Mot bättre vetande i matematik 914401919X

Citation preview

Andrejs Dunkels

Bengt Klefsjö Ingemar Nilsson Reinhold Näslund

Mot bättre vetande i matematik

~ Studentlitteratur

00

KOPIERINGSFÖRBUD

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 3225 ISBN 91-44-01919-X © Författarna och Studentlitteratur 2002 Tredje upplagan Omslagslayout: Pernilla Eriksson

Printed in Sweden Studentlitteratur, Lund Webbadress: www.studentlitteratur.se Tryckning/år 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2006 05 04 03

Innehåll Förord 1 Numeriska och algebraiska beräkningar

8

9

1.1

Numeriska beräkningar ...................................... 9

1.2

Räkning med bråk .......................................... 10

1.3

Algebraiska beräkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Kvadratrötter ..........................,................... 20

1.5

Ekvationslösning .......................................... 21

1.6

Kvadratkomplettering ...................................... 23

1.7

Formler ................................................. 24

1.8

Funktioner ............................................... 25

1.9

Summor ................................................. 27

1.10 Blandade övningar ........................................ 29 2 Rationella funktioner, ekvationer, olikheter och absolutbelopp

31

2.1

Polynom ................................................ 31

2.2

Rationella funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3

Partialbråk:suppdelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4

Polynomdivision ..........,.• ............................... 35

2.5

Andragradsekvationer ...................................... 37

2.6

Tredjegradsekvationer ...................................... 39

2.7

Rotekvationer ............................................ 41

2.8

Olikheter ................................................ 42

2.9

Absolutbelopp ............................................ 44

2.10 Blandade övningar ........................................ 48 3 Rötter, potenser och logaritmer 50 3.1 Rötter ................................................... 50 3.2

Potenser ................................................. 53

3.3

Logaritmer ............................................... 56 3

3.4

Några övningar med miniräknare ............................. 62

3.5

Blandade övningar ........................................ 66

4 Trigonometri

67

4.1

Grader och radianer ........................................ 67

4.2

Cosinus och sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3

Några grundläggande trigonometriska ekvationer ................ 75

4.4

Några trigonometriska kurvor ................................ 77

4.5

Tangens och cotangens ..................................... 79

4.6

Rätvinkliga trianglar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.7

Några trigonometriska formler ............................... 84

4.8

Trigonometriska ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.9

Ekvationen a sin x

+ b cos x = c

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.10 Några övningar med miniräknare ............................. 92 4.11

Några blandade trigonometriuppgifter ......................... 94

5 Kurvor

5.1

Linjen .................................................. 97

5.2

Några andragradskurvor ................................... 100

5.3

Funktionskurvor ......................................... 104

5.4

Blandade övningar ....................................... 109

6 Derivator

110

6.1

Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.2

Geometrisk tolkning av begreppet derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3

Deriveringsregler ......................................... 112

6.4

Derivering av sammansatta funktioner ........................ 116

6.5

Differentialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.6

Högre derivator och differentialekvationer ..................... 121

6.7

Lokala extrempunkter och lodräta asymptoter .................. 122

6.8

Blandade övningar ....................................... 126

7 Integraler

7.1

4

97

127

Primitiva funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7 .2

Integraler och areor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.3

Variabelbyte ............................................ 136

7.4

Partialbråksuppdelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7 .5

Partiell integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.6

Blandade övningar ....................................... 143

8 Komplexa tal

144

8.1

Division ................................................ 146

8.2

Komplexa talplanet ....................................... 147

8.3

Andragradsekvationer ..................................... 150

8.4

Komplexa tal på polär form ................................ 152

8.5

Multiplikation och division av komplexa tal givna på polär form ... 153

8.6

Den komplexa exponentialfunktionen ........................ 155

9 Algebraiska ekvationer och polynom

160

9.1

Nollställen, rötter och faktorsatsen ........................... 161

9 .2

Ekvationslösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

9 .3

Algebrans fundamentalsats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

9 .4

Samband mellan rötter och koefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

9.5

Polynom med reella koefficienter ............................ 166

10 Diagnostiska test

170

10.1 Test 1 .................................................. 170 10.2 Test 2 .................................................. 171 10.3 Test 3 .................................................. 172 10.4 Test 4 .................................................. 173

11 SVAR

175

11.1 Svar till kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.2 Svar till kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 11.3 Svar till kapitel 3 ......................................... 183 11 .4 Svar till kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 11.5 Svar till kapitel 5 ......................................... 192 11.6 Svar till kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 11.7 Svar till kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5

11.8 Svar till kapitel 8 ......................................... 206 11.9 Svar till kapitel 9 ......................................... 207 11.10 Svar till kapitel 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Alfabetiskt register

6

212

Denna bok tillägnas vår alltför tidigt bortgångne kollega och medförfattare Andrejs Dunkels, som på så många sätt inspirerat oss och andra, såväl inom som utom undervisningsområdet.

Förord Luleå tekniska universitet inledde redan 1972 första årets studier vid teknisk fakultet med en propedeutisk kurs i matematik, populärt kallad "proppen". Grundtanken var att studenterna under denna kurs i klassundervisning skulle öva och repetera på grundläggande matematikmoment som var väsentliga för den fortsatta utbildningen. De flesta av dessa moment ingår normalt i grundskole- eller gymnasiekursen. Denna propedeutiska verksamhet blev snabbt en stor framgång och numera har de flesta av landets universitet och högskolor en kurs med liknande syfte. Boken ''Mot bättre vetande i matematik" har reviderats många gånger under årens lopp, men ingen omarbetning har varit så omfattande som denna. Förutom den nya layouten har två helt nyskriva kapitel tillkommit. Det ena handlar om komplexa tal och det andra om algebraiska ekvationer och polynom. Kapitel 1, som handlar om allmän räknefärdighet, är delvis omskrivet, medan de övriga kapitlen i stort sett är oförändrade. Vidare har avsnitt med blandade uppgifter tillförts de flesta kapitlen. Materialet är uppbyggt kring genomgångar och exempel åtföljda av övningar och kan därför användas, både vid lärarledd undervisning och vid olika typer av självstudier, som stöd för en repetition inför olika typer av eftergymnasiala studier. Vi vill tacka kollegor och studenter på olika universitet och högskolor i landet, som under årens lopp bidragit med värdefulla synpunkter och förbättringsförslag. Speciellt riktar vi ett varmt tack till Lena Wassermann och Anne-Christine Liinanki, som med skicklighet och tålamod skapat bokens nuvarande utformning. Ett lika varmt tack går också till Torbjörn Hedberg för att han inspirerat oss att åstadkomma en ny upplaga och på andra sätt bidragit till dess tillkomst. Slutligen vill vi rikta våra tankar och vår tacksamhet till vår bortgångne kollega och medförfattare Andrejs Dunkels, som på många sätt var idespruta vad gäller undervisningspedagogik. Han har på åtskilliga sätt inspirerat oss, många andra lärare och studenter. Andrejs minne återfinns i boken i form av alla de figurer han ritade och naturligtvis främst genom sina fyndiga "fotisar'', som hann få internationell ryktbarhet innan han hastigt avled i slutet av år 1998. Vi minns Andrejs med saknad, respekt och uppskattning. Luleå februari 2002 Bengt Klefsjö

8

Ingemar Nilsson

Reinhold Näslund

1 Numeriska och algebraiska beräkningar

1.1 Numeriska beräkningar Vid omskrivningar och förenklingar av algebraiska uttryck och formler är det viktigt att behärska t.ex. vanlig bråkräkning och räkning med negativa tal. Vi startar därför med några grundläggande räkneregler.

För godtyckliga reella tal a, b och c gäller bl.a. följande räkneregler ab = ba a + (-b) = a - b

(ab)c=a(bc) (-a) (b) = a (-b) (-a)(-b) =ab

= -ab

Om b =I 0 så gäller dessutom att

-a b -a -b

a-(-b)=a+b - (a + b) = -a - b -(a-b) = -a+b

a

= -b = a =b

a b

Dessa regler innebär bl.a. produkten av två negativa tal är positiv

(-2) (-3) = 6 (-2) (-3)(-4) = 6(-4) = -24

1.1 Beräkna (utan att använda miniräknare) a)

0.3 • 0.4;

b)

0.08 · 0.02;

c)

0.81 0 _03 ;

d )

12 0 _2

8

+ 0.4. 9

Kapitel 1.

Numeriska och algebraiska beräkningar

1.2 Beräkna a) 20+(-15); c) -20+(-15); 1.3 Beräkna a) (-3)(-7);

1.4 Beräkna a) 2 - (3 - 4);

20-(-15); -20-(-15).

b) d)

b)

b)

(-3) - 7;

2 - 3 - 4;

3 (-7);

c)

c)

d)

3-7

(2 - 3) - 4;

d)

(2 - 3)(-4).

1.s· Beräkna a)

(-2)(-5)(-3):

b)

(-2)(-8)-5(-4);

c)

18 0.3 - 0.3 ( -3).

1.2 Räkning med bråk När man adderar bråk gör man först "liknämnigt", dvs. skriver om alla bråk så att man får samma nämnare överallt, och adderar sedan täljarna. Minsta gemensamma nämnare ger oftast de enklaste beräkningarna. Vid subtraktion gör man på motsvarande sätt.

3 7

1 30 7 23 10 = 70 - 70 = 70'

a b

C

d

ad- be bd . Obs! Tappa inte nämnarna!

När man multiplicerar bråk ska täljarna multipliceras för sig och nämnarna för sig. Innan man utför multiplikationerna är det oftast praktiskt att förkorta, om det går.

2 4 3 5

2-4

= 3.5

16 65 48 104

-·-

8 15' 1 5 3 8

a C b d

1-5 3·8

-

ac bd.

5 24

Att dividera med ett bråk c/d ger samma resultat som att multiplicera med bråkets inverterade värde d/ c.

10

1.2

Räkning med brdk

5

7

3

5 4

7. 3 =

=

20 21'

4

1.6 Förkorta så långt som möjligt 35 0.35 243 a) 415; b) 0.0415; c) 405;

231 121 ·

d)

1.7 Beräkna a)

1 2 1 - +- - -· 2 5 3'

b)

9 -

c)

1 15 1 3+-----· 7 14 2'

d)

5 + 18 _ l _ 2 - (5 - 2) -4 + 8 3 + ( -1) ( -1 )'

14

( 2 1) 27 + 18

j

1.8 Beräkna 2 2- __ 9. , 8 9

3 1 a)

3 -4-; - +1 5

b)

Hj

c)

-+3 2

1.9 Beräkna 2 7·_3. a) , b) 8

6 7 5·-·7 8., 7 8

c)

1 1 -+-

d)

fi. 3 4

2(-;-;)_ , 8 3

d)

(-~{(;~). 2 8

1.10 Bestäm. utan att använda miniräknare, vilket av talen som är störst 3 4 8 14 a) 17och23; b) -12och-23·

Potenser med heltalsexponenter definieras på följande sätt a 0 =1(oma-:/=0) a2 a3

=a ·a = a •a · a

an

= a • a • a • ... • a (produkten av n faktorer a) 11

Kapitel 1.

Numerislw och algebraislw beräkningar

Om när ett negativt heltal (och a-:/- 0) så görs definitionen

1 a-n=an Av dessa definitioner följer följande räkneregler (potenslagarna). am. an= am+n, (am)n = amn, (ab)n = anbn

Beräkna 3- 2

-

(-2)- 3 .

3-2-(-2)-3= 1 _ 1 =1- 1 =8+9=17_ 32 (-2)3 9 -8 72 72

1.11 Beräkna a) (-2) 3 +(-1) 4 -(-1)2; c)

(-1)31 + (-2)4 - (-2)5

e)

(~f125

'

1.12 Beräkna a) 4- 2 - (-3)- 1 ; c)

(-8)- 1 -(-2)- 3 ;

1.13 Beräkna a)

(21)

5

j

b)

(-1) 5 -(-1)7-(-1) 9 ;

d)

(-3)2-(-2) 3 ;

f)

(3-4)(-5). 2433 '

b)

(-2)- 2

d)

3(-8)- 1 + 5(-2)- 3 .

-

g)

94. 3-3 (27)2 .

5- 2 ;

1

+ 2-4 - 23 ;

abc betyder aW); får inte förväxlas med (abr' som är lika med abc_

12

1.3

1.14 Beräkna a) (23)2 - 232; c)

223 -(22) 3 ;

b)

322 - (32)2;

d)

2-32 -(2-3)2.

Algebraiska beräkningar

1.3 Algebraiska beräkningar Elementär algebra brukar beskrivas som räkning med bokstavsuttryck. Vid användning av formler av olika slag samt vid lösning av ekvationer behöver man kunna omforma och förenkla algebraiska uttryck. Vi ska i detta avsnitt öva på att göra omskrivningar och förenklingar. Vi börjar först med att diskutera vad som menas med att förenkla ett uttryck.

Attförenkla ett uttryck innebär att man skriver om uttrycket så att det får en för den aktuella situationen lämplig form.

Ibland är det fördelaktigt att gå

1 1 -- - --

från

x- 1

x+ 1

till

2

x2

-

1'

men andra gånger kan det vara mer ändamålsenligt att behålla de två termerna., exempelvis om man ska integrera eller derivera. Ett slututtryck bör inte innehålla sådant som kan förenklas ytterligare. Detsamma gäller uttryck i mellanled som senare ska användas i fortsatta räkningar. Till exempel bör man inte lämna

4

~-~

1

8 utan gå till 2,

inte lämna a _ b utan gå till a + b,

X x2 inte lämna -1- - utan gå till -1 - ,

+x

- +1

. 1··amna mte

2 y{144 169 utan gåtill 113 .

X

Man måste emellertid ha klart för sig att "förenkla" kan innebära olika saker i olika situationer. Ibland vill man exempelvis ha sitt polynomuttryck faktoriserat (x - 1)2 (2x + 5) medan det andra gånger är lämpligare att skriva uttrycket på formen 2x 3 + x 2 - 8x + 5. När man sysslar med gränsvärden då x går mot oändligheten är det exempelvis praktiskt att skriva om ett uttryck som 4 8 2+ - +x3 2x 3 +4x+8 x2 på formen

5x3

-

X+ 15

1

15'

5--+x2 x3

13

Kapitel 1.

Numeriska och algebraiska beräkningar

vilket inte alls ser "enklare" ut men är mer ändamålsenligt. Vid förenkling av algebraiska uttryck bör man kunna följande räkneregler och formler

Distributiva lagar

+ c) = ab + ac (a + b) (c + d) = ac +ad+ be+ bd

a (b

Observera att den andra regeln innebär varje term i den ena parentesen ska multipliceras med varje term i den andra. En analog regel gäller även i de fall då parenteserna innehåller flera termer än två.

Ovanstående regler kan tolkas med hjälp av följande figurer (där vi antar att a, b, c och där positiva tal).

·□ b

C

Arean= a (b + c) = ab + ac. d C

ad

bd

ac

a

be b

Arean=0+~~+~=~+~+bc+M Observera att reglerna gäller även då något eller flera av talen är negativa. Observera att division med Ointe är möjlig. När man exempelvis gör en förenkling som

4a 2 - b2 2a-b

= (2a + b) (2a 2a-b

förutsätter man att 2a - b -:p Odvs. b -:p 2a.

14

b)

= 2a + b

1.3

Algebraiska beriikningar

Vid förenklingar och omskrivningar av algebraiska uttryck bar man också stor nytta av följande regler:

Kvadreringsreglerna (a + b)2 (a - b)2

= a2 + 2ab + b2 = a 2 - 2ab + b2

Konjugatregeln (a+b)(a-b) =a2 -b2

Utveckla följande kvadrater med hjälp av kvadreringsreglema a) (3x+4y)2; b) (3x+4y-2z)2.

= (3x) 2 + 2 • 3x • 4y + (4y)2 = 9x2 + 24xy + 16y2

a)

(3x + 4y)2

b)

(3x + 4y - 2z)2 = ((3x + 4y) - 2z)2 =

= (3x + 4y)2 - 2 · 2z (3x + 4y) + (2z)2 = = 9x2 + 24xy + 16y2 - 12xz - 16yz + 4z2 . Beräkna genom att använda konjugatregeln a) (3x + 4y)(3x - 4y) b) (x 2 + 1 + 2x) (x 2 + 1 - 2x)

=========-------------------------------a) (3x + 4y) (3x - 4y) = (3x)2 - (4y) 2 = 9x 2 - 16y2 • b)

(x2 +1+2x) (x2 +1-2x) = ((x2 +1) +2x) ((x2 +1)-2x) =

= (x2 + 1) 2 - (2x)2 = = x 4 + 2x2 + 1 - 4x2 = x 4 -

2x2 + 1 = (x 2

-

1) 2

1.15 Multiplicera ihop följande parenteser: aj

~+~~-tj;

~

~+~~-~;

c)

(2 - s)(5 - s);

d)

(3 + t)(7 - t);

e)

(3c- 2)(4c - 7); (7/ - 3g)2; (x + 1) (x 3 - x 2 + x - 1);

f)

(2c + 5d)2; (5y + 7z) (5y - 7z); (3x 2 - 2 + 4x) (3x 2 + 2 - 4x).

g)

i)

h)

j)

15

Kapitel 1.

Numeriska och algebraiska beräkningar

1.16 Utveckla a) (2x - 3y - 4z)2; b)

(2a + b) 3

c)

(a+b) 4 .

;

1.17 Förenkla a) (p - 1)2 + (p + 1) 2

-

2p2 ;

b)

(p + q) (p- q) - (p - q)2;

c)

(r+s)2-(r-s}2;

d)

3 (t - 3)2 - 2 (t - 1)2 + 2 (t + 1) 2

-

3 (t + 3)2.

1.18 Bestäm koefficienten för x 2 och koefficienten för x då man multiplicerar ihop följande parenteser: a)

(x - 1) (5x 2

b)

(4x 2

c)

(1-2x)(3+7x-2x 2 );

d)

(1 + x - x 2 + x 3 ) (2 - x - x 2 + 7x3 );

e)

(1 + x - x 2

-

4x - 3);

+ 3x - 7) (4x - 3);

-

x 3 + 2x 4

-

5x5 ) ( 2 + 7x - x 2 + 4x 3

-

5x 4 + 3x5 )

.

1.19 Visa följande generaliseringar av kvadreringsreglerna och konjugatregeln a)

b) c) d)

e)

f)

(a + b + c) 2 = a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc; (a - b + c) 2 = a 2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc; (a + b) 3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ; (a - b) 3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3 ; a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2); a3 +b3 =(a+b)(a2 -ab+b2).

1.20 Gör en areatolkning av konjugatregeln liknande den på sidan 14. Lika viktigt som att kunna multiplicera ihop och förenkla är det att kunna arbeta "åt andra hållet", dvs. skriva om ett uttryck som en produkt av faktorer, exempelvis se att a3 + 2a 2 b + ab2 kan skrivas a (a + b)2.

1.21 Är x faktorn. a)

+y

2y+2x;

faktor i följande uttryck? Om ditt svar är "ja", ange den andra b)

x-y;

c)

xz+yz;

d)

x 2 -y 2 .

1.22 Är c - d en faktor i följande uttryck? Om ditt svar är "ja", ange den andra faktorn. 16

1.3

Algebraiska berllkningar

a)

e(x+y)-d(x+y);

b)

(e-d)+(x+y);

c)

(e - d) (2 + x) - dy+ cy;

d)

x (e - d)

+e-

d.

1.23 Undersök om det går att dela upp följande uttryck i faktorer. Utför faktoriseringen där det går bra. a)

c)

+ b + e) + y (a + b + e) ; r (a - x) + z (x - a) ; x (a

b)

ae - be - a + b;

d)

x (a - b) - y (a + b) .

1.24 Dela upp följande uttryck i faktorer, så långt som möjligt a) 9a4 - 16b4; b) a (a - b - e) + be; c)

a(a+b)-(b+l);

e)

x4

(a 2 +b2

d)

-c2) 2 -4a2 b2;

+ 1. (Skriv uttrycket som en differens mellan två kvadrater)

1.25 Förenkla så långt som möjligt, dvs. dela upp i faktorer i täljare och nämnare och förkorta sedan. (6x2)3 6 (x2)3 (y2)2. x (2x) 2 - 2x2 • c) a) (4x3)2i b) 2x2 - X ' (3x2y3)2 ' d)

(b-

(a-

a)3_

e)

x 2 (x - 1)

+ 3 (x - 1)

x 2 -1

b) 5 '

.. nkl 5x2 - y 2 2x - 3y Fore a---2y 5xy

2 +.

---------------------------------------= Minsta gemensamma nämnaren är 5xy · 2 = lOxy. Vi får alltså 5x2 - y 2

2x - 3y 2y

--- - --- + 2 = 5xy

=

10x2

-

2y 2

-

2 (5x 2 - y 2 ) 5x (2x - 3y) - - - ~ - --'------'lOxy lOxy

10x2 + 15xy + 20xy lOxy

=

35xy - 2y2 lOxy

=

20xy lOxy

+ -- =

y (35x - 2y) lOxy

35x - 2y lOx

17

Kapitel 1.

Numeriska och algebraiska beräkningar

1.26 Förenkla 3x+2 2x-1 a) - 5 - - - 5 - ; c) e)

4x - 7y _ (5x + 2y _ 1) .

9y

12y

2a-b

2b-a

a 2 +ab - b2 +ab

!a2 b2 g)

h)

'

a-b

+-;,;-;

2x-3

~ - ~;

d)

2--2_. x-1'

t)

( 1 - 2x-y

för

1 1 5 a=l- b=4-ochc=--· 3' 2 6'

i)

18a2 + 9ab - 2b2 18a2 + 24ab + 8b2

4c2

9 2b och beräkna värdet a - 6ac b2 - - +a-b a+b . 1 - (a - b)2 ' (a + b}2

3x-4

b)

_Y) (~ - + y) ; x-y x

4.5b 9a + 6b ·

Vi påminner om att dividera med ett bräk c/d är samma sak som att multiplicera med bråkets inverterade värde d/ c,

i/~=i·~=:!a2 b .. nkl C Fore a ab2

.

~

b Förenkla

a

a b b -+-+2 b a a

Täljaren=~ - ~ = b2 - a2 = (b - a) (b + a) a b ab ab .. a b a 2 + b2 + 2ab (a + b}2 N amnaren = - + - + 2 = - - - - = -'-------''-b a ab ab 18

1.3

Ut tryc k et

= -Täljaren --Nämnaren

b-a b-a =a+b=b+a

(b-a)(b+a) ab ------;s-(a + b)2 ab

Algebraiska beräkningar

(b-a)(b+a) = -'---'--'---'-

ab

ab

Sista steget i lösningen ovan kan tyckas överflödigt. men är i många fall fördelaktigt. Ju mer symmetriskt skrivet ett uttryck är desto mer lättläst blir det. Man säger ofta att ett uttryck är "snyggt" om det är lättöverskådligt.

1.27 Förenkla

b4

a6

c3

a)

·-·-· b2 c6 a2'

b)

c)

16x2 + 9y 2 + 24xy 16x2 - 9y 2 16x2 + 12xy

d)

e)

l2xy - 9y 2

3

X

X

3

t)

2x-3' 3---

a 3 + ab2 a 2 - ab a 3 - ab2 a 2 + ab' X -x 3 x3 +x2 x 2 - 2x + 1' x 2 -2x 5 5 -x+-

3

6

7 .

9

-x--

4

X

12

Bryt ut faktorn x 2 y ur uttrycket x 3 y - 1.

---============------------------------= x 3y - 1 = x 2y ( x - )y) . Man bör alltid kontrollera att utbrytningen stämmer genom att multiplicera in igen:

x2y (x -

_1_) = x2y . x x2y

x2y .

_1_ = x3y x2y

1.

1.28 Bryt ut xy ur följande uttryck: a)

xy + 4;

b)

d)

(2 - x) (3 - y);

e)

+ xy 2 - 2; (xy - 1) (2 + x).

x 2y

C)

X+ y; 19

Kapitel 1.

Numeriska och algebraiska beräkningar

I

.·\ "-~

/

/

0ochg(x)

=

x+ ✓x 2 +4

2

•

Visa att för alla x > 0 gäller

f (g (x))

= g (I (x)) = x.

Först duscha (först/ ... ) och sedan klä sig. (... sedan g)

Först klä sig (först g ... ) och sedan duscha.

(... sedan/)

1.9 Summor För summan av ett antal givna tal a 1, a2, ... , an, dvs. a1 + a2 beteckningen

+ ... + an används

n

I>k k=l

som utläses "summa ak då k går frän 1 till n". Symbolen staven för S. T ex så är

E är den grekiska bok-

4

L k (k + 1) = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + 4 · 5 = 40. k=l

27

Kapitel 1.

Numeriska och algebraiska berlikningar

Observera att bokstaven k kan ersättas med varje annan bokstav (som inte ingår någon annanstans i sammanhanget.) T.ex. så är 4

4

4

k=l

m=l

i=l

L k (k + I) = L m (m + 1) = Li (i + 1) = 40. En summa av typen n-1

a + ar + ar 2 + ... + arn- l =

L ark

k=O

där kvoten mellan en tenn och nännast föregående tenn är en konstant r, kallas för en geometrisk summa. Konstanten r kallas för talföljdens kvot. En geometrisk summa kan beräknas med följande fonnel

a(l-rn) a +ar+ ... + arn-I = - - - - , om r =J 1 1-r

Observera att antalet tenner i summan är n. Fonneln visas genom att bilda s - r s s (1 - r) där s = a + ar + ... + arn-l. Beräkna a)

1+

b) x

~ + (~

=

r ~r; + ... + (

+ x 4 + X7 + ... + x 3n+ 1, där X =J 1;

c) 1 + a

+ a (a + 1) + a (a + 1)2 + ... + a (a + 1r- 1 .

a) Geometrisk summa med r = 1/2 och a = 1. Antalet tenner är 10, dvs. 1 +

(1) 9 - l -

1

2 + ... + 2

-

(21)

10

1

1-

2

--

1 - 1023 2 - 29 - 512 .

b) x

+ x 4 + x 7 + ... + x 3n+l = x (1 + x 3 + x 6 + ... + (x 3 f) =

X (1

_ x3(n+l)) 3

1-X

=

x3n+4 _ X X

3

-

1 ,omx=f;l.

c) Summan är lika med

1 + a (l - (a + lf) = 1 - (1 - (a +It)= (a +It. 1 - (a + 1)

1.54 I en geometrisk summa med 5 tenner är första tennen 9 och kvoten 1/3. Bestäm summan. 28

1.10

Blandade övningar

1.55 Beräkna summorna

d)

1 - 2 + 4 - 8 + ... + 4096; ex+e 2x+ ... +enx,x=/-0; xn-1 + xn-2y + xn-3y2 + ... + xyn-2 + yn-1 1 X =/- y; 1 7 25 3n - 2 3 + 9 + 27 + ... + ~ ;

e)

1 + 2x + 4x 2 + 8x 3 + ... + 128x7 .

a)

b) c)

1.56 I en geometrisk summa är första termen 1 och kvoten 1.5. Hur många termer måste minst summeras för att summan ska vara större än 1000? 1.57 Bevisa formeln för en geometrisk summa.

1.10 Blandade övningar 1.58 Förenkla följande uttryck så långt som möjligt (6a + b) 2 - 9a 2 . 49 (a - 2) 2 - 9 . a)

c) e)

(6a+b) 2 -b2' a3 + b3 4 a + a 2b2 + b4 ' a 2 - c? + 2a - 2c a 2 + c2 + 2ac - 4'

b)

49(a-1}2-16' ab (x2 + y2) + xy (a2 + b2) . ab (x 2 - y 2) + xy (a 2 - b2) ' ax + bx - ay - by - x + y ax + bx + ay + by - x - y ·

d) f)

1.59 Beräkna, genom att använda konjugatregeln eller en kvadreringsregel a) d)

65 • 55; 1052;

b) e)

69 · 51; 10502.

c)

3050 · 2950;

1.60 Förenkla följande uttryck a)

(a3b-2rl;

b)

( a-Ib2c )-3 a2b-3c-2 '

c)

(a-I - b-1)-2 (a-2 - b-2)

d)

(x+2_~)-l x-2 x+2

29

Kapitel I.

Numeriska och algebraiska beräkningar

1.61 Förenkla så långt som möjligt a) v'468 - Jw + 2/5 - v'325; b)

v'5 + Jo]+ /o.05 + J0.005 + J0.0005 + J0.00005;

c)

avf/J+ b,ja,_ ,/a,+vlb'

d)

e)

Ja+ v1b ffa+J2b+$a+/3b'

f)

g)

✓6- 2/5.

1•62

a1,

1

v'6 + v'5

1

✓7 + v'6

+

1

. v'8 + ✓7'

✓1 + 2JIT + ✓1 - 2JIT;

.. positiva . . tal sådana att b1, a2 och b2 ar

~ + JbJ;;

+

a1 a2 v· bi = ""i;". isa att

= J(a1 + bi) (a2 + ~).

1.63 Lös ekvationen a)

c)

1.64 Sätt f (x) a)

1

x2

2 - -- = -x-1 1-x x+l ax-I x-2 x+2'

t(~}

= b)

-

1

(1 - x)

7;

2.

x2

d)

3x (2x - 5)

-

c)

= 5 (2x -

t(i~x);

1.65 a) Bestäm T uttryckt i f 1 , f2 och g om

30

+ 1) 2 ; 5)2.

Beräkna

/(1-x);

T1

1 = (x

b)

2 = 21r f? + k

gf1

d)

1(1(~))·

2 Rationella funktioner, ekvationer, olikheter och absolutbelopp

2.1 Polynom Ett uttryck av typen x 7 + 19x3 - x 2 + 5x + 11 kallas ett polynom. Rent allmänt kan vi göra följande definition. Ett polynom p ( x) är ett uttryck som kan skrivas på formen (1) llnXn + lln-1Xn-l + ... + a2x 2 + a1x + ao, där n är ett naturligt tal och koefficienterna an, an- 1 , ... , a 1 , ao är reella tal. Exempelvis är uttrycken x 7 + sin x - 15x och x 312 + 2x inte polynom.

Skriv (x - 1)2 (x + 1) 2 som polynom på formen (1).

---------------------------------------------------------------------------------

p(x)=(x-1) 2 (x+l) 2 =((x-l)(x+l)) 2 = ( x 2 -1 )2 = = x 4 - 2x 2 + 1.

2.1 Skriv som polynom på formen (1)

a) (x 3 +1)(x3 -1); b) (x 3 -2) 2 ; c) (2x+1)(4x 2 -2x+l); d)

(x-l)(x 4 +x3 +x2 +x+l);

e)

(x 2 +1) 3 .

Om man har an -:j:. 0 i (1) så sägs polynomet ha gradtalet n eller vara ett n:tegradspolynom. Polynomet p (x) = ao har gradtalet 0. 31

Kapitel 2.

Rationella funktioner; ekvationer;olikheter och absolutbelopp

Ange graden av polynomet p (x) om a) p(x)=x 6 +x+l; b)

p(x)=(x+l)(x-l)+x-x2

----------------------------------------= p (x) = x 6 + x + l har gradtalet 6, ty a5 = 1 =/: 0.

a) b)

p ( x) = x 2 - 1 + x - x 2 = x - l, dvs. p ( x) är av första graden.

2.2 Ange graden av p (x) dåp (x)

=

a)

x 3 + x 2 + x + l;

b)

1 + x 2 - (1 + x)2;

c)

(l+x)(l+x2 );

d)

(l+x2 ) 3 -(l+x3 ) 2 .

2.2 Rationella funktioner

En rationell funktion är en funktion r (x) , som kan skrivas som kvoten mellan två polynom, dvs. r ( x)

= : ~: ~ , där p (x) och q ( x) är polynom.

Skriv som en kvot mellan två polynom a)

l

X

xl

31 ;

- +2x2

a)

b)

+3

1 1 -- - --x2 - 1 x(x+l)"

Skriver vi täljaren på ett bråkstreck så får vi

l x 3 + x2 :; + 3 = ~ På samma sätt gör vi nämnaren, som ger

1 2x2

1

+3=

3 + 2x2 6x 2

·

Hela uttrycket blir då

3+x 2 3x

3+2x 2 6x 2 32

_3_+_x_2 . 6x 2 _ (3 + x 2 ) · 2x _ 2x3 + 6x 3+2x2 3+2x2 - 2x2 +3 · 3x

2.3

1

b)

Partialbrdksuppdelning

1 ---=

~ - x(x+li

x-1

X

(x + 1) (x - 1)

x (x + 1)

x-(x-1) x (x + 1) (x - 1)

x-x+l x (x + 1) (x - 1)

+ 1) (x -

x (x

x(x+l)(x-1)

1

1

---2 3 X

(x - 1)

x

-

x·

2.3 Skriv som en kvot mellan två polynom X

a)

1 1 ;;-x+l;

b)

1 --1;

c)

x+2

x-3

x-3-x+4;

e)

1

g) X

2

-

2

X

1

+ -X + 1;

h)

1

2

x-3+x+3-;;; X

1

-1

2

-+2 X. 1

1'

-+x2 4

x+x

d)

1)

f)

1 1---· l+x'

1

~+;; 1 x 2 -2x

---+x

2.3 Partialbråksuppdelning Ibland innebär det en förenkling att skriva om uttryck av typen 1 1 1 2x - 3 3 X + 2 - - - - eller - - +------,,-eller - - ----=---2 2 x x+ 1 x + 1 (x2 + 1)2 x x +x+ 1 som en kvot mellan polynom, dvs. som en rationell funktion. Det innebär att man skriver 1 1 1 istället för ;;-x+l' X (x + 1) x 2 +2x-2

istället för

(x 2 + 1)2 2x2 +x+3 X

(x 2

+X+

1)

istället för

1 2x - 3 --+------=x2+1 (x2+1)2' 3 X

x+2

x 2 +x+ 1 ·

I vissa situationer, exempelvis när man ska integrera,är det nödvändigt att "gå åt andra hållet", dvs. dela upp ett rationellt funktionsuttryck som en summa av "enklare"

33

Kapitel 2.

Rationella funktioner, e/cvationer,olikheter och absolutbelopp

rationella uttryck, s.k. partialbråk. Man brukar säga att man gör partialbråksuppdelning. Grundiden är då att man försöker hitta täljare som har lägre grad än de nämnare som förekommer. Vi belyser detta med några exempel.

Bestäm konstanterna A och B så att för alla x gäller X

A x- 1

-----=-2 = - - +

a)

(x - 1)

B 2· (x - 1)

a) Vi skriver först om högerledet på gemensamt bråkstreck, och vi bryr oss till att börja med inte om vänsterledet:

~

x

+ ~ = A (x x- 2

2)

+ Bx = (A + B) x -

x (x - 2)

2A.

x (x - 2)

x- 4 (A + B) x - 2A . . Vi ser att sambandet x (x _ 2) = x (x _ 2) gäller precis då v1 har x - 4 = (A + B) x - 2A för alla värden på x. Detta betyder att koefficienten för x i vänsterledet, som är 1, ska vara lika med koefficienten för x i högerledet, som är A + B. Vidare måste den konstanta termen i vänsterledet, som är -4, vara lika med den konstanta termen i högerledet, som är -2A. Vi får därför ekvationssystemet

{ ~ 2: b)

~ ==-!:

som har lösningen { ~ :

~ 1.

Vi gör liknämnigt i högerledet och får

x (x-1)

A x-1

--~2=--+

B A(x-l)+B 2= 2 (x-1) (x-1)

Ax+B-A 2 . (x - 1)

Vi "identifierar nu koefficienterna" i de yttre uttrycken och får

{

A = 1, d { A = 1, -A+B=O, vs B=l.

2.4 Bestäm konstanterna A, B och C så att för alla x gäller 34

2.4

x+2 x - X

B -1'

-2 - - - + - - ·

a)

c)

A

Polynomdivision

B -x+2 - ~2 - -A- + ---=· (x + 1)

-

x+1

(x + 1)2'

d)

-

X

X

x 2 -4x -4 A B C ----=---=-+--+-X ( x 2 - 4) X X +2 X - I

2.4 Polynomdivision Om för polynomen p ( x) , q (x) , k (x) och r (x) gäller

(2)

p(x) _ k(x) q(x) -

+ r(x) q(x)'

och r (x) har lägre gradtal än q (x) , så kallar man k (x) för kvoten och r (x) för resten vid division av p (x) med q (x) . Sambandet ( 2) kan också skrivas

(2')

p(x)=q(x)k(x)+r(x).

Utför divisionen och ange kvot och rest: 2x 3 - 6x2 + lOx - 8 x 4 - 2x 2 + 1 a) ; b) - - - - . 2

I------~-=--~!-~ ________ _:_-=-~-------------

, a) Allra först ska vi "få bort" täljarens första term. Frågan blir: Vad ska x 2 ' multipliceras med för att man ska få 2x3 ? Det är 2x. Vi tar sedan 2x gånger x2 - 2x + 2, byter tecken och räknar ned, och får en ny förstaterm -2x 2 , som vi ska "få bort" i nästa steg.

Vi ställer en ny fråga: Vad ska x 2 multipliceras med för att man ska får -2x 2 ? Det måste bli -2. Vi multiplicerar igen, byter tecken och räknar ned. Vi sammanfattar i ett räkneschema liknande det som används vid division av heltal:

x2-2r+2I (+)

2x1 2x1

6x2 (±)

(±)

4r2 2x2 2x2

2r

2

+

lOr

8

(+)

4r

+ (+)

6x 4r 2r

8 (±)

4 4

Detta innebär att vi har

35

Kapitel 2.

Rationella funktioner, elevationer.olikheter och absolutbelopp

2x 3 - 6x2 + lOx - 8 = 2x _ 2 + 2x - 4 . x2 -2x+2 x 2 -2x+2 Att detta stämmer kan vi lätt kontrollera genom att göra liknämnigt i högerledet. En jämförelse med sambandet (2) ger kvoten k (x) = 2x - 2 och resten r (x) = 2x - 4.

Anm. Räkneschemat innebär att vi i tur och ordning har subtraherat uttrycken 2x (x 2 - 2x + 2) och (-2) (x 2 - 2x + 2) från polynomet i täljaren p (x) = 2x 3 - 6x2 + lOx - 8 och fått resultatet 2x - 4, dvs. 2x3

-

6x2 + lOx - 8 -2x (x 2

-

2x + 2) - (-2) (x 2

-

2x + 2)= 2x - 4.

------.....--,

------.....--,

=q(x)

=q(x)

=p(x)

Genom att bryta ut q ( x) ur de termer som innehåller q ( x) får vi

p(x) - (2x -2)q(x) = 2x - 4, eller p (x) = (2x - 2) q (x) + 2x - 4, vilket är som (2') och kan skrivas

p(x) = 2x _ 2 + 2x - 4 q(x) q(x) ' och vi kan, som förut, läsa av kvoten 2x - 2 och resten 2x - 4. b)

I

r-1 -

I r4

r

4

+

+

; }

;

(:!:)

(:!:)

/-

-

r

1

2il-

+

1

2il-

+

1

+

1

+

1 1

; ; ;

(+)

-

,±,

r r r

(+)

0

Alltså gäller enligt våra uträkningar x 4 - 2x 2 + 1 - - - = x 3 + x 2 - x - 1, dvs kvoten x 3

x-1

+ x2 -

x - 1 och resten 0.

2.5 Utför divisionen och ange kvot och rest: x 2 - 3x + 7 x4 a) ---b) 2 x -1; x-2 2 3 2x + 3x - 7x + 4 x 4 + x 3 - 7x 2 - x + 6 e) d) x 2 +2x-3 x 2 +4x+3 36

c)

x 4 +x x 4 -1;

2.5

Andragradsekvationer

2.5 Andragradsekvationer

Varje andragradsekvation med reella koefficienter kan skrivas på formen x 2 + bx + c = 0, där b och c betecknar konstanter. Om b2

4c

-

2: 0 så har ekvationen rötterna

X=-~± ✓~

(3) Om b2 Om b2

-

-

4c 4c

-C.

= 0 så sammanfaller rötterna. < 0 så saknas reella rötter.

Lös andragradsekvationen a) x 2 - 2x - 2 = 0; b) 3x2

+ 5x + 2 =

0;

c) 4x 2

-

x

+ 12 =

0.

---------------------------------------------------------------------

a) x 2

2x - 2 = 0, ger med hjälp av (3)

-

x = 1 ± ./[+""2, dvs. x = 1 + v'3 eller x = 1 - y'3. b) 3x2

+ 5x + 2 = 0. Division med 3 ger

x2

c) 4x 2

x

-

x2

x

5

2

+ 3x + 3 = 0, som är på den form då (3) kan användas:

-

=

+ 12 = 0. Division med 4 ger en form lämpad för (3) : 1

4x + 3 = 0, som med (3) ger

~ ± ✓ 6~

- 3. Det som står under rottecknet är negativt.

Reella rötter saknas alltså.

37

Kapitel 2.

Rationella funktioner, ekvationer.olikheter och absolutbelopp

Lös ekvationen a)x 2 + 9x

= O;

b) (x - 4)2

+ 15 (x -

4)

= 0.

Om man kan faktorisera och få en produkt som är Oså behöver man inte någon formel för att lösa en andragradsekvation. a) x 2 + 9x = 0, ger x (x + 9) = 0, varav x = 0 eller x + 9 = 0, dvs x = 0 eller x = -9. b) (x - 4)2 + 15 (x - 4) = 0, ger, sedan man brutit ut x - 4, (x - 4) (x - 4 + 15) = 0, varav x - 4 = 0 eller x + 11 = 0, dvs. x = 4ellerx = -11.

2.6 Lös ekvationen (endast rötternas exakta värden ska anges)

g)

x 2 +3x-10=0; x 2 - 3x + 1 = 0; 2x 2 - 3x + 1 = 0 x 4 - 4x 2 + 1 = 0;

i)

(x

k)

(x

m)

x 4 + 36x2

a) c)

e)

+ 1)2 = 4 (x + 1) + ~)

1;

~ = x + 12;

2 -

d)

5x2 +2x=3; 12x2 + 3x = 2;

f)

10x2

-

h)

x4

4x 2

b)

-

14x + 120 = 0; -

1 = 0;

j)

x 2 -345x

1)

= 0;

= 0.

2.7 Lös ekvationen a) c)

1 X -

vf2

x+2 x2 - 1

2 X+

3v'2

b)

vf2 = -5-;

3x-1

2x-3

+ 4x + 4 - 3x -

3

2x +3 2x -3 2x - 3 - 2x + 3

8

=f

35

= 36;

2.8 Lös ekvationen - men tänk först och räkna sedan a) 8 (2x - 3) (7x + 11) = 0; b) 15x2 = 16x; c)

38

15 (x - 2)2 = 16 (x - 2);

d)

4 (2x - 5)3 + 7 (2x - 5)2 = 0.

2.6

Tredjegradsekvationer

X

2.9 Bestäm värdet av - om y

a)

X

c)

2x 2

=2y; -

b)

7xy + 3y2 = 0;

d)

x2 = 4y2; 4(x - 3y) x+4y

2x-5y x+2y

2.6 Tredjegradsekvationer Vissa tredjegradsekvationer

ax 3

+ bx2 + ex + d = 0,

där a, b, c och där konstanter,

kan man lösa genom att först gissa en rot och sedan använda faktorsatsen.

Faktorsatsen Polynomet p ( x) har nollstället a precis då p (x) är delbart med x - a.

Lös ekvationen x 3

-

2x 2

-

5x + 6

= 0.

Vi försöker gissa en rot. Insättning visar att x = 1 satisfierar ekvationen. Enligt faktorsatsen är då polynomet x 3 - 2x 2 - 5x + 6 delbart med x - 1. När divisionen utförts får man

x3

-

2x 2

-

Men x 2 - x - 6 = 0 ger x =

5x + 6

= (x

- 1) (x 2 - x - 6) .

!2 ± V4;-u ~ = !2 ± V4 {25 =

1 ± 5, 2

dvs. x = 3 eller x = -2. Rötterna är alltså 1, 3 och -2.

2.10 Lös ekvationen a)

x3

-

3x2

+ 5x -

6 = 0;

b)

x3

+ 2x 2 -

1 = 0. 39

Kapitel 2.

Rationella funktioner, ekvationer,olikheter och absolutbelopp

Dela upp 5x3 + 10x2

-

45x - 90 i faktorer.

===================================-----Allra först bryter vi ut 5, koefficienten för den högsta potensen, som ger 5x 3 + 10x 2

-

45x - 90 = 5 (x 3 + 2x 2

-

9x - 18) = 5p ( x) ,

där vi betecknat parentesen med p (x) . Prövning ger att ekvationen p (x) = 0 har en rot x = - 2. Division av p ( x) med x - (-2) = x + 2 ger, efter lite uträkningar, p (x) = (x + 2) (x 2 - 9). Eftersom ekvationen x 2 - 9 = 0 har de båda rötterna x = 3 och x = -3, får man x 2 - 9 = (x - 3) ( x + 3) ,vilket man givetvis också kan få direkt med konjugatregeln. Alltså gäller 5x3 + 10x 2 -45x -90 = 5p(x)

= 5(x + 2) (x -3) (x + 3).

2.11 Dela upp följande polynom i faktorer a) 3x2 +2x-1; b) x 2 -3; c) x 3 + 2x 2 - x - 2; d) x 3 - x 2 + x - 1. 2.12 a) Bestäm värdet av konstanten a så att polynomet x 4

+ ax + 4 blir delbart

medx - 2.

b) Bestäm konstanterna a och b så att polynomet ax 3 + bx2 + x + 1 innehåller faktorerna x + 1 och x - 1.

ar

r+l ,

2.13 Om (x är en faktor i ett polynom p ( x) , men inte (x - a så sägs a vara en rot med multipliciteten m till ekvationen p (x) = 0. En rot av multiplicitet 2 brukar kallas en dubbelrot. a) Visa att (x + 1)2 är en faktor i 8x4 + 18x3 + llx2 - 1, dvs. att x = -1 är en rot av multiplicitet (minst) 2 till den motsvarande ekvationen 8x 4 + 18x3 + llx 2 - 1 = 0. Lös därefter ekvationen fullständigt. b) Bestäm konstanterna a och b så att x = 1 blir en trippelrot, dvs. har multiplicitet 3, till ekvationen x 4 - 6x 2 + ax + b = 0.

2.14 Bevisa faktorsatsen utgående från (2') sid 35.

40

2. 7

Rotelevationer

2.7 Rotekvationer Rotekvationer kallas sådana ekvationer där den obekanta förekommer under rottecken (eller rotmärke). Var och en av ekvationerna

.jx + 4x

= 3,

{!x + 2 + x = 3x -1,

✓x2 + 4- x = x 2 + 4,

är en rotekvation, medan ingen av följande ekvationer är det;

x 2 +4x= ~,

2x3 -6x2 +J3=0,

xJ2-x~=2.

Rotekvationer med kvadratrötter löser man genom att kvadrera båda leden en eller flera gånger. Innan man kvadrerar bör man försöka skriva om ekvationen så att åtminstone ena ledet innehåller endast en kvadratrot. Eftersom man kvadrerar så kan man inte vara säker på att alla de värden man får fram på slutet verkligen satisfierar den ursprungliga ekvationen. Man måste alltid pröva alla de rötter som man fått fram i den ursprungliga ekvationen.

Lös rotekvationen 3 -

3(3 -

Jx="T = ✓4x + 5.

Jx="T = ✓4x + 5,

I Kvadrera båda leden! I

✓x=1) 2 = (✓4x + 5) 2 . Efter utveckling får vi

9 + x - 1 - 6Jx='T = 4x + 5, som via -6Jx='T = 3x - 3 ger -2Jx='T

=x -

1,

I Kvadrera båda leden! I

4(x-l)=(x-1)2, 4 (x - 1) - (x - 1) 2 = 0, (x - 1)(4 - (x - 1)) = 0, (x - 1)(5 - x) = 0, dvs. x = 1 eller x = 5. Prövning i den ursprungliga ekvationen ger slutligen:

41

Kapitel 2.

Rationella funktioner, ekvationer,olikheter och absolutbelopp

För x = 1 räknar vi ut vänsterledet (VL) ochhögerledet (HL) varför sig. Vi får V L = 3 - v'f-=-I = 3 - 0 = 3, H L = ✓4 · 1 + 5 = J9 = 3.

För x = 5 gör vi likadant och får VL = 3- ~ = 3- 2 = 1, HL = ✓4 • 5 + 5 = /25 = 5. Vi får V L ,f. H L, alltså blir slutsatsen att x = 5 inte är någon rot till ekvationen

Här gäller V L = H L, vilket innebär att = 1 verkligen är en rot till den ursprungliga ekvationen

x

Ekvationen har således en och endast en rot, nämligen x

2.15 Lös rotekvationen a) .jx - 1 = ✓x - 9; c)

2./x -

✓5x

1

+ 1 + 2 = O;

= 1.

b)

3v'x'"=l + ✓3x + 1 = 2;

d)

✓6x + 1 - ✓2x + 1 + 2

= 0.

2.8 Olikheter För vilka tal x gäller olikheten (x - 1) (x - 2) > O? Produkten av två faktorer är positiv precis då faktorerna har samma tecken, dvs. båda är positiva eller båda är negativa. För att få en överblick över när detta inträffar gör vi ett s.k. teckenschema.

x-1

-

1 0

x-2

(x - l)(x - 2)

+

0

2

X

+

+

+

-

0

+

-

0

+

Härav ser vi att olikheten är uppfylld för x < 1 och x > 2.

2.16 Bestäm alla x för vilka gäller a)

2 (x - 1) (x + 2) < O;

c)

(2x+l)(x-3) >O. x+5 -

42

b)

(1 - 2x) (x + 2) > O;

2.8

För vilka x gäller 6x 3

-

17x2

-

4x

Olikheter

+ 3 < O?

----------------------=============--

Sätt olikhetens vänsterled filea med p ( x) . En produkt klarar vi att undersöka tecknet på, men inte en summa. Därför börjar vi med att faktorisera p (x) och gör sedan teckenundersökning. Efter att förgäves ha prövat med ± 1 och ±2 ser vi att 3 är ett nollställe till p (x) . Division ger p (x) = ( x - 3) (6x2

x2

+ ½x - ½=

+ x - I)

0 ger x =

= 6 (x - 3) (x 2

-½ eller x =

+ ½x - ½) .

½-

Alltså gäller enligt faktorsatsen

p(x)=6(x-3)(x+~) (x-~)Teckenschema:

_1 6 x-3 x+l2

+

x-½ p(x)

+ 0 0

l

3

X

+ + + + + 0 + + + + + + 0 + + + 0 + + 0

Härav får vi att p (x) < 0 gäller precis då vi har x < -

½eller ½< x < 3.

2.17 För vilka x gäller olikheten a) x 3 - 3x2 + 2x > O; b) x 2 + 2x > 18x?

För vilka x gäller olikheten x

+ 3 :::;

2x -2?

x-

Vi observerar först att olikheten "vänds"vid multiplilcation med ett negativt tal (a > b ger olikheten -a < -b, och 3 > 1 ger -3 < -1). Problemet här är att x - 2 är positivt för vissa x och negativt för andra. Vi ska för den skull inte multiplicera olikhetens båda led med nämnaren x - 2. Istället är det lämpligt att vid problem av den här typen se till att man får O på ena sidan om olikhetstecknet, faktorisera och studera de ingående faktorernas tecken: 43

Kapitel 2.

Rationella funktioner, ekvationer.olikheter och absolutbelopp

2x x+3~ - -2 , x2x 0< - - -(x+3) - x-2 ' < 2x (x + 3)(x 2) 0 x-2 ' Teckenschema:

2 0 < -x +x +6 x-2 ~ -(x + 2)(x - 3) 0 x-2

-2

2

3

= R(x). X

-1

-

x+2 x-3 x-2 R(x) Härav följer att R ( x)

0

+

+

+

+ 0

-

-

+ + +

0 + + ej + 0 + def. 0 gäller precis då x ~ -2 eller 2 < x 0

~

~

3.

2.18 Lös olikheten - men se först till att få 0 på en sida om olikhetstecknet 1 4x 1 5-2x 2 a) - < 2x - 1·, b) - - < x - 2x· c) - < - - · , x x+l ' x x+2 3 2x2 d) x-2 0 och när ett positivt heltal, har exakt en positiv lösning. Denna lösning kallas n:te roten ur a och betecknas ::fä.

Annorlunda uttryckt: Om a > 0 så är ::fä, det positiva tal som upphöjt till n är lika med a. I det här sammanhanget kallas n för rotindex. Andra roten ur a kallas för kvadratroten ur a och skrivs utan rotindex Jä,. Bestäm

,06.

----------------------------------------------------------------------------------,06 = 2, ty 2 > 0 och 16 = 24 .

3.1 Beräkna a)

~;

b)

~-'

c)

{1/64;

e)

,✓ a,2;

t)

{/(-2)4;

g)

~(-a)6.

Om när ett jämnt positivt heltal och a - ::fä. Se figur på nästa sida.

d)

✓(-3)2;

> 0 så har ekvationen xn

= a även lösningen

Om n är ett jämnt positivt heltal och a < 0 så saknar ekvationen xn lösningar. Det finns t.ex. inget reellt tal x sådant att x 2 = -1.

3.2 Lös ekvationen a)

50

x2

=(-3)2;

b)

x4

=256;

c)

x6

=64;

d)

x 4 =a2 .

=

a reella

3.1

Rötter

Om n är ett udda positivt heltal så har ekvationen xn = a exakt en reell lösning för varje a. Denna lösning betecknas yta. Observera att för udda n och negativa a gäller yta < 0.

y

; , /i=-jl, n jämnt ~V

y

y=a-----a

(n:4)

;

n

~Y=-X. ,n . . tn= 5)

--+-~---+--&.--......---.

uoaa.

}C

~~ ( ~~ 0.1)

-f

BestämH

n

= -2, ty (-2) 3 =

-s.

Anm. Man säger ofta att man kan "flytta ut" minustecknet när rotindex är udda: = - ?'8.

H

3.3 Beräkna a)

F27;

b)

;

c)

?'-0.001;

d)

?'I;

e)

?-'512;

A

f)

~-0.01;

g)

{j(-2)8;

h)

v"=28.

Om a och b är positiva reella tal samt m och n är heltal så gäller bl a följande räkneregler som ofta kallas rotlagar:

51

Kapitel 3.

Rötter; potenser och logaritmer

Rotlagar (1)

(2) (4)

vab =yta. vff;

\{b= ~ ~=nya

(3)

vtanb = a vff;

(5)

f/ofa = (ifcir

Om a och (eller) bär negativa så gäller inte rotlagarna allmänt.

3.4 Förenkla a)

~.

v'4;

b)

5'&!. v;:;,

~ · {1/2;

?-'54;

c)

{1/25 -

H + y'4 · ~-100000

d)

3.5 När man vill bevisa ett samband av typen ifti = b kan man istället bevisa sambandet a = b3 , eftersom dessa båda samband gäller för precis samma värden. Visa att följande samband gäller:

En gymnasist ifrån Niilivaara "Roten ur b2 är b", minsann svara. Men ett ljus nu gått opp han har lärt sig belopp och vet att kring b två streck det ska vara. Bengt Klefsjö och Andrejs Dunkels

52

3.2

Potenser

3.2 Potenser Om a är ett reellt tal och n ett positivt heltal så menas med an en produkt av n stycken faktorer a, t.ex. a • a • a • a • a för n = 5. Vi säger att an är en potens med a

som bas och n som exponent. Vi ska nu definiera potenser av typen ar, där r är ett godtyckligt rationellt tal och a > 0.

Med a 1 /n menar man n:te roten ur a, dvs. a 1 /n

=

y'a (n positivt heltal). På

motsvarande sätt gäller följande samband.

Il Därigenom är ar definierad för positiva rationella tal r. Man utvidgar slutligen definitionen av ar till negativa rationella tal genom att sätta

a

-r

1

=-, ar

där r är ett positivt rationellt tal.

Anm. Ibland kan det vara praktiskt att skriva bråk i exponenten med snett bråkstreck am/n_

a)

8213 =

?'82 =

?'64=4;

b)

!

4-3/2 - _1_ - _1_ - _1_ - 43/2 - \1'43 - J64 - 8.

3.6 Beräkna b) a) 41/2.

10001/3;

c)

( v'8)2/3;

16314;

27-2/3;

g)

(80005)1/15;

'

e)

f)

d)

3.7 Skriv som potens av a a)

~;

b)

¾4°;

3.8 Skriv på rotform a) a2/5; b) a-1/7;

1

c)

{'a2;

d)

(

1

Tas

4-1/2.

'

)-l

c)

Vi har hittills definierat ax, då x är ett rationellt tal och a > 0. Man kan emellertid visa att det är möjligt att definiera ax då a > 0 för alla reella tal x så att följande räknelagar gäller.

53

Kapitel 3.

Rötter, potenser och logaritmer

Potenslagar

= ax+y

(6)

ax · a11

(8)

(ax)'II

(10)

Gf=~

= ax11

(7)

ax - =az-11 a'II

(9)

(abt

(11)

ax

= axbx

> 0 för alla x

Vi illustrerar med följande exempel.

a)

22;3 (21/6. 5 112)- 1 = 22;3. 2-1/6 . 5 -1/2

= 22/3-1/6. 5-1/2 =

= 21/2. 5-1/2 = (~) 1/2 = ~; b)

v'2J2 = (2. 21/2) 1/3 = (23/2) 1/3 = 21/2 = J2.

3.9 Förenkla så långt som möjligt a)

21/3 . 2-4/3;

b)

101/2. (

d)

( 2v12) ./2 ;

e)

v'9v73;

4 . 10-1/2. _!_) 10 '

(32.4 . 3-3.5 . 31/5)- 2 . c)

f)

3 · 3-1. 9

J2V2.

3.10 Skriv som en potens av a a)

al/2a7/4;

b)

(al/3)1/3;

c)

{/ci'7a;

d)

ffe,..fä;

e)

..fä..fä..fä;

f)

JavaJO-;·

g)

ffe,ffe,..fä;

h)

~a{/ci'7a.

3.11 Visa att a)

~ är rot till ekvationen xx../x = (xJxt;

b)

~+ ?"f6+ v'54+ ~ = ?'2000.

54

'

3.3

Avgör med hjälp av potenslagarna vilket av talen som är störst. Sätt x =

{1/300 = 300 11300 och y =

30

x 600 =

Logaritmer

{1/300 och 20{1/200

30

{1/200 = 20011200 . Då gäller

20

(300 11300 )6°0 = 3002 = 90000,

{

y 600 = (200 11200 ) 600 = 2003 = 8000000.

Eftersom x och y är positiva och vi visat olikheten x 600 att vi har x < y, dvs. 30{1/300 < 20{1/200.

< y 600 så följer

3.12 Avgör, utan approximationer, vilket av följande tal som är störst

a)

ifi och 03;

3.13 Lös ut a) pur formeln kn b)

~ och

b)

v'3;

~ och

c)

v'8.

= ko ( 1 + 1~0 ) n;

Vi

r-''

1

v, ur formeln~~ I -

(~

Lös ekvationen 3"' + 2 • 3:z:- 1

.. där

K" I.

= 45. 1

Sätt t = 3"'. Då gäller 3:z:-l = 3"' · 3-l = 3"' 3 = Ekvationen övergår it+

t 3.

2

3t = 45, som ger t = 27.

Alltså gäller 3"' = 27 = 33 , varav vi får x = 3.

3.14 Lös ekvationen a)

c)

3 + 2:z:+l = -· 2' 6"'+ 1 + 63 = 222.

2"'

b)

2 · 12+:z:

+ 3 · 73+:z: = 161;

-X

55

Kapitel 3.

Rötter, potenser och logaritmer

3.3 Logaritmer Låt a '# 1 vara ett positivt reellt tal. Då finns för varje positivt reellt tal y ett reellt tal x sådant att ax = y. Talet x är helt bestämt av y och kallas a-logaritmen för y, samt betecknas loga y.

Definition

x = loga y är ekvivalent med y = ax. Ett äldre beteckningssätt för loga y är a log y. Vi illustrerar definitionen i figurerna nedan.

y

X

-y=a

(3.2)

X

1X

(1.1)

lt

___;;;.;.;....-----+--+-~-•

1

X•l°'-Y (I. '1)

Likheterna y = ax och x = lo& y är alltså två olika sätt att uttrycka samma samband mellan talen x och y. Om vi i likheten y = axersätter x med loga y får vi följande viktiga samband:

Detta kallas för att skriva y på a-bas och innebär att a-logaritmen för talet y är den exponent till vilken basen a ska upphöjas för att potensens värde ska bli talet y. Detta kan också uttryckas så att talet lo& y är lösningen till ekvationen ax = y, dvs. givet y > 0, sök x så att ax = y.

56

3.3

Logaritmer

log 0 1 = 0 och log0 a = 1.

Il Dessa samband kan alltså ses som omskrivningar av a0 = 1 resp a 1 = a. I praktiken är det speciellt två baser som är av intresse, a = 10 och a = e, där e är ett irrationellt tal vars decimalutveckling börjar med 2.718 .... Logaritmerna med basen 10 kallas 10-logaritmer. För enkelhetens skull skriver man oftast lg y i stället för log 10 y. x = lg y är ekvivalent med y = 10x.

Il Logaritmerna med basen e kallas naturliga logaritmer. Man skriver numera oftast ln y i stället för loge y. Man kan tänka på ln som log-nat. x = ln y är ekvivalent med y = ex.

Il

Il Vi illustrerar med följande exempel. a) lg 1000 = 3 eftersom 1000 = 103 ;

1 2

b) lg v'io = - eftersom .jj] = 10112 ;

1

c) lg 0.0001 = -4 eftersom 0.0001 = 10000 = 10- 4 .

3.15 Bestäm a) lg 100; b) e) lgl; f)

lg0.01; 10tg11.1;

d)

c) g)

a)

log2 16 = 4 ty 16 = 24;

c)

log 1 ; 5 125 = -3, ty 125 = 53 =

b)

log3

1

9=

lg

-2 ty

(51)-

?-'ill;

1

9=

1

2 32 = 3- ;

3

3.16 Bestäm a)

log2 2;

b)

log 3 9;

e)

log 13 l;

f)

log8

rn- 1 ;

c)

lnJe;

d)

1 logn 121;

g)

log3 (39 )b;

h)

e-ln3.4_

57

Kapitel 3.

Rötter, potenser och logaritmer

Lös ekvationen log 3 x = 5. Enligt definitionen av logaritm gäller x = 35 = 243.

3.17 Lös ekvationen 1

f

a)

log0 x =

d)

logx 7 = -2;

b)

lgx = -1;

e)

2x = 6.

c)

3lnx = 2;

Ur definitionen av logaritmer samt räknereglerna för potenser får man följande räkneregler för logaritmer.

Logaritmlagar

(12)

(13)

(14)

(15)

Den sista formeln används vid basbyte. Den ger t.ex. lg x

= 1~ ; 0 .

1

2 · log2 81. ---------------------------------------------------------------------------------

Bestäm log 2 36 -

Logaritmlagarna ger~ -log2 81 = log 2 81 112 = log2 9, och vi kan skriva om det givna uttrycket på följande sätt: 36 log2 36 - log2 9 = log2 9 = log 2 4 = log2 22 = 2 · log2 2 = 2 · 1 = 2.

58

3.3

3.18 Bestäm 5

3 3 + log4 5;

a)

log4

c)

2 lg 100 -

1

lg 10-1;

Logaritmer

1 e

b)

ln- +2lny'e;

d)

log5 1000 - log5 40;

Bevisa formel {15) för basbyte. Sätt loga x = t. Då gäller x = at, och om vi tar b-logaritmen av båda leden i denna likhet får vi

3.19 Använd logaritmlagarna för att a)

uttrycka log2 x i log8 x;

c)

beräkna lga om 1g x =

b)

beräkna lo~ a om lo& 16 = ~;

~ och loga x =

~-

Skriv uttrycket 2 ln (x + 1) - 3 ln ( x - 1) som en logaritm.

------------------------------------

Logaritmlagarna ger successivt

2

a

2ln{x+l)-3ln{x-l)=ln(x+l) -ln{x-1) =ln

( x+l ) 2

(x - 1)

3•

3.20 Skriv som en logaritm a)

~ln(x 2 +1)+~In(x2 -1) 31 4;

b)

2ln(x2 -1)-4ln{x+l).

3.21 Man vet att lg2 ~ 0.3010 och lg3 ~ 0.4771. Utnyttja detta för att beräkna närmevärden till 8 80 a) 1g 18; b) 1g 9; c) lg 9 ; d) lg0.24; e) lg y'l25. 59

Kapitel 3.

Rötter, potenser och logaritmer

Skriv 2°- 3 på formen e0 (omskrivning på e-bas).

====================================--Vi kan skriva 2 = e10 2 , vilket ger 2°- 3 = {e10 2 ) 0 ·3 = e0 · 310 2 • Man kan givetvis också från början se det givna uttrycket som en helhet och tänka såhär:

3.22 Skriv på e-bas, dvs. på formen e0 , a)

Lös ekvationen log3 x + log3 (x - 2) Logaritmlagarna ger log3 x

= 1.

+ log3 (x -

2) = log3 x (x - 2) = log3 (x 2

-

2x).

Ekvationen blir då log3 ( x 2 - 2x) = 1 som är ekvivalent med x 2 - 2x = 31 , dvs. med x = 1 ± ✓,i = 1 ± 2. Alltså är x 1 = 3 och x 2 = -1 möjliga lösningar. Eftersom log3 x bara är definierat för x > 0 måste vi utesluta x = -1. Svar: x = 3 Anm. Att vi får en s.k. falsk rot beror på att uttrycket log3 ( x 2 - 2x) är definierat för fler värden på x än uttrycken log3 x och log3 ( x - 2) , bl a x = -1. I första steget av vår lösning förutsatte vi underförstått att förutsättningarna x > 0 och x - 2 > 0 var uppfyllda.

3.23 Lös ekvationen a)

log2 x + log 2 5 = 6;

c)

log2 ( x + 1) + log2 ( x - 1)

e)

v'inx = 1n ..fi;

f)

1n x

g)

lg (x + 1) + lg (x - 1)

60

b)

= 3;

+ 1n x 2 + 1n x 3 + ln x 4 + 1n x5

log5 x 2

-

log5 (x - 5)

d)

(lnx)2

=

lnx 2 ;

h)

lg2x lg(4x - 15)

= 5;

= lg (x + 2);

= 2_

= 2;

3.3

Lös ekvationen a)

a)

v'6;

b)

x 1n:i: = e.

2 1 -:i: • 3:i: = v'6, 2 1 • 2-:i: • 3:i: = v'6,

(enligt räkneregler för potenser)

(~):i: = ~ ,

(enligt räkneregler för potenser)

(~):i:=

J!,

Alltså får vi b)

2 1 -:i: • 3:i: =

(~):i:=

(~)1/2,

= ½-

X

xln:i: = e, lnx10 :i: = lne,

(logaritmering av båda leden)

lnx-lnx=l,

(enligt räkneregler för logaritmer)

(Inx)2

Svar: a) x

Logaritmer

= 1.

Vi får lnx = ±1, dvs. x = e 1 eller x = e- 1 .

= 21 ;

x

b)

1 = e eller x = -. e

3.24 Lös ekvationen

v'25i);

a)

53:i: · 2:i: =

d)

xl-lg:i: = 0.01;

b)

2:i: . 4 1 -:i: = 52 -:i:;

e)

25 . 152:i: = 3:i:+l . 54:i:.

Lös ut RC ur formeln V

xlg:i: = 10;

c)

= V0 e-t/ RC.

Om vi tar naturliga logaritmen av båda leden får ln V = ln Voe-t/ RC, som med logaritmlagarna ger ln V = ln V0

-

;C, vilket ger RC = In Vo

~ In V

=

tVo · InV

3.25 Lös ut it-:

a)

u urfumcln mo - M, ( I - e-;;) ; b)

it

T1

ur formeln T2

= (Pi)---;zp2

3.26 Lös ut 61

Kapitel 3. a)

Röner, potenser och logaritmer

1 + ,/Y

y ur ekvationen In ---;,;:; 1-yY

3.27 Man har f (x)

= 3x;

b)

x ur ekvationen y

=

ex+ e-x 2

= cekx

(i)

Bestäm c och kom man dessutom har f (2) = 2 och f (3) = 3.

(ii)

Beräkna f (4).

(iii)

För vilket x gäller f (x)

= 4?

En yngling vars hemvist var Kumla med log-lagar brukade fumla. "log a plus log b logab de e'", han numera alltid hörs mumla.

Bengt Klefsjö och Andrejs Dunkels

3.4 Några övningar med miniräknare I allmänhet gäller att logaritmen för ett tal är ett irrationellt tal. Man kan beräkna dessa tal hur noggrant som helst. Exempevis gäller lg 2 ~ 0.3010 och In 1r ~ 1.1447, vilket är ekvivalent med 10°- 3010 ~ 2 resp e1.1 447 ~ 1r. Bestäm x då lgx

= 3.1416.

--------------------------------------------------------------------Enligt definitionen av logaritm får vi x direkt X ~ 1385.5.

= 103 · 1416 . Miniräknaren ger sedan

3.28 Bestäm x då a) d)

62

= 0.8136; ln x = 7.3891; lg x

b) e)

= -0.3718; lnx = e1r. lg x

c)

ln x

= -0.3718;

3.4

Ndgra övningar med miniräknare

Bestäm med fyra decimaler ett närmevärde till a) ln 0.37; b) log 5 72. a) Med miniräknare får man direkt ln 0.37

~

-0.9943.

b) Sätt log 5 72 = x, som kan skrivas 5x = 72, lg5x = lg72, (logaritmering av båda leden; naturliga logaritmen hade gått lika bra) xlg5=lg72, x = lgl 72 = 2.6572.

g5

Svar:

a) -0.9943;

b) 2.6572.

3.29 Bestäm med fyra decimaler ett närmevärde till a) lg3.7; b) lg 115; c) lge; d)

1n (-0.37);

e)

log2 15;

f)

log 1;2 3.

3.30 Skriv följande tal som en 1~potens a) 3.7; b) 115; c) e.

Lös ekvationen a)

2x = 3;

b)

5.3 • 3 4x = 45.8.

a) Enligt definitionen har ekvationen lösningen x = log 2 3. Man kan också uttrycka lösningen i !~logaritmer. Logaritmera båda leden i 2x = 3. Det ger lg2X = lg3, xlg2=lg3, lg3 X= ~ 1.585. lg2 b)

5.3 · 3 4x = 45.8, 34x = 45.8 5.3' 1 34x = 1 45.8 Il Il 5.3 ' 45.8 45.8 _ 1n 5.3 4xln3 = 5 _3 , varav x - 4 ln 3 ~ 0.491.

63

Kapitel 3.

Rötter; potenser och logaritmer

3.31 Bestäm ett närmevärde till varje lösning till ekvationen b) x- 2·3 = 12.6; a) 6x = 600; c) e2x = .Jio; d) 23x+l = 32x-l; ex+ e-x f) e) ex= 5e-x; = 2; ex - e-x 1 + 16 · 41+x = 33. g) 62-x + - . 62+x = 54; h) crx+l 2 2 3.32 Vilket är störst A = 999 1000 eller B = 1000999 ? 3.33 För vilka x gäller c)

a)

e0.5x

> 2 . 10-0. lx.

3.34 Antag att lönen för en person höjts med 10 % varje år fr o m 1987. Om personen år 1986 hade en lön på 60000 kr, hur stor var lönen år 2000? 3.35 Då en gasmassa hålls isolerad utan att värme varken bortförs eller tillförs så gäller mellan volymen V och absoluta temperaturen T sambandet T

= A · v 1 -",

där A och K är konstanter. Vid kompression av 30 liter luft till 15 liter steg temperaturen från 20°G till 114°G. Bestäm K. Mellan celsiusgrader, °C, och absolut temperatur, K, gäller, som bekant, sambandet x°C = (x + 273) K.

3.36 Sönderfallet av radioaktiva grundämnen sker enligt formeln m (t)

= m (0) e->.t,

där m (0) är den ursprungliga viktsmängden av äinnet, m (t) den mängd som finns

kvar vid tiden t och A en positiv konstant som är karaktäristisk för äinnet (sönderfallskonstanten). Med halveringstiden T för ett radioaktivt äinne menas den tid det tar innan hälften av den ursprungliga mängden sönderfallit. a) Uttryck A i halveringstiden T. Efter hur lång tid, uttryckt i T, återstår b) 10%; c) 1%; d) 0.1 % av den ursprungliga mängden av ett radioaktivt äinne?

3.37 Om en kropp med temperaturen t 0 ° C placeras i ett rum med den konstanta temperaturen tR °C, to > tR, får den eftertiden T minutertemperaturen t°C. Enligt Newtons avsvalningslag gäller

t 64

= tR + (to -

tR) e->.r, där A är en positiv konstant.

3.5

Blandade övningar

Vid ett visst tillfälle placerades en kropp med okänd temperatur i ett rum med temperaturen 20°C. Efter 10 minuter var kroppens temperatur 50°C och efter ytterligare 10 minuter 40°C. Bestäm a) kroppens begynnelsetemperatur; b) den tid det tar för kroppens temperatur att sjunka från 40°C till 30°C.

3.38 För en halvledardiod gäller följande samband mellan strömstyrkan I och spänningen U :

l=Io(eku_l), där I O och k är positiva konstanter. Under en laboration uppmättes de data som ges i tabellen nedan

I(mA)

I U(V)

I

2.0 0.60 40.0 1.20 Använd sambandet ovan och dessa mätdata för att bestämma spänningen då strömstyrkan är 20.0 mA

3.39 Ett sätt att tolka formel (15) för basbyte är att konstatera att loga x är lika med en konstant gånger logb x, dvs. (16)

loga x

= k logb x, för alla x > 0.

Detta innebär att två logaritmer med olika baser är proportionella. Genom att välja något lämpligt värde på x i (16) kan man får fram värden av k. Pröva hur det blir om man dels väljer x = a, dels x = b. 65

Kapitel 3.

Rötter, potenser och logaritmer

3.5 Blandade övningar 3.40 Avgör utan att använda miniräknare vilka av följande tal som är störst a)

m och ~ ;

~ och

b)

m.

3.41 a)Visa att x = ?12 - ¾ är en rot till ekvationen x 3 + 6x + 2 = 0 b) Koefficienterna p och q i ekvationen x 3 + px 2 - px - q = 0 är heltal. Bestäm dessa så att x = l + ?12 blir en rot till ekvationen. 3.42 Lös ekvationerna a) ~1 + x + ~l - x b)

~X+ 37 -

~

= ?12;

= 1.

3.43 Sambandet mellan känsligheten hos en fotografisk film uttryckt i enheten DIN resp ASA ges av följande formel, där d står för antal DIN och a för antal ASA a = 25. 2(d-15)/3 Lös ut d ur denna formel.

3.44 a) Visa att x =

~ är en rot till ekvationen xx.fi =

(xJxt.

b) Har ekvationen några andra rötter?

3.45 Visa att om

a+ b

ln3så är a 2

= 2l (lna + lnb)

+ b2 = 7ab.

3.46 Uttryck lg25 800 i a

= lg 2.

3.47 Ange följande logaritmer uttryckta i a = lg 2 och b = lg 3. a) d)

lg36; lg 5;

b) e)

lg 1500; lg 1.25.

c)

lg0.54;

3.48 Lös ekvationen a)

5x 2 • 7x+ 2 = 352x;

c)

(lgx)2 + lgx 2 + lg2x (2x)1g 2 = (3x) 1g 3 .

d)

b)

lg(lnx) = -1;

= lg2 -

2;

3.49 Bestäm x och y om lgx lgy

X

y

3

-

4

3.50 Vid vilken inflationstakt halveras penningvärdet på 10 år?

66

4 Trigonometri

4.1 Grader och radianer Med enhetscirkeln menar vi cirkeln med radien 1 längdenhet och centrum i origo, 0. Skärningen med positiva x-axeln kallas Q. En vridning (vinkel) definieras genom att utgående från radien 0Q vrida cirkelns radie, t.ex. till läget OP. Positiv vridning (vinkel) är moturs och negativ medurs. En vridning (vinkel) kan tillskrivas ett mått på flera sätt.

A. Som enhet tas 1 varv. Varvet delas in i 360 grader (360°).

4.1 Hur många grader motsvarar en vridning av

1

a)

2 varv moturs;

c)

3varv medurs;

1

b)

2 varv moturs;

d)

8 -5 varv medurs?. 67

Kapitel 4.

Trigonometri

B. Som enhet tas den positiva vridning för vilken bågen PQ är lika lång som radien. Enheten kallas en radian (1 rad). 1 varv motsvarar 21r radianer, eftersom enhetscirkelns omkrets är 21r längdenheter.

y

1 varv = 21r rad = 360°, 180° 1 rad= - - : : : : 57.3°. 1T

Anm. Man skriver normalt inte ut enheten när man anger vinklar i radianer. Storheter med enheten radianer räknas som dimensionslösa. JAG. ~öF. lJUMfAA AUA

oer f>As&AR 6AA, DV

1.APPKA!>T l AADIANER.

SoM ÄR ~~ 1tn,j..

Illustrera grafiskt en vridning av - 5; radianer och ange vridningen i såväl varv som grader. - 5; radianer motsvarar en vridning i negativ

51r 5 led, dvs. medurs, av 2~ varv = 4 varv. .. ( ----;180) o oc h v11, . s:år 1 radi anar 57T 57T 180 ° 0 - - rad= - - · = -450 . 2 2 1r

4.2 Ange i såväl varv som grader och illustrera grafiskt en vridning av a) 1r radi aner; b) - 31r radi aner; c) 61r radi aner.

4

68

4

4.2

Cosinus och sinus

4.2 Cosinus och sinus y Låt v vara ett reellt tal. Det finns då en bestämd vinkel med v som mätetal för storleken. Måttet är radianer här och i fortsättningen, om inget annat sägs. Låt punkten P ha koordinaterna (x,y). Ttll varje tal v hör ett bestämt tal x och ett bestämt tal y.

X

Förstakoordinaten för P kallas cosinus för v. Andrakoordinaten för P kallas sinus för v. Alltså äller { x g y

= c?s v' = smv.

Tydligen gäller -1 ::; cos v ::; 1 och -1 ::; sin v ::; 1 för alla värden på v. Vidare har vit.ex. cos0 = 1, cos1r = -1, sin 0 = 0, sin 1r = 0, sin(-1r) = 0.

4.3 Beräkna a)

cos 2 ;

b)

sin

(-i);

e)

sin 51r;

t)

cos

2;

7r

31r

c)

cos21r;

g)

51r sin 2.

d)

sin 21r;

Av definitionen följer att värdena av de trigonometriska funktionerna cosinus och sinus är desamma efter vridning ett eller flera hela varv i positiv eller negativ riktning. Alltså gäller alltid följande samband:

{

COS V

sin v

= COS ( V + n · 271")

= sin ( v + n

. 271")

, där n är ett godtyckligt heltal.

Man säger att funktionerna cosinus och sinus är periodiska m~ (minsta) perioden 21r.

69

Kapitel 4.

Trigonometri

Beräkna sin 951r.

--------------------------------------

Eftersom vi kan skriva 951r = 1r + 941r = 1r + 47 • 21r så får vi sin 951r = sin(rr + 47 • 21r) = sin 1r = 0. 4.4 Beräkna

a)

sin 271r;

b)

cos l0l61r;

c)

. 9371" sm 2 ;

d)

cos(-361r).

Om man har v = 1r / 4 = 45° så är triangeln OM P likbent. Med Pythagoras sats får man OM = PM = 1/ v'2 längdenheter. Detta gör att man direkt kan skriva upp koordinaterna för P: y

Alltså gäller följande resultat: 1r cos4

1 . 1r 1 = -y'2 ochsm - = 4 y'2

Il

Il 2571" Beräkna cos 4 .

--------------------------------------

. . 2571" Eftersom VI kan skriva 4 2571" cos 4

1r

2471"

1r

1 = cos (71"4 + 3 . 271") = cos 41r = v'2 .

4.5 Beräkna a)

70

1771" cos 4 ;

1r

= 4 + 4 = 4 + 61r = 4 + 3 • 21r , så gäller

. 1771" sm 4 ;

4.2

Cosinus och sinus

Om man har v = 1r /3 = 60° så är triangeln O PQ liksidig. Då gäller OM = l /2 längdenheter. Pythagoras sats ger denna gång PM = /3/2 längdenheter. För P:s koordinater får man alltså

Således har vi visat följande samband:

7r

cos3

Il

.7r /3 = -21 ochsm= 3 2

Il

4.6 Beräkna a)

a)

71r

cos 3

. 131r sm 3 ;

;

Låt P' vara spegelbilden i x-axeln av P. Om man harv = 1r /6 = 30° så är triangeln 0 P' P liksidig. Punkten P:s koordinater blir nu

Således har vi visat följande samband: 7r /3 .7r 1 cos - = och sm - = -

Il

6

2

6

2

71

Kapitel 4.

Trigonometri

4.7 Beräkna 257r a) cos 6 ; b)

1771") ; cos ( - 6

c)

. 2571"

sm 6

;

d)

1171") sin ( - 6

.

Låt nu P' vara spegelbilden av punk.ten P i x-axeln. Om P svarar mot vinkeln v

så svarar P' mot vinkeln -v. Om P har koordinaterna (a, b) så har punk.ten P' koordinaterna (a, -b), vilket ger

y a = cos(-v), -b = sin (-v),

{ a=cosv, b = sinv,

Detta ger följande två viktiga och användbara samband:

{ cos(-v) = cosv sin(-v) = - sin v

Il

Il Beräkna a)

cos

(-i)

b)

sin

(-i).

---------------------------===========

d)

. 1171" sm 6 .

Låt den här gången P' vara spegelbilden av punkten Pi linjen y = x. Om P svarar mot vinkeln v så svarar P' mot vinkeln 1r/2 - v. Om P har koordinaterna (a, b) så 72

4.2

Cosinus och sinus

har P' koordinaterna (b, a), vilket ger

y

{

b = cos

a=cosv, b = sinv

(i- v),

a = sin ( i - v )-

Detta ger ytterligare två viktiga och användbara samband:

cos (i {

v) = sin v,

sin ( i - v) = cosv.

4.9 Bestäm a)

cos ( i - v) och cos ( v - i) om sin v = ~;

b)

sin(i-v)ochsin(v-i)omcosv=i-

Låt nu P' vara skärningen mellan förlängningen av O P och cirkeln. (Se figuren nedan) Om P svarar mot vinkeln v så svarar P' mot vinkeln v + 1r. Om P har koordinaterna (a, b) så har P' koordinaterna (-a, -b), varav vi får

a=cosv, b = sin v,

{

och {-a=cos(v+1r), -b = sin (v + 1r),

y

P=(a,b) X I

P=(-a,-b) Detta ger ytterligare två viktiga och användbara samband:

73

Kapitel 4.

Trigonometri

{

= -cosv sin (v + 1r) = - sin v

cos(v+1r)

. . l01r Berälen asm 3 .

-------------------------------------Eftersom vi kan skriva 1~1r =

. l01r sm 3

=

1r + 21r, så gäller

. (11" + 1r + 21r) = sm . (11" + 1r ) = = sm 3 3

4.10 Beräkna . 51r a)

i + 31r i +

sm 4

;

. 1311" sm-· 4 ,

b)

d)

. 7r sm 3

= - 2v'3 .

l01r cos 3 .

4.11 Genom att spegla punkten P = (a, b) i y-axeln kan man härleda formlerna cos (1r - v) = - cos v och sin (1r - v) = sin v med liknande teknik som den som visats i texten ovan. Genomför härledningen. . 51r Berälen acos 6 .

. . 511" Omskrivmngen 6

1r 51r ( 1r ) 1r J3 = 1r - 6 ger cos 6 = cos 1r - 6 = -cos 6 = - 2 .

4.12 Beräkna med hjälp av formlerna i övning 4.11 . 51r . 31r a) sm ; b) cos 21r ; c) sm ; d)

6

3

4

För den punkt P på enhetscirkeln som svarar mot vinkeln, eller vridningen, v gäller P = (cos v, sin v). Pythagoras sats ger då:

74

4.3

Några grundläggande trigonometriska ekvationer

Trigonometriska ettan (1)

cos2 v

+ sin2 v = 1

Vad är sin v om man har cos v

. "ka ettan ger 1 Tngonometns

= 31 ?

9 + sm

·2 v

·2 v = 8 . = 1, varav sm 9

. = -2/2 ll . 2/2 Dettagersmv 3- e ersmv = - 3-.

4.13 Var är sin v om man har 1 n a) cosv = b) - < v 7

2

< n och cosv =

1

-- ? 5..

Anm. Det är viktigt att man inte hänger upp definitionerna av cosinus och sinus på bokstäverna x och y. Man bör istället träna sig att tänka på cosinus som förstakoordinaten och sinus som andrakoordinaten Ufr sid 69). I nästa avsnitt kommer vi att använda x för en okänd vinkel, vars värden ska bestämmas. Skulle man behöva beteckningar för koordinaterna så får man då välja andra bokstäver än x och y.

4.3 Några grundläggande trigonometriska ekvationer 4.3.1 Ekvationen cos x = k, -1 ::; k ::; 1 I figuren ser vi att det finns två punkter P och P' på enhetscirkeln med första-koordinaten k. Punkterna sammanfaller om man har k = ± 1. Om P svarar mot den vinkel v som uppfyller O ~ v ~ n och cos v = k, så svarar P'mot -v. Vidare gäller cos v = cos(v + n · 2n). Detta ger följande allmänna slutsats:

(k,O)

75

Kapitel 4.

Trigonometri

X= V+ n · 211", oos

x

= oos v "' ekvivalent med {

, n godtyckligt heltal.

eller X= -V+ n · 21r,

. Lös ekvationen cos x

1 = J2 .

Vi vet, eller ser med hjälp av enhetscirkeln, att vi har

Vår ekvation kan alltså skrivas cos x x

71"

~ = cos ~ .

= cos ~ , som ger

71"

= 4 + n · 21r eller x = - 4 + n • 21r.

4.14 Lös ekvationen 11"

a)

cosx = cos-·

d)

COSX

6'

1

= -·

2'

b)

cosx = cos 4;

e)

cosx = - - .

4.3.2 Ekvationen sin x

c)

COSX

= O;

v'3 2

= k, -1

::; k ::; 1

Om P svarar mot den vinkel v i första eller fjärde kvadranten, dvs. -1r /2 ::; v ::; 1r /2, som uppfyller sin v = k så svarar P' mot vinkeln 1r - v.

rLärk .Anan-koora

Vi får följande resultat:

sin x

=,in v ä, ekvivalent med {

X= V+ n · 211",

eller X

76

= 11" -

, n godtyckligt heltal. V

+ n · 211",

4.4

1

2.

Lös ekvationen sin x =

Vi vet, eller ser med hjälp av enhetscirkeln, att vi har

Då kan vår ekvation skrivas sin x = sin

{

x = X

Ndgra trigonometriska kurvor

i, som ger

~

= sin

i.

i +; •

271" eller

= 71" - -

6

+ n · 271" '

där n är ett godtyckligt heltal. Vi får alltså lösningarna. X= {

i +n ·

271"

eller

, n godtyckligt heltal.

571"

X=

6 +n · 271",

Anm. Oftast skriver man 2n 7r istället för det längre n • 271".

4.15 Lös ekvationen a)

d)

71" sinx =sin-· 5' 1 sinx = --· 2'

v'3

b)

sinx = - · 2 '

c)

sinx = O;

e)

sinx = sin2;

f)

sinx = sin 53°.

4.4 Några trigonometriska kurvor Cosinus- och sinuskurvan kan man få på följande sätt. För varje vinkel på ett helt varv mäter man båglängden x längs enhetscirkeln. Så avsätter man detta mått på en horisontell x-axel och tar motsvarande cosinus- respektive sinusvärde i vertikal y-led. För att få en bra bild av dessa kurvor är det lämpligt att välja samma skala på de båda axlarna. 77

Kapitel 4.

Trigonometri y

•

--------------------- ---------------

------

f •

- - - -- - - - - -

-

-:.-_-:::::

a

X

y-=.cosx

-..-""I

D

•

y: Stn:X.

•_::~i!!!~~ -~:.....+,~-+-~±--=~~:-::;--:;mr"-r-.x

-------------------------------1- -------

Rita kurvorna y

+i).

= sin x och y = sin(x

Vi ser att båda kurvorna är "sinuskurvor''. Efter att ha ritat y vi att punkten x

y

= sin ( x +

i) ,

eftersom x

samma period som y likadan ut som y

-i x = -i-

= 0 på y = sin x motsvaras av x =

= sin ( x

i= + i) .

+

0 ger just

på kurvan

Detta betyder att y

Vidare har y

= sin ( x +

7r

= sin x

i)

ser

= sin x men är förskjuten avståndet 6 åt vänster. Se figurerna. y::: sin(X+f)

VJ

-1 Med mindre skala ser kurvorna ut så här.

78

= sin x konstaterar

;JSinx

4.5

Tangens och cotangens

4.16 Rita i samma koordinatsystem kurvorna y=cosxochy=cos(x+i);

a)

b)

y=sinxochy=sin(x-i)·

Rita kurvorna y = sin x och y = sin 2x i samma koordinatsystem Båda kurvorna är sinuskurvor. Funktionen y = sin 2x har (minsta) perioden 1r medan y = sin x har perioden 21r. Kurvan y = sin 2x är således hoptryckt så att den varierar dubbelt så fort som y = sin x. y

4.17 Rita i samma koordinatsystem kurvorna X a) y = sinx och y = sin3x; b) y = cosxochy = cosf c) e)

y = sinx och y = sin (2x + y = sinx och y = cosx.

i);

d)

y=cosxochy= ~cos(x-i);

Anm. Observera att figuren i e) bl.a. illustrerar sambanden cosx = sin (x

+ i)

TRIG I\C)N,S- --"'-"'-'-

TER

och sinx = cos (x

X

Sinx

0

voi4

-rr.1,

-i).

~

lC/4 TC/3

~

Tt/2.

viii4

vi4

4.5 Tangens och cotangens Vi definierar nu funktionerna tangens och cotangens.

79

Kapitel 4.

Trigonometri

Slll X

7r

tan x = - - , x -I -2 cosx

{

+ n · 1r, , där n är ett godtyckligt heltal.

COSX

cotx = -.-, x -In• 1r, smx '1>

------

T

P = (cosx,sinx). Q=(l,O). t10M P och t10QT är likformiga. Alltså gäller T = (1, tan x) .

'I I

I I

'

I

'

\

Beräkna

a)

b)

a)

7r

cot 3 ;

b)

131r tan 3 .

7r 1 cosl cot~=--#-=_l__=-. 3 sin v'3 v'3 3 2 . 131r sin 131r Slll 3 tan3 = 131r coscos

3

(i+ 41r) sm- -v'3 = ----¾ = + = v'3. (i+ 41r) cos 3 2 •

4.18 Beräkna a)

80

7r

tan 4 ;

b)

cot

(-i);

c)

l61r tan 3 .

7r

y

i' D·

4.5

Tangens och cotangens

Både cosinus och sinus har perioden 271". Då måste detsamma gälla för tangens och cotangens. I själva verket har tangens och cotangens en minsta period 71", eftersom vi har sin ( x + 11") - sin x sin x tan ( x+1T ) = - - - - = - - - = - - =tanx cos(x+71") -cosx cosx och cot(x + 11") = cot x. Alltså gäller följande samband:

{

tan(x+n-71") =tanx,

cot(x+n·11") =cotx,

där n är ett godtyckligt heltal.

Grafiskt kan funktionerna tangens och cotangens åskådliggöras som i nedanstående figurer.

y

y

4.19 Rita för -71"


0, lkl steg ned, om k < 0.

lk t

_____J (k>O) 1 ~

Den geometriska betydelsen av den konstanta termen b är att linjen skär y-axeln i punkten (0, b)

98

5.1

Linjen

:

••

X

..

Ritakurvany={ x+l,xO,

föro+4X) ----------}

f(Y.)

- -----

I ••

-l Ay

I I I

''

_ _4----4,___ _ _ _ _ _

---+-----+-'__.~--•X

X,,+AX

x

X.

Om dijferenskvoten eller ändringskvoten ~Y

= I (xo + ~x) - I (xo)

~X

närmar sig talet A då ~x betecknas exempelvis

---+

~X

0 så kallas A för derivatan av / i punkten x 0 och

!' (xo), y' (xo), (~~) :r:=:r:o eller D f (xo). Man säger att / är deriverbar i x 0 110

.

6.2

Geometrisk tolkning av begreppet derivata

Derivatan talar om hur snabbt funktionsvärdet ändras i en viss punkt. Man kan tolka derivatan som funktionens momentana tillväxthastighet.

Ibland betecknas tillskottet i x med h istället för ~x. Differenskvoten skrivs då

~!

f (xo + h) - f (xo)

h

h

För att du ska vänja dig vid olika beteckningar för derivatan kommer vi att variera beteckningarna i fortsättningen.

6.2 Geometrisk tolkning av begreppet derivata Genom punkterna (xo, f(xo )) och (xo lägger vi en linje. Se figuren.

+ ~x. f(xo + ~x)) på kurvan y = f(x)

y

... :

(x.t«,fer_+410)

l f0r.+å]() - .foc.> I

X

Denna linje har riktningskoefficienten

k

_ f (xo PoP -

+ ~x) - f (xo) ~X

·

Då ~x -+ O kommer punkten P att närma sig Po och linjen genom Po och P kommer att vrida sig kring P0 . Om f är deriverbar i xo så kommer linjen att nå ett gränsläge, en linje med riktningskoefficienten f' ( xo). Denna linje kallas tangenten till kurvan i punkten xo. 111

Kapitel 6.

Derivator

Thngentens ekvation Ekvationen för den tangent till kurvan y = f (x) som går genom (xo ,f(xo )) är Y - f(xo) = f'(xo)(x - xo)

Den linje som går genom punkten (xo, f (xo) och som är vinkelrät mot tangenten kallas normalen.

... Normalens ekvation Ekvationen för den normal till kurvan y

= f (x) som går genom

(xo, f(xo)) är y - f(xo)

om f'(xo)

=-

1

f'(xo) (x - xo),

# 0. Om f'(xo) = 0 så är normalens ekvation x = xo.

6.3 Deriveringsregler Vi sammanfattar först derivatorna till några viktiga funktioner.

112

6.3

f(x)

f'(x)

f(x)

f'(x)

k, k konstant

0

ex

ex

sinx

COSX

lnx

l

cosx

-sinx

x 0 , a konstant

axa-1

Deriveringsregler

X

Deriveringsregeln för en summa d

(1)

dx (f (x)

Derivera cos x

+ g (x)) = f'(x) + g'(x)

+ x3

Vi får d~ (cosx

+ x 3 ) = d~ cosx + d~

x3

= -sinx + 3x2

6.1 Derivera

a)

cosx + sinx;

d)

cosx - sinx + x 5 ; e)

ex - cosx;

f)

lnx + 3.

Deriveringsregeln för en produkt (2a)

d dx (f(x) · g(x))

= f'(x) · g(x) + f(x)

• g'(x)

Om speciellt en av funktionerna är konstant så gäller följande regel:

113

Kapitel 6.

Derivator

d

= k • g'(x)

dx (k · g(x))

Il Derivera a) x 3 · cos x; b) 13 -sin x .

Vi får d (x 3 · cos x) = (d a) dx dx x 3 ) · cos x = 3x2 · cos x

+ x3 · (-

b) d~ (13 · sinx)

6.2 Derivera a) x 2 • cosx; d)

sin2

x;

sin x) = 3x2 cos x - x 3 sin x;

= 13 •

!

sinx

= 13 • cosx = 13 cosx.

lnXj 2 x (lnx - 3);

b)

X·

e)

d cos x) = + x 3 • ( dx

c) t)

+ 5); (sinx) •ex• x 2 .

e:c · (x2

Följande deriveringsregel gäller:

d

1

g'(x) (g (x))2

---= dx g (x)

(3a)

. 1 Denvera-.-.

smx

Vi får

d 1 ---= dx sinx

6.3 Derivera 1 a)

-;

b)

d)

114

c)

COSX

X

1 ex +2;

1

--;

e)

x2

1 + 5sinx

COSX

(sinx)

1 lnx;

COSX

2 =--2-·

sin x

6.3

Deriveringsregler

Genom att utnyttja sambandet

f(x) _ f X • _1_ g(x) - ( ) g(x) och använda deriveringsreglerna (2a) och (3a) får man följande regel:

Deriveringuegeln för en kvot d f(x) dx g(x)

(3b)

=

f' (x) g(x) - f(x) · g' (x) (g(x))2

I ord: "Derivatan av en kvot är lika med täljarens derivata gånger nämnaren, minus täljaren gånger nämnarens derivata, allt detta dividerat med nämnaren i kvadrat".

Derivera cot x . Vi får, med hjälp av definitionen av cotangens, deriveringsregeln för en kvot och trigonometriska ettan:

d cosx

d

-~x=---= dx dx sinx

- sinx • sinx - cosx · cosx (sinx)2

=

= - (sin2 x + cos2 x) = _ sin2 x + cos2 x = { sin2 x

sin2 x

6.4 Derivera a)

d)

X

sinx

;

x 3 + 2x5 lnx

b)

tan x;

e)

3x+4 x 2 -1 ·

6.5 Derivera 1

1

a)

x+-+-; X x2

b)

d)

ex(3x 2 - 5x + 2);

e)

c)

lnx

--;;-;

x2 1 + xex' 3x+2 7x+5

c)

xln x - x;

115

Kapitel 6.

Derivator

6.6 Bestäm tangentens ekvation och normalens ekvation till kurvan a)

y= -

1 . 1 punkten (0, 1); +1

X+

X

3-

x3

c)

d)

y =

b)

x 2 + 1. y = - - 1 punkten (0,1); eX

7) ;

- -x+3 ( 3 2 i punkten 1, 6

3

y = x2 cos x - 2 sin x + i punkten

(i, 1) .

6.4 Derivering av sammansatta funktioner Betrakta funktionen f(x) =sin(2x + 3). Om vi nu sätter g(x) = 2x + 3 och h(y) = sin y såfår vi f (x) = h(g(x) ). I ord innebär detta att f :s värde i punkten x är lika med h:s värde i punkten g( x). Man säger att f är en sammansatt funktion. Det är praktiskt att tala om h som den yttre funktionen och g som den inre funktionen. Bestäm g(x) och h(y) så att man får f(x) = h(g(x)) om f(x) = cos(x 2

+ 1).

Eftersom f (x) är cosinusfunktionens värde i punkten x 2 + 1 så får vi den yttre funktionen till h(y) = cos y och den inre g( x) = x 2 + 1.

Bestäm h(g(x)) om g(x) = sin x och h(y) = eY

---------------------------------------------------------------------------------

Vi får h (g(x)) = h(sinx) =

eeinx

6.7 Bestäm g(x) och h(y) så att man får f(x) = h(g(x)) om f(x) = a)

(x 2 + 1) 3 ;

b)

cos(ex);

c)

ln(3x 2 +3x+l);

d)

J3x 2 +7.

6.8 Bestäm h(g(x)) om a)

g(x) = 7x - 1 och h(y) = cosy;

c)

g(x)

b)

g(x) = 2x 2 + 1 och h(y) = yJy;

= ln x och h(y) = y3 + 1.

En fördel med att skriva en funktion som en sammansättning av två enklare funktioner framgår av nästa deriveringsregel.

116

6.5

Differentialer

Kedjeregeln För den sammansatta funktionen / (x) = h(g( x)) gäller

d

(4)

d

dxf(x) = dx h(g(x)) = h'(g(x)) • g'(x)

I ord: Derivatan av en sammansatt funktion / i punkten x är lika med derivatan av den yttre funktionen h i punkten g( x) multiplicerad med derivatan av den inre funktionen g i punkten x. Derivatan g'(x) brukar kallas inre derivatan

Derivera f(x) = ln(x 4 + 2) . Vi har här h(y) = 1n y och g(x) = x 4

+ 2. Då gäller

h'(y) =!och g'(x) = 4x 3 . y

Kedjeregeln ger 1 1 4x 3 f'(x) = h'(g(x)) · g'(x) = • g'(x) = - - • 4x 3 = - - . 4 4 g(x) x +2 x +2

Anmärkning. När man blivit van att derivera sammansatta funktioner så skriver man normalt inte ut några mellansteg med h och g utan tänker i yttre och inre funktioner och deriverar direkt. 6.9 Tänk på den yttre och inre funktionen utifrån den uppdelning som du gjort i övning 6. 7 för att bestämma /' (x) om f (x) =

+ 1)3;

a)

(x 2

c)

ln(3x 2 + 3x + 1);

6.10 Derivera funktionen a) 2e3x; b) c)

(l+cosx) 312 ;

d)

b)

cos(ex );

d)

J3x 2 + 7.

sin(l + 3x2 ); ln(2sin 2 x+l).

Kapitel 6.

Derivator

6.5 Differentialer Man är ofta intresserad av att undersöka hur en liten ändring Ax av x ändrar funk. tionsvärdet av en funktion f. Detta kan man naturligtvis göra genom att räkna ut differensen Af = f(xo + Ax) - f(xo). Ofta är detta arbetsamt, ibland omöjligt, och man får nöja sig med en approximation.

Vi vet att om f är deriverbar i xo så närmar sig differenskvoten

f (xo

+ Ax) -

f (xo)

Ax värdet f' (x 0 ) då Ax -+ 0. För små värden på Ax är det därför rimligt att differenskvoten ska kunna användas som en approximation av f' ( xo)

f (xo

+

A;l-

f (xo)

~ J'(x 0 ), för små värden på Ax.

Denna approximation kan vi också tolka som en approximation av differensen Af.

Af= f(xo

+ Ax) -

f(xo)

~

f'(xo) · Ax, för små värden på Ax

Uttrycket f' ( xo) · Ax kallas för differentialen av / i punkten xo och betecknas ofta dy(xo) eller bara dy, om det inte är någon tvekan om vilken punkt xo som det är frågan om, alternativt df ( xo) respektive df.

Dift'erential Med differentialen dy av en funktion

f

i punkten x 0 menas

dy= f'(xo) · Ax

Uttrycket dx kan ses som differentialen av funktionen x, vars derivata alltid är 1, dvs. dx = 1 · Ax, eller helt enkelt dx = Ax. Man skriver därför ofta dx istället för Ax och får då uttrycket dy= f'(x)dx för differentialen. Differentialen dy, som beror av xo och Ax, är alltså en approximation av Ay, dvs.

Ay

~

dy.

Den geometriska tolkningen av differentialen illustreras i figuren.

118

6.5

Differentialer

y

f~+AX)

f -2 och x --+ -2 så gäller f(x) om x < 1 och x --+ 1 så gäller f(x) om x > 1 och x --+ 1 så gäller f(x) Detta kan också uttryckas mer kortfattat så här: f(x)--+ -oo om x--+ f(x)--+ +oo om x--+ f(x)--+ -oo om x--+ f(x)--+ +oo om x--+

--+ --+ --+ --+

-oo, +oo, -oo, +oo.

-2-, -2+, 1-, 1 +.

Således är linjerna x = 1 och x = - 2 lodräta asymptoter. Eftersom det dessutom gäller att f(x)--+ 0 då x--+ oo och då x--+ -oo, så kan vi se följande tendenser: y

\ ................

.............. -1

\., • • I Denvenng ger y

\ X

\

. I:

+2 Q all ..,J. = - (x _ X2 l) 2 (x + 2)2 < 1or ax -r &"

2

och x ,f. 1, vilket innebär att f(x) alltid avtar då x växer.

y

X

I

y

0

0

2 3

1/2 3/10

-1 -3 -4

1/2 -3/4 -2/5

.. ,

125

Kapitel 6.

Derivator

6.20 Rita kurvan y = J(x), då f(x) = (x _ ~;: _ 2 ) · 6.21 Bestäm eventuella lodräta asymptoter till kurvan y f(x) = 2 2x+3 ) x+2 a) x+l; b) (x+l)(x-1); c x 2 +x-2· 6.22 Rita kurvan y

=f

=

f(x), om man har

(x) i var och en av övningarna 6.2la)- c).

6.8 Blandade övningar 6.23 Härled ett uttryck för sin 2x genom att derivera sambandet cos 2x sin2 x.

6.24 Funktionen f (x) = 2x 3 + 6ax (J2, 1) . Bestäm konstanterna a och b.

= cos2 x-

+ b antar ett lokalt minimum i punkten

6.25 Undersök den rationella funktionen x3

f (x)

= x2 -

1

med avseende på lokala extrempunkter och lodräta asymptoter. Rita funktionskurvan. lnx

6.26 Visa att y = 0.

är en lösning till differentialekvationen x 2 y" + 3xy' + y =

X

6.27 Visa med hjälp av differentialer att för små värden på x gäller ex~

1 +x

Rita också en figur med kurvan y = ex och linjen y = I + x.

6.28 Genom punkten ( 1, 1) på kurvan y kurvan. Bestäm tangenternas ekvationer.

~ X

kan man dra två tangenter till

6.29 Bestäm konstanten a så att y = ae 2t blir en lösning till differentialekvationen y" - 2y' + 4y = e2t 6.30 Tangenten i punkten P på kurvan y = 3x - x 3 skär tangenterna i kurvans maximi- och minimipunkter i respektive A och B. Bestäm x-koordinaten för P, så att sträckan AB blir 5 längdenheter. 126

7 Integraler

7.1 Primitiva funktioner I många fall behöver man bestämma en funktion F(x) vars derivata f(x) är given. För alla x i något intervall I ska alltså F( x) = / (x) gälla. Funktionen F (x) kallas då en primitiv funktion till / (x), där "primitiv" i detta speciella fall används i betydelsen "ursprunglig".

Exempel på primitiva funktioner a) b) c) d)

x 3 är en primitiv funktion till 3x2 , ex är en primitiv funktion till ex , ex + 56 är en primitiv funktion till ex , 68 + sin x är en primitiv funktion till cos x.

Om F(x) är en primitiv funktion till funktionen f(x) så gäller samma sak för F( x) + C, dvs. för den funktion som man får om man lägger till vilken konstant som helst. Geometriskt innebär det att om man förflyttar en kurva y = F(x) parallellt med y-axeln så har den förflyttade kurvan samma derivata som den ursprungliga. I själva verket gäller att om man känner en primitiv funktion så får man varje annan primitiv funktion genom att lägga till en lämplig konstant C. Detta kan uttryckas på följande sätt.

Samband mellan primitiva funktioner Om F(x) och G(x) är två primitiva funktioner till f(x) så gäller F(x) = G(x) + C för någon konstant C. 127

Kapitel 7.

Integraler

Om G (x) är en viss primitiv funktion till funktioner av

F(x)

f (x)

så ges samtliga primitiva

= G(x) + C,

där C är en godtycklig konstant.

Om man känner läget s(t) av en partikel som rör sig längs en linje så får man partikelns hastighet v(t) genom att derivera s(t). Om man exempelvis har s(t) = 3t2 - 18t + 2, så gäller v(t) = ~ dt = 6t - 18. Omvänt, om man känner kroppens hastighet v(t), så gäller tydligen att läget s(t) är en primitiv funktion till v(t). Om man exempelvis har v(t) = 6t - 18, så får man s(t) = 3t 2 - 18t + C. Konstanten C kan bestämmas om man känner partikelns läge vid en viss tidpunkt. Med t.ex. s(O) = 2 får man C = 2.

7.1 Ange samtliga primitiva funktioner till a) x; b) e3 x; c) /x; d)

1

-· 2'

e)

(x - 3) (x - 2);

t)

sinx.

X

7.2 Bestäm den primitiva funktion F till den givna funktionen F(l) = -1 gäller, om man har f(x) = a)

x 5,

b)

1

-,

c)

ex

d)

f

så att sambandet

cosx

X

7.3 Om en sten kastas rakt upp med begynnelsehastigheten 5 rn/s så ges dess hastighet vid tidpunkten t av uttrycket

v(t)

=5-

9.81t.

Bestäm stenens läge vid tidpunkten t, dvs. avståndet s(t) till marken, om man har s(O) = 2 m. Bestäm även den totala sträcka som stenen rört sig när den träffar marken.

128

7.2

Integraler och areor

Eftersom primitiva funktioner har samband med integraler används ofta beteckningen J f ( x) dx för samtliga primitiva funktioner till / ( x). Bestäm

a)

J x 3 dx,

b)

Je2 xdx

----------------------------------------a)

b)

Jx 3 dx = 41 x 4 + C, där C är en godtycklig konstant. J e2x dx = 21 e2 x + C, där C är en godtycklig konstant.

I tabellen nedan sammanfattar vi några vanliga primitiva funktioner.

f(x)

J f(x)dx

xa

- - x0 +i+c a=,f-1

1 a+l

1

x-1 = -

'

lnlxl + C, a = -1

X

ex

ex +c

sinx

-cosx+C

cosx

sinx + C

1 cos2 x

tanx + C

1

-cotx + C

sin2 x

Anmärkning. Lägg märke till att när man utgår ifrån 1/ x så måste man, om man ska uttrycka sig korrekt, sätta beloppstecken kring x i lo-uttrycket, ty vi har d

-d lnx {

X

1

= -omx > 0, X

d 1 1 -ln(-x) = · (-1) = - omx

dx

-x

x

0 eller x < 0. 129

Kapitel 7.

Integraler

7.2 Integraler och areor En integral är definitionsmässigt ett gränsvärde av en följd av summor, sk Riemannsummor. Summornas termer är produkter av två faktorer, ett funktionsvärde och längden av ett "litet" intervall. Integraler har utvecklats ur problemet att bestämma areor som begränsas av kurvor. Det har visat sig att många andra problem kan tolkas som "areor med tecken", så att integralerna har fått mycket vidare användningsområden än bara som hjälpmedel vid areaberäkning.

Integralen av funktionen

f (x) över intervallet a ::; x :=; b betecknas med b

J f (x)dx a

och utläses: "Integralen från a till b av / (x) dx" eller bara "Integralen från a till b av /(x)".Här kallas f(x) för integrand, x för integrationsvariabel eller integrationsbokstav samt a och b för integrationsgränser. Symbolen dx talar om vilken integrationsvariabeln är. När man som här har dx säger man att man integrerar med avseende på x.

Integraler är nära besläktade med primitiva funktioner. Man kan visa följande viktiga resultat.

Om f (x) är kontinuerlig. och man har F( x) = f ( x) för alla x i integrationsintervallet, dvs. F( x) är en primitiv funktion till / ( x) där, så gäller b

f

(1)

f(x)dx=F(b)-F(a).

a

3

Beräkna

a)

f 3x2 dx; 1

a) F(x)

= x 3 är en primitiv funktion till integranden, varför vi, enligt (I), får

3

f 3x2 dx =

F(3)- F(l) = 33

-

13 = 26

1

b) F(x)

= exär en primitiv funktion till integranden, så att (1) ger

1

J exdx = -2

130

F(I) - F(-2) = e 1 - e- 2 = e - e- 2 .

7.2

Integraler och areor

Anmärkning. Även G( x) = ex + 56 är ju en primitiv funktion till ex. Om man använder G (x) i ( 1) istället för F (x) så får man precis samma slutresultat: 1

J exdx = G(l)-G(-2) = (e 1 + 56) - (e- 2 + 56) = e - e- 2 . -2

7.4 Beräkna med hjälp av ( 1) 2

2

f 3x4 dx;

a)

J 2e2xdx;

b)

0

1

211"

J (-sinx) dx;

c)

9

f

d)

11"

J-./xdx.

0

Observera att J f (x) dx betecknar funktioner, alla med samma derivata, b

medan J f (x) dx betecknar ett tal. Man brukar tala om obestämd a

respektive bestämd integral.

Eftersom man så ofta får anledning att skriva en differens mellan två värden av en primitiv funktion så är det praktiskt att ha ett skrivsätt som vid tillämpningar inte kräver någon speciell bokstav för den primitiva funktionen. Oftast använder man då följande klammersymbol.

F(b) - F(a)

= [F(x)]~

Il

Il 3

Beräkna

J x 2dx;

a)

b)

f1

x2dx

= [!x3] 3 = ! 3

J x 3dx. -2

1

a)

1

b)

13

j x3dx = [!x4] 1 = ! . 14 4 -2 4

-2

3

! 3

= 26.

! . (-2)4

=!

- 16

. 33 - ! . 13 3

4

= 27 -

4

3

4

=-

15 4

131

Kapitel 7.

Integraler

7.5 Beräkna w/2

2

a)

f exdx;

b)

0

J sinxdx;

c)

0

7.6 Beräkna 8 1 a) f-dx;

-9

b)

2 X

1

J -dx -27 X

l

(x 2 + ;) dx.

2 1 f-dx;

c)

d)

1 X

1 1 f-dx.

2 X

Ur de vanliga deriveringsreglerna får vi motsvarande regler för räkning med primitiva funktioner. Räkneregler rör primitiva funktioner och integraler la.

lb.

J (f(x) + g(x)) dx = J f(x)dx + Jg(x)dx, b b b J (f(x) + g(x)) dx = J f(x)dx + Jg(x)dx,

a

a

a

Ila.

J kf(x)dx = k J f(x)dx, om kär en konstant

Ilb.

Jkf(x)dx = k J f(x)dx, om kär en konstant.

b

b

a

a

I ord: Summor kan integreras term för term och konstanter kan "flyttas ut".

Anmärkning. Likheter mellan obestämda integraler, t.ex. (2)

f

f (x)dx

=

f

g(x)dx,

kan inte uppfattas som att två funktioner, F(x) och G(x), är lika, ty (2) säger bara att derivatorna av bägge leden är lika.

Bestäm f(x 3 + 5sinx)dx. Räknelagarna ger f(x 3 + 5sinx)dx =

Jx 3 dx + J5sinxdx =

= Jx 3 dx + 5 Jsinxdx = ix4 + 5(-cosx) + C, 1 4 = -x 4

5cosx+ C,

där C är en godtycklig konstant.

132

7.2

Integraler och areor

Anmärkning. I detta exempel har vi skrivit ut många mellansteg för att visa precis hur man tänker när man använder räknelagarna. I praktiken skriver man inte ut mellanstegen.

7.7 Bestäm samtliga primitiva funktioner till a)

x 5 + 4sinx;

3ex;

d)

1 1 --+cos 2 x x2

b)

4

e)

1 ex+-;

c)

X

,/2x.

f)

1+-; X

1

Beräkna

71"

J6x3 dx;

a)

J5sin3xdx.

b)

0

0

a) Räknelagarna ger

j 6x o

dx = 6

3

jx o

3

1

dx = 6 [!x4 ] = 6 (!. 1 - ! . 4 4 4 0

o)

=

~2

b) Räknelagarna ger

J 5sin3x dx = 5 Jsin3x dx = 71"

71"

0

0

[

5 -

1

3 cos3x

]71"

=

0

=5(-~cos31r+~coso) = ~-

7.8 Beräkna 0

4

f 6e2xdx;

a)

b)

Om f (x) ~

c)

-1

0

a

J (x2 + 5x3 ) dx;

x

~

~ 0 för alla x i intervallet b och A betecknar arean

av det område som begränsas av x-axeln, kurvan y = f (x) och de båda linjerna x = a och x = b så gäller b

J f(x)dx = A.

X

a

133

Kapitel 7.

Integraler

Integralen kan alltså användas för att beräkna areor av områden begränsade av positiva funktioners kurvor. För negativa funktioner har man följande resultat:

y Om f (x) $ 0 för alla x i intervallet a $ x $ b och A betecknar arean av det område som begränsas av x-axeln, kurvan y = f (x) och de båda linjerna x = a och x = b så gäller

a

p

X

......~--111:'.""'""~-~~-

b

J f(x)dx = -A. a

Om f (x) växlar tecken så gäller att integralen ger differensen av areorna av områdena ovanför och under x-axeln. Integralens värde ger alltså "nettoarean". När man ska räkna ut integralens värde behövs ingen uppdelning av integrationsintervallet. Men när man ska räkna ut areor måste man ibland dela upp integrationsintervallet. Bestäm arean av det område som begränsas av linjen x x = 2 och kurvorna y = x 2 och y = fix.

Vi börjar med att ta reda på var de båda kurvorna skär varandra:

x 2 = fix, ger x 6 = x, varav x (x 5 - 1) = 0, dvs. x = 0, x

= 1.

Vi gör en figurskiss (se till höger) och konstaterar att kurvan y = x 2 ligger överst i -1 $ x $ 0 och 1 $ x $ 2 och underst i O $ x $ 1.

134

=

-1, linjen

Integraler och areor

7.2

Det betyder att vi får dela upp integrationsintervallet i tre delar, och vi får 0

A

=f

1

(x 2

-1

-

rx) dx + f (rx- x

2

2)

dx + f (x 2

0

= [!x3 _ Jx4/3] 0 3 4 -1

+ [;!x4/3 _ 4

lx3] 1 3 0

1

+ [!x3 _ 3

-

rx) dx =

;!x4/3] 2 = 4 1

= 0 - 0 + ½+ ¾· 1 + ¾· 1 - ½- 0 + 0 + ½. 8 - ¾. 24 / 3

-- 55 12

-

3

-

½+ ¾. 1 =

9'.2 2 ~ ~ 2 ·69 ·

7,9 Beräkna arean av det område som begränsas av a)

kurvan y = 12 , x-axeln och linjerna x = I och x = 2;

b) c)

kurvan y = - 2ex , x-axeln och linjerna x = 0 och x = 2; kurvorna y = 2x 2 och y = x 3 ;

d)

kurvan y = :

X

2

och linjerna y = x och y =

7.10 Linjen x = 2 och kurvan y =

i·

1

2x 2 + 6 begränsar tillsammans med x-axeln

och y-axeln ett område i xy-planet. Visa att detta område delas i två lika stora delar av kurvan y

= 4 - 21 x 2 •

7.11 Visa att för arean A av det streckade parabelsegmentet i figuren här nedan gäller

A

= C(x1 -

x2) 3 .

6

135

Kapitel 7.

Integraler

7.3 Variabelbyte En sammansatt funktion kan vara svär, ibland omöjlig, att integrera genom direkt "baklängesderivering". Man kan behöva byta variabel för att klara situationen. Istället för "variabelbyte" säger man också "variabelsubstitution". Kedjeregeln för derivering av en sammansatt funktion används för att visa följande resultat.

Variabelbyte (obestämda integraler) Låt F vara en godtycklig primitiv funktion till /. Då gäller

J f(g(x))g'(x)dx [

dt

= J f(t)dt = F(t) + C = F(g(x)) + C

t=g(x)] = g'(x)dx

Beräkna Jsin2 x cos x dx .

t

= sin x ger dt = cos xdx, varav

J sin2 xcosx dx

= Jt 2 dt = ½t3 + C = ½(sinx) 3 + C = ½sin3 x + C.

Anmärkning. Avsikten med detta exempel är endast att illustrera principen för variabelbyte. Självfallet kan man lösa uppgiften genom direkt "baklängesderivering", och ett variabelbyte behövs i praktiken bara när man har mer komplicerade integrander.

1

Bestäm

136

I y'x(l + vx) dx.

7.3

Variabelbyte

7.12 Bestäm a)

J (x 2 + 2x) 3 (2x + 2)dx genom att göra variabelbytet t = x 2 + 2x;

2x 2 J -y-1 dx genom att sätta t = x + 1; X + c) J cos 3 x dx genom att först skriva om integranden enligt cos 3 x =

b)

( 1 - sin 2 x) cos x och sedan sätta t

cos2 x cos x =

= sin x;

82

d)

J -1 +83 d8 genom att sätta u = 1 + 8 3 .

Ibland kan det krävas att man gör någon uträkning i samband med variabelbytet innan man kommer fram till ett uttryck som går att integrera. Det viktiga är att man ser till att den nya integralen inte innehåller den gamla variabeln innan man börjar själva integreringen. Bestäm samtliga primitiva funktioner till (1

+ Jx/ 2 .

f (1 + vx/ 2 dx = Jt 12 2(t- l)dt = 2J (t 13 [

\v'x•

=1 som ger y'x = t -1 och dt = 2 y'xdx

t

t 12 ) dt

=

+ Jx}12 = t 12

(1

l

dx = 2y'xdt = 2 (t - 1) dt

7.13 Bestäm samtliga primitiva funktioner till a)

(2 + y'x)5

b)

sin3 x;

c)

X

(3x 2

e2x

d)

xy'x+l;

e)

1 + eX;

f)

+ 2) 2 ' 1

✓1

+ y'x

När man bytt variabel i en obestämd integral måste man gå tillbaka till den ursprungliga variabeln, eftersom man söker ett funktionsuttryck i den ursprungliga variabeln. För en bestämd integral är det annorlunda. Då söker man ju ett tal. När man bytt variabel i en bestämd integral bör man inte gå tillbaka. Istället byter man också integrationsgränsema och kan i och med det glömma den gamla variabeln. 137

Kapitel 7.

Integraler

Variabelbyte (bestämda integraler) Låt F vara en godtycklig primitiv funktion till /. Då gäller b

f

B

f (g (x)) g' (x) dx

= f f (t) dt = [F (t)] ! . A

a

t=g(x) x = a ger t = g (a) = A x = b ger t = g (b) = B dt = g' (x) dx

[

l

1/3

Beräkna f x (3x - 1) 100 dx. 0

1/3

0

f x (3x - 1) 100 dx = f ½(t

I 0

-1

(t 101

+ t 100 ) dt =

-1

t -- 3x - 1' som ger x -- l3 (t + 1)

x=Ogert=-1 x = -31 ger t = 0 dt = 3dx

dx

I0

+ 1) t 100 ½dt = ½ f -

l9 [-1 102 t102

= 91 (0

+ O-

= -31 dt

0 + _1 101 t101] -1

--

1 . 1 - 101 1 . ( - 1)) = 102

-

_1_

- 92718"

7.14 Beräkna 1/4

a)

138

f x(4x-1) 5 dx; o

b)

4 1 f----dx· 1

y'x(y'x+l)

'

1/2 c)

J x 2 (1 0

2x) 10 dx.

7.4

Partialbrdksuppdelning

7.4 Partialbråksuppdelning Avsnittet om partialbråksuppdelning på sid 33 kommer in på ett avgörande sätt när man integrerar.

1

2

Bestäm

J1 t (t + 1)dt.

Vi kan inte integrera direkt. Integranden behöver delas upp i partialbråk. Vi söker konstanter A och B så att vi får

A

1

B

At+A+Bt

t(t+l)=t+t+l=

t(t+l)

(A+B)t+A =

t(t+l)

,somger

+ B = 0, { A = 1, { A A=l, varav B=-1, Vår integral blir 1 ) J12 (1-t +-=t+l

dt =

2 1 - J J12 -dt -1d t = t 1 t+l

[ln itl]~ - [ln it+ 11]~ =

= [lnt]~ - [ln (t + 1)]~ = ln2 - ln 1- ln3 + ln2 = ln

j

~ 0.288.

7.15 Beräkna

f - - -1- d t · 1

a)

o (t + 1) (t + 2) ln2

c)

'

b)

1

f - dx; eX + 1

4

e)

J

ln2

2ex e2x -1 dx;

(t + 3)(t - 1)

f

f)

1r/ 2 8cosx [ 4 - sin2 x dx.

1

'

1

d)

Q

ln4

°

f - - -4t- d t ·

-2

---,,,-----=--dx· (y'x+l)(y'x+2)

'

7.5 Partiell integration Låt U och V vara funktioner av x. När man deriverar deras produkt så får man (UV)'= UV+ uv: Vi integrerar nu detta samband med avseende på x. Vänsterledet är en derivata, så att där får vi "tillbaka" funktionen, och högerledet kan vi 139

Kapitel 7.

Integraler

integrera term för term.

J

j (U'V + UV') dx ger

(UV)' dx UV

(1)

=

/ U'V dx

j

UV dx

UV -

+

J

j

UV' dx, som kan skrivas

UV dx. 1

Detta samband kan tolkas som en formel för integralen av en produkt. Eftersom man har kvar en integral i högerledet har man inte fullständigt integrerat sin produkt. Därför kallas metoden för partiell integration. I äldre svenska böcker står det ofta delvis integration. Vi kan byta beteckningar i ( 1) för att bättre poängtera att vi utgår ifrån integralen av en produkt:

U' = f(x), U = F(x) och V= g(x).

Partiell integration

(2)

J f(x)g(x)dx = F(x)g(x)- J F(x)g'(x)dx

I ord: Integralen av en produkt är lika med den ena funktionen integrerad gånger den andra oförändrad minus integralen av den integrerade oförändrad gånger derivatan av den andra. Första termen i högerledet i (2) kallas ibland för "den utintegrerade delen".

Bestäm

J x sin xdx .

Vi följer gången i (2) som ger

J x sin x dx =

ix

2

sin x-

j ix

2

cos xdx.

Värre!

Den integral som blev kvar blev bara värre än den vi utgick ifrån. Nu är ju ordningsföljden i en produkt av två faktorer inte väsentlig för resultatet. I formuleringen i ord talas om den "ena funktionen", inte "den första". Vi gör ett nytt försök med x som det som så småningom ska deriveras. Deriveringen kommer att sänka gradtalet. Vi ska alltså börja med att integrera sin x:

Jx sin x dx = x (- cos x) - J 1 · ( - cos x) dx = = -xcosx + J cosxdx = -xcosx + sinx + C. 140

7.5

Partiell integration

Anmärkning: Man kan använda sig av pilar för att hålla reda på de olika termerna vid partiell integration. Integration förknippas intuitivt ofta med "upp" och derivering med "ned", pilar för att hålla reda på de olika termerna så vi använder Tresp 1 för att symbolisera dessa operationer, och -+ när man håller oförändrad. Då kan det här exemplet skrivas så här:

J

dx =

sinx

X·

T

ofär- inteändrad grera

Beräkna

jx

3

X·

!

(-~x) -

derivera

j 1-(-cosx)dx

ofärändrad

ln xdx .

J

x 3 lnx dx T

-+

= -41 x 4 lnx ! -+

-

J

1 4 • -dx 1 -x 4

X

=

1 x 4 In x - 1 · 1 x 4 + C = = 41 x 4 In x - 4113 x dx = 4 4 4 1

4 lnx = -x 4

1

- x4 16

+ C.

7.16 Bestäm a)

J x cos xdx;

b)

J xexdx;

c)

J x 2 ln xdx;

d)

eVXdx.

Partiell integration kan givetvis användas även när man räknar ut bestämda integraler. Den utintegrerade delen ska då innehålla integrationsgränser. 3

Beräkna

j lnxdx. 1

Genom att skriva In x = 1 · ln x får man en produkt att integrera. Man kan då använda partiell integration även i detta fall.

= 3ln3 - [x]f = 3ln3 - 2 ~ 1.30.

141

Kapitel 7.

Integraler

7.17 Beräkna 2

3

Jx 3 lnx dx;

a)

J x 2 ln x 2 dx;

c)

1

d)

4 1 fxln-dx.

1

1

X

Ibland kan man behöva integrera partiellt flera gånger. Vi visar det i nästa exempel, där iden är att gradtalet hos x 2 successivt ska sänkas så att vi till slut får en konstant. 1

Beräkna /

x 2 e3"' dx.

0

1 /

x 2 e 3"' dx --+T

=

[x 2 !

•

!e3"']

3

0

1

1

--+Q

- /

2x • !e 3"'dx

3

b)

1

J ..jxev'xdx; 0

f ln3 x dx;

J x 2 sinx dx; 0

1/2

e

e)

t)

J x lo (2x + 1) dx.

0

1

JO...., 1>1:T MANSKUU.E ~}AFr>t

,,,

-o... ,,,,

I.Jrrrsu ..... -r.c...-

M,W

___ru____,•J,.,C~•~· 0

~ ~,.

142

x · e 3"' dx

--+

...

c)

0

0

d)

J x 3 e-"'dx;

1 / 0

1

1

J x 2 e4"'dx;

~3

O

7.18 Beräkna a)

3 = !e 3

T

=

7.6

Blandade iJvningar

7.6 Blandade övningar 7.19 Bestäm den positiva konstanten a i funktionen y = -x2 + ax, så att arean av det område, som begränsas av funktionskurvan samt positiva x-axeln, blir 36 areaenheter.

7.20 Kurvorna y = : 2 och y = ~ - x 2 skär varandra i fyra punkter av vilka A och B ligger i första kvadraten. Beräkna arean av den figur som bildas av de båda kurvbågarna AB. 7.21 Beräkna följande integraler a)

j lnx dx· ..rx '

b)

c)

1

7.22 Längden, s, av ett kurvstycke kan beräknas med hjälp av formeln b

s=

j J1 + (/' (x)) dx. 2

a

Beräkna längden av kurvan x3 1 a) / (x) = 12 + ;, 1 ~ x ~ 4; b)

/ (x)

=

ez + e-z 2

, 0 ~ x ~ a.

7.23 Beräkna arean mellan kurvorna y

= sin x och y = cos x då O ~ x ~ 211".

7.24 Bestäm arean av det område i första kvadraten som begränsas av kurvan y = .jx, linjen y = x - 2 och x-axeln.

7.25 Beräkna 1r/2

1r/3 a)

J sinx · cosx dx; 0

b)

J sin2 x · cosx;

1r/4

1r/3

c)

J cos2 x dx.

1r/6

7.26 En partikel som rör sig längs en rät linje har hastigheten v (t) = t 2 e-tm/s efter t sekunder. Hur långt rör sig partikeln under de första t sekunderna?

143

8 Komplexa tal

Om man löser en andragradsekvation på vanligt sätt så kan det hända att uttrycket under rotmärket blir negativt. Exempelvis så erhålls för ekvationen x2

-

2x + 2

=0

"rötterna" x2 = l - v-1. X1 = l+H, Eftersom kvadraten på såväl ett positivt som negativt tal är positiv, är man benägen att påstå att ekvationen saknar lösningar. Redan på 1500-talet upptäcktes dock att om man uppfattade som ett fiktivt eller imaginärt tal (imaginär = inbillad) 2 med egenskapen ( H) = -1 så kunde man räkna med detta tal med de vanliga räknereglerna och få användbara resultat. Om vi betecknar A med i så är alltså i ett tal som uppfyller sambandet i2 = -1.

H

Talet i (symbolen i infördes av Euler på 1700-talet) kallas för den imaginära enheten. Ekvationen ovan får då lösningarna 1 + i och 1 - i, ty exempelvis så är

(1 + i) 2

-

2 (1 +i)+ 2 = 1 + i 2 + 2i - 2 - 2i + 2 = 0.

Analogt visas att x2 = 1- i är en lösning (observera därvid att ( -i}2 = ( - 1)2 i 2 = i 2 = -1). Med hjälp av talet i och de reella talen kan man bilda komplexa (komplexa = sammansatta) tal, som

2 + 3i,

-5i,

1. 3 + 2i.

Ett komplext tal z är ett tal av typen z = x + iy, där x och y är reella tal och i 2 = -1. Talet x kallas för rea/delen av z, vilket skrivs x = Re z. Talet y kallas för imaginärdelen av z, vilket skrivs y = lm z. Om y = 0 så är z ett reellt tal och om x = 0 så sägs z vara rent imaginärt. Mängden av alla komplexa tal betecknas med C.

När det gäller addition, subtraktion och multiplikation räknar man med komplexa tal som med reella tal, med tillägget att i 2 = -1. 144

8.1

Om z

= 3 + 2i och w = 5 -

Division

i så är

+ w = (3 + 2i) + (5 - i) = 3 + 5 + 2i - i = 8 + i, = 3 + 2i - (5 - i) = 3 - 5 + 2i + i = -2 + 3i, zw = (3 + 2i) (5 - i) = 15 - 3i + lOi - 2i 2 = 17 + 7i. z

z- w

Allmänt gäller

(a + ln) + (c + di) = (a + c) + i (b + d), (a + ln) - (c + di) = a - c + i (b - d), (a + ln) (c + di) = ac - bd + i (ad+ be).

Summan av två komplexa tal erhålls alltså genom att addera real- och imaginärdelar var för sig. Motsvarande regel gäller för differensen mellan två komplexa tal. Produkten mellan två komplexa tal beräknas genom att multiplicera ihop parenteserna på vanligt sätt och sedan ersätta i 2 med -1. Om z1, z2 och

z3

är godtyckliga komplexa tal, så gäller följande räknelagar:

z1 + z2 = z2 + z1 z1 · z2 = z2 · z1 (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (z1 · z2) · Z3 = z1 · (z2 · za) Z1 · (z2 + Z3) = Z1 · z2 + Z1 · Z3 Om z = x + iy så kallas det komplexa talet x - iy för komplexkonjugatet till z och betecknas med z. Man får alltså komplexkonjugatet till ett komplext tal genom att byta tecken på talets irnaginärdel. Exempelvis är 5 - 3i

= 5 + 3i och 5 = 5.

Tydligen gäller att ett komplext tal z är reellt precis då z att om z = x + iy så är

zz

=

= z. Vi observerar också

(x - iy) (x + iy) = {konjugatregeln} x2 - i2y2 = x2 + Y2, dvs.

=

om z i Oså är zz reellt och positivt. Detta används för att definiera kvoten mellan två komplexa tal. 145

Kapitel 8.

Komplexa tal

8.1 Division Beräkna kvoten av de komplexa talen 3 + 2i och 5 - i, dvs. beräkna

3+ 2i 5-i.

z=--

Talet z = 35+ 2.i bör uppfylla ekvationen (5 - i) z = 3 + 2i. -i Om vi multiplicerar båda leden med komplexkonjugatet till 5 - i, dvs. med 5 + i får vi den ekvivalenta ekvationen (5 + i) (5 - i) z = (5 + i) (3 + 2i) , dvs. 26z = 15 + 3i + lOi + 2i 2 = 13 + 13i, som ger z = 1/2 + i/2.

.. 3 + 2i Allts å a r--. 5- i

= -21 + -21i..

Räkningarna ovan innebär att

3 + 2i (3 + 2i) (5 + i) 13 + 13i 1 1. - - = - - - - - = - - - = - + -i. 5- i (5 - i) (5 + i) 26 2 2 Generellt gäller att en kvot

a+ bi c+di

beräknas genom att förlänga med nämnarens komplexkonjugat, dvs.

a+bi

c + di

(a+bi)(c-di) (c + di) (c - di)

ac+bd .be-ad c2 + d2 + i c2 + d2 ·

a+ ·· 1··osrungen · · Observera också att - bi : ar ti'll ekvationen z (c + d') i

c+ di

8.1 Skriv på formen x + iy a)

(-2 + i) (3 + 4i);

b)

-2+i 3+4i; 1 1 -----· 2-i 2+i'

e)

4-3i (3 + 4i) 2 , (1 + i)20 j

f)

1 + 2i + 3i 3 + 4i 4 ;

g)

{l + iv'3) 2 - (1 - iv'3) 2 ;

h)

(2-ir 3+i

c)

d)

8.2 Lös ekvationen a)

z + 3i = iz + 2;

c)

3z + iz = 2i - l.

146

b)

z-1 - - =3+i; iz + 2

= a + bi .

8.2

Komplexa talplanet

8.3 Lös ekvationssystemet

{

(2 + i) z + iw = 2, (2 - i) z - (1 - i) w

= 3i.

8.4 Sätt z1 = a + ib, z2 = c + id. Visa räknereglerna för komplexkonjugering:

+ z2 =

a)

z1

z1

c)

(::)=!:-

+ z2;

b)

z1z2 = z1z2;

8.5 För vilka komplexa tal z är z

+!

z

reell?

8.6 Visa att om z1, z2 och z3 är komplexa tal så gäller att

8.2 Komplexa talplanet Komplexa tal kan geometriskt tolkas som punkter (eller vektorer) i ett plan, försett med ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem, som då kallas för det komplexa talplanet. Ett komplext tal z = x + iy motsvaras då av en punkt (eller vektor) med koordinaterna (x, y). De reella talen x + Oi motsvaras då av punkterna på x-axeln och de rent imaginära talen z = iy motsvarar punkterna på y-axeln. Av denna anledning så kallas x-axeln och y-axeln för reella respektive imaginära axeln.

Z•X+iy

,----------- iy I I

I

I I

Med denna tolkning inses också att addition och subtraktion av komplexa tal motsvaras av addition, respektive subtraktion av motsvarande vektorer. 147

Kapitel 8.

Komplexa tal

Observera att det konjugerade talet till ett komplext tal z erhålls genom att spegla z i reella axeln.

Med absolutbeloppet av ett reellt tal x, menas som bekant avståndet mellan x och 0 på tallinjen

X, X

2'. 0

lxl = { -X, X< 0 Absolutbeloppet Iz I av ett komplext tal z definieras på motsvarande sätt som avståndet mellan punkterna z och Oi det komplexa talplanet. Om z = x + iy så är alltså

148

8.2

Komplexa talplanet

z

Re Observera att eftersom x 2

+ y2 = (x + iy) (x -

iy)

= zz så gäller att lzl 2 = zz.

En annan nyttig observation är att lz 1 - z2 1 geometriskt kan tolkas som avståndet mellan de punkter som motsvaras av z 1 och z2.

13 - 4il =

J3 + 2

lcos 0 + i sin 01

(-4) 2

= ✓9 + 16 = J25 = 5

= J cos2 0 + sin2 0 = JI = 1

I3 -1 4i I= I33 ++4i4 I= I253 + 254 i I= 2

2

För räkning med absolutbelopp gäller reglerna a)

lzl 2 = zz;

c)

8.7 Beräkna lzl, då a) z = 5 - 12i; b) z = J3- i; c) z = 1 + cos 0 + i sin 0, där 8.8 Låt z 1 = -1 a)

lz1z2I;

b)

+ 2i, z2

I;: I;

-1r ~

0 < 1r.

= 2 + i. Beräkna

◄ c)

lz1

+ z2I 149

Kapitel 8.

Komplua tal

8.9 Vtlka komplexa tal z satisfierar a) 2 < lz - il < 3; b) lz - 2il 8.10 Visa att om lzl

= 1 så är l2z -

8.11 För vilka komplexa tal z är z2 8.12 Visa att om lzl

= lz - 21? 11 = lz - 21.

+ 21 rent imaginärt?

r2

= r så är z + -z

z

reellt för alla z

i= 0.

8.13 z1 och z2 är två olika komplexa tal sådana att z1z2 är reellt. Visa att då är zi + z2 också reell. Z1 -

Z2

8.14 Låt z1 = a + bi, z2 för absolutbelopp: a)

lz1z2I

= lz1I lz2I;

= c + di där a, b, c och där reella tal. Visa räknereglerna b)

1_!_1-1-· z1 - lz1I'

c)

8.3 Andragradsekvationer Genom införandet av komplexa tal så får varje andragradsekvation två lösningar. Lös ekvationen x 2

= -4 eller x 2 + 4 = 0.

Eftersom -4 = (2i)2 gäller x 2 + 4 = x 2 - (2i)2 = (x - 2i) (x + 2i), dvs. ekvationen har lösningarna x 1 = 2i, x2 = -2i.

Lös ekvationen x 2

+ 2x + 5 = 0.

Ekvationen saknar reella lösningar. Genom kvadratkomplettering får man x 2 + 2x + 5 = (x 2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)2 + 4. Om vi sätter u = x + 1 så får vi då u 2 + 4 = 0 dvs. u = ±2i, varefter x + 1 = u ger lösningarna x 1 = -1 + 2i, x2 = -1 - 2i. Detta kan också formellt erhållas genom att använda den vanliga formeln för rötterna till en 2:a gradsekvation. Användning av denna ger x = -1 ± R, dvs. x = -1 ± 2i. 150

8.4

Komplexa tal pd polär form

Bestäm på formen z = x + iy alla lösningar till ekvationen a) z 2 = 3 + 4i; b) z 2 + (2 + 4i) z - 6 = 0 .. a) Sätter man z = x + iy, får man (x + iy )2 = 3 + 4i, dvs. x 2 - y 2 + 2xyi = = 3 + 4i. Villkoret för att två komplexa tal är lilca är att deras real- och imaginärdelar är lilca, vilket ger x2 -y2 = 3, { 2xy = 4. Dessutom gäller att beloppen av de båda leden i ekvationen z 2 = 3 + 4i måste vara lika,vilket ger x 2 + y 2 = J3 2 + 42 = 5. Om vi kombinerar ekvationerna x 2 - y 2 = 3 och x 2 + y2 = 5 får vi att x 2 = 4 och y 2 = 1. Eftersom ekvationen 2xy = 4 visar att x och y måste ha samma tecken följer då att x = 2, y = 1 eller x = -2, y = -1. Lösningarna är alltså z = ± (2 +i). Alternativt ger ekvationen 2xy = 4 att y = 2 / x, som insatt i ekvationen x 2 - y 2 = 3 ger x 2 - 4/ x 2 = 3, eller x 4 - 3x2 - 4 = 0. Detta är en andragradsekvation i x 2 , vars lösningar är

2_3

~-3

5

-2±y4+ 4 -2±2. Här duger endast plustecknet, eftersom x är reell, dvs. x = ±2. Eftersom y = 2/x blir således lösningarna± (2 +i). X

b) Vi ska lösa ekvationen z 2 + (2 + 4i) z - 6 = 0. Kvadratkomplettering ger z + (2 + 4i) z + (1 + 2i)2 = 6 + (1 + 2i)2, dvs. (z + 1 + 2i) 2 = 3 + 4i. Sätter vi z + 1 + 2i = w, så är alltså w 2 = 3 + 4i, varför enligt a) w = ± (2 + i) , dvs. rötterna är Z1 = -1 - 2i + 2 +i= 1 - i, z2 = -1 - 2i - 2 - i= -3 - 3i.

8.15 Lös ekvationen a) c) e)

z 2 + 4z + 5 = 0; z 2 = i; z 4 = 7- 24i;

b) d) f)

z 2 = -1 +iJ3; z 2 - 3z + 6 - 2i = 0; z 2 + (1 - 3i) z - 8 + i = 0.

151

Kapitel 8.

Komplexa tal

8.4 Komplexa tal på polär form

X

Re

Vmkeln cp mellan reella axeln och vektorn z, kallas för argumentet till det komplexa talet z. Man skriver

cp

= argz.

Vmkeln cp är bestämd endast sånär som på multipler av 21r (360°), dvs. om cp är ett argument för z, så är också för varje heltal n, cp + n • 21r ett argument för z. Man kan definiera argumentet utan att hänvisa till en figur; cp

coscp {

.

smcp

= =

X

Jx2

y

+ y2

= arg ( x + iy) om

,

----;:::::;::=:::;:,

Jx2

+ y2

+ y 2 i:- 0, dvs. om z i:- 0 (arg Oär inte definierad). Man kan även använda sig av att om x i:- 0 så är tan cp = '!!... Då måste man dock om x 2

X

kontrollera att man väljer cp i rätt kvadrant. Om man känner beloppet och argumentet för ett komplext tal z, så är talet entydigt bestämt. Antag att Iz I = r och att cp är ett argument för z. Då är

{ x y

z

= rc?scp = rsmcp

och

r(coscp+isincp).

Ett komplext tal skrivet på detta sätt sägs vara skrivet på polär form. Vi påminner härom att r = lzl = Jx2 + y2. 152

8.5

Skriv på polär form z

Vi får r

Multiplikation och division av komplexa tal givna pd polär form

= -1 + iJ3.

= J(-1) 2 + (J3) 2 = v'4 = 2, cos

6lg4

c)

ln2 x > 0.5 + 0.1 ln 10 ~ 0·949 ·

3.34

Ca 228000 kr.

3.35

K,

3.36

a) c)

3.61;

= 1.4.

b)

X
._ln2_ ~ 3.322T; b) T: - T' 3Tln10 2Tln10 d) ~ 9.966T. ~ 6.644T; ln2 ln2 10ln2 . 65°C; b) 1n 1. 5 ~ 17 rmnuter.

3.37

a)

3.38

1.06V.

3.39

~

1 . logbx x = a ger k = -1 - , {16) blir laga x = -1 ogba ogba x = b ger k = laga b, {16) blir laga x = laga b · logb x. ❖'IT.

3.40

a)

~;

3.41

a) b)

Utnyttja att~-~= {/2 {1p = -3, q = 3.

a)

x = 1 eller x = -1; x = 27 eller x = -64. (Skriv först ekvationen på formen ~X+ 37 = 1 + {IX).

3.42

b)

b)

{/2);

3.43

d=3(lg~;2lg25)+15

3.44

Ekvationen har lösningarna x = 1 och x = 9 / 4. 2+3a 2-2a·

3.46

186

11.4

3.47

a) c) e)

2(lg2 + lg3); 3lg3 + lg2 - 2; 1-3lg2.

3 + lg3 - lg2; 1 - lg2;

b) d)

3.49

x = 2 eller x = ln 7/ ln 5; c) x = 1/10 eller x = 1/100; 64 256 x= 27 , y= 81 .

3.50

Då inflationen är lika med 100 ( 1 - 2~_ 1 ) % ::::: 6.7%.

3.48

Svar till kapitel 4

b) d)

a)

x x

= e1110 ; = 1/6.

11.4 Svar till kapitel 4 180°;

4.1

a)

4.2

a)

4.3

a)

4.4

a)

4.5

a)

4.6

a)

4.7

a)

4.8

a)

4.9

a)

cos(~-v)

b)

sin

4.10

a)

4.12

a)

0· ' 0;

b)

b) b)

'

b)

1

2

1

1

0;

g)

1.

1

J2"

J3

2·

=!3' cos(v-~) =!. 2 3'

(i - v) = i, b)

d)

f)

1 1 - J2' d) -2·

c)

v'2'

sin (

J3

1 - J2' b)

2'

J3

2'

0;

e)

d)

J2'

-576°

d)

1 1 J3 -2, c) 2' d) 2·

b)

J2'

1

c)

c)

2'

-120°;

d) 0; d) 1.

'

1· '

J2'

b)

1

1·

1

b)

2'

c) c)

1·

v'2' 1

c)

-1;

1

2' J3

720°;

2 1 2

c)

v- i) = -i; c) 1

J2'

1 1 - J2' d) -2·

d)

1

- v2· 187

Kapitel 11.

4.13 4.14

a)

7 ,

b)

2v'6 5

7r

7r

6

6

x = - + n · 21r eller x = - - + n · 21r;

b)

x

= 4 + n · 21r eller x = -4 +

n · 21r;

7r

2 +n · 7rj

c)

X=

d)

x = - + n • 21r eller x = - - + n • 21r· 3 3 ' 771" 571" x = 6 + n · 21r eller x = 6 + n • 21r.

7r

7r

471"

7r

a)

x =

5 + 2n1r eller x = 5

b)

x =

3+

c)

n1r;

d)

= - 6 +2n1rellerx = 6 + 2n1r; x = 2 + 2n1r eller x = 1r - 2 + 2n1r; x = 53° + n · 360° eller x = 127° + n · 360°.

e)

f)

4.16

± 4v'3_

a)

e)

4.15

SVAR

7r

x

2n1r eller x =

271"

3

+ 2n1r;

771"

y

a)

b)

7r

+ 2n1r;

.... X

188

11.4

4.17

Svar till kapitel 4

a)

b)

c)

. d)

189

Kapitel 11.

4.18

SVAR

1;

a)

b)

-v'3;

~

c)

Y=tanl

...

.... .: ~ . . : ~.. i ~ .: ..I

I;

.

4.19

,•·X

;

I 7r

7r

4.20

a)

4.21

v'2, 2, v'3,

4.23

a)

4.24

a)

4.26

! J2 + /2, ! J2 - /2, ! Jr2_+_v--;:2=+=v'2~2.

4.27

a)

x

1r n1r 51r n1r = 36 + 3 eller x = 36 + 3 ;

b)

x

1r = - 24 + n1r eller x = 171r 24 + n1r;

c)

x

= 20'

4 +n•1r;

1

1

7 25 ;

190

b)

v'6 + J2

c)

l+n·1r;

d)

7r

3 +n•1r

0.

v'6 - J2.

1r

6 +n·1r;

l.

b)

4

b)

, r---=

4

91r 171r 20 eller 20.

d)

2891r x=4-.

11.4

4.28

rr

2nrr

= 14 + 7

a)

x

c)

X=

-3;

4.29

a)

x =

3+

4.30

a)

x

= ±-3 +2nrr·'

b)

x

=2

4.31

a) c)

rr

=2+

eller x

28rr

rr

2rr

nrr eller x =

3

3rr

+ 2nrr ellerx

rr

=6+

95rr

x =

d)

Alla x i intervallet.

x

b)

2nrr eller x

nrr x=-; 2 rr 5rr x = 6 + 2nrr eller x = 6 + 2nrr;

x

= 18rr eller x = 19rr·'

4.32

a)

x

=-

4.33

a)

c)

+ nrr;

269rr

36 ellerx = 12 ;

b)

rr

= 2nrr eller x = ± 3 + 2nrr.

rr

e)

b)

2nrr;

Svar till kapitel 4

rr 3

+nrr;

b)

x

f) x

5rr

=6

+ 2nrr.

b)

x

= nrr;

d)

x

= -7rr;

37rr

31rr

17rr

= - -4 , - eller--. 4 2

5rr =6 +nrr.

rr x = 2nrr eller x = 2 + 2nrr. rr x = 2 + 2nrr eller x = rr + 2nrr; 3rr = 0, 4 eller rr.

x

5rr A = 2,cp = - ;

4.34

a)

4.35

9.5cm

4.36

AG ~ 1540 m, BC

4.37

7.2 cm eller 17.4 cm.

4.38

3.0 längdenheter.

4.39

53.1°.

4.40

7v'2 areaenheter.

4.41

3.78ha.

4.42

51.9 m2

4.43

0cm2

4.44

7.9 längdenheter,32.5°, 25.5°.

4.45

117.9 cm2 .

4.46

2 915m2

4.47

71 kN, 24° med 30 kN-linan.

3

~

c)

4rr

A=l,cp=-. 3

1060 m

.

.

.

191

Kapitel 11.

SVAR

4.48 4.49

48.2°' 96.4°' 35.4°. A = 20°, B = 10°, C = 150°.

4.50

2.1 km.

4.51

Flodens bredd är 52 m, tornets höjd är 34 m.

4.52

N 51.8° V.

4.53

a) b) c)

4.55

a) c)

x = 54°+n · 360° eller x = 126° + n • 360° eller x = 198° + n · 360° eller x = 342°+n · 360°, X= 69.8°+n. 360° eller X= 153.8°+n. 360°' X= 18°+n. 360° eller X= 30° + n. 360° eller x = 150° +n · 360° eller x = 162° + n • 360° eller x = 234°+n · 360° eller x = 306°+n · 360°;

y=v5Qsin(x+~) y = y13sin (x + 3.73).

b)

y=5sin(x-0.93);

11.5 Svar till kapitel 5 5.1

..,

y

X

192

...

11.5

Svar till kapitel 5

5.2 y

d)

X

5.3 y

y

X

C)

y

--·

X

193

Kapitel 11.

SVAR

5.4

Jt

_.

I

s.s

., ~)

aJ V

I

X

X y

CJ

a,

X

'I

X

.,

y

,, ... /_4x _..,\x

X

1(

194

11.5

Svar till lcapiul 5

5.6

.., X

4}

CJ

'Y, I

X

5.7

195

Kapitel 11.

SVAR

5.8

5.9

3 'J=-(Xtt>3~. 'Y=X. . .

)1 =(X-t) 3

X

Anm.: Det kan vara instruktivt att rita en kurva, t.ex. y = x 3 , på smörpapper eller transparent ritpapper och sedan fysiskt flytta kurvan i förhållande till koordinataxlarna.

196

11.5

Svar till kapitel 5

5.10

5.11

y

.. CJ

:yd

... b)

------+--------x 5.12

197

Kapitel 11.

SVAR

5.13

I

., I

I

I -a.

r

I

5.14

...

...

X

5.15 y

198

11.5

Svar till kapitel 5

5.16

Kurvan y = ex har inte ritats ut här för att figuren ska bli mer överskådlig. Den skulle ha legat mellan kurvorna y = 2x och y = 3:z:. 5.17 y

'Y

y,,Jn()c-1)

X

5.18

y

y=\cosxl-

t

('!>trcdcad)

199

Kapitel JJ.

SVAR X

2+1

y= -

b)

x = 1

5.19

a)

5.20

y

5.21

Medelpunkt (-2, 1), radie

5.22

En parabel.

=

c)

y = -2

10

X

-3 - 3

-v'5 l.e.

5.23

&)

5±

✓,IT 3 ,= ✓,IT)

5.24

(

5.25

y'2 xl2 Hyperbel - - -

5.26

(x - 1) 2 + (y

4

'

4

2

2

=1

+ 1)2 = 1

11.6 Svar till kapitel 6 6.1 6.2

6.3

a)

-sinx + cosx;

b)

d)

-sinx - cosx + 5x4;

e)

a) c)

2x cos x - x 2 sin x; e"' (x 2 + 2x + 5);

e)

2xlnx - 5x;

a)

1 x2' e"'

d)

(e"'

200

b)

+ 2) 2 '

e)

+ cosx;

1 +2x;

c)

5x4

1/x.

b)

+ sinx; lnx + 1;

t)

d)

2cosxsinx

= sin2x;

t)

xe"' (xcosx

+ xsinx + 2sinx).

e"'

sinx cos x' 2x + 5cosx 2· (x 2 + 5sinx)

-· 2

c)

1 - xln 2 Xj

11.6

6.4

a)

c) e)

sinx - XCOSX sin2 X 1 - -lnx X

-3x2

(x

1 cos 2 x

Svar till kapitel 6

= 1 + tan2 x;

b)

--

d)

(3x 2 + 10x4 ) lnx - x 2 ln2 x

-

2x 4 . '

-Bx -3

2 -

1

1)2 2 x3'

2x (1 + xex) - x 2 ex (1 + x). (1 + xex)2 ' 1 (7x + 5) 2 ·

6.5

a)

1----·

6.6

a)

y = x + 1 resp y = -x + l;b) y = -x + 1 resp y = x + 1;

c)

y=

a)

h(y)=y3,g(x)=x2 +1;

c)

h (y) = 1n y; g (x) = 3x2 + 3x + 1; h(y) = .ju, g(x) = 3x 2 + 7.

6.7

d)

x2

7

6 resp x =

b)

1; d) y = -

71"2

4

x+

71"3

8

+ 1 resp y = b)

4 11"2

C)

1n Xj

2 x - ; + 1.

h(y)=cosy,g(x)=ex;

3

6.8

a)

c)

6.9

a)

d)

6.10

cos(7x-1); ln3 x + 1. 6x (x 2 3x

+ 1) 2 ;

b)

(2x 2 +1)J2x 2 +1=(2x 2 +1)2;

J3x 2 + 7' a) 6e 3x; 3 c) - 2 sinxJl + cosx;

6.12

= 0.030301, df = 0.03. l:::.. V ~ dV = 41rr 2 dr.

6.13

2.5 ml.

6.15

1.7 mm.

6.17

r = 3 eller r = -1.

6.11

6x+3 3x 2 + 3x + 1'

b)

b)

d)

6xcos (1 + 3x 2 ); 2sin2x 2sin2 x+l·

l:::../

201

Kapitel 11.

SVAR

6.19

..

y

y

PJ

Cop)

le

I

y

eJ

y

hJ (0,0) :

202

1

11.6

Svar till kapitel 6

6.20

., =:t:::::;:=::::=::!;;::::::a,-=---t----;t---r------x -I

(-~, -5•2")= ::: (-3..,,-Q.ID)

(-t+'/C,-5-1\1)~ =( 1.4, -9.9)

-9

n 6.21

a)

x

= -1;

b)

x

= -loch x = 1;

c)

x

= 1 (inte x = -2).

6.22

y

X

------+-~...'"""~'-:t----t---.r--+---~x (-~,,-~)= z c-o.4,-2.,)

6.23 6.24

= 2 sin x cos x a = -2, b = 1 + 8v'2 sin 2x

203

Kapitel 11.

SVAR

6.25

Lodräta asymptoter x = ± 1. Lokalt min för x = Lokalt max för x = -v'3

6.28

y

6.29

0=4 v'5 v'i3 ± - eller±-

v'3

= -2x + 3 eller y = x/4 + 3/4. 1

6.30

3

3

11.7 Svar till kapitel 7 7.1

a) d)

1 -x 2 2 +C·, 1 --+C;

1

-e 3 3"' +C·,

b) e)

X

7.2

a) d)

7.3

s

7.4

a) · 96/5;

7.5

a)

e 2 -1 ~ 6.39;

7.6

a) c)

ln4 ~ 1.39; 1n 2 ~ 0.69;

7.7

a)

(t)

x 6 /6- 7/6; sinx-sinl-1.

1 5 -x3 - -x2 + 6x + C· 3 2 ' b) lnx -1,x > 0;

= -4.905t2 + 5t + 2, b)

e2 ~

e4 -

4.5 m 47.2;

1;

b)

2;

c)

ln2 +

c)

c)

2 -x3f2 + C· 3 '

f)

-cosx+ C.

c)

e"' - e

d)

7

- ln3 ~ -1.10; - ln 2 ~ -0.69.

b) d)

1 tanx--+C;

+ C;

e)

+ 4 ln Jxl + C;

d)

3e"'

7.8

a)

7.9

a)

3 (e8 -1) ~ 8.94 · 103 ; b) 1 2; b) 2 (e2 - 1) ~ 12.8;

7.13

204

a)

i (x

c)

sinx+~sin3 x+C;

a)

7 (2+Jx)

c)

- 6 (3x 2 + 2) + C,

e)

e"' - ln (1 + e"') + C;

2

+ 2x) 4 + C;

2

1

7

-

27.

3 ~ 3.03.

X

7.12

-1;

x

e"'

f)

2v'2 3/2 + C . -3-x

-11/12 ~ -0.92; 4 3

f

c)

d)

ln (x 2 + 1) + C;

d)

~lnJl+s 3 J+C.

2

6

+C;

2

5 (x + 1)

d) f)

; (1 +

5/2

c)

-cosx+

b)

-

2

3 (x + 1)

Jx) 312 -

+ 1n Jxl + C;

1r 3

~ 31.0.

4.

b)

3 (2+Jx) .

c)

1

3 cos3 x+C;

3/2

4 (1 +

+ C;

Jx) 112 + C.

JJ.7

7.14

7.15

7.16

c)

1 - - ~ -149- 10-3 . 672 . ' 1 -4 6864 ~ 1.46 . 10 .

a)

4 ln3

d)

10ln2 - 6ln3

a)

xsinx + cosx + C; 1 1 -x3 lnx - -x 3 + C· 3 9 '

a)

c)

7.17

7.18

~

0.340.

b)

ln9

e)

9 ln5

~

~

2.20;

c)

4 ln3

0.588;

t)

ln9~2.20

b)

xex - ex+ C;

d)

2/xe./x - 2e./x + C.

1·

c)

9ln9 -

a)

5e4 -1 ~8.50; 32

b)

6 - l6e- 1 ~ 0.114;

d)

2e - 4 ~ 1.44;

e)

6 - 2e

1n"2

c)

b)

'

52

9

~

14.0;

d)

a=6

7.20

v'2 -ae 6

7.21

a)

8ln2 - 4

b)

7.22

a)

6 le

ea - e-a le 2

7.23

4\1'2 ae 10 -ae 3

j

b)

7.25

a)

7.26

2 - e-t (t 2

b)

1 v'2 3 - 12

c)

~

0.288;

15 4ln2 - - ~ 184· 16 . ' 15 4 - 8ln4 ~ -7.34.

a)

7.19

7.24

9

b) ln 4 ~ 0.811;

0.288; ~

Svar till kapitel 7

~

0.563;

-4 ~ 5.87;

c)

71"4

t)

1 16"

4 ln3.

71"

12

+ 2t + 2)

205

Kapitel 11.

SVAR

11.8 Svar till kapitel 8 4 3. ----i· 25 25' 4v'3i;

2i

a)

-10- 5i;

b)

2 11. -25 + 25i;

c)

e)

-1024;

f)

5-i;

g)

8.2

) a

5 1. 2-2Zj

8.3

z = - ~,w =

8.5

z reell eller z = x + iy där x 2 + y 2 = 1.

8.7

a)

13;

8.8

a)

5;

8.9

a)

Alla komplexa tal z mellan cirklarna med centrum i punkten i med radie 2 respektive 3. Alla komplexa tal som ligger på mittpunktsnormalen till sträckan med ändpunkterna 2 och 2i.

8.1

b)

8 25. 13+13Zj

6+ 7i

b)

b) b)

h)

5; 1 -4.

5 .7 -8+z8.

20- 39i 17

2; 1;

) C

d)

c) c)

J2 (1 + cos0) = 2 lcos ~1v'Iö.

8.10

Sätt z = x + iy. Utnyttja att x 2 + y 2 = 1.

8.11

Alla komplexa tal av typen z båda axelbisektriserna.

8.12

Sätt z = x + iy. Utnyttja att x 2 + y 2 = r 2 .

8.13

Sätt z 1 = a + ib, z2 = c +id.Visa först att z 1z2 reell implicerar att ad= be.

8.15

a)

-2±i;

c)

z1 =

l+i l+i v'2 , Z2 = - v'2 ;

e)

Z1 -

3- i -3 + i y'2 , z2 y'2 , Z3

f)

Z1

8.16

8.17

206

= 2 + i,

Z2

= x + ix eller z = x -

= 1 +v'2iv'l , z2 = -

b)

Z1

d)

z1 =

-

ix, dvs. de

1 + iv'l v'2

2 + 2i, z2 = 1 - 2i;

1 + 3i y'2 , Z4

-

1 + 3i y'2 ,

= -3 + 2i.

v'2 ( cos ~ + i sin~) ;

a)

c)

v'2(cos 3: +isin 3: ) ;

e)

cos 2 +ism 2 ;

a)

48i;

7r

.

b)

•

7r

~ ( J3 + i) ;

c)

d)

v'2 ( cos 5: + i sin 5: ) ;

f)

2 ( cos (-i)+ i sin (-i)).

~(v'l-i);

d)

-1728.

11.9

Svar till kapitel 9

8.18

a)

1311" -12' ·

8.19

a)

2'"' ( _!2 + ;,13). 2 '

8.20

Utnyttja att z2 = z1 ( cos

8.21

a)

-i;

b)

-l+i;

d)

cos 1 + i sin 1;

e)

ecos 'P ( cos (sin cp) + i sin (sin cp)) .

a) e)

2ei1r/6; 2ei21r/3;

a)

Beräkna (cos cp + i sin cp) 3 på två sätt.

b)

0 respektive 2/3.

a)

Z1 =

b)

~ (1 ± i) , ~ (-1 ± i) .

8.22 8.23

8.24

511"

b)

+ n • 21r.

6

i

+ i sin

2ei1r/3; 2ei41r/3;

b) f)

16.

b)

i) . c)

v'2 (1 +i);

2e-i1r/6; 2e-i1r/2.

c) g)

d)

½(y'3 + i) , Z2 = ½(-y'3 + i) , Z3 =

2ei71r/6;

-i;

11.9 Svar till kapitel 9 9.1

a)

6;

9.2

a)

a=26;

c)

a = 1, b = 2 (dela först upp x 2 + x - 2 i faktorer.

a)

nudda (1, 3, 5, ... ) ; Sättp (b) = a5 + a2 b2 - ab2 - b3 och visa attp (a2 ) = 0.

9.3

b)

b)

0;

c)

b)

9.4

b = p(a).

9.5

Visa att polynomet x 4 x 2 - 2x -1.

9.6

±1, 1/3, 4/3. 1 p (x) = - 3 (x 4

9.7

-

x-lärfaktorip(x).

a=

-

1

5

3,b=- 3;

4x 3 + 4x 2

-

1 är jämnt delbart med polynomet

3x3 + 6x - 4).

9.8

A = 8, B = -3.

9.9

D / xo måste vara ett heltal.

207

Kapitel 11.

9.10

a)

SVAR

x 3 - x 2 + x - l = x 2 (x - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x 2 + 1).

Rötterna är 1,

±i.

b) x x 3 + x 2 - 1 = x 3 ( x 2 - 1) + x 2 - 1 = ( x 2 - 1) (x 3 + 1) . Rötterna är 1, -1 (dubbelrot) och (1 ± iJ3} /2. c) 2x 3 + 3x 2 - 3x - 2 = 2 (x 3 - 1) + 3x (x - l) = =2 (x - 1) (x 2 + x + l) + 3x (x - 1) = (x - 1) (2x 2 + 5x + 2). Rötterna är 1, -2, -1/2. 5 -

d) x 4 +

1 = x 4 + 2x2 + 1 - 2x2 = ( x 2 + 1) 2 = (x + 1 - v'2x) (x2 + 1 + xv'2) . Rötterna är ( -1 ± i) / v'2 och (1 ± i) / y'2.

( y'2x) 2

=

2

9.11

a) Vtllk.oren blir

{ a+b=O ab = _ 2

som ger

{a=v'2 b = -v'2 .

b) Se uppgift 9.10 d)

9.12

Av förutsättningarna följer att p (x) = (x - a) 3 q (x), där q (a) Derivering av detta samband ger sedan påståendet.

9.13

a) p (x) = x 3 + px 2 + qx + r = (x -

# O.

x1 ) (x - x2) (x - x3), ger

+ X2 + X3 = -p X1X2 + X2X3 + X3X1 = Q X1X2X3 = -r

X1 {

b) Använd sambanden mellan rötter i koefficienter i uppgiften. Rötterna är v-if3 (dubbelrot) och -2v-if3.

9.14

a) b)

(x-3)(x+2)(x2 +2); (x 2 + 1) (x 2 + x\!'3 + 1) (x 2 - x\!'3 + 1).

9.15

a)

±i, 3, -2;

9.16

a)

±iv'2, 1 ± \/'3;

9.17

+ (1 + (-1 - v'6 + i (y'2 - J3}) = 0. b) z5 + z4 + 3z 3 + 5z 2 + 14z + 12 = 0.

9.18

z1,2

208

a) z 3

=

±v'2, 2 ± i.

b)

~ (1 ± iJI5}, ~ (-1 ± Ji3}. i (v'3 + v'2))_ z 2 + (-1 - v'6 - 2\/'3i) z+

±iv'b, z3 =

b)

-a.

11.10

Svar till kapitel JO

11.10 Svar till kapitel 10

Test 1 10.1

27.

10.2

x

10.3

-1.

10.4

7.8 cm2

•

10.5

-2