O Princípio da Relatividade: Física (Lições) [4, 1º ed.] 9798602026702

Table of contents :
PREÂMBULO .............................................................................. 13
INTRODUÇÃO ............................................................................ 14
1. UMA PEQUENA CRÔNICA SOBRE O DESENVOLVIMENTO DA
TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL .......................................... 18
A. ANTECEDENTES HISTÓRICOS DO PRINCÍPIO DA
RELATIVIDADE .............................................................................. 18
B. O CONCEITO DE ÉTER .............................................................. 21
C. A EXPERIÊNCIA DE MICHELSON-MORLEY.............................. 25
D. A INTEPRETAÇÃO DE LORENTZ E POINCARÉ .......................... 29
E. A CONTRIBUIÇÃO DE EINSTEIN ................................................ 36
2. ENERGIA .................................................................................... 38
A. CONCEPÇÕES PRÉ-RELATIVÍSTICAS ........................................ 38
B. A DEDUÇÃO DE POINCARÉ DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA ... 45
C. ANÁLISE DE POINCARÉ SIMPLIFICADA ................................... 54
3. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA RELATIVIDADE ESPECIAL ................ 55
A. LÁ E DE VOLTA OUTRA VEZ..................................................... 55
B. INVARIÂNCIA DOS 4-VETORES.................................................. 58
C. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA TRANSFORMAÇÃO DE
LORENTZ ........................................................................................ 59
D. COMENTÁRIOS GERAIS............................................................. 62
E. ESTRUTURA DOS QUADROS DE REFERÊNCIA INERCIAL .......... 63
F. TRANSFORMAÇÃO DO OPERADOR DIFERENCIAL .................... 63
G. TRANSFORMAÇÃO DO OPERADOR NABLA ............................... 66
4. CINEMÁTICA RELATIVÍSTICA ................................................... 68
A. 4-VELOCIDADE .......................................................................... 68
B. 4-ACELERAÇÃO ......................................................................... 73
C. ANÁLISE FÍSICO-MATEMÁTICA DA 4-ACELERAÇÃO ............... 79
D. PARADOXOS NA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL ........... 93
5. DINÂMICA RELATIVÍSTICA ..................................................... 102
A. 4-MOMENTO ........................................................................... 102
B. COLISÕES RELATIVÍSTICAS .................................................... 107
C. 4-FORÇA .................................................................................. 111
D. A DEDUÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO GERAL DAS FORÇAS ...... 118
E. INVARIANTE DE PRESSÃO ....................................................... 129
F. TEOREMA TRABALHO-ENERGIA ............................................ 131
G. INVARIANTE ENERGIA-MOMENTO ......................................... 136
H. LIMITAÇÕES DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA ........................ 138
I. RELAÇÃO MASSA-ENTALPIA PARA CORPOS EXTENSOS ....... 143
6. TERMODINÂMICA RELATIVÍSTICA ......................................... 146
A. A ANÁLISE DE PLANCK ........................................................... 146
B. A ANÁLISE DE OTT ................................................................. 148
C. A LEI ZERO DA TERMODINÂMICA ......................................... 150
D. A RELAÇÃO MASSA-ENTALPIA .............................................. 151
E. TRANSFORMAÇÃO DAS FUNÇÕES DE ESTADO ........................ 154
F. 4-VETOR GRADIENTE DE TEMPERATURA .............................. 157
7. ELETRODINÂMICA RELATIVÍSTICA ........................................ 160
A. 4-CORRENTE ........................................................................... 160
B. 4-POTENCIAL ELETROMAGNÉTICO ........................................ 164
C. TENSOR ELETROMAGNÉTICO ................................................. 172
8. ÓPTICA RELATIVÍSTICA ......................................................... 178
A. 4-VETOR DE ONDA .................................................................. 178
B. 4-VETOR AMPLITUDE ............................................................. 180
C. 4-VETOR FREQUÊNCIA ........................................................... 182
D. ABERRAÇÃO E EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO ................ 184
E. TRANSFORMAÇÃO DA ENERGIA DA RADIAÇÃO ..................... 187
F. ÓPTICA VETORIAL .................................................................. 189
G. TRANSFORMAÇÃO DA AMPLITUDE (MÉTODO VETORIAL) .... 192
H. O VETOR DE POYNTING .......................................................... 194
I. PRESSÃO EXERCIDA PELA LUZ EM REFLETORES IDEAIS ...... 196
9. MECÂNICA QUÂNTICA ............................................................ 198
A. QUESTÕES EPISTEMOLÓGICAS ............................................... 198
B. 4-VETOR DE ONDA DE DE BROGLIE ....................................... 199
C. EQUAÇÃO DE KLEIN-GORDON ............................................... 201
D. EQUAÇÃO DE DIRAC-DARWIN ................................................ 204
E. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC-DARWIN (ELÉTRON
LIVRE) .......................................................................................... 210
F. APONTAMENTOS HISTÓRICOS ................................................ 218
G. EFEITO COMPTON ................................................................... 221
H. DECAIMENTO .......................................................................... 225
10. REFRAÇÕES SOBRE RELATIVIDADE ..................................... 228
A. ENSAIOS DE EINSTEIN DE 1905 ............................................... 228
B. MASSA DA LUZ ........................................................................ 242
C. POTENCIAL DE POINCARÉ ...................................................... 245
D. ONDAS DE ABRAHAM-NORDSTRÖN ........................................ 249
E. A LEI DE TRANSFORMAÇÃO À PARTIR DE INVARIANTES ...... 251
11. PRINCÍPIO DE HAMILTON NA RELATIVIDADE ESPECIAL .... 255
A. PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO E EQUAÇÕES DE EULERLAGRANGE
................................................................................... 255
B. EQUAÇÕES DE HAMILTON-JACOBI ........................................ 261
C. INTEGRAIS DE MOVIMENTO ................................................... 264
D. O PRINCÍPIO DO MOVIMENTO ESTACIONÁRIO NA
ELETRODINÂMICA ....................................................................... 266
E. FORÇA DE LORENTZ ............................................................... 270
F. EQUAÇÃO DE LIENÁRD ........................................................... 273
G. EQUAÇÃO DE LORENTZ-DIRAC .............................................. 274
H. FORMALISMO HAMILTONIANO .............................................. 279
I. TENSÕES DE POINCARÉ .......................................................... 283
J. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO E DA ENERGIA ....................... 294
12. COVARIÂNCIA GERAL .......................................................... 297
A. GEODÉSICAS ............................................................................ 297
B. CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO ...................................... 307
C. O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA ............................................ 333
D. SISTEMA DE COORDENADAS LOCAL ...................................... 334
E. REDUNDÂNCIA GEODÉSICA .................................................... 335
13. TÓPICOS DE TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL ................. 339
A. POR QUE UMA TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL? .............. 339
B. DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE CAMPO .................................... 341
C. ESPAÇO-TEMPO DE SCHWARZCHILD ..................................... 355
D. VETORES DE KILLING DO ESPAÇO-TEMPO DE
SCHWARZCHILD........................................................................... 367
E. DEFLEXÃO DA LUZ .................................................................. 370
F. ESFERA DE FÓTONS ................................................................ 382
G. ENERGIA, MOMENTO E MOMENTO ANGULAR DA
GRAVITAÇÃO ............................................................................... 385
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................. 397
REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA .................................................. 403
FICHA AUTORAL .......................................................................... 426

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O Princípio da Relatividade

Física (Lições)

AYNI R. CAPIBERIBE VOLUME IV

ⓒ 2020 Publicado pela ALRISHA Todos os direitos reservados Versão digital ISBN: 9798602026702

ALRISHA Campo Grande, Mato Grosso do Sul www.alrisha.webnode.com Dados de catalogação na publicação da Biblioteca do Congresso CAPIBERIBE, AYNI R. (Autor) O Princípio da Relatividade: Física (Lições) – Volume IV /Ayni R. Capiberibe. p. 426 Inclui referências bibliográficas e índice. 1. Simultaneidade (Física) 2. Física - Filosofia. 3. História da Ciência. 4. Relatividade (Física) 5. Espaço e tempo. 6. Tempo – Filosofia. 7. Sociologia da Ciência 8. Ensino de Ciências. 9 Albert Einstein. 10. Henri Poincaré.

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Às minhas filhas de patas fofas: Pam, Anita. Pink, Cassandra, Luana, Paloma e Kel

Homenagem

Gostaria que esse livro fosse uma singela homenagem a dois

professores que em momentos distintos me cativaram a estudar relatividade: Paulão e Moacir.

Gostaria de registrar meus agradecimentos ao professor Roberto

de Andrade Martins e ao físico-matemático Kevin Brown, cujas obras foram essenciais para elaboração desse livro.

Também gostaria que esse livro fosse um convite a todos os

professores da educação básica e superior a cativarem seus alunos como eu fui cativado.

Provamos através da lógica, mas descobrimos a partir da intuição POINCARÉ

Não há regra geral, não há regra rigorosa; há uma multidão de pequenas regras aplicáveis a cada caso particular. Essas regras não se impõem a nós, e poderíamos divertir-nos inventando outras; contudo, não poderíamos nos afastar delas sem complicar muito o enunciado das leis da física, da mecânica e da astronomia. Portanto escolhemos essas regras não porque elas sejam verdadeiras, mas porque são as mais cômodas. POINCARÉ, 1898

SUMÁRIO PREÂMBULO .............................................................................. 13 INTRODUÇÃO ............................................................................ 14 1. UMA PEQUENA CRÔNICA SOBRE O DESENVOLVIMENTO DA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL .......................................... 18 A. ANTECEDENTES HISTÓRICOS DO PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE .............................................................................. 18 B. O CONCEITO DE ÉTER .............................................................. 21 C. A EXPERIÊNCIA DE MICHELSON-MORLEY.............................. 25 D. A INTEPRETAÇÃO DE LORENTZ E POINCARÉ .......................... 29 E. A CONTRIBUIÇÃO DE EINSTEIN ................................................ 36 2. ENERGIA .................................................................................... 38 A. CONCEPÇÕES PRÉ-RELATIVÍSTICAS ........................................ 38 B. A DEDUÇÃO DE POINCARÉ DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA ... 45 C. ANÁLISE DE POINCARÉ SIMPLIFICADA ................................... 54 3. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA RELATIVIDADE ESPECIAL ................ 55 A. LÁ E DE VOLTA OUTRA VEZ..................................................... 55 B. INVARIÂNCIA DOS 4-VETORES.................................................. 58 C. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ ........................................................................................ 59 D. COMENTÁRIOS GERAIS............................................................. 62 E. ESTRUTURA DOS QUADROS DE REFERÊNCIA INERCIAL .......... 63

F. TRANSFORMAÇÃO DO OPERADOR DIFERENCIAL .................... 63 G. TRANSFORMAÇÃO DO OPERADOR NABLA ............................... 66 4. CINEMÁTICA RELATIVÍSTICA................................................... 68 A. 4-VELOCIDADE .......................................................................... 68 B. 4-ACELERAÇÃO......................................................................... 73 C. ANÁLISE FÍSICO-MATEMÁTICA DA 4-ACELERAÇÃO ............... 79 D. PARADOXOS NA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL ........... 93 5. DINÂMICA RELATIVÍSTICA ..................................................... 102 A. 4-MOMENTO ........................................................................... 102 B. COLISÕES RELATIVÍSTICAS .................................................... 107 C. 4-FORÇA .................................................................................. 111 D. A DEDUÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO GERAL DAS FORÇAS ...... 118 E. INVARIANTE DE PRESSÃO ....................................................... 129 F. TEOREMA TRABALHO-ENERGIA ............................................ 131 G. INVARIANTE ENERGIA-MOMENTO ......................................... 136 H. LIMITAÇÕES DA RELAÇÃO MASSA-ENERGIA ........................ 138 I. RELAÇÃO MASSA-ENTALPIA PARA CORPOS EXTENSOS ....... 143 6. TERMODINÂMICA RELATIVÍSTICA ......................................... 146 A. A ANÁLISE DE PLANCK ........................................................... 146 B. A ANÁLISE DE OTT ................................................................. 148 C. A LEI ZERO DA TERMODINÂMICA ......................................... 150

D. A RELAÇÃO MASSA-ENTALPIA .............................................. 151 E. TRANSFORMAÇÃO DAS FUNÇÕES DE ESTADO........................ 154 F. 4-VETOR GRADIENTE DE TEMPERATURA .............................. 157 7. ELETRODINÂMICA RELATIVÍSTICA........................................ 160 A. 4-CORRENTE ........................................................................... 160 B. 4-POTENCIAL ELETROMAGNÉTICO........................................ 164 C. TENSOR ELETROMAGNÉTICO ................................................. 172 8. ÓPTICA RELATIVÍSTICA ......................................................... 178 A. 4-VETOR DE ONDA .................................................................. 178 B. 4-VETOR AMPLITUDE ............................................................. 180 C. 4-VETOR FREQUÊNCIA ........................................................... 182 D. ABERRAÇÃO E EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO ................ 184 E. TRANSFORMAÇÃO DA ENERGIA DA RADIAÇÃO ..................... 187 F. ÓPTICA VETORIAL .................................................................. 189 G. TRANSFORMAÇÃO DA AMPLITUDE (MÉTODO VETORIAL) .... 192 H. O VETOR DE POYNTING .......................................................... 194 I. PRESSÃO EXERCIDA PELA LUZ EM REFLETORES IDEAIS ...... 196 9. MECÂNICA QUÂNTICA ............................................................ 198 A. QUESTÕES EPISTEMOLÓGICAS ............................................... 198 B. 4-VETOR DE ONDA DE DE BROGLIE ....................................... 199 C. EQUAÇÃO DE KLEIN-GORDON ............................................... 201

D. EQUAÇÃO DE DIRAC-DARWIN ................................................ 204 E. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIRAC-DARWIN (ELÉTRON LIVRE) .......................................................................................... 210 F. APONTAMENTOS HISTÓRICOS ................................................ 218 G. EFEITO COMPTON................................................................... 221 H. DECAIMENTO .......................................................................... 225 10. REFRAÇÕES SOBRE RELATIVIDADE ..................................... 228 A. ENSAIOS DE EINSTEIN DE 1905 ............................................... 228 B. MASSA DA LUZ ........................................................................ 242 C. POTENCIAL DE POINCARÉ ...................................................... 245 D. ONDAS DE ABRAHAM-NORDSTRÖN ........................................ 249 E. A LEI DE TRANSFORMAÇÃO À PARTIR DE INVARIANTES ...... 251 11. PRINCÍPIO DE HAMILTON NA RELATIVIDADE ESPECIAL .... 255 A. PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO E EQUAÇÕES DE EULERLAGRANGE ................................................................................... 255 B. EQUAÇÕES DE HAMILTON-JACOBI ........................................ 261 C. INTEGRAIS DE MOVIMENTO ................................................... 264 D. O PRINCÍPIO DO MOVIMENTO ESTACIONÁRIO NA ELETRODINÂMICA ....................................................................... 266 E. FORÇA DE LORENTZ ............................................................... 270 F. EQUAÇÃO DE LIENÁRD ........................................................... 273 G. EQUAÇÃO DE LORENTZ-DIRAC .............................................. 274

H. FORMALISMO HAMILTONIANO .............................................. 279 I. TENSÕES DE POINCARÉ .......................................................... 283 J. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO E DA ENERGIA ....................... 294 12. COVARIÂNCIA GERAL .......................................................... 297 A. GEODÉSICAS ............................................................................ 297 B. CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO ...................................... 307 C. O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA ............................................ 333 D. SISTEMA DE COORDENADAS LOCAL ...................................... 334 E. REDUNDÂNCIA GEODÉSICA .................................................... 335 13. TÓPICOS DE TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL ................. 339 A. POR QUE UMA TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL? .............. 339 B. DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE CAMPO.................................... 341 C. ESPAÇO-TEMPO DE SCHWARZCHILD ..................................... 355 D. VETORES DE KILLING DO ESPAÇO-TEMPO DE SCHWARZCHILD........................................................................... 367 E. DEFLEXÃO DA LUZ.................................................................. 370 F. ESFERA DE FÓTONS ................................................................ 382 G. ENERGIA, MOMENTO E MOMENTO ANGULAR DA GRAVITAÇÃO ............................................................................... 385 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................. 397 REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA .................................................. 403 FICHA AUTORAL .......................................................................... 426

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PREÂMBULO Esse livro é uma proposta de construção da teoria da relatividade especial a partir rotações hiperbólicas no espaço-tempo 4dimensional de Poincaré-Minkowski e análise de tópicos pouco discutidos na literatura, como a termodinâmica relativística e a violação da conservação do momento e energia na Teoria da Relatividade Geral. Como as rotações hiperbólicas são a linguagem própria do espaço-tempo, o método torna a dedução de grandezas relativísticas complicadas e até dúbias, um simples exercício de álgebra elementar. Inicialmente apresentamos a estrutura matemáticas e seus elementos, para então aplicar os sobre os 4-vetores mais comuns associados a mecânica e eletromagnetismo. Com base no formalismo hiperbólico prova-se que transformações de Lorentz formam um grupo abeliano. Por meio da álgebra de Lie não abeliana estabelecemos o tensor fundamental eletromagnético Também aplicamos para outros campos da física, pouco discutidos como a óptica e a termodinâmica. O estudo dos fenômenos térmicos nos levou a propor uma modificação na primeira lei da Termodinâmica e na equação da condutividade, que agora depende de um novo tipo de potencial escalar denominado de potencial de Poincaré. Por fim, apresentamos o formalismo tensorial e variacional para construir a Teoria da Relatividade Geral. Descrevemos detalhadamente o espaço-tempo curvo de Schwarschild e, a partir dos vetores de Killing, verificamos que nesse espaço-tempo há uma violação da conservação do momento e da energia. Mostramos que essa violação não é um deformidade do espaço-tempo de Schwarzchild, mas uma consequência da própria natureza da gravidade.

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INTRODUÇÃO O objeto desse livro é a Teoria da Relatividade Especial, cujo atingiu seu auge há mais de cem anos, com os trabalhos de Hendrik Lorentz, Henri Poincaré, Albert Einstein, Max Planck e Hermann Minkowski. A teoria foi escrutínio não apenas de físicos da mais alta competência, mas de matemáticos, filósofos, sociólogos, psicólogos etc. Esse livro tem como objetivo central esmiuçar o código da Teoria, sem saber se seremos recompensados com algum segredo antes desconhecido. Essa tarefa que não exige apenas o conhecimento técnico, mas também o conhecimento historiográfico, epistemológico e sociológico. Por isso, temos também como objetivo nessa pesquisa é apresentar ao leitor uma formulação da Teoria da Relatividade Especial à partir do conceito de rotações hiperbólicas no espaçotempo 4-dimensional de Poincaré-Minkowski. Essa possibilidade surgiu em 1908 quando Minkowski estabeleceu que a forma quadrática do espaço-tempo definia um hiper hiperboloide de duas folhas sobre a variedade. Esse ensaio foi dividido em três grandes partes: seções introdutórias (capítulo 1 e 2), física relativística básica (capítulo 3 ao 10) e tópicos avançados (Capítulo 11 ao 13). Nas seções introdutórias apresentamos uma revisão de literatura sobre os trabalhos históricos e epistemológicos da Teoria da Relatividade. Nessa seção apresentamos um pequeno resgate histórico da Teoria e mostramos que o conceito massa-energia, considerado por alguns autores como o ápice da relatividade, na verdade pode ser deduzida de considerações puramente eletromagnéticas. A segunda parte do trabalho inicia com a os conceitos básicos de rotações hiperbólicas, suas transformações a partir da construção de isomorfismos de grupos e 4-vetores e aplicamos construção das grandezas relativísticas no campo da cinemática, dinâmica, termodinâmica, eletromagnetismo, óptica e mecânica quântica. No

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capítulo de cinemática além de apresentar as transformações de velocidade e aceleração, também apresentamos os 4-vetores diferencial e nabla. Neste trabalho fomos extremamente rigorosos com a questão de índices covariantes e contravariantes para evitar quaisquer ambiguidades. O formalismo 4-vetorial permite deduzir as transformações relativísticas da força e da massa de forma não ambígua e sem precisar recorrer aos métodos tradicionais ou supor a conservação de momento linear. O campo da termodinâmica relativística, inaugurado pelo ensaio de 1907 de Max Planck, ainda apresenta divergências conceituais e pontos que não foram esclarecidos. Nós começamos com a generalização da relação momento-energia e massa-energia para relações momento-entalpia e massa-entalpia, a partir do estudo do equilíbrio estático-dinâmico de uma hasta rígida. Analisamos as transformações da temperatura e apresentamos as abordagens de Planck, Ott e Asimorov. Usando a relação massa-entalpia e a transformação da energia, calculamos as funções de estado termodinâmico energia interna e variação do trabalho. Como contribuição ao campo da termodinâmica relativística, propomos uma modificação da primeira lei da Termodinâmica que atende a dois requisitos: (1) preserva a forma convencional da primeira lei no limite relativístico e no referencial próprio, (2) mantém a entropia invariante e é compatível com as três transformações da temperatura. Em eletromagnetismo, conseguimos, por meio do formalismo empregado, fazer uma comparação entre as quantidades mecânicas e eletrodinâmicas. Definindo uma álgebra de Lie não abeliana sobre a variedade do espaço-tempo, deduzimos as linhas coordenadas e o tensor fundamental antissimétrico, que correspondem aos vetores campo elétrico e magnético e ao tensor eletromagnético. Enfatizamos que devido as convenções que estabelecemos, as

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componentes do tensor são diferentes das convencionais, entretanto isso não altera o significado físico e nem a forma das equações. Na óptica, nosso foco foi o estudo do efeito Doppler e as transformações da amplitude, energia e frequência de um complexo luminoso. Introduzimos o vetor de Poynting e calculamos a pressão exercida pela radiação em refletores perfeitos. Mostramos que Einstein poderia ter usado esse estudo da pressão para deduzir as transformações da força e das massas. Em mecânica quântica realizamos a última construção hiperbólica: o 4-vetor de De Broglie. Passamos, então, a construção da mecânica quântica relativística revisando a equação de KleinGordon e a Equação de Dirac-Darwin (ED). Resolvemos a ED para o elétron livre obtendo os níveis de energia negativo e a existência de pósitrons. Também aproveitamos para apresentar a história da ED, suas interpretações e a descoberta da antimatéria. Por fim discutimos o efeito Compton e a aniquilação de partículas e a sua relação com a conservação do 4-momento. O capítulo 10 é um desvio da sequência didática e apresenta uma miscelânea de tópicos e contribuições próprias. Abrimos um espaço para discutir as contradições entre o ensaio da relatividade e o ensaio da criação e transformação da luz de Einstein, ambos de 1905. Também exploramos a conexão entre a transformação de energia e a lei de Planck, considerada por Miller (1997) como uma das questões mais profundas da história da ciência. Por fim, usamos o conceito de 4-gradiente para estudar a condutividade térmica e a temperatura e descobrimos que a transformação da temperatura depende de um campo escalar que varia na direção longitudinal e no tempo. A partir desse resultado, provamos que a transformação de qualquer campo gradiente exige essa nova função escalar, que deve satisfazer a equação da onda. Chamamos essa função de Potencial de Poincaré.

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A terceira e última parte visa fornecer ferramental matemático e físico para a construção de uma teoria de campo da relatividade. No capítulo 11 iniciamos a parte mais avançada da Teoria, com a introdução do formalismo hamiltoniano para a relatividade. O capítulo 12 é uma revisão matemática do estudo das geodésicas e do cálculo diferencial absoluto que visa preparar o leitor para o último capítulo desse livro: Tópicos de Relatividade Geral. Iniciamos a discussão justificando a necessidade de uma Teoria da Relatividade Geral para descrição dos fenômenos físicos, principalmente a gravitação. Depois dessa breve exposição, deduzimos a partir do formalismo variacional, as equações de campo. Como aplicação, construímos o espaço-tempo curvo de Schwarzchild, a partir da terceira lei de Kepler, como proposto por Brown (2017) e realizamos diversos cálculos: vetores de Killing, desvio da luz, esfera de fótons. Encerramos o livro, com o problema da conservação da Energia e do Momento na Teoria da Relatividade Geral. Este livro não aborda todos os temas envolvendo relatividade. Os tópicos selecionados seguiram a estrutura geral dos principais livrotextos de Teoria da Relatividade Especial e com a inclusão de temas que são menos recorrentes na literatura. O livro contribui a literatura por apresentar uma forma diferente e pouco abordada de se construir a Teoria da Relatividade, desenvolvendo as equações detalhadamente para facilitar na compreensão do aluno, além de proporcionar, sempre que necessário uma discussão histórica e epistemológica.

Ayni R. Capiberibe Nunes [email protected] Instituto de Física / GEPECT

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1. Uma Pequena Crônica sobre o Desenvolvimento da Teoria da Relatividade Especial A. Antecedentes Históricos do Princípio da Relatividade As preocupações sobre a navegação usando cartas celestes na Idade Média impulsionaram o estudo dos céus e as questões do movimento da Terra retornaram. Embora maioria dos pensadores considerasse os argumentos de Aristóteles imbatíveis, alguns pesquisadores pensavam formas diferentes. O filósofo Francês Nicole Oresme (1320-1382), defendeu que a Terra se movia e justificava que tudo sobre a Terra, incluindo as nuvens, era arrastado por seu movimento. Oresme também argumentou que se uma flecha é lançada verticalmente paralela ao mastro de um barco em movimento, ela não cairá fora do barco, ela cairá paralela ao mastro, pois ela tende a acompanhar o movimento do barco (GRANT, 2009; MARTINS, 2015). Martins (2015, p .30) explica que: “os argumentos de Oresme nos parecem bons e são semelhantes aos que utilizamos hoje em dia. No entanto, na época, parecerem absurdos e não foram aceitos pelos demais pensadores, porque entravam em choque com a física aceita por todos.” No século XVI, Nicolau Copérnico (1473-1543) defendeu o modelo heliocêntrico e tentou justificar a ausência de efeitos do movimento da Terra ao considerar que existiam movimentos de duas naturezas: os naturais (como o movimento da Terra) e o movimento não natural. Copérnico dizia que todos os corpos tendem a manter seu movimento natural e por isso quando uma pedra é solta no ar ela terá o movimento natural da Terra e o movimento de queda. Copérnico explicava que os objetos não são jogados para fora da Terra porque somente movimentos violentos (não naturais) podem imprimir isso aos corpos (KOESTLER, 1989; MARTINS, 2003;

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GRANT, 2009). Assim como aconteceu com Oresme, os argumentos de Copérnico não foram aceitos, pois contrariava o conhecimento da época. Ainda no século XVI, Giordano Bruno (1548-1600) defendeu a hipótese de Copérnico e aprimorou o argumento de Oresme, como pode ser visto na descrição de Martins: Suponhamos que um navio está se movendo rapidamente, descendo um rio. Se ele passar por uma ponte e uma pessoa, na ponte, soltar uma pedra quando o mastro estiver passado abaixo dela, a pedra cairá a uma certa distância atrás do mastro, porque o navio se move enquanto a pedra cai. Mas uma pessoa que esteja no mastro do navio soltar a pedra, ela cairá exatamente na base do mastro, e não para trás. Pois a pedra, antes de ser largada do topo do mastro, já possui uma “virtude impressa” e mantém a mesma velocidade do navio, além de adquirir uma velocidade de queda. (MARTINS, 2015, p .31-32):

Pode-se dizer que Bruno apresentou uma forma primitiva daquilo que se chamaria no século XIX de Princípio da Relatividade dos Movimentos. As reflexões propostas por Bruno parecem ter inspirado Galileu Galilei (1564-1642), que também era partidário do modelo heliocêntrico. Galileu tentou justificar as marés e ondas como um efeito dos movimentos da Terra, um argumento que não foi aceito e sabemos que não está correto. Francesco Ingoli (15781649), escreveu uma carta a Galileu, em 1626, censurando-o e apresentando argumentos que “provavam” que a Terra estava imóvel. Galileu só foi responder Ingoli em 1632 (oito anos depois) e apresentou aquilo que se convencionou chamar de Princípio da Relatividade de Galileu. Ele propôs um tipo de experimento imaginário, no qual duas pessoas entrassem na cabine de um navio e fizessem vários experimentos lá dentro, tanto com o navio parado quanto em movimento. Afirmou, então, que todos os experimentos dariam exatamente o mesmo resultado, tanto no caso em que o navio

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estivesse parado quanto no caso em que ele estivesse se movendo rapidamente. Portanto, nenhum experimento realizado dentro da cabine do navio permite determinar se ele está se movendo. Da mesma forma, nenhum experimento na Terra permite saber se ela está parada ou em movimento. (MARTINS, 2015, p.33).

Galileu acreditava que movimentos de rotação fossem movimentos naturais e por isso não geram efeitos perceptíveis, esses argumentos também não foram aceitos. Hoje sabemos que estas ideias de Galileu sobre o movimento de rotação estão em desacordo com a física já que Galileu acreditava em movimentos de rotação naturais e achava que as marés poderiam ser causadas pelo movimento da Terra (KOESTLER, 1989; MARTINS, 1994; 2010; 2015). Descartes (1596-1650) apresentou a primeira definição de conservação quantidade de movimento para explicar as origens do movimento planetário (KOYRÉ, 1963). Hobbes (1973) sobre influência do pensamento cartesiano e galilaico apresentou a primeira concepção de princípio da inércia para os corpos em movimento (ANDÉRIO, MICHELETTO, SÉRIO, 1988). A leitura de todos estes trabalhos foram sintetizados por Newton para compreensão dos fenômenos mecânicos.

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B. O Conceito de Éter Para alguns pesquisadores a ideia de espaço vazio parecia ser insustentável, e por isso eles acreditavam que o espaço fosse preenchido por alguma substância (MARTINS, 1993). Aristóteles propôs que o espaço fosse preenchido por uma quinta essência que ele chamou de éter. A ideia de um meio que preenchesse o espaço persistiu até o começo do século XX e, apesar de ter sido modificada e aprimorada, o nome éter foi mantido. A natureza da luz também foi um tema bastante debatido, os pensadores da Antiguidade pareciam não fazer uma distinção entre luz e visão e as diversas propostas de explicações usavam esses dois conceitos indistintamente (RUSSELL, 2015). Galileu tentou aferir a velocidade da luz, mas não teve sucesso e afirmou que ela era excessivamente rápida. Olaus Römer (16441710), em 1675, ao estudar os eclipses das luas de Júpiter conseguiu aferir a velocidade da luz, embora o valor esteja distante do aceito atualmente, foi uma descoberta importante, pois mostrava que a luz tinha uma velocidade de propagação. Nessa época existiam duas possibilidades: ou a luz era formada por partículas ou a luz poderia ser uma ondulação no éter. Newton defendia que a luz era formada por corpúsculos e estaria submetida às leis do movimento por eles estudadas. Christiaan Huygens (1629-1695) defendia que a luz era uma onda no éter (AUFFRAY, 1998). É interessante observar que Newton apesar de defender a natureza corpuscular da luz, aceitava a existência de um éter e justificava os efeitos gravitacionais usando essa substância (MARTINS, 2006). As duas teorias eram satisfatórias para descrever os fenômenos ópticos conhecidos, embora dessem previsões diferentes: na teoria corpuscular não poderia ser observado o fenômeno de interferência e a velocidade da luz seria proporcional à densidade do meio. Na teoria ondulatória deveria se verificar o fenômeno de interferência e

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a velocidade da luz seria inversamente proporcional a densidade do meio. Embora as diferenças fossem claras, no século XVII não existiam meios de se testar essas diferenças e decidir qual era a teoria mais satisfatória. Outro ponto que deve ser mencionado é que no modelo corpuscular, a luz deveria respeitar o princípio da relatividade, pois seria descrita pelas leis da mecânica. Porém, na hipótese ondulatória, nada poderia ser dito sem uma investigação mais detalhada. Assim poderia haver a possibilidade de se medir efeitos absolutos do movimento de translação. No final do século XVIII e início do século XIX, Thomas Young (1773-1829) e Augustin Fresnel (17881827) conseguiram obter argumentos favoráveis à hipótese de Huygens. Young conseguiu obter padrões de interferência para a luz e Fresnel mediu que a velocidade de um raio de luz na água era menor que de um raio de luz no ar. Portanto seria natural perguntar: o princípio da relatividade se aplica a óptica? Mesmo quando se acreditava que a luz fosse formada por corpúsculos diversos pesquisadores como James Bradley (16931762), Thomas Melvin (1726-1753) e John Robison (1739-1805) procuraram meios de medir os efeitos de translação da Terra usando a observação de estrelas e a óptica de meios refringentes, todos os resultados concordavam que não era possível evidenciar o movimento de translação Terra. Para incluir o princípio da relatividade na óptica era necessário fazer adequações à teoria do éter. Fresnel propôs que o éter seria uma substância sem qualquer viscosidade, tendo uma aderência parcial em meios transparentes. Baseado nessa hipótese, Fresnel mostrou que qualquer tentativa de se evidenciar o movimento de translação da Terra por meio de fenômenos de natureza óptica seria frustrada. Em 1845, George Gabriel Stokes (1819-1903) apresenta outra interpretação para o éter, muito mais simples que a de Fresnel. Stokes supõe que o éter é

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uma substância viscosa e que é completamente arrastado pelo movimento da Terra. Por quê ninguém havia pensado nisso antes? Porque anteriormente se imaginava que qualquer teoria na qual o éter fosse arrastado pela Terra seria incapaz de explicar a aberração estelar. O raciocínio utilizado (errôneo) era de que, se a Terra arrastasse o éter em sua proximidade, todos os fenômenos ópticos próximos à Terra (incluindo o funcionamento do telescópio) se comportariam como se não houvesse nenhum movimento, e portanto não poderia ser observada a aberração. No entanto, Stokes provou que era possível explicar a aberração estelar, em sua teoria, mostrando que haveria uma gradual mudança de direção da luz à medida que ela atravessasse as sucessivas camadas de éter com diferentes velocidades. Assim, ele conseguiu mostrar que sua teoria era compatível com todos os fenômenos conhecidos. (MARTINS, 2015, p. 53).

A teoria de Fresnel e Stokes, embora compatíveis com princípio da relatividade, divergiam sobre em alguns aspectos. Se um raio de luz fosse jogado em uma corrente de água e esse raio de alguma maneira interferisse consigo mesmo, haveria uma figura de interferência que dependeria se o éter é arrastado parcialmente ou totalmente. Armand-Hippolyte-Louis Fizeau (1819-1896), em 1851, fez um experimento para testar a hipótese de Fresnel. Fizeau montou um tubo em U, que seria preenchido por uma corrente de água não turbulenta, e diversos espelhos e semi-espelhos conduziriam a luz fazendo que ao final ela se interferisse consigo mesmo. A experiência de Fizeau deu resultados favoráveis a teoria de Fresnel. É interessante ressaltar que a experiência de Fizeau também fazia previsões para o caso de que não houvesse nenhum arrastamento do éter no meio transparente. Muitos consideravam a experiência de Fizeau como uma prova de que o éter existia e tinha as características propostas por Fresnel (MARTINS, 2012).

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FIGURA 1.Arranjo do Experimento de Fizeau (op cit, p. 55)

Em 1854, Fizeau propõe uma experiência para tentar medir a velocidade de translação da Terra baseado na intensidade da luz, já que este atributo não depende do arrastamento éter. Embora não tenha realizado, Fizeau descreve a experiência: coloca-se uma luz entre dois anteparos, como a Terra translada a luz se aproxima de um anteparo e se afasta de outro, esse efeito criaria diferenças de intensidades da luz e poderia permitir medir o movimento da Terra no éter (MARTINS, 2015). Segundo Martins (2015), a ideia era engenhosa, mas uma análise mais cautelosa mostra que Fizeau não levou em conta a distribuição de luz de uma fonte em movimento no éter. Henrick Antoon Lorentz (1853-1928) mostrou em um trabalho, de 1902, que esse método não permitiria evidenciar o movimento da Terra. Fizeau ainda propôs outro experimento envolvendo a polarização da luz, embora os resultados parecessem favoráveis, eles foram criticados pelo astrônomo Hervé-Charles-Antoine Faye (1814-1902), por fim acabou que a ideia foi descartada. Em síntese, as experiências pareciam provar a existência de um éter não viscoso, proposto por Fresnel, e mostravam que o princípio da relatividade era válido tanto para mecânica quanto para toda óptica.

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C.

A experiência de Michelson-Morley

A revolução industrial que teve início na Inglaterra, no começo do século XIX, desencadeou um processo de industrialização e grandes investimentos na área da ciência e da tecnologia. Após estudos sobre as máquinas a vapor e o seu rendimento, cientistas e engenheiros viram na eletricidade e no magnetismo um potencial que poderia vir a substituir a máquina vapor. (QUEIRÓS, 2012). Michael Faraday (1791-1867) realizou diversas experiências e desenvolveu projetos do motor elétrico, gerador elétrico e o transformador elétrico. Faraday também propôs que as forças elétricas e magnéticas se propagavam por meio de linhas de força que ligavam as cargas umas às outras. Embora fosse um exímio experimentador, Faraday não tinha uma formação formal em matemática e representava seus modelos em descrições textuais e por desenhos. A matemática do eletromagnetismo foi fundamentada principalmente por William Thompsom (1824-1907) e James Clerk Maxwell (1831-1879). Maxwell procurou fornecer uma descrição matemática paras linhas de força de Faraday. Ele interpretou que estas linhas poderiam ter relação com o éter. As investigações de Maxwell levaram a previsão de ondas eletromagnéticas que se propagavam com a velocidade da luz. Maxwell considerou como uma evidência que a linhas de força são perturbações no éter e que a luz seria uma onda eletromagnética. Esses resultados foram publicados em 1873, em um livro chamado Tratado da eletricidade e magnetismo. (Darrigol, 1995, 1996; Giannetto 1998; Goldberg 1967, 1969, 1970, 1976; Hirosige1976; Keswani, 1965a, 1965b; Martins, 2015, Miller, 1997; Whittaker, 1953). O trabalho de Maxwell despertou pouca atenção fora da Inglaterra. A teoria vigente, a eletrodinâmica de Weber, que previa ações a distância, sem nenhum intermediário, era preferida pelos

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demais pesquisadores europeus. Em 1887, Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) conseguiu provar a existências de ondas eletromagnéticas. Ele mostrou que estas ondas eram transversais e mediu a sua velocidade, mostrando que seu valor era próximo da velocidade da luz no vácuo. A experiência de Hertz foi repetida por outros pesquisadores que obtiveram os mesmos resultados. A teoria de Maxwell acabou sendo aceita e se tornou o ponto de partida para um empreendimento novo: o telégrafo sem fio. (Darrigol, 1995; Martins, 2015). Maxwell estruturou seu trabalho considerando que os fenômenos elétricos e magnéticos eram devido a transformações do éter. Nesse sentido, surgia o conceito de éter eletromagnético e as previsões de Maxwell eram uma prova de sua existência. Ao que tudo indica, Maxwell considerava que o princípio da relatividade deveria ser válido também no eletromagnetismo já que defendia que somente movimentos relativos eram importantes, essas ideias foram apresentadas em uma obra, de 1877, intitulada Matéria e movimento. (Darrigol, 1995, 1996; Giannetto 1998; Goldberg 1967, 1969, 1970, 1976; Hirosige, 1976; Keswani 1965a, 1965b; Martins, 2015, Miller, 1997; Whittaker, 1953). Em 1879, Maxwell propõe uma ideia para medir a velocidade da Terra em relação ao éter. Se a luz é uma onda do éter, significa que a sua velocidade medida em um referencial em repouso não depende da velocidade do movimento da fonte. A mesma coisa acontece com o som e essa é a causa do efeito Doppler-Fizeau. Porém, se o ar estiver se movimentando, então o som será arrastado pelo movimento do meio e sua velocidade irá mudar. Maxwell conjecturou que o movimento da Terra em relação ao éter poderia produzir uma espécie de vento de éter e separando a luz em dois feixes, um no sentido do vento de éter e o outro no sentido contrário, quando esses raios se encontrarem haverá uma interferência, pois o vento de éter criaria uma defasagem. Medindo essa interferência seria possível medir a velocidade de translação da Terra em relação

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ao éter. (Darrigol, 1995; Giannetto 1998; Goldberg 1967, 1969, 1970, 1976; Hirosige1976; 1965a, 1965b; Keswani & Kilmister, 1983, Miller, 1997; Whittaker, 1953). Maxwell morreu jovem e não pode realizar a experiência. O físico estadunidense Albert Abraham Michelson (1852-1931) se interessou pela proposta de Maxwell e conseguiu um apoio financeiro de Graham Bell para viajar para a Europa a fim de estudar métodos de interferometria. Em 1881, Michelson montou um interferômetro e conduziu a experiência proposta por Maxwell. O efeito observado por Michelson não estavam de acordo com o proposto por Maxwell, pareciam apenas ser ruído aleatório. Michelson desistiu da experiência, mas devido aos apelos dos colegas, retomou o interesse no assunto. A experiência de 1881 podia ser explicada de várias formas, as mais plausíveis eram: o aparelho não possui sensibilidade suficiente ou o éter é viscoso como propôs Stokes (Darrigol, 1995; Giannetto 1998; Goldberg 1967, 1969, 1970, 1976; Hirosige1976; 1965a, 1965b, Miller, 1997; Whittaker, 1953). Curiosamente, ninguém repetiu a experiência de Fizeau, portanto era possível que na época Fizeau tivesse cometido algum erro experimental. Michelson em parceria com químico Edward Williams Morley (1838-1923) desenvolveram um aparelho muito mais sensível, e resolveram refazer a experiência de Fizeau, em 1886. Os resultados obtidos eram favoráveis a teoria de Fresnel, portanto não havia agora dúvidas da validade da experiência de Fizeau. Em 1887, Michelson e Morley repetiram a experiência de 1881, os novos dados obtidos não permitiam detectar nenhum efeito do vento de éter. Martins (2015, p.85) expõe a situação delicada em que se encontravam: Como se pode ver pela descrição aqui apresentada, a situação era bastante confusa, em torno de 1900. As duas mais importantes teorias do éter – a de Fresnel e a de Stokes –

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permitiam explicar uma parte dos resultados experimentais, mas ambas tinham problemas. A teoria de Fresnel só não explicava, sozinha, o experimento de Michelson e Morley de 1887; porém, se admitíssemos a contração dos objetos, ela se tornaria compatível com aquele experimento. Essa foi a direção em que alguns importantes pesquisadores – como Lorentz e Poincaré – desenvolveram seus trabalhos.

1

Quanto a importância do experimento de Michelson-Morley para a relatividade, Holton (1969) defende a tese que ela não foi crucial para os trabalhos de Einstein. Porém, essa tese foi contestada com a descoberta de novos documentos (KRAGH, 2001). Se considerarmos a influência de Poincaré e Lorentz sobre as ideias de Einstein e que estes dois pesquisadores também devem ser creditados pela criação da relatividade especial, então devemos discordar de Holton.

Fonte: https://www.if.ufrgs.br/novocref/?contact-pergunta=experimentos-demichelson-morley-e-a-terra-plana 1

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D. A Intepretação de Lorentz e Poincaré Em 1892, o pesquisador George Francis FitzGerald (1851-1901) e o pesquisador holandês Hendrick Lorentz propuseram que se os braços do interferômetro de Michelson e Morley se contraísse na direção do movimento, seria possível explicar os resultados da experiência. Lorentz tentou justificar essa hipótese conjecturando que a contração poderia ocorrer devido ao choque das moléculas com o éter (DAMOUR, 2017, DARRIGOL, 1995, 1996; GIANNETTO 1998; KESWANI, 1965a, 1965b; MARTINS, 2005a, 2005b, 2015, WALTER, 2005, 2015, 2017, WHITTAKER, 1953). O engenheiro de minas e matemático Jules Henri Poincaré (18541912), criticou a abordagem de Lorentz e Fitzgerald, pois, como explica Martins (2015, p.80-81): Na época, não havia nenhum motivo físico para imaginar que o movimento dos corpos através do éter deveria mudar suas dimensões. Tanto Fitzgerald quanto Lorentz estavam, provavelmente, se guiando simplesmente pela ideia de que alguma coisa poderia estar cancelando o efeito do vento do éter, e imaginaram então esse efeito de contração.

Em 1895, Lorentz publicou um pequeno artigo intitulado A Experiência Interferencial de Michelson, objetivo do físico era tornar as medidas de Michelson compatíveis com o modelo do éter estacionário de Fresnel, para atingir essa finalidade Lorentz (1958, p.08) faz a seguinte afirmação: Vemos assim que as diferenças de fase previstas pela teoria também se poderiam produzir se na rotação do aparelho, cada um dos braços fosse, alternadamente, mais comprido que o outro. Daqui resulta que estas mudanças de fase poderão ser compensadas fazendo nas dimensões dos braços modificações que se oponham a elas. Se admitirmos que o braço é colocado segundo a direção do movimento da Terra é mais curto do que o outro, sendo L.(v²/2c²) a diferença de comprimentos, e, ao

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mesmo tempo, que a translação tem a influência prevista pela teoria de Fresnel, então o resultado da experiência de Michelson fica completamente explicado.

Pode-se dizer que este trabalho de Lorentz, bem como o de Fitzgerald, se encaixaria na qualidade de "pressupostos artificiais". Lorentz estava ciente dessa dificuldade e buscou apresentar um significado físico para a contração dos comprimentos. Por muito surpreendente que a hipótese à primeira vista se apresente, dever-se-á reconhecer, no entanto que ela se torna mais acessível se admitir para as forças moleculares aquilo que presentemente já se pode afirmar em segurança para as forças elétricas e magnéticas: que elas também se transmitem através do éter. Se assim for, é exatamente provável que a translação produza na interação de duas moléculas ou átomos uma alteração semelhante à que produz nas atrações ou repulsões entre partículas com carga. Ora, como a forma e as dimensões de um corpo sólido são, em última instância, condicionadas pela intensidade das ações moleculares, não poderá então deixar de se verificar também uma alteração nas dimensões. (Ibid, p.09).

Esta abordagem ad hoc foi muito criticada por Poincaré que neste mesmo ano publicou um trabalho discutindo a tese de 1893 de Larmor e enunciou o Princípio da Relatividade nas seguintes palavras (apud MARTINS, p.104, 2015): “é impossível medir o movimento absoluto da matéria, ou melhor, o movimento relativo da matéria em relação ao éter. Só se pode evidenciar o movimento da matéria em relação à matéria.” Em 1900, Larmor publicou um livro chamado Aether and Matter. Larmor inicia seu livro com uma introdução sobre as questões fundamentais da óptica, o eletromagnetismo, o movimento da matéria e o éter que viam sido debatidos por vários pesquisadores. O segundo capítulo apresenta um relato histórico da óptica, eletromagnetismo e o éter. A proposta do livro é discutir os

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fenômenos ópticos, eletromagnéticos e a estrutura atômica e molecular da matéria e como estas interagem com o Éter. Na Sessão III do livro, Larmor se dedica a discutir o movimento relativo, começando sobre as teorias que incluem efeitos de primeira e segunda ordem em v/c e as implicações nas experiências com interferômetros. E também apresenta pela a transformação exata das coordenadas de espaço e tempo (LARMOR, 1900, p. 174): e1/2 x' = (x - vt) y' = y z' = z t' = e1/2 t - x'v/c² e = 1 - (v/c)² Ainda em 1900, na ocasião do vigésimo quinto aniversário de doutoramento de Lorentz, Henri Poincaré apresentou um trabalho intitulado “O Princípio da Ação e Reação na Teoria de Lorentz”. Neste trabalho Poincaré tentou conciliar a eletrodinâmica de Lorentz com a terceira lei de Newton, obteve a relação E = mc², e apresentando a seguinte conclusão (POINCARÉ, 1900): É fácil avaliar esse recuo quantitativamente. Se o dispositivo tiver uma massa de 1 kg e se ele emitir três milhões de joules em uma direção com a velocidade da luz, a velocidade do recuo é de 1 cm / seg. Em outros termos, se a energia produzida por uma máquina de 3.000 watts for emitida em uma única direção, é necessária uma força de um dine para manter a máquina em prática apesar do recuo.

Embora Larmor tenha sido o primeiro pesquisador a apresentar as "Transformações de Lorentz", ele não conseguiu obter as transformações exatas para o Campo Elétrico e o Campo Magnético,

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foi Lorentz que obteve as transformações exatas e publicou, em 1904, seus resultados em um ensaio intitulado Fenômenos Eletromagnéticos em um Sistema que se Move com Qualquer Velocidade Inferior à da Luz (LORENTZ, 1958, p.19): E'x = Ex E'y = (Ey - v.Bz)/(1 - v²/c²)1/2 E'z = (Ez + v.By)/(1 - v²/c²)1/2 B'x=Bx B'y = (By + Ez.v/c²)/(1 - v²/c²)1/2 B'y = (Bz - Ey.v/c²)/(1 - v²/c²)1/2 Esse conjunto de Transformações mostrava que era impossível medir o movimento da Terra em relação ao Éter usando fenômenos de natureza óptica ou eletromagnética. Os resultados negativos da experiência de Michelson-Morley eram devido ao cancelamento exato que estava associado a contração dos corpos que se movem. Lorentz inicia seu artigo discutindo as experiências de Michelson, Rayleight, Brace e Trouton-Noble e reconhece que atribuição de hipóteses ad hoc não é uma solução satisfatória de um problema. Em relação à teoria até agora aplicada aos fenômenos elétricos e ópticos dos corpos em movimento Poincaré opôs como objeção o fato de ter sido necessária a introdução de uma nova hipótese [ad hoc] para explicar o resultado negativo de Michelson, e de isto pode vir a ser necessário cada vez que novos fatos se tornem conhecidos. É sem dúvida um pouco artificial este recurso à invenção de hipóteses especiais para cada novo resultado experimental. (Ibid, p.15-16).

Assim para estudar o efeito da translação sobre a eletrodinâmica, Lorentz (1904, p. 16) discute que para este novo trabalho apenas uma hipótese "a velocidade será apenas sujeita à restrição de ser menor

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do que a velocidade da luz". Em 1905, Poincaré escreveu seu trabalho mais importante sobre o assunto, Sobre a dinâmica do Elétron. Uma versão resumida desse trabalho foi publicada em Junho de 1905 em um periódico francês, e uma versão mais longa saiu em um periódico italiano no ano de 1906. O trabalho de Poincaré corrigia a transformada de Lorentz da densidade de carga e provava a sua covariância (validade para todos os referenciais inerciais), mostrava que as transformadas de Lorentz formavam um grupo matemático gerado por quatro elementos e interpretou esse resultado como um indicativo de que o espaço possuiria uma quarta dimensão: o tempo. Ainda nesse trabalho, Poincaré analisou os diversos modelos de elétron e provou que somente o modelo de Lorentz era compatível com o Princípio da Relatividade. Por fim, Poincaré tentou estender o princípio da relatividade para a gravitação obtendo os equivalentes aos quadrivetores de momento e fazendo a previsão de ondas gravitacionais, resultados muitas vezes atribuídos a outros pesquisadores como H. Minkowsky e A. Einstein (DAMOUR, 2017, DARRIGOL, 1995, 1996; GIANNETTO 1998; KESWANI, 1965a, 1965b; MARTINS, 2005a, 2005b, 2015, WALTER, 2005, 2015, 2017, WHITTAKER, 1953). Em 1905, ano em que Einstein publicou seus trabalhos sobre a Relatividade, diversos conceitos, alguns até atribuídos a Albert Einstein, já eram conhecidos, de acordo com Martins (2015, p.225):  O princípio da relatividade;  As transformações de Lorentz para o espaço e tempo, de onde pode ser deduzida toda a cinemática relativística;  As transformações das grandezas eletromagnéticas;  A maior parte da dinâmica relativística;  A equação da variação da massa do elétron com a velocidade;

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 A relação entre o fluxo de energia e a densidade de momentum;  A relação entre a massa e energia, em alguns casos específicos (sem formulação geral). Martins (2005, p. 509) ainda apresenta quatro contribuições que foram apenas obtidas por Poincaré em julho de 1905 e, por um erro editorial (AUFFRAY, 1998), publicadas apenas em 1906.  A demonstração de que as transformações de Lorentz formam um grupo.  O intervalo relativista (ds² = dx² + dy² + dz² - c²dt²) e outros invariantes espaço-temporais.  O estudo da dinâmica relativista de corpos extensos com tensões.  A primeira investigação das consequências do princípio da relatividade sobre a gravitação. Podemos sintetizar as contribuições de Poincaré para a teoria da relatividade especial em 16 tópicos: sendo os dez primeiros referentes a resultados apresentados em Sur la dynamique de l’eléctron, e os demais em seus estudos anteriores. Registra-se que os cinco primeiros tópicos desta lista foram indicados por Damour (2017, p. 599): [1]. A lei relativista da adição de velocidades; [2]. A lagrangiana do elétron relativístico; [3]. A compreensão das transformações de Lorentz como "rotações" em um "espaço 4-dimensional" com coordenadas "x, y, z, t√-1", e o método de construção de invariantes relativísticos; [4]. A álgebra de Lie do grupo de Lorentz [e as isometrias do espaço-tempo].

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[5]. Uma descrição mais explícita da classe de leis de forças gravitacionais relativisticamente invariantes, de ação à distância, entre duas massas (arbitrariamente móveis) e dos efeitos associados de propagação de “ondas gravitacionais” entre os corpos. [6]. As transformações de Lorentz e os potenciais eletromagnéticos [7]. A universalidade do princípio da relatividade para as leis da física [8]. As pressões (tensões) de Poincaré de natureza não eletromagnética [9]. A invariância das equações de Maxwell para o gauge de Lorentz [10]. As grandezas físicas como quantidades 4-dimensionais do espaço-tempo [11]. Transformação da energia e da massa relativística [12]. A variedade espaço-tempo 4-dimensional [13]. A relatividade do espaço e a contração do espaço [14]. A relatividade do tempo e a dilatação do tempo [15]. A relatividade da simultaneidade e a sincronização de relógios [16]. A relação massa-energia E = mc² para um fluído fictício associado à radiação. Como salienta Martins (2015, p.225) “esses resultados não foram obtidos de forma rápida e nem foram o resultado da “genialidade” de uma única pessoa. Foram construídos gradualmente por um conjunto de pesquisadores”. Podemos dizer que em 1905, a Teoria da Relatividade já estava em estágio avançado. As contribuições de Einstein à essa teoria foram principalmente epistemológicas e em sintetizar as ideias.

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E. A Contribuição de Einstein Em 1905, Albert Einstein publicou um artigo intitulado "Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento" no Annalen der Physik. Muitos físicos, autores de livros e jornalistas atribuem a este artigo o mérito de ter introduzido a Teoria da Relatividade Especial, um dos pilares da física moderna e contemporânea. Esta atribuição é incorreta, como veremos no decorrer desta análise, pois já existia uma teoria para eletrodinâmica dos corpos em movimento onde contribuíram diversos pesquisadores como Voigt, Larmor, Lorentz, Fitzgerald, Poincaré, entre outros. Einstein introduz seus dois postulados da seguinte maneira: [...] Em todos os sistemas de coordenadas em que são válidas as equações da mecânica, também são igualmente válidas leis ópticas e eletrodinâmicas da mesma forma - o que até a primeira ordem de aproximação, já está demonstrado. Vamos erguer à categoria de postulado essa nossa suposição (a cujo conteúdo chamaremos daqui em diante ); e, além disso, vamos introduzir o postulado - só aparentemente incompatível com o primeiro - de que a luz, no espaço vazio, se propaga sempre com uma velocidade determinada, independente do estado de movimento da fonte luminosa. (EINSTEIN, 1958, p.48).

Além destes dois postulados, Einstein apresenta a proposta de abandonar o Éter: A introdução de um irá se revelar supérflua, visto que na teoria que vamos desenvolver não necessitaremos de introduzir um , nem de atribuir um vector velocidade a qualquer ponto do espaço vazio em que tenha lugar um processo eletromagnético (EINSTEIN, 1958, p.48).

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De maneira mais objetiva, o artigo de Einstein foi construído encima dos seguintes preceitos:   

Princípio da Relatividade (Primeiro Postulado) Constância da Velocidade da Luz (Segundo Postulado) Rejeitar a existência de um éter.

A eletrodinâmica dos corpos em movimento desenvolvida por Einstein era muito simples que a desenvolvida por Lorentz e Poincaré, pois como afirma Martins (2015, p.226): “não há dúvidas que a nova forma de apresentar a teoria e fazer as deduções foi uma importante contribuição. Note-se, no entanto, que a mesma coisa ocorre, normalmente, quando se elabora uma versão didática de uma teoria científica.” Foi esta simplicidade um dos fatores decisivos para adoção posterior da interpretação de Einstein. É impossível decidir, por via experimental, entre a teoria de Lorentz e a teoria da relatividade. O fato de, apesar disso, a primeira haver recuado para o segundo plano deve-se sobre tudo a que, por mais que ela se aproxime da teoria da relatividade, ainda lhe falta o grande princípio universal e simples que confere à teoria da relatividade [...] um aspecto imponente. (LAUE, 1911).

Registre que a partir de 1920, Einstein voltou a adotar a hipótese do éter, tornando a sua abordagem como uma abordagem alternativa da abordagem Lorentz-Poincaré. Atualmente, a abordagem das teorias físicas adota a rejeição do éter e a óptica, a teoria eletromagnética e a relatividade são interpretadas de acordo com esse paradigma relacional. A maioria dos livros de Teoria da Relatividade adota o método axiomático para a construção da Relatividade.

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2. Energia A. Concepções Pré-Relativísticas A conexão entre a massa e a energia surgiu como uma consequência do estudo da dinâmica dos corpos eletrizados, no final do século XIX que foram conduzidos por diversos físicos. Em 1881, o físico britânico J. J. Thomson comparou a massa eletromagnética de um elétron lentamente acelerado com a sua energia cinética, calculando a sua massa cinética (MARTINS, 2015).

me 

q2 6 o Rc 2

Embora Thomson não tenha feita essa comparação, Maxwell já havia calculado o valor da energia eletrostática em torno de um corpo esférico carregado (MARTINS, 2015).

We 

q2 8 o R

Se dividirmos a massa cinética do elétron pela sua energia eletrostática, chegamos a uma relação massa-energia (Ibid): me 

4 We 3 c2

A menos do fator 4/3, essa é a exata relação massa-energia atribuída a Einstein. O fator 4/3 não se trata de algum erro matemático ou inconsistência teórica. Ele está correto e é compensado por distensões, de natureza não elétrica, na superfície do elétron descobertas por Henri Poincaré, em 1905 (POICARÉ, 1905, 1906, DARRIGOL, 1995, MARTINS, 2005, 2015). Essas

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distensões, conhecidas como Tensões de Poincaré e contribuem para uma redução de 1/3 da inércia total do elétron. me 

4 We 1 We  3 c2 3 c2

me 

We c2

Embora a relação-massa energia estivesse presente na teoria de Thomson dos elétrons, essa conexão não foi explorada antes de 1900. Na eletrodinâmica de Lorentz as interações dos corpos carregados não era instantânea, mas mediadas pela ação dos campos elétricos e magnéticos, como estas interações ocorriam a velocidade da luz, o par ação e reação não poderia ocorreria simultaneamente e por isso, a terceira lei de Newton e a conservação do momento não poderiam ser considerados como uma lei exata. (DARRIGOL, 1995). Lorentz não tinha melindres para abandonar esse princípio, porém Poincaré os considerava fundamentais. Em 1900, na ocasião do jubileu de doutoramento de Lorentz, Poincaré tentou conciliar a eletrodinâmica de Lorentz com a conservação do momento. Nesse processo de conciliação, Poincaré descobriu que deveria se associar à radiação eletromagnética uma inércia, que seria medida pelo seu conteúdo energético E dividido pelo quadrado da velocidade da luz (POINCARÉ, 1900, FADNER, 1988, MARTINS, 1989, 2005, 2015, DARRIGOL, 1995, 1996): m

E c2

Apesar do resultado obtido por Poincaré seja igual ao resultado que obtemos a partir da análise de Thomson (levando em consideração as tensões de Poincaré), essas duas massas são grandezas diferentes e definidas de forma diferente. A dedução de Poincaré da inércia da radiação eletromagnética envolve considerações envolvendo a quantidade de movimento, por isso

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dizemos que ele deduziu a massa maupertuisiana, enquanto a análise de Thomson nos leva a deduzir a massa cinética (MARTINS, 2005). O termo massa maupertuisiana foi proposto pelo físico francês Paul Langevin (1913), que denominou todo conceito de massa derivado a partir do momento como massa maupertuisiana de Poincaré. A análise de Poincaré se baseava em uma premissa, que havia sido prevista por Maxwell em 1873, mas não tinha ainda confirmação experimental: quando a radiação é absorvida ou refletida por uma superfície, há radiação exerce uma pressão (POYTING, 1905, MARTINS, 2005, 2012, 2015). Em 1901, Pyotr Lebedew (1866-1912), Ernest Fox Nichols (1869-1924) e Gordon Ferrie Hull (1870-1956) detectaram pela primeira vez a existência dessa pressão da radiação (POYTING, 1905, WHITTAKER, 1953, MARTINS, 2005). Inspirados por esses resultados, Max Abraham analisou teoricamente a pressão exercida pela radiação em uma refletores ideais em movimento e com um ângulo arbitrário, obtendo a fórmula de primeira ordem da transformação da pressão: P2

A2 cos 2  8

Em 1904, F. Sody ao estudar processos de emissão radioativa, onde há grandes variações de energia, concluiu ocorria uma variação da massa do isótopo (FADNER, 1988). Embora o resultado de Sody pudesse ser considerado como uma evidência experimental da conexão massa-energia, a sua análise era apenas qualitativa. Sody não calculou o valor da variação da massa e nem derivou alguma equação. Neste mesmo ano, o físico Friedrich Hasenöhrl (18741916) fez um estudo teórico sobre o equilíbrio dinâmico de uma caixa cheia de radiação, onde as arestas eram espelhos perfeitamente refletores (MARTINS, 2005, 2015). Dessa análise, Hasenöhrl extraiu as seguintes conclusões:

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Se a caixa estiver em repouso, a radiação produzirá pressões iguais em todas suas faces. Suponhamos, agora, que a caixa que estava em repouso é acelerada paralelamente ao eixo x. A pressão da luz na superfície da parte de trás da caixa será maior do que quando ela estava em repouso, e na superfície na parte da frente da caixa será menor. O motivo é, basicamente, que a caixa aumenta de velocidade entre os momentos em que a radiação é refletida na parede oposta e o momento em que atinge a superfície. Assim, a radiação produzirá uma força resultante contrária ao movimento da caixa. Portanto, para acelerar a caixa cheia de luz é necessária uma força maior do que para acelerar a mesma caixa sem radiação. Em outras palavras, a radiação aumenta a inércia da caixa. Hasenöhrl também calculou a mudança da energia da radiação decorrente da aceleração da caixa. Ele provou que a radiação total seria uma função da velocidade da caixa. Portanto, quando a caixa é acelerada, uma parte do trabalho realizado pelas forças externas é transformado em energia adicional da radiação. Como a inércia da radiação é proporcional à sua energia, e como essa energia aumenta com a velocidade da caixa, a inércia total aumentará com a velocidade do sistema. Quando a velocidade da caixa tende a c, sua inércia tende a infinito. Se a temperatura interna da caixa aumentasse, a energia da radiação também aumentaria. Por isso, Hasenöhrl concluiu que a massa de um corpo depende de sua energia cinética e de sua temperatura. (MARTINS, 2005, p. 19)

Nesse ensaio, Hasenhörl derivou que o aumento da inércia da caixa cheia de luz, deveria ser expressa pela seguinte relação (FADNER, 1988):

m 

8E 3 c2

Este resultado não concorda com as análise anteriores (mesmo que consideremos o efeito das pressões de Poincaré), porque

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Hasenöhrl cometeu um erro de integração (FADNER, 1988, MARTINS, 2015). Em 1905, Abraham usando considerações do momento, provou que o valor correto do aumento da inércia da caixa deveria ser (MARTINS, 2015):

m 

4 E 3 c2

Nesse mesmo ano, Hasenöhrl reconheceu seu erro e revisou a sua análise, detectando o erro na integração correta e obtendo o mesmo resultado de Abraham (FADNER, 1988, MARTINS, 2015). Como nas análises de Thompson e Poincaré, os conceitos de massa calculados por Abraham e Hasenhörl são diferentes. Abraham partiu de considerações do momento da radiação dentro da caixa e calculou a massa maupertusiana, enquanto Hasenhörl calculou a contribuição da inércia da luz para a aceleração da caixa, calculando a massa acelerativa longitudinal que, diferente da massa acelerativa transversal, coincide com a massa maupertuisiana. Como observamos, o fator 4/3 é compensado pelas pressões de Poincaré. É importante enfatizar que nenhum desses resultados poderiam ser usados pare derivar conclusões sobre o peso da luz ou da caixa cheia de luz (MARTINS, 2015). Em 1906, Max Planck obteve a primeira evidência teórica que a energia contribuía para a massa gravitacional eram equivalentes (WHITTAKER, 1953). Em 1907, no mesmo ano que Einstein propôs seu princípio da equivalência entre massa inercial e gravitacional, Eotvös usando elementos radioativos e balanças de mostrou que a variação de energia afetava o peso do corpos radioativo (LANGEVIN, 1913). Em 1905, Einstein apresentou sua tese de que a massa inercial de um corpo material era uma medida da inércia. Em 1906, Einstein usando argumentos semelhantes a de Poincaré (1900), derivou a relação massa-energia para a luz. Como veremos, a dedução de 1905

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era insatisfatória, e esse fato foi observado em 1907 por Max Planck. Usando considerações termodinâmicas, Planck mostrou que a massa de um corpo depende de sua entalpia (1VES, 1952). Ano

1885

Investigador

J. J. Thompson

Resultados Um condutor carregado em movimento aumenta sua massa em

 me  154  e 2 a Correção do aumento da massa para 1889

O. Heaviside

 me  23  e 2 a A energia eletromagnética tem quantidade de movimento. Pode ser representado por um "fluido fictício" com densidade de massa:

1900

H. Poincaré

  J c2

onde J é a densidade de energia. 1901, 1903

W. Kaufmann

1902

M. Abraham

1903

M. Abraham

Evidências experimentais de que a massa transversal do elétron aumenta com a velocidade. Sugestão: a massa do elétron é puramente eletromagnética. Equações da teoria de campo para a quantidade de aumento de massa com velocidade, com base em cargas esféricas rígidas. Em bom acordo com os dados de Kaufmann (agora sabemos que está incorreta).

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mL  m0 1  v 2 c 2 

1904

H. A. Lorentz

1904

F. Soddy

3/ 2

aumento de massa correto, a partir de transformações de Lorentz, baseado em cargas esféricas deformáveis. Declaração verbal: A radioatividade ocorre às custas da massa do sistema.

 me  83 E c 2 1904,

F. Hasenöhrl

1905

adição aparente à massa de um sistema termodinâmico devido à pressão de radiação interna. Corrigido, em 1905, para: 4 3

1905

1906

A. Einstein

H. Poincaré

E c2



(a)

m L  m0 1 v 2 c 2

(b )

 m  E c2



3/2

A massa de um corpo diminui em L/c² se emitir energia L (para primeira ordem em v²/c²). Um elétron estável (deformável) requer forças suplementares não elétricas (tensões de Poincaré) para ser consistente com o princípio da relatividade.

Tabela I. Uma história da relação massa-energia. Para esta tabela: µ = permeabilidade magnética, e = carga do elétron, a = raio de um objeto carregado, E = energia observada, v = velocidade observada, c = velocidade de luz, m0 = massa de repouso, mL = massa longitudinal de um objeto em movimento. Equações para a massa transversal não são dadas aqui (FADNER, 1988, p. 115).

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B.

A Dedução de Poincaré da Relação Massa-Energia

A primeira relação entre massa e energia aparece em um ensaio sobre o princípio da ação e reação na Teoria de Lorentz escrita por H. Poincaré, em 1900, na ocasião do vigésimo quinto aniversário de doutoramento de H. Lorentz. Mesmo após mais de 100 anos da publicação de seu ensaio, a essência do conteúdo físico do ensaio de Poincaré continua sendo válida. Entretanto, o que pode tornar difícil a leitura de trabalhos antigos é o fato que não existia o sistema internacional de unidades e notações. Os símbolos para identificar certas grandezas físicas, o sistema de unidades, que pode absorver certas constantes ou exigir uso de outras, variam de região à região. Em Le principle de reaction et le theorie de Lorentz a notação empregada por Poincaré é radicalmente diferente da notação que usamos atualmente. Por exemplo, Poincaré usa o mesmo simbolismo para expressar derivadas parciais e derivadas ordinárias, f (u, v) d  f (u, v) u du

Embora Heaviside já houvesse escrito as 10 equações cartesianas de Maxwell em quatro equações, em forma vetorial, Poincaré utiliza a sua forma cartesiana. Tendo em vista essas diferenças, que também afetam as grandezas físicas, Schwartz (1971) produziu um dicionário de símbolos para o ensaio Sur la dynamique de l’eléctron, mas que também é válido para outros artigos de Poincaré. Como nesse artigo não estamos analisando diretamente o trabalho de Poincaré e temos como objetivo apresentar as relações entre massa e energia da forma mais didática possível, optamos por um anacronismo consciente: apresentar as equações em notação moderna, porém sem comprometer seu conteúdo físico e as interpretações que foram dadas por Poincaré.

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Quantidade

Notação de

Notação

Poincaré

Contemporânea

Campo Elétricoa

(f, g, h)

E

Campo Magnéticoa

()

B

Potencial Escalar





Potencial Vetor

(F, G, H)

A

Densidade de Corrente

(u, v, w)

I

Velocidade do Elétronc

()

U

Vetor Deslocamento

(U, V, W)



Força por Unidade de

(X, Y, Z)

F

(X1, Y1, Z1)

F

Elétrica Totalb

Volume Força por Unidade de Carga a

Os vetores de deslocamento elétrico e de intensidade magnética no original são aqui representados por uma questão de concordância com a prática comum atual, pelos símbolos de corrente para vetores de intensidade elétrica e de indução magnética, respectivamente. b Isto inclui a densidade de corrente de deslocamento de Maxwell c

Em unidades da velocidade da luz no vácuo (c = 1)

Tabela 2. Dicionário de notação empregado no artigo de Poincaré (SCHWARTZ, 1971, p. 1289)

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O ensaio de Poincaré é basicamente uma crítica a eletrodinâmica de Lorentz por ela não comportar a terceira lei de Newton. Poincaré logo no início avisa que essa crítica não tem como intuito desmerecer a grandiosidade da teoria, mas torna-la mais consistente: Sem dúvida, parece estranho que, em um monumento elevado à glória de Lorentz, eu discutir as considerações que eu apresentei anteriormente como uma objeção à sua teoria. Eu poderia dizer que as páginas que se seguem são mais da natureza de uma atenuação e não uma ampliação dessa objeção. Mas desprezo essa desculpa, porque tenho uma que é 100 vezes melhor: boas teorias são flexíveis. Aquelas que têm uma forma rígida e que não podem mudar essa forma sem colapsar realmente têm pouca vitalidade. Mas se uma teoria é sólida, então ela pode ser lançada em diversas formas, ela resiste a todos os ataques e seu significado essencial não é afetado. Foi o que eu discuti no último Congresso de Física. Boas teorias podem responder a todas as objeções. Os argumentos específicos não têm efeito sobre eles, e também triunfam sobre todas as objeções sérias. No entanto, ao triunfar, elas podem ser transformadas. As objeções a elas, portanto, longe de aniquilá-las, realmente as servem, pois permitem que tais teorias desenvolvam todas as virtudes que estavam latentes nelas. A teoria de Lorentz é uma dessas, e essa é a única desculpa que invocarei. Portanto, não é por isso que imploro o perdão do leitor, mas sim por ter apresentado tão poucas novidades. (POINCARÉ, 1900)

A teoria de Lorentz em sua forma pura, exigiria o abandono da conservação do momento, pois a teoria era incompatível com o princípio da ação e reação. Alguns físicos, incluindo o próprio Lorentz acreditavam que a conservação do momento não era um princípio fundamental da física (DARRIGOL, 1996). Porém havia outro grupo de físicos, que incluía Henri Poincaré, que consideravam a conservação do momento como um princípio fundamental, junto com a conservação da massa e da energia (DARRIGOL, 1996). Para

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os defensores do princípio da ação e reação haveria três possibilidades: investir em uma teoria alternativa, como as eletrodinâmicas de Hertz, Cohn e a de Helmholtz, desenvolver uma nova teoria da eletrodinâmica ou buscar modificações na teoria de Lorentz que a tornassem compatível com este princípio. Poincaré optou pela última opção. A solução mais simples seria para resolver a contradição seria atribuir algum estado de movimento ao éter (DARRIGOL, 1996). Assim a ação sofrida por uma carga teria como consequência uma reação no éter. Poincaré descartava essa hipótese, pois creditava que ela levaria a situações físicas absurdas (POINCARÉ, 1900, 1902). Portanto era preciso obter uma outra solução para o princípio da reação. Para descobrir quais seriam as modificações necessárias, Poincaré inicia sua análise estudando a interação de um elétron em um pequeno elemento de volume dV e determina a ação de todas as forças ponderáveis sobre as normais dos elementos de superfície dS e determina suas pressões de Maxwell. Após a análise dinâmica, Poincaré introduz a equação de Poynting, obtendo a seguinte a expressão:

 dt dV  4   E  H   nˆ dS     v  E  dV dJ

c

A partir dessa equação, Poincaré introduz o seu conceito de fluído fictício, como segue: A primeira integral no lado direito representa, como sabemos, a quantidade de energia eletromagnética que entra no volume em consideração através da radiação que passa pela superfície e o segundo termo representa a quantidade de energia eletromagnética que é criada dentro do volume por transformação de outras formas de energia. Podemos considerar a energia eletromagnética como um fluído fictício cuja densidade é J e que viaja através do espaço de acordo com a lei

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de Poynting. Precisamos apenas perceber que o fluido não é indestrutível e, no elemento de volume dV, durante uma unidade de tempo, uma quantidade .(v.E) dV é destruída (ou, se o sinal for negativo, uma quantidade idêntica, mas com sinal oposto é criada). Essa é a razão que nos impede de considerar nosso fluído fictício como uma espécie de fluido "real". (POINCARÉ, 1900)

Poincaré agora precisa provar se para este fluído fictício se verificam as leis ordinárias da física de forças centrais, em especial, se o centro de gravidade percorre uma trajetória retilínea e uniforme quando o momento linear for constante. Para isso Poincaré utiliza dinâmica e equilíbrio dos fluídos para descrever seu centro de massa e suas equações de movimento. Sua análise leva as seguintes conclusões: Se a energia eletromagnética não for criada nem destruída em qualquer lugar, o último termo desaparecerá; Então, o centro de gravidade do sistema que consiste na substância e na energia (considerado fluido fictício) tem movimento linear e uniforme. Suponhamos, agora, que em certos locais, há destruição de energia eletromagnética, que se transforma em energia não elétrica. Devemos, então, considerar o sistema formado não apenas pela substância e energia eletromagnética, mas também pela energia não elétrica que resulta da transformação da energia eletromagnética. Mas devemos assumir que a energia não elétrica permanece no ponto em que ocorre a transformação e não é subsequentemente carregada com o assunto nesse local. Não há nada nesta convenção que, mas devemos assumir que a energia não elétrica permanece no ponto em que a transformação ocorre e não é subsequentemente carregada com o assunto nesse local. Não há nada nesta convenção que deveria nos chocar, pois estamos apenas discutindo uma ficção matemática. Se alguém adotar essa convenção, o movimento do centro de gravidade do sistema permanecerá linear e uniforme.

P á g i n a | 50

Para estender esta afirmação ao caso em que não há apenas destruição, mas também criação de energia, basta supor que em cada ponto há uma certa quantidade de energia não elétrica, a partir da qual é formada a energia eletromagnética. Seguem-se então a convenção precedente, que é dizer que, no lugar de assumir que a energia não elétrica é co-localizada com a substância ordinária, consideramos isso como imobilizado. Dada essa condição, o centro de gravidade ainda se move em linha reta. (POINCARÉ, 1900)

Como o movimento do centro de gravidade está sujeito as leis ordinárias da física das forças centrais, o seu momento linear deve ser conservado. Mas se o fluído fictício apresenta um momento então é possível associar a ele uma inércia (massa maupertuisiana): Para definir a inércia desse fluido fictício, devemos assumir que o fluido que é criado em qualquer ponto por transformação de energia não elétrica é criado sem velocidade e que obtém sua velocidade do fluido que já existe. Se, portanto, a quantidade de fluido aumentar, mas a velocidade permanece constante, devemos ter uma certa inércia a superar, uma vez que o novo fluido "empresta" a sua velocidade do fluido antigo. A velocidade do sistema diminuirá se alguma causa não intervir para mantê-la constante. Da mesma forma, quando há destruição de energia eletromagnética, o líquido que é destruído deve perder sua velocidade antes da sua destruição, desistindo do fluido restante. (POINCARÉ, 1900)

Segundo Poincaré, essa inércia deve ser medida pelo conteúdo energético associado à radiação eletromagnética. Portanto, do nosso ponto de vista, uma vez que a energia eletromagnética se comporta como um fluido que tem inércia, devemos concluir que, se algum tipo de dispositivo produz energia eletromagnética e a irradia em uma determinada direção, esse dispositivo deve recuar exatamente como um canhão faz quando dispara um projétil. Claro, esse recuo não ocorrerá se o

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dispositivo emitir energia igualmente em todas as direções; Isso só ocorrerá se a emissão for assimétrica e se a energia eletromagnética for emitida em uma única direção, como acontece, por exemplo, se o dispositivo for um excitador hertziano colocado no foco de um espelho parabólico. (POINCARÉ, 1900)

Poincaré deriva a relação massa-energia a partir da seguinte equação integral: J

xc

2

dV  M 1 R1

onde J é a densidade de energia, x é a posição do centro de massa do fluído, M1 é a sua massa total, R1 são as coordenadas do centro de massa. Como definimos a densidade de energia J como a taxa de variação de energia dE por unidade volume dV, podemos escrever a integral da seguinte forma:

1  dE   dV  M 1R1 2   dV 

xc

Usando a regra da cadeia do cálculo ordinário, a integral se torna: dE

x c

2

 M 1 R1

A razão dE/c² corresponde a taxa de variação da inércia do fluído fictício dM. Portanto a energia é uma medida de sua inércia: dM 

dE c2

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Poincaré estava ciente, pois logo após afirmar que a energia eletromagnética é a medida do conteúdo inercial do fluído, ele apresenta o seguinte exemplo quantitativo: É fácil avaliar esse recuo quantitativamente. Se o dispositivo tiver uma massa de 1 kg e se ele emitir três milhões de joules em uma direção com a velocidade da luz, a velocidade do recuo é de 1 cm / seg. Em outros termos, se a energia produzida por uma máquina de 3.000 watts for emitida em uma única direção, é necessária uma força de um dine para manter a máquina em prática apesar do recuo. É evidente que essa força fraca não pôde ser detectada em nossa experiência. Mas podemos imaginar que, impossivelmente, temos dispositivos de medição tão sensíveis que podemos medir essas forças. Poderíamos então demonstrar que o princípio da reação é aplicável não apenas à substância; E isso seria confirmação da teoria de Lorentz, e a queda de algumas outras teorias. (POINCARÉ, 1900)

Vamos realizar o cálculo proposto por Poincaré. Pela conservação do momento, o recuo do dispositivo de massa m deve ser igual ao momento associado à energia eletromagnética:

mv  Mc A inércia da radiação eletromagnética é medida pelo seu conteúdo energético por meio da relação massa-energia. Assim, o lado direito de nossa equação pode ser escrito da seguinte forma:

E mv   2  c c  E mv  c onde a razão E/c corresponde ao momento associado à radiação eletromagnética.

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pluz 

E c

Dividindo a equação dos momentos pela massa do emissor de radiação, obtemos a relação que nos permitirá calcular a velocidade de recuo do dispositivo. E v mc Agora estamos podemos realizar o cálculo proposto por Poincaré. Os dados fornecidos são:  M = 103 gramas  6 13  E =3 10 joules = 3 10 ergs c = 3 1010 cm por segundo, 

Imputando os valores na equação, obtemos a velocidade de recuo do dispositivo: v

3 1013  1cm/ seg, 103  3 1010

que é o resultado previsto por Poincaré. O que este episódio histórico revela é que Poincaré foi o primeiro a prever que a energia era uma medida do conteúdo inercia de uma onda eletromagnética, ou em outras palavras, que podemos associar uma massa maupertuisiana a energia eletromagnética. Paul Langevin (1913) denominou essa inércia de massa maupertusiana de Poincaré Registre, novamente, que esse resultado apareceu cinco anos antes de Einstein publicar seu pequeno ensaio sobre a relação massaenergia.

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C.

Análise de Poincaré Simplificada2

Na análise de Poincaré, devemos tomar como postulado tácito a hipótese de Maxwell que a luz capaz de realizar pressão sobre corpos refletores e absorvedores. Para Poincaré em todos os processos físicos, deve ocorrer a conservação do momento. Tomemos o fluxo de energia S: p S g  V c 2 Associando a radiação a um fluído fictício com densidade g: p c m   v V V g  S c2  c

g

Podemos relacionar o fluxo de energia S de um feixe luminoso se relaciona com a densidade de energia  pela equação:

S  c Substituindo essa relação na equação da densidade do momento:  c  c     c2 Que é o resultado, obtido por Poincaré, em seu memoir de 1900. Multiplicando a equação por V, obtemos a relação massa-energia:

m   V  m 

2

 V c2

E c2

Essa análise é apresentada por Martins (2015, p. 140-141)

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3. Princípios Básicos da Relatividade Especial A. Lá e de Volta Outra Vez... A Teoria da Relatividade é uma Teoria Covariante em Lorentz que satisfaz os postulados de Painléve e é descrita pela métrica de Poincaré-Minkowski:

ds 2  cdt 2  dx2  dy 2  dz 2 Esse espaço-tempo é descrito por um cone de luz. Os pontos nesse espaço-tempo são chamados de eventos e. As linhas que conectam dois eventos são chamados de linhas de mundo.

Esse espaço é vetorial, portanto é munido de vetores, aqui chamados de 4-vetores covariantes e 4-vetores contravariantes: J i   J 0 , J1 , J 2 , J 3 

J i   J 0 , J 1, J 2 , J 3 

A componente 0 de um 4-vetor é sempre uma quantidade escalar, enquanto as demais componentes pertencem a um vetor do espaço.

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





J i  J 0, J

Ji  J0 , J ,



As componentes covariantes e contravariantes se relacionam pela regra: J i   J 0 ,  J1 ,  J 2 ,  J 3 

No espaço-tempo de Poincaré-Minkowski, a transformação dos 4-vetores covariantes entre dois referenciais é dado pela regra:

J 0  J 0 cosh a  J1 sinh a J1  J1 cosh a  J 0 sinh a

J 2  J 2 J 3  J 3

sendo as funções hiperbólicas dadas por:

cosh a   sinh a  



1 1  2



v c

Interpretamos as transformações de Lorentz, ou o deslocamento longitudinal entre dois sistemas inerciais de referência, como rotações hiperbólicas. Chamamos de referencial próprio de uma grandeza física, o referencial onde os ângulos de rotação são zero:

J i   J 0 cosh 0  J1 sinh 0, J1 cosh 0  J 0 sinh 0, J 2 , J 3 

J io   J 0o , J1o , J 2o , J 3o  (referencial próprio do corpo) Definimos a norma do 4-vetor pelo produto das componentes covariantes e contravariantes: J i J i  J 0 J 0  J1 J 1  J 2 J 2  J 3 J 3

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Se a norma do vetor for maior positiva, este vetor apresenta um vínculo do tipo tempo, conectado por partículas denominadas de brádions, que se encontram dentro do cone de luz e se deslocam em todos referenciais inerciais com velocidades inferiores à da luz no vácuo. Se a norma desse vetor for zero, ele é chamado de um vetor de comprimento nulo, com um intervalo do tipo luz, conectado por partículas denominadas de lúxons, que se encontram na superfície do cone de luz e se deslocam em todos referenciais inerciais com velocidades iguais à da luz no vácuo, o que implica que essas grandezas não apresentam um referencial próprio. Se a norma do vetor for negativa, o vínculo será do tipo espaço, conectado por partículas denominadas de táquions, que se encontram fora do cone de luz e se deslocam em todos referenciais inerciais com velocidades maiores que à da luz no vácuo. Além disso, o produto interior destes 4-vetores podemos construir invariantes relativísticos: Como escalar J deve ser um invariante, convém escolhermos o referencial próprio, aquele o ângulo de rotação é zero. Como as componentes vetoriais do 4-vetor são funções da velocidade, no referencial próprio elas se tornam todas nulas e relação se torna: J 0o 2  J 02  J

2

J 0o 2  J 02  J  J

Por fim, nesse trabalho adotaremos a convenção da soma de Einstein e a seguinte convenção para os índices: ÍNDICES ROMANOS – Variam de 0 à 3 ÍNDICES GREGOS – Variam de 1 à 3

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B.

Invariância dos 4-Vetores

As grandezas 4-vetoriais do espaço de Poincaré-Minkowski apresentam uma invariância intrínseca em relação a sua norma. Esta propriedade notável surge em decorrência de que as grandezas físicas que são derivadas primeiras das coordenadas de espaço e tempo, são arcos de hipérboles no diagrama de Minkowski e como uma transformação hiperbólica conserva todas as propriedades das hipérboles, então as linha de universo entre a origem O e um ponto P da hipérbole deve preservar seu comprimento em uma transformação hiperbólica. Se essa grandeza depende apenas da primeira derivada intrínseca das coordenadas de tempo (ct) e espaço (x) então podemos escrevela como produto de uma grandeza física g pela derivada em relação ao comprimento de arco: 2

  dt  2  dx  g c  g c   g    ds   ds  2 2 o

2

2 2

Essa é uma equação de uma hipérbole no plano espaço-tempo.

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C. Interpretação Geométrica da Transformação de Lorentz Do ponto de vista geométrico, uma transformação de Lorentz é uma operação que atua uma função produzindo uma rotação hiperbólica. Podemos dizer que a transformação de Lorentz é uma operação que transforma hipérboles em hipérboles. É por isso que para incluir fenômenos gravitacionais no escopo da relatividade especial é necessário construir uma superfície hiperbólica, conhecida como superfície covariante (MARTINS, 2012). Do ponto de vista físico as transformações de Lorentz não tem uma interpretação tão imediata ou consensual. Hendrik Lorentz e Henri Poincaré interpretaram a transformação do espaço como a interação das moléculas com éter, que estariam sujeitas a uma força de Lorentz. Já Albert Einstein apresentou uma interpretação operacional, a transformação do espaço é a diferença das medidas feitas por observadores em movimento usando sinais luminosos. No que diz respeito a transformação do tempo, Lorentz denominava esse tempo de local, mas apenas tratava como um truque matemático, que facilitava na manipulação das equações, mas era desprovido qualquer significado físico. Poincaré, em 1900, e posteriormente em 1904, mostrou que o tempo local de Lorentz era a hora marcada por dois observadores em movimento relativo que sincronizam seus relógios usando sinais luminosos. Se as estações se movem uma em relação a outra, então relógios que foram anteriormente sincronizados, se atrasam um em relação ao outro. Albert Einstein adotou a mesma interpretação de Poincaré. Vamos agora estudar dois fenômenos relativísticos associados as transformações de Lorentz: a contração do espaço e a dilatação do tempo. Tomemos o diagrama x-t e uma rotação hiperbólica desses dois eixos e vamos projetar um segmento do eixo x’ sobre o eixo x e um segmento do eixo ct sobre o eixo ct’.

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Pelo gráfico de rotação podemos escrever as seguintes relações hiperbólicas entre os eixos no referencial K no referencial K’:

x  x cosh  x x  cosh 

ct  ct  cosh  t  t  cosh 

Substituindo os valores do cosseno hiperbólico,

x 

x



v2 x  x 1  2 c

t  t  t  t  v2 1 2 c

Portanto, a contração do espaço é a projeção de um segmento de reta x’ do referencial K’, que sofreu uma rotação hiperbólica sobre o

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eixo x. A dilatação do tempo é a projeção de um segmento ct do referencial K projetado sobre o eixo ct’ do referencial K’ que sofreu uma rotação hiperbólica. Essas projeções mostram que as medidas de espaço e tempo se alteram entre dois referenciais, porém, elas não nos permitem concluir sobre a forma visual desses objetos.

(a)

(b) FIGURA: Aparência visual de uma contração de Lorentz3

Visualmente, os objetos em movimento, ou uma grade de eixos se assemelham a hipérboles, o que não é surpreendente visto que, como mostramos, as transformações de Lorentz representam rotações hiperbólicas no espaço-tempo.

FONTE: (a) (OSTERMANN, RICCI, 2002, p. 185); (b) (SCOTT, VINNER, 1965, p. 535)

3

P á g i n a | 62

D. Comentários Gerais Após introduzir os conceitos matemáticos essenciais, podemos prosseguir o nosso estudo. Nós construiremos alguns 4vetores. Nosso método de construção será mais heurístico, partindo de um vetor conhecido da física e intuindo a sua componente zero. Usando a lei de transformação que obtivemos na seção anterior, iremos estudar como essas componentes se transformam de um referencial para outro e o invariante relativístico associado a ela. Uma observação importante é que no espaço euclidiano não fazemos distinção entre as componentes covariantes e contravariantes dos vetores. Isso porque o espaço tangente e o espaço cotangente coincidem com o espaço euclidiano. Em espaços que não são euclidianos, como o de Lobachevsky, os vetores do espaço apresentam uma base covariante e uma base contravariante. Com exceção dos operadores diferenciais, nossos vetores serão expressos em bases covariantes. Usualmente adota-se escreve-se a componente vetorial do 4-vetor covariante com sinal negativo, porém a maneira como definimos nossos 4-vetores e as suas transformações entre dois referenciais inerciais torna desnecessária essa convenção. O sinal já está incluído na forma como expressamos nossas transformações. Outra ressalva importante é que somente a derivada primeira de grandezas vetoriais elementares, como a posição, em relação a coordenada ct transforma um vetor em vetor. A derivada segunda cria vetores afins, isto é, grandezas que só se transformam como vetores para sistemas de coordenadas afins. Por essa razão, o estudo de coordenadas curvilíneas devemos aplicar o conceito de derivada covariante e o conceito de derivada absoluta de Ricci. No estudo da relatividade especial, onde exigimos um tipo particular de covariância, a covariância de Lorentz, introduziremos o conceito de derivada do tempo próprio.

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E. Estrutura dos Quadros de Referência Inercial Primeiro iremos construir o quadro de referências inercial. Sem perda de generalidade, assumiremos que o referencial S é um referencial estacionário cujo referencial em relação à S’ que se desloca na direção positiva de x com velocidade constante. Seja uma partícula que se desloca em relação aos dois sistemas na direção positiva de x com velocidade vx e v’x em relação aos sistemas de referência S e S’ respectivamente. Todos os nossos fenômenos físicas se passaram nesse quadro de referência.

F. Transformação do Operador Diferencial Vamos agora estudar a transformação das operações infinitesimais. Em análise em variedades, aprendemos que os elementos diferenciais dr não podem ser interpretados como acréscimos infinitesimais (BASSALO, CATTANI, 2009), mas como vetores contravariantes que operam como a base do espaço

P á g i n a | 64

tangente. Em coordenadas cartesianas retangulares, podemos definir esse 4-vetor diferencial na forma covariante, com as seguintes coordenadas:

dri   cdt , dr  dri   cdt , dr   Em um referencial S’ esse vetor se transforma da seguinte forma: cdt   cdt cosh a  dx sinh a dx  dx cosh a  cdt sinh a

dy   dy dz   dz

Substituindo os valores das funções trigonométricas hiperbólicas:

cdt    cdt   dx dx   dx   vdt

dy   dy dz   dz

Evidenciando  e dt e dividindo a primeira equação por c, e evidenciando  e dx, na segunda equação, obtemos as relações:

 vv  dt    1  2x  dt c    v dx   1   dx  vx 

dy   dy dz   dz

Essas são as transformações do 4-vetor diferencial de um evento no espaço-tempo 4-dimensional. Uma relação muito importante é a relação entre as coordenadas próprias do corpo e um sistema de referência. Para isso, tomemos vx = v, nestas condições obtemos as seguintes equações:

P á g i n a | 65

 v2  d   1  2  dt  c   v d   1   dx  v

d  dy d   dz

No referencial próprio os eixos transversais tem intervalos constantes, por isso são nulos. Realizando as operações algébricas e levando esses fatos em conta, d 

1



dt

d  d  d  0

Portanto derivada do tempo próprio apresenta a seguinte regra: d d  d dt

Para que as equações sejam covariantes em Lorentz, as derivadas temporais devem ser substituídas pelas derivadas temporais próprias. Com efeito, a derivada segunda da posição só se transforma em um vetor para um sistema de coordenadas afim, onde os símbolos de Christoffell são todos nulos. As coordenadas no referencial próprio e do sistema S de coordenadas são dadas por:

J 0o  cd J 0  cdt

J  dr  dx 2  dy 2  dz 2

Portanto o invariante desse 4vetor é dada por:

c2d 2  c2dt 2  dx2  dy 2  dz 2 que é a métrica de Poincaré-Minkowski.

P á g i n a | 66

G. Transformação do Operador Nabla O vetor nabla ou vetor del em sistemas gerais de coordenadas é um vetor covariante. Em análise em variedades pode-se provar que nabla são os vetores da base do espaço cotangente e, portanto, o dual do vetor diferencial dr e, em coordenadas ortogonais, a base recíproca. Nós definimos que o 4-vetor gradiente covariante a partir das regras:

1  1  i    t ,   i   t ,   c  c  onde empregamos a notação para derivada parcial:

i 

 xi

Nabla é um vetor covariante, então sua transformação de Lorentz direta e inversa são, respectivamente:

t 1  cosh a t  sinh a  x c c 1 x  cosh a  x  sinh a  t c y   y

t 1  cosh at  sinh a x c c 1  x  cosh ax  sinh a t c  y  y

z   z

 z  z

Multiplicando a primeira equação por c e abrindo as funções hiperbólicas:

t     t  v x 

 t    t  vx 

v   x     x  2  t  c  

v    x    x  2 t  c  

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y   y

 y  y

z   z

 z  z

Portanto nosso 4-vetor nabla tem a seguinte forma:

 v    i  i      t  v x  ,    x  2  t  ,  y ,  z  c     No referencial próprio, podemos definir o 4-vetor nabla próprio:

   io   t ,  o  c  E com as coordenadas no sistema estacionário, temos que:  t  i   ,   , c 

   i   t ,   c 

Aplicando a regra de construção de invariantes, teremos que:

1 2 1 2 2      2 2 2 2 2 c x c x Que é a expressão da equação da onda e do D’Alambertiano. Portanto, o operador D’Alambertiano é um invariante relativístico:

1 2  2 2  2 c x  

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4. Cinemática Relativística A. 4-Velocidade Em 1904, o físico holandês Hendrik Lorentz demonstrou que a covariância de Maxwell exige que as coordenadas vetoriais da velocidade se transformem por meio da segunda regra:

u    ux , u y , uz  Essa regra é uma consequência da derivada das coordenadas do tempo t e do espaço ri em relação a derivada do tempo próprio : ri   ct , x, y, z  dri d   ct , x, y, z  d d d ui    ct , x, y, z  dt

Portanto as coordenadas do 4-vetor velocidade são: ui    c, u x , u y , u z 

ui     c, ux , uy , uz 

Passando para o sistema S’, nosso 4-vetor se transforma:

 c    c cosh a  u x sinh a   ux    u x cosh a  c sinh a 

 uy   u y  uz   uz

Substituindo os valores das funções e hiperbólicas:

 c     c   u x   ux     u x   c 

 uy   u y  uz   uz

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Vamos evidenciar os fatores comuns, abrir os fatores beta e isolar as componentes espaciais:  

v

 

 c   2  c  ux  , c

ux 

2 u  v  ,  x

uy 

 uy , 

uz 

 uz 

Por hora, iremos apenas operar a componente temporal. Vamos isolar o fator ’:

 

    2 1 

vu x   c2 

Substituindo esse valor nas componentes espaciais,

ux 

ux  v ,  vux  1  2  c  

uy 

uy ,  vux   1  2  c  

uz 

uz  vu   1  2x  c  

que é a fórmula de composição de velocidades para a partícula. No referencial próprio, isto é, quando as componentes u’ são todas nulas e ux = v, obtemos a seguinte relação para os fatores de Lorentz. 

    2 1  

v2   c2 

 

2 2

   1

que é a transformação identidade, que era o esperado, pois no referencial próprio os eixos não sofreram rotações. No referencial próprio, o 4-vetor velocidade tem as seguintes componentes: uio   c, 0, 0, 0 

Assim, temos as seguintes componentes:

J 0o  c J0   c

J  u

P á g i n a | 70

Portanto, podemos velocidades:

construir o seguinte invariante das

c 2   2c 2   2 u

2

Se isolarmos a norma do vetor, obtemos:

 2 u  c 2   2  1 2

2



 c2  1 2 2 c v  2  v   c2  2 2  c v 

 2 u  c2  2 u

2

2



c2  2 2  c v 

 2 u  v2  2

 2 u  v 2 2 Portanto, a norma de u é igual a velocidade v. 2

u  v2 u v A adição relativística das velocidades pode ser representada na forma vetorial. Para isso tomemos a regra obtida por Poincaré (19051906) e Einstein (1907) para o paralelogramo relativístico:

 uvsen  u  v  2uv cos     c  u 2  2  uvcos  1   c2   2

2

2

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Da álgebra vetorial, tem-se as seguintes regras de produto entre vetores: Produto Escalar u  v  uv cos 

Produto Vetorial

 u  v   u 2  v 2  2u  v 2  u  v   u 2  v 2  2uv cos 

u  v   u  v  2 2  u  v    uv sin  

u  v  uv sin 

2

2

2

Nessas condições, podemos reescrever nossa equação como:

u v   u  v     c  u 2  2  u v   1   c2   2

2

Para interpretarmos geometricamente essa fórmula, convém analisarmos o elemento de arco da velocidade. Para isso tomemos u = v + dv:

  v  dv   v   v  dv  v     c   2 dlu   2   v  dv   v  1   c2  

2

2

O produto escalar e vetorial são distributivos sobre a soma:

v  v  dv  v   dv     c  dlu2  2  v  v  dv  v  1   c2   2

2

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O produto vetorial entre dois vetores paralelos é o vetor nulo. O diferencial de um vetor v é tangente a todos os pontos do vetor v, portanto estes vetores são ortogonais. Levando estes fatos em consideração, nossa equação se torna: dv  v   dv     c  dlu2  2  v2  1  2   c  2

2

1 2 2  dlu2   4  dv   2  dv  v   c   Pelas identidades vetoriais, podemos escrever a equação do arco da seguinte forma (LANDAU, LIFCHITZ, 1980): dlu2    2 dv     v   d 2  sin 2  d 2  2

2

onde os ângulos representam as coordenadas do ângulo polar e o azimute da velocidade. Em coordenadas hiperbólicas, onde  é o ângulo hiperbólico, a equação assume a seguinte forma diferencial: dlu2  c 2  d  2  sinh 2   d 2  sin 2  d 2  

que representa o elemento de arco em uma geometria hiperbólica. Portanto, o espaço vetorial formado pelos vetores velocidades é um espaço hiperbólico conhecido como espaço de Lobachevsky (LOGUNOV, 2005).

P á g i n a | 73

B. 4-Aceleração Para introduzirmos a 4-aceleração, não podemos usar a analogia entre vetores clássicos e procurar sua componente zero, porque o vetor aceleração em variedades não euclidianas é um vetor relativo. Para encontrarmos o 4-vetor aceleração, devemos aplicar a derivada do tempo próprio ao 4-vetor de velocidade: ai 

dui d    c,  v  d d

Usando a definição de derivada do tempo próprio, ai  

d   c,  v  dt

Aplicando a derivada a cada uma das componentes, obtemos: ai     c,  v   a 

onde  denota a derivada do fator de Lorentz em relação ao tempo. Vamos calcular esta quantidade:

d  v2    1  2  dt  c 

1/2

1  2v dv   v 2       2   1  2  2  c dt   c 



3/2

a.v 3  c2

Substituindo obtemos as transformações da 4-aceleração:

 a.v a.v  ai     3 , 2  3v   a  c  c 

P á g i n a | 74

a.v  a.v  ai   2   2 , 2 v 2  a  c  c  Se realizarmos o produto escalar entre a velocidade, podemos obter outra importante relação envolvendo a 4-aceleração:

 a.v 2 v 2 2   , 2 a  a  ai   2  c  c 

 a.v  v 2   ai   2   2 ,  2  2  1 a  c    c  a.v 2  c 2   ai     ,  2 2  a  c v    c 2

Portanto, podemos escrever a 4-aceleração pelas relações:

 a.v  ai    4 ,  4 a   c   a.v  ai   4  , a   c  O vetor aceleração pode ser decomposto em uma componente longitudinal e uma componente transversal: a  a  a

Existe uma importante relação entre o produto interno do vetor velocidade e o vetor aceleração transversal. Primeiro devemos observar que, por construção, o vetor velocidade é ortogonal ao vetor aceleração transversal.

P á g i n a | 75

a  v  0

a v  a v

Substituindo essas relações na transformação da 4-velocidade:

av 2 av 2   , 2 v  a  a  ai   2  c  c 

 a .v 2  v 2 2    ,  2   1 a  a  ai   2  c   c   a .v 2  c 2    ,  2 2  a  a  ai   2  c v   c  Portanto, a 4-aceleração em termo de das componentes longitudinal e transversal são dadas por:

av 2  ,  a  a  ai   2   c  av 4 4   ,  a   2 a  ai    c  Agora obteremos a transformação das acelerações, comparando as componentes espaciais da 4-aceleração.

 4 a   2 a   4 a 

 4 a  

a 

 a    4 a   1

2

1 a a 2 

P á g i n a | 76

A intensidade da aceleração na direção x, depende apenas da componente longitudinal da aceleração, enquanto a intensidade na aceleração direção y e z, apenas apresenta a componente transversal. Nestas condições, a   2 a y2  a y2

a  ax

Agora vamos obter as transformações do vetor aceleração. Para isso convém escrevermos a o vetor aceleração em função de suas componentes longitudinais e transversais.

a    4 a ,  2 a 

a    4 a ,  2 a 

Aplicando uma rotação hiperbólica no espaço-tempo,

 4 a   4 a cosh a  ao sinh a  2 a   2 a A componente a0 é definida como: a0   4

av c

Isolando as coordenadas no sistema S’ e substituindo os valores das equações hiperbólicas e da componente a0: 4

  a     a 

 v2  1  2   c  2

  a    a 

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Substituindo o termo em parêntesis pelo seu fator gama correspondente e fazendo as simplificações, obtemos para transformação da componente longitudinal: 4

1 a     3 a  2

1 a     2 a   vu      2 1  2x  c   Agora vamos obter as transformações da aceleração na direção x, y e z. Para isso usaremos a norma dos vetores aceleração na direção longitudinal e transversal. 4

1 ax     3ax  2

1 a  az     2 a y2  az2   vu      2 1  2x  c   2 y

2

Observe enquanto a transformação da componente longitudinal é bastante clara, a transformação da componente transversal depende da soma dos quadrados das componentes y e z. Vamos estudar o caso em que há aceleração apenas em uma das componentes transversais. Nessas condições, a transformação da aceleração y será:

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4

1 ax     3ax  2

1 ay     2 a y 

 vu      2 1  2x  c  

2

1 az     2 az  No referencial próprio,   se transforma como a identidade, nestas condições, teremos as seguintes transformações para as componentes longitudinais e transversais: a o   3a ,

a 

ao



, 3

ao   2 a

a 

ao

2

E considerando que as acelerações na direção y e z não atuam em conjunto sobre a partícula, as transformações entre S’ e o referencial próprio são dadas por: axo   3 ax ,

ax 

axo



, 3

a yo   2 a y ,

ay 

a oy



, 2

azo   2 az

az 

azo

2

A aceleração tem uma estrutura matemática idêntico ao vetor curvatura da geometria diferencial para um espaço de Lobachovesky (KREYZIG, 2000). Essa semelhança permite que possamos dar a seguinte interpretação: a aceleração representa a curvatura das linhas coordenadas que conectam dois eventos no de espaço-tempo de Poincaré-Minkowski.

P á g i n a | 79

C. Análise Físico-Matemática da 4-Aceleração Inicialmente vamos calcular as coordenadas do 4-vetor de aceleração ao longo do arco de curva s, em seu referencial próprio. As coordenadas do 4-vetor de velocidade são dadas por: ui    c, u 

A derivada em relação ao parâmetro próprio ds, é definida como: ds  

dt c

Agora vamos calcular a derivada desse vetor em relação ao parâmetro próprio da curva: dui d    c, u   ds ds 

Calculando o diferencial do fator gama,

 3dv d  2 c Substituindo na equação:  dui   3 dv d  ,  u   ds  c ds ds  dui   3 dv  3 dv du  ua      , ds  c ds c ds ds 

Usando a definição da diferencial do parâmetro próprio: dui   2 dv  2 dv 1 du  ua   2 , 2  ds  c dt c dt c dt 

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Empregaremos uma notação semelhante à de Landau e Lifchitz (1980) à aceleração:  .

2 2    i   2  , 2  ua    c c  c 1  i  2   2 ,  2 ua  c   c No referencial próprio, a velocidade e acleração vetorial do corpo tende a zero:

   i   2o , 0  c  Calculando o invariante de aceleração:

 o2 

 o2 c4

No referencial próprio, podemos definir a aceleração como a derivada da velocidade em relação ao tempo próprio: dv o d



dv o dt

 dv   o dt Integrando essa equação diferencial em relação ao tempo,

 v   ot  vo Supondo que o corpo parta do repouso, vo = 0.

P á g i n a | 81

v

 ot 

Como o fator gama é uma função da velocidade, precisamos operar sobre essa expressão e isolar a velocidade. Vamos elevar a expressão ao quadrado:

v2 

 o2t 2 2

 v2  v 2   o2t 2 1  2   c  v 2 o2t 2 2 2 2 v ot  c2 v 2 o2t 2   o2t 2 v2  c2   2t 2  v 2 1  o2    o2t 2 c   v2 

 o2t 2   o2t 2 

1  2  c  

Portanto, a função da velocidade da partícula será: v

 ot   o2t 2  1  2  c  

Tendo em posse essa expressão, podemos fazer várias conjecturas e analisa-las conforme os princípios básicos da teoria da relatividade. Da mecânica, sabemos que a aplicação de uma força tende a produzir

P á g i n a | 82

uma aceleração. Se esta força cresce com o tempo, a aceleração também aumenta. Se esta força tender ao infinito, a aceleração também tenderá a crescer indefinidamente. Nesta circunstância hipotética, para qual valor a velocidade tenderá? Na mecânica clássica, ela tenderá a crescer infinitamente, porém, na relatividade a velocidade da luz atua como uma espécie de velocidade limite, um corpo com velocidade inicial menor que a da luz não pode ser acelerado a velocidades iguais ou menores que a da luz. Portanto, esperamos que para uma aceleração que tenda ao infinito, a velocidade tenda a velocidade da luz. De maneira análoga, quando um corpo apresenta uma aceleração constante, isso significa que sai velocidade aumenta com tempo. Na mecânica clássica, esperamos que depois de um certo tempo t a velocidade do corpo alcance a velocidade e no instante posterior, o corpo vença a barreira da velocidade da luz. Na Teoria da Relatividade, supomos que quando maior for o tempo, mais se aproxima a velocidade à luz. Portanto, quando o tempo tende a infinito, a velocidade tende para a velocidade da luz (assim como ocorre com a aceleração). Vejamos se nossa equação da velocidade concorda com estes resultados. Inicialmente, vamos evidenciar o fator

v

v

 ot   o2t 2  1  2  c   c  c2   2 2  1  ot 

 o2t 2 c2

:

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Tomemos o limite de t e  o tendendo ao infinito:

c

lim v  lim

 o 

 o 

lim v 

 o 

lim v 

 o 

lim v  c

 

 c   2 2  1  ot  2

c  c2   2  1  t  c

 0  1

lim v  lim t 

t 

lim v  t 

lim v  t 

c  c2   2 2  1 ot  c

 c2   2  1  o   c

 0  1

lim v  c t 

Portanto quando a aceleração tende a infinito, a velocidade do corpo tende a velocidade da luz, como havíamos previsto. Como a função de aceleração está elevada ao quadrado, isso significa que a função tende a menos infinito, o valor da velocidade também tende à -c. Isso significa que não existe um valor real da aceleração que a velocidade do copo seja maior ou igual à da luz. Aqui a surge uma importante questão: como que a medida que a aceleração aumenta ou a velocidade do corpo sobre uma aceleração universo, sua velocidade varia mais devagar, se aproximando da velocidade da luz, mas sem nunca atingi-la? Da mecânica, sabemos que a aceleração varia diretamente com a aplicação da força e inversamente com a inércia. Se a inércia se mantém constante, então a velocidade do corpo não tem restrições. Portanto, na teoria da relatividade, esse novo comportamento da velocidade em função do tempo e da aceleração, revelam-nos que a inércia de um corpo deve variar com a velocidade, de forma que quando a aceleração tende ao infinito ou

P á g i n a | 84

o tempo da aceleração agindo sobre um corpo tenda ao infinito, a velocidade tenda à c. Do ponto de vista matemático, isso significa que existe uma assíntota horizontal c. Também podemos verificar que esta função tem seu valor mínimo na origem, isto é, quando o corpo se encontra em repouso e não acelerado. Como as assíntotas horizontais coincidem em planos espelhados, a função é simétrica em relação a origem. Com essas informações, podemos plotar o gráfico da função velocidade em função da aceleração.

Se acrescentarmos uma curva verde que representa a mesma função, na mecânica clássica, obtemos:

P á g i n a | 85

Onde a curva clássica verde coincide com a curva relativística azul, são os valores onde a mecânica clássica e a relativística convergem para os mesmos resultados. Fora delas, as teorias divergem e se torna mais oportuno descrever nossos fenômenos usando teoria da relatividade. Agora queremos encontrar a função horária da posição da partícula, devemos realizar uma nova integração sobre o tempo:

 ot

t

x

  o2t 2  1  2  c  

0

 ot

t

x  c 0

c   ot  2

t

x  c 0

dt

2

t 2

 c  2   t  o 

dt dt

Essa integral pode ser feita por substituição, ou, poderemos consultar uma tabela (SCHAUM, 2012, p. 99) ou software 2

 c  2 xc    t   o 

t

0

2    c  c  2  xc  t        o  o   

P á g i n a | 86

2  c  t c    o  x  c 1    o c  o    

Evidenciando

c , obtemos a expressão da posição da partícula: o 2  c 2    ot    x 1  1   c  o    

Se expandirmos essa expressão em séries,

c 2  1  o2t 2  x  1   1  o  2 c2  1 x   ot 2 2

Esta é a expressão clássica da posição de um corpo acelerado. Em um diagrama espaço-tempo podemos facilmente identificar os corpos que estão se movendo por inércia dos corpos que estão sobre ação de uma força (estão acelerados). Quando a força resultante sobre um corpo é zero, sua linha de universo será uma linha reta sem curvatura. Quando um corpo está sujeito a uma força resultante não-nula, sua linha de universo é uma curva. A curvatura indica a intensidade da força e o desvio do seu tempo próprio. Na figura vemos os mapas cinemáticos da aceleração própria:4

4

https://www.umsl.edu/~fraundorfp/FunIn1D.html

P á g i n a | 87

Agora vamos avaliar o que ocorre com a posição de nosso corpo quando a aceleração tende a infinito. Primeiro faremos alguns ajustes algébricos: 2  c 2    ot    1  x 1   o  c    

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2  2     c c c2  2 o  x t    o c   o  o      2  c c2  2  x  c   t   o  o   

Tomando o limite da aceleração tendendo ao infinito: 2    c c2 2  lim x  lim c   t   o   o   o  o     c 2 c2  lim x   c    t 2    o      



   



lim x  c t 2  c t

 o 

Isso significa que a medida que a aceleração tende ao infinito, a linha de mundo do corpo tende ao intervalo do tipo luz. Em outras palavras, à medida que a aceleração tende ao infinito, a linha de mundo do corpo tende a superfície do cone de luz de Minkowski. Agora vamos calcular o tempo próprio do corpo no espaço-tempo. O tempo próprio é dado pela seguinte a integral: t

1

   dt , 0  t

   1 0

v2 dt c2

P á g i n a | 89

Substituindo o valor da velocidade que deduzimos anteriormente: t

   1 0

c 1  2  c  

t

 o2t 2 dt c 2   o2t 2

   1 0



 o2t 2 dt  o2t 2  2

c

o

t

 0

1 2

 c  2   t  o 

dt

Essa integral é bastante complexa, mas pode ser realizada por meio de uma substituição hiperbólica ou ver Schaum (2012, p. 99):



 t  arcsinh  o  o  c  c

Expandindo em séries de Taylor até a primeira ordem:

  t, 

 2c  ln  t o o  c

o

1 c o 1 se c

se

Portanto, o tempo de um corpo acelerado assume a forma:

P á g i n a | 90

A expansão revela que para acelerações baixas, o tempo próprio da partícula tende a se comportar como o tempo medido por um referencial não acelerado. Contudo, à medida que a aceleração  aumenta, esse tempo próprio tende a diminuir. Quando a razão o c é maior ou igual a 1, o tempo próprio dessa partícula se comporta como um logaritmo. Isso significa, que ele tende a crescer cada vez mais devagar em relação ao tempo próprio de um corpo não acelerado. O gráfico abaixo, explicita essa situação.

A curva azul representa o tempo próprio de um corpo não acelerado. Observe que existe uma região onde as duas curvas

P á g i n a | 91

o o tempo próprio do corpo c acelerado passa mais divagar que o tempo próprio da partícula não acelerada. Esta análise pode ser aplicada para estudo de meios em rotação e permitem explicar o efeito Saganac, somente usando o corpo de conhecimentos da Relatividade Especial, para detalhes ver Logunov (2015, p. 177-183).

convergem, mas ultrapassado o limite

Agora vamos calcular o elemento de linha que corresponde ao corpo acelerado. Vamos definir os elementos da métrica: Yy Zz T t

2  c 2    ot  1  X  x   1 o  c    

Para acharmos o elemento de linha da métrica de Minkowski, devemos primeiro achar seus elementos diferenciais, dX  dx 

 otdt  t  1  o   c 

dY  dy dZ  dz dT  dt

2

O intervalo ds² é definido pela seguinte regra:

ds 2  c2dT 2  dX 2  dY 2  dZ 2 O único elemento composto da métrica é dX, dX  dx  2

2

2 otdxdt   ot 

1    c 

2



 ot 

2

dt 2

 t  1  o   c 

2

P á g i n a | 92

Substituindo na métrica:

2 otdxdt

ds  c dt  dx  2

2

2

2

 t  1  o   c 

2

 t   o

2

dt 2

 t  1  o   c 

2

 dY 2  dZ 2

  2   ot   2  2 ot 2 2  ds  c  dt  dxdt  dx 2  dY 2  dZ 2 2 2    t   t  1  o    1  o  c      c  Realizando as simplificações algébricas,

ds  2

c2  t  1  o   c 

2

dt 2 

2 ot  t  1  o   c 

2

dxdt  dx 2  dY 2  dZ 2

Essa métrica não é estática, por causa do termo cruzado dxdt que torna a métrica irreversível no tempo. Ela também não é estacionária, pois tanto a componente temporal como a componente cruzada dependem explicitamente do tempo. Os denominadores só apresentam polos complexos em t  i

c

o

isso significa que

somente em um espaço-tempo que admita um tempo imaginário essa métrica apresenta singularidades, que não é o caso que estamos estudando.

P á g i n a | 93

D. Paradoxos na Teoria da Relatividade Especial “Ainda bem que chegamos a um paradoxo. Agora, há esperança de conseguirmos algum progresso”. Niels Bohr Como a relatividade viola convenções tradicionais de espaço, tempo e simultaneidade, é normal que no primeiro momento ela tenha despertado desconfiança da comunidade científica. Poincaré em um artigo denominado A Medida do Tempo, de 1898, mostrou que até a mais sólida de nossas certezas sobre a natureza do tempo devia ser posta à prova e que deveríamos questionar se nossas “verdades” eram verdades ou convenções. Os exímios geômetras do passado tentaram de toda sorte provar o quinto postulado de Euclides. Muitos recorriam ao “senso comum”, mostrando que a negação do quinto postulado levaria a consequências estranhas ao bom-senso. Como mostraram Poincaré e Hilbert, o bom senso não pode ser usado para validar uma teoria. Os “paradoxos” envolvendo a relatividade de simultaneidade, a rejeição do quinto postulado não são paradoxos, pois embora levem a resultados que poderíamos chamar de “curiosos” ou “estranhos”, não são uma contradição lógica. A mesma coisa acontece com a relatividade. Nossa mente constrói constructos mentais adaptados à nossa realidade social. Antes do surgimento do relógio, nossa concepção de tempo era bastante diferente. Um relato do historiador E. P. Thompson (2016) mostra como o relógio mecânico e o capitalismo industrial moldaram nossa concepção de tempo. As redes sociais, que permitem um contato “quase instantâneo” também está moldando nossa percepção de espaço e tempo. O novo padrão de tempo e espaço introduzido pela Teoria da Relatividade pode parecer estranho. O emérito professor Dingle, por exemplo, nunca conseguiu aceitar a Teoria. Inicialmente ele levantou “paradoxos” tendo como

P á g i n a | 94

base o “bom senso” para tentar desacreditar a relatividade. No final de sua vida, quando a Teoria da Relatividade já era aceita e seus paradoxos estavam refutados, Dingle ainda resistia, mas suas ideias agora tendiam ao obscurantismo e ao irracionalismo. Todos os paradoxos conhecidos da Teoria da Relatividade são pseudo-paradoxos, pois eles contrariam o “bom-senso”, mas não levam a qualquer contradição lógica dentro da teoria. Há diversos deles, alguns mais fáceis de serem respondidos, outros que exigem raciocínios extremamente complexos. O livro Teoria da Relatividade Especial (MARTINS, 2012) reserva o capítulo 3 apenas para discutir vários destes pretensos paradoxos. Existe ainda uma categoria de pseudo-paradoxos, que na verdade são falácias absurdas para tentar pôr em descrédito a Teoria. Diferente da primeira categoria que são objeções legítimas, muito bem fundamentadas e exigem esforço, essa categoria são afirmações baseadas em exemplos obscuros e tentativas revisionistas de atacar a ciência. Uma pena que Dingle tenha migrado da primeira para a segunda categoria. 1.

Paradoxos das Trans Gêmeas

De todos os paradoxos, talvez o mais famoso é o paradoxo dos gêmeos. Esse é um exemplo que tem sido discutido exaustivamente em vários livros de Teoria da Relatividade Especial. A princípio eu não pretendia incluir essa discussão, pois achei que não poderia contribuir de forma significativa. O que me fez mudar ideia foi a possibilidade de homenagear minhas sete gatas e registrar de forma provocativa a questão da Identidade de Transgênero. Em um sistema solar chamado Kel, orbita um planeta chamado Pam. Nesse planeta moram as trans gêmeas Cassandra e Luana. No sistema solar Luna, no planeta Anita, vive Paloma, que também é irmã trans gêmea de Luana e Cassandra.

P á g i n a | 95

Cassandra, é uma mulher trans que viaja por vários planetas para palestrar sobre identidade trans e para arrecadar fundos para uma ONG que atende transgêneros que foram abandonados por suas famílias ou sofreram algum tipo de abuso. Cassandra acabou de dar uma palestra no planeta Pam e, a pedido de sua irmã Paloma, irá para Anita recolher doações para ONG e retornar ao planeta Pam.

O paradoxo dos gêmeos se baseia na seguinte petição: durante a viagem até o Sistema Pink e no retorno ao sistema Kel, Luana e Paloma dirão que o relógio da Cassandra corre mais devagar que os seus relógios. Porém, Cassandra irá registrar que são os relógios de suas gêmeas que andam mais devagar. Portanto quando ela encontrar Paloma ou retornar até Luana, Cassandra estará mais jovem, segundo suas irmãs, e mais velha, segundo ela própria, Cassandra. Como explicar essa assimetria? Não existe nenhuma violação dos princípios da relatividade, simplesmente porque a relatividade do tempo só se aplica para observadores inerciais. A partir do momento que a Cassandra sai do sistema Kel para o Sistema Pink, ela precisa acelerar por um instante

P á g i n a | 96

de tempo. Depois receber as doações de Paloma, ela precisa desacelerar e retornar para casa. Essas acelerações introduzem um efeito não-inercial, o que cria assimetrias temporais. Vamos primeiro avaliar o caso mais simples: a nave da Cassandra se mantém acelerada durante a ida e a volta.

Vamos chamar o evento em que Cassandra parte do sistema Kel de evento A e o retorno da Cassandra de evento C. O intervalo espacial da Luana e da Paloma é nulo, pois sua linha de mundo é uma reta ortogonal ao intervalo espacial. Assim, o tempo próprio registrado por estas observadoras será o comprimento do arco temporal contido entre os eventos A e C.

P á g i n a | 97

C

   dt 2 A

C

   dt A

  t Em outras palavras, o tempo próprio medido pela Paloma e pela Luana coincide com as medidas efetuadas pelos seus relógios. Já o arco descrito pela Cassandra entre os pontos A e C, tem componentes temporais e espaciais. Seu tempo próprio será uma integral ligeiramente mais complexa: C

   1 A

v t  c2

2

dt

Esse tempo próprio ’ será sempre menor que o tempo próprio . Já havíamos provado que todo corpo acelerado tendem a sofrer uma redução do seu tempo próprio. Se a aceleração for constante,  o , o tempo próprio da Cassandra será:

 

 t  arcsinh  o  o  c  c

Ocorre que os efeitos da aceleração podem ser medidos no referencial próprio. Assim, se a nave da Cassandra estiver munida de um acelerômetro, ela poderá calcular a redução do seu tempo próprio e irá concluir que ela estará mais jovem que suas gêmeas, Luana e Paloma. Agora vamos supor um caso muito mais drástico e interessante. Vamos considerar que o foguete da Cassandra consiga acelerar em um período de tempo muito curto, de tal forma que os efeitos da

P á g i n a | 98

aceleração sobre o tempo próprio sejam desprezíveis. Assim como Darwin (1957) vamos supor que a Cassandra acelere até 0,8c e durante todo trajeto ao Sistema Pink, e depois regressando ao sistema Kel, mantenha constante essa velocidade. Durante a ida, a Cassandra descreve uma linha de universo (Intervalo de Ida) e durante a volta, uma outra linha de Universo (Intervalo de Volta), ambas com características inerciais.

O que temos que demonstrar é que a inversão do intervalo Ida para o intervalo Volta permite que tanto a Cassandra quanto as suas irmãs Luana e Paloma concordem que houve uma quebra de simetria que criou uma assimetria temporal. Vamos supor que nos relógios da Luana e da Paloma, o tempo de ida e volta da Cassandra foram 10 meses (5 meses de ida e 5 meses de volta), porém o relógio da Cassandra era registrar um tempo menor: apenas 6 meses (3 meses de ida e 3 meses de volta). Esse valor é derivado a partir da fórmula de transformação dos períodos:

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v2 T  T 1 2 c T  10 meses v  0,8c

T   10

 0,8c  1

2

c2

T   10 1  0,64 T   6 meses

5

5

Adaptado de Resnick (1968, p. 220)

P á g i n a | 100

Vamos supor que a cada mês completo Luana e Cassandra enviem sinais luminosos. Como a Luana se encontra em um intervalo constante, ela enviará 10 sinais. Já Cassandra que se desloca por dois intervalos (Ida e Volta) enviará seis sinais. Portanto, Cassandra, Paloma e Luana irão concordar que o tempo passou mais devagar para a Cassandra. Para provarmos nosso raciocínio devemos recorrer ao efeito Doppler da luz. Durante a Ida, a Cassandra se afasta dos sinais enviados por Luana e a frequência dos eventos tende a diminuir.

f 

1  1 

f 

1  0,8 1  0,8

f 

1 9

f 

1 3

O número de sinais recebidos por Cassandra será o produto do período próprio da Cassandra pela frequência relativa:

N T  f 1 N  3 3 N 1 Concluímos que dos 10 sinais que Luana envia, Cassandra irá receber apenas 1, durante a ida. Durante à volta, os sinais da Luana se aproximam da nave da Cassandra, portanto a frequência deve aumentar. Para calcularmos o

P á g i n a | 101

aumento dessa frequência, usamos novamente a fórmula do efeito Doppler.

f 

1  0,8 1  0,8

f  9 f 3

N  33 N 9

Portanto, durante a volta, Cassandra irá receber 9 sinais, totalizando 10 sinais, entre ida e volta. Assim, Cassandra registra que no referencial da Luana se passaram 10 meses. Já Cassandra irá mandar seis sinais para a Luana. Veja que no primeiro cálculo do efeito Doppler, a frequência é de 1:3 na ida, ou seja, a cada 3 meses será enviado um pulso. Então a Luana irá receber estes raios da ida, no mês 3, no mês 6 e no mês 9. Quando a Cassandra estiver voltando, a frequência agora é de 3:1, três raios cada 1 mês. Mas para Luana falta apenas um mês para Cassandra voltar, portanto, no décimo mês, ela receberá 3 raios. Assim, o total de raios recebidos será de 6. Portanto, a Luana irá registrar que para Cassandra passaram-se apenas seis meses e as duas vão concordar com esse fato. A natureza do tempo próprio exige que para essa experiência o ponto de ida e chega seja o mesmo, do contrário não podemos tirar quais conclusões. De nossa análise, podemos concluir que ambas gêmeas concordam que Cassandra está mais jovem. Se a Paloma trocasse sinais com a Cassandra, seria possível também provar que o tempo passou mais devagar para Cassandra. No paradoxo dos gêmeos, o efeito Doppler da luz e a inversão dos intervalos IdaVolta, cria mudanças na frequência que permitem que Cassandra possa concluir que seu relógio próprio atrasou.

P á g i n a | 102

5. Dinâmica Relativística As considerações que deduzimos nos tópicos anteriores permitem a construção de conceitos dinâmicos que permitem derivar as massas transversais e longitudinais dos corpos em movimento. Este é um ponto sensível da Relatividade Especial, pois em seu famoso ensaio, Albert Einstein deduziu incorretamente a transformação da massa transversal. Usando os conceitos de tempo próprio e rotações hiperbólicas, podemos deduzir, sem dificuldades e ambiguidades a transformação das massas transversal e longitudinal. Também poderemos deduzir, de maneira rigorosa, as transformações da força longitudinal e da força transversal. A. 4-Momento O vetor momento linear p é definido como o produto da massa maupertusiana de Poincaré do corpo pela sua velocidade.

p   px , p y , pz  p  m  ux , u y , uz  Seguindo as regras da componente zero da 4-velocidade, ela deva ser definida como o produto da massa maupertusiana de Poincaré pela a velocidade da luz. pi  m  c, u x , u y , u z 

pi  m  c, ux , uy , uz 

Agora vamos calcular as componentes do 4-momento no referencial S’:

mc  m  c cosh a  u x sinh a  mux  m  u x cosh a  c sinh a 

muy  mu y muz  mu z

P á g i n a | 103

Imputando os valores das funções hiperbólicas:

mc  m   c   u x  mux  m   u x   c  Abrindo os fatores beta e realizando alguns ajustes algébricos

 vu  mc   mc 1  2x  c   mux    mu x  mv 

muy  mu y muz  mu z

A primeira equação permite chegar em duas importantes relações: (1) se multiplicarmos por c e usarmos a relação massa-energia de Poincaré, E = mc², obtemos a transformação da energia. (2) Se dividirmos a equação por c obtemos a transformação da massa maupertuisiana. Levando esses dois resultados em consideração, e escrevendo as demais componentes em função da definição de momento, nós obtemos as seguintes transformações:

 vu  E    E 1  2x  c    vu  m   m 1  2x  c  

px    px  p  py  p y pz  pz

No referencial próprio, o corpo apenas apresentará uma componente zero, pois a velocidade vetorial será zero. Tomando a velocidade ux = v, obtemos que as transformações da energia e da massa para o referencial estacionário são:  v2  E o   E 1  2  c  

e

 v2  mo   m  1  2   c 

O termo em parêntesis é o inverso ao quadrado da função gama,

P á g i n a | 104

Eo  E  o

 E 2 1



mo 

e mo 

E

 m 2 1



m

Isolando a massa e a energia, chegamos as transformações diretas:

E   Eo

m   mo Vamos agora escrever o 4-vetor de momento no referencial próprio. Em geral, os livros expressão a componente zero do 4momento em termos da energia, usando a relação massa-energia. Nessas circunstâncias, nosso 4-momento tem a seguinte forma: pi   E c , px , p y , pz 

Em geral, os livros expressão a componente zero do 4-momento em termos da energia, usando a relação massa-energia. pio   E o c , 0, 0, 0 

Assim as componentes que precisamos para construção do invariante momento-energia são: J 0o  E o c J0  E c

J  p

Usando a relação entre a velocidade v e a norma de u que deduzimos anteriormente:

p m u p  mv  p

P á g i n a | 105

Portanto, o invariante momento-energia será:

 E c   E c o

2

2

 p2

Multiplicando a equação por c², nossa equação se torna:

E o 2  E 2  p 2c 2 Algumas vezes essa equação é expressa em função da massa de repouso da partícula: mo 2 c 4  E 2  p 2 c 2

E 2   mo 2  p 2 c 2  c 4

E 2  mo 2 c 4  p 2 c

m 2  mo 2  p 2 c 2

, 2

De nossas considerações anteriores, obtivemos as seguintes relações escalares entre as grandezas elétricas e mecânicas:

   o   o

m   mo m  mo

Igualando os fatores gama, obtemos uma importante relação entre a densidade de carga e a massa maupertusiana da partícula:

 m  o o m 

  o

m mo

essas relações permitem dizer que a densidade de carga elétrica atua como um equivalente eletromagnético a massa inercial maupertusiana de um corpo, por isso as duas grandezas se transformam com a mesma lei. Como a carga elétrica e a quantidade de matéria são invariantes relativísticos, podemos estabelecer uma analogia entre estas duas grandezas e dizer que a inércia é uma espécie de densidade de matéria distribuída em um volume

P á g i n a | 106

infinitesimal dV. Agora vamos obter uma relação vetorial entre o momento e a densidade de corrente de deslocamento.

j  u Vamos substituir nas três equações a relação entre a densidade de carga e a massa: j  o

m u mo

Levando em consideração a transformação do momento linear, temos que: j

o mo

p

Assim como a densidade de carga é o análogo a inércia, a densidade de corrente pode ser interpretado como um análogo ao momento linear no eletromagnetismo. Também podemos escrever a relação entre o 4-momento e a 4-corrente, usando a relação da massa e da densidade de carga: ji   o

m  c, u x , u y , u z  mo

Levando em consideração a definição do 4-momento: ji 

o m

mc, p  o 

ji 

o  E

  , p m c  o

Assim, como observamos anteriormente, a 4-corrente se comporta como um equivalente ao 4-momento para os corpos carregados.

P á g i n a | 107

B. Colisões Relativísticas Na Teoria da Relatividade, o momento e a energia são componentes de um 4-vetor chamado de 4-vetor momento-energia. Para a variedade espaço-tempo de Poincaré-Minkowski, há 10 correntes de Noether associadas as 10 componentes do tensor métrico. Portanto, existem leis de conservação para o momento e energia. Na mecânica newtoniana, verificamos essas conservações estudando isoladamente os momenta e a energia para cada tipo de colisão. Porém, como em relatividade, a energia e o momento são componentes de um 4-vetor, precisamos compreender os processos de conservação nesse formalismo. Para ilustrarmos esse estudo, vamos apresentar um exemplo retirado do livro Teoria da Relatividade (LESCHE, 2005, p. 98-101). Suponha que duas partículas de mesma massa própria m e velocidades iguais em magnitude, mas em sentido contrários, sofrem uma colisão inelástica. Qual será a massa do sistema após a colisão? Na mecânica clássica, a massa do sistema será a soma das massas inerciais de cada partícula, isto é, M’ = 2mo. Porém, na Teoria da Relatividade, como veremos, a massa M será maior que a soma das massas inerciais. A conservação do momento na Teoria da Relatividade Especial é dada pela conservação do 4-momento, que é uma das correntes de Noether. pi1  pi2  pi3

As componentes de cada 4-vetor será dada por:

 mc   mc   2mc       p  p  0  Portanto o 4-momento final será dado por:

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M c pi3   o  ,  0 

com M  2m

A massa m inicial das partículas é dada pela seguinte relação:

m   mo onde mo é a massa medida no referencial próprio (alguns chamam de massa de repouso). A massa final do sistema será dada por:

M o  2 mo Observe que essa é a massa de repouso das duas partículas após uma colisão inelástica. Diferente do que se prevê na mecânica clássica, a massa M não é a soma das massas de repouso. A diferença entre a massa relativística6 e a massa de repouso clássica, fornecenos a seguinte relação: M o  M o  2mo    1

Se expandirmos o fator gama em série, obtemos:

 1 v2  M o  M o  2mo 1   1 2  2c  2 1  2m v  M o  M o  2  o  c  2  O termo em parêntesis é a expressão clássica da soma das energias cinéticas de cada partícula: Estou usando o termo massa relativística em um sentido diferente daquele empregado por alguns físicos. Por massa relativística refiro-me à massa de repouso prevista pela teoria da relatividade para o sistema após a colisão inelástica entre as duas partículas. 6

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M o  M o 

K c2

Definimos a massa cinética de uma partícula como a razão da energia cinética pela velocidade da luz ao quadrado:

M o  M o  mcinética Portanto, o aumento de massa devido ao choque das partículas se deve a inércia da energia cinética que passa integrar ao sistema na forma de massa cinética. Na teoria da relatividade, exprimimos a massa cinética de um corpo pela relação (COSTA, 1995, p. 49):

mcinética  2mo

c2   1 v2

Desta equação, podemos escrever duas relações:

v2 mcinética c2 v2 (b) 2mo  2mo  2 mcinética c

(a ) 2mo    1 

Usando a relação (a), concluímos que a diferença entre a massa relativística e a massa clássica será: M o  M o 

v2 mcinética c2

Se a velocidade da luz for muito maior que a velocidade das partículas, o lado direito da equação tende a zero e teremos que as duas medidas (relativística e clássica) convergem ao mesmo valor.

M o  M o

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Usando a equação (b) na expressão da massa inercial do sistema após a colisão, fica explícito a contribuição da inércia da energia cinética para o sistema. v2 M o  2mo  2 mcinética c

M o  M o 

v2 mcinética c2

Novamente, se a velocidade das partículas for muito menor que a velocidade da luz, a massa inercial final é a soma das massas inerciais iniciais. A experiência mostra que o 4-momento de qualquer sistema e sempre um vetor no cone de futuro. Para este tipo de vetor, podemos concluir, com a desigualdade de triângulo, que |a+ b| ≥ |a|+ |b|, onde |a| =√(a.a) é o modulo do vetor. Combinando esta desigualdade com a relação p.p = m²oc4, podemos concluir que a massa de repouso M de um sistema que no passado consistia de duas partículas sem interação, com massas m1 e m2, vale sempre M ≥ m1 + m2. A contribuição da energia cinética das partículas 1 e 2 para a massa total de repouso M e, então, um exemplo da desigualdade de triângulo e consequentemente um efeito relativístico.

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C. 4-Força Assim como acontece com a aceleração, não podemos definir a 4-força por analogia a força. Devemos usar a definição do 4momento e derivar em relação ao tempo próprio. dpi d d E  Fi   , p d  c  Fi 

 1 dE dp  Fi    ,   c dt dt 

A derivada da energia em relação ao tempo é a potência e a derivada do momento é a definição clássica de força:

1 Fi    Pot , c

 f 

Essa é a lei do 4-vetor de força. Vamos agora obter outra importante relação usando a expressão explícita das componentes do 4-momento. pi   mc, mv 

Usando a relação da massa maupertuisiana,

pi   mo c, mo v  pi  mo   c,  v  pi  moui O que acabamos de mostrar é que o 4-momento é definido como o produto da massa de repouso pela 4-velocidade. A massa de

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repouso é um invariante, nestas condições, tomando a derivada do tempo próprio do 4-momento, temos que:

Fi 

dpi d

dui d Fi  mo ai

Fi  mo

Portanto, a 4-força é o produto da massa inercial de repouso pela 4-aceleração, portanto para a 4-força valem as mesmas considerações que fizemos para a 4-acleração. Embora essas conclusões possam parecer “óbvias”, devemos levar em consideração que estas grandezas estão sendo analisadas em um quadro de conceitos e sistemas de coordenadas diferente do convencional, por isso determinadas generalizações devem ser feitas com cautela. Substituindo a equação da 4-aceleração, nós obtemos:

 a.v  ,a  Fi   4 mo   c  Levando em consideração a definição anterior de 4-força que obtemos, convém escrever nossa nova regra da seguinte forma:

 a.v  Fi   mo   3 , a 3   c  Escrevendo a 4-aceleração em função aceleração longitudinal e transversal:

av 3 3   ,  a   a  Fi   mo   c 

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Essa relação nos permite calcular, sem ambiguidades, a lei de transformação da massa longitudinal e da massa transversal. Para efetuar esse cálculo vamos apenas nos concentrar nas componentes vetoriais da 4-força: F   f   ma a

F     3 mo a   mo a 

A massa ma é denominada de massa acelerativa e, embora não seja um vetor, ela apresenta componentes longitudinais e transversais, por isso, do ponto de vista conceitual, é um conceito diferente da massa maupertuisiana. Portanto, podemos decompor o vetor aceleração e a massa acelerativa na primeira equação em função de suas componentes longitudinais e transversais.



F   m a  m a



F     3mo a   mo a  Igualando as duas equações, temos que:





 m a  m a    3mo a   mo a  m a  m a   3mo a   mo a Por inspeção, obtemos que as transformações da massa longitudinal e da massa transversal, são respectivamente: m   3mo

m   mo

Por fim, estudaremos como as forças se transformam. Temos que:

1  Fi    Pot , f  c 

1  Fi     Pot , f   c 

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Aplicando uma rotação hiperbólica, nós obtemos:

1 1  Pot      Pot cosh a  f x sinh a  c c   

1 c

  f y   f y   f z   f z

 

  f x    f x cosh a  Pot sinh a 

Multiplicando a primeira equação por c e substituindo os valores das funções hiperbólicas: Pot     2  Pot  f x v 

  f y   f y

v     f x   2  f x  2 Pot  c  

  f z   f z

Isolando as componentes do sistema S’ e usando a definição de potência como produto escalar da força pela velocidade, obtemos:

Pot 

2 P  P ,   ot otx

    2 1 

f x 

v 2   fx  2 f  v  ,  c   

f y 

 

 f ,  y

vu x   c2  f z 

 f  z

Como a força f pode ser decomposta em uma força transversal e longitudinal, e o produto da velocidade pela aceleração transversal é zero. Mas como o módulo da aceleração longitudinal é igual ao módulo da aceleração na direção x, o módulo da força longitudinal é igual ao módulo da força na direção em x.

f x 

2  v  f x  2 f xv   c   

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 2  v2  1   f    c2  x 1 f x  f x 

f x 

Assim as nossas transformações se tornam:

2 P  P ,   ot otx 1 f x  f x , 

 f ,  y  f z  f  z

Pot 

f y 

Substituindo o valor de   e realizando as simplificações:

Pot 

 Pot  Potx  ,

 vu x  1  2  c   fx f x   vu  2 1  2x c 

  

fy ,  vu x   1  2  c   fz f z   vu   1  2x  c   f y 

,

Essas são as transformações gerais da força. Como a força longitudinal coincide com a força na direção x e a força transversal é a raiz quadrada da soma das componentes ao quadrado da força transversal, então a lei geral da transformação destas forças será: f  f 

1 f, 

f   f

 vu   1  2x  c   2

,

f  

 f   1  vu   1  2x  c  

f

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Vamos agora obter a transformação entre o referencial S’ e o referencial próprio. Nestas circunstâncias   se torna a identidade, e as transformações se tornam: Pot   2  Pot  Potx  ,

f y   f y ,

f x  f x ,

f z   f z

Para a força longitudinal e transversal, as transformações para o referencial próprio serão:

f  f ,

f    f 

f  f ,

f 

f 



A relação entre a 4-força e a 4-aceleração permite interpretarmos a 4-força como uma ação que deforma as linhas coordenadas que ligam dois eventos no espaço-tempo (cf FIGURA).

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Um fato importante decorre da análise da transformação da componente da 4-força. Se as forças forem zero no referencial S, então teremos que elas serão 0 em todos os referenciais inerciais, conforme implicam nossas transformações. Isso prova que nossa transformação de força é compatível como o postulado do princípio da inércia. Porém, como vimos, poderíamos construir uma relatividade menos “restrita” sem postular o princípio da inércia. Se adotássemos essa premissa, nossa transformação da força estaria incorreta. Mas qual a fonte do erro? Quando deduzimos a transformação da aceleração partimos de certas parâmetros, parâmetros estes que só se verificam se assumirmos o postulado do princípio da inércia. Para teorias mais gerais, haverá outras transformações, conforme a ação do mapa de Möbius sobre aF transformação de Lorentz.

7

Do ponto de vista físico e epistemológico há divergências sobre a transformação da foça. Afinal de contas, o que garante que na nova teoria o princípio da inércia deve continuar sendo válido? Discutiremos detalhadamente estas propostas na próxima seção.

7

FONTE: https://mphitchman.com/geometry/section3-5.html

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D. A Dedução da Transformação Geral das Forças As divergência da massa transversal surgem da ausência da operacionalização da transformação das forças que atuam sobre os corpos quando aferidas de dois diferentes referenciais inerciais. Para analisar a dinâmica do elétron e corrigir o valor obtido por Einstein estudamos um caso particular onde o elétron sofre a ação de uma força de Lorentz e obtemos as transformações das componentes longitudinal e transversais. Há dois argumentos que sustentam nossa hipótese: o primeiro é a conservação de momento, que como vimos na parte matemática, decorre das correntes de Noether. O segundo argumento, ainda mais forte que o primeiro, foi proposto por Roberto de Andrade Martins e se baseia em uma análise puramente operacional da transformação das forças. A nossa análise, além de se tratar de uma situação particular, nossa dedução só faz sentido para corpos carregados. Historicamente, Lewis e Tolman, em 1909, foram os primeiros a apontar as limitações da abordagem que apresentamos no parágrafo 10. Eles propuseram uma forma de se obter a transformação das forças a partir da conservação do momento. Essa análise, no entanto, apresenta um postulado tácito: que o momento linear deve ser conservado na relatividade especial. Entretanto, essa premissa pode não ser verdadeira, por exemplo, na relatividade geral o momento e a energia não se conservam (WHIITAKER, 1953, WEINBERG, 1972, LANDAU. LIFCHITZ, 1980, MEHRA, 1983, LOGUNOV, 2005, BRADING, 2005). Por esse motivo a dedução de Lewis e Tolman também não é satisfatória, pois é necessário introduzir as transformações de forças sem recorrer a pressupostos tácitos. Um método alternativo foi proposto por Martins (1982, 2012) inspirado nos estudos publicados por Henri Bouasse, em 1895, no livro Introduction à l’étude de theories da la mecánique. Para tornar esse trabalho mais completo, nós apresentaremos estas duas deduções.

P á g i n a | 119

1.

Método de Lewis-Tolman

Esse é o método mais comum para dedução do momento, o método original ou suas variantes, aparecem em vários livros sobre relatividade especial como Pauli (1921), Born (1962), Resnick (1968, French (1968), Peruzzo (2012) e Bohm (2015). A ideia consiste em analisar uma colisão elástica entre duas esferas de massa idênticas e de massa m em seus referenciais próprios, na perspectiva de dois observadores nos referenciais inerciais K e k. Vamos supor que um observador A, portando uma esfera A, se encontre em repouso em relação ao referencial K e um observador B, portando uma esfera B, esteja em repouso em relação ao referencial k. Em um determinado instante t, os observadores lançam suas esferas na direção y. No referencial próprio cada bola tem velocidade constante u na direção y e velocidade zero. Em um instante posterior t + dt as duas esferas sofrem uma colisão perfeitamente elástica. As esferas sofrem uma inversão no sentido de deslocamento e adquirem velocidade U.

FIGURA 1. A colisão das esferas A e B na perspectiva de observadores nos referenciais K e k, como proposto por Lewis e Tolman em 1909. Fonte: RESNICK, 1968, p. 112. Como os referenciais se encontram em movimento relativo, cada observador visualizará os eventos de uma maneira diferente. Para o observador em A, a esfera A não apresenta velocidade na direção x

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e a esfera B apresenta uma componente de velocidade v na direção x, enquanto o observador B registra que é a esfera B que não apresenta velocidade na direção x e a esfera A que apresenta uma componente longitudinal com velocidade –v, Na tabela abaixo apresentamos as componentes das velocidades das duas esferas em cada um dos referenciais inerciais. ESFERA A (Antes)

REFERENCIAL K wx = 0

REFERENCIAL k

wy = u

w = -v

w = -u

wy = -u/

w = 0

w = u/

B (Antes)

wx= v

A (Depois)

wx = 0

wy = -U

B (Depois)

wx = v

wy = U/

w = 0 w = -v

w = U w = -U/

Tabela 1. Decomposição das velocidades relativísticas de cada esfera em cada referencial. As transformações das velocidades entre os dois referenciais são feitas usando a fórmula de adição de velocidades relativística, deduzida no parágrafo 5 e no parágrafo 9. Devido a relatividade da simultaneidade, na perspectiva do observador no referencial K o tempo decorrido para a esfera B percorrer a trajetória y é maior que o tempo gasto pela esfera A. Da perspectiva do observador em k, é a esfera A que gasta um tempo maior. Inicialmente devemos aferir a velocidade U. Para isso verificaremos se o momento se conserva na direção x. poa  pob  p fa  p fy

0  mv  0  mv  pox  p fx

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Como o momento em x é conservado e a intensidade da velocidade antes e depois da colisão é a mesma, a velocidade na direção y também deve ser a mesma. Portanto,

U u Agora vamos impor que o momento se conserve na direção y. poy  p fy poa  pob  p fy  p fy

Substituindo os valores do momento inicial e momento final:

u  mu   u  mu  2mu   2u Portanto, a massa deve se transformar segundo a seguinte lei:

m   m

 v 1   V 

2

A partir dessa da transformação da massa, podemos escrever a transformação do momento: p  mv 

f 

 v 1   V 

2

v

d   (v )  v  dp  dt dt

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O método de Lewis-Tolman sofreu críticas de Campbell (1911), em um ensaio publicado em 1911. Neste mesmo ano, Epstein (1911) rebateu as críticas de Campbell e mostrou que o método poderia operacionalizado de forma rigorosa. Uma objeção ao método de Lewis-Tolman é que em 1909 não havia um estudo preciso sobre colisões elásticas, esse desenvolvimento só ocorreu em 1914 com um trabalho de Jüttner (1914). Podemos superar todas essas dificuldades usando um método operacional introduzido por Martins (1982), como iremos ver a seguir. 2.

Método de Martins

O método proposto pelo físico e historiador da ciência Roberto de Andrade Martins, em 1982 e republicado em 2012, em seu livrotexto Teoria da Relatividade Especial, consegue superar todas essas dificuldades, pois operacionaliza o método de medição de forças e utiliza apenas experimentos mentais. A análise consiste em estudar as transformações longitudinais e as transformações transversais separadamente. 2.1.

Força Longitudinal

Primeiro vamos analisar a transformação longitudinal da força. Inicialmente introduziremos três referenciais inerciais: aS, RS, bS. Usaremos dois dinamômetros ideais A e B atados por fios ideais (isto é, com massa desprezível) a uma roldana dupla que, por atrito, desenrola os fios com velocidade constante u. Como todo sistema se encontra em equilíbrio, as forças nas extremidades dos fios, que correspondem a tensão, são sempre iguais e opostas, em todos os referenciais inerciais. O referencial aS está em repouso ao dinamômetro A, o referencial RS se encontra em repouso em relação a roldana e o referencial bS está em repouso em relação ao dinamômetro B.

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Figura 2 – Um sistema composto por dois dinamômetros A e B e fios ideias que são desenrolados com velocidade constante por uma dupla roldana ideal. O sistema todo se encontra em equilíbrio. Como o sistema está em equilíbrio então as forças, medidas em seus referenciais próprios, devem ser iguais: a

f A  b fB

Em relação ao referencial aS, o dinamômetro deve aferir que a tensão no fio sobre o sistema A é igual a força própria em A. a

f A  aTA

Como a velocidade das roldanas é constante, as tensões dos fios atados aos sistemas A e B devem ser idênticas.

T  a TB

a A

Como o sistema se encontra em equilíbrio, para qualquer referencial inercial, a tensão do fio atado ao sistema B é igual ao valor da força aferido no dinamômetro B.

T  a fB

a B

Por transitividade, podemos substituir a tensão do fio atado ao sistema B pela foça B aferida no referencial próprio. a

f A  a fB  b fB

Portanto, a força longitudinal que atua sobre um corpo arbitrário é um invariante relativístico.

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2.2. Força Transversal Para obtermos a transformação da força transversal devemos usar um sistema diferente. Desta vez vamos supor um corpo D comprimido por dois conjuntos de molas A e B. Em relação ao referencial DS O referencial próprio de D), todas as molas são idênticas e as forças exercidas por cada conjunto é a mesma. Sendo a força exercida pelo conjunto A sobre D definida por DfA e a força exercida pelo conjunto B sobre D definida por DfB, a condição de equilíbrio impõe que: D

fA 

D

fB

Figura 3 – Um corpo D é comprimido por dois conjuntos de molas A e B. A partir da análise de diferentes referenciais e da condição de equilíbrio podemos aferir o valor da força transversal.

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Devido ao equilíbrio, podemos considerar que a intensidade das forças em seus referenciais próprios são idênticas: a

f A  b fB

Agora consideremos o que ocorre na perspectiva de um referencial associado ao conjunto de molas B, que chamaremos de BS. Em relação a qualquer referencial inercial, o sistema deve se manter em equilíbrio, portanto a força exercida pelo conjunto de molas A continua anulando a força exercida pelo conjunto de molas A. Contudo, como o conjunto de molas A se desloca com uma velocidade v, o sistema sofre uma contração na direção do movimento e o número de mola por unidade comprimento sofre uma alteração, como podemos ver na figura.

Figura 4 – O corpo D é comprimido por dois conjuntos de molas. Na perspectiva do observador no referencial BS o número de molas por unidade de comprimento do conjunto A é maior que do conjunto B, portanto a força aplicada pelo conjunto A deve se transformar a fim de compensar essa mudança e garantir que ela tenha mesmo o valor da força B e mantenha o equilíbrio.

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A força total será igual ao produto da força elástica pelo número de molas que atuam sobre um comprimento l do corpo D.

f  n  f elástica A condição de equilíbrio impõe que a força aplicada pelo conjunto A seja igual a força aplicada pelo conjunto B. Como o número de molas varia, na perspectiva do referencial BS, teremos a seguinte condição de equilíbrio: b

nA  b f A  b nB  b f B

Como as forças no referencial próprio A e B são iguais, podemos escrever nossas equações da seguinte forma: b

nA  b f A  b nB  a f A

mas, se isolarmos a f A , obtemos a transformação das forças: b

 n  fA   b B   b nA 

a

fA

Precisamos obter a diferença de molas entre os dois sistemas para obter a expressão mais da transformação das forças. O número de molas n que age sobre um comprimento l do corpo D é definido pela razão l e a distância entre as molas, como pode ser visto na figura 4. n

l d

Da perspectiva do referencial BS a distância entre as molas do conjunto A sofre uma contração na direção do movimento: b

dA a dA

v 1   c

2

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Observe que em cada referencial o próprio, a distância entre as molas do conjunto A e do conjunto B são iguais: a

d A  b dB

Portanto, podemos escrever a contração da distância entre as molas do conjunto A como, b

d A b dB

v 1   c

2

Agora vamos calcular o número de molas, conforme aferido pelo observador em BS.

nA 

l b dA

nB 

l b dB

Dividindo os números de molas em cada conjunto, obtemos:

nB b d A  n b A b dB

b

Substituindo o valor da distância b d A , conforme calculamos,

v bdB 1    c b nB  b nA b dB

2

Cancelando as distâncias, obtemos que a razão do número de molas na perspectiva de BS é:

nB v  1   c b nA

b

2

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Substituindo esse valor na transformação das forças que obtivemos em função do número de molas, chegamos ao valor procurado: b

fA  a fA

v 1   c

2

b

f A  b fB

v 1   c

2

Realizando a análise na perspectiva do referencial AS, obtemos os mesmos resultados, como estabelece o princípio da relatividade:

v a fB  b fB 1   c

2

v a fB  a f A 1   c

2

Logo, as transformações das forças longitudinal e transversal são:

v f   f  1    c

f  f

2

Usando a definição Kirchhoff de força e a transformação da aceleração, podemos calcular os valores das massas transversal e longitudinal:



m . 1 v c m 



2 3/2

m

1   v c  

m   3m

a  ma

2 3/2







m . 1   v c  a  m 1   v c  m 

2



2 1/2

a

m

1   v c  

2 1/2

m   m

Registre-se que essas são as transformações da massa acelerativa e embora a massa transversal se transforme como a maupertusiana, tratam-se de conceitos diferentes de massa.

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E. Invariante de Pressão Vamos provar que a pressão é um invariante relativístico. Tomemos um sólido com áreas laterais dada por:  i x , jy , kz , onde os índices i, j, k variam de 1 à 2, de forma que a área  ix estando compreendida no plano y-z, a área  jy , no plano z-x e a  kz , no plano x-y.

Como temos seis áreas laterais, teremos seis pressões, em cada referencial.

P á g i n a | 130

Pi x  Pix 

Fx

ix

, Pj y 

Fy

 jy

, Pk z 

Fz

 kz

F Fx F , Pjy  y , Pkz  z  ix  jy  kz

Como o corpo se desloca na direção x, os planos x-y e z-x, sofreram uma contração na direção do movimento, portanto as áreas devem se transformar segundo as regras:

 i x   ix ,  jy 

 jy  ,  kz  kz  

A força que atua sobre as áreas  i x é paralela ao movimento, portanto deve se transformar como uma força longitudinal, enquanto a força que atua sobre as áreas  jy e  kz são perpendiculares ao movimento, portanto são transversais. Estas forças se transformam por meio das relações:

Fx  Fx, Fy 

Fy



, Fz 

Fz



Substituindo essas relações nas equações da pressão, Pi x 

F Fx F , Pj y  y , Pk z  z  ix  jy  kz

Mas o lado direito é a pressão aferida no referencial próprio, portanto: Pi x  Pix , Pj y  Pjy , Pk z  Pkz

o que demonstra que a pressão é um invariante relativístico.

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F. Teorema Trabalho-Energia A forma mais comum de se deduzir a relação massa energia é por meio do teorema trabalho-energia, que relaciona a variação de energia de um corpo à força resultante aplicada no corpo durante o seu deslocamento.

dW  F  dr Para realizar a dedução da variação da energia cinética, vamos seguir o procedimento apresentado por Roberto de Andrade Martins no livro Teoria da Relatividade Especial. Tomemos a transformação relativística da massa: m   mo Vamos tomar a derivada da massa em relação ao tempo: dm d    mo dt dt

Para acharmos o diferencial do fator de Lorentz, vamos calcular suas derivada temporal: d d v2  1/2 d    u   1  2  dt du dt  c 

onde u é  2  1  v 2 c 2  . Efetuando as derivadas, obtemos: 1

d   1 3/2   2v dv     u   2  dt  2   c dt  Realizando as simplificações e substituindo o valor de u,. d v 3 2 a dt c

Levando esse valor na derivada temporal da massa,

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dm v   3mo 2 a dt c

A transformação da massa longitudinal é dada pela fórmula: m   3 mo

dm v  2 ma dt c

O produto da massa longitudinal da partícula pela aceleração, define uma grandeza chamada força longitudinal: dm v  F dt c 2

Isolando a força, obtemos a seguinte relação:

c 2 dm F  v dt Vamos calcular a variação da energia cinética pelo trabalho realizado pela força longitudinal,

 dW   F  dr Substituindo o valor que calculamos para a força longitudinal,

W  

c 2 dm  dr v dt

Aplicando a regra da cadeia, nossa integral se torna:

1  dr  W  c 2    dm v  dt 

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1 W  c 2  v dm v W  c 2  dm

Esse cálculo integral nos fornece:

W  C  mc 2 E  mc 2 onde C é uma constante aditiva de energia, a ser determinada. Fazendo a velocidade do corpo tender a zero, o trabalho sobre a partícula deve tender a zero e a massa relativística tende a massa de repouso, e obtemos que a constante C é justamente a energia de repouso da partícula: C  mo c 2

O fato do corpo apresentar uma energia de repouso não nos permite associar a variação de energia mc² com a variação da energia cinética, como ocorre na mecânica clássica, à não ser que definíssemos a energia de repouso como uma energia cinética de repouso (MARTINS, 2012). Para evitar esse tipo de “contradição”, podemos definir a variação do trabalho como a energia cinética relativística da partícula. Por conseguinte, nossa equação se torna: W  mc 2  mo c 2

E realizando algumas manipulações algébricas, W   m  mo  c 2 W    mo  mo  c 2 W     1 mo c 2

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Portanto a variação do trabalho realizado sobre a partícula será dada pela equação:

    1  W   1 moc 2 2   v  1 2  c   Podemos mostrar, usando a expansão binomial, que no caso da velocidade da partícula ser menor que a velocidade da luz, essa relação coincide com a definição clássica de energia cinética. A expansão do fator de Lorentz para primeira ordem em v/c é dado por: 2

1v  1   2c  1  v 2  W 1     1 mo c 2  2c    1 mo v 2 W 2 Se usarmos essa definição de energia cinética, devemos ter em mente que a energia de repouso não pertence a energia cinética, pois ela não é zero quando o corpo está em repouso. Também não podemos associar a energia de repouso a uma energia potencial. Suponha que a nossa força fosse, por construção, conservativa em um campo gradiente U. Nesse caso, o teorema trabalho-energia nos forneceria a seguinte equação: U  1    mo c 2

O aumento da energia potencial, assim como na mecânica clássica é igual à quantidade reduzida (transformada) de energia cinética

P á g i n a | 135

relativística, e como essa energia depende a energia de repouso, logo ela não pode pertencer a energia potencial. A conclusão que chegamos é que a energia de repouso não é cinética e nem potencial; Alguns autores costumam a chamar esta equação de “energia total´” o sistema. Isso é incorreto, porque não podemos associar a relação massa-energia a todas as formas de energia potencial (MARTINS, 1989, 1998). Além disso, como veremos, a relação massa-energia não se aplica a sistemas fechados submetidos a pressões e tensões. Nesse caso é preciso usar uma lei mais geral conhecida como relação massa-entalpia. Por fim, vamos calcular a diferença de potencial necessário para acelerar um elétron até a velocidade da luz. Por definição, a diferença de potencial é dada pela razão da variação do trabalho pela carga elétrica do elétron: W V  e

V     1

me c 2 e

Tomando o limite de v tendendo a c,

me c 2 v c e m c2 V  lim    1 e v c e V  

V  lim    1

A diferença de potencial deve ser infinita (assim como trabalho), pois o fator gama de Lorentz tende ao infinito quando v tende a c. Esse resultado é uma consequência da transformação da massa, pois a medida que a partícula é acelerada sua inércia tende a crescer.

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G. Invariante Energia-Momento Em 1907, o físico alemão Max Von Laue mostrou que as relações de energia permitiam escrever um importante invariante relativístico: Eo2  E 2  c 2 p 2

A partir desse invariante iremos construir uma importante grandeza 4-vetorial extremamente importante: o 4-vetor momentoenergia. Para isso, vamos definir a partir da métrica de PoincaréMinkowski o 4-vetor de velocidade:

ds 2  dx 2  dy 2  dz 2   ic  dt 2 2

Vamos definir a quantidade tempo próprio a partir da relação:

dt   d Dividindo o invariante pelo diferencial do tempo próprio ao quadrado: 2 2 2 2 ds 2 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz         ic   d 2 dt 2 dt 2 dt 2 dt 2

v 2   2vx2   2v y2   2vz2   ic 

2

O lado esquerdo da equação corresponde ao módulo ao quadrado do 4-vetor velocidade, que para uma métrica ortogonal, como é o caso da métrica de Poincaré-Minkowski, é definida como: 4

v   vi v1 2

i 1

Por inspeção, as componentes da 4-velocidade serão:

P á g i n a | 137

vi    vx ,  v y ,  vz , ic  Definimos o 4-vetor momento-energia como o produto da massa de repouso de um corpo pela sua 4-velocidade:

Pi  movi    movx ,  mov y ,  movz , ic mo  Usando a transformação da massa e a relação massa-energia E, podemos escrever as componentes do 4-momento-energia:

Pi   mvx , mv y , mvz , iE c  Pi   px , p y , pz , iE c  Vamos calcular o módulo do 4-vetor momento-energia, usando a definição de produto interno para uma métrica ortogonal: 4

P   pi p i 2

i 1

P 2  px2  p y2  pz2   i E c 

2

P2  p2  E 2 c2 Se multiplicarmos ambos lados por –c², obtemos o invariante de energia: c 2 P 2  E 2  c 2 p 2 c 2 P 2   Eo2

Portanto, o módulo do 4-vetor de momento-energia é uma quantidade imaginária:

P  i Eo c

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H. Limitações da Relação Massa-Energia Em 1907, Einstein apresentou um problema relativístico envolvendo uma haste extensa submetido a forças de mesma intensidade e sentidos contrário. Esse é um problema interessante, pois é um caso onde não podemos aplicar a relação massa-energia. Aqui apresentaremos uma versão adaptada do problema proposto por Einstein (1907) e discutido por Martins (2012). Tomemos uma haste rígida, paralela ao eixo x e em movimento retilíneo uniforme com velocidade v em relação a este eixo. No referencial próprio, que chamaremos de k, a extremidade esquerda da barra coincide com a coordenada 1 enquanto a extremidade direita coincide com a coordenada 2, o comprimento total da barra no referencial próprio é L.

  2  1  L Suponha que no instante 1 duas forças, F1 e F2, de mesma intensidade, mas sentidos contrários, atuam simultaneamente, do ponto de vista do referencial k, nas extremidades da haste. Estas forças se cancelam mutuamente, portanto a barra não sofre aceleração e nem variação do momento Na perspectiva de um referencial K, descrito por um sistema de coordenadas (x, y, z), em que a barra se desloca com velocidade v, as forças não são aplicadas simultaneamente. Para um observador nesse referencial, no instante t1 a força F1 passa a atuar na extremidade esquerda, somente após um intervalo t, no instante t2 que a força F2 passa atuar na extremidade direita. Da perspectiva do referencial K, durante esse intervalo t há uma transferência de momento pela força F1 para a haste. Somente quando a força F2 passa a atuar sobre a extremidade direita que há uma compensação das forças. Porém, como a barra não acelera em relação ao referencial k, ela não pode acelerar em

P á g i n a | 139

relação a nenhum referencial inercial K, portanto o momento em K deve variar sem que haja variação da velocidade da haste.

FIGURA 1. Uma haste submetida a forças simultâneas no referencial próprio, não serão simultâneas em um segundo referencial. Nesse caso em k não há variação do momento da barra, enquanto há variação no referencial K. Do cálculo diferencial podemos mostrar que se a massa do sistema sofrer uma variação, então há mudança do momento, embora sua velocidade se mantenha constante.

p  m  v Portanto, para um observador no referencial K essa variação do momento será igual ao impulso aplicado pela força F1 durante todo o intervalo t:

p  m  v  F1  t

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Vamos calcular o valor de t usando a transformação de Lorentz do tempo:

v  t       2  c   Como no referencial k a aplicação das forças é simultâneas, o intervalo de tempo entre as forças é zero. Levando esse fato em consideração e substituindo o valor de nossa equação se torna: t   L

v c2

Substituindo esse valor de t na equação do momento, temos que: p   F1  L

v c2

m  v   F1  L

v c2

Portanto, para um observador em K a massa da barra sofre um aumento igual há; m  

F1  L c2

Se tomarmos o limite da velocidade relativa entre os sistemas tendendo a zero, vemos que a variação de massa no referencial própria não é zero, mas igual a: m 

F1  L c2

Agora iremos mostrar que esse aumento da inércia da barra não pode ser deduzido a partir da relação massa-energia. Para isso vamos escrever a equação do trabalho em função da velocidade:

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W   F1  v  t Substituindo os valores de t: W   F1  v   L

v c2

Portanto o valor do trabalho realizado será:

W    F1  L

v2 c2

Se considerarmos que para esse caso é válido a relação massaenergia, W’ = m’c², então:

m  c 2   F1  L

v2 c2

Isolando a variação da massa, obtemos:

m   F1  L

v2 c4

que é uma equação diferente da que obtivemos anteriormente. Se fizermos a velocidade relatividade tender a zero, a variação de massa também tende a zero, o que contraria nosso resultado anterior. Podemos mostrar também que essa inércia adicional não é devida a deformação da barra, como pode ser visto em Martins (2012, p. 142143). Portanto, a relação massa-energia não se aplica a esse caso. Poderíamos obter o resultado correto usando o invariante momentoenergia? Para verificarmos, devemos escrever as equações da energia e do momento adquirido pela barra, na perspectiva do referencial K. Usando os valores calculados anteriormente, temos que (MARTINS, 2012):

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v   p    mo  F1  L 2  v c    v2   E    Eo  F1  L 2  c   Eo  0

Substituindo esses valores na equação do invariante, obtemos: 2

v   2   v2    0    mo  F1  L 2  v  c    Eo  F1  L 2   c   c     

2

Essa igualdade só é satisfeita se, v  2  v2    mo  F1  L 2  vc   Eo  F1  L 2  c  c   

O que nos leva a concluir que somente um caso particular de força satisfaz essa equação:

F1 

1 c 2  mo  Eo  L v 2  c 2  1

Portanto, assim como acontece com a relação massa-energia, o invariante momento-energia e o 4-vetor momento-energia não se aplicam a corpos extensos submetidos a forças externas. Em outras palavras, não podemos atribuir um grau de generalidade a relação massa-energia e nem um grau de mais alta sofisticação ao formalismo 4-vetorial (MARTINS, 2012). Para explicarmos o aumento de massa da haste, precisamos recorrer a uma relação mais geral, porém pouco conhecida: a relação massa-entalpia deduzida por Max Planck em 1907.

P á g i n a | 143

I.

Relação Massa-Entalpia para Corpos Extensos

Em 1907, Max Planck publicou um artigo intitulado Zur Dynamik bewegter System, onde ele analisou as implicações do princípio da relatividade na termodinâmica, incluindo as transformações dos potenciais termodinâmicos e as implicações sobre a lei de conservação da energia. Na seção 3 (aplicações), parágrafo 16, Planck (1907) deduz a relação massa-entalpia que generaliza a relação massa-energia, pois também se aplica a corpos extensos submetidos a forças externas8.

Eo  PVo c2 mc 2  H o  Eo  PVo

m

Vamos mostrar que o aumento de massa da barra é uma consequência da relação massa-entalpia. Tomemos a variação da massa da barra, deduzida anteriormente:

m  

F1  L c2

Podemos escrever a força que atua sobre a extremidade esquerda por meio da pressão:

F1  PA Observe que a área por ser transversal à direção do movimento da haste, ela é um invariante. Como a força longitudinal também é invariante, então a pressão é um invariante relativístico. Levando esses resultados na variação da massa, obtemos:

No trabalho de Planck, a letra Ro denota a entalpia inicial e a letra H denota a função lagrangeana. Optamos em usar a notação moderna por fins didáticos.

8

P á g i n a | 144

m  

P  A L c2

O produto da área pelo comprimento próprio da barra define a grandeza volume próprio Vo. m  

P  Vo c2

A variação da massa, no referencial K, é diferença da massa inicial do corpo (antes da aplicação da força) e a massa que ela adquire até a aplicação da segunda força, que cancela a primeira. m  mf  mo

Usando a transformação da massa, a nossa equação se torna: m  mf   mo

Antes da aplicação da força, é válida a relação massa-energia, m  mf  

Eo c2

Isolando a massa final da haste, medida no referencial K, mf  

Eo  m c2

Substituindo o valor que calculamos de m: mf  

mf  

Eo P V  2 o 2 c c

Eo  P Vo c2

P á g i n a | 145

Multiplicando o fator gama pela energia e pelo volume, obtemos seus valores iniciais aferidos no sistema K:

Eo  P  Vo c2 H mf  2o c mf 

Se aplicarmos a transformação relativística para a massa, ao invés de multiplicarmos o fator gama, obtemos a relação massa-entalpia como observada no sistema próprio:

Eo  P Vo c2 E  P V mf  o 2 o c Ho mf  2 c

 mf  

Portanto, podemos estabelecer que a entalpia se transforma de acordo com a mesma lei da relação da energia:

H   H Outra relação importante, é a relação entalpia-momento. Planck, a partir da análise da lagrangeana relativística, definiu o momento como o produto da entalpia pela velocidade dividida pela velocidade da luz ao quadrado: H G 2v c Esse momento G, paralelo à v, é um caso particular do momento p, pois para corpos extensos e meios contínuos, o momento nem sempre coincide com a velocidade.

P á g i n a | 146

6. A Termodinâmica Relativística Nos cursos e livros de Teoria da Relatividade Especial dá-se um grande enfoque as mudanças conceituais que essa teoria introduziu na mecânica, na óptica e no eletromagnetismo. Porém, o princípio da relatividade exige que para sistemas inerciais, todos os fenômenos físicos sejam covariante de Lorentz e isso inclui também os fenômenos térmicos. Nessa seção discutiremos brevemente o campo da termodinâmica relativística e alguns problemas ainda em aberto. A.

A Análise de Planck

Em 1907, Max Planck procurou uma formulação mais geral para relação massa-energia para um corpo material, pois a relação deduzida por Einstein era apenas satisfatória como uma aproximação de primeira ordem9. A análise Planck partiu do estudo das implicações do princípio da relatividade aos potenciais termodinâmicos. Dos diversos resultados obtidos por Planck, vamos nos focar sobre a transformação da temperatura termodinâmica. Planck usa como ponto de partida a equação de Clayperion nos referenciais S e S’:

PV  nRT PV   nRT 

PV nR PV  T  nR

T

O número de moles não depende do referencial inercial, pois o número de partículas é um invariante. A constante universal dos

Na verdade, a relação massa-energia de Einstein foi deduzida a partir de uma petição de princípio e não pode ser considerada satisfatória. Para detalhes ver Ives (1952). 9

P á g i n a | 147

gases perfeitos também é um invariante, portanto a equação da temperatura própria pode ser escrita como: T 

PV  nR

Como a pressão é um invariante relativístico e o volume sofre uma contração na direção do movimento, a equação se torna: PV   nR 1 PV  T  nR

T

Levando em consideração a definição de temperatura do referencial próprio: 1 T  T



Planck conclui que a temperatura de um corpo em movimento medido em um referencial estacionário diminuirá. Se Planck usado da equação da energia, ele teria obtido outro resultado. A energia cinética total de um gás perfeito, monoatômico, é expresso pela seguinte lei:

3 nRT 2 3 E   nRT  2

E

2 E 3 nR 2 E T  3 nR

T

Substituindo a transformação da energia na primeira equação da temperatura,

P á g i n a | 148

T 

2 E 3 nR

Levando em conta a transformação da temperatura própria,

T  T Qual a razão dessa “contradição”? Segundo Martins (2012, p. 170) “há um problema fundamental nessas duas deduções. Nenhuma dessas equações é uma definição de temperatura. São equações secundárias. Não se pode concluir nada desses argumentos”. Tendo em vista essas dificuldades, o físico Heinrich Ott propôs um método mais rigoroso de análise relativística baseada no funcionamento das máquinas térmicas. B. A Análise de Ott Em 1963, o físico Heinrich Ott deduziu uma nova transformação para a temperatura ao estudar o ciclo de Carnot relativístico. O estudo do movimento da máquina térmica na perspectiva de um referencial estacionário, permiti deduzir que o trabalho útil total de um ciclo é dado por (OTT, 1963, MARTINS, 2012): dW   1    dQ1

O rendimento do ciclo termodinâmico é definido como a razão do trabalho realizado e o calor que é transmitido à máquina.

 

dW  dQ1

   1    A partir do rendimento definimos a transformação da temperatura: T  T  1    

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Substituindo o rendimento do ciclo de Carnot: T  T  1  1     T  T  1  1    T  T

Em seu artigo de 1907, Planck também calculou o ciclo de Carnot relativístico, porém obteve que o trabalho total do ciclo é dado por:

 1 dW   1   dQ1   Substituindo na equação do rendimento, a transformação da temperatura será:

T

T 

Por que a análise de Ott é mais consistente que a análise de Planck? O que ocorre é que Planck simplesmente aplicou as transformações relativísticas a uma máquina de Carnot. Planck não levou em consideração se a máquina de Carnot deveria sofrer algum tipo de modificação para que a análise fosse consistente. E é esse o caso. Ott mostrou que a máquina de Carnot deve apresentar um parafuso que mantenha o cilindro com êmbolo travado durante a terceira fase do ciclo, que é onde surge a divergência de resultado entre Planck e Ott. Embora alguns físicos ainda defendam a abordagem de Planck, considera-se a de Ott como a correta (MARTINS, 2012). Mais recentemente, Avramov (2003) ao estudar temperatura de galáxias, sugeriu que a temperatura seja um invariante relativístico. Seja qual for a formulação mais adequada, todas convergem para um fato: a entropia é um invariante relativístico.

P á g i n a | 150

C. A Lei Zero da Termodinâmica Em 1914, o físico Richard Tolman mostrou que para um gás relativístico deixa de valer o princípio clássico da equipartição da energia. Na relatividade, a energia das partículas e sua relação com a temperatura, é definida pela seguinte equação (MARTINS, 2012, p. 172): PV  



N mv 2 3

mv 2 3    kT 2 2

Tolman mostrou que na relatividade especial se dois gases com diferentes temperaturas são colocados em um recipiente hermético, o equilíbrio térmico deve satisfazer a seguinte relação:

 1m1v12   2 m2v22 Essa grandeza equivale a energia cinética média das partículas apenas no limite de baixas velocidades ou no referencial próprio. Como para velocidades arbitrárias, essa expressão não corresponde a energia cinética, então no equilíbrio térmico, as partículas não possuem a mesma energia cinética média (TOLMAN, 1914, MARTINS, 2012). D. A Relação Massa-Entalpia Vamos deduzir agora a relação massa-entalpia. Usaremos o exemplo de uma barra horizontal, proposto por Martins (2012), mas pode ser facilmente generalizado para um fluído isotrópico (Loureiro, 2013). Vamos supor que uma haste horizontal se desloca com velocidade constante v em relação a um referencial estacionário S. Em um determinado instante, duas forças de mesma intensidade

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atuam simultaneamente, no referencial próprio, nas extremidades da barra. Da perspectiva do referencial próprio, essas forças se cancelam e não há variação de velocidade da barra.

Porém, na perspectiva do referencial estacionário, a aplicação da força não são eventos simultâneos, a força que atua na extremidade esquerda (F1) ocorre primeiro que a força que atua na extremidade direita (F2). Como a barra não acelera em relação ao referencial próprio, ela não pode acelerar em nenhum referencial. Portanto, a barra deve sofrer uma variação do seu momento, sem que ocorra variação da velocidade. Para o referencial estacionário, antes da aplicação da força a barra apresenta um momento devido a velocidade e um momento adicional devido ação da força F1. Para diferenciar do momento de uma partícula, denotaremos o vetor momento da barra pela letra G.

E W v 2v 2 c c v G  E W  2 c

G

P á g i n a | 152

Expressamos a massa maupertuisiana da barra em relação ao seu conteúdo energético e ao acréscimo de inércia devido ao trabalho realizado pela força. Para corpos extensos, convém definir o trabalho realizado por uma força em função da pressão e do volume:

W  PV Substituindo o valor do trabalho na relação do momento: G   E  PV 

v c2

A relação em parêntesis é a entalpia do corpo. G

H v c2

essa é a relação entre momento e a entalpia, deduzida por Planck em 1907. Como a velocidade da barra é apenas na direção x, não há momento nas direções transversais. Portanto a intensidade do momento da barra será: G

H v c2

Substituindo o valor de p, obtemos que a inércia deve estar associado a entalpia:

H , c2 H  mc 2

m

 PV  E   mc 2 Usando a transformação da massa para seu referencial próprio:

P á g i n a | 153

H   mo c 2

O produto da massa própria pela velocidade da luz ao quadrado define a entalpia própria:

H   Ho

H    PVo  Eo 

essa é a relação entalpia-energia que Planck obteve em 1906 e que generaliza a relação-massa energia. A partir dessa relação podemos obter a transformação, podemos obter uma nova relação para a transformação da energia:

PV  E  cosh a  PVo  Eo  E  cosh a  PVo  Eo   sech a  PVo  E  cosh a  PVo 1  sech 2 a   Eo  E  cosh a  PVo  sinh 2 a   Eo 

Substituindo o valor das funções hiperbólicas: E     2 PVo  Eo 

Também podemos definir um 4-vetor momento-entalpia:

H  Gi   , G   c  E os seus invariantes relacionados:

H o2  H 2  G 2c 4 H 2  H o2  G 2c 4

P á g i n a | 154

E. Transformação das Funções de Estado Por meio da entalpia podemos calcular como se transformam as funções termodinâmicos que aparecem na primeira lei, que na relatividade reescreveremos da seguinte forma:

dE  KdQ  dW onde K é uma constante adimensional a ser determinada. Já obtivemos a transformação da energia:  dE     2 d  PV o o   dEo 

Para deduzir a transformação relativística do trabalho termodinâmico, temos que considerar que a velocidade da barra não varia, embora seu momento sofra um aumento, usaremos o diferencial da equação do momento da barra: dG dr dt Pela convenção adotada, como há entrada de energia na barra, o trabalho deve ser negativo para que a variação da energia seja positiva. A força aplicada sobre a barra tende a reduzir seu volume, portanto o volume final tende a ser menor que o inicial. dW   PdV 

dG dr dt dW  PdV  dG  v

dW  PdV 

Usando a relação entalpia-momento, dH v c2 dH dW  PdV  2 v 2 c dG 

P á g i n a | 155

v2 dW  PdV  2 dH c dW  PdV   2 d  PV  E  dW 

Po dVo

  2 d  PV o o  Eo 



Portanto a transformação do trabalho termodinâmico será:

dW 

Po dVo

  2 d  PV o o   dEo



dW  PdV   2 d  PV   E Agora podemos determinar a transformação do calor. Da primeira lei da termodinâmica podemos escrever o diferencial do calor como:

KdQ  dE  dW Substituindo os diferenciais de energia e trabalho que calculamos, KdQ 

Po dVo



2  2    2 d  PV o o    dEo     d  PV o o   dEo 

KdQ 

Po dVo

  dEo   2 dEo

KdQ 

Po dVo

  dEo 1   2 



KdQ 



1



 Po dVo  dEo 

O termo em parêntesis é a o calor no referencial próprio, portanto o calor se transforma como: dQ KdQ  o



P á g i n a | 156

A variação da entropia é um invariante relativístico (MARTINS, 2012), portanto a desigualdade de Clausius pode ser escrita da seguinte forma: dQ dS   T

dSo  

dQo  KTo

Se assumirmos que K é igual a unidade, a temperatura se transforma de acordo com a análise de Planck (1906). K 1 

dQ 

dQo





T

To



Se assumirmos que K é o inverso do fator de Lorentz, a temperatura é um invariante relativístico, como sugere o físico russo I. Avramov (2003). K

1





dQ  dQo



T  To

Se assumirmos que K é o inverso ao quadrado do fator de Lorentz, a temperatura se transforma de acordo com a análise de Ott. K

1

2



dQ   dQo



T   To

Se assumirmos que K é o fator de Lorentz elevado à enésima potência, a temperatura se transforma com a regra. K n



dQ 

dQo



n 1



T

To

 n 1

P á g i n a | 157

F.

4-Vetor Gradiente de Temperatura

De acordo com a segunda lei da termodinâmica, o calor flui espontaneamente da fonte quente para o reservatório frio. Nesse sentido, interpretamos o calor como um fluxo de energia orientado por um campo vetorial, definido pelo gradiente de temperatura, que dependerá das propriedades térmicas do material. Portanto a lei matemática desse fluxo será dada por:

   k T Portanto, existe um importante campo vetorial denominado gradiente de temperatura. Como já vimos na seção sobre cinemática, o vetor nabla pode ser generalizado em um 4-nabla contravariante, por meio da seguinte lei:

1  i    t ,   c  1  i   t ,   c  Por meio dessa regra, nós podemos generalizar o vetor fluxo de energia térmica como sendo proporcional ao 4-gradiente:

1  i  k   tT , T  c  1  i  k   tT , T   c  A transformação dessas coordenadas depende da definição de temperatura que adotamos. O coeficiente de condutividade térmica como não é um valor constante (invariante), ele também está sujeito

P á g i n a | 158

a uma transformação das coordenadas. Podemos estudar os efeitos da condutividade, a partir componente transversal do 4-gradiente.

k T   k  T A derivada transversal é um invariante relativístico, então: k  T    T k Se a razão dos coeficientes de condutividade térmica igual a unidade, então teremos a seguinte equação diferencial exata:  T    T

  T   T   0

Integrando a equação em relação a derivada transversal:

  T   T   0  d 



T   T    x, t 

então a diferença da temperatura entre os dois referenciais é uma função do tempo e da coordenada longitudinal. As análises de Planck, Ott e Askramov não permitem tirar outras conclusões. Se considerarmos que a razão dos coeficientes não é a unidade, então teremos que a diferença de temperaturas resultam em:

k   x, t  k T   T    x, t 

T T 

Esse 4-vetor permite estabelecer uma nova equação para condução de calor:

P á g i n a | 159

  io  k  to T o , oT o   c  E com as coordenadas no sistema estacionário, temos que:

 t  T , T  , c  t   i  k  T , T  c 

 i  k 

Aplicando a regra de construção de invariantes e levando em consideração que o operador de D’Lambert é um invariante:  2To 1  2T 2 T      2T o c 2 t 2 t 2  2T o 1  2T  2 2   2T o   2T 2 c t t o 2 1  T  T    2 T o  T   0 2 2 c t

1 c2 1 c2

Ou em uma notação mais compacta: 2 1    x, t    2   x, t   0 2 2 t c

Como a equação só dependente das componentes x t, a equação diferencial assume uma forma mais simples: 2 2 1    x, t     x , t   0 x 2 c 2 t 2

Essa equação pode ser resolvida empregando métodos da análise hiper-complexa. Nesse estudo, não realizaremos esse procedimento.

P á g i n a | 160

7. Eletrodinâmica Relativística A. 4-Corrente Vamos supor que uma partícula apresente uma carga elétrica q distribuída sobre um elemento de volume infinitesimal. Definimos a sua densidade carga como a quantidade de carga dq distribuída sobre esse elemento de volume dV.



dq dV

Como nosso corpo carregado se desloca em relação aos referenciais S e S’, há um vetor de densidade de corrente elétrica definido como:

j   jx , j y , jz  j    ux , u y , uz  A componente zero do 4-vetor corrente deve ser definido como produto da densidade de carga pela velocidade da luz.

ji    c, u x , u y , u z 

ji     c, u x , u y , u z 

No referencial S’ as componentes da 4-corrente são:

 c    c cosh a  u x sinh a   ux    ux cosh a  c sinh a 

 uy   u y  uz   uz

Impondo os valores das funções hiperbólicas:

 c     c   u x   ux     u x   c 

j y  j y jz  jz

P á g i n a | 161

Abrindo os fatores beta e realizando manipulações algébricas

 

 c   c 1 

vux   c2 

 ux     ux   v  A partir dessas equações podemos obter, novamente a transformação da composição de velocidades. Não iremos realizar esse procedimento. Dividindo a primeira equação por c, obtemos a lei geral de transformação da densidade de carga:

 vux   c2   jx    jx  j 

    1 

j y  j y jz  jz

Se dividirmos a primeira equação por  e consideramos a conservação de carga,

dV  vu    1  2x  dV  c    vu  dV   1  2x  dV  c   O termo que acompanha o dV’ é o jacobiano da transformação entre as coordenadas espaciais:

  x, y , z   vu    1  2x    x, y, z  c   No referencial próprio, não há o aparecimento de correntes de convecção elétrica, visto que velocidade vetorial é nula. Tomando a velocidade ux = v, obtemos que as transformações da densidade de carga e do jacobiano:

P á g i n a | 162

  x, y , z 

 v2    1  2    xo , y o , z o   c 

 v2     1  2   c  o

O termo em parêntesis é 1/²,

o  o 

  x, y , z 

  2 1



x , y , z o

o

o

  x, y , z 



x , y , z o

o

o









 2 1



Isolando a densidade de carga e invertendo o jacobiano, chegamos as transformações diretas:

  



o

  xo , y o , z o    x, y , z 

Vamos agora escrever o 4-vetor de corrente de deslocamento no referencial próprio do corpo carregado. Como observamos, não há correntes elétricas no referencial próprio:

jio   c  o ,0,0,0  Assim as componentes que precisamos para construção do invariante momento-energia são: J 0o  c  o J 0  c

J  j

Da relação entre a norma de u e a velocidade v: j  u j  v  j

P á g i n a | 163

Portanto, o invariante momento-energia será:

 c    c  o 2

2

 j2

Desta equação podemos obter, novamente, a relação entre a densidade de carga em um referencial estacionário e no referencial próprio. Por fim, vamos mostrar que impondo que quando a divergência do 4-vetor de corrente de convecção é nula, obtemos a equação da continuidade. Definimos a divergência de um 4-vetor pela seguinte lei: div ji   i ji

As componente do operador  i são:

1  i    t ,   c  Substituindo os valores das componentes e impondo que o divergente seja zero: 1 t   c     u   0 c

Cancelando a velocidade na luz do vácuo, obtemos a equação da continuidade: t     u   0  t   j  0

Portanto, no formalismo 4-vetorial a equação da continuidade é expressa como:  i ji  0 div ji  0

P á g i n a | 164

B. 4-Potencial Eletromagnético No eletromagnetismo clássico podemos associar ao campo elétrico um escalar, denominado de potencial escalar elétrico  e ao campo magnético, um vetor, denominado de potencial vetor magnético A. Estes dois potenciais são usados para criar um 4-vetor denominado de 4-potencial eletromagnético.

  Ai   , A  c 

   Ai   , A  c 

No referencial S’ o 4-potencial se transforma como:

Ay  Ay

    cosh a  Ax sinh a Ax  Ax cosh a   sinh a

Az  Az

Substituindo os valores das funções hiperbólicas:

       Ax 

Ay  Ay

Ax    Ax   

Az  Az

No referencial próprio, não há um campo magnético, portanto a partícula terá apenas um escalar potencial elétrico:

Aio   o ,0,0,0  Portanto as equações para construção de nosso invariante são:

J 0o   o J0  

J  A

Usando a regra dos invariantes relativísticos, obtemos:

 o2   2  A

2

P á g i n a | 165

Para qualquer referencial inercial é válida a relação: 2

 2  A   2  A 2

 2   2  A  A

2

2

Os potenciais elétrico e magnético são os geradores dos campos elétrico e magnético. Para provar essas relações vamos usar as seguintes identidades vetoriais:





    A  0,

      0

E as equações de Maxwell na forma vetorial: E   B  0

1 B c t  1 E    B   j   c t  

 E  

Como o divergente do campo magnético é sempre nulo isso implica, pelas identidades vetoriais, que o campo magnético é gerado pelo rotacional do vetor potencial magnético:

B   A Na ausência de um campo magnético uma carga q sofre uma força elétrica dada por: E   f e   q Se considerarmos que a partícula se desloca em uma campo eletromagnético, devemos acrescentar ao campo elétrico um vetor V a ser determinado: E    V

P á g i n a | 166

Para determinarmos a forma desse vetor, vamos substituir a lei de formação do campo elétrico na terceira de equação de Maxwell.





    V  

1 B c t

Distribuindo o produto vetorial sobre os vetores e substituindo o campo magnético:

        V  



1   A c t



Pela identidade vetorial, a primeira parcela do lado esquerdo é zero, além disso, a derivada temporal comuta com o rotacional. Assim, podemos escrever nossa equação da seguinte forma:

 1 A   V        c t  Portanto, o vetor V será dado por: V 

1 A c t

E a regra de formação dos campos elétrico e magnético são definidas no sistema S e S’ por: E   

1 A , c t

B   A

E     

1 A , c t 

B    A

Por meio dessa transformação, podemos calcular as transformações do campo elétrico e do campo magnético. Comecemos pelo campo elétrico, para isso escreveremos as

P á g i n a | 167

equações das componentes do campo elétrico no referencial S’ e as do campo magnético no referencial S:

1   Ex    x   t Ax  c   1   E y    y   t Ay  c  

1   Ex     x   t Ax  c   1   E y     y   t Ay  c  

1 1     Ez     z   t Az  Ez    z   t Az  c c     Bx    y Az   z Ay  By    z Ax   x Az 

Bz    x Ay   y Ax 

Começaremos estudando a componente x do campo elétrico.

v 1 v   Ex    x     2  t      t  Ax    x  Ax   c c c   Aplicando as transformações do 4-Gradiente e do 4-Potencial,

v  Ex    x    Ax   2  t     Ax   c  1 v    t    Ax       x   Ax      c c  Evidenciando o fator gama de Lorentz: v  Ex   2  x    Ax   2  t    Ax  c  1 v    t  Ax      x  Ax     c c 

P á g i n a | 168

Vamos reorganizar a equação separando o potencial elétrico e o potencial magnético e suas respectivas derivadas parciais: 2 1  v  1 Ex     t        t Ax 1  2  c  c  c  2   v   x 1  2    x Ax         c  2

Cancelando os fatores e evidenciando os termos em parêntesis, que são os inversos ao quadrado dos fatores de Lorentz. Ex  

 2 1   t Ax   x  2   c 

Portanto, a componente x do campo elétrico se transforma como:

1   Ex    x   t Ax  c   Mas esta é a componente x do campo elétrico em função dos potenciais eletromagnéticos,

E x  E x Para a componente y, teremos as relações entre o sistema S’ e S:

1   E y    y   t Ay  c   1 v   E y     y    Ax    t Ay   x Ay  c c   1   E y     y   t Ay   x Ay   y Ax  c  

P á g i n a | 169

1   E y     y   t Ay     x Ay   y Ax   c   1     E y       y   t Ay      x Ay   y Ax   c     A primeira parcela dentro do colchetes é a componente y do campo elétrico e a segunda parcela é a componente z do campo magnético, ambas no referencial S. E y    E y   Bz 

Para componente z, teremos:

1   Ez    z   t Az  c   v 1   E y     z    Ax    t Az   x Az  c c   1   E y     z   t Ay   x Az   z Ax  c   1   E y     z   t Az     y Az   x Az   c      1  E y       z   t Az      y Az   x Az   c     A primeira parcela dentro do colchetes é a componente z do campo elétrico e a segunda é a componente y do campo magnético no referencial S. Ez    Ez   By 

Para o campo magnético, usaremos o conjunto de equações:

P á g i n a | 170

Bx   y Az  z Ay 

Bx    y Az   z Ay 

By   z Ax  x Az 

By    z Ax   x Az 

Bz   x Ay  y Ax 

Bz    x Ay   y Ax 

1   Ex     x   t Ax  c   1   E y     y   t Ay  c   1   Ez     z   t Az  c   Para a componente x do campo magnético, usando a transformação potencial, obtemos: Bx   y Az  z Ay  Bx    y Az   z Ay 

O termo em parêntesis é a componente Bx, portanto:

Bx  Bx Para a componente y, teremos:

By   z Ax  x Az 

   By     z  Ax      x Az   t Az  c      By     z Ax   z   x Az   t Az  c  

P á g i n a | 171

 1   By     z Ax   x Az      z   t Az   c    A primeira parcela no colchetes é a componente y do campo magnético e a segunda parcela é a componente z do campo elétrico: By    By   Ez 

Por derradeiro, a componente do z se transforma pela regra:

Bz   x Ay  y Ax 

   Bz     x Ay   t Ay   y  Ax     c      By     x Ay   y Ax   t Ay   y  c    1   By     x Ay   y Ax      y   t Ay   c    A primeira parcela no colchetes é a componente z do campo magnético e a segunda parcela é a componente y do campo elétrico com o sinal invertido: Bz    Bz   E y 

Portanto, deduzimos sem qualquer dificuldade e ambiguidade, as transformações do campo elétrico e do campo magnético. Esse método é ainda mais simples que o método empregado por Lorentz em 1904, Poincaré em 1905-1906 e Einstein em 1905. Observe que nossa formulação difere de outras notações, pois estamos adotando mesmo sistema de medidas adotado por Albert Einstein, conhecido como sistema de coordenadas hertzianos. As convenções adotadas não alteram o significado físico das equações.

P á g i n a | 172

C.

Tensor Eletromagnético

Vamos construir um tensor eletromagnético impondo que as transformações dos campos eletromagnéticos são covariantes de Lorentz. Inicialmente recordar a lei de transformação das derivadas. Os nossos eixos são (ct, x, y, z), portanto, temos que:

0 

   0  t   ct  c

1   x 2   y 3   z Portanto o 4-vetor derivada apresenta a seguinte forma:

  i   t ,  x ,  y ,  z  c    i   t ,   c 

   i   t , x , y , z  c     i   t ,   c 

Aplicando uma rotação hiperbólica, nossas derivadas se transformam da seguinte forma:

t 1  cosh a t  sinh a x c c 1  x  cosh a x  sinh a t c

 y  y  z  z

Multiplicando a primeira equação por c e substituindo os valores das funções hiperbólicas, chegamos nas seguintes relações:

P á g i n a | 173

 t    t  vx  v    x    x  2 t  c  

 y  y  z  z

Vamos escrever na forma cartesiana a lei de Ampére-Maxwell e a Lei de Gauss para um corpo carregado no vácuo: 1  t Ex   y Bz   z By c 1  t E y   z Bx   x Bz c 1  t Ez   x By   y Bx c

 x Ex   y E y   z Ez  0   x Ex     y E y   z Ez 

Substituindo a lei de transformação da derivada, a lei de Ampére assume a seguinte forma: 1   t Ex  vx Ex   y Bz  z By c 1 v     t E y  vx E y   z Bx    x Bz  2 t Bz  c c   1 v    t  t Ez  vx Ez     x By  2 t By   y Bx c c  

Enquanto a lei de Gauss será escrita como:

v   x Ex    y E y  z Ez  2 t Ex  c   Substituindo o valor de x Ex na primeira equação de AmpéreMaxwell e reorganizando as duas outras equações, obtemos:

P á g i n a | 174

1  v v   t Ex   y E y  z Ez  2 t Ex    y Bz  z By  c  c  v v 1     t E y  t Bz   z Bx  x Bz   x E y c  c c  v v 1     t Ez  t By   x By  y Bx   x Ez c  c c  Vamos trabalhar apenas na primeira equação por hora. Isolando as componentes espaciais evidenciando os diferenciais,  v2    1  v  v   t Ex 1  2    y  Bz  E y    z  By  Ez   c  c  c     c    1  1 v  v   t Ex 2   y  Bz  E y    z  By  Ez     c  c  c        11 v v t Ex   y  Bz  E y   z  By  Ez  c c  c   

Multiplicando a primeira equação de Ampére-Maxwell pelo fator gama e evidenciando os diferenciais espaciais nas demais equações:

1  v   v  t Ex   y   Bz  E y   z   By  Ez  c c  c      1     v  v  t   E y  Bz    z Bx  x   Bz  E y   c   c  c    1     v  v  t   Ez  By    x   By  Ez    y Bx c   c  c    Impondo que as equações de Maxwell sejam covariantes, elas devem assumir a forma:

P á g i n a | 175

1 t E     B c

Assim, as transformações dos campos elétrico e magnético são:

Ex  Ex ,

Bx  Bx ,

Ez    Ez   By 

Bz    Bz   E y 

E y    E y   Bz  ,

By    By   Ez  ,

Este processo é análogo ao empregado por Albert Einstein em seu ensaio de 1905. Vimos que o grupo de Lorentz admite uma álgebra de Lie que tem como linhas coordenadas as componentes de um tensor covariante antissimétrico:

, L01  L01

   L21  , L02    L02

   L13  L03    L03

, L32  L32

 , L13    L13   L03

   L02   L21    L21

Que se transformam como os campos elétrico e magnético. L01  Ex ,

L02  E y ,

L03  Ez

L23  Bx ,

L31  By ,

L12  Bz

Portanto, as componentes do campo eletromagnético são as linhas coordenadas no espaço-tempo, e podemos formar um tensor fundamental eletromagnético, que denotaremos pela letra Fij.  0   Ex Fij    Ey    Ez

Ex 0  Bz By

Ey Bz 0  Bx

Ez    By  Bx   0 

Pelos potenciais eletromagnéticos, podemos criar um tensor contravariante eletromagnético antissimétrico, a partir da regra:

P á g i n a | 176

F ij  i A j   j Ai Como as componentes covariantes e contravariantes do 4-vetor se associam pela regra de sinais, as componentes contravariantes do 4potencial e do 4-gradiente são:





Ai   ,  A , i    t ,  

Como o tensor é antissimétrico, ele apresenta seis componentes independentes não-nulas. Sendo as componentes do campo elétrico dadas por:

 1 Ax   01 F 01   0 A1  1 A0  F 01       F   Ex  c t x   1 Ay   02 F 02   0 A2   2 A0  F 02        F  Ey  c t y   1 Az   03 F 03   0 A3  3 A0  F 03        F   Ez  c t z  E as componentes do campo magnético dadas por: Ay

Ax  F 12   Bz x y A A F 13  1 A3  3 A1  F 13  z  x  F 13   By x z A A F 23   2 A3  3 A2  F 23  z  y  F 23   Bx y z

F 12  1 A2   2 A1  F 12 

Que resulta na matriz:



P á g i n a | 177

 0  Ex F ij    Ey   Ez

 Ex 0  Bz By

Ey Bz 0  Bx

 Ez    By  Bx   0 

Essa matriz varia conforme as convenções adotadas, mas o seu significado física é o mesmo para todas as formulações (MARTINS, 2012). A partir deste tensor eletromagnético, podemos decompor as equações de Maxwell por meio de duas relações tensoriais: CONTRAVARIANTE i F ij  J j  k F ij  i F kj   j F ik  0

COVARIANTE i Fij  J i

 k Fij  i Fkj   j Fik  0

A primeira equação compacta as relações com o campo elétrico (Lei de Gauss Elétrica e Lei de Faraday) enquanto a segunda equação compacta as relações com o campo magnético (Lei de Gauss Magnética e Lei de Ampére-Maxwell). Com o uso de álgebras de Clifford é possível compactar essas duas equações em uma só. Não abordaremos esse formalismo, o leitor interessado pode consultar o ensaio Uma mini-introdução à concisa álgebra geométrica do eletromagnetismo (FERREIRA, 2006).

P á g i n a | 178

8. Óptica Relativística A. 4-Vetor de Onda Uma onda eletromagnética é uma perturbação do campo elétrico e do campo magnético que se propaga no espaço-tempo. Essa onda pode ser decomposta em três vetores: um associado ao campo elétrico, outro associado ao campo magnético e um terceiro vetor associado a direção de propagação da onda, que chamaremos de vetor normal à onda.

10

O quadrado das componentes do campo elétrico ou do campo magnético definem o quadrado da amplitude da onda.

A2  E 2  B2 Podemos escrever os nossos vetores a partir dos versores em função da amplitude: https://phys.libretexts.org/Courses/University_of_California_Davis/UCD%3A_ Physics_7C/10%3A_Electromagnetism/10.4%3A_Electromagnetic_Waves%3A _Light/1._Harmonic_Electromagnetic_Waves 10

P á g i n a | 179

E  Aeˆ, B  Abˆ, N  nˆ

Em nosso estudo sobre a eletrodinâmica relativística, vimos que o campo elétrico e o campo magnético não se transformam como 4vetores, mas são as linhas coordenadas do espaço-tempo e a sua álgebra de Lie permite construir uma estrutura mais complexa denominada de tensor antissimétrico eletromagnético. Podemos, entretanto introduzir um vetor associado à frente da onda, que chamaremos de 4-vetor de onda Ni. Como esse vetor é uma grandeza associada a onda eletromagnética que se propaga a velocidade da luz e não existe um referencial próprio para a onda eletromagnética, ele ser um null vector, isto é, um vetor com comprimento nulo. Observe que um null vector não é o 4-vetor nulo, mas cuja um 4-vetor cuja norma é zero.

N i Ni  0 N 02  nˆ 2  nˆ 2 N 02  nˆ 2 Como n é um versor, sua norma é a unidade.

N0  1 Portanto o 4-vetor número de onda deve ser escrito como: N i  1, nˆ 

N i  1, nˆ  

A partir desse vetor poderemos obter a transformação da amplitude, do número de onda e da frequência e o efeito Doppler relativístico.

P á g i n a | 180

B. 4-Vetor Amplitude Uma onda eletromagnética é composta por um campo elétrico, com vetores da base ei, um campo magnético, com vetores da base bi, e um vetor normal associado a direção de propagação da onda e normal aos planos dos vetores ei e bi. A partir dessas características, vamos definir um 4-vetor amplitude Ni. Como esse 4-vetor caracteriza uma onda eletromagnética que se propaga à velocidade na luz no vácuo. Portanto nosso 4-vetor deve ter comprimento nulo: N i Ni  0

Como os vetores e, b, n estão todos associados entre si e associados a amplitude entre dois referenciais inerciais, então podemos definir o 4-Vetor Amplitude como o produto da Amplitude A pelas as componentes do 4-vetor frente de onda: N i  A 1, ni 

Agora vamos calcular a transformação das componentes desse 4vetor entre dois sistemas de referenciais inerciais:

A  A  cosh a  nx sinh a  Anx  A  nx cosh a  sinh a 

Any  An y Anz  Anz

Evidenciando o cosseno hiperbólico:

A  A cosh a 1  nx tanh a  Anx  A cosh a  nx  tanh a 

Any  An y Anz  Anz

Substituindo o valor das funções hiperbólicas, obtemos:

A  A 1   nx  Anx  A  nx   

Any  An y Anz  Anz

P á g i n a | 181

Dividindo as equações por A,

A   1  nx   A A nx    nx    A

A ny  n y A A nz  nz A

Substituindo a razão entre as amplitudes, dada pela primeira, equação na segunda,

 1  nx   nx    nx    nx 

 nx    1  nx  

Essa é a transformação da componente nx. Agora vamos obter a transformação para as componentes transversais, inicialmente a componente y:

 1  nx   ny  n y ny 

ny

 1  nx  

E agora, para a componente z:

 1  nx   nz  nz nz 

nz  1  nx  

Portanto, a transformação da amplitude será: A   A 1  nx  

P á g i n a | 182

C. 4-Vetor Frequência Da mesma forma que podemos definir um 4-vetor normal usando a amplitude da onda, podemos definir um novo 4-vetor a partir da frequência angular  da onda que denominaremos de 4-vetor frequência i e apresenta as seguintes componentes:

i   1, nˆ 

i    1, nˆ  

A transformação hiperbólica, relaciona a frequência entre dois referenciais pela regra:

     cosh a  nx sinh a   nx   nx  nx cosh a  sinh a 

 ny   ny  nz   nz

As três primeiras equações permitem a dedução da transformação das componentes do vetor número de onda. Por isso, iremos apenas trabalhar com a primeira equação. Substituindo o valor das funções hiperbólicas, temos que:

    1  nx   Essa é a transformação da frequência angular deduzida por Einstein em seu ensaio de 1905, e a partir dela podemos derivar o efeito Doppler relativístico. Antes de adentrarmos nesse tópico, convém observar que o vetor número de onda e a frequência angular compõe o ângulo da radiação eletromagnética em relação aos eixos coordenados no referencial S.

E   A sin   eˆ B   A sin   bˆ E no referencial S’:

P á g i n a | 183

E    A sin   eˆ B   A sin   bˆ onde o ângulo  é dado por:  

 c



N r  c i

i

 ct  xn

x

 yn y  znz 

E de maneira análoga, o ângulo ’ é dado por    

 c

 c

 N  r  i

i

 ct   xn  yn  zn  x

y

z

Se aplicarmos as transformações de Lorentz na forma convencional e exigirmos que as equações mantenham a mesma forma para todos os referenciais inerciais, como impõe o princípio da relatividade, obtemos as mesmas transformações, mas por um processo muito mais trabalhoso. Para se compreender como o formalismo 4-vetorial e as rotações hiperbólicas simplificam a modelagem matemática da Teoria da Relatividade Especial, basta consultar o ensaio de Albert Einstein de 1907, Sobre o Princípio da Relatividade e suas Implicações. Neste ensaio, Einstein precisou fazer algumas suposições para tornar as equações mais simples e obter as transformações da amplitude, número de onda e frequência. Em nossas deduções não é preciso fazer nenhuma hipótese adicional, todo resultado é derivado de maneira simples e objetiva.

P á g i n a | 184

D.

Aberração e Efeito Doppler Relativístico

Na seção anterior obtivemos a transformação da frequência angular  da radiação eletromagnética. A frequência angular e a frequência de uma onda se relacionam por meio da equação:

f 

 2

f

 2

Usando a transformação que obtivemos na seção anterior: f    1  nx  

 2

Substituindo o valor de , obtemos a transformação da frequência f    1  nx   f

Portanto a transformação da frequência é idêntica ao da frequência angular. O vetor nx é um dos vetores da base do vetor n, logo ele é um cosseno diretor que forma um ângulo  com eixo x.

cos  

nˆ  iˆ nˆ iˆ

cos  

 n , n , n   1,0,0  n  n  n  1 x

y

2 x

z

2 y

2 z

2

cos   nx Usando a regra de transformação para o vetor nx,

cos   

 cos     1   cos  

P á g i n a | 185

Essa é a lei relativística da aberração. Se tomarmos o ângulo como sendo perpendicular,

cos      cos     tanh a Voltemos a equação da frequência, substituindo o valor de nx f    1   cos   f f    cosh a  sinh a cos   f

Essa é a equação arbitrária do efeito Doppler relativístico, conforme deduzida por Albert Einstein em seu ensaio de 1905. Vamos supor que tanto o observador e a fonte se movimentem sobre a mesma linha. Nessas condições, o ângulo deve ser igual a 0º ou 180º, que correspondem ao afastamento e a aproximação da fonte. Portanto o cosseno deve valer 1 ou -1. Nestas condições, a equação da frequência assume a seguinte forma: f    cosh a sinh a  f

Onde o valor negativo corresponde ao afastamento e o valor positivo corresponde a aproximação. O termo em parêntesis pode ser escrito na forma de um exponencial:

fe af Como a é uma função da velocidade, a frequência varia com a velocidade, em particular, ela é varia exponencialmente com uma rotação hiperbólica no espaço-tempo. Se a fonte se afasta do emissor, então a frequência da radiação sofre uma redução, no caso da luz visível ela tende ao vermelho (red shift). Se a fonte se aproxima do observador, a frequência tende a sofrer um aumento, no caso do visível ela tende ao azul (blue shift).

P á g i n a | 186

11

Por fim, recordando que o ângulo a á definido como:



a   tanh 1   

1   tanh 1     ln   1  

Substituindo na equação da frequência:

fe

1   ln    1  

1  f   1 

f  f 

1 v c  f  f  1 v c  que é a lei do efeito Doppler relativístico como foi deduzida por Einstein em 1905.

http://coolcosmos.ipac.caltech.edu/cosmic_classroom/cosmic_reference/redshi ft.html 11

P á g i n a | 187

E. Transformação da Energia da Radiação Da física quântica, a energia de um fóton, nos referenciais S e S’, é proporcional à frequência:

E  hf ,

E  hf 

onde h é a constante de Planck. Dividindo a segunda equação pela a primeira:

E f   E f Substituindo a transformação da frequência, E   1   cos   f  E f E   1   cos   E

Portanto, a transformação da energia será dado por: E    1   cos   E

Agora vamos obter a transformação do volume de um complexo de radiação, finito, lateralmente limitada. Não precisamos, como Einstein em seu ensaio de 1905, fazer qualquer hipótese sobre a forma desse complexo. A energia da radiação distribuída no volume de um complexo de radiação emitido com um ângulo  em relação ao eixo x é dado para os nos referenciais S e S’, por: E

1 2 A V, 2

E 

1 2 A V  2

P á g i n a | 188

Dividindo a segunda equação pela primeira:

A2V  E   A2V E 2

 A  V  E     E  A V Substituindo as razões entre as amplitudes e as energias, 2 V   1   cos    1   cos    V

 1   cos   V  V  1   cos    2   V 1  V  1   cos   V 

1

 1   cos  

V

Que são as transformações do volume do complexo luminoso obtido por Albert Einstein em 1905. A teoria da relatividade também exige modificações no estudo da refração. A análise relativística da luz em meios refringentes nos conduz a modelos divergentes, dependendo as premissas iniciais. Não iremos abordar essas questões nesse livro. Os leitores interessados poderão ver um estudo mais detalhado em Martins (2012) e Brown12.

12

https://www.mathpages.com/rr/s2-08/2-08.htm

P á g i n a | 189

F. Óptica Vetorial Para uma onda eletromagnética podemos decompor as componentes elétricas e magnéticas em função de sua amplitude, do vetor diretor e o seno do ângulo em relação ao eixo coordenado:   E  Aeˆ sin   ct  nˆ  rˆ   c  Ex  Aex sin 

  B  Abˆ sin   ct  nˆ  rˆ   c  Bx  Abx sin 

E y  Aey sin 

By  Aby sin 

Ez  Aez sin 

Bz  Abz sin 

Vamos definir um triedro de vetores ortornormais a partir d os vetores associados ao campo elétrico, magnético e ao vetor normal de oscilação dos campos: e, b, n.

Como estes vetores são unitários são válidas as relações abaixo:

e2  b2  n2  1

bx2  by2  bz2  1

ex2  ey2  ez2  1

nx2  n y2  nz2  1

P á g i n a | 190

Portanto a amplitude do campo elétrico e magnético são:

E 2  A2 sin 2 

B  A2 sin 2 

A ortogonalidade dos vetores permite associa-los por meio do produto vetorial: eˆ  bˆ  0 bˆ  nˆ  0 nˆ  eˆ  0

nˆ  eˆ  bˆ n    e b

nx  ey bz  ez by n y  ez bx  exbz nz  ex by  ey bx

onde   é o símbolo de Levi-Civita e os índices  e , variam de 1 à 3, representando as componentes espaciais do vetor n Destas duas relações podemos deduzir um conjunto de identidades muito importante: ex2  bx2  nx2  1 e y2  by2  n y2  1 ez2  bz2  nz2  1

Para demonstrarmos essas identidades, vamos escrever a equação geral da normal ao quadrado de n: n2  n2  n2  1

Para qualquer na ao quadrado verifica-se a identidade de Lagrange da álgebra vetorial: n2  e2 b2  2e b e b  e2b2 n2  e2b2  2e b e b  e2 b2 n2  e2 b2  2e b e b  e2 b2

P á g i n a | 191

Para demonstrarmos as identidades basta substituirmos duas componentes quaisquer do vetor n; Tomemos n2 e n2 . n2  e2b2  2e b e b  e2 b2  e2 b2  2e b e b  e2 b2  1

Vamos somar a equação o fator: e2 b2  e2 b2  2e b e b

É fácil ver que este termo é nulo e por isso mantém a identidade inalterada. Assim, podemos escrever a equação como:

n2  e2 b2  e2 b2  e2b2  e2 b2  e2 b2  e2 b2 2e b e b  2e b e b  2e b e b  1 Evidenciando os fatores comuns,

n2   e2  e2  e2  b2  e2  b2  b2  b2  2e b  e b  e b  e b   1 Levando em conta as identidades sobre a norma do vetor e e b e a definição do produto escalar entre dois vetores:

 

n2  b2  e2  2e b eˆ  bˆ  1

Como os vetores e e b são ortogonais, obtemos a identidade: e2  b2  n2  1

Visto que  é um índice arbitrário que pode corresponder à x, y ou z, ficam demonstradas as três identidades que enunciamos anteriormente. Estas identidades serão fundamentais no estudo da transformação da amplitude e a pressão aplicada pela radiação.

P á g i n a | 192

G. Transformação da Amplitude (Método Vetorial) Definimos a amplitude de uma onda eletromagnética como a soma do quadrado das componentes do seu campo elétrico ou do campo magnético. O fato da amplitude poder ser calculada tanto em relação as componentes do campo elétrico ou magnético decorre do fato de que esses dois campos são manifestações do mesmo fenômeno. No referencial S’ a amplitude será dada por: A2  Ex2  E y2  Ez2

Aplicando a transformação de Lorentz das componentes do campo elétrico: A2  Ex2  cosh 2 a  E y  Bz tanh a   cosh 2 a  Ez  By tanh a  2

2

Escrevendo as componentes do campo elétrico e magnético em função da amplitude: A2  A2 ex2  cosh 2 a  Ae y  Abz tanh a   cosh 2 a  Aez  Aby tanh a  2

A2  A2 ex2  A2 cosh 2 a  e y  bz tanh a   A2 cosh 2 a  ez  by tanh a  2

2

2

2 2 A2  A2 ex2  cosh 2 a  e y  bz tanh a   cosh 2 a  ez  by tanh a  









A2  A2 ex2  cosh 2 a  e y  bz sinh a    ez  by sinh a   2



2



Evidenciando o cosseno hiperbólico e abrindo os quadrados:





2 2 A2  A2 cosh 2 a ex2 sech 2 a   ey  bz tanh a    ez  by tanh a    



A2  A2 cosh 2 a ex2 1  tanh 2 a   ey2  2ey bz tanh a  bz2 tanh 2 a  ez2 2ez by tanh a  by2 tanh 2 a

P á g i n a | 193



A2  A2 cosh 2 a ex2  ey2  ez2





2  ey bz  ez by  tanh a   bz2  by2  ex2  tanh 2 a

Usando a identidade entre os vetores da base do campo magnético, o terceiro parêntesis pode ser escrito da seguinte forma:



A2  A2 cosh 2 a  ex2  ey2  ez2 



2  ey bz  ez by  tanh a  1  bx2  ex2  tanh 2 a

Usando as identidades entre os vetores da base, concluímos que o termo no primeiro parêntesis é a unidade, no segundo parêntesis é nx e no terceiro parêntesis é nx ao quadrado: A2  A2 cosh 2 a 1  2nx tanh a  nx2 tanh 2 a A2  A2 cosh 2 a 1  nx tanh a 

2

Extraindo a raiz quadrada, obtemos a transformação da amplitude da onda eletromagnética:

A  A cosh a 1  nx tanh a  A  A 1   cos   que é o mesmo resultado que obtivemos de forma mais simples usando as rotações hiperbólicas. Como observou Poincaré (1902) não existe um sistema mais verdadeiro que o outro, todos são equivalentes. Porém, existem sistemas que são mais cômodos e por isso preferimos emprega-los. Estes sistemas são algumas vezes chamados de sistemas naturais. É possível demonstrar que o sistema natural da relatividade é o dos números e transformações hiperbólicas (CATONI, BOCCALETTI, CANNATA, CATONI, NICHELATTI, ZAMPETTI, 2008).

P á g i n a | 194

H.

O Vetor de Poynting

O vetor de Poynting de uma onda eletromagnética é definido em termos do campo elétrico e do campo magnético a partir da relação: S



c EB 4



Vamos calcular a norma do vetor de Poynting





c EB 4 c S  E B sin  4

S 

Como a normal do campo elétrico e do campo magnético são iguais a amplitude, portanto a norma do vetor de Poyting será uma função da amplitude ao quadrado e do ângulo formado entre os vetores E e B. S 

c 2 A sin  4

Agora vamos deduzir como o ângulo  se relaciona com o ângulo  . O produto vetorial entre dois vetores arbitrários é uma operação que produz um novo vetor13 sempre ortogonal aos dois vetores dados. Portanto dado vetores E e B, o vetor de Poynting S é um vetor que sempre será ortogonal ao campo elétrico e ao campo magnético. Vamos definir um campo eletromagnético onde os vetores E e B são ortogonais. Nestas condições, podemos escrever os entre os vetores eletromagnéticos da seguinte forma:

À rigor, o produto vetorial produz um pseudo-vetor. Contudo para análise que iremos empreender não será necessário levar em consideração esse fato. 13

P á g i n a | 195

Vamos agora aplicar uma rotação anti-horária  sobre o vetor S no plano S-E. Como o vetor campo elétrico E e o vetor de Poynting S devem ser sempre ortogonais, o vetor E também deve sofrer uma rotação em relação aos vetores B e S. Como a rotação ocorre no plano S-E, o vetor campo magnético se mantém inalterado. Pela segunda figura é fácil ver que o ângulo  é o ângulo  acrescido de 90º.

Substituindo esse valor na equação da norma do vetor de Poynting, obtemos: S 

c 2 A sin   90 4



Portanto, aplicando a regra da adição de arcos, obtemos a norma do vetor de Poynting em função do ângulo  : S 

c 2 A cos  4

P á g i n a | 196

I.

Pressão Exercida pela Luz em Refletores Ideais

Vamos estudar qual é a pressão exercida pela radiação sobre superfície refletoras perfeitas que se deslocam em relação ao referencial estacionário S com velocidade v na direção x. Uma vez que a pressão é um invariante relativístico, podemos escolher qualquer referencial inercial para realizar a análise. Nesse caso, o referencial que torna nossas equações mais simples é o referencial próprio do espelho perfeito. Suponha que em um determinado instante, uma fonte em movimento emita uma radiação que forma um ângulo  com o eixo

x e um ângulo   com o eixo x’ e a reta normal do espelho Como o princípio da relatividade verifica-se para as leis da óptica geométrica, então podemos assumir que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. O trabalho realizado pela radiação sobre a superfície do espelho é igual variação de energia transportada pela radiação: W   E

(MILLER, 1997)

P á g i n a | 197

O trabalho realizado pela luz é definido como sendo o produto da força exercida na superfície refletora pela velocidade da luz:

F   c  E A quantidade de energia transportada pela onda eletromagnética é definida pelo produto do vetor de Poynting pelo vetor área lateral do espelho. F   c  S    F   c  S     nˆ  cos   Fc 

c 2 A     cos 2   4

F  2

A2    cos 2   8

F A2 cos 2   2   8 P  2

A2 cos 2   8

Levando em conta que a pressão é um invariante relativístico, no referencial estacionário ela deve apresentar a seguinte forma: A2 2 2 P  2   cos     8 Se o espelho estiver em repouso em relação a fonte emissora de radiação ou a velocidade do espelho for muito pequena em relação a fonte, obtemos o resultado calculado por Maxwell: P2

A2 cos 2  8

P á g i n a | 198

9.

Mecânica Quântica

A. Questões Epistemológicas Em paralelo ao desenvolvimento da Teoria da Relatividade Especial, os físicos desenvolveram uma teoria discreta da distribuição da energia da radiação e das partículas que ficou conhecida como mecânica quântica. A Teoria da Relatividade Especial pode ser incorporada a Teoria Quântica e leva a previsão do spin, da antimatéria e da energia negativa. Já a Teoria da Relatividade Geral é incompatível com a Teoria Quântica e por isso há um grande esforço por parte de diversos pesquisadores em desenvolver uma Teoria Quântica da Gravidade ou uma teoria que permita descrever os efeitos quânticos sobre a gravidade. Aqui devemos fazer um comentário de natureza epistemológica: é comum jornalistas, divulgadores ou até mesmo os próprios físicos afirmarem que o objetivo das teorias de vanguarda é unificar a Teoria da Relatividade Geral com a Mecânica Quântica. Isso é um equívoco grave. Durante a década de 1920 e 1930, estudos sobre a estrutura matemática da Relatividade Geral, principalmente os conduzidos por Hilbert, Noether e Klein, mostraram que a teoria viola a conservação do momento e energia e não pode ser compatibilizada com a mecânica quântica (BRADING, 2005). O que os pesquisadores buscam é uma teoria unificada das forças, incluindo a força gravitacional, cuja teoria ortodoxa é a Relatividade Geral. Se os físicos conseguirem unificar as forças, isso não significa que a Relatividade Geral foi incorporada a mecânica quântica. Uma teoria unificada das forças nos dará precisamente a estrutura para desenvolver uma nova teoria da gravitação que poderá substituir a relatividade. O mesmo raciocínio se aplica as teorias de gravitação quântica em loop, as teoria de cordas. Cada uma destas teorias pretende apresentar um modelo que substitua a Teoria da

P á g i n a | 199

Relatividade Geral. Se eles tiverem sucesso, é possível que ainda utilizemos a Teoria da Relatividade Geral como uma aproximação, assim como fazemos como a mecânica newtoniana. Deve-se, portanto, tomar bastante cuidado com as notícias. Há uma tendência um tanto sensacionalista por parte dos jornalistas em suas manchetes. Às vezes vemos em uma mesma semana chamadas contraditórias: Teoria de Einstein é Refutada ou Ondas Gravitacionais Provam Teoria de Einstein. Todos esses enunciados são problemáticos. Primeiro que uma teoria não pode ser provada por nenhum tipo de experiência, podemos apenas confirmar uma previsão da Teoria, mas nunca prova-la. Por outro lado, a refutação, embora possível, não deve ser vista de forma leviana. Uma teoria apresentar discrepâncias ou ser contradita por um modelo novo, não significa que uma teoria está refutada. Como mostrou Lakatos, nenhum programa de pesquisa pode ser excluído. O programa pode ser rejeitado e esquecido, mas uma nova descoberta pode fazê-lo crescer novamente. Outra questão epistemológica diz respeito às interpretações da mecânica quântica. Nick Herbert (1989) apresenta 8 possíveis interpretações. Alertamos os leitores que não adentraremos nesses aspectos da teoria, o leitor interessado pode consultar A Realidade Quântica (HERBERT, op cit) e a obra Teoria Quântica: Estudos Históricos e Implicações Culturais (FREIRE JR., PESSOA JR. BROMBERG, 2011). B. 4-Vetor de Onda De Broglie Na mecânica quântica, definimos as grandezas dinâmicas, momento e energia, por meio do quantum de ação introduzido pelo físico alemão Max Planck, em 1900.

E  h  

P á g i n a | 200

E o momento da matéria, introduzida por De Broglie em 1924:

ph    Portanto, vetor número de onda se associa com as componentes espaciais do vetor momento e permite definir o 4-momento como: p   

E  pi   , p  c    pi   ,    c  O termo em parêntesis é o de 4-vetor de onda de Broglie.

  Oi   ,    c  Agora vamos calcular a transformação destas coordenadas entre dois sistemas inerciais por meio de rotações hiperbólicas:

  

   cosh a   x sinh a  c c      x    x cosh a  sinh a  c  

 y   y  z   z

Multiplicando por c:

      v x  c x    c x   

 y   y  z   z

Essas são as transformações do 4-vetor de onda de De Broglie.

P á g i n a | 201

C. Equação de Klein-Gordon Na mecânica quântica, as grandezas dinâmicas se tornam operadores físicos que atuam sobre a função de onda, determinando como a probabilidade das grandezas observáveis se distribuem sobre o sistema físico em análise. Nesse novo formalismo, o momento linear e a energia são operadores definidos como: p  pˆ  i  E  Eˆ  i  t

Sendo H a função hamiltoniana do sistema, definimos o operador hamiltoniano como:

pˆ 2 ˆ H V r ,t  2m 2 Hˆ   2 V r ,t  2m O operador hamiltoniano atuando sobre uma onda em um sistema conservativo, deve ser igual a energia transportada pela onda: Hˆ   Eˆ 



2

2m

 2  V  r , t   i

 t

que é a equação de Schroedinger dependente do tempo. A partir da operacionalização do momento e da energia, podemos usar o invariante momento-energia para calcular uma nova equação que opera sobre a função da onda. Eo2   Eˆ 2   c 2 pˆ 2 

P á g i n a | 202

Explicitando os operadores, E  2 o

evidenciando

2

 2  c 2 2 2 2 t

2 2

c e: Eo2  c2

2

 2 1 2     2 2  c t  

Eo2  c2

2



que é a equação de Klein-Gordon. Podemos definir assim o operador de Klein-Gordon, por meio da seguinte regra:

Kˆ  2 c 2 Kˆ   Eo2  Embora em nossas deduções, não tenhamos imposto nenhuma restrição, essa equação é válida apenas para partículas livre de spin 1 como fótons no vácuo. Para introduzirmos interações eletromagnéticas, utiliza-se uma transformação chamada de substituição mínima (WEBER, 2015):

pi  pi  eAi Além da restrição quanto ao spin da partícula, a equação de KleinGordon conduz a dois problemas de difícil interpretação (WEBER, 2015): (1) A equação de Klein-Gordon admite soluções com energia negativa.

P á g i n a | 203

Esse é um problema que aparece em todas equações relativísticas quânticas. De fato, o efeito Casimir permite a produção de energia negativa, porém, o principal problema da energia negativa reside no fato que segundo o princípio de mínima ação implica que as partículas procuram configurações onde a energia é a menor possível e se existem infinitos estados de energia negativa, as partículas deveriam mergulhar nesses estados. Dirac contornou esse problema propondo o conceito de mar de Dirac. (2) A equação de Klein-Gordon admite soluções com probabilidades negativas. Esse fato decorre da derivada temporal ser de segunda ordem. Neste caso é preciso isolar o operador energia e tirar a sua raiz quadrada:

Eˆ  Eo2  c 2 pˆ 2 Para que as soluções sejam compatíveis com a Teoria da Relatividade Especial, é necessário que o operador seja covariante em Lorentz. Uma solução para este problema é a equação de Dirac, que discutiremos sucintamente no próximo tópico. A melhor maneira de se achar soluções compatíveis com a teoria da relatividade especial e com a interpretação probabilística da mecânica quântica é estruturando a álgebra de Clifford do sistema físico com quantidades algébricas chamadas de spinores.14

Neste livro eu não trabalhe com o conceito de spinor. Porém, é preciso apresentar uma definição, ainda que superficial. Um spinor é o equivalente algébrico a um vetor do espaço euclidiano em um espaço complexo. Spinores são elementos que se transformam linearmente quando um espaço euclidiano é submetido a uma rotação infinitesimal. Essa associação dos spinores com as rotações fica evidente em seu próprio nome que deriva da palavra spin.

14

P á g i n a | 204

D. Equação de Dirac-Darwin Em 1930, Paul M. A. Dirac conseguiu generalizar a equação de Schroedinger para um elétron relativístico, absorvendo o conceito de spin, eliminando o conceito de probabilidade negativa e prevendo a existência de antimatéria e energia negativa. A dedução da equação de Dirac que empregaremos é essencialmente a mesma proposta por Weber (2015, p. 33-34), com alguns poucos detalhes e outras observações. Como observamos, na seção anterior, as probabilidades negativas surgem na equação de Klein-Gordon devido ao fato que a derivada temporal é de segunda ordem. A solução mais simples, é extrair a raiz quadrada do operador energia.

Eˆ  Eo2  c 2 pˆ 2 A próxima etapa consiste em procurar uma representação para o termo da raiz que seja um covariante em Lorentz. Por isso procuraremos por soluções da forma:

Eo2  c 2 pˆ 2    cp   Eo 

2

As componentes do vetor e  são matrizes 4x4, matrizes de Pauli:

 0

     0 1 1    1 0

1  0   0  0

   0 

 0 i   0

2   i

  são as

0 0 0  1 0 0 0 1 0   0 0 1

1 0  3     0 1

P á g i n a | 205

Portanto, as matrizes  serão:

1  0 I  0  0

0 1 0 0

0 0 1 0

0  0 1   0  1

0  0 0  1

 0 0 0 i    0 0 i 0 2    0 i 0 0    i 0 0 0 

0 0 1 0

0 0  0 0 3   1 0   0 1

0 1 0 0

1  0 0  0

1 0  0 1 0 0  0 0

Definiremos um novo 4-vetor contravariante denotado por i

 i    c,    Essas matrizes definem uma álgebra de Clifford dada por:

 ,      i

1  0 0  c  0  0

j

i

0 0 0  1 0 0 0 1 0   0 0 1

 0 0 0 i    0 0 i 0  2  0 i 0 0    i 0 0 0 

j

  j i  2 gij I

0 0  0 0 1    0 1   1 0 0  0 3    1  0

0 0 0 1

0 1 0 0

1  0 0  0

1 0  0 1 0 0  0 0

P á g i n a | 206

Agora vamos realizar os produtos entre estas matrizes:

1  2 0  0 0  c 0  0

0 1 0 0

0 0 1 0

0  0 0  1

0  0  01  c  0  1

0 0 1 0

0 1 0 0

1  0 0  0

 0 0 0 i    0 0 i 0   0 2  c  0 i 0 0    i 0 0 0 

0 0  0 0  0 3  c  1 0   0 1

 0 0 0 1   0 0 1 0   1 0  c  0 1 0 0     1 0 0 0 

 1 0 0 0    0 1 0 0   11   0 0 1 0     0 0 0 1

1 0  0 1 0 0  0 0

 i 0 0 0    0 i 0 0  1 2   0 0 i 0     0 0 0 i

0  1 1 3   0  0

0 0 0 i    0 0 i 0    2 0  c 0 i 0 0    i 0 0 0

i 0 0 0    0 i 0 0    21  0 0 i 0     0 0 0 i 

1 0 0 0 0 0 0 1

0  0 1  0

P á g i n a | 207

 0 i 0 0    i 0 0 0   2 3    0 0 0 i     0 0 i 0 

 1 0 0 0    0 1 0 0   2 2    0 0 1 0     0 0 0 1 0  0  3 0  c   1  0

0 1 0 0 0 0 1 0

 0 1  1 0  31   0 0  0 0

0  1 0  0

0 0  0 0 0 1  1 0

 1 0 0 0    0 1 0 0   3 3    0 0 1 0     0 0 0 1

0 i 0 0   i 0 0 0  3 2   0 0 0 i    0 0 i 0

Os produtos das matrizes de Pauli nos fornecem:

1 0  0 1

i 0    0 i 

 0 1  1 0 

 1 2  

 1 3  

 i 0   0 i

1 0  2 2    0 1

0 i   2 3     i 0

 0 1   1 0 

 3 2  

 1 1  

 2 1    3 1  

 0 i    i 0 

1 0  3 3    0 1

Por meio destes produtos, podemos representar as matrizes de Dirac em blocos, usando os produtos das matrizes de Pauli:

 0 0  c 2     0

P á g i n a | 208

1 

0

 01  1 0  c 

 1

 0

0

3 

 0 3   3 0  c   3

 0

 0 2   2 0  c 

 2

0    2 1  2 1   0

0    3 1  3 1   0

     0

 0

1 2   21  

 0

0    3 2  3 2   0

1 3   31  

 0 0  c 2 

2 

 2 3   3 2  

           0

     0

     0

Há outras propriedades importantes envolvendo o estudo das matrizes de Pauli e Dirac, mas que estão fora do escopo deste livro. Vamos dar continuidade a dedução da equação de Dirac. Por meio do 4-vetor de Dirac, podemos definir uma hamiltoniana: Hˆ     cpˆ    Eo

E, recordemos as componentes do 4-momento contravariante, que doravante será um operador 4-momento:

 Eˆ  pˆ i   ,  pˆ   c 

1   pˆ i  i  ,    c t 

Ou definindo o vetor 4-gradiente:

pˆ i  i i Multiplicando os dois lados por

:

1   i   ,    c t 

 Hˆ    ˆ   cpˆ      Eo

P á g i n a | 209

Usando as matrizes de Dirac e substituindo operador hamiltoniano pelo operador energia,

0 ˆ E    pˆ    2 Eo

c A matriz  é igual a matriz e ao operador identidade: 2

1  0 2  I   0  0

0 1 0 0

0  0 0  1

0 0 1 0

 2  Iˆ

Levando em consideração este resultado e que o operador do lado esquerdo é a componente zero do operador 4-momento,

 0 pˆ 0    pˆ   Eo Iˆ

 0 pˆ 0    pˆ   Eo Iˆ Pela convenção da soma, o lado esquerdo pode ser escrito como:

 i pˆ i  Eo Iˆ  0 Aplicando esse operador a função de onda:

 pˆ  E Iˆ   i

i

o

0

Substituindo os operadores, obtemos a equação de Dirac-Darwin:

i

 i i  Eo I   0

Como i e I são matrizes, com 4 entradas nulas, a equação de Dirac –Darwin consiste em 4 equações diferenciais. A função  é denominada de spinor de Dirac.

P á g i n a | 210

E. Solução da Equação de Dirac-Darwin (Elétron Livre) Após deduzir a equação de Dirac-Darwin, vamos apresentar a solução desta equação para um elétron livre. Uma apresentação mais detalhada está no livro do Eletrodinâmica Quântica (BASSALO, 2006), o qual o leitor deverá consultar caso sinta que falta algum detalhe. Descobriremos que esta solução prevê a existência de estados de energia negativo e a existência do antielétron (pósitron). Para tornar o texto menos carregado, adotaremos o sistema de unidades naturais:

1

c 1

Tomemos a equação de Dirac-Darwin, em coordenadas naturais:

 pˆ  mIˆ   i

i

0

As componente do spinor de Dirac são:

 0       1  2     3  A solução da equação de Schroedinger para um elétron livre é uma onda plana, dada por:

  r   e  ir  p Portanto, vamos procurar uma solução para equação de Dirac que corresponda a onda plana para velocidades pequenas.

  ri   eir p u  p i  i

i

Substituindo na equação de Dirac:

P á g i n a | 211

 i 

i

i

 mI  e  iri p u  0 i

i  e  iip  e p e

i  iri pi

i

i

i

i

i

i

 iri pi

 iri pi



 mIe  iri p u  0 i



 mIe iri p u  0 i



 mIe  iri p u  0

Evidenciando o exponencial:

p

 mI  ue  iri p  0 i

i

i

Isso implica que as soluções que buscamos são da forma:

p i

i

 mI  u  0

Expandindo a soma dentro do parêntesis:

p  0

0

 p11  p 2 2  p 3 3  mI  u  0

Substituindo as matrizes e as componentes do 4-vetor de momento:

 1   E  0  0     0

0 0 0 0 0   1 0 0 0 0  px   0 1 0 1 0    0 0 1  1 0

0  0  pz   1  0

0 0 0 1

1 0 1   0 1 0  m 0 0 0   0 0 0

0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0

1  0 0 0 i     0 0 0 i 0  py  0 i 0 0 0    0  i 0 0 0  0    u0   0       0    u1   0    0    u2   0       1    u3   0 

P á g i n a | 212

Efetuando essa soma, obtemos a seguinte matriz:

 Em   0   pz    p x  ip y  

0

 pz

Em

  p x  ip y 

p

x

 ip y 

  E  m

 pz

0

  p x  ip y     u0   0  z   u  0 p  1       u2   0  0      u 0   E  m    3   

Realizando o produto das matrizes, obtemos as quatro equações diferencias:

 E  m  u0  0u1  p zu2   p x  ip y  u3  0 0u0   E  m  u1   p x  ip y  u2  p z u3  0 p z u0   p x  ip y  u1   E  m  u2  0u3  0  p x  ip y  u0  p zu1  0u2   E  m  u3  0 Esse sistema de equações é homogêneo e pela regra de Crammer ele só terá solução se o determinante da matriz dos coeficientes que acompanham o spinor u for nula.

 Em   0 det   pz    p x  ip y  

0

 pz

Em

  p x  ip y 

p

x

 ip y 

 pz

  E  m 0

  p x  ip y     pz 0  0    E  m  

O cálculo desse determinante é bastante trabalhoso. O método mais simples é a aplicação da regra de Laplace, seguido da aplicação

P á g i n a | 213

da regra de Sarrus. Outra forma é o uso de um software de matemática simbólica. Bassalo (2006, p. 123-124) apresenta o cálculo detalhado. Seja qual for o método adoto, esse determinante é igual à:

E

2

 m2   2  E 2  m2  p x 2  p y 2  p z 2  2

 p x4  p y 4  p z 4  2 p x2 p y2  2 p x2 p z2  2 p y2 p z2  0

Levando em consideração que o quadrado e a quarta potência da norma do vetor momento são dadas por:

p2  p x 2  p y 2  p z 2 p4  p x 4  p y 4  p z 4  2 p x 2 p y 2  2 p x 2 p z 2  2 p y 2 p z 2 Substituindo na equação:

E

2

 m2   2  E 2  m2  p 2  p 4  0 2

Essa expressão pode ser fatorada e escrita como:  E 2  m 2   p 2   0   2

Realizando a análise dimensional dessa expressão, podemos recuperar a velocidade da luz e escrever a equação na como: E 2   m2c 4  p 2c 2   0

Isolando a energia e extraindo a raiz quadrada:

E

m c

2 4

 p 2c 2 

Portanto há dois estados de energia: um positivo e um negativo.

P á g i n a | 214

E  

m c

2 4

 p 2c 2 

E  

m c

2 4

 p 2c 2 

No referencial próprio, teremos além da relação massa-energia convencional, uma relação massa-energia negativa: E   mo c 2 E   mo c 2

Com o temos duas energias (positiva e negativa) e dois estados de spin para o elétron (up e down) há quatro soluções:



u  E  , E  , E  , E 



As soluções com energia positiva correspondem aos elétrons, as soluções com energia negativa correspondem ao pósitron. Para achar as componentes do spinor u vamos adotar a seguinte convenções:

p  p x  ip y

p  p x  ip y

Assim, nossas equações se tornam:

 E  m  u0  p z u2  p u3  0  E  m  u1  p u2  p z u3  0 p z u0  p u1   E  m  u2  0 p  u0  p z u1   E  m  u3  0 Para energia positiva, spin up, convencionaremos que:

u0  1, u1  0 Para achar os valores de u2 e u3 escolhemos as equações que dependem dessas variáveis, nesse caso, a terceira e quarta equação:

P á g i n a | 215

p z   E  m  u2  0 p    E  m  u3  0 Portanto, para esse caso teremos as seguintes soluções: u2 

pz p , u3   E  m   E  m 

Assim o spinor de Dirac para esse estado será:

1     0   z   p i  e  e ir  pi    E  m    p      E  m     onde o sinal negativo, indica que a partícula carregada negativamente, como se espera para um elétron livre. Para energia positiva, spin down, convencionaremos que:

u0  0, u1  1 Novamente usaremos a terceira e quarta equação:

p    E  m  u2  0  p z   E  m  u3  0 Portanto, para esse caso teremos as seguintes soluções: u2 

p ,  E  m 

u3  

pz  E  m 

P á g i n a | 216

Assim o spinor de Dirac para esse estado será:

e

1     0      p i   e ir  pi    E  m    p z     E  m    

Para energia negativa, spin up, convencionaremos que:

u2  1, u3  0 Agora usaremos a primeira e segunda equação:

 E  m  u0  p z  0  E  m  u1  p   0 Portanto, para esse caso teremos as seguintes soluções: u0 

pz p , u1   E  m   E  m 

Assim o spinor de Dirac para esse estado será:

e

  pz     E  m    p   ir i  pi   e   E  m     1     0  

P á g i n a | 217

Para energia negativa, spin up, convencionaremos que:

u2  0, u3  1 Agora usaremos a primeira e segunda equação:

 E  m  u0  p   0  E  m  u1  p z  0 Portanto, para esse caso teremos as seguintes soluções: u0 

p pz , u1    E  m   E  m 

Assim o spinor de Dirac para esse estado será:

e

  p     E  m    i pz    eir  pi     E  m     0     1  

O símbolo positivo indica que a partícula tem as mesmas propriedades do elétron, mas com a carga elétrica invertida. Devido à complexidade de resolução da equação de DiracDarwin, muitas vezes opta-se por trabalhar com a equação de Schroedinger e acrescentar uma função que corresponde a cada estado de spin do elétron. Para outras soluções da equação de Dirac sugerimos o leitor consultar o livro Eletrodinâmica Quântica (BASSALO, 2006).

P á g i n a | 218

F. Apontamentos Históricos A história da Equação de Dirac é contada por Bassalo (2019):15 “Em 1927, por ocasião da Quinta Conferência de Solvay que aconteceu em Bruxelas, o físico inglês Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984; PNF, 1933) encontrou-se com o físico dinamarquês Niels Henrik David Bohr (1885-1962; PNF, 1922) que lhe perguntou em que estava trabalhando, Dirac então lhe respondeu que buscava uma teoria relavista do elétron. Bohr retrucou dizendo-lhe que o físico sueco Oskar Benjamin Klein (1894-1977), em 1926 (Zeitschri für Physik 37, p. 895), já havia realizado essa teoria. Dirac não concordou com essa afirmação, pois sabia que Klein fizera apenas uma versão relativística da Equação de Schrödinger, de 1926. Dirac, contudo, buscava outro caminho e que foi encontrado por ele, em 1928 (Proceedings of the Royal Society A117; A118, p. 610; 351), deduzindo a hoje famosa Equação de Dirac (ED) - (i∂ - mc) = 0 -, onde  é a matriz de Dirac (matriz 4x4),∂ = ∂/∂x ( = 1, 2, 3, 4),  é o spinor de Dirac (matriz coluna), m é a massa do elétron, e c é a velocidade da luz no vácuo. Mais tarde, em 1930 (Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 26, p. 361), Dirac considerou que o m que aparece em sua equação, era uma média entre a massa do próton e a massa do elétron. É interessante destacar que, em 1974, Dirac escreveu o livro denominado Spinors in Hilbert Space (Plenum), no qual ele estuda os spinores com o formalismo do Espaço de Hilbert. Um resultado importante da ED foi o conceito de antimatéria. Vejamos como isso aconteceu. Ao resolver essa equação (baseada na expressão relativista da energia: E2 = 15

http://www.seara.ufc.br/wp-content/uploads/2019/03/folclore413.pdf

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p2c2 + m2c4), Dirac encontrou que ela não só descrevia o elétron com momento p e energia positiva (E > 0), mas tinha outra solução que descrevia partículas idênticas a elétrons, porém com carga positiva e energia negava (E < 0). Ele chamou essas partículas de “buracos” e afirmou que eles ocupavam todos os estados de energia negava, o famoso “mar de Dirac”. Nessa época, Dirac não havia entendido bem essa outra solução. Assim, esse “buraco” foi interpretado como sendo um próton, em 1929 (Zeitschri für Physik 56, p. 330), pelo matemático alemão Hermann Weyl (1885-1955) e, ainda em 1929 (Proceedings of the Royal Society of London A126, p. 360) e em 1930 (Nature 126, p. 605), pelo próprio Dirac. Essa interpretação decorria do fato de que, naquela época, só se conheciam dois tipos de partículas elementares: elétrons e prótons. Por sua vez, o núcleo atômico era considerado formado de prótons e elétrons. Porém, Dirac não ficou muito satisfeito com essa proposta, uma vez que já se sabia que os prótons tinham massa cerca de 1.840 vezes maior do que à dos elétrons. Ainda em 1930, em trabalhos independentes, os físicos, o norte-americano Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) (Physical Review 35, p. 562) e o russo Igor Yevgenyevich Tamm (1895-1971; PNF, 1958) (Zeitschri für Physik 62, p. 545), mostraram que o “buraco” não poderia ser um próton, pois, desse modo, tornaria o átomo instável por causa do processo: próton + elétron = fótons. Em 1931 (Proceedings of the Royal Society of London A133, p. 60), Dirac aceitou a ideia de que o “buraco” seria uma nova espécie de partícula, até então desconhecida pelos físicos experimentais, a qual chamou de antielétron. Destaque-se que essa “nova partícula” foi descoberta pelo físico norte-americano Carl David Anderson (1905-1991; PNF, 1935), em 1932

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(Proceedings of the Royal Society of London A41, p. 405; Science 76, p. 238), e que recebeu o nome de pósitron (e+). É interessante destacar que, em 1929, os sicos, o russo Dmitry Vladimirovich Skobeltzyn (1892-1992) (Zeitschri für Physik 54, p. 686) e, em 1930 (Nature 125, p. 636), o italiano Bruno Benede Rossi (1905-1994), encontraram evidências experimentais da existência do “buraco” previsto por Dirac. Note-se que esse trabalho de Rossi foi rejeitado pela primeira revista científica para a qual ele o enviou. Em 1933 (Proceedings of the Royal Society of London A139, p. 699), os físicos, o inglês Patrick Maynard Stuart Blacke (1897-1974; PNF, 1948) e o italiano Giuseppe Pablo Stanislao Occhialini (1907-1993) realizaram uma experiência na qual confirmaram a existência do pósitron (e+). Essa experiência, realizada no Cavendish Laboratory, na Inglaterra, hoje conhecida como produção de pares (γ → e- + e+), foi confirmada, ainda em 1933 (Zeitschri für Physik 84, p. 144), pelo físico alemão Max Delbrück (19061981), ao estudar o espalhamento de fótons (γ) (E > 1,02 MeV) por campos eletrostáticos, como, por exemplo, o de um núcleo atômico que é carregado positivamente; esse processo é o conhecido espalhamento de Delbrück. É oportuno observar que, nesse tipo de espalhamento, a produção de pares é dita virtual, pois logo que o par é formado, ele desaparece produzindo um par de fótons (e- + e+ → 2γ), num processo conhecido como aniquilamento. Observe-se que a produção de 2γ é uma decorrência da lei de conservação de energia-momento [Robert Marn Eisberg and Robert Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (John Wiley and Sons, 1974)].

P á g i n a | 221

G.

Efeito Compton

Em 1923, o físico estadunidense Arthur Holly Compton descobriu que o raio-X ao incidir sobre uma folha metálica eram detectados do outro lado da folha com uma frequência menor, que dependia do ângulo de incidência. Esse fenômeno foi verificado nos anos seguintes por Y. Woo. Em 1927, Compton e Charles Thomson Rees Wilson, que desenvolveu a câmara de bolha de Wilson, que permite estudar a trajetória de partículas, dividiram o prêmio Nobel. O efeito Compton mostra que o fóton ao interagir com um elétron livre não é absorvido, mas colide elasticamente com a partícula transferindo momento e energia. O uso da conservação do 4-momento permite deduzir a equação relacionada ao efeito Compton. Na figura abaixo, representamos o sistema fóton-elétron.

Por simplicidade, escolhemos um referencial onde a quantidade de movimento inicial do elétron seja desprezível.16 Em 1923, ainda não se conhecia o Princípio da Incerteza de Heinsenberg, portanto era natural assumir um referencial inercial onde o elétron estivesse em 16

P á g i n a | 222

Definimos o 4-momento linear do fóton e do elétron, respectivamente, como:

  qi   , q  c 

E  pi   , p  c 

A lei de Planck nos informa que a energia de um fóton é dado por:

  h O 4-momento do fóton deve ser um vetor de comprimento nulo, pois o intervalo que liga os eventos de fóton é do tipo nulo (lúxons). Deste fato podemos deduzir o valor da norma de q: qi q i  0  

2

   q c

2

0

q 

 c

Como a variedade espaço-tempo de Poincaré-Minkowski conserva todas as correntes de Noether, o 4-momento é conservado:

qi  pi  qi  pi Como observa Barcelos Neto (2010, p. 100) podemos omitir os índices, já que estamos de acordo que a expressão acima envolve quantidades 4-vetoriais:

q  p  q  p q  p  q  p Elevando a expressão ao quadrado (produto escalar 4-vetorial): repouso. O princípio da Incerteza proíbe a existência deste referencial. Por isso, à rigor, apenas podemos supor um referencial onde o momento seja muito pequeno e, para fins de medida, possa ser considerado como nulo.

P á g i n a | 223

q2  p2  q2  2 p  q  2 p  q  2q  q  p2 Observe que a norma de um 4-vetor é sempre um invariante e que a massa própria do elétron não varia durante o processo, portanto:

p 2  p2  Eo2c 2 q 2  q 2  0 Portanto, podemos cancelar os momenta ao quadrado do elétron e do fóton e simplificar a equação de conservação:

p  q  p  q  q  q  0 As componentes espaciais do momento no referencial próprio do elétron são todas nulas,

E  pi   , 0  c  pq 

E  mo h c2

p  q 

E   mo h  c2

Para as componentes do momento fóton,

q  q  qo qo  q , q q  q 

h2    q , q c2

O produto interno de dois vetores é dado por: q , q  q q cos 

Substituindo os valores da norma de q e q’:

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h2 q , q  2   cos  c

Portanto, para o produto entre os momenta do fóton, teremos: h2 h2      cos  c2 c2 h2  q  q  2   1  cos   c

q  q 

Substituindo na equação da conservação dos momenta: mo h  mo h  

h2   1  cos    0 c2

Vamos determinar qual o valor da frequência final do fóton:

h   mo h   mo  2 1  cos    h   0 c  

    mo  c 2 1  cos      mo mo

  mo 

 1  cos  c2

Evidenciando a massa própria do elétron, obtemos a expressão da lei de Compton:

  1

 mo c 2



1  cos  

P á g i n a | 225

H.

Decaimento

Suponha que uma partícula Luna (£0) de massa m sofra uma transmutação e emita dois fótons 1 e 2. Assim como ocorre no efeito Compton, podemos aplicar a conservação do 4-momento para compreender a situação:

p  q1  q2 Elevando ao quadrado, teremos: p 2  q12  2q1  q2  q22

A partícula Luna apresenta componente temporal e espacial, enquanto os fótons tem comprimento nulo por serem lúxons.

 mo c 

2

 p 2  2  q10  q20  q1 , q2



Como os fótons se encontram na superfície do cone em direções perpendiculares, seu produto interno deve ser zero;

 mo c 

2

mo2 

 p2  2

1 2 c2

 p2  2 1 42 2 c c

Considerando que a radiação tem uma massa maupertuisiana: mo2 

p2  2m1m2 c2

Vamos supor que o momento espacial seja zero. Nessas condições, nossa equação se se torna: mo2  2m1m2

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A massa do segundo fóton pode ser escrita como uma função da massa do primeiro fóton: m2 

k2 m1 2

onde k é um número real. Substituindo em nossa equação, obtemos: mo  k m1

Usando o princípio de conservação da massa:

M i  mo  k m1 , Mf 

2  k2 m1 2

portanto, concluímos que a massa final é maior que a massa inicial: Mi  M f

E ainda podemos calcular o valor dessa massa extra:

M f  M i  M EXTRA 2  k2 m1  k m1 2 2  k 2 m1  k m1 M f  Mi  2 2  m1  k  1 k M f  Mi  2 2  m1  k  1 k M EXTRA  2

M f  Mi 

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Essa massa extra é devido a energia cinética do corpo. Recordemos que supusemos que o momento era zero. Isso equivale a dizer que a partícula está em repouso ou que a energia cinética não contribui para a inércia. O primeiro fato tem uma explicação importante: uma partícula não pode transmutar em dois fótons se estiver em repouso e isolada. O segundo fato implica que no balanço inercial devemos considerar a contribuição da energia para a inércia do sistema. Em um decaimento onde há produção de fótons, os momenta desses lúxons se encontra no cone de luz. A curva que representa a massa do corpo e o momento é um arco de hipérbole, cujos pontos são a soma vetorial dos momenta espaciais dos fótons. Assim a medida que a massa varia, sobre a superfície da hipérbole a energia dos fótons tendem a variar (um aumenta e outro diminui). No ponto de intersecção da hipérbole com o eixo, a massa dos fótons é idêntica. Esse tipo de análise permite aos físicos de partículas estudarem processos de colisão e produção de novas partículas. Conhecendo a massa própria da partícula, é possível escolher o momento inicial de forma a controlar a magnitude dos pares de fótons produzidos.

17

17

Adaptado do livro Teoria da Relatividade (LESCH, 2005, p. 102).

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10. Refrações sobre Relatividade A.

Ensaios de Einstein de 1905

A dedução dos fenômenos relativísticos que apresentamos nesse ensaio não seguem a ordem histórica e nem as ideias originais propostas por Lorentz (1904), Poincaré (1900, 1904, 1905-1906), Einstein (1905, 1907), Planck (1906) e Minkowski (1908), porém, há exceção do formalismo 4-vetorial e as transformações hiperbólicas, os diversos resultados que obtivemos já eram conhecidos por Albert Einstein. Nessa seção, gostaríamos de chamar atenção para dois conceitos: a relação entre a energia do fóton e a frequência e a transformação da massa longitudinal e transversal. O conceito de energia foi deduzido corretamente por Einstein, porém revela um aspecto curioso, e um tanto estranho sobre a concepção física de Einstein. O segundo conceito é a mais famosa inconsistência em um ensaio de Einstein, tendo sido discutido por diversos autores como Planck (1906), Keswani (1965b), Cullwick (1983), Miller (1997) e Brown (2017). Um equívoco, que curiosamente Einstein poderia ter evitado se fosse mais atento as implicações de seus próprios resultados e tivesse apresentado fórmulas de transformação da massa e da força. 1.

Energia da Radiação Eletromagnética

Em seu ensaio original, Einstein estuda a transformação da energia dos raios de luz, no oitavo parágrafo. Se a radiação se encontra encerrada em um volume V, então, a energia, em unidades hertizianas, é dada por: A2 E V 8

P á g i n a | 229

A seguir, Einstein define que a radiação está confinada em uma superfície esférica que se desloca com a velocidade da luz. As equações dessa esfera no referencial S são:

 x  cnxt 

2

  y  cn yt    z  cnzt   R 2 2

2

(BROWN, 2017) Aplicando as transformações de Lorentz e escrevendo a equação de um elipsoide no referencial S’, Einstein calcula a razão entre os volumes V e V’: 1  v2 c2 V  V 1   cos 

Para obter a transformação da energia, Einstein escreve a razão entre as energias em função de seu volume e a amplitude ao quadrado: A2 V 1   cos  E  8  2  A E 1  v2 c2 V 8

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Após estabelecer essas regras, Einstein (1905b) escreve: “é notável que a energia e a frequência de um complexo de luz variem com o estado de movimento do observador de acordo com a mesma lei.” O que Einstein está observando é que o último termo da equação é a razão entre as frequências medidas nos referenciais S e S’.

E  f  1   cos    E f 1  v2 c2 Segundo Miller (1997, p. 295), “Einstein fez o que deve ser considerado uma das maiores afirmações da história da ciência”. De fato, como vimos, podemos deduzir essa relação de uma forma muito mais simples a partir da lei de Planck, deduzida pelo físico alemão Max Planck, em 1900:

E  hf Curiosamente, o primeiro artigo que Einstein submeteu ao Annalen em 1905, tratava sobre a transformação e a produção de radiação. Einstein inicia seu ensaio ponderando sobre as dificuldades na formulação de uma teoria da radiação: De acordo com a teoria de Maxwell, a energia é considerada como uma função espacial contínua no caso de todos os fenômenos puramente eletromagnéticos, incluindo a luz, enquanto que a energia de um objeto ponderável deveria, de acordo com as concepções atuais dos físicos, ser representada como uma soma realizada sobre os átomos e os elétrons. A energia de um corpo ponderável não pode ser subdividida em partes arbitrariamente numerosas ou arbitrariamente pequenas, enquanto a energia de um feixe de luz de uma fonte pontual (de acordo com a teoria Maxwelliana da luz ou, mais geralmente, de acordo com a teoria ondulatória) se espalha continuamente sobre um volume cada vez maior. (EINSTEIN, 1905a, pp. 367-8)

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Essa foi justamente a hipótese que Einstein fez para deduzir a transformação da energia de um complexo de radiação. O curioso é que no ensaio sobre a transformação da radiação, Einstein rejeita essa hipótese, Parece-me que observações associadas com a radiação do corpo negro, fluorescência, a produção de raios catódicos por luz ultravioleta e outros fenômenos relacionados, conectados com a emissão ou transformação da luz, são mais facilmente entendidos, se assumimos que a energia da luz está distribuída descontinuamente no espaço. De acordo com a suposição a ser considerada aqui, a energia de um raio de luz que se espalha de uma fonte pontual não se distribui continuamente sobre um espaço crescente, mas consiste de um número finito de quanta de energia que estão localizados em pontos no espaço, que se movem sem se dividir, e que podem somente ser produzidos e absorvidos como unidades completas. (EINSTEIN, 1905a, pp. 368)

Costuma-se a dizer que Einstein assumiu como verdadeira a lei de Planck, contudo isso é incorreto. Como o próprio Einstein escreveu em 1906, na ocasião ele buscava se afastar da lei de Planck e se aproximava das ideias de Wien (ROSA, 2001). Einstein concluiu, por meio de elementos da física estatística e o estudo da entropia da radiação, que A radiação monocromática de baixa densidade (dentro do domínio de validade da fórmula de Wien para a radiação) se comporta sob o ponto de vista da teoria do calor como se consistisse em um número de quanta de energia de valor Rβν/N. (EINSTEIN, 1905, p. 372).

Rosa (2001, p. 25) salienta que, em 1905, era difícil estabelecer uma conexão clara entre o trabalho de Einstein e de Planck. Note-se que Einstein não escreveu E=hν, como nós escrevemos atualmente, e sim E=βνR/N. Ele não compara sua relação à de

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Planck, nem indica que o valor da constante h é exatamente βR/N (KUHN, 1978, p. 181).

Na verdade, ele parece não querer vincular seus resultados à teoria de Planck, e sim à teoria de Wien, por isso utilizou apenas as constantes que aparecem nesta teoria. Para os leitores do trabalho de Einstein, na época, seria muito difícil ver alguma relação entre o resultado obtido e a teoria de Planck. Se Einstein partisse da sua relação para energia da radiação, no limite da validade da lei de Wien, ele poderia deduzir a transformação da energia, como nós fizemos. Em outras palavras, antes de seu ensaio sobre a Relatividade, Einstein já havia estabelecido uma relação para a energia radiante. Esse fato leva a duas perguntas: (1) por que Einstein não usou a sua lei de energia da radiação para calcular a transformação da energia? (2) por que Einstein adota uma visão corpuscular da radiação em seu ensaio sobre a transformação e produção da luz e uma visão ondulatória da luz em seu ensaio da relatividade? Infelizmente os documentos históricos e relatos não nos permitem responder de maneira objetiva essas questões, porém podemos especular alguns motivos, que merecem uma investigação histórica mais detalhada do que será apresentada aqui. Sobre a primeira a questão podemos elencar algumas hipóteses: (a) A transformação da energia da radiação era uma lei particular e Einstein queria obter uma relação geral, válida para além do limite da lei de Wien. (b) Embora o artigo sobre a transformação de energia tenha sido publicado antes do artigo da relatividade, Einstein já vinha trabalhando nesse ensaio há algum tempo e já havia obtido alguns resultados, como a transformação da energia. Um indício forte dessa hipótese é que o estilo do artigo varia muito de uma seção à outra e uma carta de 1901 entre Einstein e Mileva indica um estudo sobre o movimento relativo. (c) O artigo de Einstein contou com uma

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contribuição, omitida na versão final de Mileva Maric. Uma carta de 1901, fortalece essa possível participação. (d) Einstein não confiava o suficiente em sua dedução e optou por trabalhar com conceitos mais gerais. Isso não seria incomum, há muitos exemplos de físicosmatemáticos que criam métodos novos, mas preferem usar os antigos por falta de confiança ou medo de rejeição ou não compreensão por seus pares. A segunda questão, parece-nos mais intrigante, porque mostra uma contradição interna na concepção de mundo de Albert Einstein em um período extremamente curto. Primeiro devemos enfatizar que não existia uma concepção de dualidade onda-partícula. O artigo sobre a radiação propunha que sobre condições específicas a luz deveria ser estudada como corpúsculos, semelhante a um gás ideal. O artigo da relatividade considera a luz como um fenômeno ondulatório. Alguns autores alegam que a concepção de quanta do artigo de 1905, eliminava a necessidade do éter luminoso no artigo da relatividade. Isso é completamente anacrônico: Einstein nunca recorreu a essa hipótese para rejeitar o éter, e mais, Einstein nunca explicou o porquê da rejeição do éter e como explicar os fenômenos físicos associados ao éter. Seu trabalho tinha uma tendência fenomenológica. Todas as hipóteses que levantamos para a primeira questão se aplicam a essa segunda questão. Porém, gostaríamos de apresentar uma hipótese e alguns argumentos em favor dela. Acreditamos que a questão esteja relacionada ao segundo postulado, a constância da velocidade da luz. Diferente do que se diz, esse postulado não foi influenciado pelos resultados da experiência de Michelson-Morley. Antes de Einstein começar seu trabalho sobre a radiação e o movimento relativo, Einstein trabalho em uma importante teoria encabeçada por Ritz, chamada de Teoria da Emissão. Einstein estudou a dependência da velocidade da luz com a velocidade da

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fonte emissora (DARRIGOL, 1995). Einstein concluiu que estes resultados eram complexos e divergente demais e abandonou a teoria. A experiência negativa de Einstein com a teoria da emissão levou ele a considerar que a velocidade da luz não poderia depender do estado de movimento da fonte. Essa experiência, mais a leitura do trabalho do efeito Doppler de Voigt, parecem terem sido fundamentais na consolidado do segundo postulado da relatividade por Albert Einstein. A constância da velocidade da luz parecia um pressuposto essencial e por essa razão, o estudo da relatividade deveria estar nos limites da validade da óptica. Sobre o modelo ondulatório, Einstein faz a seguinte ressalva no seu ensaio: A teoria ondulatória da luz, que trabalha com funções espaciais contínuas, funcionou bem na representação de fenômenos puramente ópticos e provavelmente nunca será substituída por uma outra teoria. Deve-se ter em mente, no entanto, que as observações ópticas referem-se mais a valores médios no tempo do que a valores instantâneos. Apesar da completa confirmação experimental da teoria, quando aplicada à difração, reflexão, refração, dispersão, etc., ainda é concebível que a teoria da luz, que opera com funções espaciais contínuas, possa levar a contradições com a experiência, quando é aplicada aos fenômenos de emissão e transformação da luz (EINSTEIN, 1905, pp. 368)

Em outras palavras, Einstein não rejeita por completo a teoria ondulatória, mas assume que as leis da radiação são diferentes e dependem da circunstância: Ou seja: Einstein está sugerindo que a teoria ondulatória, embora verificada e útil, tem um domínio de aplicação limitado, e que em outros campos de aplicação deve-se adotar uma teoria diferente. Essa atitude de Einstein é bastante semelhante à de Wien, que foi apresentada anteriormente, que havia proposto

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que a radiação de pequeno comprimento de onda se comportava de um modo diferente da radiação de grande comprimento de onda. Einstein não utiliza o nome “fóton” (nem nestes parágrafos, nem em nenhum outro lugar), e sim “quantum”. O nome “fóton” foi proposto apenas em 1926, por Gilbert Newton Lewis (1875-1946), em uma carta escrita à revista Nature (LEWIS, 1926). No entanto, a tradução em inglês publicada na revista American Journal of Physics tem o título: “Einstein’s proposal of the photon concept”. É importante assinalar que, ao descrever os quanta de luz, Einstein se refere a eles como unidades indivisíveis de energia, localizadas em pontos do espaço (Raumpunkten lokalisierten Energiequanten, no original alemão) – ou seja, algo análogo a átomos. Trata-se de uma visão corpuscular, e não de uma visão dualística (no sentido explicado anteriormente). (ROSA, 2001, p. 21).

Portanto a visão quântica, corpuscular da luz, de Einstein se encaixaria melhor em uma teoria da emissão, onde a velocidade das partículas da luz seria uma função da velocidade da fonte emissora e não mais uma propriedade de oscilação do éter. Mas, como já afirmamos, os resultados obtidos por Einstein eram insatisfatórios e ele abandonou a teoria, preferindo um modelo onde a constância da velocidade da luz fosse um postulado fundamental. A afirmação de Einstein, em seu ensaio sobre a radiação, deixa claro que há duas maneiras de caracterizar a radiação e que as características variam de um tipo de radiação para outro. Isso é uma clara violação do Princípio da Relatividade, porém é possível que Einstein não tivesse ainda percebido as suas implicações. Assim, o artigo da radiação enaltecia aspectos válidos nos limites da lei de Wien e o artigo da relatividade outros aspectos fenomenológicos do movimento, da eletrodinâmica e da radiação. Com efeito, parecia que os artigos partiam de diferentes autores, contudo esse evento revela que nem sempre o cientista segue seu programa de maneira linear e está sujeito a se contradizer e mudar ideias durante o processo.

P á g i n a | 236

2.

A Massa Transversal e o Invariante de Pressão

Possivelmente a inconsistência mais conhecida no ensaio de 1905 de Einstein sobre a relatividade foi a dedução incorreta da massa transversal. O resultado esperado, que obtivemos usando o formalismo hiperbólico, é: m   3 mo

m   mo

Contudo, Einstein obteve uma relação ligeiramente diferente para a massa transversal: m   3 mo

m   2 mo

Esse equívoco surge de um erro de análise de Einstein, ao estudar a aceleração do elétron e usar dois referenciais distintos na mesma equação (KESWANI, 1965b, CULLWICK, 1983, MILLER, 1997, BROWN, 2017). Curiosamente, Einstein poderia ter evitado esse erro, se tivesse dado mais atenção a pressão exercida pela luz em refletores perfeitos. Diferente de nossa dedução, Einstein não deduz a pressão que a luz exerce sobre os espelhos a partir da sua invariância, seu argumento original é um pouco mais complexo: A energia (medida no sistema estacionário) que é incidente sobre a área da unidade do espelho em unidade de tempo é evidentemente A²(V.cosφ − v)/8π. A energia que sai da unidade de superfície do espelho na unidade de tempo éA’’’² (−V cosφ’’’ + v)/8π. A diferença dessas duas expressões é, pelo princípio da energia, o trabalho realizado pela pressão da luz na unidade de tempo. Se nós estabelecermos este trabalho como igual ao produto P.v, onde P é a pressão da luz. (EINSTEIN, 1905).

O resultado obtido por Einstein por um cálculo direto foi:

A2  cos   v V  P2 8 1   v V 2

2

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Levando em consideração a transformação A’ e cos  , Einstein poderia ter obtido a seguinte lei para a pressão: A2 cos 2   P2 8

que é a lei da Pressão deduzida no referencial S’.

P  P o que prova que a pressão é um invariante relativístico. A partir do fato que a pressão deve ser um invariante relativístico, Einstein poderia obtido a transformação das forças. Poderíamos objetar que essa invariância foi obtida apenas para a força aplicada para a luz. Essa afirmação é parcialmente correta. A lei da pressão realmente só se aplica ao caso de um complexo de radiação interagindo com um espelho ideal, porém a invariância não é uma qualidade que depende do tipo fenômeno, apenas da grandeza, nesse caso a pressão. Assim como fizemos anteriormente, iremos tomar um sólido arbitrário com áreas laterais dada por:  i x ,  jy ,  kz , onde os índices i, j, k variam de 1 à 2, de forma que a área  ix estando compreendida no plano y-z, a área  jy , no plano z-x e a  kz , no plano x-y. Para cada referencial, teremos seis pressões, uma para cada área lateral:

Pi x  Pix 

Fx

ix

, Pj y 

Fy

 jy

, Pk z 

Fz

 kz

F Fx F , Pjy  y , Pkz  z  ix  jy  kz

P á g i n a | 238

Devido ao deslocamento do corpo na direção x, os planos x-y e zx, sofreram uma contração Lorentz-Fitzgerald e as áreas devem se transformar segundo as regras:

 i x   ix ,  jy 

 jy  ,  kz  kz  

Agora iremos definir um par de forças: longitudinal e transversal. A força que atua sobre as áreas  i x é paralela ao movimento, é uma força longitudinal, enquanto a força que atua sobre as áreas  jy e

 kz são perpendiculares ao movimento, são transversais. Como a pressão é um invariante relativístico, podemos escrever as seguintes relações entre as pressões longitudinal e transversal e as suas respectivas forças: P  P

P  P ,

F F  ,  

F F  ,    

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Substituindo a transformação das áreas, nas proporções:

F F  ,  

F  F  ,    

Realizando as operações, obtemos as transformações da força: F F ,

F  F ,

F   F

F 

F 

No parágrafo 10, Einstein tenta estabelecer a variação da massa de um elétron sobre ação de uma força longitudinal e uma força transversal. Inicialmente, ele deduz a transformação da aceleração:

d 2x   3ax , 2 dt d2y m 2   2 ay , dt d 2z m 2   2 az dt m

Sobre estas relações, Einstein (1905) escreve: Agora, se chamarmos essa força simplesmente "a força atuando sobre o elétron", e manter a equação – massa × aceleração = força - e se também decidirmos que as acelerações serão medidas no sistema estacionário K, derivamos das equações acima.

O equívoco de Einstein está em escrever essas equações como as transformações diretas da força entre os dois referenciais:

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d 2x m 2    3mo  ax dt d2y m 2    2 mo  ay dt d 2z m 2    2 mo  az dt Einstein associa o termo em parêntesis como as massas longitudinal (direção x) e transversal (direção y ou z), obtendo a transformação incorreta para a última: m   3mo m 

m   2 mo

mo  v2  1  2   c 

m 

3

mo  v2  1  2   c 

O que Einstein deveria ter feito é usado as relações entre forças que deduzimos a partir da invariância da pressão: Fx =Fx,

F 

F



Expressando as equações: d 2 x    3 mo  ax , dt 2 d 2 y 1 m 2    2 mo  ay ,  dt

m

m

d 2 z 1 2    mo  az dt 2 

Simplificando os fatores gama:

P á g i n a | 241

d 2 x m 2    3mo  ax , dt d 2 y m 2    mo  ay , dt d 2 z m 2    mo  az dt Assumindo a mesma hipótese de Einstein que os termos em parêntesis são as transformações das massa longitudinal e transversal, obtemos as transformações corretas:

m   mo

m   3mo m 

mo  v2  1  2   c 

3

m 

mo 1

v2 c2

A conclusão de Einstein (1905) sobre a transformação das massas, mostra uma certa insegurança com os resultados obtidos: Com uma definição diferente de força e aceleração, devemos naturalmente obter outros valores para as massas. Isso nos mostra que, ao comparar diferentes teorias do movimento do elétron, devemos proceder com muita cautela.

O termo massa transversal e longitudinal foi introduzido por Max Abraham, portanto Einstein estava ciente do trabalho de Abraham e que seu resultado era diferente. Para explicar essa “contradição” Einstein supõe que a transformação da massa depende da definição de força, visto que Abraham define a força a partir do momento eletromagnético. Na verdade, o problema não estava na definição de força, mas nas modificações da forma do elétron, como mostrou Poincaré em 1905.

P á g i n a | 242

B. Massa da Luz18 A luz tem massa? Essa é uma pergunta intrigante que alguns autores costumam a divergir. Não podemos atribuir uma massa acelerativa a luz porque ela não pode ser acelerada no vácuo. Embora haja controvérsias, não costumamos assumir que não existe uma massa de repouso da luz, pois não há um referencial onde a luz esteja em repouso. Porém, a luz exerce pressão sobre superfícies refletoras, transfere momento e energia Portanto, não há qualquer contradição em afirmar que a luz apresenta uma inércia desde que se de uma massa maupertusiana ou uma massa cinética.

Figura 1. Por meio de um radiômetro podemos aferir a pressão, o momento e a inércia associada pela luz. Adaptado de Martins (2012, p. 118-120) No texto original, Martins se refere a área da superfície pela letra S. Como já utilizamos essa letra para indicar o fluxo de energia, iremos nos referir a área da superfície pela letra A. 18

P á g i n a | 243

Novamente, assumiremos a hipótese de Maxwell que a radiação pode exercer uma pressão sobre uma superfície arbitrária de área total A. Definimos a força exercida por um corpo sobre uma superfície como a pressão sobre um corpo pela área de contato.

F  P A No caso da radiação, essa pressão deve ser igual a densidade de energia da radiação que incide sobre a superfície. P  

E V

Consideremos que a radiação eletromagnética se comporta de forma análoga a um gás ideal, e por isso ocupa um volume V = A.L. Vamos assumir que durante a emissão e absorção da radiação há conservação do momento. Vamos introduzir a variação do momento da luz a partir do impulso.

p  F t O tempo necessário para que a radiação seja completamente absorvida pela superfície é: t 

L c

Expressando a equação em função do volume ocupado pela luz:

t 

V Ac

Substituindo os valores de t e da força na equação do momento, p   P  A

V Ac

P á g i n a | 244

p  P

V c

Expressando a pressão pela densidade de energia da radiação:

 E  V p     V  c p 

E c

que é a expressão do momento da radiação eletromagnética. Vamos agora definir a massa maupertusiana de Poincaré (LANGEVIN, 1913) a partir do momento linear: p   m  v

m 

p v

Como a radiação eletromagnética se desloca à velocidade da luz, então a massa maupertuisiana da radiação é definida como: m 

p c

Substituindo a lei do momento da radiação eletromagnética que deduzimos anteriormente, obtemos a massa da luz

m 

E c2

e a relação massa-energia: E    m  c 2

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C. Potencial de Poincaré O estudo do 4-vetor nabla e suas aplicações a teoria dos campos escalares e vetoriais, permitem definir uma nova função de x e de t que doravante chamaremos de potencial de Poincaré, em homenagem ao físico-matemático francês Henri Poincaré, um dos pesquisadores fundamentais no desenvolvimento da teoria da relatividade.19 1.

Teorema do Potencial de Poincaré

Seja  um campo escalar que depende da posição (x, y, z) e do tempo (t) e seja  o operador que para cada ponto desse campo escalar associa um vetor gradiente.

  r , t     r , t  Também podemos definir um campo tensorial a partir do operador 4-gradiente:

i  x j   i  x j 

e cuja transformação de  entre dois referenciais inerciais é dada por:

  x j      x j     x, t  onde   x, t  é uma função escalar, que chamaremos de potencial de Poincaré, e deve satisfazer a seguinte equação de D’Alambert: 2 2 1    x, t     x , t   0 x 2 c 2 t 2

19

Esse capítulo faz parte de minha tese e se encontra nos volumes 8 e 9.

P á g i n a | 246

2.

Demonstração

A demonstração desse teorema é feita a partir da análise da transformação do 4-vetor gradiente do potencial . Por meio dessa regra, nós podemos generalizar o vetor fluxo de energia térmica como sendo proporcional ao 4-gradiente:

 1   ,    i    c t   1    ,    i    c t 



Queremos determinar como o potencial se transforma de um referencial inercial S para um referencial inercial S’. A transformação dessas coordenadas depende da definição do potencial que adotarmos. Porém, podemos obter a sua transformação geral. Vamos analisar apenas a componente transversal do 4gradiente.

     A derivada transversal se transforma da mesma forma para todos os referenciais inerciais:

      Essa é uma equação diferencial parcial exata:         0

Integrando a equação em relação a derivada transversal:

        0  d 



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como as componentes transversais dependem apenas das coordenadas y e z, então a diferença das funções  deve ser, a menos de uma constante aditiva, uma função apenas da coordenada x e t.

       x, t  que resulta na seguinte transformação:

       x, t  Agora vamos demonstrar que o potencial de Poincaré satisfaz a equação de D’Alambert Basta aplicarmos o método de construção de invariantes para 4-vetores. 1  2  1  2 2         2 2 2 2 2 c t  c t

essas são as equações de D’Alambert,

    Mas o operador D’alambertiano é um invariante relativístico, portanto, podemos escrever nossa equação da seguinte forma:

         0   x, t   0

Substituindo a relação que achamos para a diferença de potencial nos dois referenciais: 2 1    x, t    2   x, t   0 2 2 t c

E está demonstrado o teorema.

P á g i n a | 248

3.

Outras Considerações sobre o Potencial de Poincaré

O potencial  define sobre o espaço-tempo um conjunto de eventos coordenados denominado de eventos equipotenciais. O gradiente do potencial  define um vetor contravariante que mede a taxa de variação máxima entre as linhas equipotenciais. Como as transformações de Lorentz representam rotações hiperbólicas no espaço-tempo, o potencial ' gera um novo conjunto de eventos e equipotenciais para o sistema após a rotação. O potencial de Poincaré corresponde ao fator de rotação dos eventos equipotenciais.

Outra interpretação geométrica do 4-gradiente é que suas coordenadas definem um 4-vetor normal de um plano tangente a uma hipersuperfície no espaço tempo. Quando aplicada uma transformação de Lorentz, a hipersuperfície e o plano normal sofrem uma rotação hiperbólica, exigindo uma transformação das coordenadas no vetor normal. O potencial de Poincaré está associado a rotação do vetor normal. A vantagem do potencial de Poincaré que ele é uma propriedade geral das funções potenciais, não dependendo da maneira como essas são definidas.

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D. Ondas de Abraham-Nordströn Em 1912, o físico alemão Max Abraham propôs uma generalização da equação de Poisson para o potencial gravitacional em uma variedade 4-dimensional (MEHRA, 1974):  2  2  2 1  2     4 G  x 2 y 2 z 2 c 2 t 2

Em resposta ao trabalho de Abraham, o físico alemão Gunnar Nordströn, mostrou que a generalização da equação de Poisson teria como consequência a propagação de ondas gravitacionais no espaçotempo (MEHRA, 1974). Nosso estudo sobre potenciais relativísticos está intimamente relacionado aos trabalhos de Abraham e Nordströn. Observe que a equação de Poisson generalizada pode ser escrita como o invariante do 4-Nabla:  i  i  4 G 

Como esta transformação se aplica a qualquer campo escalar, a interpretação de Nordströn pode ser generalizada para além do potencial gravitacional: “As mudanças de um campo definido pelo gradiente do potencial se propagam à velocidade da luz por meio de ondulações no espaçotempo, ou ondas potenciais, que doravante chamaremos de ondas de Abraham-Nordströn.” i i  r , t    f  r , t 

Portanto, o princípio da relatividade nos impõe que as mudanças em campos de temperatura, se propagam por ondas de Fourier. Mudanças do campo elétrico e magnético, por ondas de Maxwell.

P á g i n a | 250

Mudanças do campo gravitacional, por ondas gravitacionais. Em geral, para qualquer campo definido pelo escalar de um potencial, as mudanças se propagarão por ondas de Abraham-Nordströn. Essa interpretação já era indicada pela presença do potencial de Poincaré, pois como vimos, qualquer medida do potencial feita por dois referenciais inerciais se transforma pela seguinte equação:

  r , t      r , t     x, t  Mas o potencial de Poincaré deve satisfazer uma equação de Laplace generalizada:  i  i   x, t   0

O que indica que o potencial de Poincaré também é uma perturbação no espaço-tempo. Portanto, a transformação de potenciais envolvem mudanças que se propagam como ondas no espaço-tempo de Poincaré-Minkowski. Portanto, o princípio da relatividade impõe que a teoria das transformações dos potenciais relativísticos são perturbações em um espaço-tempo, análoga as perturbações que se associavam ao éter no século XIX e XX. Sugestões de Leitura Os potenciais de Poincaré são generalizações naturais que surgem na Teoria da Gravitação de Nordströn e nas Teorias da Gravitação Escalar. Para uma abordagem histórica da Teoria de Nordstön, recomenda-se a obra de Mehra (1984). Para aspectos técnicos, o leitor poderá consultar Norton (1992), Ravndal (2004) e o quinto volume dessa coleção, que é a minha tese a respeito da estrutura do espaço-tempo a partir dos potenciais de Poincaré desempenham um papel fundamental. O problema 13.2 do livro Problem Book in Relativity and Gravitation (LIGHTMAN et al, 1975) também aborda a questão.

P á g i n a | 251

E. A Lei de Transformação à Partir de Invariantes Na Teoria da Relatividade Especial qualquer transformação entre dois referenciais inerciais deve manter invariante a forma quadrática:

s 2  c2t 2  r 2 ,

onde r   rx , ry , rz 

Se K é um sistema de coordenadas em repouso e k’ é um sistema de coordenadas que se movimenta com velocidade constante v em relação ao referencial K na direção x e impondo que as componentes y e z coincidam nos dois referenciais, as transformações de Lorentz mantém a forma quadrática invariante:

    t  vx c 2      x  vt  y  z Vamos definir duas novas formas quadráticas arbitrárias que devem se manter invariante para todos os referenciais inerciais:

 2  c2 2  2 ,

 2  2  c22 ,

  onde     ,  ,   onde    x , y , z x

y

z

Se nós impormos que as componentes transversais coincidem para todos os referenciais inerciais, como acontece com as coordenadas y e z e a componente teta é um escalar, então, as transformações que deixam a forma quadrática invariante são transformações “análogas” as transformações de Lorentz. Chamaremos qualquer uma dessas formas quadráticas arbitrárias, que satisfazem as condições impostas, de forma quadrática fundamental de grupo 1 (ou 2) ou simplesmente forma fundamental

P á g i n a | 252

1 (ou 2) e as transformações análogas as de Lorentz, que mantém a forma fundamental invariante, de transformações de Poincaré.

Grupo Fundamental 1

Grupo Fundamental 2

    x  v       2  x  c

v          2 x  c       x  v 

  y

   y

   z

   z

 

v

 

Vamos usar esse resultado para obter as transformações do momento, energia, da densidade de corrente e da densidade de carga. Tomemos, inicialmente, o invariante momento-energia: Eo2  E 2  c 2 p 2

Essa forma quadrática satisfaz todas as condições da forma fundamental 2, então ela apresenta transformações de Poincaré dada pelo grupo 2. Para achar essas transformações, basta identificarmos os elementos da forma quadrática:

  Eo E  p

Substituindo os termos na transformação de Poincaré, obtemos:

E     E  vpx



p    px  E v c 2  p  py p  pz

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que são as transformações do momento e da energia entre os referenciais K e k. Vamos agora obter as transformações da densidade de corrente e da densidade de carga, o usando a forma quadrática: c 2 o2  c 2  2  j 2

Por inspeção, os termos da forma fundamental são:

  co     j Substituindo nas transformações de Poincaré,

       vjx c 2  j    jx  v   j  jy j  jz Por fim, vamos obter a transformação da massa e, novamente, a transformação do momento: c 2 mo2  c 2 m 2  p 2

Essa é uma forma fundamental 1, com as seguintes componentes:

d  cmo d  m d  p Imputando nas transformações de Poincaré,

P á g i n a | 254

m    m  px v c 2  p    px  mv  p  py p  pz Abrindo os termos, obtemos os valores procurados por inspeção:

m   m 1  u x v c 2 

p   m  px  E v c 2  p  py p  pz

Por este método, podemos obter quaisquer transformações, desde que haja uma forma invariante fundamental do tipo 1 ou do tipo 2. Um caso que esse método não funciona, é o invariante formado a partir das componentes do campo elétrico e do campo magnético:

J 2  E 2  B2 Observe que esse sistema não forma uma quadrática, pois cada grandeza apresenta 3 componentes em cada direção, dando um total de seis componentes. Registre que é possível obter a transformação geral impondo certas condições físicas e usa-la para analisar invariantes de mesma natureza. Durante o desenvolvimento da relatividade, Sommerfeld propôs também se utilizar 6-vetores para descrição de grandezas eletromagnéticas e gravitacionais. Minkowski optou pelo uso de tensores antissimétricos de segunda ordem, que na variedade espaçotempo são isomorfos ao espaço dos 6-vetores e são objetos mais inteligíveis.

P á g i n a | 255

11. Princípio de Hamilton na Relatividade Especial Um dos conceitos mais importantes em toda a física é o princípio de mínima ação, desenvolvido entre o século XVIII e XIX por Lagrange, Legendre, D’Alambert, Maupertuis, Hamilton, Jacobi, Euler entre outros. Começaremos revisando a dedução das equações de Euler-Lagrange a partir da interação de uma partícula com um campo potencial. Esta dedução se baseia no primeiro capítulo do livro Henri Poincaré and Relativity Theory de A. A. Logunov (2005). O conteúdo exposto aqui segue uma notação diferente do adotado pelo autor e é muito mais detalhado. A.

Princípio de Mínima Ação e Equações de Euler-Lagrange

Suponha que um sistema de n partículas se desloquem em um campo potencial V. Sobre cada partícula, esse campo exerce uma força fi dada pela seguinte expressão:

m

dv dt

  V

Que são as expressões da força conservativa sobre a partícula: f   m

dv dt

  V

O gradiente em uma variedade euclidiana n-dimensional é definido pela seguinte regra:    eˆ r Vamos escrever a coordenada espacial r em função de coordenadas generalizadas arbitrárias. r  r  q , t 

P á g i n a | 256

Definindo o vetor,

dr dq e o multiplicando na primeira equação:

m m

dv dr

  V

dt dq

dr dq

dr d  dr  d  dr   v   m v     V dt  dq  dt  dq  dq

A última relação é uma consequência da regra do produto das derivadas ordinárias. Pela definição de velocidade, temos que:

dr

v  v 

dt

r dq r dt  q dt t dt

v 

r q

q 

r t

Diferenciando a última equação em relação à q v q



 q

r   r q     t   q

v q



r q

P á g i n a | 257

Diferenciando a velocidade em relação a q :

v q



 2 r q q

q 

 2 r q t

 2 r  2 r   dr  q    q  dt  q q q t d  r  dt  q

  2 r  2 r q    q t  q q

Portanto, podemos concluir que:

d  r  dt  q

   dr       q  dt 

Substituindo as relações que deduzimos na equação da força:

d  v  v dt  q

dr    dr    m v     V q  dt  dq  v dr d  v  m  v    m v    V  q dt  q  dq

m

Como a inércia do corpo é tomada como sendo invariante, podemos reescrever a última equação da seguinte forma:

d   dt  q

 m v2        2   q

 m v2  dr     V dq  2 

Efetuando o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor derivada da posição e definindo o termo em parêntesis como a energia cinética generalizada T:

P á g i n a | 258

d  T  dt  q

 T dV   dq  q

Que é uma expressão alternativa da equação de Euler-Lagrange. Como o potencial não depende da velocidade, mas da configuração e do tempo, a equação acima pode ser escrita como: d   T  V    T  V  0   q dt  q 

Definindo a função lagrangeana L como a diferença das energias cinética e potencial:

L  T V obtemos a forma canônica das equações de Euler-Lagrange:

d  L  dt  q

 L 0   q

Agora iremos mostrar que a função L que satisfaz essas n equações diferenciais, deve satisfazer o princípio de mínima ação. Definimos a ação de uma partícula como a integral de L sobre um intervalo arbitrário de pontos t1 e t2. t2

S   L  q, q dt t1

Como essa integral depende das funções do espaço e da velocidade generalizada, dizemos que estas são seus argumentos funcionais da integral. O princípio de mínima ação procura os funcionais que minimizam a ação:

P á g i n a | 259

t2

 S    L  q, q dt  0 t1

A variação é um caso particular de derivada, por isso está sujeita as mesmas regras do cálculo diferencial e integral ordinário, incluindo o lema de Schwarz: t2

 L

L



  q  q  q  q dt  0 t1

 L L d  q    q   t  q q dt dt  0 1

t2

t2  L d  q    L   q  dt   t  q  t  q dt dt  0 1 1

t2

Realizando a integração por partes na segunda parcela, t2

t2

t

2  d L  L L dt q    t q q t  dt q  q dt  0 t1 1 1

Como a variação se anula nos extremos, a segunda parcela é nula: t2

t

2  L   d L  q dt      t  q  t  dt q  q dt  0 1 1

Escrevendo o funcional em termos de uma única integral: t2

 L d L    q  t  q dt q  q dt  0 1

P á g i n a | 260

t2

 L d L   t  q  dt q  qdt  0 1

Como pode ser visto em Sagan (1969) para que essa equação integral seja zero, o termo em parêntesis deve se anular no intervalo dado. Esse resultado é denominado de Lema Fundamental do Cálculo Variacional, e ele nos leva a seguinte conclusão:

L d L  0 q dt q que é a equação de Euler-Lagrange. Sobre a importância das equações de Lagrange, Logunov (2005, p. 17) acrescenta que: A aplicação da função lagrangiana para descrever um sistema mecânico com um número finito de graus de liberdade também se mostrou proveitosa ao descrever um campo físico que possui um número infinito de graus de liberdade. No caso de um campo, a função ψ que o descreve depende não apenas do tempo, mas também das coordenadas espaciais. Isso significa que, em vez das variáveis qσ, q’σ de um sistema mecânico, é necessário introduzir as variáveis ψ(xν), ∂ψ/∂xλ. Assim, o campo é considerado como um sistema mecânico com um número infinito de graus de liberdade.

No século XIX e início do século do XX, a mecânica era considerada como a estrutura padrão das ciências físicas. É por isso que na construção do eletromagnetismo, buscou-se incorporar o princípio de mínima ação e atribuir uma interpretação mecânica aos fenômenos elétricos e magnéticos. Mesmo após a rejeição de uma tradição central, o princípio de mínima ação continuou sendo aplicado com sucesso na investigação dos fenômenos relativísticos e quânticos.

P á g i n a | 261

B. Equações de Hamilton-Jacobi A partir da lagrangeana e usando uma transformação de Legendre, podemos definir uma nova função conhecida como hamiltoniana H. H

L q  L q

H  p q  L

onde o momento canônico é definido como:

p 

L q

Tomando o diferencial total da hamiltoniana, obtemos:

dH   dp  q  p  dq  

L L L dq  dq  dt q q t

Usando a definição de momento canônico:

dH   dp  q  p  dq  

dH  q dp 

L L dq  p  dq   dt q t

L L dq  dt q t

Como H é uma função da posição, momenta generalizados e do tempo, então:

dH 

H H H dq  dp  dt q p t

Por inspeção, obtemos as equações de Hamilton-Jacobi:

P á g i n a | 262

 H  p  q    H L   q  q  H L   t  t Pela equação de Euler-Lagrange temos a seguinte relação:

 L dp  q  dt ,     L  p   q  Levando esse resultado às equações de Hamilton-Jacobi,

 H  p  q ,    H   p ,  q     H L   t  t Se a hamiltoniana não depende do tempo, teremos: dH H L   0 t t dt

A última equação significa que a função hamiltoniana se mantém constante durante todo o movimento. Como a lagrangeana é a

P á g i n a | 263

diferença das energias, a hamiltoniana também tem dimensão energética. Portanto, quando a hamiltoniana se mantém constante, esta função representa a energia total do sistema físico: E  H  q , p 

Pelo o princípio da mínima ação, também podemos deduzir as equações de Hamilton-Jacobi: L  p q  H t2

 S     p q  H dt  0 t1

t2



d q

t1



dt

   p q  p



 H H  p   q dt  0  p q 

t2    d q H  H t  q  p  p  p dt  t  p dt  q  q dt  0   1  1 

t2

t2    H H  t  q  p  p  p dt  t   p  q  q dt  0   1  1 

t2

Pelo lema fundamental do cálculo variacional, obtemos as equações de Hamilton-Jacobi:

 H  p  q ,     H   p   q

P á g i n a | 264

C.

Integrais de Movimento

Uma função f (q, p, t) é denominada de integral de movimento se durante o movimento o valor da função é mantido constante: df  q, p, t  0 dt

Para obtermos a equação de movimento para essa função f basta expandirmos a derivada:

f f dq f dp   0 t q dt p dt f f f  q  p 0 t q p Substituindo as equações de Hamilton-Jacobi: f H f H f   0 t p q q p

Definimos o parêntesis de Poisson a partir do pseudodeterminante:

 f , g 

f q

f p

g q

g p

Substituindo essa expressão na equação:

P á g i n a | 265

f  f ,H  0 t

Os parêntesis de Poisson satisfazem as propriedades dos comutadores de Lie:

1.  f , g     g , f  2.  f1  f 2 , g    f1 , g    f 2 , g  3.  f1 f 2 , g   f1  f 2 , g   f 2  f1 , g  Identidade de Jacobi 4.  f ,  g , h     g ,  h, f     h,  f , g    0 Portanto, os parêntesis de Poisson definem uma álgebra de Lie não abeliana (não comutativa),

 q , q   0,  p , p   0, q , p    













Com base nesses parêntesis, podemos definir as constantes de movimento para a função f:

 f , q    pf 



,

 f , p   qf 



E também as constante de movimento a partir da função hamiltoniana:

 H , q   q 



H, p    p 



P á g i n a | 266

D. O Princípio do Movimento Estacionário na Eletrodinâmica Assim como fizemos para a mecânica e para dinâmica relativística, podemos construir uma função lagrangeana para o eletromagnetismo e derivar diversos resultados importantes sobre o comportamento dos corpos carregados interagindo com campos elétricos e magnéticos. Consideremos as equações fundamentais do eletromagnetismo na forma tensorial: Fij 

Aj x

i



Ai x j

que é invariante para o calibre de Lorentz: Aj  Aj 

f x j

onde f é uma função qualquer. Da equação tensorial: Fij x

k



Fjk x

i



Fki 0 x j

Derivamos o seguinte par de equações de Maxwell:

 B  0

 E  

1 B c t

Usando o princípio de mínima ação derivaremos a segunda equação fundamental que nos permite derivar o outro par de equações Maxwell. Inicialmente definiremos a densidade lagrangeana do campo eletromagnético pelo seguinte invariante: 1 1 L   Ai J i  Fjk F jk 16 c

Sobre essa lagrangeana, Logunov (2005, p. 150) enfatiza que:

P á g i n a | 267

É preciso lembrar que a escolha da densidade da função Lagrangiana na ação funcional não é inequívoca; entretanto, verifica-se prontamente que, acrescentando à densidade da função Lagrangiana um termo adicional na forma da divergência quadridimensional de um vetor não influencia a forma das equações de campo. As equações de Maxwell-Lorentz são invariantes em relação às transformações de calibre [de Lorentz] dos potenciais. A densidade do Lagrangiano que construímos não é invariável nas transformações. Com base na lei de conservação da corrente, isso varia apenas por uma divergência, que não afeta as equações de campo.

Tomemos a ação do campo eletromagnético será:

1 1 1  Ai J i  Fjk F jk d 4 x   c c 16  Invocando o princípio de mínima ação, S 

S  

1 1 i 1  i     J A A J Fjk F jk  F jk Fjk  d 4 x  0    i i   c c 16 

A 4-corrente que é a fonte do campo eletromagnético é constante, portanto sua variação é zero. Pode-se mostrar, usando o tensor métrico com componentes constantes que: F jk  F jk   F jk  F jk

1

1

  c  J  A   8  F i

i

jk

  Fjk  d 4 x  0 

Variando a equação geradora do tensor eletromagnético:   Ak    Ai    F ik  Fik   F ik  F ik  i x x k  

P á g i n a | 268

Para contrair esses tensores usaremos a antissimetria do tensor eletromagnético. Inicialmente inverteremos a ordem dos índices no primeiro tensor:   Ak    Ai    F ik Fik    F ki  F ik  i k 

x

x



Trocaremos o índice mudo i por j.    Aj    Aj   F ik Fik    F ji  F jk  i x x k   

Finalmente, trocaremos o índice k pelo índice i,    Aj    Aj   F ij Fij    F ji  F ji  i x xi      Aj F ij Fij  2 F ji xi Substituindo na equação da ação:





1 1 ji   Aj   4 i  J A F   d x  0   i  c xi  4  

Integrando a segunda parcela por partes, ji 1  1   F  1 ji i 4    J A   c  i  4 xi  Aj d x  4 F  Aj  

Trocando o índice mudo i na primeira parcela por j:

 1 j 1 F ji  4   c J  4 xi  Aj d x  0

e2 e1

0

P á g i n a | 269

Pelo lema fundamental do cálculo das variações, concluímos que: F ji 4 j  J i x c

que é a segunda equação fundamental do eletromagnetismo e que nos permite derivar o outro par de equações de Maxwell:

  E  4 E  1   B   4 J   t  c Portanto, assim como ocorre no formalismo vetorial, desenvolvido para o eletromagnetismo Oliver Heaviside, onde as 10 equações de Maxwell se torna apenas 4 equações vetorial, no formalismo tensorial (bem como no formalismo exterior), estas equações se reduzem para duas. Registre que usando álgebras de Clifford e operadores multidirecionais essas 10 equações podem ser compactadas em uma única equação. Sobre o significado do potencial eletromagnético, Logunov (2005, p. 150) explica que: Do ponto de vista da eletrodinâmica clássica, o potencial Aν não tem senso físico, uma vez que apenas a força de Lorentz atua sobre a carga e é expressa pela força do campo E, H. No entanto, na mecânica quântica, isso não é mais o caso. Acontece que o potencial vetorial age no elétron em uma determinada situação. Este é o efeito Aharonov-Bohm. Foi observado em 1960. O experimento foi realizado da seguinte forma: foi utilizado um solenoide longo e estreito, o campo magnético fora do solenóide era zero; no entanto, o movimento dos elétrons fora do solenóide foi influenciado. O efeito é explicado pelo solenóide que viola a conexão simples do espaço-tempo, que deu origem à influência do potencial Aν, como deveria ocorrer na teoria quântica de calibre.

P á g i n a | 270

E. Força de Lorentz O princípio de mínima ação permite derivar também a força de Lorentz. A dedução que apresentaremos não segue o desenvolvimento histórico. Tomemos uma partícula carregada com carga e que se desloca sobre um campo eletromagnético. A ação dessa partícula será definida pela integral: S  mc  ui dxi 

e Ai dxi c

Multiplicando por c e impondo o princípio de mínima ação: mc 2  ui d  x i  e  Ai d  x i  e   Ai dx i  0

Integrando as duas primeiras parcelas por parte e considerando que as variações se cancelam nos extremos do intervalo: mc 2  dui x i  e  dAi x i  e   Ai dx i  0

Para extrairmos a equação de Lorentz-Dirac, vamos usar as relações do cálculo elementar: dAi 

Ai j dx x j

 Ai 

Ai xj j x

Substituindo estas relações no funcional: mc 2  dui xi  e 

Ai A dx j x i  e  ij  x j dx i  0 j x x

P á g i n a | 271

Na terceira integral, como os índices i e j são mudos, podemos inverte-los: mc 2  dui xi  e 

A Ai j i dx  x  e  ij dx j x i  0 j x x

  Aj Ai 2    j mc du e   i i   x x 

 j i  dx  x  0  

Multiplicando e dividindo a equação pelo diferencial do comprimento próprio:

  Aj Ai  dx j  i 2 dui mc e    x d  0  i  j   ds  x x  ds  Observe que o temo em parêntesis é o tensor eletromagnético e a derivada do 4-vetor posição em relação ao tempo comprimento é a 4-velocidade e a derivada da 4-velocidade multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado é a 4-aceleração.

 ma  eF u i

ij

j

 x i ds  0

Pelo lema fundamental do cálculo das variações: mai  eFij u j  0 mai  eFij u j

Definindo o lado esquerdo como a expressão da 4-força: f i  eFij u j

fi  e  Fi 0u 0  Fi1u1  Fi 2u 2  Fi 3u 3 

P á g i n a | 272

Vamos calcular as componentes dessa força: f 0  e  F01u1  F02u 2  F03u 3  f1  e  F10u 0  F12u 2  F13u 3 

f 2  e  F20u 0  F21u1  F23u 3  f3  e  F30u 0  F31u1  F32u 2 

Substituindo as componentes dos tensores:

e  vx E x  v y E y  vz E z  c v  v  f x   e   Ex  Bz y  By z  c c  v v   f y   e   E y  Bz x  Bx z  c c  ft  

v   v f z   e   Ez  By x  Bx y  c c  Que resultam nas componentes da 4-força do campo eletromagnético que atua sobre a partícula: mc

d e    vE dt c

d e  mv   eE  v  B dt c





Que é justamente a expressão da força de Lorentz. Foi Poincaré, em 1906, o primeiro pesquisador a deduzir a força de Lorentz pelo princípio de mínima ação.

P á g i n a | 273

F.

Equação de Lienárd

Quando uma carga elétrica livre é acelerada, ela irradia continuamente. Joseph Larmor obteve a relação entre a energia irradiada e a aceleração da carga elétrica para velocidades muito menores que a velocidade da luz: 2



E 2e2  dv   3  3c  dt o t 2

p 2e2  dv      v t 3c5  dt o

ou na forma covariante: 2



p i 2e 2  dv  i  4  u 3c  dt o 

No capítulo sobre cinemática, nós derivamos as componentes da 4-aceleração:

 v dv  a0   4    c dt 

  dv   dv  a   2    v 2 v  c  dt   dt  4

O invariante de aceleração é dado por:

a   a  0 2

2

 dv 2  v dv 2            dt   c dt   6

a 

0 2 o

2

 dv      dt o

P á g i n a | 274

Igualando as duas equações, obtemos:

 dv 2  v dv 2   dv 2             dt   c dt    dt o 6

Substituindo essas relações nas fórmulas de Larmor, obtemos as equações de Lienárd: 2 2 E 2e2 6  dv   v dv             t 3c3  dt   c dt   2 2 p 2e2 6  dv   v dv             t 3c5  dt   c dt  

G.

Equação de Lorentz-Dirac

Um dos problemas centrais da teoria da relatividade seria uma possível violação da conservação do momento expresso pelo princípio da ação e reação. Em 1900, Poincaré avaliou que seria possível conciliar a eletrodinâmica de Lorentz e o princípio da ação e reação atribuindo uma inércia à energia, que Poincaré comparou a um fluído fictício ideal. A análise de Poincaré permitiu derivar a relação massa-energia quatro anos antes de Hasenhörl e cinco anos antes de Einstein. Entretanto, por alguma razão, Poincaré descartou essa ideia e adotou a postura de Lorentz que a nova físicamatemática (relatividade) não precisava ser adequada ao princípio da ação e reação. Infelizmente, Poincaré faleceu em 1912 e não pode ver e participar dos desdobramentos de suas ideias. Em 1905, Poincaré construiu o grupo de Lorentz e obteve seus 6 geradores de rotação, que correspondem as isometrias do espaçotempo de Poincaré-Minkowski. Há ainda 4 geradores correspondem

P á g i n a | 275

as translações nas 4 direções. O número máximo de isometrias de um espaço 4-dimensional são 10 isometrias. Portanto, o espaçotempo de Poincaré-Minkowski é um espaço maximal, pois apresenta todas as simetrias. De fato, só há dois espaços maximais compatíveis com a teoria da relatividade: Poincaré-Minkowski e De-Sitter. Utilizando o transporte de Lie, podemos estabelecer a equação de Killing e as correntes topológicas de Noether. Cada corrente de Noether corresponde a uma grandeza física: momento linear, momento angular, energia, carga elétrica. Em espaços com simetria maximal, todas essas quantidades são conservadas, pois há uma corrente de Noether associada a cada uma delas. Porém, em espaços não maximais, apenas algumas destas grandezas é conservada, pois não há uma corrente de Noether para todas elas. O Princípio da Equivalência apenas nos assegura a existência de correntes de Noether locais, porém estas deixam de serem válidas quando analisamos a situação global. Desde que a teoria da relatividade especial é descrita sobre uma variedade espaço-tempo de Poincaré-Minkowski apresenta todas as simetrias, diferente de que afirmam Lorentz e Poincaré, a nova teoria precisa incluir a conservação do momento. O problema que ocorre quando consideramos duas partículas interagindo a distância. Como a velocidade de propagação da informação é igual a velocidade da luz, então ação e reação não serão eventos simultâneos. A solução mais simples para esse paradoxo seria associar uma reação ao campo eletromagnético (ou ao éter). Porém, essa solução era estranha a experiência e parecia violar o princípio da relatividade. A outra solução é aquela que Poincaré propôs em seu trabalho de 1900: atribuir propriedades substanciais à energia. Esse foi o caminho adotado por Paul Dirac ao estudar a dinâmica quântica de um elétron relativístico em 1938. Ele atribui uma força de reação a radiação liberada pelo elétron e generaliza as equações de Larmor e de

P á g i n a | 276

Lienárd. Este conjunto de equações obtidas por Dirac foram denominadas de equações de Lorentz-Dirac e são fundamentais não apenas na compreensão física do elétron, como trazem benefícios em processos tecnológicos. O ponto de partida de P. Dirac foi escrever a equação da força de Lorentz e acrescentar a força de reação da radiação: f i  eFij u j  fi reação

Considerando que a partícula esteja em movimento circular devido sua interação com o campo magnético, teremos as equações: d e  m v   v  B  f R dt c

fR 

 dui du i   2e  d 2u u      3  ds 2  ds ds  

Multiplicando a equação por c.u, obtemos a mesma expressão em função da energia:



i  dE 2e2c  d 2u 2  dui du  u u       2 3  ds dt  ds ds  

Para este trabalho, assumimos as seguintes aproximações: mc

du e  uB ds c





u, B  0

Elevando a primeira equação ao quadrado:

P á g i n a | 277

2

2

e 2 du  mc       u 2 B 2 sin 90º  ds   c  2

2

 du   eB  2    2  u  ds   mc 

Agora vamos derivar a equação em relação ao comprimento de arco próprio: 2

2

du d 2u  eB  du  2 2  u 2 ds ds  mc  ds 2

d 2u  eB    u ds 2  mc 2 

Multiplicando a equação por u: 2

d 2u  eB  2 u 2  u 2  ds  mc 

Para partículas ultrarelativísitcas podemos usar a aproximação: u u

E mc 2

d 2u  eBE    ds 2  m2c 4 

2

Na equação de Lorentz-Dirac, se levarmos em conta que o regime é ultrarelativístico, podemos cancelar os últimos termos e obter: 

dE 2 e4cB 2 E 2  dt 3 m 4c8

Usando o fato que a intensidade do campo magnético está associado a trajetória circular de e:

P á g i n a | 278

B

Substituindo na equação:

E eR

dE 2 e 2c  E      dt 3 R 2  mc 2 

4

Logunov esclarece que (2005, p. 170): Se a energia dos elétrons e o valor do campo magnético forem grandes o suficiente, as perdas de energia da radiação síncrotron tornam-se bastante substanciais. A radiação síncrotron é amplamente utilizada em biologia e medicina, na produção de esquemas integrais e assim por diante. Anéis especiais de armazenamento para geração de raios-X intensos são construídos.

P á g i n a | 279

H. Formalismo Hamiltoniano Vamos obter a lagrangiana relativística. Historicamente, o primeiro pesquisador a obter a forma dessas equações foi Max Planck, em 1906, para corrigir a transformação de massa obtida por Einstein e introduzir um conceito unificado de massa inercial. Nossas deduções não irão seguir as considerações de Planck, portanto não representam o desenvolvimento histórico. Inicialmente vamos definir a hamiltoniana de um sistema relativístico: H  xi , pi   E  pi   V  xi 

Devemos observar que diferente da mecânica clássica onde Ei representa a energia cinética da partícula, na teoria da relatividade temos uma forma de energia adicional chamada de energia da partícula. Assim a energia Ei é caracterizada pelas formas conservativas de energia relativística. O 4-momento é definido como o produto da massa de repouso pela 4-velocidade:

pì  m0ui A 4-velocidade se relaciona com a velocidade, por meio da regra:

ui   vi Portanto, o 4-momento pode ser definido pelo seguinte produto: pì   mo vi

pì  m  v  vi

Usando a relação massa-energia, podemos escrever a equação da seguinte forma: E pì  2 vi c Multiplicando a equação pelo momento contravariante,

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E i p vi c2 Esta relação entre as componentes pi e vi será essencial na obtenção da lagrangeana. Se isolarmos a velocidade na equação do momento, obtemos a seguinte relação: p i pì  p 2 

c2 vi  pì E Das equações de Hamilton temos a seguintes relação:

vi 

H pi

Substituindo o valor da função hamiltoniana, teremos:

  E  pi   V  xi   vi   pi Como a energia potencial não depende do momento da partículas, mas apenas de sua posição no espaço-tempo, e a energia é uma função apenas do momento, a equação se torna: vi 

dE dp i

Substituindo o valor da velocidade,

c2 dE pi  i E dp Realizando um produto cruzado, c 2 pi dp i  EdE

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Para realizarmos essa integração devemos proceder com certo cuidado, pois temos uma componente contravariante e uma covariante. Inicialmente escreva o vetor pi na forma contravariante:

c 2 ij i j pi  dpi  EdE c 2ij i j  pi dpi  EdE onde  ij é o tensor da métrica de Poincaré-Minkowski e  i j é o tensor misto de Kroenecker. Como estas quantidades são constantes, então as quantidades em colchetes são constantes. Integrando a equação (usando as regras convencionais do cálculo integral):

c 2ij i j  pi pi E 2  C 2 2 c 2 ij i j p i  p i  E 2  2C c 2 pi p i  E 2  K c2 p2  E 2  K No referencial próprio, o momento deve ser zero e a energia corresponde a energia de repouso da partícula:

0  Eo2  K K   Eo2 Substituindo na equação o valor da constante K, c 2 p 2  E 2  Eo2

Esse é o invariante momento-energia que já havia deduzido. Portanto, a nossa formulação hamiltoniana é consistente com os

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princípios da relatividade. Para obtermos a lagrangeana relativística, basta aplicarmos uma transformação de Legendre: L  p i vi  H

Substituindo o valor do produto p i vi , nossa equação se torna: L

c2 p2  E V E

Substituindo o valor da quantidade c 2 p 2 ,

E 2  Eo2  E V E Eo2  E V LE E  E2  L   o V   E 

L

Utilizando a transformação da energia E para o referencial próprio Eo,  E2  L   o  V    Eo 

Portanto a lagrangeana relativística apresenta a seguinte forma:

E  L   o  V     2 m c  L   o  V    

  v2 L    Eo 1  2  V    c     v2 L    mo c 2 1  2  V    c  

P á g i n a | 283

I.

Tensões de Poincaré

Uma das principais objeções aos modelos de elétron contraído, como na abordagem de Lorentz e Einstein, era a instabilidade do elétron apresentada por Max Abraham. Entre 1904 e 1905, Alfred Bucherer e Paul Langevin tentaram contornar essa dificuldade assumindo que o elétron contraído preservava seu volume. Em 1905, Poincaré ponderou sobre a questão dos modelos do elétron e mostrou que a única solução compatível com o princípio da relatividade era o modelo de Lorentz. Isso levou Poincaré a buscar uma solução para a estabilidade do elétron. Sendo um especialista em equilíbrio de massas fluídicas em rotação, Poincaré estabeleceu uma analogia hidrodinâmica com a eletrodinâmica e buscou as formas de equilíbrio para o elétron. Inicialmente, Poincaré obteve a forma da ação para um elétron quase-estacionário: S    Le  Lc dt

onde Le é a função lagrangeana da autoindução do elétron e Lc é a função lagrangeana de um potencial adicional que mantém o elétron em equilíbrio. Poincaré (1905-1906) em seu estudo sobre o equilíbrio do elétron, provou que esse potencial deveria ser dado pelo produto da pressão, posteriormente denominada de tensão de Poincaré, pelo volume do elétron.

Lc  Pc V Lc  

Eoc



Portanto, tensão de Poincaré será dada por: Pc 

Eoc V

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A função lagrangeana da autoindução do elétron é definida como: L  e

Eoe



A função lagrangeana total LT do elétron é a soma das funções lagrangeana parciais. Para que esta lagrangeana LT para ser covariante em Lorentz, deve ser dada por:

LT  Le  Lc LT 

4 Eoe 3 

Agora vamos calcular o valor da energia inicial associada a tensão de Poincaré.

4 Eoe Eoe Eoc   3    Cancelando os fatores gama e isolando o Eoc : 4 Eoc  Eoe  Eoe 3

Portanto, a energia da tensão de Poincaré é negativa e dada por: 1 Eoc   Eoe 3

Para uma distribuição esférica de carga elétrica, sua energia eletrostática é dada por: e2 Eoe  8 o R Portanto a energia e a pressão de Poincaré, serão dadas por:

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E  c o

P 

e2 24 o R e2

c

1

32  o R  2

4

As tensões de Poincaré não tem natureza elétrica, mas atuam sobre o elétron promovendo uma distensão e evitando seu colapso. Embora a dedução que realizamos aqui tenha seja feito para o movimento quase-estacionário, Poincaré mostrou que para o movimento arbitrário não haveria modificações na ação. Uma importante aplicação das tensões de Poincaré é para o balanço de energia total de uma partícula. Vamos estudar três casos onde podemos aplicar a relação massa-energia: o problema da massa eletromagnética, caixa cheia de luz e uma esfera carregada. Em 1881, J. J. Thompson estudou a distribuição de energia em uma carga elétrica esférica em movimento, quase-estacionário, calculou que a integral da densidade de energia magnética sobre o espaço era igual à: e2 m Eo  v2 2 12 o Rc Na teoria eletromagnética de Maxwell, a energia magnética era associada a energia cinética associada ao éter.  2 1  e2 Eom   v 2  2  6 o Rc 

O termo em parêntesis pode ser tomado como a massa do elétron,

me 

e2 6 o Rc 2

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Usando a energia eletrostática do elétron, temos a relação:

e2

 o R

 8Eoe

Substituindo na expressão da massa eletromagnética: me 

8 Eoe 6 c2

Simplificando, obtemos a massa eletromagnética para o movimento quase estacionário: 4 Eoe me  3 c2 Essa expressão é idêntica a relação massa-energia usual, a menos do fator 4/3. Não se trata de um erro de análise ou de aproximação. Para obtermos a massa eletromagnética efetiva, devemos considerar o efeito da distensão das tensões de Poincaré sobre o elétron:

4 me  3 4 me  3

Eoe Eoc  c2 c2 Eoe 1 Eoe  c2 3 c2

Efetuando essa subtração, obtemos a relação massa-energia:

me 

Eoe c2

Outra situação que conduz a relação massa-energia é o estudo da caixa cheia de luz Em 1904, o físico alemão Hasenhörl analisou teoricamente a inércia de uma caixa de arestas perfeitamente refletoras cheia de radiação. Podemos calcular a inércia da caixa a partir da força necessária para acelera-la. Devido ao movimento

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acelerado, o número médio de choques da radiação com a superfície frontal será menor que na superfície da retaguarda. Por meio de uma análise complicada, Hasenhörl deduziu em 1905, que a inércia da caixa cheia de radiação sofreria um aumento de: m 

4 Eocaixa 3 c2

Esse valor foi confirmado por Abraham20 que deduziu o aumento da inércia da caixa calculando a contribuição da massa maupertusiana da luz para a caixa: 4 Eocaixa mp  3 c2

Como a massa longitudinal e a massa maupertusiana coincidem para um sistema material, as duas relações são equivalentes, embora os conceitos envolvidos sejam fundamentalmente diferentes. Se quisermos medir a inércia total do sistema, devemos incluir a contribuição das distensões dos elétrons da caixa:

 Eoc Eoc m  m  2 ou m  m p  2 c c  4 Eocaixa 1 Eocaixa  m 3 c2 3 c2 E caixa m  o2 c

Em 1904, Hansenhörl usou limites de integração incorretos e obteve uma proporção incorreta da relação massa-energia. Em 1905, Abraham usando o momento linear da luz, deduziu o valor esperado de 4/3. Hasenhörl revisou sua análise corrigindo seu erro e obtendo o mesmo valor de Abraham.

20

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Em outras palavras, a relação massa-energia é uma consequência das tensões de Poincaré. No modelo de Abraham a relação massaenergia deve ser multiplicada pelo fator de ¾: E

3 2 mc 4

Observe que no final do século XIX e começo do século XX, havia uma indicação de que a energia contribuía para o conteúdo inercial. Como medir esse valor com precisão estava aquém do permitido pelos experimentos, não era possível testar as duas teorias por meio desta relação. Outro exemplo da necessidade de se considerar as tensões de Poincaré, nos é fornecido por Richard Feynman e decorre do estudo do momento associado ao campo elétrico produzido por uma distribuição esférica de cargas (como é atribuído ao elétron clássico).

O cálculo do momento do campo eletromagnético, fornecido por Feynman (2008, 28-3) é igual à:

p

e2 v 6 o c 2 R

e2 mp  6 o c 2 R

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Usando a equação da energia eletrostática, obtemos a relação massa-energia de Abraham: U el 

3 mpc2 4

Novamente, se consideramos as tensões de Poincaré, obtemos a relação massa-energia usual. U el  m p c 2

As tensões de Poincaré também tiveram uma importância epistemológica. No final do século XIX surgiu o termo worldpicture para se referir aos quadros que os físicos usavam para caracterizar o mundo natural. O quadro mais comum era o mecânico. Todas as teorias deveriam ser reduzidas a uma descrição mecânica. Tendo em conta esse fato, não nos surpreenderá que as propriedades eletromagnéticas associadas ao éter eram descritas em termo de funções mecânicas. A semelhança entre a equação diferencial de um oscilador harmônico mecânico e de um circuito RLC não é uma coincidência, mas um traço desse quadro mecânico. Abraham rompeu essa tradição e sugeriu que o world-picture deveria ter como base a teoria eletromagnética. Com a descoberta do elétron e as medidas de Kaufmann que mostravam que a massa do elétron variava com a velocidade, inicialmente os pesquisadores penVoltam que a massa do elétron seria uma composição de sua massa mecânica ordinária e uma massa eletromagnética. Porém, pouco tempo depois, os pesquisadores concluíram que toda a massa deveria ser de origem eletromagnética. Em outras palavras, não existia mais a massa mecânica. O edifício do world-picture seria derrubado por dois ataques, proporcionados por Poincaré: o princípio da relatividade e as tensões de Poincaré. O primeiro torpedo foi empregado de maneira assertiva por Einstein. Se não existe um referencial melhor que o outro, uma geometria mais verdadeira do que a outra, então

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não existe um quadro físico superior ao outro: todos são equivalentes. O segundo torpedo foi descarregado pelo próprio Poincaré. Ao provar a existência de forças não elétricas, Poincaré provou que a massa do elétron não pode ser reduzida a uma massa eletromagnética. Uma abordagem mais detalhada sobre significado físico das pressões de Poincaré nos é fornecida de forma muito didática pelo físico estadunidense Richard P. Feynman (28-3, 2008): A discrepância entre as duas fórmulas para a massa eletromagnética é especialmente incômoda, porque provamos cuidadosamente que a teoria da eletrodinâmica é consistente com o princípio da relatividade. Ainda assim, a teoria da relatividade implica sem sombra de dúvida que o momento deve ser igual à energia vezes υ/c2. Estamos com problemas; devemos ter feito um erro. Não fizemos um erro de conta em nossos cálculos, mas deixamos alguma coisa de fora. Quando deduzimos as nossas equações para a energia e o momento, supusemos as leis de conservação. Vamos supor que todas as forças estavam sendo levadas em conta e que todo o trabalho realizado e todo o momento carregado por outros mecanismos “não elétricos” estava incluído. Mas se tivermos uma esfera de cargas, as forças elétricas serão todas repulsivas e um elétron tenderia a ir embora. Como o sistema tem forças não balanceadas, podemos obter todo tipo de erro nas leis relacionando energia e momento. Para obter um quadro consistente, devemos imaginar que algo mantém os elétrons juntos. As cargas devem ser presas na esfera por algum tipo de elástico – alguma coisa que impeça as cargas de voarem embora. Foi notado pela primeira vez por Poincaré que os elásticos – ou o que estiver segurando os elétrons –

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devem ser incluídos nos cálculos da energia e do momento. Por esta razão as forças não elétricas extras também são conhecidas pelo nome mais elegante de “pressões de Poincaré”. Se as forças extras forem incluídas nos cálculos, as massas obtidas pelos dois métodos serão modificadas (de uma forma que depende das suposições detalhadas). E os resultados são consistentes com a relatividade; ou seja, a massa que surge do cálculo do momento é a mesma que surge do cálculo da energia. Entretanto, ambas contêm duas contribuições: uma massa eletromagnética e a contribuição das pressões de Poincaré. Apenas quando as duas são somadas obtemos uma teoria consistente. Portanto é impossível fazer com que toda a massa seja eletromagnética da maneira que esperávamos. A teoria não é válida se não tivermos nada além da eletrodinâmica. Alguma coisa deve ser adicionada. Chamem do que quiserem – “elásticos” ou “pressões de Poincaré”, ou qualquer outra coisa – devem existir outras forças na natureza para gerar uma teoria consistente deste tipo. Claramente, assim que colocarmos forças no interior do elétron, toda a beleza da ideia começa a desaparecer. As coisas se tornam muito complicadas. Você poderia perguntar: as pressões são muito fortes? O que acontece quando o elétron é sacudido? Ele oscila? Quais são as suas propriedades internas? E assim por diante. Seria possível que um elétron tivesse algumas propriedades internas complicadas. Se fizermos uma teoria do elétron seguindo estas premissas, ela prediria propriedades estranhas, tais como modos de oscilação, que aparentemente não foram observados. Dizemos “aparentemente” porque observamos muitos fenômenos da natureza que ainda não fazem sentido.

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Podemos descobrir algum dia que uma das coisas que nós não entendemos hoje (por exemplo, o múon) pode, de fato, ser explicada como uma oscilação das pressões de Poincaré. Não parece muito provável, mas ainda não temos certeza. Existem muitos aspectos das partículas elementares que ainda não entendemos. De qualquer maneira, a estrutura complexa decorrente desta teoria não é desejável, e a tentativa de explicar toda a massa em termos do eletromagnetismo – pelo menos da maneira que descrevemos – levou-nos a um beco sem saída. Gostaríamos de pensar um pouco mais sobre por que dizemos que temos uma massa quando o momento do campo é proporcional à velocidade. Fácil! A massa é o coeficiente entre o momento e a velocidade. Mas podemos olhar a massa de uma outra forma: uma partícula tem massa se você precisar aplicar uma força para acelerá-la. Portanto, pode ser útil para o nosso entendimento se olharmos mais cuidadosamente para a origem das forças. Como sabemos que deve existir uma força? Porque provamos a lei de conservação do momento para os campos. Se tomarmos uma partícula carregada e a empurrarmos durante um intervalo de tempo, haverá algum momento no campo eletromagnético. O momento deve ter sido colocado no campo de alguma maneira. Portanto, deve haver uma força atuando no elétron para mantê-lo em movimento – uma força além daquela exigida pela sua inércia mecânica, uma força devido à sua interação eletromagnética. E deve existir uma força correspondente no “autor do empurrão”. Mas de onde vem esta força? O quadro geral é mais ou menos assim. Podemos pensar o elétron como uma esfera carregada. Quando ele está em repouso, cada elemento de carga repele eletricamente todos os outros, mas as forças se cancelam aos pares, de

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modo que não há nenhuma força resultante [ver Figura (a)]. Entretanto, quando o elétron é acelerado, as forças não se cancelam mais aos pares devido ao fato de que as influências eletromagnéticas levam um tempo para ir de um elemento para o outro. Por exemplo, a força no elemento α na Figura (b) devido a um elemento β no lado oposto depende da posição de β em um tempo anterior, como mostrado. Tanto a magnitude quanto a direção da força dependem do movimento da carga. Se a carga estiver acelerada, as forças nas diversas partes do elétron poderão ser como está mostrado na Figura (c). Quando todas estas forças são somadas, elas não se cancelam. Elas se cancelariam se a velocidade fosse uniforme, mesmo que à primeira vista pareça que o retardamento daria uma força resultante até para uma velocidade uniforme. Mas acontece que não existe uma força resultante a não ser que o elétron esteja sendo acelerado. Com a aceleração, se olharmos as forças entre as diversas partes do elétron, veremos que a ação e a reação não são exatamente iguais, e o elétron exerce uma força nele mesmo que tenta deter a aceleração. Ele se segura, agarrando-se a si mesmo.

Figura. A autoforça em um elétron acelerado não é zero devido à retardação (dF é a força em um elemento de superfície da; d2F é a força no elemento de superfície daα devido à carga no elemento de superfície daβ.

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J.

Conservação do Momento e da Energia

Os vetores de Killing desempenham um papel fundamental no estudo das simetrias, pois eles permitem estabelecer o conceito de corrente de Noether. Dado um campo de vetores de Killing Xp e o tensor momento-energia, podemos estabelecer a equação das correntes de Noether: j q  T pq X p

Para provar que essa corrente se conserva, devemos mostrar que a sua divergência é zero.

 q j q   q T pq X p  Pela regra do produto, nós teremos:

 q j q    qT pq  X p  T pq   q X p  A divergência do tensor momento-energia é sempre zero, portanto:

 q j q    q X p  T pq Da análise tensorial, sabe-se que todo tensor pode ser decomposto como uma soma de suas partes simétricas e antissimétricas.



1 S  Aij  2 ij 1 Sij  Vij  V ji  2 1 Aij   Vij  V ji  2

Vij 



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É fácil ver que uma permutação dos índices pq não podem alterar a expressão, porque a derivada covariante de um tensor contravariante é um invariante. Portanto o tensor covariante no parêntesis (definido pelo produto direto da derivada covariante pelo vetor de Killing) é um tensor simétrico e todo tensor simétrico pode ser decomposto da seguinte forma:

q j q 

1  q X p   p X q  T pq  2

A equação dentro do parêntesis é justamente a equação de Killing que é nula, portanto q j q  0 Q.E.D. O espaço-tempo de Poincaré-Minkowski apresenta um total de 10 vetores de Killing, a saber: 4 translações, 3 rotações, 3 boosts de Lorentz. Este é justamente ao número máximo de isometrias deste espaço. Como tensor métrico apresenta 10 componentes independentes. Isso significa que todas as componentes do tensor métrico são correntes de Noether.

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O tensor momento-energia contém naturalmente a energia, os momenta, a tensão, a pressão e os fluxos de energia e momento. Portanto todas essas quantidades são conservadas na Teoria da Relatividade Especial. Usando o cálculo variacional, é possível incluir ainda a contribuição do campo eletromagnético, nesse caso as correntes elétricas, a densidade de corrente, a densidade de carga e a carga elétrica também são conservadas. Um importante teorema devido a Emmy Noether associa as conservações físicas as características do espaço. A conservação do momento linear implica que as leis da física não se alteram frente as translações. A conservação do momento angular implica que as leis da física não se alteram frente as rotações. E a conservação da energia implica que as leis da física não se alteram com o tempo. Portanto nosso espaço-tempo é homogêneo, uniforme e isotrópico. O Teorema de Noether pode ser ainda generalizado para teorias de calibre, implicando na conservação da carga, do sabor e da cor das partículas. Por exemplo, se o espaço é um invariante em Lorentz, como o espaço-tempo de Poincaré-Lorentz, a carga elétrica, a densidade de carga, a corrente elétrica e a densidade de corrente são conservadas. Curiosamente na Teoria da Relatividade Geral, só há conservação local destas quantidades, pois como já observamos o princípio da equivalência permite estabelecer para uma região infinitesimal um sistema de coordenadas locais. Ao introduzirmos efeitos nãoinerciais devido ao campo gravítico, o número de isometrias não é mais máxima, isto é10 (conforme a métrica, o número de isometria pode cair para menos da metade). Portanto, há violação das conservações de energia e momento. Esse fato foi demonstrado por Emmy Noether e Félix Klein (BRADDING, 2005). O fato do campo gravitacional também ser fonte de campo gravitacional introduz efeitos não-lineares descritos pelas correntes de Noether.

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12. Covariância Geral A. Geodésicas Dado dois pontos em variedade M, a menor distância entre eles é uma curva denominada geodésica que depende das propriedades topológicas da variedade. Em um plano euclidiano, a menor distância que conecta os dois pontos será um segmento de reta. Em uma esfera S², a menor distância entre dois pontos será um arco de circunferência cuja a sua extensão passa pelos polos da esfera. Qual será as geodésicas no espaço-tempo de Poincaré-Minkowski? O espaço-tempo é um plano pseudo-euclidiano, por isso podemos esperar que as geodésicas sejam certos tipos de segmentos de retas. Como a estrutura pseudo-euclidiana da métrica de PoincaréMinkowski permite construir vetores de comprimento nulo e se verifica a desigualdade triangular inversa, as geodésicas do espaçotempo não podem ser retas, pois as linhas de mundo retas são maiores que qualquer linha de mundo curva. Portanto nossas geodésicas devem ser retas de comprimento nulo. Da topologia sabemos que uma variedade esférica S² é difeomórfica a um plano euclidiano. Nestas circunstâncias, se os pontos A e B são tomados infinitamente próximos, mas sem coincidirem, a tangente em cada ponto do arco de circunferência que conecta A e B na variedade S² tenderá a zero, em outras palavras, os arcos de circunferência serão semelhantes a retas, pois a sua curvatura é infinitamente pequena. Portanto, podemos pensar em uma variedade pseudo-riemanniana M que seja difeomórfica ao espaço-tempo de Poincaré-Minkowski e as geodésicas entre dois pontos infinitamente próximos tenda a retas de comprimento nulo. A condição de ter comprimento nulo não pode depender da distância entre dois pontos, portanto a geodésica que conecta A e B na variedade M deve ser uma geodésica de comprimento nulo. Nesta

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seção deduziremos a equação das geodésicas nulas usando o princípio variacional. Para qualquer variedade pseudo-riemanniana definimos a distância ao quadrado entre dois pontos pela a seguinte equação: ds 2  g ij dx i dx j

Tomando a variação dessa equação, nós obtemos:

2ds s  dxi dx j gij  2 gij dx i d x j 2ds s  dxi dx j

gij x

k

 x k  2 gij dxi d x j

Como o índice j na última parcela é mudo, vamos troca-lo por k. 2ds  ds  

gij x k

dxi dx j x k  2 gik dxi d x k

Isolando ds e usando a definição de 4-velocidade, obtemos:

  ds  

1 gij i j k u dx  x  gik u i d x k k 2 x

Agora vamos definir o funcional da métrica:

S   ds c

Pelo princípio de mínima ação, temos que:

 S     ds   0 c

 c

  ds  ds

ds  0

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Substituindo o funcional e usando a definição de 4-velocidade: k  1 gij i j k i d x   u u x g u   ds  0 ik c  2 xk ds 

A derivada da variação da posição pode ser expressa pela seguinte equação: gik u i

d x k d du i k x   gik u i x k   gik ds ds ds

Substituindo na integral:  1 gij d  gik u i  k  d i j k i k c  2 xk u u  x  ds  gik u  x   ds  x  ds  0  

Integrando a segunda parcela e levando em consideração que a variação se anula nos extremos do intervalo:

 1 gij d  gik u i  k  i j k  c  2 xk u u  x  ds  x  ds  0   i m  1 gij i j du g dx i  k c  2 xk u u  gik ds  xikm ds u   x ds  0  1 gij i j du i gik i m  k c  2 xk u u  gik ds  x m u u   x ds  0 Pelo lema fundamental do cálculo das variações obtemos a equação das geodésicas: 1 gij i j gik i m du i u u  m u u  gik 0 2 x k ds x

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Observe que o segundo termo pode ser expresso pela relação:

gik i m 1  gik g km  i m u u   m  i u u x m x  2  x Trocando o índice mudo m por j:

gik i m 1  gik g kj uu   j  i 2  x x m x

 i j u u 

Substituindo essa relação na equação das geodésicas:

1 gij i j 1  gik g kj uu   j  i x 2 x k 2  x 1  gij gik g kj    2  x k x j xi

 i j du i u u g  0  ik ds 

 i j du i  0 u u g  ik ds 

Multiplicando a equação pelo oposto do tensor métrico conjugado

1 ik  gik g kj gij g    2  x j xi x k 1 ik  gik g kj gij   g  2  x j xi x k 1 ik  gik g kj gij   g  2  x j xi x k

 i j du i ik u u g g  0  ik ds  i  i j k du   0 u u  i ds   i j du k 0 u u  ds 

A primeira parcela são os símbolos de Christoffell de segundo tipo ou as conexões de Riemann-Christofell:

 k  i

 i j du k 0 u u  j ds

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A resolução das n equações diferenciais fornecem as n geodésicas de comprimento nulo. Para o espaço-tempo de Poincaré-Minkowski, as conexões são todas nulas.

du k 0 ds Cujas soluções para as quatro equações diferenciais são:

u k  ak Substituindo os valores da velocidade:

a0    a  v c Exigimos que as geodésicas tenham comprimento nulo, portanto a norma do vetor velocidade deve ser zero:

u 

0 2

2 

 u2  0

2 c

  2

v2  0

2

2 c

2

v2

v  v  v  v2  c2 2 x

2 y

2 z

Desta última equação, podemos escrever: c 2  vx2  v y2  vz2  0

Tomemos um intervalo do tipo-luz:

c2 dt 2  dx2  dy 2  dz 2  0

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Dividindo esse intervalo por dt²: 2

2

2

 dx   dy   dz  c2           0  dt   dt   dt  c 2  vx2  v y2  vz2  0

Que é a geodésica que deduzimos anteriormente. O intervalo do tipo-luz corresponde as geratrizes do cone de luz, portanto as geodésicas do espaço-tempo são as retas que conectam dois eventos no espaço-tempo que se propagam a velocidade da luz. Contudo, essas não são as únicas geodésicas. Se considerarmos eventos que ocorrem dentro do cone de luz (eventos do tipo-tempo), teremos outro conjunto de geodésicas de comprimento não-nulo. Nesse caso, as geodésicas serão funções da velocidade do corpo:

u 0  cosh a u 2  u x2  u y2  u z2  sinh 2 a

Escrevendo essas equações em função das coordenadas espaçotemporais: dx 0  cosh a ds dx  sinh a ds Substituindo o valor de ds e integrando a equação (considerando a velocidade constante):

dx 0  c cosh 2 adt c dx  sinh  2a  dt 2

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Integrando as funções e impondo que cada evento esteja localizado em sua origem:

x 0   cosh 2 a   ct  1 x  sinh  2a  ct  2 Então nossas geodésicas serão arcos de hipérboles sobre a superfície de um hiperboloide de duas folhas que conecta os dois eventos. Fora do cone de luz, as geodésicas também são arcos de hipérboles que na superfície de um hiperboloide de uma folha que conecta os dois eventos.

Figura 1: Cone, hiperboloide de duas folhas e de uma folha. As geodésicas em cada superfície, correspondem respectivamente as geodésicas nulas (tipo luz), geodésicas tipo tempo e geodésicas do tipo espaço. Geodésicas no plano de Poincaré-Minkowski: na região do tipo tempo e do tipo, as geodésicas são arcos de hipérboles sobre a hipersuperfície de hiperboloides obtido pela rotação das hipérboles que conectam os eventos. As geodésicas nulas correspondem as retas tracejadas que são as geratrizes do cone de luz (ver Figura 2).

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FIGURA 2. (NORTON, 2019) Alguns registros importantes acerca das geodésicas no espaçotempo são fornecidos por Logunov (2005, p. 159): Vemos que o movimento inercial de qualquer corpo de teste, independentemente de sua massa, prossegue ao longo da linha geodésica, determinada pela equação da geodésica. É absolutamente evidente que em coordenadas arbitrárias as linhas geodésicas não poderiam ser tratadas como linhas diretas, isso é confirmado pela dependência não linear das coordenadas espaciais xi (i = 1, 2, 3) na variável de tempo x0. O movimento ao longo de uma linha geodésica no espaço de Minkowski é um movimento livre. Assim, forças de inércia não podem causar nenhuma deformação por si mesmas. Sob sua influência, o movimento livre ocorre. A situação muda quando existem forças de reação que neutralizam as forças de inércia. Neste caso, a deformação é inevitável. Na ausência de gravidade, em um satélite, a deformação não existe, porque, devido ao campo gravitacional ser homogêneo, em cada elemento do volume de um corpo a compensação da força da gravidade pelas forças da

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inércia ocorre. As forças da gravidade e as forças da inércia são forças de volume. As forças físicas são quatro vetores no espaço de Minkowski. Mas as forças de inércia não são, uma vez que podem ser tornadas iguais a zero pela transição para um sistema de referência inercial no espaço de Minkowski.

Um exemplo de espaço-tempo mais complexo é o espaço-tempo de Schwarzchild que difeomórfico ao espaço-tempo de PoincaréMinkowski. Esse é o espaço-tempo devido a uma partícula esférica e estacionária com massas e densidades altíssimas. Em primeira aproximação, o espaço-tempo de Schwarzchild se ajusta de maneira adequada a descrição do sistemas solar e as leis de Kepler sobre a órbita planetária. A métrica de Schwarzchild é dada por: 1

2Gm   2Gm  2 2  ds  1  c dt  1  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2 2  2  rc rc     2

E os mapas abaixo representam as geodésicas nulas neste espaçotempo:

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Por fim, é importante ressaltar que: Assim, estabelecemos que a transição no espaço de Minkowski das coordenadas da Galileu em um sistema de referência inercial para coordenadas arbitrárias é um procedimento matemático simples, se a diferenciação covariante tiver sido definida. A propriedade de covariância das equações não tem nada a ver com o princípio da relatividade. Isso há muito tempo foi esclarecido pela V.A. Fock. Portanto, não existe um “princípio geral da relatividade”, como princípio físico. (Ibid, p. 169)

Na próxima seção definiremos esse processo chamado de diferenciação covariante, para tornar ainda mais prático e objetivo a análise dos fenômenos físicos na variedade espaço-tempo.

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B. Cálculo Diferencial Absoluto Como vimos na seção anterior, existe um operador que torna a análise da modificação entre sistemas de referência um tarefa bastante simples. Esse operador é chamado de derivada covariante. Antes de deduzirmos a regra da derivada covariante, convém mostrar de forma mais clara as limitações da derivada ordinária e suas implicações físicas. 1.

A Derivada Conectiva

Observadores O e O’ se encontram na origem de um sistema cartesiano de coordenadas. Sem perda de generalidade, assumiremos que o observador O’ é o observador estacionário e o observador O apresenta um momento angular variável em relação aos eixos XYZ. Sendo A o vetor posição que gira na mesma proporção que O, iremos calcular a sua derivada em relação ao tempo na perspectiva do referencial fixo (f) e do referencial móvel (m). Definimos o vetor posição pela equação: A  Ai ei Na perspectiva do observador móvel, apenas a magnitude do vetor posição varia: dA dA  i ei dt m dt Para o observador fixo, tanto a magnitude quanto os versores variam ao longo do tempo:

dA dAi i dei e  Ai  dt dt dt dA dA dei   Ai dt f dt m dt

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Todo versor é ortogonal a sua própria derivada no tempo, dei i ,e  0 dt

Isso significa que cada derivada do versor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros versores: dei   ij e j dt

 j  i

Multiplicando a equação por ej:

dei e j   ij e j e j dt dei e j   ij dt

 j  i  j  i

Observe que: ei , e j  0

d i e , ej  0 dt dei de j ej   ei dt dt

Escrevendo em função dos coeficientes alpha, obtemos a relação:

 ij   i j Portanto, alpha é um tensor misto antissimétrico. Essa propriedade torna supérflua a condição de que i seja diferente de j, pois como o tensor é antissimétrico, quando i for igual a j, ele será

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nulo. Vamos agora explorar outra consequência importante dessa antissimetria. Inicialmente, expandiremos as derivadas dos vetores:

de1   21e2   31e3  ...   n1e n dt de 2  12e1   32e3  ...   n2e n dt de3  13e1   23e2  ...   n3e n dt de n  1n e1   2n e 2  ...   nn1en 1 dt Observe que podemos usar a antissimetria do tensor alpha e reduzir o número de coeficientes:

de1   21e 2   31e3  ...   n1e n dt de 2   21e1   32e3  ...   n2e n dt de3   21e1   32e2  ...   n3e n dt de n   n1e1   n2e2  ...   nn 1e n 1 dt Para cada vetor da base teremos n – 1 termos negativos devido a antissimetria do tensor. Da equação da derivada do vetor A, temos que:

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dA dA de1 de2 de3 den ....  An   A1  A2  A3 dt f dt m dt dt dt dt Substituindo os valores das derivadas:

dA dA   A1  21e 2   31e3  ...   n1e n  dt f dt m

 A2   21e1   32 e3  ...   n2 e n   A3   21e1   32 e 2  ...   n3e n  ...

 An   n1e1   n2 e 2  ...   nn 1e n 1  Vamos evidenciar vetores da base:

dA dA     21 A2   31 A3  ...   n1 An  e1 dt f dt m

  21 A1   32 A3  ...   n2 An  e 2

  31 A1   32 A2  ...   n3 An  e3  ... 



1 n

A1   n2 A2  ...   nn 1 An 1  e n

Permutando os índices dos coeficientes negativos,

dA dA   12 A2  13 A3  ...  1n An  e1 dt f dt m

  21 A1   23 A3  ...   2n An  e 2

  31 A1   32 A2  ...   3n An  e3  ...   n1 A1   n2 A2  ...   nn 1 An 1  e n

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Estas equações podem ser escritas de forma compactada como:

dA dA    ij Ai  e j dt f dt m Por essa expressão podemos definir a derivada conectiva em uma variedade euclidiana: D f  Dm   ij e j 

Para o caso 3-dimensional, a derivada conectiva de um vetor apresenta a seguinte estrutura: D f  Dm  w 

Para demonstrar essas relações, tomemos a derivada conectiva do vetor A: dA dA   12 A2  13 A3  e1   21 A1   23 A3  e2   31 A1   32 A2  e3 dt f dt m dA dA   13 A3   21 A2  e1   21 A1   32 A3  e 2   32 A2  13 A1  e3 dt f dt m

Agora identificaremos as componentes do tensor com o vetor w:

13  w2 ,  21  w3 ,  32  w1 dA dA    w2 A3  w3 A2  e1   w3 A1  w1 A3  e 2   w1 A2  w2 A1  e3 dt f dt m

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Usando a definição de produto vetorial:

dA dA   w A dt f dt m Destas relações também podemos deduzir uma importante identidade vetorial:  f  m   

Essa relação é empregada no eletromagnetismo para o estudo das correntes de convecção de Maxwell que ocorrem em sistemas que apresentam movimento relativo. Em mecânica dos fluídos e dos meios contínuos, há outras classes de importantes derivadas:

P á g i n a | 313

2.

A Derivada Conectiva e as Forças Inerciais

O princípio da relatividade da mecânica, atribuído a Galileu Galilei, estabelece que todos os referenciais inerciais são equivalentes e nenhuma experiência mecânica permite estabelecer se estamos em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Porém, quando o referencial não é inercial, há uma quebra desta simetria e, portanto, há efeitos mensuráveis. Isaac Newton considerava estes efeitos como evidências de um espaço absoluto. Ernest Mach (1912), entretanto, considerou que estes efeitos também seriam relacionais. Ninguém é competente para predicar coisas sobre espaço absoluto e movimento absoluto; são coisas puras de pensamento, construções mentais puras, que não podem ser produzidas na experiência. Em vez disso, agora, ao referir um corpo em movimento K ao espaço (isto é, a um sistema de coordenadas), vamos ver diretamente sua relação com os corpos do universo, pelos quais somente um sistema de coordenadas pode ser determinado. Mesmo no caso mais simples, no qual aparentemente lidamos com a ação mútua de apenas duas massas, é impossível negligenciar o resto do mundo. Se um corpo gira em relação ao céu de estrelas imóveis, surgem forças centrífugas, enquanto que se gira em torno de outro corpo, em vez do céu de estrelas imóveis, nenhuma força centrífuga surgirá. Não tenho nada contra chamar a primeira revolução de absoluta, se alguém não esquecer que isso significa nada além de revolução em relação ao céu de estrelas imóveis. Não há necessidade de relacionar a lei da inércia a algum espaço absoluto especial. Vamos investigar o surgimento dessas forças, denominadas de forças inerciais, que surgem devido a não inercialidade do referencial. Seja o vetor posição r em relação aos referenciais fixo e em movimento. Para estudarmos a variação deste vetor, devemos usar a derivada conectiva:

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D f r  Dm r  w  r

Definindo as velocidades no referencial fixo e no referencial em movimento: v f  vm  w  r

O argumento de Mach, endossado por Poincaré, pode ser demonstrado. Se o observador fixo se considerar em movimento de rotação e o observador móvel se considerar em repouso, podemos aplicar as mesmas equações fazendo uma reflexão sobre a velocidade: v f  vm  w  r v f  vm  w  r

Isso significa que o observador móvel consideraria o observador fixo girando em um sentido contrário. Do ponto de vista físico, todos os efeitos seriam conservados. O fato do produto vetorial entre w e r não apresentar simetria de reflexão é porque a velocidade angular w é um vetor axial e o vetor r é um vetor polar. O produto destes dois vetores gera um novo vetor polar. Agora vamos derivar os efeitos sobre a aceleração. Se tomarmos, mais uma vez, a derivada conectiva da velocidade, nós obteremos:

D f v f   Dm  w  vm  w  r  D f v f  Dmvm  Dm  w  r   w  vm  w   w  r  D f v f  Dmvm   Dm w   r   w  Dm r   w  vm  w   w  r  D f v f  Dmvm   Dm w   r   w  vm   w  vm  w   w  r  Portanto a equação da aceleração será:

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a f  am    r  2w  vm  w   w  r 

A segunda parcela é a aceleração azimutal ou aceleração de Euler. O terceiro termo é a aceleração de Coriolis. Por fim, o quarto termo é a aceleração centrífuga. Se multiplicarmos a equação pela massa da partícula, obtemos a expressão clássica da força: Ff  Fm  m  r  2mw  vm  mw   w  r 

Definimos a força fictícia como a diferença entre a força aferida no referencial fixo pela a força aferida no referencial móvel:

Ff  Fm  m  r  2mw  vm  mw   w  r  Ffictícia  m  r  2mw  vm  mw   w  r  Se ambos os referências forem inerciais, a diferença das forças deve ser zero, portanto não há forças fictícias. O movimento de rotação da Terra é responsável pelo surgimento de células atmosféricas e a circulação dos ventos.

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Vamos falar um pouco mais destas forças inerciais. Tomemos Um sistema de duas esferas ligadas por uma corda e são postas para girar com velocidade angular constante. Durante esse movimento, para um referencial fixo, as esferas estarão sujeitas as forças inerciais: centrifuga e de Coriolis. Não há força de Euller, pois a aceleração angular é zero. A força centrífuga (vetor roxo) tende a jogar a esfera para fora da órbita circular que ela descreve.

A força de Euler pode ser descrita como a força que haja em uma pessoa sentada em carrossel. A medida que o carrossel acelera, a pessoa é jogada para trás e à medida que o carrossel desacelera, ela é jogada para frente. Já a força de Coriolis explica a circulação dos ventos, alterações do período do pendulo de Foucaut e outros efeitos associados a conservação do momento angular. O ponto que gostaríamos de salientar é que a derivada não é uma medida absoluta da taxa de variação. Em outras palavras: diferentes sistemas de coordenadas terão diferentes derivadas. A derivada covariante surge da necessidade de se definir uma derivada que seja independente do sistema de coordenadas.

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3.

A Derivada Covariante

Nesta seção iremos deduzir a regra da derivada covariante. Como partiremos da definição ordinária de derivada, a derivada covariante naturalmente herdará as propriedades de regra do produto e regra da cadeia. Por meio destas regras e o produto direto de tensores, podemos derivar leis para tensores de ordem arbitrária. Em nossa análise, porém, apenas estudaremos a derivada covariante de tensores de primeira ordem. Inicialmente, vamos construir um invariante Ak u k e diferencia-lo em relação ao diferencial do comprimento de arco: dA d du k Ak u k   k u k  Ak  ds ds ds

Usando a equação das geodésicas nulas

 k dA d Ak u k   k u k  Ak   ds ds i

 i j u u j

Pela regra da cadeia, a primeira parcela da direita deve ser escrita da seguinte forma:

 k  i j dAk dx m k d k A u u  Ak     u u k m ds dx ds i j   k  i j dA d Ak u k   mk u mu k  Ak   u u ds dx i j  Como k e m são índices mudos na primeira parcela do lado direito, podemos substituí-los por i e j e evidenciar as velocidades:

 dA  k d Ak u k    ij  Ak   ds i  dx

 i j u u j

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Como o lado esquerdo é um invariante, o lado direito também deve ser. Portanto os termos em parêntesis devem contrair com as velocidades, o que implica que o termo em parêntesis é um tensor covariante de segunda ordem. Esse tensor construído a partir da derivada de um vetor covariante é denominado de derivada covariante do vetor Ai:

 k DAi dAi  j  Ak  j dx dx i

  j

Em geral, denotamos a derivada covariante de um tensor em relação a um índice arbitrário, usando um ponto e vírgula para destacar o índice: DA Ai ; j  ji dx Pelo mesmo processo podemos provar que a derivada covariante de um vetor contravariante é dada pela seguinte regra:

 i  DAi dAi  j  Ak   j dx dx  j k Para tensores de segunda ordem, as derivadas covariantes serão:

DAij dx

k



 m  Aim  dx k

dAij k

  m    Amj   j k i 

i   j  DAij dAij mj   k  Aim   A   k dx dx k m  k m  DAij dx

k



dAij

i   m  m  Ami    Aj   dx  j k k m  k

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Se existe uma derivada covariante, a pergunta óbvia é: existe uma derivada contravariante? Embora esse seja um tema pouco abordado nos livros de tensores, existe uma derivada contravariante. A razão desse tema não despertar o interesse dos autores deve-se ao fato da derivada contravariante trazer poucas vantagens em relação a derivada covariante. Podemos também definir a derivada contravariante de um vetor pela regra (SANCHEZ, 2011, p. 84):

Ai;k  g kj Ai ; j Ai ;k  g kj A;i j E para tensores de segunda ordem: Tij;k  g klTij ;l T ij ;k  g klT;lij T ji ;k  g klT ji;l

Um importante resultado do cálculo tensorial é conhecido como Lema de Ricci, que demonstra que a derivada covariante do tensor métrico é zero21: Dgij dx k

0

Em outras palavras, no cálculo diferencial absoluto, o tensor métrico atua como se fosse uma constante. O lema de Ricci nos permite generalizar o conceito de conexão. Se Tij é um tensor simétrico, não singular (det Tij é diferente de zero) e sua derivada covariante é zero, então podemos expressar as conexões pela seguinte regra (SANCHEZ, 2011, p. 69-70): 21

Para uma demonstração, ver Sanchez (2011, p. 66-68)

P á g i n a | 320

 k  1 km  T jn Tni Tij     T  i   x j x n  i j  2  x

Esta fórmula é particularmente útil na relatividade geral, já que há uma variedade mais geral chamada de variedade de Weyl. O tensor de Weyl satisfaz todas as condições descritas acima e por isso podemos definir as conexões em função dos tensores de Weyl. Para demonstrarmos essa relação, comecemos com o tensor conjugado de T: T km  g ik g jmTij

Tomemos a derivada covariante do tensor Tij:

DTij dx

n



Tij

 k   k   Tik    T jk   dx  j n i n  n

Como a derivada covariante deve ser zero (por construção):

Tij

 k   k   Tik    T jk   dx  j n i n  n

Realizando uma permutação cíclica dos índices, obtemos as relações:

T jn

 k  Tkn  dx j  k Tni  T  ki dx j n i

  k   T jk  i n   k   Tnk  j i

  i   j

Somando estas duas equações e subtraindo da primeira:

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 k   k   k   k Tkn    T jk    Tki    Tnk   j i n i  n j  i  k   k  T jn Tni Tij Tik    T jk   i  j  n dx dx  j n i n  dx

  j

Levando em consideração a simetria dos índices inferiores:

 k 2Tkn  j

 T jn Tni Tij  j  n  i  dxi dx dx

 k  1  T jn Tni Tij  Tkn     i   dx j dx n   j i  2  dx

Multiplicando a equação pelo conjugado de Tmm  k T kmTkn  j

 1 km  T jn Tni Tij    T  i   i 2 dx j dx n   dx

 k  1 km  T jn Tni Tij    T  i   dx j dx n   j i 2  dx

 nm 

Escolhendo n = m:  k  1 km  T jm Tim Tij     T  i   dx j dx m  i j  2  dx

que conclui a demonstração. Observe que há uma simetria nos índices inferiores da conexão. Isso significa que a variedade não apresenta torções. Esse caso particular de conexão é chamada de afim. Variedades com torções apresentam um tipo mais geral de conexão denominada de conexão de Cartan-Einstein.

P á g i n a | 322

4.

Propriedade das Conexões

As conexões de Riemman-Christoffell apresentam algumas propriedades particulares que são recorrentes no estudo das variedades e da formulação covariante física, sobre tudo a Teoria da Relatividade Especial. Comecemos a escrever a definição dos símbolos de Christoffell:  k  1 km  g jm gim gij      g   i dx j dx m  i j  2  dx

Nessa seção exploraremos alguma três dessas propriedades. Há duas observações importantes que devemos registrar aqui: (i) Um sistema de coordenadas é ortogonal se gij for nulo para todo i diferente de j. (ii) Índices repetidos em sistemas ortogonais não indicam somas. a) Se k = i para um sistema de coordenadas ortogonais:  k  k  k  k

 1 km  g jm g km g kj   m  g  k  j 2 dx j dx   dx  1 kk  g kj g kk g kj   k   g  k  j 2 dx j dx   dx

 k  1 kk g kk   g dx j k j  2 Levando em consideração que o tensor métrico conjugado é o inverso do tensor métrico e a derivada do logaritmo natural,

 k   ln g kk   dx j k j 

P á g i n a | 323

b) Se j = i para um sistema de coordenadas ortogonais:

 k  1 km  gim gim gii    g  i  i  m  dx dx   dx i i  2  k  1 km  gim gii     g 2 i  m  dx   dx i i  2  k  1 kk  gik gii     g 2 i  k  dx   dx i i  2  k  1 kk gii   g 2 dx k i i  c) Se k= j = i para um sistema de coordenadas ortogonais:

 i  1 im  gim gim gii     g  i   dxi dx m   dx i i  2  i  1 im  gim gii     g 2 i  m  dx   dx i i  2  i  1 ii  gii gii     g 2 i  i  dx  i i  2  dx  i  1 ii gii   g dxi i i  2 Levando em consideração que o tensor métrico conjugado é o inverso do tensor métrico e a derivada do logaritmo natural,

 i  i

  ln gii  i dxi

Observe que esta relação c é um caso especial da relação a, mas não pode ser assumida como um caso particular da razão b..

P á g i n a | 324

5.

A Formulação Covariante da Física

Nas últimas seções demonstramos que a derivada ordinária apresenta uma limitação: ela não é invariante, pois as taxas de variação dependem do referencial adotado. Uma forma prática desse corrigir essas diferenças é por meio da inclusão forças fictícias. Contudo este método tem a desvantagem de não ser geral. Para cada caso devemos descobrir os termos que compensam a mudança de referencial. Por essa razão, o uso da derivada covariante se mostra uma ferramenta poderosa. Para exemplificar, vamos definir uma função escalar:

x O gradiente desta função é a unidade:   iˆ

Porém, em coordenadas polares, essa função é escrita como:

  r cos E seu gradiente será:

 1  ˆ  rˆ  r r    cos  rˆ  sin ˆ

 

Com auxílio da derivada covariante, o gradiente para um sistema ortogonal de coordenadas pode ser escrito sobre forma absoluta (SANCHEZ, 2011, p. 116-177):

 

1  eˆ i i g(ii ) x

P á g i n a | 325

Onde os índices repetidos entre parêntesis não são somados. Para um plano euclidiano, a métrica é dada por:

ds 2  dx 2  dy 2 g11  g 22  1 Portanto, o gradiente será dado por:

 

1  1  eˆ  eˆ 1 1 2 2 g(11) x g(22) x

 

1 x ˆ 1 x ˆ i j 1 x 1 y   iˆ

Para uma circunferência, a métrica é dada por: ds 2  dr 2  r 2 d 2 g11  1, g 22  r 2 tan  

y , r  x2  y 2 x

Portanto, o gradiente será dado por:  

 

1  eˆ  1 1 g (11) x

1  eˆ 2 2 g (22) x

1   r cos   1   r cos   ˆ rˆ   r  1 r2   cos  rˆ  sin ˆ

P á g i n a | 326

Figura 1. Na primeira figura temos o vetor gradiente em coordenada cartesianas que é constante em todos os pontos. Na segunda figura, o vetor gradiente em coordenadas polares é variável. O método de construção de leis físicas consiste em substituir as derivadas ordinárias por derivadas covariantes. Observe que todas as considerações que fizemos até agora não se tornam inválidas, visto que na geometria de Poincaré-Minkowski todos os símbolos de Christoffell são nulos, a derivada covariante é expressa pela derivada ordinária do tensor: DAi Ai dx j x j Nesse caso, podemos dizer que a formulação covariante em Lorentz é um caso particular de uma formulação que apresente covariância arbitrária. Com o emprego de derivadas covariantes, nossas equações de Maxwell assumem a seguinte forma:

 Dk Fij  Di Fjk  D j Fki  0   4 i ij J Dj F   c 

Fij  Di Aj  D j Ai

Usando a regra da derivação covariante, a última equação assume a seguinte forma:

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i   j  DF ij F ij mj    F im   F   j j x dx  j m  j m A última parcela deve ser zero, pois o tensor eletromagnético é antissimétrico e os símbolos de Christoffell são simétricos. A segunda parcela satisfaz a propriedade (2) das conexões.

 ln g jj DF ij F ij  j  F im j dx dx m x Observe que o tensor métrico não é somado, enquanto o índice m é mudo. Podemos troca-lo pelo índice j e aplicar a regra do produto:

 ln g jj DF ij F ij ij F   dx j dx j x j   g jj 1 DF ij F ij ij F   dx j x j dx j  g jj  g jj F ij   g jj 1 DF ij ij F   j dx j dx j  g jj x  g jj

1  DF ij  dx j  g jj



 g jj F ij x



j

Substituindo na segunda equação de Maxwell, obtemos sua forma covariante geral:

1   g jj



 g jj F ij x

j

   4 J c

i

P á g i n a | 328

6.

Derivada Absoluta

Na geometria diferencial, cada função que mapeia uma parte da variedade compõe uma carta. O conjunto de todas as cartas que mapeiam toda a variedade formam um atlas. Cada carta é representada por uma parametrização da variedade e como existem infinitas parametrizações, existem infinitos atlas de uma variedade. Em geral, cada parametrização depende da escolha do sistema de coordenadas, porém para cada variedade existe um parâmetro que é um invariante e recebe o nome de parâmetro intrínseco. No cálculo tensorial esse parâmetro intrínseco é o elemento de linha da variedade dada pela forma quadrática fundamental: ds 2  g ij dx i dx j

Definimos a derivada absoluta ou a derivada intrínseca de um tensor como sua derivada em relação ao seu elemento de linha:

 T dT DT dxi    s ds xi ds A partir da derivada absoluta podemos obter uma expressão mais geral da equação das geodésicas, válidas para qualquer variedade. Inicialmente tomemos a derivada absoluta da velocidade:

 u i u i Du i dx j    s s x j ds Como u não depende de s, sua derivada parcial é nula:  i   dx j  u i  u i   j  uk    s  x  j k   ds

Distribuindo os termos e abrindo o vetor velocidade:

P á g i n a | 329

 u i u i dx j  i  dx j dx k     s x j ds  j k  ds ds Pela regra da cadeia, podemos escrever a primeira parcela do lado direito da seguinte forma:4

 u i du i  i  dx j dx k     s ds  j k  ds ds   dxi  d  dxi   i  dx j dx k       s  ds  ds  ds   j k  ds ds Portanto, a equação da geodésica será:

  dxi  d 2 xi  i  dx j dx k      s  ds  ds 2  j k  ds ds Em termos da velocidade, nossa equação se transforma em:

  dxi  d 2 xi  i  j k  u u    s  ds  ds 2  j k 

 u i du i  i  j k   u u  s ds  j k  Se a derivada absoluta da velocidade for zero, obtemos a equação das geodésicas nulas:

du i  i  j k  u u  0 ds  j k  Nas teorias físicas, a derivada absoluta substitui a derivada temporal ordinária. Assim, a segunda lei de Newton como foi expressa por Kirchhoff, apresentará a seguinte expressão:

P á g i n a | 330

 ui f m s A métrica de um sistema em rotação, em unidades próprias, é dada por: ds 2  1  w2 r 2  dt 2  2wrd dt  dr 2  r 2 d 2  dz 2

Se usarmos esta métrica deduzimos as forças fictícias que um observador fixo ver agir sobre um sistema em rotação. Logunov (2005) também consegue deduzir a partir do estudo das transformações da métrica, o efeito Sagnac.

22

Como é sabido, o efeito Sagnac, em consonância com o experimento de Michelson, é um dos experimentos básicos da teoria da relatividade. Mas até agora é possível ler explicações incorretas desse efeito com a ajuda de sinais que se propagam mais rápido que a luz ou com a ajuda da relatividade geral). Portanto, consideramos necessário enfatizar mais uma vez a natureza relativista puramente especial do efeito Sagnac. Vamos 22

Fonte: https://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.4904319?journalCode=ajp

P á g i n a | 331

primeiro descrever o experimento de Sagnac. Existem espelhos situados nos ângulos de um quadrilátero em um disco. Os ângulos de sua disposição recíproca são tais que o feixe de uma fonte monocromática após reflexões sobre esses espelhos passa um círculo fechado e retorna à fonte. Com a ajuda de uma placa semitransparente, é possível dividir o feixe proveniente de uma fonte em dois feixes que se movem em direções opostas sobre esse círculo fechado. Sagnac descobriu que, se o disco estiver sujeito a rotação, o feixe com a direção da sua volta coincidindo com a direção da rotação retornará à fonte mais tarde do que o feixe com a volta oposta, resultando em uma mudança na imagem de interferência na a placa fotográfica. Depois de trocar o sentido de rotação, as faixas de interferência mudam na direção oposta. Que explicação foi dada para esse efeito? O próprio Sagnac obteve um valor teórico para a magnitude do efeito pela adição puramente clássica da velocidade da luz com a velocidade linear de rotação do feixe movendo-se oposto à rotação e subtração correspondente para o feixe se movendo na direção da rotação. A discrepância desse resultado com o experimento foi de ordem percentual. Essa explicação dos resultados experimentais permaneceu mais tarde menos invariável ou até se tornou obscura. Como exemplo típico, apresentamos uma citação relacionada de “Óptica” de A. Sommerfeld: “O resultado negativo obtido por Michigan, é claro, não nos diz nada sobre a propagação da luz em meios rotativos. Nesse caso, devemos explorar, em vez da relatividade especial, a teoria geral da relatividade, com seus termos adicionais correspondentes a forças centrífugas mecânicas. Se, no entanto, levar em consideração que, em experimentos subsequentes (por Sagnac e outros. - AL), apenas as velocidades v ≪ c são consideradas e apenas os efeitos de primeira ordem em v / c são calculados, é possível evitar a teoria da relatividade e faça cálculos apenas classicamente”. Veremos abaixo que a explicação do efeito Sagnac reside na plena competência da teoria especial da relatividade e nem a teoria geral da

P á g i n a | 332

relatividade nem as velocidades superluminais não são necessárias, como também quaisquer postulados adicionais.

Ainda Sobre a importância do efeito Sagnac, Brown (2017) acrescenta que: Já em 1904, Michelson havia proposto o uso de um dispositivo para medir a rotação da Terra, mas ele não havia adotado a idéia, uma vez que medidas de rotação absoluta são bastante comuns (por exemplo, o pêndulo de Focault). No entanto, ele (junto com Gale) concordou em realizar o experimento em 1925 (a um custo considerável), a pedido de "relativistas", que desejavam que ele verificasse a mudança de 236/1000 de uma margem prevista pela relatividade especial. O objetivo era refutar principalmente a teoria de um éter totalmente arrastado pela Terra em rotação, bem como a única teoria balística fisicamente plausível da propagação da luz, ambas as quais preveem mudança de fase zero (para um dispositivo circular). Michelson não estava entusiasmado, uma vez que a ótica clássica na suposição de um éter estacionário previu exatamente a mesma mudança que a relatividade especial (como explicado acima). O próprio Michelson escreveu que "esse resultado pode ser considerado uma evidência adicional em favor da relatividade - ou igualmente como evidência de um éter estacionário". O único significado do efeito Sagnac para a relatividade especial (além de fornecer outro argumento contra a teoria balística) é que, embora o efeito em si seja de primeira ordem em v / c, a descrição qualitativa das condições locais no disco em termos de coordenadas inerciais dependem de efeitos de segunda ordem. Esses efeitos foram confirmados empiricamente, por exemplo, pelo experimento Michelson-Morley. Considerando a Terra como uma partícula em um grande dispositivo Sagnac enquanto orbita em torno do Sol, os experimentos de deriva do éter demonstram esses efeitos de segunda ordem, confirmando que a velocidade da luz é de fato invariável em relação aos sistemas de coordenadas inerciais relativamente em movimento.

P á g i n a | 333

C. O Princípio da Equivalência Em 1907, Albert Einstein escreveu um artigo intitulado Sobre o Princípio da Relatividade e suas Implicações. Nesse ensaio, Einstein apresenta uma revisão de seus ensaios de 1905 e novas descobertas. Ainda nesse ensaio, Einstein apresenta suas primeiras tentativas de associar o princípio da relatividade a gravitação: o desvio para o vermelho e o princípio da equivalência (que Einstein afirmava ter sido a sua ideia mais feliz). Sobre este último, Einstein declara: Vamos considerar dois sistemas de movimento, S1 e S2. Seja S1 acelerado na direção do seu eixo X e seja g a magnitude (temporariamente constante) da aceleração. S2 encontra-se em repouso, mas localizado em um campo gravitacional homogêneo que provoca uma aceleração -g a todos os objetos na direção do eixo X. Até onde se sabe, as leis físicas em relação a S 1 não diferem daquelas em relação a S2. Isso baseia-se no fato de que todos os corpos estão igualmente acelerados no campo gravitacional. Pelo presente estado de conhecimento e experiência, não temos razões para supor que S1 e S2 difiram um do outro em qualquer aspecto e na discussão que se segue assumiremos, portanto, uma equivalência física completa entre um campo gravitacional e uma aceleração correspondente de um sistema referencial (EINSTEIN, 1907).

O princípio da equivalência nos diz que para uma região muito pequena da variedade curva M, podemos sempre construir um sistema de coordenadas local que é inercial, ou em outras palavras. Para uma região muito pequena do espaço-tempo podemos sempre aplicar os princípios da relatividade especial. Matematicamente isso significa dizer que o espaço-tempo geral é difeomórfico ao espaçotempo de Poincaré-Minkowski. Essa percepção mostrou-se fundamental para Einstein derivar suas equações de campo decorrido 8 anos desde o enunciado do princípio da equivalência.

P á g i n a | 334

D. Sistema de Coordenadas Local A partir do estudo da derivada intrínseca e o difeomormismo de variedades podemos construir um importante sistema de coordenadas que é conhecido como sistema de coordenadas geodésicas ou sistema de referência local. Nesse sistema de referência, os símbolos de Christoffell são todos nulos. Em outras palavras, dada uma variedade riemanniana, é sempre possível construir um sistema de coordenadas localmente euclidiano, o mesmo se aplica a variedades pseudo-riemannianas com as variedades pseudo-euclidianas. Assim dado uma variedade diferenciável M com métrica gij para uma região infinitesimal dessa variedade, podemos construir um sistema local de coordenadas inercial ao redor de um ponto P e um ponto P’ infinitamente vizinho, por meio da regra:













2 gij P  x k   ij P  xok   O  P  x k   P  xok    

onde O representa os termos de ordem superior a dois e ij é a métrica plana do espaço tangente ao ponto P. A grosso modo, o teorema significa que o espaço é localmente plano na vizinhança de cada ponto e pode ser confundido com o espaço tangente a menos de um infinitesimal de segunda ordem. A analogia é com a superfície da Terra, que pode ser considerada localmente plana na vizinhança de todos os pontos. A prova do teorema é semi-construtiva: pode ser demonstrado que há uma transformação de coordenadas cuja matriz relacionada torna a métrica canônica em P com todas as suas primeiras derivadas nulas; então tentaremos reconstruir a transformação de coordenadas e sua matriz relacionada (ou pelo menos os termos iniciais das expansões em série de suas inversas). (BERNACCHI, 2017, p. 107)

P á g i n a | 335

E. Redundância Geodésica Um fato bastante importante envolvendo as geodésicas é que não precisamos calcular todas as n equações diferenciais, mas apenas n1 equações diferenciais. Em outras palavras qualquer função que satisfaça as n-1 equações geodésicas, satisfaz automaticamente as n equações geodésicas. Para demonstrar esse fato, tomemos a métrica: ds 2  g ij dx i dx j

1  gij

dxi dx j ds ds

Tomando a derivada em relação ao elemento de arco s:

dgij dxi dx j d  dxi dx j   gij  0 ds ds ds ds  ds ds  dgij dxi dx j d 2 xi dx j dxi d 2 x j  gij  g 0 ij ds ds ds ds 2 ds ds ds 2 Na última parcela, como os índices i e j são mudos, então podemos intercambiar os índices: dgij dxi dx j d 2 xi dx j dx j d 2 x i  gij  g ji 0 ds ds ds ds 2 ds ds ds 2

Como a métrica é simétrica, podemos intercambiar os índices: dgij dxi dx j d 2 xi dx j d 2 xi dx j  gij  g 0 ij ds ds ds ds 2 ds ds 2 ds dgij dxi dx j d 2 xi dx j  2 gij 0 ds ds ds ds 2 ds

Como o tensor métrico é no máximo uma função das coordenadas xk, pela regra da cadeia, nossa equação deve ser escrita como:

P á g i n a | 336

gij dxi dx j dx k d 2 x i dx j  2 gij 0 x k ds ds ds ds 2 ds

Na segunda equação trocaremos os índices mudos, por m e mk: gij dxi dx j dx k d 2 x m dx k 2  0 g mk x k ds ds ds ds 2 ds

Essa substituição faz surgir um fator comum: a derivada de xK. Isso nos permite reescrever a equação da seguinte forma:

 1 gij dxi dx j d 2 x m  dx k g  0   mk k ds 2  ds  2 x ds ds Como xk é uma coordenada arbitrária, a igualdade só é satisfeita em todos os sistemas coordenados se o termo em parêntesis for zero: g mk

d 2 x m 1 gij dxi dx j  0 2 x k ds ds ds 2

que é uma equação muito semelhante a equação das geodésicas, como observa Brown (2017). Para complementar a demonstração deduziremos uma importante identidade. Tomemos a equação: gij dxi dx j dx k d 2 x m dx k 2 g  0 mk ds 2 ds x k ds ds ds

Multiplicando por dois, obtemos: 2

gij dxi dx j dx k d 2 x m dx k 4 g  0 mk ds 2 ds x k ds ds ds

Façamos uma permutação cíclica dos índices da primeira parcela: g ki dx k dxi dx j d 2 x m dx k 2  0 g mk x j ds ds ds ds 2 ds

P á g i n a | 337

g jk dx j dx k dxi d 2 x m dx k  2 g mk 0 xi ds ds ds ds 2 ds

Subtraindo a primeira equação deste par de equações, obtemos: 2

gij dxi dx j dx k g ki dx k dxi dx j g jk dx j dx k dxi   i 0 x k ds ds ds x j ds ds ds x ds ds ds

Evidenciando os fatores, obtemos a identidade procurada:

 gij g ki g jk  dx j dx k dxi 0 2 k  j  i  x x  ds ds ds  x Novamente, como as coordenadas são arbitrárias, o termo em parêntesis deve ser zero para que se verifique a nulidade: 2

gij x

k



g ki g jk  0 x j xi

Esta última equação pode ser escrita da seguinte forma: gij x

k



g ki g jk gij   x j xi x k

Substituindo essa expressão na equação semelhante das geodésicas:

dx k  d 2 x m 1  g ki g jk gij  dxi dx j       g mk 0  ds  ds 2 2  x j xi x k  ds ds  Evidenciando o tensor métrico, obtemos:

g mk

g jk gij  dxi dx j  dx k  d 2 x m mk 1  g ki    g  0   2  x j xi x k  ds ds  ds  ds 2

P á g i n a | 338

Invertendo o índice k por m na primeira parcela:

g km

g jk gij  dxi dx j  dx m  d 2 x k mk 1  g ki    g  0   2  x j xi x k  ds ds  ds  ds 2

Porém, a expressão nos colchetes é a equação das geodésicas, já que a segunda parcela são os símbolos de Christofell:

g mk

dx m  d 2 x k  k   ds  ds 2 i

 dxi dx j   0 j  ds ds 

As expressões dentro dos colchetes para k = 0,1,2,3 representam as quatro equações geodésicas, cuja solução é a condição necessária e suficiente para que um caminho seja estacionário Assim, se quaisquer três das equações geodésicas forem satisfeitas, a quarta será automaticamente satisfeita em virtude da métrica. (BROWN, 2017)

Há outro resultado muito importante que pode ser derivado dessa análise: a relação entre o tensor métrico e os símbolos de Chrisotfell. Partindo da equação das derivadas do tensor métrico e multiplicando 1 o lado direito por 2 g mk g mk , obtemos: 2 gij x

k

 2 g mk g mk

1 g ki g jk gij  i  k 2 x j x x

Usando a definição dos símbolos de Christofell, obtemos a relação entre a derivada do tensor métrico e a conexão:

gij

 k   2 g mk   x i j  k

P á g i n a | 339

13. Tópicos de Teoria da Relatividade Geral A.

Por que uma Teoria da Relatividade Geral?

Nas últimas páginas, argumentamos que o efeito Sagnac não necessita de considerações da Teoria da Relatividade Geral para ser explicado e deduzimos a métrica de Schwarzchild, que permite calcular o avanço do periélio de Mercúrio e a deflexão da luz. Até mesmo resultados mais avançados, como a métrica de Kerr poderiam ser deduzidos apenas usando a equação das geodésicas de comprimento nulo. Nesse ponto, talvez o leitor se pergunte: qual a necessidade de uma teoria da relatividade geral baseado no conceito de curvatura de Riemann? Para respondermos essa pergunta, façamos outra pergunta: qual o significado físico os símbolos de Christofell? Einstein acreditava, equivocadamente, que os símbolos de Christofell eram o próprio campo gravitacional, enquanto os tensores métricos seriam os potenciais gravitacionais. Até hoje é possível encontrar autores e professores que ainda defendem esse ponto vista. Os símbolos de Christofell são tensores relativos, isso significa que existe sempre um referencial onde eles são nulos. Esse caráter não-tensorial dos símbolos de Christofell, não nos permite associar uma interpretação física a eles. Quando usamos a equação das geodésicas em nossas deduções, estamos determinando quais são os caminhos mais curtos sobre a variedade, mas não estamos de forma alguma dizendo o que leva a variedade ter esta métrica. Em outras palavras, a equação das geodésicas não nos permite associar o conteúdo inercial e energético com a geometria do espaço-tempo. Embora as conexões não sejam tensores, a combinação das conexões permite criar tensores. O exemplo mais simples é a

P á g i n a | 340

derivada covariante, onde termos a derivada de um tensor somada a uma conexão, criando um novo tensor. A intuição de Einstein que as conexões de alguma forma deveriam estar associadas ao campo gravitacional e o tensor métrico eram os potenciais gravitacionais, é um ponto de partida heurístico para procurar equações de campo tensoriais que sejam construídas usando apenas as conexões. De fato, na análise tensorial pode-se mostrar que os únicos tensores que podem ser construídos usando apenas conexões são o tensor de curvatura de Riemann-Christofell, o tensor de Ricci e o escalar de curvatura de Ricci. É por isso que o tensor de Einstein, Gij apresenta apenas esses tensores e o tensor métrico: 1 Gij  Rij  gij R 2

Foi Hilbert quem deduziu as equações de campo construindo uma densidade lagrangeana envolvendo apenas o tensor métrico e as conexões. Einstein derivou resultados semelhantes, cinco dias depois, usando seu método heurístico. Posteriormente, Hilbert mostrou que qualquer tensor de Einstein deve satisfazer as identidades de Bianchi, o que torna as derivações muito mais simples. Em 1917, Einstein também propôs a inserção de uma constante cosmológica, que permitia derivar modelos cosmológicos estáticos e fechados para o universo: 1 Gij  Rij  gij R  gij 2

Voltando à nossa pergunta inicial, foi a falta de significado físico dos símbolos de Chirstofell, motiva-nos a construir uma teoria de covariância geral para a gravidade, onde os tensores são criados apenas com as conexões e a métrica (potencias gravitacionais) e uma constante de integração chamada de constante cosmológica (caso procuremos soluções mais gerais).

P á g i n a | 341

B. Dedução das Equações de Campo Vamos considerar a integral de ação total S para um sistema constituído por uma distribuição contínua de matéria e energia como fonte de campo gravitacional e o próprio campo gravitacional.

S  S M  SG Onde SM é a ação descrevendo a interação da matéria com o campo gravitacional e SG é ação do campo gravitacional no espaço vazio, onde não há fontes de campo. A ação do campo gravitacional no espaço vazio SG é dado por:

SG 

1    LG  g jk , i g jk   gd    x c  

Onde LG é o invariante de densidade lagrangeana do campo gravitacional e é integrado sobre a fronteira da variedade 4dimensional espaço-tempo (). De maneira análoga, podemos escrever a ação da interação da distribuição contínua de matéria com o campo gravitacional SM como:

SM 

 1   LM  g jk , i g jk   gd    x c  

Onde LM é o invariante de densidade lagrangeana da interação da distribuição contínua de matéria com o campo gravitacional e também é integrado sobre a variedade 4-dimensional espaço-tempo (). Vamos primeiro realizar a análise da integral de ação SG. Como já provamos, a derivada do tensor métrico é uma função dos símbolos de Christoffel de segundo tipo:

g jk

  i      xi   j k 

P á g i n a | 342

Assim. o invariante densidade lagrangeana LM é uma função do tensor métrico e os símbolos de Christoffel de segundo tipo: SG 

  i  1 LG  g jk ,     gd   c    j k 

Os únicos tensores não triviais que podem ser construídos com tensor métrico e os símbolos de Christoffel de segundo tipo são: o tensor de Riemann-Christoffel Rlijk, o tensor de Ricci Rjk e o escalar de curvatura R. Portanto o invariante de densidade lagrangeana LG deve ser proporcional ao escalar de curvatura R. LG  

c4 R 16 G

A escolha dos fatores de proporcionalidade é feita com intuito de corrigir as dimensões e para que a equação de campo esteja em concordância com a equação de Poisson para o potencial gravitacional no limite clássico.  

GM r r3

Assim podemos a escrever a integral de ação LG como:

1 c4 R  gd  c  16 G c3 SG   R  gd  16 G 

SG  

Observe que o escalar de curvatura R é função dos símbolos de Christoffel que depende das derivadas de primeira ordem do tensor métrico gjk e quando tomarmos a variação da integral de ação LG ocorrerão derivadas de segunda ordem do tensor métrico que levam a condições físicas inconsistentes. Portanto, devemos mostrar que

P á g i n a | 343

durante o cálculo da variação de LG as derivadas de segunda ordem do tensor métrico se cancelam mutuamente, restando apenas derivadas de primeira ordem deste tensor. Tomando a variação da integral de ação LG obtemos:

 SG  





c3  R g d 16 G 

Portanto, a variação da ação consiste em determinar como varia o termo em parêntesis:



 

 R  g   g jk R jk  g



O cálculo das variações segue propriedades semelhantes com as do cálculo diferencial. Usando a “regra do produto” podemos escrever equação como:









 g jk R jk  g   g jk  R jk  g   R jk  g jk  g    g g jk R jk Vamos primeiro calcular g. Temos que:

 g    g jk G jk  onde Gjk é o cofator do determinante |gjk| que corresponde ao elemento gjk e, portanto, não sofre variações. Nestas condições:

 g   g jk  G jk Usando a definição de cofator e o tensor conjugado,

 1  jk g g jk  g 

g  

Pela regra do quociente, teremos:

P á g i n a | 344



1  jk g g jk  g g   g   gg jk  g jk 

 g    g jk  

jk

Agora vamos calcular a variação de   g :

 g  

1 g 2 g

Substituindo o valor da variação de g: 1 g g jk  g jk 2 g 1  g    g g jk  g jk 2

 g  

Levando em conta esses resultados na variação da ação:





 g jk R jk  g   g jk  R jk  g 1    R jk  g jk  g    g g jk  g jk  g jk R jk 2 





 g jk R jk  g   g jk  R jk  g   R jk  g jk  g 

1  g g jk R  g jk  2

Evidenciando os fatores comuns:





 

1

 

 g jk R jk  g   R jk  g jk R   g  g jk   g jk  g  R jk  2 Agora, devemos calcular a variação do tensor de Ricci:

P á g i n a | 345

   i    i  g jk   R jk   g jk   k    i    x i j  x  j k   p  i   p  i         i j  k p   j k  i p   Introduzindo o termo nulo:  i    p  jk  i    p   g jk       g       0 i k    j p   i k    j p  

    i    i   p  i  g jk   R jk   g jk   k    i         x i j  x  j k  i j  k p   p   i    i    p    i    p                    j k  i p   i k    j p   i k    j p    Vamos organizar a equação para efetuarmos uma série de mudanças de índices:

    i    i  g jk   R jk   g jk   k   i     x i j  x  j k     i   p   i   p            i k   j p  i p   j k     p   i   i   p          i j  k p  k p  i j     p   i   i   p               j k  i p  i k   j p   

P á g i n a | 346

Os índices destacados são todos mudos, por isso podemos fazer as seguintes mudanças:

 i  p  ;  i  p  ;  i  l  ;  i  l  ;  i  p, p  l  ;  i  p, p  l  ;  i  l  ;  i  l      p    p  g jk   R jk   g jk   k   p     x  p j  x  j k     l   p   l   p            l k   j p  l p   j k    l  p

  p   p   l        j  k l  k l   p

  j

  p   l   l   p               j k  l p  l k   j p    Distribuiremos o tensor métrico para realizar mais uma modificação de índices mudos:

    p    p  g jk   R jk   g jk   k   p     x  p j  x  j k     l   p   l   p              l k   j p  l p   j k     l   p  jk  p   l   g jk      g      p j  k l  k l   p j   p   l  jk  l   p   g jk     g      j k  l p  l k   j p 

P á g i n a | 347

Novamente, os índices destacados são todos mudos. Faremos a seguinte mudança:

 j  i; l  j  ;  k  i ; p  k ; l  p  ;  j  i , p  j ; l  p  ;  k  i; l  k      p    p  g jk   R jk   g jk   k   p     x  p j  x  j k     l   p   l   p              l k   j p  l p   j k     j   p  ji  k   p   g ik     g      p i  k j  i p  k j   j   p  ji  k   p   g ik     g     i k   p j  k i   j p  Reorganizando a equação e levando em conta que os símbolos de Christoffel são simétricos em relação aos índices inferiores:

    p    p  g jk   R jk   g jk   k   p     x  p j  x  j k     l   p   l   p              l k   j p  l p   j k      j   p  ji  k     g ik   g      i p  k j    p i   j   p  ji  k     g ik   g      k i   j p   i k 

P á g i n a | 348

Da análise tensorial sabemos que a derivada covariante do tensor métrico é nula, isso nos permite derivar as seguintes identidades:  g jk  ik  jk  Dp g  0   p   g  x   i   ik  g jk  jk 0 D g     g  k k  x   i 

j  ij  k    g   p i p  j  ij  k    g   k i k 

Substituindo esses valores nas últimas parcelas em colchetes:     p    p   l   p  g jk   R jk   g jk   k   p          x  p j  x  j k   l k   j p   l   p  g jk  p  g jk  p        p    k    l p   j k  x k j  x  j p

Observe que podemos compactar alguns termos da equação, pois os operadores e  comutam e usando a regra do produto:    jk  p   g jk  p  jk    p     p g   p g        p k j   x k j   x   x k j    jk  p     jk  p   g jk    p      k  g g          k k  x j p j p x         x  j p   

Usando esse resultado na equação,

  jk  p     jk  p     p  g    g   x k   j p   x  k j   l   p   l   p          k   j p  l p   j k  

g jk   R jk     g jk    l

P á g i n a | 349

Novamente distribuiremos o tensor métrico para efetuarmos uma substituição de índices:

 jk  p     jk  p     p  g    g   p j    x  k j    l   p  jk  l   p      g     k   j p l p   j k 

g jk   R jk     g jk  l

 x k

Invertendo os índices mudos destacados:

g jk   R jk  

  jp  k     jk  p     p  g    g   x p   j k   x  k j  

 l   k  jk  l   p   g jp      g     l p   j k  l p   j k  Essa equação pode ser escrita de forma compacta

g jk   R jk  

  jp  k  jk  p      g g     x p   j k k j  

  k  jk  p    l    g jp   g       j k  j k   l p   Vamos definir um novo 4-vetor:  p  jp  k  jk  p   w   g    g     j k  j k    p   jp  k   w jk  p     g g       p p  x j k x     j k  

Usando esse resultado, a equação se torna:

P á g i n a | 350

 l  w p g   R jk   p  w p   x l p  jk

Usando as propriedades dos símbolos de Christofell com índices repetidos, a segunda parcela pode ser escrita da seguinte forma: g jk  R jk  

1  g p  g x

w p  wp p x

Usando a regra do produto, a equação pode ser compactada em uma única parcela:



p 1  w g x p g

g   R jk   jk



Substituindo esse valor na variação da ação:



  1   w g 

 

 g jk R jk  g   R jk  g jk R   g  g jk  2 1 g

 g



 g R jk jk

p

x p



 wp g 1   jk  g   R jk  g jk R   g  g   2 x p  





Portanto, a integral de ação do campo gravitacional é dado por:

 c3   1  jk  SG    R jk  g jk R   g  g  d      16 G   2  





p   c3   w  g  d   x p 16 G    

P á g i n a | 351

Esta integral é efetuada sobre o hipervolume da variedade espaçotempo (), observe que na segunda integral podemos aplicar o teorema da divergência (sobre o termo e integrar sobre os limites da hipersuperfície . Como wp é uma função das variações e o cálculo das variações impõe que toda a variação efetuada sobre os limites de uma hipersuperfície deve ser nulo. Nestas condições, teremos:

c3 1   jk  SG    R jk  g jk R   g  g  d    16 G  2  Essa é a variação da ação do campo gravitacional. Agora vamos determinar a variação da ação entre a matéria e o campo gravítico:

1 c

 

 S M    LM  g jk , 

  g jk   gd  i x 

Usando a regra da cadeia e integração por partes,

   LM  g  g jk 1   LM  g jk  SM   g   g jk c    g jk   xi  i    x   Integrando o segundo membro por partes:





 LM  g





   g



 LM  g    d   g jk   xi   g jk   i   i   x   x      L g  M     g jk d   jk  x k   g     i     x  



jk







    d    

  g jk   xi

 d  

P á g i n a | 352

A primeira integral do lado direito da igualdade vai à zero, porque é integrada nos extremos da variedade espaço-tempo. Portanto:







 LM  g  g   i   x  jk



   g jk     LM  g   i d      x k   g jk   x     i    x 





    g jk d    

Substituindo na variação da ação, obtemos a seguinte equação:

   1   LM  g  k  SM   jk c   g x  





   L g M    g jk    i    x 





    g jk d     

Definimos o tensor-momento energia por meio da lagrangeana da matéria com o campo eletromagnético, conforme a equação:

1  T jk 2

   L g M  g    k jk  g x  





   L g M    g jk    i    x 





      

Substituindo essa equação, obtemos a variação da ação da interação da matéria com campo:

 SM  

1 T jk  g g jk d    2c

A ação total dessa partícula é a soma das ações individuais:

S  S M  SG

P á g i n a | 353

O lema fundamental do cálculo das variações, impõe que a variação da Integral de Ação Total deve ser nula,

 S   SM   SG  0  SG   SM Substituindo os valores da variação de cada integral de ação: 1 1 c3   jk jk  R jk  g jk R   g  g  d     T jk  g g d    16 G  2 2c 

Multiplicando a equação por c³/16G:

1    8 G  R jk  g jk R   g g jk d      4 T jk   g  g jk d     2    c 



Para que esta igualdade se verifique, os termos em parêntesis devem ser iguais: 1 8 G R jk  g jk R   4 T jk c 2 Essas são as equações de campo da teoria da relatividade geral que foram deduzidas por Hilbert e, posteriormente, por Einstein. Podemos estabelecer algumas variantes desta equação que podem ser mais fáceis de se operar dependendo das condições de contorno do problema. Multiplicando a equação pelo tensor gik e efetuando as contrações no índice k obtemos a variante: 1 8 G R ij   ij R   4 T ji c 2

Contraindo os índices i e j, teremos uma importante relação entre o escalar de curvatura: 1 8 G R  4R   4 T c 2

P á g i n a | 354

R

8 G T c4

Substituindo o valor do escalar de curvatura na equação:

1  8 G  8 G R jk  g jk  4 T    4 T jk 2  c c  8 G 1  8 G  R jk   4 T jk  g jk  4 T  c 2  c  8 G  1  R jk   4  T jk  Tg jk  2 c   Multiplicando a equação pelo tensor conjugado gik:

Rij  

8 G  i 1 i   Tj  T j  c4  2 

Há duas observações importantes que devemos fazer: a primeira que a dedução de Einstein usa o tensor momento-energia da relatividade especial, por isso não inclui a ação do campo eletromagnético que aparece no tensor momento energia de Hilbert, por isso a análise de Hilbert é mais geral que a de Einstein. O segundo ponto diz respeito as correntes de Noether. Na nova teoria da relatividade geral, a lei de observação é expressa pela equação:

   j j

  gG    0  gTk j k  0 j k

k

onde  k é o vetor de Killing. Porém, como mostrou Emmy Noether e Félix Klein, espaços curvos não apresentam isometria maximal, pois n Teoria da Relatividade Geral há violação do momento e da energia.

P á g i n a | 355

C. Espaço-Tempo de Schwarzchild 1.

A Métrica de Schwarzchild e a 3º Lei de Kepler

Seja um corpo perfeitamente esférico de massa geométrica m. Denotaremos pela letra r a coordenada espacial radial e pela letra t a coordenada temporal. Diremos que a massa m se localiza em r = 0. Assim uma superfície com r e t constantes possui uma simetria intrínseca de uma esfera bidimensional, parametrizada pela coordenada espacial r, cuja área da superfície é A = 4r². Apesar da semelhança com a área de uma esfera comum, não chamaremos a coordenada r de distância radial do centro de massa geométrica, pois como observou Brown (2017), o espaço pode ser não-euclidiano, assim convém chamar r apenas de coordenada radial. Uma curva sobre uma superfície esférica é perfeitamente definida por suas coordenadas angulares, azimutais () que apresentam um máximo em /2 e um mínimo nos polos  = 0 (norte) ou  =  (sul) e colatitudinais () que representam as linhas geodésicas. Para a superfície esférica a métrica fica definida por: ds 2  gtt dt 2  g rr dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2

A diagonalidade da métrica é uma consequência do fato do regime estático. Portanto, as componentes do tensor métrico:

 gtt 0 gij   0  0

0  g rr 0 0

0 0 r 2 0

0   0   0 2 2  r sin  

Uma vez que os únicos termos não nulos são aqueles em que  podemos reescrever os Símbolos de Christoffel como:

P á g i n a | 356

 k  i

 1 kk  g jk gik gij    g  i   j 2 x j x k   x

Uma vez que o tensor métrico é diagonal, os termos não nulos ocorrerão quando um par de índices for repetido, isto é, quando i = k, i = j e i = j = k.. Por questões de praticidade, iremos impor que todo índice repetido em um desenvolvimento dos Símbolos de Christoffel não implica em somas. Agora vamos calcular os símbolos de Christoffel não-nulos:

 i  i

 1 ii gii  g j  2 x j  k  1 kk gii   g x k 2 i i 

(i  k )

Observe que o regime estacionário implica que nenhuma das componentes do tensor métrico possui dependência temporal, Então as derivadas em relação ao tempo serão todas nulas.

 i   t   t     0 i t  i i  t t  Os únicos símbolos não nulo com a componente temporal serão:

 t  1 tt gtt   g j t j  2 x  k  t

 1 kk gtt  g t 2 x k

A simetria esférica implica que as componentes “radiais” e temporais não podem depender das coordenadas angulares:

P á g i n a | 357

 t   t       t   t   t

    t  t

 0 t

 r   r            0 r   r   r r  r r  Portanto os únicos símbolos não nulos com a coordenada t serão:

 t  1 tt gtt   g r t r  2  r  1 rr gtt   g 2 r t t  Observe que nenhuma das componentes do tensor métrico dependem da coordenada portanto os símbolos de Christofell com derivadas em são todos nulos:

 i           0 i   i i     Agora iremos calcular os outros símbolos de Christofell. Como temos duas equações, faremos os cálculos para cada uma delas. Para j = r.

 i  i

 1 ii gii  g r 2 r

Quando i= r

 r  1 rr g rr   g r r r  2

P á g i n a | 358

Quando i= 

Quando i= 

               

  r   r

1  g g r 2 1 1 r 2 2 r 2 r

 r  r r2  1  r r

   1  g   g  r r   2

  r 2 sin 2      1 1   2 2 r  r  2 r sin     r   2  r  r    1    r  r

Para, j = .

 i  1 ii gii   g  i   2 A única componente do tensor métrico que depende de  é a componente .

P á g i n a | 359

   1  g   g     2

  r 2 sin 2      1 1   2 2     2 r sin     sin  cos   sin 2           cot    

Para segunda equação, teremos para k = r

 r  i

 1 rr gii  g i r 2

(i  r )

Quando i= 

Quando i= 

 r  1 rr g   g r 2     r  1 rr r 2   g r    2  r  r      g rr  r  1 rr g   g 2 r   

2 2  r  1 rr   r sin     g r    2

P á g i n a | 360

 r  r sin 2    g rr    Para, k = .

   1  gii   g  2 i i  A única componente do tensor métrico que depende de  é a componente .    1  g   g  2    2 2    1 1   r sin        2 r2           sin cos    

Portanto, os símbolos de Christofell não nulos são:

 t  1 tt gtt   g r t r  2

 r  1 rr gtt   g 2 r t t 

 r  1 rr g rr   g r r r  2

      1     r   r  r

      cot      r  r sin 2    g rr   

 r  r   g rr   

       sin cos   

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2.

Dedução da Métrica

Após termos construído a forma geral da métrica e ter calculado os símbolos de Christofell não nulos, iremos usar as geodésicas nulas para determinar quais são as componentes ainda desconhecidas do tensor métrico. Tome a equação das geodésicas nulas:

du i  i  j k  u u  0 ds  j k  Variando o termo i, teremos:

d 2t  t  dx j   ds 2  j k  ds d 2 r  r  dx j   ds 2  j k  ds d 2    ds 2  j d 2    ds 2  j

dx k 0 ds dx k 0 ds

 dx j dx k 0  k  ds ds  dx j dx k 0  k  ds ds

Devemos efetuar uma soma sobre cada um dos índices j e k, para isso devemos levar em consideração apenas os símbolos não nulos. Assim nossas equações se tornam: g dt dr d 2t  g tt tt 0 2 r ds ds ds 2

d 2 1 dr d  d    sin  cos    0 2 ds r ds ds  ds  d 2 1 dr d d d   cot  0 2 ds r ds ds ds ds

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1 g d 2r  g rr  g rr rr 2 ds r  2

2

 dr  1 gtt     ds  2 r

 dt     ds 

2

2 2  d   d   2 r    r sin    0  ds   ds  

Nesta equação das geodésicas nulas, tomemos a trajetória no espaço-tempo de um raio de luz descrevendo uma trajetória fechada no plano que corta a esfera em seu equador. Como a luz não pode ser acelerada, então todas as derivadas segundas são nulas. A segunda e quarta equação nos fornece, a seguinte relação: 1 dr d 0 r ds ds dr 0 ds

Pois a derivada da coordenada angular  é a velocidade angular, como ela não pode ser nula, então a derivada da coordenada r em relação ao comprimento de arco deve ser zero. A métrica para esse raio de luz se reduz a seguinte equação:

ds 2  gtt dt 2  g rr dr 2  r 2 sin 2

 2

d 2

ds 2  gtt dt 2  g rr dr 2  r 2 d 2 Dividindo a equação por ds: 2

2

2

2

 dt   dr   d  1  gtt    g rr    r 2    ds   ds   ds   dt   d  1  gtt    r 2    ds   ds 

2

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Derivando parcialmente a equação em relação à r: g 0  tt r gtt r

2

 dt   d     2r    ds   ds  2

 dt   d     2r    ds   ds 

gtt  d ds   2r   r  ds dt  gtt  d   2r   r  dt  gtt  2rw2 r

2

2

2

2

Usando a terceira Lei de Kepler, obtemos a equação diferencial:

gtt m  2r 2 3 r cr gtt 2m  2 2 r c r Integrando essa equação e levando em consideração que gtt só pode ser uma função de r: gtt  K 

2m r

Para uma massa igual a zero, a métrica deve ser plana e por isso deve ser igual à c²: c2  K gtt  c 2 

2m r

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Evidenciando c², encontramos a expressão canônica de gtt.

 2m  gtt  c 2 1  2   c r Como a variedade deve ser difeomórfica ao espaço-tempo de Poincaré-Minkowski em uma região infinitesimal, isso significa que o determinante do tensor métrico nessa região deve tender ao determinante da métrica plana. Calculemos os dois determinantes:

 gtt 0 gij   0  0

0  g rr 0 0

0 0 r 2 0

0   0   0 2 2  r sin  

det gij   gtt g rr r 4 sin 2 

c 2  0 ij   0  0

0 0 1 0 0 r 2 0 0

 0  0   0 2 2  r sin  

det ij  c 2 r 4 sin 2 

Como localmente os determinantes devem ser iguais:  gtt g rr r 4 sin 2   c 2 r 4 sin 2 

g rr 

c2 gtt

Substituindo o valor da componente temporal:

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g rr 

1  2m  1  2   c r

Portanto a métrica de Schwarzchild é dada por: 2m  1  ds 2  1  2  c 2 dt 2  dr 2  r 2d 2  r 2 sin 2  d 2 2m    c r 1  2   c r

 2  2m  0 c 1  c 2 r      1  0  gij   2m   1  2    c r  0 0  0 0 

0 0 r 2 0

    0     0  r 2 sin 2   0

Sobre essa dedução da métrica de Schwarzchild-Droste, Brown (2017) explica que: Apesar deste acordo, há uma ambiguidade inegável na aplicação da terceira lei de Kepler e da lei do quadrado inverso como guias heurísticos para as equações de movimento, devido à distinção entre tempo de coordenadas te tempo adequado τ. A física newtoniana não distinguiu entre esses dois, o que não é surpreendente, uma vez que os dois são praticamente indistinguíveis em campos gravitacionais fracos para objetos que se movem a uma velocidade muito menor que a velocidade da luz. No entanto, o ligeiro desvio entre esses dois parâmetros de tempo tem consequências observáveis e fornece testes importantes para distinguir entre a abordagem geodésica do

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espaço-tempo e a abordagem newtoniana de força à distância da gravitação. Em nossa derivação, assumimos que Kepler 'tempo t ao invés do tempo adequado τ da partícula em órbita, ou seja, definimos a velocidade angular ω da órbita como dϕ / dt em vez de dϕ / dτ, considerando que assumimos que a simples lei de aceleração do quadrado inverso é satisfeita com respeito para o tempo adequado τ da partícula que cai. Assim, sem alguma justificativa para o motivo pelo qual a lei de Kepler para órbitas circulares deve ter sua expressão mais simples em termos desse tempo de coordenada específico (isto é, a coordenada de tempo em termos de que a métrica é estacionária) enquanto a aceleração radial de uma partícula estacionária deve ter sua expressão mais simples em termos de tempo adequado, a derivação não é isenta de ambiguidade. De fato, se tivéssemos assumido que a lei de Kepler se aplica em termos de tempo adequado, definindo ω como dϕ / dτ em vez de dϕ / dt,. Esses coeficientes dão o mesmo limite newtoniano que a métrica de Schwarzschild, diferindo desta última apenas na segunda ordem de m / r, mas seu comportamento é drasticamente diferente quando m / r se torna grande. Por exemplo, diferentemente dos coeficientes métricos de Schwarzschild, eles não exibem uma singularidade de coordenadas em r = 2m. Do ponto de vista empírico, essa métrica alternativa daria o mesmo desvio gravitacional para o vermelho e a mesma deflexão da luz que a relatividade geral, pois esses efeitos dependem apenas dos termos de primeira ordem. No entanto, a precessão de órbitas elípticas depende de um termo de segunda ordem em g rr, e essa métrica alternativa fornece apenas metade do valor correto para a precessão. (Nos termos dos parâmetros "RobertsonEddington", essa métrica possui α = γ = 1 e β = 5/2.) Isso mostra a importância das equações de campo para fornecer uma base sólida para a métrica - e também mostra a importância precessão orbital como um teste para discriminar entre teorias métricas alternativas da gravidade.

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D.

Vetores de Killing do Espaço-Tempo de Schwarzchild

Vamos agora calcular os vetores de Killing para a métrica de Schwarzchild. Primeiramente iremos escrever uma importante relação envolvendo esses vetores:

d  Ki  u i  ds A métrica do espaço-tempo de Schwarzchild é dada por: 1

 2m   2m  ds  1  2  c 2 dt 2  1  2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2  c r  c r 2

Esse espaço-tempo tem um total de quatro vetores de Killing, dois deles correspondem as direções que não variam no espaço-tempo: a direção temporal e a direção coazimutal, pois nenhuma dessas variáveis aparecem nas componentes da métrica.  t  1, 0, 0, 0    E t , E r , E , E      0, 0, 0,1   Lt , Lr , L , L 

Et  gtt E t L  g L Porém, temos que:

 2m  gtt  1  2   c r g  r 2 sin 2 

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dt c ds d ut  ds

ut 

Primeiro vamos estabelecer a seguinte igualdade:

d  Ki  u i 



ds

d  K i  pi  ds

Onde p é o momento linear canônico:

d  gttT t  u t  ds d  gtt u t  ds



d T t  pt  ds

d  pt  ds



Expressando o momento na forma de energia:

d  gtt u t  d



d E   d  c 

Vamos avaliar os outros dois vetores de Killing a partir da condição imposta acima. Como ambos os termos são derivada em relação s podemos escrever: gtt u t 

E c

cgtt

dt E  ds c

c 2 gtt

dt E ds

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 2m  dt c 2 1  2   E  c r  ds Essa é a equação de energia por unidade de massa da partícula. Vamos agora avaliar a equação associada ao momento. Para isso partiremos da seguinte igualdade:

d  Ki  u i  ds

0

d  g L u  ds

0

d   d  r 2 sin 2   ds    0 ds Integrando a equação,

 2 2 d   r sin  L ds   Para uma partícula que se desloca no equador    2 , L  r2

d ds

L  r 2w que é a lei de conservação do momento angular. Observe que como o sistema não tem simetria máxima, ele não possui todas as correntes de Noether, logo ele não conserva globalmente o momento linear e a energia total.

P á g i n a | 370

E. Deflexão da Luz A teoria da gravitação universal de Newton já previa que o caminho de qualquer partícula material (independentemente de sua composição) se movendo a uma velocidade finita é afetado pela força da gravidade. No entanto, a velocidade finita da luz não estava bem estabelecida no tempo de Newton, e estava longe de ficar claro que a luz consiste em partículas materiais. Essas incertezas impediram Newton de fazer uma previsão definitiva sobre se e como a luz é afetada pela gravidade. No final do século 18, a velocidade finita da luz estava bem estabelecida, embora a constituição da luz ainda fosse desconhecida, era tentador aplicar a lei de Newton para calcular a deflexão da luz pela gravidade - sob a suposição de que um pulso de luz responde à atração gravitacional, assim como uma partícula de matéria se move na mesma velocidade. Por volta de 1784, Cavendish alcançou o mesmo resultado com um cálculo mais rigoroso, analisando o caminho hiperbólico real com velocidade variável e, em 1804, Soldner publicou os detalhes de tal análise. Escrevamos as equações da órbita em coordenadas polares:

x  r cos  y  r sin  Diferenciando em relação ao tempo: x  r cos  r sin  y  r sin   r cos

A derivada da coordenada angular é a velocidade angular:

x  r cos   rw sin  y  r sin   rw cos  Derivando novamente essa equação:

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x  r cos   rw sin   rw sin   rw sin   rw2 cos  y  r sin   rw cos   rw cos   rw cos   rw2 sin 

Evidenciando os fatores comuns:

x   r  rw2  cos    2rw  rw  sin  y   r  rw2  sin    2rw  rw  cos  Os termos que acompanham o cosseno são as componentes radias e os termos que acompanham o seno são as componentes tangenciais. O sinal negativo indica a diferença de direção. aradial  r  rw2 atangencial  2rw  rw

A aceleração radial deve ser igual a aceleração centrípeta, enquanto a a aceleração tangencial deve ser nula em todos os pontos:

mc Gr 2 2rw  rw  0 r  rw2  

Pela regra da cadeia, podemos compactar a segunda equação:

d 2  r w  0 dt h  r 2w Denotando por u a função reciproca de r:

u2h  w Tomando o diferencial dessa relação, nós obtemos:

2uhdu  dw

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dw du  2uh d d

Agora vamos analisar a equação da aceleração tangencial. Primeiro abriremos as derivada temporais e multiplicaremos a equação por dt: 2rd  rdw  0

dw r  2 d r Escrevendo a equação em relação a u, usando as relações que deduzimos: 2uh du  0 2rd  u 2rd  2hdu  0

rd  hdu  0 du r  h d du r  d h Para obtermos a relação envolvendo a aceleração, vamos derivar a relação u e r: ru  1

ru  ru  0 r u  u r 2 u  u r du u  hu 2 d

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Tomando o diferencial, obtemos: du   du  d  hu 2  d   du  du   hu 2 d  du  2uhdu  d  d  du  dw

du  du   hu 2 d   d  d 

d 2u r du   dw  hu 2 d h

Vamos diferenciar em relação ao tempo, a equação entre r e w: rd  hdu rd  rdw  hdu rd  hdu  rdw

Substituindo o diferencial de u’:

 r d 2u  rd   h   dw  hu 2  rdw d   h d 2u rd  rdw  h 2u 2  rdw d d 2u rd   h 2u 2 d 2 d u r   h 2u 2 2 d Depois de obtermos as derivadas de r em função de u, podemos escrever a equação diferencial da aceleração na forma polar:

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d 2u h u  u 3h 2  u 2 M 2 d 2

2

onde M é a massa geométrica, definida por M = Gm/c. Dividindo a equação por -h²u²: d 2u M u  2 2 d h Essa equação diferencial de segunda ordem é linear e não homogênea. Sua solução geral será dada por:

u    uh   

M h2

onde uh é a solução homogênea da equação diferencial: d 2 uh  uh  0 d 2

Portanto, a equação de autovalores associada a EDO será:

 2 1  0 e os autovalores são complexos:

1  i 2  i Assim, as autofunções da equação diferencial são senóides: uh    A cos   B sin 

Como a aceleração radial está associada ao cosseno, isso implica que a constante B é nula. uh    A cos 

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Portanto a solução geral da equação, será: u    A cos  

M h2

Se a velocidade da luz for infinita, a segunda parcela do lado direito da equação será zero.

1  A cos  r 1 r A cos  Multiplicando a equação pelo cosseno e passando para coordenadas retangulares:

r cos  

1 A

x  A1 Se a velocidade da luz for infinita, a luz não sofre deflexão, mas segue o caminho retilíneo. Por isso devemos assumir que a velocidade é finita. Para determinar A vamos Impor quem na origem a função é uma constante 1/ro:

M h2 1 M A  2 ro h

uo  A 

Nesse caso a equação da deflexão será:

1 M M u      2  cos   2 h  ro h 

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 h 2    1 cos   1   Mro   2   1 M  h  2   1 cos   1 r h  Mro   2 h    M  r 2  h   1 cos   1   Mro 

u   

M h2

Portanto a coordenada r será expressa por: h2  1  r   M   cos   1 

 h2   1  Mro 

 

Essa é equação polar para uma seção cônica com excentricidade

. Assim, a luz ao passar próximo de uma massa gravitacional ativa pode seguir um caminho elíptico, hiperbólico ou parabólico conforme o valor da excentricidade. No perigeu, o fator h² deve ser igual à cr²o.  cro2    M   r  cro   1 cos  1  M  Como a excentricidade é infinitamente grande por causa da velocidade da luz e da constante G que aparece no denominador, a deflexão do raio de luz é uma hipérbole que tende à assíntota.

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Nessa circunstância, a coordenada r deve tender ao infinito. Isso só ocorre quando o denominador tende a zero:

 cro   M  1 cos   1  0    cro  M    cos   1  M  M cos    cro  M Tomando o arco-cosseno, obtemos o valor dos ângulos assintóticos:



M    cro  M 

 a   arccos  

Expandindo o arco-cosseno em séries de Taylor, teremos:    M   M  2 7  M 3 a               2  cro   cro  6  cro 

  

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O ângulo de deflexão da luz é obtido pela medida de quanto a diferença dos ângulos assintóticos diferem do ângulo raso:

         2   Considerando que os termos de terceira ordem ou superior são muito pequenos, obtemos:  M    2     2 cro  2M  cro

Substituindo o valor de M, obtemos a equação clássica da deflexão de luz:



2Gm roc 2

Sobre essa dedução, há várias colocações históricas, epistemológicas e físicas apresentadas por Kevin Brown (2017): No entanto, há um aspecto problemático nessa previsão "newtoniana", porque se baseia na suposição de que partículas de luz podem ser aceleradas e desaceleradas como a matéria comum, e, se esse fosse o caso, seria difícil explicar o porquê (no espaço e no tempo absolutos não-relativísticos) toda a luz que observamos está viajando em uma única velocidade característica. É certo que, se postularmos que a massa restante de uma partícula de luz é extremamente pequena, pode ser impossível interagir com uma partícula sem transmitir uma velocidade muito alta, mas isso não explica por que toda a luz parece ter precisamente a mesma velocidade, como se essa

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velocidade específica fosse de alguma forma uma propriedade característica da luz. Como resultado dessas considerações, especialmente quando a concepção de onda da luz começou a substituir a teoria corpuscular, a ideia de que a gravidade poderia curvar os raios de luz foi largamente descartada na física newtoniana. (O mesmo destino aconteceu com a idéia de buracos negros, originalmente proposta por Michell com base na velocidade de escape newtoniana da luz. Laplace também mencionou a ideia em sua Celestial Mechanics, mas a excluiu na terceira edição, possivelmente por causa das dificuldades conceituais.) A ideia de dobrar a luz foi revivida no artigo de 1911 de Einstein "Sobre a influência da gravitação na propagação da luz". Curiosamente, a previsão quantitativa descritos no presente documento para a quantidade de deflexão da luz que passa perto de uma grande massa era idêntico ao velho predição newtoniano, δ = 2m/r0. Por outro lado, uma teoria relativista da gravidade concorrente, apresentada por Nordstrom na mesma época, previa que não houvesse desvio de luz. Houve várias tentativas de medir a deflexão da luz das estrelas passando perto do Sol durante os eclipses solares para testar a previsão de Einstein nos anos entre 1911 e 1915, mas todas essas tentativas foram frustradas por céu nublado, problemas logísticos, Primeira Guerra Mundial, etc. Einstein ficou muito irritado com as repetidas falhas dos experimentalistas em reunir quaisquer dados úteis, porque estava ansioso para ver sua previsão corroborada, o que ele tinha certeza de que seria. Ele escreveu para Besso em março de 1914

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Agora estou totalmente satisfeito e não duvido mais da correção de todo o sistema, quer as observações do eclipse sejam bem-sucedidas ou não. O sentido da coisa é muito evidente. Ironicamente, se algum desses primeiros esforços experimentais tivesse conseguido coletar dados úteis, eles teriam provado que Einstein estava errado. Não foi até o final de 1915, quando ele completou a teoria geral, que Einstein percebeu que sua previsão anterior estava incorreta e que a deflexão angular deveria ser duas vezes maior do tamanho que ele previu em 1911. Se a Guerra Mundial não tivesse interferido, é provável que Einstein nunca tivesse sido capaz de reivindicar a inclinação da luz (duas vezes o valor "newtoniano") como uma previsão da relatividade geral. Na melhor das hipóteses, ele teria sido forçado a explicar, após o fato, por que a deflexão observada era realmente consistente com a teoria geral completa. Felizmente para Einstein, ele corrigiu a previsão da inclinação da luz antes que qualquer expedição conseguisse fazer observações úteis. Em 1919, após o término da guerra, expedições científicas foram enviadas para Sobral na América do Sul e Príncipe na África Ocidental para fazer observações do eclipse solar. (O local específico de Príncipe foi escolhido por seu nome, ± 0,16 e 1,61 ± 0,40 segundos de arco, respectivamente, que foram tomados como confirmação clara da previsão da relatividade geral de 1,75 segundos de arco. Esse sucesso, combinado com o apelo esotérico da luz curvada e a aventura romântica das próprias expedições do eclipse, contribuíram enormemente para tornar Einstein uma celebridade mundial. Um outro aspecto intrigante da história, em retrospecto, é o fato de que há alguma dúvida sobre se as técnicas de medição usadas nas expedições de 1919 foram suficientemente precisas para detectar legitimamente as desvios que foram relatadas e se os resultados relatados podem ter sido influenciado pelo que Eddington queria e esperava ver. É interessante especular sobre quais valores teriam sido

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registrados se os astrônomos tivessem conseguido fazer leituras em 1914, quando a deflexão esperada ainda era de apenas 0,875 segundos de arco. (Deve-se mencionar que observações subsequentes, resumidas abaixo, confirmaram independentemente a deflexão angular prevista pela relatividade geral, isto é, duas vezes o valor "newtoniano".)

Em 1915, Einstein analisou o problema a partir da equação das geodésicas. A diferença conceitual é que a luz não estava sendo afetada por seu peso, mas estava seguindo o caminho inercial em uma variedade cuja métrica depende da distribuição da massa. O cálculo de primeira ordem obtido por Einstein era o dobro do valor obtido por Soldner23: 4Gm  ro c 2 Esse novo valor se tornou uma previsão nova que permitiria verificar qual a teoria melhor se adapta a deflexão estelar: o modelo clássico ou o relativístico. De fato, esse teste foi realizado em 1919, durante o eclipse de Sobra e da Ilha do Príncipe, por uma comitiva chefiada por A. Eddington. Embora, costume-se dizer que essa experiência provou a Relatividade Geral, essa frase é exagerada e incorreta. Até, 1950 a questão da deflexão da luz ainda estava em aberto (WHITTAKER, 1953). Além disso, outra previsão da Teoria, o red shift gravitacional, não havia sido detectado em algumas experiências que foram realizadas em paralelo. Segundo o próprio Einstein, esse era o teste mais importante. Graças a insistência de Eddigton e outros pesquisadores, durante a década de 20, em medir o desvio das estrelas, outras medidas do redshift foram realizadas até que finalmente o efeito foi observado. Para uma dedução dessa equação ver Brown (2017): https://www.mathpages.com/rr/s6-03/6-03.htm 23

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F. Esfera de Fótons No espaço-tempo de Schwarzchild, as linhas geodésicas apresentam a seguinte forma:

Os círculos pontilhados indicam raios de m, 2m, ..., 6m do centro de massa. Desnecessário dizer que o raio físico de uma estrela típica é muito maior do que o raio gravitacional m, portanto, não encontraremos uma deflexão tão severa dos raios de luz, mesmo para raios que pastam na superfície da estrela. No entanto, para um "buraco negro", teoricamente, podemos ter raios de luz passando com valores de r na mesma ordem de magnitude que m, resultando nos caminhos mostrados nesta figura. Curiosamente, uma fração significativa dos raios oblíquos recebidos é "dispersa" de volta, com um loop em r = 3m, que é o "raio da luz". Como consequência, se lançarmos uma luz ampla em um buraco negro, esperamos ver um "halo" de luz espalhada delineando um círculo com um raio de 3m. A região r = 3m recebe o nome de esfera de fótons. Para uma estrela estática, raios de luz que consigam penetrar nessa região ficarão presas eternamente em um caminho esférico. Se um

P á g i n a | 383

astronauta atingisse a esfera de fótons ele conseguira ver sua nuca e as suas costas. Vamos agora determinar onde se encontra a esfera de fótons. Suponha que um fóton de luz esteja preso em um plano do espaçotempo de Schwarzchild, com r e  fixos e que nesta região a luz esteja condenada a repetir eternamente um movimento circular. Nestas condições podemos escrever a métrica da seguinte forma:

 r ds 2  1  s r 

 2 2 2 2 2  c dt  r sin  d 

onde rs é o raio de Schwarzchild e é igual a: rs = Gm/c. Para um raio de luz, o intervalo próprio é zero:

 r  0  1  s  c 2 dt 2  r 2 sin 2  d 2  r d 2  rs  c 2  1   dt 2  r  r 2 sin 2  Vamos usar agora equação das geodésicas radiais, considerando que r e são fixos: 2

2  d  c rs  dt   r sin      2 r 2  ds   ds 

2

2

2

2

2  d   ds  c rs r sin       2 r2  ds   dt  2

2

r 2 sin 2   d  1 rs    2r c 2  dt  Substituindo o valor da derivada do ângulo:

P á g i n a | 384

 r 2 sin 2   c 2   rs   2 2  1  2  c  r sin    r

 1 rs   2r

rs 1 rs  r 2r r 1r 1 s  s r 2r 3r 1 s 2r

1

Isolando r obtemos o raio da esfera de fótons: r

3 rs 2

Corpos massivos também podem produzir lentes gravitacionais, a luz ao passar perto do objeto, pode se dividir em duas, criando uma réplica dela no céu:

P á g i n a | 385

G. Energia, Momento e Momento Angular da Gravitação24 O significado físico das equações de Einstein pode ser esclarecido escrevendo-as de uma forma inteiramente equivalente que, por não ser manifestamente covariante, revela sua relação com as equações de onda da física das partículas elementares. Adotemos um sistema de coordenadas que seja quase minkowskiano, no sentido de que a métrica g  se aproxima da métrica de Minkowski a grandes distâncias do sistema material finito em estudo. (Este é o caso dos sistemas de coordenadas harmônicas e outros também). Nós podemos escrever: g      h

(01)

de modo que o h desaparece no infinito. (Entretanto, h não é considerado pequeno em todo lugar.) A parte do tensor linear de Ricci em h é então

 2 h 2h  2 h 1   2 h (1) R                   2  x x x x x x x x

  

(02)

[estamos adotando a conveniente convenção de que os índices em (1) h , R e  x  são elevados e rebaixados com os  's , por exemplo, h    h e  x     x , enquanto índices de tensores verdadeiros como R são levantados e abaixados com g como de costume.] As equações exatas de Einstein podem então ser escritas como: (1)  12   R(1)   8 G T  t  R

Extraído do livro: Gravitation and Cosmology (Weinberg, 1972) Tradução e comentários: Ayni Ricardo Capiberibe

24

(03)

P á g i n a | 386

onde t 

1  (1)  12  R(1)   R  12 g  R  R  8 G

(04)

A equação (03) tem exatamente a forma que devemos esperar para a equação de onda de um campo de spin 2, mas com a peculiaridade de que a sua "fonte" T  t  (depende explicitamente do campo h ). Nós interpretamos esta propriedade dizendo que o campo h é gerado pelas densidades totais e fluxos de energia e momento, e t  é simplesmente o "tensor" de energia-momento do próprio campo gravitacional, isto é, nós interpretamos a quantidade

 v    T  t 

(05)

como o "tensor" momento-energia total da matéria e da gravitação. Há várias propriedades do 

v

que corroboram essa interpretação:

(1) (A) As quantidades R obedecem às identidades linearizadas de Bianchi:   R (1)  12  R(1)    0 (06)   x

Portanto, segue das equações de campo (03) que conservado localmente:    0 x

 v é (07)



Observe que, embora a T obedeça à lei de conservação covariantes T  ; , que realmente descreve a troca de energia entre matéria e gravitação, a quantidade

  é conservada no sentido

P á g i n a | 387

comum. Em particular, para qualquer sistema finito de volume V limitado por uma superfície S, Eq. (07) nos diz que d 25 (08)  0 d 3 x     i ni dS dt V S onde n é a unidade externa normal à superfície. Por isso podemos interpretar P    0 d 3 x (09) V

Vamos demonstrar como Weinberg obteve essa importante relação, que não é um resultado imediato, embora seja bastante simples de obter, necessitando apenas a forma tensorial Teorema da Divergência do cálculo vetorial elementar. Desenvolvendo parcialmente a soma em v obtemos:  0  i   i 0 0 x x onde o índice i varia de 1 à 3. A derivada parcial em x0 corresponde a derivada ordinária em relação ao tempo, enquanto a derivada parcial em relação à xi é a divergência do pseudo-tensor . Nestas condições escrevemos a equação como: d 0 i     i  dt Integrando os dois lados sobre o elemento de volume d3x, obtemos:

25

d  0 d 3 x    i  i d 3 x dt  V V Pelo teorema da divergência de Gauss-Ostrogradski, a segunda integral pode ser expressa por meio de uma integral sobre todo a superfície S, pela seguinte regra:

   i

V

i

d 3x 

 

i

ni dS

S

Substituindo esse resultado na equação anterior, obtemos o resultado desejado: d d 0 3 i  d x    ni dS  0  d 3 x    i ni dS dt V dt V S S









P á g i n a | 388

como o "vetor" de energia-momento total do sistema, incluindo matéria, eletromagnetismo correspondente.

e

(B) Além de ser conservado, o

gravitação;

 i

é

o

fluxo

  também é simétrico,

    

(10)

e portanto  M   0 x 

(11)

onde

M     x    x podemos assim interpretar M de um momento angular total

0

e

(12)

M i como a densidade e fluxo

J    d 3 xM 0   J 

(13)

V

que é constante se M i desaparecer sobre a superfície do volume de integração. (C) Podemos calcular t  como uma série de potência em h, e descobrir que o primeiro termo é quadrático:

t 

1  1 1 1 (1) (2) (2)   h R(1)     h  R  R     R    8 G  2 2 2

h  3

(14)

P á g i n a | 389

( 2) onde R é a parte de segunda ordem do tensor de Ricci, dada por:

(2)

R

1   h 2

  2 h  2 h  2 h   2 h             x x x x x x   x x 

 1  h h   h h h  2       4  x x   x x  x 

(15)

  1  h h h   h h h             4  x x x   x x  x 

O exemplo da eletrodinâmica nos levaria a esperar que o "tensor" do momento de energia da gravitação começasse com um termo quadrático em h . A presença em t  de termos de terceira e maior ordem simplesmente significa que a interação gravitacional do campo gravitacional consigo mesma também contribui para a energia total e momento. Naturalmente, quando o campo gravitacional é fraco, h é pequeno, então nossa inclusão de t em (05) (e nosso uso de  para elevar índices) não altera seriamente nosso quadro de energia-momento conteúdo de sistemas físicos. 

(D) Embora não seja geralmente covariante, t  ,  e M  são pelo menos covariantes de Lorentz. Assim, para um sistema fechado,

P e J  não são apenas constantes, mas também covariantes de

Lorentz.

(E) Escolhemos no início desta seção para trabalhar em um sistema de coordenadas em que h desaparece no infinito. Longe

P á g i n a | 390

do sistema de material finito que produz o campo gravitacional, T é zero e t  é de ordem h2, então o termo fonte no lado direito das equações de campo (03) é efetivamente confinado para uma região finita. Isso sugere que em uma grande variedade de problemas físicos h se comportará a grandes distâncias, assim como os potenciais em eletrostática ou teoria gravitacional newtoniana, isto é, para r   ,

h 

h

1   r

x





1  2 r 

 2 h 

x x





1  3 r 

(16)

Neste caso, (14) mostra que

t  então a integral



0

1  4 r 

(17)

d 3 x que dá a energia total e o momento

converge. É por isso que foi tão importante identificar o sistema de coordenadas como quase Minkowskiano; se g  se aproximasse da métrica de coordenadas polares esféricas no infinito, então nossas definições (01) e (04) teriam levado a uma densidade de energia física concentrada no infinito! (Note que (16) e (17) nem sempre são válidos. Se o sistema está eternamente irradiando ondas gravitacionais, então h oscila de modo que h x  e  2 h x  x  são da mesma ordem que h , dando uma energia

total infinita, que é o que esperaríamos para a radiação gravitacional preenchendo todo o espaço. Neste caso, nem mesmo o h se comporta como l/r ).

P á g i n a | 391



(F) Por sua construção,  é claramente o "tensor" do momentoenergia que determinamos quando medimos o campo gravitacional produzido por qualquer sistema. Na verdade, existem muitas definições possíveis do "tensor" de energia de gravidade que compartilham a maioria das boas propriedades de nosso t  (essas definições são geralmente baseadas no princípio de ação), mas t  é especialmente escolhido por seu papel em (03) como parte da fonte de h . (G) Embora o cálculo de t  em problemas físicos específicos possa ser um incômodo, felizmente é possível evitar esse cálculo se tudo o que queremos é a energia total e momento do sistema. O lado esquerdo das equações de campo (03) pode ser escrito como: R (1)   12  R(1)  

  Q x 

(18)

onde

Q



  1  h  h  h v  h   h h               x x x x x  2  x

(19) Note que o Q  é antisimétrico em seus dois primeiros índices,

Q   Q

(20)

da qual segue a identidade diferencial (06). Usando as equações de campo (03) em conjunto com (18) encontramos para o vetor "energia-momento" total (09)

P á g i n a | 392

1 Q  0 3 Qi 0 3 1 P  d x d x 8 G V x  8 G V xi 

e usando o teorema de Gauss temos: P  

1 Qi 0  ni r 2 d  (20)  8 G V

(21)

a integral sendo tomada sobre uma grande esfera de raio r, com n a normal externa e d. O ângulo sólido diferencial; isso é, r   xi xl 

1/2

ni 

xi r

d   sen d d

(Índices latinos repetidos são somados em 1, 2, 3). Mais detalhadamente, a energia total e o momento são dados por (19) e (21) como: Pj  

h h   hkk 1 h  ij   kk0  ij  ji0  ij  ni r 2 d    16 G  t x x t 

P0  

hij  2  h jj 1     ni r d  16 G   xi x j 

(22) (23)

Pelo mesmo raciocínio, o "tensor" momentum angular total (13) é: J    d 3 x  x  0   x  0   

i 0 i 0  1 3   Q  Q d x x x   i i   8 G x x  

As componentes fisicamente interessantes da J componentes independentes do tipo espaço-espaço: J1  J 23

J 2  J 31

J 3  J 12



são as três

P á g i n a | 393

Usando o teorema de Gauss novamente, essas componentes são dadas por J   

h0 j h ji  h0 k hki 1   x  x  x x  j k j k i i x x t t 16 G  

 hok  ij  h0 j ik  ni r 2 d 

(24)

Assim, para calcular o momento total, a energia e o momento angular de um sistema finito arbitrário, é necessário apenas conhecer o comportamento assintótico de h a grandes distâncias. (H) Foi demonstrado que P0 é sempre positivo e toma o valor zero apenas para o espaço vazio livre de matéria. 

(I) Embora  não seja um tensor e P não seja um vetor, a energia total e o momento têm a importante propriedade de serem invariantes sob qualquer transformação de coordenadas que reduz ao infinito a identidade. Tal transformação será da forma

x   x  x     ( x) onde todos   ( x) desaparecem como r   , embora todos   ( x) não precisem ser pequenos em distâncias finitas. O tensor métrico no novo sistema de coordenadas é:        g   g            x  x  

Para r   ambos calcular g 

g 



 e

h são pequenos, então podemos

para primeira ordem em todos e h definindo

   h e expandindo; isto obtemos

P á g i n a | 394

g 

   h

onde

h  h  

     x x

A mudança na quantidade (19) produzida por essa transformação de coordenadas é então dada para r   por:

 2   1   2         x  x 2  x  x

Q   2

 





2

 2   2        x x x x   

ou Q  

  D x

onde

  

D  

 x

  

  x

 

  x

  

  x

 

  x

  

    x 

 

Notamos que D é totalmente antissimétrico em seus três primeiros índices

D  D  D   D e, portanto, a mudança na integral da superfície toma a forma

1  D i 0  2 1  D ji 0  2 P     ni r d      ni r d  8 G   x  8 G   x j  

P á g i n a | 395

ou, usando o teorema de Gauss novamente,

1   2 D ji 0  3 P    d x 8 G   xi x j  

(25)

Podemos notar como um corolário que P , se transforma como um vetor quatro sob qualquer transformação que deixa a métrica   no infinito inalterada, porque qualquer transformação pode ser expressa como o produto de uma transformação de Lorentz x    x  a  , sob o qual P se transforma como um vetor de quatro (veja (D) acima), vezes uma transformação que se aproxima da identidade no infinito e, portanto, não altera o P . (J) Se a matéria em nosso sistema está dividida em subsistemas distantes Sn, o campo gravitacional pode ser aproximado escrevendo n ’s que seriam produzidos por cada h como a soma dos h subsistema agindo sozinho. (Termos de interferência entre estes n ’s podem ser negligenciados em t  , porque em diferentes h n qualquer lugar onde um h ’s é grande, todos os outros são

pequenos.) Segue-se então da análise de P em (E) acima que a energia total e o momento são iguais à soma dos valores Pn para cada subsistema sozinho. O "vetor" de energia-momento P definido por (09) é conservado, é um 4-vetor de Lorentz. O que mais poderíamos perguntar? Quaisquer 4-quantidades com essas propriedades são determinadas exclusivamente como sendo o momento e a energia usuais (como pode ser mostrado formalmente aplicando as leis de conservação a uma colisão na qual os subsistemas distantes se juntam, interagir, e depois ir para o infinito novamente).

P á g i n a | 396

Os argumentos desta seção podem ser virados para fornecer uma outra derivação das equações de campo de Einstein Suponha que nos propusemos a construir equações para um campo de longo alcance de spin 2. Considerações gerais teóricas em grupo exigem que elas tomem a forma: (1)  12   R(1)     R

(26)

com   alguma função fonte, que por causa das identidades (06) deve ser conservada.     0 x

(27)

Não será possível definir   proporcional ao tensor de energiamomento T da matéria, porque a matéria pode intercambiar energia e momento com a gravitação e, portanto, T não satisfaz (27). Nós devemos incluir em   termos envolvendo h propriamente dito, e quando esses termos são calculados ao impor a condição (27), achamos que a equação de campo (26) deve ser simplesmente (03), que é equivalente à teoria de Einstein. Somos, portanto, levados de volta à observação no início deste capítulo, de que a principal diferença entre os campos eletromagnético e gravitacional é que a fonte do potencial eletromagnético A é uma corrente conservada J  que não envolve A porque o campo eletromagnético não é ele mesmo carregado, enquanto a fonte do campo gravitacional h é um "tensor" conservado

  que deve

envolver h porque o campo gravitacional realmente carrega energia e momento.`

P á g i n a | 397

Considerações Finais Neste ensaio realizamos uma construção alternativa da Teoria da Relatividade Especial a partir de rotações hiperbólicas em um espaço-tempo 4-dimensional onde nossos vetores são substituídos por 4-vetores e tensores. A princípio essa linguagem pode não parecer tão simples e não ser tão vantajosa. Essa era a opinião do próprio Albert Einstein, até 1911, quando ele finalmente percebeu que para conseguir construir grandezas que sejam válidas para qualquer referencial é necessário apelar para ferramentas mais robustas. O formalismo hiperbólico aplicado a 4-vetores permitem deduzir sem dificuldades e sem ambiguidades as transformações entre dois referencias inerciais e construir invariantes relativísticos. Esse ensaio apresenta uma amostra de como usar essas ferramentas em diversas áreas da física. Usamos o termo “uma amostra” porque não esgotamos todos os campos de aplicação da relatividade. O fato de não abordarmos tudo não deve ser visto como um demérito, mas como uma oportunidade para o leitor aplicar esses conceitos e tentar desvendar novas possibilidades. Costuma-se achar que a Teoria da Relatividade Especial já está completa, o que é um erro, pois uma teoria nunca está completa. Por exemplo, há questões extremamente importantes a serem exploradas na termodinâmica. Nesse ensaio propomos uma possibilidade de modificação da primeira lei da termodinâmica, porém não exploramos as suas consequências sobre os potenciais termodinâmicos e aplicações à máquinas térmicas, em especial, o ciclo de Carnot. A óptica quântica relativística também apresenta divergências. A física de meios extensos e contínuos também tem sido pouco abordada com todas as suas divergências. O estudo da gravitação na Relatividade Especial também é um tópico de interesse histórico. De todos os livros citados nas referências, apenas Martins (2012) reserva um capítulo para discutir a gravitação na Teoria da Relatividade Especial. O fato é que

P á g i n a | 398

estamos ainda longe de esgotar as discussões sobre Relatividade Especial. Embora nesse trabalho tenhamos dado ênfase aos métodos matemáticos e a interpretação geométrica, o estudo histórico pode revelar questões ainda em aberto e que podem ser testadas com novas tecnologias ou ponderadas com novos conhecimentos matemáticos. Um caso envolvendo relatividade é narrado por Martins (1989) que estava orientando uma aluna no mestrado que durante a revisão de literatura descobriu que havia um problema histórico em aberto: verificar se a inércia dos elétrons varia a com a energia potencial elétrica. Usando técnicas mais precisas do que as disponíveis há quase cem anos, eles provaram que a inércia dos elétron não muda com a variação da energia potencial elétrica, por essa razão, não se pode aplicar a relação massa-energia. Em outras palavras, uma compreensão histórica, pode revelar temas de pesquisa. Lakatos (1979) mostra que o exame histórico pode até fazer ressurgir um programa de pesquisa que havia sido posto de lado. O importante é que o leitor tenha curiosidade e não tenha medo de errar e de ousar. É preciso superar a visão positivista de que apenas o acerto contribui para o progresso da ciência. Nas poucas partes históricas deste trabalho, vimos que Einstein cometeu um erro ao derivar a massa transversal do elétron. Ele poderia ter evitado esse erro caso tivesse percebido que a pressão de um complexo de radiação sobre a superfície de um espelho é um invariante e a partir da invariância da pressão, ter deduzido a transformação das forças. No entanto, Einstein não se atentou a esse fato e cometeu um erro grave ao tentar deduzir a massa transversal do elétron. Seus comentários dão a entender que ele não estava seguro com o resultado, mas mesmo assim ele não titubeou. Planck, que era o juiz da Annalen revisou o artigo de Einstein e autorizou para a publicação. Somente em 1906, Planck percebeu o erro que

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Einstein havia cometido e para compensar a sua falha na avaliação, propôs uma formulação hamiltoniana da relatividade que permitisse deduzir o momento canônico e a transformação de massa. Se lermos atentamente o trabalho original de Einstein, vemos que muitas vezes ele viola o segundo postulado e a invariância da forma da onda. Hoje sabemos deduzir os fenômenos sem ambiguidades, mas na época em que Einstein estava desenvolvendo suas ideias não havia uma referência clara e a ausência desse norte permitiu que ele avançasse, apesar dos erros. Não queremos propor aqui um exercício de história hipotética ou contra história, a partir de perguntas do tipo “e se Planck tivesse percebido o erro de Einstein?” até porque a visão de ciência que defendemos é de uma construção coletiva e descentralizada. O que queremos mostrar é que em todo processo científico estamos sujeitos a errar, a sofrermos críticas e a evoluir em nossas ideias. Quando Einstein resolveu trabalhar na a Teoria da Relatividade Geral, inicialmente ele teve a assistência de Marcel Grossmann, e depois seguiu sozinho. O próprio Einstein nunca compreendeu bem o conceito de tensores e de variedades. Mehra (1983) conta a curiosa história de Hilbert e dos acadêmicos de Göttingen, que estavam entre os melhores matemáticos do mundo e dominavam plenamente a linguagem do espaço e do tempo, mas segundo Hilbert, Einstein foi mais longe, pois não sabia nada disso e apenas deixou que sua intuição guiasse. A declaração é um tanto exagerada, Einstein poderia não saber tanto como Hilbert e seus pupilos, mas sabia o básico e era bastante perseverante e foi essa perseverança, uma verdadeira luta com a matemática que o levou a obtenção das teorias de campo junto com Hilbert. Gostaria de pensar em nosso leitor como uma pessoa que contempla a natureza e um espaço-tempo abstrato e que nosso trabalho é uma cesta de ferramentas com um pequeno bilhete: pegue

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o que precisar, faça o que quiser. Esse espaço-tempo é de cada um de nós e com essas ferramentas podemos molda-lo e descobrir peculiaridades dele. Confessamos que esse trabalho surgiu dessa forma, ao ler o livro do Whittaker (1953) vimos a ferramenta, rotações hiperbólicas, empregada algumas vezes e pensamos: e se aplicássemos para outras grandezas? Essa “brincadeira” foi levando a querer explorar mais e mais as consequências, compreender nossos erros e buscar alterações. Talvez o leitor se surpreenda com a ausência de referências ao logo do texto, isso ocorre porque a maior parte do trabalho é autoral, fizemos sem consultar nenhum livro ou artigo, porque eles inexistem. Durante todo esse ensaio tentamos apresentar uma formulação alternativa para a Teoria da Relatividade Especial que torna a construção da teoria o mais simples possível. Na filosofia da ciência existe um conceito devido a Henri Poincaré chamado de Convencionalismo. Em linhas gerais, o convencionalismo aponta que não existe uma geometria melhor do que a outra, todos os conceitos de uma geometria não-euclidiana podem ser convertidos em conceitos de uma geometria euclidiana. A escolha de uma geometria para descrever a realidade é meramente uma questão de convenção do que é mais cômodo. Uma reflexão sobre convencionalismo revela que o Princípio da Relatividade, proposto por Poincaré em 1900, é uma extensão desse conceito: não existe um referencial inercial privilegiado, todos são equivalentes, a escolha é uma mera questão de convenção. Os cosmólogos que precisam lidar com topologias diversas tem aprendido que muitos problemas podem ser facilmente resolvidos se certas “hipóteses” ou “convenções” foram adotadas. Não existe uma formulação mais correta para descrever a Teoria da Relatividade, todas são equivalentes, porém existem representações mais cômodas. Este é o caso do formalismo

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hiperbólico e do formalismo 4-vetorial que tornam as deduções complicadas das grandezas do eletromagnetismo em um problema de rotação hiperbólica. Um leitor pouco familiarizado com esse formalismo, inicialmente pode estranhar e achar mais cômodo utilizar métodos mais tradicionais, mas uma vez que ele tenha assimilado e aprendido a usar esse método ele perceberá suas vantagens. Por fim, gostaria de deixar uma pequena reflexão sobre a nossa prática enquanto cientistas: O cientista virou um mito. E todo mito é perigoso, porque ele induz o comportamento e inibe o pensamento. Este é um dos resultados engraçados (e trágicos) da ciência. Se existe uma classe especializada em pensar de maneira correta (os cientistas), os outros indivíduos são liberados da obrigação de pensar e podem simplesmente fazer o que os cientistas mandam. Quando o médico lhe dá uma receita você faz perguntas? Sabe como os medicamentos funcionam? Será que você se pergunta se o médico sabe como os medicamentos funcionam? Ele manda, a gente compra e toma. Não pensamos. Obedecemos. Não precisamos pensar, porque acreditamos que há indivíduos especializados e competentes em pensar. Pagamos para que ele pense por nós. E depois ainda dizem por aí que vivemos em uma civilização científica... O que eu disse dos médicos você pode aplicar a tudo. Os economistas tomam decisões e temos de obedecer. Os engenheiros e urbanistas dizem como devem ser as nossas cidades, e assim acontece. Dizem que o álcool será a solução para que nossos automóveis continuem a trafegar, e a agricultura se altera para que a palavra dos técnicos se cumpra. Afinal de contas, para que serve a nossa cabeça? Ainda podemos pensar? Adianta pensar? B.1 Antes de mais nada é necessário acabar com o mito de que o cientista é uma pessoa que pensa melhor do que as outras. O fato de uma pessoa ser muito boa

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para jogar xadrez não significa que ela seja mais inteligente do que os não-jogadores. Você pode ser um especialista em resolver quebracabeças. Isto não o torna mais capacitado na arte de pensar. Tocar piano (como tocar qualquer instrumento) é extremamente complicado. O pianista tem de dominar uma série de técnicas distintas – oitavas, sextas, terças, trinados, legatos, staccatos – e coordená-las, para que a execução ocorra de forma integrada e equilibrada. Imagine um pianista que resolva especializar-se (note bem esta palavra, um dos semideuses, mitos, ídolos da ciência!) na técnica dos trinados apenas. O que vai acontecer é que ele será capaz de fazer trinados como ninguém – só que ele não será capaz de executar nenhuma música. Cientistas são como pianistas que resolveram especializar-se numa técnica só. Imagine as várias divisões da ciência – física, química, biologia, psicologia, sociologia – como técnicas especializadas. No início pensava-se que tais especializações produziriam, miraculosamente, uma sinfonia. Isto não ocorreu. O que ocorre, frequentemente, é que cada músico é surdo para o que os outros estão tocando. Físicos não entendem os sociólogos, que não sabem traduzir as afirmações dos biólogos, que por sua vez não compreendem a linguagem da economia, e assim por diante. A especialização pode transformar-se numa perigosa fraqueza. Um animal que só desenvolvesse e especializasse os olhos se tornaria um gênio no mundo cores e das formas, mas se tornaria incapaz de perceber o mundo dos sons e dos odores. E isto pode ser fatal para a sobrevivência. (ALVES, 1995, pp. 07-09) Torço para que os nossos leitores e jovens cientistas não sofram dessa surdes seletiva, mas que abram os ouvidos e escutem a maravilhosa orquestra e descubram que há mais de uma combinação de notas que combina com a melodia. Espero com este trabalho ter dado a chave aos leitores para abrir as portas da concepção, para que eles vejam o espaço-tempo como ele é: infinito (parafraseado de Blake).

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Como esse trabalho tange alguns aspectos históricos e epistemológicos incluí alguns livros de ciências humanas e sociais, filosofia da ciência. Infelizmente é possível citar todas as obras que englobam o tema, se deixei de citar algum autor, peço encarecidamente desculpas adiantadas. 26

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O Princípio da Relatividade E-Volumes ♥

Volume I - Henri Poincaré (1854-1912)

♠

Volume 2 – Albert Einstein (1905)

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Volume 3 – Lições (Matemática)

♣

Volume 4 – Lições (Física) SOBRE A AUTORA AYNI R. CAPIBERIBE

Ayni é professora, físicamatemática e historiadora e socióloga da ciência. Suas linhas de pesquisa incluem anéis hiper-complexos e álgebras geométricas para a descrição topológica de variedades espaço-temporais, estudos sociais da ciência e micro história da ciência, com ênfase em Teoria da Relatividade. É mãe, transexual, militante pelo direito de transexuais e indígenas, louca por gatos. Também é colunista no A Voayager e no Física sem Arrodeios.