Henri Poincaré e a Teoria da Relatividade [1ª ed.]

Table of contents :
CONTEÚDO
PREFÁCIO 04
1. GEOMETRIA EUCLIDIANA 06
2. MECÂNICA NEWTONIANA CLÁSSICA 08
3. ELETRODINÂMICA. GEOMETRIA ESPAÇO-TEMPORAL. 24
4. A RELATIVIDADE DO TEMPO E A CONTRAÇÃO DO COMPRIMENTO 69
5. ADICIONANDO VELOCIDADES 80
6. ELEMENTOS DA ANÁLISE VETORIAL E TENSORIAL NO ESPAÇO DE MINKOWSKI 81
7. GRUPO DE LORENTZ 86
8. INVARIÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL-LORENTZ. 89
9. MECÂNICA RELATIVÍSTICA DE POINCARÉ 113
10. O PRINCÍPIO DA AÇÃO ESTACIONÁRIA NA ELETRODINÂMICA 161
11. MOVIMENTO INERCIAL DE UM CORPO DE PROVA. DIFERENCIAÇÃO COVARIANTE. 171
12. MOVIMENTO RELATIVÍSTICO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE. O PARADOXO DO RELÓGIO. EFEITO SAGNAC 180
13. SOBRE A VELOCIDADE LIMITE 201
14. PRECESSÃO DE THOMAS. 215
15. AS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO E AS LEIS DE CONSERVAÇÃO NA TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 221
16. ESPAÇO DE VELOCIDADE DE LOBACHEVSKY 242
PROBLEMAS E EXERCÍCIOS 262
BIBLIOGRAFIA 265
POSFÁCIO 267

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A.A. Logunov

HENRI POINCARÉ EA

TEORIA DA RELATIVIDADE

Traduzido por Ayni R. Capiberibe editado por Ayni R. Capiberibe Posfácio por Ayni R. Capiberibe

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Logunov A.A. Henri Poincaré e a teoria da relatividade. – C. G.: Alrisha, 2020. – O livro apresenta ideias de H. Poincaré e H. Minkowski segundo os quais a essência e o conteúdo principal da teoria da relatividade são as seguintes: o espaço e o tempo formam um continuum quadridimensional unicamente fornecido pela geometria pseudo-euclidiana. Todos os processos físicos ocorrem exatamente neste espaço quadridimensional. Comentários sobre trabalhos e citações relacionados a este assunto por L. de Broglie, P. A. M. Dirac, A. Einstein, V. L. Ginzburg, S. Goldberg, P. Langevin, H. A. Lorentz, L. I. Mandel'stam, H. Minkowski, A. Pais, W. Pauli, M. Planck, A. Sommerfeld e H. Weyl são apresentados no livro. Também é mostrado que a teoria especial da relatividade foi criada não apenas por A. Einstein, mas até em maior extensão por H. Poincaré. O livro foi desenvolvido para trabalhadores científicos, pós-graduados e estudantes do ensino superior, formados em física teórica.

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Todos os direitos reservados © A.A. Logunov © Traduzido por Ayni R. Capiberibe editado por Ayni R. Capiberibe posfácio por Ayni R. Capiberibe [email protected] © Distribuído por Alrisha, 2020. www.alrisha.webnode.com

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CONTEÚDO PREFÁCIO ....................................................................................... 04 1. GEOMETRIA EUCLIDIANA ..................................................... 06 2. MECÂNICA NEWTONIANA CLÁSSICA .................................... 08 3. ELETRODINÂMICA. GEOMETRIA ESPAÇO-TEMPORAL. ........ 24 4. A RELATIVIDADE DO TEMPO E A CONTRAÇÃO DO COMPRIMENTO............................................................................... 69 5. ADICIONANDO VELOCIDADES ............................................... 80 6. ELEMENTOS DA ANÁLISE VETORIAL E TENSORIAL NO ESPAÇO DE MINKOWSKI .............................................................................. 81 7. GRUPO DE LORENTZ ............................................................. 86 8. INVARIÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL-LORENTZ. .... 89 9. MECÂNICA RELATIVÍSTICA DE POINCARÉ ......................... 113 10. O PRINCÍPIO DA AÇÃO ESTACIONÁRIA NA ELETRODINÂMICA ........................................................................ 161 11. MOVIMENTO INERCIAL DE UM CORPO DE PROVA. DIFERENCIAÇÃO COVARIANTE.................................................... 171 12. MOVIMENTO RELATIVÍSTICO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE. O PARADOXO DO RELÓGIO. EFEITO SAGNAC ........ 180 13. SOBRE A VELOCIDADE LIMITE .......................................... 201 14. PRECESSÃO DE THOMAS. .................................................. 215 15. AS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO E AS LEIS DE CONSERVAÇÃO NA TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS ............................................... 221 16. ESPAÇO DE VELOCIDADE DE LOBACHEVSKY ................... 242 PROBLEMAS E EXERCÍCIOS ......................................................... 262 BIBLIOGRAFIA ............................................................................. 265 POSFÁCIO ..................................................................................... 267

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Dedicado aos 150 anos de Henri Poincaré— o maior matemático, mecanicista, físico teórico

Prefácio A teoria especial da relatividade “resultou dos esforços conjuntos de um grupo de grandes pesquisadores: Lorentz, Poincaré, Einstein, Minkowski” (Max Born). “Einstein e Poincaré se basearam no trabalho preparatório de H.A. Lorentz, que já havia chegado muito perto do resultado, sem contudo alcançá-lo. Na concordância entre os resultados dos métodos seguidos independentemente por Einstein e Poincaré, discerniu um significado mais profundo de uma harmonia entre o método matemático e a análise por meio de experimentos conceituais (Gedankenexperimente), que se apoiam em características gerais da física experiência” (W. Pauli, 1955). H. Poincaré, baseado no princípio da relatividade formulado por ele para todos os fenômenos físicos e na obra de Lorentz, descobriu e formulou tudo o que compõe a essência da teoria especial da relatividade. A. Einstein estava chegando à teoria da relatividade do lado do princípio da relatividade formulado anteriormente por H. Poincaré. Nisso, ele se baseou nas ideias de H. Poincaré na definição da simultaneidade de eventos que ocorrem em diferentes pontos espaciais por meio do sinal de luz. Por essa razão, ele introduziu um postulado adicional - a constância da velocidade da luz. Este livro apresenta uma comparação do artigo de A. Einstein de 1905 com os artigos de H. Poincaré e esclarece qual é o novo conteúdo apresentado por cada um deles. Um pouco mais tarde, H. Minkowski desenvolveu ainda mais a abordagem de Poincaré. Como a

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abordagem de Poincaré foi mais geral e profunda, nossa apresentação seguirá exatamente Poincaré. Segundo Poincaré e Minkowski, a essência da teoria da relatividade consiste no seguinte: a teoria especial da relatividade é a geometria pseudo-euclidiana do espaço-tempo. Todos os processos físicos ocorrem exatamente nesse espaço-tempo. As consequências deste postulado são leis de conservação de momento-energiae de momento angular, a existência de sistemas de referência inercial, o princípio da relatividade para todos os fenômenos físicos, transformações de Lorentz, a constância da velocidade da luz nas coordenadas galileus da estrutura inercial, o retardo com o tempo, a contração de Lorentz, a possibilidade de explorar sistemas de referência não inerciais, o paradoxo do relógio, a precessão de Thomas, o efeito de Sagnac e assim por diante. Séries de consequências fundamentais foram obtidas com base neste postulado e nas noções quânticas, e a teoria quântica de campos foi construída. A preservação (invariância da forma) de equações físicas em todos os sistemas de referência inercial significa que todos os processos físicos que ocorrem nesses sistemas sob as mesmas condições são idênticos. Por esse motivo, todos os padrões naturais são os mesmos em todos os sistemas de referência inercial. O autor expressa profunda gratidão ao acadêmico da Academia Russa de Ciências Prof. S. S. Gershtein, Prof. V. A. Petrov, Prof. N. E. Tyurin, Prof. Y. M. Ado, pesquisador associado A. P. Samokhin, que leu o manuscrito e fez uma série de comentários valiosos, e também a G. M. Aleksandrov pelo trabalho significativo na preparação do manuscrito para publicação e preenchimento de índices de autores e assuntos. A.A. Logunov Janeiro 2004

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1. Geometria euclidiana No terceiro século a.C, Euclides publicou um tratado sobre matemática, os "Elementos", no qual resumiu o desenvolvimento anterior da matemática na Grécia antiga. Foi precisamente neste trabalho que a geometria do nosso espaço tridimensional - geometria euclidiana - foi formulada. Este foi o passo mais importante no desenvolvimento da matemática e da física. O ponto é que a geometria se originou de dados observacionais e experiência prática, i. e surgiu através do estudo da natureza. Mas, como todos os fenômenos naturais ocorrem no espaço e no tempo, a importância da geometria para a física não pode ser superestimada e, além disso, a geometria é realmente uma parte da física. Na linguagem moderna da matemática, a essência da geometria euclidiana é determinada pelo teorema de Pitágoras. De acordo com o teorema de Pitágoras, a distância de um ponto com coordenadas cartesianas x, y, z a partir da origem do sistema de referência é determinada pela fórmula 2

 x2  y 2  z 2

(1.1)

ou na forma diferencial, a distância entre dois infinitesimalmente próximos é

d 

2

  dx    dy    dz  2

2

2

pontos

(1.2)

Aqui dx, dy, dz são diferenciais das coordenadas cartesianas. Geralmente, a prova do teorema de Pitágoras é baseada nos axiomas de Euclides, mas acontece que ele pode realmente ser considerado

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uma definição da geometria euclidiana. O espaço tridimensional, determinado pela geometria euclidiana, possui as propriedades de homogeneidade e isotropia. Isso significa que não existem pontos singulares ou direções singulares na geometria euclidiana. Realizando transformações de coordenadas de um sistema de referência cartesiano, x, y, z, para outro, x', y', z', obtemos: 2

 x2  y 2  z 2  x2  y2  z2

(1.3)

Isso significa que a distância quadrada ℓ2 é invariável, enquanto suas projeções nos eixos de coordenadas não são. Observamos especialmente essa circunstância óbvia, uma vez que será visto também que essa situação também ocorre no espaço-tempo quadridimensional, portanto, dependendo da escolha do sistema de referência no espaço-tempo, as projeções nos eixos espaciais e temporais serão relativo. Daí surge a relatividade de tempo e duração. Mas esse problema será tratado mais tarde. A geometria euclidiana tornou-se uma parte composta da mecânica newtoniana. Por cerca de dois mil anos, a geometria euclidiana foi considerada a geometria única e imutável, apesar do rápido desenvolvimento da matemática, mecânica e física. Foi apenas no início do século XIX que o matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky deu o passo revolucionário uma nova geometria foi construída - a geometria Lobachevsky. Um pouco mais tarde, foi descoberta pelo matemático húngaro Bolyai. Cerca de 25 anos depois, as geometrias riemannianas foram desenvolvidas pelo matemático alemão Riemann. Surgiram numerosas construções geométricas. À medida que novas geometrias surgiram, a questão da geometria do nosso espaço foi levantada. De que tipo? Euclidiano ou não euclidiano?

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2. Mecânica newtoniana clássica Todos os fenômenos naturais procedem no espaço e no tempo. Precisamente por esse motivo, ao formular as leis da mecânica no século XVII, Isaac Newton definiu antes de tudo esses conceitos: "O Espaço Absoluto, por natureza, sem considerar nada externo, permanece sempre semelhante e imóvel". "O Tempo Absoluto, Verdadeiro e Matemático, por si só, e de sua própria natureza, flui de maneira equitativa, sem considerar nada externo, e por outro nome é chamado Duração". Como a geometria do espaço tridimensional, Newton realmente aplicou a geometria euclidiana, e ele escolheu um sistema de referência cartesiano com sua origem no centro do Sol, enquanto seus três eixos eram direcionados para estrelas distantes. Newton considerou precisamente esse sistema de referência como "imóvel". A introdução do espaço imóvel absoluto e do tempo absoluto acabou sendo extremamente proveitosa na época. A primeira lei da mecânica, ou a lei da inércia, foi formulada por Newton da seguinte maneira: “Todo corpo persevera em seu estado de repouso ou de movimento uniforme na linha reta, a menos que seja compelido a mudar esse estado por forças impressas nele”. A lei da inércia foi descoberta pela primeira vez por Galileu. Se, no espaço imóvel, se define um sistema de referência cartesiano, então, de acordo com a lei da inércia, um corpo solitário se moverá ao longo de uma trajetória determinada pelas seguintes equações: x  vx t ,

y  vyt,

z  vz t .

(2.1)

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Aqui, vx, vy, vz são as projeções de velocidade constante, seus valores também podem ser iguais a zero. No livro "A Ciência e a Hipótese", H. Poincaré formulou o seguinte princípio geral: “A aceleração de um corpo depende apenas de sua posição e de corpos vizinhos e de suas velocidades. Os matemáticos diriam que os movimentos de todas as moléculas materiais do universo dependem de equações diferenciais de segunda ordem. Para deixar claro que isso é realmente generalização da lei da inércia, podemos recorrer novamente à nossa imaginação. A lei da inércia, como já disse acima, não se impõe a priori; outras leis seriam igualmente compatíveis com o princípio da razão suficiente. Se o corpo não é acionado por uma força, em vez de supor que sua velocidade é inalterada, podemos supor que sua posição ou sua aceleração seja inalterada. Vamos por um momento supor que uma dessas duas leis é uma lei da natureza e substituí-la pela lei da inércia: qual será a generalização natural? Um momento de reflexão nos mostrará. No primeiro caso, podemos supor que a velocidade do corpo dependa apenas de sua posição e da dos corpos vizinhos; no segundo caso, que a variação da aceleração do corpo depende apenas da posição do corpo e dos corpos vizinhos, de suas velocidades e acelerações; ou, em termos matemáticos, as equações diferenciais do movimento seriam de primeira ordem no primeiro caso e de terceira ordem no segundo”. Newton formulou a segunda lei da mecânica da seguinte forma: “A alteração do movimento é sempre proporcional à força motriz impressa; e é feito na direção da linha reta em que essa força é impressa”

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E, finalmente, a terceira lei da mecânica de Newton: “Para toda ação sempre se opõe uma reação igual: ou as ações mútuas de dois corpos uma sobre a outra são sempre iguais e direcionadas a partes contrárias”. Com base nessas leis da mecânica, no caso de forças centrais, as equações para um sistema de duas partículas em um sistema de referência “em repouso” são: M1

d 2 r1 r r  F  r2  r1  2 1 , 2 dt r2  r1

d 2r r r M 2 22   F  r2  r1  2 1 . dt r2  r1

(2.2)

Aqui M1 e M2 são as respectivas massas da primeira e da segunda partículas, r1 é o raio do vetor da primeira partícula, r2 é o raio do vetor da segunda partícula. A função F reflete o caráter das forças que atuam entre os corpos. Na mecânica newtoniana, consideram-se principalmente forças de dois tipos: de gravidade e de elasticidade. Para as forças da gravidade newtoniana

F  r2  r1   G

M 1M 2 r2  r1

2

,

(2.3)

G é a constante gravitacional. Para forças de elasticidade, a lei de Hooke é

F  r2  r1   k r2  r1 k é o coeficiente de elasticidade.

(2.4)

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As equações de Newton são escritas em forma de vetor e, consequentemente, são independentes da escolha do sistema de referência tridimensional. A partir das equações (2.2), observa-se que o momento de um sistema fechado é conservado. Como foi observado anteriormente, Newton considerou as equações (2.2) válidas apenas em um sistema de referência em repouso. Mas, se alguém pegar um sistema de referência em movimento em relação ao que está parado com uma velocidade constante

r  r  vt

(2.5)

acontece que as equações (2.2) não são alteradas, i. e., eles permanecem invariantes à forma, e isso significa que nenhum fenômeno mecânico poderia permitir verificar se estamos em estado de repouso ou de movimento uniforme e retilíneo. Essa é a essência do princípio da relatividade descoberto pela primeira vez por Galileu. As transformações (2.5) foram denominadas de Galileu. Como a velocidade v em (2.5) é arbitrária, existe um número infinito de sistemas de referência, nos quais as equações mantêm sua forma. Isso significa que em cada sistema de referência a lei da inércia é válida. Se em qualquer um desses sistemas de referência um corpo estiver em estado de repouso ou em movimento uniforme e retilíneo, em qualquer outro sistema de referência, relacionado ao primeiro por transformação (2.5), ele também estará em um estado de movimento retilíneo uniforme ou em estado de repouso. Todos esses sistemas de referência foram denominados inerciais. O princípio da relatividade consiste na conservação da forma das equações da mecânica em qualquer sistema de referência inercial. Devemos enfatizar que na base da definição de um sistema de referência inercial está a lei da inércia de

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Galileu. Segundo ele, na ausência de forças, o movimento do corpo é descrito por funções lineares do tempo. Mas como deve ser definido um sistema de referência inercial? A mecânica newtoniana não respondeu a essa pergunta. No entanto, o sistema de referência escolhido como um sistema inercial teve sua origem no centro do Sol, enquanto os três eixos foram direcionados para estrelas distantes. Na mecânica newtoniana clássica, o tempo é independente da escolha do sistema de referência; em outras palavras, o espaço e o tempo tridimensionais são separados, eles não formam um contínuo quadridimensional único. As ideias de Isaac Newton sobre espaço absoluto e movimento absoluto foram criticadas no século 19 por Ernst Mach. Mach escreveu: “Ninguém é competente para predicar coisas sobre espaço absoluto e emoção absoluta; são coisas puras de pensamento, construções mentais puras, que não podem ser produzidas na experiência”. E mais: “Em vez disso, agora, ao referir um corpo em movimento K ao espaço (isto é, a um sistema de coordenadas), vamos ver diretamente sua relação com os corpos do universo, pelos quais somente um sistema de coordenadas pode ser determinado... Mesmo no caso mais simples, no qual aparentemente lidamos com a ação mútua de apenas duas massas, é impossível negligenciar o resto do mundo... Se um corpo gira em relação ao céu de estrelas imóveis, surgem forças centrífugas, enquanto que se gira em torno de outro corpo, em vez do céu de estrelas imóveis, nenhuma força

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centrífuga surgirá. Não tenho nada contra chamar a primeira revolução de absoluta, se pelo menos não esquecermos que isso significa apenas revolução em relação ao céu das estrelas imóveis”. Por isso, Mach escreveu: "... Não há necessidade de relacionar a lei da inércia a algum espaço absoluto especial”. Tudo isso está correto, uma vez que Newton não definiu a relação de um sistema de referência inercial com a distribuição da matéria e, na verdade, era bastante impossível, dado o nível de desenvolvimento físico da época. A propósito, Mach também não teve sucesso. Mas sua crítica foi útil, chamou a atenção dos cientistas para a análise dos principais conceitos da física. Como trataremos ainda mais dos conceitos de campo, será útil considerar os métodos da mecânica analítica desenvolvidos durante os séculos 18 e 19. Seu principal objetivo, estabelecido na época, consistia em encontrar a formulação mais geral para a mecânica clássica. Essa pesquisa se mostrou extremamente importante, pois deu origem a métodos que mais tarde foram generalizados com facilidade para sistemas com um número infinito de graus de liberdade. Precisamente dessa maneira, foi criado um sério começo teórico, usado com sucesso nos séculos 19 e 20. Em sua "Mecânica Analítica", publicada em 1788, Joseph Lagrange obteve suas famosas equações. Abaixo apresentaremos sua derivação. Em um sistema de referência inercial, as equações de Newton para um conjunto de N pontos de material que se deslocam em um campo potencial U têm a forma

m

dv U  ,   1, 2, dt r

,N

(2.6)

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No nosso caso, a força f é:

f  

U . r

(2.7)

Para determinar o estado de um sistema mecânico a qualquer momento, é necessário fornecer as coordenadas e as velocidades de todos os pontos do material em um determinado momento. Assim, o estado de um sistema mecânico é totalmente determinado pelas coordenadas e velocidades dos pontos do material. Em um sistema de referência cartesiano as Eqs. (2.6) assumem a forma

dv1 m  f1 , dt

dv2 m  f2 , dt

dv3 m  f3 . dt

(2.8)

Se alguém passa para outro sistema de referência inercial e faz uso de coordenadas que não sejam cartesianas, é fácil perceber que as equações escritas nas novas coordenadas diferem essencialmente na forma das equações (2.8). Lagrange encontrou para a mecânica de Newton uma formulação tão covariante para as equações de movimento que elas mantêm sua forma, quando é feita a transição para novas variáveis. Vamos introduzir, em vez de coordenadas r , novas coordenadas generalizadas qλ, λ = 1, 2, ... , n, aqui n = 3N. Vamos assumir relações r  r  q1 ,

, qn , t 

(2.9)

Após multiplicação escalar de cada equação (2.6) pelo vetor

dr dt

(2.10)

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e realizando a adição obtemos

m

dv dr U r    ,   1, 2, dt dq r q

,n

(2.11)

Aqui, a soma é realizada sobre índices idênticos σ. Escrevemos a parte esquerda da equação (2.11) como m

dr  d  d  dr  .  m v   m v  dt  dq  dt  dq 

(2.12)

Desde que

v

dr r r  q   , dq q t

(2.13)

portanto, diferenciando (2.13) em relação a q obtemos a igualdade

r v  q q

(2.14)

Diferenciando (2.13) em relação a qν obtemos

v  2 r  2 r  q  . q q q t q

(2.15)

Mas, por outro lado, temos  2 r  2 r d  r  q  .   dt  q  q q t q

Comparando (2.15) e (2.16), encontramos

(2.16)

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d  r  dt  q

 v .   q

(2.17)

Nas fórmulas (2.13), (2.15) e (2.16), a soma é realizada sobre os índices idênticos λ. Fazendo uso das igualdades (2.14) e (2.17), representamos a expressão (2.12) na forma

d    m v2     m v2        dt  q  2   q  2 

(2.18)

Como (2.18) é a parte esquerda das equações (2.11), obtemos as equações de Lagrange d  T  dt  q

 T U  ,  q  q

  1, 2,

, n.

(2.19)

Onde T é a energia cinética do sistema de pontos materiais

T

m v2 2

(2.20)

A soma é realizada sobre índices idênticos σ. Se alguém introduzir a função Lagrangiana L da seguinte maneira

L  T U

(2.21)

Então as equações de Lagrange assumem a forma d  L  dt  q

 L  0,   q  

  1, 2,

, n.

(2.22)

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O estado de um sistema mecânico é totalmente determinado pelas coordenadas e velocidades generalizadas. A forma das equações de Lagrange (2.22) é independente da escolha das coordenadas generalizadas. Embora essas equações sejam totalmente equivalentes ao conjunto de equações (2.6), essa forma das equações da mecânica clássica acaba sendo extremamente proveitosa, pois abre a possibilidade de sua generalização para fenômenos que estão muito além dos limites da mecânica clássica. A formulação mais geral da lei do movimento de um sistema mecânico é dada pelo princípio de mínima ação (ou pelo princípio da ação estacionária). A ação é composta da seguinte maneira t2

S   L  q, q  dt.

(2.23)

t1

A integral (funcional) (2.23) depende do comportamento das funções q e q dentro dos limites dados. Assim, essas funções são argumentos funcionais da integral (2.23). O princípio de menos ação é escrito na forma t2

 S    L  q, q  dt  0

(2.24)

t1

As equações de movimento da mecânica são obtidas de (2.24) variando a expressão do integrando t2

 L

L



  q  q  q  q  dt  0

(2.25)

t1

Aqui δq e  q representam variações infinitesimais na forma das funções. A variação comuta com diferenciação, então

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q 

d  q  dt

(2.26)

Integrando por partes no segundo termo de (2.25) obtemos t2

2  L d L  L  S   q        qdt  0 q q dt q  t1  t1

t

(2.27)

Como as variações δq nos pontos t1 e t2 são zero, a expressão (2,27) assume a forma

 L d L      qdt  0 q dt q  t1 

t2

S  

(2.28)

A variação δq é arbitrária dentro do intervalo de integração; portanto, em virtude do lema principal do cálculo variacional, a partir daqui a condição necessária para um extremo segue na forma de igualdade a zero da derivada variacional.

 L L d  L    0  q q dt  q 

(2.29)

Tais equações foram obtidas por Leonard Euler no decorrer do desenvolvimento do cálculo variacional. Para nossa escolha da função L, essas equações de acordo com (2.21) coincidem com as equações de Lagrangiana. Pela consideração acima, é evidente que o movimento mecânico que satisfaz as equações de Lagrange fornece extremo da integral (2.23) e, consequentemente, a ação tem um valor estacionário. A aplicação da função lagrangiana para descrever um sistema mecânico com um número finito de graus de liberdade também se

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mostrou proveitosa ao descrever um campo físico que possui um número infinito de graus de liberdade. No caso de um campo, a função ψ que o descreve depende não apenas do tempo, mas também das coordenadas espaciais. Isso significa que, em vez das variáveis q , q de um sistema mecânico, é necessário introduzir as variáveis    x  ,  . Assim, o campo é considerado como um sistema x mecânico com um número infinito de graus de liberdade. Veremos mais adiante (Seções 10 e 15) como o princípio da ação estacionária é aplicado na eletrodinâmica e na teoria clássica de campos. A formulação da mecânica clássica dentro da estrutura da abordagem hamiltoniana tornou-se muito importante. Considere uma certa quantidade determinada da seguinte forma

H  p q  L,

(2.30)

e denominada Hamiltoniana. Em (2,30), a soma é realizada sobre índices idênticos σ. Definimos o momento generalizado da seguinte forma:

p 

L , q

(2.31)

Tomando o diferencial de expressão (2.30)

dH  p dq  q dp 

L L L dq  dq  dt. q q t

(2.32)

Fazendo uso de (2.31) obtemos

dH  q dp 

L L dq  dt. q t

(2.33)

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Por outro lado, H é uma função das variáveis independentes qσ, pσ e t e, portanto,

dH 

H H H dq  dp  dt. q p t

(2.34)

Comparando (2.33) e (2.34) obtemos

q 

H , p

L H  , q q

L H  t t

(2.35)

Essas relações foram obtidas pela transição das variáveis independentes q , q e t para as variáveis independentes qσ, pσ e t. Agora, levamos em conta as equações de Lagrange (2.22) nas relações (2.35) e obtemos as equações de Hamilton

q 

H , p

p  

H q

(2.36)

Quando o Hamiltoniano H não depende explicitamente do tempo,

H 0 t

(2.37)

dH H H  q  p . dt q p

(2.38)

temos

Considerando as equações (2.36) na expressão acima, obtemos

dH 0 dt

(2.39)

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isto significa que o hamiltoniano permanece constante durante o movimento. Obtivemos as equações de Hamilton (2.36) utilizando as equações de Lagrange. Mas eles também podem ser encontrados diretamente com o auxílio do princípio da menor ação (2.24), se, como L, considerarmos, de acordo com (2.30), a expressão

L  p q  H , t2



 S    p  dq  t1



H  dt   p 

 H     q  dp  dt   p  q q   t1 t2

t2

0 t1

Como as variações δqσ nos pontos t1 e t2 são zero, enquanto no intervalo de integração as variações δqσ, δpσ são arbitrárias, então, em virtude do principal lema do cálculo variacional, obtemos as equações de Hamilton

q 

H , p

p  

H q

Se durante o movimento o valor de uma determinada função permanecer constante f  q, p, t   0

(2.40)

então é chamado como parte integrante do movimento. Vamos encontrar a equação do movimento para a função f. Agora tomemos a derivada total em relação ao tempo de expressão (2.40):

P á g i n a | 22

df f f f   q  p  0 dt t q p

(2.41)

Substituindo as equações de Hamiltonian (2.36) em (2.41), obtemos

df f f H f H      0 dt t q p p q

(2.42)

A expressão

 f , g 

f q

f p

g q

g p



f g f g    q p p q

(2.43)

foi denominada de parêntesis de Poisson. Em (2.43), a soma é realizada sobre o índice σ. Com base em (2.43), a Eq. (2.42) a função f pode ser escrita na forma

f q

f  f ,H  g t q

f p g p

0

(2.44)

Os parêntesis de Poisson têm as seguintes propriedades

 f , g     g, f   f1  f 2 , g    f1 , g    f 2 , g   f1 f 2 , g   f1  f 2 , g   f 2  f1 , g 

(2.45)

P á g i n a | 23

 f ,  g , h     g ,  h, f     h ,  f , g    0

(2.46)

A relação (2,46) é chamada de identidade de Jacobi. Com base em (2.43)

 f , q   

f , p

 f , p  

f q

(2.47)

Portanto, encontramos

 q , q   0,

 p , p   0,

 q , p     .

(2.48)

No curso do desenvolvimento da mecânica quântica, por analogia com os colchetes clássicos de Poisson (2,43), originaram colchetes quânticos de Poisson, que também satisfazem todas as condições (2,45), (2,46). A aplicação de relações (2.48) para colchetes quânticos de Poisson permitiu estabelecer relações de comutação entre coordenadas e momento. A descoberta dos métodos lagrangeanos e hamiltonianos na mecânica clássica permitiu, na época, generalizá-los e estendê-los a outros fenômenos físicos. A busca por várias representações da teoria física é sempre extremamente importante, pois, com base nisso, pode surgir a possibilidade de sua generalização para descrever novos fenômenos físicos. Nas profundezas da teoria criada, podem ser encontrados brotos formais da teoria futura. A experiência da mecânica clássica e quântica testemunham essa afirmação.

P á g i n a | 24

3.

Eletrodinâmica. Geometria espaço-temporal

Após as descobertas feitas por Faraday no eletromagnetismo, Maxwell combinou fenômenos magnéticos, elétricos e ópticos e, assim, concluiu a construção da eletrodinâmica escrevendo suas famosas equações. H. Poincaré no livro "O Valor da Ciência" escreveu o seguinte sobre os estudos de Maxwell: Quando Maxwell começou seus trabalhos, as leis da eletrodinâmica até então admitidas explicavam todos os fatos conhecidos. Não foi uma experiência nova que veio invalidá-las. Porém, ao enfocá-las sob um novo ângulo, Maxwell percebeu que as equações se tornam mais simétricas quando a elas acrescentamos um termo, e por outro lado esse termo era pequeno demais para produzir efeitos apreciáveis com os métodos antigos. Sabe-se que os pontos de vista a priori de Maxwell esperaram vinte anos por uma confirmação experimental; ou, se preferirem, Maxwell adiantou-se à experiência em vinte anos. Como foi obtido esse triunfo? É que Maxwell estava profundamente impregnado do sentido da simetria matemática... Segundo Maxwell, não existem correntes, exceto correntes fechadas. Ele conseguiu isso introduzindo um pequeno termo - uma corrente de deslocamento, que resultou na lei da conservação de cargas elétricas após as novas equações. Ao formular as equações da eletrodinâmica, Maxwell aplicou a geometria euclidiana do espaço tridimensional e do tempo absoluto, idêntica para todos os pontos desse espaço. Guiado por um profundo senso de simetria, ele complementou as equações da eletrodinâmica

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de tal maneira que, ao mesmo tempo em que explicava os fatos experimentais disponíveis, eram as equações das ondas eletromagnéticas. Naturalmente, ele não suspeitava que as informações sobre a geometria do espaço-tempo estivessem ocultas nas equações. Mas seu complemento das equações da eletrodinâmica mostrou-se tão indispensável e preciso que levou claramente H. Poincaré, que confiava no trabalho de H. Lorentz, à descoberta da geometria pseudo-euclidiana do espaço-tempo. Abaixo, descreveremos brevemente como isso aconteceu. Ao mesmo tempo, mostraremos que o impressionante desejo de alguns autores de provar que H. Poincaré "não deu o passo decisivo" para criar a teoria da relatividade se baseia no mal-entendido da essência da teoria da relatividade e na conhecimento superficial das obras de Poincaré. Mostraremos isso abaixo em nossos comentários a essas declarações. Apenas por essa razão, neste livro, apresento resultados, descobertos e elucidados pela luz da consciência por H. Poincaré, minuciosamente. Aqui surge a necessidade de comparar o conteúdo da obra de A. Einstein de 1905, tanto com os resultados das publicações [2, 3] de H. Poincaré, como com seus trabalhos anteriores, naturalmente. Após essa comparação, fica claro o que cada um deles produziu. Como poderia acontecer que as pesquisas destacadas do século XX - obras [2,3] de H. Poincaré - fossem usadas de várias maneiras, ao mesmo tempo em que foram diligentemente consignadas ao esquecimento? Já é tempo, pelo menos agora, cem anos depois, de devolver a todos os seus bens. Também é nosso dever. Estudos das propriedades das equações da eletrodinâmica revelaram que eles não retêm sua forma sob as transformações galileanas (2.5), i. e., não ser invariável em relação às transformações de Galileu. Portanto, conclui-se que o princípio da relatividade galileu é violado e, consequentemente, surge a possibilidade

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experimental de distinguir entre um sistema de referência inercial e outro com o auxílio de fenômenos eletromagnéticos ou ópticos. Entretanto, vários experimentos realizados, especialmente os de Michelson, mostraram que é impossível descobrir, mesmo por experimentos eletromagnéticos (ópticos), com uma precisão de até (v/c)2, se o sistenma está em estado de repouso ou uniforme e movimento retilíneo. H. Lorentz encontrou uma explicação para os resultados desses experimentos, como observou H. Poincaré, "apenas acumulando hipóteses". Em seu livro "A Ciência e a Hipógtese" (1902), H. Poincaré observou “E agora permita-me fazer uma digressão; Devo explicar por que não acredito, apesar de Lorentz, que observações mais exatas tornarão evidente qualquer outra coisa além dos deslocamentos relativos dos corpos materiais. Foram feitos experimentos que deveriam ter evidenciado os termos de primeira ordem; os resultados foram nulos. Isso poderia ter sido por acaso? Ninguém admitiu isso; procurou-se uma explicação geral e Lorentz a encontrou. Ele mostrou que os termos da primeira ordem devem se cancelar, mas não os termos da segunda ordem. Em seguida, foram feitas experiências mais exatas, também negativas; nem isso poderia ser o resultado do acaso. Uma explicação era necessária, e era iminente; eles sempre são; hipóteses são o que menos nos falta. Mas isto não é o suficiente. Quem é que acha que isso deixa ao acaso um papel importante demais? Não seria também possível que essa concorrência singular faça com que certas circunstâncias destruam os termos da primeira ordem, e que circunstâncias totalmente diferentes, mas muito oportunas, façam desaparecer as da segunda ordem? Não; a mesma explicação deve ser encontrada para os dois

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casos, e tudo tende a mostrar que essa explicação serviria bem à equidade para os termos de ordem superior, e que a destruição mútua desses termos será rigorosa e absoluta” Em 1904, com base em fatos experimentais, Henri Poincaré generalizou o princípio da relatividade de Galileu para todos os fenômenos naturais. Ele escreveu [1]: “O princípio da relatividade, segundo o qual as leis dos fenômenos físicos devem ser as mesmas, quer para um observador fixo, quer para um observador em movimento de translação uniforme; de modo que não temos, nem podemos ter, nenhum meio de discernir se somos ou não levados num tal movimento.” Justamente esse princípio se tornou a chave para o desenvolvimento subsequente da eletrodinâmica e da teoria da relatividade. Pode ser formulado da seguinte maneira. O princípio da relatividade é a preservação da forma por todas as equações físicas em qualquer sistema de referência inercial. Mas se essa formulação usa a noção do sistema de referência inercial, significa que a lei da inércia física de Galilei já está incorporada nessa formulação do princípio da relatividade. Esta é apenas a diferença entre esta formulação e as formulações dadas por Poincaré e Einstein. Declarando esse princípio, Poincaré sabia precisamente que uma de suas consequências era a impossibilidade de movimento absoluto, porque todos os sistemas de referência inercial eram equivalentes. Daqui resulta que o princípio da relatividade de Poincaré não requer uma negação do éter em geral, apenas priva o éter da relação com qualquer sistema de referência. Em outras palavras, remove o éter no sentido de Lorentz. Poincaré não exclui o conceito de éter, porque é difícil imaginar coisas mais absurdas que

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o espaço vazio. Portanto, a palavra éter, que pode ser encontrada nos artigos de Poincaré mesmo após sua formulação do princípio da relatividade, tem outro significado, diferente do éter de Lorentz. Apenas o éter de Poincaré tem que satisfazer o princípio da relatividade. Einstein também chegou à ideia de éter em 1920. Em nosso tempo, esse papel é desempenhado pelo vácuo físico. Nomeadamente, esse ponto até agora não é compreendido por alguns físicos (mantemos silêncio sobre filósofos e historiadores da ciência). Por isso, atribuem erroneamente a Poincaré a interpretação do princípio da relatividade como impossibilidade de registrar o movimento uniforme de translação em relação ao éter. Embora, como o leitor possa ver, não exista a palavra "éter" na formulação do princípio da relatividade. É preciso distinguir entre o princípio da relatividade de Galileu e as transformações de Galileu. Enquanto Poincaré estendeu o princípio da relatividade galileana a todos os fenômenos físicos sem alterar sua essência física, as transformações galileanas acabaram valendo apenas quando as velocidades dos corpos são pequenas quando comparadas à velocidade da luz. Aplicando esse princípio da relatividade aos fenômenos eletrodinâmicos na ref. [3], H. Poincaré escreveu: "Essa impossibilidade de revelar experimentalmente o movimento da Terra parece representar uma lei geral da natureza; naturalmente chegamos a aceitar esta lei, que chamaremos de postulado da relatividade, e a aceitá-la sem reservas. É irrelevante, seja este postulado, que até agora seja consistente com experimentos, será ou não mais tarde confirmado por medições mais precisas; atualmente, de qualquer forma, é interessante ver que consequências podem ser deduzidas dele”.

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Em 1904, após as observações críticas feitas por Poincaré, H. Lorentz deu um passo mais importante ao tentar novamente escrever equações eletrodinâmicas em um sistema de referência e mostrando que a equação de onda da eletrodinâmica permanece inalterada (invariável) sob as transformações das coordenadas e tempo a seguir:

v   X     X  vT  , T     T  2 X  , Y   Y , Z   Z , c  

(3.1)

Lorentz nomeou T′ como o tempo local modificada, em contraste com o tempo local τ = T′/γ introduzida no início de 1895;



1 v2 1 2 c

(3.2)

onde c é a constante eletrodinâmica. H. Poincaré denominou essas transformações de Lorentz. As transformações de Lorentz, como é evidente em (3.1), estão relacionadas a dois sistemas de referência inercial. H. Lorentz não estabeleceu o princípio da relatividade para fenômenos eletromagnéticos, pois não conseguiu demonstrar a invariância de forma de todas as equações de Maxwell-Lorentz sob essas transformações. A partir das fórmulas (3.1), conclui-se que a equação de onda independente do movimento uniforme de translação do sistema de referência é alcançada apenas alterando o tempo. Portanto, surge a conclusão, naturalmente, de que para cada sistema de referência inercial é necessário introduzir seu próprio tempo físico. Em 1907, A. Einstein escreveu sobre isso:

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≪Surpreendentemente, porém, verificou-se que era necessária uma concepção suficientemente aguçada do tempo para superar a dificuldade discutida. Bastava-se perceber que uma quantidade auxiliar introduzida por H. A. Lorentz, e nomeada por ele como "tempo local", poderia ser definida como "tempo" em geral. Se alguém adere a essa definição de tempo, as equações básicas da teoria de Lorentz correspondem ao princípio da relatividade...≫ Ou, falando mais precisamente, em vez do tempo verdadeiro, surgiu o tempo local modificado por Lorentz diferente para cada sistema de referência inercial. Mas H. Lorentz não percebeu isso, e em 1914 ele escreveu sobre isso no artigo detalhado “Os dois papers de Henri Poincaré sobre física-matemática”: “Essas considerações publicadas por mim em 1904 estimularam Poincaré a escrever seu artigo sobre a dinâmica do elétron, onde ele deu meu nome à transformação mencionada. Devo observar que uma transformação semelhante já foi dada em um artigo da Voigt publicado em 1887 e não tirei todos os benefícios possíveis disso. De fato, não dei a transformação mais apropriada para algumas quantidades físicas encontradas nas fórmulas. Isso foi feito por Poincaré e mais tarde por Einstein e Minkowski. Eu não tinha pensado no caminho reto que os levava, pois considerava que havia uma diferença essencial entre os sistemas de referência x, y, z, te x', y', z', t'. Em um deles foram utilizados - como era o meu raciocínio - eixos coordenados com uma posição definida no éter e o que poderia ser chamado de tempo verdadeiro; no outro, pelo contrário, tratava-se simplesmente de quantidades subsidiárias introduzidas

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com o auxílio de um truque matemático. Assim, por exemplo, a variável t' não poderia ser chamada de tempo no mesmo sentido que a variável t. Dado esse raciocínio, não pensei em descrever fenômenos no sistema de referência x', y', z', t' exatamente da mesma maneira, como no sistema de referência x, y, z, t. Mais tarde, vi no artigo de Poincaré que, se tivesse agido de maneira mais sistemática, poderia ter conseguido uma simplificação ainda mais significativa. Não tendo notado isso, não consegui obter invariância total das equações; minhas fórmulas continuavam confusas com termos em excesso, que deveriam ter desaparecido. Esses termos eram pequenos demais para influenciar os fenômenos visivelmente, e por esse fato eu pude explicar sua independência do movimento da Terra, revelada por observações, mas não estabeleci o princípio da relatividade como uma verdade rigorosa e universal. Pelo contrário, Poincaré alcançou invariância total das equações da eletrodinâmica e formulou o postulado da relatividade - um termo introduzido pela primeira vez por ele. . . Posso acrescentar que, embora corrigisse os defeitos do meu trabalho, ele nunca me censurou por eles. Não consigo apresentar aqui todos os belos resultados obtidos por Poincaré. No entanto, deixe-me enfatizar alguns deles. Primeiro, ele não se restringiu demonstrando que as transformações relativísticas deixaram a forma de equações eletromagnéticas imutáveis. Ele explicou esse sucesso de transformações pela oportunidade de apresentar essas equações como consequência do princípio de menor ação e pelo fato de que a equação fundamental que expressa esse princípio e as operações utilizadas na derivação das equações de campo são idênticas nos

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sistemas x, y, z, te x', y', z', t'. Existem algumas novas noções nesta parte do artigo, devo marcá-las especialmente. Poincaré observa, por exemplo, que, considerando as quantidades x, y, z, t√−1 como coordenadas de um ponto no espaço quadridimensional, as transformações relativísticas reduzem-se a rotações nesse espaço. Ele também teve a ideia de adicionar aos três componentes X, Y, Z da força uma quantidade

T  X   Y  Z que nada mais é do que o trabalho da força em uma unidade de tempo e que pode ser tratado como uma quarta componente da força em algum sentido. Ao lidar com a força que atua em uma unidade de volume de um corpo, as transformações relativísticas alteram as quantidades X, Y, Z, T√−1 de maneira semelhante às quantidades x, y, z, t√−1. Lembro essas ideias de Poincaré, porque elas estão fechadas aos métodos usados mais tarde por Minkowski e outros cientistas para facilitar as ações matemáticas na teoria da relatividade. ” Como se vê, durante o estudo do artigo de Poincaré, H. Lorentz vê e aceita a possibilidade de descrever fenômenos no sistema de referência x', y', z', t' exatamente da mesma maneira que em o sistema de referência x, y, z, t, e que tudo isso cumpre plenamente o princípio da relatividade, formulado por Poincaré. Portanto, os fenômenos físicos são idênticos, se ocorrerem em condições idênticas nos sistemas de referência inercial (x, y, z, t) e (x', y', z', t'), movendo-se um em relação ao outro com uma velocidade v. Tudo isso foi uma consequência direta das equações físicas que não se alteraram sob as transformações de Lorentz, que juntamente com as rotações espaciais formam um grupo. Precisamente tudo isso está contido, também, nos artigos de Poincaré [2, 3].

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H. Lorentz escreve em 1915 em uma nova edição de seu livro "Teoria dos Elétrons", no comentário 72∗: “A principal razão do meu fracasso foi que eu sempre pensei que apenas a quantidade t poderia ser tratada como um tempo real e que o meu tempo local t' era considerado apenas como um valor matemático auxiliar. Na teoria de Einstein, exatamente oposto, t' está desempenhando o mesmo papel que t. Se queremos descrever os fenômenos como dependentes de x', y', z', t', então devemos operar com essas variáveis da mesma maneira que com x, y, z, t”. Compare esta citação com a análise detalhada do artigo de Poincaré dado por Lorentz em 1914. Além disso, ele demonstra neste comentário a derivação das fórmulas de composição de velocidade, exatamente da mesma forma que é feita no artigo [3] de Poincaré. No comentário 75, ele discute a transformação de forças, explora invariante (3,22) da mesma maneira que é feito por Poincaré. O trabalho de Poincaré é citado apenas em conexão com um ponto particular. É surpreendente, mas Lorentz, ao lidar com a teoria da relatividade, nem mesmo cita os artigos de Poincaré [2; 3] O que pode acontecer com Lorentz no período após 1914? Como podemos explicar isso? Para dizer a verdade, devemos mencionar que, devido à guerra, o artigo de Lorentz, escrito em 1914, só foi publicado em 1921. Mas foi impresso da mesma forma que Lorentz o escreveu em 1914. De fato, ele parece confirmar por isso que sua opinião não mudou. Mas tudo isso a longo prazo não significa nada substancial, porque agora podemos examinar mais profundamente e com mais detalhes quem fez o trabalho, o que foi feito e qual é o nível desse trabalho, sendo informado sobre o estado moderno do a teoria e o artigo de comparação de 1905 de Einstein aos artigos de Poincaré.

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A escala dos trabalhos pode ser melhor estimada a partir da distância temporal. As lembranças dos contemporâneos são valiosas para nós como um testemunho de como novas ideias foram admitidas pela comunidade física da época. Além disso, pode-se obter algum conhecimento sobre a ética da ciência para alguns cientistas, sobre interesses de grupos e talvez até algo mais, que é absolutamente desconhecido para nós. É necessário mencionar que Lorentz em seu artigo de 1904 no cálculo de suas transformações cometeu um erro e, como resultado, as equações de Maxwell-Lorentz em um referencial móvel se tornaram diferentes das equações eletrodinâmicas no restante. Essas equações foram sobrecarregadas por termos supérfluos. Mas Lorentz não se incomodou com isso. Ele veria facilmente o erro se não se afastasse do princípio da relatividade. Afinal, apenas o princípio da relatividade exige que as equações sejam iguais nos dois quadros de referência. Mas ele destacou um quadro de referência diretamente conectado ao éter. Agora, seguindo os primeiros trabalhos de H. Poincaré, trataremos da definição de simultaneidade, na sincronização de relógios ocupando diferentes pontos do espaço, e esclareceremos o sentido físico do tempo local, introduzido por Lorentz. No artigo “A Medição do Tempo”, publicado em 1898, Poincaré discute a questão da medição do tempo em detalhes. Este artigo foi especialmente observado no livro “A Ciência e a Hipótese”, de Poincaré, e, portanto, é bastante compreensível para um leitor curioso. Neste artigo, por exemplo, foi dito o seguinte: “Mas passemos a exemplos menos artificiais; para nos dar conta da definição implicitamente admitida pelos cientistas, vamos observá-los enquanto trabalham, e busquemos as regras segundo as quais investigam a simultaneidade...

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Quando um astrônomo me diz que determinado fenômeno estelar — que seu telescópio lhe revela naquele momento — ocorreu contudo há cinquenta anos, busco o que ele quer dizer com isso: pergunto-lhe de início como o sabe, isto é, como ele mediu a velocidade da luz. Começou por admitir que a luz tem uma velocidade constante, e em particular que sua velocidade é a mesma em todas as direções. Esse é um postulado sem o qual nenhuma medida dessa velocidade poderia ser tentada. Esse postulado jamais poderá ser verificado diretamente pela experiência; poderia ser contradito por ela, se os resultados das diversas medidas não fossem concordantes. Devemos nos considerar felizes por essa contradição não ter ocorrido, e pelo fato de poderem explicar-se facilmente as pequenas discordâncias que podem acontecer. Em todo caso o postulado, em conformidade com o princípio da razão suficiente, foi aceito por todos; o que quero lembrar é que ele nos fornece uma nova regra para a pesquisa da simultaneidade (destacada por mim - A.L.), inteiramente diferente daquela que havíamos enunciado acima. Segue-se a partir deste postulado que o valor da velocidade da luz não depende da velocidade da fonte dessa luz. Essa afirmação também é uma consequência direta da eletrodinâmica da Maxwell. O postulado acima, juntamente com o princípio da relatividade formulado por H. Poincaré em 1904 para todos os fenômenos físicos, tornam-se precisamente as afirmações iniciais no trabalho de Einstein de 1905. Lorentz lidou com as equações de Maxwell-Lorentz em um sistema de referência "imóvel" relacionado ao éter. Ele considerou as coordenadas X, Y, Z como absolutas e o tempo T como o tempo verdadeiro.

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Em um sistema de referência que se move ao longo do eixo X com uma velocidade v em relação a um sistema de referência "em repouso", as coordenadas em relação aos eixos que se movem juntos com o sistema de referência têm os valores

x  X  vT , y  Y , z  Z ,

(3.3)

enquanto o tempo no sistema de referência móvel foi denominada pelo tempo local de Lorentz (1895) e definida da seguinte forma:

 T 

v X. c2

(3.4)

Ele introduziu esse tempo para poder, de acordo com dados experimentais, excluir da teoria a influência do movimento da Terra nos fenômenos ópticos na primeira ordem sobre v/c. Desta vez, como ele observou, "foi introduzido com a ajuda de um truque matemático". O significado físico do tempo local foi descoberto por H. Poincaré. No artigo "A teoria de Lorentz e o princípio da igualdade de ação e reação", publicado em 1900, ele escreveu sobre o tempo local τ, definindo-o da seguinte maneira (Tradução do francês por V.A. Petrov): “Suponho que observadores, situados em pontos diferentes, comparem seus relógios com o auxílio de sinais de luz; eles corrigem esses sinais pelo tempo de transmissão, mas, sem saber o movimento relativo em que estão passando e, consequentemente, considerando que os sinais se propagam com a mesma velocidade nas duas direções, eles se limitam a realizar observações enviando sinais de A para B e de B a A. O tempo local τ é o tempo lido nos relógios assim controlados. Então, se c é a velocidade da luz e v é a velocidade do movimento da

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Terra, que eu assumo ser paralela ao eixo X positivo, teremos:

 T 

v X.” c2

(3.5)

Tendo em conta (3.3) em (3.5), obtemos 

  T 1  

v2  v   x. c2  c2

(3.6)

A velocidade da luz em um sistema de referência "em repouso" é c. Em um sistema de referência móvel, nas variáveis x, T, será igual, na direção paralela ao eixo X, a

c  v,

(3.7)

cv

(3.8)

no positivo, e

- na direção negativa. Isso é facilmente verificado, se alguém recordar que a velocidade da luz em um sistema de referência “em repouso” é, em todas as direções, igual a c, i. e 2

2

2

 dX   dY   dZ  c       .  dT   dT   dT  2

(λ)

Em um sistema de referência móvel x = X - vT, a expressão superior assume, nas variáveis x, T, a forma

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2

2

2

 dx   dY   dZ  c2    v     .  dT   dT   dT 

Portanto, é evidente que, em um sistema de referência móvel, a dx velocidade de coordenadas de um sinal de luz paralelo ao eixo dT X é dada da seguinte maneira

dx  cv dT na direção positiva,

dx cv dT - na direção negativa. A velocidade coordenada da luz em um sistema de referência móvel ao longo do eixo Y ou Z é igual à quantidade c2  v2

Observamos que, se tivéssemos feito uso das transformações de Lorentz inversas a (3.1), levando em consideração a igualdade 2

v 2 2 2   c   dT   2 dX     dX   vdT    c 2  dT     dX   , c   2

2

teríamos obtido da Eq. (λ) a expressão  dX    dY    dZ   c       .  dT    dT    dT   2

2

2

2

(ρ)

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o que significaria que a velocidade da luz é igual a c em todas as direções em um sistema de referência móvel também. Vamos mencionar também que a equação do cone de luz permanece a mesma após multiplicar o lado direito das Eqs. (3.1) (transformações de Lorentz) por uma função arbitrária φ(x). A equação do cone de luz preserva sua forma sob transformações conformes. Seguindo Poincaré, realizaremos a sincronização dos relógios em um sistema de referência móvel com o auxílio do tempo local de Lorentz. Considere um sinal de luz saindo do ponto A com coordenadas (0, 0, 0) no momento τa: 

 a  T 1  

v2   c2 

(3.9)

Este sinal chegará ao ponto B com coordenadas (x, 0, 0) no momento τb  

x  

v2 

v

x

b  T   1  2   2 x   a  cv c c c 

(3.10)

Aqui, levamos em conta o tempo de transmissão do sinal de A para B. O sinal foi refletido no ponto B e chegou ao ponto A no momento τ′a x x   v2  x    a  T    1  2    b  c  v c  v  c  c 

(3.11)

Com base em (3.9), (3.11) e (3.10), temos

 a   a 2

 b

(3.12)

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Assim, a definição de simultaneidade foi introduzida, que mais tarde foi aplicada por A. Einstein para derivar as transformações de Lorentz. Verificamos que o “tempo local” de Lorentz (3.6) atende à condição (3.12). Utilizando (3.12) como equação inicial para definir o tempo em um sistema de referência móvel, Einstein chegou ao mesmo "tempo local" de Lorentz (3.6) multiplicada por uma função arbitrária, dependendo apenas da velocidade v. De (3.10), (3.11) vemos que em um sistema de referência que se move ao longo do eixo X com o tempo local τ, o sinal luminoso tem velocidade c ao longo de qualquer direção paralela ao eixo X. As transformações, inversas a (3.3) e (3.4), serão as seguintes v x c2 , T v2 1 2 c



X

x  vt , v2 1 2 c

Y  y,

Z  z.

(3.13)

Como a velocidade da luz em um sistema de referência “em repouso” é c, nas novas variáveis τ, x, y, z encontramos nas Eqs. (λ) e (3.13) 2

2

2

 dx   dy   dz             2c2  d   d   d  2

(3.14)

Podemos ver do acima exposto que, para ter a velocidade da luz igual c em qualquer direção no sistema de referência móvel, também é necessário multiplicar os lados direito das transformações (3.3) e (3.4) para x e τ por γ e dividir os lados do lado direito em transformações (3.13) para T e X por γ. Assim, esse requisito leva ao aparecimento das transformações de Lorentz aqui. H. Lorentz em 1899 usou a transformação da seguinte forma X     X  vT  ,

Y  Y,

Z  Z,

v   T    2  T  2 X  , (3.15) c  

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para explicar o experimento de Michelson. As transformações inversas são X   X   vT ,

Y  Y,

Z  Z,

T  T

v  X . c2

Se H. Lorentz propusesse o princípio da relatividade para todos os fenômenos físicos e exigisse, com relação a isso, que uma onda esférica tivesse a mesma forma em sistemas de referência não preparados e preparados, ele chegaria às transformações de Lorentz. Vamos ter um sistema de referência sem forças impressas:

c2T 2  X 2  Y 2  Z 2  0 então, de acordo com suas fórmulas, essa expressão em novas variáveis é a seguinte 2

v 2   c  T   2  X      X   vT    Y 2  Z 2  0. c   2

e depois de algumas simplificações obtemos 2

v   c T  1  2   X 2  Y 2  Z 2  0.  c  2

2

Vemos que, para garantir a mesma forma de onda esférica em novas variáveis, como nas antigas, é necessário alterar a variável T', substituindo-a pela nova variável τ

1



T .

Após a transição para a nova variável, obtemos transformações de Lorentz

P á g i n a | 42

X     X  vT  ,

Y  Y,

v   Z   Z ,    T  2 X  , c  

e as transformações inversas X    X   vT  ,

Y  Y ,

Z  Z ,

v   T     2 X   , c  

Mas H. Lorentz não viu isso em 1899. Ele obteve essas transformações apenas em 1904, depois também se aproximou da teoria da relatividade, mas não deu o passo decisivo. As transformações de Lorentz (3.1) foram obtidas em 1900 por Larmor. Mas ele também não propôs o princípio da relatividade para todos os fenômenos físicos e não exigiu invariância de forma das equações de Maxwell sob essas transformações. Portanto, Larmor também não deu um passo decisivo para construir a teoria da relatividade. Precisamente a constância da velocidade da luz em qualquer sistema de referência inercial é o que A. Einstein escolheu para fundamentar sua abordagem à eletrodinâmica dos corpos em movimento. Mas é fornecido não pelas transformações (3.3) e (3.4), mas pelas transformações de Lorentz. A. Einstein partiu do princípio da relatividade e do princípio da constância da velocidade da luz. Ambos os princípios foram formulados da seguinte maneira: ≪ 1. As leis que governam as mudanças de estado de qualquer sistema físico não dependem de qual dos dois sistemas de coordenadas em movimento translacional uniforme um em relação ao outro a que essas mudanças de estado são referidas. 2. Cada raio de luz se move no sistema de coordenadas “em repouso” com a velocidade definida V,

P á g i n a | 43

independentemente de esse raio de luz ser emitido por um corpo em repouso ou um corpo em movimento≫. Observemos que o princípio da relatividade de Galileu não está incluído nesses princípios. É necessário enfatizar especialmente que o princípio da constância da velocidade da luz, sugerido por A. Einstein como o segundo postulado independente, é realmente uma consequência especial dos requisitos do princípio da relatividade de H. Poincaré. Este princípio foi estendido por ele em todos os fenômenos físicos. Para se convencer disso, basta considerar os requisitos do princípio da relatividade para um processo elementar - propagação da onda esférica eletromagnética. Discutiremos isso mais tarde. Em 1904, no artigo “O presente e o futuro da física matemática”, H. Poincaré formula o princípio da relatividade para todos os fenômenos naturais, e no mesmo artigo ele volta novamente à ideia de Lorentz sobre o tempo local. Ele escreve: ≪ Imaginemos dois observadores que desejem acertar seus relógios por sinais ópticos; eles trocam sinais, mas como sabem que a transmissão da luz não é instantânea, tomam o cuidado de cruzá-los. Quando a estação B percebe o sinal da estação A, seu relógio não deve marcar a mesma hora que a da estação A no momento da emissão do sinal, mas essa hora aumentada de uma constante que representa a duração da transmissão. Suponhamos, por exemplo, que a estação A envie seu sinal quando seu relógio marca a hora zero, e que a estação B o perceba quando seu relógio marca a hora t. Os relógios estão acertados se o atraso igual a t representar a duração da transmissão, e, para verificá-lo, a estação B expede por sua vez um sinal quando seu relógio marca zero; a estação A deve então percebê-lo quando seu relógio marcar t. Então os relógios estão

P á g i n a | 44

acertados. E, de fato, eles marcam a mesma hora no mesmo instante físico, mas com a condição de estarem fixas as duas estações. Caso contrário, a duração da transmissão não será a mesma nos dois sentidos, já que a estação A, por exemplo, vai ao encontro da perturbação óptica emanada de B, enquanto a estação B foge diante da perturbação emanada de A. Portanto, os relógios acertados desse modo não marcarão o tempo verdadeiro (o tempo no sistema de referência "em repouso" - A.L.); marcarão o que podemos chamar de tempo local, de modo que um deles se atrasará em relação ao outro. Pouco importa, já que não temos nenhum meio de perceber isso. Todos os fenômenos que se produzirem em A, por exemplo, estarão atrasados, mas todos terão o mesmo atraso, e o observador não perceberá, já que seu relógio atrasa; assim, como manda o princípio de relatividade, ele não terá nenhum meio de saber se está em repouso ou em movimento absoluto. Infelizmente isso não basta, e são necessárias hipóteses complementares; é preciso admitir que os corpos em movimento sofrem uma contração uniforme no sentido do movimento. ≫ Essa era a situação anterior à obra de Lorentz, que também apareceu em 1904. Aqui Lorentz apresenta novamente as transformações que conectam um sistema de referência "em repouso" a um sistema de referência que se move com uma velocidade v em relação à "em repouso", que foram denominado por Poincaré as transformações de Lorentz. Neste trabalho, Lorentz, em vez do tempo local (3.4), introduziu o tempo T′, igual a

T    .

(3.15)

Lorentz chamou o tempo T' de tempo local modificado. Precisamente esse tempo estará presente em qualquer sistema de

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referência inercial nas coordenadas de Galileu. Não viola a condição de sincronização (3.12) Abaixo, veremos a seguir Lorentz que a equação da onda não altera de fato sua forma nas transformações de Lorentz. Vamos verificar isso. A equação de onda da eletrodinâmica tem a forma:  1 2 2 2 2        0 2 2 x 2 y 2 z 2   c t

 

(3.16)

Aqui φ é uma função escalar no espaço quadridimensional, que muda sob transformações de tempo de coordenadas de acordo com a regra φ′ (x′) = φ(x), c é a constante eletrodinâmica que tem a dimensão da velocidade. Vamos estabelecer a invariância de forma do operador em relação às transformações (3.1). Representamos parte do operador na forma 1  2  2  1    1    (3.17)           c 2 t 2 x 2  c t x  c t x  Calculamos as derivadas nas novas coordenadas, aplicando fórmulas (3.1) 1  1 t   1 x  1  v               , c t c t t  c t x  c t  c x 

 t   x     v         2   . x x t  x x  c t  x  Portanto, encontramos: 1      v  1      1     , c t x  c  c t  x 

(3.18)

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1      v  1      1     , c t x  c  c t  x 

(3.19)

Substituindo essas expressões em (3.17) obtemos

1 2 2 1 2 2      c 2 t 2 x 2 c 2 t 2 x2

(3.20)

Considerando que as variáveis y e z de acordo com (3.1) não mudam, com base em (3.20) temos~ 1 2 2 2 2      c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 1 2 2 2 2  2 2 2 2 2 c t  x y z 

(3.21)

Isso significa que a equação de onda (3.16) permanece invariável em relação às transformações de Lorentz (3.1). Em outras palavras, é o mesmo nos dois sistemas de referência inercial. Assim, por exemplo, segue-se que a velocidade de uma onda de luz é igual a c, tanto em um sistema de referência "em repouso" quanto em qualquer outro sistema de referência que se mova em relação ao "em repouso" com uma velocidade v. Mostramos que as transformações de Lorentz deixam o operador inalterado, i. e., eles conservam a invariância da forma da equação da onda. Por outro lado, esse cálculo pode ser considerado uma derivação exata das transformações de Lorentz, com base na invariância da forma do operador . Na eletrodinâmica, a equação de onda é válida fora da fonte, tanto para os potenciais escalares quanto vetoriais,  e A , respectivamente.

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Nesse caso,  é definido como um escalar em relação às transformações de coordenadas tridimensionais e A é definido como um vetor em relação às mesmas transformações. Para que a equação da onda seja invariante da forma sob as transformações de Lorentz, é necessário considerar as quantidades  e A como componentes





do vetor quadridimensional A   , A .

A  0,

  0,1, 2,3.

Em 1905, Henri Poincaré estabeleceu [2, 3] a invariância das equações de Maxwell-Lorentz e das equações de movimento de partículas carregadas sob a ação da força de Lorentz em relação às transformações de Lorentz (3.1) com base em o trabalho de 1904 de Lorentz, no qual as transformações de Lorentz foram descobertas, e sobre o princípio da relatividade, formulado por Poincaré no mesmo ano para todos os fenômenos naturais. Todas as opções acima serão demonstradas em detalhes nas seções 8 e 9. H. Poincaré descobriu que essas transformações, juntamente com as rotações espaciais, formam um grupo. Ele foi o primeiro a introduzir a noção de quadridimensionalidade de várias quantidades físicas. A descoberta desse grupo, juntamente com ideias quânticas, criou os fundamentos da física teórica moderna.





Poincaré estabeleceu que o potencial escalar e vetorial  , A , a densidade e a corrente de carga  c  ,  v  , as quatro velocidades

 ,  v c  , o trabalho por unidade de tempo e força normalizado para



o volume unitário, f  v c , f

 bem como a transformação de quatro

forças, como as quantidades  ct , x  . A existência do grupo Lorentz significa que, em todos os sistemas de referência inercial, as

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equações de Maxwell-Lorentz nas coordenadas de Galileu permanecem invariáveis da forma, i. e;, o princípio da relatividade é satisfeito. Portanto, segue-se diretamente que as descrições dos fenômenos são as mesmas no sistema de referência x, y, z, t e no sistema de referência x', y', z', t', portanto, consequentemente, no tempo t, outras variáveis x, y, z são relativas. Assim, o tempo relativo é uma consequência direta da existência do grupo, que surge como uma consequência da exigência de cumprir o princípio da relatividade para os fenômenos eletromagnéticos. A existência desse grupo levou à descoberta da geometria do espaço-tempo. H. Poincaré descobriu vários invariantes do grupo e entre eles - os invariantes fundamentais

J  c2T 2  X 2  Y 2  Z 2 ,

(3.22)

que surgiu na exploração da transformação de Lorentz. Ele testemunha que o espaço e o tempo formam um continuum quadridimensional único de eventos com propriedades métricas determinadas pela invariante (3,22). O espaço-tempo quadridimensional descoberto por H. Poincaré, e definido pelo invariante (3.22), foi posteriormente chamado de espaço Minkowski. Precisamente, essa é a essência da teoria da relatividade especial. É por isso que está relacionado a todos os fenômenos físicos. É o espaço-tempo determinado pela invariante (3.22) que prevê a existência de sistemas de referência inercial fisicamente iguais na Natureza. No entanto, como anteriormente na mecânica clássica, ainda não está claro como os sistemas de referência inercial estão relacionados à distribuição da matéria no Universo. Da expressão (3.22), segue-se que em qualquer sistema de referência inercial, uma determinada quantidade J em coordenadas galileanas (cartesianas) permanece inalterada (invariável à forma), enquanto suas projeções nos eixos mudam. Assim, dependendo da escolha do sistema de

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referência inercial, as projeções X, Y, Z, T são quantidades relativas, enquanto a quantidade J para qualquer X, Y, Z, T determinado tem um valor absoluto. Um intervalo positivo J pode ser medido por um relógio, enquanto um negativo - por uma haste. De acordo com (3.22), de forma diferencial temos

 d 

2

 c 2  dT    dX    dY    dZ  . 2

2

2

2

(3.23)

A quantidade dσ é chamada de intervalo. A geometria do espaço-tempo, i. e o espaço de eventos (o espaço de Minkowski) com a medida (3.23) foi denominado geometria pseudo-euclidiana. Como pode ser visto a partir da estrutura da invariante J, escrita em coordenadas ortogonais (galileanas), é sempre possível introduzir um tempo único T para todos os pontos do espaço tridimensional. Isso significa que o espaço tridimensional de um determinado sistema de referência inercial é ortogonal às linhas do tempo. Como, como veremos a seguir, o invariante J em outro sistema de referência inercial assume a forma (3.27), portanto, nesse sistema de referência, o tempo único já será diferente, sendo determinado pela variável T'. Mas o comprimento mudará simultaneamente. Assim, a possibilidade de introduzir simultaneidade para todos os pontos do espaço tridimensional é uma consequência direta da geometria pseudo-euclidiana do espaço quadridimensional de eventos. Concluindo tudo isso, vemos que H. Lorentz encontrou as transformações (3.1), que conservam a forma da equação de onda (3.16). Com base no princípio da relatividade para todos os fenômenos físicos formulados por ele em 1904 e nas transformações de Lorentz, Henri Poincar estabeleceu a invariância de forma das equações de Maxwell-Lorentz e descobriu a geometria pseudo-

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euclidiana do espaço-tempo, determinada por o invariante (3.22) ou (3.23). Uma breve exposição do artigo detalhado [3] foi dada por H. Poincaré nos relatórios da Academia Francesa de Ciências [2] e publicada antes mesmo de o trabalho de Einstein ser submetido para publicação. Este artigo continha uma descrição precisa e rigorosa da solução para o problema da eletrodinâmica dos corpos em movimento e, ao mesmo tempo, uma extensão das transformações de Lorentz a todas as forças naturais, independentemente de sua origem. Nesta publicação, H. Poincaré descobriu o grupo de Lorentz de acordo com o qual surgiu um conjunto de valores físicos quadridimensionais transformando-se semelhantes a t, x, y, z. A presença do grupo Lorentz fornece automaticamente a sincronização de relógios em qualquer sistema de referência inercial. Portanto, o horário físico adequado surge em qualquer sistema inercial de referência - o tempo local modificado por Lorentz. No artigo [2], as fórmulas relativísticas para adicionar velocidades e a lei de transformação para forças surgiram pela primeira vez. Foi prevista a existência de ondas gravitacionais propagando-se à velocidade da luz. Deve-se enfatizar que apenas a descoberta do grupo de Lorentz forneceu a uniformidade da descrição de todos os efeitos físicos em todos os sistemas de referência inercial, em total conformidade com o princípio da relatividade. Tudo isso forneceu automaticamente a relatividade de tempo e duração. H. Poincaré descobriu o invariante (3.22) com base nas transformações de Lorentz (3.1). Por outro lado, aplicando a invariante (3.22), é fácil derivar as transformações reais de Lorentz (3.1). Deixe o invariante J em um sistema de referência inercial ter a forma (3.22) nas coordenadas de Galileu. Agora, passamos para outro sistema de referência inercial

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x  X  vT , Y   Y ,

Z  Z,

(3.24)

então o invariante J assume a forma  v2  J  c 2 1  2  T 2  2 xvT  x 2  Y 2  Z 2 .  c 

(3.25)

Por isso, temos   v2 xv 2  J c 1 2 T   c v2 2 c 1   c2   v2   x 2 1  2 2   Y 2  Z 2 .  c v 

2

      

(3.26)

A expressão (3.26) pode ser escrita no formato

J  c2T 2  X 2  Y 2  Z 2 .

(3.27)

onde v2 T   1 2 T  c

X 

xv c

2

v2 1 2 c

x v2 1 2 c





v X c2 v2 1 2 c

T

X  vT v2 1 2 c

(3.28)

(3.29)

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Vemos pela expressão (3.27) que a invariância da forma do invariante J é fornecida pelas transformações de Lorentz (3.28) e (3.29). Ao derivar as transformações de Lorentz da expressão para o invariante (3,22), aproveitamos o fato de que o invariante J pode assumir um valor real arbitrário. Precisamente essa circunstância nos permitiu considerar as quantidades T e X como variáveis independentes, que podem assumir quaisquer valores reais. Se nós, seguindo Einstein, soubéssemos apenas um valor de J, igual a zero, não poderíamos, em princípio, obter transformações de Lorentz da forma geral, pois as variáveis espaciais estariam relacionadas à variável tempo. Nesse caso, a seguinte abordagem heurística pode ser realizada. A equação da onda eletromagnética esférica que tem seu centro na origem do sistema de coordenadas tem a seguinte forma

c2T 2  X 2  Y 2  Z 2  0 onde c é a constante eletrodinâmica, se usarmos as coordenadas galileus do sistema de referência K em “repouso”. Esse fato decorre das equações de Maxwell-Lorentz. Vamos considerar dois sistemas de referência inercial K e K′ com coordenadas galileus movendo-se uma em relação à outra com velocidade v ao longo do eixo X. Faça suas origens coincidirem no momento T = 0 e deixe que uma onda eletromagnética esférica seja emitida neste momento a partir de sua origem comum. No sistema de referência K é dado pela equação

c2T 2  X 2  Y 2  Z 2  0 Como o sistema de referência K' está se movendo com a velocidade v, podemos usar as transformações galileanas

x  X  vT , Y   Y ,

Z  Z,

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e reescreva a equação anterior da onda esférica da seguinte forma  v2  2 J  c 1  2  T  2 xvT  x 2  Y 2  Z 2 .  c  2

O requisito do princípio da relatividade aqui é reduzido à necessidade de que a onda eletromagnética em um novo sistema de referência inercial K' também seja esférica, tendo seu centro na origem desse sistema de referência. Tendo isso em mente, transformamos a equação acima (como feito anteriormente) na seguinte forma

c2T 2  X 2  Y 2  Z 2  0 Então, derivamos as transformações de Lorentz. T 

v X c2 , v2 1 2 c

T

X 

X  vT v2 1 2 c

,

Y  Y,

Z  Z

mas apenas no cone de luz. Agora, vamos às coisas mais importantes. Vamos tratar as variáveis T, X, Y, Z, que aparecem nas transformações derivadas como independentes. Depois de inserir essas expressões no lado direito da equação (3.27) podemos ver que elas deixam a quantidade

c2T 2  X 2  Y 2  Z 2 inalterada devido ao caráter linear das transformações. Chegamos, portanto, à invariante fundamental J, e também à geometria pseudoeuclidiana do espaço-tempo. Resulta do exposto, em particular, que a velocidade da luz no sistema K e no sistema K' é a mesma e,

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portanto, o princípio da constância da velocidade da luz é uma consequência particular do princípio da relatividade. Precisamente essa circunstância permaneceu despercebida por A. Einstein em sua obra de 1905, na qual as transformações de Lorentz foram derivadas. Anteriormente, mostramos, após Poincaré, que o "tempo local" de Lorentz permite executar a sincronização de relógios em um sistema de referência móvel em diferentes pontos espaciais com o auxílio de um sinal de luz. Exatamente a expressão (3.12) é a condição para a sincronização de relógios em um sistema de referência móvel. Introduz a definição de simultaneidade de eventos em diferentes pontos do espaço. Poincaré estabeleceu que o "tempo local" de Lorentz satisfaz essa condição. Assim, a definição de simultaneidade de eventos em diferentes pontos espaciais por meio de um sinal de luz e a definição de tempo em um sistema de referência móvel por meio de sinal de luz foram consideradas por Poincaré em seus documentos de 1898, 1900 e 1904. Portanto, ninguém tem motivos para acreditar que essas ideias foram tratadas pela primeira vez por A. Einstein em 1905. Mas vamos ver, por exemplo, o que foi escrito pelo acadêmico L. I. Mandel'stam em suas palestras [8]: “Então, a grande conquista de Einstein consiste em descobrir que o conceito de simultaneidade é um conceito... que nós temos que definir. As pessoas tinham o conhecimento do espaço, o conhecimento do tempo, tinham esse conhecimento há muitos séculos, mas ninguém sugeriu essa ideia. ” E o seguinte foi escrito por H.Weyl: “... devemos descartar nossa crença no significado objetivo da simultaneidade; foi a grande conquista de

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Einstein no campo da teoria do conhecimento ele ter banido esse dogma de nossas mentes, e é isso que nos leva a classificar seu nome com o de Copérnico”. É possível que L. I. Mandel'tstam e H. Weyl não tenham lido artigos e livros de Poincaré? O acadêmico V. L. Ginzburg em seu livro “Sobre física e astrofísica” (Moscou: Nauka, 1985) no artigo “Como e quem criou a Teoria da Relatividade Especial?”1 escreveu: “Por outro lado, em trabalhos anteriores, em artigos e comunicações de Poincaré, há um conjunto de comentários que parecem quase proféticos. Refiro-me tanto à necessidade de definir um conceito de simultaneidade quanto à oportunidade de usar sinais de luz para esse fim, e ao princípio da relatividade. Mas Poincaré não desenvolveu essas ideias e seguiu Lorentz em seus trabalhos de 1905-1906”. Vamos fazer alguns comentários sobre esta citação. Para ser preciso, deve-se dizer que Poincaré foi o primeiro a formular o princípio da relatividade para todos os processos físicos. Ele também definiu o conceito de simultaneidade em diferentes pontos espaciais por meio do sinal de luz em seus artigos 1898, 1900 e 1904. Nas obras de Poincaré [2; 3] esses conceitos foram adequadamente realizados na linguagem do grupo Lorentz, que fornece tanto o requisito do princípio da relatividade quanto a introdução de seu tempo de Lorentz local modificado em todos os sistemas de referência inerciais. Tudo isso forneceu automaticamente uma sincronização única de relógios por meio do sinal luminoso em todo sistema de referência inercial. Devido a isso, Todas as citações do acadêmico V. L. Ginzburg apresentadas aqui e abaixo são retiradas deste artigo. - A. L. 1

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nenhum desenvolvimento adicional desses conceitos foi necessário após o trabalho de H. A. Lorentz de 1904. Foi necessário apenas introduzir esses conceitos no seio da teoria. Foi precisamente isso que foi realizado com nas obras [2; 3] por meio do grupo Lorentz, descoberto por H. Poincaré. Poincaré não segue Lorentz, ele desenvolve suas próprias ideias usando as realizações de Lorentz e completa a criação da teoria da relatividade dessa maneira. Exatamente em trabalhos [2; 3] ele estende a invariância de Lorentz a todas as forças da natureza, incluindo a gravitacional; ele descobre equações da mecânica relativística; ele descobre invariante fundamental

c 2t 2  x 2  y 2  z 2 que determina a geometria do espaço-tempo. A abordagem de H. Poincaré é transparente e contemporânea, embora tenha sido realizada há quase cem anos. Como é possível não entender isso depois de ler as obras de Poincaré [2; 3]? No artigo (1905) “Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento” (§ 3) A. Einstein tomou a relação (3.12) como a equação inicial na busca pela função τ. Entretanto, não se pode obter nada naturalmente, além do "tempo local" de Lorentz. Escrevemos a equação obtida por ele na forma a  v2 1 2 c

 v 2  v   1  2  T  2 x  , c   c 

onde a é uma função desconhecida, dependendo apenas da velocidade v. Portanto, percebe-se que essa expressão difere do “tempo local” de Lorentz (3.6) apenas por um fator que depende da velocidade v e

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que não é determinada pela condição (3.12). É estranho ver que A. Einstein sabe que esse é o tempo local de Lorentz, mas ele não se refere ao autor. Essa atitude não é uma exceção para ele. Assim, para um feixe de luz que deixa a fonte no momento τ = 0 na direção do aumento dos valores de ξ, Einstein escreve:

  c . ou



ac  v 2  v 1 2 T  2 2  v c  c 1  2  c

 x , 

(β)

Posteriormente ele encontra x  c  v T .

(δ)

Substituindo este valor de T na equação para ξ, Einstein obtém



a x. v2 1 2 c

Como, como será visto mais adiante no artigo de Einstein, a quantidade a é dada da seguinte forma

a  1

v2 , c2

então, tendo em conta essa expressão, obtemos:



1 v2 1 2 c

x.

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Substituindo, em vez de x, seu valor (3.3),

x  X  vT .

(ν)

Einstein obtém para ξ uma expressão da forma:



X  vT v2 1 2 c

,

que ele considera como a transformação de Lorentz para ξ, implicando que X e T são arbitrárias e independentes. No entanto, isso não é verdade. Ele não leva em conta que, de acordo com (δ) e (ν), existe a igualdade X  vT   c  v  T ,

daí segue-se que

X  cT .

Portanto, segue-se que Einstein obteve as transformações de Lorentz para ξ apenas para o caso parcial de X = cT: v c. X v 1 c 1

Isso pode ser verificado diretamente, se na fórmula (β) substituirmos ξ, em vez do valor de T da fórmula (δ), como feito por Einstein, para o valor de x na mesma fórmula. Então obtemos:



a v 1 c

X,

X  cT .

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Levando em conta a expressão para a, chegamos novamente à fórmula encontrada anteriormente, v c, X v 1 c 1

X  cT .

Mas ainda mais no texto do artigo A. Einstein explora a forma geral das transformações de Lorentz sem nenhum comentário. A. Einstein não observou que o princípio da relatividade, em conjunto com a eletrodinâmica, obrigatório requer uma construção de quantidades físicas quadridimensionais, de acordo com o grupo de Lorentz. Como resultado, isso requer a presença de invariantes do grupo atestando a geometria pseudo-euclidiana do espaço-tempo. Só por isso, Einstein não conseguiu encontrar equações relativísticas da mecânica, porque não descobriu a lei da transformação da força de Lorentz. Ele também não entendeu que a energia e o momento de uma partícula constituem uma quantidade unificada e que eles se transformam sob as transformações de Lorentz da mesma maneira que ct, x, y, z. Deve-se enfatizar especialmente que Einstein, em seu trabalho de 1905, em contraste com Poincaré, não estendeu as transformações de Lorentz a todas as forças da natureza, por exemplo, à gravitação. Ele escreveu mais tarde que "no quadro da teoria da relatividade especial, não há lugar para uma teoria satisfatória da gravitação". Mas como é mostrado em [5], esta afirmação não está correta. Devido às equações de Maxwell-Lorentz, o princípio da relatividade para sistemas de referência inercial levou Poincaré [3] e, posteriormente, Minkowski [4] a descobrir a geometria pseudoeuclidiana do espaço-tempo. Precisamente por isso, em dívida com

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Poincaré e Minkowski. Em 1908, H. Minkowski, dirigindo-se à 80ª reunião de naturalistas e médicos alemães em Cologne, observou [4]: “As visões de espaço e tempo que desejo apresentar antes de você surgir do solo da física experimental, e aí reside a força delas. Eles são radicais. Daí em diante o espaço por si só, e o tempo por si só, estão fadados a desaparecer em meras sombras, e apenas um tipo de união dos dois preservará uma realidade independente”. Portanto, a essência da teoria da relatividade especial consiste no seguinte (é um postulado): todos os processos físicos prosseguem no espaço-tempo quadridimensional  ct , x  , cuja geometria é pseudo-euclidiana e é determinada pela intervalo (3.23). As consequências deste postulado são leis de energia-momento e angular de momento angular, existência de sistemas de referência inerciais, princípio de relatividade para todos os fenômenos físicos, transformações de Lorentz, constância da velocidade da luz nas coordenadas galileanas de um sistema inercial, retardo de tempo, a contração de Lorentz, a oportunidade de usar sistemas de referência não inerciais, o "paradoxo do relógio", a precessão de Thomas, o efeito de Sagnac e assim por diante. Com base neste postulado e nas ideias quânticas, um conjunto de conclusões fundamentais foi obtido e a teoria quântica de campos foi construída. No centenário da teoria da relatividade, é mais do que tempo de deixar claro que a constância da velocidade da luz em todos os sistemas de referência inerciais não é uma afirmação fundamental da teoria da relatividade. Assim, a investigação dos fenômenos eletromagnéticos, juntamente com o princípio da relatividade de Poincaré, resultou na unificação do espaço e do tempo em um continuum quadridimensional único de eventos e permitiu estabelecer a

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geometria pseudo-euclidiana desse continuum. Esse espaço-tempo quadridimensional é homogêneo e isotrópico. Essas propriedades do espaço-tempo fornecem validade das leis fundamentais de conservação de energia, momento e momento angular em um sistema físico fechado. A geometria pseudoeuclidiana do espaço-tempo reflete as propriedades dinâmicas gerais da matéria, que a tornam universal. A investigação de várias formas de matéria, destas leis do movimento é, ao mesmo tempo, investigação do espaço e do tempo. Embora a estrutura real do espaço-tempo tenha sido revelada a nós como resultado do estudo da matéria (eletrodinâmica), às vezes falamos do espaço como uma arena, na qual alguns ou outros fenômenos ocorrem. Aqui, não cometeremos erros, se lembrarmos que essa arena não existe por si só, sem matéria. Às vezes, diz-se que o espaço-tempo (espaço de Minkowski) é dado a priori, pois sua estrutura não muda sob a influência da matéria. Essa invariabilidade do espaço Minkowski surge devido à sua universalidade para todos os campos físicos, de modo que a impressão é criada de que existe como se fosse independente da matéria. Provavelmente apenas devido a uma imprecisão da essência da teoria da relatividade especial para ele A. Einstein chegou à conclusão de que "dentro da teoria da relatividade especial não há lugar para uma teoria satisfatória da gravidade". Na teoria da relatividade geral de Einstein, a teoria da relatividade especial certamente não é satisfeita, é considerada um caso limite. Em 1955, A. Einstein escreveu:

≪ Uma conquista essencial da teoria da relatividade geral consiste em salvar a física da necessidade de introduzir um "sistema de referência inercial" (ou "sistemas de referência inercial") ≫. No entanto, mesmo agora, não existe absolutamente nenhum fato experimental ou observacional que possa testemunhar a violação da

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teoria da relatividade especial. Por essa razão, não se justifica renúncia, em qualquer extensão, à sua aplicação rigorosa e precisa nos estudos dos fenômenos gravitacionais. Especialmente considerando que todos os efeitos gravitacionais conhecidos são explicados precisamente dentro da estrutura da teoria da relatividade especial [5]. A renúncia à teoria da relatividade especial leva à renúncia às leis fundamentais de conservação de energia, momento e momento angular. Assim, tendo adotado a hipótese de que todos os fenômenos naturais procedem no espaço-tempo pseudo-euclidiano, cumprimos automaticamente todos os requisitos das leis fundamentais de conservação e confirmamos a existência de sistemas de referência inerciais. O continuum espaço-tempo, determinado pelo intervalo (3.23), também pode ser descrito em coordenadas arbitrárias. Na transição para coordenadas arbitrárias, a geometria do espaço-tempo quadridimensional não muda. No entanto, o espaço tridimensional não será mais euclidiano em coordenadas arbitrárias. Para simplificar nossa escrita, devemos, em vez das variáveis T, X, Y, Z, introduzir as variáveis Xν, v = 0, 1, 2, 3, X0 = cT. Agora realizamos a transição das variáveis Xν para as variáveis arbitrárias xν com o auxílio das transformações X   f v  x  .

(3.30)

Essas transformações geralmente levam a um sistema de referência não inercial. Cálculo dos diferenciais

f v  dX   dx x 

(3.31)

(de agora em diante a soma é realizada de 0 a 3 sobre índices idênticos λ) e, substituindo-os em (3.23), obtemos uma expressão para o intervalo no sistema de referência não inercial

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 d 

2

    x  dx  dx 

(3.32)

Aqui, γμλ(x) é o tensor métrico do espaço-tempo quadridimensional, é dado da seguinte maneira f  f     x      , x  x   0 3



   1, 1, 1, 1

(3.33)

A expressão (3.32) é invariável em relação às transformações arbitrárias de coordenadas. A expressão (3.33) representa a forma geral da métrica pseudo-euclidiana. A diferença entre uma métrica da forma (3.23) e a métrica (3.32) é geralmente, de acordo com as ideias de Einstein, atribuída à existência do campo gravitacional. Mas isso está incorreto. Nenhum campo gravitacional está presente em uma métrica da forma (3.32). As ideias de sistemas de referência acelerado no espaço de Minkowski desempenharam um importante papel heurístico nas reflexões de Einstein sobre o problema da gravitação. Eles contribuíram para que ele chegasse à ideia de descrever o campo gravitacional com a ajuda do tensor métrico do espaço Riemanniano, e por essa razão Einstein tentou retê-los, embora eles não tenham nada a ver com o campo gravitacional. Precisamente tais circunstâncias o impediram de revelar a essência da teoria da relatividade especial. Do ponto de vista formal e matemático, Einstein apreciou muito o trabalho de Minkowski, mas ele nunca penetrou na essência física profunda do trabalho de Minkowski, embora o artigo tenha lidado com uma descoberta mais importante da física - a descoberta da estrutura pseudo-euclidiana do espaço e tempo. Einstein considerou a teoria da relatividade especial apenas relacionada a um intervalo da forma (3.23), enquanto atribuía (3.32) à teoria da relatividade geral. Lamentavelmente, esse ponto de vista

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ainda prevalece em livros e monografias que expõem a teoria da relatividade. Considere um certo sistema de referência não inercial, onde o tensor métrico do espaço-tempo é dado como γμλ(x). É, então, demonstrado prontamente que existe um número infinito de sistemas de referência, nos quais o intervalo (3.32) é o seguinte

 d 

2

    x  dx dx

(3.34)

Um caso parcial dessas transformações é representado pelas transformações de Lorentz, que relacionam um sistema de referência inercial a outro. Vemos que as transformações de coordenadas, que deixam a forma métrica invariável, resultam em que os fenômenos físicos que procedem em tais sistemas de referência em condições idênticas nunca podem permitir distinguir um sistema de referência de outro. Portanto, pode-se dar uma formulação mais geral do princípio da relatividade, que não apenas diz respeito a sistemas de referência inercial, mas também a sistemas não inerciais [6]: “Qualquer que seja o sistema de referência físico (inercial ou não inercial) que escolhermos, é sempre possível apontar para um conjunto infinito de outros sistemas de referência, como todos os fenômenos físicos procedem exatamente como no sistema de referência inicial, portanto, não temos, e não pode ter nenhum meio experimental para distinguir, ou seja, em qual sistema de referência desse conjunto infinito estamos”. Deve-se notar que, embora o tensor métrico γμλ(x) em (3.33) dependa de coordenadas, no entanto, o espaço permanece pseudoeuclidiano. Embora isso seja evidente, deve-se salientar, já que mesmo em 1933 A. Einstein escreveu completamente o oposto [7]:

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≪Na teoria especial da relatividade, como Minkowski havia mostrado, essa métrica era quase-euclidiana, i. e., o quadrado do “comprimento” ds do elemento de linha era uma função quadrática dos diferenciais das coordenadas. Se outras coordenadas são introduzidas por meio de transformação não linear, ds2 permanece uma função homogênea dos diferenciais das coordenadas, mas os coeficientes dessa função (gμν) deixam de ser constantes e se tornam certas funções das coordenadas. Em termos matemáticos, isso significa que o espaço físico (quadridimensional) possui uma métrica riemanniana≫. Isso é, naturalmente, errado, uma vez que é impossível transformar a geometria pseudo-euclidiana em geometria Riemanniana aplicando as transformações de coordenadas (3.30). Tal declaração de A. Einstein tinha profundas raízes físicas. Einstein estava convencido de que a métrica pseudo-euclidiana em coordenadas arbitrárias, γμλ(x), também descreve o campo gravitacional. Essas ideias, apresentadas por Einstein, restringiram o arcabouço da teoria da relatividade especial e, dessa forma, tornaram-se parte do material exposto em livros didáticos e monografias, que impediram a compreensão da essência da teoria da relatividade. Assim, por exemplo, o acadêmico L. I. Mandel'stam, em suas palestras sobre teoria da relatividade [8], destacou especialmente: “O que realmente acontece, como um relógio em movimento acelerado mostra o tempo e por que diminui ou faz o contrário não pode ser respondido pela teoria da relatividade especial, porque ela absolutamente não lida com a questão dos sistemas de referência em movimento acelerado”.

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As fontes físicas de uma compreensão tão limitada da teoria da relatividade especial se originam de A. Einstein. Vamos apresentar algumas de suas afirmações sobre a teoria da relatividade especial. Em 1913, ele escreveu [9]: "No caso da teoria da relatividade costumeira, apenas substituições ortogonais lineares são permitidas". No próximo artigo do mesmo ano, ele escreve [10]: “Enquanto na teoria original da relatividade, o independente das equações físicas da escolha especial do sistema de referência se baseia na postulação do invariante fundamental ds 2   dxi2 , estamos preocupados em i

construir uma teoria na qual o elemento de linha mais geral da forma ds 2   gik dxi dx k i ,k

desempenha o papel de invariante fundamental”. Mais tarde, em 1930, A. Einstein escreveu [11]: “Na teoria especial da relatividade, são permitidas essas alterações de coordenadas (por transformação), para as quais também no novo sistema de coordenadas a quantidade ds2 (invariante fundamental) é igual à soma dos quadrados da coordenada. Tais transformações são chamadas de transformação de Lorentz”. Embora Einstein, aqui, aproveite o invariante (intervalo) descoberto por Poincaré, ele o entende apenas em um sentido limitado (estritamente diagonal). Para A. Einstein, era difícil perceber que as transformações de Lorentz e a relatividade do tempo ocultavam um fato fundamental: o espaço e o tempo formam um contínuo quadridimensional único com geometria pseudoeuclidiana, determinada pelo intervalo

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 d 

2

    x  dx  dx  ,

det        0

(3.35)

com o tensor métrico γμλ(x), para o qual o tensor de curvatura Riemanniano é igual a zero. Mas, precisamente, a existência do espaço quadridimensional de eventos com uma métrica pseudoeuclidiana permitiu estabelecer que várias quantidades vetoriais no espaço tridimensional euclidiano são ao mesmo tempo componentes de quantidades quadridimensionais juntamente com certos escalares em espaços euclidianos. Isso foi realizado por H. Poincaré e posteriormente desenvolvido por H. Minkowski. Muitas vezes, sem entender a essência da teoria, algumas pessoas escrevem que Minkowski supostamente deu a interpretação geométrica da teoria da relatividade. Isso não é verdade. Com base no grupo descoberto por Poincaré, H. Poincaré e H. Minkowski, revelaram a geometria pseudoeuclidiana do espaço-tempo, que é precisamente a essência da teoria da relatividade especial. Em 1909, H. Minkowski escreveu sobre isso no artigo "Espaço e Tempo": “Nem Einstein, nem Lorentz lidaram com o conceito de espaço, talvez porque no caso da transformação especial acima mencionada, sob a qual o plano x′, t′ coincida com o plano x, t, pode-se entender que o eixo x de o espaço mantém sua posição. A tentativa de escapar ao conceito de espaço poderia, de fato, ser considerada uma certa insolência do pensamento matemático. Mas, depois de dar esse passo, certamente inevitável para a verdadeira compreensão do grupo Gc (o grupo Lorentz - A.L.), o termo "postulado da relatividade" por exigir invariância em relação ao grupo Gc me parece muito insípido. Como o significado do postulado se reduz ao dos fenômenos, temos

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apenas o mundo quadridimensional no espaço e no tempo, mas que as projeções desse mundo no espaço e no tempo podem ser tomadas com certa arbitrariedade, prefiro dar a essa afirmação o seguinte: título “postulado do mundo absoluto” ou, em suma, postulado do mundo”. É surpreendente, mas no trabalho de H. Minkowski não há referência aos artigos [2] e [3] de H. Poincaré, embora apenas dê os detalhes do que já foi apresentado nas referências. [2] e [3]. No entanto, pela brilhante exposição diante de uma ampla audiência de naturalistas, atraiu atenção geral. Em 1913, na Alemanha, uma coleção de artigos sobre relatividade por H.A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski foi publicado. Os trabalhos fundamentais [2] e [3] de H. Poincaré não foram incluídos na coleção. Nos comentários de A. Sommerfeld à obra de Minkowski, Poincaré é mencionado apenas em relação a particulares. É difícil entender essa ocultação dos trabalhos fundamentais de H. Poincaré na teoria da relatividade. E. Whittaker foi o primeiro a chegar à conclusão da contribuição decisiva de H. Poincaré para esse problema ao estudar a história da criação da teoria da relatividade especial, há 50 anos. Sua monografia causou uma reação notavelmente irritada de alguns autores. Mas E. Whittaker estava principalmente certo. H. Poincaré realmente criou a teoria especial da relatividade fundamentada no trabalho de Lorentz de 1904 e deu a essa teoria um caráter geral, estendendo-a a todos os fenômenos físicos. Em vez de um estudo mais aprofundado e uma comparação do trabalho de Einstein de 1905 e dos trabalhos de Poincaré (é a única maneira de estudo objetivo do problema), foi escolhido o caminho da rejeição completa das conclusões de Whittaker. Assim, a ideia de que a teoria da relatividade foi criada de forma independente e exclusiva por A. Einstein foi propagada na literatura sem investigações detalhadas. Essa também foi minha opinião até meados dos anos 80, até que li os artigos de H. Poincaré e A. Einstein.

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4. A relatividade do tempo e a contração do comprimento Considere o curso do tempo em dois sistemas de referência inercial, um dos quais será considerado em repouso, enquanto outro se moverá em relação ao primeiro com velocidade v. De acordo com o princípio da relatividade, a mudança no tempo mostrada por os relógios (para uma determinada escala de tempo) nos dois sistemas de referência são os mesmos. Portanto, os dois contam seu próprio tempo físico da mesma maneira. Se o relógio no sistema de referência móvel estiver parado, seu intervalo nesse sistema de referência será

 d 

2

 c 2 dt 2 ,

(4.1)

t' é o tempo mostrado pelo relógio neste sistema de referência. Como esse relógio se move em relação ao outro sistema de referência com a velocidade v, o mesmo intervalo, mas agora no sistema de referência em repouso, será

 d 

2

 v2   c 2 dt 2 1  2  ,  c 

(4.2)

aqui t é o tempo mostrado pelo relógio em repouso neste sistema de referência e 2

2

2

 dx   dy   dz  v2          .  dt   dt   dt 

(4.3)

Nas relações (4.1) e (4.2), encontramos a relação entre as durações de tempo nesses sistemas de referência inercial na descrição do fenômeno físico

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dt   dt 1 

v2 c2

(4.4)

Costuma-se ler que ocorre um retardo de relógios móveis. Está errado, porque tal afirmação contradiz o princípio da relatividade. A taxa dos relógios em todos os sistemas de referência inerciais não muda. Os relógios medem igualmente o tempo físico de seu próprio sistema de referência inercial. Isso não é uma alteração da taxa dos relógios, mas uma alteração da duração do processo físico. A duração de um processo físico local de acordo com o relógio deste sistema inercial ou com um relógio em outro sistema inercial é em geral diferente. É mínimo no sistema em que o processo está localizado em um ponto espacial. Precisamente esse significado está implícito em dizer sobre o atraso do tempo. Integrando essa relação, obtemos

t   t 1 

v2 c2

(4.5)

Essa expressão é uma consequência da existência do invariante fundamental (3.22). A “dilatação do tempo” (4.5) foi considerada já em 1900 por J. Larmor. Como observado por W. Pauli, "recebeu sua primeira declaração clara só por Einstein" da "transformação de Lorentz". Aplicaremos essa igualdade a uma partícula elementar com uma vida útil em repouso igual a τ0. A partir de (4.5) após definir △t′ = τ0, encontramos a vida útil da partícula em movimento

t 

0 v2 1 2 c

,

(4.6)

P á g i n a | 71

Precisamente devido a esse efeito, é possível transportar feixes de partículas de alta energia no vácuo por grandes distâncias do acelerador para os dispositivos experimentais, embora sua vida útil no estado de repouso seja muito pequena. No caso considerado acima, lidamos com um intervalo de tempo dσ2 > 0. Vamos agora considerar outro exemplo, quando o intervalo entre os eventos é do espaço, dσ2 < 0. Novamente, consideramos dois desses sistemas de referência inercial. Considere a medição, em um sistema de referência móvel, do comprimento de uma haste que está em repouso em outro sistema de referência. Primeiro determinamos o método para medir o comprimento de uma haste móvel. Considere um observador no sistema de referência móvel, que registra as extremidades da haste, X′1 e X′2, no mesmo momento do tempo T1  T2

(4.7)

isso permite reduzir o intervalo S122 no sistema de referência móvel apenas para a parte espacial S122    X 2  X 1    2

2

(4.8)

Portanto, em nosso método de determinar o comprimento de uma haste móvel, é bastante natural considerar a quantidade ℓ como seu comprimento. O mesmo intervalo no sistema de referência em repouso, em que a haste está em estado de repouso, é dado da seguinte maneira S122  c 2 T2  T1    X 2  X 1  2

2

(4.9)

Mas, de acordo com as transformações de Lorentz, temos

T2  T1   T2  T1   2  X 2  X 1  

v c



(4.10)

P á g i n a | 72

de onde, para o nosso caso (4.7), encontramos

T2  T1  

v v X 2  X1   2 2  c c

0

(4.11)

ℓ0 é o comprimento da haste no sistema de referência em repouso. Substituindo esta expressão em (4.9) obtemos S122  

2 0

 v2  1  2   c 

(4.12)

Comparando (4.8) e (4.12), encontramos



0

v2 1 2 c

(4.13)

Das relações (4.7) e (4.11), vemos que eventos que são simultâneos em um sistema de referência inercial não serão simultâneos em outro sistema de referência inercial; portanto, a noção de simultaneidade é relativa. A relatividade do tempo é uma consequência direta da definição de simultaneidade para diferentes pontos espaciais do sistema de referência inercial por meio de um sinal de luz. A contração (4.13) é uma consequência da natureza relativa da simultaneidade, ou, para ser mais preciso, da existência do invariante fundamental (3.22). A contração do comprimento (4.13), como uma hipótese para explicar o resultado negativo do experimento de Michelson-Morley, foi inicialmente sugerida por G. F. FitzGerald em 1889. Mais tarde, em 1892, a mesma hipótese foi formulada por H.A. Lorentz. Assim, estabelecemos que, de acordo com a teoria da relatividade especial, o intervalo de tempo entre os eventos para um objeto local e o comprimento de uma haste, dado o método de medição de (4.7), é relativo. Eles dependem da escolha do sistema de referência

P á g i n a | 73

inercial. Somente o intervalo entre os eventos tem um sentido absoluto. Deve-se notar especialmente que a contração do comprimento de uma haste (4.13) é determinada não apenas pela estrutura pseudo-euclidiana do espaço-tempo, mas também por nosso método de medir o comprimento, portanto contração, diferentemente da desaceleração do tempo (4.5), não possui um significado físico essencial. Isso se deve ao fato de a lentidão do tempo estar relacionada a um objeto local, e esses objetos existem na Natureza, e são descritos pelo intervalo de tempo dσ2 > 0; consequentemente, uma relação causal é realizada aqui. A contração do comprimento está relacionada a diferentes pontos no espaço e, portanto, é descrita pelo intervalo espacial dσ2 0, T1 > 0, T2 > 0, a quantidade T é negativa. Isso significa que, no momento em que os relógios atendem à leitura do segundo relógio, será menor que a leitura do primeiro relógio. Agora considere o mesmo processo no sistema de referência, onde o segundo relógio está sempre parado. Este sistema de referência não é inercial, uma vez que parte do tempo o segundo relógio se move com uma aceleração constante em relação ao sistema de referência inercial relacionado ao primeiro relógio, enquanto na parte restante do tempo seu movimento é uniforme. Na primeira etapa, o segundo relógio se move com aceleração constante, de acordo com a lei (12.9)

P á g i n a | 187

c2  a 2t 2  x0   1  2  1 . a  c  Portanto, neste segmento da jornada, o intervalo no sistema de referência não inercial, de acordo com (12.12), tem a forma

c 2 dt 2 2a t dtdx d    dx 2  dY 2  dZ 2 . 2 2 2 2 at at 1 2 1 2 c c 2

(12.23)

Neste sistema de referência, o segundo relógio está parado no ponto x = 0, enquanto o primeiro relógio se move ao longo da linha geodésica determinada pelas Eqs. (11.14)

dU   U U   0, d

  0,1, 2,3.

(12.24)

Destas quatro equações, apenas três são independentes, pois a seguinte relação é sempre válida: 

dx U  . d





  U U  1,

(12.25)

Da expressão (12.23) encontramos

 00 

1 , a 2t 2 1 2 c

 01  

at a 2t 2 c 1 2 c

Da Eq. (12.26) e a seguinte equação

,

 11  1

(12.26)

P á g i n a | 188

        ,

Encontramos

at

 00  1  01  

c 1

a 2t 2 c2

,  11  

1 . a 2t 2 1 2 c

Por meio dessas fórmulas e também das Eqs. (11.31) e (12.26) é fácil ver que existe apenas um símbolo diferente de zero de Christoffel

100 

1  a 2t 2  c 1  2  c  

3/2

.

2

Não precisamos resolver a equação (12.24), apenas aproveitaremos a relação (12.25)

 00 U 0   2 01U 0U 1  U 1   1, 2

2

(12.27)

Considerando a equação (12.27) (12.26), encontramos uma solução parcial

U1  

at 2 2

at c 1 2 c

, U 0  1,

(12.28)

É fácil que ela também satisfaz as Eqs. (12.24). De (12.28) segue que

P á g i n a | 189

dx1  dt

at a 2t 2 c 1 2 c

(12.29)

Resolvendo esta equação com as condições iniciais x  0   0 , x  0   0 , obtemos

c2  a 2t 2  x  1  1  2  a  c 

(12.30)

Assim, temos todo o necessário para determinar as leituras de ambos os relógios até o momento final da primeira etapa de seu movimento. O tempo adequado dτ do primeiro relógio neste estágio do movimento, em virtude de (12.29), coincide com o tempo dT do sistema de referência inercial d 

ds  dT , c

(12.31)

portanto, ao final desta etapa da jornada, a leitura τ1 do primeiro relógio será T1

 1  T1.

(12.32)

Como o segundo relógio está parado em relação ao sistema de referência não inercial, seu tempo adequado pode ser determinado a partir da expressão

d    00 dt.

(12.33)

P á g i n a | 190

Como a primeira etapa da jornada ocupa o intervalo 0 ≤ t ≤ T1 do tempo de inércia, no final desse segmento, a leitura τ′1 do segundo relógio será T1

c a

 aT

 1    00 dt  ln  0

1

 c

 1

a 2T12 c2

  

(12.34)

No final da primeira etapa da jornada, ao atingir a velocidade

v

aT1 a 2T12 1 2 c

,

(12.35)

a ação da força aceleradora cessa, isso significa que o sistema de referência relacionado ao segundo relógio será inercial. O intervalo neste sistema de referência, de acordo com (12.23), no momento T1, terá a forma  v2  2 d  c 1  2  dt  2vdxdt  dx 2  dY 2  dZ 2 ,  c  2

2

(12.36)

aqui

v

aT1 a 2T 2 1  21 c

,

(12.37)

Aproveitando, para a métrica (12.36), da identidade

  U U   1,

U 

dx . d

(12.38)

P á g i n a | 191

nós achamos

dx1  v dt

(12.39)

Tendo em conta (12.39) em (12.36), obtemos d 

d  dt , c

(12.40)

i. e., o tempo, mostrado pelo primeiro relógio nesta fase, coincide com o tempo

 2  T2 .

(12.41)

Como o segundo relógio está parado, sua leitura do tempo apropriado é

d    00 dt

(12.42)

T2

(12.43)

Daí segue

 2 

T1 T2



T1

 00 dt 

a 2T 2 1  21 c

Devido à simetria do problema, as informações obtidas são suficientes para determinar as leituras dos relógios no momento em que eles se encontram. De fato, a leitura do primeiro relógio τ, determinada no sistema de referência, relacionada ao segundo relógio, é

  41  2 2 ,

(12.44)

P á g i n a | 192

que, com base em (12.32) e (12.41), fornece

  4T1  2T2 .

(12.45)

A leitura do segundo relógio τ′, determinada no mesmo sistema de referência, onde o segundo relógio está parado, é

   41  2 2 ,

(12.46)

que, com base em (13.34) e (13.43), fornece

 

a 2T 2 4c  aT1 ln   1  21 a  c c

 2T2  a 2T 2  1  21 c

(12.47)

Subtraindo de (12.47) a expressão (12.45), obtemos       

a 2T 2 4c  aT1 ln   1  21 a  c c

    1 4T1  2T2   1 .   a 2T 2  1  21  c  

  

(12.48)

Comparando (12.22) e (12.48), vemos que o cálculo realizado no sistema de referência inercial, onde o primeiro relógio está em repouso, produz o mesmo resultado que o cálculo realizado no sistema de referência não inercial relacionado ao segundo relógio. Assim,   T  0

(12.49)

P á g i n a | 193

Portanto, não existe paradoxo, uma vez que o sistema de referência relacionado ao primeiro relógio é inercial, enquanto o sistema de referência, no qual o segundo relógio está parado, é não inercial. Precisamente por esse motivo, a desaceleração do segundo relógio, em comparação com o primeiro relógio, é um efeito absoluto e não depende da escolha do sistema de referência no qual esse efeito é calculado. Os argumentos relativos à relatividade do movimento, que foram usados anteriormente, neste caso, não podem ser aplicados, uma vez que os sistemas de referência não são equivalentes. Qualitativamente, a desaceleração do segundo relógio, em comparação com o primeiro, pode ser explicada da seguinte maneira. Sabe-se que em coordenadas arbitrárias o movimento livre de um corpo de teste prossegue ao longo de uma linha geodésica, i. e a linha extremal, que no espaço pseudo-euclidiano é a distância máxima entre dois pontos, se em toda a linha que une esses pontos a quantidade dσ2 é positiva. No caso, quando escolhemos um sistema de referência inercial nas coordenadas de Galileu, relacionado ao primeiro relógio, isso significa que o primeiro relógio descreve uma linha geodésica, enquanto o segundo relógio, devido à influência da força, se move ao longo de uma linha diferente do geodésico e, portanto, diminui a velocidade. O mesmo acontece também quando o sistema de referência está relacionado ao segundo relógio. No caso de transição para este sistema de referência, o intervalo muda de forma. Nesse caso, o primeiro relógio descreve novamente uma linha geodésica em uma métrica alterada, enquanto o segundo relógio está parado e, consequentemente, não descreve uma linha geodésica e, portanto, diminui a velocidade. Consideramos a influência do movimento acelerado nas leituras dos relógios e mostramos sua desaceleração. Mas esse efeito diz respeito não apenas aos relógios, mas a todos os fenômenos físicos ou, para ser mais geral, a todos os fenômenos naturais. Nesta base,

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os voos interestelares tornam-se fantasticamente fascinantes. Em 1911, Paul Langevin discutiu em um artigo [14] a viagem de um ser humano em alta velocidade, próxima à velocidade da luz, retornando posteriormente à Terra. Em princípio, isso é possível, mas ainda permanece apenas uma fantasia. Vamos agora prestar atenção ao efeito Sagnac (ver mais detalhes em: Uspekhi Fiz. Nauk. 1988. Vol. 156, edição 1, pp. 137-143. Em colaboração com Yu. V. Chugreev). Como é sabido, o efeito Sagnac, em consonância com o experimento de Michelson, é um dos experimentos básicos da teoria da relatividade. Mas até agora é possível ler explicações incorretas desse efeito com a ajuda de sinais que se propagam mais rápido que a luz ou com a ajuda da relatividade geral (ver mais detalhes abaixo). Portanto, consideramos necessário enfatizar mais uma vez a natureza relativista puramente especial do efeito Sagnac. Vamos primeiro descrever o experimento de Sagnac. Existem espelhos situados nos ângulos de um quadrilátero em um disco. Os ângulos de sua disposição recíproca são tais que o feixe de uma fonte monocromática após reflexões sobre esses espelhos passa um círculo fechado e retorna à fonte. Com a ajuda de uma placa semitransparente, é possível dividir o feixe proveniente de uma fonte em dois feixes que se movem em direções opostas sobre esse círculo fechado. Sagnac descobriu que, se o disco estiver sujeito a rotação, o feixe com a direção da sua volta coincidindo com a direção da rotação retornará à fonte mais tarde que o feixe com a volta oposta, resultando em uma mudança na imagem de interferência a placa fotográfica. Depois de trocar o sentido de rotação, as faixas de interferência mudam na direção oposta. Que explicação foi dada para esse efeito? O próprio Sagnac obteve um valor teórico para a magnitude do efeito pela adição

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puramente clássica da velocidade da luz com a velocidade linear de rotação do feixe movendo-se oposto à rotação e subtração correspondente para o feixe se movendo na direção da rotação. A discrepância desse resultado com o experimento foi de ordem percentual. Essa explicação dos resultados experimentais permaneceu mais tarde menos invariável ou até se tornou obscura. Como exemplo típico, apresentamos uma citação retirada do "Óptica" de A. Sommerfeld: "O resultado negativo do experimento de Michelson, é claro, não tem relação com o problema da propagação da luz em meios rotativos. Para discutir esse problema, devese usar não a teoria especial da relatividade, mas sim a geral, com seus termos adicionais que correspondem às forças centrífugas centrífugas mecânicas. No entanto, tendo em vista que nas experiências a seguir (por Sagnac e outros. – A. L.) ocorrem apenas velocidades v ≪ c e somente efeitos de primeira ordem em v / c são importantes, a teoria da relatividade pode ser totalmente dispensada e os cálculos podem ser realizada classicamente” Veremos abaixo que a explicação do efeito Sagnac reside na plena competência da teoria especial da relatividade e nem a teoria geral da relatividade nem as velocidades superluminais não são necessárias, assim como quaisquer outros postulados adicionais. Consideraremos detalhadamente como calcular a diferença de tempo entre as chegadas dos dois feixes à fonte no sistema de referência de descanso inercial. Também faremos isso na rotação com o sistema de referência não inercial do disco. Os resultados dos cálculos coincidirão conforme o esperado. Para simplificar os cálculos, consideraremos o movimento da luz em um guia de luz sobre

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trajetória circular que corresponde ao caso de número infinito de espelhos no experimento de Sagnac. Começamos com o caso do sistema inercial de referência. Vamos expressar o intervalo em coordenadas cilíndricas:

ds 2  c2 dt 2  dr 2  r 2d 2  dz 2 .

(12.50)

Seja como foi dito antes que os feixes de luz se movam no plano z = 0 sobre o círculo de raio r = r0 = const. O intervalo é exatamente igual a zero para a luz, então obtemos o seguinte

d  t  c  dt r0

(12.51)

O feixe que se move na direção da rotação é marcado pelo índice "+" e o feixe que se move na direção oposta é marcado por "-". Considerando as condições iniciais  +(0) = 0,  −(0) = 2π, encontramos a lei do ângulo  ± dependência dos dois feixes no tempo t: 





  t   

c , r0

(12.52)

c   t   2  . r0

Os feixes se encontrarão no tempo t1, quando  +(t1) =  −(t1). Substituindo (12.52) obtemos 



  t1     t1    .

Tomando o tempo t1 como o tempo inicial e repetindo nossa argumentação, descobriremos que o próximo encontro de vigas

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ocorrerá exatamente no ponto espacial em que foram emitidas, i. e no ponto com coordenadas  = 0, r = r0, z = 0. Enfatizamos que esse resultado não depende da velocidade angular de rotação do sistema de referência, que é o sistema de descanso da fonte e dos espelhos. A lei da dependência da coordenada angular da fonte, por definição, é a seguinte (para a condição inicial  s(0) = 0): s  t    t .

(12.53)

Portanto, a reunião da fonte com o feixe “+” ocorrerá no tempo do instante t+ determinado pela condição  s(t+) =  +(t+) − 2π, i. e

t 

2 ,  c r0   

(12.54)

e com o feixe "−" - no tempo do instante t− determinado pela condição  s(t−) =  −(t−):

t 

2 .  c r0   

(12.55)

Pode parecer da forma das Eqs. (12.54), (12.55) que a velocidade da luz é aqui anisotrópica e é diferente de c. Mas isso está incorreto. A velocidade da luz é a mesma para os dois feixes e é igual a c, e o tempo de retorno diferente à fonte é explicado pelo fato de a fonte ter se movido a certa distância durante o tempo de propagação dos feixes (feixe “+”) viajou por distâncias maiores). Vamos agora encontrar o intervalo de tempo adequado entre as chegadas dos dois raios para um observador sentado na fonte. Por definição, é igual a

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st





t

1  1  ds ds  dt , c st  c t dt

(12.56)

onde s é o intervalo. Como valor do intervalo após o uso (12.53), obtemos  r 2 2  ds 2  c 2 dt 2  r02 d 2  c 2 dt 2 1  0 2  , c  

onde  2 r02 c 2  1. Substituindo isso na Eq. (12.56) encontraremos o valor exato do efeito Sagnac6: 1/2

 r 2 2  4 r02    1  0 2    t  t   . 1/2 2 2 2 2 c     c 1   r0  c 

(12.57)

Notemos que, na derivação da Eq. (12.57) usamos apenas conceitos absolutos de eventos de encontro de feixes (entre si e com a fonte), e não o conceito de velocidade da luz em relação ao sistema de referência rotativo Vamos considerar agora o mesmo processo físico de propagação de feixes sobre o círculo, um em direção ao outro, girando com velocidade angular ω sistema de referência não inercial. Para descobrir a forma do intervalo neste sistema, faremos uma transformação de coordenadas:

No cálculo do efeito Sagnac realista, quando a trajetória do feixe de luz é uma linha poligonal, é necessário levar em consideração a deformação da centrífuga devido a forças centrífugas. 6

P á g i n a | 199

novo  velho   tvelho , tnovo  tvelho ,

(12.58)

rnovo  rvelho , znovo  zvelho .

Em novas coordenadas, tnovo, rnovo novo e znovo, obtemos (após rebaixar o índice "novo" por simplicidade) o intervalo da seguinte forma  r 2 2  2 r 2 ds 2  1  2  c 2 dt 2  d cdt c  c  dr 2  r 2 d 2  dz 2 .

(12.59)

Observemos que o tempo t nesta expressão é o tempo de coordenadas do sistema de referência rotativo. Depois de considerar as condições iniciais  +(0) = 0,  −(0) = 2π, obtemos: 

  t  

ct   r0  1  , r0  c 

ct   r    t   2  1  0  , r0  c 



(12.60)

a primeira reunião dos feixes ocorrerá no tempo t1, quando   t1     t1  , i. e quando a variável angular será igual a

1   1   r0 c   . Após um raciocínio análogo, concluímos que o segundo encontro dos feixes ocorrerá "no ângulo"

 r  2  2 1  0  , c  

(12.61)

P á g i n a | 200

i. e., na distância angular 2πr0ω/c da fonte. A dependência da coordenada angular da fonte é trivial  s = const. = 0. O instante de tempo de coordenada t+ correspondente ao encontro do feixe “+” com a fonte pode ser encontrado, como antes, a partir da relação  s (t+) = 0 =  + (t+) – 2π:

t 

2 r0 , c   r0

(12.62)

e da mesma forma encontramos o momento t:

t 

2 r0 . c   r0

(12.63)

O intervalo de tempo adequado entre dois eventos de chegada dos feixes no ponto em que a fonte está disposta pode ser calculado com a ajuda da definição (12.56) e do intervalo (12.59): 1/2

  2r 2  1  ds    dt  1  2 0  c t dt c   t



4 r02

c 1   r02 2 c 2   2

1/2

  t  t  

.

i. e., chegamos à mesma expressão (12.57). Portanto, demonstramos que, para explicar o efeito de Sagnac, não é necessário modificar a teoria especial da relatividade, nem usar velocidades superluminais, nem aplicar a teoria geral da relatividade. Em apenas tem que seguir rigorosamente a teoria especial da relatividade.

P á g i n a | 201

13.

Sobre a velocidade limite

O intervalo para geometria pseudo-euclidiana, em coordenadas arbitrárias, tem, de acordo com (3.32) e (3.33), a seguinte forma geral:

d 2     x  dx  dx ,   det      0

(13.1)

O tensor métrico γμν é igual a 3

   x       0

f  f    ,    1, 1, 1, 1 .  x x

(13.2)

Aqui f  são quatro funções contínuas arbitrárias com derivadas contínuas, que relacionam as coordenadas galileanas com o xλ arbitrário. Dependendo do sinal de dσ2, os eventos podem ser identificados como tipo- tempo

d 2  0

(13.3)

d 2  0

(13.4)

d 2  0

(13.5)

tipo- espaço

e isotrópico

Essa divisão de intervalos é absoluta, não depende da escolha do sistema de referência.

P á g i n a | 202

Para um intervalo temporal dσ2 > 0, existe sempre um sistema de referência inercial, no qual é determinado apenas pelo tempo

d 2  c2dT 2 . Para um intervalo espacial dσ2 < 0 sempre pode ser encontrado um sistema de referência inercial, no qual é determinado pela distância entre pontos infinitesimamente próximos

d 2  d 2 , d

2

 dx2  dy 2  dz 2 .

Essas asserções também são válidas no caso de um intervalo finito σ. Quaisquer dois eventos, relacionados a um determinado corpo, são descritos por um intervalo de tempo. Um intervalo isotrópico corresponde a um campo sem massa de repouso. Vamos ver que conclusões resultam de um intervalo isotrópico

  dx  dx   00  dx 0   2 0i dx 0 dx i   ik dx i dx k  0 2

(13.6)

Destacamos (14.6) a parte temporal 2

  dxi      i k c   00 dt  0i     ik  0i 0 k  dx dx  0  00  c  00    2

(13.7)

A quantidade

d   00 dt 

 0i dxi 1   0 dx    c  00 c   00

   

(13.8)

deve ser considerado como tempo físico, o qual, como veremos a seguir, é independente da escolha da variável de tempo. No caso

P á g i n a | 203

geral (sistemas de referência não inerciais), a quantidade dτ não é um diferencial total, pois as seguintes condições não serão atendidas:

 xi



 x k

  0i     00



 00 

1    0i  c t   00

   i  x 

   

 ,    0k  .  00 

(13.9)

O segundo termo em (13.7) não é nada, mas a distância quadrada entre dois pontos infinitesimalmente próximos do espaço tridimensional, que é independente da escolha de coordenadas nesse espaço: d

2

  ik dx i dx k ,

(13.10)

aqui o tensor métrico do espaço tridimensional, χik, é

ik   ik 

 0i 0 k  00

(13.11)

Com o relato de (13.8) e (13.10), da expressão (13.7) encontramos 2

d  c. d

(13.12)

As quantidades dℓ e dτ são de caráter local. Nesse caso, o conceito de simultaneidade perde sentido para eventos em locais diferentes, porque é impossível sincronizar relógios com o auxílio de um sinal luminoso, pois depende do caminho da sincronização. A partir de (13.12), segue-se que o campo em cada ponto do espaço de

P á g i n a | 204

Minkowski, de acordo com as características locais de dℓ e dτ, tem uma velocidade igual à constante eletrodinâmica c. Essa é a velocidade limite, que não é possível para partículas com massa em repouso, pois para elas

d 2  0. Essa desigualdade é a condição de causalidade. O princípio da causalidade não está contido nas equações de Maxwell-Lorentz. É imposto como uma condição complementar natural. Em 1909, H. Minkowski o formulou como o principal axioma da seguinte maneira: “Uma substância encontrada em qualquer ponto do mundo, dada a definição apropriada de espaço e tempo (isto é, dada a escolha correspondente do sistema de referência no espaço Minkowski. - A. L.) pode ser considerada em repouso. O axioma expressa a ideia de que em cada mundo aponta a expressão

c2 dt 2  dx2  dy 2  dz 2 é sempre positivo ou, em outras palavras, que qualquer velocidade v é sempre menor que c”. H. Poincaré demonstrou o profundo significado físico da velocidade limitante em seu artigo [1] publicado em 1904, mesmo antes de seus trabalhos fundamentais [2; 3] Ele escreveu:

≪De todos esses resultados, se fossem confirmados, proviria uma mecânica inteiramente nova, que seria sobretudo caracterizada pelo fato de que nenhuma

P á g i n a | 205

velocidade poderia ultrapassar a da luz7, assim como nenhuma temperatura pode cair abaixo do zero absoluto. Para um observador, ele mesmo arrastado numa translação que não percebe, também nenhuma velocidade aparente poderia ultrapassar a da luz; e essa seria uma contradição, se não nos lembrássemos de que esse observador não utilizaria os mesmos relógios que um observador fixo, mas vários relógios marcando o “tempo local”≫. Apenas esses pensamentos de H. Poincaré e seu princípio de relatividade foram relatados por ele em uma palestra proferida no Congresso de Arte e Ciência em Saint-Louis (em setembro de 1904) e encontraram sua realização em artigos [2; 3] Eles sustentam o trabalho de A. Einstein de 1905. O sinal de um objeto para outro só pode ser transferido por meio de uma substância material; Pelo exposto, fica claro que c é a velocidade máxima para a transferência de interação ou informação. Como as partículas correspondentes ao campo eletromagnético - fótons - são geralmente consideradas sem massa, a quantidade c é identificada com a velocidade da luz. A existência de uma velocidade máxima é uma consequência direta da geometria pseudo-euclidiana do espaço-tempo. Se escolhermos a função f ν em (13.2) de uma maneira especial, como segue

f 0  x  , f i  xk  ,

(13.13)

Pois os corpos oporiam uma inércia crescente às causas que tendessem a acelerar seu movimento; e essa inércia se tornaria infinita quando nos aproximássemos da velocidade da luz. 7

P á g i n a | 206

então, devido a essa transformação, não deixamos o sistema de referência inercial. Nesse caso, o tensor métrico γμν, de acordo com (13.2) e (13.13), assume a forma 2

 f 0   00   0  ,  x 

 ik 

f 0 f 0  0i  0  i , x x

(13.14)

f 0 f 0 3 f f    . xi x k 1 x  x 

(13.15)

Substituindo os valores dos coeficientes métricos γ00, γ0i de (13.14) em (13.8) obtemos, levando em conta (3.30) e (13.13),  1 1  f 0 1 d    dx   dx 0  dX 0 . c  x c  c

(13.16)

Vemos que o tempo adequado, neste caso, é um diferencial total, pois nosso sistema de referência é inercial. Substituindo (13.14) e (13.15) por (13.11), obtemos

f n f n ik   i  k . x n 1 x 3

(13.17)

Portanto, considerando (3.30) e (13.13), encontramos

 ik dx dx    df 3

d

2

i

k

n 1

    dX  .

n 2

3

n 2

(13.18)

n 1

Em um sistema de referência inercial, existe ambiguidade na descrição de coordenadas do espaço de Minkowski, dependendo da escolha das funções (13.13). Esta é a razão da arbitrariedade na

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adoção de um acordo relativo à simultaneidade em diferentes pontos do espaço. Todos esses acordos são convencionais. No entanto, essa ambiguidade e, consequentemente, a arbitrariedade na obtenção de um acordo não influenciam as quantidades físicas. Eqs. (13.16) e (13.18) mostram que, em um sistema de referência inercial, as quantidades físicas de tempo (13,8) e distância (13,10) não dependem da escolha do acordo em relação à simultaneidade. Deixeme esclarecer. Nas fórmulas (13.16) e (13.18), dada qualquer escolha de funções (13.13), apenas surgem as coordenadas galileanas X0, Xn do espaço Minkowski, que correspondem ao invariante (3.22). É exatamente isso que remove, nas quantidades físicas de tempo (13,8) e distância (13,10), a arbitrariedade na escolha de um acordo convencional relativo à simultaneidade. Além disso, nenhuma quantidade física pode, em princípio, depender da escolha deste acordo de simultaneidade. E se alguém escreveu ou escreve o contrário, isso só atesta a incompreensão dessa pessoa pela essência da teoria da relatividade. É preciso distinguir entre quantidades coordenadas e quantidades físicas. Para detalhes sobre esse problema, consulte a ref. [6] Vamos demonstrar um exemplo especial específico da convenção de simultaneidade. Permita que a sincronização dos relógios em diferentes pontos espaciais seja fornecida pelo sinal de luz com velocidade c1 na direção paralela ao semi-eixo positivo X e velocidade c2 na direção do semieixo negativo X. Em seguida, o sinal enviado de o ponto A no momento tA chegará ao ponto B no momento tB, que é dado da seguinte maneira

tB  t A 

X AB . c1

O sinal refletido chegará ao ponto A no momento t A

(M)

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t A  t B 

X AB . c2

Após substituir nesta expressão o valor tB, determinado pela fórmula (M), obtemos 1 1 t A  t A  X AB    .  c1 c2 

A partir daqui segue  cc  X AB   1 2   t A  t A  .  c1  c2 

Aplicando esta expressão à Eq. (M) encontramos

tB  t A 

c2  t A  t A  . c1  c2

Então chegamos à sincronização proposta por Reichenbach (ver seu livro: "A filosofia do espaço e do tempo". Dover Publications, Inc. Nova York. 1958, p. 127): t B  t A    t A  t A  ,

0    1.

A convenção condicional sobre a sincronização de relógios e, portanto, sobre a simultaneidade em diferentes pontos espaciais aceitos por nós corresponde à escolha do intervalo no sistema de referência inercial da seguinte forma:

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d 2   dx 0   2

c  c1  c2  0 dx dx  c1c2

(K)

c2 2 2 2   dx    dy    dz  . c1c2

Aqui lidamos com a coordenada temporal t = x0/c e outros valores de coordenadas. Os coeficientes métricos do intervalo (K) são os seguintes:

 00  1,  01   c2  11   , c1c2

c  c1  c2  , 2c1c2

 22  1,

(L)

 33  1.

Com a ajuda de Eqs. (13.14), (13.15) e também (L), obtemos funções de transformação (13.13) para o nosso caso: x c  c1  c2  f 0  X 0  x0   , 2 c1c2 f1  X  x f 2  Y  y,

c  c1  c2  , 2c1c2

f 3  Z  z.

Derivando do acima as funções de transformação inversa, calculando com eles os diferenciais dx0, dx e depois substituindo-os em (K), encontramos d 2   dX 0    dX    dY    dZ  . 2

2

2

2

(H)

P á g i n a | 210

Portanto, o tempo físico dτ em nosso exemplo é dado da seguinte forma: dx c  c d  dt   1 2 , 2 c1c2

dX 0  cd , e não depende da escolha das funções (13.13), porque é completamente determinado apenas pelo intervalo (H). Qualquer alteração nos valores de coordenadas, como (13.13), leva apenas à alteração da conexão entre o tempo físico e os valores das coordenadas. Para qualquer convenção condicional sobre a simultaneidade, corresponderá uma escolha definitiva do sistema de coordenadas em um sistema inercial de referência do espaço Minkowski. Portanto, uma convenção condicional sobre a simultaneidade nada mais é do que uma escolha definitiva do sistema de coordenadas em um sistema inercial de referência do espaço de Minkowski. Uma contribuição importante para a compreensão de algumas questões fundamentais da teoria da relatividade relacionadas à definição de simultaneidade em diferentes pontos espaciais foi fornecida pelo Professor A.A. Tyapkin (Uspekhi Fiz. Nauk. 1972. Vol. 106, edição 4.). Agora, voltemos à análise do tempo físico dτ. A quantidade dτ caracteriza o tempo físico, independente da escolha da coordenada 0 temporal. De fato, vamos introduzir uma nova variável x , de modo que

x0  x0  x 0 , xi  , xi  xi  x k  .

Então, devido ao caráter tensorial da transformação γμν

(13.19)

P á g i n a | 211

      

x x   , x x

obteremos para o nosso caso 2

 x 0   00   00  0  ,  x 

 0   0 

x 0 x   0 ; x x

(13.20)

da mesma forma

dx 

x  dx . x

(13.21)

Explorando o símbolo delta Kronecker

x  x     ,  x x

(13.22)

Nós temos cd 

 0 dx  0 dx  .   00  00

(13.23)

Podemos ver que o tempo físico dτ não depende da escolha do sistema de coordenadas em um sistema inercial de referência do espaço de Minkowski. O tempo físico determina o fluxo de tempo em um processo físico; no entanto, a quantidade dτ exibe caráter local em um sistema de referência não inercial, uma vez que não é um diferencial total e, portanto, não existe uma variável τ. Nesse caso, não existe tempo físico exclusivo com linhas ortogonais ao espaço tridimensional. Num sistema de referência não inercial, o intervalo dσ é expresso através das grandezas físicas dτ, dℓ da seguinte forma:

P á g i n a | 212

d 2  c2d 2  d 2 . Não existem variáveis τ, ℓ neste caso. Aqui surgem quantidades coordenadas que permitem descrever quaisquer efeitos no espaço e no tempo no sistema de referência não inercial. Em um sistema de referência inercial dτ coincide, nas coordenadas da Galileu, com o diferencial dt, de modo que no espaço de Minkowski pode-se introduzir um tempo único t. Será físico. A introdução da simultaneidade para todos os pontos do espaço tridimensional é uma consequência da geometria pseudo-euclidiana do espaço quadridimensional dos eventos. Só se pode falar da velocidade da luz ser constante, a mesma em todas as direções e idêntica à constante eletrodinâmica c em um sistema de referência inercial nas coordenadas de Galileu. Em um sistema de referência inercial, em quaisquer outras coordenadas admissíveis, a velocidade da luz será a mesma, se o tempo for definido de acordo com a fórmula (13.8) e a distância pela fórmula (13.10). Em um sistema de referência não inercial, a constante eletrodinâmica c é expressa apenas através das quantidades locais dτ, dℓ. Não existem variáveis τ, ℓ neste caso. Costuma-se escrever que o princípio da constância da velocidade da luz está subjacente à teoria da relatividade especial. Isto está errado. Nenhum princípio de constância da velocidade da luz existe como primeiro princípio físico, porque esse princípio é uma simples consequência do princípio da relatividade de Poincaré para todos os fenômenos da natureza. Basta aplicá-lo à emissão de uma onda eletromagnética esférica para se convencer de que a velocidade da luz em qualquer sistema de referência inercial é igual à constante eletrodinâmica c. Portanto, essa proposição, tendo apenas papel secundário, como já observamos (ver as Seções 3 e 9), não subjaz à teoria da relatividade. Precisamente da mesma maneira, a sincronização de relógios em

P á g i n a | 213

diferentes pontos do espaço também tem um sentido limitado, uma vez que é possível apenas em sistemas de referência inercial. Não se pode realizar a transição para sistemas de referência acelerada com base no princípio da constância da velocidade da luz, porque o conceito de simultaneidade perde o sentido, pois a sincronização de relógios em diferentes pontos do espaço depende do caminho da sincronização. Surge a necessidade de descrever efeitos por meio de quantidades coordenadas. Agora, definimos a coordenada velocidade da luz

dxi v   v i, dt i

(13.24)

aqui ℓi é um vetor unitário que satisfaz a condição  ik

i k

 1.

(13.25)

Com a consideração das fórmulas (13.8), (13.10) e (13.25), a expressão (13.12) assume o seguinte formato

v  c. v  0i i  00   c  00

(13.26)

Portanto, encontra-se a velocidade de coordenadas v  c

 00 .  0i i 1  00

(13.27)

No caso geral, a coordenada velocidade varia, tanto em valor quanto em direção. Pode assumir qualquer valor que satisfaça a condição (13.28) 0v

P á g i n a | 214

Nas coordenadas Galileanas de um sistema de referência inercial, a velocidade de coordenadas coincide com a velocidade física. Em um sistema de referência não-inercial arbitrário, para descrever processos físicos, é possível introduzir um tempo de coordenada exclusivo no espaço de várias maneiras. Nesse caso, a sincronização de relógios em diferentes pontos do espaço deve ser realizada com o auxílio da velocidade de coordenadas. Em sistemas não inerciais, é necessário usar quantidades coordenadas para descrever processos físicos, porque neste caso as quantidades físicas são determinadas apenas localmente.

P á g i n a | 215

14.

Precessão de Thomas

Considere uma partícula com seu próprio momento angular (spin) S . Em um sistema de referência, onde a partícula está em repouso, seus quatro vetores de momento angular (spin) têm as componentes 0, J . Em qualquer sistema de referência inercial arbitrário, temos ν





a relação S U  0.

(14.1)

Quando uma força f sem torque atua sobre a partícula, a seguinte relação deve ser válida

dS  ZU  , d

(14.2)

aqui Uν é o 4-vetor de velocidade; τ é o tempo próprio,

1 d  dt . 

(14.3)

Se a velocidade Ui não for zero, a quantidade Z pode ser determinada a partir da relação

dU d  dS S U   U   S  0.  d d d

(14.4)

Substituindo (14.2) por (14.4), obtemos  dU   Z    S , d  

(14.5)

P á g i n a | 216

o vetor covariante Sμ tem as componentes

S   S 0 , S 1 , S 2 , S 3  .

(14.6)

Com conta para Eq. (14.5) a equação de movimento do vetor spin (14.2) assume a forma  dU    dS    S U . d d  

(14.7)

Nosso objetivo adicional será tentar fornecer os detalhes dessas equações usando as transformações de Lorentz. Considere uma partícula de spin J movendo-se com uma velocidade v em um sistema de referência inercial de laboratório. Nesse caso, o sistema de referência inercial de laboratório se moverá em relação ao sistema de referência inercial, no qual a partícula está em repouso, com uma velocidade v . Aplicando as transformações de Lorentz (4.18) e (4.19) e levando em consideração o sinal da velocidade, obtemos S0  

v, J c

,

SJ

 1 v2

(14.8)

v v, J .

dU  Os 4-vetores U , têm as seguintes componentes: d 

v  U   , , c  

dU   d   dv v d   ,    d  d c d c d

Aplicando (14.6), (14.8) e (14.9), obtemos

 . 

(14.9)

P á g i n a | 217

v , J d  dU   S        d  c d   1   dv v d             J  2 v v, J . v  c d c d   

(14.10)

Os cálculos na parte direita da expressão (14.10) deixarão apenas os termos obtidos pela multiplicação do primeiro termo entre colchetes e os dois termos no segundo par de colchetes, enquanto todos os outros termos serão cancelados mutuamente.  dU    dv  1  2 v, J  S     J, d  c d v 

v,

dv  . d 

(14.11)

Utilizando (14.8) e (14.11), escrevemos a equação (14.7) separadamente para a componente zero do 4-vetor de spin Sν e para sua parte vetorial,

d d

 dv  dv  1 2   2 v, J  J ,     J, d  d v   d   1  J  2 v v, J   d  v  2   dv  1  2 v  J,  2 v, J c  d v

v,

dv   , (14.12) d 

dv  v, . d 

(14.13)

Das equações (14.12) e (14.13) encontramos

d   1  v d  v, J J  2 v v, J   2 d  v  c d



  0.

(14.14)

P á g i n a | 218

Da equação (14.12) encontramos

2

 1 v, J v2

v,



dv d   v, J d d



2

J,

dv . d

(14.15)

Agora escrevemos o primeiro termo da equação (14.14) em forma expandida

dJ 4  4 v v, J d c 1   2

v,

v d  2  v, J c 1    d

2 dv  2 v, J . c 1    d





dv  d (14.16)

Para o cálculo, levamos em conta as igualdades

 1 v2



2

c 2 1   

,

d  3 dv  2 v, . d c d

(14.17)

O segundo termo em (14.16) pode ser transformado, aproveitandose de (14.15), na forma

4 v v, J 2 c 4 1   



v,

dv  d

v d  2  v, J c 1     d



2

dv  J, . d 

(14.18)

Aplicando (14.18), vemos que o segundo termo, juntamente com o terceiro termo em (14.16), pode ser reduzido à forma

P á g i n a | 219



v d   v, J c 2 d

 c

2

2

1   

v J,

dv . d

(14.19)

Com a conta (14.16) e (14.19), as equações (14.14) são reduzidas da seguinte forma: dJ 2  dv dv   2 v, J  v J ,    0. d c 1     d d 

(14.20)

Usando a fórmula





a  b  c  b a, c  c a, b

(14.21)

e escolhendo os vetores a  J,

b

dv , c v d

(14.22)

a equação (14.20) é reduzida para a forma





dJ  J  , d

(14.23)

onde



  1  dv  v  , v 2  d 

(14.24)

Quando a partícula se move ao longo de uma trajetória curvilínea, o vetor de spin J passa por uma precessão na direção

 com velocidade angular |  |. Este efeito foi descoberto pela primeira vez por Thomas [15].

P á g i n a | 220

A equação da mecânica relativística (9.12) pode ser escrita na forma m

dv v  f  2 v, f . d c

(14.25)

Considerando essa equação, a expressão (14.24) assume a forma 

 1 mv 2

v  f .

(14.26)

Assim, uma força sem torque, em virtude da estrutura pseudoeuclidiana do espaço-tempo, gera a precessão do spin, se sua ação resultar em um movimento curvilíneo no sistema de referência inercial dado. No caso, quando a força é direcionada, em um determinado sistema de referência, ao longo da velocidade da partícula, nenhuma precessão do spin ocorre. Mas o paralelismo dos vetores de força f e de velocidade v é violado, quando a transição é realizada de um sistema de referência inercial para outro. Portanto, o efeito da precessão, igual a zero para um observador em um sistema de referência inercial, será diferente de zero para um observador em algum outro sistema de referência inercial.

P á g i n a | 221

15. As equações de movimento e as leis de conservação na teoria clássica de campos Anteriormente, vimos que, com a ajuda da abordagem lagrangiana, é possível construir todas as equações de MaxwellLorentz. Essa abordagem possui um caráter covariante geral explícito. Permite obter equações de campo das leis de movimento e conservação de uma forma geral sem concretização explícita da função de densidade Lagrangiana. Nesta abordagem, cada campo físico é descrito por uma função de coordenadas e tempo de um ou vários componentes, chamada função de campo (ou variável de campo). Como variáveis de campo, são escolhidas quantidades que se transformam em relação a uma das representações lineares do grupo Lorentz, por exemplo, escalar, spinor, vetor ou mesmo tensor. Além das variáveis de campo, um importante papel é atribuído, também, ao tensor métrico do espaço-tempo, que determina a geometria do campo físico, bem como a escolha de um ou outro sistema de coordenadas, no qual a descrição dos processos físicos é realizado. A escolha do sistema de coordenadas é, ao mesmo tempo, uma escolha do sistema de referência. Naturalmente, nem toda escolha de sistema de coordenadas altera o sistema de referência. Quaisquer transformações em um determinado sistema de referência da forma x0  f 0  x 0 , x1 , x 2 , x3  , xi  f i  x1 , x 2 , x3  ,

(15.1)

deixa-nos sempre neste sistema de referência. Qualquer outra escolha de sistema de coordenadas levará necessariamente a uma alteração no sistema de referência. A escolha do sistema de coordenadas é feita a partir da classe de coordenadas admissíveis,

P á g i n a | 222

 00  0,

 ik dxi dx k  0,

det      0.

(15.2)

O ponto de partida do formalismo lagrangiano é a construção da função de ação. Normalmente, a expressão que determina a função de ação é escrita da seguinte maneira S

1 L  x 0 , x1 , x 2 , x 3  dx 0 dx1dx 2 dx 3 , c 

(15.3)

onde a integração é realizada sobre uma certa região quadridimensional arbitrária do espaço-tempo. Como a ação deve ser invariável, a função de densidade Lagrangiana é a densidade de um escalar de peso +1. A densidade de um escalar de peso +1 é o produto de uma função escalar e a quantidade  . A escolha da densidade Lagrangiana é realizada de acordo com vários requisitos. Uma delas é que a densidade lagrangiana deve ser real. Assim, a densidade lagrangiana pode ser construída com a ajuda dos campos estudados,  , o tensor métrico γμν e derivadas parciais em relação às coordenadas, L  L  A ,    A

,   ,      .

(15.4)

Por simplicidade, assumiremos que o sistema com o qual estamos lidando consiste em um campo vetorial real. Consideraremos que o campo Lagrangiano não contém derivadas de ordens mais altas que a primeira. Essa restrição resulta em todas as nossas equações de campo sendo de segunda ordem, L  L  A ,   A

,   ,      .

(15.5)

Observe que, se o Lagrangiano for construído, a teoria está definida. Encontramos as equações de campo a partir do princípio de mínima ação.

P á g i n a | 223

1 4 d x  L  0. c 

(15.6)

L 

L L  A     A  , ou A    A 

(15.7)

L 

L  A    A

S  A variação δL é

 L   A       A  

(15.8)

Aqui, denotamos a derivada variacional de Euler por  L  L L       A A     A  

(15.9)

Ao obter a expressão (15.8), levamos em consideração que

   A     A 

(15.10)

Substituindo (15.8) em (15.6) e aplicando o teorema de Gauss obtemos

L 

 L  1 1 d d 4x    A   ds  c c   A 

 L   A .      A  

Como a variação do campo na fronteira de  é zero, temos

L 

 L 1 d d 4x   c   A

   A  0. 

(15.11)

P á g i n a | 224

Devido às variações δAν serem arbitrárias, obtemos, com o auxílio do lema principal do cálculo variacional, a equação para o campo  L  L L       0.  A A   A      

(15.12)

Vemos que, se o Lagrangiano for encontrado, então a teoria foi definida. Além das equações de campo, o método fornece a possibilidade, também, de obter leis diferenciais de conservação: forte e fraca. Uma lei de conservação forte é uma relação diferencial, que é válida em virtude da invariância da ação sob a transformação de coordenadas. Leis de conservação fracas são obtidas de leis fortes, se a equação de campo (15.12) for levada em consideração. Deve-se enfatizar especialmente que, no caso geral, fortes leis diferenciais de conservação não estabelecem a conservação de nada, nem local nem global. Para o nosso caso, a ação tem a forma S





1 4 d xL A ,  A ,   ,     . c 

(15.13)

realizaremos a transformação infinitesimal das coordenadas, x  x   x ,

(15.14)

onde δxν é um 4-vetor infinitesimal. Como a ação é escalar, nessa transformação ela permanece inalterada e, consequentemente,

c S  onde

1 1 d 4 xL  x    d 4 xL  x   0,  c  c

(15.15)

P á g i n a | 225





  x  ,      x  . L  x   L A ,  A  x  ,  

O primeiro termo em (15.15) pode ser escrito como

d



4

xL  x    Jd 4 xL  x ,

(15.16)



onde o jacobiano da transformação J

  x0 , x1 , x2 , x3    x 0 , x1 , x 2 , x3 

 det

x . x 

(15.17)

No caso de transformação (15.14), o jacobiano tem a forma J  1    x  .

(15.18)

Expandindo L′(x′) em uma série de Taylor, temos L  x    L  x    x 

L . x 

(15.19)

Considerando (15.16), (15.18) e (15.19), reescrevemos a variação (15.15) como

c S 

1 L   d 4 x  L L  x     x  L  x     0;  c x  

(15.20)

onde denotamos

 L L  x   L  x   L  x  Essa variação é geralmente chamada de variação de Lie. Comuta com diferenciação parcial

P á g i n a | 226

 L  v   v L .

(15.21)

A variação de Lie da função de densidade Lagrangiana é

LL  x 

L L  L A   L  A  A    A 

L L   L    L     .       



(15.22)



A seguinte identidade

LL  x 

 .  x  L  x    0, x 

(15.23)

é uma conseqüência da Eq. (15.20) devido a arbitrariedade do volume. Foi obtido por D.Hilbert em 1915. Ao realizar transformações elementares, obtemos  L

cS   d 4 x  

  A

 L A 

 L  L   D J    0,   

(15.24)

onde   L L L ,                  

J   L x 



L L  L A   L  .    A      





(15.25)

Como Jν é a densidade de um vetor de peso +1, então, de acordo com (11.25) e (11.28), encontramos

P á g i n a | 227

 J   D J  .

(15.26)

onde Dν é uma derivada covariante no espaço-tempo pseudoeuclidiano. Deve-se ressaltar que as variações δLAλ, δLγμν se originam da transformação de coordenadas (15.14), para que possam, portanto, ser expressas através das componentes δxλ. Vamos encontrar a variação de Lie das variáveis de campo, devido à transformação de coordenadas. De acordo com a lei de transformação do vetor Aλ A  x   A  x  

x , x

temos A  x   x   A  x   A  x 

 x . x 

(15.27)

Expandindo a quantidade A  x   x  em uma série de Taylor, encontramos A  x   x   A  x  

A  x . x

(15.28)

Substituindo (15.28) em (15.27) obtemos

 L A  x   

A   x  x  A x ,    x x 

(15.29)

ou, na forma covariante

 L A  x    x D A  A D  x ,

(15.30)

P á g i n a | 228

Agora vamos encontrar a variação de Lie do tensor métrico γμν da lei de transformação   x    

x  x     x  x x

nós obtemos   x   x          x       x ,  

(15.31)

portanto, encontramos

 L       x       x   x    .

(15.32)

Tendo em conta a igualdade              ,

(15.33)

escrevemos expressão (15.32) através de derivados covariantes,

 L     D  x    D x .

(15.34)

Substituindo expressões (15.30) e (15.34) em ação (15.24), obtemos 

 c S   d 4 x   x  



L L D A  A D  x   A  A  

 L     D  x    D x   D J    0.   

(15.35)

Nós apresentamos a seguinte nota: T   2

L .  

(15.36)

P á g i n a | 229

Como veremos mais adiante, essa quantidade, introduzida pela primeira vez por Hilbert, é a densidade do tensor do momentoenergia do campo. Integrando por partes na expressão (15.35) obtemos  

 L D A    A

 c S   d 4 x  x   

 

  L   D  A   D T         A    L  D  J   A  x   T     x  A 

(15.37)      0.  

Substituindo na expressão (15.25) pela densidade do vetor Jν os valores das variações δLAλ (x), δLγμν (x), de acordo com as fórmulas (15.30) e (15.34), e agrupando os termos em δxν e Dλδxν, obtemos J 

L  A  x      x     D  x ,  A 

(15.38)

L L D A  A.    A   A 

(15.39)

onde denotamos

    L 

Essa quantidade é geralmente chamada de densidade do tensor de momento de energia canônico, enquanto a quantidade

   2

L L    A          A 

é chamada de densidade tensorial de spin.

(15.40)

P á g i n a | 230

Se a função L depender apenas de γμν, Aμ, ∂νAμ, quantidade    de acordo com a Eq. (15.40) pode ser escrito da seguinte forma 

L



        A   A    

(15.40a)

Com base em (15.38), representamos a divergência covariante em (15.37) como   L D  J   A  x   T  x    A       x  D T  D     D  x   

(15.41)

  T     D       D D  x .

Aproveitando essa expressão, a variação da ação (15.37) pode ser escrita na forma 

 L D A  D   A

 c S   d 4 x   x   



 L  A   D      A 

   (15.42) 

   D  x    T     D       D D  x   0.

Como o volume de integração é arbitrário, segue-se que a função integrando é zero.  L  x   D A  D   A

  L  A   D        A  

  T     D   D  x      D D  x  0.

(15.43)

P á g i n a | 231

Esta expressão volta a zero para δxλ arbitrário independentemente da escolha do sistema de coordenadas. Precisamente isso permite estabelecer prontamente que o tensor   é antissimétrico em  relação a ν, λ. Devido à antissimetria da quantidade    nos índices superiores ν, λ obtemos da Eq. (15.40), o seguinte  L L      0.     A      A  

Resulta do exposto que a função L depende de derivadas, neste caso, da seguinte maneira

L  F  ,

F  D A  D A . Este resultado foi obtido por D. Hilbert em 1915. Obviamente, isso não exclui uma dependência explícita de L na variável Aν. Em virtude da lei de transformação de tensores, se ela se tornar zero em um sistema de coordenadas, será igual a zero em qualquer outro sistema de coordenadas. Daí as identidades a seguir:

L D A  D  A  

 L  A   0    A 

(15.44)

T     D   0,

       .

(15.45)

D   

Quanto ao último termo em (15.43), ele deve se tornar zero devido às quantidades    serem antissimétricas em relação aos índices superiores. A partir da antisimetria do tensor de rotação, segue-se que

P á g i n a | 232

D T  D   .

(15.46)

As identidades (15.44) e (15.45) são chamadas de leis fortes de conservação; são obedecidas em virtude da ação ser invariável sob transformações de coordenadas. Aplicando relação (15.46), expressão (15.44) pode ser escrita no formato D T 

 L  L F  A D  0  A   A 

(15.47)

F  D A  D A .

Se levarmos em conta as equações de campo (15.12), obteremos D T  0,

T     D  ,

(15.48)

aqui a quantidade   é igual a

    L  

L D A .    A 

(15.49)

A existência de uma lei de conservação fraca do tensor simétrico de momento-energia fornece a conservação do tensor de momento angular do campo. Ao definir o tensor de momento angular nas coordenadas galileus de um sistema de referência inercial M   x T   x T 

(15.50)

é fácil, com a ajuda de (15.48), estabelecer que   M   0

(15.51)

As leis fracas de conservação que obtivemos para o tensor momento-energia e para o tensor momento angular ainda não

P á g i n a | 233

testemunham a favor da conservação de momento-energia ou momento angular para um sistema fechado. A existência de leis de conservação integral para um sistema fechado é devida às propriedades do espaço-tempo, a saber, à existência do grupo de movimentos espaço-tempo. A existência do grupo de Poincaré (o grupo de Lorentz e o grupo de traduções) para o espaço pseudo-euclidiano prevê a existência de leis de conservação de energia, momento e momento angular para um sistema fechado [6]. O grupo de movimento no espaçotempo fornece invariância de forma do tensor métrico γμν do espaço de Minkowski. Vamos considerar isso com mais detalhes. A densidade da substância tensor momento-energia de acordo com a Eq. (15.36) é o seguinte T   2

L ,  

 L L L             ,

(15.52)   . 

Esta densidade tensorial satisfaz a Eq. (15,48) D T   0

(15.53)

que pode ser escrito da seguinte maneira 1  T  T   g   0 2

(15.54)

No caso geral, a Eq. (15.53) não poderia ser escrito como uma igualdade de uma divergência comum para zero e, portanto, não

P á g i n a | 234

demonstra nenhuma lei de conservação. Mas uma expressão da forma D A ,

(15.55)

onde Aν é um vetor arbitrário, é fácil converter em uma forma de divergência, mesmo no espaço Riemanniano. Da Eq. (11.25) tem-se D A    A    A .

(15.56)

Por meio da Eq. (11.38) obtém-se D





 A   





 A .

(15.57)

Vamos explorar isso abaixo. Multiplique a densidade de momentoenergia pelo vetor ην T  .

(15.58)

De acordo com a Eq. (15.57) obtemos D T      T   .

(15.59)

A quantidade (15,58) já é uma densidade vetorial no nosso caso. Portanto, não devemos substituir  na Eq. (15,59) Reescrevemos a Eq. (15.59) da seguinte forma 1  T  D  D      T   . 2

(15.60)

Após a integração da Eq. (15,60) sobre o volume que contém a substância que obtemos

P á g i n a | 235

1  dV T   D  D    0  2V x

 T

  dV .

0

(15.61)

V

Se o vetor ην cumpre a equação de Killing D  D   0,

(15.62)

então temos integral de movimento

T

 dV  const.

0

(15.63)

V

Já derivamos a Eq. (15.34):

 L     D  x  D  x  .

(15.64)

Das Eqs. (15.62), segue-se que, se forem cumpridas, a métrica será invariável

 L   0.

(15.65)

No caso de geometrias pseudo-euclidianas (espaço de Minkowski). (15.62) pode ser escrito em um sistema de coordenadas galileu (cartesiano):       0.

(15.66)

Esta equação tem a seguinte solução geral

  a   x ,

   ,

(15.67)

contendo dez parâmetros arbitrários aν, ωμν. Isso significa que existem dez vetores Killing independentes e, portanto, existem dez integrais de movimento. Levando

P á g i n a | 236

  a

(15.68)

e substituindo isso pela Eq. (15.63), encontramos quatro integrais de movimento: P 

1 0 T dV  const. c V

(15.69)

Aqui P0 é a energia do sistema e Pi é o momento do sistema. Tomando o vetor Killing na seguinte forma

   x

(15.70)

e substituindo-o na expressão inicial (15.63), obtém-se a seguinte expressão para o tensor momento angular: P 

1 T  0 x  T  0 x  dV .   cV

(15.71)

As quantidades Pi0 são integrais do centro de massa do movimento e Pik são integrais do momento angular do movimento. Em correspondência com a Eq. (15.50) introduzimos a seguinte quantidade 1 (15.72) P   T  x  T  x  dV , cV em que (15.73) M   T  x  T  x é a densidade do tensor, satisfazendo a seguinte condição   M   0

(15.74)

P á g i n a | 237

Portanto, estamos convencidos, derivando Eqs. (15.69) e (15.71), que todas essas dez integrais de movimento surgem na base da geometria pseudo-euclidiana do espaço-tempo. Nomeadamente, esta geometria possui dez vetores Killing independentes. Também pode haver dez vetores de Killing em um espaço Riemanniano, mas apenas no caso de um espaço de curvatura constante [6]. Observe que as leis de conservação são satisfeitas automaticamente para uma densidade escalar (Lagrangiana) arbitrária da forma L(ψλ, ∂σψμ) no espaço Minkowski, que prevê que a energia do campo seja positiva, se considerarmos apenas as equações de campo de segunda ordem. Lembro-me especialmente disso aqui, desde que vi discussões com certos acadêmicos que trabalham em física teórica, que isso é desconhecido até para eles. Agora vamos encontrar, como exemplo, o tensor simétrico do momento eletromagnético de energia do campo. De acordo com (10.5), a densidade lagrangiana para este campo é Lf  

1 16

 F F  .

(15.75)

Nós o escrevemos em termos das variáveis Fμν e os coeficientes métricos Lf  

1 16

 F F     .

(15.76)

De acordo com (11.37), temos   1     .   2

Com a ajuda de (15.77) obtemos

(15.77)

P á g i n a | 238

 L 1    32

   F F  .

(15.78)

∗ indica que a diferenciação é realizada em relação a γμν, presente na expressão (15.76). Similarmente  L 1    16

 F F 

                  

(15.79)

 . 

Desde que   1              2

então usando as propriedades antissimetria do tensor Fαβ = −Fβα, nós obtemos  L 1    8

 F F   .

(15.80)

Ao obter (15.78) e (15.80), consideramos as quantidades γμν, γλσ como independentes. Como não existem derivadas do tensor métrico na densidade do campo eletromagnético Lagrangiano, a densidade do tensor simétrico momento-energia será T   2

  L L   L    2            

 . 

(15.81)

P á g i n a | 239

Da relação

      ,

(15.82)

encontramos   1              .   2

(15.83)

Substituindo esta expressão em (15.81), obtemos T



  L L   L     2  2       .       

(15.84)

Usando as expressões (15.78) e (15.80), encontramos a densidade do tensor de momento de energia do campo eletromagnético T  

 4

1         F F    4  F F  .

(15.85)

Portanto, é facilmente verificado que o traço do tensor de momento de energia do campo eletromagnético se torna zero, i. e T    T   0.

Vamos agora construir o tensor de momento de energia da substância. A densidade da massa ou carga conservada é

   0U 0 ,







 0U   0,

(15.86)

devido à Eq. (11.41), em que μ0 é a densidade no sistema de referência em repouso. A velocidade quadridimensional Uν é definida pela expressão

P á g i n a | 240

v



U 

  v v 



,

dx v  , dt 

v 0  c.

(15.87)

Portanto, é claro que

U U     1. Tome a variação da expressão (15.86) em relação ao tensor métrico. A quantidade μ é independente do tensor métrico, portanto,

  U 0





 0   0  U 0  0,

(15.88)

onde   c v v   U   . 2   v v  3/2 0

(15.89)



Das expressões (15.88) e (15.89) encontramos







1  0   0 U U    . 2

(15.90)

Como a densidade do Lagrangiano da substância tem a forma L    0 c 2 ,

(15.91)

a densidade do tensor de momento de energia da substância pode ser determinada como L (15.92) t   2 .   Com base em (15.90) obtemos t   0 c 2U U  .

(15.93)

P á g i n a | 241

Tendo em conta a Eq. (15.86) obtemos no sistema de coordenadas cartesianas:  t   0c 2

 U  dx 2 dU    c . 0 x ds ds

(15.94)

Vamos reescrever a Eq. (10.22) para densidades de massa e de carga:

0 c 2

dU   0 F U   f  . ds

(15.95)

Depois de comparar as Eqs. (15.94) e (15.95) temos f   t .

(15.96)

Das Eqs. (8.54) e (15.96), podemos observar que a lei da conservação do sensor de momento energético para o campo eletromagnético e as fontes de carga tomadas em conjunto ocorre:  T  t   0.

(15.97)

Como observamos acima, a adição à densidade Lagrangiana de uma divergência covariante não altera as equações de campo. Também é possível mostrar [6], que também não altera a densidade do tensor de momento de energia de Hilbert. Pelo contrário, a densidade do tensor canônico (15.49) muda. Mas, ao mesmo tempo, a divergência da densidade do tensor de spin também muda com ela. A soma da densidade do tensor canônico e da divergência da densidade do spin permanece intacta.

P á g i n a | 242

16.

Espaço de velocidade de Lobachevsky

Lembremos que a lei relativística da composição de velocidades (ver Eq. (9.26)) tem a seguinte forma:  v2   u 2  1  2  1  2  v 2  c   c  1 2  . 2 c  vu  1  2  c  

(16.1)

Observe que essa expressão é uma consequência direta da existência dos seguintes invariantes

 u  v 1  uv   inv. onde  u 1  u 2 

1/2

,  v  1  v 2 

1/2

Esta invariante foi demonstrada primeiro no artigo de H. Poincaré [3] (ver § 9, Eq. (5)), onde o sistema de unidades é tomado de modo que a velocidade da luz seja igual a 1. Daqui resulta que, no espaço-tempo pseudo-euclidiano, o espaço de velocidade segue a geometria de Lobachevsky. Para uma apresentação posterior, será mais conveniente introduzir a seguinte notação: v  va , v  vb , u  vc ,

cosh a 

1 2 a 2

v 1 c

, sinh a 

va 2 a 2

,

(16.2) tanh a 

v c 1 c

Substituindo (16.2) e (16.3) em (16.1) obtemos

va . c

(16.3)

P á g i n a | 243

cosh a  cosh b  cosh c  sinh b  sinh c  cos A,

(16.4)

A é o ângulo entre as velocidades vb e vc . Na verdade, isso não é nada, mas a lei dos cossenos para um triângulo na geometria de Lobachevsky. Expressa o comprimento de um lado de um triângulo em termos dos comprimentos dos outros dois lados e do ângulo entre eles. Descobrindo, portanto, cos A e, então, sin A etc., estabelece-se assim a lei dos senos da geometria Lobachevsky sin A sin B sin C   sinh a sinh b sinh c

(16.5)

Abaixo, seguindo Lobachevsky, obteremos a lei dos cossenos para um triângulo na forma

cos A   cos B cos C  sin B sin C cosh a.

(16.6)

Escrevemos (10.4) na forma tanh b tanh c cos A  1 

cosh a . cosh b cosh c

(16.7)

Da lei de senos (16.5) temos 1 sin A tanh c   . cosh c sin C sinh a

(16.8)

Substituindo esta expressão em (16.7) encontramos tanh b tanh c cos A  1 

sin A tanh c  . sin C cosh b tanh a

(16.9)

Desta maneira, encontramos a tanh c tanh c 

tanh a sin C cos A sin C tanh a tanh b 

1 sin A cosh b

.

(16.10)

P á g i n a | 244

Com a ajuda da lei dos cossenos, Lobachevsky estabeleceu posteriormente a identidade 1 . (16.11) 1  tanh b tanh c cos A1  tanh a tanh b cos C   cosh 2 b Aplicando (16.10), encontramos 1  tanh b tanh c cos A 

1 sin A cosh b 1 cos A sin C tanh a tanh b  sin A cosh b

. (16.12)

A substituição desta expressão na identidade (16.11) produz 1 sin A  sin A cos C tanh a tanh b  . cosh b cos A sin C tanh a tanh b  1 sin A cosh b

(16.13)

Levando em conta que 1

1  tanh 2 b, 2 cosh b

(16.14)

Eq. (16.13) assume a forma tanh b sin C  cos C  cot A . tanh a cosh b

(16.15)

De maneira semelhante, obtém-se a relação tanh a sin C  cos C  cot B . tanh b cosh a

(16.16)

Da lei dos senos temos 1 sin A tanh b   . cosh b sin B sinh a

(16.17)

P á g i n a | 245

Substituindo esta expressão em (16.15), obtemos 1

tanh a cos A sin C cos C  . tanh b cosh a sin B

(16.18)

Aplicando expressões (16.16) em (16.18), encontramos

cos A   cos B cos C  sin B sin C cosh a.

(16.19)

De maneira semelhante, obtém-se as relações: cos B   cos A cos C  sin A sin C cosh b, cos C   cos A cos B  sin A sin B cosh c.

(16.20)

Portanto, o espaço de velocidades na geometria pseudoeuclidiana é o espaço Lobachevsky. Para um triângulo retângulo C 

 , de acordo com (16.4), temos 2

cosh c  cosh a cosh b.

(16.21)

Dos teoremas de senos (16.5) e de cossenos (16.4) obtemos sin A 

sinh a tanh b , cos A  . sinh c tanh c

(16.22)

De acordo com a igualdade óbvia sin 2 A  cos2 A  1

(16.23)

pode-se, utilizando as expressões (16.22) e (16.21), obter a relação sin 2 A cosh 2 b  cos 2 A

1  1. cosh 2 a

(16.24)

P á g i n a | 246

Considere, como exemplo [16], o fenômeno da aberração da luz, i. e., a mudança na direção de um feixe de luz, quando a transição ocorre de um sistema de referência inercial para outro. Portanto, em dois sistemas de referência, movendo-se um em relação ao outro, as direções em direção a uma e a mesma fonte C serão diferentes. Seja θ e θ′ os ângulos em que a luz da fonte no ponto C é vista a partir de dois sistemas de referência inercial A e B, movendo-se um em relação ao outro com uma velocidade v. No espaço de velocidade de Lobachevsky, construiremos o triângulo ACD (ver Fig. 1), com ângulo C igual a zero, uma vez que a luz tem a velocidade limite. Agora, juntamos os pontos A e B por uma linha e baixamos uma perpendicular à esta linha do ponto C. Ele cruzará a linha no ponto D. Denotamos a distância do ponto A ao ponto D por x e a distância do ponto D para B por y.

P á g i n a | 247

Aplicando a um triângulo dado a lei dos cossenos (16.20), obtemos cosh x 

1 cos  , sinh x  , sin  sin 

(16.25)

consequentemente tanh x  cos   cos        cos  ,

(16.26)

similarmente tanh y  cos  .

(16.27)

De acordo com a fórmula (16.3), tanh (x + y) é a velocidade de um sistema de referência em relação ao outro em unidades da velocidade da luz v tanh x  tanh y cos   cos    tanh  x  y    . c 1  tanh x tanh y 1  cos   cos  

(16.28)

Portanto, siga as fórmulas conhecidas para a aberração v c . cos    v 1  cos  c cos  

sin    1 

v2 sin   . 2 c  v  1  cos    c 

Aplicando as fórmulas (16.29) e (16.30) obtemos

(16.29)

(16.30)

P á g i n a | 248

v v2  cos   cos   1  sin 2    2 c c  cos        . v 1  cos  c

(16.31)

Vamos determinar a distância quadrada entre pontos infinitesimalmente próximos no espaço Lobachevsky. De (16.1) encontramos 1 2 2 u  v   2 u  v  2 c (16.32) v  , 2 uv   1  2  c   v' é a velocidade relativa. Definindo u  v  dv e substituindo (16.32) encontramos

d v 

2

c

2

c

2

 v 2   dv    vdv  2

c

2

 v2 

2

2

.

(16.33)

espaço de velocidade Passagem para coordenadas esféricas no espaço de velocidade vx  v sin  cos  ,

v y  v sin  sin  ,

vz  v cos  ,

(16.34)

nós obtemos

d v 

2

 c 2 dv 2    v2 2 2 2   c   d  sin  d  . (16.35)   c 2  v 2 2  c 2  v 2    2

Portanto, é evidente que a relação entre o comprimento do círculo e o raio é

P á g i n a | 249

v



2 v2 1 2 c

,

(16.36)

,

(16.37)

e é sempre maior que 2π. Agora, apresentemos a nova variável r

cv c  v2 2

cujo intervalo se estende de zero ao infinito. Nas novas variáveis temos d

2 v



dr 2  r 2  d 2  sin 2  d 2  ; r2 1 2 c

(16.38)

se introduzirmos a variável r  c sinh Z ,

(16.39)

nós obtemos d

2 v

 c 2 dZ 2  c 2 sinh 2 Z  d 2  sin 2  d 2  .

(16.40)

Geralmente, a métrica espacial da cosmologia é escrita dessa forma, quando se lida com o universo aberto. Além disso, abordaremos, de maneira descritiva, certos teoremas da geometria de Lobachevsky, seguindo o livro de NV Efimov ("Geometria superior" M.: Nauka, 1978 (em russo)) e as palestras de NA Chernikov realizadas no estado de Novosibirsk Universidade e publicada como uma pré-impressão em 1965.

P á g i n a | 250

Na geometria Lobachevsky, através do ponto A, que não está na linha reta a, passa um número infinito de linhas retas, que não cruzam a linha a, mas nem todas essas linhas retas são consideradas paralelas à linha a. Seja a uma linha reta no plano e seja um ponto A fora dele (ver a Fig. 2), b e c são linhas retas da fronteira que não cruzam a linha reta a. Qualquer linha reta que passa pelo ponto A dentro do ângulo β também não cruza a linha reta a, enquanto qualquer linha reta que passa pelo ponto A dentro do ângulo que contém o ponto B necessariamente cruza a linha reta a. A linha reta b é chamada de linha reta do limite direito e c, a linha reta do limite esquerdo. Acontece que essa propriedade é conservada para qualquer ponto na linha reta b. Precisamente, essa linha reta de limite b é paralela a a na direção da direita e c, na direção da esquerda.

Assim, duas linhas retas paralelas a podem ser traçadas através de qualquer ponto: um indo para a direita e outro para a esquerda. Na geometria Lobachevsky, o teorema da reciprocidade é comprovado: se uma das duas linhas retas é paralela à outra em uma determinada direção, a segunda linha reta é paralela à primeira na mesma direção. De maneira semelhante, é estabelecido que duas linhas retas paralelas a um terço em uma determinada direção são paralelas uma

P á g i n a | 251

à outra, também, na mesma direção. Duas linhas retas, perpendiculares a uma terceira linha reta, divergem. Duas linhas retas divergentes sempre têm uma perpendicular comum, dos dois lados das quais divergem indefinidamente uma da outra. Linhas retas paralelas, recuando indefinidamente uma da outra em uma direção, aproximam-se assintoticamente uma da outra. O ângulo α é chamado ângulo de paralelismo no ponto A em relação à linha reta a. Da lei dos cossenos (16.6) encontramos

1  sin  cosh x. Ao obter essa expressão, levamos em conta que a linha reta b se aproxima assintoticamente da linha reta a; portanto, o ângulo entre as linhas retas aeb é zero. Portanto, obtemos a fórmula de Lobachevsky

  x   2 arctan e  x , onde  é a distância do ponto A à linha reta a. Esta função desempenha um papel fundamental na geometria Lobachevsky. Isso não é visto em nossa exposição, porque obtivemos a geometria Lobachevsky como a geometria do espaço de velocidade. procedendo da geometria pseudo-euclidiana do espaço-tempo. A função α(x) diminui monotonamente. A área do triângulo é S  d 2    A  B  C  ,

(16.41)

onde d é um valor constante. Abaixo derivaremos esta fórmula. A partir da fórmula, é evidente que na geometria Lobachevsky não existem triângulos semelhantes. Seguindo Lobachevsky, expressamos a função

P á g i n a | 252

cos ,

onde

2  A  B  C,

(16.42)

pelas laterais do triângulo. Aplicando a lei dos cossenos (16.6) e, também, as fórmulas sin 2

A 1  cos A  , 2 2

cos 2

A 1  cos A  , 2 2

(16.43)

nós achamos sin 2

A sinh  p  b   sinh  p  c   , 2 sinh b sinh c

cos 2

A sinh p  sinh  p  a   , 2 sinh b sinh c

(16.44)

(16.45)

aqui p é o semi-perímetro do triângulo 2 p  a  b  c.

Com o auxílio das fórmulas (10.44) e (10.45) obtemos sin

A B sinh  p  b  C cos  cos , 2 2 sinh c 2

(16.46)

sin

B A sinh  p  a  C cos  cos . 2 2 sinh c 2

(16.47)

Assim sendo, temos  a b  cosh   A B C 2   sin  cos . c 2 2 cosh 2

(16.48)

P á g i n a | 253

Aplicando as fórmulas A B sinh p C cos  sin , 2 2 sinh c 2

(16.49)

A B sinh  p  c  C sin  sin , 2 2 sinh c 2

(16.50)

cos

sin

nós achamos A B cos  2

 ab cosh    2  sin C . c 2 cosh 2

(16.51)

De (16.48) e (16.51) temos a b sinh   sinh   2  2  sin C cos C . cos  2 c 2 2 cosh 2

(16.52)

C C cos em (16,52) pelas expressões das Eqs. 2 2 (16.44) e (16.45) encontramos Substituindo sin

cos 

sinh p sinh  p  a  sinh  p  b  sinh  p  c  . a b c 2 cosh cosh cosh 2 2 2

(16.53)

De (16.41) temos a igualdade sin

S  cos . 2d 2

(16.54)

P á g i n a | 254

Comparando (16.53) e (16.54) obtemos sin

sinh p sinh  p  a  sinh  p  b  sinh  p  c  S  . 2 a b c 2d 2 cosh cosh cosh 2 2 2

(16.55)

Em nossas fórmulas, os lados a, b, c são quantidades adimensionais, de acordo com a definição (16.3). Eq. (16,55) é o análogo da fórmula de Heron na geometria euclidiana. De (16,52) a expressão para a área do triângulo pode ser escrita, também, na forma

sin

S  2d 2

a b sinh 2 2 sin C. c cosh 2

sinh

(16.56)

A área S é expressa em unidades sem dimensão, pois os lados do triângulo não têm dimensão. Em nossa exposição, a constante d é a unidade, com base na lei dos cossenos (16.4). Da fórmula (16.41), segue-se que na geometria Lobachevsky a área de um triângulo não pode ser indefinidamente grande, está restrita à quantidade d2π. Assim, admitir a existência de um triângulo de área indefinidamente grande é equivalente ao axioma do paralelismo de Euclides. As áreas dos polígonos podem ser indefinidamente grandes na geometria Lobachevsky. A área de um triângulo esférico na geometria euclidiana é S  R2  A  B  C   .

(16.57)

aqui R é o raio da esfera. Comparando esta expressão com a fórmula (16.41), vemos que a fórmula (16.41) pode ser derivada da fórmula

P á g i n a | 255

(16.57), se o raio da esfera for escolhido para ser imaginário e igual ao valor R = id. Essa circunstância já foi observada por Lambert. Se for introduzidas as variáveis x

vx , c

y

vy c

z

,

vz , c

(16.58)

portanto, a fórmula (16.33), para a geometria Lobachevsky, no plano x, y assume a forma

d v 

1  y    dx  2

2

c

2

2

 2 xydxdy  1  x 2    dy 

1  x

2

y



2 2

2

, (16.59)

as quantidades x, y são chamadas coordenadas de Beltrami na geometria Lobachevsky. Passando para novas variáveis ξ, η com o auxílio de fórmulas x  tanh  ,

y

tanh  , cosh 

(16.60)

e calculando os diferenciais dx 

d , cosh 2 

dy 

1 cosh  cosh  2

d 

tanh  sinh  d , cosh 2 

ao executar os cálculos necessários, encontramos

d v 

2

 c 2  cosh 2  d  2  d 2  .

(16.61)

A rede de linhas de coordenadas

  const ,

  const ,

(16.62)

P á g i n a | 256

é ortogonal. A área do triângulo nessas variáveis é S   cosh  d d .

(16.63)



Para calcular a área de um triângulo pela fórmula (16.63), é necessário encontrar a linha geodésica (extremal) na geometria Lobachevsky nas coordenadas ξ, η. Para esse fim, tiraremos proveito do princípio da ação estacionária. O comprimento é 2

L   ds   cosh  d  d   d cosh 2    2  1. (16.64) 2

2

2

1

Portanto, a curva extremal é encontrada de acordo com a condição

L 

2

 

   cosh 2       cosh 2    2  1

1

 d  0,

 

d . d

(16.65)

A variação δ comuta com diferenciação, i. e

       '

(16.66)

levando isso em conta e integrando por partes da integral (16.65) obtemos 2

 L    d 1

 d  cosh 2        0. d  cosh 2    2  1   

(16.67)

Aqui, é levado em consideração que as variações δξ nos pontos limites da integração são zero. Da igualdade (16.67), como à variação δξ ser arbitrária, segue-se

P á g i n a | 257

 d  cosh 2        0. d  cosh 2    2  1   

(16.68)

Portanto, encontramos a equação para a linha geodésica cosh 2     cosh 2    2  1

 c.

(16.69)

linhas geodésicas, como as mais curtas da geometria Lobachevsky, são linhas retas nela. Resolvendo essa equação, obtemos

  0  c 

d cosh  cosh 2   c 2

.

(16.70)

Alterando a variável de integração u  tanh ,

(16.71)

nós achamos

  0   

cdu

1  c   c u 2

2

2

 

dv 1  v2

  arcsh v.

(16.72)

Onde v

cu

1  c 2 

.

(16.73)

É adequado tomar para a variável c a seguinte notação:

c  sin  . Desse modo, a equação de uma linha geodésica tem a forma

(16.74)

P á g i n a | 258

sinh    0    tan   tanh  .

(16.75)

Vamos agora construir um triângulo no plano ξ, η (Fig. 3). As linhas AB e AC são linhas geodésicas que passam pelo ponto (ξ0, 0). Os ângulos A1 e A2 são inferiores ao ângulo de paralelismo α: A  A1  A2 .

Na expressão (16.75), encontramos a derivada da linha geodésica AC no ponto ξ0

 0   tan  2 .

(16.76)

Portanto, e do ALP temos

2 

 2

 A2 ,

(16.77)

Da mesma forma, do AKP, também encontramos para a linha geodésica AB

P á g i n a | 259

1 

 2

 A1.

(16.78)

Assim, a constante c para cada geodésica é expressa através dos ângulos A1, A2. As linhas geodésicas AB e AC cruzam o eixo η nos pontos 10 ,  20 . De acordo com (16,63), a área do triângulo ABC é 0

 2  

0

1  

S   d



cosh   d  0 

0

 sinh    sinh   d . 2

1

0

(16.79) Aproveitando a expressão (16,75), encontramos sinh   

sinh   0  cos   cosh 2   0  2

(16.80)

.

Por isso, encontramos sinh 2     sinh 1   

sinh   0  sin 2 A2  cosh 2   0  sinh   0  sin 2 A1  cosh 2   0 

.

,

(16.81)

(16.82)

Então, os pontos de interseção das linhas geodésicas com a linha reta η (ξ = 0) são sinh 20   

sinh 0 sin 2 A2  cosh 2 0

,

(16.83)

P á g i n a | 260

sinh 10    

sinh 0 sin 2 A1  cosh 2  0

.

(16.84)

Da lei de senos (16.5) temos sin B  sinh 0 

sin A1 . sinh 10

(16.85)

Substituindo nesta expressão o valor de η0 1 (16,84) obtemos sin B  1  sin 2 A1 cosh 2  0 ,

cos B  sin A1 cosh 0 .

(16.86)

Similarmente cos C  sin A2 cosh 0 .

(16.87)

Introduzindo a variável u  cosh    0 

(16.88)

na integral (16,79), obtemos S 

cosh 0

 1

 1 1    2 2 sin 2 A2  u 2   sin A1  u

   du.  

(16.89)

Daí segue que S  arcsin  sin A1 cosh 0    arcsin  sin A2 cosh 0    A1  A2 

Levando em consideração (16,86) e (16,87), obtemos

(16.90)

P á g i n a | 261

S  arcsin  cos B   arcsin  cos C   A.

(16.91)

Por fim, temos S    A  B  C.

(16.92)

Obtivemos a expressão para a área de um triângulo S na geometria Lobachevsky, que utilizamos anteriormente (16.41) para encontrar a fórmula (16.55). Do exposto, vimos que a geometria Lobachevsky, criada por ele como uma “geometria imaginária”, se tornou uma parte composta da física dos movimentos relativísticos, como a geometria do espaço de velocidade. A descoberta de Lobachevsky teve um grande impacto no desenvolvimento de várias partes da matemática. Assim, por exemplo, o matemático francês G. Hadamard, no livro "Geometria não-euclidiana", na seção dedicada à teoria das funções automórficas, observou: “Esperamos ter conseguido mostrar como a descoberta de Lobachevsky permeia toda a notável criação de Poincaré, para a qual serviu, pela ideia do próprio Poincaré, como base. Temos certeza de que a descoberta de Lobachevsky terá um grande papel, também, nos estágios posteriores do desenvolvimento da teoria que consideramos.” Beltrami levantou a questão: "É possível realizar a planimetria de Lobachevsky na forma de uma geometria interna de uma determinada superfície no espaço euclidiano?" Hilbert mostrou que, no espaço euclidiano, não existe superfície, que é isométrica para todo o plano Lobachevsky. No entanto, parte do plano da geometria Lobachevsky pode ser realizada no espaço euclidiano.

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Problemas e exercícios Seção 2 2.1 Uma carga elétrica está em um elevador em queda. Emite ondas eletromagnéticas? 2.2 Uma carga está em um estado de ausência de gravidade em uma nave espacial. Irá irradiar? Seção 3 3.1 Deixe o tensor métrico do espaço de Minkowski em um sistema de coordenadas não inerciais ter a forma γμν (x). Mostre que existe um sistema de coordenadas x′, no qual o tensor métrico tem a mesma forma γμν (x′) e que as transformações não lineares relacionadas a esses sistemas constituem um grupo. Seção 4 4.1 A declaração a seguir está correta: “Em um sistema de referência móvel (com velocidade constante v), o tempo flui mais lento do que em um sistema de referência em repouso”? 4.2 A contração de Lorentz de uma haste (4.13) é real ou aparente? 4.3 É possível, usando o efeito da contração de Lorentz, obter uma alta densidade de substância acelerando uma haste? Seção 8 8.1 A carga elétrica de um corpo é independente da escolha do sistema de referência. Com base nessa afirmação, encontre a lei de transformação da densidade de carga, quando ocorrer a transição de um sistema de referência inercial para outro.

P á g i n a | 263

8.2 Com o auxílio das transformações de Lorentz, encontre o campo de uma carga em movimento uniformemente acelerado. Seção 9 9.1 Três pequenos foguetes espaciais A, B e C estão flutuando livremente em uma região do espaço distante de outra matéria, sem rotação e sem movimento relativo, e B e C são equidistantes de A. Quando um sinal é recebido de A, os motores de B e C estão ligados e começam a acelerar sem problemas. Que os foguetes B e C sejam idênticos e tenham programas idênticos de aceleração. Suponha que B e C tenham sido conectados desde o início por um fio fino. O que acontecerá com o fio? Será que vai romper ou não? (Problema de J. Bell) 9.2 Deixe que algum dispositivo emita energia eletromagnética com potência de 6000 Watt em uma direção definida. Que força é necessária devido ao recuo para manter o dispositivo em repouso? Seção 10 10.1 Aplicando o princípio da ação estacionária, obtenha a seguinte fórmula para a força de Lorentz:





f   E  c v  H ,

onde ρ é a densidade da carga elétrica. Seção 11 11.1 Uma carga, movendo-se ao longo de uma linha geodésica em um sistema de referência de aceleração uniforme, irradia? 11.2 Uma carga, movendo-se ao longo de uma linha geodésica em um sistema de referência não inercial arbitrário, irradia?

P á g i n a | 264

11.3 Uma carga que está em repouso em um sistema de referência não inercial irradia? 11.4 Um elevador, cuja corda foi rasgada, representa um sistema de referência inercial? Seção 12 12.1 Encontre a geometria do espaço em um disco, girando com uma velocidade angular constante ω. 12.2 Considere um astronauta em uma nave espacial movendo-se com aceleração constante a uma distância da Terra. Ele poderá receber informações do Centro de Controle durante sua viagem? Seção 16 16.1 Encontre uma superfície na geometria Lobachevsky, na qual a planimetria euclidiana é realizada. 16.2 Explique a precessão de Thomas com o auxílio da geometria Lobachevsky. 16.3 Existe um triângulo na geometria Lobachevsky, cujos ângulos são iguais a zero? 16.4 Encontre a área de um triângulo em uma esfera de raio R na geometria euclidiana.

P á g i n a | 265

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Posfácio Quem deveria escrever sobre história da ciência? A resposta óbvia, mas nem sempre posta em prática é: um historiador da ciência. Com raríssimas exceções, obras que visam o status de histórica e são escritas por não historiadores, costumam a prestar um desserviço e contribuem para propagação de mitos e anacronismos. A. A. Logunov não foi um historiador, mas um proeminente físico teórico russo, contudo não tenho dúvidas que ele pertença ao grupo seleto das raríssimas exceções. Quando iniciei minha pesquisa histórica sobre Henri Poincaré, minha revisão de literatura secundária levou ao livro de Logunov. Chamou minha atenção existir um livro avançado de relatividade cujo enfoque são os trabalhos de Poincaré. Ao estudar sua obra fiquei impressionada como autor, mesmo sem ser historiador, faz um trabalho historiográfico impecável, apresentando uma leitura e uma narrativa sincrônica e diacrônica. Logunov responde as diversas críticas a Poincaré recorrendo as fontes primárias e apresenta as consequências da nova mecânica (relatividade) sempre indicando suas relações com os trabalhos de Poincaré. Nesse sentido o livro transcende seu objetivo de ser um curso avançado de relatividade que resgata as contribuições de Poincaré, mas também se torna um exemplar raro de curso de história e historiografia. A inspiração de Logunov é bastante curiosa e surgiu da física dura: incomodado com o fato da Teoria da Relatividade Geral violar os princípios de conservação do momento e da energia, Logunov e seu grupo de pesquisa buscavam uma alternativa a relatividade que preservasse os principais resultados da TRG, fosse localmente compatível com a Teoria da Relatividade Especial, estruturasse no conceito de espaço curvo e ainda conservasse o momento e a energia.

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Essa busca levou Logunov a buscar as obras que originaram a relatividade especial e geral. Nessa pesquisa Logunov se deparou, além de Einstein, com Lorentz, Hilbert, Minkowski, Planck e, principalmente Poincaré. Ao ler os trabalhos de Poincaré e comparar com os trabalhos de Einstein e as visões populares entre acadêmicos de físico, Logunov descobriu que em Poincaré já se encontrava toda a relatividade, e até resultados que foram negligenciados por Einstein e apareceriam em trabalhos posteriores de outros físicos. Logunov passou a admirar a Poincaré e sentiu a necessidade de fazer justiça histórica a esse personagem, tão importante, mas olvidado pelos seus contemporâneos. Essa atividade foi duplamente proveitosa: inspirado por Poincaré e absorvendo a essência do princípio da relatividade, Logunov e seus colegas foram capaz de elaborar o seu modelo alternativo: a Teoria Relativística da Gravitação. Em linhas gerais, a nova teoria é uma extensão da relatividade especial, mas incluindo a gravitação. A Teoria da Relatividade Geral não pode alegar do status de extensão já que diversos princípios da relatividade especial são perdidos, enquanto a teoria relativística preserva todos eles. Infelizmente, a Teoria Relativística da Gravitação ainda é pouca difundida. O segundo resultado desta atividade foi a tarefa historiográfica empreendida por Logunov, evitando os anacronismos e fazendo uma síntese rigorosa, que até os historiadores alcançam com certa dificuldade e depois de anos de experiência acadêmica. O resultado é esse livro que o leitor tem em mãos.de tudo, em queLogunov nos provoca e cumpre a missão dos historiadores de “dizer à sociedade contemporânea algumas coisas das quais ela poderia se beneficiar, ainda que hesite em aprendê-las.” (Eric Hobsbawm, Sobre História). Ayni R. Capiberibe