O Princípio da Relatividade; Opera Omnia (Magnum Opus) [1ª ed.] 9798611472071

Table of contents :
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO P-33
PREÂMBULO P-36
BIBLIOGRAFIA BÁSICA P-43
HENRI POINCARÉ (1854-1912) 1-53
ÍNDICE (VOLUME 1) 1-54
POR QUE UM LEÃO É UM LEÃO? 1-54
PARTE I – 1854-1904 1-59
1. O ÚLTIMO UNIVERSALISTA 1-59
2. COLETIVOS DE PENSAMENTO DE POINCARÉ 1-62
3. A MEDIDA DO TEMPO E A QUESTÃO DA SIMULTANEIDADE 1-71
4. A MEDIDA DA GEODÉSICA E A QUESTÃO DO ESPAÇO 1-115
5. O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE 1-132
6. A DINÂMICA DO ELÉTRON 1-155
PARTE II - SUR LA DYNAMIQUE DE L’ÉLECTRON (1905) 1-181
NOTAÇÃO 1-182
CONSTRUÇÃO 1-184
INTRODUÇÃO 1-190
§1 - TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ 1-197
§2 - O PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO 1-201
§3 – A TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ E O PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO 1-204
§4 – O GRUPO DE LORENTZ 1-208
§5 – ONDAS DE LANGEVIN 1-216
§6 – CONTRAÇÃO DOS ELÉTRONS 1-219
§7 – MOVIMENTO QUASE ESTACIONÁRIO 1-226
§8 – MOVIMENTO ARBITRÁRIO 1-230
§9 – HIPÓTESES SOBRE A GRAVITAÇÃO 1-237
ANEXO - ISOMETRIAS E VETORES DE KILLING 1-256
PARTE III – 1906-1912 1-263
1. TEORIAS DA GRAVITAÇÃO NO COMEÇO DO SÉCULO XX 1-263
2. O PROGRAMA GRAVITACIONAL DE POINCARÉ 1-272
3. EPISTEMOLOGIA E A GRAVITAÇÃO DE POINCARÉ 1-275
4. O VALOR DO PROGRAMA GRAVITACIONAL DE POINCARÉ 1-280
5. O PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO 1-283
6. O PRINCÍPIO DA INÉRCIA 1-293
7. ELIPSES DE LUZ: DO ORTSZEIT AO TEMPS LOCAL 1-305
PARTE IV - UM ESTUDO COMPARADO ENTRE AS INTERPRETAÇÕES DE LORENTZ-POINCARÉ E EINSTEIN SOBRE A RELATIVIDADE ESPECIAL 1-332
1. EQUIVALÊNCIA EPISTEMOLÓGICA ENTRE A RELATIVIDADE DE LORENTZ-POINCARÉ E EINSTEIN 1-336
2. O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE 1-349
3. A CONSTÂNCIA DA VELOCIDADE DA LUZ 1-354
4. CONTRAÇÃO DE OBJETOS EM MOVIMENTO 1-361
5. MUDANÇA DO PERÍODO DOS RELÓGIOS 1-365
6. RELATIVIDADE DA SIMULTANEIDADE 1-368
7.TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ 1-372
8.TRANSFORMAÇÕES DE CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS 1-380
9. RELAÇÃO ENTRE MASSA E VELOCIDADE 1-382
10. RELAÇÃO MASSA E ENERGIA (E = MC²) 1-384
11. OUTROS MOTES DA RELATIVIDADE ESPECIAL 1-386
12. QUAIS FORAM PERCEPÇÕES DE LORENTZ, POINCARÉ E EINSTEIN SOBRE A RELATIVIDADE ESPECIAL? 1-388
13. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES DO PERÍODO “PÓS” RELATIVIDADE ESPECIAL 1-400
14. HISTÓRIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL COMO CONTRA-ARGUMENTO À VISÃO RADICALMENTE INTERNALISTA DA NATUREZA DA CIÊNCIA 1-404
15. EXPLICANDO AS SEMELHANÇAS NA ABORDAGEM DE POINCARÉ E EINSTEIN PELA PERSPECTIVA FLECKIANA 1-406
CONSIDERAÇÕES FINAIS 1-414
EPÍLOGO - CONSTRUINDO UMA MICRO-HISTÓRIA SOCIAL DE HENRI POINCARÉ E A TEORIA AA RELATIVIDADE ESPECIAL 1-425
METODOLOGIA DA PESQUISA HISTÓRICA 1-429
EPISTEMOLOGIA DE FLECK 1-438
DIFERENÇAS ENTRE FLECK E DE KUHN 1-444
ALBERT EINSTEIN (1905) 2-448
ÍNDICE (VOLUME 2) 2-449
INTRODUÇÃO 2-452
CONTEXTO HISTÓRICO DA PESQUISA DE EINSTEIN 2-459
CONTEXTO HISTÓRICO DO ELETROMAGNETISMO 2-471
RELATIVIDADE DE EINSTEIN: ORIGEM, FUNDAMENTAÇÃO E PROBLEMAS HISTÓRICOS. 2-483
A. A EXPERIÊNCIA DE MICHELSON-MORLEY 2-484
B. INFLUÊNCIA DE LORENTZ NOS TRABALHOS DE EINSTEIN 2-487
C. INFLUÊNCIA DE POINCARÉ NOS TRABALHOS DE EINSTEIN 2-492
D. A FORMAÇÃO EPISTEMOLÓGICA DE EINSTEIN 2-502
E. O ARTIGO DE EINSTEIN: O QUE SÃO POSTULADOS? 2-505
F. A ORIGEM DOS POSTULADOS DE EINSTEIN 2-506
G. A FUNDAMENTAÇÃO DOS POSTULADOS 2-509
H. CONSIDERAÇÕES FINAIS 2-513
SOBRE A ELETRODINÂMICA DOS CORPOS EM MOVIMENTO 2-515
PARTE I - CINEMÁTICA 2-528
§ 1. DEFINIÇÃO DE SIMULTANEIDADE 2-528
§ 2. SOBRE A RELATIVIDADE DE COMPRIMENTOS E TEMPOS 2-540
§ 3. TEORIA DA TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS E DO TEMPO DE UM SISTEMA ESTACIONÁRIO PARA OUTRO SISTEMA EM MOVIMENTO UNIFORME DE TRANSLAÇÃO RELATIVAMENTE AO PRIMEIRO 2-552
§ 4. SIGNIFICADO FÍSICO DAS EQUAÇÕES OBTIDAS EM RELAÇÃO AO MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E RELÓGIOS MÓVEIS 2-590
§ 5. TEOREMA DE ADIÇÃO DAS VELOCIDADES 2-600
PARTE II - ELETRODINÂMICA 2-622
§ 6. TRANSFORMAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL-HERTZ PARA O ESPAÇO VAZIO. SOBRE A NATUREZA DAS FORÇAS ELETROMOTRIZES QUE OCORREM EM UM CAMPO MAGNÉTICO DURANTE O MOVIMENTO 2-627
§ 7. TEORIA DO PRINCÍPIO DOPPLER E DA ABERRAÇÃO 2-650
§ 8. TRANSFORMAÇÃO DA ENERGIA DOS RAIOS DE LUZ. TEORIA DA PRESSÃO DA RADIAÇÃO EXERCIDA SOBRE REFLETORES PERFEITOS 2-667
§ 9. TRANSFORMAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL-HERTZ QUANDO AS CORRENTES DE CONVECÇÃO SÃO LEVADAS EM CONTA 2-694
§ 10. DINÂMICA DO ELÉTRON LENTAMENTE ACELERADO 2-720
PARTE III – ENERGIA 2-752
A INÉRCIA DE UM CORPO DEPENDE DO SEU CONTEÚDO ENERGÉTICO? 2-752
1. COMENTÁRIOS SOBRE O ENSAIO DE EINSTEIN 2-756
2. EINSTEIN REALMENTE DEDUZIU A EQUAÇÃO E = MC²? 2-759
3. A DEDUÇÃO DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA DE 1906 2-762
4. LIMITAÇÕES DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA 2-765
5. A RELAÇÃO MASSA-ENTALPIA 2-770
6. EQUÍVOCOS SOBRE A RELAÇÃO MASSA-ENERGIA 2-773
PARTE IV - ANEXOS 2-778
1. A DEDUÇÃO DAS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ NO ENSAIO DE EINSTEIN DE 1907 2-778
2. COMPOSIÇÃO DE VELOCIDADES NO ENSAIO DE 1907 2-788
3. A DEDUÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO GERAL DAS FORÇAS 2-795
4. OUTRAS OBSERVAÇÕES SOBRE A RELATIVIDADE ESPECIAL 2-807
CONSIDERAÇÕES FINAIS 2-810
MATEMÁTICA (LIÇÕES) 3-815
ÍNDICE (VOLUME 3) 3-816
INTRODUÇÃO 3-821
1. PRINCÍPIOS BÁSICOS 3-824
A. ESPAÇO-TEMPO DE POINCARÉ-MINKOWSKY 3-824
B. SIMULTANEIDADE 3-829
C. A ANÁLISE DE PAINLÉVE 3-832
D. A TRANSFORMAÇÃO DE TANGHERLINI-LATTES 3-841
E. AS TRANSFORMAÇÕES DE VOIGT 3-854
F. ENDOMORFISMOS DO ESPAÇO-TEMPO 3-859
G. OS POSTULADOS DE CUNNINGHAM 3-862
H. O TEOREMA ADIÇÃO DAS VELOCIDADES 3-875
I. TRANSFORMAÇÕES GERAIS DE LORENTZ 3-878
J. A TRANSFORMAÇÃO DE MÖBIUS 3-884
K. O PRINCÍPIO DA INÉRCIA 3-892
L. OS POSTULADOS DE PAINLEVÉ 3-895
M. AS ENGRENAGENS DA RELATIVIDADE 3-896
2. CONCEITOS DE ESPAÇO 3-898
A. GEOMETRIA: A CIÊNCIA DO ESPAÇO 3-898
B. OS FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA 3-901
C. A GEOMETRIA DO ESPAÇO-TEMPO 3-950
D. CARACTERIZAÇÃO DO ESPAÇO 3-957
3. CONCEITOS DE TEMPO 3-959
A. HISTÓRIA: A CIÊNCIA DO TEMPO 3-959
B. O TEMPO LOCAL DE LORENTZ E POINCARÉ 3-965
C. TEMPO PRÓPRIO DE EINSTEIN E MINKOWSKI 3-974
D. A DIFERENÇA ENTRE O TEMPO DE POINCARÉ E O TEMPO DE EINSTEIN-MINKOWSKI 3-978
4. DIMENSIONALIDADE 3-981
5. CONCEITOS DE MASSA 3-995
A. MASSA INERCIAL PRÓPRIA 3-998
B. MASSA INERCIAL CINÉTICA 3-999
C. MASSA INERCIAL MAUPERTUISIANA DE POINCARÉ 3-1001
D. MASSA INERCIAL ACELERATIVA 3-1004
E. MASSA DE REPOUSO DA LUZ 3-1006
F. MASSA “RELATIVÍSTICA” 3-1007
6. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ELEMENTARES DA TEORIA RELATIVIDADE ESPECIAL 3-1011
A. O ESPAÇO HIPERBÓLICO DE LOBACHESVKY-POINCARÉ 3-1011
B. CONSTRUINDO 4-VETORES 3-1017
C. O CÁLCULO-K 3-1020
D. O TEOREMA DA FUNÇÃO TANGENTE 3-1039
E. O GRUPO DE LORENTZ 3-1042
F. O GRUPO DE POINCARÉ 3-1045
G. MATRIZES DO GRUPO DE POINCARÉ 3-1049
H. REPRESENTAÇÃO DO GRUPO DE POINCARÉ 3-1054
I. SPINORES E REPRESENTAÇÃO SPINORAL 3-1056
J. GERADORES DE UM GRUPO INFINITESIMAL 3-1057
K. INTERMEZZO PARA UM COMENTÁRIO HISTÓRICO 3-1060
L. GERADORES INFINITESIMAIS DO ESPAÇO-TEMPO 3-1061
M. ÁLGEBRA DE LIE NÃO ABELIANA DO ESPAÇO-TEMPO 3-1065
7. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO 3-1068
A. PRINCÍPIOS BÁSICOS 3-1068
B. ESPAÇO-TEMPO 4-DIMENSIONAL 3-1074
C. CONSTRUINDO O ESPAÇO-TEMPO 3-1083
D. VARIEDADES ESPAÇO-TEMPORAIS 3-1092
E. TOPOLOGIA DE BAIXA DIMENSÃO DO ESPAÇO-TEMPO 3-1100
F. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO EUCLIDIANO E3+1 3-1111
G. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO LORENTZIANO M3+1 3-1114
8. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 3-1119
A. COVARIÂNCIA GERAL 3-1119
B. SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEOS 3-1121
C. VETORES UNITÁRIOS EM SISTEMAS CURVILÍNEOS 3-1122
D. DUALIDADE 3-1124
E. COMPONENTES CONTRAVARIANTES DE UM VETOR 3-1127
F. COMPONENTES COVARIANTES DE UM VETOR 3-1130
G. ESPAÇO TANGENTE 3-1132
H. ESPAÇO COTANGENTE 3-1133
I. CAMPOS VETORIAIS 3-1134
9. TENSORES 3-1135
A. CATEGORIZAÇÃO DOS TENSORES 3-1135
B. OPERAÇÕES INTERNAS COM TENSORES 3-1138
C. OPERAÇÕES EXTERNAS COM TENSORES 3-1139
D. ANÁLISE TENSORIAL 3-1142
E. COVARIÂNCIA DE LORENTZ 3-1145
F. DECOMPONDO TENSORES SIMÉTRICOS 3-1155
G. ÁLGEBRAS DE LIE ABELIANAS E NÃO ABELIANAS 3-1157
H. ÁLGEBRA DE LIE ABELIANA DO ESPAÇO-TEMPO 3-1158
10. ESPAÇOS CURVOS 3-1162
A. VARIEDADE DIFERENCIÁVEL M 3-1162
B. CONGRUÊNCIA DE CURVAS 3-1163
C. TRANSPORTE DE LIE 3-1163
D. DERIVADA DE LIE 3-1165
E. VETORES DE KILLING DO GRUPO DE POINCARÉ 3-1167
F. BOOSTS DE LORENTZ 3-1171
11. CAMPOS TENSORIAIS 3-1174
A. CONEXÃO AFIM 3-1175
B. DERIVADA COVARIANTE 3-1176
C. CURVATURA E TORSÃO 3-1179
12. TÉTRADAS E EQUAÇÕES DE CARTAN 3-1184
A. BASES HOLONÔMICAS 3-1184
B. BASES NÃO-HOLONÔMICAS 3-1187
C. CONSTANTES DA ESTRUTURA E GERADORES 3-1189
D. CONSTANTES DA ESTRUTURA DO ESPAÇO-TEMPO 3-1193
E. TÉTRADAS NULAS 3-1197
F. MUDANÇA DE BASE DA TÉTRADA 3-1201
G. SISTEMA DE REFERÊNCIA LOCAL 3-1205
H. CLASSIFICAÇÃO DE PETROV 3-1207
CONSIDERAÇÕES FINAIS 3-1211
FÍSICA (LIÇÕES) 4-3217
ÍNDICE (VOLUME 4) 4-3218
INTRODUÇÃO 4-1223
1. UMA PEQUENA CRÔNICA SOBRE O DESENVOLVIMENTO DA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL 4-1227
A. ANTECEDENTES HISTÓRICOS DO PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE 4-1227
B. O CONCEITO DE ÉTER 4-1230
C. A EXPERIÊNCIA DE MICHELSON-MORLEY 4-1234
D. A INTEPRETAÇÃO DE LORENTZ E POINCARÉ 4-1238
E. A CONTRIBUIÇÃO DE EINSTEIN 4-1245
2. ENERGIA 4-1247
A. CONCEPÇÕES PRÉ-RELATIVÍSTICAS 4-1247
B. A DEDUÇÃO DE POINCARÉ DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA 4-1254
C. ANÁLISE DE POINCARÉ SIMPLIFICADA 4-1263
3. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA RELATIVIDADE ESPECIAL 4-1264
A. LÁ E DE VOLTA OUTRA VEZ... 4-1264
B. INVARIÂNCIA DOS 4-VETORES 4-1267
C. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ 4-1268
D. COMENTÁRIOS GERAIS 4-1271
E. ESTRUTURA DOS QUADROS DE REFERÊNCIA INERCIAL 4-1272
F. TRANSFORMAÇÃO DO OPERADOR DIFERENCIAL 4-1272
G. TRANSFORMAÇÃO DO OPERADOR NABLA 4-1275
4. CINEMÁTICA RELATIVÍSTICA 4-1277
A. 4-VELOCIDADE 4-1277
B. 4-ACELERAÇÃO 4-1282
C. ANÁLISE FÍSICO-MATEMÁTICA DA 4-ACELERAÇÃO 4-1288
D. PARADOXOS NA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL 4-1302
5. DINÂMICA RELATIVÍSTICA 4-1311
A. 4-MOMENTO 4-1311
B. COLISÕES RELATIVÍSTICAS 4-1316
C. 4-FORÇA 4-1320
D. A DEDUÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO GERAL DAS FORÇAS 4-1327
E. INVARIANTE DE PRESSÃO 4-1338
F. TEOREMA TRABALHO-ENERGIA 4-1340
G. INVARIANTE ENERGIA-MOMENTO 4-1345
H. LIMITAÇÕES DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA 4-1347
I. RELAÇÃO MASSA-ENTALPIA PARA CORPOS EXTENSOS 4-1352
6. TERMODINÂMICA RELATIVÍSTICA 4-1355
A. A ANÁLISE DE PLANCK 4-1355
B. A ANÁLISE DE OTT 4-1357
C. A LEI ZERO DA TERMODINÂMICA 4-1359
D. A RELAÇÃO MASSA-ENTALPIA 4-1359
E. TRANSFORMAÇÃO DAS FUNÇÕES DE ESTADO 4-1363
F. 4-VETOR GRADIENTE DE TEMPERATURA 4-1366
7. ELETRODINÂMICA RELATIVÍSTICA 4-1369
A. 4-CORRENTE 4-1369
B. 4-POTENCIAL ELETROMAGNÉTICO 4-1373
C. TENSOR ELETROMAGNÉTICO 4-1381
8. ÓPTICA RELATIVÍSTICA 4-1387
A. 4-VETOR DE ONDA 4-1387
B. 4-VETOR AMPLITUDE 4-1389
C. 4-VETOR FREQUÊNCIA 4-1391
D. ABERRAÇÃO E EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO 4-1393
E. TRANSFORMAÇÃO DA ENERGIA DA RADIAÇÃO 4-1396
F. ÓPTICA VETORIAL 4-1398
G. TRANSFORMAÇÃO DA AMPLITUDE (MÉTODO VETORIAL) 4-1401
H. O VETOR DE POYNTING 4-1403
I. PRESSÃO EXERCIDA PELA LUZ EM REFLETORES IDEAIS 4-1405
9. MECÂNICA QUÂNTICA 4-1407
A. QUESTÕES EPISTEMOLÓGICAS 4-1407
B. 4-VETOR DE ONDA DE DE BROGLIE 4-1408
C. EQUAÇÃO DE KLEIN-GORDON 4-1410
D. EQUAÇÃO DE DIRAC-DARWIN 4-1413
E. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC-DARWIN (ELÉTRON LIVRE) 4-1419
F. APONTAMENTOS HISTÓRICOS 4-1427
G. EFEITO COMPTON 4-1430
H. DECAIMENTO 4-1434
10. REFRAÇÕES SOBRE RELATIVIDADE 4-1437
A. ENSAIOS DE EINSTEIN DE 1905 4-1437
B. MASSA DA LUZ 4-1451
C. POTENCIAL DE POINCARÉ 4-1454
D. ONDAS DE ABRAHAM-NORDSTRÖN 4-1458
E. A LEI DE TRANSFORMAÇÃO À PARTIR DE INVARIANTES 4-1460
11. PRINCÍPIO DE HAMILTON NA RELATIVIDADE ESPECIAL 4-1464
A. PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO E EQUAÇÕES DE EULER-LAGRANGE 4-1464
B. EQUAÇÕES DE HAMILTON-JACOBI 4-1470
C. INTEGRAIS DE MOVIMENTO 4-1473
D. O PRINCÍPIO DO MOVIMENTO ESTACIONÁRIO NA ELETRODINÂMICA 4-1475
E. FORÇA DE LORENTZ 4-1479
F. EQUAÇÃO DE LIENÁRD 4-1482
G. EQUAÇÃO DE LORENTZ-DIRAC 4-1483
H. FORMALISMO HAMILTONIANO 4-1488
I. TENSÕES DE POINCARÉ 4-1492
J. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO E DA ENERGIA 4-1503
12. COVARIÂNCIA GERAL 4-1506
A. GEODÉSICAS 4-1506
B. CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO 4-1516
C. O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA 4-1542
D. SISTEMA DE COORDENADAS LOCAL 4-1543
E. REDUNDÂNCIA GEODÉSICA 4-1544
13. TÓPICOS DE TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL 4-1548
A. POR QUE UMA TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL? 4-1548
B. DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE CAMPO 4-1550
C. ESPAÇO-TEMPO DE SCHWARZCHILD 4-1564
D. VETORES DE KILLING DO ESPAÇO-TEMPO DE SCHWARZCHILD 4-1576
E. DEFLEXÃO DA LUZ 4-1579
F. ESFERA DE FÓTONS 4-1591
G. ENERGIA, MOMENTO E MOMENTO ANGULAR DA GRAVITAÇÃO 4-1594
CONSIDERAÇÕES FINAIS 4-1606
ESPAÇO-TEMPO (PROJETO DE ERLANGEN) 5-1612
ÍNDICE (VOLUME 5) 5-1613
INTRODUÇÃO 5-1617
1. QUARTENIONS E ESPAÇOS VETORIAIS 5-1622
1.1 Princípios Elementares 5-1622
1.2 Conjugado, Norma e Inverso 5-1625
1.3 Rotor e Operador Rotação 5-1628
1.4 Matriz de Rotação 5-1634
1.5 Rotações Infinitesimais 5-1635
1.6 Representação Matricial dos Quartenions 5-1640
1.7 Espaço Topológico dos Quartenions 5-1643
1.8 Números Hipercomplexos 5-1648
1.9 Números Hipercomplexos Próprios 5-1652
1.10 Ordem dos Números Hipercomplexos 5-1654
1.11 Associatividade de Números Hipercomplexos 5-1657
1.12 Super Quartenions Cl3,3(R) 5-1664
1.13 Álgebra Vetorial de Grassmann 5-1667
1.14 Escalares, Pseudo-Escalares e Dualidade * 5-1681
1.15 Distância em Espaços de Grassmann 5-1686
1.16 Super Espaço e Super Vetor 5-1687
1.17 Operadores Diferenciais em Espaços de Grassmann 5-1699
1.18 Operadores Diferenciais no Super Espaço 5-1705
1.19 Variedades Espaço-Temporais de Poincaré-Minkowski 5-1709
1.20 Super Espaço-Tempo 5-1720
1.21 Super Espaço-Tempo Especular 5-1723
2. A TEORIA DAS DIMENSÕES INTEIRAS Z. 5-1726
2.1 O Problema da Dimensionalidade 5-1726
2.2 Grupo de Deslocamentos 5-1730
2.3 Espaços com Dimensões Negativas 5-1740
2.4 Continuidade em Dimensões Negativas 5-1750
2.5 Hotel de Hilbert e Números Não-Arquimedianos 5-1762
2.6 Corpo Ordenado Não-Arquimediano 5-1765
2.7 Norma em Espaços de Dimensão Negativa 5-1770
2.8 Teoria das Categorias 5-1781
2.9 Isomorfismo entre Espaços de Dimensão Inteira 5-1784
2.10 Números Falsos e sua Álgebra de Clifford 5-1788
2.11 Por Que o Espaço tem 3 Dimensões? 5-1796
2.12 Considerações Finais 5-1799
3. CARACTERIZAÇÃO TOPOLÓGICA DO ESPAÇO-TEMPO 5-1805
3.1 A Topologia do Tempo 5-1806
3.2 O Espaço-Tempo de Galileu e os Números Duais 5-1809
3.3 O Espaço-Tempo de Lorentz e os Números Perplexos 5-1816
3.4 O Espaço-Tempo de Euclides e os Números Complexos 5-1823
3.5 Diferenciação Topológica das Variedades Espaço-Tempo pela Característica de seus Anéis Hipercomplexos 5-1829
3.6 Sincronização de Relógios no Espaço-Tempo 5-1830
3.7 O Espaço-Tempo Híbrido 5-1834
4. FUNÇÕES DE POINCARÉ 5-1839
4.1 Álgebra das Funções de Poincaré 5-1839
4.2 A Função Tangente de Poincaré 5-1842
4.3 O Teorema de Adição de Velocidades 5-1845
4.4 Análise das Funções de Poincaré: Derivada e Integral 5-1848
4.5 Transformada de Laplace 5-1852
4.6 Cálculo-K Generalizado 5-1854
4.7 Derivada Arbitrária: Homeomórifca, Automórfica e Negativa 5-1874
5. PROGRAMA DE ERLANGEN PARA O ESPAÇO-TEMPO 5.1890
5.1. Grupo Generalizado De Lorentz SO 5.1891
5.2. Geradores Infinitesimais do Espaço-Tempo 5.1897
5.3. Constantes da Estrutura do Espaço-Tempo 5.1901
5.4. Isomorfismo com o Grupo das Projeções Lineares 5.1905
5.5 4-Vetores na Variedade Espaço-Tempo 5.1907
5.6 Álgebra de Lie Não-Abeliana do Espaço-Tempo 5.1910
5.7 S-Grupo de Poincaré 5.1913
5.8 S-Transformações Ortocrona de Lorentz 5.1918
5.9 Matrizes Ortocronas do S-Grupo de Poincaré 5.1920
5.10 Representação do S-Grupo de Poincaré 5.1926
5.11 Spinores e Representação Spinoral 5.1928
6. PROGRAMA DE ERLANGEN: APLICAÇÕES 5.1929
6.1. Potenciais do Espaço-Tempo 5-1929
6.2. Potenciais Topológicos 5-1934
6.3. O Potencial Topológico de Poincaré 5-1935
6.4. Ondas Topológicas de Abraham-Nordströn 5-1942
6.5. Orientação do Tempo e a Entropia 5-1944
7. UM ANEL PARA TODO ESPAÇO-TEMPO UNIFICAR 5-1950
7.1. Os Postulados da Relatividade 5-1951
7.2. O Postulado de Kepler-Fresnel 5-1952
7.3. O Postulado de Voigt-Cunningham 5-1956
7.4. A Topologia da Luz 5-1962
7.5 Teoria Topológica do Eletromagnetismo 5-1968
7.6 Outras Topologias Possíveis do Espaço-Tempo 5-1986
7.7 Um Anel Para Todos Comandar 5-1990
A INTELIGIBILIDADE DO ESPAÇO-TEMPO 5-1993
ANEXO: TÓPICOS DE CÁLCULO FRACIONÁRIO 5-1997
ENSAIOS ORIGINAIS (HENRI POINCARÉ) 6-2003
ÍNDICE (VOLUME 6) 6-2004
INTRODUÇÃO 6-2006
A Mecânica Relativística de Poincaré 6-2008
A Relatividade do Espaço 6-2035
A Medida do Tempo 6-2055
Teoria de Lorentz e o Princípio da Igualdade da Ação e da Reação 6-2070
Experimento e Geometria 6-2105
A Mecânica Clássica 6-2119
O Movimento Relativo e o Movimento Absoluto 6-2136
As Teorias da Física Moderna 6-2145
A Eletrodinâmica 6-2163
Fenômenos Eletromagnéticos em um Sistema que se Move com Qualquer Velocidade Menor que a da Luz 6-2180
A História da Física Matemática 6-2214
A Crise Atual da Física Matemática 6-2221
O Futuro da Física Matemática 6-2234
ELETRICIDADE: Sobre a Dinâmica do Elétron 6-2242
Sobre a Dinâmica do Elétron 6-2248
Introdução 6-2248
§ 1. — Transformação de Lorentz 6-2253
§ 2. — Princípio de Mínima Ação 6-2263
§ 3. — A Transformação de Lorentz e o Princípio de Mínima Ação 6-2275
§ 4. — O Grupo de Lorentz 6-2280
§ 5. — Ondas de Langevin 6-2284
§ 6. — Contração de Elétrons 6-2294
§ 7. — Movimento Quase Estacionário 6-2308
§ 8. — Movimento Arbitrário 6-2320
§ 9. — Hipóteses Sobre a Gravitação 6-2324
A Dinâmica do Elétron 6-2343
Dois Artigos de Henri Poincaré Sobre Física Matemática 6-2389
Correspondência entre Poincaré e Lorentz 6-2400
§ Carta 1 6-2402
§ Carta 2 6-2405
§ Carta 3 6-2406
§ Carta 4 6-2409
§ Carta 5 6-2411
§ Carta 6 6-2412
§ Carta 7 6-2413
Referências e Bibliografia P-2414

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O Princípio da Relatividade

Opera Omnia (Magnum Opus)

AYNI R. CAPIBERIBE

ⓒ 2020 Publicado pela ALRISHA Todos os direitos reservados Versão digital ISBN: 9798611472071

ALRISHA Campo Grande, Mato Grosso do Sul www.alrisha.webnode.com Dados de catalogação na publicação da Biblioteca do Congresso CAPIBERIBE, AYNI R. O Princípio da Relatividade: Opera Omnia (Magnum Opus) / Ayni R. Capiberibe. p. 2436 Inclui referências bibliográficas e índice. 1. Simultaneidade. 2. Física. 3. Matemática 4. Relatividade Especial e Geral. 5. Geometrias Não-Euclidianas. 6. Espaço-Tempo. 7. Dimensões 8. Eletrodinâmica. 9 Albert Einstein. 10. Henri Poincaré. 11. H. A. Lorentz. 12. História, Epistemologia e Sociologia da Ciência. 13. Números Hipercomplexos. 14. Programa de Erlangen. 15. Gravitação. 16. Topologia. 17. Grupos. 18. Anéis. 19. Variedades. 20. Cálculo Fracionário. 21. Dualidade

Ao Buda que habita em cada ser senciente, inclusive em nós!

Homenagem

Agradeço a minha família por terem me dado as duas coisas que

um cientista precisa: amor e incentivo. Obrigado por nunca desistirem de mim e compartilharem as minhas ideias estranhas durante o almoço e até nos passeios. Posso dizer com toda certeza que tem muito mais de vocês nesse trabalho do que vocês podem imaginar.

Ao último universalista, o espírito vasto, humilde e brilhante de

Henri Poincaré. Que sua história persista ainda que pelas mãos desse vulgar espírito.

Ao poeta da educação: Rubem Alves, porque as sombras do

fascismo não podem encobrir a luz da sabedoria.

Agradeço aos meus amados mestres Moacir Lacerda e Paulão

que me introduziram na relatividade e investiram na minha formação com a sua sabedoria, amizade e os melhores livros que já pude ler. Obrigado por tudo velhos amigos, espero que a leitura desse texto esteja à altura de seus olhos. Garanto que fiz com carinho e pensando especialmente em vocês!

Também gostaria que esse livro fosse um convite a todos os

professores da educação básica e superior a cativarem seus alunos como eu fui cativado.

Não acredite em algo simplesmente porque ouviu. Não acredite em algo simplesmente porque todos falam a respeito. Não acredite em algo simplesmente porque está escrito em seus livros religiosos. Não acredite em algo só porque seus professores e mestres dizem que é verdade. Não acredite em tradições só porque foram passadas de geração em geração. Mas depois de muita análise e observação, se você vê que algo concorda com a razão, e que conduz ao bem e beneficio de todos, aceite-o e viva-o.

Milhares de velas podem ser acesas de uma única vela e a vida da vela não será encurtada. Felicidade nunca diminui ao ser compartilhada

Existem três classes de pessoas que são infelizes: a que não sabe e não pergunta, a que sabe e não ensina e a que ensina e não faz.

Sidartha Gautama, Grande Buda

Todo jardim começa com um sonho de amor. Antes que qualquer árvore seja plantada ou qualquer lago seja construído, é preciso que as árvores e os lagos tenham nascido dentro da alma. Quem não tem jardins por dentro, não planta jardins por fora e nem passeia por eles...

Há escolas que são gaiolas e há escolas que são asas. Escolas que são gaiolas existem para que os pássaros desaprendam a arte do vôo. Pássaros engaiolados são pássaros sob controle. Engaiolados, o seu dono pode levá-los para onde quiser. Pássaros engaiolados sempre têm um dono. Deixaram de ser pássaros. Porque a essência dos pássaros é o vôo. Escolas que são asas não amam pássaros engaiolados. O que elas amam são pássaros em vôo. Existem para dar aos pássaros coragem para voar. Ensinar o vôo, isso elas não podem fazer, porque o vôo já nasce dentro dos pássaros. O vôo não pode ser ensinado. Só pode ser encorajado.

Se fosse ensinar a uma criança a beleza da música não começaria com partituras, notas e pautas. Ouviríamos juntos as melodias mais gostosas e lhe contaria sobre os instrumentos que fazem a música. Aí, encantada com a beleza da música, ela mesma me pediria que lhe ensinasse o mistério daquelas bolinhas pretas escritas sobre cinco linhas. Porque as bolinhas pretas e as cinco linhas são apenas ferramentas para a produção da beleza musical. A experiência da beleza tem de vir antes.

Rubem Alves

SUMÁRIO APRESENTAÇÃO................................................................... P-33 PREÂMBULO .......................................................................... P-36 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ...................................................... P-43 HENRI POINCARÉ (1854-1912) ............................................. 1-53 ÍNDICE (VOLUME 1) .............................................................. 1-54 POR QUE UM LEÃO É UM LEÃO? ...................................... 1-54 PARTE I – 1854-1904 ................................................................ 1-59 1. O ÚLTIMO UNIVERSALISTA ................................................... 1-59 2. COLETIVOS DE PENSAMENTO DE POINCARÉ ........................ 1-62 3. A MEDIDA DO TEMPO E A QUESTÃO DA SIMULTANEIDADE . 1-71 4. A MEDIDA DA GEODÉSICA E A QUESTÃO DO ESPAÇO ....... 1-115 5. O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE ......................................... 1-132 6. A DINÂMICA DO ELÉTRON .................................................. 1-155 PARTE II - SUR LA DYNAMIQUE DE L’ÉLECTRON (1905) ..... 1-181 NOTAÇÃO .................................................................................. 1-182 CONSTRUÇÃO............................................................................ 1-184 INTRODUÇÃO ............................................................................ 1-190 §1 - TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ ...................................... 1-197 §2 - O PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO ........................................ 1-201

§3 – A TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ E O PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO ......................................................................................... 1-204 §4 – O GRUPO DE LORENTZ ..................................................... 1-208 §5 – ONDAS DE LANGEVIN ........................................................ 1-216 §6 – CONTRAÇÃO DOS ELÉTRONS ............................................ 1-219 §7 – MOVIMENTO QUASE ESTACIONÁRIO ............................... 1-226 §8 – MOVIMENTO ARBITRÁRIO ............................................... 1-230 §9 – HIPÓTESES SOBRE A GRAVITAÇÃO .................................. 1-237 ANEXO - ISOMETRIAS E VETORES DE KILLING ..................... 1-256 PARTE III – 1906-1912 .......................................................... 1-263 1. TEORIAS DA GRAVITAÇÃO NO COMEÇO DO SÉCULO XX ... 1-263 2. O PROGRAMA GRAVITACIONAL DE POINCARÉ ................... 1-272 3. EPISTEMOLOGIA E A GRAVITAÇÃO DE POINCARÉ .............. 1-275 4. O VALOR DO PROGRAMA GRAVITACIONAL DE POINCARÉ 1-280 5. O PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO........................................ 1-283 6. O PRINCÍPIO DA INÉRCIA .................................................... 1-293 7. ELIPSES DE LUZ: DO ORTSZEIT AO TEMPS LOCAL ............ 1-305 PARTE IV - UM ESTUDO COMPARADO ENTRE AS INTERPRETAÇÕES DE LORENTZ-POINCARÉ E EINSTEIN SOBRE A RELATIVIDADE ESPECIAL ........................................................ 1-332 1. EQUIVALÊNCIA EPISTEMOLÓGICA ENTRE A RELATIVIDADE DE LORENTZ-POINCARÉ E EINSTEIN............................................. 1-336 2. O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE .......................................... 1-349

3. A CONSTÂNCIA DA VELOCIDADE DA LUZ ............................ 1-354 4. CONTRAÇÃO DE OBJETOS EM MOVIMENTO ........................ 1-361 5. MUDANÇA DO PERÍODO DOS RELÓGIOS ............................. 1-365 6. RELATIVIDADE DA SIMULTANEIDADE ................................. 1-368 7.TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ .......................................... 1-372 8.TRANSFORMAÇÕES DE CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS ....... 1-380 9. RELAÇÃO ENTRE MASSA E VELOCIDADE ............................ 1-382 10. RELAÇÃO MASSA E ENERGIA (E = MC²) .............................. 1-384 11. OUTROS MOTES DA RELATIVIDADE ESPECIAL ................. 1-386 12. QUAIS FORAM PERCEPÇÕES DE LORENTZ, POINCARÉ E

EINSTEIN SOBRE A RELATIVIDADE ESPECIAL? ....................... 1-388 13. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES DO PERÍODO “PÓS” RELATIVIDADE ESPECIAL ........................................................ 1-400 14. HISTÓRIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL COMO CONTRAARGUMENTO À VISÃO RADICALMENTE INTERNALISTA DA NATUREZA DA CIÊNCIA ............................................................ 1-404 15. EXPLICANDO AS SEMELHANÇAS NA ABORDAGEM DE POINCARÉ E EINSTEIN PELA PERSPECTIVA FLECKIANA ........................... 1-406 CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................... 1-414 EPÍLOGO - CONSTRUINDO UMA MICRO-HISTÓRIA SOCIAL DE HENRI POINCARÉ E A TEORIA AA RELATIVIDADE ESPECIAL . 1-425 METODOLOGIA DA PESQUISA HISTÓRICA ............................... 1-429 EPISTEMOLOGIA DE FLECK ..................................................... 1-438 DIFERENÇAS ENTRE FLECK E DE KUHN................................... 1-444

ALBERT EINSTEIN (1905) ................................................... 2-448 ÍNDICE (VOLUME 2) ............................................................ 2-449 INTRODUÇÃO ....................................................................... 2-452 CONTEXTO HISTÓRICO DA PESQUISA DE EINSTEIN ................ 2-459 CONTEXTO HISTÓRICO DO ELETROMAGNETISMO ................. 2-471 RELATIVIDADE DE EINSTEIN: ORIGEM, FUNDAMENTAÇÃO E PROBLEMAS HISTÓRICOS. ........................................................ 2-483 A. A EXPERIÊNCIA DE MICHELSON-MORLEY ......................... 2-484 B. INFLUÊNCIA DE LORENTZ NOS TRABALHOS DE EINSTEIN .. 2-487 C. INFLUÊNCIA DE POINCARÉ NOS TRABALHOS DE EINSTEIN 2-492 D. A FORMAÇÃO EPISTEMOLÓGICA DE EINSTEIN ................. 2-502 E. O ARTIGO DE EINSTEIN: O QUE SÃO POSTULADOS? ......... 2-505 F. A ORIGEM DOS POSTULADOS DE EINSTEIN ........................ 2-506 G. A FUNDAMENTAÇÃO DOS POSTULADOS .............................. 2-509 H. CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................... 2-513 SOBRE A ELETRODINÂMICA DOS CORPOS EM MOVIMENTO . 2-515 PARTE I - CINEMÁTICA ..................................................... 2-528 § 1. DEFINIÇÃO DE SIMULTANEIDADE...................................... 2-528 § 2. SOBRE A RELATIVIDADE DE COMPRIMENTOS E TEMPOS . 2-540 § 3. TEORIA DA TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS E DO TEMPO DE UM SISTEMA ESTACIONÁRIO PARA OUTRO SISTEMA EM MOVIMENTO UNIFORME DE TRANSLAÇÃO RELATIVAMENTE AO PRIMEIRO .................................................................................. 2-552

§ 4. SIGNIFICADO FÍSICO DAS EQUAÇÕES OBTIDAS EM RELAÇÃO AO MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E RELÓGIOS MÓVEIS 2-590 § 5. TEOREMA DE ADIÇÃO DAS VELOCIDADES ........................ 2-600 PARTE II - ELETRODINÂMICA ........................................ 2-622 § 6. TRANSFORMAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL-HERTZ PARA O ESPAÇO VAZIO. SOBRE A NATUREZA DAS FORÇAS ELETROMOTRIZES QUE OCORREM EM UM CAMPO MAGNÉTICO DURANTE O MOVIMENTO ......................................................... 2-627 § 7. TEORIA DO PRINCÍPIO DOPPLER E DA ABERRAÇÃO ......... 2-650 § 8. TRANSFORMAÇÃO DA ENERGIA DOS RAIOS DE LUZ. TEORIA DA PRESSÃO DA RADIAÇÃO EXERCIDA SOBRE REFLETORES PERFEITOS ................................................................................ 2-667 § 9. TRANSFORMAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL-HERTZ QUANDO AS CORRENTES DE CONVECÇÃO SÃO LEVADAS EM CONTA ....................................................................................... 2-694 § 10. DINÂMICA DO ELÉTRON LENTAMENTE ACELERADO ..... 2-720 PARTE III – ENERGIA ......................................................... 2-752 A INÉRCIA DE UM CORPO DEPENDE DO SEU CONTEÚDO ENERGÉTICO? ........................................................................... 2-752 1. COMENTÁRIOS SOBRE O ENSAIO DE EINSTEIN .................... 2-756 2. EINSTEIN REALMENTE DEDUZIU A EQUAÇÃO E = MC²? ..... 2-759 3. A DEDUÇÃO DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA DE 1906 ......... 2-762 4. LIMITAÇÕES DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA ...................... 2-765 5. A RELAÇÃO MASSA-ENTALPIA ............................................ 2-770 6. EQUÍVOCOS SOBRE A RELAÇÃO MASSA-ENERGIA .............. 2-773

PARTE IV - ANEXOS ............................................................ 2-778 1. A DEDUÇÃO DAS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ NO ENSAIO DE EINSTEIN DE 1907 ..................................................................... 2-778 2. COMPOSIÇÃO DE VELOCIDADES NO ENSAIO DE 1907 ......... 2-788 3. A DEDUÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO GERAL DAS FORÇAS .... 2-795 4. OUTRAS OBSERVAÇÕES SOBRE A RELATIVIDADE ESPECIAL.... 2-807

CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................... 2-810 MATEMÁTICA (LIÇÕES) ................................................... 3-815 ÍNDICE (VOLUME 3) ............................................................ 3-816 INTRODUÇÃO ....................................................................... 3-821 1. PRINCÍPIOS BÁSICOS .................................................... 3-824 A. ESPAÇO-TEMPO DE POINCARÉ-MINKOWSKY .................... 3-824 B. SIMULTANEIDADE ................................................................ 3-829 C. A ANÁLISE DE PAINLÉVE ..................................................... 3-832 D. A TRANSFORMAÇÃO DE TANGHERLINI-LATTES ................ 3-841 E. AS TRANSFORMAÇÕES DE VOIGT........................................ 3-854 F. ENDOMORFISMOS DO ESPAÇO-TEMPO ............................... 3-859 G. OS POSTULADOS DE CUNNINGHAM ..................................... 3-862 H. O TEOREMA ADIÇÃO DAS VELOCIDADES .......................... 3-875 I. TRANSFORMAÇÕES GERAIS DE LORENTZ........................... 3-878 J. A TRANSFORMAÇÃO DE MÖBIUS ........................................ 3-884 K. O PRINCÍPIO DA INÉRCIA .................................................... 3-892

L. OS POSTULADOS DE PAINLEVÉ ........................................... 3-895 M. AS ENGRENAGENS DA RELATIVIDADE ............................... 3-896 2. CONCEITOS DE ESPAÇO................................................ 3-898 A. GEOMETRIA: A CIÊNCIA DO ESPAÇO ................................. 3-898 B. OS FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA .................................... 3-901 C. A GEOMETRIA DO ESPAÇO-TEMPO.................................... 3-950 D. CARACTERIZAÇÃO DO ESPAÇO ........................................... 3-957 3. CONCEITOS DE TEMPO ................................................ 3-959 A. HISTÓRIA: A CIÊNCIA DO TEMPO ....................................... 3-959 B. O TEMPO LOCAL DE LORENTZ E POINCARÉ ...................... 3-965 C. TEMPO PRÓPRIO DE EINSTEIN E MINKOWSKI .................... 3-974 D. A DIFERENÇA ENTRE O TEMPO DE POINCARÉ E O TEMPO DE EINSTEIN-MINKOWSKI ............................................................. 3-978 4. DIMENSIONALIDADE .................................................... 3-981 5. CONCEITOS DE MASSA ................................................. 3-995 A. MASSA INERCIAL PRÓPRIA ................................................. 3-998 B. MASSA INERCIAL CINÉTICA ................................................ 3-999 C. MASSA INERCIAL MAUPERTUISIANA DE POINCARÉ ......... 3-1001 D. MASSA INERCIAL ACELERATIVA ...................................... 3-1004 E. MASSA DE REPOUSO DA LUZ ............................................. 3-1006 F. MASSA “RELATIVÍSTICA” ................................................. 3-1007

6. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ELEMENTARES DA TEORIA RELATIVIDADE ESPECIAL ............................ 3-1011 A. O ESPAÇO HIPERBÓLICO DE LOBACHESVKY-POINCARÉ . 3-1011 B. CONSTRUINDO 4-VETORES ................................................ 3-1017 C. O CÁLCULO-K ................................................................... 3-1020 D. O TEOREMA DA FUNÇÃO TANGENTE ................................ 3-1039 E. O GRUPO DE LORENTZ ...................................................... 3-1042 F. O GRUPO DE POINCARÉ ..................................................... 3-1045 G. MATRIZES DO GRUPO DE POINCARÉ................................. 3-1049 H. REPRESENTAÇÃO DO GRUPO DE POINCARÉ ..................... 3-1054 I. SPINORES E REPRESENTAÇÃO SPINORAL ........................... 3-1056 J. GERADORES DE UM GRUPO INFINITESIMAL ..................... 3-1057 K. INTERMEZZO PARA UM COMENTÁRIO HISTÓRICO........... 3-1060 L. GERADORES INFINITESIMAIS DO ESPAÇO-TEMPO ........... 3-1061 M. ÁLGEBRA DE LIE NÃO ABELIANA DO ESPAÇO-TEMPO ... 3-1065 7. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO............................ 3-1068 A. PRINCÍPIOS BÁSICOS .......................................................... 3-1068 B. ESPAÇO-TEMPO 4-DIMENSIONAL ..................................... 3-1074 C. CONSTRUINDO O ESPAÇO-TEMPO ..................................... 3-1083 D. VARIEDADES ESPAÇO-TEMPORAIS ................................... 3-1092 E. TOPOLOGIA DE BAIXA DIMENSÃO DO ESPAÇO-TEMPO ... 3-1100 F. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO EUCLIDIANO E3+1 ......... 3-1111 G. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO LORENTZIANO M3+1 ..... 3-1114

8. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL ..... 3-1119 A. COVARIÂNCIA GERAL ....................................................... 3-1119 B. SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEOS .................... 3-1121 C. VETORES UNITÁRIOS EM SISTEMAS CURVILÍNEOS .......... 3-1122 D. DUALIDADE ........................................................................ 3-1124 E. COMPONENTES CONTRAVARIANTES DE UM VETOR ......... 3-1127 F. COMPONENTES COVARIANTES DE UM VETOR .................. 3-1130 G. ESPAÇO TANGENTE ........................................................... 3-1132 H. ESPAÇO COTANGENTE ....................................................... 3-1133 I. CAMPOS VETORIAIS........................................................... 3-1134 9. TENSORES ....................................................................... 3-1135 A. CATEGORIZAÇÃO DOS TENSORES ..................................... 3-1135 B. OPERAÇÕES INTERNAS COM TENSORES ........................... 3-1138 C. OPERAÇÕES EXTERNAS COM TENSORES .......................... 3-1139 D. ANÁLISE TENSORIAL ......................................................... 3-1142 E. COVARIÂNCIA DE LORENTZ .............................................. 3-1145 F. DECOMPONDO TENSORES SIMÉTRICOS ............................ 3-1155 G. ÁLGEBRAS DE LIE ABELIANAS E NÃO ABELIANAS ........... 3-1157 H. ÁLGEBRA DE LIE ABELIANA DO ESPAÇO-TEMPO ............ 3-1158 10. ESPAÇOS CURVOS ....................................................... 3-1162 A. VARIEDADE DIFERENCIÁVEL M........................................ 3-1162 B. CONGRUÊNCIA DE CURVAS ............................................... 3-1163

C. TRANSPORTE DE LIE .......................................................... 3-1163 D. DERIVADA DE LIE .............................................................. 3-1165 E. VETORES DE KILLING DO GRUPO DE POINCARÉ .............. 3-1167 F. BOOSTS DE LORENTZ ......................................................... 3-1171 11. CAMPOS TENSORIAIS ................................................ 3-1174 A. CONEXÃO AFIM ................................................................. 3-1175 B. DERIVADA COVARIANTE ................................................... 3-1176 C. CURVATURA E TORSÃO ..................................................... 3-1179 12. TÉTRADAS E EQUAÇÕES DE CARTAN ............................... 3-1184 A. BASES HOLONÔMICAS ....................................................... 3-1184 B. BASES NÃO-HOLONÔMICAS .............................................. 3-1187 C. CONSTANTES DA ESTRUTURA E GERADORES ................... 3-1189 D. CONSTANTES DA ESTRUTURA DO ESPAÇO-TEMPO .......... 3-1193 E. TÉTRADAS NULAS .............................................................. 3-1197 F. MUDANÇA DE BASE DA TÉTRADA ..................................... 3-1201 G. SISTEMA DE REFERÊNCIA LOCAL ..................................... 3-1205 H. CLASSIFICAÇÃO DE PETROV ............................................. 3-1207 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................ 3-1211 FÍSICA (LIÇÕES)................................................................. 4-3217 ÍNDICE (VOLUME 4) .......................................................... 4-3218 INTRODUÇÃO ..................................................................... 4-1223

1. UMA PEQUENA CRÔNICA SOBRE O DESENVOLVIMENTO DA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL ................................... 4-1227 A. ANTECEDENTES HISTÓRICOS DO PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE ....................................................................... 4-1227 B. O CONCEITO DE ÉTER ....................................................... 4-1230 C. A EXPERIÊNCIA DE MICHELSON-MORLEY....................... 4-1234 D. A INTEPRETAÇÃO DE LORENTZ E POINCARÉ ................... 4-1238 E. A CONTRIBUIÇÃO DE EINSTEIN ......................................... 4-1245 2. ENERGIA ............................................................................. 4-1247 A. CONCEPÇÕES PRÉ-RELATIVÍSTICAS ................................. 4-1247 B. A DEDUÇÃO DE POINCARÉ DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA .4-1254

C. ANÁLISE DE POINCARÉ SIMPLIFICADA ............................ 4-1263 3. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA RELATIVIDADE ESPECIAL ......... 4-1264 A. LÁ E DE VOLTA OUTRA VEZ.............................................. 4-1264 B. INVARIÂNCIA DOS 4-VETORES........................................... 4-1267 C. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ ................................................................................. 4-1268 D. COMENTÁRIOS GERAIS...................................................... 4-1271 E. ESTRUTURA DOS QUADROS DE REFERÊNCIA INERCIAL ... 4-1272 F. TRANSFORMAÇÃO DO OPERADOR DIFERENCIAL ............. 4-1272 G. TRANSFORMAÇÃO DO OPERADOR NABLA ........................ 4-1275 4. CINEMÁTICA RELATIVÍSTICA............................................ 4-1277 A. 4-VELOCIDADE ................................................................... 4-1277

B. 4-ACELERAÇÃO.................................................................. 4-1282 C. ANÁLISE FÍSICO-MATEMÁTICA DA 4-ACELERAÇÃO ........ 4-1288 D. PARADOXOS NA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL .... 4-1302 5. DINÂMICA RELATIVÍSTICA ................................................ 4-1311 A. 4-MOMENTO ...................................................................... 4-1311 B. COLISÕES RELATIVÍSTICAS ............................................... 4-1316 C. 4-FORÇA ............................................................................. 4-1320 D. A DEDUÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO GERAL DAS FORÇAS . 4-1327 E. INVARIANTE DE PRESSÃO .................................................. 4-1338 F. TEOREMA TRABALHO-ENERGIA ....................................... 4-1340 G. INVARIANTE ENERGIA-MOMENTO.................................... 4-1345 H. LIMITAÇÕES DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA ................... 4-1347 I. RELAÇÃO MASSA-ENTALPIA PARA CORPOS EXTENSOS .. 4-1352 6. TERMODINÂMICA RELATIVÍSTICA .................................... 4-1355 A. A ANÁLISE DE PLANCK ...................................................... 4-1355 B. A ANÁLISE DE OTT ............................................................ 4-1357 C. A LEI ZERO DA TERMODINÂMICA .................................... 4-1359 D. A RELAÇÃO MASSA-ENTALPIA ......................................... 4-1359 E. TRANSFORMAÇÃO DAS FUNÇÕES DE ESTADO................... 4-1363 F. 4-VETOR GRADIENTE DE TEMPERATURA ......................... 4-1366 7. ELETRODINÂMICA RELATIVÍSTICA................................... 4-1369 A. 4-CORRENTE ...................................................................... 4-1369

B. 4-POTENCIAL ELETROMAGNÉTICO................................... 4-1373 C. TENSOR ELETROMAGNÉTICO ............................................ 4-1381 8. ÓPTICA RELATIVÍSTICA .................................................... 4-1387 A. 4-VETOR DE ONDA ............................................................. 4-1387 B. 4-VETOR AMPLITUDE ........................................................ 4-1389 C. 4-VETOR FREQUÊNCIA ...................................................... 4-1391 D. ABERRAÇÃO E EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO ........... 4-1393 E. TRANSFORMAÇÃO DA ENERGIA DA RADIAÇÃO ................ 4-1396 F. ÓPTICA VETORIAL ............................................................. 4-1398 G. TRANSFORMAÇÃO DA AMPLITUDE (MÉTODO VETORIAL) ... 4-1401

H. O VETOR DE POYNTING ..................................................... 4-1403 I. PRESSÃO EXERCIDA PELA LUZ EM REFLETORES IDEAIS . 4-1405 9. MECÂNICA QUÂNTICA ....................................................... 4-1407 A. QUESTÕES EPISTEMOLÓGICAS .......................................... 4-1407 B. 4-VETOR DE ONDA DE DE BROGLIE .................................. 4-1408 C. EQUAÇÃO DE KLEIN-GORDON .......................................... 4-1410 D. EQUAÇÃO DE DIRAC-DARWIN ........................................... 4-1413 E. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC-DARWIN (ELÉTRON LIVRE) ..................................................................................... 4-1419 F. APONTAMENTOS HISTÓRICOS ........................................... 4-1427 G. EFEITO COMPTON.............................................................. 4-1430 H. DECAIMENTO ..................................................................... 4-1434

10. REFRAÇÕES SOBRE RELATIVIDADE ................................ 4-1437 A. ENSAIOS DE EINSTEIN DE 1905 .......................................... 4-1437 B. MASSA DA LUZ ................................................................... 4-1451 C. POTENCIAL DE POINCARÉ ................................................. 4-1454 D. ONDAS DE ABRAHAM-NORDSTRÖN ................................... 4-1458 E. A LEI DE TRANSFORMAÇÃO À PARTIR DE INVARIANTES . 4-1460 11. PRINCÍPIO DE HAMILTON NA RELATIVIDADE ESPECIAL.... 4-1464 A. PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO E EQUAÇÕES DE EULERLAGRANGE .............................................................................. 4-1464 B. EQUAÇÕES DE HAMILTON-JACOBI ................................... 4-1470 C. INTEGRAIS DE MOVIMENTO .............................................. 4-1473 D. O PRINCÍPIO DO MOVIMENTO ESTACIONÁRIO NA ELETRODINÂMICA .................................................................. 4-1475 E. FORÇA DE LORENTZ .......................................................... 4-1479 F. EQUAÇÃO DE LIENÁRD ...................................................... 4-1482 G. EQUAÇÃO DE LORENTZ-DIRAC ......................................... 4-1483 H. FORMALISMO HAMILTONIANO ......................................... 4-1488 I. TENSÕES DE POINCARÉ ..................................................... 4-1492 J. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO E DA ENERGIA .................. 4-1503 12. COVARIÂNCIA GERAL ..................................................... 4-1506 A. GEODÉSICAS ....................................................................... 4-1506 B. CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO ................................. 4-1516 C. O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA ....................................... 4-1542

D. SISTEMA DE COORDENADAS LOCAL ................................. 4-1543 E. REDUNDÂNCIA GEODÉSICA ............................................... 4-1544 13. TÓPICOS DE TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL ............ 4-1548 A. POR QUE UMA TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL? ......... 4-1548 B. DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE CAMPO............................... 4-1550 C. ESPAÇO-TEMPO DE SCHWARZCHILD ................................ 4-1564 D. VETORES DE KILLING DO ESPAÇO-TEMPO DE SCHWARZCHILD...................................................................... 4-1576 E. DEFLEXÃO DA LUZ............................................................. 4-1579 F. ESFERA DE FÓTONS ........................................................... 4-1591 G. ENERGIA, MOMENTO E MOMENTO ANGULAR DA GRAVITAÇÃO .......................................................................... 4-1594 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................ 4-1606 ESPAÇO-TEMPO (PROJETO DE ERLANGEN) ............ 5-1612 ÍNDICE (VOLUME 5) .......................................................... 5-1613 INTRODUÇÃO ..................................................................... 5-1617 1. QUARTENIONS E ESPAÇOS VETORIAIS ................. 5-1622 1.1 Princípios Elementares ................................................... 5-1622 1.2 Conjugado, Norma e Inverso ......................................... 5-1625 1.3 Rotor e Operador Rotação ............................................. 5-1628 1.4 Matriz de Rotação ........................................................... 5-1634 1.5 Rotações Infinitesimais ................................................... 5-1635

1.6 Representação Matricial dos Quartenions.................... 5-1640 1.7 Espaço Topológico dos Quartenions ............................. 5-1643 1.8 Números Hipercomplexos .............................................. 5-1648 1.9 Números Hipercomplexos Próprios .............................. 5-1652 1.10 Ordem dos Números Hipercomplexos ........................ 5-1654 1.11 Associatividade de Números Hipercomplexos ............ 5-1657 1.12 Super Quartenions Cl3,3(R) .......................................... 5-1664 1.13 Álgebra Vetorial de Grassmann .................................. 5-1667 1.14 Escalares, Pseudo-Escalares e Dualidade * ................ 5-1681 1.15 Distância em Espaços de Grassmann .......................... 5-1686 1.16 Super Espaço e Super Vetor ........................................ 5-1687 1.17 Operadores Diferenciais em Espaços de Grassmann 5-1699 1.18 Operadores Diferenciais no Super Espaço ................. 5-1705 1.19 Variedades Espaço-Temporais de Poincaré-Minkowski... 5-1709 1.20 Super Espaço-Tempo .................................................... 5-1720 1.21 Super Espaço-Tempo Especular .................................. 5-1723 2. A TEORIA DAS DIMENSÕES INTEIRAS Z. ............... 5-1726 2.1 O Problema da Dimensionalidade ................................. 5-1726 2.2 Grupo de Deslocamentos ................................................ 5-1730 2.3 Espaços com Dimensões Negativas ................................ 5-1740 2.4 Continuidade em Dimensões Negativas ........................ 5-1750 2.5 Hotel de Hilbert e Números Não-Arquimedianos ........ 5-1762

2.6 Corpo Ordenado Não-Arquimediano ........................... 5-1765 2.7 Norma em Espaços de Dimensão Negativa ................... 5-1770 2.8 Teoria das Categorias ..................................................... 5-1781 2.9 Isomorfismo entre Espaços de Dimensão Inteira ......... 5-1784 2.10 Números Falsos e sua Álgebra de Clifford ................. 5-1788 2.11 Por Que o Espaço tem 3 Dimensões?........................... 5-1796 2.12 Considerações Finais..................................................... 5-1799 3. CARACTERIZAÇÃO TOPOLÓGICA DO ESPAÇO-TEMPO ..... 5-1805 3.1 A Topologia do Tempo ................................................... 5-1806 3.2 O Espaço-Tempo de Galileu e os Números Duais ........ 5-1809 3.3 O Espaço-Tempo de Lorentz e os Números Perplexos ....5-1816 3.4 O Espaço-Tempo de Euclides e os Números Complexos . 5-1823 3.5 Diferenciação Topológica das Variedades Espaço-Tempo pela Característica de seus Anéis Hipercomplexos ............ 5-1829 3.6 Sincronização de Relógios no Espaço-Tempo .............. 5-1830 3.7 O Espaço-Tempo Híbrido............................................... 5-1834 4. FUNÇÕES DE POINCARÉ ...................................................... 5-1839 4.1 Álgebra das Funções de Poincaré .................................. 5-1839 4.2 A Função Tangente de Poincaré .................................... 5-1842 4.3 O Teorema de Adição de Velocidades ........................... 5-1845 4.4 Análise das Funções de Poincaré: Derivada e Integral ... 5-1848 4.5 Transformada de Laplace .............................................. 5-1852

4.6 Cálculo-K Generalizado ................................................. 5-1854 4.7 Derivada Arbitrária: Homeomórifca, Automórfica e Negativa .................................................................................. 5-1874 5. PROGRAMA DE ERLANGEN PARA O ESPAÇO-TEMPO ........ 5.1890 5.1. Grupo Generalizado De Lorentz SO



p, R , 3 + i, R

 . 5.1891

5.2. Geradores Infinitesimais do Espaço-Tempo................ 5.1897 5.3. Constantes da Estrutura do Espaço-Tempo ................ 5.1901 5.4. Isomorfismo com o Grupo das Projeções Lineares ..... 5.1905 5.5 4-Vetores na Variedade Espaço-Tempo ........................ 5.1907 5.6 Álgebra de Lie Não-Abeliana do Espaço-Tempo ......... 5.1910 5.7 S-Grupo de Poincaré ....................................................... 5.1913 5.8 S-Transformações Ortocrona de Lorentz ..................... 5.1918 5.9 Matrizes Ortocronas do S-Grupo de Poincaré ............. 5.1920 5.10 Representação do S-Grupo de Poincaré ..................... 5.1926 5.11 Spinores e Representação Spinoral ............................. 5.1928 6. PROGRAMA DE ERLANGEN: APLICAÇÕES ......................... 5.1929 6.1. Potenciais do Espaço-Tempo......................................... 5-1929 6.2. Potenciais Topológicos ................................................... 5-1934 6.3. O Potencial Topológico de Poincaré ............................. 5-1935 6.4. Ondas Topológicas de Abraham-Nordströn ................ 5-1942 6.5. Orientação do Tempo e a Entropia .............................. 5-1944

7. UM ANEL PARA TODO ESPAÇO-TEMPO UNIFICAR ........... 5-1950 7.1. Os Postulados da Relatividade ...................................... 5-1951 7.2. O Postulado de Kepler-Fresnel ..................................... 5-1952 7.3. O Postulado de Voigt-Cunningham.............................. 5-1956 7.4. A Topologia da Luz ........................................................ 5-1962 7.5 Teoria Topológica do Eletromagnetismo ...................... 5-1968 7.6 Outras Topologias Possíveis do Espaço-Tempo ........... 5-1986 7.7 Um Anel Para Todos Comandar ................................... 5-1990 A INTELIGIBILIDADE DO ESPAÇO-TEMPO ............................. 5-1993 ANEXO: TÓPICOS DE CÁLCULO FRACIONÁRIO ..................... 5-1997 ENSAIOS ORIGINAIS (HENRI POINCARÉ) .................. 6-2003 ÍNDICE (VOLUME 6) .......................................................... 6-2004 INTRODUÇÃO ..................................................................... 6-2006 A Mecânica Relativística de Poincaré ................................ 6-2008 A Relatividade do Espaço ..................................................... 6-2035 A Medida do Tempo ............................................................. 6-2055 Teoria de Lorentz e o Princípio da Igualdade da Ação e da Reação .................................................................................... 6-2070 Experimento e Geometria..................................................... 6-2105 A Mecânica Clássica ............................................................ 6-2119 O Movimento Relativo e o Movimento Absoluto ............... 6-2136 As Teorias da Física Moderna ............................................. 6-2145

A Eletrodinâmica .................................................................. 6-2163 Fenômenos Eletromagnéticos em um Sistema que se Move com Qualquer Velocidade Menor que a da Luz ........................ 6-2180 A História da Física Matemática ......................................... 6-2214 A Crise Atual da Física Matemática.................................... 6-2221 O Futuro da Física Matemática ........................................... 6-2234 ELETRICIDADE: Sobre a Dinâmica do Elétron .............. 6-2242 Sobre a Dinâmica do Elétron ............................................... 6-2248 Introdução ......................................................................... 6-2248 § 1. — Transformação de Lorentz .................................. 6-2253 § 2. — Princípio de Mínima Ação .................................... 6-2263 § 3. — A Transformação de Lorentz e o Princípio de Mínima Ação .................................................................................... 6-2275 § 4. — O Grupo de Lorentz .............................................. 6-2280 § 5. — Ondas de Langevin ................................................ 6-2284 § 6. — Contração de Elétrons ........................................... 6-2294 § 7. — Movimento Quase Estacionário ........................... 6-2308 § 8. — Movimento Arbitrário........................................... 6-2320 § 9. — Hipóteses Sobre a Gravitação .............................. 6-2324 A Dinâmica do Elétron ......................................................... 6-2343 Dois Artigos de Henri Poincaré Sobre Física Matemática.... 6-2389 Correspondência entre Poincaré e Lorentz ........................ 6-2400 § Carta 1 ............................................................................. 6-2402

§ Carta 2 ............................................................................. 6-2405 § Carta 3 ............................................................................. 6-2406 § Carta 4 ............................................................................. 6-2409 § Carta 5 ............................................................................. 6-2411 § Carta 6 ............................................................................. 6-2412 § Carta 7 ............................................................................. 6-2413 Referências e Bibliografia.................................................... P-2414 Easter Eggs ........................................................................... P-2437

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APRESENTAÇÃO Depois de anos de pesquisa em Teoria da Relatividade, fico feliz por poder apresentar todo o resultado desse trabalho em uma única obra. O leitor tem em mãos a maior obra em língua portuguesa (e, possivelmente, em qualquer língua) sobre a Teoria da Relatividade. Nessa coleção, dividida em seis volumes, há uma leitura histórica, epistemológica, sociológica, matemática e física da Relatividade, além de minhas próprias contribuições para esse campo. A gênesis desse projeto começou no sexto volume: traduzir e modernizar os ensaios de Henri Poincaré, um dos principais atores no desenvolvimento da Teoria da Relatividade, mas atualmente pouco conhecido por entusiastas da ciência e por alguns físicos. Inicialmente, eu pretendia traduzir Sur la Dynamique de l’électron, mas depois percebi que seria interessante apresentar ao público outras obras de Poincaré. De seus 30 livros, apenas 3 foram traduzidos para o português: A Ciência e a Hipótese, O Valor da Ciência e Últimos Pensamentos. Recentemente a PUC e a Contraponto lançaram uma coleção de ensaios de Poincaré sobre o título: Ensaios Fundamentais. Para infelicidade daqueles interessados em conhecer uma das mentes mais vastas da ciência, os livros A Ciência e a Hipótese e Últimos Pensamentos se encontram fora de catálogo e o preço em sebos costuma a ser elevado. Essa ausência de material disponível foi um gatilho para desenvolver um projeto com os principais artigos de Poincaré sobre a Relatividade, além das cartas trocadas com H. A. Lorentz, outro ator de grande importância na Relatividade. Esse material se tornou o sexto volume dessa coleção, embora pudesse ser chamado de volume zero, já que ele serviu de base para os demais. O material traduzido também se mostrou útil para o desenvolvimento da minha dissertação de mestrado, onde analisei a

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contribuição de Poincaré para relatividade na perspectiva histórica, epistemológica e sociológica, usando como referencial teórico a epistemologia de Fleck, e comparando o programa de Poincaré com o programa de Einstein. Minha dissertação foi adaptada para compor o primeiro volume dessa coleção. Para conseguir fazer o estudo comparado entre Poincaré e Einstein, foi necessário compreender como Einstein desenvolveu seu programa e fazer uma leitura minunciosa de seus ensaios de 1905. Arthur Miller, historiador da ciência, analisou o primeiro ensaio de Einstein em seu livro Albert Einstein’s Special Theory of Relativity. Por meio dessa obra, surgiu a ideia de escrever uma análise completa de linha por linha dos dois primeiros ensaios de Einstein, preenchendo algumas lacunas deixadas por Miller e fazendo minha própria leitura histórica. O resultado foi o segundo volume que, embora seja o menor quantitativamente, é bastante rico em detalhes históricos e no emprego de ferramentas matemáticas. Os volumes 3 e 4, originalmente eram apenas um único volume e teria como um curso avançadp de relatividade com o objetivo mostrar que geometria hiperbólica é a geometria mais cômoda para descrever o espaço-tempo. Durante o desenvolvimento acabei levantando várias questões sobre a estrutura e a forma do espaçotempo e para responde-las, mergulhei na matemática. Meu desejo de compartilhar os meus estudos em matemática foram compilados no volume 3. O curso de Teoria da Relatividade foi sintetizado e mesclado com alguns textos que produzi sobre Relatividade Geral dando origem ao volume 4. As questões sobre estrutura e forma do espaço-tempo me lavaram ao desenvolvimento da minha tese (contribuições autoriais à teoria). A princípio existiam duas linhas independentes de pesquisa que eu estava trabalhando: dimensões negativas e o uso de números hipercomplexos para desenvolver uma topologia unificada dessas

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variedades. Para minha surpresa, as duas pesquisas, em certo momento, convergiram para a mesma coisa (algo semelhante como aconteceu com estudo das integrais e das derivadas por Barrow, Newton e Leibniz). O sucesso dessa pesquisa se deve a um tipo especial de multifunção que eu criei e denominei de função de Poincaré, em homenagem ao célebre matemático que me inspirou nessa jornada pela relatividade. O resultado dessa pesquisa foi um Programa de Erlangen para o Espaço-Tempo. Programa de Erlangen foi uma proposta do importante matemático Félix Klein que propunha derivar as geometrias a partir de seus grupos de deslocamento. Meu Programa de Erlangen mostra que é possível derivar todas as variedades do tipo espaço-tempo a partir do anel hipercomplexo associado à variedade. Esses resultados são aplicados para vários tópicos da relatividade, levando a resultados muito promissores, como a identificação dos fenômenos que são resultado da topologia do espaço-tempo e a construção de super grupos matemáticos. Para mim é um enorme prazer poder compartilhar essa obra e espero que ela seja útil para acadêmicos, entusiastas e pesquisadores. Gostaria de pedir de antemão desculpas pelos possíveis equívocos, mas esse trabalho foi uma produção solitária e contou apenas com meus olhos já familiazrizados com o texto. Espero que o conteúdo supere o incomodo de qualquer equívoco. Aos amigues que quiserem dar sugestões, fazer correções, conversar ou congêneres, deixo meu e-mail para contato, alerto que demoro um pouco para responder, mas sempre respondo. Ayni R. Capiberibe Nunes [email protected] Instituto de Física / GEPECT

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PREÂMBULO Essa coletânea aborda, em seis volumes, aspectos históricos, epistemológicos, sociais, físicos, matemáticos à Relatividade. Volume 1 – Henri Poincaré (1854-1912): Essa obra apresenta uma análise micro histórica do desenvolvimento das contribuições de Poincaré para a Teoria da Relatividade Especial, concluindo com um estudo comparado com o programa de Einstein. Volume 2 – Albert Einstein (1905): Nesse livro estudamos os dois ensaios de Einstein de 1905, considerados como a criação ou ápice da Teoria da Relatividade Especial, discutindo cada passagem e refazendo todas as equações. Também apresentamos o contexto científico da época e um estudo sobre suas influências até 1905. Volume 3 – Matemática (Lições): Nessa obra a estrutura epistemológica e matemática da Teoria da Relatividade é apresentada minunciosamente, incluindo conceitos pouco abordados como a interpretação do tensor e o escalar de Ricci. Volume 4 – Física (Lições): Esse livro é a proposta de um curso avançado de Teoria da Relatividade que estrutura o espaçotempo por meio da geometria hiperbólica e evolui até os problemas que levaram ao programa da Teoria da Relatividade Geral. Volume 5 – Espaço-Tempo (Progama de Erlangen): Essa obra é uma tese que propõe uma topologia unificada para o espaçotempo por meio do uso de dimensões negativas e anéis hipercomplexos. A teoria é aplicada a problemas físicos revelando propriedades topológicas da luz e do eletromagnetismo. Volume 6 – Ensaios Originais (Henri Poincaré): coletânea de ensaios e cartas de Poincaré sobre a relatividade que foram modernizados para serem melhor compreendidos para aqueles que estão iniciando seus estudos sobre Poincaré.

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VOLUME 1 – Henri Poincaré (1854-1912) Esse livro tem como questão básica investigar quais as contribuições de Henri Poincaré para o desenvolvimento da teoria da relatividade especial? Para respondermos a esta questão, realizamos a construção de uma micro-história, no sentido de Ginzburg e Levi, sobre as contribuições de Henri Poincaré à da Teoria da Relatividade Especial, orientada pela epistemologia de Fleck, em uma narrativa dividida em quatro partes: 1) 1854-1904, que cobre o período de formação intelectual, as primeiras contribuições de Poincaré para eletrodinâmica de Lorentz e a formulação do Princípio da Relatividade. 2) 1905, o ano em que Poincaré deu sua maior contribuição à Teoria da Relatividade por meio do ensaio Sur La Dynamique de L’Électron. Essa data também coincide com a publicação dos ensaios de Einstein sobre a Relatividade. 3) 1906-1912, o período “pós” relatividade, que nos permite verificar a evolução do pensamento de Poincaré e suas novas percepções sobre a Relatividade que irá se encerrar com seu falecimento prematuro em 1912. 4) Estudo comparado entre as contribuições de Lorentz, Poincaré e Einstein, que visa levantar questões e dúvidas sobre pontos considerados consensuais como o fato de que Einstein é o pai da relatividade ou que sua abordagem era superior que a de Poincaré. Portanto esse livro fornece uma visão histórica, humanística e social do desenvolvimento da ciência por meio do estudo de um episódio histórico, a Teoria da Relatividade, sobre a óptica de um dos seus atores principais, porém frequentemente omitido: Henri Poincaré; o que por si só torna essa obra única, pois não há nada semelhante ainda em língua portuguesa.

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VOLUME 2 – Albert Einstein (1905) Em 1905, Albert Einstein apresentou um artigo intitulado Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento, e, pouco depois, um apêndice ao seu primeiro ensaio, que foi intitulado de A Inércia de um Corpo Depende do seu Conteúdo Energético? Estes dois ensaios ficaram conhecidos como ensaios da Teoria da Relatividade. Embora muitos aspectos abordados por Einstein tenham sido antecipados por Lorentz e Poincaré e outras importantes contribuições à relatividade tenham sido dadas após 1905 por outros pesquisadores como Minkowski, Laue, Planck muitos acreditam que esse ensaio de Einstein representa a criação da Teoria da Relatividade Especial ou esgota todos os principais resultados desse programa. Nesse livro analisamos os dois ensaios da relatividade Einstein, detalhando todas as equações, corrigindo e comentando algumas inconsistências, incluindo a famosa derivação da massa transversal, O objetivo geral é proporcionar para acadêmicos, professores e profissionais bases para a leitura do artigo original de Einstein, pois o uso de uma notação diferente, as inconsistências e um distanciamento temporal, torna a leitura de fontes primárias se torna um trabalho mais árduo. O arquétipo dessa pesquisa está fundamentado em cinco parâmetros: (1) apresentamos de forma sucinta, porém rigorosa como se deu a gênese da teoria da relatividade; (2) observamos quais foram os papéis de Lorentz, Poincaré e Einstein na criação da relatividade. (3) revelar quais foram as influências científicas, epistemológicas e sociais sobre Einstein. (4) apresentar todos os possíveis métodos que Einstein poder e poderia ter usado com o conhecimento físico e matemático disponível em sua época. (5) tornamos acessível a leitura do artigo de Einstein para acadêmicos, pesquisadores e professores. Registre-se que não há trabalho semelhante a esse em toda literatura científica brasileira.

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VOLUME 3 – Matemática (Lições) A Teoria da Relatividade reformulou não apenas os paradigmas da física, mas os paradigmas da matemática. A descoberta das geometrias não-euclidianas, como a de Lobachevsky, levaram os pesquisadores do século XIX, a buscarem teorias físicas alternativas que incluíam essas geometrias e a questionar qual seria a geometria do nosso universo. O emérito matemático Henri Poincaré, deu importantes contribuições nesse campo e declarou que não existe uma geometria mais verdadeira que a outra, apenas uma geometria mais cômoda. Essas ideias, que compõe uma doutrina da física e da matemática chamada de Convencionalismo, levariam Poincaré e Einstein a formularem o Princípio da Relatividade. Embora Poincaré acreditasse que a geometria mais cômoda sempre seria a euclidiana, devido à nossa experiência diária, o próprio Poincaré e, posteriormente, Minkowski, mostraram que a geometria mais cômoda do espaço-tempo é a geometria hiperbólica. A análise dessa variedade levou a criação do estudo dos espaços pseudo-métricos. Pseudo porque as noções usuais de norma, distância e desigualdade de Schwarz não se aplicam de forma convencional, por isso dizemos que o espaço-tempo de PoincaréMinkowski é um espaço pseudo-euclidiano. Atualmente, a análise dessas variedades permite extrair propriedades gerais e que sobre condições particulares geram o espaço-tempo de PoincaréMinkowski. Registre que esse é um caso em que os desenvolvimentos da física levaram aos matemáticos buscarem uma descrição abstrata da nova estrutura. Nesse livro, buscamos caracterizar matematicamente o espaçotempo sobre o qual se desenrola a física relativística, instrumentalizando o leitor para tratar problemas físico-matemáticos que surgem no desenvolvimento e no estudo da Relatividade.

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VOLUME 4 – Física (Lições) Esse livro é uma proposta de construção da teoria da relatividade especial a partir rotações hiperbólicas no espaço-tempo 4dimensional de Poincaré-Minkowski e análise de tópicos pouco discutidos na literatura, como a termodinâmica relativística e a violação da conservação do momento e energia na Teoria da Relatividade Geral. Como as rotações hiperbólicas são a linguagem própria do espaço-tempo, o método torna a dedução de grandezas relativísticas complicadas e até dúbias, um simples exercício de álgebra elementar. Inicialmente apresentamos a estrutura matemáticas e seus elementos, para então aplicar os sobre os 4-vetores mais comuns associados a mecânica e eletromagnetismo. Com base no formalismo hiperbólico prova-se que transformações de Lorentz formam um grupo abeliano. Por meio da álgebra de Lie não abeliana estabelecemos o tensor fundamental eletromagnético Também aplicamos para outros campos da física, pouco discutidos como a óptica e a termodinâmica. O estudo dos fenômenos térmicos nos levou a propor uma modificação na primeira lei da Termodinâmica e na equação da condutividade, que agora depende de um novo tipo de potencial escalar denominado de potencial de Poincaré. Por fim, apresentamos o formalismo tensorial e variacional para construir a Teoria da Relatividade Geral. Descrevemos detalhadamente o espaço-tempo curvo de Schwarschild e, a partir dos vetores de Killing, verificamos que nesse espaço-tempo há uma violação da conservação do momento e da energia. Mostramos que essa violação não é um deformidade do espaço-tempo de Schwarzchild, mas uma consequência da própria natureza da gravidade.

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VOLUME 5 – Espaço-Tempo (Programa de Erlangen) O Programa de Erlangen (Erlanger Programm) foi uma proposta de unificação das geometrias por meio de grupos simetria, realizada em 1872 pelo matemático alemão, Félix Klein. Motivados por esse trabalho, nós propomos um programa de unificação das topologias de baixa dimensão de variedades espaço-temporais planas. Neste trabalho, construímos uma álgebra de Clifford que admita a existência de dimensões inteiras negativas. Para isso, retomamos aos trabalhos de Poincaré que associam a dimensão do espaço ao número de parâmetros do grupo de deslocamento do espaço motor e interpretamos o que significaria um espaço de dimensão negativa e desenvolvemos sua álgebra de Grassmann. Por fim, estabelecemos conceitos topológicos de continuidade e convergência em Cauchy para os espaços de dimensão negativo e provamos que a geometria desse espaço é gerada pelas geometrias não-arquimedianas. Esta nova álgebra de Clifford é desenvolvida sobre anéis de números parabólicos (duais), polares (complexos) e hiperbólicos (perplexos) que, por abreviação, chamaremos de números hipercomplexos, que são unificadas por meio da construção de funções especiais, batizadas de funções de Poincaré, que dependem das coordenadas no espaço-tempo (eventos) e da unidade hipercomplexa. Como as funções de Poincaré são automorfismos internos do espaço-tempo, elas atuam como um mapa e induzem a topologia conforme as unidades hipercomplexas. Portanto, o programa que propomos atinge seu objetivo geral de unificar as topologias do espaço-tempo plano e ainda permite explicitar propriedades físicas de natureza topológica. Registre que este programa também permite construir uma ontologia para o espaço e amplia as possibilidades de compreensão da topologia do tempo.

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VOLUME 6 – Ensaios Originais (Henri Poincaré) Esse volume é dedicado ao resgaste histórico das contribuições de Henri Poincaré para a Teoria da Relatividade Especial. A partir de uma ampla revisão da literatura secundária, delimitamos os ensaios de Poincaré que abordam o princípio da relatividade e suas consequências. Ênfase especial foi dado aos livros A Ciência e Hipótese e O Valor da Ciência, pois estes teriam sido lidos e discutidos por Albert Einstein e seus colegas da academia Olympia, Maurice Solovine e Conrad Habicht, entre 1903 e 1905, e ajudam a traçar as possíveis influências de Poincaré nas percepções de Einstein sobre a Teoria da Relatividade Especial. O diferencial desse livro em relação as obras correntes na literatura é que todas as equações foram modernizadas. Poincaré, diferente de Lorentz, adota o sistema cartesiano de duas variáveis (longitudinal e transversal) para expressar as equações de Maxwell, além de símbolos próprios para denotar as grandezas físicas e suas componentes. Essa forma, nos dias de hoje, pouco usal, pode se tornar um obstáculo epistemológico para a leitura de seus artigos. Por fins didáticos, optamos conscientemente em cometer esse anacronismo, pois nosso objetivo é aproximar o leitor da essência da obra de Poincaré. Incluímos a breve correspondência de Poincaré e Lorentz, bem como dois ensaios de Lorentz, sua tese de 1904, que foi a base dos trabalhos mais avançados de Poincaré sobre a Relatividade e a memória Dois Artigos de Henri Poincaré Sobre Física Matemática, que mostra a importância de Poincaré e suas contribuições para a Relatividade no contexto de suas época. Abrimos essa seleção com um texto de A. A. Logunov que defende a tese que toda relatividade está presente nestes ensaios de Poincaré que o leitor tem a oportunidade de ler.

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BIBLIOGRAFIA BÁSICA Esse trabalho decompõe a Relatividade em uma gama de espectros humanísticos e científicos. Como toda pesquisa acadêmica, esse trabalho consultou tanto a literatura primária quanto a literatura secundária. Como cada obra tem uma temática e exige estilo de escrita, para tornar o texto mais fluído, os volumes 3, 4 e 5, contém poucas citações o que pode passar a noção de que o que está ali escrito é puramente autoral. Isso é absurdo e para não corrermos o risco de cometer esse pecado, optamos em apresentar ao leitor algumas obras que ele poderá consultar para aumentar sua compreensão histórica e epistemológica. Para fins de organização, dividiremos essa seção em tópicos. Registre que todas as obras aqui indicadas foram discutidas pelos pares e publicadas em revistas de impacto ou pertencem a autores cuja excelência é indiscutível. Contribuições de Poincaré É um fato que Poincaré teve um papel fundamental no desenvolvimento da teoria da relatividade, porém os historiadores divergem sobre o tamanho desse papel e se Poincaré teria antecipado a criação da teoria da relatividade. Portanto há três tendências historiográficas: os que atribuem o mérito a Poincaré, os que atribuem o mérito à Einstein e os que defendem que teorias são construções coletivas. O principais defensores da prioridade de Poincaré são E. Whittaker que no segundo volume de A History of Theories of Aether and Eletricity, credita a teoria à Lorentz e Poincaré, e o físico russo A. Logunov (2005), sua obra Henry Poincaré and Relativity Theory, desenvolve as principais ideias de Poincaré e tenta provar que elas são suficientes para se atribuir o mérito a Poincaré. O historiador H. Ives (1952) mostrou em um importante ensaio que Einstein não

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deduziu a relação massa-energia, pois cometeu uma petição de princípio. Keswani (1965a, 1965b) e Mehra (2001) avaliaram os programas de Einstein e Poincaré e, apesar de ser mais comedido, sugere que Poincaré antecipou a relatividade. Enrico Giannetto (1999) fez uma extensa revisão de literatura mostrando que a relatividade de Einstein foi influência direta da relatividade de Poincaré. Mais recentemente Damour (2017) analisou dos conceitos antecipados por Poincaré. Outros historiadores como S. Goldberg (1967, 1969, 1970a), G. Holton (1960, 1964, 1967-1968, 1969) e A. Miller (1986) defendem que, embora Poincaré tenha desenvolvido diversos elementos que depois foram absorvidos pela relatividade de Einstein, Poincaré estava desenvolvendo um programa para o elétron e uma covariância mais restrita para as leis da física. A visão relativística de uma covariância das leis da física para os referenciais inerciais, só foi obtida por Albert Einstein. Uma linha recente de historiografia da relatividade é aquela que defende que teorias não podem ser creditadas a um único autor, mas são construções coletivas e sociais. P. Galison (2003) desenvolveu uma extensa pesquisa revelando como o problema das longitudes levaram Poincaré a compreender o processo de sincronização de relógios. O. Darrigol (1995, 1996, 2004, 2005), um dos responsáveis pelo seminário Henri Poincaré, produziu estudos à partir da história da eletrodinâmica, sobre as influências filosóficas, sociais e históricas que culminaram na relatividade. Damour (2004, 2012, 2017), também responsável pelo seminário Henri Poincaré, atende uma perspectiva semelhante à de Darrigol. Atualmente o maior especialista em Henri Poincaré e com maior número de obras a respeito de suas contribuições para relatividade é o historiador Scott Walter (1996, 1999, 2007, 2008a, 2008b, 2011, 2014, 2019), responsável pelo acervo de documentos oficiais de Henri Poincaré.

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Walter tem analisado criticamente a produção acadêmica de Poincaré e seus cadernos pessoais, apresentando uma perspectiva única do pensamento do físico-matemático francês. S. Katzir (2005a, 2005b) apresentou de maneira detalhada a origem da relatividade de Poincaré e um estudo sobre seu programa gravitacional. O historiador J. P. Auffray (1998) escreveu um pequeno livro, traduzido para português de Portugal, que sintetiza a história da relatividade e apresenta de maneira equilibrada a contribuição de Einstein e Poincaré. A. Miller (1986) fez uma análise detalhada do ensaio de 1905-1906 de Poincaré, exceto pelo programa gravitacional de Poincaré. Registre, que a tendência de Miller é favorecer o trabalho de Einstein. História da Teoria da Relatividade Especial O desenvolvimento da Teoria da Relatividade e o papel de Einstein foi detalhado pela primeira na obra de Whittaker (1954). Embora apresenta alguns problemas historiográficos. Keswani (1965a, 1965b, 1966), Keswani e Kilmister (1983) e Mehra (2001) abordam de forma sucinta e clara a gênese da Teoria da Relatividade Especial. G. Holton (1960, 1964, 1967-1968, 1969) estudou as influências de Einstein e o papel das experiências sobre o éter na sua criação. A. Miller (1997) discute em detalhes cada passagem do ensaio de 1905 de Einstein, além de trazer uma tradução do ensaio para o inglês. Auffray (1998) discute de forma sucinta, mas satisfatória a história da teoria da relatividade. Capria (2007) discute a física antes e depois de Einstein. As contribuições de Planck são sintetizadas por Goldberg (1976) e Field (2014). Sobre Minkowski e o desenvolvimento do formalismo tensorial o leitor consulte Scott (1999, 2007, 2008a). T. Hirosige (1969), Goldberg (1969, 1970b) e Cormmach, (1970) fizeram um importante estudo sobre a teoria dos elétrons que irá

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originar a dinâmica relativística. O historiador japonês T. Hirosige (1976) fez um estudo sobre a concepção diacrônica do éter no século XIX e o papel das teorias e experimentos relacionados ao éter, mostrando que os experimentos visavam compreender melhor a estrutura da matéria. A resistência britânica a teoria de Einstein é discutida em um ensaio de Goldberg (1970c) e sua penetração na França, por Scott (2011). O historiador francês, René Dugas (1988) aborda o desenvolvimento da mecânica e dedica alguns capítulos para discutir o ensaio de Lorentz e de Einstein. O. Darrigol (1994, 1995, 1996, 2002, 2003, 2004, 2005) fez o estudo mais detalhado sobre a origem da relatividade na eletrodinâmica. O livro Beyond Einstein (ROWE, SAUER, WALTER, 2018) contém uma vasta coletânea de ensaios históricos sobre a relatividade. Thomas Kuhn (2017), exemplifica seu conceito de CriseRevolução a partir da Teoria da Relatividade. Lakatos (1979) aplica seus programas de pesquisa ao estudo da experiência de MichelsonMorley. E. Zahar (1973a, 1973b, 1978), pupilo de Lakatos, aplicou a metodologia dos programas de pesquisa ao estudo da relatividade e pôs em dúvida a questão da superioridade do programa de Einstein. Feyerabend (1974, 1980, 2010, 2011a 2011b) analisou de forma cirúrgica a questão epistemológica da relatividade. Max Jammer (2006, 2009, 2010, 2011) desenvolveu quatro obras que analisam o desenvolvimento histórico e epistemológico dos conceitos de massa, força, espaço e simultaneidade, os dois últimos, em especial, tem grande ênfase na relatividade. Sobre a historiografia da relatividade, há dois importantes ensaios cujos autores são Schaffner (1982) e Earman, Glymour, Rynasiewicz (1983). O livro Introdução à Historiografia de H. Kragh (2001) traz uma importante discussão sobre a história e a memória à partir de declarações contraditórias de Einstein sobre a o papel da experiência de Michelson-Morley na sua concepção da relatividade. G. Whitrow (1993) escreveu um importante livro sobre a história do tempo. E. P. Thompson (2016),

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apresenta um capítulo discutindo como o capitalismo e a revolução industrial forçaram a uma reinterpretação do conceito de tempo, que é fundamental para o desenvolvimento da relatividade, como mostrou o historiador P. Galison (2003). A relação massa-energia e suas controvérsias são apresentadas por Ives (1952), Stachel (1982), Fadner (1988) e Field (2014). Cullwick (1981) escreveu um ensaio capital sobre as inconsistências na eletrodinâmica de Einstein. Logunov (2005) também apresenta algumas na cinemática. Há uma importante coletânea de artigos e estudos que foram publicados em forma de livro e abordam temas diversos associados a Relatividade: The Genesis of General Relativity, 4 Volumes, (RENN, 2007); Einstein and the History of General Relativity (HOWARD, STACHEL, 2005a), The Universe of General Relativity (KOX, EISENSTAEDT, 2005), Einstein: The Formative Years, 1879–1909 (HOWARD, STACHEL, 2005b); Einstein from ‘B’ to ‘Z’ (STACHEL, 2005), Lorentz & Poincare Invariance - 100 Years of Relativity (HSU, ZHANG, 2005) e General Implications of Lorentz And Poincare Invariance (HSU, HSU; 2006). Suplemento de Matemática As primeiras partes desse ensaio, embora utilize o conceito de 4vetor, não exigem mais do que familiaridade com cálculo diferencial e integral para funções de variáveis reais e funções vetoriais. Alguns autores utilizam funções com variáveis complexas ao definirem que a componente temporal da forma quadrática do espaço-tempo apresenta um fator imaginário. No formalismo hiperbólico, trabalhamos apenas com variáveis reais. As propriedades hiperbólicas, vetoriais e analíticas básicas podem ser consultado em manuais de fórmulas matemáticas. Como é imprescindível conhecimento de análise tensorial, recomendamos as obras: Matemática para Físicos (NETO, 2010) Cálculo Tensorial

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(SANCHEZ, 2011), Tensors Made Easy (BERNACCHI, 2017), Tensor Calculus (KAY, 2015) e Cálculo Exterior (BASSALO, CATTANI, 2012). Também abordamos alguns elementos álgebras de Lie e teoria de Grupos, o leitor poderá esclarecer suas dúvidas em Cálculo Exterior (BASSALO, CATTANI, 2012), Teoria de Grupos para Físicos (BASSALO, CATTANI 2010), Matemática para Físicos (NETO, 2010), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations - An Elementary Introduction (HALL, 2015), Álgebra Linear e Multilinear (ROCHA JR., 2017a), Álgebras de Clifford (VAZ JR, ROCHA JR., 2017) e Understanding Geometric Algebra (KANATANI, 2015). É essencial que o leitor tenha alguma familiaridade com Geometria Diferencial. Para um leitor não familiarizado, recomendamos o estudo dos livros Introdução à Geometria Diferencial (TENENBLAT, 2014) e Differential Geometry (KREYSZIG, 1991). Para um leitor já familiarizado, recomenda-se o livro Geometria Diferencial de Curvas e Superfície (CARMO, 2012). Suplemento de Física-Matemática Esse ensaio se concentra em três importantes tópicos da matemática avançada: teoria dos anéis, topologia de baixa de dimensão e números hipercomplexos. O estudo sobre anéis pode ser encontrado nos livros de álgebra moderna, como o livro-texto Álgebra Moderna (IEZZI, DOMINGUES, 1982). Duas leituras indispensáveis são os livros Linear Algebra (HOFFMAN, KUNZE, 1971), que aborda de forma concisa e rigorosa o anél de Grassmann e o fantástico livro On Manifolds with an Affine Connection and the Theory of General Relativity do próprio Cartan (1986). Sobre topologia geométrica, o conteúdo se encontra formalizado na obra de G. E. Bredon (1993), Geometry and Topology e detalhado em Geometry and Topology (REID, SZENDRÓI, 2005). Para aplicações

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da topologia na física relativística, o leitor deve consultar Gravitation (MISNER, THORNE, WHEELER, 2016) e Space-Time Physics (TAYLOR, WHEELER, 2000). Sobre números hipercomplexos há pouco material, porém as obras são bastante completas e inteligíveis. Para uma abordagem concisa sobre os números perplexos recomenda-se os ensaios Fundamental Theorems of Algebra for the Perplexes (POODIACK, LECLAIR, 2009), Uma Abordagem Física dos Números Perplexos (AMORIM, et al 2018), Cauchy-Like Integral Formula for Functions of a Hyperbolic Variable (CATONI, ZAMPETTI, 2011), Space-time trigonometry and formalization of the “Twin Paradox” for uniform and accelerated motions (BOCCALETTI, CATONI, CATONI, 2018) f-Algebra Structure on Hyperbolic Numbers (GARGOUBI, KOSSENTINI, 2018), Induced Representations and Hypercomplex Numbers (KISIL, 2012). A maior parte dos estudos sobre números hipercomplexos aplicado a física aparecem em livrostextos de caracterização topológica do espaço-tempo, dos quais é imprescindível a leitura: Geometry of Minkowski Space–Time (CATONI, BOCCALETTI, CANNATA, CATONI, ZAMPETTI, 2011) The Mathematics of Minkowski Space-Time With an Introduction to Commutative Hypercomplex Numbers (CATONI, BOCCALETTI, CANNATA, CATONI, NICHELATTI, ZAMPETTI, 2008). Minkowski Space: The Spacetime of Special Relativity (SCHRÖTER, 2017). The Geometry of Minkowski Spacetime: An Introduction to the Mathematics of the Special Theory of Relativity (NABER, 2012) e A Álgebra Geométrica do Espaçotempo e a Teoria da Relatividade (VAZ JR, 2000) Nesse ensaio abordamos os números duais para caracterizar a variedade de Galileu e o quaternion de Ségre. Esse formalismo é empregado de forma marginal no decorrer do trabalho, porém o leitor poderá encontrar uma abordagem satisfatória na obra Dual-

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Number Methods in Kinematics, Statics and Dynamics (FISCHER, 1998) Dual Numbers (KANDASAMY, SMARANDACHE, 2012). A obra Introduction to Hybrid Numbers (ÖZDEMIR, 2018) aborda o quartenion de Ségre e serve de base para discussão do espaçotempo híbrido. Sobre cálculo fracionário recomendamos que o leitor aprecia a obra The Fractional Calculus: Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (OLDHAM, SPANIER, 2006) Suplemento Físico O conhecimento físico para este ensaio corresponde ao curso de Física Básica, em geral dividido em 4 volumes. Nesse ensaio damos grande ênfase aos problemas eletromagnéticos que originaram a relatividade. O leitor poderá consultar as seguintes obras para complementar sua experiência: Eletrodinâmica Clássica (BASSALO, 2012), Eletromagnetismo, 3 Volumes, (MACHADO, 2012), Teoria do Campo (LANDAU, LIFCHITZ, 2002), Eletrodynamics (SOMMERFELD, 1952). Uma obra que merece destaque é o livro Classical Eletromagnetism via Relativity: An Alternative Aprroach to Maxwell’s Equations (ROSSER, 1968). Como indica o título da obra, o autor utiliza a formulação relativística para obter as equações de Maxwell, no que poderia ser chamado de uma “engenharia reversa”. O primeiro capítulo de Eletrodinâmica Quântica (BASSALO, 2002) também deve ser consultado. Livros Textos de Teoria da Relatividade O melhor livro-texto sobre Relatividade em língua portuguesa é a obra Teoria da Relatividade Especial, escrita por Roberto de Andrade Martins (2012). O autor aborda com rigor abordagens da

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relatividade especial que preenchem campos menos conhecidos como a termodinâmica, corpos extensos, teoria quântica e gravidade. As três melhores obras em teoria da relatividade especial já escritas são: Special Relativity in General Frames From Particles to Astrophysics (GOURGOULHON, 2013), Special Relativity An Introduction with 200 Problems and Solutions (TSAMPARLIS, 2010) e Reflections on Relativity (BROWN, 2017). Os dois primeitos livros abordam todo, exatamente, todo o conteúdo de relatividade especial. Trazem tanto abordagem física e quanto a matemática e discute exercícios que raramente aparecem em outros livros. O livro de Brown é um livro que aborda a relatividade usando questões históricas e espistemológica pouco discutidas. O capítulo 3 dessa tese é uma revisão de um ensaio de Brown. O livro Teoria da Relatividade (PERUZZO, 2012) aborda os conceitos mais comuns de forma bastante simples e detalhada, mas a parte histórica é bastante anacrônica. O livro Teoria da Relatividade (LESCHE, 2005) faz uma abordagem geométrica a partir da introdução de 4-vetores e a geometria do espaço-tempo. O livro Introdução à Teoria da Relatividade (COSTA, 1995), originalmente publicada na década de 1920, foi o primeiro livrotexto sobre relatividade geral em língua portuguesa e aborda de forma objetiva os principais conceitos associados a teoria. Embora não seja um livro-texto, O Que é Teoria da Relatividade? (LANDAU, RUMER, 2004) é uma obra essencial para qualquer estudante, pois apresenta de maneira simplificada e rigorosa os conceitos relativísticos, pois não é raro que um aluno que esteja familiarizado com aspectos operacionais da teoria, não tenha compreendido os aspectos conceituais. O livro A Teoria da Relatividade Restrita de David Bohm (2015) apresenta uma formulação alternativa, porém interessante da relatividade. Deve-se tomar algum cuidado, entretanto, pois Bohm privilegia apenas a

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contribuição de seu amigo, Albert Einstein, e comete alguns anacronismos. Em geral adota-se o livro Introdução à Relatividade Especial (RESNICK, 1965) foi adotado como texto-básico, porém o livro comete vários anacronismos e alguns erros conceituais. O leitor poderá consulta-lo, mas com certo cuidado e tendo em mente que as outras obras citadas são mais adequadas. The Theory of Relativity do prêmio Nobel, W. Pauli (1921) constrói a teoria da relatividade a partir do formalismo 4-vetorial e de rotações esféricas em um espaço-tempo com um eixo imaginário temporal. O livro também aborda a termodinâmica relativística de Planck. Deve-se tomar apenas algum cuidado com algumas modificações que sugiram em décadas posteriores. Einstein’s Theory of Relativity do prêmio Nobel, M. Born (1962) faz uma apresentação bastante detalhada, com ênfase aos problemas eletrodinâmicos. O livro The Theory of Space Time and Gravitation de V. Fock (1959) faz uma importante revisão do trabalho original de Einstein, provando que os dois postulados não permitem estabelecer a covariância geral de Lorentz. Henry Poincaré and Theory of Relativity de A. Logunov (2005) é uma da sobras mais importantes, pois constrói rigorosamente a teoria da relatividade a partir dos ensaios originais de Poincaré e Einstein. Assim como o professor doutor Henrique Fleming, recomendo o leitor explorar a coleção de ensaios do físico-matemático Kevin Brown disponíveis em sua webpágina, Mathpages1, que, além de serem gratuitas, são impecáveis e elucidam pontos cruciais da teoria. Por fim é importante registrar que nesse livro optamos por trabalhar no sistema hertizano já que esse era o sistema adotado por Lorentz, Poincaré, Einstein, e outros pesquisadores que participaram o desenvolvimento da relatividade especial entre 1887 à 1911. 1

https://www.mathpages.com/

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O Princípio da Relatividade

Henri Poincaré (1854-1912)

AYNI R. CAPIBERIBE VOLUME I

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ÍNDICE (VOLUME 1) POR QUE UM LEÃO É UM LEÃO? ...................................... 1-54 PARTE I – 1854-1904 ................................................................ 1-59 1. O ÚLTIMO UNIVERSALISTA ................................................... 1-59 2. COLETIVOS DE PENSAMENTO DE POINCARÉ ........................ 1-62 3. A MEDIDA DO TEMPO E A QUESTÃO DA SIMULTANEIDADE . 1-71 4. A MEDIDA DA GEODÉSICA E A QUESTÃO DO ESPAÇO ....... 1-115 5. O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE ......................................... 1-132 6. A DINÂMICA DO ELÉTRON .................................................. 1-155 PARTE II - SUR LA DYNAMIQUE DE L’ÉLECTRON (1905) ..... 1-181 NOTAÇÃO .................................................................................. 1-182 CONSTRUÇÃO............................................................................ 1-184 INTRODUÇÃO ............................................................................ 1-190 §1 - TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ ...................................... 1-197 §2 - O PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO ........................................ 1-201 §3 – A TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ E O PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO ......................................................................................... 1-204 §4 – O GRUPO DE LORENTZ ..................................................... 1-208 §5 – ONDAS DE LANGEVIN ........................................................ 1-216 §6 – CONTRAÇÃO DOS ELÉTRONS ............................................ 1-219 §7 – MOVIMENTO QUASE ESTACIONÁRIO ............................... 1-226 §8 – MOVIMENTO ARBITRÁRIO ............................................... 1-230

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§9 – HIPÓTESES SOBRE A GRAVITAÇÃO .................................. 1-237 ANEXO - ISOMETRIAS E VETORES DE KILLING ..................... 1-256 PARTE III – 1906-1912 .......................................................... 1-263 1. TEORIAS DA GRAVITAÇÃO NO COMEÇO DO SÉCULO XX ... 1-263 2. O PROGRAMA GRAVITACIONAL DE POINCARÉ ................... 1-272 3. EPISTEMOLOGIA E A GRAVITAÇÃO DE POINCARÉ .............. 1-275 4. O VALOR DO PROGRAMA GRAVITACIONAL DE POINCARÉ 1-280 5. O PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO........................................ 1-283 6. O PRINCÍPIO DA INÉRCIA .................................................... 1-293 7. ELIPSES DE LUZ: DO ORTSZEIT AO TEMPS LOCAL ............ 1-305 PARTE IV - UM ESTUDO COMPARADO ENTRE AS INTERPRETAÇÕES DE LORENTZ-POINCARÉ E EINSTEIN SOBRE A RELATIVIDADE ESPECIAL ........................................................ 1-332 1. EQUIVALÊNCIA EPISTEMOLÓGICA ENTRE A RELATIVIDADE DE LORENTZ-POINCARÉ E EINSTEIN............................................. 1-336 2. O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE .......................................... 1-349 3. A CONSTÂNCIA DA VELOCIDADE DA LUZ ............................ 1-354 4. CONTRAÇÃO DE OBJETOS EM MOVIMENTO ........................ 1-361 5. MUDANÇA DO PERÍODO DOS RELÓGIOS ............................. 1-365 6. RELATIVIDADE DA SIMULTANEIDADE ................................. 1-368 7.TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ .......................................... 1-372 8.TRANSFORMAÇÕES DE CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS ....... 1-380 9. RELAÇÃO ENTRE MASSA E VELOCIDADE ............................ 1-382

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10. RELAÇÃO MASSA E ENERGIA (E = MC²) .............................. 1-384 11. OUTROS MOTES DA RELATIVIDADE ESPECIAL ................. 1-386 12. QUAIS FORAM PERCEPÇÕES DE LORENTZ, POINCARÉ E

EINSTEIN SOBRE A RELATIVIDADE ESPECIAL? ....................... 1-388 13. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES DO PERÍODO “PÓS” RELATIVIDADE ESPECIAL ........................................................ 1-400 14. HISTÓRIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL COMO CONTRAARGUMENTO À VISÃO RADICALMENTE INTERNALISTA DA NATUREZA DA CIÊNCIA ............................................................ 1-404 15. EXPLICANDO AS SEMELHANÇAS NA ABORDAGEM DE POINCARÉ E EINSTEIN PELA PERSPECTIVA FLECKIANA ........................... 1-406 CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................... 1-414 EPÍLOGO - CONSTRUINDO UMA MICRO-HISTÓRIA SOCIAL DE HENRI POINCARÉ E A TEORIA AA RELATIVIDADE ESPECIAL . 1-425 METODOLOGIA DA PESQUISA HISTÓRICA ............................... 1-429 EPISTEMOLOGIA DE FLECK ..................................................... 1-438 DIFERENÇAS ENTRE FLECK E DE KUHN................................... 1-444

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POR QUE UM LEÃO É UM LEÃO? Fazer história é muito mais do que narrar feitos históricos ou uma coleção de datas e fatos. Fazer história é olhar através da janela do tempo e interrogar a natureza. Nesse trabalho, nossas perguntas envolvem a arte do pensamento sociológico. Segundo os sociólogos Zygmunt Bauman e Tim May (2010) “consideramos a sociologia uma prática disciplinada, dotada de um conjunto próprio de questões com as quais aborda o estudo da sociedade e das relações sociais.” A essa breve definição, Bauman e May (2010, p. 17) acrescentam: Poderíamos dizer que a questão central da sociologia é: como os tipos de relações sociais e de sociedades em que vivemos têm a ver com as imagens que formamos uns dos outros, de nós mesmos e de nosso conhecimento, nossas ações e suas consequências? São questões desse tipo – partes das realidades práticas da vida cotidiana – que constituem a área própria da discussão sociológica e definem a sociologia como ramo relativamente autônomo das ciências humanas e sociais. Logo, podemos concluir que aprender a pensar com a sociologia é uma forma de compreender o mundo dos homens que também abre a possibilidade de pensá-lo de diferentes maneiras.

Sendo a ciência uma prática humana que impacta a sociedade e depende de fatores pessoais e da própria sociedade, como o investimento do governo em programas de pesquisa ou as exigências de laboratórios particulares, então não podemos desvincular a prática da ciência a sociologia. Esse relacionamento torna-se mais clara quando compreendemos as diferenças entre natureza e cultura. Consideremos, por exemplo, as distinções que estabelecemos entre o que supostamente está submetido ao “poder humano” a fim de alterá-lo de acordo com nossos desejos, ideais e objetivos. Elas são conformadas pela existência de algum padrão ou norma a que esse “algo” deva submeter-se. Há, portanto, o que pode ser

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mudado pela intervenção humana e ser formado de acordo com expectativas particulares. Essas coisas devem ser tratadas de modo diferente de outras, que permanecem além do poder humano. As primeiras denominamos cultura, as outras, natureza. Assim, quando pensamos que algo é uma questão de cultura mais que de natureza, estamos inferindo que se trata de algo manipulável e, além disso, que há um fim desejável, “apropriado”, para tal manipulação. Cultura diz respeito a modificar coisas, tornando-as diferentes do que são e do que, de outra maneira, poderiam ser, e mantê-las dessa forma inventada, artificial. A cultura tem a ver com a introdução e a manutenção de determinada ordem e com o combate a tudo que dela se afaste, como indicativo de descida ao caos. Tem a ver, então, com a substituição ou complementação da “ordem natural” (o estado das coisas sem interferência humana) por outra, artificial, projetada. E a cultura não só promove, mas também avalia e ordena. (BAUMAN, MAY, 2010, p. 203).

A relação entre ciência e cultura fica mais clara quando observamos que quanto maior for nosso conhecimento científico, maior será nosso controle sobre os fenômenos naturais e portanto maior a expansão da cultura. Assim ciência e cultura se retroalimentam sendo impossível separa-las sem oblitera-las. Por isso precisamos entender como que questões da sociologia contribuem para a ampliação da ciência? Para isso precisamos entender como se pensa sociologicamente. Se alguém nos perguntar “o que é um leão?”, podemos pegar um livro sobre animais e indicar uma imagem específica. Nesse sentido, estamos apontando para a ligação entre palavras e objetos. Assim, portanto, palavras referem-se a objetos, que se tornam referentes para essas palavras, e, então, estabelecemos conexões entre uns e outras em condições específicas. Sem essa capacidade comum de compreensão, seria impossível a comunicação mais banal, aquela que não costumamos sequer questionar. Isso, entretanto, não é suficiente para um

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entendimento de maior profundidade, mais sociológico, dessas conexões. Esse processo, contudo, não nos possibilita conhecer o objeto em si. Temos então de acrescentar algumas perguntas, por exemplo: de que maneira esse objeto é peculiar? De que forma ele se diferencia de outros, para que se justifique o fato de podermos a ele nos referir por um nome diferente? Se chamar um animal de leão é correto mas chamá-lo de tigre não, deve haver algo que leões tenham e tigres não, deve haver distinções entre eles. Só descobrindo essas diferenças podemos saber o que caracteriza um leão – o que é bem diferente de apenas saber a que objeto corresponde a palavra “leão”. (Op cit, p. 12)

Toda ciência apresenta aquilo com que podemos identificar como seu próprio “leão”. Se considerarmos o caso da Relatividade, haviam vários “leões”: a questão do éter, a velocidade da luz, o princípio da relatividade. Sobre estes leões, Poincaré e Einstein realizaram perguntas sociológicas, como aponta Galison (2003, s.p.): Mas como os dois postulados de Einstein poderiam ser reconciliados? Suponhamos que no quadro de descanso de éter estivesse brilhando. Para um observador que se move em relação ao éter, a luz não parece viajar mais rápido ou mais lentamente que o normal, dependendo de o observador em movimento estar se aproximando ou se afastando da luz? E se uma diferença na velocidade da luz fosse observável, isso não violaria o princípio da relatividade, uma vez que essa observação indicaria se alguém estava realmente se movendo em relação ao éter?

Tanto Poincaré quanto Einstein ao se esbarrarem no “leão” chamado de tempo precisaram buscar respostas, que iam além da relação semiótica descrita por Bauman e May, mais precisamente eles precisavam saber “de que maneira esse objeto é peculiar? De que forma ele se diferencia de outros, para que se justifique o fato de podermos a ele nos referir por um nome diferente?”

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São estas respostas que buscaremos nesse livro e nas próximas páginas. Para realizarmos essa jornada, achamos pertinente separar o livro em quatro partes, cada qual com seus próprios capítulos. A primeira parte cobre o período de nascimento de Poincaré (1854) até 1904, um ano antes de Poincaré e Einstein escreverem seus respectivos trabalhos mais importante sobre a Teoria da Relatividade. Essa é a parte da história que trata da gênese do princípio da relatividade. Teremos a oportunidade de investigar como a pluralidade de interesses de Poincaré foi essencial para que ele pudesse conduzir uma investigação sobre o espaço, o tempo e a simultaneidade, bem como perceberemos que muitas das questões que Poincaré levantou surgiram de problemas aparentemente triviais no Bureau das Longitudes. A segunda parte é dedicada ao ensaio Sur la Dynamique de l’Électron (Sobre a Dinâmica do Elétron) escrito em 1905. Essa artigo é o ápice da contribuição de Poincaré para Teoria da Relatividade Especial. Poincaré cobre praticamente todos os pontos que Einstein iria abordar naquele mesmo ano e vai além: ele constrói a estrutura do espaço-tempo de 4 dimensões e faz a primeira tentativa da história de estender o princípio da relatividade à gravitação, prevendo até mesmo a existência de ondas gravitacionais. Dado sua importância a Parte II cobre detalhe por detalhe desse ensaio. A parte III compreende o período “pós” relatividade, que vai de 1906 até 1912, ano em que Poincaré faleceu, após deixar um legado de mais de 500 artigos e cerca de 30 livros. Essa parte contém uma discussão sobre o desdobramento do programa gravitacional de Poincaré, que embora não tenha aparecido em ensaios, foi discutido por Poincaré com seus alunos durante seus cursos na Sorbonne e por outros cientistas como De Sitter. Também discutimos alguns detalhes do artigo La Dynamique de L’Électron, de 1908, onde Poincaré aborda dois princípios fundamentais da dinâmica: o princípio da

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inércia e o princípio da reação. Aqui vale uma observação: na primeira parte falaremos como Poincaré guiado pelo princípio da reação deduziu a relação massa-energia E = mc², agora, decorrido oito anos, veremos que Poincaré mudou a sua concepção sobre esse princípio. O motivo não é claro, mas a investigação histórica pode nos indicar os possíveis motivos. Por fim, encerramos a Parte III discutindo os elipsoides de luz de Poincaré. Trata-se de um método original e pouco conhecido que permite deduzir as transformações de Lorentz e atribuir um significado físico a dilatação do tempo. Parte IV é um estudo comparado entre a abordagem de Lorentz e Poincaré e a abordagem de Einstein sobre a relatividade. As duas propostas são comparadas do ponto de vista epistemológico, de conteúdo físico e o quanto cada pesquisador avançou em determinado tópico. O objetivo é esclarecer quais as diferenças entre a relatividade de Poincaré e Einstein e se podemos de alguma maneira porque o modelo de Einstein progrediu enquanto o de Poincaré degenerou. Esse estudo é feito de forma extremamente cuidadosa e detalhada para sermos justos aos pesquisadores. Por fim, existe um epílogo, que é a descrição metodológica de como essa pesquisa foi conduzida e alguns apontamentos sobre o referencial teórico empregado, por ser um tópico muito técnico deixamos ao final para não comprometer o ritmo da leitura.

Ayni R. Capiberibe Nunes [email protected] Instituto de Física / GEPECT

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PARTE I – 1854-1904 1. O Último Universalista Jules Henri Poincaré (Nancy, 29 de abril de 1854 — Paris, 17 de julho de 1912) foi um dos maiores matemáticos de sua época. Bertrand Russell definiu como sendo um dos maiores intelectuais franceses (RUSSELL, 2014). Martins (2015, p. 123) aponta que É difícil dar uma ideia das honras que Henri Poincaré acumulou ao final de sua carreira. A amplitude de suas pesquisas fez com que ele fosse a única pessoa jamais eleita para todas as cinco sessões de ciências exatas da Academia de Ciências de Paris: geometria, mecânica, física, geografia e navegação. Além disso, Henri Poincaré tornou-se Presidente da Academia de Ciências em 1906. Em 1908, foi eleito membro da Academia Francesa, que congregava principalmente pessoas das áreas de humanidades, mas que incluía também alguns cientistas. Nessa época já era membro de 35 outras academias, de muitos outros países. Ganhou enorme número de prêmios, medalhas e condecorações em todo mundo.

O Dicionário de Biografias Científicas (BENJAMIN, GILLIPSIE, 2007), sintetiza suas principais contribuições para conhecimento foram na área de teoria das funções, teoria dos números, álgebra, funções abelianas, geometria algébrica, equações diferenciais, mecânica celeste, equações diferenciais parciais, físicamatemática, topologia algébrica e fundamentos da matemática. Ainda no dicionário de biografias científicas, no tópico Equações Diferenciais Parciais e Física Matemática, encontramos a frase: Por outro lado, Poincaré foi ativo desde 1899 nas discussões sobre a teoria do elétron de Lorentz. Foi o primeiro a observar que as transformações de Lorentz formavam um grupo, isomorfo ao grupo que deixa invariante a forma quadrática x² + y² + z² - t². Muitos físicos consideram que Poincaré divide com

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Lorentz e Einstein o crédito pela criação da teoria da relatividade especial. (BENJAMIN, GILLIPSIE, 2007, p. 2279).

Sobre essa afirmação vaga surgem algumas perguntas: (1) quais foram essas contribuições de Poincaré para teoria da relatividade especial? (2) Elas são suficientes para garantir o crédito de criação dessa teoria? (3) Qual foi o impacto destas contribuições na academia? (4) Quais são as principais diferenças entre o programa de Poincaré, Lorentz e Einstein? Infelizmente o Dicionário de Biografia Científicas não fornece qualquer pista. Esta pesquisa busca responder estas questões intrigantes e ainda pouco abordadas na literatura historiográfica brasileira. Para responder a primeira pergunta, qual a contribuição de Poincaré para relatividade, faremos quatro análises: (a) os conceitos de espaço, tempo e simultaneidade; (b) a formulação do princípio da relatividade; (c) o estudo da inércia e da energia e suas interconexões; (d) um estudo do artigo Sur La Dynamique de l’électron (1905, 1906); (e) quais foram as contribuições e percepções de Poincaré sobre a relatividade após 1905? Após esta apresentação, estaremos preparados para responder a segunda pergunta, se Poincaré deve ser também creditado pela criação da relatividade. Com auxílio das fontes primárias, em particular relatos de Kauffmann, Laue e Lorentz, e estudos da literatura secundária, tentaremos esclarecer a recepção das contribuições de Poincaré. Por fim, iremos comparar a estrutura científica e epistemológica do programa de Poincaré com o de Lorentz e Einstein, tentando estabelecer as distinções. Também mostraremos a intepretação de alguns historiadores que se dispuseram a essa questão. Com esse artigo não almejamos estabelecer de quem é a prioridade da relatividade, mas esclarecer o papel de Poincaré para o desenvolvimento da física moderna e trazer

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a luz suas contribuições esquecidas, pois como observa Logunov (2004, p. 145-146): A omissão dos artigos de Poincaré de 1905 e 1906 continuou por todo o século XX. O senso comum estabelecido é de que a teoria da relatividade especial foi criada somente por A. Einstein. Isto está escrito em livros didáticos, incluindo aqueles usados na escola, em monografias, em livros de divulgação científica, em enciclopédias. Os físicos alemães, diferente dos físicos franceses, fizeram muitos esforços para organizar a situação quando A. Einstein, por si só, foi considerado o criador da teoria da relatividade especial, e essa realização científica como um fruto da ciência alemã. Mas, felizmente, "os manuscritos não mentem". Artigos “Sur la dynamique de l’électron” demonstram claramente a contribuição fundamental de Poincaré para a descoberta da teoria da relatividade especial. Tudo o que veio depois nessa direção foram aplicações e desenvolvimentos de suas ideias e métodos.

Quanto a ponderação das fontes, seguimos as orientações de Logunov (2004, p. 131-132): Na avaliação das obras de 1905 e 1906, bem como nos primeiros trabalhos de H. Poincaré em física, é necessário proceder apenas a partir do seu conteúdo, comparando-o com as ideias contemporâneas, e não para ser guiado por afirmações externas sobre o assunto, mesmo que feita por cientistas de renome, contemporâneos de Poincaré, já que o nível de muitos deles era insuficiente para apreender plenamente o que Poincaré escreveu. Na época, sua personalidade era especialmente manifesta na medida em que, para ele, os problemas físicos e sua formulação matemática adequada se uniam naturalmente e compunham um único todo. Justamente por esse motivo, suas criações são exatas e modernas mesmo depois de cem anos. H. Poincaré foi um daqueles pesquisadores raros, para quem as ciências naturais e a matemática são o meio que as rodeia. Os jovens de hoje,

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diplomados em física teórica, podem facilmente perceber isso, se pelo menos eles lerem as obras de Poincaré de 1905 e 1906.

É necessário cometer esse pequeno anacronismo para avaliarmos o que Poincaré de fato propôs e se suas ideias foram compreendidas pelos seus contemporâneos e como isso afetou a recepção de seus trabalhos. Para aumentarmos a compreensão das ideias de Poincaré também consultamos a correspondência dele no período de 1887, ano em que foi realizada a experiência de Michelson-Morley para detectar o movimento da Terra em relação ao éter, até 1905, quando Poincaré escreveu seu artigo mais importante sobre o assunto: Sur la dynamique de l’eléctron. Esta importante documentação se encontra organizada por Scott Walter no livro La Correspondance Entre Henri Poincaré et les Physiciens, Chimistes et Ingénieurs (2007). Peter Galison (2003) em sua obra Einstein’s Clocks, Poincaré’s Maps, levantou diversos aspectos políticos e sociais que permitiram um cenário fecundo para implementação das ideias de Poincaré sobre a medida do tempo e do espaço. A pesquisa de Galison deixa claro como os mecanismos externos à lógica da ciência pesam sobre a sua heurística e sobre a progressão de modelos e teorias. Por fim, gostaríamos de registrar que, a prioridade nesse estudo são aos conceitos. Em alguns momentos introduzimos as equações e alguns detalhamentos matemáticos para ilustrar as principais ideias de Poincaré. Por uma questão de sincronismo, as equações foram apresentadas na notação empregada por Poincaré, que é bastante diferente das convenções modernas. Para facilitar a leitura, introduzimos nestas seções um pequeno dicionário de símbolos e sempre que achamos necessário, apresentamos a sua correspondente moderna. Começaremos nosso estudo discutindo o papel da sociologia na produção científica de Poincaré, inicialmente revisando alguns conceitos elementares da sociologia geral.

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2. Coletivos de Pensamento de Poincaré Como é construído o conhecimento científico? Essa é uma pergunta bastante complexa para qual temos uma pluralidade de respostas. Nesse estudo queremos lançar um olhar mais humanizado e social sobre a ciência, em especial a Teoria da Relatividade. Por isso invocamos Ludwick Fleck e sua epistemologia para nos ajudar a ler as pistas que as fontes históricas nos dão. Para isso introduziremos alguns conceitos e palavras-chaves da filosofia de Fleck, comecemos com os conceitos de Coletivo de Pensamento (CP) e Estilo de Pensamento (EP). Segundo Fleck (1986, p.149) “portador comunitário [de um estilo de pensamento] é chamado de coletivo de pensamento”. Assim, os estilos de pensamento são [...] um perceber dirigido com a correspondente elaboração intelectiva e objetiva do percebido. Fica caracterizado pelos traços comuns dos problemas que interessam ao coletivo de pensamento, pelos juízos que o pensamento coletivo considera evidentes e pelos métodos que emprega como meio de conhecer. O estilo de pensamento também pode existir acompanhado pelo estilo técnico literário do sistema de saber (FLECK, 1986, p.145).

Sendo o conhecimento uma “atividade mais condicionada socialmente da pessoa e o conhecimento é a criação social por excelência” (FLECK, 1986, p. 89), a compreensão da natureza do conhecimento exige analisar como os sujeitos interagem com diferentes coletivos de pensamento. Segundo Fleck (1986) quando as informações são comunicadas dentro de um mesmo coletivo de pensamento, há uma circulação intracoletiva de ideias. Porém quando há trocas de informação entre diferentes coletivos de pensamento, há uma circulação intercoletiva. Para Fleck (1986) a construção do conhecimento apresenta maior potencial quando há

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circulações intercoletivas. Quando estudamos as contribuições de Poincaré para o desenvolvimento histórico da teoria da relatividade, podemos destacar que as circulações intercoletivas desempenharam um papel fundamental no trabalho científico de Poincaré. Nessa seção iremos destacar os diferentes coletivos de pensamento que Poincaré pertencia para que ao longo do texto, mostrarmos como ocorreu esses diálogos com esses membros de coletivos. Poincaré foi educado em casa pela própria mãe até o seis anos de idade, quando a família contratou um professor particular, o amigo da família Jacques Alphonse Hinzelin (1834-1911), autor de livros sobre geografia, história e matemática (MARTINS, 2015). Segundo Martins, Esse preceptor de Henri conversava com ele sobre todos os assuntos, transmitindo um ensinamento enciclopédico. Essa foi uma importante influência em sua educação, estimulando muito sua curiosidade e autonomia, sem sobrecarregá-lo com tarefas repetitivas. Pode-se dizer que, desde a infância, a família de Henri lhe proporcionou um ambiente intelectual adequado e que durante toda a sua formação lhe deu apoio financeiro para seus estudos. Esses foram dois aspectos que contribuíram muito para sua formação (MARTINS, 2015, p. 108).

Portanto, vemos que na infância Poincaré encontrou uma formação multidisciplinar que o incentiva a dialogar com vários coletivos de pensamento e não apenas manter o foco em uma única disciplina. Esse é um traço, como veremos mais adiante, que fez com que Poincaré se tornasse um homem letrado em diversos coletivos e recebesse o título de Universalista, uma qualidade que mesmo no século XIX havia se tornado rara (GINOUX, GERINI, 2014). O contato de Poincaré com o coletivo de pensamento da ciência ocorreu ainda na infância:

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Depois que aprendeu a ler, em vez de se dedicar à leitura de contos de fadas (como era comum na época), leu obras de divulgação científica e, mais tarde, livros mais sérios. Gostava muito de ler e tinha uma memória notável, sendo capaz de recordar de quase tudo o que lia (MARTINS, 2015, p. 108-109).

Quando Henri Poincaré, tinha entre 11 ou 12 anos, ele começou a integrar a escola básica, dois novos coletivos de pensamento: da geometria e da matemática.1 Segundo Martins (2015), nessa época Poincaré abriu pela primeira vez um tratado da geometria, tendo ficado fascinado e iniciando estudos em obras mais avançadas. Nas aulas de matemática, Poincaré desenvolvia suas próprias soluções para os problemas propostos. “Nessa época, um professor de Henri disse à sua mãe: ‘Senhora seu filho será um matemático’” (MARTINS, 2015, p. 109). Aos treze anos, Poincaré passou também integrar o círculo esotérico dos literatos, tendo escrito sua primeira obra: uma tragédia em versos sobre Joana d’Arc (MARTINS, 2015). Ao final do colegial, Poincaré foi considerado o segundo melhor aluno. Sua posição foi prejudicada devido a falta de habilidades manuais, que o fez tirar notas baixas em disciplinas práticas como laboratório e desenho. Poincaré também tentou aprender piano, mas a sua falta de coordenação não o permitiu que ele conseguisse prosperar nesse empreendimento. Poincaré estava em dúvidas sobre qual curso superior faria: licenciatura em matemática ou engenharia (MARTINS, 2015). Possivelmente pela influência familiar (o tio de Poincaré era um renomado engenheiro de pontes), Poincaré optou pelo curso de

No século XIX e começo do século XX, a geometria era considerado como um campo a parte da matemática, pois enquanto a análise e álgbera trabalhariam com a razão pura do número, a geometria seria uma área empírica (JAMMER, 2013). 1

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engenharia na Escola Politécnica, considerada um dos melhores centros de matemática e física e do mundo (MARTINS, 2015). Ao optar pela engenharia, Poincaré passou a integrar o coletivo de pensamento dos engenheiros. Mesmo Poincaré tendo, posteriormente, abandonado a engenharia, ele continuou a manter comunicação com engenheiros, como mostra sua correspondência pessoal (POINCARÉ, 2007). Na Politécnica, Poincaré também entrou em contato com outros coletivos: física, química, geometria, análise, mecânica e astronomia (MARTINS, 2015). Como revelam os documentos desse período, Poincaré foi aluno do matemático Charles Hermite, que ocupava a cátedra de análise, e Marie-Alfred Cornu, professor da cátedra de física, foram os que mais influenciaram Poincaré (MARTINS, 2015). Paralelo ao coletivo de pensamento dos engenheiros, Poincaré continuou a se comunicar com o coletivo de pensamento dos matemáticos. Foi durante sua graduação em engenharia que Poincaré desenvolveu seu famoso tratado sobre as funções fuchsianas. Poincaré também interagiu com os coletivos de pensamento associado as culturas humanísticas: como a história, política e filosofia. O curso de engenharia exigia que os alunos viajassem constantemente. Nessa época Poincaré visitou a Áustria e a Suécia. Martins (2015, p. 112) relata que “antes de viajar estudava sobre a história, a estatística e os hábitos dos povos que ia encontrar, para poder aproveitar mais suas vivências”. Em uma leitura fleckiana, esse hábito corresponde a uma circulação intercoletiva de ideias. Nesse período, Poincaré costumava a frequentar cafés e restaurantes com seu primo Raymond Poincaré (MARTINS, 2015). Raymond Poincaré, cursava direito e se tornaria primeiro-ministro da França e, posteriormente, presidente da França. Em seus encontros, os primos Poincaré costumavam a discutir assuntos de interesse mútuo como questões sociais, políticas e de filosofia, que incluía Kant, os

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racionalistas (como Descartes), os empiristas (como Hume), iluministas (Rousseau, Voltaire, Montesquieu) entre outros (GINOUX, GERINI, 2014, MARTINS, 2015). Por motivos desconhecidos, Poincaré escolheu se especializar em Engenharia de Minas. Segundo Galison (2003), a experiência de Poincaré com a engenharia de minas em carvão tiveram um impacto negativo sobre ele. Como dissemos, Poincaré nunca deixou de lado seus estudos em matemática, por isso, enquanto servia como engenheiro, ele desenvolveu sozinho uma tese de doutorado em equações diferenciais que foi aprovada, sobre a supervisão de Charles Hermite, em 1879. Logo após seu doutoramento, Poincaré começou a ministrar na Faculdade de Ciências de Caen a disciplina de Análise Matemática. (MARTINS, 2015). Em 1881, Poincaré foi convidado para ser conferencista em Análise Matemática na Escola de Sorbonne. A partir de 1885, Poincaré assumiu novas cátedras, dessa vez em mecânica física (1885), física-matemática2 (1886), cálculo das probabilidades e mecânica celeste. O exercício dessas cátedras fazia com que Poincaré pertencesse a estes coletivos de pensamento. Porém, é importante frisar que Poincaré não tinha apenas uma relação passiva, mas uma relação muito ativa. Poincaré deu contribuições importantes ao campo da probabilidade, desenvolveu análises profundas sobre a mecânica (que foram publicadas em A Ciência e a Hipótese) e contribuições físico-matemáticas que depois foram compiladas no livro Nouvelles Mechaniques. Na mecânica celeste Poincaré escreveu um dos livros mais importantes sobre o assunto Leçons de mécanique céleste e Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. A análise dessa obra e de seu Sur La Dynamique de L’Électron, mostram que Poincaré estudou profundamente a obra Física matemática era o nome da cátedra de física teórica e que envolvia os campos do eletromagnetismo, termodinâmica, óptica, entre outros. 2

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de Lagrange sobre mecânica celeste. Sobre a catédra de físicamatemática, Martins (2015, p. 115) enfatiza que: Embora pudesse se dedicar apenas a um campo, preferia em cada ano ministrar cursos sobre assuntos diferentes da física teórica. Como professor de Física-Matemática na Universidade de Paris, variava sempre o tema de seus cursos. Posteriormente publicou 14 volumes com suas aulas sobre óptica, eletricidade, termodinâmica, propagação do calor e muitos outros assuntos.

Além disso, Poincaré mantinha comunicação por cartas com os mais renomados pesquisadores das áreas de física, engenharia, matemática, geometria, geociências e química. Os documentos que não foram perdidos, deram origem a quatro livros: La Correspondance Entre Henri Poincaré Et Gösta Mittag-Leffler3 (1998), La Correspondance Entre Henri Poincaré Et Les Physiciens, Chimistes Et Ingénieurs (2007), La Correspondance Entre Henri Poincaré, Les Astronomes Et Les Géodésiens (2016) e La Correspondance De Jeunesse D'henri Poincaré (2017). Em 1886, Poincaré já tinha 103 publicações nos campos da física, matemática, geometria, filosofia, engenharia e astronomia. Em 31 de Janeiro de 1887, aos 32 anos, Poincaré foi aceito como membro permamente da Academia Francesa de Ciências, principalmente pelo seus trabalhos sobre funções fuchsianas e as formas de equilíbrio de fluídos em rotação (MARTINS, 2015). Ensinou eletromagnetismo de 1889 a 1899 na Sorbonne, na Escola Politécnica e na Escola de Correios e Telégrafos desenvolvendo análises detalhadas dos trabalhos de Maxwell, Hertz, Larmor, Lorentz e outros pesquisadores importantes da época. Henri teve importante papel na divulgação da teoria de Mittag-Leffler foi um matemático sueco com quem Poincarpe desenvolveu uma forte amizade. As cartas variam de banalidades até problemas fundamentais da análise, álgebra e geometria.

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Maxwell na França (e na Europa Continental), redigindo um livro sobre o assunto que era muito mais claro e completo do que o tratado do próprio Maxwell. Envolvia-se também com relações práticas das teorias, como a aplicação das ondas de Hertz a telegrafia (MARTINS, 2015, p. 120-121).

Em 1893, Poincaré foi admitido no Bureau das Longitudes, onde precisava desempenhar atividades burocráticas, técnicas e científicas. No Bureau das Longitudes, Poincaré trabalhou com a coordenação de observatórios astronômicos, ampliando ainda mais sua circulação de ideias com o coletivo de pensamento dos astrônomos, porém, a principal tarefa de Poincaré no Bureau estava relacionada ao coletivo de pensamento das geociências: a coordenação de relógios para o cálculo da longitude e a medida da geodésica francesa (GALISON, 2003, GINOUX, GERINI, 2014, MARTINS, 2015). Portanto, em 1895, Poincaré quando propôs a primeira protoideia a respeito da Relatividade, ele pertencia a diversos coletivos de pensamento e realizava um processo constante de circulação intercoletiva entre eles. A imagem abaixo apresenta os coletivos de pensamento com maior influência sobre Poincaré ao desenvolvimento da relatividade.

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Uma das características de Henri Poincaré que mais impressionava seus contemporâneos era sua capacidade de se dedicar a muito temas completamente diferentes [circulação intercoletiva] e produzir resultados excelentes em todos eles. Era um “espírito vasto”. Como já foi mencionado, o interesse inicial de Henri era a matemática, mas ele foi se envolvendo gradualmente com vários ramos da física, em sua atividade docente. Embora estivesse ministrando aulas para alunos de graduação, abordava os assuntos de modo profundo, como se estivesse realizando seminários para um grupo de pesquisa. Ao preparar seus cursos, não seguia nenhum livro didático existente: pesquisa trabalhos mais recentes sobre cada assunto, que apresentava de modo crítico aos seus alunos, apontando pontos fracos, indicando as diversas hipóteses [conexões ativas] e teorias conflitantes sobre cada tema [diferentes estilos de pensamento], explorando novos pontos de vista que poderiam ser adotados [conexões ativas], corrigindo falhas e completando lacunas dos trabalhos que descrevia [conexões passivas]. Nesses cursos não demonstrava apenas seu conhecimento vastíssimo, mas também um forte espírito crítico. Tudo pode ser colocado em dúvida, não há certezas intocáveis (MARTINS, 2015, p. 120).

Em uma leitura fleckiana, as questões que Poincaré levantaria a partir de 1895 são conexões ativas que viriam ao a se tornarem conexões passivas, a medida que Poincaré construía a sua interpretação da relatividade. Na epistemologia de Fleck, o fato de Poincaré pertencer a vários coletivos de pensamento e realizar circulações intercoletivas de ideias entre esses círculos foi um fator fundamental para a construção da relatividade. Adiante, iremos detalhar essas circulações intercoletivas que forneceram as bases para Poincaré reformular a questões do espaço e do tempo e, a partir dessa reformulação, construir o princípio da relatividade.

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3. A Medida do Tempo e a Questão da Simultaneidade O desenvolvimento das concepções de espaço, tempo e simultaneidade como fenômenos relativos por Poincaré está intimamente ligado a sua experiência no Bureau das Longitudes. Como mostrou Peter Galison (2003), é bastante improvável que Poincaré tivesse desenvolvido suas ideias sem essa experiência. Portanto para se compreender como Poincaré lidou com estes conceitos, precisamos compreender a evolução histórica desses conceitos e sua importância social. Os conceitos de espaço, tempo e simultaneidade sofreram alterações no decorrer da história. A noção atual que temos de tempo em muito se deve à cultura judaica-cristã que passou a predominar na Europa a partir do século IV d.C. (WHITROW, 1993, JAMMER, 2006). Porém, essa herança foi evoluindo com decorrer dos séculos. A nossa concepção de espaço, tempo e simultaneidade foi também uma construção histórica e social. Para ilustramos essa situação, vejamos a análise do conceito anacronismo para diferentes culturas, proposta por Whitrow (1993, p. 178): Na Antiguidade, só os romanos parecem ter tido uma apreensão dele. Em Israel, o conceito linear de história como o cumprimento de uma promessa feita por Deus não envolvia esse sentido; e entre os gregos, poucos escritores, afora Heródoto, mostraram alguma consciência de desenvolvimento histórico. Voltando aos romanos, verificamos que os personagens de Virgílio, ao contrário de Homero, tinham um sentido do passado e do futuro.

As nossas noções modernas de tempo não surgiriam antes do século XVIII. Embora o relógio mecânico tivesse surgido no final do século XIII (WHITROW, 1993), ele foi se tornar um aspecto fundamental da sociedade a partir do século XVIII com a Revolução Industrial (WHITROW, 1993). Enquanto na sociedade rural o tempo

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era medido em intervalos longos, na sociedade industrial a medida era feita minuto à minuto: Os operários de fábrica, porém, tinham que trabalhar sempre que a máquina a vapor estivesse funcionando. Isto obrigou as pessoas a serem pontuais, com relação não apenas à hora, mas também ao minuto. O resultado é que, diferentemente, de seus ancestrais, tenderam a se tornar escravas do relógio (WHITROW, 1993, p. 180).

As expressões “escravas do relógio” ou “a ditadura do tempo” não são de forma nenhuma exageros. A importância que do tempo na sociedade industrial, moldou a nova sociedade europeia. Para este trabalho, basta compreendermos que o tempo cronológico, passou a desempenhar o papel dominante a partir do século XVIII. A análise de como a sociedade se curvou ao reinado do relógio é apresentada no livro Costumes em Comum (THOMPSON, 2016). Outro evento importante que dominou o século XVIII, era desenvolver alguma forma de se calcular as longitudes durante as navegações marítimas (WHITOROW, 1993). A necessidade de expansão comercial e desenvolvimento de novas rotas de navegação criou uma corrida para se desenvolver métodos de cálculo da longitude. Em 8 de julho de 1714, a rainha Ana deu o assentimento real a um Projeto de Lei para Fornecer uma Recompensa Pública para a Pessoa ou Pessoas que Descobrirem a Longitude no Mar. Um prêmio de 20.000 libras, o equivalente a mais de um milhão de libras hoje, foi oferecido por um método de determinar a longitude no mar com precisão de pelo menos 30 milhas marítimas ao final de uma viagem as Índias Orientais. (WHITROW, 1993, p. 160)

Vários candidatos tentaram, sem êxito, realizar esta medida. O primeiro a solucionar esse problema foi John Harrison (1693-1776) que inventou, em 1735, o cronômetro marítimo. Seus primeiros cronômetros não eram tão precisos, mas permitiam um cálculo

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razoável das longitudes (WHITROW, 1993). Em 1757, Harrison aperfeiçoou sua invenção, e conseguiu um novo cronômetro que quando testado, em 1762, forneceu um erro menor que 1 milha (WHITROW, 1993). Embora o cronômetro de Harrison fosse bastante satisfatório, a nova sociedade, cada vez mais tecnológica e exigente, queria melhorar ainda mais a precisão, e a questão das longitudes ainda era assunto recorrente no século XIX. Em 1883, E. Mach publicou sua obra Die Mechanik onde criticou as concepções newtonianas de espaço e tempo (JAMMER, 2006). E no ano seguinte, foi a vez de J. Thomson discutir o problema da Simultaneidade em um artigo intitulado “On the law of inertia, the principle of chronometry and the principle of absolute clinural rest, and of absolute rotation”. Thomson obviamente percebeu que o estabelecimento da simultaneidade distante representa um problema por causa do tempo de transmissão do sinal empregado. Ele parece mesmo ter percebido que a medição desse tempo de transmissão requer conhecimento de simultaneidade. Se ele tivesse perseguido ainda mais esse conjunto de ideias, ele teria facilmente antecipado a circularidade envolvida com a qual Poincaré lidou quatorze anos depois. (JAMMER, 2006, p. 98)

Por essa breve exposição está claro que o problema das longitudes está conectada ao problema da medida do tempo, sincronização de relógios e a simultaneidade dos eventos. Assim, uma forma de se compreender o problema da longitude seria compreender a natureza da medida do tempo e da simultaneidade. Embora sua medida tenha sido parcialmente resolvida na segunda metade do século XVIII, o problema ainda era tema intrigante no século XIX. Para ser ter uma ideia de como a questão das longitudes era importante havia uma “guerra das longitudes” para se estabelecer qual seria o meridiano oficial (GINOUX, GERINI, 2014). Entre 01 de outubro e 01 de novembro de 1884, 25 países se reuniram em Washington para

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decidir onde seria a localização do meridiano oficial (GINOUX, GERINI, 2014). Os principais candidatos eram a França e a GrãBretanha. Segundo Ginoux e Gerini, haviam três propostas: • O meridiano "internacional", da ilha de Ferro nas Canárias • O meridiano do Observatório de Paris • O Meridiano de Greenwich nos arredores de Londres. Durante a sétima sessão, que ocorreu no dia 22 de outubro de 1884, a assembleia decidiu pelo meridiano de Greenwich. Apesar da decisão, a França só adotaria a nova convenção cerca de 17 anos depois, em fevereiro de 1911. Em 1893, Poincaré passou a integrar o bureau das longitudes. Entre as atribuições dele, estava o desenvolvimento de métodos e medidas sobre as geodésicas terrestres e determinação de longitudes, tendo como referência o meridiano do observatório de Paris. Enquanto o problema das geodésicas era um problema de física e geometria esférica, o problema das longitudes era um problema de sincronização de relógios, bastante complexo. Encontrar latitude é simples. Se a estrela norte estiver em linha reta, você está no Polo Norte; se estiver a meio caminho do horizonte, você estará na latitude de Bordeaux; se estiver no horizonte, você está na latitude do Equador, no equador. Não importa em que momento você faz medições de latitude - em qualquer localização particular, o ângulo da estrela polar é sempre o mesmo. Encontrar a diferença de longitude entre dois pontos é notoriamente mais difícil: requer dois observadores distantes para fazer medições astronômicas ao mesmo tempo. Se a Terra não girasse, não haveria problema: você e eu procurávamos e checávamos quais estrelas estavam diretamente sob a Estrela do Norte (por exemplo). Ao verificar um mapa das estrelas, poderíamos facilmente encontrar nossas longitudes relativas. Mas é claro que a Terra gira, então para corrigir as

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diferenças de longitude com precisão, devemos ter certeza de que estamos medindo a posição das estrelas aéreas (ou sol ou planetas) ao mesmo tempo. Por exemplo, suponha que uma equipe de criação de mapas na América do Norte soubesse a hora em Paris e viu que, no local da equipe, o sol nasceu exatamente seis horas depois do que na Cidade da Luz. Como a Terra leva 24 horas para girar, a equipe saberia que estava em algum lugar ao longo de uma linha de longitude 6/24 (um quarto ou 90 graus equivalentes) do caminho ao redor do mundo a oeste de Paris. Mas como os exploradores poderiam saber que horas eram em Paris? (GALISON, 2003, p. 34-35)

A natureza do trabalho no Bureau das Longitudes exigia conexões passivas burocráticas e práticas. As questões ontológicas e metafísicas da medida do espaço e do tempo soavam mais como elucubrações filosóficas, mas que pouco tinham a acrescentar ao desenvolvimento e coordenação de técnicas entre os operadores, em outras palavras, o círculo esotérico do Bureau das Longitudes presava mais por circulações intracoletivas do que pelas circulações intercoletivas. Poincaré, no entanto, tinha uma perspectiva diferente. Segundo Galison (2003), o curso de engenharia da Politécnica de Sorbone enfatizava tanto os aspectos teóricos das ciências naturais e da matemática quanto a intuição prática. O que diferenciava os engenheiros da Sorbone era sua capacidade de avaliar um problema em diversos coletivos, levantando em uma leitura fleckiana a possíveis conexões ativas. Essa era uma qualidade que Poincaré preservou em toda a sua trajetória acadêmica. Com o surgimento do telégrafo sem fio, surgia uma possibilidade de se sincronizar relógios e fazer medidas geográficas com a essa nova tecnologia. Esses métodos envolvendo pulsos eletromagnéticos foram estudados por Poincaré no Bureau das Longitudes. Em 1898, Poincaré foi encarregado de realizar novas medidas sobre a forma e o raio da Terra. Segundo GINOUX, GERINI, 2014, p. 73)

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No final do século XIX, a questão da forma da Terra ainda era relevante e consistia no cálculo das dimensões médias do elipsóide, incluindo o valor do achatamento, usando instrumentos altamente sofisticados. Assim, em 1898, os membros da Associação Internacional de Geodésia decidiram retomar as operações de medir um arco de meridiano sob duas latitudes extremas. Depois de enviar os capitães Maurain e Lacombe para realizar uma missão de re conhecimento em 16 de maio de 1898, o projeto “científico-militar”, que viu a luz do dia sob o nome de “revisão do meridiano de Quito”, foi revisado por um comissão académica do meridiano cujo relator não era outro senão Poincaré. Em 25 de outubro, Poincaré fez um discurso sobre a Geodésia Francesa durante a sessão pública das cinco Academias.

Neste mesmo ano, Poincaré publica na Revue de métaphysique et de morale um ensaio de 13 páginas intitulado La mesure du temps (A medida do Tempo). Como veremos logo adiante, esse ensaio surgiu das experiências de Poincaré com diferentes métodos para medir a longitude de Paris. Nesse ensaio Poincaré propõe a seguinte pergunta: o que se entende por simultaneidade? o que de fato é simultaneidade? Para responder essa pergunta, Poincaré inicia seu ensaio discutindo a percepção do tempo e a medida dos intervalos de tempo. Após essa apresentação, Poincaré (1898, p. 02) faz duas perguntas: 1º – Podemos nós transformar o tempo psicológico, que é qualitativo, m tempo quantitativo? 2º – Podemos nós reduzir à mesma medida fatos que se passam em mundos diferentes? As perguntas lançadas por Poincaré, há mais de 130 anos, sobre a natureza do tempo, sua medida e sua relação com a simultaneidade, continua em aberto. É verdade que muitos avanços sobre a física do tempo foram feitos no último século, porém os estudos indicam que

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ainda estamos mais perto do começo do que da conclusão (WHITROW, 1993). Uma pergunta que inevitavelmente surge as nossas mentes é: por que a natureza do tempo só ganhou a atenção dos cientistas naturais a pouco mais de um século? A resposta derivada dos estudos históricos e sociais (WHITROW, 1993, GALISON, 2003, JAMMER, 2006, THOMSON, 2016) é o fato do tempo ser absorvido pelo nosso senso comum. Por exemplo, façamos a pergunta, que a princípio pode parecer desprovida de sentido ou importância: “o que faz um cachorro ser um cachorro?” Se mostrarmos a uma pessoa fotos de gatos, porcos e cachorros de várias raças e pelagens, até aquelas que ele nunca tenha visto na vida, ele provavelmente saberá separar estes animais. Do ponto de vista psicológico, em sua ontogênese, o indivíduo experimenta diversos tipos de animais e seu cérebro, inconscientemente, aprende a diferenciar um cachorro de um gato. O cérebro aprende a detectar os traços fundamentais de um cachorro. Observe a figura abaixo:

FONTE: ALVES (1993, p. 154)

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Nenhuma delas é um cachorro, elas são apenas um amontoado de manchas. Porém, nosso cérebro consegue perceber uma semelhança entre a primeira imagem com um cachorro, devido ao padrão comum, em um processo que é conhecido como Gestalt (FLECK, 1986, ALVES, 1993). Observe que se mostrarmos essa imagem para uma pessoa, que por alguma razão que não nos interessa, nunca viu um cachorro, as duas imagens serão apenas amontoados de manchas. O mesmo processo acontece com a nossa intuição sobre o tempo. Desde o nascimento somos condicionados a uma lógica do tempo e do relógio. Usamos calendários, temos dias de descanso, feriados, uma hora padrão para acordar, para realizar nossas refeições e assim por diante. Nossa rotina é condicionada pelo tempo e esse condicionamento cria uma certa familiaridade com tempo. Santo Agostinho (1964) confessou: “o que é, pois, o tempo? Se ninguém me pergunta, eu o sei; mas se me perguntam, e quero explicar, não sei mais nada.” Essa é a mesma confissão que fazemos quando nos perguntamos: “o que é, pois, um cachorro?” Sabemos pela experiência diferenciar cães de gatos, mas de onde vem esse conhecimento se não de nosso inconsciente e das experiências que construímos em longo processo? Ao questionar o Tempo, algo que parecia evidente e claramente manifesto ao espírito científico, Poincaré expões a fragilidade desse conceito. Acreditamos intuir o que é o tempo, mas não temos consciência do porquê. Do ponto de vista histórico, Santo Agostinho havia antecipado a questão no século IV d.C. então, por que uma nova reflexão, empreendida por Poincaré se mostrou tão frutífera? Defendemos que a principal razão foi social. No século I.V. d.C. a intuição do tempo era diferente, não existiam relógios que fragmentavam os dias em horas, minutos e segundos, os cristãos tinham uma tendência voltado ao presentismo por acreditarem em um apocalipse iminente (WHITROW, 1993, GRANT, 2005). No século XIX, a situação era bastante diferente: o relógio era uma

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realidade. Empresas cobravam a hora trabalhada, controlavam rigidamente o tempo e a produção (WHITROW, 1993, GALISON, 2003, THOMPSON, 2016). O controle do tempo se tornou uma questão política que tomou grandes proporções, a Inglaterra e a França empreenderam uma espécie de “guerra da longitude zero”, qual observatório seria o ponto de partida de todas as longitudes: francês ou inglês? (WHITROW, 1993, GALISON, 2003, GINOUX, GERINI, 2013). Em outras palavras, o século XIX apresentou um campo fecundo para que questões sobre a ontologia do tempo pudessem ser desenvolvidas e aplicadas as ciências. Essa condição social propícia que torna a emergência de ideias possíveis pode ser vista no confronto entre os modelos cosmológico geocêntrico e heliocêntrico. Como mostrou A. Koestler (1980) os dados empírico que Copérnico empregou eram os mesmos usados por C. Ptolomeu. Uma condição importante para emergência do heliocentrismo se deu pelas condições políticas da Europa. No caso de Poincaré, era justamente o problema da coordenação de relógios e a compreensão da simultaneidade, para elevar a França na guerra pela prioridade das longitudes, que exigiu que Poincaré levantasse, em uma leitura fleckiana, conexões ativas sobre o tempo. Enquanto não se sai do domínio da consciência, a noção de tempo é relativamente clara. Não só distinguimos sem dificuldade a sensação presente da lembrança das sensações passadas ou da previsão das sensações futuras, como também sabemos perfeitamente o que queremos dizer quando afirmamos que, de dois fenômenos conscientes dos quais conservamos a lembrança, um foi anterior ao outro; ou então que, de dois fenômenos conscientes previstos, um será anterior ao outro. Quando dizemos que dois fatos conscientes são simultâneos, queremos dizer que eles se interpenetram profundamente, de tal modo que a análise não pode separá-los sem mutilá-los. A ordem na qual dispomos os fenômenos conscientes não comporta qualquer arbitrariedade. Ela nos é imposta e não podemos mudá-

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la. Só tenho uma observação a acrescentar. Para que um conjunto de sensações se torne uma lembrança suscetível de ser classificada no tempo, é preciso que tenha cessado de ser atual, que tenhamos perdido o sentido de sua infinita complexidade, sem o que teria permanecido atual. É preciso que ele tenha, por assim dizer, cristalizado em torno de um centro de associações de ideias que será como uma espécie de etiqueta. Só poderemos classificar nossas lembranças no tempo quando estas tiverem, assim, perdido toda vida — do mesmo modo que um botânico arruma em seu herbário as flores dessecadas. Mas essas etiquetas só podem ser em número finito. Assim sendo, o tempo psicológico seria descontínuo. De onde vem a sensação de que entre dois instantes quaisquer há outros instantes? Classificamos nossas lembranças no tempo, mas sabemos que restam compartimentos vazios. Como isso seria possível, se o tempo não fosse uma forma preexistente em nosso espírito? Como saberíamos que existem compartimentos vazios, se esses compartimentos só nos fossem revelados por seu conteúdo? (POINCARÉ, 1898, p. 01).

Ao questionar sobre a consciência do tempo se inata, Poincaré antecipa uma pergunta feita pela psicologia cognitivista. O psicólogo francês J. Piaget (1969) mostrou que, embora o tempo faça parte da história natural e da evolução humana, a noção do tempo não é inata e nem automaticamente aprendidas, mas construtos cognitivos que nascem da experiência e ação. Piaget, em partes inspirado pelas ideias relativísticas de espaço e tempo, realizou experiências sistemáticas com crianças em diversas etapas do desenvolvimento cognitivo e observou a aquisição da intuição do tempo. Segundo Jammer (2006) a origem das dificuldades com o conceito de tempo e a sua medida surgem da sua natureza abstrata. Por exemplo, embora o conceito de espaço possa ser abstraído a metafísica ou a matemática abstrata, podemos nos referir a sua medida a objetos de nosso cotidiano: polegadas, pés, botas. Existe

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uma relação direta entre objeto e o conceito. Mas com o tempo, não temos como estabelecer essa conexão direta. Por exemplo, os gregos acreditavam que dias e noites tinham a mesma duração, mesmo durante os solstícios (WHITROW, 1993). Outras civilizações buscaram em seus objetos cotidianos criar uma forma de medir e definir o tempo. R. Evans-Pritchard (1996) estudou a concepção do tempo entre os Nuer. Para essa tribo o referencial de tempo é o gado e a sucessão do tempo está relacionada as tarefas pastorais. E. P. Thompson (2016) registra as diversas formas que os povos desenvolveram para medir o tempo: em Madagascar utiliza-se o cozimento do arroz (cerca de 30 minutos) ou a fritura de grilos (um instante) como padrões de tempo. Os nativos de Cross-River se referem ao cozimento do milho (cerca de 15 minutos). No Chile do século XVII o tempo era medido em função de orações como Credo e Ave-Maria. Há registros de terremotos que duraram dois Credos e que para cozinhar um ovo seria necessário o tempo de uma AveMaria. Outras civilizações simplesmente rejeitam a ideia de medir o tempo. Segundo Thompson (2016), Pierre Bourdieu também investigou as diferenças percepções na tribo dos Cabilas na Argélia. Bourdieu registrou a completa indiferença dessa civilização ao tempo e que seus habitantes se referem ao relógio como “oficina do diabo” Os cabilas não tem nada como hora marca, segundo Bourdieu, eles apenas combinam de se encontrar em algum local. Synge (1941, p. 251) apresenta um relato muito interessante sobre a percepção do tempo dos habitantes da Ilha Aran: Na ilha, o conhecimento geral do tempo depende, bastante curiosamente, da direção do vento. Quase todas as cabanas são construídas com duas portas em frente da outra, e a mais abrigada das duas fica aberta durante todo o dia para deixar entrar luz no interior. Se o vento é norte, a porta do sul fica aberta, e o movimento da sombra do umbral sobre o chão da cozinha indica a hora; porém assim que o vento muda para o sul,

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a outra porta é aberta, e as pessoas, que jamais pensam em fazer um relógio de sol primitivo, ficam perdidas. Quando o vento é do norte, a velha senhora prepara minhas refeições com bastante regularidade; mas nos outros dias, ela frequentemente prepara meu chá às três horas em vez das seis.

Thompson (2016) mostra que na Inglaterra pré-revolução industrial, a passagem do tempo não diferia das tribos citadas. O trabalho era feito por dia e não pela hora. A revolução industrial e a popularização do relógio forçou a sociedade inglesa se adaptar a ditadura do tempo. O dia agora era fragmentado em horas e por hora o operário era remunerado. No século XIX, o controle do tempo se tornou uma necessidade política e social (GALISON, 2003). Redes de relógio controladas por telégrafos se expandiam. Poincaré, empregado no Bureau das Longitudes, coordenava esse projeto para o governo francês (GALISON, 2003, GINOUX, GERINI, 2014). Portanto, dessas experiências retiradas da história, sociologia e da antropologia, concluímos que a noção de tempo não pode ser tida como inata e que as formas de se medir o tempo variam de sociedade a sociedade. Essa é a mesma conclusão que chega Poincaré olhando a ontologia do tempo. Enunciando que a definição comum do tempo se resume a máxima “a duração de dois fenômenos idênticos é a mesma”, Poincaré inicia uma reflexão para mostrar que dois eventos iguais podem não ter duração igual. Aqui está um detalhe importante. Atualmente, muitos divulgadores e livros de ciência explicam que não há fenômenos instantâneos, pois os fenómenos não podem exceder a velocidade da luz. Por exemplo, se por alguma causa desconhecida o Sol desaparecesse, a Terra levaria em média 8 minutos para sentir a ausência do Sol, pois esse é o tempo necessário para que a luz solar e as perturbações gravitacionais do Sol cheguem até a Terra.

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Em 1898 a situação era diferente. Havia uma considerável parcela de pesquisadores que defendiam que as interações a distância eram instantâneas, pois, do contrário, haveria uma violação do princípio da ação e reação (DARRIGOL, 1996). Foi com base nesse princípio que Wilhelm Eduard Weber desenvolveu seu modelo eletrodinâmico. O surgimento da eletrodinâmica de Maxwell, em 1873, só começaria a repercutir 15 anos depois, com a investigação teórica de Helmholtz e a descoberta de ondas eletromagnéticas por Hertz, em 1888 (DARRIGOL, 1996). Mesmo após as experiências de Hertz, a penetração da concepção de Maxwell de fenômenos elétricos e magnéticos, mediada pelo éter, não foi um processo rápido. Muitos pesquisadores resistiam à teoria de Maxwell pela sua complexidade matemática, preferindo abordagens alternativas (DARRIGOL, 1996). Para se ter um exemplo, durante sua licenciatura em matemática e física, 1896 à 1900, pela Politécnica de Zurique, Albert Einstein não teve nenhuma disciplina direcionada a eletrodinâmica de Maxwell (DARRIGOL, 1995, 1996, 2003). Portanto, em 1898 era muito comum que os físicos acreditassem que não importassem quão distante os eventos ocorressem, os seus efeitos seriam imediatos. Isso justifica que Poincaré presuma tacitamente que seus colegas acreditem que “a duração de dois fenômenos idênticos é a mesma.” Por ser uma afirmação que muitos julgam como evidente, não haveria razão para questiona-la. Porém, a questão não era tão simples para Poincaré. Sendo um especialista em geometria não-euclidianas, dedicando importantes reflexões sobre sua importância e a sua realidade (POINCARÉ, 1887, 1890, 1897) que subsidiariam seu Convencionalismo, Poincaré sabia que se uma proposição, por mais evidente que pareça, como o quinto postulado de Euclides, pode ser substituída por outra proposição, mesmo que repugne o senso, desde que a nova proposição não incorra em nenhuma contradição lógica. Parte da filosofia de Poincaré se baseava em um ceticismo sofisticado, tudo pode e deve

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ser questionado (MARTINS, 2015). Desta forma, considerar que as mesmas causas produzem eventos com durações diferentes não era uma proposição que devesse ser descartada. A objeção mais comum ao raciocínio de Poincaré seria uma violação da terceira lei de Newton, conhecida como o princípio da ação e da reação. Poincaré em suas reflexões sobre a Mecânica considerava que as leis de Newton eram convenções e não fenômenos induzidos da experiência (POINCARÉ, 1890, 1902). Sendo convenções, elas não podem ser consideradas melhores ou mais evidentes que outras convenções. E então devemos modificar nosso postulado e nossa definição. Em vez de dizer “as mesmas causas levam o mesmo tempo para produzir os mesmos efeitos”, devemos dizer “causas mais ou menos idênticas levam mais ou menos o mesmo tempo para produzir mais ou menos os mesmos efeitos”. Nossa definição, portanto, é apenas aproximada. Aliás, como observa com muita propriedade o sr. Calinon numa dissertação recente (Études sur les diverses grandeurs, Paris, Gauthier- Villars, 1897): Uma das circunstâncias de um fenômeno qualquer é a velocidade da rotação da Terra; se essa velocidade de rotação varia, ela constitui, na reprodução desse fenômeno, uma circunstância que não permanece mais idêntica à ela mesma. Mas supor constante essa velocidade de rotação é supor que se sabe medir o tempo. Portanto nossa definição ainda não é satisfatória; certamente não é aquela que implicitamente adotam os astrônomos dos quais eu falava acima, quando afirmam que a velocidade da rotação terrestre vai diminuindo. Que sentido tem em sua boca essa afirmação? Só podemos compreendê- lo analisando as provas que fornecem para sua proposição. De início, dizem que a fricção das marés, que produz calor, deve destruir força viva. Invocam então o princípio das forças vivas ou da conservação da energia. Dizem em seguida que a aceleração secular da Lua, calculada segundo a lei de Newton, seria menor do que a deduzida das observações, se não se fizesse a correção relativa à diminuição da velocidade da rotação terrestre. Invocam,

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portanto, a lei de Newton. Em outros termos, definem a duração do seguinte modo: o tempo deve ser definido de tal maneira que a lei de Newton e a das forças vivas sejam verificadas. A lei de Newton é uma verdade de experiência; como tal, é apenas aproximada, o que mostra que ainda temos apenas uma definição por aproximação. Se agora supomos que vamos adotar uma outra maneira de medir o tempo, nem por isso as experiências sobre as quais está fundada a lei de Newton deixariam de conservar o mesmo sentido. Só que o enunciado da lei seria diferente, porque seria traduzido para uma outra linguagem; evidentemente, seria muito menos simples. De modo que a definição implicitamente adotada pelos astrônomos pode resumir-se assim: “O tempo deve ser definido de tal modo que as equações da mecânica sejam tão simples quanto possível.” Em outros termos, não há um modo de medir o tempo que seja mais verdadeiro que outro; o que geralmente é adotado é apenas mais cômodo. De dois relógios não temos o direito de dizer que um funciona bem e o outro funciona mal; podemos dizer apenas que é vantajoso nos reportarmos às indicações do primeiro. A dificuldade da qual acabamos de nos ocupar foi, como eu disse, muitas vezes assinalada; entre as obras mais recentes que dela tratam citarei, além do opúsculo do sr. Calinon, o tratado de mecânica do sr. Andrade. (POINCARÉ, 1898, p.03-04)

Nessa passagem, fica bastante claro as circulações intercoletivas que Poincaré realiza: ao Poincaré começa com a questão metafísica dos estados físicos como sendo uma consequência das leis de Newton, depois Poincaré mostra que essa definição é imprecisa, recorrendo ao coletivo de pensamento dos astrônomos, desse coletivo, Poincaré utiliza o conceito de energia (termodinâmica) e as definições mecânicas, e retorna ao coletivo da metafísico com uma nova conexão passiva: Em outros termos, não há um modo de medir o tempo que seja mais verdadeiro que outro; o que geralmente é adotado é apenas mais cômodo. De dois relógios não temos o direito de dizer que

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um funciona bem e o outro funciona mal; podemos dizer apenas que é vantajoso nos reportarmos às indicações do primeiro. (POINCARÉ, 1898, p.06)

Poincaré continua seu raciocínio invocando aquilo que se tornou conhecido como Princípio de Mach: a disposição de todos os corpos no universo exercem uma ação sobre o centro de massa de um corpo em qualquer posição do espaço (POINCARÉ, 1897). Como imaginamos um aparelho de medidas ideais, cuja a precisão é infinitamente alta, devemos considerar que até o mais remoto dos corpos interferem no aparelho. Contudo, mesmo o operador mais hábil não conseguirá computar e compensar a interferência de todos os elementos inerciais do universo, por isso é necessário falar em “causas mais ou menos idênticas levam mais ou menos o mesmo tempo para produzir mais ou menos os mesmos efeitos”, mas a definição em si é apenas uma aproximação e está sujeita a um grau de arbitrariedade. Ao analisar o papel das leis de Newton e das forças vivas (energia), Poincaré prefere não utilizar sua conclusão de que elas são convenções. Provavelmente, Poincaré intencionava mostrar que mesmo assumindo que as leis de Newton e a leis de energia são verdades experimentais, é incapaz de justificar que a simultaneidade é absoluta. Mas, assim como ocorreu com as tentativas de provar o quinto postulado de Euclides, os argumentos se provam como um conjunto de proposições circulares. A segunda dificuldade atraiu até aqui muito menos atenção; contudo, ela é inteiramente análoga à precedente; e mesmo, logicamente, eu deveria ter falado dela de início. Dois fenômenos psicológicos se passam em duas consciências diferentes; quando digo que são simultâneos, o que quero dizer? Quando digo que um fenômeno físico que se passa fora de toda consciência é anterior ou posterior a um fenômeno psicológico, o que quero dizer? Em 1572, Tycho-Brahé notou no céu uma estrela nova. Uma imensa conflagração se produzira em algum

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astro muito distante; mas produzira-se muito tempo antes; foi preciso que se passassem pelo menos duzentos anos até que a luz que partia dessa estrela alcançasse nossa Terra. Portanto, essa conflagração era anterior ao descobrimento da América. Pois bem, quando digo isso, quando considero esse fenômeno gigantesco que talvez não tenha tido nenhuma testemunha, já que os satélites dessa estrela talvez não tenham habitantes, quando digo que esse fenômeno é anterior à formação da imagem visual da ilha de Española na consciência de Cristóvão Colombo, o que quero dizer? Basta um pouco de reflexão para compreender que todas essas afirmações, por si sós, não têm nenhum sentido. Só podem adquirir um sentido a partir de uma convenção. (POINCARÉ, 1898, 06-07)

E, mais a frente Poincaré, escreve: As definições comuns que convêm para o tempo psicológico não poderiam mais nos bastar. Dois fatos psicológicos simultâneos são ligados tão estreitamente, que a análise não pode separá-los sem mutilá-los. Dar-se-á o mesmo com dois fatos físicos? Meu presente não está mais perto do meu passado de ontem do que do presente de Sirius? Foi dito também que dois fatos devem ser considerados como simultâneos quando a ordem de sua sucessão pode ser invertida à vontade. É evidente que essa definição não poderia convir para dois fatos físicos que se produzem a grande distância um do outro, e é também evidente que, no que lhes diz respeito, nem sequer se compreende mais o que pode ser essa reversibilidade; aliás, é antes de tudo a própria sucessão que seria preciso definir. (POINCARÉ, 1898, p. 08)

Essas considerações podem parecer triviais, porém devemos nos lembrar que esse artigo foi escrito em 1898, nessa o senso comum, mesmo o científico, não considerava essas ideias tão claras. O pressuposto que a velocidade da luz no espaço se propaga com a mesma velocidade em todas as direções e era independente da velocidade da fonte, ainda não era consensual (DARRIGOL, 1996).

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Menos evidente era a conexão da causalidade e simultaneidade com a propagação da luz. Poincaré construiu a sua percepção do tempo a partir de uma experiência no Bureau das Longitudes (GALSION, 2003). A necessidade de determinação da geodésica francesa, estudos mais precisos sobre a forma da Terra envolviam diretamente o processo de sincronização de relógios usando sinais ópticos (GALSION, 2003). Poincaré havia se tornado um dos maiores especialistas em telegrafia sem fio da França, não há dúvidas que essa experiência foi essencial para romper o senso comum sobre o tempo (GALISON, 2003, JAMMER, 2006, MARTINS, 2015). Porém, o que despertou conexões ativas em Poincaré é a circulação intercoletiva com o coletivo de pensamento da astronomia. No estudo da geodésica e da longitude, as distância eram relativamente pequenas em comparação a velocidade da luz, portanto a troca de sinais poderia ser considerada instantânea. Porém, na mecânica celeste, as distâncias eram “astronômicas” e o fato da velocidade da luz ser finita não poderia ser ignorado. Quando Poincaré levou o problema da sincronização de relógios para o espaço astronômico, ele percebeu que a simultaneidade era relativa e o princípio de coordenação de relógios, a rigor, exigia uma regra mais complicada (POINCARÉ, 1898). Essa regra não era outra senão a transformação de Lorentz. O fato de Poincaré coordenar redes de telegrafo sem fio e pensar no problema da sincronização em escalas astronômicas, forneceu um elemento ativo, que era imperceptível a Lorentz. Procuremos então nos dar conta do que entendemos por simultaneidade ou anterioridade, e para isso analisemos alguns exemplos. Escrevo uma carta; em seguida, ela é lida pelo amigo a quem a enviei. Eis aí dois fatos que tiveram como teatro duas consciências diferentes. Ao escrever essa carta, possuí sua imagem visual, e meu amigo, por sua vez, possuiu essa mesma imagem ao ler a carta. Embora esses dois fatos se passem em

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mundos impenetráveis, não hesito em ver o primeiro como anterior ao segundo, porque creio que aquele foi a causa deste último. Ouço o trovão e concluo que houve uma descarga elétrica; não hesito em considerar o fenômeno físico como anterior à imagem sonora recebida por minha consciência, porque creio que ele é a causa desta. Eis aí, portanto, a regra que seguimos, e a única que podemos seguir; quando um fenômeno nos aparece como a causa de outro, nós o vemos como anterior. É então pela causa que definimos o tempo; mas quase sempre, quando dois fatos nos aparecem ligados por uma relação constante, como reconhecemos qual deles é a causa e qual é o efeito? Admitimos que o fato anterior, o antecedente, é a causa do outro, do consequente. É portanto pelo tempo que definimos a causa. Como ter uma saída para essa petição de princípio? Ora dizemos post hoc, ergo propter hoc, ora propter hoc, ergo post hoc; conseguiremos sair desse círculo vicioso? (POINCARÉ, 1898, p. 08-09)

Segundo o senso comum (conexão passiva) o tempo é a medida de uma consciência sobre a ordem dos eventos (POINCARÉ, 1898). No problema da medida do espaço, um observador registra diferentes posições de um corpo em movimento ordenando a ordem temporal. Por exemplo, se dispomos de um relógio, podemos relacionar as posições ocupadas por um corpo a cada minuto registrado pelo relógio. O que há por de trás desse processo? Segundo Poincaré, estamos dizendo que a posição do corpo A e a posição do ponteiro dos minutos são eventos simultâneos, isto é, são percebidos ao mesmo tempo pelo observador. Portanto, a medida do tempo se transforma em um problema de ordem de eventos simultâneos, ou, de causas e efeitos. Mas como definimos as causas e os efeitos? Por meio do tempo. Sempre observamos que ANTES do trovão há um RELÂMPAGO. Observamos que sempre que a tempestade tende a cessar sempre que a diferença de tempo entre o RELÂMPAGO e o TROVÃO tendem

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a aumentar. Em todos estes exemplos estamos localizando os eventos no tempo. Dizemos que A é a causa de B, porque A acontece ANTES de B. Porém, como podemos organizar os eventos, se ao definir a causa já organizamos os eventos? Essa é a circularidade que Poincaré denuncia e que sustenta a sua tese: a noção e a medida de tempo é convencional. Rubem Alves (1993, p. 124-125) ilustra essa questão: Os dados que estão em suas mãos são: um evento antecedente, “raio”,e um evento que se lhe segue, “trovão”. Haverá algum dado sensório, dentro desta experiência, que corresponda à idéia de causalidade? Não. Se houvesse, seria possível concluir, de uma única experiência, que um determinado evento é causa de outro, o que não acontece. A mesma coisa poderá ser observada na 2.a, 3.a, 4.a experiências. Em nenhuma delas a relação causal aparece como um dado empírico, ao lado do raio e do trovão. Será necessário que as experiências se repitam, se acumulem, criem hábitos mentais... Mas é isto mesmo! Os hábitos e costumes nos fazem ver a realidade através das rotinas, das repetições. Eles criam formas peculiares de contemplar o mundo. Aquilo que já aconteceu muitas vezes, da mesma maneira, deve continuar a acontecer assim mesmo... Esta é a surpreendente resposta que Hume nos dá. “Quando a repetição de um certo ato ou operação particular produz a tendência de renovar o mesmo ato ou operação, sem para isto sermos impelidos por qualquer raciocínio (lógico) ou qualquer processo do entendimento, dizemos sempre que esta propensão é efeito do costume” (Hume. op. cit. p. 57). Assim, a contragosto somos forçados a admitir que, nas teorias, não são apenas os fatos que falam. É o costume, um fator psicológico, que faz com que liguemos estes fatos de uma certa forma. Foi-se o ideal de um discurso que enuncia os fatos apenas. Porque aqui, subrepticiamente, o homem introduz sua crença. Mas a coisa se complica ainda mais quando nos perguntamos acerca dos mecanismos que nos fazem saltar dos dados (passado) para o

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futuro. Hume diz que a “única utilidade imediata de todas as ciências está em que elas nos ensinam a controlar e regular os eventos futuros por meio de suas causas” (Idem, p. 87), o que torna crucial a compreensão desta transição. E a sua conclusão é de novo perturbadora. A única ponte que liga o nosso passado ao futuro é, de forma idêntica, o hábito. As coisas se repetiram tantas vezes, de forma idêntica, que fomos levados a um ato de fé: o futuro deve ser análogo ao passado. Resumindo: elaboramos teorias não porque a lógica o permita ou as observações as produzam. As teorias, estas ambiciosas generalizações que abarcam o passado e o futuro, o aqui e os confins do espaço, são construídas sobre nossa crença na continuidade do universo, uma exigência que brota da fé, dos sentimentos, dos hábitos. Cremos que o universo é ordenado e organizado e que aquilo que é válido aqui e agora será válido também lá e então. A partir disto saltamos do particular para o geral: de alguns gansos para todos os gansos, da amostra do café para a saca inteira, da regularidade que percebi num lugar e tempo específicos, para afirmações que vão até o início e o fim do mundo... Passamos a usar “botas de sete léguas”. Só que elas não são construídas com fatos, mas costuradas com a crença, a esperança, a confiança de que a realidade é contínua e una: um pressuposto de fé que não pode ser provado ou demonstrado. E assim, com sua bota irracional, dotada de asas da imaginação, o cientista levanta, vôo para conhecer o mundo... De fato, algo muito perturbador. Não é de se admirar que filósofos tivessem querido substituir sugestão tão insólita (na verdade, vizinha próxima da religião e dos mitos), pela alternativa mais respeitável da probabilidade, que, sendo menos pretensiosa, tem, pelo menos, a respeitabilidade da matemática

O argumento de Poincaré baseia-se precisamente nessa noção de relações que criam circularidades e não podem ser resolvidas, a não ser pelo estabelecimento de convenções. Isso não significa que toda

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a ciência se fundamente apenas em convenções, apenas algumas verdades. Embora Poincaré tenha distinguido entre geometria e mecânica na medida em que este último contém leis experimentais que não são convenções, ele argumentou que os princípios da mecânica são convenções como os axiomas da geometria. Aceitamos as três leis de Newton como os fundamentos da mecânica, ele argumentou, porque são as leis mais simples, mas não porque são verdadeiras. Ao aplicar esse argumento à "Primeira Lei" de Newton, a lei da inércia, Poincaré teria sido capaz de estender seu convencionalismo do domínio das concepções geométricas ou espaciais para o das concepções temporais, como a igualdade de dois intervalos de tempo. De acordo com a lei da inércia, como declarado no Principia de Newton, “todo corpo continua em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que obrigado a mudar esse estado por forças impressas nele” ou, expressado em breve, uma partícula livre se move sempre com velocidade constante. Mas se tal partícula cobre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, o problema, discutido por Isaac Barrow sobre como verificar a igualdade de dois intervalos de tempo separados temporariamente, parece encontrar facilmente sua solução. Bastaria medir as distâncias iguais cobertas por tal partícula para assegurar a igualdade dos intervalos de tempo correspondentes a essas distâncias. Se, como Poincaré afirma, no entanto, a lei da inércia é meramente uma convenção, não é necessariamente verdade que os intervalos de tempo em discussão são “realmente” iguais em duração. (JAMMER, 2006, p. 99).

Por isso, Poincaré começa avaliar a questão da percepção dos eventos e o princípio da reação: Vejamos, então, não como chegamos a nos sair bem, pois não o conseguimos completamente, mas como procuramos nos sair bem. Executo um ato voluntário A e em seguida experimento

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uma sensação D, que vejo como uma consequência do ato A; por outro lado, por uma razão qualquer, infiro que essa consequência não é imediata, mas que se realizaram fora da minha consciência dois fatos B e C dos quais não fui testemunha, e de tal modo que B seja o efeito de A, que C seja o de B, e D o de C. Mas por que isso? Se creio ter razões para ver os quatro fatos A, B, C, D como ligados um ao outro por um elo de causalidade, por que dispôlos na ordem causal A B C D, e ao mesmo tempo na ordem cronológica A B C D, em vez de qualquer outra ordem? Vejo bem que no ato A tenho a impressão de ter sido ativo, ao passo que experimentando a sensação D, tenho a de ter sido passivo. É por isso que vejo A como a causa inicial e D como o efeito último; é por isso que disponho A no começo da cadeia e D no fim; mas por que colocar B antes de C, em vez de C antes de B? Se nós fazemos essa pergunta, respondemos geralmente: sabemos bem que é B a causa de C, já que vemos sempre B ocorrer antes de C. Esses dois fenômenos, quando somos testemunhas, passam-se numa certa ordem; quando fenômenos semelhantes ocorrem sem testemunha, não há razão para que essa ordem seja invertida. Sem dúvida, mas tomemos cuidado; jamais conhecemos diretamente os fenômenos físicos B e C; o que conhecemos são sensações B’ e C’ produzidas respectivamente por B e por C. Nossa consciência nos informa imediatamente que B’ precede C’, e admitimos que B e C se sucedem na mesma ordem. Essa regra parece de fato bem natural, e contudo muitas vezes somos levados a derrogá-la. Só ouvimos o ruído do trovão alguns segundos após a descarga elétrica da nuvem. De dois raios — um distante e outro próximo —, não pode o primeiro ser anterior ao segundo, embora o ruído do segundo nos chegue antes do ruído do primeiro? (POINCARÉ, 1898, p. 09-10).

O pensamento de Poincaré pode parecer bastante confuso e ir contra o bom senso e a lógica. Porém, essa impressão é causada pelas nossas convenções sobre o tempo e a causalidade (WHITROW,

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1993). Um problema famoso, que foi discutido por Flood (1883) é a questão: “Se uma árvore cai na floresta e ninguém está perto para ouvir, será que faz um som?” Do ponto de vista da metafísica e da ontologia, a questão não é tão simples. Assumir que a árvore caindo não depende da presença de observadores, acaba se tornando apenas um convencionalismo. Não temos uma garantia que a presença de observadores perturbe o sistema de tal forma que modifica as condições de queda da árvore. Os orientais acreditam em uma causalidade diferente da que estamos acostumados (WHITROW, 1993). Por exemplo, na cultura budista a palavra Karma significa ação. Os budistas acreditam que “nenhuma folha caia em vão”, existe um vínculo causal entre todas as coisas. Contudo há dois aspectos na visão dos budistas que diferenciam da visão ocidental: (1) os budistas acreditam que a realidade é uma criação da mente, assim todas as ações humanas (incluindo o próprio pensamento) criam a realidade. (KYOKA, 2012). Não há um aspecto que não seja afetado pelo homem, em outras palavras, a realidade é um todo indivisível e conectado por vínculos causais. (2) não existe uma ação idêntica à outra, cada circunstância é uma união de várias ações e vínculos causais, por isso o homem ouvindo a árvore cair é uma situação causalmente diferente da árvore caindo sozinha. (KYOKA, 2012). Ações diferentes produzem efeitos diferentes É digno de nota que os budistas desenvolveram uma doutrina do tempo que preconiza a relatividade do tempo e da simultaneidade (KYOKA, 2012). A visão de causalidade ocidental deve-se em grande parte a doutrina judaica-cristã que se tornou um padrão. O primeiro filósofo a colocar a questão do tempo no ocidente parece ter sido Santo Agostinho no século IV d.C. (WHITROW, 1993, JAMMER, 2006, 2010). A preocupação dos judeus, e posteriormente, dos cristãos com tempo deve-se a dois fatos: (1) comemoração de datas religiosas

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como a Páscoa e a Festa dos Tabernáculos, que não tinham data fixa, mas dependiam de cálculos envolvendo a Lua cheia e o número de domingos no mês (WHITROW, 1993, JAMMER, 2010). (2) as profecias, cujo cumprimento seria precedido de certos sinais no céu e na vida civil e seriam consequências a desobediência do povo a lei de Deus. Nos evangelhos de Matheus, Marcos e Lucas há um esforço de conectar as profecias do Cristo contidas em diferentes parte do Antigo Testamento com o nascimento de Jesus (THEISSEN, 2018). Para os medievais o tempo tinha um começo (criação descrita em Gênesis) e um fim (a volta de Cristo), porém poucos se dispunham a discutir o que era o tempo (WHITROW, 1993, JAMMER, 2006, 2010). Para os cristãos havia um sentimento de urgência e de fim eminente, portanto as ações desempenhavam um papel muito maior do que as reflexões metafísicas (WHITROW, 1993, JAMMER, 2006, 2010). Uma vez que o mundo estava na eminência do seu fim, com o retorno de Cristo, não haveria porque questionar os conceitos de futuro, duração, simultaneidade, o único interesse no tempo estava em estabelecer cálculos precisos para realização das festas religiosas. (WHITROW, 1993, JAMMER, 2006, 2010) Como não ocorreu o fim do mundo, os medievais passaram a acreditar em um retorno de Cristo não tão imediato e o planejamento de um futuro passou a ser um empreendimento cada vez mais comum (WHITROW, 1993, JAMMER, 2006, 2010). Assim como os judeus no Antigo Testamento atribuíam as desgraças naturais e as crises ao castigo de Deus, os medievalistas também acreditam numa relação causal entre o castigo e a desobediência (WHITROW, 1993, JAMMER, 2006, 2010). O que a pesquisa histórica do tempo tende a mostrar que nossa visão de causas e efeitos, como descrito por Poincaré, foi uma construção fundamentada principalmente no culto religioso. (WHITROW, 1993, JAMMER, 2006, 2010). É por essa razão que parte dos orientais, que não foram influenciados pelo credo judaico-cristão

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apresentavam uma visão diferente do tempo. Quando Poincaré pergunta: “de dois raios — um distante e outro próximo —, não pode o primeiro ser anterior ao segundo, embora o ruído do segundo nos chegue antes do ruído do primeiro?” a resposta de uma pessoa criada na tradição ocidental seria NÃO. Enquanto, uma pessoa criada em uma cultura oriental responderia SIM. Portanto, embora a pergunte afronte nossos sentidos, ela não é descabida de sentido. É possível que essa influência tenha vindo do contato de Poincaré com diferentes culturas (coletivos de pensamento) durante suas viagens ao oriente e a África. Outra possibilidade, é que as ideias de Poincaré fossem uma extensão do Princípio de Mach e sua crítica a Newton: Outra dificuldade; teremos nós realmente o direito de falar da causa de um fenômeno? Se todas as partes do Universo são solidárias numa certa medida, um fenômeno qualquer não será o efeito de uma causa única, mas a resultante de causas infinitamente numerosas; ele é, como se diz com frequência, a consequência do estado do Universo um momento antes. Como enunciar regras aplicáveis a circunstâncias tão complexas? E contudo só desse modo essas regras poderão ser gerais e rigorosas. Para não nos perdermos nessa infinita complexidade, levantemos uma hipótese mais simples; consideremos três astros, como por exemplo o Sol, Júpiter e Saturno; mas para maior simplicidade, vejamolos como reduzidos a pontos materiais e isolados do resto do mundo. As posições e as velocidades dos três corpos em um instante dado bastam para determinar suas posições e suas velocidades no instante seguinte, e por conseguinte num instante qualquer. Suas posições no instante t determinam suas posições no instante t + h, assim como suas posições no instante t - h. E ainda há mais; a posição de Júpiter no instante t, unida à de Saturno no instante t + a, determina a posição de Júpiter num instante qualquer, e a de Saturno num instante qualquer. O conjunto das posições que ocupam Júpiter no instante t +  e Saturno no instante t + a +  está ligado ao conjunto das posições que ocupam Júpiter no instante t e Saturno no instante t + a, por leis tão precisas quanto a de Newton, embora mais complicadas. Portanto, por que não ver um desses conjuntos como a causa do outro, o que levaria a considerar como simultâneos o instante t de Júpiter e o instante t + a de Saturno? Para isso só pode haver razões de comodidade e de simplicidade — muito poderosas, é verdade. (POINCARÉ, 1898, p. 10)

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Embora não cite explicitamente, Poincaré está enunciando o Princípio de Mach que diz que existe uma influência de cada parte do universo sobre a inércia de um copo. Se não podemos, nem por meio da abstração, reduzir as ações sobre um objeto e determinar como cada uma contribui individualmente sobre seus efeitos, não estamos em posição de dizer que a causa de B é A. Outra possibilidade, é uma circulação intercoletiva entre coletivo de pensamento dos engenheiros de minas e a coordenação de linhas férreas, o estudo qualitativo das equações diferenciais e a mecânica celeste, que levaria a Poincaré a uma protoideia da Teoria do Caos. Peter Galison (2003) conseguiu rastrear a origem da Teoria do Caos de Poincaré aos seus serviços prestados enquanto engenheiro de minas para a segurança de minas de carvão. Poincaré havia se interessado pelo problema da estabilidade do sistema solar. Esse problema estava ligado a dificuldade de se estudar a relação mútua entre múltiplos corpos, até o caso mais simples, envolvendo três corpos, apresentava uma complexidade que desafiava os melhores pesquisadores (CHENCINER, MONTGOMERY, 2001). A experiência de Poincaré com mapas de minas de carvão e o uso de sistemas dinâmicos levaram-no a procurar uma solução diferente. Ao invés de empregar a análise matemática, Poincaré buscou uma análise qualitativa destas linhas. (GALISON, 2003). Poincaré estava ciente dessa necessidade já algum tempo, como podemos ver em seu ensaio sobre equações diferencias de 1881: Tomemos, por exemplo, o problema dos três corpos: não podemos nos perguntar se um dos corpos permanecerá sempre em uma determinada região do céu ou se será capaz de se afastar indefinidamente; se a distância de dois corpos aumentará ou diminuirá até o infinito, ou permanecerá dentro de certos limites? Não podemos nos fazer mil perguntas desse tipo, todas as quais serão resolvidas quando pudermos construir qualitativamente as trajetórias dos três corpos? E, se considerarmos um número maior de corpos, qual é a questão da

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invariabilidade dos elementos dos planetas, se não uma verdadeira questão de geometria? A análise qualitativa, visto que mostrar que o eixo maior não tem variações excêntricas, é mostrar que oscila constantemente entre certos limites. Tal é o vasto campo de descobertas que se abre antes dos geômetras. (POINCARÉ, 1881, p. 376-377)

Em 1882, 1885 e 1886, Poincaré republicou esse ensaio fazendo novos acréscimos. Em todos eles, o problema dos três corpos e a necessidade de uma abordagem diferenciada é latente. Esse raciocínio levou a Poincaré desenvolver os fundamentos da topologia moderna. Em 1899, um ano após escrever La Mesure du Temps, Poincaré escreveu a Mittag-Leffer que estava perplexo com a sua descoberta de que “o caos, não a estabilidade, reinava neste novo universo.” (GALISON, 2003), em outras palavras, a causalidade no Universo é acidental. Por fim, Poincaré mostra que as dificuldades impostas pelo princípio de Mach e do problema dos três corpos nos levam a assumir certos pressupostos por comodidade. A complexidade associada aquilo que irá ser chamado de Teoria do Caos, impõe um aspecto convencional na ciência. É importante notar que as convenções exercem mais do que um papel de comodidade, as convenções são essenciais para o progresso da ciência. Poincaré mostra que se os cientistas não assumem essas convenções, a complexidade dos problemas os levariam a estagnação, uma vez que eles insistiriam gastar seus esforços em problemas que podem sequer ter solução. Mas passemos a exemplos menos artificiais; para nos dar conta da definição implicitamente admitida pelos cientistas, vamos observá-los enquanto trabalham, e busquemos as regras segundo as quais investigam a simultaneidade. Tomarei dois exemplos simples; a medida da velocidade da luz e a determinação das longitudes. Quando um astrônomo me diz que determinado

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fenômeno estelar — que seu telescópio lhe revela naquele momento — ocorreu contudo há cinquenta anos, busco o que ele quer dizer com isso: pergunto-lhe de início como o sabe, isto é, como ele mediu a velocidade da luz. Começou por admitir que a luz tem uma velocidade constante, e em particular que sua velocidade é a mesma em todas as direções. Esse é um postulado sem o qual nenhuma medida dessa velocidade poderia ser tentada. Esse postulado jamais poderá ser verificado diretamente pela experiência; poderia ser contradito por ela, se os resultados das diversas medidas não fossem concordantes. Devemos nos considerar felizes por essa contradição não ter ocorrido, e pelo fato de poderem explicar-se facilmente as pequenas discordâncias que podem acontecer. Em todo caso o postulado, em conformidade com o princípio da razão suficiente, foi aceito por todos; o que quero lembrar é que ele nos fornece uma nova regra para a pesquisa da simultaneidade, inteiramente diferente daquela que havíamos enunciado acima. Admitido esse postulado, vejamos como se mediu a velocidade da luz. Sabe-se que Roemer serviu-se dos eclipses dos satélites de Júpiter e procurou saber em quanto tempo o evento se atrasava em relação à predição. Mas como se faz essa predição? Com o auxílio das leis astronômicas, como por exemplo a lei de Newton. Os fatos observados não poderiam do mesmo modo explicar-se se atribuíssemos à velocidade da luz um valor um pouco diferente do valor adotado, e se admitíssemos que a lei de Newton é apenas aproximada? Só que seríamos levados a substituir a lei de Newton por uma outra mais complicada. Assim, adotamos para a velocidade da luz um valor tal que as leis astronômicas compatíveis com esse valor sejam tão simples quanto possível. Quando os marinheiros ou geógrafos determinam uma longitude, têm que resolver precisamente o problema que nos ocupa; sem estar em Paris, devem calcular a hora de Paris. Como se arranjam eles? Podem levar um cronômetro acertado em Paris. O problema qualitativo da simultaneidade é reduzido ao problema quantitativo da medida do tempo. Não preciso retornar

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às dificuldades relativas a este último problema, uma vez que já insisti longamente sobre ele anteriormente. Ou então observam um fenômeno astronômico, tal como um eclipse da Lua, e admitem que esse fenômeno é percebido simultaneamente de todos os pontos do globo. Isso não é inteiramente verdadeiro, já que a propagação da luz não é instantânea; se desejássemos exatidão absoluta, haveria uma correção a fazer, segundo uma regra complicada. Ou então, enfim, servem-se do telégrafo. Antes de mais nada, é claro que a recepção do sinal em Berlim, por exemplo, é posterior à expedição desse mesmo sinal em Paris. É a regra da causa e do efeito analisada acima. Mas posterior em quanto tempo? Em geral, negligenciamos a duração da transmissão e consideramos os dois eventos como simultâneos. Mas para sermos rigorosos seria preciso fazer ainda uma pequena correção, por um cálculo complicado; não a fazemos na prática, pois seria muito menor do que os erros de observação; nem por isso sua necessidade teórica deixa de subsistir, no nosso ponto de vista, que é o de uma definição rigorosa. Desta discussão quero lembrar dois fatores: 1º – As regras aplicadas são muito variadas. 2º – É difícil separar o problema qualitativo da simultaneidade do problema quantitativo da medida do tempo, quer utilizemos um cronômetro, quer tenhamos que levar em consideração uma velocidade de transmissão, como a da luz, pois não poderíamos medir uma tal velocidade sem medir um tempo. (POINCARÉ, 1898, p. 10-11)

Essa é uma passagem que deixa evidente as circulações intercoletivas de Poincaré e a influência do Bureau dos Longitudes. O problema que Poincaré estava analisando era metafísico e, no sentido de Bauman e May, sociológico: o que é o tempo? O que é a simultaneidade? Como medimos o tempo? O que são eventos simultâneos? Para responder essas questões Poincaré analisa o problema na perspectiva filosófica, psicológica, física (mecânica e termodinâmica), na matemática (equações diferenciais e a

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estabilidade) e geometria (grupos e o convencionalismo geométrico). Agora Poincaré convida o seu leitor a discutir a questão do ponto de vista de dois coletivos de pensamento: o da geociências (problema das longitudes, que são ativaram essas conexões em Poincaré) e o da astronomia, dois coletivos de pensamento que Poincaré estava bem familiarizado. Este é o ponto crucial - Poincaré invocou a longitude determinada telegraficamente como a base para estabelecer a simultaneidade entre locais distantes. Ele insistiu, nas linhas mais célebres do ensaio, que na sincronização dos relógios era preciso levar em consideração o tempo de transmissão. Ele imediatamente acrescentou que essa pequena correção faz pouca diferença para fins práticos. E ele observou que o cálculo do tempo exato de trânsito para um sinal elétrico de telégrafo era complexo. De pelo menos 1892-93, Poincaré ensinou a teoria da transmissão telegráfica de sinais e revisou os estudos experimentais que mediam a velocidade da transmissão elétrica em fios de ferro e cobre. Esse interesse não diminuiu. Em 1904, em uma série de palestras na Ecole Supérieure de Télégraphie, ele analisou extensivamente a “equação do telegrafista”, comparando-a com o trabalho de outros e referindo-se especificamente à física dos cabos telegráficos submarinos. (GALISON, 2003, s.p).

Recordemos que no século XIX, os novos métodos da óptica haviam permitido medir com maior precisão a velocidade da luz. Porém, todas essas medidas partiam de um postulado tácito: a velocidade da luz no vácuo é isotrópica. De fato, embora este seja um postulado aceito até hoje, não existe maneira de prova-lo. Deixeme mostrar o porquê. Façamos a pergunta: como medimos a velocidade de um corpo que se desloque por inércia? Marcamos dois pontos sobre uma superfície plana, medimos a sua distância e calculamos o tempo que um corpo demora para se deslocar do ponto A até o ponto B.

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O que torna nossa experiência possível é que o corpo reflete luz solar que chega sobre ele. Suponha que nos encontramos sobre o ponto A, quando o corpo passar por nós disparamos um cronômetro. Quando o corpo ocupar a posição B, a luz que incide sobre ele será, segundo nossa compreensão, refletida e viajará até o ponto A, onde nos encontramos. Quando a luz nos atinge, o cronômetro é interrompido. Se dividirmos o espaço entre os pontos AB pelo tempo registrado no cronômetro obteremos um valor ligeiramente menor para a velocidade do corpo. Isso ocorre, porque quando o corpo chegou em B, esse evento não é simultâneo a nossa percepção. A imagem do corpo teve que viajar a distância AB a velocidade da luz, causando uma diferença de valores. Portanto, devemos subtrair do nosso cronômetro o tempo que a luz gastou até chegar ao ponto A. O cálculo é simples, o tempo a ser subtraído é dado pela razão da distância AB pela velocidade da luz. O problema é: qual a velocidade da luz? Como seria possível medir a velocidade da luz? Assim como no problema do corpo se desloca entre dois pontos, a reflexão nos mostra que é impossível medir apenas a velocidade de ida. Como se perde qualquer noção de simultaneidade para dois eventos separados no espaço, isso exige que as medidas de tempo sejam registradas no mesmo local. Portanto, qualquer medida de velocidade, incluindo a velocidade da luz, é uma medida do tempo de ida e volta. Quando dizemos que a velocidade da luz na ida é igual a velocidade da luz na volta, estamos estabelecendo uma convenção. O problema da simultaneidade nos impõe uma condição física intransponível: medir a velocidade da luz em um único sentido. Como o próprio Poincaré observa, poderíamos supor que a velocidade da luz é variável e o cálculo de ida e volta é apenas uma média, porém, esse postulado introduziria dificuldades adicionais. De todas as infinitas premissas, todas impossíveis de serem decididas pela experiência, a mais simples é aquela que assume que a velocidade da luz é isotrópica.

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Outra premissa que assumimos a validade da lei da inércia. Dizemos que o corpo se desloca por inércia. Mas o que isso significa? Ao nosso entendimento, significa que para cada ponto do espaço, a velocidade do corpo é sempre a mesma. Porém, poderia acontecer que a velocidade do corpo e a velocidade da luz em cada ponto fosse ligeiramente variável, de forma que quando observamos o corpo, essas variações se compensam e confirmamos por meio da definição de velocidade que ela é mesma para todos os pontos. Aqui, acreditamos, que é preciso fazer um importante adendo. O convencionalismo não é um tipo de relativismo filosófico. Não podemos medir a velocidade da luz em um único sentido, porém, todos os observadores em referenciais inerciais concordam que a velocidade de ida e volta da luz no vácuo é igual a c. No problema de medir a velocidade do corpo, tanto um observador em A e um observador em B que adotem a convenção que a velocidade é isotrópica irão concordar quanto a velocidade do corpo, ao realizarem as correções. Em outras palavras, na perspectiva convencionalista existem situações em que não se pode decidir a veracidade dos fatos por meios empíricos, levando aos cientistas optarem por convenções cômodas. Porém, há outros fatos que são determinados pela experiência e sobre os quais devemos nos resignar. Assim, Poincaré conclui sua monografia da seguinte forma: Convém concluir. Não temos a intuição direta da simultaneidade, nem a da igualdade de duas durações. Se cremos ter essa intuição, é uma ilusão. Nós a compensamos com o auxílio de algumas regras que aplicamos quase sempre sem perceber. Mas qual é a natureza dessas regras? Não há regra geral, não há regra rigorosa; há uma multidão de pequenas regras aplicáveis a cada caso particular. Essas regras não se impõem a nós, e poderíamos divertir-nos inventando outras; contudo, não poderíamos nos afastar delas sem complicar muito o enunciado das leis da física, da mecânica e da astronomia. Portanto

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escolhemos essas regras não porque elas sejam verdadeiras, mas porque são as mais cômodas, e poderíamos resumi-las dizendo: “A simultaneidade de dois eventos, ou a ordem de sua sucessão, e a igualdade de duas durações devem ser definidas de tal modo que o enunciado das leis naturais seja tão simples quanto possível. Em outros termos, todas essas regras, todas essas definições são apenas fruto de um oportunismo inconsciente.” (POINCARÉ, 1898, p. 12-13)

Portanto, percebemos que nem o uso do telégrafo sem fio, que Poincaré usou para medir a geodésica francesa, resolvem o problema da simultaneidade. Também podemos constatar como o coletivo de pensamento do Bureau das Longitudes contribuiu para as conexões ativas e passivas de Poincaré. Segundo Galison (2003), as atividades desenvolvidas por Poincaré exigiam a coordenação e sincronização de relógios (conexões passivas) e foi a partir da reflexão das técnicas de medida que Poincaré começou a pensar sobre o aspecto ontológico da simultaneidade e do tempo (conexão ativa). Ao realizar a circulação intercoletiva entre um problema de medida de tempo no Bureau das Longitudes com os círculos da Filosofia (ontologia e metafísica do tempo), Física (princípios mecânicos e eletromagnéticos), Matemática (estudo do espaço) e Astronomia (sistemas de grande distância onde a velocidade da luz não pode ser tratada como instantânea), Poincaré foi capaz de desenvolver uma complexa análise sobre a simultaneidade (conexões ativas) que é, como o próprio Jammer (2006) observou, um dos aspectos mais fundamentais na fundamentação da teoria da relatividade. Geralmente se atribuem esses resultados a Einstein, mas o trabalho de Poincaré apareceu 27 anos antes do trabalho de Einstein. Segundo Jammer (2006, p. 100) “Poincaré então ofereceu o que pode ser considerado como a primeira monografia moderna sobre o conceito de simultaneidade, que, portanto, merece ser discutida em detalhes.”

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É importante também enfatizar que nesse ensaio, Poincaré começa uma protoidea que evoluiria para uma epistemologia composta de juízos analíticos, sintéticos e convenções: o convencionalismo de Poincaré. Essa filosofia de Poincaré tambéem continha protoideias, que em certo sentido, pode ser considerada como uma antecipação qualitativa do Teorema da Incompletude de Gödel, como observa Brown (2017, s.p.): Em uma impressionante ilustração de simultaneidade, Poincaré e Einstein escreveram artigos no verão de 1905 descrevendo suas respectivas visões do princípio da relatividade e suas conseqüências e implicações. Tudo isso foi amplamente discutido na literatura acadêmica sobre as origens da relatividade especial. Menos frequentemente encontramos discussões sobre o papel de Poincaré como precursor de Gödel na crítica à tentativa de Hilbert de fornecer uma prova finita da consistência da aritmética. Costuma-se dizer que o programa de Hilbert foi demonstrado como impossível por Gödel em 1931, mas já no livro Science and Method descobrimos que Poincaré argumentara que o programa de Hilbert era intrinsecamente impossível. Naturalmente, é bem sabido que Poincaré foi um dos primeiros defensores do que veio a ser chamado de intuicionismo, e que ele se opunha tanto ao logicismo de Russell quanto ao formalismo de Hilbert. É certo que o teorema da incompletude de Gödel explicitamente implica mais do que apenas o corolário da impossibilidade de estabelecer a consistência de um sistema formal dentro do próprio sistema. Como o nome sugere, o teorema da incompletude mostra que qualquer sistema formal é inerentemente incompleto, no sentido de que existem proposições que são verdadeiras e não prováveis dentro do sistema. Poincaré não afirmou explicitamente (e muito menos provou) esse fato. Por outro lado, parece seguro dizer que Poincaré aceitou a consistência da lógica aritmética e de primeira ordem, e certamente teria concordado que poderia ser consistente, e ainda assim afirmou que a consistência não

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poderia ser provada dentro do próprio sistema. Este é um exemplo particular de incompletude, e não é difícil mapear o raciocínio que levou a essa conclusão a qualquer outro sistema formal (com complexidade suficiente para implicar aritmética). Assim, semelhante à como Poincaré pode ter antecipado muitos dos resultados da relatividade especial, apesar de ter usado métodos que parecem mais fracos do que aqueles associados à relatividade especial canônica, poderíamos dizer que ele também antecipou muitos dos resultados do trabalho de Gödel sobre fundamentos da matemática, embora por métodos que parecem menos robustos do que os de Gödel.

Um outro ponto que devemos salientar é que, embora não seja declarado explicitamente, Poincaré já havia percebido que o problema do cálculo da longitude estava conectado com as transformações de Lorentz. Quando Poincaré afirma que “a propagação da luz não é instantânea; se desejássemos exatidão absoluta, haveria uma correção a fazer, segundo uma regra complicada” ao que tudo indica tal “regra complicada” é justamente a transformação de Lorentz, em primeira ordem para v/c:: t  t 

vx c2

É bastante interessante que o problema das longitudes e da geodésica da Terra pareciam não serem tão íntimos com os estudos de Lorentz sobre os resultados da experiência de Michelson-Morley, mas estavam intimamente conectado pela transformação do tempo deduzida por Lorentz. A título de contextualização recordemos o que estava ocorrendo com Lorentz. Paralelo aos problemas geográficos que Poincaré encarava no Bureau das Longitudes, novas medidas estavam sendo feitos para tentar medir a velocidade da Terra em relação ao éter. A experiência mais famosa, devido a sua precisão, foi feita pelo físico Albert Michelson e o químico Edward Morley em 1887 (MARTINS, 2015). O resultado da experiência ia contra as

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expectativas: não havia efeitos. Como explicar esse resultado? Uma forma seria buscar transformações de coordenadas que tornassem as equações do eletromagnetismo invariantes. Esse foi o caminho adotado por Larmor e Lorentz. (MARTINS, 2015). Em 1895, H. Lorentz publicou um importante trabalho onde ele apresentava um conjunto de transformações entre sistemas de coordenadas válidas para termos de primeira ordem em v/c. Esse livro foi estudado tanto por Poincaré como por Einstein (MEHRA, 2001). As transformadas aproximadas de Lorentz eram (MARTINS, 2015, p. 95): x' = x – vt y’ = y z’ = z t’ = t –vx/c² As transformações espaciais tem um significado claro. A transformada do tempo não parecia ter um significado claro. Lorentz considerava apenas um truque matemático sem qualquer significado físico. Lorentz chamou esse novo tempo t’ de tempo local. (MARTINS, 2015) Como já observamos, esse tempo local era a tal regra complicada que Poincaré menciona em seu artigo. Uma das qualidades de Poincaré era sua capacidade em lidar com diversos problemas. Por isso sua posição no bureau das Longitudes não isolou Poincaré, pelo contrário (GALSION, 2003 MARTINS, 2015). A medida que projetava novas formas (conexões ativas) para medir longitude e a geodésica francesa, Poincaré trazia novas descobertas (conexões passivas) e as refletia (GALISON, 2003). Diferente de Lorentz, que só se ocupava de problemas matemáticos e teóricos (MARTINS, 2015), Poincaré mesclava seu talento matemático com os problemas práticos das geociências e da mecânica celeste. (GALISON, 2003). Poincaré foi o primeiro pesquisador a perceber o verdadeiro significado do tempo local. Em 1900, foi celebrado a festa do 25ª

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aniversário de doutoramento de H. Lorentz, entre os convidados, estava Henri Poincaré que proferiu um seminário intitulação La théorie de Lorentz et le principe de réaction. Basicamente, a eletrodinâmica de Lorentz parece violar o princípio de ação e reação. Neste seminário Poincaré estuda quais os efeitos colaterais se assumirmos o princípio da reação como verdadeiro. Duas descobertas se destacam: a obtenção da relação massa-energia, E = mc², e o fato do tempo local significar a tentativa de sincronizar relógios com pulsos de luz. (POINCARÉ, 1900). Nesta sessão examinaremos apenas a questão envolvendo o tempo local, teremos a oportunidade de examinar melhor esse artigo na sessão 4. O objetivo de Poincaré é adaptar o Princípio de Reação e, por conseguinte, a conservação do momento linear, dentro da teoria de Lorentz. Após mostrar que isso traria implicações sobre a nossa compreensão da energia, como o fato dela possuir uma inércia, Poincaré discute a relação desse princípio, a eletrodinâmica de Lorentz e o princípio da relatividade. Se todos os objetos materiais são transportados por uma translação comum, como, por exemplo, o movimento da Terra, os fenômenos poderiam ser diferentes daqueles que observaríamos na ausência daquela translação, já que o éter não poderia ser transportado pela translação. Parece que o princípio da relatividade do movimento não deveria se aplicar apenas à matéria comum; então, experimentos foram realizados para detectar o movimento da Terra. É verdade que essas experiências produziram resultados negativos, mas achamos isso bastante surpreendente. Todas as coisa permanecem. Esses experimentos, como eu disse, produziram um resultado negativo, e a teoria de Lorentz explica esse resultado negativo. Parece que o princípio da relatividade do movimento, que não é claramente verdadeiro a priori, é verificado a posteriori e que o princípio da reação deve seguir. No entanto, o princípio da reação não se sustenta; como pode ser? É o caso em que, na realidade, aquilo que

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chamamos de princípio da relatividade do movimento foi verificado apenas imperfeitamente, como mostra a teoria de Lorentz. (POINCARÉ, 1900, p. 272)

Poincaré sugere que isto ocorre devido à múltiplos efeitos de compensação. Dos quatro efeitos que Poincaré elenca, chamamos a atenção a um deles: o problema de sincronização de relógios. Para que a compensação funcione, devemos relacionar os fenômenos não ao tempo real t, mas a um certo tempo local t 'definido da seguinte maneira. Suponhamos que alguns observadores sejam colocados em vários pontos e sincronizem seus relógios usando sinais luminosos. Eles tentam ajustar o tempo de transmissão medido dos sinais, mas eles não estão cientes de seu movimento comum e, consequentemente, acreditam que os sinais viajam igualmente rápido em ambas as direções. Eles realizam observações de sinais de cruzamento, um viajando de A para B, seguido por outro viajando de B para A. A hora local t é a hora indicada pelos relógios que são ajustados dessa forma. Se V  1 K o é a velocidade da luz, e v é a velocidade da Terra que supomos ser paralela ao eixo x, e na direção positiva, então temos: t   t  vx V 2 (POINCARÉ, 1900, p. 272-273)

Poincaré mostra que as transformações de Lorentz levam a uma dilatação do tempo e uma contração do comprimento, e deduz novas equações para o momento e a relação-massa energia E = mc². Estudaremos essas questões mais adiante, foquemos nossa atenção na questão da simultaneidade e do tempo. Em 1901, Poincaré publicou três artigos sobre o estudo das geodésicas: Rapport sur le projet de revision de l'arc de méridien de Quito, Les mesures de la gravité et la géodésie, Sur les déviations de la verticale en géodésie. E um importante livro sobre eletromagnetismo e óptica: Électricité et optique: la lumière et les

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théories électrodynamiques. Neste livro, Poincaré não apenas discutira a eletrodinâmica de Maxwell, mas também as teorias de Larmor e Lorentz, a importância do princípio da relatividade e o princípio da reação na teoria de Lorentz. Neste mesmo ano, Poincaré escreveu um capítulo intitulado Sur les principes de la mécanique, para o livro Bibliothèque du Congrès international de philosophie, Volume 3. Esse capítulo seria republicado em 1902, em A Ciência e a Hipótese. Em 1902, Poincaré publicou três artigos relacionados a seu trabalho no Bureau das Longitudes: Notice sur la télégraphie sans fil. La télégraphie sans fil, Rapport présenté au nom de la Commission chargée du contrôle scientifique des opérations géodésiques de l'Equateur. E neste ano, Poincaré lançou o livro La Science et l'hypothèse (A Ciência e a Hipótese). Essa obra era uma coletânea de seus artigos que tratam do papel da hipótese na produção científica. Essa obra é de importância capital para o estudo da história da teoria da relatividade, pois é a única obra de Poincaré que sabemos que Einstein leu em algum momento entre 1902 e 1903 (MARTINS, 2015). No capítulo sexto, que é a republicação de Sur les principes de la mécanique, encontramos as seguintes afirmações: 1. Não há espaço absoluto e só concebemos o movimento relativo; e, no entanto, na maioria dos casos, os fatos mecânicos são enunciados como se houvesse um espaço absoluto ao qual possam ser referidos. 2. Não há tempo absoluto. Quando dizemos que dois períodos são iguais, a afirmação não tem significado e só pode adquirir um significado por uma convenção. 3. Não apenas não temos intuição direta da igualdade de dois períodos, mas nem sequer intuímos diretamente a simultaneidade de dois eventos que ocorrem em dois lugares diferentes. Expliquei isso em um artigo intitulado “Mesure du Temps”. 4. Por fim, não é a nossa geometria euclidiana, em si mesma, apenas um tipo de convenção da linguagem? Fatos

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mecânicos podem ser enunciados com referência a um espaço não-euclidiano que seria menos conveniente, mas tão legítimo quanto nosso espaço ordinário; a enunciação se tornaria mais complicada, mas ainda assim seria possível. Assim, o espaço absoluto, o tempo absoluto e até a geometria não são condições impostas à mecânica. Todas essas coisas não mais existiam antes da mecânica do que se pode logicamente dizer que a língua francesa existia antes das verdades expressas em francês. (POINCARÉ, 1901, p. 458)

Infelizmente está é a única passagem do livro que fala sobre o tempo e simultaneidade. Poincaré indica como um delineamento dos itens 2 e 3 seu artigo de 1898. Porém, não podemos deixar de notas que suas colocações são claras, e não podem ter passado despercebidas por Einstein. Em 1903, Poincaré não abordou assuntos associados às geodésicas ou problemas de medidas do tempo, esses temas só voltariam em 1904 com a publicação de dois livros sobre telégrafos em fio: Maxwell's Theory and Wireless Telegraphy e La théorie de Maxwell et les oscillations hertziennes: La télégraphie sans fil. Contudo, o trabalho mais importante de Poincaré envolvendo simultaneidade foi sua palestra na Convenção de Artes e Ciências de Saint Louis, no Mississipi, intitulada: L'état actuel et l'avenir de la physique mathématique. Antes de abordarmos esse trabalho, precisamos entender o contexto da física teórica. Em 1892, Lorentz publicou um artigo discutindo o resultado nulo da experiência de Michelson-Morley e propôs sua famosa tese que os braços do interferômetro sofriam uma contração na direção longitudinal. Lorentz tentou justificar sua proposta como resultado da interação molecular da matéria em movimento com éter (LORENTZ, 1895). Poincaré criticou essa proposta dizendo que se tratava de uma hipótese ad hoc e defendeu a necessidade de se criar uma teoria e não emendar hipóteses novas para cada problema (POINCARÉ, 1902, LORENTZ, 1904). Em 1900, Larmor

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conseguiu obter as transformações exatas do espaço e do tempo, mas falhou em conseguir as transformações dos campos elétricos e magnéticos. Para sermos mais exatos, Larmor acreditava que suas transformações eram válidas até a segunda ordem em v/c. Somente com os trabalhos posteriores de Lorentz (1904) e Poincaré (1905) ficaria provado que elas eram exatas. Lorentz aceitou a crítica de Poincaré e passou a produzir uma nova eletrodinâmica dos corpos em movimento. Seus resultados foram divulgados em um memoir de 1904 intitulado: Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light. Pode-se considerar essa a maior contribuição de Lorentz a relatividade. Nesse trabalho Lorentz obteve as transformações exatas do espaço, tempo e do eletromagnetismo, derivou a forma invariante das equações de Maxwell, as leis de transformação das massas transversal e longitudinal do elétron e explicou, sem hipóteses ad hoc, o resultado nulo da experiência de Michelson-Morley. A exposição de 1904 de Poincaré em Saint Louis, tinha como objetivo retratar a crise da física-matemática (física teórica) e mostrar qual era o prognóstico a partir das últimas descobertas, incluindo o memoir de Lorentz. Assim como no seu trabalho de 1900, Poincaré discute o problema da medida do tempo como uma consequência do princípio da relatividade, testado até a última precisão por Michelson e Morley. Em sua palestra de 1904, Poincaré declara: A ideia mais engenhosa foi a do tempo local. Imaginemos dois observadores que desejem acertar seus relógios por sinais ópticos; eles trocam sinais, mas como sabem que a transmissão da luz não é instantânea, tomam o cuidado de cruzá-los. Quando a estação B percebe o sinal da estação A, seu relógio não deve marcar a mesma hora que a da estação A no momento da emissão do sinal, mas essa hora aumentada de uma constante que representa a duração da transmissão. Suponhamos, por exemplo,

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que a estação A envie seu sinal quando seu relógio marca a hora zero, e que a estação B o perceba quando seu relógio marca a hora t. Os relógios estão acertados se o atraso igual a t representar a duração da transmissão, e, para verificá-lo, a estação B expede por sua vez um sinal quando seu relógio marca zero; a estação A deve então percebê-lo quando seu relógio marcar t. Então os relógios estão acertados. E, de fato, eles marcam a mesma hora no mesmo instante físico, mas com a condição de estarem fixas as duas estações. Caso contrário, a duração da transmissão não será a mesma nos dois sentidos, já que a estação A, por exemplo, vai ao encontro da perturbação óptica emanada de B, enquanto a estação B foge diante da perturbação emanada de A. Portanto, os relógios acertados desse modo não marcarão o tempo verdadeiro; marcarão o que podemos chamar de tempo local, de modo que um deles se atrasará em relação ao outro. Pouco importa, já que não temos nenhum meio de perceber isso. Todos os fenômenos que se produzirem em A, por exemplo, estarão atrasados, mas todos terão o mesmo atraso, e o observador não perceberá, já que seu relógio atrasa; assim, como manda o princípio de relatividade, ele não terá nenhum meio de saber se está em repouso ou em movimento absoluto. (POINCARÉ, 1904, p. 808)

Como observa Poincaré, todas as nossas interações são mediadas pela velocidade da luz e essa velocidade é finita. Desta forma, a melhor forma para se medir uma longitude ou uma geodésica é pelo emprego de sinais eletromagnéticos trocados usando um telégrafo sem fio. Porém, esse fato traz uma limitação intrínseca: como a velocidade da luz é finita eventos que passam em diferentes distâncias em relação a dois observadores serão percebidos em momentos diferentes. Além disso, se estes dois observadores estiverem em movimento em relação a um terceiro observador, um evento simultâneo para os dois observadores, pode ocorrer antes para um observador, na perspectiva do terceiro observador.

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Registre que mais uma vez podemos ver a influência que o Bureau das Longitudes teve sobre Poincaré e as circulações intercoletivas com a astronomia. Como nós vimos, uma das atribuições do Poincaré era o emprego de telégrafos sem fio em diferentes estações ao redor da França. Entre 1902 e 1904, Poincaré realizou uma série de publicações sobre este tema, incluindo dois livros. O primeiro artigo de Poincaré sobre o telégrafo sem fio, Notice sur la télégraphie sans fil, foi publicado no anuário do Bureau das Longitudes. Não é surpreendente que o exemplo utilizado nessa palestra para explicar o método de sincronização, era o mesmo que ele empregava no Bureau das Longitudes. Podemos concluir que a dilatação do tempo e a relatividade da simultaneidade que Poincaré apresenta em sua comunicação derivam principalmente de sua experiência com telégrafos sem fio e as medidas geográficas (GALISON, 2003). Antes de seguirmos adiante, precisamos assinalar que Poincaré reconhece que somente esse efeito de dilatação do tempo e relatividade da simultaneidade não são suficientes para garantirem a validade do princípio da relatividade. Poincaré (1904) discute em seguida que é preciso também assumir que os corpos em movimento sofram uma contração na mesma direção do movimento, inclusive calculando a contração da Terra em movimento. Como podemos ver, essa comunicação de Poincaré continha três elementos básicos da relatividade, atribuídos como descoberta de Einstein: relatividade da simultaneidade, a transformação do tempo e do espaço. No começo de 1905, seria publicado a segunda coleção de artigos de Poincaré: La Valeur de la Science, que trazia a transcrição completa palestra de 1904, L'état actuel et l'avenir de la physique mathématique, e o artigo La Mesure du Temps. Neste mesmo ano, Poincaré publicou seu trabalho mais importante: Sur la dynamique de l’électron, que analisaremos em uma seção própria.

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4. A Medida da Geodésica e a Questão do Espaço Segundo Fleck (1986), um dos traços mais importantes em Poincaré era o fato dele pertencer a vários coletivos de pensamentos. Essa foi a característica que fez com que Russell (1983) o batizasse com o título de o “último universalista”. Como um engenheiro de minas formado pela Politécnica e ordenado ao Bureau das Longitudes, Poincaré pertencia ao círculo esotérico dos engenheiros e as questões práticas a respeito das medidas de espaço, principalmente ao problema da geodésica francesa. Para entendermos como Poincaré construiu a sua filosofia do espaço relativo, precisamos entender como a circulação intercoletiva entre estes diferentes círculos esotéricos, o fizeram descartar as concepções habituais de espaço (GALISON, 2003, JAMMER, 2010, GINOUX, GERINI, 2014). Primeiro devemos observar que as concepções de espaço variavam de área para área. Existia uma certa afinidade entre o espaço filosófico, físico, matemático, geométrico e astronômico. Enquanto estes abstraiam sobre a natureza do espaço, os engenheiros e os geógrafos do século XIX estavam preocupados sobre a sua medida (GALISON, 2003, GINOUX, GERINI, 2014). Para tornar mais clara a exposição que pretendemos fazer, iremos separar a nossa análise em diferentes tópicos e verificar as circulações intercoletivas. A telegrafia era o meio de comunicação mais rápido (WHITROW, 1993, GALISON, 2003, GINOUX, GERINI, 2014). Cartas demoravam meses para ser entregue conforme a distância e dependiam de um sistema ainda descoordenado de trens. A recente descoberta de ondas eletromagnéticas por Hertz iniciava o processo de construção do telégrafo sem fio. (WHITROW, 1993, GALISON, 2003, GINOUX, GERINI, 2014). Cientistas de diferentes nações muitas vezes ficavam um grande tempo alheio a descoberta de seus colegas. O contexto geopolítico do século XIX era radicalmente

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diferente da experiência cotidiana do século XXI. Se hoje existe um processo de globalização e as publicações científicas são disponibilizadas virtualmente, integrando cientistas de diferentes nações, no século XIX, havia uma forte segregação. Os pesquisadores prussianos e ingleses disputavam o domínio da ciência. Os prussianos, principalmente incentivados por Ernest Mach, e posteriormente, pelo Círculo de Viena, contestavam o modelo mecânico e metafísico de Newton. Mach escreveu (1883, s.p.): Ninguém pode dizer nada sobre espaço absoluto e movimento absoluto, isso é apenas algo que pode ser imaginado e não é observável em experimentos. Em vez de referir um corpo em movimento ao espaço (a algum sistema de referência), consideraremos diretamente sua relação com os objetos do mundo, somente dessa maneira é possível definir um sistema de referência. Mesmo no caso mais simples, quando aparentemente consideramos a interação entre apenas duas massas, é aconselhável nos distrair do resto do mundo. Se um corpo gira em relação ao céu de estrelas imóveis, surgem forças centrífugas, enquanto que se gira em torno de um corpo, em vez do céu de estrelas imóveis, nenhuma força centrífuga surgirá. Não tenho nada contra chamar de primeira a primeira revolução, se pelo menos não esquecermos que isso significa nada além de revolução voltada para o céu de estrelas imóveis. Não há necessidade de relacionar a lei da inércia a algum espaço absoluto especial.

Os ingleses, por outro lado, acreditavam que a dependência do período dos relógios com a latitude e os desvios do pêndulo de Foucault, bem como a experiência mental do balde de Newton, eram argumentos suficientes em favor da existência do espaço absoluto. Historicamente, a disputa política sobre a natureza do espaço entre ingleses e alemães, remete ao próprio Newton. Enquanto Newton, e seu discípulo Samuel Clarke defendiam a necessidade de um espaço

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absoluto, Wihelm Leibniz defendia a existência de um espaço relacional (JAMMER, 2013). A prioridade científica e o respeito ao cientista no século XIX desempenhavam um papel muito grande no cenário geopolítico. Benjamin Franklin, presidente dos Estados Unidos e pesquisador, conseguiu apoio da França contra a Inglaterra, devido a sua autoridade como pesquisador em fenômenos elétricos. A França se envolveu em um escândalo de falsificação de Vrain—Lucas, que escreveu cartas que “provavam” que Blaise Pascal teria antecipado os trabalhos de Newton (KRAGH, 2001). Outro campo em que ingleses e prussianos disputavam a prioridade era na eletrodinâmica. Os ingleses sustentavam os trabalhos de Michael Faraday e James Maxwell que previam que ação das cargas era mediada por campos invisíveis associados ao éter (DARRIGOL, 1995, 1996). Os alemães preferiam as ações instantâneas e relacionais dos trabalhos de Weber e Neumann. Essa tensão entre prussianos e ingleses só tenderia aumentar, principalmente com o início da primeira guerra mundial, onde um país boicotava até a cultura científica do outro (DARRIGOL, 1995, 1996, 2003). Embora houvesse um conflito evidente do domínio da cultura científica, havia países que se mantinham neutros, como a Holanda. Na epistemologia de Fleck, podemos considerar que cada país, tinha pelo menos um coletivo de pensamento preponderante em torno da ciência e que seu principal objetivo era expandir o círculo esotérico para o resto da Europa até finalmente eliminar os estilos de pensamento conflitantes. A neutralidade da Holanda mostrou-se fundamental para que existisse uma circulação intercoletivas entre o Coletivo de Pensamento prussiano e o Coletivo de Pensamento inglês. Como os pesquisadores desse país pertenciam aos dois círculos, eles permitiam a penetração de ideias diferentes.

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A França também pertencia a elite intelectual, como exemplos, temos Charles Fourier, Gaston Gassendi, Simon Laplace, Diderot, Lagrange, Blaise Pascal, Evaristo Galois e Jean D’Alambert estavam entre os mais renomados pesquisadores. No século XIX, a França entreteve uma guerra geopolítica com a Inglaterra, que posteriormente ficou conhecida como a guerra pela longitude zero. Com o aprimoramento do relógio mecânico, tornou-se possível medir a longitude com maior precisão. A França e a Inglaterra eram de longe as duas nações com a maior perícia em navegação. Os ingleses se declaravam superiores aos franceses por terem vencido a batalha de Waterloo em Trafalgar contra a frota de Napoleão. A França pretendia superar a Inglaterra pelo domínio das rotas de navegação. Para atingir esse objetivo, os franceses deveriam estabelecer o método mais eficiente do cálculo da longitude, se possível usando a tecnologia mais avançada: o telégrafo sem fio. Havia um segundo objetivo, muito mais simbólico, mas que levantaria a moral francesa: ter o observatório de Paris como a referência de meridiano da longitude zero (GINOUX, GERINI, 2014). A guerra dos meridianos se provou um novo Waterloo para a França: no dia 22 de outubro de 1884 o meridiano inglês do observatório de Greenwich foi escolhido como a longitude zero. Para se ter uma ideia de como a França reagiu a essa decisão, o governo francês só adotou o horário mundial (antigo GMT) e reconheceu o meridiano de Greenwich a partir de 1911 (GINOUX, GERINI, 2014). Nessa época, Poincaré já ocupava uma posição no Bureau das Longitudes. Sobre este caso Poincaré teria dado pouca atenção e até debochado: Recebemos aqui no "Bureau des Longitudes" uma comunicação do diretor do observatório do México, que tenho o prazer de repetir. “Existe na França, disse o astrônomo, uma cidade pela

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qual passa com precisão o meridiano de Greenwich: é Argetan. A França deve adotar o tempo de Argentan, para que a autoestima francesa permaneça intacta!” Essa é uma solução, disse Poincaré, rindo. (GINOUX, GERINI, 2014, p. 69)

A relação de Poincaré com a política deve ser ponderada de forma cautelosa: Henri Poincaré era um homem letrado também em ciências políticas. Seu primo e amigo Raymond Poincaré ocupou o cargo de primeiro ministro e presidente da França. Os dois apreciavam conversar sobre filosofia e belas artes. Quando Poincaré foi indicado, em partes pela confiança de seu primo em sua competência, para o Bureau das Longitudes, uma parte do trabalho era extremamente burocrática. Poincaré não estava apenas preso ao preenchimento de papeladas, mas também deveria fornecer relatórios (raports) e conferências para especialistas e políticos (GALISON, 2003, GINOUX, GERINI, 2014). Uma destas conferências foi publicada no livro O Valor da Ciência (POINCARÉ, 1905) sobre o nome de A Astronomia. Os governos e os parlamentos devem achar que a astronomia é uma das ciências que custam mais caro: o menor instrumento custa centenas de milhares de francos, o menor observatório custa milhões; cada eclipse acarreta depois de si despesas suplementares. E tudo isso para astros que ficam tão distantes, que são completamente estranhos às nossas lutas eleitorais, e provavelmente jamais desempenharão qualquer papel nelas. É impossível que nossos homens políticos não tenham conservado um resto de idealismo, um vago instinto daquilo que é grande; realmente, creio que eles foram caluniados; convém encorajálos, e lhes mostrar bem que esse instinto não os engana, e que não são logrados por esse idealismo. Bem poderíamos lhes falar da Marinha, cuja importância ninguém pode ignorar, e que tem necessidade da astronomia. Mas isso seria abordar a questão por seu lado menos importante. A astronomia é útil porque nos eleva acima de nós mesmos; é útil porque é grande; é útil porque é

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bela; é isso que se precisa dizer. É ela que nos mostra quão pequeno é o homem no corpo e quão grande é no espírito, já que essa imensidão resplandecente, onde seu corpo não passa de um ponto obscuro, sua inteligência pode abarcar inteira, e dela fruir a silenciosa harmonia. Atingimos assim a consciência de nossa força, e isso é uma coisa pela qual jamais pagaríamos caro demais, porque essa consciência nos torna mais fortes. Mas o que eu gostaria de lhes mostrar, antes de tudo, é a que ponto a astronomia facilitou a obra das outras ciências, mais diretamente úteis, porque foi ela que nos proporcionou um espírito capaz de compreender a natureza.

Por outro lado, Poincaré considerava a ciência um empreendimento mais nobre que os interesses políticos (POINCARÉ, 1908). Em certo sentido, Poincaré era um idealista. Podemos assim compreender que o estilo de pensamento em relação à política era que ele entendia a necessidade de ter que dialogar com autoridades e que sua pesquisa deveria ser rentável para garantir o financiamento, mas que ele mesmo rejeitava os preconceitos a respeito da cultura científica, adotando uma posição semelhante à dos holandeses. Esse é um fato importante sobre Poincaré, que revela suas conexões ativas. Enquanto a maioria dos pesquisadores assumiam institutos ou cátedras e lidavam apenas com problemas da própria disciplina e tinham uma certa liberdade, Poincaré era obrigado a dar satisfações e participar da retórica política. Participar desse círculo esotérico fez com que Poincaré buscasse resultados satisfatórios e aplicações para as suas ideias. Como muitas ideias não apresentavam retorno imediato, Poincaré precisava investir em argumentos metafísicos e históricos, seguindo na contra mão de Mach. Por outro lado, Poincaré não tinha barreiras culturais. Aceitava com bom grado a física dos alemães e dos ingleses. Por isso, junto à Lorentz, Poincaré era um dos poucos que dominavam a teoria de Maxwell

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antes que ela se tornasse difundida pela Europa. E dos alemães, Poincaré conheceu a geometria qualitativa (topologia), a geometria axiomática de Hilbert e a teoria de grupos infinitesimais de Lie (AUFFRAY, 1998). Poincaré também era um estudioso da obra de Kant, com quem ele discutia com Raymond. Kant também se dedicou a ontologia do espaço em sua tese dos juízos analíticos e sintéticos. O problema do espaço para seus predecessores era um problema metafísico. Embora Poincaré partilhasse também desse desafio, enquanto membro do Bureau das Longitudes, o problema do espaço era prático: medir a forma da Terra, medir a geodésica francesa, medir a longitude. (GALISON, 2003, GINOUX, GERINI, 2014). Para o geografo e para o engenheiro, o problema do espaço é um problema da medida, em outras palavras, é um problema de melhorar a precisão do aparelho ou dos métodos empregados. Naquela época acreditava-se que sempre seria possível construir ou pelo menos idealizar um aparelho cada vez mais sensível, isto é, não haveria um limite, essa era a conexão passiva sobre técnica no século XIX. Porém, Poincaré percebeu que a melhor forma de lidar com a geopolítica era respondendo uma pergunta mais urgente: qual limite de sensibilidade dos nossos aparelhos? Aqui percebemos algumas conexões ativas: antes do Bureau das Longitudes, Poincaré havia desenvolvido estudos e mapas para o transporte de carvão. Em suas tentativas de melhorar o suprimento, ele acabou descobrindo que por melhor que fosse a distribuição, existiria uma pequena perturbação que tornava o sistema imprevisível. Essa mesma perturbação aparecia em sistemas cíclicos como o sistema solar e não permitiam decidir sobre a sua estabilidade (GALISON, 2003). Esse pequeno número que parecia comprometer todas as medidas e que depois seria a base da teoria do caos, suscitava uma dúvida nova: poderia existir uma medida absoluta de espaço? Poderia um aparelho ser

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infinitamente sensível? Responder essas perguntas mostrariam para Poincaré o limite da tecnologia e permitiriam convencer o comitê de políticos sobre como investir em seu trabalho. Para responder essa questão, Poincaré precisou realizar um longo processo de circulação intercoletiva entre diversos círculos esotéricos. Essa comunicação tornou latente as conexões ativas sobre a natureza do espaço, do tempo, da geometria e da simultaneidade e deram a Poincaré não apenas a capacidade de gerir as necessidades do Bureau das Longitudes, como a capacidade de extrapolar a eletrodinâmica de Lorentz e formular o princípio da relatividade como uma lei universal. Portanto, das questões envolvendo o espaço e a sua medida, haviam três questões fundamentais a serem resolvidas: qual a geometria mais adequada para medida da longitude e da geodésica? Até que ponto é possível separar a influência do medidor sobre a medida? Qual a melhor forma de se medir a longitude e a geodésica? Por mais de 20 séculos acreditou-se que existia apenas uma geometria compatível com a experiência e com a razão: a geometria euclidiana. Contudo, as dificuldades em sustentar o axioma das paralelas, levou ao matemático húngaro N. Bolyay e ao matemático russo Lobachvesky a criarem uma geometria tão consistente quanto a euclidiana, mas que rejeitava o axioma das paralelas. B. Riemann posteriormente tentou formular uma teoria qualitativa geral das geometria, a análise sytus que posteriormente seria chamado de topologia. A teoria de Riemann, porém não permitia dizer quais seriam as geometrias possíveis de se construir. Essa tarefa ambiciosa foi empreendida por D. Hilbert em seus Fundamentos da Geometria, onde o autor tentou agrupar todos os axiomas possíveis para se construir geometrias (POINCARÉ, 1902).

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Assim, no final do século XIX o número de geometrias possíveis tinha aumentado. Era natural que os matemáticos e os físicos se perguntassem: qual é a verdadeira geometria do espaço? A primeira vista, essa pergunta talvez parecesse uma abstração sofisticada demais para um engenheiro à frente do Bureau das Longitudes, mas Poincaré compreendia que o problema da geodésica e da longitude só poderia ter uma resposta plenamente satisfatória se fosse possível estabelecer a geometria mais adequada do espaço (POINCARÉ, 1902). Para responder essa questão, Poincaré começou a desenvolver a teoria dos homeomorfismos e difeomorfismos4 entre variedades gerais e a variedade euclidiana. A conclusão de Poincaré foi que não existe uma geometria mais adequada para o espaço, mas uma geometria mais cômoda, pois os elementos de uma geometria sempre podem ser traduzidos em elementos de outra geometria (POINCARÉ, 1902). Poincaré acreditava que a nossa experiência com a geometria euclidiana sempre a tornaria a favorita, contudo, anos mais tarde, as geometrias pseudo-euclidianas e, posteriormente, as pseudo-riemannianas se mostrariam mais cômodas. Essa equivalência entre as geometrias foi um elemento essencial na construção de sua epistemologia: o convencionalismo. O fato que Poincaré havia espantado qualquer dúvida sobre qual a melhor geometria. Agora ele sabia que a escolha não afetaria na precisão das medidas e podia se preocupar com outras questões, como: até que ponto é possível separar a influência do medidor sobre a medida? Um homeomorfismo é uma aplicação que a cada elemento de uma estrutura associa-se a um único elemento de outra estrutura. Se essa aplicação for bijetiva, temos um isomorfismo. Se esse isomorfismo for entre duas variedades diferenciáveis, ele é denominado de difeomorfismo. Se a aplicação for na próprio estrutura, o homemorfismo é chamado de endomorfismo. Se o endomorfismo for isomórfico, ele é denominado de automorfismo. As transformações de Lorentz são um automorfismo de M4 em M4. 4

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Essa era uma questão bastante complexa, que dividia os filósofos entre os empiristas e racionalistas. Para o empirista radical todo conhecimento era devido as sensações. Os sentidos constroem a realidade e fornecem conhecimento seguro do mundo. O empirista ingênuo não confia nos instrumentos, pois estes distorcem a realidade antes que ela seja apreendida pelo sentido. O instrumentalista defende que o instrumento é apenas uma amplificação de nossos sentidos, que torna possível ver uma realidade que de outra forma seria incognoscível (CHALMERS, 2017). Os racionalistas, por sua vez, acreditavam que os sentidos contaminam o conhecimento. O verdadeiro conhecimento deve ser obtido por um processo racional que exclua qualquer percepção pessoal sobre o objeto. A geometria analítica de Descartes correspondia ao ideal do racionalismo, pois as formas grosseiras da geometria, contaminadas pela percepção, eram traduzidas em termos algébricos, abstratos. Assim, enquanto um empirista representa as figuras geométricas por figuras, cujas medidas correspondem a proporções de suas réguas e compassos, o racionalista procura as equações algébricas consistentes com as características definidas a priori. Coube ao filósofo alemão I. Kant buscar uma síntese entre a razão pura e a razão prática. A crítica de Kant deu origem a teoria dos juízos analíticos e juízos sintéticos. O pensamento de Kant é altamente complexo e foge ao escopo de nossa análise, porém K. Brown apresenta uma ideia bastante clara da síntese do espaço derivada da crítica kantiana. Normalmente tomamos por garantida a existência através do tempo de objetos que se movem de acordo com leis fixas no espaço tridimensional, mas esse é um modelo altamente abstrato do mundo objetivo, distante das impressões sensoriais cruas que compõem nossa experiência real. Esse modelo pode ser consistente com nossas impressões sensoriais, mas certamente

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não é determinado exclusivamente por elas. Por exemplo, Ptolomeu e Copérnico construíram dois modelos conceituais muito diferentes dos céus, baseados essencialmente no mesmo conjunto de impressões sensoriais brutas. Da mesma forma, Weber e Maxwell sintetizaram dois modelos conceituais muito diferentes de eletromagnetismo para explicar um único conjunto de fenômenos observados. O fato de que nossas impressões e experiências sensoriais cruas são (pelo menos nominalmente) compatíveis com conceitos amplamente diferentes do mundo levou alguns filósofos a sugerir que devemos dispensar completamente a ideia de um "mundo objetivo" e basear nossas teorias físicas em nada além de impressões sensoriais diretas, sendo tudo o mais apenas produto de nossa imaginação. Berkeley expressou a identificação positivista de impressões sensoriais com existência objetiva pela famosa frase "esse est percipi " (ser é ser percebido). No entanto, todas as tentativas de basear teorias física sem nada além de impressões sensoriais cruas, evitando elementos conceituais arbitrários, invariavelmente fundadores desde o início, porque não temos meios seguros de distinguir impressões sensoriais de nossos pensamentos e ideias. De fato, mesmo a decisão de fazer essa distinção representa uma escolha conceitual significativa, que não é estritamente necessária com base na experiência. O processo pelo qual nós, como indivíduos, aprendemos a reconhecer impressões sensoriais induzidas por um mundo externo e a distingui-las de nossos próprios pensamentos e ideias internas, é altamente complicado e talvez, no final das contas, inexplicável. Como Einstein colocou (parafraseando Kant) "o eterno mistério do mundo é sua compreensibilidade". No entanto, para examinar os fundamentos epistemológicos de qualquer teoria física, devemos considerar um pouco como os elementos da teoria são realmente derivados de nossas impressões sensoriais cruas, sem interpretá-las automaticamente em termos convencionais. Por outro lado, se suprimirmos todos as noções pré-concebidas, incluindo regras comuns de

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raciocínio, dificilmente podemos esperar progredir. Devemos escolher um nível de abstração suficientemente profundo para dar uma perspectiva significativa, mas não tão profundo que nunca possa ser conectado às ideias convencionais (BROWN, 2017, s.p.)

Sendo um estudioso da filosofia do espaço, Poincaré estava muito bem familiarizado com as críticas de seus antecessores. Para compreender o papel da experiência na geometria, Poincaré inicialmente analisou a relação entre a geometria e os sentidos, em uma área que ele denominou de geometria tátil ou visual. Poincaré compreendeu que a natureza do espaço estava intimamente relacionada ao estado de movimento dos corpos: Mostrei em A ciência e a hipótese o papel preponderante desempenhado pelos movimentos do nosso corpo na gênese da noção de espaço. Para um ser completamente imóvel, não haveria nem espaço nem geometria; os objetos exteriores se deslocariam à sua volta em vão, e as variações que suas impressões sofreriam com esses deslocamentos não seriam atribuídas por esse ser a mudanças de posição, mas a simples mudanças de estado: esse ser não teria qualquer meio de distinguir esses dois tipos de mudanças, e essa distinção, para nós capital, não teria qualquer sentido para ele. (POINCARÉ, 1905, p. 04-05)

Depois, Poincaré estuda a questão da dimensionalidade do espaço. Do ponto de vista da epistemologia fleckiana, o conceito de dimensão é uma conexão passiva. No século XIX, poucos matemáticos refletiam sobre o caráter dimensional da geometria, Poincaré foi um dos pioneiros a observar a necessidade de se definir rigorosamente o conceito de dimensão (COURANT, ROBBINS, 2001). As definições de dimensão eram aceitas a partir dos postulados de Euclides de ponto, reta, plano e espaço. A necessidade de aprimorar medidas geográficas despertaram como uma conexão

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ativa, fazendo com que Poincaré buscasse entender a ideia de dimensionalidade do espaço. Inicialmente, Poincaré (1905) busca no empirismo argumentos para compreender a dimensionalidade do espaço: Vai-se dizer então que é a experiência que nos informa que o espaço tem três dimensões, já que é partindo de uma lei experimental que chegamos a lhe atribuir três? Mas só fizemos aí, por assim dizer, uma experiência de fisiologia; e mesmo que bastasse adaptar aos olhos lentes de fabricação conveniente para fazer cessar a concordância entre as sensações de convergência e de acomodação, iremos nós dizer que basta colocar óculos muito grossos para que o espaço tenha quatro dimensões, e que o fabricante de lentes que as fez deu uma dimensão a mais ao espaço? É evidente que não: tudo o que podemos dizer é que a experiência nos informou que é cômodo atribuir ao espaço três dimensões. Mas o espaço visual não é mais que uma parte do espaço, e na própria noção desse espaço há alguma coisa de artificial, como expliquei no início. O verdadeiro espaço é o espaço motor. (POINCARÉ, 1905, p. 95)

Poincaré identifica o espaço motor como aquele formado pelo grupo matemático dos deslocamentos. Em síntese, Poincaré está desenvolvendo uma topologia cuja cinemática é a álgebra de Lie do grupo infinitesimal de deslocamento (POINCARÉ, 1905, p. 99-100): Entre as mudanças que se produzem em nossas impressões, distinguimos de início as mudanças internas, voluntárias e acompanhadas de sensações musculares, e as mudanças externas, cujos caracteres são opostos. Constatamos que pode acontecer que uma mudança externa seja corrigida por uma mudança interna que restabelece as sensações primitivas. As mudanças externas que são suscetíveis de ser corrigidas por uma mudança interna chamam-se mudanças de posição; aquelas que não o são chamam-se mudanças de estado. As mudanças internas suscetíveis de corrigir uma mudança externa chamam-

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se deslocamentos do corpo em bloco; as outras se chamam mudanças de atitude.

Por fim, Poincaré desconecta a experiência da geometria, assumindo um caráter puramente normativo: Em resumo, a experiência não nos prova que o espaço tem três dimensões; prova-nos que é cômodo atribuir-lhe três, porque é assim que o número de ajudas é reduzido ao mínimo. Será preciso acrescentar que a experiência sempre nos levaria apenas ao espaço representativo, que é um contínuo físico, e não ao espaço geométrico, que é um contínuo matemático? Quando muito, poderia nos informar que é cômodo dar ao espaço geométrico três dimensões, para que ele tenha tantas quantas tem o espaço representativo (POINCARÉ, 1905, p. 125).

E acrescenta: A experiência, portanto, desempenhou apenas um único papel: forneceu a oportunidade. Mas nem por isso esse papel deixava de ser muito importante, e julguei necessário ressaltá-lo. Esse papel teria sido inútil se existisse uma forma a priori que se impusesse a nossa sensibilidade, e que seria o espaço de três dimensões (POINCARÉ, 1905, p. 127).

Para compreendermos a construção do espaço, e a interpretação de Poincaré, recorremos a explanação simplificada proposta por K. Brown (2017, s.p.): Como exemplo de um modelo de experiência moderadamente abstrato, podemos representar um observador idealizado como uma sequência de estados ordenada linearmente, cada uma das quais é uma função dos estados anteriores e de um conjunto de impressões sensoriais brutas de fontes externas. Isso já implica duas escolhas profundas. Primeiro, é um modelo puramente passivo, no sentido de que não invoca volição ou livre arbítrio. Como resultado, todas as declarações condicionais neste modelo devem ser interpretadas apenas como correlações porque sem

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liberdade não faz sentido falar sobre as diferentes consequências de ações hipotéticas alternativas. Segundo, estipulando que os estados são funções do precedente mas não nos estados subsequentes, introduzimos uma assimetria direcional inerente à experiência, mesmo que a justificativa para isso esteja longe de ser clara. Ainda outra escolha deve ser feita sobre se a sequência de estados e experiências é contínua ou discreta. Em qualquer um dos casos, podemos parametrizar a sequência por uma variável l e, para fins de definição, podemos representar cada estado S () e as impressões sensoriais correspondentes E () por cadeias de bits binários. Agora, devido à misteriosa compreensibilidade do mundo, pode acontecer que algumas funções de S estejam correlacionadas com algumas funções de E. (Como esse é um modelo passivo por suposição, não podemos afirmar nada além de correlações estatísticas, porque não fazemos isso tenha a liberdade de variar arbitrariamente S e determinar o E resultante, mas, em princípio, ainda poderíamos encontrar passivamente variedade suficiente de estados e experiências para inferir as correlações mais importantes.) Essas correlações mais primitivas são presumivelmente "conectadas" a um nível superior categorias de sentidos e conceitos (variáveis de estado), em vez de serem classificadas de maneira cognitiva. Em termos dessas variáveis de nível superior, podemos descobrir que, em algum intervalo de l, as impressões sensoriais E () estão estritamente correlacionados com três funções  do estado S (), que mudam apenas incrementalmente de um estado para o outro. Além disso, podemos descobrir que E é apenas incrementalmente diferente para diferenças incrementais em  (independente dos valores anteriores dessas funções), e que esse é o menor e mais simples conjunto de funções com essa propriedade. Finalmente, suponha que as impressões sensoriais correspondentes a um determinado conjunto de valores das funções de estado sejam idênticas se os valores dessas funções forem aumentados ou diminuídos em alguma constante. Isso descreve aproximadamente como um observador

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abstrato pode inferir um espaço de orientação junto com os modos de interação associados. Em termos convencionais, o observador infere a existência de objetos externos que induzem um conjunto particular de impressões sensoriais, dependendo da orientação do observador. (Obviamente, essa interpretação é necessariamente conjectural; pode haver outras interpretações, talvez mais complexas, que correspondam tão bem ou melhor com a sequência real de experiências do observador.) Em algum momento, o observador pode começar a perceber desvios dos três simples modelo de orientação variável e acha necessário adotar um modelo conceitual mais complicado para acomodar a sequência de impressões sensoriais. Continua sendo verdade que o modelo de orientação simples se aplica a intervalos de estados suficientemente pequenos, mas as impressões sensoriais correspondentes a cada orientação podem variar em função de três variáveis de estado adicionais, que em termos convencionais representam a posição espacial do observador. Como as variáveis de orientação, essas variáveis de conversão, que podemos chamar de x, y e z, mudam apenas de forma incremental de um estado para o próximo, mas, diferentemente das variáveis de orientação, não há periodicidade aparente. Observe que o sucesso desse processo de indução depende de uma estratificação de experiências, permitindo discernir primeiro os efeitos de orientação, mais ou menos independentes dos efeitos de tradução. Então, uma vez que o modelo de orientação tenha sido estabelecido, os desvios relativamente pequenos (em pequenas faixas da variável de estado) podem ser interpretados como efeitos do movimento de translação. Se não fosse por essa estratificação (em magnitude ou em algum outro atributo), talvez nunca seja possível inferir as fontes distintas de variação em nossas impressões sensoriais.

As conclusões sobre o espaço que Poincaré chega trazem implicações interessantes: a primeira que não é possível separar por completo a observação da teoria, como desejavam os empiristas.

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Toda teoria está sujeita a um conjunto de convenções que devem ser impostas e não podem ser testadas sobre nenhuma forma. Buscamos as convenções com menor grau de arbitrariedade possível. O segundo ponto é que não existe espaço sem movimento, a natureza do espaço é motor. Esse fato pressupõe uma conexão entre o espaço e o tempo. Embora Poincaré não tenha apresentado quantitativamente, existe um limite experimental, uma equivalente ao princípio da incerteza na teoria da relatividade, a qual toda medida evolvendo sinais luminosos está sujeita: dx dt 

1 c

Ou seja, não importa quanto se aprimore as técnicas de medida e os aparelhos, ao menos que consigamos produzir sinais supraluminais, é impossível obter uma medida mais precisa do que 1/c. Do ponto de vista prático, a imprecisão o método de telegrafia sem fio que Poincaré empregava era infinitamente menor que o erro que o próprio navegador estaria sujeito a cometer e, portanto, o problema da geodésica e da longitude havia atingido a máxima precisão que era possível, na ocasião. Assim percebemos como um problema da longitude e da geodésica francesa levou Poincaré a percorrer por diferentes coletivos de pensamento e promovendo uma ampla circulação intercoletiva. O que tornava essa circulação vasta é o fato que Poincaré conseguia migrar para círculos exotéricos ao da geografia, pois sendo um universalista, ele pertencia e lidava com naturalidade diferentes coletivos de pensamento. Desta forma, o que era um problema geopolítico, nas mãos de Poincaré era analisado do ponto de vista da matemática, da geometria, da física, da astronomia, da filosofia, da engenharia.

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5. O Princípio Da Relatividade Segundo Poincaré, a física do século XIX enfrentava uma grande crise. Para Poincaré, a física passou por um primeiro momento que ele denominou de Física das Forças Centrais. Contudo com a descoberta de novos fenômenos na termodinâmica e no eletromagnetismo, esse estilo de pensamento tornou-se insuficiente e entrou em crise, sendo superado pelo segundo momento: a física dos princípios. Porém, novas descobertas no campo da radioatividade, termodinâmica do corpo negro, no eletromagnetismo e as tentativas de medir a velocidade da Terra em relação ao éter levaram a questionar a validade dos princípios. Na epistemologia de Fleck, o período de expansão do estilo de pensamento e aceitação corresponde ao classicismo, enquanto o período de crise é o equivalente a complicação. Em 1887, Michelson e Morley realizaram uma experiência muito precisa para medir a velocidade da Terra em relação ao éter. Contudo, nenhum efeito foi detectado. Esse resultado inesperado criava uma complicação ao Estilo de Pensamento vigente. G. Fitzgerald e H. Lorentz tentaram contornar a situação com a hipótese ad hoc da contração dos comprimentos. Essa tentativa de explicar uma complicação e evitar o surgimento de uma crise corresponde ao que Fleck chama de harmonia das ilusões. Poincaré criticou essa abordagem no congresso de física moderna, exigindo o desenvolvimento de uma nova teoria e não de hipóteses novas para cada nova complicação. Em 1893, Joseph Larmor (18571942) propôs uma nova teoria que buscava explicar os resultados nulos da experiência de Michelson e Morley. Considerando que a luz era um fenômeno eletromagnético, a aparente impossibilidade de medir a velocidade da Terra em relação ao éter, por efeitos ópticos, podia significar que todos os fenômenos eletromagnéticos ocorriam exatamente da mesma forma, tanto em um referencial parado em relação ao éter como em um referencial em movimento (MARTINS, 2015, p. 94).

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Dois anos depois desta publicação de Larmor, e noventa anos depois do surgimento da palavra relatividade, Poincaré escreve seu primeiro artigo onde ele aborda explicitamente o tema. Em 1895, Poincaré publicou sob o título geral "À propos de la théorie de M. Larmor", uma série de quatro artigos (publicados entre abril e novembro de 1895 no L'Éclairage électrique), em todas as 57 páginas. Estes são reflexões (e cálculos) sobre as teorias da electro-óptica, isto é, sobre a adaptação das teorias "mecânicas" da ótica de Fresnel, Neumann e MacCullagh, para uma visão "Maxwelliana" de Larmor, Helmholtz, Lorentz, J.-J. Thomson e Hertz. Poincaré propõe três critérios para que essas tentativas de adaptação constituam uma teoria aceitável. No mínimo, eles devem: 1) levar em consideração o coeficiente de arrastamento de Fizeau; 2) garantir a conservação de eletricidade e magnetismo; 3) garantir a validade do princípio: ação = reação. Ele observa que nenhuma das teorias propostas atende aos três critérios simultaneamente: por exemplo, a teoria de Hertz satisfaz os critérios 2) e 3) mas não a primeira; A teoria de Lorentz atende aos critérios 1) e 2) mas não ao terceiro; ... etc. (REIGNIER, 2004, p. 37)

Após analisar cada teoria e expor suas críticas, Poincaré apresenta suas conclusões provisórias. Ao final delas encontramos, o que poderíamos chamar do primeiro enunciado da relatividade: A experiência revelou uma série de fatos que podem ser resumidos na seguinte fórmula: é impossível tornar manifesto o movimento absoluto da matéria, ou melhor, o movimento relativo da matéria em relação ao éter; tudo o que pode ser medido é o movimento da matéria ponderável em relação à matéria ponderável (POINCARÉ, 1895)

Veja que, diferente de Newton, Marcart e Larmor, Poincaré propõe a relatividade como um princípio universal, válido para toda a física e que deveria ser uma lei fundamental a ser inclusa em todas

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teorias. Segundo Keswani e Kilmister (1983), Poincaré cunhou seu princípio da relatividade a partir das obras de Maxwell. Mas também nos parece bastante plausível que a generalização de Larmor, da relatividade da óptica para todo eletromagnetismo, também foi fundamental para elaboração do Princípio Geral de Poincaré. Um fato importante a ser observado é que nessa afirmação Poincaré ainda não usa o termo relatividade para se referir a esse princípio. O primeiro uso dessa palavra aparece no artigo Des fondements de la géométrie; à propos d'un livre de M. Russell (POINCARÉ, 1899): Sim, na base da geometria projetiva, existe um postulado que pode ser chamado de princípio da relatividade da posição. Na base da geometria métrica, há também um postulado que também pode ser chamado de princípio da relatividade da posição. Mas este não é o mesmo postulado. (Op cit, p. 256)

Mais à frente, Poincaré esclarece a diferença desses dois princípios da relatividade (POINCARÉ, 1899, p. 256): Então, quando digo que o princípio da relatividade da posição é comum a ambas as geometrias, isso simplesmente significa que, em ambas as geometrias, há coisas que não podem ser distinguidas umas das outras. Mas elas não são as mesmas coisas. Deve-se acrescentar, no entanto, que o que é indistinguível para a geometria métrica é também indiscernível para a geometria projetiva; mas o inverso não é verdadeiro, e a geometria métrica torna possível distinguir coisas que seriam indistinguíveis para a geometria projetiva.

Poincaré também discute a questão dos graus de liberdade de um corpo em um espaço n dimensional (POINCARÉ, 1899, p. 259): O que significa a palavra formas? A forma (shape) é algo que conhecemos antecipadamente, ou é, por definição, o que não é alterado pelos movimentos previstos? Seu axioma que ele significa: Na medida do possível, é necessário que os números são susceptíveis de certos movimentos, e há alguma coisa que

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não vai ser alterada por esses movimentos e vamos chamar de forma (shape)? Ou significa: você sabe qual é a forma; ótimo! Para que a medição seja possível, as figuras devem poder sofrer certos movimentos que não alterem esta forma? Eu não sei o que o Sr. Russell quis dizer; mas aos meus olhos o primeiro significado é o único correto. Com esta primeira afirmação, o axioma é incontestavelmente a priori; mas então o que ele nos ensina? Ele nos ensina apenas uma coisa: as figuras devem estar livres para se mover; ele não nos ensina quantos (degree freedom) existem. Por que é necessário que o número de graus de liberdade seja 6 no espaço tridimensional e n  n  1 2 no espaço n-dimensional?

Russell recorre a homogeneidade e a relatividade do espaço, mas Poincaré mostra que essa abordagem é apenas um princípio de petição. A solução para o problema exige uma matemática mais sofisticada: a teoria de grupos (POINCARÉ, 1899, p. 260): O número de graus de liberdade pode, portanto, ser diferente de seis sem que a medição espacial se torne impossível. Suponha, por exemplo, que uma figura possa ser transportada de modo que um de seus pontos chegue a qualquer ponto no espaço, mas se esse ponto for fixo, a figura não poderá se mover. Não haverá mais de três graus de liberdade. A medida ainda será possível? É fácil ver que não podemos mais comparar comprimentos, superfícies e ângulos em geral; mas a medição de volumes ainda é possível. Portanto, não é correto dizer que, com essa hipótese, a "medida espacial" (se mantivermos esse termo vago) não pode mais ser feita. O princípio da mobilidade livre deve ser declarado assim na linguagem matemática: há um grupo de transformações que preserva certas propriedades das figuras, e todas essas propriedades constituem o que chamamos de sua forma5. Posteriormente, os matemáticos estabeleceriam que o número de dimensões para o movimento livre de um corpo é igual ao número de isometrias do corpo, que é 5

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Depois de discutir a estrutura do espaço, Poincaré começa a discutir o significado dessas considerações para a mecânica. Novamente ele fala do princípio da relatividade, mas dessa vez ele o chama de lei da relatividade (POINCARÉ, 1899, p.267): O estado dos corpos e suas distâncias mútuas a qualquer momento dependerão apenas do estado dos mesmos corpos e de suas mútuas distâncias no momento inicial, mas de modo algum dependerão da posição inicial absoluta do sistema e de sua orientação inicial absoluta. Isto é o que nós chamaremos, por uma questão de abreviação, a lei da relatividade.

O princípio da relatividade e a lei da relatividade são proposições equivalentes, então por que Poincaré faz essa distinção? Ao que tudo indica apenas para diferenciar uma proposição geométrica (princípio da relatividade) de uma proposição física (lei da relatividade). É importante frisar que páginas 265 à 269 foram transformadas no quinto capítulo do livro A Ciência e a Hipótese. Após a página 269 não há mais nenhuma menção do princípio ou da lei da relatividade. Nós discutiremos novamente alguns pormenores da lei da relatividade quando falarmos do livro A Ciência e a Hipótese. Considerando que este trabalho de 1899 era uma discussão do livro de Bertrand Russell sobre a geometria, não seria Russell o primeiro pesquisador a empregar o termo relatividade no sentido moderno? A resposta é não. Russell embora emprega os termos homogeneidade do espaço e relatividade do espaço, suas bases são puramente geométricas e se aplicam a posição relativa de objetos geométricos em um espaço abstrato. Foi Poincaré quem estabeleceu a conexão do espaço motor com a teoria de grupos e com o movimento dos corpos

definido pelo seu campo vetorial de Killing. O campo vetorial de Killing é gerado pelas soluções da equação de Killing, £u(gij) = 0, onde £u é a derivada de Lie na congruência-u e gij é a métrica do espaço.

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rígidos e que conectou a ideia de relatividade à física como um princípio fundamental (LOGUNOV, 2004). Em 1900, Poincaré se apresentou no Congresso Internacional de Física em Paris. A palestra estava intitulada como Relations entre la Physique Expéimentale et la Physique Mathématique, e publicada em A Ciência e a Hipótese com título de As Teorias da Física Moderna. Nessa palestra, Poincaré apresentou um panorama do fracasso das novas teorias físicas em explicar as tentativas de se medir a velocidade da Terra em relação ao éter, criticando o uso de hipóteses ad hoc por Lorentz (e FitzGerald) para obter concordância das teorias com a experiência. E, agora, permita-me uma digressão. Com efeito, devo explicar porque não creio, apesar de Lorentz, que observações mais precisas possam algum dia, evidenciar outra coisa senão os deslocamentos relativos dos corpos materiais. Foram feitas experiências que poderiam ter revelado os efeitos de primeira ordem; os resultados foram negativos. Poderia ter sido coincidência? Ninguém o admitiu. Procurou-se uma explicação geral e Lorentz a encontrou. Ele demonstrou que os efeitos de primeira ordem devem destruir uns aos outros, mas não os de segunda ordem. Então, experiências mais precisas foram feitas. Elas também deram resultados negativos e, mais uma vez, não poderia ser coincidência. Uma explicação era necessária. Ela foi encontrada; sempre se encontra alguma; hipótese é coisa que não falta. Mas isso não basta. Quem é que não acha que se atribui, assim, um papel por demais importante ao acaso? Não seria também um acaso essa singular coincidência que faria com que uma certa circunstância viesse, no momento apropriado, destruir os termos de primeira ordem e em uma outra circunstância, completamente diferente, mas igualmente oportuna, se encarregasse de destruir os de segunda ordem? Não, é preciso encontrar uma mesma explicação para ambos, e, então, tudo nos leva a crer que essa explicação será igualmente válida para os

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termos de ordem superior e que a destruição mútua desses termos será rigorosa e absoluta. (POINCARÉ, 1900b, p. 1172)

Neste mesmo ano, Poincaré exploraria ainda mais a conexão da relatividade com as leis gerais da física no trabalho La Théorie de Lorentz et le principe de réaction. Recordemos que quando os resultados da experiência de Michelson-Morley promoveram uma complicação no estilo de pensamento vigente, H. Lorentz para manter a harmonia das ilusões propôs a hipótese da contração do comprimento e tentou justifica-lo como uma consequência da interação do éter com as moléculas. Porém, a explicação foi considerada insatisfatória e Lorentz tentou achar um conjunto de transformações de coordenadas que permitisse explicar os resultados da experiência. Lorentz encontrou um conjunto de transformações, válidas até a primeira ordem de v/c. x  x  vt vx t  t  2 c

A transformação do espaço é a transformação clássica, cujo significado era bem conhecido. Porém, qual o significado da transformação do tempo? Lorentz achava que se tratava apenas de um truque matemático, desprovido de significado físico. Porém, neste trabalho de 1900, Poincaré conseguiu decifrar o mistério: a transformação do tempo (chamado de tempo local), era justamente a medida de tempo, válida em primeira ordem de v/c, que observadores em movimento obteriam se tentassem sincronizar seus relógios usando sinais luminosos ou um telégrafo sem fio. Por que Poincaré conseguiu enxergar esse fato? Segundo o modelo fleckiano, isso se deve principalmente as conexões ativas de Poincaré. O círculo esotérico de Lorentz era centrado basicamente na física-matemática. Havia pouca circulação intercoletiva de

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Lorentz com outras áreas mais práticas, como a geografia. Já Poincaré pertencia a vários círculos e mantinha uma circulação intercoletiva muito ampla. Enquanto membro e, posteriormente, presidente do Bureau das Longitudes, Poincaré foi obrigado a lidar com problemas práticos de sincronização de relógios para realizar o cálculo da geodésica e das longitudes usando o telégrafo sem fio. Nesse trabalho, as ideias de Poincaré sobre a coordenação do tempo e do espaço também estavam mais claras e pela primeira vez ele consegue associa-las ao princípio da relatividade. Poincaré também tentou mostrar que o princípio da reação era uma consequência da relatividade e buscou formas de conciliar essas ideias com o modelo de Lorentz. Na teoria de Lorentz, ele apontou, termos de segunda ordem em v/c tiveram que ser negligenciados; um “tempo local” ao invés do tempo real tinha que ser usado; diferentes valores para a energia em diferentes sistemas de referência tiveram que ser introduzidos; e uma força eletromagnética que existe apenas em um referencial móvel deveria ser assumida. A teoria de Lorentz, portanto, entrava em conflito com o princípio da relatividade, e Poincaré mais uma vez viu uma estreita conexão entre esse princípio e o da ação e reação. Agora, porém, ele mostrou que o princípio de ação e reação poderia ser deduzido do princípio da relatividade e do princípio da conservação da energia. (KATZIR, 2005, p. 272)

O princípio da relatividade aparece tardiamente no artigo, quando Poincaré analisa se os resultados obtidos nas duas sessões anteriores sobre a inclusão do princípio da reação, tal como se associar uma inércia a energia e uma espécie de recuo no éter, poderiam significar sérias objeções a teoria de Lorentz. Poincaré (1900) declara: O princípio da reação parece-nos, portanto, como consequência do princípio da energia e do princípio da relatividade do movimento. Este último pesa fortemente em nossos

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pensamentos quando consideramos um sistema isolado. Mas, no caso que estamos considerando, não estamos lidando com um sistema isolado, uma vez que estamos considerando apenas a matéria comum e, além disso, ainda existe um éter. Se todos os objetos materiais são transportados por uma translação comum, como, por exemplo, o movimento da Terra, os fenômenos poderiam ser diferentes daqueles que observaríamos na ausência daquela translação, já que o éter não poderia ser transportado pela translação. Parece que o princípio da relatividade do movimento não deveria se aplicar apenas à matéria comum; então, experimentos foram realizados para detectar o movimento da Terra. É verdade que essas experiências produziram resultados negativos, mas achamos isso bastante surpreendente. Tudo a mesma coisa permanece. Esses experimentos, como eu disse, produziram um resultado negativo, e a teoria de Lorentz explica esse resultado negativo. Parece que o princípio da relatividade do movimento, que não é claramente verdadeiro a priori, é verificado a posteriori e que o princípio da reação deve seguir. No entanto, o princípio da reação não se sustenta; como pode ser? É o caso em que, na realidade, aquilo que chamamos de princípio da relatividade do movimento foi verificado apenas imperfeitamente, como mostra a teoria de Lorentz.

Ao final do artigo, Poincaré volta a enfatizar que o princípio da relatividade seja uma lei exata de toda física, não apenas aplicada a matéria, mas a todos os fenômenos físicos e mostra que esta ideia já estava sendo gestada em sua publicação de 1895: Uma importante consequência decorre da correlação dos dois fatos. Isso é que o próprio experimento Fizeau já é contrário ao princípio da reação. Se, de fato, como indicado por aquele experimento, as ondas são arrastadas apenas parcialmente, então a propagação relativa das ondas em um meio móvel não deve seguir as mesmas leis que a propagação em um meio estacionário, o que equivale a dizer o princípio do movimento relativo não se aplica somente à matéria, e devemos fazer pelo

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menos uma correção adicional, da qual falei acima (2.) e que consiste em relacionar tudo com a “tempo local”. Se essa correção não for compensada por outros, devemos concluir que o princípio da reação não é correto apenas para a matéria. Assim, todas as teorias que respeitam esse princípio são condenadas, pelo menos, se consentirmos em modificar profundamente todas as nossas ideias sobre eletrodinâmica. Essa é uma ideia que desenvolvi mais extensamente em um artigo anterior (l'Éclairage Électrique, volume 5, nº 40, página 395).

A principal diferença entre a declaração de Poincaré entre 1895 e 1900, era sua convicção na validade do princípio. Em 1900, Poincaré reiterou sua visão de que as teorias atuais da eletrodinâmica estavam em conflito com o princípio da relatividade, em cuja validade ele agora parecia mais confiante. Segundo as teorias, ele disse, “poder-se-ia esperar ver métodos precisos dando resultados positivos” para determinar o movimento absoluto da Terra através do éter, mas ele acreditava que “tal esperança é ilusória” (KATZIR, 2005, p. 272).

Podemos considerar o pronunciamento de 1895 de Poincaré como a primeira declaração do princípio da relatividade. Mesmo que a ideia de movimento relativo tenha uma longa história, como abordamos no começo dessa sessão, e Larmor já defendesse a doutrina do movimento relativo dentro do eletromagnetismo, Poincaré percebeu que não se tratava apenas uma lei válida para matéria ou corpos ponderáveis, mas para todos os fenômenos físicos. Esse salto de Poincaré foi fundamental para o desenvolvimento da teoria da relatividade. Embora essa generalização pareça simples, de fato ela não era. O próprio Lorentz se sentia desconfortável de assumir que ideia de relatividade pudesse ser válida para o éter, como revela o trecho dessa carta: Eu preferia outro modo de ver. Tendo sempre em vista os fenômenos da aberração, admiti que o éter está absolutamente

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imóvel - quero dizer que seus elementos de volume não se movem, embora possam ser a sede de certos movimentos internos. Mas se um corpo nunca se move, não há razão para falar de forças exercidas nesse corpo. Foi assim que fui levado a não falar mais de forças agindo no éter. Eu digo que o éter atua nos elétrons, mas não digo que tenha uma reação do lado deles; Eu, portanto, nego o princípio da reação nessas ações elementares. Nessa ordem de ideias, não posso falar nem de uma força exercida por uma parte do éter na outra; As pressões de Maxwell não têm existência real e são apenas ficções matemáticas que servem para calcular de maneira simples a força que age sobre um corpo ponderável. (LORENTZ, 1901)

Infelizmente não sabemos qual foi a resposta de Poincaré a Lorentz, o documento não foi preservado. O que sabemos que Poincaré continuou a desenvolver e expandir seu estilo de pensamento, o princípio da relatividade, enquanto Lorentz não o considerava como uma ideia fundamental e preferia preservar a harmonia das ilusões. Isso fica claro em seu memoir, de 1904, onde Lorentz escreve que o único postulado de seu trabalho é que o sistema de coordenadas se mova uma velocidade inferior à da luz (LORENTZ, 1904). A relutância de Lorentz com a validade do princípio da relatividade fica bastante clara no famoso artigo Deux Mémoires de Henri Poincaré sur la Physique Mathématique6: Não tendo percebido, não consegui obter a invariância exata das equações; minhas fórmulas permaneciam sobrecarregadas com certos termos que deveriam ter desaparecido. Esses termos eram pequenos demais para ter um efeito apreciável sobre os fenômenos, e eu poderia explicar a independência do movimento da Terra revelada pelas observações, mas não estabeleci o princípio da relatividade como rigoroso e Esse artigo foi escrito por Lorentz em 1914, mas somente publicado em 1921. A presente versão foi retirada dos Ouvres de Henri Poincaré, tomo X, de 1956. 6

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universalmente verdadeiro. Poincaré, ao contrário, obteve uma perfeita invariância das equações da eletrodinâmica e formulou o "postulado da relatividade", termos que ele foi o primeiro a empregar. (LORENTZ, 1956)

A afirmação de Lorentz concorda com o que apresentamos, o princípio da relatividade foi estabelecido por Poincaré. Em 1901, Poincaré publicou um capítulo no livro Bibliothèque du Congrès international de philosophie, Volume 3. O capítulo foi intitulado Sur les principes de la mécanique e aborda o movimento relativo. Este trabalho seria republicado em A Ciência e a Hipótese, em 1902, , uma coletânea de ensaios que foram adaptados e tratam do tema exposto no título. O quinto capítulo Experiência e Geometria, são as páginas 265 à 269 do ensaio de 1899, Des fondements de la géométrie; à propos d'un livre de M. Russell. Poincaré volta a discutir a “lei da relatividade”. Temos que considerar, por um lado, o "estado" dos vários corpos desse sistema - por exemplo, sua temperatura, seu potencial elétrico, etc; e por outro lado, sua posição no espaço. E entre os dados que nos permitem definir essa posição, distinguimos as distâncias mútuas desses corpos que definem suas posições relativas e as condições que definem a posição absoluta do sistema e sua orientação absoluta no espaço. A lei dos fenômenos que serão produzidos neste sistema dependerá do estado desses corpos e de suas mútuas distâncias; mas por causa da relatividade e da inércia do espaço, elas não dependerão da posição e orientação absoluta do sistema. Em outras palavras, o estado dos corpos e suas distâncias mútuas a qualquer momento dependerão apenas do estado dos mesmos corpos e de suas mútuas distâncias no momento inicial, mas de modo algum dependerão da posição inicial absoluta do sistema e de sua orientação inicial absoluta. Isto é o que nós chamaremos, por uma questão de abreviação, a lei da relatividade. (POINCARÉ, 1899, p. 267)

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Como já vimos, Poincaré apresenta sua “lei da relatividade” em suas reflexões sobe a geometria e sua conexão com os grupos de deslocamento7 e a física. Por que esse princípio se originou na matemática? Segundo Galison (2003), o princípio da relatividade era uma intersecção de três problemas: a filosofia matemática (convencionalismo), a física e o estudo das geodésicas. No final de 1902, Poincaré passou uma década inteira enfrentando o problema da coordenação do tempo a partir de três perspectivas muito diferentes. Como um dos exaltados membros do Bureau of Longitude Academy desde janeiro de 1893, Poincaré ajudou a liderar a instituição em sua busca para cobrir o mundo com o tempo sincronizado. Quando a questão da reestruturação convencional do tempo em um sistema decimal surgiu a sério em meados da década de 1890, foi Poincaré quem dirigiu o esforço de avaliar as alternativas, culminando no relatório de 1897. Depois, de volta à filosofia: em 1898, ele proclamava a uma plateia essencialmente filosófica que a simultaneidade não era outra coisa senão uma convenção, uma convenção que definiria a simultaneidade exatamente como seu Bureau fizera com sua coordenação telegráfica de relógios. Da Revue de Metaphysique et de Morale, poucos meses antes Poincaré estava de volta, mais profundo do que nunca, no externismo expedicionário. A partir de 1899, ele tinha sido a ligação entre a Academia e a complexa e perigosa missão de longitude a Quito, enquanto a missão lutava para ligar o tempo e a geografia através da simultaneidade telegráfica. Naquele verão de 1900, ele emitiu sua declaração mais forte, mas filosófica, da convencionalidade da simultaneidade, uma afirmação que apareceu em uma das seções mais citadas da Science et L’Hypothesis. Então um retorno à física. Em dezembro de 1900, Poincaré “revisou” a teoria de Lorentz, O grupo de deslocamentos é o conjunto das transformações isomórficas que preservam as distâncias entre os pontos de um corpo rígido ou de uma variedade.

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transformando a ficção matemática de Lorentz em “tempo local” em procedimento de telegrafista, onde os observadores se moviam através dos relógios sincronizados de éter trocando sinais. (GALISON, 2003)

Nesta passagem, vemos que o princípio da relatividade foi sendo construído a partir da circulação intercoletiva de Poincaré e os coletivos de pensamento das geociências (as atividades que Poincaré realizava no Bureau das Longitiudes), e coletivos de pensamento da filosofia (principalmente as concepções kantianas, de Mach e de Russell sobre o espaço e tempo, que Poincaré criticaria, principalmente em A Ciência e a Hipótese), da matemática (análise situs de Riemann e a teoria de grupos de Lie que Poincaré usa como ferramenta para caracterizar o espaço), a física (sobre tudo a teoria eletromagnética de Maxwell, Hertz, Larmor e Lorentz) e dos astrônomos (em particular, as medidas da velocidade da luz de Roemer e as desigualdades de Newcomb). Como mostramos anteriormente, em 1893, Poincaré foi alocado no Bureau das Longitudes. Uma de suas tarefas era coordenar o uso do telégrafo sem fio. Nesse período, Poincaré aprofundou seus conhecimentos na teoria eletromagnética e os problemas contemporâneos a respeito das tentativas de estabelecer a interação entre o éter e a matéria. Em 1895, dois anos após sua admissão no Bureau das Longitudes, Poincaré discutiu a teoria de Larmor sobre a matéria ser o éter condensado e apresentou a primeira protoideia do princípio da relatividade: A experiência revelou uma série de fatos que podem ser resumidos na seguinte fórmula: é impossível tornar manifesto o movimento absoluto da matéria, ou melhor, o movimento relativo da matéria em relação ao éter; tudo o que pode ser medido é o movimento da matéria ponderável em relação à matéria ponderável (POINCARÉ, 1895)

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Registre que o interesse de Poincaré nas teorias eletromagnéticas partia do seu interesse em compreender melhor o funcionamento do telégrafo sem fio. Portanto, o princípio da relatividade como um estilo de pensamento nasceu das conexões ativas promovidas pela circulação intercoletiva de Poincaré entre o círculo esotérico das geociências, matemática, filosofia, física e astronomia. O relato de Galison (2003) também nos mostra como a questão da simultaneidade surgiu da experiência de Poincaré com a coordenação de relógios usando o telégrafo sem fio. Aqui devemos acrescentar o papel que a circulação intercoletiva com a Astronomia ativou conexões que eram desconhecidas a Poincaré e seus colegas. No final do século XIX, já sabia-se que a velocidade da luz era muito rápida, porém finita. Maxwell ao calcular a velocidade das ondas eletromagnéticas, descobriu que sua velocidade era equivalente a velocidade da luz e conjecturou que a própria luz fosse uma onda eletromagnética. Se tomarmos, para efeito de cálculo, a velocidade da luz como 300000 km/s, em um segundo, a luz seria capaz de completar 8 voltas ao redor da superfície da Terra. Isso significa que dois fenômenos que se produzam em pontos diferentes da Terra são percebidos como simultâneos para observadores locais. Em outras palavras, o erro devido a posição relativa dos operadores de telégrafo em estações fixas ou em navios estaria muito abaixo da margem de erro e, portanto, seria irrelevante. Porém, Poincaré levou este problema para outro coletivo de pensamento: o dos astrônomos. Em Mesure du Temps, ele escreve: Em 1572, Tycho-Brahé notou no céu uma estrela nova. Uma imensa conflagração se produzira em algum astro muito distante; mas produzira-se muito tempo antes; foi preciso que se passassem pelo menos duzentos anos até que a luz que partia dessa estrela alcançasse nossa Terra. Portanto, essa conflagração era anterior ao descobrimento da América. Pois bem, quando digo isso, quando considero esse fenômeno gigantesco que

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talvez não tenha tido nenhuma testemunha, já que os satélites dessa estrela talvez não tenham habitantes, quando digo que esse fenômeno é anterior à formação da imagem visual da ilha de Española na consciência de Cristóvão Colombo, o que quero dizer? Basta um pouco de reflexão para compreender que todas essas afirmações, por si sós, não têm nenhum sentido. Só podem adquirir um sentido a partir de uma convenção. (POINCARÉ, 1898, p. 06-07)

Ao fazer a circulação intercoletiva do problema da simultaneidade para astronomia, onde a ordem de grandeza dos fenômenos torna ativa a finitude da velocidade da luz, Poincaré começou a compreender o caráter relativo da simultaneidade e, por consequência, do espaço e do tempo. São essas conexões ativas, que podemos extrair do relato de Galison, e que deram substancialidade para que Poincaré começasse a formular uma lei geral da relatividade. Por trás desses fenômenos haviam pressupostos tácitos da isotropia e homogeneidade do espaço (conexões ativas), que quando traduzidos na linguagem das simetrias convergiam para o princípio da relatividade (conexão passiva) (BROWN, 2017). Para compreender o que era intrínseco ao espaço, Poincaré precisava examinar as geometrias e as simetrias conservadas. Esta é a perspectiva que originaria o Convencionalismo (conexão passiva). Max Jammer (2006), explora que a relatividade de Poincaré surgiu de uma generalização do seu convencionalismo geométrico para as leis da física: Ao aplicar esse argumento à "Primeira Lei" de Newton, a lei da inércia, Poincaré teria sido capaz de estender seu convencionalismo do domínio das concepções geométricas ou espaciais para o das concepções temporais, como a igualdade de dois intervalos de tempo. De acordo com a lei da inércia, como declarado no Principia de Newton, “todo corpo continua em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que obrigado a mudar esse estado por forças

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impressas nele” ou, expressado em breve, uma partícula livre se move sempre com velocidade constante. Mas se tal partícula cobre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, o problema, discutido por Isaac Barrow, de como verificar a igualdade de dois intervalos temporais separados temporariamente parece encontrar sua solução. Bastaria medir as distâncias iguais cobertas por tal partícula para assegurar a igualdade dos intervalos de tempo correspondentes a essas distâncias. Se, como Poincaré afirma, no entanto, a lei da inércia é meramente uma convenção, não é necessariamente verdade que os intervalos de tempo em discussão são “realmente” iguais em duração. (JAMMER, 2006, p. 99)

Os argumentos de Jammer (2006) são reforçados pela seguinte passagem: Até agora falei como um geômetra euclidiano. Mas eu disse que um experimento, seja ele qual for, requer uma interpretação da hipótese euclidiana; requer igualmente uma sobre a hipótese não euclidiana. Bem, fizemos uma série de experimentos. Nós os interpretamos na hipótese euclidiana, e reconhecemos que esses experimentos assim interpretados não violam essa “lei da relatividade”. (POINCARÉ, 1899, p. 268)

Seguindo adiante, Poincaré discute a aplicação da lei da relatividade em geometrias não euclidianas. Após sua breve discussão, ele apresenta um novo enunciado da lei: Assim, nossa lei da relatividade pode ser enunciada da seguinte forma: As leituras que podemos fazer com nossos instrumentos em qualquer momento dependerão apenas das leituras que pudemos fazer nos mesmos instrumentos no momento inicial. Ora, tal enunciação é independente de toda interpretação por experimentos. Se a lei é verdadeira na interpretação euclidiana, ela também será verdadeira na interpretação não-euclidiana. (POINCARÉ, 1899, p. 268)

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Contudo Poincaré não considera esse enunciado completamente satisfatório. Na republicação da Ciência e Hipótese, após discutir alguns pontos desse enunciado, ele apresenta outra enunciação: Para que a mente seja plenamente satisfeita, a lei da relatividade teria que ser enunciada da seguinte forma: - O estado dos corpos e suas distâncias mútuas em qualquer momento dado, assim como as velocidades com as quais essas distâncias estão mudando naquele momento, dependem apenas do estado desses corpos, de suas distâncias mútuas no momento inicial e das velocidades com as quais essas distâncias estavam mudando no momento inicial. Mas eles não dependerão da posição inicial absoluta do sistema nem de sua orientação absoluta, nem das velocidades com as quais a posição e orientação absoluta estavam mudando no momento inicial. (POINCARÉ, 1902)

Mas, Poincaré reconhece que esse princípio apresenta dificuldades para sistemas em rotação. Infelizmente, a lei assim enunciada não concorda com experimentos - pelo menos, como eles são normalmente interpretados. Suponha que um homem fosse levado para um planeta, cujo céu estava constantemente coberto por uma grossa cortina de nuvens, de modo que ele jamais pudesse ver as outras estrelas. Nesse planeta ele viveria como se estivesse isolado no espaço. Mas ele notaria que isso gira, seja medindo sua elipticidade (que normalmente é feita por meio de observações astronômicas, mas que poderia ser feita por meios puramente geodésicos), ou repetindo o experimento do pêndulo de Foucault. A rotação absoluta deste planeta pode ser claramente mostrada desta maneira. Ora, aqui está um fato que choca o filósofo, mas que o físico é obrigado a aceitar. Sabemos que, a partir desse fato, Newton concluiu a existência do espaço absoluto. Eu mesmo não posso aceitar essa maneira de olhar para ela. (POINCARÉ, 1902)

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Essa frase podemos ver novamente a influência do Bureau de Longitudes na formação de Poincaré ao citar a possibilidade de se medir a elipticidade de um planeta por meio geodésicos. Este argumento reforça a hipótese de Galison (2003) sobre a lei da relatividade ser a intersecção das geodésicas, da mecânica e do convencionalismo e a nossa hipótese que foi a circulação intercoletiva entre diferentes coletivos de pensamento, engenheiros, geocientistas, físicos, matemáticos (geômetras e analistas), astrônomos e filósofos, que levou as conexões ativas que ajudaram na formação do princípio da relatividade. Outro ponto interessante associado a frase é que se costuma à dizer que Poincaré tinha dúvidas sobre a universalidade do Princípio da Relatividade. Mas observe que apesar de todas as objeções experimentais, ele afirma que não aceita essa maneira de olhar as dificuldades. Ao que indica Poincaré estava antecipando aos seus críticos que estava ciente seu princípio da relatividade era, aparentemente, contraditório com fenômenos de rotação, embora ele não tivesse dúvida sobre a sua veracidade. Essa hipótese que levantamos se justifica na seguinte afirmação (POINCARÉ, 1902): Vou explicar por que na Parte III, mas no momento não é minha intenção discutir essa dificuldade. Devo, portanto, resignar-me, na enunciação da lei da relatividade, a incluir velocidades de todo tipo entre os dados que definem o estado dos corpos. Seja como for, a dificuldade é a mesma para a geometria de Euclides e para a de Lobatschewsky. Não necessito, portanto, de mais problemas, e só o mencionei incidentalmente. Em suma, seja qual for a maneira como a observamos, é impossível descobrir no empirismo geométrico um significado racional.

Contudo em Sur les principes de la mécanique, de 1901, que foi republicado como sexto capítulo (parte III) de A Ciência e a Hipótese encontramos as seguintes asserções (POINCARÉ, 1902):

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1. Não há espaço absoluto e só concebemos o movimento relativo; e, no entanto, na maioria dos casos, os fatos mecânicos são enunciados como se houvesse um espaço absoluto ao qual possam ser referidos. 2. Não há tempo absoluto. Quando dizemos que dois períodos são iguais, a afirmação não tem significado e só pode adquirir um significado por uma convenção. 3. Não apenas não temos intuição direta da igualdade de dois períodos, mas nem sequer intuímos diretamente a simultaneidade de dois eventos que ocorrem em dois lugares diferentes. Expliquei isso em um artigo intitulado “Mesure du Temps”. 4. Por fim, não é a nossa geometria euclidiana, em si mesma, apenas um tipo de convenção da linguagem? Fatos mecânicos podem ser enunciados com referência a um espaço não-euclidiano que seria menos conveniente, mas tão legítimo quanto nosso espaço ordinário; a enunciação se tornaria mais complicada, mas ainda assim seria possível. Assim, o espaço absoluto, o tempo absoluto e até a geometria não são condições impostas à mecânica. Todas essas coisas não mais existiam antes da mecânica do que se pode logicamente dizer que a língua francesa existia antes das verdades expressas em francês.

Uma vez que não exista espaço, tempo, simultaneidades absolutas e uma única geometria verdadeira, as experiências que colocam em dúvida o princípio da relatividade, como a medida da eplipticidade, perdem força. Fica bastante claro que Poincaré não tinha dúvida da validade do Princípio da Relatividade. As dificuldades impostas pela experiência eram apenas problemas derivados da aceitação do espaço e tempo absoluto. Sobre o termo “lei da relatividade”, ele só aparece nesse capítulo. Porém, a palavra relatividade e exemplos envolvendo fenômenos onde apenas podemos considerar efeitos devido ao movimento relativo aparecem em todo o livro. Apenas ao final do livro, em seu estudo sobre a eletrodinâmica, Poincaré emprega o termo princípio da relatividade (POINCARÉ, 1902):

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Algumas objeções ainda permaneciam. Os fenômenos de um sistema elétrico pareciam depender da velocidade absoluta de translação do centro de gravidade desse sistema, o que é contrário à ideia que temos da relatividade do espaço. Apoiado por M. Crémieu, M. Lippman apresentou essa objeção de uma forma muito impressionante. Imagine dois condutores carregados com a mesma velocidade de translação. Eles estão relativamente em repouso. No entanto, sendo cada um deles equivalente a uma corrente de convecção, eles deveriam atrair um ao outro e, medindo essa atração, poderíamos medir sua velocidade absoluta. "Não!", Responderam os partidários de Lorentz. "O que poderíamos medir dessa maneira não é sua velocidade absoluta, mas sua velocidade relativa em relação ao éter, de modo que o princípio da relatividade está a salvo”

Esse exemplo dado por Poincaré, é muito semelhante ao que Einstein usa na introdução de seu paper relatividade de 1905: Vamos pensar na ação mútua entre um imã e um condutor. Os fenômenos observados, neste caso, dependem apenas do movimento relativo do condutor e do imã, enquanto, de acordo com a concepção usual, uma distinção deve ser feita entre os casos em que um ou outro dos corpos está em movimento. Se, por exemplo, o ímã se move e o condutor está em repouso, então um campo elétrico de determinado valor de energia é produzido na vizinhança do ímã, que excita uma corrente nas partes do campo onde existe um condutor. Mas se o ímã estiver em repouso e o condutor for colocado em movimento, nenhum campo elétrico é produzido na vizinhança do imã, mas uma força eletromotriz que corresponde a nenhuma energia em si é produzida no condutor; isto provoca uma corrente elétrica da mesma magnitude e da mesma carreira que a força elétrica, assumindo-se, é claro, que o movimento relativo em ambos os casos é o mesmo. (EINSTEIN, 1905, p. 891)

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E logo em seguida Einstein rejeita o éter e introduz seu princípio da relatividade: Exemplos de um tipo similar, como a tentativa frustrada de substanciar o movimento da Terra em relação ao "meio-luz", nos levam à suposição de que não apenas na mecânica, mas também na eletrodinâmica, nenhuma propriedade dos fatos observados corresponde a um conceito de repouso absoluto; mas para todos os sistemas de coordenadas para os quais as equações mecânicas são válidas, as equações eletrodinâmicas e ópticas equivalentes também se mantêm, como já foi mostrado para grandezas de primeira ordem. A seguir, fazemos essas suposições (que posteriormente chamaremos de Princípio da Relatividade). (EINSTEIN, 1905, p. 891)

De todos os trabalhos escritos por Poincaré, o único que sabemos que Einstein leu e discutiu detalhadamente é A Ciência e a Hipótese (ISAACSON, 2007). Embora Einstein não faça nenhuma referência ao trabalho de Poincaré, não podemos negar este foi o primeiro contato de Einstein com a ideia da relatividade para todos fenômenos físicos. A similaridade dos exemplos dados por Poincaré e Einstein não podem ser tratados como mera coincidência. Poincaré só viria a comentar novamente sobre o Princípio da Relatividade em 1904, em sua conferência em Saint Louis para o congresso de Artes e Ciências. Ao discutir a crise da física-matemática (física teórica), Poincaré caracteriza o atual estado como a física dos princípios. Segundo Poincaré (1904) estes princípios são:      

O princípio de Mayer O princípio de Carnot O princípio de Newton O princípio de Lavoisier O princípio da mínima ação O princípio da relatividade

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Poincaré discute cada um dos princípios e as experiências que os colocaram em xeque. Em especial, no princípio da relatividade, Poincaré discute as experiências para evidenciar o movimento da Terra em relação ao éter. Novamente ele discute o problema de sincronização de relógios, citando o exemplo de duas estações (o que mais uma vez remete a sua experiência no Bureau das Longitudes). Nesse artigo Poincaré, apresenta uma nova definição do Princípio da Relatividade: O princípio da relatividade, segundo o qual as leis dos fenômenos físicos devem ser as mesmas, quer para um observador fixo, quer para um observador em movimento de translação uniforme; de modo que não temos, nem podemos ter, nenhum meio de discernir se somos ou não levados num tal movimento. (POINCARÉ, 1904, p. 306)

Que, como discutimos no segundo capítulo, foi republicado em O Valor da Ciência, em 1905, e é muito semelhante a definição que Einstein usaria em 1905. Einstein estava ciente dessa publicação do Poincaré? É bastante provável (DARRIGOL, 1995, FOLSING, 1998, GALISON, 2003, JAMMER, 2006). Como já mostramos na sessão anterior, o método de sincronização de relógios também é muito semelhante a que Poincaré apresentou nesse artigo. A semelhança sugere que Einstein tivesse algum conhecimento desse paper do Poincaré. Uma passagem que merece a nossa atenção é a seguinte: “E serão inconcebíveis tais sinais se admitirmos, com Laplace, que a gravitação universal se transmite 1 milhão de vezes mais rapidamente que a luz? (POINCARÉ, 1904) Poincaré iria resolver essa pergunta alguns meses depois, em 1905, em seu artigo Sur la dynamique de l’électron. Como veremos, sua conclusão é que a gravidade se propaga à velocidade da luz por meio de ondas gravitacionais (POINCARÉ, 1905, 1906). Esta conclusão segue como uma consequência do Princípio da Relatividade.

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6. A Dinâmica do Elétron Paralelo ao desenvolvimento do princípio da relatividade e das noções de espaço, tempo e simultaneidade, importantes pesquisas sobre a dinâmica dos corpos carregados foram desenvolvidas. Estes estudos acabaram por compor aquilo que hoje se chama de dinâmica relativística. Em síntese, esse período foi marcado pela descoberta do elétron, pela constatação de que a inércia dos corpos carregados aumenta com a velocidade e depende da direção da força aplicada e que a Teoria de Lorentz é incompatível com o Princípio da Reação. E qual foi a posição de Poincaré diante a esses avanços? Poincaré não apresentou uma posição clara sobre estas descobertas até 1904. Em seus cursos de eletrodinâmica e telegrafia sem fio, Poincaré não menciona esses estudos sobre a massa do elétron. Ao que tudo indica, Poincaré parecia mais preocupado com significado ontológico do conceito de massa, como podemos ver em um trabalho de 1901, para o congresso internacional de filosofia. Neste trabalho ele questiona se a massa é possível medir a massa ou se trata apenas de uma convenção cômoda? A aceleração de um corpo é igual à força que age sobre ele dividida por sua massa. Esta lei pode ser verificada por experiência? Se assim for, temos que medir as três grandezas mencionadas na enunciação: aceleração, força e massa. Eu admito que a aceleração pode ser medida, porque eu passo por cima da dificuldade decorrente da medição do tempo. Mas como podemos medir força e massa? Nós nem sabemos o que são. O que é massa? Newton responde: "O produto do volume e da densidade". "Era melhor dizer", respondem Thomson e Tait, "essa densidade é o quociente da massa pelo volume". O que é força? "É", responde Lagrange, "aquilo que move ou tende a mover um corpo". "É", segundo Kirchoff, "o produto da massa e da aceleração". Então por que não dizer que a massa é o

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quociente da força pela aceleração? Essas dificuldades são insuperáveis. (POINCARÉ, 1901, p. 466)

Em A Ciência e a Hipótese, Poincaré introduz novamente este ensaio e complementa sua análise verificando o conceito de massa quando introduzido como uma propriedade dos corpos pesados. A conclusão de Poincaré é que ainda seria impossível estabelecer um conceito de massa POINCARÉ, 1902). Em 1904, na conferência de Saint Louis, Poincaré discute pela primeira vez a questão da massa dos elétrons poder variar com a velocidade e as consequências desse resultado na lei de Lavosier (lei da conservação de massa): Esses raios podem ser desviados quer por um campo elétrico, quer por um campo magnético, e se pode, comparando esses desvios, medir ao mesmo tempo a velocidade dos elétrons e sua massa (ou antes, a razão de sua massa por sua carga). Mas quando se viu que essas velocidades se aproximavam da velocidade da luz, percebeu- se que uma correção era necessária. Essas moléculas, estando eletrizadas, não podem deslocar-se sem abalar o éter; para pô-las em movimento, é preciso vencer uma dupla inércia: a da própria molécula e a do éter. A massa total, ou aparente, que se mede compõe-se então de duas partes: a massa real, ou mecânica, da molécula e a massa eletrodinâmica que representa a inércia do éter. Os cálculos de Abraham e as experiências de Kauffman mostraram então que a massa mecânica propriamente dita é nula, e que a massa dos elétrons, ou ao menos dos elétrons negativos, é de origem exclusivamente eletrodinâmica. Isso nos força a mudar a definição de massa; não podemos mais distinguir a massa mecânica e a massa eletrodinâmica, porque então a primeira se dissiparia; não há outra massa a não ser a inércia eletrodinâmica; mas, nesse caso, a massa não pode mais ser constante, aumenta com a velocidade; e até mesmo depende da direção, e um corpo animado por uma velocidade notável não oporá a mesma inércia às forças que tendem a desviá-lo de sua rota e àquelas que tendem a acelerar ou a retardar sua marcha. Há ainda um recurso: os elementos

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últimos dos corpos são elétrons, uns carregados negativamente, outros carregados positivamente. Os elétrons negativos não têm massa, é verdade; mas os elétrons positivos, segundo o pouco que se sabe, parecem muito maiores. Talvez tenham, além de sua massa eletrodinâmica, uma verdadeira massa mecânica. A verdadeira massa de um corpo seria então a soma das massas mecânicas de seus elétrons positivos; os elétrons negativos não contariam; a massa assim definida poderia ainda ser constante. Que lástima! Também esse recurso nos escapa. Lembremo-nos do que dissemos a propósito do princípio de relatividade e dos esforços feitos para salvá-lo. E não é apenas um princípio que se trata de salvar, são os resultados indubitáveis das experiências de Michelson. Pois bem, tal como vimos acima, para explicar esses resultados Lorentz foi obrigado a supor que todas as forças, qualquer que seja sua origem, eram reduzidas na mesma proporção num meio animado por uma translação uniforme; não é o bastante: não basta que isso ocorra com as forças reais, é preciso também que se dê o mesmo com as forças de inércia; é preciso, pois — diz ele —, que as massas de todas as partículas sejam influenciadas por uma translação no mesmo grau que as massas eletromagnéticas dos elétrons. Assim, as massas mecânicas devem variar segundo as mesmas leis que as massas eletrodinâmicas; portanto, não podem ser constantes (POINCARÉ, 1904, p. 316).

Outra previsão de Poincaré, com base no estudo das propriedades dinâmicas do elétron, é que se confirmadas, seria necessário uma reformulação da mecânica. De todos esses resultados, se fossem confirmados, proviria uma mecânica inteiramente nova, que seria sobretudo caracterizada pelo fato de que nenhuma velocidade poderia ultrapassar a da luz (pois os corpos oporiam uma inércia crescente às causas que tendessem a acelerar seu movimento; e essa inércia se tornaria infinita quando nos aproximássemos da velocidade da luz),

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assim como nenhuma temperatura pode cair abaixo do zero absoluto. (POINCARÉ, 1904, p. 315).

Porém, a maior contribuição de Poincaré para a dinâmica do elétron, viria em seus artigos de 1905 e 1906, Sur la dynamique de l’eléctron. Nestes dois papers, que analisaremos com mais detalhes posteriormente, Poincaré mostrou, por meio de seu grupo de Lorentz, que o único modelo do elétron compatível com o princípio da relatividade era o modelo do elétron contraído de Lorentz. Poincaré sugeriu como solução do problema da estabilidade do elétron a existência de tensões internas sobre o elétron, que não eram de natureza eletrodinâmica. Essas tensões foram denominadas de tensões de Poincaré Neste artigo ele também soluciona uma questão levantada em sua conferência de 1904: A massa tem dois aspectos: é ao mesmo tempo um coeficiente de inércia e uma massa atrativa que entra como fator na atração newtoniana. Se o coeficiente de inércia não é constante, a massa atrativa poderá sê-lo? Eis a questão. (POINCARÉ, 1904, p. 317).

A resposta é negativa. A massa gravitacional também não é constante. Em 1907, Planck demonstrou que o princípio da relatividade exige uma equivalência entre as massas. Neste mesmo ano Eotvös realizou experimentos precisos que estabeleciam a equivalência entre a massa inercial e a massa gravitacional (WHITTAKER, 1953). Quanto a possível violação do Princípio da Reação pela Teoria de Lorentz, é preciso compreender que desde o final do século XIX, alguns físicos já questionavam este princípio, pois alegavam que essa concepção era uma herança da eletrodinâmica de Weber que defendia ações a distância. Em geral, eram os pesquisadores alemães (ou influenciados por eles) que julgavam o princípio da ação e reação como uma lei fundamental. Poincaré, embora pertencesse a tradição de pesquisadores franceses, simpatiza com as ideias de Hertz e a

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necessidade de garantir a validade do princípio da ação e reação (harmonia das ilusões). Em suas aulas de eletrodinâmica na Souborne, em 1889, (publicadas no livro Életricite et Óptique). Poincaré demonstrou que a teoria de Hertz era compatível com o princípio da ação e reação e o princípio da conservação da eletricidade e do magnetismo, este último princípio criaria dificuldades que não permitiam explicar os resultados da experiência de Fizeau, exatamente como acontece na eletrodinâmica de Hertz. Caso se desenvolvesse uma eletrodinâmica consistente com a experiência de Fizeau seria impossível garantir o princípio da conservação da eletricidade e do magnetismo, tal era o caso da eletrodinâmica de Helmholtz e Reiff. (DARRIGOL, 1995, 1996, 2003). Em 1892, Lorentz escreveu “La theorie electromagnetique de Maxwell et son application aux corps mouvants," um paper onde discutia modificações na eletrodinâmica para explicar os resultados negativos da experiência de Michelson-Morley, Em 1893, Larmor publicou um importante paper, intitulado “Dynamical theory of the electric and luminiferous medium”, onde apresentava sua teoria eletrodinâmica, que em muito se assemelhava ao modelo de Lorentz. Em 1895, Lorentz apresentou um trabalho mais madura sobre a sua eletrodinâmica, “Versuch eine Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern” onde ele apresentou a forma aproximada de suas transformações de Lorentz e explicou os resultados negativos da experiência de Michelson-Morley para efeitos de primeira ordem. Neste mesmo ano, Poincaré publicou um artigo chamado À propos de la théorie de M. Larmor” onde ele discutiu a teoria de Larmor de 1893 e mostrou que ela era incompatível com o princípio da ação e reação. Neste trabalho Poincaré ainda afirma que uma eletrodinâmica deve atender três parâmetros (POINCARÉ, 1895):

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i) Descreva o coeficiente de Arrastamento de Fizeau; ii) Garanta a conservação de eletricidade e magnetismo; iii) Garanta a validade do princípio da igualdade da ação e reação. Haveria uma teoria que fosse consistente, ao mesmo tempo com estes três princípios? Entre as mais recentes teorias, a teoria de Helmholtz-Reiff violava (ii); as teorias de Lorentz e Larmor satisfazem (i) e (ii) mas não (iii); a teoria de Hertz satisfaz (ii) e (iii) mas não (i). Poincaré provou que a teoria de Hertz era a única teoria que satisfazia (ii) e (iii) para matéria macroscópica. Mais precisamente, ele mostrou que os termos lineares adicionais nas equações de Hertz necessariamente desapareceriam se ambas as condições mais a conservação de energia fossem atendidas. A prova inquestionável deixou Poincaré com um grande dilema: as três condições básicas não eram compatíveis. (DARRIGOL, 1995, p. 21)

Mas o que, mais precisamente, tornava a teoria de Lorentz incompatível com o princípio da ação e reação? Lorentz havia construído essa violação em sua teoria, já que o éter agia sobre os corpos, mas não vice-versa. Em sua publicação de 1895, Lorentz havia se esquivado dessa questão afirmando que o princípio de ação e reação de Newton não precisa ser universalmente válido. O princípio de ação e reação de Newton, no entanto, estava no nível mais alto da visão hierárquica de Poincaré sobre uma teoria científica porque sua generalidade impedia sua desconfirmação experimental. (MILLER, 1997, p. 53).

Como Poincaré havia provado que nenhuma modificação poderia ser feita na teoria de Hertz e Helmholtz-Reiff que garantisse que as três condições fossem satisfeitas, por isso para garantir a harmonia

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das ilusões, talvez fosse possível modificar a teoria de Lorentz. Essa esperança justifica Poincaré ter declaro que a teoria de Lorentz era a menos defeituosa (POINCARÉ, 1895). De fato, uma solução bastante simples seria atribuir momento e inércia ao éter. Essa era uma ideia compartilhada por físicos britânicos, pois como o éter pode portar energia, não seria absurdo que ele carregasse momento e tivesse uma inércia (DARRIGOL, 1995, 1996, 2003). Qual era opinião de Lorentz e Poincaré sobre essa solução? Lorentz julgava essa hipótese absurda, como ele declarou de forma veemente a Poincaré em uma carta de janeiro de 1901. Para Lorentz, o éter estava em repouso absoluto, portanto era completamente sem sentido atribuir um estado de movimento à ele (LORENTZ, 1901). Poincaré também descartava essa hipótese por assumir uma posição cética em relação a existência do éter (DARRIGOL, 1995, 1996, 2003). Diferente da maioria dos físicos da época, incluído Lorentz, Poincaré achava que o éter era um conceito metafísico e que seria gradativamente expurgado da física8 (DARRIGOL, 1995, 1996, 2003). Para Poincaré não se deveriam atribuir efeitos da matéria ponderável ao éter, somente interessava a interação entre corpos materiais (POINCARÉ, 1895). Diferente de Poincaré, que preserva a harmonia das ilusões sobre a terceira lei de Newton, Lorentz não se importava em abandonar o princípio da ação e reação, por isso a questão nunca foi centro de suas discussões. Já Poincaré passaria os próximos anos buscando modificações que satisfizessem o princípio da ação e reação. Em 1900, Poincaré estava muito mais animado com a teoria de Lorentz, no congresso internacional de física em Paris, ele anunciou que a teoria de Lorentz era de todas a mais satisfatória (POINCARÉ, 1900b). Segundo Miller (1997) a mudança de ânimo de Poincaré se Entre os físicos que descartavam a existência do éter podemos mencionar Alfred Bucherer, Emil Cohen e Heinrich Hertz.

8

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deu porque ele havia conseguido tornar a teoria de Lorentz compatível com princípio da ação e reação sem atribuir propriedades ponderáveis ou um estado de movimento ao éter. Esse resultado foi publicado em 1900, na conferência de homenagem ao vigésimo quinto aniversário de doutoramento de Lorentz, como nome de “Le principle de reaction et le theorie de Lorentz”. Como veremos, a solução de Poincaré foi atribuir a radiação uma inércia, cuja medida era dada por sua energia, por meio da relação (em notação moderna):

M

E c2

Antes de começarmos nossa análise, precisamos fazer algumas observações sobre a notação empregada por Poincaré. A primeira delas é que Poincaré usa a mesma notação para derivadas parciais e derivadas ordinárias, como exemplificamos nas equações abaixo:

f (u, v) d f (u, v)  du u A segunda observação é que Poincaré exprime as equações de Maxwell em notação cartesiana e utiliza apenas uma componente transversal (nesse caso as direções y e z são equivalentes).:

 dFx dFz  dz  dx  F   dF  y  dFx  dx dy A última observação é sobre a notação que Poincaré emprega para se referir as quantidades de físicas. Schwartz (1971) produziu um pequeno dicionário de símbolos para o artigo Sur la dynamique de l’eléctron, mas que também é válido para este artigo.

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Tabela 1. Dicionário de notação (SCHWARTZ, 1971, p. 1289)9 Notação de

Notação

Poincaré

Contemporânea

Campo Elétrico

(f, g, h)

E

Campo Magnético

()

B

Potencial Escalar





Potencial Vetor

(F, G, H)

A

Densidade de Corrente Elétrica Total

(u, v, w)

J

Quantidade

Poincaré inicia seu artigo com uma mea-culpa, por estar supostamente reavivando críticas a teoria de Lorentz: Sem dúvida, parece estranho que, em um monumento elevado à glória de Lorentz, eu discutir as considerações que eu apresentei anteriormente como uma objeção à sua teoria. Eu poderia dizer que as páginas que se seguem são mais da natureza de uma atenuação e não uma ampliação dessa objeção. Mas desprezo essa desculpa, porque tenho uma que é 100 vezes melhor: boas teorias são flexíveis. Aquelas que têm uma forma rígida e que não podem mudar essa forma sem colapsar realmente têm pouca vitalidade. Mas se uma teoria é sólida, então ela pode ser lançada em diversas formas, ela resiste a todos os ataques e seu significado essencial não é afetado. Foi o que eu discuti no último Congresso de Física. Boas teorias podem responder a todas as objeções. Os argumentos específicos não têm efeito Este artigo do Schwartz também foi publicado no livro organizado por Hsu & Zang (2001), Lorentz and Poincaré Invariance. O livro Henri Poincaré and Relativity Theory, de A. Logunov (2004), apresenta uma tradução parcial e com as equações modernizadas desse memoir. 9

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sobre eles, e também triunfam sobre todas as objeções sérias. No entanto, ao triunfar, elas podem ser transformadas. As objeções a elas, portanto, longe de aniquilá-las, realmente as servem, pois permitem que tais teorias desenvolvam todas as virtudes que estavam latentes nelas. A teoria de Lorentz é uma dessas, e essa é a única desculpa que invocarei. Portanto, não é por isso que imploro o perdão do leitor, mas sim por ter apresentado tão poucas novidades. (POINCARÉ, 1900, p. 251)

Inicialmente, Poincaré analisa a incompatibilidade entre a teoria de Lorentz e o princípio da ação e reação. Poincaré inicia sua análise estudando a interação de um elétron em um pequeno elemento de d e procura determinar a ação de todas as forças ponderáveis sobre os elementos de superfície d. Decompondo todas estas forças e levando em consideração as pressões de Maxwell, Poincaré (1900, p. 256) obtém a seguinte a expressão:

l dJ d  dt d   K0  f

m n

   g

h

4  d K0 

 f

onde (l, m, n) são as coordenadas do vetor normal da superfície de contato onde a força é aplicada. A partir dessa equação, Poincaré introduz o seu conceito de fluído fictício, como segue (POINCARÉ, 1900, p. 256): A primeira integral no lado direito representa, como sabemos, a quantidade de energia eletromagnética que entra no volume em consideração através da radiação que passa pela superfície e o segundo termo representa a quantidade de energia eletromagnética que é criada dentro do volume por transformação de outras formas de energia. Podemos considerar a energia eletromagnética como um fluído fictício de que a densidade é K0 J e que viaja através do espaço de acordo com a

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lei de Poynting. Precisamos apenas perceber que o fluido não é indestrutível e, no elemento de volume d, durante uma unidade de tempo, uma quantidade 4K0   d  f  é destruída (ou, se o sinal for negativo, uma quantidade idêntica, mas com sinal oposto é criada). Essa é a razão que nos impede de considerar nosso fluído fictício como uma espécie de fluido "real".

Agora Poincaré, começa analisar o movimento do centro de gravidade do fluído fictício. Como ele mesmo observa, se o momento linear for constante, então o centro de gravidade deve percorrer uma trajetória retilínea e uniforme. Contudo como o fluído fictício é criado e destruído em processos de transformação de energia, essa hipótese não pode ser assumida como verdadeira. Assim Poincaré passa a estudar o movimento do centro de gravidade do fluído fictício. Após escrever as equações e realizar a análise das integrais Poincaré, escreve: Usaremos Mo para representar a massa total da substância, usaremos Xo, Yo, Zo para designar coordenadas de seu centro de gravidade, usaremos M1 para representar a massa total do fluído fictício, usaremos X1, Y1, Z1 para designar as coordenadas de seu centro de gravidade, usaremos M2 para a massa total do sistema (matéria mais fluído fictício), X2, Y2, Z2 para designar o seu centro de gravidade. (POINCARÉ, 1900, p. 257-258)

E apresenta as seguintes equações fundamentais da dinâmica: M 2  M 0  M1 d  M 0 X 0    MVx dt

M 2 X 2  M 0 X 0  M1 X1 K 0  x Jd  M 1 X 1

Para o deslocamento do centro de massa do fluído fictício. d  M 2 X 2   C  4   xd  f  dt

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Sobre esta equação, Poincaré faz os seguintes apontamentos: Se a energia eletromagnética não for criada nem destruída em qualquer lugar, o último termo desaparecerá; Então, o centro de gravidade do sistema que consiste na substância e na energia (considerado fluido fictício) tem movimento linear e uniforme. Suponhamos, agora, que em certos locais, há destruição de energia eletromagnética, que se transforma em energia não elétrica. Devemos, então, considerar o sistema formado não apenas pela substância e energia eletromagnética, mas também pela energia não elétrica que resulta da transformação da energia eletromagnética. Mas devemos assumir que a energia não elétrica permanece no ponto em que ocorre a transformação e não é subsequentemente carregada com o assunto nesse local. Não há nada nesta convenção que, mas devemos assumir que a energia não elétrica permanece no ponto em que a transformação ocorre e não é subsequentemente carregada com o assunto nesse local. Não há nada nesta convenção que deveria nos chocar, pois estamos apenas discutindo uma ficção matemática. Se alguém adotar essa convenção, o movimento do centro de gravidade do sistema permanecerá linear e uniforme. Para estender esta afirmação ao caso em que não há apenas destruição, mas também criação de energia, basta supor que em cada ponto há uma certa quantidade de energia não elétrica, a partir da qual é formada a energia eletromagnética. Seguem-se então a convenção precedente, que é dizer que, no lugar de assumir que a energia não elétrica é co-localizada com a substância ordinária, consideramos isso como imobilizado. Dada essa condição, o centro de gravidade ainda se move em linha reta. (POINCARÉ, 1900, p. 258)

E depois de discutir o movimento do centro de gravidade, Poincaré estabelece a conservação do momento ao associar uma inércia ao fluído fictício:

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Para definir a inércia desse fluido fictício, devemos assumir que o fluido que é criado em qualquer ponto por transformação de energia não elétrica é criado sem velocidade e que obtém sua velocidade do fluido que já existe. Se, portanto, a quantidade de fluido aumentar, mas a velocidade permanece constante, devemos ter uma certa inércia a superar, uma vez que o novo fluido "empresta" a sua velocidade do fluido antigo. A velocidade do sistema diminuirá se alguma causa não intervir para mantê-la constante. Da mesma forma, quando há destruição de energia eletromagnética, o líquido que é destruído deve perder sua velocidade antes da sua destruição, desistindo do fluido restante. (POINCARÉ, 1900, p. 259)

E, após discutir a conservação do momento, Poincaré estabelece pela primeira vez que a relação massa-energia, isto é, que a energia eletromagnética apresenta uma inércia. Portanto, do nosso ponto de vista, uma vez que a energia eletromagnética se comporta como um fluido que tem inércia, devemos concluir que, se algum tipo de dispositivo produz energia eletromagnética e a irradia em uma determinada direção, esse dispositivo deve recuar exatamente como um canhão faz quando dispara um projétil. Claro, esse recuo não ocorrerá se o dispositivo emitir energia igualmente em todas as direções; Isso só ocorrerá se a emissão for assimétrica e se a energia eletromagnética for emitida em uma única direção, como acontece, por exemplo, se o dispositivo for um excitador hertziano colocado no foco de um espelho parabólico. (POINCARÉ, 1900, p. 260)

Para entendermos o argumento como Poincaré estabeleceu a relação massa-energia, nós devemos avaliar a seguinte integral (POINCARÉ, 1900):

K 0  x Jd  M 1 X 1

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Em notação moderna e levando em consideração o valor da velocidade da luz, a integral seria escrita da seguinte forma: J

xc

2

dV  M 1 R1

Aqui aparece de forma explícita a razão entre a densidade de energia J e o quadrado da velocidade da luz no vácuo. Embora Poincaré não desenvolva explicitamente o raciocínio a seguir, é fácil obter a relação massa-energia. Uma vez que J é igual a razão entre a variação de energia dE e a variação de volume dV, então a integral pode ser reescrita como:

x

1  dE    dV  M 1R1 c 2  dV 

Pelo cálculo ordinário, a integral se torna: dE

x c

2

 M 1 R1

A análise dimensional, mostra que a razão dE/c² deve corresponder a variação da massa do fluído fictício dM1. Portanto, podemos concluir que o fluído fictício associado a radiação eletromagnética apresenta uma inércia dada por: M1 

E c2

Embora Poincaré não apresente esse resultado explicitamente, ele estava ciente. Isso fica claro, pois logo após afirmar que a energia eletromagnética apresenta uma inércia e conserva o momento, Poincaré propõe um exercício quantitativo. É fácil avaliar esse recuo quantitativamente. Se o dispositivo tiver uma massa de 1 kg e se ele emitir três milhões de joules em

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uma direção com a velocidade da luz, a velocidade do recuo é de 1 cm / seg. Em outros termos, se a energia produzida por uma máquina de 3.000 watts for emitida em uma única direção, é necessária uma força de um dine para manter a máquina em prática apesar do recuo. É evidente que essa força fraca não pôde ser detectada em nossa experiência. Mas podemos imaginar que, impossivelmente, temos dispositivos de medição tão sensíveis que podemos medir essas forças. Poderíamos então demonstrar que o princípio da reação é aplicável não apenas à substância; E isso seria confirmação da teoria de Lorentz, e a queda de algumas outras teorias. (POINCARÉ, 1900, p. 260)

Esse cálculo é realizado de forma bastante pormenorizada pelo matemático H. Ives (1952). Aqui apresentaremos uma versão sintetizada, um pouco diferente do detalhamento feito por Ives (e também mais simples). Pela conservação do momento, o recuo do dispositivo de massa M deve ser igual ao momento da energia eletromagnética que se propaga na velocidade da luz:

Mv  M1c Utilizando a relação massa-energia,

E Mv   2  c c  v

E M c

Os dados fornecidos por Poincaré para o cálculo são:  M = 103 gramas  6 13  E =3 10 joules = 3 10 ergs c = 3 1010 cm por segundo, 

Substituindo estes valores na equação da velocidade de recuo:

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v

3 1013  1cm/ seg, 103  3 1010

que é o resultado declarado por Poincaré. Poincaré discorre que esse recuo previsto na teoria de Lorentz também era previsto na Teoria de Hertz. Portanto, é preciso investigar as duas teorias mais afundo. Poincaré começa examinando o princípio da ação e reação para dielétricos. Ele escreve: Na teoria de Lorentz, quando o ar recebe a energia irradiada, não resulta em nenhuma ação mecânica; ele também não é afetado quando a energia sai depois de atravessá-lo. Em contraste, na teoria de Hertz, quando o ar recebe a energia, ela é empurrada para frente e recua quando a energia a deixa. Os movimentos do ar atravessados pela energia compensam assim, do ponto de vista do princípio da reação, os movimentos do dispositivo que produziu a energia. Na teoria de Lorentz, essa compensação não acontece. (POINCARÉ, 1900, p. 261)

Inicialmente Poincaré analisa a influência criação e a destruição de um fluído fictício no momento total dentro da teoria de Lorentz. De suas considerações matemáticas e física, Poincaré chega a seguinte integral:

 MV    W x

x

 K 0 J U x  d  const.

onde  é a densidade do material dielétrico e Wx é a velocidade do dielétrico na direção x. Segundo Poincaré, esta integral deve ser interpretada da seguinte maneira: Se um dispositivo irradia energia em uma única direção no vácuo, ele sofre um recuo que, do ponto de vista do princípio da reação, é compensado apenas pelo movimento do fluido fictício. Mas se, em vez disso, a radiação ocorrer em um dielétrico, o recuo será compensado em parte pelo movimento do fluido fictício e em parte pelo movimento do material dielétrico, e a

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fração do recuo do dispositivo que será assim compensada pelo movimento do dielétrico. (POINCARÉ, 1900, p. 266)

À seguir, Poincaré passa a revisar a teoria de Hertz. Ele mostra que a teoria de Hertz está incorreta, pois ela prevê um arrastamento total do éter na experiência de Fizeau, sendo que o experimento indica um arrastamento parcial. Portanto, na teoria de Hertz, a velocidade de arrasto será  , o que equivale a dizer que o arrasto será completo. Essa consequência, que é contrária ao resultado de Fizeau, é suficiente para condenar a teoria de Hertz, de modo que a consideramos pouco mais que uma curiosidade. (POINCARÉ, 1900, p. 268)

Por outro lado, enquanto, aparentemente, a teoria de Lorentz, viola o princípio da ação e reação, na teoria de Hertz, ocorre uma compensação que se aplica somente à matéria. Deste modo Poincaré chega à seguinte conclusão: Para demonstrar experimentalmente que o princípio da reação é realmente violado na realidade, como é na teoria de Lorentz, não é suficiente mostrar que o dispositivo que produz a energia recua, o que já seria muito difícil, é necessário mostrar também que o recuo não é compensado pelo movimento do dielétrico e, em particular, pelo movimento do ar atravessado pelas ondas eletromagnéticas. Isso claramente seria ainda muito mais difícil. (POINCARÉ, 1900, p. 269)

Contudo, Poincaré descobre um argumento teórico bastante forte em defesa do princípio da ação e da reação: ela é uma consequência direta do princípio da relatividade e da conservação da energia. Esta discussão constitui a terceira parte da comunicação de Poincaré. Como observamos anteriormente, é nesta sessão que Poincaré interpreta o tempo local de Lorentz como o tempo registrado por estações móveis que tentam sincronizar seus relógios usando sinais

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luminosos, discute o significado da contração longitudinal dos corpos materiais e apresenta pela primeira vez o seu princípio da relatividade. Por meio desta análise de Poincaré consegue responder a seguinte questão: como a teoria de Lorentz pode viola o princípio da ação e reação, se este princípio é uma consequência direta da conservação de energia e do princípio da relatividade? Se, portanto, na teoria de Lorentz, o recuo pode ocorrer sem violar o princípio da energia, é porque a energia aparente medida por um observador transportado junto com os eixos móveis não é igual à energia real. Vamos supor, então, que o nosso excitador recua e que o observador é levado junto com esse movimento (v'= v 0), mas tinha outra solução que descrevia partículas idênticas a elétrons, porém com carga positiva e energia negava (E < 0). Ele chamou essas partículas de “buracos” e afirmou que eles ocupavam todos os estados de energia negava, o famoso “mar de Dirac”. Nessa época, Dirac não havia entendido bem essa outra solução. Assim, esse “buraco” foi interpretado como sendo um próton, em 1929 (Zeitschri für Physik 56, p. 330), pelo matemático alemão Hermann Weyl (1885-1955) e, ainda em 1929 (Proceedings of the Royal Society of London A126, p. 360) e em 1930 (Nature 126, p. 605), pelo próprio Dirac. Essa interpretação decorria do fato de que, naquela época, só se conheciam dois tipos de partículas elementares: elétrons e prótons. Por sua vez, o núcleo atômico era considerado formado de prótons e elétrons. Porém, Dirac não ficou muito satisfeito com essa proposta, uma vez que já se sabia que os prótons tinham massa cerca de 1.840 vezes maior do que à dos elétrons. Ainda em 1930, em trabalhos independentes, os físicos, o norte-americano Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) (Physical Review 35, p. 562) e o russo Igor Yevgenyevich Tamm (1895-1971; PNF, 1958) (Zeitschri für Physik 62, p. 545), mostraram que o “buraco” não poderia ser um próton, pois, desse modo, tornaria o átomo instável por causa do processo: próton + elétron = fótons. Em 1931 (Proceedings of the Royal Society of London A133, p. 60), Dirac aceitou a ideia de que o “buraco” seria uma nova espécie de partícula, até então desconhecida pelos físicos experimentais, a qual chamou de antielétron. Destaque-se que essa “nova partícula” foi descoberta pelo físico norte-americano Carl David Anderson (1905-1991; PNF, 1935), em 1932

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(Proceedings of the Royal Society of London A41, p. 405; Science 76, p. 238), e que recebeu o nome de pósitron (e+). É interessante destacar que, em 1929, os sicos, o russo Dmitry Vladimirovich Skobeltzyn (1892-1992) (Zeitschri für Physik 54, p. 686) e, em 1930 (Nature 125, p. 636), o italiano Bruno Benede Rossi (1905-1994), encontraram evidências experimentais da existência do “buraco” previsto por Dirac. Note-se que esse trabalho de Rossi foi rejeitado pela primeira revista científica para a qual ele o enviou. Em 1933 (Proceedings of the Royal Society of London A139, p. 699), os físicos, o inglês Patrick Maynard Stuart Blacke (1897-1974; PNF, 1948) e o italiano Giuseppe Pablo Stanislao Occhialini (1907-1993) realizaram uma experiência na qual confirmaram a existência do pósitron (e+). Essa experiência, realizada no Cavendish Laboratory, na Inglaterra, hoje conhecida como produção de pares (γ → e- + e+), foi confirmada, ainda em 1933 (Zeitschri für Physik 84, p. 144), pelo físico alemão Max Delbrück (19061981), ao estudar o espalhamento de fótons (γ) (E > 1,02 MeV) por campos eletrostáticos, como, por exemplo, o de um núcleo atômico que é carregado positivamente; esse processo é o conhecido espalhamento de Delbrück. É oportuno observar que, nesse tipo de espalhamento, a produção de pares é dita virtual, pois logo que o par é formado, ele desaparece produzindo um par de fótons (e- + e+ → 2γ), num processo conhecido como aniquilamento. Observe-se que a produção de 2γ é uma decorrência da lei de conservação de energia-momento [Robert Marn Eisberg and Robert Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (John Wiley and Sons, 1974)].

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G.

Efeito Compton

Em 1923, o físico estadunidense Arthur Holly Compton descobriu que o raio-X ao incidir sobre uma folha metálica eram detectados do outro lado da folha com uma frequência menor, que dependia do ângulo de incidência. Esse fenômeno foi verificado nos anos seguintes por Y. Woo. Em 1927, Compton e Charles Thomson Rees Wilson, que desenvolveu a câmara de bolha de Wilson, que permite estudar a trajetória de partículas, dividiram o prêmio Nobel. O efeito Compton mostra que o fóton ao interagir com um elétron livre não é absorvido, mas colide elasticamente com a partícula transferindo momento e energia. O uso da conservação do 4-momento permite deduzir a equação relacionada ao efeito Compton. Na figura abaixo, representamos o sistema fóton-elétron.

Por simplicidade, escolhemos um referencial onde a quantidade de movimento inicial do elétron seja desprezível.16 Em 1923, ainda não se conhecia o Princípio da Incerteza de Heinsenberg, portanto era natural assumir um referencial inercial onde o elétron estivesse em 16

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Definimos o 4-momento linear do fóton e do elétron, respectivamente, como:

  qi   , q  c 

E  pi   , p  c 

A lei de Planck nos informa que a energia de um fóton é dado por:   h

O 4-momento do fóton deve ser um vetor de comprimento nulo, pois o intervalo que liga os eventos de fóton é do tipo nulo (lúxons). Deste fato podemos deduzir o valor da norma de q: qi q i  0 2

     q c

2

0

q 

 c

Como a variedade espaço-tempo de Poincaré-Minkowski conserva todas as correntes de Noether, o 4-momento é conservado:

qi  pi  qi  pi Como observa Barcelos Neto (2010, p. 100) podemos omitir os índices, já que estamos de acordo que a expressão acima envolve quantidades 4-vetoriais:

q  p  q  p q  p  q  p Elevando a expressão ao quadrado (produto escalar 4-vetorial): repouso. O princípio da Incerteza proíbe a existência deste referencial. Por isso, à rigor, apenas podemos supor um referencial onde o momento seja muito pequeno e, para fins de medida, possa ser considerado como nulo.

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q2  p2  q2  2 p  q  2 p  q  2q  q  p2 Observe que a norma de um 4-vetor é sempre um invariante e que a massa própria do elétron não varia durante o processo, portanto: p 2  p2  Eo2c 2 q 2  q 2  0

Portanto, podemos cancelar os momenta ao quadrado do elétron e do fóton e simplificar a equação de conservação:

p  q  p  q  q  q  0 As componentes espaciais do momento no referencial próprio do elétron são todas nulas,

E  pi   , 0  c  pq 

E  mo h c2

p  q 

E   mo h  c2

Para as componentes do momento fóton,

q  q  qo qo  q , q q  q 

h2    q , q c2

O produto interno de dois vetores é dado por: q , q  q q cos 

Substituindo os valores da norma de q e q’:

P á g i n a | 4-1433

q , q 

h2   cos  c2

Portanto, para o produto entre os momenta do fóton, teremos:

h2 h2    2   cos  c2 c 2 h q  q  2   1  cos   c

q  q 

Substituindo na equação da conservação dos momenta:

h2   1  cos    0 c2

mo h  mo h  

Vamos determinar qual o valor da frequência final do fóton:

h   mo h   mo  2 1  cos    h   0 c  

    mo  c 2 1  cos      mo mo

  mo 

 1  cos  c2

Evidenciando a massa própria do elétron, obtemos a expressão da lei de Compton:

  1

 mo c 2



1  cos  

P á g i n a | 4-1434

H.

Decaimento

Suponha que uma partícula Luna (£0) de massa m sofra uma transmutação e emita dois fótons 1 e 2. Assim como ocorre no efeito Compton, podemos aplicar a conservação do 4-momento para compreender a situação: p  q1  q2

Elevando ao quadrado, teremos: p 2  q12  2q1  q2  q22

A partícula Luna apresenta componente temporal e espacial, enquanto os fótons tem comprimento nulo por serem lúxons.

 mo c 

2

 p 2  2  q10  q20  q1 , q2



Como os fótons se encontram na superfície do cone em direções perpendiculares, seu produto interno deve ser zero;

 mo c 

2

mo2 

 p2  2

1 2 c2

1 2 p2 2  c2 c4

Considerando que a radiação tem uma massa maupertuisiana:

p2 m  2  2m1m2 c 2 o

Vamos supor que o momento espacial seja zero. Nessas condições, nossa equação se se torna: mo2  2m1m2

P á g i n a | 4-1435

A massa do segundo fóton pode ser escrita como uma função da massa do primeiro fóton:

k2 m2  m1 2 onde k é um número real. Substituindo em nossa equação, obtemos: mo  k m1

Usando o princípio de conservação da massa:

M i  mo  k m1 , 2  k2 Mf  m1 2 portanto, concluímos que a massa final é maior que a massa inicial: Mi  M f

E ainda podemos calcular o valor dessa massa extra:

M f  M i  M EXTRA 2  k2 m1  k m1 2 2  k 2 m1  k m1 M f  Mi  2 2  m1  k  1 k M f  Mi  2 2  m1  k  1 k M EXTRA  2

M f  Mi 

P á g i n a | 4-1436

Essa massa extra é devido a energia cinética do corpo. Recordemos que supusemos que o momento era zero. Isso equivale a dizer que a partícula está em repouso ou que a energia cinética não contribui para a inércia. O primeiro fato tem uma explicação importante: uma partícula não pode transmutar em dois fótons se estiver em repouso e isolada. O segundo fato implica que no balanço inercial devemos considerar a contribuição da energia para a inércia do sistema. Em um decaimento onde há produção de fótons, os momenta desses lúxons se encontra no cone de luz. A curva que representa a massa do corpo e o momento é um arco de hipérbole, cujos pontos são a soma vetorial dos momenta espaciais dos fótons. Assim a medida que a massa varia, sobre a superfície da hipérbole a energia dos fótons tendem a variar (um aumenta e outro diminui). No ponto de intersecção da hipérbole com o eixo, a massa dos fótons é idêntica. Esse tipo de análise permite aos físicos de partículas estudarem processos de colisão e produção de novas partículas. Conhecendo a massa própria da partícula, é possível escolher o momento inicial de forma a controlar a magnitude dos pares de fótons produzidos.

17

17

Adaptado do livro Teoria da Relatividade (LESCH, 2005, p. 102).

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10. Refrações sobre Relatividade A.

Ensaios de Einstein de 1905

A dedução dos fenômenos relativísticos que apresentamos nesse ensaio não seguem a ordem histórica e nem as ideias originais propostas por Lorentz (1904), Poincaré (1900, 1904, 1905-1906), Einstein (1905, 1907), Planck (1906) e Minkowski (1908), porém, há exceção do formalismo 4-vetorial e as transformações hiperbólicas, os diversos resultados que obtivemos já eram conhecidos por Albert Einstein. Nessa seção, gostaríamos de chamar atenção para dois conceitos: a relação entre a energia do fóton e a frequência e a transformação da massa longitudinal e transversal. O conceito de energia foi deduzido corretamente por Einstein, porém revela um aspecto curioso, e um tanto estranho sobre a concepção física de Einstein. O segundo conceito é a mais famosa inconsistência em um ensaio de Einstein, tendo sido discutido por diversos autores como Planck (1906), Keswani (1965b), Cullwick (1983), Miller (1997) e Brown (2017). Um equívoco, que curiosamente Einstein poderia ter evitado se fosse mais atento as implicações de seus próprios resultados e tivesse apresentado fórmulas de transformação da massa e da força. 1.

Energia da Radiação Eletromagnética

Em seu ensaio original, Einstein estuda a transformação da energia dos raios de luz, no oitavo parágrafo. Se a radiação se encontra encerrada em um volume V, então, a energia, em unidades hertizianas, é dada por:

E

A2 V 8

P á g i n a | 4-1438

A seguir, Einstein define que a radiação está confinada em uma superfície esférica que se desloca com a velocidade da luz. As equações dessa esfera no referencial S são:

 x  cnxt 

2

  y  cn yt    z  cnzt   R 2 2

2

(BROWN, 2017) Aplicando as transformações de Lorentz e escrevendo a equação de um elipsoide no referencial S’, Einstein calcula a razão entre os volumes V e V’: 1  v2 c2 V  V 1   cos 

Para obter a transformação da energia, Einstein escreve a razão entre as energias em função de seu volume e a amplitude ao quadrado: A2 V E  8 1   cos   2  A E 1  v2 c2 V 8

P á g i n a | 4-1439

Após estabelecer essas regras, Einstein (1905b) escreve: “é notável que a energia e a frequência de um complexo de luz variem com o estado de movimento do observador de acordo com a mesma lei.” O que Einstein está observando é que o último termo da equação é a razão entre as frequências medidas nos referenciais S e S’. E  f  1   cos    E f 1  v2 c2

Segundo Miller (1997, p. 295), “Einstein fez o que deve ser considerado uma das maiores afirmações da história da ciência”. De fato, como vimos, podemos deduzir essa relação de uma forma muito mais simples a partir da lei de Planck, deduzida pelo físico alemão Max Planck, em 1900:

E  hf Curiosamente, o primeiro artigo que Einstein submeteu ao Annalen em 1905, tratava sobre a transformação e a produção de radiação. Einstein inicia seu ensaio ponderando sobre as dificuldades na formulação de uma teoria da radiação: De acordo com a teoria de Maxwell, a energia é considerada como uma função espacial contínua no caso de todos os fenômenos puramente eletromagnéticos, incluindo a luz, enquanto que a energia de um objeto ponderável deveria, de acordo com as concepções atuais dos físicos, ser representada como uma soma realizada sobre os átomos e os elétrons. A energia de um corpo ponderável não pode ser subdividida em partes arbitrariamente numerosas ou arbitrariamente pequenas, enquanto a energia de um feixe de luz de uma fonte pontual (de acordo com a teoria Maxwelliana da luz ou, mais geralmente, de acordo com a teoria ondulatória) se espalha continuamente sobre um volume cada vez maior. (EINSTEIN, 1905a, pp. 367-8)

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Essa foi justamente a hipótese que Einstein fez para deduzir a transformação da energia de um complexo de radiação. O curioso é que no ensaio sobre a transformação da radiação, Einstein rejeita essa hipótese, Parece-me que observações associadas com a radiação do corpo negro, fluorescência, a produção de raios catódicos por luz ultravioleta e outros fenômenos relacionados, conectados com a emissão ou transformação da luz, são mais facilmente entendidos, se assumimos que a energia da luz está distribuída descontinuamente no espaço. De acordo com a suposição a ser considerada aqui, a energia de um raio de luz que se espalha de uma fonte pontual não se distribui continuamente sobre um espaço crescente, mas consiste de um número finito de quanta de energia que estão localizados em pontos no espaço, que se movem sem se dividir, e que podem somente ser produzidos e absorvidos como unidades completas. (EINSTEIN, 1905a, pp. 368)

Costuma-se a dizer que Einstein assumiu como verdadeira a lei de Planck, contudo isso é incorreto. Como o próprio Einstein escreveu em 1906, na ocasião ele buscava se afastar da lei de Planck e se aproximava das ideias de Wien (ROSA, 2001). Einstein concluiu, por meio de elementos da física estatística e o estudo da entropia da radiação, que A radiação monocromática de baixa densidade (dentro do domínio de validade da fórmula de Wien para a radiação) se comporta sob o ponto de vista da teoria do calor como se consistisse em um número de quanta de energia de valor Rβν/N. (EINSTEIN, 1905, p. 372).

Rosa (2001, p. 25) salienta que, em 1905, era difícil estabelecer uma conexão clara entre o trabalho de Einstein e de Planck. Note-se que Einstein não escreveu E=hν, como nós escrevemos atualmente, e sim E=βνR/N. Ele não compara sua relação à de

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Planck, nem indica que o valor da constante h é exatamente βR/N (KUHN, 1978, p. 181).

Na verdade, ele parece não querer vincular seus resultados à teoria de Planck, e sim à teoria de Wien, por isso utilizou apenas as constantes que aparecem nesta teoria. Para os leitores do trabalho de Einstein, na época, seria muito difícil ver alguma relação entre o resultado obtido e a teoria de Planck. Se Einstein partisse da sua relação para energia da radiação, no limite da validade da lei de Wien, ele poderia deduzir a transformação da energia, como nós fizemos. Em outras palavras, antes de seu ensaio sobre a Relatividade, Einstein já havia estabelecido uma relação para a energia radiante. Esse fato leva a duas perguntas: (1) por que Einstein não usou a sua lei de energia da radiação para calcular a transformação da energia? (2) por que Einstein adota uma visão corpuscular da radiação em seu ensaio sobre a transformação e produção da luz e uma visão ondulatória da luz em seu ensaio da relatividade? Infelizmente os documentos históricos e relatos não nos permitem responder de maneira objetiva essas questões, porém podemos especular alguns motivos, que merecem uma investigação histórica mais detalhada do que será apresentada aqui. Sobre a primeira a questão podemos elencar algumas hipóteses: (a) A transformação da energia da radiação era uma lei particular e Einstein queria obter uma relação geral, válida para além do limite da lei de Wien. (b) Embora o artigo sobre a transformação de energia tenha sido publicado antes do artigo da relatividade, Einstein já vinha trabalhando nesse ensaio há algum tempo e já havia obtido alguns resultados, como a transformação da energia. Um indício forte dessa hipótese é que o estilo do artigo varia muito de uma seção à outra e uma carta de 1901 entre Einstein e Mileva indica um estudo sobre o movimento relativo. (c) O artigo de Einstein contou com uma

P á g i n a | 4-1442

contribuição, omitida na versão final de Mileva Maric. Uma carta de 1901, fortalece essa possível participação. (d) Einstein não confiava o suficiente em sua dedução e optou por trabalhar com conceitos mais gerais. Isso não seria incomum, há muitos exemplos de físicosmatemáticos que criam métodos novos, mas preferem usar os antigos por falta de confiança ou medo de rejeição ou não compreensão por seus pares. A segunda questão, parece-nos mais intrigante, porque mostra uma contradição interna na concepção de mundo de Albert Einstein em um período extremamente curto. Primeiro devemos enfatizar que não existia uma concepção de dualidade onda-partícula. O artigo sobre a radiação propunha que sobre condições específicas a luz deveria ser estudada como corpúsculos, semelhante a um gás ideal. O artigo da relatividade considera a luz como um fenômeno ondulatório. Alguns autores alegam que a concepção de quanta do artigo de 1905, eliminava a necessidade do éter luminoso no artigo da relatividade. Isso é completamente anacrônico: Einstein nunca recorreu a essa hipótese para rejeitar o éter, e mais, Einstein nunca explicou o porquê da rejeição do éter e como explicar os fenômenos físicos associados ao éter. Seu trabalho tinha uma tendência fenomenológica. Todas as hipóteses que levantamos para a primeira questão se aplicam a essa segunda questão. Porém, gostaríamos de apresentar uma hipótese e alguns argumentos em favor dela. Acreditamos que a questão esteja relacionada ao segundo postulado, a constância da velocidade da luz. Diferente do que se diz, esse postulado não foi influenciado pelos resultados da experiência de Michelson-Morley. Antes de Einstein começar seu trabalho sobre a radiação e o movimento relativo, Einstein trabalho em uma importante teoria encabeçada por Ritz, chamada de Teoria da Emissão. Einstein estudou a dependência da velocidade da luz com a velocidade da

P á g i n a | 4-1443

fonte emissora (DARRIGOL, 1995). Einstein concluiu que estes resultados eram complexos e divergente demais e abandonou a teoria. A experiência negativa de Einstein com a teoria da emissão levou ele a considerar que a velocidade da luz não poderia depender do estado de movimento da fonte. Essa experiência, mais a leitura do trabalho do efeito Doppler de Voigt, parecem terem sido fundamentais na consolidado do segundo postulado da relatividade por Albert Einstein. A constância da velocidade da luz parecia um pressuposto essencial e por essa razão, o estudo da relatividade deveria estar nos limites da validade da óptica. Sobre o modelo ondulatório, Einstein faz a seguinte ressalva no seu ensaio: A teoria ondulatória da luz, que trabalha com funções espaciais contínuas, funcionou bem na representação de fenômenos puramente ópticos e provavelmente nunca será substituída por uma outra teoria. Deve-se ter em mente, no entanto, que as observações ópticas referem-se mais a valores médios no tempo do que a valores instantâneos. Apesar da completa confirmação experimental da teoria, quando aplicada à difração, reflexão, refração, dispersão, etc., ainda é concebível que a teoria da luz, que opera com funções espaciais contínuas, possa levar a contradições com a experiência, quando é aplicada aos fenômenos de emissão e transformação da luz (EINSTEIN, 1905, pp. 368)

Em outras palavras, Einstein não rejeita por completo a teoria ondulatória, mas assume que as leis da radiação são diferentes e dependem da circunstância: Ou seja: Einstein está sugerindo que a teoria ondulatória, embora verificada e útil, tem um domínio de aplicação limitado, e que em outros campos de aplicação deve-se adotar uma teoria diferente. Essa atitude de Einstein é bastante semelhante à de Wien, que foi apresentada anteriormente, que havia proposto

P á g i n a | 4-1444

que a radiação de pequeno comprimento de onda se comportava de um modo diferente da radiação de grande comprimento de onda. Einstein não utiliza o nome “fóton” (nem nestes parágrafos, nem em nenhum outro lugar), e sim “quantum”. O nome “fóton” foi proposto apenas em 1926, por Gilbert Newton Lewis (1875-1946), em uma carta escrita à revista Nature (LEWIS, 1926). No entanto, a tradução em inglês publicada na revista American Journal of Physics tem o título: “Einstein’s proposal of the photon concept”. É importante assinalar que, ao descrever os quanta de luz, Einstein se refere a eles como unidades indivisíveis de energia, localizadas em pontos do espaço (Raumpunkten lokalisierten Energiequanten, no original alemão) – ou seja, algo análogo a átomos. Trata-se de uma visão corpuscular, e não de uma visão dualística (no sentido explicado anteriormente). (ROSA, 2001, p. 21).

Portanto a visão quântica, corpuscular da luz, de Einstein se encaixaria melhor em uma teoria da emissão, onde a velocidade das partículas da luz seria uma função da velocidade da fonte emissora e não mais uma propriedade de oscilação do éter. Mas, como já afirmamos, os resultados obtidos por Einstein eram insatisfatórios e ele abandonou a teoria, preferindo um modelo onde a constância da velocidade da luz fosse um postulado fundamental. A afirmação de Einstein, em seu ensaio sobre a radiação, deixa claro que há duas maneiras de caracterizar a radiação e que as características variam de um tipo de radiação para outro. Isso é uma clara violação do Princípio da Relatividade, porém é possível que Einstein não tivesse ainda percebido as suas implicações. Assim, o artigo da radiação enaltecia aspectos válidos nos limites da lei de Wien e o artigo da relatividade outros aspectos fenomenológicos do movimento, da eletrodinâmica e da radiação. Com efeito, parecia que os artigos partiam de diferentes autores, contudo esse evento revela que nem sempre o cientista segue seu programa de maneira linear e está sujeito a se contradizer e mudar ideias durante o processo.

P á g i n a | 4-1445

2.

A Massa Transversal e o Invariante de Pressão

Possivelmente a inconsistência mais conhecida no ensaio de 1905 de Einstein sobre a relatividade foi a dedução incorreta da massa transversal. O resultado esperado, que obtivemos usando o formalismo hiperbólico, é: m   3 mo

m   mo

Contudo, Einstein obteve uma relação ligeiramente diferente para a massa transversal: m   3 mo

m   2 mo

Esse equívoco surge de um erro de análise de Einstein, ao estudar a aceleração do elétron e usar dois referenciais distintos na mesma equação (KESWANI, 1965b, CULLWICK, 1983, MILLER, 1997, BROWN, 2017). Curiosamente, Einstein poderia ter evitado esse erro, se tivesse dado mais atenção a pressão exercida pela luz em refletores perfeitos. Diferente de nossa dedução, Einstein não deduz a pressão que a luz exerce sobre os espelhos a partir da sua invariância, seu argumento original é um pouco mais complexo: A energia (medida no sistema estacionário) que é incidente sobre a área da unidade do espelho em unidade de tempo é evidentemente A²(V.cosφ − v)/8π. A energia que sai da unidade de superfície do espelho na unidade de tempo éA’’’² (−V cosφ’’’ + v)/8π. A diferença dessas duas expressões é, pelo princípio da energia, o trabalho realizado pela pressão da luz na unidade de tempo. Se nós estabelecermos este trabalho como igual ao produto P.v, onde P é a pressão da luz. (EINSTEIN, 1905).

O resultado obtido por Einstein por um cálculo direto foi:

A2  cos   v V  P2 8 1   v V 2

2

P á g i n a | 4-1446

Levando em consideração a transformação A’ e cos  , Einstein poderia ter obtido a seguinte lei para a pressão:

P2

A2 cos 2   8

que é a lei da Pressão deduzida no referencial S’. P  P

o que prova que a pressão é um invariante relativístico. A partir do fato que a pressão deve ser um invariante relativístico, Einstein poderia obtido a transformação das forças. Poderíamos objetar que essa invariância foi obtida apenas para a força aplicada para a luz. Essa afirmação é parcialmente correta. A lei da pressão realmente só se aplica ao caso de um complexo de radiação interagindo com um espelho ideal, porém a invariância não é uma qualidade que depende do tipo fenômeno, apenas da grandeza, nesse caso a pressão. Assim como fizemos anteriormente, iremos tomar um sólido arbitrário com áreas laterais dada por:  i x ,  jy ,  kz , onde os índices i, j, k variam de 1 à 2, de forma que a área  ix estando compreendida no plano y-z, a área  jy , no plano z-x e a  kz , no plano x-y. Para cada referencial, teremos seis pressões, uma para cada área lateral: Pi x 

Fx

ix

Pix 

, Pj y 

Fy

 jy

, Pk z 

Fz

 kz

F Fx F , Pjy  y , Pkz  z  ix  jy  kz

P á g i n a | 4-1447

Devido ao deslocamento do corpo na direção x, os planos x-y e zx, sofreram uma contração Lorentz-Fitzgerald e as áreas devem se transformar segundo as regras:

 i x   ix ,  jy 

 jy  ,  kz  kz  

Agora iremos definir um par de forças: longitudinal e transversal. A força que atua sobre as áreas  i x é paralela ao movimento, é uma força longitudinal, enquanto a força que atua sobre as áreas  jy e

 kz são perpendiculares ao movimento, são transversais. Como a pressão é um invariante relativístico, podemos escrever as seguintes relações entre as pressões longitudinal e transversal e as suas respectivas forças: P  P

P  P ,

F F  ,  

F F ,     

P á g i n a | 4-1448

Substituindo a transformação das áreas, nas proporções:

F F  ,  

F  F  ,    

Realizando as operações, obtemos as transformações da força: F F ,

F  F ,

F   F

F 

F 

No parágrafo 10, Einstein tenta estabelecer a variação da massa de um elétron sobre ação de uma força longitudinal e uma força transversal. Inicialmente, ele deduz a transformação da aceleração:

d 2x   3ax , dt 2 d2y m 2   2 ay , dt d 2z m 2   2 az dt m

Sobre estas relações, Einstein (1905) escreve: Agora, se chamarmos essa força simplesmente "a força atuando sobre o elétron", e manter a equação – massa × aceleração = força - e se também decidirmos que as acelerações serão medidas no sistema estacionário K, derivamos das equações acima.

O equívoco de Einstein está em escrever essas equações como as transformações diretas da força entre os dois referenciais:

P á g i n a | 4-1449

d 2x    3mo  ax 2 dt d2y m 2    2 mo  ay dt d 2z m 2    2 mo  az dt m

Einstein associa o termo em parêntesis como as massas longitudinal (direção x) e transversal (direção y ou z), obtendo a transformação incorreta para a última: m   3mo m 

m   2 mo

mo  v2  1  2   c 

m 

3

mo  v2  1  2   c 

O que Einstein deveria ter feito é usado as relações entre forças que deduzimos a partir da invariância da pressão:

Fx =Fx,

F 

F 

Expressando as equações: d 2 x m 2    3 mo  ax , dt d 2 y 1 m 2    2 mo  ay , dt  m

d 2 z 1 2    mo  az dt 2 

Simplificando os fatores gama:

P á g i n a | 4-1450

d 2 x m 2    3mo  ax , dt d 2 y m 2    mo  ay , dt d 2 z m 2    mo  az dt Assumindo a mesma hipótese de Einstein que os termos em parêntesis são as transformações das massa longitudinal e transversal, obtemos as transformações corretas:

m   mo

m   3mo m 

mo  v2  1  2   c 

3

m 

mo 1

v2 c2

A conclusão de Einstein (1905) sobre a transformação das massas, mostra uma certa insegurança com os resultados obtidos: Com uma definição diferente de força e aceleração, devemos naturalmente obter outros valores para as massas. Isso nos mostra que, ao comparar diferentes teorias do movimento do elétron, devemos proceder com muita cautela.

O termo massa transversal e longitudinal foi introduzido por Max Abraham, portanto Einstein estava ciente do trabalho de Abraham e que seu resultado era diferente. Para explicar essa “contradição” Einstein supõe que a transformação da massa depende da definição de força, visto que Abraham define a força a partir do momento eletromagnético. Na verdade, o problema não estava na definição de força, mas nas modificações da forma do elétron, como mostrou Poincaré em 1905.

P á g i n a | 4-1451

B. Massa da Luz18 A luz tem massa? Essa é uma pergunta intrigante que alguns autores costumam a divergir. Não podemos atribuir uma massa acelerativa a luz porque ela não pode ser acelerada no vácuo. Embora haja controvérsias, não costumamos assumir que não existe uma massa de repouso da luz, pois não há um referencial onde a luz esteja em repouso. Porém, a luz exerce pressão sobre superfícies refletoras, transfere momento e energia Portanto, não há qualquer contradição em afirmar que a luz apresenta uma inércia desde que se de uma massa maupertusiana ou uma massa cinética.

Figura 1. Por meio de um radiômetro podemos aferir a pressão, o momento e a inércia associada pela luz. Adaptado de Martins (2012, p. 118-120) No texto original, Martins se refere a área da superfície pela letra S. Como já utilizamos essa letra para indicar o fluxo de energia, iremos nos referir a área da superfície pela letra A.

18

P á g i n a | 4-1452

Novamente, assumiremos a hipótese de Maxwell que a radiação pode exercer uma pressão sobre uma superfície arbitrária de área total A. Definimos a força exercida por um corpo sobre uma superfície como a pressão sobre um corpo pela área de contato. F  P A

No caso da radiação, essa pressão deve ser igual a densidade de energia da radiação que incide sobre a superfície. P  

E V

Consideremos que a radiação eletromagnética se comporta de forma análoga a um gás ideal, e por isso ocupa um volume V = A.L. Vamos assumir que durante a emissão e absorção da radiação há conservação do momento. Vamos introduzir a variação do momento da luz a partir do impulso.

p  F t O tempo necessário para que a radiação seja completamente absorvida pela superfície é: t 

L c

Expressando a equação em função do volume ocupado pela luz: t 

V Ac

Substituindo os valores de t e da força na equação do momento, p   P  A

V Ac

P á g i n a | 4-1453

p  P

V c

Expressando a pressão pela densidade de energia da radiação:

 E  V p     V  c p 

E c

que é a expressão do momento da radiação eletromagnética. Vamos agora definir a massa maupertusiana de Poincaré (LANGEVIN, 1913) a partir do momento linear: p   m  v

m 

p v

Como a radiação eletromagnética se desloca à velocidade da luz, então a massa maupertuisiana da radiação é definida como: m 

p c

Substituindo a lei do momento da radiação eletromagnética que deduzimos anteriormente, obtemos a massa da luz m 

E c2

e a relação massa-energia: E    m  c 2

P á g i n a | 4-1454

C. Potencial de Poincaré O estudo do 4-vetor nabla e suas aplicações a teoria dos campos escalares e vetoriais, permitem definir uma nova função de x e de t que doravante chamaremos de potencial de Poincaré, em homenagem ao físico-matemático francês Henri Poincaré, um dos pesquisadores fundamentais no desenvolvimento da teoria da relatividade.19 1.

Teorema do Potencial de Poincaré

Seja  um campo escalar que depende da posição (x, y, z) e do tempo (t) e seja  o operador que para cada ponto desse campo escalar associa um vetor gradiente.

  r , t     r , t  Também podemos definir um campo tensorial a partir do operador 4-gradiente:

i  x j   i  x j 

e cuja transformação de  entre dois referenciais inerciais é dada por:

  x j      x j     x, t  onde   x, t  é uma função escalar, que chamaremos de potencial de Poincaré, e deve satisfazer a seguinte equação de D’Alambert: 2 2 1    x, t     x , t   0 c 2 t 2 x 2

19

Esse capítulo faz parte de minha tese e se encontra nos volumes 8 e 9.

P á g i n a | 4-1455

2.

Demonstração

A demonstração desse teorema é feita a partir da análise da transformação do 4-vetor gradiente do potencial . Por meio dessa regra, nós podemos generalizar o vetor fluxo de energia térmica como sendo proporcional ao 4-gradiente:

 1   ,    i    c t   1    ,    i    c t 



Queremos determinar como o potencial se transforma de um referencial inercial S para um referencial inercial S’. A transformação dessas coordenadas depende da definição do potencial que adotarmos. Porém, podemos obter a sua transformação geral. Vamos analisar apenas a componente transversal do 4gradiente.

     A derivada transversal se transforma da mesma forma para todos os referenciais inerciais:

      Essa é uma equação diferencial parcial exata:         0

Integrando a equação em relação a derivada transversal:

        0  d 



P á g i n a | 4-1456

como as componentes transversais dependem apenas das coordenadas y e z, então a diferença das funções  deve ser, a menos de uma constante aditiva, uma função apenas da coordenada x e t.        x, t 

que resulta na seguinte transformação:        x, t 

Agora vamos demonstrar que o potencial de Poincaré satisfaz a equação de D’Alambert Basta aplicarmos o método de construção de invariantes para 4-vetores.

1  2  1  2 2         2 2 2 2 2  c t c t essas são as equações de D’Alambert,

    Mas o operador D’alambertiano é um invariante relativístico, portanto, podemos escrever nossa equação da seguinte forma:

         0   x, t   0 Substituindo a relação que achamos para a diferença de potencial nos dois referenciais: 2 1    x, t    2   x, t   0 c 2 t 2

E está demonstrado o teorema.

P á g i n a | 4-1457

3.

Outras Considerações sobre o Potencial de Poincaré

O potencial  define sobre o espaço-tempo um conjunto de eventos coordenados denominado de eventos equipotenciais. O gradiente do potencial  define um vetor contravariante que mede a taxa de variação máxima entre as linhas equipotenciais. Como as transformações de Lorentz representam rotações hiperbólicas no espaço-tempo, o potencial ' gera um novo conjunto de eventos e equipotenciais para o sistema após a rotação. O potencial de Poincaré corresponde ao fator de rotação dos eventos equipotenciais.

Outra interpretação geométrica do 4-gradiente é que suas coordenadas definem um 4-vetor normal de um plano tangente a uma hipersuperfície no espaço tempo. Quando aplicada uma transformação de Lorentz, a hipersuperfície e o plano normal sofrem uma rotação hiperbólica, exigindo uma transformação das coordenadas no vetor normal. O potencial de Poincaré está associado a rotação do vetor normal. A vantagem do potencial de Poincaré que ele é uma propriedade geral das funções potenciais, não dependendo da maneira como essas são definidas.

P á g i n a | 4-1458

D. Ondas de Abraham-Nordströn Em 1912, o físico alemão Max Abraham propôs uma generalização da equação de Poisson para o potencial gravitacional em uma variedade 4-dimensional (MEHRA, 1974):

 2  2  2 1  2     4 G  x 2 y 2 z 2 c 2 t 2 Em resposta ao trabalho de Abraham, o físico alemão Gunnar Nordströn, mostrou que a generalização da equação de Poisson teria como consequência a propagação de ondas gravitacionais no espaçotempo (MEHRA, 1974). Nosso estudo sobre potenciais relativísticos está intimamente relacionado aos trabalhos de Abraham e Nordströn. Observe que a equação de Poisson generalizada pode ser escrita como o invariante do 4-Nabla:  i  i  4 G 

Como esta transformação se aplica a qualquer campo escalar, a interpretação de Nordströn pode ser generalizada para além do potencial gravitacional: “As mudanças de um campo definido pelo gradiente do potencial se propagam à velocidade da luz por meio de ondulações no espaçotempo, ou ondas potenciais, que doravante chamaremos de ondas de Abraham-Nordströn.” i i  r , t    f  r , t 

Portanto, o princípio da relatividade nos impõe que as mudanças em campos de temperatura, se propagam por ondas de Fourier. Mudanças do campo elétrico e magnético, por ondas de Maxwell.

P á g i n a | 4-1459

Mudanças do campo gravitacional, por ondas gravitacionais. Em geral, para qualquer campo definido pelo escalar de um potencial, as mudanças se propagarão por ondas de Abraham-Nordströn. Essa interpretação já era indicada pela presença do potencial de Poincaré, pois como vimos, qualquer medida do potencial feita por dois referenciais inerciais se transforma pela seguinte equação:   r , t      r , t     x, t 

Mas o potencial de Poincaré deve satisfazer uma equação de Laplace generalizada:  i  i   x, t   0

O que indica que o potencial de Poincaré também é uma perturbação no espaço-tempo. Portanto, a transformação de potenciais envolvem mudanças que se propagam como ondas no espaço-tempo de Poincaré-Minkowski. Portanto, o princípio da relatividade impõe que a teoria das transformações dos potenciais relativísticos são perturbações em um espaço-tempo, análoga as perturbações que se associavam ao éter no século XIX e XX. Sugestões de Leitura Os potenciais de Poincaré são generalizações naturais que surgem na Teoria da Gravitação de Nordströn e nas Teorias da Gravitação Escalar. Para uma abordagem histórica da Teoria de Nordstön, recomenda-se a obra de Mehra (1984). Para aspectos técnicos, o leitor poderá consultar Norton (1992), Ravndal (2004) e o quinto volume dessa coleção, que é a minha tese a respeito da estrutura do espaço-tempo a partir dos potenciais de Poincaré desempenham um papel fundamental. O problema 13.2 do livro Problem Book in Relativity and Gravitation (LIGHTMAN et al, 1975) também aborda a questão.

P á g i n a | 4-1460

E. A Lei de Transformação à Partir de Invariantes Na Teoria da Relatividade Especial qualquer transformação entre dois referenciais inerciais deve manter invariante a forma quadrática:

s 2  c2t 2  r 2 ,



onde r  rx , ry , rz



Se K é um sistema de coordenadas em repouso e k’ é um sistema de coordenadas que se movimenta com velocidade constante v em relação ao referencial K na direção x e impondo que as componentes y e z coincidam nos dois referenciais, as transformações de Lorentz mantém a forma quadrática invariante:

    t  vx c 2      x  vt  y  z Vamos definir duas novas formas quadráticas arbitrárias que devem se manter invariante para todos os referenciais inerciais:

 2  c2 2  2 ,

 2  2  c22 ,

  onde     ,  ,   onde    x , y , z x

y

z

Se nós impormos que as componentes transversais coincidem para todos os referenciais inerciais, como acontece com as coordenadas y e z e a componente teta é um escalar, então, as transformações que deixam a forma quadrática invariante são transformações “análogas” as transformações de Lorentz. Chamaremos qualquer uma dessas formas quadráticas arbitrárias, que satisfazem as condições impostas, de forma quadrática fundamental de grupo 1 (ou 2) ou simplesmente forma fundamental

P á g i n a | 4-1461

1 (ou 2) e as transformações análogas as de Lorentz, que mantém a forma fundamental invariante, de transformações de Poincaré.

Grupo Fundamental 1

Grupo Fundamental 2

    x  v       2  x  c

v          2 x  c       x  v 

  y

   y

   z

   z

 

v

 

Vamos usar esse resultado para obter as transformações do momento, energia, da densidade de corrente e da densidade de carga. Tomemos, inicialmente, o invariante momento-energia: Eo2  E 2  c 2 p 2

Essa forma quadrática satisfaz todas as condições da forma fundamental 2, então ela apresenta transformações de Poincaré dada pelo grupo 2. Para achar essas transformações, basta identificarmos os elementos da forma quadrática:

  Eo E  p Substituindo os termos na transformação de Poincaré, obtemos:

E     E  vpx 

p    px  E v c 2  p  py p  pz

P á g i n a | 4-1462

que são as transformações do momento e da energia entre os referenciais K e k. Vamos agora obter as transformações da densidade de corrente e da densidade de carga, o usando a forma quadrática: c 2  o2  c 2  2  j 2

Por inspeção, os termos da forma fundamental são:

  co     j Substituindo nas transformações de Poincaré,

       vjx c 2  j    jx  v   j  jy j  jz Por fim, vamos obter a transformação da massa e, novamente, a transformação do momento: c 2 mo2  c 2 m 2  p 2

Essa é uma forma fundamental 1, com as seguintes componentes:

d  cmo d  m d  p Imputando nas transformações de Poincaré,

P á g i n a | 4-1463

m    m  px v c 2  p    px  mv  p  py p  pz Abrindo os termos, obtemos os valores procurados por inspeção:

m   m 1  u x v c 2 

p   m  px  E v c 2  p  py p  pz

Por este método, podemos obter quaisquer transformações, desde que haja uma forma invariante fundamental do tipo 1 ou do tipo 2. Um caso que esse método não funciona, é o invariante formado a partir das componentes do campo elétrico e do campo magnético:

J 2  E 2  B2 Observe que esse sistema não forma uma quadrática, pois cada grandeza apresenta 3 componentes em cada direção, dando um total de seis componentes. Registre que é possível obter a transformação geral impondo certas condições físicas e usa-la para analisar invariantes de mesma natureza. Durante o desenvolvimento da relatividade, Sommerfeld propôs também se utilizar 6-vetores para descrição de grandezas eletromagnéticas e gravitacionais. Minkowski optou pelo uso de tensores antissimétricos de segunda ordem, que na variedade espaçotempo são isomorfos ao espaço dos 6-vetores e são objetos mais inteligíveis.

P á g i n a | 4-1464

11. Princípio de Hamilton na Relatividade Especial Um dos conceitos mais importantes em toda a física é o princípio de mínima ação, desenvolvido entre o século XVIII e XIX por Lagrange, Legendre, D’Alambert, Maupertuis, Hamilton, Jacobi, Euler entre outros. Começaremos revisando a dedução das equações de Euler-Lagrange a partir da interação de uma partícula com um campo potencial. Esta dedução se baseia no primeiro capítulo do livro Henri Poincaré and Relativity Theory de A. A. Logunov (2005). O conteúdo exposto aqui segue uma notação diferente do adotado pelo autor e é muito mais detalhado. A.

Princípio de Mínima Ação e Equações de Euler-Lagrange

Suponha que um sistema de n partículas se desloquem em um campo potencial V. Sobre cada partícula, esse campo exerce uma força fi dada pela seguinte expressão:

m

dv dt

  V

Que são as expressões da força conservativa sobre a partícula:

f   m

dv dt

  V

O gradiente em uma variedade euclidiana n-dimensional é definido pela seguinte regra:    eˆ r Vamos escrever a coordenada espacial r em função de coordenadas generalizadas arbitrárias. r  r  q , t 

P á g i n a | 4-1465

Definindo o vetor,

dr dq e o multiplicando na primeira equação:

m m

dv dr

  V

dt dq

dr dq

dr d  dr  d  dr   v   m v     V dt  dq  dt  dq  dq

A última relação é uma consequência da regra do produto das derivadas ordinárias. Pela definição de velocidade, temos que:

dr

v  v 

dt

r dq r dt  q dt t dt

v 

r q

q 

r t

Diferenciando a última equação em relação à q v q



 q

r   r q     t   q

v q



r q

P á g i n a | 4-1466

Diferenciando a velocidade em relação a q : v q

 q



 dr   dt

d  r  dt  q

 2 r q q

q 

 2 r q t

 2 r  2 r   q    q t  q q

  2 r  2 r   q   q t  q q

Portanto, podemos concluir que:

d  r  dt  q

   dr       q  dt 

Substituindo as relações que deduzimos na equação da força:

d  v  v dt  q

dr    dr    m v     V q  dt  dq  dr v d  v  m  v    m v    V  dt  q  dq q

m

Como a inércia do corpo é tomada como sendo invariante, podemos reescrever a última equação da seguinte forma:

d   dt  q

 m v2        2   q

 m v2  dr     V dq  2 

Efetuando o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor derivada da posição e definindo o termo em parêntesis como a energia cinética generalizada T:

P á g i n a | 4-1467

d  T  T dV    dt  q  q dq

Que é uma expressão alternativa da equação de Euler-Lagrange. Como o potencial não depende da velocidade, mas da configuração e do tempo, a equação acima pode ser escrita como: d   T  V    T  V  0   q dt  q 

Definindo a função lagrangeana L como a diferença das energias cinética e potencial: L  T V

obtemos a forma canônica das equações de Euler-Lagrange: d  L  L 0   dt  q  q

Agora iremos mostrar que a função L que satisfaz essas n equações diferenciais, deve satisfazer o princípio de mínima ação. Definimos a ação de uma partícula como a integral de L sobre um intervalo arbitrário de pontos t1 e t2. t2

S   L  q, q dt t1

Como essa integral depende das funções do espaço e da velocidade generalizada, dizemos que estas são seus argumentos funcionais da integral. O princípio de mínima ação procura os funcionais que minimizam a ação:

P á g i n a | 4-1468

t2

 S    L  q, q dt  0 t1

A variação é um caso particular de derivada, por isso está sujeita as mesmas regras do cálculo diferencial e integral ordinário, incluindo o lema de Schwarz: t2

 L

L



  q  q  q  q dt  0 t1

t2

 L

L d  q   dt  0 dt 

  q  q  q t1

t2  L d  q    L  t  q  q dt  t  q dt dt  0 1 1

t2

Realizando a integração por partes na segunda parcela, t2

2  d L  L L    dt q t q q t  dt q  q dt  0 t1 1 1

t2

t

Como a variação se anula nos extremos, a segunda parcela é nula: 2  L   d L  q dt   t  q  t  dt q  q dt  0 1 1

t2

t

Escrevendo o funcional em termos de uma única integral: t2

 L

d L



  q  q  dt q  q dt  0 t1

P á g i n a | 4-1469

 L d L   t  q  dt q  qdt  0 1

t2

Como pode ser visto em Sagan (1969) para que essa equação integral seja zero, o termo em parêntesis deve se anular no intervalo dado. Esse resultado é denominado de Lema Fundamental do Cálculo Variacional, e ele nos leva a seguinte conclusão:

L d L  0 q dt q que é a equação de Euler-Lagrange. Sobre a importância das equações de Lagrange, Logunov (2005, p. 17) acrescenta que: A aplicação da função lagrangiana para descrever um sistema mecânico com um número finito de graus de liberdade também se mostrou proveitosa ao descrever um campo físico que possui um número infinito de graus de liberdade. No caso de um campo, a função ψ que o descreve depende não apenas do tempo, mas também das coordenadas espaciais. Isso significa que, em vez das variáveis qσ, q’σ de um sistema mecânico, é necessário introduzir as variáveis ψ(xν), ∂ψ/∂xλ. Assim, o campo é considerado como um sistema mecânico com um número infinito de graus de liberdade.

No século XIX e início do século do XX, a mecânica era considerada como a estrutura padrão das ciências físicas. É por isso que na construção do eletromagnetismo, buscou-se incorporar o princípio de mínima ação e atribuir uma interpretação mecânica aos fenômenos elétricos e magnéticos. Mesmo após a rejeição de uma tradição central, o princípio de mínima ação continuou sendo aplicado com sucesso na investigação dos fenômenos relativísticos e quânticos.

P á g i n a | 4-1470

B. Equações de Hamilton-Jacobi A partir da lagrangeana e usando uma transformação de Legendre, podemos definir uma nova função conhecida como hamiltoniana H. H

L q  L q

H  p q  L

onde o momento canônico é definido como:

p 

L q

Tomando o diferencial total da hamiltoniana, obtemos:

dH   dp  q  p  dq  

L L L dq  dq  dt q q t

Usando a definição de momento canônico:

dH   dp  q  p  dq  

dH  q dp 

L L dq  p  dq   dt q t

L L dq  dt q t

Como H é uma função da posição, momenta generalizados e do tempo, então:

dH 

H H H dq  dp  dt q p t

Por inspeção, obtemos as equações de Hamilton-Jacobi:

P á g i n a | 4-1471

 H  p  q    H L   q  q  H L   t  t Pela equação de Euler-Lagrange temos a seguinte relação:

 L dp  q  dt ,     L  p   q  Levando esse resultado às equações de Hamilton-Jacobi,

 H  p  q ,    H   p ,   q    H L   t  t Se a hamiltoniana não depende do tempo, teremos: dH H L   0 t t dt

A última equação significa que a função hamiltoniana se mantém constante durante todo o movimento. Como a lagrangeana é a

P á g i n a | 4-1472

diferença das energias, a hamiltoniana também tem dimensão energética. Portanto, quando a hamiltoniana se mantém constante, esta função representa a energia total do sistema físico:

E  H  q , p  Pelo o princípio da mínima ação, também podemos deduzir as equações de Hamilton-Jacobi: L  p q  H t2

 S     p q  H dt  0 t1

t2



d q

t1



dt

   p q  p



 H H  p   q dt  0  p q 

t2    d q H  H t  q  p  p  p dt  t  p dt  q  q dt  0   1  1 

t2

t2    H H  t  q  p  p  p dt  t   p  q  q dt  0   1  1 

t2

Pelo lema fundamental do cálculo variacional, obtemos as equações de Hamilton-Jacobi:

 H  p  q ,     H   p   q

P á g i n a | 4-1473

C.

Integrais de Movimento

Uma função f (q, p, t) é denominada de integral de movimento se durante o movimento o valor da função é mantido constante:

df  q, p, t  0 dt Para obtermos a equação de movimento para essa função f basta expandirmos a derivada:

f f dq f dp   0 t q dt p dt f f f  q  p 0 t q p Substituindo as equações de Hamilton-Jacobi:

f H f H f   0 t p q q p Definimos o parêntesis de Poisson a partir do pseudodeterminante: f f q p  f , g  g g q p Substituindo essa expressão na equação: f  f ,H  0 t

P á g i n a | 4-1474

Os parêntesis de Poisson satisfazem as propriedades dos comutadores de Lie:

1.  f , g     g , f  2.  f1  f 2 , g    f1 , g    f 2 , g  3.  f1 f 2 , g   f1  f 2 , g   f 2  f1 , g  Identidade de Jacobi 4.  f ,  g , h     g ,  h, f     h,  f , g    0 Portanto, os parêntesis de Poisson definem uma álgebra de Lie não abeliana (não comutativa),

 q , q   0,  p , p   0, q , p    













Com base nesses parêntesis, podemos definir as constantes de movimento para a função f:

 f , q    pf 



,

 f , p   qf 



E também as constante de movimento a partir da função hamiltoniana:

 H , q   q 



H, p    p 



P á g i n a | 4-1475

D. O Princípio do Movimento Estacionário na Eletrodinâmica Assim como fizemos para a mecânica e para dinâmica relativística, podemos construir uma função lagrangeana para o eletromagnetismo e derivar diversos resultados importantes sobre o comportamento dos corpos carregados interagindo com campos elétricos e magnéticos. Consideremos as equações fundamentais do eletromagnetismo na forma tensorial:

Fij 

Aj x

i



Ai x j

que é invariante para o calibre de Lorentz: Aj  Aj 

f x j

onde f é uma função qualquer. Da equação tensorial:

Fij x

k



Fjk x

i



Fki 0 x j

Derivamos o seguinte par de equações de Maxwell:

 B  0

 E  

1 B c t

Usando o princípio de mínima ação derivaremos a segunda equação fundamental que nos permite derivar o outro par de equações Maxwell. Inicialmente definiremos a densidade lagrangeana do campo eletromagnético pelo seguinte invariante: 1 1 L   Ai J i  Fjk F jk c 16

Sobre essa lagrangeana, Logunov (2005, p. 150) enfatiza que:

P á g i n a | 4-1476

É preciso lembrar que a escolha da densidade da função Lagrangiana na ação funcional não é inequívoca; entretanto, verifica-se prontamente que, acrescentando à densidade da função Lagrangiana um termo adicional na forma da divergência quadridimensional de um vetor não influencia a forma das equações de campo. As equações de Maxwell-Lorentz são invariantes em relação às transformações de calibre [de Lorentz] dos potenciais. A densidade do Lagrangiano que construímos não é invariável nas transformações. Com base na lei de conservação da corrente, isso varia apenas por uma divergência, que não afeta as equações de campo.

Tomemos a ação do campo eletromagnético será:

S 

1 1 1  Ai J i  Fjk F jk d 4 x   c c 16 

Invocando o princípio de mínima ação,

S  

1 1 i 1  J  Ai  Ai J i   Fjk F jk  F jk Fjk  d 4 x  0     c c 16 

A 4-corrente que é a fonte do campo eletromagnético é constante, portanto sua variação é zero. Pode-se mostrar, usando o tensor métrico com componentes constantes que: F jk  F jk   F jk  F jk

1

1

  c  J  A   8  F i

i

jk

  Fjk  d 4 x  0 

Variando a equação geradora do tensor eletromagnético:   Ak    Ai    F ik  Fik   F ik  F ik  i x x k  

P á g i n a | 4-1477

Para contrair esses tensores usaremos a antissimetria do tensor eletromagnético. Inicialmente inverteremos a ordem dos índices no primeiro tensor:   Ak    Ai    F ik Fik    F ki  F ik  i k 

x

x



Trocaremos o índice mudo i por j.    Aj    Aj    F jk F ik Fik    F ji  i x x k   

Finalmente, trocaremos o índice k pelo índice i,    Aj    Aj   ji  F ij Fij    F ji F  xi xi      Aj F ij Fij  2 F ji xi Substituindo na equação da ação:





1 1 ji   Aj   4 i   J A F  d x  0   i  c 4 xi   

Integrando a segunda parcela por partes, ji 1  1   F  1 ji i  d 4 x  J A A F  Aj      i j i  c 4 4 x  

Trocando o índice mudo i na primeira parcela por j: 1 j 1 F ji   J  Aj d 4 x  0   c 4 xi 

e2 e1

0

P á g i n a | 4-1478

Pelo lema fundamental do cálculo das variações, concluímos que:

F ji 4 j  J i x c que é a segunda equação fundamental do eletromagnetismo e que nos permite derivar o outro par de equações de Maxwell:

  E  4 E  1   B   4 J   t  c Portanto, assim como ocorre no formalismo vetorial, desenvolvido para o eletromagnetismo Oliver Heaviside, onde as 10 equações de Maxwell se torna apenas 4 equações vetorial, no formalismo tensorial (bem como no formalismo exterior), estas equações se reduzem para duas. Registre que usando álgebras de Clifford e operadores multidirecionais essas 10 equações podem ser compactadas em uma única equação. Sobre o significado do potencial eletromagnético, Logunov (2005, p. 150) explica que: Do ponto de vista da eletrodinâmica clássica, o potencial Aν não tem senso físico, uma vez que apenas a força de Lorentz atua sobre a carga e é expressa pela força do campo E, H. No entanto, na mecânica quântica, isso não é mais o caso. Acontece que o potencial vetorial age no elétron em uma determinada situação. Este é o efeito Aharonov-Bohm. Foi observado em 1960. O experimento foi realizado da seguinte forma: foi utilizado um solenoide longo e estreito, o campo magnético fora do solenóide era zero; no entanto, o movimento dos elétrons fora do solenóide foi influenciado. O efeito é explicado pelo solenóide que viola a conexão simples do espaço-tempo, que deu origem à influência do potencial Aν, como deveria ocorrer na teoria quântica de calibre.

P á g i n a | 4-1479

E. Força de Lorentz O princípio de mínima ação permite derivar também a força de Lorentz. A dedução que apresentaremos não segue o desenvolvimento histórico. Tomemos uma partícula carregada com carga e que se desloca sobre um campo eletromagnético. A ação dessa partícula será definida pela integral: S  mc  ui dxi 

e Ai dxi c

Multiplicando por c e impondo o princípio de mínima ação:

mc 2  ui d x i  e  Ai d  x i  e   Ai dx i  0 Integrando as duas primeiras parcelas por parte e considerando que as variações se cancelam nos extremos do intervalo:

mc 2  dui xi  e  dAi x i  e   Ai dx i  0 Para extrairmos a equação de Lorentz-Dirac, vamos usar as relações do cálculo elementar: dAi 

Ai dx j j x

 Ai 

Ai xj j x

Substituindo estas relações no funcional: mc 2  dui xi  e 

Ai A dx j x i  e  ij  x j dx i  0 j x x

P á g i n a | 4-1480

Na terceira integral, como os índices i e j são mudos, podemos inverte-los:

Aj j i Ai j i  dx x e   xi dx  x  0 x j   Aj A  j  i 2  mc dui  e  xi  x ij  dx  x  0

mc 2  dui xi  e 

Multiplicando e dividindo a equação pelo diferencial do comprimento próprio:

  Aj Ai  dx j  i 2 dui  mc ds  e  xi  x j  ds  x d  0 Observe que o temo em parêntesis é o tensor eletromagnético e a derivada do 4-vetor posição em relação ao tempo comprimento é a 4-velocidade e a derivada da 4-velocidade multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado é a 4-aceleração.

 ma  eF u i

ij

j

 x i ds  0

Pelo lema fundamental do cálculo das variações:

mai  eFij u j  0 mai  eFij u j Definindo o lado esquerdo como a expressão da 4-força: fi  eFij u j

fi  e  Fi 0u 0  Fi1u1  Fi 2u 2  Fi 3u 3 

P á g i n a | 4-1481

Vamos calcular as componentes dessa força:

f 0  e  F01u1  F02u 2  F03u 3  f1  e  F10u 0  F12u 2  F13u 3 

f 2  e  F20u 0  F21u1  F23u 3  f3  e  F30u 0  F31u1  F32u 2 

Substituindo as componentes dos tensores:

e  vx E x  v y E y  vz E z  c v  v  f x   e   Ex  Bz y  By z  c c  v v   f y   e   E y  Bz x  Bx z  c c 

ft  

v   v f z   e   Ez  By x  Bx y  c c   Que resultam nas componentes da 4-força do campo eletromagnético que atua sobre a partícula: d e    vE dt c d e  mv   eE  v  B dt c mc





Que é justamente a expressão da força de Lorentz. Foi Poincaré, em 1906, o primeiro pesquisador a deduzir a força de Lorentz pelo princípio de mínima ação.

P á g i n a | 4-1482

F.

Equação de Lienárd

Quando uma carga elétrica livre é acelerada, ela irradia continuamente. Joseph Larmor obteve a relação entre a energia irradiada e a aceleração da carga elétrica para velocidades muito menores que a velocidade da luz: 2



E 2e2  dv   3  3c  dt o t 2

p 2e2  dv      v t 3c5  dt o

ou na forma covariante: 2



p i 2e 2  dv  i  4  u 3c  dt o 

No capítulo sobre cinemática, nós derivamos as componentes da 4-aceleração:

 v dv  a0   4    c dt 

  dv   dv  a   2    v 2 v  c  dt   dt  4

O invariante de aceleração é dado por:

a   a  0 2

2

 dv 2  v dv 2            dt   c dt   6

a 

0 2 o

2

 dv      dt o

P á g i n a | 4-1483

Igualando as duas equações, obtemos:

 dv 2  v dv 2   dv 2        dt    c dt    dt o 

 6 

Substituindo essas relações nas fórmulas de Larmor, obtemos as equações de Lienárd: 2 2 E 2e2 6  dv   v dv             t 3c3  dt   c dt   2 2 p 2e2 6  dv   v dv             t 3c5  dt   c dt  

G.

Equação de Lorentz-Dirac

Um dos problemas centrais da teoria da relatividade seria uma possível violação da conservação do momento expresso pelo princípio da ação e reação. Em 1900, Poincaré avaliou que seria possível conciliar a eletrodinâmica de Lorentz e o princípio da ação e reação atribuindo uma inércia à energia, que Poincaré comparou a um fluído fictício ideal. A análise de Poincaré permitiu derivar a relação massa-energia quatro anos antes de Hasenhörl e cinco anos antes de Einstein. Entretanto, por alguma razão, Poincaré descartou essa ideia e adotou a postura de Lorentz que a nova físicamatemática (relatividade) não precisava ser adequada ao princípio da ação e reação. Infelizmente, Poincaré faleceu em 1912 e não pode ver e participar dos desdobramentos de suas ideias. Em 1905, Poincaré construiu o grupo de Lorentz e obteve seus 6 geradores de rotação, que correspondem as isometrias do espaçotempo de Poincaré-Minkowski. Há ainda 4 geradores correspondem

P á g i n a | 4-1484

as translações nas 4 direções. O número máximo de isometrias de um espaço 4-dimensional são 10 isometrias. Portanto, o espaçotempo de Poincaré-Minkowski é um espaço maximal, pois apresenta todas as simetrias. De fato, só há dois espaços maximais compatíveis com a teoria da relatividade: Poincaré-Minkowski e De-Sitter. Utilizando o transporte de Lie, podemos estabelecer a equação de Killing e as correntes topológicas de Noether. Cada corrente de Noether corresponde a uma grandeza física: momento linear, momento angular, energia, carga elétrica. Em espaços com simetria maximal, todas essas quantidades são conservadas, pois há uma corrente de Noether associada a cada uma delas. Porém, em espaços não maximais, apenas algumas destas grandezas é conservada, pois não há uma corrente de Noether para todas elas. O Princípio da Equivalência apenas nos assegura a existência de correntes de Noether locais, porém estas deixam de serem válidas quando analisamos a situação global. Desde que a teoria da relatividade especial é descrita sobre uma variedade espaço-tempo de Poincaré-Minkowski apresenta todas as simetrias, diferente de que afirmam Lorentz e Poincaré, a nova teoria precisa incluir a conservação do momento. O problema que ocorre quando consideramos duas partículas interagindo a distância. Como a velocidade de propagação da informação é igual a velocidade da luz, então ação e reação não serão eventos simultâneos. A solução mais simples para esse paradoxo seria associar uma reação ao campo eletromagnético (ou ao éter). Porém, essa solução era estranha a experiência e parecia violar o princípio da relatividade. A outra solução é aquela que Poincaré propôs em seu trabalho de 1900: atribuir propriedades substanciais à energia. Esse foi o caminho adotado por Paul Dirac ao estudar a dinâmica quântica de um elétron relativístico em 1938. Ele atribui uma força de reação a radiação liberada pelo elétron e generaliza as equações de Larmor e de

P á g i n a | 4-1485

Lienárd. Este conjunto de equações obtidas por Dirac foram denominadas de equações de Lorentz-Dirac e são fundamentais não apenas na compreensão física do elétron, como trazem benefícios em processos tecnológicos. O ponto de partida de P. Dirac foi escrever a equação da força de Lorentz e acrescentar a força de reação da radiação: f i  eFij u j  f i reação

Considerando que a partícula esteja em movimento circular devido sua interação com o campo magnético, teremos as equações: d e  m v   v  B  f R dt c

 dui du i   2e  d 2u fR   2  u    3  ds  ds ds   Multiplicando a equação por c.u, obtemos a mesma expressão em função da energia:



i  dE 2e2c  d 2u 2  dui du  u u       2 3  ds dt  ds ds  

Para este trabalho, assumimos as seguintes aproximações: mc



du e  uB ds c



u, B  0

Elevando a primeira equação ao quadrado:

P á g i n a | 4-1486

 mc 

2

2

2

 du   e  2 2      u B sin 90º  ds   c  2

2

 du   eB  2    2  u  ds   mc 

Agora vamos derivar a equação em relação ao comprimento de arco próprio: 2

du d 2u  eB  du  2 2  u 2 2 ds ds  mc  ds 2

d 2u  eB    u ds 2  mc 2 

Multiplicando a equação por u: 2

u

d 2u  eB  2   u ds 2  mc 2 

Para partículas ultrarelativísitcas podemos usar a aproximação: E mc 2 2 d 2u  eBE  u 2  2 4  ds m c  u

Na equação de Lorentz-Dirac, se levarmos em conta que o regime é ultrarelativístico, podemos cancelar os últimos termos e obter:



dE 2 e4cB 2 E 2  dt 3 m 4c8

Usando o fato que a intensidade do campo magnético está associado a trajetória circular de e:

P á g i n a | 4-1487

B

Substituindo na equação:

E eR

dE 2 e 2c  E      dt 3 R 2  mc 2 

4

Logunov esclarece que (2005, p. 170): Se a energia dos elétrons e o valor do campo magnético forem grandes o suficiente, as perdas de energia da radiação síncrotron tornam-se bastante substanciais. A radiação síncrotron é amplamente utilizada em biologia e medicina, na produção de esquemas integrais e assim por diante. Anéis especiais de armazenamento para geração de raios-X intensos são construídos.

P á g i n a | 4-1488

H. Formalismo Hamiltoniano Vamos obter a lagrangiana relativística. Historicamente, o primeiro pesquisador a obter a forma dessas equações foi Max Planck, em 1906, para corrigir a transformação de massa obtida por Einstein e introduzir um conceito unificado de massa inercial. Nossas deduções não irão seguir as considerações de Planck, portanto não representam o desenvolvimento histórico. Inicialmente vamos definir a hamiltoniana de um sistema relativístico: H  xi , pi   E  pi   V  xi 

Devemos observar que diferente da mecânica clássica onde Ei representa a energia cinética da partícula, na teoria da relatividade temos uma forma de energia adicional chamada de energia da partícula. Assim a energia Ei é caracterizada pelas formas conservativas de energia relativística. O 4-momento é definido como o produto da massa de repouso pela 4-velocidade:

pì  m0ui A 4-velocidade se relaciona com a velocidade, por meio da regra: ui   vi

Portanto, o 4-momento pode ser definido pelo seguinte produto: pì   mo vi

pì  m  v  vi

Usando a relação massa-energia, podemos escrever a equação da seguinte forma: E pì  2 vi c Multiplicando a equação pelo momento contravariante,

P á g i n a | 4-1489

E i p vi c2 Esta relação entre as componentes pi e vi será essencial na obtenção da lagrangeana. Se isolarmos a velocidade na equação do momento, obtemos a seguinte relação: p i pì  p 2 

c2 vi  pì E Das equações de Hamilton temos a seguintes relação:

vi 

H pi

Substituindo o valor da função hamiltoniana, teremos:   E  pi   V  xi   vi   pi

Como a energia potencial não depende do momento da partículas, mas apenas de sua posição no espaço-tempo, e a energia é uma função apenas do momento, a equação se torna:

vi 

dE dp i

Substituindo o valor da velocidade,

c2 dE pi  i E dp Realizando um produto cruzado, c 2 pi dp i  EdE

P á g i n a | 4-1490

Para realizarmos essa integração devemos proceder com certo cuidado, pois temos uma componente contravariante e uma covariante. Inicialmente escreva o vetor pi na forma contravariante:

c 2 ij i j pi  dpi  EdE c 2ij i j  pi dpi  EdE onde  ij é o tensor da métrica de Poincaré-Minkowski e  i j é o tensor misto de Kroenecker. Como estas quantidades são constantes, então as quantidades em colchetes são constantes. Integrando a equação (usando as regras convencionais do cálculo integral):

c 2ij i j  pi pi E 2  C 2 2 c 2 ij i j p i  p i  E 2  2C c 2 pi p i  E 2  K c2 p2  E 2  K

No referencial próprio, o momento deve ser zero e a energia corresponde a energia de repouso da partícula: 0  Eo2  K K   Eo2

Substituindo na equação o valor da constante K, c 2 p 2  E 2  Eo2

Esse é o invariante momento-energia que já havia deduzido. Portanto, a nossa formulação hamiltoniana é consistente com os princípios da relatividade. Para obtermos a lagrangeana relativística, basta aplicarmos uma transformação de Legendre:

P á g i n a | 4-1491

L  p i vi  H

Substituindo o valor do produto p i vi , nossa equação se torna:

L

c2 p2  E V E

Substituindo o valor da quantidade c 2 p 2 ,

E 2  Eo2  E V E E2 L  E  o  E V E  E2  L   o V   E 

L

Utilizando a transformação da energia E para o referencial próprio Eo,  E2  L   o  V    Eo 

Portanto a lagrangeana relativística apresenta a seguinte forma:

E  L   o  V     2 m c  L   o  V    

  v2 L    Eo 1  2  V    c     v2 L    mo c 2 1  2  V    c  

P á g i n a | 4-1492

I.

Tensões de Poincaré

Uma das principais objeções aos modelos de elétron contraído, como na abordagem de Lorentz e Einstein, era a instabilidade do elétron apresentada por Max Abraham. Entre 1904 e 1905, Alfred Bucherer e Paul Langevin tentaram contornar essa dificuldade assumindo que o elétron contraído preservava seu volume. Em 1905, Poincaré ponderou sobre a questão dos modelos do elétron e mostrou que a única solução compatível com o princípio da relatividade era o modelo de Lorentz. Isso levou Poincaré a buscar uma solução para a estabilidade do elétron. Sendo um especialista em equilíbrio de massas fluídicas em rotação, Poincaré estabeleceu uma analogia hidrodinâmica com a eletrodinâmica e buscou as formas de equilíbrio para o elétron. Inicialmente, Poincaré obteve a forma da ação para um elétron quase-estacionário: S    Le  Lc dt

onde Le é a função lagrangeana da autoindução do elétron e Lc é a função lagrangeana de um potencial adicional que mantém o elétron em equilíbrio. Poincaré (1905-1906) em seu estudo sobre o equilíbrio do elétron, provou que esse potencial deveria ser dado pelo produto da pressão, posteriormente denominada de tensão de Poincaré, pelo volume do elétron.

Lc  Pc V Ec Lc   o  Portanto, tensão de Poincaré será dada por:

Pc 

Eoc V

P á g i n a | 4-1493

A função lagrangeana da autoindução do elétron é definida como:

L  e

Eoe



A função lagrangeana total LT do elétron é a soma das funções lagrangeana parciais. Para que esta lagrangeana LT para ser covariante em Lorentz, deve ser dada por:

LT  Le  Lc 4 Eoe T L  3  Agora calcularemos o valor da energia inicial:

4 Eoe Eoe Eoc   3    Cancelando os fatores gama e isolando o Eoc : 4 Eoc  Eoe  Eoe 3

Portanto, a energia da tensão de Poincaré é negativa e dada por: 1 Eoc   Eoe 3

Para uma distribuição esférica de carga elétrica, sua energia eletrostática é dada por: e2 e Eo  8 o R Portanto a energia e a pressão de Poincaré, serão dadas por:

P á g i n a | 4-1494

E  c o

P 

e2 24 o R e2

c

1

32  o R  2

4

As tensões de Poincaré não tem natureza elétrica, mas atuam sobre o elétron promovendo uma distensão e evitando seu colapso. Embora a dedução que realizamos aqui tenha seja feito para o movimento quase-estacionário, Poincaré mostrou que para o movimento arbitrário não haveria modificações na ação. Uma importante aplicação das tensões de Poincaré é para o balanço de energia total de uma partícula. Vamos estudar três casos onde podemos aplicar a relação massa-energia: o problema da massa eletromagnética, caixa cheia de luz e uma esfera carregada. Em 1881, J. J. Thompson estudou a distribuição de energia em uma carga elétrica esférica em movimento, quase-estacionário, calculou que a integral da densidade de energia magnética sobre o espaço era igual à: e2 m Eo  v2 2 12 o Rc Na teoria eletromagnética de Maxwell, a energia magnética era associada a energia cinética associada ao éter. Eom 

1 e2  2  6 o Rc 2

 2 v 

O termo em parêntesis pode ser tomado como a massa do elétron,

me 

e2 6 o Rc 2

P á g i n a | 4-1495

Usando a energia eletrostática do elétron, temos a relação:

e2

 o R

 8Eoe

Substituindo na expressão da massa eletromagnética:

me 

8 Eoe 6 c2

Simplificando, obtemos a massa eletromagnética para o movimento quase estacionário: 4 Eoe me  3 c2 Essa expressão é idêntica a relação massa-energia usual, a menos do fator 4/3. Não se trata de um erro de análise ou de aproximação. Para obtermos a massa eletromagnética efetiva, devemos considerar o efeito da distensão das tensões de Poincaré sobre o elétron:

4 me  3 4 me  3

Eoe Eoc  c2 c2 Eoe 1 Eoe  c2 3 c2

Efetuando essa subtração, obtemos a relação massa-energia:

me 

Eoe c2

Outra situação que conduz a relação massa-energia é o estudo da caixa cheia de luz Em 1904, o físico alemão Hasenhörl analisou teoricamente a inércia de uma caixa de arestas perfeitamente refletoras cheia de radiação. Podemos calcular a inércia da caixa a partir da força necessária para acelera-la. Devido ao movimento

P á g i n a | 4-1496

acelerado, o número médio de choques da radiação com a superfície frontal será menor que na superfície da retaguarda. Por meio de uma análise complicada, Hasenhörl deduziu em 1905, que a inércia da caixa cheia de radiação sofreria um aumento de:

m 

4 Eocaixa 3 c2

Esse valor foi confirmado por Abraham20 que deduziu o aumento da inércia da caixa calculando a contribuição da massa maupertusiana da luz para a caixa:

4 Eocaixa mp  3 c2 Como a massa longitudinal e a massa maupertusiana coincidem para um sistema material, as duas relações são equivalentes, embora os conceitos envolvidos sejam fundamentalmente diferentes. Se quisermos medir a inércia total do sistema, devemos incluir a contribuição das distensões dos elétrons da caixa:

 Eoc Eoc m  m  2 ou m  m p  2 c c  4 Eocaixa 1 Eocaixa m  3 c2 3 c2 Eocaixa m 2 c

Em 1904, Hansenhörl usou limites de integração incorretos e obteve uma proporção incorreta da relação massa-energia. Em 1905, Abraham usando o momento linear da luz, deduziu o valor esperado de 4/3. Hasenhörl revisou sua análise corrigindo seu erro e obtendo o mesmo valor de Abraham. 20

P á g i n a | 4-1497

Em outras palavras, a relação massa-energia é uma consequência das tensões de Poincaré. No modelo de Abraham a relação massaenergia deve ser multiplicada pelo fator de ¾: E

3 2 mc 4

Observe que no final do século XIX e começo do século XX, havia uma indicação de que a energia contribuía para o conteúdo inercial. Como medir esse valor com precisão estava aquém do permitido pelos experimentos, não era possível testar as duas teorias por meio desta relação. Outro exemplo da necessidade de se considerar as tensões de Poincaré, nos é fornecido por Richard Feynman e decorre do estudo do momento associado ao campo elétrico produzido por uma distribuição esférica de cargas (como é atribuído ao elétron clássico).

O cálculo do momento do campo eletromagnético, fornecido por Feynman (2008, 28-3) é igual à:

p

e2 v 6 o c 2 R

e2 mp  6 o c 2 R

P á g i n a | 4-1498

Usando a equação da energia eletrostática, obtemos a relação massa-energia de Abraham: U el 

3 mpc2 4

Novamente, se consideramos as tensões de Poincaré, obtemos a relação massa-energia usual. U el  m p c 2

As tensões de Poincaré também tiveram uma importância epistemológica. No final do século XIX surgiu o termo worldpicture para se referir aos quadros que os físicos usavam para caracterizar o mundo natural. O quadro mais comum era o mecânico. Todas as teorias deveriam ser reduzidas a uma descrição mecânica. Tendo em conta esse fato, não nos surpreenderá que as propriedades eletromagnéticas associadas ao éter eram descritas em termo de funções mecânicas. A semelhança entre a equação diferencial de um oscilador harmônico mecânico e de um circuito RLC não é uma coincidência, mas um traço desse quadro mecânico. Abraham rompeu essa tradição e sugeriu que o world-picture deveria ter como base a teoria eletromagnética. Com a descoberta do elétron e as medidas de Kaufmann que mostravam que a massa do elétron variava com a velocidade, inicialmente os pesquisadores penVoltam que a massa do elétron seria uma composição de sua massa mecânica ordinária e uma massa eletromagnética. Porém, pouco tempo depois, os pesquisadores concluíram que toda a massa deveria ser de origem eletromagnética. Em outras palavras, não existia mais a massa mecânica. O edifício do world-picture seria derrubado por dois ataques, proporcionados por Poincaré: o princípio da relatividade e as tensões de Poincaré. O primeiro torpedo foi empregado de maneira assertiva por Einstein. Se não existe um referencial melhor que o outro, uma geometria mais verdadeira do que a outra, então

P á g i n a | 4-1499

não existe um quadro físico superior ao outro: todos são equivalentes. O segundo torpedo foi descarregado pelo próprio Poincaré. Ao provar a existência de forças não elétricas, Poincaré provou que a massa do elétron não pode ser reduzida a uma massa eletromagnética. Uma abordagem mais detalhada sobre significado físico das pressões de Poincaré nos é fornecida de forma muito didática pelo físico estadunidense Richard P. Feynman (28-3, 2008): A discrepância entre as duas fórmulas para a massa eletromagnética é especialmente incômoda, porque provamos cuidadosamente que a teoria da eletrodinâmica é consistente com o princípio da relatividade. Ainda assim, a teoria da relatividade implica sem sombra de dúvida que o momento deve ser igual à energia vezes υ/c2. Estamos com problemas; devemos ter feito um erro. Não fizemos um erro de conta em nossos cálculos, mas deixamos alguma coisa de fora. Quando deduzimos as nossas equações para a energia e o momento, supusemos as leis de conservação. Vamos supor que todas as forças estavam sendo levadas em conta e que todo o trabalho realizado e todo o momento carregado por outros mecanismos “não elétricos” estava incluído. Mas se tivermos uma esfera de cargas, as forças elétricas serão todas repulsivas e um elétron tenderia a ir embora. Como o sistema tem forças não balanceadas, podemos obter todo tipo de erro nas leis relacionando energia e momento. Para obter um quadro consistente, devemos imaginar que algo mantém os elétrons juntos. As cargas devem ser presas na esfera por algum tipo de elástico – alguma coisa que impeça as cargas de voarem embora. Foi notado pela primeira vez por Poincaré que os elásticos – ou o que estiver segurando os elétrons –

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devem ser incluídos nos cálculos da energia e do momento. Por esta razão as forças não elétricas extras também são conhecidas pelo nome mais elegante de “pressões de Poincaré”. Se as forças extras forem incluídas nos cálculos, as massas obtidas pelos dois métodos serão modificadas (de uma forma que depende das suposições detalhadas). E os resultados são consistentes com a relatividade; ou seja, a massa que surge do cálculo do momento é a mesma que surge do cálculo da energia. Entretanto, ambas contêm duas contribuições: uma massa eletromagnética e a contribuição das pressões de Poincaré. Apenas quando as duas são somadas obtemos uma teoria consistente. Portanto é impossível fazer com que toda a massa seja eletromagnética da maneira que esperávamos. A teoria não é válida se não tivermos nada além da eletrodinâmica. Alguma coisa deve ser adicionada. Chamem do que quiserem – “elásticos” ou “pressões de Poincaré”, ou qualquer outra coisa – devem existir outras forças na natureza para gerar uma teoria consistente deste tipo. Claramente, assim que colocarmos forças no interior do elétron, toda a beleza da ideia começa a desaparecer. As coisas se tornam muito complicadas. Você poderia perguntar: as pressões são muito fortes? O que acontece quando o elétron é sacudido? Ele oscila? Quais são as suas propriedades internas? E assim por diante. Seria possível que um elétron tivesse algumas propriedades internas complicadas. Se fizermos uma teoria do elétron seguindo estas premissas, ela prediria propriedades estranhas, tais como modos de oscilação, que aparentemente não foram observados. Dizemos “aparentemente” porque observamos muitos fenômenos da natureza que ainda não fazem sentido.

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Podemos descobrir algum dia que uma das coisas que nós não entendemos hoje (por exemplo, o múon) pode, de fato, ser explicada como uma oscilação das pressões de Poincaré. Não parece muito provável, mas ainda não temos certeza. Existem muitos aspectos das partículas elementares que ainda não entendemos. De qualquer maneira, a estrutura complexa decorrente desta teoria não é desejável, e a tentativa de explicar toda a massa em termos do eletromagnetismo – pelo menos da maneira que descrevemos – levou-nos a um beco sem saída. Gostaríamos de pensar um pouco mais sobre por que dizemos que temos uma massa quando o momento do campo é proporcional à velocidade. Fácil! A massa é o coeficiente entre o momento e a velocidade. Mas podemos olhar a massa de uma outra forma: uma partícula tem massa se você precisar aplicar uma força para acelerá-la. Portanto, pode ser útil para o nosso entendimento se olharmos mais cuidadosamente para a origem das forças. Como sabemos que deve existir uma força? Porque provamos a lei de conservação do momento para os campos. Se tomarmos uma partícula carregada e a empurrarmos durante um intervalo de tempo, haverá algum momento no campo eletromagnético. O momento deve ter sido colocado no campo de alguma maneira. Portanto, deve haver uma força atuando no elétron para mantê-lo em movimento – uma força além daquela exigida pela sua inércia mecânica, uma força devido à sua interação eletromagnética. E deve existir uma força correspondente no “autor do empurrão”. Mas de onde vem esta força? O quadro geral é mais ou menos assim. Podemos pensar o elétron como uma esfera carregada. Quando ele está em repouso, cada elemento de carga repele eletricamente todos os outros, mas as forças se cancelam aos pares, de

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modo que não há nenhuma força resultante [ver Figura (a)]. Entretanto, quando o elétron é acelerado, as forças não se cancelam mais aos pares devido ao fato de que as influências eletromagnéticas levam um tempo para ir de um elemento para o outro. Por exemplo, a força no elemento α na Figura (b) devido a um elemento β no lado oposto depende da posição de β em um tempo anterior, como mostrado. Tanto a magnitude quanto a direção da força dependem do movimento da carga. Se a carga estiver acelerada, as forças nas diversas partes do elétron poderão ser como está mostrado na Figura (c). Quando todas estas forças são somadas, elas não se cancelam. Elas se cancelariam se a velocidade fosse uniforme, mesmo que à primeira vista pareça que o retardamento daria uma força resultante até para uma velocidade uniforme. Mas acontece que não existe uma força resultante a não ser que o elétron esteja sendo acelerado. Com a aceleração, se olharmos as forças entre as diversas partes do elétron, veremos que a ação e a reação não são exatamente iguais, e o elétron exerce uma força nele mesmo que tenta deter a aceleração. Ele se segura, agarrando-se a si mesmo.

Figura. A autoforça em um elétron acelerado não é zero devido à retardação (dF é a força em um elemento de superfície da; d2F é a força no elemento de superfície daα devido à carga no elemento de superfície daβ.

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J.

Conservação do Momento e da Energia

Os vetores de Killing desempenham um papel fundamental no estudo das simetrias, pois eles permitem estabelecer o conceito de corrente de Noether. Dado um campo de vetores de Killing Xp e o tensor momento-energia, podemos estabelecer a equação das correntes de Noether: j q  T pq X p

Para provar que essa corrente se conserva, devemos mostrar que a sua divergência é zero.  q j q   q T pq X p 

Pela regra do produto, nós teremos:  q j q    qT pq  X p  T pq   q X p 

A divergência do tensor momento-energia é sempre zero, portanto:  q j q    q X p  T pq

Da análise tensorial, sabe-se que todo tensor pode ser decomposto como uma soma de suas partes simétricas e antissimétricas.



1 S  Aij  2 ij 1 Sij  Vij  V ji  2 1 Aij   Vij  V ji  2

Vij 



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É fácil ver que uma permutação dos índices pq não podem alterar a expressão, porque a derivada covariante de um tensor contravariante é um invariante. Portanto o tensor covariante no parêntesis (definido pelo produto direto da derivada covariante pelo vetor de Killing) é um tensor simétrico e todo tensor simétrico pode ser decomposto da seguinte forma: q j q 

1  q X p   p X q  T pq  2

A equação dentro do parêntesis é justamente a equação de Killing que é nula, portanto q j q  0 Q.E.D. O espaço-tempo de Poincaré-Minkowski apresenta um total de 10 vetores de Killing, a saber: 4 translações, 3 rotações, 3 boosts de Lorentz. Este é justamente ao número máximo de isometrias deste espaço. Como tensor métrico apresenta 10 componentes independentes. Isso significa que todas as componentes do tensor métrico são correntes de Noether.

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O tensor momento-energia contém naturalmente a energia, os momenta, a tensão, a pressão e os fluxos de energia e momento. Portanto todas essas quantidades são conservadas na Teoria da Relatividade Especial. Usando o cálculo variacional, é possível incluir ainda a contribuição do campo eletromagnético, nesse caso as correntes elétricas, a densidade de corrente, a densidade de carga e a carga elétrica também são conservadas. Um importante teorema devido a Emmy Noether associa as conservações físicas as características do espaço. A conservação do momento linear implica que as leis da física não se alteram frente as translações. A conservação do momento angular implica que as leis da física não se alteram frente as rotações. E a conservação da energia implica que as leis da física não se alteram com o tempo. Portanto nosso espaço-tempo é homogêneo, uniforme e isotrópico. O Teorema de Noether pode ser ainda generalizado para teorias de calibre, implicando na conservação da carga, do sabor e da cor das partículas. Por exemplo, se o espaço é um invariante em Lorentz, como o espaço-tempo de Poincaré-Lorentz, a carga elétrica, a densidade de carga, a corrente elétrica e a densidade de corrente são conservadas. Curiosamente na Teoria da Relatividade Geral, só há conservação local destas quantidades, pois como já observamos o princípio da equivalência permite estabelecer para uma região infinitesimal um sistema de coordenadas locais. Ao introduzirmos efeitos nãoinerciais devido ao campo gravítico, o número de isometrias não é mais máxima, isto é10 (conforme a métrica, o número de isometria pode cair para menos da metade). Portanto, há violação das conservações de energia e momento. Esse fato foi demonstrado por Emmy Noether e Félix Klein (BRADDING, 2005). O fato do campo gravitacional também ser fonte de campo gravitacional introduz efeitos não-lineares descritos pelas correntes de Noether.

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12. Covariância Geral A. Geodésicas Dado dois pontos em variedade M, a menor distância entre eles é uma curva denominada geodésica que depende das propriedades topológicas da variedade. Em um plano euclidiano, a menor distância que conecta os dois pontos será um segmento de reta. Em uma esfera S², a menor distância entre dois pontos será um arco de circunferência cuja a sua extensão passa pelos polos da esfera. Qual será as geodésicas no espaço-tempo de Poincaré-Minkowski? O espaço-tempo é um plano pseudo-euclidiano, por isso podemos esperar que as geodésicas sejam certos tipos de segmentos de retas. Como a estrutura pseudo-euclidiana da métrica de PoincaréMinkowski permite construir vetores de comprimento nulo e se verifica a desigualdade triangular inversa, as geodésicas do espaçotempo não podem ser retas, pois as linhas de mundo retas são maiores que qualquer linha de mundo curva. Portanto nossas geodésicas devem ser retas de comprimento nulo. Da topologia sabemos que uma variedade esférica S² é difeomórfica a um plano euclidiano. Nestas circunstâncias, se os pontos A e B são tomados infinitamente próximos, mas sem coincidirem, a tangente em cada ponto do arco de circunferência que conecta A e B na variedade S² tenderá a zero, em outras palavras, os arcos de circunferência serão semelhantes a retas, pois a sua curvatura é infinitamente pequena. Portanto, podemos pensar em uma variedade pseudo-riemanniana M que seja difeomórfica ao espaço-tempo de Poincaré-Minkowski e as geodésicas entre dois pontos infinitamente próximos tenda a retas de comprimento nulo. A condição de ter comprimento nulo não pode depender da distância entre dois pontos, portanto a geodésica que conecta A e B na variedade M deve ser uma geodésica de comprimento nulo. Nesta

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seção deduziremos a equação das geodésicas nulas usando o princípio variacional. Para qualquer variedade pseudo-riemanniana definimos a distância ao quadrado entre dois pontos pela a seguinte equação: ds 2  g ij dx i dx j

Tomando a variação dessa equação, nós obtemos:

2ds s  dxi dx j gij  2 gij dx i d x j 2ds s  dxi dx j

gij x

k

 x k  2 gij dxi d x j

Como o índice j na última parcela é mudo, vamos troca-lo por k.

2ds  ds  

gij x

k

dxi dx j x k  2 gik dxi d x k

Isolando ds e usando a definição de 4-velocidade, obtemos:

  ds  

1 gij i j k u dx  x  gik u i d x k k 2 x

Agora vamos definir o funcional da métrica:

S   ds c

Pelo princípio de mínima ação, temos que:

 S     ds   0 c

 c

  ds  ds

ds  0

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Substituindo o funcional e usando a definição de 4-velocidade: k  1 gij i j k i d x    u u x g u   ds  0 ik c  2 x k ds 

A derivada da variação da posição pode ser expressa pela seguinte equação:

gik u i

d x k d du i k   gik u i x k   gik x ds ds ds

Substituindo na integral:  1 gij d  gik u i  k  d i j k i k c  2 xk u u  x  ds  gik u  x   ds  x  ds  0  

Integrando a segunda parcela e levando em consideração que a variação se anula nos extremos do intervalo:  1 gij d  gik u i  k  i j k  u u x    x  ds  0 c  2 xk  ds    1 gij i j du i gik dx m i  k u u g u   x ds  0   ik c  2 xk ds x m ds   1 gij i j du i gik i m  k u u g u u   x ds  0   ik c  2 xk ds x m 

Pelo lema fundamental do cálculo das variações obtemos a equação das geodésicas:

1 gij i j gik i m du i 0 u u  m u u  gik 2 x k x ds

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Observe que o segundo termo pode ser expresso pela relação:

gik i m 1  gik g km  i m u u   m  i u u 2  x x m x  Trocando o índice mudo m por j: gik i m 1  gik g kj uu   j  i 2  x x m x

 i j u u 

Substituindo essa relação na equação das geodésicas:

1 gij i j 1  gik g kj uu   j  i 2 x k 2  x x 1  gij gik g kj    2  x k x j xi

 i j du i  u u g 0  ik ds 

 i j du i 0  u u  gik ds 

Multiplicando a equação pelo oposto do tensor métrico conjugado

du i 1 ik  gik g kj gij  i j ik g    0  u u  g gik ds 2  x j xi x k  du i 1 ik  gik g kj gij  i j g  j  i  k  u u   ik 0 ds 2  x x x  1 ik  gik g kj gij g    2  x j xi x k

 i j du k 0 u u  ds 

A primeira parcela são os símbolos de Christoffell de segundo tipo ou as conexões de Riemann-Christofell:

 k  i

 i j du k 0 u u  j ds

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A resolução das n equações diferenciais fornecem as n geodésicas de comprimento nulo. Para o espaço-tempo de Poincaré-Minkowski, as conexões são todas nulas.

du k 0 ds Cujas soluções para as quatro equações diferenciais são:

u k  ak Substituindo os valores da velocidade:

a0    a  v c Exigimos que as geodésicas tenham comprimento nulo, portanto a norma do vetor velocidade deve ser zero:

u 

0 2

 u2  0

2 2   2 v 0 c 2 2 2   2v c 2

vx2  v y2  vz2  v 2  c 2

Desta última equação, podemos escrever: c 2  vx2  v y2  vz2  0

Tomemos um intervalo do tipo-luz:

c2 dt 2  dx2  dy 2  dz 2  0

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Dividindo esse intervalo por dt²: 2

2

2

 dx   dy   dz  c        0  dt   dt   dt  2

c 2  vx2  v y2  vz2  0

Que é a geodésica que deduzimos anteriormente. O intervalo do tipo-luz corresponde as geratrizes do cone de luz, portanto as geodésicas do espaço-tempo são as retas que conectam dois eventos no espaço-tempo que se propagam a velocidade da luz. Contudo, essas não são as únicas geodésicas. Se considerarmos eventos que ocorrem dentro do cone de luz (eventos do tipo-tempo), teremos outro conjunto de geodésicas de comprimento não-nulo. Nesse caso, as geodésicas serão funções da velocidade do corpo:

u 0  cosh a u 2  u x2  u y2  u z2  sinh 2 a

Escrevendo essas equações em função das coordenadas espaçotemporais: dx 0  cosh a ds dx  sinh a ds Substituindo o valor de ds e integrando a equação (considerando a velocidade constante): dx 0  c cosh 2 adt c dx  sinh  2a  dt 2

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Integrando as funções e impondo que cada evento esteja localizado em sua origem:

x 0   cosh 2 a   ct  1 x  sinh  2a  ct  2 Então nossas geodésicas serão arcos de hipérboles sobre a superfície de um hiperboloide de duas folhas que conecta os dois eventos. Fora do cone de luz, as geodésicas também são arcos de hipérboles que na superfície de um hiperboloide de uma folha que conecta os dois eventos.

Figura 1: Cone, hiperboloide de duas folhas e de uma folha. As geodésicas em cada superfície, correspondem respectivamente as geodésicas nulas (tipo luz), geodésicas tipo tempo e geodésicas do tipo espaço. Geodésicas no plano de Poincaré-Minkowski: na região do tipo tempo e do tipo, as geodésicas são arcos de hipérboles sobre a hipersuperfície de hiperboloides obtido pela rotação das hipérboles que conectam os eventos. As geodésicas nulas correspondem as retas tracejadas que são as geratrizes do cone de luz (ver Figura 2).

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FIGURA 2. (NORTON, 2019) Alguns registros importantes acerca das geodésicas no espaçotempo são fornecidos por Logunov (2005, p. 159): Vemos que o movimento inercial de qualquer corpo de teste, independentemente de sua massa, prossegue ao longo da linha geodésica, determinada pela equação da geodésica. É absolutamente evidente que em coordenadas arbitrárias as linhas geodésicas não poderiam ser tratadas como linhas diretas, isso é confirmado pela dependência não linear das coordenadas espaciais xi (i = 1, 2, 3) na variável de tempo x0. O movimento ao longo de uma linha geodésica no espaço de Minkowski é um movimento livre. Assim, forças de inércia não podem causar nenhuma deformação por si mesmas. Sob sua influência, o movimento livre ocorre. A situação muda quando existem forças de reação que neutralizam as forças de inércia. Neste caso, a deformação é inevitável. Na ausência de gravidade, em um satélite, a deformação não existe, porque, devido ao campo gravitacional ser homogêneo, em cada elemento do volume de um corpo a compensação da força da gravidade pelas forças da

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inércia ocorre. As forças da gravidade e as forças da inércia são forças de volume. As forças físicas são quatro vetores no espaço de Minkowski. Mas as forças de inércia não são, uma vez que podem ser tornadas iguais a zero pela transição para um sistema de referência inercial no espaço de Minkowski.

Um exemplo de espaço-tempo mais complexo é o espaço-tempo de Schwarzchild que difeomórfico ao espaço-tempo de PoincaréMinkowski. Esse é o espaço-tempo devido a uma partícula esférica e estacionária com massas e densidades altíssimas. Em primeira aproximação, o espaço-tempo de Schwarzchild se ajusta de maneira adequada a descrição do sistemas solar e as leis de Kepler sobre a órbita planetária. A métrica de Schwarzchild é dada por: 1

 2Gm  2 2  2Gm  ds  1  c dt  1  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2 2  2  rc rc     2

E os mapas abaixo representam as geodésicas nulas neste espaçotempo:

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Por fim, é importante ressaltar que: Assim, estabelecemos que a transição no espaço de Minkowski das coordenadas da Galileu em um sistema de referência inercial para coordenadas arbitrárias é um procedimento matemático simples, se a diferenciação covariante tiver sido definida. A propriedade de covariância das equações não tem nada a ver com o princípio da relatividade. Isso há muito tempo foi esclarecido pela V.A. Fock. Portanto, não existe um “princípio geral da relatividade”, como princípio físico. (Ibid, p. 169)

Na próxima seção definiremos esse processo chamado de diferenciação covariante, para tornar ainda mais prático e objetivo a análise dos fenômenos físicos na variedade espaço-tempo.

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B. Cálculo Diferencial Absoluto Como vimos na seção anterior, existe um operador que torna a análise da modificação entre sistemas de referência um tarefa bastante simples. Esse operador é chamado de derivada covariante. Antes de deduzirmos a regra da derivada covariante, convém mostrar de forma mais clara as limitações da derivada ordinária e suas implicações físicas. 1.

A Derivada Conectiva

Observadores O e O’ se encontram na origem de um sistema cartesiano de coordenadas. Sem perda de generalidade, assumiremos que o observador O’ é o observador estacionário e o observador O apresenta um momento angular variável em relação aos eixos XYZ. Sendo A o vetor posição que gira na mesma proporção que O, iremos calcular a sua derivada em relação ao tempo na perspectiva do referencial fixo (f) e do referencial móvel (m). Definimos o vetor posição pela equação: A  Ai ei

Na perspectiva do observador móvel, apenas a magnitude do vetor posição varia:

dA dA  i ei dt m dt Para o observador fixo, tanto a magnitude quanto os versores variam ao longo do tempo: dA dAi i dei  e  Ai dt dt dt dA dt

 f

dA dei  Ai dt m dt

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Todo versor é ortogonal a sua própria derivada no tempo, dei i ,e  0 dt

Isso significa que cada derivada do versor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros versores:

dei   ij e j dt

 j  i

Multiplicando a equação por ej:

dei e j   ij e j e j dt dei e j   ij dt

 j  i  j  i

Observe que:

ei , e j  0 d i e , ej  0 dt

dei de j ej   ei dt dt Escrevendo em função dos coeficientes alpha, obtemos a relação:  ij   i j

Portanto, alpha é um tensor misto antissimétrico. Essa propriedade torna supérflua a condição de que i seja diferente de j, pois como o tensor é antissimétrico, quando i for igual a j, ele será

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nulo. Vamos agora explorar outra consequência importante dessa antissimetria. Inicialmente, expandiremos as derivadas dos vetores:

de1   21e2   31e3  ...   n1e n dt de 2  12e1   32e3  ...   n2e n dt de3  13e1   23e2  ...   n3e n dt de n  1n e1   2n e 2  ...   nn1en 1 dt Observe que podemos usar a antissimetria do tensor alpha e reduzir o número de coeficientes:

de1   21e 2   31e3  ...   n1e n dt de 2   21e1   32e3  ...   n2e n dt de3   21e1   32e2  ...   n3e n dt de n   n1e1   n2e2  ...   nn 1e n 1 dt Para cada vetor da base teremos n – 1 termos negativos devido a antissimetria do tensor. Da equação da derivada do vetor A, temos que:

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dA dA de1 de2 de3 den  ....  An  A1  A2  A3 dt f dt m dt dt dt dt Substituindo os valores das derivadas: dA dA   A1  21e 2   31e3  ...   n1e n  dt f dt m

 A2   21e1   32 e3  ...   n2 e n   A3   21e1   32 e 2  ...   n3e n  ...

 An   n1e1   n2 e 2  ...   nn 1e n 1 

Vamos evidenciar vetores da base: dA dt

 f

dA    21 A2   31 A3  ...   n1 An  e1 dt m

  21 A1   32 A3  ...   n2 An  e 2

  31 A1   32 A2  ...   n3 An  e3  ... 



1 n

A1   n2 A2  ...   nn 1 An 1  e n

Permutando os índices dos coeficientes negativos,

dA dA   12 A2  13 A3  ...  1n An  e1 dt f dt m

  21 A1   23 A3  ...   2n An  e 2

  31 A1   32 A2  ...   3n An  e3  ...   n1 A1   n2 A2  ...   nn 1 An 1  e n

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Estas equações podem ser escritas de forma compactada como:

dA dA    ij Ai  e j dt f dt m Por essa expressão podemos definir a derivada conectiva em uma variedade euclidiana:

D f  Dm   ij e j  Para o caso 3-dimensional, a derivada conectiva de um vetor apresenta a seguinte estrutura: D f  Dm  w 

Para demonstrar essas relações, tomemos a derivada conectiva do vetor A: dA dt dA dt



dA  12 A2  13 A3  e1   21 A1   23 A3  e2   31 A1   32 A2  e3 dt m



dA  13 A3   21 A2  e1   21 A1   32 A3  e 2   32 A2  13 A1  e3 dt m

f

f

Agora identificaremos as componentes do tensor com o vetor w:

13  w2 ,  21  w3 ,  32  w1 dA dA    w2 A3  w3 A2  e1   w3 A1  w1 A3  e 2   w1 A2  w2 A1  e3 dt f dt m

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Usando a definição de produto vetorial:

dA dA   w A dt f dt m Destas relações também podemos deduzir uma importante identidade vetorial:  f  m   

Essa relação é empregada no eletromagnetismo para o estudo das correntes de convecção de Maxwell que ocorrem em sistemas que apresentam movimento relativo. Em mecânica dos fluídos e dos meios contínuos, há outras classes de importantes derivadas:

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2.

A Derivada Conectiva e as Forças Inerciais

O princípio da relatividade da mecânica, atribuído a Galileu Galilei, estabelece que todos os referenciais inerciais são equivalentes e nenhuma experiência mecânica permite estabelecer se estamos em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Porém, quando o referencial não é inercial, há uma quebra desta simetria e, portanto, há efeitos mensuráveis. Isaac Newton considerava estes efeitos como evidências de um espaço absoluto. Ernest Mach (1912), entretanto, considerou que estes efeitos também seriam relacionais. Ninguém é competente para predicar coisas sobre espaço absoluto e movimento absoluto; são coisas puras de pensamento, construções mentais puras, que não podem ser produzidas na experiência. Em vez disso, agora, ao referir um corpo em movimento K ao espaço (isto é, a um sistema de coordenadas), vamos ver diretamente sua relação com os corpos do universo, pelos quais somente um sistema de coordenadas pode ser determinado. Mesmo no caso mais simples, no qual aparentemente lidamos com a ação mútua de apenas duas massas, é impossível negligenciar o resto do mundo. Se um corpo gira em relação ao céu de estrelas imóveis, surgem forças centrífugas, enquanto que se gira em torno de outro corpo, em vez do céu de estrelas imóveis, nenhuma força centrífuga surgirá. Não tenho nada contra chamar a primeira revolução de absoluta, se alguém não esquecer que isso significa nada além de revolução em relação ao céu de estrelas imóveis. Não há necessidade de relacionar a lei da inércia a algum espaço absoluto especial. Vamos investigar o surgimento dessas forças, denominadas de forças inerciais, que surgem devido a não inercialidade do referencial. Seja o vetor posição r em relação aos referenciais fixo e em movimento. Para estudarmos a variação deste vetor, devemos usar a derivada conectiva:

P á g i n a | 4-1523

D f r  Dm r  w  r

Definindo as velocidades no referencial fixo e no referencial em movimento: v f  vm  w  r

O argumento de Mach, endossado por Poincaré, pode ser demonstrado. Se o observador fixo se considerar em movimento de rotação e o observador móvel se considerar em repouso, podemos aplicar as mesmas equações fazendo uma reflexão sobre a velocidade: v f  vm  w  r v f  vm  w  r

Isso significa que o observador móvel consideraria o observador fixo girando em um sentido contrário. Do ponto de vista físico, todos os efeitos seriam conservados. O fato do produto vetorial entre w e r não apresentar simetria de reflexão é porque a velocidade angular w é um vetor axial e o vetor r é um vetor polar. O produto destes dois vetores gera um novo vetor polar. Agora vamos derivar os efeitos sobre a aceleração. Se tomarmos, mais uma vez, a derivada conectiva da velocidade, nós obteremos:

D f v f   Dm  w  vm  w  r  D f v f  Dmvm  Dm  w  r   w  vm  w   w  r  D f v f  Dmvm   Dm w   r   w  Dm r   w  vm  w   w  r  D f v f  Dmvm   Dm w   r   w  vm   w  vm  w   w  r  Portanto a equação da aceleração será: a f  am    r  2w  vm  w   w  r 

P á g i n a | 4-1524

A segunda parcela é a aceleração azimutal ou aceleração de Euler. O terceiro termo é a aceleração de Coriolis. Por fim, o quarto termo é a aceleração centrífuga. Se multiplicarmos a equação pela massa da partícula, obtemos a expressão clássica da força: Ff  Fm  m  r  2mw  vm  mw   w  r 

Definimos a força fictícia como a diferença entre a força aferida no referencial fixo pela a força aferida no referencial móvel:

Ff  Fm  m  r  2mw  vm  mw   w  r  Ffictícia  m  r  2mw  vm  mw   w  r  Se ambos os referências forem inerciais, a diferença das forças deve ser zero, portanto não há forças fictícias. O movimento de rotação da Terra é responsável pelo surgimento de células atmosféricas e a circulação dos ventos.

P á g i n a | 4-1525

Vamos falar um pouco mais destas forças inerciais. Tomemos Um sistema de duas esferas ligadas por uma corda e são postas para girar com velocidade angular constante. Durante esse movimento, para um referencial fixo, as esferas estarão sujeitas as forças inerciais: centrifuga e de Coriolis. Não há força de Euller, pois a aceleração angular é zero. A força centrífuga (vetor roxo) tende a jogar a esfera para fora da órbita circular que ela descreve.

A força de Euler pode ser descrita como a força que haja em uma pessoa sentada em carrossel. A medida que o carrossel acelera, a pessoa é jogada para trás e à medida que o carrossel desacelera, ela é jogada para frente. Já a força de Coriolis explica a circulação dos ventos, alterações do período do pendulo de Foucaut e outros efeitos associados a conservação do momento angular. O ponto que gostaríamos de salientar é que a derivada não é uma medida absoluta da taxa de variação. Em outras palavras: diferentes sistemas de coordenadas terão diferentes derivadas. A derivada covariante surge da necessidade de se definir uma derivada que seja independente do sistema de coordenadas.

P á g i n a | 4-1526

3.

A Derivada Covariante

Nesta seção iremos deduzir a regra da derivada covariante. Como partiremos da definição ordinária de derivada, a derivada covariante naturalmente herdará as propriedades de regra do produto e regra da cadeia. Por meio destas regras e o produto direto de tensores, podemos derivar leis para tensores de ordem arbitrária. Em nossa análise, porém, apenas estudaremos a derivada covariante de tensores de primeira ordem. Inicialmente, vamos construir um invariante Ak u k e diferencia-lo em relação ao diferencial do comprimento de arco:

dAk k d du k k   A u u A  k  ds k ds ds Usando a equação das geodésicas nulas

 k  i j dA d Ak u k   k u k  Ak   u u ds ds i j  Pela regra da cadeia, a primeira parcela da direita deve ser escrita da seguinte forma:  k  i j dA dx m k d Ak u k   mk u  Ak   u u ds dx ds i j   k  i j dA d Ak u k   mk u mu k  Ak   u u ds dx i j 

Como k e m são índices mudos na primeira parcela do lado direito, podemos substituí-los por i e j e evidenciar as velocidades:  dA d Ak u k    ij  Ak  ds  dx

 k  i j  u u i j  

P á g i n a | 4-1527

Como o lado esquerdo é um invariante, o lado direito também deve ser. Portanto os termos em parêntesis devem contrair com as velocidades, o que implica que o termo em parêntesis é um tensor covariante de segunda ordem. Esse tensor construído a partir da derivada de um vetor covariante é denominado de derivada covariante do vetor Ai:

 k DAi dAi  j  Ak  j dx dx i

  j

Em geral, denotamos a derivada covariante de um tensor em relação a um índice arbitrário, usando um ponto e vírgula para destacar o índice: DAi Ai ; j  dx j Pelo mesmo processo podemos provar que a derivada covariante de um vetor contravariante é dada pela seguinte regra:

 i  DAi dAi  j  Ak   j dx dx  j k Para tensores de segunda ordem, as derivadas covariantes serão:

DAij dx k



 m A   im dx k k

dAij

  m    Amj   j k i 

i   j  DAij dAij mj   k  Aim   A   k dx dx k m  k m  DAij dx

k



i   m  m  Ami    Aj   dx  j k k m 

dAij k

P á g i n a | 4-1528

Se existe uma derivada covariante, a pergunta óbvia é: existe uma derivada contravariante? Embora esse seja um tema pouco abordado nos livros de tensores, existe uma derivada contravariante. A razão desse tema não despertar o interesse dos autores deve-se ao fato da derivada contravariante trazer poucas vantagens em relação a derivada covariante. Podemos também definir a derivada contravariante de um vetor pela regra (SANCHEZ, 2011, p. 84):

Ai;k  g kj Ai ; j Ai ;k  g kj A;i j E para tensores de segunda ordem: Tij;k  g klTij ;l T ij ;k  g klT;lij T ji ;k  g klT ji;l

Um importante resultado do cálculo tensorial é conhecido como Lema de Ricci, que demonstra que a derivada covariante do tensor métrico é zero21:

Dgij dx k

0

Em outras palavras, no cálculo diferencial absoluto, o tensor métrico atua como se fosse uma constante. O lema de Ricci nos permite generalizar o conceito de conexão. Se Tij é um tensor simétrico, não singular (det Tij é diferente de zero) e sua derivada covariante é zero, então podemos expressar as conexões pela seguinte regra (SANCHEZ, 2011, p. 69-70): 21

Para uma demonstração, ver Sanchez (2011, p. 66-68)

P á g i n a | 4-1529

 k  1 km  T jn Tni Tij     T  i   x j x n  i j  2  x

Esta fórmula é particularmente útil na relatividade geral, já que há uma variedade mais geral chamada de variedade de Weyl. O tensor de Weyl satisfaz todas as condições descritas acima e por isso podemos definir as conexões em função dos tensores de Weyl. Para demonstrarmos essa relação, comecemos com o tensor conjugado de T: T km  g ik g jmTij

Tomemos a derivada covariante do tensor Tij:

DTij dx

n



Tij

 k  Tik  dx j n

  k    T jk   n i n 

Como a derivada covariante deve ser zero (por construção):

Tij

 k   k   Tik    T jk   dx  j n i n  n

Realizando uma permutação cíclica dos índices, obtemos as relações: T jn

 k T   kn dxi j  k Tni  Tki  j dx n

  k   T jk  i n   k   Tnk  j i

  i   j

Somando estas duas equações e subtraindo da primeira:

P á g i n a | 4-1530

 k   k   k   k Tkn    T jk    Tki    Tnk   j i n i  n j  i  k   k  T jn Tni Tij Tik   j  n   T jk   i dx dx  j n i n  dx

  j

Levando em consideração a simetria dos índices inferiores:

 k 2Tkn  j  k Tkn  j

 T jn Tni Tij  j  n  i  dxi dx dx

 1  T jn Tni Tij       i  2  dxi dx j dx n 

Multiplicando a equação pelo conjugado de Tmm  k  1 km  T jn Tni Tij   T kmTkn   T  i   dx j dx n   j i 2  dx

 k j

 nm 

 1 km  T jn Tni Tij    T  i   i 2 dx j dx n   dx

Escolhendo n = m:  k  1 km  T jm Tim Tij     T  i   dx j dx m  i j  2  dx

que conclui a demonstração. Observe que há uma simetria nos índices inferiores da conexão. Isso significa que a variedade não apresenta torções. Esse caso particular de conexão é chamada de afim. Variedades com torções apresentam um tipo mais geral de conexão denominada de conexão de Cartan-Einstein.

P á g i n a | 4-1531

4.

Propriedade das Conexões

As conexões de Riemman-Christoffell apresentam algumas propriedades particulares que são recorrentes no estudo das variedades e da formulação covariante física, sobre tudo a Teoria da Relatividade Especial. Comecemos a escrever a definição dos símbolos de Christoffell:  k  1 km  g jm gim gij      g   i dx j dx m  i j  2  dx

Nessa seção exploraremos alguma três dessas propriedades. Há duas observações importantes que devemos registrar aqui: (i) Um sistema de coordenadas é ortogonal se gij for nulo para todo i diferente de j. (ii) Índices repetidos em sistemas ortogonais não indicam somas. a) Se k = i para um sistema de coordenadas ortogonais:  k  k  k  k

 1 km  g jm g km g kj   m  g  k  j 2 dx j dx   dx  1 kk  g kj g kk g kj    g  k   j 2 dx j dx k   dx

 k  1 kk g kk   g dx j k j  2 Levando em consideração que o tensor métrico conjugado é o inverso do tensor métrico e a derivada do logaritmo natural,

 k  k

  ln g kk  j dx j

P á g i n a | 4-1532

b) Se j = i para um sistema de coordenadas ortogonais:

 k  1 km  gim gim gii    g  i  i  m  dx dx   dx i i  2  k  1 km  gim gii     g 2 i  m  dx   dx i i  2  k  1 kk  gik gii     g 2 i  k  dx   dx i i  2  k  1 kk gii   g 2 dx k i i  c) Se k= j = i para um sistema de coordenadas ortogonais:

 i  1 im  gim gim gii     g  i   dxi dx m   dx i i  2  i  1 im  gim gii     g 2 i  m  dx   dx i i  2  i  1 ii  gii gii     g 2 i  i  dx  i i  2  dx  i  1 ii gii   g dxi i i  2 Levando em consideração que o tensor métrico conjugado é o inverso do tensor métrico e a derivada do logaritmo natural,

 i  i

  ln gii  i dxi

Observe que esta relação c é um caso especial da relação a, mas não pode ser assumida como um caso particular da razão b..

P á g i n a | 4-1533

5.

A Formulação Covariante da Física

Nas últimas seções demonstramos que a derivada ordinária apresenta uma limitação: ela não é invariante, pois as taxas de variação dependem do referencial adotado. Uma forma prática desse corrigir essas diferenças é por meio da inclusão forças fictícias. Contudo este método tem a desvantagem de não ser geral. Para cada caso devemos descobrir os termos que compensam a mudança de referencial. Por essa razão, o uso da derivada covariante se mostra uma ferramenta poderosa. Para exemplificar, vamos definir uma função escalar:

x O gradiente desta função é a unidade:   iˆ

Porém, em coordenadas polares, essa função é escrita como:

  r cos E seu gradiente será:

 1  ˆ rˆ   r r    cos  rˆ  sin ˆ

 

Com auxílio da derivada covariante, o gradiente para um sistema ortogonal de coordenadas pode ser escrito sobre forma absoluta (SANCHEZ, 2011, p. 116-177):  

1  eˆ i i g (ii ) x

P á g i n a | 4-1534

Onde os índices repetidos entre parêntesis não são somados. Para um plano euclidiano, a métrica é dada por:

ds 2  dx 2  dy 2 g11  g 22  1 Portanto, o gradiente será dado por:  

1  eˆ  1 1 g (11) x

 

1  eˆ 2 2 g(22) x

1 x ˆ 1 x ˆ i j 1 x 1 y   iˆ

Para uma circunferência, a métrica é dada por:

ds 2  dr 2  r 2 d 2 g11  1, g 22  r 2 tan  

y , r  x2  y 2 x

Portanto, o gradiente será dado por:  

 

1  eˆ  1 1 g (11) x

1  eˆ 2 2 g (22) x

1   r cos   1   r cos   ˆ  rˆ  r  1 r2   cos  rˆ  sin ˆ

P á g i n a | 4-1535

Figura 1. Na primeira figura temos o vetor gradiente em coordenada cartesianas que é constante em todos os pontos. Na segunda figura, o vetor gradiente em coordenadas polares é variável. O método de construção de leis físicas consiste em substituir as derivadas ordinárias por derivadas covariantes. Observe que todas as considerações que fizemos até agora não se tornam inválidas, visto que na geometria de Poincaré-Minkowski todos os símbolos de Christoffell são nulos, a derivada covariante é expressa pela derivada ordinária do tensor:

DAi dx j

Ai x j

Nesse caso, podemos dizer que a formulação covariante em Lorentz é um caso particular de uma formulação que apresente covariância arbitrária. Com o emprego de derivadas covariantes, nossas equações de Maxwell assumem a seguinte forma:

 Dk Fij  Di Fjk  D j Fki  0   4 i ij J Dj F   c 

Fij  Di Aj  D j Ai

Usando a regra da derivação covariante, a última equação assume a seguinte forma:

P á g i n a | 4-1536

i   j  DF ij F ij mj    F im   F   j j x dx  j m  j m A última parcela deve ser zero, pois o tensor eletromagnético é antissimétrico e os símbolos de Christoffell são simétricos. A segunda parcela satisfaz a propriedade (2) das conexões.

 ln g jj DF ij F ij im F   dx j x j dx m Observe que o tensor métrico não é somado, enquanto o índice m é mudo. Podemos troca-lo pelo índice j e aplicar a regra do produto:

 ln g jj DF ij F ij ij F   dx j x j dx j   g jj DF ij F ij 1 F ij   j j dx dx j x  g jj  g jj F ij   g jj DF ij 1 ij F   j dx j dx j  g jj x  g jj

1  DF ij  dx j  g jj



 g jj F ij



x j

Substituindo na segunda equação de Maxwell, obtemos sua forma covariante geral:

1   g jj



 g jj F ij x

j

   4 J c

i

P á g i n a | 4-1537

6.

Derivada Absoluta

Na geometria diferencial, cada função que mapeia uma parte da variedade compõe uma carta. O conjunto de todas as cartas que mapeiam toda a variedade formam um atlas. Cada carta é representada por uma parametrização da variedade e como existem infinitas parametrizações, existem infinitos atlas de uma variedade. Em geral, cada parametrização depende da escolha do sistema de coordenadas, porém para cada variedade existe um parâmetro que é um invariante e recebe o nome de parâmetro intrínseco. No cálculo tensorial esse parâmetro intrínseco é o elemento de linha da variedade dada pela forma quadrática fundamental: ds 2  g ij dx i dx j

Definimos a derivada absoluta ou a derivada intrínseca de um tensor como sua derivada em relação ao seu elemento de linha:

 T dT DT dxi    s ds xi ds A partir da derivada absoluta podemos obter uma expressão mais geral da equação das geodésicas, válidas para qualquer variedade. Inicialmente tomemos a derivada absoluta da velocidade:

 u i u i Du i dx j    s s x j ds Como u não depende de s, sua derivada parcial é nula:  i   dx j  u i  u i   j  uk    s  x  j k   ds

Distribuindo os termos e abrindo o vetor velocidade:

P á g i n a | 4-1538

 u i u i dx j  i  dx j dx k     s x j ds  j k  ds ds Pela regra da cadeia, podemos escrever a primeira parcela do lado direito da seguinte forma:4

 u i du i  i  dx j dx k     s ds  j k  ds ds   dxi  d  dxi   i  dx j dx k       s  ds  ds  ds   j k  ds ds Portanto, a equação da geodésica será:

  dxi  d 2 xi  i  dx j dx k      s  ds  ds 2  j k  ds ds Em termos da velocidade, nossa equação se transforma em:

  dxi  d 2 xi  i  j k  u u    s  ds  ds 2  j k 

 u i du i  i  j k   u u  s ds  j k  Se a derivada absoluta da velocidade for zero, obtemos a equação das geodésicas nulas:

du i  i  j k  u u  0 ds  j k  Nas teorias físicas, a derivada absoluta substitui a derivada temporal ordinária. Assim, a segunda lei de Newton como foi expressa por Kirchhoff, apresentará a seguinte expressão:

P á g i n a | 4-1539

f m

 ui s

A métrica de um sistema em rotação, em unidades próprias, é dada por:

ds 2  1  w2 r 2  dt 2  2wrd dt  dr 2  r 2 d 2  dz 2 Se usarmos esta métrica deduzimos as forças fictícias que um observador fixo ver agir sobre um sistema em rotação. Logunov (2005) também consegue deduzir a partir do estudo das transformações da métrica, o efeito Sagnac.

22

Como é sabido, o efeito Sagnac, em consonância com o experimento de Michelson, é um dos experimentos básicos da teoria da relatividade. Mas até agora é possível ler explicações incorretas desse efeito com a ajuda de sinais que se propagam mais rápido que a luz ou com a ajuda da relatividade geral). Portanto, consideramos necessário enfatizar mais uma vez a natureza relativista puramente especial do efeito Sagnac. Vamos 22

Fonte: https://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.4904319?journalCode=ajp

P á g i n a | 4-1540

primeiro descrever o experimento de Sagnac. Existem espelhos situados nos ângulos de um quadrilátero em um disco. Os ângulos de sua disposição recíproca são tais que o feixe de uma fonte monocromática após reflexões sobre esses espelhos passa um círculo fechado e retorna à fonte. Com a ajuda de uma placa semitransparente, é possível dividir o feixe proveniente de uma fonte em dois feixes que se movem em direções opostas sobre esse círculo fechado. Sagnac descobriu que, se o disco estiver sujeito a rotação, o feixe com a direção da sua volta coincidindo com a direção da rotação retornará à fonte mais tarde do que o feixe com a volta oposta, resultando em uma mudança na imagem de interferência na a placa fotográfica. Depois de trocar o sentido de rotação, as faixas de interferência mudam na direção oposta. Que explicação foi dada para esse efeito? O próprio Sagnac obteve um valor teórico para a magnitude do efeito pela adição puramente clássica da velocidade da luz com a velocidade linear de rotação do feixe movendo-se oposto à rotação e subtração correspondente para o feixe se movendo na direção da rotação. A discrepância desse resultado com o experimento foi de ordem percentual. Essa explicação dos resultados experimentais permaneceu mais tarde menos invariável ou até se tornou obscura. Como exemplo típico, apresentamos uma citação relacionada de “Óptica” de A. Sommerfeld: “O resultado negativo obtido por Michigan, é claro, não nos diz nada sobre a propagação da luz em meios rotativos. Nesse caso, devemos explorar, em vez da relatividade especial, a teoria geral da relatividade, com seus termos adicionais correspondentes a forças centrífugas mecânicas. Se, no entanto, levar em consideração que, em experimentos subsequentes (por Sagnac e outros. - AL), apenas as velocidades v ≪ c são consideradas e apenas os efeitos de primeira ordem em v / c são calculados, é possível evitar a teoria da relatividade e faça cálculos apenas classicamente”. Veremos abaixo que a explicação do efeito Sagnac reside na plena competência da teoria especial da relatividade e nem a teoria geral da

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relatividade nem as velocidades superluminais não são necessárias, como também quaisquer postulados adicionais.

Ainda Sobre a importância do efeito Sagnac, Brown (2017) acrescenta que: Já em 1904, Michelson havia proposto o uso de um dispositivo para medir a rotação da Terra, mas ele não havia adotado a idéia, uma vez que medidas de rotação absoluta são bastante comuns (por exemplo, o pêndulo de Focault). No entanto, ele (junto com Gale) concordou em realizar o experimento em 1925 (a um custo considerável), a pedido de "relativistas", que desejavam que ele verificasse a mudança de 236/1000 de uma margem prevista pela relatividade especial. O objetivo era refutar principalmente a teoria de um éter totalmente arrastado pela Terra em rotação, bem como a única teoria balística fisicamente plausível da propagação da luz, ambas as quais preveem mudança de fase zero (para um dispositivo circular). Michelson não estava entusiasmado, uma vez que a ótica clássica na suposição de um éter estacionário previu exatamente a mesma mudança que a relatividade especial (como explicado acima). O próprio Michelson escreveu que "esse resultado pode ser considerado uma evidência adicional em favor da relatividade - ou igualmente como evidência de um éter estacionário". O único significado do efeito Sagnac para a relatividade especial (além de fornecer outro argumento contra a teoria balística) é que, embora o efeito em si seja de primeira ordem em v / c, a descrição qualitativa das condições locais no disco em termos de coordenadas inerciais dependem de efeitos de segunda ordem. Esses efeitos foram confirmados empiricamente, por exemplo, pelo experimento Michelson-Morley. Considerando a Terra como uma partícula em um grande dispositivo Sagnac enquanto orbita em torno do Sol, os experimentos de deriva do éter demonstram esses efeitos de segunda ordem, confirmando que a velocidade da luz é de fato invariável em relação aos sistemas de coordenadas inerciais relativamente em movimento.

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C. O Princípio da Equivalência Em 1907, Albert Einstein escreveu um artigo intitulado Sobre o Princípio da Relatividade e suas Implicações. Nesse ensaio, Einstein apresenta uma revisão de seus ensaios de 1905 e novas descobertas. Ainda nesse ensaio, Einstein apresenta suas primeiras tentativas de associar o princípio da relatividade a gravitação: o desvio para o vermelho e o princípio da equivalência (que Einstein afirmava ter sido a sua ideia mais feliz). Sobre este último, Einstein declara: Vamos considerar dois sistemas de movimento, S1 e S2. Seja S1 acelerado na direção do seu eixo X e seja g a magnitude (temporariamente constante) da aceleração. S2 encontra-se em repouso, mas localizado em um campo gravitacional homogêneo que provoca uma aceleração -g a todos os objetos na direção do eixo X. Até onde se sabe, as leis físicas em relação a S 1 não diferem daquelas em relação a S2. Isso baseia-se no fato de que todos os corpos estão igualmente acelerados no campo gravitacional. Pelo presente estado de conhecimento e experiência, não temos razões para supor que S1 e S2 difiram um do outro em qualquer aspecto e na discussão que se segue assumiremos, portanto, uma equivalência física completa entre um campo gravitacional e uma aceleração correspondente de um sistema referencial (EINSTEIN, 1907).

O princípio da equivalência nos diz que para uma região muito pequena da variedade curva M, podemos sempre construir um sistema de coordenadas local que é inercial, ou em outras palavras. Para uma região muito pequena do espaço-tempo podemos sempre aplicar os princípios da relatividade especial. Matematicamente isso significa dizer que o espaço-tempo geral é difeomórfico ao espaçotempo de Poincaré-Minkowski. Essa percepção mostrou-se fundamental para Einstein derivar suas equações de campo decorrido 8 anos desde o enunciado do princípio da equivalência.

P á g i n a | 4-1543

D. Sistema de Coordenadas Local A partir do estudo da derivada intrínseca e o difeomormismo de variedades podemos construir um importante sistema de coordenadas que é conhecido como sistema de coordenadas geodésicas ou sistema de referência local. Nesse sistema de referência, os símbolos de Christoffell são todos nulos. Em outras palavras, dada uma variedade riemanniana, é sempre possível construir um sistema de coordenadas localmente euclidiano, o mesmo se aplica a variedades pseudo-riemannianas com as variedades pseudo-euclidianas. Assim dado uma variedade diferenciável M com métrica gij para uma região infinitesimal dessa variedade, podemos construir um sistema local de coordenadas inercial ao redor de um ponto P e um ponto P’ infinitamente vizinho, por meio da regra:













2 gij P  x k   ij P  xok   O  P  x k   P  xok    

onde O representa os termos de ordem superior a dois e ij é a métrica plana do espaço tangente ao ponto P. A grosso modo, o teorema significa que o espaço é localmente plano na vizinhança de cada ponto e pode ser confundido com o espaço tangente a menos de um infinitesimal de segunda ordem. A analogia é com a superfície da Terra, que pode ser considerada localmente plana na vizinhança de todos os pontos. A prova do teorema é semi-construtiva: pode ser demonstrado que há uma transformação de coordenadas cuja matriz relacionada torna a métrica canônica em P com todas as suas primeiras derivadas nulas; então tentaremos reconstruir a transformação de coordenadas e sua matriz relacionada (ou pelo menos os termos iniciais das expansões em série de suas inversas). (BERNACCHI, 2017, p. 107)

P á g i n a | 4-1544

E. Redundância Geodésica Um fato bastante importante envolvendo as geodésicas é que não precisamos calcular todas as n equações diferenciais, mas apenas n1 equações diferenciais. Em outras palavras qualquer função que satisfaça as n-1 equações geodésicas, satisfaz automaticamente as n equações geodésicas. Para demonstrar esse fato, tomemos a métrica: ds 2  g ij dx i dx j

1  gij

dxi dx j ds ds

Tomando a derivada em relação ao elemento de arco s: dgij dxi dx j d  dxi dx j   gij  0 ds ds ds ds  ds ds 

dgij dxi dx j d 2 xi dx j dxi d 2 x j  gij  g 0 ij ds ds ds ds 2 ds ds ds 2 Na última parcela, como os índices i e j são mudos, então podemos intercambiar os índices:

dgij dxi dx j d 2 xi dx j dx j d 2 x i  gij  g 0 ji ds ds ds ds 2 ds ds ds 2 Como a métrica é simétrica, podemos intercambiar os índices:

dgij dxi dx j d 2 xi dx j d 2 xi dx j  gij  g 0 ij ds ds ds ds 2 ds ds 2 ds dgij dxi dx j d 2 xi dx j  2 gij 0 ds ds ds ds 2 ds Como o tensor métrico é no máximo uma função das coordenadas x , pela regra da cadeia, nossa equação deve ser escrita como: k

P á g i n a | 4-1545

gij dxi dx j dx k d 2 x i dx j 2 g  0 ij x k ds ds ds ds 2 ds Na segunda equação trocaremos os índices mudos, por m e mk:

gij dxi dx j dx k d 2 x m dx k 2 g  0 mk x k ds ds ds ds 2 ds Essa substituição faz surgir um fator comum: a derivada de xK. Isso nos permite reescrever a equação da seguinte forma:  1 gij dxi dx j d 2 x m  dx k  g mk 0   k ds 2  ds  2 x ds ds

Como xk é uma coordenada arbitrária, a igualdade só é satisfeita em todos os sistemas coordenados se o termo em parêntesis for zero:

g mk

d 2 x m 1 gij dxi dx j  0 2 x k ds ds ds 2

que é uma equação muito semelhante a equação das geodésicas, como observa Brown (2017). Para complementar a demonstração deduziremos uma importante identidade. Tomemos a equação:

gij dxi dx j dx k d 2 x m dx k 2  g 0 mk x k ds ds ds ds 2 ds Multiplicando por dois, obtemos:

2

gij dxi dx j dx k d 2 x m dx k 4 g  0 mk ds 2 ds x k ds ds ds

Façamos uma permutação cíclica dos índices da primeira parcela:

g ki dx k dxi dx j d 2 x m dx k  2 g mk 0 ds 2 ds x j ds ds ds

P á g i n a | 4-1546

g jk dx j dx k dxi d 2 x m dx k 2 g  0 mk xi ds ds ds ds 2 ds Subtraindo a primeira equação deste par de equações, obtemos:

2

gij dxi dx j dx k g ki dx k dxi dx j g jk dx j dx k dxi   i 0 x k ds ds ds x j ds ds ds x ds ds ds

Evidenciando os fatores, obtemos a identidade procurada:

 gij g ki g jk 2 k  j  i x x  x

 dx j dx k dxi 0   ds ds ds

Novamente, como as coordenadas são arbitrárias, o termo em parêntesis deve ser zero para que se verifique a nulidade:

2

gij x k



g ki g jk  0 x j xi

Esta última equação pode ser escrita da seguinte forma:

gij x

k



g ki g jk gij   x j xi x k

Substituindo essa expressão na equação semelhante a equação das geodésicas:

dx k ds

 d 2 x m 1  g ki g jk gij  dxi dx j  g   j  i  k  mk 0 ds 2 x x  ds ds  2  x 

Evidenciando o tensor métrico, obtemos:

g mk

g jk gij  dxi dx j  dx k  d 2 x m mk 1  g ki g     0   ds  ds 2 2  x j xi x k  ds ds 

P á g i n a | 4-1547

Invertendo o índice k por m na primeira parcela:

g km

g jk gij  dxi dx j  dx m  d 2 x k mk 1  g ki g     0   ds  ds 2 2  x j xi x k  ds ds 

Porém, a expressão nos colchetes é a equação das geodésicas, já que a segunda parcela são os símbolos de Christofell:

g mk

dx m  d 2 x k  k   ds  ds 2 i

 dxi dx j   0 j  ds ds 

As expressões dentro dos colchetes para k = 0,1,2,3 representam as quatro equações geodésicas, cuja solução é a condição necessária e suficiente para que um caminho seja estacionário Assim, se quaisquer três das equações geodésicas forem satisfeitas, a quarta será automaticamente satisfeita em virtude da métrica. (BROWN, 2017)

Há outro resultado muito importante que pode ser derivado dessa análise: a relação entre o tensor métrico e os símbolos de Chrisotfell. Partindo da equação das derivadas do tensor métrico e multiplicando 1 o lado direito por 2 g mk g mk , obtemos: 2

gij x

k

 2 g mk g mk

1 g ki g jk gij   2 x j xi x k

Usando a definição dos símbolos de Christofell, obtemos a relação entre a derivada do tensor métrico e a conexão:

gij

 k   2 g mk   x i j  k

P á g i n a | 4-1548

13. Tópicos de Teoria da Relatividade Geral A.

Por que uma Teoria da Relatividade Geral?

Nas últimas páginas, argumentamos que o efeito Sagnac não necessita de considerações da Teoria da Relatividade Geral para ser explicado e deduzimos a métrica de Schwarzchild, que permite calcular o avanço do periélio de Mercúrio e a deflexão da luz. Até mesmo resultados mais avançados, como a métrica de Kerr poderiam ser deduzidos apenas usando a equação das geodésicas de comprimento nulo. Nesse ponto, talvez o leitor se pergunte: qual a necessidade de uma teoria da relatividade geral baseado no conceito de curvatura de Riemann? Para respondermos essa pergunta, façamos outra pergunta: qual o significado físico os símbolos de Christofell? Einstein acreditava, equivocadamente, que os símbolos de Christofell eram o próprio campo gravitacional, enquanto os tensores métricos seriam os potenciais gravitacionais. Até hoje é possível encontrar autores e professores que ainda defendem esse ponto vista. Os símbolos de Christofell são tensores relativos, isso significa que existe sempre um referencial onde eles são nulos. Esse caráter não-tensorial dos símbolos de Christofell, não nos permite associar uma interpretação física a eles. Quando usamos a equação das geodésicas em nossas deduções, estamos determinando quais são os caminhos mais curtos sobre a variedade, mas não estamos de forma alguma dizendo o que leva a variedade ter esta métrica. Em outras palavras, a equação das geodésicas não nos permite associar o conteúdo inercial e energético com a geometria do espaço-tempo. Embora as conexões não sejam tensores, a combinação das conexões permite criar tensores. O exemplo mais simples é a

P á g i n a | 4-1549

derivada covariante, onde termos a derivada de um tensor somada a uma conexão, criando um novo tensor. A intuição de Einstein que as conexões de alguma forma deveriam estar associadas ao campo gravitacional e o tensor métrico eram os potenciais gravitacionais, é um ponto de partida heurístico para procurar equações de campo tensoriais que sejam construídas usando apenas as conexões. De fato, na análise tensorial pode-se mostrar que os únicos tensores que podem ser construídos usando apenas conexões são o tensor de curvatura de Riemann-Christofell, o tensor de Ricci e o escalar de curvatura de Ricci. É por isso que o tensor de Einstein, Gij apresenta apenas esses tensores e o tensor métrico: Gij  Rij 

1 gij R 2

Foi Hilbert quem deduziu as equações de campo construindo uma densidade lagrangeana envolvendo apenas o tensor métrico e as conexões. Einstein derivou resultados semelhantes, cinco dias depois, usando seu método heurístico. Posteriormente, Hilbert mostrou que qualquer tensor de Einstein deve satisfazer as identidades de Bianchi, o que torna as derivações muito mais simples. Em 1917, Einstein também propôs a inserção de uma constante cosmológica, que permitia derivar modelos cosmológicos estáticos e fechados para o universo: Gij  Rij 

1 gij R  gij 2

Voltando à nossa pergunta inicial, foi a falta de significado físico dos símbolos de Chirstofell, motiva-nos a construir uma teoria de covariância geral para a gravidade, onde os tensores são criados apenas com as conexões e a métrica (potencias gravitacionais) e uma constante de integração chamada de constante cosmológica (caso procuremos soluções mais gerais).

P á g i n a | 4-1550

B. Dedução das Equações de Campo Vamos considerar a integral de ação total S para um sistema constituído por uma distribuição contínua de matéria e energia como fonte de campo gravitacional e o próprio campo gravitacional. S  S M  SG

Onde SM é a ação descrevendo a interação da matéria com o campo gravitacional e SG é ação do campo gravitacional no espaço vazio, onde não há fontes de campo. A ação do campo gravitacional no espaço vazio SG é dado por:

SG 

 1   LG  g jk , i g jk   gd   x c   

Onde LG é o invariante de densidade lagrangeana do campo gravitacional e é integrado sobre a fronteira da variedade 4dimensional espaço-tempo (). De maneira análoga, podemos escrever a ação da interação da distribuição contínua de matéria com o campo gravitacional SM como:

SM 

1    L g g jk   gd  , M jk  i   c x  

Onde LM é o invariante de densidade lagrangeana da interação da distribuição contínua de matéria com o campo gravitacional e também é integrado sobre a variedade 4-dimensional espaço-tempo (). Vamos primeiro realizar a análise da integral de ação SG. Como já provamos, a derivada do tensor métrico é uma função dos símbolos de Christoffel de segundo tipo: g jk

  i    x   j k  i

P á g i n a | 4-1551

Assim. o invariante densidade lagrangeana LM é uma função do tensor métrico e os símbolos de Christoffel de segundo tipo: SG 

  i  1 LG  g jk ,     gd   c    j k 

Os únicos tensores não triviais que podem ser construídos com tensor métrico e os símbolos de Christoffel de segundo tipo são: o tensor de Riemann-Christoffel Rlijk, o tensor de Ricci Rjk e o escalar de curvatura R. Portanto o invariante de densidade lagrangeana LG deve ser proporcional ao escalar de curvatura R.

c4 LG   R 16 G A escolha dos fatores de proporcionalidade é feita com intuito de corrigir as dimensões e para que a equação de campo esteja em concordância com a equação de Poisson para o potencial gravitacional no limite clássico.  

GM r r3

Assim podemos a escrever a integral de ação LG como:

1 c4 R  gd  c  16 G c3 SG   R  gd  16 G  SG  

Observe que o escalar de curvatura R é função dos símbolos de Christoffel que depende das derivadas de primeira ordem do tensor métrico gjk e quando tomarmos a variação da integral de ação LG ocorrerão derivadas de segunda ordem do tensor métrico que levam a condições físicas inconsistentes. Portanto, devemos mostrar que

P á g i n a | 4-1552

durante o cálculo da variação de LG as derivadas de segunda ordem do tensor métrico se cancelam mutuamente, restando apenas derivadas de primeira ordem deste tensor. Tomando a variação da integral de ação LG obtemos:





c3  SG    R g d 16 G  Portanto, a variação da ação consiste em determinar como varia o termo em parêntesis:



 

 R  g   g jk R jk  g



O cálculo das variações segue propriedades semelhantes com as do cálculo diferencial. Usando a “regra do produto” podemos escrever equação como:









 g jk R jk  g   g jk  R jk  g   R jk  g jk  g    g g jk R jk Vamos primeiro calcular g. Temos que:

 g    g jk G jk  onde Gjk é o cofator do determinante |gjk| que corresponde ao elemento gjk e, portanto, não sofre variações. Nestas condições:

 g   g jk  G jk Usando a definição de cofator e o tensor conjugado,

 1 jk g

g  

Pela regra do quociente, teremos:

 jk g g 

P á g i n a | 4-1553



1 jk g g

 g    g jk  

jk

 jk g g 

 g   gg jk  g jk 

Agora vamos calcular a variação de   g :

 g  

1 g 2 g

Substituindo o valor da variação de g:

 g  

1 g g jk  g jk 2 g

 g  

1  g g jk  g jk 2

Levando em conta esses resultados na variação da ação:





 g jk R jk  g   g jk  R jk  g 1    R jk  g jk  g    g g jk  g jk  g jk R jk 2 





 g jk R jk  g   g jk  R jk  g   R jk  g jk  g 

1  g g jk R  g jk  2

Evidenciando os fatores comuns:





1    g jk R jk  g   R jk  g jk R   g  g jk   g jk  g  R jk  2   Agora, devemos calcular a variação do tensor de Ricci:

P á g i n a | 4-1554

   i    i  g jk   R jk   g jk   k    i    x i j  x  j k   p  i   p  i         i j  k p   j k  i p   Introduzindo o termo nulo:  i    p  jk  i    p   g jk       g       0 i k    j p   i k    j p  

   g jk   R jk   g jk   k   x

 i    i   p  i    i       i j  x  j k  i j  k p 

 p   i    i    p    i    p                    j k  i p   i k    j p   i k    j p    Vamos organizar a equação para efetuarmos uma série de mudanças de índices:

    i    i  g jk   R jk   g jk   k   i     x i j  x  j k     i   p   i   p            i k   j p  i p   j k     p   i   i   p          i j  k p  k p  i j     p   i   i   p                j k  i p  i k   j p   

P á g i n a | 4-1555

Os índices destacados são todos mudos, por isso podemos fazer as seguintes mudanças:

 i  p  ;  i  p  ;  i  l  ;  i  l  ;  i  p, p  l  ;  i  p, p  l  ;  i  l  ;  i  l      p    p  g jk   R jk   g jk   k   p     x  p j  x  j k     l   p   l   p            l k   j p  l p   j k    l  p

  p   p   l        j  k l  k l   p

  j

  p   l   l   p               j k  l p  l k   j p    Distribuiremos o tensor métrico para realizar mais uma modificação de índices mudos:     p    p  g jk   R jk   g jk   k   p     x  p j  x  j k     l   p   l   p             l k j p     l p   j k      l   p  jk  p   l   g jk     g      p j  k l  k l   p j   p   l  jk  l   p   g jk   g       l k   j p   j k  l p 

P á g i n a | 4-1556

Novamente, os índices destacados são todos mudos. Faremos a seguinte mudança:

 j  i; l  j  ;  k  i ; p  k ; l  p  ;  j  i , p  j ; l  p  ;  k  i; l  k      p    p  g jk   R jk   g jk   k   p     x  p j  x  j k     l   p   l   p              l k   j p  l p   j k     j   p  ji  k   p   g ik     g      p i  k j  i p  k j   j   p  ji  k   p   g ik   g       k i   j p  i k   p j 

Reorganizando a equação e levando em conta que os símbolos de Christoffel são simétricos em relação aos índices inferiores:

    p    p  g jk   R jk   g jk   k   p     x  p j  x  j k     l   p   l   p              l k   j p  l p   j k      j   p  ji  k     g ik   g      i p  k j    p i   j   p  ji  k     g ik    g     k i   j p   i k 

P á g i n a | 4-1557

Da análise tensorial sabemos que a derivada covariante do tensor métrico é nula, isso nos permite derivar as seguintes identidades:  g jk  ik  jk  Dp g  0   p   g  x   i   ik  g jk  jk 0     D g g  k k   x  i 

j  ij  k    g   p i p  j  ij  k    g   k i k 

Substituindo esses valores nas últimas parcelas em colchetes:     p    p   l   p  g jk   R jk   g jk   k   p          x  p j  x  j k   l k   j p   l   p  g jk  p  g jk  p        p    k    l p   j k  x k j  x  j p

Observe que podemos compactar alguns termos da equação, pois os operadores e  comutam e usando a regra do produto:    jk  p   g jk  p  jk    p     p g      g   p   p k j   x k j   x   x k j    jk  p     jk  p   g jk    p      g    g  k     k  x k  j p   x  j p   x  j p   

Usando esse resultado na equação,

 jk  p     jk  p     p  g    g    j p   x  k j    l   p   l   p          k   j p  l p   j k  

g jk   R jk     g jk    l

 x k

P á g i n a | 4-1558

Novamente distribuiremos o tensor métrico para efetuarmos uma substituição de índices:

  jk  p     jk  p     p  g    g   x k   j p   x  k j   l   p  jk  l   p      g     k   j p l p   j k 

g jk   R jk     g jk  l

Invertendo os índices mudos destacados:

g jk   R jk  

  jp  k     jk  p     p  g    g   j k x p     x  k j  

 l   k  jk  l   p   g jp      g     l p   j k  l p   j k  Essa equação pode ser escrita de forma compacta

g jk   R jk  

  jp  k  jk  p   g   g    p  x   j k k j  

  k  jk  p    l    g jp   g       j k  j k   l p   Vamos definir um novo 4-vetor:  p  jp  k  jk  p   w   g    g     j k  j k    p   jp  k   w jk  p    x p  x p  g   j k   g   j k        

Usando esse resultado, a equação se torna:

P á g i n a | 4-1559

 l  w p g   R jk   p  w p   x l p  jk

Usando as propriedades dos símbolos de Christofell com índices repetidos, a segunda parcela pode ser escrita da seguinte forma: g jk  R jk  

1  g p  g x

w p  wp p x

Usando a regra do produto, a equação pode ser compactada em uma única parcela:



p 1  w g x p g

g   R jk   jk



Substituindo esse valor na variação da ação:



  1   w g 

 

 g jk R jk  g   R jk  g jk R   g  g jk  2 1 g

 g



 g R jk jk

p

x p



 wp g 1   jk  g   R jk  g jk R   g  g   x p 2  





Portanto, a integral de ação do campo gravitacional é dado por:

 SG  

c3   1   R jk  g jk R   g  g jk  d      16 G    2  





p   c3   w  g    d  x p 16 G    

P á g i n a | 4-1560

Esta integral é efetuada sobre o hipervolume da variedade espaçotempo (), observe que na segunda integral podemos aplicar o teorema da divergência (sobre o termo e integrar sobre os limites da hipersuperfície . Como wp é uma função das variações e o cálculo das variações impõe que toda a variação efetuada sobre os limites de uma hipersuperfície deve ser nulo. Nestas condições, teremos:

c3 1   jk  SG    R jk  g jk R   g  g  d    16 G  2  Essa é a variação da ação do campo gravitacional. Agora vamos determinar a variação da ação entre a matéria e o campo gravítico:

1     SM    LM  g jk , i g jk   gd  x c    Usando a regra da cadeia e integração por partes,    LM  g  g jk 1   LM  g jk g  SM      c   g jk  g jk   x i  i    x   Integrando o segundo membro por partes:





 LM  g





   g



 LM  g  d     g jk   xi   g jk   i   i   x   x      L g  M     g jk d   k jk  x   g     i     x  



jk







    d   

  g jk   xi

 d  

P á g i n a | 4-1561

A primeira integral do lado direito da igualdade vai à zero, porque é integrada nos extremos da variedade espaço-tempo. Portanto:







 LM  g  g jk   i   x 



   g     LM  g   i d      x k   g jk   x    i    x 



jk



    g jk d    

Substituindo na variação da ação, obtemos a seguinte equação:

  1   LM  g   k  SM   jk x c   g  





   L g M    g jk    i    x 





    g jk d     

Definimos o tensor-momento energia por meio da lagrangeana da matéria com o campo eletromagnético, conforme a equação:

1  T jk 2

   L g M  g    k jk  g x  





   L g M    g jk    i    x 





      

Substituindo essa equação, obtemos a variação da ação da interação da matéria com campo:

 SM  

1 T jk  g  g jk d    2c

A ação total dessa partícula é a soma das ações individuais: S  S M  SG

P á g i n a | 4-1562

O lema fundamental do cálculo das variações, impõe que a variação da Integral de Ação Total deve ser nula,

 S   SM   SG  0  SG   SM Substituindo os valores da variação de cada integral de ação:

c3 1 1   jk jk  R jk  g jk R   g  g  d     T jk  g g d    16 G  2 2c  Multiplicando a equação por c³/16G:

1    8 G  R jk  g jk R   g g jk d      4 T jk   g  g jk d     2    c 



Para que esta igualdade se verifique, os termos em parêntesis devem ser iguais: 1 8 G R jk  g jk R   4 T jk c 2 Essas são as equações de campo da teoria da relatividade geral que foram deduzidas por Hilbert e, posteriormente, por Einstein. Podemos estabelecer algumas variantes desta equação que podem ser mais fáceis de se operar dependendo das condições de contorno do problema. Multiplicando a equação pelo tensor gik e efetuando as contrações no índice k obtemos a variante: 1 8 G R ij   ij R   4 T ji c 2

Contraindo os índices i e j, teremos uma importante relação entre o escalar de curvatura: 1 8 G R  4R   4 T c 2

P á g i n a | 4-1563

R

8 G T c4

Substituindo o valor do escalar de curvatura na equação:

1  8 G  8 G R jk  g jk  4 T    4 T jk 2  c c  8 G 1  8 G  R jk   4 T jk  g jk  4 T  2  c c  8 G  1  R jk   4  T jk  Tg jk  c  2  Multiplicando a equação pelo tensor conjugado gik:

Rij  

8 G  i 1 i   Tj  T j  c4  2 

Há duas observações importantes que devemos fazer: a primeira que a dedução de Einstein usa o tensor momento-energia da relatividade especial, por isso não inclui a ação do campo eletromagnético que aparece no tensor momento energia de Hilbert, por isso a análise de Hilbert é mais geral que a de Einstein. O segundo ponto diz respeito as correntes de Noether. Na nova teoria da relatividade geral, a lei de observação é expressa pela equação:

   j j

  gG    0  gTk j k  0 j k

k

onde  k é o vetor de Killing. Porém, como mostrou Emmy Noether e Félix Klein, espaços curvos não apresentam isometria maximal, pois n Teoria da Relatividade Geral há violação do momento e da energia.

P á g i n a | 4-1564

C. Espaço-Tempo de Schwarzchild 1.

A Métrica de Schwarzchild e a 3º Lei de Kepler

Seja um corpo perfeitamente esférico de massa geométrica m. Denotaremos pela letra r a coordenada espacial radial e pela letra t a coordenada temporal. Diremos que a massa m se localiza em r = 0. Assim uma superfície com r e t constantes possui uma simetria intrínseca de uma esfera bidimensional, parametrizada pela coordenada espacial r, cuja área da superfície é A = 4r². Apesar da semelhança com a área de uma esfera comum, não chamaremos a coordenada r de distância radial do centro de massa geométrica, pois como observou Brown (2017), o espaço pode ser não-euclidiano, assim convém chamar r apenas de coordenada radial. Uma curva sobre uma superfície esférica é perfeitamente definida por suas coordenadas angulares, azimutais () que apresentam um máximo em /2 e um mínimo nos polos  = 0 (norte) ou  =  (sul) e colatitudinais () que representam as linhas geodésicas. Para a superfície esférica a métrica fica definida por: ds 2  g tt dt 2  g rr dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2

A diagonalidade da métrica é uma consequência do fato do regime estático. Portanto, as componentes do tensor métrico:

 gtt 0 gij   0  0

0  g rr 0 0

0 0 r 2 0

0   0   0  r 2 sin 2  

Uma vez que os únicos termos não nulos são aqueles em que  podemos reescrever os Símbolos de Christoffel como:

P á g i n a | 4-1565

 k  i

 1 kk  g jk gik gij    g  i   j 2 x j x k   x

Uma vez que o tensor métrico é diagonal, os termos não nulos ocorrerão quando um par de índices for repetido, isto é, quando i = k, i = j e i = j = k.. Por questões de praticidade, iremos impor que todo índice repetido em um desenvolvimento dos Símbolos de Christoffel não implica em somas. Agora vamos calcular os símbolos de Christoffel não-nulos:  i  i

 1 ii gii  g j 2 x j  k  1 kk gii   g 2 x k i i 

(i  k )

Observe que o regime estacionário implica que nenhuma das componentes do tensor métrico possui dependência temporal, Então as derivadas em relação ao tempo serão todas nulas.

 i  i

  t  t  i

  t  i  t

 0 t

Os únicos símbolos não nulo com a componente temporal serão:

 t  t

 1 tt gtt  g j  2 x j

 k  1 kk gtt   g 2 x k t t  A simetria esférica implica que as componentes “radiais” e temporais não podem depender das coordenadas angulares:

P á g i n a | 4-1566

 t   t       t   t   t

    t  t

 0 t

 r   r            0 r   r   r r  r r  Portanto os únicos símbolos não nulos com a coordenada t serão:

 t  1 tt gtt   g r t r  2  r  1 rr gtt   g 2 r t t  Observe que nenhuma das componentes do tensor métrico dependem da coordenada portanto os símbolos de Christofell com derivadas em são todos nulos:

 i           0 i   i i     Agora iremos calcular os outros símbolos de Christofell. Como temos duas equações, faremos os cálculos para cada uma delas. Para j = r.

 i  i

 1 ii gii  g r 2 r

Quando i= r

 r  1 rr g rr   g r r r  2

P á g i n a | 4-1567

Quando i= 

Quando i= 

               

  r   r

1  g g r 2 1 1 r 2 2 r 2 r

 r  r r2  1  r r

   1  g   g r  r  2

  r 2 sin 2      1 1   2 2 r  r  2 r sin     r   2  r  r    1    r  r

Para, j = .

 i  1 ii gii   g  i   2 A única componente do tensor métrico que depende de  é a componente .

P á g i n a | 4-1568

   1  g   g     2

  r 2 sin 2      1 1   2 2     2 r sin     sin  cos   sin 2           cot    

Para segunda equação, teremos para k = r

 r  i

 1 rr gii  g i r 2

(i  r )

Quando i= 

Quando i= 

 r  1 rr g   g 2 r     r  1 rr r 2   g r    2  r  r      g rr  r  1 rr g   g r 2   

2 2  r  1 rr   r sin   g    r    2

P á g i n a | 4-1569

 r  r sin 2    g rr    Para, k = .

   1  gii   g  2 i i  A única componente do tensor métrico que depende de  é a componente .    1  g   g  2    2 2    1 1   r sin        2 r2           sin cos    

Portanto, os símbolos de Christofell não nulos são:

 t  1 tt gtt   g r t r  2

 r  1 rr gtt   g 2 r t t 

 r  1 rr g rr   g r r r  2

      1     r   r  r

      cot      r  r sin 2    g rr   

 r  r   g rr           sin cos   

P á g i n a | 4-1570

2.

Dedução da Métrica

Após termos construído a forma geral da métrica e ter calculado os símbolos de Christofell não nulos, iremos usar as geodésicas nulas para determinar quais são as componentes ainda desconhecidas do tensor métrico. Tome a equação das geodésicas nulas:

du i  i  j k  u u  0 ds  j k  Variando o termo i, teremos:

d 2t  t  dx j   ds 2  j k  ds d 2 r  r  dx j   ds 2  j k  ds d 2    ds 2  j d 2    ds 2  j

dx k 0 ds dx k 0 ds

 dx j dx k 0  k  ds ds  dx j dx k 0  k  ds ds

Devemos efetuar uma soma sobre cada um dos índices j e k, para isso devemos levar em consideração apenas os símbolos não nulos. Assim nossas equações se tornam: g dt dr d 2t  g tt tt 0 2 r ds ds ds 2

d 2 1 dr d  d    sin  cos    0 2 ds r ds ds  ds  d 2 1 dr d d d   cot  0 2 ds r ds ds ds ds

P á g i n a | 4-1571

1 g d 2r  g rr  g rr rr 2 ds r  2

2

 dr  1 gtt     ds  2 r

2

 d   d  r    r sin 2     ds   ds 

2

 dt     ds 

2

 0 

Nesta equação das geodésicas nulas, tomemos a trajetória no espaço-tempo de um raio de luz descrevendo uma trajetória fechada no plano que corta a esfera em seu equador. Como a luz não pode ser acelerada, então todas as derivadas segundas são nulas. A segunda e quarta equação nos fornece, a seguinte relação: 1 dr d 0 r ds ds dr 0 ds

Pois a derivada da coordenada angular  é a velocidade angular, como ela não pode ser nula, então a derivada da coordenada r em relação ao comprimento de arco deve ser zero. A métrica para esse raio de luz se reduz a seguinte equação: ds 2  gtt dt 2  g rr dr 2  r 2 sin 2

 2

d 2

ds 2  gtt dt 2  g rr dr 2  r 2 d 2

Dividindo a equação por ds: 2

2

2

2

 dt   dr   d  1  gtt    g rr    r 2    ds   ds   ds   dt   d  1  gtt    r 2    ds   ds 

2

P á g i n a | 4-1572

Derivando parcialmente a equação em relação à r: 2

g  dt   d  0  tt    2r   r  ds   ds  2

gtt  dt   d     2r   r  ds   ds  gtt  d ds   2r   r  ds dt  gtt  d   2r   r  dt  gtt  2rw2 r

2

2

2

2

Usando a terceira Lei de Kepler, obtemos a equação diferencial:

gtt m  2r 2 3 r cr gtt 2m  r c 2 r 2 Integrando essa equação e levando em consideração que gtt só pode ser uma função de r:

gtt  K 

2m r

Para uma massa igual a zero, a métrica deve ser plana e por isso deve ser igual à c²: c2  K

gtt  c 2 

2m r

P á g i n a | 4-1573

Evidenciando c², encontramos a expressão canônica de gtt.

 2m  gtt  c 2 1  2   c r Como a variedade deve ser difeomórfica ao espaço-tempo de Poincaré-Minkowski em uma região infinitesimal, isso significa que o determinante do tensor métrico nessa região deve tender ao determinante da métrica plana. Calculemos os dois determinantes:

 gtt 0 gij   0  0

0  g rr 0 0

0 0 r 2 0

0   0   0 2 2  r sin  

det gij   gtt g rr r 4 sin 2 

c 2  0 ij   0  0

0 0 1 0 0 r 2 0 0

 0  0   0 2 2  r sin  

det ij  c 2 r 4 sin 2 

Como localmente os determinantes devem ser iguais:  gtt g rr r 4 sin 2   c 2 r 4 sin 2 

c2 g rr  gtt Substituindo o valor da componente temporal:

P á g i n a | 4-1574

g rr 

1  2m  1  2   c r

Portanto a métrica de Schwarzchild é dada por: 2m  1  ds 2  1  2  c 2 dt 2  dr 2  r 2d 2  r 2 sin 2  d 2 2m    c r 1  2   c r

 2  2m  0 c 1  c 2 r      1  0  gij   2m   1  2    c r  0 0  0 0 

0 0 r 2 0

    0     0  r 2 sin 2   0

Sobre essa dedução da métrica de Schwarzchild-Droste, Brown (2017) explica que: Apesar deste acordo, há uma ambiguidade inegável na aplicação da terceira lei de Kepler e da lei do quadrado inverso como guias heurísticos para as equações de movimento, devido à distinção entre tempo de coordenadas te tempo adequado τ. A física newtoniana não distinguiu entre esses dois, o que não é surpreendente, uma vez que os dois são praticamente indistinguíveis em campos gravitacionais fracos para objetos que se movem a uma velocidade muito menor que a velocidade da luz. No entanto, o ligeiro desvio entre esses dois parâmetros de tempo tem consequências observáveis e fornece testes importantes para distinguir entre a abordagem geodésica do

P á g i n a | 4-1575

espaço-tempo e a abordagem newtoniana de força à distância da gravitação. Em nossa derivação, assumimos que Kepler 'tempo t ao invés do tempo adequado τ da partícula em órbita, ou seja, definimos a velocidade angular ω da órbita como dϕ / dt em vez de dϕ / dτ, considerando que assumimos que a simples lei de aceleração do quadrado inverso é satisfeita com respeito para o tempo adequado τ da partícula que cai. Assim, sem alguma justificativa para o motivo pelo qual a lei de Kepler para órbitas circulares deve ter sua expressão mais simples em termos desse tempo de coordenada específico (isto é, a coordenada de tempo em termos de que a métrica é estacionária) enquanto a aceleração radial de uma partícula estacionária deve ter sua expressão mais simples em termos de tempo adequado, a derivação não é isenta de ambiguidade. De fato, se tivéssemos assumido que a lei de Kepler se aplica em termos de tempo adequado, definindo ω como dϕ / dτ em vez de dϕ / dt,. Esses coeficientes dão o mesmo limite newtoniano que a métrica de Schwarzschild, diferindo desta última apenas na segunda ordem de m / r, mas seu comportamento é drasticamente diferente quando m / r se torna grande. Por exemplo, diferentemente dos coeficientes métricos de Schwarzschild, eles não exibem uma singularidade de coordenadas em r = 2m. Do ponto de vista empírico, essa métrica alternativa daria o mesmo desvio gravitacional para o vermelho e a mesma deflexão da luz que a relatividade geral, pois esses efeitos dependem apenas dos termos de primeira ordem. No entanto, a precessão de órbitas elípticas depende de um termo de segunda ordem em g rr, e essa métrica alternativa fornece apenas metade do valor correto para a precessão. (Nos termos dos parâmetros "RobertsonEddington", essa métrica possui α = γ = 1 e β = 5/2.) Isso mostra a importância das equações de campo para fornecer uma base sólida para a métrica - e também mostra a importância precessão orbital como um teste para discriminar entre teorias métricas alternativas da gravidade.

P á g i n a | 4-1576

D.

Vetores de Killing do Espaço-Tempo de Schwarzchild

Vamos agora calcular os vetores de Killing para a métrica de Schwarzchild. Primeiramente iremos escrever uma importante relação envolvendo esses vetores:

d  Ki  u i  ds A métrica do espaço-tempo de Schwarzchild é dada por: 1

 2m   2m  ds  1  2  c 2 dt 2  1  2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2  c r  c r 2

Esse espaço-tempo tem um total de quatro vetores de Killing, dois deles correspondem as direções que não variam no espaço-tempo: a direção temporal e a direção coazimutal, pois nenhuma dessas variáveis aparecem nas componentes da métrica.  t  1, 0, 0, 0    E t , E r , E , E      0, 0, 0,1   Lt , Lr , L , L 

Et  gtt E t L  g L Porém, temos que:

 2m  gtt  1  2   c r g  r 2 sin 2 

P á g i n a | 4-1577

dt c ds d ut  ds

ut 

Primeiro vamos estabelecer a seguinte igualdade:

d  Ki  u i 



ds

d  K i  pi  ds

Onde p é o momento linear canônico: d  gttT t  u t  ds d  gtt u t  ds



d T t  pt  ds

d  pt  ds



Expressando o momento na forma de energia: d  gtt u t  d



d E   d  c 

Vamos avaliar os outros dois vetores de Killing a partir da condição imposta acima. Como ambos os termos são derivada em relação s podemos escrever:

gtt u t 

E c

cgtt

dt E  ds c

c 2 gtt

dt E ds

P á g i n a | 4-1578

 2m  dt c 2 1  2   E  c r  ds Essa é a equação de energia por unidade de massa da partícula. Vamos agora avaliar a equação associada ao momento. Para isso partiremos da seguinte igualdade:

d  Ki  u i  ds

0

d  g L u  ds

0

d   d  r 2 sin 2   ds    0 ds Integrando a equação,

 2 2 d   r sin  L ds   Para uma partícula que se desloca no equador    2 , L  r2

d ds

L  r 2w que é a lei de conservação do momento angular. Observe que como o sistema não tem simetria máxima, ele não possui todas as correntes de Noether, logo ele não conserva globalmente o momento linear e a energia total.

P á g i n a | 4-1579

E. Deflexão da Luz A teoria da gravitação universal de Newton já previa que o caminho de qualquer partícula material (independentemente de sua composição) se movendo a uma velocidade finita é afetado pela força da gravidade. No entanto, a velocidade finita da luz não estava bem estabelecida no tempo de Newton, e estava longe de ficar claro que a luz consiste em partículas materiais. Essas incertezas impediram Newton de fazer uma previsão definitiva sobre se e como a luz é afetada pela gravidade. No final do século 18, a velocidade finita da luz estava bem estabelecida, embora a constituição da luz ainda fosse desconhecida, era tentador aplicar a lei de Newton para calcular a deflexão da luz pela gravidade - sob a suposição de que um pulso de luz responde à atração gravitacional, assim como uma partícula de matéria se move na mesma velocidade. Por volta de 1784, Cavendish alcançou o mesmo resultado com um cálculo mais rigoroso, analisando o caminho hiperbólico real com velocidade variável e, em 1804, Soldner publicou os detalhes de tal análise. Escrevamos as equações da órbita em coordenadas polares:

x  r cos  y  r sin  Diferenciando em relação ao tempo: x  r cos  r sin  y  r sin   r cos

A derivada da coordenada angular é a velocidade angular:

x  r cos   rw sin  y  r sin   rw cos  Derivando novamente essa equação:

P á g i n a | 4-1580

x  r cos   rw sin   rw sin   rw sin   rw2 cos  y  r sin   rw cos   rw cos   rw cos   rw2 sin 

Evidenciando os fatores comuns:

x   r  rw2  cos    2rw  rw  sin  y   r  rw2  sin    2rw  rw  cos  Os termos que acompanham o cosseno são as componentes radias e os termos que acompanham o seno são as componentes tangenciais. O sinal negativo indica a diferença de direção. aradial  r  rw2 atangencial  2rw  rw

A aceleração radial deve ser igual a aceleração centrípeta, enquanto a a aceleração tangencial deve ser nula em todos os pontos:

mc Gr 2 2rw  rw  0

r  rw2  

Pela regra da cadeia, podemos compactar a segunda equação:

d 2  r w  0 dt h  r 2w Denotando por u a função reciproca de r:

u2h  w Tomando o diferencial dessa relação, nós obtemos:

2uhdu  dw

P á g i n a | 4-1581

dw du  2uh d d Agora vamos analisar a equação da aceleração tangencial. Primeiro abriremos as derivada temporais e multiplicaremos a equação por dt: 2rd  rdw  0

dw r  2 d r Escrevendo a equação em relação a u, usando as relações que deduzimos: 2uh du  0 2rd  u 2rd  2hdu  0

rd  hdu  0 du r  h d du r  d h Para obtermos a relação envolvendo a aceleração, vamos derivar a relação u e r: ru  1

ru  ru  0 r u  u r 2 u  u r du u  hu 2 d

P á g i n a | 4-1582

Tomando o diferencial, obtemos: du   du  d  hu 2  d   du  du  du  2uhdu  hu 2 d   d  d  du  dw

du  du   hu 2 d   d  d 

r d 2u du   dw  hu 2 h d

Vamos diferenciar em relação ao tempo, a equação entre r e w: rd  hdu rd  rdw  hdu rd  hdu  rdw

Substituindo o diferencial de u’:

 r d 2u   rdw rd   h   dw  hu 2 d   h 2 2 2 d u  rdw rd  rdw  h u d d 2u rd   h 2u 2 d 2 d u r   h 2u 2 2 d Depois de obtermos as derivadas de r em função de u, podemos escrever a equação diferencial da aceleração na forma polar:

P á g i n a | 4-1583

 h 2u 2

d 2u  u 3h 2  u 2 M 2 d

onde M é a massa geométrica, definida por M = Gm/c. Dividindo a equação por -h²u²: d 2u M u  2 2 d h Essa equação diferencial de segunda ordem é linear e não homogênea. Sua solução geral será dada por:

u    uh   

M h2

onde uh é a solução homogênea da equação diferencial:

d 2 uh  uh  0 d 2 Portanto, a equação de autovalores associada a EDO será:

 2 1  0 e os autovalores são complexos:

1  i 2  i Assim, as autofunções da equação diferencial são senóides: uh    A cos   B sin 

Como a aceleração radial está associada ao cosseno, isso implica que a constante B é nula. uh    A cos 

P á g i n a | 4-1584

Portanto a solução geral da equação, será:

u    A cos  

M h2

Se a velocidade da luz for infinita, a segunda parcela do lado direito da equação será zero.

1  A cos  r 1 r A cos  Multiplicando a equação pelo cosseno e passando para coordenadas retangulares:

r cos  

1 A

x  A1 Se a velocidade da luz for infinita, a luz não sofre deflexão, mas segue o caminho retilíneo. Por isso devemos assumir que a velocidade é finita. Para determinar A vamos Impor quem na origem a função é uma constante 1/ro:

M h2 1 M A  2 ro h

uo  A 

Nesse caso a equação da deflexão será: 1 M M u      2  cos   2 h  ro h 

P á g i n a | 4-1585

 h 2    1 cos   1   Mro   2   1 M  h  2   1 cos   1 r h  Mro   2 h    M  r 2  h   1 cos   1   Mro 

u   

M h2

Portanto a coordenada r será expressa por: h2  1  r   M   cos   1 

 h2   1  Mro 

 

Essa é equação polar para uma seção cônica com excentricidade

. Assim, a luz ao passar próximo de uma massa gravitacional ativa pode seguir um caminho elíptico, hiperbólico ou parabólico conforme o valor da excentricidade. No perigeu, o fator h² deve ser igual à cr²o.  cro2    M   r  cro   1 cos  1  M  Como a excentricidade é infinitamente grande por causa da velocidade da luz e da constante G que aparece no denominador, a deflexão do raio de luz é uma hipérbole que tende à assíntota.

P á g i n a | 4-1586

Nessa circunstância, a coordenada r deve tender ao infinito. Isso só ocorre quando o denominador tende a zero:

 cro   M  1 cos   1  0    cro  M    cos   1  M  M cos    cro  M Tomando o arco-cosseno, obtemos o valor dos ângulos assintóticos: 

M    cro  M 

 a   arccos  

Expandindo o arco-cosseno em séries de Taylor, teremos:

   M   M  2 7  M 3 a               2  cro   cro  6  cro 

  

P á g i n a | 4-1587

O ângulo de deflexão da luz é obtido pela medida de quanto a diferença dos ângulos assintóticos diferem do ângulo raso:

         2   Considerando que os termos de terceira ordem ou superior são muito pequenos, obtemos:  M    2     2 cro  2M  cro

Substituindo o valor de M, obtemos a equação clássica da deflexão de luz:



2Gm roc 2

Sobre essa dedução, há várias colocações históricas, epistemológicas e físicas apresentadas por Kevin Brown (2017): No entanto, há um aspecto problemático nessa previsão "newtoniana", porque se baseia na suposição de que partículas de luz podem ser aceleradas e desaceleradas como a matéria comum, e, se esse fosse o caso, seria difícil explicar o porquê (no espaço e no tempo absolutos não-relativísticos) toda a luz que observamos está viajando em uma única velocidade característica. É certo que, se postularmos que a massa restante de uma partícula de luz é extremamente pequena, pode ser impossível interagir com uma partícula sem transmitir uma velocidade muito alta, mas isso não explica por que toda a luz parece ter precisamente a mesma velocidade, como se essa

P á g i n a | 4-1588

velocidade específica fosse de alguma forma uma propriedade característica da luz. Como resultado dessas considerações, especialmente quando a concepção de onda da luz começou a substituir a teoria corpuscular, a ideia de que a gravidade poderia curvar os raios de luz foi largamente descartada na física newtoniana. (O mesmo destino aconteceu com a idéia de buracos negros, originalmente proposta por Michell com base na velocidade de escape newtoniana da luz. Laplace também mencionou a ideia em sua Celestial Mechanics, mas a excluiu na terceira edição, possivelmente por causa das dificuldades conceituais.) A ideia de dobrar a luz foi revivida no artigo de 1911 de Einstein "Sobre a influência da gravitação na propagação da luz". Curiosamente, a previsão quantitativa descritos no presente documento para a quantidade de deflexão da luz que passa perto de uma grande massa era idêntico ao velho predição newtoniano, δ = 2m/r0. Por outro lado, uma teoria relativista da gravidade concorrente, apresentada por Nordstrom na mesma época, previa que não houvesse desvio de luz. Houve várias tentativas de medir a deflexão da luz das estrelas passando perto do Sol durante os eclipses solares para testar a previsão de Einstein nos anos entre 1911 e 1915, mas todas essas tentativas foram frustradas por céu nublado, problemas logísticos, Primeira Guerra Mundial, etc. Einstein ficou muito irritado com as repetidas falhas dos experimentalistas em reunir quaisquer dados úteis, porque estava ansioso para ver sua previsão corroborada, o que ele tinha certeza de que seria. Ele escreveu para Besso em março de 1914

P á g i n a | 4-1589

Agora estou totalmente satisfeito e não duvido mais da correção de todo o sistema, quer as observações do eclipse sejam bem-sucedidas ou não. O sentido da coisa é muito evidente. Ironicamente, se algum desses primeiros esforços experimentais tivesse conseguido coletar dados úteis, eles teriam provado que Einstein estava errado. Não foi até o final de 1915, quando ele completou a teoria geral, que Einstein percebeu que sua previsão anterior estava incorreta e que a deflexão angular deveria ser duas vezes maior do tamanho que ele previu em 1911. Se a Guerra Mundial não tivesse interferido, é provável que Einstein nunca tivesse sido capaz de reivindicar a inclinação da luz (duas vezes o valor "newtoniano") como uma previsão da relatividade geral. Na melhor das hipóteses, ele teria sido forçado a explicar, após o fato, por que a deflexão observada era realmente consistente com a teoria geral completa. Felizmente para Einstein, ele corrigiu a previsão da inclinação da luz antes que qualquer expedição conseguisse fazer observações úteis. Em 1919, após o término da guerra, expedições científicas foram enviadas para Sobral na América do Sul e Príncipe na África Ocidental para fazer observações do eclipse solar. (O local específico de Príncipe foi escolhido por seu nome, ± 0,16 e 1,61 ± 0,40 segundos de arco, respectivamente, que foram tomados como confirmação clara da previsão da relatividade geral de 1,75 segundos de arco. Esse sucesso, combinado com o apelo esotérico da luz curvada e a aventura romântica das próprias expedições do eclipse, contribuíram enormemente para tornar Einstein uma celebridade mundial. Um outro aspecto intrigante da história, em retrospecto, é o fato de que há alguma dúvida sobre se as técnicas de medição usadas nas expedições de 1919 foram suficientemente precisas para detectar legitimamente as desvios que foram relatadas e se os resultados relatados podem ter sido influenciado pelo que Eddington queria e esperava ver. É interessante especular sobre quais valores teriam sido

P á g i n a | 4-1590

registrados se os astrônomos tivessem conseguido fazer leituras em 1914, quando a deflexão esperada ainda era de apenas 0,875 segundos de arco. (Deve-se mencionar que observações subsequentes, resumidas abaixo, confirmaram independentemente a deflexão angular prevista pela relatividade geral, isto é, duas vezes o valor "newtoniano".)

Em 1915, Einstein analisou o problema a partir da equação das geodésicas. A diferença conceitual é que a luz não estava sendo afetada por seu peso, mas estava seguindo o caminho inercial em uma variedade cuja métrica depende da distribuição da massa. O cálculo de primeira ordem obtido por Einstein era o dobro do valor obtido por Soldner23: 4Gm  ro c 2 Esse novo valor se tornou uma previsão nova que permitiria verificar qual a teoria melhor se adapta a deflexão estelar: o modelo clássico ou o relativístico. De fato, esse teste foi realizado em 1919, durante o eclipse de Sobra e da Ilha do Príncipe, por uma comitiva chefiada por A. Eddington. Embora, costume-se dizer que essa experiência provou a Relatividade Geral, essa frase é exagerada e incorreta. Até, 1950 a questão da deflexão da luz ainda estava em aberto (WHITTAKER, 1953). Além disso, outra previsão da Teoria, o red shift gravitacional, não havia sido detectado em algumas experiências que foram realizadas em paralelo. Segundo o próprio Einstein, esse era o teste mais importante. Graças a insistência de Eddigton e outros pesquisadores, durante a década de 20, em medir o desvio das estrelas, outras medidas do redshift foram realizadas até que finalmente o efeito foi observado. Para uma dedução dessa equação ver Brown (2017): https://www.mathpages.com/rr/s6-03/6-03.htm 23

P á g i n a | 4-1591

F. Esfera de Fótons No espaço-tempo de Schwarzchild, as linhas geodésicas apresentam a seguinte forma:

Os círculos pontilhados indicam raios de m, 2m, ..., 6m do centro de massa. Desnecessário dizer que o raio físico de uma estrela típica é muito maior do que o raio gravitacional m, portanto, não encontraremos uma deflexão tão severa dos raios de luz, mesmo para raios que pastam na superfície da estrela. No entanto, para um "buraco negro", teoricamente, podemos ter raios de luz passando com valores de r na mesma ordem de magnitude que m, resultando nos caminhos mostrados nesta figura. Curiosamente, uma fração significativa dos raios oblíquos recebidos é "dispersa" de volta, com um loop em r = 3m, que é o "raio da luz". Como consequência, se lançarmos uma luz ampla em um buraco negro, esperamos ver um "halo" de luz espalhada delineando um círculo com um raio de 3m. A região r = 3m recebe o nome de esfera de fótons. Para uma estrela estática, raios de luz que consigam penetrar nessa região ficarão presas eternamente em um caminho esférico. Se um

P á g i n a | 4-1592

astronauta atingisse a esfera de fótons ele conseguira ver sua nuca e as suas costas. Vamos agora determinar onde se encontra a esfera de fótons. Suponha que um fóton de luz esteja preso em um plano do espaçotempo de Schwarzchild, com r e  fixos e que nesta região a luz esteja condenada a repetir eternamente um movimento circular. Nestas condições podemos escrever a métrica da seguinte forma:

 r ds 2  1  s  r

 2 2 2 2 2  c dt  r sin  d 

onde rs é o raio de Schwarzchild e é igual a: rs = Gm/c. Para um raio de luz, o intervalo próprio é zero:

 r  0  1  s  c 2 dt 2  r 2 sin 2  d 2  r d 2  rs  c 2  1   dt 2  r  r 2 sin 2  Vamos usar agora equação das geodésicas radiais, considerando que r e são fixos: 2

2  d  c rs  dt  r sin       2 r 2  ds   ds 

2

2

2

2

2  d   ds  c rs r sin       2 r2  ds   dt  2

2

r 2 sin 2   d  1 rs    2r c 2  dt  Substituindo o valor da derivada do ângulo:

P á g i n a | 4-1593

 r 2 sin 2   c 2   rs   2 2  1  2  c  r sin    r

 1 rs   2r

rs 1 rs  r 2r r 1r 1 s  s r 2r 3r 1 s 2r

1

Isolando r obtemos o raio da esfera de fótons:

r

3 rs 2

Corpos massivos também podem produzir lentes gravitacionais, a luz ao passar perto do objeto, pode se dividir em duas, criando uma réplica dela no céu:

P á g i n a | 4-1594

G. Energia, Momento e Momento Angular da Gravitação24 O significado físico das equações de Einstein pode ser esclarecido escrevendo-as de uma forma inteiramente equivalente que, por não ser manifestamente covariante, revela sua relação com as equações de onda da física das partículas elementares. Adotemos um sistema de coordenadas que seja quase minkowskiano, no sentido de que a métrica g  se aproxima da métrica de Minkowski a grandes distâncias do sistema material finito em estudo. (Este é o caso dos sistemas de coordenadas harmônicas e outros também). Nós podemos escrever:

g      h

(01)

de modo que o h desaparece no infinito. (Entretanto, h não é considerado pequeno em todo lugar.) A parte do tensor linear de Ricci em h é então (1)

R

 2 h  2 h  2 h 1   2 h             x x x x x x 2  x x

  

(02)

[estamos adotando a conveniente convenção de que os índices em (1) h , R e  x  são elevados e rebaixados com os  's , por exemplo, h    h e  x     x , enquanto índices de tensores verdadeiros como R são levantados e abaixados com g como de costume.] As equações exatas de Einstein podem então ser escritas como:

Extraído do livro: Gravitation and Cosmology (Weinberg, 1972) Tradução e comentários: Ayni R. Capiberibe 24

P á g i n a | 4-1595

(1) R  12   R(1)   8 G T  t 

(03)

1  (1) R  1 g  R  R  12  R(1)   8 G   2

(04)

onde

t 

A equação (03) tem exatamente a forma que devemos esperar para a equação de onda de um campo de spin 2, mas com a peculiaridade de que a sua "fonte" T  t  (depende explicitamente do campo h ). Nós interpretamos esta propriedade dizendo que o campo h é gerado pelas densidades totais e fluxos de energia e momento, e t  é simplesmente o "tensor" de energia-momento do próprio campo gravitacional, isto é, nós interpretamos a quantidade

 v    T  t 

(05)

como o "tensor" momento-energia total da matéria e da gravitação. Há várias propriedades do 

v

que corroboram essa interpretação:

(1) obedecem às identidades linearizadas de (A) As quantidades R Bianchi:   R (1)  12  R(1)    0 (06)   x

Portanto, segue das equações de campo (03) que conservado localmente:    0 x

 v é (07)

P á g i n a | 4-1596



Observe que, embora a T obedeça à lei de conservação covariantes T  ; , que realmente descreve a troca de energia entre 

matéria e gravitação, a quantidade  é conservada no sentido comum. Em particular, para qualquer sistema finito de volume V limitado por uma superfície S, Eq. (07) nos diz que d 25 (08)  0 d 3 x     i ni dS dt V S Vamos demonstrar como Weinberg obteve essa importante relação, que não é um resultado imediato, embora seja bastante simples de obter, necessitando apenas a forma tensorial Teorema da Divergência do cálculo vetorial elementar. Desenvolvendo parcialmente a soma em v obtemos:  0  i   i 0 0 x x onde o índice i varia de 1 à 3. A derivada parcial em x0 corresponde a derivada ordinária em relação ao tempo, enquanto a derivada parcial em relação à xi é a divergência do pseudo-tensor . Nestas condições escrevemos a equação como: d 0 i     i  dt Integrando os dois lados sobre o elemento de volume d3x, obtemos: 25

d  0 d 3 x    i  i d 3 x dt  V V Pelo teorema da divergência de Gauss-Ostrogradski, a segunda integral pode ser expressa por meio de uma integral sobre todo a superfície S, pela seguinte regra:

   i

V

i

d 3x 

 

i

ni dS

S

Substituindo esse resultado na equação anterior, obtemos o resultado desejado: d d 0 3 i  0  d 3 x    i ni dS  d x    ni dS dt V dt V S S









P á g i n a | 4-1597

onde n é a unidade externa normal à superfície. Por isso podemos interpretar P    0 d 3 x (09) V

como o "vetor" de energia-momento total do sistema, incluindo matéria, eletromagnetismo correspondente.

e

(B) Além de ser conservado, o

gravitação;

0

fluxo

(11)

M     x    x podemos assim interpretar M de um momento angular total

o

(10)

 M   0 x 

onde

é

  também é simétrico,

     e portanto

 i

e

M i

(12)

como a densidade e fluxo

J    d 3 xM 0   J 

(13)

V

que é constante se M i desaparecer sobre a superfície do volume de integração. (C) Podemos calcular t  como uma série de potência em h, e descobrir que o primeiro termo é quadrático:

P á g i n a | 4-1598

t 

1  1 1 1 (1) (2) (2)   h R(1)     h  R  R     R    8 G  2 2 2

h  3

(14) ( 2) é a parte de segunda ordem do tensor de Ricci, dada onde R por:

(2)

R

  2 h  2 h  2 h   2 h             x x x x x x   x x  1  h h   h h h   2           4  x x   x x x    1  h h h   h h h              4  x x x   x x x 

1   h 2

(15)

O exemplo da eletrodinâmica nos levaria a esperar que o "tensor" do momento de energia da gravitação começasse com um termo quadrático em h . A presença em t  de termos de terceira e maior ordem simplesmente significa que a interação gravitacional do campo gravitacional consigo mesma também contribui para a energia total e momento. Naturalmente, quando o campo gravitacional é fraco, h é pequeno, então nossa inclusão de t em (05) (e nosso uso de  para elevar índices) não altera seriamente nosso quadro de energia-momento conteúdo de sistemas físicos. 

(D) Embora não seja geralmente covariante, t  ,  e M  são pelo menos covariantes de Lorentz. Assim, para um sistema fechado,

P e J 

Lorentz.

não são apenas constantes, mas também covariantes de

P á g i n a | 4-1599

(E) Escolhemos no início desta seção para trabalhar em um sistema de coordenadas em que h desaparece no infinito. Longe do sistema de material finito que produz o campo gravitacional, T é zero e t  é de ordem h2, então o termo fonte no lado direito das equações de campo (03) é efetivamente confinado para uma região finita. Isso sugere que em uma grande variedade de problemas físicos h se comportará a grandes distâncias, assim como os potenciais em eletrostática ou teoria gravitacional newtoniana, isto é, para r   ,

h 

h

1   r

x





1  2 r 

 2 h 

x x





1  3 r 

(16)

Neste caso, (14) mostra que

t  então a integral



0

1  4 r 

(17)

d 3 x que dá a energia total e o momento

converge. É por isso que foi tão importante identificar o sistema de coordenadas como quase Minkowskiano; se g  se aproximasse da métrica de coordenadas polares esféricas no infinito, então nossas definições (01) e (04) teriam levado a uma densidade de energia física concentrada no infinito! (Note que (16) e (17) nem sempre são válidos. Se o sistema está eternamente irradiando ondas gravitacionais, então h oscila de modo que h x  e  2 h x  x  são da mesma ordem que h , dando uma energia

total infinita, que é o que esperaríamos para a radiação gravitacional

P á g i n a | 4-1600

preenchendo todo o espaço. Neste caso, nem mesmo o h se comporta como l/r ). 

é claramente o "tensor" do (F) Por sua construção,  momento-energia que determinamos quando medimos o campo gravitacional produzido por qualquer sistema. Na verdade, existem muitas definições possíveis do "tensor" de energia de gravidade que compartilham a maioria das boas propriedades de nosso t  (essas definições são geralmente baseadas no princípio de ação), mas t  é especialmente escolhido por seu papel em (03) como parte da fonte de h . (G) Embora o cálculo de t  em problemas físicos específicos possa ser um incômodo, felizmente é possível evitar esse cálculo se tudo o que queremos é a energia total e momento do sistema. O lado esquerdo das equações de campo (03) pode ser escrito como: R (1)   12  R(1)  

onde

Q



  Q x 

(18)

  1  h  h  h v  h   h h               2  x x x x x x 

(19) Note que o Q  é antisimétrico em seus dois primeiros índices,

Q   Q

(20)

P á g i n a | 4-1601

da qual segue a identidade diferencial (06). Usando as equações de campo (03) em conjunto com (18) encontramos para o vetor "energia-momento" total (09) P  

1 Q  0 3 Qi 0 3 1 d x   d x 8 G V x  8 G V xi

e usando o teorema de Gauss temos: P  

1 Qi 0  ni r 2 d  (20)  8 G V

(21)

a integral sendo tomada sobre uma grande esfera de raio r, com n a normal externa e d. O ângulo sólido diferencial; isso é,

r   xi xl 

1/2

ni 

xi r

d   sen d d

(Índices latinos repetidos são somados em 1, 2, 3). Mais detalhadamente, a energia total e o momento são dados por (19) e (21) como: Pj  

h h   hkk 1 h  ij   kk0  ij  ji0  ij  ni r 2 d    16 G  t x x t  hij  2  h jj 1 P0    i   j  ni r d   16 G  x x 

(22) (23)

Pelo mesmo raciocínio, o "tensor" momentum angular total (13) é: J    d 3 x  x  0   x  0   

i 0 i 0  1  Q 3   Q d x x x   i i   8 G x x  

P á g i n a | 4-1602

As componentes fisicamente interessantes da J componentes independentes do tipo espaço-espaço: J1  J 23

J 2  J 31



são as três

J 3  J 12

Usando o teorema de Gauss novamente, essas componentes são dadas por J   

h h  h0 k h 1  xk 0i j  x j ki  xk ji  x j i  x x t t 16 G 

 hok  ij  h0 j ik  ni r d 

(24)

2

Assim, para calcular o momento total, a energia e o momento angular de um sistema finito arbitrário, é necessário apenas conhecer o comportamento assintótico de h a grandes distâncias. (H) Foi demonstrado que P0 é sempre positivo e toma o valor zero apenas para o espaço vazio livre de matéria. 

(I) Embora  não seja um tensor e P não seja um vetor, a energia total e o momento têm a importante propriedade de serem invariantes sob qualquer transformação de coordenadas que reduz ao infinito a identidade. Tal transformação será da forma

x   x  x     ( x) onde todos   ( x) desaparecem como r   , embora todos   ( x) não precisem ser pequenos em distâncias finitas. O tensor métrico no novo sistema de coordenadas é:

       g   g            x  x  

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

Para r   ambos

e h são pequenos, então podemos

calcular g  para primeira ordem em todos e h definindo

g 

   h e expandindo; isto obtemos g 

   h

onde

h  h  

     x x

A mudança na quantidade (19) produzida por essa transformação de coordenadas é então dada para r   por:

Q   2

1   2    2         2  x  x x  x

   

2

  

ou

Q   onde

   

D  

  x

  

  x

 

  x

 2   2     x x x x 

  D x

  

  x

 

  x

  

     x  

 

Notamos que D é totalmente antissimétrico em seus três primeiros índices D  D  D   D e, portanto, a mudança na integral da superfície toma a forma

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P   

1  D i 0  1  D ji 0  2 2 n r d      i   ni r d  8 G   x  8 G   x j 

ou, usando o teorema de Gauss novamente, P   

1   2 D ji 0  3  d x 8 G   xi x j 

(25)

Podemos notar como um corolário que P , se transforma como um vetor quatro sob qualquer transformação que deixa a métrica   no infinito inalterada, porque qualquer transformação pode ser expressa como o produto de uma transformação de Lorentz x    x  a  , sob o qual P se transforma como um vetor de quatro (veja (D) acima), vezes uma transformação que se aproxima da identidade no infinito e, portanto, não altera o P . (J) Se a matéria em nosso sistema está dividida em subsistemas distantes Sn, o campo gravitacional pode ser aproximado escrevendo n h como a soma dos h ’s que seriam produzidos por cada subsistema agindo sozinho. (Termos de interferência entre estes n diferentes h ’s podem ser negligenciados em t  , porque em n qualquer lugar onde um h ’s é grande, todos os outros são

pequenos.) Segue-se então da análise de P em (E) acima que a energia total e o momento são iguais à soma dos valores Pn para cada subsistema sozinho. O "vetor" de energia-momento P definido por (09) é conservado, é um 4-vetor de Lorentz. O que mais poderíamos perguntar? Quaisquer 4-quantidades com essas propriedades são determinadas exclusivamente como sendo o momento e a energia

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usuais (como pode ser mostrado formalmente aplicando as leis de conservação a uma colisão na qual os subsistemas distantes se juntam, interagir, e depois ir para o infinito novamente). Os argumentos desta seção podem ser virados para fornecer uma outra derivação das equações de campo de Einstein Suponha que nos propusemos a construir equações para um campo de longo alcance de spin 2. Considerações gerais teóricas em grupo exigem que elas tomem a forma: (1)  12   R(1)     R (26) com   alguma função fonte, que por causa das identidades (06) deve ser conservada.  (27)    0 x Não será possível definir   proporcional ao tensor de energiamomento T da matéria, porque a matéria pode intercambiar energia e momento com a gravitação e, portanto, T não satisfaz (27). Nós devemos incluir em   termos envolvendo h propriamente dito, e quando esses termos são calculados ao impor a condição (27), achamos que a equação de campo (26) deve ser simplesmente (03), que é equivalente à teoria de Einstein. Somos, portanto, levados de volta à observação no início deste capítulo, de que a principal diferença entre os campos eletromagnético e gravitacional é que a fonte do potencial eletromagnético A é uma corrente conservada J  que não envolve A porque o campo eletromagnético não é ele mesmo carregado, enquanto a fonte do campo gravitacional h é um "tensor" conservado

  que deve

envolver h porque o campo gravitacional realmente carrega energia e momento.

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Considerações Finais Neste ensaio realizamos uma construção alternativa da Teoria da Relatividade Especial a partir de rotações hiperbólicas em um espaço-tempo 4-dimensional onde nossos vetores são substituídos por 4-vetores e tensores. A princípio essa linguagem pode não parecer tão simples e não ser tão vantajosa. Essa era a opinião do próprio Albert Einstein, até 1911, quando ele finalmente percebeu que para conseguir construir grandezas que sejam válidas para qualquer referencial é necessário apelar para ferramentas mais robustas. O formalismo hiperbólico aplicado a 4-vetores permitem deduzir sem dificuldades e sem ambiguidades as transformações entre dois referencias inerciais e construir invariantes relativísticos. Esse ensaio apresenta uma amostra de como usar essas ferramentas em diversas áreas da física. Usamos o termo “uma amostra” porque não esgotamos todos os campos de aplicação da relatividade. O fato de não abordarmos tudo não deve ser visto como um demérito, mas como uma oportunidade para o leitor aplicar esses conceitos e tentar desvendar novas possibilidades. Costuma-se achar que a Teoria da Relatividade Especial já está completa, o que é um erro, pois uma teoria nunca está completa. Por exemplo, há questões extremamente importantes a serem exploradas na termodinâmica. Nesse ensaio propomos uma possibilidade de modificação da primeira lei da termodinâmica, porém não exploramos as suas consequências sobre os potenciais termodinâmicos e aplicações à máquinas térmicas, em especial, o ciclo de Carnot. A óptica quântica relativística também apresenta divergências. A física de meios extensos e contínuos também tem sido pouco abordada com todas as suas divergências. O estudo da gravitação na Relatividade Especial também é um tópico de interesse histórico. De todos os livros citados nas referências, apenas Martins (2012) reserva um capítulo para discutir a gravitação na Teoria da Relatividade Especial. O fato é que

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estamos ainda longe de esgotar as discussões sobre Relatividade Especial. Embora nesse trabalho tenhamos dado ênfase aos métodos matemáticos e a interpretação geométrica, o estudo histórico pode revelar questões ainda em aberto e que podem ser testadas com novas tecnologias ou ponderadas com novos conhecimentos matemáticos. Um caso envolvendo relatividade é narrado por Martins (1989) que estava orientando uma aluna no mestrado que durante a revisão de literatura descobriu que havia um problema histórico em aberto: verificar se a inércia dos elétrons varia a com a energia potencial elétrica. Usando técnicas mais precisas do que as disponíveis há quase cem anos, eles provaram que a inércia dos elétron não muda com a variação da energia potencial elétrica, por essa razão, não se pode aplicar a relação massa-energia. Em outras palavras, uma compreensão histórica, pode revelar temas de pesquisa. Lakatos (1979) mostra que o exame histórico pode até fazer ressurgir um programa de pesquisa que havia sido posto de lado. O importante é que o leitor tenha curiosidade e não tenha medo de errar e de ousar. É preciso superar a visão positivista de que apenas o acerto contribui para o progresso da ciência. Nas poucas partes históricas deste trabalho, vimos que Einstein cometeu um erro ao derivar a massa transversal do elétron. Ele poderia ter evitado esse erro caso tivesse percebido que a pressão de um complexo de radiação sobre a superfície de um espelho é um invariante e a partir da invariância da pressão, ter deduzido a transformação das forças. No entanto, Einstein não se atentou a esse fato e cometeu um erro grave ao tentar deduzir a massa transversal do elétron. Seus comentários dão a entender que ele não estava seguro com o resultado, mas mesmo assim ele não titubeou. Planck, que era o juiz da Annalen revisou o artigo de Einstein e autorizou para a publicação. Somente em 1906, Planck percebeu o erro que

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Einstein havia cometido e para compensar a sua falha na avaliação, propôs uma formulação hamiltoniana da relatividade que permitisse deduzir o momento canônico e a transformação de massa. Se lermos atentamente o trabalho original de Einstein, vemos que muitas vezes ele viola o segundo postulado e a invariância da forma da onda. Hoje sabemos deduzir os fenômenos sem ambiguidades, mas na época em que Einstein estava desenvolvendo suas ideias não havia uma referência clara e a ausência desse norte permitiu que ele avançasse, apesar dos erros. Não queremos propor aqui um exercício de história hipotética ou contra história, a partir de perguntas do tipo “e se Planck tivesse percebido o erro de Einstein?” até porque a visão de ciência que defendemos é de uma construção coletiva e descentralizada. O que queremos mostrar é que em todo processo científico estamos sujeitos a errar, a sofrermos críticas e a evoluir em nossas ideias. Quando Einstein resolveu trabalhar na a Teoria da Relatividade Geral, inicialmente ele teve a assistência de Marcel Grossmann, e depois seguiu sozinho. O próprio Einstein nunca compreendeu bem o conceito de tensores e de variedades. Mehra (1983) conta a curiosa história de Hilbert e dos acadêmicos de Göttingen, que estavam entre os melhores matemáticos do mundo e dominavam plenamente a linguagem do espaço e do tempo, mas segundo Hilbert, Einstein foi mais longe, pois não sabia nada disso e apenas deixou que sua intuição guiasse. A declaração é um tanto exagerada, Einstein poderia não saber tanto como Hilbert e seus pupilos, mas sabia o básico e era bastante perseverante e foi essa perseverança, uma verdadeira luta com a matemática que o levou a obtenção das teorias de campo junto com Hilbert. Gostaria de pensar em nosso leitor como uma pessoa que contempla a natureza e um espaço-tempo abstrato e que nosso trabalho é uma cesta de ferramentas com um pequeno bilhete: pegue

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o que precisar, faça o que quiser. Esse espaço-tempo é de cada um de nós e com essas ferramentas podemos molda-lo e descobrir peculiaridades dele. Confessamos que esse trabalho surgiu dessa forma, ao ler o livro do Whittaker (1953) vimos a ferramenta, rotações hiperbólicas, empregada algumas vezes e pensamos: e se aplicássemos para outras grandezas? Essa “brincadeira” foi levando a querer explorar mais e mais as consequências, compreender nossos erros e buscar alterações. Talvez o leitor se surpreenda com a ausência de referências ao logo do texto, isso ocorre porque a maior parte do trabalho é autoral, fizemos sem consultar nenhum livro ou artigo, porque eles inexistem. Durante todo esse ensaio tentamos apresentar uma formulação alternativa para a Teoria da Relatividade Especial que torna a construção da teoria o mais simples possível. Na filosofia da ciência existe um conceito devido a Henri Poincaré chamado de Convencionalismo. Em linhas gerais, o convencionalismo aponta que não existe uma geometria melhor do que a outra, todos os conceitos de uma geometria não-euclidiana podem ser convertidos em conceitos de uma geometria euclidiana. A escolha de uma geometria para descrever a realidade é meramente uma questão de convenção do que é mais cômodo. Uma reflexão sobre convencionalismo revela que o Princípio da Relatividade, proposto por Poincaré em 1900, é uma extensão desse conceito: não existe um referencial inercial privilegiado, todos são equivalentes, a escolha é uma mera questão de convenção. Os cosmólogos que precisam lidar com topologias diversas tem aprendido que muitos problemas podem ser facilmente resolvidos se certas “hipóteses” ou “convenções” foram adotadas. Não existe uma formulação mais correta para descrever a Teoria da Relatividade, todas são equivalentes, porém existem representações mais cômodas. Este é o caso do formalismo

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hiperbólico e do formalismo 4-vetorial que tornam as deduções complicadas das grandezas do eletromagnetismo em um problema de rotação hiperbólica. Um leitor pouco familiarizado com esse formalismo, inicialmente pode estranhar e achar mais cômodo utilizar métodos mais tradicionais, mas uma vez que ele tenha assimilado e aprendido a usar esse método ele perceberá suas vantagens. Por fim, gostaria de deixar uma pequena reflexão sobre a nossa prática enquanto cientistas: O cientista virou um mito. E todo mito é perigoso, porque ele induz o comportamento e inibe o pensamento. Este é um dos resultados engraçados (e trágicos) da ciência. Se existe uma classe especializada em pensar de maneira correta (os cientistas), os outros indivíduos são liberados da obrigação de pensar e podem simplesmente fazer o que os cientistas mandam. Quando o médico lhe dá uma receita você faz perguntas? Sabe como os medicamentos funcionam? Será que você se pergunta se o médico sabe como os medicamentos funcionam? Ele manda, a gente compra e toma. Não pensamos. Obedecemos. Não precisamos pensar, porque acreditamos que há indivíduos especializados e competentes em pensar. Pagamos para que ele pense por nós. E depois ainda dizem por aí que vivemos em uma civilização científica... O que eu disse dos médicos você pode aplicar a tudo. Os economistas tomam decisões e temos de obedecer. Os engenheiros e urbanistas dizem como devem ser as nossas cidades, e assim acontece. Dizem que o álcool será a solução para que nossos automóveis continuem a trafegar, e a agricultura se altera para que a palavra dos técnicos se cumpra. Afinal de contas, para que serve a nossa cabeça? Ainda podemos pensar? Adianta pensar? B.1 Antes de mais nada é necessário acabar com o mito de que o cientista é uma pessoa que pensa melhor do que as outras. O fato de uma pessoa ser muito boa

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para jogar xadrez não significa que ela seja mais inteligente do que os não-jogadores. Você pode ser um especialista em resolver quebracabeças. Isto não o torna mais capacitado na arte de pensar. Tocar piano (como tocar qualquer instrumento) é extremamente complicado. O pianista tem de dominar uma série de técnicas distintas – oitavas, sextas, terças, trinados, legatos, staccatos – e coordená-las, para que a execução ocorra de forma integrada e equilibrada. Imagine um pianista que resolva especializar-se (note bem esta palavra, um dos semideuses, mitos, ídolos da ciência!) na técnica dos trinados apenas. O que vai acontecer é que ele será capaz de fazer trinados como ninguém – só que ele não será capaz de executar nenhuma música. Cientistas são como pianistas que resolveram especializar-se numa técnica só. Imagine as várias divisões da ciência – física, química, biologia, psicologia, sociologia – como técnicas especializadas. No início pensava-se que tais especializações produziriam, miraculosamente, uma sinfonia. Isto não ocorreu. O que ocorre, frequentemente, é que cada músico é surdo para o que os outros estão tocando. Físicos não entendem os sociólogos, que não sabem traduzir as afirmações dos biólogos, que por sua vez não compreendem a linguagem da economia, e assim por diante. A especialização pode transformar-se numa perigosa fraqueza. Um animal que só desenvolvesse e especializasse os olhos se tornaria um gênio no mundo cores e das formas, mas se tornaria incapaz de perceber o mundo dos sons e dos odores. E isto pode ser fatal para a sobrevivência. (ALVES, 1995, pp. 07-09) Torço para que os nossos leitores e jovens cientistas não sofram dessa surdes seletiva, mas que abram os ouvidos e escutem a maravilhosa orquestra e descubram que há mais de uma combinação de notas que combina com a melodia. Espero com este trabalho ter dado a chave aos leitores para abrir as portas da concepção, para que eles vejam o espaço-tempo como ele é: infinito (parafraseado de Blake).

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O Princípio da Relatividade

Espaço-Tempo (Programa de Erlangen)

AYNI R. CAPIBERIBE VOLUME V

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ÍNDICE (VOLUME 5) INTRODUÇÃO ..................................................................... 5-1617 1. QUARTENIONS E ESPAÇOS VETORIAIS ................. 5-1622 1.1 Princípios Elementares ................................................... 5-1622 1.2 Conjugado, Norma e Inverso ......................................... 5-1625 1.3 Rotor e Operador Rotação ............................................. 5-1628 1.4 Matriz de Rotação ........................................................... 5-1634 1.5 Rotações Infinitesimais ................................................... 5-1635 1.6 Representação Matricial dos Quartenions.................... 5-1640 1.7 Espaço Topológico dos Quartenions ............................. 5-1643 1.8 Números Hipercomplexos .............................................. 5-1648 1.9 Números Hipercomplexos Próprios .............................. 5-1652 1.10 Ordem dos Números Hipercomplexos ........................ 5-1654 1.11 Associatividade de Números Hipercomplexos ............ 5-1657 1.12 Super Quartenions Cl3,3(R) .......................................... 5-1664 1.13 Álgebra Vetorial de Grassmann .................................. 5-1667 1.14 Escalares, Pseudo-Escalares e Dualidade * ................ 5-1681 1.15 Distância em Espaços de Grassmann .......................... 5-1686 1.16 Super Espaço e Super Vetor ........................................ 5-1687 1.17 Operadores Diferenciais em Espaços de Grassmann 5-1699 1.18 Operadores Diferenciais no Super Espaço ................. 5-1705 1.19 Variedades Espaço-Temporais de Poincaré-Minkowski... 5-1709

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1.20 Super Espaço-Tempo .................................................... 5-1720 1.21 Super Espaço-Tempo Especular .................................. 5-1723 2. A TEORIA DAS DIMENSÕES INTEIRAS Z. ............... 5-1726 2.1 O Problema da Dimensionalidade ................................. 5-1726 2.2 Grupo de Deslocamentos ................................................ 5-1730 2.3 Espaços com Dimensões Negativas ................................ 5-1740 2.4 Continuidade em Dimensões Negativas ........................ 5-1750 2.5 Hotel de Hilbert e Números Não-Arquimedianos ........ 5-1762 2.6 Corpo Ordenado Não-Arquimediano ........................... 5-1765 2.7 Norma em Espaços de Dimensão Negativa ................... 5-1770 2.8 Teoria das Categorias ..................................................... 5-1781 2.9 Isomorfismo entre Espaços de Dimensão Inteira ......... 5-1784 2.10 Números Falsos e sua Álgebra de Clifford ................. 5-1788 2.11 Por Que o Espaço tem 3 Dimensões?........................... 5-1796 2.12 Considerações Finais ..................................................... 5-1799 3. CARACTERIZAÇÃO TOPOLÓGICA DO ESPAÇO-TEMPO ..... 5-1805 3.1 A Topologia do Tempo ................................................... 5-1806 3.2 O Espaço-Tempo de Galileu e os Números Duais ........ 5-1809 3.3 O Espaço-Tempo de Lorentz e os Números Perplexos ... 5-1816 3.4 O Espaço-Tempo de Euclides e os Números Complexos . 5-1823 3.5 Diferenciação Topológica das Variedades Espaço-Tempo pela Característica de seus Anéis Hipercomplexos ............ 5-1829

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3.6 Sincronização de Relógios no Espaço-Tempo .............. 5-1830 3.7 O Espaço-Tempo Híbrido............................................... 5-1834 4. FUNÇÕES DE POINCARÉ ...................................................... 5-1839 4.1 Álgebra das Funções de Poincaré .................................. 5-1839 4.2 A Função Tangente de Poincaré .................................... 5-1842 4.3 O Teorema de Adição de Velocidades ........................... 5-1845 4.4 Análise das Funções de Poincaré: Derivada e Integral ... 5-1848 4.5 Transformada de Laplace .............................................. 5-1852 4.6 Cálculo-K Generalizado ................................................. 5-1854 4.7 Derivada Arbitrária: Homeomórifca, Automórfica e Negativa.................................................................................. 5-1874 5. PROGRAMA DE ERLANGEN PARA O ESPAÇO-TEMPO ........ 5.1890 5.1. Grupo Generalizado De Lorentz SO



p, R , 3 + i, R

 . 5.1891

5.2. Geradores Infinitesimais do Espaço-Tempo................ 5.1897 5.3. Constantes da Estrutura do Espaço-Tempo ................ 5.1901 5.4. Isomorfismo com o Grupo das Projeções Lineares ..... 5.1905 5.5 4-Vetores na Variedade Espaço-Tempo ........................ 5.1907 5.6 Álgebra de Lie Não-Abeliana do Espaço-Tempo ......... 5.1910 5.7 S-Grupo de Poincaré ....................................................... 5.1913 5.8 S-Transformações Ortocrona de Lorentz ..................... 5.1918 5.9 Matrizes Ortocronas do S-Grupo de Poincaré ............. 5.1920 5.10 Representação do S-Grupo de Poincaré ..................... 5.1926

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5.11 Spinores e Representação Spinoral ............................. 5.1928 6. PROGRAMA DE ERLANGEN: APLICAÇÕES ......................... 5.1929 6.1. Potenciais do Espaço-Tempo......................................... 5-1929 6.2. Potenciais Topológicos ................................................... 5-1934 6.3. O Potencial Topológico de Poincaré ............................. 5-1935 6.4. Ondas Topológicas de Abraham-Nordströn ................ 5-1942 6.5. Orientação do Tempo e a Entropia .............................. 5-1944 7. UM ANEL PARA TODO ESPAÇO-TEMPO UNIFICAR ........... 5-1950 7.1. Os Postulados da Relatividade ...................................... 5-1951 7.2. O Postulado de Kepler-Fresnel ..................................... 5-1952 7.3. O Postulado de Voigt-Cunningham.............................. 5-1956 7.4. A Topologia da Luz ........................................................ 5-1962 7.5 Teoria Topológica do Eletromagnetismo ...................... 5-1968 7.6 Outras Topologias Possíveis do Espaço-Tempo ........... 5-1986 7.7 Um Anel Para Todos Comandar ................................... 5-1990 A INTELIGIBILIDADE DO ESPAÇO-TEMPO ............................. 5-1993 ANEXO: TÓPICOS DE CÁLCULO FRACIONÁRIO ..................... 5-1997

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INTRODUÇÃO Este trabalho é o resultado de uma ampla pesquisa teórica que objetivava responder a seguinte questão: como é possível unificar todos os espaço-tempos planos em uma única estrutura? Por espaçotempo plano entendemos qualquer variedade ou espaço topológico que satisfaça o princípio da relatividade e as conexões de RiemannChristofell se anulem sobre todos os pontos da variedade. Pela topologia de baixa dimensão, demonstra-se que há apenas três variedades que satisfazem essas duas condições: o espaço de Galileu, o espaço de Euclides e o espaço de Lorentz. A motivação dessa pesquisa foi em desenvolver uma topologia de baixa dimensão unificada que permita caracterizar todos estes espaços-tempos, como no programa de Elanger de Félix Klein. Como as variedades espaçotemporais são espaços topológicos munidos de métrica, suas propriedades são caracterizadas pelas álgebras de Clifford em anéis hipercomplexos associativos com unidade. Esse fato nos levou a procurar um automorfismo interno que atua como um mapa da variedade e induz a topologia do espaço-tempo a partir da qualidade (característica) da unidade hipercomplexa de cada anel. Este automorfismo resultou no desenvolvimentos de funções geométricas especiais, que chamamos de funções de Poincaré. As funções de Poincaré permitem deduzir propriedades gerais do espaço-tempo, das geometrias hiperbólicas, parabólicas e elípticas e dos grupos SO(3), SO(4) e SO(1,3). Também provamos que as funções de Poincaré correspondem as transformações de Galileu em uma topologia induzida por um número dual; as transformações de Lorentz em uma topologia induzida por um número perplexo e as transformações de Euclides em uma topologia induzida por um número complexo. Uma previsão do nosso programa é possibilidade e desenvolvimento de uma física topológica. Os potenciais de

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Laplace-Beltrami provam ser equações diferenciais parciais induzidas pela topologia. Portanto, para cada espaço-tempo há uma equação do potencial, sendo no limite assintótico todas tendem a equação de Laplace-Beltrami. A análise da álgebra de Lie à partir das funções de Poincaré permite construir um espaço vetorial de Clifford de 6 dimensões, composto por 6 linhas coordenadas. Estas linhas coordenadas são as componentes do campo elétrico e do campo magnético. Desta forma, as equações de Maxwell e as transformações destes campos também são características topológicas induzidas pela característica da unidade hipercomplexa de cada anel. Portanto, este relatório sintetiza os esforços necessários para se construir essa topologia. Como toda síntese, ela é uma apresentação quase-linear de várias etapas foram organizadas para se tornarem inteligíveis ao leitor. Obviamente, que o delineamento da pesquisa não seguiu a ordem dessas etapas e nem foi linear ou acumulativa, por isso descrever uma metodologia da pesquisa não seria apropriado. Toda a pesquisa girou ao redor da questão básica, e o formalismo matemático foi sendo introduzido a partir da necessidade ou mesmo da curiosidade em se testar outras possibilidades. Portanto os resultados aqui apresentados são a organização de ideias, após várias tentativas e várias análises, muitas frustradas e outras bem sucedidas. Posto isto, eis o programa de uma topologia unificada. A primeira parte consiste em uma discussão sobre as álgebras de Hamilton e suas relações com a álgebra de Clifford e uma discussão ampla das álgebras vetoriais de Grassmann. A primeira metade do caítulo apresenta conceitos básicos da teoria dos quartenions de Hamilton e foram sintetizadas do quarto capítulo da obra Understanding Geometric Algebra (KANATANI, 2015). A partir da seção 1.8 até a seção 1.12, realizamos uma apresentação dos números hipercomplexos e aplicamos para fundamentação mais

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final da álgebra de Hamilton. Adiante exploramos as álgebras vetoriais de Grassmann, em particular os conceitos de vetor polar e axial, escalar e pseudo escalar. As últimas seções utilizam os conceitos desenvolvidos para propor uma super variedade. A segunda parte consiste no desenvolvimento da Teoria das Dimensões. Embora a palavra dimensão apareça nos Elementos de Euclides, foi apenas com o surgimento da Topologia de Baixa Dimensão, nos trabalhos de Henri Poincaré, que passou-se a buscar uma teoria que formalizasse esse conceito. Recentemente, a Teoria dos Fractais, permitiu estendermos o conceito de dimensão inteira não-negativa para números não-inteiros não-negativos. Nessa seção revisamos o conceito de dimensão inteira não-negativa e propomos uma teoria das dimensões inteiras (não-negativas e negativas). Para conseguirmos fazer a caracterização de modo mais rigoroso possível, usamos além da Topologia e Formas Exteriores, a Teoria dos Grupos de Lie e Galois, as Álgebras de Grassman e Lie, Teoria de Galois e da Caracterização, Espaços Vetoriais e Duais. Por meio do raciocínio topológico, inferimos os resultados esperados para depois, por meio do formalismo algébrico, demonstra-los. A terceira parte é a construção da topologia de baixa dimensão unificada. Para cumprirmos o nosso objetivo, utilizamos três hipercomplexos anéis: o anel dos números nilpotentes de segunda ordem (números duais ou parabólicos), o anel dos números perplexos (números hiperbólicos), o anel dos números complexos (números elípticos). Usando a característica R de cada anel, mostramos como é possível generalizar os resultados da terceira parte. Tratamos a variedade euclidiana como uma variedade com tempo negativo e mostramos porque essa hipótese é consistente, usando os resultados da segunda parte. A quarta parte consiste na introdução de duas novas funções que dependem da característica do anel e são generalizações das

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transformações de Galileu e Lorentz. Essas funções foram denominadas de funções de Poincaré e desempenham um papel fundamental nessa pesquisa. Por isso, nós investimos algum tempo em sua álgebra, análise real e arbitrária. Aqui apresentamos um novo conceito de cálculo diferencial e integral: derivadas automórficas, homeomórficas, negativas e classes laterais. A quinta parte inicia-se com a demonstração de que independente da característica do anel, essas funções formam um grupo e satisfazem o princípio da relatividade, portanto elas contém a estrutura unificada que procurávamos. Constitui em construir uma topologia de baixa dimensão usando as funções de Poincaré. Generalizamos a transformações de Poincaré, as suas quatro formas (própria, imprópria, síncrona e antissíncrona), construímos sua álgebra de Lie, calculamos os coeficientes da estrutura, seus geradores infinitesimais e sua representação spinorial. A sexta parte é uma aplicação da teoria desenvolvida à física teórica. Primeiro, propomos uma nova teoria do potencial que consiste em estabelecer em uma generalização das equações de Laplace-Beltrami, que agora passam a ser equações que dependem da característica R do anel da topologia. Nós mostramos que as grandezas descritas pela diferença de dois potenciais são perturbações na variedade e que sua transmissão deve ocorrer a velocidade k, onde k é uma constante de velocidade que multiplica a dimensão de tempo. A segunda aplicação, consiste em mostrar como a entropia e a passagem do tempo estão relacionadas e fornecer uma prova a hipótese de Hawking que mesmo em um tempo cíclico a entropia sempre cresce. A sétima e última parte desse trabalho é uma resposta ao argumento de Minkowski. Depois de desenvolvermos uma topologia geral do espaço-tempo, mostramos que somente a variedade de Lorentz satisfaz simultaneamente a constância da velocidade da luz

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e a lei da inércia. Também, mostramos por meio da álgebra de Heinsenberg e a inversão, que os instrumentos de medida do tempo e do espaço estão sujeita a uma incerteza de 1/k. Como principal consequência, esse fato nos indica que o éter poderia existir no mesmo sentido atribuído as variáveis ocultas de Bohm. Há também um anexo que trata de algumas propriedades das derivadas arbitrárias que descobrimos ao decorrer desta pesquisa, mas que não pareciam se encaixar com a proposta original. Gostaríamos de salientar ao leitor que este trabalho tem duas dimensões: a primeira e central é a física-matemática que consiste em construir uma topologia unificada do espaço-tempo; e a segunda é a epistemológica e remete a questões de inteligibilidade e convencionalismo de Poincaré e a ontologia do espaço e do tempo. É preciso enfatizar que todos os resultados aqui propostos foram formulados dentro da estrutura matemática vigente e respeitando os limites. É importante frisar que este trabalho não esgota um campo de pesquisa, ao conseguir atingir o seu objetivo de construir uma topologia unificada do espaço-tempo, porém abre novas perspectivas e suscita muitas perguntas e perspectivas de trabalhos futuros. Por fim, convém descrever o tipo de leitor a quem esse trabalho se dirige: idealizamos um profissional graduado em física com domínio pleno de Teoria da Relatividade, Eletromagnetismo, Termodinâmica e Mecânica Analítica e que esteja ao menos familiarizado com o programa de um curso de graduação de matemática: Álgebra, Geometria, Análise e Topologia. Ao leitor que não cumpra esses requisitos apresentamos uma bibliografia básica que deve ser antes revisada e consultada sempre que o leitor sentir. Ayni R. Capiberibe [email protected] Instituto de Física / GEPECT

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1

Quartenions de Hamilton

O desenvolvimento da álgebra vetorial e a teoria das rotações teve suas raízes nos trabalhos de Grassman, Clifford e Hamilton. Um dos conceitos fundamentais é o conceito de quartenions, introduzidos por William Hamilton, que discutiremos, brevemente, nessa seção.

1.1.

Princípios Elementares

Definimos um quartenion de Hamilton como um espaço vetorial, não comutativo e associativo em relação ao produto, de 4 dimensões sobre um corpo de números reais cuja base geradora é: B  1, i, j , k 

Simbolicamente escrevemos o quartenion da seguinte forma:

A  ao  a1i  a2 j  a3k As componentes imaginárias respeitam as seguintes regras em relação ao produto direto:

i 2  1 jk  i kj  i

j 2  1 ki   j ik   j

k 2  1 ij   k ji  k

Portanto, dado dois quartenions A e B, o produto desses quartenions é um quartenion. Para verificarmos essa proposição, tomemos 3 quartenions:

A  ao  a1i  a2 j  a3k

B  bo  b1i  b2 j  b3k C  co  c1i  c2 j  c3k

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Façamos o produto de AB A  B   ao  a1i  a2 j  a3k  bo  b1i  b2 j  b3k 

A  B  aobo   a1b1  a2b2  a3b3   ao  b1i  b2 j  b3k  bo  a1i  a2 j  a3k    a1b2ij  a2b1 ji    a1b3ik  a3b1ki    a2b3 jk  a3b2 kj 

Usando as relações entre os produtos das unidades imaginárias: A  B  aobo   a1b1  a2b2  a3b3   ao  b1i  b2 j  b3k   bo  a1i  a2 j  a3k    a1b2  a2b1  k   a3b1  a1b3  j   a2b3  a3b2  i

Reorganizando as parcelas:

A  B  aobo   a1b1  a2b2  a3b3    aob1  bo a1  a2b3  a3b2  i   aob2  bo a2  a3b1  a1b3  j   aob3  bo a3  a1b2  a2b1  k Identificando os termos com os elementos do quartenion C,

C  A B C  co  c1i  c2 j  c3k

co  aobo   a1b1  a2b2  a3b3  c1   aob1  bo a1  a2b3  a3b2  i c2   aob2  bo a2  a3b1  a1b3  j c3   aob3  bo a3  a1b2  a2b1  k

É fácil ver que a parte imaginária dos quartenions se assemelha aos vetores do espaço, por isso chamamos as componentes a1, a2, a3 de parte vetorial do quartenion e a componente ao de parte escalar.

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A  ao  a a  a1i  a2 j  a3k O produto entre os quartenions A e B na forma vetorial assume a seguinte forma:

A  ao  a

B  bo  b

A  B  aobo  a , b  aob  bo a  a  b

A partir dessa expressão podemos definir um novo tipo de produto conhecido como produto de Clifford:



A  B   ao  a  bo  b



A  B  aobo  aob  bo a  a

b

Comparando com a expressão do produto dos quartenions, obtemos a regra do produto de Clifford entre dois vetores: a

b   a, b  a  b

Se compararmos com a expressão do quartenuion C, teremos: C  co  c C  A B

Substituindo o produto AB, C  aobo  a , b  aob  bo a  a  b

Por inspeção, obtemos as componentes de C:

co  aobo  a , b ; c  aob  bo a  a  b

P á g i n a | 5-1625

1.2. Conjugado, Norma e Inverso Definimos o conjugado de um quartenion de Hamilton pela seguinte regra:

A†  ao  a1i  a2 j  a3k A†  ao  a ,

a †  a

A††   A†   A †

O produto de um quartenion A pelo quartenion conjugado B é dada pela relação:



A  B †   ao  a  bo  b



†

A  B  aobo  aob  bo a  a

b

A  B †  aobo  aob  bo a  a , b  a  b

Vamos verificar a relação entre o conjugado e o produto de dois quartenions:

C †   A  B   co  c †

Usando relação entre as componentes escalares e vetoriais:

co  aobo  a , b ; c †   aob  bo a  a  b b

a   a, b  a  b

Porém, observe que:

A†  ao  a , B†  bo  b

P á g i n a | 5-1626





B†  A†  bo  b  ao  a  B†  A†  aobo  aob  bo a  b

a

Portanto, concluímos que:

 A B

†

 B †  A†

Que é a regra das potências para álgebras não comutativas. Usando o operador dagger podemos classificar os subespaços vetorias dos quartenions em dois grupos: escalares e vetoriais.

 escalar   vetorial 

q †   q  † q  q

E também podemos definir a norma dos quartenions:

:





/  , 0

A  A  A†  A†  A Calculando explicitamente, obtemos: A  A  A†  ao ao  ao a  ao a  a , a  a  a A  ao2  a12  a22  a32

Doravante, usaremos a seguinte notação: a  a12  a22  a32

A  ao2  a

2

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Se a norma for igual a zero, teremos que: A 0 A0

Portanto, os quartenions não apresentam divisores em zero e para todo quartenion não-nulo podemos definir seu inverso:

 A†   A†  A       A  1  A  A A  A1  A1  A  1 A† A1  A Reciprocamente, definimos os conjugados inversos:

 A  A A†        A†  1  A  A

A†   A†    A†   A  1 1

A 

† 1

1



A A

Observe que para quartenions, verifica-se a identidade

A B  A C  B  C a

b a

c  b c

Porém, o mesmo não se aplica aos produtos entre vetores:

a, b  a, c  b  c a b  a  d  b  d

P á g i n a | 5-1628

1.3. Rotor e Operador Rotação Os quartenions atuam sobre um vetor do espaço como um operador rotação. Para compreendermos como esse processo ocorre, vamos introduzir o conceito de quartenion unitário, isto é, o quartenion cuja norma é a unidade. A  1  A†  A1

Doravante assumiremos que todos os nossos quartenions são unitários, salvo se for dito o contrário. Dado um vetor a do espaço dos quartenions, defina o quartenion:

A  AaA† Vamos mostrar que essa equação define um endomorfismo, isto é, vamos provar que a aplicação transforma o vetor a em um novo vetor a’. Para isso vamos expandir a equação:

AaA†   a0  a  a  a0  a 

AaA†   a0 a  a 2   a0  a  AaA†   a02 a  a0 a 2  a0 a 2  a 2 a  AaA†   a02  a 2  a

Isso prova que este quartenion é vetorial e, portanto, a equação é um endomorfismo. Denotaremos o quartenion vetorial A’ por a’. Para que esta equação seja um automorfismo o termo em parêntesis deve ser igual a unidade:

a02  a 2  1 Essa condição exige uma parametrização hiperbólica:

P á g i n a | 5-1629

a0  cosh  a  sinh 

Agora obteremos algumas importantes identidades envolvendo esse endomorfismo ao tomar o conjugado dessa equação:

 AaA   AaA   AaA   AaA   AaA   AaA 

† †

  a02  a 2  a †

† †

  a 2  a02  a

† †

  a 2 a  a0 a 2  a0 a 2  a02 a 

† †

  a0 a  a 2   a  a0 

† †

  a0  a  a  a  a0 

† †

  a0  a  a  a0  a 

Usando a notação de quartenions, obtemos as identidades:

 AaA   AaA   AaA 

† †

  AaA†

† †

 Aa † A†

† †

 A†† a † A†

Agora vamos calcular a norma do quartenion a’: a  AaA† aa†   AaA†  Aa † A†  aa†   Aa   A† A  a † A† 

P á g i n a | 5-1630

aa†   Aa 1  a † A†  aa†   Aa   a † A†  aa†  A  aa †  A† aa†   aa †  AA† aa†   aa † 

Portanto, essa operação define um mapa linear (endomorfismo) que preserva a norma do vetor a e é chamado de isometria: a  a

Esse resultado pode ser identificado como uma rotação pura do vetor a, em relação a um ponto fixo do espaço ou a um movimento de reflexão combinado com um movimento de rotação ao redor do ponto fixo. Por essa razão, o quartenion unitário define uma hiperesfera de 4 dimensões de hipervolume unitário:

a02  a12  a22  a32  1 a02  a

2

1

A parametrização exige o uso das funções trigonométricas usuais:

a0  cos

 2

a  sin

 2

Portanto, o quartenion unitário pode ser escrito na forma trigonométrica:

A  cos

 ˆ   l sin 2 2

P á g i n a | 5-1631

Vamos agora calcular o endomorfismo do vetor a usando os quartenions na forma trigonométrica:       a  AaA†   cos  lˆ sin  a  cos  lˆ sin  2 2  2 2        a   cos  lˆ sin  a cos  a lˆ sin  2 2  2 2      a  a cos 2  lˆ a  a lˆ sin cos  lˆ a lˆ sin 2 2 2 2 2









O produto de Clifford se relaciona com o colchetes de Lie: lˆ, a   lˆ  

lˆ

aa

Substituindo na equação:

a  a cos 2





 1 ˆ   l , a sin   lˆ a 2 2 

 lˆ sin 2 2

O colchete de Lie e o produto vetorial se conectam pela relação:

1 ˆ  ˆ l,a  l a 2  Portanto, o vetor a’ assume a seguinte forma:







 a  lˆ  a sin   a cos 2  lˆ a 2



 lˆ sin 2 2

Agora vamos calcular o produto o produto triplo:

   lˆ  a lˆ   lˆ  a  lˆ   lˆ a , lˆ 

lˆ a

lˆ  lˆ a  lˆ  a , lˆ

P á g i n a | 5-1632

 lˆ   lˆ   a  lˆ   lˆ, a  lˆ  lˆ a, lˆ lˆ  a lˆ   lˆ, lˆ  a  a , lˆ lˆ  lˆ   lˆ  a 

lˆ a

Usando as identidades da álgebra vetorial obtemos:



lˆ a

 lˆ  a lˆ   a  2 a , lˆ lˆ

lˆ  lˆ, lˆ a  a , lˆ lˆ  a , lˆ lˆ

Substituindo na equação do vetor a’:









  a  lˆ  a sin   a cos 2  a  2 a , lˆ lˆ sin 2 2 2    a  lˆ  a sin   a cos 2  a sin 2  2 a , lˆ lˆ sin 2 2 2 2 a  sin  lˆ  a   cos   a  2 a , lˆ 1  cos   lˆ









Essa é a fórmula de Rodrigues que representa uma rotação de um ˆ . Portanto, a este corpo rígido sobre um versor l com um ângulo  endomorfismo daremos o nome de rotor de a, e podemos defini-lo ˆ: como um operador 

ˆ a  UaU † a   onde U é um quartenion unitário. Agora vamos mostrar que o espaço dos rotores é um homeomorfismo sobre o espaço das rotações. Denotaremos o operador rotação por Rˆ . Se um sistema sofrer duas rotações sucessivas, Rˆ e Rˆ  , a rotação total será a composição das rotações:

P á g i n a | 5-1633

Rˆ   Rˆ  Rˆ

ˆ sobre um vetor a gerando um vetor a’. Apliquemos o operador  ˆ  gerando um Então apliquemos sobre esse vetor um novo rotor  vetor a’. ˆ  ˆa a  

 

a  U  UaU † U †

Como a álgebra de Hamilton é associativa, a  U U  a U †U †  a  U U  a U U 

†

a  U aU † ˆ a a  

ˆ  será a composição dos rotores: Portanto, o operador  ˆ    ˆ  ˆ 

ˆ define uma rotação Rˆ e o rotor  ˆ  define uma Como o rotor  rotação Rˆ  , então a composição das rotações Rˆ   Rˆ  Rˆ é definida ˆ    ˆ  ˆ . Isso significa que os rotores e pelo produto dos rotores  as rotações são espaços homeomórficos. Desta forma, podemos definir as rotações pelas componentes trigonométricas dos rotores: ˆ  ˆ Rˆ  Rˆ     Rˆ  Rˆ  cos cos  lˆ 2 2



      lˆ sin sin  lˆ cos sin  lˆ cos sin 2 2 2 2 2 2



P á g i n a | 5-1634

1.4. Matriz de Rotação Na seção anterior provamos que os rotores são um homeomorfismo sobre as rotações. Nessa seção iremos obter a expressão da matriz de rotação em função das componentes dos quartenions; Para isso tomemos o rotor de a:

a    u0  u  a  u 0  u 

a  u02 a  u0 u , a   u  a

u

a  u02 a  2u0  u  a   2 u , a u  u a 2

Escrevendo o vetor em função de seus versores:

a  a1i  a2 j  a3k Assim, teremos, as seguintes equações de transformação: a1  u02 a1  2u0  u  a i  2 u , a u1  u a1 2

a2  u02 a2  2u0  u  a  j  2 u , a u2  u a2 2

a3  u02 a3  2u0  u  a k  2 u , a u3  u a3 2

Expandindo a primeira equação, teremos: a1  u02 a1  2u0  u2 a3  u3a2   2  u1a1  u2 a2  u3a3  u1   u12  u22  u32  a1 a1   u02  u12  u22  u32  a1  2  u1u2  u0u3  a2  2  u1u3  u0u2  a3

Analogamente, obtemos as expressões das demais componentes: a2  2  u1u2  u0u3  a1   u02  u12  u22  u32  a2  2  u2u3  u0u1  a3 a3  2  u1u3  u0u2  a1  2  u3u2  u0u1  a2   u02  u12  u22  u32  a3

Portanto, a transformação por meio de uma rotação será:

P á g i n a | 5-1635

ˆ a  Ra  a1    u0  u1  u2  u3   a    2  u u  u u  1 2 0 3  2   a   2  u u  u u   3  1 3 0 2 2

2

2

2

2  u1u2  u0 u3 

u

2 0

 u1  u2  u3 2

2

2



2  u3u2  u0 u1 

2  u1u3  u0 u2    a1 

 



2  u2 u3  u0u1   a2   2 2 2 2   u0  u1  u2  u3   a3 



E o operador rotação será expresso pela matriz:   u02  u12  u22  u32   Rˆ   2  u1u2  u0u3    2  u1u3  u0u2  

2  u1u2  u0u3 

u

2 0

2  u1u3  u0u2    2  u2u3  u0u1    2 2 2 2  u0  u1  u2  u3  

 u12  u22  u32 

2  u3u2  u0u1 

1.5. Rotações Infinitesimais Vamos agora obter a transformação infinitesimal das rotações em função das componentes dos quartenions. Tomemos o quartenion unitário U e seu conjugado e vamos expandi-lo em séries de Taylor: U  1   U  O  U 2  U †  1   U †  O  U †2 

Calculemos a norma do vetor: U

2

U

2





 UU †  1   U  O  U 2  1   U †  O  U †2 



 1   U   U †  O  U 2   O  U †2 





  U  U †   UO  U †2   O  U 2   U †  O  U 2  O  U †2  

O termo em colchetes pode ser incluindo nos termos O:

P á g i n a | 5-1636

U

2

 1   U   U †  O  U 2   O  U †2 

Como a norma de U é 1, teremos a seguinte expressão: 1  1   U   U †  O  U 2   O  U †2 

 U †  O  U †2    U  O  U 2  Pela igualdade de polinômios, obtemos que:

U †  U O  U †2   O  U 2  Agora, calculemos o rotor sobre o vetor a:



    a  1  U  O U  

a  UaU †  1   U  O  U 2  a 1   U  O  U 2 



a  a   U

a  O  U 2

a  a   U

a  O  U 2 

 O  U 2 

a   U  a

  U 2 

2

aa

 U   U

O  U 2    U

a  U

a  O  U 2 

a  O  U 2 

Vamos agrupar todos os termos que envolve fatores iguais ou maiores que U²: a  a   U

aa

 U  O  U 2 

a a

O  U 2 

a  a   U  a   U , a  a   U  a ,  U  O  U 2   a  O  U 2  , a  a  O  U 2   a , O  U 2 

P á g i n a | 5-1637

Como o produto interno é comutativo, então podemos cancelar estes termos, obtendo a seguinte expressão para o vetor a’: a  a  2 U  a  2O  U 2   a

Para pequenos ângulos, podemos escrever:





a  a   lˆ a  2O  lˆ 2  a

Por inspeção, o valor de U e O(U²):

U 

 ˆ 2

l



O  U 2   O  lˆ 2



Substituindo na equação do quartenion unitário:

U    1 

 ˆ 2



l  O  lˆ 2



Como W é infinitesimal, O é nilpotente de segunda ordem:

U    1 

 ˆ 2

l

Agora vamos calcular a derivada do rotor infinitesimal Ul() sobre l em relação ao ângulo  dU lˆ    d

 lim

 0

U lˆ       U lˆ   



Como U é afim, verifica-se a seguinte relação:

P á g i n a | 5-1638

U lˆ       U lˆ   U lˆ    Substituindo na equação da derivada:

dU lˆ    d dU lˆ    d

U lˆ    U lˆ    U lˆ   



 0

 lim

U lˆ    1

  ˆ

 0

dU lˆ    d dU lˆ    d

 lim

U lˆ   

  l  1 1  2 U   lim    lˆ  0   lim

 0

1  ˆ lU ˆ    2  l

Cancelando os dois termos envolvendo a variação do ângulo, obtemos a derivada do rotor: dU lˆ    d

1ˆ  lU ˆ  2 l

A partir da primeira derivada podemos calcular as derivadas de ordem superior: d 2U lˆ    d d U lˆ    2

3

d

3

d nU lˆ    d

n

1  lˆ 2U lˆ    4 1  lˆ3U lˆ    8 

1 ˆn l U lˆ    2n

P á g i n a | 5-1639

Portanto, a série de McLaurin de Ul será:

 ˆ 1  2 ˆ 2 1 3 ˆ 3 1 n ˆn U lˆ     1  l  l  l   l  n ! 2n 2 2! 4 3! 8  1  n  U lˆ       n lˆn  i 0 n !  2 

1   U lˆ       lˆ  i 0 n !  2  

n

Mas essa é a expansão da função exponencial: ˆ l

U lˆ     e 2

Agora vamos provar que l é um imaginário puro, como l é um quartenion vetorial, devemos calcular sua norma usando o produto de Clifford: 2 lˆ  lˆ lˆ 2

lˆ  lˆ  lˆ  lˆ, lˆ

Como o produto vetorial é zero e o produto interno é a unidade, temos que a norma ao quadrado de l é negativa. 2

lˆ  1

Como l é imaginário puro, podemos aplicar a função Ul a identidade Euler:   U lˆ     cos  lˆ sin 2 2 Que é a mesma representação para o quartenion que havíamos obtido anteriormente por outro método.

P á g i n a | 5-1640

1.6. Forma Matricial dos Quartenions Os quartenions de Hamilton formam um grupo aditivo e um grupo multiplicativo, não comutativo. O grupo multiplicativo apresenta um isomorfismo com o grupo de Euclides SO(4). Esta importante propriedade irá nos permitir associar os quartenions as projeções estereográficas no plano complexo. Inicialmente vamos introduzir a matriz unitária U:

 u  iu3 u2  iu1  U ij   0   u2  iu1 u0  iu3  det U ij  a02  a12  a22  a32  1 Para mostrarmos que essa matriz é isomórfica ao grupo dos quartenions, vamos calcular a matriz U” definida como o produto de U’ por U: U ij  U U ij

 u0  iu3 u2  iu1  u0  iu3 u2  iu1   u0  iu3       u2  iu1 u0  iu3   u2  iu1 u0  iu3   u2  iu1

u2  iu1   u0  iu3 

Para determinarmos os novos valores precisamos apenas considerar os elementos da primeira coluna: u0  iu3   u0 u0  u1u1  u2 u2  u3u3   i  u0u3  u3u0  u2 u1  u1u2  u2  iu1   u2 u0  u1u3  u0u2  u3u1   i  u2 u3  u1u0  u3u2  u0u1 

Igualando as partes reais e imaginárias, obtemos:

u0  u0 u0  u1u1  u2 u2  u3u3 u1  u2 u3  u1u0  u3u2  u0u1

P á g i n a | 5-1641

u2  u2 u0  u1u3  u0u2  u3u1 u3  u0 u3  u3u0  u2 u1  u1u2 Ou usando os produtos entre vetores:

u0  u0 u0  u, u u1  u0 u1  u1u0   u  u i

u2  u2 u0  u0 u2   u  u  j u3  u0 u3  u3u0   u  u k

Agora vamos definir dois quartenions unitários:

U  u0  u;

U   u0  u

Tomemos seu produto direto:

U   U U  u0  u U    u0  u   u0  u 

U   u0u0  u0u  u0u  u u U   u0 u0  u0  u1i  u2 j  u3k   u0  u1i  u2 j  u3k   u   u  u , u





U    u0u0  u, u   u0u1  u0u1  u  u i i



 



 u0u2  u0u2  u  u  j j  u0u3  u0u3  u  u k k Igualando as partes escalar e vetorial:

u0  u0 u0  u, u u1  u0 u1  u1u0   u  u i

P á g i n a | 5-1642

u2  u2 u0  u0u2   u  u  j u3  u0 u3  u3u0   u  u k Portanto, a matriz unitária Uij e o quartenion U são grupos isomórficos. Usando as matrizes de Pauli podemos expressar a matriz Uij na forma de um quartenion matricial, da seguinte forma: U ij  u0 I  u1S1  u2 S 2  u3 S3

1 0 I  ; 0 1

 0 i  S1   ;  i 0 

 0 1 S2   ; 1 0 

 i 0  S3     0 i

Assim como as unidades imaginárias, as matrizes de Pauli satisfazem as seguintes relações:

S12   I ;

S22   I ;

S32   I

S2 S3   S1 ;

S3 S1   S2 ;

S1S2   S3 ;

S3 S2   S1 ;

S1S3   S2 ;

S2 S1   S3 ;

Portanto, podemos estabelecer uma transformação linear que a cada quartenion Unitário U associa-o a uma matriz unitária Uij conforme a seguinte regra:

U ij  T U  Portanto, a transformação linear T é um mapa linear entre as duas bases:

BU  1, i, j , k BUij  I , S1 , S2 , S3  T 1  I ,

T  i   S1 ,

T  j   S 2 , T  k   S3

P á g i n a | 5-1643

1.7. Espaço Topológico dos Quartenions Nessa seção provaremos que o espaço topológico espaço topológico dos quartenions é isomórfico ao espaço das Projeções PSL(2,C). Tomemos a matriz unitária Uij escrita da seguinte forma:

 U ij   

  

  u2  iu1    †

  u0  iu3   u2  iu1

  u0  iu3   †

Sendo essa matriz unitária, verifica-se as seguintes identidades: det U ij  a02  a12  a22  a32  1

    1 O grupo das transformações estereográficas no plano complexo é gerado pelas transformações de Möbius:

Z 

  Z   Z

Esse grupo também podem ser representados pela matriz Uij:

 U ij   

  

Para provarmos esse fato, tomemos a transformação Z”:

Z  

    Z      Z 

P á g i n a | 5-1644

   Z     Z  Z      Z         Z       Z         Z  Z        Z         Z 

    

Z  

             Z              Z Z  

    Z     Z

Por inspeção os coeficientes da transformação de Möbius são:

               

               

Agira vamos calcular a transformação matricial:

                                                    

  

           

O que demonstra que o grupo das transformação de Möbius é isomórfica ao grupo das matrizes unitárias Uij. Nestas condições podemos definir um aplicação W sobre Uij que transforma cada elemento da matriz em um elemento de Z: W : M 22  PSL(2, ) W U ij   Z

P á g i n a | 5-1645

Porém, existe uma transformação T de U em Uij, definida por: 4

T:

 M 22

T U   U ij

Como as transformações são isomorfismos, podemos definir a composição:  : 4  M 22  PSL(2, )   T W  W T U    Z

Como todo isomorfismo é uma transformação bijetora, podemos definir um isomorfismo direto que a cada elemento do quartenion de U associa a um elemento de Z:

:

4

 PSL(2, )

 U   Z As transformações de Möbius correspondem a projeção estereográfica de um hemistério de uma circunferência sobre um disco circular de raio R que representa o plano complexo. Quando a esfera gira, os pontos não plano complexo sofrem uma rotação, porém a sua distância em relação ao centro não muda, ou seja, a transformação preserva a norma.

P á g i n a | 5-1646

Outro aspecto importante é que o conjunto de toda as rotações geradas por quartenions são um homeomorfismo sobre o espaço tridimensional das projeções P³: Como um conjunto de quatro números q0, q1, q2, q3, de modo que q02  q12  q22  q32  1 representa uma rotação, o conjunto de todas as rotações corresponde à esfera unitária S3 em torno da origem em 4D. Entretanto, dois quaternions q e −q representam a mesma rotação, portanto a correspondência entre S3 e o conjunto de rotações é de 2 a 1. Isso pode ser feito de 1 a 1 considerando um hemisfério, por exemplo, a parte de S3 para q0 ≥ 0 Mas então surge um problema de continuidade, porque cada ponto na fronteira e seu antípoda, isto é, a outra extremidade do segmento diametral, representa a mesma rotação. Portanto, se a trajetória de rotações continuamente variáveis atinge o limite, ela aparece no antípoda. Para eliminar tal descontinuidade, precisamos colar cada ponto no limite do seu antípoda. O espaço resultante é indicado por P3 e denominado em termos topológicos o espaço projetivo 3D. Assim, o conjunto de todas as rotações corresponde continuamente de 1 a 1 a P3. Nós nos referimos a esse fato dizendo que o conjunto de todas as rotações é homeomórfico para P3. É fácil ver que um loop fechado neste hemisfério que atinge o limite e reaparece do antípoda não pode ser continuamente reduzido a um ponto. Diz-se que um espaço está conectado se quaisquer dois pontos nele puderem ser conectados por um caminho suave e simplesmente conectado se qualquer loop fechado nele puder ser continuamente reduzido a um ponto. Assim, P3 está conectado, mas não simplesmente conectado. No entanto, é fácil visualizar mentalmente que um loop fechado que atravessa o limite duas vezes (ou um número par de vezes) pode ser continuamente reduzido a um ponto. (KANATANI, 2015, P. 48-49).

P á g i n a | 5-1647

Figura: O conjunto de todos os quaternions que representam rotações corresponde a um hemisfério de raio 1 em 4D, de modo que todos os pontos antipodais q e −q na fronteira são colados. (a) Se um caminho fechado que representa variações contínuas de rotação atinge o limite, ele aparece no lado oposto. Este loop não pode ser continuamente reduzido a um ponto. (b) Se um loop fechado passa pelo limite duas vezes, ele pode ser continuamente reduzido a um ponto: primeiro giramos o segmento diametral conectando q ′ e −q ′ para que coincidam com q e −q e depois reduzimos o loop para q e −q, que representam o mesmo ponto. (KANATANI, 2015, P. 48-49). Essa propriedades dos quartenions serão fundamentais para a construção espaços de dimensões negativas e da super álgebra vetorial. Nosso próximo passo será introduzir números com configurações semelhantes aos números complexos, mas com propriedades mais gerais e que, em geral, não apresentam estrutura de um corpo. Após estabelecermos os fundamentos dessa nova teoria, retornaremos aos quartenions para construir uma nova estrutura: o super quartenion.

P á g i n a | 5-1648

1.8. Números Hipercomplexos Os quartenions de Hamilton são descritos em função de números imaginários i, j, k e preservam associatividade, mas não a comutatividade. Se no lugar das unidades imaginárias, colocarmos unidades perplexas p, q, r construímos um novo quartenion, ao preço da associatividade e da comutatividade. Nesta seção, estudaremos os fundamentos gerais da álgebra de Hamilton usando as álgebras de Clifford. Para isso, introduzamos dois números hipercomplexos sobre um corpo de escalares reais: n

A  a0   Rk ak

 Rk 

k 1 n

B  b0   Rl bl

2

 R2

l 1

Chamaremos os termos somados de parte vetorial do número hipercomplexo:

A  a0  a

n

a   Rk ak k 1 n

B  b0  b

b   Rl bl k 1

Tomemos o produto direto destes dois números:



A  B   a0  a  b0  b



A  B  a0b0  a0b  b0 a  a

b

O termo que define as características desse produto direto é justamente o produto de Clifford, por isso iremos direcionar nossa atenção à ele:

P á g i n a | 5-1649

a a

 n  n  b    ak Rk   bl Rl   k 1  l 1 

b   a1 R1  a2 R2 

 an Rn  b1 R1  b2 R2 

 bn Rn 

Distribuindo os termos da soma, obtemos: 2 2 2 2 b   a1b1  R1   a2b2  R2   a3b3  R3    anbn  Rn      a1b2  R1R2   a1b3  R1R3    a1bn  R1Rn   a2b1  R2 R1 

a

 a2b3  R2 R3   

 a2bn  R2 Rn   anb1  Rn R1   anb3  Rn R3 

 anbn 1  Rn Rn 1 

Agora vamos introduzir uma constante P chamada de constante de permutação e que atua sobre as unidades hipercomplexas da seguinte forma:

R R   PR R  i

j

j

i

O permutador apresenta a seguinte regra:

1, P 1,

se a álgebra for comutativa se a álgebra não for comutativa

Substituindo no produto de Clifford:

b   a1b1R 2  a2b2 R 2  a3b3 R 2   anbn R 2    a1b2  Pa2b1   R1 R2    a1b3  Pa3b1   R1 R3 

a



  anbn 1  Pan 1bn   Rn Rn 1 

P á g i n a | 5-1650

Podemos escrever a equação acima da seguinte forma:

a

b  a , b R 2   a1b2  Pa2b1   R1R2 

  a1b3  Pa3b1   R1R3  

  anbn 1  Pan 1bn   Rn Rn 1 

Definido a forma geral do produto de Clifford, para avançarmos na análise de nosso número hipercomplexo, vamos estabelecer a sua (pseudo-)norma1 ao quadrado como uma aplicação linear que associa um número hipercomplexo há um número real: 2

n 1

:



2

A  A  A† Calculemos a expressão da norma ao quadrado explicitamente: A  A†  a0 a0  a0 a †  a0 a  a 2

A  a0 a0  a0 a †  a0 a  a

a†

a†

As unidades hipercomplexas devem apresentar um conjugado hipercomplexo que satisfaz a relação:

 Ri 

†

  Ri

a †  a

Desta forma, a norma ao quadrado apresenta a seguinte forma: Se 2  0 para algum A não-nulo, dizemos que o número hipercomplexo apresenta uma pseudo-norma e define um espaço topológico pseudo-métrico. Por uma questão de praticidade, usaremos o termo norma para se referir também a pseudo-norma.

1

P á g i n a | 5-1651

2

A  a02  a

a

Novamente, avaliaremos a transformação do produto de Clifford:

a

a  a , a R 2   a1a2  Pa2 a1   R1R2 

  a1a3  Pa3a1   R1R3  

  an an1  Pan1an   Rn Rn 1 

Para que a aplicação seja uma norma, o produto de Clifford deve ser proporcional ao produto interno: a

a  a, a R 2

E a norma do número hipercomplexo, torna-se: 2

A  a02  a , a R 2 2

2

A  a02  a R 2

Para que esta condição seja verificada, temos que impor a nulidade do termo:

 a1a2  Pa2 a1   R1R2    a1a3  Pa3a1   R1R3     an an 1  Pan 1an   Rn Rn 1   0 Para ai arbitrário, só há três condições possíveis: 1) O número hipercomplexo é bidimensional Se a base do número hipercomplexo for {1, R}, o intervalo de soma será n = 1 e, portanto, a parte vetorial do produto de Clifford será automaticamente nula e assim a condição da norma ao quadrado é automaticamente satisfeita. Como a condição de comutatividade está associado ao produto vetorial, então podemos dizer que todo número hipercomplexo bidimensional é um anel abeliano.

P á g i n a | 5-1652

2) O produto das unidades hipercomplexas é nulo Para um número hipercomplexo arbitrário, sem restrição sobre a comutatividade, essa igualdade só será verificada se, e somente se:

Ri R j  0 Chamaremos os números hipercomplexos que satisfazem essa condição de números hipercomplexos ortogonais. Assim como os números hipercomplexos bidimensionais, os números ortogonais apresentam a estrutura de um anel abeliano. 3) A álgebra é não-comutativa Se a álgebra não for comutativa, então P = -1, nestas condições todos os termos em colchetes se anulam e o produto vetorial é zero. Esse é o caso com menor número de restrições, pois enquanto o caso (1) só vale para números hipercomplexos bidimensionais, o caso (2) apresenta (n²-n)/2 restrições (equivalentes aos produtos dos vetores com a base) e o caso (3) apresenta apenas uma restrição (equivalente a escolha do valor de P). Doravante, concentraremos nossos esforços nos números hipercomplexos não comutativos.

1.9. Números Hipercomplexos Próprios Na seção anterior, obtivemos a norma de um número hipercomplexo é dado pela relação: 2

2

A  a02  a R 2

Como observamos, se a norma ao quadrado de A for menor ou igual a zero, para algum A não nulo, então dizemos que o número hipercomplexo à rigor não apresenta uma norma, mas uma pseudonorma. Além disso, esse número hipercomplexo apresentará pelo menos um divisor de zero. Os números hipercomplexos que

P á g i n a | 5-1653

apresentam essas características são chamados de “impróprios”. Os números hipercomplexos munidos de uma norma e, portanto, sem divisores em zero, são chamados de “próprios”. Agora vamos determinar para quais unidades hipercomplexas, o conjunto é próprio. Inicialmente, observe que se a norma da parte vetorial for nula, o número hipercomplexo é um número real e como os números reais são um corpo ordenado, portanto eles não apresentam divisores em zero e são números hipercomplexos próprios. Resta-nos avaliar o caso mais geral, quando a norma ao quadrado da parte vetorial é positiva. Para isso tomemos a desigualdade fundamental: 2

2

A  0  a02  a R 2  0 Essa desigualdade nos fornece a seguinte relação para R:

a  a R  a  R   0   a  2

2

2 0

2

2

A arbitrariedade exige que condição deve ser satisfeita para todos os quartenions. Isso significa que essa desigualdade deve ser satisfeita para o menor número (ao/||a||)². Como esse termo é um número real não-negativo, o seu menor valor possível é 0. R2  0

Isso significa que R é uma unidade imaginária. Em outras palavras, o único número hipercomplexo próprio são aqueles cujas unidades da parte vetorial são unidades imaginárias. Os hipercomplexos impróprios ocorrem quando as unidades hipercomplexas são números duais (parabólicos) ou nilpotentes de segunda ordem, R² = 0, ou quando as unidades forem números perplexos (hiperbólicos), R² = 1.

P á g i n a | 5-1654

1.10. Ordem dos Números Hipercomplexos O produto de dois números hipercomplexos produz um produto de Clifford. Dentro desse produto encontramos uma série de produtos cruzados entre as unidades hipercomplexas:

a

b  a , b R 2   a1b2  a2b1   R1R2 

  a1b3  a3b1   R1R3  

  anbn 1  an 1bn   Rn Rn1 

No espaço tridimensional, os termos em chaves correspondem ao produto vetorial: a

b  a, b R 2  a  b

Portanto a condição necessária e, suficiente, para que um número hipercomplexo esteja definido é que seu produto vetorial também o esteja. Para que o produto vetorial exista, o número de dimensões da parte vetorial não pode ser arbitrário. Há duas condições que definem a existência do produto vetorial. Tomemos a forma tensorial do produto vetorial: a  b   ai b j   ijk Rk

Rk  Ri R j Como o pseudo-tensor de Levi-Civita é de terceira ordem, então para que essa equação esteja bem-definida é necessário que as unidades hipercomplexas da base apareçam em grupos de 3. O produto vetorial se associa a álgebra de Lie do grupo de rotações, por meio da seguinte regra:

a b 

1 a, b   2

P á g i n a | 5-1655

Portanto, o número de dimensões para se definir o produto vetorial é igual ao número de geradores das rotações. Como os elementos da álgebra de Lie se combinam em pares, o número mínimo de dimensões vai ser dado pela combinação de 2 em n:

dim dim

n

n



 C2n

n  n  1 2

Estes números serão denominados de hipercomplexos de ordem n. Cada um destes define sobre um corpo de escalares uma álgebra de Clifford,

Cl p ,i 



Onde p é o número de componentes perplexas e i é o número de componentes imaginárias e k é o corpo de escalares sobre o qual toma-se a álgebra. Um hipercomplexo de primeira ordem é um número com nenhuma dimensão vetorial. Esse número corresponde ao corpo dos números reais. dim

1

 0   A  a0

Cl0,0 





Um número hipercomplexo de segunda ordem, apresenta apenas uma dimensão na componente vetorial. Esse é o caso dos números complexos, perplexos e duais: dim

 A  ao  ia1  2  1   B  bo   b1 C  c  pc o 1 



Cl0,1 



Cl1,0 



 

P á g i n a | 5-1656

Por sua vez, o número hipercomplexo de terceira ordem apresentará três dimensões vetoriais e por isso irá corresponder aos quartenions de Hamilton.

dim

3

3   3   A  ao   ai Ri i 1 



4

Cl0,3 



Os hipercomplexos de quarta ordem apresentarão seis dimensões vetoriais e irão compor os bi-quartenions e os super-quartenions. Poderíamos usar a regra indefinidamente para definir números hipercomplexos da ordem que desejarmos, porém como os números hipercomplexos devem ocorrer em tripletos, e existem apenas três tipos de unidades hipercomplexas2, então o número máximo de dimensões vetoriais que admitem produto vetorial são 9. Por outro lado, o número hipercomplexo de quinta ordem exige uma base vetorial de 10 dimensões. Nestas condições os números hipercomplexos apresentam ordem menor ou igual a quatro. Podemos ainda introduzir dois novos tipos de números hipercomplexos, mais arbitrários, pois admitem quantas dimensões forem necessárias, são os hipercomplexos híbridos e os degenerados. O primeiro grupo é composto por uma parte vetorial que apresenta unidades hipercomplexas mistas, mas que não vem em tripletos. Já os degenerados são números hipercomplexos onde as unidades sobressalentes são ortogonais as demais unidade. Por exemplo, um número hipercomplexo degenerado de 3º ordem pode apresentar 4 ou 5 dimensões vetoriais, sendo que R4 e R5 multiplicados por qualquer outro vetor é nulo. Em nossos estudos, iremos apenas nos focar nos números hipercomplexos ordenados.

Estamos considerando o número dual (nilpotente de ordem 2) como uma unidade número hipercomplexa, mas isso não é consensual.. 2

P á g i n a | 5-1657

1.11. Associatividade de Números Hipercomplexos Agora que já compreendemos que os números hipercomplexos ordenados apresentam apenas quatro ordens, sendo que os de primeira ordem formam um corpo (anel abeliano próprio) e os de segunda ordem formam um anel abeliano, em particular, se a unidade for imaginária, o anel será próprio. Os quartenions de Hamilton (hipercomplexos de terceira ordem) são anéis hipercomplexos próprios, algumas vezes chamados de corpo não comutativo (pois eles satisfazem todas as propriedades de um corpo, exceto a comutatividade). Por outro lado, os quartenions hiperbólicos formam apenas um monoide multiplicativo, pois não são associativos, além de admitir divisores em zero. Portanto, convém perguntar: quais são as condições que definem a associatividade para os números hipercomplexos? Nesta seção vamos definir sobre quais a condição mínima para que os hipercomplexos de terceira e quarta ordem formem anéis. Iniciemos o nosso estudo a partir dos hipercomplexos de terceira ordem. Tomemos o produto das unidades hipercomplexas, partindo pressuposto que este produto é um endomorfismo:

R1  R2 R3 R2  R3 R1 R3  R1R2

Rk  Ri R j Rk 

1  Ri , R j  2

Como os Rk são arbitrários, precisamos operar sobre a equação genérica:

Rk  Ri R j Multiplicando a equação por Rm pela direita, obtemos:

P á g i n a | 5-1658

 Ri Rk   Ri Ri  R j   Rm Rk   Rm Ri  R j   R j Rk   R j R j  R j ou   Rk Rk   Rk R j  R j

 Ri Rk  Ri  Ri R j     R j Rk  R j  Ri R j    Rk Rk  Rk  Ri R j 

Pela lei do produto e a álgebra de Lie, as classes à esquerda são:  R j  R 2 R j  Rm Rk   Rm Ri  R j   Ri   Rk R j ou  2  R  R j R j

 Ri Rk  Ri Rk   R j Rk  R j Rk   Rk Rk  Rk Rk

Apenas a primeira nos fornece um resultado importante:

R2  1 Portanto a multiplicação a esquerda é associativa se, e somente se, Rm for um imaginário puro. Vamos verificar o que acontece quando fazemos o produto pela direita:  Rk Ri  Ri  R j Ri    Rk Rm  Ri  R j Rm    Rk R j  Ri  R j R j  ou   Rk Rk  Ri  R j Rk 

 Rk Ri   Ri R j  Ri    Rk R j   Ri R j  R j   Rk Rk   Ri R j  Rk

Usando a regra do produto e a álgebra de Lie, teremos as classes à esquerda:  R j   Ri Rk  Rk Ri  Rk Ri   2 Rk Rm  Ri  R j Rm    Ri  Ri R ou  Rk R j  Rk R j  2   Rk Rk  Rk Rk  R  Ri Ri

P á g i n a | 5-1659

Desta vez, somente a terceira equação nos traz alguma informação: a multiplicação a direita é associativa se, e somente se, Rm for um imaginário puro. Essa é razão dos quartenions de Hamilton formarem um anel próprio enquanto os quartenions hiperbólicos só constituem um monoide multiplicativo. Agora, resta estudarmos a estrutura do número hipercomplexo de quarta ordem. Para isso vamos definir dois tripletos de unidades hipercomplexas e suas respectivas álgebras de Lie.

Polar

Axial

Br  r1 , r2 , r3 

BR  R1 , R2 , R3 

Rk  ri rj

Rk  Ri R j

R1  r2 r3

R1  R2 R3

R2  r3 r1

R2  R3 R1

R3  r1r2

R3  R1 R2

rk 

1  ri , rj  2

Rk 

1  Ri , R j  2

O segundo tripleto corresponde aos números imaginários que constituem o hipercomplexo de terceira ordem e garantem o fechamento do número hipercomplexo. Por isso, devemos apenas concentrar nossa atenção sobre o primeiro tripleto. Multipliquemos a primeira equação por Rm pela esquerda:  Ri Rk   Ri ri  rj  Rm Rk   Rm ri  rj   R j Rk   R j ri  rj ou   Rk Rk   Rk ri  rj

 Ri Rk  Ri  ri rj     R j Rk  R j  ri rj    Rk Rk  Rk  ri rj 

P á g i n a | 5-1660

Pela lei do produto e a álgebra de Lie, temos as classes à esquerda:

 R j   Ri ri  rj  Rm Rk   Rm ri  rj   Ri   R j ri  rj ou  2  R   Rk ri  rj

 Ri Rk  Ri Rk   R j Rk  R j Rk   Rk Rk  Rk Rk

Realizemos o mesmo processo, mas multiplicando pela direita:  Rk Ri  ri  rj Ri    Rk Rm  ri  rj Rm    Rk R j  ri  rj R j  ou   Rk Rk  ri  rj Rk 

 Rk Ri   ri rj  Ri    Rk R j   ri rj  R j   Rk Rk   ri rj  Rk

Pela lei do produto e a álgebra de Lie, temos as classes à direita:  R j  ri  rj Ri    Rk Rm  ri  rj Rm    Ri  ri  rj R j  ou  2  R  ri  rj Rk 

 Rk Ri  Rk Ri   Rk R j  Rk R j   Rk Rk  Rk Rk

Destas relações, as que nos interessam são:

 R j   Ri ri  rj   Ri   R j ri  rj  2  R   Rk ri  rj

 R j  ri  rj Ri     Ri  ri  rj R j   2  R  ri  rj Rk 

Destas equações retiramos as seguintes informações:

P á g i n a | 5-1661

 Ri ri  rj   R j   R j ri  rj   Ri   Rk ri  rj  1

ri  rj R j    Ri   ri  rj Ri    R j  ri  rj Rk   1

Multipliquemos a primeira equação por rk pela esquerda: ri Rk   ri ri  rj  rm Rk   rm ri  rj  rj Rk   rj ri  rj  rk Rk   rk ri  rj

ou

ri Rk  ri  ri rj    rj Rk  rj  ri rj   rk Rk  rk  ri rj 

Usando a regra do produto e a álgebra de Lie, teremos as classes à esquerda: ri Rk  r 2 rj ri Rk  ri Rk   rm Rk   rm ri  rj  rj Rk   Rk rj ou rj Rk  rj Rk   rk Rk  rk Rk rk Rk  R j rj Agora façamos o produto pela direita:  Rk ri  ri  rj ri    Rk rm  ri  rj rm    Rk rj  ri  rj rj  ou   Rk rk  ri  rj rk 

 Rk ri   ri rj  ri    Rk rj   ri rj  rj   Rk rk   ri rj  rk

Usando a regra do produto e a álgebra de Lie, teremos as classes à direita:

P á g i n a | 5-1662

 Rk ri  ri Rk  Rk rm  ri  rj rm    Rk rj  ri r 2   Rk rk  ri Ri

ou

 Rk ri  Rk ri   Rk rj  Rk rj   Rk rk  Rk rk

Destas relações, as que nos interessam são:  R j  ri  rj Ri     Ri  ri  rj R j   2  R  ri  rj Rk 

 R j   Ri ri  rj   Ri   R j ri  rj  2  R   Rk ri  rj

Destas equações retiramos as seguintes informações: ri  rj R j    Ri   ri  rj Ri    R j  ri  rj Rk   1

 Ri ri  rj   R j   R j ri  rj   Ri   Rk ri  rj  1

Agora vamos determinar o valor de r², tomemos as equações: ri  rj Rk   1

 Rk ri  rj  1

Substituindo os valores dos parêntesis, obtemos:

 r  r j

j

ri   ri   1

 1

r2  1

P á g i n a | 5-1663

Portanto os vetores polares são números perplexos, enquanto os vetores axiais são números imaginários. Na álgebra vetorial costuma-se a chamar um vetor polar de vetor e um vetor axial de pseudo vetor, devido a transformação de suas componentes frente a planos de reflexão. Também podemos definir o pseudo escalar unitário que denotaremos por (*1). O pseudo escalar quando multiplicado por um versor produz o oposto de um pseudo versor e vice-versa. Desta maneira, podemos introduzir o operador dual * que transforma pseudo-vetores em vetores e vice-versa. Das operações que realizamos, obtivemos as seguintes relações:

Polar  Polar  Axial

Axial  Axial  Axial

ri rj  Rk  rj rk  Ri  rk ri  R j

 Ri R j  Rk   R j Rk  Ri   Rk Ri  R j

Polar  Axial  Polar

Axial  Polar  Polar

ri R j   rk  rj Rk  ri  rk Ri   rj

 Ri rj  rk   R j rk   ri   Rk ri  rj

Álgebra de Lie e de Clifford

Outras Relações Importantes

1  2  ri , R j   rk   1 r , R    1  2 i i

ri   1 ri   Ri  Ri†  † Ri   1 Ri  ri  ri  2 2 r   R  1

P á g i n a | 5-1664

1.12. Super-Quartenions Cl3,3   Os quartenions hiperbólicos não são associativos, isso decorre do fato de que um quartenion é um número hipercomplexo de terceira ordem e a associatividade é uma propriedade de números hipercomplexos com unidades imaginárias. Contudo, podemos conjecturar que um quartenion hiperbólico, seja na verdade um sub espaço vetorial de um número hipercomplexo de ordem superior. Para testarmos essa conjectura, tomemos o quartenion hiperbólico:

A  ao  a B  bo  b Agora, façamos o produto direto dos dois quartenions:



A  B   ao  a  bo  b



A  B  aobo  bo a  aob  a

b

A  B  aobo  bo a  aob  a , b  a  b

Como o produto de dois versores polares é um versor axial, a equação acima se torna um número hipercomplexo de 7 dimensões:

A  B  aobo  bo a  aob  a , b   a2b3  a3b2  R1   a3b1  a1b3  R2   a1b2  a2b1  R3 Para esta equação, adotaremos a seguinte convenção:

A  B  C  co  c  c co  aobo  a1b1  a2b2  a3b3

c   aob1  a1bo  r1   aob2  a2bo  r2   aob3  a3bo  r1

c   a2b3  a3b2  R1   a3b1  a1b3  R2   a1b2  a2b1  R3

P á g i n a | 5-1665

Usaremos uma seta na parte inferior para indicar um vetor axial. Tomemos dois números hipercomplexos de quarta ordem e 7 dimensões e façamos o produto direto:



S  C  D   co  c  c  d o  d  d 

S  co d o  co d  d o c  co d   d o c  c

d c



d   c

d  c

d

Nós não estamos interessado nos valores quantitativos, apenas na análise qualitativa do problema, por isso não iremos expandir os produtos, exceto os de Clifford, que trataremos a parte: c

d  c, d  c  d

c

d  c, d  c  d

c

d   c, d   c  d 

c

d  c, d  c  d

 Escalar  PseudoVetor 

 Pseudo Escalar  Vetor 

Antes de substituir nas equações, vamos agrupar os termos de mesma natureza:

to  co d o  c , d  c, d  p*  c , d   c, d t  co d  d o c  c  d   c  d p  co d   d o c  c  d  c  d  Substituindo em nossa equação, obtemos um número hipercomplexo de quarta ordem de 8 dimensões, também chamado de bi-quartenion hiperbólico ou octonion associativo:

S  to  p*  t  p

BS  1, 1, p, q, r , i, j , k 

Se definirmos o super escalar s como a soma do escalar e do pseudo-escalar e o super vetor s como a soma do vetor pelo pseudo-

P á g i n a | 5-1666

vetor, então nosso octonion pode ser escrito em uma forma semelhante ao quartenion:

S ss Por isso chamaremos esse octonion de super quartenion. O super vetor s define um espaço vetorial de 6 dimensões, também chamado de espaço motor, pois ele é o gerador de todas as formas de movimento (translação e rotação). O super espaço vetorial é isomórfico ao espaço dos 6-vetores e das 6-formas da álgebra de Grassmann bem como ao espaço dos tensores antissimétricos de segunda ordem de variedade 4-dimensional. Usando o operador dual * podemos mostrar que o super quartenion é a soma direta do espaço dos quartenions de Hamilton e seu dual, ou a soma direta do espaço dos quartenions hiperbólicos e seu dual.

: Cl3,0 



B  bo  b



†

 A  a  a

A  ao  a : Cl0,3 

 : Cl0,3 



 : Cl3,0  B †  b  b

  0 



   0





: Cl3,3 



S ss



Por fim, devemos salientar que como os quartenions hiperbólicos não são associativos e o operador dual * os transforma em quartenions elípticos, que são associativos, então podemos afirmar que se há álgebras sobre um espaço de n dimensões que são associativa e não associativa, respectivamente, o operador * permite intercambia-las e, portanto, a álgebra não associativa é a dual da associativa.

P á g i n a | 5-1667

1.13. Super Álgebra Vetorial Como nos ensina Poincaré, o espaço da geometria é o espaço motor ou dos deslocamentos de um corpo rígido. Nesse espaço introduzimos elementos algébricos chamados de vetores do espaço. A palavra vetor remete a um processo de deslocamento de um ponto A de uma posição do espaço para outra localidade. Esse formalismo não é apenas útil ao matemático por permitir uma descrição algébrica da geometria, mas também se tornou essencial na descrição das grandezas naturais. As grandezas físicas que são representadas por vetores têm ou a mesma simetria de um cone ou de a um cilindro girando. Grandezas vetoriais que são representadas por segmentos de retas orientadas, tais como deslocamento, velocidade, força e momento exibem a mesma simetria de um cone. Já as grandezas relacionadas com rotações e resultantes de um produto vetorial tais como as que correspondem à velocidade angular, torque e momento angular exibem a mesma simetria de um cilindro girando. Podemos associar estes dois tipos de simetria a dois tipos distintos de vetores: vetores polares (vetores propriamente ditos) e vetores axiais (pseudo-vetores).

Para classificarmos os diferentes vetores no espaço, podemos recorrer as suas simetrias em relação a planos paralelos e perpendiculares que cortem determinados sólidos de revolução. Pensemos em um sólido de revolução (como um cone, ou uma esfera, um elipsóide de revolução, um cilindro ou um disco). Todos eles possuem um eixo de simetria. Além disso, todos esses exemplos possuem também um plano de simetria perpendicular ao eixo de simetria. Imaginemos, agora, que um desses sólidos está girando em torno desse eixo. Esse movimento de rotação diminui a simetria do sistema. A simetria de um corpo parado é diferente da simetria do mesmo corpo girando. O cilindro em rotação não é simétrico em relação a reflexões nos planos que

P á g i n a | 5-1668

passam por seu eixo pois uma metade do cilindro refletida no plano é diferente de sua imagem, isto é, ambas giram em sentidos contrários, como mostrado abaixo. No entanto, o cilindro em rotação é simétrico com relação a qualquer plano perpendicular a seu eixo, passando por seu centro, isto é, uma metade do cilindro é igual a sua imagem refletida no plano.

Uma das formas mais usadas na topologia é o toro. Podemos mostrar que tanto os vetores polares quanto os vetores axiais podem ser descritos como simetrias dos diferente planos que cortam um toro.

P á g i n a | 5-1669

Pela figura podemos destacar a existência de dois conjuntos de curvas fechadas isomórficas as esferas S1, o conjunto de círculos homotéticos A e o conjunto de círculos isométricos B. Agora vamos animar esses círculos com uma rotação.

Se cortarmos o toro com um plano paralelo ao eixo z, nossa figura será dividida em duas partes iguais, que preservam a orientação do conjunto B de círculos S1 e invertem a orientação dos círculos do conjunto A.

Porém, se cortarmos o nosso toro com um plano perpendicular ao eixo z, nossa figura será dividida em duas partes iguais, que preservam a orientação do conjunto A de círculos S1 e invertem a orientação dos círculos do conjunto B.

P á g i n a | 5-1670

P á g i n a | 5-1671

Os vetores que apresentam a mesma simetria dos círculos do conjunto A sobre os planos que cortam o toro são denominados de vetores polares: Um vetor polar é aquele cujas componentes mudam de sinal quando há uma inversão dos eixos coordenados. Eles têm esse nome pois são da mesma natureza que o raio vetor proveniente de um polo. O grupo de simetria de um vetor polar é o de um cone com eixo paralelo ao vetor. As três componentes do vetor conservam os mesmos valores após uma rotação qualquer do sistema de eixos em torno da direção do vetor e após uma reflexão por um plano paralelo ao vetor. A mudança do sinal por uma inversão dos eixos corresponde à ausência de centro no grupo de simetria do vetor polar.

Os vetores que apresentam a mesma simetria dos círculos do conjunto B sobre o planos que cortam toro são denominados de vetores axiais: Os vetores axiais, por outro lado, pertencem ao grupo de simetria de um cilindro circular girando em torno do eixo passando pelo vetor. As transformações de coordenadas que deixam invariáveis as componentes de um vetor deste tipo são as rotações de um ângulo qualquer em torno da direção do vetor; as reflexões em um plano perpendicular a direção do vetor e as inversões. Essas operações correspondem à existência de um centro de simetria do vetor. O grupo de tais transformações é um subgrupo que deixa invariantes as componentes de um vetor chamado axial, em analogia com uma rotação em torno de um eixo. Os vetores axiais são antissimétricos com respeito a reflexões em um plano paralelo e simétricos com relação a reflexões em um plano perpendicular.

Na teoria das categorias de Eilenberg e Lane (1945) podemos dizer que o conjunto A de curvas sobre o toro e os vetores polares pertencem à mesma categoria e são monomórficos. Chamaremos

P á g i n a | 5-1672

essa categoria de Espaço Polar. Da maneira análoga, o conjunto B de curvas sobre o toro e os vetores axiais pertencem à mesma categoria e são monomórficos. Chamaremos essa categoria de Espaço Axial. Agora, iremos associar esses espaços e seus vetores aos espaços de dimensões positivas e negativas. Observe que o espaço de 1 dimensão positiva tem simetria polar, enquanto o espaço de 1 dimensão negativa tem simetria axial.

Desta relação é fácil concluir que um vetor polar é um vetor que representa o deslocamento de um corpo em um espaço de dimensão positiva, enquanto o vetor axial é um vetor de deslocamento em um espaço de dimensão negativa. Nós denotaremos, na falta de um símbolo apropriado, o vetor axial, como um letra grega ou romana e uma flecha grifada em sua parte inferior.

Vetor Polar  u Vetor Axial  u A natureza vetorial, (vetores polares e axiais) forma um grupo sobre essa operação que é isomórfico ao grupo aditivo Z/2:

P á g i n a | 5-1673



polar

axial

+

1

0

polar

axial

polar

1

0

1

axial

polar

axial

0

1

0

Vetores

Z/2

Vetores polares e vetores axiais não podem ser somados, o que mostra que o conjunto destas duas entidades não é fechado em relação à adição. Por meio destes elementos, vamos determinar como se transformam os produtos deste grupóide para o espaço tridimensional. Primeiro vamos definir uma base para os vetores polares e axiais: u  apˆ  bqˆ  crˆ u  xiˆ  yjˆ  zkˆ Pela tábua multiplicativa, o produto de dois vetores polares deve ser um vetor axial, conforme a regra do produto vetorial, dado pelo pseudo-determinante: iˆ ˆj kˆ u  apˆ  bqˆ  crˆ u v  a b c v  dpˆ  eqˆ  frˆ d e f O valor do produto vetorial é dado por: u  v   bf  ce  iˆ   cd  af  ˆj   ae  bd  kˆ

Por outro lado, a expressão literal deste produto será: u  v   apˆ  bqˆ  crˆ    dpˆ  eqˆ  frˆ 

Desenvolvendo o produto, teremos:

P á g i n a | 5-1674

u  v  ad  pˆ  pˆ   ae  pˆ  qˆ   af  pˆ  rˆ   bd  qˆ  pˆ   be  qˆ  qˆ   bf  qˆ  rˆ   cd  rˆ  pˆ   ce  rˆ  qˆ   cf  rˆ  rˆ  Como os termos ad, be e cf não aparecem no produto vetorial, concluímos que os vetores da base são nilpotentes de ordem 2. 2 pˆ  0 2 qˆ  0 2 rˆ  0

Isso indica que o conjunto p, q e r é uma álgebra de Grassman de ordem 2, portanto os produtos cruzados devem se comportar como variáveis de Grassman:

 : 2  2 A B  B  A Levando esse fato em consideração em nossas equações:

u  v  ae  pˆ  qˆ   af  rˆ  pˆ   bd  pˆ  qˆ  bf  qˆ  rˆ   cd  rˆ  pˆ   ce  qˆ  rˆ 

u  v   ae  bd  pˆ  qˆ    cd  af  rˆ  pˆ    bf  ce  qˆ  rˆ  Por inspeção, obtemos a relação entre as bases polares e axiais:

 qˆ  rˆ   iˆ  pˆ  qˆ   ˆj  rˆ  pˆ   kˆ Agora vamos obter a álgebra de Grassmann dos axiais. Pela tábua multiplicativa, o produto de dois vetores axiais deve ser um vetor

P á g i n a | 5-1675

axial, conforme a regra do produto vetorial, dado pelo pseudodeterminante: iˆ ˆj kˆ uv  x y z m n o

u  xiˆ  yjˆ  zkˆ v  miˆ  njˆ  okˆ

O valor do produto vetorial é dado por: u  v   yo  zn  iˆ   zm  xn  ˆj   xm  yn  kˆ

Por outro lado, a expressão literal deste produto será:



 

u  v  xiˆ  yjˆ  zkˆ  miˆ  njˆ  okˆ



Desenvolvendo o produto, teremos:

     ym  ˆj  iˆ   yn  ˆj  ˆj   yo  ˆj  kˆ   zm  kˆ  iˆ   zn  kˆ  ˆj   zo  kˆ  kˆ  

u  v  xm iˆ  iˆ  xn iˆ  ˆj  xo iˆ  kˆ 

Como os termos ad, be e cf não aparecem no produto vetorial, concluímos que os vetores da base são nilpotentes de ordem 2. 2 iˆ  0 2 ˆj  0 2 kˆ  0

Isso indica que o conjunto i, j e k é uma álgebra de Grassman de ordem 2, portanto os produtos cruzados devem se comportar como variáveis de Grassman:

 : 2  2 A B  B  A

P á g i n a | 5-1676

Levando esse fato em consideração em nossas equações:

     yo  ˆj  kˆ   zm  kˆ  iˆ   zn  ˆj  kˆ  u  v   yo  zn   ˆj  kˆ    zm  xo   kˆ  iˆ    xn  ym   iˆ  ˆj  



u  v  xn iˆ  ˆj  xo kˆ  iˆ  ym iˆ  ˆj

Por inspeção, obtemos a relação entre as bases polares e axiais:

 ˆj  kˆ   iˆ  kˆ  iˆ   ˆj  iˆ  ˆj   kˆ

Agora vamos definir os produtos mistos entre as componentes das bases polares e axiais. Para isso, tomemos o produto de um vetor polar e um axial: pˆ u u  a x

u  apˆ  bqˆ  crˆ u  xiˆ  yjˆ  zkˆ

qˆ b y

rˆ c z

O valor do produto vetorial é dado por: u  u   bz  cy  pˆ   cy  az  qˆ   ay  bx  rˆ

Por outro lado, a expressão literal deste produto será:



u  u   apˆ  bqˆ  crˆ   xiˆ  yjˆ  zkˆ



P á g i n a | 5-1677

Desenvolvendo o produto, teremos:













u  u  ax pˆ  iˆ  ay pˆ  ˆj  az pˆ  kˆ 























bx qˆ  iˆ  by qˆ  ˆj  bz qˆ  kˆ  cx rˆ  iˆ  cy rˆ  ˆj  cz rˆ  kˆ



Como os termos ax, by e cz não aparecem no produto vetorial, concluímos que os vetores da base são nilpotentes de ordem 2. iˆ  pˆ  0 ˆj  qˆ  0 kˆ  rˆ  0

Isso indica que o conjunto i, j, k, p, q e r é uma álgebra de Grassman de ordem 2, portanto os produtos cruzados devem se comportar como variáveis de Grassman:

 : 2  2 A B  B  A Levando esse fato em consideração em nossas equações:

    bz  qˆ  kˆ   cx  rˆ  iˆ   cy  ˆj  rˆ  

u  u  ay pˆ  ˆj  az kˆ  pˆ  bx iˆ  qˆ



 







u  u  bz qˆ  kˆ  cy ˆj  rˆ     cx rˆ  iˆ  az kˆ  pˆ    ay pˆ  ˆj  bx iˆ  qˆ     















Por inspeção, obtemos a relação entre as bases polares e axiais:

P á g i n a | 5-1678

 qˆ  kˆ    ˆj  rˆ   pˆ  rˆ  iˆ    kˆ  pˆ   qˆ  pˆ  ˆj    iˆ  qˆ   rˆ

Assim podemos construir a tábua dos produtos i, j, k, p, q, r:



i

j

K

p

q

R

I

0

k

-j

0

r

-q

J

-k

0

I

-r

0

P

K

j

-i

0

q

-p

0

P

0

r

-q

0

k

-j

Q

-r

0

-p

-k

0

I

R

Q

-p

0

j

-i

0

Também podemos definir uma operação externa denominada de produto interno:

A, B :  2 

A, B :  2 

p, p  q, q  r , r  1

i, i  j , j  k , k  1

p, q  p, r  q, r  0

i, j  i, k  j , k  0

Para determinarmos o produto interno entre as componentes mistas, vamos usar o produto triplo. Da álgebra vetorial sabemos que

P á g i n a | 5-1679

o produto triplo misto cria um pseudo-escalar (ou um número axial). Tomemos três vetores polares:

u  apˆ  bqˆ  crˆ v  dpˆ  eqˆ  frˆ w  xpˆ  yqˆ  zrˆ O produto triplo misto é definido por meio do pseudo-escalar: a a d x

b e y

c f z

Calculando esse determinante, obtemos: a   bf  ce  x   cd  af  y   ae  bd  z

Para tornar a equação menos “carregada”, vamos separar o pseudo-escalar ã como uma combinação linear de três pseudoescalares: ãx, ãy e ãz.

a  ax  a y  az ax   bf  ce  x a y   cd  af  y az   ae  bd  z Também podemos definir o produto triplo misto a partir do produto interno: a  u  v, w

P á g i n a | 5-1680

 bf  ce  iˆ   cd  af  ˆj   ae  bd  kˆ, xpˆ  yqˆ  zrˆ  bf  ce 

a

iˆ, xpˆ  yqˆ  zrˆ   cd  af  ˆj , xpˆ  yqˆ  zrˆ

  ae  bd  kˆ, xpˆ  yqˆ  zrˆ  a Usando a combinação linear, teremos:

ax   bf  ce   x iˆ, pˆ  y iˆ, qˆ  z iˆ, rˆ  a y   cd  af   x ˆj , pˆ  y ˆj , qˆ  z ˆj , rˆ  az   ae  bd   x kˆ, pˆ  y kˆ, qˆ  z kˆ, rˆ    Levando em consideração que:

a  u  v , w  w, u  v Por inspeção, teremos as seguintes relações:

iˆ, pˆ  pˆ , iˆ  1 ˆj , qˆ  qˆ , ˆj  1 kˆ, rˆ  rˆ, kˆ  1 iˆ, qˆ  iˆ, rˆ  0 ˆj , pˆ  ˆj , rˆ  0 kˆ, pˆ  kˆ, qˆ  0 Que são os produtos internos dos vetores da base polar e axial.

P á g i n a | 5-1681

1.14. Escalares, Pseudo-Escalares e Dualidade * Assim como ocorre com os vetores, há dois tipos de números: escalares e pseudo-escalares, cada qual definido pelas seguinte propriedades:

ESCALAR A, B  A, B :  2  A, B  B, A  A, B  B, A A, B  ax iˆ, iˆ  by ˆj , ˆj  cz kˆ, kˆ A, B  ax pˆ , pˆ  by qˆ , qˆ  cz rˆ, rˆ

PSEUDO  ESCALAR A, B :  2  *

*

é o dual de



A, B  B, A A, B  ax iˆ, pˆ  by ˆj , qˆ  cz kˆ, rˆ Vamos supor que um determinador vetor polar de coordenadas a, b, c possa ser transformado em um vetor axial de coordenadas a*, b*, c*. Tomemos os possíveis produtos escalares3:

3

Não confundir a operação dual



com a operação dual de Hodge ★

P á g i n a | 5-1682

A, A  a 2 pˆ , pˆ  b 2 qˆ , qˆ  c 2 rˆ, rˆ A, A  a *2 iˆ, iˆ  b *2 ˆj , ˆj  c *2 kˆ, kˆ

A, A  aa * pˆ , iˆ  bb * qˆ , ˆj  cc * rˆ, kˆ A, A  a * a iˆ, pˆ  b * b ˆj , qˆ  c * c kˆ, rˆ

Devido a comutatividade do produto interno entre duas variáveis de Grassmann, teremos as seguinte relações: A, A  aa * iˆ, pˆ  bb * ˆj , qˆ  cc * kˆ, rˆ

A, A  A, A

Substituindo os valores das equações: a * a iˆ, pˆ  b * b ˆj , qˆ  c * c kˆ, rˆ  aa * iˆ, pˆ  bb * ˆj , qˆ  cc * kˆ, rˆ

Que nos prova que as componentes comutam, pois: a * a  aa * b * b  bb * c * c  cc *

A partir dessa relação, vamos introduzir o operador exponencial dual *, que apresenta as seguintes propriedades:

:



 a   a *

:    a *  a

**  a   *  a *  a **  a *  ab   a * b*  b * a *

* é uma tranformação ortogonal

P á g i n a | 5-1683

Tomemos o dual do vetor polar A:  A    apˆ  bqˆ  crˆ   A  a *   pˆ   b *  qˆ   c *  rˆ 

Tomemos o produto interno desse vetor:  A,  A   a *  pˆ ,  pˆ   b * qˆ , qˆ   c * rˆ, rˆ 2

2

2

Como o operador preserva a ortogonalidade e a norma:  A,  A  a *2 b *2 c *2

A, A  a *2 b *2 c *2  A,  A  A, A

De onde concluímos, com base na seção 1, que se:

Quartenions Vetoriais

Vetores do Espaço

 A  A

 A  A

 A  A

 A  A

Então, teremos que:

Quartenions Vetoriais iˆ   pˆ  pˆ  iˆ

Vetores do Espaço iˆ   pˆ  pˆ  iˆ

 ˆj  qˆ kˆ  rˆ

 ˆj   qˆ kˆ   rˆ

 qˆ   ˆj  rˆ  kˆ

Ri , Ri  R 2

 qˆ   ˆj  rˆ   kˆ

Ri , Ri  1

P á g i n a | 5-1684

Agora vamos estudar a dualidade entre os produtos internos dos vetores polares e axiais. Tomemos o dual do produto escalar misto:

  *bb * qˆ, ˆj   * cc * rˆ, kˆ  A, A  a * a **   pˆ , iˆ   b * b **   qˆ , ˆj   c * c **  rˆ, kˆ   A, A  a * a   pˆ , iˆ   b * b   qˆ , ˆj   c * c  rˆ, kˆ  

 A, A   aa * pˆ , iˆ



Para que a transformação seja ortogonal devemos definir que o operador dual atua sobre o produto interno conforme a regra:

 pˆ , iˆ  iˆ, pˆ  qˆ , ˆj  ˆj , qˆ  rˆ, kˆ  kˆ, rˆ Portanto, concluiremos que:  A, A  a * a iˆ, pˆ  b * b ˆj , qˆ  c * c rˆ, kˆ

 A, A  A, A

Se multiplicarmos a equação acima pelo dual, obteremos:  A, A   A, A A, A   A, A

Aplicando o dual no primeiro produto interno:  A, A    a 2 pˆ , pˆ     b 2 qˆ , qˆ     c 2 rˆ, rˆ



 A, A  a *2   pˆ , pˆ   b *2   qˆ , qˆ   c *2   rˆ, rˆ



P á g i n a | 5-1685

A ortogonalidade exige que definamos o operador dual atua sobre o produto interno conforme a regra dos produtos mistos:

 pˆ , pˆ  iˆ, iˆ  qˆ , qˆ  ˆj , ˆj  rˆ, rˆ  kˆ, kˆ Portanto, obteremos a seguinte relação:  A, A  a *2 pˆ , pˆ  b *2 qˆ , qˆ  c *2 rˆ, rˆ  A, A  A, A

Se multiplicarmos essa relação pelo dual, teremos:  A, A   A, A A, A   A, A

Assim, podemos escrever as relações entre o produto interno entre dois vetores mistos e o operador dual *:

 A, A   A,  A

 A, B  B,  A

 A, A   A,  A

 A, B  B,  A

 A, A   A,  A

 A, B  B,  A

 A, A   A,  A

 A, B  B,  A

P á g i n a | 5-1686

1.15. Distância em Espaços de Grassmann Agora que construímos um conceito de ortogonalidade e produto interno, podemos definir a distância em um espaço de dimensão negativa. Consideremos o ponto central P como o equivalente a origem no espaço de dimensão negativa. Como as circunferências S1 são homotéticas, a distância qualquer ponto A da circunferência e o ponto P será seu raio: d  P, A   r

E entre dois pontos de diferentes circunferências que passam por P, será a diferença dos raios: d  A, B   rB  rA

Como podemos descrever a distância do centro até um ponto qualquer da família de curvas S1 por um vetor axial, a distância passará a ser definida pela norma deste vetor: d  P, A  

A, A

d  P, A   a *2 b *2 c *2

E a distância entre dois pontos que passam por P entre duas circunferência será: d  A, B  

d  A, B  

B  A, B  A

 a *  d *   b *  e *    c *  f *  2

2

2

P á g i n a | 5-1687

1.16. Super Espaço e Super Vetor do Espaço Deixe-me introduzir um conceito de super vetor, a partir de um exemplo físico bastante conhecido: o elétron com velocidade v em um campo magnético B. A velocidade linear é um vetor polar, enquanto o vetor campo magnético é axial. É por essa razão que na equação da força de Lorentz devemos tomar um produto vetorial, para que os vetores tenham a mesma natureza. Sabemos que se o vetor deslocamento do elétron formar um ângulo reto com o campo magnético e sua velocidade for quase-estacionária, o elétron irá ficar confinado em uma órbita circular. O raio dessa órbita será dado por: r

me v eB

Nessa circunstância, podemos imaginar que o elétron está se deslocando em um espaço de dimensão negativa de raio r. Porém, se o elétron penetrar nesse campo com um ângulo que não é reto, a partícula irá descrever um movimento helicoidal. Mas o que é um movimento helicoidal senão um movimento composto por uma

P á g i n a | 5-1688

rotação ao redor de um ponto fixo P e uma translação deste ponto P? Como associamos a translação a uma dimensão positiva e a um vetor polar e a rotação a uma dimensão negativo e a um vetor axial, uma hélice será um movimento descrito por um vetor com uma componente polar e axial, em outras palavras, um super vetor:

m v s   e  iˆ   vt  pˆ  eB  mv mv s , s   e  iˆ   vt  pˆ ,  e  iˆ   vt  pˆ  eB   eB  m v m v m v s , s   e  iˆ,  e  iˆ   vt  pˆ   vt  pˆ ,  e  iˆ   vt  pˆ  eB   eB   eB  2

2 m v m v m v s , s   e  iˆ, iˆ   e   vt  iˆ, pˆ   vt   e  pˆ , iˆ   vt  pˆ , pˆ  eB   eB   eB 

Devido a ortogonalidade teremos: 2

2 m v s , s   e  iˆ, iˆ   vt  pˆ , pˆ  eB  2

2 m v s , s   e    vt   eB  2   2  me  s , s  v    t 2   eB  

2

m  s  v  e   t2  eB  Em outras palavras, qualquer grandeza física pode ser escrita em função de um super vetor composto pelas suas componentes polares e axiais:

P á g i n a | 5-1689

s  xpˆ  yqˆ  zrˆ  x * iˆ  y * ˆj  z * kˆ

Pelas regras de produto vetorial, produto interno e dual podemos deduzir as operações para super vetores: *s  x * iˆ  y * ˆj  z * kˆ  xpˆ  yqˆ  zrˆ

Em outras palavras, no espaço tridimensional, um vetor geral é seu próprio dual. Isso é o resultado esperado, pois um espaço tridimensional positivo e um negativo são idênticos, ou seja, eles são seu próprio dual.

s , s   x 2  y 2  z 2  x *2  y *2  z *2  s  x 2  y 2  z 2  x *2  y *2  z *2 Em outras palavras, a norma será o raio de uma 6-esfera. s A , sB  x A x B  y A y B  z A z B   x A x B  *   y A y B  *   z A z B  *  sA , sB   x A xB  *   y A yB  *   z A z B  *  x A xB  y A yB  z A z B  s A , sB   s B ,  s A  s B , s A   s A ,  s B  s A , s B   s B , s A

Assim, teremos um novo produto que contém uma parte real e parte dual.



sA  sB  xA pˆ  y Aqˆ  z Arˆ  xA * iˆ  y A * ˆj  z A * kˆ



 xB pˆ  yB qˆ  zB rˆ  xB * iˆ  yB * ˆj  z B * kˆ





P á g i n a | 5-1690

sA  sB  xA xB  pˆ  pˆ   x A yB  pˆ  qˆ   x A z B  pˆ  rˆ 











 x A xB * pˆ  iˆ  x A yB * pˆ  ˆj  x A z B * pˆ  kˆ  y A xB  qˆ  pˆ   y A yB  qˆ  qˆ   y A z B  qˆ  rˆ 











 y A xB * qˆ  iˆ  y A yB * qˆ  ˆj  y A z B * qˆ  kˆ  z A xB  rˆ  pˆ   z A yB  rˆ  qˆ   z A z B  rˆ  rˆ 











 z A xB * rˆ  iˆ  z A yB * rˆ  ˆj  z A z B * rˆ  kˆ





 





sA  sB  xA yB  pˆ  qˆ   x A z B  pˆ  rˆ   x A yB * pˆ  ˆj  x A z B * pˆ  kˆ







 y A xB  qˆ  pˆ   y A z B  qˆ  rˆ   y A xB * qˆ  iˆ  y A z B * qˆ  kˆ







z A xB  rˆ  pˆ   z A yB  rˆ  qˆ   z A xB * rˆ  iˆ  z A y B * rˆ  ˆj







sA  sB   x A yB  y A xB  kˆ   z A xB  x A z B  ˆj   y A z B  z A yB  iˆ 

 xA yB *  y A xB * rˆ   z A xB *  xA zB * qˆ   y A zB *  z A yB * pˆ Essa é a regra do produto vetorial de dois vetores gerais. Dois svetores podem ser descompostos em suas partes polares e axiais:

s ss Essa decomposição simples calcular a dualidade:

s  s  s s  s  s s  s E o produto interno e a norma:

P á g i n a | 5-1691

s , s  s  s, s  s s , s  s , s  s  s, s  s s , s  s , s  s , s  s, s  s, s s , s  s , s  s , s  s , s  s, s s , s  s , s  s, s Portanto, o produto interno será dado por:

s , s   x 2  y 2  z 2  x *2  y *2  z *2  s  x 2  y 2  z 2  x *2  y *2  z *2 Vejamos o produto interno entre dois super vetores arbitrários:

sA , sB  s A  sA , sB  sB sA , sB  s A , sB  sB  s A , sB  sB sA , sB  s A , sB  s A , sB  s A , sB  s A , sB sA , sB  s A , sB  s A , sB  s A , sB  s A , sB sA , sB  s A , sB  sA , sB sA , sB  x A xB  y A yB  z A z B   x A xB  *   y A yB  *   z A zB  * E por fim, vamos verificar o produto vetorial: sA  sB   s A  sA    sB  sB  sA  sB  s A  sB  s A  sB  sA  sB  sA  sB

É fácil ver que:

s A  sB   sB  s A s A  sB   sA  sB

P á g i n a | 5-1692

Portanto, o produto vetorial assumirá a forma: sA  sB  s A  sB  sA  sB sA  sB   x A yB  y A xB  kˆ   z A xB  x A z B  ˆj   y A z B  z A yB  iˆ 

 xA yB *  y A xB * rˆ   z A xB *  xA zB * qˆ   y A zB *  z A yB * pˆ Da álgebra vetorial sabemos que o produto vetorial satisfaz os critérios de uma álgebra de Lie, portanto cabe-nos agora desenvolvela:

 im ,  nj    im   nj   nj   im Como estes vetores são variedades de Grassmann de ordem 2:

 im ,  nj    im   j   im   nj  im ,  nj   2   im   nj  Onde m e n são valores que podem ser iguais a 0 (axiais) e 1 (polares), i, j variam de 1 à 3. A equação geral será expressa pelo permutador de Galois:



 im ,  nj   2 P  i, j , k   k m  n  mod 2



Para qualquer vetor polar ou axial desse espaço a álgebra de Lie será dada por:



uim , v nj   2 P  i, j , k   uim v nj  u mj vin   km  n  mod 2



Para um super vetor s, observe que ele é a combinação linear de suas partes polares e axiais:

s

si  si1  si0

P á g i n a | 5-1693

Portanto sua álgebra de Lie será:

 si , s j    si1  si0 , s1j  s 0j  Usando a identidade de Lie:

 A  B, C  D    A, C    A, D    B, C    B, D  Aplicando ao super vetor:

 si , s j    si1 , s1j    si1 , s 0j    si0 , s1j    si0 , s 0j  Calculando cada um dos colchetes de Lie teremos:

 si1 , s1j   2 P  i, j, k   si1s1j  s1j si1   k0 

 si1 , s 0j   2 P  i, j, k   si1s 0j  s 0j si1   k1 

 si0 , s1j   2 P  i, j, k   si0 s1j  s1j si0   k1 

 si0 , s 0j   2 P  i, j, k   si0 s 0j  s 0j si0   k0 

Substituindo na equação e evidenciando os fatores comuns:

 si , s j   2 P  i, j, k   si1s1j  s1j si1  si0 s 0j  s 0j si0   k0

2 P  i, j, k   si1s 0j  s 0j si1  si0 s1j  s1j si0   k1

Cancelando os termos da segunda parcela, obtemos:  si , s j   2 P  i, j , k   si1s1j  s1j si1  si0 s 0j  s 0j si0   k0   

Podemos escrever essa equação usando o produto exterior entre dois vetores polares por meio do operador dual de Hodge:

★  im   nj   P  i, j , k   km  n  mod 2

P á g i n a | 5-1694

Então, o colchete de Lie assumirá a seguinte forma:

 u

m i

, v nj   2★ uim  v nj 

uim  v nj ★ uim  v nj 

Observe que os índices m e n devem ser elementos do corpo Z/2. Assim garantimos que o produto de dois vetores de mesma natureza sejam axiais e de diferente natureza sejam polares. Nessa nova notação que empregamos, o dual opera da seguinte forma sobre o vetor: uim  uim 1  mod 2  k  mod 2m  n   km  n 1  mod 2

Também podemos definir a operação produto exterior entre vetores e covetores axiais e polares, criando tensores polares e axiais. Para evitar ambiguidades na notação, escreveremos os produtos da seguinte forma: m

u  nu j 

m  n  mod 2  i j

ui  nu j 

m  n  mod 2 

u  nu j 

m  n  mod 2  ij

u

m i

ui  u j 

m  n  mod 2 

uij

m

m i

n

u

uij

Em particular, para um tensor de ordem n: m

ui  nu j 

u  nu j 

m i m

ui  nu j 

 p uk  k m ui 

 pu k  k mui 

 q uk  o u x  p u y 

m  n   p   mod 2 

uij

k

m n   p  mod 2 ij k

 ru z 

u

m  n  o  p  q  r   mod 2 

uijxy k z

Quanto à natureza axial e polar do tensor, podemos usar uma regra simples. Se M for o número de componentes axiais e N for o número de componentes polares, então:

P á g i n a | 5-1695

 par , o tensor é Axial. M N  impar , o tensor é Polar. Agora tratemos da questão da dimensionalidade. No espaço tridimensional, não podemos reconhecer a sua polaridade, pois o espaço positivo é idêntico ao espaço negativo. Portanto a escolha é meramente convencional. A essa convenção, como mostraremos com mais detalhe posteriormente, está associado a característica de anel. Se os vetores pertencem a um anel perplexo ou a um anel real, o espaço tem dimensão positiva. Se o espaço pertence a um anel com característica imaginária ou ao dual real, o espaço tem dimensão negativa. Em particular, se R é a característica do anel, a dimensão do espaço tridimensional será dada pela fórmula:

dim

n

 nR2

Aqui é preciso fazer algumas considerações. Dizemos que os vetores axiais são pseudo-vetores, pois eles sofrem uma inversão de sinal frente a um plano de reflexão paralelo. Porém, isso só é verdade quando assumimos que o espaço tridimensional é positivo. Se, do contrário, adotarmos a convenção de que este espaço é negativo, o plano de reflexão é perpendicular e, por essa razão, são os vetores polares que assumem o papel de pseudo-vetores. Por fim, vamos introduzir uma estrutura nova, que chamaremos de Super Espaço Vetorial Motor. n  m  , , , , , 

dim dual

n m n m

  n  m 

m n

Esse espaço apresenta duas operações internas (produto vetorial e soma vetorial), uma operação externa sobre um corpo de números reais e um produto interno. O índice superior corresponde ao número

P á g i n a | 5-1696

de dimensões positivas e corresponde ao número de translações no espaço motor. O índice inferior corresponde ao número de dimensões negativas e corresponde ao número de rotações no espaço motor. A dimensão desse espaço será dado pela soma do número de rotações e translações. O seu dual, que pela álgebra multilinear sabemos que deve ter o mesmo número de dimensões, é o espaço onde ocorre uma inversão entre as translações e as rotações. É fácil ver que se o espaço for tridimensional, então ele será o seu próprio dual e o seu super espaço motor apresentará seis dimensões. Como o número de rotações e translações estão conectados aos graus de liberdade do sistema, podemos escrever a seguinte equação para o super espaço motor e o seu dual:

dual

n n2  n 2



n2  n 2 n

dim

n n2  n 2



n2  n 2

Qualquer espaço motor de translações e seu dual ou rotações e seu dual será um sub-espaço vetorial do super espaço motor S e seu dual *S. Vamos agora definir o espaço de dimensão positiva e negativa das translações T e das rotações L. Como o super espaço motor é isomórfico ao espaço dos graus de liberdade do corpo rígido, então são válidas as relações abaixo: p

q

 

n n2  n 2 n n2  n 2

p



n n2  n 2

q



n n2  n 2

Observe que a condição de complementaridade entre as translações e rotações nos impõe que:

P á g i n a | 5-1697

p



p



q q

 0 

p

n n2  n 2

p

 

q

q

 0 

n2  n 2 n

Então, o super espaço pode ser escrito como uma soma direta destes espaços: p



q



p

n n2  n 2



q



n2  n 2 n

Agora deixe-me provar que o espaço das rotações é o dual das translações. Tomemos o operador sobre a primeira soma direta:





p



p

q





q



n2  n 2 n

n n2  n 2

p





q

Observe que: 

p



p

 

n n2  n 2 n2  n 2 n



q



q

 

n n2  n 2 n2  n 2 n

Observe que a condição de complementaridade entre as translações e rotações nos impõe que:



p



q



p



q

 0 

n2  n 2 n

P á g i n a | 5-1698

Então, o super espaço pode ser escrito como uma soma direta destes espaços:



p





p

q





q

p

n2  n 2 n





q

p





q

Em módulo, a dimensão do espaço e seu dual devem ser iguais:

dim

p

  dim

dim

q

  dim

p

p

q

q

dim

q

  dim

q

q

dim

p

  dim

p

p

Pela comparação do dual da soma direta e o teorema da invariância das dimensões, concluímos que:



p



q

 

p q

Portanto o espaço de dimensão negativa é o espaço dual * de dimensão positiva. Sendo as dimensões de cada espaço dadas por: p

q

 

p

q

n n n  2 2

p



q



p

q

n n2  n  2

Portanto, a álgebra assegura a consistência lógica de nossas proposições e nossa hipótese sobre a existência de dimensões espaços com negativas.

P á g i n a | 5-1699

1.17. Operadores Diferenciais em Dimensões Inteiras Duas operações muito importantes no estudo na álgebra vetorial são os operadores diferencias: divergente, gradiente e rotacional. Inicialmente vamos definir o vetor gradiente e o super vetor gradiente:    x pˆ   y qˆ   z rˆ *   x iˆ   y ˆj   z kˆ

Seja f e g funções vetoriais polar e axiais, respectivamente, definidas como: f:

3



g:

3

3



3

g  x, y, z   g1iˆ  g 2 ˆj  g3kˆ

f  x, y, z   f1 pˆ  f 2 qˆ  f 3rˆ

Vamos definir o operador diferencial rotacional de f que pelo seguinte homeomorfismo:  :

i j



3

    x pˆ   y qˆ   z rˆ  

Tomando o rotacional da função f, nós obtemos:

  f    x pˆ   y qˆ   z rˆ    f1 pˆ  f 2 qˆ  f 3rˆ    f    x f1  pˆ  pˆ    y f 2  qˆ  qˆ    z f 3  rˆ  rˆ  x f 2  pˆ  qˆ    x f 3  pˆ  rˆ     y f1  qˆ  pˆ    y f3  qˆ  rˆ    z f1  rˆ  pˆ    z f  rˆ  qˆ

P á g i n a | 5-1700

A primeira linha é neutra, então esta calcular o valor da função para as demais componentes. Vamos levar em consideração que essas variáveis são de Grassmann.

  f    x f 2   y f1   pˆ  qˆ     y f3   z f 2   qˆ  rˆ     z f   x f3  rˆ  pˆ  Usando a tábua da álgebra, obtemos o valor do rotacional

  f    y f3   z f 2  i    z f1   x f 3  j    x f 2   y f1  k Tomando o rotacional da função g, nós obtemos:



  g    x pˆ   y qˆ   z rˆ   g1iˆ  g 2 ˆj  g 3kˆ



  g    x g1  pˆ  iˆ    y g 2  qˆ  ˆj    z g 3  rˆ  kˆ









 x g 2 pˆ  ˆj   x g3 pˆ  kˆ    y g1  qˆ  iˆ    y g3  qˆ  kˆ    z g1  rˆ  iˆ    z g 2  rˆ  ˆj A primeira linha é neutra, então esta calcular o valor da função para as demais componentes. Vamos levar em consideração que essas variáveis são de Grassmann.

     ˆj  rˆ    g  rˆ  iˆ    g  kˆ  pˆ  

  g   x g 2 pˆ  ˆj   y g1 iˆ  qˆ   y g3 qˆ  kˆ  z g 2

z

1

x



3

Usando a tábua da álgebra, obtemos o valor do rotacional

  g    y g3   z g 2  pˆ    z g1   x g3  qˆ    x g 2   y g1  rˆ

P á g i n a | 5-1701

Podemos introduzir também um operador rotacional dual, que atua como um endomorfismo e com dimensões negativa i, j, k, definido pela regra:

  :

i j



3





    xiˆ   y ˆj   z kˆ  Tomemos o rotacional dual da função vetorial polar:





  f   x iˆ   y ˆj   z kˆ   f1 pˆ  f 2 qˆ  f 3rˆ    f    x f1  iˆ  pˆ    y f 2  ˆj  qˆ    z f 3  kˆ  rˆ    x f 2  iˆ  qˆ    x f3  iˆ  rˆ    y f1  ˆj  pˆ    y f3  ˆj  rˆ    z f1  kˆ  pˆ    z f 2  kˆ  qˆ

Que resulta em:

  f    y f3   z f 2  pˆ    z f1   x f3  qˆ    x f 2   y f1  rˆ Vamos agora estudar o que ocorre com a função vetorial axial



 

  g   x iˆ   y ˆj   z kˆ  g1iˆ  g 2 ˆj  g 3kˆ



  f    x g1  iˆ  iˆ    y g 2  ˆj  ˆj    z g 3  kˆ  kˆ    x g 2  iˆ  ˆj    x g3  iˆ  kˆ    y g1  ˆj  iˆ    y g3  ˆj  kˆ    z g1  kˆ  iˆ    z g 2  kˆ  ˆj Que resulta em:

  g    y g3   z g 2  iˆ    z g1   x g3  ˆj    x g 2   y g1  kˆ

P á g i n a | 5-1702

Vamos calcular o rotacional do rotacional dual:



      x pˆ   y qˆ   z rˆ    xiˆ   y ˆj   z kˆ



      x  x  pˆ  iˆ    y  y  qˆ  ˆj    z  z  rˆ  kˆ    x  y  pˆ  ˆj    x  z  pˆ  kˆ    y  x  qˆ  iˆ    y  z  qˆ  kˆ    z  x  rˆ  iˆ    z  y  rˆ  ˆj Que após as simplificações, terá a forma:

      y  z   z  y  pˆ    z  x   x  z  qˆ    x  y   y  x  rˆ Usando o colchete de Lie, podemos expressar os rotacionais duplos pelas regras:

     y ,  z  pˆ    z ,  x  qˆ   x ,  y  rˆ      z ,  y  pˆ    x ,  z  qˆ   y ,  x  rˆ      y ,  z  iˆ    z ,  x  ˆj   x ,  y  kˆ *  *   y ,  z  iˆ    z ,  x  ˆj   x ,  y  kˆ Se as funções forem pelo menos de classe C² e a base for holonômica todos estes rotacionais são nulos. Vamos agora calcular o divergente de um vetor polar.

u   x pˆ   y qˆ   z rˆ, f1 pˆ  f 2 qˆ  f 3rˆ u   x  f1 pˆ , pˆ  f 2 pˆ , qˆ  f 3 pˆ , rˆ  y  f1 qˆ , pˆ  f 2 qˆ , qˆ  f 3 qˆ , rˆ  z  f1 rˆ, pˆ  f 2 rˆ, qˆ  f 3

 rˆ, rˆ 



P á g i n a | 5-1703

u   x f1   y f 2   z f 3

Empregando o mesmo método, obtemos o divergente dual de um vetor axial: *u   x g1   y g 2   z g3

Agora vamos calcular o divergente axial de um vetor polar: *u   xiˆ   y ˆj   z kˆ, f1 pˆ  f 2 qˆ  f 3rˆ



*u   x f1 iˆ, pˆ  f 2 iˆ, qˆ  f 3 iˆ, rˆ



 y f1 ˆj , pˆ  f 2 ˆj , qˆ  f 3 ˆj , rˆ



 z f1 kˆ, pˆ  f 2 kˆ, qˆ  f 3 kˆ, rˆ







*u   x f1   y f 2   z f 3

Agora vamos calcular o divergente polar de um vetor axial:

u   x pˆ   y qˆ   z rˆ, g1iˆ  g 2 ˆj  g3kˆ



u   x g1 pˆ , iˆ  g 2 pˆ , ˆj  g 3 pˆ , kˆ

   g

 rˆ, kˆ 

 y g1 qˆ , iˆ  g 2 qˆ , ˆj  g3 qˆ , kˆ z

1

rˆ, iˆ  g 2 rˆ, ˆj  g3

Que resulta na seguinte expressão:



P á g i n a | 5-1704

u   x g1   y g 2   z g3

Agora vamos obter as expressões do laplaciano, começando pelo polar:       x pˆ   y qˆ   z rˆ,  x pˆ   y qˆ   z rˆ

   x   x pˆ , pˆ   y pˆ , qˆ   z pˆ , rˆ



 y   x qˆ , pˆ   y qˆ , qˆ   z qˆ , rˆ  z   x rˆ, pˆ   y rˆ, qˆ   z

 rˆ, rˆ 

Realizando os produtos internos, obtemos a forma do laplaciano polar:    x x   y y   z z

Pelo mesmo método obtém-se o laplaciano axial e os mistos:

   x x   y y   z z    x  x   y  y   z  z    x  x   y  y   z  z    x   x   y   y   z   z Essas regras podem ser aplicadas a todas identidades vetoriais, resultando em regras axiais, polares e mistas. Deixamos ao leitor o convite que teste essas regras e as aplique na generalização das identidades de Green e nas integrais vetoriais.

P á g i n a | 5-1705

1.18. Operadores Diferenciais no Super Espaço Assim como no espaço tridimensional, podemos construir operadores gradiente, divergente e rotacional para o super espaço. Inicialmente vamos introduzir o super gradiente e o super escalar:

S    * S  x  x O super gradiente permite definir as operações super rotacional e super divergente. Vamos inicialmente estudar o efeito dessas operações aplicadas as funções polares e axiais. Tomemos uma função vetorial genérica h:

S  h   h  *  h Calculando os rotacionais de h,

  h    y h3   z h2  i    z h1   x h3  j    x h2   y h1  k

  f    y h3   z h2  pˆ    z h1   x h3  qˆ    x h2   y h1  rˆ Portanto o super rotacional de f é uma aplicação que transforma um 3-vetor em um 6-vetor ou um super vetor:











 S  h    y h3   z h2  iˆ  pˆ    z h1   x h3  ˆj  qˆ    x h2   y h1  kˆ  rˆ



Se definirmos um super vetor (6-vetor) associado à h pela relação: 3

i   hi   i0   i1  i 1

E a relação entre o produto tensorial e o dual de Hodge:

P á g i n a | 5-1706

★ i0   0j   i0   1j   i1   0j   i1   1j   P  i, j , k   k0   k1  Então, o rotacional assumirá a seguinte forma4:

i   S  hi0 ★  i  h j  Agora vamos calcular o super-divergente:

S u  u  u Calculando os divergentes do vetor polar: u   x f1   y f 2   z f 3  u   x f1   y f 2   z f 3 *

Portanto, o super divergente de um vetor polar, é o dobro do seu divergente: S u   u  u  Empregando o mesmo método, obtemos o super divergente de um vetor axial:  S u  u  u Calculando os divergentes do vetor polar: u   x g1   y g 2   z g3  u   x g1   y g 2   z g3 *

Há uma forma mais elegante de se escrever o rotacional em termos de variedades exteriores, porém como isso exigiria algumas laudas extras, embora seja razoalvelmente simples, para traduzir a linguagem do super espaço em uma super álgebra exterior, deixaremos essa tarefa para outro trabalho. 4

P á g i n a | 5-1707

Portanto, o s-divergente do vetor axial é o dobro do divergente:

S u   u  u  Essas propriedades do divergente e do super divergente sobre vetores axiais e polares, mostram que a divergência atua como uma operação de reflexão: para vetores polares, tanto o divergente polar como divergente axial produzem o mesmo valor. Por outro lado, o divergente axial de um vetor axial preserva seu sinal, porém o divergente polar, altera o seu sinal, como é esperado para uma reflexão de um vetor axial. Por fim, vamos estudar a divergência e o rotacional do super vetor:

s  f1 p  f 2 q  f3r  f 1i  f 2 j  f 3k Comecemos pelo rotacional:

  s    x pˆ   y qˆ   z rˆ    f1 p  f 2 q  f 3r  f 1i  f 2 j  f 3k    s   x  f1  f 1   pˆ  pˆ    y  f 2  f 2   qˆ  qˆ    z  f 3  f 3   rˆ  rˆ 

     





 x  f 2  pˆ  qˆ   f 2 pˆ  ˆj    x  f 3  pˆ  rˆ   f 2 pˆ  kˆ       y  f1  qˆ  pˆ   f 1 qˆ  iˆ    y  f 3  qˆ  rˆ   f 3 qˆ  kˆ       z  f1  rˆ  pˆ   f 1 rˆ  iˆ    z  f 2  rˆ  qˆ   f 2 rˆ  ˆj     









Substituindo os valores dos produtos vetoriais:

  s   x  f 2 ˆj  f 2 rˆ    x  f3kˆ  f 3qˆ    y  f1kˆ  f 1rˆ   y  f3iˆ  f 3 pˆ    z  f1 ˆj  f 1qˆ    z  f 2iˆ  f 2 pˆ 

P á g i n a | 5-1708

Organizando as componentes do super vetor:

  s    y f3   z f 2  iˆ    z f1   x f3  ˆj    x f 2   y f1  kˆ    y f 3   z f 2  pˆ    z f 1   x f 3  qˆ    x f 2   y f 1  rˆ Como um super vetor é a soma de suas componentes polares e axiais, o resultado que obtivemos é uma consequência das distributividade em relação ao produto cruzado:

 s  s  s   s   s *  s  *   s  s    *  s   * 

 S  s    s  *  s      *    s  s  Para a divergência, teremos:

  s   s  s    s    s   s  f 1  f 2  f 3  f1  f 2  f 3 s  f   f Para pseudo divergência, teremos: *  s   *   s  s    *  s   *  s *  s  f1  f 2  f 3  f 1  f 2  f 3 *  s  f  f 

Portanto a super divergência do super vetor será:  S  s    s  *  s  2  f  f  

P á g i n a | 5-1709

1.19. Variedades Minkowski

Espaço-Temporais

de Poincaré-

Até agora estudamos a propriedade do espaço, porém, sabemos que o princípio da relatividade exige que o espaço-tempo forme uma estrutura contínua. Nesta seção introduziremos as dimensões de tempo positivo e negativo dentro do novo formalismo que estamos propondo. Há, pelo menos, 11 tipos de variedades super espaço-tempo. Para obtermos esses espaços, precisamos usar a forma quadrática fundamental do espaço-tempo, descoberta por Poincaré em 1905:

c 2t 2  x 2  y 2  z 2 A partir dela, podemos procurar 4-vetores hipercomplexos cuja norma ao quadrado do vetor posição sejam a métrica do espaçotempo. Para isso vamos estruturar quatro tipos de espaço-tempo de Poincaré-Minkowski, a saber: híbrido positivo, híbrido negativo, perplexo, complexo. Suponha que as componentes do vetor polar são versores perplexos e o vetor associado ao tempo seja complexo. Chamaremos esse espaço-tempo de híbrido. Definamos o vetor I:

I  ctˆ  xpˆ  yqˆ  zrˆ Um possível produto interno para este espaço é dado por: I1 , I 2   I1 I 2

Vamos mostrar que essa definição satisfaz as três condições que definem um produto interno para brádions (vetores que conectam os eventos dentro do cone de luz):

P á g i n a | 5-1710

a)

Simetria do Conjugado

I 2 , I1  I1 , I 2 Prova:

I 2 , I1   I 2 I1 I 2 , I1   I 2 I1  I 2 , I1   I 2 I1 I 2 , I1   I 2 I1 I 2 , I1   I1 I 2 I 2 , I1  I1 , I 2 b)

Bilinearidade

aI1  I 2 , I 3  a I1 , I 3  I 2 , I 3

Prova:

1

 aI1  I 2 , I 3    aI1  I 2  I 3   aI1  I 2 , I 3   aI1I 3  I 2 I 3

 2

a I1 , I 3  I 2 , I 3   aI1I 3  I 2 I 3  a I1 , I 3  I 2 , I 3    aJ1  J 2  I 3

Por (1) e (2) decorre que: aI1  I 2 , I 3  a I1 , I 3  I 2 , I 3

P á g i n a | 5-1711

c)

Positiva-Definido

I, I  0

Prova: I , I   II   II  0

Vamos calcular o produto de J pelo seu conjugado: II   ctˆ  xpˆ  yqˆ  zrˆ  ctˆ  xpˆ  yqˆ  zrˆ 

Pelas condições de ortogonalidade, teremos: II  c 2t 2ˆ 2  x 2 pˆ 2  y 2 qˆ 2  z 2 rˆ 2   ctˆ, xpˆ  yqˆ  zrˆ 

Os números perplexos só definem uma álgebra de Grassman sobre o anel dos duais e dos complexos. Porém, para que esses vetores satisfaçam a forma quadrática, devemos ter as seguintes relações:

ˆ 2  1  ˆ  1

II  c2t 2  x2  y 2  z 2 Como assumimos que os vetores se encontram dentro do cone de luz, o intervalo acima é positivo, portanto:

II  0 Q.E.D.

P á g i n a | 5-1712

Suponha que as componentes do vetor polar são versores perplexos e o vetor associado ao tempo seja complexo. Chamaremos esse espaço-tempo de híbrido negativo. Definamos o vetor I: H  ct  hˆ  xî  y  ˆj  z kˆ

Um possível produto interno para este espaço é dado por:

H1 , H 2     H1 H 2  Vamos mostrar que essa definição satisfaz as três condições que definem um produto interno para brádions: a)

Simetria do Conjugado

H 2 , H1  H1 , H 2 Prova:

H 2 , H1     H 2 H1  H 2 , H1     H 2 H1 



H 2 , H1    H 2 H1



H 2 , H1     H 2 H1  H 2 , H1     H1 H 2  H 2 , H1  H1 , H 2 b)

Bilinearidade

aH1  H 2 , H 3  a H1 , H 3  H 2 , H 3

P á g i n a | 5-1713

Prova:

1

 aH1  H 2 , H 3     aH1  H 2  H 3    aI1  I 2 , I 3  a   H1H 3     H 2 H 3 

 2

a I1 , I 3  I 2 , I 3  a   H1H 3     H 2 H 3   a I1 , I 3  I 2 , I 3     aH1  H 2  H 3 

Por (1) e (2) decorre que: aH1  H 2 , H 3  a H1 , H 3  H 2 , H 3

Positiva-Definido

c)

H,H  0

Prova:

H , H     HH     HH   0 Vamos calcular o produto de J pelo seu conjugado:







   HH      ct hˆ  xî  y  ˆj  z kˆ ct hˆ  xî  y  ˆj  z kˆ   

Pelas condições de ortogonalidade, teremos:



  HH    c 2t 2 hˆ 2  x2î 2  y 2 j 2  z 2 kˆ 2  ct hˆ, xî  y  ˆj  z kˆ 



Os números perplexos só definem uma álgebra de Grassman sobre o anel dos duais e dos complexos. Porém, para que esses vetores satisfaçam a forma quadrática, devemos ter as relações:

P á g i n a | 5-1714

hˆ 2  1  hˆ  1   HH     c 2t 2  x2  y 2  z 2 

  HH    c 2t 2  x 2  y 2  z 2 

 HH  c2t 2  x2  y 2  z 2 Como assumimos que os vetores se encontram dentro do cone de luz, o intervalo acima é positivo, portanto:

HH  0 Q.E.D. Assim, encerramos a análise dos espaços híbridos. Vamos analisar o espaço perplexo, para isso suponha que as componentes do vetor polar são versores ordinários dos vetores do espaço sobre o corpo de números reais. Sendo J² a norma de um vetor arbitrário do espaçotempo, vamos determinar qual deve ser a dimensionalidade do tempo para que a relação seja satisfeita. Para isso escrevamos o vetor J: J  d  x, y, z  rˆ  ctˆ

Vamos definir o produto interno para os vetores que se encontram dentro do cone de luz pela a seguinte regra: J1 , J 2   J1 J 2

Vamos mostrar que essa definição satisfaz as três condições do produto interno:

P á g i n a | 5-1715

a) Simetria do Conjugado

J 2 , J1  J1 , J 2 Prova:

J 2 , J1   J 2 J1 J 2 , J1   J 2 J1  J 2 , J1   J 2 J1 J 2 , J1   J 2 J1 J 2 , J1   J1 J 2 J 2 , J1  J1 , J 2 b) Bilinearidade aJ1  J 2 , J 3  a J1 , J 3  J 2 , J 3

Prova:

1

 aJ1  J 2 , J 3    aJ1  J 2  J 3   aJ1  J 2 , J 3  aJ1 J 3  J 2 J 3

 2

a J1 , J 3  J 2 , J 3  aJ1 J 3  J 2 J 3  a J1 , J 3  J 2 , J 3    aJ1  J 2  J 3

Por (1) e (2) decorre que: aJ1  J 2 , J 3  a J1 , J 3  J 2 , J 3

P á g i n a | 5-1716

c) Positiva-Definido J, J  0

Prova: J , J   JJ  JJ  0

Vamos calcular o produto de J pelo seu conjugado:



JJ   drˆ  tˆ  drˆ  tˆ



ˆˆ JJ  d 2  ctdrˆˆ  ctdˆˆr  c2t 2 Como a norma do vetor deve corresponder a forma quadrática do espaço, devemos escolher ˆ de forma que:

ˆ  ˆ  ˆˆ  1  ˆ 2  1  Portanto ˆ é um número perplexo. Substituindo esses resultados na equação:

JJ  d 2  c2t 2 JJ  x2  y 2  z 2  c2t 2 Como assumimos que os vetores se encontram dentro do cone de luz, o intervalo acima é negativo, portanto:

JJ  0 Q.E.D.

P á g i n a | 5-1717

Por esta última demonstração, podemos escrever a norma ao quadrado de um vetor no espaço-tempo como: J1 , J 2   J1 J 2 J , J  c 2t 2  x 2  y 2  z 2

Agora vamos supor que o espaço tenha dimensões negativas, representadas por vetores da base que são imaginários puros. Para isso escrevamos o nosso vetor K:

K  d  ˆ  ct ˆ

d   d  x , y  , z   Vamos definir o produto interno para os vetores que se encontram dentro do cone de luz pela a seguinte regra:

K1 , K 2    K1 K 2  Vamos mostrar que essa definição satisfaz as três condições que definem um produto interno: a) Simetria do Conjugado

K 2 , K1   K1 , K 2 Prova:

K 2 , K1    K 2 K1  K 2 , K1   K 2 K1 

P á g i n a | 5-1718



K 2 , K1   K 2 K1



K 2 , K1    K1 K 2  K 2 , K1  K1 , K 2 b) Bilinearidade aK1  K 2 , K 3  a K1 , K 3  K 2 , K 3

Prova:

 aK1  K 2 , K3    aK1  K 2  K3  1    aK1  K 2 , K3  a   K1K3     K 2 K3  a K1 , K3  K 2 , K3  a   K1K3     K 2 K3  2    a K1 , K3  K 2 , K3    aK1  K 2  K3  Por (1) e (2) decorre que: aK1  K 2 , K 3  a K1 , K 3  K 2 , K 3

c) Positiva-Definido K, K  0

Prova:

K , K    KK     KK   0

P á g i n a | 5-1719

Vamos calcular o produto de J pelo seu conjugado:





  KK     d  ˆ  ct ˆ  r  ˆ  ct ˆ    2     2 2 ˆ ˆ  ct r  ˆˆ ˆ ˆ  c t    KK     d  ct d  

Como a norma do vetor deve corresponder a forma quadrática do espaço, devemos escolher ˆ de forma que:

ˆ  ˆ  ˆ ˆ 1  ˆ 2  1  Portanto ˆ é um versor do espaço ordinário. Substituindo esses resultados:

  KK   c 2  t 2  r 2

  KK   c 2t 2  x 2  y 2  z 2 Como os vetores são brádions, o intervalo acima é positivo, portanto:

KK  0 Q.E.D. Agora que obtivemos as quatro possibilidades de variedade espaço-tempo, estamos em condições de construir o super espaçotempo.

P á g i n a | 5-1720

1.20. Super Espaço-Tempo A construção de um super espaço é feita pela soma direta dos vetores axiais e polares. Para construir um super espaço-tempo, procedemos de modo análogo. Como temos 4 vetores, H, I, J, K, e a soma direta é comutativa, temos 11 possíveis arranjos para construir variedades do tipo super espaço-tempo, a saber:

S1  H  I S2  H  J S3  H  K S4  I  J S5  I  K S6  J  K

S7  H  I  J S8  H  I  K S9  H  J  K S10  I  J  K S11  H  I  J  K

Os espaços S1 à S6 são espaços isomorfos ao espaço dos octoniões e aos espaços vetoriais de 8 dimensões (como o espaço dos 8-vetores ou espaço das 8-formas). Os espaços S1 à S7 são espaços isomorfos aos espaços vetoriais de 12 dimensões. Por fim, temos o super espaço-tempo S11 que é isomorfo ao espaço dos sedeniões cônicos, pois existem 8 raízes negativas e 8 positivas. Como interpretar esses resultados dentro de uma teoria física do espaço-tempo? Podemos pensar que a variedade super espaço-tempo é um sedinião cônico, por isso um plano que os cortes sobre certas posições irá produzir variedades ou p-branas cônicas. Se cada corte produz uma (q-4)-brana, então a fórmula geral de cortes será:

16  4k   branas k  número de cortes

k  /  , 0 

P á g i n a | 5-1721

Portanto, qual será o número máximo de cortes? A matemática básica nos fornece uma resposta um tanto sugestiva:

16  4k  0 16  4k k4 Como 4 é um inteiro não negativo, então a cota superior de k é 3, o mesmo número de dimensões do espaço. Poderíamos inferir que o número de dimensões do espaço é o número de cortes do sedinião? Eu prefiro acautelar-me e não arriscar uma resposta sem uma investigação mais detalhada. Até aqui, temos seguido os caminhos da lógica, por isso convém invocar a experiência. É um fato trivial que nosso espaço é munido de vetores polares e axiais, sendo que os primeiros associamos a translações e o segundo associamos a rotações. Portanto os nossos super espaços devem atender um requisito elementar: eles devem incluir em suas componente as translações e as rotações. Em outras palavras, a experiência nos informa que nem todas as somas diretas correspondem ao espaço motor. Portanto podemos enunciar o seguinte axioma: “Só são admitidas somas diretas entre um espaço polar e um espaço axial” Por meio desse axioma, guiado pela experiência do nosso espírito com o espaço, reduzimos o número de super espaços:

T1  H  I

T4  J  K

T6  H  J  K

T2  H  J

T4  H  I  J

T7  I  J  K

T3  I  K

T5  H  I  K

T8  H  I  J  K

P á g i n a | 5-1722

Em nossa teoria admitimos que o espaço-tempo pode está imerso em um espaço-tempo de 16 dimensões. Isso significa que existem planos de rotação e translação que podem corresponder a um espaço tridimensional ortogonal ao nosso. Assim teremos seis direções de translação, seis direções de rotação e 4 direções de translação no tempo.

translação : x, y, z,  , ,  rotação : x , y  , z  ,   ,  ,   translação temporal : t , t * , , * A experiência nos diz que vivemos em um espaço tridimensional com três translações e três rotações. Portanto, podemos considerar, do ponto de vista matemático, que o nosso espaço pode ser descrito, sem qualquer prejuízo, por um super espaço de 6-dimensões. Vamos considerar, para desespero de Albert Einstein, que Deus jogue dados com Universo. Por esta afirmação quero dizer que as probabilidades de habitarmos um 6-espaço é igual. Qual a probabilidade de que o tempo seja cíclico? Um cálculo descuidado nos levaria a uma conclusão pessimista de ¼ (25%). Qual o erro? Dividimos o número de tempos possíveis (4) pelo número de tempos cíclicos (1). Este cálculo está errado por uma razão simples: o nosso espaço amostral  não é o número de tempos, mas o número de 6-espaços e a esperança é o número de espaços com tempo cíclico.

  T1 , T2 , T3 , T4    T1 , T3  Portanto a probabilidade de que nosso tempo seja cíclico é de ½ (50%).

P á g i n a | 5-1723

1.21. Super Espaço-Tempo Especular Poincaré (1902) nos ensinou em sua ampla análise dos fundamentos da geometria que a experiência não nos mostra qual geometria é mais verdadeira e sim aquela que é mais cômoda. De fato, existem 4 espaços que podem ser considerados equivalentes empiricamente, pois nenhuma experiência poderá discerni-los.

Cíclico  T1

Linear  T2

T3

T4

À rigor, os quatro espaços são localmente indistinguíveis, mas o fato dos espaços T1 e T3 terem um tempo imaginário, então haveria um momento em que o espaço-tempo retornaria ao seus primeiros estágios. Assim a caracterização do super espaço-tempo sensível pode ser reduzida a compreensão de dois espaços. Segundo nossos estudos sobre o mapa dual *, é fácil ver que os espaços se relacionam da seguinte forma:

I  H

J  K

Assim nossos 6-espaços compatíveis serão:

T1  I  I

T2  I  J

T4  J  J

T3  I  J

Além disso, existe uma relação de dualidade entre os espaços:

T1  I  I

T2  I  J

T4  J  J

T3  T2

Das relações de equivalência podemos concluir que:

I

J

I

J

P á g i n a | 5-1724

Essa equivalência significa dizer que o espaço I e J são covariantes em Lorentz e não podem ser distinguidos. Portanto, mesmo que estejamos presos em um tempo cíclico, nenhuma experiência interna poderá nos dizer, durante o período de retorno no tempo, não teríamos consequência desse fato. Há outra consequência importante a respeito da dualidade, que devemos mencionar. Nós apresentaremos uma classe de espaços, chamados de especular: Cíclico :  I  I ; I  J 

Linear :  J   J ; I  J 

Os espaços que somas diretas dele próprio por seu dual, iremos chamar de super espaços puros. Podemos interpretá-los como duas faces opostas no infinito, mas que projetam sobre uma brana os vetores polares e axiais de espaço-tempo criando o super espaço motor. Nesse sentido, um espaço é o espelho do outro, um super espaço especular.

Nossa maior dificuldade é compreender o tempo, pois desta vez temos duas dimensões temporais, enquanto a experiência nos mostra que detectamos somente um tempo. O que seria o tempo cíclico combinado com linear? O que seria dois tempos lineares? Infelizmente, essa pergunta, por hora não nos apresenta uma resposta, poderíamos especular com base em algumas evidências, mas a falta de uma topologia do tempo, nos torna reféns das muitas hipóteses.

P á g i n a | 5-1725

Já as somas mistas apresentam uma propriedade também interessante. Suponha que o espaço I* e o espaço J projetem seus pontos sobre uma face da brana. O ponto J* e o ponto I são as projeções no outro lado. Portanto, essa estrutura também funciona como um espelho de suas dimensões. Só que em uma face teremos o tempo linear, enquanto na hora teremos o tempo cíclico.

Como a experiência não nos permite escolher qual é o verdadeiro, escolhemos aquele que é mais cômodo. Por uma questão de simetria, sinto-me a escolher como melhor par de espaços T2 (cíclico) e T3 (linear). Primeiro porque podemos, seguindo o espírito da geometria projetiva, dizer que cada espaço é a projeção de seu parceiro no infinito. Mas, além disso, cada espaço é o mapa dual do outro, portanto existe uma perfeita simetria entre os dois. O que acontece em um espaço, é mapeado no outro. O que pode levantar hipóteses interessantes: se o tempo é cíclico em T2 e os dois espaços se conectam pelo operador *, qual é o efeito do mapeamento? Isso afeta de alguma forma o tempo? Ou está relacionado com alguma propriedade do espaço como a homogeneidade? Somente uma investigação mais cautelosa possa responder essas questões, contudo nessa dissertação não realizaremos tal investigação. Agora, voltaremos aos aspectos topológicos dos espaços de dimensão negativa que necessitamos estudar.

P á g i n a | 5-1726

2. A Teoria das Dimensões Inteiras Z 2.1. O Problema da Dimensionalidade Na Teoria da Relatividade Especial, o espaço-tempo de PoincaréMinkowski é um variedade tetradimensional. Essa é uma informação que teve grande impacto não apenas sobre a física e matemática, mas também sobre a cultura humanística. Salvador Dali e Pablo Picasso desenvolveram sua arte com base na ideia de dimensões adicionais. A obra Crucifixion (Corpus Hypercubus) de Dali, apresenta Cristo crucificado em uma figura que se fecha em um hipercubo de 4 dimensões. A Persistência da Memória, também de Salvador Dali, é a própria representação artística da relatividade do tempo.

(a) Corpus Hypercubus

(b) A Persistência da Memória

Em geral, os autores tendem a tratar o conceito de dimensão de maneira intuitiva. Na divulgação científica, costuma-se a introduzir o conceito de quarta dimensão ou dimensão temporal, afirmando que todo evento para ser localizado precisamos definir suas coordenadas no espaço e no tempo. Essa definição pode parecer satisfatória,

P á g i n a | 5-1727

contudo, para um estudante familiarizado com a relatividade, percebe que ela é problemática, pois se baseia na concepção de um espaço e tempo absolutos. Como provou Poincaré, cada observador pode usar um sistema de medidas e um relógio, de forma que os eventos não irão coincidir. Os observadores teriam que fazer certas convenções e considerar a natureza do princípio da relatividade. Os observadores poderiam usam outras grandezas para marcar seu encontro, como umidade relativa do ar, temperatura, irradiação etc. Poderíamos considerar todas essas grandezas como dimensões? E o que dizer dos espaços de fase Hamiltoniano cuja dimensional é 2n, onde n é o número de graus de liberdade do sistema? Um sistema com 3 graus de liberdade apresenta um espaço de fase com 6 dimensões. Como definimos essas dimensões? Henri Poincaré se ocupou destas questões, tentando introduzir uma definição precisa para dimensionalidade. O conceito de dimensionalidade é introduzido por Richard Courant e Hebert Robbins (2000, p. 302-305) da seguinte forma: Em 1912, Poincaré chamou pela primeira vez a atenção para a necessidade de uma análise mais profunda e de uma definição precisa para O conceito de dimensionalidade. Ele observou que a reta é unidimensional porque podemos separar dois pontos quaisquer sobre ela cortando-a em um único ponto (que tem dimensão zero), enquanto o plano é bidimensional, porque para separar um par de pontos no plano devemos cortá-lo por uma curva fechada (que é unidimensional). Isto sugere a natureza indutiva da dimensionalidade: um espaço é n-dimensional se dois pontos quaisquer puderem ser separados removendo-se um subconjunto (n — 1) - dimensional, e se um subconjunto de dimensão menor não for sempre suficiente. Uma definição indutiva de dimensionalidade está também contida implicitamente nos Elementos de Euclides, onde uma figura unidimensional é algo cujo contorno é formado por pontos,

P á g i n a | 5-1728

uma figura bidimensional é aquela cuja fronteira são curvas, e uma figura tridimensional é aquela cuja fronteira são superfícies Em anos recentes, uma extensa teoria da dimensão foi desenvolvida. Uma definição de dimensão inicia-se tornando preciso o conceito “conjunto de pontos de dimensão zero.” Qualquer conjunto finito de pontos tem a propriedade de que cada ponto do conjunto pode ser encerrado em uma região do espaço que pode ser tornada tão pequena quanto se deseje, e que não contenha quaisquer pontos do conjunto em sua fronteira. Esta propriedade é agora tomada como a definição de dimensão zero. Por questões de conveniência, dizemos que um conjunto vazio, não contendo quaisquer pontos, tem dimensão —1, Então um conjunto de pontos $ terá dimensão zero se não for de dimensão —1 (isto é se S contiver pelo menos um ponto), e se cada ponto de S puder ser encerrado em uma região arbitrariamente pequena cujos limites cortem & em um conjunto de dimensão —1 (isto é, cujos limites não contenham quaisquer pontos de S). Por exemplo: o conjunto de pontos racionais sobre a reta tem dimensão zero, uma vez que cada ponto racional pode se tornar o centro de um intervalo arbitrariamente pequeno com pontos extremos irracionais. Verifica-se que o conjunto C de Cantor também é de dimensão zero, uma vez que, da mesma forma que o conjunto de pontos racionais, é formado removendo-se da vela um conjunto denso de pontos. Até agora definimos apenas os conceitos de dimensão —1 e de dimensão zero. À definição de dimensão 1 sugere-se por si própria de modo imediato: um conjunto S de pontos terá dimensão 1 se não tiver dimensão -- 1 ou zero, e sé cada ponto de S puder ser encerrado dentro de uma região arbitrariamente pequena cuja fronteira corta S em um conjunto de dimensão zero. Um segmento de reta tem esta propriedade, uma vez que a fronteira de qualquer intervalo é um par de pontos, que é um

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conjunto de dimensão zero de acordo com a definição precedente. Além disso, procedendo da mesma maneira, podemos sucessivamente definir os conceitos de dimensão 2, 3, 4, 5, ..., cada uma com base nas definições anteriores. Assim, um conjunto S terá dimensão n se não tiver qualquer dimensão inferior, e se cada ponto de S puder ser encerrado dentro de uma região arbitrariamente pequena cuja fronteira corte S em um conjunto de dimensão n — 1. Por exemplo: o plano tem dimensão 2, uma vez que cada ponto do plano pode ser encerrado dentro de um círculo arbitrariamente pequeno, cuja circunferência tem dimensão 1. Nenhum conjunto de pontos no espaço comum pode ter dimensões maiores do que 3, uma vez que cada ponto do espaço pode se tornar o centro de uma esfera arbitrariamente pequena cuja superfície tem dimensão 2. Porém, na Matemática moderna, a palavra “espaço” é utilizada para representar qualquer sistema de objetos para o qual uma noção de “distância” ou “vizinhança” é definida, estes “espaços” abstratos podem ter dimensões maiores do que 3. Diz-se que um espaço que não tem dimensão n para qualquer inteiro tem dimensão infinita. Muitos exemplos destes espaços são conhecidos. Estas observações sugerem o seguinte Teorema, atribuído a Lebesgue e Brouwer: se uma figura n-dimensional é coberta de alguma maneira por sub-regiões suficientemente pequenas, então existirão pontos que pertencem a pelo menos n + 1 destas sub-regiões; além disso, é sempre possível encontrar uma cobertura por regiões arbitrariamente pequenas para as quais nenhum ponto pertencerá a mais do que n + 1 regiões. Em razão do método de cobertura aqui considerado, este é conhecido como o Teorema do “ladrilhamento”. Ele caracteriza a dimensão de qualquer figura geométrica: aquelas figuras para as quais o teorema é válido são n-dimensionais, enquanto que todas as outras são de alguma outra «dimensão. Por este motivo, ele pode ser tomado como a definição de dimensionalidade, como é feito por alguns autores.

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2.2.

Grupo de Deslocamentos

Outra definição de dimensão, também introduzida por Poincaré, baseia-se no número de geradores do grupo de deslocamentos ou no número de rotações. Se tomarmos uma linha, teremos uma única direção de deslocamento e nenhuma possibilidade de rotação, pois isso exigiria um segundo eixo. Se tomarmos uma superfície, há duas direções de deslocamento e plano de rotação. Se tomarmos três eixos linearmente independentes, teremos três direções de deslocamento e três planos de rotação. Abstraindo para um sistema de 4 direções de deslocamento, teremos seis matrizes de rotação. O número de matrizes de rotação são todas as combinações distintas dos eixos (retas ou linhas) que formam planos coordenados (ou superfícies coordenadas).

Matematicamente, o número de rotações (n) será as combinações distintas entre o número de eixos, que define o número de dimensões inteiras e deve ser maior que 1, do espaço em questão:

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n  C2d d! n 2! d  2 !

n

d   d  1 d  2 ! 2  d  2 !

Simplificando os fatoriais, obtemos o número de rotações:

n

d   d  1 2

Para dimensões menores que dois, não há planos, portanto o número de matrizes de rotação é zero. Se tomarmos d = 0 ou d = 1, o número de rotações será zero. Portanto, embora tenhamos deduzido essa regra a partir de uma condição de d > 1, esta regra pode ser aplicada para todo d que seja inteiro não-negativo. O número de translações é igual ao número de dimensões do espaço: nT  d

Para o espaço-tempo, chamamos as matrizes de rotação nos planos com o eixo temporal ct de boosts de Lorentz. Em um espaçotempo de n dimensões, o número de boosts será: nB  d  1

O número de rotações espaciais é a diferença entre o número de rotações e boosts de Lorentz: nR  nS  nB

Portanto, o número de rotações total será dada por:

n

nT  nB 2

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2nS  nT  nB  0

2  nR  nB   nT  nB  0

2nR  2nB  nT  nB  0 que nos fornece a seguinte identidade:

n  nR   T  1  nB  0  2  O número total de geradores de um grupo de deslocamento é a soma do número de translações pelo número total de rotações (espaciais e boosts): N  nT  nS Em termo das dimensões do espaço, obtemos:

N d N

d   d  1

2 2d  d   d  1

2 2d  d 2  d N 2 d  d2 N 2

Evidenciando d, obtemos o número total de geradores:

N

d   d  1 2

Até aqui categorizamos o número de matrizes de rotação e o número total de geradores de um grupo por meio das dimensões do espaço. Agora convém tratarmos do problema inverso: dado o

P á g i n a | 5-1733

número matrizes de rotação e de geradores, como podemos definir o número de dimensões do espaço? Como nossas fórmulas diferem apenas por um sinal, podemos deduzir a fórmula geral. Denotaremos por n+, o número de geradores totais e n-, o número de matrizes de rotação. d   d  1 n  2 2 d  d  2n Complementando os quadrados:

d2  d 

1 1  2n  4 4 2

1 1   d    2n  2 4  Multiplicando por 4, para eliminar o denominador: 2

1  4  d    8n  1 2  2

  1   2  d  2    8n  1   

 2d  1

2

 8n  1

2d  1  8n  1

Para eliminarmos o módulo, devemos analisar qual o valor mínimo da raiz. O menor valor de n é zero, isto é, o espaço de um ponto, de dimensão d = 0, portanto o valor mínimo da raiz é a

P á g i n a | 5-1734

unidade). Portanto, para n > 0, a raiz será maior que 1. Portanto, nessas condições teremos: 2d  1  1

que resulta em duas equações algébricas: 2d  1  1 2d  1  1

da primeira equação obtemos as seguintes soluções: d

d  1, para n 1 1   2 d  0, para n

Como o número de dimensões do espaço é sempre positivo (exceto para o conjunto vazio, mas nossa análise não abrange esse tipo de espaço), a raiz positiva é possível. Vejamos a raiz negativa: d

d  1, para n 1 1   2 d  0, para n

Essa solução só é possível se admitirmos dimensões negativas, que não está fora do escopo da nossa análise. Portanto, devemos rejeitar as soluções negativas e manter apenas as positivas: 2d  1  8n  1 2d  8n  1 1

d

8n  1 1 2

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Portanto as dimensões do espaço podem ser obtidas a partir do número de matrizes de rotação e geradores totais do grupo de deslocamento:

8N  1  1 2 8n  1  1 d 2

d

Em 1905, Poincaré descobriu o Grupo de Lorentz e mostrou que esse grupo apresentava seis matrizes de rotações. Qual o número de dimensões desse espaço?

d

8 6 1 1 2 d 4

Portanto, o espaço-tempo não pode ser descrito apenas com grandezas tridimensionais, mas exige grandezas tetradimensionais. Em seu ensaio, Poincaré obtém essas novas grandezas, embora ele mesmo não tenha introduzido o conceito de 4-vetor. Não se trata de falta de conhecimento, mas de uma preferência. Enquanto físicos como H. Lorentz adotavam o formalismo vetorial de Grassmann e Heaviside, Poincaré se mantinha fiel a forma cartesiana, a mesma empregada por J. Maxwell. Atualmente sabemos que esta quarta dimensão é o tempo. Mas como Poincaré e, posteriormente, Minkowski chegaram a essa conclusão? A resposta é bastante simples. 3 matrizes de rotação envolviam a quantidade ct e as novas grandezas tetradimensionais eram escalares escritas em função do tempo. Em outras palavras, foi o conceito de Grupo e geradores do Grupo de Rotação de Lorentz que indicam o número de dimensões do espaço-tempo. Em 1908, Minkowski introduziu o grupo de

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deslocamentos do espaço-tempo, que ficou conhecido como Grupo de Poincaré. O grupo de deslocamentos contém 10 geradores (6 matrizes de rotação e 4 vetores de deslocamento). Por meio desse grupo, Minkowski concluiu, como Poincaré, que o espaço-tempo tem 4 dimensões.

d

8  10  1  1 2 d 4

Embora Minkowski estivesse ciente do trabalho de Poincaré, ele afirmou que seu trabalho era essencialmente diferente e mais amplo que o de Poincaré. A afirmação é um pouco exagerada e os historiadores da ciência concordam que Poincaré antecipou diversos aspectos das contribuições de Minkowski. Devemos registrar que a ideia de um contínuo de espaço-tempo aparece explicitamente apenas no trabalho de Minkowski. Poincaré havia observado que o Grupo de Lorentz deve manter invariante a forma quadrática:

J 2  c2t 2  x2  y 2  z 2 Minkowski introduziu o elemento de arco diferencial do espaçotempo:

ds 2  c2dt 2  dx2  dy 2  dz 2 e observou que esse intervalo deve ser um invariante. Portanto, as transformações do espaço afetam as transformações do tempo e viceversa, de forma que não é possível desassociar estas duas grandezas e não há pontos singulares, isto é, regiões na variedade onde não possamos estabelecer um sistema local de coordenadas. Embora todas essas informações estejam contidas na análise de Poincaré e

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apareçam em algumas passagens isoladas, foi Minkowski que explorou o seu significado. Os críticos da Teoria de Cordas e suas variantes, como Feynman, apontam que o número de dimensões não derivada da teoria, mas decidido à priori para que o modelo se ajuste aos fenômenos. O problema de dimensões extras, porém tem raízes mais profundas. Kaluza e Klein já haviam demonstrado que um grupo com 10 matrizes de rotação geravam as equações da Relatividade Geral e do Eletromagnetismo.

d

8  10  1  1 2 d 5

Ou seja, Kaluza e Klein obtiveram a primeira evidência de um espaço-tempo pentadimensional. A nova dimensão não podia ser identificada com nenhuma grandeza física conhecida. Foi descoberto que ela seria semelhante a um cilindro, porém menor que o elétron. Einstein conhecia esse resultado e em um primeiro momento se mostrou favorável, é desta época que Einstein proferiu uma máxima: “o universo é cilíndrico”. Porém o alto grau de abstração matemática e a estranheza sobre a forma e escala da nova dimensão levaram a Einstein rejeitar esse espaço-tempo. Portanto, a inclusão de novas dimensões é um problema que também envolve a percepção dos físicos. A Teoria M, proposta por Eugene Witten, que permite unificar os cinco modelos de Teoria de Cordas e o modelo de Gravitação Quântica, exige 11 dimensões. A título de curiosidade, vamos calcular o número de matrizes de rotações e de geradores do grupo de deslocamentos.

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n n

11  11  1

N

2 11  10 

n  55

11  12 

2 132 N 2 N  66

2

Os teóricos de cordas precisam calcular 55 matrizes de rotação, 11 vetores de translação, totalizando 66 geradores. Como veremos, só as seis matrizes do espaço-tempo exigem um número extenso de cálculos secundários, imaginem 55 matrizes? Além da complexidade física e matemática inerente a própria teoria, a teoria exige um trabalho extenso de programação e o uso de softwares em matéria simbólica para facilitar a parte operacional. Podemos obter uma outra relação importante sobre os números de matrizes de rotação e geradores. Assumimos que as dimensões do espaço são inteiras não-negativas. Isso implica que o numerador de nossas equações seja um número par, para ser divisível por dois: 8n  1  2d  1

Essas equações implicam que a nossa raiz quadrada deve ser sempre um número ímpar. Caso contrário, não irá gerar um número par e a dimensão do espaço será fractal.

8n  1   2d  1

2

8n   2d  1  1 2

n

 2d  1 

2

1

8 Essa fórmula também nos fornece o número de matrizes e geradores. Ela revela uma interessante simetria. Se estendermos d para acomodar dimensões negativas, podemos verificar esse espaço

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hipotético. Tomemos a fórmula das matrizes de rotação para d negativo:

 2d  1 N d d d d

 1  2  3  4

2

1

8 N 0 N 1 N 3 N 6

nT  d d  1 nT  1 d  2

nT  2

d  3 nT  3 d  4

nT  4

 2d  1 n d d d d

 1  2  3  4

2

1

8 n 1 n3 n6 n  10

Os espaços de dimensão negativa deveriam apresentar deslocamentos negativos, só desta forma o número de geradores totais poderia ser menor que o de matrizes de rotação. Porém essas duas premissas são contraditórias, pois o número total de geradores não pode ser menor que o número parcial. Porém, há uma maneira de contornar esse paradoxo. Se no espaço de dimensão negativa, as rotações se transformarem em translações e vice-versa, as equações voltam a fazer sentido:

nT 

 2d  1

2

1

8 d  1 nT  0 d  2

nT  1

d  3 nT  3 d  4

nT  6

N  d d d d d

 1  2  3  4

N  1 N  2 N  3 N  4

 2d  1 N d d d d

 1  2  3  4

2

1

8 n 1 n3 n6 n  10

Assim como os espaços de dimensão fractal, os espaços de dimensão negativa ainda são assuntos controversos na física e na matemática, mas neste trabalho procuraremos dar um novo significado a esse tópico.

P á g i n a | 5-1740

2.3.

Espaços com Dimensões Negativas

Na seção anterior, vimos que a topologia geométrica torna inteligível espaços de dimensão negativa. Mas como serão esses espaços? Será que podemos concebe-los visualmente como fazemos com os espaços de baixa dimensão? Detive-me durante alguns meses nessa questão e finalmente consegui entender o significado das dimensões negativas. Segundo nosso modelo, um espaço de -1 dimensão é um espaço sem translações, apenas com 1 rotação. Um pouco de raciocínio nos mostrará que esse espaço corresponde a uma curva de Jordan fechada de comprimento C. Todas essas curvas são difeomórficas ao espaço das esferas S1.

P á g i n a | 5-1741

Portanto, podemos conceber o espaço de -1 dimensão como um espaço onde o eixo coordenado é uma família de esferas homotéticas S¹ ao redor de um ponto central P.

No espaço de dimensão negativa -1, cada partícula está presa a um círculo de S1. A topologia não nos informa qual deve ser o comprimento desses círculos ou se uma partícula pode saltar de um círculo para outro. A mecânica quântica nos ensinou que o elétron ligado ao núcleo atômico mantém órbitas fechadas e estáveis, podendo saltar de camadas conforme absorva ou emita uma certa quantidade de energia. O modelo proposto Bohr e depois aprimorado por Sommerfeld e Wilson, é muito semelhante ao nosso modelo de uma dimensão negativa. A diferença que a topologia não nos informa se o espaço entre as circunferências homotéticas é discreto ou continuo. De qualquer forma, a experiência nos ensina que uma partícula pode ficar presa a uma órbita fechada e mudar de camada sem transladar, o que é a justamente a condição imposta pelo espaço dimensão -1. Também poderíamos representar o nosso espaço como as latitudes em uma esfera S³. Nesse caso, existiriam infinitos pares de

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curvas S1 de mesmo comprimento, uma ao norte e outra ao sul do equador, que seria a curva de comprimento máximo.

Se fizermos o raio de S³ tender a infinito, então as curvas S¹ tenderão a retas R, e uma aplicação homeomórfica entre os pontos de curva C e a reta real tenderá a um isomorfismo. Nessa situação a rotação tende a se transformar em uma translação. Portanto, podemos concluir que uma rotação se transforma em uma translação no infinito. Vejamos agora como deve ser o espaço com duas dimensões negativas. Segundo o nosso modelo de topologia geométrica, um espaço de -2 dimensões apresenta 2 rotações e 1 translação. Já compreendemos que cada dimensão negativa é uma curva fechada difeomórfica a S1. Por isso tomemos um ponto central P e sobre ele construamos um conjunto A esferas S¹ homotéticas. Nosso próximo passo será construir um conjunto B de esferas S1 homotéticas também com centro P, tal que os conjuntos A e B sejam isomórficos e que satisfaçam a seguinte condição:

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ai  A  bi  f  ai   B | ai , bi  0 ai  bi   qi ,  qi   Qi | d  p, qi   d  qi , p  f é um isomorfismo entre A e B

Ou seja, existe uma correspondência biunívoca entre as esferas S1 do conjunto A e do conjunto B, tal que as esferas do domínio sejam ortogonais as esferas do contradomínio e se cortem em dois pontos.

Sejam a() e b() as funções geratrizes das esferas S1 dos conjuntos A e B. As curvas serão ortogonais e se interceptação em dois pontos se, e somente se, os vetores tangentes nos pontos conjugados em relação à p forem ortogonais:

P á g i n a | 5-1744

d    d

, qi

d   d

0 qi

Como todas as esferas S1 são homotéticas ao ponto P, a reta q que conecta os pontos qi e -qi passa por P e é o conjunto Q da união de todos os conjuntos Qi.

q

n

Qi  Q

i 1

Qualquer corpo nesse espaço poderá percorrer as esferas S1 ortogonais (as duas rotações) ou a reta r definida pelos pontos de intersecção (a única translação admitida nesse espaço). Observe que a reta r é única, portanto não define um plano de translação. Além disso, diferente do espaço positivo, dois eixos negativos ortogonais não definem um plano, mas uma reta.

P á g i n a | 5-1745

Uma outra maneira de imaginar o espaço bidimensional negativo é por meio de duas esferas S³. O conjunto A de esferas S1 correspondem as esfera S3 onde as curvas S1 são os paralelos distribuídos em relação ao equador que corta a esfera em hemisfério norte e sul. ³. O conjunto B de esferas S1 correspondem as esfera S3 onde as curvas S1 são os paralelos distribuídos em relação ao equador que, nesse caso, divide a esfera em hemisfério leste e oeste.

O espaço bidimensional negativo é a sobreposição destas duas esferas e a reta definida pelos pontos de intersecção entres as curvas ortogonais que passam pelo centro da esfera. Novamente teremos um espaço com duas rotações e uma translação. Se o raio da esfera tender ao infinito, teremos dois eixos ortogonais, um plano de rotação. Em outras palavras, no infinito uma reta de translação tende a se tornar um plano de rotação. Vejamos agora como deve ser o espaço com três dimensões negativas. O modelo Segundo a topologia geométrica, um espaço de -3 dimensões apresenta 3 rotações e 3 translações. O espaço bidimensional negativo nos ensinou a regra geral para construção de espaços de dimensão n+1. Novamente, tomemos um ponto central P

P á g i n a | 5-1746

e sobre ele construamos um conjunto A, B e C de esferas S¹ homotéticas, onde todos os conjuntos são isomórficos e os seus elementos são dois a dois ortogonais, que se cortam em dois pontos equidistantes em relação a P:

d    d

d   d d    d

, mi

, pi

, qi

d    d

d    d d   d

0 mi

0 pi

0 qi

Visualmente, o espaço tridimensional negativo terá o seguinte aspecto:

P á g i n a | 5-1747

Como há três conjuntos de esferas S1, existem 3 pares de pontos gerados pela intersecção dos elementos dos conjuntos A, B e C. Como todas as esferas S1 são homotéticas ao ponto P, há três retas ortogonais, m, q e r, que conecta os pontos equidistantes, -mi e mi, qi e qi, -ri e ri, que passam por P e são, concomitantemente, os conjuntos M, Q e R da união de todos os conjuntos Mi, Qi e Ri, respectivamente.

m

n

Mi  M

i 1

q

n

Qi  Q

i 1

r

n

Ri  R

i 1

Desde que temos três retas ortogonais, cada par de retas define um plano, portanto teremos também três planos. Uma outra maneira de imaginar o espaço tridimensional negativo é por meio de três esferas S³. O conjunto A de esferas S1 correspondem as esfera S3 onde as curvas S1 são os paralelos distribuídos em relação ao equador que corta a esfera em hemisfério norte e sul. O conjunto B de esferas S1 correspondem as esfera S3 onde as curvas S1 são os paralelos distribuídos em relação ao equador que, nesse caso, divide a esfera em hemisfério leste e oeste. O conjunto C de esferas S1 correspondem as esfera S3 onde as curvas S1 são os paralelos distribuídos em relação ao equador que, nesse caso, divide a esfera em hemisfério superior e inferior. O espaço tridimensional negativo é a sobreposição destas três esferas e as três retas ortogonais definidas pelos pontos de intersecção entres as curvas ortogonais que passam pelo centro da esfera.

P á g i n a | 5-1748

Novamente teremos um espaço com três rotações e uma três translações. Se o raio da esfera tender ao infinito, teremos três eixos ortogonais, três planos de rotação. Em outras palavras, o espaço tridimensional negativo mantém a sua forma no infinito. Não é difícil generalizar estas ideias para espaços com dimensão superior. O método de construção é exatamente o mesmo, porém, nesse caso, não poderemos usar mais uma esfera S3, mas uma hiperesfera Sn+3, que apresenta n+3 equadores S1 que são ortogonais entre si. Esse espaço deve satisfazer a condição de ortogonalidade: d  j  d j

, rim

d  k  d k

0 rim

P á g i n a | 5-1749

 j  k  ;

n²  n   m  4 à  2  

E o conjunto de cortes deve gerar (n²+n)/2 retas que passam pelo ponto P e são ortogonais entre si, definidas por:

ri  m

n

Rim  R m

i 1

n²  n   m  4 à  2   Verifiquemos agora o significado de nosso espaço negativo. No infinito uma reta se torna um plano e as curvas fechadas S1 se tornam eixos (retas). O princípio da dualidade nos garante que todo teorema, propriedade de uma relação ou um objeto matemático qualquer é verificada pela sua dual. Portanto podemos considerar que no espaço de dimensão negativa, há uma geometria projetiva onde um plano de rotação é o dual de uma reta de translação e o eixo R1 é a dual de uma circunferência S1. De acordo com a Topologia Geométrica, o espaço de dimensão negativa é o equivalente a um espaço de dimensão positiva onde translações e tornam rotações e vice-versa. Nessas circunstâncias, podemos dizer que o dual de uma translação é uma rotação e o dual de uma rotação é uma translação. Portanto, somos levado à seguinte conclusão: em topologia geométrica, o espaço de dimensão negativa é o dual do espaço de dimensão positiva. Em outras palavras, o espaço positivo é a projeção no infinito do espaço negativo e vice-versa. Por isso dado um espaço de dimensões negativas maior ou igual à -3, podemos imaginar que o espaço positivo é a projeção no infinito das esferas S³ que contém as curvas S¹ que geram as translações e as rotações.

P á g i n a | 5-1750

2.4. Continuidade em Dimensões Negativas Nas seções anteriores, construímos uma teoria das dimensões negativas, porém, um espírito mais atento poderia nos questiona que na nossa construção, um dos conceitos mais fundamentos da topologia e da análise parecem terem sido comprometidos: a continuidade. Nessa seção, mostraremos que podemos incluir não apenas a continuidade, mas criar um isomorfismo com R. Visto que estamos lindando um dimensões negativos, é mister definirmos as regras para analisar os morfismos. Se considerarmos o número de vetores da base como a característica que define a dimensão e que no espaço negativo esses vetores correspondem ao número de pseudo-vetores da base, então, diremos que que dois espaços inteiros são isomórficos se, as condições de isomorfismo são verificadas e o módulo de duas dimensões for igual. O mesmo se aplica aos morfismos, trocando a análise das dimensões pelo módulo delas. Feitas estas observações, vamos estabelecer um homemorfismo entre o espaço C¹ das esferas S¹ concêntricas sobre o espaço das esferas S¹ tangente T¹ para que assim as esferas concêntricas irão gerar pares de esferas de diferente tamanho que se tocam no ponto zero. A figura gerada por esta aplicação é apresentada abaixo:

P á g i n a | 5-1751

Esta representação é uma representação também possível do nosso espaço de dimensão negativa. A vantagem dessa representação sobre a aquela que adotamos anteriormente é que podemos definir de forma bastante simples o conceito de continuidade. Como todas as esferas S1 são tangente no ponto zero, então é sempre possível alternar de um conjunto de esferas Ri para um conjunto de esferas de Rj, a partir da origem. Esse espaço de dimensão negativa apresenta a seguinte propriedade em relação a intersecção e a união: 

X i  X j i j

i 1 

Xi 

i 1

Em duas dimensões, esse espaço define uma reta pela intersecção de cinco pontos, já que cada par de esferas se corta em dois pontos e todas devem passar pela origem 0. Podemos também construir um espaço mais simples de esferas tangentes S¹, que denotaremos pela letra K¹, composto apenas por um grupo de esferas.

P á g i n a | 5-1752

Esse espaço de dimensão negativa tem como um atlas, o conjunto de esferas concêntricas C¹ mais o ponto 0. Essa estrutura também apresenta as mesmas características sobre a intersecção e a união: 

X i  X j i j

i 1 

Xi 

i 1

Até aqui temos recorrido aos elementos mais finos da álgebra e da topologia. Porém, recordemos que a topologia foi desenvolvida para tratar de forma rigorosa problemas intuitivo das formas dos objetos. Sigamos os conselhos de Marco Aurélio, imperador e filósofo de Roma, e retornemos a origem da topologia. Usando noções intuitivas de pontos, retas e planos, podemos construir domínios esféricos:

Em nossa teoria de dimensões negativas, o grupo de rotações é equivalente ao grupo de translações e vice-versa. Essa interpretação nos ensina que para construir uma dimensão negativa temos que pegar um seguimento de reta e dobra-lo até formar uma circunferência. Embora a ideia pareça simples, temos que ter certos cuidados para evitarmos contradições que tornariam nosso modelo inválido. Para

P á g i n a | 5-1753

isso tomemos a representação da reta real R. Vamos dividi-la em diversos seguimentos à direita e a esquerda e impor duas condições: 1) Os seguimentos conjugados tem o mesmo tamanho 2) O sucessor de um seguimento à direita (recip. esquerda_ é maior que o seu antecessor à direita (reciprocamente: esquerda), isto é: d(0, a) < d(a, b) < d(b, c) < ... . A figura abaixo é uma representação (grosseira) do que estamos propondo.

Inicialmente removemos a origem da reta 0 (rosa) (etapa 0). Depois o seguimento d(0, a) (verde) (etapa 1), o seguimento d(a, b) (púrpura) (etapa 2) e assim infinitamente.

Cada seguimento pode ser entortado para formar uma circunferência de raio, cujo raio é a distância entre os pontos dividido por 2.

r

d  ai , a j  2

P á g i n a | 5-1754

Nós poderíamos entortar nossos seguimentos de reta de forma que o ponto ai não coincida com o ponto aj, mas haja um “buraco”. Em outras palavras teremos uma curva aberta.

Agora ajustemos nossas circunferências de modo que o ponto de contato entre todas elas, seja o buraco que falta para fecha-las.

P á g i n a | 5-1755

Agora coloquemos o ponto (origem) no eixo real:

Está construído nosso espaço de dimensão negativa -1. Observe que como esse espaço foi construído recortando a reta real, de forma que não haja repetições entre os pontos, esse espaço é isomórfico a reta real e, portanto, contínuo. Podemos usar o mesmo método para construir o espaço K1, e novamente teríamos um espaço de dimensão negativa -1 que é isomorfo a reta dos reais. Assim como podemos distribuir nossos números reais qualquer linha, existem infinitas configurações para um espaço de dimensão negativa. O mais importante é que podemos construir um espaço de dimensão negativa que preserva as noções habituais de continuidade. Outro espaço de dimensão negativa nos foi proposto por Arquimedes e é conhecido como espiral de Arquimedes.

P á g i n a | 5-1756

Onde a primeira figura representa movimentos no sentido positivo e a segunda figura no sentido negativo. Sobrepondo as duas figuras, observamos que elas nunca se encontram, exceto na origem. Portanto o espiral de Arquimedes também é uma representação adequada de um sistema de dimensões negativas.

Poderíamos nos dar por satisfeitos com essa construção, porém, esse raciocínio serve principalmente para nos convencer da inteligibilidade do espaço de dimensão negativa. Vamos agora tentar

P á g i n a | 5-1757

construir um espaço negativo menos arbitrário. Ao invés de duas restrições, vamos impor que os nossos seguimentos apenas atendam a condição de convergência de Cauchy:

d  ai , a j    Nessa configuração todos os comprimentos são iguais e infinitamente pequenos e é fácil ver que os comprimentos dos seguimentos de retas que usamos para construir o espaço -1, é a união de todas as bolas abertas em torno dos pontos da reta real. 

lim  0

B  xi ,   

i 1

Nossas mentes não podem conceber retas infinitamente pequenas, por isso tomaremos segmentos de reta de finita apenas para ilustrar o raciocínio que queremos empregar. Se dividirmos os nossos seguimentos em partes iguais e o encurvarmos deixando apenas um ponto em aberto (correspondendo a origem), teremos infinitas circunferências iguais:

Quando sobrepormos todas essas circunferências, teremos a impressão de termos uma única circunferência.

P á g i n a | 5-1758

Porém, essa circunferência não é trivial, pois ela uma variedade isomórfica a reta real. Deixe-me ilustrar com uma subvariedade de K e usando retas unitárias. Tomemos a variedade real não-negativa: 

  0,  

Vamos repartir essa subvariedade de R em segmentos que medem a unidade, desta forma as circunferências terão raio 1/2Se denotarmos por S0 pelo ponto que corresponde a origem e Si, (i = 1, 2 ,3, ...) cada uma das circunferências modeladas pela deformação dos segmentos unitários, é fácil ver que existe uma relação biunívoca entre Si e os intervalos Ii da reta R+. S0  0

S1   0,1 S 2  1, 2 S3   2,3 Si   i  1, i 

É fácil ver que a união de todos os intervalos é a própria reta real, o que prova o isomorfismo entre as variedades:  i 0

Si 



 i 0

Si  

P á g i n a | 5-1759

A distância e o raio de cada circunferência será dado por: ri 

1 2

d  i  1, i   1

Agora, vamos refletir a respeito dos nossos resultados. A circunferência S1 corresponde aos números maiores que zero e menores ou igual à 1. A circunferência S2 corresponde aos números maiores que 1 e menores ou iguais a 2. Já a circunferência S3 são os números maiores que 2 e menores ou iguais à 3, e assim por diante. Em uma circunferência normal, a cada volta completa, haveria uma repetição dos números. Porém, em nossas dimensões negativas, a cada volta completa, o “piloto” troca de circunferência (por exemplo S1 à S2). Essa é um caso particular, agora levaremos essas ideias para segmentos de retas que satisfazem a condição de Cauchy. Tomemos a reta real:   ,   Repartamos a reta R em segmentos que medem , onde  é um número infinitamente pequeno, desta forma as circunferências terão raio /2Os seguimentos serão repartidos em dois grupos: positivos (anti-horários) e não-positivos (horários), conforme a seguinte regra: Positivos

Não  Positivos

S1   0,1 

S1   1 , 0

S2  1 , 2 

S2   2 , 1 

S3   2 ,3 

S3   3 , 2 

Si    (i  1), i 

S i   i ,  (1  i ) 

É fácil ver que a união de todos os intervalos é a própria reta real, o que prova o isomorfismo entre as variedades:

P á g i n a | 5-1760



Si 

i 



Si  

i 

A distância e o raio de cada circunferência será dado por:

ri 

 2

d   (i  1), i     

Convencionamos que a cada volta infinitesimal completa no sentido anti-horário, o “piloto” passa para outro intervalo positivo. Se ele correr no sentido horário, ele irá caminhar pelas circunferências isomórficas aos reais negativos. Seja qual a convenção, teremos um espaço isomórfico a toda reta e continuo em todos pontos. Para construirmos o nosso espaço de dimensão negativa contínuo, recorremos ao artificio empregado por um dos percursores da topologia: Bertrand Riemann. No estudo das funções com ramificações, Riemann percebeu que algumas soluções não podiam permanecer no mesmo plano complexo Z, e por isso introduziu conceito de folha ou superfície de Riemann. Dá mesma forma, percebemos que as nossas circunferências, embora todas diferentes, estão sobrepostas, por isso dizermos que cada circunferência pertence a um círculo do espaço, que chamaremos de linha de Poincaré, que opera de forma análoga a folha de Riemann, mas em uma dimensão. Cada circunferência está em uma linha de Poincaré, garantindo que o espaço seja contínuo e isomórfico aos números reais. Se aplicarmos esse mesmo resultado para as dimensões -2 e -3, as famílias de circunferências irão se cortar em dois pontos, cada par de pontos localizado em uma linha de Poincaré. Desde que dois pontos definem uma reta, estes pontos definirão uma reta que em cada linha de Poincaré corresponde ao diâmetro. Como existem infinitas linhas de Poincaré, existirão infinitos de diâmetros, portanto a união de todos diâmetros é a reta real e passagem de um diâmetros para outro é um processo contínuo.

P á g i n a | 5-1761

Em particular o espaço tridimensional, é o espaço gerado pelos vetores motores ou pelos vetores rotores, não há como diferenciar um espaço positivo de um espaço negativo. É por isso que esse espaço admite um super espaço de seis dimensões e super vetores. Portanto, podemos concluir que os espaços de dimensões negativas K-n uma variedade Hausedorff formada pela união de todas as bolas abertas ao redor dos pontos pi da variedade de Rn. 

lim  0

B  pi ,   

n

i 1

Há muito mais para se explorar no domínios da dimensões negativas, porém, para nossos objetivos, essa análise é suficiente. Por isso, antes de aplica-los para construir uma álgebra de Lie e principalmente, uma álgebra de Clifflord.

P á g i n a | 5-1762

2.5.

Hotel de Hilbert e Números Não-Arquimedianos

Inspirado no hotel de Hilbert, retomemos a nossa reta real particionada em intervalos semi-abertos cujo comprimento é a unidade. Para cada elemento S podemos estabelecer um aplicação bijetora com o conjunto dos números naturais. Portanto, o conjunto de todos seguimentos S é um infinito contável justamente como os quartos do Hotel de Hilbert, chamaremos esse novo empreendimento de Hotel da Luna5. Para essa estrutura verifica-se as seguintes relações: 

Si 

i 



Si  

i 

Para hospedar nossos seguimentos da reta real nos infinitos quartos do Hotel da Luna assumiremos a seguinte convenção: os quartos l, 2, 4, ..., 2n, ... serão ocupados pelos seguimentos nãopositivos e os quartos , 1, 3, 5, ..., 2n+1, ... serão ocupados pelos seguimentos positivos: Positivos

Não  Positivos

Q  S1   0,1 

Q  S 1   1 , 0

Q1  S2  1 , 2 

Q2  S2   2 , 1 

Q2  S3   2 ,3 

Q4  S3   3 , 2 

Q2 n 1  S n   (n  1), n 

Q2 n  S  n   n ,  (1  n)

Todos esses seguimentos de reta satisfazem um importante princípio denominado de axioma de Arquimedes: 5

Escolhi o nome em homenagem a minha filha, Luna Capiberibe Toma.

P á g i n a | 5-1763

Sejam dois pontos quaisquer, A e B, numa reta D; seja a um seguimento qualquer; construamos em D, a partir do ponto A e iguais a a: AA1, A1A2, ... An-1An; sempre poderemos tomar um n tão grandes que o ponto B se encontre num desses seguimentos. Em outras palavras, se tivermos dois comprimentos quaisquer, l e L, sempre poderemos encontrar um número inteiro n suficientemente grande n vezes o comprimento l a ele mesmo, obtenhamos um comprimento total maior do que L (POINCARÉ, 1902).

Qualquer geometria ou corpo que não satisfaça o axioma de Arquimedes é denominado de corpo não-arquimediano. Como mostra Poincaré (1902), o corpo não-arquimediano é uma extensão do corpo ordenado completo dos reais. Como os corpos nãoarquimedianos preservam os axiomas de ordem, mas não tem supremo igual a R, então, todo corpo não-arquimediano é ordenado e incompleto ou completo em Cauchy, se as séries numéricas convergirem. Tomemos - e  números não-arquimedianos infinitamente próximo a zero. Queremos hospedar esses novos número no Hotel da Luna, porém todos os quartos estão ocupados por seguimentos S. Hilbert nos ensina que podemos acomodar esse número exigindo que cada hóspede deixe o quarto n e passe ocupar o quarto n+1, de tal forma que os quartos l e  sejam mantidos desocupados. Positivos ( Pares)

Não  Positivos ( Ímpares)

Q2  S1   0,1 

Q1  S1   1 , 0

Q4  S2  1 , 2  Q6  S3   2 ,3  Q2 n  S n   (n  1), n 

Q3  S2   2 , 1  Q5  S3   3 , 2  Q2 n 1  S n   n ,  (1  n) 

P á g i n a | 5-1764

Portanto, a nova regra de hospedagem no Hotel da Luna será: o número não-arquimediano ocupa o quarto zero, os seguimentos positivos ocupam os quartos pares e os seguimentos não-negativos ocupam os quartos ímpares:

Hotel da Luna  se n for    S n 1 se n for impar  2  Qn    S se n for par   n2     se n for Todos os infinitos quartos lotados  Temos vagas 

Como nosso hotel passou a acomodar um número nãoarquimediano, o axioma de Arquimedes deve ser rejeitado. Vamos organizar o Hotel da Luna de forma que os quartos definam uma reta não-arquimediana semi-aberta:

P á g i n a | 5-1765

A    ,   A



Agora, tomemos uma circunferência formada por esse seguimento não-arquimediano, tal que o ponto 0 (fechado) coincida com ponto +(aberto), para rotações no sentido anti-horário, e coincida com ponto –(aberto), para rotações no sentido horário, desta forma a circunferência S1 será contínua e verificar-se-á que:

S1



A circunferência não-arquimediana se comportará de forma uma semelhante ao eixo real. Um partícula poderá girar no sentido antihorário (positivo) ou horário (negativo), contínua, porém sem nunca retornar a origem, embora a curva seja fechada e contínua.

2.6. Corpo Ordenado Não-Arquimediano Nos Fundamentos da Geometria, David Hilbert estabeleceu cinco axiomas para a construção de uma geometria. O quinto axioma é denominado de axioma de Arquimedes e pode ser enunciado da seguinte forma: Nessa seção, demonstraremos que as dimensões negativas são contínuos não-aquimedianos. Para isso, observe que cada um dos ramos de nossas esferas S1 sobrepostas satisfazem a condição abaixo, para um número  infinitamente pequeno.

 n    cos t  xn   n    cos t   n    sin t  yn   n    sin t

P á g i n a | 5-1766

Agora, elevemos a expressão ao quadrado,

 n   2 cos 2 t  xn2   n    cos 2 t  2 2 2 2 2  n    sin t  yn   n    sin t Somando as duas equações, obtemos:

n   

2

 cos

2

t  sin 2 t   xn2  yn2   n     cos 2 t  sin 2 t  2

n   

2

 xn2  yn2   n   

2

2 n  xn2  yn2  2 n

Para n fixo, a desigualdade acima pode ser escrita como:

  xn2  yn2  

xn2  yn2   Usando a definição de distância entre dois pontos:

d  xn , yn    2

Portanto, a equação é uma parametrização das bolas abertas e como  é um número infinitamente pequeno, ele é um número nãoarquimediano. Como existem infinitos corpos não-arquimedianos, há infinitas formas de se definir  e, portanto, há infinitas geometrias de dimensão negativa. Por comodidade, construiremos a geometria de dimensão negativa que se baseia no corpo de Levi-Civita, a extensão não-arquimediana mais simples de R. Por isso, definiremos o número  pela seguinte relação:

P á g i n a | 5-1767

 

1 m2

Agora vamos provar que as sequências xn e yn são nãoarquimedianas. Vamos tomar o módulo da equação de xn:

n   

cos t  xn   n    cos t

Usando o fato que a função cosseno é limitada:

n    

xn   n   

Elevando ao quadrado, podemos extrair o módulo:

n   

2

 xn2   n   

2

n 2  2n   2  xn2  n 2  2n   2

2n  xn2  2n Para n fixo, obtemos a seguinte relação:   xn2  

Portanto, para xn e yn (pelo mesmo processo), verifica-se que:

xn2   yn2   xn2  yn2   Como xn e yn são corpos de Levi-Civita, eles podem ser expandidos em uma sequência racional:

xn 



x

i 

qi

q

i

qi  , xqi  qi  qi 1

P á g i n a | 5-1768

Como este corpo tem a topologia induzida pela ordem, então toda sequência de Cauchy converge. Portanto, esse corpo nãoarquimediano é ordenado e Cauchy Completo (para mais detalhes ver Berz, 1996). Desta forma, o espaço de dimensão negativa k-n pode ser compreendido como o espaço das circunferências nãoarquimedianas, topologicamente construídas como na seção 12. Como espaço k-n é um espaço métrico e um mapa que preserva a distância, ele é injetivo, mas não bijetivo, pois o mapa pode ser isométrico para um subconjunto estrito de si mesmo. A construção do espaço k-n pode ser comparado a construção do Hotel de Hilbert: ao particionar a reta não-arquimediana em intervalos infinitamente pequenos e curva-las em circunferências S1 que incluam a origem, é sempre possível na mesma partição incluir infinitos intervalos, sem que a distância seja modificada. Numa reta qualquer, entre nossos pontos arbitrários, viriam intercalar-se novos pontos. Se, por exemplo, Do for uma reta ordinária e D1 a reta não arquimediana correspondente; se P for um ponto ordinário qualquer de Do, e esse ponto dividir essa reta em duas semirretas, S e S’ (acrescento, para esclarecer, que considero que P não faz parte de S nem de S’), haverá em D1 uma infinidade de novos pontos, tanto entre P e S quanto entre P e S’. Haverá igualmente em D1 uma infinidade de pontos novos, que ficarão à direita de todos os pontos ordinários de Do. Em resumo, nosso espaço ordinário é apenas uma parte do espaço não arquimediano. (POINCARÉ, 1902).

Portanto, tomando uma reta não arquimediana D, podemos cortala em um seguimento D’ infinitamente pequeno que contenha tantos pontos quanto à reta real de forma que sua origem seja o ponto 0 e que sua cota superior seja e a soma de por um número é 0 D   D  D | D

 ; sup D   ;     0    

P á g i n a | 5-1769

Essa condição de que exista uma cota superior, ao mesmo tempo que a soma de e por um número infinitamente pequeno seja a origem, desta forma garantindo que a curva é um contínuo, parece ser incompatível com a nossa intuição e compreensão de contínuo matemático. Isso ocorre porque os contínuos matemáticos com que estamos familiarizados são de segunda ordem, enquanto os contínuos não-arquimedianos são de terceira ordem. Sabemos que os matemáticos distinguem entre infinitesimais de ordens diferentes e que infinitesimais de segunda ordem são infinitamente pequenos, não apenas absolutamente assim, mas também em relação aos de primeira ordem. Não é difícil imaginar infinitesimais de ordem fracionária ou mesmo irracional, e aqui mais uma vez encontramos o contínuo matemático que foi tratado nas páginas anteriores. Além disso, existem infinitesimais que são infinitamente pequenos com referência aos de primeira ordem e infinitamente grandes com relação à ordem 1 + , por menores que sejam . Aqui, então, há novos termos intercalados em nossa série; e se me for permitido rever a terminologia usada nas páginas anteriores, uma terminologia que é muito conveniente, embora não tenha sido consagrada pelo uso, direi que criamos uma espécie de contínuo de terceira ordem. Resumindo, o espaço não-arquimediano não é mais um contínuo de segunda ordem, mas um contínuo de terceira ordem (POINCARÉ, 1902)

Em síntese, o seguimento D’ é uma curva fechada, contínua de terceira ordem, ordenada e completa em Cauchy. Assim como em uma reta real podemos associar um vetor polar, que é gerador e base do espaço unidimensional positivo, para cada curva D’ podemos associar um vetor axial que é gerador e base do espaço unidimensional negativo.

P á g i n a | 5-1770

2.7.

Norma em Espaços de Dimensão Negativa

Depois de construirmos a topologia dos espaços de dimensão negativa, vamos avaliar a sua norma. Para isso vamos recorrer a Lei da Ampére, porém para um vetor arbitrário de componentes axiais.

 A  dl  

C

Como A é constante ao longo da curva S1,

A

 dl  

C

A  2 R    A 

 2 R

Aplicando o operador * sobre a equação acima:

A 

 2 R

Observe que o vetor A corresponde a forma polar do vetor axial A. Como o operador * não altera o comprimento do vetor, podemos imaginar que * atua como um operador que atua sobre S1 cortando a curva em um ponto arbitrário e a desenrolando em um seguimento de reta. Portanto a norma de A será igual ao comprimento da curva:

A l A  2 R Substituindo o valor de A que calculamos anteriormente:

P á g i n a | 5-1771

  2 R 2 R    2 R 

2

    2 R 

2

Substituindo o valor de a na equação da norma, obtemos:

  2 R  A  2 R

2

A  2 R

Para explicitarmos o caráter pseudo-escalar, é oportuno escrever a equação da norma do pseudo vetor pela seguinte regra: A  2 R  1

Esta equação que obtemos pode ser aplicada a qualquer vetor do espaço negativo. Porém, quando consideramos a representação de uma única circunferência não-arquimediana, convém obter uma relação mais geral. Definamos um vetor axial como a subtração de dois pontos sobre o eixo negativo A* e B*. Definimos o raio com as distância de A* até a origem O e de B* até a origem O. Os seguimentos de reta AO* e BO* apresentam um ângulo . Definimos a norma do vetor AB* como comprimento entre esses dois pontos.

P á g i n a | 5-1772

AB   R  1

Mas como vimos, para cada volta sobre a circunferência, uma partícula altera sua superfície. Se o pontos A* e B* se encontrarem em diferentes superfícies, a nossa fórmula assume a seguinte fórmula: AB  R    2n   1

Onde n é a superfície que a partícula se encontra, observe que n é um número inteiro se a partícula estiver no sentido anti-horário e negativo se a partícula estive no sentido horário. Agora, vamos supor que nossa circunferência seja nãoarquimediana e contenha todas as infinitas superfícies positivas e negativas. Para construirmos essa circunferência vamos usar as séries de Levi-Civita. Tomemos o comprimento da circunferência de raio R e vamos expandi-la em função dos comprimentos de arcos conforme a seguinte regra:

    l  2  l0  l1  l2  l3  2 4 8  l l l l l  2  0  2  3  4  1 2 4 8



 ln  2n

 2

l 

n n

  

  

Na forma de soma infinita, teremos: 

ln n n 0 2

l  2 

Agora vamos usar a regra de D’Alambert para saber para quais valores de ln essa série é convergente:

P á g i n a | 5-1773

lim

ln 1 2n  1 2n 1 ln

lim

1 ln 1  1 2 ln

n 

n 

l 1 lim n 1  1  n 2 ln Portanto, os coeficientes devem respeitar o seguinte limite para que série convirja: l lim n 1  2 n  l n Como o comprimento de uma circunferência é dado por l  2 R 

ln n n 0 2

l  2 

Igualando as expressões, obtemos que o raio da circunferência é: 

ln n n 0 2

R

Vamos estudar o comportamento da seguinte série: 

x

n



n 0

1 , 1 x

x 1

Substituindo x por 1/2, obtemos o valor da soma infinita abaixo: 

1

2 n 0

n



1 1

1 2

P á g i n a | 5-1774



1

2 n 0

n

2

Desde que a construção de nossa circunferência é arbitrária, o caso mais simples é assumir que ln é um valor constante L. Observe que essa escolha satisfaz o teste da razão de D’Alambert:

lim

n 

L 2 L

lim 1  2 n 

Nessas circunstâncias o raio da circunferência será: 

L n n 0 2  1 R n n 0 2 R  2L R

Portanto cada seguimento l tem o mesmo comprimento do raio. Mas, cada comprimento l corresponde associado a um arco.

Se a circunferência acima fosse arquimediana, então teríamos as seguintes relações entre os comprimentos:

P á g i n a | 5-1775

 L1  0    L2  L1    L3  L2    L4  L3    L5  L4   R 

 2

R

 4

R

 8

R

 16

R

O cálculo elementar nos mostra que a distância entre os pontos sobre a circunferência é definido pelas regras simples:

L1   R 3 L2   R 2

7 L3   R 4 15 L4   R 8

31 R 16 2n  1 Ln  n 1  R 2

L5 

Contudo, a nossa circunferência não é arquimediana. Isso significa que a distância entre dois pontos é sempre igual.

 L1  0    L2  L1    L3  L2    L4  L3    L5  L4   Geometricamente, a distância entre dois pontos se altera a medida que nos aproximamos do ponto de retorno, de tal forma que nunca consigamos voltar ao ponto de partida. A forma mais simples de pensar essa circunferência é usando uma curva helicoidal. Cada uma dessas curvas pode ser projetada em um plano:

P á g i n a | 5-1776

Suponha que pegamos um seguimento de comprimento L e projetamos sobre o plano de forma que ele meça L e seja igual ao diâmetro da circunferência. Agora tomamos outro seguimento da hélice de tamanho L, mas exigimos que nessa projeção ele seja igual a metade do diâmetro. Para o próximo seguimento L, seu tamanho na circunferência deve ser metade da metade. Esse processo será realizado infinitamente. Assim, teremos uma sequência se seguimentos ln de comprimento 2R (L), mas que quando projetados na circunferência medem Ln = l/2n-1.

hélice   l1 , l2 , l3 ,

, ln ,

Pr H   L1 , L2 , L3 ,

, Ln ,

 

hélice   L, L, L,

, L,

L L L Pr H   , , 1 2 4

,

Ln , 2n 1

   

Os comprimentos da hélice são iguais, mas suas projeções não, o fator que divide o comprimento na projeção, é o fator de escala. O fator de escala explica-nos porque mesmo comprimentos de arcos menores tem o mesmo comprimento dos maiores. Portanto teremos as seguintes regras de projeção:

 L1  0    L2  L1    L3  L2    L4  L3    L5  L4    1

R0 

 2

R1 

 4

R2 

 8

R3 

 16

R4 

R0  1R

R3  8R

R1  2 R

R4  16 R

R2  4 R

Rn  2n R

Substituindo nas equações acima obtemos os seguintes valores para L:

P á g i n a | 5-1777

L1   R

L4  15 R

L2  3 R

L5  31 R

L3  7 R

Ln   2n  1  R

Agora que estabelecemos as relações fundamentais, vamos construir as seções.

n0

0  0 0  1  

n 1

3 2 3 7   3   2 4

  2  

n2 n3

2m  1 2m 1  1      m 1 2m 1 2m

n  m 1 m  /  , 0 

A próxima etapa consiste em determinar o valor de m a partir da regra geral. Tomemos um ângulo arbitrário m+1 escrito sobre a forma de radianos.

 m1  q q : q 

| 0  q  2

A imposição de que de q seja menor que 2 e maior é que o ângulo nunca ultrapasse os 360º positivos e não seja negativo. Agora vamos aplicar a desigualdade à direita para determinarmos m a partir de q.

P á g i n a | 5-1778

q 

2m 1  1  2m

2m1  1 q 2m

2m q  2m1  1 Vamos agora usar um pequeno truque para deixar a equação em função de 2m:

2 m  m 2

m

m 1

2m q 

2  2 m 2 m

2 q2

2m 2 m q  2  2m q  2  2 m Rearranjando a equação, obtemos:

2 m  2  q Observe que devido à condição de q ser menor que 2, o lado direito é sempre diferente de zero, portanto podemos aplicar o logaritmo. m log 2 2  log 2  2  q 

Multiplicando a desigualdade por -1, obtemos a fórmula geral para determinar o valor da constante m: m   log 2  2  q 

P á g i n a | 5-1779

Como m é inteiro, então a equação que obtivemos significa que n deve ser o menor inteiro que satisfaz a desigualdade acima. Como as nossas melhores calculadoras científicas, em geral, apenas calculam logaritmos na base 10 ou na base e, podemos expressar a relação acima em uma dessas duas bases. m

log  2  q  log 2

m

ln  2  q  ln 2

Como nos interessa achar o valor de n para aplicarmos a geral de arcos, devemos escrever a equação conforme a regra:  n  min N : q  

| 0  q  2, k  N | k  1 

ln  2  q    ln 2 

Para estendermos essa fórmula para valores negativos de n, basta que calculemos o módulo do ângulo, e após determinar n acrescentemos o sinal negativo, já que o sinal apenas denota o sentido da rotação. Agora devemos determinar o valor do ângulo para cada setor da circunferência. Por exemplo, no setor n = 1, um ângulo de 45º correspondem a um ângulo de 90º, pois 180º correspondem a 360º. A determinação desse ângulo é bastante simples e o fator de escala da projeção. Para n =1, o fator de escala 2, enquanto para n = 2, o fator é 4 e para n = 3, o fator é 8 e portanto para n = k, o fator é 2k+1. Oras isso se deve ao fato de que nossas projeções seguem essa proporção. Portanto, dado um ângulo arbitrário , determinamos em qual setor n ele se encontra pela regra exposta anteriormente. Depois

P á g i n a | 5-1780

subtraíamos esse ângulo pela cota inferior do setor e multiplicamos o valor pelo fator de escala. 

2n 1  1 

    n 2   2n1 2   Ou, de forma mais sintética:

  2  q 2n  2n 1  4   Essa fórmula também pode ser aplicada a ângulos negativos, usando o mesmo raciocínio na determinação de n. Portanto, a norma de um vetor negativo sobre uma circunferência não arquimediana e, reciprocamente, a distância de dois pontos A* e B* sobre esta circunferência, serão definidas por uma regra semelhante à das folhas, porém um pouco mais complicada devido aos fatores da projeção: d  A , B   AB  R    2n   1

 n  min N : q  

| 0  q  2, k  N | k  1 

ln  2  q    ln 2 

  2  q 2n  2n 1  4   Veja que essa é uma regra particular para uma escolha arbitrária de escala de projeção. Obviamente poderíamos obter infinitas regras, igualmente válidas e que não alteram o significado de nossa geometria “negativa”. Por isso escolhemos a mais simples e mostramos que ela é livre de contradições, embora nosso espírito encare com desconfiança contínuos de terceira ordem.

P á g i n a | 5-1781

2.8.

Teoria das Categorias

Um importante campo da matemática é a teoria das categorias que generaliza a teoria das estruturas da álgebra e permite estudar morfismos e dualidade entre diferentes estruturas ou classes de objetos. A discussão que apresentamos aqui é bastante sumarizada. O leitor poderá se aprofundar sobre o assunto no livro Categories for the Working Mathematician (LANE, 1998) que também é a referência desta seção. Comecemos, introduzindo algumas definições elementares da Teoria das Categorias. Morfismo: Sejam duas classes A e B, chamamos de seta ou de morfismo, a aplicação f que a cada objeto a contido em A associa a um único objeto b contido em B. Formalmente, escrevemos:

f : AB Morfismo Identidade (Id) Chamamos de morfismo identidade a aplicação que transforma a classe na própria classe. Id : A  A I d  A  A

Morfismo Composto: Sejam três classes A, B e C e duas setas f e g, tal que, f é uma seta entre A e B, e g é uma seta de B em C. Chamamos de composição ou morfismo composto, a seta h de A em C, que é uma aplicação de f em g. Formalmente, escrevemos:

f : A B g:BC

h: AC hg f

P á g i n a | 5-1782

Categoria: Sejam classes de objetos A, B, C, ... dizemos que essa coleção de classes é uma categoria se elas admitem morfismo, morfismo identidade e morfismo composto, sendo que para a composição verifica-se os seguintes axiomas: 1) h

g

f   h g  f

2) f I d  f e I d g  g

(axioma da associatividade) (axioma da identidade)

Dualidade: Uma seta que preserva as propriedades de uma categoria é chamada de dualidade. Qualquer enunciado que é válido para a categoria é válida para sua dual. Monomorfismo: Seja uma categoria C e a e b, elementos dessa categoria. Dizemos que a seta h é um monomorfismo de a em b se, e somente se, a composição pode ser cancelada pela esquerda:

h:a b h gh f g f Epimorfismo: Seja uma categoria C e a e b, elementos dessa categoria. Dizemos que a seta h é um epimorfismo de a em b se, e somente se, a composição pode ser cancelada pela direita:

h:a b g h f h g  f

P á g i n a | 5-1783

Isomorfismo: Seja uma categoria C e a e b, elementos dessa categoria. Dizemos que a seta h é um isomorfismo de a e b, se, e somente se, a composição for bijetora e verificar a seguinte relação entre setas:

 h:a  b  g :b  a | g h  I da  h g  I db Observe que todo isomorfismo satisfaz as condições de monomorfismo e de epimorfismo, porém nem toda seta que seja monomórfica e epimórfica é isomórifica. Para dois objetos a e b isomórficos, usaremos a seguinte notação:

ab Functores Se F é um mapa que preserva as propriedades de uma estruturas, ele é denominado de functor. Os operadores duais * e ★ são exemplos de functores. Alguns Exemplos de Categorias: 

Conjuntos



Grupos



Anéis



Corpos



Espaços Topológicos



Espaços Vetoriais

P á g i n a | 5-1784

2.9.

Isomorfismo entre Espaços de Dimensão Inteira

A teoria das categorias permite que estabeleçamos conexões entre diferentes classes de objetos, desde que eles sejam categorias. Precisamente, podemos estabelecer a relação entre os espaços de dimensão positiva e negativa por meio do functor *. Comecemos estabelecendo o grupo de deslocamentos G associado espaço motor de n dimensões positivas. G é uma categoria de (n²+n)/2, onde n é o número de dimensões.



G  T1 ,

, Tn , R1 ,

, R n2  n





2



onde Ti é a subcategoria das translações e Rj é a subcategoria das rotações. Agora vamos estabelecer o grupo de deslocamentos G* associado espaço motor de n dimensões negativas. G* é uma categoria de (n²-n)/2, onde n é o número de dimensões.



G*  R1 ,

, Rn , T1 ,

, T n2  n





2



Novamente, Tj é a subcategoria das translações e Ri é a subcategoria das rotações. Como as duas categorias tem o mesmo número de elementos, podemos estabelecer um isomorfismo a partir do functor * que estabelece uma aplicação biunívoca entre as categorias por meio da seguinte regra:

*: G  G * *G  G* | Ti  R j

*: G*  G *G*  G | T j  Ri

As translações são transformadas em rotações e as rotações são transformadas em translações. É fácil ver que a aplicação de ** é a

P á g i n a | 5-1785

identidade, o que assegura que esse functor é o isomorfismo entre essas duas categorias. Tomemos destas duas categorias, as subcategorias de rotação e translação:

Ti  T1 ,

, Tn 



R j  R1 , G  Ti

, R n2  n





2

Ri   R1 ,

, Rn 

T j  T1 ,

, T n2  n

G*  Ri

Tj





Rj





2



Existe um isomorfismo entre as rotações e as translações que é definida pelo functor *:

*Ti  *T1 ,

,*Tn   R1 ,



*R j  *R1 , *G  *Ti



*R j  Ri

*Ri  *R1 ,



,*R n2  n



2

  T ,

,*T n2  n

*G*  *Ri

*T j  Ti



1

, T n2  n





2

T



2

 R

j

Tj  G *

,*Rn   T1 ,

` *T j  *T1 ,

, Rn   Ri



2

, Tn   Ti

  R , 1

, R n2  n



j

Rj  G

Isso torna mais claro a demonstração que fizemos anteriormente: a categoria das translações são duais da categoria das rotações e a categoria das rotações são duas da categoria das translações. Observe que desta última análise descobrimos que o functor * se distribui sobre a operação união. Agora vamos provar que categoria das retas R1 tem como dual a categoria das circunferências S1. Observe que toda reta tem como grupo de deslocamento uma translação T e toda circunferência tem

P á g i n a | 5-1786

como grupo de deslocamento uma rotação R. Portanto, podemos estabelecer as seguintes setas:

R1  T

T  R1

S1  R

R  S1

Aplicando o functor * sobre a primeira e a segunda seta do lado esquerdo, teremos as seguintes relações: *R1  *T

*S 1  *R

*R1  R

*S 1  T

*R1  R  S 1

*S 1  T  R1

*R1  S 1

*S 1  R1

que prova que a categoria das circunferências S1 é o dual da categorias das retas R1. Como o espaço n dimensional positivo é composto pelo produto cartesiano de n retas R¹, o espaço n dimensional negativo é composto pelo produto cartesiano de n circunferências S1 e é o dual do espaço positivo.

R n  n R1

R n  *S n  n * S 1

S n  n S 1

S n  *R n  n * R1

Considere a categoria dos vetores polares e a categoria dos vetores axiais. Definamos suas bases por meio das regras abaixo: u  eˆi 

u   Êi 

O functor * define um isomorfismo entre estes dois espaços conservando a norma do vetor. Por essa razão, dizemos que os vetores polares são duais dos vetores axiais, ou como provamos, um vetor axial é um pseudo-vetor no espaço positivo e um vetor polar é um pseudo-vetor no espaço de dimensão negativa.

P á g i n a | 5-1787

*u  *Êi   eˆi   u

*u  *eˆi    Êi   u

Por fim, vamos tomar a categoria dos números hipercomplexos. Vamos definir dois quartenions híbridos: C  aiˆ  bjˆ  ckˆ  dpˆ

P  apˆ  bqˆ  crˆ  diˆ

Chamaremos o quartenion C de complexo e o quartenion de P de perplexo. Definimos a norma ao quadrado de cada um desses quartenions pelas as seguintes regras:

C 2  CC  a 2  b 2  c 2  d 2 P 2   PP  a 2  b 2  c 2  d 2 Como os dois quartenions admitem divisores em zero, eles são anéis não comutativos. Observe que ambos tem a mesma norma, portanto podemos dizer que P é o dual de C, pois os dois tem a mesma dimensão e aplicação * preserva a norma:

*C  a * iˆ  b * ˆj  c * kˆ  d * pˆ  apˆ  bqˆ  crˆ  diˆ  P *P  a * pˆ  b * qˆ  c * rˆ  d * iˆ  aiˆ  bjˆ  ckˆ  dpˆ  C *iˆ  pˆ * ˆj  qˆ

*kˆ  rˆ * pˆ  iˆ

*qˆ  ˆj *rˆ  kˆ

Em outras palavras, os perplexos são os duais dos números imaginários, assim como um pseudo-escalar é um dual de um escalar. Os números perplexos topologicamente se associam dimensões retilíneas, enquanto os imaginários a dimensões curvilíneas. Portanto a dualidade entre essas duas categorias de números é consequência dos perplexos gerarem a categoria dos espaços positivos enquanto os imaginários geram a categoria dos espaços negativos.

P á g i n a | 5-1788

2.10. Números Falsos e sua Álgebra de Clifford A análise do functor * permite construir um novo conjunto numérico, com propriedades interessantes e que funciona como dual dos números reais e, por essa razão, chamaremos de números falsos (fake numbers). Primeiro vamos avaliar como * atua sobre os números complexos e hiperbólicos:

z  x  iy z  x  iy

w  x  py w  x  py

z 2  x2  y 2

w2  x 2  y 2

Aplicando o operador * sobre os números complexos e seus conjugados:

z  x  py z  x  py

w  x  iy w  x  iy

z 2  x 2  y 2

w2  x 2  y 2

Deixem-me introduzir uma nova convenção para o cálculo da norma de números envolvendo hipercomplexos.

 ,   2    i, j   i  número de componentes imaginárias j  número de componentes perplexas 1, se i  j   i, j    1, se i  j   j, i  , se i  j   i, j      j, i  , se i  j

P á g i n a | 5-1789

Vamos aplicar essa definição aos números complexos:

z  x  iy z  x  iy z 2    2, 0  zz

z 2  1 x 2  y 2  z 2  x2  y 2

E aos números perplexos:

w  x  py w  x  py w2    0, 2  ww

w2  1 x 2  y 2  w2  y 2  x 2

Em nossa nova convenção, há uma inversão do sentido da hipérbole. Contudo, isso não é um problema. Na Teoria da Relatividade Especial podemos trabalhar com intervalos diag (+,-,-,-) ou diag (-,-,-,+), sem que haja perda de qualquer informação física. Nossa convenção se mostra bastante fortuita dentro das álgebras de Clifford, para estabelecer quartenions que geram a métrica do espaço-tempo. Retomemos o exemplo da seção anterior:

C  aiˆ  bjˆ  ckˆ  dpˆ P  apˆ  bqˆ  crˆ  diˆ Vamos tomar a norma ao quadrado desses quartenions usando a nossa convenção:

P á g i n a | 5-1790

C 2    6, 2  CC C 2   1 CC C 2  CC  a 2  b 2  c 2  d 2

E calculando para P: P 2    2, 6  PP P 2   1 PP P 2   PP  a 2  b 2  c 2  d 2

Que é justamente o resultado que havíamos obtido antes. Desta maneira, construímos um nova álgebra de Clifford para números complexos, hipercomplexos e seus quartenions híbridos. Essa álgebra tem a vantagem de herdar todas as propriedades algébricas e ainda gerar as formas quadráticas do espaço-tempo, preservando a definição de norma.

z  x  1  py

w  x  1  iy

z  x  1  py

w  x  1  iy

Agora vamos aplicar a definição de norma:

z     0, 2 z z  2 z    1z z  2 2 z    x 2 1  y 2 2

w    2, 0 ww  2 w   1w w  2 2 w  x 2 1  y 2 2

Como operador * preserva a norma (e, por conseguinte, a forma quadrática), então as equações devem respeitar as regras:

P á g i n a | 5-1791

 z   z 2  x 2  y 2 2 2 z    x 2 1  y 2 2 x 2  y 2   x 2  1  y 2 2   1  1 2

w  w2  y 2  x 2 2 2 w  y 2  x 2 1 2 y 2  x 2  y 2  x 2  1 2   1  1 2

Chamaremos o número (*1) de número falso, conforme a tradição que nos levou a batizar o número i de imaginário, e denotaremos sua unidade por f. Os números falsos parecem gozar das mesmas propriedades dos imaginários, porém existem diferenças que nos fazem considera-los como um conjunto próprio e um anel hipercomplexo. Tomemos os hipercomplexos com unidade perplexa:

Z  fx  py Z  fx  py Tomemos o produto interno destes números:

Z 2    0, 2  ZZ

Z 2    fx  py   fx  py 

    ffx

Z 2   ffx 2   fp  xy   pf  xy  y 2 Z2

2

  pf  fp  xy  y 2





Desta primeira equação tiramos os seguintes resultados:

ff  1

 fp    pf 

P á g i n a | 5-1792

Agora iremos demonstrar que f comuta com os números perplexos. Tomemos a sua forma dual:

Z 2   1 z  z  Z 2   1 fx  py  fx  py 

Z 2    f 2 x 2   pf  fp  xy  y 2  Z 2    f 2 x 2   p, f  xy  y 2 

Por inspeção, obtemos os seguintes valores:

ff  f 2  1

 p, f   0 f  f Portanto, diferente dos números imaginários, os números falsos não apresentam um conjugado. Agora vamos analisar o número hipercomplexo com unidade imaginária:

W  fx  iy W  fx  iy Tomemos seu produto interno:

W 2    2, 0  WW

W 2   fx  iy   fx  iy 

   ffx

W 2  ffx 2   fi  xy  if  xy  y 2 W2

2

 if  fi  xy  y 2





Desta primeira equação tiramos os seguintes resultados:

P á g i n a | 5-1793

ff  1

 fi   if  Agora iremos demonstrar que f comuta com os números imaginário. Tomemos a sua forma dual:

W 2   w  w  W 2   fx  iy  fx  iy 

W 2   f 2 x 2  if  fi  xy  y 2  W 2   f 2 x 2  i, f  xy  y 2 

Por inspeção, obtemos os seguintes valores:

ff  f 2  1

i, f   0 f  f Contudo, os números falsos nos levam a uma dificuldade. Vamos supor que queiramos construir um anel com semelhante aos complexos:

F  x  fy Esse número não apresenta conjugado, seu quadrado é puro:

F , F    0, 0  F 2 F , F    x  fy 

2

F , F    x 2  xyf  fxy  y 2 

Aqui surge uma dificuldade: a única maneira dos termos intermediários sumirem é se existir alguma relação não comutativa.

P á g i n a | 5-1794

De fato, se supormos que para todo número real puro eles definem uma álgebra de Clifford de segunda ordem, definida por:

1, f   0 Vamos introduzir a forma geral de um número hipercomplexo:

H  ex   y H  f  x, e   g  y ,   onde e e  são as unidades reais, perplexas, imaginárias ou falsas. Agora, vamos introduzir uma notação, que se provará muito cômoda, para a parte real de um anel hipercomplexo e suas relações de comutação e dualidade:

Se f  x,1 

, então x  ex, e n  1

e, f   0 e  f

Seguindo essa notação, o anel falso é escrito como:

F  ex  fy Tomemos o seu quadrado:

F , F    0, 0  F 2 F , F  1 ex  fy 

2

F , F   e 2 x 2  efxy  fexy  f 2 y 2  F , F   x 2  e, f  xy  y 2  F , F  x2  y 2

Observe que o dual de um anel falso é outro anel falso.

P á g i n a | 5-1795

*F  ex   fy *F  fx  ey Para que o operador * preserve a norma, é preciso que o dual de F sofra uma reflexão negativa, o que acentua seu caráter pseudoescalar, como podemos ver abaixo:

*F ,*F  *  0, 0 *F * F  *F ,*F  1 fx  ey 

2

*F ,*F    f 2 x 2  fexy  efxy  e 2 y 2  *F ,*F     x 2   f , e xy  y 2  *F ,*F  x 2  y 2

Assim como os números perplexos, os números falsos também parametrizam uma hipérbole, se tomarmos o fator gama como 1, com uma rotação de 90º e se tomarmos como -1, com uma rotação de 0º sobre o eixo x-y. Uma conclusão importante é que como os números imaginários, os números falsos podem ser usados como bases para os vetores axiais, assim como tanto os números reais como os números perplexos podem ser usados para descrever vetores polares. Mas, os números reais e os números imaginários tem como forma quadrática, uma equação do tipo elíptica. Já os números perplexos e os números falsos tem como forma quadrática uma equação hiperbólica. Se considerarmos que a transformação de vetores polares em axiais por meio de um functor * deve preservar a forma quadrática, então só existirá uma correspondência entre números reais e imaginários ou números falsos e perplexos, para os vetores do espaço. Portanto há dois super espaços de 6 dimensões: R-I (real-imaginário) e o P-F (perplexo-falso).

P á g i n a | 5-1796

2.11. Por Que o Espaço tem 3 Dimensões? Entre o século XIX e o século XX, Henri Poincaré foi um dos matemáticos mais motivados a responder a essa questão por que o nosso espaço é tridimensional? O exame de Poincaré foi minuncioso e não se restringiu apenas a metafísica e a matemática, mas também levou em consideração a física e a fisiologia dos sentidos humanos, sobre tudo a visão e o tato. Para Poincaré, nossos sentidos poderiam conceber espaços com 4 dimensões, desde que fossem excitados com regras bastante específicas. Por isso, conclui Poincaré, o conceito de dimensão deve ser separado das sensações e ser descrito pelo espaço motor gerado pelo grupo de deslocamentos. Embora a definição de Poincaré contenha as ideias fundamentais adotadas por físicos e matemáticos, segundo Jammer (2010), a questão do espaço continua sendo um problema em aberto. Em geral, as pesquisas sobre espaço e o tempo assumem que estas dimensões são inteiras e positivas, contudo essas premissas não são limitações impostas pelo espírito? No século XIX aprendemos a construir geometrias tão consistentes quanto a euclidiana, mas que não satisfaziam o quinto postulado. Hilbert foi além e mostrou um número grande de geometrias ainda mais estranhas ao espírito, mas igualmente consistentes. No século XX descobrimos as dimensões fracionárias e o conceito de fractal se tornou um elemento fundamental da teoria do caos de Poincaré e Lorentz. Ainda no século XX, os avanços na física levaram a descoberta do índice de refração negativo, as temperaturas absolutas negativas, energia negativa e pressões negativas. Como observou Feyerabend (2003), as mudanças na ciência exigem sempre a violação de alguma regra ou convenção. É claro que nem toda ruptura será fortuita. Nesta pesquisa propomos uma ruptura: a inclusão de dimensões negativas. Como mostramos nesta seção, essa hipótese não contradiz os princípios matemáticos, pelo

P á g i n a | 5-1797

contrário, é a partir dela que estabelecemos os parâmetros para construir uma teoria da dimensão negativa, que primeiro aplicamos na construção de um super espaço que é equivalente ao 6-espaço de Sommerfeld, para depois, irmos mais afundo em nossa hipótese e construímos a função de Poincaré, desenvolvemos a sua topologia e a sua álgebra de Lie. Como veremos adiante, ao aplicarmos nosso modelo em alguns campos da física, os resultados são coerentes com a experiência e os modelos vigentes. Durante o desenvolvimento dessa teoria, surge um fato bastante curioso: o espaço tridimensional negativo é idêntico ao espaço tridimensional positivo. Somos incapazes por meio de qualquer experiência discernir se vivemos em um espaço com dimensões positivas, isto é, gerado por eixos retilíneos, ou se vivemos em um de dimensão negativa, gerado por eixos circulares. Qualquer espaço que não seja tridimensional não apresentará essa simetria. Por exemplo, se o espaço fosse quadrimensional positivo, existiriam mais planos de rotação (seis) do que de translação (quatro), enquanto se o espaço quadrimensional fosse negativo, seria o inverso: existiriam mais planos de translação (seis) do que de rotação (quatro). Somente no espaço tridimensional podemos definir o produto vetorial, pois este operador, em nosso formalismo, transforma as componentes positivas em componentes negativas, ou um vetor polar em um vetor axial. Outro fato é que o espaço tridimensional positivo é a projeção no infinito do espaço de dimensão negativa e vice-versa. Nenhum outro espaço de dimensão inteira apresenta essa peculariedade. Com base nessas propriedades compartilhadas entre espaços de dimensão positiva e negativa, investigadas em detalhes nesta seção, podemos extender o princípio de Fermat e Hamilton para simetrias e propor o princípio topológico:

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“O espaço deve ser aquele que apresenta o maior número de simetrias” Sendo que existem três simetrias possíveis: 1)

Translação

2)

Rotação

3)

Reflexão

As duas primeiras simetrias estão associadas a conservação do momento linear e do momento angular e se resumem ao princípio da isotropia: não há uma direção preferencial no espaço. A terceira simetria implica que o espaço deve ser idêntico a sua própria imagem negativa. O espaço de zero dimensões não apresenta simetria; o espaço unidimensional, uma simetria; os demais, pelo menos duas primeiras simetrias, porém só o espaço tridimensional preserva suas características com uma inversão de sinal de suas dimensões. Por isso, o espaço com número máximo de simetrias é o espaço tridimensional e essa é a razão dele ser o espaço físico. É claro que a descoberta de novas dimensões poderá tornar sem efeito a nossa afirmação, nesse caso talvez tenhamos que estabelecer um novo enunciado, mais restrito, como: O espaço motor que corresponde a nossa experiência habitual é aquele que o número de simetrias é máxima. Portanto, a inclusão de dimensões negativas permite estabelecer um novo critério de simetria que torna o espaço tridimensional diferente dos demais espaços e nos leva a crer que é esta simetria de reflexão que o torna favorito.

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2.12. Considerações Finais Assim, chegamos à guisa de conclusões: 1) Os vetores polares são vetores de dimensão positiva, associados a um anel perplexo, sobre um corpo escalares reais. 2) Os vetores axiais são vetores de dimensão negativa, associados a um anel complexo, sobre um corpo de pseudo-escalares reais 3)

Um pseudo-escalar real é o dual de um escalar real.

4)

Um vetor axial é o dual do vetor polar.

5) As grandezas físicas podem ser descritas por um super vetor que é a soma de suas partes polares e axiais. 6) Portanto, podemos interpretar qualquer grandeza física descrita por um vetor axial como sendo uma grandeza imersa em um espaço de dimensão negativa. 7) No estudo dos morfismos, para incluirmos espaços de dimensão negativa, tomamos o módulo da dimensão. 8)

O espaço de dimensão negativa é K-n é isomórfico ao Rn.

9) K-n é contínuo e atende os requisitos de convergência de Cauchy. 10) K-n é uma variedade de Haussdorf formada pela união de todas as bolas abertas de Rn em torno de pontos distintos.

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11) K-n é um corpo não arquimediano ordenado, devido a topologia de ordem induzida, e Cauchy completo, pois é convergente em Cauchy.. 12) Existem infinitos espaços de dimensão infinita, sendo o mais simples descrito pelo corpo não arquimediano de Levi-Civita. 13)

K-n é contínuo de terceira ordem.

Por meio da Teoria das Categorias, podemos estabelecer um novo conjunto onde os objetos são as dimensões inteiras dos vetores e da topologia. Teremos, portanto, uma categoria representada pelas dimensões positivas que é homeomórfica a categoria do grupo de deslocamentos positivos; e também teremos uma categoria de dimensões negativas que é homeomórfica ao grupo de deslocamentos negativos. Como existe um isomorfismo entre as duas categorias de grupos, há um isomorfismo entre as dimensões positivas e negativas por meio do functor dual *. Em outras palavras, as dimensões negativas são as duais das dimensões positivas. Usando a Teoria das Categorias podemos criar duas grandes categorias: Positivas e Negativas, que são isomórficas e se conectam por meio do functor * e apresentam as seguinte características.

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Classe

Categoria Positiva

Categoria Negativa

Dimensão

Positiva

Negativa

Grupo de Deslocamento

Translação

Rotação

Rotação

Translação

Topologia 1D

Reta R1

Circunferência S1

Reta

Circunferência

Circunferência

Reta

Simetria

Radial

Axial

Vetor

Polar

Axial

Pseudo-Vetor

Axial

Polar

Reais

Falsas

Perplexas

Imaginárias

Corpo

Arquimedianos

Não Arquimedianos

Contínuo

2º Ordem

3º Ordem

Geometria

Coordenadas

Por fim, deixe-me falar sobre a relação entre os espaços positivos e negativos a partir de projeções de uma esfera S sobre um plano R pode estar associado à esfera de Riemann e o grupo das projeções lineares PSL(C). Essa é uma hipótese que necessita ser investigada com mais cuidado, contudo a conjectura não é absurda, pois ajustase muito bem ao estudo dos grupos projetivos com ou sem característica de Desargue, bem como a esfera de Poincaré.

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O fato mais interessante é que o espaço tridimensional é o seu próprio dual, isto é, ele é sua própria projeção no infinito. De todos os espaços possíveis, ele é o único que apresenta essa característica. Portanto, há uma perfeita simetria: é impossível por meio de quaisquer experiências ou raciocínio dizer se habitamos um espaço tridimensional de dimensão positiva ou se habitamos um espaço de dimensão negativa. Seria essa razão do espaço ser tridimensional: ele ser seu próprio dual? Não sabemos. Porém não deixa de ser curioso que nosso espaço motor tenha essa característica tão especial. Registre-se que que o modelo espaço-tempo de KaluzaKlein apresenta uma quarta dimensão espacial que seria fechada em si, uma característica presente em nossas dimensões negativas. Seria oportuno investigar se a quinta dimensão de Kaluza-Klein de alguma forma se relaciona as dimensões negativas. Outro ponto que merece destaque é que em sua forma discreta, há uma similaridade com os modelos quânticos de órbita de Bohr-Sommerfeld-Wilson. Esse é um tópico que também merece uma investigação mais detalhada e pode-se mostrar inventivo para a teoria quântica de campos. Talvez, as dimensões negativas estejam para a física e a matemática, como o elétron está para o pósitron. Uma interpretação possível, deduzida da equação de Dirac e dos diagramas de Feynman, embora soe muito

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improvável, é a de que o pósitron é um elétron voltando no tempo. Não há qualquer incoerência, é apenas estranho ao nosso espírito. Hermann Minkowski defendia que o espaço-tempo criado por Poincaré e aprimora do por ele, de todos os espaços era aquele que apresentava maior inteligibilidade. Porém, o que o nosso estudo aponta é que tal conclusão é um tanto precipitada. A teoria das dimensões negativas nos ensina que o espaço seria idêntico, em todos os aspectos, se tivesse três dimensões inteiras negativas. Então assim como Poincaré somos obrigado a concluir que: “a experiência nos guia nessa escolha e não nos a impõe; nos faz reconhecer qual geometria é mais cômoda e não qual é a mais verdadeira” (POINCARÉ, 1902, p. 91). O problema que se punha diante Minkowski era o decidir sobre qual das três variedades melhor se aplicam a experiência. Esse estudo mostrou que aquela que contém as propriedades topológicas mais adequadas é a de Lorentz. Porém, tendo resolvido essa questão, outra mais sútil apareceu: qual variedade de Lorentz? Como provamos não existe uma, mas três variedades de Lorentz: com espaço linear e tempo linear, espaço cíclico e tempo linear, espaço linear (perplexo) e tempo cíclico. Todas estas três variedades apresentam as mesmas propriedades locais e globais em relação ao espaço, as mesmas propriedades locais em relação ao tempo. A variedade com tempo cíclico é globalmente diferente das lineares, porém, ao que tudo indica, os efeitos produzidos por ela seriam indistinguíveis de suas companheiras, de forma que não saberíamos dizer por meio de experiências se globalmente o tempo é linear ou cíclico. Essa é uma questão delicada, e não podemos nos precipitar nas conclusões sem antes fazer uma investigação muito cautelosa, tanto quanto a que empregamos na teoria da dimensionalidade negativa.

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Acredito que o mais importante seja a curiosidade e a imaginação, citando uma frase célebre de Poincaré: “a liberdade é para a ciência o que o ar é para o animal.”, sem a liberdade de nos entretermos em questões que nos desafiam, mesmo que para a maioria de nossos colegas pareçam irrelevantes, deixamos de apreciar o que há de melhor na ciência: a satisfação de nossas necessidades intelectuais. Quando escrevi o texto da a dimensionalidade, meu intuito era explorar definições mais apropriadas de dimensão a partir as colocações de Poincaré. É claro que existem muitas questões em aberto como um entendimento melhor sobre dimensões negativas superiores. Compreender as propriedades do espaço-tempo híbrido. Verificar como a curvatura e a torção modificam os potenciais, ou em outras palavras, como a curvatura e a torção alteram a linearidade de nossas equações diferenciais? As dimensões adicionais exigidas em teorias de vanguarda, elas se relacionam da mesma forma com os nossos anéis? Há mais perguntas do que respostas, mas isso é parte do progresso científico. Pode ser que o trabalho aqui contido um dia se revele como um devaneio, porém não é um devaneio qualquer, já que ele foi estruturado em uma matemática rigorosa. Porém, é preciso de coragem para buscar em campos desconhecidos. Acredito que meu guia, a matemática, em particular a topologia, foi muito bem aproveitado e me manteve distante dos erros triviais e grosseiros, e os equívocos que por ventura eu cometi, são consequências de uma mente audaciosa, e é através de palpites audaciosos e da rupturas dos métodos e tradições que a ciência progride. Tendo desenvolvido os fundamentos de uma teoria de dimensões inteiras (não negativas e positivas), estamos pronto para unificar a topologia do espaço-tempo.

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3. Caracterização Topológica do Espaço-Tempo Até aqui caracterizamos o espaço-tempo quadrimensional por meio do conceito de ortogonalidade. Por meio da análise topológica, concluímos que há apenas 3 estruturas que admitem que o eixo do tempo seja ortogonal aos eixos espaciais: a variedade de Galileu, a variedade de Euclides e a variedade de Lorentz6. Porém, há outra forma de chegarmos a estas conclusões e descobrir novas propriedades sobre a natureza destes espaços. Para isso utilizaremos três anéis numéricos: os números duais (nilpotentes), os números complexos e os números perplexos (hipercomplexos). Para cada uma das variedades, associaremos um anel, que chamaremos de estrutura característica. Antes de adentrarmos no assunto, vamos introduzir uma aplicação homeomórfica de R³ em R, que denominaremos de posição r.

r:

3



r  x2  y 2  z 2 Esta aplicação pode ser entendida da seguinte forma: “Para cada coordenada de R³ associa-se a um único número na reta dos reais. Em particular, se tomarmos y e z como constantes, a operação será um endomorfismo de R.”

Para uma discussão sumarizada sobre as topologias do espaço-tempo, o leitor deve consultar o sétimo capítulo do livro Princípio da Relatividade Volume 3: Matemática (Lições) (CAPIBERIBE, 2020). 6

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3.1.

A Topologia do Tempo

Quando estudamos a história do tempo7 descobrimos que a ontologia do tempo é uma questão tão antiga quanto a caracterização do espaço. Das diferentes concepções sobre o tempo, podemos classifica-la em dois grupos: aquelas que defendem que o tempo é linear e aquelas que defendem que o tempo é cíclico. A primeira concepção se tornou bastante difundida no ocidente, principalmente por movimentos religiosos como judaísmo, cristianismo e islamismo. O tempo cíclico se tornou a base ontológica da cultura hinduísta, as três formas de Brahma, representam a criação, a persistência e a destruição, em um processo que se repete de tempos em tempos. Sidartha Gautama (Buda) incorporou essa concepção em sua doutrina por meio do conceito de Samsara, o círculo das existências. Para os budistas, o samsara é uma ilusão criada pela mente e que nos prende em círculos de nascimento e morte. Somente por meio do Nirvana (extinção) é possível superar essa ilusão. Outras doutrinas orientais como Taoísmo e o Confuncionismo também adotam visões cíclicas do tempo. Os povos pré-colombianos, em particular os Maias, também tinham noções avançadas sobre o tempo cíclico. Naturalmente, essas questões foram absorvidas pelos filósofos e foram submetidas aos escrutínios da razão. Em suas complexas ponderações, Kant tentou compreender a ontologia do espaço e do tempo, introduzindo conceitos modernos e relativamente complicados como a orientabilidade e quirilidade. Voltaire abordou a questão do tempo cíclico por meio da racionalização de Deus, concluindo que se o tempo é cíclico é porque Deus tem necessidade de estar sempre criando o Universo, mas se Deus tem uma necessidade que não pode ser saciada, isso compromete sua A parte histórica citada nesta seção pode ser vista em Whitrow (1993) e Martins (2012b). 7

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onisciência e sua onipotência. Nietzsche, sobre influência do budismo, preferiu uma visão mais refinada do tempo cíclico. Apesar dos esforços empreendidos, a questão ainda se encontra sem solução, principalmente porque ainda não fomos capaz de construir uma topologia para o tempo. Os filósofos debateram questões como as seguintes: O tempo pode ser "fechado" ou "circular"? Os debates geralmente assumem que é claro o que significa dizer, por exemplo, que o tempo é "circular", e o debate se concentra em saber se a possibilidade de tal estrutura de tempo é uma possibilidade real. Acontece, no entanto, que a noção de topologia do tempo assume uma qualidade bastante ilusória no contexto dos espaços-tempos relativísticos. (EARMAN, 1977, p. 211)

Portanto, o problema ontológico do tempo se torna um problema topológico. Como construir uma topologia para o tempo? Um procedimento que sempre pode ser aplicado é atribuir a topologia de projeção do espaço quociente M/T(V), ou seja, se p: M → M/T(V) denota o mapa de projeção natural, então um subconjunto X ⊂ M/T(V) é considerado aberto se p-1(X) estiver aberto em M. É um lema padrão que a topologia de projeção seja a maior topologia em que p é Co. A topologia de projeção também possui o bom recurso de se comportar bem em relação aos subespaços. Seja Y um subconjunto de M/T(V). Há duas maneiras de atribuir uma topologia a Y: a topologia do subespaço que ela herda de M/T(V) ou a topologia de projeção que ela herda de p: p-1(Y) → Y. Devido ao fato de que p: M → M/T(V) é um mapa aberto, essas duas topologias para Y coincidem. (EARMAN, 1977, p. 212)

Essa abordagem, embora seja um caminho viável para construir uma topologia do tempo apresenta um inconveniente ela exclui todas soluções em que o tempo não pode ser separado em classes laterais, como observa Earman:

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Essa abordagem assume que o espaço-tempo em consideração admite uma família s de fatias de tempo que particionam M. Essa é uma forte suposição. Isso exclui muitos modelos cosmológicos interessantes. Por exemplo, o espaçotempo de Godel não possui uma única fatia de tempo; e há outros tempos espaciais que possuem alguns intervalos de tempo, mas não podem ser particionados por eles. Mas se a abordagem de projeção estiver no caminho certo, pode-se argumentar que a pergunta "Qual é a topologia do tempo?" não está bem posicionado quando a suposição falha. Quando a suposição é válida, podemos considerar a topologia do tempo, dada por s, como a topologia da projeção de M/s. (EARMAN, 1977, p. 214)

O método da projeção pode ser enunciado em duas definições equivalentes, propostas por Earman (1977, p. 214-215): Definição 1: O tempo em pode ser considerado linear se houver uma família s tal que M/s ≅ R. Da mesma forma, o tempo em pode ser considerado circular se houver uma família s' tal que M/s' ≅ S1.

Definição 2: Função t é uma função de tempo linear para se t: M → R é Cº e aumenta ao longo de cada curva temporal futura direcionada. A função c é uma função de tempo circular para se c: M → S1 é Cº e para, e para qualquer w, x, y, z ∈ M distinto, se houver uma curva timelike direcionada futura que vá de w a x a y a z que não re-intercepte a superfície nivelada de c de onde ela começa, então c(w), c(y) par separa c(x), c(z) em S1.

Em nossa topologia qualquer dimensão associada ao eixo dos números reais e perplexos será positiva e isomórfica a uma linha reta. As dimensões associadas a um número nilpotente de ordem dois (dual) terá dimensionalidade zero. Por fim, as dimensões associadas à números imaginários terão dimensões negativas e, portanto, serão curvas fechadas isomórficas à S1. Por simplicidade, partiremos da

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premissa que as dimensões do espaço são positivas e associadas à R³. Trataremos de casos mais gerais sobre a dimensionalidade do espaço ao final desta pesquisa. R R

0 S1

O nosso modelo topológico será construído para variedades do tipo plana, isto é, variedades onde as conexões afins são nulas em todos os pontos: V  u   0

V ,u  M

Por essa razão não iremos entrar nos domínios dos modelos cosmológicos ou sistemas que dependam da distribuição de massa, energia e momento no espaço. Nestas condições a abordagem projetiva se torna adequada e suficiente para os fins de nossa pesquisa.

3.2.

Espaço-Tempo de Galileu e os Números Duais

Em nossa análise anterior, vimos que a dimensionalidade do tempo no espaço de Galileu era nula, pois o fator de escala do tempo deveria ser zero. Nestas condições, o tempo seria um eixo nulo e pela álgebra linear sabemos que a dimensão de um vetor nulo é sempre zero. Porém, há uma maneira diferente de caracterizar esse espaço, usando os números duais, também chamados de nilpotentes ou parabólicos. Definimos o anel dos números duais da seguinte forma:

D : d  r   | r ,  ,  2  0,     Observe que o número e elevado a segunda potência é zero. Todos os elementos que para uma potência n são nulos são chamados de

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elementos nilpotentes de ordem n e definem uma álgebra de Grasmann de ordem n sobre um espaço E e seu dual:

 n E  0 n *  E n

Definimos o número dual de d pela seguinte relação:

d *  r   d *  r   A norma de um número dual é calculada a partir do produto de d por seu dual: d 2  dd *   r    r   

d 2  r 2   2 2 d 2  r2 Em uma dimensão, essa equação corresponde a parametrização de uma parábola. Por isso esses números também podem ser chamados de parabólicos. Procuremos agora o automorfismo que define as transformações nesse espaço, isto é, as matrizes que satisfazem a equação do automorfismo interno:

G1dG  d Como os números duais são um anel, eles apresentam classes laterais, o que nos permite efetuar o produto tanto pela esquerda quanto pela direita. Se multiplicarmos a equação do automorfismo por G a esquerda, obteremos:

 GG  dG  Gd 1

IdG  Gd dG  Gd

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Agora vamos montar a equação matricial:

 r  

a b a b  r   c d c d  ar  c br  d    ar  b cr  d  Essa igualdade nos leva ao sistema de equações: ar  c  ar  b br  d  cr  d

De onde tiramos a igualdade:

cb A equação de automorfismo exige que a transformação seja ortogonal:

a b G 1  GT    b d  Impondo que o produto de uma matriz por sua inversa é a identidade:

GG1  I

 a b  a b   1 0       b d  b d   0 1   a 2  b2   ab  bd

ab  bd   1 0    b2  d 2   0 1 

Que nos leva a um sistema de equações:

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a 2  b 2  1  b  a  d   0

b2  d 2  1 a2  d 2  0

Onde a última equação foi obtida pela subtração da primeira equação pela terceira equação. Da segunda linha podemos obter duas soluções: b  0  a  d A primeira solução satisfaz a condição de um grupo e como as transformações automórficas são um grupo, então a solução que procuramos é b = 0.

a 2  1  b  0 d 2  1  Outra condição para que a matriz G forme um grupo é que seu determinante seja próprio, isto é, positivo. Esta condição admite duas soluções: a  1  I : b  0 d  1 

a  1  II : b  0 d  1 

A escolha dos sinais apenas altera o sentido da transformação, por isso adotaremos, sem perda de generalidade, o sinal positivo. Portanto a matriz de transformação dual é a matriz identidade.

1 0 G  0 1

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Este é justamente o gerador da álgebra de Lie da variedade de Galileu. Portanto, podemos concluir que o anel dos números duais é o anel característico da álgebra de Galileu. Outro fato que corrobora nossa hipótese é a matriz de rotação parabólica:

1 1  P  1 0  Se aplicarmos o operador P sobre um número dual, ele sofrerá uma rotação parabólica sobre a variedade:

 1 1 Pd   r    0 1 Pd   r     Essa aplicação também é um automorfismo interno de D.

 1 1  1 1 P 1dP   r    0 1   0 1  r    1 1 P 1dP        0 1 P 1dP   r   P 1dP  d

Se tomarmos o como o produto da velocidade pelo tempo, vt, a transformação P corresponde a uma transformação de Galileu. Em outras palavras, uma transformação de Galileu equivale a uma rotação parabólica na variedade dual, onde o ângulo parabólico é a velocidade dos referenciais inerciais.

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Transformação Parabólica entre dois referenciais inerciais Nas transformações parabólicas, os eventos simultâneos são aqueles cujo ângulo de rotação é nulo. Além disso, sinais emitidos em sentidos contrários são observados da mesma maneira por todos referenciais inerciais, sem que o espaço necessite se contrair e o tempo se dilatar. Se adotarmos que a variedade de Galileu tem como anel característico o anel dual, fica fácil entender porque o tempo não apresenta dimensionalidade. O tempo está associado ao eixo do número  que é nilpotente de segunda ordem. Quando tomamos a sua forma quadrática fundamental por meio da norma, o tempo não participa da equação devido ao caráter nilpotente de Por exemplo, se definirmos a distância entre dois pontos na variedade de Galileu, d  r , t   r 2   2   vt   2

Mas como o número  é nilpotente de segunda ordem: d  r , t   x 2  y 2  z 2 

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Portanto, o fato do tempo (e da velocidade) entre dois referenciais inerciais não dependerem do tempo é uma consequência do anel característico da variedade que é o dos números duais que tem uma unidade nilpotente de segunda ordem. Do ponto de vista qualitativo, essa é uma interpretação diferente da usual, pois agora a variedade de Galileu é um espaço-tempo, há um eixo temporal não-nulo, mas nilpotente. Como demonstrarei, o que define a dimensionalidade real, isto é, aquele que podemos associar a um número real inteiro, do tempo é o quadrado do seu número caraterístico, como o número característico do tempo na variedade de Galileu é um número nilpotente de segunda ordem, a dimensão real é zero. Há uma outra consequência interessante dessa nova forma de interpretar o espaço de Galileu. No século XIX, o físico-matemático francês P. S. Laplace forneceu uma importante teoria que ficou conhecida como teoria do potencial. Na ausência de fontes, a equação do potencial é descrita pela equação de Laplace-Beltrami:  2  0

Em nosso nova interpretação, deveríamos escrever a equação do potencial de forma ligeiramente diferente:

 2   2

 2 0  2

Essa é a equação se assemelha a equação da onda derivada por D’Alambert, mas como o número dual ao ser elevado quadrado se torna zero, por sua natureza nilpotente, retornamos a equação de Laplace. Alguém poderá argumentar que essa modificação é apenas uma forma “elegante” de se escrever a equação de Laplace. De fato, quantitativamente as duas equações são idênticas, porém, como veremos ao estudar os espaços euclidianos e lorentzianos, a modificação tem severas consequências qualitativas e é a partir delas que derivaremos a natureza dimensional do tempo.

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3.3.Espaço-Tempo de Lorentz e os Números Perplexos O espaço-tempo de Poincaré-Minkowski é uma variedade diferenciável chamada de Lorentziana, pois as transformações automórficas são as transformações de Lorentz descobertas por H. Lorentz em 1904 e aprimoradas por H. Poincaré em 1905. Nesta variedade o tempo tem dimensionalidade unitária e é acompanhado de um fator de escala, a velocidade da luz. Assim como ocorre com o espaço de Galileu, há uma maneira diferente de caracterizar esse espaço, usando os números perplexos, também chamados de hiperbólicos ou hipercomplexos. Definimos o anel dos números perplexos da seguinte forma:

H : w  r  p | r ,  , p 2  1, p   p Definimos o conjugado perplexo de w pela seguinte relação:

w  r  p w  r  p A norma de um perplexo é calculada a partir do produto de w por seu conjugado:  w2   ww   r  p  r  p 

 w2  r 2  p 2 2

w2   2  r 2 Em uma dimensão, essa equação corresponde a parametrização de uma hipérbole. Por isso esses números também podem ser chamados de hiperbólicos. Nas seções anteriores estudamos a exaustão as propriedades desse tipo de configuração, por isso iremos nos atentar em outros fatos. O primeiro que gostaríamos de registrar é que esse anel admite divisor em zero e norma negativa. Esse é o resultado que esperaríamos, já que o espaço-tempo admite vetores

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do tipo-tempo, tipo-luz e tipo-espaço. O segundo fato é que o automorfismo que define as transformações nesse espaço são as matrizes de Lorentz, como já provamos anteriormente:

1w  w Essas matrizes de Lorentz correspondem as rotações hiperbólicas no espaço-tempo, que são o equivalente as rotações parabólicas no espaço-tempo de Galileu. Se adotarmos que a variedade de Lorentz tem como anel característico o anel perplexo, fica fácil entender porque o tempo apresenta dimensionalidade. O tempo está associado ao eixo do número p. Quando tomamos a sua forma quadrática fundamental por meio da norma, o tempo participa da equação devido ao de p.

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Por exemplo, se definirmos a distância entre dois pontos na variedade de Lorentz, teremos: d  r, t  

p 2  2  r 2 

d  r , t    2  r 2  d  r , t    2  x 2  y 2  z 2

Portanto, o fato do tempo (e da velocidade) entre dois referenciais inerciais dependerem do tempo é uma consequência do anel característico da variedade que é o dos números perplexos. Há outras consequências interessantes envolvendo os números perplexos quando passamos para o campo da análise. Vamos definir uma função perplexa como uma aplicação de R² em H, expressa como:

h:





h  r ,     r ,   p  r ,  A analiticidade dessa função é definida pelas condições de Cauchy-Riemann que nos implicam que o limite de h em um ponto da variedade deve ser o mesmo por qualquer caminho que pertença ao domínio conexo. Nós definimos a derivada na variedade perplexa, por meio do seguinte limite:

  r  r ,     p  r  r ,    dh  lim dw r00 r  p A derivada da função existe e é continua (classe C¹) se satisfizer a condição de Cauchy-Riemann:

lim

r 0   0

  r  r ,   p  r  r ,  r

  r ,     p  r ,    r  0 p  0

 lim

P á g i n a | 5-1819

Abrindo as frações:

  r  r ,      r  r ,     x,    p  r ,     p lim   lim     r 0 r r p p    0   Multiplicando o primeiro termo da direita por p/p e simplificando a segunda parcela:   r  r ,      r  r ,     x,      r ,     lim  p  lim  p    r  0 p 2  r r      0  

Levando em consideração que p² é a unidade e a definição de derivada parcial:     p p  r r  

Igualando as partes perplexas e reais obtemos as condições de Cauchy-Riemann:

      r         r  Se diferenciarmos a primeira equação em relação a r e a segunda equação em relação à , obtemos:   2  2    r 2 r  2 2     r  2

Como a função é analítica, as derivadas parciais comutam:

P á g i n a | 5-1820

  2  2    r 2 r  2 2     r  2

Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos a equação diferencial associado a variedade:

 2  2  r 2  2  2  2  0 r 2  2  2 2   2 0  Como t está associado a velocidade da luz, em situações não relativísticas, a parcela temporal tende a zero e a equação tende ao laplaciano. Agora, iremos mostrar que essa é a equação do potencial de Laplace-Beltrami na variedade de Lorentz. Para isso usaremos o conceito de 4-vetor covariante em Lorentz. O vetor nabla ou vetor del em sistemas gerais de coordenadas é um vetor covariante. Em análise em variedades pode-se provar que nabla são os vetores da base do espaço cotangente e, portanto, o dual do vetor diferencial dr e, em coordenadas ortogonais, a base recíproca. Nós definimos que o 4-vetor gradiente covariante a partir das regras:

1  i    t ,   , c   i  xi

1  i   t ,   c 

P á g i n a | 5-1821

Nabla é um vetor covariante, então sua transformação de Lorentz direta e inversa são, respectivamente:

t 1  cosh a t  sinh a  x c c 1 x  cosh a  x  sinh a  t c y   y

t 1  cosh at  sinh a x c c 1  x  cosh ax  sinh a t c  y  y

z   z

 z  z

Multiplicando a primeira equação por c e abrindo as funções hiperbólicas: t     t  v x 

 t    t  vx 

v   x     x  2  t  c   y   y

v    x    x  2 t  c    y  y

z   z

 z  z

Portanto nosso 4-vetor nabla tem a seguinte forma:

 v    i  i      t  v x  ,    x  2  t  ,  y ,  z  c     No referencial próprio, podemos definir o 4-vetor nabla próprio:

   io   t ,  o  c  E com as coordenadas no sistema estacionário, temos que:  t  i   ,   , c 

P á g i n a | 5-1822

   i   t ,   c  Aplicando a regra de construção de invariantes, teremos que:

1 2 1 2 2      2 2 2 2 2  c t c t Que é a expressão da equação da onda e do D’Alambertiano. Portanto, o operador D’Alambertiano é um invariante relativístico:



1 2  2 c 2 t 2

  Definindo  = ct, então o potencial relativístico será:

0  2 

 2 0  2

Essa equação pode ser escrita em função da sua característica perplexa:

 2  p 2

 2 0  2

Assim como no espaço-tempo de Galileu, a inclusão da unidade perplexa parece apenas um detalhe irrelevante, porém, ela nos permitirá generalizar as equações do potencial como uma característica topológica da variedade.

P á g i n a | 5-1823

3.4. Espaço-Tempo de Euclides e os Números Complexos O espaço-tempo de Euclides é uma variedade diferenciável supersimétrica, pois as transformações automórficas são elementos do grupo de rotações SO(4) curvas fechadas no espaço e no tempo. Nesta variedade o tempo tem dimensionalidade unitária negativa (ou imaginária) e é acompanhado de um fator de escala, a velocidade da luz. Assim como ocorre com o espaço de Galileu, há uma maneira diferente de caracterizar esse espaço, usando os números complexos. Visto que os números complexos são bastante difundidos nas teorias físicas, iremos apenas recapitular algumas de suas propriedades elementares. Definimos o anel dos números perplexos da seguinte forma:

:  z  r  i | r ,  , i 2  1, i  i Definimos o conjugado perplexo de w pela seguinte relação:

z  r  i z  r  i A norma de um complexo é calculada a partir do produto de z por seu conjugado: z 2  zz   r  i  r  i 

z 2  r 2  i 2 2 z2  r 2   2 Em uma dimensão, essa equação corresponde a parametrização de uma circunferência ou de uma elipse. Por isso esses números também podem ser chamados de polares. O automorfismo que define as transformações nesse espaço são as matrizes de Lorentz, como já provamos anteriormente:

R1 zR  z

P á g i n a | 5-1824

 cos R   sin 

sin    cos 

 cos R 1    sin 

 sin    cos 

Essas matrizes de Lorentz correspondem as rotações hiperbólicas no espaço-tempo, que são o equivalente as rotações parabólicas no espaço-tempo de Galileu. Se adotarmos que a variedade de Euclides tem como anel característico o anel complexo, fica fácil entender porque o tempo apresenta dimensionalidade imaginária ou negativa. O tempo está associado ao eixo do número i. Quando tomamos a sua forma quadrática fundamental por meio da norma, o tempo participa da equação devido ao de i.

Por exemplo, se definirmos a distância entre dois pontos na variedade de Euclides, teremos:

P á g i n a | 5-1825

d  r , t   r 2  i 2  2  Mas como o número i² é a unidade negativa:

d  r , t   r 2   2  d  r , t   x 2  y 2  z 2   2 Que é a expressão da diagonal de um hipercubo de quatro dimensões e, portanto, a generalização 4-dimensional do Teorema de Pitágoras. Observe que se o tempo perplexo contribui com uma dimensão positiva, pois o número perplexo ao quadrado é a unidade. O tempo imaginário deve contribuir com uma dimensão negativa, pois o número imaginário ao quadrado é a unidade negativa. Portanto, o fato do tempo (e da velocidade) entre dois referenciais inerciais dependerem do tempo é uma consequência do anel característico da variedade que é o dos números complexos. Assim como fizemos com os perplexos, vamos estudar a analiticidade definindo uma função perplexa como uma aplicação de R² em C, expressa como: q:  

q  r ,     r ,   i  r ,  A analiticidade dessa função é definida pelas condições de Cauchy-Riemann que nos implicam que o limite de q em um ponto da variedade deve ser o mesmo por qualquer caminho que pertença ao domínio conexo (plano complexo). Nós definimos a derivada na variedade complexa, por meio do seguinte limite:

  r  r ,     i  r  r ,    dq  lim dz r 00 r  i

P á g i n a | 5-1826

A derivada da função existe e é continua (classe C¹) se satisfizer a condição de Cauchy-Riemann:

  r  r ,   i  r  r ,    r ,     i  r ,     lim r  0 r  0 i r   0   0 lim

Abrindo as frações:    r  r ,    r  r ,      x,    i  r ,     lim  i    lim    0  r r i i    

r  0

Multiplicando o primeiro termo da direita por i/i e simplificando o segundo.    r  r ,    r  r ,      x,      r ,     lim  i  lim i    r  0 r r i 2       0  

Como i² é a unidade negativa e a definição de derivada parcial:

    i  i  r r   Igualando as partes perplexas e reais obtemos as condições de Cauchy-Riemann:

    r          r 

P á g i n a | 5-1827

Toda função que satisfaz estas condições são chamadas de holomórficas. As funções holomórficas permitem construir mapas por meio das transformações conformes, que também são chamados de holomorfismos. Uma transformação conforme é uma aplicação 11 que a cada segmento da variedade, faz corresponder um novo segmento, que sofre uma rotação elíptica constante.

Transformação holográfica. Se diferenciarmos a primeira equação em relação a r e a segunda equação em relação à , obtemos:   2  2   2 r r  2 2        r  2

Como a função é analítica, as derivadas parciais comutam:

P á g i n a | 5-1828

  2  2    r 2 r  2 2         2  r

Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos a equação diferencial associado a variedade:

 2  2   r 2  2

 2  2  0 r 2  2  2   2 0  2

Essa é a expressão do potencial na variedade euclidiana que apresenta uma estrutura semelhante ao laplaciano de Laplace e Beltrami. Para fenômenos locais a grandeza t tende a zero devido a magnitude da velocidade da luz e, novamente, obtemos a expressão galileana do potencial. Agora, permita-me escrever esse novo potencial usando a unidade imaginária:

 2  i 2

 2 0  2

Agora que temos os potenciais associados a cada variedade de espaço-tempo que satisfazem o princípio da relatividade, podemos generalizar nossos resultados em uma nova teoria do potencial e uma nova teoria da dimensionalidade do tempo.

P á g i n a | 5-1829

3.5. Topologias das Variedades Espaço-Tempo pela Característica de seus Anéis Hipercomplexos. Como vimos cada espaço-tempo está associado a um anel, que chamamos de anel característico.

Anel Complexo r  i, o tempo é uma dimensão negativa e a variedade é euclidiana  3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 Métrica E    : ds  dx  dy  dz  i k dt Anel Nilpotente r  e, o tempo não possui dimensão e a variedade é galileana   3 0 3 2 2 2 2 2 2 2 Métrica G   D  : ds  dx  dy  dz   k dt Anel Perplexo r  p, o tempo é uma dimensão positiva e a variedade é lorentziana  Métrica M 31  3  H  : ds 2  dx 2  dy 2  dz 2  p 2 k 2 dt 2

P á g i n a | 5-1830

3.6. Sincronização de Relógios no Espaço-Tempo Na seção anterior discutimos o problema do sincronismo de relógios. Nossa análise nos levou a concluir que não é possível, usando sinais ópticos, fazer uma sincronização absoluta. Mas, essa limitação esgota as possibilidades de sincronização? Finalmente, devemos observar ainda que outro método de sincronização poderia ter sido considerado acima, a saber: sincronização com sinais instantâneos ou mais rápidos que a luz. No entanto, sabemos experimentalmente que a velocidade da luz representa um limite superior para a velocidade com a qual um sinal pode ser enviado entre dois pontos. É uma característica fundamental da relatividade que este seja o caso, de modo que a velocidade da luz desempenhe o papel de uma velocidade limitante. Embora, é claro, matematicamente, não há razão para que não possamos considerar e calcular efeitos com esse procedimento de sincronização. Por exemplo, pode-se mostrar que tais sinais levariam a violações de causalidade (A. EINSTEIN: Ann. D. Phys., 23, 371 (1907); ver também C. MOLLER, p. 52, W. PAULI, P. 16) se eles se propagaram em um modo invencível de Lorentz. Se eles não se propagassem de uma forma invariante de Lorentz, eles destacariam localmente um quadro de referência privilegiado (o chamado quadro absoluto ou éter); seria então muito difícil entender por que a invariância de Lorentz provou ser tão útil e experimentalmente verificável sobre uma enorme gama de energias. (TANGHERLINI, 1961, p. 06).

Vamos verificar se o uso de sinais instantâneos ou mais rápidos que a luz, é nos permite obter a sincronização absoluta dentro de uma teoria que tome como postulado o princípio da relatividade, incluindo a variedade de Galileu. Tomemos a lei de composição de velocidades relativísticas para dois corpos:

P á g i n a | 5-1831

w

uv uv 1  R2 2 k

Fazendo a velocidade u do sinal tender ao infinito, teremos:

uv u  u  uv 1  R2 2 k uv lim w  lim u  u   1 R2  uv   2   uv k  lim w  lim

lim w  lim

u 

u 

1  1 R  v  2   uv k  2

 lim

u 

v  1 R2  u  2   uv k 

Com um pouco de álgebra podemos escrever o limite acima da seguinte forma: u 

v2 1 1  lim lim 2 u   1 vR  u  u u   1 vR 2      2  2  u k   u k 

lim w 

k 2 vk 2  1  2  lim  2 R v R  u  u 

lim w  lim

u 

Este último tende a zero e o chamaremos de limite fundamental:

k2 2 1 k2 v 2  lim w  u  v R2 R

P á g i n a | 5-1832

Agora devemos fazer uma análise separada para o caso de R ser nilpotente de ordem n. Os números duais apresentam divisor em zero, portanto a segunda parcela não é nula, por isso vamos calcular o divisor de zero:

kn   2 k n2 k 2   2 k2





2

1 k n2

Substituindo os valores no limite,

lim w 

u 

k2 2 1 k2   v 2 v 2

lim w 

u 

1 1  vk 2 v k n2

 1  lim w  vk 2  2 n  1 u  v k  Porém, se k não for nulo e nem nilpotente, o limite não existirá.8 Por fim, há outra forma de se analisar a questão. Tomemos a fórmula de composição de velocidades.

uv u  uv 1  2 2 k

lim w  lim

u 

Se k não for nilpotente e nem zero, nós teremos:

lim w  lim  u  v 

u 

8

u 

Pois o anel dos reais é um corpo, portanto ele não admite divisores em zero.

P á g i n a | 5-1833

Esse limite existe e é infinito. Em termos conceituais, a variedade espaço-tempo de Galileu exige uma análise mais sofisticada devido a sua natureza nilpotente. Para encerrarmos a nossa análise sobre a variedade de Galileu, vejamos o que acontece com a composição de velocidades quando tomamos k é nilpotente de ordem n. Substituindo na equação da composição da velocidade: uv

w

1  uv

2

k2 uv w 1  uvk n  2

Já as variedades de Lorentz e Euclides são muito mais simples de serem analisadas. Retomemos o nosso limite fundamental:

lim w 

u 

k2 2 1 k2 v   v R2 R2

Embora os números perplexos admitam divisores em zero, a unidade perplexa p não é divisor de zero. Portanto, a segunda parcela do limite deve ser nula:

lim w 

u 

1 k2 v R2

Na variedade de Euclides, R tem é imaginário, portanto o limite irá se tornar:

lim w  

u 

k2 v

Uma maneira de se interpretar esse resultado é: desde que o tempo tem dimensão negativa e, portanto, é uma curva suave fechada, o sinal luminoso se moveria no sentido horário, no sentido para o

P á g i n a | 5-1834

passado. Outra forma de interpretar é que, se o observador se localiza em um ponto P1 do tempo fechado, existe um único ponto P2 que define uma reta euclidiana passando pelo centro do loop. Quando P1 emite o sinal, P2 também emite um sinal no sentido negativo. Como a ordem dos eventos de P1 e P2 são invertidos. Os sinais chegam simultaneamente a P1 e P2 como se tivessem vindo do passado. Na variedade de Lorentz, R é perplexo, portanto o limite irá se tornar:

k2 lim w  u  v Portanto, independe da variedade ser de Euclides ou de Lorentz a velocidade w não é infinita. Portanto dois eventos simultâneos em um referencial inercial S não será simultâneo em outros referenciais inerciais. Mesmo que os operadores estacionários pudessem trocar sinais instantâneos, para um observador em movimento relativo, esses eventos não seriam instantâneos e nem simultâneos. Isso implica que nenhum tipo de sinal pode ser usado para realizar a sincronização absoluta de relógios.

3.7. O Espaço-Tempo Híbrido O que aconteceria se misturássemos números reais, perplexos, complexos e duais? A resposta é bastante simples: obtemos um objeto matemático chamado quartenion híbrido ou números híbridos. Sem dúvida, o quartenion mais importante é aquele devido a Sir W. Hamilton e que tem importantes aplicações em teorias físicas envolvendo em rotações e é um exemplo de corpo não comutativo. Há um segundo quartenion chamado de hipercomplexo, onde os três números imaginários de Hamilton são substituídos por três números perplexos. Esse quartenion apresenta semelhanças com

P á g i n a | 5-1835

o espaço de Lorentz, porém uma investigação mais detalhada mostra que a sua estrutura é de um sub-grupo, já que a álgebra não é associativa, nem comutativa e não preserva a igualdade da distribuição lateral. Também podemos criar um quartenion formado por um número real, um perplexo, um comp lexo e um dual, o chamado número híbrido. A tábua de produtos desse número é dado por (ÖZDEMIR, 2018):

A partir desta tabela podemos estabelecer as álgebra de Clifford e de Lie do quartenion:

i, h  0 h,    0  , i  2

1, h   0 1,    0 1, i   0

E as regras do produto dos vetores da base: 1 h  h 1 1    1 1 i  i 1

i  h  h  i p    p 

P á g i n a | 5-1836

As dificuldades parte do produto do dual com o imaginário que não forma uma álgebra não comutativa de Grassmann. Por isso, não efetuaremos nossos estudos com o anel quartenion híbrido, mas com sub-anéis, a fim de descobrir novas variedades. Vamos começar com uma variedade espaço-tempo híbrida de Lorentz, que eu chamarei de variedade de Poincaré:

P : l  r  h   | r , ,   , h 2  1, h  h,  2  0,     Vamos investigar a norma desse número, primeiro vamos observar que seus conjugados apresentam a seguinte forma:

l  r  h  

l  r  h  

Agora vamos calcular a sua norma: ll   r  h    r  h   

l 2  r 2  rh   r  rh  h2 2  h   r   h   22 Computando os números perplexos e duais, realizando as permutações e os cancelamentos, obtemos:

l 2  r 2   2 l2   2  r2 Que é a mesma estrutura do espaço de Lorentz. Devido a presença do número nilpotente, a contribuição do T de se esvanece. Essa seria a variedade daqueles que defendem a existência de um tempo absoluto localizado no éter, além da incerteza relativística. Do ponto de vista de entes observáveis, ele corresponde ao espaço de Lorentz, porém quando consideramos entidades metafísicas, os espaços são diferentes, pois temos uma coordenada de tempo sem dimensionalidade. O potencial para essa variedade de Poincaré é dada por:

P á g i n a | 5-1837

 2  p 2

2  2 2     0  2 T 2

 2   2 0  2

Que é o potencial usual do espaço-tempo de Lorentz. Vejamos agora a dimensionalidade desse espaço:

dim P  dim S  p2   2 dim P  3  1  0 dim P  3  1 Que justamente a dimensão do espaço de Lorentz. Em outras palavras o espaço híbrido de Poincaré é um espaço de Lorentz, mas com uma coordenada de tempo absoluto associado a um número nilpotente. Quando buscamos a forma quadrática, a natureza do número dual faz com que todos os valores do tempo absoluto se esvaneçam e apenas sobre o tempo vulgar, o tempo relacional. É por essa razão que não podemos medir o tempo absoluto. Na variedade de Poincaré, porque ele esvanece e por isso é imponderável e na variedade de Lorentz porque ele não existe. Quantitativamente as duas variedades são equivalentes, qualitativamente não. Vamos agora estudar uma variedade espaço-tempo híbrida de Lorentz e Euclides, que eu chamarei de variedade de Einstein:

E : m  r  h  it | r , , t  , h 2  1, h  h, i 2  1, i  i Vamos investigar a norma desse número, primeiro vamos observar que seus conjugados apresentam a seguinte forma: m  r  h  it m  r  h  it

P á g i n a | 5-1838

Agora vamos calcular a sua norma: mm   r  h  it  r  h  it 

m  r  rh  irt  rh  h2 2  hi t  irt  ih t  i 2t 2 2

2

Computando os números, realizando as permutações e os cancelamentos:

l2   2  r2  t2

Essa é uma estrutura semelhante a um cone de luz. O espaço e o tempo formam curvas fechadas temporais que rodeiam o cone. O tempo real o espaço formam hiberbolóides de duas folhas homotéticos, cujos cortes ortogonais são esferas S¹ e o tempo real e imaginário também formam essas hipérboles. Também teremos pares de retas constituídas por vetores de tempo imaginário e de espaço. Topologicamente esse espaço se assemelha ao espaço Antide Sitter com duas componentes de tempo. A equação do potencial apresenta a seguinte forma:

 2 2  2 p i 0  2 t 2 2

2

 2 

 2  2  0 t 2  2

E dimensionalidade desse espaço:

dim P  dim S  p2  i 2 dim P  3  1 1 Outras combinações, nos forneceram outras variedades híbridas e características ainda mais exóticas, mas que podem ser relacionadas aos espaços torcidos e curvados pela ação de pressões e energia negativa.

P á g i n a | 5-1839

4. Funções de Poincaré Para uma variedade espaço-tempo de característica anelar R, as transformações automórficas do espaço e do tempo são:   x     P: t      

1

 x  vkt  2   2 v 1  R 2  k   1   2 v t  R 2 x 2 k    2 v  1  R 2  k  

Essas transformações podem ser escritas em termos de um conjunto de funções, que chamaremos, de funções de Poincaré:

PR  v  

1  2 v  1  R 2  k   2

PR  v  

v R P  v  k

observe que a função P+ é par e a função P- é ímpar. PR  v   PR  v 

PR  v    PR  v 

Assim, as transformações do espaço-tempo se tornam:  x  PR  v  x  PR  v  t  P: R2 R R  t P v t P  v  x       k 

P á g i n a | 5-1840

Isso prova que as transformações do espaço dependem da característica do anel e, a presença do termo R² mostra que o anel define sobre a topologia do tempo. Como propõe Minkowski, podemos sempre construir um sistema de medidas onde a constante k seja a unidade.

 x  PR  v  x  PR  v  t P: 2 R R t   P  v  t  R P  v  x Isso revela que a só existe uma simetria entre as transformações do espaço e do tempo na variedade de Lorentz, pois só nessa configuração R² = 1.

4.1.

Álgebra das Funções de Poincaré

As funções de Poincaré são as rotações anelares da variedade: g 3 0

M 31

Pi    cos 

P    1

Pp    cosh 

Pi    sin 

P    

Pp    sinh 

ei  ei 2 i e  ei i P    2i

P   

e  e  2  e  e  P    2

Pp   

E31

Pi   

e p  e  p 2 p e  e  p p P    2p

Para uma variedade espaço-tempo, as funções de Poincaré se conectam as funções exponenciais pela seguinte regra:

P á g i n a | 5-1841

PR  v  

e R  e R 2

PR  v  

e R  e R 2R

Que nos permitem derivar as identidades exponenciais:

e R  PR    RPR   e R  PR    RPR   Que para cada variedade espaço-tempo assumem a forma:

M 31

E31

g 3 0

ei  cos   i sin 

e  1  

e p  cosh   p sinh 

ei  cos   i sin 

e  1  

e  p  cosh   p sinh 

Por isso é fácil ver que a elas se aplicam a fórmula de duplicação de arcos:

PR 1   2   PR 1  PR  2   R 2 PR 1  PR  2  PR 1   2   PR 1  PR  2   PR 1  PR  2  Além disso, essas funções satisfazem a identidade trigonométrica generalizada:  PR  v    R 2  PR  v    1 2

2

E, estão garantidas os valores das funções em 0: PR  0   1

PR  0   0

P á g i n a | 5-1842

4.2.

A Função Tangente de Poincaré

Assim como na trigonometria elementar e hiperbólica, convém introduzir uma função tangente definida como a razão das funções de Poincaré par e ímpar. Também introduziremos as funções arco, das quais o arco tangente irá desempenhar um papel fundamental na construção do teorema da composição das velocidades. Formalmente, definimos as funções tangentes pelos seguintes homeomorfismos:

P R   :

R

P R   

P   P   R  R 

PR   :

R

PR   

P   P  

  R=  

R  R 

A primeira será denominada de tangente de Poincaré e a segunda função será denominada de cotangente de Poincaré. Os sinais duplos indicam a ordem da razão entre as funções de Poincaré. É fácil ver que, estas funções são iguais ao fator beta de Lorentz generalizado:

v k R P    

P R   

k v R P    1

PR   

Por questão de comodidade, vamos introduzir uma nova função tangente, que chamaremos de tangente e cotangente de Poincaré R, que será definida como:

P R   :

R

P R    R 2 P R  

PR   :

R

PR    R 2 PR  

P á g i n a | 5-1843

A partir da identidade trigonométrica generalizada, podemos estabelecer relações fundamentais envolvendo as tangentes de Poincaré R.  PR  v    R 2  PR  v    1 2

2

1   P R      PR    2

2

1   PR      PR    1  2 1   P R   

2

2

Para desenvolvermos a análise nas variedades espaço-temporais, devemos deduzir a regra de soma de arcos para a tangente e a cotangente de Poincaré: P R 1   2   P R 1   2  

PR 1   2  PR 1   2 

PR 1  PR  2   PR 1  PR  2  PR 1  PR  2   R 2 PR 1  PR  2 

Evidenciando as funções pares do numerador e do denominador:

 P R   P R    PR 1  PR  2   R 2  R 1   P  2  P 1   P R 1   2   R R   2 P 1  P  2  R R P 1  P  2  1  R R  R P 1  P  2   

P á g i n a | 5-1844

 PR  2  PR 1    R  R  P P 1       2  R P 1   2   R R   2 P 1  P  2  1  R R  P 1  PR  2    Usando a função tangente de Poincaré, obtemos: P R 1   2  

P R  2   P R 1  1  R 2 P R 1  P R  2 

Para a cotangente teremos: PR 1   2  

1  R 2 PR 1  PR  2  PR  2   PR 1 

Para as tangentes R, teremos: P R 1   2  

R R R 4 P  2   P 1  R 2 1  R 2 P R 1  P R  2 

P R 1   2   R 2

R 2 P R  2   R 2 P R 1  R 2  R 2 P R 1  R 2 P R  2 

P R  2   P R 1  P 1   2   R 2 R  P R 1  P R  2  2

R

E para a cotangente R,

 R 2  P R 1  P R  2   P 1   2   R  R  R  P  2   P 1   R 

2

Essas são as funções tangentes e as suas propriedades algébricas.

P á g i n a | 5-1845

4.3.

O Teorema de Adição de Velocidades

Um dos mais importantes resultados da Teoria da Relatividade Especial é a composição das velocidades. Há duas formas de deduzir esse resultado, para as componentes paralelas. Nessa seção apresentaremos um destes métodos que consiste em utilizar uma função bijetora entre o espaço matemático dos ângulos de rotação e o espaço das grandezas físicas associadas: velocidade, fator beta e fator gama. Vamos construir três sistemas inerciais K, K’ e K’’. Sem perda de generalidade, convencionaremos que o sistema K é o sistema estacionário e o sistema K’ se desloca na direção x com velocidade v1 em relação ao sistema K e velocidade v2, também na direção x, em relação ao sistema K’’, enquanto o sistema K’’ se de desloca com velocidade v3 na direção x em relação ao referencial K. Queremos determinar a velocidade v3 em função das velocidades v1 e v2. Cada deslocamento produz uma rotação de Poincaré a. Portanto a rotação de Poincaré total a3 entre o referencial K e o referencial K’’, é a soma das rotações hiperbólicas a1, entre os sistemas K e K’, e a2, entre os sistemas K’ e K’’, isto é, a3  a1  a2 . Vamos agora procurar uma aplicação bijetora que a cada valor de a associa a um valor de v. Como vimos, a função tangente de Poincaré transforma um vetor do espaço A em um vetor do espaço das velocidades V dividido pela velocidade k. Assim a nossa aplicação pode ser definida como:

L : A V La

v

v  kP R  a 

Portanto a velocidade v3 é definida pela seguinte regra:

v3  kP R  a3  v3  kP R  a1  a2 

P á g i n a | 5-1846

Agora podemos aplicar a regra de soma de arcos da tangente de Poincaré:

 P R  a2   P R  a1   v3  k   R 2 R 1  R P  a1  P  a2   Substituindo os valores da tangente de Poincaré, obtermos o teorema de adição de velocidades em função dos fatores beta:     v3  k  1 2 2  1  R 12 

3 

1  2 1  R 212

Abrindo os fatores B, obtemos a lei de composição de velocidades:

v1 v2  v3  k k k 1  R 2 v1v2 kk v3 1 v1  v2  k k 1  R 2 v1v2 k2 Cancelando as velocidades da luz, chegamos ao teorema convencional da composição relativística de velocidades na direção paralela:

v3 

v1  v2 vv 1  R 2 1 22 k

P á g i n a | 5-1847

Pelo mesmo método podemos calcular a transformação do fator gama entre o sistema K e o sistema K’’. Desta vez usaremos a função par de Poincaré:

R: AF R a



  PR a

Portanto o fator 3 é definida pela seguinte regra:

3  PR  a3  3  PR  a1  a2  3  PR  a1  PR  a2   R 2 PR  a1  PR  a2  3  1 2  R 21 212 Evidenciando os fatores comuns, obtemos a transformação :

3  1 2 1  R 21 2     3  1 2 1  R 2 1 2 2  k   Também poderíamos ter utilizado a função ímpar de Poincaré:

33  PR  a3  33  PR  a1  a2  33  PR  a1  PR  a2   PR  a1  PR  a2  33  1 21  1 2 2

 1  2 

1  R 212

3  1 2  1  2 

3  1 2 1  R 21 2 

P á g i n a | 5-1848

4.4. Análise das Funções de Poincaré Agora vamos calcular sua derivada e depois generalizar para a nésima ordem: R dP R   de R dP    R  d d d R R R Re  P    RP  

R dP R   de R dP    R  d d d  R R R  Re  P    RP  

Somando as duas equações, obtemos:

2 PR    R  e R  e  R 

2 PR    R  PR    RPR    PR    RPR    2 PR    2 R 2 PR  

Portanto, a derivada da função par de Poincaré será: PR    R 2 PR  

Para obtermos a derivada da função ímpar, basta realizarmos o mesmo processo, mas subtraindo as equações:

2 RPR    R  e R  e  R 

2 PR     PR    RPR    PR    RPR    2 PR    2 PR  

Portanto, a derivada da função par de Poincaré será: PR    PR  

Agora vamos calcular o valor da enésima derivada.

P á g i n a | 5-1849

PR    R 2 PR  

PR    PR  

Substituindo o valor da derivada primeira: PR    R 2 PR  

PR    R 2 PR  

Se tomarmos a derivada terceira:

PR    R 2 PR  

PR    R 2 PR  

PR    R 4 PR  

PR    R 2 PR  

E para quarta derivada, teremos:

PR    R 4 PR  

PR    R 2 PR  

PR    R 4 PR  

PR    R 4 PR  

Portanto é fácil ver que a regra da enésima derivada é dada por: 2n R  dn R  R P   , se n for ímpar P     n R d n   R P   , se n for par

 R n 1 PR   , se n for ímpar dn R P     n R d n  R P   , se n for par Agora vamos calcular a integral:

e

R

d   PR   d  R  PR   d

e R   PR   d  R  PR   d R e R  R  PR   d  R 2  PR   d

P á g i n a | 5-1850

e

 R

d   PR   d  R  PR   d

e R   PR   d  R  PR   d R  R e  R  PR   d  R 2  PR   d 

Somando as equações, obtemos:

R  PR   d  R 2  PR   d  R  PR   d  R 2  PR   d  e R  e  R

2 R  PR   d  e R  e  R R  P   d 

e R  e R 2R

Pondo na forma da função de Poincaré e adicionando a constante de integração.

 P   d P    C R 

R 

Para obtermos a integral da função ímpar de Poincaré, devemos considerar dois casos distintos: 1) Se R for um número nilpotente de ordem 2:   P   d    d 

  P   d 

2 2

C

 P     P   d  2  C 2



P á g i n a | 5-1851

2) Se R não for um número nilpotente:

R  PR   d  R 2  PR   d  R  PR   d  R 2  PR   d  e R  e  R 2 R 2  PR   d  e R  e  R R  P   d 

e R  e R 2R2

Como R só pode ser imaginário ou perplexo, então R4 sempre será a unidade. Por isso se multiplicarmos a fração por R²/R², obtemos:

e R  e R  P   d R 2 R 

2

Escrevendo a função de Poincaré e adicionando a constante de integração.

 P   d  R 

R 2 PR    C

Portanto, a regra geral de integração para função de Poincaré ímpar será:   P    2   C , se R for nilpotente de ordem 2   R  P d      2    2 R  R P    C , se R não for nilpotente

P á g i n a | 5-1852

4.5.

Transformada de Laplace

Vamos agora estudar a transformação unilateral de Laplace das funções de Poincaré. Tomemos a transformada de Laplace das identidade exponencial positiva:

L e R   L PR    RPR   L e R   L PR    RL PR   1  L  PR    RL PR   SR E a identidade exponencial negativa:

L e  R   L PR    RPR   L e  R   L PR    RL PR   1  L  PR    RL  PR   SR Somando as equações, obtemos a seguinte relação:

L PR    RL PR    L PR    RL PR    2 L PR   

S RS R  S  R  S  R 

2 L PR   

2S S  R2

1 1  SR SR

2

Assim, a transformada de Laplace da função de Poincaré par será:

L PR   

S S  R2 2

P á g i n a | 5-1853

Para obtermos a transformação da função ímpar de Poincaré, basta subtrairmos a transformação de Laplace da identidade exponencial: L PR    RL PR    L PR    RL PR   

2 RL  PR   

S RS R  S  R  S  R 

2 RL  PR   

2R S  R2

1 1  SR SR

2

Assim, a transformada de Laplace da função de Poincaré par será: L PR   

1 S  R2 2

A tabela abaixo sintetiza os resultados que obtivemos: f(t)

F(s)

PR  t 

S S  R2

PR  t 

1 S  R2

2

2

De modo similar podemos calcular as transformações de Fourier, porém, neste trabalho, não faremos isso.

P á g i n a | 5-1854

4.6.

Cálculo-K Generalizado

Hermann Bondi (1980) introduziu um método bastante interessante para se deduzir os fenômenos relativísticos a partir da análise da simultaneidade em um diagrama de Minkowski. Até onde conheço, só há quatro obras em língua portuguesa esse método: os livros A Teoria da Relatividade Restrita (BOHM, 2012), Relatividade e Bom Senso: Um Novo Enfoque das Ideias de Einstein (BONDI, 1971), O Princípio da Relatividade Volume 3: Matemática (Lições) (CAPIBERIBE, 2020) e o ensaio Cálculo K: Uma abordagem alternativa para a relatividade especial (CONTO, LIMA, ORTEGA, SCHMITZ, 2013). Nessa seção apresentaremos uma síntese das ideias de Bondi, seguindo a abordagem a apresentada por David Bohm (2012, p. 175190) e generaliza-la para variedades espaço-temporais planas arbitrárias, por meio das funções de Poincaré. Para tornar mais simples as deduções, usaremos os diagramas convencionais de Minkowski, porém os resultados são válidas para espaços euclidianos e galielanos, pois a variedade de Lorentz é homeomórfica as variedades de Galileu e Euclides. Este homeomorfismo será definido como uma aplicação linear que preserva as coordenadas t e x, mas transforma as transformações de Lorentz em funções de Poincaré: R:

R

R  xPp    ktPp     x  PR    ktPR  

R  ktPp    xPp     ktPR    xRPR  

Vamos construir um diagrama de Minkowski. Tomemos dois segmentos de reta ortogonais OA e OB que representam, respectivamente, o eixo ct e o eixo x. Cada ponto nesse diagrama representa um evento que é representado por suas coordenadas

P á g i n a | 5-1855

especiais e temporal. Para um observador estacionário S’, todos os eventos se encontram na linha AO, que denominamos de linha de mundo de S’. A linha OB representa todos os fenômenos simultâneos ao observador S’. Suponha que no evento O seja disparado uma onda esférica luminosa de raio ct. Para o observador a posição desse raio no eixo OB, devido ao prinícpio da isotropia, a linha de mundo dessse raio deverá ser descrito, pela seguinte função: x = ±ct, que correspondem, respectivamente, aos eixos OC (+ct) e OD (–ct). Para obtermos a inclinação da reta, tomemos o arco-tangente das retas OC e OA:  OC    arctan    OA   ct    arctan    ct    arctan 1

   4 (45º) Portanto os raios OC e OD formam ângulos de 45 graus com os eixos OA e OB. Como observa Bohm (2012, p. 177) “é claro que em três dimensões há muitas direções possíveis para um raio de luz, de modo que todo o conjunto de raios de luz através de O é representado por um cone. As linhas OC e OD correspondem então à intersecção deste “cone de luz” com o plano x-ct.” Vamos supor um observador S se desloca com velocidade constante v em relação ao observador S’. Do ponto de vista geométrico, o observador S equivale a uma rotação hiperbólica dos eixos OA e OB com um ângulo . Se denotarmos por OE e por OF os eixos ct’ e x’, respectivamente, o diagrama de Minkowski, na perspectiva de S’, apresentará a seguinte representação:

P á g i n a | 5-1856

E as transformações será dada por:

OE  OAPR    OB  RPR    OF  OBPR    OAPR   Se um evento for simultâneo no referencial S isso implica que o intervalo OE deve ser nulo. 0  OAPR    OBPR   OAPR    OBR 2 PR   OA  OBP R  

Portanto os eventos simultâneos de S se localizam na reta OF e por isso no referencial S’, estes eventos não serão simultâneos. Se tomarmos a perspectiva do referencial S’, o diagrama de Minkowski assume o seguinte aspecto:

P á g i n a | 5-1857

Suponha que os observadores S e S’ portam relógios idênticos e síncronos. Vamos supor que em intervalos constantes, o observador estacionário S’ envia sinais N1, N2, ..., Nn para o observador S. Estes sinais viajam à velocidade da luz e alcançam o observador S nos eventos N’1, N’2, ..., N’n.

P á g i n a | 5-1858

Se o observador S’ envia sinais em intervalos regulares To, o observador S receberá estes sinais em intervalos T devido ao efeito Doppler-Fizeau. Como já observamos, essa é uma consequência da própria natureza ondulatória da luz e não do princípio da relatividade. De qualquer forma, podemos definir uma constante K que é a razão entre os dois períodos.

K

T To

Suponha que o pulso é recebido pelo observador em S, ele é imediatamente refletido para o observador S’. Assim, podemos dizer que o referencial S emite sinais M1, M2, ..., Mn em intervalos regulares To e que são recebidos em M’1, M’2, ..., M’n em intervalos T’. Para este referencial podemos definir uma constante K,

K 

T To

P á g i n a | 5-1859

Observe que entre os eventos Ni e N’i e os eventos Mj e M’j, traçamos linhas NiN’i e MjM’j. Como estas linhas representam as linhas de mundo de raios luminosos trocados entre os referenciais S’ e S, as linhas NiN’ devem ser parelelas ao eixo OC e as linhas MjM’j, paralelas a OD. Bohm (2012, p. 180) assinala que: “os caminhos dos sinais de rádio, com uma inclinação de 45°, indicam que em ambos os sistemas a velocidade da luz tem o mesmo valor, c. É assim que incorporamos no diagrama de Minkowski o fato observado de que a velocidade da luz é invariante, a mesma para todos os observadores.”. Se o espaço a propagação da velocidade da luz é isotrópica e não existe um referencial privilegiado, isto é, os referenciais S’ e S são equivalentes, como impõe o princípio da relatividade, a razão dos períodos não deve depender do referencial adotado, K  K

Devemos nos lembrar, no entanto, que o exposto é verdadeiro apenas em uma teoria relativista, na qual a luz tem a mesma velocidade em cada sistema de referência. Assim, na mecânica newtoniana, os raios de luz seriam representados como linhas a 45 ° dos eixos apenas em um sistema em repouso no éter, de modo que o raciocínio pelo qual mostramos a igualdade de K e K’ não seria insustentável. (BOHM, 2012, p. 182).

Após essas considerações, vamos introduzir o cálculo K. Suponha que na posição O, os observadores em S’ e S troquem sinais luminosos e sincronizem seus relógios. Como nessa posição, ambos ocupam o praticamente o mesmo espaço, a troca de sinais luminosos será praticamente instantânea. Nesse momento, os observadores ajustam seus relógios para marcar o tempo zero.

t  t  0 No instante To, que corresponde ao evento N, o observador S’ emite um sinal para o observador em S. Esse sinal é recebido no

P á g i n a | 5-1860

tempo T, que corresponde à T = KTo, no evento N’. O pulso é imediatamente refletido e atinge o observador em S’ no instante T1, que corresponde à T1 = KT, no evento N”. Substituindo o valor de T, obteremos: T1 = KT²o.

Observe que no diagrama de Minkowski, o evento S corresponde ao ponto médio da linha NN”. As linhas N’N” e NN’ formam um ângulo de 45º com a linha SN’. As linhas SN e SN” formam um ângulo de 90º com a linha SN’. Isso implica que os triângulos SNN’ e SN’N” são isócesles. Portanto, a medida de NN’ e de SN’ e SN” e N’N” são iguais. Nestas condições, podemos escrever as seguintes relações:

SN  SN   SN  

NN  2

P á g i n a | 5-1861

Do triângulo retângulo OSN’, podemos concluir que o ângulo entre as linhas ON’ e OS é . As retas SN’ e OS se relacionam pela tangente de Poincaré desse ângulo (registre que estamos em um “plano hipercomplexo”).

SN  SN   OSP R   

NN  2

É imediato que o seguimento OS pode ser escrito como a soma de suas partes:

OS  ON  NS  ON 

NN  2

O evento N corresponde a emissão do sinal em To. Portanto, o período entre a sincronização dos relógios e a emissão do sinal por S’, será: ON  To

De forma equivalente, o período entre a sincronização dos relógios e a emissão do sinal pelo observador S, será:

ON '  T A diferença entre a emissão e o retorno do sinal em S’, T1 – To, será o intervalo NN”:

NN   T1  To

NN    K 2  1 To

Usando as duas equações envolvendo OS, podemos determinar o valor de K.

OS  ON 

NN  2

P á g i n a | 5-1862

OSP R   

NN  2

Multiplicando a primeira equação pela tangente de Poincaré,

NN   R  OSP R     ON   P   2   Substituindo esse valor na segunda equação:

NN   NN   R   ON   P   2 2   Isolando ON, obtemos a relação:

1  P    NN  ON  R

2 P R  

Substituindo os valores dos segmentos,

1  P    K R

To 

2

2 P  

 1 To

R

1  P    K R

2

 1  2 P R  

K 2  K 2 P R    1  P R    2 P R   K 2 1  P R     1  P R   1  P R   K  1  P R   2

P á g i n a | 5-1863

Extraindo a raiz quadrada, concluímos o cálculo de K:

1  P R   1  P R  

K

A expressão acima pode ser escrita da seguinte forma:

K

k  Rv k  Rv

O fator K corresponde ao efeito Doppler relativístico. Isso não é nenhuma surpresa, visto que como o referencial S se desloca em relação à S’ com velocidade constante, a constância da velocidade da luz impõe que os pulsos sofram uma transformação de suas frequências. Vamos usar o cálculo K para achar a transformação do período. A coordenada t corresponde ao seguimento OS.

OS  ON  NS  ON  t  To 

K

2

 1 To

NN  2

2  K  1To 2

t

2

No sistema S, o tempo corresponde ao eixo ON’

t   ON '  T  KTo Dividindo as t por t’:

P á g i n a | 5-1864

2 t  K  1  t 2K

Substituindo o valor de K²: R t  1  P    1   1 t   1  P R    2 K

 1  P R   1 t     t   1  P R    1  P R   t  t

1 1  P R 2   

Usando as relações de Poincaré, obtemos: a fórmula da dilatação do tempo: t  t  PR 2  

t  t PR    t 

P á g i n a | 5-1865

Agora estudaremos a composição das velocidades relativísticas usando fator K. Para isso vamos assumir a existência de um terceiro observador S” descrita pela linha de mundo OG e que se desloca em relação à S’ com velocidade constante w. No instante To o ocorre um evento N: o observador S’ emite um sinal na direção do observador OG que é recebido no evento R no tempo T2. Esses eventos se relacionam pela equação: T2  K  w  To

Por outro lado, consideremos que o observador S’ emita no evento N um sinal para o observador S, que desloca com velocidade constante v. Este sinal é recebido por S’ no evento N’. Portanto, o tempo medido pelo observador S, será: T1  K  v  To

Assim que o observador S recebe o sinal de S’, no evento N’, ele retransmite esse sinal para o observador S”, que se desloca com velocidade constante u. O sinal é recebido no instante T2 e marca o evento R. T2  K  u  T1

Usando as três relações que obtivemos, podemos escrever as equações: T2  K  w  To  K  u  T1 K  w  To  K  u  K  v  To K  w  K  u  K  v 

Essa propriedade do cálculo K permite demonstrar que eles apresentam uma estrutura de grupo, assim como as transformações de Lorentz. Portanto, existe um importante grupo associado ao

P á g i n a | 5-1866

cálculo K que é o grupo de dos fatores K ou grupo de Bondi. Sem mais delongas, voltemos ao cálculo da composição da velocidade:

K  w  K  u  K  v  K 2  w  K 2  u  K 2  v  Abrindo as funções K quadráticas e as tangentes hiperbólicas:

 1  P R w   1  P R u  1  P R v    R R  R  P 1 w     1  P u  1  P v   k  Rw   k  Ru  k  Rv       k  Rw   k  Ru  k  Rv  2 2  k  Rw   k  uRk  vRk  R vu       2 2  k  Rw   k  uRk  vRk  R vu 

Vamos multiplicar os fatores em cruz para evidenciar a velocidade resultante w.

 k  Rw  k 2  uRk  vRk  R 2vu    k  Rw   k 2  uRk  vRk  R 2vu 

k k

3

 uRk 2  vRk 2  vukR 2  wk 2 R  uwkR 2  vwkR 2  vuwR 4  

3

 uRk 2  vRk 2  vukR 2  wk 2 R  uwkR 2  vwkR 2  vuwR 4 

Realizando as implicações algébricas, chegamos a equação:

2wRk 2  2wvuR4  2uRk 2  2vRk 2 w  k 2  vuR 2  R 2   u  v  R 2 k 2

P á g i n a | 5-1867

w

u  v  k 2

k

2

 R 2vu 

Evidenciando a velocidade da luz no denominador e simplificando com o numerador, obtemos a regra de composição de velocidades

w

uv vu 1  R2 2 k

Bohm (2012, p. 186-187), faz uma importante observação sobre processos de medida: Como a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores, não precisamos de padrões separados de tempo e distância. Por esta razão, é suficiente que todos os observadores tenham relógios equivalentemente construídos. Não é necessário assumir além disso que eles têm bastões de medida padrão. Isso torna as fundações lógicas do procedimento de medição muito simples, porque é possível usar os períodos de vibrações de átomos ou moléculas como relógios padrão, que podem depender de funcionar de maneira equivalente para todos os observadores.

Por fim, vamos deduzir as transformadas de Lorentz do tempo usando o método K: Para isso contruíremos uma nova linha de mundo representado pela linha SP, que inicialmente se encontra fora do cone de luz, mas em um dado instante intercepta a linha OC e passa a fazer parte da região de vínculos casuais dos observadores S e S’. Em um instante T1, o observador em S’ inicia um evento M. S’ emite um pulso para o observador S, que é recebido no evento N. Instantaneamente, o observador S emite um sinal para um observador S” que registra esse evento P, e reflete o sinal que atinge o S no evento Q e S’ no evento R, no instante T2.

P á g i n a | 5-1868

Pela simetria do problema, o seguimento MR corresponde a duração T2. Porém esse seguimento é a soma dos seguimentos MP e PR. Porém, pelo princípio da reflexão, estes dois seguimentos devem ter o mesmo comprimento: MR  MP  PR MP  PR

P á g i n a | 5-1869

MP 

MR 2

O pulso é emitido no evento M, no tempo T1 e retorna no instante T2, portanto o seguimento MR tem “comprimento” T2 – T1

MR  T2  T1 MP 

T2  T1 2

Queremos determinar em qual instante ocorre o evento P, segundo o observador no referencial S’. Pela geometria elementar, temos que: MP  P  M P  M  PM

O evento M ocorre no instante T1, substituindo na equação:

P  T1  P

T2  T1 2

T2  T1 2

Se multiplicarmos o segmento MP por k, obtemos o “tempo próprio”:

 k

T2  T1 2

Se multiplicarmos o ponto P por k, obtemos o “espaço próprio”:

sk

T2  T1 2

P á g i n a | 5-1870

Portanto existe uma relação simples entre os períodos e as medidas de comprimento e tempo:

s    kT1 s    kT2 O princípio da relatividade nos impõe que as mesmas medidas devem ser realizadas pelo observador em S:

T2  T1 , 2 s     kT2,

  k

T2  T1 2 s     kT1

s  k

Mas, segundo o cálculo-K,

que nos conduz a relação:

T1  K T1 , T2  K T2

  1 2 TT 1 2  TT

Substituindo as relações entre os tempos e comprimentos:

 s    s      s    s    k2

k2  2  s2    2  s 2 

Essa é a forma “quadrática própria”. As coordenadas próprias e locais de tempo e espaço se relacionam por meio das relações:

s  x   R  kt

P á g i n a | 5-1871

Que é a forma quadrática do espaço-tempo. Das relações entre os dois sistemas inerciais, temos as seguintes relações:

T1 K T2  K T2

T1 

Vamos agora obter a transformação de Lorentz, substituindo a relação x: KT2  T1 K  2 2 K  kT2    kT1 s 2K K 2    s      s  sk

s

2K  K  1    K 2  1 s 2

s

2K

Vamos calcular os o valor dos termos nos parêntesis:

1  P R    K  1  1  P R    1

1  P R    K  1  1  P R    1

2

 K 2  1 

2

2 P R   1  P R  

K

2

 1 

Substituindo os valores do fator K:

s

2s   2 P R    2 K 1  P R   

Agora vamos calcular o fator no denominador:

2 1  P R  

P á g i n a | 5-1872

 1  P R     1  P R    K 1  P      R  1  P      R

K 1  P R    

1  P    1  P    



R

K 1  P R    



R

1  P     R2

K 1  P R    

1

P   R 

Substituindo na equação,

  PR      sP R    R  R PR    R 2 sPR   kt  kt PR    R 2 xPR   t  t PR    R 2

x R P   k

Essa é a transformação da coordenada t. Vamos obter a transformação do espaço.

sk s

K

2

KT2  T1 K  2

 1 s   K 2  1  2K

s  PR    s  P R    s  sPR    R PR   x  xPR    kt PR  

P á g i n a | 5-1873

Para encerrarmos este tópico sobre cálculo K, recorremos as reflexões de Bohm: É evidente que o cálculo K nos fornece uma maneira muito direta de obter muitas das relações que foram historicamente derivadas primeiro com base na transformação de Lorentz. A vantagem do cálculo de K é que torna muito evidente a conexão entre essas relações e os princípios e fatos básicos subjacentes à teoria. De fato, partindo do princípio da relatividade e da invariância da velocidade da luz, vimos que a própria transformação de Lorentz se segue simplesmente de certas características geométricas e estruturais dos padrões de certos conjuntos de eventos físicos. No entanto, por mais elegante e direto que seja, o cálculo de K ainda não foi desenvolvido o suficiente para substituir a transformação de Lorentz em todas as diferentes relações que são significativas na teoria da relatividade. Assim, a situação atual é que a abordagem da transformação de Lorentz e a abordagem do cálculo do K se complementam, no sentido de que cada uma delas oferece percepções que não são prontamente obtidas na outra. Além disso, o cálculo de K é relativamente novo, de modo que a maior parte da literatura existente é expressa em termos da abordagem de transformação de Lorentz. Embora seja possível que o cálculo de K possa eventualmente ser desenvolvido o suficiente para substituir a transformação de Lorentz como uma fundação da teoria matemática, parece que por algum tempo, pelo menos, a transformação de Lorentz continuará a ser o principal modo de expressar a teoria matemática, enquanto o cálculo K servirá para fornecer insights adicionais sobre o significado da teoria.

Assim, o cálculo K de Bondi está generalizado para qualquer variedade Espaço-Tempo e podemos usa-la com a mesma eficiência no espaço euclidiano e galileano.

P á g i n a | 5-1874

4.7. Derivada Arbitrária: Homeomórifca, Automórfica e Negativa Durante o estudo da função de Poincaré vimos que é possível definir uma regra única para a derivada de uma função de Poincaré, independente de sua característica anelar. Por outro lado, o mesmo não se aplica ao estudo da integral, pois esta depende se R é um número nilpotente de segunda ordem ou não. Esse fato, fez-me rever as fundações do cálculo diferencial e integral e, desta forma, distinguir dois tipos de operadores diferenciais, homeomórficos e automóficos, que nos permitirão, como veremos mais adiante, cogitar sobre a existência de curvas fechadas no tempo. A.

Semi-Grupo de Liouville

Inicialmente vamos introduzir um conjunto formado pelas funções 1/sonde é um real positivo, k é um número complexo.

k  GL      k  s  O conjunto G não forma um grupo, mas um semi-grupo abeliano em relação ao produto, pois G é fechado:

  1   2   R , k1 k2  s 1 s 2 kk k11  k22  11  22 s k1 k2 1  2  k11k22

k  k  1

2

1

2

 k11k22  GL

 k1  k2  

P á g i n a | 5-1875

Associativo

   

   

k1

 k22  k33  k11k22  k33

k1

 k22

k1

 k22

k1

 k22

1

1 1

1

k3

 k11k22k3 3

k3

 11  223 3 

k3

 k11  k22  k33

3 3

3

k k k





E comutativo:

k  k  k k  1

2

1 2

1

2

1

2

    k1 1

k2 2

k2 k1  2  1

k  k  k  k 1

2

2

1

1

2

2

1

Em particular se k = 1, omitiremos o índice k. Doravante, chamaremos esse semi-grupo de grupóide ou semi-grupo de Liouville. B. Derivada Arbitrária de Liouville Após explorarmos as propriedades elementares do semi-grupo de Liouville, vamos obter a segunda fórmula de Liouville do cálculo fracionário usando a transformada de Laplace. A primeira fórmula de Liouville do cálculo fracionário, estabelece que:

d  ers  r  ers  ds Agora utilizaremos a transformada de Laplace para deduzir a derivada arbitrária. Primeiro recordemos a propriedade da derivada: L t f  t    1 n

n

d n L  f  t  ds n

P á g i n a | 5-1876

A primeira identidade de Liouville do cálculo fracionário nos permite permutar o índice n por um índice  arbitrário. L t  f  t    1



d  L  f  t  ds

Isolando a derivada arbitrária, obtemos a seguinte regra9: d  L  f  t  ds



  1



L t  f  t 

Para prosseguirmos em nossos cálculos, tomemos a seguinte função: t  1 f t     Substituindo na regra da derivada arbitrária:

 t    1  d   t  1     L 1 L       ds             Calculando as duas transformadas de Laplace, nós obtemos:

           1             s      s  d  1           1     ds  s      s  

d ds

Portanto, podemos escrever a regra de derivação arbitrária como: No apêndice, eu demonstro como essa regra pode ser usada para generalizar a segunda identidade de Liouville do Cálculo Fracionário. 9

P á g i n a | 5-1877

D    1

 1





         

      ,     GL    D   GL

Portanto a aplicação derivada arbitrária, que chamaremos de derivada de Liouville, é um endomorfismo em GL: D  : GL  G L

D    1



         

Vamos analisar as condições de existência da derivada de Liouville. Observe que todas elas dependem da condição de existência da função gama. Estou ciente que a função gama admite valores negativos por meio de um processo de prolongamento analítico, entretanto, por questões de simplicidade, tomaremos apenas a parte positiva para que o domínio seja simplesmente conexo. Nesse caso, a derivada estará definida se:

  0,

  

A primeira condição é naturalmente satisfeita já que  é um número real positivo. A segunda condição depende da escolha de . Em geral, tomamos  como um número real não-negativo. Nesse caso, a condição é automaticamente satisfeita. Vamos provar que para   0 a derivada Liouville é um endomorfismo bijetivo, i.e, é um automorfismo. A aplicação é injetora porque a soma de dois números reais é um único real. A aplicação é bijetora, pois dada uma função de Liouville podemos gerar qualquer função que pertença ao

P á g i n a | 5-1878

grupo já que a condição limite é que:         0 . Como podemos escolher portanto a aplicação D é um automorfismo sobre o semi-grupo GL. Veja que como  é real, podemos impor que  também seja real. Da condição de existência:    , podemos definir uma derivada de Liouville negativa, pois:

  0      0 |      Assim, para evitarmos ambiguidades, vamos escolher  como sendo sempre um número real não-negativo. Nestas condições, definimos a derivada negativa de uma função de Liouville pela seguinte regra:

D  : GL  GL D     1



     ,

      

D    GL

Provaremos que essas relações são um automorfismo interno, pois satisfazem a condição de automorfismo:

D  D   D   D    

         D    1                       1  D         

P á g i n a | 5-1879

               1      1                           Que demonstra que a derivada é um automorfismo interno. Da teoria elementar das estruturas sabemos que o conjunto dos automorfismos internos é um grupo. Portanto, as derivadas arbitrárias formam um grupo em relação a operação composição. Vejamos agora qual significado podemos atribuir a derivada negativa. Para isso, tomemos a função n, onde n é um inteiro positivo e a sua respectiva derivada negativa de ordem 1:

D 1n 1   1

1

  n  1  1 n 11   n  1

D 1n 1  

  n n   n  1

D 1n 1  

  n n n  n 

D 1n 1  

n n

É fácil ver que a derivada negativa é apenas a integral da função n, sem a contestante de integração.

D 1n 1  k   n 1ds  k



n 1

ds  k  

n n

Por essa razão, somos forçados a concluir que a integral e a derivada negativa são operadores diferentes.

P á g i n a | 5-1880

C. Derivada Homeomórfica e Automórfica A ausência da constante de integração não é um mero detalhe, mas uma evidência de que existem dois tipos de derivada e dois tipos de integrais (ou derivadas duais): a derivada homeomórfica (homomórfica) e a derivada automófica, e suas respectivas duais. Para esclarecermos, tomemos a derivada da função:

D 11   1

1

  0 0  1

A função gama não está definida em zero, quando se aproxima desse valor pela esquerda, a função diverge para o infinito. Portanto, podemos concluir que a derivada negativa de ordem 1 de 1 não está definida nesse ponto. Porém, a integral dessa função existe:

  ds  ln s  k 1

Observe que a integral transformou um elemento de GL em um elemento de outro semi-grupo aditivo (logaritmos mais constantes) GN. Portanto aplicação é um homeomofismo de GL em GN. Retornamos de GN ao grupo GL. Nesse caso teremos um homeomofismo de GN em GL. Por meio destes casos, podemos estabelecer a definição para derivada e a integral homeomórfica: Definição (Derivada Homeomórfica DH ): Seja um conjunto de funções contínuas Gf em um aberto intervalo I. Definimos derivada homeomórfica DH como a aplicação que a cada f de Gf transforma em uma única função g de um conjunto Gg.

DH : G f  G g DH  f   g

P á g i n a | 5-1881

Definição (Integral Homeomórfica DH  ): Seja um conjunto de funções contínuas Gg em um aberto intervalo I. Definimos a integral homemórifca DH  , também denominada de derivada homeomórfica dual como a aplicação que a cada g de Gg transforma em uma única função f de um conjunto Gf.

DH  : G g  G f DH   g   f  k O teorema fundamental do cálculo de Newton-Leibniz-Barrow é uma decorrência das propriedades da dualidade, estudadas em álgebra multilinear: Teorema fundamental do Cálculo Homeomórfico DH DH   DH  DH  I

Corolários 1: A derivada homeomórfica é um isomorfismo. 2: A derivada homeomórfica e a sua dual comutam. Agora, vamos definir o conceito de derivada automórfica: Definição (Derivada Automórfica DA ): Seja um conjunto de funções contínuas Gf em um aberto intervalo I. Definimos derivada automórifca DA como a aplicação que a cada f de Gf transforma em uma única função f de um conjunto Gf.

DA : G f  G f DA  f   g

P á g i n a | 5-1882

Definição (Integral Automórfica DA  ): Seja um conjunto de funções contínuas Gf em um aberto intervalo I. Definimos a integral automórfica DA  , também denominada de derivada automórfica dual como a aplicação que a cada g de Gf transforma em uma única função f de um conjunto Gf.

DA  : G f  G f DA   g   f O teorema fundamental do cálculo de Newton-Leibniz-Barrow só está definido pela esquerda ou pela direita, pois a derivada automórfica e sua dual nem sempre comuta: Teorema fundamental do Cálculo Automórfico DA DA   I

DA  DA  I

Corolário: A derivada automórfica e a sua dual não comutam. D. Relações entre a Derivada Homeomórfica e Automórfica Cota da Derivada Automórfica– Se a condição de existência de uma derivada automórfica for um intervalo aberto I = ]a, b[. Então se existir uma derivada arbitrária de índice c maior ou igual a b ou menor ou igual a, será uma derivada homoeomórfica. Lema das Classes Laterais de Derivadas– Seja D uma derivada arbitrária. Suponha que D ao atuar sobre f esteja fora da cota, portanto D deverá ser uma derivada homoemórfica. Seja uma derivada automórfica D que atua sobre uma função f proporcionando uma nova cota, que satisfaça a condição de automorfismo de D . Nessas condições diremos que D é uma

P á g i n a | 5-1883

derivada automórfica a esquerda. Observe para que as derivadas D e D comutem, a derivada automórfica D deve ser uma derivada homeomórfica a esquerda.

DA DA f  DH DH f Reciprocamente dizemos que D é uma derivada automórfica a direita e D uma derivada homeomórfica a esquerda. A lateralidade das derivadas define as classes laterais da derivada. Teorema do Índice de Lagrange: Seja uma classe lateral de derivadas automórficas ou de derivadas homeomórficas. Para estas derivadas verifica-se o teorema de Lagrange: DA DA f  DA  f

Lema das Classes Laterias

DH DH f  DH  f

DA  f  DH   f

Observe que embora a soma de dois números reais comute, convém manter a ordem para que possamos aplicar o teorema da decomposição e recordarmos que o produto das derivadas automórficas, em geral, não comutam. Teorema da Decomposição: Se a soma dos índices do produto das derivadas D D sobre f pertencer a cota de automorfismo, então DA é uma derivada automórfica a direita e DA uma derivada automórfica a esquerda. Prova: Se  pertence a cota, por definição, DH   f é automórfica, então essa derivada satisfaz o lema das classes DH   f  DA  f , portanto esse produto pode ser decomposto em função de suas derivadas automórficas laterais: DA  f  DA DA f .

P á g i n a | 5-1884

E. Derivada Fracionária das Funções de Poincaré A primeira fórmula de Liouville do Cálculo Fracionário nos permite calcular a derivada arbitrária de uma exponencial.

d  e R  R e R  d d  e  R     R  e  R  d Expandindo essas funções em termos da função de Poincaré:

d d  d d 

 PR    RPR     R  PR    RPR     PR    RPR       R   PR    RPR    

Realizando as distributividades: d  PR   d  PR   R  R PR    R 1PR     d d  R  R d P   d P     1 R    R  PR      R  PR     d d

Somando as duas expressões, obtemos:

2

d  PR     1  R PR    R 1PR      R  PR      R  PR    d Que pode ser escrito da seguinte forma:

P á g i n a | 5-1885

d  PR    d  d  PR    d 

R 2 R 2

 1

1   1  PR    R 1   1 1  PR      2 

1   1  P 

R 

   R 1   1





 PR   

Se subtrairmos a equação expandida, obtemos a derivada ímpar de Poincaré.

d  PR     1 2R  R PR    R 1PR      R  PR      R  PR    d Que pode ser escrito da seguinte forma: d  PR    d  d  PR    d 

R 1  R    R  1   1 P    1   1  PR       2 2 R 1    1   1  PR    R 1   1  PR       2





Tomemos um número  que por hipótese é não-negativo, portanto – será um número negativo. Vamos estudar determinar a derivada negativa: Função de Poincaré Par d   PR   R    2 d    R d P   1   2R d

1   1 1   1

  



 PR    R 1   1   PR     



 PR    R 1   1   PR   

P á g i n a | 5-1886

Função de Poincaré Impar d   PR   R   1  2 d    R d P   1   2 R  1 d

1   1 1   1

  



 PR    R 1   1   PR     



 PR    R 1   1   PR   

Para estudar essas derivadas devemos assumir que as funções de Poincaré estão definidas sobre um espaço vetorial híbrido de 4 dimensões definidos pelo quartenion híbrido de Ségre (real, imaginária, perplexa e dual). A álgebra desse quartenion é definida pela tábua de Ségre:

Observe que a derivada positiva está definida para enésima ordem para qualquer R. Portanto, não existe limite lateral superior para as derivadas arbitrárias de Poincaré. Em outras palavras, todas as derivadas positivas de Poincaré são automórficas. Por outro lado, as derivadas negativas automórficas dependem da condição nilpotente de R. Se R for nilpotente de ordem dois, existe a derivada negativa automórfica de primeira ordem da função par de Poincaré, mas não existe da função ímpar. Porém, todas as derivadas negativas não inteiras são automórficas para as funções de Poincaré. Se R não for nilpotente, todas as derivadas negativas são automórficas.

P á g i n a | 5-1887

Agora deixe-me ilustrar como as derivada fracionárias podem ser a chave para curvas fechadas no tempo. Vamos tomar apenas a derivada da função par, já que a derivada da função impar tem uma estrutura quase idêntica. Tomemos  como um número racional da forma n/2 onde n é um inteiro positivo:

d n /2 Pp   p n /2 1   1n /2  Pp    p 1   1n /2  Pp    n /2    2  d





O teorema das raízes de Moivré permite que qualquer número perplexo seja escrito da seguinte forma:

p n /2  c1  pc2 Onde c1 e c2 são constantes que dependem do ângulo hiperbólico no plano perplexo e da norma de p. Substituindo na equação e definindo a metade c1 c2 como novas constantes k1 e k2, obtemos:

d n /2 Pp     k1  k2 p  1  i n  Pp    p 1  i n  Pp   d n /2 d n /2 Pp     k1  k2 p  1  i n  Pp     k1  k2 p  p 1  i n  Pp   n /2 d







d P   n/2

d

p

n/2

d P   n/2

d

p

n/2





n



n



  k1  k 2 p  k1i  k 2 pi  P    k1 p  k 2 p n

p

2

 1  i

n

 Pp  



  k1  k 2 p  k1i  k 2 pi  P     k1 p  k 2  k1 pi  k 2 i  P   n

p

n

n

p

observe que pi não comutam, portanto não podemos alterar a ordem do produto.

P á g i n a | 5-1888

Para n par, as derivadas são inteiras e portanto, triviais. Como i é cíclico, precisamos apenas estudar dois casos quando n = 1 e n = 3 e para valores maiores, aplicar a fórmula de recorrência. Para n = 1:

d n /2 Pp     k1  k2 p  k1i  k2 pi  Pp     k1 p  k2  k1 pi  k2i  Pp   n /2 d Usando a tábua de Ségre para calcular o produto de pi: d P   n/2

d

p

n/2

d P   n/2

d



 k  k p  k i  k   i  P    k p  k



 k  k p   k  k  i  k   P    k p  k

p

n/2

p

1

2

1



2

1

p

1

2

1

2



2



 k1    i   k 2i  P   p

2

1



  k1   k1  k 2  i  P   p

2

Para n = 3:

d n /2 Pp     k1  k2 p  k1i  k2 pi  Pp     k1 p  k2  k1 pi  k2i  Pp   d n /2 Usando a tábua de Ségre para calcular o produto de pi: d P   n/2

d

p

n/2

d P   n/2

d



 k  k p  k i  k   i  P     k p  k



 k  k p   k  k  i  k   P     k p  k

p

n/2

p

1

2

1



2

1

p

1

2

1

2

2



1



 k1    i   k 2i  P   p

2



  k1   k1  k 2  i  P   p

2

Veja que esta derivada da função de Poincaré Perplexa a leva para um espaço híbrido. Por isso, suponha que tenhamos uma transformação do tempo dada por: t   tPp   . Tomemos agora a

P á g i n a | 5-1889

derivada fracionária de ordem n/2 para t sendo o tempo próprio da partícula e, portanto, constante:

d n /2 Pp   d n /2t  t  d n /2 d n /2 d n /2t   t  k1  k2 p   k1  k2  i  k2  Pp   n /2 d t  k1 p  k2   k1   k1  k2  i  Pp   A derivada fracionária do tempo impróprio é uma variedade de 4 dimensões temporais, incluindo uma dimensão fechada. O que dificulta nosso trabalho é dar um significado para o tempo dual. Se tomarmos k2 igual a zero (para algum n) e o ângulo tendendo a zero, nossa equação se torna: d n /2t   k1t 1  i  d n /2 Teremos um tempo real e um tempo imaginário, este último, como sabemos, seria fechado. Como podemos interpretar essa equação? Devemos tomar o princípio da relatividade como nosso guia. Imagine que um observador de 35 anos, munido de um relógio esteja sobre o efeito dessa equação. Suponha que o tamanho do loop seja de 35 anos. Decorrido os 35 anos, o observador voltará no tempo de partida (devido a componente imaginária), porém ele não terá mais 35 anos, mas sim 70 anos, pois segundo o seu relógio (tempo real) passaram-se 35 anos. Em outras palavras, nosso observador pode voltar no tempo, mas seu tempo biológico continua a apontar para o “futuro”. É claro que essa interpretação é puramente conjectural, embora consistente. Somente o desenvolvimento da análise das derivadas arbitrária sobre variedades do tipo espaçotempo poderá nos fornecer respostas.

P á g i n a | 5-1890

5.

Programa de Erlangen para o Espaço-Tempo

No quarto capítulo, analisamos que cada espaço-tempo pode ser associado a um conjunto numérico: Galileu  Dual; Euclides  Complexo; Lorentz  Perplexo. Cada um destes conjuntos apresenta a estrutura de um anel em relação a operação soma e a operação produto, portanto podemos definir uma característica R para cada um destes anéis:   dual; i  complexo; p  perplexo. O tempo se comporta como um eixo associado a característica de cada anel e sua dimensão é igual a característica R ao quadrado. Desta forma o tempo galileano tem dimensão zero e o tempo lorentziano tem dimensão 1, mas o tempo euclidiano, em nosso modelo tem dimensão negativa: -1. Um estudo topológico da variedade euclidiana revela que o tempo deve se ruma curva suave fechada. Ocorre que na teoria das dimensões inteiras, as dimensões negativas correspondem a família de eixos que se entortam em curvas fechada. Todos estes resultados por si só são interessantes e merecem a nossa atenção, pois trazem uma nova forma de ler problemas de dimensionalidade e simetria na física, porém, não satisfeitos em revelar esse aspecto distinto do espaço-tempo, empreendemos uma tarefa ainda mais importante: a construção das funções de Poincaré. Na matemática, um dos mais importantes conceitos é o de estrutura. Ao invés de estudar cada conjunto separado e seus elementos, construímos uma estrutura com certo grau de generalidade, impomos as suas condições e qualquer coleção de objetos matemáticos que satisfaça os requisitos pertencem a estrutura e todos os teoremas e proposições da estrutura se aplicam a cada integrante. As funções de Poincaré desempenham essa função. A partir dela, nós vamos criar uma única estrutura: espaço-tempo plano cuja a regra essencial é o postulado do princípio da relatividade de Poincaré. De agora, em diante, todas as deduções serão feitas para a estrutura e se aplicam a

P á g i n a | 5-1891

todos os três espaços-tempos. A característica do anel será vital, pois as peculiaridades de cada variedade serão dadas pela escolha de R. Iniciaremos a nossa discussão com assunto mais elementar e importante em um trabalho de topologia: o estudo dos grupos. Como sabemos, o grupo de Galileu é SO(3), o grupo de Lorentz SO(1,3) e o grupo de Euclides SO(4), nosso primeiro desavio será desenvolver uma estrutura SO que embarque nessa mesma regra os três grupos.



5.1. S-Grupo de Lorentz SO p,R ,3 + i,R



Definimos a matriz s-transformação de Lorentz pela aplicação:

 PR  a   PR  a     a    2 R  R   R P  a  P  a   R

Vamos agora provar que as s-transformadas de Lorentz formam um grupo abeliano. Matematicamente, dizemos que um conjunto GGL munido de uma operação interna que chamaremos por produto, GGL   R  ai  ,  , é um grupo se para todo elemento do conjunto verificam-se as quatro primeiras propriedades abaixo: 1.  R  a3    R  a1   R  a2  |  R  a3   GGL   R  ai  ,  2.  R  a1    R  a2   R  a3      R  a1   R  a2    R  a3  3.  R  I  |  R  I   R  ai    R  ai   R  I    R  ai  4.  R  a j     R 

1

 ai  |  R  a j   R  ai    R  ai   R  a j    R  I 

5.  R  a1   R  a2    R  a2   R  a1  |  R  a1   R  a2   GGL   R  ai  ,  

P á g i n a | 5-1892

Se grupo satisfaz a quinta propriedade é chamado de comutativo ou abeliano. Vamos primeiro verificar a primeira propriedade (fechamento):  R  a3    R  a1   R  a2  |  R  a3   GGL   R  ai  , 

 PR  a   PR  a1    PR  a2   PR  a2    R  a3    2 R 1    2 R  R R   R P  a1  P  a1     R P  a2  P  a2   R R R R  P  a1  P  a2   P  a1  P  a2    PR  a1  PR  a2   R 2 PR  a1  PR  a2    a3    2 R  2 R 2 R R R R R R   R P  a1  P  a2   R P  a1  P  a2  R P  a1  P  a2   P  a1  P  a2   R

 P a  P a   R P a  P a  a      R  P  a  P  a   P  a  P  a  R



R

3

2

R



1

2

R





R





1

R

1

R



2

2

R

2



R

1



2



 a  P  a   P  a  P  a    a  P  a   R P  a  P  a  

 P P

R

R

R

R



1

2

R

1





2

2

R

1



R



2

R

1



2

Usando as regras de soma de arcos, obtemos:

 PR a  a   PR  a1  a2    R  a3    2 R 1 2  R   R P  a1  a2  P  a1  a2    PR  a3   PR  a3   R   a3    2 R  R   R P  a3  P  a3   Observe que o lado direito é a definição da transformação de Lorentz para um ângulo a3, portanto  R  a3   GGL   R  ai  ,  . Por esta fórmula podemos concluir que:  R  a3    R  a1   R  a2    R  a1  a2 

Vamos usa-la para demonstrar a associatividade:

P á g i n a | 5-1893

 R  a1    R  a2   R  a3      R  a1   R  a2    R  a3   R  a1    R  a2  a3      R  a1  a2    R  a3   R  a1   a2  a3    R  a1  a2   a3 

como a soma dos ângulos é associativa, então a igualdade é verdadeira. Agora, vamos provar a comutatividade, pois assim não precisaremos provar que o elemento neutro e o elemento inverso comutam, já que a comutatividade é assegurada para todos os ângulos.

 R  a1   R  a2    R  a1  a2   R  a1  a2    R  a2  a1   R  a1   R  a2    R  a2   R  a1  como a soma de ângulos comuta, então a igualdade está garantida. Agora vamos determinar quem é o elemento identidade das stransformações de Lorentz.  R  I   R  ai    R  ai   R  I  ai    R  ai  I  ai  ai  I  0

como o ângulo zero pertence ao conjunto dos ângulos e é único, portanto existe um único elemento neutro ou identidade, que é expresso pela seguinte matriz:

 PR  0   PR  0   1 0 R   0    2 R     0     R 0 1   R P  0  P  0   R

P á g i n a | 5-1894

Por fim, iremos calcular o elemento inverso:  R  a j     R  ai   |  R  a j   R  ai    R  ai   R  a j    R  I  1

 R  a j   R  ai    R  0   R  a j  ai    R  0  a j  ai  0

a j   ai Como o domínio dos ângulos são os números reais, então -ai é um elemento do conjunto e é único, portanto existe um único elemento inverso. A matriz inversa será dada por:

 P R  a   PR  ai     ai    2 R i  R   R P  ai  P  ai       PR  ai    PR  ai     ai    R   R 2   PR  ai    P a   i       P R  a  PR  ai    1  ai     ai    2 R i  R  R P  ai  P  ai   Portanto, provamos que as transformadas de Lorentz formam um grupo abeliano. O uso de funções de Poincaré torna a demonstração extremamente simples e elegante. Agora convém mostrar porque chamamos esse grupo de SO  p, R , 3 - i, R  . Da teoria dos quartenions, estabelecemos as seguintes relações de ortogonalidade:

P á g i n a | 5-1895

i , i  1

 ,  0

p, p  1

i,   0

i,   0

p, i  0

i, p  0

p,   0

p,   0

Observe que se tomarmos R como a unidade imaginária, teremos o grupo de rotações no espaço-tempo euclidiano SO(4): SO  p, i , 3 - i, i



 Pi  a   Pi  a    i  a    2 i  i  i P  a  P  a  

Substituindo os valores obtemos: SO  0, 4   SO  4   cos  a   sin  a   i  a      sin  a  cos  a  

Agora, tomando R como a unidade dual, teremos o grupo de rotações no espaço de Galileu, SO(3): SO  p,  , 3 - i, 



 P  a   P  a     a    2 i     P  a  P  a   

Substituindo os valores obtemos:

SO  0, 3   SO  3   1 a    a     0 1 

P á g i n a | 5-1896

Por fim, para obter o grupo de Lorentz SO(1,3), tome R = p. SO  p,p , 3 - i,p



 Pp  a   Pp  a     a    2 p  p   p P  a  P  a   p

Substituindo os valores obtemos: SO 1, 3   cosh  a   sinh  a    p a     sinh  a  cosh  a  

Portanto, o grupo generalizado de Lorentz SO  p, R , 3 - i, R



permite gerar, por meio da variação do parâmetro R, as três principais grupo de rotações que geram as variedades de Galileu, Lorentz e Euclides. Observe que se admitimos a existência de dimensões negativas, podemos admitir a existência de um grupo com parâmetro negativo. O estudo desse grupo se mostrará bastante simples, graças ao seguinte teorema: Teorema: “O grupo SO(-1, n-1) é isomórfico à SO(n)” Prova: Tomemos o número hipercomplexo q definido por: n 1

q   xi  it i 1

De acordo com nosso modelo t corresponde a uma dimensão negativa devido à presença do número imaginário, portanto o grupo

P á g i n a | 5-1897

dos elementos q é composto de n-1 elementos espaciais positivos e um temporal negativo, SO(-1,n-1). Se tomarmos a norma ao quadrado de q obteremos: q, q  x12  x22  x32 

 xn21  t 2

Que é a forma quadrática fundamental de uma hiperesfera de n dimensões que é gerada pelo grupo das rotações em n-dimensões SO(n). Portanto tanto SO(-1, n-1) quanto SO(n) são geradores das rotações euclidianas, portanto os dois grupos são isomórficos.

5.2. Geradores Infinitesimais do Espaço-Tempo Vamos agora calcular os geradores do espaço-tempo. Usando a equação de Poincaré para calcular os geradores necessários:

n2  n 2 n  4  var j  6 var j 

Portanto precisamos de seis parâmetros livres para calcular os geradores do espaço-tempo. Essa é a razão da álgebra de Lie não abeliana do espaço-tempo, que corresponde as linhas de universo serem descritas por 6-vetores. Quem são os nossos seis parâmetros? São as rotações espaciais (rot) (três parâmetros) e os boosts de Lorentz (três parâmetros). Portanto as equações com seus parâmetros são (POINCARÉ, 1906):

 f1  x  y z  z y  Rot  f 2  y  x z  z x  f  z  x y  y x  3

 f 4  R 2  x  kt y  y kt   Boosts  f 5  R 2  y  kt z  z kt   2  f 0  R  z  kt x  x kt 

P á g i n a | 5-1898

Vamos determinar os geradores infinitesimais: X 0  M 00 0  M 101  M 20 2  M 30 3 X 1  M 01 0  M 111  M 21 2  M 31 3 X 2  M 02 0  M 121  M 22 2  M 32 3 X 3  M 03 0  M 131  M 23 2  M 33 3 X 4  M 04 0  M 141  M 24 2  M 34 3 X 5  M 05 0  M 151  M 25 2  M 35 3

Substituindo os índices das derivadas:

X 0  M 00 t  M 10 x  M 20 y  M 30 z X 1  M 01 t  M 11 x  M 21 y  M 31 z X 2  M 02 t  M 12 x  M 22 y  M 32 z X 3  M 03 t  M 13 x  M 23 y  M 33 z X 4  M 04 t  M 14 x  M 24 y  M 34 z X 5  M 05 t  M 15 x  M 25 y  M 35 z Agora vamos calcular os valores dos coeficientes Mij: M i1  ct , x, y, z  

M 01 

  x  y z  z y    kt 

M 01  0

fi  ct , x, y, z ,  ct ,  x,  y,  z    al 

M 02 

  y  x z  z x    kt 

M 02  0

P á g i n a | 5-1899

M 03 

  z  x y  y x    kt 

M 03  0 M 05  R 2

  y  ct z  z kt    kt 

  x  y z  z y    x 

  x 

  y  kt z  z kt    x 

M 15  0   x  y z  z y    y 

  x 

M14  R 2

  x  kt y  y kt    x 

M 10  R 2

  z  kt x  x kt    x 

M 22 

  y  x z  z x    y 

M 22  0

  z  x y  y x 

M 23  x

  y  x z  z x 

M 10  R 2 kt

M 21   z M 23 

M12 

M14  0

M13   y

M 21 

  z  kt x  x kt    kt 

M12  z

  z  x y  y x 

M 15  R 2

M 00  R 2

M 00  R 2 x

M11  0 M13 

  x  kt y  y kt    kt 

M 04  R 2 y

M 05  R 2 z M11 

M 04  R 2

  y 

M 24  R 2

  x  kt y  y kt    y 

M 24  R 2 kt

P á g i n a | 5-1900

M 25  R 2

  y  kt z  z kt    y 

  x  y z  z y    z 

M 31  y M 33 

M 32 

  y  x z  z x    z 

M 32   x

  z  x y  y x    z 

M 33  0

M 25  R 2

  z  kt x  x kt    y 

M 20  0

M 25  0 M 31 

M 20  R 2

M 34  R 2

  x  kt y  y kt    z 

M 34  0   y  kt z  z kt    z 

M 35  R 2 kt

M 30  R 2

  z  kt x  x kt    z 

M 30  0

Substituindo os valores dos coeficientes M nas equações dos geradores infinitesimais:

X 0  R 2 x t  R 2 kt  x  0 y  0 z

X 0  R 2  x t  kt  x 

X 1  0 t  0 x  z y  y z

X 1  y z  z  y

X 2  0 t  z x  0 y  x z

X 2  z x  x z

X 3  0 t  y x  x y  0 z

X 3  x y  y x

X 4  R 2 y t  0 x  R 2 kt y  0 z

X 4  R 2  y t  kt  y 

X 5  R 2 z t  0 x  0 y  R 2 kt z

X 5  R 2  z t  kt  z 

Os geradores infinitesimais do espaço-tempo são os vetores de Killing do grupo de Lorentz SO  p, R , 3 - i, R  .

P á g i n a | 5-1901

5.3.

Constantes da Estrutura do Espaço-Tempo

Vamos agora calcular os tensores da estrutura espaço-tempo por meio dos seus geradores infinitesimais. Deveremos expandir 15 colchetes de Lie, porém como os geradores são funções lineares, os cálculos são simples. Fixando o gerador X0, teremos:

 X 0 , X 1   C010 et  C011 ex  C012 ey  C013 ez  X 0 , X 1   R 2  x t  kt x   y z  z y   R 2  y z  z y   x t  kt x   X 0 , X 1   C010  C011  C012  C013  0  X 0 , X 2   C020 et  C021 ex  C022 ey  C023 ez  X 0 , X 2   R 2  x t  kt x  z x  x z   R 2  z x  x z  x t  kt x   X 0 , X 2    R 2 kt x  x z   R 2 z x  x t   X 0 , X 2    R 2  z t  kt z    X 5 1 3 C020   R 2 z , C02  C022  0   R 2 kt , C02

 X 0 , X 3   C030 et  C031 ex  C032 ey  C033 ez  X 0 , X 3   R 2  x t  kt x   x y  y x   R 2  x y  y x   x t  kt x   X 0 , X 3   R 2 kt x  x y   y x  x t   X 0 , X 3   R 2  kt y  y t   X 4 1 3 ex  C032  0 C030   R 2 z , C03   R 2 kt , C03

P á g i n a | 5-1902

 X 0 , X 4   C040 et  C041 ex  C042 ey  C043 ez  X 0 , X 4   R 4  x t  kt x   y t  kt y   R 4  y t  kt y   x t  kt x   X 0 , X 4   R 4 x t  kt y   R 4 y t  kt x   X 0 , X 4   R 4  x y  y x   R 4 X 3 C040  C043  0,

1 C04   R 4 y, C042  R 4 x

 X 0 , X 5   C050 et  C051 ex  C052 ey  C053 ez  X 0 , X 5   R 4  x t  kt x  z t  kt z   R 4  z t  kt z  x t  kt x   X 0 , X 5   R 4 x t  kt z   R 4 z t  kt x   X 0 , X 5   R 4  x z  z x   R 4 X 2 C050  C052  0,

1 C05   R 4 z , C053  R 4 x

Veja que a álgebra de Lie desse espaço, corresponde a rotações no espaço-tempo que preservam a forma quadrática. A partir de X0 já geramos X2, X3, X4 e X5. Vamos calcular, os comutadores fixando X1, X2, ..., X4.

 X 1 , X 2   C120 et  C121 ex  C122 ey  C123 ez  X 1 , X 2    y z  z y   z x  x z    z x  x z   y z  z y   X 1 , X 2   y z  z x   x z  z y   X 1 , X 2   y x  x y   X 3  X 1 , X 2   C120  C123 ex  0, C121  y, C122   x

P á g i n a | 5-1903

 X 1 , X 3   C130 et  C131 ex  C132 ey  C133 ez  X 1 , X 3    y z  z y  x y  y x    x y  y x  y z  z y   X 1 , X 3   z y  y x   x y  y z   X 1 , X 3   z x  x z  X 2 C131  z , C133   x, C130  C132  0

 X 1 , X 4   C140 et  C141 ex  C142 ey  C143 ez  X 1 , X 4   R 2  y z  z y  y t  kt y   R 2  y t  kt y  y z  z y   X 1 , X 4    R 2 z y  y t   kt y  y z   X 1 , X 4    R 2  z t  ct z    X 5 C141  C142  0,

3   R 2 kt C040   R 2 z , C04

 X 1 , X 5   C150 et  C151 ex  C152 ey  C153 ez  X 1 , X 5   R 2  y z  z y   z t  kt z   R 2  z t  kt z   y z  z y   X 1 , X 5   R 2 y z  z t   R 2 kt z  z x   X 1 , X 5   R 2  y t  kt x   X 4 C152  C153  0,

C150  R 2 y, C153  R 2 kt

 X 2 , X 3   C230 et  C231 ex  C232 ey  C233 ez  X 2 , X 3    z x  x z   x y  y x    x y  y x   z x  x z   X 2 , X 3   z x  x y   y x  x z   X 2 , X 3   z  x  y z   X 1 1 3 0 C23  z , C23  y, C23  C232  0

P á g i n a | 5-1904

 X 2 , X 4   C240 et  C241 ex  C242 ey  C243 ez  X 2 , X 4   R 2  z x  x z   y t  kt y   R 2  y t  kt y   z x  x z  1 C240  C24  C242  C243  0

 X 2 , X 5   C250 et  C251 ex  C252 ey  C253 ez  X 2 , X 5   R 2  z x  x z  z t  kt z   R 2  z t  kt z  z x  x z   X 2 , X 5    R 2 x z  z t   R 2 kt z  z x   X 2 , X 5    R 2  x t  kt x    X 0 C252  C253  0,

1 C250   R 2 x, C25   R 2 kt

 X 3 , X 4   C340 et  C341 ex  C342 ey  C343 ez  X 3 , X 4   R 2  x y  y x  y t  kt y   R 2  y t  kt y  x y  y x   X 3 , X 4   R 2 x y  y t   R 2kt y  y x   X 3 , X 4   R 2  xt  kt x   X 0 C342  C343  0,

1 C340  R 2 x, C34  R 2 kt

 X 3 , X 5   C350 et  C351 ex  C352 ey  C353 ez  X 3 , X 5   R 2  x y  y x   z t  kt z   R 2  z t  kt z   x y  y x  1 C350  C35  C352  C353  0

 X 4 , X 5   C450 et  C451 ex  C452 ey  C453 ez  X 4 , X 5   R 2  yt  kt y   z t  kt z   R 2  z t  kt z   y t  kt y   X 4 , X 5   R 2 y t  kt z   R 2 z t  ct y   X 4 , X 5   R 2  y z  z  x   R 2 X 1 C450  C452  0,

1 C45   R 2 z , C453  R 2 y

P á g i n a | 5-1905

Portanto, no espaço-tempo de Poincaré-Minkowski há dois tipos de rotação (espaciais e boosts), enquanto no espaço euclidiano só existe uma forma de rotação. Além disso, no espaço-tempo existem três rotações que geram valores nulos.

 X 2 , X1   X 3  X 0 , X 4   R4 X 3  X1, X 5    X 0 , X 3   X 4  X 2 , X 0    X 4 , X1   X 5  X 0 , X1    X 2 , X 4    X 3 , X 5   0

 X3, X 4    X5, X 2   X 0  X 3 , X 2   X1  X 4 , X 5   R2 X1  X1, X 3   X 2  X 0 , X 5   R4 X 2

Esses permutadores compõe um tensor antissimétrico com 36 componentes, sendo que apenas 12 destas componentes não são nulas, sendo que apenas seis são independentes, que correspondem aos seis geradores do grupo de Lorentz.

5.4. Isomorfismo com o Grupo das Projeções Lineares Existe uma transformação especial, compatível com o Princípio da Relatividade, definida no corpo dos números complexos, denominada de Transformação de Möbius. Obtemos essa transformação por meio de isomorfismo de grupos de Lie. Observe que o grupo de Poincaré é um grupo do tipo SO e, como o grupo 4 SL( 2R ,R) define um mapa de spinores sobre SO então o grupo de 4 Lorentz é isomórfico ao grupo de Möbius PSL( 2R ,R). Vamos definir a ação do mapa sobre o espaço-tempo por meio da aplicação:

X

QXQ

onde X é uma matriz hemertiana e Q uma matriz de determinante unitário, definidas por:

P á g i n a | 5-1906

 Rkt  z X   x y  Q 

x y   Rkt  z 

X†  XT  X

  

    1

As condições impostas sobre X e Q fazem com que o mapa preserve o determinante: det X

det  QXQ 

det X

 det Q  det X   det Q 

det X

det X

Essa transformação tem a mesma estrutura da transformação conforme de Möbius de uma superfície de Riemann R² e o plano hipercomplexo estendido:

w

w  w 

    1

O determinante da matriz X deve ser preservado, pois ele define o invariante da forma quadrática fundamental do espaço-tempo: det X   Rkt  z  Rkt  z    x  y  x  y  det X  R 2 k 2t 2  x 2  y 2  z 2

O que prova que a aplicação é um mapa entre as transformações de Poincaré e as transformações de Möbius. Painléve (1922) mostrou que esse isomorfismo permite violar a lei da inércia e o princípio da propagação retilínea da luz. Tomando estes fatos como verdades empíricas, devemos enunciar um terceiro postulado, impondo que o grupo de Poincaré seja isomórfico apenas a transformação identidade de Möbius.

P á g i n a | 5-1907

5.5.

4-Vetores na Variedade Espaço-Tempo

Como mostramos o espaço-tempo plano é definido pela sua característica anelar R². Em particular, nossas definições se tornam singulares se R² for um número nilpotente de segunda ordem. Para tornarmos as nossas definições o mais geral possível e evitar as singularidades, adotaremos a convenção onde a componente temporal assume o papel de quarta coordenada10 e vamos definir a métrica do espaço-tempo pela seguinte regra:

 : 3 R 3 R , ij   ji |      ,  4 j   R 2 4 j  4

4

Portanto, se R for um número nilpotente de ordem 2, a matriz associada a métrica se torna uma matriz 3x3 que coincide com delta de Kroenecker e a Identidade. Agora podemos estudar a estrutura geral para a construção de 4-vetores de grandezas físicas para podermos estudar como se transformam algumas grandezas mecânicas, eletromagnéticas e ópticas, em variedades do espaçotempo. Nossos 4-vetores são estruturas algébricas que apresentam quatro componentes: J i   J1 , J 2 , J 3 , J 4 

Todas as componentes devem ter a mesma dimensão. A componente zero, também chamada de componente temporal, é sempre um escalar e, em geral, vem associada com a velocidade da luz no vácuo, pois o eixo x0 é o eixo espacial kt. As demais componentes, conhecidas como espaciais, são as componentes de um vetor no espaço. Nestas condições, podemos escrever:



Ji  J , J 4



Assumiremos o tempo como a quarta coordenada por uma finalidade puramente didática, visto que a convenção não altera os resultados.

10

P á g i n a | 5-1908

Existe uma importante relação entre os vetores covariantes e contravariantes envolvendo o tensor métrico do espaço: J i  ij J j

Sendo a métrica orientada como (-R²,1,1,1), então as componentes do 4-vetor covariante se relacionam com as contravariantes por meio da lei:

J1  11 J 1

J1  J 1

J 2  22 J 2 J 3  33 J 3 J 4  44 J 4



J 1  J1

J2  J 2

ou

J3  J 3 J 4  R2 J 4

J 2  J2 J 3  J3 J 4  R2 J 4

Por meio dos 4vetores podemos construir invariantes relativísticos, forma quadráticas, que relacionam as componentes vetoriais e escalares: J i J i  J1 J 1  J 2 J 2  J 3 J 3  J 4 J 4

Substituindo os valores do 4vetor contravariante, obtemos: J i J i  J1 J1  J 2 J 2  J 3 J 3  R 2 J 4 J 4 J 2  J12  J 22  J 32  R 2 J 42

As os termos em parêntesis é a definição do quadrado da norma de um vetor:

J2  J

2

 R 2 J 42

J 2  J  J  R 2 J 42

P á g i n a | 5-1909

O escalar J é um invariante, isto é, não depende da escolha do referencial. Escolheremos J como sendo a medida efetuada no referencial próprio, quando o ângulo de rotação é zero.

J i   J1 PR  0   J 4 PR  0  , J 2 , J 3 , J 4 PR  0   R 2 J1PR  0   J io   J1o , J 2o , J 3o , J 4o  (referencial próprio do corpo) Portanto nosso invariante pode ser expresso pelas relações:

Jo

2

 J

2

 R 2 J 42

J o  J o  R 2 J 4o 2  J

2

 R 2 J 42

Para 4-vetores não-nilpotentes, existe sempre um referencial onde as componentes espaciais são todas nulas. Nessas condições, podemos escrever a relação:

R 2 J 4o 2  J

2

 R 2 J 42

Uma consequência da covariância é que o módulo de um tensor não depende da escolha dos referenciais. Assim, podemos definir a norma de um vetor a partir da característica anelar:

J J

2

 R 2 J 4o 2  R 2 J 42

2

 R 2  J 4o 2  J 42 

J  R  J 4o 2  J 42 

1/2

Essa relação permite estabelecer um isomorfismo entre o espaço da norma dos 4-vetores e o espaço das características anelares.

P á g i n a | 5-1910

Assim, a covariância de Lorentz para os 4-vetores será: COVARIANTE

J i   J P

J i   J1 , J 2 , J 3 , J 4 

 a   J 4 PR  a  , J 2 , J 3 , J 0 PR  a   R 2 J1PR  a   J i     J1   J 4  , J 2 , J 3 ,   J 4  R 2  J1   R 1 

CONTRAVARIANTE

J i   J 1, J 2 , J 3 , J 4 

J i   J 1 PR  a   J 4 PR  a  , J 2 , J 3 , J 4 PR  a   R 2 J 1PR  a  



J i    J 1   J 4  , J 2 , J 3 ,   J 4  R 2  J 1 



Registre que os p-vetores covariantes são chamados de p-formas ou p-covetores, enquanto os q-vetores contravariantes são chamados de q-vetores.

5.6. Álgebra de Lie Não-Abeliana do Espaço-Tempo O fato das transformadas de Lorentz formarem um grupo significa que podemos construir uma álgebra de Lie com seus elementos. Sejam xi e yj coordenadas do grupo homogêneo de Lorentz definidas por:

 x0  xo PR  x1R 2 PR  R R  x1  x1P  x0 P

x2  x2 x3  x3

2 R R  y0  yo P  y1R P  R R  y1  y1P  y0 P

y2  y2 y3  y3

P á g i n a | 5-1911

Uma álgebra de Lorentz de Lie pode ser construída por meio pela aplicação do colchete de Lie entre os dois elementos do conjunto:

Lij   xi , y j   xi y j  x j yi O colchete de Lie é antissimétrico:

 xi , y j     y j , xi  Lij   L ji

A antissimetria dos colchetes de Lie implica que para um par de índices repetidos, o valor dos colchetes é zero. Portanto,

L00  L11  L22  L33  0 E as componentes independentes serão:

L01 , L02 , L03 , L32 , L13 , L21 Essas quantidades são as componentes de um 6-vetor proposto por Arnold Sommerfeld. Vamos ver essas coordenadas se transformam para um referencial K’. L01  x0 y1  x1 y0

L01   xo PR  x1R 2 PR  y1PR  y0 PR    x1PR  x0 PR  yo PR  y1R 2 PR 



2

2





2

L01  x0 y1  PR   R 2  PR   x1 y0  PR   R 2  PR 

2



Usando o teorema generalizado da trigonometria complexa: L01  x0 y1  x1 y0  L01  L01

Agora vamos obter a transformação para a componente L02;

P á g i n a | 5-1912

L02  x0 y2  x2 y0

L02   x P  x1R 2 PR  y2  x2  yo PR  y1R 2 PR  R o 

L02  x0 y2 PR  x1 y2 R 2 PR  x2 y0 PR  x2 y1R 2 PR L02   x0 y2  x2 y0  PR  R 2  x1 y2  x2 y1  PR  PR  R 2 L12 PR L02  L02  PR  R 2 L21  PR L02  L02

Por cálculos análogos, podemos obter as demais componentes. Portanto, para o grupo de Lorentz teremos as seguintes componentes:  L01  L01

 L01  L01

 PR  R 2 L21  PR L02  L02

  R 2  L21   L02    L02

 PR  R 2 L13 PR L03  L03  L32  L32

 L32  L32

  R 2  L13  L03    L03

 PR L13  L13 PR  R 2 L03

  L13    L13  R 2 L03

 PR  R 2 L02  PR L21  L21

  R 2 L02   L21    L21

Essas seis coordenadas apareceram pela primeira vez em trabalhos de J. Plücker (1868) e A. Cayley (1869) como as coordenadas que definem uma linha sobre uma variedade, por essa razão que as coordenadas Lij são chamadas de linhas coordenadas de L. Com estas componentes pode-se escrever o tensor covariante Lij e a sua transformação:

P á g i n a | 5-1913

 0  L Lij   01   L02    L03

L01 0 L21  L13

L02  L21 0 L32

L03   L13   L32   0 

2 2 0 L01   L02  R  L21    L03  R L13       L01   L21   L02    L13   L03   0 Lij      L02  R 2  L21    L21   L02    L32 0   2 L32 0    L03  R  L13    L13   L03  

As linhas coordenadas se transformam como as componentes do campo elétrico e do campo magnético. De fato, a covariância das equações de Maxwell impõe naturalmente que os vetores associados ao campo elétrico (E, D) e ao campo magnético (B, H) sejam linhas coordenadas do tensor eletromagnético Fij na variedade de Lorentz.

5.7.

S-Grupo de Poincaré

Antes de prosseguirmos em nosso estudo sobre Teoria da Relatividade Especial, vamos discutir a representação dos Super (S-) Grupos de Poincaré e Lorentz, isto é, as generalizações dos grupos realizadas por meio das funções de Poincaré. Esse capítulo tem como principal fonte o livro Matemática para Físicos com Aplicações (BARCELOS NETO, 2010, p. 157-168). Também iremos abordar o conceito de representação spinorial. Tomemos dois sistemas inerciais de referencial no espaço-tempo de Poincaré-Minkowski. Dado intervalo de universo ds², ds 2  ij dx i dx j

P á g i n a | 5-1914

A métrica do espaço-tempo de Poincaré-Minkowski se transforma como um tensor covariante de segunda ordem:

nm  ij

xi x j x m x n

Diferenciando a equação em relação a coordenada xp:

ij

 2 xi x j xi  2 x j  0  ij x p x m x n x m x p x n

O teorema de Schwarz permite permutar as derivadas, assim podemos trocar a ordem livremente, permutando no segundo termo a derivada em xm com xn e x’i e x’j,

ij

 2 xi x j  2 xi x j  0  ij x p x m x n x p x m x n  2 xi x j ij p m n  0 x x x

Tanto o tensor métrico quanto a matriz de transformação (jacobiano) possuem determinante não-singular, portanto, essa igualdade só é válida se:

 2 xi 0 x p x m Integrando a função em relação a xp e xm: xi   i  x p   R 

i p

Onde as matrizes são com coeficientes constantes. Qualquer transformação que satisfaça essa relação e forme um grupo é chamado de Grupo de Poincaré ou Grupo Não Homogêneo de Lorentz. Se o coeficiente i for nulo, temos o grupo homogêneo de

P á g i n a | 5-1915

Lorentz. Substituindo essa relação na transformação do tensor métrico:

nm

p j   x p R i x   R    ij  m    n p x p  x 

As derivadas se transformam como o tensor de Kroenecker:



i

j

nm  ij  mp   R  p  np   R  p



i

j

nm  ij   R  m   R  n





Em notação absoluta, essa é equação dos automorfismos internos:

  R   R  †

Tomando o determinante: † det   det   R     R     † det   det   R  det  det   R 

det   R    1   2

Assim teremos duas soluções possíveis:

det  

R

 1



det   R   1   R  det     1

Expandindo a transformação da métrica:



i

j

nm  ij   R  m   R  n



P á g i n a | 5-1916



0

0









nm  00   R  m   R  n      R  m   R  n



0

 

0





nm   R 2   R  m   R  n    R  m   R  n





Para a coordenada temporal, temos a seguinte transformação:



0

 

0





00   R 2   R  0   R  0    R  0   R  0

         R       R          0 2

 R 2   R 2   R  0 2

R

0 2

R

2

R

0







R 

0

0



R 

0

0







0 2     R 2    R   1    R    R  0 0 0   Aqui há uma relação que nos permite definir a característica anelar da variedade:

                 1   

R

R2

R 

0

R

0

0 2 0

Se R for um número nilpotente de ordem dois, resulta qye:

   

 0





    0  0

Para os demais números complexos, teremos:

        1      R R

0 2

0

R



R 

0

0

2

P á g i n a | 5-1917

Como o menor valor do produto das matrizes de Lorentz é zero, podemos majorar a expressão acima e concluir que:





0 2

  R  0

1

Portanto, a matriz temporal de Lorentz admite duas soluções: 0

R    0  1 

 R  0  1   0  0  R   1   0

Denotando por + e – os valores do determinante e por  e  os valores da matriz temporal de Lorentz, teremos quatro conjuntos possíveis:

P

R 

, PR , PR , PR 

Destes conjuntos, podemos formar quatro grupos: PRÓPRIO

ORTOCRONO PRÓPRIO PR

PR  PR  PR

ORTOCRONO

GRUPO ANTICRONO

PR  PR  PR

PR  PR  PR

GRUPO ORTOCRONO PRÓPRIO DE LORENTZ

SO  p, R ,3  i, R



 R R i R † R R  3 R 2  3 R 2 |    j  ,          , det     1,    

 

R 0 0

  1 

P á g i n a | 5-1918

5.8.

S-Transformações Ortocronas de Lorentz

Até o presente momento, trabalhamos apenas com as transformações de Lorentz considerando que o movimento entre os referenciais inerciais fossem longitudinais. Agora, devemos generalizar essas transformações para o movimento inercial arbitrário. Definimos o vetor posição no espaço-tempo de Galileu pela seguinte equação paramétrica:

ro  r  vt ro  r   vt Vamos decompor o vetor posição em função de suas componentes longitudinal e transversal a velocidade da partícula em dois referenciais inerciais:

v  r v v r   r   r v r r

como a componente longitudinal tem o mesmo sentido da velocidade, o versor da posição longitudinal pode ser definido em função da velocidade. Multiplicando a primeira equação por v: v v  v  r v v r  rv

v r  r

Isolando a componente longitudinal do vetor de posição, r 

v r v

Substituindo esse valor na primeira equação,

P á g i n a | 5-1919

r r

v  r  v

v  r v

v  r  v  r



v2

Isolando a componente transversal,

r  r 

v  r  v v2

Com base nas transformações de Lorentz, descobrimos que as componentes transversais se mantém invariantes (LOGUNOV, 2005). Isso permite que escrevamos as seguintes transformações:

r     r  vt  r  r v   t    t  R2 2 r  k   Substituindo os valores da componente longitudinal e transversal em suas respectivas transformações:

 v  ro      v  ro   vt   

v

r 

 

v

 v  ro  v  r   v  ro  v v2

v2

Para obtermos as transformações gerais, vamos operar a segunda equação:   v  ro   v  v  ro  v r    r v2  v v

P á g i n a | 5-1920

Substituindo a transformação longitudinal no termo em colchetes:

 v  r  v v  r  r     vt   r  2 v v  v v v  r  v  r  r    2 v  tv  r  2 v v v v  r  v  r  r   r   2 v  2 v  tv v v Evidenciando, obtemos a transformação geral de Lorentz da posição e, portanto, as transformações gerais de Lorentz para qualquer variedade espaço-temporal plana são:

r   r     1

 v  r  v  tv v2

 R2  t    t  2  v  r    k 

5.9. Matrizes Ortocronas do S-Grupo de Poincaré Por meio da Teoria de Grupos estabelecemos que o grupo de Poincaré é um grupo ortocrono próprio do tipo

  i SO  R 2 ,3   R    |   R   ,  4 4 j   3R  3R  

      , R †

R

det   R   1,

que satisfaz a seguinte equação afim: xi   i  x p   R 

i p

 

R 0 0



1

P á g i n a | 5-1921

Agora iremos estudar os subgrupos de Poincaré, as matrizes de transformação e boost. Detalhes sobre este capítulo pode ser visto em Barcelos Neto (2010, p. 161-168). Podemos representar a matriz de Lorentz da seguinte forma:

 

 PR   0

R i p

0  R 

Onde L é a matriz de rotações no espaço-tempo e R são as matrizes de rotação de SO(2).  PR P R   2 R  R P

 cos  R    sin 

 PR   PR 

 sin    cos  

Se o sistema não apresentar translações (que correspondem a rotações no espaço hipercomplexo), a matriz PR é a matriz identidade: 1 0 PR    0 1 Nesse caso, o grupo de Poincaré corresponde ao grupo estacionário de Galileo:

 

R i p

I  0

0   R 

Se o sistema não apresentar rotações, a matriz R é a matriz identidade: 1 0 R    0 1 E teremos a matriz especial de boosts de Lorentz:

P á g i n a | 5-1922

 

R i p

 PR   0

0  I

Podemos ainda obter uma matriz mais geral de boosts, que i chamaremos de matriz de Poincaré e denotaremos pela letra   R  . p

 

R i p

  00  1    02  0  3  0

10 11 12 13

30   13  32   33 

 02 12  22 32

A matriz de transformação de Poincaré deve obedecer a transformação do grupo: xi   i  x p   R 

 kt     0    00      1  x    1     0  y    2    02      3  z    3   0

10 11 12 13

i

 02 12  22 32

p

30   kt    13   x  32   y    33   z 

Efetuando o produto e a soma das matrizes,  kt     0  kt  00  x10  y  02  z 30     1 1 1 1   x    1  kt  0  x1  y  2  z 3   y    2  kt  02  x12  y  22  z 32      3 3 3 3   z     3  kt  0  x1  y  2  z 3 

Portanto, a determinação dos 16 coeficientes depende de quatro equações lineares e são obtidos por inspeção:

P á g i n a | 5-1923

kt    0  kt  00  x10  y  02  z 30 x  1  kt 10  x11  y 12  z 13 y   2  kt  02  x12  y  22  z 32 z    3  kt 30  x13  y 32  z 33 Tomemos as transformações de coordenadas do espaço-tempo:

  R2 kt    0    kt  v  r   k  

 v  r  v  tv

r     r     1

v2

Vamos expandir as transformações, começando pela temporal:

kt    0  kt  

R2 R2 R2 xvx   yv y   zvz k k k

Definindo a razão v/k como fator beta, nossa equação se torna: kt    0  kt  R 2 x x  R 2 y  y  R 2 z  z

Portanto os coeficientes da primeira linha devem ser:

 

R 0

 0   0 ,

0

 

,

R 0



 R 2  

Agora vamos abrir as equações espaciais:

r     r     1

x     x     1 x     x     1

vx v v

2

k 2 v x v 2 2

kv

 v  r  v  tv v2

x     1

x     1

v y v v

2

k 2 v y v 2 2

kv

y     1 y     1

Usando o fator beta de Lorentz, obtemos:

vz v v2

k 2 v z v 2 2

kv

z  tv z  kt

v k

P á g i n a | 5-1924

x         kt  x     1

x  

2

x     1

 y  

2

y     1

z  2

z

Portanto, as componentes espaciais são:

  2   x   x    x  kt  1     1 x2  x     1 y 2 x y     1 z 2 x z        2   y   y    y  kt     1 x 2 y x  1     1 y2  y     1 z 2 y z         2  z   z    z  kt     1 x 2 z x     1 y 2 z y  1     1 z2  z      Portanto as componentes da matriz são:

 0   0

   

 

 

R 0 0

R 



     R 0

R 



0

 R 2  



 2  1     1 2 

           1 R 

R 





   2

Essa matriz é consistente com a definição do grupo de Poincaré, pois ela deve ser, como esperado, hermitiana:

 

R i† j

  R    R  j

j

i

i

É fácil verificar que essa matriz é gerada pela seguinte regra:





R i j

   i  j  ij     1 2  

se i 

j  0

 se i ou j  0 

 0  

R2 2    1

P á g i n a | 5-1925

E a matriz de boosts de Poincaré será dada por:

 

R i j

  R 2  x  2  R 2  1    1  x   2 x     x y 2  R  y    1 2    xz 2  R  z    1 2  

R 2  y

   1

x y 2

 y2 1     1 2       1 y 2 z 

R 2  z

  xz     1 2     yz     1 2    2  1     1 z2   

Por fim, vamos provar que a matriz de Poincaré é ortogonal. Como a matriz de Poincaré é um automorfismo interno da variedade:

 

   R n  mn m ij

R i

j

Multiplicando pelo conjugado da métrica:

            R i

R

ij

m

j

nk

n

R

R

jk

mj

 mn nk

k m

Multiplicando a equação por   R   km mj 1

 km I   R   I   R mj

1

jk

  R

jm

  R 

1 mj

Como a matriz é hermitiana, então podemos escrever:

  R

jm †

  R 

que é a condição de ortogonalidade.

1 mj

P á g i n a | 5-1926

5.10. Representação do S-Grupo de Poincaré O s-grupo de Poincaré apresenta uma álgebra de Lie e sua matriz é dada por uma exponencial complexa: e

i   ij Lij 2

Onde  são estruturas antissimétricas que correspondem aos seis parâmetros do grupo e as matrizes Lij são os geradores do grupo. Expandindo o exponencial em série de Taylor: ij

i   1   ij Lij  O 2

Onde O corresponde aos termos de ordem maior ou igual à 2. Como estamos buscando os geradores infinitesimais o grupo, podemos descartar os termos O. i   1   ij Lij 2

As matrizes geradores desse grupo são dados por:

L  ij

m n

 i  im g jn   jm gin 

Inicialmente vamos introduzir as matrizes auxiliares:

1 0 A0   , 0 1  0 i  A3   , 0 0 

 0 i  A1   ,  i 0   0 i A4   ,  i 0 

 i 0  A2     0 i  0 0  A5     0 i 

Por estas matrizes podemos construir as matrizes de Pauling:

P á g i n a | 5-1927

0 1

 1   A12   , 1 0

 0 i  , 0

 2   A4   i 1 0

 1   A22  A0    0 1 Usando a equação dos geradores, obtemos as matrizes que geram o grupo generalizado de Poincaré:

A L01   1 0  0 L12     A3

0 , 0 A4  , 0

 0 A2  L02   ,  A2 0  A5   0 L13   ,   A5 0 

 0 A3  L03   T   A3 0  0 0  L23     0 A4 

A álgebra de Lie do grupo de Poincaré é dado por:  Lij , Lkl   i  gil L jk  g jk Lil  gik L jl  g jl Lik 

Vamos construir os vetores de boosts K e rotações S: K i   L01 , L02 , L03  ,

Si   L12 , L13 , L23 

Que satisfazem as leis de comutação:

 Ki , K j   i ijk Sk ,

 Si , K j   i ijk K k ,

 Si , S j   i ijk S k

A primeira relação forma o grupo dos boosts, porém esse grupo não apresenta uma álgebra de Lie, pois seus elementos não são todos boosts. A terceira relação é o grupo de rotações que por só ter elementos de mesma classe, admite uma álgebra de Lie.

P á g i n a | 5-1928

5.11. Spinores e Representação Spinoral Um spinor é o equivalente algébrico a um vetor do espaço euclidiano em um espaço complexo. Spinores são elementos que se transformam linearmente quando um espaço euclidiano é submetido a uma rotação infinitesimal. Essa associação dos spinores com as rotações fica evidente em seu próprio nome que deriva da palavra spin.que se refere ao momento angular das partículas. Definimos o conceito de representação spinorial as N  N  1 2 matrizes  a tais que (BARCELOS NETO, 2010, p. 148-149):

 a , b    a b  b a  2 ab onde o operador  a ,  b  é o anticomutador. O gerador do grupo M ab , satisfaz uma álgebra de Lie:

i   a , b  4  M ij , M kl   i  il M jk   jk M il   ik M jl   jl M ik  M ab  

Há duas importantes relações envolvendo comutadores e anticomutadores:

 AB, C   AB, C   A, C B  A, BC    A, B C  B  A, C Para o S-Grupo de Poincaré definiremos os seguintes spinores a partir das matrizes de boost e as matrizes de rotação:

Ji 

1  Si  iKi  , 2

Ji 

1  Si  iKi  2

P á g i n a | 5-1929

6. Programa de Erlangen: Aplicações A topologia unificada para o espaço-tempo que desenvolvemos na seção anterior permite investigarmos as propriedades físicas que são induzidas pelo número hipercomplexo associado a topologia. Nesse capítulo, estudaremos essas implicações para teoria do potencial, o estudo de ondas escalares e para termodinâmica.

6.1.

Potenciais do Espaço-Tempo

Da mesma forma, cada uma destas estruturas define uma equação do potencial. Para uma variedade arbitrária, o potencial será definido como:  2  2  R 2 2  0  onde R é a característica do anel. Para uma variedade de Galileu, o anel é o dual, r é o número nilpotente , a simetria é parabólica e o potencial é a equação de Laplace: 2 2 2      0  2  2  0 Para uma variedade de Lorentz, o anel é o perplexo, r é o número perplexo p, a simetria é hiperbólica e o potencial é a equação de D’Alambert:  2  2  p 2 2  0  2   2  2  0 

P á g i n a | 5-1930

Para uma variedade de Euclides, o anel é o complexo, r é o número imaginário i, a simetria é elíptica e o potencial é a equação de Laplace em 4 dimensões:

 2   i 0  2  2  2  2  0  2

2

Embora estejamos analisando apenas variedades sem fontes de curvatura e torção, como a teoria da relatividade geral parte de uma equação tensorial generalizada de Poisson,  2  8 Gij

Onde o operador laplaciano é a derivada covariante de segunda ordem sobre a 0-forma  , transformando-a em um tensor covariante de segunda ordem. Podemos concluir que  é uma função da métrica da variedade e, portanto, assim como ocorre para variedades planas, o potencial é uma propriedade topológica. Como as variedades que estudamos são diferenciável, isso significa que localmente a variedade é difeomórfica ao plano euclidiano. Em outras palavras, para uma região muito pequena da variedade sempre verificar-se-á a existência de um potencial de Laplace-Beltrami. Portanto, qualquer variedade diferenciável apresenta localmente uma equação do potencial da forma galileana:  2  0

E, portanto, localmente todas as variedades do espaço-tempo são equivalentes. Podemos afirmar que a dependência do potencial com a métrica o faz um invariante topológico. Outro invariante topológico é a assinatura, como é demonstrado pelo Teorema de Sylvester. Associaremos a dimensão do espaço à assinatura e

P á g i n a | 5-1931

verificaremos que o espaço euclidiano se caracteriza por uma dimensão negativa. Embora essa conclusão pareça, à primeira vista, estranha a nossa intuição, verificaremos que ela é logicamente consistente. Para isso, regressemos as nossas três variedades de espaço-tempo: Galileu, Lorentz e Euclides. O grupo que gera o espaço de Galileu é o grupo das rotações SO(3), esse grupo apresenta seis parâmetros: três parâmetros de rotação e três parâmetros de translação. Não há boosts, pois nesse espaço o tempo tem dimensionalidade zero. Isso pode ser interpretado de duas maneiras: o tempo é um vetor nulo ou o tempo está associado a um número nilpotente de segunda ordem. Se assumirmos essa segunda hipótese, a dimensão do tempo deve ser dado pelo número dual elevado ao quadrado:

dim G  dim S   2 Onde S é o número de translações espaciais. Como a variedade de Galileu apresenta três translações espaciais e o número nilpotente ao quadrado é zero, sua dimensão será:

dim G  3  0 O grupo que gera o espaço de Lorentz é o grupo das rotações hiperbólicas SO(1,3), esse grupo apresenta dez parâmetros: seis parâmetros de rotação e quatro parâmetros de translação. Entre as rotações temos 3 boosts, a saber: x-t, y-t, z-t, pois nesse espaço o tempo tem dimensionalidade 1. Isso pode ser interpretado associando ao tempo está associado um número perplexo. Assim, a dimensionalidade deste espaço será:

dim L  dim S  p 2 Sendo novamente S é o número de translações espaciais. Como a variedade de Lorentz apresenta três translações espaciais e o número perplexo ao quadrado é a unidade, sua dimensão será:

P á g i n a | 5-1932

dim L  3  1

Por fim, o grupo que gera o espaço de Euclides é o grupo das rotações SO(4), esse grupo também apresenta dez parâmetros: seis parâmetros de rotação e quatro parâmetros de translação. Não teremos boosts. Este espaço admite curvas fechadas no tempo, isso decorre de sua dimensionalidade ser -1. Isso pode ser interpretado associando ao tempo está associado um número complexo. Assim, a dimensionalidade deste espaço será:

dim E  dim S  i 2 Mais uma vez, o parâmetro S é o número de translações espaciais. Como a variedade de Euclides apresenta três translações espaciais e o número complexo ao quadrado é a unidade negativa, sua dimensão será: dim E  3 1 Qual justificativa para impormos que o espaço tenha uma dimensão negativa de tempo? A primeira delas seria uma indução fraca baseado nas duas fórmulas da dimensão que escrevemos anteriormente. Porém, há outro argumento que me levou a considerar a dimensão negativa como uma possibilidade plausível. Recordemos que a dimensão negativa pode ser interpretada como uma aplicação que transforma rotações em translações e vice-versa. N  a   a,

T  N R,

R  N T 

Se considerarmos o espaço unidimensional (uma reta) temos 1 translação e nenhuma rotação, portanto o espaço unidimensional negativo terá 1 rotação e nenhuma translação.

T  N  0 ,

R  N 1

T 0

R 1

P á g i n a | 5-1933

A primeira vista, essa afirmação parece estranha ao nosso espírito acostumado com a geometria euclidiana: o que seria um espaço com rotações, mas sem translações? Porém, a resposta é bastante simples: um espaço sobre uma linha fechada de Jordan ou um loop suave. Seres unidimensionais que habitem o espaço de uma linha fechada jamais transladariam, pois em cada ponto dessa linha existe um vetor tangente não-nulo. Topologicamente esse espaço é chamado de S1. Assim como uma linha infinita é um isomorfismo com a reta dos números reais, uma linha de dimensão negativa é um isomorfismo com S1. Estudos de vácuo com pressão e energia negativa dentro das cosmologias admitem soluções fechadas. O tempo imaginário, discutido a exaustão por S. Hawking em seus trabalhos sobre a natureza do tempo, é uma curva fechada sobre uma hipersfera. Em nossa análise sobre essa variedade, mostramos que o tempo imaginário em um modelo bi-dimensional, corresponderia as latitudes em um globo. Cada plano espacial que corta esse globo cria uma família de esferas S1 homotéticas. Como todas essas curvas temporais são isomórficas ao espaço de dimensão negativa -1. Então, podemos afirmar que o tempo na variedade euclidiana apresenta dimensão negativa. Portanto, a equação geral da dimensão de uma variedade é dada por:

dim M  dim S  R2 Onde S é o número de translações espaciais e R² é a característica do anel associado a variedade. Visto que o número de translações espaciais pode ser determinado pelo número das componentes diagonais do tensor métrico, portanto o número de translações espaciais é uma função da assinatura do tensor métrico e a assinatura, como declara o Teorema de Sylvester, é um invariante topológico. Deste resulta que o número de dimensões de uma variedade também é um invariante topológico.

P á g i n a | 5-1934

6.2.

Potenciais Topológicos

Como agora conhecemos a estrutura dos vetores tangentes e cotangentes a variedade espaço-tempo, podemos construir rigorosamente a teoria dos potenciais topológicos, que inferimos intuitivamente anteriormente. Vamos definir o vetor nabla como um 4-vetor covariante sobre a variedade:

 1   i   ,   k t  Tomando a norma do vetor ao quadrado e aplicando a uma função  teremos:

R 2  2      2 2 k t 2

Se o laplaciano generalizado for igual a zero, teremos a equação de Laplace-Beltrami para o potencial. Do contrário, teremos a equação de Poisson. Observe que essa equação coincide com os resultados que obtivemos anteriormente. Portanto, podemos concluir que o potencial é definido pela característica anelar da variedade. Teorema da Invariância “Dada uma variedade do tipo espaço-tempo com característica anelar R. O potencial topológico associado a essa variedade é um invariante” Prova: A norma de um 4-vetor é invariante sobre a variedade. Portanto,   

2 

R 2  2 R 2  2 2   2 2 k 2 t 2 k t

Q.E.D

P á g i n a | 5-1935

6.3.

O Potencial Topológico de Poincaré

Utilizando o formalismo que desenvolvemos anteriormente, podemos estabelecer consequência da nova teoria dos potenciais. Mais precisamente, faremos o estudo do 4-vetor nabla e suas aplicações a teoria dos campos escalares e vetoriais, permitem definir uma nova função de x e de t que doravante chamaremos de potencial de Poincaré, em homenagem ao físico-matemático francês Henri Poincaré, um dos pesquisadores fundamentais no desenvolvimento da teoria da relatividade e da topologia. Teorema Potencial Topológico de Poincaré Seja  um campo escalar que depende da posição (x, y, z) e do tempo (t) e seja  o operador que para cada ponto desse campo escalar associa um vetor gradiente.

  r , t     r , t  Também podemos definir um campo tensorial a partir do operador 4-gradiente:

i  x j   i  x j 

e cuja transformação de  entre dois referenciais inerciais deve ser dada por:

  x j      x j     x, t 

onde   x, t  é uma função escalar, que chamaremos de potencial de Poincaré, e deve satisfazer a seguinte equação diferencial parcial linear:

 2   x, t  R 2  2   x , t   2 0 x 2 t 2 k

P á g i n a | 5-1936

Prova do Teorema do Potencial Topológico de Poincaré A demonstração desse teorema é feita a partir da análise da transformação do 4-vetor gradiente do potencial . Por meio dessa regra, nós podemos generalizar o vetor fluxo de energia térmica como sendo proporcional ao 4-gradiente:

1    i    ,  k t   1     i    ,  

c t  

Queremos determinar como o potencial se transforma de um referencial inercial S para um referencial inercial S’. A transformação dessas coordenadas depende da definição do potencial que adotarmos. Porém, podemos obter a sua transformação geral. Vamos analisar apenas a componente transversal do 4-gradiente.

     Da forma como construímos nossos 4-vetores é fácil ver que a derivada das componentes espaciais transversais se transforma da mesma forma para todos os referenciais inerciais:

      Essa é uma equação diferencial parcial exata:         0

Integrando a equação em relação a derivada transversal:

        0  d 



P á g i n a | 5-1937

como as componentes transversais dependem apenas das coordenadas y e z, então a diferença das funções  deve ser, a menos de uma constante aditiva, uma função apenas da coordenada x e t.        x, t 

que resulta na seguinte transformação:        x, t 

Agora vamos demonstrar que o potencial de Poincaré satisfaz a equação generalizada do potencial. Basta aplicarmos o método de construção de invariantes para 4-vetores.

2  

R 2  2  R 2  2 2     k 2 t 2 k 2 t 2

    Como o operador laplaciano generalizado é um invariante relativístico, portanto, podemos escrever nossa equação da seguinte forma:

    

       0   x, t   0 Substituindo a relação que achamos para a diferença de potencial: 2 R 2    x, t     x, t   2 0 t 2 k 2

E está demonstrado o teorema.

P á g i n a | 5-1938

Considerações sobre o Potencial Topológico de Poincaré O potencial  define sobre o espaço-tempo um conjunto de eventos coordenados denominado de eventos equipotenciais. O gradiente do potencial  define um vetor contravariante que mede a taxa de variação máxima entre as linhas equipotenciais. Como as transformações de Lorentz generalizadas representam rotações no espaço-tempo, o potencial ' gera um novo conjunto de eventos e equipotenciais para o sistema após a rotação onde o potencial de Poincaré corresponde a este fator de rotação dos eventos. Outra interpretação geométrica do 4-gradiente é que suas coordenadas definem um 4-vetor normal de um plano tangente a uma hipersuperfície no espaço tempo. Quando aplicada uma transformação generalizada de Lorentz, a hipersuperfície e o plano normal sofrem uma rotação, exigindo uma transformação das coordenadas no vetor normal. O potencial de Poincaré está associado a rotação do vetor normal. A vantagem do potencial de Poincaré que por ele ser uma característica anelar topológica da variedade. Suas não dependem da maneira como definimos as funções potenciais. Soluções da Equação dos Potenciais Topológicos Vamos agora procurar soluções para a equação do potencial:

 2   x, t  R 2  2   x , t   2 0 x 2 t 2 k Da teoria elementar das equações diferenciais, sabemos que uma solução geral é dada pela equação exponencial:

  x, t    0e h Rx kt 

P á g i n a | 5-1939

Onde h é um número híbrido, dado por:

h  a  ib  pc   d

a, b, c, d 

E sua álgebra multiplicativa é definida pela tábua:

Vamos tirar a prova real. Para isso, tomemos as derivadas da segunda:  2   x, t   h 2 R 2  0   x, t  x 2  2   x, t   h 2 k 2  0   x, t  2 t E substituímos na equação diferencial:

R2 2 2 h k  0   x, t   0 k2  h 2 R 2  0  h 2 R 2  0    x, t   0

h 2 R 2  0   x, t  

h2 R 2 0  h2 R 2 0

Agora vamos expandir a solução em termo das funções de Poincaré. Observe que nossa equação pode ser escrita como:

P á g i n a | 5-1940

  x, t    0 e hRx e  hkt

Aqui devemos enfatizar que um número híbrido não comuta com um número complexo, apenas com os números reais, por isso a primeira exponencial deve ser escrita na exata ordem dos termos. Abrindo o número híbrido na segunda parcela, teremos:   x, t    0 e hRx e  a ib  pc  d kt

  x, t    0 e hRx e  akt e  ibkt e  pckt e  dkt   x, t    0 e hRx e  At e  iBt e  pCt e  Dt

Usando as funções de Poincaré, podemos escrever a solução:

  x, t   0ehRx  Pp  At   Pp  At    Pi  Bt   iPi  Bt    Pp  Ct   pPp  Ct    P  Dt    P  Dt  Vamos detonar a função temporal do potencial de Poincaré pela letra :

 ht   0  Pp  At   Pp  At   Pi  Bt   iPi  Bt   Pp  Ct   pPp  Ct    P  Dt    P  Dt   Portanto nossa solução geral, será:   x, t   e hRx

 ht 

Estudaremos a parte espacial. Expandindo a função exponencial em séries:

P á g i n a | 5-1941



ehRx   n 0

 hx 

n

Rn

n!

Essa função pode ser decomposta em suas partes pares e impares. Faremos isso:

 hx  R 2n  hRx    hx  R 2n1  1    2n  1!  2n  ! n 1 n 1 

e

hRx

2n

2 n 1

Devemos começar a soma em 1, pois R pode ser nilpotente. Uma pequena manipulação algébrica, mostra que nossas equações assumem a seguinte forma:

e

hRx

2n 2 n 1      n hx   2 n  hx  R2   R  1    R     hx     2n !   n 1  2n  1 !  n 1 

Essas são as expansões das funções de Poincaré par e impar: e hRx  PR  hx   PR  hx  R

Veja que devido a não comutatividade, R deve ser posto a direita. Nós chamaremos essa nova função de função de Poincaré de segundo tipo à direita: P  hx   PR  hx   PR  hx  R

Embora h não comute, todos os valores da segunda derivada são números reais, portanto h² comutará com todos os termos e podemos definir uma segunda solução: a função de Poincaré de segundo tipo à esquerda: P  hx   PR  hx   RPR  hx 

P á g i n a | 5-1942

O princípio da sobreposição garante que todas as combinações lineares de soluções, também serão soluções:   x, t    k1 P  hx   k2 P  hx  

 ht 

Essas são as soluções gerais do potencial de Poincaré? Na verdade não. São apenas soluções particulares, pois existem infinitas escolhas dos coeficientes a, b, c e d, e para cada escolha teremos uma solução. Isso não é nenhuma novidade, o espaço das equações diferenciais parciais pode ter dimensão infinita. Por isso devemos expressar os nossos resultados em função de uma soma infinita que gera todas as soluções:

  x, t  

  P  h x   h t   P  h x   h t  

j 

j

j

j

j

Onde os índices negativos de h correspondem as soluções a esquerda e os índices positivos, as soluções à direita, e o traço sobre o h representa o seu conjugado. Pela dedução empregada, podemos concluir que está equação contém todas as soluções possíveis para equações diferenciais parciais do potencial anelar R.

6.4.

Ondas Topológicas de Abraham-Nordströn

Em 1912, Max Abraham propôs uma generalização da equação de Poisson para o potencial gravitacional em uma variedade 4dimensional (MEHRA, 1974):

 2  2  2  2     4 G  x 2 y 2 z 2 u 2

u  ict

P á g i n a | 5-1943

Em resposta ao trabalho de Abraham, o físico alemão Gunnar Nordströn, mostrou que a generalização da equação de Poisson teria como consequência a propagação de ondas gravitacionais no espaçotempo (MEHRA, 1974). Nosso estudo sobre potenciais relativísticos se relaciona aos trabalhos de Abraham e Nordströn. Conforme a teoria dos potenciais topológicos, a variável u deve ser redefinida como: Ru  ct

Como esta transformação se aplica a qualquer campo escalar, a interpretação de Nordströn pode ser generalizada para além do potencial gravitacional: “As mudanças de um campo definido pelo gradiente do potencial se propagam à velocidade k por meio de ondulações no espaçotempo, ou ondas potenciais, que doravante chamaremos de ondas de Abraham-Nordströn   r , t    f  r , t  ” Se chamarmos as soluções da equação do potencial de funções anelares, concluímos que o princípio da relatividade nos impõe que as mudanças em campos de temperatura, se propagam por funções anelares de Fourier, mudanças do campo elétrico e magnético, por funções anelares de Maxwell e mudanças do campo gravitacional, por funções anelares gravitacionais. Em particular, se a variedade for de Lorentz, as funções anelares serão ondas, pois a equação diferencial do potencial topológico é uma equação de D’Alambert. Em geral, para qualquer campo definido pelo escalar de um potencial, as mudanças se propagarão por ondas de AbrahamNordströn.

P á g i n a | 5-1944

6.5.

Orientação do Tempo e a Entropia

O Grupo de Poincaré permite compreender a orientação do tempo em qualquer variedade do tipo espaço-tempo plana. No espaçotempo de Galileu (G3+0), cuja variedade tem característica anelar nilpotente, não podemos definir a componente zero da transformação generalizada de Lorentz, pois para essa variedade, verifica-se que:

      0         1   



 

0



0

0 2 0

Portanto, não existe uma orientação do tempo no espaço-tempo de Galileu. Essa é razão para as equações da mecânica serem preservadas tanto no sentido futuro do tempo quanto no sentido passado. A variedade de Galileu é simétrica no tempo. No espaço-tempo de Euclides (E3-1), cuja variedade tem característica anelar imaginária, se a componente zero da matriz generalizada de Lorentz for maior que a unidade, temos um tempo negativo, portanto um eixo fechado, orientado no sentido antihorário. Caso a componente zero menor que a unidade, o caráter antícrono faz com que o tempo esteja orientado no sentido horário. Por derradeiro, no espaço-tempo de Lorentz (M3+1), cuja variedade tem característica anelar perplexa, se a componente zero da matriz generalizada de Lorentz for maior que a unidade, temos um tempo positivo, portanto um eixo aberto, orientado no sentido crescente (futuro). Caso a componente zero menor que a unidade, o caráter antícrono faz com que o tempo esteja orientado no sentido decrescente (passado). Tanto no espaço-tempo de Euclides quanto no de Lorentz há uma antissimetria no tempo, determinado pela componente zero da matriz de Lorentz.

P á g i n a | 5-1945

O formalismo adotado nesse trabalho permite explorar a relação entre o tempo e a entropia. Se determinarmos que a variação da entropia é uma função da componente zero da Matriz de Lorentz, mesmo em um universo cíclico (euclidiano), a entropia continua crescente na fase de retorno, pois a componente zero apenas determina o sentido de rotação do tempo. Desta maneira, podemos escrever que:

Se   R   1  dS  0 0

0

Se   R   1  dS  0 0

0

Para demonstrar essa relação, recordemos que na formulação geral, temos a seguinte correspondência:



 

R 0 0

c

k  R

Sendo a segunda lei da Termodinâmica é um invariante relativístico (MARTINS, 2012), para tornar nossas equações covariantes precisamos realizar uma pequena alteração na primeira Lei da Termodinâmica.

dE  KdQ  dW onde K é uma constante adimensional a ser determinada. Para uma variedade do tipo espaço-tempo, a transformação da energia será dado por: 2 0 v   dEo  dE    R   2 d  PV  o o 0 k 

Para deduzir a transformação relativística do trabalho termodinâmico, temos que considerar que a velocidade de uma haste rígida em seu referencial próprio não varia, embora seu momento G

P á g i n a | 5-1946

sofra um aumento. O diferencial da equação do momento da barra será dada por:

dW   PdV 

dG dr dt

Pela convenção adotada, como há entrada de energia na barra, o trabalho deve ser negativo para que a variação da energia seja positiva. A força aplicada sobre a barra tende a reduzir seu volume, portanto o volume final tende a ser menor que o inicial.

dG dr dt dr dW  PdV  dG dt dW  PdV  dG  v

dW  PdV 

Usando a relação entalpia-momento (MARTINS, 2012), dG 

dH v k2

Substituindo esse resultado na relação do trabalho: dH 2 v k2 v2 dW  PdV  2 dH k v2 dW  PdV  2 d  PV  E  k 2 0 v P dV dW  o o0    R  2 d  PV o o  Eo  0 k R    dW  PdV 

0

P á g i n a | 5-1947

Portanto a transformação do trabalho termodinâmico será: dW 

Po dVo

 

R 0

 



R 0 0

v2 d  PV o o   dEo k2

0

dW  PdV 

v2 d  PV   E k2

Agora podemos determinar a transformação do calor. Da primeira lei da termodinâmica podemos escrever o diferencial do calor como:

KdQ  dE  dW Substituindo os diferenciais de energia e trabalho que calculamos, obtemos:

Po dVo

KdQ   R 

KdQ 

KdQ 

KdQ 

 

R 0

0 0

 R 

0 0

v2 d  PV o o k2

0

2  v2 R 0 v    dEo  dE d  PV    o o o  2 2 0 k k 

Po dVo

 

R 0

0

0

0

0

0

Po dVo

 

   R  dEo    R 

R 0 0

1

 

R 0 0

0  v2     R  dEo 1  2  0  k 

 Po dVo  dEo 

v2 dEo k2

P á g i n a | 5-1948

O termo em parêntesis é a o calor no referencial próprio, portanto o calor se transforma como: KdQ 

dQo

 

R 0 0

Como a variação da entropia é um invariante relativístico, a desigualdade de Clausius pode ser escrita da seguinte forma: dS   dSo  

dQ T dQo

 

R 0 0

KTo

Aqui há uma questão conceitual importante. a) Se assumirmos que K é igual a unidade, a temperatura se transforma de acordo com a análise de Planck (1906). K 1 

dQ 

dQo

 

R 0



T

0

To

 

R 0 0

b) Se assumirmos que K é o inverso da componente zero da matriz de Lorentz, a temperatura é um invariante relativístico, como sugere o físico russo I. Avramov (2003). K

1

 

R 0 0



dQ  dQo



T  To

P á g i n a | 5-1949

c) Se assumirmos que K é o inverso ao quadrado da componente zero da matriz de Lorentz, a se transforma de acordo com a análise de Ott.

K

1  R 0    0 

2

dQ    R  dQo 0



T    R  To 0



0

0

Observe que na formulação de Ott, o calor deve se transformar com a mesma lei que obtivemos para a energia. d) Para o caso mais geral, teremos que:

K  R 

0 n 0



dQ 

dQo

n 1 R 0

 



T

0

To

n 1 R 0

 

0

Usualmente, assumimos as transformações de Ott como verdadeiras, portanto, a desigualdade Clausius será:

dSo     R 

 

R Da desigualdade de 

0 0

0 0

dQo To

, deduzimos que:

Se   R   1, então dSo  

dQo To

Se   R   1, então dSo  

dQo To

0

0

0

0

No espaço-tempo de Galileu como não podemos determinar a componente zero da matriz de Lorentz, não existe uma justificativa física para relacionarmos a orientação do tempo com a entropia.

P á g i n a | 5-1950

7. Um Anel Para Todo Espaço-Tempo Unificar Nas seções anteriores desenvolvemos uma topologia de baixa dimensão que permite tratar de todas as variedades espaço-temporais usuais: galileana, lorentziana e euclidiana. Mostramos que a teoria do potencial de Laplace pode ser generalizada em uma teoria do potencial topológico, isto é, uma teoria onde o potencial é determinado pela natureza da variedade espaço-temporal. Nesta seção, aprimoraremos essa noção de uma física topológica, uma física determinada pelas qualidades do espaço-tempo. Como incentivo as nossas investigações, estudaremos os dois postulados restantes da teoria da relatividade, propostos por Painléve em 1922: o princípio da inércia e o princípio da forma invariante da luz. O princípio da inércia mostrará que a transformação de Möbius satisfaz tanto o princípio da relatividade quanto o postulado da forma invariante da luz, pois o grupo generalizado de Lorentz é isomórfico ao grupo de Möbius. Para isso, mostraremos que é necessário assumir o princípio da inércia para que o isomorfismo do grupo generalizado de Lorentz seja restrito a transformação identidade de Möbius. Já o estudo do princípio forma invariante da luz, associado a invariância e a constância da velocidade da luz, mostrará que as propriedades da radiação também apresentam natureza topológica. Como a luz desempenha um papel fundamenral tanto na formulação da relatividade especial e na relatividade geral, esse estudo nos permitirá indicar um caminho para construir uma topologia de baixa dimensão baseada nas características anelares para variedades espaço-temporais com curvatura. As duas últimas partes dessa seção constituem na construção de um anel que permita construir uma topologia de baixa dimensão unificada para variedades espaço-temporais planas para espaços ainda mais gerais. Como foi exposto na quarta seção, as teorias do espaço partem do postula tácito que as dimensões do espaço são retas

P á g i n a | 5-1951

reais que geram R³. Nós iremos rejeitar essa limitação e estudar espaços com dimensões perplexas e complexas1 e construir novas variedades espaço-temporais. Por meio dos resultados obtidos, finalmente estaremos preparados para construir um anel e unificar a topologia de baixa dimensão do espaço-tempo, como havíamos proposto no começo dessa pesquisa.

7.1.

Postulados da Relatividade

Em 1922, o matemático francês Paul Painlevé publicou um livro intitulado Les Axiomes de la mecanique, provavelmente inspirado pela formulação axiomática de David Hilbert da geometria. Painléve analisou os axiomas fundamentais da mecânica clássica e os da teoria da relatividade. Ao penetrar no domínio da relatividade, Painléve (1922, p. 98) afirma que: “A teoria da relatividade repousa sobre o mesmo postulado fundamental que a mecânica clássica e a ótica de Fresnel; nomeadamente: O Postulado de Kepler-Fresnel. - É possível definir, uma vez por todas e para todo o universo, uma medida de tempo, uma medida de comprimento e um quadro de referência tal que: 1) O movimento de cada partícula que é muito distante de todos os outros é retilíneo e uniforme (Princípio da inércia). 2) Longe de toda a matéria a propagação da luz é retilínea e uniforme e tem a mesma velocidade em todas as direções (Princípio de Kepler-Fresnel). De acordo com a doutrina clássica este quadro de referência será aquele adotado pelo grupo de observadores em uma estrela A, que é muito distante de todas as outras e sem rotação em relação às estrelas Rejeitamos um espaço com dimensões duais, pois nessa configuração o espaço seria adimensional.

1

P á g i n a | 5-1952

fixas, se a velocidade absoluta desta estrela é zero. Mas os relativistas acrescentam o seguinte complemento essencial: Postulado da relatividade. - Se o postulado de Kepler-Fresnel é verdadeiro para os observadores da estrela A (escolhendo esta estrela como corpo de referência), também é verdade para os observadores de uma estrela B escolhendo esta estrela como corpo de referência.”

Se acrescentarmos o postulado de Cunningham sobre a invariância da forma da onda, então podemos estabelecer a teoria da relatividade é uma teoria covariante em Lorentz onde se observa o princípio da inércia. Em síntese, podemos partir da construção da relatividade à partir de 3 axiomas: 1) O Princípio da Relatividade de Poincaré 2) O Postulado de Kepler-Fresnel. 3) O Postulado de Voigt-Cunningham Nas últimas seções, analisamos as propriedades gerais de variedades que satisfazem o princípio da relatividade de Poincaré. Nessa seção analisaremos os efeitos particulares do segundo e do terceiro sobre os fenômenos físicos e a inteligibilidade da variedade espaço-tempo de Lorentz (espaço-tempo de Poincaré-Minlowski).

7.2.

O Postulado de Kepler-Fresnel.

“O movimento de cada partícula que é muito distante de todos os outros é retilíneo e uniforme. Longe de toda a matéria a propagação da luz é retilínea e uniforme e tem a mesma velocidade em todas as direções.” O fato do grupo de Lorentz SO (1,3) ser isomórfico ao grupo especial das projeções PSL (2,C), as coordenadas que associam dois sistemas inerciais podem ser as transformações de Lorentz usuais ou

P á g i n a | 5-1953

as transformações holográficas de Möbius. Uma transformação holográfica é um mapa conforme que preserva o ângulo entre duas curvas. Portanto, sem o princípio de Kepler-Fresnel, dois referenciais inerciais poderiam observar a luz se propagar em uma trajetória curvilínea.

Como esse fenômeno não condiz com a trajetórias das estrelas observadas no céu noturno, precisamos impor que o grupo de deslocamentos que descreve a teoria da relatividade seja um subgrupo de SO(1,3), que denotaremos por SO+(1,3), cuja característica fundamental é ser isomórfico ao subgrupo identidade I de PSL (2,C). Para acharmos esse grupo, suponha que uma partícula se desloca no espaço-tempo, com velocidade menor que a da luz, Seja e1 um evento da partícula no espaço-tempo em um diagrama de Minkowski, definido como e1   ct1 , x1 , y1 , z1  . Seja e2, e2   ct2 , x2 , y2 , z2  , um evento posterior no espaço-tempo com um

vínculo casual com e1. Podemos traçar entre esses dois eventos uma linha que os conecte chamada de linha de mundo. Por hipótese, essa linha de mundo deve ser inercial. A transformação de Möbius age como um mapa sobre a transformação de Lorentz na variedade espaço-tempo.

P á g i n a | 5-1954

w

w  w 

    1 Para definirmos as coordenadas de um evento no espaço-tempo, devemos procurar pontos no plano complexo que não produzem movimentos na esfera de Riemann. Essa transformação estacionária é a transformação identidade, definida como:

w w 1  1  1, 2      2  0 Os nossos 16 coeficientes se tornam:  A0   A1  A2   A3

B0 B1 B2 B3

C0 C1 C2 C3

D0   1  D1   0  D2   0   D3   0

0 1 0 0

0 0 1 0

0  0 0  1

Substituindo em nossa transformação de Lorentz, nós obtemos: t  t x  x y  y z  z

Essas são as coordenadas de um evento no espaço tempo. Sobre o significado físico das transformações de Möbius e sua relação entre as frentes de onda:

P á g i n a | 5-1955

As equações da frente de onda que são conservadas não levam, por si só, às transformações de Lorentz, uma vez que também permitem transformações de Mobius. Para remover este último, pode-se fazer a demanda adicional de que valores finitos das coordenadas iniciais levem a valores finitos dos transformados. Esse requisito adicional é satisfeito apenas se todas as constantes a* na transformação Mobius forem zero, tornando a transformação a identidade. Em vez desse requisito adicional, pode-se fazer outro, a saber, a condição de que o movimento retilíneo uniforme seja conservado (condição (a)); foi assim que procedemos no texto. Qualquer um desses requisitos adicionais leva unicamente à transformação de Lorentz, além de uma possível mudança de escala. Também é importante que a exigência de que as coordenadas permaneçam finitas se refere ao espaço-tempo como um todo, enquanto que a condição de conservação para o movimento uniforme da linha reta é estritamente local. (FOCK, 1958, p. 383-384)

Em 1958, o físico russo V. Fock avaliou a estrutura axiomática da Teoria da Relatividade Especial e concluiu que era necessário rejeitar o segundo postulado de Einstein e enunciar dois novos postulados (FOCK, 1958, 377): a) Para um movimento retilíneo uniforme nas coordenadas (xI) deve corresponder um movimento da mesma natureza nas coordenadas (x'I) b) Para um movimento retilíneo uniforme à velocidade da luz nas coordenadas (xI) deve corresponder um movimento da mesma natureza nas coordenadas (xI). O primeiro postulado é a junção do Princípio da Relatividade e o de Kepler-Fresnel e o terceiro é o princípio de Voigt-Cunningham que iremos analisar adiante.

P á g i n a | 5-1956

7.3.

O Postulado de Voigt-Cunningham

“Para um movimento retilíneo uniforme à velocidade da luz nas coordenadas (xI) deve corresponder um movimento da mesma natureza nas coordenadas (xI).” O terceiro postulado que a teoria da relatividade deve satisfazer é uma variação do postulado da constância da luz, proposto por Einstein. Tomemos uma fonte pontual de luz que para um observador O se encontra em repouso. Cada sinal luminoso emitido por essa fonte será na forma de ondas esféricas de raio ct. Se assumirmos que a fonte se encontra na origem do sistema de coordenadas, a equação da esfera de luz será dada por:

x2  y 2  z 2  c2t 2 O terceiro postulado impõe que o formato dessa onda deve ser o mesmo para todos os referenciais inerciais. Portanto, imaginemos que no instante t’, um observador O’ com velocidade v na direção x, passe pela origem do sistema de coordenadas em O, onde se localiza a fonte, e simultaneamente seja emitido um pulso luminoso. Para esse observador móvel, a luz também deverá apresentar a forma de uma esfera luminosa dado por suas coordenadas locais:

x2  y2  z2  c2t 2 Para estabelecermos o vínculo entre esses dois sistemas, basta subtrairmos uma equação da outra:

x 2  x 2  y  2  y 2  z  2  z 2  c 2  t  2  t 2  Nosso objetivo é buscar todas as transformações de coordenadas, compatíveis com o princípio da relatividade, que satisfazem essa

P á g i n a | 5-1957

equação. A análise que realizamos nas primeira seções, mostra que as equações devem ser descritas por funções de Poincaré.

 x  PR x  kPRt  P: R2 R R  t P  t  P x   k  y  y z  z

Substituindo na equação: 2

 R R2 R 2   P x  kP t   x  y  y  z  z  c  P t  k P x   c 2t 2   R 

R 

2

2

2

2

2

2

2

2

 R R2 R   P x  kP t   x  c  P t  k P x   c2t 2   R 

P 

R 2 

R 

2

2

2

x 2  2kPR PR xt   PR  k 2t 2  x 2  2

2 2 1 1   c 2  PR  t 2  2 R 2 PR PR xt  2 R 4  PR  x 2  t 2  k k  

 P R 2  1 x 2  2kP R P R xt   P R 2 k 2t 2        2 2 c2 c2 c 2  PR   1 t 2  2 R 2 PR PR xt  2 R 4  PR  x 2   k k

Para obtermos os termos basta usar a equivalência entre polinômios:

P á g i n a | 5-1958

2  P R 2  1  c R 4  P R 2     k 2 c2 2 R 2 PR PR  2kPR PR k 2 2 k 2  P´R   c 2  PR   1  

Como as funções de Poincaré não são nulas em todos os pontos, as equações podem ser escritas da seguinte forma: 2  P R 2  1  c R 4  P R 2     k 2 k2 R2  2 c 2  P R 2  1  k  P R 2    c 2 ´

Pela segunda equação, podemos escrever a primeira e a terceira equação como: 4  P R 2  1  R  P R 2    R 2  k2 R2  2 c 2 2  P´R   R 2  PR   1

Após a simplificação, teremos a prova que a primeira e a terceira equação são idênticas, portanto, temos que resolver apenas as duas primeiras equações.

P á g i n a | 5-1959

 P R 2  1  R 2  P R 2     k2 R2  2 c

Vamos primeiro determinar o valor da função de Poincaré, para isso usemos a relação entre a função par e a função ímpar de Poincaré: v2 R 2  P  k2 2  P R 2  1  R 2 v  P R 2     k2 2 2 v  R 2   P  1  R k 2   1  

P 

R 2 



Extraindo a raiz quadrada, obtemos os valores da função par e ímpar:

P   R 

1 1  R2

 P   kv R 

v2 k2

1 1  R2

v2 k2

Para determinarmos qual o anel mais adequado a variedade, devemos estudar a segunda equação. Na topologia de baixa dimensão unificada que desenvolvemos, há três valores para R.

P á g i n a | 5-1960

Variedade de Galileu (R² = 0)

k2 0 2 c Só há duas possibilidades que satisfazem essa condição: k é zero ou k é nilpotente de ordem dois. Tomar k = 0 não traz nenhuma contradição, pois as equações de transformação envolvem números nilpotentes e esse anel admite divisores em zero. Entretanto, essa escolha nos levaria a uma função ímpar de Poincaré indeterminada, pois ela poderia assumir qualquer valor, enquanto a função par deve ser igual a unidade. O que nos leva a rejeitar a variedade de Galileu são as dificuldades impostas no estudo das coordenadas locais e na composição das velocidades devido a dualidade e a nilpotência do anel. Outro fator que nos leva a desconsiderar essa variedade é que durante a construção da topologia, adotamos k como sendo um número real não negativo. Variedade de Euclides (R² = -1)

k2 1  2 c Só há duas possibilidades que satisfazem essa condição: c é imaginária, o que seria absurdo já que podemos medir a velocidade da luz e não apenas seu módulo ao quadrado ou o fator k é uma velocidade escalar imaginária.

k  jc Qual a interpretação física de uma velocidade imaginária? Uma possibilidade seria imaginar que o espaço das velocidades no espaço euclidiano seja axial e circular e as velocidades angulares sejam

P á g i n a | 5-1961

polares e lineares. Se tomarmos essa solução, o espaço-tempo euclidiano se torna um espaço-tempo lorentziano com uma pseudométrica que admite uma pseudo-norma nula. Conceitualmente, esse espaço poderia ser diferente, já que o produto da unidade imaginária i pela unidade imaginária j poderia ser um outro número. De fato, poderíamos construir um novo anel com característica com uma nova álgebra. Em um trabalho, a ser publicado, iniciei uma investigação das características desse anel, os resultados preliminares são promissoras, mas ainda é cedo para extrair conclusões ou tecer hipóteses. Como nesse trabalho, assumimos que k é um número real não negativo, portanto, devemos rejeitar essa variedade. Variedade de Lorentz (R² = +1)

k2 1 2 c Novamente, há duas possibilidades: k é negativo ou k é positivo. Como assumimos que k é um real não-negativo, devemos toma-lo positivo: k c

Essa solução corresponder a uma variedade é lorentziana. Portanto, dentro de nosso modelo topológico, o postulado de Cunningham-Voigt, é apenas compatível com o espaço-tempo de Poincaré-Minkowski. Podemos dizer que é a invariância da forma esférica da onda que proíbe curvas globais fechadas no tempo e exige um potencial de D’Alambert. De fato, na próxima seção, mostrarei que a forma da luz, é uma característica topológica do espaço-tempo.

P á g i n a | 5-1962

7.4.

Formas Topológicas da Luz

Na seção passada, descobrimos que a forma esférica da luz só é possível em uma variedade Lorentziana. Nessa seção iremos estudar quais são as formas preservadas em cada variedade espaço-tempo e provar que a sua forma e constância são propriedades topológicas. Ao final, veremos como a topologia atua sobre a métrica. Para estabelecermos o vínculo entre esses dois sistemas em uma variedade arbitrária, vamos introduzir um número arbitrário L sobre a equação da forma quadrática:

x2  x 2  y2  y 2  z 2  z 2  L2c 2  t 2  t 2  Nosso objetivo é buscar todas as transformações de coordenadas, compatíveis com o princípio da relatividade, que satisfazem essa equação. A análise que realizamos nas primeira seções, mostra que as equações devem ser descritas por funções de Poincaré.

 x  PR x  kPRt  P: R2 R R P x t   P t  k  y  y z  z

Substituindo na equação:

P

R 

x  kPR t   x 2  y 2  y 2  z 2  z 2  2

2

 R2 R 2  L c  PR t  P x   L2c 2t 2 k   2 2

P á g i n a | 5-1963

 P R 2  1 x 2  2kP R P R xt   P R 2 k 2t 2        2 2 L2 c 2 2 R R L2 c 2 L2 c 2  PR   1 t 2  2 R P P xt  2 R 4  PR  x 2   k k

Para obtermos os termos, basta usar a igualdade entre polinômios: 2 2  P R 2  1  L c R 4  P R 2     k2 L2 c 2 2 R R R P P  2kPR PR 2 k 2 2 2 k  P´R   L2 c 2  PR   1  

Após a simplificação, teremos a prova que a primeira e a terceira equação são idênticas, portanto, temos que resolver apenas as duas primeiras equações.  P R 2  1  R 2  P R 2     k2 R2  2 2 Lc

Extraindo a raiz quadrada, obtemos os valores da função par e ímpar de Poincaré:

P   R 

1

v2 1 R 2 k  PR   kv 1 2 v 1  R2 2 k 2

P á g i n a | 5-1964

Agora vamos determinar o valor do número L em função da característica do anel associado a variedade:

L

1 R

k2 c2

Substituindo na forma quadrática, obtemos:

k2 2 x y z  2 t 0 R 2

2

2

A equação diferencial de propagação de uma onda luminosa será:

 2 

R 2  2 0 k 2 t 2

Que é justamente a equação do potencial topológico. Portanto, a forma invariante da luz é definida pelo potencial topológico da característica anelar da variedade. Para as variedades de Euclides e Lorentz, a forma quadrática e a equação da onda estão bem definidas. Porém, no caso da variedade de Galileu, a forma quadrática não está bem definida. Em particular se k for igual a c, teremos a importante identidade: L R  R L 1

Para conseguir dar alguma inteligibilidade a variedade de Galileu, vamos elevar a identidade acima a categoria de axioma. Busquemos uma solução para forma quadrática, por um método não convencional. Observe que se R for nilpotente de ordem 2, o número L² será um divisor de zero. Para ver isto, basta elevar a equação ao quadrado:

P á g i n a | 5-1965

L2  R 2  R 2  L2  1 L2  0  0  L2  1 Multiplicando a forma quadrática por 0 pela esquerda, obtemos:

0  x 2  y 2  z 2    0 L2  c 2t 2 Que nos leva ao seguinte resultado:

c 2t 2  0 Portanto, ou c² ou t² são divisores em zero. Levando esse fato em consideração, a forma quadrática de uma variedade de Galileu é dada por:

x2  y 2  z 2  0 E, a equação associada a forma da onda, será:  2  0

Ussando os resultados anteriores, podemos generalizar a forma quadrática e a equação da onda luminosa para qualquer variedade:

J 2  x2  y 2  z 2  R2 k 2t 2 ds 2  dx2  dy 2  dz 2  R2k 2dt 2

R 2  2   2 2 0 k t 2

O que prova que a covariância da luz e a sua forma invariante são características topológicas da variedade e de seu anel característico. Sendo a luz a auto-indução dos campos elétricos e magnéticos, que

P á g i n a | 5-1966

representam as linhas coordenadas da variedade, podemos concluir que estes campos são também de natureza topológica. Por derradeiro, deixe-me mostrar como a forma quadrática generalizada permite demonstrar que as propriedades associadas a propagação da luz e as equações do potencial tem natureza topológica, mesmo em variedades curvadas. Em uma variedade com curvatura, a métrica (ou a pseudo-métrica) será dada pelo seguinte produto tensorial: ds 2  gij dx i  dx j

Para uma métrica plana, teremos: ds 2  ij dx i  dx j

Expandindo a métrica, obtemos: ds 2  00 dx 0  dx 0  11dx1  dx1   22 dx 2  dx 2  33 dx 3  dx3

A métrica plana generalizada, na forma de produto tensorial, é dada por: ds 2   1 d  Rkt   d  Rkt   dx  dx  dy  dy  dz  dz

Portanto, as componentes do tensor métrico e dos diferenciais são2: ij  diag  1,1,1,1

 x , x , x , x    Rkt , x, y, z  0

1

2

3

Agora, vamos expandir a métrica de um espaço geral em sua espacial e mista: 2

Observe que a escolha de sinais (-,+,+,+) ou (+,+,+,-) é apenas convencional.

P á g i n a | 5-1967

ds 2 

1  2 g00dx0  dx0  g0 dx0  dx  g  dx   dx  2

Substituindo os valores das componentes temporais, teremos: ds 2  g 00 d  Rkt   d  Rkt  

1  g0 d  Rkt   dx  g  dx   dx  2

Na forma absoluta, essa métrica deve ser escrita como: ds 2  g 00 R 2 k 2 dt 2 

1  g0 Rk dtdx  g  dx  dx  2

Essa é a métrica do espaço-tempo curvado com característica R. Para essa variedade, ainda são válidas as equações de EinsteinHilbert, visto que a ação é construída a partir do tensor métrico gij e a característica da variedade atua sobre o eixo e não sobre o tensor métrico propriamente dito. Observe que o método que desenvolvemos nessa pesquisa permite construir variedades com tempo cíclico e variedades galileanas. Por exemplo, se R² for nilpotente, a equação assume a forma: ds 2 

1  g0  k dtdx  g  dx  dx  2

Ou seja, não há componente g00, mas existem componentes cruzadas com a coordenada temporal, o que é bastante peculiar e interessante. Por isso, deixamos ao leitor a questão: quais soluções essa variedade admite?

P á g i n a | 5-1968

7.5.

Teoria Topológica do Eletromagnetismo

Na seção anterior, verificamos que a forma invariante da luz e as propriedades associadas a sua constância e invariância são propriedades topológicas. Essa observação sugere que a própria teoria eletromagnética tenha aspectos topológicos. Nessa seção, propomos uma forma topológica para as equações de Maxwell a partir do estudo das linhas coordenadas da variedade que definem a álgebra de Lie generalizada da Variedade. Para obtermos as equações do eletromagnetismo válidas em qualquer variedade espaço-temporal, não podemos assumir que as equações de Maxwell, modificadas por Lorentz, sejam as mesmas. Para achar as novas equações introduziremos dois postulados: 1)

As equações devem ser covariantes de Poincaré.

2) As componentes do campo elétrico e magnético devem ser as linhas coordenadas da variedade:  0   Ex Lij    Ey    Ez

Ex 0  Bz By

Ey Bz 0 Bx

Ez    By   Bx   0 

 0   E y  R 2 Bz    Ez  R 2 By   Ex   0  L01   Bz  E y    By  E z    Lij    0  E  R 2 Bz    Bz  E y   Bx   y     E  R 2 B    B  E   0 B z y y z x  

P á g i n a | 5-1969

Nós poderíamos introduzir um terceiro postulado que afirmaria que devemos buscar a forma que menos modifique as equações de Maxwell. Embora adotemos essa premissa, faremos por uma questão de simplicidade, não porque se impõe ao nosso espírito que soluções mais sofisticadas devam ser rejeitadas. De fato, convidamos ao leitor explorar outras possibilidades. O primeiro postulado é uma condição natural imposta pelo natureza das variedades que estamos analisando: espaço-temporais. O segundo postulado é observado na variedade lorentziana e se os efeitos associados a propagação das ondas eletromagnéticas dependem das qualidades topológicas da variedade (CAPIBERIBE, 2020), podemos inferir que a teoria eletromagnética é uma qualidade das características do espaçotempo. Nós procuraremos equações modificadas de Maxwell no vácuo da forma: E  0 B  0

a B k t b E  B   k t  E  

onde a e b são constantes a determinar que podem ser funções da característica-R. E tomemos as transformações de Poincaré e a lei de transformação das derivadas parciais:

x    x  vt     t    t  R2 x   k 

2   R  x     x  t  k    t     t   v x 

Primeiro vamos determinar o coeficiente a. Para isso usaremos apenas a primeira componente da lei de Faraday e a lei de Gauss para o campo magnético:

P á g i n a | 5-1970

 x Bx   y By   z Bz  0

a  t Bx   y Ez   z E y k

Substituindo as transformações de x e de t, teremos: 2   R    x Bx   t  Bx    y By   z Bz  0 k  

a    t  Bx  v x Bx    y Ez   z E y k

E, após distribuir: a  t Bx   y Ez   z E y k a   t Bx  v x Bx    y Ez   z E y k

Substituindo o valor da derivada espacial da componente x do campo magnético na primeira componente da equação de Faraday, obtemos:  R 2 a    t  Bx  v y By  v z Bz    y Ez   z E y B v  t x k k 

a  t  Bx  2 R 2 t  Bx  v y By  v z Bz    y Ez   z E y  k a 1  2 R 2   t  Bx  a y By  a z Bz   y Ez   z E y  k

P á g i n a | 5-1971

a  t  Bx   y  Ez  aBy    z  E y  aBz  k 2

a  t  Bx   y   Ez  aBy    z   E y  aBz  k

No sistema S’ as equações devem apresentar a mesma forma que no sistema S: a B k t  b E    B   k t 

  E   0

  E   

  B  0

Por inspeção, obtemos parte das transformações dos campos:

Bx  Bx

Ez    Ez  aBy  E y    E y  aBz 

Para obtermos o valor da constante a, basta compararmos as linhas coordenadas com as componentes do campo elétrico:

  Ez  aBy     Ez  R 2By  Portanto,

a  R2 Agora vamos determinar o valor da constante b. para isso usaremos apenas a primeira componente da lei de Ampére e a lei de Gauss para o campo elétrico:  x Ex   y E y   z Ez  0

P á g i n a | 5-1972

b  t Ex   y Bz   z By k

Substituindo as transformações de x e de t, teremos: 2    R  t  Ex    y E y   z Ez  0    x  E x    k   b  k    t  Ex  v x Ex    y Bz   z By

2  R E    t  Ex   y E y   z Ez  x x k   b   E  v E    B   B t x x x y z z y  k

Substituindo o valor da derivada espacial da componente x do campo magnético na primeira componente da equação de Faraday, obtemos:  R 2 b  t  Ex  v y E y  v z Ez    y Bz   z By   t  Ex  v k k  b  t Ex  2 R 2t Ex  v y Ey  v z Ez    y Bz   z By k b 1  2 R 2  t Ex  b y E y  b z Ez   y Bz   z By k b  t  Ex   y  Bz  bE y    z  By  bEz  k2

P á g i n a | 5-1973

b  t  Ex   y   Bz  bE y    z   By  bEz  k

No sistema S’ as equações devem apresentar à mesma forma que no sistema S (covariância de Poincaré): a B k t  b E    B   k t 

  E   0

  E   

  B  0

Por inspeção, obtemos parte das transformações dos campos:

E x  E x

 Bz    Bz  bE y   By    By  bEz  Para obtermos o valor da constante a, basta compararmos as linhas coordenadas com as componentes do campo elétrico:

  Bz  bE y     Bz  E y  Portanto, b  1

E desta forma, as equações de Maxwell no vácuo para variedades espaço-temporais arbitrárias serão:   E   0   B  0

R 2 B k t  1 E    B   k t 

  E   

P á g i n a | 5-1974

A. Gauge de Poincaré No eletromagnetismo clássico podemos associar ao campo elétrico um escalar, denominado de potencial escalar elétrico  e ao campo magnético, um vetor, denominado de potencial vetor magnético A. Estes dois potenciais são usados para criar um 4-vetor denominado de 4-potencial eletromagnético.

     Ai   , A  , Ai   , A  c  c  No referencial S’ as componentes do 4-potencial se transformam como:

      R 2Ax 

Ay  Ay

Ax    Ax   

Az  Az

No referencial próprio, não há um campo magnético, portanto a partícula terá apenas um escalar potencial elétrico:

Aio   o , 0, 0, 0  Portanto as equações para construção de nosso invariante são: J 0o   o J0   J  A

Usando a regra dos invariantes relativísticos, obtemos: R 2 o 2  R 2 2  A

2

Para qualquer referencial inercial é válida a relação:

P á g i n a | 5-1975

2

R 2 2  A  R 2 2  A

2

R 2  2   2   A  A

2

2

Os potenciais elétrico e magnético são os geradores dos campos elétrico e magnético. Para provar essas relações vamos usar as seguintes identidades vetoriais:





    A  0,

      0

E as equações de Maxwell na forma vetorial:

E   B  0

R 2 B k t 1 E  B  j  k t  E  

Como o divergente do campo magnético é sempre nulo isso implica, pelas identidades vetoriais, que o campo magnético é gerado pelo rotacional do vetor potencial magnético:

B   A Na ausência de um campo magnético, uma carga q está sujeita a uma força elétrica dada por:

f e  q E   Se considerarmos que a partícula se desloca em uma campo eletromagnético, devemos acrescentar ao campo elétrico um vetor V a ser determinado: E    V

P á g i n a | 5-1976

Para determinarmos a forma desse vetor, vamos substituir a lei de formação do campo elétrico na terceira de equação de Maxwell.





    V  

R 2 B k t

Distribuindo o produto vetorial sobre os vetores e substituindo o campo magnético:         V  



R2    A k t



Pela identidade vetorial, a primeira parcela do lado esquerdo é zero, além disso, a derivada temporal comuta com o rotacional. Assim, podemos escrever nossa equação da seguinte forma:  R 2 A   V        k t 

Portanto, o vetor V será dado por:

V 

R 2 A k t

E a regra de formação dos campos elétrico e magnético são:  R 2 A E  ,     k t  B    A 

No sistema S’ esses vetores terão coordenadas definidas por:  R 2 A ,  E      k t    B    A 

P á g i n a | 5-1977

Essas são as transformações do gauge de Poincaré que é válido para qualquer variedade espaço-temporal. Por meio dessa transformação, podemos calcular as transformações do campo elétrico e do campo magnético. Comecemos pelo campo elétrico, para isso escreveremos as equações das componentes do campo elétrico no referencial S’ e as do campo magnético no referencial S.

Bx    y Az   z Ay 

  R  t Ai  Ei     i  k   2

By    z Ax   x Az  Bz    x Ay   y Ax 

Começaremos estudando a componente x do campo elétrico. Aplicando as transformações do 4-Gradiente e do 4-Potencial,   BR 2 R2  t    t Ax  R 2 x Ax  Ex     x   k k  







Ex     x   BR Ax  2







2



BR k



2





 t   BR Ax  2



R

k



2

2

2

2



 t  Ax  B   BR  x  Ax  B  

 BR

Ex    x 1  B R    x BR  BR Ax   t  2

2

 k

2



2

BR 

R  2 2    t 1  B R  Ax   k  k  2



2

Usando o fator de Poincaré e realizando as simplificações algébricas:  R2 2  Ex   2  x   t Ax  k      R2  t Ax  Ex    x  k  

Ex  Ex

P á g i n a | 5-1978

Para a componente y, teremos a relação entre o sistema S’ e S:   R2 E y    y   t Ay  k  

  R2 E y     y   R 2 Ax    t Ay  R 2 x Ay  k     R2 E y     y   t Ay  R 2 x Ay  R 2 y Ax  k     R2  t Ay  R 2   x Ay   y Ax   E y     y  k   2     R  t Ay   R 2   x Ay   y Ax   E y       y  k     A primeira parcela dentro do colchetes é a componente y do campo elétrico e a segunda parcela é a componente z do campo magnético, ambas no referencial S.

E y    E y  R 2 Bz  E, analogamente, para componente z, teremos:   R2 t Az  Ez    z   k  

  R2  t Az  R 2 x Az  E y     z   R 2 Ax   k       R2  t Az   R 2   y Az   x Az   E y       z  k    

P á g i n a | 5-1979

A primeira parcela dentro do colchetes é a componente z do campo elétrico e a segunda é a componente y do campo magnético no referencial S.

Ez    Ez  R 2 By 

Para o campo magnético, usaremos o conjunto de equações:

Bx   y Az  z Ay 

Bx    y Az   z Ay 

By   z Ax  x Az 

By    z Ax   x Az 

Bz   x Ay  y Ax 

Bz    x Ay   y Ax 

  R2  t Ai  Ei     i  k  

Para a componente x do campo magnético, usando o potencial, obtemos:

Bx    y Az   z Ay 

O termo em parêntesis é a componente Bx, portanto: Bx  Bx

Para a componente y, teremos: By   z Ax  x Az    R 2 By     z  Ax      x Az   t Az  k   2   R By     z Ax   z   x Az   t Az  k   2    R By     z Ax   x Az      z   t Az   k   

P á g i n a | 5-1980

A primeira parcela no colchetes é a componente y do campo magnético e a segunda parcela é a componente z do campo elétrico:

By    By  Ez  Por derradeiro, a componente do z se transforma pela regra:

Bz   x Ay  y Ax    R 2 Bz     x Ay   t Ay   y  Ax     k   2   R By     x Ay   y Ax   t Ay   y  k   2    R  t Ay   By     x Ay   y Ax      y  k    A primeira parcela no colchetes é a componente z do campo magnético e a segunda parcela é a componente y do campo elétrico com o sinal invertido:

Bz    Bz  E y  Portanto, deduzimos sem qualquer dificuldade e ambiguidade, as transformações do campo elétrico e do campo magnético. Esse método é ainda mais simples que o método empregado por Lorentz em 1904, Poincaré em 1905-1906 e Einstein em 1905. Observe que nossa formulação difere de outras notações, pois estamos adotando mesmo sistema de medidas adotado por Albert Einstein, conhecido como sistema de coordenadas hertzianos. As convenções adotadas não alteram o significado físico das equações.

P á g i n a | 5-1981

B.

Formas Topológicas do Campo Elétrico e Magnético

Para provarmos que nossa formulação é consistente com a topologia do espaço-tempo arbitrário, vamos calcular as equações de propagação do campo elétrico e do campo magnético. Tomemos as equações de Maxwell modificadas: R 2 B k t 1 E  B  k t

E  0

 E  

B  0

Aplicando o rotacional sobre o rotacional do campo elétrico,





  E 

 B  R2   k  t 

Como os operadores comutam, podemos reescrever a equação:

R2    E   B k t









Substituindo o valor do rotacional do campo magnético:   E 

R 2   1 E    k t  k t 



R2 2 E k 2 t 2







  E  

Usando a identidade de Laplace para o duplo rotacional:

R2 2 E  E  E   2 2 k t





2

Como a divergência do campo elétrico no vácuo é zero,

P á g i n a | 5-1982

2 E 

R2 2 E 0 k 2 t 2

Aplicando o rotacional sobre o rotacional do campo magnético,





  B  

 E  1   k  t 

Como os operadores comutam, podemos reescrever a equação:





  B  

1   E k t





Substituindo o valor do rotacional do campo elétrico: 1   R 2 E    B    k t  k t 









  B  

R2 2 B k 2 t 2

Usando a identidade de Laplace para o duplo rotacional:

R2 2 B  B  B   2 2 k t





2

Como a divergência do campo elétrico no vácuo é zero,

R2 2 B  B 2 2 0 k t 2

Que coincide com as formas topológicas da luz que calculamos anteriormente, por um processo diferente. Portanto, as modificações que empregamos são consistentes com topologia da luz. Desta forma, o campo elétrico e magnético e as formas de propagação da radiação no vácuo são propriedades topológicas da variedade.

P á g i n a | 5-1983

C. Eletromagnetismo em Variedades Galileanas e Euclidianas Vamos agora verificar como as equações de Maxwell se comportam nas variedades espaço-temporais Galileana e Euclidiana. A variedade Lorentziana corresponde a teoria eletromagnética usual e dispensa análise. Mais uma vez, escrevamos as equações de Maxwell no vácuo:

E  0 B  0

R 2 B  E   k t 1 E  B  k t

A única equação que é afetada pela característica-R da variedade é a lei de Faraday. Para uma variedade galileana, R² é nilpotente de segunda ordem, portanto é zero. A equação de Faraday assume a seguinte forma:

 E  0 Isso significa que o campo elétrico é irrotacional em todos os pontos e por isso o campo elétrico é apenas uma função do potencial elétrico. Essa equação também indica que não existe indução elétrica por meio da variação de um campo magnético. Além disso, os campos elétricos e magnéticos e a forma da luz, não seriam de ondas esféricas, mas harmônicos esféricos que satisfariam a equação de Laplace-Beltrami:

2 E  0

E  r ,  ,    R  r  Yl m  ,  

2 B  0

B  r ,  ,    R  r  Yl m  ,  

2   0

  r ,  ,    R  r  Yl m  ,  

P á g i n a | 5-1984

Na variedade de Galileu também não podemos associar a velocidade de propagação desses harmônicos esféricos com a velocidade da luz, pois a constante k de velocidade não está presente. A figura abaixo representa os modos de vibração dos harmônicos esféricos.

P á g i n a | 5-1985

Para uma variedade euclidiana, R² é a unidade negativa. A equação de Faraday assume a seguinte forma:

 E 

1 B k t

Isso significa que o campo elétrico sofre uma rotação no sentido oposto, em relação a variedade Lorentziana. Essa equação também indica que a indução por meio da variação de um campo magnético ocorre no sentido contrário do usual. Além disso, os campos elétricos e magnéticos e a forma da luz, não seriam de ondas esféricas, mas harmônicos esféricos associados perturbações periódicas no tempo que satisfazem a equação de Laplace-Beltrami temporal:

2 E 

1 2 E 0 k 2 t 2

E  r ,  ,  , t   R  r  Yl m  ,    Aeikt 

2 B 

1 2 B 0 k 2 t 2

B  r ,  ,  , t   R  r  Yl m  ,    Aeikt 

1 2   2 2 0 k t 2

  r , ,  , t   R  r  Yl m  ,    Aeikt 

Na variedade de Euclides também podemos associar a velocidade de propagação desses harmônicos esféricos com a velocidade da luz, embora o valor de propagação da velocidade da luz possa ser diferente de c. O caráter negativo da dimensão de tempo, inverte a orientação da indução e do rotacional do campo elétrico. Essas propriedades podem de alguma forma estar ligada as exóticas propriedades dos meta-materiais. Caso essa hipótese se verifique, poderíamos supor que o meta-material atua localmente sobre o tempo fazendo que ele apresenta um caráter dimensional negativo e fechado.

P á g i n a | 5-1986

7.6. Outras Topologias Possíveis do Espaço-Tempo Vamos construir dois novos quartenions que chamaremos de quartenions de Poincaré perplexo, complexo e híbrido: PH  lx  my  nz  Rt x, y, z , t  , l , m, n, R    pL pM pN , m , n l 2 2 2 pL pM pN , m , n  l  2 2 2

Vamos calcular as normas ao quadrado desses quartenions: P 2   lx  my  nz  Rt  lx  my  nz  Rt 

P 2    l 2 x 2  m2 y 2  n 2 z 2  R 2t 2  l , m xy 

l , n xz  l , R xt  m, n yz  m, R yt  n, R zt  Definindo as relações de comutação entre os números híbridos, podemos gerar basicamente todos os quarteniões e todas variedades espaço-temporais planas possíveis de baixa dimensão. Vamos analisar as variedades não duais, adotando a convenção de Ségre. Nessas condições, todos os anticomutadores se anulam:

P 2    l 2 x 2  m 2 y 2  n 2 z 2  R 2t 2  Por conveniência, vamos adotar o seguinte postulado: os números espaciais pertencem ao mesmo anel, que denotaremos por A e a soma das coordenadas espaciais ao quadrado denotaremos por r²:

P 2    A2 r 2  R 2t 2 

P á g i n a | 5-1987

Como todos os números reais comutam com os números complexos, podemos pôr a equação acima na forma complexa:

P2  i 2 A2r 2  i 2 R2t 2 Agora vamos analisar os casos possíveis: 1) Se os dois anéis forem imaginários puros, teremos o espaço-tempo euclidiano (elíptico):

P2  r 2  t 2 Esse espaço corresponde, em nosso modelo, a um espaço-tempo com três dimensões negativas e um tempo negativo. Como espaço tridimensional negativo é uma cópia idêntica do espaço tridimensional positivo, essa é razão da escolha de dois anéis imaginários gerarem um espaço euclidiano idêntico ao gerado por um anel real no espaço e um anel imaginário no tempo. 2) Se A for imaginário e R for perplexo, teremos o espaçotempo lorentziano (hiperbólico de uma folha ou cônico):

P2  r 2  t 2 Essa configuração é idêntica à forma quadrática convencional do espaço-tempo, porém, os eixos espaciais são de dimensão negativa e o eixo temporal de dimensão positiva. Devida a imponderabilidade do espaço tridimensional positivo e negativo, ele também irá gerar um cone de luz onde os vetores são conectados por vínculos de espaço, tempo e luz, exatamente como a variedade lorentziana. 3) Se A for perplexo puro e R for imaginário, teremos o espaço-tempo pseudo-lorentziano (hiperbólico de duas folhas):

P2  t 2  r 2

P á g i n a | 5-1988

Essa configuração é semelhante à forma quadrática convencional do espaço-tempo, porém existem diferenças conceituais. Nesse espaço, o tempo é uma dimensão que formam anéis perpendiculares aos eixos espaciais. Se realizarmos cortes com planos constantes em uma direção espacial qualquer, teremos hiperboloides de duas folhas, onde os anéis são eixos temporais. Na estrutura desse trabalho, partimos da convenção que o espaço apresenta dimensões reais. Porém, se o nosso espaço apresentar dimensões perplexas, podemos construir um espaço-tempo com as mesmas características das variedades de Lorentz e com tempo fechado. O tempo seria cíclico, se transformaria de acordo com a covariância de Lorentz. Todas as propriedades que estudamos continuariam sendo válidas nesse espaço. O fato dos eventos causais ocorrerem dentro de um hiperboloide de duas folhas, não poderíamos dizer se as dimensões do espaço são reais ou perplexas e, portanto, se o tempo é aberto ou fechado. Parafraseando Poincaré (1902) a escolha é apenas uma questão de conveniência (oportunismo epistemológico). 4) Se os anéis forem perplexos, teremos o espaço-tempo Supra-Luminal:

P2  r 2  t 2 Esse seria um espaço euclidiano onde encomtramos as partículas denominadas de táquions. Para verificarmos esse fato, vamos extrair a raiz quadrada de P: P  i r2  t2

O espaço de métricas imaginárias é o espaço dos táquions. Esse espaço é formado pela intersecção das dimensões perplexas de espaço e tempo. Esse espaço admitiria apenas velocidades supra luminais. Desta forma percebemos que se o espaço tridimensional perplexo deve se comportar como o espaço de com três dimensões

P á g i n a | 5-1989

reais ou imaginárias com um tempo de dimensão invertida. O espaço tridimensional perplexo com tempo positivo (resp: negativo) é idêntico ao espaço tridimensional real com tempo negativo (resp: positivo). 5) Se os dois anéis forem híbridos, teremos o espaço-tempo Luminal: Se definirmos, os números híbridos pela seguinte regra:

l  pi mq j nrk

l   p  i

l2  0

m  q  j

m2  0

n  r  k 

R  s  1

n2  0

R   s  1





R2  0

A partir dessa definição, geraremos os espaços com conexões do tipo luz.

P2  0 Observe que se trocarmos os números perplexos por números reais, obteríamos o mesmo resultado. Nos espaço-tempo luminal todos os fenômenos ocorreriam a velocidade da luz e todos os eventos seriam simultâneos. O espaço não teria uma forma definida, uma vez que haveria uma compensação das dimensões. As dimensões perplexas cancelariam as dimensões complexas, reduzindo a dimensionalidade do espaço à zero. Em síntese, se admitirmos que as dimensões do espaço podem ser arbitrárias como as do tempo, teremos outras variedades de espaçotempo, incluindo uma variedade que admite um tempo cíclico e é covariante em Lorentz.

P á g i n a | 5-1990

7.7. Um Anel Para Todos Comandar Na seção anterior obtivemos importantes resultados ao assumuir que o espaço pode não ter dimensões inteiras positivas. Se queremos desenvolver uma topologia de baixa dimensão unificada precisamos construir um anel que unifique todos esses resultados. Denotarmos esse “um anel” por R, a característica anelar do espaço por A e do por S (uma singela homenagem à personagem Sauron, do filólogo J. R. Tolkien), teremos a seguinte relação:

R 2   1

2  A, A

S2

A característica do anel espacial pode ser a unidade real (ei), a unidade imaginária (ii) ou a unidade perplexa (pi). Assumindo que os índices i e j podem variar de 1 a 3, portanto os possíveis produtos internos entre A e S, serão:

ei , ei  1 ii , ii  1 pi , p j  1 Observe que tanto o anel com característica real (dimensão positiva) como o anel com característica imaginária (dimensão negativa) tem módulo positivo, enquanto o espaço de dimensão perplexa (dimensão positiva) tem módulo negativo. Essa é razão do espaço perplexo inverter as regras do tempo. Deixe-me exemplificar. Tomemos um espaço-tempo de dimensões espaciais perplexas.

3 p , R  2

2

Agora vamos calcular o valor do anel R:

P á g i n a | 5-1991

R 2   1

2 p , p

R 2   1

2 1

S2

S2

R2  S 2

Se a variedade temporal for imaginária, teremos:

R 2  i 2 R2  1 Portanto, o anel central terá característica 1 e terá todas as propriedades de uma variedade de Lorentz, mas com 3 eixos perplexos e 1 eixo imaginário. Se t for perplexa, teremos:

R2   p2 R 2  1 A variedade irá se comportar como um euclidiano onde todas as conexões são supra-luminais. Em outras palavras, nossa nova forma de escrever os anéis, recupera todos os resultados que escrevemos anteriormente, assim podemos incluir novas variedades todo tipo espaço-tempo. As diferentes combinações usando números hipercomplexos, podem criar variedades ainda mais exóticas. Outros métodos topológicos consistem em enxertar topologias diferentes dentro da variedade, como se costurássemos sobre uma manta um novo tecido. Usando as regras aqui deduzidas podemos combinar efeitos e manipular a variedade. Em conclusão, aqui o um anel, a estrutura unificada que permite explorar essas possibilidades, dentro dos limites da matemática e da lógica e que pode nos ensinar, senão qual a topologia mais verdadeira, mas qual é a mais cômoda. A Tabela abaixo apresenta uma síntese dos resultados para construir o um anel:

P á g i n a | 5-1992

P á g i n a | 5-1993

A Inteligibilidade do Espaço-Tempo Hermann Minkowski defendia que o espaço-tempo criado por Poincaré e aprimora do por ele, de todos os espaços era aquele que apresentava maior inteligibilidade. Porém, o que o nosso estudo aponta é que tal conclusão é um tanto precipitada. Inicialmente, construímos três variedades espaço-temporais usando o anel hipercomplexo de característica singular R. Destas três variedades, aquela que parece ser mais adequada a experiência é a variedade lorentziana, pois tanto a forma invariante da luz, a covariância e a invariância da velocidade da luz e os potenciais topológicos que conhecemos se adequam melhor a essa variedade. Portanto, em um primeiro momento nos sentimos forçados a concordar com Minkowski e descartar as variedades galileanas e euclidianas. Porém, nessa análise existe um pressuposto tácito que parece tão natural ao espírito: o espaço apresenta três dimensões inteiras e positivas. Porém, a teoria das dimensões negativas nos ensina que o espaço seria idêntico, em todos os aspectos, se tivesse três dimensões inteiras negativas. Então assim como Poincaré somos obrigado a concluir que: “a experiência nos guia nessa escolha e não nos a impõe; nos faz reconhecer qual geometria é mais cômoda e não qual é a mais verdadeira” (POINCARÉ, 1902, p. 91). O problema que se punha diante Minkowski era o decidir sobre qual das três variedades melhor se aplicam a experiência. Esse estudo mostrou que aquela que contém as propriedades topológicas mais adequadas é a de Lorentz. Porém, tendo resolvido essa questão, outra mais sútil apareceu: qual variedade de Lorentz? Como provamos não existe uma, mas três variedades de Lorentz: com espaço linear e tempo linear, espaço cíclico e tempo linear, espaço linear (perplexo) e tempo cíclico. Todas estas três variedades apresentam as mesmas propriedades locais e globais em relação ao espaço, as mesmas propriedades locais em relação ao tempo. A

P á g i n a | 5-1994

variedade com tempo cíclico é globalmente diferente das lineares, porém, ao que tudo indica, os efeitos produzidos por ela seriam indistinguíveis de suas companheiras, de forma que não saberíamos dizer por meio de experiências se globalmente o tempo é linear ou cíclico. Essa é uma questão delicada, e não podemos nos precipitar nas conclusões sem antes fazer uma investigação muito cautelosa, tanto quanto a que empregamos na teoria da dimensionalidade negativa. No que tange a questão de pesquisa, esse estudo intero é sua resposta, pois ele contém um roteiro pormenorizado de como se construir a topologia de baixa dimensão unificada por meio de um anel. Quanto aos objetivos, conseguimos atingi-los e elucidar uma nova teoria do potencial, relacionar a variação da entropia a componente temporal de Lorentz, provando que a seta do tempo depende da variação da entropia e que mesmo em uma variedade de tempo cíclico a entropia deve continuar crescendo. Em outras palavras, a pesquisa atinge a sua demanda inicial e consegue ir além. Acredito que o mais importante seja a curiosidade e a imaginação, citando uma frase célebre de Poincaré: “a liberdade é para a ciência o que o ar é para o animal.”, sem a liberdade de nos entretermos em questões que nos desafiam, mesmo que para a maioria de nossos colegas pareçam irrelevantes, deixamos de apreciar o que há de melhor na ciência: a satisfação de nossas necessidades intelectuais. Quando escrevi o texto da a dimensionalidade, meu intuito era explorar definições mais apropriadas de dimensão a partir as colocações de Poincaré. Explorei as dimensões negativas como um exercício de imaginação e curiosidade. Na ocasião não conseguia ver alguma utilidade a elas ou imaginar o que seria uma linha sem translações, apenas com rotações. Somente quando eu terminei minha teoria do novo potencial e associei a equação do potencial a característica ao quadrado do anel que tive esse insight. Uma linha

P á g i n a | 5-1995

fechada suave admite apenas rotações, como o tempo imaginário é um eixo fechado, como as latitudes, ele poderia ter dimensão negativa visto que sua característica ao quadrado é -1. Assim consegui conectar as minhas pesquisas sobre estas três variedades. É claro que existem muitas questões em aberto como um entendimento melhor sobre dimensões negativas superiores. Compreender as propriedades do espaço-tempo híbrido. Verificar como a curvatura e a torção modificam os potenciais, ou em outras palavras, como a curvatura e a torção alteram a linearidade de nossas equações diferenciais? A estrutura de quartenions poderá corresponder as nossas variedades ou a outras variedades? As dimensões adicionais exigidas em teorias de vanguarda, elas se relacionam da mesma forma com os nossos anéis? Há mais perguntas do que respostas, mas isso é parte do progresso científico. Este trabalho não tem como objetivo esgotar as discussões sobre a topologia de baixa dimensão do espaço-tempo, mas levantar possibilidades e ampliar as discussões. Embora concordemos com Poincaré que a experiência não pode nos dizer que se o espaço tridimensional é positivo, negativo ou perplexo e nem se o tempo é linear ou cíclico, não descartamos a possibilidade de que existam efeitos ainda desconhecidos que nos permitam decidir a questão. Para além destas questões ontológicas, nessa pesquisa nos ficamos em variedades planas, por isso é necessária uma extrapolação dessas ideias para variedades curvas ou com torção. Outro ponto está em uma investigação mais detalhadas do que chamamos de física topológica. Realizamos aplicações à teoria do potencial e a forma da luz, obtendo resultados satisfatórios, é importante verificar essas aplicações para outros campo da física, principalmente a mecânica quântica. As linhas coordenadas (6vetores) do espaço-tempo correspondem justamente as componentes do campo elétrico e magnético. Pode-se mostrar, sem muita

P á g i n a | 5-1996

dificuldade, que a teoria das dimensões inteiras (não-negativas e negativas) pode descrever integralmente os fenômenos eletromagnéticos. Porém, a questão que surge é: seriam as linhas coordenadas gerais as expressões do campo elétrico e magnético nas variedades generalizadas? A resposta é positiva, desde que incluamos na lei de Faraday característica-R. Essa modificação nos leva ao Gauge de Poincaré que nada mais é que o Gauge de Lorentz que incluía características anelares. Uma perspectiva de trabalho futuro é um estudo mais sistemático sobre as variedades euclidianas usando o Gauge de Poincaré, estes estudos podem ajudar a compreender se o tempo pode, localmente formar loops fechados e permitir uma conexão com as propriedades ópticas dos metamateriais. Como os meta-materiais apresentam índice de refração negativo e conseguem fazer a luz percorrer eixos curvos, parece-nos razoável assumir que a teoria das dimensões negativas aplicado ao espaço-tempo possa fornecer novas perspectivas nesse campo. Mas para isso, seria necessário, expandir a teoria topológica do eletromagnetismo e derivar desta teoria as propriedades ópticas: reflexão e refração. É possível que física topológica também possa ajudar na nossa compreensão de temperaturas abaixo do zero absoluto e das super máquinas térmicas. Em conclusão, só consigo pensar na frase célebre de Isaac Newton: “o que sabemos é uma gota; o que ignoramos é um oceano.”, por isso é preciso de coragem para buscar em campos desconhecidos. Acredito que meu guia, a matemática, em particular a topologia, foi muito bem aproveitado e me manteve distante dos erros triviais e grosseiros, e os equívocos que por ventura eu cometi, são consequências de uma mente audaciosa, e é através de palpites audaciosos e da rupturas dos métodos e tradições que a ciência progride.

P á g i n a | 5-1997

Anexo: Tópicos de Cálculo Fracionário A. Generalização da Segunda Fórmula De Liouville A partir da transformada de Laplace conseguimos deduzir a derivada arbitrária da função 1/sn, que é justamente a segunda fórmula do cálculo fracionário de Liouville. Como o proeminente matemático usou variações da função gama, ele não foi capaz de obter uma fórmula mais geral. O resultado que apresentaremos aqui não aparece na literatura do cálculo fracionário. Muito provavelmente, os matemáticos ao criarem formas mais gerais de se obter derivada arbitrária de qualquer função contínua, deixaram de explorar outras possibilidades envolvendo a fórmula de Liouville. Apesar disso, essa generalização não deixa de ser interessante, principalmente para o estudo das derivadas topológicas, visto que esse é um corolário da derivada automórfica. Recordemos a definição de derivada arbitrária, via transformada de Laplace:

dF  s     1 L t  f  t   ds O problema consiste em determinar uma função f(t) que corresponda à F(s), para isso iremos usar a transformação inversa de Laplace. Uma função F(s) apresenta uma transformada inversa se satisfizer o limite abaixo:

lim F  s   0 s 

Portanto, a generalização da segunda fórmula de Liouville não se aplica a todas funções contínuas, mas apenas um grupo que converge para zero no infinito. Restringindo as funções a essa condição, podemos aplicar a transformada inversa: L1  F  s   f  t 

P á g i n a | 5-1998

`Substituindo o valor de f(t) na transformação de Laplace, obtemos a generalização da segunda fórmula de Liouville:

dF   s     1 L t  L1 F  s   ds





Em geral, consulta-se tabelas para efetuar a transformação inversa de Laplace, porém, existe uma fórmula de inversão dada pela integral: L1 F  s  

d  F  s   1  ds 2 i







0

1 c  i F  s  e st ds 2 i c i

t



c  i

c  i



F  s  e st ds e  st dt

Essa é a segunda fórmula generalizada de Liouville.

B. Análise Real e a Análise Fracionária O estudo formal das derivadas e integrais de uma função é feito a partir do estudo da continuidade em um intervalo aberto e do limite desta função sobre certos pontos. Formalmente, definimos a derivada de uma função em um ponto P, por meio do limite:

F s  F  p dF  lim ds s  p s p Entretanto, a nossa derivada fracionária não foi obtida por um processo de limite, mas a partir das propriedades da transformada de Laplace. Seria possível definir a derivada fracionária em termos de um limite? A resposta mais sincera é: depende do tipo de derivada. Como a literatura nos mostra, não há uma única formulação de

P á g i n a | 5-1999

derivada fracionária e cada uma delas tem suas peculiaridades. Portanto, vamos restringir a nossa pergunta: é possível definir as derivadas homeomórficas e automórficas em termos de um limite? Por hora, só tivemos sucesso em obter uma definição para as derivadas automórficas, graças a generalização da segunda fórmula de Liouville e as características únicas da derivada exponencial. A Derivada Automórfica e a Derivada Inteira Dado um conjunto de funções que forma um semi-grupo cíclico em relação ao produto, é sempre possível definir uma derivada automórfica3. Para as funções de Liouville e de Poincaré, a derivada automórfica se relaciona com uma enésima derivada inteira (onde n deve satisfazer a condição de automorfismo). As funções de Liouville se relacionam as derivadas de ordem inteira por meio da generalização da segunda fórmula de Liouville:

dF  s     1 L t  L1 F  s   ds dF  s     1 L t nt   n L1  F  s   ds 









n dF  s   n d   1 L t   n L1  F  s   n ds ds





com t   n L1  F  s   Me st Para a função exponencial, a relação é ainda mais simples, pois basta impormos que a função exponencial deve ser uma autofunção: 3

No caso mais restrito a derivada automórfica é a derivada de ordem zero.

P á g i n a | 5-2000

Nestas condições, para a exponencial crescente teremos: d   e Rs  ds d   e Rs  ds

 R e Rs R

 n

d n  e Rs  ds n

Enquanto, para o exponencial decrescente teremos: d   e  Rs  

ds d  e  Rs  

ds

  1 R e  Rs 

  1

 n

R  n

d n  e  Rs  ds n

Portanto, para a função Par de Poincaré, teremos:  n n  Rs d  PR  s   e   1 e  Rs   n d R   ds ds n  2   n R R R R d  PR  s   R  n d n  P  s   RP  s    1  P  s   RP  s       ds 2 ds n  2     R n  n d P  s   R d  R  n  n  P s 1   1   RPR  s  1   1 n       ds 2 ds 









n R n R d  PR  s   R n R n1   n d P  s    n 1 d P  s    1   1 1   1 ds ds n ds n 2 2





E para função ímpar de Poincaré, teremos:





P á g i n a | 5-2001

 n n  Rs d  PR  s   e   1 e Rs   n d R   ds ds n  2R    n 1 R R PR  s   RPR  s     d  PR  s   R n1 d n  P  s   RP  s    1    2 ds n  2 ds   

d  PR  s   R  n 1 d n  R   n 1   n 1  P s 1   1   RPR  s  1   1 n       ds 2 ds 









n R n R d  PR  s   R n 1 R  n   n d P  s    n d P  s    1   1 1   1 ds ds n ds n 2 2









A Derivada Automórfica como Limite de uma Função Uma vez que podemos relacionar as derivadas automórficas das funções de Liouville e de Poincaré às derivadas de ordem inteira, podemos obter a forma limite dessas funções assumindo n = 1. Desta forma um problema de análise arbitrária se torna um problema de análise real e está sujeito a todos resultados desse campo. Para as funções de Liouville, a sua forma limite será dado pela seguinte relação:



 







L t  1L1 F  s   L t  1L1 F  p  dF   s   1   1 lim s p ds s p

L t  1L1 F  s   F  p  L t  1  t  dF   s   1   1 lim s p ds s p

Para o delta de Dirac temos a seguinte propriedade:

P á g i n a | 5-2002



 G t   t  dt  G  0 L t    t    t  e   t  dt  0 0



1

1  st

 

 1

0

Portanto, a derivada arbitrária será definida pelo limite:





L t  1L1 F  s  dF   s   1   1 lim s p ds s p

Para a função exponencial, a relação é direta e dada por:

d   e Rs  ds

d   e Rs  ds

e Rs  e Rp s p s p

 R 1 lim   1

 1

e Rs  e Rp s p s p

R 1 lim

Enquanto para as funções de Poincaré, teremos: d  PR  s   R 1 PR  s   PR  p   1   1 lim   s p 2 ds s p





PR  s   PR  p  R  1   1 lim s p 2 s p





d  PR  s   R PR  s   PR  p   1 1 lim       s p 2 ds s p





P R  s   PR  p  R 1  1 1   1 lim  s p 2 s p





P á g i n a | 6-2003

O Princípio da Relatividade

Ensaios Originais (Henri Poincaré)

AYNI R. CAPIBERIBE (ORGANIZAÇÃO, TRADUÇÃO. MODERNIZAÇÃO)

VOLUME VI

P á g i n a | 6-2004

ÍNDICE (VOLUME 6) INTRODUÇÃO ..................................................................... 6-2006 A Mecânica Relativística de Poincaré ................................ 6-2008 A Relatividade do Espaço ..................................................... 6-2035 A Medida do Tempo ............................................................. 6-2055 Teoria de Lorentz e o Princípio da Igualdade da Ação e da Reação .................................................................................... 6-2070 Experimento e Geometria..................................................... 6-2105 A Mecânica Clássica ............................................................ 6-2119 O Movimento Relativo e o Movimento Absoluto ............... 6-2136 As Teorias da Física Moderna ............................................. 6-2145 A Eletrodinâmica .................................................................. 6-2163 Fenômenos Eletromagnéticos em um Sistema que se Move com Qualquer Velocidade Menor que a da Luz ........................ 6-2180 A História da Física Matemática ......................................... 6-2214 A Crise Atual da Física Matemática.................................... 6-2221 O Futuro da Física Matemática ........................................... 6-2234 ELETRICIDADE: Sobre a Dinâmica do Elétron .............. 6-2242 Sobre a Dinâmica do Elétron ............................................... 6-2248 Introdução ......................................................................... 6-2248 § 1. — Transformação de Lorentz .................................. 6-2253 § 2. — Princípio de Mínima Ação .................................... 6-2263

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§ 3. — A Transformação de Lorentz e o Princípio de Mínima Ação .................................................................................... 6-2275 § 4. — O Grupo de Lorentz .............................................. 6-2280 § 5. — Ondas de Langevin ................................................ 6-2284 § 6. — Contração de Elétrons ........................................... 6-2294 § 7. — Movimento Quase Estacionário ........................... 6-2308 § 8. — Movimento Arbitrário........................................... 6-2320 § 9. — Hipóteses Sobre a Gravitação .............................. 6-2324 A Dinâmica do Elétron ......................................................... 6-2343 Dois Artigos de Henri Poincaré Sobre Física Matemática .... 6-2389 Correspondência entre Poincaré e Lorentz ........................ 6-2400 § Carta 1 ............................................................................. 6-2402 § Carta 2 ............................................................................. 6-2405 § Carta 3 ............................................................................. 6-2406 § Carta 4 ............................................................................. 6-2409 § Carta 5 ............................................................................. 6-2411 § Carta 6 ............................................................................. 6-2412 § Carta 7 ............................................................................. 6-2413 Referências e Bibliografia ................................................... P-2414

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INTRODUÇÃO Essa obra é a base que permitiu construir a estrutura de minha dissertação de mestrado, adaptada no primeiro livro dessa coleção: O Princípio da Relatividade Volume 1: Henri Poincaré (1854-1912). Quando iniciei minha pesquisa histórica, parte do trabalho consistia em traduzir os artigos de Poincaré. Durante um ano inteiro trabalhei sobre três artigos: Teoria de Lorentz e o Princípio da Igualdade da Ação e da Reação (1900), Sobre a Dinâmica do Elétron (1905) e Sobre a Dinâmica do Elétron (1906). Minha maior dificuldade foi compreender a notação empregada por Poincaré e me acostumar com sistema hertziano de unidades. Essa tarefa pode ser empreendida sem mais dificuldades, graças aos trabalhos Poincaré's Rendiconti Paper On Relativity (Schwartz, 1971, 1972), Sur les articles de Henri Poincaré (Logunov) e Henri Poincaré and Relativity Theory (Logunov, 2005) e A Study of Henri Poincaré's ''Sur la Dynamique de l'Électron'' (Miller, 1973) que discutem a questão da notação e fazem importantes comentários que esclarecem as principais ideias de Poincaré. Quanto a tradução, consultei os originais e sempre que havia dúvida sobre uma palavra ou expressão procurei versões em inglês e, quando possível, em português para aumentar a acurácia. Como os livros filosóficos de Poincaré são ensaios publicados outrotra, mas adaptados a temática do livro, tive por cuidado consultar o ensaio original, o presente no livro e nas edições posteriores. Todas as diferenças são assinaladas e comentadas por meio de notas de roda pé. Assim, o leitor estará a par de toda a evolução do texto. A edição alemã do livro A Ciência e a Hipótese apresenta um importante apêndice que contém trechos do ensaio A Medida do Tempo e discussões mais detalhadas sobre a sincronização de relógios. É possível que esta tenha sido a cópia que Einstein e seus

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amigos, Solovine e Habicht, leram. Infelizmente só fui ter acesso a essa obra depois de ter concluído esse volume. Por essa razão, esses acréscimos não se encontrarão presente nessa obra. Peço mil desculpas por essa falta. Incluí também a correspondência entre Lorentz e Poincaré, que nos permite compreender o espírito científico da época e a construção da relatividade de Poincaré. Infelizmente, algumas destas correspondências ou foi perdida ou ainda está para ser descoberta. Atualmente temos apenas sete registros. Todos foram traduzidos para esta obra. Inclui nessa obra três textos que não são de Poincaré. O ensaio de 1904 de Lorentz é uma pedra angular no desenvolvimento da relatividade, toda a produção de Poincaré de 1904 à 1908 sobre a relatividade faz referência a esse ensaio. Por isso a necessidade de incluílo. A memória de Lorentz sobre Poincaré é um importante ensaio que esclarece qual era a percepção de Lorentz a respeito da prioridade de Poincaré e Einstein sobre a Teoria da Relatividade e quais as diferenças entre a abordagem de Poincaré e de Lorentz. O ensaio de abertura dessa coleção é de Logunov que defende a tese que os escritos de Poincaré contém toda a doutrina da relatividade, atribuída a Einstein. O autor faz um trabalho minuncioso rebatendo os críticos e argumentando com fontes primárias. Meu objetivo não é convencer o leitor da prioridade de Poincaré, mas provoca-lo para que lendo essa coleção ele conclua até que ponto Logunov tem razão. O acesso as fontes primárias só foi possível graças ao projeto da Universidade de Loraine, Henri Poincaré Papers, coordenador pelo historiador da ciência e da matemática Scott Walter, a quem estou em eterna dívida. Ayni R. Capiberibe Nunes [email protected] Instituto de Física / GEPECT

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A Mecânica Relativística de Poincaré (Poincaré’s Relativistic Mechanics) Por A. A. Logunov Henri Poincaré and Relativity Theory, pp 127–148, (publicado em 2005) Disponível em: https://arxiv.org/abs/physics/0408077

Henri Poincaré descobriu todos os elementos essenciais que compõem o conteúdo da teoria da relatividade especial. Qualquer pessoa que tenha se formado em física teórica e tenha lido atentamente pelo menos os seus dois artigos “Sur la dymanique de l’eléctron”1, pode verificar isso. Existem, também, outros pontos de vista “Poincaré não deu o passo decisivo” (de Broglie), “Poincaré estava, muito provavelmente, muito perto de criar o TRE, mas não chegou ao fim. Só se pode imaginar por que isso aconteceu.” (V. L. Ginzburg). Mas essas declarações caracterizam o nível de entendimento dos próprios autores sobre o assunto, em vez das proeminentes realizações de H. Poincaré na teoria da relatividade. O que surpreende é que os autores não apresentam nenhum indício de dúvida ao considerar sua própria incompreensão, ou a dificuldade que tinham na compreensão, como critério na avaliação dos estudos proeminentes realizados por Poincaré. Neste caso, não há necessidade de “especular”. Só é necessário ler os dois artigos de Poincaré, mencionados acima, e pensar. Em 1905, Poincaré escreveu dois artigos como mesmo título: “Sur la dynamique de l’électron”. O primeiro artigo foi publicado no Comptes Rendues em 05 de Junho de 1905, era uma versão resumida do segundo artigo que foi submetido ao Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo em 23 de Julho de 1905, porém, devido a um erro do editorial, foi publicado somente em Janeiro de 1906. (N.T). 1

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O professor A. Pais escreveu o seguinte em seu livro “Subtle is the Lord: the science and the life of Albert Einstein”, Oxford University Press2, 1982: “É evidente que, em 1909, Poincaré não sabia que a contração de hastes é uma consequência dos dois postulados de Einstein. (grifado por mim - A, L.) Poincaré, portanto, não entendeu um dos traços mais básicos da relatividade especial”. Observamos imediatamente que a declaração grifada está errada. Mas falaremos sobre isso depois. De tudo que A. Pais escreveu, segue-se claramente que ele próprio não entendia os fundamentos da relatividade especial. Deixe-me explicar. Poincaré demonstrou a invariância das equações de Maxwell-Lorentz com relação às transformações de Lorentz, o que era consistente com o princípio da relatividade, formulado por Poincaré em 19043 para todos os fenômenos físicos da natureza. Como já observamos, H. Poincaré descobriu a invariante fundamental4: J² = c²T² - X² -Y² -Z²

2 No Brasil esse livro foi publicado com título de “Sutil é o Senhor: a ciência e a vida de Albert Einstein”, pela editora Nova Fronteira. (N.T) 3 Apresentado pela primeira vez na conferência em St. Louis (1904) com o título de L’état actuel et l’avenir de la Physique mathématique. (N.T). 4 Na forma diferencial esse invariante é conhecido como métrica de Minkowski, pôs Hermann Minkowski apresentaria resultados semelhantes ao de Poincaré em 1908 em uma conferência intitulada Raum und Zeit (Espaço e Tempo). A wikipédia em inglês já credita Poincaré pela descoberta desse invariante. (N.T)

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Que estabelece a geometria do espaço-tempo. Ou seja, segue-se que a velocidade da luz ser constante é uma consequência particular desta fórmula, quando o invariante J é nulo. A. Pais tinha que entender que a contração de Lorentz está relacionado com um J negativo, i. e. para um intervalo do tipo espaço de J, não igual a zero. Quanto a dilatação do tempo, está relacionado com J positivo, isto é, J de um intervalo tipo tempo, mas certamente não igual a zero.5 Assim, a partir do exposto, fica claro que a contração das dimensões das hastes não é uma consequência apenas dos dois postulados de Einstein. Isto é o resultado de um conhecimento superficial dos fundamentos da teoria da relatividade. Assim, com tal conhecimento do assunto, A. Pais tentou provar nas páginas de seu livro que H. Poincaré não havia feito o passo decisivo para criar a teoria da relatividade! Ele, um físico, “reforçou” sua visão sobre a contribuição de H. Poincaré pela decisão da Sessão de Paris da Sociedade Filosófica Francesa em 1922. Tão simples que é! Os filósofos se encontraram e tomaram uma decisão, ao passo que provavelmente não estudaram obras de Poincaré sobre a teoria da relatividade. Mas tal estudo exigi um nível profissional adequado. Duvido que seu nível profissional deles tenha sido superior a um de A. Pais nesse campo. Devemos dizer que A. Pais era um cientista excepcional, independentemente dessas críticas, e fez muitas investigações notáveis. Quanto à contração de Lorentz, no artigo de 1906 (§ 6 “A contração de elétrons”), H. Poincaré trata detalhadamente dessa questão, fazendo uso das transformações de Lorentz. Tudo isso é claramente apresentado no artigo de 1906. Precisamente a unificação da relatividade e a eletrodinâmica de Maxwell-Lorentz permitiram a Poincaré formular nos seus dois artigos mencionados os Mais detalhes sobre os tipos de intervalo, sugiro consultar o capítulo 4 do livro Teoria da Relatividade Especial (2012) de Roberto de Andrade Martins. (N.T)

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fundamentos da teoria da relatividade. Quanto ao postulado sobre a constância da velocidade da luz6, mostrou-se apenas um simples dispositivo heurístico, mas não fundamental da teoria. É uma consequência da exigência de que os fenômenos eletrodinâmicos, descritos pelas equações de Maxwell-Lorentz nas coordenadas galileanas, sejam consistentes com o princípio da relatividade. A. Pais, mencionando o caráter do grupo das transformações de Lorentz, escreve (ver p. 130 do livro citado acima): “Ele, é claro, não sabia que algumas semanas antes alguém (Entende-se que seja A. Einstein. - A.L.) tinha notado independentemente as propriedades do grupo das transformações de Lorentz.”. Mas tudo isso está absolutamente incorreto. O artigo de H. Poincaré apareceu no “Comptes Rendus” em 5 de junho de 1905, ao passo que o artigo de A. Einstein foi enviado à editora em 30 de junho de 1905. H. Poincaré, descobriu o grupo e nomeou-o como grupo de Lorentz. Ele escreveu neste artigo: “Todas essas transformações, juntamente com todas as rotações, devem formar um grupo”. Nos artigos de 1905 e 1906 por H. Poincaré, as propriedades do grupo são amplamente utilizadas para a construção de quantidades físicas quadridimensionais, fornecendo a invariância de equações

Esse é o segundo postulado de Albert Einstein em seu famoso paper de 1905 sobre a relatividade. (N.T) 6

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eletrodinâmicas sob o grupo de Lorentz. Enquanto no artigo de A. Einstein apenas o seguinte é dito: “... a partir disso, vemos que tais transformações paralelas formam um grupo - como de fato deve ser”.7 Não há outra palavra sobre o grupo no artigo de Einstein. A partir daqui, sua incompreensão de que as quantidades eletrodinâmicas devem ser transformadas de acordo com o grupo, a fim de fornecer a invariância das equações exigidas pelo princípio da relatividade, segue naturalmente. Mas tudo isso leva à consequência de que algumas grandezas físicas se tornam quadridimensionais, por exemplo, densidade de corrente, potenciais, momentum e força. Impressionantes "descobertas" são feitas por certos historiadores perto da ciência. Aqui segue, por exemplo, uma “obra-prima” de tal atividade criativa. S. Goldberg escreveu o seguinte em seu artigo (“The British Journal for the History of Science”. 1970. Vol. V, No. 17, p. 73): “Poincaré manteve a noção de espaço absoluto em sua obra, quer esse espaço fosse ou não acessível à observação”.

7 Nessa passagem temos um fato bastante curioso em Einstein's Education Mathematics and the Laws of Nature (Pyenson, 1980) deixa claro que nessa ocasião Einstein não conhecia teoria de grupos. O historiador francês Auffray, em L'espace temps (1997), sugere que Einstein leu o artigo de 1905 de Poincaré, contudo não há qualquer evidência que sustente essa hipótese. A minha sugestão é que Einstein se inspirou no ensaio L’Experience et la Geométrie do livro La Science et l'Hypothèse (1902) de H. Poincaré que ele leu e discutiu com seus colegas da Academia Olympia entre 1902 e 1903. (N.T)

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“Havia na mente de Poincaré um sistema de referência privilegiado em que a velocidade da luz era realmente uma constante e apenas nesse sistema”. S. Goldberg atribui tudo isso a Poincaré sem nenhum fundamento. Já que, em 1902, no livro “La Science et l'Hypothèse”, Poincaré escreveu: “O espaço absoluto não existe. Nós só percebemos movimentos relativos”. “Tempo absoluto não existe”. Em 1904, Poincaré formulou o princípio da relatividade para todos os fenômenos físicos [cf. nota 3] e em 1905 estabeleceu que, de acordo com o princípio da relatividade, as equações do campo eletromagnético permanecem as mesmas em todos os sistemas inerciais de referência devido às transformações de Lorentz. Assim, a igualdade e a constância da velocidade da luz são fornecidas para qualquer sistema de referência inercial. Tudo isso é exposto nos artigos de H. Poincaré de 1905 e 1906, que deveriam ter sido cuidadosamente estudados por S. Goldberg antes de escrever uma opinião sobre Poincaré. Na avaliação das obras de 1905 e 1906, bem como nos primeiros trabalhos de H. Poincaré em física, é necessário proceder apenas a partir do seu conteúdo, comparando-o com as ideias contemporâneas, e não para ser guiado por afirmações externas sobre o assunto, mesmo que feita por cientistas de renome, contemporâneos de Poincaré, já que o nível de muitos deles era insuficiente para apreender plenamente o que Poincaré escreveu. Na

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época, sua personalidade era especialmente manifesta na medida em que, para ele, os problemas físicos e sua formulação matemática adequada se uniam naturalmente e compunham um único todo. Justamente por esse motivo, suas criações são exatas e modernas mesmo depois de cem anos. H. Poincaré foi um daqueles pesquisadores raros, para quem as ciências naturais e a matemática são o meio que as rodeia8. Os jovens de hoje, diplomados em física teórica, podem facilmente perceber isso, se pelo menos eles lerem as obras de Poincaré de 1905 e 1906. Quanto às afirmações do professor A. Pais e do doutor S. Goldberg, é o que já comentamos uma vez, o que vimos anteriormente é uma clara tentativa de atribuir sua própria incompreensão ao autor. Alguns autores que desejam enfatizar o caráter precedente dos artigos de H. Poincaré de 1905 e 1906 sobre a relatividade, damos duas citações seguintes do livro de W. Pauli “Teoria da Relatividade” escrito por ele em tenra idade em 1921: “Foi Einstein, enfim, que de certa forma completou a formulação básica dessa nova disciplina”. "Ele inclui não apenas todos os resultados essenciais contidos nos outros dois artigos, mas mostra uma compreensão inteiramente nova e muito mais profunda de todo o problema".

Não consiga achar uma frase melhor, mas o autor quis dizer que Poincaré via ciência e matemática em tudo. (N.T) 8

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Abaixo, vamos dar uma citação de W. Pauli relacionada ao mesmo assunto, mas escrita mais tarde, em 1955. À primeira citação de Pauli, deve-se dizer que as obras de 1905 e 1906 de H. Poincaré não precisam de qualquer conclusão adicional9. Todos os principais resultados que servem para a formulação completa da teoria da relatividade são estabelecidos ali e de forma muito mais definitiva. E quanto à segunda declaração de Pauli, o caso é exatamente o oposto. É suficiente comparar o conteúdo dos trabalhos de Poincaré e Einstein para concluir que os artigos de 1905 e 1906 de Poincaré contêm não apenas todo o conteúdo essencial do artigo de Einstein de 1905 (além disso, Poincaré apresentou sua formação detalhadamente em contraste com Einstein), mas também contém partes essenciais do trabalho posterior de Minkowski. E sobre as palavras de Pauli: “profunda compreensão de todo o problema”, é justamente o que está presente nos artigos de 1905 e 1906 de Poincaré. Por exemplo: “Todas as forças se comportam da mesma maneira que as forças eletromagnéticas, independentemente de sua origem. Isto é devido às transformações de Lorentz (e consequentemente devido ao movimento de translação)”. Em outras palavras, a invariância de Lorentz é universal. Tudo que foi exposto pode ser dito sobre forças gravitacionais.

Em outras palavras, Einstein não completou a formulação básica do problema (N.T). 9

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Além disso, Poincaré descobriu a geometria pseudo-euclidiana do espaço-tempo, revelando a quadridimensionalidade das grandezas físicas. Ele construiu as equações da mecânica relativista, previu a existência das ondas gravitacionais, propagando-se com a velocidade da luz. Então, que tipo de mais “profunda compreensão de todo o problema” ele estava falando? Há uma declaração surpreendente de L. de Broglie feita em 1954: “Um pouco mais e seria H. Poincaré, e não A. Einstein, que primeiro construiu a teoria da relatividade em toda a sua generalidade e que daria à ciência francesa a honra desta descoberta. Mas Poincaré não deu o passo decisivo e deixou a Einstein a honra de descobrir todas as consequências decorrentes do princípio da relatividade e, em particular, por meio de uma análise profunda das medidas de comprimento e tempo, para descobrir a verdadeira natureza física da relação entre espaço e tempo mantida pelo princípio da relatividade”. Na verdade, é exatamente o completo oposto do que de L. de Broglie escreveu. H. Poincaré apresentou uma análise detalhada das medições de tempo já em seu artigo de 1898 “La Mesure du Temps”, em particular, por meio do uso de um sinal luminoso.

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Posteriormente, em artigos de 190010 e 190411, ele descreve um procedimento para determinação da simultaneidade em diferentes pontos do espaço por meio de um sinal luminoso em um sistema inercial de referência em movimento, e, portanto, revela o significado físico do tempo local por Lorentz. Em 1904, no artigo “L’état actuel et l’avenir de la Physique mathématique”, ele foi o primeiro a formular o princípio da relatividade para todos os fenómenos físicos. Em 1905, baseando-se no artigo de Lorentz, H. Poincaré descobriu o grupo de Lorentz nos artigos “Sur la dynamique de l’électron” e neste campo provou invariância das equações de Maxwell-Lorentz sob as transformações de Lorentz em total concordância com o princípio da relatividade. H. Poincaré extrapolou o grupo de Lorentz para todas as forças físicas. Portanto, a invariância de Lorentz tornou-se universal e válida também para fenômenos gravitacionais. No artigo “Sur la dynamique de l’électron”, baseando-se no grupo de Lorentz, H. Poincaré introduziu a geometria espaço-temporal pseudo-euclidiana. Assim, surgiu o espaço-tempo homogêneo e isotrópico que foi definido pelo invariante c²t² - x² -y² -z² A partir dele foi desenvolvido a relatividade dos conceitos de tempo e comprimento, a simetria das leis físicas, as leis de conservação, a existência da velocidade limite para corpos materiais, a quadrimensionalidade das grandezas físicas. A conexão entre espaço e tempo foi determinada por completo pela estrutura da geometria. Não encontramos uma percepção tão profunda sobre a essência do assunto no artigo de A. Einstein. Seguindo essas ideias, H. Poincaré descobriu as equações da mecânica relativista e previu 10 11

La Théorie de Lorentz et le principe de réaction (N.T) L’état actuel et l’avenir de la Physique mathématique (N.T)

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a existência de ondas gravitacionais propagando-se com a velocidade da luz. Portanto, H. Poincar deduziu todas as consequências mais gerais do princípio da relatividade. Não há uma ideia do trabalho de 1905 de A. Einstein, que não esteja presente nos artigos de H. Poincaré. O trabalho de A. Einstein é bastante elementar no desenvolvimento das ideias. Embora, de fato, o desenvolvimento das ideias exigisse um alto nível de análise. Nas obras de H. Poincaré de 1905 e 1906 não há apenas uma análise e uma realização de alto nível, mas elas contêm também muitas novidades que não estão presentes no artigo de A. Einstein e que determinaram o desenvolvimento ulterior da teoria da relatividade. Como Louis de Broglie não viu tudo isso ao ler os artigos de Poincaré? Compare os escritos de Louis de Broglie com os escritos de W. Pauli de 1955 [ver a citação mais à frente]. É evidente que Louis de Broglie não obteve uma compreensão da essência do assunto. Apesar de ser o diretor do Instituto Henri Poincaré,r, por essa razão, tivesse que ter adquirido essa compreensão. Baseando-se em opiniões de Louis de Broglie, o acadêmico V. L.Ginzburg escreve: “Como se vê, a posição de L. de Broglie, referindo-se à memória de H. Poincaré com um profundo respeito e com uma gentileza elevada, deve ser considerada como mais um testemunho de que o principal autor da TRE é A. Einstein”. Tudo isso é estranho. Alguém poderia pensar que tudo é simples aqui: se você estiver qualificado, então pegue o artigo de A. Einstein de 1905 e os artigos de H. Poincaré, compare-os e tudo ficará claro.

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E justamente isso que será discutido em detalhes em outras seções. E quanto à citação de L. de Broglie, isso demonstra claramente seu conhecimento superficial das obras de H. Poincaré. P.A.M.Dirac escreveu em 1979 (Proceedings of the 1979 Einstein Centennial Symposium: Some Strangeness in the Proportion. Addison-Wesley MA 1980. p. 111.): “Em um aspecto Einstein foi muito além de Lorentz, Poincaré e os outros, e isso foi afirmar que a transformação de Lorentz se aplicaria a toda a física e não apenas aos fenômenos baseados na eletrodinâmica. Quaisquer outras forças físicas que possam ser introduzidas no futuro terão que se conformar às transformações de Lorentz, que está indo muito além do que as pessoas que estavam trabalhando com a eletrodinâmica estavam pensando”. Mas justamente sobre isso, H. Poincaré escreveu em seus artigos de 1905-1906: “...Todas as forças, apesar da natureza que podem ter, comportamse de acordo com as transformações de Lorentz (e consequentemente, de acordo com o movimento translação), exatamente como as forças eletromagnéticas”.

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Comparando a citação de Poincaré com as palavras de Dirac, fica fácil convencer-se de que tudo que foi considerado por Dirac como a conquista de Einstein está contido integralmente no artigo de 1905 de Poincaré. Portanto, a declaração citada por Dirac: “Em um aspecto, Einstein foi muito além de.... Poincaré ” é simplesmente incorreto. Poincaré foi o primeiro que extrapolou as transformações de Lorentz para quaisquer forças da natureza, inclusive as gravitacionais. O que se segue, por exemplo, é o que Richard Feynman escreveu (ver o seu livro The Character of Physical Law, BBC, 1965): “Foi a sugestão de Poincaré de criar essa análise do que você pode fazer com as equações e deixá-las em paz. Foi a atitude de Poincaré de prestar atenção às simetrias das leis físicas”. Em 1955, em conexão com o 50º aniversário da teoria da relatividade, W. Pauli escreveu: “Einstein e Poincaré tomaram a mesma posição sobre o trabalho preparatório da H.A. Lorentz, que já havia chegado bem perto do resultado, sem contudo alcançá-lo. Na concordância entre os resultados dos métodos seguidos independentemente um do outro, por Einstein e Poincaré, eu discerni um significado mais profundo de uma harmonia entre o método matemático e a análise por meio de experimentos mentais (Gedankenexperimente), que se

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baseiam em características gerais da física experimental”. Compare esta citação de W. Pauli com palavras de L. de Broglie de 1954. Os artigos de 1905 e 1906 de Henri Poincaré são extremamente modernos tanto em conteúdo e forma quanto na exatidão da exposição. Na verdade, eles são joias da física teórica. Agora vamos retornar às palavras do Acadêmico V. L. Ginzburg, adiante ele fala sobre o princípio da relatividade: “... Além disso, Lorentz e Poincaré interpretaram esse princípio apenas como uma afirmação sobre a impossibilidade de se medir o movimento uniforme de um corpo em relação ao éter” Isto é absolutamente incorreto em relação a Poincaré. Deixe-me explicar. Este princípio foi formulado por Poincaré da seguinte forma em 1904: “O princípio da relatividade, segundo o qual as leis dos fenômenos físicos devem ser as mesmas, quer para um observador fixo, quer para um observador em movimento de translação uniforme; de modo que não temos, nem podemos ter, nenhum meio de discernir se somos ou não levados num tal movimento”

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Não há termo “éter” nesta formulação do princípio da relatividade. Portanto, a declaração de V. L. Ginzburg é um simples mal-entendido. Vamos apresentar algumas explicações triviais dessa citação. Segue-se da formulação do princípio da relatividade que um observador que executa um movimento de translação uniforme pode se mover com qualquer velocidade constante e, portanto, há um conjunto infinito de sistemas de referência equivalentes com as mesmas leis para os fenômenos físicos. Este conjunto de sistemas de referência equivalentes inclui também um sistema de referência tomado como um sistema de repouso. Então V. L. Ginzburg continua: “... É possível começar pela consideração de que todos os sistemas inerciais de referência são completamente equivalente (este é o tratamento moderno do princípio da relatividade) sem esforços especiais apenas se nós entendermos as transformações de Lorentz como transformações correspondentes à transição para o sistema de referência em movimento (grifado por mim. – A. L.)”. Ter em mente que Poincaré não entendeu que as transformações de Lorentz correspondem à transição do sistema de referência em "repouso" para o em movimento é também um mal-entendido. Essa trivialidade é consequência direta das transformações de Lorentz. A partir das transformações de Lorentz x′ = γ(x − εt)

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Segue-se que a origem do novo sistema de referência x′ = 0, y′ = 0, z′ = 0 Move-se ao longo do eixo x com velocidade ε: x = εt Em relação a outro sistema de referência. Portanto, as transformações de Lorentz conectam as variáveis (t, x, y, z) referentes a um sistema de referência com variáveis (t’, x’, y’, z’) referindo-se a outro sistema que se move uniformemente e estritamemte com velocidade ε ao longo do eixo x relativamente ao primeiro sistema. As transformações de Lorentz tomaram o lugar das transformações Galileanas falando figurativamente. Vamos analisar mais detalhadamente a declaração de V. L. Ginzburg. Ele observa que “se entendermos as transformações de Lorentz como transformações correspondentes à transição para um sistema de referência em movimento”, então “é possível sem esforços especiais” prosseguir com “o tratamento de todos os sistemas inerciais de referência como completamente equivalentes (o tratamento moderno do princípio da relatividade)”. Mas não é assim. Isso não é suficiente para o cumprimento dos requisitos do princípio da relatividade. É necessário provar (e isso é o mais importante) que as transformações de Lorentz, juntamente com as rotações espaciais, formam um grupo. Mas à essa descoberta somos gratos unicamente a Poincaré. Somente depois de descobrir o grupo, é possível dizer que todas as equações físicas permanecem idênticas em qualquer sistema de referência inercial. Então todas as características físicas correspondentes se transformam exatamente de acordo com o grupo. Apenas isso fornece o cumprimento dos requisitos do princípio da relatividade.

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Em conexão com a citação de Ginzburg [cf citação anterior], faremos alguns comentários. Admitamos que o princípio da relatividade é tratado como uma declaração de impossibilidade de se medir um movimento de translação uniforme de um corpo em relação ao éter. O que segue daqui? Primeiro, daqui segue-se diretamente que as equações físicas são as mesmas, tanto no sistema de referência associado ao éter quanto em qualquer outro sistema de referência, movendo-se com velocidade constante em relação ao sistema associado ao éter. A invariância das equações é fornecida pelas transformações de Lorentz. Segundo, como as transformações de Lorentz formam um grupo, é impossível privilegiar um sistema de referência a outro. O sistema de referência associado ao éter será um membro dessa totalidade de sistemas inerciais equivalentes. Portanto, deixará de fazer sentido a ideia do sistema fixo de referência. Mas isso deve-se ao fato de que o éter no sentido de Lorentz desaparece. Muitas vezes, para enfatizar que Poincaré não criou a teoria da relatividade, cita-se suas palavras: “A importância desse assunto me fez voltar à ele; os resultados obtidos por mim estão em correspondência com os de Lorentz em todos os pontos mais importantes. Eu só tentei modificar um pouco e ampliá-los”. Geralmente conclui-se que Poincaré seguiu estritamente as concepções de Lorentz. Mas Lorentz, como ele mesmo observa, não estabeleceu o princípio da relatividade para a eletrodinâmica. Assim, conclui-se que também Poincaré não deu o passo decisivo. Mas isso está incorreto. Os autores que escrevem isto não leram cuidadosamente os artigos de Poincaré de 1905 e 1906. Vamos dar

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mais algumas explicações. H. Poincaré escreve em seu artigo de 1905: “A ideia de Lorentz é que as equações do campo eletromagnético são invariantes sob algumas transformações (que eu chamarei pelo nome de H.A. Lorentz) da seguinte forma...” Poincaré escreve: “a ideia de Lorentz”, mas Lorentz nunca escreveu antes de Poincaré. Aqui Poincaré formulou sua própria ideia fundamental, mas atribuiu a Lorentz. Ele sempre apreciou e celebrou com grande estima alguém que estimulasse o seu pensamento, uma alegria da criação, provavelmente como ninguém mais. Ele era absolutamente desapegado de sentimentos pessoais de prioridade. Mas os que vieram depois são obrigados a restaurar a verdade e pagar o débito ao criador. No mesmo artigo (“How and who created Special Relativity Theory?”), o acadêmico V. L. Ginzburg escreve: “Pode-se suspeitar que Poincaré não tenha estimado a contribuição de Einstein como muito substancial, e talvez até tenha acreditado que ele ‘fez tudo sozinho’. Mas isso é apenas uma questão que estamos tentando adivinhar sobre os sentimentos de Poincaré a partir de seu silêncio e não a partir de algumas alegações ditas por ele.”

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Pode-se facilmente descobrir o que Poincaré fez na teoria da relatividade: para um físico teórico, basta ler seus artigos de 1905 e 1906. Portanto, não é necessário “adivinhar” os sentimentos de Poincaré para responder à pergunta: o que ele realmente fez. O acadêmico V. L. Ginzburg geralmente cita escritos de W. Pauli de 1921, mas surpreendentemente não cita escritos de W. Pauli de 1955. Algumas pessoas, por algum motivo, querem ver apenas A. Einstein sendo tratado como o criador da teoria da relatividade especial. Mas devemos seguir fatos e somente eles. Agora vamos considerar as palavras do professor Pais escritas no mesmo livro na p. 169: “Por que Poincaré não mencionou Einstein em suas palestras no Göttingen? Por que não há artigos de Poincaré em que Einstein e relatividade estão associados? É inconcebível que Poincaré tivesse estudado os artigos de Einstein de 1905 sem entendê-los. É impossível que em 1909 (o ano em que ele falou na Göttingen) ele nunca tivesse ouvido falar das atividades de Einstein nessa área. Devo escrever sobre petulância ou inveja profissional?” Existe uma única resposta para essas questões. Depois de ler os artigos e livros publicados por Poincaré até 1905, é fácil convencerse de que nada havia de novo para Poincaré no artigo de Einstein. Baseando-se em seus próprios trabalhos anteriores e nas investigações de Lorentz, Poincaré formulou todo o principal conteúdo da teoria da relatividade especial, descobriu as leis da

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mecânica relativista, estendeu as transformações de Lorentz a todas as forças da natureza. Mas tudo isso ele atribuiu ao Grande Monstro H.A. Lorentz, porque só seu artigo de 1904 forneceu um estímulo para o pensamento de Poincaré. Essa era sua prática usual. É estranho que o professor Pais só faça perguntas a Poincaré e não a Einstein. Como Einstein decidiu submeter seu trabalho sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento se ele só conhecia os trabalhos de Lorentz de dez anos atrás e os trabalhos de Poincaré de apenas cinco anos atrás?12 O que impediu Einstein de conhecer as resenhas13 publicadas na revista “Beiblätter Annalen der Physik” se ele próprio preparou muitas resenhas para este periódico? Só em 1905 foram publicados 21 resenhas de Einstein. A revista “Beiblätter Annalen der Physik” foi impressa em Leipzig em edições separadas. 24 edições foram publicadas em um ano. A revisão do artigo de Lorentz que apareceu no jornal “Versl. K. Ak. van Wet. ”(1904, 12 (8). S. 986–1009) foi publicado na 4ª edição de 1905. Esta resenha continha também as transformações de Lorentz. Uma revisão de Einstein sobre o artigo de M. Ponsot da edição de maio da revista francesa “Comptes Rendus” 1905. 140. S. 1176– 1179 foi publicado na 18ª edição de 1905. A mesma edição (S. 1171– 1173) contém o artigo de P. Langevin “Sur l'impossibilité physique de mettre en évidence le mouvement de translation de la Terre”. Neste artigo P. Langevin refere-se aos artigos de Lorentz de 1904 e Larmor de 1900. Por que Einstein nunca se refere aos artigos de 1905 e 1906 de Poincaré? A propósito, ele escreveu muitos artigos sobre a teoria da Logunov questiona como um autor extremamente defasado poderia submeter um trabalho em uma área que estava em constante debate e progresso. (N.T) 13 Os trabalhos de Lorentz, Poincaré e outros importantes físicos eram discutidos em detalhes nestas resenhas. O autor discute detalhadamente mais adiante. (N.T)

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relatividade durante os próximos 50 anos. Quais qualidades pessoais explicam isso? Como é possível não se referir a artigos, se eles foram publicados anteriormente e se você explorou ideias e conceitos deles? Os acadêmicos V. L. Ginzburg e Ya. B. Zel’dovich escreveram em 1967 (ver “Zel’dovich — known and unknown ”. Moscow: “Nauka”, 1993, p. 88): “Por exemplo, apesar do quanto uma pessoa faria sozinho, ele não poderia fingir ter uma prioridade, se depois ficaria claro que o mesmo resultado foi obtido anteriormente por outras pessoas”. Esta é uma visão bastante acertada. Nós devemos segui-la. Ideias e resultados devem ser creditados à pessoa que os descobriu primeiro. Quão estranho foi o destino, se é que se pode dizer isso, das obras de Henri Poincaré, “Sur la dynamique de l’électron”, publicadas em 1905-1906. Esses trabalhos notáveis de H. Poincaré tornaram-se uma fonte peculiar a partir da qual ideias e métodos foram elaborados e depois publicados sem referências ao autor. Quando referências a esses artigos foram feitas, elas nunca estão em consonância com a essência deles. Todas aquelas descobertas feitas por Poincaré, nos artigos de 1905 e 1906 podem ser facilmente encontrados de uma ou outra forma em artigos de outros autores publicados posteriormente. M. Planck escreveu em artigo de 1906 “Das Prinzip der Relativität und die Grundgleichungen der Mechanik”:

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“O princípio da relatividade, sugerido por Lorentz e na formulação mais geral de Einstein, significa..." Mas tudo isso está incorreto. O princípio da relatividade foi formulado pela primeira vez na forma geral por Poincaré, em 1904. Então, M. Planck deriva as equações da mecânica relativista, mas não há referências ao artigo de Poincaré de 1906, embora as equações da mecânica relativista tenham sido derivado anteriormente. Se alguma vez M. Planck não estava ciente sobre o trabalho de Poincaré naquela ocasião, ele poderia consultá-lo mais tarde. Mas tal referência ao artigo de Poincaré de 1906 não apareceria nem posteriormente. Artigos de Poincaré, de 1905 e 1906, não apareceram também na coleção alemã dedicada à teoria da relatividade. Como alguém poderia explicar tudo isso? Segundo B. Hoffmann (Proceedings of the 1979 Einstein Centennial Symposium: Some Strangeness in the Proportion. Addison-Wesley MA 1980. P. 111): “Estou imaginando se as pessoas teriam descoberto a teoria da relatividade especial sem Einstein. É verdade que Poincaré tinha toda a matemática e um pouco mais do que Einstein em seu artigo de 1905, mas na obra de Poincaré havia sempre a implicação de que havia um sistema de repouso - algo imóvel em relação ao éter - e assim você tem a impressão de que Poincaré e quaisquer seguidores teriam dito, sim, se algo está se movendo em relação ao éter, ele sofre

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uma contração. Mas, é claro, as pessoas que acreditam nisso pensariam que nossas hastes estacionárias foram expandidas, em vez de serem contraídas, e Poincaré teria um relógio mais lento, mas o outro mais rápido. Essa reciprocidade foi um ponto muito sutil, e é bem provável que as pessoas nunca tenham percebido que era uma relação recíproca”. Tudo isso é impreciso ou resulta de um mal-entendido dos princípios básicos da TRE. Primeiro, a TRE já havia sido descoberta por Poincaré nos artigos de 1905 e 1906 em concordância com o princípio da relatividade formulado por Poincaré em 1904 para todos os fenômenos físicos. De acordo com o princípio da relatividade, as equações físicas são as mesmas em todos os sistemas de referência inerciais. Todos os sistemas de referência inerciais são equivalentes e, portanto, a existência de um sistema de referência em repouso é excluída. Disso resulta que a reversibilidade é pode ser realizada. Em segundo lugar, Poincaré descobriu o grupo de Lorentz e a existência do elemento inverso segue daqui, consequentemente, a reversibilidade segue da existência do grupo. Terceiro, na TRE construída por Poincaré realmente esse fato - “a natureza reversível dessa conexão é um ponto muito sutil” - é uma consequência trivial, então escrever “que as pessoas nunca reconheceriam isso” é uma intenção do autor de ver um problema onde não existe. Além disso, é um absurdo atribuir o próprio mal-entendido dele a Poincaré. É surpreendente ler uma citação de A. Einstein fornecida por G. Holton (Proceedings of the 1979 Einstein Centennial Symposium:

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Some Strangeness in the Proportion. Addison-Wesley MA 1980. P. 111): “O próprio Einstein disse que nem Poincaré ou Lorentz, mas Langevin poderia ter desenvolvido a teoria da relatividade especial”. Se confiarmos em G. Holton, então veremos que A. Einstein sem dúvida pensava que foi exclusivamente ele quem descobriu a teoria da relatividade especial. Seria possível que ele não tivesse lido os artigos de Poincaré de 1905 e 1906 onde todo o conteúdo principal da teoria da relatividade especial foi apresentado em forma extremamente objetiva e geral? Por isso, é bastante estranho este tipo afirmação de A. Einstein.14 Mas se admitirmos que A. Einstein realmente não leu artigos de Poincaré de 1905 e 1906 durante depois de cinquenta anos, então isso também é surpreendente. Como isso poderia estar relacionado com a “honestidade meticulosa de Einstein” como cientista, que é expressamente descrita por G. Holton? A omissão dos artigos de Poincaré de 1905 e 1906 continuou por todo o século XX. O senso comum estabelecido é de que a teoria da relatividade especial foi criada somente por A. Einstein. Isto está escrito em livros didáticos, incluindo aqueles usados na escola, em monografias, em livros de divulgação científica, em enciclopédias. Os físicos alemães, diferente dos físicos franceses, fizeram muitos esforços para organizar a situação quando

Vejo-me forçado a discordar do autor. Não seria a primeira vez que Einstein teria feito declarações dúbias a respeito de suas contribuições. O próprio professor A. Pais (op cit) justificava essas atitudes devido à idade que comprometia a memória de Einstein. (N.T) 14

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A. Einstein, por si só, foi considerado o criador da teoria da relatividade especial, e essa realização científica como um fruto da ciência alemã. Mas, felizmente, "os manuscritos não mentem". Artigos “Sur la dynamique de l’électron” demonstram claramente a contribuição fundamental de Poincaré para a descoberta da teoria da relatividade especial. Tudo o que veio depois nessa direção foram aplicações e desenvolvimentos de suas ideias e métodos. Em 1913, uma coleção das obras de Lorentz, Einstein e Minkowski sobre a teoria da relatividade especial foi publicada na Alemanha. Mas os trabalhos fundamentais de H. Poincaré não foram incluídos nesta coleção. Como isso poderia ser explicado? Em 1911, o físico francês Paul Langevin publicou dois artigos sobre a teoria da relatividade: “L'Évolution de l'espace et du temps”; “Le Temps, l'espace et la causalité dans la physique contemporaine”. Mas nesses artigos, H. Poincaré nem sequer é mencionado, embora tratem do princípio da relatividade, o grupo de Lorentz, o espaço e o tempo, determinado pelo intervalo. Em 1920, no artigo de P. Langevin, “Les Aspects successifs du principe de relativité”, H. Poincaré também não é mencionado. Como pôde P. Langevin fazer isso? Em 1935 uma coleção “The relativity principle”, editada pelos professores V. K. Frederix e D. D. Ivanenko foi publicada, que pela primeira vez continha trabalhos na teoria da relatividade de Lorentz, Poincaré, Einstein e Minkowski. No entanto, o primeiro trabalho de H. Poincaré, “Sur la dynamique de l’électron”, não foi incluído. E somente em 1973, na coletânea “The relativity principle” (com um artigo introdutório pelo membro correspondente do Professor D. I. Blokhintsev da Academia de Ciências da URSS; a coleção foi compilada pelo Professor AA Tyapkin), os trabalhos de H. Poincaré sobre a teoria da relatividade foram apresentados de forma mais completa, o que permitiu a muitas pessoas apreciar a contribuição

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crucial feita por Poincaré na criação da teoria da relatividade especial.vAlgum tempo depois, o acadêmico V. A. Matveev e eu decidimos reescrever as equações nos artigos de H. Poincaré “Sur la dynamique de l’électron” em notações modernas15, de modo a facilitar o estudo desses artigos. Em 1984, aos 130º aniversário de H. Poincaré, seus artigos “Sur la dynamique de l’électron”, juntamente com os comentários, foram publicados Publishing Department of the Joint Institute for Nuclear Research (Dubna), e, mais tarde, em 1987, foram publicados pelo Publishing Department of the M.V. Lomonosov Moscow. Henri Poincaré é uma das personalidades mais raras da história da ciência. Um grande matemático, especialista em mecânica, físico teórico; suas obras fundamentais deixaram uma marca brilhante em muitos campos da ciência moderna. Ele, além disso, possuía o raro dom de uma visão profunda da ciência como um todo. No início do século passado (1902-1912) foram publicados vários livros de Poincaré: “La Science et l'Hypothèse” [1902]; “La Valeur de la Science” [1905]; “Science et Méthode” [1908]; “Dernières pensées”16 [1920]17. Alguns deles foram quase imediatamente traduzidos para o russo.18 Esses livros são maravilhosos tanto no conteúdo quanto na maneira leve, extremamente brilhante e O texto foi publicado em francês com o título de “Sur les articles de Henri Poincaré” e foi o texto-base para a modernização das equações feitas por mim em “A Relatividade de Poincaré” (a ser publicado) (N.T). 16 O autor cometeu um equívoco, ele chama o livro de “Recent thoughts” (Pensées recentes) enquanto o correto é “Last thoughts” (Dernières pensées”) (N.T). 17 Poincaré faleceu em 1912. Esse livro é uma compilação póstumas de ensaios feitos por Poimcaré. 18 No Brasil três doestes quatro livros foram traduzidos, a saber: A Ciência e a Hipótese (Editora UnB, 1988); O Valor da Ciência (Contraponto, 1995) e Últimos Pensamentos (Garnier, 1924). Ainda contamos com uma obra exclusiva, trata-se do livro Ensaios Fundamentais (Contraponto, PUC-RJ, 2008), organizado pela professora Vera Ribeiro. (N.T). 15

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ilustrativa de apresentação. Eles não se tornaram obsoletos e, para todos aqueles que estudam matemática, física, mecânica, filosofia, seria extremamente útil familiarizar-se com eles. É bastante lamentável que, por várias razões, eles não tenham sido republicados por um longo tempo.19 E somente devido aos persistentes esforços do acadêmico L. S. Pontriadin, eles foram republicados e tornaramse disponíveis para os leitores atuais na Rússia. Também gostaríamos de observar que alguns livros interessantes dedicados a vários aspectos e visões “não ortodoxas” da história da teoria da relatividade foram publicados recentemente no Ocidente:20 Einstein et Poincaré. Sur les traces de relativité. Éditions (Auffray, Le Pommier, 1999); Albert Einstein: The Incorrigible Plagiarist. (Bjerknes, XTX Inc, 2002); La Relativité, Poincaré et Einstein, Plank, Hilbert. Histoire veridique de la Théorie de la Relativité. (Leveugle,. Éditions L’Harmattan, 2004).

Dos quatro livros em português, somente O Valor da Ciência e Ensaios Fundamentais ainda estão sendo editados (pelo menos até fevereiro de 2019). (N.T). 20 No Brasil, podemos citar a obra A Origem Histórica da Relatividade Especial (Livraria da Física, 2015) do historiador da ciência Roberto de Andrade Martins. (N.T). 19

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A Relatividade do Espaço (La Relativité de L'espace) Henri Poincaré – Paris, 1897 (Extraído do livro Science et Méthod- 1908)

I. É impossível imaginar o espaço vazio. Todos os nossos esforços para imaginar o espaço puro a partir do qual as imagens em mudança dos objetos materiais são excluídos só podem resultar em uma representação na qual superfícies altamente coloridas, por exemplo, são substituídas por linhas de leve coloração, e se continuarmos assim até o fim, tudo desapareceria e acabaria em nada. Daí surge à relatividade irredutível do espaço. Quem fala de espaço absoluto usa uma palavra desprovida de significado. Esta é uma verdade longa proclamada por todos os que refletiram sobre a questão, mas que muitas vezes nos inclinamos a esquecer. Se eu estou em um ponto definitivo em Paris, na Place du Panthéon, por exemplo, e eu digo: "eu voltarei aqui amanhã"; Se me perguntarem: "você quer dizer que você vai voltar para o mesmo ponto no espaço?" Eu deveria estar tentado a responder sim. No entanto, eu deveria estar errado, já que, de agora em diante, a terra se moveria, levando consigo a Place du Panthéon, que viajará mais de um milhão de milhas. E se eu quisesse falar com mais precisão, não ganharia nada, já que este milhão de quilômetros foi coberto pelo nosso globo em seu movimento em relação ao Sol, e o Sol, por sua vez, se move em relação à Via Láctea, e o A Via Láctea em si não é dúvida em movimento sem que possamos reconhecer sua velocidade. De modo que somos, e sempre seremos, completamente ignorantes até que ponto a Place du Panthéon se move em um dia. Na verdade, o que eu queria dizer era,

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"Amanhã vou ver mais uma vez a cúpula e o frontão do Panthéon" E se não houvesse Panthéon, minha frase não teria sentido e o espaço desapareceria. Esta é uma das formas mais comuns do princípio da relatividade do espaço, mas há outro sobre o qual Delbeuf deu uma ênfase particular. Suponha que em uma noite todas as dimensões do universo se tornaram mil vezes maiores. O mundo permanecerá semelhante a si mesmo, se darmos a palavra similitude o significado que tem no terceiro livro de Euclides. Somente, o que antes era de um metro de comprimento agora medirá um quilômetro, e o comprimento de um milímetro se tornará um metro. A cama na qual eu fui dormir e meu próprio corpo crescerá na mesma proporção. Quando acordo de manhã, qual será o meu sentimento diante de uma transformação tão surpreendente? Bem, não devo notar nada. As medidas mais exatas serão incapazes de revelar qualquer coisa dessa tremenda mudança, uma vez que as medidas de jarda que eu devo usar variaram exatamente nas mesmas proporções que os objetos que eu tentarei medir. Na realidade, a mudança só existe para aqueles que argumentam como se o espaço fosse absoluto. Se eu defendi por um momento como eles fizeram, era apenas para deixar mais claro que sua visão implica uma contradição. Na realidade, seria melhor dizer que, como o espaço é relativo, nada aconteceu, e é por essa razão que não percebemos nada. Temos algum direito, portanto, de dizer que conhecemos a distância entre dois pontos? Não, uma vez que essa distância poderia sofrer enormes variações sem que pudéssemos percebê-lo, desde que outras distâncias variassem nas mesmas proporções. Nós vimos agora que, quando digo que aqui vou estar aqui, isso não significa que amanhã eu estarei no ponto do espaço onde eu estou hoje, mas que amanhã eu estarei a mesma distância do Panthéon como eu hoje.

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E já esta afirmação não é suficiente, e devo dizer que amanhã e hoje minha distância do Panthéon será igual ao mesmo número de vezes do comprimento do meu corpo. Mas isso não é tudo. Imaginei as dimensões do mundo mudando, mas pelo menos o mundo permanecendo sempre semelhante a si mesmo. Podemos ir muito, além disso, e uma das teorias mais surpreendentes dos físicos modernos irá fornecer a ocasião. De acordo com uma hipótese de Lorentz e Fitzgerald, todos os corpos levados para frente no movimento da Terra passam por uma deformação. Esta deformação é, na verdade, muito pequena, uma vez que todas as dimensões paralelas ao movimento terrestre são diminuídas em cem milhões, enquanto as dimensões perpendiculares a este movimento não são alteradas. Mas pouco importa que seja pequena; basta que exista para a conclusão que logo vou tirar disso. Além disso, embora eu dissesse que é pequena, eu realmente não sei nada sobre isso. Eu mesmo fui vítima da tenaz ilusão que nos faz acreditar que pensamos em um espaço absoluto. Eu estava pensando no movimento da Terra em sua órbita elíptica ao redor do Sol, e eu estimava sua velocidade sendo 18 milhas por segundo. Mas a verdadeira velocidade (quero dizer, desta vez, não a sua velocidade absoluta, que não tem sentido, mas a sua velocidade relativa ao éter), isso não sei e não tenho meios de saber. É, talvez, 10 ou 100 vezes maior, e então a deformação será 100 ou 10.000 vezes maior. É evidente que não podemos demonstrar essa deformação. Pegue um cubo com os lados de um metro de comprimento. É deformado por causa da velocidade da Terra; um dos lados, paralelo ao movimento, torna-se menor, os outros não variam. Se eu quiser me assegurar disso com a ajuda de uma medida de quintal, eu meço primeiro um dos lados perpendiculares ao movimento, e me convenço de que minha medida se encaixa nesse lado exatamente; e mesmo nem um e nem outro desses comprimentos são alterados, pois ambos são perpendiculares ao movimento. Eu então desejo

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medir o outro lado, que é paralelo ao movimento; Para este propósito, altero a posição da minha medida e aponto para aplicá-la a este lado. Mas a medida do quintal, tendo mudado sua direção e se tornando paralela ao movimento, sofreu a deformação de modo que, embora o lado não tenha mais um quintal de comprimento, ele ainda irá caber exatamente, e eu vou estar ciente de nada. O que, então, será solicitado, é o uso da hipótese de Lorentz e Fitzgerald se nenhuma experiência pode nos permitir verificar isso? O fato é que minha declaração foi incompleta. Só falei de medidas que podem ser feitas com uma medida de quintal, mas também podemos medir uma distância pelo tempo que a luz leva para atravessá-la, desde que admitamos que a velocidade da luz é constante e independente de sua direção. Lorentz poderia ter explicado os fatos ao supor que a velocidade da luz é maior na direção do movimento da Terra do que na direção perpendicular. Ele preferiu admitir que a velocidade é a mesma nas duas direções, mas que os corpos são menores nos primeiros do que nos últimos. Se as superfícies das ondas de luz tivessem sofrido as mesmas deformações que os corpos materiais, nunca teríamos percebido a deformação de Lorentz-Fitzgerald. No caso como no outro, não pode haver uma questão de magnitude absoluta, mas da medida dessa magnitude por meio de algum instrumento. Este instrumento pode ser uma medida de quintal ou o caminho atravessado pela luz. É apenas a relação da magnitude com o instrumento que medimos, e se essa relação é alterada, não temos como saber se é a magnitude ou o instrumento que mudou. Mas o que eu desejo deixar claro é que, nessa deformação, o mundo não permaneceu semelhante a si mesmo. Os quadrados tornaram-se retângulos ou paralelogramos, círculos elipses e esferas

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de elipsoides. E ainda não temos meios de saber se essa deformação é real. É claro que podemos ir muito mais longe. Em vez da deformação de Lorentz-Fitzgerald, com suas leis extremamente simples, podemos imaginar uma deformação de qualquer tipo; Os corpos podem ser deformados de acordo com as leis, tão complicadas quanto gostamos, e não devemos percebê-la, desde que todos os corpos sem exceção fossem deformados de acordo com as mesmas leis. Quando digo todos os corpos sem exceção, incluo, é claro, nossos próprios corpos e os raios de luz que emanam dos diferentes objetos. Se olharmos o mundo em um desses espelhos de forma complicada que deformam objetos de maneira estranha, as relações mútuas das diferentes partes do mundo não são alteradas; Se, de fato, dois objetos reais toquem, suas imagens também parecem tocar. Na verdade, quando observamos esse espelho percebemos prontamente a deformação, mas é porque o mundo real existe ao lado de sua imagem deformada. E mesmo que este mundo real estivesse escondido de nós, há algo que não pode ser escondido, e isso é nós mesmos. Não podemos ajudar a ver, ou pelo menos sentir, nosso corpo e nossos membros que não foram deformados e continuam a atuar como instrumentos de medição. Mas, se imaginarmos que o próprio corpo se deforme e, da mesma forma que se viu no espelho, esses instrumentos de medição nos falharão por sua vez, e a deformação não poderá mais ser determinada. Imagine, da mesma forma, dois universos que são a imagem um do outro. Com cada objeto P no universo A, corresponde, no universo B, um objeto P1 que é a sua imagem. As coordenadas desta imagem P1 são funções determinadas das do objeto P; Além disso, essas funções são de qualquer tipo - eu suponho apenas que elas são escolhidas de uma vez por todas. Entre a posição de P e a de P1 existe

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uma relação constante; É pouco o que essa relação pode ser, é suficiente que seja constante. Bem, esses dois universos serão indistinguíveis. Quero dizer que o primeiro será para os seus habitantes o que o segundo é para o seu próprio. Isso seria verdade, desde que os dois universos permanecessem estrangeiros um para o outro. Suponhamos que somos habitantes do universo A; nós construímos nossa ciência e particularmente nossa geometria. Durante este tempo, os habitantes do universo B construíram uma ciência e, como seu mundo é a imagem nossa, sua geometria também será a imagem nossa, ou, com mais precisão, será a mesma. Mas se um dia uma janela fosse abrir para nós no universo B, devemos sentir desprezo por eles, e devemos dizer: "Essas pessoas miseráveis imaginam que fizeram uma geometria, mas o que eles chamam é apenas uma imagem grotesca nossa, suas linhas retas são torcidas, seus círculos são corcundas, e suas esferas têm desigualdades caprichosas". Não devemos ter nenhuma suspeita de que eles estavam dizendo o mesmo de nós, e que ninguém jamais saberá o que está certo. Observamos em quão grande sentido devemos entender a relatividade do espaço. O espaço é, na realidade, amorfo, e são apenas as coisas que estão nele que lhe dão uma forma. O que devemos pensar, então, dessa intuição direta, temos uma linha reta ou de distância? Nós temos tão pouco a intuição da distância em si que, em uma única noite, como dissemos, uma distância poderia se tornar mil vezes maior sem que pudéssemos percebê-la, se todas as outras distâncias tivessem sofrido a mesma alteração. E em uma noite, o universo B pode até ser substituído pelo universo A, sem que possamos ter qualquer meio de conhecê-lo, e então as linhas retas de ontem teriam deixado de ser retas e não devemos estar cientes de nada.

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Uma parte do espaço não é por si só e no sentido absoluto da palavra igual a outra parte do espaço, pois se é assim para nós, não será assim para os habitantes do universo B, e eles têm precisamente tanto direito de rejeitar nossa opinião, quanto nós temos de rejeitar a opinião deles. Eu mostrei em outro ensaio quais são as consequências desses fatos do ponto de vista da ideia de que devemos construir geometrias não euclidianas e outras análogas. Não quero voltar a isso, e tomarei um ponto de vista um tanto diferente. II. Se essa intuição de distância, de direção, de linha reta, se, em uma palavra, essa intuição direta do espaço não existe, de onde vem que imaginamos que a temos? Se isso é apenas uma ilusão, daí vem que a ilusão é tão tenaz? É o que devemos examinar. Não há intuição direta de magnitude, como dissemos, e só podemos chegar à relação da magnitude com nossos instrumentos de medição. Consequentemente, não poderíamos ter construído espaço se não tivéssemos um instrumento para medi-lo. Bem, esse instrumento ao qual nos referimos tudo, que usamos instintivamente, é nosso próprio corpo. É em referência ao nosso próprio corpo que localizamos objetos exteriores, e as únicas relações especiais desses objetos que podemos imaginar para nós mesmos são suas relações com nosso corpo. É nosso corpo que nos serve, por assim dizer, como um sistema de eixos de coordenadas. Por exemplo, em um momento, a presença de um objeto A é revelada pelo sentido da visão; Em outro momento, a presença de outro objeto B é revelada por outro sentido, que, por exemplo, de ouvir ou de tocar. Eu julgo que este objeto B ocupa o mesmo lugar que o objeto A. O que isso significa? Para começar, não implica que estes dois objetos ocupem, em dois momentos diferentes, o mesmo ponto em um espaço absoluto, que, mesmo que existisse, escaparia do nosso conhecimento, pois entre os momentos a e P o sistema solar

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tem Foi deslocado e não podemos saber o que é esse deslocamento. Isso significa que esses dois objetos ocupam a mesma posição relativa em relação ao nosso corpo. Mas o que significa isso mesmo? As impressões que nos vieram desses objetos seguiram caminhos absolutamente diferentes - o nervo óptico para o objeto A e o nervo acústico para o objeto B - eles não têm nada em comum do ponto de vista qualitativo. As representações que podemos formar desses dois objetos são absolutamente heterogêneas e irredutíveis uma para a outra. Só sei que, para alcançar o objeto A, só tenho que estender meu braço direito de certa maneira; mesmo que eu me abstenha de fazê-lo, represento para mim as sensações musculares e outras análogas que acompanham essa extensão, e essa representação está associada à do objeto A. Agora eu sei igualmente que posso alcançar o objeto B estendendo meu braço direito da mesma maneira, uma extensão acompanhada pelo mesmo trem de sensações musculares. E eu quero dizer nada mais que isso quando digo que esses dois objetos ocupam a mesma posição. Eu também sei que eu poderia ter alcançado o objeto A por outro movimento apropriado do braço esquerdo, e eu represento para mim as sensações musculares que teriam acompanhado o movimento. E pelo mesmo movimento do braço esquerdo, acompanhado pelas mesmas sensações, eu poderia igualmente alcançar o objeto B. E isso é muito importante, pois é assim que eu poderia me defender contra os perigos com os quais o objeto A ou o objeto B podem me ameaçar. Com cada um dos golpes que podem nos atingir, a natureza associou uma ou várias retificadores que nos permitem proteger-nos contra eles. O mesmo retificador pode responder a vários golpes. É assim, por exemplo, que o mesmo movimento do braço direito nos permitiu defender-nos no momento a contra o

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objeto A, e no momento b contra o objeto B. Da mesma forma, o mesmo golpe pode ser frustrado de várias maneiras, e dissemos, por exemplo, que podemos alcançar o objeto A igualmente bom, quer por certo movimento do braço direito, quer por um certo movimento da esquerda. Todos esses retificadores não têm nada em comum um com o outro, exceto que elas nos permitem evitar o mesmo golpe, e é isso, e nada, além disso, queremos dizer, quando dizemos que são movimentos que terminam no mesmo ponto do espaço. Da mesma forma, esses objetos, dos quais dizemos que eles ocupam o mesmo ponto no espaço, não têm nada em comum, exceto que a mesmo retificador pode nos permitir defender-nos contra eles. Ou, se preferirmos, vamos imaginar inúmeros fios de telégrafo, alguns centrípetos e outros centrífugos. Os fios centrípetos alertamnos de acidentes que ocorrem fora, os fios centrífugos devem fornecer a retificação. As conexões são estabelecidas de tal forma que, quando um dos fios centrípetos é percorrido por uma corrente, essa corrente atua em uma central de distribuição, excitando assim uma corrente em um dos fios centrífugos, e as coisas estão dispostas de tal forma que vários fios centrífugos podem agir no mesmo fio centrífugo, se a mesma retificação for aplicável a vários males e que um fio centrípeto possa perturbar vários fios centrífugos, simultaneamente ou um por defeito, sempre que o mesmo mal pode ser consertado por várias retificações. É este complexo sistema de associações, é este quadro de distribuição, por assim dizer, essa é toda a nossa geometria ou, se quisermos, tudo o que é distintivo em nossa geometria. O que chamamos nossa intuição de uma linha reta ou de distância é a consciência que temos dessas associações e de seu caráter imperioso. De onde vem esse personagem imperioso, é fácil de entender. Quanto mais antiga for uma associação, mais indestrutível aparecerá

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para nós. Mas essas associações não são, na maioria das vezes, conquistas feitas pelo indivíduo, pois vemos traços deles no recémnascido, são conquistas feitas pela raça. Quanto mais necessárias fossem essas conquistas, mais rapidamente elas deveriam ter sido provocadas pela seleção natural. Nessa conta, temos de estar entre os primeiros, uma vez que, sem eles, a defesa do organismo teria sido impossível. Assim que as células não se limitaram apenas a justaposição, assim que foram chamados a prestar mútua assistência mútua, algum mecanismo desse tipo que descrevemos deve necessariamente ter sido organizado para que a assistência atenda o perigo sem abortar. Quando a cabeça de uma rã foi cortada e uma gota de ácido é colocada em algum ponto da sua pele, ela tenta esfregar o ácido com o pé mais próximo; E se esse pé é cortado, ele o remove com o outro pé. Aqui temos, claramente, a dupla par abertura de que falo apenas agora, permitindo se opor a um mal por um segundo remédio se o primeiro falhar. É essa multiplicidade de paragens, e a coordenação resultante, que é espaço. Percebemos quais profundidades de inconsciência temos que descer para encontrar os primeiros vestígios dessas associações espaciais, já que as partes mais baixas do sistema nervoso entram em jogo. Uma vez que percebemos isso, como podemos nos surpreender com a resistência que nos opomos a qualquer tentativa de dissociar o que há tanto tempo associou? Agora, é essa mesma resistência que chamamos de evidência das verdades da geometria. Esta evidência não é outra coisa senão a repugnância que sentimos em romper com hábitos muito antigos com os quais sempre conseguimos muito bem. III. O espaço assim criado é apenas um pequeno espaço que não se estende além do que meu braço pode alcançar, e a intervenção da memória é necessária para corrigir seus limites. Há pontos que sempre permanecerão fora do meu alcance, seja qual for o esforço

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que eu possa fazer para esticar minha mão para eles. Se eu estivesse preso ao chão, como um pólipo do mar, por exemplo, que só pode estender seus tentáculos, todos esses pontos estarão fora do espaço, pois as sensações que podemos experimentar com a ação de corpos colocados ali não estarão associados A ideia de qualquer movimento que nos permita alcançá-los, ou com qualquer retificador apropriada. Essas sensações não nos pareceriam ter nenhum caráter espacial, e não devemos tentar localizá-las. Mas não estamos fixados no chão como os animais inferiores. Se o inimigo estiver muito longe, podemos avançar sobre ele primeiro e estender a mão quando estivermos pertos o suficiente. Isso ainda é um retificador, mas um retificador de longa distância. Além disso, é um retificador complexa, e na representação que fazemos, entra a representação das sensações musculares causadas pelo movimento das pernas, as sensações musculares causadas pelo movimento final do braço, o das sensações dos canais semicirculares, etc. Além disso, temos de fazer uma representação, não de um complexo de sensações simultâneas, mas de um complexo de sensações sucessivas, seguindo-se mutuamente em uma ordem determinada, e é por esta razão que eu disse agora que a intervenção da memória é necessária. Devemos observar ainda que, para alcançar o mesmo ponto, posso me aproximar do objeto a ser alcançado, para não ter que estender minha mão até agora. E quanto mais pode ser dito? Não é um só, mas mil retificadores que eu posso opor. O mesmo perigo. Todos esses retificadores são formados por sensações que podem não ter nada em comum e, no entanto, consideramos que definem o mesmo ponto no espaço, porque podem responder ao mesmo perigo e estão todos associados à noção desse perigo. É a possibilidade de parear o mesmo golpe que faz a unidade desses diferentes retificadores, assim como é a possibilidade de ser parado da mesma maneira que faz a unidade dos golpes de tipos tão diferentes que nos

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podem ameaçar do mesmo ponto no espaço. É essa dupla unidade que faz a individualidade de cada ponto no espaço e, na noção de tal ponto, não existe mais nada, além disso. O espaço que imaginei na seção anterior, que eu poderia chamar de espaço restrito, foi referido a eixos de coordenadas anexados ao meu corpo. Esses eixos foram corrigidos, já que meu corpo não se moveu, e foram apenas meus membros que mudaram sua posição. Quais são os eixos ao qual o espaço estendido é naturalmente concebido - ou seja, o novo espaço que acabei de definir? Definimos um ponto pela sucessão de movimentos que precisamos fazer para alcançá-lo, a partir de uma determinada posição inicial do corpo. Os eixos são, portanto, anexados a esta posição inicial do corpo. Mas a posição que eu chamo de inicial pode ser arbitrariamente escolhida entre todas as posições que meu corpo ocupou sucessivamente. Se uma memória mais ou menos inconsciente dessas posições sucessivas é necessária para a gênese da noção de espaço, essa memória pode voltar mais ou menos para o passado. Daí resulta certa indeterminação na própria definição de espaço, e é precisamente essa indeterminação que constitui a sua relatividade. O espaço absoluto não existe mais; existe apenas um espaço relativo a uma determinada posição inicial do corpo. Para um ser consciente, fixado no chão como os animais inferiores, que, consequentemente, só conheciam espaço restrito, o espaço ainda seria relativo, uma vez que seria referido ao seu corpo, mas esse ser não seria consciente da relatividade, porque o Os eixos aos quais ele referiu esse espaço restrito não mudariam. Sem dúvida, a rocha a que ele estava acorrentado não ficaria imóvel, pois estaria envolvida no movimento do nosso planeta; para nós, consequentemente, esses eixos mudariam a cada momento, mas para ele não mudariam. Temos a faculdade de encaminhar nosso espaço prolongado de uma só vez para a posição A do nosso corpo considerada como inicial,

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em outra para a posição B que ocupou alguns momentos depois, que somos livres de considerar, a seu ver, como inicial, e, portanto, fazemos mudanças inconscientes nas coordenadas a cada momento. Essa faculdade falharia em nosso ser imaginário e, ao não ter viajado, pensaria que o espaço era absoluto. Todo momento, seu sistema de eixos lhe seria imposto; este sistema pode mudar de qualquer forma na realidade, para ele seria sempre o mesmo, pois sempre seria o sistema único. Não é o mesmo para nós que possuímos, a cada momento, vários sistemas entre os quais podemos escolher à vontade, e com a condição de voltar pela memória mais ou menos para o passado? Isso não é tudo, pois o espaço restrito não seria homogêneo. Os diferentes pontos deste espaço não podiam ser considerados equivalentes, uma vez que alguns só podiam ser alcançados ao custo dos maiores esforços, enquanto outros podiam ser alcançados com facilidade. Pelo contrário, nosso espaço prolongado nos parece homogêneo, e nós dizemos que todos os seus pontos são equivalentes. O que isto significa? Se começarmos a partir de certa posição A, podemos, a partir dessa posição, efetuar certos movimentos M, caracterizados por certas sensações musculares complexas, mas, a partir de outra posição B, podemos executar movimentos M, que serão caracterizados pelas mesmas sensações musculares. Então, seja a ser a situação de um determinado ponto no corpo, a ponta do dedo indicador da mão direita, por exemplo, na posição inicial A, e seja b a posição desse mesmo indicador quando, a partir dessa posição, A, executamos os movimentos M. Então, seja a1 ser a situação do indicador na posição B, e b1 é a situação quando, a partir da posição B, executamos os movimentos M1. Bem, tenho o hábito de dizer que os pontos a e b são, em relação uns aos outros, como os pontos a' e b, e isso significa simplesmente

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que as duas séries de movimentos M e M1 são acompanhadas de sensações pelo mesmo músculo. E, como sou consciente de que, ao passar da posição A para a posição B, meu corpo permaneceu capaz dos mesmos movimentos, eu sei que há um ponto no espaço um ponto que é para a' o que o ponto b é para o ponto a, de modo que os dois pontos a e a' sejam equivalentes. É isso que se chama homogeneidade do espaço e, ao mesmo tempo, é por esta razão que o espaço é relativo, uma vez que suas propriedades permanecem iguais, quer sejam referidas aos eixos A ou aos eixos B. De modo que a relatividade do espaço e sua homogeneidade são uma e a mesma coisa. Agora, se eu quiser passar para o grande espaço, que não é mais para servir apenas para uso individual, mas em que posso hospedar o universo, vou chegar a ele por um ato de imaginação. Eu devo imaginar o que um gigante sentiria sabendo que poderia chegar aos planetas em alguns passos, ou, se preferirmos, o que eu deveria sentir na presença de um mundo em miniatura, em que esses planetas seriam substituídos por pequenas bolas, enquanto em uma dessas pequenas bolas viveria um liliputiano, que seria eu mesmo. Mas esse ato de imaginação seria impossível para mim se eu não tivesse construído anteriormente meu espaço restrito e meu espaço prolongado para uso pessoal. IV. Agora, chegamos à questão de saber por que todos esses espaços têm três dimensões. Vamos nos referir ao "painel de distribuição" mencionado acima. Temos, por um lado, uma lista dos diferentes perigos possíveis - vamos designá-los como A1, A2, etc. e, por outro lado, a lista das diferentes retificações, que chamarei da mesma maneira B1, B2, etc. Então, temos conexões entre os pinos de contato da primeira lista e as do segundo de tal forma que, quando, por exemplo, o alarme para perigo A3 funciona, ele põe em movimento ou pode colocar em movimento o relé correspondente ao retificador B4.

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Como falei acima de fios centrípetos ou centrífugos, receio que tudo o que eu disse tenha sido tomado, não como uma comparação simples, mas como uma descrição do sistema nervoso. Esse não é o meu pensamento, e isso por várias razões. Em primeiro lugar, não devo presumir pronunciar uma opinião sobre a estrutura do sistema nervoso que não conheço, enquanto os que estudaram apenas fazem isso com a circunspecção. Em segundo lugar, porque, apesar da minha incompetência, percebo plenamente que este esquema seria muito simples. E por último, porque, na minha lista de retificadores, aparecem alguns que são muito complexos, o que pode, no caso do espaço prolongado, como vimos acima, até consistirem em várias etapas seguidas por um movimento do braço. Não é, portanto, uma questão de conexão física entre dois condutores reais, mas de associação psicológica entre duas séries de sensações. Se A1 e A2, por exemplo, estão ambos associados ao retificador B1, e se A1 estiver associado de forma semelhante a B2, geralmente será o caso de A2 e B2 também estarem associados. Se esta lei fundamental não fosse geralmente verdadeira, haveria apenas uma imensa confusão, e não haveria nada que pudesse ter semelhança com uma concepção de espaço ou com uma geometria. Como, de fato, definimos um ponto no espaço? Nós o definimos de duas maneiras: por um lado, é a totalidade dos alarmes A que estão em conexão com o mesmo retificador B; Por outro lado, é a totalidade dos retificadores B que estão em conexão com o mesmo alarme A. Se a nossa lei não fosse verdade, devemos ser obrigados a dizer que A1 e A2 correspondem com o mesmo ponto, uma vez que ambos estão em Conexão com B1; Mas devemos ser igualmente obrigados a dizer que eles não correspondem com o mesmo ponto, uma vez que A1 seria em conexão com B2, e isso não seria verdade para A2 - o que seria uma contradição. Mas, de outro aspecto, se a lei fosse rigorosa e invariavelmente verdadeira, o espaço seria bem diferente do que é. Devemos ter

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categorias bem definidas, entre as quais se distribuirão os alarmes A de um lado e os retificadores B no outro. Essas categorias seriam extremamente numerosas, mas elas seriam completamente separadas uma da outra. O espaço seria formado por pontos, muito numerosos, mas discretos; Seria descontínuo. Não haveria razão para organizar esses pontos de uma só vez e não de outra, nem, portanto, de atribuir três dimensões ao espaço. Mas esse não é o caso. Posso permitir um momento para usar a linguagem daqueles que conhecem a geometria já? É necessário que eu faça isso, pois é o idioma mais compreendido por aqueles a quem desejo deixar claro. Quando eu desejo interromper o golpe, eu tento chegar ao ponto de onde o golpe vem, mas é suficiente se eu chegar perto disso. Então o retificador B1 pode responder a A1 e A2 se o ponto que corresponde a B1 é suficientemente próximo tanto ao que corresponde a A1 quanto ao que corresponde a A2. Mas pode acontecer que o ponto que corresponde a outro retificador B2 esteja próximo ao ponto correspondente a A1, e não próximo ao ponto correspondente a A2. E assim, o retificador B2 pode responder a A1 e não ser capaz de responder a A2. Para aqueles que ainda não conhecem a geometria, isso pode ser traduzido simplesmente por uma modificação da lei enunciada acima. Então, o que acontece é o seguinte. Dois retificadores, B1 e B2, estão associados a um alarme A1 e com um número muito grande de alarmes que iremos colocar na mesma categoria que A1 e que corresponderemos com o mesmo ponto no espaço. Mas podemos encontrar alarmes A2 que estão associados com B2 e não com B1, mas, por outro lado, estão associados a B3, que não estão com A1, e assim sucessivamente, para que possamos escrever a sequencia B1, A1, B2, A2, B3, A3, B4, A4, em que cada termo está associado aos termos sucessores e anteriores, mas não com aqueles que são removidos de vários lugares.

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Não é necessário acrescentar que cada um dos termos dessas sequencias não está isolado, mas faz parte de uma categoria muito variada de outros alarmes ou outras paragens que tem as mesmas conexões que ele, e pode ser considerada como pertencente ao mesmo ponto em espaço. Assim, a lei fundamental, embora admitindo exceções, permanece quase sempre verdadeira. Somente, em consequência dessas exceções, essas categorias, em vez de serem completamente separadas, invadem parcialmente e se sobrepõem mutuamente até certo ponto, de modo que o espaço se torne contínuo. Além disso, a ordem em que essas categorias devem ser organizadas não é mais arbitrária, e uma referência à sequencia anterior deixará claro que B2 deve ser colocado entre A1 e A2 e, consequentemente, entre B1 e B3, e que não poderia ser colocado, por exemplo, entre B3 e B4. Consequentemente, há uma ordem em que nossas categorias se ajustam naturalmente, o que corresponde aos pontos no espaço, e a experiência nos ensina que esta ordem se apresenta sob a forma de uma placa de distribuição de três circuitos e é por isso que o espaço possui três dimensões. V. Assim, a propriedade característica do espaço, a de ter três dimensões, é apenas uma propriedade do nosso quadro de distribuição, uma propriedade residente, por assim dizer, na inteligência humana. A destruição de algumas dessas conexões a dizer dessas associações de ideias seria suficiente para nos dar uma placa de distribuição diferente, e isso poderia ser suficiente para dotar espaço com uma quarta dimensão. Algumas pessoas ficarão surpresas com esse resultado. O mundo exterior, pensam eles, certamente deve servir para algo. Se o número de dimensões vem do modo como somos feitos, pode haver seres pensantes que vivem em nosso mundo, mas diferenciados de nós,

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que pensam que o espaço tem mais do que três dimensões. O Sr. de Cyon não disse que os ratos japoneses, com apenas dois pares de canais semicirculares, pensam que o espaço tem duas dimensões? Então, esse ser pensante, se ele for capaz de construir um sistema físico, faça um sistema de duas ou quatro dimensões, o que, em certo sentido, será o mesmo que o nosso, já que será a descrição do mesmo mundo em outro idioma? Parece, de fato, que seria possível traduzir nossa física para a linguagem da geometria de quatro dimensões. A tentativa de tal tradução seria dar-se um grande problema para pouco lucro, e vou me contentar em mencionar a mecânica de Hertz, na qual algo pode ser visto. No entanto, parece que a tradução seria sempre menos simples do que o texto e que nunca perderia a aparência de uma tradução, pois a linguagem de três dimensões parece mais adequada à descrição do nosso mundo, embora essa descrição possa ser feito, em caso de necessidade, em outro idioma. Além disso, não é por acaso que o nosso quadro de distribuição foi formado. Existe uma conexão entre o alarme A1 e o retificador B1, ou seja, uma propriedade que reside em nossa inteligência. Mas por que existe essa conexão? É porque o retificador B1 nos permite efetivamente nos defender contra o perigo A1, e isso é um fato exterior para nós, uma propriedade do mundo exterior. Nosso quadro de distribuição, portanto, é apenas a tradução de uma assembleia de fatos externos; se há três dimensões, é porque se adaptou a um mundo com certas propriedades e a mais importante dessas propriedades é que existem sólidos naturais que são claramente deslocados de acordo com as leis que chamamos leis de movimento de sólidos invariantes. Se, então, o idioma de três dimensões é aquele que nos permite descrever mais facilmente nosso mundo, não devemos nos surpreender. Este idioma é baseado em nosso quadro de distribuição, e é para nos permite viver neste mundo que este quadro foi posto.

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Eu disse que poderíamos conceber seres pensantes, vivendo em nosso mundo, cujo quadro de distribuição teria quatro dimensões, que, em consequência, pensariam no hiperespaço. Não é certo, no entanto, que tais seres, admitindo que, eles nasceram, poderiam viver e defender-se contra os mil perigos pelos quais seriam atacados. VI. Algumas considerações para concluirmos. Há um contraste impressionante entre a aspereza desta geometria primitiva que é reduzida ao que eu chamo de uma placa de distribuição e a infinita precisão da geometria dos geômetras. E, no entanto, o último é o filho do primeiro, mas não o único; exigiu ser fertilizado pela faculdade que temos de construir conceitos matemáticos, como, por exemplo, o conceito do grupo. Era necessário encontrar entre esses conceitos puros o que melhor se adaptou a esse espaço difícil, cuja gênese tentei explicar nas páginas precedentes, o espaço que nos é comum e dos animais superiores. A evidência de certos "postulados geométricos é apenas, como eu disse, nossa falta de vontade de desistir de hábitos muito antigos. Mas esses postulados são infinitamente precisos, enquanto os hábitos têm sobre eles algo essencialmente líquido. Assim que desejamos pensar, somos obrigados a ter postulados infinitamente precisos, pois este é o único meio de evitar a contradição. Mas entre todos os sistemas possíveis de postulados, há alguns que não devemos escolher, porque não concordam suficientemente com nossos hábitos. Por mais líquidos e elásticos que sejam, eles têm um limite de elasticidade. Verifica-se que, embora a geometria não seja uma ciência experimental, é uma ciência nascida em conexão com a experiência; que criamos o espaço que estudamos, mas adaptando-o ao mundo em que vivemos. Nós escolhemos o espaço mais conveniente, mas a experiência guiou nossa escolha. Como a escolha era inconsciente, parece-nos imposta. Alguns dizem que é imposto pela experiência, e

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outros que nascemos com o nosso espaço pronto. Após as considerações precedentes, ver-se-á a proporção da verdade e do erro - nessas duas opiniões. Nesta educação progressiva que resultou na construção do espaço, é muito difícil determinar qual é a parcela do indivíduo e o que é da raça. Em que medida um de nós poderia ser transportado de seu nascimento para um mundo completamente diferente, onde, por exemplo, existiam corpos deslocados de acordo com as leis de movimento de sólidos não euclidianos – Até que ponto, eu digo, ele seria capaz de desistir do espaço ancestral para construir um espaço totalmente novo? Se a parte da raça que parece preponderar em grande parte, e, no entanto, é aquela que concebe o espaço bruto, cujo espaço líquido que eu falei agora, o espaço dos animais superiores, não é apenas uma experiência inconsciente do individuo que que concebe o espaço infinitamente preciso do geômetra? Esta é uma questão que não é fácil de resolver. Gostaria de mencionar, no entanto, um fato que mostra que o espaço legado por nossos antepassados ainda preserva certa plasticidade. Certos caçadores aprendem a atirar peixe sob a água, embora a imagem desses peixes seja deslocada pela refração; e, além disso, eles fazem isso instintivamente. Consequentemente, eles aprenderam a modificar o seu antigo instinto de direção, ou, se quiser, substituir a associação A1, B1, outra associação A1, B2, porque a experiência mostrou que o primeiro não era eficaz.

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A Medida do Tempo (La mesure du temps) Henri Poincaré – Paris Revue de Métaphysique et de Morale 6 (1):1 - 13 (1898) (Extraído do livro O Valor da Ciência- 1905)21

I. Enquanto não se sai do domínio da consciência, a noção de tempo é relativamente clara. Não só distinguimos sem dificuldade a sensação presente da lembrança das sensações passadas ou da previsão das sensações futuras, como também sabemos perfeitamente o que queremos dizer quando afirmamos que, de dois fenômenos conscientes dos quais conservamos a lembrança, um foi anterior ao outro; ou então que, de dois fenômenos conscientes previstos, um será anterior ao outro. Quando dizemos que dois fatos conscientes são simultâneos, queremos dizer que eles se interpenetram profundamente, de tal modo que a análise não pode separá-los sem mutilá-los. A ordem na qual dispomos os fenômenos conscientes não comporta qualquer arbitrariedade. Ela nos é imposta e não podemos mudá-la. Só tenho uma observação a acrescentar. Para que um conjunto de sensações se torne uma lembrança suscetível de ser classificada no tempo, é preciso que tenha cessado de ser atual, que tenhamos perdido o sentido de sua infinita complexidade, sem o que teria permanecido atual. É preciso que ele tenha, por assim dizer, cristalizado em torno de um centro de associações de ideias que será como uma espécie de etiqueta. Só poderemos classificar nossas lembranças no tempo quando estas tiverem, assim, perdido toda vida Todos os capítulos que pertencem ao livro “O Valor da Ciência”, foram traduzidos por Maria Helena Franco Martins.

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— do mesmo modo que um botânico arruma em seu herbário as flores dessecadas. Mas essas etiquetas só podem ser em número finito. Assim sendo, o tempo psicológico seria descontínuo. De onde vem a sensação de que entre dois instantes quaisquer há outros instantes? Classificamos nossas lembranças no tempo, mas sabemos que restam compartimentos vazios. Como isso seria possível, se o tempo não fosse uma forma preexistente em nosso espírito? Como saberíamos que existem compartimentos vazios, se esses compartimentos só nos fossem revelados por seu conteúdo? II. Mas não é só isso; nessa forma queremos fazer entrar não só os fenômenos de nossa consciência, mas também aqueles dos quais as outras consciências são o teatro. Mais ainda, queremos fazer entrar nela os fatos físicos, esses não sei quê com os quais povoamos o espaço, e que nenhuma consciência vê diretamente. É algo bem necessário, pois sem isso a ciência não poderia existir. Em uma palavra, o tempo psicológico nos é dado, e queremos criar o tempo científico e físico. É aí que começa a dificuldade, ou antes as dificuldades, pois há duas. Eis duas consciências que são como dois mundos impenetráveis entre si. Com que direito queremos fazê-las entrar num mesmo molde, medi-las com a mesma toesa? Não seria o mesmo que desejar medir com um grama, ou pesar com um metro? E além disso, por que falamos de medida? Sabemos talvez que um determinado fato é anterior a um outro, mas não quanto ele é anterior. Portanto, duas dificuldades: 1° - Podemos nós transformar o tempo psicológico, que é qualitativo, em tempo quantitativo?

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2° - Podemos nós reduzir à mesma medida fatos que se passam em mundos diferentes? III. A primeira dificuldade já foi notada há muito tempo; constituiu o objeto de longas discussões, e pode-se dizer que a questão está encerrada. Não temos a intuição direta da igualdade de dois intervalos de tempo. As pessoas que creem possuir essa intuição são vítimas de uma ilusão. Quando digo que do meio-dia à uma hora passou o mesmo tempo que das duas às três horas, que sentido tem essa afirmação? A mais breve reflexão mostra que não tem nenhum por si mesma. Só terá aquele que eu tiver vontade de lhe dar, por uma definição que certamente comportará certo grau de arbitrariedade. Os psicólogos poderiam ter prescindido dessa definição; os físicos e os astrônomos, não; vejamos como se saíram. Para medir o tempo, servem-se do pêndulo e admitem, por definição, que todas as oscilações desse pêndulo têm igual duração. Mas essa é apenas uma primeira aproximação; a temperatura, a resistência do ar e a pressão barométrica fazem variar a marcha do pêndulo. Se escapássemos a essas causas de erro, obteríamos uma aproximação muito maior, mas ainda não seria mais que uma aproximação. Causas novas, até aqui negligenciadas — elétricas, magnéticas ou outras —, viriam trazer pequenas perturbações. De fato, os melhores relógios devem ser acertados de vez em quando, e os acertos se fazem com o auxílio das observações astronômicas; arranjamo-nos para que o relógio sideral marque a mesma hora quando a mesma estrela passa no meridiano. Em outros termos, é o dia sideral, isto é, a duração da rotação da Terra, a unidade constante do tempo. Admite-se, por uma nova definição que

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substitui a que é tirada dos batimentos do pêndulo, que duas rotações completas da Terra em torno de seu eixo têm a mesma duração. Contudo os astrônomos ainda não se contentaram com essa definição. Muitos deles pensam que as marés agem como um freio sobre nosso globo, e que a rotação da Terra se torna cada vez mais lenta. Assim se explicaria a aceleração aparente do movimento da Lua, que pareceria andar mais rápido do que lhe permite a teoria, porque nosso relógio, que é a Terra, atrasaria. IV. Tudo isso importa pouco, dirão. Sem dúvida nossos instrumentos de medida são imperfeitos, mas basta que possamos conceber um instrumento perfeito. Esse ideal não poderá ser atingido, mas bastará tê-lo concebido, e ter assim introduzido o rigor na definição da unidade de tempo. A desgraça é que esse rigor não se encontra nela. Quando nos servimos do pêndulo para medir o tempo, qual é o postulado que admitimos implicitamente? É que a duração de dois fenômenos idênticos é a mesma; ou, se preferirmos, que as mesmas causas levam o mesmo tempo para produzir os mesmos efeitos. À primeira vista, essa é uma boa definição da igualdade de duas durações. Acautelemo-nos com ela, contudo. Será impossível que a experiência desminta um dia nosso postulado? Explico-me; suponho que em certo ponto do mundo se passa o fenômeno α, provocando, em consequência, ao fim de certo tempo, o efeito α'. Num outro ponto do mundo, muito distante do primeiro, passa-se o fenômeno β, que traz como consequência o efeito β'. Os fenômenos α e β são simultâneos, assim como os efeitos α' e β'. Numa época ulterior, o fenômeno α se reproduz em circunstâncias mais ou menos idênticas, e simultaneamente o fenômeno β se

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reproduz também em um ponto muito distante do mundo, mais ou menos nas mesmas circunstâncias. Os efeitos α' e β' vão também reproduzir-se. Suponho que o efeito α' ocorra sensivelmente antes do efeito β'. Se a experiência nos tornasse testemunhas de um tal espetáculo, nosso postulado estaria desmentido. Pois a experiência nos informaria que a primeira duração αα' é igual à primeira duração ββ', e que a segunda duração αα' é menor que a segunda duração ββ'. Ao contrário, nosso postulado exigiria que as duas durações αα' fossem iguais entre si, assim como as duas durações ββ'. A igualdade e a desigualdade deduzidas da experiência seriam incompatíveis com as duas igualdades tiradas do postulado. Ora, podemos nós afirmar que as hipóteses que acabo de formular são absurdas? Elas nada têm de contrário ao princípio de contradição. Sem dúvida não poderiam realizar-se sem que o princípio da razão suficiente pareça violado. Mas para justificar uma definição tão fundamental eu preferiria uma outra garantia. V. Mas não é só isso. Na realidade física, uma causa não produz um efeito, mas uma multidão de causas distintas contribuem para produzi-lo, sem que se tenha qualquer meio de discernir o papel de cada uma delas. Os físicos procuram fazer essa distinção; mas só a fazem de modo aproximado, e por maiores que sejam seus progressos, só a farão sempre de modo aproximado. É mais ou menos verdade que o movimento do pêndulo se deve unicamente à atração da Terra; mas, com todo o rigor, mesmo a atração de Sirius age sobre o pêndulo. Nessas condições, é claro que as causas que produziram determinado efeito se reproduzirão sempre de modo aproximado. E então devemos modificar nosso postulado e nossa definição. Em vez de dizer “as mesmas causas levam o mesmo tempo para produzir os

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mesmos efeitos”, devemos dizer “causas mais ou menos idênticas levam mais ou menos o mesmo tempo para produzir mais ou menos os mesmos efeitos”. Nossa definição, portanto, é apenas aproximada. Aliás, como observa com muita propriedade o sr. Calinon numa dissertação recente (Études sur les diverses grandeurs, Paris, Gauthier-Villars, 1897): “Uma das circunstâncias de um fenômeno qualquer é a velocidade da rotação da Terra; se essa velocidade de rotação varia, ela constitui, na reprodução desse fenômeno, uma circunstância que não permanece mais idêntica à ela mesma. Mas supor constante essa velocidade de rotação é supor que se sabe medir o tempo.”

Portanto nossa definição ainda não é satisfatória; certamente não é aquela que implicitamente adotam os astrônomos dos quais eu falava acima, quando afirmam que a velocidade da rotação terrestre vai diminuindo. Que sentido tem em sua boca essa afirmação? Só podemos compreendê-lo analisando as provas que fornecem para sua proposição. De início, dizem que a fricção das marés, que produz calor, deve destruir força viva. Invocam então o princípio das forças vivas ou da conservação da energia. Dizem em seguida que a aceleração secular da Lua, calculada segundo a lei de Newton, seria menor do que a deduzida das observações, se não se fizesse a correção relativa à diminuição da velocidade da rotação terrestre. Invocam, portanto, a lei de Newton. Em outros termos, definem a duração do seguinte modo: o tempo deve ser definido de tal maneira que a lei de Newton e a das forças vivas sejam verificadas. A lei de Newton é uma verdade de

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experiência; como tal, é apenas aproximada, o que mostra que ainda temos apenas uma definição por aproximação. Se agora supomos que vamos adotar uma outra maneira de medir o tempo, nem por isso as experiências sobre as quais está fundada a lei de Newton deixariam de conservar o mesmo sentido. Só que o enunciado da lei seria diferente, porque seria traduzido para uma outra linguagem; evidentemente, seria muito menos simples. De modo que a definição implicitamente adotada pelos astrônomos pode resumir-se assim: “O tempo deve ser definido de tal modo que as equações da mecânica sejam tão simples quanto possível.” Em outros termos, não há um modo de medir o tempo que seja mais verdadeiro que outro; o que geralmente é adotado é apenas mais cômodo. De dois relógios não temos o direito de dizer que um funciona bem e o outro funciona mal; podemos dizer apenas que é vantajoso nos reportarmos às indicações do primeiro. A dificuldade da qual acabamos de nos ocupar foi, como eu disse, muitas vezes assinalada; entre as obras mais recentes que dela tratam citarei, além do opúsculo do sr. Calinon, o tratado de mecânica do sr. Andrade. VI. A segunda dificuldade atraiu até aqui muito menos atenção; contudo, ela é inteiramente análoga à precedente; e mesmo, logicamente, eu deveria ter falado dela de início. Dois fenômenos psicológicos se passam em duas consciências diferentes; quando digo que são simultâneos, o que quero dizer? Quando digo que um fenômeno físico que se passa fora de toda consciência é anterior ou posterior a um fenômeno psicológico, o que quero dizer? Em 1572, Tycho-Brahé notou no céu uma estrela nova. Uma imensa conflagração se produzira em algum astro muito distante;

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mas produzira-se muito tempo antes; foi preciso que se passassem pelo menos duzentos anos até que a luz que partia dessa estrela alcançasse nossa Terra. Portanto, essa conflagração era anterior ao descobrimento da América. Pois bem, quando digo isso, quando considero esse fenômeno gigantesco que talvez não tenha tido nenhuma testemunha, já que os satélites dessa estrela talvez não tenham habitantes, quando digo que esse fenômeno é anterior à formação da imagem visual da ilha de Espanhola na consciência de Cristóvão Colombo, o que quero dizer? Basta um pouco de reflexão para compreender que todas essas afirmações, por si sós, não têm nenhum sentido. Só podem adquirir um sentido a partir de uma convenção. VII. Antes de tudo, devemos nos perguntar como pudemos ter a ideia de fazer entrar no mesmo quadro tantos mundos impenetráveis entre si. Desejaríamos representar o universo exterior, e só assim pensaríamos conhecê-lo. Sabemos que jamais teremos essa representação: nossa deficiência é grande demais. Desejamos ao menos que se possa conceber uma inteligência infinita para a qual essa representação fosse possível, uma espécie de grande consciência que tudo visse, e que classificasse tudo em seu tempo, assim como classificamos, em nosso tempo, o pouco que vemos. Essa hipótese é bem grosseira e incompleta; pois essa inteligência suprema não seria mais que um semideus; infinita num sentido, seria limitada em outro, já que só teria do passado uma lembrança imperfeita; e não poderia ter outra, já que, de outro modo, conservaria todas as lembranças igualmente presentes, e para ela não haveria tempo.

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E contudo, quando falamos do tempo, no que se refere a tudo o que se passa fora de nós, não adotamos nós inconscientemente essa hipótese? Não nos colocamos no lugar desse deus imperfeito? E os próprios ateus não se põem no lugar onde estaria Deus, se ele existisse? O que acabo de dizer nos mostra, talvez, por que procuramos fazer entrar todos os fenômenos físicos no mesmo quadro. Mas isso não pode passar por uma definição de simultaneidade, já que essa inteligência hipotética, mesmo que existisse, seria para nós impenetrável. É preciso, pois, buscar outra coisa. VIII. As definições comuns que convêm para o tempo psicológico não poderiam mais nos bastar. Dois fatos psicológicos simultâneos são ligados tão estreitamente, que a análise não pode separá-los sem mutilá-los. Dar-se-á o mesmo com dois fatos físicos? Meu presente não está mais perto do meu passado de ontem do que do presente de Sirius? Foi dito também que dois fatos devem ser considerados como simultâneos quando a ordem de sua sucessão pode ser invertida à vontade. É evidente que essa definição não poderia convir para dois fatos físicos que se produzem a grande distância um do outro, e é também evidente que, no que lhes diz respeito, nem sequer se compreende mais o que pode ser essa reversibilidade; aliás, é antes de tudo a própria sucessão que seria preciso definir. IX. Procuremos então nos dar conta do que entendemos por simultaneidade ou anterioridade, e para isso analisemos alguns exemplos. Escrevo uma carta; em seguida, ela é lida pelo amigo a quem a enviei. Eis aí dois fatos que tiveram como teatro duas consciências diferentes. Ao escrever essa carta, possuí sua imagem visual, e meu

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amigo, por sua vez, possuiu essa mesma imagem ao ler a carta. Embora esses dois fatos se passem em mundos impenetráveis, não hesito em ver o primeiro como anterior ao segundo, porque creio que aquele foi a causa deste último. Ouço o trovão e concluo que houve uma descarga elétrica; não hesito em considerar o fenômeno físico como anterior à imagem sonora recebida por minha consciência, porque creio que ele é a causa desta. Eis aí, portanto, a regra que seguimos, e a única que podemos seguir; quando um fenômeno nos aparece como a causa de outro, nós o vemos como anterior. É então pela causa que definimos o tempo; mas quase sempre, quando dois fatos nos aparecem ligados por uma relação constante, como reconhecemos qual deles é a causa e qual é o efeito? Admitimos que o fato anterior, o antecedente, é a causa do outro, do consequente. É portanto pelo tempo que definimos a causa. Como ter uma saída para essa petição de princípio? Ora dizemos post hoc, ergo propter hoc, ora propter hoc, ergo post hoc; (depois disso, logo, por causa disso”; “por causa disso, logo, depois disso”. [N. da T.]); conseguiremos sair desse círculo vicioso? X. Vejamos, então, não como chegamos a nos sair bem, pois não o conseguimos completamente, mas como procuramos nos sair bem. Executo um ato voluntário A e em seguida experimento uma sensação D, que vejo como uma consequência do ato A; por outro lado, por uma razão qualquer, infiro que essa consequência não é imediata, mas que se realizaram fora da minha consciência dois fatos B e C dos quais não fui testemunha, e de tal modo que B seja o efeito de A, que C seja o de B, e D o de C.

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Mas por que isso? Se creio ter razões para ver os quatro fatos A, B, C, D como ligados um ao outro por um elo de causalidade, por que dispô-los na ordem causal A B C D, e ao mesmo tempo na ordem cronológica A B C D, em vez de qualquer outra ordem? Vejo bem que no ato A tenho a impressão de ter sido ativo, ao passo que experimentando a sensação D, tenho a de ter sido passivo. É por isso que vejo A como a causa inicial e D como o efeito último; é por isso que disponho A no começo da cadeia e D no fim; mas por que colocar B antes de C, em vez de C antes de B? Se nos fazemos essa pergunta, respondemos geralmente: sabemos bem que é B a causa de C, já que vemos sempre B ocorrer antes de C. Esses dois fenômenos, quando somos testemunhas, passam-se numa certa ordem; quando fenômenos semelhantes ocorrem sem testemunha, não há razão para que essa ordem seja invertida. Sem dúvida, mas tomemos cuidado; jamais conhecemos diretamente os fenômenos físicos B e C; o que conhecemos são sensações B' e C' produzidas respectivamente por B e por C. Nossa consciência nos informa imediatamente que B' precede C', e admitimos que B e C se sucedem na mesma ordem. Essa regra parece de fato bem natural, e contudo muitas vezes somos levados a derrogá-la. Só ouvimos o ruído do trovão alguns segundos após a descarga elétrica da nuvem. De dois raios — um distante e outro próximo —, não pode o primeiro ser anterior ao segundo, embora o ruído do segundo nos chegue antes do ruído do primeiro? XI. Outra dificuldade; teremos nós realmente o direito de falar da causa de um fenômeno? Se todas as partes do Universo são solidárias numa certa medida, um fenômeno qualquer não será o efeito de uma causa única, mas a resultante de causas infinitamente numerosas; ele é, como se diz com frequência, a consequência do estado do Universo um momento antes.

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Como enunciar regras aplicáveis a circunstâncias tão complexas? E contudo só desse modo essas regras poderão ser gerais e rigorosas. Para não nos perdermos nessa infinita complexidade, levantemos uma hipótese mais simples; consideremos três astros, como por exemplo o Sol, Júpiter e Saturno; mas para maior simplicidade, vejamo-los como reduzidos a pontos materiais e isolados do resto do mundo. As posições e as velocidades dos três corpos em um instante dado bastam para determinar suas posições e suas velocidades no instante seguinte, e por conseguinte num instante qualquer. Suas posições no instante t determinam suas posições no instante t  h , assim como suas posições no instante t  h . E ainda há mais; a posição de Júpiter no instante t, unida à de Saturno no instante t  a , determina a posição de Júpiter num instante qualquer, e a de Saturno num instante qualquer. O conjunto das posições que ocupam Júpiter no instante t   e Saturno no instante t  a   está ligado ao conjunto das posições que ocupam Júpiter no instante t e Saturno no instante t  a , por leis tão precisas quanto a de Newton, embora mais complicadas. Portanto, por que não ver um desses conjuntos como a causa do outro, o que levaria a considerar como simultâneos o instante t de Júpiter e o instante t  a de Saturno? Para isso só pode haver razões de comodidade e de simplicidade — muito poderosas, é verdade. XII. Mas passemos a exemplos menos artificiais; para nos dar conta da definição implicitamente admitida pelos cientistas, vamos observá-los enquanto trabalham, e busquemos as regras segundo as quais investigam a simultaneidade. Tomarei dois exemplos simples; a medida da velocidade da luz e a determinação das longitudes.

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Quando um astrônomo me diz que determinado fenômeno estelar — que seu telescópio lhe revela naquele momento — ocorreu contudo há cinquenta anos, busco o que ele quer dizer com isso: pergunto-lhe de início como o sabe, isto é, como ele mediu a velocidade da luz. Começou por admitir que a luz tem uma velocidade constante, e em particular que sua velocidade é a mesma em todas as direções. Esse é um postulado sem o qual nenhuma medida dessa velocidade poderia ser tentada. Esse postulado jamais poderá ser verificado diretamente pela experiência; poderia ser contradito por ela, se os resultados das diversas medidas não fossem concordantes. Devemos nos considerar felizes por essa contradição não ter ocorrido, e pelo fato de poderem explicar-se facilmente as pequenas discordâncias que podem acontecer. Em todo caso o postulado, em conformidade com o princípio da razão suficiente, foi aceito por todos; o que quero lembrar é que ele nos fornece uma nova regra para a pesquisa da simultaneidade, inteiramente diferente daquela que havíamos enunciado acima. Admitido esse postulado, vejamos como se mediu a velocidade da luz. Sabe-se que Roemer serviu-se dos eclipses dos satélites de Júpiter e procurou saber em quanto tempo o evento se atrasava em relação à predição. Mas como se faz essa predição? Com o auxílio das leis astronômicas, como porexemplo a lei de Newton. Os fatos observados não poderiam do mesmo modo explicar-se se atribuíssemos à velocidade da luz um valor um pouco diferente do valor adotado, e se admitíssemos que a lei de Newton é apenas aproximada? Só que seríamos levados a substituir a lei de Newton por uma outra mais complicada.

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Assim, adotamos para a velocidade da luz um valor tal que as leis astronômicas compatíveis com esse valor sejam tão simples quanto possível. Quando os marinheiros ou geógrafos determinam uma longitude, têm que resolver precisamente o problema que nos ocupa; sem estar em Paris, devem calcular a hora de Paris. Como se arranjam eles? Podem levar um cronômetro acertado em Paris. O problema qualitativo da simultaneidade é reduzido ao problema quantitativo da medida do tempo. Não preciso retornar às dificuldades relativas a este último problema, uma vez que já insisti longamente sobre ele anteriormente. Ou então observam um fenômeno astronômico, tal como um eclipse da Lua, e admitem que esse fenômeno é percebido simultaneamente de todos os pontos do globo. Isso não é inteiramente verdadeiro, já que a propagação da luz não é instantânea; se desejássemos exatidão absoluta, haveria uma correção a fazer, segundo uma regra complicada. Ou então, enfim, servem-se do telégrafo. Antes de mais nada, é claro que a recepção do sinal em Berlim, por exemplo, é posterior à expedição desse mesmo sinal em Paris. É a regra da causa e do efeito analisada acima. Mas posterior em quanto tempo? Em geral, negligenciamos a duração da transmissão e consideramos os dois eventos como simultâneos. Mas para sermos rigorosos seria preciso fazer ainda uma pequena correção, por um cálculo complicado; não a fazemos na prática, pois seria muito menor do que os erros de observação; nem por isso sua necessidade teórica deixa de subsistir, no nosso ponto de vista, que é o de uma definição rigorosa. Desta discussão quero lembrar dois fatores:

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1° - As regras aplicadas são muito variadas. 2° - É difícil separar o problema qualitativo da simultaneidade do problema quantitativo da medida do tempo, quer utilizemos um cronômetro, quer tenhamos que levar em consideração uma velocidade de transmissão, como a da luz, pois não poderíamos medir uma tal velocidade sem medir um tempo. XIII. Convém concluir. Não temos a intuição direta da simultaneidade, nem a da igualdade de duas durações. Se cremos ter essa intuição, é uma ilusão. Nós a compensamos com o auxílio de algumas regras que aplicamos quase sempre sem perceber. Mas qual é a natureza dessas regras? Não há regra geral, não há regra rigorosa; há uma multidão de pequenas regras aplicáveis a cada caso particular. Essas regras não se impõem a nós, e poderíamos divertir-nos inventando outras; contudo, não poderíamos nos afastar delas sem complicar muito o enunciado das leis da física, da mecânica e da astronomia. Portanto escolhemos essas regras não porque elas sejam verdadeiras, mas porque são as mais cômodas, e poderíamos resumilas dizendo: “A simultaneidade de dois eventos, ou a ordem de sua sucessão, e a igualdade de duas durações devem ser definidas de tal modo que o enunciado das leis naturais seja tão simples quanto possível. Em outros termos, todas essas regras, todas essas definições são apenas fruto de um oportunismo inconsciente.”

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Teoria de Lorentz e o Princípio da Igualdade da Ação e da Reação Henri Poincaré Trabalho de boas vindas oferecido pelos autores a H.A. Lorentz, Professor de Física da Universidade de Leiden, na ocasião do 25º aniversário de seu doutorado, 11 de dezembro de 1900.

Sem dúvida, parece estranho que, em um monumento elevado à glória de Lorentz, eu discutir as considerações que eu apresentei anteriormente como uma objeção à sua teoria. Eu poderia dizer que as páginas que se seguem são mais da natureza de uma atenuação e não uma ampliação dessa objeção. Mas desprezo essa desculpa, porque tenho uma que é 100 vezes melhor: boas teorias são flexíveis. Aquelas que têm uma forma rígida e que não podem mudar essa forma sem colapsar realmente têm pouca vitalidade. Mas se uma teoria é sólida, então ela pode ser lançada em diversas formas, ela resiste a todos os ataques e seu significado essencial não é afetado. Foi o que eu discuti no último Congresso de Física Boas teorias podem responder a todas as objeções. Os argumentos específicos não têm efeito sobre eles, e também triunfam sobre todas as objeções sérias. No entanto, ao triunfar, elas podem ser transformadas. As objeções a elas, portanto, longe de aniquilá-las, realmente as servem, pois permitem que tais teorias desenvolvam todas as virtudes que estavam latentes nelas. A teoria de Lorentz é uma dessas, e essa é a única desculpa que invocarei. Portanto, não é por isso que imploro o perdão do leitor, mas sim por ter apresentado tão poucas novidades.

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1. Para começar, vamos analisar brevemente o cálculo pelo qual se mostra que, na teoria de Lorentz, o princípio da igualdade de ação e reação não é correto, pelo menos se alguém deseja aplicá-lo unicamente a objetos materiais. Vamos encontrar a soma de todas as forças ponderáveis aplicadas a todos os elétrons situados no interior de um determinado volume. Esse resultado, ou melhor, a sua projeção no eixo X, é representado pela integral: 1  F    dV  v  H  E  c  Onde a integração é feita sobre todos os elementos dV do volume em questão, e v velocidade do elétron. Das equações:

 4 1 E   H  v   c t  c 4  E  E adicionando e subtraindo o termo

1 2  H , eu posso escrever 8

a seguinte equação: 4

F   Fi i 1

onde:

 E   dV H   t  4 c   1 F2  dV H  H 4 

F1 

1

  

1 dV H 2 4  1 F4  dV E E 4 

F3  





  

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A integração por parte nos fornece:

 

1 dS H nˆ  H 4  1 F3   dS nˆ  H 2 8 

F2 



   41  dV  H  H  



Onde as integrais duplas são tomadas sobre todos os elementos dS da superfície que engloba o volume considerado, e onde nˆ denota o vetor normal a superfície S. Observe que:

H  0 Portanto, podemos escrever o seguinte:

F2  F3 

 

1 dS 2 H nˆ  H  nˆ  H 2  8





(A)

Vamos agora transformar a expressão F4 . A integração por partes nos dá:

F4 

  

  

1 1 dS E nˆ  E  dV E E  4 4 

Vamos agora denotar as integrais do lado direito da equação por F4 e F4 . F4  F4  F4

De acordo com a seguinte equação:

 E  

1 H c t

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Nós podemos obter as seguintes expressões: F4  Y  Z

Onde:

1 dV  E 2   8  1 H  Z dV  E    4 c t  

Y

Que resulta em:

1 dS  nˆ  E 2   8 d dV F1  Z   H E dt 4 c

Y





Finalmente, nós obtemos a seguinte equação:

F





 

 

d dV H  E  F2  F3  F4  Y dt  4 c





Onde F2  F3 é dado pela equação (A), enquanto que:

 F   Y   81  dS  2E  nˆ  E   nˆ  E  2

4





O termo F2  F3 representa a força exercida sobre os diferentes elementos dS da superfície que engloba o volume em consideração. Percebe-se imediatamente que a força não é senão a pressão magnética de Maxwell, introduzida por esse estudioso em sua famosa teoria.

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



Do mesmo modo, o termo F4  Y representa o efeito da pressão eletrostática de Maxwell. Sem a presença do primeiro termo:



d dV H E dt  4 c



A força ponderável não seria outra que a resultante das pressões de Maxwell. Se as nossas integrais são tomadas em todo o espaço, as integrais duplas em F2 , F3 , F4 e Y desaparecem e tudo o que resta é:



d dV H E dt  4 c

F



Se, portanto, denotarmos por M a massa de uma das partículas em questão e denotarmos por v a sua velocidade, se levarmos em conta o princípio da reação, então deveríamos ter:

 Mv  const. Para oposto, nós teremos:

 Mv  dt  4 c  H  E   const. d

dV

Observe que:





c H E 4

é o vetor de Poynting da radiação. Se definirmos:



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J

1 H 2  E2   8

A equação de Poynting nos fornece a seguinte relação:

 dt dV   dS 4  nˆ   H  E    dV    v  E  dJ

c

(B)

A primeira integral no lado direito representa, como sabemos, a quantidade de energia eletromagnética que entra no volume em consideração através da radiação que passa pela superfície e o segundo termo representa a quantidade de energia eletromagnética que é criada dentro do volume por transformação de outras formas de energia. Podemos considerar a energia eletromagnética como um fluído fictício de que a densidade é J e que viaja através do espaço de acordo com a lei de Poynting. Precisamos apenas perceber que o fluido não é indestrutível e, no elemento de volume dV, durante uma unidade de tempo, uma quantidade dV   v  E é destruída (ou, se o





sinal for negativo, uma quantidade idêntica, mas com sinal oposto é criada). Essa é a razão que nos impede de considerar nosso fluído fictício como uma espécie de fluido "real". A quantidade de fluido que passa através do quadrado da unidade de uma superfície orientada perpendicular aos eixos i, a cada unidade de tempo, é igual à: JU i

onde U i correspondem as componentes da velocidade do fluído. Ao compararmos com a equação de Poynting, encontramos:

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JU 



c EH 4



E, consequentemente, nossas equações se tornam:

 Mv   dV

JU  const. c2

(C)

Estas equações expressam o fato de que o momentum [literalmente "quantidade de movimento"] da substância propriamente dita, mais o de nosso fluído fictício, é representado por um vetor constante. Na mecânica comum, se o momentum for constante, então se pode concluir que o movimento do centro de gravidade é retilíneo e uniforme. No entanto, neste caso não temos o direito de concluir que o centro de gravidade do sistema formado pela substância e pelo nosso fluído ficcional está se movendo em uma trajetória retilínea e uniformemente; devido ao fato que o fluido não é indestrutível. A posição do centro de gravidade do fluido fictício é dada pela integral:

 x  J  dV Realizada sobre todo o espaço. A derivada dessa integral é:

 x dt dV   x   JU  dV    x  E  v  dV dJ

Mas a primeira integral no lado direito torna-se, por integração por partes:

 JUdV

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ou

 C   Mv  c

2

onde C denota a constante da soma dos vetores da equação (C). Usaremos M 0 para representar a massa total da substância, usaremos R0 para designar coordenadas de seu centro de gravidade, usaremos M1 para representar a massa total do fluído fictício, usaremos R1 para designar as coordenadas de seu centro de gravidade, usaremos M 2 para a massa total do sistema (matéria mais fluído fictício), R2 para designar o seu centro de gravidade, e então teremos:

M 2  M 0  M1 M 2 R2  M 0 R0  M 1 R1

J

xc

2

dV  M 1 R1

Então obtemos a seguinte equação:





 E v d M 2 R2  C   x dV dt c2





(D)

Podemos expressar a equação (D) nos seguintes termos: Se a energia eletromagnética não for criada nem destruída em qualquer lugar, o último termo desaparecerá; Então, o centro de gravidade do sistema que consiste na substância e na energia (considerado fluido fictício) tem movimento linear e uniforme.

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Suponhamos, agora, que em certos locais, há destruição de energia eletromagnética, que se transforma em energia não elétrica. Devemos, então, considerar o sistema formado não apenas pela substância e energia eletromagnética, mas também pela energia não elétrica que resulta da transformação da energia eletromagnética. Mas devemos assumir que a energia não elétrica permanece no ponto em que ocorre a transformação e não é subseqüentemente carregada com o assunto nesse local. Não há nada nesta convenção que, mas devemos assumir que a energia não elétrica permanece no ponto em que a transformação ocorre e não é subseqüentemente carregada com o assunto nesse local. Não há nada nesta convenção que deveria nos chocar, pois estamos apenas discutindo uma ficção matemática. Se alguém adotar essa convenção, o movimento do centro de gravidade do sistema permanecerá linear e uniforme. Para estender esta afirmação ao caso em que não há apenas destruição, mas também criação de energia, basta supor que em cada ponto há uma certa quantidade de energia não elétrica, a partir da qual é formada a energia eletromagnética. Seguem-se então a convenção precedente, que é dizer que, no lugar de assumir que a energia não elétrica é co-localizada com a substância ordinária, consideramos isso como imobilizado. Dada essa condição, o centro de gravidade ainda se move em linha reta. Considere novamente a equação (B), e suponha que as integrais se estendam por um volume infinitesimal. Isso significa, então, que o resultado das pressões de Maxwell que atuam na superfície do volume em consideração deve estar em equilíbrio: 1. Com as forças não elétricas que atuam sobre o assunto que está situado dentro do volume; 2. Com as forças inerciais dessa substância; 3. Com as forças de inércia do fluido fictício encerrado no volume

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Para definir a inércia desse fluido fictício, devemos assumir que o fluido que é criado em qualquer ponto por transformação de energia não elétrica é criado sem velocidade e que obtém sua velocidade do fluido que já existe. Se, portanto, a quantidade de fluido aumentar, mas a velocidade permanece constante, devemos ter uma certa inércia a superar, uma vez que o novo fluido "empresta" a sua velocidade do fluido antigo. A velocidade do sistema diminuirá se alguma causa não intervir para mantê-la constante. Da mesma forma, quando há destruição de energia eletromagnética, o líquido que é destruído deve perder sua velocidade antes da sua destruição, desistindo do fluido restante. Se o equilíbrio for válido para um volume infinitesimal, ele também deve manter um volume finito. Se, de fato, nós o decomponhamos em volumes infinitesimais, o equilíbrio é válido para cada um deles. Para passar para um volume finito, devemos considerar a coleta de forças aplicadas a diferentes volumes infinitesimais; Entre as pressões de Maxwell, retém apenas aqueles que atuam na superfície total finita do volume, mas ignoram aqueles que atuam sobre os elementos de superfície que separam dois volumes infinitesimais contíguos. Isso não afeta o equilíbrio, uma vez que as pressões que estamos ignorando são iguais e opostas. O equilíbrio seria, portanto, válido para volumes finitos. Seria, portanto, válido para todo o espaço. No entanto, nesse caso, não consideramos nem as pressões de Maxwell que são zero no infinito, nem as forças não elétricas que estão em equilíbrio em virtude do princípio de reação das forças da mecânica comum. Os dois tipos de forças inerciais estão, portanto, em equilíbrio, do qual temos uma dupla consequência: 1. O princípio da conservação das projeções dos momentos se aplica ao sistema de substância e de fluido de ficção. Podemos também derivar as equações (C).

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2. O princípio da conservação dos momentos dos momentos ou, em outros termos, a conservação do momento angular [literalmente "princípio das áreas"] se aplica ao sistema de substância e fluído de ficção. Esta é uma nova conseqüência, que completa a informação obtida das equações (C). Portanto, do nosso ponto de vista, uma vez que a energia eletromagnética se comporta como um fluido que tem inércia22, devemos concluir que, se algum tipo de dispositivo produz energia eletromagnética e a irradia em uma determinada direção, esse dispositivo deve recuar exatamente como um canhão faz quando dispara um projétil. Claro, esse recuo não ocorrerá se o dispositivo emitir energia igualmente em todas as direções; Isso só ocorrerá se a emissão for assimétrica e se a energia eletromagnética for emitida em uma única direção, como acontece, por exemplo, se o dispositivo for um excitador hertziano colocado no foco de um espelho parabólico. É fácil avaliar esse recuo quantitativamente. Se o dispositivo tiver uma massa de 1 kg e se ele emitir três milhões de joules em uma direção com a velocidade da luz, a velocidade do recuo é de 1 cm / seg. Em outros termos, se a energia produzida por uma máquina de 22

M 

E , como se pode deduzir da equação (C): c2

Sendo a densidade de massa associada à radiação eletromagnética dada por

J



c2

ou, de maneira equivalente, m  V  J . Substituindo o valor de J,

resulta em: m  V

 c2

. Como   V representa a energia eletromagnética

que a travessa o elemento volume V , concluímos que: M  CAPIBERIBE.

E . c2

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3.000 watts for emitida em uma única direção, é necessária uma força de um dine para manter a máquina em prática apesar do recuo. É evidente que essa força fraca não pôde ser detectada em nossa experiência. Mas podemos imaginar que, impossivelmente, temos dispositivos de medição tão sensíveis que podemos medir essas forças. Poderíamos então demonstrar que o princípio da reação é aplicável não apenas à substância; E isso seria confirmação da teoria de Lorentz, e a queda de algumas outras teorias. Mas isso não é nada; A teoria de Hertz e, em geral, todas as outras teorias prevêem o mesmo recuo que a teoria de Lorentz. Eu já considerei o exemplo de um excitador hertziano de que a radiação é renderizada paralelamente pelo uso de um espelho parabólico. Vou agora considerar um exemplo mais simples, emprestado da óptica: um feixe paralelo de raios de luz que atingem um espelho perpendicularmente, invando sua direção na reflexão. A energia que inicialmente viaja da esquerda para a direita, por exemplo, é posteriormente retornada da direita para a esquerda pelo espelho. O espelho deve, portanto, recuar e o recuo é fácil de calcular usando nossas considerações anteriores. Mas é fácil reconhecer o problema que já foi tratado por Maxwell nos parágrafos 792 e 793 de suas obras. Ele também prediz um recuo do espelho exatamente o mesmo que o que deduzimos da teoria de Lorentz. Se, de fato, vamos mais longe no estudo do mecanismo do recuo, aqui está o que encontramos. Considere algum volume e aplique a equação (B); Essa equação nos diz que a força eletromagnética que é exercida sobre os elétrons, ou seja sobre a substância contida no volume, é igual à resultante das pressões de Maxwell aumentadas por um termo de correção que é a derivada da integral:

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 4 c  H  E  dV

Se a situação for estática [literalmente "estabelecida"], então esta integral é constante eo termo de correção é zero. O recuo previsto pela teoria de Lorentz é o que se deve às pressões de Maxwell. Mas todas as teorias prevêem as pressões de Maxwell; Portanto, todas as teorias prevêem o mesmo recuo. 2. Mas então surge uma questão. Nós previmos o recuo usando a teoria de Lorentz porque é contrário ao princípio da reação. Mas entre as outras teorias, existem aquelas, como a de Hertz, que estão em conformidade com esse princípio. Como eles podem levar ao mesmo recuo? Apresso-me a dar a resolução a esse paradoxo, o que vou justificar mais tarde. Na teoria de Lorentz e na de Hertz, o dispositivo que produz energia e emite recuos unidirecionalmente, mas a energia assim irradiada se propaga através de um certo meio; o ar, por exemplo. Na teoria de Lorentz, quando o ar recebe a energia irradiada, não resulta em nenhuma ação mecânica; ele também não é afetado quando a energia sai depois de atravessá-lo. Em contraste, na teoria de Hertz, quando o ar recebe a energia, ela é empurrada para frente e recua quando a energia a deixa. Os movimentos do ar atravessados pela energia compensam assim, do ponto de vista do princípio da reação, os movimentos do dispositivo que produziu a energia. Na teoria de Lorentz, essa compensação não acontece. Vamos examinar novamente a teoria de Lorentz e nossa equação (2) e aplicá-la a um dielétrico homogêneo. Sabemos como Lorentz representa um material dielétrico; Esse meio contém alguns elétrons são sensíveis a pequenos deslocamentos, e aqueles deslocamentos

P á g i n a | 6-2083

Produzir a polarização dielétrica, o efeito de que, a partir de algum ponto de vista, é então adicionado para o deslocamento eléctrico adequado. Seja p  ( px , p y , pz ) as componentes dessa polarização. Nós então teríamos:

dp dV  4   v dt

(05)

As somatórias dos lados direitos das equações (5) se estendem por todos os elétrons contidos no interior do elemento de volume dV, e essas equações poderiam ser consideradas como a própria definição da polarização dielétrica. Para a expressão do resultante das forças ponderáveis que não mais chamo de "p", a fim de evitar confusão com a polarização), encontramos a integral:

  dV   v  H   E  ou [na direção X]

   v H  dV     v H  dV    E dV y

z

z

y

x

As duas primeiras integrais podem ser substituídas por



  H

z

dp y   dV , dt 



  H

y

dpz   dV dt 

em virtude das equações (5). Quanto à terceira integral, é zero, porque a carga líquida de um elemento do dielétrico que contém um número particular de elétrons é zero. Portanto, nossa força ponderável reduz para:

P á g i n a | 6-2084



dp 

  H  dt  dV , Se, então, eu chamo a força devido às várias pressões de Maxwell "II", tal que II  ( F2  F3 )  ( F4'  Y )

então nossa equação (2) se torna:

II 

1  dp  d dV EH  H   dV    8  dt  dt 8





(2 bis)

Nós também temos uma relação como esta

d2 p a 2  bp  E , dt

(A)

onde a e b são duas constantes características do meio; a partir disso, podemos facilmente deduzir:

px   n 2  1 Ex

(B)

e, da mesma forma,

p y   n 2  1 E y ,

pz   n 2  1 Ez

sendo n o índice de refração da cor em consideração. Poderíamos ser tentados a substituir a relação (A) por outras mais complicadas; por exemplo, se devemos considerar íons complexos. Isso faria pouca diferença, pois ainda chegaríamos à equação (B).

P á g i n a | 6-2085

Para levar isso adiante, como exemplo, vamos supor que uma onda plana é propagada ao longo do eixo x na direção positiva. Se a onda é polarizada no plano xz, teríamos px  Ex  E y  H x  pz  Ez  H y  0

e

  nE y Levando em conta todas essas relações, (2 bis) se torna, como no começo

II 

dp y  1  1  Hz  dV    8  8 dt 

dE y   1  dH z   Hz  dV    E y  dV 8  dt  dt  

onde a primeira integral representa a força ponderável. Mas se levarmos em conta as proporções

Ey 4



py n 1 2



  4  n      o o

nossa equação se torna

 o o II  n  n 2  1  E

dE dE dE dV  n  E dV  n  E dV dt dt dt

(6)

Mas para fazer algo dessa fórmula, é valioso ver como a energia se divide e se propaga em um material dielétrico. A energia se divide em três partes: 1º, a energia elétrica; 2º, a energia magnética; 3ª, a energia mecânica devido ao movimento dos íons. As expressões para estas três partes são, respectivamente

P á g i n a | 6-2086

1 2 E , 8

1 2 H , 8

1 E p 8

e no caso de uma onda plana, estas estão nas proporções, 1, n2, n2−1 Na análise anterior, atribuímos um papel àquilo que chamamos de momento da energia eletromagnética. É claro que a densidade do nosso fluido ficcional será proporcional à soma das duas primeiras partes (elétrica e magnética) da energia total, e que a terceira parte, que é puramente mecânica, deve ser deixada de lado. Mas que velocidade devemos atribuir ao fluido? Para começar, pode-se pensar que deveria ser a velocidade de propagação da onda, que é c . No entanto, não é tão simples assim. Em cada ponto, há uma n proporcionalidade entre a energia eletromagnética e mecânica; Se, portanto, a um ponto a energia eletromagnética diminuísse, a energia mecânica diminuiria igualmente, o que equivale a dizer que parte dela se transforma em energia eletromagnética; haveria, portanto, criação de fluido ficcional naquele ponto. Por enquanto, vamos designar a densidade do fluido fictício por ρ, e sua velocidade por v, que assumirei como paralela ao eixo x. Eu assumirei que todas as nossas funções dependem apenas de x e t, o plano da onda sendo perpendicular ao eixo x. A equação de continuidade é então escrita como:

     v   dt t onde δρ é a quantidade de fluido fictício criado durante o tempo dt. Mas essa quantidade é igual à quantidade de energia mecânica

P á g i n a | 6-2087

destruída, que é a quantidade de energia eletromagnética destruída,  , como n2 - 1 é para n2 + 1; do qual

 n 1 2



 n2  1

a partir do qual nossa equação se torna

 2n 2    v   0 t n 2  1 Se v é uma constante, essa equação nos mostra que a velocidade de propagação é igual a n2  1 v 2n 2 Se a velocidade de propagação fosse

v

c , teríamos, portanto, n

2n  o o  n 2  1

Se a energia total for J', a energia eletromagnética será n2  1 J J  e o momento do fluido fictício será: 2n 2  n2  1  J J  v   o o 2  n  2n 

  o o  J v    o o  

(7)

Se a energia total é J', a energia eletromagnética começa quando a densidade do fluido fictício é igual à energia multiplicada por 1/c². Mas na equação (6) o primeiro termo do lado direito representa a

P á g i n a | 6-2088

força ponderável, que é a derivada do momento do material dielétrico, enquanto os dois últimos termos representam a derivada do momento do fluido ficcional. Estes dois momentos estão, portanto, na razão de n2−1 para 2. Seja a densidade do material dielétrico ser d e os componentes de sua velocidade sejam u  (u x , u y , u z ) . Lembre-se das equações (4). O primeiro termo,  Mv representa o movimento de toda a matéria real; vamos decompor em duas partes. A primeira parte, que continuaremos a designar como  Mv , representará o momento do dispositivo que produz a energia. A segunda parte representará o momento dos dielétricos. Será igual a

 d  u dV da qual a equação (4) se tornará

 Mv    d  u     JU  dV  const , o

o

(4 bis)

Daquilo que acabamos de ver, temos

d u JU    o o  2 n 1 2 Além disso, chame a energia total, como acima, J'. Também distinguiremos a velocidade real do fluido fictício, que é o que resulta da lei de Poynting, e que designamos como U a velocidade aparente da energia, que é o mesmo que nós deduzida da velocidade de propagação das ondas e que nós designamos como U  . Da equação (7), obtemos: JU  J U 

P á g i n a | 6-2089

Podemos, portanto, escrever a equação (4 bis) no formulário:

 Mv    d  u     J U  dV  const , o

o

A equação (4 bis) mostra o seguinte: Se um dispositivo irradia energia em uma única direção no vácuo, ele sofre um recuo que, do ponto de vista do princípio da reação, é compensado apenas pelo movimento do fluido fictício. Mas se, em vez disso, a radiação ocorrer em um dielétrico, o recuo será compensado em parte pelo movimento do fluido fictício e em parte pelo movimento do material dielétrico, e a fração do recuo do dispositivo que será assim compensada pelo movimento do dielétrico, o que quer dizer que pelo movimento de alguma matéria real, eu diria, será n2  1 n2  1 Isso foi o que resultou da teoria de Lorentz. Agora vamos passar para a teoria de Hertz. Sabemos que a constituição de um dielétrico está de acordo com as ideias de Mossotti. Outros dielétricos, além do vácuo, seriam formados por minúsculas esferas condutoras (ou, mais genericamente, por minúsculos corpos condutores), separadas umas das outras por um meio isolante e não polarizável, que é análogo ao vácuo. Como podemos passar de lá para as ideias de Maxwell? Imaginamos que o vácuo em si tenha a mesma estrutura; não é não polarizável, mas formado de células condutoras, separadas por partições formadas de um material ideal, isolante e não polarizável. A indutância específica do vácuo seria, portanto, maior do que a de um material não polarizável ideal (assim como nos conceitos primitivos de Mossotti,

P á g i n a | 6-2090

a indutância de um dielétrico é maior do que a do vácuo, e pela mesma razão). E a indutância do vácuo aumentaria em relação à do material ideal, pois o espaço ocupado pelas células condutoras é aumentado em relação ao espaço ocupado pelas divisórias isolantes. No limite, consideramos a indutância do material isolante como infinitamente pequena e, ao mesmo tempo, as divisórias isolantes como infinitamente finas, de tal maneira que o espaço ocupado pelas divisórias é infinitamente pequeno, a indutância do vácuo permanece finita. Essa passagem ao limite nos leva à teoria de Maxwell. Tudo isso é bem conhecido e vou me restringir a uma breve revisão. Note que há a mesma relação entre a teoria de Lorentz e a de Hertz, assim como a de Mossotti e a de Maxwell. Vamos supor, de fato, que atribuímos ao vácuo a mesma constituição que Lorentz atribui aos dielétricos comuns; isto é, o consideramos como um meio não polarizável em que alguns elétrons podem estar sujeitos a pequenos deslocamentos. As fórmulas de Lorentz ainda serão aplicáveis, apenas  o o não representa mais a indutância do vácuo, mas a do nosso meio ideal não polarizável. Vamos passar ao limite supondo que  o o seja infinitamente pequeno; Enfatizamos que, para compensar essa hipótese, multiplicamos o número de elétrons de modo que a indutância do vácuo e dos outros dielétricos permaneçam finitos. A teoria em que chegamos ao limite não é outra senão a da Hertz. Seja c a velocidade da luz no vácuo. Na teoria primitiva de 1 ; mas não é mais o mesmo na teoria Lorentz, é igual a

 o o

modificada, onde é igual a

1 no  o o

P á g i n a | 6-2091

sendo no o índice de refração do vácuo em relação a um meio ideal não polarizável. Se n é o índice de refração de um dielétrico em relação ao vácuo comum, então seu índice relativo a esse meio ideal será nno e a velocidade da luz nesse dielétrico será

c 1  n nno  o o Nas fórmulas de Lorentz, devemos substituir n por nno. Por exemplo, o arrastamento das ondas na teoria de Lorentz é representado pela fórmula de Fresnel

 

1   n2 

 1 

1   n no2 

 1  Na teoria modificada, seria  

2

Se passarmos ao limite, devemos definir  o o  0 , do qual temos no = ∞; portanto, na teoria de Hertz, a velocidade de arrasto será  , o que equivale a dizer que o arrasto será completo. Essa consequência, que é contrária ao resultado de Fizeau, é suficiente para condenar a teoria de Hertz, de modo que a consideramos pouco mais que uma curiosidade. Vamos considerar novamente nossa equação (4 bis). Ela nos diz que a fração do recuo que é compensada pelo movimento do material dielétrico é igual a n2  1 n2  1

P á g i n a | 6-2092

Na teoria modificada de Lorentz, essa fração será:

n 2 no2  1 n 2 no2  1 Se passarmos ao limite fazendo no = ∞, essa fração é igual a 1 e, consequentemente, o recuo é totalmente compensado pelo movimento do material dielétrico. Em outras palavras, na teoria de Hertz, o princípio da reação não é violado e se aplica somente à matéria. Nós também podemos ver isso da equação (4 bis); se, no limite,  o o for zero, o termo    o o  J U dV , que representa o movimento do fluido fictício, também vai para zero; consequentemente, é suficiente considerar o movimento da matéria real. Da qual temos essa consequência: para demonstrar experimentalmente que o princípio da reação é realmente violado na realidade, como é na teoria de Lorentz, não é suficiente mostrar que o dispositivo que produz a energia recua, o que já seria muito difícil, é necessário mostrar também que o recuo não é compensado pelo movimento do dielétrico e, em particular, pelo movimento do ar atravessado pelas ondas eletromagnéticas. Isso claramente seria ainda muito mais difícil. Uma última observação sobre este assunto. Suponha que o meio atravessado pelas ondas seja magnético. Uma parte da energia da onda ainda assumirá a forma de energia mecânica. Se μ é a permeabilidade magnética do meio, então a energia magnética total será:

 H 2 dV  8

mas apenas uma fração, especificamente:

P á g i n a | 6-2093

1 H 2 dV  8 será apropriadamente chamado de energia magnética; a outra parte:

 1 H 2 dV 8  será a energia mecânica usada para trazer as correntes particulares para uma orientação comum perpendicular ao campo, contra a força elástica que tende a mover as correntes para a orientação de equilíbrio que elas tomariam na ausência de um campo magnético. Poderíamos, portanto, aplicar uma análise a este meio que é totalmente paralelo à análise precedente, e onde a energia mecânica  1 H 2 dV , desempenha o mesmo papel desempenhado pela  8 1 p  E dV no caso de um dielétrico. energia mecânica 8  Assim, podemos ver que, se existem meios magnéticos que não são dielétricos (quero dizer, em que a propriedade dielétrica seria a mesma que a do vácuo), o material desses meios deve sofrer uma ação mecânica devido à passagem das ondas de tal forma que o recuo do dispositivo é parcialmente compensado pelos movimentos do meio, assim como é por dielétricos. Para afastar-se desse caso irrealista, se assumirmos um meio que é ao mesmo tempo dielétrico e magnético, a fração do recuo compensada pelo movimento do meio será maior do que para um meio que não é magnético, mas que é igualmente dielétrico.

P á g i n a | 6-2094

3. Por que o princípio da reação é importante para nós? É importante considerar esta questão, para ver se os paradoxos que discutimos podem realmente ser considerados como uma objeção à teoria de Lorentz. Se esse princípio, na maioria dos casos, se impõe a nós, é porque sua negação leva a um movimento perpétuo. É esse também o caso aqui? Seja A e B dois corpos de qualquer tipo, com um agindo do outro, isolado de todas as forças externas; se a ação de um não fosse igual à reação do outro, poderíamos conectá-los com uma haste de comprimento fixo, de modo que eles se comportassem como um único corpo sólido. As forças aplicadas a esse sólido não estando em equilíbrio, o sistema se moveria e esse movimento aceleraria continuamente, para todos os tempos, já que a interação dos dois corpos depende apenas de suas posições relativas e de suas velocidades relativas, mas é independente da sua posição absoluta e das suas velocidades absolutas. De maneira mais geral, dado um sistema conservativo de qualquer tipo, onde V é sua energia potencial, m a massa de um dos pontos do sistema, e v  (vx , vy , vz ) são os componentes de sua velocidade, teríamos a equação da energia [literalmente “equação de forças vivas”]:

m

 2 v

2

 V  const

Agora vamos nos mover para um sistema de coordenadas que está se movendo com velocidade constante v paralela ao eixo x. Seja v  (vx , vy , vz ) ser os componentes da velocidade relativa a esses eixos, temos:

v1   v1x  v, v1y , v1z  e, consequentemente:

P á g i n a | 6-2095

m

 2  v

1x

2 2 2  v    v1y    v1z    V  const 

Em virtude do princípio do movimento relativo, V depende apenas da posição relativa dos pontos do sistema, as leis do movimento relativo não são diferentes das leis do movimento absoluto, e a equação da energia do movimento relativo é escrita como: m  2 v12  V  const Separando as duas equações, encontramos

v  mv1  ou

v2 2

 m  const

 mv  const 1

(8) (9)

que é a expressão analítica do princípio da reação. O princípio da reação parece-nos, portanto, como consequência do princípio da energia e do princípio da relatividade do movimento. Este último pesa fortemente em nossos pensamentos quando consideramos um sistema isolado. Mas, no caso que estamos considerando, não estamos lidando com um sistema isolado, uma vez que estamos considerando apenas a matéria comum e, além disso, ainda existe um éter. Se todos os objetos materiais são transportados por uma translação comum, como, por exemplo, o movimento da Terra, os fenômenos poderiam ser diferentes daqueles que observaríamos na ausência daquela translação, já que o éter não poderia ser transportado pela translação. Parece que o princípio da relatividade do movimento não deveria se

P á g i n a | 6-2096

aplicar apenas à matéria comum; então, experimentos foram realizados para detectar o movimento da Terra. É verdade que essas experiências produziram resultados negativos, mas achamos isso bastante surpreendente. Tudo a mesma coisa permanece. Esses experimentos, como eu disse, produziram um resultado negativo, e a teoria de Lorentz explica esse resultado negativo. Parece que o princípio da relatividade do movimento, que não é claramente verdadeiro a priori, é verificado a posteriori e que o princípio da reação deve seguir. No entanto, o princípio da reação não se sustenta; como pode ser? É o caso em que, na realidade, aquilo que chamamos de princípio da relatividade do movimento foi verificado apenas imperfeitamente, como mostra a teoria de Lorentz. Isso se deve à compensação de múltiplos efeitos, mas: 1. Essa compensação não ocorre a menos que negligenciemos ν2, pelo menos no que diz respeito a uma certa hipótese complementar que não discutirei no momento. Tudo o mesmo que não é importante para nosso sujeito, porque se negligenciarmos ν2, a equação (8) leva diretamente à equação (9), que é o princípio da reação. 2. Para que a compensação funcione, devemos relacionar os fenômenos não ao tempo real t, mas a um certo tempo local t' definido da seguinte maneira. Suponhamos que alguns observadores sejam colocados em vários pontos e sincronizem seus relógios usando sinais luminosos. Eles tentam ajustar o tempo de transmissão medido dos sinais, mas eles não estão cientes de seu movimento comum e, consequentemente, acreditam que os sinais viajam igualmente rápido em ambas as direções. Eles realizam observações de sinais de cruzamento, um viajando de A para B, seguido por outro viajando de B para A. A tempo local t é a tempo indicada pelos relógios que são ajustados dessa forma.

P á g i n a | 6-2097

Se c 

1

 o o

é a velocidade da luz, e v é a velocidade da Terra

que supomos ser paralela ao eixo x, e na direção positiva, então temos: vx t  t  2 c 3. Em movimento relativo, a propagação da energia aparente segue as mesmas leis que a energia real em movimento absoluto, mas a energia aparente não é exatamente igual à energia real correspondente. 4. Em movimento relativo, os corpos que emitem a energia eletromagnética estão sujeitos a uma força complementar aparente que não existe em movimento absoluto. Veremos como essas diversas circunstâncias resolvem a contradição que apontamos acima. Vamos imaginar que um dispositivo produz energia elétrica, de tal forma que a energia é emitida em uma única direção. Isso poderia ser, por exemplo, um excitador hertziano equipado com um espelho parabólico. Inicialmente em repouso, o excitador emite alguma energia ao longo do eixo x, e essa energia é exatamente igual àquela que é gasta pelo excitador. Como vimos, o dispositivo recua e assume certa velocidade. Se relacionarmos tudo aos eixos móveis que estão ligados ao excitador, os fenômenos aparentes devem ser, exceto pelas reservas mencionadas acima, o mesmo que se o excitador estivesse em repouso; Irá portanto irradiar uma quantidade aparente de energia que é igual à energia gasta no excitador.

P á g i n a | 6-2098

Por outro lado, recebe um impulso do recuo e, como não está parado, mas já tem uma velocidade diferente de zero, esse impulso funciona no dispositivo e sua energia cinética aumenta. Se, portanto, a energia eletromagnética real irradiada pelo dispositivo fosse igual à energia eletromagnética aparente, que é, como acabei de dizer, igual à energia gasta no excitador, o aumento da energia cinética do dispositivo seria obtido sem qualquer consumo correspondente. Isso é contrário ao princípio da conservação. Se, portanto, sofrer um recuo, a energia aparente não deve ser igual à energia real e os fenômenos em movimento relativo não serão exatamente os mesmos que aqueles em movimento absoluto. Vamos examinar isso um pouco mais de perto. Suponha que v’ seja a velocidade do excitador, v é a velocidade das coordenadas em movimento, que não vamos mais presumir que estejam ligadas ao excitador, e c é a velocidade da radiação. Todas as velocidades são consideradas paralelas ao eixo x e positivas. Para simplificá-lo, vamos supor que a radiação tenha a forma de uma onda plana polarizada, para a qual temos as equações: Ex  E y  H x  H y  0

E y t



H z , x

E 1 H z  y , 2 c t x

de onde obtemos:   cE y

A energia real contida no volume será

2 1 2 2 1 2 2  c Ey  c Ey 8 8 4

c

H z H z  0 t x

P á g i n a | 6-2099

Vamos agora ver qual é o movimento aparente relativo aos eixos em movimento. Para os campos elétricos e magnéticos aparentes, temos:

E y  E y 

v  4 c 2

    vE y

Temos, portanto, para a energia aparente no volume em consideração (negligenciando v2 mas não vv'):

 E y2 vE y    2 1 2 2   2 1 2 c E y   vE y   2 c      16 8 c 2  8 8  8 4    ou

 2v  c 2 E y2  2vE y   c 2 E y2 1   c   Além disso, as equações aparentes do movimento podem ser escritas,

E y   , t  x



1  E y  c 2 t  x

o que mostra que a velocidade de propagação aparente ainda é c. Suponha que T seja a duração da emissão; qual será o comprimento real no espaço da perturbação? A frente da perturbação sai do dispositivo no tempo 0 no local 0, e no tempo t ela estará no ponto ct. A retaguarda sai do dispositivo no tempo T, mas não no ponto 0, mas no ponto v'T, uma vez que o excitador do qual emerge movido com uma velocidade v' durante o intervalo de tempo T. No tempo t, a retaguarda está, portanto, no local vT  c  t  T  . O comprimento real da perturbação é, portanto,

P á g i n a | 6-2100

L  ct  vT  c  t  T    (c  v)T Agora, qual é o comprimento aparente? A frente surge no tempo tempo local 0, na coordenada local 0; no tempo local t' a coordenada relativa aos eixos móveis será ct'. A retaguarda emerge no momento T no ponto v'T, do qual a coordenada relativa ao eixo em movimento é  v  v  T , o tempo local que correspondente a isso é

 vv  T 1  2   c  No tempo local t', é no ponto x, onde x é dado pelas equações:

t  t 

vx c2

x  vT  c  t  T 

a partir do qual, negligenciando v2

 v x  vT  c  t   T   1    c A coordenada x desse ponto em relação aos eixos móveis será

 v x  vt    vT  cT  1    ct   c O comprimento aparente da perturbação será, portanto,

 v  v L  ct    x  vt     c  v  1    L 1    c  c A energia real total (por unidade de seção) é, portanto,

P á g i n a | 6-2101

 2 1 2 2  1 2 2 c Ey  L  c Ey L   4  8 8 

e a energia aparente  2 1 2 2  1 2 2  2v  v  1 2 2  v  c E y  L  c E y L 1  1    c E y L 1     4 c  c  4   c  8 8 

Se Jdt representar a energia irradiada real durante o tempo dt,  v então Jdt 1   representará a energia aparente.  c Suponha que Ddt é a energia gasta no excitador; é o mesmo em movimento absoluto e em movimento aparente. Nós ainda devemos contabilizar o recuo. A força de recuo, multiplicada por dt, é igual ao aumento do momento do fluido fictício, ou seja,

dt

1

 o o

Jc 

J dt c

já que a quantidade de fluido que é criada é

1

 o o

Jdt e sua

velocidade é c. O trabalho de recuo é, portanto:



vJ dt c

No caso do movimento aparente, devemos substituir v' por v'-v e  v J por J 1   .  c

P á g i n a | 6-2102

O trabalho do recuo aparente é, portanto: 

 v  v  Jdt 1  v   Jdt   v  v  vv  c

 

 c

  c

c

 c2 

Finalmente, em aparente movimento, devemos explicar a aparente força complementar de que falei acima (4). Essa força vJ complementar é igual a  2 e o trabalho que ela realiza, c  vv negligenciando v2, é  2 JdV . c Dado isso, a equação da energia cinética em movimento real é:

J D

vJ 0 c

(10)

O primeiro termo representa a energia radiada, o segundo a energia gasta e o terceiro o trabalho de recuo. A equação da energia cinética do movimento aparente é:

vv  v  v v vv  J 1    D  J     2   J 2  0 c  c  c c c 

(11)

O primeiro termo representa a energia irradiada aparente, o segundo a energia gasta, o terceiro o trabalho aparente de recuo e o quarto o trabalho da aparente força complementar. A correspondência entre as equações (10) e (11) elimina a aparente contradição que apontei acima. Se, portanto, na teoria de Lorentz, o recuo pode ocorrer sem violar o princípio da energia, é porque a energia aparente medida por um observador transportado junto com os eixos móveis não é igual à

P á g i n a | 6-2103

energia real. Vamos supor, então, que o nosso excitador recua e que o observador é levado junto com esse movimento (v'= v