Introduzione elementare alla matematica moderna

Table of contents :
PRESENTAZIONE DELLA COLLANA......Page 7
PREFAZIONE di Attilio Frajese......Page 9
PRIME NOZIONI SUGLI INSIEMI......Page 15
SOTTOINSIEMI......Page 20
UNIONE DI INSIEMI......Page 28
INTERSEZIONE DI INSIEMI......Page 38
LA PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA......Page 49
QUALCHE NUOVO SIMBOLO......Page 57
L'INSIEME DELLE PARTI......Page 61
CORRISPONDENZE TRA INSIEMI......Page 68
IL PROBLEMA DELL'INFINITO NELLA MATEMATICA GRECA......Page 73
GALILEO E GLI INSIEMI INFINITI......Page 87
GIORGIO CANTOR: IL CONCETTO DI POTENZA DI UN INSIEME......Page 96
LA POTENZA DEL NUMERABILE......Page 104
UNA SINGOLARE PROPRIETÀ DEGLI INSIEMI NUMERABILI......Page 117
DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI......Page 127
DAI NUMERI ASSOLUTI AI NUMERI RELATIVI......Page 161
DAI NUMERI RAZIONALI AI NUMERI REALI......Page 177
ALTRI INSIEMI NUMERABILI......Page 206
LA POTENZA DEL CONTINUO......Page 219
PARADOSSI SUGLI INSIEMI......Page 237
LA PRIMA STRUTTURA ALGEBRICA: I GRUPPOIDI......Page 242
I SEMIGRUPPI......Page 253
VERSO LA STRUTTURA DI GRUPPO......Page 261
I GRUPPI......Page 268
ESEMPI DI GRUPPI FINITI......Page 279
LE CLASSI RESIDUE......Page 289
GLI ANELLI......Page 304
I CAMPI......Page 325
L'INSIEME-QUOZIENTE......Page 337
OPERAZIONI SU INSIEMI DI PARTI......Page 354
OMOMORFISMI E ISOMORFISMI......Page 365
ANCORA SU OMOMORFISMI E ISOMORFISMI......Page 377
APPENDICE: CENNO SUGLI SPAZI TOPOLOGICI......Page 391
CONCLUSIONE STORICA......Page 402
NOTA BIBLIOGRAFICA......Page 407
INDICE......Page 409

Citation preview

LA MATEMATICA NELLA CULTURA E NELLA SCUOLA Quaderni di «Archimede) A CURA DI

LUIGI CAMPEDELLI

E

ROBERTO GIANNARELLI

La Matematica nella Cultura e nella Scuola

Attilio Frajese

l Introduzione elementare alla IllateIllatica Illoderna

Firenze, 1968

Felice Le Monnier

PROPRIETÀ LETTERARIA RISERVATA

Q)

alla Gasa Editrice Felice Le Monnier Firenze, 1968

N!!

1457

1576-66 - Stabilimenti Tipogra.1l.ci • E_ Ariani. e • L'Arte della Stampa. - Firenze

PRESENTAZIONE DELLA COLLANA

Qon questo volume ha inizio una nuova Collana dedicata a « La M atematica nella Cultura e nella Scuola». Il titolo e i nomi dei direttori ai quali è affidata valgono a illustrarne il carattere e gli scopi,' nasce da anni di intensa attività e di appassionata ricerca nel campo dei problemi della didattica della matematica, e cioè dell' arte di insegnare una scienza che è essenziale creazione di pensiero, e quindi, come tale, ricca di efficacia educativa e destinata ad incidere profondamente sull'intelligenza e sulla formazione delle menti, nella scuola e fuori, al di là, e al di sopra, dei suoi aspetti tecnici pur di fondamentale importanza. Il collegamento con « Archimede» è giustificato da quella che è stata la quadrilustre opera di questa rivista, proprio nell' ordine di idee ora detto. Il parlare di « Quaderni» sta a significare che ci si debbono attendere volumi di varia mole, a seconda del soggetto e dello sviluppo che gli viene dato. E potrà darsi che sopra un medesimo argomento si torni più volte, da punti di vista diversi (specie dove la materia non ha ancora trovata una sistemazione definitiva, o, viceversa, è irrigidita in' una trattatistica ormai statica). E ciò per suscitare discussione, dar modo di scegliere, creare un senso dinamico in una disciplina alla quale tanto ha nociuto, e nuoce, la presunta perfezione di vetusti schemi scolastici. Senza dubbio la cultura matematica è divenuta un elemento determinante della civiltà moderna, e non soltanto per gli apporti che dà al progresso di ogni altra scienza e al prorompente trionfo della tecnica, ma soprattutto perchè il tipo di speculazione che le è proprio interviene ormai, in misura sempre maggiore - anche se spesso in forma non avvertita - in settori da essa apparentemente lontani. Il travaglio che turba attualmente gli studi matematici, sia nell'intenso fervore della ricerca, sia nell' attività ad essi più direttamente legata - l'insegnamento - ha larghe e profonde ripercussioni in ogni ,.,. VII

paese. Le molteplici esperienze che in questi ultimi tempi sono state attuate, in Italia e nei paesi culturalmente più progrediti, nascono appunto dalla volontà, e diremmo dalla necessità, di diffondere maggiormente la mentalità matematica, e dall' ansia di trovare le vie più adatte perchè lo studio di questa scienza aumenti di validità, specialmente nel campo dell'insegnamento secondario, che ha tanti larghi riflessi umani e sociali. Lo sforzo che uomini di cultura e di scuola compiono in tale senso trova le maggiori difficoltà nel fatto che esso non consente inte1'ruzioni o salti,. nel dover essere adattato alle situazioni più disparate,. e, infine, nella non facilmente evitabile complessità del linguaggio matematico. Sono questi gli ostacoli che la « Oollana » mira a superare, o almeno ridurre. E il primo volume ne dà, a parer nostro, un esempio concreto e significativo, in pagine di estrema chiarezza, nelle quali la paziente e intelligente cura, con cui si illustrano i nessi logici, crea sapientemente una progressione di sviluppi, che si fanno via via più elevati, così da costituire una scala ascendente, ma con gradini quanto mai comodi e facili da salire, qualunque sia la preparazione di chi la percorre. Si tratta di capitoli delle cosiddette « M atematiche moderne», i quali ormai si sono imposti, per i vantaggi che recano alla trattazione e le sintesi che consentono, anche nell'ambito fino a qui riservato ai metodi tradizionali. E se il ricorso ad essi, nella pratica dell'insegnamento, non è ancora sufficientemente sperimentato, e la misura e i mezzi non appaiono del tutto precisati, è tuttavia indubbio che debbano penetrare nella scuola - con opportuna gradualità ed oculatezza - e l'essenza del pensiero che li informa debba divenire patrimonio di comune cultura. Oi auguriamo che le caratteristiche di questo primo volume si conservino nei successivi, cosicchè la Oollana possa assolvere pienamente ai compiti che sono nei nostri intenti, e contribuisca a realizzare l'obiettivo che un valoroso docente di tempi lontani seppe riassumere nella massima « Volgere i progressi della Scienza a beneficio della Scuola)l. Firenze·Roma, gennaio 1968. LUIGI CAMPEDELLI ROBERTO GIANNARELLI

VIII ,....

PREFAZIONE

Questo libro vorrebbe avere la pretesa di riuscire facile nel suo genere. Esso è dedicato a tutti coloro che, pure in possesso di modestissime cognizioni matematiche, frutto eventualmente di vaghi ricordi della scuola secondaria, vogliano formarsi una qualche idea su alcuni punti iniziali della cosiddetta matematica moderna. È quindi accessibile a coloro che son lontani dalla matematica, e che l'autore spera tuttavia di interessare. Ma il libro è anche dedicato a coloro che, possedendo cognizioni di matematica un poco più estese e meglio organizzate, vogliano aggiornarsi, senza grande fatica, su alcuni punti essenziali (sia pure soltanto introduttivi) della matematica attuale. Per loro questo libro rappresenta soltanto un invito preliminare, puramente preliminare, per ampliare e approfondire le cognizioni matematiche: necessariamente la sua lettura sarà seguìta, per loro, da quella di altri libri di ben maggiore approfondimento, alcuni dei quali indichiamo alla fine di questo. Alla seconda categoria di lettori son dedicate le pur brevi parti scritte in caratteri piccoli, che in linea generale potranno esser tralasciate senza danno dai lettori della prima categoria: cioè da coloro che (sia detto senza offesa) sian meno provveduti in campo matematico. Agli insegnanti secondari, poi, speriamo di avere offerto qualche spunto per il loro insegnamento. Ohi scrive coltiva la storia della matematica; il processo del divenire gli è quindi familiare: quel processo che va tenuto ben presente nell' esporre qualcosa che si presume ignoto o mal noto all' ascoltatore o al lettore. Viene quindi assegnata con piena convinzione la massima importanza all' esposizione, che si è cercato appunto di rendere qui, nella dinamica del suo procedere, quanto più semplice e facile possibile. Va poi avvertito che le considerazioni storiche (specialmente la conelusione storica con la quale il libro si chiude) possono interessare il lettore ad ogni livello. """ IX

Come si deve leggere questo libro? All'inizio di ogni capitolo il lettore troverà alcune righe in corsivo che vorrebbero costituire, separatamente per ciascun capitolo, una specie di guida del lettore (naturalmente chi troverà superflue quelle righe, dopo un capitolo o due potrà tralasciare di leggerle). Ci limitiamo quindi a dare qui qualche indicazione di carattere generale. Raccomandiamo, ad esempio, di leggere questo libro con un lapis ed un foglio di carta a disposizione immediata: se li userà, il lettore potrà seguire meglio il testo. Non s'infastidisca, poi, se troverà molte cose ripetute, anche più di una volta: riteniamo che con la ripetizione, che porta sempre in luce qualche nuovo elemento, si ottenga lo stesso effetto che si raggiunge, ad esempio, fotografando un oggetto da varie parti, così da avere, alla fine, una visione complessiva che non sia piatta, ma che riveli, quasi, il rilievo. Vogliamo scusarci col nostro lettore per il fatto che la materia esposta in. questo libro non è molta. Abbiamo cercato di seg'}tire il motto: non multa, sed multum. E ad un certo punto abbiamo quasi troncato il discorso, così come il conferenziere non oltrepassa, nel parlare, una certa durata di tempo, o come l'insegnante che sa fino a qual punto può contare sull' attenzione del discente. E la contropartita è naturalmente questa: che ci siamo appena affacciati sulla prima soglia del gigantesco edificio matematico. A questo punto vorremmo dire il nostro pensiero nei riguardi della cosiddetta volgarizzazione scientifica. Non si offenda il lettore per questo termine volgarizzazione, che forse è un residuo di vecchie concezioni: pensi, del resto, che Galileo accenna alla opportunità, nel trattare una questione matematica, di scegliere la strada più facile, cioè quella che si stimi la più intelligibile anco dal volgo non introdotto nelle matematiche» (*). E un abisso separa Galileo da quell' Euclide, sul quale si narra l'aneddoto non vero, ma ben trovato (perchè corrispondente al carattere dell'opera euclidea), secondo il quale, avendogli un re domandato se esistesse una via più facile per apprendere gli Elementi, avrebbe risposto che non esistono vie regie per la geometria. Vorremmo anche richiamare l'attenzione su un passo singolare del Fedro di Platone. In esso (276 b e sgg.) il grande filosofo paragona

(*) Di8cor8i e dimo8trazioni matematiche intorno a due nuove Bcienze (Principio di giornata aggiunta). Vedi A. FRAJESE, Galileo matematico. Roma (Ed. Studium, 1964, p. 35).

x ...,

le opere scritte ai giardini di Adone, che erano effimeri perchè ivi le piante si facevan germogliare contro stagione, affinchè fiorissero proprio per il giorno della festa. Agli scritti vien contrapposto il discorso parlato: che è ben più valido, cioè non è scritto sull'acqua. Tutto il contrario del famoso verba volant, scripta manent. Strano, a prima vista, che ciò venga detto proprio da uno dei più grandi, e fecondi, scrittori di tutti i tempi! M a soccorre la considerazione che Platone scrisse pressochè costantemente sotto forma di dialogo: le sue opere sono cioè veri discorsi parlati. Non importa, allora, se siano scritti, o, meglio, trascritti: non è la forma esteriore quella che conta. Oosì non importa se l'Addio di Lucia ai suoi monti sia scritto in prosa, poichè è vera poesia: mentre non è certo una poesia una strofetta pubblicitaria, anche se scritta in versi. PUÒ dunque aversi un libro che in sostanza sia parlato, così come, inversamente, può aversi un discorso che sia uno scritto vero e proprio, come avviene, per esempio, assai spesso quando il conferenziere legge un testo precedentemente preparato, senza curarsi delle reazioni dell'uditorio. Noi crediamo che per una volgarizzazione scientifica occorra proprio un libro parlato, cioè un resoconto di spiegazioni orali, ed abbiamo cercato di compilarlo. Ecco quindi il perchè delle frequenti ripetizioni. Oolui che parla non ha la inesorabilità del libro scritto, solamente scritto, che una volta esposto un punto, non vi ritorna sopra mai più (quod scripsi scripsi), e si limita, se mai, a citare il numero progressivo di una formula, numero che poi inevitabilmente fa capo ad altri numeri precedenti. Nello stesso spirito col quale, parlando, si forniscono seduta stante agli ascoltatori i principali elementi necessari per la comprensione immediata, anche se detti elementi sono stati già esposti in precedenti sedute, così abbiamo cercato di dare un certo grado di autonomia ai singoli capitoli, riprendendo il più succintamente possibile almeno qualcuna tra le principali nozioni che vengono necessariamente presupposte. Oiò, crediamo, anche col vantaggio (al quale abbiamo prima accennato) di poter presentare le questioni sotto differenti punti di vista. Ooncludiamo esprimendo la speranza che un tal sistema di esposizione possa riuscir facile al lettore e soprattutto attraente, almeno in un certo grado. Se poi vogliamo parvis componere magna, termineremo con le parole del grande nostro Alessandro: « Ma se in vece fossimo riusciti ad annoiarvi, credete che non s'è fatto apposta». A. F. ,..., XI

PARTE PRIMA

GLI

1. -

FRAJESE.

INSIEMI

I. PRIME NOZIONI SUGLI INSIEMI

Avvertiamo che questo primo breve capitolo, pur presentandosi in forma semplice, tratta concetti molto importanti, ai quali verrà fatto appello continuamente nel seguito.

Consideriamo gli oggetti che sono in questo momento sul mio tavolo. Facciamone un elenco, che scriviamo qui di seguito.

Oggetti sul mio tavolo: un libro, un quaderno, una penna, un lapis, una gomma per cancellare. Si tratta, come si vede, di cinque oggetti diversi tra loro: nessuno confonderebbe certo la gomma col quaderno o con la penna. Eppure quegli oggetti hanno (almeno in questo momento) una caratteristica comune: quella di trovarsi insieme sul mio tavolo. Diciamo allora che essi costituiscono l'insieme degli oggetti che si trovano sul mio tavolo. E diciamo pure che detto insieme si compone di 5 elementi, che sono precisamente: libro, quaderno, penna, lapis, gomma. E se indichiamo, per brevità, con una lettera maiuscola dell'alfabeto l'insieme in questione (ad esempio con la maiuscola T, iniziale della parola tavolo), e se chiudiamo, come è l'uso, tra parentesi

-3

a graffa i nomi degli elementi, separandoli l'uno dall' altro con una virgola, scriveremo così: T = { libro, quaderno, penna, lapis, gomma } Con questa scrittura intendiamo esprimere il fatto che T (cioè l'insieme degli oggetti che in questo momento si trovano sul mio tavolo) si compone di 5 elementi (ovvero: contiene 5 elementi) che sono appunto: libro, quaderno, penna, lapi8, gomma. Passiamo ora ad un altro esempio, considerando i quattro numeri l, 2, 3, 4. Essi pure, così come gli oggetti che sono sul mio tavolo, costituiscono un in8ieme. Se, per distinguerlo dal precedente, indichiamo tale insieme con la lettera maiuscola A, scriveremo: A = { I, 2, 3, 4 }.

Questa scrittura esprime il fatto che l'insiem·e A contiene quattro elementi, e precisamente i quattro numeri I, 2, 3, 4. Va osservato che tanto in questo caso, quanto nel precedente, abbiamo a nostra disposizione due mezzi diversi per indicare, per descrivere, per definire (se si vuole), di quale insieme si tratti. Un mezzo consiste nell'elencare tutti gli elementi che compongono l'insieme, il quale resta così individuato. E cioè: T = { libro, quaderno, penna, lapis, gomma } A = { l, 2, 3, 4 }.

Un secondo mezzo consiste nell'enunciare quale è la caratteristica in forza della quale gli elementi si trovano a far parte di quell'insieme. E cioè: T A -

insieme degli oggetti sul mio tavolo, insieme dei numeri naturali minori di 5 (*).

Un modo non esclude l'altro: si può anzi dire che si tratta, almeno nei casi finora considerati, di due modi equivalenti.

(*) Numeri naturali sono quelli della serie numerica l, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ....

4

Non sempre, tuttavia, è facile, o possibile, indicare un insieme in ambedue i modi. Consideriamo, ad esempio, l'insieme costituito dai sette elementi: 2, 8, 5, 15, 3, 9, 29. Se indichiamo, per brevità, con la maiuscola B questo insieme, scriveremo: B

={

2, 8, 5, ] 5, 3, 9, 29 }.

Ma non ci riuscirà (o per lo meno, non ci riuscirà facilmente) di indicare una caratteristica comune in base alla quale quei numeri si trovano ad essere elementi dell'insieme B. Potremmo dire, è vero, che l'insieme B si compone di sette elementi che sono numeri naturali maggiori di 1 e minori di 30: ma questa indicazione, come subito si vede, non è sufficiente per poter individuare, elencare, tutti e soli gli elementi dell'insieme B. Inversamente, consideriamo l'insieme di tutti i numeri naturali, . cioè l'insieme di tutti i numeri della serie numerica l, 2, 3, 4, 5 .... Si usa indicare con la lettera maiuscola N (iniziale della parola « naturale ») detto insieme, cioè si pone:

N

=

insieme di tutti i numeri naturali.

L'insieme N risulta cosi individuato, ma non ci è possibile di scrivere, di elencare, tutti gli elementi che lo compongono. Tutt'al più potremo scrivere: N

= {

l, 2, 3, 4, 5 .... }

facendo intendere, con quei puntini, che la serie continua indefinitamente; ma è evidente che non possiamo scrivere tutti gli elementi di N. A guardar bene, c'è una differenza ben notevole tra gli insiemi T, A, B prima considerati (*) e l'insieme N di tutti i numeri naturali. Gli insiemi T, A, B contengono rispettivamente cinque, quattro, sette elementi, cioè (come suoI dirsi) un numero finito di elementi. Ma quanti sono gli elementi dell'insieme N 1 Son forse cento 1 No: sono di più. Son forse mille, centomila, un milione, un miliardo, un miliardo di miliardi 1 No: sono di più ancora, perchè la serie numerica l, 2, 3, 4 ... non ha mai termine: a qualunque numero, per quanto grande, giungiamo, essa prosegue sempre, inesorabilmente. Sicchè, circa il numero degli elementi che costituiscono l'in(*) TI sostantivo insieme ha, secondo l'uso ormai invalso, il plurale insiemi.

,....,5

sieme N, potremmo dire che esso è maggiore di qualunque numero naturale, per quanto grande ci piaccia di fissarlo. Si esprime questo fatto dicendo che N contiene infiniti elementi. E si dice pure che N è un insieme infinito. Invece gli insiemi T, A, B, contenenti rispettivamente 5, 4, 7 elementi (cioè un numero finito di elementi) si dicono insiemi finiti. Questa, tra insiemi finiti e infiniti, è una distinzione assai importante, come vedremo nel seguito.

*** Conviene a questo punto introdurre alcuni simboli speciali. Cominciamo col simbolo cosiddetto di appartenenza, che è costituito da una specie di epsilon deformata dell'alfabeto greco. Il simbolo in questione è E che va letto appartiene a ed indica che un determinato « elemento» appartiene ad un determinato insieme, o, per meglio dire, che un « quid», un « qualche cosa», è elemento di un dato insieme. Per esempio, se ci riferiamo all'insieme: T = { libro, quaderno, penna, lapis, gomma }

potremo scrivere: libro E T oppure: quaderno E T

ecc.

Ciò significa che libro, quaperno, ecc. appartengono all'insieme T. Così, per l'insieme A = { l, 2, 3, 4 } potremo, ad esempio, scrivere:

2EA oppure:

l E A,

3 E A,

4 E A.

Invece per indicare la non appartenenza si usa l'altro simbolo (/; (che si legge: non appartiene a). Come si vede il nuovo simbolo (/; consiste nel simbolo di appartenenza E già veduto, ma con una specie di cancellatura, quasi si fosse pentito (accorgendosi dell'errore) chi in tal caso avesse usato il simbolo E di appartenenza. 6 ,...,

Cosi, per esempio, siccome sul mio tavolo non c'è una tigre, po· tremo scrivere: tigre (/; T. E siccome dell'insieme A non fa parte il numero 5, potremo scrivere: 5$A e cosi via. Una relazione in certo senso inversa a quella di appartenenza è la relazione di contenenza (cioè: se 2 appartiene all'insieme A, ciò vuoI dire che l'insieme A contiene 2 come elemento). Per la contenenza il simbolo è :3 cioè quello di appartenenza rovesciato (esso si legge contiene). Esempi: libro E T (il libro appartiene all'insieme T) è la stessa cosa che scrivere:

T :3 libro (l'insieme T contiene l'elemento libro). Cosi si equivalgono le due scritture:

2EA

oppure

A:3 2.

E cosÌ come la negazione dell'appartenenza si esprime col simbolo $, la negazione della contenenza si esprime col simbolo rovesciato (e cancellato) '$. Esempi: Si equivalgono le scritture: tigre (/; T

T ;/) tigre

(la tigre non appartiene all'insieme T, ossia: l'insieme T non contiene la tigre). E quelle: 5$A

A'$5

(5 non appartiene all'insieme A, ossia: l'insieme A non contiene 5) e cosÌ via. --7

II. SOTTOINSIEMI

Il concetto di sottoinsieme (o parte) di un insieme, del quale tratta questo capitolo, è importantissimo tra gli importanti: avvertiamo che di esso ci serviremo continuamente, ad ogni passo, nel seguito. Particolare attenzione va anche dedicata ai concetti di parte impropria e di insieme vuoto. Riprendiamo in esame il primo insieme da noi considerato, cioè quello T degli oggetti che si trovano sul mio tavolo: T = { libro, quaderno, penna, lapis, gomma }. E tra gli oggetti che si trovano sul mio tavolo, consideriamo soltanto quelli che servono direttamente per scrivere. Un libro non serve per scrivere, ma per leggere, e una gomma non serve neppure per scrivere, ma per cancellare. Gli « elementi» di T che servono per scrivere sono quindi soltanto tre, e cioè il quaderno (s-q cui si scrive), la penna e il lapis (coi quali si scrive). Ebbene: anche questi tre oggetti: quaderno, penna, lapis, costituiscono un insieme, che potremo per comodità indicare, ad esempio, con la lettera maiuscola S (iniziale della parola « scrivere »). Abbiamo cioè:

S = insieme di quegli oggetti sul tavolo che servono per scrivere, oppure, ciò che fa lo stesso: S = { quaderno, penna, lapis }. Si vede subito che l'insieme S è più ristretto, più povero (per dir cosi) dell'insieme T, e che in un certo senso ne costituisce una parte. 8 ""

Ed effettivamente S viene detto un insieme-parte, o anche semplicemente una parte dell'insieme T. Si indica pure con altro nome, il cui significato è evidente: si chiama cioè anche sottoinsieme dell'insieme T. Dunque: T è un insieme; S è anch' esso un insieme, detto sottoinsieme, o parte, di T. Altro esempio: Consideriamo l'insieme A sopra veduto, cioè:

A = { l, 2, 3, 4 }. Se consideriamo soltanto alcuni degli elementi di A, come ad esempio l, 3, possiamo con essi formare un altro insieme, che potremo (ad esempio) indicare con la maiuscola H, ponendo cioè: H = { l, 3 }.

Ebbene: l'insieme H è una parte, ovvero (ciò che fa lo stesso) un sottoinsieme di A. Si badi bene: un sottoinsieme è anch' esso un insieme, che è in una certa relazione con un altro insieme. Così il sottoinsieme S prima veduto è un insieme che è in una certa relazione con l'insieme T, e così il sottoinsieme H or ora veduto è a sua volta un insieme, che è in una certa relazione con l'insieme A. Ma vogliamo ora veder più da vioino in che consista questa relazione che lega un sottoinsieme all'insieme di partenza. Osserviamo un momento questo quadro: INSIEMI

T

=

SOTTOINSIEMI

S

=

{libro, quaderno, penna, lapis, gomma} . {quaderno, penna, lapis}

A

= {

H

= { l, 3 }.

l, 2, 3, 4 }

Ci accorgiamo subito di un fatto: qualunque elemento di un sottoinsieme è anche elemento del relativo insieme. Così gli elementi del sottoinsieme S sono elementi anche del relativo insieme T, e gli elementi del sottoinsieme H sono elementi anche dell'insieme A. Ebbene: questa è proprio la caratteristica che cercavamo: ci conviene cioè di definire nel seguente modo un sottoinsieme Y di un insieme X: Si dice che l'insieme Y è un sottoinsieme (o una parte) di un insieme X se qualunque elemento di Y è anche elemento di X. ,....,9

* * * Finora abbiamo considerato sottoinsiemi di insiemi finiti, ma possiamo svolgere analoghe considerazioni anche per insiemi infiniti. Così se consideriamo l'insieme dei numeri naturali: N = { l, 2, 3, 4, 5, 6, 7 .... } vediamo che un suo sottoinsieme è, ad esempio, l'insieme dei numeri pari: p = { 2, 4, 6, 8, 10 .... }.

Infatti qualunque elemento di P (cioè qualunque numero pari) è anche elemento di N (cioè è un numero naturale). Nel caso or ora veduto anche il sottoinsieme P dell'insieme infinito N è infinito. Ma possiamo avere anche sottoinsiemi finiti di insiemi infiniti: ad esempio l'insieme prima considerato:

A = { l, 2, 3, 4 } è finito, ed è sottoinsieme di N, poichè i suoi elementi sono anche elementi di N, essendo numeri naturali. È evidente, infine, che insiemi finiti non possono avere altro che sottoinsiemi finiti. Introduciamo ora altri due simboli, che riguardano le relazioni tra insiemi qualunque e loro sottoinsiemi. Per indicare che l'insieme S è un sottoinsieme, una parte di T: ossia per indicare che qualunque elemento di S è anche elemento di T, useremo la scrittura: ScT

che si legge: S è compreso (o è contenuto) in T, oppure useremo l'altra scrittura equivalente: T:::JS

che si legge: T comprende (o contiene) S. Come si vede, i due segni c e :::J corrispondono, a parte una deformazione consistente in una specie di arrotondamento della forma, ai due segni comunissimi < e> (rispettivamente minore e maggiore). lO,...,

È stata fissata una tal corrispondenza di segni molto giustamente, perchè un sottoinsieme si presenta intuitivamente come minore del relativo insieme, mentre dal suo canto l'insieme si presenta come maggiore del relativo sottoinsieme. Scriveremo dunque, con riferimento agli esempi precedenti: ScT

HcA PcN

ovvero: ovvero: ovvero:

T::JS

A::JH N::J P.

*** A questo punto, però, occorre fare un'estensione relativa a quanto già detto. In tutti gli esempi finora considerati di sottoinsiemi, gli insiemi di partenza contenevano ancora altri elementi, oltre a quelli dei sottoinsiemi stessi. Cosi, per esempio, l'insieme T contiene ancora due elementi (libro, gomma) che non sono contenuti nel sottoinsieme S; l'insieme A contiene pure due elementi (2, 4) non contenuti nel sottoinsieme H; l'insieme N contiene infiniti elementi (tutti i numeri dispari!) che non sono contenuti nel sottoinsieme P. Quando ciò accade, si dice che sottoinsiemi o parti (come S, H, P) sono parti proprie dei rispettivi insiemi. Ma ora vogliamo introdurre il concetto di parte impropria di un insieme: parte impropria è l'insieme medesimo, che può esser considerato in un certo senso come parte (impropria) di se stesso. A guardar bene, infatti, se un insieme qualunque X viene confrontato con se stesso (cioè se un insieme X viene paragonato ad un altro insieme X identico a se stesso) anche in questo caso X è parte di X, poichè qualunque elemento di X è anche elemento dello stesso X, come è evidente. In fin dei conti, tra le parti di un insieme vogliamo comprendere anche l'insieme stesso: e per distinguerlo dalle vere e proprie parti prima considerate (parti proprie) diciamo che l'insieme è parte impropria di se stesso. In sostanza, è come se, venendo ci richiesto di enumerare tutte le frazioni dell'unità aventi per denominatore, ad esempio, il numero 5, cominciassimo col dire che dette frazioni sono:

l

2

3 4 5 ma aggiungessimo anche la frazione 5' cioè

5 5 5 5 l'unità stessa.

-Il

** * Se due insiemi X, Y sono identici (cioè composti dagli stessi elementi), non soltanto ciascun elemento di X è pure elemento di Y, ma anche ciascuno elemento di Y è pure elemento di X. Potremo quindi, in tal caso, scrivere contemporaneamente:

XcY

Y eX.

e

Così scrivendo verremo a indicare che i due insiemi X, Y sono uguali (identici), così che: X =

Y.

Ancora due altre estensioni dobbiamo ora compiere a proposito degli insiemi e dei loro sottoinsiemi. La prima estensione prende le mosse dall'osservazione seguente. Riprendiamo, ad esempio, l'insieme che per primo abbiamo considerato, e cioè quello: T = { libro, quaderno, penna, lapis, gomma } e proponiamoci di determinare, fra tutti gli elementi di T, soltanto quelli che servono per cancellare. Così come prima abbiamo fatto determinando l'insieme S degli elementi (di T) che servono per scrivere, proponiamoci dunque ora di determinare l'insieme di quelli tra gli elementi di T che servono per cancellare. Ma questa volta abbiamo un 8010 elemento di T che serve per cancellare, e cioè l'elemento gomma. Ebbene: considereremo in tal modo un insieme finora mai da noi incontrato, vale a dire un insieme costituito da un solo elemento. Cioè, se indicheremo con la lettera maiuscola O l'insieme degli oggetti sul tavolo che servono per cancellare, avremo: O = { gomma }. Altro esempio: determinare l'insieme K dei numeri naturali che sono maggiori di 3 e minori di 5. Anche in questo caso l'insieme conterrà un solo elemento, e precisamente: K = { 4 }. Possiamo da questa estensione trarre una conseguenza: se vogliamo elencare le parti, ossia i sottoinsiemi, di un insieme qualunque, nell' elenco non dovremo· soltanto comprendere l'insieme stesso, ma anche tutti gli insiemi comprendenti, uno per volta, ciascuno dei singoli elementi dell'insieme. 12 '"""'

Ad esempio, consideriamo l'insieme di tre elementi: M = { a, b, c } dove con a, b, c indichiamo tre elementi qualunque (potranno essere numeri, punti, persone, libri, oggetti di qualsiasi genere). Vogliamo elencare le parti, cioè i sottoinsiemi, dell'insieme M 1 Anzitutto cominceremo l'elenco con l'insieme M (che, come ogni insieme, va considerato come parte di se stesso). Aggiungeremo poi gli insiemi costituiti da un solo elemento, che può essere il primo, il secondo o il terzo; aggiungeremo cioè i tre insiemi:

{ a} , {b} , {c}

(*).

Naturalmente non sono soltanto questi quattro:

{ a, b, c }

{a}

{b}

{c}

i sottoinsiemi (parti) dell'insieme { a, b, c}. Sono suoi sottoinsiemi anche i seguenti insiemi di due elementi ciascuno:

{a, b}

{a, c}

{ b,

c}.

Siamo giunti, così, a scrivere sette parti (sottoinsiemi) dell'insieme M ={ a, b, c} e cioè:

{a,b,e} {a} {b} {c} {a,b} {a,e} {b,e}. Compiremo ora la seconda estensione aggiungendo a queste sette un'ottava ed ultima parte: il cosiddetto insieme vuoto. Per vedere di che si tratta, domandiamoci ad esempio di determinare l'insieme D dei numeri dispari che terminano con la cifra 2. Non esiste, si sa bene, nessun numero dispari che termini con 2, poichè i numeri dispari sono quelli che terminano con l, o con 3, o con 5, o con 7, o con 9. Di quanti elementi si compone dunque l'insieme D dei numeri dispari terminanti con la cifra 2 1 Di nessun elemento: pertanto se

(*)} Non è necessario indicare con una lettera maiuscola un insieme, come abbiamo fatto finora. TI racchiudere tra parentesi a graffa gli elementi è sufficiente per indi· care l'insieme.

'" 13

vogliamo servirci della consueta scrittura che elenca gli elementi di un insieme tra parentesi a graffa saremo costretti a scrivere:

D = {

}

mostrando così che D non contiene nessun elemento. Ebbene: un insieme, come D, che non contiene nessun elemento (un insieme che in realtà non è un vero insieme nel senso intuitivo della parola) si chiama insieme vuoto, e si indica col simbolo { } oppure anche col simbolo 0. Questo simbolo rassomiglia a quello che una volta nel gergo degli scolari si chiamava zero spaccato: e un tale insieme vuoto corrisponde effettivamente, in certo modo, a quel che è lo zero per i numeri. In sostanza, alla domanda: « Quanti sono i numeri dispari terminanti con 2 1 » risponderemmo: « Nessuno» e questa risposta si tradurrebbe col numero zero (O). Qui esprimiamo lo stesso fatto dicendo, invece, che l'insieme dei numeri dispari terminanti con 2 è l'insieme vuoto, cioè:

D

= { } = (/).

Così, riprendendo il vecchio esempio: Sul mio tavolo vi sono zero tigri, scriveremo: Insieme delle tigri sul mIO tavolo =

(/).

Ebbene: una volta introdotto quest'insieme sui generis che è l'insieme vuoto, questo nuovo insieme rivendica il diritto di essere sottoinsieme, cioè parte, di qualunque insieme si voglia considerare. Vediamo: come si definisce un sottoinsieme, una parte di un insieme 1 Con la proprietà caratteristica che qualunque elemento del sottoinsieme deve essere anche elemento dell'insieme. Ma l'insieme vuoto non possiede nessun elemento, quindi non lo troveremo mai in fallo: cioè non riusciremo mai a trovare un elemento di (/) che non sia anche elemento dell'insieme che si considera: ciò per la semplicissima ragione che (/) non ha elementi. Prendiamo dunque per buona questa sorta di ragionamento, ed ammettiamo l'insieme vuoto tra le parti di qualunque insieme. Così per esempio, nell'elenco già veduto delle parti dell'insieme { a, b, c } aggiungiamo anche l'insieme vuoto. Sicchè le parti del14 '"

l'insieme { a, b, c } non sono più sette, ma otto, e precisamente le otto seguenti:

{ a, b, c}

{a, b }

{ a, c }

{ b, c }

{a}

{b}

{c }

{

}.

E poichè nessuna ipotesi abbiamo fatto sulla particolare natura degli elementi a, b, c dell'insieme { a, b, c } il risultato vale per qualunque insieme di tre elementi, cioè: Le parti, cioè i 8ottoinsiemi, di un qualunque insieme di 3 elementi sono in numero di 8. Osserviamo, a questo punto, che la forza, la potenza (se si vuole) di una teoria generale degli insiemi risiede proprio in questo fatto: che i suoi risultati hanno carattere estremamente generale e possono, particolarizzando la natura degli elementi componenti l'insieme, applicarsi ai casi più svariati: in aritmetica, in geometria, in meccanica, e via dicendo.

,..., 15

III. UNIONE DI INSIEMI

Questo capitolo è un po' più lungo dei precedenti, ed espone tre argomenti fondamentali: l) il concetto di operazione in generale; 2) l'operazione di unione di due insiemi; 3) la proprietà associativa (dell'addizione e di altre operazioni).

Nel capitolo c'è una breve parte, stampata in carattere più piccolo, che può esser senza danno trascurata dal lettore frettoloso. La nozione di operazione su numeri è tra le più comuni: tutti sanno eseguire (o dovrebbero saper eseguire) le famose quattro operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione. Ma vogliamo ora riflettere un momento sul concetto di operazione in generale. Consideriamo, semplicemente a titolo di esempio, l'addizione: 3'

+5

=

8.

Quale è il significato di quest' operazione, o di qualunque altra operazione del genere 1 Possiamo vedere la cosa nel seguente modo. Sono dati due numeri 3 e 5. Una volta fissati questi numeri è pure fissato il risultato dell' addizione, cioè 8. Potremo dunque dire che l'addizione è un'operazione che fa corrispondere alla coppia di numeri 3, 5 il terzo numero 8. Lo stesso potrebbe dirsi, con opportuni cambiamenti, per ogni altra operazione su due numeri: essa è come una specie di corrispondenza, di relazione, che ad una coppia di numeri (presi eventualmente in un cert' ordine: precisazione non necessaria per l'addi16 ,...,

zione e la moltiplicazione) fa corrispondere un terzo numero (*) (risultato dell' operazione). Passiamo ora agli insiemi. Potremo eseguire su di essi operazioni, cosÌ come in aritmetica facciamo con i numeri? Che senso avrà parlare di una operazione tra insiemi? Assegneremo per analogia questo senso: operazione tra due insiemi sarà una specie di relazione, che a due insiemi dati farà corrispondere un terzo insieme. E precisamente considereremo due operazioni, i risultati delle quali chiameremo rispettivamente unione e intersezione degli insiemi. Cominciamo dalla prima operazione, cioè da quella che conduce ad ottenere l'unione di due dati insiemi. Il nome unione ci dà già l'idea che con questa operazione si voglia, per dir cosÌ, mettere insieme, cioè unire, i due insiemi, cosicchè ogni insieme porti il contributo dei suoi elementi per costituire gli elementi dell'insieme unione. E appunto la definizione di unione è proprio questa: unione di due insiemi è l'insieme formato prendendo come suoi elementi quegli elementi che sono o nell'uno o nell'altro dei due insiemi (o in ambedue) (**). Vediamo di precisar megHo la cosa su esempi pratici. Siano dati, ad esempio, i due insiemi di numeri naturali: A = { l, 2, 3 }

B = { 3, 4, 5 }.

La loro unione è l'insieme:

o

= { 1,2,3,4,5 }

gli elementi del quale sono formati col contributo degli elementi di A e con quello degli elementi di B, che vengono in O messi insieme, riuniti. Naturalmente anche l'elemento 3, che appartiene tanto ad A quanto a B, entra a far parte di O. Vale a dire: O è costituito da elementi, che sono o elementi di A, o elementi di B, o di entrambi. L'operazione di unione viene indi-

(*) Se i numeri son quelli naturali l, 2, 3, 4, .... cioè quelli dell'insieme N, il risultato dell'addizione è ancora un numero naturale; cosi per la moltiplicazione. Le cose andranno diversamente per le altre due operazioni. (**) Per brevità, chiameremo unione non soltanto l'insieme-risultato, ma anche l'operazione, il procedimento, che conduce ad ottenere l'unione.

'" 17 2. -

FRAJESE.

cata col simbolo U (che è una specie di lettera U, iniziale della parola unione, maiuscola), cioè si scrive:

AUB=C (e si legge brevemente: A unione B è C). Per un secondo esempio ricorriamo alla cosiddetta rappresentazione grafica di VENN. In questa rappresentazione si immagina che gli insiemi siano insiemi di punti, e precisamente di punti del piano racchiusi entro un certo perimetro. , Così, ad esempio, un insieme X può essere rappresentato dall'area tratteggiata in figura, come se si trattasse di un insieme infinito

A.

x

Fig. 1.

8

Fig. 2.

comprendente tutti e soli gli infiniti punti compresi entro l'area tratteggiata. Sia ora l'insieme A quello dei punti racchiusi entro l'area con tratteggio orizzontale, e B sia l'insieme dei punti racchiusi entro l'area'con tratteggio verticale. Quale sarà l'insieme A U B in questo caso ~ Sarà l'insieme dei punti delle aree comunque tratteggiate, oioè con tratteggio orizzonvale, con tratteggio verticale o con tratteggio doppio, cioè l'unione A U B sarà formata sia dai punti di A sia dai punti di B: compresi naturalmente anche i punti comuni ad A e B (la parte corrispondente al doppio tratteggio). Come si vede, l'unione di due insiemi corrisponde in certo modo alla somma di due numeri, e l'operazione relativa corrisponde all' operazione di addizione. Per l'addizione tra numeri, c'è un numero indifferente, o neutro: cioè tale che addizionato ad un numero qualsiasi lo lascia invariato. Un tal numero, come tutti sanno, è lo zero. Così, ad esempio:

e via dicendo. 18 '"

Un ufficio similare ha, per l'operazione di unione tra insiemi, l'inrieme vuoto, che abbiamo indicato con { } o anche con 0, cioè l'insieme che non possiede alcun elemento. Infatti si ha, qualunque sia l'insieme X: X U 0 = X.

La relazione è valida, dal momento che il contributo portato ad X dall'unione con l'insieme vuoto è nullo (l'insieme vuoto non può aggiungere ad X alcun elemento, dal momento che nessun elemento possiede!). Quindi l'insieme vuoto è, similmente allo zero per l'addizione tra numeri, l'insieme indifferente (detto anche neutro) rispetto all' operazione di unione tra insiemi: unire l'insieme X con !'insieme vuoto significa lasciare X com'è! Vediamo invece subito una differenza importante rispetto all'addizione tra numeri. Se si addizionano due numeri uguali, cioè se si addiziona un numero a se stesso, si ottiene una somma che è ben diversa da ciascuno degli addendi, poichè è il doppio di ciascuno di essi (*). Invece se si unisce un insieme con se stesso si ottiene ancora lo stesso insieme: X U X

=

X.

Infatti il secondo X non reca, per dir cosi, alcun nuovo contributo a quello che potremmo chiamare il primo X. Un altro elemento di somiglianza: la proprietà commutativa. L'addizione tra numeri gode notoriamente di detta proprietà: cioè invertendo l'ordine degli addendi la somma non cambia. Cosi: 5 7

+3 +4

e via dicendo. Ebbene: l'operazione di unione di due insiemi gode pure della proprietà commutativa, cioè:

AUB

B U A.

(*) Unica eccezione si ha per lo zero, per il quale: O

+

O

=

O.

'""' 19

Infatti tanto per A U B quanto per B U A si tratta sempre della stessa cosa: l'insieme-unione è cioè lo stesso in ambedue i casi, venendo in ambedue i casi formato con gli elementi di A e con qUèlli di B (compresi quelli comuni ad A e B): l'ordine nel quale considereremo A e B (prima A, poi B, oppure prima B, poi A) non ha nessuna influenza sulla determinazione dell' insieme-unione. Potremo cioè dire, in forma stringata: Cambiando l'ordine degli insiemi, l'unione non cambia. Ma ancora un elemento fondamentale di somiglianza possiamo riconoscere tra l'addizione (tra numeri) e l'operazione di unione (tra insiemi), e ciò precisamente in relazione a operazioni su più di due termini (numeri o insiemi). Partiamo dalla considerazione dell' addizione di tre numeri. Che cosa intendiamo per somma di tre numeri 1 Ad esempio, vediamo che cosa intendiamo con la scrittura: 3

+

5

+

2.

Intendiamo che dobbiamo prima eseguire l'addizione:

e che poi al risultato ottenuto dobbiamo addizionare il terzo addendo 2, avendo cosÌ: 8

+

2 =

lO.

Cioè: 3 + 5 + 2 = lO come tutti sanno. Se, come è d'uso, racchiudiamo tra parentesi l'operazione ùhe deve essere eseguita con precedenza sulle altre, cioè che deve essere eseguita per prima, potremo scrivere: 3

+

5

+

2

=

(3

+

5)

+

2

=

8

+

2

=

lO.

Cioè la scrittura (3 + 5) + 2 significa che dobbiamo dapprima eseguire l'addizione 3 + 5 = 8 e poi l'altra addizione, del risultato 8 col terzo termine 2. Ma sappiamo pure che per l'addizione tra numeri vale la proprietà associativa: sappiamo cioè che possiamo associare tra loro due termini qualunque, e non soltanto i primi due. Cioè invece di eseguire il calcolo come abbiamo fatto, possiamo 20

anche eseguirlo addizionando dapprima i due ultimi termini 5 e 2 ottenendo 7, e poi addizionando il primo termine 3 al risultato 7: otteniamo cosi ugualmente lO. Cioè possiamo operare anche cosi: 3

+

(5

+ 2)

=

3

+

7 =

lO.

Dunque si ottiene lo stesso risultato operando nell'una o nell'altra maniera, cioè si può scrivere: (3

+ 5) +

2 =

3

+

(5

+ 2).

In CIO consiste appunto la proprietà associativa dell'addizione di tre addendi: si possono associare (cioè qui addizionare) i primi due o gli ultimi due addendi: il risultato è lo stesso. È per questo che scriviamo semplicemente:

senza parentesi: si possono associare gli addendi come si vuole, perchè il risultato è sempre lo stesso, cioè lO. Più in generale, se indichiamo con a, b, c tre numeri qualunque da addizionare, la proprietà associativa dell' addizione è espressa dalla scrittura: (a

+ b) + c

=

a

+

(b

+ c)

cioè: tanto vale addizionare dapprima i primi due termini a, b, ed addizionare poi alla somma ottenuta il terzo termine, quanto vale addizionare il primo termine a alla somma degli ultimi due (di b e di c) (*). . Ebbene: la proprietà associativa vale anche per la determinazione dell'unione fra tre o più insiemi: cioè, avendo (per esempio) tre insiemi A, B, O si ottiene lo stesso risultato, vale a dire si giunge allo stesso insieme finale, sia che si proceda prima all'unione A U B e poi si unisca O al risultato, sia che si proceda prima all'unione B U O e poi si unisca A al risultato. In simboli scriveremo: (A U B) U O = A U (B U O) (*) La proprietà associativa si estende anche all'addizione di più di tre termini. Se poi, come nel nostro caso, vale anche la proprietà commutativa, si ha ano cora maggiore libertà di azione.

,...... 21

dove le parentesi indicano l'ordine di precedenza delle operazioni. Vediamo meglio la cosa su un esempio, supponendo che A, B, C siano seguenti tre insiemi di numeri naturali:

A

=

B = { l, 4, 6, 8 }

{ l, 3, 5 }

C = { l, 3, 6, lO }.

Se operiamo nel primo modo otteniamo:

A U B = { 1,3,5 } U { 1,4,6,8 } = { l, 3, 4, 5, 6, 8 } (A U B) U C = { 1,3,4,5, 6, 8} U { 1,3,6, lO} = { 1,3,4,5,6,8, lO}. Nel secondo modo otteniamo pure:

B U C A U (B U C)

=

{ 1,4,6,8 } U {

= { 1,3,5 } U {

l ,3,6, IO} = { 1,3,4,6,8, lO}

l, 3,4,6, 8, lO } =

{ 1,3,4,5,6, 8,

lO }.

Come si vede, il risultato è lo stesso. Del resto, per rendersi conto del fatto che per l'unione tra insiemi valga la proprietà associativa, basta osservare ohe tanto l'unione (A U B) U C quanto quella A U (B U C) conducono allo stesso insieme-risultato, cioè all'insieme avente per elementi tutti e soli gli elementi di A, di B, di C (compresi quelli comuni a due o più di quegli insiemi).

*** Concludendo, abbiamo veduto che l'operazione di unione tra insiemi qualunque gode della proprietà commutativa e di quella associativa, così come l'addizionE; (ed anche la moltiplicazione) tra numeri. Non vorremmo però che il lettore, a questo punto, potesse credere che la constatazione fatta sia oziosa, dal momento che qualunque operazione, eseguita su enti comunque scelti, goda delle stesse due proprietà. Mostreremo perciò, su un paio di esempi, come anche per certe operazioni su numeri la proprietà commutativa e quella associativa non siano valide. Basterà per questo considerare l'operazione di divisione. Essa non gode della proprietà commutativa. Così 8 : 2 non è la stessa cosa che 2 : 8. Basti osservare che 8 : 2 = 4, mentre la divisione 2 : 8 non può eseguirsi, nel senso che nessun numero naturale ne è il risultato (nessun numero naturale, moltiplicato per il divisore 8, ci restituisce il dividendo 2). 22 '"

Occorre ampliare il concetto di numero, come vedremo, e introdurre i cosiddetti numeri razionali; diremo allora che 2 : 8

2

l

8

4

Quindi 8 : 2 è cosa ben diversa da 2 : 8. In parole povere, ben diversa cosa è dividere, ad esempio, 8 chili di merce tra 2 persone, o 2 chili della stessa merce tra 8 persone! Ma è facile vedere che la divisione non gode neppure della proprietà associativa. Esaminiamo, ad· esempio, la scrittura: (16 : 4) : 2. Essa ci indica che dobbiamo eseguire dapprima la divisione 16 : 4, che ci dà il risultato 4, e poi dividere detto risultato 4 per 2, cioè: (16 : 4) : 2

=

4 : 2

=

2.

Procedendo nel secondo modo otterremo un risultato diverso. Infatti: 16 : (4 : 2) =

16 : 2 =

8.

Non vale, dunque, per la divisione, neppure la proprietà associativa. E per quanto riguarda quest'ultima proprietà, mostriamo pure un altro esempio numerico. L'operazione da eseguire sia quella della determinazione della cosiddetta media aritmetica tra due numeri (cioè dell'addizione e susseguente divisione per 2). Ad esempio, la media aritmetica tra 6 e 8 è: 6

+

8

14

=-=7.

2

2

Più in generale tra due numeri a, b la media aritmetica è:

a

+b 2

Ebbene: supponiamo di considerare i tre numeri 12, 8, 4, e indichiamo con M il simbolo dell'operazione di determinazione della media aritmetica. Scriviamo dapprima: (12 M 8) M 4. f"'oJ

23

Questa scrittura significa che dobbiamo dapprima determinare la me· dia aritmetica tra 12 e 8, e poi la media tra la media così trovata e 4. Cioè: 12 M 8 =

12

+8

20 = lO

=

2

(12M8)M4 = IOM4 =

2

lO: 4 l; 7. =

=

Procedendo, invece, nell'altro ordine si ottiene un risultato diverso. Infatti: 12 M (8 M 4) ci dà: 8M4= 8+4 = 12 -= 6 2 2 12 M ( 8 M 4) = 12 M 6 =

+

12 2 6 _- 2 ~ _- 9.

Per la determinazione della media aritmetica tra numeri non vale dun· que la proprietà associativa.

Vediamo che cosa avviene se eseguiamo l'unione di un insieme con una sua parte (cioè con un suo sottoinsieme). Per esempio, dato l'insieme I = { 2, 3, 5, 6 } consideriamo il suo sottoinsieme:

s

= { 3, 5 }.

Questo sottoinsieme, poichè i suoi elementi (per definizione) sono anche elementi di I, non porta ad I, nell'unione, nessun elemento nuovo: quindi I resta inalterato. Cioè:

I U S

1.

Dunque questo sottoinsieme ricopre in questo caso lo stesso ufficio dell'insieme-vuoto 0, che è l'elemento indifferente (neutro), rispetto all'unione. Ma !'insieme vuoto è elemento indifferente rispetto a qualsiasi unione: cioè qualunque insieme, se unito all'insieme-vuoto, resta inalterato:

x 24 ,....,

U0

X.

Qui invece S è insieme indifferente soltanto se l'unione viene eseguita con un insieme I di cui S sia parte. Soltanto allora:

I U S = I. Resta comunque da osservare che mentre nell'addizione tra numeri soltanto lo zero è il numero indifferente, nell'unione tra insiemi, invece, oltre all'insieme generalmente indifferente (/) (insieme vuoto) possono aversi, sia pure in casi particolari, insiemi indifferenti diversi da quello vuoto.

,..., 25

IV.

INTERSEZIONE DI INSIEMI

Questo capitolo è strettamente legato al precedente: per comprendere bene che cosa sia l'intersezione di due insiemi è infatti ottima cosa contrapporla all'unione degli insiemi stessi. Perciò abbiamo riassunto, all'inizio del capitolo, la definizione di unione.

Abbiamo veduto in che consista l'unione tra insiemi. Si tratta di una vera e propria operazione (*) sugli insiemi, che a due (o più) insiemi dati fa corrispondere, con determinate regole, un nuovo insieme-risultato, che si chiama appunto unione degli insiemi dati. Elementi dell'insieme-unione sono tutti e soli gli elementi di ciascuno degli insiemi di {lartenza, compresi gli elementi a questi comuni. Abbiamo 'infine anche visto che, similmente alle operazioni di addizione e di moltiplicazione tra numeri, l'unione tra insiemi gode delle due proprietà fondamentali commutativa e associativa. Passiamo ora a considerare una seconda operazione tra insiemi: operazione che sotto certi aspetti può essere paragonata alla moltiplicazione tra numeri. Si tratta dell'operazione che conduce all'intersezione di due (o più) insiemi. Intersezione è un nuovo insieme, i cui elementi sono tutti e soli gli elementi appartenenti a tutti gli insiemi dati, cioè gli elementi ad essi comuni: essa si indica col simbolo n, cioè una specie di U rovesciata.

(*) Per brevità, come è stato già detto, chiamiamo unione non soltanto l'insiemerisultato, ma anche l'operazione, il procedimento, che conduce ad ottenere l'unione. Cosi qui col nome intersezione intenderemo sia. il risultato di una nuova. operazione, sia. l'operazione stessa.

26 ,.....,

Siano dati, per esempio, i due insiemi di numeri naturali:

A = { 2, 5, 6, 7 }

B = { 1, 3, 5, 7, 9 }.

L'intersezione è:

A

n

B = { 5, 7 }.

Infatti soltanto gli elementi 5, 7 appartengono tanto ad A quanto a B: quindi soltanto essi appartengono all'intersezione A n B. Per gli stessi insiemi A, B l'unione sarebbe invece stata:

A U B = { 1,2,3,5,6,7,9 }. Il contributo all'intersezione non è dunque quello recato dai singoli elementi come nel caso dell'unione: è invece quello (ci si perdoni il bisticcio) recato insieme da tutti gli insiemi. Vogliamo ora ricorrere al diagramma di Venn, già utilizzato a proposito dell'unione. Rappresentiamo due insiemi qualunque X, Y con due cerchi. L'insieme X sia rappresentato da tutti i punti interni al cerchio di sinistra, mentre l'insieme Y sia rappresentato da tutti i punti interni al cerchio di destra.

x

Fig. 3.

Fig. 4.

y

Fig. 5.

L'intersezione X n Y verrà allora rappresentata dai punti dell'area tratteggiata orizzontalmente, cioè dai punti comuni ai due cerchi rappresentanti i due insiemi X, Y. Invece l'unione X U Y verrà rappresentata da tutta l'area tratteggiata verticalmente, cioè non soltanto dai punti comuni ai due cerchi, ma anche da tutti i punti che appartengono soltanto ad uno dei cerchi stessi.

*** Come per l'unione, anche per l'intersezione valgono la proprietà commutativa e quella associativa. ,...., 27

Per renderei conto della validità della proprietà commutativa, cioè del fatto che è:

qualunque siano i due insiemi, A, B, basta riflettere sul fatto che per determinare l'intersezione di due insiemi OCCOlTe determinare gli elementi comuni agli insiemi stessi, e che detta determinazione non dipende dall'ordine nel quale gli insiemi vengono considerati. Cosi, ad esempio, se:

x

=

{2, 5, 6}

Y={1,5,6,8}

si ha:

x n

Y = { 5, 6 }

ed anche: Y

nx

= { 5, 6 }

cioè:

x n

Y

Y

=

n X.

A parole: « Variando l'ordine degli insiemi, l'intersezione non cambia». E per l'intersezione, cosi come per l'unione, vale anche la proprietà associativa. Cioè, dovendo trovare l'intersezione di tre insiemi X, Y, Z, tanto vale determinare prima l'il1tersezione dei due primi insiemi e poi l'intersezione col terzo: (X

n

Y)

nZ

quanto determinare anzitutto l'intersezione del secondo e del terzo insieme e poi determinare l'intersezione del primo elemento con l'intersezione trovata: X

n (Y n Z).

Cioè si ha: (X

n

Y)

nZ

=

X

n

(Y

n Z)

(scrittura che esprime la proprietà associativa dell'intersezione). 28 ,....,

Esempio:

x = { 1,3,5,8}

Y

= { 1,5,8,9}

Z

= { 5, 8, 9,

Il }.

Si ha nel primo modo:

x n

Y

n

Y)

(X

= { l, 3, 5, 8 } n { l, 5, 8, 9 } = { l, 5, 8 } n z = { 1,5,8 } n { 5, 8, 9, Il} = { 5, 8 }.

E cosi pure, nel secondo modo:

Y X

n z = { l, 5, 8, 9 } n { 5, 8, 9, 11 } = { 5, 8, 9 } n (Y n Z) = { l, 3, 5, 8 } n { 5, 8, 9 } = { 5, 8 }.

Come si vede, il risultato è lo stesso.

*** Abbiamo già veduto che l'unione di un InSIeme qualunque con l'insieme vuoto 0 lascia inalterato il primo insieme, cioè che X U 0 = X qualunque sia l'insieme X. Ciò corrispondentemente all' addizione tra numeri, per la quale il numero zero ha la stessa funzione di un numero indifferente, avendosi: x O = x, qualunque sia x. Che cosa avviene, invece, se effettuiamo, anzichè l'unione, l'intersezione di un insieme X qualunque con l'insieme vuoto? L'intersezione in questione deve essere un insieme composto da tutti e soli gli elementi comuni all'insieme X e all'insieme vuoto. Ma non vi è nessun elemento comune ad X e all'insieme vuoto, per la semplice ragione che l'insieme vuoto non possiede nessun elemento. Il risultato dell'operazione di intersezione X n 0 è dunque un insieme che non possiede nessun elemento, cioè è lo stesso insieme vuoto. Quindi:

+

X

n0

0.

Questo fatto ci mostra che come c'è un'analogia tra l'addizione (tra numeri) e l'unione (tra insiemi) e come c'è un'analogia tra il ,...., 29

numero zero e l'insieme vuoto, così pure c'è un'analogia tra la moltiplicazione (tra numeri) e l'intersezione (tra insiemi). Vediamo infatti come procedono le cose per i numeri. C'è un legame tra le due operazioni di addizione e di moltiplicazione: esso è costituito essenzialmente, come vedremo in un prossimo capitolo, dalla cosiddetta proprietà distributiva. Ma fin da ora possiamo mettere in evidenza un fatto che alla proprietà distributiva è strettamente legato: il fatto che lo zero (numero indifferente rispetto all'addizione) è fattore annullante per la moltiplicazione. Ad esempio:

vale a dire lo zero è numero indifferente rispetto all' addizione, cioè se addizionato a qualsiasi altro numero lo lascia inalterato. Ebbene: quello stesso numero zero, se moltiplicato per qualsiasi altro numero, dà per prodotto zero, cioè: 5 X O =

o.

Se osserviamo ora quel che accade per gli insiemi, ci accorgiamo che l'insieme vuoto ha la stessa funzione dello zero numerico; per l'unione, anzichè per l'addizione, e per l'intersezione anzichè per la moltiplicazione. Cioè l'insieme vuoto è (come s'è visto) elemento indifferente rispetto all' unione: I U

0

=

I

ed è elemento annullante rispetto all' intersezione : I n(/)=

0.

Siamo cioè portati a stabilire questa specie di corrispondenza sinottica: NUMERI

INSIEMI

Addizione Moltiplicazione Zero a o a a X o o

Unione Intersezione Insieme vuoto I U (/) I I n 0 = 0.

+

30 ,...,

Si aggiunga che, come vedremo poi, l'intersezione e l'unione tra insiemi godoijo della proprietà distributiva, analogamente alla moltiplicazione e all'addizione tra numeri (*).

*** Va tuttavia osservato che, cosÌ come è accaduto per l'unione, anche l'intersezione ci riserva alcune sorprese, che la portano a differenziarsi dalla moltiplicazione tra numeri. l) Anzitutto: abbiamo veduto che l'unione di un insieme con una sua parte (sottoinsieme) dà come risultato l'insieme di partenza:

IUS=I (dove I è un insieme qualunque, ed S è un suo sottoinsieme). Se, invece, ricerchiamo l'intersezione di un insieme e di una sua parte otteniamo come risultato non l'insieme, ma la parte:

I

nS

=

S.

(Infatti tutti gli elementi di S, per definizione di sottoinsieme, sono anche elementi dell'insieme I: cioè gli elementi di S sono comuni ad S e ad I, anzi sono tutti gli elementi comuni ad S e ad I, quindi costituiscono l'intersezione di S ed I). ' Esempio:

S

I = { 2, 5, 8, lO }

= { 2,

lO } c 1.

Qui dunque S è una parte di I. Ed abbiamo:

I U S I

n

S

{2,5,8, lO} {2,5,8, lO}

U {2, lO} {2, lO}

n

{ 2,5,8, lO } { 2, lO } = S.

I

2) Osserviamo inoltre che, quando si moltiplica un numero per se stesso si ottiene un nuovo numero (il quadrato) che è generalmente differente dal primo (**).

(*) Anzi, come vedremo, intersezione e unione godono di una. sorta di doppia proprietà distributiva. (**) Tranne il caso che il numero di partenza sia lo zero oppure l'unità. Infatti:

Oxo=o;

lxl=l.

,..., 31

CosÌ per esempio: 2 X 2 -

4

3 X 3

9

e via dicendo. Se, invece, vogliamo operare l'intersezione di un insieme con se stesso, otteniamo ancora lo stesso insieme: I

n

I

I.

Infatti possiamo considerare, se ci piace, che gli elementi di I siano « comuni» ad I e ad un altro I ad esso identico. In altri termini, il secondo I dell'operazione non sottrae nulla, agli effetti dell'intersezione, al primo I. Un fatto simile accade, s'è visto, pure per l'unione: I U I = I.

Questa proprietà che per i numeri si verifica soltanto per lo zero rispetto all'addizione, e per lo zero e l'unità rispetto alla moltiplicazione, si verifica invece negli insiemi sempre, sia rispetto all'unione sia rispetto all'intersezione, e viene indicata col nome di equipotenza. Dunque l'equipotenza suddetta è indicata, per un insieme qualunque I, dalle due scritture: I UI = I I n I = I

(equipotenza rispetto all'unione) (equipotenza rispetto all'intersezione).

3) Che cosa avviene, nei riguardi delle operazioni di unione e di intersezione, se due insiemi non hanno nessun elemento comune, cioè se sono' (come suoI dirsi) insiemi disgiunti 1 Ad esempio, i due insiemi di numeri:

A

= { l, 3, 5 }

B = { 2, 4, 7 }

non hanno, come si vede, nessun elemento comune, cioè sono disgiunti. Nulla di speciale per quanto riguarda la loro unione: dell'insiemeunione fanno parte tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B:

A U B = { l, 2, 3, 4, 5, 7 }. 32 ,...,

Come vanno le cose, invece, per l'intersezione? L'insieme-intersezione va formato con tutti gli elementi comuni ad A e aB; ma siccome A e B non hanno nessun elemento comune, l'intersezione non conterrà nessun elemento, cioè sarà l'insieme vuoto. Quindi: { l, 3, 5 }

n{

2, 4, 7 } =

0

e più in generale, se A e B sono due insiemi disgiunti qualunque:

A

nB

=

0.

Qui c'è dunque una differenza essenziale rispetto alla comune moltiplicazione tra numeri, per la quale, invece, vale la legge di annullamento del prodotto. Questa ci dice che perchè un prodotto sia nullo occorre (e basta) che sia nullo almeno uno dei fattori (*). Per gli insiemi, invece, la condizione è sufficiente soltanto: cioè, l'intersezione è certamente vuota se uno degli insiemi di partenza è vuoto (1 n 0 = 0), ma non è necessaria. Infatti possiamo avere intersezione vuota anche se nessuno dei due insiemi di partenza è vuoto, bastando che essi siano disgiunti, cioè:

con A i=- 0, B i=- 0 (**), cioè anche con A, B non vuoti, purchè siano disgiunti. Ricapitolando: rispetto alla moltiplicazione l'intersezione presenta analogie e differenze, e precisamente abbiamo veduto finora: ANALOGIE:

l) Proprietà commutativa. 2) Proprietà associativa. 3) L'elemento indifferente rispetto all'unione è elemento annullante rispetto all'intersezione, ed è l'insieme vuoto, così come lo zero è elemento indifferente rispetto all'addizione ed elemento annullante rispetto alla moltiplicazione. (*) In altri termini, moltiplicando tra loro due numeri non nulli, è impossibile che il prodotto risulti uguale a zero. Perchè ciò avvenga, occorre che sia uguale a zero almeno uno dei due numeri (fattori). Ciò almeno per i numeri che siamo abituati a considerare come tali. . (**) Il simbolo =1= significa « diverso da ».

,....., 33 3. -

FRAJEBE.

DIFFERENZE:

1) L'intersezione d'un insieme con un suo sottoinsieme è il sottoinsieme. 2) La equipotenza dell'intersezione (I n I = I) (per i numeri si verifica, nella moltiplicazione, soltanto per lo zero e l'unità). 3) L'intersezione di due insiemi non vuoti può esser vuoto (e lo è quando i due insiemi di partenza sono disgiunti, cioè non hanno nessun elemento comune). Sul diagramma di Venn due insiemi disgiunti X, Y possono esser rappresentati da due cerchi esterni l'uno all'altro, cioè tali che

Fig. 6.

non abbiano nessun punto comune. La loro intersezione non contiene dunque nessun punto, cioè è l'insieme vuoto. Si ha dunque: X

n

Y =

(/)

se X, Y sono disgiunti.

Per i numeri, invece, il prodotto è nullo se è nullo almeno uno dei fattori, come s'è detto. Altro elemento di analogia, come già abbiamo preannunziato, sarà costituito dalla cosiddetta proprietà distributiva, che tuttavia (come vedremo) vale per gli insiemi in modo doppio, differentemente da quel che si verifica per le operazioni sui numeri.

NOTA SUL CONCETTO DI INSIEME.

È forse utile che ci fermiamo ancora per un momento sul concetto di insieme puro e semplice. Dobbiamo dire, però, che ci sentiremmo assai imbarazzati se dovessimo dare una vera definizione di insieme. La tendenza più diffusa oggi, almeno sul terreno didattico-espositivo, è quella di assumere il concetto di insieme come pri34 ,....,

mitivo, cioè senza definizione: ci si limita soltanto a dare esempi illustrativi di insiemi, e degli elementi che ad un insieme appartengono. Il grande matematico tedesco Giorgio Cantor (1845-1918), che può dirsi il fondatore della teoria degli insiemi, diede di insieme una definizione che può dirsi descrittiva, nel senso che spiega, che illustra, che descrive, che cosa sia un insieme, supponendo l'insieme stesso come già in qualche modo esistente, e quindi soltanto da individuare. In questo senso è una definizione che può dirsi platonicoeuclidea (*). Eccola: Per insieme intendiamo una collezione di determinati oggetti della nostra intuizione o del nostro pensiero ben distinti e riuniti in un tutto: tali oggetti son detti elementi dell'insieme. Questa nostra traduzione dal tedesco è piuttosto libera, e va ulteriormente commentata. Secondo Giorgio Cantor si ha un insieme quando si verifica il fatto che oggetti qualunque [percepibili coi nostri sensi (>1 I Y I ossia: I Y I< IX (la potenza di X è maggiore di quella di Y)

I

ì

3) Se

Y ( ) X' (parte propria di X) Le pote~ze . s?! no ugualI, Cloe: ed anch e: ( X +------+ Y' (parte propria di Y) ) I X

I = I Y I(*).

(*) Nel capitolo seguente, attraverso un riassunto iniiiale, verranno maggior. mente chiariti i concetti di uguaglianza e di disuguaglianza di potenza.

'"'" 101

Passiamo ora a dare un esempio. E ricordiamo proprio quello di Galileo. Il grande Pisano considera, nella sua opera fondamentale Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, due insiemi, quello N = { l, 2, 3, 4, 5, 6 ... }

di tutti

numeri naturali, e quello:

x

=

{

l, 4, 9, 16, 25, 36 .... }

di tutti i numeri naturali che siano quadrati perfetti, cioè tali da risultare dalla moltiplicazione di un numero naturale per se stesso (1 = l X l, 4 = 2 X 2, 9 = 3 X 3, 16 = 4 X 4, 25 = 5 X 5 e così via). L'insieme X dei quadrati è parte propria dell'insieme N dei numeri naturali, cioè ogni elemento di X è anche elemento di N, il quale ultimo insieme possiede anche altri elementi oltre a quelli di X. Questa circostanza, che gli elementi di X siano soltanto alcuni tra gli elementi di N, viene messa in evidenza da Galileo col dire che i numeri naturali sono più dei numeri quadrati. Col linguaggio della teoria degli insiemi si dice che l'insieme dei numeri quadrati è parte propria dell'insieme N dei numeri naturali: X c N. Ma Galileo osserva che ad ogni numero naturale corrisponde un numero quadrato, e che inversamente ad ogni numero quadrato corrisponde un numero naturale (quello che l'ha generato per moltiplicazione, cioè la radice quadrata), cosÌ:

{I X) {I

N)

2

4

345 9 16 25

6 26

} }.

Così, ad l, 2, 3 .... corrispondono l, 4, 9 .... ed inversamente ad l, 4, 9 .... -corrispondono l, 2, 3 .... Col nostro linguaggio esprimiamo questo fatto dicendo che i due insiemi N, X possono porsi in corrispondenza biunivoca, e scriviamo simbolicamente:

N

-