Matematica proverbiale. Concetti matematici nascosti tra le pieghe dei proverbi matematici 8862207611, 9788862207614

Table of contents :
Matematica proverbiale
Introduzione
1. Ogni proverbio è vero
1.1 A chi lavora il tempo passa presto
1.2 Chi ben congettura bene indovina
1.3 Chi cerca trova
1.4 Chi ha fatto trenta può fare trentuno
1.5 L’unione fa la forza
1.6 Meglio un uovo oggi che una gallina domani
1.7 Non c’è due senza tre
1.8 Salvare capra e cavoli
1.9 Segreto di due, segreto di Dio; segreto di tre, lo sa pure il mondo
1.10 Tanto va la gatta al lardo che ci lascia lo zampino
1.11 Trenta giorni ha novembre, con aprile, giugno e settembre; di ventotto ce n’è uno; tutti gli altri ne han trentuno
1.12 Zero via zero, fa zero
2. Tutto il mondo è paese
2.1 Ama chi t’ama e rispondi a chi ti chiama
2.2 Chi conta sul futuro, sovente s’inganna
2.3 Chi sa il gioco non l’insegni
2.4 Contano più gli esempi che le parole
2.5 La necessità aguzza l’ingegno
2.6 L’eccezione conferma la regola
2.7 Non si possono raddrizzare le gambe ai cani
2.8 O tutto o nulla
2.9 Paese che vai, usanza che trovi
2.10 Tante teste, tanti pareri
2.11 Tra il dire e il fare c’è di mezzo il mare
2.12 Un errore ne porta cento
3. Una parola tira l’altra
3.1 Amore non si trova al mercato
3.2 Bacco, Tabacco e Venere riducono l’uomo in cenere
3.3 Chi fa da sé fa per tre
3.4 Due torti non fanno una ragione
3.5 Gioco di mano, gioco di villano
3.6 Il diavolo fa le pentole ma non i coperchi
3.7 Il tempo è denaro
3.8 Non si muove foglia che Dio non voglia
3.9 Non tutte le ciambelle riescono col buco
3.10 Ogni promessa è debito
3.11 Quel che non si può, non si deve
3.12 Tutto è bene quel che finisce bene
Ringraziamenti
Bibliografia
Indice analitico
Indice

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RICCARDO BERSANI, ENNIO PERES

MATEMATICA PROVERBIALE Concetti matematici nascosti tra le pieghe dei proverbi popolari

Copertina: GrafCo3 Ponte alle Grazie è un marchio di Adriano Salani Editore s.u.r.l. Gruppo editoriale Mauri Spagnol Il nostro sito Internet è: www.ponteallegrazie.it Seguici su Facebook e su Twitter (@ponteallegrazie) Per essere informato sulle novità del Gruppo editoriale Mauri Spagnol visita: www.illibraio.it www.infinitestorie.it © 2013 Adriano Salani Editore s.u.r.l. – Milano ISBN 978-88-6833-009-5 Prima edizione digitale 2013 Quest’opera è protetta dalla Legge sul diritto d’autore. È vietata ogni duplicazione, anche parziale, non autorizzata.

Introduzione (Chi ben comincia è a metà dell’opra)

Con il termine proverbio, come è a molti noto, si intende un breve detto anonimo, di larga diffusione e antica tradizione, che esprime un giudizio o un consiglio, desunto dall’esperienza comune. Un proverbio è sempre portatore di un significato compiuto, a differenza di un generico modo di dire che, per riuscire a esprimere un concetto preciso, deve essere associato a un predicato verbale, al pari di un avverbio. Ad esempio, la locuzione: «a denti stretti» può significare: «con rabbia», «controvoglia» o anche: «col massimo impegno». Per poter fornire un’informazione meno vaga, però, deve essere inserita in frasi analoghe a queste: «rispose a denti stretti», «accettò a denti stretti», «lottava a denti stretti», e così via. Invece, un proverbio come: «Chi la fa, l’aspetti», manifesta il chiaro significato di: «Chi reca danno ad altre persone, deve aspettarsi da queste una reazione dello stesso tipo», senza bisogno di alcun tipo di intervento sintattico. Lo scopo dei proverbi è ben preciso: sintetizzare un concetto, una tesi, un’argomentazione o una convinzione. La stessa etimologia della parola è esplicita, in entrambe le interpre5

tazioni del prefisso pro (che può significare sia: «al posto di», che: «a favore di»). In pratica, il proverbio sta al posto del verbo (ovvero, di un discorso più ampio e articolato) e si propone di favorire, se non la sua comprensione, almeno il desiderio di approfondire lo spunto suggerito. A livello semantico, indipendentemente dal loro aspetto formale, i proverbi possono essere classificati in due categorie principali. Proverbi didattici – Si richiamano a concetti ben definiti e intendono svolgere una funzione di utilità pratica. In genere, si riferiscono alle caratteristiche meteorologiche di una particolare zona geografica o alle abitudini e le convinzioni di una determinata popolazione. Alcuni esempi possono essere: «Marzo pazzerello: viene il sole e prendi l’ombrello», «Piemontesi, falsi e cortesi», «Roma caput mundi, Venezia secundi», «Rosso di sera, bel tempo si spera», «Se piove a Santa Bibiana, piove quaranta dì e una settimana». Proverbi metaforici – Esprimono concetti figurati, utilizzabili in varie circostanze, in base al contesto sociale, geo­grafico e culturale. Per la loro peculiare adattabilità a situazioni e ambiti differenti, questi proverbi dimostrano una certa longevità e sono presenti in culture di lingue diverse. Alcuni esempi possono essere: «Il mattino ha l’oro in bocca», «Gallina vecchia fa buon brodo», «L’erba del vicino è sempre più verde», «Se son rose fioriranno», «Tanto va la gatta al lardo che ci lascia lo zampino». L’origine dei proverbi si perde nella notte dei tempi. La Bibbia, in particolare, contiene un Libro dei proverbi, attribuito in parte a Salomone (ca. 1011 a.C.-ca. 931 a.C.), che raccoglie numerosi detti e brevi insegnamenti suddivisi in nove sezioni, precedute da un’introduzione. La maggior parte di questi è troppo legata alle vicende e alla cultura dell’epoca 6

per essere ancora attuali; qualcuno, però, mantiene un’oggettiva validità, come ad esempio: «Chi prende a prestito è servo di colui che presta», «Chi semina iniquità mieterà sciagure», «Con ragione si alza di buon mattino chi cerca il bene», «I pensieri dei giusti sono giustizia, i pensieri degli empi sono frode», «Non parlare all’orecchio degli insensati». Ci siamo resi conto del grande potenziale comunicativo dei proverbi proprio quando abbiamo proposto questo libro alla redazione di Ponte alle Grazie. Dopo alcuni contatti telefonici, uno degli autori ha spedito il seguente sintetico messaggio di posta elettronica. Come promesso, mi affretto a inviare il materiale elaborato da Riccardo Bersani, che avrei dovuto farvi avere ieri. Spero che risulti di vostro gradimento. Cordiali saluti, Ennio Peres Ebbene, a una più attenta analisi, ci siamo accorti che il testo in questione poteva essere suddiviso in più parti, ognuna delle quali si prestava a essere commentata da un noto proverbio: Come promesso (1), mi affretto a inviare (2) il materiale elaborato da Riccardo Bersani (3), che avrei dovuto farvi avere ieri (4). Spero che risulti di vostro gradimento (5). Cordiali saluti, Ennio Peres (6) (1) «Ogni promessa è debito» (2) «Chi ha tempo non aspetti tempo» (3) «Date a Cesare quel ch’è di Cesare…» (4) «Meglio tardi che mai» (5) «La speranza è l’ultima a morire» (6) «Salutare è cortesia… » 7

I proverbi riescono a imporsi nel linguaggio collettivo con la tecnica del tormentone, ossia mediante una loro continua e intensa ripetizione. In questo modo, però, non raggiungono lo scopo di suscitare ilarità, bensì di rafforzare il proprio messaggio, riconducendo all’essenzialità questioni anche complesse. Con lo stesso meccanismo del tormentone, si affermano a livello generale anche i banali luoghi comuni, che esprimono solo delle semplici considerazioni, come nei seguenti esempi: «Il calcio non è uno sport per signorine», «La classe non è acqua», «Non ci sono più le mezze stagioni», «Quando si ha sete, non c’è nulla di meglio di un bicchier d’acqua», «Si va in vacanza all’estero, con tutti i bei posti che ci sono in Italia!» Rispetto a questo genere di espressioni idiomatiche, però, i proverbi hanno la pretesa di non limitarsi a constatare dei fatti, ma di trasmettere degli insegnamenti utili. Si può affermare che ogni proverbio costituisce una frase istruttiva; ma non ogni frase istruttiva costituisce un proverbio. Stranamente, solo in tempi piuttosto recenti i proverbi hanno assunto, da un punto di vista teorico, una fisionomia più distinta. Nel corso dell’evoluzione storica della nostra lingua, il proverbio non ha mai trovato una collocazione autonoma rispetto ad altre locuzioni idiomatiche. Sia nelle raccolte letterarie che negli studi specifici si può rilevare una distratta commistione tra le diverse espressioni di uso corrente. Per offrire la possibilità di confrontare la definizione di proverbio fornita all’inizio con quelle relative a termini di significato affine, abbiamo messo a punto il seguente piccolo glossario, ottenuto consultando diversi dizionari della lingua italiana. 8

Sentenza: frase particolarmente incisiva che enuncia una norma di vita, con una marcata accentuazione della veridicità delle affermazioni espresse. Adagio: frase sentenziosa largamente diffusa, contenente un insegnamento di natura morale o di pratica di vita, che può essere anche attribuita a un autore noto. Detto: Sentenza entrata nella tradizione, di origine popolare o attribuibile a un autore noto. Massima: detto breve in cui è enunciata una norma di vita, di origine prevalentemente colta, non popolare. Apoftegma: massima memorabile, di autore noto, che può essere citata alla stregua di un proverbio. Motto: breve sentenza, coniata per rappresentare con immediatezza i principi ispiratori dell’azione di una singola persona, o delle finalità di un’accademia, un circolo o un’associazione. Aforisma: massima di autore noto che esprime una norma di vita o una sentenza filosofica in forma lapidaria, spesso paradossale. Pensiero: breve testo di autore noto, più esteso dell’aforisma, che contiene una riflessione generalmente di natura filosofica. Wellerismo: sentenza o frase proverbiale di tono fra il serio e lo scherzoso, attribuita a un personaggio reale o immaginario. Data la loro larga diffusione, i proverbi possono fornire interessanti spunti ludici. Ad esempio, in passato, sono stati spesso utilizzati come frasi risolutive di suggestivi rebus, come il seguente, tratto dalla prestigiosa rivista La Gara degli Indovini (Anno III, n. 5 – novembre 1877).

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Soluzione: CH Isi; C ON tenta; G ode = Chi si contenta gode. Infatti, le lettere CH contrassegnano la statua della dea Iside (o Isi); il giovane C lusinga la ragazza ON (la tenta), mentre l’altra ragazza G ascolta (ode) le loro parole. Si può giocare con i proverbi anche in maniera più concisa. Ad esempio, si possono eliminare tutte le vocali dall’enunciato di uno di questi, particolarmente noto, sfidando altre persone a ricostruirlo. Come allenamento, da ciascuno dei seguenti insiemi di consonanti provate a risalire ai relativi proverbi, tutti inerenti uno stesso argomento (che non esplicitiamo, per non svelare… il gioco). 1. NBLGCDRPC 2. GCDMNGCDVLLN 3. LGCSCNSCLGLNTM 4. BSGNFRBNVSCTTVGC 5. SFRTNTLGCFRTNTNMR 10

Soluzioni 1. «Un bel gioco dura poco» 2. «Gioco di mano, gioco da villano» 3. «Al gioco si conosce il galantuomo» 4. «Bisogna far buon viso a cattivo gioco» 5. «Sfortunato al gioco, fortunato in amore» È possibile ricorrere ai proverbi anche per impostare dei giochi di carattere non enigmistico, ma essenzialmente linguistico. Ad esempio, si può cercare di modificare l’enunciato di un proverbio famoso con l’intento di conferirgli una connotazione satirica. Un’operazione del genere è stata compiuta egregiamente dallo scrittore Marcello Marchesi, che ha raccolto in un libro, 100 neoproverbi (1965), una selezione della propria produzione. Qui di seguito ne riportiamo alcuni esempi significativi (ancora validi…): «Chi rompe paga. Chi corrompe paga meno»; «Il mondo è fatto a scale. Chi è furbo piglia l’ascensore»; «Tra il dire e il fare, c’è una busta da dare»; «Una mano lava l’altra e tutte e due rubano l’asciugamano»; «Uomo avvisato, porta i soldi in Svizzera». Per un gioco di società, si possono invitare i presenti a riscrivere il contenuto di un determinato proverbio senza utilizzare una lettera prefissata (ricorrendo, cioè, al virtuosismo letterario detto lipogramma). Ad esempio, se si sceglie il proverbio «Chi trova un amico, trova un tesoro» e si impone di omettere la lettera «O», si possono ottenere alcune fantasiose riproposizioni, analoghe alle seguenti: «L’amicizia vera è una sicura miniera»; «Chi riesce ad assicurarsi una amicizia sincera, si assicura una ricchezza vera»; 11

«Questa è l’unica certezza: arricchisce di più una fedele amicizia che una valanga di beni»; «Chi la vera amicizia cercherà… e la rintraccerà, grandi ricchezze avrà e mai più le perderà»; «La vera amicizia vale assai più di qualsiasi cifra e Bud Spencer, insieme a Terence Hill, l’afferma chiaramente in un film che si chiama similmente alla suddetta massima». L’utilizzo ludico dei proverbi è piuttosto antico. In Francia nel XVII secolo, era molto diffuso un intrattenimento salottiero, consistente nell’elaborare un breve componimento, prendendo spunto da un noto proverbio. Da tale consuetudine, ebbe origine un vero e proprio genere teatrale (il Proverbio drammatico) che ebbe validi esponenti come Carmontelle (pseudonimo di Louis Carrogis), Alfred de Vigny, George Sand, Théophile Gautier, Alfred de Musset e, successivamente, in Italia, Roberto Bracco, Felice Cavallotti, Francesco de Renzis, Leo di Castelnuovo, Giuseppe Giacosa, Ferdinando Martini, Augusto Novelli, Achille Torelli. Tra le opere di maggior successo di questi autori citiamo: «Chi muore giace e chi vive si dà pace» (Achille Torelli, 1872); «Chi sa il gioco non l’insegni» (Ferdinando Martini, 1871); «Non dir quattro se non l’hai nel sacco» (Giuseppe Giacosa, 1872); «Non fare agli altri quello che non vorresti fosse fatto a te» (Roberto Bracco, 1886); «Tra moglie e marito non mettere il dito» (Francesco de Renzis, 1877). È importante sottolineare che nessuno dei giochi appena analizzati sarebbe proponibile se i proverbi utilizzati non fossero largamente conosciuti. Purtroppo, però, il secolare 12

patrimonio proverbiale della nostra lingua sembra destinato a svanire dalla memoria collettiva. Molto probabilmente, in futuro, i proverbi verranno sostituiti da altre forme di espressione idiomatica, indotte dai mezzi di comunicazione e dagli slogan pubblicitari. Gli esperti fanno notare che sono rarissimi i proverbi affermatisi nella seconda metà del Novecento. D’altra parte, anche se esiste una scienza apposita, detta paremiologia, che studia i proverbi, l’atteggiamento generale nei loro confronti, da parte del mondo della cultura, è sempre stato prevalentemente di superficiale sufficienza, al più di distratta condiscendenza. In particolare, Brunetto Latini (ca. 1220-ca. 1294), lo scrittore e poeta fiorentino, maestro di Dante Alighieri (1265-1321), sosteneva: «I proverbi ornano massimamente i discorsi dei campagnoli, e di quelle donne che hanno abitudini casalinghe e che non possiedono altre scienze». È abbastanza comprensibile che, siccome la frase: «Tutto ciò che è reale è razionale e tutto ciò che è razionale è reale» venne pronunciata dal grande filosofo tedesco Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770-1831), si è portati ad analizzarla, a ricercarne le profonde implicazioni e a citarla con quel rispetto che sicuramente non è riservato a un banale proverbio come: «È inutile fare col più, ciò che può essere fatto con il meno». Una tale affermazione, infatti, sembra esprimere solo un’ovvia constatazione e, quindi, può giustificare l’aforisma dello scrittore irlandese George Bernard Shaw (1856-1950): «I proverbi sono la stupidità degli altri codificata». Un atteggiamento del genere, però, è destinato a mutare bruscamente, se si considera che: «È inutile fare col più, ciò che può essere fatto con il meno» non è affatto un proverbio, ma la traduzione italiana del celebre «rasoio di Oc13

cam»: «Frustra fit per plura, quod fieri potest per pauciora», un principio epistemologico di enorme spessore, enunciato dal filosofo inglese Guglielmo di Occam (1288-1349). Avversando qualsiasi pregiudizio al riguardo, siamo convinti che i proverbi rappresentino una ricchezza culturale da difendere e preservare. Molti di essi, infatti, offrono interessanti spunti di riflessione su vari settori dello scibile umano, come: Letteratura, Linguistica, Storia, Sociologia, Religione, Agronomia, Gastronomia, Meteorologia, Zoologia, e così via. Stranamente, però, da questo lungo elenco è esclusa la Matematica; non esiste, infatti, alcun proverbio che enunci esplicitamente dei concetti matematici. Eravamo convinti che ce ne fosse almeno uno, ovvero: «La Matematica non è un’opinione». Ma questa popolare affermazione (che ribadisce l’oggettività delle teorie matematiche) non può essere considerata un proverbio, perché è possibile risalire al personaggio che l’ha pronunciata per primo (in forma leggermente diversa, ma identica nella sostanza), al termine di una vicenda che può essere così riassunta. Il 25 novembre 1879 cadde il secondo governo guidato da Benedetto Cairoli, anche per le divergenze interne, relative all’abolizione dell’impopolare tassa sul macinato. A tale provvedimento si era decisamente opposto l’allora ministro delle Finanze e del Tesoro, Bernardino Grimaldi, convinto che, prima di attuarlo, sarebbe stato necessario introdurre altri tributi. Quando Benedetto Cairoli venne incaricato di costituire il nuovo esecutivo, Bernardino Grimaldi si rifiutò di farne parte, motivando la propria posizione con queste sferzanti parole: «Per me tutte le opinioni sono rispettabili, ma ritengo che l’Aritmetica non sia un’opinione». 14

In definitiva, la Matematica non solo non è un’opinione, ma non è nemmeno un proverbio… Questo non significa, però, che nessun proverbio tratti argomenti matematici. Noi abbiamo verificato che, se si cerca di fare emergere la saggezza popolare sintetizzata nei proverbi, da molti di essi si possono estrarre anche elementi di Matematica; questa fondamentale disciplina, infatti, è alla base (spesso, in maniera inconsapevole), di qualsiasi tipo di saggezza… Partendo da queste considerazioni, anche noi abbiamo voluto provare a giocare con i proverbi, ponendoci l’obiettivo di trovare una discreta quantità di proverbi che avvalori tale tesi. Il fatto che non esista ufficialmente alcun proverbio che faccia esplicito riferimento a concetti matematici ha reso più interessante la nostra sfida. In questo libro abbiamo ripartito i proverbi scelti in tre capitoli, non in base al contenuto specifico, ma alla natura del loro potenziale riferimento a un argomento matematico, adottando il seguente criterio. • Capitolo 1 (Ogni proverbio è vero): proverbi che esprimono una precisa verità matematica, o perché richiamano un determinato concetto matematico o perché si prestano a essere dimostrati mediante strumenti matematici. • Capitolo 2 (Tutto il mondo è paese): proverbi che ribadiscono convinzioni valide in diversi campi dello scibile umano e, in particolare, anche in Matematica. • Capitolo 3 (Una parola tira l’altra): proverbi che non forniscono un collegamento diretto con la Matematica, ma i cui enunciati offrono interessanti pretesti per impostare originali dissertazioni matematiche. Non abbiamo voluto scrivere un ponderoso trattato di Matematica, scandito da spunti proverbiali, ma una raccolta di 15

esposizioni autonome, tutte di taglio divulgativo (riducendo al minimo essenziale l’utilizzo di formule e lo svolgimento di calcoli). Per sottolineare questa impostazione, all’interno di ogni capitolo abbiamo disposto i paragrafi in ordine alfabetico in base al titolo. In ogni caso, in ciascuno abbiamo riportato tutte le informazioni necessarie per la comprensione del contenuto (tranne quelle di scolastica conoscenza), evitando di inserire scomodi rimandi ad altre parti del testo. In questo modo, siccome alcuni proverbi si rifanno a uno stesso concetto, può capitare (in pochi casi…) che alcune considerazioni vengano ripetute. Ma, come dice un antico proverbio: «Repetita iuvant»… Roma, 7 agosto 2013 Riccardo Bersani, Ennio Peres

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1. Ogni proverbio è vero

Sono molti i proverbi che esprimono esortazioni, moniti, consigli, pareri, esclamazioni, suggerimenti o inviti, che possono essere accettati o confutati, condivisi o rigettati, ma che, per la loro natura soggettiva, non possono essere valutati, in assoluto, come veri o falsi. Alcuni esempi possono essere: «A caval donato, non si guarda in bocca», «Casa mia, casa mia, per piccina che tu sia, tu mi sembri una badia», «Fidarsi è bene, ma non fidarsi è meglio», «Impara l’arte e mettila da parte», «Lega l’asino dove vuole il padrone». Sono ancora più numerosi, però, i proverbi che sanciscono una precisa affermazione, il cui contenuto può essere solo vero o falso. Alcuni esempi possono essere: «Chi non comincia non finisce», «Cosa fatta, capo ha», «Dopo il lampo viene il tuono», «Le parole non fanno fatti», «Non c’è rosa senza spine». Istintivamente, si tende a ritenere veri tutti i proverbi così impostati. D’altra parte, una tale favorevole disposizione è suffragata da un singolare proverbio che asserisce: «Ogni proverbio è vero» (assicurando, così, che il condensato di 17

saggezza popolare, ricavabile da qualsiasi proverbio, deve essere ritenuto assolutamente attendibile). Ovviamente, per dimostrare l’infondatezza di un simile proverbio, basterebbe trovarne almeno un altro, sicuramente falso. In tal caso, però, anche se l’affermazione: «Ogni proverbio è vero è un proverbio falso» suonerebbe beffarda, da un punto di vita prettamente logico non emergerebbe alcuna incongruenza. Una frase che si autodefinisce vera può, tranquillamente, essere falsa e può, tranquillamente, essere vera. Ben diversa sarebbe la situazione, se esistesse un proverbio di questo tipo: «Ogni proverbio è falso» (intendendo «ogni», come: «tutti, nessuno escluso»). Un’espressione del genere, infatti, deve obbligatoriamente essere giudicata falsa. Infatti: • se fosse vero che: «Ogni proverbio è falso», sarebbe falso anche questo proverbio; quindi, sarebbe falso che: «Ogni proverbio è falso». E la falsità di «Ogni proverbio è falso» non determina alcuna contraddizione. Infatti: • se fosse falso che: «Ogni proverbio è falso», sarebbe vero che «Qualche proverbio è vero» intendendo «qualche», come: «almeno uno, eventualmente tutti». Restano aperte, quindi, sia la possibilità che «Ogni proverbio è vero» sia vero, sia la possibilità che «Ogni proverbio è vero» sia falso… La Logica è la disciplina che si occupa di studiare le forme di ragionamento che, operando su determinate premesse, consentono di giungere a precise conclusioni. Le premesse possono essere vere o false; il ragionamento può essere corretto o viziato. Usiamo la parola viziato proprio perché suggerisce l’idea di un vizio di forma che 18

di per sé pregiudica la verità della conclusione cui si è pervenuti. È opportuno precisare che, quando si parla di premesse vere, si intende che ogni giudizio relativo a queste deve essere vero e che può essere sufficiente inserire tra le premesse un solo giudizio falso per ricadere nel caso di premesse false. Partendo da premesse false, indipendentemente dalla correttezza o dalla viziosità del ragionamento applicato, le conclusioni saranno sempre dubbie (potrebbero essere false, ma potrebbero anche essere vere). Ciò è peggio di sapere che la conclusione è certamente falsa. Infatti, se si sa che un giudizio è falso, si acquisisce comunque una verità, che può portare ad altre verità. Essere nella più totale incertezza è la condizione più frustrante e ansiogena. I logici medioevali dicevano: «Ex absurdis, sequitur quodlibet» (dalle cose assurde, segue qualunque cosa); un assunto del genere si può dimostrare piuttosto facilmente. Ad esempio, se si pone per assurdo: 2 = 1, anche ragionando in modo assolutamente corretto, si possono ottenere risultati del tutto insensati, come i seguenti: • 3 = 2 (aggiungendo 1 a entrambi i membri ); • 4 = 3 ( “ 2 “ “ ); • 5 = 4 ( “ 3 “ “ ); • 6 = 5 ( “ 4 “ “ ); • e così via, giungendo alla conclusione, palesemente errata, che tutti i numeri naturali sono uguali tra loro! Ma, a parte qualsiasi possibile disquisizione, l’infondatezza del proverbio: «Ogni proverbio è vero» può scaturire semplicemente dalla constatazione che esistono dei proverbi, i cui contenuti appaiono in netto contrasto tra loro, come nei seguenti esempi: 19

• «Dulcis in fundo» (il bello arriva alla fine) e «In caudam venenum» (il brutto arriva alla fine); • «Chi fa da sé fa per tre» (è meglio agire da soli) e «L’unione fa la forza» (è meglio agire insieme ad altri); • «Dagli amici mi guardi Iddio, ché dai nemici mi guardo io (è meglio non avere amici) e «Chi trova un amico trova un tesoro» (gli amici sono preziosi). La questione, quindi, sembrerebbe risolta… ma, come si sa: «L’apparenza inganna». A un’analisi più approfondita, infatti, queste coppie di proverbi non risultano più contraddittorie, se vengono presi in considerazione i loro veri significati, come qui di seguito specificato. • «Dulcis in fundo»: al termine di un lavoro svolto con impegno e cura, si può assaporare una grande soddisfazione. • «In cauda venenum»: spesso, nella conclusione di un discorso o di un’azione, emergono gli elementi più inaspettatamente sgradevoli e cattivi. • «Chi fa da sé, fa per tre»: chi sbriga da solo i propri affari ottiene risultati migliori di quelli che potrebbe conseguire affidandoli a qualcun altro. • «L’unione fa la forza»: il lavoro di squadra consente di raggiungere risultati migliori, rispetto al lavoro individuale, in quanto si possono integrare le conoscenze e competenze di molti. • «Dagli amici mi guardi Iddio, ché dai nemici mi guardo io»: è più difficile difendersi dai falsi amici, che dai nemici dichiarati. • «Chi trova un amico, trova un tesoro»: trovare amicizie sincere e disinteressate è difficile: per questo il vero amico può essere a ragione considerato un bene molto prezioso. 20

In questo capitolo analizzeremo alcuni proverbi il cui enunciato è sicuramente vero: o perché esprime un preciso concetto matematico, o perché si presta a essere dimostrato matematicamente (rinunciando, però, ad appurare se è vero che: «Ogni proverbio è vero»…). 1.1 A chi lavora il tempo passa presto Per esperienza comune, il trascorrere del tempo viene percepito, spesso, in maniera soggettiva. In particolare, chi è impegnato nel lavoro può avere l’impressione che le ore scorrano in fretta e che non bastino per realizzare tutto quanto si vorrebbe. Il tempo sembra non passare mai, invece, quando ci si trova in una situazione piuttosto spiacevole. Una sensazione del genere è ribadita dal seguente pregevole rebus ottocentesco.

Soluzione: Le ore sono lunghe nel dolore Bisogna considerare, infatti, che le lettere O, R, E appaiono più lunghe delle altre nel vocabolo DOLORE; quindi, si può scrivere, più sinteticamente: «Le ORE sono lunghe nel DOLORE». I grandi pensatori dell’antica Grecia sono stati i primi a indagare gli aspetti legati alla natura inafferrabile del tempo. Secondo Parmenide (515 a.C.-450 a.C.), l’essenza della realtà è eterna e in essa coesistono presente, passato e futu21

ro. Di conseguenza, i fenomeni di cambiamento e di spostamento sarebbero frutto di illusioni indotte dai nostri sensi. Un concetto analogo era condiviso da Platone (428 a.C.347 a.C.), che sintetizzò il proprio pensiero, con la frase: «Il tempo è l’immagine mobile dell’eternità». Aristotele (384 a.C.-322 a.C.), invece, riteneva che il tempo è la misura del movimento, per cui lo spazio è strettamente necessario per definire il tempo. Diversi secoli dopo, il teologo latino sant’Agostino (354430) dichiarò: «Il tempo è distensione dell’animo ed è riconducibile a una percezione propria del soggetto che, pur vivendo solo nel presente, ha coscienza del passato grazie alla memoria, e del futuro, in virtù dell’attesa». Lo scienziato italiano Galileo Galilei (1564-1642) fu il primo a intuire che la velocità della luce non era infinita e a considerare il tempo come un’entità assoluta misurabile, essenziale nell’attività ordinata del cosmo. Affermò anche che le leggi della meccanica sono indipendenti dai sistemi di riferimento adottati; ovvero, che è importante solo determinare il moto relativo tra i due e non stabilire quale è fermo e quale in movimento. La fondamentale importanza del tempo venne ribadita dai Principia mathematica dello scienziato inglese Isaac Newton (1642-1727), che nella premessa del proprio lavoro scrisse: «Il tempo assoluto, vero e matematico, per sua natura scorre allo stesso modo senza alcuna relazione con l’esterno». In base alla teoria newtoniana, i corpi materiali si muovono secondo percorsi che possono essere facilmente previsti, mediante l’applicazione di rigorose leggi matematiche. Un ulteriore grande passo verso la conoscenza della natura del tempo venne compiuto nel 1905, grazie alla formulazio22

ne della teoria della relatività, elaborata dal fisico tedesco Albert Einstein (1879-1955). In base a tale concezione rivoluzionaria, il tempo deve essere considerato una grandezza dipendente dai sistemi di riferimento adottati; quindi, non più assoluta e immutabile. Inoltre, lo spazio e il tempo devono essere visti come due entità intrinsecamente correlate e indistinguibili; quindi, non più universali e differenziate. In particolare, per un viaggiatore che si muove a velocità molto elevate, il tempo rallenta, mentre lo spazio si contrae. Questo paradossale fenomeno fisico, denominato dilatazione del tempo, comunque, comincia a diventare rilevante solo a velocità dell’ordine dei 30 000 km/s; ovvero, circa 1/10 di quella della luce. È assolutamente trascurabile, invece, alle abituali velocità terrestri… Per semplificare la propria teoria, Albert Einstein fece ricorso a un divertente esempio di percezione soggettiva del tempo: «Quando un uomo siede vicino a un bella ragazza per un’ora, pensa che non sia passato più di un minuto. Ma fatelo sedere per un minuto sopra un termosifone bollente, crederà che siano passate delle ore. Ecco che cos’è la relatività». Einstein, persona dotata di spirito arguto, coniò diversi aforismi, alcuni dei quali autoironici: «Se la mia teoria della relatività si dimostrerà corretta, la Germania mi considererà tedesco e la Francia dichiarerà che sono un cittadino del mondo. In caso contrario, la Francia dirà che sono tedesco e la Germania dichiarerà che sono un ebreo». Uno dei concetti fondamentali su cui si basa la teoria della relatività afferma che il valore costante della velocità della luce nel vuoto (pari a 299 792,458 km/s) è un limite massimo non superabile. Un tale assunto è stato confermato da numerosi esperimenti scientifici, effettuati osservando il decadimento di alcune particelle elementari, prodotte nei 23

grandi acceleratori ad alta energia. Tuttavia, nel settembre del 2011, i ricercatori dell’esperimento OPERA (Oscillation Project with Emulsion-tRacking Apparatus), condotto dal CERN di Ginevra, in collaborazione con i Laboratori del Gran Sasso, resero noto di aver generato dei fasci di neutrini che viaggiavano a una velocità superiore a quella della luce. Una scoperta del genere, ovviamente, metteva in discussione la teoria di Einstein… Nel marzo del 2012, però, quel risultato apparentemente clamoroso si rivelò infondato, in quanto inficiato da alcuni errori sistematici presenti nell’apparato di misura con cui era stato rilevato. Se Albert Einstein fosse stato ancora in vita, avrebbe probabilmente coniato un aforisma del genere: «È vero, una volta ho detto che anch’io posso sbagliarmi. Ma mi ero sbagliato…». 1.2 Chi ben congettura bene indovina Le conclusioni a cui si arriva, effettuando un corretto procedimento logico, basato su ipotesi e deduzioni rigorose, hanno buone probabilità di essere confermate dai fatti. Un tale assunto emerge soprattutto nello svolgimento di un particolare genere di gioco di competizione, detto determinato, che possiede le seguenti proprietà: • si svolge tra due giocatori (gioco di competizione a due); • nel rispetto delle regole, l’effettuazione di ogni singola mossa è affidata alla libera scelta del giocatore che la compie; ovvero, non dipende dallo svolgersi di eventi casuali, come lanci di dadi o estrazioni di carte (gioco di pura abilità); • termina sicuramente dopo un certo numero di mosse (gioco finito); 24

• entrambi i giocatori, a ogni istante, sono in grado di conoscere la situazione completa della partita (gioco a informazione perfetta). Secondo un importante teorema della Teoria dei giochi, ogni gioco determinato ammette una strategia ottimale, che può essere: • vincente, se consente a uno dei due giocatori di conseguire la vittoria, contro ogni possibile difesa dell’avversario; • pattante, se consente a uno dei due giocatori di imporre il pareggio all’avversario, contro ogni sua possibile difesa. Ovviamente, un gioco determinato che non prevede il risultato di parità (o patta) ammette solo una strategia vincente per uno (e uno solo…) dei due giocatori. La garanzia dell’esistenza di una strategia ottimale non aggiunge, però, alcuna informazione, né sulla sua struttura, né su quale dei due giocatori favorisce. Esistono molti giochi (in particolare, scacchi, dama e go) che, pur essendo determinati, continuano ad appassionare milioni di persone in tutto il mondo, proprio perché le loro strategie ottimali non sono state ancora trovate (anche se si ha la certezza matematica della loro esistenza). È ovvio che non avrebbe più senso giocare a un particolare gioco, se entrambi i contendenti venissero a conoscenza della sua strategia ottimale; in questo modo, infatti, l’esito della partita sarebbe stabilito fin dall’inizio. Per poter applicare, in pratica, una strategia vincente bisogna essere in grado di riconoscere quali configurazioni, ottenibili nel corso di una partita, debbano considerarsi vincenti e quali perdenti, secondo le seguenti definizioni: • una configurazione è detta vincente se determina la vittoria immediata del giocatore di turno o se gli consente di 25

effettuare almeno una mossa che generi una configurazione sfavorevole all’avversario; • una configurazione è detta perdente se determina la sconfitta immediata del giocatore di turno o se gli consente di effettuare solo mosse che generino configurazioni favorevoli all’avversario. Lo schema seguente mette in evidenza le connessioni esistenti tra i due diversi insiemi di configurazioni (dove V = vincenti e P = perdenti).

Come si può notare: • da una configurazione vincente è possibile generare sia configurazioni perdenti che vincenti; • da una configurazione perdente è possibile generare solo configurazioni vincenti. Di conseguenza, per un giocatore che parte da una configurazione vincente, l’esecuzione corretta di una strategia ottimale (in questo caso, vincente) consiste nel compiere sempre e solo mosse che generino configurazioni perdenti per l’avversario. Costituirebbe per lui un errore fatale effettuare una mossa che portasse l’avversario in una configurazione vincente (cosa sempre possibile, in teoria). Un giocatore che parte da una configurazione perdente, invece, può solo generare configurazioni vincenti per l’av26

versario; quindi, l’unica possibilità di ribaltare la situazione è affidata alla speranza che l’altro commetta un errore. Se si prendono in considerazione anche i giochi determinati che prevedono un risultato di parità, si può introdurre il concetto di configurazione equa: • una configurazione è detta equa se determina immediatamente il risultato di parità tra i due giocatori, o se ammette solo mosse che generino configurazioni vincenti o eque per l’avversario (non consentendo, quindi, alcuna mossa che generi configurazioni perdenti). Alla luce di questa definizione, lo schema precedente può essere così ampliato (dove E = insieme delle configurazioni eque).

Come si può notare: • da una configurazione vincente è possibile generare configurazioni di qualsiasi genere (perdenti, vincenti ed eque); • da una configurazione equa è possibile generare configurazioni sia eque che vincenti (ma non perdenti); • da una configurazione perdente è possibile generare solo configurazioni vincenti (ma non perdenti, né eque). 27

Di conseguenza, per un giocatore che parte da una configurazione equa, l’esecuzione corretta di una strategia ottimale (in questo caso, pattante) consiste nel compiere sempre e solo mosse che generino configurazioni eque per l’avversario. Costituirebbe per lui un errore fatale effettuare una mossa che portasse l’avversario in una configurazione vincente (cosa sempre possibile, in teoria). In ogni caso, non potendo generare configurazioni perdenti per l’avversario, l’unica possibilità di vittoria è affidata alla speranza che l’altro commetta un errore. Ovviamente, in situazioni di questo tipo il giocatore che parte da una configurazione vincente, per garantirsi la vittoria e non accontentarsi di un pareggio (o rischiare la sconfitta), deve fare attenzione a non portare mai l’avversario in configurazioni vincenti o eque (cosa sempre possibile, in teoria…). In linea di massima, è possibile individuare strategie ottimali complete solo se i potenziali sviluppi dei giochi determinati presi in considerazione sono piuttosto elementari. Per quasi tutti quelli più complessi, non è stata ancora trovata una strategia ottimale, neanche ricorrendo a sofisticate tecniche informatiche. Allo stato attuale, infatti, è impossibile anche per un supercomputer generare e classificare l’insieme di tutte le configurazioni ottenibili nel loro svolgimento. Come abbiamo affermato precedentemente, in teoria non avrebbe più senso giocare a un qualsiasi gioco determinato se entrambi i contendenti venissero a conoscenza della sua strategia ottimale; in questo modo, infatti, l’esito di ogni partita sarebbe stabilito fin dall’inizio. In pratica, però, non basta apprendere una particolare strategia, ma bisogna anche essere in grado di eseguirla 28

bene. In particolare, se si gioca senza avere la possibilità di consultare degli appunti, bisogna tenere a mente tutti i principi su cui si basa la strategia e individuare con sicurezza le varie configurazioni a cui applicarli. Per chiarire meglio questi concetti, prendiamo in considerazione il tris, uno dei giochi determinati più semplici e conosciuti, le cui regole possono essere esposte nel seguente modo: • si traccia uno schema, composto da 3×3 caselle;

• dopo aver stabilito a chi spetta la prima mossa, il primo giocatore inserisce un proprio simbolo (per convenzione, una «X») in una delle nove caselle, a propria scelta; • il secondo giocatore inserisce un proprio simbolo (per convenzione, una «O») in una delle otto caselle rimaste libere; • successivamente, a turno, ognuno dei due giocatori deve inserire il proprio simbolo in una delle caselle libere; • vince la partita il primo dei due giocatori che riesce a fare tris, allineando tre propri simboli in orizzontale, in verticale o in diagonale, come evidenziato nel seguente esempio;

X O X O X X

O 29

• se non sono rimaste caselle da riempire e nessuno dei due giocatori è riuscito a fare tris, la partita termina in pareggio. Nonostante la semplicità del gioco, la ricerca di una strategia ottimale non è semplicissima. Il numero di modi in cui giocare una partita è, teoricamente: 9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 362 880. In pratica, però, non tutti questi potenziali svolgimenti sono attuabili. Infatti, se viene completato un tris prima che siano state compiute tutte le nove mosse previste, alcune caselle non vengono riempite. Bisogna, poi, considerare che molte posizioni di gioco si equivalgono, per questioni di simmetria. Nonostante tutto ciò, non è facile determinare tutti i possibili sviluppi del gioco. Se si scarta la possibilità che uno dei due contendenti commetta degli errori banali, in questo gioco è possibile vincere solo riuscendo ad aprire contemporaneamente due, o addirittura tre, possibilità di completare un tris, come indicato nei seguenti schemi (dove sono evidenziate in grigio le caselle che consentono di fare tris).

X X X

X X

X

X X

X

X X

X

X

X

X X

X

X 30

X X X

X

X X

X

X

X

In tutti questi casi, il giocatore di turno può bloccare una sola delle possibilità aperte e non riesce, quindi, a impedire la vittoria dell’avversario alla mossa successiva. Alla luce di tali considerazioni, il giocatore «X» apparirebbe favorito, non solo perché ha il privilegio di compiere la prima mossa, ma anche perché ha la possibilità di inserire cinque simboli contro i quattro del suo avversario. Nonostante ciò, non esiste una strategia che risulti vincente per lui, mentre è possibile trovarne una che consente a «O» di imporre il pareggio. Si può dimostrare che, per applicare tale strategia, «O» deve usare gli accorgimenti riassunti dallo schema seguente, dove sono evidenziate in grigio le risposte ottimali a ogni possibile mossa d’apertura dell’avversario (a meno di ribaltamenti o rotazioni dello schema).

X X

X

Come si può notare, la mossa più insidiosa che può compiere il giocatore «X» consiste nel porre il proprio simbolo in una casella d’angolo. In questo caso, infatti, il suo avversario 31

ha a disposizione una sola risposta efficace, mentre ne ha quattro in ciascuno degli altri due casi. Per garantirsi la vittoria, però, «X» deve continuare a giocare con criterio; non basta che l’avversario risponda in maniera sbagliata alla mossa d’apertura. D’altra parte, anche «O» non può accontentarsi di applicare la contromossa giusta per assicurarsi il pareggio; anche lui deve ben congetturare… 1.3 Chi cerca trova Spesso, la costanza e la tenacia consentono di arrivare a trovare ciò che si sta attivamente cercando. A tale riguardo, il Vangelo afferma: «Chiedete con perseveranza e vi sarà dato; cercate senza stancarvi e troverete; bussate ripetutamente e vi sarà aperto. Perché chiunque chiede riceve, chi cerca trova e sarà aperto a chi bussa» (Luca, 11:9). La verità di tale assunto può essere messa in evidenza, molto semplicemente, sottoponendo a una doppia negazione l’affermazione: «Chi cerca trova», nel seguente modo: «Chi non cerca non trova»… Da un punto di vista matematico, la probabilità di trovare qualcosa, senza mettersi a cercare, è praticamente nulla. Al contrario, la probabilità di riuscire a trovare qualcosa che si sta cercando aumenta considerevolmente al crescere dei tentativi effettuati. Paradossalmente, provando e riprovando, può anche capitare di trovare qualcosa che non era previsto, ma che si rivela più interessante di ciò che si stava cercando. Un particolare intreccio tra casualità e perspicacia viene abitualmente denominato serendipità. Questo termine deriva da Serendip (o Sarandib), l’antico nome persiano dell’iso32

la di Ceylon (l’attuale Sri Lanka) e venne coniato nel 1754 dallo scrittore inglese Horace Walpole, in seguito alla lettura della fiaba Tre prìncipi di Serendippo di Cristoforo Armeno, pubblicata a Venezia nel 1557. In quell’originale racconto, i tre giovani protagonisti riescono a entrare nei favori dell’imperatore persiano Bahram, grazie alla loro capacità di interpretare argutamente una serie di indizi, rinvenuti in maniera del tutto fortuita. Il biomedico statunitense Julius H. Comroe ha coniato la seguente definizione, divertente e calzante, di serendipità: «È come cercare un ago in un pagliaio e trovarci la figlia del contadino». La storia della scienza è costellata di importanti scoperte avvenute inaspettatamente. Qui di seguito riportiamo alcuni, tra gli esempi più significativi. –– Il navigatore italiano Cristoforo Colombo scoprì l’America (1492) mentre tentava di raggiungere le Indie (almeno secondo la convinzione più diffusa). –– L’astronomo tedesco William Herschel scoprì il pianeta Urano (1781) scrutando il cielo alla ricerca di nuove comete (solo quando notò la sua orbita quasi circolare, si rese conto che si trattava di un pianeta). –– L’inventore statunitense Charles Goodyear ideò il processo per ottenere la gomma vulcanizzata (1839), dopo aver rovesciato per distrazione una miscela di gomma, piombo e zolfo sulla propria stufa. –– Il chimico britannico Robert Chesebrough scoprì la vasellina (1859) osservando un materiale, simile alla cera, che intasava le attrezzature dei pozzi petroliferi in Pennsylvania. –– Il chimico svedese Alfred Nobel inventò la dinamite (1867) in seguito alla caduta di una fiala di nitroglicerina, che si sparse sopra un cumulo di segatura, senza esplodere. –– L’inventore statunitense Thomas Edison ideò il fonografo 33

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(1877) mentre cercava di realizzare un meccanismo capace di registrare i segnali del telegrafo. Il fisico tedesco Wilhelm Conrad Röntgen scoprì i raggi X (1896) eseguendo al buio alcuni esperimenti sui tubi catodici. Il fisico francese Henri Becquerel scoprì la radioattività (1896) notando che un sasso fosforescente, chiuso in un cassetto, aveva lasciato un’impronta su una lastra fotografica, senza che ci fosse stata alcuna esposizione alla luce. I ricercatori tedeschi Joseph von Mering e Oscar Minkowsky scoprirono il ruolo del pancreas nell’insorgenza del diabete mellito (1898) mentre cercavano di individuare l’influenza di tale organo sul meccanismo della digestione. Il fisiologo russo Ivan Pavlov scoprì i riflessi condizionati degli animali (1903) mentre stava conducendo ricerche sulla salivazione dei cani. Il biologo britannico Alexander Fleming scoprì la penicillina (1928) dopo aver disinfettato maldestramente un vetrino. Il chimico statunitense Roy Plunkett scoprì il Teflon (1938) sezionando una bombola di tetrafluoroetene occlusa. L’ingegnere svizzero George de Mestral inventò il metodo di chiusura denominato velcro (1950) osservando alcuni minuscoli fiori di bardana che si erano attaccati ai suoi vestiti e al pelo del suo cane, durante un’escursione nelle Alpi. Il chimico statunitense Spencer Silver inventò la colla debole dei post-it (1968) mentre tentava di realizzare un adesivo estremamente resistente.

Siccome, per definizione, la serendipità nasce da una combinazione di casualità e di acume, esistono due scuole di pensiero in merito alla sua natura. Chi tende a evidenziarne la componente fortuita, la considera come una conferma dell’esistenza di una volontà superiore, che interagisce nelle scelte umane, correggendo 34

all’occorrenza le loro disattente impostazioni. Chi, invece, tende a metterne in evidenza la componente di perspicacia, la considera come una dimostrazione della capacità della nostra mente di saper ricavare informazioni utili anche da elementi osservati per puro caso. Un aspetto fondamentale della serendipità che si tende a sottovalutare (perché viene dato per scontato) è l’attività di ricerca che prelude alla scoperta. Tanto per fare un esempio, Cristoforo Colombo non avrebbe scoperto l’America se non si fosse messo in viaggio con le tre caravelle… In pratica, se una scoperta può avvenire in maniera for­ tuita, lo scopritore non nasce per caso. A nostro avviso, quindi, gli episodi di serendipità si verificano principalmente per il desiderio di conoscenza insito nella mente umana e non per l’intervento di un fantomatico destino. Inoltre, la casualità da sola non basta per ottenere scoperte rilevanti. Bisogna avere una mentalità aperta e competente per comprendere l’importanza di un evento inatteso e saperlo utilizzare in maniera costruttiva. A tale riguardo, lo scienziato francese Louis Pasteur (1822-1895) affermava: «Nel campo dell’osservazione, la casualità favorisce solo le menti preparate». Detto questo, potremmo essere accusati di voler razionalizzare a tutti i costi anche gli aspetti più misteriosi della vita. Oggettivamente, però, in questo nostro mondo, non c’è niente di più arcano e affascinante dei meccanismi della mente umana… 1.4 Chi ha fatto trenta può fare trentuno Il proverbio che dà il titolo a questo paragrafo esorta a portare a termine ogni iniziativa intrapresa, non lasciando niente 35

di incompiuto. In particolare, sostiene che, una volta giunti in prossimità di una meta, non bisogna rinunciare all’ultimo sforzo necessario per conquistarla. Sono state formulate diverse ipotesi, circa la sua origine. Qualcuno ritiene che derivi da una frase pronunciata da papa Leone X («Abbiamo fatto trenta, possiamo anche far trentuno»), quando decise di aggiungere alla lista di trenta futuri cardinali un nome di spicco che aveva dimenticato. Ma, in un caso del genere, non si tratterebbe più di un vero proverbio, perché non anonimo… Indipendentemente dalla propria genesi, è interessante notare che l’enunciato di questo proverbio rievoca un basilare concetto matematico, denominato principio di induzione finita, che consente di generalizzare, attribuendo a tutti i numeri naturali, alcune proprietà osservate solo nei casi più semplici (ricordiamo che, per numero naturale si intende un numero intero maggiore o uguale a 0). In termini formali, questo fondamentale strumento matematico può essere descritto nel modo seguente. Se una proprietà P, dipendente da una variabile naturale N, rispetta le seguenti condizioni: • è valida per N = 1; • se è valida per un generico valore di N, è valida anche per il valore successivo N+1, allora è valida per qualsiasi valore di N. In pratica, una volta appurato che, una proprietà valida per un certo valore (ad esempio: 30), lo è anche per il valore successivo (nel nostro esempio: 31), possiamo pensare di applicarla a tutti i casi possibili, passando gradualmente da ciascuno di essi al successivo, a partire da quello iniziale (che sappiamo essere valido). 36

Cerchiamo di ribadire tale concetto, ricorrendo a un esempio concreto, non matematico. Supponiamo di aver posto un insieme di tessere del domino, in posizione verticale, una a ridosso dell’altra, come nell’immagine qui sotto.

È ovvio che, se si verificano le seguenti condizioni: • cade la prima tessera; • se cade una tessera qualsiasi, cade anche la tessera successiva; allora cadono tutte le tessere così disposte (generando il cosiddetto effetto domino). La Matematica possiede una peculiarità che la distingue nettamente dalle altre discipline scientifiche, dove ciò che è considerato vero in un certo periodo può essere successivamente rivisto, modificato, integrato, a volte contraddetto e smantellato. Gli esempi sono innumerevoli e, per citarli, occorrerebbe scrivere la storia della Scienza. Ricordiamo 37

solo che, per secoli, si è creduto che fosse il Sole a ruotare intorno alla Terra e non viceversa. Nella Matematica non è così. Le verità matematiche sono tali e rimarranno tali in eterno; sono solide fondamenta sulle quali si può continuare a costruire l’edificio, con piena fiducia che, al più, crolleranno le nuove parti aggiunte… Ricorrendo a un linguaggio giuridico, si può affermare che la Matematica emette le proprie sentenze sulla base di prove certe oltre ogni ragionevole dubbio; le altre scienze procedono sulla base di indizi… In ogni caso, sia in Matematica che nelle altre discipline scientifiche, quando si comincia a elaborare una nuova teoria, si prende spunto dall’osservazione di qualche singolare caratteristica posseduta da alcuni oggetti esaminati. Per approfondire queste argomentazioni, analizziamo le seguenti coppie di diverse situazioni (ricordando che, per numero primo, si intende un numero naturale maggiore di 1, divisibile solo per se stesso e per 1). I numeri: 43, 47, 53, 61, 71, Questi animali sono di colore 83, 97, 113 sono primi nero I numeri: 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113 si ottengono agQuesti animali sono cavalli giungendo 41 al prodotto di due numeri consecutivi* Tutti i numeri che si ottengono aggiungendo 41 al prodot- Tutti i cavalli sono di colore to di due numeri consecutivi nero sono primi

* 43 = 41+1×2; 47 = 41+2×3; 53 = 41+3×4, e così via. 38

Entrambi i ragionamenti, che presentano una struttura analoga, si concludono in maniera errata… Nel caso dei cavalli è evidente, in quanto a tutti sarà capitato (se non altro, al cinema…) di vedere un cavallo bianco, o baio, o pezzato… Nel caso dei numeri primi, basta osservare che: 41+40×41 = (1+40)×41 = 41×41, certamente non primo. Una legge scientifica, per assumere validità generale, deve essere verificata in tutti i casi possibili. Per dimostrare che è falsa, basta trovare un controesempio, ossia un caso in cui la legge non è valida. Se poi ci accorgiamo che i controesempi sono pochissimi, al limite uno solo, si può invocare il proverbio: «L’eccezione conferma la regola», eliminando dalla formulazione della legge i casi controversi. È ciò che si fa usualmente, affermando, ad esempio: «Tutti i numeri primi, tranne il 2, sono dispari». Naturalmente, se non riusciamo a trovare un controesempio, non è assolutamente detto che la legge sia valida. Ciò può dipendere dal semplice fatto che le verifiche sono state effettuate solo su valori in grado di confermarla, senza nessuna garanzia che qualche valore, prima o poi, demolisca le nostre certezze. Esaminiamo, ad esempio, quest’altra coppia di ragionamenti. I numeri: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 sono dispari I numeri: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 si ottengono sottraendo 1 al doppio di un numero*

Questi corpi celesti hanno un’orbita ellittica Questi corpi celesti sono pianeti

Tutti i numeri ottenuti sottraTutti i pianeti hanno un’orbiendo 1 al doppio di un numeta ellittica ro sono dispari

* 3 = 2×2–1; 5 = 3×2–1; 7 = 4×2–1, e così via. 39

In nessuno di questi due casi si riesce a trovare un controesempio. I pianeti osservati, anche quelli di altri sistemi solari, hanno tutti un’orbita ellittica e non se ne trova nessuno che trasgredisca la regola. Questo, però, ci offre solo una altissima probabilità che la legge sia vera, non la certezza. Per poterla considerare definitivamente vera, senza il minimo dubbio, dovremmo esaminare tutti i pianeti di tutte le galassie esistenti… La stessa difficoltà si presenta nel problema dei numeri dispari, aggravata dal fatto che, essendo i numeri notoriamente infiniti, per avere la certezza della validità della legge ipotizzata dovremmo effettuare infinite prove, cosa evidentemente impossibile. Ma la Matematica (e solo la Matematica…), ci viene in soccorso con il principio di induzione finita, che abbiamo citato all’inizio. Applichiamo questo principio al caso dei numeri dispari in esame, verificando se è vero che, per qualsiasi numero naturale N, il numero dispari di posto N si può scrivere come: 2N–1. • Osserviamo innanzitutto che la proprietà in questione vale per N = 1, in quanto: 2×1–1 = 1 (che sappiamo essere dispari). • Cerchiamo ora di dimostrare che, se la stessa proprietà vale per qualsiasi numero naturale N, allora vale anche per il numero successivo N+1. In pratica dobbiamo dimostrare che, se il numero dispari di posto N si può scrivere come: 2N–1, allora il numero dispari successivo (di posto N+1) si può scrivere come: 2×(N+1)–1. • A tale scopo, dobbiamo considerare che la differenza tra due numeri dispari successivi è sempre uguale a 2; quindi, il numero dispari successivo a quello di posto N è uguale a: 2×N–1+2; ovvero: 40

2×N–1+2 = 2×N+2–1 = 2×(N+1)–1, come desideravamo ottenere. Questo risultato ci permette di affermare che la proprietà in questione vale per tutti i numeri dispari. L’esempio che abbiamo analizzato era piuttosto semplice; cerchiamo di prenderne in considerazione un altro più significativo e meno immediato. Cominciamo con l’osservare che: • la somma dei primi due numeri dispari è 1+3 = 4; • la somma dei primi tre numeri dispari è 1+3+5 = 9; • la somma dei primi quattro numeri dispari è 1+3+5+7 = 16. Balza subito agli occhi che, sommando i primi numeri dispari, otteniamo dei quadrati e proprio i quadrati delle quantità di numeri dispari coinvolti nella somma. Viene spontaneo domandarsi se questo risultato valga per la somma di una qualsiasi quantità di numeri dispari. È ormai chiaro che non può bastare verificare la proprietà per un numero comunque grande di valori. Nulla ci assicura che un valore successivo, non verificato, smonti la nostra legge. Applichiamo, quindi, a questo problema il principio di induzione finita. • La proprietà vale se consideriamo solo i primi due numeri dispari, perché 1+3 = 4 = 22 • Supponiamo che la proprietà valga per una sequenza iniziale di numeri dispari di lunghezza imprecisata L. Se riusciamo a dimostrare che, allora, la proprietà vale anche per una sequenza iniziale di numeri dispari di lunghezza L+1, possiamo essere certi della validità generale della proprietà per qualunque sequenza iniziale di numeri dispari, per quanto lunga sia. 41

• Se la somma della sequenza iniziale di L dispari è, per l’ipotesi induttiva, L2, aggiungendo il numero dispari di posto L+1 si otterrà: L2+2 (L+1)–1 = L2+2×L+2–1 = L2+2×L+1 = (L+1)2. Abbiamo, quindi, così dimostrato che la proprietà vale per tutte le sequenze iniziali di numeri dispari. 1.5 L’unione fa la forza Indubbiamente, il lavoro di squadra consente di raggiungere risultati migliori rispetto a quello individuale, in quanto offre la possibilità di integrare risorse e competenze diverse. Nella nostra società, infatti, sono estremamente frequenti situazioni in cui più individui decidono di formare un gruppo (un’associazione, un sindacato, un partito, ecc.), allo scopo di ottenere risultati migliori di quelli raggiungibili da soli. La Teoria dei giochi, la branca della Matematica nata nel 1944 con la pubblicazione del libro Theory of Games and Economic Behavior di John von Neumann e Oskar Morgenstern, inizialmente aveva come principale obiettivo l’analisi delle situazioni di conflitto tra più contendenti; in seguito, si è occupata anche di studiare gli effetti generati da potenziali accordi di collaborazione. Lo spunto per affrontare le problematiche indotte da questi aspetti fondamentali dei rapporti umani è stato fornito dal cosiddetto «Dilemma del prigioniero», un paradosso logico ideato negli anni Cinquanta dal matematico statunitense Albert Tucker. Due banditi che hanno partecipato a una sanguinosa rapina sono stati arrestati e reclusi in due celle separate, in modo che non possano comunicare tra loro. 42

Esistono, però, solo le prove per accusarli di un reato lieve (la detenzione di armi), per il quale è previsto un solo anno di prigione. Ciascun detenuto ha di fronte a sé due alternative: confessare di aver commesso la rapina insieme al proprio complice, oppure negare. –– Se dovessero negare entrambi, verrebbero condannati solo per il reato lieve a un anno di prigione ciascuno. –– Se dovessero confessare entrambi, riceverebbero uno sconto di pena per essersi pentiti e verrebbero condannati a cinque anni di prigione ciascuno. –– Se dovesse confessare uno solo di loro, questi uscirebbe subito dal carcere, mentre il complice verrebbe condannato a vent’anni di prigione. Non è difficile verificare che a entrambi i detenuti conviene confessare. In questo modo, ognuno di loro verrà condannato a cinque anni di prigione, ma eviterà il rischio di doverne scontare venti. Questo risultato, però, è paradossale, in quanto non rappresenta una soluzione ottimale per nessuno dei due detenuti. Infatti, se avessero potuto comunicare, si sarebbero sicuramente accordati per negare entrambi, in modo da ricevere solo un anno di prigione a testa. È interessante notare che i due detenuti sarebbero potuti arrivare a effettuare la scelta più vantaggiosa per entrambi, se ognuno di loro avesse pensato all’interesse comune (e non solo a se stesso…). Infatti, se ciascun detenuto avesse preso in considerazione, nelle varie situazioni, il totale degli anni di pena previsti per entrambi, questi sarebbero stati: • 2 anni (1+1), negando entrambi; • 10 anni (5+5), confessando entrambi; • 20 anni (0+20) confessando uno e negando l’altro. 43

Con una tale impostazione, a ciascuno dei due detenuti sarebbe convenuto negare, con la certezza che anche l’altro si sarebbe comportato nello stesso modo. Nel 1979, il politogo statunitense Robert Axelrod si pose il seguente interrogativo: «È possibile che emerga spontaneamente una qualche forma di cooperazione tra soggetti egoisti?» Con l’intento di trovare una risposta convincente, pensò di analizzare il problema del dilemma del prigioniero, in un contesto in cui fosse possibile effettuare più partite di seguito (e non una sola), avendo l’opportunità di osservare il comportamento dell’avversario (e non decidere alla cieca). Il paradosso del dilemma del prigioniero, infatti, scaturisce dall’assenza di informazioni. Se ognuno dei due banditi conoscesse le intenzioni dell’altro, avrebbe maggiori elementi per decidere di cooperare, in modo da arrivare a prendere la decisione più conveniente per entrambi. Allo scopo, Axelrod organizzò un torneo tra programmi per computer, in grado di disputare nel modo più razionale una lunga serie di partite, secondo le regole del dilemma del prigioniero. Presero parte alla competizione programmi estremamente sofisticati, in grado di memorizzare e di mettere a confronto lunghissime sequenze di mosse. Ma quello che vinse, imponendosi nettamente sugli altri, era basato su due istruzioni molto semplici: –– coopera al primo incontro; –– successivamente, fai esattamente quello che ha fatto l’avversario all’incontro precedente. Dato il principio su cui si era basato, questo programma venne chiamato tit-for-tat (pan-per-focaccia), dal suo ideatore, lo psicologo statunitense di origine russa Anatol Rapoport. La sua logica era di una linearità disarmante. Se all’incontro precedente l’avversario aveva cooperato, 44

lui faceva altrettanto. Se l’avversario aveva tradito, lui si vendicava immediatamente del torto subito, ma senza portare rancore. Infatti, dopo la ritorsione immediata, se l’avversario fosse tornato alla collaborazione, lui avrebbe fatto altrettanto. In particolare, se un programma concorrente avesse sempre cooperato, lui avrebbe sempre cooperato. Se, invece, l’avversario avesse sempre tradito, lui avrebbe perso punti la prima volta, ma poi anche lui avrebbe tradito sistematicamente. Per quanto potesse sembrare incredibile, due virtù come la bontà e il non portare rancore dopo una ritorsione immediata erano presenti non solo in tit-for-tat, ma anche negli altri programmi classificatisi nelle zone alte della classifica, pur se in misura minore. Era necessario che tit-for-tat prevedesse la possibilità di vendicarsi, perché un tradimento non punito avrebbe potuto indurre gli avversari ad approfittare della sua eccessiva bontà. Essa, però, doveva essere commisurata all’offesa (una sola volta e basta, se l’avversario fosse tornato subito a cooperare). In particolare, Robert Axelrod osservò che, dopo un certo numero di interazioni di gioco tra individui che compiono sempre, razionalmente, le scelte più convenienti per loro, prevale inevitabilmente una strategia di tipo cooperativo. Gli effetti di tale strategia, in pratica, risultano migliori di quelli che si avrebbero se i giocatori ne applicassero una non cooperativa. La conclusione che ne trasse lo psicologo fu che la cooperazione tra individui egoisti può affermarsi, quando questi seguono il principio di cooperare, finché non vengono traditi. Una strategia cooperativa risulta valida, quindi, quando si è in grado di difendersi da eventuali defezioni dei propri alleati. 45

Di conseguenza, si potrebbe affermare che, paradossalmente, la vera soluzione egoistica è la cooperazione e non il tradimento. In effetti, si può verificare che i vantaggi di una strategia cooperativa sono certi, anche se non immediati. Nella storia dell’umanità, le nazioni non coinvolte in contese belliche hanno sempre goduto di maggiore prosperità, anche rispetto a quelle che erano uscite vincitrici da tali conflitti. 1.6 Meglio un uovo oggi che una gallina domani Oggettivamente, un guadagno minimo, ma sicuro e immediato, è da preferirsi a uno superiore, ma non certo. Una tale saggia considerazione, che può essere sperimentata nella vita di tutti i giorni, è anche alla base della Teoria dei giochi. Questa importante disciplina matematica si è sviluppata partendo dall’analisi di situazioni molto semplici, nelle quali si fronteggiano due soli avversari e al termine delle quali il beneficio acquisito dal vincitore coincide con il danno subito dallo sconfitto. Ipotizziamo, ad esempio, che al termine di un gioco del genere, svolto tra A e B, il primo abbia la meglio sul secondo. In questo caso, se la vincita di A è uguale a X, la perdita di B deve essere uguale a –X (nel caso di un eventuale pareggio si avrebbe X = 0 e, quindi, anche –X = 0). Giochi del genere vengono chiamati a somma zero, dato che sommando gli importi della vincita e della perdita si ottiene: X+(–X) = X–X = 0. Appartengono a questa categoria, tra gli altri, tutti i giochi d’azzardo in denaro tra due persone e molti classici giochi di carte e da tavola. Invece, non possono essere considerati a somma zero, ad esempio, gli incontri del campionato di calcio. In queste gare, la squadra vincente conquista 3 punti, mentre l’altra non perde 3 punti, ma ne 46

prende 0 (e 3+0 ≠ 0); inoltre, in caso di pareggio, le due squadre ottengono un punto a testa (e 1+1 ≠ 0). Al di là dei contesti puramente ludici, nella vita reale sono piuttosto rare le situazioni interpretabili come giochi a somma zero. Una simile schematizzazione, però, offre la possibilità di individuare, nella maniera più agevole, alcuni principi che possono avere valore generale. Le implicazioni di un gioco a somma zero tra due contendenti possono essere rappresentate in vari modi. Il più comodo ed efficace consiste nel disegnare una tabella (detta più propriamente matrice), analoga a quella riportata qui di seguito (in questo esempio, di dimensioni 4×4).

B1 B2 B3 B4 A1 A2 A3 A4 In una matrice ogni riga rappresenta una mossa eseguibile dal giocatore A, mentre ogni colonna ne rappresenta una eseguibile dal giocatore B. Nell’esempio in questione, quindi: –– A può compiere quattro mosse corrispondenti alle righe: A1, A2, A3, A4; –– B può compiere quattro mosse, corrispondenti alle colonne: B1, B2, B3, B4. In ciascuna casella posta all’incrocio di una generica coppia di mosse, deve essere evidenziato il punteggio (positivo o negativo) che ottiene A, per effetto della combinazione di tali mosse. 47

I punteggi ottenibili da B non sono indicati esplicitamente, perché il loro valore equivale all’opposto di quello ottenibile da A (secondo la definizione di gioco a somma zero). Per chiarire meglio questo concetto, consideriamo la seguente matrice.

B1 B2 B3 B4 A1

4

–6

1

9

A2

6

0

5

–1

A3

3

2

4

5

A4

5

–2 –7

1

Data una tale impostazione, ad esempio, in corrispondenza della coppia di mosse A1 e B4 (prima riga, quarta colonna), il giocatore A conquista 9 punti e B ne perde 9.

B1 B2 B3 B4 A1

4

–6

1

9

A2

6

0

5

–1

A3

3

2

4

5

A4

5

–2 –7

1

Invece, in corrispondenza della coppia di mosse A4 e B3 (quarta riga, terza colonna), il giocatore A perde 7 punti e B ne guadagna 7.

48

B1 B2 B3 B4 A1

4

–6

1

9

A2

6

0

5

–1

A3

3

2

4

5

A4

5

–2 –7

1

Per determinare in maniera razionale il comportamento migliore per ognuno dei due giocatori, è necessario supporre che entrambi siano a conoscenza di tutte le modalità previste dal gioco e delle conseguenze legate a ogni singola mossa possibile. In base alle regole del gioco, i due contendenti possono compiere le proprie mosse o simultaneamente (come, ad esempio, nella morra), oppure a turno, uno dopo l’altro (come nella maggior parte dei giochi di carte e da tavola). Inoltre, una partita può anche esaurirsi con l’esecuzione di una sola coppia di mosse (come, ad esempio, nel pari o dispari) e non consistere necessariamente in una successione di più coppie di mosse. L’insieme di mosse (o la singola mossa) che un giocatore intende effettuare viene chiamata strategia. Una strategia viene detta ottimale se consente a un giocatore di conseguire la minor perdita possibile (o il maggior guadagno possibile), indipendentemente dalle mosse effettuate dal proprio avversario. Per poter individuare l’eventuale esistenza di una strategia ottimale, per prima cosa bisogna analizzare gli effetti di tutte le mosse possibili e individuare quelle che procurano il danno minore. A tale scopo, al giocatore A conviene trascrivere in una colonna laterale il punteggio minimo indicato in ciascuna riga della matrice. 49

Prendiamo in considerazione la matrice dell’esempio precedente.

B1 B2 B3 B4 A1

4

–6

1

9

A2

6

0

5

–1

A3

3

2

4

5

A4

5

–2 –7

1

Possiamo facilmente notare che: –– nella riga A1, il valore più basso è –6; –– nella riga A2, il valore più basso è –1; –– nella riga A3, il valore più basso è 2; –– nella riga A4, il valore più basso è –7. Quindi, il, giocatore A deve impostare il seguente schema.

B1 B2 B3 B4 min A1

4

–6

1

9

–6

A2

6

0

5

–1 –1

A3

3

2

4

5

2

A4

5

–2 –7

1

–7

A questo punto deve verificare se tra i punteggi così evidenziati ne esiste almeno uno che sia maggiore di tutti gli altri. Nell’esempio in questione, tale punteggio è 2, corrispondente al valore minimo ottenibile con la mossa A3. 50

B1 B2 B3 B4 min –6

A1

4

–6

1

9

A2

6

0

5

–1 –1

A3

3

2

4

5

2

A4

5

–2 –7

1

–7

Se ne deduce, quindi, che al giocatore A conviene eseguire sempre la mossa A3. In questo modo, indipendentemente dalle scelte di B, si assicurerà sempre almeno 2 punti, a ogni turno. Infatti, se decidesse di effettuare, ad esempio, la mossa A1, col miraggio di conquistare 9 punti, finirebbe per perderne 6, nel caso in cui l’avversario scegliesse la mossa B2. Il valore così individuato viene chiamato maximin, perché è l’elemento di valore massimo in un insieme di valori minimi. Nel caso in cui esistesse più di un maximin, il giocatore A avrebbe la facoltà di effettuare, a ogni turno, una qualsiasi delle mosse che determinano tale valore minimo. Se tutti i punteggi minimi evidenziati fossero uguali, il maximin non esisterebbe. Di conseguenza, il giocatore A potrebbe anche effettuare a caso le proprie mosse, in quanto il rischio più elevato non muterebbe. Un ragionamento analogo deve compierlo anche il giocatore B. Tenendo presente, però, che i punteggi riportati nelle caselle, per lui, valgono l’opposto, dovrà evidenziare per ogni propria mossa non il punteggio più basso, ma quello più alto (il peggiore per lui). In pratica, il giocatore B deve trascrivere in una riga finale il punteggio massimo indicato in ciascuna colonna della matrice. Per evidenziare la procedura che deve compiere il gio51

catore B, prendiamo di nuovo in considerazione la matrice dell’esempio precedente.

B1 B2 B3 B4 A1

4

–6

1

9

A2

6

0

5

–1

A3

3

2

4

5

A4

5

–2 –7

1

Possiamo facilmente notare che: –– nella colonna B1, il valore più alto è 6; –– nella colonna B2, il valore più alto è 2; –– nella colonna B3, il valore più alto è 5; –– nella colonna B4, il valore più alto è 9. Quindi, il giocatore B deve impostare il seguente schema.

B1 B2 B3 B4 A1

4

–6

1

9

A2

6

0

5

–1

A3

3

2

4

5

A4

5

–2 –7

1

2

9

max 6

5

A questo punto, deve verificare se tra i punteggi così evidenziati ne esiste almeno uno che sia minore di tutti gli altri. Nell’esempio in questione, tale punteggio è 2, corrispondente al valore massimo ottenibile con la mossa B2. 52

B1 B2 B3 B4 A1

4

–6

1

9

A2

6

0

5

–1

A3

3

2

4

5

A4

5

–2 –7

1

2

9

max 6

5

Se ne deduce, quindi, che al giocatore B conviene eseguire sempre la mossa B2. In questo modo, indipendentemente dalle scelte di A, si assicurerà di non perdere mai più di 2 punti, a ogni turno. Infatti, se decidesse di effettuare, ad esempio, la mossa B3, col miraggio di conquistare 7 punti, finirebbe per perderne 5, nel caso in cui l’avversario scegliesse la mossa A2. Il valore così individuato viene chiamato minimax, perché è l’elemento di valore minimo in un insieme di valori massimi. Analogamente a quanto visto per il maximin, nel caso in cui esistesse più di un minimax, il giocatore B avrebbe la facoltà di effettuare, a ogni turno, una qualsiasi delle mosse che determinano tale valore massimo. Se tutti i punteggi massimi evidenziati fossero uguali, il minimax non esisterebbe. Di conseguenza, il giocatore B potrebbe anche effettuare a caso le proprie mosse, in quanto il rischio più elevato non muterebbe. Questi ragionamenti dimostrano come sia raccomandabile accontentarsi di un risultato sicuro, anche se apparentemente modesto, piuttosto che inseguire mete più ambiziose, esponendosi a grandi rischi (meglio un uovo oggi…). D’altra parte, per riuscire a portare a compimento una strategia a lungo termine, è essenziale utilizzare una tattica 53

prudente, passo dopo passo, per evitare di essere messi subito fuori gioco. 1.7 Non c’è due senza tre Se si considera che il due è ritenuto l’emblema dei numeri pari e che, analogamente, il tre è ritenuto l’emblema dei numeri dispari, l’affermazione: «Non c’è due senza tre» può essere interpretata anche come: «Non c’è pari senza dispari». E, in effetti, nella successione dei numeri interi, i pari e i dispari si alternano rigorosamente. A livello formale, un numero intero viene definito pari se è un multiplo di 2; ovvero se, diviso per 2, dà come resto 0. Di conseguenza, un generico numero pari, P, può essere indicato come: P = 2N (N = 0, ±1, ±2, ±3…) L’insieme dei numeri pari, quindi, può essere rappresentato nel seguente modo: Pari = {…, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, …} Analogamente, un numero intero viene definito dispari, se non è un multiplo di 2; ovvero se, diviso per 2, dà come resto 1. Di conseguenza, un generico numero dispari, D, può essere indicato come: D = 2N+1(N = 0, ±1, ±2, ±3…) L’insieme dei numeri dispari, quindi, può essere rappresentato nel seguente modo: Dispari = {…, –5, –3, –1, 1, 3, 5, …} 54

Concetto di parità La caratteristica di un numero intero di essere pari o dispari viene detta parità. In particolare, due numeri interi hanno: • stessa parità, quando sono o entrambi pari, o entrambi dispari; • diversa parità, quando sono uno pari e l’altro dispari o, viceversa, uno dispari e l’altro pari. In generale, quando la quantità degli elementi di un dato insieme subisce modifiche, si dice che tale insieme ha: • cambiato parità, se la quantità finale degli elementi presenta una parità diversa da quella iniziale; • mantenuto la parità, se la quantità finale degli elementi presenta la stessa parità di quella iniziale. Nella successione dei numeri interi, un elemento adiacente a un numero pari è sempre un numero dispari e, viceversa, un elemento adiacente a un numero dispari è sempre un numero pari, come qui di seguito evidenziato. pari

…

interi

… –5 –4 –3 –2 –1 0

1

dispari

… ↑

↑

↓

↓ ↑

↓ ↑

↓ 2

3 ↑

↓

…

4

5 … ↑ …

Più sinteticamente, è possibile definire così tale proprietà: • se N è pari, allora N±1 è dispari; • se N è dispari, allora N±1 è pari. Applicando più volte la proprietà precedente, si può verificare facilmente che, dati due numeri interi qualsiasi, N e M: • se M è pari, N±M ha la stessa parità di N; • se M è dispari, N±M ha parità diversa da N. 55

Questa stessa regola può essere espressa più semplicemente così: • pari ± pari = pari • dispari ± pari = dispari • pari ± dispari = dispari • dispari ± dispari = pari Bit di parità Il sistema di controllo più semplice ed economico utilizzato in informatica per prevenire errori nella trasmissione o nella memorizzazione dei dati si basa sul concetto di parità. Per applicare questo metodo, a ogni insieme di bit da trasmettere, se ne deve affiancare un altro, detto bit di parità, che non influisce sull’informazione da passare, ma ne controlla la struttura. In particolare, un bit di parità viene impostato a: • «0», se la quantità di «1» dell’insieme di bit da trasmettere è pari; • «1», se la quantità di «1» dell’insieme di bit da trasmettere è dispari. In questo modo, la quantità globale di «1», incluso il bit di parità, è sempre pari. Se nella trasmissione di un insieme di bit (incluso quello di parità) uno di questi subisce una modifica anomala, la quantità di bit effettivamente trasmessa risulterà dispari e ciò segnalerà che si è verificato un errore (anche se non sarà possibile individuarlo). Quindi, dovrà essere richiesta la ripetizione della trasmissione. Ovviamente, il metodo del bit di parità consente di rilevare un errore riguardante un unico bit (o, al limite, un numero dispari di bit). Se l’errore riguarda due bit (o, al limite, 56

un numero pari di bit), la trasmissione viene erroneamente considerata corretta. Normalmente, però, la probabilità di trasmettere un bit errato è di 1/106; quindi, la probabilità di trasmettere due bit errati in uno stesso invio è di 1/1012, quindi estremamente bassa. Parità paradossale Il concetto di parità è molto semplice, ma genera un inestricabile paradosso, che può essere descritto nel seguente modo. Dato che, in una qualunque successione limitata di numeri interi consecutivi, si alternano rigorosamente un numero pari e uno dispari, viene spontaneo affermare che la quantità dei numeri pari è uguale alla metà di quella dei numeri interi (lo stesso vale, ovviamente, per i numeri dispari). In assoluto, però, dato un qualsiasi numero intero N, è sempre possibile trovare un numero pari P, tale che: P = 2×N. Analogamente, dato un qualsiasi numero intero N, è sempre possibile trovare un numero dispari D, tale che: D = 2×N+1. Di conseguenza, se si considera la totalità infinita dei numeri interi, la quantità dei numeri pari (o dispari) risulta essere esattamente uguale a quella dei numeri interi! Magica parità Nelle applicazioni di magia matematica, le proprietà legate al concetto di parità consentono di ottenere, in maniera non palese, delle informazioni utili, in merito allo stato di parità di un determinato insieme. Un esempio significativo al riguardo è il seguente. Modalità di esecuzione 1. Consegnate a uno spettatore alcune monete e chie57

detegli di farle cadere, in maniera casuale, sul tavolo, dopo averle agitate energicamente tra le mani. 2. Osservate la situazione che si è così creata; poi, voltatevi con le spalle al tavolo. 3. Chiedete allo spettatore di capovolgere due monete alla volta, quante volte vuole, intervenendo eventualmente anche più volte sulle stesse monete. 4. Terminata questa serie di ribaltamenti, pregate lo spettatore di coprire con la mano una moneta a sua scelta. 5. Voltatevi verso il tavolo, date una rapida occhiata alla disposizione delle monete e, dopo pochi istanti, dichiarate con sicurezza quale faccia (testa o croce) è stata coperta con la mano. 6. Chiedete allo spettatore di scoprire la moneta e fate notare che mostra proprio la faccia da voi annunciata. 7. Potete replicare questa stessa performance, con altri spettatori, quante volte volete… Accorgimenti da seguire Appena lo spettatore ha fatto cadere le monete sul tavolo, dovete scegliere mentalmente una delle due possibili facce (preferibilmente, quella che appare in quantità minore) e osservare quale parità possiede l’insieme delle monete che mostrano quella faccia. Al termine dei ribaltamenti, dovete rilevare quale parità presenta ora l’insieme relativo alla faccia da voi scelta e applicare il seguente criterio: –– se la parità attuale è la stessa di quella precedente, vuol dire che è stata coperta una faccia diversa da quella da voi scelta; –– se la parità attuale è diversa da quella precedente, vuol dire che è stata coperta una faccia uguale a quella da voi scelta. Ad esempio, se prima di voltarvi avevate contato sul tavolo 5 teste (dispari) e alla fine ne vedete 3 (sempre dispa58

ri), la faccia coperta deve essere necessariamente una croce, dato che i due insiemi presentano la stessa parità. Se, invece, dopo aver visto all’inizio 5 teste, alla fine ne vedete 2 (pari), la faccia coperta deve essere una testa, dato che i due insiemi mostrano diversa parità. Spiegazione del trucco Quando si ribalta una moneta che mostra una determinata faccia, diminuisce di un’unità la quantità di monete che mostrano quella stessa faccia e l’altra aumenta di un’unità. Ad esempio, se ribaltiamo una moneta che mostra testa (facendole, così, mostrare croce) la quantità delle teste diminuisce di un’unità, mentre quella delle croci aumenta di una. Quindi, analogamente a quanto visto nel gioco precedente, capovolgendo due monete alla volta rimane inalterata sia la parità delle teste, sia quella delle croci, indipendentemente dalle loro rispettive numerosità (pari ± pari = pari; dispari ± pari = dispari). Pertanto, se non fosse stata coperta alcuna moneta, al termine dei ribaltamenti dovremmo osservare la stessa parità di partenza. Per cui, se la parità osservata è diversa da quella precedente, vuol dire che è stata coperta una faccia uguale a quella da noi scelta (quella che manca all’appello…); se, invece, è la stessa di quella precedente, vuol dire che è stata coperta una faccia diversa da quella da noi scelta. 1.8 Salvare capra e cavoli Spesso, quando si cerca di soddisfare contemporaneamente due opposte esigenze, si menziona questo proverbio, uno dei pochi di cui si conosca esattamente l’origine. Questa espressione, infatti, deriva dall’enunciato di un problema logico proposto dal monaco irlandese Alcuino tra il 59

735 e l’804 d.C. Anche se poco noto al grande pubblico, questo studioso riveste una notevole importanza nella storia della didattica matematica. A lui si rivolse Carlo Magno per organizzare la rinascita delle scuole presso i monasteri e le abbazie; a lui si deve la formalizzazione della distinzione del sapere nelle tre arti del trivio (grammatica, retorica e dialettica) e nelle quattro del quadrivio (aritmetica, geometria, astronomia e musica), classificazione che restò immutata per tutto il Medioevo e anche oltre. In uno dei suoi dialoghi immaginari con l’imperatore Carlo Magno (questa era la forma con cui Alcuino impostava i propri scritti), proponeva la seguente questione. Un contadino si trova sulla riva di un fiume, con un cavolo, una capra e un lupo; ha a disposizione una piccola barchetta che, oltre a lui, può portare solo uno dei due animali oppure il cavolo. Il contadino sa che, se in sua assenza la capra si trova sola con il cavolo, lo mangia, se la capra si trova sola con il lupo, ne è divorata. Come può fare a traghettare tutte le sue proprietà dall’altra parte del fiume? La soluzione di questo problema è abbastanza semplice e la riportiamo sinteticamente. In un primo viaggio, il contadino porterà la capra con sé, la lascerà dall’altra parte e tornerà indietro. Prenderà il lupo (o il cavolo, è indifferente) e lo traghetterà, ma nel tornare indietro porterà con sé la capra. La lascerà sulla riva di partenza, traghettando il cavolo (o il lupo), e a questo punto non dovrà far altro che tornare a riprendere la capra. Un problema simile, ma sensibilmente più ostico, è stato proposto da Niccolò Tartaglia, grande matematico del Quattrocento. Lo presentiamo in una versione non molto… politically correct, ma (almeno, a nostro avviso) più efficace e immediata dell’originale. 60

In questo caso, su una delle rive di un fiume si trovano tre cannibali e tre missionari, che desiderano traghettare dall’altra parte. A loro disposizione c’è, però, solo una barchetta che può portare al massimo due persone; inoltre, se i cannibali si trovassero in maggioranza sull’una o sull’altra riva, mangerebbero i missionari rimasti. Come si possono organizzare i traghettamenti? Il problema, nella sua apparente semplicità, è molto intrigante e di non immediata soluzione; in genere, dopo qualche vano tentativo, si desiste dall’impresa. Ciò è piuttosto sorprendente, perché, a ben vedere, la soluzione non è oggettivamente difficile, essendo obbligata. Però, non è agevole affrontare questo genere di problemi, per la mancanza di una adeguata notazione simbolica che riesca a schematizzare efficacemente la situazione. Proviamo a proporne una. Siccome la barchetta non può viaggiare da sola, ponendo: C = cannibale e M = missionario, tutti i possibili equipaggi sono i seguenti cinque: (C), (M), (CC), (MM), (CM) Ogni possibile viaggio, compiuto in uno dei cinque modi indicati, si applica a una determinata situazione. Alcuni di essi, però, potrebbero risultare inaccettabili, in quanto qualche missionario verrebbe divorato; altri si rivelerebbero inutili, perché ripristinerebbero la situazione precedente. Schematizziamo la situazione, annotando quanti missionari e quanti cannibali si trovano su ciascuna riva in ogni operazione di trasbordo e dove è ormeggiata la barchetta (\__/).

61

0 CCCMMM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ \___/ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Questa è la situazione iniziale. Esaminiamo i possibili viaggi: (C) e (M) sono inutili, in quanto al viaggio di ritorno si ritornerebbe inevitabilmente alla medesima situazione; (MM) è da evitare, perché resterebbero 3C con 1M. Rimangono, quindi: (CC) o (CM)

1a

1b

CMMM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

CCMM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

\__/ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ CC

\__/ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ CM

In entrambe le situazioni, dopo il viaggio di ritorno, resterà inevitabilmente un cannibale sull’altra sponda, priva di barchetta. Dobbiamo, infatti, escludere di tornare indietro con il medesimo equipaggio precedente; inoltre, partendo da 1b, (C) determinerebbe una maggioranza di cannibali, sulla sponda di arrivo; quindi, l’unica possibilità sarebbe: (M).

62

2 CCMMM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ \__/

(M) è inutile, perché riporterebbe alla situazione precedente; (MM) è da evitare, perché resterebbero 2C con 1M; (CM) è da evitare, perché ci sarebbero 2C e 1M all’arrivo.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ C

Quindi, è obbligato: (CC)

3 MMM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ \__/ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ CCC

4 CMMM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ \__/ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ CC

(CC) è inutile, perché riporterebbe alla situazione precedente. Quindi, è obbligato: (C)

La dislocazione dei missionari e dei cannibali è analoga a quella della situazione 1a; la posizione della barchetta, però, è diversa. (C) è inutile, perché riporterebbe alla situazione precedente. (M) è da evitare, perché ci sarebbero 2C e 1M all’arrivo. (CM) è da evitare, perché ci sarebbero 3C e 1M all’arrivo. Quindi, è obbligato: (MM)

63

5 CM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ \__/ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ CCMM

6 CCMM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ \__/ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ CM

(MM) è inutile, perché riporterebbe alla situazione precedente; (C) è da evitare, perché ci sarebbero 2C e 1M all’arrivo; (CC) è da evitare, perché ci sarebbero 3C e 1M all’arrivo; (M) è da evitare, perché lascerebbe 2C con 1M. Quindi, è obbligato: (CM) Questa è una posizione critica. Con (CM) si ritorna a una disposizione già incontrata in uno dei due possibili primi viaggi e, quindi, si potrebbe essere tentati a scartare una mossa del genere. In realtà, anche se la dislocazione delle persone è la stessa, la posizione della barchetta è diversa (e questo è determinante). (CM) è inutile, perché riporterebbe alla situazione precedente; (C) è da evitare, perché ci sarebbero 2C e 1M all’arrivo; (CC) è da evitare, perché ci sarebbero 3C e 1M, all’arrivo; (M) è da evitare, perché lascerebbe 2C e 1M. Quindi, è obbligato: (MM)

64

7 CC ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ \__/ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ CMMM

Ora il problema è praticamente risolto. Senza ripetere le analisi dettagliate, risultano obbligati i seguenti viaggi. 8 C C C \__/ MMM 9C 10 CC

\__/ C C M M M \__/

CMMM

11 \__/ C C C M M M In questo modo, i tre cannibali e i tre missionari si trovano finalmente sull’altra sponda, senza pericolo. Volendo, al viaggio 10, potrebbe anche tornare indietro un missionario, per ritornare nell’ultimo viaggio con il cannibale.

A parte due varianti, del tutto equivalenti, le scelte da effettuare volta per volta si sono dimostrate obbligate. In pratica, questo problema è stato risolto applicando il principio di Sherlock Holmes: quando tutte le alternative esaminate si rivelano impossibili, quella che resta, per quanto possa sembrare incredibile, corrisponde alla verità. Procedere nel modo indicato è indubbiamente più lungo, e forse noioso, che ricorrere all’intuizione, in una successione di tentativi più o meno estemporanei. Non è assolutamente detto che una ricerca della soluzione poco rigorosa nel suo impianto logico debba essere condannata all’insuccesso, tutt’altro; a volte può essere quasi consigliabile. Se, rispettando tutte le altre condizioni, vi fossero solo due missionari e due cannibali, il trasbordo si effettuerebbe facilmente in cinque viaggi, immediatamente intuibili, senza bisogno di eccessive analisi.

65

0CCMM

\__/

1MM 2CMM

\__/ C C \__/

C

3C 4CC

\__/ C M M \__/

MM

5

\__/ C C M M

Non è raro tuttavia il caso, in enigmi formalmente simili a questo, che dopo aver trovato, più o meno miracolosamente, la soluzione, non si sia in grado di ricostruirla. Ma vi sono almeno altri due buonissimi motivi per privilegiare, quando il problema da affrontare non sia di banale o evidente soluzione, un metodo più rigoroso, analogo a quello suggerito in precedenza, che per molti aspetti ricorda gli algoritmi di back-tracking in uso nell’informatica. Il primo è che, procedendo come indicato, si è in grado non solo di trovare una soluzione, ma tutte le soluzioni, qualora esistessero. Il secondo, ancora più importante, è che solo un metodo rigoroso può stabilire se il problema ammette soluzione o no. Di fronte a un qualsiasi problema, non riuscire a risolverlo, non può significare che non esista una soluzione; nel caso, occorre dimostrarlo e ciò può essere fatto, solo ricorrendo a metodi quali quello illustrato. Questo enigma cela, se vogliamo, anche una profonda morale: a volte è necessario accordarsi con chi ha interessi diametralmente opposti, per superare una situazione d’emergenza. E in questi casi, volenti o nolenti, è interesse di tutti collaborare lealmente: «Bisogno fa buon fante»; o, più precisamente: «Bisogna fare di necessità virtù». 66

Inoltre, la buona riuscita del traghettamento dimostra anche che: «Il bisogno fa l’uomo ingegnoso». 1.9 Segreto di due, segreto di Dio; segreto di tre, lo sa pure il mondo Il mondo dei proverbi è particolarmente sensibile all’esigenza di mantenere uno stretto, dignitoso, doveroso riserbo sulle informazioni di una certa delicatezza di cui si è venuti a conoscenza, accidentalmente o per una segreta confidenza: «Chi vuol esser discreto, celi il suo segreto»; «Servo d’altri si fa, chi dice il suo segreto a chi nol sa». Vengono messi in particolare evidenza i vantaggi, per gli altri, ma anche per se stessi, che derivano da un comportamento improntato a misurata e riguardosa discrezione: «Chi è segreto in ogni terra, mette la pace e leva la guerra»; «Parla poco e ascolta assai e giammai non fallirai». I chiacchieroni, i ciarlieri, i pettegoli vengono giudicati con severo e intransigente disprezzo: «Chi assai ciarla spesso falla»; «Chi dice tutto e niente serba, può andar con l’altre bestie e pascer l’erba». Né poteva mancare l’abituale e consueto riferimento misogino, corollario del lapidario e definitivo: «Chi dice donna, dice danno»; «Quel che alla donna ogni segreto fida, ne vien col tempo a far pubbliche grida». Con una felice metafora, chi non sa mantenere i segreti è paragonato a un sacco rotto: 67

«Sacco rotto non tien miglio; pover’uom non va a consiglio». Tuttavia, tenendo anche conto che: «Si dura più fatica a tacere che a parlare», i proverbi mostrano una certa indulgenza nei confronti di chi rivela un segreto a una sola altra persona, purché sia particolarmente fidata e degna della massima fiducia, in modo da avere la ragionevole certezza che il segreto non sia rivelato ad altri: «Segreto di due, segreto di Dio, segreto di tre, segreto d’ognuno», come suona una variante del proverbio che dà il titolo a questo paragrafo. Ma anche se la persona con cui si decide di condividere un segreto gode della massima credibilità, magari anche perché interessata anch’essa a non divulgare informazioni riservate, vi è sempre il rischio che qualcuno, in modo fraudolento, riesca a impossessarsene per fini più o meno loschi. Sorge, quindi, la necessità di predisporre una serie di accorgimenti, di cautele, di metodi che garantiscano la segretezza nella trasmissione di messaggi. Carpito e decifrato il messaggio, «Segreto confidato non è più segreto». L’informazione gelosamente occultata diventa un segreto di Pulcinella: «Quel che tre sanno tutti sanno» e rimediare diventa impossibile: « È inutile chiudere la stalla quando i buoi sono scappati». Questa esigenza è antichissima, essendo nata con la diffusione della scrittura: «Verba volant, scripta manent». È particolarmente sentita nel mondo attuale in cui, a causa della diffusione dell’uso dei computer, si assiste a un esponenziale proliferare di scambi di informazioni, molte delle quali assolutamente inutili e insignificanti, ma alcune oggettivamente di una certa importanza, che è bene non mettere a disposizione di tutti. 68

Per tale motivo, sono stati messi a punto diversi sistemi per trasmettere messaggi, garantendone la segretezza. Qui di seguito ne illustriamo i più significativi, coinvolgendo, per comodità di esposizione, tre personaggi convenzionali (Alice, Bob ed Eva). Nella situazione di base, Alice desidera trasmettere certe informazioni a Bob, ma sa che Eva è intenzionata a intercettare il suo messaggio. Una strategia fondamentale per comunicare segretamente, che consiste nell’impedire agli estranei di sospettare dell’esistenza di un messaggio, viene chiamata steganografia (dal greco: scrittura occulta). Per applicare tale strategia, è sempre necessario stabilire un accordo preventivo al di fuori del canale di comunicazione usato per trasmettere i messaggi. Vediamo alcuni esempi. Alice è la regina della Mesopotamia e desidera far pervenire un messaggio a Bob, re della Macedonia. Quindi rade la testa di uno schiavo, trascrive sulla sua testa pelata il messaggio; poi, quando all’uomo sono ricresciuti i capelli, lo invia da Bob. Gli emissari di Eva lo catturano e lo perquisiscono, ma non trovano alcun messaggio e, quindi, lo rilasciano. Giunto da Bob, lo schiavo gli rivela l’ingegnoso marchingegno. Bob gli fa radere la testa e legge il messaggio segreto. Alice vuole comunicare a Bob il numero di telefono della stanza d’albergo in cui si trova, senza insospettire sua moglie, Eva, molto gelosa. Quindi gli invia il seguente sms: «La sua banca concederà prestito richiesto». Il numero in questione (tranne il prefisso) corrisponde alla quantità di lettere delle parole che compongono il testo trasmesso: «2 3 5 9 8 9». 69

Alice vuole comunicare a Bob l’ora e il luogo di un appuntamento segreto. Quindi gli invia un messaggio di posta elettronica: «Ordine ripetuto evaso; debito undicimila euro. Attendo fideiussione rinnovata in clima amichevole». Le iniziali delle parole trasmesse rappresentano ciò che Bob deve sapere ed Eva ignorare: ORE DUE (Viale) AFRICA. Anche se la diffidente Eva scoprisse questo messaggio e il precedente, Bob potrebbe sempre sostenere che Alice è una consulente finanziaria. Analoghe astuzie potrebbero essere usate anche da chi ha necessità di inviare messaggi a se stesso. Non si pensi per questo alla schizofrenia. Schizofrenico è chi si querela per avere scritto un’autobiografia non autorizzata… non chi teme, giustamente, di dimenticare password e codici di capitale importanza e ritiene saggiamente di appuntarli, ma in modo non evidente e trasparente. Ciascuno ha una cassaforte assolutamente inespugnabile: la propria mente, nella quale può riporre ogni sorta di segreti con l’assoluta certezza che nessuna forzatura indesiderata riuscirà a scoprirli. Purtroppo, vi è il rischio di scordare la combinazione; ovvero, fuor di metafora, di dimenticare ciò che si era memorizzato… Per annotare, ad esempio, il codice del proprio bancomat si potrebbe scrivere su un’agendina: «Dove vai avrai credito alto». Come nell’sms che Alice ha inviato a Bob, il codice in questione corrisponde alla quantità di lettere di ciascuna parola: «4 3 5 7 4». Oppure, si può inventare un amico immaginario (ad esempio, Guglielmo) e, nella rubrica telefonica, in corrispondenza del suo nome, registrare il fittizio numero telefonico 334 3943574, le cui ultime cinque cifre coincidono con il codice del bancomat. 70

Ovviamente, chi si dovesse impadronire dolosamente dell’agendina o del telefonino non potrebbe neppure sospettare dell’esistenza di un messaggio segreto. Vi è, però, una controindicazione. Magari a distanza di tempo, leggendo il nome di Guglielmo sulla rubrica telefonica, si potrebbe correre il rischio di lambiccarsi il cervello cercando di ricordare chi sia questo amico di cui proprio non si rammenta nulla… Potrebbe risultare più prudente annotare chiaramente, ad esempio: «Codice Bancomat: 54685», trovando solo un modo per mascherare il codice, mediante qualche modifica. In questo caso, ogni cifra del vero codice è stata aumentata di 1; ma le regole di trasformazione possono essere le più varie, fantasiose, ingegnose, sempre con l’unico scopo di rendere più difficile la decifrazione. Se, però, si scordano queste regole, non resta che «far buon viso a cattiva sorte» e rivolgersi alla propria banca… Un’altra strategia fondamentale per comunicare segretamente, senza la necessità di celare agli estranei l’esistenza di un messaggio, prende il nome di crittografia (dal greco: scrittura nascosta). Questa particolare strategia si articola in due filoni principali: la trasposizione, in cui viene modificato l’ordine delle lettere o delle cifre, e la sostituzione, in cui vengono modificate le singole lettere o le singole cifre. Analizziamo un esempio concreto. Alice vuole trasmettere a Bob il seguente messaggio, usando una trasposizione: SEMPRE CARO MI FU QUEST’ERMO COLLE, E QUESTA SIEPE CHE DA TANTA PARTE 71

Quindi, lo scrive su tre righe diverse (dall’alto verso il basso e da sinistra verso destra), trascurando spazi bianchi e segni d’interpunzione, e aggiungendo due lettere fittizie per completare lo schema. S

P

C

O

F

U

T

M

O

E

U

T

I

E

E

T

T

A

E

E

R

A

M

U

E

E

O

L

E

E

A

E

C

D

A

A

R

A

M

E

R

I

Q

S

R

C

L

Q

S

S

P

H

A

N

P

T

R

Invia il messaggio crittato: SPCOFUTMOEUTIEETTAEERAMUEEOLEEAECDAARA MERIQSRCLQSSPHANPTR Bob conta le lettere (57), ed essendo al corrente della divisione in tre righe, individua le righe da 19 lettere ciascuna: SPCOFUTMOEUTIEETTAE ERAMUEEOLEEAECDAARA MERIQSRCLQSSPHANPTR e ricostruisce il messaggio in chiaro, leggendo in verticale colonna per colonna ed eliminando le due lettere aggiunte alla fine (A e R): SEMPRECAROMIFUQUESTERMOCOLLEEQUESTASIE PECHEDATANTAPARTEAR Quando, invece, ogni lettera viene cambiata con un’altra, oppure con un simbolo, si ha la sostituzione. Il metodo più ovvio è quello di sostituire ogni lettera dell’alfabeto con quella che segue o precede di un certo numero di posti. Ad esempio, con uno slittamento di tre posti in avanti: A  D, B  E, C  F…W  Z, e, ciclicamente: X  A, Y  B, Z  C 72

Il messaggio in chiaro, scritto senza spazi e segni d’interpunzione: SEMPRECAROMIFUQUESTERMOCOLLEEQUESTASIE PECHEDATANTAPARTE viene, così, trasmesso da Alice a Bob, usando l’alfabeto internazionale a 26 lettere: VHPSUHFDURPLIXTXHVWHUPRFROOHHTXHVWDVLH SHFKHGDWDQWDSDUWH Bob non dovrà fare altro che sostituire ogni lettera con quella che la precede di 3 posti. È il cosiddetto metodo di Giulio Cesare, molto elementare e decisamente facile da forzare, da parte di Eva. Per complicare l’esistenza agli estranei, si possono trovare sostituzioni meno regolari, costruendo una tabella di conversione, sulla base di una qualsiasi permutazione delle 26 lettere dell’alfabeto; come nel seguente esempio. A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

H

P

U

A

I

Q

B

C

J

R

D

W

X

K

E

S

L

Z

Y

M

V

F

N

O

G

T

Vi sono 26! = 403 291 461 126 605 635 584 000 000 possibili permutazioni delle 26 lettere, quindi la scelta è piuttosto ampia, anche se ovviamente saranno da evitare, sia la permutazione invariante (ABC…XYZ), sia quelle dotate di troppa regolarità, come nel metodo di Cesare. A questo criterio di crittazione si ispirò Edgar Allan Poe nel racconto Lo scarabeo d’oro (1843). Per individuare il luogo dove è nascosto il tesoro di capitan Kidd, il protagonista ha a disposizione il seguente messaggio cifrato: 73

53++œ305))6*;4826)4+. )4+);806*;48œ8^60))85;1+(;:+* 8œ83(88)5*œ;46 (;88*96*?;8)*+(;485);5*œ2;*+(;4956*2(5*– 4)8^8*;4069285);)6œ8)4++;1 ( + 9 ; 4 8 0 8 1 ; 8 : 8 + 1 ; 4 8 œ 8 5 ; 4 ) 4 8 5œ528806*81(+9;48(88;4(+?34;48)4+161;: 188;+?; Vediamo come il protagonista, William Legrand, espone sinteticamente il ragionamento che gli ha consentito di risolvere l’enigma: «Questi caratteri sono cifrati, vale a dire che hanno un senso. In questo caso, e in genere in tutti i casi di scrittura segreta, la prima questione con cui misurarsi è proprio la lingua del cifrario. Contai tutte le lettere e stesi la seguente tabella: del carattere «8» ce ne sono 33 del carattere «;» “ “ “ 26 del carattere «4» “ “ “ 19 del carattere «+» “ “ “ 16 ……………… . . ………………. del carattere «^» “ “ “ 2 del carattere «–» “ “ “ 1 […]. Ora, la lettera più frequente in inglese è «e»; seguono nell’ordine ‘a o i d h n … q x z’. Vista la dominanza del carattere ‘8’ nel messaggio lo dobbiamo assumere come la lettera ‘e’. Per verificare questa ipotesi, vediamo se il carattere ‘8’ si trovi spesso doppio, visto che in inglese l’‘e’ figura spesso doppia, come in ‘meet, fleet, speed, seen’, ecc. Nel caso in questione è doppia almeno 5 volte, malgrado la brevità del crittogramma. 74

Prendiamo ‘8’ = ‘e’. Ora, tra le parole inglesi la più usata è ‘the’. Bisogna, quindi, controllare se non vi sia una combinazione ripetuta di tre caratteri di cui ‘8’ sia il terzo. Fatta la verifica, riscontriamo sette gruppi i cui caratteri sono ‘;48’. Ne deriva che ‘;’ = ‘t’ e che ‘4’ = ‘h’ È un passo avanti enorme […]». Possiamo fermarci qui. Da questo esempio, è chiaro implicitamente che cosa significhi forzare un crittogramma, con metodi statistici. Si tratta, individuata la lingua, di confrontare la frequenza dei simboli cifrati con la frequenza delle lettere dell’alfabeto di quella lingua e procedere, attribuendo ai simboli crittati più spesso, il valore delle lettere più frequenti. Ovviamente, il racconto di Edgar Allan Poe si riferisce all’inglese. In italiano le lettere più frequenti sono E, I, A (intorno all’11%), seguite dalla vocale O (circa il 9%) e dalle consonanti N, L, T, R, S (tra il 5% e il 7%). Tutte le altre si presentano con frequenza inferiore. Per impedire una forzatura con metodi statistici, è stata ideata la crittografia a chiave, che si basa su principi abbastanza semplici. Si associa ogni lettera a un dato numero (ad esempio: A = 0, B = 1, C = 2…Y = 24, Z = 25); Si sceglie una chiave particolare (ad esempio: ERIKA). Si trascrive la chiave sopra il messaggio da crittare, tante volte fino a completarlo: ERIKAERIKAERIKAERIKAERIKAERIKA SEMPRECAROMIFUQUESTERMOCOLLEEQ ERIKAERIKAERIKAERIKAERIKA UESTASIEPECHEDATANTAPARTE 75

Non vi è nessun problema se le lettere del messaggio non sono un multiplo esatto delle lettere della chiave (come è avvenuto in questo caso); alla fine, si scrivono solo le lettere della chiave utili a completare il messaggio. Si sommano i valori delle lettere corrispondenti nella chiave e nel messaggio: se il risultato è maggiore o uguale a 26, si sottrae 26 da esso. E+S = 4+18 = 22 = W R+E = 17+ 4 = 21 = V I+M = 8+12 = 20 = U K+P = 10+15 = 25 = Z …………… K+R = 10+17 = 27  1 = B ………. . R+M = 17+12 = 29  3 = D ……….. Il messaggio completo: SEMPRECAROMIFUQUESTERMOCOLLEEQ UESTASIEPECHEDATANTAPARTE viene, quindi, così crittato WVUZRITIBOQZNEQYVADEVDWMOPCMOQ YVADAWZMZEGYMNAXRVDATRZDE Come si può notare, le lettere del messaggio in chiaro (ad esempio, le «E» evidenziate) sono state crittate in modo diverso, a seconda della posizione delle lettere che compongono la chiave. In particolare, in corrispondenza della lettera «A» della chiave, che vale 0, ogni lettera resta invariata. La diversa crittazione di lettere uguali, che nell’esempio è limitata perché si è volutamente scelta una chiave molto breve, rende estremamente improba un’eventuale forzatura con metodi statistici. 76

Il problema si sposta ora, però, sull’esigenza di non far trapelare ad altri la chiave. È evidente che se Eva se ne impadronisce, Alice e Bob si troveranno con i loro messaggi segreti facilmente decifrabili. Certo, Alice e Bob potrebbero scambiarsi la chiave usando un mezzo diverso da quello usato per trasmettersi i messaggi, fissando un appuntamento e incontrandosi di persona lontani da orecchie indiscrete. Ciò sarebbe naturalmente possibile a due individui, ma non certo, ad esempio, a una banca, che non può neppure ipotizzare di fissare appuntamenti, più o meno riservati, con i suoi clienti per fornire loro il codice. Tutto il commercio elettronico, basato su transazioni via Internet, presuppone che il codice debba viaggiare sullo stesso mezzo trasmissivo con il quale successivamente transiteranno i messaggi. Da qui l’ideazione di sistemi molto sofisticati basati su un doppio codice. Per comprendere di cosa si tratti immaginiamo la seguente situazione. Alice deve inviare a Bob una lettera molto riservata e pensa di chiuderla in uno scrigno con un lucchetto. Ma sa che non si può fidare del corriere, che sospetta essere un emissario di Eva. Se manda solo lo scrigno e conserva presso di sé la chiave del lucchetto, è certa che il contenuto non cadrà nelle mani di Eva, ma neppure Bob potrà aprire lo scrigno. Se viceversa affida al corriere scrigno e chiave, rischia che l’infido emissario consegni il tutto a Eva. Sembra una situazione senza uscita; invece, può essere risolta brillantemente, nel modo seguente. 1. Alice invia lo scrigno a Bob con il lucchetto e conserva la chiave. 2. Bob, ricevuto lo scrigno, pone a fianco del lucchetto di Alice un proprio lucchetto chiuso a chiave e conserva la chiave. 3. Bob invia ad Alice lo scrigno con i due lucchetti. 4. Alice riceve lo scrigno con i due lucchetti, apre il suo e rimanda lo scrigno solo con il lucchetto di Bob. 77

5. Bob riceve lo scrigno solo con il suo lucchetto, lo apre e legge finalmente la missiva di Alice, con grande scorno di Eva. I due lucchetti, nella realtà, corrispondono a particolari funzioni matematiche applicate alla chiave; sia Alice che Bob hanno la loro, che resta privata, mentre tutti possono veder transitare pubblicamente lo scrigno con i lucchetti senza, però, che questa conoscenza si riveli utile in alcun modo. Non è possibile neppure accennare brevemente ai criteri adoperati, basati su raffinate proprietà della teoria dei numeri, con applicazione di risultati difficili e complicati delle congruenze e dei numeri primi. Solo, è curioso osservare che questi risultati erano stati trovati da Pierre de Fermat (16011665) prima e da Eulero (1707-1783) poi; allora, considerata la loro natura particolarmente astratta, sembravano assolutamente inapplicabili in attività pratiche. Oggi, invece, sono alla base di transazioni economiche e industriali di notevole importanza. Decisamente, si imporrebbe una riflessione… 1.10 Tanto va la gatta al lardo che ci lascia lo zampino Come l’esperienza insegna, a furia di compiere bricconate, si finisce per essere scoperti. Può andare bene una volta, due, tre, dieci… Ma, prima o poi, se si persevera nell’azione disonesta, se ne pagano le conseguenze. Questa considerazione è fondata su solide e corrette basi probabilistiche. In ogni azione c’è una probabilità che qualcosa non vada nel verso giusto, dal punto di vista di chi la compie. È chiaro che, se l’azione è un reato, la valutazione è opposta dal punto di vista di chi la subisce, o in genere, della collettività; ma questo è inessenziale ai fini del ragionamento matematico. 78

A titolo di esempio, immaginiamo che un atleta di una qualsiasi disciplina (di sesso maschile unicamente per esigenze di concordanza grammaticale), decida di ricorrere al doping per migliorare il proprio rendimento e aumentare così le proprie possibilità di vittoria. Stimiamo uguale a 1/6 la probabilità che l’atleta venga scoperto a un controllo antidoping e, quindi, uguale a 5/6 quella che riesca a farla franca. Queste valutazioni sono relative a un solo controllo; ma se l’atleta dovesse sottoporsi a quattro controlli consecutivi, quale probabilità avrebbe di essere scoperto? Analizziamo il seguente schema. PRIMO CONTROLLO 5/6 SECONDO CONTROLLO 5/6 TERZO CONTROLLO 1/6 Scoperto al 1/6 Primo con- S c o p e r t o 1/6 al Secondo Scoperto al trollo controllo Terzo controllo

5/6 QUARTO CONTROLLO 1/6 Scoperto al Quarto controllo

5/6 Esce pulito dai controlli

1/6

5/6×1/6 = 5/36

5/6×5/6×1/6 = 25/216

5/6×5/6×5/6×1/6

5/6×5/6×5/6×5/6

= 125/1296

= 625/1296

16,7%

13,9%

11,6%

9,6%

48,2%

79

Andando al lardo più volte (e neppure tantissime…), come la proverbiale gatta, l’atleta vede quasi dimezzare la sua probabilità di farla franca, dall’ 83,3% al 48,2%, e, di conseguenza, aumentare la probabilità di essere scoperto, che passa da 16,7% a 51,8%. Ripetendo anche solo quattro volte l’azzardo, si sposta una massa di probabilità uguale a 35,1%. Può apparire paradossale osservare che la probabilità di essere scoperto è massima al primo controllo e decresce nei singoli controlli successivi, che sono, invece, proprio quelli che sfavoriscono l’atleta disonesto. Un tale risultato si spiega considerando che il calcolo delle probabilità relative ai controlli successivi è subordinato all’ipotesi che l’atleta non sia stato scoperto in nessuno di quelli precedenti. A titolo di curiosità, effettuando i calcoli all’inizio, se i controlli fossero dieci, la probabilità che l’atleta possa cavarsela sarebbe appena del 16% circa. Dovendo affrontare venti controlli, la probabilità di venire scoperto sfiorerebbe la certezza, arrivando al 97,5%. È importante, però, osservare che, superati diciannove controlli senza guai (per lui, naturalmente…), al ventesimo il nostro atleta avrebbe le stesse identiche probabilità di essere scoperto rispetto all’inizio della serie dei controlli. Passiamo ad analizzare un altro esempio, ancora più inquietante… Come è noto, la roulette russa è un simpatico passatempo descritto in vari romanzi e film. Le regole sono molto semplici. Si prende una pistola, se ne svuota il tamburo, lasciando un colpo solo. Poi si ruota casualmente il tamburo e si porge la pistola, a turno, a ciascuno dei sei partecipanti, che dovrà puntarsela alla tempia e premere il grilletto. Ovviamente questo gioco termina al primo bang. 80

Non sappiamo, sinceramente, se qualcuno abbia mai partecipato a un gioco così idiota. Propendiamo per ritenerla solo un’invenzione di scrittori e sceneggiatori, così come tante altre che entrano a far parte del patto finzionale, stabilito implicitamente tra l’autore e il fruitore. È vero anche, però, che c’è chi si sdraia sui binari per farsi passare sopra un treno, o si piazza, di notte, sulla linea di mezzeria di una superstrada; quindi, tutto è possibile… Al di là di ogni considerazione moralistica, ci potremmo chiedere se cambiano le cose, in termini di probabilità, ruotando il tamburo dopo ogni sparo o lasciandolo così com’è. È evidente che se non si ruota il tamburo dopo ogni sparo al massimo entro sei pressioni del grilletto qualcuno ci lascerà le penne; se viceversa si ruota, si potrebbe, teoricamente, proseguire all’infinito. In questo secondo caso, l’ordine con cui si partecipa è evidentemente indifferente e vi sono sempre 5/6 di probabilità di uscire indenni dal gioco e 1/6 di uscirne, più che perdenti… morti. Nel caso di non rotazione del tamburo potrebbe sembrare preferibile sparare per primi, in quanto chi spara per ultimo è sicuramente morto. D’altra parte, il primo partecipa sicuramente, mentre l’ultimo potrebbe non prendere neppure in mano la pistola e, quindi, ritenersi favorito. Nessuna di queste due ipotesi è corretta; la probabilità, anche se non si ruota il tamburo, è sempre di 1/6 per tutti, indipendentemente dall’ordine di sparo. Il primo ha 1/6 di probabilità di bruciarsi le cervella e 5/6 di cavarsela, passando la pistola al secondo, con solo cinque colpi a disposizione Il secondo ha, è vero, una maggiore probabilità di rimanerci, 1/5, ma la pistola gli verrà posta in mano solo con probabilità 5/6. Le sue probabilità di restarci secco sono, 81

quindi: 1/5×5/6 = 1/6, identiche al primo giocatore (chiamiamolo così), mentre nei 4/5 dei casi passa il gioco al terzo, con 4 colpi utili. Se la pistola arriva nelle mani del terzo, le sue probabilità di perdere (abbiamo esaurito i sinonimi…) sono di 1/4, ma la pistola gli arriva solo con probabilità 5/6×4/5 = 4/6 e, quindi, complessivamente, con una probabilità di 1/6. E così via, fino all’ultimo, che sa che con certezza il colpo che si sparerà avrà esito fatale (probabilità = 1). Ma sa anche che a lui la pistola giungerà solo con probabilità: 5/6×4/5×3/4×2/3×1/2 = 1/6. Questo significa che ciascun partecipante a una roulette russa, indipendentemente dall’ordine e dal criterio seguito, avrà sempre una probabilità di 1/6 di andare al Creatore e di 5/6 di cavarsela. Ma anche in questo caso, vale il principio: «Tanto va la gatta al lardo che ci lascia lo zampino». Anche se 5/6 sono una probabilità elevata, in percentuale 83,3%, questa decresce rapidamente se l’insulsa gara viene ripetuta più volte. Le cifre precise sono, mutatis mutandis, quelle dell’atleta dopato. Ad esempio, la probabilità di uscire indenne da venti roulette russe consecutive è appena del 2,5%. «Errare è umano, perseverare diabolico»; in questo caso, anche estremamente folle… 1.11 Trenta giorni ha novembre, con aprile, giugno e settembre; di ventotto ce n’è uno; tutti gli altri ne han trentuno Questa filastrocca risulta molto utile per ricordare di quanti giorni è composto ogni mese dell’anno. Per sinteticità, non riporta l’indicazione dei 29 giorni del mese di febbraio negli 82

anni bisestili. Ma questa particolarità è ben radicata nella memoria popolare. Esistono anche altri pratici sistemi, per ricavare le stesse informazioni. Uno di questi ricorre alla caratteristica struttura della tastiera di un pianoforte. Si parte dal tasto della nota «fa» (ovvero, un tasto bianco che precede una sequenza di tre tasti neri) e si procede verso destra, pronunciando in successione i nomi dei mesi (un nome per ogni tasto).

Sorprendentemente, ogni tasto bianco corrisponde a un mese di 31 giorni e ogni tasto nero a un mese di durata minore.

Certo, non sempre si può avere a disposizione una tastiera. Ma, fortunatamente, esiste anche un altro metodo equiva83

lente, molto più… alla mano. Per applicarlo, bisogna accostare le due mani, strette a pugno, osservando le nocche delle dita e gli avvallamenti che le separano. Si parte dalla nocca più a sinistra e si procede verso destra, pronunciando in successione i nomi dei mesi (un nome per ogni nocca o per ogni avvallamento).

Sorprendentemente, anche in questo caso ogni nocca corrisponde a un mese di 31 giorni e ogni avvallamento a un mese di durata minore.

84

Tutti questi metodi possono tornare utili. Certo, sarebbe molto più comodo se i mesi fossero tutti composti dallo stesso numero di giorni… Un risultato del genere, però, potrebbe essere ottenuto solo allungando l’anno. Infatti 365 non è divisibile per 12 (e nemmeno per altri potenziali valori vicini) dato che, scomponendo 365 in fattori primi, si ottiene 365 = 5×73. Di conseguenza, sarebbe possibile risolvere il problema (senza introdurre altri giorni), solo prevedendo 73 mesi di 5 giorni o 5 mesi di 73 giorni… Nel corso del tempo, si sono registrati diversi tentativi di realizzare un’alternativa più regolare al Calendario Gregoriano, attualmente in vigore in quasi tutto il mondo. In particolare, il Calendario Rivoluzionario, varato nel 1792 dai fautori della Rivoluzione francese, contemplava dodici mesi, tutti di 30 giorni (per un totale di 360), più altri cinque (sei, negli anni bisestili), da aggiungere alla fine dell’anno, per pareggiare i conti. Ciascun mese era diviso in tre decadi, ognuna delle quali prevedeva 8 giorni e mezzo di lavoro e un giorno e mezzo di riposo. Ogni tre o quattro anni, ne veniva introdotto uno bisestile, con un criterio non molto chiaro. Questo calendario, comunque, ebbe vita breve, dato che venne abolito da Napoleone Bonaparte nel 1806, per ragioni più politiche che pratiche. La distribuzione irregolare dei giorni dei mesi nel Calendario Gregoriano dipende dai cambiamenti che, nel corso dei millenni, hanno portato alla sua struttura definitiva. Il calendario da cui trae origine è quello che, secondo alcuni storici, venne stilato da Romolo, il primo re di Roma (forse, nel 753 a.C.) e che subì, all’inizio, molte modifiche. Nella sua forma finale, comunque, il Calendario Romuleo risultava composto da dieci mesi, di cui quattro di 31 85

giorni e sei di 30, per un totale di 304 giorni. A questi venivano aggiunti 61 giorni della stagione invernale, non assegnati ad alcun mese. L’anno iniziava con quattro mesi dedicati ad altrettante divinità, in particolare: –– Martius, a Marte, dio dell’agricoltura e della guerra; –– Aprilis, ad Apru, divinità etrusca equivalente a Venere; –– Maius, a Maia, dea della fertilità; –– Iunius, a Giunone, massima divinità femminile. Il nome degli altri sei mesi, invece, derivava dal loro numero di posizione nell’anno: –– Quintilis, da quinque (cinque); –– Sextilis, da sex (sei); –– September da septem (sette); –– October da octo (otto); –– November da novem (nove); –– December da decem (dieci). Calendario Romuleo Nome Giorni Martius 31 Aprilis

30

Maius

31

Iunius

30

Quintilis

31

Sextilis

30

September

30

October

31

November

30

December

30

86

Questa impostazione venne modificata in maniera sostanziale nel 713 a.C. da Numa Pompilio, secondo re di Roma, il quale aggiunse due mesi (rispettivamente di 29 e 28 giorni) e tolse un giorno da ciascuno dei sei mesi che ne avevano 30 (in quanto i numeri pari erano considerati sfortunati). In questo modo, l’anno risultava composto da undici mesi dispari (di 29 o 31 giorni) e da uno solo pari (di 28 giorni); inoltre, salì a 355 il numero complessivo di giorni dell’anno (304+29+28–6 = 355). Il primo dei due mesi aggiunti (quello di 29 giorni) venne denominato Ianuarius, in onore di Giano, dio dei mutamenti e dei passaggi. L’altro, essendo l’unico contenente un numero pari di giorni (28), venne considerato come mese di purificazione e, per questo motivo, venne denominato Februarius, dal verbo februare (purificare, porre rimedio agli errori). Calendario Numano Nome Giorni Martius 31 Aprilis

29

Maius

31

Iunius

29

Quintilis

31

Sextilis

29

September

29

October

31

November

29

December

29

Ianuarius

29

Februarius

28 87

Il primo mese dell’anno continuava a essere Martius, ma di fatto lo divenne Ianuarius, perché coincideva con un periodo di avvenimenti importanti, tra i quali, in particolare, l’elezione dei due consoli che, per un anno, esercitavano il supremo potere civile e militare. Una sostanziale riorganizzazione cronologica venne avviata da Caio Giulio Cesare nel 46 a.C. e completata dal suo successore Ottaviano Augusto. In quell’occasione, per la prima volta, venne introdotto il meccanismo dell’anno bisestile, stabilendo che ogni 4 anni doveva essere aggiunto un giorno in più. Con tale accorgimento, l’anno convenzionale veniva ad assumere una durata media di 365 giorni e 6 ore, molto vicina a quella impiegata realmente dalla Terra, per compiere un giro completo intorno al sole. A livello formale, vennero modificati i nomi di due mesi: Quintilis divenne Iulius, in onore di Caio Giulio Cesare, e Sextilis divenne Augustus, in onore di Ottaviano Augusto. Inizialmente, in questo calendario, Februarius aveva 29 giorni e da Martius in poi si alternavano regolarmente mesi di 31 e 30 giorni. Poi, però, come ulteriore atto di omaggio ad Augusto, fu stabilito anche di aggiungere un giorno ad Augustus (che ne aveva 30) togliendolo a Februarius. Inoltre, venne invertito l’ordine di durata degli ultimi quattro mesi per non averne tre consecutivi di 31 giorni. La struttura che, così, si venne a creare era analoga a quella attuale.

88

Calendario Giuliano Nome Giorni 31 Ianuarius Februarius

28 o 29

Martius

31

Aprilis

30

Maius

31

Iunius

30

Iulius

31

Augustus

31

September

30

October

31

November

30

December

31

Il Calendario Giuliano rimase in vigore per molti secoli anche dopo la caduta dell’Impero Romano. Nel 1582 venne sostituito dal Calendario Gregoriano, che introdusse un criterio più raffinato per la determinazione degli anni bisestili, ma non alterò la configurazione dei mesi.

89

Calendario Gregoriano Nome Giorni Gennaio 31 Febbraio

28 o 29

Marzo

31

Aprile

30

Maggio

31

Giugno

30

Luglio

31

Agosto

31

Settembre

30

Ottobre

31

Novembre

30

Dicembre

31

Nel 2004 il fisico statunitense Dick Henry propose l’adozione di uno stravagante calendario, denominato C&T (Common-Civil-Calendar-and-Time), che consente di far coincidere, in maniera definitiva, ogni possibile data con un determinato giorno della settimana. A tale scopo, ogni anno sarebbe composto da 364 giorni (ovvero da 52 settimane esatte) e inizierebbe sempre con una domenica. I mesi il cui numero d’ordine è un multiplo esatto di 3 (marzo, giugno, settembre e dicembre) sarebbero composti da 31 giorni, mentre tutti gli altri ne conterrebbero 30 (compreso febbraio). In questo modo, anche la quantità di giorni di un trimestre sarebbe uguale a un multiplo di 7 (dato che 30+30+31 = 91) e, di conseguenza, la stessa cadenza di giorni si ripresenterebbe in maniera identica, non solo ogni anno, ma anche ogni trimestre. 90

CALENDARIO DI DICK HENRY GEN

FEB

MAR

APR

MAG

GIU

LUG

AGO

SET

OTT

NOV

DIC

dom

mar

gio

dom

mar

gio

dom

mar

gio

dom

mar

gio

2

lun

mer

ven

lun

mer

ven

lun

mer

ven

lun

mer

ven

3

mar

gio

sab

mar

gio

sab

mar

gio

sab

mar

gio

sab

4

mer

ven

dom

mer

ven

dom

mer

ven

dom

mer

ven

dom

5

gio

sab

lun

gio

sab

lun

gio

sab

lun

gio

sab

lun

6

ven

dom

mar

ven

dom

mar

ven

dom

mar

ven

dom

mar

7

sab

lun

mer

sab

lun

mer

sab

lun

mer

sab

lun

mer

8

dom

mar

gio

dom

mar

gio

dom

mar

gio

dom

mar

gio

9

lun

mer

ven

lun

mer

ven

lun

mer

ven

lun

mer

ven

10

mar

gio

sab

mar

gio

sab

mar

gio

sab

mar

gio

sab

11

mer

ven

dom

mer

ven

dom

mer

ven

dom

mer

ven

dom

1

12

gio

sab

lun

gio

sab

lun

gio

sab

lun

gio

sab

lun

13

ven

dom

mar

ven

dom

mar

ven

dom

mar

ven

dom

mar

14

sab

lun

mer

sab

lun

mer

sab

lun

mer

sab

lun

mer

15

dom

mar

gio

dom

mar

gio

dom

mar

gio

dom

mar

gio

16

lun

mer

ven

lun

mer

ven

lun

mer

ven

lun

mer

ven

17

mar

gio

sab

mar

gio

sab

mar

gio

sab

mar

gio

sab

18

mer

ven

dom

mer

ven

dom

mer

ven

dom

mer

ven

dom

19

gio

sab

lun

gio

sab

lun

gio

sab

lun

gio

sab

lun

20

ven

dom

mar

ven

dom

mar

ven

dom

mar

ven

dom

mar

21

sab

lun

mer

sab

lun

mer

sab

lun

mer

sab

lun

mer

22

dom

mar

gio

dom

mar

gio

dom

mar

gio

dom

mar

gio

23

lun

mer

ven

lun

mer

ven

lun

mer

ven

lun

mer

ven

24

mar

gio

sab

mar

gio

sab

mar

gio

sab

mar

gio

sab

25

mer

ven

dom

mer

ven

dom

mer

ven

dom

mer

ven

dom

26

gio

sab

lun

gio

sab

lun

gio

sab

lun

gio

sab

lun

27

ven

dom

mar

ven

dom

mar

ven

dom

mar

ven

dom

mar

28

sab

lun

mer

sab

lun

mer

sab

lun

mer

sab

lun

mer

29

dom

mar

gio

dom

mar

gio

dom

mar

gio

dom

mar

gio

30

lun

mer

ven

lun

mer

ven

lun

mer

ven

lun

mer

ven

31

–––

–––

sab

–––

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sab

–––

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sab

–––

–––

sab

91

Non sarebbero previsti anni bisestili, ma per consentire il riallineamento con il ciclo delle stagioni, ogni cinque o sei anni verrebbe introdotta una settimana speciale (detta settimana di Newton), da dedicare interamente ad attività non lavorative. Una tale rivoluzionaria impostazione agevolerebbe notevolmente la gestione delle date, perché un unico calendario sarebbe valido ogni anno. Di conseguenza, diventerebbe molto più semplice determinare i giorni appartenenti a ciascun mese (senza bisogno di ricorrere a filastrocche o ad altri espedienti mnemonici…). Come si può notare, osservando la tabella precedente, i giorni di Natale (25 dicembre) e Capodanno (1° gennaio) cadrebbero sempre di domenica. Altre festività nazionali e internazionali, però, capiterebbero in altri giorni della settimana, come ad esempio: – Epifania (6 gennaio)  venerdì – Anniversario della Liberazione (25 aprile)  mercoledì – Festa del Lavoro (1° maggio)  martedì – Ferragosto (15 agosto)  martedì – Festa della Repubblica (2 giugno)  venerdì – Immacolata Concezione (8 dicembre)  giovedì Questo significa che, almeno in Italia, verrebbe incoraggiata la pianificazione di un buon numero di ponti infrasettimanali (perenni!…). Sul versante scaramantico, si può rilevare che ci sarebbero ben quattro venerdì 13 (rispettivamente, nei mesi di gennaio, aprile, luglio e ottobre), ma sarebbero del tutto assenti i venerdì 17. Inoltre, col mutare della durata dei mesi, sarebbe necessario ristabilire la collocazione dei segni zodiacali (per chi ci crede…). 92

1.12 Zero via zero, fa zero Se si moltiplica zero per zero, si ottiene sempre zero. In pratica, col nulla non si fa assolutamente nulla. Lo zero, pur rappresentando il… nulla, ha avuto un ruolo determinante per lo sviluppo della Matematica. In particolare, ha permesso la realizzazione del sistema di numerazione attualmente in uso in tutto il mondo. Questo pratico metodo di rappresentazione numerica viene detto posizionale, perché ogni cifra assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa. Ad esempio, nel numero 108 la prima cifra da sinistra indica la presenza di un centinaio, la seconda l’assenza delle decine e l’ultima la presenza di 8 unità. Un tale criterio ci appare così naturale che ci sembra difficile credere che siano stati necessari addirittura millenni prima che l’essere umano, dopo aver formulato il concetto astratto di numero, arrivasse a mettere a punto un sistema di numerazione così facile da leggere e così comodo per eseguire i calcoli. Ancora più incredibile può apparire il fatto che tale ritardo storico sia derivato essenzialmente dal fatto di non aver mai considerato lo zero come un numero. D’altra parte, non era semplice e spontaneo sentire l’esigenza di rappresentare qualcosa che… non esiste. È strano notare, però, che alcuni antichi procedimenti di calcolo, utilizzati in particolare dai Romani, fossero analoghi a quelli che si applicano con la numerazione posizionale. Attualmente, ad esempio, se vogliamo eseguire la somma: 108+9, incolonniamo il 9 sotto l’8: 108 + 9= 93

Poi procediamo da destra verso sinistra, ragionando così: • 8 più 9 fa 17, scriviamo 7 col riporto di 1; • 0 più 1 fa 1; • 1 più niente fa sempre 1. Quindi il risultato è: 117. I Romani, invece, per eseguire la stessa operazione, avrebbero tracciato sul terreno delle linee delimitando tre zone adiacenti, riempiendole opportunamente con dei sassolini.

All’interno dello schema così abbozzato, gli 8 sassolini nell’ultima zona rappresentavano altrettante unità, mentre il sassolino nella prima indicava l’unico centinaio (quindi, i Romani possedevano già il concetto di valore posizionale…). Impostato il primo addendo in questo modo, aggiungevano un sassolino alla volta nell’ultima zona fino a quando qui venivano a trovarsi dieci sassolini. A questo punto, toglievano tutti i sassolini dall’ultima zona e ne aggiungevano uno in quella immediatamente adiacente (quindi, i Romani possedevano già il concetto di riporto…). Continuavano, poi, ad aggiungere altri sassolini, sempre nell’ultima zona, fino a esaurire le unità del secondo addendo. 94

Alla fine ottenevano una configurazione molto simile al nostro «117» e, invece, piuttosto lontana dal simbolo «CXVII» al quale sarebbero ricorsi per scrivere lo stesso numero. Ma perché i Romani (e altri popoli antichi) non riuscirono a trarre da questa tecnica di calcolo l’ispirazione per ideare una notazione numerica più funzionale? Il motivo è che non pensarono di considerare lo zero come un numero. Senza questo accorgimento non era possibile rappresentare, ad esempio, l’assenza delle decine nel primo addendo della somma precedente. Per la prima volta, il numero zero apparve rappresentato mediante una cifra in un libro del matematico indiano Bakhshali, pubblicato nel terzo secolo d.C. Nelle precedenti, rudimentali forme di rappresentazione posizionale, l’assenza di una cifra veniva segnalata con uno spazio vuoto. Successivamente, per evitare confusioni, questo spazio venne sostituito prima con un puntino e, poi, con un cerchietto (simile al nostro attuale «0»). La rappresentazione posizionale dei numeri e il concetto di zero vennero introdotti in Occidente nel 1202 dal matematico pisano Leonardo Fibonacci. L’importanza dello zero nella storia dei numeri emerge anche dal fatto che la parola cifra deriva direttamente dallo stesso termine arabo sifr che vuol dire vuoto e che attraverso le successive deformazioni, zephirus, zevero, ha prodotto il vocabolo «zero». 95

Molte persone, quando dichiarano: «La Matematica non l’ho mai capita, per me è… arabo!», non si rendono conto che in effetti buona parte della terminologia Matematica deriva proprio dall’arabo, a testimonianza della grande influenza che questo popolo ha avuto nella diffusione di alcuni concetti matematici fondamentali… Il ruolo che lo zero assume nella numerazione posizionale è evidenziato molto bene dalla seguente poesia satirica di Trilussa, dal titolo Numeri. Numeri «Conterò poco, è vero diceva l’uno ar zero ma tu che vali? Gnente: proprio gnente. Sia ne l’azzione come ner pensiero rimani un coso vuoto e inconcrudente. Io, invece, se me metto a capofila de cinque zeri tali e quali a te, lo sai quanto divento? Centomila». È questione de numeri. A un dipresso è quello che succede ar dittatore che cresce de potenza e de valore più so’ gli zeri che je vanno appresso. Il fatto che lo zero sia un numero di tutto rispetto, non autorizza a inserirlo, però, in ogni insieme numerico. Ad esempio, nel campo dei numeri reali non è possibile eseguire la divisione per zero. Supponiamo, infatti, che A sia un numero diverso da zero; se esistesse un altro numero B, tale che: 96

A/0 = B si avrebbe anche: A = 0×B Ma siccome ogni numero moltiplicato per zero dà come risultato zero, risulterebbe: A = 0, per qualsiasi valore di B Questo risultato è in palese contrasto con l’ipotesi iniziale (ovvero che A fosse diverso da 0). Di conseguenza, l’insieme dei denominatori delle frazioni di valore reale non può contenere lo 0. Lo zero appartiene a molti insiemi numerici, ma non a quello degli ordinali, ovvero di quei numeri che hanno il compito di indicare le posizioni occupate dagli elementi di una successione. Come è facile constatare, si comincia a contare da «1» (e non da «0»), quando si numerano, ad esempio: –– le pagine di un giornale o di un libro; –– i volumi di un’enciclopedia; –– i portoni delle strade (fatta eccezione per: Via dei Matti numero zero); –– i posti di una graduatoria (il primo in classifica non viene mai preceduto da qualcuno che si piazza allo zeresimo posto…). I numeri ordinali, tra l’altro, vengono utilizzati per denominare gli elementi fondamentali di una cronologia (giorni, mesi, anni, secoli e millenni). Come si può facilmente verificare, infatti, nel nostro calendario non esistono né il giorno 97

zero, né il mese zero, né il secolo zero, né il millennio zero, né tanto meno l’anno zero. Per questo motivo, in particolare, il secondo millennio dell’Era cristiana è terminato con l’anno «2000» (e non con il «1999», come molti hanno erroneamente sostenuto). Infatti, per contare duemila anni esatti, cominciando dall’anno «1», bisogna includere anche l’anno «2000». Non essendo contemplata la presenza di un anno 0, nella cronologia cristiana si passa direttamente dall’1 a.C. all’1 d. C. Alcune persone sostengono che tale situazione è il frutto di un aberrante errore matematico che deve essere, al più presto, corretto. L’assenza dell’anno 0, invece, è assolutamente logica, come dimostra il seguente esempio. Si immagini di avere un’enciclopedia, composta da un certo numero di volumi e di averla disposta su uno scaffale, dopo una serie di altri volumi. Per indicare i volumi dell’enciclopedia, si dirà normalmente, procedendo da sinistra verso destra: –– 1° volume dell’enciclopedia; –– 2° volume dell’enciclopedia; –– 3° volume dell’enciclopedia; –– e così via. Per indicare i volumi che si trovano prima dell’enciclopedia, si dirà normalmente, procedendo da destra verso sinistra: –– 1° volume prima dell’enciclopedia; –– 2° volume prima dell’enciclopedia; –– 3° volume prima dell’enciclopedia; –– e così via. Possiamo schematizzare questa situazione nel seguente modo. 98

Ora, se sostituiamo così i termini: volumi  anni; enciclopedia  era cristiana, la configurazione che si ottiene sintetizza perfettamente il modo in cui si succedono gli anni nella nostra cronologia.

Possiamo dedurre, quindi, che l’assenza di un anno zero nella nostra cronologia è del tutto naturale, così come lo è l’assenza di un volume zero in una libreria…

99

2. Tutto il mondo è paese

In linea di massima, non esistono differenze sostanziali fra le abitudini delle diverse popolazioni della Terra. Queste, infatti, affrontano quotidianamente problematiche molto simili tra loro, in quanto tutti gli esseri umani hanno in comune sentimenti e istinti primari (oltre ai cinque sensi…). Una convinzione del genere è ribadita dal popolare proverbio: «Tutto il mondo è paese», che sembra in contrasto con un altro noto proverbio: «Paese che vai, usanza che trovi» (ovvero: esistono differenze sostanziali tra le abitudini delle diverse popolazioni della Terra…). Questa contraddizione, però, è solo apparente. Il primo proverbio, infatti, si riferisce alle peculiarità umane che possono riscontrarsi ovunque; l’altro, invece, si concentra sulle differenze che esistono tra gli usi, i costumi, le tradizioni e le culture delle diverse popolazioni. In termini matematici, se si immagina di elencare, per ciascun paese, l’insieme di tutti gli elementi che lo caratterizzano, si può affermare che il primo proverbio fa riferimento all’intersezione tra i vari insiemi così ricavati; l’altro, invece, prende in considerazione le differenze tra gli stessi insiemi. Per chiarire meglio questi concetti, conviene rinfrescare alcune elementari nozioni di insiemistica. 101

In primo luogo, ricordiamo che, in Matematica, viene detto insieme ogni raggruppamento di elementi (oggetti, persone, animali, numeri, lettere, e così via) definito in maniera inequivocabile (in modo, cioè, da non lasciare dubbi su quali elementi debbano considerarsi appartenenti all’insieme). Un modo per rappresentare graficamente un insieme consiste nel tracciare una linea chiusa, non intrecciata (detta diagramma di Eulero-Venn), al cui interno si immagina di racchiudere tutti gli elementi appartenenti all’insieme dato (identificato, in genere, con una lettera dell’alfabeto).

Due insiemi, A e B, che contengono alcuni elementi in comune vengono rappresentati sovrapponendo parzialmente i relativi diagrammi.

Viene definito intersezione di A e B l’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B.

102

Invece, viene definito differenza tra A e B l’insieme costituito dagli elementi di A che non appartengono a B.

Analogamente, viene definita differenza tra B e A l’insieme costituito dagli elementi di B che non appartengono ad A.

È interessante notare che l’unione delle differenze, tra A e B e tra B e A, contiene tutti gli elementi di A e di B che non appartengono all’intersezione tra A e B (ovvero, corrisponde al complemento di tale intersezione).

Concetti analoghi possono essere estrapolati dalla sovrapposizione di più insiemi; per semplicità analizziamo solo il caso relativo a tre insiemi (A, B, C).

103

Nella figura seguente, è evidenziata in nero l’intersezione tra i tre insiemi e, in grigio chiaro, la differenza tra ognuno dei tre insiemi e l’unione degli altri due. In grigio scuro sono evidenziati, invece, gli insiemi degli elementi, non appartenenti a un dato insieme, ma contenuti nell’unione degli altri due.

In questo caso, data la presenza di tali insiemi, l’unione delle tre differenze prima determinate non corrisponde al complemento dell’intersezione dei tre insiemi. Nella figura seguente, questa particolare situazione viene chiarita meglio.

Quest’ultima figura consente di schematizzare (in un mondo semplificato, composto da soli tre paesi….) i differenti 104

significati dei due proverbi: «Tutto il mondo è paese» (intersezione tra tutti gli insiemi) e: «Paese che vai, usanza che trovi» (differenze tra tutti gli insiemi).

In questo capitolo analizzeremo alcuni proverbi il cui enunciato trova conferma in diverse situazioni pratiche, ma anche nel paese astratto della Matematica… 2.1 Ama chi t’ama e rispondi a chi ti chiama È raccomandabile rivolgere i propri sentimenti verso chi mostra di corrisponderli. Quello che nei rapporti di coppia si chiama corrispondenza di amorosi sensi, in Matematica si chiama corrispondenza biunivoca. Con tale termine, più precisamente, si intende una relazione fra due insiemi A e B (non vuoti), che associ a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B e, viceversa, a ogni elemento di B uno e un solo elemento di A. Se, ad esempio, gli insiemi A e B contenessero entrambi 5 elementi (rispettivamente: a1, a2, a3, a4, a5 e b1, b2, b3, b4, b5), potremmo porli in corrispondenza biunivoca, impostando una serie di associazioni come quelle indicate nel seguente schema. 105

A

B

a1

↔

b1

a2

↔

b2

a3

↔

b3

a4

↔

b4

a5

↔

b5

Su questo concetto, che ha un’importanza fondamentale in Matematica, si basa in particolare la geometria analitica, dove si pone una corrispondenza biunivoca tra enti geometrici e algebrici. In questo modo, tale disciplina consente di studiare le proprietà delle figure geometriche attraverso gli strumenti algebrici e, viceversa, di risolvere problemi algebrici mediante opportune costruzioni geometriche. L’insieme dei punti del piano è posto in corrispondenza biunivoca con le coppie di numeri reali. A tale scopo, si possono tracciare due assi perpendicolari, indicando in ordine crescente i possibili valori della X, su quello orizzontale, e della Y, su quello verticale.

106

In questo modo, ogni punto del piano passante per tali assi (detto piano cartesiano), può essere messo in corrispondenza con una determinata coppia di valori delle due variabili e, viceversa, ogni coppia di valori delle due variabili può essere messa in corrispondenza con un determinato punto di tale piano. Nel grafico seguente, ad esempio, il punto P è posto in corrispondenza con la coppia di valori: X = 5 e Y = 3; viceversa, la coppia di valori: X = 5 e Y = 3 è posta in corrispondenza con il punto P (il meccanismo è analogo a quello utilizzato nel popolare gioco della battaglia navale).

Conoscendo la relazione algebrica che lega le due incognite, è sempre possibile tracciare un grafico che evidenzi un insieme continuo di valori assunti dalla Y in funzione della X (e viceversa). Nel caso di un’equazione di primo grado a due incognite, tale grafico corrisponde a una linea retta. Quindi, per determinarlo, basta individuare due punti corrispondenti ad altrettante coppie di valori delle incognite e tracciare la retta che passa da essi. Tale concetto (dovuto al matematico francese René Descartes, detto Cartesio, nel Seicento) può essere considerato una sorta di Big Bang nella storia della Matematica moderna, in quanto ha offerto la possibilità di studiare le proprietà 107

degli enti geometrici sotto forma di opportune equazioni algebriche. Nelle applicazioni di magia matematica, se si riesce a instaurare segretamente una corrispondenza biunivoca tra due determinati insiemi, è possibile ricavare delle informazioni determinanti in merito a uno di questi, sapendo solo come è composto l’altro. Un significativo esempio al riguardo è il seguente. Preparazione Effettuate una fotocopia della seguente immagine, incollatela su un cartoncino rigido di colore uniforme e ritagliate con cura le otto tesserine raffigurate.

Modalità di esecuzione 1. Disponete le otto tesserine sul tavolo, tutte a faccia in alto, rispettando la seguente configurazione.

108

2. Chiedete a uno spettatore di pensare a uno degli otto frutti raffigurati. 3. Appena lo spettatore vi comunica di aver effettuato la propria scelta, girate sul dorso tutte le tesserine (lasciandole nello stesso ordine precedente). 4. Prendete la vostra personale bacchetta magica (o una comune matita…) e impartite allo spettatore le seguenti istruzioni: a) pensa intensamente al nome del frutto che hai scelto; b) adesso io darò con la bacchetta una serie di colpetti sul dorso di alcune di queste tesserine; nel frattempo, seguendo la cadenza di tali colpetti, tu dovrai scandire mentalmente le lettere del nome del frutto a cui stai pensando; ad esempio, se hai scelto: «mandarino», al primo colpetto dovrai pensare: «m», al secondo: «a», al terzo: «n», e così via; c) appena terminerai di effettuare questa scansione, dovrai dirmi: «Stop». 5. Iniziate a dare i colpetti sul dorso delle tesserine e proseguite, finché lo spettatore non vi comunica di aver finito. 6. Girate l’ultima tesserina che avete toccato e mostrate 109

che il frutto raffigurato su di essa è proprio quello pensato dallo spettatore. 7. Potete replicare questa performance con altri spettatori, quante volte volete… Accorgimenti da seguire Quando toccate le tesserine con la bacchetta, dovete usare l’accortezza di seguire, dal terzo colpetto in poi, la successione di numeri indicata nello schema seguente (i primi due, invece, potete assestarli in un ordine qualsiasi).

Spiegazione del trucco Il nome di ciascuno degli otto frutti è composto da un numero di lettere diverso dagli altri. Inoltre, i valori di queste quantità di lettere possono essere disposti in modo da formare una successione crescente da 3 a 10, come evidenziato nel seguente schema.

110

In base a tali considerazioni, siamo in grado di risalire, dal nome di ciascun frutto, a un determinato numero intero compreso tra 3 e 10; viceversa, da ciascun numero intero, compreso tra 3 e 10, siamo in grado di risalire al nome di un determinato frutto. In pratica, l’insieme dei nomi degli otto frutti è stato messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme degli otto numeri interi compresi tra 3 e 10. Di conseguenza, assestando i colpetti come indicato, la bacchetta toccherà ogni volta la tesserina corrispondente a un frutto il cui nome è composto da una quantità di lettere uguale a quella dei colpetti che avete dato fino a quel momento (ovvero, uguale a quella delle lettere che ha scandito mentalmente lo spettatore). 2.2 Chi conta sul futuro, sovente s’inganna I giochi d’azzardo sono nati per la naturale tendenza a premiare la capacità di predire l’avverarsi di un evento. Fin dai tempi più remoti, infatti, l’uomo ha osservato attentamente il verificarsi di particolari coincidenze, con l’intento di ricavarne utili indicazioni per scrutare nel futuro. Questa attività ha svolto un ruolo fondamentale per la nascita e lo sviluppo della Scienza, ma ha contribuito anche a dar vita a una serie di false credenze e di superstizioni insensate che, nonostante la loro infondatezza oggettiva, sono giunte integre e vitali fino ai nostri giorni. 111

In Matematica, il complesso di regole e procedimenti con cui è possibile ottenere informazioni razionali (non arbitrarie…) sul verificarsi di determinati eventi aleatori, viene definito Calcolo delle probabilità. L’evolversi di questa disciplina ha consentito, negli ultimi tre secoli, non solo di affrontare con maggiore consapevolezza molti problemi pratici, ma soprattutto di ampliare in maniera determinante i confini di molti campi del sapere umano, dalla Fisica alla Biologia, dalla Chimica alla Psicologia, dalla Geologia alla Sociologia. Attualmente, le applicazioni del Calcolo delle probabilità governano e condizionano la nostra vita, probabilmente (è proprio il caso di dirlo…), molto più dell’Informatica, anche se ciò è generalmente misconosciuto. Assicurazioni, pensioni, previdenza, finanza, giochi d’azzardo, scommesse, muovono enormi interessi economici; ciò non potrebbe accadere, se non fossimo riusciti a imbrigliare i capricci del caso, nelle leggi del Calcolo delle probabilità. Anche la Scienza (si pensi ad esempio anche solo alla Fisica quantistica) deve importanti risultati ai metodi, alle regole, ai teoremi di tale disciplina. Il Calcolo delle probabilità è anche alla base di trasmissioni televisive a premio, che spesso riprendono regole e meccanismi di antichi giochi proposti in occasione di feste popolari o sagre patronali. In particolare, il popolare gioco televisivo Affari tuoi, basato sui pacchi da aprire, riprende le regole di un antico gioco da fiera. In entrambe le situazioni è prevista la presenza del banditore che offre al concorrente la possibilità di scegliere tra mantenere quanto ha ricevuto in sorte (ignorandone, però, il valore) e un’offerta esplicita, naturalmente inferiore al valore più alto che potrebbe aver vinto. Il puro meccanismo probabilistico viene mascherato dall’ambientazione e dalle capacità istrioniche del bandito112

re, che spesso inducono il concorrente alla scelta sbagliata, anche se a volte fortunata. Nei problemi legati al Calcolo delle probabilità il giudizio sulla correttezza della scelta non può basarsi sull’esito a posteriori, ma deve essere valutata a priori. Ad esempio, scommettere alla pari sull’uscita di un doppio sei lanciando due dadi è sicuramente una scelta sbagliata, anche se in qualche occasione si potrà rivelare vincente. Viceversa, scommettere alla pari sull’estrazione di una carta rossa in un mazzo di carte francesi, senza jolly, è una scelta corretta e tale valutazione non potrà modificarsi se apparisse, sfortunatamente, una carta nera. Va anche detto, nel caso del gioco dei pacchi, che l’unicità dell’occasione offerta al concorrente, accompagnata dalle somme elevate in palio (che suggeriscono di affidarsi al proverbio: «Meglio un uovo oggi che una gallina domani»), induce a scelte forse non ineccepibili dal punto di vista puramente razionale, ma abbondantemente comprensibili dal punto di vista psicologico. Difficilmente, però, questi giochi attirano l’interesse degli esperti, per la sostanziale semplicità dell’impianto probabilistico. Una notevole eccezione è rappresentata da un gioco, proposto all’inizio del 1990 da un’emittente statunitense, che ha originato il cosiddetto paradosso di Monthy Hall, dal nome del conduttore della trasmissione. Ricordiamone brevemente le modalità di svolgimento. Dietro tre porte sono nascoste due capre e un’automobile. Il conduttore chiede al concorrente di sceglierne una; dopo di che apre un’altra porta, mostrando volutamente una capra, e chiede al concorrente se vuole confermare la prima scelta o modificarla. Apre, infine, la porta scelta definitivamente dal concorrente, che vincerà l’automobile o si dovrà contentare di una capra… 113

Qual è la scelta più conveniente per il concorrente? È preferibile cambiare o conservare la porta scelta all’inizio? I telespettatori che seguivano la trasmissione cominciarono a porsi tali interrogativi. Una giornalista della popolare rivista Parade, Marilyn vos Savant, fornì la risposta matematicamente corretta, ma ricevette migliaia di lettere infuriate (molte delle quali inviate da docenti di Matematica…), che l’accusavano di ignorare la Teoria delle probabilità. Tra i detrattori della vos Savant, si distinse anche il celebre matematico ungherese Paul Erdős (1913-1996), il quale cambiò idea solo dopo aver esaminato i risultati di un’esaustiva simulazione al computer, condotta da un suo collega. Il caso finì in prima pagina sul New York Times e il problema acquistò in breve tempo una popolarità planetaria, arrivando addirittura a essere sottoposto a una giuria di esperti, come il più bel paradosso probabilistico del secondo millennio. Le opinioni al riguardo, nonostante i numerosi articoli sull’argomento, restano discordi. È importante specificare, però, che: o è conveniente cambiare, o è conveniente conservare, o è la stessa cosa. Non è possibile che a volte convenga cambiare e a volte conservare, sulla base di svariate motivazioni mistiche o superstiziose (anche se queste incidevano di più sulla scelta del concorrente di turno). Può apparire strano che un problema così semplice presenti difficoltà di soluzione. Da una parte ciò giustifica pienamente l’aggettivo insidioso che spesso viene usato come attributo del Calcolo delle probabilità, dall’altra dimostra ancora una volta che le categorie del difficile e del complicato non coincidono. Un primo ragionamento, abbastanza convincente, mette in evidenza che dopo l’apertura della porta con la capra restano solo due porte in gioco; una contiene l’automobile, l’altra la capra e, quindi, è indifferente cambiare o conservare. 114

Al più, se scatta la sindrome del rimpianto, alla luce del proverbio: «Chi è causa del suo mal pianga se stesso», il concorrente sarà indotto a conservare la scelta iniziale, per non pentirsi in seguito della grossa occasione perduta. D’altra parte, se il concorrente preferisce il proverbio: «Chi non risica non rosica», tenderà a cambiare la propria scelta; in ogni caso non sono motivazioni di ordine matematico a convincerlo. Il ragionamento che porta a giudicare indifferente l’una o l’altra scelta, però, pecca di una errata interpretazione dell’indizio aggiuntivo, ossia l’apertura della porta che nasconde la capra, vera chiave per risolvere l’enigma. Le valutazioni della probabilità di un evento vengono modificate da eventuali informazioni aggiuntive. Ad esempio, se estraiamo una carta da un mazzo francese, senza jolly, la probabilità che sia una carta di cuori è 1/4. Ma se ci viene anche detto che la carta è rossa, le probabilità salgono a 1/2. Un indizio aggiuntivo è una preziosa fonte di informazione, ma deve essere accuratamente valutata. Se vengono lanciate due monete e dobbiamo indovinare se sono uscite facce uguali o facce diverse, i casi possibili sono TT, TC, CT, CC (T = testa; C = croce); quindi, al 50% le monete mostrano facce uguali, al 50% facce diverse. Se, sbirciando, riuscissimo a vedere che una moneta mostra T, l’altra potrà mostrare o T o C; quindi, avremmo ancora il 50% di probabilità di indovinare l’esito. Se, però, ci venisse sussurrato (sottobanco…) che è uscita una T, sbaglieremmo se considerassimo questo indizio equivalente al precedente. Potendo escludere il caso CC, restano: TT, TC, CT; quindi, ci sarebbero 2/3 di probabilità per due facce diverse e solo 1/3 per due facce uguali. Interpretando correttamente l’indizio, ci conviene scommettere sull’uscita di facce diverse. 115

Nel caso delle capre e dell’automobile, la porta da aprire non viene scelta casualmente, ma è sempre quella dove, sicuramente, è celata la capra; il conduttore sa qual è, a differenza del concorrente. Il fatto che venga mostrata una capra può essere considerato solo il proposito di rimandare nel tempo l’esito del gioco (come accade nel Mercante in fiera, dove si scoprono prima le carte perdenti). Solo se la scelta della porta fosse casuale, il ragionamento che porta all’indifferenza della scelta sarebbe corretto; ma in tal caso il gioco potrebbe anche finire subito, se venisse aperta la porta che nasconde l’automobile. Se il concorrente decide di conservare la prima scelta, vincerà banalmente se avrà indovinato, tra le tre porte, quella dietro cui si nasconde l’automobile, con probabilità 1/3, perdendo negli altri due casi. Se invece il concorrente sceglie di cambiare, deve augurarsi di aver sbagliato la prima scelta. In questo caso, una capra è dietro la porta scelta inizialmente, l’altra è stata mostrata, dunque dietro l’ultima porta si cela l’automobile. Se viceversa, senza saperlo, ha indicato la porta dell’automobile, perderà modificando tale scelta. Poiché il concorrente ha solo una probabilità su tre di indovinare la prima scelta, ha due probabilità su tre di vincere l’automobile se modifica la propria decisione. Possiamo riassumere la situazione in questo modo. Il concorrente CONSERVA LA PRIMA SCELTA: • 1 probabilità su 3 di vincere l’automobile, cioè 2 probabilità su 3 di perdere. Il concorrente MODIFICA LA PRIMA SCELTA: • 1 probabilità su 3 di aver scelto l’automobile e, con il cambio, sceglie la capra; quindi: 1 probabilità su 3 di perdere 116

• 2 probabilità su 3 di aver scelto la capra e, con il cambio, sceglie l’automobile; quindi: 2 probabilità su 3 di vincere l’automobile. Se vi fossero quattro porte, due automobili e due capre, ferme restando le altre regole, indipendentemente dalla strategia di conservare o modificare la prima scelta, il concorrente aumenterebbe le probabilità di aggiudicarsi il premio. Tuttavia, anche in questo caso, è più vantaggiosa la strategia di modificare la prima scelta, che garantisce una probabilità di 3/4 di vincere l’automobile, contro la probabilità di 1/2 se si mantiene la scelta iniziale. Il seguente schema illustra la situazione nel caso della strategia del cambio.

E la strategia di modificare la prima scelta, dopo aver visto la porta con dietro la capra, è sempre la più vantaggiosa, indipendentemente dal numero di porte e dal numero di capre e automobili nascoste dietro di esse. L’indifferenza tra modificare o conservare la prima scelta sussisterebbe solo se ci fosse un numero infinito di porte, 117

ipotesi francamente non accettabile… nonostante i grandi progressi della tecnologia. 2.3 Chi sa il gioco non l’insegni Dobbiamo stare attenti a non divulgare le nostre idee originali, considerando che potrebbero garantirci interessanti guadagni in futuro. In caso contrario, altri potrebbero venirne a conoscenza, godendo indebitamente e immeritatamente del frutto del nostro ingegno. Un caso eclatante di adesione rigorosa a tale esortazione riguarda la formula di una famosa bevanda gassata, tenuta segretissima da oltre un secolo. Ma gli esempi sono innumerevoli: dai trucchi dei prestigiatori agli algoritmi dei motori di ricerca, dai preparati dei medicinali alle modifiche dei motori, e così via. Esistono, però, significative eccezioni. Intanto, si può osservare che gli infallibili sistemi per vincere al gioco d’azzardo vengono rivelati per pochi spiccioli (e ci sarà un perché…). Ma, soprattutto in ambito scientifico, si impone il rispetto di un altro proverbio: «Sapienza occulta, tesoro riposto» (che paventa un rischio opposto a quello precedente). In questo caso, bisogna considerare che, nell’ambito della ricerca pura, non sarebbe possibile raggiungere prestigio e fama (con i conseguenti onori e vantaggi economici), se la comunità scientifica venisse lasciata completamente all’oscuro delle scoperte effettuate. È estremamente significativo il caso del matematico britannico Andrew Wiles, che dopo sette anni di studi intensi, nel 1994, riuscì a dimostrare il famoso «ultimo teorema di Fermat» (non esistono soluzioni intere positive all’equazione XN+YN = ZN, per N maggiore di 2), che per oltre tre 118

secoli e mezzo aveva resistito a migliaia di analoghi tentativi da parte dei più illustri matematici. Compiuta un’opera così mirabile (ma di nessun interesse pratico per i mercati…), Wiles si è ben guardato dal tenere segreti i frutti del proprio lavoro, ma ha dovuto (e voluto…) divulgarli, per ottenere i meritati riconoscimenti. Anche chi inventa un gioco nuovo, pensiamo ad esempio al popolare sudoku, ha tutto l’interesse a divulgarne le regole, sperando che incontrino i favori di un vasto pubblico. Il proverbio: «Chi sa il gioco non lo insegni» apparirebbe, quindi, se non altro discutibile. In realtà non è così, in quanto il proverbio in questione fa evidentemente riferimento ai cosiddetti giochi a informazione perfetta; ovvero a quei giochi non aleatori le cui mosse si alternano tra i partecipanti, ognuno dei quali conosce perfettamente le mosse degli avversari. Una peculiare (e paradossale…) caratteristica dei giochi a informazione perfetta è che l’esito di ogni potenziale partita può essere stabilito semplicemente analizzando, attentamente ed esaustivamente, le possibili configurazioni ammesse dalle sue regole. Che gusto c’è, potreste chiedere, a partecipare a un gioco in cui il vincitore è predeterminato, o vi sia la certezza della parità? Chiedetelo a uno qualunque dei milioni e milioni di giocatori di scacchi, il gioco a informazione perfetta più famoso, più impegnativo e più bello del mondo. Il fatto è che, in teoria (e solo in teoria), il gioco degli scacchi deve sicuramente concludersi: o con la vittoria del Bianco, o con quella del Nero, o con un pareggio. Ma non si sa ancora quale delle tre possibilità sia quella giusta, né (per fortuna…) come sia possibile assicurarsela. Un’attenta ed esaustiva analisi di tutte le possibili posizioni del gioco degli scacchi è ancora oggi, nonostante i progressi tecnolo119

gici, assolutamente inimmaginabile; i computer che giocano a scacchi, anche molto bene, seguono altri criteri. Esistono, comunque, giochi a informazione perfetta con una minor varietà di mosse possibili e, quindi, più abbordabili all’analisi, che consentono di comprendere la particolare natura, per molti aspetti sorprendente, di questa categoria di giochi. Ne presentiamo uno molto semplice, denominato spaccacento, che può essere praticato, tra due contendenti, anche solo a voce. Il primo giocatore dà inizio al gioco pronunciando un numero intero compreso tra «1» e «10». Al proprio turno, ognuno dei due giocatori deve pronunciare un altro numero intero che superi, per un valore compreso tra 1 e 10, quello appena scelto dall’avversario. Ad esempio, se un giocatore dice: «15», il secondo può ribattere con un qualunque numero intero compreso tra: «16 » e «25», estremi compresi. Vince il primo dei due giocatori che è in grado di dichiarare: «100». Questo gioco non ammette il pareggio, dato che uno dei due giocatori deve necessariamente vincere. Essendo un gioco a informazione perfetta, esiste sicuramente una strategia vincente per uno dei due giocatori. Ossia, effettuando le mosse opportune, uno solo dei due avversari (il primo o il secondo) può essere certo di vincere, qualunque siano le contromosse dell’altro. È ovvio che chi è riuscito a individuare la strategia vincente non ha interesse a rivelarla; anzi, farà di tutto per mascherarla, rischiando anche di perdere qualche partita di tanto in tanto, fedele al principio: «Chi sa il gioco non l’insegni». 120

Vediamo un esempio di partita completa, tra Caino e Abele. Inizia Caino, dicendo: «5». Caino

5

13

33

38

50

56

67

79

91

Abele

9

23

34

40

51

60

77

85

100

La partita si è svolta in modo piuttosto ingenuo, sia da parte di Caino che da parte di Abele. In più occasioni sia l’uno che l’altro avrebbero potuto forzare la vittoria, effettuando la mossa giusta; altre volte, la mossa giusta è stata fatta, ma poi vanificata da scelte errate. Assolutamente imperdonabile, però, è stata l’ultima scelta di Caino. Rispondendo: «91» al numero: «85» di Abele, ha gettato alle ortiche la vittoria sicura che Abele gli aveva offerto su un piatto d’argento. «Chi è causa del suo mal pianga se stesso» è un proverbio che si adatta particolarmente ai giochi. È, però, proprio in questo tipo di giochi (dove è rigorosamente escluso ogni intervento del caso e ogni accadimento non prevedibile a priori) che un tale proverbio si rivela estremamente vero. Se, quando Abele ha dichiarato: «85», Caino avesse risposto: «89», invece del deleterio: «91», Abele avrebbe potuto ribattere solo con un numero compreso tra «90» e «99», permettendo a Caino di concludere dicendo: «100» e, quindi, di vincere. Si deduce, di conseguenza, che chi riesce a dire: «89» può vincere, purché sappia continuare nel modo opportuno. Si può affermare che riuscire a dire: «89» costituisce una posizione vincente, in quanto consente all’avversario di spostarsi solo in una posizione perdente. Quando uno dei giocatori si trova in una posizione perdente, il suo avversario ha sempre 121

a disposizione una mossa per mettersi al sicuro in una posizione vincente. I concetti di posizione vincente e perdente non significano che il giocatore che vi si trova vincerà o perderà sicuramente. L’esempio precedente mostra, infatti, chiaramente che: «85» è una posizione perdente, nella quale si è trovato Abele. Caino, però, non ha fatto la mossa giusta (dire: «89») e, dicendo: «91» è passato dalla posizione perdente di Abele alla propria posizione perdente (e Abele ne ha approfittato…). Né Caino né Abele si sono dimostrati giocatori provetti, in quanto, di fronte a una posizione perdente dell’avversario, non sono stati sempre in grado di individuare la mossa vincente. Ma se «89» è una posizione vincente, come è possibile raggiungerla? Procediamo a ritroso. Per essere certi di poter dire: «89», occorre aver detto «78»; l’avversario, infatti, potrà pronunciare solo un numero compreso tra «79» e «88», consentendogli di dire al turno successivo: «89». Con analogo ragionamento: –– per essere certi di poter dire: «78», occorre aver detto: «67»; –– per essere certi di poter dire: «67», occorre aver detto: «56»; –– per essere certi di poter dire: «56», occorre aver detto: «45»; –– per essere certi di poter dire: «45», occorre aver detto: «34»; –– per essere certi di poter dire: «34», occorre aver detto: «23»; –– per essere certi di poter dire: «23», occorre aver detto: «12»; –– per essere certi di poter dire: «12», occorre aver detto: «1». 122

E, per essere certi di poter dire: «1», occorre essere il primo a iniziare… Il gioco è, quindi, completamente determinato. Il primo giocatore ha la possibilità di vincere con certezza, esordendo con il numero: «1», indipendentemente dalle contromosse dell’avversario, purché (lo ribadiamo nuovamente…), sappia proseguire con la strategia vincente. Riguardando lo svolgimento della partita precedente, ribadiamo che sia Abele che Caino si sono trovati in posizioni vincenti (evidentemente per caso…); entrambi, però, hanno sciupato l’occasione, non essendo, evidentemente, giocatori smaliziati. Tra due giocatori provetti non ha senso giocare; il primo dice: «1» e l’altro abbandona, in quanto l’esito di questo gioco, come di tutti quelli a informazione perfetta, è determinato fin dall’inizio. È curioso osservare come il semplicissimo spaccacento e il nobile gioco degli scacchi siano regolati dallo stesso meccanismo di fondo. Tra questi due estremi si situano tutti gli altri giochi a informazione perfetta, non tutti facilmente analizzabili a fondo, ma tutti potenzialmente dotati di una strategia che, se applicata correttamente in ogni posizione del gioco, ne può determinare il risultato. 2.4 Contano più gli esempi che le parole L’aggettivo astratto, nel significato corrente del termine, indica qualcosa che non ha nessi con la realtà; quindi: vago, indefinito, inafferrabile, generico (il contrario di concreto e ben definito). Curiosamente il significato originario della parola si è andato via via perdendo nell’uso comune: abstractus, in latino, significava tirato fuori, estratto, strappato da altre cose. 123

Per maggiore chiarezza, ricorriamo a un esempio: consideriamo un insieme di oggetti concreti, come i tratti rettilinei riportati in questa immagine.

Viene naturale accostare con il pensiero i tratti più marcati, tutti tra loro paralleli, che ci suggeriscono una nuova idea: la direzione. Questa non è propria del singolo tratto, ma può nascere solo se viene compiuta l’operazione mentale di considerare contemporaneamente i tratti tra loro paralleli. Che il concetto di direzione sia del tutto nuovo e non possieda alcuna caratteristica propria delle singole rette, da cui pure proviene, è confermato dal fatto che non si può parlare di direzioni parallele, mentre ha senso parlare di rette parallele. Ogni concetto astratto nasce da operazioni mentali simili; si considera un insieme di oggetti qualunque, che si suddividono tra loro rispettando un certo criterio, formando sottoinsiemi separati. Se l’esame di questi sottoinsiemi suggerisce un’idea nuova e diversa, abbiamo creato un concetto astratto. Nulla vieta di sottoporre a loro volta i concetti astratti a simili ulteriori operazioni mentali, creando così astrazioni di livello via via superiore. È così che nasce e si sviluppa la Matematica: immaginate di avere, disposti su un tavolo gigantesco, ogni sorta di oggetti suddivisi in gruppi. La vostra attenzione è colpita 124

da due di essi, e osservate che, togliendo a coppie degli oggetti dall’uno e dall’altro gruppo, svaniscono nello stesso momento. Osservate che ciò non accade sempre; a volte il fenomeno si ripete, a volte rimangono oggetti in un gruppo, a volte rimangono oggetti nell’altro. Ordinate mentalmente i gruppi sul tavolo accostando quelli che, sottoposti all’operazione, scompaiono contemporaneamente e dategli un nome: avete inventato il numero. Riempite mentalmente gli spazi vuoti con gruppi che sono già scomparsi primi di iniziare l’accoppiamento e avete inventato lo zero. Il numero, quindi, rappresenta uno qualunque dei gruppi che sono stati associati, ma non è nessuno di essi in particolare, ossia è un concetto astratto. Studiate i numeri, analizzatene le proprietà, create altre astrazioni, e avete inventato la Matematica. Se volessimo definire il numero, la via più semplice sarebbe quella appena percorsa. Ogni tentativo di rispondere alla domanda: «Che cos’è il numero?», usando altre parole, prima o poi ci condurrebbe a usare, nella definizione, parole già usate in precedenza, fino a incontrare nuovamente la parola da definire. Se consultiamo un buon vocabolario, possiamo leggere: • numero: ciascuno degli enti costitutivi di una successione ordinata; • successione: serie ordinata di enti matematici; • serie: quantità numerica di elementi considerati in ordine. Quindi, sostituendo cose uguali a cose uguali, otteniamo: • numero = ciascuno degli enti costitutivi di una serie ordinata di enti matematici = ciascuno degli enti costitutivi di una quantità NUMERICA di elementi considerati in ordine. In definitiva, numero risulta definito da se stesso… 125

Per definire un ente materiale, basta farlo vedere. «Che cos’è un martello?» «Eccolo, è questo…»; «Che cos’è un cane?» «Eccolo, è questo…». Ma nel caso di un concetto astratto, ad esempio la felicità, come si può procedere? Consultiamo, di nuovo, un buon vocabolario: • felicità: la compiuta esperienza di ogni appagamento; • appagamento: gioia interiore; • gioia: felicità. Di conseguenza, possiamo scrivere: • felicità: la compiuta esperienza di ogni felicità interiore. Questo esempio dimostra come, volendo definire il significato di una parola con altre parole, si finisce inevitabilmente per imbattersi o nella parola di partenza, o in una parola già incontrata precedentemente. Supponiamo, infatti, che ogni parola di un vocabolario sia definita da altre sei parole. Cerchiamole nuovamente sul vocabolario; avremo letto 36 parole, che supporremo tutte diverse. Se non fosse così, già al primo passaggio avremmo dimostrato la nostra tesi. Proseguendo, alla terza ricerca avremo letto 216 parole, alla quarta 1296, alla quinta 7776, alla sesta 46 656. Supponiamo ancora di non aver mai incontrato parole uguali: un’ulteriore ricerca ci porta a leggere 279 936 parole. Siccome in un vocabolario le parole compaiono in quantità finita (supponiamo: 120 000), al settimo livello sicuramente avremo esaurito la scorta di parole disponibili e, quindi, le avremo esaminate tutte. Un’ulteriore lettura, all’ottavo livello, sicuramente ci presenterà parole già incontrate in qualche precedente passaggio. Da questa osservazione segue che l’unico modo per definire un concetto astratto, volendo evitare circoli viziosi, è riferirsi al concetto concreto da cui, in ultima analisi, è stato astratto. 126

«La ragione vuol l’esempio», ricorda un proverbio. Quindi, non dobbiamo chiederci: «Che cos’è la felicità?», ma: «Che cos’è felicità?». Per fornire un’idea concreta di tale sentimento, ricorriamo a un’immagine che vale più di mille parole. Si tratta di un fotogramma del film I mostri (1963), di Dino Risi, in cui Vittorio Gassman, nella parte di un poveraccio, sdentato, baraccato, con i figli malati, esulta al gol della squadra di calcio di cui è tifoso.

Se prendiamo in considerazione altre situazioni in cui usiamo la parola «felicità», possiamo osservare che presentano tutte la caratteristica di generare una variazione positiva dello stato d’animo di una persona. Trascorso l’attimo, lo stato d’animo può anche perdurare, più o meno a lungo, ma in tal caso non parleremmo di felicità. Gli spiriti eletti del Paradiso vengono chiamati beati, non felici… Quindi, la felicità è legata non allo stato d’animo, ma alla variazione dello stato d’animo nel tempo. Quando una grandezza, di qualunque natura, muta i suoi valori in dipendenza di un’altra, in Matematica si parla di «funzione»; indubita127

bilmente lo stato d’animo è in funzione del tempo, poiché varia, anche se in modo non facilmente prevedibile o quantificabile, di momento in momento. La felicità dipende anch’essa dal tempo, essendo la variazione dello stato d’animo in funzione del tempo. In particolare la felicità (o l’infelicità) può essere definita matematicamente come la derivata dello stato d’animo in funzione del tempo. 2.5 La necessità aguzza l’ingegno Molti classici enigmi logici hanno come protagonista un condannato a morte, al quale viene offerta una possibilità di salvezza, se saprà approfittare dell’opportunità che gli viene offerta dal proprio giudice: un re, un sultano, un visir, un imperatore… e via dicendo, a seconda dell’ambientazione, sempre collocata in tempi remoti e luoghi lontani (forse, per evitare di esporsi ad accuse di superficialità, nel trattare per gioco temi così drammatici…). Generalmente, non viene esplicitato il motivo della condanna. Da una parte, perché è sostanzialmente ininfluente sulla struttura astratta dell’enigma e della relativa soluzione, dall’altra perché un reato infamante potrebbe indurre il solutore a non immedesimarsi abbastanza nella sorte del condannato, lasciandolo al suo destino con la nascosta speranza che non riesca a risolvere l’enigma e subisca una giusta punizione. Un’ambientazione così estrema è la prova migliore della validità del proverbio: «La necessità aguzza l’ingegno». Quale necessità più forte può esserci del rischio della propria vita? Esaminiamo la situazione del condannato al quale, come opportunità di salvezza, viene proposta la situazione se128

guente. Lasciamo parlare direttamente il sultano (o chi preferite…). «Hai di fronte a te due scatole rosse, perfettamente identiche, e un sacco che contiene palline bianche e nere». E, nel dire questo, mostra una pallina bianca e una nera. «Non sai, però, quante sono bianche e quante nere. Ne dovrai estrarre una alla volta e inserirla, a tuo piacimento, in una delle due scatole, fino al loro esaurimento. Successivamente sigillerò le due scatole; tu sarai condotto fuori dalla stanza e, al tuo rientro, dovrai sceglierne una delle due, che nel frattempo ovviamente saranno state disposte in modo casuale. Scelta la scatola, questa verrà aperta e tu, bendato, dovrai estrarre una pallina. Se la pallina sarà bianca, sarai graziato; altrimenti, verrà eseguita la sentenza di condanna a morte». Come verrà eseguita la sentenza è del tutto inessenziale, per la soluzione dell’enigma… Ma è veramente incredibile constatare quanti metodi orribili per dare la morte abbia saputo escogitare l’ingegno umano! Mettiamoci nei panni del condannato e cerchiamo di intuire quali ragionamenti compirà, per scegliere la distribuzione che gli offra più probabilità di scampare alla sua sorte tremenda. Prima idea Dividiamo il più equamente possibile le palline nelle due scatole, rispettando la proporzione iniziale tra palline bianche e nere. Così facendo, almeno non rischiamo di peggiorare la situazione di partenza e di non dover amaramente riflettere sull’ammonimento: «Chi è causa del suo mal, pianga se stesso». Ad esempio, se le palline fossero 12, di cui 4 bianche e 8 nere, avremmo 1/3 di probabilità di salvarci, estraendo la 129

pallina che determina la nostra sorte direttamente dal sacco. Distribuendo in entrambe le scatole 2 palline bianche e 4 nere, indipendentemente dalla scatola che sceglieremo successivamente, tali probabilità resteranno inalterate. Ottenere questo obiettivo è semplice. Inseriremo a caso la prima pallina di un determinato colore nella prima scatola e, successivamente, inseriremo in una scatola diversa la pallina del medesimo colore di quella estratta immediatamente prima. Vediamo un esempio: se la sequenza fosse: B N B N N N B N N B N N, la situazione risultante sarebbe la seguente. Scatola 1

Scatola 2

BB NNNN

BB NNNN

In questo modo, se fossero in numero pari sia le palline nere che quelle bianche, ne metteremmo esattamente metà in ogni scatola. Se invece fossero dispari, con lo stesso criterio ci avvicineremmo, comunque, il più possibile alla ripartizione più equamente distribuita. Così facendo, manterremmo la probabilità decisa dal sultano, senza rischiare di peggiorarla. È plausibile supporre che il sultano abbia messo nel sacco più palline nere che bianche; dato che ci ha condannato, dobbiamo aspettarcelo. Seconda idea Potremmo rendere determinante la scelta della scatola, inserendo nella prima solo palline nere, nella seconda solo palline bianche. Così ci garantiremmo almeno il 50% di probabilità di cavarcela, migliorando addirittura la situazione, 130

nel caso in cui il sultano avesse messo più palline nere che bianche nel sacco. Ma se, invece, in uno slancio di generosità (o per pura perfidia, immaginando il nostro ragionamento precedente…), avesse messo più palline bianche che nere? Gli daremmo anche la soddisfazione di ricordarci, accompagnandoci al luogo dell’esecuzione, il proverbio: «Chi è nato citrullo è per gli altri un trastullo». E se ci avesse beffato, inserendo nel sacco solo palline nere? Questa possibilità è da escludere; se non altro perché il sultano ci ha mostrato una pallina bianca (quindi, almeno una c’è…). E se fosse l’unica? Se applicassimo il primo metodo, riempiremmo di palline nere entrambe le scatole; scegliendo, invece, il secondo metodo, avremmo sempre e comunque il 50% di probabilità. In definitiva, se scegliessimo di mettere tutte le palline bianche in una scatola e tutte le palline nere nell’altra, indipendentemente dalla composizione del sacco, otterremmo una probabilità del 50% di cavarcela. Ma per raggiungere un simile obiettivo, basterebbe inserire una sola pallina bianca in una scatola e tutte le altre, indifferentemente, nell’altra. Se, poi, le palline bianche fossero più di una, queste ci lascerebbero, comunque, una possibilità residua anche se scegliessimo, per sfortuna, la scatola con più palline. E se la pallina bianca fosse una sola, non peggioreremmo la situazione… Quindi, abbiamo deciso: metteremo una sola pallina bianca in una scatola e tutte le altre palline nell’altra. Il diagramma seguente permette di calcolare le probabilità dell’astuta soluzione che abbiamo (anzi, che il condannato ha…) trovato, visto che la necessità aguzza l’ingegno. 131

Le variabili B e N indicano la quantità di palline bianche e nere presenti all’inizio nel sacco.

In dettaglio, ecco le probabilità legate ai possibili esiti dell’estrazione: 1

1

B–1

B+N–1+B–1

2(B–1)+N

P(SALVEZZA) = ⎯ + ⎯ × ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2

2 1

B+N–1 N

2(B+N–1)

2(B+N–1)

N

P(ESECUZIONE) = ⎯ × ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2

B+N–1

2(B+N–1)

Anche nel caso peggiore, ossia se il sultano avesse inserito un’unica pallina bianca, il condannato raggiungerebbe comunque un apprezzabile 50% di probabilità di salvezza, indipendentemente dal numero di palline nere. Si pensi che, con 100 palline nel sacco, di cui una sola bianca, la probabilità iniziale sarebbe appena dell’1%. 132

La scelta definitiva del condannato migliora sempre le altre due alternative: mantenere il rapporto iniziale o inserire tutte le palline bianche e tutte quelle nere in due scatole diverse. Calcoliamo queste probabilità ponendo, ad esempio, B = 10, N = 30: 2(10–1)+30

48

P(SALVEZZA) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯ = 61,54% 2(10+30–1)

78

contro una probabilità del 33%, con la prima soluzione, e del 50%, con la seconda soluzione. «La fortuna è cieca», ricorda giustamente un noto proverbio. Abbiamo visto, però, che aguzzando l’ingegno possiamo aiutare la sorte. Analizziamo un altro esempio, in cui il condannato di turno, spinto dalla necessità, riesce ad aguzzare l’ingegno al punto da annullare l’incidenza della sorte, salvandosi in ogni caso. Due giganteschi samurai, gemelli perfettamente identici in tutto e per tutto e vestiti nella stessa identica maniera sono a guardia ciascuno di una porta, una verde e l’altra rossa. Uno dei due mente sempre, l’altro dice sempre il vero. Il condannato viene portato in loro presenza e sa che una delle due porte conduce alla salvezza, mentre dietro l’altra è celata una gigantesca tigre dalle zanne a sciabola. Il condannato ha la facoltà di rivolgere una sola domanda a uno solo dei due samurai. Poi dovrà scegliere quale porta aprire e accettare il verdetto. Il condannato è ormai quasi rassegnato ad affidarsi al caso, rinunciando all’opportunità offerta; ma all’improvviso ha la giusta illuminazione. Domanda a uno qualunque dei due sa133

murai: «Se chiedessi al tuo gemello qual è la porta dietro la quale è nascosta la tigre, lui che cosa risponderebbe?». Supponiamo che riceva in risposta l’indicazione della porta rossa. Il seguente schema mette in luce la genialità della sua trovata. Ha rivolto la domanda al… … samurai sincero

… samurai bugiardo

Riceve, in maniera VERA, la FALSA risposta che avrebbe fornito il gemello; di conseguenza, l’indicazione che ne scaturisce è FALSA.

Riceve, in maniera FALSA, la VERA risposta che avrebbe fornito il gemello sincero; di conseguenza, l’indicazione che ne scaturisce è FALSA.

Dietro la porta rossa NON è nascosta la tigre, ma è quella della salvezza.

2.6 L’eccezione conferma la regola In generale, la validità delle regole (intese come leggi da rispettare in determinati ambiti) può essere ribadita, paradossalmente, proprio dalla presenza di eventuali casi atipici. Ad esempio, le regole del gioco degli scacchi prevedono che: –– il re si muove di una casella in ogni direzione, a eccezione di quando effettua l’arrocco; –– tutti i pezzi possono muoversi solo passando attraverso caselle libere, a eccezione del cavallo che può saltare; –– tutti i pezzi possono essere catturati, a eccezione del re; –– tutti i pezzi possono eliminare un pezzo avversario che si trovi sul proprio cammino, a eccezione del pedone, che cattura in diagonale; –– il pedone si muove di una sola casella in avanti, a eccezione della prima mossa, in cui può avanzare di due caselle. 134

Altri esempi significativi, di varia natura, possono essere i seguenti: –– nella lingua italiana, una regola ortografica stabilisce che la lettera «q» non può essere raddoppiata, con l’eccezione della parola «soqquadro»; –– nell’ambito delle regole del galateo, un corretto cavaliere cederà sempre il passo alla dama, con l’unica eccezione dell’ingresso in un locale pubblico, in cui viceversa dovrà precederla; –– una norma del Codice della strada prescrive che l’automobilista debba sempre mantenere una distanza di sicurezza dal veicolo che lo precede, a eccezione del momento in cui si accinge a compiere un sorpasso. Anche nel campo delle regole matematiche, si possono trovare eccezioni che confermano… che «l’eccezione conferma la regola». • Si può dividere un numero per un altro numero qualunque, a eccezione dello 0. A questo proposito, un errore molto diffuso consiste nel ritenere che il risultato della divisione di un numero per zero sia uguale al numero stesso. L’equivoco nasce probabilmente dal considerare lo zero come l’equivalente matematico della parola «niente». Quindi, dividere 5 per zero significa dividere 5 per niente, ossia non dividerlo e, quindi, se non viene diviso, 5 resta così com’è… • Tutti i numeri primi, quelli cioè divisibili solo per sé stessi e l’unità, sono dispari a eccezione del 2. I numeri (interi positivi) si dividono in pari e dispari, e un numero pari è per definizione divisibile per 2. Quindi, tutti i numeri pari sono divisibili per 2; per cui, non possono essere primi, a eccezione proprio del 2, l’unico pari a non avere 135

altri divisori oltre a se stesso e l’unità. Il famoso ultimo teorema di Fermat, che ha rappresentato per più di tre secoli un ostacolo insormontabile per i grandi matematici che hanno cercato di dimostrarlo prima di Andrew Wiles, afferma che la somma di due potenze di uguale esponente non può essere una potenza dello stesso esponente, a eccezione di esponenti minori di 3. • Tutti i nomi dei numeri interi si scrivono con una quantità di lettere diversa dal proprio valore, a eccezione di 3 (così in italiano; a eccezione di 4 in inglese). • La somma delle infinite potenze di qualunque numero è sempre determinata (uguale o a un numero finito o tendente all’infinito), a eccezione del numero –1. In quest’ultimo caso, infatti, si ha l’infinita somma: (–1)0+(–1)1+(–1)2+(–1)3+(–1)4+(–1)5+… = 1–1+1–1+1–1…, che vale: 0, se la quantità di addendi viene considerata pari; ma vale –1, se viene considerata dispari… • Tutti gli interi positivi hanno un numero pari di divisori, a eccezione dei quadrati perfetti (un quadrato perfetto si ottiene moltiplicando un numero per se stesso). L’affermazione: «L’eccezione conferma la regola» può apparire in contraddizione con il metodo del falsificazionismo del filosofo austriaco Karl Popper, in base al quale prima si fissa una chiara definizione di ciò che può dirsi scientifico e, successivamente, si individuano i giusti criteri per determinare la verità o falsità di un determinato risultato. Ogni affermazione può essere, sicuramente, giudicata opinabile o non opinabile. Viene definita opinabile un’affermazione di cui non ha 136

senso dire se è vera o falsa (ad esempio: «La Gioconda è il più bel quadro del mondo»). Viene definita non opinabile un’affermazione di cui, viceversa, ha senso dire se è vera o falsa (ad esempio: «La Gioconda si trova alla Galleria degli Uffizi»). Ciò che non è opinabile può definirsi scientifico, indipendentemente dalla relativa verità o falsità. Infatti, la Gioconda si trova al Louvre, ma ciò non inficia la scientificità dell’affermazione: «La Gioconda si trova alla Galleria degli Uffizi». Il problema è stabilire un criterio chiaro ed evidente di demarcazione tra scientifico e opinabile, prima ancora di chiedersi se un’affermazione sia vera o falsa. Non sempre ciò è evidente come nel semplice esempio prima proposto. Secondo Popper, questo criterio consiste nel falsificazionismo: è scientifico solo tutto ciò che è confutabile. Se si vuole che un sistema teorico possa essere controllato, occorre assumere come criterio di demarcazione non la verificabilità, ma la falsificabilità. Un discorso deve poter essere confutato, dall’esperienza o da argomentazioni, per essere giudicato scientifico. Occorre produrre non solo le affermazioni, i principi, i teoremi, le leggi, le regole, ma indicare anche come possono essere confutate per dimostrare che sono false. Anche i proverbi possono essere analizzati alla luce del falsificazionismo, classificandoli in opinabili e scientifici. Alcuni proverbi contengono esortazioni, moniti, consigli, constatazioni, esclamazioni, suggerimenti, inviti, che si possono accettare o negare, condividere o rigettare, ma che, per la loro stessa natura o per come sono posti, non sono giudicabili dal punto di vista della verità o falsità. Alcuni esempi possono essere i seguenti. –– A caval donato, non si guarda in bocca. –– Amor senza baruffa, fa la muffa. 137

–– Casa mia, casa mia, per piccina che tu sia, tu mi sembri una badia. –– Dagli amici mi guardi Dio, che dai nemici mi guardo io. –– Parla a nuora affinché suocera intenda. Nessuno di questi proverbi può essere confutato. Nel linguaggio comune, inconfutabile è considerato sinonimo di vero; in questo contesto, invece, significa soltanto che non ammette un potenziale falsificatore; quindi, tutti i proverbi precedenti devono essere ritenuti opinabili. La contraddizione, il pericolo temuto da ogni studioso che elabori una teoria, può esistere solo tra due concetti scientifici, entrambi veri, ma contrastanti. In ambito logico-matematico, si definisce antinomia un’affermazione che risulta in contraddizione con se stessa. Un esempio significativo può essere il seguente. Definiamo enigmistico un numero intero che può essere descritto con non più di sette parole della lingua italiana, nessuna delle quali sia il nome di un numero. Per quanto riguarda i primi numeri interi, possiamo avere: 1 = «il solitario»; 2 = «una coppia»; 3 = «il numero perfetto»; 4 = «i punti cardinali»; 5 = «le dita di una mano»; 6 = «i giorni della creazione»; 7 = «i peccati capitali», 8 = «le zampe del ragno»; e così via. Prima o poi, scorrendo la successione dei numeri interi, se ne incontrerà sicuramente uno che non può essere descritto in accordo con i termini posti. Supponiamo che questo numero sia 721. Di conseguenza, possiamo affermare che 721 è il più piccolo numero intero non enigmistico. D’altra parte: «il più piccolo numero intero non enigmistico» è una frase composta esattamente da sette parole; per cui, 721 è enigmistico… A questo punto, ci troviamo di fronte a una contraddizione inestrica138

bile: se 721 è il più piccolo numero intero non enigmistico, allora è enigmistico; d’altra parte, se 721 è enigmistico, allora non può essere il più piccolo numero intero non enigmistico… Nel campo dell’opinabile, viceversa, non può esservi contraddizione, semplicemente perché non ha senso usare le categorie del vero e del falso per ciò che, per sua stessa natura, è relativo: appropriato e opportuno in determinate circostanze, ma non adattabile ad altre. Un proverbio e, in generale, un concetto opinabile non può assurgere a valore di universale regola scientifica. Ogni concetto (proverbio, legge, regola…) che abbia i crismi della scientificità può essere sempre esposto nella forma: «la tal cosa non può accadere». In tale struttura, il potenziale falsificatore è: «la tal cosa»; se accade, significa che il concetto (proverbio, legge, regola…), pur essendo scientifico, è falso. La quantità di informazione intorno al mondo fornito da un’osservazione scientifica è tanto più grande, quanto maggiore è la possibilità che entri in conflitto con possibili asserzioni singolari. La legge di gravità ha miliardi di miliardi di possibilità di essere confutata nell’esperienza quotidiana. Basta che una posata, sfuggita di mano a un commensale, salga verso il soffitto, per poter giudicare falsa la legge. La frase: «Le galline sono bipedi» equivale a: «È impossibile trovare una gallina non bipede»; quindi, corrisponde a un’affermazione scientifica che deve essere considerata vera, finché non si riesca a trovare una gallina con una quantità di zampe, diversa da due. Analogamente, la frase: «Tutti i dispari sono primi» equivale a: «Non ci sono dispari non primi». Si tratta di un’affermazione scientifica, ma basta trovare, ad esempio, il numero 15 (dispari e non primo), per dimostrarne la falsità. 139

Il proverbio: «Ogni rosa ha le sue spine» è anche conosciuto nella versione, perfettamente equivalente: «Non c’è rosa senza spine». Si può affermare, quindi, che la saggezza popolare ha intuito e anticipato il metodo del falsificazionismo di Popper, anche senza formalizzarlo. Altri proverbi con evidente valore scientifico, ciascuno elencato con il rispettivo falsificatore potenziale, possono essere i seguenti. –– «Can che abbaia non morde» (Non esiste un cane che abbaia e morde). –– «Chi cerca trova» (È impossibile cercare e non trovare). –– «Chi disprezza compra» (Non può accadere di disprezzare e non comprare). –– «Chi domanda non fa errori» (Non è possibile domandare e sbagliare). –– «Chi dorme non piglia pesci» (Mai accadrà di dormire e prendere pesci). –– «Chi mangia fa molliche» (È impossibile mangiare e non fare molliche). –– «Chi tace acconsente» (È impossibile tacere e dissentire). –– «Ogni aiuto è buono» (Nessun aiuto è cattivo). –– «Ogni male ha la sua ricetta» (Nessun male è senza rimedio). –– «Ogni proverbio è vero» (Nessun proverbio è falso). Rileggendo i proverbi in questa forma può sorgere il dubbio sulla verità di alcuni di loro, ma non sulla loro scientificità. Alla luce di quanto esposto, il proverbio: «L’eccezione conferma la regola» potrebbe apparire falso; dato che, per Popper, l’eccezione distrugge la regola. Osserviamo, però, che il proverbio in questione parla di una sola eccezione (al singolare); non sostiene che: «Le eccezioni confermano la regola». In pratica, per confermare una regola, ammette solo una (o, al più, qualche sparuta) eccezione. 140

Vi sono regole così belle e chiare che dispiace non poterle enunciare solo per pochi, al limite uno solo, sporadici casi. Il proverbio in questione, molto semplicemente, soddisfa questa esigenza. Chi, nell’enunciare una regola scientifica e contemporaneamente, in modo corretto, anche i suoi potenziali falsificatori, avverte in anticipo quelli che si verificheranno, in pratica li esclude dalla validità della legge in generale. Inoltre, dimostra di aver posto gran cura nello studio del problema, trovando egli stesso i pochi casi in cui la regola viene falsificata, di fatto confermandola: «L’eccezione conferma la regola», appunto. 2.7 Non si possono raddrizzare le gambe ai cani Per definizione, vengono detti rompicapi quei problemi che non possono essere risolti senza scervellarsi (ovvero, senza… rompersi il capo). Alcuni, però, appaiono estremamente ostici, non perché la loro soluzione sia molto difficile da trovare, ma semplicemente perché… non esiste. Quindi, come non è pensabile raddrizzare le gambe ai cani, così non si deve pretendere di ottenere ciò che è oggettivamente irrealizzabile. In casi di questo genere, l’analisi matematica del problema si tramuta nel tentativo di elaborare una rigorosa dimostrazione dell’impossibilità di ottenere una soluzione. La beffa di Sam Loyd Un clamoroso caso di vera e propria follia collettiva scatenata da un rompicapo senza soluzione risale al 1873, quando il celebre enigmista statunitense Sam Loyd lanciò sul mercato il suo famoso «Gioco del 15», molto popolare ancora oggi in tutto il mondo. Come è noto, questo divertente passatempo 141

è composto da un telaio quadrato, all’interno del quale sono incastrate quindici tessere, numerate da 1 a 15 e sagomate in modo da poter essere spostate agevolmente in orizzontale e in verticale. Partendo da una situazione disordinata, bisogna riuscire a mettere in ordine crescente tutte le tessere.

Sam Loyd mise in palio un premio di 1000 dollari (una cifra da capogiro, per quei tempi) a disposizione di chi fosse riuscito per primo a ottenere una simile configurazione in maniera corretta. Grazie a un sotterfugio, beffardo e crudele, però, la versione proposta da Loyd presentava una posizione di partenza che rendeva impossibile la soluzione del gioco. Le tessere, infatti, erano tutte disposte in ordine crescente, tranne le ultime due (14 e 15), che erano invertite di posto.

142

Siccome (come si può verificare praticamente) lo scambio di due tessere genera inevitabilmente lo spostamento di altre due, è impossibile invertire solo le posizioni di due tessere, lasciando immutato tutto il resto. Centinaia di migliaia di persone tentarono disperatamente di aggiudicarsi il premio allettante. I giornali di allora registrarono più di 1500 casi di persone letteralmente impazzite nel disperato tentativo di ricostruire una soluzione inesistente, convinte di averla trovata, ma senza aver avuto l’accortezza di annotarla… Le tre case Uno dei più noti problemi di impossibile soluzione può essere esposto così. Su un appezzamento di terreno sono state costruite tre case nuove, ognuna delle quali deve essere allacciata a tre diverse forniture di energia (rispettivamente di acqua, luce e gas). Come è possibile effettuare tutti i collegamenti necessari, facendo in modo che nessuno dei tracciati si sovrapponga a un altro? La situazione di partenza può essere schematizzata così, indicando ogni casa con un quadratino e ogni centrale con un triangolino.

143

Nella figura seguente è riprodotto un tentativo di soluzione non valido, in quanto l’ultima linea di connessione (quella tratteggiata) ne incrocia un’altra.

Il motivo fondamentale per cui il quesito non ammette soluzioni è dovuto al fatto che, inevitabilmente, nell’effettuare i vari collegamenti richiesti, ci ritroviamo a dover unire due punti che si trovano uno all’interno e un altro all’esterno di una curva chiusa. Come afferma il fondamentale teorema di Jordan (ma come è anche facile intuire, con un po’ di buonsenso…), non è possibile tracciare una linea che connetta due punti del genere senza essere costretti a intersecare la curva. Per capire come mai sia inevitabile incappare in un tale destino ingrato, conviene affrontare il problema senza assegnare una posizione prestabilita alle case e alle centrali, ma disponendole in modo da ottenere una struttura dei collegamenti più schematica possibile (e, quindi, più facilmente analizzabile). Per prima cosa, possiamo osservare che, nel momento in cui colleghiamo due case a due centrali, creiamo inevitabilmente una curva chiusa, come qui indicato.

144

Quando, poi, congiungiamo ogni casa a tutte e tre le centrali, generiamo necessariamente due curve chiuse con un tratto in comune, come qui indicato.

A questo punto, qualsiasi sia la posizione della terza casa, non sarà possibile connetterla a tutte le tre centrali, senza passare su uno dei collegamenti già tracciati. In assoluto, le situazioni ipotizzabili sono solo due. 1. La casa si trova all’esterno di entrambe le curve chiuse, come nell’esempio qui riportato.

145

In tal caso, non possiamo collegare la casa alla centrale posta sul tratto interno delle due curve, senza intersecare uno degli altri due tratti. 2. La casa si trova all’interno di una curva chiusa, come nell’esempio qui riportato.

In tal caso, non possiamo collegare la casa alla centrale sul tratto più esterno della seconda curva, senza intersecare uno degli altri due tratti. In questo modo, abbiamo preso in considerazione tutte le possibili configurazioni teoriche; qualsiasi altra, infatti, è riconducibile a una delle due precedenti, mediante opportuni spostamenti delle case e delle centrali e le conseguenti deformazioni elastiche dei tratti di curva. Di conseguenza, abbiamo dimostrato in maniera esauriente che il problema non ammette alcuna soluzione (almeno nello spazio a due dimensioni…). Le reti percorribili Un tipo di problema che a volte può essere privo di soluzione, è quello, piuttosto noto, che richiede di eseguire un disegno schematico senza staccare la penna dal foglio e senza ripassare su una linea già tracciata, come nelle tre figure seguenti. 146

In Matematica strutture di questo tipo vengono dette reti (o grafi). Il vertice di una rete viene detto pari, se vi convergono un numero pari di linee; al contrario, viene detto dispari, se vi convergono un numero dispari di linee. Una rete che può essere disegnata, senza staccare la penna dal foglio e senza ripassare su una linea già tracciata, viene detta percorribile. Un metodo semplice per stabilire la percorribilità di una rete consiste nell’analizzarne i vertici: se sono tutti pari o solo due sono dispari, la rete è percorribile, altrimenti no. Questa affermazione si può giustificare considerando che, in un vertice pari, convergono tante linee di arrivo quante sono quelle di partenza, mentre una delle linee collegata a un vertice dispari rimane necessariamente non accoppiata; di conseguenza, un vertice dispari può costituire solo o un punto di partenza o uno di arrivo. Siccome nel tracciare una figura si può avere un solo punto di partenza e uno solo di arrivo, non è possibile percorrere reti che possiedono più di due vertici dispari. Le reti delle prime due figure precedenti possiedono quattro vertici dispari ciascuna e, quindi, non sono percorribili. La rete delle terza figura, invece, possiede due soli vertici dispari (quelli posti in basso) e, quindi, può essere percorsa, purché si parta da uno di questi due vertici. Tale regola venne ricavata dal matematico svizzero Eulero, nel 1736, dopo aver studiato a fondo il modo di dare una risposta definitiva al seguente intrigante problema. 147

Gli abitanti della cittadina prussiana di Königsberg (oggi Kalingrad), amavano passeggiare la domenica lungo le rive del fiume Pregel che la attraversava e che era sormontato da sette ponti.

Col passare del tempo, i cittadini cominciarono a chiedersi: è possibile compiere un percorso che consenta di passare su tutti i sette ponti, una sola volta? Nonostante gli innumerevoli tentativi effettuati, nessuno riusciva a trovare un tragitto con le caratteristiche richieste. Nella figura seguente, è riportato un percorso non valido, in quanto passa una seconda volta su uno dei due ponti che collegano le zone A e B.

148

Il problema giunse alle orecchie di Eulero che, in quel periodo, si trovava in servizio presso la corte dell’imperatrice Caterina la Grande, a Pietroburgo. A dimostrazione del fatto che non è per niente semplice affrontare questioni simili, per risolvere il problema Eulero dovette predisporre strumenti matematici adatti, fondando, così, una nuova disciplina: la topologia. Per analizzare più facilmente la questione, pensò di schematizzare la pianta della cittadina, raffigurando ogni zona di terreno con un punto e ogni ponte con una linea. In questo modo ottenne una configurazione analoga alla seguente.

Dopo aver scoperto la regola di percorribilità descritta in precedenza, Eulero arrivò alla conclusione che il problema non era risolvibile, in quanto la rete che lo descriveva conteneva quattro vertici dispari. Il reticolato Un altro enigma impossibile, piuttosto popolare, richiede di disegnare una linea continua che attraversi ognuno dei segmenti che compongono il seguente reticolato, senza passare più di una volta per ciascuno di essi.

149

Nella figura successiva è riportata una soluzione non valida, in quanto la linea così tracciata non può proseguire senza attraversare di nuovo un segmento già intersecato.

Per dimostrare l’impossibilità di risolvere questo particolare rompicapo, è possibile trasformarlo in un problema di percorribilità di una rete (come visto per il problema dei ponti di Königsberg). Ma si può giungere a una conclusione valida, anche ricorrendo a un ragionamento più diretto come il seguente. Una linea continua che entra ed esce (o viceversa) da un determinato spazio, deve necessariamente attraversare due dei segmenti che lo delimitano.

Quindi, una zona delimitata da un numero dispari di segmenti può essere o solo di arrivo, o solo di partenza; di conseguenza, perché il problema sia risolubile, non si possono avere più di due spazi di questo tipo. Dato che ognuna delle zone contrassegnate con A, B e C nella figura seguente è delimitato da un numero dispari di segmenti, e considerando che anche lo spazio esterno è in 150

contatto con un numero dispari di segmenti (quelli che compongono il perimetro esterno del reticolato), il problema non ha soluzione.

Se si cancellasse, ad esempio, il segmento che separa la zona A dalla C, il problema sarebbe risolubile, perché si avrebbero due soli spazi dispari: quello esterno e quello contrassegnato con B. Il nuovo spazio, formato dall’unione di A e C, invece, verrebbe delimitato da un numero pari di segmenti. 2.8 O tutto o nulla Da sempre tendiamo a dividere la realtà in grandi gruppi di concetti opposti e privi di sfumature (o bianco o nero; o vero o falso; o tutto o nulla…). Questo modo di pensare si è rivelato estremamente funzionale per lo sviluppo dell’informatica. Come è noto, infatti, l’hardware e il software dei computer si basano su una codifica binaria che ammette, come unici valori, lo «0» e l’«1». La numerazione binaria non è una conquista dell’era informatica; era già nota nel 1600 e il filosofo e matematico tedesco Gottfried Leibniz (1646-1716) vedeva addirittura in essa l’immagine della creazione. In base alla sua teoria, l’unità rappresentava Dio e lo zero il vuoto; inoltre, Dio aveva tratto dal vuoto tutti gli esseri nella creazione (0 = nulla e 1 = tutto…). In precedenza, il filosofo inglese Francesco Bacone (1561-1626) aveva messo a punto un codice per trasmettere 151

messaggi segreti in comunicazioni apparentemente innocenti. Questo codice, chiamato Omnia per omnia, era un vero e proprio codice binario che sostanzialmente anticipava di tre secoli la rappresentazione in cifre binarie, non tanto dei numeri, quanto dei caratteri dell’alfabeto. In sintesi, Bacone aveva attribuito a ogni lettera dell’alfabeto un diverso codice composto da cinque cifre binarie (ad esempio la lettera A era rappresentata da 00000, la B da 00001, la C da 00010, ecc.). In secondo luogo, aveva predisposto due insiemi di caratteri alfabetici, di tipo diverso e ben distribuiti; ad esempio, uno in carattere normale e l’altro in corsivo. A, B, C,… , Z (associato alla cifra 0) A, B, C,… , Z (associato alla cifra 1) Quando doveva vergare un messaggio cifrato, scriveva il testo fittizio (di qualsiasi tenore fosse) prelevando le varie lettere da un alfabeto o dall’altro, a seconda delle cifre con cui erano codificate le lettere che componevano il testo segreto. Se, ad esempio, la prima parola da codificare era «Alba», essendo: A = 00000, B = 00001 e L = 01010, adottando i due seguenti caratteri alfabetici, il testo fittizio poteva iniziare nel seguente modo.

Per illustrare i criteri su cui si basa il codice binario per la rappresentazione dei numeri, è consigliabile analizzare la numerazione in base 10, che ci è estremamente familiare. Come è noto, un numero intero N scritto nella numerazione posizionale in base 10 può essere rappresentato genericamente come una somma di fattori di potenze di 10: 152

N = an×10n+an–1×10n–1+… +a2×102+a1×101+a0×100 dove: a0, a1, a2,…, an–1, an sono valori compresi tra 0 e 9, corrispondenti alle cifre del numero N. Possiamo estendere il concetto di numerazione posizionale scegliendo come base un generico numero intero positivo B, maggiore di 0. Un numero intero N espresso tramite una numerazione di questo tipo assume questa forma generale: N = bn×Bn+bn–1×Bn–1+…+b2×B2+b1×B1+b0×B0 dove b0, b1, b2,…, bn–1, bn sono valori compresi tra 0 e B–1, corrispondenti alle cifre di N. Se la base B di una numerazione posizionale generica è minore di 10, possiamo utilizzare come cifre una parte di quelle decimali, disposte nel medesimo ordine crescente. Se invece B è maggiore di 10, alle dieci cifre decimali, da 0 a 9, dobbiamo necessariamente aggiungere altri simboli addizionali. Quando rappresentiamo un numero in una base diversa da 10, in assenza di esplicite dichiarazioni, dobbiamo adottare la convenzione di apporre in basso e in fondo un piccolo indice corrispondente al valore della base utilizzata. Ad esempio: –– la notazione: N = 101112 indica che il numero N è scritto in base 2; –– la notazione: N =278 indica che il numero N è scritto in base 8. Per ricavare il valore decimale di un numero scritto in base 2, bisogna tener presente che (scorrendo le cifre del nume153

ro, da destra verso sinistra) la prima posizione è associata a 20, la seconda a 21, la terza a 22, la quarta a 23, e così via (procedendo con le successive potenze di 2).

Ad esempio, il numero binario 1101 corrisponde a 13 in base 10, dato che: 1×23+1×22+0×21+1×20 = 1×8+1×4+0×2+1×1 = 8+4+0+1 = 13. Se la base che utilizziamo è molto grande, non solo abbiamo bisogno di una maggiore quantità di cifre diverse, ma diventano molto grandi anche le relative tavole di moltiplicazione. Quella che normalmente usiamo nella numerazione in base 10 (nota come tavola pitagorica) prevede 10 × 10=100 caselle. Un’analoga tavola, nella numerazione babilonese in base 60, necessiterebbe di ben 60×60 = 3600 caselle. 154

×

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

3

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

4

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

6

0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

7

0

7

14

21

28

35

42

49

56

63

8

0

8

16

24

32

40

48

56

64

72

9

0

9

18

27

36

45

54

63

72

81

Al contrario, diminuendo il valore della base, otteniamo tavole di dimensioni sempre più piccole. Al limite, nella numerazione in base 2, possiamo avere solo quattro prodotti tra le uniche due cifre utilizzate, «0» e «1»; ovvero: 0×0 = 0; 0×1 = 0; 1×0 = 0; 1×1 = 1. La relativa tavola pitagorica, quindi, prevede solo due righe e due colonne: ×

0

1

0

0

0

1

0

1

I bambini dell’immaginario mondo di Binaria (dove i numeri vengono scritti solo in base 2), non devono dannarsi molto per imparare a memoria le tabelline… Per quanto abbiamo visto prima, un numero N scritto in base 2 assume la forma: 155

N = an×2n+an–1×2n–1+…+a2×22+a1×21+a0×20 dove le cifre: an, an–1,… a2, a1, a0, possono assumere solo i valori: «0» e «1». Sono molto semplici anche le altre operazioni effettuabili con i numeri binari. In particolare, esistono solo quattro possibilità di sommare le loro due uniche cifre; ovvero: 0+0 = 0; 0+1 = 1; 1+0 = 1; 1+1 = 10 Anche la relativa tavola di addizione, quindi, possiede solo due righe e due colonne. +

0

1

0

0

1

1

1

10

Questa estrema sinteticità nell’impostazione dei calcoli è una delle ragioni per cui la numerazione binaria è stata adottata nella realizzazione dei computer, sia nella costruzione delle memorie e dei circuiti, sia nella logica di funzionamento dei programmi di gestione. Negli anni Quaranta, agli albori dell’informatica, gli scienziati si trovarono ad affrontare la seguente questione: –– per rappresentare i numeri interi, codificati in una certa base B, è necessario mettere a punto un dispositivo in grado di assumere B stati diversi e associare a ciascuno una delle cifre del sistema di numerazione preso in considerazione (ad esempio, avendo un dispositivo a 10 stati, è possibile associare a ciascuno una delle cifre, da 0 a 9, del sistema di numerazione decimale); 156

–– se si hanno N dispositivi, ognuno dei quali in grado di assumere B stati diversi, si possono rappresentare BN numeri (ad esempio, con 3 dispositivi a 10 stati, si possono rappresentare 103 = 1000 numeri, da 0 a 999); –– data una stessa quantità complessiva di stati (B×N), qual è il valore di B che consente di rappresentare la maggiore quantità di numeri diversi (BN)? Per rispondere a questa domanda, bisogna trovare il punto di massimo della funzione BN (supponendola continua), ponendo la condizione: B×N = costante. Dal problema (non semplice…) che ne deriva, si ricava come valore di B il numero di Nepero (e = 2,71828…). La quantità di stati di un dispositivo, però, deve corrispondere a un numero intero; di conseguenza, siccome: 2 < e < 3, il valore di B può essere approssimato o a 2 per difetto, o a 3 per eccesso. La seconda opzione è migliore dell’altra in quanto 2,71828… è più vicino a 3 che a 2. Possiamo verificare la correttezza di tale affermazione ponendo ad esempio: B×N = 30 e riportando in una tabella l’andamento di BN in funzione di alcuni possibili valori di B. B

N

BN

2

15

215 = 32 768

3 5 6 10

10 6

310 = 59 049 56 = 15 625

5 3

65 = 7776 103 = 1000

Come si vede, per B = 3 si ottiene un valore di BN che è quasi 60 volte maggiore di quello corrispondente a B = 10, ma che 157

è anche uguale a circa il doppio di quello corrispondente a B = 2. Siccome, però, a livello tecnico è più facile realizzare dispositivi a due stati piuttosto che a tre, per progettare la struttura interna dei computer si è scelta la base B = 2 (anche perché questa consente in maniera più naturale l’applicazione dei principi dell’algebra di Boole). Nell’evoluzione tecnologica, però, non c’è nulla di sacro e di immutabile; per cui, da diversi anni, negli ambienti scientifici internazionali si è affermata una nuova teoria, detta fuzzy-logic (logica «sfumata»), che prende in considerazione anche tutte le possibili gradazioni comprese tra lo «0» e l’«1» e che ha mostrato una grande efficacia in numerose applicazioni industriali. A detta di alcuni esperti, sarebbe auspicabile che una concezione analoga venisse presa in considerazione anche per lo svolgimento delle votazioni. In particolare, si potrebbe adottare per i referendum una scheda in cui le due caselle del «Sì» e del «No» fossero unite da una linea orizzontale. In questo modo, il voto potrebbe essere espresso marcando un determinato punto della linea, in base alla percentuale di convinzione personale sulla bontà del quesito proposto. Un sistema analogo potrebbe essere utilizzato anche per le consultazioni elettorali, offrendo ai cittadini la possibilità di frazionare il proprio grado di apprezzamento nei confronti di più partiti (senza doverne scegliere per forza uno solo). I risultati ottenibili potrebbero essere, in alcuni casi, estremamente sorprendenti. Immaginate, ad esempio, che a una tornata elettorale si presentino quattro partiti: AA, BB, CC e DD e che, dopo lo spoglio, le percentuali dei voti ottenuti siano le seguenti: AA: 40%, BB: 35%, CC: 25%, DD: 0%. Supponete anche che ogni elettore provi un X% di stima per il partito DD e un (100–X)% per quello che ha votato. Ebbene, se agli elettori fosse concesso di esprimere con158

cretamente le percentuali delle loro preferenze politiche, il partito DD (che con il sistema tradizionale non avrebbe ottenuto alcun voto) potrebbe addirittura conquistare la maggioranza relativa, nel caso in cui il valore di X superasse una certa soglia. Ad esempio, se si pone: X = 29, i risultati sarebbero i seguenti: DD: 29% AA: 40%×71% = 28,40% BB: 35%×71% = 24,85% CC: 25%×71% = 17,75% 2.9 Paese che vai, usanza che trovi Siamo così abituati al nostro modo di rappresentare i numeri, che neppure ci sfiora l’idea che presso altri popoli e in altri periodi si usino e si usassero criteri diversi. Il nostro modo di rappresentare i numeri si fonda sulla notazione decimale posizionale introdotta in Europa da Leonardo Fibonacci nel 1202, come abbiamo già ricordato. Fibonacci non era un matematico di professione (è curioso il fatto che molte delle scoperte matematiche più notevoli non siano state compiute da chi lo faceva di mestiere…). Era un mercante e, nei suoi viaggi d’affari, entrò in contatto con gli Arabi, osservando con interesse il loro sistema di rappresentazione numerica, soprattutto perché permetteva di effettuare i calcoli operando direttamente sui numeri scritti, senza dover ricorrere a strumenti ausiliari. In quel periodo, in Occidente (e in molte altre parti del mondo), i calcoli venivano eseguiti utilizzando l’abaco, una sorta di pallottoliere che consentiva di operare comodamente sulle quantità numeriche; i risultati ottenuti, però, dovevano essere trascritti su un apposito supporto (papiro, pergamena, tavolette cerate, e così via). Il procedimento di calcolo degli Arabi ci può sembrare 159

del tutto naturale, anche se, con l’uso (e spesso con l’inutile abuso…) delle calcolatrici elettroniche, stiamo rischiando di tornare a considerare la fase di rappresentazione numerica, separata da quella del calcolo vero e proprio. Paradossalmente, a volte, l’evoluzione tecnologica riporta ad atteggiamenti mentali e psicologici passati… Un gustoso racconto dello scrittore statunitense Isaac Asimov (1920-1992), forse profetico (ma è ancora presto per dirlo…), descrive lo stupore provato, in una società futura, nei confronti dell’unico uomo della Terra, in grado di effettuare le operazioni aritmetiche usando solo carta e penna, senza ricorrere a calcolatrici o computer. Il protagonista di questa storia fantascientifica, evidentemente, aveva fatto tesoro del proverbio: «A usanza nuova non correre». Operare direttamente sui numeri scritti è stata un’innovazione radicale e rivoluzionaria. Oggi può sembrare eccessiva questa enfasi; ma pensiamo a quale meraviglia proveremmo, se qualcuno trovasse il modo di suonare una melodia, direttamente sullo spartito, senza ricorrere a uno strumento musicale… La novità essenziale, rispetto al passato, non era tanto il ricorso a una rappresentazione decimale (praticamente tutti i sistemi di numerazione, già allora, utilizzavano la base 10), quanto il concetto di posizione. Come abbiamo già visto, nella rappresentazione araba si usano solo 10 simboli, chiamate cifre, e ognuna di queste rappresenta un valore diverso a seconda della posizione che occupa nel numero di cui fa parte. Ad esempio, nel numero 353 (trecentocinquantatré), a partire da destra, il primo «3» vale proprio «3», mentre il secondo vale «300»… Le dieci cifre utilizzate comprendono anche lo «0», che indica l’assenza di altre cifre (unità, decine, centinaia, migliaia… a seconda della posizione in cui si trova). È inutile scriverlo in testa ai numeri, ma è fondamentale all’interno e alla fine di essi. Altrimenti, a una scrittura come, ad esem160

pio, 123, potrebbero essere attribuiti potenzialmente diversi valori numerici, non solo come: «centoventitré», «milleventitré», «milleduecentotrenta» o «milleduecentotré»; ma anche come: «diecimilaventitré», «diecimiladuecentotré», «diecimiladuecentotrenta», «dodicimilatré», «dodicimilatrenta», «dodicimilatrecento» o altri infiniti valori… L’opportuno inserimento dello zero, o degli zeri, risolve ogni possibile ambiguità. I numeri precedenti possono essere rappresentati, in maniera inequivocabile, nell’ordine, così: «123», «1023», «1230», «1203», «10 023», «10 203», «10 230», «12 003», «12 030», «12 300». Questo sistema semplicissimo per indicare i numeri (che, però, ci appare tale, solo perché ci è molto familiare), non era adottato nell’antichità classica. I greci usavano le lettere, seguite da un apice, per indicare alcuni numeri particolarmente utili. Ne servivano 27; poiché l’alfabeto greco classico è formato solo da 24 lettere, si aggiungevano tre lettere di alfabeti antichi caduti in disuso. Illustriamo il principio usando, per comodità, le 26 lettere dell’alfabeto internazionale attuale aggiungendo il simbolo @ e rinunciando all’apice. A

B

C

D

E

F

G

H

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

10

20

30

40

50

60

70

80

90

S

T

U

V

W

X

Y

Z

@

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Ogni cifra, contrariamente alle numerazioni posizionali, ha sempre, nella rappresentazione del numero, il medesimo valore. Non c’è bisogno, in questo sistema, del simbolo dello zero. 161

Ad esempio, «dodici» (12) si scriveva: JB, «centodue» (102) si scriveva: SB, «centoventi» (120) si scriveva: SK. Anche se, per facilitare la lettura, i numeri si scrivevano con le cifre di maggior valore disposte da sinistra a destra, questo accorgimento non era indispensabile, come nella nostra rappresentazione posizionale. Ad esempio, «quattrocentocinquantanove» si poteva scrivere senza ambiguità in sei modi diversi: VNI VIN NIV NVI IVN INV Nella nostra rappresentazione posizionale, invece le notazioni: 459 495 594 549 945 954, pur essendo formate dalle stesse cifre, rappresentano sei numeri diversi. Nella numerazione greca, una virgola posta alla sinistra di un simbolo indicava una moltiplicazione per mille, due virgole una moltiplicazione per un milione, tre virgole una moltiplicazione per un miliardo e così via. Ad esempio, il numero: 4 294 967 296 (numero di tutti i potenziali indirizzi di Internet, nella prima versione) si sarebbe potuto scrivere, in modo molto compatto, chiaro e univoco come: ,,,D,,T,,R,,D,@,O,GTRF Non bisogna sorprendersi se, tra i preziosi, essenziali contributi dei Greci al progresso scientifico dell’umanità, non figura l’algebra… Se si usano le lettere per indicare numeri particolari, difficilmente si può pensare di usare le lettere per indicare un numero qualunque (principio fondamentale dell’algebra). A dimostrazione del fatto che: «Paese che vai, usanza che trovi»…. i Romani scrivevano i numeri in modo totalmente diverso. I criteri da loro adottati sono talmente noti che non ci sembra il caso di ricordarli… Ci permettiamo di ricorre162

re a un solo esempio: il numero della Bestia, «666», veniva scritto come: «DCLXVI», usando ciascuna delle loro cifre (tranne M), una e una sola volta. Secondo alcune ipotesi, sarebbe proprio questo il motivo per cui quel numero veniva considerato malefico. I greci non ci sarebbero potuti arrivare, in quanto lo avrebbero scritto come: «XOF». In ogni caso, né con la numerazione greca né con quella romana era possibile agire direttamente sulle rappresentazioni dei numeri. Dopo l’introduzione della numerazione posizionale, invece, si cominciarono a diffondere tecniche operative, chiamate algoritmi, che consentono di ottenere il risultato lavorando semplicemente sulle cifre che rappresentano i numeri. Alcuni di questi metodi sono giunti fino ai nostri giorni e vengono insegnati fin dalle scuole elementari. Altri, pur ugualmente ingegnosi, sono andati perduti nel corso del tempo. Ne vogliamo ricordare alcuni, tra i più curiosi. Quando si deve effettuare una sottrazione, è molto scomodo dover ricorrere a numerosi prestiti di unità dalle cifre più significative, come ad esempio: 9 210 121 – 7 894 789 = ————— ? ??? ??? Un metodo più rapido ricorre al complemento a 10 del sottraendo: ovvero, nell’esempio indicato, al numero che sommato a 7 894 789 dà 10 000 000. Questo valore è molto semplice e rapido da calcolare: per la prima cifra a partire da destra diversa da 0 (quando è 0, si pone 0) si scrive la cifra che, sommata a quella del numero, dà 10 e, per le altre, quella che dà 9. Numero: 7 894 789 Complemento a 10: 2 105 211 163

Il valore così ottenuto si somma al minuendo: 9 210 121 + 2 105 211 = —————— 11 315 332 Si elimina la prima cifra a sinistra: [1]1 315 332, e quello che resta è il risultato della sottrazione: 9 210 121 – 7 894 789 = ————— 1 315 332 È singolare osservare che con questo metodo, raramente applicato nei calcoli con carta e penna, gli elaboratori elettronici eseguono le sottrazioni… Riteniamo superfluo ricordare l’attuale disposizione dei numeri che si adotta per impostare una moltiplicazione a più cifre. È interessante notare, però, che agli albori del calcolo numerico si ricorreva ad altri procedimenti, come quello illustrato per calcolare, ad esempio: 459×648. Dopo aver tracciato una tabella bidimensionale, si scrivono i due fattori, uno nella prima colonna e l’altro nella prima riga, ponendo una cifra in ciascuna casella. 6

4

8

4 5 9

164

In ciascuna casella si pone il prodotto delle due cifre che compaiono nella riga e nella colonna corrispondenti. 6 24 30 54

4 5 9

4 16 20 36

8 32 40 72

Partendo dalla casella in basso a destra, si riporta la somma dei numeri (o l’unico numero) che si trovano su una stessa diagonale, da destra verso sinistra, aggiungendo uno zero in coda ogni volta che si passa alla diagonale successiva. Nel caso in esame, quindi, bisogna trascrivere: 72; 36+40 = 76; 54+20+32 = 106; 30+16 = 46; 24 Da qui si ricava:

2

1 4 4

0 6 0

7 6 0 0

7 6 0 0 0

2 0 0 0 0

Infine, sommando i numeri così incolonnati, si ottiene il risultato desiderato: 459×648 = 297 432 7

2

7

6

0

1

0

6

0

0

4

6

0

0

0

2

4

0

0

0

0

2

9

7

4

3

2 165

Per svolgere le operazioni tramite un particolare algoritmo, si devono combinare alcune capacità già possedute per ottenere un risultato non immediato. Nell’esempio precedente, l’esecutore deve conoscere le tabelline e saper effettuare le somme. Supponiamo che invece l’esecutore non conosca le tabelline, ma sappia solo moltiplicare e dividere per due, oltre a saper fare le addizioni. Anche con un bagaglio così limitato, si è in grado di moltiplicare due numeri a più cifre, ricorrendo a quella che viene chiamata moltiplicazione egizia (o anche metodo del pastore tibetano…). Per applicare questo algoritmo, si scrivono i numeri da moltiplicare tra loro su due colonne. Prima si divide con continuità il numero a sinistra per 2, fino ad arrivare a 1, riportando ogni volta il quoziente intero. Poi, si moltiplica per 2 il numero a destra e si raddoppia ogni risultato successivo. Il prodotto cercato è dato dalla somma dei numeri scritti a destra, che si trovano sulla stessa linea dei numeri dispari scritti a sinistra. Ad esempio, per calcolare: 321×253, si imposta il seguente schema. 321 160 80 40 20 10 5 2 1

dispari

dispari dispari

253 + 506 1 012 2 024 4 048 8 096 16 192 + 32 384 64 768 + 166

Il risultato, in questo caso, è: 253+16 192+64 768 = 81 213. Il principio su cui si basa la moltiplicazione egizia sfrutta la scomposizione del numero a sinistra in potenze di 2, ovvero: 321 = 256+64+1 = 28+26+20. Questo risultato si ottiene proprio dividendo successivamente per 2 un numero e considerando i resti, come qui di seguito evidenziato. 321 : 2 = 160 160 : 2 = 80 80 : 2 = 40 40 : 2 = 20 20 : 2 = 10 10 : 2 = 5 5:2=2 2:2=1 1:2=0

con resto di con resto di con resto di con resto di con resto di con resto di con resto di con resto di con resto di

1 (1) 0 (2) 0 (4) 0 (8) 0 (16) 0 (32) 1 (64) 0 (128) 1 (256)

Siccome moltiplicare: 321×253 equivale a calcolare: (256+64+1)×253 = 28×253+26×253+20×253, svolgendo il calcolo come previsto dallo schema precedente, ossia raddoppiando ogni volta il secondo numero (253), si allineano automaticamente tutte le successive potenze di 2, la cui somma compone l’altro numero (321). 2.10 Tante teste, tanti pareri Ognuno ha una propria visione delle cose e formula valutazioni del tutto soggettive. Questo aspetto ci arricchisce: dal confronto tra più opinioni diverse, è possibile prendere le 167

decisioni più sensate (come sottolinea il proverbio: «Il mondo è bello perché è vario»…). In linea di massima, in Matematica non dovrebbero sorgere divergenze, perché i concetti di tale disciplina non sono opinabili. Da uno stesso problema, però, è possibile ricavare soluzioni diverse, tutte teoricamente accettabili, se i dati di partenza non vengono esposti in maniera ben delineata. In un caso del genere, infatti, i giudizi personali possono condizionare in maniera determinante l’impostazione del procedimento risolutivo. Un classico esempio al riguardo è costituito da un problema di antiche origini arabe. Due fratelli stanno attraversando una landa deserta. Uno di loro possiede 5 pani e l’altro 3. Lungo il tragitto, incontrano un signore molto ricco, ma momentaneamente privo di viveri. Per spirito umanitario, lo invitano a pranzare con loro, dividendosi equamente gli 8 pani disponibili. Al termine, in segno di riconoscimento, il ricco signore decide di donare ai due generosi fratelli 8 monete d’oro. Qual è il modo più giusto per ripartire questa elargizione? Nell’enunciato del problema non viene precisato lo spirito con cui il ricco signore ha inteso articolare la propria ricompensa; di conseguenza, in base alle varie ipotesi elaborabili al riguardo, è possibile arrivare a diverse conclusioni, tutte ugualmente plausibili. Riportiamo qui di seguito le tre più significative. 1. Se il ricco signore intendeva premiare allo stesso modo i due fratelli per il loro atto di generosità, le 8 monete vanno suddivise in parti uguali. Quindi, a ciascun fratello spettano 4 monete. In un caso del genere, però, per maggiore equità, 168

il secondo fratello dovrebbe rimborsare al primo il prezzo di un pane. 2. Se intendeva ricompensarli in maniera più fiscale, tenendo conto di quanto i due fratelli avevano effettivamente offerto, a ciascuno di loro spetta una moneta per ogni pane messo a disposizione; quindi, il primo deve prendere 5 monete e l’altro 3. 3. Se intendeva ricompensarli con un criterio ancora più puntiglioso, bisogna considerare che, dividendo ciascuno degli 8 pani in tre parti uguali, si ottengono in tutto 24 porzioni. Siccome il cibo a disposizione è stato ripartito equamente fra i tre commensali, ciascuno di loro ha mangiato 8 porzioni di pane. Il primo fratello, che inizialmente aveva 15 porzioni (5 pani), ne ha cedute 7, mentre l’altro, che inizialmente aveva 9 porzioni (3 pani), ne ha ceduta soltanto una. Quindi, al primo fratello spettano 7 monete e all’altro una sola. Un problema analogo si presenta ogni volta che, al termine di un’Olimpiade, si cerca di stilare una graduatoria attendibile delle nazioni partecipanti. Ufficialmente ne viene stilata una che prende in considerazione come parametro principale il numero di medaglie d’oro conquistate e, solo in caso di parità, anche di quelle d’argento e di bronzo. A livello puramente informativo, viene indicata la quantità totale di medaglie conquistate da ciascuna nazione. A titolo d’esempio, riportiamo la classifica ufficiale delle Olimpiadi di Londra 2012 fino al sedicesimo posto.

169

Posto

Nazione

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16°

Usa Cina Gran Bretagna Russia Corea del Sud Germania Francia Italia Ungheria Australia Giappone Kazakistan Olanda Ucraina Nuova Zelanda Cuba

Medaglie oro 46 38 29 24 13 11 11 8 8 7 7 7 6 6 6 5

argento 29 27 17 26 8 19 11 9 4 16 14 1 6 5 2 3

bronzo 29 23 19 32 7

14 12 11 5 12 17 5 8 9 5 6

Totale

104 88 65 82 28 44 34 28 17 35 38 13 20 20 13 14

In base a tale impostazione, l’Italia si è piazzata all’8° posto (cosa che ha spinto l’allora presidente del CONI, Gianni Petrucci, a esclamare: «Siamo nel G8 dello sport!»). Se si scorre la colonna relativa al totale delle medaglie, però, saltano agli occhi alcune evidenti disparità. In particolare la Corea del Sud, con solo 28 medaglie, occupa il 5° posto, mentre il Giappone, con ben 10 medaglie in più, si trova all’11° posto. Per rimediare a tali macroscopiche incongruenze, alcuni esperti hanno suggerito di stilare la graduatoria in base alla quantità totale di medaglie conquistate e di prendere in considerazione le medaglie d’oro solo in caso di parità. 170

Se si adotta un criterio del genere, la classifica cambia nel seguente modo. Posto

Nazione

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16°

Usa Cina Russia Gran Bretagna Germania Giappone Australia Francia Corea del Sud Italia Ungheria Olanda Ucraina Canada Spagna Brasile

Medaglie oro

argento

bronzo

46 38 24 29 11 7 7 11 13 8 8 6 6 1 3 3

29 27 26 17 19 14 16 11 8 9 4 6 5 5 10 5

29 23 32 19 14 17 12 12 7 11 5 8 9 12 4 9

Totale

104 88 82 65 44 38 35 34

28 28 17 20 20 18 17 17

Rispetto alla classifica precedente, emergono sostanziali differenze. In particolare la Russia conquista il 3° posto a scapito della Gran Bretagna che scende al 4°. Il Giappone salta dall’11° posto al 6° e l’Australia dal 10° al 7°. La Corea del Sud scende dal 5° posto al 9° e l’Italia dall’8° al 10°. Dalle prime sedici posizioni escono il Kazakistan, la Nuova Zelanda e Cuba, mentre vi entrano il Canada, la Spagna e il Brasile. 171

Nonostante sia più equilibrata della precedente, anche questa graduatoria presenta alcune contraddizioni, in quanto non evidenzia adeguatamente il valore da attribuire alle diverse di medaglie. Ad esempio, il Canada, che ha conquistato una sola medaglia d’oro, precede nazioni che ne hanno vinte molte di più; in particolare: Kazakistan (7), Nuova Zelanda (6), Cuba (5), Spagna (3) e Brasile (3). Altri esperti, quindi, hanno proposto di stilare una classifica più equilibrata, assegnando 3 punti a ogni medaglia d’oro, 2 a ognuna d’argento e 1 a ognuna di bronzo. Se si adotta questo criterio, la classifica cambia nel seguente modo. Posto

Nazione

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16°

Usa Cina Russia Gran Bretagna Germania Francia Giappone Australia Corea del Sud Italia Olanda Ungheria Ucraina Spagna Kazakistan Brasile

Medaglie oro 46 38 24 29 11 11 7 7 13 8 6 8 6 3 7 3 172

argento 29 27 26 17 19 11 14 16 8 9 6 4 5 10 1 5

bronzo

Punti

29 23 32 19

225 191 156 140

14 12 17 12 7 11 8 5 9 4 5 9

85 67 66 65

62 53 38 37 37 33 28 28

Come si può notare, rispetto alla classifica precedente le prime cinque posizioni sono rimaste immutate, e l’Italia rimane al 10° posto. La Francia sale di due posti, mentre ne perdono uno Giappone e Australia. Dalle prime sedici posizioni esce il Canada e vi rientra il Kazakistan. Sono stati proposti altri criteri per impostare nel modo più equo possibile le classifiche delle Olimpiadi. C’è chi suggerisce di dare un peso diverso ai vari sport, in base alla loro popolarità, e chi di prendere in considerazione anche i piazzamenti successivi al terzo… Ma quanto esposto finora ci sembra sufficiente per ribadire che, in determinate situazioni, si può davvero affermare: «Tante teste, tanti pareri». 2.11 Tra il dire e il fare c’è di mezzo il mare C’è molta differenza tra affermare semplicemente propositi e intenzioni e metterli in pratica. Nessuno, però, può insegnare ad altri l’arte di risolvere i problemi. L’unico modo per riuscirci è affrontarli concretamente, abituandosi a collegare i propri neuroni con nuove sinapsi. E nuove sinapsi si creano solo grazie a uno sforzo attivo di pensiero, e non quando si memorizzano informazioni elaborate da altri. In altri termini, una cosa è possedere conoscenze, altro è organizzare conoscenze. Per risolvere problemi, occorre imparare a organizzare le proprie conoscenze. Certo, la letteratura scientifica è piena di autori che suggeriscono metodi, ossia cosa è necessario fare per risolvere i problemi. La questione, però, non è cosa fare, ma come fare. Uno dei testi considerati un fondamento del pensiero moderno è il Discorso sul metodo di Cartesio, pubblicato nel 1637. Riportiamo le sue quattro regole fondamentali. 173

La prima era di non accogliere mai nulla per vero che non conoscessi tale con evidenza: di evitare, cioè, accuratamente la precipitazione e la prevenzione; e di non comprendere nei miei giudizi nulla più di quello che si presentava così chiaramente e distintamente alla mia intelligenza da escludere ogni possibilità di dubbio. La seconda era di dividere ogni problema preso a studiare in tante parti minori, quante fosse possibile e necessario per meglio risolverlo. La terza, di condurre con ordine i miei pensieri cominciando dagli oggetti più semplici e più facili a conoscere, per salire a poco a poco, come per gradi, sino alla conoscenza dei più complessi; e supponendo un ordine anche tra quelli di cui gli uni non precedono naturalmente gli altri. In fine, di far dovunque enumerazioni così complete e revisioni così generali da essere sicuro di non aver omesso nulla. È giustificabile una certa perplessità. In effetti questo tipo di suggerimenti ricorda l’esortazione rivolta dall’eroe cinematografico di turno alla folla tumultuosa, che si accalca terrorizzata verso le uscite di un edificio in fiamme (o colpito da qualunque altra sciagura, a vostro piacere): «Mantenete la calma!». Il risultato più probabile è farla perdere anche a chi, grazie al suo sangue freddo, non era ancora stato colto dal panico… La persona, giustamente angosciata, che si trovasse in un simile frangente preferirebbe certamente sentirsi dire qualsiasi altra cosa: «Respirate lentamente, cantate l’inno nazionale, contate fino a 20, recitate i nomi dei sette nani…». Qualsiasi cosa sarebbe preferibile al sentirsi invitare a raggiungere uno stato emotivo, tanto mai auspicabile, quanto difficilmente conseguibile, nella tensione del momento: cosa fare è chiaro, come farlo è il problema… Siamo ormai così profondamente abituati a questo ge174

nere di suggerimenti che neppure facciamo più caso all’assurdità di consigliare allo studente, qualche giorno prima degli esami, di prepararsi principalmente su ciò che gli verrà chiesto, o al vacanziere, che si accinge a partire per la villeggiatura, di mettersi in viaggio quando c’è meno traffico. Non perché siano sbagliati, ma perché sono ovvi e, quindi, inutili… Gli esempi al riguardo potrebbero essere innumerevoli, ma ci limitiamo a citare il seguente brano, tratto da un testo di informatica. Il punto di partenza è la definizione del problema. In base alle conoscenze possedute si definisce il metodo da seguire per risolvere il problema. Una volta scelto il metodo, si descrivono le operazioni che devono essere eseguite per realizzare il metodo scelto. Si ottiene poi una prima scomposizione del problema scomponendo il problema in sottoproblemi e scegliendo per ciascuno di essi il metodo di soluzione. Criticare un testo del genere, abbandonandosi anche a qualche punta di sarcasmo, è facile; proporre un’alternativa più utile è sicuramente meno semplice. Ma è ciò che proveremo a fare… «Eureka!», esclamò Archimede, non appena ebbe la consapevolezza di aver scoperto il principio fondamentale della fluidodinamica (ogni corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l’alto pari al peso dell’acqua spostata). In riferimento a quell’episodio, con il termine «euristica», si denomina lo studio dei metodi e delle tecniche della ricerca scientifica in relazione alla scoperta di nuovi dati e verità. L’euristica, però, non è una scienza codificabile come la Matematica, la Fisica, la Logica. Non esistono formule per affrontare un problema, così come esiste la formula per la risoluzione di un’equazione di secondo grado. Occorre edu175

care la mente e, come un adeguato allenamento rafforza i muscoli del corpo, così un analogo allenamento dei circuiti cerebrali rafforzerà le capacità di pensiero originale, l’unico in grado di risolvere un problema. Generalmente, forse esclusivamente, si pubblicano, si diffondono, si insegnano i risultati conclusivi di una ricerca, eventualmente comprovando, con metodi formali, la loro validità e verità anche se, spesso, si ricorre alla formulazione più apprezzata dagli studenti di ogni ordine e grado («Si tralascia la dimostrazione»…). Ma il metodo usato per dimostrare la verità di un risultato non è mai il metodo che è stato utilizzato per trovarlo. Ad esempio, nota la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado, è abbastanza facile, con qualche passaggio algebrico, giustificarne la validità; ma come è stata ottenuta quella formula, tra l’altro non semplicissima né immediata, è una questione completamente diversa. Si impara ad affrontare i problemi solo ripercorrendo il medesimo tragitto mentale di chi li ha risolti. Che cosa passava per la testa di Newton quando la caduta della mela suscitò in lui, come narra l’aneddoto (probabilmente falso come tutti gli aneddoti del genere), l’idea della gravitazione universale? Non lo sapremo mai e, quindi, dobbiamo limitarci a ricorrere all’abusata metafora della lampadina che improvvisamente si accende nella testa del genio. L’unico esempio di descrizione di un processo creativo non è opera di uno scienziato, ma di un letterato. Edgar Allan Poe, infatti, scrisse un breve saggio nel quale espose la genesi del suo poemetto Il corvo (1845), raccontando come la poesia si fosse lentamente formata nella sua mente, evidenziando i processi mentali, le associazioni, i dubbi, le scelte, con le relative motivazioni, in un’affascinante narrazione dello stato di una mente impegnata in un processo creativo. 176

Proviamo a definire la nozione di «problema». Cercando la risposta su un buon dizionario, possiamo leggere: –– problema: questione complicata da affrontare e risolvere; –– questione: problema, quesito; –– quesito: interrogativo, problema. Il problema di stabilire cosa sia un problema porta alla conclusione tautologica: un problema è un problema complicato da affrontare e risolvere… Piuttosto, quindi, di cercare inutilmente di definire che cos’è un problema, cerchiamo di vedere che cos’è problema, ricorrendo a un elenco brevissimo, a titolo puramente esemplificativo. • Scorporare l’IVA da un determinato importo. • Appendere un quadro alla parete. • Dividere una torta in 7 parti uguali. • Suddividere le spese di una gita. • Valutare se conviene giocare al Totocalcio. • Stabilire se le potenziali parole di una lingua sono finite o infinite. • Determinare tra quanti anni sarà necessario adottare un nuovo sistema di targhe automobilistiche. • Costruire una quadrato magico di ordine quattro. • Determinare il rapporto tra la superficie occupata dalle automobili in circolazione e quella delle strade del comune di Roma. • Compilare l’orario scolastico. In assoluto, un problema non è per propria natura matematico, logico, linguistico, e così via. Casomai lo sono gli strumenti culturali e gli schemi risolutivi atti a risol­ verlo. Ma, se si possiedono gli schemi risolutivi adatti a risolvere un problema, questo non è più un problema… Chiariamo questo paradosso con un esempio. 177

Un mattone pesa 1 kg più mezzo mattone. Quanto pesa il mattone? È un enigma molto noto, per cui qualcuno ricorderà sicuramente la soluzione. Per questo qualcuno, quindi, non si tratta di un problema… Per chi conosce lo schema risolutivo di un’equazione di primo grado, la risposta al quesito è immediata. Basta porre il peso del mattone uguale a X e scrivere: 1 X = 1+ ⎯ X 2 Risolvendo l’equazione, si determina che 1 ⎯X=1 2 X=2 concludendo che il peso del mattone è di 2 kg. Le equazioni di primo grado si studiano generalmente all’inizio del biennio delle scuole medie superiori, a volte in terza media. Ciò significa che un alunno di seconda media non sarebbe in grado di determinare il peso del mattone, dovendo attendere almeno un anno? Naturalmente no; solamente per lui, e solo per lui, questo sarebbe un problema. Potrebbe ragionare in questo modo, introducendo un’immaginaria bilancia a due piatti.

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Si pone su un piatto un mattone, sull’altro mezzo mattone e un peso da 1 kg. L’enunciato del problema afferma che i due piatti sono in equilibrio. Rimarranno in equilibrio anche se, dividendo in due il mattone sul piatto di sinistra, si toglie da entrambi i piatti mezzo mattone. Se mezzo mattone e il peso da 1 kg sono in equilibrio, evidentemente il mattone pesa 2 kg. A questo punto, se chiedessimo: «Una bottiglia contiene 1 litro più mezza bottiglia. Quanto liquido contiene la bottiglia?», oppure: «Un litro di latte costa 0,75 euro più mezzo litro di latte. Quanto costa un litro di latte?», il ragazzo di prima non si troverà di fronte a un problema, ma a un’applicazione dello schema risolutivo precedente. 2.12 Un errore ne porta cento Mai come in Matematica, è raccomandabile prestare estrema attenzione alle azioni da compiere, in quanto anche la minima svista può avere conseguenze considerevoli. A volte, però, in maniera piuttosto fortunosa, gli errori finiscono per compensarsi, risultando ininfluenti. Ad esempio, l’uguaglianza: 2×2 = 4, continua a essere valida anche se il segno «×» viene distrattamente sostituito con un «+»; infatti: 2+2 = 4. Un’operazione del genere può essere addirittura effettuata due volte, in un caso come: 1×2×3 = 6, ottenendo: 1+2+3 = 6. 179

In questo campo, l’irrilevanza di un errore casuale può verificarsi anche se, invece di un cambio, viene effettuato inavvertitamente lo spostamento di un segno, come indicato negli esempi seguenti: 16×4 = 1×64 = 64 26×5 = 2×65 = 130 83×32 = 8×332 = 2656 1×664 = 166×4 = 664 2×665 = 266×5 = 1330 4×998 = 499×8 = 3992 6×545 = 654×5 = 3270 Inoltre, una potenziale disattenzione può riguardare anche cifre numeriche e non solo i segni matematici. Nei seguenti esempi, in particolare, si può notare come il prodotto tra due numeri di due cifre non cambia se si invertono entrambe le coppie di cifre: 12×42 = 21×24 = 504 12×63 = 21×36 = 756 13×62 = 31×26 = 806 12×84 = 21×48 = 1008 14×82 = 41×28 = 1148 13×93 = 31×39 = 1209 23×64 = 32×46 = 1472 24×63 = 42×36 = 1512 24×84 = 42×48 = 2016 23×96 = 32×69 = 2208 26×93 = 62×39 = 2418 34×86 = 43×68 = 2924 36×84 = 63×48 = 3024 46×96 = 64×69 = 4416 180

I casi esaminati, però, sono talmente rari che vengono considerati delle vere e proprie bizzarrie numeriche. In generale, se gli strumenti matematici non vengono maneggiati con cura, si corre il rischio di ottenere risultati inattendibili. Ad esempio, si può arrivare a dimostrare che ogni numero è uguale al proprio doppio. A tale scopo, prendiamo in considerazione due numeri A e B, entrambi diversi da zero, tali che: A=B e dimostriamo che: A = 2A. Eseguiamo i seguenti passaggi algebrici: –– moltiplichiamo per A entrambi i membri: A2 = AB –– sottraiamo B2 da entrambi i membri: A2–B2 = AB–B2 –– scomponiamo in fattori il primo membro: (A–B)(A+B) = AB–B2 –– mettiamo in evidenza B nel secondo membro: (A–B)(A+B) = B(A–B) –– dividiamo per (A–B) entrambi i membri: A+B = B –– sostituiamo B con A (dato che ha il suo stesso valore): A+A = A –– scriviamo in forma più compatta il primo membro… et voilà: 2A = A Che cosa è successo? I passaggi eseguiti sembrano tutti corretti, eppure il risultato ottenuto è palesemente assurdo. In realtà, un errore l’abbiamo commesso. Siccome abbiamo supposto A = B, allora è anche: A–B = 0; di conseguenza, quando abbiamo diviso entrambi i membri dell’uguaglianza per (A–B), in realtà li abbiamo divisi per 0, compiendo un’operazione non consentita in Matematica. 181

Come se non bastasse, è possibile anche arrivare a dimostrare che ogni numero A è uguale a un qualsiasi altro numero B… A tale scopo, prendiamo in considerazione due numeri A e B, entrambi diversi da zero, tali che: A≠B e dimostriamo che, in realtà: A = B. Eseguiamo i passaggi algebrici qui di seguito riportati: –– indichiamo con M la media aritmetica tra i due numeri: (A+B)/2 = M –– moltiplichiamo per 2 entrambi i membri: A+B = 2M –– moltiplichiamo per (A–B) entrambi i membri: (A+B)(A–B) = 2M(A–B) (siccome: A–B ≠ 0, questa operazione è consentita) –– svolgiamo i calcoli: A2–B2 = 2AM–2BM –– aggiungiamo M2 a entrambi i membri: A2–B2+M2 = M2+2AM–2BM –– spostiamo –B2: al secondo membro: A2+M2= B2+M2+2AM–2BM –– spostiamo 2AM al primo membro: A2+M2 –2AM = B2+M2–2BM –– applichiamo la regola del quadrato di un binomio: (A–M)2 = (B–M)2 –– estraiamo la radice quadrata da entrambi i membri: A–M = B–M –– eliminiamo il termine –M, da entrambi i membri… et voilà: A = B E adesso che cosa è successo? Anche questa volta, i passaggi eseguiti sembrano tutti corretti, eppure il risultato ottenuto è palesemente assurdo… 182

L’errore (insidioso…) che abbiamo commesso deriva dal non rispetto delle regole di estrazione della radice quadrata, all’interno di un’equazione algebrica. Infatti, in una situazione del genere, il risultato è sempre costituito da due valori di segno opposto (e non da uno solo, positivo). Ad esempio, per calcolare la radice quadrata algebrica di 9, dobbiamo individuare i numeri il cui quadrato è uguale a 9. Quindi, non possiamo considerare solo: 3 (in quanto: 3×3 = 9), ma anche: –3 (in quanto, anche: (–3)×(–3) = 9). Nel nostro caso, siccome M è uguale alla media di A e B, i valori (A–M) e (B–M) non possono essere entrambi positivi (uno dei due, necessariamente, deve essere negativo). Per cui, all’ultimo passaggio non avremmo dovuto scrivere, erroneamente: A–M = B–M , ma: A–M = –(B–M). Tra l’altro, da tale espressione, possiamo ricavare: A+B = 2M; (A+B)/2 = M. In pratica, in questo modo, otteniamo la conferma che M è uguale alla media di A e B; come avevamo imposto all’inizio... In definitiva, un errore può anche non portarne altri cento. Ma può causarne un altro, che… vale per cento.

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3. Una parola tira l’altra

Come dovrebbe essere noto a tutti, la relazione matematica di uguaglianza gode della cosiddetta proprietà transitiva. Più precisamente: se A = B e B = C, allora anche: A = C La sinonimia linguistica (ovvero il legame esistente tra due parole che possiedono un significato simile) può essere considerata, sotto certi aspetti, analoga all’uguaglianza matematica. Non è difficile verificare, però, come questo tipo di relazione non rispetti sempre la proprietà transitiva. Tanto per fare un esempio: esempio è un sinonimo di campione, campione è un sinonimo di asso, ma esempio non è un sinonimo di asso (non avremmo potuto iniziare questo periodo, scrivendo: tanto per fare un asso…). Questo è uno dei principali motivi, per cui, quando si parla molto a lungo, si rischia di finire col divagare rispetto al tema iniziale. A livello schematico, si può verificare che è possibile collegare due parole di significato diverso attraverso una catena di termini sinonimi. 185

Ad esempio, si può passare da problema a soluzione nel modo seguente: problema – grattacapo – pensiero – intenzione – deliberazione – risoluzione – soluzione Paradossalmente, si possono collegare, con pochi passaggi, anche termini di significato opposto, come nei seguenti esempi: • guadagno – resa – caduta – perdita • innalzarsi – librarsi – volare – precipitare • piacere – desiderio – passione – sofferenza Proseguendo su tale linea, si può verificare come esistano coppie di termini contrari che possono essere collegati addirittura mediante un solo passaggio intermedio, come nei seguenti esempi: • anfitrione – ospite – invitato • cercare – cacciare – respingere • cordiale – caloroso – irritante • energico – fermo – inattivo • sporcizia – mondezza – pulizia • infinito – sterminato – annientato • irreprensibile – corretto – rimproverato • sviluppato – avanzato – tardivo • totalmente – affatto – per niente In questi casi particolari, ogni termine di congiunzione presenta la caratteristica sorprendente di essere insieme sinonimo e contrario di se stesso! Il ricorso a simili vocaboli schizofrenici, nell’ambito di una conversazione, può rivelarsi estremamente insidioso, essendo sempre in agguato il rischio di far capire esattamente l’opposto di ciò che si intendeva dire. Ad esempio, a una domanda del tipo: «Amore, mi vuoi bene?», chi avrebbe il coraggio di rispondere: «Affatto!», senza temere di provocare una crisi sentimentale? 186

Abbiamo così implicitamente dimostrato come, divagando divagando, sia possibile arrivare ad affrontare questioni piuttosto generiche (come i problemi sentimentali…) partendo da un concetto matematico specifico (la proprietà transitiva dell’uguaglianza). In questo capitolo analizzeremo alcuni proverbi, il cui enunciato consente di arrivare ad affrontare dei concetti matematici specifici, partendo da affermazioni piuttosto generiche. 3.1 Amore non si trova al mercato In assoluto, il vero amore non può essere oggetto di trattative commerciali; non si può vendere o comprare… Ci sono varie forme d’amore; in particolare, esiste anche quello per la Matematica, anche se è un sentimento estremamente raro, non solo tra gli studenti, ma tra la popolazione in assoluto… Non è naturalmente il caso, in questo contesto, di cercare di analizzare i motivi per cui questa disciplina, che ai suoi cultori appare così fantasiosa, elegante, misteriosa, eccitante, a volte sorprendente, sia viceversa percepita come fredda, arida, noiosa, meccanica da chi non riesce a penetrarne lo spirito. Accade, pazienza… Piuttosto, vorremmo osservare che, seppur poco nota, rispetto alle varie matematiche, esiste una particolare applicazione della disciplina alla quale potremmo dare il nome di matematica per l’amore. Ne parleremo con l’intento di fornire, soprattutto ai giovani, strumenti e metodi per affrontare questo sentimento universale, analizzandone alcuni aspetti e confidando che i nostri suggerimenti possano rivelarsi utili per governare i tumulti del cuore che colpiscono, inaspettati, come una pericolosa malattia, chi ne è travolto. 187

Dai bigliettini dei Baci Perugina ai versi dei massimi poeti, nessun aspetto della vita umana è stato maggiormente affrontato e descritto. Se non esistesse l’amore, probabilmente, non sarebbe mai stato realizzato il 90% delle opere letterarie e cinematografiche (e riteniamo si tratti di una stima per difetto). Di conseguenza, è estremamente difficile trovare una definizione del concetto di amore, che possa essere accettata universalmente (per quanto ci riguarda, non ci proviamo neanche…). Però, potrà essere utile ricordare che, secondo Seneca: «L’amore è una folle amicizia, desiderio di bellezza, speranza di scambievole affetto». Ogni storia d’amore è, in genere, preceduta da un iniziale periodo di incertezza, durante il quale non è ancora chiaro se alcuni atteggiamenti assunti dalla persona amata denuncino effettivamente una corrispondenza d’amorosi sensi, oppure siano semplici coincidenze dovute al caso. Questa fase raggiunge il momento cruciale all’atto della dichiarazione, ovvero, della rivelazione dei propri sentimenti alla persona amata. Per decidersi a compiere un simile passo, però, considerando quanto possa essere bruciante e doloroso un rifiuto (anche se gentile…), e quanto un errore di valutazione dei tempi possa risultare controproducente, è opportuno avere a disposizione, se non la certezza assoluta, almeno una buona probabilità che i propri sentimenti siano corrisposti. E a tale scopo la Matematica può risultare d’aiuto. Per dimostrarlo, esaminiamo un esempio concreto. Dal momento che le dinamiche amorose sono indipendenti dal sesso delle persone coinvolte e anche dalle loro specifiche inclinazioni, chiameremo Andrea e Celeste i due adolescenti protagonisti della vicenda che andremo ad analizzare, lasciando nell’ambiguità i loro sessi (dato che i nomi 188

«Andrea» e «Celeste» possono essere, notoriamente, sia maschili che femminili). Andrea, a cui piace Celeste, ha notato che, le ultime due volte in cui si trovavano in pizzeria insieme ad altri amici, i loro posti nell’allegra tavolata sono capitati vicini. Andrea si chiede se ciò debba imputarsi al caso, oppure se Celeste abbia intenzionalmente scelto dove sedersi, in quanto prova, nei suoi confronti, una certa attrazione. Tuttavia, non ha il coraggio di dichiararsi. Per sciogliere il dilemma, cerchiamo di analizzare la situazione in termini probabilistici. Come è intuitivo pensare, più è bassa la probabilità che due determinate persone occupino per puro caso due posti vicini, più è alta la probabilità che una tale circostanza sia stata determinata dalla volontà di una delle due. Ai fini di un calcolo più preciso, ricordiamo che la probabilità di un evento è uguale, in assoluto, al numero di casi favorevoli all’evento, diviso il numero di tutti i casi possibili. Per prima cosa, quindi, determiniamo il numero di tutti i casi possibili, ovvero in quanti diversi modi un certo numero di persone può sedersi attorno a un tavolo. Supponiamo che il gruppo di amici di cui fanno parte Andrea e Celeste sia composto da 6 elementi. Per comodità, numeriamo da 1 a 6 i posti intorno al tavolo. Dopo di che, effettuiamo le considerazioni riportate nel seguente schema.

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• Il posto n. 1 può essere occupato da una qualsiasi delle 6 persone (quindi, in 6 modi diversi). • Seduta la prima, restano in piedi 5 persone, ciascuna delle quali può occupare il posto n. 2. Quindi, i primi 2 posti possono essere occupati in 6×5 = 30 modi diversi. • Il posto n. 3 può essere occupato da 4 persone e, quindi, i primi 3 posti possono essere occupati in 30×4 = 120 modi diversi. • Il posto n. 4 può essere occupato da 3 persone e, quindi, i primi 4 posti possono essere occupati in 120×3 = 360 modi diversi. • Il posto n. 5 può essere occupato da 2 persone e, quindi, i primi 5 posti possono essere occupati in 360×2 = 720 modi diversi. • A questo punto resta una sola persona per il posto n. 6.

In definitiva, possiamo desumere che la quantità di modi diversi in cui 6 persone possono disporsi intorno a un tavolo è uguale a: 6×5×4×3×2×1 = 720. Una tale espressione può essere sintetizzata con la notazione: 6! Infatti, nel calcolo combinatorio, il simbolo «!», posto dopo un numero intero, indica il prodotto, detto fattoriale, di tutti i numeri interi da 1 fino a quello dato; ovvero, in generale: N! = N×(N–1)×(N–2)× … ×3×2×1 190

Questo valore, che indica la quantità di modi diversi in cui possono essere disposti N oggetti distinti, viene definito numero di permutazioni di N. Per determinare il numero di casi favorevoli all’evento, dobbiamo considerare che Andrea e Celeste possono sedersi in due posti vicini in 12 modi diversi. Infatti, in corrispondenza di ciascuno dei 6 posti dove può stare Andrea, Celeste può mettersi indifferentemente in quello situato immediatamente alla sua destra o alla sua sinistra. In relazione a ciascuna di queste 12 coppie di posti che possono essere occupati da Andrea e Celeste, le altre 4 persone possono sistemarsi in: 4! = 4×3×2×1 = 24 modi diversi. Ciò vuol dire che il numero di tutte le situazioni in cui Andrea e Celeste si trovano in due posti vicini è uguale a: 12×24 = 288. Di conseguenza, la probabilità che Andrea e Celeste possano occupare due posti vicini è uguale a: 288/720 = 2/5 = 40% Si tratta di un valore relativamente alto per poter attribuire al caso l’evento. Però dobbiamo considerare che una tale coincidenza si è verificata due volte, non una sola. Quindi possiamo notare che la probabilità relativa alla combinazione dei due eventi è sensibilmente più bassa, essendo uguale a: (2/5)×(2/5) = 4/25 = 16% La Matematica fornisce elementi di valutazione, ma non la risposta esatta. Spetterà ad Andrea decidere se la probabilità così determinata è sufficientemente bassa da giustificare l’ipotesi che Celeste provi qualcosa nei suoi confronti. Al suo posto, aspetteremmo una terza uscita in pizzeria: se Celeste si sedesse ancora in un posto accanto al suo, la probabilità di queste tre coincidenze sarebbe ancora più bassa, essendo data da: 191

(2/5)×(2/5)×(2/5)= 8/125 = 64/1000 = 6,4% Ma che cosa succederebbe se la comitiva fosse formata da un numero di persone diverso da 6? Si tratterebbe solo di ripetere il ragionamento precedente, applicandolo a un generico numero di persone, che potremmo indicare con N. In questo caso, ci sarebbero 2N coppie diverse di posti contigui dove Andrea e Celeste potrebbero accomodarsi. In relazione a ciascuna di queste, il numero di modi diversi con i quali gli altri N–2 amici potrebbero occupare i posti rimanenti sarebbe dato da: (N–2)! = (N–2)×(N–3)×… ×3×2×1 Di conseguenza, la probabilità che Andrea e Celeste si trovassero in due posti vicini sarebbe data da: 2 N (N–2)! P = ⎯⎯⎯⎯⎯ N! La formula così ottenuta può essere semplificata, osservando che si può scrivere: ……….. N! = N×(N–1)×(N–2)! Quindi, sostituendo questa espressione nella formula precedente, otteniamo: 2 N (N–2)! 2 N (N–2)! 2 P = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ N! N×(N–1)×(N–2)! (N–1) 192

In pratica, possiamo porre semplicemente: P = 2/(N–1) Questo ci permette subito, qualunque sia il numero dei componenti la comitiva, di sapere qual è la probabilità che Celeste si sieda casualmente accanto ad Andrea. Ad esempio: N = 6  P = 2/5 = 40% (confermando il risultato del calcolo diretto) N = 9  P = 2/8 = 1/4 = 25% N = 21  P = 2/20 = 1/10 = 10% e così via. La probabilità globale diventa, ovviamente, sempre più bassa quanto maggiore è il numero di volte consecutive in cui Celeste si siede accanto ad Andrea. Per determinare esattamente questo valore, dobbiamo solo moltiplicare tra loro le probabilità relative alle singole uscite, tenendo conto del numero di amici che, di volta in volta, vi ha preso parte. In definitiva, se l’amore non si trova al mercato, forse lo si può cercare in pizzeria… 3.2 Bacco, Tabacco e Venere riducono l’uomo in cenere Quando si ammonisce un gaudente impenitente, ricordandogli che: «Bacco e Tabacco e Venere riducono l’uomo in cenere», si vuole intendere che anche uno solo dei tre vizi (alcol, fumo e sesso) può causare nefasti effetti. A maggior ragione, quindi, la presenza contemporanea di due, o addirittura di tutte e tre le inclinazioni, risulta estremamente dannosa. Un astemio fumatore libertino potrebbe, però, come linea di difesa, far presente che il proverbio: «Chi va piano, va sano e va lontano», garantisce a chi agisce con prudenza, 193

sia la garanzia della propria incolumità, sia un lungo cammino. Quindi, per analogia, sentirsi autorizzato a continuare a coltivare con tranquillità le altre due gradevoli abitudini, astenendosi dal bere, senza rischio di essere ridotto in cenere… L’astemio fumatore libertino ha ragione, oppure si tratta di un caso in cui: «L’eloquenza del tristo è falso acume»? Che cosa cambierebbe se, in entrambi i proverbi, si sostituisse la congiunzione coordinativa «e» con la congiunzione disgiuntiva «o»? Per rispondere a queste domande, è necessario procedere con gradualità. «Con la pazienza si acquista scienza», avverte un altro proverbio. A volte (anzi, spesso), capita che, dietro questioni apparentemente semplici, si nascondano implicazioni che sfuggono a un esame superficiale. Nel linguaggio corrente, l’uso delle congiunzioni «e» e «o» è così frequente che è difficile scrivere o parlare senza ricorrervi. Non a caso, nel periodo precedente erano presenti entrambe… Anche nei proverbi, naturalmente, si trovano in abbondanza, come vedremo nei prossimi esempi.

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Mogli e buoi dei paesi tuoi. Chi vince prima perde il sacco e la farina. Fatti la fama e dormi. L’uomo propone e Dio dispone. Tra moglie e marito non mettere il dito. Ama chi t’ama e rispondi a chi ti chiama. Salvare capra e cavoli. Chi va piano va sano e va lontano. Tra la briglia e lo sprone consiste la ragione. Tra il dire e il fare c’è di mezzo il mare.

Chi è misero o mendico, provi tutti e poi l’amico. Uomo peloso, o matto o virtuoso. Sassi o pani, bisogna aver qualcosa in man pei cani. Giovane invidiato, o virtuoso o innamorato. Gente di confini o ladri o assassini. Il carbone o scotta o tinge. Mercante litigioso, o fallito o pidocchioso. A questo mondo bisogna o adattarsi, o arrabbiarsi, o disperarsi. O Cesare, o niente. O barattiere, o cavaliere.

Da un punto di vista puramente grammaticale entrambe le congiunzioni uniscono, coordinandole, proposizioni o parole. Tuttavia, queste congiunzioni, in modo più o meno evidente, quando non abbiano esclusivamente valore grammaticale, mettono in relazione tra loro due o più termini, con significato profondamente diverso. Ogni termine possiede una propria intensione (l’insieme delle proprietà che lo definiscono) e una propria estensione (l’insieme degli elementi che cadono nella sua sfera di influenza). La congiunzione «e» evidenzia l’operazione mentale di pensare a un altro termine, che goda contemporaneamente della proprietà dei termini coinvolti e la cui estensione comprenda gli elementi del campo di indagine che ricadono sotto l’estensione di entrambi; ovvero, che sono l’uno «e» l’altro contemporaneamente. Nel seguito, quando vorremo dare risalto a questo particolare aspetto, scriveremo E. 195

L’operazione mentale in questione viene solitamente definita intersezione o congiunzione logica. Ad esempio, il proverbio: «Esempi E benefìci fanno gli amici», sostiene che per un’amicizia sono necessari, contemporaneamente, sia buoni esempi che disponibilità a fornire l’aiuto necessario nel momento del bisogno. Possiamo non condividere pienamente il proverbio: «Salute E vecchiezza creano bellezza», ma il suo significato logico è: BELLEZZA = SALUTE E VECCHIEZZA In geometria, tra i quadrilateri, esistono i rettangoli, che hanno «tutti gli angoli uguali», e i rombi, che hanno «tutti i lati uguali». Un quadrilatero che goda di entrambe le proprietà, che abbia, quindi, contemporaneamente «tutti gli angoli uguali E tutti i lati uguali», è il quadrato. Possiamo porre, quindi: QUADRATO = RETTANGOLO E ROMBO Non sempre (anzi, quasi mai…), riusciamo a trovare un termine che descriva in maniera appropriata la situazione generata, come nel caso del quadrato. Infatti, ad esempio, possiamo sicuramente pensare ad animali che siano «mammiferi E quadrupedi», a persone che siano «belle E intelligenti», a un cibo che sia «gustoso E nutriente», a un numero che sia «pari E divisibile per 7»; e così via. Non esistono, però, parole che definiscano questi particolari abbinamenti. Ci spiace particolarmente l’assenza di una singola parola per definire un libro «comprensibile E istruttivo», l’avremmo usata volentieri nella nostra quarta di copertina… D’altra parte, un’impresa del genere sarebbe materialmente impossibile. Anche limitando ad appena 10 000 le parole di base, per indicare con un unico vocabolo tutte le 196

possibili congiunzioni logiche ottenibili, sarebbero necessari quasi 50 milioni di vocaboli; per l’esattezza: 49 995 000. E, volendo ripetere l’operazione anche solo un’altra volta, si arriverebbe a più di un milione di miliardi di vocaboli necessari; per l’esattezza: 1 250 249 987 497 500 . L’operazione di congiunzione logica può sempre avvenire unendo con E due termini o concetti qualsiasi. Certo, può anche capitare che il termine così costruito sia vuoto, in quanto nessun oggetto sia comune all’estensione dei due termini. Nessun cavallo è bipede, quindi: «cavallo E bipede» = Ø (l’insieme vuoto, al quale non appartiene alcun elemento). Non è sempre immediato individuare i concetti coinvolti in una congiunzione logica in presenza di un «e» grammaticale nella frase. Il proverbio «Salvare capra e cavoli», interpretato letteralmente, significherebbe: «Salvare X», con X = «capra E cavoli». Ma siccome nessuna capra è un cavolo e, viceversa, nessun cavolo è una capra, abbiamo che: «capra E cavoli» = Ø; il proverbio, quindi, esorterebbe a salvare il nulla… In realtà, il proverbio va riletto e inteso come: «Salvare la capra E salvare i cavoli». La congiunzione «o» corrisponde all’operazione mentale di pensare a un altro termine che goda delle proprietà dell’uno, dell’altro, o eventualmente anche di entrambi, e la cui estensione comprenda gli elementi del campo di indagine che ricadono sotto l’estensione di almeno uno dei termini; ovvero, che sono l’uno «o» l’altro. Nel seguito, quando vorremo mettere in evidenza questo aspetto, scriveremo O. L’operazione mentale in questione viene solitamente definita unione, o disgiunzione logica. 197

Ad esempio, dovrebbe essere abbastanza chiaro il significato del proverbio: «Giovane invidiato, o virtuoso O innamorato»; d’altra parte un giovane che sia virtuoso E innamorato» sarà invidiato ugualmente, a maggior ragione. INVIDIATO = VIRTUOSO O INNAMORATO Allo stesso modo, chi ha coniato il proverbio: «Gente di confini: o ladri O assassini» (dal quale è doverosa una ferma dissociazione, per il tono apertamente xenofobo), non intendeva certamente escludere dalla sua invettiva colui che si macchiasse di entrambi i delitti, risultando cioè: «ladro E assassino». Anche a un nuovo termine, costruito con una disgiunzione logica, quasi mai si riesce ad attribuire un nome adeguato, a parte qualche caso particolarmente fortunato. D’altra parte, è anche vero che l’uso linguistico corrente di «o» mostra qualche ambiguità. In latino vel significa l’una o l’altra delle alternative, eventualmente entrambe, aut esclude tale eventualità. In italiano questa differenza è venuta meno, affidandosi al contesto, anche se si tende forse a usare «o» per lo più con significato esclusivo: «O mangi la minestra o salti dalla finestra». Infatti, nelle ricerche di personale, si usa la formula «Laurea in Matematica e/o in Ingegneria», per evitare che il giovane brillante con entrambi i titoli di studio si debba sentire escluso dalla selezione. Però, quando il cameriere alla fine del pranzo chiede al cliente: «Frutta o dolce?», sicuramente non si rifiuterà di servirle eventualmente entrambe. I due significati convivono; ma quando si parla di unione o disgiunzione logica, si intende chiaramente O nel senso latino di vel, ammettendo, quindi, anche gli oggetti in comune ai due termini coinvolti. Volendo escludere dal nuovo termine gli oggetti in comune, si deve considerare un’operazione logica diversa 198

dall’O, che possiamo indicare con AUT e che pure assume, in alcuni ambiti, una certa rilevanza. È molto usata nell’algebra dei calcolatori per effettuare le somme ed è una delle due operazioni logiche, insieme a E, poste da George Boole alla base del suo tentativo di rendere algebrica la logica, oltre che nel proverbio: «O sassi o pani, bisogna aver qualcosa in man pei cani» (proverbio metaforico, sicuramente non apprezzabile dagli animalisti…). Sembra, infatti, che il monito sia di predisporre una difesa contro una minaccia, con le buone (i pani) o con le cattive (i sassi), escludendo il caso banale di potersi dotare di entrambi gli strumenti; una scelta ovvia che non ha bisogno di scomodare la saggezza popolare. Il proverbio, quindi, va letto come: «Bisogna aver in man sassi AUT bisogna aver in man pani, per far fronte ai cani». Va da sé che, qualora nessun elemento appartenga all’intersezione tra i concetti considerati, il risultato delle due operazioni logiche, O e AUT, è lo stesso. È il caso del proverbio: «A questo mondo bisogna o adattarsi, o arrabbiarsi, o disperarsi». Trattandosi di atteggiamenti o stati d’animo (per la precisione, atteggiamenti O stati d’animo) incompatibili tra di loro, è indifferente l’interpretazione con O o con AUT. Siamo ora in grado di rispondere alle domande iniziali sulla natura del proverbio: «Bacco e Tabacco e Venere riducono l’uomo in cenere». In questo, come in altri casi, quali: «La donna e il fuoco e il mare fanno l’uomo perigliare»; oppure «Donna e fuoco toccali poco», nel linguaggio si usa «e», con significato logico di O. Il seguente schema dovrebbe aiutare a chiarire la situazione.

199

La lettura dello schema è molto semplice. In ogni casella la colorazione scura indica l’attuazione dello stato associato alla relativa riga. L’astemio fumatore libertino corrisponde, ad esempio, alla colonna 3: astemio (= NON Bacco), fumatore (= Tabacco), libertino (= Venere). Attribuendo, impropriamente, alla congiunzione «e» del proverbio il significato logico di disgiunzione «E», l’astemio fumatore libertino avrebbe ragione; infatti, il corrispondente spazio nella riga della congiunzione logica è bianco. Ma il proverbio, riformulato in modo logicamente corretto, afferma invece che: «Bacco O Tabacco O Venere riducono l’uomo in cenere»; scatta, quindi, la verità della disgiunzione logica e anche l’astemio fumatore libertino verrà ridotto in cenere. Stando al proverbio, forse un po’ esagerato, l’unico modo per non essere ridotto in cenere, corrispondente allo spazio bianco dell’ultima riga, è astenersi: sia dal bere (NON–Bacco), sia dal fumare (NON–Tabacco), sia dai piaceri erotici (NON–Venere). 200

Quindi: NON (Bacco O Tabacco O Venere) = NON–Bacco E NON–Tabacco E NON–Venere. In maniera speculare, si ottiene, osservando semplicemente lo schema: NON (Bacco E Tabacco E Venere) = NON–Bacco O NON–Tabacco O NON–Venere. Tra le tante questioni logiche, i termini composti sono probabilmente la tematica che più può assumere rilevanza in casi concreti. La scarsa consapevolezza, generalmente diffusa, dei meccanismi precisi che regolano la verità o falsità delle operazioni logiche, soprattutto quando interviene la negazione, può dare origine ad ambiguità, confusione, incomprensione, interpretazioni errate o, viceversa, essere sfruttata a fini non propriamente etici. Le leggi, i regolamenti, le normative sono un coacervo di congiunzioni e disgiunzioni logiche che spesso si intersecano tra di loro, rendendo estremamente ostico giudicare la correttezza formale di una conseguente azione. Il professore di logica, alla drammatica domanda dello studente: «Sarò promosso o bocciato?», saprà resistere alla tentazione di rispondere, alla luce dei principi della disciplina che insegna, semplicemente: «Sì»? Infatti, lo studente sarà, sicuramente, o promosso o bocciato… E l’inquisitore che chiede alla strega (o presunta tale…), se ha smesso di avere commercio carnale con il demonio, considererà la risposta: «Sì», come l’ammissione di precedenti congiungimenti peccaminosi e blasfemi e la risposta «No», come l’intento di voler persistere in un gravissimo peccato mortale? Se al telegiornale apprendiamo che sono stati revocati gli arresti domiciliari a un indiziato di reato, vuol dire che egli potrà liberamente uscire da casa o che, viceversa, dovrà consegnarsi alle forze dell’ordine, per essere tradotto in carcere? 201

Alla base di questi e di altri equivoci simili sta il fatto che la negazione di una condizione composta non coincide con la negazione di entrambe le condizioni che la compongono, come si sarebbe portati a pensare. Chiariamo la situazione con una tabella.

Il caso 1 corrisponde alla detenzione in carcere. Il caso 2 corrisponde agli arresti domiciliari. Il caso 3 corrisponde a una persona che, pur non arrestata, è costretta a stare a casa per altri motivi (invalidità, malattia, scelta personale, ecc.). Il caso 4 corrisponde a una persona non arrestata e libera di uscire di casa quando vuole (il caso più frequente). Revocare gli arresti domiciliari significa escludere il caso 2 e lasciare possibili tutti gli altri. NON (Arresto E Domicilio) = NON Arresto O NON Domicilio In ogni caso, sarebbe sempre meglio subire gli arresti domiciliari, che venire… ridotti in cenere!

202

3.3 Chi fa da sé fa per tre Vi proponiamo un semplice test per consentirvi di saggiare la vostra preparazione in paremiologia, la scienza che studia i proverbi. Potete trarre un’utile indicazione già nel titolo del paragrafo. Un altro indizio è offerto dal numero dei quesiti posti… Cercate di rispondere alle domande seguenti, facendo riferimento a quanto affermato da alcuni proverbi, più o meno noti. 1. Quanti giorni al massimo dura la meraviglia? 2. Quante cose occorre osservare per conservare un amico? 3. Da quante C bisogna guardarsi? 4. Quante cose ci vogliono nel matrimonio come nella guerra? 5. Quante sono le cose cattive e magre? 6. Quante cose il furfante trova in ogni luogo? 7. Quanti calighi (foschie) fanno una piova (pioggia)? 8. Quante piove fanno una brentana (una piena)? 9. Quanti festini fanno una… (censura)? 10. Quante cose caccian l’uomo di casa? 11. Quante cose non si possono tener nascoste? 12. Quante donne fanno un mercato? 13. Quante sono le cose strapazzate? 14. Quante cose fan l’uomo guadagnare? 15. Quante cose fan l’uomo accorto? 16. Quante pere cotte vale il lavoro fatto di notte? 17. Quante volte batte l’ali il gallo prima di cantare? 18. Chi ara terra bagnata, per quanti anni l’ha dissipata? 19. Quante cose vuole il campo? 20. In quanti giorni puzzano l’ospite e il pesce? 21. Quanti fili fanno uno spago? 22. Quanti furfanti fanno una forca? 203

23. A che ora si cuoce il pane? 24. A che ora si corre il palio? 25. A che ora si dà il cavallo? 26. Da quanti ben dipende la vita dell’uomo? 27. Quante volte viene la fortuna? 28. Quante cose fan l’uomo ricco? 29. Quante persone offende la calunnia? 30. Dopo quante brine arriva l’acqua a mezzine (catinelle)? 31. Quanti giorni dura l’estate di San Martino? 32. Quanti giorni dopo la morte viene il giudizio? 33. Quante cose ci vogliono a Roma? Controllate ora l’esattezza delle vostre risposte, confrontandole con i proverbi che le hanno ispirate. 1. Nessuna meraviglia dura più di tre giorni. 2. Chi vuol conservare un amico osservi tre cose: l’onori in presenza, lo lodi in assenza, l’ajuti né bisogni. 3. Guardati da tre C: cugini, cognati e compari. 4. Nel matrimonio come nella guerra ci vogliono tre cose: denaro, denaro e poi denaro (questa era un po’ a trabocchetto…). 5. Tre cose son cattive e magre, oche, femmine e capre. 6. Il furfante in ogni luogo trova tre cose: osteria, prigione, spedale. 7.–8.–9. Tre calighi fa una piova, tre piove una brentana, tre festini una… (censura). 10. Tre cose caccian l’uomo di casa, il fumo, la casa mal coperta, e la ria femmina. 11. Tre cose non si possono tener nascoste, donne in casa, fusi in sacco e paglia nelle scarpe. 12. Tre donne fanno un mercato (e quattro una fiera). 13. Una giovane in mano a un vecchio, un uccello in mano a un ragazzo, un cavallo in mano a un frate son tre cose strapazzate. 204

14. Tre cose fan l’uomo guadagnare, scienza, corte e mare. 15. Tre cose fan l’uomo accorto, lite, donna e porto. 16. Lavor fatto di notte non val tre pere cotte. 17. Il gallo, prima di cantare, batte l’ali tre volte. 18. Chi ara terra bagnata per tre anni l’ha dissipata. 19. Tre cose vuole il campo, buon lavoratore, buon seme e buon tempo. 20. L’ospite e il pesce in tre giorni puzzano. 21. Tre fili fanno uno spago. 22. Tre furfanti fanno una forca. 23. Alle tre si cuoce il pane. 24. Alle tre si corre il palio. 25. Alle tre si dà il cavallo. 26. La vita dell’uomo dipende da tre ben: intender ben, voler ben, e far ben. 27. La fortuna vien tre volte e non di più. 28. Tre cose fan l’uomo ricco: guadagnare e non ispendere, promettere e non attendere, accattare e non rendere. 29. La calunnia offende tre; chi la dice, a chi la si dice, e di chi la si dice. 30. Dopo tre brine, l’acqua a mezzine. 31. L’estate di San Martino dura tre giorni e un pocolino. 32. Il giudizio viene tre giorni dopo la morte. 33. A Roma ci vogliono tre cose, pane, panni e pazienza. I proverbi, come si nota, fanno un abbondante ricorso al numero «tre». Ma, riesaminando con attenzione l’elenco precedente, solo nel proverbio n. 29 (relativo alla calunnia) la scelta del numero «tre» ci sembra appropriata e senza alternative… Sarà anche vero che il pane debba essere cotto esattamente alle tre (si suppone di notte), che il palio si corra sempre alle tre (probabilmente del pomeriggio), che il gallo batta le 205

ali tre volte prima di cantare… ma non abbiamo le competenze necessarie per mettere in dubbio la saggezza popolare. Anche i proverbi di ambientazione rurale, tipici del vecchio mondo contadino, sulle brine, le mezzine, i calighi, le piove, le brentane, le terre bagnate, San Martino… potrebbero essere stati formulati a seguito di attente osservazioni, magari tramandate per generazioni. Ma che il lavoro fatto di notte non debba valere neanche tre pere cotte, che siano proprio tre i fili che fanno uno spago, che per fare una forca ci sia bisogno esattamente di tre furfanti, che per fare un mercato si debbano riunire precisamente tre donne, e così via, non ci sembra, sinceramente, molto credibile. E, soprattutto, perché: «Chi fa da sé fa per tre»? E non fa, piuttosto, per due o per quattro o per qualsia­ si altro numero intero? Questa esorbitante, quasi maniacale ripetizione del numero «tre» nei proverbi ha evidentemente motivazioni mistiche, rituali, scaramantiche, legate al fatto che il «tre» è considerato, fin dall’antichità, un numero perfetto, anzi, il numero perfetto per antonomasia. I motivi per cui il numero «tre» gode di tale prestigio nella cultura popolare, e non solo, sono molteplici. Pitagora, il famoso matematico greco, gli attribuiva un’aura di perfezione, in quanto corrisponde alla somma dell’unità e della coppia. È, inoltre, l’unico numero che sia uguale alla somma dei due che lo precedono. La religione cristiana si basa sul dogma fondamentale della Santissima Trinità, ovvero sull’unione delle tre persone divine, Padre, Figlio e Spirito Santo, in una sola sostanza. Anche l’evento più importante del Cristianesimo ha un legame con il numero «tre»: Gesù Cristo resuscitò il terzo giorno dopo la morte. Inoltre, furono tre i Re Magi (Melchiorre, Gasparre e Baldassarre) che, nella tradizione cri206

stiana, portarono i loro tre doni (oro, incenso e mirra) al bambino Gesù. In tempi relativamente più recenti, furono tre i pastorelli ai quali sarebbe apparsa più volte la Madonna nel villaggio di Fatima (in Portogallo). E tre furono le profezie che la Madonna avrebbe rivelato loro (i tre segreti di Fatima). Di conseguenza, vi è più di un giustificato motivo, almeno per le popolazioni di cultura cristiana, per considerare «tre» il numero perfetto. Un altro motivo, più scientifico, per giungere alla stessa opinione è che per tre punti passa uno e un solo piano (purché, naturalmente, i tre punti non siano allineati). Ciò può intuirsi facilmente pensando che, un tavolino con tre piedi, non traballerà mai; potrà essere storto quanto si vuole, ma la sua stabilità è garantita. Non è certo per caso che i medium, per dimostrare la loro onestà quando invocano le anime dell’aldilà, ricorrano a tavolini con tre piedi, per contrastare il facile sospetto che siano proprio loro, con impercettibili movimenti, a farli muovere. D’altra parte, tutti i sostegni per apparecchi fotografici e topografici sono composti da tre gambe, in modo da garantire la saldezza del supporto. «Tre» è anche il numero più basso che consente di esprimere una maggioranza, in caso di decisioni da assumere, qualora non vi sia un’unanimità di intenti. Senza contare che, come già visto, «tre» è l’unico numero italiano composto da tante lettere quanto è il proprio valore. In inglese, ciò accade per «four» (4). Ma non solo i proverbi subiscono l’irresistibile fascino del numero «tre». Alle Olimpiadi, vengono premiati con le medaglie i primi tre classificati. Sono tre gli errori ammessi per i saltatori (in alto o con l’asta) e, alla terza ammonizione, un marciatore viene squalificato. Sono tre le prove a disposizione dei lanciatori (disco, peso, martello e giavellotto), più altre tre dette 207

di finale, per coloro che hanno ottenuto la misura più alta. E sono tre i punti che conquista una squadra di calcio quando vince una partita… Questo numero si incontra spesso anche nelle favole. Un esempio per tutti: il mago della lampada offre ad Aladino la possibilità di esaudire tre desideri. Non abbiamo mai capito perché, come terzo desiderio, Aladino non abbia chiesto la possibilità di esaudire tre nuovi desideri… È vero che i nani di Biancaneve sono sette, altro numero in odore di perfezione, ma preferiamo non parlarne: «Non bisogna metter tanta carne al fuoco». In ogni caso, sono tre i porcellini di un celebre cartone animato di Walt Disney (1933) e tre i caballeros di un altro film di successo, prodotto sempre da Walt Disney e diretto da Norman Ferguson (1945). E restando in ambito disneyano, non possiamo tacere che sono tre i nipotini di Paperino (Qui, Quo e Qua). Il «tre» abbonda anche in campo letterario. Dante Alighieri, in particolare, tenne in grande considerazione questo numero e i suoi multipli; infatti: tre sono le cantiche della Divina Commedia (Inferno, Purgatorio e Paradiso), tre le donne maggiormente celebrate (Maria, Lucia e Beatrice), 33 i canti di ciascuna cantica (più uno di introduzione), tre le fiere che gli sbarrano il passo (lonza, leone e lupa), e così via. E lo stesso numero ha ispirato romanzieri di varie epoche e nazionalità (e qualità…). A tale riguardo, è sufficiente citare qualche titolo: L’amore delle tre melarance di Gaspare Gozzi (1761), I tre moschettieri di Alexandre Dumas padre (1844), Tre uomini in barca di Jerome K. Jerome (1899), Le tre sorelle di Anton Čechov (1901), Tre croci di Federigo Tozzi (1920), Tre metri sopra il cielo di Federico Moccia (1992)… … Non a caso, questo paragrafo è il numero 3 del capitolo 3.

208

3.4 Due torti non fanno una ragione Rispondere a un’ingiustizia con un’altra ingiustizia non ristabilisce una situazione di equità. Questa affermazione esprime una verità difficilmente confutabile, ribadita da numerose altre constatazioni che, se ancora non sono diventate proverbiali, potrebbero diventarlo in futuro. –– Due debiti non fanno un credito. –– Due biasimi non fanno una lode. –– Due bocciature non fanno una promozione. –– Due empietà non fanno una santità. –– Due debolezze non fanno una forza. –– Due nemici non fanno un amico. –– Due villanie non fanno una cortesia. –– Due menzogne non fanno una verità. Il proverbio: «Due torti non fanno una ragione» può anche essere letto in modo speculare: «Due ragioni non fanno un torto», così come: «Due crediti non fanno un debito»… Tuttavia, è sorprendente notare come proprio in ambito logico e matematico questo meccanismo si inceppi. Se, in generale, due negatività non fanno una positività e, viceversa, due positività non fanno una negatività, in Logica due negazioni affermano (ma due affermazioni non negano) e in Matematica meno per meno fa più (ma più per più non fa meno). Il fatto che due negazioni affermino risulta abbastanza comprensibile e accettabile, soprattutto tenendo conto delle convenzioni linguistiche. Se si utilizzano dei prefissi di valore negativo, come: «a», «dis», «in» (o «im»), «mis» e «s», si altera in senso contraddittorio la parola che segue. Di conseguenza, possiamo avere: 209

NON apolitico = politico NON disomogeneo = omogeneo NON imprevisto = previsto NON indiviso = diviso NON miscredente = credente NON scoperto = coperto Quando si compie questo genere di operazioni, occorre prestare una certa cautela; le regole linguistiche non hanno sempre un valore generale. Ad esempio: –– un’azione efficace non risulterebbe: a-vana; –– un articolo privo del cartellino del prezzo non apparirebbe: dis-prezzato; –– un’assenza di lacrime non potrebbe essere considerata un: im-pianto; –– non si potrebbe mai assentire, dichiarando: in-no; –– un oggetto ben visibile non sarebbe: mis-celato; –– una donna non religiosa non potrebbe essere additata come una: s-pia. Ben altra sorpresa e perplessità suscita invece la regola matematica che assegna il segno positivo al prodotto di due numeri negativi, appresa dogmaticamente da milioni di giovani studenti e malvolentieri applicata nei loro esercizi. Le ragioni di questa naturale diffidenza non sono peregrine; forse proprio da questa regola, il più delle volte insegnata senza giustificazioni adeguate, nasce il ben noto e diffuso rigetto nei confronti della Matematica. È già difficile accettare l’esistenza dei numeri negativi (e se li hanno chiamati così, un motivo ci sarà…). Per secoli e secoli la Matematica è progredita senza usarli: infatti furono introdotti solo dopo il Medioevo. E se la somma di due numeri negativi è, giustamente, negativa, perché il loro prodotto, invece, deve essere positivo? 210

Vi sono, naturalmente, validissimi motivi legati a esigenze di carattere formale per giustificare questo risultato, in apparenza paradossale, in contrasto con ogni ragionevole aspettativa. Ma anche senza entrare nel merito di assiomi, formule o dimostrazioni rigorose, è possibile spiegare e motivare questa apparente anomalia ricorrendo a un’analogia elementare. Tutto quello che serve, a tale scopo, è una normale carta da gioco e l’adozione di alcune semplici convenzioni: (+)  carta scoperta (−)  carta coperta ×(+)  lasciare la carta nella posizione precedente ×(−)  ribaltare la carta Analizziamo i quattro casi possibili. (+)×(+) = (+) (+)  la carta viene tenuta scoperta

×(+)  non viene girata

quindi, rimane scoperta  (+)

211

(+)×(–) = (–) (+)  la carta viene tenuta scoperta

×(–)  viene girata

quindi, risulta coperta  (–)

(–)×(+) = (–) (–)  la carta viene tenuta coperta

×(+)  non viene girata

quindi, rimane coperta  (–)

212

(–)×(–) = (+) (–)  la carta viene tenuta coperta

×(–)  viene girata

quindi, risulta scoperta  (+)

I casi precedenti possono essere così riassunti. Carta scoperta: + Carta coperta: –

Carta NON girata: + Carta girata: –

Risultato

+

+

+

–

+

–

+

–

–

–

–

+

Ecco perché possiamo dire che: meno×meno fa più… 3.5 Gioco di mano, gioco di villano Il termine villano, nel Medioevo, indicava semplicemente l’abitante del villaggio, per distinguerlo da chi viveva in città o dal contadino che viveva nel proprio podere. Nel tempo 213

questo termine ha assunto una connotazione negativa, come sinonimo di rozzo, maleducato. Stessa sorte è toccata ad altri termini, come cafone o plebeo, che, in origine, identificavano semplicemente l’appartenenza a un particolare gruppo sociale, senza alcun intento denigratorio. Al giorno d’oggi, quindi, il proverbio: «Gioco di mano, gioco di villano» suona come un biasimo degli scherzi pesanti, basati su atteggiamenti maneschi e materiali. Possiamo, però, ipotizzare che questo antico proverbio volesse semplicemente caratterizzare una serie di giochi umili e popolari, che richiedevano solo le mani e non materiali particolari (tavolieri, carte o dadi) come quelli praticati dagli aristocratici a corte. Si tratta di giochi semplici, ma coinvolgenti, che si sono tramandati fino ai nostri tempi; di seguito analizzeremo tre dei più conosciuti: pari o dispari, scassaquindici e morra. Pari o dispari può essere considerato il più semplice dei giochi di mano; le sue regole sono talmente conosciute che ci sembra inutile ripeterle. Data l’estrema brevità di ogni singola partita, viene spesso usato per stabilire una precedenza tra due persone che non vogliono affidarsi al caso, ricorrendo, ad esempio, al lancio di una moneta. Esistono due scuole di pensiero: la prima ammette la possibilità di tirare zero (con un pugno chiuso), la seconda lo vieta. Sembra un aspetto abbastanza marginale, come nel gioco della tombola decidere se, in caso di due o più ambi contemporanei, si debba dividere il premio o spostarlo tutto sul terno. Questa particolare questione è oggetto di annose dispute ludologiche, generalmente vinte dai fautori del tutto sul terno, se non altro perché mettono in netta minoranza i due (o raramente poco più) ambisti. Tornando al pari o dispari, è bene precisare che le due alternative non sono equivalenti; per convincersene, basta osservare i due seguenti schemi. 214

NON VALE 0

VALE 0

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0

1

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4

5

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7

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9

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6

7

8

9

10

• Se non vale zero, sono possibili 25 esiti, di cui 13 pari e 12 dispari; in questo caso, quindi, chi sceglie PARI ha un piccolo vantaggio. • Se vale zero, sono possibili 36 esiti, di cui 18 pari e 18 dispari; questo equilibrio perfetto tra le due opzioni, ovviamente, si verifica solo se viene considerata pari la somma zero (due pugni chiusi). Se, come stabilisce una particolare variante, un tale risultato è considerato non valido (argomentando, erroneamente, che zero non è né pari né dispari…), invece, è leggermente avvantaggiato chi sceglie DISPARI (18 esiti contro 17). Anche un gioco così semplice si offre a riflessioni strategiche. Chi gioca per il PARI potrebbe essere tentato di giocare nella versione senza zero: 1 o 3 o 5, osservando che tre mosse avversarie (1 o 3 o 5) gli consentono la vittoria, contro le due mosse (2 o 4) che lo portano alla sconfitta. Se si giocasse contro un computer che scegliesse casualmente le sue mosse, questa strategia sarebbe ineccepibile. Adottando questa strategia, in una nostra simulazione contro un computer, su un miliardo di partite, abbiamo vinto 215

599 840 279 volte e perso 400 159 721 volte ossia circa 60% contro 40%, come era abbastanza prevedibile. Tuttavia, se l’avversario intuisce questo intendimento, giocherà proprio 2 o 4, o programmerà il suo computer in questo senso. Il PARI, prevedendo questo, per evitare di perdere ogni volta, potrebbe cercare di ingannare il DISPARI, giocando, imprevedibilmente, 2 o 4 e assicurandosi così, viceversa, sempre la vittoria. Ma il DISPARI… Ci fermiamo qui; questa catena di deduzioni e controdeduzioni potrebbe proseguire all’infinito senza dare alcuna certezza a nessuno dei due contendenti. Non è raro il caso in cui alcune semplici situazioni di gioco costituiscano metafore di ciò che accade nell’estrema complessità del mondo reale. È noto che, da tempo, per decidere le transazioni finanziarie, si ricorre a simulazioni al computer, che suggeriscono le strategie da adottare. Ma le instabilità, le fluttuazioni, le turbolenze, le crisi, le speculazioni dei mercati alle quali siamo abituati da anni, non saranno dovute a una sorta di gigantesco pari o dispari, giocato incautamente sulle nostre inconsapevoli teste? Lo scassaquindici è, per molti aspetti, simile al baseball, in cui a turno gli avversari possono segnare i punti. Sommando il numero delle dita mostrate volta per volta dai due giocatori, occorre arrivare a «15», senza superarlo (è ammesso il pugno chiuso, cioè zero). Se uno dei due contendenti supera nel proprio turno di attacco i 15 punti (ovvero: sballa), ha perso. Altrimenti, si confrontano i punteggi ottenuti. Chi ha raggiunto il punteggio maggiore si aggiudica il turno; se i punteggi sono uguali, è parità. Ovviamente, non dovrebbe mai verificarsi il caso in cui sballino entrambi i contendenti. Se il primo attaccante ha ottenuto un punteggio valido, il caso è escluso. Se il primo attaccante, invece, ha sballato, il secondo potrà aggiudicarsi 216

la manche, interrompendo il gioco dopo il proprio primo lancio (per usare un termine del baseball). Certo, tutto può accadere; d’altra parte il proverbio ricorda che: «Chi è nato citrullo è per gli altri un trastullo». Questo gioco offre interessanti spunti di riflessione in un punto nevralgico della contesa; ovvero, quando chi deve segnare i punti (chi attacca) è arrivato a «10». È evidente che se ha raggiunto un punteggio di «11» o superiore, è obbligato a fermarsi; altrimenti, l’avversario (chi difende) avrebbe la possibilità di farlo sicuramente sballare, lanciando un «5» e facendogli, così, superare i 15 punti. La tabella seguente dovrebbe aiutare a capire cosa può accadere in questo particolare momento del gioco (quando chi attacca ha totalizzato «10»). Difende

Attacca

0

1

2

3

4

5

0

10

11

12

13

14

15

1

11

12

13

14

15

sballa

2

12

13

14

15

3

13

14

15

4

14

15

5

15

sballa sballa

sballa sballa sballa

sballa sballa sballa sballa

sballa sballa sballa sballa sballa

Si verifica una situazione analoga a quella di pari o dispari, ma con molte variabili in più. Chi attacca può immaginare che l’avversario, per aumentare le probabilità di farlo sballare, lancerà «5»; quindi, mostrando il pugno chiuso, otterrà il massimo. Ma chi difende può facilmente intuire l’ipotesi del suo contendente e, quindi, lanciare «1», bloccandolo sul minimo punteggio utile: 217

«11». In questo caso, però, l’attaccante, mostrando «4» si aggiudicherebbe ugualmente il massimo. Già, ma allora al difensore basterà lanciare due o più dita per sconfiggere l’attaccante, e così via. Il giocatore che crede di aver intuito la mossa dell’avversario si regolerà di conseguenza: peccato che, come ricorda il proverbio: «Chi più crede di sapere più erra». Né d’altra parte, a posteriori, può essere utile un’analisi della mossa effettuata, rimpiangendo di non aver scelto il lancio che si sarebbe dimostrato vincente, pur avendolo considerato tra le alternative: «Del senno di poi son piene le fosse». La morra non è solo un gioco di mano, ma anche di voce (e, quindi, doppiamente di villano…). Le sue regole, infatti, prevedono che i contendenti mostrino contemporaneamente una quantità di dita della propria mano (è ammesso il pugno chiuso, cioè zero) e annuncino un numero; se questo risulta uguale alla somma delle dita mostrate da entrambi, vince chi lo ha pronunciato. La morra offre un numero notevole di possibili strategie per i giocatori, nate dalla combinazione del numero mostrato con le dita con il numero annunciato a voce. Escludendo le mosse incoerenti, ossia annunciare un numero inferiore alle dita mostrate, o superiore al numero delle dita mostrate aumentato di 5, ogni giocatore ha a disposizione 36 strategie: mostra: «0» e dice: «0» o «1» o «2» o «3» o «4» o «5» (6 strategie) mostra: «1» e dice: «1» o «2» o «3» o «4» o «5» o «6» (6 strategie) mostra: «2» e dice: «2» o «3» o «4» o «5» o «6» o «7» (6 strategie) mostra: «3» e dice: «3» o «4» o «5» o «6» o «7» o «8» (6 strategie) 218

mostra: «4» e dice: «4» o «5» o «6» o «7» o «8» o «9» (6 strategie) mostra: «5» e dice: «5» o «6» o «7» o «8» o «9» o «10» (6 strategie) È sicuramente sorprendente scoprire che un gioco apparentemente così semplice possa offrire ben 36×36 = 1296 possibili esiti diversi, che salgono a 14 641 se si usassero tutte le dieci dita. In questa estensione del gioco ciascun giocatore potrebbe scegliere tra 121 strategie diverse… Ipotizzando una mega morra a quattro giocatori, con tutte le dieci dita, ogni giocatore, per ciascuno degli 11 modi di mostrare un numero, avrebbe 31 possibilità (1+3×10) di annunciare una somma. Quindi avrebbe una scelta tra 11×31 = 341 strategie. Il numero degli esiti possibili sarebbe stratosferico: 3414 = 13 521 270 961, circa 22 volte la quantità di sestine del Superenalotto... Confidando che, come spesso accade, le caratteristiche essenziali di un problema che presenta una complessità molto elevata, si possono determinare dall’esame dei casi più semplici, analizziamo una variante minima della morra. Ogni giocatore può scegliere solo se mostrare il pugno chiuso (che vale zero) o il dito medio alzato (che vale 1); ovvero, un autentico: «Gioco di mano, gioco di villano», tralasciando le sottili distinzioni storiografiche iniziali. Vediamo cosa può accadere in una sfida a questa variante della morra tra due abituali frequentatori della peggiore taverna del villaggio: er Monnezza ed er Baganga. All’incrocio tra le strategie possibili è indicato il vincitore, oppure il risultato di parità.

219

Strategie di er Baganga mostra mostra mostra mostra «0» «0» «1» «1» dice «0» dice «1» dice «1» dice «2» mostra «0» dice «0»

PARI

er Monnezza

er Baganga

PARI

PARI

PARI

er Monnezza

PARI

PARI

er Baganga

er Baganga

er Monnezza

PARI

mostra er «0» Baganga dice «1»

Strategie di er Monnezza mostra er Mon«1» nezza dice «1» mostra «1» dice «2»

PARI

Anche la morra presenta lo stesso logorante, ricorsivo meccanismo del «Se lui… allora io», che abbiamo notato nel pari o dispari e nello scassaquindici. Può sembrare che, considerato il grande numero di possibili esiti del gioco, sia estremamente difficile per uno dei due giocatori aggiudicarsi il punto indovinando esattamente la somma e che, quindi, la partita sia destinata a svilupparsi in lunghe sequenze di pareggi, intervallati di tanto in tanto dalla supremazia di uno dei due avversari. In realtà, nella morra classica, la probabilità che l’effetto delle mosse combinate dei due giocatori conduca a un esito favorevole a uno dei due non è affatto bassa: è 5/18, pari al 27,78%, la stessa probabilità di ottenere una somma uguale a sei, lanciando due dadi. Ciò significa che ogni tre o quattro 220

partite di morra, mediamente, ci si può aspettare la prevalenza di uno dei due giocatori. Consideriamo una qualunque delle strategie di er Monnezza nel gioco completo, ad esempio mostrare «3» e annunciare «7». Er Monnezza vincerà solo se er Baganga mostra «4», purché non annunci anch’egli «7», caso in cui si avrebbe la parità; quindi vincerà in 5 delle 36 possibili strategie di risposta der Baganga. Er Baganga vincerà solo se annuncerà una somma uguale al numero di dita mostrato aumentato di 3, purché non mostri «4», caso in cui si avrebbe la parità; quindi vincerà in 5 delle 36 possibili strategie a sua disposizione. In 5 casi vince er Monnezza, in 5 casi vince er Baganga, in 26 casi si ha il pareggio. Un esito favorevole a uno dei due giocatori si ha in 10 casi su 36, con probabilità 10/36 = 5/18 = 27,78%. Tutto questo vale per ciascuna delle altre 35 strategie a loro disposizione, con i medesimi risultati. Come si è visto, anche giochi così semplici mostrano aspetti molto interessanti e stimolanti e possono essere analizzati alla luce della Teoria dei giochi. Sono classificati come giochi non casuali (in cui non interviene il caso) e a informazione non perfetta, in quanto ogni giocatore non ha la minima idea di ciò che intende fare il suo avversario quando sceglie la sua mossa (che sarà nota a entrambi solo dopo essere avvenuta in contemporanea, determinando il risultato). Se le regole prevedessero l’alternanza delle mosse, questi giochi assumerebbero le caratteristiche dell’informazione perfetta. Ma in tal caso sarebbero di una banalità sconvolgente e di una noia mortale. La teoria suggerisce che il modo migliore per affrontare questi giochi e tutte le situazioni di diversa natura (guerre, 221

concorrenza commerciale, giochi in borsa, campagne elettorali), nelle quali non si riesce a trovare un plausibile motivo logico e razionale per privilegiare una strategia, è affidarsi a una scelta completamente casuale della mossa da effettuare. In questo modo, se non altro, si evita il rischio di far intuire all’avversario alcune regolarità, anche inconsapevoli, nella condotta del gioco, che potrebbero avvantaggiarlo. Questa indicazione può sembrare paradossale, mettendo tra l’altro in dubbio il proverbio: «Chi al caso si affida prende un cieco per guida»; ma un paradosso è un’affermazione che, anche se in contrasto con il comune buonsenso o le apparenze, è pur sempre una verità. 3.6 Il diavolo fa le pentole ma non i coperchi A dar credito ai proverbi, il Diavolo non sembra essere un personaggio particolarmente affidabile. Oltre a non saper fare i coperchi, in qualunque attività si impegni riesce solo a fare le cose a metà. Prima la fa e, poi, la palesa; insegna a rubare, ma non a nascondere; le insegna a fare, ma non a disfare; può tentare, ma non precipitare… Come se non bastasse: –– quando si impegna in un mestiere laborioso e utile, combina solo guai; la sua farina va tutta in crusca; –– è un inguaribile perdigiorno; la sua officina è nella testa dell’ozioso; –– è un impenitente giocatore d’azzardo, sempre nel cuore del gioco, trastullandosi dove si gioca; –– è un fastidioso impiccione; dove non può mettere il capo vi mette la coda; –– ha una fitta rete di relazioni omertose; un diavolo conosce l’altro e, per essere ricco, bisogna avere un parente a casa sua; 222

–– è fortemente sospettato di usura; l’interesse è considerato suo figlio; –– è insopportabilmente tirchio, giacendo dentro la cassa dell’avaro; –– è un ipocrita adulatore; se una donna è bella, lui glielo ripeterà dieci volte; –– è maligno e dispettoso; quando Dio ci dà la farina, ci toglie il sacco; –– organizza il traffico della prostituzione; i mezzani sono i suoi pidocchi; –– è grossolano e volgare; caca sempre sul monte grosso; –– non ha fissa dimora, perché non istà sempre in un luogo; –– per fortuna, però, è un sempliciotto: la donna ne sa una più di lui e, per piccola che la sia, la vince sempre in furberia (sembra che anche i salernitani riescano a ingannarlo…); Emerge, comunque, l’immagine di un soggetto decisamente poco raccomandabile, dedito a losche attività, ricettacolo di ogni vizio e perversione, depravato e corrotto. Nonostante ciò, qualcuno pensa che il Diavolo sia vittima di una campagna denigratoria, in quanto, in fondo, non è così brutto come lo si dipinge. Altri, pur non negando la pessima indole del Diavolo, sono portati a giustificarlo: poveretto, è cattivo perché è vecchio. Infine una sparuta minoranza, al contrario, trova adorabile, nel senso letterale della parola, il Diavolo, nonostante tutto (o forse proprio per il tutto); esistono, infatti, delle sette che idolatrano il Demonio. Tra i tanti riti esoterici che caratterizzano le sette adoratrici del Demonio, di cui naturalmente non parleremo, vi è anche la scelta di un numero particolare: 666, famoso emblema diabolico, noto anche a chi non frequenta certi ambienti. Ma perché è stato scelto proprio questo valore? 223

Prima ipotesi Quando si scelse questo numero demoniaco, era in uso la numerazione romana. Come abbiamo già ricordato, si può notare che 666 è il numero più piccolo che si può ottenere sommando tutti i simboli numerici romani (tranne M). Simbolo

Valore

D

500

C

100

L

50

X

10

V

5

I

1

DCLXVI

666

Seconda ipotesi I primi sette numeri primi (divisibili solo per se stessi e per 1) sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17; ebbene, la somma dei quadrati di questi primi sette numeri primi è uguale a 666. Numero primo

Quadrato

2

4

3

9

5

25

7

49

11

121

13

169

17

289 666 224

Terza ipotesi Se scriviamo 666 in base 6, otteniamo 3030, i trenta denari di Giuda. Quarta ipotesi È la più suggestiva, legata ai quadrati magici, ossia quelle disposizioni delle sequenze iniziali dei numeri interi in una griglia quadrata, in modo che la somma per righe, colonne e diagonali sia sempre la stessa. Il quadrato magico di ordine 3 è unico, ma considerando tutte le possibili rotazioni e riflessioni, se ne ottengono otto in tutto. In altri termini esistono otto quadrati magici di ordine 3, ciascuno dei quali, però, si può ottenere da uno qualunque degli altri, sottoponendolo a una rotazione o a una riflessione, come nello schema seguente. Iniziale

Rotaz. 90°

Rotaz. 180°

Rotaz. 270°

4

3

8

2

9

4

6

7

2

8

1

6

9

5

1

7

5

3

1

5

9

3

5

7

2

7

6

6

1

8

8

3

4

4

9

2

Simm. «––»

Simm. « | »

Simm. « \ »

Simm. « / »

2

7

6

8

3

4

4

9

2

6

1

8

9

5

1

1

5

9

3

5

7

7

5

3

4

3

8

6

7

2

8

1

6

2

9

4

I quadrati magici di ordine dispari si possono costruire in modo meccanico, come mostra Italo Ghersi nel suo libro Matematica dilettevole e curiosa (1967). I quadrati magici di ordine pari invece sono più difficili da costruire. Un quadrato magico 4×4 molto famoso è quello che appare nell’incisione di Albrecht Dürer, Melancolia I (1514), ma non è molto facile trovarne altri in circolazione. 225

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

L’unico quadrato magico di ordine 6 che siamo riusciti a trovare è il seguente, nelle pagine del libro di Italo Ghersi. 1

35

34

3

32

6

30

8

28

27

11

7

24

23

15

16

14

19

13

17

21

22

20

18

12

26

9

10

29

25

31

2

4

33

5

36

Per invocare il Demonio ci sembra giusto che si dovesse compiere qualcosa di straordinario, ricorrere a un segreto molto difficile da carpire, se non iniziati. L’idea che il Diavolo si potesse invocare costruendo un quadrato magico di ordine 6 è plausibile. Ma cosa c’entra il numero 666? Per ogni ordine si può determinare la somma totale dei numeri compresi nello schema e, di conseguenza, la costante magica del quadrato, cioè la somma che deve risultare iden226

tica per riga, colonna e diagonale, chiaramente uguale alla somma complessiva divisa per l’ordine. Nel caso del quadrato del Diavolo, poiché 6 è il numero delle caselle di base, la somma di tutti i numeri compresi in un quadrato magico di ordine 6 è: 1+2+3+………+36. Ovviamente si potrebbe sviluppare il calcolo direttamente, non è eccessivamente lungo. Ricordando che la Matematica è la scienza che insegna a… non fare i calcoli, converrà ricorrere a una scorciatoia, con il vantaggio non trascurabile di individuare un metodo che potrà essere applicato a tutte le situazioni del genere. Scriviamo su due righe tutti i numeri da 1 a 36, una volta in ordine crescente, l’altra in ordine decrescente, indicando con un punto interrogativo il risultato, in quanto ancora ignoto. 1

2

3

4

5

................... 32 33 34 35 36

36 35 34 33 32 ...................

5

4

3

2

1

? ?

Se ora si sommano i due numeri sulla stessa colonna, si otterrà sempre 37. Moltiplicando questo valore per le 36 colonne, si otterrà il doppio della somma dei numeri da 1 a 36, un valore doppio di ogni punto interrogativo. Se due punti interrogativi insieme valgono 36×37 = 1332, ognuno di essi vale 1332/2 = 666. In definitiva, il numero diabolico è uguale alla somma di tutti i numeri scritti in un quadrato magico di ordine 6, che ha costante magica 666/6 = 111 (altro bel numero evocativo e misterioso…).

227

3.7 Il tempo è denaro È fortemente raccomandabile non perdere inutilmente quel valore prezioso che è il nostro tempo. Anche altri proverbi, come i seguenti, ribadiscono un concetto analogo. –– Chi ha tempo non aspetti tempo. –– Il tempo bene speso è un gran guadagno. –– A chi lavora il tempo passa presto. –– La donna da casa non perda mai tempo. –– Il perder tempo, a chi più sa, più spiace. –– L’uomo lento non ha mai tempo. Nessuno di questi, però, monetizza direttamente il tempo, cercando di quantificarlo in qualche modo. Il gran guadagno a cui allude il secondo, infatti, va inteso in senso lato. La quantificazione di un concetto rappresenta il momento di separazione tra un approccio dialettico e un approccio scientifico alle questioni. Chiediamoci, quindi, quanto tempo è necessario a contare il denaro. Per rendere più emozionante il problema, prendiamo in considerazione il classico scienziato pazzo di tanti film di fantaspionaggio, che ha minacciato di far scoppiare il mondo con una bomba atomica (o di diffondere il virus di una malattia letale di sua invenzione, o di avvelenare le condotte idriche di Parigi, e così via). Per rinunciare al suo diabolico intento, il criminale chiede in cambio all’autorità competente il pagamento di un miliardo, in banconote da 50 euro. Questo significa: 1 000 000 000/50 = 20 000 000 banconote da controllare, per avere la certezza di non essere stato truffato. Bene, supponendo di contare le banconote al ritmo forsennato di una banconota al secondo, saranno necessari 20 milioni di secondi. Il secondo è un attimo fuggente; chiedendosi: «Quanto dura un secondo?», ne sono già passati due o tre. Eppure 20 milioni di secondi sono: 228

20 000 000/60 = 333 333,33 minuti, pari a: 333 333,33/60 = 5555,55 ore, che arrotondiamo a 5556. Lo scienziato pazzo dovrà pur mangiare, dormire, dedicarsi alla cura di sé; diciamo che conterà per 12 ore al giorno. Quindi, serviranno: 5556/12 = 463 giorni, pari a 1 anno e 98 giorni (97, se la minaccia al mondo è avvenuta in un anno bisestile). I soldi, come si dice comunemente, non danno la felicità, tuttavia rappresentano sempre un peso. Appunto: quanto peserà un miliardo di euro, sempre in banconote da 50? Il conto è presto fatto, supponendo che ogni banconota pesi 1 grammo. 20 000 000 g = 20 000 kg = 20 tonnellate. Classicamente, nei film, il maltolto viene consegnato in valigette; anche ipotizzando 20 kg per ogni valigetta, si tratta sempre di farsi consegnare qualcosa come 1000 valigette, roba da far impazzire un millepiedi… Siamo abituati sin dall’infanzia ad avere a che fare con i numeri; ma ciò non significa aver a che fare con la Matematica, in quanto chi è più avanti con gli studi avrà notato che gli unici numeri presenti nei testi superiori di questa disciplina sono quelli delle pagine; la consapevolezza, la percezione del valore esatto dei numeri si perde mano a mano che crescono… Sfugge l’esatta imponenza, la quasi mostruosità di certe grandezze, tra l’altro molto onerose, in termini di spazio, per essere rappresentate. Proprio per questo si usa la notazione scientifica per indicare con poche cifre dei numeri estremamente elevati. Ad esempio, la scrittura: 1,24×1025 indica: 1,24 moltiplicato per 10 elevato a 25, un numero di 26 cifre che per esteso si dovrebbe scrivere: 12 400 000 000 000 000 000 000 000. È interessante notare che, leggendo: 1,24×1025 e 1,23×1025, si sarebbe portati a ritenere questi due numeri quasi uguali. Ma la loro differenza è uguale a: 0,01×1025 = 1,0×1023, come qui evidenziato: 229

12 400 000 000 000 000 000 000 000 – 12 300 000 000 000 000 000 000 000 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 100 000 000 000 000 000 000 000 Ossia: 1 seguito da 23 zeri, pari a: 100 000 miliardi di miliardi. Sembra che i corvi riescano a contare fino a quattro, le galline fino a tre; noi umani in teoria, siamo in grado di contare fino a qualunque valore. In realtà, oltre un certo limite, analogamente a quanto afferma il proverbio: «Di notte tutti i gatti sono bigi», tutti i numeri sembrano assomigliarsi, ed essere sostanzialmente un unico googol, ricorrendo al termine coniato nel 1938 dal matematico statunitense Edward Kasner, per indicare l’enorme numero rappresentato da 1 seguito da 100 zeri. Tra l’altro, per curiosità, è questa l’origine del nome Google attribuito al più noto motore di ricerca. Oggi questo numero gigantesco non appare più tale, se vogliamo, considerando che la calcolatrice di Windows può arrivare fino a 1,0×1043 400 circa; una delle tante prestazioni assolutamente inutili di cui è ricca la produzione del software di serie. A parte il mitico fantastilione (a volte fantastiliardo) di Paperon de’ Paperoni, non esistono neppure nomi per numeri così grandi. Oltre il milione e il miliardo, esiste solo, nella pratica comune, l’ambiguo bilione, che in Inghilterra e Germania significa: un milione di milioni (ovvero: 1,0×1012 in notazione scientifica), in Francia e Usa mille milioni (1,0×109), ossia il nostro miliardo. Nessuno di questi termini è, però, autorizzato dall’ISO (International Standard Organization), l’organizzazione che determina le regole delle convenzioni internazionali. Ormai, grazie anche alla diffusione massiccia dell’uso del 230

computer, tutti sanno che il gigabyte e il megabyte sono unità di misura per le memorie. Questi non sono termini del gergo specifico dell’informatica, pure così ricco di locuzioni proprie, ma i prefissi dei multipli stabiliti dall’ISO per indicare i multipli (un milione = mega, un miliardo = giga) di una qualunque unità di misura. I prefissi completi per multipli e sottomultipli sono i seguenti. Nome del prefisso

Simbolo del prefisso

Fattore moltiplicativo

exa

E

1018

peta

P

1015

tera

T

1012

giga

G

109

mega

M

106

kilo

k

103

etto

h

102

deca

da

101

UNITÀ

100 = 1

deci

d

10–1

centi

c

10–2

milli

m

10–3

micro

μ

10–6

nano

n

10–9

pico

p

10–12

femto

f

10–15

atto

a

10–18

231

Come si vede, per battezzare i multipli non si va oltre i miliardi di miliardi, gli exa. Occorre osservare che, al di là dell’informatica, questi prefissi non godono di molta popolarità e vengono raramente usati nel quotidiano: 1000 kg sono generalmente chiamati una tonnellata, non, come pure sarebbe ineccepibile, 1 megagrammo. Neppure in ambienti scientifici questi prefissi godono di molta popolarità. Le distanze astronomiche si misurano in anni-luce, e non in petametri, come pure sarebbe corretto tenendo conto che la distanza percorsa dalla luce in un anno è circa 9,46 petametri. Per poter apprezzare appieno l’effettiva enormità di certi valori numerici, l’unica via è stabilire confronti e rapporti. Ad esempio, sapere che il Prodotto Interno Lordo (PIL) dell’Italia nel 2012 è stato di circa 1600 miliardi di euro (1,6 teraeuro ossia circa 3,2 petalire) forse non ci dice molto. Ma se lo dividiamo per 40 milioni, all’incirca il numero dei contribuenti e, quindi, un accettabile parametro per determinare la popolazione attiva italiana, otteniamo, procapite, un valore di 40 000 euro. Questo dato è decisamente molto più significativo, nel senso che permette di essere valutato meglio. Finora, in questo paragrafo, si è parlato di numeri, ma non di Matematica, la scienza che insegna a… non fare i calcoli matematici. Per scrivere numeri così grandi non è necessario scrivere tante e tante cifre, o inventarci nuovi prefissi. Usando solo tre cifre possiamo arrivare a vette inimmaginabili. Il numero più elevato che si può scrivere usando solo tre cifre è: 9 9 9 232

che non è (99)9, uguale appena a: 981 = 196 627 050 475 552 913 618 075 908 526 912 116 283 103 450 944 214 766 927 315 415 537 966 391 196 809 (ovvero, un numero di sole 78 cifre), bensì 9 elevato a 99. 99 = 387 420 489 e 9387 420 489 = 4,28×10369 693 099 ossia un numero con 369 milioni 693 mila 100 cifre… 3.8 Non si muove foglia che Dio non voglia Per chi è credente, tutto ciò che accade nel mondo è stato stabilito e voluto da Dio. Non abbiamo alcuna intenzione di affrontare problemi teologici, in questo libro. Osserviamo solo che l’eterno problema dell’esistenza di Dio è secolare e trasversale: se c’è un tratto comune alle civiltà di tutto il mondo e di tutte le epoche, questo è il problema religioso, ossia la convinzione dell’esistenza di un Essere Superiore che ha creato il mondo e lo governa. Non c’è da stupirsi, quindi, che numerosi proverbi si riferiscano a Dio esaltando, di volta in volta, l’uno o l’altro dei Suoi attributi. Accogliendo l’ammonimento: «Scherza coi fanti e lascia stare i Santi», ne citiamo qualcuno, senza permetterci alcuna facezia. –– Aiutati, che Dio ti aiuta. –– Chi serba, Dio non gli dà. –– Dagli amici mi guardi Dio, che dai nemici mi guardo io. –– Dio li fa e poi li accoppia. –– Dio ti guardi da chi legge un libro solo. –– L’uomo propone e Dio dispone. –– Ognuno per sé e Dio per tutti. –– Chi del suo dona, Dio gli ridona. –– Solo Dio è senza difetti. –– Dio lascia fare, ma non sopraffare. 233

–– A chi ben crede, Dio provvede. –– Da Dio vengono le grazie, da noi le disgrazie. –– Chi si guarda, Dio lo guarda. Il proverbio che dà il titolo a questo paragrafo, però, si riferisce chiaramente all’onnipotenza di Dio. Ma le considerazioni che seguiranno, dimostreranno che almeno questo attributo di Dio non è da Lui posseduto. C’è almeno una cosa che neppure Dio può fare, senza trasgredire le leggi che Lui stesso ha dato al mondo: costruire il sesto poliedro regolare. Per dimostrare questa affermazione, rispolveriamo alcuni concetti elementari di geometria. Si definisce poligono la parte di piano racchiusa da una sequenza di segmenti che si chiude in se stessa. Se tutti gli angoli e tutti i lati di un poligono sono uguali, il poligono viene detto regolare. Il poligono a destra nella figura seguente è un ottagono regolare, in quanto ha 8 angoli e 8 lati, tutti uguali; gli altri due poligoni non sono regolari.

Esistono poligoni con tutti gli angoli uguali che, però, non sono regolari, in quanto hanno i lati diversi (come, ad esempio, il rettangolo); esistono poligoni con tutti i lati uguali che non sono regolari, in quanto hanno gli angoli diversi (come, ad esempio, il rombo). Soltanto per il triangolo, basta una delle due condizioni per garantire la sua regolarità. In tutti gli altri casi, qualunque sia il numero dei lati, si possono costruire poligoni con 234

tutti i lati uguali o con tutti gli angoli uguali che, però, non sono regolari, se viene rispettata una sola delle due condizioni. Indipendentemente dalla difficoltà della costruzione effettiva, in linea di principio esistono poligoni regolari, qualunque sia il numero di lati scelto. L’equivalente del poligono, nello spazio a tre dimensioni, è il poliedro, un solido racchiuso da un insieme di poligoni, detti facce. Nella vita reale, siamo letteralmente circondati da poliedri, molto di più che non da poligoni. Sono poliedri: un dado, una scatola, una stanza… D’altra parte esistono altri oggetti solidi, quali una palla, una bottiglia, una lampadina, che non sono poliedri, in quanto lo spazio da loro compreso non è delimitato solo da poligoni. Due facce hanno in comune uno spigolo; tre, o più facce, concorrono a un vertice. Uno dei poliedri più comuni è il parallelepipedo, come viene chiamato il solido a forma di scatola, le cui caratteristiche sono evidenziate nel seguente schema.

Nel conteggiare il numero di facce, vertici, spigoli sono stati presi in considerazione anche quelli non visibili: 3 facce, 3 spigoli, 1 vertice. 235

La relazione tra il numero degli elementi di un qualunque poliedro, regolare o irregolare, è stata evidenziata da Eulero ed è data dalla formula: numero di facce+numero di vertici = numero di spigoli+2

Un poliedro viene detto regolare se tutte le facce sono formate da uno stesso poligono regolare. Il parallelepipedo non è, salvo un caso molto particolare, un poliedro regolare. Infatti le sue facce, ossia rettangoli, non sono poligoni regolari, a meno che il rettangolo non sia anche un quadrato. Se esistono infiniti poligoni regolari, sembrerebbe naturale pensare che possano esistere infiniti poliedri regolari. Ma non è così; i poliedri regolari sono pochissimi: appena cinque. Questo fatto è noto fin dall’antichità e venne trattato anche da Platone, nel suo dialogo Timeo. Per questo motivo, i poliedri regolari vengono denominati anche solidi platonici. Platone associò a quattro di essi le quattro sostanze fondamentali (terra, aria, acqua, fuoco) e associò al quinto la quintessenza, una sostanza ineffabile e non percepibile dai sensi che, secondo le credenze dell’epoca, permeava di sé tutto l’Universo. Siccome la Chimica ha compiuto notevoli progressi da allora, di tale sostanza ci è rimasto solo il nome, che utilizziamo per indicare qualcosa di misteriosamente sublime. L’atteggiamento di noi comuni mortali di fronte ai risul236

tati provenienti dai grandi pensatori del passato è di profondo rispetto e ammirazione per il loro genio. Intimoriti dall’indubbio e giustificato spessore di queste grandi personalità, siamo portati ad accettare le loro scoperte con un atteggiamento di mistica soggezione, che ci induce a non indagare personalmente. Certo, alcune volte, effettivamente il loro percorso esula dalla nostra capacità di comprensione, ma in altri casi saremmo anche noi in grado, solo con il ragionamento, di raggiungere gli stessi risultati. La questione in esame è uno di quei casi… Quindi, ragioniamo. In un poliedro regolare, tutte le facce sono poligoni regolari e questi confluiscono in un vertice. Ciò significa che se la somma degli angoli dei poligoni è superiore a 360° il poliedro non può chiudersi; mentre, se fosse uguale a 360°, le facce si disporrebbero su un piano infinito. Per ciascuno dei poligoni regolari calcoliamo la misura comune degli angoli. È noto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, ossia 180°. Se i tre angoli sono uguali, ciascuno di essi misurerà 180°/3 = 60°. Un quadrilatero generico può essere facilmente scomposto in due triangoli; quindi, la somma degli angoli interni è 180° × 2 = 360°; se tutti uguali, ciascuno misurerà 360°/4 = 90°. Un generico poligono con 5 lati può essere scomposto in tre triangoli, quindi, la somma degli angoli interni è 180° × 3 = 540°; se tutti uguali, ciascuno misurerà 540°/5 = 108°. Un generico poligono con 6 lati può essere scomposto in quattro triangoli, quindi la somma dei suo angoli interni è 180° × 4 = 720°; se tutti uguali, ciascuno misurerà 720°/6 = 120°. 237

Qui ci possiamo anche fermare; infatti, per formare un poliedro, almeno tre facce devono incontrarsi in un vertice. Se queste facce fossero esagoni regolari, avremmo: 3×120° = 360° e le tre facce sarebbero tutte sullo stesso piano. Per un numero maggiore di lati, la somma degli angoli delle tre facce concorrenti al medesimo spigolo sarebbe maggiore di 360° e il poliedro non potrebbe chiudersi. Un poliedro regolare può avere facce che siano solo triangoli equilateri, quadrati o pentagoni regolari. Se sono triangoli equilateri, è ammessa la confluenza di tre facce (60°×3 = 180°), di quattro facce (60°×4 = 240°), di cinque facce (60°×5 = 300°), ma non di sei o più (60°×6 = 360°). Esistono, quindi tre poliedri regolari con facce formate da triangoli equilateri. TETRAEDRO

OTTAEDRO

ICOSAEDRO

Se le facce sono quadrati, è ammessa la confluenza di 3 facce (90°×3 = 270°), ma non di quattro o più (90°×4 = 360°). Si ha, quindi, un solo poliedro regolare con facce quadrate, il comune cubo. 238

Se sono pentagoni regolari, è ammessa la confluenza di 3 facce (108°×3 = 324°), ma non di quattro o più (108°×4 = 432°). Un solo poliedro regolare può avere le facce a forma di pentagono regolare. CUBO o ESAEDRO

DODECAEDRO

Sono, quindi, possibili solo cinque poliedri regolari, riassunti nello schema seguente, dove è mostrato il poliedro, il tipo di faccia, l’angolo di ciascuna faccia, il numero di facce concorrenti a un vertice, la somma degli angoli dei poligoni concorrenti a un medesimo vertice e la sostanza associata al quinto poliedro, secondo Platone. Il nome attribuito a ciascun poliedro regolare fa riferimento al numero delle facce.

239

poliedro

facce

angolo

numero

somma

sostanza

tetraedro

triangolo equilatero

60°

3

180°

FUOCO

ottaedro

triangolo equilatero

60°

4

240°

ARIA

icosaedro

triangolo equilatero

60°

5

300°

ACQUA

90°

3

270°

TERRA

108°

3

324°

QUINTESSENZA

cubo o esaedro

dodecaedro

figura

quadrato

pentagono regolare

240

Per tutti questi poliedri vale la regola di Eulero. poliedro

figura

numero di…

facce+ vertici

spigoli+2

facce

vertici

spigoli

tetraedro

4

4

6

8

8

ottaedro

8

6

12

14

14

icosaedro

20

12

30

32

32

cubo o esaedro

6

8

12

14

14

dodecaedro

12

20

30

32

32

241

3.9 Non tutte le ciambelle riescono col buco Questo proverbio ha un carattere decisamente consolatorio. Vuole confortarci, infatti, quando il risultato di un’attività, nella quale abbiamo posto il doveroso impegno e la giusta dose di attenzione, non risponde del tutto alle nostre aspettative. Non riguarda situazioni con esiti del tutto deludenti, insoddisfacenti, o addirittura fallimentari dovuti a gravi errori concettuali; i proverbi adatti a questi casi sono altri. • «Un errore ne porta cento» rimarca l’effetto negativo, a cascata, di una cantonata presa in un passaggio basilare del procedimento. • «Ogni cattivo conto si può rifare» esorta a non farsi scoraggiare o condizionare da un insuccesso. • «Sbagliando s’impara» sottolinea l’opportunità di far tesoro di ogni esperienza, anche negativa. • «All’impossibile nessuno è tenuto» tende a mettere in risalto la difficoltà del compito intrapreso. • «I troppi cuochi guastano la minestra» suggerisce che la direzione e la responsabilità del coordinamento non deve essere eccessivamente collegiale. • «Non bisogna mettere il carro davanti ai buoi» mette in guardia da errori di impostazione strategica complessiva. • «Non bisogna metter tanta carne al fuoco» evidenzia il pericolo di una eccessiva ambizione nel porsi obiettivi. • «Il meglio è nemico del bene» raccomanda di non ricercare la perfezione a tutti i costi. • «Chi sbaglia il primo cerchiello, li sbaglia tutti» esorta a porre la massima attenzione nello svolgimento dei primi passaggi di un compito, come ben sanno gli studenti di Matematica. Il proverbio in questione, invece, sembra riferirsi a quelle irritanti imperfezioni che, nei casi migliori, danno solo un’im242

pressione negativa di sciatteria, di scarsa cura, di approssimazione anche in un lavoro per altro ben fatto, ben impostato, ben riuscito e, nei casi peggiori, possono anche vanificare, per un’inezia, un impianto solido e ben strutturato. Un albero che cade fa fragore, la foresta cresce in silenzio: fa parte della natura umana stigmatizzare la ciambella senza il buco, ignorando quelle perfettamente riuscite. Gli errori si commettono per disattenzione; un proverbio ricorda che: «Chi non fa non falla». In generale, per ottenere un’altra implicazione valida negando i termini, occorre invertirli. Ad esempio, il significato dell’affermazione: «Chi non semina non raccoglie» può essere schematizzato nel modo seguente. Raccoglie Semina

La parte scura indica chi semina o chi raccoglie, la parte bianca chi non semina o chi non raccoglie. Se è vero che: «Chi NON semina NON raccoglie», dovrebbe essere anche vero che: «Chi raccoglie, semina», negando i termini e invertendoli. Ma non è vero (o, almeno, non è sempre vero), che: «Chi semina, raccoglie», né che, di converso, che: «Chi NON raccoglie, NON semina». Lo schema precedente mostra chiaramente questa situazione e, d’altra parte, per esserne convinti, basti pensare a un temporale estivo che potrebbe distruggere un intero raccolto… Può accadere, però, quando i due termini in qualche modo vengono a coincidere, che sia lecito negarli senza invertirli. È il caso del proverbio: «Chi non fa non falla». Purtroppo, anche se ciò è particolarmente scoraggiante e 243

frustrante, è vero anche che «Chi fa, falla». La saggezza popolare ha preannunciato, con secoli di anticipo, la celebre legge di Murphy: «Se qualcosa può andar male, lo farà». Chi fa qualcosa, qualunque cosa faccia, si trova a dover combattere, perdendo, contro una inesorabile legge probabilistica riguardante gli eventi ripetuti, formulata dal matematico svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705). Per quanta attenzione possiamo porre nello scrivere un testo al computer, sicuramente dobbiamo ammettere che esiste una probabilità di commettere un errore, molto bassa certamente, ma non nulla. Non fissiamola subito, e indichiamola genericamente con la lettera p. Battendo un testo di 1000 caratteri, si avrà:

Ci chiediamo: qual è la probabilità di commettere almeno un errore nella battitura di un testo? La probabilità di non commettere alcun errore, all’aumentare del numero dei tasti premuti, ha un andamento abbastanza semplice. 244

Dopo 2 tasti è (1–p)2, dopo 3 tasti (1–p)3, dopo 10 tasti sarà (1–p)10, dopo 100 tasti (1–p)100, dopo 1000 tasti (1–p)1000. Per fissare le idee, supponiamo che la probabilità di commettere un errore sia p = 1/100, quindi: (1–p) = 99/100, un valore molto vicino a 1. Anche se elevato a 1000, saremmo portati a credere che il risultato non si discosti molto da 1, tenuto anche conto del valore bassissimo, quasi nullo, viceversa, della probabilità di commettere 1000 errori, pari a 1 diviso un numero composto da 1 seguito da 2000 zeri. Invece, il valore di (99/100)1000 è incredibilmente basso, 0,0000432 = 0,00432%. Ciò significa che la probabilità di commettere almeno un errore battendo 1000 volte un tasto è altissima, pari a: 1–(1–p)1000 = 1–0,0000432 = 0,9999568 = 99,99568%, quasi la certezza. Questo risultato non significa naturalmente che dopo 999 battiture corrette si è quasi certi di sbagliare; la probabilità resta di 1/100, indipendentemente dagli errori commessi in precedenza. Ma è sicuro che, accingendosi a scrivere un testo di un migliaio di caratteri, abbiamo la quasi certezza che commetteremo almeno un errore. Se il testo è una lettera, una relazione, un brano letterario, poco male; ci può, tra l’altro, aiutare il correttore automatico. Ma se invece che lettere dobbiamo impostare le cifre di una lunga operazione, commettere anche un solo errore inevitabilmente porta a un risultato sbagliato; di poco, se l’errore è stato commesso nelle unità, di molto se in una cifra delle centinaia o delle migliaia. Non abbiamo considerato l’errore commesso nella cifra delle decine. Sappiamo già che: «Chi erra nelle decine, erra nelle migliaia»… Ricorrendo a ragionamenti analoghi (che vi risparmiamo), si può verificare anche che, rileggendo un testo dattiloscritto, sia piuttosto bassa la probabilità di individuare tutti gli errori commessi. 245

Di conseguenza, è molto probabile che questo libro contenga qualche errore di battitura, sfuggito a tutti i successivi controlli. Ma non prendetevela con noi: la colpa è tutta di Bernoulli!… p.s.:

Il lettore è caldamente pregato di non usare contro di noi il proverbio «Chi si scusa senz’essere accusato, fa chiaro il suo peccato». 3.10 Ogni promessa è debito Per antica consuetudine, ma soprattutto per un principio etico, è doveroso mantenere fede a ogni promessa. Quando si assumono impegni precisi, però, bisogna stare molto attenti alle parole da usare, per evitare di generare dei sorprendenti paradossi logici, come nel caso che andiamo a illustrare. A sette giornate dalla conclusione del campionato di calcio l’allenatore promise a un giovane calciatore: «Ti farò sicuramente esordire prima della fine del campionato; ma non ti preannuncerò quando, in modo che tu non possa emozionarti. Saprai di scendere in campo solo negli spogliatoi, quando ti consegnerò, senza che te l’aspetti, la maglia numero 11 da titolare». Il giovane calciatore era, come si potrà ben capire, al settimo cielo; ma il capitano della squadra raffreddò subito i suoi entusiasmi: «Se l’allenatore mantiene la parola, paradossalmente tu non giocherai mai… Infatti, la tua giornata d’esordio non potrà essere l’ultima, in quanto sarebbe prevedibile. Ma allora, non potrà essere nemmeno la penultima, perché riusciresti a prevederla, sapendo che non può essere l’ultima. E, non potendo essere né l’ultima né la penultima, non potrà 246

essere neanche la terz’ ultima… e così via, fino a giungere alla conclusione che non potrai esordire nemmeno alla prossima giornata». Il giovane calciatore rimase piuttosto deluso; convinto della bontà del ragionamento del capitano, a malincuore, si rassegnò. Ma, con sua enorme sorpresa, a tre giornate dalla fine, in maniera del tutto inaspettata, l’allenatore gli consegnò la maglia numero 11, mantenendo la parola data: «Ogni promessa è debito». Questa che abbiamo riportato è la variante di un celebre paradosso, che circola dal 1943. Non è noto il suo autore, ma è stato analizzato dal logico statunitense Willard Quine (1908-2000) nella raccolta di saggi I modi del paradosso. Protagonista della versione originale (decisamente più cupa…) è un condannato all’impiccagione, al quale il giudice preannuncia che l’esecuzione avverrà un giorno della settimana successiva, a mezzogiorno, senza che il condannato possa prevedere in alcun modo il giorno. Le possibili varianti dello schema del problema sono innumerevoli e, nella tradizione orale, il paradosso è stato applicato a esercitazioni aeree, a esami imprevisti, a promesse di appuntamenti. In maniera del tutto involontaria è comparso anche in una circolare scolastica, rigorosamente autentica, che riportiamo integralmente. CIRCOLARE N. 86 Si porta a conoscenza di tutti gli interessati, ossia tutti coloro che studiano o lavorano nell’Istituto, che l’esercitazione di evacuazione dell’edificio scolastico avverrà in uno dei cinque giorni compresi tra lunedì 5 maggio 2002 e venerdì 10 maggio 2002, esattamente alle ore 10:00 della mattinata, ora in cui, statisticamente, si prevede la massima presenza. Ai fini di simulare nel modo più efficace la situazione di pe247

ricolo e, quindi, per poter valutare con il massimo del realismo possibile l’efficienza delle misure adottate, che saranno illustrate con dovizia di particolari nel corso degli incontri previsti a marzo, non sarà preventivamente comunicata la data precisa del giorno in cui verrà effettuata l’esercitazione. Pertanto, pur sicuramente avvenendo in uno dei cinque giorni predetti, il momento in cui verrà ordinata l’evacuazione dell’edificio, segnalata con le modalità che verranno specificate ai primi di marzo, sarà ASSOLUTAMENTE IMPREVEDIBILE. In quel momento, che giungerà per tutti DEL TUTTO INATTESO, ciascuno dovrà seguire scrupolosamente le indicazioni che verranno fornite nel corso sulla sicurezza, al quale parteciperanno, come relatori, esperti del corpo dei Vigili del fuoco. Fidando nella collaborazione di tutti, si assicura che la massima attenzione sarà posta affinché vengano evitate eventuali fughe di notizie, che potrebbero consentire la pur minima previsione del momento dell’esercitazione di evacuazione dell’edificio. Ma come si può decifrare questo paradosso? Possiamo osservare che la promessa dell’allenatore riguarda due punti: «Esordio nella giornata X» «Previsione di esordire nella giornata X» X indica la giornata del campionato e, quindi, può essere 1, 2, …7, in quanto mancano sette giornate alla fine del campionato. Questi due elementi si combinano tra loro nel modo seguente.

248

Casi possibili 2 3

1

4

Esordio nella giornata X Previsione di esordio nella giornata X

Risultato

EsordioNON previsto

Esordioprevisto

NON esordioprevisto

NON esordioNON previsto

La promessa dell’allenatore corrisponde al caso 1: Esordio-NON previsto. Fidando nel ragionamento del capitano, il giovane calciatore pensa di non giocare mai e, quindi: «Previsione di esordire nella giornata X» è sempre falsa. Ciò significa che la negazione di questo assunto è sempre vero, ossia che: «NON previsione di esordire nella giornata X» è vera per ogni X. Quindi restano logicamente accettabili i casi 1 e 4. Questo permette all’allenatore di scegliere una giornata qualunque per l’esordio promesso, cosa che in effetti accade nella terz’ultima giornata, per onorare il suo impegno e rispettare il proverbio: «Ogni promessa è debito». Nota – Con un ragionamento analogo (che vi risparmiamo…), è possibile analizzare anche la variante della circolare scolastica.

249

3.11 Quel che non si può, non si deve A nessuno si deve chiedere di fare più di quanto è nelle sue obiettive possibilità; e nessuno deve sentirsi obbligato a soddisfare una simile richiesta. A tale riguardo, i Romani dicevano: «Ad impossibilia nemo tenetur». In particolare, alcuni problemi matematici, per quanto possano sembrare semplici, sono insolubili. Quindi, la volontà di chi ne pretende la soluzione, sia pure egli una grande autorità, un re, un imperatore, un dio, non potrà mai essere soddisfatta: «L’erba voglio non cresce neppure nel giardino del re». Non vorremmo trovarci nei panni del malcapitato al quale è stato affidato l’ingrato compito; il suo inevitabile insuccesso verrà imputato sicuramente alle sue scarse capacità, alla sua indolenza, al suo impegno inadeguato. I suoi tentativi di convincere l’augusto committente dell’impossibilità di soddisfare la sua richiesta verrebbero interpretate come banali scuse e aumenterà l’irritazione del re (dell’imperatore, del dio…) che prenderà adeguati provvedimenti per punire in modo esemplare quello che a lui sembra un imperdonabile delitto di lesa maestà. Problemi di impossibile soluzione si sono presentati in tempi molto remoti, come il seguente, tratto da un’antica leggenda. Nel iv secolo a.C., l’isola greca di Delo venne infestata da una terribile pestilenza. L’oracolo, consultate le stelle, studiate le viscere degli animali sacrificati, interpretati i tuoni e i fulmini, osservato il modo di mangiare del pollo sacro, insomma, dopo aver messo in opera qualunque accorgimento che il suo mestiere suggeriva, dichiarò solennemente che la pestilenza era dovuta all’ira del dio Apollo, insoddisfatto delle ridotte di250

mensioni dell’altare di forma cubica a lui dedicato. Occorreva raddoppiarne il volume. I cittadini, prontamente, costruirono un nuovo altare raddoppiando il lato di quello precedente. Ma ciò non rispondeva alle richieste del dio Apollo. Se infatti il cubo originario aveva il lato di due cubiti, con un volume di 8 cubiti cubi, il nuovo altare, di lato 4 cubiti, aveva un volume di 64 cubiti cubi, non certo di 16, come richiesto. Non riusciamo a capire perché Apollo non rimase soddisfatto di quella soluzione, che andava, addirittura, oltre le sue richieste, né sappiamo come la storia andò a finire. Possiamo presumere che la pestilenza cessò; in ogni caso, il problema dell’altare di Delo divenne uno dei tre grandi problemi insolubili dell’antichità, insieme alla trisezione di un angolo qualunque e alla quadratura del cerchio. Occorre specificare che la soluzione richiesta doveva rispettare i canoni del purismo geometrico; la costruzione doveva avvenire usando solo riga e compasso, classici e unici strumenti autorizzati dal rigore euclideo. Diciamo che il problema della duplicazione del cubo è un problema impossibile, se vincolato; ricorrendo, invece, ad altri strumenti il problema trova la sua soluzione. Se invece di un altare gli abitanti di Delo avessero dedicato ad Apollo un sacro recinto di forma quadrata, non vi sarebbe stata nessuna difficoltà a soddisfare la richiesta del dio di raddoppiarne l’area.

251

Il sacro recinto è il quadrato con i bordi più grossi. Tracciata la diagonale, si costruisce il quadrato con lato uguale alla diagonale. Contando i triangoli che si formano, è evidente che il quadrato con il lato uguale alla diagonale del quadrato di partenza ha area doppia.

Se, però, il sacro recinto fosse stato un pavimento di forma quadrata con mattonelle d’oro, anch’esse di forma quadrata, il raddoppio sarebbe stato impossibile e, questa volta, senza alcuna limitazione agli strumenti utilizzabili: un vero problema del tutto insolubile. Un esame di alcuni semplici valori esclude questa possibilità. Sacro recinto con il doppio di mattonelle Mattonelle Numero Numero Mattonelle su ogni lato su ogni totale di totale di Poche Troppe lato mattonelle mattonelle Sacro recinto

1

1

2

1×1 = 1

2×2 = 2

2

4

8

2×2 = 4

3×3 = 9

3

9

18

4×4 = 16

5×5 = 25

4

16

32

5×5 = 25

6×6 = 36

5

25

50

7×7 = 49

8×8 = 64

6

36

72

8×8 = 64

9×9 = 81

7

49

98

9×9 = 81

10×10 = 100

252

In alcuni casi l’obiettivo sfugge di pochissimo: una mattonella di troppo nel raddoppio del sacro pavimento da 4 mattonelle dorate, una mattonella mancante nel raddoppio del sacro pavimento da 25 mattonelle. Questo potrebbe indurre a pensare che, andando avanti con la tabulazione, prima o poi si riuscirà a trovare un valore soddisfacente. Non è così; in nessun caso è possibile, raddoppiando il numero di mattonelle che formano un quadrato, riuscire nuovamente a formare un quadrato. Per dimostrarlo, conviene ragionare affrontando il problema speculare; dato un quadrato con un certo numero di mattonelle dorate, dividerlo in due pavimenti uguali, sempre di forma quadrata. Supponiamo che ciò sia possibile, per un numero totale di mattonelle ancora ignoto, non importa quale; 10 000, un milione, 100 milioni, 1000 miliardi, è indifferente. Non è un caso che si siano indicati numeri pari. Se un quadrato è formato da un numero dispari di mattonelle uguali, è evidente che non potrà essere diviso in due quadrati formati ciascuno dallo stesso numero di mattonelle. Si avrebbe una situazione analoga alla seguente.

Ma se il quadrato complessivo è scomponibile nella somma di due quadrati uguali, ciò deve valere anche per il quadrato dipinto di nero, che sarà scomponibile nella somma dei due quadratini uguali dipinti anch’essi di nero. Questo ragionamento si può ripetere nuovamente sul nuovo quadrato e ancora sul nuovo quadrato più piccolo 253

che si forma allo stesso modo; e così via, con quadratini sempre più piccoli. All’infinito? Naturalmente no, prima o poi si arriverà a un quadrato formato da un numero dispari di mattonelle, al limite a un quadrato formato da una sola mattonella, che non potrà essere più suddiviso. Abbiamo applicato il metodo della discesa infinita, inventato da Fermat nel Seicento. Se una proprietà legata ai numeri interi positivi è valida anche per numeri più piccoli, allora la proprietà è falsa. Rinunciando, perché abbiamo appena visto impossibile, all’uguaglianza tra i due quadrati frutto della scomposizione, è possibile almeno dividere un pavimento quadrato in due pavimenti quadrati più piccoli? In alcuni casi sì, in altri no. Ad esempio: 100 = 102 = 64+36 = 82+62 Ciò significa che con le caselle di una scacchiera della dama polacca (10×10 = 100) si possono formare una scacchiera per il gioco degli scacchi (8×8 = 64) e una scacchiera più piccola (6×6 = 36) per un gioco ancora da inventare. Ma da una scacchiera per il gioco degli scacchi non è possibile formare altre due scacchiere entrambe quadrate, come si può facilmente controllare provando tutti i casi possibili. In assoluto, stabilire se un quadrato perfetto può essere scomposto in altri due quadrati perfetti più piccoli, equivale a verificare se, dato un numero intero A, è possibile trovare altri due numeri interi B e C, tali che: A2 = B2+C2 (ovvero, se è possibile costruire una terna pitagorica, a partire dal valore di A). Al riguardo, una famosa legge di Euclide (che qui non dimostriamo) afferma che, se si ha: A = M2+N2, con M e N entrambi interi e M > N, si può costruire una terna pitagorica, ponendo: B = M2– N2 e C = 2MN. Per risolvere il nostro problema, quindi, dobbiamo solo contare quante mattonelle si trovano lungo un lato del pavimento quadrato; se con queste è possibile formare due 254

diversi quadrati, la scomposizione desiderata è certamente possibile. Supponiamo, ad esempio, di avere un pavimento quadrato di 169 mattonelle; il suo lato contiene, perciò, 13 mattonelle e siccome con queste è possibile formare due pavimenti quadrati, uno di 32 = 9 mattonelle e l’altro di 22 = 4, la scomposizione in questione può essere effettuata. In particolare, essendo in questo caso: M = 3 e N = 2, i due quadrati più piccoli, risultano essere formati: – uno da 25 mattonelle, dato che: (32–22)2 = (9–4)2 = 52 = 25; – l’altro da 144, dato che: (2(2×3))2 = (2×6)2 = (12)2 = 144. Per verifica: 25+144 = 169. 3.12 Tutto è bene quel che finisce bene Un paradosso è un’affermazione destinata a sorprendere l’uditore, in quanto in evidente contrasto con credenze, opinioni, schemi comunemente diffusi e creduti validi. Occorrerebbe, però, entrare nel merito dell’affermazione, che potrebbe risultare vera oppure falsa. Nel primo caso la contraddizione con l’esperienza comune evidenzia semplicemente quanto possa essere diffusa la tendenza a una certa pigrizia mentale nell’affrontare questioni e problemi; nel secondo caso, invece, un sottile errore logico si è annidato nel ragionamento che ha preceduto l’affermazione paradossale. Alcuni paradossi veri possono essere, ad esempio, i seguenti. –– Chi è comodamente seduto su una poltrona in realtà sta girando a circa 1000 km/h (alla nostra latitudine) su quella gigantesca giostra che è la Terra. –– I numeri quadrati (1, 4, 9, 16, 25…) sono tanti quanti tutti i numeri naturali. –– Una pallina di carta cadrà dall’alto di una torre al suolo, 255

in assenza di aria, nello stesso tempo di una pesante incudine. Molto più intriganti sono i paradossi falsi, da una parte perché più spettacolari, dall’altra perché la ricerca dell’errore, involontariamente o, ed è senz’altro il caso più stimolante, a bella posta, può rappresentare un raffinato ed appagante esercizio mentale. I paradossi falsi sono, infatti, dimostrazioni erronee di un assunto; più precisamente vengono denominati paralogismi, in caso di errore involontario, e sofismi, in caso di errore proditoriamente inserito. In entrambi i casi, un attento esame del problema dovrebbe consentire di individuare l’errore, spiegare l’incongruenza e citare con sollievo il proverbio: «Tutto è bene quel che finisce bene». Esaminiamo una versione moderna del famoso, per chi ha avuto almeno qualche incontro poco più che episodico con la storia della filosofia, paradosso di Zenone, che in realtà è un sofisticato sofisma. Un aereo, partendo da Roma, non raggiungerà Londra. Infatti dovrà prima percorrere metà del tragitto, poi metà del rimanente tratto, poi ancora metà di ciò che rimane; e così via all’infinito. Dovendo dunque percorrere un’infinità di tratti, non raggiungerà mai la sua destinazione. Una tale affermazione paradossale è sicuramente falsa, essendo banalmente contraddetta dall’esperienza. Ma dove si cela l’errore? È verissimo che l’aereo dovrà percorrere infiniti tratti, ciascuno la metà del precedente, ma non è affatto vero che la somma di questi tratti sia un valore infinito. In altre parole, la somma degli infiniti numeri 256

1/2+1/4+1/8+1/16+… è un numero finito, ossia 1, cioè l’intero percorso. Possiamo dimostrarlo con alcuni passaggi. Indichiamo con X la somma degli infiniti numeri: X = 1/2+1/4+1/8+1/16+… Moltiplichiamo per 2 entrambi i membri: 2X = 1+(1/2+1/4+1/8+…) La quantità tra parentesi è la stessa somma infinita che appare nella prima relazione e, dunque, sarà uguale a X. Allora, da 2X = 1+X segue immediatamente che X=1. «Tutto è bene quel che finisce bene», appunto. Nonostante le apprensioni suscitate dal paradosso di Zenone, il viaggiatore giungerà alla meta. Proviamo ad applicare questo metodo per calcolare somme infinite anche a un approfondimento dell’antica leggenda sul moltiplicarsi dei chicchi di grano su una scacchiera. Il saggio Sussa ibn Dahir, inventore del gioco degli scacchi, invitato dal suo re Shiram a esprimere un desiderio come ricompensa per la propria geniale invenzione, chiese semplicemente 257

che venisse messo un chicco di grano sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza e così via, raddoppiando ogni volta la quantità precedente, fino ad arrivare alla sessantaquattresima casella. Il re si meravigliò molto per l’entità apparentemente modesta di quella richiesta. Ma si sbagliava… In realtà, la proposta di Sussa era tutt’altro che modesta. La quantità N di chicchi di grano richiesta, infatti, è uguale alla somma delle prime sessantaquattro potenze di 2, da 20 a 263, ovvero: N = 20+21+22+…+262+263 = 1+2+4+… +4 611 686 018 427 387 904+9 223 372 036 854 775 808. Svolgendo i calcoli con molta pazienza (o ricorrendo all’uso di una buona calcolatrice elettronica), ci si può rendere conto che sulla scacchiera si dovranno trovare circa 18,5 miliardi di miliardi di chicchi (per la precisione: 18 446 744 073 709 551 615). Con una tale quantità di grano a disposizione, si potrebbe ricoprire tutta l’intera superficie terrestre (compresi mari, oceani, deserti e ghiacciai), collocando circa 3 chicchi e mezzo, ogni cm2. Un computer molto veloce, in grado di smistare un miliardo di chicchi al secondo, impiegherebbe più di 593 anni per contarli tutti… Forse, però, avremmo dovuto scrivere: «si dovrebbero trovare sulla scacchiera…»; infatti, se incollassimo i chicchi di grano uno sull’altro, sull’ultima casella ne dovremmo collocare addirittura 9 223 372 036 854 775 808, formando una colonna alta più di 63 000 volte la distanza Terra-Sole, quasi un anno luce. Cosa sarebbe successo se la scacchiera avesse avuto un numero infinito di caselle? 258

Se indichiamo con N il numero di chicchi di grano, avremo: N = 1+2+4+8+16+… e moltiplicando per 2 entrambi i membri dell’uguaglianza: 2N = 2+4+8+16+32+… abbiamo che: N = 1+2N e, dunque, che: N = –1. Se, cioè, la scacchiera avesse avuto infinite caselle, sarebbe stato l’inventore a dover dare un chicco di grano al sultano: risultato paradossale ed evidentemente falso. Affinché non venga usato contro di noi l’antipatico proverbio: «L’eloquenza del tristo è falso acume», ci affrettiamo a spiegare l’arcano, piuttosto che consolarci con la considerazione che: «Non tutte le ciambelle riescono con il buco». «Dio ti guardi da chi legge un libro solo». Nel nostro caso, dovrebbe suonare, piuttosto: «Dio ti guardi da chi usa un metodo solo». Un metodo risolutivo, per quanto brillante ed efficace, non può essere esteso automaticamente a tutti i casi che sembrano godere delle medesime caratteristiche. La sua applicazione può dipendere da alcune circostanze, essenziali anche se non evidenti, che ne garantiscono la validità. Queste circostanze possono presentarsi in un caso ed essere assenti nell’altro. Il più delle volte occorre cercare di risolvere in un altro modo i casi che hanno portato a una contraddizione. Riprendiamo il paradosso di Zenone e limitiamo a cinque il numero dei dimezzamenti del viaggio Roma-Londra. Lo spazio percorso sarà: 259

1 1 1 1 1 X = 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 = ⎯ + ⎯ + ⎯ + ⎯ + ⎯ 21 22 23 24 25 Aggiungiamo 1/25 a entrambi i membri dell’uguaglianza: 1 1 1 1 1 1 1 X +⎯= ⎯ +⎯+⎯+ ⎯ +⎯+⎯ 25 21 22 23 24 25 25 Osserviamo che 1/25+1/25 = 2×(1/25) = 1/24 Proseguendo, si ha la situazione descritta nello schema seguente.

1 X+ ⎯ 25

=

1 ⎯ 21

1 ⎯ 22

1 ⎯ 23

1 ⎯ 24

1 ⎯ 21

1 ⎯ 22

1 ⎯ 23

1 ⎯ 24

1 ⎯ 21

1 ⎯ 22

1 ⎯ 23

1 ⎯ 21

1 ⎯ 22

1 ⎯ 25

1 ⎯ 25 1 ⎯ 24

1 ⎯ 23 1 ⎯ 22

1 ⎯ 21

1 ⎯ 21 1

Quindi, dopo 5 dimezzamenti si sarà percorso uno spazio pari a X = 1–1/25. 260

Il ragionamento può essere applicato a qualunque numero di dimezzamenti. Lo spazio percorso dopo 10 dimezzamenti sarà X = 1–1/210. Lo spazio percorso dopo 50 dimezzamenti sarà X = 1–1/250. Lo spazio percorso dopo 1022 dimezzamenti sarà X = 1–1/21022. La quantità che togliamo da 1 per stabilire la distanza percorsa diminuisce sempre all’aumentare dei dimezzamenti e, quindi, contemporaneamente, questa distanza si avvicina sempre più a 1. I fogli elettronici ci dicono anzi che per 1023 dimezzamenti questa quantità è addirittura uguale a zero e che la distanza raggiunge il valore 1, cioè l’intero percorso, dopo appena 51 dimezzamenti. Ciò non è vero, naturalmente. Questi risultati, per di più tra loro incongruenti (non si capisce perché se 1/251 è diverso da 0, 1–1/251 debba essere uguale a 1), sono dovuti da una parte ai limiti di calcolo dei computer, dall’altra al criterio con cui si rappresentano i numeri in memoria, troppo complessi per essere spiegati brevemente. Queste riflessioni, però, mostrano come gli inversi di una potenza di 2 si possano rendere teoricamente piccoli a piacere e che, quindi, è lecito immaginare che, dopo infiniti dimezzamenti, l’inverso di una potenza di 2 sia zero e, di conseguenza, la distanza percorsa uguale a 1, mostrando la falsità del paradosso di Zenone con un altro metodo. Applichiamo ora il medesimo metodo al problema della scacchiera, calcolando il numero di chicchi di grano fino alla quinta casella. Questo numero sarà: 261

N = 1+2+4+8+16 = 20+21+22+23+24 Aggiungiamo 1 a entrambi i membri dell’uguaglianza: N+1 = 1+1+2+4+8+16 N+1 = 2+2+4+8+16 N+1 = 4+4+8+16 N+1 = 8+8+16 N+1 = 16+16 N+1 = 32 = 25 E infine, quindi: N = 25–1 = 31. Applicando il ragionamento a un numero qualunque di caselle: i chicchi in 10 caselle saranno N = 210–1 = 1023; i chicchi in 50 caselle saranno N = 250–1 = 1 125 899 906 842 623; i chicchi in 1023 caselle saranno N = 21023–1 = 9 seguito da 307 zeri, circa. Questo è l’ultimo valore che può essere calcolato con un foglio elettronico. Questo secondo metodo fornisce il risultato corretto al problema della scacchiera. Come ci attendevamo, una scacchiera con infinite caselle conterrà ovviamente infiniti chicchi di grano. Il primo metodo può essere applicato al paradosso di Zenone perché i passaggi effettuati coinvolgono sempre e solo numeri finiti. Viceversa, il caso della scacchiera riguarda una quantità infinita e, siccome l’infinito non è un numero, non può operare con altri numeri. Anche in questo caso, quindi, possiamo commentare: «Tutto è bene quel che finisce bene», e il saggio Sussa non deve dare neanche un chicco di grano al re… 262

Ringraziamenti (Il ringraziar non paga debito)

Ringraziamo Susanna Serafini, per aver supervisionato con scrupolosa attenzione l’intero materiale da noi prodotto. Ringraziamo anche Maurizia Costabile per aver pazientemente sopportato (e, a volte, supportato...) la laboriosa fase di stesura di questo libro, affrontata da uno di noi due.

263

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268

Indice analitico (Da cosa nasce cosa)

ARGOMENTO

PARAGRAFO

Antinomia

2.6 L’eccezione conferma la regola

Assi cartesiani

2.1 Ama chi t’ama e rispondi a chi ti chiama

Astrazione

2.4 Contano più gli esempi che le parole

AUT – connettivo logico

3.2 Bacco, Tabacco e Venere...

Bit di parità

1.7 Non c’è due senza tre

Calcoli numerici

1.12 Zero via zero, fa zero

Calendari

1.11 Trenta giorni ha novembre, con aprile…

Complemento di un insieme

2.0 Tutto il mondo è paese

Configurazioni di un gioco

1. 2 Chi ben congettura bene indovina

Contraddizione

2.6 L’eccezione conferma la regola 269

Corrispondenza biunivoca

2.1 Ama chi t’ama e rispondi a chi ti chiama

Crittografia

1.9 Segreto di due, segreto di Dio…

Definizione di numero

2.4 Contano più gli esempi che le parole

Diagrammi di Eulero-Venn

2.0 Tutto il mondo è paese

Differenza tra insiemi

2.0 Tutto il mondo è paese

Dilatazione del tempo

1.1 A chi lavora il tempo passa presto

Dilemma del prigioniero

1.5 L’unione fa la forza

Discesa infinita

3.11 Quel che non si può non si deve

Discorso sul metodo

2.11 Tra il dire e il fare c’è di mezzo il mare

Distribuzione di Bernoulli

3.9 Non tutte le ciambelle riescono col buco

Divisione per zero

2.12 Un errore ne porta cento

E – connettivo logico

3.2 Bacco, Tabacco e Venere... 3.10 Ogni promessa è debito

Enunciati opinabili

2.10 Tante teste tanti pareri

Equazioni di primo grado

2.11 Tra il dire e il fare c’è di mezzo il mare

Errori ( probabilità)

3.9 Non tutte le ciambelle riescono col buco

270

Euristica

2.11 Tra il dire e il fare c’è di mezzo il mare

Eventi ripetuti (probabilità)

1.10 Tanto va la gatta al lardo...

Faccia ( di un poliedro)

3.8 Non si muove foglia che Dio non voglia

Falsificazionismo

2.6 L’eccezione conferma la regola

Formula di Eulero

3.8 Non si muove foglia che Dio non voglia

Fuzzy logic

2.8 O tutto o nulla

Geometria analitica

2.1 Ama chi t’ama e rispondi a chi ti chiama

Giochi a informazione non perfetta

3.5 Gioco di mano, gioco di villano

Giochi a informazione perfetta

1.2 Chi ben congettura bene indovina 2.3 Chi sa il gioco non l’insegni

Giochi a somma zero

1.6 Meglio un uovo oggi...

Giochi cooperativi

1.5 L’unione fa la forza

Grafi

2.7 Non si possono raddrizzare le gambe...

Inferenze logiche

1.0 Ogni proverbio è vero

Insiemi

2.0 Tutto il mondo è paese

Intersezione tra insiemi

2.0 Tutto il mondo è paese

Metodo esaustivo

1.8 Salvare capra e cavoli

271

Minimax - Maximin

1.6 Meglio un uovo oggi...

Moltiplicazione egizia

2.9 Paese che vai, usanza che trovi 2.5 La necessità aguzza l’ingegno

Negazione logica

3.2 Bacco, Tabacco e Venere... 3.10 Ogni promessa è debito

Numerazione binaria

2.8 O tutto o nulla

Numerazione greca

2.9 Paese che vai, usanza che trovi 1.12 Zero via zero, fa zero

Numerazione posizionale

2.8 O tutto o nulla 2.9 Paese che vai, usanza che trovi

Numeri grandi

3.7 Il tempo è denaro

Numeri negativi

3.4 Due torti non fanno una ragione

Numero di Nepero

2.8 O tutto o nulla

Numero della Bestia

3.6 Il diavolo fa le pentole, ma non i coperchi

Numero primo

2.6 L’eccezione conferma la regola

O - connettivo logico

3.2 Bacco, Tabacco e Venere...

Paradosso

3.10 Ogni promessa è debito

272

Paradosso di Zenone

3.12 Tutto è bene quel che finisce bene

Parallelepipedo

3.8 Non si muove foglia che Dio non voglia

Permutazioni

3.1 Amore non si trova al mercato

Poliedri regolari

3.8 Non si muove foglia che Dio non voglia

Poligoni

3.8 Non si muove foglia che Dio non voglia

Potenze

3.7 Il tempo è denaro

Prefissi ISO

3.7 Il tempo è denaro

Premesse logiche

1.0 Ogni proverbio è vero

Principio di induzione finita

1.4 Chi ha fatto trenta può fare trentuno 1.7 Non c’è due senza tre

Principio di parità

Probabilità subordinate

2.7 Non si possono raddrizzare... 2.2 Chi conta nel futuro, sovente s’inganna 2.5 La necessità aguzza l’ingegno

Proprietà transitiva

3.0 Una parola tira l’altra

Quadrato

3.11 Quel che non si può non si deve

Quadrato magico

3.6 Il diavolo fa le pentole, ma non i coperchi

273

Radice quadrata

2.12 Un errore ne porta cento

Regola dei segni

3.4 Due torti non fanno una ragione

Regola di Eulero

2.7 Non si possono raddrizzare le gambe...

Relatività del tempo

1.1 A chi lavora il tempo passa presto

Scientificità

2.6 L’eccezione conferma la regola

Serendipità

1.3 Chi cerca trova 1.4 Chi ha fatto trenta può fare trentuno 2.6 L’eccezione conferma la regola

Serie numeriche

3.6 Il diavolo fa le pentole, ma non i coperchi 3.12 Tutto è bene quel che finisce bene

Somma angoli interni

3.8 Non si muove foglia che Dio non voglia

Sottrazione per complemento

2.9 Paese che vai, usanza che trovi

Steganografia

1.9 Segreto di due, segreto di Dio…

Strategia « tit-for-tat»

1.5 L’unione fa la forza

Strategie ottimali

1. 2 Chi ben congettura bene indovina

274

Tautologia

2.4 Contano più gli esempi che le parole

Teorema di Jordan

2.7 Non si possono raddrizzare le gambe...

Teoria dei giochi

1.5 L’unione fa la forza 1.6 Meglio un uovo oggi...

Topologia

2.7 Non si possono raddrizzare le gambe...

Ultimo teorema di Fermat

2.3 Chi sa il gioco non l’insegni

Unione tra insiemi

2.0 Tutto il mondo è paese

Velocità della luce

1.1 A chi lavora il tempo passa presto 1.12 Zero via zero, fa zero

Zero

2.4 Contano più gli esempi che le parole 2.9 Paese che vai, usanza che trovi

275

Indice (A buon intenditor poche parole)

Introduzione5 1. Ogni proverbio è vero 1.1 A chi lavora il tempo passa presto 1.2 Chi ben congettura bene indovina 1.3 Chi cerca trova 1.4 Chi ha fatto trenta può fare trentuno 1.5 L’unione fa la forza 1.6 Meglio un uovo oggi che una gallina domani 1.7 Non c’è due senza tre 1.8 Salvare capra e cavoli 1.9 Segreto di due, segreto di Dio; segreto di tre, lo sa pure il mondo 1.10 Tanto va la gatta al lardo che ci lascia lo zampino 1.11 Trenta giorni ha novembre, con aprile, giugno e settembre; di ventotto ce n’è uno; tutti gli altri ne han trentuno 1.12 Zero via zero, fa zero 2. Tutto il mondo è paese 2.1 Ama chi t’ama e rispondi a chi ti chiama

17 21 24 32 35 42 46 54 59 67 78 82 93 101 105

2.2 Chi conta sul futuro, sovente s’inganna 2.3 Chi sa il gioco non l’insegni 2.4 Contano più gli esempi che le parole 2.5 La necessità aguzza l’ingegno 2.6 L’eccezione conferma la regola 2.7 Non si possono raddrizzare le gambe ai cani 2.8 O tutto o nulla 2.9 Paese che vai, usanza che trovi 2.10 Tante teste, tanti pareri 2.11 Tra il dire e il fare c’è di mezzo il mare 2.12 Un errore ne porta cento 3. Una parola tira l’altra 3.1 Amore non si trova al mercato 3.2 Bacco, Tabacco e Venere riducono l’uomo in cenere 3.3 Chi fa da sé fa per tre 3.4 Due torti non fanno una ragione 3.5 Gioco di mano, gioco di villano 3.6 Il diavolo fa le pentole ma non i coperchi 3.7 Il tempo è denaro 3.8 Non si muove foglia che Dio non voglia 3.9 Non tutte le ciambelle riescono col buco 3.10 Ogni promessa è debito 3.11 Quel che non si può, non si deve 3.12 Tutto è bene quel che finisce bene

111 118 123 128 134 141 151 159 167 173 179 185 187 193 203 209 213 222 228 233 242 246 250 255

Ringraziamenti263 Bibliografia265 Indice analitico

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