Introduzione al pensiero matematico. La formazione dei concetti nella matematica moderna

Table of contents :
Indice......Page 8
Prefazione di Corrado Mangione......Page 10
1. Introduzione......Page 14
2. Le diverse specie di numeri......Page 18
3. Critica delle estensioni del concetto di numero......Page 29
4. Aritmetica e geometria......Page 34
5. Costruzione rigorosa della teoria dei numeri interi......Page 40
6. l numeri razionali......Page 66
7. Il calcolo dei numeri naturali e le sue basi......Page 85
8. Costruzione rigorosa dell'aritmetica elementare......Page 99
9. Il principio d'induzione completa......Page 109
10. Lo stato attuale delle indagini sui fondamenti della matematica......Page 122
11. Limite e punto limite......Page 145
12. Il calcolo delle successioni. Il rapporto differenziale......Page 162
13. Curve notevoli......Page 174
14. I numeri reali......Page 204
15. Numeri ultrareali......Page 240
16. Numeri complessi e ipercomplessi......Page 248
17. Scoprire o inventare?......Page 256
Indice degli autori......Page 268
VI SUGGERIAMO QUESTE ALTRE LETTURE......Page 269

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Scopo dell'opera, dice Waismann , è di " trarre, da ciò di cui si occupa il matematico, quel che può interessare il filosofo", di dare una " esposizione delle idee matematich e" e non una collezione di teoremi e dimostrazioni . Esaminando i var i problemi sollevati dalla teoria dei numeri, Waismann sottolinea di volt a in volt a l ' arbi trarietà o la limitatezza o la contraddittorietà di questa o quell a solu zio ne presentata da coloro che lo hanno preceduto (in particolare Peano, Fr eg e, Russ ell Hilbert) . La sostanza dell e obiezioni e delle alternative avanzate da Waismann è semplice : invece di tentare di dare una " definizione del concetto di numero", noi cercheremo di procurarci una " descrizione dell'uso effettivo" della parola "numero" e dell e altre c he denotano i singoli numeri, ossia la loro " grammatica logica". " II migl ior modo di rispondere a chi ci domandi che cosa sono i numeri, consisterà nel fargli vedere come si operi su di essi ,.. " Per Waismann è perciÒ fuori luogo anche ogni tentativo di "fondazione" della matematica : per esempio, come è stato tentato, sulla logica . La matematica si regge su convenzioni che le sono proprie, scelte unicamente per il fatto ch e - nelle successive generalizzazioni del concetto di " numero" - esse lasciano immutate le regole convenute inizialmente : " dove la definizione di partenza cessa di avere senso, bisogna chiedersi non cosa si debba, ma che cosa convenga accettare per rimanere sempre conseguenti con sé stessi", dice Gau ss.

Friedrich Waismann nasce nel 1896 a Vienna, dove compie gli studi universitari; nel 1923 conosce Moritz Schlick, di cui diviene assistente nel 1929. Con lo stesso Schlick è tra i primissimi animatori del 'Verein Ernst Mach", l'ormai celebre culla del neopositivismo; a loro si uniranno Kurt Godei, Philipp Franck, Otto Neurath, Rudolph Carnap, per non citare che i più famosi. Nel periodo in cui questi è a Vienna, è in stretto contatto con lo stesso Ludwig Wittgenstein, il cui Tractatus è un po' la "Bibbia" riconosciuta del gruppo. Nel 1929, al primo Congresso per l'epistemologia delle scienze esatte, tenutosi a Praga, Waismann legge un'importante relazione sulla Analisi del concetto di probabilità, le cui tesi, riprese dallo stesso Schlick, solleveranno molte discussioni. Nel 1937 Waismann passa all'Università di Cambridge, e due anni dopo a Oxford, dove insegnerà fino al 1959, anno della morte. Dei suoi non numerosi scritti i più importanti concernono il "concetto di identità", l' "analisi logica", le nozioni di "analitico e sintetico".

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UNIVERSALE SCIENTIFICA

Titolo originale Einfiihrung jn das mathematische Denken Gerold - Vienna - 1936

Traduzione di Ludovico Geymonat

Friedrich Waismann

INTRODUZIONE AL PENSIERO MATEMATICO LA FORMAZIONE DEI CONCETTI NELLA MATEMATICA MODERNA

197 I

Boringhieri

Nuova edizione nella Universale scientifica 1971

© 1971 Editore Boringhieri s.p.a., Torino, corso Vittorio Emanuele 86 Stampato in Italia dalla tipografia Capretto di Torino CL 61-7063-3

Maggio 1971

Indice

Prefazione di Corrado Mangione, 7 I.

Introduzione,

2.

Le diverse specie di numeri, 15

I I

3. Critica delle estensioni del concetto di numero, 26 4. Aritmetica e geometria, 31 5. Costruzione rigorosa della teoria dei nume n interi, 38 6. I numeri razionali, 64 7. Il calcolo dei numeri naturali e le sue basi, 82 8. Costruzione rigorosa dell'aritmetica elementare, 96 9. Il principio d'induzione completa, 106 IO. Lo stato attuale delle indagini sui fondamenti della matematica, 119 Il formalismo 1 I.

La scuola logica

Sguardo conclusivo

Limite e punto limite, 142

12. Il calcolo delle successioni. Il rapporto differenziale, 160 13. Curve notevoli, 172 Che cos'è la geometria?

14. I numeri reali, 201 La teoria di Cantor La teoria di Dedekind Confronto delle due teorie Unicità del sistema dei numeri reali Osservazioni varie

15. Numeri ultrareali, 237 16. Numeri complessi e ipercomplessi, 245 17. Scoprire o inventare?, 254

Indice degli autori, 265 Altre letture suggerite, 267

Prefazione di Corrado Mangione

Questo volume apparve per la prima volta in Italia nel 1939, e quindi in una situazione politica e culturale del tutto particolare. Nell'ambito del tentativo (allora in atto solo da qualche anno) di far conoscere nelnostro ambiente filosofico le tesi del Circolo di Vienna, esso venne presentato un po' come un manifesto di idee e metodologie - dichiaratamente ispirate appunto alla scuola neopositivistica - profondamente innovatrici e ancora quasi completamente estranee alla nostra cultura. In particolare, nell'elaborazione del proprio discorso sui fondamenti della matematica, Waismann faceva ampio ricorso a idee e riflessioni espresse in questo campo da Ludwig Wittgenstein, ossia dallo "stesso primo iniziatore del metodo neopositivistico". È comprensibile come nel clima culturale di quegli anni il traduttore fosse indotto a sopravvalutare in certa misura la portata del volume, indicandone come scopo quello di "mettere alla prova la solidità del metodo neopositivistico, applicandolo proprio alle più delicate e controverse questioni dell'epistemologia contemporanea"; è indubbio tuttavia che quest' opera del Waismann concorse non poco a quel processo di svecchiamento della cultura italiana che doveva riprendere fecondamente subito dopo la fine dell'ultima guerra mondiale. Già dall'immediato dopoguerra infatti la situazione andava mutando rapidamente, il discorso neopositivista trovava anche in Italia larga eco e anche da noi veniva successivamente "superato", almeno in generale,

8

c.

MANGIONE

in nome soprattutto di una opposIzIone alfintransigente "metafisica dell'antimetafisica" da esso professata, dando luogo a diverse posizioni "liberalizzate" in particolare per quanto riguarda i problemi di filosofia della matematica che qui ci interessano. D'altra parte in questi ultimi trent'anni il discorso sui fondamenti della matematica ha conosciuto approfondimenti e sviluppi decisamente eccezionali, grazie soprattutto alla parallela crescita degli studi di logica matematica. Nuovi risultati hanno posto nuove problematiche e sollecitato risposte altrettanto nuove e adeguate, mentre nel contempo i tradizionali problemi di filosofia della matematica, relativi ad esempio alla natura degli enti matematici, alla origine e giustificazione delle proposizioni fondamentali della matematica, ai rapporti fra logica e matematica o fra matematica ed esperienza ecc., sono stati affrontati con approcci completamente diversi, con strumenti concettuali per l'innanzi sconosciuti che hanno nel contempo aperto nuove aree di ricerca. Larga eco di questo importante fenomeno si è avuta come è noto anche in Italia.! In questa situazione cosi mutata, credo sia legittimo chiedersi che senso può avere riproporre la lettura del volume del Waismann che, legato come è a una ben specifica matrice culturale, corre il rischio di presentarsi come una riflessione definitivamente sorpassata o comunque anacronistica. lo ritengo che ci siano almeno due validissime ragioni che ancor oggi fanno raccomandare questa lettura come altamente stimolante e produttiva. Una di queste ragioni è legata a mio parere, alquanto paradossalmente, a un doveroso "ridimensionamento" di quest'opera. Se nel '39, in un ambiente che alcuni innovatori tentavano faticosamente di aprire a nuove idee sulla scienza e sulla filosofia, il volume poteva appunto apparire come elemento di rottura, in un clima come quello odierno, molto piu aggiornato e "civile" da questo punto di vista, e senza preelusioni di tipo politico, esso può essere riportato alle sue reali dimenl Si vedano ad esempio fra i lavori italiani di questi ultimi anni: E. Casari, Questioni di filosofia della matematica (Milano 1964); C. Cellucci, La filosofia della matematica (Bari 1967); Maria Luisa Dalla Chiara Scabia, Modelli sintattici e semantici delle teorie elementari (Milano 1968).

PREFAZIONE

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sioni: un eccellente lavoro di alta divulgazione delle idee neopositivistiche - e meglio potremmo dire wittgensteiniane - in tema di filosofia della matematica. Da questo punto di vista, anche se sono passati solo trent'anni, per gli argomenti trattati, per le varie critiche (ovviamente non tutte accettabili) condotte con estrema lucidità, per le tesi affermate il volume si raccomanda come prezioso documento storico; prezioso non soltanto perché si riferisce di prima mano a un certo periodo e a una deter'minata scuola, ma anche per il modo con cui i vari temi vengono presentati. Quest' osservazione ci porta alla seconda ragione cui sopra alludevo. Il problema (ancor oggi non ben definito) della divulgazione scientifica viene di fatto affrontato sostanzialmente in due modi. Da una parte ci si pone lo scopo di evitare al lettore ogni specifica difficoltà relativa a un certo campo di ricerca; ne risulta in generale un tipo di informazione nel quale le difficoltà stesse sono aggirate in modo quasi sempre artificioso, ricorrendo spesso all'aneddoto; vengono sfumate distinzioni ritenute troppo sottili e ammorbiditi passaggi ritenuti particolarmente ardui. 11 principio è qui proprio quello di non esplicitare al lettore quei problemi nodali riservati agli addetti ai lavori, nella errata (a mio parere) convinzione che il lettore non specialista, posto di fronte a certe questioni di natura delicata e complessa, abbandonerebbe addirittura la stessa informazione scientifica tout court. Con atteggiamento diametralmente opposto si può invece impegnare il lettore a partecipare in prima persona alla comprensione dei punti nodali di un dato campo di ricerca, nella convinzione che tali questioni siano di fatto" difficili" e non possano essere afferrate senza uno sforzo d'applicazione talora anche notevole. Tale sforzo richiede appunto il Waismann al lettore per quanto riguarda alcune fra le piu sottili questioni di fiiosofia della matematica; e da parte sua lo compensa con una chiarezza espositiva veramente magistrale, che non gli impedisce peraltro di toccare tutti i momenti essenziali nelle varie questioni, e con la presentazione di tutti gli elementi preliminari necessari alla comprensione dei vari problemi. Oggi è anche possibile fare, in proposito, un interessante esperimento. Sono state pubblicate di recente in italiano

IO

PREFAZIONE

le wittgensteiniane Osservazioni sopra i fondamenti della matematica, nelle quali sono fra l'altro contenute in modo specifico quelle idee per le quali, nel corso del suo volume, Waismann si dichiara debitore al filosofo austriaco. Orbene, se si confrontano le pagine di Wittgenstein con quelle corrispondenti del Waismann ci si convince facilmente come quest'ultimo, lungi dal darne un superficiale e approssimativo resoconto, riesca effettivamente, pur nel totale rispetto del nucleo significativo del pensiero di Wittgenstein, a sciogliere nodi linguistici e concettuali decisivi per il non specialista. Anche per queste ragioni mi sembra che il volume del Waismann riesca a rendersi largamente indipendente da una troppo restrittiva e automatica collocazione cronologica e culturale e riesca ancor oggi a far guadagnare al lettore non specialista una insperata penetrazione in alcune delle questioni fondamentali della filosofia della matematica. C. M.

I.

Introduzione

Con le presenti ricerche ci proponiamo di analizzare l'essenza della costruzione matematica dei concetti, di trarre cioè, da ciò di cui si occupa il matematico, quel che può interessare il filosofo. Basta questo a stabilire la differenza fra il nostro lavoro e i trattati di matematica: il lettore non troverà qui un sistema di teoremi con le relative dimostrazioni, non troverà calcoli ed esempi, e neanche applicazioni della matematica; tutto ciò deve cedere il posto a un'esposizione delle idee matematiche. In primo luogo dovremo discutere, in modo piu ampio del solito, la composizione del regno dei numeri. La scelta di questo tema richiede una breve giustificazione. Partendo da punti di vista intuitivi, Leibniz 6 Newton avevano creato il calcolo differenziale e integrale. II diciottesimo secolo portò uno straordinario sviluppo di queste ricerche; brillanti invenzioni si successero le une alle altre, tanto nel campo della pura analisi quanto in quello delle sue applicazioni. Non a torto si è paragonato questo periodo della matematica all'epoca delle grandi scoperte. I matematici di tale secolo avevano l'impressione di addentrarsi in un nuovo mondo dello spirito, ed erano bramosi di delimitarne subito i confini. Con tante meravigliose scoperte contrasta però singolarmente l'oscurità in cui rimasero per allora avvolte le basi della nuova costruzione di pensiero. Non si può asserire infatti che Leibniz e Newton abbiano esposto in modo molto chiaro il significato di un rapporto

Il

CAPITOLO PRIMO

differenziale. Le loro spiegazioni erano assai incerte; ma in entrambi l'idea essenziale pareva questa: calcolare con quantità infinitamente piccole. Essendo però un tal concetto tutt'altro che preciso, ne sorse una notevole oscurità, connessa all' origine stessa del calcolo infinitesimale. Spiriti che pensavano con chiarezza, come il filosofo Berkeley, non nascosero nella loro critica i propri dubbi; nell'opera The Analist [L'analista] (1737) il lettore trova infatti una discussione assai penetrante della nuova scienza, che conclude in modo abbastanza negativo. Che poi non solo i filosofi pensassero cOSI, ma anche i matematici fossero poco soddisfatti del loro operare, lo attesta un detto di Lagrange, risalente alla fine del diciottesimo secolo. Egli riteneva ben compassionevole lo stato della matematica: "Tale scienza formicola invero di contraddizioni, e se, malgrado ciò, ha condotto a grandi risultati, questo dipende solo dall'infinita clemenza di Dio, il quale dispose che i suoi errori si compensassero l'un l'altro." Nessuna meraviglia se questo calcolo parve qualcosa di inconcepibile, quasi di mistico, un'arte piu che una scienza, suggerita dall'ispirazione, ma non accessibile al pensiero logico. Questa concezione finI anzi per passare nei trattati comuni. CosI, per esempio, si legge nel Liibsen, un autore assai noto nel secolo scorso, che il calcolo differenziale è un operare mistico con quantità infinitamente piccole; il differenziale è un soffio, un nulla; e poi segue una citazione inglese: "Il differenziale è lo spirito di una grandezza svanita." Nella massa del pubblico questa concezione sopravvive ancora oggi e ha fatto maturare alcuni strani pensieri. Ne è un esempio il noto libro di Hans Vaihinger, Die Philosophie des Als Oh [La filosofia del Come Se, 191 I], in cui si sostiene che il nostro pensiero teoretico verrebbe spesso guidato da finzioni, e cioè da ipotesi consciamente false, che però debbono venire accettate per le loro conseguenze. Il Vaihinger credette di vedere un sostegno validissimo dell'anzidetta teoria nel calcolo differenziale e integrale, i cui concetti base - come egli riteneva - sarebbero di natura assolutamente fittizia. È significativo che i matematici citati dal Vaihinger in favore della sua interpretazione appartengano tutti al di-

INTRODUZIONE

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ciassettesimo e al diciottesimo secolo, e cioè siano uomini che non conoscevano ancora le concezioni attuali. Effettivamente già i primi cinquant'anni del secolo diciannovesimo portarono un po' di luce su queste oscure questioni: ricordiamo soltanto l'opera di Gauss, Cauchy e Bolzano. Tali ricercatori iniziarono il nuovo periodo critico della matematica, in cui si comprese molto meglio di prima la necessità di una chiara definizione dei singoli concetti matematici e di un vero rigore logico delle dimostrazioni. La loro opera venne proseguita e in certo senso conclusa da Weierstrass, Cantor e Dedekind. Essi mostrarono che la vera radice delle anzidette difficoltà risiede nella definizione del continuo. E poiché questo concetto è connesso molto strettamente a quello di numero irrazionale, fu necessario approfondire prima di tutto il concetto di numero. Dalle famose lezioni di Weierstrass in poi, è invalso l'uso di far precedere a qualunque esposizione rigorosa del calcolo differenziale un esame del concetto di numero. Anche noi pertanto sceglieremo questa via, per fare la conoscenza dei concetti essenziali della matematica contemporanea. È doveroso ricordare qui le principali fonti, non citate già espressamente nel testo, che si sono consultate per la composizione del presente studio. Queste fonti sono innanzitutto la Elementarmathematik vom hoheren Standpunkte aus [Matematica elementare, studiata da un punto di vista superiore] di Felix Klein e la Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen [Teoria e applicazione delle serie infinite] di Konrad Knopp. Per quanto riguarda i fondamenti della matematica, l'autore ha attinto gran parte delle sue idee da un manoscritto inedito che Ludwig Wittgenstein gli ha concesso di leggere.' Le osservazioni sul ragionamento induttivo (pp. I IO sgg.), la critica della definizione proposta da Frege e Russell per il concetto di ugualmente numeroso (pp. 127 sgg.), le idee esposte alle pagine 138 e 139, l'osservazione che il concetto di uguaglianza l [Si tratta dell'ormai noto L. WITTGENSTEIN, Remarks on the Foundation of Mathematics (Blackwell, Oxford 1956), pubblicato postumo a cura di G.H. von Wright, R. Rhees e G. E. M. Anscombe.]

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CAPITOLO PRIMO

non ha da essere necessariamente transitivo (p. 79), la presa di posizione rispetto alle teorie di Brouwer (pp. 233 sgg.), infine i pensieri esposti alle pagine 229 e seguenti e a pagina 243, sul continuo intuitivo, l'interpretazione del numero come famiglia di concetti (p. 256), e la critica del primo argomento di pagina 257, sono tutte idee ricavate da tale manoscritto. Poiché l'autore non si ritiene però completamente sicuro, data anche la brevità della presente esposizione, di aver saputo riprodurre correttamente le concezioni di Wittgenstein, egli assume su di sé tutta la respons~bilità delle idee qui esposte.

z.

Le diverse specie di numeri

I primi numeri che incontriamo sono i numeri naturali o cardinali I, 3,4, ... che ci servono per la numerazione degli oggetti. Per dare alle discussioni seguenti un carattere pio intuitivo, vogliamo servirei di un metodo, di cui anche in seguito dovremo far uso di frequente, cioè della rappresentazione geometrica dei numeri mediante punti su di una retta. A tale scopo si scelga su di una retta un punto arbitrario, l'origine, e un segmento arbitrario, l'unità di lunghezza, e si riporti questo segmento ripetutamente nella stessa direzione a partire da quell' origine. Ai punti cosi ottenuti si facciano corrispondere i numeri o, I, 2, 3, ... 2,

o I.

Figura

l

%

I

I

3 I

4 I

5 I

I

Questi punti saranno le immagini dei numeri, e risulterà vantaggioso per diversi scopi collegare i nostri concetti a questa scala di punti. Invece della serie dei numeri naturali parleremo anche, d'ora innanzi, di una serie di punti. Quali proprietà spettano al sistema dei numeri naturali? I) Esso è un sistema ordinato, e cioè, dati due differenti numeri, è sempre noto quali dei due preceda l'altro. In termini pio precisi le relazioni a>b, a = b, ac>b oppure aa'+b.

[2]

Di nuovo dobbiamo esaminare se questa definizione sia lecita, se cioè il concetto di "maggiore" cOSI definito goda delle proprietà formali già spettantigli nell'aritmetica ordinaria dei numeri naturali. In quest'ultima, "maggiore" è: r) irriflessivo: cioè, un numero non è mai maggiore di sé stesso;

2) asimmetrico: cioè, se a>b non può essere b>a;

3) transitivo: cioè, da a>b e b>c segue a>c. Dimostri il lettore stesso, seguendo il modello sopra riferito per il concetto di uguaglianza, che queste tre proprietà si trovano soddisfatte anche nel nostro caso. Dobbiamo poi garantirci che la relazione espressa da "maggiore" non dipenda dalla particolare forma in cui si trovi a essere scritta la coppia considerata. Cioè, se una coppia è maggiore di un'altra, questa relazione deve continuare a sussistere anche se le due coppie vengono sostituite da altre due a esse uguali. Ipotesi: (a, b) > (c, d) (a, b) = (a', b')

(c, d) = (c', d').

TEORIA DEI NUMERI INTERI

47

Tesi: (a', b') > (c', d').

Dimostrazione: l'ipotesi afferma

a+d>b+c a+b'=a'+b c+d'=c'+d. Sommiamo membro a membro queste tre formule, dopo aver permutato fra loro i due membri dell'uguaglianza di mezzo. Otterremo a+b+c+d+~+~>a+b+c+d+~+~

ossia

a'+d'>b'+c', che è appunto quanto si era affermato. Possiamo dunque concludere che la relazione "maggiore", quale venne da noi definita, gode delle proprietà formali, caratteristiche del concetto corrente di "maggiore", e che inoltre essa non dipende dalla forma in cui sono scritte le coppie.

Definizione di "minore" Diciamo che una coppia è minore di un'altra, in simboli

(a, b)«a', b'), se a+b'c, segue a+b>a+c. Noi avremo il diritto (cfr. p. 79) di chiamare addizione l'operazione poco sopra definita, soltanto se sarà dimostrato che essa gode di tutte le proprietà ora ricordate. J) Che cosa si vuoI dire, affermando che la somma "esiste"? In primo luogo si afferma che la somma di due coppie è ancora una coppia, e cioè che associando additivamente due coppie si rimane nel campo delle coppie; in secondo luogo che questa coppia esiste sempre, e cioè che i termini dai quali è costituita sono di nuovo, come i termini delle coppie addende, due numeri naturali. Risulta immediatamente dalla nDstra definizione che entrambe queste condizioni sono soddisfatte; e invero, essendo a, b, C, d numeri naturali, anche a+c e b+d saranno numeri naturali.

TEORIA DEI NUMERI INTERI

49

2) Questa proprietà significa: la somma non deve dipendere dalla forma speciale degli addendi; cioè, sostituendo alle due coppie addende due altre qualunque a esse uguali, la somma deve rimanere immutata.

Ipotesi:

(a, b) = (a', b'), (c, à) = (c', d').

Tesi: (a, b)+(c, à) = (a', b')+(c', d'). Dimostrazione: eseguiamo le somme indicate; dovremo dimostrare che (a+c, b+à) = (a'+c', b'+d'), cioè che a+c+b'+d' =a'+c'+b+d. Ma quest'uguaglianza segue immediatamente dalle due ipotesi, se le scriviamo sotto forma di relazioni fra numeri naturali. Interrompiamo qui i! nostro ragionamento, per non stancare il lettore: egli non incontrerà, dopo quanto s'è detto, nessuna difficoltà a dimostrare che sono soddisfatte anche le condizioni 3), 4) e 5). Prima però di rivolgerei al concetto di differenza, noteremo due corollari della nostra definizione. Il primo è che (a, b) + (b, a) = (o, o). A queste due coppie si suoI dare il nome di inverse od opposte l'una dell'altra. Il secondo è che (a, b)+(a, b) = (2a, 2b) (a, b)+(a, b) + (a, b) = (3a, 3b) e in generale (a, b) + (a, b) + ... + (a, b) = (na, nb). n volte

Invece di dire che abbiamo preso n volte la coppia (a, b) come addendo, diciamo di averla "ennuplicata", e introduciamo per questa somma la notazione n(a, b). Possiamo allora esprimere il precedente risultato con la formula n(a, b) = (na, nb). 3

CAPITOLO QUINTO

5°

In parole: si moltiplica una coppia per un numero naturale, moltiplicando per questo numero ogni termine della coppia. Se ne conclude infine che ogni coppia (a, b) può esprimersi in una forma normale ben determinata, e cioè

a(I,o)+ beo, I). Basta infatti eseguire le operazioni qui indicate, e si ottiene che

a(I,o)+b(o, I) = (a, 0)+(0, b) = (a, b). Le coppie (I, o) e (o, I) portano, nel linguaggio ordinario, il nome di unità positiva e di unità negativa, e si denotano generalmente cOSI

(1,0)= +1 (o, I) = - I. Ponendo poi

a(I, o) = a( + I) = +a

b(O,I)=b(-I)=-b risulta possibile esprimere ogni coppia nella forma normale

(a, b) = (+a)+( -b). Definizione della differenza Che cosa deve intendersi per differenza di due coppie? L'analogia con la somma ci suggerirebbe la seguente definizione:

(a, b)-Cc, d) = (a-c, b-d). Questa definizione presenta però una difficoltà: se c è maggiore di a, oppure d è maggiore di b, non esistono le differenze a-c o rispettivamente b-d. La sottrazione nel campo delle coppie risulterebbe dunque eseguibile soltanto sotto certe condizioni, mentre le coppie vennero introdotte proprio allo scopo di rendere illimitatamente eseguibile la sottrazione. Per evitare questa difficoltà, ricordiamoci che due coppie inverse

TEORIA DEI NUMERI INTERI

51

dànno, addizionate fra loro, la coppia nulla: e poiché questa, come vedremo, OCCUpll fra le coppie una posizione affatto analoga a quella occupata dallo zero fra i numeri naturali, possiamo ricondurre la sottrazione di una coppia all'llddizione della sua inversa. Poniamo a tale scopo

(a, b)-(c, cl) = (a, b)+(d, c) =(a+d, b+c).

[5]

Questa definizione sfugge alla difficoltà che notammo dianzi. La coppia di destra esiste sempre, cioè la sottrazione è illimitatamente eseguibile. Che l'operazione cOSI definita possegga davvero la proprietà della sottrazione, segue da quanto è stato detto or ora. Essa è l'inversa dell'addizione; è determinata in modo univoco, e non gode né della proprietà commutativa né dell'associativa. Prima di chiudere il nostro studio intorno alla sottrazione, vogliamo ancora riflettere un poco su di un'applicazione della formula [5]. Segue da essa, come caso particolare, l'uguaglianza (a, o)-(b, o) = (a, b).

Questo risultato può anche scriversi nella forma

(a, b) = (+a)-( +b). Ogni coppia di numeri può quindi venir espressa come differenza di due numeri positivi. Paragonando fra loro quest'ultima scrittura e la forma normale di pagina 50 si ottiene (+a)-( +b) = (+a)+( -b). Si potrebbe dunque dire: scriviamo in forma abbreviata (a, b) = a-b; seguirà da ciò che una coppia è semplicemente la differenza di due numeri naturali. Noi però ci opponiamo a questo tentativo, avendo dei motivi precisi per mantenere la scrittura pi6 complicata (a, b) = = (+a)-( +b). Notiamo infine che i segni "pi6" e "meno", facenti parte di quest'ul-

CAPITOLO QUINTO

tima formula, hanno una funzione affatto diversa. I segni "piu" hanno l'ufficio di contrassegnare i numeri positivi, mentre il "meno" denota un' operazione. Il segno "piu", in +a, rappresenta soltanto un'abbreviazione per (a, o), e può venir soppresso servendosi della scrittura mediante coppie di numeri. Questo non vale invece per il segno "meno" che collega fra loro le due espressioni numeriche. Definizione della moltiplicazione

Da quanto fu detto nel capitolo sulla somma, segue che n(a, b) = Noi sappiamo già, dunque, come possa venire ennuplicata una coppia. Di qui però non risulta ancora in che modo vada eseguita la moltiplicazione di una coppia per un'altra. Le nostre precedenti convenzioni non ci suggeriscono nulla a questo proposito. Siamo dunque nella necessità di costruire una nuova definizione, stabilendo quanto segue: [6] (a, b)(c, d) = (ac+bd, ad+bc).

=(na, nb).

Si tratta qui senza dubbio di una convenzione arbitraria, giustificabile solo osservando che l'operazione in tal modo definita possÌede alcune proprietà formali, particolarmente notevoli, della moltiplicazione. Si può infatti dimostrare che: I) il prodotto di due coppie è ancora in ogni caso una coppia;

2) il prodotto di due coppie è univocamente determinato, non dipendendo dalla forma particolare di esse; 3) vale la legge commutativa; 4) vale la legge associativa. Per non stancare il lettore, tralasciamo di svolgere qui nei loro dettagli le relative dimostrazioni. Ma, supponendo di averle svolte, osserviamo: l'operazione sulle coppie, da noi definita, si accorda per le quattro anzidette proprietà con il prodotto dell'aritmetica; è dunque lecito attribuirle il nome di moltiplicazione. Che però essa non con-

TEORIA DEI NUMERI INTERI

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servi tutte le proprietà della moltiplicazione ordinaria, ce lo mostra il fatto che qui non vale piu la legge della monotonia; e cioè, dall'ipotesi B>C, non segue piu in generale che sia AB>AC; questo vale soltanto se A è positivo. Dalla definizione [6] si deducono in particolare le seguenti relazioni: (r, o)(r, o) = (r, o) (r, 0)(0, r) = (o, r) (o, r)(r, o) = (o, r) (o, 1)(0, r) = (r, o), che non sono altro che le famose regole dei segni: (+1)(+1)= +r (+r)(-r)=

-I

(-1)(+1)=

-I

(-r)(-r)= +1. Ne risulta che tali regole provengono dalla definizione del prodotto di due coppie; la quale è per sé arbitraria, e venne da noi stabilita nel modo sopra esposto soltanto perché potesse godere delle principali proprietà di cui gode la moltiplicazione nel campo dei numeri naturali. Questo fatto era già noto a Gauss, che nel 1811 scriveva infatti a Bessel: "Non si dovrebbe mai dimenticare che le funzioni, come tutte le combinazioni matematiche di concetti, sono soltanto nostre creazioni; e che là, dove la definizione di partenza cessa di aver senso, bisogna chiedere non che cosa si debba, ma che cosa convenga accettare per rimaner sempre conseguenti con sé medesimi. Ciò accade per esempio a proposito del prodotto meno per meno." E Hankel, nella sua opera già menzionata, scrive intorno alle regole dei segni: "Non si dirà mai abbastanza chiaramente, contro un' opinione generale molto diffusa, che queste regole non saranno mai oggetto di dimostrazione nell'aritmetica formale; esse sono convenzioni arbitrarie, scelte allo scopo di conservare il formalismo nel calcolo. »

CAPITOLO QUINTO

54

Definizione della divisione Per finire, un'osservazione sulla divisione. Che essa ci conduca fuori del campo dei numeri interi, già lo sappiamo. Ma come si farà a vedere questo fatto nel calcolo da noi costruito? Poniamo provvisoriamente il risultato della divisione in forma indeterminata: (a, b): (c, d) = (x, y). Se questa divisione deve risultare l'inverso della moltiplicazione, deve essere (a, b) = (c, d) (x, y) cioè

(a, b) = (cx+dy, dx+cy);

ma quest'uguaglianza, in base alla definizione [l], significa: a+dx+cy = b+cx+dy. La divisione riuscirà dunque eseguibile solo quando possano trovarsi due numeri naturali x, y che soddisfano all'ultima equazione; ma questa è una delle cosiddette equazioni di Diofanto ed è noto, in base a certe ricerche di teoria dei numeri sulle quali non vogliamo qui soffermarci, che essa è risolubile solo sotto determinate condizioni (è chiaro per esempio che l'equazione 3 = 2x+4Y non ammette radici fra i numeri naturali, essendo il primo membro indivisibile per due e il secondo invece divisibile). Ne segue che la divisione nel campo dei numeri interi non è sempre eseguibile. Diamo ora uno sguardo retrospettivo alla strada da noi percorsa. Il problema era: in che modo si possono introdurre i numeri interi, a partire esclusivamente dai numeri naturali, senza far uso di alcuna ipotesi né di alcun postulato? La costruzione ora esposta risponde a questo problema. Noi abbiamo formato, servendoci dei soli numeri naturali, certi enti, che vennero poi forniti, per mezzo di convenzioni arbitrarie ma scelte in maniera opportuna, di proprietà adatte a far loro compiere l'ufficio dei numeri interi. Non ci resta ora che un ultimo

TEORIA DEI NUMERI INTERI

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passo: riconoscere proprio la natura di numeri agli enti cosi costruiti. Solo un punto rimane qui problematico: non può darsi che le nostre convenzioni vengano in conflitto le une con le altre? Questo problema fu privo di significato fin quando si credette di vedere, nell'aritmetica dei numeri interi, un insieme di verità fondate su una specie di evidenza interna; in un sistema, invece, basato su convenzioni arbitrarie, non esiste alcuna garanzia che queste non conducano a qualche contraddizione. Per una teoria formale deve venir provato che essa non è contraddittoria; proprio questa prova costituirà la chiave di volta dell'intero edifizio. Come si ricorderà, per la formulazione delle leggi poste a base del calcolo delle coppie, ci era servito di modello il calcolo delle differenze; le nostre sei definizioni sono esattamente copiate dalle sei formule delle pagine 40 e 41. Se un giorno fosse possibile dedurre qualche contraddizione dalle nostre definizioni, la stessa catena di ragionamenti dovrebbe potersi ripetere nel campo dei numeri naturali partendo dalle formule che regolano il calcolo delle differenze; la struttura formale è infatti esattamente identica, e solo da questa struttura dipende la validità di quei supposti ragionamenti. Anche queste formule dovrebbero quindi celare in sé qualche contraddizione. Se ne deduce che l'aritmetica delle coppie è certamente non contraddittoria, se non lo è l'aritmetica dei numeri naturali. Per concludere, accenneremo ancora a una questione assai importante: qual è il rapporto fra i numeri interi e i numeri naturali? Sono quelli una generalizzazione di questi? Cosi credettero per lungo tempo i matematici. Si identificarono i numeri naturali con i positivi, e si pensava che la denominazione di positivi dovesse venir usata soltanto quando si vuoI distinguerli dai negativi. Ma già l'uso della lingua comune avverte che bisogna distinguere fra numeri naturali e positivi. Se dico che ho invitato tre ospiti, posso qui sostituire il termine numerico tre con qualunque altro ma non con" + 3", perché in tal caso dovrebbe aver senso parlare di un invito di "- 3" ospiti. I due termini" 3" e "+ 3" hanno, per cOSI dire, una grammatica logica diversa; ciò viene confermato da un'esatta costruzione dell'aritmetica. I numeri negativi non

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CAPITOLO QUINTO

costituiscono un complemento che si aggiunga ai numeri naturali. A rigore, numeri interi e numeri naturali sono due sistemi di numeri affatto indipendenti. Questo risulta assai chiaro proprio dal nostro modo di introdurre gli interi: essendo i numeri positivi delle coppie di numeri, essi non hanno nulla a che vedere con i numeri naturali; proprio per questo abbiamo evitato di asserire, nella nostra spiegazione, che essi sono differenze di due numeri naturali. Numeri naturali e numeri interi formano dunque due sistemi separati; essi appartengono per cOSI dire a due piani diversi. Fra loro esistono soltanto alcuni rapporti, i quali a una considerazione superficiale possono far credere che il primo sistema sia una parte del secondo. Vogliamo esaminare in che cosa consistano questi rapporti. A ogni numero naturale corrisponde un numero positivo:

e precisamente in modo che l'ordine e il concatenamento dei numeri naturali risultano identici all' ordine e al concatenamento dei numeri positivi. In termini piu esatti: la corrispondenza delle due serie gode di queste tre proprietà: I) è univoca nei due sensi: cioè a ogni numero naturale corrisponde un numero positivo e viceversa;

2) l'ordine dei singoli numeri entro ognuna delle due serie rimane conservato: cioè se a è maggiore (o minore) di b, anche il corrispondente numero positivo +a è maggiore (o rispettivamente minore) di +b; 3) i risultati ottenuti applicando le quattro operazioni fondamentali ai numeri di una serie, corrispondono esattamente a quelli ottenuti applicandole ai numeri dell'altra serie; per esempio se a+b = c, allora (+a)+( +b) = +c; e cOSI per le altre operazioni.

Riassumeremo tutto ciò dicendo piu brevemente: la corrispondenza è biunivoca, simile, e isomorfa. Da questo dipende che tutte le relazioni

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TEORIA DEI NUMERI INTERI

fra i numeri naturali si riproducono immutate fra i positivi, di modo che ognuno dei due sistemi sembra una copia fedele dell'altro. Dati due sistemi di numeri, S con gli elementi a, b, c, ... , ed S' con gli clementi a, f3, y, ... , si dice che una rappresentazione di S su S' è isomorfa, quando ai risultati delle combinazioni a+b, a-b, a·b, a:b corrispondono sempre i risultati delle combinazioni a + f3, a - f3, a· f3, a: f3. Sarebbe erroneo credere che l'isomorfismo sia una conseguenza della biunivocità e della similitudine delle relazioni. Un semplice esempio ci convincerà del contrario: si facciano corrispondere fra loro la serie dei numeri naturali e quella dei numeri pari nel modo indicato dalla freccia: 2

345

4

6

6

+ +++++ 2

8

IO

12

la corrispondenza cosi ottenuta risulta biunivoca e simile, ma non isomorfa; per esempio, il prodotto dei numeri 2 e 3 nella prima riga è 6, mentre il prodotto dei numeri corrispondenti nella seconda riga è 24, eppure 6 e 24 non sono il corrispondente l'uno dell'altro. Riassumendo possiamo dunque concludere: l'insieme dei numeri naturali non costituisce una provincia dell'insieme dei numeri interi; quest'ultimo contiene però un insieme parziale, quello dei numeri positivi, che corrisponde al sistema dei numeri naturali in modo biunivoco, simile e isomorfo. A che serve il nuovo sistema? Diventano forse, col suo aiuto, risolublli dei problemi che l'antico sistema non riusciva a risolvere? Anche su ciò la nostra concezione sarà un po' diversa dalla comune. A stretto rigore, il problema di sottrarre 7 da 4 non vien risolto dall'introduzione dei numeri negativi; ma vien risolto un altro problema, quello di sottrarre +7 da +4. Quest'ultimo è l'analogo del primo nel campo dei numeri interi. Un problema insolubile non diventa mai solubile per la scoperta di nuovi numeri: questa sarebbe una maniera alquanto superficiale e falsa di formulare la questione; è esatto, piuttosto, asserire che si riesce, per modo di dire, a proiettarlo su di un altro

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CAPITOLO QUINTO

piano numerico, e che il problema che viene a corrispondergli può possedere una soluzione. Ben inteso, le cose non si svolsero storicamente in questo modo. I numeri negativi non vennero inseriti in un sol tratto nella matematica, ma si introdussero da soli a poco a poco nella pratica deI calcolo. Probabilmente furono una scoperta degli indiani, ai quali noi siamo anche debitori del nostro sistema di cifre. Nell'occidente essi comparvero verso il Rinascimento, quando era già completamente in uso il calcolo letterale. Furono prima di tutto i problemi sulle operazioni, che condussero quasi per forza ai numeri negativi. Cosi, per esempio, Chuquet nella sua opera Le triparty en la science des nombres (1484) pervenne a radici negative, cercando di risolvere il problema della scomposizione di un numero secondo una determinata regola. Che in un primo tempo si siano riguardati i nuovi numeri con una certa diffidenza, lo provano i primi nomi che vennero loro dati, come "numeri assurdi" (MichaeI StifeI), "numeri ficti" (Gerolamo Cardano), ecc. Un algebrista del valore di Vieta (1540-1603) voleva ancora escluderli sistematicamente dalla matematica, proposito in cui lo seguirono sino alla fine deI diciottesimo secolo alcuni matematici inglesi, i quali provavano scandalo soprattutto per la poco chiara giustificazione della regola dei segni. Che del resto anche dei matematici di prim'ordine fossero poco capaci di comprendere questo tipo di numeri, ce lo mostra l'esempio di Wallis (16 I 6- I 703) il quale credeva di vedere in essi delle grandezze "piu che infinite". Egli argomentava neI seguente modo: i numeri 3

,

,

o

2

formano una serie crescente; in termini generici: I

.I

m

m-I

- B, segue sempre A+C>B+C. Dalla definizione di somma si deduce in particolare che (a, b)+(a, b) = (2a, b),

risultato questo che piu brevemente può scriversi 2(a, b) = (2a, b);

cosicché, in forma del tutto generale, abbiamo n(a, b) = (na, b).

Quest'ultima formula fa vedere in che modo una coppia possa venir moltiplicata per un numero intero. Definizione della moltiplicazione

Stabiliamo che sia per definizione

(a, b) (c, d) = (a c, bd). Le condizioni da porsi per questa definizione sono completamente analoghe a quelle poste per la definizione di somma. Tralasciamo di dimostrare che le condizioni a), b) e c) sono soddisfatte; osserviamo invece che la d), cioè la condizione di monotonia per la moltiplicazione, perde ora la sua validità. Addizione e moltiplicazione godono inoltre della proprietà distributiva: A(B+C) = AB+AC.

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CAPITOLO SESTO

Che accade ora per la sottrazione e per la divisione? Debbono esse pure venire definite ex novo? La cosa non è necessaria; basta riguardarle come operazioni inverse dell'addizione e della moltiplicazione. Si ponga (a, b)-Cc, d) = (x, y); dovrà dunque essere (a, b) = (c, d) + (x, y); e quindi, in base alla definizione di somma,

(a, b) = (cy+dx, dy). Ma quest' eguaglianza, in base alla [I], può sussistere soltanto se si ha

. ,

clOe

ady-b(cy+dx) =0, (ad-bc)y-bdx=o.

Una soluzione di quest'equazione è data dai valori

x=ad-bc y=bd, e ogni altra soluzione può venir ottenuta moltiplicando questi valori per un numero intero arbitrario. Ma poiché, in base all' osservazione di pagina 7 I, la coppia (nx, ny) è identica alla coppia (x, y), noi potremo esprimere sempre il risultato della nostra sottrazione nella forma seguente (a, b)-Cc, d) =(ad-be, bd).

In modo completamente analogo si può procedere per la divisione. Si ponga (a, b): (c, d) = (x, y); dovrà essere (a, b) = (c, d) (x, y), da cui si deduce (a, b) = (ex. dy), cioè ady-bcx=o.

NUMERI RAZIONALI

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La soluzione di quest'equazione (prescindendo di nuovo da multipli secondo numeri interi) è x=ad, y =bc. Noi otteniamo quindi

(a, b): (c, d) = (ad, be). Chiamando ora la coppia (d, c) reciproca della coppia (c, d), possiamo dare al risultato ottenuto la forma seguente: per dividere una coppia per un'altra basta moltiplicare la prima per la reciproca della seconda. Gli enti da noi costruiti risultano dunque ordinati, e con essi si può calcolare proprio come si calcola con i numeri naturali. Questi due fatti ci suggeriscono di attribuir loro il nome di numeri, e precisamente di numeri razionali. Col sistema dei numeri razionali noi abbiamo costruito uno strumento che ci permette di eseguire illimitatamente le quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica, a eccezione della diviSIOne per zero. Quanto alla non contraddittorietà del nuovo sistema, noi potremo, come per il caso degli interi, ragionare cosi: le definizioni dei concetti di maggiore, uguale, minore, e le regole di calcolo fissate per i numeri razionali, riproducono esattamente i teoremi validi per il calcolo dei quozienti; se quindi nel campo dei razionali sorgesse una qualunque contraddizione, questa dovrebbe valere immutata nel Campo dei numeri interi. Sappiamo che nel campo degli interi i numeri zero e I compiono un ufficio speciale; valgono infatti, per un numero a qualunque, le seguenti uguaglianze a+o=a, a·I =a. Cioè il numero zero non cambia nulla, se viene aggiunto a qualunque altro come addendo; e il numero I non cambia nulla se viene introdotto come fattore. Questi due fatti sogliono venir espressi nei seguenti termini: zero è il modulo dell'addizione; I è il modulo della moltiplicaZIOne. Le coppie (o, I) e (I, I) compiono, nel campo dei numeri razionali,

CAPITOLO SESTO

un ufficio completamente analogo. Valgono infatti le uguaglianze (a, h) + (o, I) = (a, h) (a, h)(I, I) = (a, h).

In base a ciò noi daremo loro il nome di numero razionale nullo e numero razionale unitario. Ma quel che abbiamo messo ora in luce per i numeri zero e I, è valido in generale: a ogni intero a (positivo o negativo che esso sia) corrisponde il numero razionale (a, I). Si ha cosi, per esempio (a, I)+(h, I) = (a+h, I) (a, I)(h, I) = (a·h, I).

Il sistema dei numeri interi può dunque venir rappresentato sopra una parte del sistema dei numeri razionali, e in questa rappresentazione si conservano tanto l'ordine dei numeri quanto il modo di connettersi gli uni agli altri con le quattro operazioni fondamentali. In termini piu precisi: i numeri razionali contengono un sistema parziale che può venir posto in corrispondenza biunivoca, simile e isomorfa con il sistema dei numeri interi. Questo indusse a ritenere che i numeri razionali costituiscano un ampliamento dei numeri interi, comprendendo essi, oltre agli interi, anche le frazioni. Tale opinione è però errata. In realtà ognuno dei tre sistemi - numeri naturali, interi e razionali - costituisce un mondo chiuso, e non è affatto possibile passare dall'uno all'altro di essi con l'aggiunta di nuovi elementi. Noi dobbiamo dunque fare una netta distinzione fra il numero naturale 5; l'intero +5 e il razionale 5/I; essi non sono identici, perché formano l'oggetto di calcoli diversi. Fra di loro esiste soltanto una corrispondenza, in quanto essi esercitano nei rispettivi calcoli degli uffici analoghi. Quest'osservazione fa sorgere le seguenti domande: le quattro operazioni hanno veramente, nei tre tipi di calcolo, il medesimo significato? Possiamo dire per esempio che la sottrazione nel campo dei numeri interi sia identica alla sottrazione nel campo dei numeri naturali? Rispondiamo chiedendo a nostra volta che significato abbiano nelle anzidette

NUMERI RAZIONALI

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domande i termini "medesimo" e "identico". Essi vorranno certo significare che per le operazioni considerate valgono, nei tre generi di calcolo, proprio le stesse convenzioni; è chiaro però che se accettiamo questo significato dobbiamo dare senza dubbio a quelle domande una risposta negativa. Infatti, mentre l'operazione a-b è sottoposta, nel campo dei numeri naturali, alla condizione a>b, essa risulta invece eseguibile senza condizioni nel campo dei numeri interi; e nessuno vorrà sostenere che questa sia una differenza poco importante. Se ne conclude che, a rigor di termini, non è lecito parlare di un'unica sottrazione; bisogna parlare invece di tante operazioni, denotate con questo stesso nome, quanti sono i diversi tipi di sistemi numerici. Non dobbiamo qui lasciarci trarre in inganno dalla circostanza che nei vari tipi di calcolo si faccia uso dei medesimi segni +, -, :, ecc. Basta confrontare fra loro le definizioni dei diversi concetti che questi segni denotano nei diversi calcoli, per comprendere chiaramente fin dove si estenda la loro analogia, e dove invece essa venga a mancare. Queste discussioni potrebbero ancora venir proseguite. Se in un nuovo campo un' operazione non sottostà piu a tutte quelle condizioni cui si era soliti sottoporla nell'antico sistema, dovremo dire ancora ch'essa è la medesima operazione? Prendiamo per esempio la somma di due rotazioni della sfera. Tutti comprendono che, col termine "somma", noi denotiamo qui il risultato a cui si giunge eseguendo due rotazioni della sfera una dopo l'altra; e senza dubbio tale uso linguistico sembra assai naturale. Ma sottostà davvero questo concetto di somma (di due rotazioni) alle nostre cinque condizioni formali sopra discusse? a) La somma esiste sempre; cioè due rotazioni, eseguite una dopo l'altra, riproducono sempre una rotazione. b) La rotazione somma è univoca mente determinata dalle due rotazioni addende. c) Godrà essa della proprietà commutativa? In altri termini: il risultato di due rotazioni è proprio indipendente dall'ordine in cui esse vengono eseguite? Accertiamocene. Rotiamo una prima volta la sfera di 90° intorno all'asse NS, di modo che il punto P vada in Q; e poi una volta

CAPITOLO SESTO

intorno all'asse orizzontale PP', di modo che N vada in Q. Che accadrà se si eseguono le due rotazioni una dopo l'altra? Se prima rotiamo intorno all'asse verticale e poi intorno all'asse orizzontale, N va su Q; se invece eseguiamo le due rotazioni in ordine inverso, N va su P'o Le due posizioni della sfera sono dunque completamente diverse; e cioè la somma di due rotazioni non gode della proprietà commutativa.

N

P~---+----lIP'

s Figura

IO

cl) Al contrario si può dimostrare che la somma di pi6 rotazioni gode della proprietà associativa. e) La quinta condizione, la validità della legge di monotonia, viene a mancare, non essendo definito quel che debba dirsi una rotazione maggiore o rispettivamente minore di un'altra.

Delle cinque condizioni sopra elencate, soltanto tre si trovano soddisfatte nel nostro esempio; dipenderà esclusivamente dal nostro gusto personale se vogliamo, qui, parlare ancora di somma. Anche alla risultante di due forze suoI darsi il nome di loro somma. Per essa valgono le prime quattro condizioni, ma non la quinta perché le forze non costituiscono una serie ordinata linearmente. Come ulteriori esempi, potremmo citare la somma di due onde o di due colori (intendendo per somma di due colori il colore ottenuto dalla loro mescolanza). Si vede che è possibile trovare l'analogo del concetto di somma nei campi pi6 disparati; bisognerà soltanto tener presente che il termine" somma" acquista volta per volta nuovi contenuti.

NUMERI RAZIONALI

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Queste osservazioni riescono a portare un po' di luce su alcuni detti, cari ai filosofi, come "il tutto è qualcosa di piu che la somma delle sue parti", "la melodia è piu che la somma dei suoi toni", ecc. Con essi non si dice proprio nulla, non sapendosi per esempio che cosa debba intendersi per somma di toni; quest'espressione infatti non è stata mai definita. Si può, naturalmente, dare un senso anche a questi termini; e nulla esclude allora che i detti in questione riescano a esprimere qualche pensiero giusto; certo è a ogni modo che prima di discutere se essi siano giusti o erronei bisognerà avere per esempio stabilito che cosa si intende per somma di toni. 1 Riflessioni affatto analoghe si possono ripetere per il concetto di uguaglianza. Abbiamo detto, nelle pagine precedenti, di poter attribuire a una relazione il nome di uguaglianza solo quando essa è riflessiva, simmetrica e transitiva. Ma è davvero cOSI indispensabile che essa soddisfi tali condizioni? Riflettendo, perveniamo senza difficoltà a una risposta negativa. Non è, per esempio, necessario in modo assoluto che il concetto di uguaglianza sia transitivo. Accade infatti non di rado che confrontando vari segmenti dati intuitivamente nel campo visivo si percepiscano come uguali i segmenti a e b, e cosi pure i segmenti b e c, mentre a e c appaiano di lunghezza affatto diversa. Cosa analoga accade per i colori, per le altezze dei toni, ecc. Di fronte a questo stato di fatto bisogna dire: il concetto di uguaglianza, applicato a tali fenomeni, è certamente simmetrico, ma può non essere transitivo. Le nostre riflessioni fanno cadere il pregiudizio che il concetto di uguaglianza debba necessariamente risultare fornito di certe proprietà. Diremo invece: noi siamo perfettamente liberi di costruire concetti piu o meno simili a quello di uguaglianza fra numeri naturali: sarebbe però poco opportuno voler attribuire, proprio a quelli piu dissimili da esso, il medesimo suo nome. In conformità a ciò correggeremo quanto abbiamo scritto a pagina 43, dicendo non piu che la proposta da noi fatta è "giustificata" dalle nostre successive considerazioni, ma solo che da esse viene dimostrata "opportuna". In termini piu precisi, le condizioni I

Si veda M. SCHLICK, Ober den Begriff der Ganzheit, Erkenntnis, voI. 5.

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CAPITOLO SESTO

che noi imponiamo al concetto di uguaglianza per le coppie sono sostanzialmente due: Cl) sua opportunità (con questa condizione noi esigiamo che continuino, entro certi limiti, a valere per il concetto da noi definito le ordinarie proprietà del rapporto di uguaglianza); h) sua idoneità (con questo esigiamo invece che fra le coppie cui devono corrispondere dei numeri natur:di valga il medesimo rapporto di uguaglianza che vale per i numeri naturali corrispondenti). Infine aggiungeremo ancora alcune osservazioni: I) Il miglior modo di rispondere, a chi ci domandi che cosa sono i numeri razionali, consisterà nel fargli vedere come si operi su di essi; e cioè nello spiegargli le regole di queste operazioni. Ci si immagina qualche volta che i numeri razionali formino, di per sé stessi, delle entità indipendenti dal loro calcolo, e che le regole di questo calcolo derivino dalla natura profonda di quelle entità. Accade invece tutto il contrario: è proprio il calcolo delle frazioni ciò che determina il concetto dei numeri razionali. La circostanza empirica, che noi ci troviamo in grado di suddividere in parti i segmenti, i pesi, ecc., non giustifica per nulla il calcolo delle frazioni, ossia non riesce a dimostrarci in alcun modo la verità delle regole che stanno alla base di esso. Tale circostanza riuscl invece senza, dubbio a una cosa: a indurre il matematico a creare un calcolo che fosse applicabile a quei fatti empirici. Ma ritorneremo ancora molte volte su questo punto. 2) Per qual motivo noi perveniamo proprio a coppie, e non, per esempio, a teme di numeri? La risposta è che il nostro calcolo è modellato sul calcolo dei quozienti, e si determina completamente un quoziente dando per l'appunto due numeri. (La stessa cosa si può ripetere per gli interi, il calcolo dei quali è modellato su quello delle differenze.) La ragione profonda della nostra necessità di ricorrere a coppie di numeri risiede nel fatto che le operazioni inverse fanno sempre capo a due termini. Una coppia, considerata in sé stessa, non è nulla; è una cornice vuota,

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che può venir riempita per mezzo del contenuto pili diverso: la medesima coppia, a seconda delle regole che ne fissano il calcolo, potrà rappresentare un numero intero, o un numero razionale, o un numero complesso. Il vero significato di una coppia è il modo di usarla. 3) Nella presente sistemazione abbiamo costruito prima i numeri interi, e soltanto dopo i razionali. Esiste qualche ragione profonda che ci obblighi a scegliere quest'ordine? Oppure si sarebbero potuti introdurre prima i razionali senza segno, e solo dopo i negativi? Senza dubbio. Con ciò tuttavia non perverremmo a un sistema di numeri diverso dal nostro: il nuovo sistema cOSI ottenuto si rivelerebbe infatti isomorfo a quello precedente, in quanto ogni relazione dell'uno corrisponderebbe a una ugualmente costruita dell'altro, e viceversa.

4

7· Il calcolo dei numerz naturali e le sue basi

La base di tutta la nostra esposizione è il sistema dei numeri naturali. Finora l'abbiamo supposto conosciuto o dato; adesso però dobbiamo analizzarlo piu a fondo, cercando la fonte stessa delle leggi del suo calcolo. Con ciò veniamo a trovar ci su di un terreno, rispetto a cui vi è ancora oggi gran disparità di opinioni. Noi riferiremo innanzi tutto qualcosa sullo stato attuale di queste ricerche, e passeremo poi in altri capitoli a esporre alcune considerazioni, che sono forse in grado di gettare su questo o quel punto una luce abbastanza chiara. Come si sa, è possibile ricondurre il calcolo dei numeri naturali ad alcune poche leggi. Eccole qui brevemente riassunte. Leggi per l'addizione: I) a+b è sempre un numero, cioè l'addizione può venir eseguita illimitatamente; 2) a+b è determinato in modo univoco, esiste cioè un solo numero che sia somma di a e b; 3) a+b = b+a (legge commutativa); 4) a+(b+c) = (a+b)+c (legge associativa); 5) se è a>b, sarà pure a+c>b+c (legge della monotonia).

Leggi per la moltiplicazione: 6) a·b è sempre un numero;

NUMERI NATURALI

7) a·b è determinato in modo univoco; 8) ab = ba (legge commutativa); 9) a·(b·c) = (a·b)·c (legge associativa); IO) se è a>b, sarà pure a·c>b·c (legge della monotonia). Leggi che collegano fra loro addizione e moltiplicazione: II) a·(b+c)=ab+ac (la legge distributiva); 12) (a+b)·c

= ac+bc

(2 a legge distributiva).

(Vedremo in seguito come si enunciano le leggi di calcolo per le operazioni inverse.) Esaminiamo innanzi tutto in che modo vengono applicate queste leggi nel calcolo elementare. Se si deve eseguire per esempio la moltiplicazione di 7 e 24, si scinde 24 in 20 e 4 e si calcola cosi 7'24 = 7'(20+4) = 7'20+7'4· In questo passaggio si è fatto uso, evidentemente, della legge distributiva. Si applica poi la legge associativa della moltiplicazione, ottenendo 7'20 = 7'(2' IO) = (7'2)' IO = 14' IO = 140. Rimane infine da aggiungervi ancora il numero 28; lo si scinde in 20+8, e, applicando la legge associativa dell'àddizione, si ottiene il risultato voluto Nei singoli passaggi dell'aritmetica ordinaria, noi riconosciamo cOSI a una a una le nostre leggi generali. In che modo si applicano poi le leggi della monotonia? Non nel calcolo abituale, ma nella moltiplicazione abbreviata, dove si tratta di racchiudere il risultato finale fra due limiti definiti. Riassumendo, possiamo dire: il calcolo che si esegue in pratica con i numeri naturali consiste nell'applicazione ininterrotta delle dodici leggi fondamentali sopra ricordate. In quest'applicazione, si ottengono i risultati per le singole unità da un insieme di relazioni imparate a memoria (dalla relazione Il uno piu uno" e da quella Il uno per uno").

CAPITOLO SETTIMO

Naturalmente si operò a lungo senza conoscere esplicitamente queste leggi; di fatto si dovette prima ricavarle dai procedimenti concreti del calcolo, e poi riconoscerle come basi logiche di esso. Questo accadde nel primo terzo del secolo scorso, soprattutto per opera di matematici francesi e inglesi (come Servois e Hamilton); in Germania tali idee penetrarono solo nel 1867 per opera di Hankel e piu tardi di Stolz. Il problema che ci introdurrà senza preamboli nella piu moderna discussione sui numeri naturali è il seguente: come si giustificano le dodici leggi poco sopra riferite? Potremo trovare per esse qualche dimostrazione, oppure dovremo accettarle come verità fondamentali indimostrabili? Proprio questo è il punto intorno a cui sorge divergenza di opinioni. Noi ne distingueremo quattro. I) Le leggi fondamentali su ricordate esprimono delle verità evidenti per ogni spirito pensante: proprio dal significato intuitivo dell'addizione quale raggruppamento di due insiemi si ricava che può esistere un solo numero, somma dei due, e che questo numero non dipende dall'ordine con cui i due addendi si raggruppano fra loro. Come origine di tutta la conoscenza matematica si assume qui l'intuizione; intendendosi per essa, non tanto l'intuizione materiale dei dati empirici, quanto piuttosto l'intuizione intellettuale della serie dei numeri. Quali difensori di questa concezione ricorderemo fra i filosofi Kant e fra i matematici Hamilton.

2) Il numero delle leggi fondamentali può venir diminuito, in quanto si riesce a dedurle tutte da alcune proposizioni piu profonde. Questa concezione rappresenta una specie di perfezionamento del primo punto di vista: solo le proposizioni fondamentali scoperte dalla nostra analisi traggono origine dall'intuizione; tutto il resto è opera ulteriore della logica. Questo indirizzo fu iniziato da H. Grassmann, che nel suo Lehrbuch der Arithmetik [Trattato di aritmetica] ha mostrato come la legge commutativa possa dedursi dall'associativa con l'aiuto del principio di induzione completa. Peano segna il punto culminante di questo indirizzo. Secondo lui tutto l'edificio dell'aritmetica può venir eretto su cinque sole proposizioni fondamentali. Una volta ammessa la loro

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verità, tutto il resto si ottiene con pure deduzioni logiche, senza pensare al contenuto empirico delle operazioni di calcolo. Queste ricerche esigono una notevolissima sottigliezza. La difficoltà fondamentale sta nel tener lontane numerose associazioni di idee, che l'uso corrente della lingua porta con sé, e che in ogni istante minacciano di infiltrarsi, senza che ce ne accorgiamo, nelle nostre riflessioni: esse diminuirebbero il rigore dei processi dimostrativi, che debbono basarsi, come sopra fu detto, sulle sole ipotesi esplicitamente riconosciute. Per facilitare questo compito, Peano ha ideato una scrittura per concetti, che formalizza i nostri ragionamenti; servendo ci di essa, possiamo essere sicuri di non accogliere nelle varie dimostrazioni alcuna ipotesi surrettizia. In questo modo ebbe inizio la cosiddetta logica matematica, sorta dalle esigenze della tecnica dimostrativa matematica. Le cinque proposizioni fondamentali di Peano sono: a) zero è un numero; b) il successivo di un numero qualunque è ancora un numero; c) due numeri, seguiti da numeri uguali, sono uguali; ci) il successivo di un numero non è mai uguale a zero; e) se zero gode di una proprietà, e se ogni volta che un numero gode di questa proprietà lo stesso si ripete per il suo successivo, allora ogni numero gode di essa. Ritorneremo piu tardi sul significato preciso di queste proposizioni; qui ci limitiamo soltanto a osservare che il problema circa la base ultima delle conoscenze matematiche fu, dalle ricerche del Peano, non risolto ma semplicemente spostato. Si ebbero quindi vari tentativi di dedurre le cinque proposizioni di Peano da verità ancor piu profonde. Non si tratta, certo, di giustificarle con l'aiuto dell'aritmetica, dato che esse rappresentano proprio il punto iniziale della deduzione matematica. Sembra invece che sia possibile dedurle, non appena si guardi oltre i limiti di questa scienza. Questo ci conduce al terzo punto di vista. 3) Secondo questa concezione si cerca di fondare l'aritmetica sulla logica; si fa uso, a tale scopo, di concetti molto generali della teoria

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degli insiemi e, rispettivamente, del calcolo delle classi. Il fondatore di quest'indirizzo fu Frege. Mentre con Peano ha termine la riduzione della matematica all'aritmetica, con Frege inizia la sua riduzione alla logica. L'affermazione che la matematica costituisce soltanto un ramo della logica, raggruppa in sé due tesi, che non vengono sempre chiaramente distinte: a) i concetti base dell'aritmetica possono venir ricondotti, per mezzo di definizioni, a puri concetti logici; b) gli assiomi dell'aritmetica possono venir ricavati, per mezzo di dimostrazioni, da pure proposizioni logiche. Se l'affermazione di Frege fosse giusta, questo significherebbe che tutta la matematica pura, in quanto deriva dalla teoria dei numeri naturali, ha gli stessi caratteri della logica. E qui vien forse a proposito un'osservazione molto notevole sulla natura delle proposizioni logiche. Il problema cosi di frequente discusso dai filosofi circa l'origine da cui la logica trarrebbe la propria validità (se si tratti di una verità intrinseca alle sue proposizioni e capace di imporsi per sé stessa a ogni spirito pensante, oppure si tratti del carattere empirico della nostra coscienza, ecc.) viene oggi risolto dicendo che le proposizioni logiche sono delle pure tautologie. Al fine di spiegare che cosa debba intendersi per tautologia, sarà utile ricorrere a un esempio: immaginiamo che Tizio non sappia a qual giorno preciso della settimana ci troviamo. Se glielo chiediamo, egli risponderà forse: "Oggi è lunedi o martedi." Questa non sarebbe certo una risposta ben determinata. Ancora piu indeterminata sarebbe però la sua risposta se egli si trovasse in dubbio, non fra due, ma fra tre giorni. In generale tutte le risposte possibili possono venir cosi ordinate secondo la loro indeterminatezza: oggi è lunedi, oggi è lunedi o martedi, oggi è lune di o martedi o mercoledi, ecc.; dove ognuna di esse ha un contenuto affermativo meno esteso della precedente. La risposta piu indeterminata sarà "oggi è lune di, o martedi, ... o domenica": essa lascia alla realtà il piu largo margine pensabile. Questa proposizione gode anzi di una proprietà notevolissima, che la distingue profonda-

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mente da tutte le altre: essa non può essere falsa. Qualunque giorno della settimana oggi sia, sarà certo o lunedf, o martedf, ... o domenica. Essa è vera in virtu della sua stessa forma, e non dice nulla intorno alla realtà. Per l'appunto una proposizione di questo genere porta il nome di tautologia. Un altro esempio sarebbe il seguente: "Oggi io esco oppure non esco", poiché, qualunque cosa io faccia, la verità di tale asserto risulta incontestabile. (Si può notare che quest'esempio ha la forma del principio del terzo escluso, il quale costituisce, esso pure, una tautologia; e la medesima cosa vale di tutte le altre proposizioni della logica.) Le tautologie sono dunque proposizioni vere in virtu della loro stessa forma; questa verità vip.lle però pagata al prezzo della loro completa mancanza di contenuto. Se l'opinione di Frege fosse giusta, la matematica non sarebbe altro che un colossale sistema di tautologie, e quindi essa non affermerebbe assolutamente nulla. Questa conclusione sfuggi però, in maniera singolare, al Frege; egli non ebbe infatti una visione precisa dell'essenza della logica. Secondo la sua opinione, la logica avrebbe dovuto essere una scienza descrittiva, quasi come la meccanica; e al problema "che cosa descrivesse", egli rispondeva: "La logica descrive rapporti fra oggetti ideali"; per esempio descrive i rapporti indicati dalle particelle "e", "o", "se". Esisterebbe cioè, secondo Frege, un regno di forme logiche pure, non create dallo spirito umano, ma situate al di fuori del tempo come le idee platoniche; fra tali forme sussisterebbero poi certe speciali relazioni, quelle appunto che formano l'oggetto delle ricerche logiche. Costruendo il suo sistema di logica, Frege riteneva perciò di avanzare ogni volta verso nuove e sempre piu profonde verità. La scoperta moderna del carattere tautologico di tutte le proposizioni della logica ha modificato radicalmente quest'opinione. Essa ha finito col procurare, ai tentativi di logicizzazione della matematica, un senso affatto nuovo, che i loro iniziatori non avrebbero certo ammesso. Le idee ora accennate appartengono del resto a un'epoca assai recente.' I

Il concetto di tautologia venne introdotto da Wittgenstein nel

1921.

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Il male sopravvenne invece da un'altra parte. Allorché Frege, dopo un lavoro di dieci anni, ebbe terminato il secondo volume dei suoi Grundgesetze, ricevette improvvisamente una lettera, in cui gli si partecipava che uno dei suoi metodi dimostrativi conduceva a un'antinomia. L'autore di questa lettera era Bertrand Russel!. Proprio nel momento in cui riteneva completa la sua opera, Frege dovette riconoscere di aver costruito sulla sabbia, o almeno di dover rinnovare per intero i fondamenti della sua costruzione. In un epilogo egli comunica questo fatto al lettore, e da quel momento interrompe la continuazione delle sue ricerche. Con la scoperta delle antinomie, la logica entra in una nuova fase di sviluppo. Le fatiche degli anni successivi furon rivolte a spiegare questo straordinario fenomeno. Si riconobbe che le antinomie provengono da un'applicazione troppo ampia e incauta del concetto di insieme. Illustriamo la cosa con un esempio. O un insieme contiene sé stesso come elemento, oppure non contiene sé stesso come elemento. Cosi l'insieme di tutti gli uomini non è un uomo (e quindi non contiene sé stesso come elemento); l'insieme di tutti i punti non è un punto; al contrario, l'insieme di tutti i concetti astratti è esso stesso un concetto astratto (e quindi contiene proprio sé stesso come eleme1'>tt'). Per brevità, chiameremo normale ogni insieme che non contenga sé stesso ceme elemento (l'insieme di tutti gli uomini e l'insieme di tutti i punti sono quindi normali). Orbene, immaginiamo raggruppati in un insieme N tutti gli insiemi normali, e chiediamoci: "È o non è questo N un insieme normale?", e cioè: "Contiene o non contiene sé stesso come elemento?" Supponiamo come prima ipotesi che N contenga sé stesso come elemento; cioè che N rientri anch'esso nell'insieme di tutti gli insiemi normali. In tal caso N conterrà pure un insieme non normale (in quanto conterrà proprio sé stesso che non è normale). Tale fatto contraddice però la definizione di N, secondo la quale N è formato soltanto da insiemi normali. Questa contraddizione dimostra falsa la nostra ipotesi. "Di conseguenza - si concluderà - può essere vero soltanto il contrario." Ma il sorprendente è, ora, che anche quest'ipotesi contraria conduce a una contraddizione. Supponiamo infatti che N non contenga

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sé stesso come elemento. Segue da ciò che esso è un esempio di insieme normale; si era detto però, per definizione, che N dev'essere costituito da tutti gli insiemi normali, e quindi dovrebbe contenere, ora, anche sé medesimo. Senonché un tal risultato, messo a confronto coll'ipotesi, risulta di nuovo una contraddizione. Il notevole, in tutto ciò, è che, seguendo la nostra antinomia nelle sue piti profonde radici, vediamo come essa rimonti senz'altro al concetto di insieme; proprio in questa creazione concettuale deve dunque giacere l'origine della contraddizione. Per evitarla Russell cercò di restringere il concetto di insieme, imponendo alcuni divieti. Secondo lui non si deve piti ritener lecito il raggruppare senza distinzione enti, insiemi di enti, insiemi di insiemi, ecc., ma si deve badare col massimo rigore che gli elementi di un'insieme abbiano gli uni con gli altri una certa omogeneità. Questa è l'idea direttrice della teoria dei tipi. Noi ci limiteremo a quest'accenno. Osserveremo però che se essa ha tagliato la strada alle antinomie finora note non riesce tuttavia a procurarci una garanzia completa. Chi ci assicura infatti che non sorgeranno un giorno nuove antinomie? Per servirci delle parole di Poincaré: "Non potrà darsi che noi abbiamo inavvertitamente chiuso anche il lupo dentro la rete tirata intorno alle pecore?" 4) In seguito alle critiche ora riferite, la riduzione della matematica alla logica venne a perdere, agli occhi dei matematici, gran parte del suo valore. Parve infatti necessario, prima di tutto, assicurare con ricerche matematiche la non contraddittorietà della nuova logica. Ma poiché a sua volta la matematica stessa richiede l'uso dei metodi dimostrativi della logica, guadagnò sempre piti terreno l'ipotesi che lo scopo debba venir raggiunto per un'altra via, cioè riedificando insieme matematica e logica. Riflettiamo un istante sul significato di tale asserzione. Non si domanda piti in che modo debba venir dimostrata la non contraddittorietà di una singola teoria (per esempio della geometria non euclidea); ma si pone il seguente problema molto piti generale: dimostrare la non contraddittorietà di tutto l'insieme di concetti costituito dall'aritmetica e dalla logica. Il metodo applicato in questa ricerca è quello assiomatico. Dapprima

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si fece uso di esso soltanto nella geometria; di là venne poi gradualmente esteso ad altri campi. Il miglior modo di spiegare la sua essenza sarà confrontare le due maniere, antica e moderna, di concepirlo. Secondo l'antica concezione, gli assiomi hanno per compito di descrivere fatti che si presentano immediatamente alla nostra intuizione. Trattano, per esempio, di punti, piani, rette ideali, ecc., e dei rapporti che intercedono fra essi: rapporti denotati con le parole "giacere", "congruenti", "fra", "paralleli", ecc. In conformità a questa concezione Euclide inizia i suoi Elementi cercando di definire i concetti fondamentali della geometria; egli scrive per esempio: o'YJfleio'P, OV flÉeO~ ovfJÉ'P, il punto è ciò che non ha parte. Queste definizioni costituiscono tuttavia, fin dall'antichità, una pietra di scandalo, poiché il loro senso è estremamente oscuro. Un dolore, per esempio, non ha parti; è dunque un punto? Prima di tutto bisogna osservare, del resto, una cosa. l'anzidetta definizione, anche se fosse intelligibile, non avrebbe propriamente alcun valore per il sistema di Euclide. E infatti da essa non dipende nemmeno una dimostrazione; essa non viene mai usata, rimane totalmente fuori dal resto del sistema. Ora si sa che ogni definizione ha l'unico scopo di creare concetti, dai quali prendano inizio dimostrazioni rigorose; e qui invece proprio quest'unico scopo manca. 1 Si aggiunga a ciò un'ulteriore circostanza: nella geometria piu moderna i matematici sono pervenuti all'idea che le proposizioni geometriche risultino spesso trasportabili da un campo all'altro (anche se questo è completamente diverso dal primo). CosI è possibile, per esempio, enunciare tutti i teoremi validi per le rette del nostro spazio tridimensionale in modo da renderli applicabili ai punti di uno spazio a quattro dimensioni. I due sistemi di concetti sono completamente isomorfi (di ugual struttura): se un teorema è stato dimostrato per la geometria di una I Solo da poco tempo è stato scoperto un sistema geometrico di assiomi, in cui risulta esattamente definito il concetto di parte. In questo sistema i punti vengono definiti come quegli enti che oltre a sé stessi all'ente vuoto non contengono alcuna altra parte. Da questa definizione possono poi venir dedotte molte conseguenze. Quest'esempio fa vedere in modo assai chiaro di quali insufficienze soffra la definizione di Euclide. Il sistema di assiomi ricordato si trova in K. MENGER, New Foundations of Projective and Affine Geometry, Ann. Math. (1936).

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varietà, è lecito enunciarlo, senza bisogno di ulteriore dimostrazione, come teorema valido nella geometria dell'altra varietà (e questo, dopo aver sottoposto i suoi termini a una semplice trasformazione meccanica).1 L'aspetto sensibile dei concetti fondamentali non ha dunque la benché minima importanza per la validità dei teoremi. (Il lettore ha visto già un altro esempio di simili trasporti, quando nel capitolo 4 abbiamo accennato all'interpretazione della geometria non euclidea di Bolyai su di un modello euclideo.) Orbene, la circostanza qui descritta ha indotto i matematici a liberare l'ossatura logica di una teoria dal suo contenuto sensibile o empirico. Oggi si rinunzia consapevolmente a spiegare che cosa siano un punto, un piano, una retta, o le loro relazioni fondamentali; si comincia invece ogni esposizione della geometria, enunciando un sistema di assiomi capaci di caratterizzare, nella loro totalità, quei concetti elementari: per punto, retta, piano si potrà poi intendere un gruppo qualunque di enti che verifichino gli assiomi stabiliti. Una teoria siffatta va intesa, secondo l'espressione di Pieri, come un sistema ipotetico-deduttivo: se le ipotesi anzidette si trovano verificate in un qualche campo, se cioè possono scoprirsi degli oggetti legati proprio gli uni agli altri dai rapporti che sono enunciati in quegli assiomi, allora saranno veri per essi anche tutti i teoremi dedotti nella teoria considerata. I matematici si esprimono dicendo che la scoperta di un qualunque campo di oggetti aventi le proprietà riferite conduce a un'esemplificazione o realizzazione del sistema di assiomi. Anzi, non è nemmeno necessario restringere le nostre interpretazioni della geometria ai soli rapporti spaziali. Un esempio molto efficace, a conferma di ciò, fu dato dallo Hilbert. "La drosofila è una piccola mosca, ma grande è il nostro interessamento per lei. Essa venne fatta oggetto delle nostre ricerche, le piu estese, le piu premurose, le piu ricche di risultati. Abitualmente questa mosca è grigia, con gli occhi rossi, senza macchie, con le ali tondette e lunghe. Vi sono però alcuni esemplari, drosofile anomale, con caratteristiche affatto diverse: invece di essere grigie, sono gialle; invece di avere gli occhi rossi, li hanno I Per un altro bell'esempio di tale trasporto di teoreIIÙ, si veda M. meine Erkenntnislebre (Berlino 1918).

SCHLICK,

AUge-

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bianchi, ecc. Generalmente queste cinque caratteristiche si trovano riunite: cioè se una mosca è gialla, avrà pure gli occhi bianchi, sarà macchiata, con le ali fesse e tozze. Viceversa, se ha le ali tozze, allora è anche gialla, con gli occhi bianchi, ecc. Per opportuni incroci si presentano fra i discendenti deviazioni in minor numero, e precisamente in percentuali determinate e costanti. I numeri cOSI ottenuti per via puramente sperimentale soddisfano proprio gli assiomi lineari di Euclide sulla congruenza e gli assiomi sul concetto geometrico del fra. In tale modo le leggi dell'ereditarietà ci offrono un campo di applicazione per gli assiomi della congruenza lineare (e quindi per i piu elementari teoremi geometrici circa il trasporto di segmenti). E tutto ciò in modo cOSI esatto, e pur cOSI meraviglioso, come nessuna fantasia per quanto ardita potrebbe immaginare." I Come si vede, la concezione assiomatica applicata alla geometria porta a una scissione completa dell'elemento logico-formale da quello spaziale-intuitivo. Questo metodo può venir esteso ad altri campi, per esempio all'aritmetica. Al fine di ottenere una costruzione formale, noi dovremo innanzi tutto ordinare i concetti e teoremi dell'aritmetica, per determinare poi quali fra essi siano necessari per una sistemazione logica della teoria stessa. Noi non abbiamo bisogno di sapere che significato posseggano gli assiomi; il nostro compito si limita a dedurre altre proposizioni da questi assiomi. Nelle proposizioni cOSI ricavate e nei vari processi deduttivi rientrano dei concetti che la lingua comune esprime con le parole "e", "o", "se", "non", "tutti", ecc.; rispetto a essi, si è soliti supporre di conoscere esattamente il loro significato e di saper operare su di essi secondo le leggi della logica. Una cosa però va osservata: se lo scopo della formalizzazione deve proprio essere quello di provare la non contraddittorietà dell'aritmetica e della logica, è evidente che non ci sarà lecito (non volendo cadere in un circolo vizioso) far uso della deduzione logica nella dimostrazione delle fonnule aritmetiche. Hilbert prese perciò la seguente via. L'aritmetica è costituita da teoremi espressi I

D.

HILBERT,

Naturerkennen und Logik, Naturwissenschaften

(1930).

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con formule e da riflessioni espresse in parole. (Si pensi a un trattato di matematica, in cui si alternano formule e righe di testo.) Ebbene, ampliamo innanzi tutto la nostra concezione, inserendo nell'edificio dell'aritmetica formale quelle medesime riflessioni prima scritte in parole, esprimendole ora, esse pure, in formule. (Che i vari ragionamenti concreti possano venir riprodotti in una scrittura formalistica era già stato stabilito, in modo sicuro, dal precedente sviluppo del calcolo logico: Peano, Frege, Russell.) Facciamo poi un ultimo passo, lasciando cadere anche il significato concreto dei concetti logici: in tal modo i segni del calcolo logico, proprio come accadeva per l'addietro per i termini punto", retta", piano", congruente", ecc., risulteranno ora puri simboli, vuoti di contenuto, e sottoposti all'unica condizione di essere legati fra loro da certi nessi (gli assiomi della logica) che immagineremo di aver aggiunti ai precedenti assiomi dell'aritmetica. La matematica, cosi formalizzata, potrebbe senz'altro venir paragonata a un giuoco; per convincersene, basta far corrispondere ai suoi segni i pezzi della scacchiera; a una formula, una certa disposizione di questi pezzi; al sistema di assiomi, la posizione iniziale di essi; ai metodi dimostrativi, le regole delle mosse; e a una dimostrazione qualunque, una serie di mosse che conduce dalla posizione iniziale a una certa configurazione finale. Con questo non si afferma, naturalmente, che la matematica sia soltanto un giuoco" (e cioè non le venga connesso alcun pensiero ")j ma si afferma che allo scopo di una certa ricerca (la dimostrazione della non contraddittorietà) si può prescindere dal significato speciale che la matematica possiede come scienza concreta". A ogni pensiero della matematica concreta corrisponde, nel nostro giuoco dimostrativo, una figura formale; e a ogni riflessione con senso, una successione di tali figure, fornita di precise proprietà esattamente specificabili. In tal modo noi riusciamo a costruire una riproduzione della matematica nel piano del formale puro. Studiamo ora questo stesso sistema di formule astratte, e domandiamoci se esso non sia contraddittorio. Poiché le nostre formule non esprimono (nell'interpretazione qui esposta) alcun pensiero, la nostra domanda non possiede alcun senso preciso. Dobbiamo dunque, prima di proseguire la nostra ricerca, .fis/t

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sare il significato dell' espressione "non contraddittorio"; lo faremo, per esempio, per mezzo della seguente convenzione: "Un sistema di formule verrà detto non contraddittorio se in esso non comparirà mai, come formula finale di una dimostrazione, la disuguaglianza 1;.6 I." Accanto alla matematica formalizzata ne interviene ora una (la cosiddetta metamatematica), fornita di contenuto, che si propone proprio di indagare la struttura della matematica formalizzata; anzi il suo scopo precipuo è l'esame della non contraddittorietà di quest'ultima. Mentre dal punto di vista poco fa esposto non era affatto lecito sollevare il problema della verità degli assiomi, la metamatematica invece deve tendere proprio a effettive conoscenze fomite di contenuto. "Gli assiomi e i teoremi dimostrabili - spiega Hilbert - sono le immagini di quei pensieri che costituiscono il comune procedimento della matematica finora esistita; essi stessi però non sono delle verità in senso assoluto. Come verità assolute debbono riguardarsi invece le conoscenze che la mia teoria della dimostrazione raggiunge circa la dimostrabilità e la non contraddittorietà dei sistemi di formule costituenti quegli assiomi e teoremi." I I ragionamenti della metamatematica debbono compiersi interamente su di un terreno finito e intuitivo. Oggetto di tale teoria sono i segni stessi, che risultano "totalmente osservabili in ogni loro parte"; segni, la cui formazione, la cui distinzione reciproca, la cui successione degli uni agli altri "è qualcosa che si percepisce immediatamente con i segni stessi, qualcosa che non può venir ridotto a nulla di piu chiaro".2 Di qual genere siano le riflessioni rientranti in tale campo di studi può venir spiegato da questi due esempi: I) se un certo segno si presenta piu di due volte in una formula dimostrabile, in tal caso percorrendo la dimostrazione di questa formula in tutta la sua estensione dovremo imbatterci in una formula che possegga per la prima volta questa proprietà; I 2

D. D.

HILBERT, HILBERT,

(19 22 ).

Die logischen Grundlagen der Mathematik, Math. Ann., voI. ~8. Neubegriindung der Mathematik, Abh. math. Sem. hamburg. Umv.

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2) se in una serie finita di formule la prima possiede una certa proprietà, e se questa proprietà si trasmette sempre dalla formula che la possiede alla successiva, allora tutte le formule della serie avranno tal proprietà.

Com'è chiaro, vengono qui esposti alcuni fatti dell'intuizione: semplici proprietà dell'ordinamento, per la descrizione delle quali è sufficiente un tipo di concetti numerici assai rudimentali: fatti che sono cosi poco problematici e cosi certi, da precedere l'uso di qualunque deduzione logica. Ci sembra qui di trovarci di fronte a una specie di sistema originario, su cui si fonda l'intero edificio della logica e dell'aritmetica; noi siamo costretti o a concedere questi fatti, oppure a cessar di pensare e di intenderei. Già in tempi precedenti il Konig si era proposto un fine analogo, nel suo Neue Grundlagen der Logik, Aritbmetik und Mengenlebre [Nuovi fondamenti della logica, dell'aritmetica e della teoria degli insiemi]. Noi daremo in altri capitoli un giudizio sul risultato di queste ricerche.

8. Costruzione rzgorosa dell'aritmetica elementare

Dopo aver dato COSI uno sguardo ai diversi punti di vista intorno alle basi dell'aritmetica elementare, passiamo ora a una discussione piu precisa dei singoli problemi, domandandoci anzitutto che forma deve avere una costruzione rigorosa dell'aritmetica elementare. In un sistema di questo tipo non si può, naturalmente, far uso di ipotesi tacite e neanche di concetti indefiniti, oltre i concetti primitivi. Per risponderè alla domanda anzidetta noi presenteremo senz'altro al lettore le linee direttive di una tal costruzione, valendoci di un'opera di Skolem,' il cui scopo è il seguente: dedurre le formule fondamentali dall'aritmetica (le nostre dodici leggi fondamentali) da pure definizioni, con l'impiego esclusivo del principio di induzione completa. Le nostre dodici leggi descrivono, come abbiamo visto, certe proprietà dell'addizione e della moltiplicazione. Noi però non abbiamo ancora definito affatto che cosa debba intendersi per addizione e per moltiplicazione; abbiamo ammesso invece di saperlo da quanto si apprese a scuola. Questo tuttavia, in una ricerca rigorosa, non è lecito, e perciò il nostro primo compito deve consistere nel definire in maniera chiara e precisa le quattro operazioni fondamentali. Ogni definizione presuppone altri concetti, ai quali si riconducono i , T. SKOLEM, Begriindung der elementaren Arithmetik, Skr. VidenskSelsk., Christ. (1923).

ARITMETICA ELEMENTARE

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concetti da definire. Noi dobbiamo quindi precisare da quali concetti base intenderemo prender le mosse nella nostra ricerca. Essi sono: I) il concetto di "numero naturale";

2) il concetto di "successivo", o "numero n + I che segue il numero n"; 3) il concetto di uguaglianza "a = b", il quale significherà che è lecito sostituire b ad a e viceversa.

Faremo uso inoltre, nelle nostre dimostrazioni, del principio di induzione completa. (In che cosa consista, a rigore, questo principio, verrà chiarito fra poco.) Orbene, che cosa dovremo intendere per somma a+b di due numeri? Al lettore verrà in mente una definizione pressappoco cOSI: "essa è il numero cui si perviene aggiungendo ad a tante unità quante sono quelle indicate da b". Si può infatti ricondurre ogni addizione all'esecuzione ripetuta dell'operazione di aggiungere" l''. Ciò che qui si delinea vagamente innanzi a noi, è tradotto in termini precisi dalla defimZlOne a+(b+ I) = (a+b)+ I. Come va intesa questa definizione? Il miglior modo di far comprendere la sua essenza, consiste nel dire che essa è una regola per la formazione di tante definizioni. Da essa infatti si ricavano le seguenti definizioni particolari a+2 = (a+ 1)+1 a+3 = (a+2)+1 a+4=(ICESIMO

lunque altro elemento, riproduce quest'elemento stesso; deve valere cioè la proprietà A·E = E·A = A. (L'elemento E suoI dirsi "unità", perché, nella moltiplicazione fra elementi, si comporta come il numero I nella moltiplicazione fra numeri); 5) per ogni elemento A, esist, un elemento inverso A, per cui vale

La totalità dei movimenti nello spazio costituisce un esempio di gruppo: si ha infatti che il risultato di due movimenti è ancora un movimento, e che un qualunque movimento può venir annullato da uno inverso a esso; l'elemento unitario corrispondt; qui alla quiete (considerata come caso limite del movimento). Ritornando ora allo studio di poco fa, osserviamo che tutte le trasformazioni per mezzo delle quali una qualunque geometria ottiene, da una figura singola, una classe generale di figure, costituiscono sempre un gruppo. Cosi accade, per esempio, dei movimenti, delle similitudini e delle riflessioni speculari, che lasciano inalterate le proprietà della geometria elementare; queste tre trasformazioni (insieme con quelle che si ottengono da esse per composizione) formano un gruppo di particolare importanza, detto comunemente "gruppo principale delle trasformazioni spaziali". Proprio a partire da esso si può raggiungere una definizione esatta della geometria comune: questa è la scienza che studia le proprietà spaziali invarianti rispetto al gruppo anzidetto. Si tratta qui, com'è ovvio, di una formulazione esatta di ciò che suoI comunemente esprimersi, in forma piti intuitiva, contrapponendo le proprietà essenziali studiate dalla geometria, a quelle casuali descritte dalle scienze inferiori (topografia, geografia, ecc). Se si sostituisce il gruppo principale con un altro, che comprenda in sé nuovi tipi di trasformazioni, si restringe con ciò il numero delle proprietà invarianti. Se per esempio si aggiunge la proiezione parallela, si ottiene il gruppo affine; se poi si aggiunge ancora la proiezione centrale, si ottiene il gruppo proiettivo; essi compiono, nella geometria affine o rispettivamente nella proiettiva, lo stesso ufficio compiuto dal

CURVE NOTEVOLI

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gruppo principale nella comune geometria metrica. Tanto pitI ampio è il gruppo di trasformazioni da noi preso a base dei nostri teoremi, tanto pitI profonde saranno le proprietà da essi enunciate. Le proprietà messe in luce dalla geometria metrica giacciono, per cosi dire, in superficie, e possono venir facilmente distrutte. Quelle scoperte dalla geometria affine sono già pitI profonde, e ancor pitI lo sono quelle studiate dalla proiettiva. In tutta questa costruzione l'idea di gruppo ha evidentemente un ufficio direttivo: per fissare una geometria, basta infatti fissare I) una varietà, e 2) un gruppo di trasformazioni in questa varietà. Possiamo dunque ripetere con Klein (che per primo enunciò questo pensiero nel suo famoso "programma di Erlangen"): ogni geometria è lo studio delle proprietà che restano invarianti rispetto a un determinato gruppo di trasformazioni. Ormai si prospetta innanzi alla nostra mentè tutta una serie di infinite geometrie, che si possono ottenere ampliando il gruppo principale nelle pitI svariate direzioni. Cosi si può ottenere per esempio, partendo dalla geometria metrica, una geometria dei raggi vettori reciproci. Essa studia quelle proprietà delle figure che vengono conservate - oltreché dalle trasformazioni del gruppo principale - anche dalle riflessioni speculari su di un cerchio prefissato (cioè dalle trasformazioni per raggi vettori reciproci rispetto a tale cerchio). Queste traducono, com'è noto, rette in cerchi e cerchi in rette: dunque la geometria dei raggi vettori reciproci dovrà riunire rette e cerchi in un'unica classe. Facciamo ancora un ultimo passo e solleviamoci al gruppo di tutte le trasformazioni biunivoche e continue. La geometria cosi ottenuta studia le proprietà che rimangono invarianti in tutte le deformazioni continue: in essa non risultano pitI sostanzialmente diverse tre figure come una sfera, un dado e una piramide, in quanto ognuna delle tre può - per deformazione continua - venir trasformata nelle altre. Al contrario risultano differenti una sfera e un toro (la forma, per esempio, degli pneumatici per ruote), in quanto è palesemente impossibile trasformare una delle due figure nell'altra passando attraverso una serie di deformazioni intermedie. Questa nuova geometria porta, com'è noto, il nome di topologia. Un suo teorema dice, per esempio, che non è pos-

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CAPITOLO TREDICESIMO

sibile formare dei nodi nello spazio a 2 né in quello a 4 dimensioni, ma soltanto in quello a 3. Un altro teorema riguarda l'anello di Mobius. Il lettore prenda una strisciolina di carta e ne congiunga l'uno all'altro i due estremi, formando un anello chiuso; prima però, giri l'uno dei due di 180° in modo da scambiar la faccia anteriore del nastro con quella posteriore. Ciò fatto egli avrà una superficie che possiede soltanto una faccia: un viaggiatore che si movesse su di essa, si troverebbe invero - dopo un giro completo - nel medesimo punto di prima, ma dalla parte opposta della striscia (e per questo la distinzione delle due facce risulterebbe, per l'anello di Mobius, priva di senso). È chiaro che questa proprietà rimane invariante rispetto a tutte le possibili trasformazioni continue, e cioè che la distinzione fra superfici a una e a due facce ha un preciso significato topologico. Come ultimo esempio di proposizione topologica citiamo poi il cosiddetto problema dei quattro colori: i geografi hanno scoperto empiricamente che, comunque si presenti la carta politica di una porzione della superficie terrestre, bastano sempre quattro colori alla distinzione dei diversi stati. Ebbene, non si è ancor riusciti a trovare una dimostrazione esatta di questa verità. Considerando infine le trasformazioni biunivoche ancor piu generali, otterremo il punto di vista della teoria degli insiemi: in essa manca ogni motivo per distinguere le dimensioni delle varie figure. Un segmento, una superficie, un solido sono, come sappiamo, rappresentabili l'uno sull'altro punto per punto; essi possono quindi considerarsi come elementi della medesima classe. Di tutto il ricchissimo mondo geometrico rimangono, qui, solo alcuni pochi tratti, come per esempio la distinzione fra insiemi finiti e infiniti. Poiché il concetto di dimensione appartiene proprio al gruppo topologico, è chiaro ormai il motivo che non permise di trovarlo nelle ricerche piu generali (di Cantor) sulle trasformazioni biunivoche. Ai due estremi della serie delle geometrie stanno da un Iato la teoria degli insiemi, dall'altro la geometria metrica comune (o, meglio ancora, la topografia, che considera individualmente ogni singola figura dello spazio). A qualunque altra geometria spetta un posto ben determinato fra questi due estremi.

I4· I numeri reali

Di tanto in tanto vedono la luce dei libri di volgarizzazione matematica, nei quali si attribuisce una straordinaria importanza al problema "se i numeri irrazionali esistano"; essi rappresentano l'eco di un periodo ormai trascorso della scienza, in cui la natura di questi numeri era avvolta da una misteriosa oscurità. Di fatto possiamo spiegarci facilmente che cosa dia occasione a tali dubbi. Discussioni come quelle del capitolo precedente sono assai difficili da comprendere: in esso abbiamo parlato per esempio di "serie di intervalli, interni uno all'altro, che hanno per limite un punto"; ma questa proposizione, letteralmente intesa, rappresenta senza dubbio una richiesta assai grave per il nostro pensiero. Se da un segmento ne stacchiamo un altro, da questo un terzo, ecc., otteniamo sempre un segmento: come potrà dunque - da una serie siffatta - venire originato un punto? L'abisso tra segmento e punto sembra rimanere sempre il medesimo. "Grande o piccolo che sia - scrive Paul du Bois-Reymond nella sua Teoria generale delle funzioni (1882) - il segmento rimane sempre un intervallo compreso fra due estremi razionali. Se noi tutt'a un tratto sostituiamo, senza ragione logica, il punto al segmento, compiamo con ciò un atto arbitrario, col quale introduciamo una nuova rappresentazione in luogo dell'antica, e ammettiamo a priori quel che doveva venir dimostrato. Parlar qui di un graduale coincidere di due punti, come qualcuno vorrebbe, è un completo non senso. O gli estremi si trovano separati da un

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CAPITOLO QUATTORDICESIMO

segmento, oppure coincidono formando un unico punto; uno stato intermedio non esiste." Questa è certamente una difficoltà seria. Si può provare davvero che una successione di segmenti, interni l'uno all'altro, tenda a un punto? Oppure quest'asserto costituisce una mera ipotesi? Per rispondere a tale problema, noi ci porremo da un punto di vista diverso, considerando l'anzidetta successione di intervalli come costituente, di per sé stessa, un vero e proprio numero. Ma per raggiungere il nostro scopo, dobbiamo anzitutto occuparci di un problema notevolmente piu modesto. Avevamo dato la seguente definizione: una successione di numeri ah a2, a3, ... , an, ... è convergente, se esiste un numero a cui i termini della successione vanno indefinitamente avvicinandosi. Essa è senza dubbio logicamente esatta; presenta però l'inconveniente di supporre che noi conosciamo il valore del limite. È invece assai spesso piu difficile scoprire questo valore che non studiare il comportamento della successione. Per esempio, se il lettore esamina la successione 8 di figura I I, è probabilissimo che ne comprenda subito la convergenza, sebbene forse egli non sia in grado di calcolarne a prima vista il limite. Sarebbe perciò desiderabile trovare una nuova definizione che non faccia riferimento al limite. Domandiamoci dunque: è possibile stabilire se una successione converge, studiando soltanto il comportamento dei suoi termini? La cosa è possibile. Supponiamo che la successione ah a2, ... , an, ... converga verso il numero (razionale) a. In quest'ipotesi, fissato un e positivo arbitrario, si potrà sempre trovare un indice N tale che si abbia per n>N. Per ogni termine successivo an +p varrà pure sempre che SIa n> N. Da queste due disuguaglianze è possibile ricavarne una terza, in cui non compare piu il numero a. Consideriamo infatti la differenza an-an+p ; il

NUMEIH REALI

1°3

suo valore non cambia aggiungendovi e togliendovi a:

an-an+p= an-a+a-an+p= (a-an+p)-(a-an). Prendendo il valore assoluto di quest'espressione e tenendo conto dell'osservazione di pagina 160, si ottiene

lan-an+pl = I(a-an+p)-(a-an)1 ~ la-an+pl+la-anl E

E

2

2

N. o •• ,

Questo è un criterio immanente, cioè un criterio che si riferisce soltanto ai termini della successione presa in esame, e non suppone la conoscenza di alcun numero oltre a essi. In parole povere, il criterio esige che i termini della successione si addensino gli uni agli altri, sicché la differenza fra uno di essi (scelto abbastanza in avanti) e un qualunque termine successivo diventi piccol~ ad arbitrio; ovvero, ancor pi6. semplicemente, che, dopo un certo numero di termini, i rimanenti si presentino vicinissimi gli uni agli altri. Come il lettore sa, vi sono successioni convergenti che tendono a un limite irrazionale: per esempio, quella che tenda a V2. Poiché, tuttavia, noi disponiamo finora soltanto dei numeri razionali, non possiamo, volendo essere rigorosi, procedere come se quel limite irrazionale esistesse, ma dobbiamo dire invece: vi sono due generi di successioni convergenti, quelle che hanno un limite razionale e quelle che non l'hanno. Queste parole ci ripetono, in altra forma, quanto già sappiamo, e cioè che il sistema dei numeri razionali non è chiooo rispetto all' oper~zione di limite. Ci troviamo quindi di nuovo innanzi al problema di ~mpliare il campo numerico. E la via da seguire ci è chiaramente indicata dalle discussioni

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

204

dei capitoli precedenti. Noi costruiremo un calcolo operantL sullo successioni, in base al modello del capitolo 12. I nostri elementl saranno cioè le successioni di numeri reali, e precisamente quelle che convergono nel senso or ora definito. Mostreremo che per esse possono venir introdotti i soliti rapporti di maggiore, uguale e minore, e possono venir stabilite delle ben precise operazioni di calcolo. Otterremo cOSI il diritto di considerarle come un nuovo genere di numeri: saranno questi i cosiddetti numeri reali. Un tal modo di introdurre gli irrazionali evita tutte quelle difficoltà che si incontravano nell'antica concezione. Oggi esistono varie teorie dei numeri reali; noi faremo un cenno a due di esse particolarmente notevoli. dovute, l'una a Cantor, e l'altra a Dedekind.

LA TEORIA

DI

DEFINIZIONE

CANTOR I.

Una successione ah a2, a3, ... , ano ... dicesi zero-succesE positivo piccolo ad arbitrio esiste un N tale che

sione se per ogni risulti

purché sia

n> N .

Se ne ricava, in particolare, che la successione o, o, ... , o, ... è una zerosucceSSIOne. TEOREMA

I.

Se (a n ) è una zero-successione, deve esserlo anche (-a n).

TEOREMA esserlo.

2.

Se (a n) e (b n) sono zero-successioni, anche (an+h n) dovrà

DEFINIZIONE 2. Due successioni si dicono uguali, se la successione delle differenze è una zero-successione. In simboli: (ah a2, ... , an, .. ) = (hl h2, ... , hn, ...) se (al- hh a2-h2' a3 - h3 , ., an-h n, 00.) è una zero-successione. Questa definizione soddisfa le solite condizioni richieste per il concetto di uguaglianza. Il rapporto da essa definito è infatti: I) riflessivo: (a n) = (an ); poiché (an-a n) = (o) è una zero-successione;

NUMERI REALI

205

2) simmetrico: da (an) = (b,,) si deduce (b n ) = (a n), poiché se (an-b n) risulta una zero-successione, lo stesso accadrà per (bn-a n);

3) transitivo: da (a n) = (b n) e (b n) = (c n) si ricava (a n) = (c n); è chiaro invero che, se (an-b n) e (bn-c n) sono zero-successioni, tale dovrà essere anche (an-c n) ottenuta da esse addizionandole tennine a termine. Una conseguenza di questa definizione è che esistono sempre infinite successioni uguali fra loro. (Questo ci richiama alla memoria iI fatto che esistono infinite coppie esprimenti il medesimo numero razionale.) Passiamo ora ai concetti di "positivo" e "negativo". 3. Una successione ah a2, ... , an , ... dicesi positiva, se esiste un numero razionale positivo r, alla cui destra cadono quasi tutti i termini della successione. Dicesi invece negativa, se esiste un numero razionale negativo s, alla cui sinistra cadono quasi tutti i termini della succeSSiOne. Bisogna ora dimostrare che le proprietà di essere positiva, di essere negativa e di essere una zero-successione sono incompatibili fra loro, e che formano una disgiunzione completa. Questo appunto è il contenuto dei due seguenti teoremi. DEFINIZIONE

TEOREMA 3. Una successione non può essere contemporaneamente positiva e negativa, o positiva e nulla, o nulla e negativa. Se infatti una successione è positiva, i suoi termini giacciono quasi tutti alla destra di un numero razionale positivo dato r; non possono quindi diventare piccoli ad arbitrio, e cioè non possono costituire una zero-successione né tanto meno una successione negativa. Allo stesso modo si vede che, se è negativa, i suoi termini non possono ceno costituire una zero-successione, né tanto meno una successione positiva. Se infine si tratta di una zero-successione, i suoi termini diverranno piccoli ad arbitrio, e quindi non potrà esistere alcuna costante positiva (o negativa), tale da lasciarli tutti alla propria destra (o, rispettivamente, sinistra). TEOREMA

4. Queste tre possibilità fonnano una disgiunzione completa,

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

e cioè, una qualunque successione convergente o è positiva, o è negativa, oppure è una zero-successione. E infatti, o esiste un numero positivo r, alla cui destra cadono quasi tutti i termini ani ovvero un numero negativo s, alla cui sinistra cadono quasi tutti gli ani o non si verifica né l'una né l'altra di queste ipotesi. In tal caso potrebbe darsi che infiniti termini cadessero alla destra di r e infiniti alla sinistra di Sj ma ciò è escluso dalla supposizione iniziale che la serie sia convergente. Rimane dunque l'unica possibilità - quando gli an non cadano né quasi tutti alla destra di r né quasi tutti alla sinistra di S - che essi cadano quasi tutti fra r e s. Data l'arbitrarietà di r e s, questo significa che quasi tutti i termini della successione considerata cadono in un intorno arbitrario (e quindi anche arbitrariamente piccolo) dello zero, e cioè che si tratta proprio di una zero-successione. Sorge però ancora una domanda. Esistono sempre, come abbiamo poco fa osservato, infinite successioni fra loro uguali; orbene, se una successione è positiva, lo saranno anche le infinite altre a essa uguali? O invece la positività è un carattere connesso alla forma specifica della successione, e che si perde quando passiamo da essa alle successioni uguali? La risposta è fornita dal seguente teorema. 5. Se (a n) è positiva, e se è (a n) = (b n), anche (b n ) sarà positiva. Infatti, se (an ) è una successione positiva, quasi tutti i suoi termini cadono alla destra di un numero razionale positivo r; non può dunque accadere diversamente per i termini della (b n ), dato che questi si avvicinano sempre piu ai termini della prima. Ciò che abbiamo dimostrato per le successioni positive, vale senza cambiamenti per le successioni negative e per le zero-successioni. Per quanto diremo in seguito, abbiamo bisogno di altri due teoremi: TEOREMA

TEOREMA

6. Se la successione (a n ) è positiva, la su(.cessione (- an) sarà

negativa. 7. Se (a n) e (b n) sono entrambe successioni positive, tale dovrà pure essere la successione (an+b n ). Passiamo ora alla definizione dei concetti di "maggiore" e "minore".

TEOREMA

NUMERI REALI

2°7

DEFINIZIONE 4. La successione (an ) dicesi maggiore della successIOne (b n ), in simboli

quando la successione delle differenze (an-b n) è positiva. DEFINIZIONE 5. Sarà invece quando la successione (an-b n) è negativa. I concetti cOSI definiti sono: a) irriflessivi, b) asimmetrici, c) transitivi. a) Nessuna successione è maggiore di sé stessa; se infatti fosse (an»(an), questo significherebbe che la successione (an-a n ), formata

da termini tutti nulli, è positiva, mentre sappiamo che essa è una zerosuccessione. b) Se è (an) > (b n), la successione (an-b n) sarà positiva (per la def. 4); e quindi (per il teor. 6) la (bn-an) sarà negativa; donde segue (bn)«a n)

(per la def. 5). c) Se si ha (an) > (b n) e (b n) > (c n), tanto la successione (an-b n) quanto la (bn-c n) sarà positiva; e quindi (in base al teor. 7) anche la successione (an-bn+bn-c n) = (an-c n), ottenuta addizionandole, dovrà risultare positiva; si avrà cioè (a n ) > (c n ).

Siamo ora in grado di dimostrare il seguente teorema fondamentale: TEOREMA 8. Le successioni convergenti formano un sistema ordinato. Si prendano cioè due successioni arbitrarie (a n ) e (b n); la successione (a n) dovrà essere maggiore, uguale, o minore della (b n ). Si tratta, in altre parole, di escludere il caso teoricamente possibile della loro in confrontabilità. Quest'esclusione dipende semplicemente dal fatto, già riconosciuto poco sopra, che la successione delle differenze (an-b n) è positiva, negativa o nulla e che queste tre possibilità formano una disgiunzione completa. Vista cOSI la possibilità di ordinare le successioni convergenti, passiamo ora a spiegare le operazioni di calcolo: Addizione.

208

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

Il lettore ricorda certo quali sono le condizioni, cui deve soddisfare il concetto di somma: a) la somma deve esistere; e cioè la somma di due successioni convergenti deve risultare ancora una successione convergente; b) la somma deve essere determinata in modo univoco; e cioè: se sostituiamo (a n) e (b n) con due altre successioni (a'n) e (b'n) a esse uguali, dobbiamo ottenere il medesimo valore della somma: (an+b n) = = (a'n+b'n); c) la somma deve godere della proprietà associativa, e deve godere della proprietà commutativa.

Tralasciamo di dimostrare che il concetto di somma, come venne or ora definito, soddisfa di fatto tutte queste condizioni (per una di esse, la dimostrazione fu accennata nel capitolo 12). Definiamo invece, in forma schematica, le altre operazioni: (a n)- (b n) = (an-b n)

Sottrazione.

(a n) . (b n) = (a n • b n)

Moltiplicazione.

(a n)

:

(b n)

= (~:)

Divisione.

Si prova facilmente che esse godono di quelle stesse proprietà che son valide, nel campo dei numeri razionali, per le operazioni dallo stesso nome. Se ne conclude che noi possiamo confrontare fra loro le varie successioni convergenti, possiamo sommarIe, moltiplicarle, ecc., allo stesso modo come confrontiamo, sommiamo, moltiplichiamo, ecc., i numeri razionali. Abbiamo cOSI dimostrato che è legittimo interpretare le successioni convergenti come un nuovo genere di numeri, i numeri reali. Sorgerà subito, a proposito di essi, il problema: in che rapporto stanno con i razionali? Qui, come già in altri capitoli, dobbiamo mettere in guardia il lettore dal voler inserire i vecchi numeri fra i nuovi, come se fossero una loro sottoclasse: invece di far ciò, noi cerchiamo di stabilire una corrispondenza fra una parte dei numeri reali e l'insieme dei razionali.

NUMERI REALI

%09

Al nostro scopo riferiremo a ogni razionale r la successione convergente (r, r, r, ... , r, ...) - o, piu in generale, ogni successione che converga verso r; - in tal caso si vedrà subito che fra due qualunque lIi tali successioni, per esempio (r, r, ... , r, ...) ed (s, s, ... , s, ...), corrono esattamente gli stessi rapporti che fra i due numeri razionali r e s: le due successioni risultano uguali se r e s sono uguali; la prima risulta maggiore della seconda se r è maggiore di s; alla loro somma corrisponde la somma r+s, ecc. In breve, fra i numeri razionali e questo particolar tipo di successioni convergenti (le successioni con limite razionale) esiste una corrispondenza biunivoca, simile e isomorfa. Questo, ovviamente, è il motivo per cui i numeri razionali sembrano costituire una sotto classe del campo reale. È però necessario, per evitar confusioni, tenere ben distinti fra loro il numero razionale r e il reale-razionale (r, r, ... , r, ...). Dando alle successioni convergenti il nome di numeri, noi continuiamo a mantenerci fedeli a un principio, che già ci guidò nella costruzione dei numeri interi e dei razionali. L'idea di considerar le successioni stesse come numeri parve però, appena sorta, cosi nuova e ardita, che non pochi matematici indietreggiarono di fronte a essa: una successione - obiettarono - è un'entità formata da infiniti numeri, e non rassomiglia per nulla a una grandezza rappresentabile sulla retta numerica. Ché se poi, accettando la critica piu moderna, si decide di interpretarla proprio come una regola (o una legge) per la formazione dei termini che la costituiscono, si viene con ciò stesso a inserirla in una categoria logica affatto diversa da quella dei numeri: non è assurdo voler calcolare con regole o leggi? Questa lotta contro la teoria formale dei numeri irrazionali prese un tono particolarmente vivace negli scritti di Paul du BOls-Reymond: La scissione del concetto di numero dal concetto di grandezza - cosi egli scrive - procurerebbe all'analisi un'ossatura puramente formalistico-letterale, e finirebbe col degradarla a un mero giuoco di segni, forniti soltanto di un significato arbitrario, proprio come i pezzi degli scacchi e le carte da giuoco. Per quanto esso possa risultare divertente, certo si esaurirebbe però quasi subito in germogli infecondi. Senza 1/

210

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

dubbio sarà possibile - con l'aiuto di assiomi, convenzioni e altri filosofemi - ampliare dei concetti originariamente chiari in modo da ottenere infine un sistema aritmetico del tutto analogo a quello ricavato dal concetto di grandezza, e racchiudere cosi la matematica calcolante entro una barriera di dogmi e definizioni che la proteggano dallo psicologismo. Può anche darsi che in tali costruzioni si eserciti un'acutezza assolutamente fuori del comune. Contro di esse sta però il fatto che allo stesso modo sarebbe possibile inventare altri sistemi aritmetici, completamente diversi da quello ordinario, mentre invece soltanto questo corrisponde al concetto di grandezza lineare" (con quest'ultima espressione l'autore intende riferirsi al concetto di grandezza misurabile). È molto strano che lo stesso Bankel, il creatore della teoria formalistica dei numeri razionali, non abbia voluto a nessun costo ammettere la teoria di Cantor; nel suo già citato Theorie der komplexen Zahlensysteme egli dichiara: "Ogni tentativo di trattare i numeri irrazionali con metodo formalistico e senza riferimento al concetto di grandezza conduce necessariamente a una gran quantità di artifizi astrusi e mal agevoli, i quali, anche ammesso che possano venir svolti con assoluta esattezza (cosa che mi sembra per lo meno assai dubbia), non posseggono ceno un valore scientifico piu alto delle trattazioni intuitive." Questi autori ritengono che il concetto di successione non riesca a cogliere in nessun modo quell'idea che siamo soliti formarci parlando di numero real-.. Essi tendono piuttosto a distinguere la successione (intesa come processo di approssimazione) dal suo limite (il numero irrazionale); una tal distmzlOne rende però molto difficile spiegare perché si abbia diritto di supporre l'esistenza di quel limite. A ben riflettere, sono esclusivamente delle difficoltà psicologiche quelle che formscono a tutto CiÒ l'aspetto di problema. Che cosa vogliamo dire, a rigore, affermando che conosciamo un numero irrazionale, per esempio V2, e che possiamo farci un'idea della sua grandezza? Che cosa si cela dietro questo sentimento? Nulla, senza dubbio, fuorché la .::onosce02.a di un processo per calcolare v2 con un numero arbitrario di decimali. Conoscere un numero Irrazionale significa saperlo calcolare

NUMERI REALI

211

con successive approssimazioni; è quindi perfettamente legittimo identificare un tal numero con il procedimento di approssimazione (e cioè con la successione stessa). Lasceremo poi risolvere al lettore stesso il problema se una successione possa soltanto avvicinarsi al suo limite, o riesca invece a raggiungerlo effettivamente. Un secondo motivo che trattenne alcuni matematici dall'accettare la teoria di Cantor è questo: parlando di numero irrazionale ci si rappresenta, di solito, un punto sulla retta numerica; sembra quindi impossibile che tal numero non sia altro che una regola o una legge. Ciò che ci trae in inganno è, qui, unicamente una rappresentazione grossolana e primitiva: ci si immagina, a un dipresso, di poter introdurre la mano nell'insieme dei numeri reali traendone fuori uno, e non si pensa, invece, che il numero irrazionale può venir dato soltanto per mezzo di un processo di approssimazione. In realtà, il miglior modo di cogliere l'essenza del numero irrazionale è proprio quello di identificarlo con una regola per costruire una successione convergente di numeri razionali. Accenniamo infine a una modificazione della nostra teoria, che forse può renderla pi6 vicina alla rappresentazione comune dei numeri irrazionali. Fino a questo momento non ci siamo curati di distinguere le successioni crescenti dalle decrescenti e dalle oscillanti; ora ci limiteremo invece a considerare le successioni monotone, quelle, cioè, i cui termini variano in un senso solo. Supponiamo d! aver costruito due di tali successioni

con le seguenti proprietà: I) La prima è monotona crescente; si ha cioè

2)

La seconda è monotona decrescente;

S1

ha cioè

CAPITOLO QUATtORDICESIMO

212

3) Nessun termine della prima supera il corrispondente della seconda

4) Le differenze hn-an diventano arbitrariamente piccole al crescere di n.

Vogliamo raggruppare queste due successioni formandone una coppia, che denoteremo con un unico simbolo, per esempio

(~:). Non è diffi-

cile trasportare le definizioni e le regole di calcolo, date poco fa per le successioni convergenti qualunque, a queste coppie di successioni; invece di costruire un calcolo operante con successioni convergenti, ne al I

Figura

al a3 I

h3 b 2, bi 11111.",," I I I

24

otterremo cOSI uno operante su coppie di successioni. I punti a., al, a3, ... avanzano verso destra, i punti h., hl, h3, ••• avanzano verso sinistra, cosicché gli uni e gli altri determinano dei segmenti che diventano sempre pi6 corti. È dunque una variazione insignificante della teoria di Cantor che ci porta a identificare il numero reale con una coppia di successioni monotone del tipo ora considerato, cioè con una serie di intervalli decrescenti, interni uno all'altro. Molte sono le ricerche che ci impongono quest'interpretazione dei numeri reali. Citiamo soltanto due esempi: I) Un decimale illimitato non è altro che un modo abbreviato per

indicare una tale successione di intervalli, interni l'uno all'altro. Se per esempio, nel calcolo di v2, troviamo

"2

= 1,41421. ..

possiamo esprimere il nostro risultato scrivendo

V2 = (2; 1,5; 1>4 2; 1,4 15; .. ).

I; 1,4; 1,41; 1,414; ... '

NUMERI REALI

21 3

si vede di qui, che lo sviluppo decimale di ~ ci offre proprio una legge per formare una successione di intervalli (ciascuno dei quali è un decimo del precedente), interni l'uno all'altro. 2) Volendo determinare l'area del cerchio, col solo aiuto della geometria elementare, si procede, com'è ben noto, cOSI: si iscrivono e cir-. coscrivono al cerchio un esagono regolare, poi un dodecagono regolare, ecc., racchiudendo in tal modo l'anzidetta area in un intervallo che diventa sempre piu piccolo. Le aree dei poligoni iscritti formano una successione monotona crescente, quelle dei poligoni circoscritti una successione monotona decrescente; nessun termine della prima supera un termine della seconda; e la differenza fra un poligono circoscritto e il corrispondente poligono iscritto scende, col crescere del numero dei lati, al di sotto di qualunque valore positivo, arbitrariamente piccolo. Le nostre quattro condizioni si trovano dunque soddisfatte: l'area del cerchio risulta quindi espressa proprio da una catena di intervalli, del tipo da noi considerato. (Né ci è lecito credere che si tratti qui unicamente di un metodo per calcolare l'area del cerchio; no: prima delle considerazioni ora accennate il concetto di area era stato definito soltanto per le figure racchiuse da segmenti rettilinei, e non per il cerchio o altre figure racchiuse da linee curve. Non poteva quindi avere alcun senso il problema di calcolare una tale area; questo problema può sorgere soltanto dopo che si sia definita l'area del cerchio identificandola proprio con il limite comune, a cui tendono le aree dei poligoni iscritti e quelle dei poligoni circoscritti.) La formazione di una catena di intervalli del tipo ora riferito è spesso un mezzo molto comodo per dimostrare l'esistenza di certi numeri. Valga come esempio la dimostrazione del noto teorema di BolzanoWeierstrass: Ogni insieme infinito e limitato possiede almeno un punto limite (o punto di condensazione). L'attributo "infinito" ci dice che il nostro insieme deve risultar costituito da infiniti punti; l'attributo "limitato" ci dice invece che tutti questi punti debbono cadere fra due estremi a e b, e cioè in un intervallo finito.

21 4

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

La dimostrazione procede cosi: dividiamo per metà l'intervallo (a, b), e scegliamo quella metà che contiene infiniti punti. (Nel caso che in ognuno degli intervalli parziali cadano infiniti punti, ne scegliamo uno ad arbitrio.) Con l'intervallo che è stato scelto, procediamo in modo perfettamente analogo: lo dividiamo di nuovo per metà, e prendiamo quella parte che contiene infiniti punti, ecc. Otteniamo in tal modo una serie di intervalli, interni l'uno all'altro, la lunghezza dei quali va decrescendo indefinitamente. Essi tendono a un limite, che sarà proprio il punto di condensazione cercato; è chiaro infatti che ogni intervallo parziale, in cui esso viene a trovarsi inserito, contiene infiniti punti dell'insieme. Se accade che, dividendo un intervallo, entrambe le metà contengano infiniti punti dell'insieme, il procedimento si biforca: potremo allora proseguirlo scegliendo l'una o l'altra delle due metà, e riconosceremo cosi che esistono diversi punti di condensazione del nostro mSleme. Il domandarsi poi in che modo si possa decidere quale dei due intervalli parziali, ottenuti dividendo l'intervallo (a, b), contenga infiniti punti dell'insieme, costituisce un problema del tutto diverso. Nella nostra dimostrazione noi supponiamo oggettivamente certo che il numero dei punti dell'insieme, ottenuti in un segmento qualunque, debba essere finito o infinito; e ciò senza badare al fatto che si possegga o non si possegga un mezzo per deciderlo. Negli ultimi anni, anche questa supposizione venne sottoposta a critiche assai sottili, e l'intuizionista ne combatte oggi la legittimità argomentando che un'affermazione ha senso, unicamente se può venir provata con un numero finito di passaggi. Per comprendere quanto siano vaste le conseguenze della critica intuizionistica, si ricordi che il teorema di Bolzano-Weierstrass ora dimostrato è proprio uno dei pilastri fondamentali di tutta l'analisi. Ma la discussione di questo genere di problemi ci condurrebbe fuori dei limiti della nostra ricerca. Lo scopo che ci condusse alla teoria dei numeri reali fu quello di rendere eseguibile l'operazione di passaggio al limite. Esso può dirsi ora raggiunto: ogni successione convergente di numeri razionali ah a2, ... , am ••• ha un limite, il numero reale a, che è proprio definito dalla successione

NUMERI REALI

stessa. Qui si presenta però un'altra domanda: che accade se noi ripetiamo questo procedimento nel dominio dei numeri reali? Che accade, cioè, se formiamo una successione i cui termini siano a loro volta numeri reali? Saremo portati da essa a un nuovo tipo di numeri, irraggiungibili con i metodi finora usati? Questa domanda ha per la matematica un'importanza notevolissima. In caso di risposta positiva il campo numerico prenderebbe il seguente aspetto: sopra il sistema dei numeri razionali si eleverebbe un primo gruppo di numeri reali, definiti come successioni convergenti di numeri razionali; su di essi si eleverebbero poi dei numeri reali di secondo grado, definiti come successioni di numeri reali di primo grado, ecc. La totalità dei numeri reali si suddividerebbe quindi in una gerarchia, e non sarebbe piu lecito parlare di numeri reali senza ulteriore specificazione. È ovvio che in tal caso l'edificio dell'aritmetica diverrebbe assai piu complicato: per ogni teorema dell'analisi bisognerebbe specificare qual sia il tipo dei numeri reali a cui esso è applicabile, e riuscirebbe con tutta probabilità impossibile enunciare leggi generali. Per fortuna questa suddivisione non è necessaria. Vale cioè il teorema che ogni successione convergente di numeri reali può venir sostituita da una successione convergente di numeri razionali avente lo stesso limite: la formazione di successioni convergenti tratte dal campo dei numeri reali non porta nulla di nuovo. Prima di tutto un'osservazione. Una successione di numeri reali è un simbolo nuovo che non è stato finora spiegato. Conveniamo dunque che le regole fissate per le successioni convergenti di numeri razionali continuino a valere per successioni convergenti di numeri reali; in particolare che due di tali successioni si dicano uguali se la successione delle loro differenze è una zero-successione. Per dimostrare ora la veracità del nostro ultimo asserto, prendiamo una qualunque successione convergente, per esempio di numeri irrazionali:

[1]

Ognuno di questi termini è definito come una successione di numeri razionali (facciamo qui uso del doppio indice)

216

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

al = (all, a12, ... , al n,

••• )

a2= (a21' a22, ... , a2n, ...)

sicché la successione [l] è, a rigore, una successione di successioni di numeri razionali. Abbiamo asserito che essa è sostituibile con una successione semplice. Per dimostrarlo noi dobbiamo dunque costruire una successione di numeri razionali, i cui termini differiscano dai termini della [l] per quantità piccole ad arbitrio; in tal caso le due successioni potranno venir sostituite l'una all'altra. Fissiamo nella prima successione un indice N I tale che da esso in poi la differenza fra al e un termine qualunque della prima successione sia inferiore a l; I nella seconda fissiamo un indice N 2 , tale che da esso in poi la differenza fra a z e un termine qualunque della seconda successione sia minore di 1/2; ecc. Otteniamo cOSI la successione di numeri razionali

Confrontando ora la [l] con la [2], si vede subito che la successione delle differenze è costituita da termini inferiori a I, - , - ,

2

3

poiché questa è una zero-successione, tale sarà anche quella. Dunque la [l] e la [2], in base alla nostra definizione di poco fa, risultano uguali. Il nostro teorema può venir espresso anche in quest'altra forma: finsieme dei numeri reali è chiuso rispetto all'operazione di passaggio al limite. Quest'enunciato riesce a mettere in chiara luce l'analogia fra il nuovo ampliamento del campo numerico e quelli già precedentemente ottenuti.

NUMERI REALI

117

LA TEORIA DI DEDEKIND

La teoria che ora esporremo parte da basi completamente diverse. Dedekind fu condotto a queste ricerche dalle varie difficoltà che gli si presentavano dinanzi ogni volta che nelle sue lezioni cercava di spiegare in modo esatto la continuità. L'asserto che una retta è continua sembra di per sé assai chiaro ed evidente; questa chiarezza non basta però al matematico, il quale ha bisogno di un criterio assolutamente preciso su cui poter fondare le sue deduzioni. È ovvio che non lo si raggiunge accennando alla connessione reciproca dei punti di una retta, o alla loro concatenazione senza lacune fin nelle minime parti, ecc.; tutto ciò non è in grado di costituire la base di alcuna deduzione logica. Dedekind si propose quindi di analizzare il concetto di continuità, fino a ottenerne una definizione veramente precisa. E raggiunse infine il suo scopo con un'idea tanto semplice quanto originale. II lettore immagini una retta orizzontale, e prenda su di essa un punto ad arbitrio: egli vedrà subito che la retta resta divisa in due parti, di modo che ogni punto dell'una giace alla sinistra di ogni punto dell'altra (il punto di divisione potendo, a piacimento, venir attribuito alla prima o alla seconda). Ebbene, Dedekind comprese che l'essenza della connessione continua risiede proprio nella possibilità di invertire questa semplicissima costatazione. "Dividiamo - egli dice - tutti i punti della retta in due classi, di modo che ogni punto della prima classe si trovi alla sinistra di ogni punto della seconda: esisterà allora uno e un solo punto che determina questa partizione. Come già osservai, ritengo indubitabile che tutti riconosceranno subito la verità di questo principio; qualche lettore potrà anzi rimanere stupito che proprio una proposizione cOSI banale possa scoprirci il segreto del concetto di continuità. lo sono però ben contento che tutti lo trovino tanto intuitivo e in cOSI grande accordo con la rappresentazione comune di linea, dato che né io né altri potremo mai trovarci in grado di dimostrarlo. Esso infatti non è altro che un

218

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

assioma; ed è proprio accettando quest'assioma che noi attribuiamo alla linea la sua struttura continua." Comprenderemo tutta l'importanza dell'idea di Dedekind, non appena ci porremo il problema se l'insieme dei numeri razionali sia continuo nel senso ora spiegato. Esso costituisce, com'è noto, un insieme ovunque denso; e qualcuno potrà credere che questo fatto equivalga alla continuità. Col criterio di Dedekind si dimostra subito il contrario; supponiamo infatti di suddividere in due classi l'insieme dei numeri razionali, ponendo in quella di sinistra tutti i negativi, lo zero, e tutti quei positivi il cui quadrato è inferiore a due, e ponendo invece in quella di destra tutti i rimanenti. Ne risulterà una partizione completa del campo razionale, in seguito a cui ogni numero di questo campo cadrà in una e una sola classe. Esiste qualche numero razionale che determini questa suddivisione, e cioè risulti il massimo elemento della classe inferiore, o iI minimo della classe superiore? No. È chiaro infatti che là dove le due classi - per cOSI dire - si incontrano, si trova un vuoto, poiché V2 non è un numero razionale. Se consideriamo invece le due classi ottenute raggruppando fra loro una volta tutti i razionali inferiori a I e l'altra volta tutti quelli maggiori o uguali a I, vedremo subito che esse sono proprio separate dal numero razionale I. Esistono dunque delle partizioni di Dedekind che ammettono un elemento separato re razionale, e altre che non l'ammettono. Com'è ovvio, questa costatazione sarebbe sufficiente a provarci la discontinuità del campo razionale, anche se non avessimo mai udito nulla intorno ai numeri irrazionali. Un esempio di insieme continuo ci verrà invece fornito dalla totalità dei numeri reali; ma prima di dimostrarlo dovremo approfondire alcuni concetti. Immaginiamo un sistema di enti qualunque (numeri, punti, ecc.), e supponiamo di sapere soltanto che è ordinato: ciò significa che, dati due enti del sistema, si sa sempre quale dei due precede l'altro. (Si tratta, quindi, di enti che non implicano alcun carattere quantitativo.) Consideriamo ora una divisione degli enti del sistema in due classi A e B, con le seguenti proprietà: I) nessuna delle due classi è vuota (non deve cioè avvenire che tutti gli enti del sistema cadano in una sola classe);

NUMERI REALI

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2) ogni ente di A deve precedere ogni ente di B; 3) per ogni ente del sistema deve risultare univocamente stabilito a quale delle due classi appartenga.

Qualunque divisione di questo tipo verrà da noi chiamata partizione, e verrà indicata con il simbolo (AfB). Per quanto riguarda la reciproca delimitazione delle due classi, si possono distinguere quattro casi: I) esiste sia un ultimo elemento di A che un primo elemento di B; 2) esiste un ultimo elemento di A, ma non esiste alcun primo elemento di B;

3) non esiste un ultimo elemento di A, ma esiste un primo elemento di B; 4) non esiste né un ultimo elemento di A, né un primo di B.

Nel primo caso la partizione si dice a intervalli; nel secondo e terzo continua, nel quarto a lacune. Facendo uso di questa terminologia, la definizione di Dedekind potrà venire cosi formulata: un sistema ordinato deve dirsi continuo, se tale risulta ogni sua partizione, e cioè se non sono possibili né partizioni a intervalli, né partizioni a lacune. Il lettore badi che non è affatto necessario limitare ai numeri l'applicazione di questa definizione. Possiamo anche estenderla alle intensità di luce, alle altezze dei suoni, ecc. Tuttavia sarà bene che ce ne facciamo, innanzi tutto, una chiara idea per mezzo di alcuni esempi numerici.

-

I) La serie dei numeri interi presenta intervalli, ma non lacune. E

cioè, comunque la dividiamo in due classi (per esempio ponendo in A tutti gli interi minori di due, e in B tutti gli altri), la classe inferiore avrà un massimo, e la superiore un minimo. 2) L'insieme dei numeri razionali presenta lacune, ma non intervalli (si ricordi l'esempio di p. 218). Quest'ultimo fatto costituisce la cosiddetta discontinuità del campo razionale. L'insieme dei numeri razionali è troppo povero, perché ogni partizione possa venir prodotta da un suo elemento: in esso vi sono piu partizioni che numeri. Una tal costatazione ci suggerisce di ampliarlo

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CAPITOLO QUAITORDICESIMO

interpretando come nuovi numeri le partizioni stesse. In completa analogia con quanto venne fatto nei capitoli precedenti, noi tenteremo dunque di costruire un calcolo con le partizioni. Eccone i primi passi: DEFINIZIONE lo Due partizioni (A/B) e (A' /B') si dicono uguali se A coincide con A' e B con B'. Quando si divide il campo razionale per mezzo del numero 2, questo numero stesso può, come sappiamo, venire inserito tanto nella classe minore quanto nella maggiore. Si ottengono cosi due partizioni che nel senso della nostra definizione sarebbero differenti, mentre di solito si riguardano come sostanzialmente uguali; correggeremo dunque l'anzidetta definizione, affermando che le due partizioni (A/B) e (A' /Bj risultano uguali quando A coincide con A' e B coincide con B' salvo al piu l'eccezione di un numero.

La partizione (A/B) dicesi minore della partlZlone (A' /B'), se esistono dei numeri razionali che appartengono ad A' senza appartenere ad A.

DEFINIZIONE 2.

DEFINIZIONE 3. Una partizione dicesi positiva, se la sua classe inferiore contiene almeno un numero positivo.

4. Una partizione dicesi negativa, se la sua classe superiore contiene almeno un numero negativo. DEFINIZIONE

5. Una partizione dicesi nulla, se nella sua classe inferiore non si trovano numeri positivi, e nella sua classe superiore non si trovano numeri negativi. DEFINIZIONE

DEFINIZIONE 6. Per somma delle due partizioni (A/B) e (A' /B') si intende quella partizione (A +A' /B+B'), la cui classe inferiore contiene tutti i numeri che si ottengono sommando un termine di A con uno di A', e la cui classe superiore contiene tutti i numeri che si ottengono sommando un termine di B con uno di B'. Questi pochi cenni possono bastare per far comprendere al lettore come è costruita la nuova teoria. Naturalmente bisognerebbe provare che i concetti di uguaglianza, di disuguaglianza, di somma, ecc., godono

NUMERI REALI

ZZI

di tutte le proprietà formali possedute dagli analoghi 'concetti dell'aritmetica dei numeri razionali. Per numero razionale intenderemo poi, non il numero stesso, ma la partizione da esso generata. Tra i razionali e le loro partizioni sussiste una corrispondenza biunivoca, simile e isomorfa. Che accade ora se, nel campo numerico delle partizioni, formiamo delle nuove partizioni? Ci troveremo come prima, fuori del campo di partenza? No; vale infatti il seguente teorema: "Per ogni partizione del campo reale, ne esiste una del campo razionale a essa equivalente." Ma in che modo intendere quest'equivalenza? Indichiamo una partizio ne del campo reale con (A/B) e una del campo razionale con (A/B): la classe A sarà costituita da soli numeri reali, mentre A è costituita da soli numeri razionali. Per confrontare le due partizioni possiamo !imitarci ai soli numeri reali-razionali che costituiscono A: diremo che la panizione (A/B) equivale alla panizione (A/B) se i numeri realirazionali che costituiscono le classi A e B sono proprio i corrispondenti dei numeri razionali che costituiscono A e B. Tenuto conto di questa definizione, non è difficile dimostrare il teorema poco fa enunciato. Data una panizione del campo reale (A/B), costruiamone una del campo razionale (A/B) con la seguente regola: un razionale r verrà aggregato alla sotto classe A se il numero realerazionale che gli corrisponde fa pane di A; verrà invece aggregato a B, se il numero reale-razionale fa parte di B. La partizione (A/B) cOSI originata equivale evidentemente alla partizione da cui siamo partiti. Il nostro teorema ci prova dunque che ogni partizione del campo reale è, di nuovo, un numero reale. E cioè, non si esce fuori del campo reale, formando in esso delle partizioni. I numeri reali costituiscono perciò un sistema continuo: il cosiddetto continuo reale. Accenniamo a un problema, la cui discussione ci faccia vedere concretamente come si opera in pratica con questi concetti. È noto che un insieme di punti può non avere né un massimo né un minimo, anche se questi punti stanno tutti su di una porzione limitata di retta (ciò accade, per esempio, delle frazioni proprie, che sono comprese tutte fra zero e I). Vogliamo dimostrare che in queste condizioni un insieme

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CAPITOLO QUATTORDICESIMO

avrà sempre un limite superiore e un limite inferiore (nel nostro esempio sono appunto i numeri zero e I). Al fine di definire con esattezza che cosa si intenda per limite inferiore, cominciamo con l'introdurre il concetto di minorante: dicesi minorante di un insieme un numero inferiore a tutti quelli dell'insieme (che cioè, sull'asse numerico, stia alla loro sinistra). Ovviamente esistono infiniti minoranti di un insieme limitato; ebbene, il massimo fra essi è proprio il limite inferiore dell'insieme. Questo è dunque un numero minore di tutti i termini dell'insieme, che perde però questa sua proprietà non appena lo si voglia aumentare, sia pur di pochissimo. Il problema se esista il limite inferiore di un insieme può venir formulato cOSI: siamo sicuri che l'insieme dei minoranti possegga u'n massimo? Per rispondervi, scindiamo i razionali in due classi, ponendo nella minore tutti quei numeri che stanno alla sinistra di ogni numero dell'insieme, e nella maggiore tutti quelli che stanno alla destra di almeno un numero dell'insieme. Otterremo in tal modo, com'è chiaro, una partizione del campo razionale, e perciò un numero reale g. Questo g non può essere maggiore di alcun numero dell'insieme. Se invero fosse maggiore di uno fra essi, per esempio di a, dovrebbe esistere nella classe inferiore di g qualche razionale maggiore di a, e questo contraddirebbe la nostra definizione di g.1 Dunque tutti i numeri dell'insieme dato cadono alla destra di g, per cui può dirsi un minorante (nel senso poco fa definito). Se però lo si sostituisce con un numero un po' maggiore, g+E, questa proprietà viene subito a mancare. Nella classe inferiore di g+E cadrà infatti qualche numero che apparteneva alla classe superiore di g, e che perciò lasciava alla sua sinistra almeno un termine dell'insieme dato. Dunque g+E non è piu minorante; e cioè il numero g è il massimo dei minoranti. Se il lettore trova un po' difficile questa dimostrazione, voglio suggerirgli un mezzo assai utile per comprenderla chiaramente: provi a dimostrare da sé, in modo del tutto analogo, l'esistenza del limite superiore; egli si troverà costretto a ripercorrere ancora una volta l'.intera catena di pensieri qui accennati, e finirà certo per raggiungere una completa chiarezza. I [È poi ovvio che g non può essere uguale ad alcun numero dell'insieme, essendo questo, per ipotesi, privo di un minimo.]

NUMERI REALI

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La teoria di Dedekind può venir modificata considerando, per ciascuna partizione, la sua sola classe inferiore (dato che essa determina univocamente anche la superiore); in questo caso tale classe ponerà il nome di segmento. Non è difficile ripetere per i segmenti tutte le definizioni poco sopra enunciate per le panizioni. È per l'appunto in questo modo che i numeri reali vengono introdotti da Russell.

CONFRONTO DELLE DUE TEORIE

Tanto gli enti creati dalla teoria di Cantor, quanto quelli creati dalla teoria di Dedekind vennero da noi detti numeri reali; è lecita una tal denominazione? Sono essi davvero i medesimi numeri? Di identità non si può certamente parlare, trattandosi di enti definiti in due maniere affatto diverse. Sussiste però una corrispondenza molto intima fra i due sistemi: essi possono rappresentarsi l'uno sull'altro in modo biunivoco, simile e isomorfo, e cioè posseggono esattamente la stessa struttura. Per riconoscer lo, basterà una semplice riflessione. La teoria di Cantor opera con successioni, o - come ora preferiremo dire - con serie di intervalli (interni l'uno all'altro e infinitamente decrescenti); e noi sappiamo che esistono infinite serie diverse che tendono al medesimo punto. Immaginiamole distese tutte sulb medesima retta numerica; i loro estremi sinistri formeranno la classe inferiore e i loro estremi destri la classe superiore di una partizione, nel senso di Dedekind. La panizione è quindi null'altro che un modo di concepire simultaneamente tutte le possibili serie di intervalli che si addensano attorno a un punto. Panendo dalla teoria di Dedekind si può provare che una serie di intervalli interni l'uno all'altro e infinitamente decrescenti individua un punto; viceversa, panendo dalla teoria di Cantor, si può dimostrare che una panizione determina un numero. Sebbene le due teorie siano indipendenti l'una dall'altra, ogni teorema di analisi può venir formulato indifferentemente tanto nella prima quanto nella seconda; in matematica si parla perciò di numeri reali sic et simpliciter, senza distin-

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CAPITOLO QUATTORDICESIMO

guere se si tratti di numeri nel senso di Cantor o nel senso di Dedekind. II concetto base della teoria, di Cantor è la successione; il concetto base di quella di Dedekind è la classe. Quest'ultima presenta certi vantaggi sulla prima, perché determina un numero reale con un'unica partizione, mentre la teoria di Cantor esprime il medesimo numero con diverse successioni. Ogni volta che, nella teoria di Cantor, si definisce uno dei concetti di maggiore, minore, uguale, positivo, somma, ecc. è necessario dimostrare che le proprietà formali del concetto definito non dipendono dalla speciale successione scelta per esprimere i numeri considerati; al contrario, nella teoria di Dedekind, tutto ciò non è piu necessario: essa è quindi piu semplice e piu spedita. Da un altro punto di vista si dovrà invece preferire la teoria di Cantor: mentre quella di Dedekind serve esclusivamente allo studio dei continui lineari, quella di Cantor può invece studiare i continui a un numero qualunque di dimensioni (basterà a tale scopo che in luogo di serie di segmenti, infinitamente decrescenti e interni l'uno all'altro, si prendano in considerazione serie di intervalli piani, di intervalli spaziali, ecc.). Abbiamo visto, alcune pagine addietro, che la teoria di Dedekind riesce a caratterizzare la continuità della retta in termini estremamente semplici e chiari; chiediamoci, ora, in che modo la stessa cosa possa venir formulata dal punto di vista di Cantor. A qualcuno potrebbe venire in mente che un insieme risulti continuo quando è chiuso rispetto all'operazione di limite (quando contiene cioè tutti i suoi punti limite). La cosa però non è vera, come risulta dal seguente esempio di insieme chiuso e non continuo 0, I, - , - , - , ... , - , ...

234

n

La discontinuità di quest'insieme dipende dal fatto che, salvo lo zero, ogni termine dell'insieme è isolato (possiede cioè un intorno in cui non cadono altri punti dell'insieme). Affinché un insieme risulti continuo, sarà perciò necessario che ogni suo punto sia punto limite.

NUMERI REALI

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L'essenza della continuità sembra dunque risiedere nelle due condizioni: I) che ogni punto dell'insieme sia punto limite; 2) che ogni punto limite appartenga all'insieme. Nella teoria matematica degli aggregati, la totalità dei punti limite di un insieme M porta il nome di insieme derivato di M e suoI denotarsi con M'. Va1endoci di questa terminologia, possiamo dunque enunciare le due proprietà anzidette degli insiemi continui nel seguente modo: I) l'insieme continuo deve essere contenuto per intero nel suo derivato (M deve far parte di M'); 2) l'insieme derivato deve essere contenuto per intero nell'insieme continuo (M' deve far parte di M). Queste due proprietà, simultaneamente prese, ci dicono che M deve coincidere con M'. Ma è noto che un insieme, il quale coincida con il suo derivato, porta il nome di perfetto; parrebbe quindi che il concetto di insieme continuo debba identificarsi con quello di insieme perfetto. Questa fu anche, in un primo tempo, l'opinione di Cantor; piu tardi egli dovette però abbandonarla, quando scoperse l'esistenza di insiemi perfetti che non sono densi in nessun intervallo della retta numerica, per piccolo che esso sia. Per dare l'esempio di un insieme perfetto e non denso, cominciamo a prendere un segmento arbitrario AB e, dopo averlo diviso in tre parti uguali, portiamogli via quella di mezzo, lasciando però, di tale parte, gli estremi; ripetiamo poi la stessa operazione su ognuna delle parti rimanenti, cancellando di nuovo da ognuna di esse il suo terzo intermedio (salvo gli estremi); e cOSI via senza fermarci mai (vedasi fig. 25). In tal modo otterremo, per cOSI dire, un insieme poroso, infinitamente bucherellato, con le seguenti proprietà: I) di essere chiuso, e cioè di contenere tutti i suoi punti limite: è chiaro infatti che, sopprimendosi ogni volta solo la parte interna di un intervallo (esclusi i suoi estremi), non si può ricavare, dall'insieme chiuso AB, altro che un insieme nuovamente chiuso, la qual cosa varrà pure se si prosegue l'operazione all'infinito;

226

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

2) di essere costituito da soli punti limite: non si potranno infatti avere punti isolati, poiché non si sopprimono mai due intervalli adiacenti (questa proprietà, insieme con la precedente, ci dice che l'insieme considerato è perfetto); 3) di non essere denso in alcuna sua parte: non esiste cioè un intervallo in cui fra due punti qualunque dell'insieme cada sempre un altro punto

AI

.....,

B l

I-t

H

Figura 25

dell'insieme; e infatti, per quanto piccolo sia l'intervallo da noi scelto, sempre si troveranno in esso delle coppie di punti (estremi di qualche intervallo cancellato), fra i quali non cade alcun altro punto dell'insieme. La proprietà espressa dal termine" perfetto" non basta dunque a caratterizzare la continuità della retta. Per ottenere il continuo lineare, è necessano esigere che un insieme, oltre a essere perfetto, sia anche denso.

UNICITÀ DEL SISTEMA DEI NUMERI REALI

Abbiamo inserito i numeri razionali fra gli interi, e gli irrazionali fra i razionali; né possiamo avere, ormai, alcun dubbio sul significato di quest'inserzione. Applicando nuovamente al campo dei numeri reali l'operazione di limite (o l'analoga operazione di partizione), non usciremo piu fuori di esso. Con la scoperta dei numeri reali, il processo

NUMERI REALI

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dell'ampliamento numerico sembra dunque avere raggiunto una certa conclusione. Ma questa è per ora soltanto un'ipotesi. Che cosa po-' tremmo infatti obiettare a chi sostenesse che un giorno verrà forse scoperta qualche operazione, la quale ci costringerà a infittire di nuovo il sistema dei numeri reali? Per rispondere a questa domanda, occorre innanzi tutto prendere in esame i presupposti del problema; cercare cioè di chiarire un po' bene che cosa si intenda per sistema di numeri. Quando ci domandiamo se il campo reale possa venir ampliato con l'inserzione di altri numeri, noi pensiamo, com'è ovvio, che il nuovo sistema dovrebbe avere con l'antico un certo tipo di somiglianza; ma in che cosa consisterà precisamente questa somiglianza? Vi sono alcune condizioni assai semplici, che sembrano caratterizzare il concetto di sistema numerico (nel senso piu ampio del termine). Tali condizioni sono le seguenti: I) i suoi termini devono risultare ordinati;

2) devono esistere nel sistema quattro operazioni, fomite delle stesse proprietà formali di cui godono le quattro operazioni base dell'aritmetica; 3) un suo sottoinsieme (o insieme parziale) deve riuscire rappresentabile in modo biunivoco, simile e isomorfo sul sistema dei numeri razionali (il sistema considerato deve presentarsi cioè come un ampliamento del campo razionale); 4) deve essere valido il seguente assioma aritmetico: se a e f3 sono due numeri positivi del sistema e a < f3, si può, addizionando a a sé stesso un numero sufficiente di volte, ottenere un numero somma maggiore di f3; in breve, deve sempre esistere un numero n tale, che sia na>f3.

Precisato con queste condizioni il concetto di sistema numerico, vedremo facilmente che alla nostra domanda di poco fa deve venir data una risposta negativa. Vale infatti il seguente teorema: I numeri reali costituiscono un sistema che non può ammettere alcun ampliamento soddisfacente le condizioni 1-4.

TEOREMA DI COMPLETEZZA.

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CAPITOW QUATTORDICESIMO

Per dimostrarlo, indichiamo con R il sistema dei numeri reali, e con R un altro sistema che soddisfi le nostre quattro condizioni e contenga tutti gli elementi di R. Prendiamo poi un numero arbitrario del sistema R e denotiamolo con a. Per la terza condizione, R dovrà contenere un sottoinsieme con la stessa struttura del sistema razionale: lo chiameremo quindi insieme dei numeri razionali di R. Tutti questi numeri razionali potranno venir suddivisi in due classi, secondo che sono maggiori o minori di a. La partizione cOSI ottenuta definirà un momento reale a, che appartiene esso pure a R. Vogliamo studiare la differenza a-a. Questi due numeri sono racchiusi dalla stessa partizione del campo razionale, di modo che, rappresentati sulla retta numerica, non possono racchiudere fra di loro alcun segmento finito per piccolo che esso sia. La loro differenza potrebbe quindi essere, tutt'al piu, una quantità infinitesima attuale. La comparsa di un infinitesimo attuale contraddice però - come vedremo meglio fra poco - l'assioma di Archimede (cioè la condizione 4). Dunque, nel sistema R, a dovrà essere uguale ad a; e cioè ogni elemento di R è un numero reale ordinario. Se ne conclude che R non può esprimere un ampliamento di R. Sorge ora un secondo problema: per evitare la presenza di lacune nel campo razionale abbiamo fatto ricorso a quattro differenti metodi operativi: le successioni convergenti, le serie di intervalli decrescenti e interni l'uno all'altro, le partizioni di Dedekind e i segmenti. Tutti i sistemi cOSI ottenuti risultarono simili e isomorfi fra loro. Non esisteranno, ciò nondimeno, altre vie capaci di condurci a sistemi numerici essenzialmente nuovi? In termini piu esatti: può esistere un qualche sistema, soddisfacente le condizioni I -4, e chiuso rispetto all' operazione di limite, il quale differisca in qualcosa di sostanziale dal sistema dei numeri reali? La risposta è contenuta nel seguente teorema: TEOREMA DI UNICITÀ. Ogni sistema, che soddisfi le condizioni precedentemente enunciate e sia chiuso rispetto all' operazione di limite, può venir riferito termine a termine al sistema dei numeri reali con una corrispondenza bienivoca, simile e isomorfa. Vi è dunque, a rigore, un unico sistema del tipo accennato.

NUMERI REALI

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Indichiamo di nuovo con R il sistema dei numeri reali e con R un altro sistema qualunque che soddisfi le condizioni date. In tale ipotesi R dovrà ovviamente contenere un sottoinsieme con la struttura dei numeri razionali: valendo ci di esso noi cercheremo di provare che a ogni elemento di R se ne può far corrispondere uno di R. Ogni numero reale a può, com'è noto, venir determinato da una partizione razionale, di modo che si può scrivere a = (A/B). Poiché a ogni razionale di R corrisponde un razionale di R, si potrà formare in quest'ultimo sistema una partizione esattamente corrispondente alla (A/B). Si otterrà in tal modo la partizione (A/B), che per la continuità di R determinerà un numero Ci di questo sistema. A ogni numero reale a = (A/B) viene dunque a corrispondere un elemento "il = (A/B) del sistema R; e questa corrispondenza risulta, evidentemente, simile e isomorfa. R deve perciò contenere almeno tanti elementi quanti sono quelli di R (in termini piu rigorosi: un sottoinsieme di R deve potersi rappresentare in modo biunivoco, simile e isomorfo su R). Segue poi, dal teorema di completezza, che R non può contenere piu elementi di R, dato che R non è ampliabile. Dunque R deve, in sostanza, coincidere con R. E questo equivale proprio a dire che il nostro sistema dei numeri reali è l'unico sistema possibile, privo di lacune e soddisfacente le quattro condizioni di pagina 227. Domandiamoci infine: vi è qualcosa, nel mondo esterno, che corrisponda esattamente al continuo dei numeri reali? Qualcuno penserà che il continuo aritmetico sia soltanto la copia del continuo spaziale. Boltzmann e Clifford hanno richiamato l'attenzione sulla possibilità che il nostro spazio, anzi anche il tempo, siano discontinui, sicché, per esempio, tutti i movimenti naturali consisterebbero di piccolissimi salti, come nei film. Tutte le osservazioni empiriche sarebbero compatibili anche con l'ipotesi di uno spazio e di un tempo discontinui; del resto la meccanica ondulatoria moderna afferma che è scientificamente privo di senso parlare di proprietà geometriche dello spazio fisico al di sotto di un certo limite (e cioè al di sotto dell'ordine di grandezza degli atomi). Dedekind notò d'altra parte che la stessa geometria può, per un

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

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certo rispetto, fare a meno dello spazio continuo. Tenendo conto per esempio dei soli punti che in un certo sistema di coordinate possono venir espressi mediante numeri algebrici (si veda p. 30), si ottiene uno spazio ovunque discontinuo; "eppure, malgrado la sua discontinuità, malgrado che presenti in sé infinite lacune, questo spazio permetterebbe proprio tutte le costruzioni che compaiono negli Elementi di Euclide, e tutte con quella stessa esattezza con cui vengono eseguite nello spazio continuo: la sua discontinuità non potrebbe quindi venir rilevata nella scienza di Euclide". Dedekind prosegue: "Se poi qualcuno mi dicesse che noi non siamo in grado di immaginare lo spazio altrimenti che continuo, io mi permetterei di mettere in dubbio le sue parole, e gli farei osservare quanta finezza di cultura scientifica sia necessaria per comprendere chiaramente l'essenza del continuo." I Mentre per lo spazio fisico (esterno) si suole ammettere, al giorno d'oggi, la legittimità di queste osservazioni, si sostiene invece con tanta maggior ostinatezza che la prima origine del continuo matematico debba proprio venir cercata nell'intuizione visiva. Possiamo condividere anche noi questo parere? Può l'intuizione produrre davvero ciò che si vorrebbe attribuirle? Per rispondere a questo problema, cominciamo a discuterne uno piu facile. Domandiamoci, cioè, se chi guardi uno spettro ottico veda o non veda un numero determinato di colori. Ovviamente non ne vede un numero determinato (quando si intendano per colori anche le singole sfumature deIlo spettro). Dovremo dunque concludere che egli ne vede un numero infinito, forse tanti quanti sono i numeri reali? Certamente no. Ciò sarebbe una falsificazione totale del concetto di numero: il continuo dei colori ha invero una struttura completamente diversa dal continuo matematico. Di due numeri reali è stabilito senza ambiguità se essi risultino uguali o differenti; e per quanto siano prossimi l'uno aIl'altro, è però impossibile sostenere che sono identici quando non coincidono. Da un colore aIl'altro si passa invece insensibilmente, dato che due colori vicinissimi si confondono fra loro in modo da non poter venire distinti. In termini piu precisi: I

R.

DEDEKIND,

Was sind und was sollen die Zahlen?, 6" ed. (Braunschweig 1930).

NUMERI REALI

131

non ha senso, per quel che riguarda il continuo dei colori, parlare di elementi isolati che dovrebbero costituirlo. Al contrario dello spettro non è applicabile l'idea di numero, non trovandosi in esso verificata la prima ipotesi di qualunque applicazione dell'aritmetica: la possibilità di distinguere fra loro gli oggetti con i quali si vuole contare. Assai giustamente si dirà invece che i colori dello spettro sono innumerevoli, intendendosi affermare con ciò che non ha senso voler loro attribuire una qualsiasi specificazione numerica. Proprio la stessa cosa accade per lo spazio visivo. Il lettore provi a domandarsi quanti punti percepisce nel campo della sua vista; se propende a credere che siano infiniti, provi ancora a domandarsi in qual maniera potrebbe giustificare la sua opinione. Possiede egli forse qualche metodo preciso per aggiungere, a un qualunque insieme di punti di quel campo, un altro punto, come possiede un metodo preciso per aggiungere, a un qualunque numero cardinale, un'altra unità? No certo; la cosa è troppo ovvia per insistervi. Vorrà invece tentare se risulti applicabile al campo visivo la definizìone di infinito dovuta a Dedekind, rappresentando l'insieme di tutti i suoi punti su di una sola sua parte? Basta di nuovo una breve riflessione per convincersi che la cosa è impossibile: un tale tentativo non può avere alcun significato, perché l'unico mezzo aritmetico per rappresentare un insieme su una sua parte è l'induzione completa, e quest'unico mezzo risulta evidentemente inapplicabile all'insieme dei punti percepiti dal nostro occhio. L'asserto "Vedo infiniti punti" significa esclusivamente questo: "Non ha senso dire che ne vedo soltanto venti, oppure soltanto trenta o quaranta." Esso non ha nulla a che fare con l'infinito della matematica. (Proprio per la stessa ragione non riusciamo a costruirci, nello spazio visivo, un'immagine dell'insieme dei numeri razionali.) Possiamo dunque concludere che i numeri reali non ci vengono suggeriti affatto né dalla natura fisica né dall'intuizione. Essi sono proprio una libera creazione della fantasia umana, sebbene esistano senza dubbio vari motivi che inducono il matematico a crearli. Questi motivi provengono in primo luogo dalla geometria (si ricordi la scoperta degli irrazionali per opera di Pitagora); in secondo luogo dal calcolo dei de-

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CAPITOLO QUATTORDICESIMO

cimali (questo calcolo venne introdotto in matematica fin dall' epoca del Rinascimento). La trattazione dei diversi tipi di decimali fa sorgere spontanea in noi l'idea del numero reale, sebbene soltanto le teorie di Cantor e di Dedekind riescano poi a spiegarcela in forma rigorosa. Ripensiamo ora un istante alle basi della geometria analitica. Questa scienza poggia, tra l'altro, sull'ipotesi di una corrispondenza biunivoca fra i punti di una retta e i numeri reali. Come ormai è chiaro una tale proposizione non può venir dimostrata, ma soltanto postulata: essa costituisce l'assioma di Cantor e Dedekind, uno dei piu importanti di tutta la geometria analitica ordinaria. Esistono tuttavia, come vedremo fra qualche pagina, delle geometrie che non l'accettano.

OSSERVAZIONI VARIE

Sarà opportuno accennare ancora ad alcune difficoltà del concetto di numero reale. Per spiegarle, seguiremo un'esposizione di Brouwer. Costruiamo la successione ah az, ... con le seguenti regole: poniamo al = I, az = 2; e, per ogni n> 2, poniamo an= n, se l'equazione di Felmat xn+yn=zn non ammette radici intere; se invece le ammette anche per qualche valore n> 2 e se v è il minimo di questi valori, poniamo an = v per ogni n~v (cioè av = av +1 = av +2 = aV+3 = ... = v). Poiché il problema di Fermat non è stato finora risolto, noi non sappiamo a tutt'oggi se la nostra successione cresca illimitatamente o si fermi a un certo valore v. Formiamo ora, con il suo aiuto, la seguente successione

,(

(-~/' -~t (-~t Essa commCIa con i termini I

2'

+4'

~8'

+ ...

Se per n> 2 l'equazione di Fermat non ammette radici intere, questa successione converge evidentemente a zero; se invece esiste qualche n> 2 per cui l'equazione di Fermat ammette radici intere si dovranno

NUMERI REALI

233

distinguere due casi: o il minimo fra questi n è pari, ed essa converge verso un numero positivo, o è dispari, ed essa converge verso un numero negativo. Noi però non sappiamo che cosa accada, e cioè non sappiamo se il suo limite sia nullo, positivo o negativo. Ebbene, l'intuizionista Brouwer ritiene che questo limite costituisca l'esempio di un numero reale che non è né positivo, né nullo, né negativo. Proprio valendosi di esso, egli combatte poi la validità di molti fra i piu importanti teoremi della matematica classica. Il lettore obietterà, naturalmente, che è ben diverso dire "l'equazione di Fermat ammette radici intere", e dire invece "noi le conosciamo". Oggettivamente - egli proseguirà - è possibile solo uno dei tre casi: o la nostra successione tende a zero, oppure si ferma a un valore positivo o a uno negativo. Il fatto contingente, che noi sappiamo o non sappiamo decidere quale dei tre casi si verifichi, non ha nulla a che vedere con il valore del limite. A quest'obiezione Brouwer risponderebbe che nulla esclude che il problema di Fermat sia insolubile di principio, e in questo caso non sarebbe piu lecito argomentare come il presunto lettore. La nostra opinione su tutto ciò è la seguente: nel caso che il problema di Fermat fosse insolubile di principio, la successione

(- ~r

(-~)\ (-~t,

••• non rappresenterebbe - a rigor di termini - alcun numero real:. La proprietà base dei numeri reali è infatti la loro confrontabilità con gli interi e le frazioni (essa sola ci dà il modo di rappresentarli sulla retta numerica), mentre per l'appunto questa proprietà vien qui a mancare. Se siamo in possesso di enti, simili a numeri, che però non siano confrontabili con gli interi e le frazioni, non abbiamo alcun diritto di inserirli nell'insieme dei numeri reali; ciò che ce lo vieta è, qui, proprio una ragione di ordine logico. Lo stesso può ripetersi per quei numeri decimali le cui cifre abbiano un valore che dipende dalla soluzione di qualche problema matematico. Prendiamo per esempio il "numero" zero, ah a2, ... , dove si convenga di scegliere an uguale a I oppure a zero secondo che l'equazione di Fermat xn+ yn = zn è o no risolubile con numeri interi. Esso comincia 3 ,

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CAPITOLO QUATTORDICESIMO

cosi: 0,11000 ... ; ma, al momento attuale, non sappiamo ancora se sia uguale o maggiore di 0,1 I. Di nuovo rispetto a esso noi diremo: se il problema di Fermat è insolubile di principio, il simbolo zero, ah a2, ... non rappresenta alcun numero. Queste considerazioni ci inducono ad approfondire un po' i rapporti fra numeri decimali e numeri reali. Di solito si ritiene che un numero decimale risulti dato quando siano fissate le sue cifre, e cioè quando sia scritta tutta la serie di esse fino all'infinito. Ma è poi vera una tale opinione? Non si nasconde, sotto l'accenno a questa serie, il riferimento a una legge? Il problema potrebbe venir posto cosi: è possibile pensare una frazione decimale illimitata, senza riferirsi alla legge che regola la scelta delle sue cifre? Sarebbe essa un vero numero reale? Se si convenisse per esempio di fissare a caso la successione delle cifre dopo la virgola, si otterrebbe o non si otterrebbe con ciò un numero reale? Il nostro parere è il seguente: anche se l'intervallo in cui il decimale considerato viene a cadere diventa man mano piu breve, questo non ci permette ancora di attribuirgli il nome di numero, e ciò per il semplice fatto che un tal decimale non obbedisce alle stesse leggi che valgono per i numeri reali (non ha, per esempio, alcun significato chiedere se esso sia o non sia irrazionale). Ciò che qui ci trae in inganno è l'analogia con lo spazio visivo. In questo spazio visivo, una serie di segmenti decrescenti e interni l'un l'altro, finisce per ridursi a poco a poco a un punto; allo stesso modo - si pensa - la serie dei segmenti determinati sulla retta numerica dalle cifre di un decimale dovrebbe a poco a poco individuare perfettamente il punto che corrisponde a tal numero. Il ragionamento però è erroneo: per quante cifre si prendano, la posizione di questo punto è sempre infinitamente indeterminata. Il contrario accade, se si conosce una legge per la produzione di quelle cifre: in tal caso infatti il numero reale è questa legge stessa. L'errore accennato dipende dall'avere confuso fra loro l'idea di estensione e quella di legge. Si pensa che sia possibile determinare una frazione decimale illimitata in due maniere: mediante l'enumerazione delle sue cifre, oppure mediante una legge. Ma di fatto non avviene nulla di simile: il numero reale produce delle estensioni; esso medesimo però non è un'estensione.

NUMERI REALI

235

Sarebbe forse interessante esaminare, dal nostro punto di vista, certe teorie della probabilità, che ritengono lecito definire un limite per mezzo di meri processi empirici, per esempio per mezzo d'una serie statistica. I Riassumendo ora quanto fu esposto in questo capitolo, possiamo dire: i numeri reali vennero creati per rendere eseguibile senza restrizioni il passaggio al limite. Questo passaggio non è però un'operazione cOSI facile, chiara e perspicua, come per esempio la sottrazione: esso va considerato piuttosto come una legge per la produzione di numeri. E poiché vi sono molti tipi di leggi, assai differenti fra loro, vi saranno pure molti generi di numeri reali. A un primo sguardo, si può credere che eSSI formino un sistema unico come quello dei numeri razionali; e senza dubbio il metodo ordinario di scriverli, sotto forma di decimali illimItati, sembra confermarci questo modo di vedere. Già la scoperta di GodeI, accennata nel capitolo IO, ci mostra però che per essi valgono dei rapporti del tutto differenti da un caso all'altro: per ogni aritmetica si possono infatti scoprire dei numeri reali non definibili con i soli mezzi di quest'aritmetica. A un'analisi piu profonda il sistema dei numeri n:ali si scinde in un numero infinito di sistemi differenti, legati fra loro da nulla piu che una tenue somiglianza. Domandiamoci infine se sia possibile dimostrare la non contraddittorietà dei numeri reali partendo dal modo con cui essi vennero costruiti per mezzo del numeri razionali. Fino a pochi anni fa si era creduto che ciò fosse veramente possibile; le definizlOll1 della teoria di Cantor imitano infatti assai da vicino (come già osservammo) alcuni teoremi ricordati nel capitolo 12; di conseguenza si era immaginato che ogni contraddizloiiìì fra numeri reali avrebbe dovuto, per ciò stesso, trascinar con sé un'analoga contraddizione nel campo dei numeri razionali. Le ricerche d:~ GodeI hanno dimostrato però che la cosa avviene in modo del tutto diverso: f': cioè hanno dimostrato che è impossibile ricondurre la non contraddittorietà dei numeri reali a quella dei numeri interi. La ragione profonda di tale impossibilità è questa: mentre un'affermaI Per maggiori dettagli sì veda F. WAISMANN, Logische Analyse des Wabrscbeinlichkeitsbegriffs, Erkcnntnis (1930).

CAPITOLO QUATTORDICESIMO

zione qualunque su di un numero intero o su di un razionale può venir trasformata senza residui in un'analoga affermazione su numeri naturali, la stessa cosa non si verifica invece nel caso dei numeri reali. Per essi interviene infatti un'idea assolutamente nuova, e cioè il concetto di legge (nella teoria di Cantar), ovvero quello di classe, o proprietà (nella teoria di Dedekind). Il calcolo dei numeri reali è un calcolo che opera su leggi ovvero su classi: proprio per questo non può risultar traducibile nella lingua dei numeri razionali.

IJ. Numeri ultrarealt

Esistono alcuni problemi che ci inducono a sollevarci dal sistema dei numeri reali ad altri sistemi numerici che non soddisfano piu le nostre condizioni (p. 227). Vediamo innnanzi tutto due esempi. I

I) Il lettore immagini di aver disegnato il grafico della funzione y =-, x limitandolo, se vuole, ai valori positivi della x. Verso l'origine, la curva cresce sempre piu rapidamente, e se x tende a zero l'ordinata y tende a infinito. A un tal punto suoI darsi il nome di polo o punto d'infinito. Consideriamo ora diverse curve, aventi tutte un polo nel medesimo punto x = Xo; e domandiamoci: "f: possibile confrontare fra loro i gradi della rapidità con cui esse tendono all'infinito? Siano, per esempio, le

funzioni f (x) =~, e g (x) =~. Disegnando anche quest'ultima curva si x

X2

vede subito che essa, cresce assai piu rapidamente della prima: e cioè il rapporto fra le due, g(x)jf(x), tende all'infinito. In questo caso si suoI dire che la funzione g(x) è infinita di ordine superiore alla funzione f(x), o, brevemente: g(x) è piu infinita di f(x). Quando invece il rapporto g(x)jf(x) tende a un limite diverso da zero e da infinito, si dice che le due funzioni sono infinite del medesimo ordine, ovvero sono ugualmente infinite. Se infine tale rapporto tende a zero, g(x) è meno infinita di f(x). Poiché questi tre casi formano, com'è ovvio, una disgiunzione completa, se ne conclude che i poli possono venir disposti in ordine crescente. Siamo ora, in grado di formulare in termini piu

CAPITOLO QUINDICESIMO

precisi la domanda di poco fa, chiedendoci: "È possibile introdurre una misura del grado di infinità? Si possono caratterizzare i singoli poli con dei numeri, di modo che a un polo di ordine superiore corrisponda sempre un numero maggiore?" È facile costruire una successione illimitata di funzioni, ciascuna delle quali tenda all'infinito piu rapidamente di quelle che la precedono; tale è per esempio la successione l/Xl, I/X2, 1/ x 3, ••• Si può, poi, renderla piu fitta prendendo per la X esponenti fratti, e infine esponenti reali. In tal caso si potrà prendere il numero a come misura del grado di infinità della funzione l/X·. E si noti che cOSI facendo si saranno già adoperati tutti i numeri reali positivi per denotare quest'unico tipo di poli. Esistono però, come subito si vede, ancora molte altre funzioni che tendono all'infinito per X tendente a zero; per esempio la funzione Ilog xl. Confrontando Ilog xl con una qualunque funzione l/x", si vede che Ilog x I tende all'infinito piu lentamente di essa. E cioè il rapporto pog xlix è infinito di ordine superiore alla funzione l/X e pur tuttavia di ordine minore a qualunque funzione I/X1+· per piccolo che sia il valore di E. Come misura del grado di infinità dell'accennato rapporto non si potrà dunque scegliere né il numero I, né un qualunque numero > I. In altri termini, la scala dei numeri reali non è sufficiente per la misura delfordine dei poli. La serie dei poli è piu fitta che il continuo dei numeri reali. Per misurarla si dovrebbe ricorrere quindi a un sistema di numeri ultrareali, lasciando cadere, per necessità di cose, qualcuna delle condizioni valide per il sistema reale (eventualmente l'assioma di Archimede). Il lettore badi che si tratta qui della scoperta di un sistema di numeri puramente ordinali, non essendo proprio necessario definire per essi alcuna operazione. 2) Interessanti per diversi motivi sono i cosiddetti angoli a forma di corno o angoli curvilinei, già conosciuti e discussi fin dall'antichità. Date due curve che si incontrano nel punto P, si suoI intendere in generale, per loro angolo, quello formato dalle due tangenti a esse nel punto P. CosI interpretati, gli angoli curvilinei formano, com'è facile vedere, un sistema di grandezze ordinario (archimedeo). Si può scegliere però anche un altro punto di vista, del tutto diverso. L'intuizione stessa ci suggerisce invero di considerare senz'altro la porzione di piano

NUMERI ULTRAREALI

239

chiusa dalle due curve, e di chiederci se due porzioni siffatte non possano venir direttamente confrontate fra loro senza fare alcun ricorso agli angoli determinati dalle tangenti. La cosa risulta possibile. Per

Figura 26

vederlo, cominciamo a dividere in due parti con una retta tali porzioni di piano (fig. 26): potremo cosi limitarci a considerare angoli formati da un lato curvilineo e uno rettilineo. Allora - presi due qualunque di essi e portatili l'uno sull'altro in modo da far coincidere i loro vertici

Figura 27

e i loro lati rettilinei - si dirà maggiore quello dei due che ha maggiore estensione dell'altro. Ed è chiaro che confrontati con questo metodo gli angoli curvilinei formano un sistema ordinato. Consideriamo ora, in particolare (fig. 27) gli angoli racchiusi da una retta e da un cerchio a essa tangente (angoli che misurati col metodo

CAPITOLO QUINDlCESIMO

ordinario sono tutti nulli); com'è ovvio, fra due cerchi di raggio diverso, il cerchio che ha il raggio maggiore determinerà un angolo minore. Possiamo dunque prendere come misura dell'angolo curvilineo I

un valore w = -, cioè reciproco del raggio. È chiaro che a partire da r

un angolo curvilineo di misura w possiamo ottenere senza difficoltà una serie di angoli curvilinei di misura 2W, 3w, ecc., prendendo un cerchio con raggio metà, un terzo, ecc., di quello dato. Ma per quanto si proceda in questa serie, l'angolo curvilineo ottenuto sarà sempre minore di un angolo rettilineo a, scelto ad arbitrio. Questo significa che w è un infinitesimo attuale di fronte ad a, e cioè che l'assioma di Archimede per questo genere di grandezza vien meno. Volendo esprimere col calcolo lo stato di cose ora accennato, dovremo innanzi tutto cercar di rappresentare simbolicamente il fatto che i nostri angoli sono degli infinitesimi attuali rispetto a un qualunque angolo ordinario. Raggiungeremo lo scopo voluto, introducendo un'unità infinitesima attuale, che definiremo COSI: "l'unità 'l} è l'angolo racchiuso dal cerchio di raggio I e dalla sua tangente". Ogni altro cerchio formerà allora, con la sua tangente, un angolo curvilineo di misura "I

w

= .:....1]. r

Se poi (fig. 28) due cerchi si intersecano fra loro, l'angolo

curvilineo da essi limitato risulterà composto di tre parti: l'angolo a racchiuso dalle due tangenti, e i due angoli infinitesimi attuali Wl e w2 • Noi prenderemo quindi come misura dell'angolo completo, racchiuso dai due cerchi, la somma ossIa 'l}

1]

rl

r2

a+-+-

(ove rl e r2 indicano le misure dei raggi dei due cerchi). La quantità 'l} è caratterizzata dal fatto che n'l} < I, per quanto grande sia il valore di n. Volendo trasportare questa stessa definizione al caso degli angoli racchiusi da curve arbitrarie, si sostituiranno a queste curve i loro cerchi osculatori (nel punto di intersezione), cioè quei cerchi che (in tale

NUMERI ULTRAREALI

punto) combaciano con le curve considerate nel modo piu stretto possibile. Si stabilirà, per definizione, che l'angolo formato dai due archi di curva sia identico all'angolo formato dai due cerchi osculatori. (In questa definizione si suppone che le due curve abbiano, nel loro punto

Figura 28

d'incontro, una curvatura ben determinata; la quale ipotesi è tanto poco evidénte quanto l'altra, che le due curve abbiano in tal punto una direzione ben determinata.) Considerando la cosa da un punto di vista strettamente formale, si vede che il nostro problema è in realtà il seguente: costruire un calcolo con elementi del tipo a+h1], i quali non soddisfino piu l'assioma di Archimede. Si tratterà dunque di fissare le regole di calcolo per questi nuovi simboli. E, prima di tutto, ci si dovrà chiedere che cosa si debba intendere per 1]'1] = 1]2, per 1]3, ecc. È naturale interpretarli come unità infinitesime attuali di ordine superiore. Il Veronese, nei suoi lavori sui fondamenti della geometria, ha proprio ~dottato questo punto 9

CAPITOLO QUINDICESIMO

di vista. Egli suppone data una gerarchia di grandezze infinitesime attuali ('YJ, l;, ecc.), con la proprietà che una qualunque di esse costituisca un infÌnitesimo attuale rispetto a tutte le precedenti. Su questa base eleva poi un intero edificio di geometria non archimedea, rappresentando ogni punto dell'asse delle ascisse con un'espressione della fonna a+b'YJ+cl;+ ...

(ove a, b, c, ... sono numeri reali). Il punto della geometria ordinaria si scinde qui in un mondo di punti; pressappoco come un punto luminoso del cielo si risolve, se guardato al telescopio, in una nube di stelle. La costruzione di tali sistemi numerici può anche venir inserita nel vasto gruppo delle ricerche intorno ai fondamenti della geometria, ricerche rivolte, fra l'altro, a provare l'indipendenza reciproca dei diversi assiomi. Quest'ultimo problema consiste nel decidere se fra gli assiomi posti alla base di una data geometria non se ne trovi per caso qualcuno che ha solo l'apparenza di assioma, risultando invece, in realtà, un vero e proprio teorema (salvo che non se ne è ancora scoperta la dimostrazione). Per risolverlo si procede cOSI: si cerca di formare una nuova geometria, in cui valgano tutti gli assiomi della precedente a eccezione di quell'uno intorno a cui si nutre qualche dubbio; se la geometria cosi ottenuta non è contraddittoria, risulterà certo che l'assioma escluso non segue logicamente dagli altri. La costruzione di una geometria non archimedea ha, da questo punto di vista, l'unico scopo di provare che l'assioma di Archimede non dipende dagli altri. Il lettore potrà ora giudicare egli stesso se lo studio di grandezze non archimedee debba o non debba considerarsi come un puro e semplice giuoco. Esse ci sembrano senza dubbio tanto nuove e singolari, perché non hanno nulla in comune con quel concetto di grandezza estensiva cui si rivolge di solito il nostro pensiero. A rigore però, dal punto di vista della logica pura, la possibilità di misurare le une con le altre le varie grandezze di uno stesso genere (per esempio le varie lunghezze) non è proprio per nulla evidente. "La costatazione di questa non evidenza - scrive Hilbert - è, senza dubbio, importantissima per la geometria; mi sembra però che essa presenti un interesse di principio anche

NUMERI ULTRAREALl

per la fisica. Essa ci conduce invero al seguente risultato: il fatto di poter misurare tutte le dimensioni e tutte le distanze dell'universo (da quelle dei corpi celesti, a quelle dei corpi che costituiscono il mondo atomico) riportando una volta dopo l'altra una data lunghezza terrestre, non è per nulla una pura conseguenza logica dei nostri teoremi sulle congruenze e della configurazione geometrica, ma è piuttosto un vero dato dell'esperienza. E cioè, la validità dell'assioma di Archimede nel mondo della natura richiede proprio una conferma sperimentale, allo stesso modo che la richiede l'assioma delle parallele." I Sarebbe interessante, a questo proposito, immaginare qualche esperienza che contraddica l'assioma di Archimede. Abbiamo già detto una volta che il continuo intuitivo non è il continuo matematico, e che perciò i numeri reali, formanti quest'ultimo, non sono applicabili con esattezza al primo. La cosa può ancora venir illustrata da alcuni ulteriori esempi. Immaginiamo segnati su di un foglio un gran numero di punti, che per il loro addensarsi gli uni contro gli altri diano l'impressione - a chi li guarda da una certa distanza - di formare pressappoco una striscia. Questa, com'è ovvio, non risulterà ben delimitata, ma sfumerà gradatamente nello spazio éircostante. Orbene, che larghezza potremo attribuire a una striscia siffatta? Non avendo essa dei confini ben precisi, bisognerà misurarla in modo diverso dal comune; si tratterà soprattutto di esprimere !'impressione che può produrre in noi, cioè di farne - come suoI dirsi - un apprezzamento. (Per vedere questa diversità si pensi al fatto che due valori, prossimi l'uno all'altro, non sono qui reciprocamente esclusivi, mentre lo sarebbero in una misurazione intesa nel senso ordinario.) Dello stesso tipo è quest'altra domanda: "A quale punto, nel profilo di una data regione montuosa, ha inizio l'altipiano?" Anche qui non è possibile rispondere con precisa esattezza. Veniamo di nuovo a trovarci in una situazione analoga, se qualcuno ci domanda la provenienza di un dato suono. Potremo certamente indicargli una direzione, ma soltanto in maniera approssimata. E questo I

D.

HILBERT,

Axiomatisches Denken, Math. Ann., voI. 78.

244

CAPITOLO QUINDICESIMO

ci prova che noi abbiamo qui a che fare con un concetto di direzione diverso dal concetto ordinario, e con un:l metrica dell'angolo diversa dalla comune. CosI accade, infine, dinanzi alla domanda: "Quest'arancione è situato esattamente a metà fra il rosso e il giallo?" L'unica risposta possibile sarà che non ha senso parlare di esattezza, se contemporaneamente non si precisa un metodo di misurazione (graduando le possibili mescolanze dei colori). Ma in questo modo noi ci veniamo già a trovare nel campo della fisica, e non piu in quello dell'intuizione immediata. In tutti i casi ora accennati un'applicazione rigorosa dei numeri reali è ovviamente impossibile. Anch'essi ci spingono (come il caso delle funzioni infinite, o quello degli angoli curvilinei considerati poco fa) verso un sistema di numeri diversi dai numeri reali; questa volta si tratta però di un sistema, la cui caratteristica piu profonda è di operare con grandezze imprecise. Forse un giorno si riuscirà a costruirlo, e allora si vedrà che esso, molto piu del sistema dei numeri reali, è idoneo a descrivere le situazioni del tipo accennato ndle righe precedenti. Per ottenere questo nuovo calcolo matematico si potrebbe, per esempio, fonnulare degli assiomi che non presentino piu i tennini "maggiore", "uguale" e "minore" come costituenti una disgiunzione completa, ma prevedano invece delle vere e proprie zone di indeterminazione ovvero di scarsa distinguibilità. Il che equivarrebbe in fondo a fonnulare la grammatica logica del tennine "all'incirca".

I6. Numeri complessi e ipercomplessi

Vi è un altro ampliamento, molto piu antico, del sistema numerico: quello costituito dai numeri immaginari che entrarono a far parte della matematica d'occidente fin dalla metà del sedicesimo secolo. Due furono i motivi che portarono alla loro creazione; il primo di natura algebrica: la non risolubilità dell'equazione X2 + I = o (questa indusse i matematici a introdurre nei calcoli un nuovo tipo di grandezze, le radici quadrate dei numeri negativi); il secondo, posteriore, di natura geometrica: il desiderio di trovare qualche ente aritmetico analogo al concetto di vettore (è questo il concetto di una grandezza con direzione, largamente applicato sia in geometria che in fisica). Fu poi proprio quest'ultimo motivo che indusse i matematici alla creazione di numeri complessi piu elevati. Ma per il momento vogliamo limitarci ai numeri complessi ordinari. E cominceremo, a scopo di chiarezza, col dare un cenno all'importanza che essi ebbero per lo sviluppo generale degli studi matematici. Quest'importanza non dipende solo dalla possibilità, da essi fornita, di estrarre la radice quadrata dei numeri negativi; bensl dalla notevolissima semplificazione che tali numeri portarono all'algebra e all'analisi: essi riuscirono infatti a collegare fra loro campi della matematica ritenuti per l'innanzi privi di qualunque correlazione; e riuscirono a far comprendere il significato profondo di molti problemi, che nel campo reale sono fatalmente avvolti da un'ineliminabile oscurità. Citiamo,

CAPITOLO SEDICESIMO

come primo esempio, la famosa formula di Euler é" = cosx+i sin x,

che d'un tratto fece scoprire intimi nessi tra funzioni in apparenza affatto diverse. Quest'idea trova oggi il suo completo sviluppo nella moderna teoria delle funzioni, un capitolo della quale (e uno dei piu importanti) è proprio diretto all'esame delle relazioni generali fra variabili complesse, cioè delle cosiddette funzioni analitiche w=f(z)

con z =x+iy, w = u+iv. La loro interpretazione geometrica è la seguente: si immaginano due piani (il piano z e quello w) e, per mezzo della funzione f, si fanno corrispondere i punti del secondo a quelli del primo. Una qualunque funzione del tipo ora accennato rappresenta dunque un piano su di un altro. Si dimostra che questo tipo di rappresentazione riesce per l'appunto a mettere in luce alcune proprietà molto profonde e molto nascoste delle funzioni. In tal modo si possono caratterizzare vaste classi di funzioni con proprietà straordinariamente semplici (per esempio mediante l'univocità, l'esistenza di poli, ecc.). Alcuni fatti matematici risultano incomprensibili per chi voglia limitarsi al campo reale: cosi, per esempio, il comportamento della funzione log x. Alla domanda ti che valore abbia il logaritmo di un numero negativo" si potrebbe cercare di rispondere con la seguente riflessione. Poniamo log( - I) = Xj allora sarà log( - 1)2 = 2 ·log( - I) = 2 ·x. Ma d'altra parte sappiamo che log ( - 1)2 = log 1 = o, dunque dovrà essere 2X = o, e cioè log ( - I) dovrà valere zero. Questo risultato, però, è palesemente impossibile. Per mezzo della matematica elementare non si riesce a scoprire dove risieda l'errore. Tutto diventa invece chiarissimo non appena ci si elevi al punto di vista della teoria delle funzioni analitiche. Di qui si vede, infatti, che la funzione log z è infinitamente polidroma, cioè rappresenta infinite funzioni fra loro diverse (connesse le une alle altre da certi rapporti ben determinati)j di qui si raggiunge, per cosi dire, un colpo d'occhio nuovo e piu vasto sull'andamento generale del logaritmo. Limitandosi al campo dei numeri reali, ci si im-

NUMERI COMPLESSI

247

pediva, al contrario, di comprendere la vera essenza costituita dalla funzione logaritmica; ci si poneva senza saperlo in una situazione analoga a quella dell'osservatore della spelonca platonica, che vede l'ombra degli oggetti, ma non gli oggetti stessi. Proprio a questo stato di cose intendeva riferirsi Gauss, quando affermava che per lui "l'analisi è una scienza autonoma, la quale perderebbe straordinariamente in bellezza e in rotondità se rifiutasse quei numeri finti" (gli immaginari), "e si troverebbe costretta, a ogni passo, a imporre delle inutili e scomode limitazioni a teoremi che invece posseggono proprio una completa generalità ". La rappresentazione geometrica dei numeri complessi, ideata da Gauss, era molto utile per la matematica, ma non giustificava affatto l'introduzione dei numeri immaginari. La giustifiça invece una teoria, esposta da Hamilton nel 1835; questa teoria presenta i numeri complessi come coppie (ordinate) di numeri reali, regolate da leggi scelte ad arbitrio. Denotiamo con (a, b) una qualunque di tali coppie, e chiamiamo i numeri a e b "suoi componenti". La teoria di Hamilton potrà allora venir schematizzata nelle seguenti principali definizioni. Due coppie si dicono uguali, se i loro componenti sono uguali; in simboli:

DEFINIZIONE I.

(a,b)=(c,d),

seè a=c e b=d.

Non si introducono invece i concetti di maggiore e di minore. Per somma (o differenza) di due coppie si intende la coppia formata dalla somma (o differenza) dei componenti:

DEFINIZIONE 2.

(a, b)±(c, d) = (a±c, b±d). Si vede immediatamente che i concetti ora definiti soddisfano tutte le condizioni formali, che sogliono venir imposte alla somma e alla differenza di due numeri qualunque. DEFINIZIONE

3.

-(a, b) = (-a, -b).

CAPITOLO SEDICESIMO

Dalla definizione di somma segue che (a, b)+(a, b) = (2a, 2b),

o, piti in breve, 2(a, b)

= (2a,

2b).

Con un ragionamento induttivo si riconosce poi la validità generale della formula n(a, b) = (na, nb).

Questa ci dice che per raddoppiare, triplicare, n-plicare una coppia, basta raddoppiare, triplicare, n-plicare i suoi componenti. Allo stesso modo si definisce anche la divisione per un numero intero. Basta porre infatti I -(a, b) = (x, y) m e si ottiene subito (a, b)

= m(x, y) = (mx, my),

donde si ha

a

x=-, m

b

y=-.

m

Si ricava infine : (a, b)= (n.

~)(a, b) = (~ a,~ b).

In quest'ultimo passaggio si è supposta valida la legge associativa della moltiplicazione. In base alla definizione 3 l'ultima formula conserva il suo valore anche nel caso in cui n/m sia negativo. Si avrà dunque, per ogni r razionale rea, b)

= (ra, rb).

Non si può invece dimostrare che la formula analoga p(a, b) = (pa, pb)

sia valida per qualunque valore reale di p. Noi accetteremo dunque quest'ultima formula come pura e semplice convenzione; osservando però che si tratta di una convenzione scelta in modo da obbedire al noto principio di permanenza.

NUMERI COMPLESSI

249

Ora siamo in grado di scrivere ogni coppia in forma normale. Si ha infatti (a, b) = (a, 0)+ (o, b) = a(I, o)+b(o, I). Le coppie qui usate (I, o) e (o, I) portano il nome di "unità complesse", e si denotano con el ed e2. Ogni coppia può quindi venir espressa come una combinazione lineare di queste due unità:

(a, b) = ael +be2' Che cosa dovremo ora intendere per prodotto di due coppie? Scriviamo il prodotto (a, b) (c, d) nella forma o

(ael +be2) (cel + de2), o

e calcoliamolo con le regole ordinarie, facendo uso della legge distributiva. Compariranno, cosi, quattro diverse combinazioni delle due anzidette unità; e noi dovremo definire, per ciascuna di esse, il suo significato. Se la moltiplicazione delle coppie non deve portarci fuori del sistema numerico cui appartengono i suoi fattori, ogni prodotto erO es dovrà darci di nuovo una coppia, cioè una combinazione lineare delle unità complesse: ÀI el + À 2ez. Fra le infinite definizioni possibili (soddisfacenti la condizione ora accennata), dovremo sceglierne una. L'unico modo per orientarci un po' nella nostra scelta sarà di badare allo scopo cui il nostro sistema deve servire. Per raggiungerlo stabiliremo le seguenti convenzioni:

Ammettere questo gruppo di formule, equivale a scegliere un ben determinato sistema di numeri complessi fra gli infiniti possibili. La moltiplicazione prende allora la seguente forma

(a, b) (c, d) = (ac-bd, ad+bc)o o

Si vede immediatamente che, in questo sistema, le coppie (I, o), e (o, o)

CAPITOLO SEDICESIMO

tengono il posto di

I

e di zero. Si ha infatti, per esempio

(a, b)+ (o, o) = (a, b) esattamente come a+o = a (a, b) • (o, o) = (o, o) esattamente come a· o = o (a, b) . (I, o) = (a, b) esattamente come a· 1= a.

In generale, la coppia (a, o) corrisponderà al numero reale a; esiste quindi, nel sistema dei numeri complessi, un insieme parziale, costituito dai numeri della forma (a, o), che corrisponde in maniera biunivoca e isomorfa al sistema dei numeri reali. (Di similitudine non si può invece parlare, non essendosi qui definite le relazioni "maggiore" e "minore".) Per passare infine alla scrittura ordinaria, basterà porre el = I ed e2 = i. Allora le regole di moltiplicazione, poco sopra citate, prenderanno la forma I· I

=I

.. i=i·I=; i·i=-1. È precisamente per la validità di quest'ultima formula, che il sistema

dei numeri complessi riesce a risolvere l'equazione X2 = - I. Se noi avessimo fissato in modo diverso le regole di moltiplicazione (ciò che, dal punto di vista della logica pura, sarebbe stato perfettamente lecito), non avremmo raggiunto il nostro scopo. È dunque proprio quest'applicazione ciò che ci decide a scegliere come si è detto. La divisione viene introdotta come operazione inversa della moltiplicazione. Se si pone I

.

--=x+ty a+bi SI

ottiene 1= (a+bi)· (x+iy)

1= (ax-by)+i(ay+bx). Confrontando la parte reale del primo membro con la parte reale del secondo, e la parte immaginaria con quella immaginaria, dopo qualche

151

NUMERI COMPLESSI

semplicissima trasformazione si ottiene

b Y = - a2 +b 2

., e clOe I

ab. a2+b 2 a2+b 2

--=-----1.

a+bi

Finora, come già si osservò, non abbiamo definito i cOflcetti di maggiore e minore per i numeri complessi. Potremmo farlo: per esempio stabilendo che (a, b) debba considerarsi come maggiore o minore di (c,d), secondo che sia a>c o a d o b < d. Accogliendo questa definizione si avrebbe (0,1)«1, o).

Orbene, per quanto noi moltiplichiamo la coppia di sinistra per un intero n grande ad arbitrio, rimarrà sempre ancora

n· (o, I) = (o, n)«r, o). Nella nostra ipotesi cessa dunque di valere l'assioma di Archimede (come appunto doveva avvenire secondo le discussioni generali di p. 228); e cioè (o, I) si comporta in questa concezione come un infi'nitesimo attuale rispetto a (I, o). Non si potranno, ora, introdurre anche dei numeri, rappresentabili soltanto nello spazio a tre zeri, in generale, a n dimensioni? Bisognerà considerare, a tale scopo, l'n-pIa di numeri (ah a2, ... , an).

Si potranno dare, per essa, le definizioni di uguaglianza, di somma, di differenza e di moltiplicazione per un numero reale, in modo perfettamente analogo a quello usato per le coppie. Ogni n-pIa potrà allora venir scritta come combinazione lineare di n ti unità"

Volendo introdurre anche la moltiplicazione fra n-pIe, e volendo la-

CAPITOLO SEDICESIMO

sciarsi guidare in ciò dall'analogia con l'ordinario calcolo algebrico, bisognerà definire il prodotto di due qualunque delle n unità considerate. E qui si presenteranno soltanto due possibilità: o si conviene che questi prodotti non si lascino esprimere con i simboli per l'innanzi posseduti (e occorrerà allora introdurre nuove unità, la cui moltiplicazione con le n-pIe sopra considerate richiederà di nuovo altre unità, e cOSI via, SI da ottenere sempre nuovi e piu vasti ampliamenti); oppure si stabilisce di considerare il sistema dato come essenzialmente chiuso, cioè si conviene che il prodotto di due qualunque fra quelle n unità sia sempre un numero del sistema originario. In quest'ultimo CllSO si sarà indotti a porre delle regole del seguente tipo

Per ognuna delle n2 combinazioni possibili di due unità, noi dovremo fissare una tal formula, dando perciò complessivamente n 3 coefficienti. Questi n 3 coefficienti formeranno ciò che caratterizza il sistema di numeri ipercomplessi da noi scelto.' Lo studio di questi numeri è riuscito a porre in chiaro alcune verità generali assai importanti. In una lezione tenuta a Berlino nel 1863, Weierstrass ha provato che i sistemi dei numeri ipercomplessi sono logicamente possibili; in essi bisogna però rinunziare a certe leggi fondamentali del calcolo: o alla legge commutativa, di modo che risulteranno diversi fra loro i due prodotti ab e ba (donde segue che vi saranno pure due generi diversi di divisione); oppure a qualche altra legge non meno importante, per esempio al teorema che il prodotto di due numeri può annullarsi solo quando è nullo almeno uno dei fattori (in questo caso la divisione può risultare infinitamente plurivoca). Qui il principio di permanenza vien meno, perché non ci indica piu che via si debba prendere per la generalizzazione. Se si vuole che la moltiplicazione conservi la proprietà commutativa e che un'equazione algebrica con coefficienti diversi da zero (per esempio ax+b = o) non possegga infinite soluzioni, non ci si può elevare oltre i numeri complessi ordinari. Questi occupano l I-Jermann Grassmann, uno dei creatori dei numeri ipercomplessi, ha trattato, in un suo lavoro del 1855, non meno di 16 tipi differenti di moltiplicazione.

NUMERI COMPLESSI

253

quindi una posizione privilegiata. Nel riconoscimento di questa posizione privilegiata sta la risposta al problema di cui Gauss aveva annunziato la soluzione (senza però pubblicarla): e cioè al problema di determinare il motivo per cui "le relazioni fra enti che costituiscono una varietà a tre o piu dimensioni non riescono a creare nuovi tipi di grandezze ammissibili nell'aritmetica". Il lettore domanderà ora: non è tutto ciò un puro e semplice giuoco? È possibile, con i numeri ipercomplessi, cogliere qualcosa di veramente razionale? Per rispondergli, accenneremo soltanto a un sistema di numeri ipercomplessi, che ha trovato qualche notevole applicazione; si tratta dei quaternioni di Hamilton. 1 I quaternioni sono, come dice il nome stesso, numeri a quattro componenti (un'unità reale, e altre tre non reali), numeri rappresentabili nel nostro spazio tridimensionale per mezzo di vettori. Senza inoltrarci in notizie piu dettagliate, diremo soltanto che essi riescono assai utili per lo studio matematico della rotazione (o, piu in generale, della rotoomotetia, che è costituita da una rotazione dello spazio tridimensionale intorno all'origine, unita a un ingrandimento in un determinato rapporto). Proprio su questo si fonda la loro importanza per la fisica. Tali rotoomotetie servono infatti a interpretare nello spazio-tempo di Minkowski certe notevolissime formule della teoria della relatività (le trasformazioni di Lorentz). Dalle note personali di Gauss risulta che fin dal 18 19 egli aveva ideato i quaternioni e si era reso conto della possibilità di applicarli.

I

W. R.

HAMILTON.

Lectures on Quaternions (1853).

I7· Scoprire o inventare?

Le nostre discussioni costituiscono un ottimo termine di riferimento per mettere alla prova le teorie della logica scolastica. Secondo questa logica i concetti dovrebbero venir costruiti o per astrazione (prescindendo da alcune note caratteristiche) o per determinazione (aggiungendo alcune note caratteristiche). Avviene effettivamente cosi? Si parte proprio da un concetto generale di numero, e lo si restringe poi davvero a poco a poco con l'aggiunta di note specifiche, in modo da ottenere l'un dopo l'altro i concetti di numero complesso, di numero reale, ecc.? O si parte invece dai concetti dei diversi tipi particolari di numero e si sale poi da essi al concetto generale costruito con le proprietà comuni a tutti loro? Ma qual è questo concetto generale di numero? Lo schema delineato a pagina 227 risulta ovviamente troppo ampio per i numeri interi e naturali, e risulta invece troppo ristretto per accogliere i numeri di Veronese e i numeri complessi. Lo strano della situazione è questo: qualunque sistema di condizioni si ponga, non si è mai sicuri di aver circoscritto con esso in maniera esatta il concetto di numero; chi ci garantisce infatti che non vengano scoperti nuovi tipi di numeri, i quali non soddisfino piu alle nostre condizioni? O dovremo dire in questo caso, che è illecito denotare tali enti col nome di numeri? Noi saremo certo ben disposti a riconoscere che i concetti di "numero cardinale", "numero intero", "numero razionale", sono esattamente

SCOPRIRE O INVENTARE?

circoscritti, poiché ognuno di essi si trova definito da un suo speciale tipo di calcolo. Ma se ci si chiede che cosa si intenda in generale per numero non potremo far nulla di meglio che rispondere: sotto il concetto di numero cadono tutti gli enti ora ricordati, e tutti quegli altri che sono in qualche modo analoghi a essi (dove studiatamente lasciamo imprecisato il tipo di analogia). Se si obietta che nella matematica tutti i concetti vanno definiti in modo chiaro e preciso, osserveremo che il matematico non ha bisogno del concetto generale di numero. Quando mai, infatti, compare questo concetto nelle nostre dimostrazioni? Innanzi alla domanda: "Che cosa è un numero?" ci si comporta proprio come innanzi alla domanda: "Che cosa è un punto?" Per rispondere a quest'ultima si comincia con una precisazione: la parola " punto" ha il medesimo significato nella geometria euclidea del piano, e nella geometria euclidea dello spazio? No certamente; per essa valgono infatti nell'ultimo caso piu regole che non nel primo. Questa parola ha dunque un significato ben preciso soltanto entro una determinata geometria. Se confrontiamo per esempio fra loro la geometria metrica, l'affine, la proiettiva e la topo logica, vediamo subito che ciascuna di esse connette al medesimo termine un significato suo speciale, diverso da una geometria all'altra e caratterizzabile soltanto per enumerazione degli assiomi che stanno alla base della teoria presa in esame. Se invece si adopera la parola "punto" semplicemente, senza determinazione piu precisa, come qualcosa di analogo al punto della geometria euclidea del piano, questo termine perde ovviamente il suo significato pregnante, e ne acquista uno vago e confuso. Orbene, anche il concetto di numero si dissolverà allo stesso modo nel vago e nell'impreciso se non lo definiremo con un calcolo ben determinato. Si potrebbe per esempio attribuire il nome di numero anche alle equazioni algebriche, e agli elementi di un qualunque gruppo astratto, o perfino alle proposizioni con le quali opera la logica simbolica (anzi, rispetto a queste ultime, parlerebbero in favore della nostra denominazione alcune chiare analogie; si rifletta infatti che' I) la logica definisce per esse certe ben note combinazioni, chI' sogliono chiamarsi somma e prodotto; 2) esistono due proposizioni, la tautologia e la contraddizione, che compiono

CAPITOLO DICIASSETTESIMO

nella logica simbolica un ufficio in certo modo analogo a quello compiuto da I e zero nell'aritmetica). In breve, il voler intendere in maniera cosi lata il concetto di numero, è pura questione di sentimento e di tradizione. Il nostro pensiero può venir espresso cosi: i vari concetti di numero (numero cardinale, numero intero, ecc.) formano una famiglia, i cui membri hanno gli uni con gli altri una certa somiglianza di famiglia. In che consiste la somiglianza reciproca dei membri di una famiglia? Alcuni hanno lo stesso naso, altri le stesse sopracciglia, altri lo stesso modo di camminare, ecc.; e, di queste somiglianze, una non esclude l'altra. Non possiamo affermare affatto che tali componenti abbiano tutti in comune una certa proprietà; e se anche esistesse questa proprietà comune, nulla ci assicura che essa sola esaurirebbe in sé ogni possibilità di somiglianza di famiglia. Proprio in questo senso noi diremo che il termine "numero" non denota un concetto (nel senso della logica classica), ma una famiglia di concetti. Con ciò vogliamo affermare che i diversi tipi di concetti sono legati l'uno all'altro in modi diversi, non essendo affatto necessario che essi posseggano tutti una stessa proprietà né uno stesso carattere. La medesima cosa può ripetersi per i termini "aritmetica", "geometria", "calcolo", "operazione", "dimostrazione", "problema", ecc. Essi denotano famiglie di concetti, e non ha alcun interesse il discutere sulla loro precisa dèlimitazione. Se, poniamo, si vuoI spiegare il concetto di aritmetica, ci si riferirà a qualche esempio concreto, e si estenderà poi il concetto in questione fin dove si estende la somiglianza con gli esempi considerati. Il carattere di indeterminatezza proprio di questi concetti ha, del resto, esso pure il suo lato vantaggioso; dobbiamo infatti a tale carattere se la nostra lingua riesce a inserire nuove scoperte in schemi già noti. Abbiamo dovuto insistere alquanto su tutto ciò, per poter ora risolvere un problema che si ripresenta di continuo all'indagine: "I nostri numeri costituiscono una creazione dell'intelletto umano, oppure spetta loro un genere autonomo di esistenza? Vengono essi inventati, oppure vengono scoperti? " Chi rifletta un istante sulle precedenti considerazioni,

SCOPRIRE O INVENTARE!

157

non può trovarsi in dubbio sulla risposta. Dovendo riassumere in poche parole la nostra opinione, diremo: "Il significato di un segno dipende dall'uso che se ne fa. E cioè, soltanto le regole che fissano quest'uso dànno al segno il significato." Noi respingiamo, cOSI dicendo, la concezione - cara a molti filosofi - che sia invece il significato preesistente del segno a far nascere le regole anzidette. Proviamo a esaminare tale opinione, per decidere quale valore essa conservi dal nostro punto di vista. Il piu importante dei suoi difensori è Frege. Questo grande logico cerca di portare all'assurdo l'interpretazione formalistica dell'aritmetica (cosI egli chiamava il tipo di trattazione assiomatica, di cui cominciavano appunto a far uso molti critici del suo tempo) con un'analisi assai acuta delle varie ipotesi che stanno alla base di essa. Poiché i suoi argomenti colpiscono, almeno in parte, anche noi, ritengo utilissimo esaminare la nostra opinione confrontandola proprio con la sua. Gli argomenti di Frege si possono riassumere in quattro punti.

Argomento I. Senza dubbio ci è lecito considerare l'aritmetica come un puro giuoco di segni; ma cOSI facendo ci lasciamo sfuggire il vero senso d'assieme da essa posseduto. Enunciando per esempio a un nostro interlocutore alcune regole per l'uso del segno di uguaglianza (dicendogli cioè che dalla formula a = b si può passare alla formula b = a, e che dalle formule a = b e b = c si può passare alla formula a = c), gli avremo con ciò indicato veramente il senso di questo segno? Intenderà egli, ora, quel che significa il segno "="? Oppure gli avremo soltanto indicato l'uso meccanico di esso, uso a cui egli potrebbe uniformarsi anche senza avere la minima idea del suo significato? Senza dubbio bisogna accettare il secondo como del dilemma. Dunque occorre ammettere che alla pura interpretazione formalistica sfugge proprio l'essenza dell'aritmetica, e cioè il senso dei segni aritmetici. Solo col pensiero, solo con un vero processo mentale è possibile cogliere questo senso. llisposta. Poniamo pure che sia cosi. Ma perché non preferiamo, allora, descrivert- subito questo processo mentale- Sta però il fatto che, se qualcuno mi chiede che cosa significhi la formula" I + 1= 2·', lO non

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gli rispondo con una descrizione del mio stato mentale, bensl con una spiegazione dei segni. Dirò a tak scopo che questa formula significa, in parole, "uno piti uno è uguale a due", cioè" 1 +1 può venir sostituito da 2"; oppure mostrerò al mio interlocutore l'uso di essa in qualche esempio concreto. Come risposta dò dunque: I) la traduzione della formula aritmetica nel linguaggio comune; 2) alcune sue applicazioni. lo collego cioè il nuovo segno con altri segni, lo inserisco in un sistema generale di simboli e operazioni; proprio questo è ciò che gli 'procura la sua significazione. Si dirà: "Ma io conosco benissimo il significato del segno '='''; e al problema: "Che significa, dunque?" si risponderà con una serie di spiegazioni come queste: "Significa uguale", "Significa sostituibile con", "Se posto fra due membri, significa che quello di sinistra è uguale a quello di destra, per esempio 2X2=4, (a+b)2=a 2+2ab+b 2", ecc.; in breve, si citeranno tutti i diversi usi del segno in questione. Con tutto ciò, notiamolo bene, si saranno date non una ma molte risposte. E la cosa non deve stupirci: il significato della formula "I + 1 = 2" consiste proprio nell'insieme dei suoi rapporti con la nostra lingua parlata, e questa pure è tutta un nesso di segni e operazioni. Questa riflessione non soltanto risponde alla critica di Frege, ma ci fa contemporaneamente vedere quale sia il nucleo accettabile di essa. Se rivolgiamo la nostra attenzione alla sola parte formale dell'aritmetica, se prescindiamo da qualunque sua applicazione, se tagliamo tutti i fili che la connettono alla lingua parlata, allora otteniamo senza alcun dubbio un puro e semplice giuoco. Se abbiamo insegnato a un fanciullo soltanto le formule dell'aritmetica e nulla piti, gli sfuggirà certo ciò che chiamammo poco fa il senso d'assieme dell'aritmetica stessa. Frege aveva dunque ben ragione di,affermare che questa scienza è qualcosa di piti che un semplice giuoco. Ciò che manca nella teoria da lui criticata non è però, com'egli credeva, la considerazione dell'atto intellettivo compiuto da chi legge k formule; ciò che vi manca è la spiegazione delle formule stesse E questa spiegazione non consiste in null'altro, fuorché nell'inserzione delle regole di calcolo in un nesso sintattico piti esteso. Se a un fanciullo insegniamo oltre alle formule dell'aritmetica

%59

SCOPRIRE O INVENTARE?

anche la loro traduzione nella lingua parlata e diversi esempi di loro possibili applicazioni, potremo dire ancora che gli sfugge il vero e proprio senso di esse? O che egli fa un uso puramente meccanico dei numeri? Argomento 2. È dunque l'applicazione che distingue l'aritmetica da un giuoco. Ma su che cosa si fonda quest'applicazione? "Senza un contenuto di pensiero - scrive Frege - non sarà mai possibile aléuna applicazione. Per qual motivo infatti non possiamo applicare una disposizione dei pezzi degli scacchi? Ovviamente perché essa non esprime alcun pensiero. Perché riusciamo invece a trovare tante applicazioni delle formule aritmetiche? Solo perché esse esprimono dei pensieri." I Risposta. Immaginiamo che qualcuno inventi, oggi o domani, un giuoco aritmetico assolutamente simile alla vera aritmetica, privo però di ogni benché minima applicazione, salvo l'uso che può farsi di esso per nostro passatempo. Questo giuoco esprimerebbe o non esprimerebbe un contenuto di pensiero? I piu risponderebbero certo in modo negativo alla nostra domanda. Che cosa si deve dunque aggiungere affinché una formula aritmetica esprima un contenuto di pensiero? L'applicazione, e questa sola. Una formula rappresenta qualcosa di aritmetico, se possiamo applicarla per passare da un teorema all'altro (si veda cap. IO); in caso contrario, no. Ciò posto, risulta per lo meno prematuro il dire fin da oggi che una disposizione dei pezzi degli scacchi non potrà mai esprimere alcun pensiero; questo infatti non dipende per nulla da noi. Se per caso, in qualche tipo di guerra futura, le truppe avessero a spostarsi sul campo di battaglia, proprio come i pezzi degli scacchi si muovono sulla scacchiera, questo fatto potrebbe forse indurci ad attribuire un senso alla disposizione di tali pezzi; in tale ipotesi, ogni mossa acquisterebbe il suo specifico significato, e gli ufficiali si chinerebbero sulla scacchiera come oggi fanno sulla carta di stato maggiore. Tali mosse servirebbero a rappresentarci dei movimenti reali, e non costituirebbero piu un "puro giuoco". Frege dice: "Poiché una mossa del I G. FREGE, Grundgesetze der Arithmetik (Jcna 1893-1903) voI. itaI. nel volume Logica e aritmetica (Boringhieri, Torino 1(65)].

2, § 91

[trad.

260

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giuoco degli scacchi non rappresenta alcun pensiero, non si può fare di essa alcuna applicazione." Ma non bisognerebbe con piu esattezza dire: "Una mossa del giuoco degli scacchi non esprime alcun pensiero, perché non abbiamo finora previsto per essa alcuna applicazione?" Un avversario obietterà forse che proprio quanto ora fu detto mostra l'attendibilità delle intuizioni di Frege. E infatti, che cosa ci garantisce che nella nostra ipotesi una disposizione dei pezzi degli scacchi esprimerebbe veramente un pensiero? Soltanto questo, che se l'ipotesi si verificasse i pezzi considerati rappresenterebbero le truppe sul campo di battaglia, e cioè sarebbero simboli di qualche ente reale. Tale osservazione ci rinvia alla terza critica.

Argomento 3. L'applicazione dell'aritmetica può soltanto dipendere dal fatto "che i segni numerici significano qualcosa, mentre i pezzi degli scacchi non significano nulla".1 Non si dica che il matematico, con le sue definizioni, costruisce i numeri. "Bisogna spiegare chiaramente che cosa significhi il definire e che cosa possa raggiungersi con quest'atto. Sembra che alcuni autori gli attribuiscano spesso una forza creatrice, mentre in realtà esso non riesce a null'altro se non a delimitare qualche ente e a dargli un nome. Come il geografo non crea il mare, mentre ne traccia le coste, e mentre dice, per esempio: 'voglio chiamare Mar Giallo la porzione di superficie acquea limitata da queste linee'; cOSI anche il matematico non può, a rigor di termini, creare nulla con le sue definizioni. Nemmeno è possibile, per mezzo di una pura definizione, conferire a un ente qualche proprietà che esso già non possegga, salvo quella di portare un nome invece di un altro. Ma che una certa figura rotonda, tracciata con l'inchiostro sulla carta, debba, in forza di una semplice definizione, ottenere la proprietà notevolissima di riprodurre, se aggiunta a uno, il numero uno stesso, posso ritenerIo solo una superstizione scientifica. Nello stesso modo si potrebbe, con una pura e semplice definizione, rendere diligente uno scolaro pigro. Soltanto se si è dimostrato che esiste uno e un solo ente con I

Ibid., § 90.

SCOPRIRE O INVEN1'ARE?

la proprietà richiesta, si è in grado di attribuire a quest'ente il nome di 'zero'. Creare lo zero è dunque impossibile".l Quest'argomento dice in sostanza: un segno deve denotare qualcosa, altrimenti esso è un puro e semplice scarabocchio sulla carta. Solo perché esistono i numeri, l'aritmetica è una scienza.

Risposta. Il nocciolo dell'argomento risiede nell'ultima affermazione. Noi non vogliamo qui né combatterla né accettarla, ma semplicemente domandarci: "Che cosa mai essa significa?" Che cosa dobbiamo pensare della presente critica risulterà dalla nostra risposta. Che i numeri non siano dei puri segni tracciati sulla carta, ma invece importi assai l'uso che noi facciamo di essi, tutto ciò è cOSI chiaro che non val la pena di sprecarvi neanche una parola. Frege però vuoI dire qualcosa di piu, anzi molto di piu: egli pensa che i numeri rappresentino degli oggetti già per sé esistenti, di modo che la scoperta, per esempio, dei numeri immaginari sia da paragonarsi pressappoco alla scoperta di un nuovo continente. Che dobbiamo pensare di questa concezione? Spieghiamoci con un esempio. Immaginiamo di aver escogitato un sistema numerico di n unità, iI. i 2, ••• , in> e di aver fissato, con alcune regole, come si debba calcolare con i nuovi numeri. Chiediamo poi: "Esistono questi numeri, SI o no?" Frege, in base alle sue idee ora esposte, dovrebbe rispondere di no; e cOSI infatti egli ha risposto. Ecco le sue parole testuali: "Non è mai stato dimostrato che esistano tali unità, né che si abbia diritto di costruirle. È impossibile concepire iI. i2 , ••• , in quali nomi propri aventi un loro significato alla stessa maniera di I, 2, 3, ecc." Egli avrebbe ammesso tutt'al piu che un tal sistema di numeri costituisca un giuoco interessante. Ma in che modo risponderebbe, se questo giuoco si mostrasse proprio straordinariamente fecondo per la matematica? O se riuscisse possibile risolvere, con l'aiuto di esso, alcuni problemi rimasti finora insolubili? Dovremmo noi, in tale ipotesi, dire ancora che questi numeri in realtà non esistono? Nessun matematico penserà in questa maniera. Al contrario, lavorerà con essi proprio come lavora con i numeri negativi e gli irrazionali. Né si dica che noi stiamo l

Ibid., voI.

I,

p.

XIII.

262

CAPITOLO DICIASSETTESIMO

qui discutendo di una pura e astratta possibilità, poiché qualcosa di simile avvenne proprio all'introduzione dei numeri immaginari, dei quaternioni di Hamilton, degli infinitesimi attuali di Veronese, i quali tutti furono in origine nulla piu che un semplice giuoco, fin quando non venne scoperta la loro grande utilità. Dovremo forse dire: "Nel caso dei numeri immaginari, dei quaternioni, ecc. si sono scoperte ormai parecchie applicazioni, e perciò essi possono dirsi veri oggetti della scienza; per altri numeri quest'applicazione è mancata, e percio essi sono un puro e semplice giuoco? " Un seguace di Frege potrebbe obiettare: la presenza o assenza di un'applicazione mostra proprio che in un caso corrisponde davvero ai nostri numeri qualcosa di oggettivo, nell'altro no. Molto bene. Ma allora resteremo d'accordo sul fatto che unico criterio dell'esistenza è l'applicabilità. E quindi l'affermazione che i numeri immaginari, i quatemioni, ecc. posseggono un'esistenza oggettiva significherà soltanto che essi sono applicabili e non ci dirà nemmeno una virgola di piu. Argomento 4. Se veramente bastasse creare nuovi numeri per rendere risolubile un problema rimasto finora insolubile (per trovare, poniamo, qualche radice per l'equazione X2+ I = o) perché non applichiamo ovunque questo mezzo cOSI semplice, al fine di liberarci da tutti i problemi insolubili? Per esempio l'equazione IX = 2 non ammette alcuna soluzione, o per lo meno non l'ammette fin quando ci si limiti ai numeri finora conosciuti. Bene. Fabbrichiamo un nuovo numero, e subito essa diventerà risolubile. È lecito tutto ciò? No. Con il termine "creare" (o "fabbricare "), non si risolve proprio nulla. Al fine di trovare una radice per l'equazione X2+ I = o si può costruire un ampliamento del campo numerico; invece per l'equazione IX = 2 quest'ampliamento non riesce piu. Orbene, il fatto che si riesca o non si riesca è qualcosa che non dipende da noi, ma solo da leggi obiettive; per l'appunto in tali leggi trova la propria barriera la pretesa forza creatrice di cui tante volte si parla. Risposta. Un esame un po' approfondito dell'ultimo caso or ora citato trasforma l'argomento contro l'interpretazione" creativa" in uno a suo

SCOPRIRE O INVENTARE?

favore. Quando ci si domanda se il campo numerico possa venire ampliato o no, si presuppone che il concetto di numero sia determinato in maniera univoca. Partendo da questa presupposizione sembra che si debba rispondere negativamente; pare infatti di esser giunti qui, per cOSI dire, al limite estremo del campo numerico, poiché l'equazione IX = 2 non ammette proprio alcuna soluzione. Ciò che in realtà accade è invece questo: se si volesse costruire un calcolo, in cui risulti possibile risolvere l'equazione anzidetta, nulla certamente ci impedirebbe di farlo; il calcolo cOSI ottenuto sarebbe però molto strano, e cioè affatto diverso da tutto quello che di solito porta il nome di calcolo numerico ovvero di aritmetica. Alcune leggi fondamentali della nostra aritmetica perderebbero qui la loro validità; per esempio, qualche numero di questo calcolo non aumenterebbe per l'aggiunta di un numero ordinario. Tutto ciò a ogni modo non potrebbe costituire una vera obiezione di principio contro di esso; l'unico inconveniente sarebbe che il nuovo calcolo con le sue strane regole ci parrebbe qualcosa di completamente isolato, per cOSI dire un corpo estraneo fra gli altri calcoli, e non un vero ampliamento del nostro ordinario campo numerico. Proprio questo, e non altro, è il fatto che noi esprimiamo, sia pure in forma non del tutto chiara, dicendo: "Il campo numerico non ammette alcun ampliamento in questa direzione", ovvero: "Tali numeri non esistono." Bisogna comunque ricordare bene che le nostre parole significano soltanto: "Noi rinunciamo a chiamare calcolo numerico un tipo di calcolo siffatto. " Per Frege l'alternativa si presentava cOSI: o noi abbiamo a che fare con puri e semplici scarabocchi tracciati sulla carta, e allora non si può trattare di aritmetica; o noi dobbiamo concedere che i nostri segni posseggono un vero e proprio significato, e allora questo significato esiste indipendentemente da essi. Noi abbiamo invece scoperto che il significato non è affatto un qualcosa che si accompagni ai segni numerici in maniera misteriosa: esso è semplicemente l'uso dei segni medesimi, ed è senz'altro nel nostro piu completo dominio.

Indice degli autori

Agostino, 135 d'Alembert, J.-B., 170 Anscombe, G.E.M., 13 Archimede, 228, 238, 240 sgg., 251

Gentzen, G., 121 GodeI, K., 119 sg., 235 Goldbach, C., 144 Grandi, G., 142 sgg., 159 Grassmann, H., 84

Berkeley, G., 12, 174 Bernoulli, D., 144 Bessel, F. W., 53 du Bois-Reymond, P., 201, 209 Boltzmann, L., 229 Bolyai, F., 33, 91 Bolzano, B., 13, 192, 213 sg. Brouwer, L.E.]., 14, 116, 121, 192,232 sg.

Hahn, H., 138 Hamilton, W., 84, 138, 247, 253, 262 Hankel, H., 30,4°, 53, 59, 84, 210 Helmholtz, H. L. F., 192 Hilbert, D., 31, 37,91 sgg., 119, 121, 179, 242 sg.

Cantor, G., 13,29,109,186,188 sgg., 200, 204 sgg., 223 sgg., 232, 235 sg. Cardano, G., 23, 58 Carnap, R., 121, 138 Cauchy, A.-L., 13, 145 Chuquet, N., 58 Clifford, W. K., 229

Jordan, c., 178 sg. J iirgens, 191 Kant, I., 84, 108, 138 Klein, F., 13, 34, 108, 178, 194, 199 Knopp, K., 13 Koch, N. F. H., 177 sg. Konig, S., 95, 188 Kowalewski, G., 153

Dedekind, R., 13, 108 sg., 189, 204, 217 sgg., 228 sgg., 236 Descartes, R., 36, 167 Diofanto, 54

Lagrange, G.-L., 12 Lambert, J. H., 33 Leibniz, G., II, 23, 143 sg., 159, 167 sg.,

Euclide, 31 sg., 36,90,92, 230 Euler, L., 24, 144, 246

Lobacevskij, N., 33 Lorentz, H. A., 253 Liibsen, 12

17°

Fermat, P. de, 36, 149 sg., 232 sgg. Frege G., 13, 28, 86 sgg., 93, 106 sgg., 126 sgg., 138, 140, 257 sgg. Gauss, K. F., 13, 24, 53, 247, 253

Menger, K., 90, 185, 192 sg. Mill, ]. S., 138 Minkowski, H., 253 Mobius, A. F., 200

266 Nagel, E., 119 Neugebauer, O., 64, 67 Neurnan, J. R., 119 Newton, L, I l , 167, 170 Pasch, M., 3I Peano, G., 84 sgg., 93, 122 sgg., 139, 179, 183 sgg., 190 Pieri, M., 91 Pitagora, 19 sg., 28, 231 Poincaré, J.-H., 89, 106 sgg., 116, 138, 19 2 Rarnsay, W., 138 Reiff, 143 Rhees, R., 13 Riernann, B., 192 Russell, B., 13, 28,88 sg., 93. I09sg .• 123. 133 sgg., 138,223

INDICE DEGLI AUTORI

SchIick, M., 79, 91 Schopenhauer, A., 188 Servois, 84 Skolern, T., 96, 104, 124 sg. Stifel, M .• 58 Stolz, O., 84 Study, E., 37 Uryson, P. S., 193 Vaihinger, H., 12 Varignon, P., 143 Veronese, G., 131, 241, 254, 262 Vieta (Viète, F.), 58 Wallis, J., 33, 58 sgg. Weierstrass, K., 13, I76sgg., 2I3sg., Wittgenstein, L., 13 sg., 87, 110 W olff, C., 143 von Wright, G. H., 13

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VI SUGGERIAMO QUESTE ALTRE LETTURE

Tra le opere che hanno lo scopo di introdurre il lettore al pensiero matematico e di esercitare la riflessione, e non quello di fargli acquisire le tecniche o di esercitarlo nell'applicazione della matematica, quella che meglio si presta a completare la trattazione del presente volume di Waismann è: E. Stabler, Il pensiero matematico (Universale scientifica Boringhieri, NN. 49/50; 351 pp.). Il volume di Stabler intende fornire un'introduzione alla struttura logica della matematica, e il punto di vista da cui ne osserva i fondamenti è complementare a quello di Waismann. Il volume è strutturato in due parti; la prima, "Il pensiero matematico in relazione alla logica e alla scienza", contiene esemplari capitoli sull'origine dei sistemi logici e sugli elementi del ragionamento logico; la seconda, "Alcuni importanti sistemi, concetti e metodi assiomatici", presenta notevoli argomenti quali l'esame dell'algebra elementare come sistema logico, la costruzione di sistemi geometrici astratti, i campi, le algebre di Boole e termina con una rassegna dei punti di vista sui fondamenti della matematica. La trattazione è largamente accessibile e autosufficiente, anche per il lettore le cui conoscenze matematiche si fermano a quelle liceali. Particolarmente all'inizio, il lettore che si accosta al pensiero matematico può reagire con un certo disorientamento al panorama delle varie scuole e delle differenti prospettive con cui esse affrontano il problema dei fondamenti della matematica. Un volume utilissimo per inquadrare lo sviluppo del pensiero matematico seguendone l'evoluzione storica è: H. Meschkowski, Mutamenti nel pensiero matematico (Boringhieri, Torino, rist. 1967; 195 pp.), opera scritta in uno stile brillante e avvincente che limita al minimo indispensabile

il formalismo. Trovano nel volume di Meschkowski la migliore e pitI "concreta" formulazione sia le tappe di pensiero che hanno portato alle geometrie non euclidee, sia la posizione di Cantor e l'antinomia di Russell, e vengono chiarite le posizioni intuizionistica (cui fa riferimento Waismann citando Brouwer) e formalistica. In: S. Sambursky, Il mondo fisico dei greci (Feltrinelli, Milano 1967; 263 pp.),

è contenuto un imporrante capitolo sulla matematica antica, utile per inquadrare le dottrine da Pitagora ad Archimede e per mostrare come già i matematici greci avessero avvertito alcuni problemi del moderno pensiero matematico. Volumi di carattere storico piuttosto che introduttivo, molto semplici, sono: E. T. Bell, I grandi matematici (Sansoni, Firenze 1966; 612 pp.); E. Colerus, Piccola storia della matematica (Mondadori, Milano 1960; 360 pp.); G. Loria, Guida allo studio della storia delle matematiche (Hoepli, Milano 1946; 408 pp.), e altrettanto semplici sono i volumi monografici delle collane Matematica e Matematica moderna Zanichelli, tra cui ricordiamo: D. A. Johnson e W. H. Glenn, I sistemi di numerazione (Matematica ZanichelIi, N. 2; 80 pp.); D. A. Johnson e W. H. Glenn, Invito alla matematica (ivi N. 3; 72 pp.); D. A. Johnson e W. H. Glenn, Insiemi e operazioni (ivi N. 6; 80 pp.); S. M. Norron, Sistemi matematici finiti (ivi N. 14; 80 pp.); P. H. Davis, Il mondo dei grandi numeri (Matematica moderna ZanicheIIi, N. l; 192 pp.); I. Nivan, Numeri razionali e irrazionali (ivi N. 3; 160 pp.), e molto utili per la consultazione sono i volumi: Matematica (Enciclopedia Feltrinelli Fischer, Milano 1967-68; voI. 1,477 pp.; voI. 2, 498 pp.), le cui "voci" costituiscono degli esaurienti articoli monografici. Passando ai classici della riflessione sui fondamenti della matematica - con l'avvertenza che si tratta di opere che in maggior parre richiedono un impegno superiore a quello richiesto dai volumi precedentemente citati - segnaliamo innanzitutto una raccolta che fornisce un panorama dei punti di vista pitI rilevanti in merito al problema dei fondamenti: quello platonista (Frege e RusseIl), quello formalista (Hilbert), quello intuizionista (Brouwer, Heyting): C. Cellucci (a cura di), La filosofia della matematica (Laterza, Bari 1967; 323 pp.). La raccolta comprende una lunga introduzione del curatore e presenta scritti di

Godel su Russell e sul continuo, di Hilbert sull'infinito, di Brouwer e di Heyting sull'intuizionismo e conclude con alcune prese di posizione neonominalistiche di Quine e di Goodman. Il volume di Wittgenstein cui fa riferimento Waismann è: L. Wittgenstein, Osservazioni sopra i fondamenti della matematica (Einaudi, Torino 1971; 263 pp.); Wittgenstein tratta del linguaggio della matematica anche nell'opera: L. Wittgenstein, Ricerche filosofiche (ivi 1967; 321 pp.), e soprattutto in: L. Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus (ivi 1964; 282 pp.). Per Wittgenstein e per la scuola di pensiero del neopositivismo, il lettore potrà consultare: F. Barone, Il neopositivismo logico (Edizioni di Filosofia, Torino 1953), A. Pap, Introduzione alla filosofia della scienza (Il Mulino, Bologna 1967; 69 2 pp.), B. Russell, Significato e verità (Longanesi, Milano 1963; 448 pp.), L. Linsky (a cura di), Semantica e filosofia del linguaggio (Il Saggiatore, Milano 1969; 359 pp.), J. R. Weinberg, Introduzione al positivismo logico (Einaudi, Torino 1950; 364 pp.); e per una critica al neopositivismo proveniente dal neopositivismo stesso: W. W. Quine, Il problema del significato (Astrolabio, Roma 1965; 160 pp.), K. R. Popper, Logica della scoperta scientifica (Einaudi, Torino 1970; 580 pp.). Del tutto personale è poi, nell'ambito della critica, la posizione di Bridgman espressa negli articoli Seconda reazione di un fisico alla teoria degli insiemi e Implicazioni del punto di vista operazionale contenuti in: P. W. Bridgman, La critica operazionale della scienza (Boringhieri, Torino 1969; 454 pp.). Altri classici del pensiero matematico disponibili in traduzione italiana sono: B. Russell, I princìpi della matematica (Longanesi, Milano 1963; 727 pp.); B. Russell, Introduzione alla filosofia matematica (ivi 1963; 336 pp.); il molto semPlice: A. N. Whitehead, Introduzione alla matematica (Sansoni, Firenze 1962; 190 pp.); la raccolta: G. Frege, Logica e aritmetica (Boringhieri, Torino 1965; 608 pp.), (di cui si vedano l'ampia introduzione di C. Mangione e le parti seconda da I fondamenti dell'aritmetica e quinta da I princìpi dell'aritmetica);

R. Carnap, Fondamenti di logica e matematica (Paravia, Torino 1956), (didattico ed elementare, molto accessibile). Per chi desidera approfondire in modo rigoroso la conoscenza del pensiero matematico: F. P. Ramsey, I fondamen# della matematica e altri scritti di logica (Feltrinelli, Milano 1964; 316 pp.); E. W. Beth, I fondamenti logici della matematica (ivi 1963; 348 pp.); D. Hilbert, Fondamenti della geometria (ivi 1970; 273 pp.); N. Bourbaki, Elementi di storia della matematica (ivi 1963; 272 pp). E di autori italiani: C. Mangione, Elementi di logica matematica (Boringhieri, Torino, rist. 1968; 127 pp.); E. Casari, Lineamenti di logica matematica (Feltrinelli, Milano 1959; 323 pp.); E. Casari, Questioni di filosofia della matematica (ivi 1964; 231 pp.); M. L. Dalla Chiara Scabia, Modelli sintattici e semantici delle teorie elementari (ivi 1968; 240 pp.); E. Agazzi, Introduzione ai problemi dell'assiomatica (Vita e Pensiero, Milano 1962; 262 pp.), volume, quest'ultimo, che riporta in appendice la memoria di GodeI Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei "Principia mathematica" e sistemi affini. (Una trattazione particolarmente semplice della decidibilità e problemi connessi è offerta da: E. NageI e ].R. Ncwman, La prova di Godei (Boringhieri, Torino 1961; 107 pp.), volume che offre anche una concisa esposizione della logica formale.) Altri volumi raccomandabili, a vari gradi di difficoltà: A. Pasquinelli, Introduzione alla logica simbolica (Boringhieri, Torino, ult. rist. 1967; rr8 pp.); ]. D. Monk, Introduzione alla teoria degli insiemi (ivi; in corso di stampa); P. R. Halmos, Teoria elementare degli insiemi (Feltrinelli, Milano 1970; 186 pp.); W. O. Quine, Logica elementare UJbaldini, Roma 1970; 158 pp.); A. A. Fraenkel, Teoria degli insiemi e logica (ivi 1970; 109 pp.); L. Linsky (a cura di), Semantica e filosofia del linguaggio (Il Saggiatore, Milano 1969; 359 pp.); I. M. Copi, Introduzione alla logica (Il Mulino, Bologna 1969; 632 pp.); A. Tarsky, Introduzione alla logica (Bompiani, Milano 1969; 302 pp.). E dello stesso Waismann: F. Waismann, I princìpi della filosofia linguistica (Astrolabio, Roma 1968; 436 pp.).

Concludiamo segnalando un volume di notevole importanza per chiunque si interessi della matematica ad ogni livello: R. Courant e H. Robbins, Che cos'è la matematica? (imminente in questa collana), volume di alta divulgazione utilissimo per acquisire le tecniche della matematica e ricco di prospettive e di spunti anche per l'esperto.

Volume di 27I pp., 28 figg.

Universale scientifica Boringhieri 1 Albert Einstein e Leopold Infeld, L'evoluzione della fisica 2 Sigmund Freud, Psicopatologia della vita quotidiana 3 J. von Neumann, G. Ryle, C. E. Shannon, C. Sherrington, A. M. Turing, N. Wiener e altri, La filosofia degli automi, a cura di Vittorio Somenzi 4 Albert Einstein, Pensieri degli anni difficili 5 Niels Bohr, I quanti e la vita 6 P. W. Bridgman, La logica della fisica moderna 7/8/9 J. G. Frazer, Il ramo d'oro 10 I. P. Pavlov, I riflessi condizionati 11/12 Samuel Tolansky, Introduzione alla fisica atomica 13 Jean Piaget, La rappresentazione del mondo nel fanciullo 14 Norbert Wiener, Introduzione alla cibernetica 15 C. V. Durell, La relatività con le quattro operazion i 16 J. Z. Young, La fabbrica della certezza scientifica 17 Ernest Borek, Il codice della vita 18/19 Eric RolI, Storia del pensiero economico 20 William Bonnor, Universo in espansione 21 C. G. Jung, L'Io e !'inconscio 22/23 Charles Darwin, L'origine delle specie 24 Albert Einstein, Relatività: esposizione divulgativa e Newton, Riemann, Helmholtz, Maxwell, Poincaré e altri su Spazio Geometria Fisica, a cura di Bruno Cermignani 25 C. V. Brewer, L'organiziazione del sistema nervoso 26 Marthe Bonvall~t, Veglia e sonno 27 K. O. Friedrichs, I concetti matematici elementari della fisica 28 C. G. Jung, Psicologia dell'inconscio 29 Sigmund Freud, Psicoanalisi infantile 30/31 B. M. Foss (a cura di), I nuovi orizzonti della psicologia 32 A. I. Kitaigorodskij, Ordine e disordine nel mondo degli atomi 33 Livio Gratton, Relatività Cosmologia Astrofisica 34 G, E. Fogg, La vita e la crescita delle piante 35 Oskar Morgenstern, Teoria dei giochi 36 Sigmund Freud, Totem e tabu 37 C, N. Yang, La scoperta delle particelle elementari 38 K. S. Lashley, W. S. McCulioch, R. W. Sperry, W. H. Thorpe, N. Wiener e altri, La fisica della mente, a cura di Vittorio Somenzi 39/40 Sigmund Freud, Introduzione alla psicoanalisi 41 D'Arcy Tliompson, Crescita e forma 42 Bronislaw Malinowski, Sesso e repressione sessuale tra i selvaggi 43 Kenneth Mather, Le differenze fra gli uomini 44/45 Max Born, La sintesi einsteiniana 46 Marston Bates, La storia naturale

47/48 49/50 51 52/53 54 55 56 57 58 59 60 61/62 63

Mario Bunge, La causalità E. R. Stabler, Il pensiero matematico Sigmund Freud, La vita sessuale P. M. Sweezy, V. Pareto, K. L. Meek, P. A. Samuelson, O. Lange e altri, La teoria dello sviluppo capitalistico, a cura di Claudio Napoleoni Claudio Napoleoni, Smith Ricardo Marx Hitoshi Takeuchi, Seiya Uyeda, Hiroo Kanamori, La deriva dei continenti C. L. Musatti, Freud, con antologia freudiana Hubert e Mable Frings, La comunicazione animale Isaac Asimov, La fotosintesi E. J. Clegg, Homo sapiens A. S. Eddington, Spazio, tempo e gravitazione David Horowitz, Marx, Keynes e i neomarxisti Friedrich Waismann, Introduzione al pensiero matematico Copertina di Enzo Mari