La matematica nella cultura occidentale 8807223317, 9788807223310

Table of contents :
Cover
Premessa
Prefazione
I. Introduzione. Concezioni vere e false
II. Matematica ed empiria
III. La nascita dello spirito matematico
IV. Gli Elementi di Euclide
V. Col metro fra le stelle
VI. La natura acquista la ragione
VII. Intermezzo
VIII. La rinascita dello spirito matematico
IX. L'armonia del mondo
X. Pittura e prospettiva
XI. Una scienza figlia dell'arte : la geometria proiettiva
XII. Discorso sul metodo
XIII. L'approccio quantitativo alla natura
XIV. La deduzione di leggi universali
XV. Férmati attimo fuggente: il calcolo infinitesimale
XVI. L'influenza newtoniana: scienza e filosofia
XVII. L'influenza newtoniana: la religione
XVIII. L'influenza newtoniana: letteratura ed estetica
XIX. Il seno del sol maggiore
XX. La padronanza delle onde dell'etere
XXI. La scienza della natura umana
XXII. La teoria matematica dell'ignoranza: l'approccio statistico allo studio dell'uomo
XXIII. Predizione e probabilità
XXIV. Il nostro universo disordinato: la concezione statistica della natura
XXV. I paradossi dell'infinito
XXVI. Nuove geometrie, nuovi mondi
XXVII. La teoria della relatività
XXVIII. Matematica: metodo e arte
Bibliografia scelta
Indice analitico
Elenco delle tavole fuori testo
Indice

Citation preview

STORIA DELLA SCIENZA

MORRIS KLINE

La matematica nella cultura occidentale

FELTRINELLI

Morris Kline LA MATEMATICA NELLA CULTURA OCCIDENTALE 27 illustrazioni fuori testo

Scritto da un grande matematico che ha il pregio raro di una scrittura piana e fluida, vivificata da uno stile colloquiale e brillante, questo libro non è una storia tecnica della matematica; esso non è anzi, a rigore, nemmeno una storia della matematica. L'intento dell'autore è quello di ricondurre alla matematica - una fra le manifestazioni più tipiche e fra gli strumenti più preziosi della civiltà umana - quei lettori che ne sono stati allontanati da un insegnamento scolastico arido e tedioso, codificato in formule fossilizzate e ormai prive di vita. Kline percorre l'intera storia della civiltà scegliendo alcuni temi signi­ ficativi, nei quali vengono particolarmente in luce i legami fra la mate­ matica da un lato e le forze sociali, politiche, artistiche, culturali, reli­ giose, etiche, economiche ecc. dall'altro. La matematica e i suoi pro­ blemi - dalla concezione di un ordine ideale dell'universo propria dei greci e rappresentata nella sua forma più pura dalla tradizione pia­ tonico-pitagorica all'attuale visione di un universo "disordinato" a cui le scienze statistiche impongono un ordine di tipo più laico e non più imposto da un potere trascendente, passando attraverso l'arte, la mu­ sica, la filosofia, la religione - sono illuminati dal loro interno, nelle loro motivazioni, nel loro divenire, e si ritrasformano prodigiosamente in quell'organismo vivo di cui spesso gli studenti non riescono a rico­ struire il funzionamento quando lo vedono ridotto a una morta spoglia, con le articolazioni invano messe a nudo, sul tavolo da dissezione della scuola. Scritto in modo piacevole e con un vivo senso del dialogo col lettore, questo libro "si raccomanda," come leggiamo in un'autorevole recen­ sione all'edizione americana, "non solo ai profani ma anche agli inse­ gnanti, e specialmente a quegli insegnanti, che sono poi la maggio­ ranza, che usano manuali ormai superati da mezzo secolo o più." Dopo la pubblicazione di questo libro l'ignoranza della matematica non sarà più ammessa. Morris Kline, nato a Brooklyn (New York), ivi laureatosi nel 1936, ora professore di matematica al Courant Institute of Mathematical Sciences della New York Univer­ sity. è autore di pregevoli opere storiche e filosofiche su argomenti attinenti alla ma­ tematica. Ricordiamo in particolare Mathematlcs and the Physlcal World (1959); Ca 1culus, An Intuitive and Physlcal Approach (1967); Mathematics for Liberai Arts (1967); Mathematical Thought from Ancient to Modern Tlmes (1972) e Why Johnny Can't Add: The Fallure of the New Math (1973).

In prima di copertina: Leonardo, Le proporzioni del corpo umano,' da Vitruvio. Accademia, Venezia. •

L. 8.000 (7.544)

I fatti e le idee

Saggi

e

Biografie 331

Storia della scienza

NELLA STESSA

SEZIONE

La storia della scienza è una tra le discipline che hanno conosciuto una maggiore fioritura dopo la seconda guerra mondiale. Anche prima non erano mancati grandi storici: basti pensare a nomi come Delambre, Duhem, Dreyer, Heath, Schiaparelli, Lasswitz, Thorndike; ma solo negli ultimi decenni si è avuta una produzione massiccia, qualificata, articolata. Oggi non è piu neces· sario, come qualche decennio fa, insistere sull'interesse e sull'utilità della sto· ria della scienza, l'unica disciplina che "dà un senso alla nozione, tanto glori. ficata e decantata, di progresso" (Koyré). Lo studio storico della scienza, con· dotto con rigore filologico e con prospettive critiche, sta contribuendo a sal· dare la frattura che ancora divide le scienze dalle discipline umanistiche e a dare una nuova dimensione alla consapevolezza del nostro presente storico. Soprattutto si è capito che non esiste una scienza separata dalla società, dalla filosofia, dall'ambiente culturale, e che all'inverso non è neppure possibile fare storia della società senza tener conto delle influenze che la scienza esercita su di essa. La Casa Editrice Feltrinelli - con la nuova collana, impostata da Paolo Rossi, dedicata agli studi di Storia della scienza - si propone di dare al let· tore italiano una conoscenza quanto piu possibile ampia e approfondita di ciò che di meglio si è fatto e si fa nel mondo in questo campo e di sollecitare la formazione, anche in Italia, di una coscienza storica in questo settore.

Volumi usciti: A. KOYRÉ, Dal mondo chiuso all'universo infinito J. L. E. DREYER, Storia dell'astronomia da Talete a Keplero A. C. CROMBIE, Da S. Agostino a Galileo Le radici del pensiero scientifico, a cura di Ph. P. WIENER e A. NOLAND E. J. DI]KSTERHUIS, Il meccanicismo e l'immagine del mondo dai Presocra-

tici a Newton

M. JAMMER, Storia del concetto di forza P. ROSSI, I filosofi e le macchine (1400-1700) J. C. GREENE, La morte di Adamo B. GILLE, Leonardo e gli ingegneri del Rinascimento M. CLAGETT, La scienza della meccanica nel Medioevo A. R. HALL, Da Galileo a Newton M. BOAS. Il Rinascimento scientifico M. JAMMER, Storia del concetto di massa M. B. HEssE, Forze e campi O. NEUGEBAUER, Le scienze esatte nell'Antichità L. EISELEY, Il secolo di Darwin

In preparazione: A. R. HALL, La Rivoluzione scientifica

Morris Kline

La matematica nella cultura occidentale

Feltrinelli Editore Milano

Titolo dell'opera originale Mathematics in Western Culture Copyright

©

Oxford University Press 1953

Traduzione dall'inglese di Libero Sosio

88 figure nel testo e 27 tavole fuori testo

Prima edizione italiana: marzo 1976 Copyright by

©

Giangiacomo Feltrinelli Editore Milano

Premessa

Dopo una tradizione ininterrotta di molti secoli, nella nostra epoca dell'istruzione di massa la matematica ha cessato generalmente di es­ sere considerata parte integrante della cultura. L'isolamento degli scien­ ziati ricercatori, la miseranda scarsità di insegnanti dotati di un ascen­ dente sui giovani e le generali tendenze educative avverse a una disciplina intellettuale hanno contribuito al successo, nel campo dell' istruzione, di un atteggiamento antimatematico . È merito soprattutto del pubblico se un forte interesse per la matematica rimane nondi­ meno vivo. Recentemente sono stati compiuti vari tentativi per soddisfare que­ st'interesse. Insieme con H. Robbins, ho tentato di discutere il signi­ ficato della matematica in What is Mathematics? Il nostro libro si rivolgeva però a lettori che già possedessero un certo livello di cono­ scenze matematiche . Qualcosa di piu si dovrebbe fare, a un livello meno tecnico, per il gran numero di persone che non posseggono tali nozioni ma che nondimeno desiderano conoscere quale sia il signifi­ cato della matematica nella cultura umana . Ho seguito per qualche tempo, con grande interesse, il lavoro del professor Morris Kline nella preparazione del presente libro . Sono convinto che questo si dimostrerà un contributo di primaria impor­ tanza e che servirà ad avvicinare alle scienze matematiche persone che non hanno avuto ancora modo di apprezzare il fascino e le possibi­ lità di questa scienza. R. Courant

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A Elizab eth e Judith

Prefazione

Quando tutti questi studi avranno raggiunto il punto di intercomunione e di connessione l'uno con l'altro, e perverranno a essere considerati nelle loro mutue affinità, allora, io credo, e solo allora, il loro perse­ guimento avrà un valore ai nostri fini; altrimenti in essi non c'è profitto. PLATONE

Il fine di questo libro è quello di suggerire la tesi che la matema­ tica è stata una forza culturale di primo piano nella civiltà occiden­ tale . Quasi tutti sanno che la matematica è essenziale ai fini eminente­ mente pratici della progettazione in ingegneria . Non tutti sembrano invece rendersi conto che la matematica sopporta il carico principale del ragionamento scientifico e che essa è il centro vitale delle principali teorie della scienza fisica. Ancor meno noto è il fatto che la matema­ tica ha determinato la direzione e il contenuto di buona parte del pensiero filosofico, ha distrutto e ricostruito dottrine religiose, ha co­ stituito il nerbo di teorie economiche e politiche, ha plasmato i prin­ cipali stili pittorici, musicali, architettonici e letterari, ha procreato la nostra logica e ha fornito le risposte migliori che abbiamo a domande fondamentali sulla natura dell'uomo e del suo universo. Essendo l'in­ carnazione e la pi6 efficace rappresentante dello spirito razionale, la matematica ha invaso campi dominati dall'autorità, dalle usanze e dall' abitudine, soppiantandole come arbitra del pensiero e dell'azione . In­ fine, essendo una realiz2'Jazione umana incomparabilmente raffinata, offre soddisfazioni e valori estetici almeno pari a quelli offerti da qual­ siasi altro settore della nostra cultura . Benché la matematica abbia dato questi contributi non certo mo­ desti alla nostra vita e al nostro pensiero, le persone istruite rifiutano quasi universalmente la matematica come oggetto d'interesse intellet­ tuale. Questo atteggiamento è in un certo senso giustificato . Le lezioni scolastiche e i libri di testo ci hanno presentato la " matematica " come una serie di procedimenti tecnici apparentemente privi di significato . 9

Prefazione

Un tale materiale è rappresentativo della disciplina nella stessa misura in cui un'enumerazione del nome, della posizione e della funzione di ogni osso nello scheletro umano è rappresentativa di quell'essere vivo, pensante ed emotivo che è l 'uomo . Come una frase perde il suo signi­ ficato o ne acquista uno non intenzionale una volta strappata al suo contesto, cosi la matematica, staccata dal suo ricco ambiente intellet­ tuale nella cultura della nostra civiltà e ridotta a una serie di tecniche, è stata grossolanamente distorta. Poiché il profano fa assai poco uso della matematica tecnica, ha fatto resistenza al materiale spoglio e arido quale viene presentato di solito . La conseguenza è che un argomento fondamentale, di vitale importanza e tale da elevare lo spirito, viene trascurato e disprezzato da persone peraltro di buon livello intellettuale. Di fatto l'ignoranza della matematica viene considerata, a un certo li­ vello della scala sociale, un fatto positivo. In questo libro tracceremo un panorama della matematica princi­ palmente per dimostrare in che modo le sue idee abbiano contribuito a plasmare la vita e il pensiero del nostro secolo. Le idee saranno espo­ ste nel loro ordine storico, cosicché i nostri materiali si distribuiranno dagli inizi, nella Babilonia e in Egitto, fino alla moderna teoria della relatività. Alcune persone potranno porre domande circa la pertinenza dei materiali appartenenti ai periodi storici piu antichi . La cultura mo­ derna consiste però proprio nell'accumulo e nella sintesi di contributi forniti da molte civiltà anteriori . I greci, che per primi apprezzarono l'efficacia del ragionamento matematico, concessero graziosamente agli dèi di usarlo nella progettazione dell'universo e poi, incitando l'uomo a scoprire il disegno di questo progetto, non soltanto diedero alla ma­ tematica un posto di primo piano nella loro civiltà ma avviarono mo­ delli di pensiero che sono una componente fondamentale del nostro. Col passare del tempo e il susseguirsi delle civiltà, la matematica venne acquistando ruoli nuovi e sempre piu significativi . Molte di queste fun­ zioni e influenze della matematica sono ora profondamente integrate nella nostra cultura. Anche i moderni contributi matematici sono ap­ prezzati nel modo migliore alla luce degli sviluppi anteriori. Nonostante l'impostazione storica, questo libro non è una storia della matematica . L'ordine storico è stato adottato perché è il piu con­ veniente per la presentazione logica dell'argomento e perché è il modo naturale per esaminare in che modo le idee sorsero, quali furono le motivazioni che condussero alla loro investigazione e in che modo tali idee influenzarono il corso di altre attività. Un'importante conseguenza secondaria è che il lettore può ottenere qualche indicazione sul modo in cui si è sviluppata la matematica nel suo complesso, sul modo in cui i suoi periodi di attività e di quiescenza si sono articolati al corso generale della storia della civiltà occidentale, e sul modo in cui la na­ tura e i contenuti della matematica hanno plasmato le civiltà che hanno contribuito al sorgere della nostra attuale civiltà occidentale. Ci augu­ riamo che quest'esposizione della matematica come forza plasmatrice 10

Prefazione

della civiltà moderna serva a gettar nuova luce sulla matematica e sui caratteri dominanti della nostra epoca. Nell'ambito ristretto di un volume non possiamo purtroppo far altro che limitarci a illustrare semplicemente questa tesi . La relativa esiguità dello spazio ha reso necessaria una selezione da una vasta letteratura . Le relazioni fra matematica e arte, per fare un esempio, sono state esaminate solo per il periodo rinascimentale. Il lettore che ha fami­ liarità con la scienza moderna noterà che quasi nulla è stato detto sulla funzione della matematica nella teoria atomica e nucleare . Alcune im­ portanti filosofie moderne della natura, in particolare quella di Alfred North Whitehead, sono state appena menzionate. Speriamo nondimeno che gli esempi scelti siano abbastanza importanti da riuscire convin­ centi oltre che interessanti . Il tentativo di mettere a fuoco pochi episodi nella vita della mate­ matica ha reso necessaria anche un'eccessiva semplificazione della sto­ ria. Nelle imprese intellettuali, come in quelle politiche, gli esiti sono determinati da numerose forze e da numerosi contributi individuali. Ga­ lileo non creò certo da solo l'approccio quantitativo proprio della scienza moderna . Analogamente, il calcolo infinitesimale è una creazione, quasi in ugual misura, di Eudosso, di Archimede e di una decina di matematici del Seicento, oltre che di Newton e di Leibniz . Special­ mente per la matematica è vero che, mentre l'opera creativa è com­ piuta da individui, i risultati sono la conseguenza di secoli di pensiero e di sviluppo. Non c 'è dubbio che, invadendo le arti, la filosofia, la religione e le scienze sociali, l 'autore si è avventurato in campi in cui anche angeli - matematici, ovviamente - avrebbero paura a posare il piede . Il rischio di errori - ci auguriamo di lieve entità - dev'essere affron­ tato se vogliamo far vedere che la matematica non è uno strumento arido, meccanico, bensl il corpo di un pensiero vivo, inseparabilmente connesso con altri settori della nostra cultura, da essi dipendente e per essi prezioso . Forse quest'esposizione dei risultati ottenuti dalla ragione umana può servire in qualche misura a rafforzare quegli ideali della nostra civiltà che corrono oggi il pericolo di andar distrutti . I problemi piti scottanti del momento sono forse quelli politici ed economici . Eppure non è certo in tali campi che noi troviamo le prove della capacità dell'uomo di padroneggiare le difficoltà che gli si presentano e di co­ struire un mondo desiderabile. Una fiducia nella capacità dell'uomo a risolvere i suoi problemi e indicazioni del metodo che egli ha usato finora con piti successo possono essere ottenute da uno studio della sua impresa intellettuale piu grande e piti duratura : la matematica. Mi è grato ricordare gli aiuti e i favori ricevuti da piti parti . Desi­ dero ringraziare, per molte utili discussioni, numerosi colleghi del Washington Square College of Arts and Science della New York Uni­ versity ; il professor Chester L. Riess, del Brooklyn College of Phar11

Prefazione

macy, per le critiche generali e per suggerimenti particolari concer­ nenti la letteratura illuministica, e il signor John Begg della Oxford University Press per consigli nella preparazione delle figure e delle tavole. Il merito delle eccellenti illustrazioni va alla signora Beulah Marx. Mia moglie Helen mi ha dato un aiuto inestimabile con letture critiche e con la preparazione del manoscritto. Sono particolarmente grato ai signori Carroll G. Bowen e John A. S . Cushman per aver sostenuto l 'idea di questo libro e per aver guidato il manoscritto attra­ verso l'iter della pubblicazione a Oxford. Ho un debito di riconoscenza anche nei confronti dei seguenti editori e privati che hanno concesso l'uso dei materiali citati qui sotto . La citazione da Alfred North Whitehead, nell'ultimo capitolo, è tratta da Science and the Modern World, The Macmillan Co., New York 1925 . Il permesso di usare i grafici di suoni reali, di Dayton C. Miller, è stato concesso dal Case Institute of Technology of Cleveland, Ohio . La citazione da Edna St. Vincent Millay è dal Sonnet xlv" in Collected Poems, a cura di Norma Millay, editi da Harper and Bros . , New York, copyright 1956 di Norma Millay Ellis. Le citazioni da Bertrand Russell sono da Mysticism and Logic, opera edita da W. W. Norton and Co . , Inc., New York, e George Allen and Unwin , Ltd., London. La cita­ zione da Theodor Merz è tratta dal volume II di A History 01 Euro­ pean Thought in the Nineteenth Century, edito da William Blackwood and Sons, Ltd., Edinburgh and London. Il

Morris Kline

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Quando applicai per la prima volta la mente alla matematica, lessi la maggior parte di ciò che ci viene offerto comunemente dagli autori matematici, e dedicai un'attenzione particolare all'aritmetica e alla geometria perché si diceva che fossero le discipline piti semplici e aprissero per cosi dire la via a tutto il resto. In nessuna delle due mi imbattei però in autori che mi soddisfacessero completamente. Di fatto nelle loro opere imparavo molte proposizioni sui numeri che mi venivano poi confermate dal calcolo. Quanto alle figure, in un certo senso esibivano ai miei occhi un gran numero di verità e traevano conclusioni da certi ragionamenti. Mi sembrava però che non rendessero sufficientemente chiaro alla mente stessa perché queste cose siano cosi e in che modo essi le avessero scoperte. Di conseguenza non mi sorprendeva che molte persone, anche intelligenti e dotte, dopo aver gettato uno sguardo su queste scienze, le avessero o abbandonate come vane e infantili o, considerandole molto difficili e complesse, si scoraggiassero fin dall'inizio del loro studio... Ma quando, successivamente, ri­ flettei su come potesse essere che i piti antichi cultori della filosofia nelle epoche passate si rifiutassero di ammettere allo studio della sapienza chi non fosse versato nelle matematiche... , fui confermato nel mio sospetto che essi avessero conoscenza di una specie di matematica assai diversa da quella che ha corso nel nostro tempo.

René Descartes

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CAPITOLO PRIMO

Introduzione. Concezioni vere e false

Non varchi il vostro piede profano dell'albergo delle Muse la soglia, voi figli della Guerra e del Commercio; e voi, della Chiesa e del Dritto demoni impuri, queste pagine non toccate. Degradati, corrotti, abietti e limitati, niuna definizione sfiora la sciocca mente vostra, niun postulato ha per voi senso alcuno. Nessun ardente assioma l'ottusa mente infiamma, non toccano per voi le tangenti, né gli angoli delle linee l'incontro genera, né i cerchi nel piacere si uniscono dell'osculazione.

JOHN HOOKHAM FRERE, GEORGE CANNING e GEORGE ELLIS

L'affermazione che la matematica è stata una forza importante nel plasmare la cultura moderna, oltre che un elemento vitale della stessa, appare a molte persone incredibile o, quanto meno, fortemente esa­ gerata . Questa incredulità è del tutto comprensibile ed è il risultato di una concezione molto comune ma erronea sulla vera natura della matematica. Influenzata da ciò che ha imparato a scuola, la persona media con­ sidera la matematica come un insieme di tecniche il cui uso è riservato allo scienziato, all'ingegnere e forse al finanziere. La reazione a inse­ gnamenti del genere si esprime in un'avversione per la disciplina e nella decisione di ignorarla. Qualora venga invitata a motivare questa decisione, una persona istruita è in grado di citare autorità a sostegno . S . Agostino diceva : " Il buon cristiano dovrebbe guardarsi dai mate­ matici e da tutti coloro che fanno vane profezie . C'è il pericolo che i matematici abbiano stretto un patto col diavolo per oscurare lo spi­ rito e per relegare l'uomo all'inferno . " E i giuristi romani disponevano, " a proposito di malfattori, matematici e simili, " che "È proibito impa­ rare l'arte della geometria e prender parte a esercizi pubblici, un'arte altrettanto condannabile della matematica . " Persino un grande filosofo moderno come Schopenhauer descrisse l'aritmetica come la piu bassa 15

Capitolo primo

attività dello spmto, com'è dimostrato dal fatto che può essere eser­ citata da una macchina . Nonostante giudizi cOSI autorevoli e nonostante l'opinione comune, per quanto giustificata possa essere in relazione all'insegnamento che della matematica si fa nelle scuole, la decisione del profano di ignorare la matematica è sbagliata. L'argomento non si esaurisce in una serie di tecniche. Queste sono, di fatto, l 'aspetto meno importante e sono altrettanto poco adeguate a rappresentare la matematica quanto un miscuglio di colori è adeguato a rappresentare la pittura . Le tecniche sono matematica spogliata di motivazione , ragionamento, bellezza e significato. Se acquisteremo una certa comprensione della natura della matematica, ci renderemo conto che l'asserzione della sua importanza nella vita e nel pensiero moderni è almeno plausibile. Consideriamo perciò a questo punto, sia pure in breve, la visione che si ha oggi dell'argomento. Innanzitutto, la matematica è un metodo di ricerca noto come pensiero postulazionale. Il metodo consiste nel formulare con la massima cura definizioni dei concetti che devono essere discussi e nello stabilire in modo esplicito gli assunti che dovranno costituire la base del ragionamento. Da queste definizioni e assunti vengono dedotte conclusioni attraverso l'applicazione della logica piu rigorosa che l'uomo sia capace di usare . Questa caratterizzazione della matematica fu espressa in modo un po' diverso da un famoso autore seicentesco di opere matematiche e scientifiche : " I matematici sono come gli amanti . . . Concedete a un matematico il minimo principio, ed egli ne trarrà una conseguenza che non potrete non concedergli, e da questa conseguenza un'altra. " Descrivere la matematica esclusivamente come un metodo d'indagine è come descrivere il Cenacolo di Leonardo come un'organizzazione di pittura su muro . La matematica è dunque un campo di sforzi creativi. Nel divinare che cosa possa essere dimostrato, cOSI come nel costruire metodi di dimostrazione, i matematici usano un alto ordine di intui­ zione e di immaginazione . Keplero e Newton, ad esempio, erano dotati di prodigiose facoltà d'immaginazione, le quali consentivano loro non soltanto di sottrarsi a una tradizione antichissima e rigida ma anche di creare concetti nuovi e rivoluzionari . La misura in cui le facoltà creative dell'uomo sono esercitate nella matematica potrebbe essere determinata solo mediante un esame delle creazioni stesse. Poiché alcuni esami del genere saranno dati nel corso della seguente esposizione, qui sarà sufficiente rilevare che oggi il campo della matematica comprende un'ottantina di settori molto estesi . Se la matematica è veramente un'attività creativa, quali motivi in­ ducono l 'uomo a perseguirla ? Il motivo piu evidente, anche se non necessariamente il piu importante, all'origine delle investigazioni ma­ tematiche è stato il desiderio di rispondere a domande poste diretta­ mente da bisogni sociali . Transazioni commerciali e finanziarie, la na­ vigazione, il computo del calendario, la costruzione di ponti, di dighe, 16

Introduzione. Concezioni vere e false

di chiese e palazzi , la progettazione di fortificazioni e di armi belliche e numerose altre occupazioni umane implicano problemi che possono essere risolti nel modo migliore dalla matematica. Particolarmente nel nostro tempo dominato dall'ingegneria è vero che la matematica è uno strumento universale . Un altro uso fondamentale della matematica, che ha acquistato un rilievo eccezionale in tempi moderni, è stato quello di fornire un'or­ ganizzazione razionale di fenomeni naturali. I concetti, metodi e con­ clusioni della matematica sono il sostrato delle scienze fisiche. Il suc­ cesso di questi settori è dipeso dalla misura in cui essi hanno colla­ borato con la matematica. La matematica ha restituito la vita alle ossa aride di fatti sconnessi e, agendo come tessuto connettivo, ha legato serie di osservazioni staccate in corpi di scienza. La curiosità intellettuale e un interesse per il pensiero puro hanno dato a molti matematici lo spunto iniziale nella ricerca di proprietà di numeri e di figure geometriche e hanno prodotto alcuni fra i contri­ buti piu originali. Lo studio della probabilità, oggi cosi importante, cominciò da un interrogativo postosi in un gioco di carte, ossia la giusta divisione della posta in un gioco d'azzardo interrotto prima della conclusione . Un altro contributo decisivo, non connesso in alcun modo con esigenze sociali o con la scienza, fu dato dai greci del periodo classico, i quali trasformarono la matematica in un sistema di pensiero astratto, deduttivo e assiomatico. Di fatto, alcuni fra i massimi con­ tributi al campo della matematica - la geometria proiettiva, la teoria dei numeri, la teoria delle quantità infinite e la geometria non eucli­ dea, per citare solo quelle di cui avremo occasione di occuparci costituiscono risposte a sfide puramente intellettuali. Oltre a tutti gli altri impulsi alla creazione, c'è la ricerca della bellezza. Bertrand Russell, il maestro del pensiero matematico astratto, si esprime in proposito senza riserve : La matematica, considerata nel modo giusto, possiede . . . una bellezza suprema: una bellezza fredda e austera, come quella della scultura, priva di richiamo per le parti della nostra natura piu debole, priva degli sgargianti ornamenti della pittura o della musica, eppure di una purezza sublime, e capace di una severa perfezione quale soltanto l'arte piu grande può rivelare. Il puro spirito di gioia, l'esaltazione, il senso di qualcosa di piu che umano che è la pietra di paragone della massima eccellenza, si trova nella matematica non meno che nella poesia.

Oltre alla bellezza della struttura compiuta, l'indispensabile uso di immaginazione e intuizione nella creazione di dimostrazioni e con­ clusioni garantisce al creatore un'alta soddisfazione estetica. Se intui­ zione e immaginazione, simmetria e proporzione, assenza di superfluità ed esatto adattamento dei mezzi ai fini sono inclusi nella bellezza e sono tipici delle opere d 'arte, allora la matematica è un'arte che ha una bellezza propria. Nonostante le chiare indicazioni fornite dalla storia a dimostrazione 17

Capitolo primo

del fatto che tutti i fattori citati sopra hanno motivato la creazione matematica, ci sono state in proposito molte dichiarazioni .çrronee . Alcuni - spesso per giustificare il proprio disinteresse per l'argomento - accusano i matematici di indulgere in speculazioni inutili o di essere sciocchi e vani sognatori. A queste accuse si può dare facilmente una risposta schiacciante . Anche studi puramente astratti, e non solo quelli motivati da esigenze scientifiche e tecniche, si sono dimostrati di gran­ dissima utilità. La scoperta delle sezioni coniche ( parabole, ellissi e iperboli ), che per duemila anni erano state considerate nulla di piu dell''' inutile divertimento di un cervello speculativo, " hanno reso pos­ sibile in secoli recenti la moderna astronomia, la teoria del moto dei proietti e la legge della gravitazione universale . È d'altra parte un errore asserire, come fanno: un po' troppo fretto­ losamente alcuni autori attenti soprattutto agli aspetti sociali, che i matematici siano stimolati per intero o anche in larga misura da con­ siderazioni pratiche, dal desiderio di costruire ponti, radio e aerei. La matematica ha reso possibili tutte queste cose, ma raramente i grandi matematici pensano ad esse mentre perseguono le proprie idee. Alcuni erano del tutto indifferenti alle applicazioni pratiche, forse per il fatto che queste vennero solo alcuni secoli dopo. Le meditazioni matematiche idealistiche di Pitagora e di Platone hanno condotto a contributi molto piu significativi dell'atto intenzionale dei commercianti autori dell'in­ troduzione dei simboli + e -, nella quale un autore vide " una svolta nella storia della matematica. . . determinata dalla comune eredità so­ ciale . . . " È indubbiamente vero che quasi tutti i grandi uomini si occu­ pano dei problemi tipici del loro tempo e che le convinzioni dominanti condizionano e limitano il loro pensiero . Se Newton fosse nato due secoli prima sarebbe stato con ogni probabilità un grande teologo . I grandi pensatori si conformano alle mode intellettuali del loro tempo cOSI come le donne alle mode negli abiti. Anche quei geni creativi per i quali la matematica era semplicemente un'occupazione secondaria per­ seguivano i problemi che erano al centro dell'interesse dei matematici e degli scienziati di professione. Neppure questi " dilettanti " e matema­ tici si occuparono primariamente dell'utilità del loro lavoro . Interessi pratici, scientifici, estetici e filosofici diedero tutti un con­ tributo a plasmare la matematica . Sarebbe ip:tpossibile separare i con­ tributi e le influenze di ciascuna di queste forze e darne una valuta­ zione relativa, e tanto piu sostenere pretese concernenti l'importanza relativa di ciascuna. Da un lato il pensiero puro, la risposta a interessi estetici e filosofici, ha improntato in modo decisivo il carattere della matematica fornendo contributi insuperati, come la geometria euclidea e la moderna geometria non euclidea. Dll'll'altro i matematici raggiun­ gono i loro vertici di pensiero puro non innalzandosi da sé con le proprie forze bensi in virtu delle forze sociali. Se queste forze non potessero revitalizzare i matematici, essi si esaurirebbero ben presto e potrebbero sostenere i loro studi in un isolamento forse anche splen18

Introduzione. Concezioni vere e false

dido per breve tempo ma destinato ben presto a un collasso intellet­ tuale. Un altro carattere importante della matematica è il suo linguaggio simbolico. Come la musica usa il simbolismo per la rappresentazione e la comunicazione di suoni, cosI la matematica esprime simbolicamente relazioni quantitative e forme spaziali. A differenza del linguaggio usua­ le del discorso, che è il prodotto della consuetudine, oltre che di circo­ stanze sociali e politiche, il linguaggio della matematica è progettato in modo accurato, intenzionale e spesso ingegnoso. Grazie alla sua concisione, esso consente alla mente di manipolare idee che, espresse in linguaggio comune, sarebbero poco maneggevoli. Questa concisione rende possibile l'efficacia del pensiero. Il bisogno di Jerome K. Jerome di ricorrere al simbolismo algebrico, anche se a fini non matematici, ri­ vela in modo abbastanza chiaro l'utilità e la chiarezza impliciti in questo strumento : Quando un giovane del XX secolo si innamorò, non fece tre passi indietro, non guardò l'amata fissamente negli occhi e non le disse che era troppo bella per essere vera. Disse che sarebbe uscito e avrebbe considerato la cosa. E se fuori avesse incontrato un uomo e gli avesse spaccato la testa - la testa del­ l'altro uomo, voglio dire - allora ciò avrebbe dimostrato che la sua ragazza la ragazza del primo tizio - era una ragazza graziosa. Se invece l'altro tizio avesse spaccato la sua testa - non la sua propria, intendetemi, ma quella dell' altro tizio, l'altro tizio rispetto al secondo tizio, perché naturalmente l'altro tizio sarebbe stato l'altro tizio solo rispetto a lui, non il primo tizio -, se dunque avesse spaccato la sua testa, allora la sua ragazza - non la ragazza dell'altro tizio, bensf del primo . . . Insomma, se A avesse spaccato la testa di B, allora la ragazza di A sarebbe stata graziosa; ma se B avesse spaccato la testa di A, allora la ragazza di A non sarebbe stata graziosa, bensf lo sarebbe stata la ragazza di B.

Un ingegnoso simbolismo, mentre consente di manipolare con faci­ lità idee complicate, rende anche piu difficile per il profano seguire o capire una discussione matematica. Il simbolismo usato nel linguaggio matematico è essenziale per distinguere significati spesso confusi nel linguaggio comune. Ad esem­ pio la parola è viene usata in molti significati diversi. Nella frase " egli è qui " indica una posizione fisica. Nella frase " un angelo è bianco " indica una proprietà degli angeli che non ha nulla a che fare con una posizione o con l'esistenza fisica. Nella frase " è corso via " il vocabolo "è" serve a specificare il tempo del verbo. Nella frase " due e due sono quattro " la forma del verbo essere serve a denotare l 'uguaglianza nume­ rica. Nella frase " gli uomini sono mammiferi pensanti con due gambe, " la forma di " è " implicata nella frase asserisce l'identità d i due gruppi. Ai fini del discorso ordinario è naturalmente superfluo introdurre pa­ role diverse per tutti questi significati di "è." Queste ambiguità non provocano nessun equivoco. Le richieste della matematica, cOSI come 19

Capitolo primo

quelle delle scienze e della filosofia, costringono chi lavora in questi settori a usare una maggiore precisione. Il linguaggio matematico è preciso, cosi preciso da disorientare spesso le persone non abituate alla sua forma. Se un matematico do­ vesse dire : "Oggi non ho visto una persona, " con questa frase potrebbe intendere che non ne ha visto nessuna o che ne ha visto molte. Il pro­ fano intenderebbe semplicemente che non ne ha visto nessuna. Questa precisione della matematica appare come pedanteria o come ampollo­ sità a chi non si renda conto del fatto che essa è invece essenziale

Fig. 1. Il teorema di Pitagora.

a un pensiero esatto ; pensiero esatto e linguaggio esatto procedono infatti di pari passo. Lo stile matematico tende alla brevità e alla perfezione formale . Se talvolta la sua concisione è tale da sacrificare la chiarezza, la preci­ sione va alla ricerca di garanzie. Supponiamo di voler esprimere in termini generali il fatto illustrato nella figura 1 . Possiamo esser ten­ tati di dire : " Abbiamo un triangolo rettangolo. Se costruiamo due quadrati aventi ciascuno come lato un cateto del triangolo e se co­ struiamo un quadrato avente come lato l 'ipotenusa del triangolo, allora l 'area del terzo quadrato è uguale alla somma delle aree dei primi due. " Nessun matematico accetterebbe però di esprimersi in quel modo . Egli preferirebbe una forma come la seguente : " La somma dei quadrati co­ struiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato co­ struito sull'ipotenusa. " Quest'economia di parole favorisce la speditezza della presentazione e la scrittura matematica è notevole per il fatto di racchiudere molto in poche parole. Eppure a volte qualsiasi lettore 20

Introduzione. Concezioni vere e false di scritti matematici vede la sua pazienza messa a dura prova da quella che egli chiamerebbe avarizia di inchiostro e carta. La matematica è piu di un metodo, di un'arte e di un linguaggio. Essa è un corpo di conoscenza avente un contenuto che serve allo stu­ dioso di scienze fisiche e sociali, al filosofo, al logico e all'artista ; un contenuto che influenza le dottrine di statisti e teologi ; che soddisfa la curiosità dell'uomo che scruta il cielo e di quello che medita sulla dolcezza dei suoni musicali; un contenuto che ha plasmato innegabil­ mente, anche se a volte in modo non avvertibile, il corso della storia moderna. La matematica è un corpo di conoscenza. Essa non contiene però verità. La convenzione contraria, che la matematica sia cioè un insieme inattaccabile di verità, che essa sia una sorta di rivelazione finale di Dio, cOSI come le persone devote considerano la Bibbia, è un errore popolare che è estremamente difficile sradicare. Fino al 1850 anche molti matematici davano il loro assenso a questo errore. Fortunatamen­ te alcuni eventi dell'Ottocento , che ci proponiamo di esaminare piu avanti, dimostrarono ai matematici l 'errore insito in questo atteggia­ mento . Non soltanto nella matematica non c'è nulla di vero, ma taluni teoremi accettati in alcuni settori contraddicono altri teoremi in altri settori . Ad esempio, alcuni teoremi stabiliti in geometrie create nel corso dell'Ottocento contraddicono quelli dimostrati da Euclide nel suo sviluppo della geometria. Benché priva di verità, la matematica ha conferito all'uomo uno straordinario potere sulla natura. La risoluzione di questo estremo paradosso nel pensiero umano sarà uno fra i temi principali trattati in questo libro . Dovendo distinguere la conoscenza matematica dalla verità, il XX secolo deve distinguere anche fra matematica e scienza, poiché la scienza ricerca verità sul mondo fisico . La matematica è stata di fatto un faro per le scienze e le ha aiutate continuamente a raggiungere la posizione che esse occupano nella nostra presente civiltà. È esatto asserire per­ fino che la scienza moderna trionfa in virtu della matematica. Eppure vedremo che i due campi sono distinti. Nel suo aspetto piu generale la matematica è uno spirito, lo spirito della razionalità . È questo lo spirito che sfida, stimola, rinvigorisce e guida le menti umane al pieno esercizio di se stesse. È questo lo spi­ rito che cerca di influenzare in modo decisivo la vita fisica, morale e sociale dell'uomo, che cerca di dare una risposta ai problemi posti dalla nostra esistenza, che si sforza di comprendere e controllare la natura e che si esercita nell'esplorazione e nel consolidamento delle piu pro­ fonde e somme implicazioni di conoscenze già ottenute . In questo libro ci occuperemo in gran parte del modo di operare di questo spirito nel corso della storia. Un altro carattere della matematica è di estrema pertinenza con la nostra esposizione . La matematica è una pianta viva, che ha avu to periodi di grande fioritura e di appassimento in coincidenza con l'ascesa 21

Capitolo primo

e la caduta di civiltà. Creata in un periodo della preistoria, lottò per l 'esistenza per lunghi secoli nella preistoria e nella storia documentata . Riuscl finalmente a imporsi nel terreno, che le era molto congeniale, della Grecia ed ebbe un periodo di grande rigoglio . In questo periodo produsse un fiore perfetto, la geometria euclidea. Cominciarono len­ tamente a dischiudersi anche i bocci di altri fiori e guardando con molta attenzione si potrebbero discernere le linee principali della trigo­ nometria e dell'algebra; ma questi fiori avvizzirono col declino della civiltà greca e la pianta rimase allo stato quiescente per un migliaio di anni . Tale era lo stato della matematica quando la pianta fu trasportata nel continente europeo e venne a trovarsi un'altra volta in un suolo fertile. Nel Seicento essa riacquistò il vigore che aveva posseduto nel periodo aureo della Grecia e si preparò a irraggiare una luce di uno splendore senza precedenti. Se possiamo descrivere la matematica nota prima del Seicento come elementare, possiamo anche affermare che la matematica elementare è infinitesimale se confrontata con ciò che è stato creato da allora. Di fatto, un individuo che possedesse le cono­ scenze che Newton aveva nel suo periodo migliore non sarebbe oggi considerato un matematico poiché, contrariamente a quanto di solito si ritiene, oggi si deve dire che la matematica comincia, non finisce, col calcolo infinitesimale. Nel nostro secolo la materia ha assunto proporzioni COSI vaste che nessun matematico può sostenere di padro­ neggiarla per intero. Questo abbozzo della vita della matematica, per quanto breve, può nondimeno indicare che la sua vitalità è dipesa in grande misura dalla vita culturale della civiltà che le ha dato alimento. Di fatto la matema­ tica è stata una parte tanto grande di civiltà e di culture che molti storici vedono riflessi nella matematica di un periodo i caratteri delle altre opere principali dell'epoca. Consideriamo, ad esempio, il periodo classico della cultura greca, che durò pressappoco dal 600 a.C. al 300 a.c. Nel sottolineare il ragionamento rigoroso mediante il quale sta­ bilirono le loro conclusioni, i matematici greci si preoccuparono non di garantire la possibilità di applicazione a problemi pratici bensl di insegnare agli uomini a pensare in termini astratti e di prepararli a contemplare l'ideale e il bello . Non dovrebbe esser dunque una sor­ presa la constatazione che quest'epoca è stata insuperata nella bellezza della sua letteratura, nella qualità estremamente razionale della sua filosofia e nell'idealità della sua scultura e architettura. È vero anche che l 'assenza di creazioni matematiche è indicativa del genere di cultura di una civiltà . Lo dimostra il caso dei romani. Nella storia della matematica i romani appaiono solo una volta e sol­ tanto con una funzione negativa per il suo progresso. Archimede, il piu grande matematico e scienziato greco, fu ucciso nel 2 1 1 a.C. da soldati romani apparsi improvvisamente mentre egli stava studiando una figura geometrica tracciata sulla sabbia . Per Alfred North Whitehead, 22

Introduzione. Concezioni vere e false la morte di Archimede per opera di un soldato romano è simbolica di un muta­ mento storico di prima grandezza; i greci, innamorati della teoria e della scienza astratta, furono soppiantati alla guida del mondo europeo dai pratici romani. Lord Beaconsfield, in un suo romanzo, ha definito un uomo pratico un uomo che pratica gli errori dei suoi antenati. I romani erano un grande popolo ma erano afflitti dalla sterilità che si accompagna alla pura pratica. Essi non fecero pro­ gredire le conoscenze dei loro avi e tutti i loro progressi furono limitati ai particolari tecnici di secondo piano dell'ingegneria. Essi non erano abbastanza sognatori da pervenire a nuovi punti di vista che potessero fornire un controllo piu fondamentale delle forze della natura. Nessun romano perse la vita per essere stato assorto nella contemplazione di una figura matematica.

Di fatto Cicerone si vantava che i suoi concittadini, grazie agli dèi, non fossero sognatori, come i greci, ma applicassero lo studio della ma­ tematica all'utile. I pratici romani, che dedicarono le loro energie al governo e alla conquista, e che sono forse simboleggiati nel modo migliore dagli archi solidi, se non aggraziati, sotto cui le truppe vittoriose celebravano il loro ritorno in patria, produssero ben poco di veramente creativo e originale. In breve, la cultura romana fu una cultura derivata ; la mag­ gior parte dei contributi forniti durante il periodo della supremazia romana furono opera di greci dell'Asia Minore, soggetti al dominio politico di Roma. Questi esempi ci dimostrano che il carattere generale di un'età è intimamente collegato alla sua attività matematica . Questa relazione è valida specialmente al nostro tempo. Senza voler sminuire i meriti dei nostri storici, economisti, filosofi, scrittori, poeti, pittori e uomini politici, è possibile dire che altre civiltà hanno prodotto nei vari campi uomini di ugual livello per capacità e risultati ottenuti. D'altra parte, benché Euclide e Archimede siano stati indubbiamente pensatori di livello eccezionale e benché i nostri matematici siano stati in grado di andare oltre solo perché, come scrisse Newton, sono issati sulle spal­ le di tali giganti, soltanto nella nostra epoca la matematica ha rag­ giunto la sua ampiezza e la sua straordinaria elasticità di applicazione . L'attuale civiltà occidentale si distingue di conseguenza da ogni altra civiltà nota alla storia per la misura in cui la matematica ha influito sulla vita e sul pensiero contemporanei . Forse nel corso di questo libro riusciremo a vedere quanto la nostra età debba alla matematica.

23

CAPITOLO SECONDO

Matematica ed empiria

Non si deve immaginare che la matematica sia difficile

e confusa e ripugnante per il buon senso. Essa è sempli­ cemente l'etereizzazione del buon senso. LoRD KELVIN

La culla dell'umanità, come pure della cultura occidentale, fu il Vicino Oriente. Mentre le tribu piu irrequiete abbandonarono la loro patria per percorrere le pianure dell'Europa, popolazioni affini rimasero indietro fondando civiltà e culture . Molti secoli dopo i sapienti del­ l'Oriente si sarebbero assunti il compito di educare i loro antichi parenti ancora in uno stato di ignoranza. Delle conoscenze che i sa­ pienti impartirono agli uomini occidentali, gli elementi della matema­ tica furono una parte integrante. Per ricostruire l'influenza della mate­ matica sulla cultura moderna, dobbiamo perciò volgerci innanzitutto a considerare le principali civiltà del Vicino Oriente. Dobbiamo ricordare per inciso che taluni semplici progressi nel campo della matematica furono compiuti già presso civiltà primitive . Tali progressi furono senza dubbio suggeriti da bisogni puramente pra­ tici . Il baratto di cose di prima necessità, che ha luogo anche nei tipi di società umana piu primitivi, richiede già qualche tipo di calcolo . Poiché il calcolo è facilitato dall'uso delle dita delle mani e dei piedi, non sorprende che l'uomo primitivo, come i bambini, usasse le dita per spuntare le cose contate. Tracce di questo antico modo di pen­ sare si trovano ancora in lingue moderne ; in inglese il vocabolo digit ( latino digitus = dito ) significa non solo cifra, numero, ma anche dito . L 'uso delle dita spiega indubbiamente l'adozione del nostro sistema di calcolo in decine, centinaia ( decine di decine ), migliaia ( decine di cen­ tinaia ) e cOSI via. Anche le civiltà primitive svilupparono simboli speciali per i nu­ meri. Queste civiltà dimostrarono cOSI di conoscere il fatto che tre pe­ core, tre mele e tre frecce hanno molto in comune, ossia la quantità tre. Questa valutazione del numero come un'idea astratta, astratta nel senso che non ha necessariamente una relazione con oggetti fisici parti: 24

Matematica ed empiria

colari, segnò uno fra i progressi maggiori nella storia del pensiero. Ciascuno di noi, imparando la matematica, passa attraverso un tale processo intellettuale consistente nel separare i numeri da oggetti fisici. A civiltà primitive risale anche l'invenzione delle quattro operazioni aritmetiche elementari, ossia somma, sottrazione, moltiplicazione e divi­ sione. Che la conquista di queste operazioni non sia stata una cosa tanto semplice può essere appreso anche da uno studio di popoli arre­ trati contemporanei. Quando i pastori di molte tribu primitive vendono vari animali non chiedono una somma complessiva per gli animali ven­ duti ma esigono il pagamento capo per capo. La possibilità alternativa di moltiplicare il numero di capi per il prezzo chiesto per il singolo capo li disorienta e lascia loro il sospetto di poter essere imbrogliati. Ci sono pochi dubbi sul fatto che la geometria, come il sistema numerico, è stata promossa in civiltà primitive per soddisfare esigenze umane. I concetti geometrici fondamentali derivarono dall'osserva­ zione di figure formate da oggetti fisici. È probabile che il concetto di angolo, ad esempio, sia derivato in origine dagli angoli formati dai gomiti e dalle ginocchia. In molte lingue, incluso il tedesco moderno, il vocabolo per indicare il Iato di un angolo (Schenkel) significa pro­ priamente gamba. Le principali civiltà del Vicino Oriente da cui derivarono la nostra cultura e la nostra matematica furono la civiltà egizia e quella babi­ lonese. Nei documenti piu antichi di queste civiltà troviamo sistemi numerici ben sviluppati, un po' d'algebra e una geometria semplicis­ sima. Per i numeri da 1 a 9 gli egizi usavano semplici lineette, come I, Il, III ecc. Per 10 essi introdussero il simbolo speciale n , e c'erano anche per 100, 1000 e altri grandi numeri. Per numeri intermedi essi combinavano questi simboli in un modo molto naturale. Il 21 veniva scritto ad esempio n n I . Maggiore attenzione merita il metodo babilonese per scrivere le quantità. Per 1 i babilonesi scrivevano V ; il 2 era rappresentato da y y; il 4 da Y; Y e COS1 via fino a nove. Il simbolo < veniva usato per il 10. Il 33 veniva scritto quindi «

Fig. 54. Moto di una molecola d'aria tipica.

rarefazione la fa muovere indietro, oltre la posizione originaria, fino in B ; la condensazione successiva la fa ora muovere verso O. La mo­ lecola ha compiuto ora una vibrazione completa. Senza però fermarsi in O , la molecola, sotto gli impulsi successivi provenienti dal diapason in vibrazione, prosegue a muoversi avanti e indietro da B ad A e da A a B. Lo spostamento della molecola dalla sua posizione originaria varia continuamente nel tempo durante il quale si muove . Il movimento della molecola d'aria tipica è illustrato chiaramente da uno stru mento delicatissimo chiamato fonodeik. Quando un suono viene prodotto in prossimità di questo strumento, esso registra le vibra­ zioni dell'aria nelIa forma di un diagramma che riproduce lo sposta­ mento della molecola J'aria tipica . La molecola si muove avanti e in270

Il seno del sol maggiore

dietro lungo una linea retta. Il diagramma illustra lo spostamento dalla posizione di quiete originaria sotto forma di distanza verticale, mentre l'asse orizzontale sul diagramma rappresenta il tempo trascorso dall'inizio del moto. La parte della curva da O a Q (fig. 55 ) rappresen­ ta il moto della molecola tipica durante una vibrazione completa del diapason ; quella da Q a R il moto durante un'altra vibrazione completa e cOSI via . Se il diapason è percosso in modo da far SI che la molecola spostam e n to in cen t i m et r i

tempo _ _ 1_

200

sec . _

Fig. 55. Diagramma dello spostamento in funzione del tempo di una molecola d'aria tipica.

d'aria tipica si muova per un massimo di 0 ,0025 centimetri prima da un lato della sua posizione originaria e poi dall'altro, il fonodeik re­ gistra un diagramma con un'ampiezza, ossia con uno spostamento mas­ simo, di 0,0025 centimetri . Se il diapason compie 200 vibrazioni com­ plete in un secondo, lo stesso farà la molecola d'aria tipica ; e il fono­ deik registrerà in un secondo 200 parti complete come quella da O a Q. Abbiamo quindi un'immagine fisica di come il suono di un diapason si propaghi nello spazio. È possibile rappresentare questo suono con una formula, e in tal caso che cosa guadagniamo da una tale rappre­ sentazione ? Il suono di un diapason è semplice se paragonato con suoni vocali e strumentali, ma per il momento consideriamo il compito di rappre­ sentare matematicamente questo suono semplice. Ciò che cerchiamo è quindi una formula che metta in relazione lo spostamento e il tempo impiegato da una molecola tipica, nello stesso modo in cui esiste, come abbiamo visto, una formula che mette in relazione la distanza per­ corsa da un corpo in caduta libera e il tempo impiegato a percorrere tale distanza. Il matematico ha la formula pronta . Egli ha nella sua scorta di re­ lazioni fra variabili la formula y = sen x, la quale possiede proprietà con le quali possiamo familiarizzarci nel modo migliore osservandone la relativa rappresentazione grafica . Come illustra la figura 56, i valori y di questa funzione aumentano da O a 1 quando x aumenta da O a 90 ; 27 1

Capitolo diciannovesimo

quando x, continuando a crescere, va oltre questo valore, i valori di y diminuiscono fino a O, diventando quindi negativi fino a raggiungere il valore - 1, e poi aumentano per assumere il valore O quando x raggiunge il valore di 360. Nell'intervallo compreso fra x = 360 e x = 720, i valori della y ripetono il loro comportamento da x = O a x = 36 0 . In ciascun intervallo successivo di 360 unità di valori della x, i valori della y ripetono di nuovo il comportamento presentato nel primo intervallo di 360 unità della x. In altri termini, la funzione è regolare o periodica, ovvero, come possiamo anche dire, il ciclo di valori della y si ripete dopo ogni intervallo di 360 unità di valori della x. Il lettore avrà probabilmente notato l'uso del vocabolo " seno " e lo avrà messo in connessione con la matematica del periodo alessan­ drino . I valori della y della funzione y = sen x, con x che varia da O a 90, sono precisamente i valori del rapporto trigonometrico sen x, al variare di x da 0° a 90°. Nel corso dei secoli passati da Ipparco y

Fig. 56. Diagramma di

y=

sen

x.

all'epoca del matematico svizzero Eulero, i rapporti trigonometrici, che in origine erano definiti per angoli in triangoli rettangoli, furono sepa­ rati dagli angoli e vennero a essere considerati esclusivamente come relazioni fra variabili. Cosi y = sen x divenne una relazione fra due variabili y e x. Nel corso di questi secoli tale relazione fu ampliata in modo da assegnare a qualsiasi valore della x, non importa quanto grande, un valore della y, come illustra la figura 56. La formula y = sen x è quindi un nemico vecchio con un volto nuovo che è tornato a tormentarci . A causa della sua origine dalle relazioni introdotte per la misurazione dei triangoli, y = sen x è chiamata una funzione tri­ gonometrica . Questa funzione non rappresenta interamente il suono di un dia­ pason bensf una modificazione semplicissima di esso . Un piccolo sforzo produrrà la modificazione appropriata. Consideriamo y = 3 sen x. Que­ sta formula difTerisce da y = sen x per il fatto che per un medesimo valore della x il valore della y è nella prima equazione tre volte mag272

Il seno del sol maggiore

giare che nella seconda. La figura 57 illustra il comportamento di 3 sen x e lo mette a confronto con y = sen x. Possiamo descri­ vere la curva di y = 3 sen x dicendo che essa ha una forma simile a quella della curva comune del seno ; la sua ampiezza, ovvero il suo valore massimo di y, è però 3 unità, mentre l'ampiezza di y = sen x

y =

y

x

Fig. 57. Diagrammi di y =

sen x

e di

y

=3

sen x .

è 1. Similmente, il diagramma di y = a sen x, dove a è un numero positivo scelto a piacere, ha la forma generale della curva del seno ma con un'ampiezza di a unità. Un'altra variazione semplice della funzione del seno è illustrata da y = sen 2x. Potremmo supporre che questa funzione sia la stessa di y = 2 sen x e perciò che essa sia un altro esempio del tipo appena analizzato . Vedremo però subito che non è cosi. L'effetto del 2 nella formula y = sen 2x è immediatamente apprezzabile in un diagramma. La figura 58 fa vedere come sen 2x assuma nell'intervallo da O a 1 80 l'intero ciclo di valori della y che sen x assume nell'intervallo da O a 360. All'epoca in cui x raggiunge il 360, y = sen 2x passa per due y

1 �� 1 BO� �l

x

270

-1 1 Fig. 58. Diagramma di y =

sen

2x.

cicli completi di valori della y mentre y = sen x passa attraverso un ciclo solo . Si dice perciò che la frequenza della prima funzione in 360 unità x sia 2. L'ampiezza di y sen 2x è 1, poiché il massimo va­ lore numerico del seno di ogni quantità è 1 . Possiamo generalizzare il risultato visto sopra al caso della funzione y = sen bx, dove b è un numero positivo scelto a piacere. La fre=

27 .3

Capitolo diciannovesimo

quenza di y = sen 2x è 2 . Similmente, la frequenza di y = sen bx nell'intervallo di 360 unità della x è b : ciò significa che nel passaggio della x da O a 360 i valori della y ripetono l'intero ciclo di variazioni b volte . Come nel caso di y = sen 2x, l'ampiezza di y = sen bx è L Una variazione della funzione del seno che differisce sia in ampiezza sia in frequenza dal comportamento di y = sen x è esemplificata da y = 3 sen 2x. In questa funzione i valori della y sono tre volte mag­ giori dei valori ottenuti da y = sen 2x per gli stessi valori di x. Per­ ciò l'ampiezza di 3 sen 2x è 3 e la sua frequenza in 360 unità di valori della x è 2 (fig. 59 ). y

y = 3 se n 2 x

3

y -= sen

x

-1 -2 · -3

Fig. 59. Diagrammi di y =

sen

x

e

di y = 3

sen

2x.

I risultati che abbiamo ottenuto finora possono essere compendiati dall'affermazione che la funzione y = a sen bx, dove a e b sono nu­ meri positivi scelti a piacere, ha l'ampiezza a e la frequenza b in 360 unità di valori della x. Siamo ora preparati a rappresentarci matematicamente il suono del diapason. Un confronto dei diagrammi che abbiamo esaminato finora col diagramma reale del diapason suggerisce nozioni che il ragionamento teorico può confermare. La funzione che mette in relazione lo sposta­ mento e il tempo della tipica molecola vibrante dell'aria ha la forma y = a sen bx. Per riprodurre il comportamento del diapason dobbiamo semplicemente determinare i valori appropriati di a e di b . S e l'ampiezza del moto d i una molecola d'aria tipica, quando s u d i essa agisce il diapason, è d i 0 ,0025, allora questo numero dovrebbe essere il valore di a nella formula y = a sen bx ; e se il diapason, e perciò la molecola d'aria tipica, compie 200 vibrazioni al secondo, il diagramma del moto di questa molecola ha una frequenza di 200 al secondo . Ma la frequenza di y = a sen bx è b in 360 unità, ovvero b/360 in un'unità.' Perciò b/360 dovrebbe essere uguale a 200 . Si ha , La fre q u e n z a tempo, di solito un

274

di suoni reali si riferisce al numero di vibrazioni in una unità di secondo. La frequenza in 360 unità è chiamata la frequenza circolare.

Il seno del sol maggiore

allora b = .360 200 = 72 000. La formula che descrive il suono del diapason è pertanto y = 0,0025 sen 72 OOOt, •

dove abbiamo scritto t invece di x per tenere a mente che questa va­ riabile rappresenta valori del tempo. Ovviamente pochissimi suoni musicali sono altrettanto semplici di quelli emessi dal diapason. I suoni di un flauto si approssimano a quelli semplici di un diapason, ma il flauto è l'eccezione, non la regola. Che cosa ha da dire la matematica a proposito di suoni piu complessi? In che modo rende ragione del carattere dolce di alcuni suoni e di quello discordante di altri? Perché una medesima nota emessa da un violino e da un pianoforte suona diversa all'orecchio? Una parte della risposta a queste domande risulta dall'osservazione dei diagrammi dei vari suoni. I diagrammi di tutti i suoni musicali tra questi sono compresi anche i suoni comuni della voce umana presentano una certa regolarità. In altri termini, ogni curva dello spo­ stamento in relazione al tempo si ripete esattamente molte volte ogni secondo . Questa periodicità è esemplificata dai diagrammi del suono del violino e di quello del clarinetto, oltre che dal diagramma del suono della vocale a nella parola fatber ( padre ) ( fig. 60). I suoni che posseggono questa regolarità grafica sono complessiva­ mente gradevoli all'orecchio e sono distinguibili, ad esempio, dal ru­ more di una scatola di latta fatta rotolare sulla strada : quest'ultimo rumore ha un diagramma estremamente irregolare. Tutti i suoni che posseggono una regolarità grafica o periodicità sono chiamati tecnica­ mente suoni musicali comunque vengano prodotti. In termini " grafici " possediamo dunque il carattere distintivo fra suoni gradevoli e sgradevoli, fra suoni musicali in senso ampio e tu­ mori. Purtroppo questo carattere della regolarità è posseduto da un numero cOSI sterminato di suoni musicali da rendere necessaria un'ul­ teriore analisi e caratterizzazione : eppure questo compito è parso im­ possibile fino all'Ottocento. Poi entrò in scena Fourier e disperse la confusione. Formulato come un teorema di matematica pura, il contributo di Fourier sembra abbastanza scialbo. Il teorema dice semplicemente che la formula che rappresenta un suono periodico è una somma di sem­ plici termini di seni della forma a sen bx. Le frequenze di questi ter­ mini di seni sono inoltre tutti multipli integrali di quello piu basso, ossia il doppio, il triplo e COSI via . Per illustrare il significato del teorema di Fourier, analizziamo uno dei suoni offertici da un violinista compiacente, ad esempio quello rappresentato graficamente nella figura 60 in alto . La formula che rappresenta tale diagramma è essenzialmente' �

fase .

, Per semplicità abbiamo trascurato l 'elemento relativamente poco importante del la

275

Capitolo diciannovesimo

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