhar para a questão um pouco mais de perto. Presumo que a linha reta no espaço euclidiano possua duas propriedades, que eu chamarei de A e B; que no espaço não-euclidiano ainda possui a propriedade A, mas não possui mais a propriedade B; e, finalmente, suponho que tanto no espaço Euclidiano como no não Euclidiano a linha reta é a única linha que possui a propriedade A. Se assim fosse, a experiência seria capaz de decidir entre as hipóteses de Euclides e Lobachevsky. Verificaríamos que algum objeto concreto, sobre o qual podemos fazer experiências - por exemplo, um feixe de raios de luz - possui a propriedade A. Devemos concluir que é retilíneo, e devemos então nos esforçar para descobrir se o faz, ou não possui a propriedade B. Mas não é assim. Não existe nenhuma propriedade que possa, como essa propriedade A, ser um critério absoluto que nos permita reconhecer a linha reta e distingui-la de todas as outras linhas.

P á g i n a | 131 Digamos, por exemplo, “Esta propriedade será a seguinte: a linha reta é uma linha tal que uma figura da qual esta linha é uma parte pode se mover sem as distâncias mútuas de seus pontos variando, e de tal forma que todas os pontos nesta linha reta permanecem fixos”? Agora, essa é uma propriedade que, seja no espaço euclidiano ou não-euclidiano, pertence à linha reta e pertence apenas a ela. Mas como podemos determinar por experiência se pertence a algum objeto concreto em particular? As distâncias devem ser medidas, e como saberemos que qualquer magnitude concreta que eu tenha medido com o meu instrumento material realmente representa a distância abstrata? Nós apenas removemos a dificuldade um pouco mais. Na realidade, a propriedade que acabo de enunciar não é uma propriedade da linha reta; é uma propriedade da linha reta e da distância. Para que sirva como um critério absoluto, devemos ser capazes de mostrar, não só que não pertence também a qualquer outra linha além da linha reta e à distância, mas também que não pertence a nenhuma outra linha que não a linha reta e nenhuma outra grandeza que não a distância. Ora, isso não é verdade, e se não estamos convencidos por essas considerações, desafio qualquer um a me proporcionar uma experiência concreta que possa ser interpretada no sistema euclidiano e que não possa ser interpretada no sistema de Lobachevsky. Como estou bem ciente de que esse desafio nunca será aceito, posso concluir que nenhuma experiência estará em contradição com o postulado de Euclides; mas, por outro lado, nenhuma experiência jamais estará em contradição com o postulado de Lobachevsky. 5. Mas não é suficiente que a geometria euclidiana (ou nãoeuclidiana) possa ser diretamente contraditada pela experiência. Não

P á g i n a | 132 poderia acontecer que ela só possa concordar com a experiência por uma violação do princípio da razão suficiente e da relatividade do espaço? Deixe-me me explicar. Considere qualquer sistema material. Temos que considerar, por um lado, o "estado" dos vários corpos desse sistema - por exemplo, sua temperatura, seu potencial elétrico, etc; e por outro lado, sua posição no espaço. E entre os dados que nos permitem definir essa posição, distinguimos as distâncias mútuas desses corpos que definem suas posições relativas e as condições que definem a posição absoluta do sistema e sua orientação absoluta no espaço. A lei dos fenômenos que serão produzidos neste sistema dependerá do estado desses corpos e de suas mútuas distâncias; mas por causa da relatividade e da inércia do espaço, elas não dependerão da posição e orientação absoluta do sistema. Em outras palavras, o estado dos corpos e suas distâncias mútuas a qualquer momento dependerão apenas do estado dos mesmos corpos e de suas mútuas distâncias no momento inicial, mas, de modo algum, dependerão da posição inicial absoluta do sistema e de sua orientação inicial absoluta. Isto é o que nós chamaremos, por uma questão de abreviação, a lei da relatividade. Até agora falei como um geômetra euclidiano. Mas eu disse que uma experiência, seja ele qual for, requer uma interpretação da hipótese euclidiana; requer igualmente uma sobre a hipótese não euclidiana. Bem, fizemos uma série de experiências. Nós os interpretamos na hipótese euclidiana, e reconhecemos que essas experiências assim interpretados não violam essa “lei da relatividade”. Agora os interpretamos na hipótese não-euclidiana. Isso é sempre possível, somente as distâncias não-euclidianas de nossos diferentes

P á g i n a | 133 corpos nessa nova interpretação geralmente não serão as mesmas que as distâncias euclidianas na interpretação primitiva. Será que nossa experiência interpretado dessa nova maneira ainda estará de acordo com nossa "lei da relatividade", e se esse acordo não tivesse ocorrido, não teríamos ainda o direito de dizer que a experiência provou a falsidade da geometria não-euclidiana? É fácil ver que isso é um falso temor. De fato, para aplicar a lei da relatividade em todo o seu rigor, ela deve ser aplicada a todo o universo; pois se considerássemos apenas uma parte do universo, e se a posição absoluta dessa parte fosse variar, as distâncias dos outros corpos do universo também seriam diferentes; sua influência por parte do universo considerado poderia, portanto, aumentar ou diminuir, e isso poderia modificar as leis dos fenômenos que ocorrem nele. Mas se o nosso sistema é o universo inteiro, a experiência é impotente para nos dar qualquer opinião sobre sua posição e sua orientação absoluta no espaço. Tudo o que nossos instrumentos, por mais perfeitos que sejam, podem nos informar é o estado das diferentes partes do universo e suas mútuas distâncias. Assim, nossa lei da relatividade pode ser enunciada da seguinte forma: As leituras que podemos fazer com nossos instrumentos em qualquer momento dependerão apenas das leituras que pudemos fazer nos mesmos instrumentos no momento inicial. Ora, tal enunciado é independente de toda interpretação por experiências. Se a lei é verdadeira na interpretação euclidiana, ela também será verdadeira na interpretação não-euclidiana. Permita-me fazer uma pequena digressão sobre este ponto. Eu falei acima dos dados que definem a posição dos diferentes corpos

P á g i n a | 134 do sistema. Eu também poderia ter falado daqueles que definem suas velocidades. Eu deveria então distinguir a velocidade com a qual as distâncias mútuas dos diferentes corpos estão mudando e, por outro lado, as velocidades de translação e rotação do sistema; isto é, as velocidades com as quais sua posição absoluta e orientação estão mudando. Para que a mente seja plenamente satisfeita, a lei da relatividade teria que ser enunciada da seguinte forma: - O estado dos corpos e suas distâncias mútuas em qualquer momento dado, assim como as velocidades com as quais essas distâncias estão mudando naquele momento, dependem apenas do estado desses corpos, de suas distâncias mútuas no momento inicial e das velocidades com as quais essas distâncias estavam mudando no momento inicial. Mas eles não dependerão da posição inicial absoluta do sistema nem de sua orientação absoluta, nem das velocidades com as quais a posição e orientação absoluta estavam mudando no momento inicial. Infelizmente, a lei assim enunciada não concorda com experiências - pelo menos, como eles são normalmente interpretados. Suponha que um homem fosse traduzido para um planeta, cujo céu estava constantemente coberto por uma grossa cortina de nuvens, de modo que ele jamais pudesse ver as outras estrelas. Nesse planeta ele viveria como se estivesse isolado no espaço. Mas ele notaria que isso gira, seja medindo seu achatamento (que normalmente é feita por meio de observações astronômicas, mas que poderia ser feita por meios puramente geodésicos), ou repetindo a experiência do pêndulo de Foucault. A rotação absoluta deste planeta pode ser claramente mostrada desta maneira. Ora, aqui está um fato que choca o filósofo, mas que o físico é obrigado a aceitar. Sabemos que, a partir desse fato, Newton

P á g i n a | 135 concluiu a existência do espaço absoluto. Eu mesmo não posso aceitar essa maneira de olhar para ela. Vou explicar por que na Parte III, mas no momento não é minha intenção discutir essa dificuldade. Devo, portanto, resignar-me, no enunciado da lei da relatividade, a incluir velocidades de todo tipo entre os dados que definem o estado dos corpos. Seja como for, a dificuldade é a mesma para a geometria de Euclides e para a de Lobachevsky. Não tenho, portanto, com o que me preocupar, e só o mencionei incidentalmente. O que importa é a conclusão: a experiência não pode decidir entre Euclides e Lobachovesky” Resumindo, seja qual for a maneira como a observamos, é impossível descobrir no empirismo geométrico um significado racional. 6. As experiências apenas nos ensinam as relações dos corpos uns com os outros. Eles não nos dão e não podem nos dar as relações de corpos e espaço, nem as relações mútuas das diferentes partes do espaço. “Sim!”, Você responde, “um única experiência não é suficiente, porque só nos dá uma equação com vários desconhecidos; mas, quando tiver feito experiências suficientes, terei equações suficientes para calcular todas as minhas incógnitas.” Se sei a altura do mastro principal, isso não é suficiente para me permitir calcular a idade do capitão. Quando você tiver medido cada fragmento de madeira em um navio, terá muitas equações, mas não estará mais próximo da idade do capitão. Todas as suas medições em seus fragmentos de madeira podem dizer apenas o que diz respeito a esses fragmentos; e da mesma forma, suas experiências, por mais

P á g i n a | 136 numerosas que sejam, referindo-se apenas às relações dos corpos entre si, não lhe dirão nada sobre as relações mútuas das diferentes partes do espaço. 7. Você dirá que se os experiências tiverem referência aos corpos, eles pelo menos se referem às propriedades geométricas dos corpos. Primeiro, o que você entende pelas propriedades geométricas dos corpos? Presumo que seja uma questão das relações dos corpos com o espaço. Essas propriedades, portanto, não são alcançadas por experiências que só têm referência às relações de corpos entre si, e isso é suficiente para mostrar que não é daquelas propriedades que pode haver uma questão. Vamos, portanto, começar nos esclarecendo quanto ao sentido da frase: propriedades geométricas dos corpos. Quando digo que um corpo é composto de várias partes, presumo que estou, portanto, enunciando uma propriedade geométrica, e isso será verdade mesmo se eu concordar em dar o nome impróprio de pontos às partes muito pequenas que estou considerando. Quando digo que esta ou aquela parte de um determinado corpo está em contato com essa ou aquela parte de outro corpo, estou enunciando uma proposição que diz respeito às relações mútuas dos dois corpos, e não às suas relações com o espaço. Eu acredito que você concordará comigo que estas não são propriedades geométricas. Tenho certeza de que pelo menos você admitirá que essas propriedades são independentes de todo conhecimento de geometria métrica. Admitindo isto, suponha que temos um corpo sólido formado de oito barras de ferro finas, OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH, conectadas em uma de suas extremidades, O. Tomemos um segundo

P á g i n a | 137 corpo sólido - por exemplo, um pedaço de madeira, no qual estão marcados três pequenos pontos de tinta que chamarei de . Em seguida, suponha que descobrimos que podemos fazer com que  fiquem em contato com AGO (com isso quero dizer que está em contato com A, ao mesmo tempo que  com G e  com O). Então, podemos, sucessivamente pôr em contato,  com o BGO, CGO, DGO, EGO, FGO, depois com AHO, BHO, CHO, DHO, EHO e então  sucessivamente com AB, BC, CD, DE, EF, FA. Agora, essas são observações que podem ser feitas sem ter nenhuma ideia prévia da forma ou das propriedades métricas do espaço. Eles não têm nenhuma referência às “propriedades geométricas dos corpos”. Essas observações não serão possíveis se os corpos nos quais experimentamos se moverem em um grupo com a mesma estrutura do grupo Lobatschevskiano (quero dizer, de acordo com as mesmas leis dos corpos sólidos na geometria de Lobachevsky). Portanto, são suficientes para provar que esses corpos se movem de acordo com o grupo Euclidiano; ou pelo menos que eles não se movam de acordo com o grupo Lobatschevskiano Que eles possam ser compatíveis com o grupo euclidiano é facilmente visto; pois podemos torná-los assim se o corpo  fosse um sólido invariável de nossa geometria comum na forma de um triângulo retângulo, e se os pontos ABCDEFGH fossem os vértices de um poliedro formado por duas pirâmides hexagonais regulares de nossa geometria ordinária como sua base comum ABCDEF, e tendo como seus vértices uma G e o outra H. Suponha agora, em vez das observações anteriores, que possamos, como antes, aplicar , sucessivamente, sobre AGO, BGO, CGO, EGO, FGO, AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO e, depois, que podemos aplicar (e não mais ), sucessivamente, sobre AB, BC, CD, DE, EF e FA.

P á g i n a | 138 Estas são observações que poderiam ser feitas se a geometria nãoeuclidiana fosse verdadeira. Se os corpos , OABCDEFGH fossem sólidos invariáveis, se o primeiro era um triângulo retângulo, e o último uma pirâmide hexagonal regular dupla de dimensões adequadas. Estas novas verificações são, portanto, impossíveis se os corpos se moverem de acordo com o grupo Euclidiano; mas elas se tornam possíveis se supormos que os corpos se movam de acordo com o grupo Lobatchevskiano. Eles seriam, portanto, suficientes para mostrar, se os levássemos para fora, que os corpos em questão não se movem de acordo com o grupo Euclidiano. E assim, sem fazer qualquer hipótese sobre a forma e a natureza do espaço, sobre as relações dos corpos e do espaço, e sem atribuir aos corpos qualquer propriedade geométrica, fiz observações que me permitiram mostrar em um caso que os corpos Experimentado em movimento de acordo com um grupo, cuja estrutura é euclidiana, e no outro caso, que eles se movem em um grupo, cuja estrutura é lobatschevskiana. Não se pode dizer que todas as primeiras observações constituiriam um experiência provando que o espaço é euclidiano, e o segundo, um experiência provando que o espaço é não-euclidiano. De fato, pode-se imaginar (note que eu uso a palavra imaginar) que existem corpos se movendo de tal maneira a tornar possível a segunda série de observações: e a prova é que o primeiro mecânico que aparecesse em nosso caminho poderia construí-lo, se ele quisesse se dar ao trabalho. Mas você não deve concluir, no entanto, que o espaço é não-euclidiano. Da mesma forma, assim como corpos sólidos comuns continuariam a existir quando o mecânico tivesse construído os corpos estranhos que acabei de mencionar, ele teria que concluir que o espaço é euclidiano e não-euclidiano.

P á g i n a | 139 Suponha, por exemplo, que tenhamos uma grande esfera de raio R e que sua temperatura diminua do centro para a superfície da esfera de acordo com a lei da qual eu falei quando descrevi o mundo não-euclidiano. Podemos ter corpos cuja dilatação é insignificante e que se comportariam como sólidos invariáveis comuns; e, por outro lado, poderíamos ter corpos muito dilatáveis, que se comportariam como sólidos não-euclidianos. Podemos ter duas pirâmides duplas OABCDEFGH e O’A’B’C’D’E’F’G’H’, e dois triângulos  e ’’’. A primeira pirâmide dupla seria retilínea e a segunda, curvilínea. O triângulo  consistiria em de matéria não-dilatável e o outro de matéria muito dilatável. Poderíamos, portanto, fazer nossas primeiras observações com a pirâmide dupla OAH e o triângulo  e, as segundas, com a pirâmide dupla O’A’H’ e o triângulo ’’’. E então a experiência pareceria mostrar - primeiro, que a geometria euclidiana é verdadeira e, então, que é falsa. Portanto, as experiências têm referência não ao espaço, mas aos corpos. 8. 6 Para resolver o assunto, devo falar de uma questão muito delicada, que exigirá considerável desenvolvimento; mas vou me limitar a resumir o que escrevi na Revue de Métaphysique et de Morale e no The Monist. Quando dizemos que o espaço tem três dimensões, o que queremos dizer? Essa seção aparece apenas a partir da segunda edição da versão francesa de A Ciência e a Hipótese. Algumas traduções, como para o inglês e lançada nos Estados Unidos, omitem esse acréscimo, pois se baseiam no texto de 1902. A tradução para o português feita pela editora UnB foi feita com base no texto editado. Aproveito o ensejo para registrar que a tradução da editora UnB, diferente das traduções para o inglês, é bastante fidedigna ao texto original. 6

P á g i n a | 140 Vimos a importância dessas “mudanças internas” que nos são reveladas por nossas sensações musculares. Eles podem servir para caracterizar as diferentes atitudes do nosso corpo. Tomemos arbitrariamente como nossa origem uma dessas atitudes, A. Quando passamos dessa atitude inicial para outra atitude B, experimentamos uma série de sensações musculares, e essa série S de sensações musculares definirá B. Observe, no entanto, que nós muitas vezes olharemos para duas séries S e S’ como definindo a mesma atitude B (desde que as atitudes inicial e final A e B permaneçam as mesmas, as atitudes intermediárias das sensações correspondentes podem diferir). Como então podemos reconhecer a equivalência dessas duas séries? Porque eles podem servir para compensar a mesma mudança externa, ou mais geralmente, porque, quando se trata de compensação por uma mudança externa, uma das séries pode ser substituída pela outra. Entre essas séries, distinguimos aquelas que apenas podem compensar uma mudança externa e que chamamos de “deslocamentos”. Como não podemos distinguir dois deslocamentos que estão muito próximos, o conjunto desses deslocamentos apresenta as características de um contínuo físico; a experiência nos ensina que elas são características de um contínuo físico de seis dimensões; mas ainda não sabemos quantas dimensões o espaço possui, por isso devemos antes de mais responder a outra pergunta. O que é um ponto no espaço? Cada um pensa que sabe, mas isso é uma ilusão. O que vemos quando tentamos representar para nós mesmos um ponto no espaço é uma mancha preta no papel branco, uma mancha de giz no quadro negro, sempre um objeto. A questão deve, portanto, ser entendida da seguinte maneira: - O que quero dizer quando digo que o objeto B está no ponto em que um momento antes foi ocupado pelo objeto A?

P á g i n a | 141 Mais uma vez, que critério me permitirá reconhecê-lo? Quero dizer que, embora eu não tenha me movido (meu sentido muscular me diz isso), meu dedo, que agora tocou o objeto A, agora está tocando o objeto B. Eu poderia ter usado outros critérios - por exemplo, outro dedo ou o sentido de visão, mas o primeiro critério é suficiente. Sei que, se responder afirmativamente, todos os outros critérios darão a mesma resposta. Eu sei disso por experiência. Eu não posso conhecê-lo a priori. Pela mesma razão, digo que o toque não pode ser exercido à distância; essa é outra maneira de enunciar o mesmo fato experimental. Se eu disser, ao contrário, que a visão é exercida à distância, isso significa que o critério fornecido pela visão pode dar uma resposta afirmativa enquanto os outros respondem negativamente. Resumindo, para cada atitude do meu corpo, meu dedo determina um ponto, e é isso e aquilo que define um ponto no espaço. Para cada atitude corresponde deste modo um ponto. Mas muitas vezes acontece que o mesmo ponto corresponde a várias atitudes diferentes (neste caso, dizemos que o nosso dedo não se moveu, mas o resto do nosso corpo tem). Distinguimos, portanto, entre mudanças de atitude aquelas em que o dedo não se move. Como somos levados a isso? É porque frequentemente observamos que nessas mudanças o objeto que está em contato com o dedo permanece em contato com ele. Vamos então organizar na mesma classe todas as atitudes que são deduzidas umas das outras por uma das mudanças que assim distinguimos. Todas essas atitudes da mesma classe corresponderão ao mesmo ponto no espaço. Então para cada classe corresponderá um ponto, e para cada ponto uma classe. No entanto, pode-se dizer que o que obtemos deste experiência não é o ponto, mas a classe das mudanças, ou, melhor ainda, a classe correspondente de sensações musculares.

P á g i n a | 142 Assim, quando dizemos que o espaço tem três dimensões, queremos dizer apenas que o conjunto dessas classes nos aparece com as características de um contínuo físico de três dimensões. Então se, ao invés de definir os pontos no espaço com o auxílio do primeiro dedo, se eu usar, por exemplo, um outro dedo, os resultados seriam os mesmos? Isso não é de forma alguma evidente a priori. Mas, como vimos, a experiência nos mostrou que todos os nossos critérios estão de acordo e isso nos permite responder afirmativamente. Se voltarmos ao que chamamos de deslocamentos, cujo conjunto forma, como vimos, um grupo, seremos levados a distinguir aqueles nos quais um dedo não se move; e pelo que precedeu, esses são os deslocamentos que caracterizam um ponto no espaço, e seu conjunto formará um subgrupo de nosso grupo. Para cada subgrupo desse tipo, então, corresponderá um ponto no espaço. Podemos ser tentados a concluir que a experiência nos ensinou o número de dimensões do espaço; mas, na realidade, nossos experiências não se referiram ao espaço, mas ao nosso corpo e suas relações com objetos vizinhos. Além disso, nossos experiências são excessivamente grosseiros. Em nossa mente, a ideia latente de um certo número de grupos preexistia; esses são os grupos com os quais a teoria de Lie está envolvida. Qual devemos escolher para formar uma espécie de padrão para comparar fenômenos naturais? E quando este grupo é escolhido, qual dos subgrupos devemos tomar para caracterizar um ponto no espaço? A experiência nos guiou, mostrando-nos que escolha se adapta melhor às propriedades do nosso corpo; mas aí termina o seu papel.

P á g i n a | 143 4.

A Mecânica Clássica

Os ingleses ensinam a mecânica como uma ciência experimental; no resto do continente, ela é sempre ensinada mais ou menos como ciência dedutiva e à priori. Os ingleses estão certos, sem dúvida. Como é que o outro método persistiu por tanto tempo? Como é que os cientistas continentais que tentaram escapar da prática dos seus antecessores, na maioria dos casos, não tiveram sucesso? Por outro lado, se os princípios da mecânica são apenas de origem experimental, eles não são apenas aproximados e provisórios? Não seremos um dia obrigados por novos experiências a modificar ou mesmo abandoná-los? Essas são as questões que naturalmente surgem, e a dificuldade de solução deve-se em grande parte ao fato de que os tratados sobre mecânica não distinguem claramente entre o que é experiência, o que é raciocínio matemático, o que é convenção e o que é hipótese. E isso não é tudo: 1. Não existe espaço absoluto e só concebemos o movimentos relativos; e, no entanto, na maioria dos casos, os fatos mecânicos são enunciados como se houvesse um espaço absoluto ao qual possam ser referidos. 2. Não existe tempo absoluto. Quando dizemos que dois períodos são iguais, a afirmação não tem significado e só pode adquirir um significado por uma convenção. 3. Não apenas não temos intuição direta da igualdade de dois períodos, mas nem sequer intuímos diretamente a simultaneidade de

P á g i n a | 144 dois eventos que ocorrem em dois lugares diferentes. Expliquei isso em um artigo intitulado “Mesure du Temps”7 4. Finalmente, a geometria euclidiana não é, em si mesma, apenas uma espécie de convenção de linguagem? Fatos mecânicos podem ser enunciados com referência a um espaço não-euclidiano que seria menos conveniente, mas tão legítimo quanto nosso espaço ordinário; a enunciado se tornaria mais complicada, mas ainda assim seria possível. Assim, o espaço absoluto, o tempo absoluto e até a geometria não são condições impostas à mecânica. Todas essas coisas não mais existiam antes da mecânica do que se pode logicamente dizer que a língua francesa existia antes das verdades expressas em francês.8 C.

A Geometria do Espaço-Tempo

Como aludiu Poincaré, não existe uma geometria mais verdadeira, mas uma geometria mais conveniente. Poincaré acreditava que nossa experiência cotidiana com a geometria euclidiana, que nos levou a considera-la como a geometria verdadeira por cerca de 23 séculos, sempre pesaria em nossa escolha. Ele estava equivocado. A Teoria da Relatividade que ele ajudou a construir com Lorentz, Einstein, Minkowski e outros pesquisadores se torna extremamente complexa quando tentamos escrever os conceitos físicos e geométricos em uma Revue de Métaphysique et de Morale, t. vi., pp. 1–13, Janeiro, 1898 Poincaré construiu uma epistemologia denominada de convencionalismo. Nessa concepção existem premissas científicas que são aceitas sem serem provadas, até porque elas não podem ser provadas. Essas premissas são convenções que se provam úteis ou até mesmo indispensáveis para o progresso da ciência em um determinado momento. O éter na relatividade de Poincaré é apenas um convenção que se mostrou muito útil. O próprio Poincaré se referia ao éter como um andaime para construção da nova física. Uma vez que a construção estivesse acabada, o andaime (éter) seria descartado, como de fato aconteceu.

7

8

P á g i n a | 145 variedade euclidiana. Essa complexidade nos força a buscar uma geometria mais cômoda. No caso da Teoria da Relatividade Especial, essa geometria corresponde a geometria hiperbólica. Poincaré e Minkowski descobriram a estrutura subjacente na covariância de Lorentz: o espaço-tempo 4-dimensional, definido pela forma quadrática:

J 2  c2t 2  x2  y 2  z 2 Para um raio de luz, o invariante J é nulo: nessas condições nós obtemos a seguinte equação:

0  c2t 2  x2  y 2  z 2 As curvas de níveis dessa hipersuperfície são retas e hipérboles.

As retas definem os limites da causalidade: os intervalos do tipo tempo, onde as causas antecedem os efeitos. Os intervalos do tipo luz, onde causa e efeito são simultâneas. E, por fim, os intervalos do tipo espaço, onde as consequências ocorrem antes das causas.

P á g i n a | 146 A situação corresponde fisicamente a muitos relógios, como mostrado na figura. O primeiro está em repouso; o segundo se move para a direita; o terceiro se move mais rapidamente para a direita; e assim por diante. O primeiro desses relógios corre mais rápido; o segundo mais lento; o terceiro ainda mais devagar; e assim por diante. Portanto, à medida que passamos de um relógio para o outro, os relógios precisarão viajar sucessivamente mais tempo (conforme medido no tempo do quadro inercial) para que os relógios possam contar uma unidade de tempo apropriado. Quando desenhamos um diagrama de espaço-tempo, recuperamos a figura mostrada. O movimento do relógio parado no quadro é a linha vertical mais curta. O movimento do relógio em movimento mais rápido é a linha mais longa à direita. Eles são todos uma unidade de tempo adequado. (NORTON)9

John Norton é um dos maiores especialistas em ontologia do espaço, história da teoria da relatividade, teoria da relatividade. Esse conteúdo, bem como as imagens em preto e branco, foram retiradas de suas lições de Teoria da Relatividade disponível em sua página pessoal: https://www.pitt.edu/~jdnorton/teaching/HPS_0410/chapters/spacetime/ 9

P á g i n a | 147

P á g i n a | 148 Cada evento no espaço-tempo representa o equivalente a um ponto no espaço tridimensional. Dois eventos no espaço-tempo são ligado por linhas, chamadas de linhas de mundo. Se os corpos se movem inercialmente, essas linhas de mundo são retas. Se o corpo é acelerado, essas linhas de mundo são hipérboles. A aceleração própria de um corpo corresponde ao movimento hiperbólico. A representação tridimensional do espaço-tempo consiste em um cone de luz e de um hiperboloide de duas folhas.

Os eventos do espaço-tempo conectados por intervalos do tipo tempo ocorrem sobre a hipersuperfície de um hiperboloide, enquanto os eventos conectados por intervalos do tipo luz se encontram na hipersuperfície do cone. Os fenômenos físicos que evidenciamos e medimos em laboratório, são as projeções dos eventos desta hipersuperfície hiperbólica sobre uma variedade euclidiana tridimensional. É por essa razão que a geometria mais cômoda para se estudar os fenômenos relativísticos é a geometria hiperbólica.

P á g i n a | 149

Vamos considerar um exemplo muito interessante, proposto por John Norton, envolvendo a concepção de um espaço-tempo 4dimensional: a órbita do planeta Terra ao redor do Sol. Por uma questão de simplicidade, vamos desconsiderar as perturbações externas e o avanço do periélio. Assumiremos, apenas para fins didáticos, que as órbitas são circulares. Por meio da geometria e da óptica, no dia primeiro de cada trimestre, nós calculamos a posição do nosso planeta no plano da órbita. Como um ano é dividido em 12 meses, cada mês corresponde a ¼ do período anual de rotação ao redor do Sol. Portanto, nossos registros devem assumir o padrão descrito pelas figuras abaixo:

P á g i n a | 150 Essas projeções espaciais são todas espaciais. Se considerarmos uma terceira dimensão ct, normal ao plano da órbita, teremos uma sobreposição dos planos que correspondem ao dia primeiro do trimestre de observação.

Cada posição do planeta nesse hiperplano é um evento no espaçotempo. A linha que conecta esses eventos, é a linha de mundo no planeta. Como o planeta mantém uma aceleração centrípeta constante, a trajetória descrita no espaço-tempo deve ser uma curva. Conectando os eventos com linhas curvas, obtemos a linha de mundo no espaço-tempo da órbita terrestre, que é uma hélice (ou espiral). Esse espiral pode ser descrito como uma curva que circula a superfície de um hiperboloide. Portanto, podemos concluir que a geometria mais conveniente para o espaço-tempo não é mais a euclidiana, mas a geometria hiperbólica.

P á g i n a | 151 D. Caracterização do Espaço Atualmente, as teorias de vanguarda da física aplicam continuamente métodos da topologia e da teoria de grupos. John Earman (1989) desenvolveu um método de classificação dos possíveis espaço-tempo a partir do grupos de Simetria. Segundo Earman (1989), o espaço mais geral é o espaço-tempo de Mach que apresenta simultaneidade absoluta e uma estrutura euclidiana. Seu grupo é dado por: x  x  R  t  x   a  t  t  t  f t 

 ,   1, 2,3

df dt  0

onde R é uma matriz ortogonal e a são funções suaves. Se introduzirmos uma métrica temporal, o espaço-tempo absoluto de Mach se transforma em um espaço-tempo de Leibniz.

t  t  constante Se a matriz R é uma matriz de rotação independente do tempo, o espaço de Leibniz se torna um espaço de Maxwell.

x  x  R x   a  t  A escolha de uma conexão afim privilegiada v para definir as geodésicas como linhas de mundo das partículas, temos o espaçotempo de Galileu.

x  x  R x   v t  constante A introdução de um espaço absoluto resulta no espaço-tempo de Newton. x  x  R x  +constante

P á g i n a | 152 Por fim, se eliminarmos a métrica translacional e impormos um ponto privilegiado no Universo, obtemos o espaço-tempo de Aristóteles. x  x  R x  Esse capítulo é apenas uma síntese sobre a natureza do espaço. A obra mais completa sobre o espaço foi escrita por Max Jammer (2010) e à ele recomendamos o nosso leitor. CLASSIFICAÇÃO DOS ESPAÇOS EspaçoTempo

Grupo

→

t = f t 

Galileu Newton Aristóteles

→

t + K

xα xα

df dt > 0

xα

Simultaneidade absoluta. Euclidiano. Espaço de Mach com métrica temporal

x α = Rβα x β + a α  t 

Matriz de rotação atemporal.

x α = Rβα x β + v α t + K

Geodésicas são linhas de mundo.

x α = Rβα x β + K

→

Maxwell

t

xα

x α = Rβα x β

→

Leibniz

x α = Rβα  t  x β + a α  t 

→

xα

df dt > 0

→

t

→

Mach

x α = Rβα  t  x β + a α  t 

→

xα

Qualidades

Espaço absoluto Referencial Privilegiado

P á g i n a | 153

3. Conceitos de Tempo A. História: A Ciência do Tempo A Teoria da Relatividade Especial rejeita aquilo que Newton chamou de tempo absoluto. Todas as medidas de tempo são relacionais e convencionais. Diferentes observadores convencionam sobre a medida do tempo e realizam medidas em seus referenciais, obtendo as mesmas leis físicas. Entre o século XVIII e o século XX, um dos principais problemas políticos era a medida da longitude. A medida da latitude é razoavelmente simples, pode ser feita observando uma estrela fixa na orbe celeste. Porém, o problema da longitude exige o conhecimento da hora em uma estação fixa. Com surgimento do relógio mecânico no final do século XVII, houve um grande interesse na resolução do problema da longitude. Em teoria, bastaria sincronizar dois relógios no porto e os navegantes poderiam calcular a longitude, pois teriam a indicação da hora. Na prática, o relógio mecânico era muito impreciso e as oscilações e condições meteorológicas comprometiam a leitura de forma significativa. Mesmo com o melhoramento da tecnologia, até o século XIX, o cálculo da longitude estava longe de ser resolvido. Com a descoberta das ondas eletromagnéticas, uma nova tecnologia surgiu: o telégrafo sem fio. A ideia de sincronizar relógios usando telégrafos dominou o campo da engenharia. O engenheiro de Minas, Henri Poincaré, que estava à frente do bureau das longitudes francês, foi indicado para coordenar uma comissão para o emprego dessa tecnologia. A experiência de Poincaré na determinação da longitude e da geodésica francesa, levaram-no a reflexões metafísicas e físicas sobre a simultaneidade e o tempo. Inicialmente, Poincaré descobriu que o tempo de local de Lorentz era o tempo medido por observadores que sincronizassem seus relógios usando sinais luminosos. Poincaré provou essa correspondência, para

P á g i n a | 154 primeira ordem em v/c, em 1900. Em 1904, com a descoberta das transformações exatas de Lorentz, Poincaré deu uma conferência em Saint Louis e afirmou novamente a correspondência entre o “tempo local” exato e a sincronização de relógios.

P á g i n a | 155 Poincaré apresentou formalmente a conexão entre esses dois conceitos em seus cursos de 1906 em Sourbonne e em 1908, ele publicou um longo artigo intitulado A Dinâmica do Elétron, onde ele deduz a transformação do tempo por meio do conceito de elipsoide de Poincaré. Nos próximos anos, Poincaré não abordou mais a questão e em 1912, ele veio a óbito. Entre seu primeiro artigo sobre a eletrodinâmica de Lorentz, em 1895, à sua morte prematura em 1912, um período de 17 anos, Poincaré mudou alguma de suas ideias. Em 1900, Poincaré defendia a validade geral da lei da ação e reação e que a energia tinha uma inércia. Em 1908, Poincaré adotou a mesma linha de Lorentz, e rejeitou essas duas hipóteses. Porém, Poincaré se manteve fiel ao Princípio da Relatividade, o caráter convencional do tempo e da simultaneidade.

Albert Einstein foi contemporâneo de Poincaré. Hoje sabemos que as reflexões de Poincaré tiveram um impacto profundo na sua formação epistemológica. Embora Einstein seja um dos físicos mais populares, e por isso, bastante estudado em todos os campos do

P á g i n a | 156 conhecimento, o período de 1902-1905, que corresponderiam a construção de sua abordagem da relatividade, são extremamente obscuros. Há muitas questões em aberto: Mileva Maric teria ajudado seu namorado e, posteriormente, marido? Einstein estava ciente dos trabalhos de Lorentz e Poincaré? Quais deles? Por que Einstein omitia a contribuição de Mileva Maric e as influência de Poincaré? Essas questões ainda estão em aberto, embora grandes esforços na história da ciência tenham sido feitos em compreender como cada um destes atores se encaixam na formação do trabalho de Einstein. Inicialmente, Einstein teve suas pretensões acadêmicas frustradas devido a problemas com seu antigo professor Weber, que aparentemente escreveu cartas de não recomendação sobre Einstein. Nessa época, Mileva Maric já tinha engravidado da primeira filha do casal, Liersel, cujo destino é ainda um mistério. Apenas sabemos que Mileva deu a luz na Hungria e Einstein não conheceu a filha. Lieseral é mencionada em duas cartas, a última indica que a bebe estava doente, provavelmente com escarlatina. Essa foi a última comunicação, o que aconteceu com Liersel? Alguns pesquisadores acreditam que a doença foi fatal, outros que a menina sobreviveu e foi dada para a adoção. Em uma situação degradante, Einstein conseguiu finalmente um emprego no Escritório de Patentes em Berna na Suíça como analista de patentes. Seu trabalho consistia em receber as propostas e julgar a sua validade conforme as leis físicas. Em 1900, a Suíça construiu sua fama em fazer relógios de precisão única. Em Berna, Einstein lidava principalmente com propostas de transmissão de dados entre relógios usando cabos elétricos. O trabalho de Einstein era bastante burocrático e muitas vezes sobrava tempo para que ele desenvolvesse as suas ideias. A maioria dos projetos que eram direcionados a Einstein eram sistemas avançados de sincronização de relógios usando transmissão de sinais elétricos. Havia um projeto em andamento em Bern para a instalação

P á g i n a | 157 de um relógio mestre, a torre do relógio, localizado na estação central de trens e visto em quase todos os pontos da cidade e vários relógios secundários, que deveriam ser sincronizados e ajustados por sinais elétricos. Outro problema estava na coordenação de trens. Para que o sistema ferroviário operasse corretamente, era preciso coordenar os tempos de ida e volta dos vários trens para que eles não colidissem. O uso de instrumentos mecânicos acarretava em muitos erros e para evitar acidentes, era necessário dilatar o tempo, causando atrasos e perda de eficiência. Portanto um dos desafios tecnológicos de Bern, que envolviam diretamente o Escritório de Patentes, era desenvolver uma rede de telégrafos sem fios que permitisse sincronizar os trens em relação as estações, melhorando a coordenação do tempo.

Pode-se dizer que o escritório de patentes foi para Einstein, o que o Bureau das Longitudes foi para Poincaré. Excluindo aqueles que acreditam que Einstein plagiou Poincaré, e nesse caso a abordagem de Einstein foi fruto de uma crime de autoridade intelectual, as experiências de Poincaré e Einstein com tecnologia e questões

P á g i n a | 158 políticas e tecnológicas. Os dois precisam compreender técnicas de medida do tempo envolvendo estações fixas e embarcações em movimento. O papel social na Teoria da Relatividade fica nítida quando olhamos esses dois atores em seus contextos e os atores ao seu redor: Lorentz, Larmor, Abraham, Fitzgerald, Cohen, Hasenhörl, entre outros. Todos estes pesquisadores eram altamente capacitados em seus campos de estudo. Não era exagero dizer que Lorentz era o maior físico teórico do século XIX e XX. Todos estavam envolvidos no desenvolvimento da eletrodinâmica. Poincaré, inicialmente, entrou no debate ponderando o trabalho de seus colegas em seus artigos, suas aulas e seus livros. Em 1900, Poincaré já era reconhecido como matemático e físico teórico e recebeu honras de escrever um ensaio para o vigésimo quinto jubileu de doutoramento de Lorentz. O que destacava Poincaré de seus brilhantes colegas, era sua experiência como engenheiro em problemas práticos de medida. Enquanto Lorentz e seus camaradas ocupavam suas mentes em investigar as estruturas teóricas do elétron e projetavam experiências para analisar a estrutura da matéria, Poincaré precisava conciliar as ideais que eram produzidas na vanguarda da academia e traduzi-la para problemas básicos da engenharia. Em Bern, Einstein se mantinha afastado dos círculos acadêmicos, porém estava informado das novidades pela leituras de diversos periódicos de ciências. Einstein havia tentado dar aulas particulares e atraiu dois alunos: Maurice Solovine e Conrad Habitch. As aulas nunca aconteceram, mas professor e alunos se tornaram amigos e fundaram a Academia Olympia, que se dedicava a leitura de clássicos, como Hume, Mach e Poincaré, e ao debate de ideias. Einstein também conversava com seu colega de trabalho Michelle Beeso, sobre suas ideias. Todos estes fatores ajudaram Einstein se destacar do círculo acadêmico vigente.

P á g i n a | 159 B. O Tempo Local de Lorentz e Poincaré Diferente de Einstein e Minkowski, Poincaré propôs que um pulso esférico de luz emitido no referencial estacionário, seria medido como um elipsoide nos referenciais em movimento. Esse é um ponto muito delicado da análise de Poincaré. A forma invariante de pulso de luz é uma condição imposta pela forma quadrática fundamental do espaço-tempo:

c2t 2  x2  y 2  z 2 Poincaré foi o primeiro a estabelecer a conexão desse invariante com as transformações de Lorentz e derivar a sua álgebra de Lie. Portanto, o que Poincaré quis dizer com elipósides de luz, se a forma de um pulso deve ser um invariante? O que Poincaré propôs foi o seguinte problema: uma fonte móvel emite um pulso esférico de luz. Um observador em repouso em relação há fonte usa uma haste rígida e mede o raio da esfera em um instante t.

(a) Perspectiva do observador no referencial em movimento.

(b) Perspectiva do observador no referencial estacionário

Para o observador no referencial em repouso, devido ao efeito Doppler-Fizeau e a contração do comprimento da haste, a situação será um pouco diferente. Se o observador do referencial estacionário, usar sua própria haste, ele medirá uma esfera de raio ct. Porém, se o

P á g i n a | 160

observador estacionário se fiar nas medidas realizadas pelo observador móvel, ele obterá um elispsóide de luz. Um corpo, esférico quando em repouso, assumirá assim a forma de um elipsoide achatado de revolução quando em movimento; mas o observador sempre pensará que é esférico, uma vez que ele próprio sofreu uma deformação análoga, assim como todos os objetos que servem como pontos de referência. Pelo contrário, as superfícies das ondas de luz, permanecendo rigorosamente esféricas, parecer-lhe-ão elipsoides alongados. O que acontece depois? Suponha que um observador e uma fonte de luz sejam levados juntos na translação: as superfícies das ondas que emanam da fonte serão esferas, tendo como centros as posições sucessivas da fonte; A distância deste centro à posição real da fonte será proporcional ao tempo decorrido após a emissão, isto é, ao raio da esfera. Todas essas esferas são, portanto, homotéticas uma à outra, com relação à posição real S da fonte. Mas, para nosso observador, por causa da contração, todas essas esferas parecerão elipsoides alongados, e todos esses elipsóides serão, além disso, homotéticos, com referência ao ponto S; a excentricidade de todos esses elipsóides é a mesma e depende unicamente da velocidade da Terra. Nós selecionaremos a lei da contração para que o ponto S possa estar no foco da seção meridiana do elipsóide. (POINCARÉ, 1908)

A partir desse raciocínio, Poincaré procura interpretar os elementos cinemáticos, a partir dos elementos geométricos da elipse: Então, como faremos para avaliar o tempo que a luz leva para ir de B até A? Represento em A e B (figura 3) as posições aparentes destes dois pontos. Construo uma elipse semelhante ao das ondas que acabamos de definir, tendo seu eixo maior na direção do movimento da Terra. Construo essa elipse de maneira que ele passa por B e tenha seu foco em A. De acordo com uma propriedade conhecida da elipse, temos uma relação entre a distância aparente AB dos dois pontos e sua projeção AB’; essa

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relação é: AB  e  AB '  OQ 1  e 2 . Mas o semieixo menor da elipse, que é a sua dimensão inalterada, é igual a ct, onde c é a velocidade da luz e t e a duração da transmissão; daí: AB  e  AB '  ct 1  e 2 . A excentricidade e é uma constante que só depende da velocidade da Terra, desta forma, temos uma relação linear entre AB, AB’ e t. Mas AB’ é a diferença das abscissas dos pontos A e B. Suponhamos que a diferença entre o tempo verdadeiro e o tempo local, num ponto qualquer, seja igual à abscissa desse ponto multiplicada pela constante: e c 1  e 2 . A duração aparente da transmissão será:





t   t  AB ' e c 1  e2 . Donde AB  ct 1  e

2

(Op Cit, 1908)

Portanto, para a elipse de Poincaré, os elementos se conectam por meio das relações:

A primeira derivação de Poincaré aparece em suas aulas em Sorbonne, em 1906, e foram registradas por Vergne. Nessa dedução, Poincaré partiu da seguinte identidade:

OP 1  e2   AB  e  AB ' Traduzindo para os símbolos cinemáticos:

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

 ct 1  

v2  v  ct   x 2  c  c

c

v t  ct   x  c Multiplicando a equação por /c, obtemos a transformação do tempo:

v   t    t   2 x  c   v  t    t  2  c

 x 

A respeito desse dedução proposta por Poincaté, Scott Walter, (2018, p. 18) explique: O que Poincaré apontou explicitamente para seus alunos (Vergne, cadernos 2, 51) foi exatamente isso: uma vez que a diferença entre tempo aparente e tempo real é uma função linear do deslocamento aparente, a variável t que aparece na transformação de Lorentz é o tempo aparente presente na elipse de luz. Em resumo, Poincaré associou durante suas palestras de 1906-1907 uma esfera de luz em S de raio ct com um elipsóide leve em S′ com semi-eixo menor medindo ct e semi-eixo maior medindo γct, de dimensões das quais derivou a transformação de Lorentz. Embora ele não tenha percebido isso, a interpretação de Poincaré da elipse da luz era fisicamente falha, na medida em que atribuía aos observadores eventos físicos que não tinham nenhuma conexão causal com eles. A falha pode ser compreendida mais facilmente referindo-se a uma ferramenta cognitiva que não estava disponível para Poincaré até 1908: o diagrama tridimensional de espaço-tempo de Minkowski

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(Walter 2014). De acordo com a interpretação do grupo de Lorentz oferecido nas notas de Vergne, o vetor de raio da elipse de luz corresponde a pontos de luz em um instante do tempo t no éter. Em um diagrama de Minkowski, a situação é descrita por uma elipse em um plano com conexão do tipo espaço de tempo constante. (WALTER, 2018, p. 18)

FIGURA 1. Esse espaço-tempo de Poincaré admite a existência de eventos mais rápidos que a luz, como pode ser visto na porção circular excede o cone de luz. (FONTE: WALTER, 2018, p. 19). A interseção da esfera de luz com o centro E e o elipsoide de luz com o centro B, onde E e B repousam sobre um plano com conexão do tipo-espaço, é um círculo de raio ct. Em um diagrama tridimensional de espaço-tempo de Minkowski, onde uma dimensão espacial é suprimida, o círculo correspondente com centro E e elipse com centro B se cruzam em dois pontos, rotulados H e I, de modo que EH = EI = BH = BI = ct. O resultado é que o modelo de elipse de Poincaré, do grupo de Lorentz, admite sinais superluminais. Isso certamente não é o

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que Poincaré queria, e pode-se supor que ele não estava ciente da falha em seu modelo. (WALTER, 2018, p. 18)

Essa objeção ao princípio da causalidade aparece porque Poincaré considerou a situação do ponto de vista de éter um estacionário. Embora, Poincaré tenha sido um dos primeiros pesquisadores a defender que qualquer referencial no éter seria inacessível à experiência, antes de 1908, ele julgava oportuno tratar os fenômenos físicos a partir desse referencial. Devido a influência da relatividade alemã, sobretudo Minkowski, Poincaré modificou seu ponto de vista, e passou a usar referenciais equivalentes e em movimento relativo. Essa mudança, embora pequena e soe como um detalhe técnico, trouxe grandes mudanças a compreensão do tempo. Em seu trabalho de 1908, Poincaré ainda utiliza o conceito de elipsoide de luz, com algumas modificações. Poincaré faz sua análise a partir de outra identidade geométrica:

OQ 1  e 2  AB  e  AB ' Substituindo os valores, usando nosso pequena dicionário, obtemos:

v2 v ct 1  2  ct   x c c

c

v t  ct   x c  Multiplicando a equação por /c, obtemos a transformação inversa do tempo.

v   t    t   2 x  c  

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Manipulando a equação, podemos obter a transformação direta do tempo:

v  t    t  2  c

 x 

Agora vamos interpretar o significado físico da transformação AB. Tomando x’ =0, Poincaré extrai a equação da dilatação do tempo:

t   t ct  

ct



Em termos dos elementos da elipse, podemos escrever: AB  ct 1  e 2

Portanto o segmento AB representa o tempo dilatado devido ao movimento da fonte em relação a um sistema de referências estacionário no éter. A equação da transformação do tempo pode ser escrita em termos dos elementos da elipse: e 1  t   t  AB   2  c 1 e 

A nova conclusão de Poincaré é a que segue: Ou seja, a duração aparente de transmissão será proporcional à distância aparente. Desta vez, a compensação é rigorosa, e é isso que explica a experiência de Michelson. Eu disse acima que, de acordo com as teorias comum, as observações da aberração astronômica nos dariam a velocidade absoluta da Terra, se nossos instrumentos fossem mil vezes mais precisos. Eu preciso modificar essa declaração. Sim, os ângulos observados seriam modificados pelo efeito dessa velocidade absoluta, mas os

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círculos graduados que usamos para medir os ângulos seriam deformados pela translação: eles se tornariam elipses; daí resultaria um erro em relação ao ângulo medido, e esse segundo erro compensaria exatamente o primeiro. (POINCARÉ, 1908)

Em 1909, Poincaré publica um conjunto de lições sobre nove La Mécanique Nouvelle (A Nova Mecânica) e ao discutir os problemas de sincronização de relógios e as transformações de Lorentz, ele escreve: Um teorema geométrico muito elementar mostra que o tempo aparente necessário para a luz se deslocar de A para B, isto é, a diferença entre o tempo local em A quando a onda deixa A e o tempo local em B quando a onda atinge B, esse tempo aparente, eu afirmo, é o mesmo que caso o movimento translacional não existisse, exatamente como é exigido pelo princípio da 2 relatividade: AB  eAB   a 1  e  .

Nesta comunicação Poincaré não mais se refere ao tempo de um observador estacionário no éter, mas o tempo local medido por dois referenciais inerciais arbitrários. Nesse sentido, a abordagem de Poincaré passa a se aproximar da abordagem de Einstein e Minkowski. Poincaré transformou-se de uma só vez em sua elipse de luz de uma interpretação defeituosa do grupo de Lorentz para um modelo de dilatação do tempo e contração de Lorentz. O emprego de tempo aparente de Poincaré ao invés do tempo éter t, comunicado pela primeira vez durante sua palestra em Lille, altera a representação da elipse da luz em um diagrama tridimensional de Minkowski de tal forma que a elipse se encontra em um plano espacial de constante t′. A interseção de um plano de tempo constante t = t1 com a cone de luz (onde c ≡ 1), x2 + y2 −c2t2 = 0 é um círculo do centro E e raio ct1 no quadro S, enquanto a interseção do cone de luz com um hiperplano de tempo-constante S em S que atravessa o espaço-tempo O ponto

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B forma uma elipse em um diagrama espaço-tempo, correspondendo a um círculo do centro B em relação a S′. A elipse da luz de Poincaré é idêntica à interseção de cone de luz com um plano espacial em S′, passando pelo ponto B do espaçotempo no eixo t ′. A falha de sua interpretação anterior da elipse da luz, ou seja, a existência de sinais hiperluminosos, não está mais presente na interpretação de Lille, uma vez que todos os pontos da elipse da luz estão dentro do cone de luz. (WALTER, 2018, p. 20-21).

O novo espaço-tempo de Poincaré, descrito por Walter, pode ser visto na figura abaixo:

FIGURA 2. Modelo de espaço-tempo da elipse de luz de Poincaré (1909) em um plano espacial (t′ = const.) (IBID, p. 21). A fronteira da elipse coincide com a superfície cônica, eliminando os vínculos não causais. A rotação dos eixos x e t são rotações hiperbólicas no espaço 4D (WALTER, 2018).

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C. Tempo Próprio de Einstein e Minkowski Quando Einstein apresentou a sua abordagem da relatividade, um dos postulados tácitos era a rejeição do éter. Isso forçava com que Einstein não fizesse distinção entre o tempo real e o tempo local, como Lorentz e Poincaré. Contudo, Einstein introduziu dois novos conceitos: o tempo próprio e o tempo impróprio. Estas novas ideias não devem ser interpretados como equivalentes ao tempo local e o tempo real. À rigor, o tempo impróprio é um tipo de tempo local, mas o tempo próprio, Einstein sugere como sendo aquele que é a diferença entre o tempos medido pelo relógio do próprio observador e aquele medido por relógios externos. Em sua comunicação original, Einstein não deduziu a forma quadrática fundamental do espaço-tempo. Essa passo, dentro da abordagem de Einstein, foi dado por Hermann Minkowski. Usando a proposta inicial de Poincaré de usar teoria de grupos, Minkowski foi capaz de obter o intervalo relativístico fundamental:

ds 2  c2dt 2  dx2  dy 2  dz 2 No espaço-tempo, o 4-vetor de velocidade tem norma constante igual a velocidade da luz no vácuo. Assim, a velocidade própria, definida como a derivada do elemento de linha do espaço-tempo pela derivada do tempo próprio, deve ser igual a velocidade da luz: ds c d ds 2 d 2  2 c Substituindo o elemento ao quadrado de linha do espaço-tempo:

 c dt  2

d

2

2

 dx 2  dy 2  dz 2  c2

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 v 2  v y2  vz2  c 2 dt 2 1  x   c2   2 d  c2  v2  d 2  dt 2 1  2   c  d 

dt



O tempo próprio será a integral da linha de mundo da partícula no espaço-tempo: dt   C  Ao empregar o tempo próprio, ao invés do tempo local e real, Einstein e Minkowski assumem que as medidas devem ser feitas com os instrumentos locais. Nessas circunstâncias, devido a conservação da forma quadrática fundamental, todos os observadores inerciais irão medir esferas de luz de raio ct.

2 f 

1 2 f 1 2 f 2     f c 2 t 2 c 2 t 2

Em outras palavras, esferas de luz não estão sujeitas a transformações de Lorentz e a contração de Lorentz e a forma quadrática fundamental deve ser um invariante:

c2t 2  x2  y 2  z 2  c2t 2  x2  y2  z2 que como já vimos, também nos permite deduzir as transformações de Lorentz.

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Por meio destes princípios, podemos deduzir a transformação do período dos relógios. Para observadores que se deslocam com velocidade relativa, as equações da velocidade são:

dx  0 dy  0 dz  0

dx  vx dt dy  v y dt dz  vz dt

Substituindo na equação dos invariantes: c 2 dt 2   vx dt    v y dt    vz dt   c 2 dt 2 2

2

2

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 v 2  v y2  vz2  2 2 c 2 dt 2 1  x   c dt  2  c   2  v  dt 2 1  2   dt 2  c  dt 2



2

dt



 dt 2

 dt 

Integrando sobre a linha de mundo no espaço-tempo: t   C

dt



que é a expressão do tempo próprio. Portanto, o tempo próprio é o tempo aferido pelo relógio do observador em seu próprio referencial. Se a velocidade com que os referenciais se deslocam relativamente um ao outro for constante (como esperamos no caso de dois referenciais inerciais). t t 

 t   t

que é a equação da dilatação do tempo. A generalização da equação do tempo próprio para métricas mais gerais é bastante simples, sendo dada por: 1    g 00 dx 0 C c

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D. A Diferença entre o Tempo de Poincaré e o Tempo de Einstein-Minkowski Depois da publicação dos trabalhos de Minkowski, Poincaré passou a se referir ao tempo local e o tempo real como a antiga convenção e o tempo de Einstein e Minkowski como a nova convenção. Nas seções anteriores verificamos alguns aspectos dessas duas abordagens, agora devemos diferencia-las. Nesse sentido, recorremos ao historiador e físico belga Yves Pierseaux que em uma palestra, proferida em 2004 no Imperial College, diferenciou as duas abordagens: “Qual é a diferença, segundo Poincaré, entre a “antiga convenção” e a “nova convenção”? Vamos examinar a suposição antiga (tácita) de Poincaré em detalhes. O que acontece se colocarmos outra fonte no segundo sistema K na cinemática relativista de Poincaré? Suponha que o éter relativista esteja, por definição, em repouso (esferas em torno de O’) em relação à primeira fonte em K’. O éter relativístico de Poincaré está se movendo em relação à segunda fonte em O em K e, assim, redescobrimos o segundo caso com uma onda elipsoidal no sistema da fonte. E reciprocamente, com o LT inverso, o papel do éter (o critério do repouso relativista) é invertido. Logicamente na RS de Poincaré, com uma fonte ou duas fontes, sempre temos uma esfera em um sistema e um elipsóide no outro sistema e nunca duas esferas nos dois sistemas. Assim, com a elipse, vemos imediatamente que o tempo da ida e volta é o mesmo em todas as direções (e, portanto, nas duas direções perpendiculares de Michelson). Assim, a elipse histórica de Poincaré é a interpretação imediata do resultado nulo de Michelson, sem postular que a fonte no sistema (próprio) da Terra emite ondas esféricas. E isso não é tudo: de acordo com Poincaré as distâncias são definidas pelo tempo dilatado que a luz leva para atravessá-las. Podemos deduzir este ponto

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fundamental diretamente do TL. A definição usual do comprimento de uma haste implica que consideremos ao mesmo tempo as duas extremidades da haste. Assim, consideramos as duas extremidades da unidade de comprimento 1x’ em K’ ao mesmo tempo t′ = 0 (as coordenadas preparadas são (0, 0) e (1, 0)). Qual é o comprimento da haste no outro sistema K (o sistema móvel) de acordo com Poincaré, ou seja, de acordo com TL? O cálculo dá imediatamente 1x = k1x’. O alongamento no sistema móvel da haste estacionária é uma consequência direta do fato de que dois eventos simultâneos em K' não são eventos simultâneos em K. Concluímos observando que a cinemática relativista de Poincaré é baseada em uma proporcionalidade espaço-tempo fundamental (uma dilatação por um fator k) em perfeita harmonia com a invariância da velocidade da luz. A proporcionalidade direta do espaço-tempo de Poincaré (muito estranha na cinemática de Einstein) caracteriza a escolha fundamental de Poincaré de unidades espaço-temporais na cinemática relativística “Eu escolherei as unidades de comprimento e do tempo de tal maneira que a velocidade da luz é igual à unidade” (λ′ν′ = λν = c = 1). [...] Por trás das notações de Poincaré, não há apenas a representação perfeitamente simétrica de Poincaré de TL, mas também a antiga convenção de Poincaré. Sobre a métrica (no sentido de unidades de medida espaço-temporais) subjacente à invariância da forma quadrática na RE. [...] De outra forma, podemos compreender as diferenças do espaço-tempo de Einstein- Minkowski e de Poincaré por meio da transformação de hastes rígidas” (PIERSEAUX, 2005, p. 10).

Para exemplificar as diferenças do tempo Local de Poincaré e o Tempo Próprio de Einstein-Minkowski, Pierseaux (2005) constrói duas imagens compostas por hastes rígidas e qual deve ser seu aspecto visual conforme cada uma das abordagens.

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Na primeira figura temos a abordagem de Einstein-Minkowski duas hastes idênticas, referidas em diferentes referenciais inerciais que se movem com velocidade v. Para cada observador a outra haste sofrerá uma contração de Lorentz na direção do movimento (hastes tracejadas).

Na segunda imagem temos a abordagem de Poincaré onde a transformação de Lorentz substitui uma haste móvel (real) por uma haste estacionária (imaginária). A principal diferença entre a abordagem de Einstein e Poincaré diz respeito ao status ontológico do tempo.

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4. Dimensionalidade Na Teoria da Relatividade Especial, o espaço-tempo de PoincaréMinkowski é um variedade tetradimensional. Essa é uma informação que teve grande impacto não apenas sobre a física e matemática, mas também sobre a cultura humanística. Salvador Dali e Pablo Picasso desenvolveram sua arte com base na ideia de dimensões adicionais. A obra Crucifixion (Corpus Hypercubus) de Dali, apresenta Cristo crucificado em uma figura que se fecha em um hipercubo de 4 dimensões. A Persistência da Memória, também de Salvador Dali, é a própria representação artística da relatividade do tempo.

(a) Corpus Hypercubus

(b) A Persistência da Memória

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Em geral, os autores tendem a tratar o conceito de dimensão de maneira intuitiva. Na divulgação científica, costuma-se a introduzir o conceito de quarta dimensão ou dimensão temporal, afirmando que todo evento para ser localizado precisamos definir suas coordenadas no espaço e no tempo. Essa definição pode parecer satisfatória, contudo, ela é problemática, pois se baseia na concepção de um espaço e tempo absolutos. Como mostrou Poincaré, cada observador pode usar um sistema de medidas e um relógio, de forma que os eventos não irão coincidir. Os observadores teriam que fazer certas convenções e considerar a natureza do princípio da relatividade. Os observadores poderiam usam outras grandezas para marcar seu encontro, como umidade relativa do ar, temperatura, irradiação etc. Poderíamos considerar todas essas grandezas como dimensões? E o que dizer dos espaços de fase Hamiltoniano cuja dimensional é 2n, onde n é o número de graus de liberdade do sistema? Um sistema com 3 graus de liberdade apresenta um espaço de fase com 6 dimensões. Como definimos essas dimensões? Henri Poincaré se ocupou destas questões, tentando introduzir uma definição precisa para dimensionalidade. Courant e Robbins (2000, p. 302-305) definem o conceito de dimensão nos seguintes termos: Em 1912, Poincaré chamou pela primeira vez a atenção para a necessidade de uma análise mais profunda e de uma definição precisa para O conceito de dimensionalidade. Ele observou que a reta é unidimensional porque podemos separar dois pontos quaisquer sobre ela cortando-a em um único ponto (que tem dimensão zero), enquanto o plano é bidimensional, porque para separar um par de pontos no plano devemos cortá-lo por uma curva fechada (que é unidimensional). Isto sugere a natureza indutiva da dimensionalidade: um espaço é n-dimensional se dois pontos quaisquer puderem ser separados removendo-se um subconjunto (n — 1) - dimensional, e se um subconjunto de dimensão menor não for sempre suficiente. Uma definição indutiva de dimensionalidade está também contida

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implicitamente nos Elementos de Euclides, onde uma figura unidimensional é algo cujo contorno é formado por pontos, uma figura bidimensional é aquela cuja fronteira são curvas, e uma figura tridimensional é aquela cuja fronteira são superfícies. Em anos recentes, uma extensa teoria da dimensão foi desenvolvida. Uma definição de dimensão inicia-se tornando preciso o conceito “conjunto de pontos de dimensão zero.” Qualquer conjunto finito de pontos tem a propriedade de que cada ponto do conjunto pode ser encerrado em uma região do espaço que pode ser tornada tão pequena quanto se deseje, e que não contenha quaisquer pontos do conjunto em sua fronteira. Esta propriedade é agora tomada como a definição de dimensão zero. Por questões de conveniência, dizemos que um conjunto vazio, não contendo quaisquer pontos, tem dimensão —1, Então um conjunto de pontos $ terá dimensão zero se não for de dimensão —1 (isto é se S contiver pelo menos um ponto), e se cada ponto de S puder ser encerrado em uma região arbitrariamente pequena cujos limites cortem & em um conjunto de dimensão —1 (isto é, cujos limites não contenham quaisquer pontos de S). Por exemplo: o conjunto de pontos racionais sobre a reta tem dimensão zero, uma vez que cada ponto racional pode se tornar o centro de um intervalo arbitrariamente pequeno com pontos extremos irracionais. Verifica-se que o conjunto C de Cantor também é de dimensão zero, uma vez que, da mesma forma que o conjunto de pontos racionais, é formado removendo-se da vela um conjunto denso de pontos. Até agora definimos apenas os conceitos de dimensão —1 e de dimensão zero. À definição de dimensão 1 sugere-se por si própria de modo imediato: um conjunto S de pontos terá dimensão 1 se não tiver dimensão -- 1 ou zero, e sé cada ponto de S puder ser encerrado dentro de uma região arbitrariamente pequena cuja fronteira corta S em um conjunto de dimensão zero. Um segmento de reta tem esta propriedade, uma vez que a fronteira de qualquer intervalo é um par de pontos, que é um

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conjunto de dimensão zero de acordo com a definição precedente. Além disso, procedendo da mesma maneira, podemos sucessivamente definir os conceitos de dimensão 2, 3, 4, 5, ..., cada uma com base nas definições anteriores. Assim, um conjunto S terá dimensão n se não tiver qualquer dimensão inferior, e se cada ponto de S puder ser encerrado dentro de uma região arbitrariamente pequena cuja fronteira corte S em um conjunto de dimensão n — 1. Por exemplo: o plano tem dimensão 2, uma vez que cada ponto do plano pode ser encerrado dentro de um círculo arbitrariamente pequeno, cuja circunferência tem dimensão 1. Nenhum conjunto de pontos no espaço comum pode ter dimensões maiores do que 3, uma vez que cada ponto do espaço pode se tornar o centro de uma esfera arbitrariamente pequena cuja superfície tem dimensão 2. Porém, na Matemática moderna, a palavra “espaço” é utilizada para representar qualquer sistema de objetos para o qual uma noção de “distância” ou “vizinhança” é definida, estes “espaços” abstratos podem ter dimensões maiores do que 3. Diz-se que um espaço que não tem dimensão n para qualquer inteiro tem dimensão infinita. Muitos exemplos destes espaços são conhecidos. Estas observações sugerem o seguinte Teorema, atribuído a Lebesgue e Brouwer: se uma figura n-dimensional é coberta de alguma maneira por sub-regiões suficientemente pequenas, então existirão pontos que pertencem a pelo menos n + 1 destas sub-regiões; além disso, é sempre possível encontrar uma cobertura por regiões arbitrariamente pequenas para as quais nenhum ponto pertencerá a mais do que n + 1 regiões. Em razão do método de cobertura aqui considerado, este é conhecido como o Teorema do “ladrilhamento”. Ele caracteriza a dimensão de qualquer figura geométrica: aquelas figuras para as quais o teorema é válido são n-dimensionais, enquanto que todas as outras são de alguma outra «dimensão. Por este motivo, ele pode ser tomado como a definição de dimensionalidade, como é feito por alguns autores.

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Outra definição de dimensão, também introduzida por Poincaré, baseia-se no número de geradores do grupo de deslocamentos ou no número de rotações. Se tomarmos uma linha, teremos uma única direção de deslocamento e nenhuma possibilidade de rotação, pois isso exigiria um segundo eixo. Se tomarmos uma superfície, há duas direções de deslocamento e plano de rotação. Se tomarmos três eixos linearmente independentes, teremos três direções de deslocamento e três planos de rotação. Abstraindo para um sistema de 4 direções de deslocamento, teremos seis matrizes de rotação. O número de matrizes de rotação são todas as combinações distintas dos eixos (retas ou linhas) que formam planos coordenados (ou superfícies coordenadas).

Matematicamente, o número de rotações (n) será as combinações distintas entre o número de eixos, que define o número de dimensões inteiras e deve ser maior que 1, do espaço em questão:

n  C2d

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n

n

d! 2! d  2 !

d   d  1 d  2 ! 2  d  2 !

Simplificando obtemos a fórmula do número de rotações:

n

d   d  1 2

Para dimensões menores que dois, não há planos, portanto o número de matrizes de rotação é zero. Se tomarmos d = 0 ou d = 1, o número de rotações será zero. Portanto, embora tenhamos deduzido essa regra a partir de uma condição de d > 1, esta regra pode ser aplicada para todo d inteiro não-negativo. O número total de translações é igual ao número de dimensões espaciais:

nT  d Para o espaço-tempo, chamamos as matrizes de rotação nos planos com o eixo temporal ct de boosts de Lorentz. Em um espaçotempo de n dimensões, o número de boosts será:

nB  d  1 O número de rotações espaciais é a diferença entre o número de rotações e boosts de Lorentz:

nR  nS  nB Portanto, o número de rotações total será dada por:

n

nT  nB 2

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2nS  nT  nB  0

2  nR  nB   nT  nB  0

2nR  2nB  nT  nB  0 que nos fornece a seguinte identidade:

n  nR   T  1  nB  0  2  O número total de geradores de um grupo de deslocamento é a soma do número de translações pelo número total de rotações (espaciais e boosts):

N  nT  nS Em termo das dimensões do espaço, obtemos:

N d

N

d   d  1

2 2d  d   d  1

2 2d  d 2  d N 2 d  d2 N 2

Evidenciando d, obtemos o número total de geradores:

N

d   d  1 2

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Até aqui categorizamos o número de matrizes de rotação e o número total de geradores de um grupo por meio das dimensões do espaço. Agora trataremos do problema inverso: dado o número matrizes de rotação e de geradores, como podemos definir o número de dimensões do espaço? Como nossas fórmulas diferem apenas por um sinal, podemos deduzir a fórmula geral. Denotaremos por n+, o número de geradores totais e n-, o número de matrizes de rotação.

n 

d   d  1

2 d  d  2n 2

Complementando os quadrados:

1 1  2n  4 4 2 1 1   d    2n  2 4 

d2  d 

Multiplicando por 4, para eliminar o denominador: 2

1  4  d    8n  1 2  2

  1   2  d  2    8n  1   

 2d  1

2

 8n  1

2d  1  8n  1 Para eliminarmos o módulo, devemos analisar qual o valor mínimo da raiz. O menor valor de n é zero, isto é, o espaço de um ponto, de dimensão d = 0, portanto o valor mínimo da raiz é a

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unidade). Portanto, para n > 0, a raiz será maior que 1. Portanto, nessas condições teremos: 2d  1  1

que resulta em duas equações algébricas:

2d  1  1 2d  1  1 da primeira equação obtemos as seguintes soluções: d

d  1, para n 1 1   2 d  0, para n

Como o número de dimensões do espaço é sempre positivo (exceto para o conjunto vazio, mas nossa análise não abrange esse tipo de espaço), a raiz positiva é possível. Vejamos a raiz negativa: d

d  1, para n 1 1   2 d  0, para n

Essa solução só é possível se admitirmos dimensões negativas, que não está fora do escopo da nossa análise. Portanto, devemos rejeitar as soluções negativas e manter apenas as positivas:

2d  1  8n  1

2d  8n  1 1 d

8n  1 1 2

Portanto as dimensões do espaço podem ser obtidas a partir do número de matrizes de rotação e geradores totais do grupo de deslocamento:

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8N  1  1 2 8n  1  1 d 2

d

Em 1905, Poincaré descobriu o Grupo de Lorentz e mostrou que esse grupo apresentava seis matrizes de rotações. Qual o número de dimensões desse espaço?

d

8 6 1 1 2 d 4

Portanto, o espaço-tempo não pode ser descrito apenas com grandezas tridimensionais, mas exige grandezas tetradimensionais. Em seu ensaio, Poincaré obtém essas novas grandezas, embora ele mesmo não tenha introduzido o conceito de 4-vetor. Não se trata de falta de conhecimento, mas de uma preferência. Enquanto físicos como H. Lorentz adotavam o formalismo vetorial de Grassmann e Heaviside, Poincaré se mantinha fiel a forma cartesiana, a mesma empregada por J. Maxwell. Atualmente sabemos que esta quarta dimensão é o tempo. Mas como Poincaré e, posteriormente, Minkowski chegaram a essa conclusão? A resposta é bastante simples. 3 matrizes de rotação envolviam a quantidade ct e as novas grandezas tetradimensionais eram escalares escritas em função do tempo. Em outras palavras, foi o conceito de Grupo e geradores do Grupo de Rotação de Lorentz que indicam o número de dimensões do espaço-tempo. Em 1908, Minkowski introduziu o grupo de deslocamentos do espaço-tempo, que ficou conhecido como Grupo de Poincaré. O grupo de deslocamentos contém 10 geradores (6 matrizes de rotação e 4 vetores de deslocamento). Por meio desse

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grupo, Minkowski concluiu, como Poincaré, que o espaço-tempo tem 4 dimensões.

d

8  10  1  1 2 d 4

Embora Minkowski estivesse ciente do trabalho de Poincaré, ele afirmou que seu trabalho era essencialmente diferente e mais amplo que o de Poincaré. A afirmação é um pouco exagerada e os historiadores da ciência concordam que Poincaré antecipou diversos aspectos das contribuições de Minkowski. Devemos registrar que a ideia de um contínuo de espaço-tempo aparece explicitamente apenas no trabalho de Minkowski. Poincaré havia observado que o Grupo de Lorentz deve manter invariante a forma quadrática:

J 2  c2t 2  x2  y 2  z 2 Minkowski introduziu o elemento de arco do espaço-tempo:

ds 2  c2dt 2  dx2  dy 2  dz 2 e observou que esse intervalo deve ser um invariante. Portanto, as transformações do espaço afetam as transformações do tempo e vice-versa, de forma que não é possível desassociar estas duas grandezas e não há pontos singulares, isto é, regiões na variedade onde não possamos estabelecer um sistema local de coordenadas. Embora todas essas informações estejam contidas na análise de Poincaré e apareçam em algumas passagens isoladas, foi Minkowski que explorou o seu significado. Os críticos da Teoria de Cordas e suas variantes, como Feynman, apontam que o número de dimensões não derivada da teoria, mas decidido à priori para que o modelo se ajuste aos fenômenos. O problema de dimensões extras, porém tem raízes mais profundas.

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Kaluza e Klein já haviam demonstrado que um grupo com 10 matrizes de rotação geravam as equações da Relatividade Geral e do Eletromagnetismo. 8  10  1  1 d 2 d 5 Ou seja, Kaluza e Klein obtiveram a primeira evidência de um espaço-tempo 5-dimensional. A nova dimensão não podia ser identificada com nenhuma grandeza física conhecida. Foi descoberto que ela seria semelhante a um cilindro, porém menor que o elétron. Einstein conhecia esse resultado e em um primeiro momento se mostrou favorável, é desta época que Einstein proferiu uma máxima: “o universo é cilíndrico”. Porém o alto grau de abstração matemática e a estranheza sobre a forma e escala da nova dimensão levaram a Einstein rejeitar esse espaço-tempo. Portanto, a inclusão de novas dimensões é um problema que também envolve a percepção dos físicos. A Teoria M, proposta por Eugene Witten, que permite unificar os cinco modelos de Teoria de Cordas e o modelo de Gravitação Quântica, exige 11 dimensões. A título de curiosidade, vamos calcular o número de matrizes de rotações e de geradores do grupo de deslocamentos.

11 11  1 2 n  55

n

11 12  2 N  66

N

Os teóricos de cordas precisam calcular 55 matrizes de rotação, 11 vetores de translação, totalizando 66 geradores. Como veremos, só as seis matrizes do espaço-tempo exigem um número extenso de cálculos secundários, imaginem 55 matrizes? Além da complexidade

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física e matemática inerente a própria teoria, a teoria exige um trabalho extenso de programação e o uso de softwares em matéria simbólica para facilitar a parte operacional. Podemos obter uma outra relação importante sobre aos números possíveis de matrizes de rotação e geradores. Assumimos que as dimensões do espaço são inteiras não-negativas. Isso implica que o numerador de nossas equações seja um número par, para ser divisível por dois: 8n  1  2d  1 Essas equações implicam que a nossa raiz quadrada deve ser sempre um número ímpar. Caso contrário, não irá gerar um número par e, desta forma, a dimensão do espaço será fractal.

8n  1   2d  1

2

8n   2d  1  1 2

n

 2d  1 

2

1

8

Essa fórmula também nos fornece o número de matrizes e geradores. Ela revela uma interessante simetria. Se estendermos d para acomodar dimensões negativas, podemos verificar esse espaço hipotético. Tomemos a fórmula de rotação para d negativo: N d d d d

 2d  1

 1  2  3  4

2

1

8 N 0 N 1 N 3 N 6

nT  d d  1 nT  1 d  2

nT  2

d  3

nT  3

d  4

nT  4

n d d d d

 2d  1

 1  2  3  4

2

1

8 n 1 n3 n6 n  10

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Os espaços de dimensão negativa deveriam apresentar deslocamentos negativos, só desta forma o número de geradores totais poderia ser menor que o de matrizes de rotação. Porém essas duas premissas são contraditórias, pois o número total de geradores não pode ser menor que o número parcial. Porém, há uma maneira de contornar esse paradoxo. Se no espaço de dimensão negativa, as rotações se transformarem em translações e vice-versa, as equações voltam a fazer sentido:

nT

 2d  1 

2

1

n  d

8 d  1 nT  0

d  1 nT  1

d  2

d  2

nT  1

nT  2

d  3 nT  3

d  3 nT  3

d  4

d  4

nT  6

nT  4

 2d  1 N d d d d

 1  2  3  4

2

1

8 n 1 n3 n6 n  10

Assim como os espaços de dimensão fractal, os espaços de dimensão negativa ainda são assuntos controversos na física e na matemática. Até aqui as nossas conjecturas sobre esse espaço negativo não são rigorosas, são apenas extrapolações curiosas e apenas podemos concluir é que assim como o problema do espaço, a questão da dimensionalidade ainda é um problema em aberto. No quinto volume dessa coleção, exploramos o espaço de dimensões negativas a partir dessa formulação. Nossa conclusão preliminar é que o espaço negativo é o equivalente a espaços naturalmente curvados, onde o deslocamento de partículas apenas correspondem a rotações. A hipótese se mostra não apenas oportuna no campo da geometria, da topologia e das álgebras de Clifford, mas também para o desenvolvimento de uma física topológica (que é o assunto tratado no oitavo volume dessa coleção).

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5.

Conceitos de Massa

Um tópico muito importante na história e no desenvolvimento da Teoria da Relatividade são os conceitos de massa. Atualmente fazemos pouca distinção entre esses conceitos. Algumas vezes os livros falam em massa inercial, massa relativística e massa de repouso. A exceção do primeiro conceito, os outros dois são problemáticos, como veremos. Max Jammer (2004) proporcionou um importante estudo sobre o conceito de massa. Quando analisamos, em retrospecto, esses diferentes conceitos, vemos um riqueza de definições e que podem facilitar a compreensão dos fenômenos. O ponto de inflexão dos conceitos de massa atinge seu auge em 1907, com o exame teórico de Max Planck sobre a inércia da energia gravitacional, a enunciação do princípio da equivalência de Albert Einstein e a prova experimental da equivalência entre a massa inercial e a massa gravitacional passiva. Em 1904, Hasenhörl e, em 1905, Abraham mostraram que uma caixa cheia de radiação apresenta uma inércia maior que uma caixa vazia. Porém, nenhuma dessas considerações poderia ser usada para discutir a variação do peso da caixa. Para os físicos do século XIX e começo do XX, havia uma distinção muito clara entre massa inercial e massa gravitacional. Atualmente são raros os livros que fazem essa distinção. Uma compreensão precipitada do princípio da equivalência levou os autores usarem apenas o conceito de massa como uma ideia geral. Não é raro que os autores usem a massa gravitacional para deduzir fenômenos onde deveríamos aplicar o conceito massa inercial, por uma questão histórica e epistemológica. Essa generalização também cria um obstáculo epistemológico, pois como a massa é em geral associada ao conceito de peso, não apenas no cotidiano, mas nas aulas de física, muitas vezes alunos e professores não conseguem entender a primeira e a segunda lei de Newton. Por exemplo,

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considere um astronauta sobre o efeito de imponderabilidade. Suponha que o astronauta foi envenenado por seu arqui-inimigo e há dois frascos idênticos opacos: um contém a substância que pode salvar a vida dele e o outro contém um veneno poderoso. Sabendo que a massa do veneno é duas vezes maior que a do antidoto, como o astronauta pode identificar o frasco correto? A nossa intuição tende a dizer: basta segurar os dois e ver qual é mais pesado. Isso seria o suficiente se o astronauta não estivesse sobre imponderabilidade. Esse é um problema que o peso do corpo não pode ser usado. A solução é igualmente simples. Basta girar os dois frascos, o que girar mais rápido é o antídoto, pois o momento de inércia de um corpo é proporcional a massa inercial. Você poderia também dar petelecos nos dois frascos, o que ganhar mais velocidade é o antídoto. Minha experiência como professor mostrou que 99% dos alunos não conseguem resolver essa questão, simplesmente porque eles associam massa à peso, e de toda pluralidade de características que o conceito de massa apresenta, os alunos desenvolvem apenas a percepção das propriedades associadas a massa gravitacional passiva. O moderno conceito de massa é uma fusão de outros conceitos: massa inercial cinética, massa inercial maupertusiaiana, massa inercial acelerativa longitudinal, massa inercial acelerativa transversal, massa gravitacional passiva, massa gravitacional ativa. Quando falamos em massa, nesse sentido amplo, o esperado é que o aluno ou o físico tenha todos esses conceitos e consiga identificá-la no sistema físico em questão. Quando estudamos mecânica, apresentamos aos alunos as diversas formas de forças: tração, empuxo, atrito, contato, elástica, normal e congêneres. A verdade que todas essas forças são da mesma natureza, são forças eletromagnéticas. Poderíamos, assim como no conceito de massa, referir-nos como forças eletromagnéticas. Porém,

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isso tornaria muito mais difícil compreender o conceito envolvido em cada uma. Outro exemplo, é a energia. Temos três grandes classes de energia: cinética, que pode ser de translação, rotação ou vibração; energia potencial, que pode ser elétrica, gravitacional, elástica etc; formas de transmissão: térmica, sonora e luminosa. Todas estas classes são manifestações de uma grandeza física chamada de Energia. Nos cursos de Mecânica, um dos tópicos mais importantes consiste em identificar as formas de energia envolvida em cada instante do sistema físico. Problemas mecânicos analisados do ponto de vista energético, consistem em identificar a forma que a energia assume e aplicar os princípios de conservação. Acho que agora está claro o que eu quero dizer. Quando falamos de energia, estamos falando de uma única entidade que apresenta várias manifestações, portanto nossos olhos são treinados a encontrar essas diferentes transformações. O mesmo ocorre com o conceito de equilíbrio estático. Porém, quando falamos sobre massa não estamos acostumados a caracterizar os tipos de massa envolvido, do mesmo jeito que fazemos com a energia. Resolvemos os problemas, mas sem compreender qual característica da massa nos foi útil no problema. Por isso se utilizarmos um sistema de classificação de massas semelhante ao que fazemos com o conceito de energia, fica mais fácil para o estudante compreender as questões conceituais mais sutis. Nesse livro, usaremos essa abordagem. Como não iremos discutir gravitação, não iremos abordar os conceitos de massa gravitacional ativa e massa gravitacional passiva. Nosso foco será a massa inercial, um conceito que durante o desenvolvimento histórico da Teoria da Relatividade Especial apareceu sobre diferentes formas e em diferentes contextos. Nas próximas seções iremos conceituar e diferenciar cada uma dessas inerciais.

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A. Massa Inercial Própria Em Teoria da Relatividade Especial não existe um referencial privilegiado que possamos atribuir o repouso absoluto. Todos os referenciais inerciais são equivalentes. Portanto para corpos materiais que se deslocam com velocidades inferiores à velocidade da luz, podemos sempre construir um referencial onde esses corpos estejam em repouso. Nesse referencial, os corpos efetuam aquilo que Einstein batizou de medidas próprias: comprimento próprio, tempo próprio, massa própria e congêneres. Para partículas que se deslocam à velocidade da luz não existe um referencial próprio, pois em todos os referenciais inerciais, esse corpo continuará se deslocando à velocidade da luz. Na mecânica quântica, esse conceito torna-se problemático devido ao princípio da Incerteza:

dr dp 

2

Não podemos construir um referencial próprio para as partículas, pois isso implicaria que teríamos certeza absoluta sobre a posição dessa partícula e o momento (que seria zero). Portanto, o princípio da incerteza nos impõe uma restrição sobre a construção de nossos referenciais inerciais. Apesar dessa dificuldade, não há uma incompatibilidade entre a Teoria da Relatividade Especial e a Mecânica Quântica. Com efeito, há questões em aberto como estudo do momento associado à ondas luminosas em meio transparentes, contudo isso não significa que as teorias sejam incompatíveis. Como esse livro é um estudo sobre Teoria da Relatividade Especial e não um curso de Teoria Quântica Relativística, podemos nos dar ao luxo de ignorar essa restrição imposta pelo princípio da Incerteza. E aqui merece uma ressalva: dar ao luxo significa dizer que os efeitos quânticos estão em uma escala que nossos

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instrumentos não permitem medir ou que não influenciam consideravelmente em nossos resultados. Não estamos dizendo que eles não existem. Eles existem, estão ali. Só não iremos nos ocupar deles. E aqui está uma boa lição de filosofia da ciência: o progresso da ciência depende em ignorar certas anomalias ou restrições para que nossos modelos sejam manipuláveis. Aqui vale a metáfora artística: primeiro esculpimos o Davi da pedra bruta, depois nos ocupamos de acertar os detalhes. B. Massa Inercial Cinética O conceito de massa inercial cinética aparece de forma implícita no trabalho de J. J. Thompson, de 1881, sobre energia de uma carga em movimento no éter. Os estudos sobre cargas em movimento, levaram aos pesquisadores a concluírem a existência de uma massa eletromagnética. Paul Langevin (1913) denominou essa massa que era deduzida a partir de considerações a respeito da energia cinética, de massa cinética. Na Teoria da Relatividade Especial, para um corpo material, essa massa é expressa por (COSTA, 1995, p. 49): mK  2mo  2    1

2 

v2 1 ,   2 c 1  2

mK  massa cinética mo  massa própria A massa cinética é pouco encontrada na literatura, mesmo a monografia de Jammer sobre os conceitos de massa, cita apenas duas vezes a massa cinética. Apesar da pouca ênfase dada a este conceito, ele é fundamental no estudo das colisões relativísticas. Como na Teoria da Relatividade trabalhamos com o conceito de 4-momento e

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mesmo em repouso, o 4-momento não é nulo. Esse fato implica que devemos atribuir uma inércia para a energia, como a massa é uma medida da inércia e esta é devida da energia cinética, mais precisamente, uma contribuição da massa cinética. No caso de um fóton, podemos atribuir uma massa cinética, pois essa partícula nunca se encontra em repouso. De fato, podemos dizer que o fóton é um pacote constituído apenas por energia cinética. Max Planck mostrou que a energia para cada fóton é uma função de sua frequência:

E  h A energia cinética apresenta uma inércia dada pela relação massaenergia:

E  mk c 2 Igualando as duas equações:

mk c 2  h Portanto a massa cinética do fóton é dada por:

mk 

h c2

Podemos expressar essa mesma equação em função do comprimento de onda da radiação:

mk 

h c

A razão entre a constante de Planck e o comprimento de onda é o momento linear do fóton, isso significa, como veremos adiante, a massa cinética do fóton é igual a sua maupertuisiana.

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C. Massa Inercial Maupertuisiana de Poincaré Outra maneira de se definir a massa é a partir do seu momento linear. Esse tipo de massa foi denominada por Langevin (1913) de massa maupertuisiana de Poincaré, devido ao conceito de mínima ação formalizado por Pierre Louis Moreau de Maupertuis que permitiu Poincaré associar uma massa a radiação em 1900. Para corpos materiais, definimos a sua massa maupertuisiana por meio da seguinte regra:

m p   mo Isso implica que a massa cinética de um corpo é proporcional a diferença entre a massa maupertusiana e a massa própria: mK  2  2  m p  mo 

Isolando a diferença entre as massas, obtemos:

mK   m p  mo  2 2 mK c 2   m p  mo  2v 2 mK mo     1 2v 2 c 2 Multiplicando a equação por c4, o lado direito corresponderá a energia cinética relativística:

mK c 4 K 2v 2 1 mK c 2 K 2  2

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Portanto a nova equação da energia cinética preserva alguma semelhança com a equação clássica. Se substituirmos o valor da massa cinética, obteremos: K   m p  mo  c 2

Ou seja, a energia cinética de uma partícula é a diferença entre a massa maupertuisiana e a massa própria. Esta é uma outra expressão para a relação massa-energia. Em termos de energia, podemos escrever essa equação como:

K  E  Eo

E   Eo em outras palavras, a energia cinética de um corpo é diferença de sua energia pela sua energia própria. A radiação apresenta um momento, portanto também podemos atribuir a ela uma massa maupertusiana. As componentes do 4momento são: E  pi   , p  c  Como o 4-momento da luz é um vetor de comprimento nulo, sua norma deve ser zero:

pi p i  0 pi p i  p2 

E2  p2 c2

E2 c2

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A energia de um fóton é definida pela lei de Planck, enquanto o momento linear da luz pode ser definido como o produto de sua massa maupertuisiana pela velocidade da luz:

h 2 2 mc  2 c h mp  2 c 2 2 p

que é a mesma expressão da massa cinética. Portanto para a radiação, é válida a seguinte relação:

mk  m p 

h c2

E para todas as formas de radiação podemos escrever a relação massa-energia: E mk  m p  2 c Porém, o mesmo não é válido para corpos materiais. A massa cinética de uma partícula não é igual a sua massa maupertusiana, portanto a relação massa-energia para essa partícula se aplica apenas a sua massa própria e a sua massa maupertusiana;

mp 

E , c2

mo 

Eo c2

Para corpos extensos e meios contínuos, a relação massa-energia não pode ser aplicada, pois o momento não pode ser mais definido como o produto da massa pela velocidade. Conforme cada caso, ou se utiliza a relação massa-entalpia deduzida em 1907 por Max Planck, ou utiliza-se o tensor momento-energia-tensão de Max Von Laue. Por isso é importante compreender as diferenças conceituais e os seus limites.

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D. Massa Inercial Acelerativa Outra forma de se definir a massa é a partir do conceito de força. Uma força pode agir na direção paralela ou perpendicular ao deslocamento de um corpo, por isso há dois conceitos de massa inercial acelerativa: massa longitudinal e massa transversal. m   mo m   3mo

Observe que a inércia transversal é muito maior que a inércia longitudinal. Isso significa que é mais fácil acelerar ou desacelerar um corpo na direção do movimento que defleti-lo. Registre-se também que esse tipo de massa não pode ser associado à radiação, porque ela não pode ser acelerada. Portanto a massa acelerativa se aplica apenas aos corpos materiais. Observe que assim como ocorre com a massa cinética para a radiação, a massa acelerativa longitudinal coincide com a massa maupertusiana. Portanto, podemos expressar a equação da massa cinética de um corpo material em função de sua massa acelerativa. mK  2  2  m  mo 

Isolando a massa acelerativa, obtemos:

m 

mK  mo 2 2

Usando a expressão da energia cinética que deduzimos anteriormente, a relação se torna:

m 

K  mo c2

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Desta equação podemos concluir que o aumento de massa na direção longitudinal se deve a energia cinética de translação que é transferida para o sistema. Mas no caso transversal, como devemos interpretar o aumento de inércia? Quando uma força age perpendicularmente ao movimento da partícula, ela produz aplica um torque. Nessas condições há uma variação da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. Se o corpo estiver em repouso e um trabalho for feito sobre esse corpo, a variação de energia cinética será: K   m c 2

A essa equação que se deve à propriedade de liberação de grandes quantidades de energia durante processos de fissão ou fusão nuclear.

ATENÇÃO

A MASSA NÃO É TRANSFORMADA EM ENERGIA! A MATÉRIA NÃO É CONVERTIDA EM ENERGIA! NÃO EXISTE EQUIVALÊNCIA MASSA-ENERGIA! COMO A ENERGIA CONTRIBUI PARA O CONTEÚDO INERCIAL, QUANDO A ENERGIA É LIBERADA, O SISTEMA SOFRE UMA REDUÇÃO DE SUA INÉRCIA TOTAL.

P á g i n a | 200

E.

Massa de Repouso da Luz

É muito comum encontrarmos em livros de Teoria da Relatividade que a massa de repouso (ou massa própria) da luz é zero. Como aponta Lesche (2005) essa é uma afirmação bastante dúbia. Como podemos dizer que a massa de repouso da luz é zero se não existe um referencial inercial onde a luz esteja em repouso? Em geral, o argumento utilizado é a equação de conservação da energia, obtida a partir da norma do 4-momento:

E 2  p 2c 2  mo2c 4 como o momento da luz é dado por:

p  Ec então, a equação acima se anula e concluímos que a massa é de repouso da luz deve ser zero.

mo  0 Há dois erros graves nessa análise. O primeiro é que estamos usando uma equação válida para grandezas físicas com intervalos do tipo tempo, enquanto a luz é uma partícula de intervalo do tipo luz, isto é, uma partícula com vetor de norma nula. O segundo erro é que estamos tacitamente assumindo que se fosse possível parar a luz, sua massa seria zero. Como podemos testificar esse fato, se não há um referencial em que a luz esteja em repouso? Em geral, adota-se a massa de repouso da luz igual a zero para escrevermos uma única equação entre o momento e a energia, porém isso é apenas uma convenção. Um acordo para tornar mais cômodo nossas análises. Contudo, esse acordo, do ponto de vista epistemológico, é um salto conceitual (e diga-se, um salto enorme) que não consegue sobreviver a guilhotina de Hume.

P á g i n a | 201

Até hoje a questão da massa de repouso da luz está em aberto. Um argumento forte para assumir que a massa de repouso da luz é zero aparece na teoria quântica de campos, quando se estuda o alcance das forças elementares. Na Teoria Quântica de Campos, a força eletromagnética, que mediada pelos fótons, e a força gravitacional, que é mediada pelos gravítons, teriam alcance infinito, porque seus bósons mediadores tem massa nula de repouso. Há pesquisadores que discordam. Uma maneira de se medir a massa de repouso na relatividade, seria a partir de um referencial no éter, já que seria possível “desacelerar” a luz até o repouso. Porém, o Princípio da Relatividade proíbe que o éter seja usado como referencial. Na teoria da relatividade com éter, podemos falar em uma massa de repouso da luz em relação ao éter, mas que é inacessível a experiência. Na teoria da relatividade sem o éter, devemos rejeitar o conceito de massa de repouso da luz. Portanto, parece-nos que na Teoria da Relatividade Especial, o mais adequado é se dizer é que o conceito de massa de repouso da luz tem a mesma natureza ontológica do éter: uma concepção metafísica, inacessível a qualquer experiência. F. Massa “Relativística” Outro conceito problemático e muito difundido é a chamada massa relativística. Em nossas definições usamos conceitos de momento linear, energia cinética e força para definir as diferentes massas inerciais. Também definimos o conceito de massa própria, que á aquela que o corpo apresenta em seu referencial próprio e pode ser medida no equilíbrio usando dinamômetros. A partir da Lei da Gravitação podemos definir as massas gravitacionais ativa e passiva. No final do século XIX e começo do século XX, os pesquisadores falavam em uma massa de origem eletromagnética e uma massa de origem mecânica. A massa eletromagnética seria definida como

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aquela que aparece da interação dos corpos carregados com o éter. Posteriormente, descobriu-se que a massa mecânica deveria ser nula ou muito pequeno para os elétrons e sua inércia seria apenas de natureza eletromagnética. Larmor propôs que a massa eletromagnética seria a condensação do éter e por isso ela variava com a velocidade. O conceito de Larmor é semelhante ao conceito de campo de Higgs, com uma importante diferença: o campo de Higgs pertence a teoria quântica de campos (e é muito mais sofisticado) e o campo de Larmor, é uma teoria clássica do elétron. Com a adoção da interpretação de Einstein e a rejeição do éter, a distinção de massa eletromagnética e de massa mecânica foi abandonada na física. Tendo feito essa contextualização, podemos nos perguntar: como se define uma massa relativística? Os pesquisadores do século XIX e XX tinham boas razões para definir uma massa eletromagnética. Os corpos carregados em alta velocidade sofriam mudança de sua inércia. A partir dos conceitos de momento, energia e força podemos definir diferentes conceitos de massa, que como vimos tem as suas peculiaridades e coincidem apenas para situações particulares. Uma Teoria pode ser classificada a partir da quantização da energia: se a energia for continua para todos os sistemas físicos possíveis, ela é chamada de Clássica, se a energia for discreta, denominados de Quântica. Dizemos que uma teoria relativística se ela for covariante de Lorentz. Por isso que existem Teorias Clássicas e Teorias Quânticas que são Relativísticas ou Não Relativísticas. Seguindo esse raciocínio, poderíamos definir a massa relativística como sendo aquela que é covariante em Lorentz. Nossa definição acima tem vários problemas, mas há um que me parece mais relevante que os outros: na Teoria da Relatividade temos quatro transformações para a massa: uma para massa cinética, uma para a massa maupertuisiana e duas para a massa acelerativa, e mais

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grave, cada uma delas tem sua própria regra. O conceito de massa relativística então diria respeito a três tipos de massa, e seria apenas uma nomenclatura adicional que não traria nenhum benefício ou conceito novo, podendo até criar ambiguidades. Reconhecendo nossa incapacidade de definir um conceito rigoroso de massa relativística, podemos consultar como os autores que adotam esse termo definem a massa relativística. Talvez onde estamos fracassando, eles tenham tido mais sorte. Uma pesquisa na internet mostra que os autores chamam de massa relativística, a seguinte relação: m

mo 1

v2 c2

Mas essa equação é a transformação da massa maupertusiana e da massa longitudinal. Qual delas os autores se referem? É difícil saber, porque eles não tecem nenhuma explicação. Os poucos sites e livros que deduzem essa relação, usam considerações envolvendo conservação do momento, portanto podemos induzir que eles se refiram a massa maupertuisiana. Outro ponto que parece corroborar essa hipótese é que o uso dessa transformação como um parâmetro na Teoria da Relatividade Especial, apareceu em um trabalho de Max Planck em 1906. Planck estava insatisfeito com as ambiguidades a respeito do conceito de massa e por isso ele procurou uma forma mais geral de se obter todas as transformações de um único princípio. Inicialmente, Planck deduziu a equação de Hamilton relativística e usando as transformações de Legendre, obteve a lagrangeana relativística.

L  pi xi  H

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L   1

vi2 2 mc  V  xi  c2

Usando a definição de momento canônico, Planck derivou a expressão do momento:

pi  pi 

L vi mo vi vi 2 c2

1

Identificando o momento como o produto da massa pela velocidade, Planck derivou a transformação da massa maupertuisiana: m

mo 1

vi 2 c2

Max Planck mostrou que por meio da definição de massa maupertuisiana, é possível recuperar toda as outras transformações de massa. Portanto, o que se costuma chamar de massa relativística é a massa maupertuisiana obtida a partir do momento canônico. Como as definições para massa relativística costumam ser superficiais e não discutem suas contribuições no estudo das colisões e da energia, e suas transformações para corpos submetidos a forças longitudinais e transversais, a ideia de massa relativística traz mais prejuízo do que simplificação. Nesse livro, iremos usar a nomenclatura proposta por Langevin.

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6. Fundamentos Matemáticos Elementares da Teoria Relatividade Especial A. O Espaço Hiperbólico de Lobachesvky-Poincaré Construiremos uma Teoria da Relatividade Especial consistente com todos os fenômenos deduzidos por pesquisadores desde 1898, em especial Poincaré, Lorentz, Einstein, Planck, Laue, Minkowski, a partir da geometrização do espaço-tempo de Poincaré-Minkowski, que é um caso particular de um espaço de Lobachevsky. Nosso ponto de partida serão três postulados: 1) O Princípio da Relatividade de Poincaré 2) O Postulado de Kepler-Fresnel. 3) O Postulado de Voigt-Cunningham Isso significa que nossa teoria é covariante em Lorentz e preserva o princípio da inércia. Após discutir esses conceitos fundamentais, vamos definir dois sistemas inerciais de referência. Convencionaremos que o sistema S de coordenadas (x, y, z, t) é o sistema estacionário, enquanto o sistema S’ de coordenadas (x’, y’, z’, t’) é um sistema animado como velocidade v, na direção x, em relação ao sistema estacionário S. Por construção, os eixos y e z devem sempre coincidir com os eixos y’ e z’.

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Por construção, as transformações que iremos estudar devem afetar apenas as coordenadas (x, t). Nossas equações implicam que a forma quadrática abaixo deve ser um invariante, para qualquer sistema inercial de coordenadas:

s 2  c2t 2  x2  y 2  z 2 Como as transformações relativísticas não alteram as componentes transversais, podemos reduzir a nossa forma quadrática a seguinte equação:

J 2  c 2t 2  x 2 onde J² é a soma dos quadrados do invariante s², e das coordenadas y² e z². A nossa forma quadrática é a equação de hipérbole, portanto a transformação que preserva a sua forma, como exige o quarto postulado, deve ser uma rotação hiperbólica nos eixos x e t do espaço-tempo de Poincaré-Minkowski.

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Uma rotação hiperbólica é uma transformação de coordenadas definida pela seguinte regra:

 ct   cosh a sinh a   ct        x   sinh a cosh a   x  ct  ct  cosh a  x sinh a x  x cosh a  ct  sinh a Vamos provar que essa mudança de coordenadas não altera a forma quadrática:

J 2  c 2t 2  x 2 2 2 J 2   ct  cosh a  x sinh a    x cosh a  ct  sinh a  J 2   ct  cosh a  x sinh a    x cosh a  ct  sinh a  2

2

Agora, expandiremos os quadrados perfeitos e cancelando os termos comuns, J 2   ct   cosh 2 a  2 xct  cosh a sinh a   x  sinh 2 a 2

2

  x  cosh 2 a  2 xct  cosh a sinh a   ct   sinh 2 a 2

2

Evidenciando os fatores comuns, chegamos a expressão:

J 2   ct    cosh 2 a  sinh 2 a    x   cosh 2 a  sinh 2 a  2

2

Usando identidade fundamental da trigonometria hiperbólica,

J 2  c2t 2  x2 Portanto, podemos assumir que na relatividade especial, uma mudança de coordenadas entre dois sistemas de referenciais inerciais é uma rotação hiperbólica dos eixos espaço e tempo. Da teoria das matrizes, nós sabemos que se uma transformação direta preserva

P á g i n a | 208

uma forma, a sua transformação inversa também a preserva. Em outras palavras, a rotação hiperbólica preserva a forma quadrática independente o sentido de rotação. Definimos, a matriz de rotação inversa pela expressão:

 ct    cosh a  sinh a   ct        x    sinh a cosh a   x  ct   ct cosh a  x sinh a x  x cosh a  ct sinh a Até nos limitamos a obter a equação paramétrica para x e t, que mantém invariante a forma quadrática fundamental. Agora vamos tentar determinar quem são os parâmetros hiperbólicos. Sem perda de generaliza de podemos escolher x e t onde x’ coincide com a origem do sistema de coordenadas. Denotando essas coordenadas por xo e to e substituindo na segunda equação, obtemos:

0  xo cosh a  cto sinh a cto sinh a  xo cosh a sinh a xo  cosh a cto tanh a 

xo cto

Pelo princípio da inércia, os referenciais se deslocam com velocidade constante em linha reta, isso significa que a razão do espaço e do tempo em qualquer ponto do espaço-tempo deve ser v:

v

xo x1 x2    to t1 t2



xn  tn

Portanto, a razão entre xo e to define a velocidade relativa entre os referenciais inerciais:

P á g i n a | 209

tanh a 

v  c

Agora usaremos a relação fundamental da trigonometria hiperbólica para determinar os valores de cosh a e senh a.

cosh 2 a  sinh 2 a  1 Dividindo a expressão por cosh² a:

1  tanh 2 a 

1 cosh 2 a

Substituindo o valore de tangente hiperbólica,

1

1 v2  2 cosh 2 a c

1

v2 1  2 c cosh a

Isolando o cosseno hiperbólico, obtemos o resultado desejado:

cosh a 

1 v2 1 2 c



Por meio da tangente, podemos calcular o seno hiperbólico: sinh a  tanh a cosh a sinh a 



sinh a   Portanto as nossas funções hiperbólicas são:

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sinh a   cosh a   tanh a   Nossas transformações do espaço e tempo, são:

ct   ct cosh a  x sinh a x  x cosh a  ct sinh a yy

zz Dividindo a primeira equação por c, e substituindo os valores das funções hiperbólicas: t   t  x c x  x  ct  Abrindo o fator beta e realizando algumas operações algébricas, t     t  xv c 2  x    x  vt  yy

zz que são as transformações de Lorentz. Veja que esta dedução é muito mais simples que as apresentadas por Lorentz (1892, 1895, 1904), Poincaré (1905, 1906), Einstein (1905, 1907). Em nossas considerações usamos apenas a forma quadrática fundamental e a rotação hiperbólica e algumas propriedades básicas de trigonometria hiperbólica. Esse método se mostrará extremamente simplificador na construção das grandezas relativísticas.

P á g i n a | 211

B. Construindo 4-Vetores Vamos agora estudar a estrutura geral para a construção de 4vetores de grandezas físicas para podermos estudar como se transformam algumas grandezas mecânicas, eletromagnéticas e ópticas. Nossos 4vetores são estruturas algébricas que apresentam quatro componentes: J i   J o , J1 , J 2 , J 3 

Todas as componentes devem ter a mesma dimensão. A componente zero, também chamada de componente temporal, é sempre um escalar e, em geral, vem associada com a velocidade da luz no vácuo, pois o eixo x0 é o eixo espacial ct. As demais componentes, conhecidas como espaciais, são as componentes de um vetor no espaço. Nestas condições, podemos escrever:



Ji  Jo , J



Existe uma importante relação entre os vetores covariantes e contravariantes envolvendo o tensor métrico do espaço: J i  gij J j

Sendo a métrica de Poincaré-Minkowski diagonal orientada como (+,-,-,-), então as componentes do 4-vetor covariante se relacionam com as contravariantes por meio da lei:

J 0  g 00 J 0

J0  J 0

J 0  J0

J1  g11 J 1

J1   J 1

J 1   J1

J 2  g 22 J 2 J 3  g33 J 3



J2  J 2 J3   J 3

ou

J 2  J2 J 3   J3

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Por meio dos 4-vetores podemos construir invariantes relativísticos, forma quadráticas, que relacionam as componentes vetoriais e escalares: J i J i  J 0 J 0  J1 J 1  J 2 J 2  J 3 J 3

Substituindo os valores do 4vetor contravariante, obtemos: J i J i  J 0 J 0  J1 J1  J 2 J 2  J 3 J 3 J 2  J 02   J12  J 22  J 32 

Os termos em parêntesis são quadrado da norma de um vetor: J 2  J 02  J

2

J 2  J 02  J  J

O escalar J é um invariante, isto é, não depende da escolha do referencial. Escolheremos J como sendo a medida efetuada no referencial próprio, quando o ângulo de rotação é zero. J i   J 0 cosh 0  J1 sinh 0, J1 cosh 0  J 0 sinh 0, J 2 , J 3 

J io   J 0o , J1o , J 2o , J 3o  (referencial próprio do corpo)

Portanto nosso invariante pode ser expresso pelas relações: 2

Jo

2

 J 02  J

Jo

2

 J 02  J  J

J 0o 2  J o  J o  J 02  J

2

J 0o 2  J o  J o  J 02  J  J

Se as componentes vetoriais do 4vetor forem funções da velocidade, no referencial próprio elas se tornam todas nulas:

P á g i n a | 213

J 0o 2  J 02  J

2

J 0o 2  J 02  J  J

Uma consequência da covariância ca é que o módulo de um tensor não depende da escolha dos referenciais. Por fim, vamos introduzir a transformação dos 4-vetores do grupo de Lorentz: COVARIANTE J i   J o , J1 , J 2 , J 3 

J i   J 0 cosh a  J1 sinh a, J1 cosh a  J 0 sinh a, J 2 , J 3  J i    J 0   J 1 , J 1   J 0 , J 2 , J 3 

CONTRAVARIANTE J i   J 0 , J 1, J 2 , J 3 

J i   J 0 cosh a  J 1 sinh a, J 1 cosh a  J 0 sinh a, J 2 , J 3  J i    J 0   J 1 , J 1   J 0 , J 2 , J 3 

Registre que os p-vetores covariantes são chamados de p-formas ou p-covetores, enquanto os q-vetores contravariantes são chamados de q-vetores. Nesse trabalho iremos nos referir a ambos como vetores, sendo que a posição do índice indicará se trata de um vetor covariante ou contravariante. Com essas relações iremos conseguir construir os principais resultados da mecânica, óptica e do eletromagnetismo obtidos por Lorentz, Poincaré e Einstein entre 1904 e 1905.

P á g i n a | 214

C. O Cálculo-K Hermann Bondi (1980) introduziu um método bastante interessante para se deduzir os fenômenos relativísticos a partir da análise da simultaneidade em um diagrama de Minkowski. Até onde sabemos só existem três obras em língua portuguesa esse método: os livros A Teoria da Relatividade Restrita (BOHM, 2012), Relatividade e Bom Senso: Um Novo Enfoque das Ideias de Einstein (BONDI, 1971) e o ensaio Cálculo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade especial (CONTO, LIMA, ORTEGA, SCHMITZ, 2013). Nessa seção apresentamos uma síntese das ideias de Bondi, seguindo a abordagem a de Bohm. (2012, p. 175-190). Vamos construir um diagrama de Minkowski. Tomemos dois segmentos de reta ortogonais OA e OB que representam, respectivamente, o eixo ct e o eixo x. Cada ponto nesse diagrama representa um evento que é representado por suas coordenadas especiais e temporal. Para um observador estacionário S’, todos os eventos se encontram na linha AO, que denominamos de linha de mundo de S’. A linha OB representa todos os fenômenos simultâneos ao observador S’. Suponha que no evento O seja disparado uma onda esférica luminosa de raio ct. Para o observador a posição desse raio no eixo OB, devido ao princípio da isotropia, a linha de mundo dessse raio deverá ser descrito, pela seguinte função: x = ±ct, que correspondem, respectivamente, aos eixos OC (+ct) e OD (–ct). Para obtermos a inclinação dessa reta, basta tomarmos o arco-tangente das retas OC e OA:  OC    arctan    OA   ct    arctan    ct     4 (45º)

P á g i n a | 215

Portanto os raios OC e OD formam ângulos de 45 graus com os eixos OA e OB. Como observa Bohm (2012, p. 177) “é claro que em três dimensões há muitas direções possíveis para um raio de luz, de modo que todo o conjunto de raios de luz através de O é representado por um cone. As linhas OC e OD correspondem então à intersecção deste “cone de luz” com o plano x-ct.” Vamos supor um observador S se desloca com velocidade constante v em relação ao observador S’. Do ponto de vista geométrico, o observador S equivale a uma rotação hiperbólica dos eixos OA e OB com um ângulo . Se denotarmos por OE e por OF os eixos ct’ e x’, respectivamente, o diagrama de Minkowski, na perspectiva de S’, apresentará a seguinte representação:

E as transformações será dada por:

OE  OA cosh   OB sinh  OF  OB cosh   OA sinh  Se um evento for simultâneo no referencial S isso implica que o intervalo OE deve ser nulo.

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0  OA cosh   OB sinh  OA cosh   OB sinh  OA  OB tanh  Portanto os eventos simultâneos de S se localizam na reta OF e por isso no referencial S’, estes eventos não serão simultâneos. Se tomarmos a perspectiva do referencial S’, o diagrama de Minkowski assume o seguinte aspecto:

Suponha que os observadores S e S’ portam relógios idênticos e síncronos (conforme os métodos que discutimos anteriormente). Vamos supor que em intervalos constantes, o observador estacionário S’ envia sinais N1, N2, ..., Nn para o observador S. Estes sinais viajam à velocidade da luz e alcançam o observador S nos eventos N’1, N’2, ..., N’n.

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Se o observador S’ envia sinais em intervalos regulares To, o observador S receberá estes sinais em intervalos T devido ao efeito Doppler-Fizeau. Como já observamos, essa é uma consequência da própria natureza ondulatória da luz e não do princípio da relatividade. De qualquer forma, podemos definir uma constante K que é a razão entre os dois períodos.

K

T To

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Suponha que que assim que o pulso é recebido pelo observador em S, ele é imediatamente refletido para o observador S’. Assim, podemos dizer que o referencial S emite sinais M1, M2, ..., Mn em intervalos regulares To e que são recebidos em M’1, M’2, ..., M’n em intervalos T’. Para este referencial podemos definir o equivalente a constante K,

K 

T To

P á g i n a | 219

Observe que entre os eventos Ni e N’i e os eventos Mj e M’j, traçamos linhas NiN’i e MjM’j. Como estas linhas representam as linhas de mundo de raios luminosos trocados entre os referenciais S’ e S, as linhas NiN’ devem ser paralelas ao eixo OC e as linhas MjM’j, paralelas a OD. Bohm (2012, p. 180) assinala que: “os caminhos dos sinais de rádio, com uma inclinação de 45°, indicam que em ambos os sistemas a velocidade da luz tem o mesmo valor, c. É assim que incorporamos no diagrama de Minkowski o fato observado de que a velocidade da luz é invariante, a mesma para todos os observadores.”. Se o espaço a propagação da velocidade da luz é isotrópica e não existe um referencial privilegiado, isto é, os referenciais S’ e S são equivalentes, como impõe o princípio da relatividade, a razão dos períodos não deve depender do referencial adotado,

K  K Devemos nos lembrar, no entanto, que o exposto é verdadeiro apenas em uma teoria relativista, na qual a luz tem a mesma velocidade em cada sistema de referência. Assim, na mecânica newtoniana, os raios de luz seriam representados como linhas a 45 ° dos eixos apenas em um sistema em repouso no éter, de modo que o raciocínio pelo qual mostramos a igualdade de K e K’ não seria insustentável. (BOHM, 2012, p. 182). Após essas considerações, vamos introduzir o cálculo K. Suponha que na posição O, os observadores em S’ e S troquem sinais luminosos e sincronizem seus relógios. Como nessa posição, ambos ocupam o praticamente o mesmo espaço, a troca de sinais luminosos será praticamente instantânea. Nesse momento, os observadores ajustam seus relógios para marcar o tempo zero.

t  t  0 No instante To, que corresponde ao evento N, o observador S’ emite um sinal para o observador em S. Esse sinal é recebido no

P á g i n a | 220

tempo T, que corresponde à T = KTo, no evento N’. O pulso é imediatamente refletido e atinge o observador em S’ no instante T1, que corresponde à T1 = KT, no evento N”. Substituindo o valor de T, obteremos: T1 = KT²o.

Observe que no diagrama de Minkowski, o evento S corresponde ao ponto médio da linha NN”. As linhas N’N” e NN’ formam um ângulo de 45º com a linha SN’. As linhas SN e SN” formam um ângulo de 90º com a linha SN’. Isso implica que os triângulos SNN’ e SN’N” são isósceles. Portanto, a medida de NN’ e de SN’ e SN” e N’N” são iguais. Nestas condições, podemos escrever as seguintes relações:

SN  SN   SN  

NN  2

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Do triângulo retângulo OSN’, podemos concluir que o ângulo entre as linhas ON’ e OS é . As retas SN’ e OS se relacionam pela tangente hiperbólica desse ângulo (registre que estamos em um “plano hiperbólico”).

SN  SN   OS tanh  

NN  2

É imediato que o seguimento OS pode ser escrito como a soma de suas partes:

OS  ON  NS  ON 

NN  2

O evento N corresponde a emissão do sinal em To. Portanto, o período entre a sincronização dos relógios e a emissão do sinal por S’, será:

ON  To De forma equivalente, o período entre a sincronização dos relógios e a emissão do sinal pelo observador S, será:

ON '  T A diferença entre a emissão e o retorno do sinal em S’, T1 – To, será o intervalo NN”: NN   T1  To

NN    K 2  1 To

Usando as duas equações envolvendo OS, podemos determinar o valor de K.

OS  ON 

NN  2

P á g i n a | 222

OS tanh  

NN  2

Multiplicando a primeira equação pela tangente hiperbólica,

NN    OS tanh    ON   tanh  2   Substituindo esse valor na segunda equação:

NN   NN     ON   tanh  2 2   Isolando ON, obtemos a relação:

ON 

1  tanh   NN  2 tanh 

Substituindo os valores dos segmentos, To 

1  tanh    K 2  1 To

2 tanh  1  tanh    K 2  1  2 tanh  K 2  K 2 tanh   1  tanh   2 tanh  K 2 1  tanh    1  tanh  K2 

1  tanh  1  tanh 

Extraindo a raiz quadrada, concluímos o cálculo de K: K

1  tanh  1  tanh 

A expressão acima pode ser escrita da seguinte forma:

P á g i n a | 223

cv cv

K

O fator K corresponde ao efeito Doppler relativístico. Isso não é nenhuma surpresa, visto que como o referencial S se desloca em relação à S’ com velocidade constante, a constância da velocidade da luz impõe que os pulsos sofram uma transformação de suas frequências. Vamos usar o cálculo K para achar a transformação do período. A coordenada t corresponde ao seguimento OS.

OS  ON  NS  ON  t  To

K 

2

 1 To

NN  2

2  K  1 To 2

t

2

No sistema S, o tempo corresponde ao eixo ON’

t   ON '  T  KTo Dividindo as t por t’: 2 t  K  1  t 2K

Substituindo o valor de K²:

t  1  tanh   1   1 t   1  tanh   2K 1 t   1  tanh    t   1  tanh   1  tanh 

P á g i n a | 224

t  t

1 1  tanh 2  

Usando as relações hiperbólicas, obtemos: a fórmula da dilatação do tempo: t  t  cosh 2  t  t  cosh    t 

Agora estudaremos a composição das velocidades relativísticas usando fator K. Para isso vamos assumir a existência de um terceiro observador S” descrita pela linha de mundo OG e que se desloca em relação à S’ com velocidade constante w. No instante To o ocorre um evento N: o observador S’ emite um sinal na direção do observador OG que é recebido no evento R no tempo T2. Esses eventos se relacionam pela equação: T2  K  w  To

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Por outro lado, consideremos que o observador S’ emita no evento N um sinal para o observador S, que desloca com velocidade constante v. Este sinal é recebido por S’ no evento N’. Portanto, o tempo medido pelo observador S, será: T1  K  v  To

Assim que o observador S recebe o sinal de S’, no evento N’, ele retransmite esse sinal para o observador S”, que se desloca com velocidade constante u. O sinal é recebido no instante T2 e marca o evento R. T2  K  u  T1 Usando as três relações que obtivemos, podemos escrever as equações: T2  K  w  To  K  u  T1 K  w  To  K  u  K  v  To K  w  K  u  K  v 

Essa propriedade do cálculo K permite demonstrar que eles apresentam uma estrutura de grupo, assim como as transformações de Lorentz. Portanto, existe um importante grupo associado ao cálculo K que é o grupo de dos fatores K ou grupo de Bondi. Sem mais delongas, voltemos ao cálculo da composição da velocidade: K  w  K  u  K  v  K 2  w  K 2  u  K 2  v 

Abrindo as funções K quadráticas e as tangentes hiperbólicas:

 1  tanh w   1  tanh u  1  tanh v       1  tanh w   1  tanh u  1  tanh v 

P á g i n a | 226

 c  w   c  u  c  v       c  w   c  u  c  v  2  c  w   c  uc  vc  vu     2  c  w   c  uc  vc  vu  Vamos multiplicar os fatores em cruz para evidenciar a velocidade resultante w.

 c  w   c 2  uc  vc  vu    c  w   c 2  uc  vc  vu  c3  uc 2  vc 2  vuc  wc 2  wuc  wvc  wvu   3 2 2 2        c uc vc vuc wc wuc wvc wvu  Realizando as implicações algébricas, chegamos a equação: w  c 2  vu    u  v  c 2

u  v  c2  w

c

2

 vu 

Evidenciando c no denominador e simplificando com o numerador, obtemos a lei de composição de velocidades uv w vu 1 2 c Bohm (2012, p. 186-187), faz uma importante observação sobre processos de medida: Como a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores, não precisamos de padrões separados de tempo e distância. Por esta razão, é suficiente que todos os observadores tenham relógios equivalentemente construídos. Não é necessário assumir além disso que eles têm bastões de medida padrão. Isso

P á g i n a | 227

torna as fundações lógicas do procedimento de medição muito simples, porque é possível usar os períodos de vibrações de átomos ou moléculas como relógios padrão, que podem depender de funcionar de maneira equivalente para todos os observadores.

Por fim, vamos deduzir as transformadas de Lorentz do tempo usando o método K: Para isso construiremos uma nova linha de mundo representado pela linha SP, que inicialmente se encontra fora do cone de luz, mas em um dado instante intercepta a linha OC e passa a fazer parte da região de vínculos casuais dos observadores S e S’. Em um instante T1, o observador em S’ inicia um evento M. S’ emite um pulso para o observador S, que é recebido no evento N. Instantaneamente, o observador S emite um sinal para um observador S” que registra esse evento P, e reflete o sinal que atinge o S no evento Q e S’ no evento R, no instante T2.

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Pela simetria do problema, o seguimento MR corresponde a duração T2. Porém esse seguimento é a soma dos seguimentos MP e PR. Porém, pelo princípio da reflexão, estes dois seguimentos devem ter o mesmo comprimento: MR  MP  PR MP  PR MR MP  2

O pulso é emitido no evento M, no tempo T1 e retorna no instante T2, portanto o seguimento MR tem “comprimento” T2 – T1.

MR  T2  T1 MP 

T2  T1 2

Queremos determinar em qual instante ocorre o evento P, segundo o observador no referencial S’. Pela geometria elementar, temos que:

MP  P  M P  M  PM O evento M ocorre no instante T1, substituindo na equação:

T2  T1 2 T T P 2 1 2

P  T1 

Se multiplicarmos o segmento MP pela velocidade da luz, obtemos o comprimento x: T T xc 2 1 2

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Se multiplicarmos o ponto P pela velocidade da luz, obtemos o tempo próprio: T T  c 2 1 2 Portanto existe uma relação simples entre os períodos e as medidas de comprimento e tempo:

  x  cT2   x  cT1 O princípio da relatividade nos impõe que as mesmas medidas devem ser realizadas pelo observador em S: T2  T1    x  c 2 ,     c T2  T1  2

   x  cT2     x  cT1

Mas, segundo o cálculo-K,

T1  K T1 , T2  K T2,  2  T1T2 T1T Substituindo as relações entre os tempos e comprimentos:

   x    x    x   x  c2  2  x2

 c t 2

2

 x2

c2

    x    c t  x  2

2 2

2

2

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Que é a forma quadrática do espaço tempo. Das relações entre os dois sistemas inerciais,

T1 , K T2  K T2

T1 

Vamos agora obter a transformação de Lorentz, substituindo essas equações na relação x: KT2  T1 K  2 2 K cT2  cT1 x 2K

xc

K 2    x      x  x 2K 2 K  1    K 2  1 x  x 2K Vamos calcular os o valor dos termos nos parêntesis: 1  tanh  1 1  tanh    K 2  1  12tanh tanh 

K

2

 1 

1  tanh  1 1  tanh  2  K 2  1  1  tanh 

K

2

 1 

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Substituindo os valores do fator K:

x

2 x   2  tanh   2 K 1  tanh  

Agora vamos calcular o fator no denominador:

 1  tanh  K 1  tanh      1  tanh  K 1  tanh   



  1  tanh   

1  tanh  1  tanh   

1  tanh   

K 1  tanh   



K 1  tanh   

1 cosh 

2

Substituindo na equação,

x  cosh   x  ct  tanh   x  x cosh   ct  sinh  Essa é a transformação da coordenada x. Vamos agora obter a transformação do tempo.

 c

K ct 

2

KT2  T1 K  2

 1    K 2  1 x 2K

ct  cosh   ct   x tanh   ct  ct  cosh   x sinh 

P á g i n a | 232

Para encerrarmos nossa discussão sobre o cálculo K, recorremos as reflexões de Bohm: É evidente que o cálculo K nos fornece uma maneira muito direta de obter muitas das relações que foram historicamente derivadas primeiro com base na transformação de Lorentz. A vantagem do cálculo de K é que torna muito evidente a conexão entre essas relações e os princípios e fatos básicos subjacentes à teoria. De fato, partindo do princípio da relatividade e da invariância da velocidade da luz, vimos que a própria transformação de Lorentz se segue simplesmente de certas características geométricas e estruturais dos padrões de certos conjuntos de eventos físicos. No entanto, por mais elegante e direto que seja, o cálculo de K ainda não foi desenvolvido o suficiente para substituir a transformação de Lorentz em todas as diferentes relações que são significativas na teoria da relatividade. Assim, a situação atual é que a abordagem da transformação de Lorentz e a abordagem do cálculo do K se complementam, no sentido de que cada uma delas oferece percepções que não são prontamente obtidas na outra. Além disso, o cálculo de K é relativamente novo, de modo que a maior parte da literatura existente é expressa em termos da abordagem de transformação de Lorentz. Embora seja possível que o cálculo de K possa eventualmente ser desenvolvido o suficiente para substituir a transformação de Lorentz como uma fundação da teoria matemática, parece que por algum tempo, pelo menos, a transformação de Lorentz continuará a ser o principal modo de expressar a teoria matemática, enquanto o cálculo K servirá para fornecer insights adicionais sobre o significado da teoria.

Nesse trabalho não desenvolveremos outros conceitos a partir da abordagem do cálculo-K, porém o trabalho Cálculo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade especial (CONTO, LIMA, ORTEGA, SCHMITZ, 2013) apresenta outros aspectos fundamentais e abre um campo de estudo em outras áreas da relatividade, como a controversa termodinâmica relativística.

P á g i n a | 233

D.

O Teorema da Função Tangente

Um dos mais importantes resultados da Teoria da Relatividade Especial é a composição das velocidades. Há duas formas de deduzir esse resultado, para as componentes paralelas. Nessa seção apresentaremos um destes métodos que consiste em utilizar uma função bijetora entre o espaço matemático dos ângulos de rotação e o espaço das grandezas físicas associadas: velocidade, fator beta e fator gama. Vamos construir três sistemas inerciais K, K’ e K’’. Sem perda de generalidade, convencionaremos que o sistema K é o sistema estacionário e o sistema K’ se desloca na direção x com velocidade v1 em relação ao sistema K e velocidade v2, também na direção x, em relação ao sistema K’’, enquanto o sistema K’’ se de desloca com velocidade v3 na direção x em relação ao referencial K. Queremos determinar a velocidade v3 em função das velocidades v1 e v2. Cada deslocamento produz uma rotação hiperbólica a. Portanto a rotação hiperbólica total a3 entre o referencial K e o referencial K’’, é a soma das rotações hiperbólicas a1, entre os sistemas K e K’, e a2, entre os sistemas K’ e K’’, isto é, a3  a1  a2 . Vamos agora procurar uma aplicação bijetora que a cada valor de a associa a um valor de v. Como vimos, a função tangente hiperbólica transforma um vetor do espaço A em um vetor do espaço das velocidades V dividido pela velocidade da luz c. Assim a nossa aplicação pode ser definida como:

L : A V L a

v

v  c tanh  a 

Portanto a velocidade v3 é definida pela seguinte regra: v3  c tanh  a3 

v3  c tanh  a1  a2 

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Aplicando a regra de soma de arcos da trigonometria hiperbólica:

v3  c tanh  a1  a2   tanh a1  tanh a2  v3  c   1  tanh a1 tanh a2  Substituindo os valores da tangente hiperbólica, obtermos o teorema de adição de velocidades em função dos fatores beta:

   2  v3  c  1  1  1 2  Dividindo a equação por c, obtemos a lei de transformação de beta:

3 

1   2 1  1 2

Abrindo os fatores beta podemos obter a fórmula de composição em função das velocidades:

v1 v2  v3 c c  c 1  v1v2 cc  v3 1  v1  v2   c c  1  v1v2 c2  v3 

v1  v2 vv 1  1 22 c

    

P á g i n a | 235

Pelo mesmo método podemos calcular a transformação do fator gama entre o sistema K e o sistema K’’. Desta vez usaremos como aplicação a função cosseno hiperbólico:

R: A R a

  cosh  a 



Portanto o fator 3 é definida pela seguinte regra:

 3  cosh  a3   3  cosh  a1  a2   3  cosh a1 cosh a2  sinh a1 sinh a2  3   1 2   1 2 1 2 Evidenciando os fatores, obtemos a transformação do fator gama:

 3   1 2 1  1 2   

 3   1 2 1 

v1v2   c2 

Também podemos utilizar a função seno hiperbólico para obtermos os mesmos resultados:

3 3  sinh  a3  3 3  cosh  1   2  3 3  sinh a1 cosh a2  cosh a1 sinh a2 3 3   1 2 1   1 2  2

 1   2   1  1 2

3

  1 2  1   2 

 3   1 2 1  1 2 

P á g i n a | 236

E. O Grupo de Lorentz Vamos agora provar que as transformadas de Lorentz formam um grupo abeliano. Matematicamente, dizemos que um conjunto GL munido de uma operação interna que chamaremos por produto, GL    ai  ,  , é um grupo se para todo elemento do conjunto verificam-se as quatro primeiras propriedades abaixo:

1.   a3     a1    a2  |   a3   GL    ai  ,  2.   a1     a2    a3       a1    a2     a3 

3.   I  |   I    ai     ai    I     ai 

4.   a j    1  ai  |   a j    ai     ai    a j     I 

5.   a1    a2     a2    a1  |   a1    a2   GL    ai  ,  Todo grupo que satisfaça a quinta propriedade é chamado de grupo comutativo ou abeliano. Vamos primeiro verificar a primeira propriedade (fechamento):   a3     a1    a2  |   a3   GL    ai  ,   cosh a1  sinh a1   cosh a2  sinh a2    a3        sinh a1 cosh a1    sinh a2 cosh a2   cosh a1 cosh a2  sinh a1 sinh a2  cosh a1 sinh a2  cosh a2 sinh a1    a3       cosh a2 sinh a1  cosh a1 sinh a2 sinh a1 sinh a2  cosh a1 cosh a2 

Usando as regras de soma de arcos, obtemos:

 cosh  a1  a2   sinh  a1  a2     a3       sinh  a1  a2  cosh  a1  a2  

P á g i n a | 237

 cosh  a3   sinh  a3     a3       sinh  a3  cosh  a3  

Observe que o lado direito é a definição da transformação de Lorentz para um ângulo a3, portanto   a3   GL    ai  ,  . Por esta fórmula podemos concluir que:   a3     a1    a2     a1  a2 

Vamos usa-la para demonstrar a associatividade:   a1     a2    a3       a1    a2     a3    a1     a2  a3       a1  a2     a3    a1   a2  a3     a1  a2   a3 

como a soma dos ângulos é associativa, então a igualdade é verdadeira. Agora, vamos provar a comutatividade, pois assim não precisaremos provar que o elemento neutro e o inverso comutam, já que a comutatividade é assegurada para todos os ângulos.   a1    a2     a2    a1    a1  a2     a2  a1 

como a soma de ângulos comuta, então a igualdade está garantida. Agora determinaremos a identidade da transformação de Lorentz.

  I    ai     ai    I  ai     ai  I  ai  ai I 0

P á g i n a | 238

como o ângulo zero pertence ao conjunto dos ângulos e é único, portanto existe um único elemento neutro ou identidade, que é expresso pela seguinte matriz:  cosh  0   sinh  0    1 0    0       sinh  0  cosh  0    0 1 

Por fim, iremos calcular o elemento inverso:

  a j    1  ai  |   a j    ai     ai    a j     I    a j    ai     0    a j  ai     0  a j  ai  0 a j  ai Como o domínio dos ângulos são os números reais, então -ai é um elemento do conjunto e é único, portanto existe um único elemento inverso. A matriz inversa será dada por:

 cosh  ai   sinh   ai     ai       sinh  ai  cosh  ai    cosh  ai     sinh  ai       ai        sinh  ai    cosh a   i      cosh  ai  sinh  ai    1  ai     ai      sinh  ai  cosh  ai   Portanto, provamos que as transformadas de Lorentz formam um grupo abeliano. O uso de funções hiperbólicas torna a demonstração extremamente simples e elegante.

P á g i n a | 239

F. O Grupo de Poincaré Antes de prosseguirmos em nosso estudo sobre Teoria da Relatividade Especial, vamos falar sobre a representação do Grupo de Poincaré e Lorentz. Esse capítulo tem como principal fonte o livro Matemática para Físicos com Aplicações (BARCELOS NETO, 2010, p. 157-168). Não iremos abordar nesse momento o conceito de representação spinorial, trataremos do assunto no capítulo reservado ao estudo da mecânica quântica relativística. Tomemos dois sistemas inerciais de referencial no espaço-tempo de Poincaré-Minkowski. Dado intervalo de universo ds², ds 2  ij dx i dx j

A métrica do espaço-tempo de Poincaré-Minkowski se transforma como um tensor covariante de segunda ordem:

mn

xi x j  ij m n x x

Diferenciando a equação em relação a coordenada xp:

 2 xi x j xi  2 x j ij p m n  ij m p n  0 x x x x x x O teorema de Schwarz permite permutar as derivadas parcias, assim podemos trocar a ordem livremente, permutando no segundo termo a derivada em xm com xn e x’i e x’j,

ij

 2 xi x j  2 xi x j  0  ij x p x m x n x p x m x n

ij

 2 xi x j 0 x p x m x n

P á g i n a | 240

Tanto o tensor métrico quanto a matriz de transformação (jacobiano) possuem determinante não singular, portanto:

 2 xi 0 x p x m Essa equação diferencial é bastante simples de resolver. Basta integrarmos a função em relação a xp e xm: xi   i  x p  ip

onde i e  ip são matrizes com coeficientes constantes. Qualquer transformação que satisfaça essa relação e forme um grupo é chamado de Grupo de Poincaré ou Grupo Não Homogêneo de Lorentz. Se o coeficiente i for nulo, temos o grupo homogêneo de Lorentz ou apenas grupo de Lorentz. Substituindo essa relação na transformação do tensor métrico:  x p i x p j  p n p  m x  x 

mn  ij 

As derivadas parciais são a transformação do delta de Kroenecker:  mn  ij  mp  ip np  pj 

 mn  ij  im  nj Em notação matricial absoluta, essa equação se torna:

   † Tomando o determinante: det   det  †  det † det  det   det 

P á g i n a | 241

det  det   1

 det  

2

1

Assim teremos duas soluções possíveis:

det   1 

det   1  det   1

Podemos expandir a transformação do tensor métrico em relação as matrizes de Lorentz:

mn  ij  im  nj mn  00  0m  0n     m n mn   0m  0n   m n Para a coordenada temporal, temos a seguinte transformação:

00   00  00   0 0 1    00    0 0 2

 

0 2 0

 1   0 0

Como o menor valor do produto das matrizes de Lorentz é zero, podemos majorar a expressão acima e concluir que:

 

0 2 0

1

Portanto, a matriz temporal de Lorentz admite duas soluções:  1 0 0



0   0  1  0   0  1

P á g i n a | 242

Denotando por + e – os valores do determinante e por  e  os valores da componente temporal, teremos quatro conjuntos possíveis:

L , L , L , L   

 

 

 

Destes conjuntos, podemos formar quatro grupos: GRUPO ORTOCRONO PRÓPRIO:

L

GRUPO ORTOCRONO:

L  L , L

GRUPO PRÓPRIO:

L  L , L

GRUPO ANTICRONO:

L  L

A álgebra da Teoria da Relatividade Especial é a álgebra do grupo ortocrono próprio. Portanto o grupo de Poincaré é definido como: GRUPO DE POINCARÉ





SO 1,3   4 4 ;  ij  ; †    ;det   1;  00  1

SO 1,3  SU  2   SU  2 

Registre que no espaço-tempo de Galileu, onde são válidas as transformações clássicas, há uma transformação semelhante ao grupo de Lorentz, que define o Grupo de Galileu: xi   i  x p G ip

onde G é a matriz de rotação do grupo de Galileu. Definimos o grupo de Galileu como o grupo de transformações homeomorfas a 4 (ROCHA, RIZZUTI, MOTA, 2013):

:g  4   Identidade

P á g i n a | 243

G. Matrizes do Grupo de Poincaré Por meio da Teoria de Grupos estabelecemos que o grupo de Poincaré é um grupo ortocrono próprio do tipo





SO 1,3   44 ;  ij  ; †    ;det   1;  00  1

que satisfaz a seguinte equação afim: xi   i  x p  ip

Agora iremos estudar os subgrupos de Poincaré, as matrizes de transformação e boost. Detalhes sobre este capítulo pode ser visto em Barcelos Neto (2010, p. 161-168). Podemos representar a matriz de Lorentz da seguinte forma:

L 0  ip     0 R Onde L é a matriz de rotações hiperbólicas e R são as matrizes de rotação de SO(1,3).

 cosh a  sinh a  L    sinh a cosh a 

 cos  R  sin 

 sin    cos  

Se o sistema não apresentar translações (que correspondem a rotações no espaço hiperbólico), a matriz L é a matriz identidade:

1 0 L  0 1 Nesse caso, o grupo de Poincaré corresponde ao grupo estacionário de Galileo: I 0  ip    0 R

P á g i n a | 244

Se o sistema não apresentar rotações, a matriz R é a identidade:

1 0 R  0 1 E teremos a matriz especial de boosts de Lorentz:

 L 0  ip    0 I Podemos ainda obter uma matriz mais geral de boosts, que chamaremos de matriz de Poincaré e denotaremos pela letra ij .

  00  1  i  j   02  0  3  0

10 11 12 13

 02 12  22 32

30   13  32   33 

A matriz de transformação de Poincaré deve obedecer a equação do grupo de Poincaré: xi   i   ij x j

 ct     0    00 10  02 30   ct     1  1  1 1 1   x         0 1  2 3   x   y    2    02 12  22 32   y       3   3 3 3 3   z        0 1  2 3   z   ct     0   00 ct  10 x   02 y   30 z     1 1 1 1 1   x       0 ct  1 x   2 y   3 z   y    2   02 ct  12 x   22 y   32 z      3 3 3 3 3   z       0 ct  1 x   2 y   3 z 

P á g i n a | 245

Portanto, a determinação dos 16 coeficientes depende de quatro equações lineares e são obtidos por inspeção:

ct    0   00 ct  10 x   02 y   30 z x   1  10 ct  11 x  12 y  13 z y   2   02ct  12 x   22 y   32 z z   3  30 ct  13 x  32 y  33 z Tomemos as transformações gerais de coordenadas em qualquer ponto do espaço-tempo:  r v  t    t    t  2  c   v  r   r  r   r     1 2 v   tv v Vamos expandir as transformações. Comecemos pelo tempo: v v v  t  ct    ct   x x   y y   z z c c c t    ct    ct   x x   y y   z z Portanto os coeficientes da primeira linha são:

 t   0 , 00   ,  0 0  1   x ,  2   y ,

30   z

Agora vamos abrir as equações espaciais:

x    x  x     1

v x  v y  v z  v x

y

v

2

z

x

  tvx

vv vx2 vv x     x     1 2 x  y 2 x    1 y  x 2 z    1 z   tvx v v v x

P á g i n a | 246

c 2 v y vx  c 2vx2  vv  v  x   x    1     1 2 2  x  2 2    1 y  2x z2    1 z    x  ct cv  cv cv  c       2    x   x    x  ct  1     1 x2  x   x 2 y    1  y   x 2 z   1  z         

As demais componentes espaciais são:

 y2    y  z  x y    y       y  ct   2    1  x  1    1 2  y   2    1  z                 2  z   z    z  ct   x 2 z   1  x   y 2 z   1  y  1    1 z2  z          y

Portanto as componentes da matriz são:

  0   0      2       1     1  2             1      2    Com    

at  a 0  r       0 0        x, y , z      x, y, z 

É fácil ver que essa matriz é gerada pela regra e é hermitiana:

     i  j  ij  2    1   i j

se i   se i

 

i † j

j  0

ou j  0   ij  ij

2  0     1

P á g i n a | 247

E a matriz de boosts de Poincaré será dada por:  x  y  z      2 x y xz   1     1  x     1 1    x 2 2  2        i 2 j   x y  y  yz    1 1     1 2   1  2  2    y       yz  xz  z2    1   1 1    1 2    z 2 2   

Por fim, vamos provar que a matriz de Poincaré é ortogonal. Seja as transformações gerais no espaço-tempo de Poincaré-Minkowski:  ikij  lj   kl

Multiplicando pelo tensor métrico conjugado: ikij lj lm   kl lm  kj lj lm   km  kj  jm   km

Multiplicando a equação por:  mk   jm 

1

 mk I  kj  I   jm   mj    jm 

1

1

Como a matriz é hemertiana, então podemos escrever:

     †

jm

que é a condição de ortogonalidade.

jm

1

P á g i n a | 248

H. Representação do Grupo de Poincaré O grupo de Poincaré é um grupo SO(1,3), portanto ele apresenta uma álgebra de Lie e sua matriz por uma exponencial complexa: e

i   ij Lij 2

onde  são estruturas antissimétricas que correspondem aos seis parâmetros do grupo e as matrizes Lij são os geradores do grupo. Expandindo o exponencial em série de Taylor: ij

i   1   ij Lij  O 2 Onde O corresponde aos termos de ordem maior ou igual à 2. Como estamos buscando os geradores infinitesimais o grupo, podemos descartar os termos O.

i   1   ij Lij 2 As matrizes geradores desse grupo são dados por:

L 

m

ij n

 i  im g jn   jm gin 

Inicialmente vamos introduzir as matrizes auxiliares:

1 0 A0   , 0 1  0 i  A3    0 0 

 0 i  A1   ,  i 0   0 i A4   ,  i 0 

 i 0  A2   ,  0 i  0 0  A5     0 i 

Por estas matrizes podemos construir as matrizes de Pauling:

 1 ,  2 ,  3     A12 ,  A4 ,  A22 

P á g i n a | 249

0 1 , 1 0

1  

 0 i  , 0

2   i

1 0  0 1

3  

Usando a equação dos geradores, obtemos as matrizes que geram o grupo de Poincaré:

 A 0 L01   1 ,  0 0  0 L12     A3

A4  , 0

 0 A2  L02   ,  A2 0  A5   0 L13    ,  A 0  5 

 0 L03   T  A3 0 L23   0

A3   0 0  A4 

A álgebra de Lie do grupo de Poincaré é dado por:  Lij , Lkl   i  gil L jk  g jk Lil  gik L jl  g jl Lik 

Vamos construir os vetores de boosts K e rotações S: K i   L01 , L02 , L03 

Si   L12 , L13 , L23  Que satisfazem as leis de comutação:

 K i , K j   i ijk S k ,  Si , K j   i ijk K k ,  Si , S j   i ijk S k A primeira relação forma o grupo dos boosts, porém esse grupo não apresenta uma álgebra de Lie, pois seus elementos não são todos boosts. A terceira relação é o grupo de rotações que por só ter elementos de mesma classe, admite uma álgebra de Lie.

P á g i n a | 250

I.

Spinores e Representação Spinoral Barcelos Neto (2010, p. 148-149 define um spinor como: O equivalente algébrico a um vetor do espaço euclidiano em um espaço complexo. Spinores são elementos que se transformam linearmente quando um espaço euclidiano é submetido a uma rotação infinitesimal. [...] Definimos o conceito de representação spinorial as N(N-1)/2 matrizes a tais que:

 a , b    a b  b a  2 ab onde o operador  a ,  b  é o anti-comutador. O gerador do grupo M ab , satisfaz uma álgebra de Lie:

i   a , b  4  M ij , M kl   i  il M jk   jk M il   ik M jl   jl M ik  M ab  

Comutadores e anticomoutadores se relacionam pelas identidades:

 AB, C   AB, C   A, C B  A, BC    A, B C  B  A, C Para o Grupo de Poincaré definiremos os seguintes spinores a partir das matrizes de boost e as matrizes de rotação:

Ji 

1  Si  iKi  , 2

Ji 

1  Si  iKi  2

que satisfazem a álgebra de Lie do grupo do Momento Angular:  J i , J j    ijk J k ,

 J i , J j   0,

 J i , J j    ijk J k

P á g i n a | 251

J.

Geradores de um Grupo Infinitesimal

Um dos elementos fundamentais no estudo da Teoria da Relatividade é a decomposição das transformações de Lorentz em seus geradores infinitesimais. Esse conceito foi introduzido por Sophius Lie, e aplicado a teoria da Relatividade por Henri Poincaré, em 1905. Dado um grupo que apresenta representação infinitesimal de parâmetros xi, seus geradores serão dadas pela equação: X j  M ij  x i   i

Os coeficientes Mij são calculados a partir da seguinte relação: M ij  x   i

fi  xi ,  xi    x i 

onde j é o número de parâmetros do grupo. Para calcularmos o número de geradores necessários para construir o número de geradores do grupo infinitesimal, usamos a seguinte a fórmula de Poincaré de graus de deslocamento (1899):

var j 

n2  n 2

onde n é o número de dimensões da variedade. Inicialmente vamos exemplificar, considerando rotações polares do eixo x e y em torno do eixo z. Deixaremos a aplicação das rotações hiperbólicas no espaço-tempo para um momento mais oportuno. A matriz de rotação hiperbólica nesse sistema de coordenadas será:

 x   cos     y    sin 

sin   x    cos   y 

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Realizando as operações algébricas achamos duas funções:

x  x cos   y sin  , y   x sin   y cos  Vamos calcular o número de geradores infinitesimais deste grupo

22  2 var j  2

var j  1 Portanto, só existe um parâmetro no gerador, logo esse grupo apresenta um único gerador. Para obtermos este parâmetro do gerador, basta analisarmos o comportamento do grupo quando  é infinitamente pequeno,

cos   1, sin    Aplicando a equação, obtemos:

f1  x  x  y , f 2  y  y  x Agora podemos calcular os valores de Mij

M i1  x, y  

fi  x, y,     

M 11  x, y  

  x  y    

M 11  x, y   y

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M 21  x, y  

  y  x    

M 21  x, y    x Agora podemos calcular os geradores infinitesimais desse grupo:

X  M 111  M 21 2 X  y x  x y Essa é a matriz infinitesimal de rotação do espaço bidimensional. Usando a fórmula de Descartes-Poincaré podemos determinar o número de isometrias deste grupo: n2  n 2 2 2 2 N 2

N

N 3 No espaço plano bi-dimensional temos três isometrias: dois vetores de deslocamento e uma rotação. Os deslocamentos formam a base da variedade. A rotação, a terceira isometria, é o gerador infinitesimal que representa rotação sobre eixo fora da variedade em um espaço 2+n.

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K. Intermezzo para um Comentário Histórico Agora estamos em condição de aplicar todos os três tópicos anteriores para estudar o espaço tempo 4-dimensional. Como pesquisador e historiador da teoria da relatividade, que dedicou uma parte substancial da pesquisa as contribuições de Henri Poincaré, eu não posso deixar de convidar o leitor a ler o artigo Sur la dynamique de l’électron, parágrafo 4. Acredito que hoje todos os físicos tenham alguma familiaridade com teoria de grupos, porém em 1905, a situação era bastante diferente. Até mesmo os matemáticos tinham um conhecimento superficial desse tópico. Henri Poincaré era uma exceção, ele era um dos maiores especialistas, senão o maior, em teoria de grupos e álgebras de Lie. Ao submeter o recém-publicado trabalho de Lorentz a esse formalismo, Poincaré foi capaz revelar o segredo escondido por trás da covariância das equações de Maxwell: a estrutura 4-dimensional do universo. Geralmente se atribui essa descoberta ao matemático lituano Hermann Minkowski. Eu não tenho dúvidas que o trabalho de Minkowski é uma das realizações mais importantes da história da física, contudo devemos repartir o mérito também com Poincaré. Por razões pessoais, Minkowski nunca nos revelou até que ponto sua pesquisa foi influenciada por Poincaré. Ele admite ter lido o trabalho de Poincaré, mas também afirma que seu trabalho se distancia das ideias do matemático francês. Um pouco exagerado, como mostrou Walter (2008). Teria Minkowski abstraído a geometria do espaçotempo e dos cones de luz senão tivesse lido Poincaré? Não sabemos, Minkowski era um matemático brilhante, que também conhecia profundamente teoria de grupos, parece provável que Poincaré tenha catalisado ideias que cedo ou tarde viriam à tona, principalmente nos trabalhos de Hilbert, Noether, Klein e Dirac (na formulação relativística da mecânica quântica).

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L. Geradores Infinitesimais do Espaço-Tempo Vamos agora calcular os geradores do espaço-tempo de PoincaréMinkowski. Usando a equação de Poincaré para calcular os geradores necessários:

n2  n var j  2 n  4   var j  6 Portanto precisamos de seis parâmetros livres para calcular os geradores do espaço-tempo. Essa é a razão da álgebra de Lie não abeliana do espaço-tempo, que corresponde as linhas de universo serem descritas por 6-vetores ou tensores antissimétricos de segunda ordem. Quem são os nossos seis parâmetros? São as rotações espaciais (três parâmetros) e os boosts de Lorentz (três parâmetros). As seis equações representando rotações e boosts com seus parâmetros são (POINCARÉ, 1906): Rotações

Boosts

 f1  x  y z  z y   f 2  y  x z  z x  f  z  x y  y x  3  f 4  x  ct y  y ct   f5  y  ct z  z ct  f  z  ct x  x ct  0

Vamos determinar os geradores infinitesimais:

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X 0  M 00 0  M 101  M 20 2  M 30 3 X 1  M 01 0  M 111  M 21 2  M 31 3 X 2  M 02 0  M 121  M 22 2  M 32 3 X 3  M 03 0  M 131  M 23 2  M 33 3 X 4  M 04 0  M 141  M 24 2  M 34 3 X 5  M 05 0  M 151  M 25 2  M 35 3

Fazendo a correspondência   0 , 1 ,  2 ,  3 

 ,  ,  t

x

y

,z 

X 0  M 00 t  M 10 x  M 20 y  M 30 z X 1  M 01 t  M 11 x  M 21 y  M 31 z X 2  M 02 t  M 12 x  M 22 y  M 32 z X 3  M 03 t  M 13 x  M 23 y  M 33 z X 4  M 04 t  M 14 x  M 24 y  M 34 z X 5  M 05 t  M 15 x  M 25 y  M 35 z Agora vamos calcular os valores dos coeficientes Mij: M i1  ct , x, y, z   M 01 

  x  y z  z y    ct 

fi  ct , x, y, z ,  ct ,  x,  y,  z    al  M 02 

  y  x z  z x    ct 

M 01  0

M 02  0

M 03 

M 04 

  z  x y  y x    ct 

M 03  0

  x  ct y  y ct    ct 

M 04  y

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  y  ct z  z ct    ct 

M 05 

  z  ct x  x ct    ct 

M 00 

M 05  z

M 00  x

M 11 

M 10 

  x  y z  z y    x 

  z  ct x  x ct    x 

M 11  0

M 10  ct

M 13 

M 12 

  z  x y  y x    x 

  y  x z  z x    x 

M 13   y

M 12  z

M 15 

M 14 

  y  ct z  z ct    x 

  x  ct y  y ct    x 

M 15  0

M 14  0

M 21 

M 20 

  x  y z  z y    y 

  z  ct x  x ct    y 

M 21   z

M 20  0

M 23 

M 22 

  z  x y  y x    y 

  y  x z  z x    y 

M 23  x

M 22  0

M 25 

M 24 

  y  ct z  z ct    y 

M 25  0 M 31 

M 24  ct

  x  y z  z y 

M 31  y

  x  ct y  y ct    y 

  z 

M 32 

  y  x z  z x 

M 32   x

  z 

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M 33 

  z  x y  y x    z 

M 34 

  x  ct y  y ct    z 

M 33  0

M 34  0

M 25 

M 30 

  y  ct z  z ct    z 

M 35  ct

  z  ct x  x ct    z 

M 30  0

Substituindo os valores dos coeficientes M nas equações dos geradores infinitesimais:

X 0  x t  ct x  0 y  0 z X 1  0 t  0 x  z y  y z X 2  0 t  z x  0 y  x z X 3  0 t  y x  x y  0 z X 4  y t  0 x  ct y  0 z X 5  z t  0 x  0 y  ct z Portanto, os geradores infinitesimais do espaço-tempo são:

Rotações X 1  y z  z  y

Boosts X 4  y t  ct  y

X 2  z x  x z

X 5  z t  ct  z

X 3  x y  y x

X 0  x t  ct  x

Posteriormente, provaremos que os geradores infinitesimais do espaço-tempo são os vetores de Killing do grupo SO (1,3). Isso significa que o espaço-tempo plano é uma estrutura com número máximo de simetrias e por isso irá conservar todas correntes de Noether.

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M. Álgebra de Lie Não-Abeliana do Espaço-Tempo O fato das transformadas de Lorentz formarem um grupo significa que podemos construir uma álgebra de Lie com seus elementos. Sejam xi e yj coordenadas do grupo homogêneo de Lorentz definidas por:

x0  xo cosh a  x1 sinh a x1  x1 cosh a  x0 sinh a

y0  yo cosh a  y1 sinh a y1  y1 cosh a  y0 sinh a

x2  x2 x3  x3

y2  y2 y3  y3

Uma álgebra de Lorentz de Lie pode ser construída por meio pela aplicação do colchete de Lie entre os dois elementos do conjunto: Lij   xi , y j   xi y j  x j yi

O colchete de Lie é antissimétrico:  xi , y j     y j , xi  Lij   L ji

A antissimetria dos colchetes de Lie implica que para um par de índices repetidos, o valor dos colchetes é zero. Portanto,

L00  L11  L22  L33  0 E as componentes independentes serão:

L01 , L02 , L03 , L32 , L13 , L21 essas quantidades são as componentes do 6-vetor de Sommerfeld. Vamos determinar como essas coordenadas se transformam para um referencial K’. Calcularemos apenas a transformação para L01 e L02, as demais seguem cálculos análogos.

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L01  x0 y1  x1 y0 L01   x0 cosh a  x1 sinh a  y1 cosh a  y0 sinh a    x1 cosh a  x0 sinh a  y0 cosh a  y1 sinh a  L01  x0 y1 cosh 2 a  x0 y0 cosh a sinh a  x1 y1 cosh a sinh a  x1 y0 sinh 2 a  x1 y0 cosh 2 a  x1 y1 cosh a sinh a  x0 y0 cosh a sinh a  x0 y1 sinh 2 a L01  x0 y1  cosh 2 a  sinh 2 a   x1 y0  cosh 2 a  sinh 2 a 

L01  x0 y1  x1 y0   L01  L01 Agora vamos obter a transformação para a componente L02;

L02  x0 y2  x2 y0 L02   x0 cosh a  x1 sinh a  y2  x2  y0 cosh a  y1 sinh a  L02  x0 y2 cosh a  x1 y2 sinh a  x2 y0 cosh a  x2 y1 sinh a L02   x0 y2  x2 y0  cosh a   x1 y2  x2 y1  sinh a

 cosh a  L12 sinh a L02  L02 Por cálculos análogos, podemos obter as demais componentes. Portanto, para o grupo de Lorentz teremos as seguintes componentes:  L01  L01  cosh a  L21  sinh a L02  L02

 L32  L32  sinh a L13  L13 cosh a  L03

 cosh a  L13 sinh a L03  L03

 cosh a  L02  sinh a L21  L21

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 L01  L01

 L32  L32

   L13  L03    L03

   L02   L21    L21

   L21   L02    L02

  L13    L13   L03

Essas seis coordenadas apareceram pela primeira vez em trabalhos de J. Plücker (1868) e A. Cayley (1869) como as coordenadas que definem uma linha sobre uma variedade, por essa razão que as coordenadas Lij são chamadas de linhas coordenadas de L. Com estas componentes podemos escrever o tensor covariante Lij e a sua transformação para um sistema K’ por:  0  L Lij   01   L02    L03

L01 0 L21  L13

L02  L21 0 L32

L03   L13   L32   0 

0 L01   L02   L21    L03   L13      0  L01   L21   L02    L13   L03    Lij     L02   L21    L21   L02   0  L32   0 L32    L03   L13    L13   L03  

O leitor mais atento pode ter percebido que as linhas coordenadas se transformam como as componentes do campo elétrico e do campo magnético. De fato, a covariância das equações de Maxwell impõe naturalmente que os vetores associados ao campo elétrico (E, D) e ao campo magnético (B, H) sejam linhas coordenadas do tensor eletromagnético Fij do espaço-tempo de Poincaré-Minkowski.

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7. Topologia do Espaço-Tempo A. Princípios Básicos A construção de variedades usando proposições geométricas e o grupos de transformação tem suas raízes nos trabalhos de Klein e Elanger (BROWN, 2017). O matemático alemão D. Hilbert empreendeu um trabalho de esmiuçar os axiomas necessários para a construção de qualquer geometria (POINCARÉ, 1902) Em uma linha semelhante a de Klein e Elanger, Poincaré buscou derivar o conteúdo qualitativo das estruturas físicas usando grupos de transformação, simetrias e a análise situs (que hoje chamamos de topologia) sendo um dos pioneiros no desenvolvimento da topologia geométrica ou de baixa dimensão. Para iniciarmos o nosso estudo sobre a topologia do espaço-tempo precisamos introduzir inicialmente o conceito de Corpo Rígido. DEFINIÇÃO: Um corpo rígido é definido como aquele cuja distância de dois de seus pontos, A (xi) e B (yi) se mantém invariante frente a uma transformação T: Td  a, b   d  a, b  . Em outras palavras, a transformação T é um automorfismo da distância. Na física há cinco transformações possíveis: translação temporal, translação espacial, rotação, reflexão e inversão. A primeira transformação pertence ao grupo das isotropias temporais, enquanto as demais pertencem ao grupo das isotropias espaciais. Um corpo rígido deve manter invariante a distância seus pontos para cada uma destas cinco transformações. A distância entre dois pontos de um corpo rígido é uma isotropia espacial definida pela seguinte equação10: Observe que como M é uma variedade diferenciável munida de uma pseudométrica (ou uma métrica pseudo-euclidiana), o conjunto (M, d) é um espaço 10

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s 2  d  A, B     y i  x i  2

2

Como mostramos anteriormente, as isotropias espaciais são condições impostas pelo Princípio da Relatividade que devem ser intrínsecas à variedade. A condição necessária e suficiente para que uma variedade apresente isotropia espacial é que o grupo de geradores da variedade seja ortogonal (BROWN, 2017). Essa é razão de impormos sobre a variedade M3+1 a ortogonalidade entre os eixos espaciais e o eixo temporal, que induz como grupo de transformações o SO(1,3). Se as coordenadas espaciais forem funções do tempo, a distância deverá ser um invariante quando os pontos forem avaliados simetricamente no tempo. Nestas circunstância dada uma variedade diferenciável M cujos vetores da base são os elementos do conjunto (xi, t), onde t não é necessariamente uma dimensão, a condição de ortogonalidade exige, para todo i diferente de j que: x i , x j  x i , t  0 , ou seja, mesmo que os vetores espaciais sejam ortogonais, se t não for ortogonal à eles, o espaço não pode ser isotrópico. Portanto, a questão mais urgente que temos de lidar dentro da topologia geométrica é: “como podemos definir a ortogonalidade entre eixos?” Na geometria métrica de Euclides, a ortogonalidade é definida a partir do seguinte enunciado (BROWN, 2017): “duas retas que se interceptam em um ponto P são ortogonais se, e somente se, em uma das retas for equidistante a dois pontos equidistantes da outra reta em relação à P.”

topológico para o conjunto das uniões das bolas abertas da variedade M:   A,    B  M | d  A, B     .

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Simbolicamente definimos a ortogonalidade como:

r  s  P  r  s B  r | A, A  s, d  A, B   d  A, B   d  A, A  Deste teorema, podemos derivar dois corolários: 1)

2)

B  r | d  B, P   d  B, P  se, e somente se, d  A, B   d  A, B   d  A, B   d  A, B 

B, B  s, A, A  r , então AB  AB  AB AB e AB AB

FIGURA 1. Argumento geométrico de ortogonalidade proposto por Euclides (BROW, 2017).

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O argumento de Euclides parece razoável, porém uma análise mais cuidadosa nos revelará que ele se baseia em uma petição de princípio. Definimos a distância entre dois pontos a partir de eixos ortogonais e definimos a ortogonalidade recorrendo a noção de distância. Essa circularidade presente na geometria e nas ciências levou a Poincaré concluir que há afirmações que não podem ser testadas ou provadas e por isso não são juízos, mas convenções. Para tornar a nossa convenção menos arbitrária, podemos extrair da experiência e induzir o conceito de isotropia espacial de vários corpos da mecânica. Nosso conhecimento nos diria que há uma classe de corpos onde a distância entre dois pontos se mantém constante sobre certas transformações físicas (rotação, translação, reflexão e inversão) e que a estes corpos damos o nome de corpos rígidos. Portanto, poderíamos, como físicos, dar-nos por satisfeito a seguinte convenção: “A isotropia espacial é uma propriedade dos corpos rígidos” Porém, o matemático ainda se sentiria insatisfeito. Nossa definição depende de uma classe de corpos que precisa ser observado experimentalmente, sobre circunstâncias muito particulares. A geometria, entendida como a ciência do espaço, não é uma ciência experimental. Nossas definições não podem depender de objetos observáveis. Contudo, a definição de corpo rígido não nos é inútil, basta descobrir uma descrição matemática que nos permita descartar sua materialidade. Um pouco de reflexão nos mostrará que essa descrição pode ser feita usando Teoria de Grupos. Como podia o corpo sólido servir-nos para medir ou, antes, construir o espaço? Transportando um corpo de uma posição para outra, reconhecemos que ele pode ser aplicado, primeiramente, sobre uma figura e, em seguida, sobre outra e convencionamos considerar iguais essas duas figuras. Dessa convenção, nasceu a geometria. A cada deslocamento possível

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do corpo sólido corresponde, assim, uma transformação do espaço em si mesmo [um automorfismo], sem alteração das formas e das grandezas das figuras; e a geometria é apenas o conhecimento das relações mutuas dessas transformações ou, para falar a linguagem matemática, o estudo da estrutura do grupo formado por essas transformações, isto é, do grupo dos movimentos dos corpos sólidos (POINCARÉ, 1912).

A definição de Poincaré é bastante objetiva, ao menos de um ponto: o que define um automorfismo? Essa pergunta não apresenta uma resposta, mas pelo menos três: a) Geometria Métrica Esta concepção é fundada na noção de distância. Dadas figuras A e B, dizemos elas são iguais se a distância entre seus pontos forem iguais. Formalmente, as figuras são iguais se homeomorfismo entre os pontos das figuras for definido pela sua distância d. (POINCARÉ, 1912) b) Geometria Projetiva Também chamada de geometria qualitativa, esta geometria se baseia no conceito de linha reta. Duas figuras são consideradas equivalentes desde que se possa passar de uma para outra por meio de uma transformação projetiva, isto é, que uma seja a perspectiva da outra. (POINCARÉ, 1912). c) Topologia “Nessa disciplina, duas figuras são equivalentes todas as vezes que pudermos passar de uma para outra mediante uma deformação, desde que ela respeite a continuidade. Assim, um círculo é equivalente a uma elipse ou mesmo a uma curva fechada qualquer,

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mas não é equivalente a um segmento de reta, porque esse segmento não é fechado. Uma esfera é equivalente a uma superfície convexa qualquer, não o é a um toro, porquanto no toro há um orifício e numa esfera ele não existe. Suponhamos um modelo qualquer e a cópia desse mesmo modelo executada por um desenhista inábil. As proporções são alteradas, as retas traçadas com mãos trêmula sofreram desagradáveis desvios e apresentam curvas mal feitas No ponto de vista da geometria métrica, mesmo no ponto de vista da geometria projetiva, as duas figuras não são equivalentes; elas o são, ao contrário no ponto de vista da Analysis Situs [topologia]” (POINCARÉ, 1912).

Automorfismo na Topologia Destas geometrias, optamos pela topologia, pois é a menos arbitrária e permite que nos foquemos nas simetrias intrínsecas do espaço-tempo. Uma vez que nos concentramos só em axiomas de ordem, não precisamos nos preocupar com o significado métrico e projetivo da ortogonalidade, mas o tomamos como uma condição imposta a variedade pelo princípio da relatividade (primeiro postulado) que exige que o tempo forme um contínuo com espaço pela forma quadrática fundamental (segundo postulado) que preserva o movimento inercial (terceiro postulado).

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B. Espaço-Tempo 4-Dimensional A topologia de baixa dimensão, também chamada de topologia geométrica, é o campo da topologia que estuda as propriedades de variedades com dimensão menor ou igual à quatro. Desde que o espaço-tempo é uma variedade de 3+1 dimensões, a topologia de baixa dimensão fornece uma descrição precisa da variedade. De fato, Henri Poincaré e Hermann Minkowski, de posse do princípio da relatividade foram os primeiros a usar a topologia para estudar o espaço-tempo. Em 1905, Poincaré descobriu a forma quadrática fundamental do espaço-tempo:

J 2  c2t 2  x2  y 2  z 2 Poincaré mostrou que o elemento J² é um invariante fundamental que todas transformações do espaço-tempo devem preservar. Assim, Poincaré concluiu que as transformações de Lorentz eram rotações hiperbólicas na variedade e o grupo de Lorentz eram os geradores destas rotações. Em 1908, Minkowski explorou ainda mais essa estrutura e introduziu novos elementos que o levaram a criação do grupo de Poincaré. Podemos dizer que o trabalho de Poincaré e Minkowski foi a primeira topologia de baixa dimensão do espaçotempo. Precisamente, Minkowski mostrou que a estrutura do espaço-tempo repousa sobre suas premissas elementares: 1) A Isotropia do Espaço 2) A Forma Quadrática Fundamental Essas duas premissas também nos levarão a responder uma questão importante a respeito da dimensionalidade da variedade espaço-tempo: por que o tempo se comporta como uma dimensão nesta variedade, mas em uma variedade galileana ele é apenas um parâmetro? Como veremos, a resposta não reside no fato de todo

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evento ocorrer em um certo local tempo, mas deve-se ao da sincronização de relógios por sinais luminosos não ser absoluta, como Poincaré nos mostrou em 1898, no artigo A Medida do Tempo. Deste fato e da isotropia do espaço, Poincaré conclui que a velocidade da luz em todos os pontos do espaço para referenciais inerciais deve ser constante. Esse valor constante, que hoje chamamos de c, permite estabelecer uma realidade dimensional para o tempo. Desde a década de 1920, tem sido aventado a existência de dimensões mais altas, o que exigiu o desenvolvimento de uma topologia de altas dimensões. Uma destas propostas é o 4+1 de DeSitter, que como espaço-tempo 3+1 também é um espaço de simetria maximal. A teoria de cordas tem lidado bem com desafio das topologias de alta dimensão e é possível que nos próximos anos novas conexões entre as dimensões mais altas sejam descobertas. Enquanto aguardamos esse avanço, analisaremos a topologia do espaço-tempo. 1.

A Isotropia do Espaço

Definição: “Uma isotropia espacial é toda transformação linear que preserva as leis da física” A preservação das leis físicas por deslocamentos no espaço, como apontou Poincaré (1912), é uma consequência natural do princípio da relatividade. Na mecânica clássica, qualquer transformação que preserve as distância mútuas entre as partículas de um corpo sólido, não produzem efeitos mensuráveis. Por exemplo, se construirmos uma mecânica em uma variedade euclidiana, 3+0 dimensional, uma isotropia espacial é descrito pelo conjunto de transformações:

x  ax  by z  z , t   t y  bx  ay a 2  b 2  1

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Essa equação mantém a equação de uma esfera invariante: x2  y 2  z 2  R2 x2  y2  z2  R 2

Substituindo as transformações na segunda equação:

 ax  by 

2

  bx  ay   z 2  R 2 2

a 2 x 2  2abxy  b 2 y 2  b 2 x 2  2abxy  a 2 y 2  z 2  R 2

a

2

 b2  x2   a 2  b2  y 2  z 2  R 2

Usando a identidade entre os coeficientes a e b,

x2  y 2  z 2  R2 que é a equação da esfera.

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Uma parametrização natural para coeficientes a e b é usando as funções trigonométricas, em função de um ângulo arbitrário:

a  cos  b  sin  Substituindo essa parametrização na transformação linear:

x  x cos  y sin  y   x sin   y cos Essa é a equação de uma rotação anti-horária dos eixos x e y sobre o eixo z. Topologicamente, a transformação linear das rotações sobre o eixo z, que denotaremos, doravante, pela letra R, é um automorfismo de uma esfera S², pois: RS2   S2

Essa isotropia espacial pode ser enunciada como a conservação das leis da física frente a rotações espaciais. O conjunto de todas estas transformações R forma o grupo de rotações no espaço e está associada a conservação do momento angular, por meio do Teorema de Noether.

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O grupo de rotações R é um grupo ortogonal, pois os eixos coordenados preservam sua transversalidade após a transformação. Antes da transformação, temos as relações: x, y  0,

x, z  0,

y, z  0

Para provarmos que a transformação é ortogonal, inicialmente iremos calcular a norma dos vetores antes e depois da rotação, usando as equações padrões. Primeiro, vamos construir dois vetores ortogonais x+y e x – y, e calcular seu produto interno:

x  y , x  y  x, x  x , y  y , x  y , y x  y , x  y  x, x  y , y x, x  y , y  0 x, x  y , y Isso prova que a norma dos vetores x e y são idênticas. Agora usando a lei de transformação, vamos calcular os produtos internos:

x, y  ax  by, ay  bx x, y  a x, ay  bx  b y , ay  bx x, y  a 2 x, y  ab x, x  ab y , y  b 2 y , x x, y  ab  y, y  x, x



x, y  0 Agora vamos calcular a transformação para os demais vetores: x, z  ax  by, z

y, z  ay  bx, z

x, z  a x, z  b y, z

y, z  a y, z  b x, z

x, z  0

x, z  0

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Agora vamos provar que essas transformações também preservam a norma dos vetores:

x, x  ax  by, ax  by x, x  a 2 x, x  2ab x, y  b 2 y, y x, x  a 2 x, x  b 2 x, x x, x   a 2  b 2  x, x x, x  x, x y, y  bx  ay, bx  ay y, y  b 2 x, x  2ab x, y  a 2 y, y y, y  b 2 y, y  a 2 y , y y, y   b 2  a 2  y, y y, y  y, y z , z   z , z t , t   t , t Outro exemplo, de uma isotropia espacial na variedade euclidiana, 3+0 dimensional, é descrito pelo conjunto de transformações conhecidas por transformações de Galileu:

x  x  vt y  y

z  z, t  t

As transformações de Galileu não são um automorfismo de S², mas um homeomorfismo entre S² e a superfície de um elipsoide ER².

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O conjunto de transformações de Galileu forma um grupo conhecido como grupo de Galileu G. Seria este grupo ortogonal? Verifiquemos: x, y  x  vt , y

x, z  x  vt , z

x, y  x, y  v t , y

x, z  x, z  v t , z

x, y  v t , y

x, z  v t , z

y, z  y, z y, z  0

Devido à variável temporal, a ortogonalidade dos eixos espaciais depende da ortogonalidade dos eixos espaciais não transladados e o eixo temporal. Vamos verificar a norma dos eixos: x, x  x  vt , x  vt

y, y  y , y

x, x  x, x  vt  v t , x  vt x, x  x, x  2v x, t  v 2 t , t

z, z  z , z

Desta vez dependemos não apenas da ortogonalidade entre x e t, mas também da norma do próprio tempo que deve ser infinitamente pequena ou ortogonal a si mesmo. Em uma variedade euclidiana, verifica-se a seguinte desigualdade: t , t  0 , sendo que, t , t  0  t  0

Se t for vetor nulo, é fácil ver que: x, t  y , t  z , t  0

Em outras palavras, o único vetor que é ortogonal a si mesmo na variedade euclidiana é o vetor nulo. Se o tempo se comporta como o vetor nulo, isso significa que o eixo do tempo é um ponto, isto é, possui dimensão zero e o grupo de Galileu é ortogonal e preserva a norma dos eixos sobe uma translação. Essa é a razão do espaço de Galileu da mecânica clássica ser descrito como um euclidiano 3+0 e é a razão pela qual mesmo que os acontecimentos na variedade

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ocorram em um determinado momento do tempo, o tempo não é um eixo, pois não possui dimensão ou, em outras palavras, na física clássica, as transformações de Galileu exigem que a dimensionalidade do tempo seja zero. 2 – A Forma Quadrática Fundamental O fato de não existir na variedade euclidiana um vetor que seja ortogonal a si mesmo, não significa que essa seja uma condição topológica geral. Com efeito, há um conjunto de variedades chamadas de pseudo-riemannianas e pseudo-euclidianas que admitem vetores não-nulos com comprimentos nulos e que são ortogonais a si mesmo. Este é o caso de todos os vetores que preservem a forma quadrática fundamental:

J 2  c2t 2  x2  y 2  z 2 Como observou Hermann Minkowski em sua conferência de 1908, a velocidade da luz no vácuo, que deve ser a mesma para todos os referenciais inerciais, é o elemento essencial para se conectar o espaço e o tempo, de forma que esses eixos sejam mutuamente ortogonais e o tempo tenha dimensionalidade, gerando uma variedade contínua 3+1, que o próprio Minkowski chamou de Espaço-Tempo. O princípio da relatividade de Poincaré (1904) estabelece que: As leis dos fenômenos físicos devem ser as mesmas, quer para um observador fixo, quer para um observador em movimento de translação uniforme; de modo que não temos, nem podemos ter, nenhum meio de discernir se somos ou não levados num tal movimento.

Nessa mesma conferência, Poincaré também havia estudado outras propriedades físicas envolvendo ondas eletromagnéticas,

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concluindo que a simultaneidade dos eventos depende de sua posição relativa no espaço e que a velocidade da luz deve ser um invariante. Em 1905, Poincaré analisou as transformações de Lorentz e descobriu um método mais rigoroso para deduzi-las: o grupo homogêneo de Lorentz. Foi nessa ocasião que Poincaré encontrou o segundo elemento fundamental para se desenvolver a topologia de baixa dimensão do espaço-tempo: a forma quadrática fundamental.

FIGURA 1. Mapa do Espaço-Tempo de Poincaré-Minkowski11

https://www.researchgate.net/figure/Coordinate-lines-for-the-Minkowskispacetime-in-the-Penrose-Carter-diagram-From-left-to_fig1_2177471 11

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C. Construindo o Espaço-Tempo Como arguiu Minkowski (1908) o princípio da relatividade é um imperativo de isotropia do espaço frente as translações espaciais. Portanto devemos procurar transformações lineares entre os referenciais inerciais, mas que preservam a forma quadrática fundamental. Uma outra observação diz respeito a causalidade. No universo acessível a experiência se A é a causa de B, podemos encontrar um referencial em que A e B são eventos simultâneos, mas nunca encontraremos um referencial que B seja a causa de A. Isso significa que as nossas rotações espaciais não podem girar na mesma direção do eixo temporal. Da mesma forma que ocorre nas transformações de Galileu, a variável de tempo deve ter suas unidades corrigidas para corresponder a uma medida de comprimento, esse fator de correção deve ser um invariante com dimensões de velocidade. A eletrodinâmica dos corpos em movimentos de Lorentz, Poincaré e, mais explicitamente, Einstein, revela-nos que este invariante é a velocidade da luz no vácuo, denotada pela letra c. Assim, as transformações lineares, que denotaremos por L, são da forma:

a 2  b2  1 b av c

ct   bx  act x  ax  bct y  y z  z

J  c 2t 2  x 2  y 2  z 2

Vamos verificar se estas equações preservam a forma quadrática: J  c 2 t 2  x2  y 2  z 2 J   bx  act    ax  bct   y 2  z 2 2

2

J  b 2 x 2  2abcxt  a 2 c 2t 2   a 2 x 2  2abcxt  b 2 c 2t 2   y 2  z 2

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J  b 2 x 2  2abcxt  a 2c 2t 2  a 2 x 2  2abcxt  b 2c 2t 2  y 2  z 2 J  b 2 x 2  a 2 c 2 t 2  a 2 x 2  b 2 c 2t 2  y 2  z 2 J   a 2  b 2  c 2t 2   a 2  b 2  x 2  y 2  z 2 J  c 2t 2  x 2  y 2  z 2 Assim como na variedade euclidiana, as constantes da transformação linear podem ser parametrizadas, só que neste caso usamos funções trigonométricas hiperbólicas.

a  cosh  b  sinh  Observe que no grupo de rotações R a escolha de qual variável seria parametrizada com o seno e o cosseno era puramente convencional. Uma vez que adotamos o sistema de bases destras, optamos por uma rotação no sentido anti-horário, porém um sistema de bases canhotas, com rotações horárias, levaria a resultados idênticos. Na variedade espaço-tempo M3+1, essa escolha não é arbitrária. Essa assimetria é uma consequência do princípio da causalidade. Substituindo essa parametrização na transformação:

x  x cosh   ct sinh  ct   ct cosh   x sinh 

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Em 1905, Poincaré concluiu que essas transformações lineares L, que correspondem as transformações de Lorentz, eram equivalentes a rotações hiperbólicas no espaço-tempo. Poincaré e Minkowski perceberam que a nova variedade M3+1 preserva semelhanças com a variedade euclidiana E3+0, a diferença fundamental era que a nova variedade apresenta uma isotropia espacial sobre rotações hiperbólicas e a antiga variedade, sobre rotações esféricas. Além disso, topologicamente, a transformação linear das rotações hiperbólicas L, é um automorfismo sobre o hiperboloide H², pois: LH 2   H 2

A topologia dessa variedade M3+1 admite vetores que possuem comprimento nulo e são ortogonais a si mesmo, sem que sejam o vetor nulo. O conjunto dessas características especiais que diferencia M3+1 de E3+0 levou os matemáticos a batizarem essa variedade de pseudo-euclidiana. À rigor as propriedades associadas a métrica como a norma e a ortogonalidade são características apenas variedades riemmanianas e euclidianas, nas variedades pseudo

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definimos uma pseudo-métrica de onde derivamos uma pseudonorma e a pseudo-ortogonalidade. Na prática, muitos autores não fazem ou discutem a distinção entre espaços com pseudo-métrica e métrica real, embora a distinção seja crucial em qualquer estudo topológico. Vamos mostrar que a identidade hiperbólica é uma transformação de Lorentz local:

a 2  b2  1  b2  a 2 1  2   1  a  v2  2 a 1  2   1  c  Denominaremos o termo em parêntesis de 1/².

a2

2

1

a  Usando a identidade entre os coeficientes e as velocidades, determinamos b: b

v  c v b  c 

Denotamos a razão v/c por 

b   Portanto, as funções hiperbólicas podem ser escritas como:

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sinh    cosh    tanh    O grupo de rotações L é um grupo ortogonal, pois os eixos coordenados preservam sua transversalidade após a transformação. Vamos demonstrar esse fato. Antes da transformação, temos as seguintes relações: x, y  0,

x, z  0,

y, z  0

x, t  0,

y, t  0,

z, t  0

Vamos verificar se a ortogonalidade é verificada sobre uma transformação de Lorentz. x, y  ax  bct , y

x, z  ax  bct , z

x, y  a x, y  bc t , y

x, z  a x, z  bc t , z

x, y  0

x, z  0

y, t   y, act  bx

z, t   z , act  bx

y, t   ac y, t  b y, x

z, t   ac z , t  b z , x

y, t   0

z, t   0

x, t   ax  bct , act  bx x, t   a x, act  bx  bc t , act  bx x, t   a 2c x, t  ab x, x  abc 2 t , t  b 2c t , x x, t   ab x, x  abc 2 t , t x, t   ab  x, x  c 2 t , t



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Impondo que esse novo sistema de coordenadas seja ortogonal, obtemos: x, x  c 2 t , t  0 x, x  c 2 t , t

Essa relação é fundamental no estudo do espaço-tempo e contém várias propriedades do interesse da topologia de baixa dimensão. Para explorar essa propriedades, vamos denotar por S² a norma ao quadrado do vetor comprimento e por T² a norma do vetor duração: x, x   c 2 t , t

S 2  c2T 2 S  icT

T

iS c

Desta relação, observamos que o eixo de tempo é um eixo imaginário que é ortogonal ao espaço euclidiano tridimensional ordinário. Como nosso espaço-tempo é uma estrutura arbitrária que fazemos corresponder os fenômenos físicos, Poderíamos construir uma variedade onde o tempo é um eixo real e as coordenadas espaciais são eixos imaginários i, j e k. Àqueles que são letrados em matemática (ou em história da matemática e da física) sabem que os vetores desse espaço são os quartenions de Hamilton. Durante o desenvolvimento do eletromagnetismo, havia uma disputa sobre qual seria o melhor formalismo para descrever os campos eletromagnéticos: os vetores de Grassmann ou os quartenions de Hamilton. Como o tensor eletromagnético é o coeficiente da estrutura da álgebra de Lie do espaço-tempo e os campos elétricos e magnéticos, as linhas coordenadas da variedade, a escolha dos

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formalismos é puramente convencional. Se adotarmos que o tempo é um eixo imaginário ortogonal à E3+0, então nossos elementos correspondem aos vetores de Grassmann, mas se adotarmos um tempo real ortogonal a um espaço imaginário, então os elementos são descritos por quartenions. Agora vamos estabelecer a proporção entre a dimensão espacial e a dimensão temporal. Se tomarmos uma unidade de segundo, a nossa equação nos fornece que isso equivale a um comprimento imaginário de aproximadamente 3.108 (300 milhões de metros) ou 3.105 km (300 mil quilômetros). Em outras palavras, a proporção entre a dimensão espacial para a dimensão temporal é de 1 metro para 300 milhões de metros, o que implica que a dimensão de tempo é infinitamente maior que as dimensões ordinárias do espaço. Na topologia de altas dimensões, descobrimos que as dimensões espaciais superiores são infinitamente pequenas (na ordem de 10-15 m). Hermann Minkowski, foi o primeiro a explorar a relação entre as dimensões espaciais e temporais em sua conferência de 1908, onde ele enfatizou que: “a essência deste postulado pode ser coberta matematicamente de uma maneira muito fértil pela fórmula mística: 3  105 km  1seg ”. Da ordem de grandeza da dimensão temporal, decorre que se o intervalo espacial entre dois eventos na variedade espaço-tempo for muito pequeno, devido ao fator c, a duração do evento tenderá a zero. Isso implica que para eventos locais (muito próximos em relação a c), a norma do vetor temporal é praticamente nulo e o vetor tenderá a se comportar como um ponto sem dimensão.

t, t   t, t

x, x c2 0

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Esta é razão para não percebermos a dimensionalidade do tempo e o espaço-tempo se assemelhar com uma variedade euclidiana. A partir dessas relações entre espaço e tempo, definimos o tempo próprio (proper time) e o comprimento próprio (proper lenght), que são as medidas de tempo e espaço feitos no referencial próprio do observador. t , t  d 2

x, x  ds 2

Destas relações derivamos, a seguinte relação entre as grandezas:

ds 2  c 2 d 2 ds  cd Depois de termos estudado as propriedades de ortogonalidade do espaço-tempo, devemos estudar a transformação das normas:

x, x  ax  bct , ax  bct x, x  a x, ax  bct  bc t , ax  bct x, x  a 2 x, x  abc x, t  abc t , x  b 2c 2 t , t x, x  a 2 x, x  2abc x, t  b 2c 2 t , t x, x   ax  bct 

2

ou x, x  a 2 x, x  b 2c 2 t , t x, x  a 2 c 2 t , t  b 2c 2 t , t x, x   b 2  a 2  c 2 t , t x, x  c 2 t , t x, x   x, x

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Agora vamos analisar a norma do tempo no referencial S’,

ct , ct   bx  act , bx  act ct , ct   b x, bx  act  ac t , bx  act ct , ct   b 2 x, x  abc x, t  abc t , x  a 2c 2 t , t ct , ct   b 2 x, x  2abc x, t  a 2c 2 t , t ct , ct    bx  act 

2

ou ct , ct   b 2c 2 t , t  a 2c 2 t , t ct , ct     b 2  a 2  c 2 t , t ct , ct   c 2 t , t ct , ct    ct , ct ct , ct   x, x Deste estudo podemos derivar uma identidade importante: ct , ct   x, x  0 ct , ct    x, x c 2 t , t    x, x

Que é a relação que obtivemos anteriormente ao estudar as condições de ortogonalidade. O tempo próprio e o comprimento próprio são invariantes na variedade, como exige o princípio da relatividade. Porém, a condição de ortogonalidade e, por conseguinte, dimensionalidade, do tempo é uma consequência não apenas do princípio da relatividade, mas da forma quadrática fundamental (que implica na constância da velocidade da luz)

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D. Variedades Espaço-Temporais Na seção anterior construímos uma noção de distância espacial que tinha como pressuposto elementar que a distância dos pontos são medidos simultaneamente, ou para sermos mais precisos, que as linhas que conectam esses pontos são do tipo luz. Para avaliarmos o que significa a ortogonalidade do tempo em relação em aos eixos espaciais. Para isso devemos introduzir uma nova simetria: a isotropia temporal. Essa simetria é o equivalente a uma translação temporal que diz que nos processos físicos, só nos interessa a sua duração, independente do seu início e término absoluto. T 2   t2  t1 

2

Da mesma forma que uma isotropia espacial exige eventos simultâneos no tempo, a isotropia temporal exige eventos simultâneos no espaço.



T 2  t2  x i   t1  x i 



2

A experiência nos sugere que se dois eventos são separados espacialmente, dentro dos limites dos erros experimentais e se as distâncias são menores que o intervalo 3.105 km, em muitas classes físicas, os intervalos T² são invariáveis. A reciproca também é a verdadeira para corpos rígidos em repouso ou em baixas velocidades. A partir desta observação, podemos formular duas hipóteses: 1) Espaço de Galileu-Newton (G3+0): A proporção entre as unidades de distância espacial e temporal é infinita. A álgebra do espaço é gerado pelo Grupo de Galileu. O espaço de Galileu-Newton é um espaço definido sobre uma variedade euclidiana tridimensional que a cada vetor de R³ associa-

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se unicamente um vetor em R³ por meio das transformações de Galileu: G:

3



 Gr , t 

3

 r  tv , t 

Neste espaço, a norma ao quadrado espaciais e temporal se associam por meio da seguinte regra:

t, t 

r,r c2

Como c é infinito, a norma de t deve ser nula. Em uma variedade euclidiana, todo vetor de norma nulo é o vetor nulo, portanto o tempo é o vetor nulo, que possui dimensão zero e é o único vetor ortogonal a todos vetores do espaço e a si mesmo. Minkowski chama esse espaço de G∞. Neste espaço a distância S e a distância T são grandezas distintas, sendo que T é sempre zero. A menor distância entre dois pontos nesse espaço é uma linha reta. 2) Espaço-Tempo de Poincaré-Minkowski (M3+1): A proporção entre as unidades de distância espacial e temporal é extremamente grande (da ordem da velocidade da luz). A álgebra do espaço-tempo é gerada pelo Grupo de Poincaré. O espaço de Poincaré-Minkowski é um espaço-tempo definido sobre uma variedade pseudo-euclidiana tetradimensional que a cada vetor de R4 associa-se unicamente um vetor em R³C1 por meio das transformações de Lorentz: L:

4



 Lr , Lt 

3



1

 v r  v  r   r     1 2 v   vt ,   t  2   v c   

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Neste espaço, a norma ao quadrado espaciais e temporal se associam por meio da seguinte regra12:

t, t  

x, x c2

Como c é muito grande, a norma de t deve tende a zero para eventos localizados em distâncias espaciais muito menores que 3.105 km, fazendo com que a variedade se comporte localmente semelhante a variedade euclidiana. Em uma variedade pseudoeuclidiana, todo vetor de norma nulo é um vetor do tipo luz. Nesse espaço a dimensionalidade do tempo não é zero, mas uma unidade imaginária. Do ponto de vista matemático, todo espaço cuja base são quatro vetores linearmente independentes sobre um corpo de números reais é um espaço de 4 dimensões. Minkowski batizou esse espaço de Gc. Neste espaço, os pontos são chamados de eventos e a pseudo-distância entre dois é definida como contínuo espacial e temporal: d  e1 , e2   S 2   icT  2

2

d  e1 , e2   S 2  c 2T 2 2

Em uma variedade euclidiana verifica-se a desigualdade de Cauchy-Schwarz:

u, v  E 3 u, v

2

 u , u  v, v

u, v

2

 u , u  v, v  u , v é um conjunto LD

A coordenada x representa o eixo paralelo ao movimento relativo entre os referenciais inerciais.

12

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Na variedade espaço-tempo, verifica-se a pseudo-desigualdade de Cauchy-Schwarz:

u, v  M 31 u, v

2

 u , u  v, v

u, v

2

 u , u  v, v  u , v é um conjunto LD

Topologicamente, a pseudo-desigualdade de Cauchy-Schwarz enuncia que uma linha reta que conecta dois eventos da região casual do espaço-tempo possui um comprimento maior que qualquer curva de classe C∞ ou caminho poligonal que conecte esses dois eventos.

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Essa propriedade da variedade pseudo-euclidiana é razão do tempo passar mais devagar para referenciais acelerados, o que é justamente a solução do “paradoxo” dos gêmeos e também está associado ao efeito Doppler relativístico previsto por Einstein em 1905. A diferença dessas desigualdades é uma consequência das homotetias de cada variedade: circunferências homotéticas em G∞ e hipérboles homotéticas em Gc.

Espaço de Galileu-Newton d  O, X   d  O, B   d  B, X 

Espaço de Poincaré-Minkowski d  O, X   d  O, I   d  J , X 

Porém, qual dos dois espaços melhor descreve os eventos físicos? Haverá uma experimento crucial que decida a questão ou a escolha é puramente convencional? E nesse último caso, qual é o mais oportuno?

P á g i n a | 291

Em sua palestra de 1908, Minkowski fez a seguinte declaração: Como Gc é matematicamente muito mais inteligível que G∞ parece que o pensamento pode ter atingido algum matemático, sem fantasia, que, afinal, fenômenos naturais não possuem invariância ao grupo G∞, mas sim com o grupo Gc, com c sendo finito e determinado, mas em unidades de medida comuns extremamente grandes. (MINKOWSKI, 1908)

Sobre a inteligibilidade matemática, invocada por Hermann Minkowski, como o fator decisivo para escolha de M3+1, o pesquisador K. Brown (2017) apresenta a seguinte análise: Obviamente, os esforços de Maxwell e outros para criar métodos empíricos para medir a estrutura de repouso absoluta (medindo anisotropias na velocidade da luz ou detectando variações nas propriedades eletromagnéticas do vácuo) estavam fadados ao fracasso, porque mesmo que seja verdade que as equações do eletromagnetismo não são invariantes nas transformações da Galileu, também é verdade que essas equações são invariáveis em relação a todo sistema de coordenadas inerciais. Maxwell (junto com todo mundo antes de Einstein) consideraria essas duas proposições como logicamente contraditórias, porque ele assumiu que os sistemas de coordenadas inerciais estão relacionados por transformações galileanas. Einstein foi o primeiro a reconhecer que não é assim, ou seja, que sistemas de coordenadas inerciais relativamente em movimento são realmente relacionados por transformações de Lorentz. As equações de Maxwell sugerem a invariância de c somente devido à circunstância adicional de que somos incapazes de identificar fisicamente qualquer quadro de referência específico para a aplicação dessas equações. (Escusado será dizer que o mesmo não se aplica, por exemplo, à equação de Navier-Stokes para um meio fluido de material.) O exemplo mais facilmente observado dessa incapacidade de destacar um quadro de

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referência exclusivo para as equações de Maxwell é a invariância empírica de velocidade da luz em relação a todo sistema inercial de coordenadas, a partir do qual podemos inferir a invariância de e 0. Portanto, as tentativas de deduzir a invariância da velocidade da luz a partir das equações de Maxwell são fundamentalmente equivocadas. Além disso, como discutido na Seção 1.6, sabemos (como Einstein) que as equações de Maxwell não são fundamentais, pois não abrangem efeitos fotoelétricos quânticos (por exemplo), enquanto a estrutura de Minkowski do espaço-tempo (representando a invariância do característica local da velocidade da luz) é evidentemente fundamental, mesmo no contexto da eletrodinâmica quântica. Isso apoia fortemente a decisão de Einstein de basear sua cinemática no próprio princípio da velocidade da luz. (Como no caso da decisão de Euclides de especificar um "quinto postulado" para sua teoria da geometria. Outro argumento que às vezes é avançado em apoio ao segundo postulado é baseado na noção de causalidade. Se o futuro deve ser determinado (e somente pelo) passado, (o argumento continua) nenhum objeto ou informação pode se mover infinitamente rápido e, a partir dessa restrição, as pessoas tentaram inferir a existência de um limite superior finito nas velocidades, o que levaria às transformações de Lorentz. Um problema com essa linha de raciocínio é que ela se baseia em um princípio (causalidade) que não é inequivocamente auto evidente. De fato, se certos objetos pudessem se mover infinitamente rápido, poderíamos esperar encontrar o universo preenchido com grandes conjuntos de partículas indistinguíveis, todas realmente exemplos de um pequeno número de protótipos se movendo infinitamente rápido de um lugar para outro, para que cada um ocupe vários locais o tempo todo. Isso pode parecer implausível até lembrarmos que o universo realmente é povoada por elétrons e prótons aparentemente indistinguíveis e, de fato, de acordo com a mecânica quântica, as identidades individuais dessas partículas são ambíguas em muitas circunstâncias. John

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Wheeler brincou seriamente com a ideia de que há apenas um único elétron no universo, abrindo caminho para frente e para trás no tempo. É certo que existem problemas com essas teorias, mas o ponto é que a causalidade e a direcionalidade do tempo estão longe de serem princípios diretos. Além disso, mesmo se concordarmos em excluir velocidades infinitas, ou seja, que a composição de quaisquer duas velocidades finitas deva produzir uma velocidade finita, não conseguimos realmente nada, porque a lei de composição da galileana tem essa mesma propriedade. Todo número real é finito, mas não se segue que deve haver algum limite superior finito nos números reais. Mais fundamentalmente, é importante reconhecer que a estrutura do espaço-tempo de Minkowski, por si só, não descarta automaticamente velocidades acima da velocidade característica c (nem implica assimetria temporal). A rigor, é necessária uma suposição separada para descartar "taquions". Assim, não podemos realmente dizer que o espaçotempo de Minkowski é prima facie mais consistente com a causalidade do que o espaço-tempo da Galileu. Um argumento mais persuasivo para um limite superior finito de velocidade pode se basear na ideia de localidade, como mencionado em nossa revisão das deficiências da regra de transformação da Galileu. Se a ordenação espacial dos eventos tem algum significado absoluto, apesar de a distância poder ser transformada pelo movimento, parece que deve haver algum limite definido de velocidade. Além disso, a continuidade e a identidade dos objetos de um instante para o outro (ignorando as lições da mecânica quântica) são mais inteligíveis no contexto de uma variedade unificada de espaço-tempo com uma conexão não singular definida, o que implica um limite superior finito nas velocidades. Isso está no espírito da palestra de Minkowski em 1908, na qual ele insistia na maior "inteligibilidade matemática"

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E. Topologia de Baixa Dimensão do Espaço-Tempo Vamos agora desenvolver uma topologia geométrica de uma variedade espaço-tempo arbitrária P3+t, onde t é a dimensionalidade do tempo. Para isso consideremos dois sistemas inerciais de coordenadas (x, y, z, ct) e (x’, y’, z’, ct’) conectados por uma transformação linear P:

 x  Ax  B P: t   Cx  D dx  Adx  Bd dP :  d   Cdx  Dd onde  denota o eixo ct. Convencionando que o referencial S’ é estacionário, temos que dx’:

0  Adx  Bd dx B  A cdt A derivada de x em relação ao tempo é a velocidade relativa entre os referenciais: v B  A c Portanto as transformações adquirem a seguinte forma:   x  A  x  vt  P:     Cx  D

Subtraindo Dx’ por Bt’ e At’ por Cx’, obtemos o seguinte sistema de equações:

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 Dx  ADx  ADv    B   BCx  ADv Dx  B    AD  BC  x

 A   ACx  AD   Cx  ACx  BC

A   Cx   AD  BC 

Agora vamos provar que estas transformações devem ser as inversas de x e de t.   AD  BC  x  Dx  B     AD  BC   A   Cx

O fator entre parêntesis nós chamaremos de l.

lx  Dx  B   l  A   Cx Para que espaço e tempo sejam ortogonais devemos provar que transformações são invertíveis. Para isso calculemos a norma de x,

l 2 x, x  Dx  B , Dx  B  l 2 x, x  D x, Dx  B   B  , Dx  B  l 2 x, x  D 2 x, x  2 BD x,   B 2  ,  l 2 x, x  D 2 x, x  B 2  ,  Agora calcularemos as normas de x’ e t’ usando as transformações lineares e multiplicando por constantes escolhidas adequadamente: D 2 x, x  A2 D 2 x, x  B 2 D 2  , B 2  ,   B 2C 2 x, x  B 2 D 2  ,

Somando as duas equações, D 2 x, x  B 2  ,    A2 D 2  B 2C 2  x, x  2 B 2 D 2  ,

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Substituindo esse resultado na norma de x:

 AD  BC 

2

x , x   A 2 D 2  B 2C 2  x , x  2 B 2 D 2  , 

2 ABCD x, x  2 B 2 D 2  , AC x, x   BD  , Essa equação contém a condição de ortogonalidade entre os eixos espaciais e temporais. Antes de explorarmos essa condição, vamos isolar a norma de t:

 ,  

AC x, x BD

Denotaremos a razão –AC/BD por K:

 ,  K x, x

t, t 

K x, x c2

Esta é razão fundamental entre o espaço e o tempo da variedade. Esta identidade entre espaço e tempo que deduzimos implica na ortogonalidade do grupo espaço-tempo. Para isso tomemos o produto interno entre x’ e t’:

x, t   Ax  Bt , Cx  Dt x, t   x, Cx  Dt  B t , Cx  Dt x, t   AC x, x  2 AD x, t  BD t , t x, t   AC x, x  BD t , t Usando a identidade entre espaço e tempo que calculamos anteriormente, decorre que: x, t   0

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Portanto, o conjunto o novo conjunto de transformações são as transformações inversas. Com esse resultado vamos mostrar que o único valor possível para l é a unidade. A transformação l deve ser um automorfismo de S em S que preserva a norma: lx, lx  x, x l 2 x, x  x, x l2  1

Daqui há dois valores possíveis que podem ser tomados: l =1 e l = -1. Se tomarmos l = -1, isso significa que todas as transformações lineares entre S e S’ promovem uma inversão dos eixos coordenados. Se l é uma rotação, essa rotação é de 180º no espaço-tempo que é incompatível com o postulado de isotropia (princípio da relatividade) e não formam um grupo (POINCARÉ, 1905-1906, EINSTEIN, 1905). Por esses argumentos devemos assumir l = 1, que corresponde a uma rotação de 0º e preserva a orientação dos eixos.

l 1 AD  BC  1 Para determinarmos as demais constantes e obtermos todas as transformações possíveis entre o espaço e o tempo que preservam a isotropia do espaço e do tempo. Para determinarmos a relação entre as constantes A e B assumimos que o referencial S’ reclama que está em repouso em relação ao observador S, que se desloca na direção x com velocidade v. Invocando o princípio da relatividade (ou princípio da isotropia), o observador S pode reclamar que ele está em repouso e o observador S’ se afasta dele com velocidade –v na direção x. Nenhuma experiência física, bem como nenhuma propriedade topológica, pode nos dizer qual dos dois observadores está certo sobre a sua condição de movimento. Para prosseguirmos a nossa análise, usaremos o eixo ct.

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dx  Bcdt dt   Ddt Dividindo as equações e considerando que a derivada de x’ em relação ao t’ é a velocidade relativa entre os referenciais, obtemos:

B c D v B  D c

v 

Substituindo o valor de B, obtemos:

v v  A  D c c A D Da relação com fator l, determinamos o coeficiente C:

AD  BC  1 v A2  A C  1 c v A C  1  A2 c c  1  A2  C   v A  Assim a dimensionalidade de t torna-se uma função de A:  1  A2  K  2 2   v A 

Agora vamos obter as transformações gerais da variedade:

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 x  A  x  vt   P: 1  1  A2   t    x  At  v A   

A transformação de t pode ser escrito da seguinte forma:  x  A  x  vt   P:   1  A2    t A  t v    2 2  x   Av    

Mas o termo em colchetes é o fator de simetria K da variedade:   x  A  x  vt  P:  t   A  t  vKx 

Desta relação podemos deduzir a transformação de A em fator da simetria da variedade: 1  A2 K 2 2 Av 2 2 KA v  A2  1

A2 1  Kv 2   1 A2 

1 1  Kv 2 

Pelas razões de simetria e formação de um grupo, devemos tomar o valor positivo de A: 1 A 1  Kv2 

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E as transformações gerais da variedade espaço-tempo são:

  x   P: t    

1

1  Kv  2

1

1  Kv2 

 x  vt   t  vKx 

Vamos usar as propriedades do grupo dos deslocamentos para extrairmos outra relação importante da variedade. Tomemos a razão de x’ e t’:  x  vt  x  t   t  vK v x  Tomemos agora uma nova transformação de coordenadas para o sistema S’’:

 x  ut x  t   t   uKu x  Evidenciando t’,

 x t  u  x  t  1  uKu x t   Substituindo o valor da transformação x’ e t’:

  x  vt    u    t  vK v x   x   t    x  vt   1  uK u   t  vK v x   

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Tirando o mínimo múltiplo comum:

  x  vt   u  t  vK v x      t  vK v x  x    t    t  vK v x   uK u  x  vt      t  vK v x   

 x  vt   u  t  vK v x  x  t   t  vK v x   uK u  x  vt  1  uvK v  x   v  u  t x  t  1  uvK u  t   uK u  vK v  x Evidenciando o termo que acompanha a coordenada x,

x

v  u 

t 1  uvK v   x  t  1  uvK u   uK u  vK v  t x 1  uvK v  1  uvK v  A condição que estas transformações sejam um grupo, exige que elas preservem a mesma forma em todos os referenciais:

x x  wt  t  t  wK w x Que implica em:

w

v  u 

1  uvKv 

Kw 

 uKu  vKv  v  u 

1  uvKu   1 1  uvKv 

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Pela última equação podemos determinar a relação entre Ku e Kv:

Ku  K v  K Substituindo na segunda relação:

 uK  vK  v  u  v  u  K Kw  v  u  Kw 

Kw  K Em outras palavras, K é a constante fundamental da variedade que na teoria da relatividade espacial está associada a velocidade da luz. Por meio desse resultado, a fórmula de adição de velocidades da variedade, que corresponde a álgebra de Lie de P3+t, é dada por:

w

uv 1  uvK

Essa equação é uma decorrência natural do grupo de deslocamentos. Se u, v e w são um grupo de deslocamentos, então as três aplicações são um automorfismo sobre variedade: Q  u , v, w   0

Sendo Q uma transformação linear, sua forma geral é dada por: Q  u , v, w   Auvw  Buv  Cuw  Dvw  Eu  Fv  Gw  H

Auvw  Buv  Cuw  Dvw  Eu  Fv  Gw  H  0 Se u, v e w um grupo, qualquer permutação dos elementos preserva a estrutura. Q  u, v, w  Q  v, w, u   Q  w, u, v   Q u, w, v   Q  v, u, w   Q  w, v, u 

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Esta condição só é verificada se:

BC D E  F G Se duas velocidades forem nulas, a condição de transitividade do automorfismo exige que a terceira velocidade também seja igualmente nula. Essa condição apenas se verifica se:

H 0 Se uma das velocidades forem nulas, a condição de reciprocidade do automorfismo exige que a terceira velocidade seja o oposto da outra velocidade. Sem perda de generalidade, suponha que u = 0, portanto w = -v. Auvw  B  uv  uw  vw   E  u  v  w   0 Bvw  E  v  w   0

Bv  v   E  v  v   0

Bv2  0 Como a velocidade v, por hipótese, não é nula, resulta que:

BC  D0 Auvw  E  u  v  w   0 Agora isolaremos a velocidade w:

 Auv  E  w  E  u  v   0 E u  v  w E  Auv

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Evidenciando –E no denominador: w

E u  v  A   E 1  uv   E 

Cancelando os fatores E e denotando a razão A/E por K, obtemos a lei de adição de velocidades da variedade:

w

uv 1  uvK

Pela análise das propriedades topológicas da variedade, concluímos que há três possíveis espaço-tempo compatíveis com o princípio da isotropia ou princípio da relatividade.

 K  0, o tempo é uma dimensão imaginária e a variedade é euclidiana  31 3 2 2 2 2 2 2 Métrica E    : ds  dx  dy  dz  k dt  K  0, o tempo não possui dimensão e a variedade é galileana   3 0 3 2 2 2 2 Métrica G    : ds  dx  dy  dz  K  0, o tempo é uma dimensão perplexa e a variedade é lorentziana  Pseudo-Métrica M 31  3   : ds 2  dx 2  dy 2  dz 2  c 2 dt 2 

O espaço-tempo de Galileu-Newton G3+0 tem sido objeto de estudo exaustivo na mecânica clássica, por isso iremos ignora-la. Nas próximas seções estudaremos o espaço-tempo supersimétrico G3+1 e o espaço-tempo pseudo-euclidiano de Poincaré-Minkowski M3+1.

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F. Topologia do Espaço-Tempo Euclidiano E3+1 Dos três espaços-tempos que satisfazem o princípio da relatividade, o espaço-tempo E3+1 é aquele munido de maior simetria. Neste espaço as transformações das coordenadas do espaço e do tempo são dadas pela relação:

  x     31  E : t        

1

 x  vt   v2  1  2   k  1 v   t  2 x   v2   k  1  2   k  1 K  2 k   k

Como as transformações espaciais afetam as transformações temporais e vice-versa, a continuidade da variedade exige que o eixo temporal real seja uma dimensão adicional que se entrelaça de forma continua com o espaço, compondo um espaço-tempo, cuja métrica é definida por:

ds 2  dx2  dy 2  dz 2  k 2dt 2 Se as coordenadas z e y são mantidas invariantes sobre um deslocamento do grupo, uma parametrização que mantém a métrica invariante é dada por: E

31

 x  x cos   kt sin   : kt   x sin   kt cos   y  y z  z 

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As funções trigonométricas polares desse espaço-tempo são definidas como:

 cos     E 31 :  sin   v  k  

1  v2  1  2   k  1  v2  1  2   k 

As funções trigonométricas satisfazem a identidade fundamental:

cos2   sin 2   1 O que significa que a coordenada espacial x e a coordenada temporal kt compõe uma variedade esférica denominada de S2. É fácil ver que essa variedade preserva rotações espaciais e temporais:

dx2  k 2dt2  dx2  k 2dt 2 Devido a essa simetria, nesta variedade as longitudes correspondem a geodésicas espaciais e as latitudes a loops temporais.

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Como essa variedade é isotrópica e admite curvas fechadas no espaço e no tempo, sua topologia é a mesma de S4. A constante k² tem dimensão de velocidade, mas não se relaciona com a velocidade da luz. Com efeito, nessa variedade, a velocidade da luz não é invariante. Quando o fator k² tende ao infinito, a variedade tende as qualidades de E3+0, isso significa que para todo k > toda região muito menor que  é difeomórfica a E3. Em outras palavras, existe um difeomorfismo local entre S4 e E3. Todo ponto de vista da geometria projetiva, todos os pontos da esfera podem ser projetadas em um plano, exceto o polo cuja projeção se encontra no infinito.

Esse espaço-tempo não parece corresponder a nossa experiência por duas razões: ele viola o axioma da invariância da velocidade da luz no vácuo e é apresenta curvas fechadas no tempo e sabemos que o espaço tempo não permite simetrias temporais triviais, apenas espaciais.

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G. Topologia do Espaço-Tempo Lorentziano M3+1 A experiência nos levou a rejeitar a variedade galileana G3+0. Por isso buscamos alternativas que fossem compatíveis com o princípio da relatividade que na topologia equivalem a isotropias espaciais e temporais. O espaço-tempo euclidiano se encontra em contradição com o fato que a velocidade da luz no vácuo é invariante e permite curvas fechadas no tempo (viagens no tempo para o passado). Por isso, a única opção que nos resta é o espaço-tempo de PoincaréMinkowski. Nesta variedade, as coordenadas espaço-temporais se conectam pelas transformações de Lorentz:

  x     3 1  M : t        

1

 x  vt   v2  1  2   k  1 v   t  2 x 2  v  k  1  2   k  1 K   2 k   k

Como as transformações espaciais afetam as transformações temporais e vice-versa, a continuidade da variedade exige que o eixo temporal imaginário seja uma dimensão adicional que se entrelaça de forma continua com o espaço, compondo um espaço-tempo pseudo-euclidiano, cuja pseudo-métrica é definida por:

ds 2  dx2  dy 2  dz 2  k 2dt 2 Se as coordenadas z e y são mantidas invariantes sobre um deslocamento do grupo, uma parametrização que mantém a métrica invariante é dada por:

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M

3 1

 x  x cosh   kt sinh   : kt   x sinh   kt cosh   y  y z  z 

As funções hiperbólicas desse espaço-tempo são definidas como:

 cosh     M 31 :  sinh   v  k  

1  v2  1  2   k  1  v2  1  2   k 

As funções trigonométricas satisfazem a identidade fundamental:

cosh 2   sinh 2   1 O que significa que a coordenada espacial x e a coordenada temporal kt compõe uma variedade hiperbólica denominada de H2 que mantém a forma quadrática invariante:

dx2  k 2dt2  dx2  k 2dt 2 Nessa estrutura podemos identificar 3 superfícies: um hiperboloide de duas folhas que representam os eventos casuais, isto é, que ocorrem a velocidades menores que c e estão conectados por vetores do tipo tempo (brádions). Um cone de luz que representa os eventos simultâneos e que são conectados por vetores de comprimento nulo, tipo luz (lúxons). Um hiperboloide de uma folha que representa eventos não casuais, isto é, que ocorrem a velocidades maiores que c e estão conectados por vetores do tipo espaço

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(táquions). Para transformações arbitrárias, M3+1 corresponde ao hiper-hiperboloide H4.

As funções hiperbólicas se conectam com as funções trigonométricas por meio das relações: sinh   i sin  i  cosh   cos  i 

Isto tipifica que o espaço-tempo de Poincaré-Minkowski é um espaço-tempo super-simétrico com dimensão temporal unitária imaginária. Esse caráter especial da dimensão temporal é que permite que as curvas no tempo não sejam fechadas (apenas curvas espaciais), o que corresponde melhor a nossa experiência física. A dimensionalidade imaginária do tempo é o que mune o espaçotempo de um invariante universal, a velocidade da luz no vácuo, que está conectado com o fator k2. Para estabelecermos essa

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correspondência, tomemos a fórmula de adição de velocidade onde assumimos que v = c e impomos que w = c para que se verifique a invariância: v  c c  vc  1  2   k  c  k 2  vc   k 2  v  c  ck 2  vc 2  vk 2  ck 2 vk 2  vc2 k 2  c2 k c

Substituindo o valor de k, obtemos as transformações de Lorentz:

  x    M 31 :  t     

1

 x  vt   v2  1  2   c  v  1  t  2 x 2  v  c  1  2   c 

E a lei de composição de velocidades: w

v  u   vu  1  2   c 

A pseudo-métrica de Poincaré-Minkowski

ds 2  dx2  dy 2  dz 2  c2dt 2

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E as rotações hiperbólicas do espaço-tempo:

M

3 1

 x  x cosh   ct sinh   : ct   x sinh   ct cosh   y  y z  z 

 cosh     M 31 :  sinh   v  c  

1  v2  1  2   c  1  v2  1  2   c 

Em síntese, Não surpreende que essa transformação, ao invés da transformação galileana ou euclidiana, forneça a relação real entre sistemas de coordenadas espaço e tempo com relação aos quais a inércia é direccionalmente simétrica e o movimento inercial é linear. Por considerações puramente formais, podemos ver que a transformação galileana, dada pela configuração K = 0, é incompleta e não tem espaço-tempo invariável, enquanto a transformação euclidiana, dada pela configuração [K > 0], não faz distinção entre espaço e tempo. Somente a transformação lorentziana, dada pela configuração [K < 0], possui propriedades completamente satisfatórias de um ponto de vista abstrato, e é provavelmente por isso que Minkowski se referiu a ela como "mais inteligível". (BROWN, 2017).

É importante observar que localmente H4 é difeomórfica a E3, e a dimensão temporal tende a ter dimensionalidade zero. É por isso que no limite de baixas velocidades, distâncias curtas e durações pequenas, os fenômenos podem ser descritos em uma variedade de Galileu G3+0. É por isso que dentro dos limites diários, os eventos parecem serem simultâneos e não percebemos a relatividade do espaço e do tempo, apenas seu caráter relacional.

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8. Elementos de Geometria Diferencial A. Covariância Geral Segundo Einstein (1916, p. 149): “as leis gerais da natureza devem ser representadas por equações que tenham validade em todos os sistemas de coordenadas, isto é, que sejam covariantes em relação a toda e qualquer substituição” A Teoria da Relatividade Especial deve apresentar covariância para um grupo de Poincaré, o que chamamos de covariância de Lorentz, já Teoria da Relatividade Geral está baseada no Princípio da Covariância Geral. A melhor maneira de se construir uma teoria de campo que apresente covariância é usando a linguagem tensorial. Por isso antes de realizarmos a dedução das equações d da Teoria da Relatividade Especial, convém discutir alguns aspectos fundamentais da análise tensorial que serão usadas neste processo. 1.

Convenção da Soma

Em um artigo publicado em 1916, intitulado Os Fundamentos da Teoria da Relatividade Geral, Einstein introduz uma convenção, que torna as equações tensoriais mais objetivas, da seguinte maneira: “sempre que um índice apareça duas vezes num termo de uma expressão, subentende-se que sobre ele se efetua uma soma, a não ser que se expressamente se declare o contrário”. (Einstein, 1916, p. 157). Por exemplo, seja o invariante relativístico: n

n

ds   gij dxi dx j 2

i 0 j 0

Segundo a Convenção da Soma, essa forma quadrática deve ser representada como: ds 2  g ij dx i dx j

com i , j   0,1, ..., n 

P á g i n a | 314

Convém listar algumas identidades (KAY, 1988, p.03):





A. aij x j  y j  aij x j  aij y j B. aij xi y j  aij x j yi C. aij xi x j  a ji xi x j

 E.  a

 x x

D. aij  a ji xi x j  2aij xi x j ij

 a ji

i

j

0

E também algumas não-identidades (KAY, 1988, p.03):





F. aij xi  y j  aij xi  aij y j G. aij xi y j  aij yi x j





H. aij  a ji xi y j  2aij xi y j Neste trabalho adotaremos também uma convenção a os índices: ÍNDICES ROMANOS  i, j , k ,  Variam de 0 à 3 ÍNDICES GREGOS   , , ,  Variam de 1 à 3

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B. Sistemas de Coordenadas Curvilíneos Vamos estabelecer um sistema de coordenadas arbitrário sobre a variedade denominado sistema de coordenadas curvilíneas ou gaussianas. Este sistema de coordenadas é essencial para o para definir uma teoria de covariância geral. A obra de Sanchez (2011), apresenta o estudo de sistemas curvilíneos com bastante detalhes, porém, prezando uma apresentação mais objetiva, esse capítulo tem como principal referência a obra de Spiegel (p.187-227, 1974) só que generalizada para um espaço de n dimensões. Sejam xi as coordenadas de um ponto em uma variedade M tal que xi é uma função bijetora de classe C1 de um parâmetro qi.

xi  xi  u j  ui  ui  u j  Dado um ponto P de coordenadas retangulares, podemos associalo a um conjunto de coordenadas especiais qi denominados coordenadas curvilíneas de P, cuja lei de transformação é definida pela equação acima. A figura abaixo representa a relação entre um sistema de coordenadas cartesiano tridimensional e um sistema de coordenadas curvilíneo tridimensional.

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De modo análogo, dizemos que a intersecção (ou corte) de um par de superfícies coordenadas define uma curva (ou linha) coordenada. ui  x j   ci

Se nˆi é o vetor normal à superfície coordenada ui  x j   ci , e se o produto interno dos vetores normais nˆi e nˆ j for nulo, então dizemos que o sistema de coordenadas curvilíneo é ortogonal. Assim podemos dizer que um sistema de coordenadas curvilíneo é um conjunto de curvas ordenadas de mesma origem. C. Vetores Unitários em Sistemas Curvilíneos Vamos estabelecer um sistema de coordenadas arbitrário sobre a variedade denominado sistema de coordenadas curvilíneas ou gaussianas. Este sistema de coordenadas é essencial para o para definir uma teoria de covariância geral. A obra de Sanchez (2011), apresenta o estudo de sistemas curvilíneos com bastante detalhes, porém, prezando uma apresentação mais objetiva, esse capítulo tem como principal referência a obra de Spiegel (p.187-227, 1974) só que generalizada para um espaço de n dimensões. Seja o vetor posição r de um ponto P da variedade M, r  xi  u j   eˆî

Um vetor unitário tangente à curva ui em P é dado pela derivada direcional em ui divido pela norma desse vetor:

qˆî 

1 r h1 ui

hî 

r ui

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De onde obtemos a seguinte relação:

r  h1  qˆî ui Os termos hi são chamados de fatores de proporcionalidade e por serem sempre positivos implicam que os versores qˆî crescem no mesmo sentido que ui De modo análogo, podemos definir um segundo conjunto de vetores unitários, o conjunto de vetores unitários normais ou

 

cotangentes à superfície ui x j  ci em um ponto P. ui Qˆ i  ui

ui  ui Qˆ i As figuras abaixo representam os vetores e planos tangentes:

r  h1  qˆî ui

ui  ui Qˆ i

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D. Dualidade Seja E um espaço vetorial sobre um corpo de escalares K, de base é qˆi  . Para esse espaço, existe um espaço vetorial E*, de mesma dimensão de E, também sobre um corpo de escalares K, com de base Qˆ ì denominado, dual de E. (BASSALO, CATANNI, 2009, p.06).

 

Os elementos de E são chamados de vetores ou vetores contravariantes, enquanto os elementos são chamados de formas, covetores ou vetores covariantes. (Id Ibid, p.06).

FIGURA 1: Relação entre o espaço vetorial e seu dual Proposição Os vetores de E e de seu dual E* são recíprocos:

ui 

r  i j u j

Demonstração Temos que o vetor normal é definido por:

ui  dr  dui

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Temos que o diferencial do vetor posição dado por:

dr 

r  du j u j

ui  dr  ui  dui  ui 

r  du j u j

r  du j u j

A igualdade acima só é verificada se, e somente se,  r  ui  u j 

 j    i 

Q.E.D.

 

Os conjuntos qˆi  e Qˆ ì são recíprocos e formam uma base de N

E , segue pelo Teorema da Invariância, que todo vetor pode ser escrito como combinação linear dos versores da base. Assim um vetor A pode ser escrito de duas maneiras distintas. Inicialmente exploraremos a forma contravariante. Vamos escrever o vetor A como uma combinação linear de sua base contravariante:

A  ci  qˆi A  Ji 

r ui

i 

r ui

A  J i  i Os vetores j são chamados de vetores básicos unitários, apesar da nomenclatura, esses vetores não são unitários em geral. As

P á g i n a | 320

componentes Ji são denominadas de componentes contravariantes de A. Agora exploraremos a forma covariante. Para tal, devemos escrever o vetor A como uma combinação linear de sua base covariante: A  Ci  Qˆ i A  J i  ui

 i   ui

A  J i  i

Os vetores i também são chamados de vetores básicos unitários, embora não sejam unitários, em geral. As componentes Ji são os componentes covariantes de A.

FIGURA 2. Vetores contravariantes e vetores covariantes em diferentes sistemas de coordenadas. 13 Registre que para um sistema de coordenadas ortogonal, as componentes covariantes e contravariantes coincidem.

13

In: https://www.mathpages.com/rr/s5-02/5-02.htm

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E. Componentes Contravariantes de um Vetor O conjunto de todos os vetores contravariantes sobre os pontos de uma curva C define um espaço vetorial denominado Espaço Tangente (BASSALO, CATTANI, 2009, p. 82). Nessa sessão estudaremos como as componentes desses vetores se transformam frente a mudanças de coordenadas. Seja A um vetor definido em relação a dois sistemas de coordenadas curvilíneos  ui  e  ui  vamos definir a lei de transformação das componentes contravariantes do vetor A para estes dois sistemas. Seja as equações de transformação dadas por:

xi  xi  u j  xi  xi  u j  Da bijetividade das transformações podemos assumir que existe uma transformação direta do sistema  ui  para o sistema  ui  definido por: ui  ui  u j  Tomando o diferencial exato do vetor posição obtemos:

dr 

r dui ui

dr   i dui E devido à bijeção entre  ui  e  ui  definimos a igualdade:

dr 

r duk uk

dr   i duk

P á g i n a | 322

Igualando as equações com os coeficientes alfa:

i dui   k duk Porém o diferencial de ui é dada por:

dui 

ui du j u j

Portanto, nossa equação para os fatores alfas se tornam:

i

ui du j   k duk u j

Vamos abrir primeiro a soma sobre o índice j:  ui

 ui u du2  ...  i dun    k duk u2 un  u1  u u u  i i du1   i i du2  ...   i i dun   k duk u1 u2 un

i 

du1 

Abrindo o somatório em k:

i

ui u u du1   i i du2  ...   i i dun  1du1   2 du2  ...   n dun u1 u2 un

Por inspeção, podemos relacionar os coeficientes alfa por meio da seguinte regra: u  j  i i u j Agora usaremos o fato que todo vetor A pode ser expresso como uma combinação linear de suas componentes contravariantes nos dois sistemas curvilíneos.

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A  J i i A  J j j

Igualando essas duas representações, obtemos: J i i  J j j

Substituindo o valor de alfa que calculamos anteriormente:

J i i  J

j

ui i u j

Portanto, as componentes contravariantes se transformam pela regra:

Ji  J

j

ui u j

Ji  J j

ui u j

FIGURA. Componentes Contravariantes de um Vetor

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F. Componentes Covariantes de um Vetor De maneira semelhante ao que ocorre com os vetores contravariantes, o conjunto de todos os vetores sobre o ponto p de uma variedade M define um espaço vetorial denominado Espaço Cotangente (Id ibid, p. 83, 2009). Nessa sessão estudaremos como as componentes desses vetores se transformam frente a mudanças de coordenadas Seja A um vetor definido em relação a dois sistemas de coordenadas curvilíneos  ui  e  ui  vamos definir a lei de transformação das componentes covariantes do vetor A para estes dois sistemas. Seja as equações bijetoras de transformação dadas por:

xi  xi  u j 

xi  xi  u j 

ui  ui  u j 

O vetor A escrito em termos de suas componentes covariantes assume a seguinte forma:

A  J j u j

A  J i ui

O gradiente de ui e ui é definido por:

ui 

ui êk xk

u j 

u j xk

êk

Substituindo essas relações na equação do vetor A:

A  Ji 

ui êk xk

A Jj 

Igualando as equações:

Ji 

u ui êk  J j  j êk xk xk

uk êk xk

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Essa igualdade só é satisfeita se cada componente do vetor for idêntica à outra:

Ji 

u ui  Jj  j xk xk

Da lei de transformação podemos estabelecer, pela regra da cadeia, a seguinte identidade

u j xk



u j ui ui xk

Substituindo na relação acima:

Ji 

u u ui  Jj  j i xk ui xk

Achamos a transformação das componentes covariantes:

Ji  J j 

u j ui

Ji  J j 

u j ui

FIGURA. Componentes Covariantes de um Vetor

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G. Espaço Tangente Os vetores sobre variedades, apresentados anteriormente, podem ser tratados como casos particulares de aplicações definidas sobre a variedade que definem espaço vetorial de vetores tangentes e cotangentes. Inicialmente iremos definir a aplicação vetor tangente (Vp) conforme exposto por Bassalo e Cattani (2009, p.81-82): “Seja p um ponto de uma variedade M e R(M) o conjunto de todas as funções com valores reais, definidas e diferenciáveis em alguma vizinhança de p. Define-se um vetor tangente Vp no ponto p como a aplicação (operador): Vp: R(M) → E1 Que satisfaz as seguintes condições: 1. Vp (af + bg) = a Vp (f) + b Vp (g), 2. Vp (f.g) = f(p) Vp (g) + g(p) Vp (f) Observe que a aplicação:

∀ a, b ∈ K; ∀ f, g ∈ R(M) (Regra de Leibniz)”

   1  xi  : R  M   E   Satisfaz as condições (1) e (2), portanto, é um campo vetorial tangente sobre a variedade M. “O conjunto Tp(M) de todos os vetores tangentes a M no ponto p é denominado espaço tangente.” (Op cit, 2009, p.82). Registre-se a seguinte observação (Op cit, 2009, p.82): “O espaço Tp(M) é um espaço vetorial gerado pelos vetores tangentes a todas as curvas que passam por p ∈ M. Ele tem a mesma dimensão de M, não importa quão curvado seja M, e é isomorfo a En. Registre-se que os vetores tangentes são comumente chamados vetores ou ainda vetores contravariantes.”

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H. Espaço Cotangente Também podemos definir um campo de vetores que é dual ao espaço dos vetores tangentes e que é denominado de espaço dos vetores cotangentes. A definição desse espaço pode ser enunciada de maneira semelhante ao que fizemos com os vetores tangentes (Op cit, 2009, p.81-83): “Seja p um ponto de uma variedade M e T(M) o conjunto de todas as funções com valores reais, definidas e diferenciáveis em alguma vizinhança de p. Define-se um vetor cotangente wp no ponto p como a aplicação (operador): wp: R(M) → E1 Que satisfaz as seguintes condições: 1. wp (af + bg) = a wp p(f) + b wp p(g), ∀ a, b ∈ K; ∀ f, g ∈ R(M) 2. wp (f.g) = f(p) wp p(g) + g(p) wp p (f) (Regra de Leibniz)” Observe que a aplicação

   1   : RM   E  ui 

Satisfaz as condições (2.66) e (2.67) e, portanto, é um campo vetorial tangente sobre a variedade M. “Esse espaço é denominado espaço cotangente de M em p, e seus elementos são chamados covetores, ou vetores covariantes, ou ainda 1 − formas. Esse espaço tem a mesma dimensão de Tp(M).” (Op cit, 2009, p. 83). É fácil ver que o espaço tangente é o dual do espaço cotangente, e além disso, esses dois espaços são ortogonais.

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I.

Campos Vetoriais

As definições estudadas no tópico anterior permitem definir sobre uma variedade um feixe de vetores chamados de Campo Vetorial. Apresentamos a definição como proposta por Bassalo e Cattani (2009, p.85): “Define-se um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M como uma aplicação X que associa a cada ponto p ∈ M um vetor tangente Xp ∈ Tp(M), formalmente, escreve-se: X: p ∈ M → Xp ∈ Tp(M). As operações tensoriais apresentadas permitem a construção de campos ainda mais gerais denominados campos tensoriais A figura abaixo apresenta um campo vetorial bastante inusitado.

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9. Tensores No estudo da variedade espaço-tempo utilizamos transformações multilineares conhecidas como componentes de um tensor ou simplesmente tensor. O estudo dos tensores é de interesse das teorias de covariância, pois permitem transformar coordenadas entre dois sistemas de referência preservando suas propriedades. Essa foi a razão de Túlio Levi-Civita, um dos pioneiros da teoria tensorial, têla chamado de Cálculo Diferencial Absoluto. A. Categorização dos Tensores 1.

Classificação

Os tensores podem ser classificado como tensores covariantes, contravariantes e mistos, conforme a sua lei de transformação. Um tensor covariante é representado por uma letra (em geral, latina ou grega) com índices subscritos. Tij ...n

Um tensor contravariante é representado por uma letra (em geral, latina ou grega) com índices sobrescritos,

T ij...n Um tensor misto é representado por uma letra (em geral, latina ou grega) com índices sobrescritos e índices subscritos,

Tijab...n...h O número de índices não repetidos define a ordem do tensor. Por exemplo, o tensor métrico de Riemann gij é um tensor covariante de segunda ordem, pois apresenta dois índices subscritos diferentes. O tensor de curvatura de Riemann-Christofell R ijkl é um tensor misto

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de quarta ordem, pois apresenta um índice sobrescrito e três índices subscritos distintos. O 4-vetor nabla  é um tensor contravariante de primeira ordem, pois apresenta apenas um índice sobescrito. i

Existem também grandezas chamadas de pseudo-tensores, pseudo-vetores e pseudo-escalares, pois só se transformam como tensores em condições particulares ou em espaços especiais como espaço cartesiano ou o espaço afim. 2.

Variância

O número de índices covariantes e contravariantes de um tensor define uma característica importante do tensor denominada de variância. Representamos a variância de um tensor por um par ordenado onde a primeira coordenada é a contravariância do tensor, isto é, o número total de componentes contravariantes, e a segunda coordenada é covariância do tensor, ou seja, o número total de componentes covariantes.

 p, m  É fácil ver que a ordem do tensor é a soma das covariância e da sua contravariância: n  pm Como exemplo, vamos analisar o tensor de curvatura de Riemann-Christoffell: R ijkl Esse tensor tem variância (1,3), pois apresenta um índice contravariante (i) e três componentes covariantes (j, k, l) e ordem 4, isto é, (1+3).

P á g i n a | 331

3.

Representação

Tensores de primeira ordem são representados por matrizes linhas ou matrizes colunas. Tensores de segunda ordem são representados por matrizes, tensores de terceira ordem são representados por hipermatrizes cúbicas e tensores de ordem superior por hiper-matrizes superiores.

Tensores de 1º ordem (Vetores)

Tensores de 2º Ordem

Tensores de 3º Ordem Embora pouco usual, as hipermarizes são as estruturas algébricas utilizadas para representar tensores de 3º ordem.

P á g i n a | 332

B. Operações Internas com Tensores Como vimos há três classes de tensores: covariantes, contravariantes e mistos. Sempre que estivermos tratando de propriedades gerais dos tensores, usaremos a seguinte:

U Essa notação é usada para exprimir tensores como díades, mas como não iremos adentrar nesse conteúdo, esse símbolo representará um tensor de ordem n genérico. Em geral, adota-se a notação absoluta que consiste em escrever apenas a letra sem os índices, porém, essa notação pode criar alguma confusão, pois representaremos invariantes e escalares pela mesma notação. O conjunto de todos os tensores de mesma variância formam um grupo abeliano sobre a operação adição, isso significa que as seguintes propriedades são satisfeitas: 1) W  U  V 2) U  V  V  U



 



3) U  V  W  U  V  W 4)  0 | 0  U  U  0  U



 



5)   U | U   U   U  U  0

Como essas operações transformam tensores de ordem n em tensores de ordem n, elas são chamadas de operações internas, pois elas ocorrem dentro do próprio conjunto.

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C. Operações Externas com Tensores Além das operações internas, os tensores apresentam operações externas, que permitem operar tensores de diferente ordem. 1.

Produto Direto

Dado dois tensores U e V de ordem n, variância (p, m) e ordem s, variância (q, r), respectivamente., o produto direto desses tensores cria um novo tensor W de ordem t = n + m, de variância (p+q, m+r), gerado a partir do produto das componentes dos dois tensores. Reciprocamente um tensor de ordem p pode ser sempre decomposto como o produto de dois ou mais tensores desde que a soma de suas ordens seja t. Exemplo: O produto exterior dos tensores U ij e Vlmk , é o tensor: U ijVlmk  Wlmijk

Observe que o produto exterior, assim como o produto de matrizes e hipermatrizes, nem sempre é comutativo. Isso também implica que nem sempre podemos comutar os índices de um tensor. Um tensor que comuta um par de índices sem alterar seu sinal é denominado de tensor simétrico no par de índices em questão. Exemplo:

ijk ikj U mn  U mn

é um tensor simétrico nos índices jk.

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Um tensor que comuta um par de índices, mas com uma alteração do sinal é denominado de tensor antissimétrico no par de índices em questão. Exemplo:

ij ij Vklmn  Vkmln

é um tensor simétrico nos índices lm. Tensores podem ser simétricos ou antissimétricos em relação a mais de um par de índices, bem como serem simétrico em relação a um determinado par de índices e antissimétrico em relação a outro par de índices. Vejamos o caso do tensor de Riemann-Christoffell de variância (0,4). Ele apresenta antissimetria em relação aos índices ij e kl: Rijkl   R jikl  Rijlk 2.

Contração

Dado um tensor misto de ordem n e variância (p, m), se impormos que um índice superior é igual a um índice inferior, o tensor de ordem n é transformado em um novo tensor de ordem n-2 e variância (p-1, m-1). Esse processo é denominado de contração. Por exemplo, dado o tensor misto de quinta ordem U lmijk , variância (3,2), Vamos impor que o índice k seja igual ao índice m, ijk U lm  U lkijk  U lij

 3, 2    3  1, 2  1   2,1 As contrações são úteis para decompor um vetor em seus geradores, determinar o seu traço e determinar a sua norma.

P á g i n a | 335

3.

Produto Interior

Definimos o produto interior de um vetor como o produto externo de dois vetores que produz uma ou mais contração dos índices. Formalmente, dado dois tensores U e V de ordem n, variância (p, m) e ordem s, variância (q, r), respectivamente, o produto interior desses tensores cria um novo tensor W de ordem t = n + m – 2c, de variância (p+q-c, m+r-c), onde c é o número de contrações. Exemplo ijk ijk ij U lm Vnk  Wlmnk  Wlmn

 3, 2    0, 2    3  0  1, 2  2  1   2,3 O uso de cubos tridimensionais ou peças de encaixe, como as da empresa LEGO, muitas vezes são empregadas para criar uma visualização das operações e facilitar a sua compreensão. O livro Tensors Made Easy (Bernacchi, 2019) emprega esse método.

P á g i n a | 336

D. Análise Tensorial 1.

Símbolos de Christoffel

Vamos introduzir uma classe de funções n3 denominadas de símbolos de Christoffel de segundo tipo (SPIEGEL, 1974, p.237):

 i  1 il    g   j g kl   k g jl   l g jk  j k  2 Os símbolos de Christoffel de segundo tipo não são tensores e apresentam simetria em relação aos índices inferiores:

 i   i      j k  k j  Há também os símbolos de Christoffel de primeiro tipo, e que se relacionam com os de segundo tipo pela seguinte equação (SPIEGEL, 1974, p.237):

 i  il    g  j k, l j k  Os símbolos de Christoffel de segundo tipo apresentam as seguintes propriedades (SANCHEZ, 2011, 36-37):

 i  1 il    g  i gil i j  2  i      i ln  g i j   i  1 i  g   g i j 

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Os símbolos de Christoffell são as conexões de uma geometria (pseudo-)riemmaniana, por isso são chamadas de Conexões Simétricas ou Conexões de Riemann.Embora os símbolos de Christoffell não sejam tensores, o produto desses símbolos permite definir o tensor de Riemann, o tensor de Ricci e o escalar de curvatura de Ricci sobre a variedade M. O tensor de Riemann (também chamado de Tensor de Riemann-Christofell) permite avaliar a curvatura da variedade. Existem variedades com conexões não-simétricas, estas variedades apresentam uma nova propriedade conhecida como torção que é definida também pelo produto de conexões. Em particular, uma variedade pode: (1) ser plana e sem torção; (2) ser plana e com torção; (3) não ser plana, mas sem torção; (4) não ser plana e ter torção. O espaço-tempo de Poincaré-Minkowski é uma variedade do tipo 1. Nesse caso, todas as conexões e os símbolos de Christoffell são nulos. 2.

Derivada Covariante

Chama-se de derivada covariante Dj de um tensor como a derivada que permite definir a taxa de variação de parâmetros que independem dos sistemas de referência, portanto a derivada covariante é uma transformação linear que leva um tensor de variância (p, m) à um novo tensor de variância (p, m+1). Em particular, para tensores de primeira e segunda ordem as regras de derivação covariante são (Sanchez, 2011, p.49):  i   jui   jui  u k    j k  k   j ui   j ui  uk   i j 

 j u i  u ij  j ui  u ji

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j   i  ir   k T ij   k T ij  T rj  T   k r  k r   r   r   k Tij   k Tij  Trj    Trj   i k   j k  i  i r  k T ji   k T ji  T jr    Tr  k r  j

  k

 k T ij  Tkij  k Tij  Tkij  k T ji  Tkji

É importante enfatizar que para as derivadas covariantes, o fato dos tensores serem funções de classe C², não garante a validade do lema de Schwarz, isto é, a sua comutatividade. O estudo da comutatividade da derivada covariante é a base da formulação do tensor de Riemann-Christoffel (Ibid id, 2011, p.183185). Um resultado bastante importante da análise tensorial é o Lema de Ricci que diz respeito a derivada covariante do tensor métrico. 3.

Lema de Ricci

“No cálculo da derivada covariante o tensor métrico se comporta como uma constante” (Ibid id, 2011. p.66). Pelo Lema de Ricci, definimos as identidades de Ricci:

 k g ij  0  k gij  0

j  i  ir   k g ij   g rj   g  k r  k  r   r  k gij   g rj    g rj  i k  j

  r   k

Para a variedade espaço-tempo de Poincaré-Minkowski a derivada covariante coincide com a derivada parcial.

k  k

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E. Covariância de Lorentz Os 4-vetores desempenham um papel fundamental no estudo dos fenômenos relativísticos, pois são covariantes em Lorentz e por meio de suas regras de transformação específicas sabemos como os vetores se transformam entre dois referenciais inerciais. Contudo, há grandezas importantes que devem ser descritas por um objeto mais complexo denominado tensor. O tensor é uma generalização do conceito de vetor, com efeito, um escalar é um tensor de ordem (ou rank) zero, um 4-vetor é um tensor de ordem 1. Os tensores de ordem 2, que representamos por uma matriz, desempenham um papel fundamental na física. Tensores de ordem 3 ou superior, que são representados por hipermatrizes, também ocorrem na física, embora com menor ocorrência. Nessa seção usaremos os conceitos fundamentais associados aos tensores para construir tensores e determinar qual a sua regra de transformação para que sejam covariantes de Lorentz. O método que introduziremos permite construir tensores de ordem n, porém como processo exige a computação das regras manualmente, iremos nos restringir aos tensores de 2º ordem. 1.

Construindo Tensores Covariantes

Vimos que para todo vetor covariante Ji a lei de transformação desse vetor para um referencial inercial S’ é dada por:

J 0  J 0 cosh a  J1 sinh a J1  J1 cosh a  J 0 sinh a

G0  G0 cosh a  G1 sinh a G1  G1 cosh a  G0 sinh a

J 2  J 2 J 3  J 3

G2  G2 G3  G3

Podemos construir um tensor covariante de segunda ordem realizando o produto direto entre dois vetores covariantes:

P á g i n a | 340

Tij  J iG j

Desejamos obter a regra de transformação desse tensor que preserva a covariância de Lorentz. Nesse caso, devemos escrever suas 16 componentes e substituir as regras de transformação:

T00  J 0G0 T01  J 0G1

T10  J1G0 T11  J1G1

T20  J 2G0 T21  J 2G1

T30  J 3G0 T31  J 3G1

T02  J 0G2 T03  J 0G3

T12  J1G2 T13  J1G3

T22  J 2G2 T23  J 2G3

T32  J 3G2 T33  J 3G3

Substituindo as regras de transformação dos vetores covariantes: T00   J 0 cosh a  J1 sinh a  G0 cosh a  G1 sinh a  T01   J 0 cosh a  J1 sinh a  G1 cosh a  G0 sinh a  T02   J 0 cosh a  J1 sinh a  G2 T03   J 0 cosh a  J1 sinh a  G3 T10   J1 cosh a  J 0 sinh a  G0 cosh a  G1 sinh a  T11   J1 cosh a  J 0 sinh a  G1 cosh a  G0 sinh a  T12   J1 cosh a  J 0 sinh a  G2 T13   J1 cosh a  J 0 sinh a  G3

T20  J 2  G0 cosh a  G1 sinh a  T21  J 2  G1 cosh a  G0 sinh a  T22  J 2G2 T23  J 2G3

P á g i n a | 341

T30  J 3  G0 cosh a  G1 sinh a  T31  J 3  G1 cosh a  G0 sinh a  T32  J 3G2 T33  J 3G3 Realizando as operações algébricas e usando a soma de arcos,

T00  J 0G0 cosh 2 a  12  J 0G1  J1G0  sinh 2a  J1G1 sinh 2 a T01  J 0G1 cosh 2 a  12  J 0G0  J1G1  sinh 2a  J1G0 sinh 2 a T02  J 0G2 cosh a  J1G2 sinh a T03  J 0G3 cosh a  J1G3 sinh a T10  J1G0 cosh 2 a  12  J1G1  J 0G0  sinh 2a  J 0G1 sinh 2 a T11  J1G1 cosh 2 a  12  J1G0  J 0G1  sinh 2a  J 0G0 sinh 2 a T12  J1G2 cosh a  J 0G2 sinh a T13  J1G3 cosh a  J 0G3 sinh a T20  J 2G0 cosh a  J 2G1 sinh a T21  J 2G1 cosh a  J 2G0 sinh a T22  J 2G2 T23  J 2G3 T30  J 3G0 cosh a  J 3G1 sinh a T13  J 3G1 cosh a  J 3G0 sinh a T32  J 3G2 T33  J 3G3 Portanto, a transformação do tensor covariante será:

P á g i n a | 342

T00  T00 cosh 2 a  12 T01  T10  sinh 2a  T11 sinh 2 a T01  T01 cosh 2 a  12 T00  T11  sinh 2a  T10 sinh 2 a T02  T02 cosh a  T12 sinh a T03  T03 cosh a  T13 sinh a T10  T10 cosh 2 a  12 T11  T00  sinh 2a  T01 sinh 2 a T11  T11 cosh 2 a  12 T10  T01  sinh 2a  T00 sinh 2 a T12  T12 cosh a  T02 sinh a T13  T13 cosh a  T03 sinh a T20  T20 cosh a  T21 sinh a T21  T21 cosh a  T20 sinh a T22  T22 T23  T23 T30  T30 cosh a  T31 sinh a T31  T31 cosh a  T30 sinh a T32  T32 T33  T33 A simetria desse tensor dependerá se as componentes J e G comutam entre si. Em caso afirmativo, a simetria dos índices reduz o número de componentes independentes para 10:

T00  J 0G0 T01  J 0G1 T02  J 0G2 T03  J 0G3

 T11  J1G1 T12  J1G2 T13  J1G3

  T22  J 2G2 T23  J 2G3

   T33  J 3G3

P á g i n a | 343

E a transformação deste tensor covariante simétrico será:

T00  T00 cosh 2 a  T01 sinh 2a  T11 sinh 2 a T01  T01 cosh 2a  12 T00  T11  sinh 2a T02  T02 cosh a  T12 sinh a T03  T03 cosh a  T13 sinh a T11  T11 cosh 2 a  T10 sinh 2a  T00 sinh 2 a T12  T12 cosh a  T02 sinh a T13  T13 cosh a  T03 sinh a T22  T22

T23  T23

T33  T33

Para um tensor antissimétrico, o número de componentes é ainda menor, apenas seis componentes independentes.     T01  J 0G1    T12  J1G2  T02  J 0G2  T23  J 2G3 T13  J1G3 T03  J 0G3  Para este tensor antissimétrico a transformação de suas componentes segue a seguinte regra:

T01  T01 T02  T02 cosh a  T12 sinh a

T12  T12 cosh a  T02 sinh a

T03  T03 cosh a  T31 sinh a T00  T11  T22  T33  0

T31  T31 cosh a  T03 sinh a

T23  T23

Esse método é extremamente geral e pode ser usada para tensores de ordem maior.

P á g i n a | 344

2.

Construindo Tensores Contravariantes Um vetor covariante Ji se transforma conforme a seguinte regra: J 0  J 0 cosh a  J 1 sinh a

G 0  G0 cosh a  G1 sinh a

J 1  J 1 cosh a  J 0 sinh a

G1  G1 cosh a  G0 sinh a

J 2  J 2

G 2  G2

J 3  J 3

G 3  G3

Realizando um produto direto entre estes dois vetores contravariantes, produzimos tensor contravariante de segunda ordem.

T ij  J iG j Desejamos obter a regra de transformação desse tensor que preserva a covariância de Lorentz. Nesse caso, devemos escrever suas 16 componentes e substituir as regras de transformação: T 00  J 0G 0

T 10  J 1G 0

T 20  J 2G 0

T 30  J 3G 0

T 01  J 0G1

T 11  J 1G1

T 21  J 2G1

T 31  J 3G1

T 02  J 0G 2

T 12  J 1G 2

T 22  J 2G 2

T 32  J 3G 2

T 03  J 0G 3

T 13  J 1G 3

T 23  J 2G 3

T 33  J 3G 3

Substituindo as contravariantes:

regras

de

transformação

dos

T 00   J 0 cosh a  J 1 sinh a  G0 cosh a  G1 sinh a  T 01   J 0 cosh a  J 1 sinh a  G1 cosh a  G0 sinh a  T 02   J 0 cosh a  J  sinh a  G2

T 03   J 0 cosh a  J 1 sinh a  G3

vetores

P á g i n a | 345

T 10   J 1 cosh a  J 0 sinh a  G0 cosh a  G 1 sinh a  T 11   J 1 cosh a  J 0 sinh a  G1 cosh a  G 0 sinh a  T 12   J 1 cosh a  J 0 sinh a  G2 T 13   J 1 cosh a  J 0 sinh a  G3 T 20  J 2  G0 cosh a  G1 sinh a  T 21  J 2  G1 cosh a  G0 sinh a  T 22  J 2G2 T 23  J 2G3

Realizando as operações algébricas e usando a soma de arcos,

1 0 1  J  G  J 1G0  sinh 2a  J 1G1 sinh 2 a 2 1 T 01  J 0G1 cosh 2 a   J 0G0  J 1G1  sinh 2a  J 1G0 sinh 2 a 2

T 00  J 0G0 cosh 2 a 

T 02  J 0G2 cosh a  J 1G2 sinh a T 03  J 0G3 cosh a  J 1G3 sinh a T 10  J 1G0 cosh 2 a  12  J 1G1  J 0G0  sinh 2a  J 0G1 sinh 2 a

T 11  J 1G1 cosh 2 a  12  J 1G0  J 0G1  sinh 2a  J 0G0 sinh 2 a T 12  J 1G2 cosh a  J 0G2 sinh a T 13  J 1G3 cosh a  J 0G3 sinh a

P á g i n a | 346

Portanto, a transformação do tensor contravariante será:

T 00  T 00 cosh 2 a  12 T 01  T 10  sinh 2a  T 11 sinh 2 a T 01  T 01 cosh 2 a  12 T 00  T 11  sinh 2a  T 10 sinh 2 a T 02  T 02 cosh a  T 12 sinh a T 03  T 03 cosh a  T 13 sinh a T 10  T 10 cosh 2 a  12 T 11  T 00  sinh 2a  T 01 sinh 2 a T 11  T 11 cosh 2 a  12 T 10  T 01  sinh 2a  T 00 sinh 2 a T 12  T 12 cosh a  T 02 sinh a T 13  T 13 cosh a  T 03 sinh a T 20  T 20 cosh a  T 21 sinh a T 21  T 21 cosh a  T 20 sinh a T 22  T 22 T 23  T 23 T 30  T 30 cosh a  T 31 sinh a T 31  T 31 cosh a  T 30 sinh a T 32  T 32 T 33  T 33 A simetria desse tensor dependerá se as componentes J e G comutam entre si. Em caso afirmativo, a simetria dos índices reduz o número de componentes independentes para 10:

P á g i n a | 347

T 01  J 0G1

T 11  J 1G1

 

T 02  J 0G 2

T 12  J 1G 2

T 22  J 2G 2

  

T 03  J 0G 3

T 13  J 1G 3

T 23  J 2G 3

T 33  J 3G 3



T 00  J 0G 0

E a transformação deste tensor contravariante simétrico será:

T 00  T 00 cosh 2 a  T 01 sinh 2a  T 11 sinh 2 a T 01  T 01 cosh 2a  12 T 00  T 11  sinh 2a T 02  T 02 cosh a  T 12 sinh a T 03  T 03 cosh a  T 13 sinh a T 11  T 11 cosh 2 a  T 01 sinh 2a  T 00 sinh 2 a T 12  T 12 cosh a  T 02 sinh a T 13  T 13 cosh a  T 03 sinh a T 22  T 22 T 23  T 23 T 33  T 33 Para um tensor antissimétrico, o número de componentes é ainda menor, apenas seis componentes independentes.     T 01  J 0G1 T

02

J G 0

2

T 03  J 0G 3

 T JG 12

1

2

T 13  J 1G 3

 

T 23  J 2G 3

  

P á g i n a | 348

Para este tensor antissimétrico a transformação de suas componentes segue a seguinte regra:

T 00  T 11  T 22  T 33  0 T 01  T 01 T 02  T 02 cosh a  T 12 sinh a T 03  T 03 cosh a  T 31 sinh a T 12  T 12 cosh a  T 02 sinh a T 23  T  T 31  T 31 cosh a  T 03 sinh a 3.

Construindo Tensores Mistos

Conhecendo a regra de transformação dos tensores covariantes ou contravariantes, o processo de obtenção da regra dos tensores mistos pode ser obtido por um método alternativo e muito mais: pelo produto interno do tensor contravariante (respect. covariante) pelo tensor métrico (respect. conjugado):

T ji  T ik kj Expandindo a soma sobre os índices mudos: T ji  T i 00 j  T i11 j  T i 22 j  T i 33 j

Usando as relações entre a métrica e o delta de Koenecker, obtemos a regra de transformação dos tensores mistos: T ji  T i 0 0 j  T i11 j  T i 2 2 j  T i 3 3 j

P á g i n a | 349

F. Decompondo Tensores Simétricos Se as componentes de um tensor simétrico forem linhas coordenadas da álgebra de Lie abeliana, é possível decompor esse tensor como o produto de dois vetores que preservem sua a variância total. Esse método é útil para construir novos 4-vetores e estudar a transformação de grandezas físicas que não são derivadas de quantidade cinemáticas ou dinâmicas. Apresentaremos como se realiza a construção e decomposição desse tensor para o caso covariante, mas o contravariante e o misto seguem exatamente o mesmo procedimento. Esse novo tensor será construído utilizando dois vetores iguais:

J 0  J 0 cosh a  J1 sinh a J1  J1 cosh a  J 0 sinh a

J 0  J 0 cosh a  J1 sinh a J1  J1 cosh a  J 0 sinh a

J 2  J 2 J 3  J 3

J 2  J 2 J 3  J 3

O produto direto entre dois vetores covariantes gera um tensor covariante de segunda ordem: Tij  J i J j

A simetria dos índices reduz o número de componentes independentes para 10:

T00  J 0 J 0 T01  J 0 J1 T02  J 0 J 2 T03  J 0 J 3

 T11  J1 J1 T12  J1 J 2 T13  J1 J 3

  T22  J 2 J 2 T23  J 2 J 3

   T33  J 3 J 3

P á g i n a | 350

A partir das componentes T0i podemos construir o vetor que gerou este tensor.

J 02  T00 , J12 

T01  T00

J2

T   02

J3

T   03

2

,

2

T00

,

2

T00

De maneira geral, podemos escrever que as componentes do 4vetor são geradas a partir da seguinte regra algébrica: 2 i

J

T   0i

2

T00

Ji 

T0i T00

Para tensores contravariantes, a regra é exatamente a mesma, pois como apenas operamos com componentes zero, na elevação de índice, o fator multiplicativo é a unidade e é positivo.

T   

0i 2

J

i2

T 00

T    0i

J

i

T 00

Esses 4-vetores são chamados de componentes físicas do tensor. Essas não são as únicas regras de 4-vetores que podemos construir, a partir da derivação em relação ao tempo próprio ou processo de integração é possível construir ou conectar novas estruturas.

P á g i n a | 351

G. Álgebras de Lie Abelianas e Não Abelianas Em particular, os geradores x e y de um tensor de segunda ordem definem as linhas coordenadas do espaço-tempo e são isomorfos ao espaço dos 6-vetores. Além disso, para os geradores desse tensor verifica-se as seguintes regras: Bilinearidade

 ax  by, z   a  x, y   b  x, y   z, ax  by   a  z, x   b  z, x  Anticomutatividade

 x, y     y , x   x, x   0 Identidade de Jacobi  x,  y, z    y,  z , x    z ,  x, y   0

Essas três propriedades definem uma álgebra de Lie. Como x e y são associativos em relação ao produto, dizemos que a álgebra de Lie é um caso particular da álgebra de Clifford, com colchete de Lie sendo definido por:  x, y   xy  yx Se x e y não comutam, eles são os geradores de um tensor antissimétrico de segunda ordem que definem a álgebra de Lie nãoabeliana do espaço-tempo de Poincaré-Minkowski. Por outro lado, se os elementos x e y comutam, o colchete de Lie é zero. Nessas circunstâncias a álgebra de Lie é chamada de álgebra abeliana. Os geradores dos tensores simétricos de segunda ordem definem a álgebra abeliana do espaço-tempo de Poincaré-Minkowski.

P á g i n a | 352

H. Álgebra de Lie Abeliana do Espaço-Tempo O espaço-tempo por apresentar estruturas que se transformam como tensores simétricos e grandezas que se transformam como tensores antissimétricos tem uma álgebra de Lie abeliana e uma álgebra de Lie não abeliana. Já tivemos a oportunidade de estudar a álgebra de Lie não abeliana do espaço-tempo que nos levou a construção do tensor eletromagnético, portamos nessa seção focaremos em sua versão abeliana. As componentes dos tensores simétricos definem as linhas coordenadas da álgebra de Lie abeliana e esse tensor deve ser gerado pelo colchete de Lie abaixo:

Tij   J i , G j   0 Um exemplo de tensor simétrico é o tensor momento-energiatensão introduzido em 1909 pelo físico alemão Max Von Laue para estudar a mecânica relativística dos corpos contínuos.

 c2  cu Tij    x  cu y   cu z 

cu x u xu x u yux uzux

cu y u xu y u yu y uzu y

cu z   u xu z  u yu z   u z u z 

Os tensores simétricos também permitem a construção de 4vetores. Fixando a componente i = 0, com algumas hipóteses suplementares, podemos obter a regra de formação de um 4-vetor, como ocorre com o 4-momento:

pi 

1 T0i d 3r  c V

Vamos verificar essa correspondência. Observe que o produto da densidade pelo elemento de volume é o elemento de massa do corpo:

P á g i n a | 353

 dV   V

V

dm dV dV



 dV   dm, V

m   m0

V

Agora vamos calcular as componentes do 4-momento:

p0  p 

1  c 2 dV  c V



1  cu dV c  V



p0  c  dm



p0  mc

V

p  cu  dm

 p  mu

V

   x, y , z 

Podemos usar essa matriz para determinar a transformação da densidade usando a regra de transformação das componentes de um tensor simétrico. Tomemos a compontete T00 para determinar a transformação da densidade. T00  T00 cosh 2 a  T01 sinh 2a  T11 sinh 2 a

No referencial S’ a matriz de Laue apresenta as componentes:

 c 2 cux cuy cuz    cux uxux uxuy uxuz   Tij     cuy uyux uyuy uyuz     cuz uz ux uzuy uzuz    Substituindo as componentes do tensor:

 c 2    c 2 cosh 2 a  cu x sinh 2a  u x2 sinh 2 a   c 2    c 2 cosh 2 a  2cu x sinh a cosh a  u x2 sinh 2 a   c 2    c cosh a  u x sinh a 

2

P á g i n a | 354

Tirando o cosseno hiperbólico e velocidade da luz em evidência:  u   c   c cosh a 1  x tanh a  c   2

2

2

2

 u      cosh a 1  x tanh a  c  

2

2

 vu      1  2x  c  

2

2

Se considerarmos a transformação entre o referencial S e o referencial próprio, obtemos: 1 o   2

    o 2

Outro tensor simétrico é o tensor de Maxwell introduzido por Minkowski, em 1908.

 ij 

1 1 2  2   E  B   ij  Ei E j  Bi B j  4  2 

onde ij é o tensor covariante de “Kronecker” em 4 dimensões. O termo em parêntesis é a álgebra de Lie abeliana. A representação matricial deste tensor é:

1 2  2 Ny Nz   2  E  B  Nx  1   x x  x y  x z  Nx  ij   4   y x  y y  y z  Ny           N z z x z y z z  

P á g i n a | 355

Usando a álgebra de Lie abeliana podemos definir um novo 4vetor que denominaremos de 4-vetor normal Ni. Para tal, tomemos a componente T00 do tensor de Maxwell:

1  T00    E 2  B 2   2  T00  A2

Iremos impor que essa é a componente S0 do 4-vetor de Poynting. N 02  A2

N0  A Para construirmos as componentes especiais, usaremos a álgebra de Lie abeliana para i = j em um espaço tridimensional.

1  Ni2    E 2  B 2   Ei2  Bi2  2  Usando os vetores da base, podemos escrever o vetor Ni da seguinte forma:

1  N i2    A2  A2   A2ei2  A2bi2  2  N i2   A2  A2ei2  A2bi2  N i2  A2 1  ei2  bi2  N i2  A2 ni2 N i  Ani Portanto, nosso 4-vetor amplitude será: N i  A 1, ni 

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10. Espaços Curvos Após caracterizarmos o espaço-tempo plano de PoincaréMinkowski, é natural prosseguirmos nosso estudo na caracterização de um espaço-tempo mais geral, o espaço-tempo curvo. Nesse capítulo pretendemos apenas apresentar ao leitor alguns conceitos gerais, visto que o nível de detalhes dos espaços curvos exigiria uma análise tão ou mais minuciosa que a que apresentamos até aqui. Por essa razão não iremos adentrar no formalismo da álgebra e da análise exterior, e por isso apresentaremos definições mais intuitivas. A. Variedade Diferenciável M (HENRIQUES, 2012) “Uma variedade M n-dimensional não é mais do que um conjunto de pontos com a propriedade de ser possível definir entorno de cada ponto uma vizinhança aberta e apresentando uma relação contínua 1-1 [homeomorfismo], um mapa, com um conjunto aberto de RN. Vamos cobrir M por meio de uma família de abertos Ui, a cada um dos quais corresponde um conjunto aberto em RN. Estes Ui, constituem cartas de coordenadas, no sentido de que a cada ponto p de M, pertencente há um certo Ui, corresponde em RN, sob a ação do mapa, uma imagem representada por um conjunto de n números xa(p), a = 1, 2, ..., n, as coordenadas de p em Ui. Os diferentes Ui apresentam regiões de intersecção entre si e existiram funções de transição associadas com os pontos que pertencem simultaneamente a mais do que um aberto, Ui e Uj por exemplo. Isto É, se o ponto p tiver coordenadas xa(p), como ponto pertencente a Ui, e yb(p), como ponto de Uj, existirão xa(p) = xa(yb(p)) que representaram as transformações de coordenadas entre os dois abertos. A exigência que estas funções sejam diferenciáveis define uma variedade diferencial, de classe CK se tivermos derivadas de ordem k continuas. Designamos por atlas o conjunto de cartas coordenadas cobrindo toda a variedade M”

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B. Congruência de Curvas Uma congruência de curvas é definida exigindo que cada ponto p da variedade M passe uma e uma só curva parametrizada xi = xi(u) e que preencha toda a variedade M ou parte dela. À partir das curvas da congruência, definimos sobre toda a variedade M, um campo vetorial contravariante Xi = dxi/du, tangente a cada ponto à congruência. Portanto, dado um campo vetorial não nulo Xi(p) sobre toda a variedade M, as soluções do sistema de equações diferenciais, define uma congruência de curvas, órbitas ou trajetórias de Xi(p). Registre-se que uma congruência de curvas é uma mapa da variedade sobre si própria.

C. Transporte de Lie Seja uma função f na variedade M. Definamos uma nova função f*u a partir do transporte de f ao longo da congruência; por construção, f*u toma em q o valor que f tinha em p, i.e., a função transporta consigo o valor que tinha em p. Simbolicamente: f(p) = f*u(q). Uma função é dita invariante sobre a ação de um mapa u se a seguinte consideração for verificada: f(q) = f*u(q). Se esta condição for verdadeira para um u arbitrário, ela é dita um invariante de Lie e verifica-se que df/du = 0.

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Agora iremos definir o transporte de Lie para um vetor. Tome duas congruências, uma correspondente ao vetor V, que queremos transportar e uma congruência ao longo do qual queremos transportar V e que é tangente a um campo vetorial U. Esta última, que é denominada de congruência-u, gerará um mapa que ajudará a definir o transporte de Lie de V = d/dv. Vamos gerar uma nova congruência-v*u por meio de acréscimos u ao longo da congruência-u. Assim o vetor d/dv --> d/dv*u, que é a imagem de d/dv sob a ação do mapa. Se as congruência-v e v*u coincidirem, isto é, se d/dv = d/dv*u, diremos que a congruência-v e o campo vetorial d/dv são invariantes sob a ação desse mapa. Se isto for verificado para todos os valores Du, dizemos que o campo vetorial e a congruência são invariantes de Lie pelo campo d/du.

Observe que pela identidade de Jacobi dos comutadores e a definição de produto direto entre dois vetores, podemos generalizar o transporte para tensores de rank n. Para as nossas finalidades, a generalização não será necessária.

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D. Derivada de Lie Dado um campo vetorial U, definimos a derivada de Lie £U de tensor de rank n, como o transporte de Lie desse tensor sobre este campo. Em particular, se o tensor for de rank zero, ele será uma função escalar e sua derivada de Lie será dada por: £U f  U a  a f

Para um vetor contravariante Vb, sua derviada de Lie será dada pelo comutador de Lie: £U V  U , V   UV  VU

Façamos o operador £U atuar sobre uma função f em um ponto p da variedade da M:

 £U V  f  £U Vf   £U V bb f   £U V  f  U ,V  f  UV  VU  f Pela definição de vetor contravariante, podemos reescrever a última equação como:

 £U V  f  £U V  f





 U a  a  V b b  V a  a  U b b f  U a  a V b b  f  V a  a U b b  f

Evidenciando f e ∂b na última equação resulta em:

 £U V  f

 U a  aV b  V a  aU b   b f

Mas, o operador £U V é definido como:

 £U V  f

  £U V b  b  f

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Igualando as equações, obtemos:

£

U

V b   b f  U a  aV b  V a  aU b   b f £U V b  U a  aV b  V a  aU b

Que é a derivada de Lie de um vetor contravariante. A derivada de Lie para tensores de ordem mais alta é calculada usando o produto direto de tensores e a identidade de Jacobi dos comutadores de Lie. Para um vetor covariante, sua derivada de Lie será dada por: £U Va  U b  bVa  Vb  aU b

A derivada de Lie apresenta as seguintes propriedades a) £U  aV  bW   a£U V  b£U W b) £U VW    £U V  W  V  £U W  c) £ aU bV W  a£U W  b£V W d ) £U V  £V W

Para um tensor covariante de segunda ordem, a derivada de Lie é dada por: £U Tij  U k  k Tij  Tik  jU k  Tkj  iU k Se tomarmos o tensor métrico do espaço-tempo, que possui componentes constantes, obtemos a seguinte equação: £U ij  ik  jU k   jk  iU k

Rebaixando os índices, chegamos a derivada de Lie da métrica: £U ij   jU i   iU j

Se igualarmos essa equação a zero, obtemos a equação de Killing: £U ij   jU i   iU j  0

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E. Vetores de Killing do Grupo de Poincaré O grupo de Lorentz corresponde as rotações hiperbólicas no espaço-tempo. Os geradores do grupo de Lorentz são seis vetores de rotação: três correspondendo as rotações dos eixos x-y, y-z, z-x e três correspondendo a rotações com o eixo temporal: ct-x, ct-y, ct-z. Estas últimas rotações são chamados de boosts de Lorentz. Como veremos, estes boosts estão associados a formação de campos magnéticos e correntes de convecção quando estudamos um campo elétrico na perspectiva de dois referenciais inerciais que se deslocam entre si.

Em 1908, Hermann Minkowski introduziu o conceito de evento que corresponde a um ponto no espaço-tempo 4mensional. O conceito de evento permite generalizar o grupo de Lorentz, que foi descoberto por Poincaré em 1905, em um grupo de rotações e translações, com dez geradores, chamado de Grupo de Poincaré, mas que foi descoberto por Minkowski em 1908. Os geradores do grupo de Poincaré correspondem as isometrias no espaço-tempo. Isso significa que o grupo de Poincaré está campo de vetores do qual o transporte de Lie sobre a métrica do espaçotempo é zero: £U  gij   0

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onde £u é a derivada de Lie. Em outras palavras, os vetores do grupo de Poincaré são os vetores de Killing, pois são soluções das equações de Killing.  iU j   jU i  0 A métrica do espaço-tempo de Poincaré-Minkowski é dada por:

ds 2  dt 2  dx2  dy 2  dz 2 Em uma métrica plana as conexões afins (ou símbolos de Christoffel de segundo tipo) são todas nulas. Nesse caso a equação de Killing pode ser escrita como:

 aUb  bU a  0 Diferenciando essa equação em relação a um índice arbitrário c,

c  aUb  c bU a  0 O grupo das derivadas parciais das funções de classe Cn é um grupo abeliano, podemos permutar ciclicamente os índices da equação de Killing e obtermos as seguintes variações:

 c  aU b   c  bU a  0  a  bU c   a  cU b  0  b  cU a   b  aU c  0 Somando as duas primeiras equações e subtraindo da terceira:

c  aUb  c bU a   a bUc   a cUb  bcUa  b aUc  0 Essa equação pode ser escrita com auxílio dos colchetes de Lie:

  c  a   a  c U b   c ,  b U a   a ,  b U c  0

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Como o grupo das derivadas parciais é abeliano, as derivadas parciais comutam, então:

  c  a   a  c   2 a  c  a  c U b   0 Agora integraremos a equação tensorial. Observe que em um espaço que as conexões afim são nulas, a derivada parcial de um  n  n tensor   é uma aplicação que cria um novo tensor   . Pelo  m  1 m teorema generalizado de Stokes (BASSALO, CATTANI, 2009), a integral é uma operação que atua no sentido contrário transformando  n  n um tensor   em um tensor   . Na equação diferencial dada,  m  1 m

 a  c U b   0 O lado esquerdo corresponde a um tensor covariante de rank 3, 0 isto é, um tensor   . Portanto o lado direito representa o tensor  3 covariante nulo de rank 3, Esse tensor nulo pode ser construído a partir de um tensor covariante de rank 2 cujas derivadas parciais de suas componentes em relação a coordenada arbitrária ua sejam nulas:

 a  c U b    a  nbc  Integrando os dois lados, obtemos um tensor covariante de rank 0 2, ou seja, um tensor   .  2

 c U b   nbc

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Novamente podemos construir, por meio da análise tensorial, tensores no lado direito da equação para que a integração se torne conveniente. Observe que o tensor nbc funciona como uma constante já que a derivada parcial de suas componentes são todas nulas.  c U b   0  nbc I

Onde 0 é o tensor covariante nulo de rank 2 e I é o tensor identidade de rank 0. Podemos assim, construir dois tensores: xc um tensor contravariante de rank 1 cuja contração com a derivada parcial em uc seja o tensor identidade e um vetor covariante eb cuja derivada parcial em uc é o tensor covariante nulo de rank 2.  c U b    c  eb    c  nbc x c 

Integrando a equação, obtemos os vetores de Killing Ub que são as soluções gerais da equação de Killing. U b  eb  nbc x c

Para deixarmos na mesma notação empregado no corpo do texto, vamos multiplicar a equação pelo tensor de Kroenecker  ab .

 abU b   ab eb   ab nbc x c Efetuando a contração dos tensores, nossa equação se torna: U a  ea  nac x c

Como os índices c são mudos, então podemos troca-los por qualquer letra, exceto a que corresponde aos índices livres da equação. Troquemos eles por índices b. U a  ea  nab x b

Que é a solução geral da equação de Killing que procurávamos.

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F. Boosts de Lorentz O grupo de Lorentz corresponde as rotações hiperbólicas no espaço-tempo. Os geradores do grupo de Lorentz são seis vetores de rotação: três correspondendo as rotações dos eixos x-y, y-z, z-x e três correspondendo a tranfotmsçõee com o eixo temporal: ct-x, ct-y, ctz que nã envolvem rotações. Estas últimas transformações são chamados de boosts de Lorentz. Como veremos, estes boosts estão associados a formação de campos magnéticos e correntes de convecção quando estudamos um campo elétrico na perspectiva de dois referenciais inerciais que se deslocam entre si. Na seção anterior, mostramos que os vetores de Killing do espaço-tempo são dados por:

U a  ea  nab x b O vetor ea corresponde ao grupo de deslocamentos no espaçotempo que denominamos de evento, cujas coordenadas são:

e0  1,0,0,0 

e2   0,0, 1,0 

e1   0,1,0,0 

e3   0,0,0, 1

Agora vamos determinar os outros seis vetores de Killing, que correspondem a matriz de rotação. Sem perda de generalidade, tomaremos um sistema estacionário tal que ea  0 . Como a matriz de rotação é antissimétrica, ela pode ser escrita como:

n01 n02 n03   0   n n 0 n  01 12 13  nab    n02 n12 0 n23     n03 n13 n23 0 

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As componentes da primeira linha e da primeira coluna são os boosts de Lorentz. As demais componentes representam as rotações ao redor dos eixos. Para determinarmos estes vetores analisaremos a transformação em cada eixo, começando pelas as rotações espaciais. Vamos calcular o vetor de Killing para a matriz n12 = 1.

0 0  0 0 nab    0 1  0 0

0 1 0 0

0  0 0  0

O vetor de Killing é a solução da equação tensorial: uab   bc ncd x d   a

 1 0 0 0  0 0   0 1 0 0  0 0  u12   0 0 1 0  0 1    0 0 0 1 0 0 †

0  ct    t      0  x    x  0  y    y      0  z    z   t     u12   0  y x 0   x  y     z 

0  0  u12  0  0

0 0 0 1 1 0 0 0

0 1 0 0

0  ct    0  x  0  y    0  z 

†

 t     x  y     z 

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Portanto o vetor de Killing será: u12  x y  y x

Como a coordenada z está ausente, o vetor u12 é o gerador da rotação sobre z. Se aplicarmos o mesmo processo sobre as demais componentes espaciais, obteremos os vetores de Killing que geram a rotação em x e y. u23  y z  z y u31  z x  x z

Operando sobre as coordenadas temporais, obtemos os boosts: u01  x t  ct x u02  y t  ct y u03  z t  ct z

Esses são respectivamente os boosts nas direção x, y, z. As soluções da matriz de rotação são os geradores do grupo de Lorentz. O Grupo de Lorentz mais o grupo de deslocamentos define um novo grupo com 10 geradores chamado de Grupo de Poincaré.

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11. Campos Tensoriais O nosso foco tem sido variedades diferenciáveis planas. No capítulo 09, apresentamos alguns conceitos da álgebra e da análise tensorial e nos dedicamos a construir tensores que preservem a covariância de Lorentz. Também introduzimos o conceito de símbolos de Christoffel e as derivadas tensoriais e observamos que esses conceitos permitem sair da covariância de Lorentz (partícula) para as leis de covariância geral. A partir desse capítulo faremos essa transição que nos permitirá estudar espaços curvos e nos dará uma breve noção de como estudar espaços torcidos. Por se tratar de um assunto que demanda um embasamento teórico que foge do nosso escopo e exigiria mais 300 páginas de discussão, reconheceremos a nossa limitação e apresentaremos alguns tópicos, indicando bibliografias que o leitor poderá consultar para expandir seus conhecimentos sobre o assunto. Eu chamaria esses dois últimos capítulos, parafraseando Feynman, de Geometria Diferencial para o Homem Prático, ou seja, dois capítulos que servem como pegue e use e vão direto ao ponto. Todo conteúdo que será discutido neste capítulo está detalhado em dois livros: Cálculo Exterior (BASSALO, CATTANI, 2009) e Cálculo Tensorial (SANCHEZ, 2011). Registre que como esses capítulos finais tem um caráter mais prático e introdutório, o formalismo exterior discutido por Bassalo e Cattani foi adaptado, de para o leitor não familiarizado com essa linguagem. No decorrer do texto há outras referências pontuais. Esses dois últimos capítulos servem de suporte ao capítulo introdutório de Teoria de Relatividade Geral do quarto volume dessa coleção. Pretendo em breve escrever um volume apenas de Relatividade e Gravitação e nesse volume prometo dar uma ênfase mais detalhada as questões que aqui abordo brevemente.

P á g i n a | 369

A. Conexão Afim Seja uma variedade diferenciável M e X(M) um conjunto de campos vetoriais sobre M. Definimos a conexão afim  sobre M a aplicação linear (BASSALO, CATTANI, 2009, p. 99-100):  : X M  X M   X M 

 X , Y    X Y  Por serem aplicações lineares, as conexões gozam das seguintes propriedades:

1.  fX  gY  Z   f  X  Z   gY  Z  2.  X Y  Z    X Y    X  Z  3.  X  fY   f  X Y   X  f Y  X ,Y , Z  X  M  ,

f ,g

M 

Uma conexão é dita simétrica se, e somente se,

 X  Y   Y  X    X , Y  Os símbolos de Christoffel e as conexões afins se relacionam a partir das bases local e dual, por meio das relações:

 i   j   k     i  j k  i  k   j  dxi      dx  j k Por essa razão, em variedades (pseudo-)riemannianas, os símbolos de Christoffel também são chamados de conexões de LeviCivita ou coeficientes da conexão.

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B. Derivada Covariante Na seção sobre análise tensorial, definimos a derivada covariante como sendo a operação que mede a taxa de variação de funções independente do sistema de coordenadas. Formalmente, definimos a derivada covariante X como um campo tensorial sobre a variedade M, a partir da relação entre a conexão e um campo de vetores X. Para uma base local escrevemos a derivada covariante como (BASSALO, CATTANI, 2009, p. 100):  j X  eˆ,   j  X 

Onde o vetor ê é um elemento da base local do campo X. De forma análoga, podemos definir o campo tensorial derivada contravariante, bastando permutar a base local covariante pela sua base local dual (contravariante):  j X  eˆ,  dx j  X 

A partir dessa definição, vamos calcular as derivadas covariantes de um vetor tangente e seu dual. 1. Derivada Covariante de um Vetor Covariante Seja X um vetor covariante, Seja X um vetor contravariante, em termos da base local, esse vetor é escrito da seguinte maneira: X  X k k

Pela definição de derivada covariante, temos que:  j X i  X  X , dx i   dx i , Y  X   j X i  dxi ,   j  X k  k 

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Usando a terceira propriedade das conexões:  j X i  dxi ,   j  X k   k  X k   j   k 

Usando a derivada da base local e levando em consideração que como Xk é uma função de classe C1, ao menos, então a derivada covariante coincide com a derivada parcial, temos que: m   j X i  dxi ,  j  X k   k  X k   m  j k

m  i  j X i   j  X k   k dxi  X k    m dx j k   O produto de uma base pela sua base dual é o delta de Kroenecker:

m  m  j X i   j  X k   ki  X k  i  j k Realizando o produto interno, obtemos a lei da derivada covariante para um vetor covariante:

 i  k jXi  jXi  X  j k 2.

Derivada Covariante de um Vetor Contravariante

Seja X um vetor contravariante, em termos da base local, esse vetor é escrito da seguinte maneira: X  X i dx i

Pela definição de derivada covariante, temos que:

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 j X i  X  X ,  m    m ,  Y  X   j X i   m ,   j  X i dxi 

Usando a terceira propriedade das conexões:  j X i   m ,   j  X i  dxi  X i   j  dx i 

Usando a derivada da base local e levando em consideração que como Xk é uma função de classe C1, ao menos, então a derivada covariante coincide com a derivada parcial, temos que:

 i  k  j X i   m ,  j  X i  dxi  X i   dx  j k

 i  k  j X i   j  X i  dxi  m  X i   dx  m  j k O produto de uma base pela sua base dual é o delta de Kroenecker:

 i  k  j X i   j  X i   mi  X i  m  j k Realizando o produto interno, obtemos a lei da derivada covariante para um vetor contravariante:

 i   j Xi   j Xi    Xi  j k OBSERVAÇÃO GERAL: Usando o campo tensorial da derivada contravariante, podemos, por um processo análogo, calcular o valor da derivada contravariante.

P á g i n a | 373

C. Curvatura e Torsão A construção de teorias mais gerais da relatividade exige que possamos admitir que o espaço-tempo possa ser curvado ou mesmo torcido. Para estabelecer sobre quais condições a variedade é curva ou torcida devemos introduzir dois novos campos tensoriais, a saber: a torsão T e a curvatura R. Para definirmos um campo tensorial é necessário que tenhamos um conjunto X (M) de campo de vetores X e uma conexão afim d sobre uma variedade diferenciável M (BASSALO, CATTANI, 2009, p. 101). Com estes elementos definidos, definiremos a torsão T e a curvatura R e seus respectivos tensores. 1.

Torsão T : X M  X M   X M  T  X , Y    X Y   Y  X    X , Y 

Dado uma base local, o tensor torsão é definido pela seguinte aplicação multilinear: T : X M  X M  X M  

M 

T jki  T  dxi ,  j ,  k   dxi , T   j ,  k 

Para obtermos a expressão explícita, basta aplicarmos a definição: T jki  dxi ,   j   k     k   j    j ,  k 

O operador derivada parcial comuta, então o colchetes de Lie deve ser zero. Aplicando a conexão sobre a base:

 m  n  T jki  dxi ,    m     n  j k k j 

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 m n  T jki     m dxi     n dxi  j k k j   m n  T jki     mi     ni  j k k j  Contraindo os índices, obtemos a expressão do tensor torsão:

 i   i  T jki        j k  k j  Se as aplicações multilineares forem simétricas em relação aos índices inferiores, como ocorre com os símbolos de Chirstoffel, o tensor torsão é zero em todos os pontos da variedade. Essa é característica que encontramos em variedades com conexões (pseudo-)riemmanianas. Contudo existem variedades onde essa condição não é verificada como as que adotam conexões de Weitzenböck (BISHOP, 1968, NEVILLE, 1980). Registre-se que se a torsão não for nula, a derivada covariante do tensor métrico não é zero (SANCHEZ, 2011, P. 295-296) 2.

Curvatura R : X M  X M  X M   X M  R  X , Y  Z    X  Y  Z    Y   X  Z     X ,Y   Z 

Dado uma base local, o tensor de curvatura, chamado de tensor de Riemann-Chirstoffel é definido pela aplicação multilinear: R : X M  X M  X M  X M  

Rijkl  T  dxi ,  j ,  k ,  l   dxi , R   k ,  l   j

M 

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Para obtermos a expressão explícita, basta aplicarmos a definição:





R ijkl  dxi ,   k  l   l   k  k ,l   j O operador derivada parcial comuta, então o colchetes de Lie deve ser zero. Distribuindo as conexões,







Rijkl  dxi ,   k  l  j   l   k  j



Aplicando a conexão sobre a base:  m    n   Rijkl  dxi , k     m   l     n   l j    k j  

Aplicando a terceira propriedade das conexões:    m  m  n  n  Rijkl  dxi ,  k     m    k  m    l     n     l  n l j   l j  k j   k j   





  m   m  r  Rijkl  dxi ,   k     m      r l j  k m   l j  





  n   n  s    l     n       s k j  l n   k j  

  m    n  i  m  r  i  n  s  i Rijkl    k    dxi  m      dx  r    l    dx  n      dx  s l j  k m  k j  l n   l j    k j  

  m   m  r  i   n  i  n  s  i Rijkl    k     mi       r   l     n       s l j l j k m       k j  l n     k j  

Contraindo os índices, obtemos a expressão do tensor torsão: i   i   m  i   n  i  Rijkl   k     l            l j  k j  l j  k m  k j  l n 

P á g i n a | 376

Se o tensor de curvatura for zero, isso indica que a variedade é plana e a derivada parcial dos tensores comuta para qualquer função definida sobre M. Se contrairmos o índice i com índice k, chegamos a um importante tensor chamado de tensor de Ricci. R ijil  R jl i   i   m  i   n  i  R jl   i     l             l j  i j  l j  i m  i j  l n 

O tensor de Ricci, em variedades riemannianas, é simétrico e seu significado geométrico pode ser entendido como uma medida do desvio de uma secção cônica de uma bola geodésica na variedade Riemmaniana em comparação a uma bola padrão na variedade euclidiana (PARKER, CHRISTENSEN, 1994). Por isso se o tensor de Ricci for nulo, isso não implica que a variedade seja plana. Os espaços-tempos de Schwarzchild e Kerr apresentam um tensor de Ricci nulo e são curvados. Por derradeiro, se multiplicarmos o tensor de Ricci pelo tensor métrico conjugado, obtemos o seu traço, também chamado de escalar de curvatura. R  g jl R jl

Este escalar determina localmente um número real associado a geometria intrínseca da variedade, assim como mede o desvio do volume de uma pequena bola geodésica na variedade riemannina em relação a uma bola padrão em sua contraparte euclidiana. O tensor de Riemann-Christoffel e suas contrações também são chamados de Tensores Fundamentais, pois são os únicos que podem ser construídos usando apenas o tensor métrico (COSTA, 1995).

P á g i n a | 377

3.

Identidades Importantes

Em variedades (pseudo-)-riemannianas o tensor de RiemannChristoffel satisfaz as seguintes identidades (BASSALO, CATTANI, 2009, p. 103):

(1º Identidade de Bianchi)  a  Rijkl  Rljki  Rklji  0  b  m Rijkl  l Rijmk  k Rijlm  0 (2º Identidade de Bianchi)  c  Rijkl   Rijlk  d  Rijkl   R jikl   Rijlk  Rklij  gim R mjkl A segunda identidade de Bianchi pode ser estendida para o tensor de Ricci (SANCHEZ, 2011, p. 209):  k Rij  i R jk   j Rki  0

Por meio dessas identidades podemos definir a divergência do tensor de Riemann-Chistoffel e Ricci (SANCHEZ, 2011, p. 209):

(a) div Rijkl     j Rik  k Rij  1 (b) div Rij   Rgij 2 Por fim, vamos apresentar uma importante relação entre a derivada covariante, o tensor misto de Ricci e o escalar de curvatura (SANCHEZ, 2011, p. 209):

 k R kj 

1 R 2 x j

P á g i n a | 378

12. Tétradas e Equações de Cartan Em geral, decompomos os vetores do espaço-tempo em função dos diferenciais (contravariante) e ou das derivadas parciais (covariante). Essa base é chamada de “coordenada” ou “holonômica”. Embora essa seja a forma mais direta escrever os vetores, ela não é a forma mais conveniente. Existe uma base ortonormal, denominada de não-holonômica, que fisicamente corresponde a um referencial local (local frame). As componentes dessa nova base são denominados de Coeficientes de Estrutura de Cartan e são calculados por um conjunto de equações conhecidas como equações de Cartan. A. Bases Holonômicas Dado um vetor V, podemos decompor esse vetor em suas componentes covariantes e contravariantes, por meio das seguintes equações:14 V  V i ei V  Vi wi

Essa base será dita holonômica, se a verificada a condição:

ei , e j   0  wi , w j   0 Em geral, convém definir a base em termo dos diferenciais e as derivadas parciais: Irei seguir a notação empregada por McMahon, que também é a inspiração deste e do próximo capítulo, com vários acréscimos retiradorsde Bassalo e Cattani (2018), Tenenblat (2008), Spivak (2003), Munkres (1991), Kreyszig (1991), Carmo (1989, 2005). 14

P á g i n a | 379

ei   i wi  dx i A métria do espaço-tempo é definida como o produto dos vetores da base holonômica. Em outras palavras, a álgebra de Lie abeliana do espaço-tempo é a métrica do espaço-tempo.

 i ,  j  gij dxi , dx j  g ij Se a métrica for diagonal, nossas equações acima assumem a seguinte forma:

i , i

2

 gii

dx j , dx j

2

 g jj

que é a norma ao quadrado dos vetores da base. Extraindo a raiz quadrada e levando em conta que a norma de um vetor é um invariante, isto é, não depende da definição que adotamos de produo interno, deduzimos que os vetores da base são:  i  gii dx j  g jj

Portanto, se tomarmos a métrica de Poincaré-Minkowski em coordenadas esféricas,

ds 2  c2dt 2  dr 2  r 2d 2  r 2 sin 2  d 2 As componentes do tensor métrico são: gij  diag  c 2 , 1, r 2 , r 2 sin 2  

P á g i n a | 380

Os vetores da base contravariante serão:

t  c2

t  c

 r  1    r

r  i 2

  r 2 sin 2 

  ir   ir sin 

Para calcular os vetores da base covariante, tomemos o fato que:  1 , se i  j  g ij   g jj 0, se i  j 

Portanto,

dxt 

1 c2

1 c r dx  i i dx  r

dxt 

dx r  1 dx  

1 r2

dx  

1 2 r sin 2 

dx 

i r sin 

Em geral, uma base holonômica referida em um sistema de coordenadas curvilíneo, não é ortonormal, devido os termos da métrica serem funções das coordenadas. Nesse sentido podemos construir sempre uma base não-coordenada em função de um observador local que é ortonormal e difeomórfica à En.

P á g i n a | 381

B. Bases Não-Holonômicas Dado um vetor V, podemos decompor esse vetor em suas componentes covariantes e contravariantes, por meio das seguintes equações: V  V i ei V  Vi wi

Essa base será dita não-holonômica, se a seguinte condição for verificada:

ei , e j   0  wi , w j   0 Nesse caso, a base não-holonômica está associada a álgebra de Lie não-Abeliana do espaço-tempo. Nosso objetivo é construir uma base não-holonômica de tal forma que os vetores da base sejam ortonormais:

ei  eˆi wi  wˆ i E o produto destes vetores defina a métrica de PoincaréMinnkowski cartesiana:

êi , ê j  ij wˆ i , wˆ j   ij “Em suma, a ideia básica de criar uma base não-holonômica é escaloná-la pelo coeficiente multiplicando cada diferencial no elemento de linha.” (MCMAHON, p. 96):

P á g i n a | 382

gij

êi , ê j 

gii g ij

wˆ i , wˆ j 

g jj

ei ,e j

êi , ê j  wˆ , wˆ i

j

gij 

wi , w j g jj

Se a métrica for diagonal, nossas equações acima assumem a seguinte forma:

 ˆ i  i gii dxˆ j 

dx j g jj

ˆ i  wi  i dxˆ j  e j dx j ( Não somados)

Em coordenadas esféricas, a métrica é dada por:

ds 2  c 2 dt 2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2 gij  diag  c 2 , 1, r 2 , r 2 sin 2  

Portanto, os vetores da base não-coordenada são: 1 ˆ t   t , c ˆ r  i r , i ˆ    , r i ˆ    r sin 

dxˆ t  cdx t , dxˆ r  dx r , dxˆ  irdxˆ , dxˆ  r sin  dx

P á g i n a | 383

C. Constantes da Estrutura e Geradores Em nosso estudo sobre bases, definimos a sua coordenação por meio do comutador de Lie. Portanto, para um conjunto de vetores da base {ei} (geradores infinestsimais de um grupo de Lie), podemos sempre expandi-los usando o comutador de Lie: ei , e j   Cij0e0  Cij1 e1  Cij2e2  ...  Cijn en ei , e j   Cijk ek

Os coeficientes Cijk são chamados de Coeficientes de Estrutura de Cartan ou Constantes de Estrutura do Grupo de Lie. É fácil ver que estes coeficientes constituem um tensor misto de terceira ordem, antissimétrico em relação aos índices inferiores ij: Cijk  C kji

Também verifica-se para as constantes de estrutura a seguinte identidade: i i C ijk Ciml  Cmj Cikl  Ckm Cijl  0

Se estes coeficientes forem todos nulos, a base é dita holonômica e definem uma álgebra de Lie abeliana sobre a variedade. As constantes da estrutura permitem definir conexões, das quais duas tem um papel de destaque na Teoria da Relatividade: as conexões afins ou símbolos de Christoffell, que permitem definir o transporte paralelo de vetores e medir o desvio geodésico em uma variedade; e as conexões de Cartan que permitem transitar entre diferentes estruturas matemáticas, conforme estas apresentem curvatura e torção.

P á g i n a | 384

Para exemplificar como é feito o cálculo dos coeficientes da estrutura, vamos calcula-lo para métrica esférica de PoincaréMinkowski. Para base não-holonômica de versores, verifica-se a seguinte propriedade: Cijk ek  0, se k  i ou j

Comecemos expandir a base em função do comutador da coordenada temporal:

eˆt , eˆr   Ctrt eˆt  Ctrr eˆr  Ctr eˆ  Ctr eˆ eˆt  eˆr  eˆr  eˆt  Ctrt eˆt  Ctrr eˆr 1ˆ ˆ 1ˆ ˆ  t   r   r   t  Ctrt eˆt  Ctrr eˆr c c 1ˆ ˆ 1ˆ ˆ  t   r   t   r  Ctrt eˆt  Ctrr eˆr c c t 0  Ctr eˆt  Ctrr eˆr

P á g i n a | 385

Por inspeção, estes coeficientes da estrutura que nulos: Ctrt  Ctrr  0,

Para o par t-, teremos:

eˆt , eˆ   Ctt eˆt  Ct eˆ eˆt  eˆ  eˆ  eˆt  Ctt eˆt  Ct eˆ i ˆ ˆ i  t   ˆ  ˆ t  Ctt eˆt  Ct eˆ rc rc t 0  Ct eˆt  Ct eˆ Estes coeficientes também são nulos, Ctt  Ct  0

O leitor poderá verificar que as demais componentes de estrutura com coordenada temporal também são nulos. Ctt  Ct  0

A explicação para esse fato é que a métrica é estacionária e estática, em outras palavras, ela não evolui com o tempo. Vamos agira calcular os coeficientes espaciais.

eˆr , eˆ   Crr eˆr  Cr eˆ eˆr  eˆ  eˆ  eˆr  Crr eˆr  Cr eˆ i  1 i r       i r   Crr eˆr  Cr eˆ r  r 2  ri 2   0 r  Crr eˆr  Cr eˆ  ri2 eˆ  0eˆr  Crr eˆr  Cr eˆ

P á g i n a | 386

Por inspeção, concluímos que estes coeficientes de estrutura são:

Crr  0, Cr  

i r

Para a coordenada , obteremos um coeficiente semelhante:

Crr  0, Cr  

i r

Por fim, calculemos os coeficientes d as coordenadas angulares:

eˆ , eˆ   C eˆ  C eˆ eˆ  eˆ  eˆ  eˆ  C eˆ  C eˆ i  i i  i            C eˆ  C eˆ r  r sin   r sin   r  i cot  eˆ  0eˆr  Crr eˆr  Cr eˆ  r Por inspeção, concluímos que estes coeficientes de estrutura são:

Crr  0, Cr  

i cot  r

Portanto, os coeficientes de estrutura deste sistema são: i Cr  Cr   , r

i Cr  Cr  , r

Cr  Cr 

i cot  r

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D. Constantes da Estrutura do Espaço-Tempo Vamos agora calcular os tensores da estrutura espaço-tempo por meio dos seus geradores infinitesimais. Deveremos expandir 15 colchetes de Lie, porém como os geradores são funções lineares, os cálculos não são complexos. Fixando o gerador X0, nós teremos:

 X 0 , X 1   C010 et  C011 ex  C012 ey  C013 ez  X 0 , X 1    x t  ct x   y z  z y    y z  z y   x t  ct x   X 0 , X 1   C010  C011  C012  C013  0  X 0 , X 2   C020 et  C021 ex  C022 ey  C023 ez  X 0 , X 2    x t  ct x  z x  x z    z x  x z  x t  ct x   X 0 , X 2   ct x  x z   z x  x t   X 0 , X 2     z t  ct z    X 5 3 1 C020   z , C02  ct , C02  C022  0

 X 0 , X 3   C030 et  C031 ex  C032 ey  C033 ez  X 0 , X 3    x t  ct x   x y  y x    x y  y x   x t  ct x   X 0 , X 3   ct x  x y   y x  x t   X 0 , X 3   ct y  y t  X 4 3 1 C030   z , C03 ex  C032  0  ct , C03

 X 0 , X 4   C040 et  C041 ex  C042 ey  C043 ez  X 0 , X 4    x t  ct x   y t  ct y    y t  ct y   x t  ct x   X 0 , X 4   x t  ct y   y t  ct x 

P á g i n a | 388

 X 0 , X 4   C040 et  C041 ex  C042 ey  C043 ez  X 0 , X 4    x t  ct x   y t  ct y    y t  ct y   x t  ct x   X 0 , X 4   x t  ct y   y t  ct x   X 0 , X 4   x y  y x  X 3 3 C040  C04  0,

1 C04   y, C042  x

 X 0 , X 5   C050 et  C051 ex  C052 ey  C053 ez  X 0 , X 5    x t  ct x  z t  ct z    z t  ct z  x t  ct x   X 0 , X 5   x t  ct z   z t  ct x   X 0 , X 5   x z  z x  X 2 C050  C052  0,

1 3   z , C05 x C05

A álgebra de Lie desse espaço, corresponde a rotações no espaçotempo que preservam a forma quadrática. A partir de X0 já geramos X2, X3, X4 e X5. Resta apenas encontrar os permutadores que geram X1. Agora vamos calcular, os comutadores fixando X1, X2, ..., X4.

 X 1 , X 2   C120 et  C121 ex  C122 ey  C123 ez  X 1 , X 2    y z  z y   z x  x z    z x  x z   y z  z y   X 1 , X 2   y z  z x   x z  z y   X 1 , X 2   y x  x y   X 3  X 1 , X 2   C120  C123 ex  0, C121  y, C122   x  X 1 , X 3   C130 et  C131 ex  C132 ey  C133 ez  X 1 , X 3    y z  z y  x y  y x    x y  y x  y z  z y 

P á g i n a | 389

 X 1 , X 3   z y  y x   x y  y z   X 1 , X 3   z x  x z  X 2 C131  z , C133   x, C130  C132  0

 X 1 , X 4   C140 et  C141 ex  C142 ey  C143 ez  X 1 , X 4    y z  z y  y t  ct y    y t  ct y  y z  z y   X 1 , X 4    z y  y t   ct y  y z   X 1 , X 4     z t  ct z    X 5 C141  C142  0,

3 C040   z , C04  ct

 X 1 , X 5   C150 et  C151 ex  C152 ey  C153 ez  X 1 , X 5    y z  z y   z t  ct z    z t  ct z   y z  z y   X 1 , X 5   y z  z t   ct z  z x   X 1 , X 5   y t  ct x  X 4 C152  C153  0,

C150  y, C153  ct

 X 2 , X 3   C230 et  C231 ex  C232 ey  C233 ez  X 2 , X 3    z x  x z   x y  y x    x y  y x   z x  x z   X 2 , X 3   z x  x y   y x  x z   X 2 , X 3   z  x  y z   X 1 1 3 0 C23  z , C23  yx, C23  C232  0

 X 2 , X 4   C240 et  C241 ex  C242 ey  C243 ez  X 2 , X 4    z x  x z   y t  ct y    y t  ct y   z x  x z   X 2 , X 4   C240  C241  C242  C243  0

P á g i n a | 390

 X 2 , X 5   C250 et  C251 ex  C252 ey  C253 ez  X 2 , X 5    z x  x z  z t  ct z    z t  ct z  z x  x z   X 2 , X 5    x z  z t   ct z  z x   X 2 , X 5     x t  ct x    X 0 3  0, C252  C25

0 1   x, C25  ct C25

 X 3 , X 4   C340 et  C341 ex  C342 ey  C343 ez  X 3 , X 4    x y  y x  y t  ct y    y t  ct y  x y  y x   X 3 , X 4   x y  y t   ct y  y x   X 3 , X 4   x t  ct x  X 0 C342  C343  0,

1  ct C340  x, C34

 X 3 , X 5   C350 et  C351 ex  C352 ey  C353 ez  X 3 , X 5    x y  y x   z t  ct z    z t  ct z   x y  y x   X 3 , X 5   C350  C351  C352  C353  0  X 4 , X 5   C450 et  C451 ex  C425ey  C453 ez  X 4 , X 5    y t  ct y   z t  ct z    z t  ct z   y t  ct y   X 4 , X 5   y t  ct z   z t  ct y   X 4 , X 5   y z  z  x  X 1 0  C452  0, C45

1 3   z, C45 y C45

Portanto, no espaço-tempo de Poincaré-Minkowski há dois tipos de rotação (espaciais e boosts), enquanto no espaço euclidiano só

P á g i n a | 391

existe uma forma de rotação. Além disso, no espaço-tempo existem três rotações que geram valores nulos.

 X 3, X 4    X 5, X 2   X 0  X 3 , X 2    X 4 , X 5   X1  X 0 , X 5    X1, X 3   X 2  X 0 , X 4    X 2 , X1   X 3  X 0 , X 3    X1, X 5   X 4  X 2 , X 0    X 4 , X1   X 5  X 0 , X1    X 2 , X 4    X 3 , X 5   0 Esses permutadores compõe um tensor anti-simétrico com 36 componentes, sendo que apenas 12 destas componentes não são nulas, sendo que apenas seis são independentes, que correspondem aos seis geradores do grupo de Lorentz. E. Tétradas Nulas Ao estudar o espaço-tempo muitas vezes convém expressar os elementos desse espaço em função de uma base de quatro vetores de comprimento nulo que denominamos de tétrada nula. O conceito de tétrada nula é extremamente útil para estudar sistemas com momento angular, como a métrica de Kerr. De fato, até onde sabemos, o método mais simples de se deduzir essa métrica do espaço-tempo é pelo uso de tétradas. Introduziremos a tétrada com um par de vetores reais e um par de vetores complexos: B i  l , n, m, m

l, n  , m, m 

P á g i n a | 392

Para caracterizar a tétrada, precisamos impor algumas condições sobre os vetores: 

Os vetores devem ter comprimento nulo. l , l  n, n  m, m  m, m  0



O par de vetores real-complexo deve ser ortogonal. l , m  l , m  n, m  n, m  0



O par de vetores distintos real-real deve ser a unidade.

l, n  1 

O par de vetores real-real deve ser o oposto da unidade. m, m  1

No espaço-tempo de Poincaré-Minkowski há de três tipos de conexões possíveis entre os eventos e vetores associados a eles (adaptado de MARTINS, 2012, p. 91): Conexão

Intervalo

Classe

Comprimento

Vetores

Táquions

|ds| > c |dt|

Espaço

Negativo

i p , j p ,k p

Lúxons

|ds| = c |dt|

Nulo

Nulo

l p,m p,m p,np

Brádions

|ds| < c |dt|

Tempo

Positivo

vp

P á g i n a | 393

Os eventos conectados por táquions ocorrem no hiplerplano de espaço, violam o princípio da causalidade e se encontram fora do cone de luz. Sua norma é sempre negativa. Os vetores conectados por lúxons ocorrem na superfície do cone de luz e sua norma é sempre zero. Por fim, os eventos conectados por brádions ocorrem no hiperplano de tempo, respeitam o princípio da causalidade e se encontram dentro do cone de luz. Sua norma é sempre positiva.

15

Todos os vetores conectados por brádions e táquions tem norma unitária.

v pv p  1

i pv p  0

j pv p  0

k pv p  0

v pi p  0

i p i p  1

j pi p  0

k pi p  0

v p jp  0

i p jp  0

j p j p  1

k p jp  0

v pk p  0

i pk p  0

j pk p  0

k p k p  1

Em muitos aspectos os vetores v, i, j, k compartilham propriedades dos quarteniões de Hamilton. Sobre o uso de quartenions na Teoria da Relatividade, ver o trabalho Quaternions and special relativity (LEO, 1996)16 e The Quaternion Structure of 15 16

http://math.ucr.edu/home/baez/week232.html https://www.ime.unicamp.br/~deleo/Pub/p07.pdf

P á g i n a | 394

Space-Time and Arrow of Time (GU, 2012) 17 Agora iremos representar nossos vetores nulos como uma combinação dos vetores do tipo espaço e do vetor do tipo tempo:

vp  ip l  2 p j  ik p p m  2 p

vp  ip 2 p j  ik p mp  2

np 

As tétradas se associam a métrica do espaço-tempo, pela seguinte relação: g pq  l p nq  lq n p  m p mq  mq m p

Para uma tétrada ortonormal, podemos relaciona-la com os vetores da base. l 1 1     n   1  1 1 m 2 0 0    m 0 0

0 0   e0    0 0   e1  1 i   e2    1 i  e3 

https://www.researchgate.net/publication/258665248_The_Quaternion_Structu re_of_Space-Time_and_Arrow_of_Time 17

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F. Mudança de Base da Tétrada Dada uma base holonômica e uma não holonômica ortonormal podemos estabelecer uma regra de transformação entre essas bases a partir de seus vetores e de uma nova componente (êa)b, denominada de tétrada, por meio da seguinte regra (MCMAHON): êa   êa  e0   êa  e1   êa  e2  ...   êa  en 0

1

2

n

êa   êa  eb b

O processo de determinação das tétradas é idêntico ao processo de determinação das constantes de estrutura de Cartan. Podemos expressar essas transformações em função de uma matriz de transformação:

M ab   êa 

b

Reciprocamente, podemos expandir uma base coordenada em função dos vetores da base não-coordenada ortonormal: eb   eb  ê0   eb  ê1   eb  ê2  ...   eb  ên 0

1

2

n

eb   eb  êa a

Também podemos construir uma nova matriz de transformação para essa nova tétrada:

M ba   eb 

a

Vamos estabelecer agora a relação entre as matrizes de transformação. Substituindo a segunda transformação na primeira:

êa   êa   eb  êa b

a

O produto das duas tétradas deve ser a matriz identidade:

P á g i n a | 396

 êa   eb  b

a

I

M ab M ba  I

Portanto, a matriz de transformação da base holonômica para a base não-holonômica é a matriz inversa da transformação inversa: M ba   M ab 

1

Esse fato implica que a transformação entre estas duas bases é uma aplicação bijetora, isto é, ela é única e cobre toda a variedade. Podemos demonstrar que dada duas matrizes de transformação arbitrária no espaço-tempo, devemos verificar a seguinte a condição:

 êa   eb    ac b c  ea   êb    ac b

c

onde  ac é o tensor misto de Kronecker, definido como18:

1, se a  c 0, se a  c

 ac  

A simetria do tensor de Kroenecker impõe que esses produtos sejam comutativos:

 êa   eb    eb   êa    ac b c c b  ea   êb    êb   ea    ac b

c

c

b

Observe que, embora a estrutura do tensor de Kronecker seja semelhante a matriz identidade, estas grandezas são diferentes e atuam sobre os tensores de forma diferente. 18

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As tétradas se relacionam com a métrica pela seguinte regra:

 ea   eb c  ab c

O teorema da invariância das dimensões do espaço garante que a mudança de base não altera as propriedades físicas do espaço e nem o significado físico das equações. Vamos calcular as tétradas para o espaço-tempo em coordenadas esféricas. Anteriormente obtivemos que os vetores da base nãoholonômica são:

P á g i n a | 398

1 êt  et , c i ê  e , r

êr  ier , ê 

i e r sin 

Agora vamos expandir os vetores da base holonômica:

eb   eb  êt   eb  êr   eb  ê   eb  ê t

r





Substituindo os valores dos versores da base não-holonômica:

eb   eb 

t

i 1  i  r et   eb  ier   eb  e   eb  e c r r sin 

Variando o índice b de t à , determinaremos, por inspeção, as componentes das tétradas: et   et 

1 et c

t

er   er  ier r

e   e 



e   e 



i e r i e r sin 

 et   c r  er   i   e   ir t

e 





 ir sin 

Assim, a matriz de transformação associada a tétrada será:

0 c 0  0 i 0 M ba    0 0 ir  0 0 0

0   0  0   ir sin  

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E sua inversa será: 1 c  0 b Ma   0   0 

0

0

i

0 i r

0 0

0

   0   0   i   r sin   0

É fácil ver que o produto destas matrizes satisfaz toda as propriedades que expusemos nessa seção. O leitor poderá verificar pelo produto usual de matrizes diagonais. G. Sistema de Referência Local Por meio das tétradas podemos construir um métrica local, isto é, para uma variedade diferenciável (pseudo-)riemmaniana Mn há um difeomorfismo com uma variedade (pseudo-)euclidiana En, portanto para uma região infinitamente pequena da variedade Mn podemos construir um sistemas de coordenadas local que preserva as propriedades de En. Na Teoria da Relatividade Geral, esse fato é expresso pelo princípio da equivalência, enunciado por Albert Einstein, em 1907. Suncistamente, podemos dizer que para uma região infinitamente de um espaço-tempo arbitrário definido por uma métrica gij, podemos construir uma métrica local que corresponde a métrica de Minkowski-Poincaré ij. Definimos as componentes dos vetores da base da métrica local pelas relações:

eˆ0  l eˆ1  n

eˆ2  m eˆ3  m

P á g i n a | 400

E definimos a métrica local é dada por:

vˆij  eˆi , eˆ j Calculando as componentes do tensor: vˆ00  eˆ0 , eˆ0  l , l  0

vˆ10  eˆ1 , eˆ0  n, l  1

vˆ01  eˆ0 , eˆ1  l , n  1

vˆ11  eˆ1 , eˆ1  n, n  0

vˆ02  eˆ0 , eˆ2  l , m  0

vˆ12  eˆ1 , eˆ2  n, m  0

vˆ03  eˆ0 , eˆ3  l , m  0

vˆ13  eˆ1 , eˆ3  n, m  0

vˆ20  eˆ2 , eˆ0  m, l  0

vˆ30  eˆ3 , eˆ0  m, l  0

vˆ21  eˆ2 , eˆ1  m, n  0

vˆ31  eˆ3 , eˆ1  m, n  0

vˆ22  eˆ2 , eˆ2  m, m  0

vˆ32  eˆ3 , eˆ2  m, m  1

vˆ23  eˆ2 , eˆ3  m, m  1

vˆ33  eˆ3 , eˆ3  m, m  0

Portanto, o nosso tensor é dado por:

0  1 vˆij   0  0

1 0 0  0 0 0 0 0 1  0 1 0 

Podemos expressar esse tensor em termos das matrizes de Pauli:

0   vˆij   1   0  1  0 1  1 0

1  

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H. Classificação de Petrov Em geral usamos os tensores de Riemann para estudar as propriedades do espaço-tempo, contudo existe um tensor mais geral que o de Riemann que foi desenvolvido pelo físico alemão Hermann Weyl e recebeu é chamado de Tensor de Curvatura de Weyl. Para um estado de vácuo, o tensor de curvatura de Riemann e de Weyl coincidem (MCMAHON, 2005). O tensor de Weyl é definido em relação ao tensor de Riemann pela seguinte regra (MCMAHON, 2005, p. 192): C pqrs  R pqrs 

1

g 2

ps

Rqr  g qr Rsp  g pr Rsq  g qs Rrp  

1 6

g

pr

Rsq  g ps Rrq  R

A partir das tétradas podemos definir os escalares de Weyl (MCMAHON, 2005, p. 192):

 0  C pqrs l p m q l r m s  1  C pqrs l p n q l r m s  2  C pqrs l p m q m r n s  3  C pqrs l p n q m r n s  4  C pqrs n p m q n r m s E as componentes do tensor de Weyl: C0101   2  1 C2323   2  1 C0123   2  2

Há ainda 12 termos associados a rotação de Ricci, chamados de coeficientes de spin, que também são definidos em termos da tétrada:

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   q n p m pl q    q n p m m p

   q l p m p n q    q l p m m p

  ql p m pl q   ql p m m p

q

  ql p m p nq   ql p m p mq

q

q



1   ql p n pl q   q m p m pl q  2



1 ql p n p mq   q m p m p mq   2



1 ql p n p nq  q m p m p nq   2



1  ql p n p mq   q m p m p mq  2

Em geral, as propriedades do espaço-tempo podem ser derivadas da análise das simetrias do tensor de Weyl. Esse estudo é chamado de Classificação de Petrov. Abaixo, irei reproduzir uma passagem do livro Relativity Desmitified19 (MCMAHON, 2005, p. 194-195): “Fisicamente, a classificação de Petrov é uma maneira de caracterizar um espaço-tempo pelo número de direções nulas principais que ele admite. As multiplicidades dos autobivetores correspondem ao número de direções nulas principais. Se um autovetor é único, nós o chamaremos de simples. Vamos nos referir aos outros autovetores (e, portanto, as direções nulas) pelo número de vezes que eles são repetidos. Se dissermos que há uma direção nula tripla, isso significa que três direções nulas coincidem.

Confesso que tenho alguma reserva com as coleções “self-teaching”, embora eu acredite que o pesquisador deva exercitar o auto aprendizado. Contudo, ao ler esse livro fiquei impressionado com a qualidade. É claro que esse material deve ser visto como um complemento aos livros clássicos de Relatividade Geral. 19

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Existem seis tipos básicos pelos quais um espaço-tempo pode ser classificado no esquema Petrov que agora resumimos: Tipo I. Todas as quatro direções nulas principais são distintas (há quatro direções nulas principais simples). Isso também é conhecido como um espaço-tempo algebricamente geral. Os tipos restantes são conhecidos como algebricamente especiais. Tipo II. Existem duas direções nulas simples e uma direção nula dupla. Tipo III Existe uma direção nula única e uma direção nula tripla. Este tipo corresponde a ondas gravitacionais longitudinais com cisalhamento devido a efeitos de maré. Tipo D. Há duas direções nulas principais duplas. O tipo D de Petrov está associado ao campo gravitacional de uma estrela ou buraco negro (vácuo de Schwarzschild ou Kerr). As duas direções nulas principais correspondem a congruências de entrada e saída de raios de luz. Tipo N. Há uma direção nula principal única de multiplicidade 4. Isso corresponde a ondas de gravidade transversal. Tipo O. O tensor de Weyl desaparece e o espaço-tempo é conformalmente plano. Podemos aprender sobre as principais direções nulas e o número de vezes que elas são repetidas examinando A. Há três situações a serem observadas: 1. Uma direção nula principal que é repetida duas vezes: As componentes não nulos do tensor de Weyl são 2, 3 e 4.

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2. Uma direção nula principal é repetida três vezes (Tipo III): Os componentes não nulos do tensor de Weyl são 3 e 4 3. Uma direção nula principal é repetida quatro vezes (Tipo N): O componente não nulo do tensor de Weyl é 4. As componentes que se anulam o tensor de Weyl também nos dizem sobre os vetores nulos la e na. Por exemplo, se 0 = 0, la é paralelo com as direções nulas principais, enquanto se 4 = 0, então na é paralela com as direções nulas principais. Se 0 = 1 = 0, la é paralela às direções nulas principais repetidas. No contexto da radiação gravitacional, temos as seguintes interpretações: 0 - componente de onda transversal na direção na 1 - componente de onda longitudinal na direção na 3 - componente de onda transversal na direção la  - componente de onda longitudinal na direção la Por fim, mencionamos o significado físico de alguns dos coeficientes de spin. Primeiro, consideramos uma congruência de raios nulos definidos por la: κ=0-

la é tangente a uma congruência nula

−Re (ρ) - expansão de uma congruência nula (raios divergem) Im (ρ) -

torção de uma congruência nula

|σ| -

cisalhamento de uma congruência nula

Para uma congruência definida por na, essas definições são preservadas para −ν, −μ e −λ.

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Considerações Finais Quando Aristóteles pensou na divisão do conhecimento humano, a filosofia natural jamais deveria andar de mãos dadas com a matemática. A matemática estava relacionada as ciências exatas, naturalmente inferiores a filosofia natural e a metafísica. Nicolau Copérnico, um neoplatonista e discípulo de Santo Agostinho, desafiou Aristóteles ao buscar pela matemática, a harmonia do cosmos nos dados de Ptolomeu. Diferente do que algumas pessoas pensam, Copérnico não olhou para os céus e nem fez experiências. Copérnico olhou para dados disponíveis há séculos e buscou ordem através do pensamento matemático. A revolução de Copérnico, diz Thomas Kuhn, foi aproximar a matemática da filosofia natural, um passo essencial para criação da física. A sociedade da física e da matemática tem se demonstrada extremamente produtiva para ambas disciplinas. A matemática oferece uma linguagem objetiva e estruturada para que os físicos possam escrever e desenvolver suas ideias. Enquanto a física retribui aos matemáticos com questões e desafios que promovem uma heurística e a fundação de novos campos de estudo. Topologia, Teoria do Caos, Geometria dos Fractais, Distribuições, entre outros, são alguns dos campos da matemática que surgiram a partir de problemas físicos. A Teoria da Relatividade também é um ótimo exemplo de como a sociedade entre a matemática e a física é um empreendimento bem sucedido. Todas as evidências de uma estrutura 4-dimensional podem ser encontradas no eletromagnetismo (LOGUNOV, 2004).20 Mas foi somente com o uso da Teoria de Grupos por Poincaré e Minkowski, que permitiu compreender as transformações de Lorentz No quinto volume dessa coleção demonstro que a forma da onda é uma consequência da topologia do espaço-tempo plano.

20

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como automorfismos do espaço, que a dimensionalidade do tempo ficou explícita. A nova teoria exigia interpretar as transformações do espaço e do tempo como rotações hiperbólicas, em quatro dimensões, como fez Poincaré. Reciprocamente, a nova física do espaço-tempo trazia consequências novas. Em uma variedade euclidiana, a norma de um vetor não-nulo é sempre um número real positivo, mas na nova variedade, a norma de um vetor não nulo pode ser imaginária, zero ou um real positivo. Outra diferença marcante é que enquanto nos espaços euclidianos um vetor não-nulo não pode ser ortogonal a si mesmo, no espaço-tempo existem vetores não-nulo ortogonais a si mesmos (tétradas nulas). Todas essas possibilidades exigiam uma inspeção matemática cuidadosa. Assim nascia o estudo de espaços com pseudo-métrica. Com o desenvolvimento da Teoria da Relatividade Geral, o estudo de transportes em variedades curvadas também se tornou do interesse dos matemáticos e físicos. A busca por teorias unificadas da gravidade e eletromagnetismo, envolveram os matemáticos de Göttingen, incluindo Hilbert e Noether. Historicamente, foi Hilbert quem apresentou primeiro as equações de campo da Teoria da Relatividade Geral e foi Hilbert que conseguiu um tensor momentoenergia que incluía os potenciais eletromagnéticos. Theodor Kaluza, matemático alemão, e Oskar Klein, físico sueco, mostraram que em uma variedade 5-dimensonal era possível derivar das equações de campo de Hilbert-Einstein, as equações de Maxwell. O programa a princípio degenerou, porém a teoria de cordas recuperou a essência dessas ideias. Emmy Noether e Oskar Klein mostraram que é matematicamente impossível construir uma teoria da covariância geral em variedades curvadas que respeite os princípios de conservação do momento e energia.

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Posteriormente, passou a se procurar uma Relatividade para espaços planos, porém torcidos. Cartan concebeu espaços ainda mais estranhos: curvados e torcidos. Poderia nesses espaços ocorrer uma compensação de efeitos e o momento e a energia serem conservados? As pesquisas ainda não são conclusivas. Com esse livro, o meu objetivo era apresentar ao leitor a riqueza matemática por trás da Teoria da Relatividade e fornecer algumas reflexões epistemológicas, pois tão importante quanto estar familiarizado com a ferramenta matemática, é saber pensar matematicamente. Como mostrei no primeiro volume, Henri Poincaré (1854-1912), uma parte do sucesso deve-se ao número de coletivos de pensamento que Poincaré pertencia e articulava. Com essa coleção não pretendo esgotar o assunto Teoria da Relatividade, mas abrir possibilidades. Acredito que a educação científica de qualidade não é aquela que singulariza o aluno, mas aquela que apresenta uma pluralidade de ideias e caminhos. Essa é uma das razões de todos os volumes estarem recheados de citações e referenciais biográficas. Quero que esse livro seja um convite e que as referências sejam destinos que o leitor pode tomar para expandir seus conhecimentos. Sobre esse volume preciso apenas registrar uma mea culpa. Talvez o leitor ache que os capítulos 9, 10, 11 e 12 foram escritos com pressa ou com menos empenho que os demais. Preciso esclarecer que como esse livro não é feito para uma editora e não atende prazos pré-estabelecidos, o período de desenvolvimento atendeu aos meus prazos e ao meu próprio empenho. Esse projeto já vem sido desenvolvido há anos e parei sempre que fosse necessário para atender algum compromisso pessoal ou profissional. Eu sabia que só iria disponibilizar o livro quando eu achasse que ele estava adequado a leitura.

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O foco dos primeiros quatro volumes de O Princípio da Relatividade sempre foi a Teoria da Relatividade Especial, entretanto com o centenário do eclipse, as constantes detecções de ondas gravitacionais e a “fotografia” do Buraco Negro, fizeram-me repensar sobre a questão e achei necessário incluir uma pequena discussão de Teoria da Relatividade Geral, como um conteúdo “bônus” ao livro. Por essa razão optei em desenvolver o conteúdo no melhor estilo “Relatividade Geral para o Homem Prático”, apresentar a ferramenta e como usa-la para que o leitor ponha a mão na massa. Eu sei que isso pode decepcionar alguns estudantes, mas prometo compensar esse pequeno sacrifício em breve. Como mencionei brevemente na introdução, pretendo fazer pelo menos dois volumes sobre Teoria da Relatividade Geral: cultura humanística e cultura científica. Provavelmente o produto final fique em quatro volumes, dois para cada cultura, assim como aconteceu nessa coleção. Nesse empreendimento detalharemos cada passagem e faremos as deduções que aqui foram omitidas. Por outro lado, gostaria de salientar que mesmo que sintetizado, o conteúdo apresentado apresenta discussões que são omitidas na maioria dos livros. Eu confesso que já estudei, literalmente, mais de uma centena de livros sobre Teoria da Relatividade e em raríssimos livros encontrei algum texto sobre o significado do tensor de Ricci e o escalar de curvatura. Trazer essa informação é um diferencial para estas seções do livro. Pretendo também escrever mais sobre a estrutura matemática do espaço-tempo, incluindo mais tópicos de topologia, álgebra geométrica e exterior, números hiper-complexos e quartenions. O material já está em estágio avançado, então aguardem novidades. Para encerrar essas considerações finais, eu gostaria de falar um pouco sobre o processo de composição desse volume.

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Quando imaginei o projeto O Princípio da Relatividade meu objetivo principal era decompor a teoria em suas dimensões históricas, filosóficas, sociais, físicas e matemáticas. A princípio, eu acreditava que os dois primeiros volumes atenderiam essa demanda, já que trariam as concepções de Poincaré e Einstein, dois principais desenvolvedores da Relatividade Especial. Porém, a medida que fui penetrando nos domínios da Topologia e expandindo minha compreensão sobre a natureza do espaço-tempo, ficou bastante claro que seria preciso de um terceiro volume que abarcasse essa estrutura física-matemática que se ergueu durante o século XX. Como mencionei na introdução, meu objetivo inicial era escrever apenas um livro, dividido em três partes: Epistemologia, Matemática e Física. Trabalhei incessantemente um semestre e ao final do processo, eu tinha um livro de cerca de 600 páginas. Não é raro encontrar na literatura técnica livros com essa extensão (ou até maiores), portanto eu poderia me dar por satisfeito e publica-lo. O que me fez mudar de ideia? Durante a composição do livro, encontrei vários livros que apenas abordavam aspectos matemáticos da Teoria da Relatividade. Fiquei bastante excitado com esse material e descobri uma área muito fecunda de pesquisa e produção literária. Nesse momento, eu me deparei com um fato: não há uma obra em língua portuguesa que faça essa abordagem. Então pensei que seria uma experiência gratificante poder trazer essa perspectiva para os acadêmicos brasileiros. Obliterar um livro no meio não é uma experiência tão simples. Seria preciso preencher a lacuna no volume 4 (física) deixada pelo volume 3 (matemática) ao mesmo tempo que eu teria que tomar cuidado especial para não repetir o conteúdo ou ser redundante. Essas modificações foram relativamente simples para o volume 4, porque a maior parte das 600 páginas era conteúdo de física e por isso as modificações foram mínimas.

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Compor o volume 3 foi o verdadeiro desafio. O material bruto dava cerca de 200 páginas e eu tenho como regra não escrita que os livros tenham no mínimo 350 páginas. Era preciso produzir mais 150 páginas de conteúdo. Uma parte desse conteúdo foi herdado de dois projetos antigos, um livro de tensores que eu tinha escrito o primeiro e o segundo capítulo, que se tornaram parte do nono e décimo capítulo desse livro; e uma apostila de Teoria da Relatividade Geral, que ajudaram a compor parte do décimo, décimo primeiro e décimo segundo capítulo. Mesmo com esse material, ainda faltava muito a ser feito, e por isso mergulhei em um estudo sobre a estrutura matemática da Teoria da Relatividade. Esse mergulho mudou a minha vida. Enquanto estudava pelo livro do Brown (2017) questões sobre a Topologia do espaço-tempo, descobri os números perplexos. Combinando esses dois elementos, tive aquilo que posso chamar das duas ideias mais felizes da minha vida: o conceito de dimensão negativa e a construção das funções de Poincaré, que me permitiram construir uma topologia geral para o espaço-tempo. Eu interrompi o projeto para desenvolver minha tese. Muito do material desse volume e do seu sucessor foram adaptados para minha tese, algo que ficará claro quando o leitor ler o quinto volume. Em outras palavras, escrever esse livro foi mais do que uma experiência didática, foi uma maneira de pensar cientificamente a relatividade e desenvolver minhas ideias e contribuições para teoria que mesmo depois de 100 anos ainda tem muito a nos oferecer. Confesso que seria extremamente gratificante sabe que esse livro inspirou alguém a desenvolver uma tese, porém não tenho essa pretensão. Sinceramente, se este livro puder ajudar acadêmicos a entenderem melhor a relatividade, ele já terá cumprido sua meta.

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REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA21 Abiko, Seya. 2003. On Einstein's distrust of the electromagnetic theory: The origin of the lightvelocity postulate. Historical Studies in the Physical and Biological Sciences, Vol. 33, No. 2 (2003), pp. 193-215. Alves, Rubem. 1993. Introdução à Filosofia da Ciência. 19ª ed. São Paulo: Brasiliense. ——— 1991. Conversas com Quem Gosta de Ensinar. 26ª ed. São Paulo: Cortez. Amorim, R. G. G. Santos, W. C. Carvalho, L. B. Massa, I. R. (2018) Uma Abordagem Física dos Números Perplexos. Rev. Bras. Ensino Fís. vol.40, n.3, e3309. Andery, M. A. et al. 1988. Para Compreender a Ciência: Uma Perspectiva Histórica. Rio de Janeiro: Espaço e Tempo; São Paulo: EDUC. Auffray, Jean Paul. 1998. O Espaço-Tempo. Lisboa: Flammarion, Barrow-Green, June. 1997. Poincaré and the Three-Body Problem. American Mathematical Society, Providence, RI. Bassalo, J, M. F. (2012). Eletrodinâmica Quântica. São Paulo: Livraria da Física. ________. (2002) Eletrodinâmica Clássica. São Paulo: Livraria da Física.

Como esse trabalho tange alguns aspectos históricos e epistemológicos incluí alguns livros de ciências humanas e sociais, filosofia da ciência. Infelizmente é possível citar todas as obras que englobam o tema, se deixei de citar algum autor, peço encarecidamente desculpas adiantadas.

21

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FICHA AUTORAL

O Princípio da Relatividade E-Volumes ♥

Volume I - Henri Poincaré (1854-1912)

♠

Volume 2 – Albert Einstein (1905)

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Volume 3 – Lições (Matemática)

♣

Volume 4 – Lições (Física) SOBRE A AUTORA AYNI R. CAPIBERIBE

Ayni é professora, físicamatemática e historiadora e socióloga da ciência. Suas linhas de pesquisa incluem anéis hiper-complexos e álgebras geométricas para a descrição topológica de variedades espaço-temporais, estudos sociais da ciência e micro história da ciência, com ênfase em Teoria da Relatividade. É mãe, transexual, militante pelo direito de transexuais e indígenas, louca por gatos. Também é colunista no A Voayager e no Física sem Arrodeios.