Intersection, mathématique : culture, société et technique : 2e cycle du secondaire, 3e année. Complément au manuel [2-3CST] 9782765055655, 2765055653

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Intersection, mathématique : culture, société et technique : 2e cycle du secondaire, 3e année. Complément au manuel [2-3CST]
 9782765055655, 2765055653

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2e cycle du secondaire 3e année

Complément au manuel Julie Cléroux Valérie Rodrigue

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Mathématique Culture, société et technique

2e cycle du secondaire 3e année

Complément au manuel Julie Cléroux Valérie Rodrigue

Intersection Mathématique, 2e cycle du secondaire, 3e année Culture, société et technique Complément au manuel

Remerciements Pour sa précieuse expertise, l’Éditeur tient à remercier Eugen Pascu (C.S. Marguerite-Bourgeoys).

Julie Cléroux, Valérie Rodrigue © 2017 TC Média Livres Inc.

Sources iconographiques

Édition : Johanne L. Massé Coordination : Dany Cloutier Révision linguistique : Nicole Blanchette Correction d’épreuves : Renée Bédard Conception graphique : Matteau Parent graphisme et communication inc. Infographie : Claude Bergeron Impression : TC Imprimeries Transcontinental

Couverture : iStockphoto (haut), Shutterstock (bas à gauche), Ldprod/Dreamstime.com (bas à droite). p. 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10-11, 12, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 60, 62, 64, 65, 68 (bas), 71, 72, 77, 79 (haut), 85, 91, 93 (bas), 94, 95, 96, 97, 98 (haut), 99 (centre et bas), 101 : Shutterstock. p. 15, 68 (haut), 69, 70, 79 (bas), 80, 81, 82, 88, 89, 90, 92, 93 (centre), 98 (bas), 103 : iStockphoto. p. 63 vadimguzhva / Thinkstock ; p. 67 Ingram Publishing / Thinkstock ; p. 99 (haut) François Lacasse / Getty Images. Illustrations Serge Rousseau : p. 13, 20 (haut et bas).

TOUS DROITS RÉSERVÉS. Toute reproduction du présent ouvrage, en totalité ou en partie, par tous les moyens présentement connus ou à être découverts, est interdite sans l’autorisation préalable de TC Média Livres Inc. Toute utilisation non expressément autorisée constitue une contrefaçon pouvant donner lieu à une poursuite en justice contre l’individu ou l’établissement qui effectue la reproduction non autorisée. ISBN 978-2-7650-5565-5 Dépôt légal : 2e trimestre 2017 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada Imprimé au Canada 1

2

3

4 5

ITIB

21

20

19

18

17

Gouvernement du Québec – Programme de crédit d’impôt pour l’édition de livres – Gestion SODEC.

Table des matières Chapitre

1

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire – Complément ........................................................................................

1

SECTION A • Les inéquations du premier degré à deux variables Situation-problème Bien traiter l’information ......................................................................................................... Activité d’exploration 1 Toujours plus haut ! .................................................................................................................. • Inéquations du premier degré à une et à deux variables Activité d’exploration 2 C’est payant de récupérer ...................................................................................................... • Inéquations du premier degré à deux variables Faire le point ............................................................................................................................................................................ Mise en pratique .....................................................................................................................................................................

1 2 4 6 7

CONSOLIDATION – AJOUT .............................................................................................................................. 12

Chapitre

2

La géométrie des figures planes – Complément

............................................................................................................................... 13

SECTION A • La loi des cosinus Situation-problème C’est clair et net ! ....................................................................................................................... Activité d’exploration Triangulation planétaire .......................................................................................................... • Loi des cosinus Faire le point ............................................................................................................................................................................ Mise en pratique .....................................................................................................................................................................

13 14 16 17

CONSOLIDATION – AJOUT .............................................................................................................................. 21

Chapitre

A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières ..................................................

22

ENTRÉE EN MATIÈRE En contexte .............................................................................................................................. .................................................. En bref ........................................................................................................................................................................................

24 25

SECTION 1 • Les logarithmes et la résolution de problèmes Situation-problème Une question de salaire .......................................................................................................... Activité d’exploration L’intensité de la lumière du Soleil sous la surface de l’eau ............................................ • Équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique ; logarithmes ; loi du changement de base ; résolution d’équations exponentielles Faire le point ............................................................................................................................................................................ Mise en pratique .....................................................................................................................................................................

27 28 30 32

Table des matières

III

SECTION 2 • Les mathématiques financières Situation-problème Acheter maintenant, payer plus tard ................................................................................... Activité d’exploration 1 Les certificats de placement garanti ..................................................................................... • Intérêt simple ; intérêt composé Activité d’exploration 2 Financer ses études .................................................................................................................. • Taux d’intérêt ; période d’intérêt ; valeur actuelle ; valeur future ; capitalisation ; actualisation ; durée d’un emprunt ou d’un placement Activité d’exploration 3 Des versements égaux (enrichissement) ............................................................................ • Versements périodiques ; annuité ; versements de début de période ; valeur future de versements périodiques Faire le point ............................................................................................................................................................................ Mise en pratique .....................................................................................................................................................................

35 36 38

40 42 47

CONSOLIDATION .............................................................................................................................. ......................... 54 LE MONDE DU TRAVAIL .................................................................................................................................... 63

Chapitre

B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique ..................................................................................................................

64

ENTRÉE EN MATIÈRE En contexte .............................................................................................................................. .................................................. En bref ........................................................................................................................................................................................

66 68

SECTION 1 • La probabilité subjective Situation d’application À chacun sa force ..................................................................................................................... Activité d’exploration 1 Calculer, estimer ou évaluer ? ................................................................................................ • Distinction entre différents types de probabilités Activité d’exploration 2 La Triple Couronne .................................................................................................................. • Probabilité subjective ; « chances pour » et « chances contre » Faire le point ............................................................................................................................................................................ Mise en pratique .....................................................................................................................................................................

69 70 72 74 77

SECTION 2 • L’espérance mathématique Situation-problème Tout le monde y gagne ! ......................................................................................................... Activité d’exploration 1 Partage de coutume ................................................................................................................. • Espérance mathématique Activité d’exploration 2 Le Plinko ..................................................................................................................................... • Interprétation de l’espérance mathématique ; équité Faire le point ............................................................................................................................................................................ Mise en pratique .....................................................................................................................................................................

81 82 84 86 88

CONSOLIDATION .............................................................................................................................. ......................... 92 LE MONDE DU TRAVAIL .................................................................................................................................... 103

Outils technologiques

.................................................................................................................................

Faire le point sur les connaissances antérieures

104

........ 105

INDEX .............................................................................................................................. ....................................................... 107 IV

Table des matières

Les inéquations du premier degré à deux variables

Chapitre

1 Section A

Bien traiter l’information Yoan a fondé sa propre entreprise de traiteur. Il est chargé d’organiser un souper qui sera servi à un congrès auquel assisteront plusieurs dizaines de personnes. Pour ce repas, il offre deux choix de menus : l’un à base de poulet, l’autre à base de bœuf. Afin de limiter le plus possible les pertes, Yoan doit bien gérer son stock de denrées périssables. Lors de leur inscription au congrès, 65 personnes ont présélectionné le poulet et 18, le bœuf. Au total, Yoan prévoit servir un minimum de 100 repas, mais pas plus de 125. Par expérience, il estime qu’il y aura au moins deux fois plus de personnes qui choisiront le poulet que de personnes qui voudront du bœuf. Par ailleurs, il veut prévoir un minimum de 40 plats de bœuf. Yoan veut minimiser ses pertes tout en répondant bien à la demande de son client. Son entreprise parviendra ainsi à se distinguer, ce qui lui apportera de nouveaux contrats d’envergure.

L’assistant de Yoan propose de commander les denrées nécessaires à la préparation de 40 plats de bœuf et de 80 plats de poulet.

Si Yoan est sûr de ses prévisions, devrait-il suivre la recommandation de son assistant ? Justie ta réponse et propose une autre option à Yoan.

Orientation et entrepreneuriat Pour assurer la rentabilité et la pérennité d’une entreprise, il faut prendre en compte de nombreux aspects. Peu importe le champ d’expertise de l’entreprise, il faut veiller à limiter les pertes et à maximiser les revenus tout en maintenant un service de qualité, en vue de déliser la clientèle et, dans la mesure du possible, de l’élargir. À ton avis, quelles qualités doit posséder une ou un chef d’entreprise pour réussir à atteindre et à préserver cet équilibre ? Crois-tu avoir ces qualités ?

Section A

Les inéquations du premier degré à deux variables

1

ACTIVITÉ d’exploration

1

Inéquations du premier degré à une et à deux variables

Inéquation Énoncé mathématique qui comporte une ou des variables et une relation d’inégalité, c’est-à-dire le symbole « > », « ≥ », « < » ou « ≤ ».

2

Chapitre 1

Toujours plus haut ! Deborah est passionnée d’aviation. Elle souhaite devenir pilote de ligne. Pour le moment, son instructeur lui conrme qu’elle a accumulé au moins 100 heures de vol aux commandes d’un avion monomoteur, mais moins de 30 heures aux commandes d’un avion bimoteur. A

Selon les informations données par l’instructeur, est-il possible que Deborah ait accumulé plus de 29 heures de vol à bord d’un avion bimoteur ?

B

Si x correspond au nombre d’heures de vol dans un avion monomoteur et que y correspond au nombre d’heures de vol dans un avion bimoteur, donne 5 valeurs possibles pour : 1) la variable x. 2) la variable y.

C

Parmi les inéquations suivantes, laquelle représente le nombre d’heures de vol de Deborah à bord d’un avion monomoteur ? 1)

x > 100

2)

x < 100

3)

x ≥ 100

4)

x ≤ 100

D

Détermine l’inéquation représentant le nombre d’heures de vol de Deborah à bord d’un avion bimoteur.

E

Représente chaque équation ci-dessous dans un plan cartésien distinct, puis décris la représentation obtenue. 1) x = 100 2) y = 30

F

Dans les graphiques tracés en E pour les inéquations trouvées en C et en D, respectivement, hachure la région représentant toutes les valeurs possibles de la variable. Que remarques-tu ?

G

Les points de la droite font-ils partie de la région hachurée : 1) dans le premier graphique ? 2) dans le deuxième graphique ?

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

H

Deborah afrme qu’elle a accumulé plus de 150 heures de vol au total. Est-ce possible, compte tenu des informations données par son instructeur ? Explique ta réponse.

I

Détermine l’inéquation qui représente l’afrmation que fait Deborah en H.

Au même aéroport, Mathis suit aussi une formation pour obtenir une licence de pilote professionnel. Il dit avoir accumulé au moins deux fois plus d’heures aux commandes d’un avion bimoteur qu’aux commandes d’un avion monomoteur. J

En utilisant les variables dénies en B, traduis l’énoncé de Mathis par une inéquation.

K

Mathis afrme avoir au maximum 50 heures de vol de plus que Deborah à titre de pilote. En associant la variable m au temps de pilotage de Mathis et d au temps de pilotage de Deborah, traduis l’afrmation de Mathis par une inéquation.

Fait divers Pour obtenir un permis ou une licence de pilote, il faut répondre à certaines exigences médicales, suivre une formation déterminée au sol et en vol, puis réussir les examens prescrits par Transports Canada.

Ai-je bien compris ? 1. Représente graphiquement les inéquations suivantes. a) x ≤ 10 b) y > 9 2. Traduis chacun des énoncés suivants par une inéquation. Assure-toi d’identier tes variables. a) Il y a au plus deux fois plus d’équipes cadettes que d’équipes juvéniles. b) L’activité cinéma obtient au moins 15 inscriptions de plus que l’activité quilles.

Section A

Activité d’exploration 1

3

ACTIVITÉ d’exploration

2

Inéquations du premier • Distance entre degré deux variables deux àpoints

C’est payant de récupérer Les jours de collecte d’ordures et de récupération, Louis-Thomas circule dans son quartier an de ramasser des objets ou des métaux qu’il peut revendre à des ferrailleurs. Aujourd’hui, il a surtout ramassé de l’aluminium. Lorsqu’il vend de l’aluminium, Louis-Thomas obtient 3 $ par kilogramme pour l’aluminium de qualité supérieure et 2 $ par kilogramme pour les retailles d’aluminium. Louis-Thomas ne connaît pas la masse de chaque type d’aluminium qu’il a vendu aujourd’hui, mais il a reçu 36 $. A

Si x représente la masse d’aluminium de qualité supérieure, en kilogrammes, et y, la masse des retailles d’aluminium, en kilogrammes, quelle équation représente toutes les masses possibles des deux types d’aluminium que Louis-Thomas a vendus ?

B

Représente graphiquement l’équation que tu as déterminée en A. Au besoin, isole d’abord la variable y ou utilise une table de valeurs.

C

Est-il possible que Louis-Thomas ait vendu : 1) 8 kg d’aluminium de qualité supérieure et 6 kg de retailles ? 2) 9 kg d’aluminium de qualité supérieure et 4 kg de retailles ?

Fait divers L’aluminium ne se dégrade pas lorsqu’il est recyclé, c’est-à-dire qu’une nouvelle bo te en aluminium peut être faite à partir d’un matériau 100 % recyclé. L’aluminium est le seul matériau d’emballage qui possède cette caractéristique. Il est donc très convoité par les ferrailleurs.

Ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables Ensemble des couples de valeurs qui vérient l’inéquation.

4

Chapitre 1

Justie tes réponses. La semaine dernière, lorsqu’il est allé vendre de l’aluminium, Louis-Thomas a reçu un montant inférieur à 36 $. D

Nomme un couple de valeurs possibles pour les masses d’aluminium de chaque type qui résulterait en un montant inférieur à 36 $.

E

Quelle inéquation du premier degré à deux variables représente la situation où Louis-Thomas reçoit moins que 36 $ pour son aluminium ?

F

Dans la représentation graphique faite en B, identie l’ensemble-solution de l’inéquation du premier degré à deux variables trouvée en E.

G

Est-ce que les coordonnées des points situés sur la droite tracée en B font partie de l’ensemble-solution de l’inéquation trouvée en E ? Propose une façon de tenir compte de ta réponse dans la représentation graphique de l’ensemblesolution de l’inéquation.

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

La semaine suivante, Louis-Thomas vend de nouveau l’aluminium qu’il récupère et reçoit un montant supérieur à 54 $. H

Quelle inéquation décrit cette situation ?

I

Donne un couple de valeurs possibles pour les masses d’aluminium vendues.

J

Parmi les représentations graphiques ci-dessous, laquelle représente l’ensemble-solution de l’inéquation déterminée en H ? 1

2

3

K

Décris de quelle façon on peut utiliser les coordonnées d’un point pour représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation.

L

Détermine l’inéquation qui a comme ensemble-solution chacune des deux autres représentations graphiques.

Ai-je bien compris ? 1. Traduis chacune des situations suivantes par une inéquation. a) Le résultat de Vincent est au moins égal à celui de Bruno. b) Martine a au plus le triple de l’âge de Marianne. 2. a) Laquelle des inéquations ci-dessous a comme ensemble-solution la représentation graphique ci-contre ? 1

y > - 3x + 4 3

2

y x.

Étape

Démarche

1. Au besoin, isoler la variable indépendante. Rappelle-toi que multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif inverse le sens du symbole d’inégalité.

−2y

+ 100 > x −2y

> x − 100

−2y

< x −− 100

−2

2

y < − x + 50 2

y = − x + 50 2

2. Remplacer le signe d’inégalité par un signe d’égalité et tracer la droite. Si le signe d’inégalité est strict (< ou >), cette droite doit être en tirets.

3. Choisir un point-test et remplacer ses coordonnées dans l’inéquation.

x

y

0

50

100

0

Pour faciliter les calculs, lorsque la droite ne passe pas par l’origine, on choisit souvent l’origine du plan cartésien (0, 0) comme point-test : 0 < − 0 + 50 2 Puisque 0 < 50, l’origine fait partie de la région à hachurer.

4. Hachurer la région correspondant à l’ensemble-solution selon la conclusion obtenue à l’étape 3.

Remarque : En contexte, l’ensemble-solution doit tenir compte des valeurs pouvant être prises par les variables. 6

Chapitre 1

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

Mise en pratique 1. Soit les situations suivantes. 1

Michel a payé au moins 200 $ pour deux chemises et trois pantalons.

2

Claude a obtenu, au plus, huit points de plus que Daniel à l’examen d’histoire.

3

Lynn a écrit au moins vingt paragraphes de plus que Frank.

4

Cette semaine, Madelyn prévoit consacrer jusqu’à 10 heures à ses devoirs de français et de mathématique.

a) Traduis chacune des situations par une inéquation du premier degré à deux variables. b) Pour chaque inéquation trouvée en a, nomme deux couples de valeurs possibles pour les variables en jeu.

2. Mélissa et Rodrigo jouent à un jeu de société. a) Si x représente le nombre de points de Mélissa et y le nombre de points de Rodrigo, traduis chaque énoncé par une inéquation à deux variables. 1

Au total, ils ont accumulé au maximum 500 points.

4

2

Mélissa a au moins le double des points de Rodrigo.

5

3

La différence entre le nombre de points de Mélissa et celui de Rodrigo dépasse 200.

6

Le nombre de points de Rodrigo surpasse de plus de 20 le tiers du nombre de points de Mélissa. Mélissa a plus de points que Rodrigo. Si Rodrigo avait 250 points de plus, il devancerait Mélissa.

b) Détermine un pointage possible qui respecte tous les énoncés.

3. Résous les inéquations suivantes. a) 2x + 10 ≤ 2

d)

b) 5x + 7 > 8x − 5

e) 48 ≤ −6x + 12

c) 3x − 8 < 20 − x

f)

−4x

−x

3

− 4 ≥ −2x − 10

> 19

Section A

Mise en pratique

7

4. Isole la variable y dans chacune des inéquations suivantes. a) y − 14 ≤ 12

d) 2x − 5y ≤ 15

b) 8x + 2y − 16 ≥ 0

e)

y > 6x − 7 4

c) 3x + 18 < −2y

f)

2,5x − 5y ≤ 7,5

5. Trouve l’inéquation associée à chacun des demi-plans ci-dessous. a)

c)

b)

d)

6. Voici cinq points et leurs coordonnées. A

(0, 0)

C

(12, 18)

B

(−5, 7)

D

(−8, −4)

E

(8, 0)

Lesquels de ces points appartiennent à l’ensemble-solution associé à chaque inéquation ? a) y > 0

d) 2x + y ≥ 0

b) y ≤ x

e) y < 2x

c) y ≤ 3 x

f) x − y + 4 ≤ 0

2

8

Chapitre 1

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

7. Représente graphiquement l’ensemble-solution des inéquations suivantes. a) x < 10

c) y ≤ -4x – 5

e) x > y

b) y ≥ 7

d) y > 0,2x + 1,2

f)

2x + 5y + 20 ≥ 0

8. Parmi les inéquations ci-dessous, laquelle correspond à chacun des ensemblessolutions représentés ? a)

b)

1

y< 2 x-1 3

3

y≥ 2 x-1 3

2

y≥ 3 x-1 2

4

y≤ 2 x-1 3

9. Lis les indices suivants. 1

La droite frontière passe par les points A(-10, 20) et B(15, 0).

Droite frontière

2

Le point C(10, 5) fait partie du demi-plan.

Droite séparant le plan cartésien en deux demi-plans.

3

Le point D(5, 8) ne fait pas partie du demi-plan.

a) Détermine l’inéquation représentée par le demi-plan décrit. b) Nomme deux autres points faisant partie de l’ensemble-solution de l’inéquation.

10. Une entreprise construit des motocyclettes et des scooters. En une

semaine, elle peut construire un maximum de 400 véhicules au total. a) Dénis les variables et traduis cette situation par une inéquation. b) Dans un plan cartésien, représente graphiquement l’ensemble-solution de l’inéquation déterminée en a. c) Est-ce que tous les points appartenant au demi-plan tracé en b sont des solutions dans ce contexte ? Justie ta réponse.

Section A

Mise en pratique

9

11. Un éditeur imprime un roman en deux formats. Il imprime au moins

400 exemplaires en format standard et 350 exemplaires en format de poche. L’éditeur souhaite imprimer au moins 800 exemplaires du roman, mais pas plus de 1 000. La différence entre le nombre d’exemplaires en format de poche et le nombre d’exemplaires en format standard ne doit pas excéder 250. Finalement, au moins le tiers des exemplaires doivent être en format de poche. a) Traduis les renseignements contenus dans le texte sous forme d’inéquations. Assure-toi d’identier tes variables. b) Dans des plans cartésiens distincts, représente graphiquement l’ensemblesolution de chacune des inéquations trouvées en a.

12. Yannick vend des savons et des boîtes de chocolats pour nancer son voyage à New York. Il obtient 2 $ pour chaque savon vendu et 1,50 $ par boîte de chocolats. À la n de la campagne de nancement, Yannick a amassé plus de 130 $ pour son voyage. a) Identie les variables, puis traduis la situation par une inéquation. b) Dans un plan cartésien, représente l’ensemble-solution de l’inéquation trouvée en a. c) Si Yannick a vendu 44 savons, combien de boîtes de chocolats a-t-il vendues au minimum ?

13. Naomi a au moins 12 ans de plus que le quart de l’âge de sa mère. a) Dénis les variables, puis représente cette situation par une inéquation. b) Trace dans un plan cartésien le demi-plan correspondant à l’inéquation trouvée en a. c) Parmi les points qui font partie du demi-plan tracé en b, trouves-en un dont les coordonnées ne peuvent pas être une solution dans le contexte. Explique ta réponse.

10

Chapitre 1

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

14. Félix prévoit passer au moins deux fois plus de journées à la plage qu’en milieu urbain lors de son prochain voyage. a) Dénis les variables, puis représente cette situation par une inéquation. b) Dans un plan cartésien, trace le demi-plan associé à l’inéquation obtenue en a. c) Si Félix planie un voyage de trois semaines, est-il vrai qu’il passera au moins 14 jours à la plage ?

15. Représente l’intersection des ensembles-solutions des trois inéquations suivantes dans un même plan cartésien. 1

y ≤ 3x

2

12 x + 6y – 60 ≤ 0

3

y ≥ -0,5x – 2

16. Une agricultrice a testé un insecticide

biologique sur une partie de son champ de maïs. Elle a vaporisé cet insecticide sur une zone délimitée, perpendiculaire à la route principale. La zone qu’elle a vaporisée apparaît en vert dans le plan cartésien ci-contre, qui représente les alentours de la ferme. Si la route principale passe par l’origine et par le point (150, 100), quelle inéquation décrit la zone où l’agricultrice a vaporisé l’insecticide ?

Orientation et entrepreneuriat L’agriculture est soumise à une forte réglementation qui régit les pratiques et les produits utilisés. Par exemple, les pesticides vendus au Canada doivent être approuvés par l’Agence de réglementation de la lutte antiparasitaire (ARLA). Si certains trouvent les normes gouvernementales très strictes, d’autres souhaitent un contrôle encore plus serré et militent en faveur de solutions de rechange plus écoresponsables, comme les pesticides biologiques. Selon toi, quels avantages peuvent retirer les entreprises qui se dotent de pratiques plus écologiques ? Quels risques encourent-elles ? Dirais-tu que le développement économique est en opposition ou en accord avec la protection de l’environnement ?

Section A

Mise en pratique

11

Consolidation – ajout 1. Détermine l’inéquation dont l’ensemblesolution est représenté ci-contre.

2. Loïk et Jade ont tous les deux résolu une inéquation, mais ils n’arrivent pas au même résultat. Qui a raison ? Justie ta réponse.

Jade

Loïk

10 – 6 > 100 –6 > –10 + 100 > 10 – 100

10 – 6 > 100 10 > 6 + 100 10 > + 100

6 10 – 100 > 6 6 5 – 50 > 3 3

6 6 5 50 > – 3 3

6

< 5 – 50 3

3

3. Représente graphiquement l’ensemble-solution de chaque inéquation. a) x ≥ 25 c) y > 1,5x + 4 e) 2x − 3y ≤ 24 b) y > 10

d) y ≥ − 3 x 5

f) 4x − 12y + 6 < 0

4. Indique si chaque énoncé est vrai ou faux. a) Les points de la droite frontière font toujours partie de l’ensemble-solution. b) Pour vérier de quel côté de la droite frontière se trouve l’ensemble-solution, on utilise toujours l’origine (0, 0). c) L’ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables est toujours représenté graphiquement par un demi-plan. d) Selon le contexte, certains points appartenant au demi-plan peuvent ne pas être de véritables solutions. 12

Chapitre 1

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

Chapitre

2

La loi des cosinus

Section A

C’est clair et net ! Valérie a un nouveau tableau interactif. Avant de l’utiliser en classe, elle doit s’assurer qu’il est bien réglé. Après avoir ajusté certains paramètres, elle obtient une image claire lorsque le projecteur forme des angles de dépression de 28° et 72° respectivement par rapport à l’horizontale. Les rayons mesurent alors 45,5 cm et 130 cm respectivement. Pour que tout le monde dans la classe voie bien l’image, celle-ci doit mesurer au moins 1 m de hauteur. L’ajustement de l’appareil est-il adéquat ?

Médias De nos jours, les salles de classe sont pourvues d’outils technologiques en vue de faciliter le partage d’informations de diverses sources pendant les cours. L’accès à Internet permet, entre autres, d’aller chercher en temps réel de multiples informations, activités, ressources pédagogiques et plus encore. Nomme des avantages et des inconvénients de l’utilisation de tels outils en classe. En tant qu’élève, quel type de présentation préfères-tu ?

Section A

La loi des cosinus

13

ACTIVITÉ d’exploration

Triangulation planétaire Grâce à l’étude du déplacement orbital des planètes, des astronomes ont mis au point des outils qui fournissent la distance séparant la Terre des autres planètes, et ce, à tout moment.

Loi des cosinus

Le schéma ci-dessous illustre les positions de la Terre, de Vénus et de Mars un soir où Vénus et Mars sont visibles à l’aide d’un télescope. À un certain moment, les distances respectives qui séparent la Terre de ces deux planètes sont de 75 Gm et 105 Gm. L’angle formé par les lignes de visée de Vénus et de Mars à partir de la Terre mesure 70°. On cherche, à ce moment précis, la distance qui sépare Vénus de Mars.

Un gigamètre (Gm) représente 109 m.

Fait divers Vénus a longtemps été considérée comme la planète jumelle de la Terre de par sa taille et sa date de formation. Néanmoins, elle tourne sur elle-même dans l’autre sens et beaucoup plus lentement. Une journée sur Vénus dure un peu plus de 243 jours terrestres !

La position des trois planètes peut être modélisée par le triangle TMV ci-dessous.

A

Peut-on trouver la distance séparant Vénus de Mars à l’aide de la loi des sinus ? Justie ta réponse.

Dans un triangle rectangle, rapport tel que le sinus d’un angle A se traduit par

B

Cette distance sera-t-elle plus petite ou plus grande que Justie ta réponse.

mesure du côté opposé à ∠ A sin A = . mesure de l’hypoténuse

C

À l’aide du sinus de l’angle T, calcule la mesure de la hauteur issue de V.

D

Détermine la distance qui sépare Mars de Vénus.

Sinus d’un angle

14

Chapitre 2

La géométrie des gures planes

?

Pour déterminer la distance séparant Mars de Vénus à partir des informations dont il dispose, un astrophysicien a procédé de la façon suivante. t 2 = m2 + v2 - 2mv • cos T t 2 = 752 + 1052 - 2 • 75 • 105 • cos 70° t ≈ √11 263,18 t ≈ 106,13 Gm La formule utilisée par l’astrophysicien, appelée loi des cosinus, permet de résoudre des triangles. E

Loi des cosinus Relation entre le cosinus d’un angle et les mesures des côtés d’un triangle telle que, pour un angle C :

Pour le triangle ABC suivant, complète la loi des cosinus.

c2 = a2 + b2 – 2ab • cos C

a2 =

F

Dans le triangle ABC, la hauteur issue de C, hC , détermine deux triangles rectangles. Pour chacun de ces deux triangles rectangles, exprime la relation de Pythagore.

G

En posant d’abord une égalité entre les expressions équivalentes à hC2, démontre la loi des cosinus.

H

Exprime la loi des cosinus en utilisant : 1) cos B 2) cos C

Au moment de la soirée d’observation, les distances qui séparent la Lune de la Terre et la Lune de Vénus sont respectivement de 0,384 Gm et 75,14 Gm. À l’aide de la loi des cosinus, détermine l’angle formé par les lignes de visée de la Lune et de Vénus à partir de la Terre.

I

Ai-je bien compris ? Dans chacun des triangles suivants, détermine la mesure manquante. a)

b)

c)

d)

Section A

Activité d’exploration

15

Faire le point La loi des cosinus La loi des cosinus est une généralisation de la relation de Pythagore aux triangles quelconques. La loi des cosinus permet de résoudre un triangle pour lequel on connaît les mesures des trois côtés ou un triangle pour lequel on connaît la mesure d’un angle et celles des côtés formant cet angle.

a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A b2 = a2 + c2 - 2ac • cos B c2 = a2 + b2 - 2ab • cos C

Exemples : Voici comment calculer la mesure de RT. Figure

Démarche s2 = r2 + t2 - 2rt • cos S s2 = 102 + 82 - 2 • 10 • 8 • cos 70° m RT ≈ 10,45 cm

Voici comment calculer la mesure de l’angle D. Figure

Démarche 2

2

2

d = e + f - 2ef • cos D d 2 - e2 - f 2 -2ef 2 2 2 – d - e - f m ∠ D = cos 1 -2ef – 42 - 62 - 72 m ∠ D = cos 1 -2 • 6 • 7 – 69 m ∠ D = cos 1 84

cos D =

( ( ( )

m ∠ D ≈ 34,8°

Point de repère Al-Kashi Ghiyath Al-Kashi est un mathématicien et astronome perse (v. 1380-1429). En plus de s’intéresser à la trigonométrie, Al-Kashi a rédigé plusieurs ouvrages d’astronomie. Avec d’autres savants de son époque, il a participé à la conception de l’observatoire astronomique de Samarcande ainsi qu’à la publication de tables astronomiques (Tables sultaniennes, 1437). Al-Kashi est surtout connu pour avoir généralisé le théorème de Pythagore, ce qui mena à l’établissement de la loi des cosinus, également connue sous le nom de « théorème d’Al-Kashi ».

16

Chapitre 2

La géométrie des gures planes

)

)

Mise en pratique 1. Dans chacun des triangles suivants, détermine la mesure manquante.

2.

a)

c)

e)

b)

d)

f)

Voici la représentation des trajectoires des deux coups roulés que Bernard a effectués pour faire entrer la balle dans la coupe, au 18e trou d’un parcours de golf. Quelle la distance séparait la balle de la coupe avant que Bernard effectue son premier coup roulé ?

2m C 72˚

A

12 m

B

3.

Dans l’illustration, les triangles ABE et ACD sont isocèles, m AB = 12 cm, m AC = 10 cm et m BC = 4 cm. Détermine la mesure de CD.

4.

Est-ce que la loi des cosinus s’applique aussi pour trouver la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle à partir des mesures des cathètes ? Justie ta réponse. Section A

Mise en pratique

17

Pièges et astuces

5.

Un triangle isocèle a deux côtés mesurant 11 cm et un angle mesurant 116°. Détermine son périmètre.

6.

Détermine la mesure du côté CD dans les gures suivantes. a) b)

7.

Sean est un adepte du char à voile, un sport de vitesse qui se pratique généralement sur de grandes plages. Le char se déplace grâce à la force du vent. Voici le parcours que Sean doit effectuer pendant un entraînement où il s’exerce à contourner une borne.

La loi des sinus peut t’aider à déterminer des mesures manquantes dans un triangle quelconque. a = b = c sin A sin B sin C

Borne 200 m

140°

250 m

Départ Arrivée

La borne se situe à 200 m du point de départ et à 250 m de l’arrivée. Les deux trajectoires décrites par Sean forment un angle de 140°. À l’aller, avec le vent, Sean effectue ce parcours en 45 secondes. Au retour, il y met plus de temps, car il marche. a) Sur quelle distance minimale Sean doit-il marcher pour revenir au point de départ ? b) Si Sean marche à 6 km/h et que son entraînement dure une heure, combien de fois pourra-t-il faire le parcours ?

18

Chapitre 2

La géométrie des gures planes

8.

Deux bateaux de plaisance quittent le même quai du port d’Amsterdam en même temps. Les deux bateaux prennent des directions différentes et naviguent en ligne droite, comme l’illustre le schéma ci-contre. L’un va à 10 km/h et l’autre, à 8 km/h. Quelle distance sépare ces deux bateaux 45 minutes après leur départ ?

9.

En chimie, le modèle moléculaire permet de représenter la composition atomique d’une molécule. Il sert à indiquer la distance entre les noyaux des atomes et les mesures des angles de liaison. Une molécule d’eau, H2O, est formée de deux atomes d’hydrogène et d’un atome d’oxygène. Dans une molécule d’eau, la distance entre le noyau de l’atome d’oxygène et le noyau d’un atome d’hydrogène est de 96 Å. La distance entre les atomes d’hydrogène est de 152 Å.

L’angström, noté Å, est une unité de mesure de distance atomique qui équivaut à 10 10 m. Il ne fait toutefois pas partie du Système international d’unités.

Quel est l’angle de liaison d’une molécule d’eau ?

10. Le saut à ski est un sport olympique où les athlètes

semblent otter dans les airs sans effort. Pourtant, la position des skieurs, pendant la glisse et le saut, fait toute la différence entre un saut réussi et une chute. Alors qu’un athlète est dans les airs, les extrémités de ses skis, qui mesurent 190 cm de longueur, se touchent à l’arrière selon un angle de 38°. La xation est située à 65 cm de l’extrémité arrière du ski. L’intérieur de la jambe du skieur, du pied jusqu’au haut de la cuisse, mesure 1,2 m de longueur. Quel angle les jambes du skieur forment-elles ?

Section A

Mise en pratique

19

11. Une camionneuse doit transporter des marchandises d’un entrepôt à un

magasin. Elle part de l’entrepôt, qui est situé le long d’une route principale, et parcourt 9,8 km en ligne droite jusqu’à une intersection. À cet endroit, la camionneuse bifurque sur une rue qui forme un angle de 53° avec la route principale. Après avoir roulé 5,3 km en ligne droite sur cette rue, la camionneuse arrive à destination. Quelle est la distance à vol d’oiseau de l’entrepôt au magasin, au dixième de kilomètre près ?

12. Pour des raisons de sécurité, il est recommandé d’incliner toute échelle

selon un angle de 65° à 75° par rapport au sol au moment de son utilisation. Le schéma ci-dessous montre-t-il une installation sécuritaire ?

13. Un polygone régulier est formé de plusieurs triangles isométriques. Il s’agit

de triangles isocèles qui possèdent chacun deux côtés de 5 cm et un côté de 5,88 cm. Sacha prétend que le polygone formé est un pentagone. Prouve qu’il a raison.

20

Chapitre 2

La géométrie des gures planes

Consolidation – ajout 1. Détermine la mesure manquante dans chaque cas. a)

b)

2. Un parcours en forêt Lors d’un rallye en forêt, Maxime part de l’entrée du sentier pour se rendre directement à la chute. Elle se déplace ensuite jusqu’au rocher en passant par le grand pin, puis revient en ligne droite jusqu’à son point de départ. Quelle distance a-t-elle parcourue ?

3. D’une figure à une autre

CD 2

Les deux gures ci-dessous ont le même périmètre. a) Quel est le rayon du cercle ? b) Laquelle de ces gures a la plus grande aire ?

Consolidation

21

Chapitre

A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières La surconsommation et l’endettement causent de plus en plus de problèmes dans la société d’aujourd’hui. Les nombreuses publicités incitent les gens à consommer davantage et l’accès au crédit est facilité. Or, l’achat à crédit peut facilement faire perdre de vue l’ampleur des sommes dépensées. Le solde qui gure sur le relevé de la carte de crédit à la n du mois cause des surprises à bien des gens. Les mathématiques nancières aident à faire des choix éclairés en matière de crédit et de placement. Des outils nanciers jumelés au concept d’équation exponentielle ou logarithmique permettent d’établir les bases d’une saine gestion nancière. Que se passe-t-il si on ne paie chaque mois que le montant minimal exigé sur le relevé d’une carte de crédit ? Quel montant faut-il épargner chaque année pour éviter les soucis nanciers au moment de la retraite ? Ce chapitre t’aidera à comprendre les rouages des nances personnelles.

Survol

Environnement et consommation

Entrée en matière                                                   Section 1 – Les logarithmes et la résolution d’équations    Section 2 – Les mathématiques nancières                     Consolidation                                                         Le monde du travail                                                

24 27 35 54 63

Contenu de formation • Manipulation d’expressions numériques comportant des puissances, des exposants et des logarithmes • Résolution d’une équation exponentielle ou logarithmique à une variable en recourant à l’équivalence d’écriture, à la dénition du logarithme et à la loi du changement de base • Taux d’intérêt, intérêt simple et intérêt composé • Valeur actuelle, valeur future, période d’intérêt • Capitalisation et actualisation d’un placement ou d’un emprunt • Détermination de la durée d’un placement ou d’un emprunt • Détermination du taux d’intérêt • Comparaison de situations nancières • Prise de décisions nancières

Faire le point

sur les connaissances antérieures

• La fonction exponentielle



105

Entrée en matière Les pages 24 à 26 font appel à tes connaissances sur la fonction exponentielle.

En contexte Fait divers En 1966, l’ancien pilote automobile québécois Jacques Duval lance Le Guide de l’auto. Publié chaque année depuis, ce guide énumère les caractéristiques des voitures neuves et d’occasion. Il est devenu une référence dans le domaine de l’automobile au Québec.

1. Plusieurs publications donnent des renseignements utiles pour faire un

choix éclairé au moment d’acquérir un véhicule neuf ou d’occasion. Parmi les caractéristiques fournies, le taux de dépréciation d’une voiture s’avère un élément à prendre en compte lors de l’achat d’un véhicule d’occasion.

Joannie s’est acheté une voiture qu’elle a payée au total 32 000 $. Selon les sources consultées, la valeur de cette voiture diminue de 25 % par année. a) Quelle sera la valeur de la voiture dans 2 ans ? b) Joannie prévoit revendre sa voiture dans 10 ans. Quel montant peut- elle espérer obtenir pour sa voiture à ce moment-là ? c) Selon toi, cela vaut-il la peine de remplacer son véhicule tous les trois ou quatre ans ? Pourquoi ?

2. Selon Statistique Canada, une brique (454 g) de beurre coûtait 0,28 $ en 1935. Des outils technologiques tels que la calculatrice à afchage graphique ou un traceur de courbes permettent de déterminer la règle d’une fonction exponentielle. Si on connaît les coordonnées de deux points d’une situation qui peut être représentée par un modèle exponentiel, il est possible d’effectuer une régression exponentielle.

En 2008, cette même brique de beurre valait 4,25 $. On peut traduire cette situation par un modèle exponentiel dont la règle est f(x) = 0,076(1,038) x, où x est le nombre d’années depuis 1900 et f(x), le prix d’une brique de beurre en dollars. a) Quelle est l’augmentation annuelle moyenne du prix d’une brique de beurre depuis 1935 ? b) Quel était le prix d’une brique de beurre en 1980 ? c) Quel était le prix d’une brique de beurre en 2000 ? d) Si la tendance se maintient, quel sera le prix d’une brique de beurre en 2050 ?

Environnement et consommation La Banque du Canada est une institution publique qui a pour rôle de favoriser la prospérité du pays. L’un de ses objectifs est de maintenir l’ination (la hausse des prix) à environ 2 % par année. Pour ce faire, elle se sert de divers outils économiques, dont les taux d’intérêt. La Banque utilise l’indice des prix à la consommation (IPC) comme mesure du taux de variation des prix sur une période de 12 mois. Cet indice est établi à partir du coût d’un ensemble xe de biens et services de consommation courante, tels que les aliments et le logement.

24

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

En bref 1. À partir des tables de valeurs suivantes, trouve la règle de chaque fonction exponentielle, qui est de la forme f(x) = ab x, où a ≠ 0, b > 0 et b ≠ 1.

a)

b)

x

f(x)

0

c)

x

f(x)

4

2

12

1

12

3

24

2

36

4

48

3

108

5

96

4

324

x

f(x)

x

f(x)

0

1 200

2

1

1

960

3

0,25

2

768

4

0,062 5

3

614,4

5

0,015 625

4

491,52

d)

2. Lors du dernier recensement, une ville comptait 52 725 habitants. La population de cette ville augmente de 2,5 % par année. a) Quel nombre correspond à la base de la fonction exponentielle qui traduit cette situation ? Comment l’as-tu trouvé ? b) Quel nombre correspond à l’ordonnée à l’origine (la valeur initiale) de cette même fonction exponentielle ? Que représente ce nombre dans la situation ? c) Quelle est la règle de la fonction qui traduit la situation ? d) Si la tendance se maintient, quelle sera la population de cette ville dans 75 ans ?

3. Au printemps, le nombre de têtards présents dans le lac à la Truite triple toutes

les semaines. Les scientiques estiment qu’il y a 200 têtards dans le lac au début du printemps. a) Quel nombre correspond à la base de la fonction exponentielle qui traduit cette situation ? Comment l’as-tu trouvé ? b) Quel nombre correspond à l’ordonnée à l’origine (la valeur initiale) de cette même fonction exponentielle ? Que représente ce nombre dans la situation ? c) Quelle est la règle de la fonction qui traduit la situation ? d) Si la tendance se maintient, quel sera le nombre de têtards cinq semaines après le début du printemps ?

Entrée en matière

25

4. À l’école de Jonathan et d’Alissa, le nombre de membres du club des cinéphiles diminue de 12 % chaque mois. En septembre, le club comptait 125 membres. a) Quelle est la règle de la fonction qui traduit cette situation ? b) Combien de membres le club comptera-t-il trois mois après le mois de septembre ? c) Combien de membres restera-t-il en avril ? d) Dans combien de mois le club comptera-t-il moins de 10 membres ?

5. Manuel laisse tomber un ballon de basketball d’une hauteur de 2 m et observe les rebonds que fait le ballon. La table de valeurs suivante indique la hauteur atteinte par le ballon, en mètres, après chacun des trois premiers rebonds. Nombre de rebonds

Hauteur atteinte par le ballon (m)

1

1,6

2

1,28

3

1,024

a) Quelle est la règle de la fonction qui traduit cette situation ? b) Quelle hauteur le ballon atteint-il après le quatrième rebond ? c) Quelle hauteur le ballon atteint-il après le septième rebond ?

6. Sandrine est apicultrice. Elle élève des abeilles an de récolter du miel destiné à la consommation humaine. Lorsqu’elle a fondé son entreprise il y a 3 ans, Sandrine avait 75 colonies d’abeilles. Depuis, le nombre de colonies d’abeilles de Sandrine augmente de 30 % chaque année. a) Quelle est la règle de la fonction qui traduit cette situation ? b) Combien de colonies d’abeilles Sandrine a-t-elle aujourd’hui ? c) Si la tendance se maintient, combien de colonies d’abeilles aura-t-elle dans 5 ans ?

26

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

Les logarithmes et la résolution d’équations

Section

1

Une question de salaire L’industrie des technologies de l’information et des communications (TIC) regroupe la conception et la fabrication de matériel, les services informatiques, les logiciels et les services de télécommunications. La popularité grandissante des nouvelles technologies a engendré une augmentation du nombre des emplois dans le domaine de l’informatique. On dénombre plus de 7 300 emplacements et près de 130 000 emplois dans l’industrie des TIC au Québec. Dans une entreprise informatique, les augmentations salariales annuelles sont xées à 3 % par la convention collective du personnel. Voici le salaire annuel de trois personnes qui exercent des fonctions différentes dans l’entreprise. Fonction

Salaire annuel

Graphiste

35 000 $

Concepteur de pages Web

37 000 $

Administratrice de réseau

45 000 $

Dans combien d’années le salaire de ces trois personnes aura-t-il augmenté d’au moins 30 % ?

Orientation et entrepreneuriat Les variations des prix ont un impact direct sur la capacité à se procurer des biens et services. Lorsque leur salaire n’augmente pas au même rythme que les prix, les travailleuses et les travailleurs voient leur capacité, ou pouvoir, d’achat diminuer. C’est pourquoi les contrats de travail et les conventions collectives incluent souvent une clause d’indemnité de vie chère (ou clause d’indexation), qui prévoit le rajustement des salaires selon la hausse des prix. Selon toi, le taux horaire du salaire minimum au Québec augmente- t-il au même rythme que l’indice des prix à la consommation ?

Section 1

Les logarithmes et la résolution d’équations

27

ACTIVITÉ d’exploration

1

L’intensité de la lumière du Soleil sous la surface de l’eau Les océans, ces vastes étendues d’eau salée comprises entre deux continents, débordent de vie. Environ 71 % de la surface de la Terre est recouverte d’océans et les formes de vie qu’on y trouve dépendent de plusieurs facteurs, dont l’intensité lumineuse. Par exemple, les récifs coralliens ont besoin de la lumière du Soleil et d’eau de mer transparente pour assurer leur développement.

• Équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique • Logarithmes • Loi du changement de base • Résolution d’équations exponentielles

Sous la surface de l’eau, l’intensité de la lumière du Soleil diminue de façon exponentielle avec la profondeur. Cette diminution tient aussi compte de l’effet d’atténuation des matières organiques en suspension dans l’eau. À un endroit donné, l’intensité de la lumière est de 100 unités à la surface de l’eau et elle diminue de 35 % à chaque mètre de profondeur. A

Quelle est la règle qui traduit cette situation ?

B

Quelle équation simpliée traduit cette situation lorsque l’intensité lumineuse est de 25 unités ?

La relation réciproque de la fonction exponentielle, la fonction logarithmique, permet d’utiliser les logarithmes pour résoudre ce type d’équation.

Logarithme Exposant qu’on doit attribuer à une base pour obtenir une puissance donnée.

C

Dans l’équation établie en B, détermine la base, l’exposant et la puissance.

Une équivalence permet de réécrire toute équation exponentielle sous la forme logarithmique.

Forme exponentielle Puissance Base

Exposant

y = bx

28

Chapitre A

Forme logarithmique Logarithme



Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

Base

Puissance

x = log b y

D

Selon ce qui précède, 23 = 8 ⇔ log2 8 = 3, ce qui veut dire que 23 = 8 et log2 8 = 3 sont des expressions équivalentes. En t’inspirant de cet exemple, écris l’équation logarithmique équivalente à l’équation établie en B.

La plupart des calculatrices évaluent seulement les logarithmes en base 10. La loi du changement de base permet toutefois d’évaluer un logarithme en base b en le réécrivant sous la forme d’un quotient de logarithmes en base 10. logb y = E

log10 y log10 b

Selon la loi du changement de base, log2 8 =

log10 8 = 3. En t’inspirant de cet log10 2

exemple, résous l’équation établie en D à l’aide de la loi du changement de base et d’une calculatrice. F

Par convention, un logarithme dont on n’inscrit pas la base est nécessairement en base 10. Ainsi, l’expression log 25 représente le logarithme de 25 en base 10 et log b y =

log y log b

.

Que veut dire la réponse obtenue en E dans le contexte de la situation ?

Environnement et consommation La lumière du Soleil ne pénètre guère au- delà de 500 mètres de profondeur. De même, la température de l’eau diminue aussi avec la profondeur jusqu’à atteindre un minimum entre 0,5 °C et 1,5 °C selon les régions. Des températures légèrement négatives peuvent exister en très grande profondeur.

Ai-je bien compris ? 1. Réécris chaque expression sous la forme logarithmique. a) 9 = 32 b) 42 = 16 c) 27 = 128 2. Réécris chaque expression sous la forme exponentielle. a) log6 216 = 3 b) log4 65 536 = 8 c) 3 = log12 1 728 3. Détermine la valeur des expressions logarithmiques suivantes à l’aide de la loi du changement de base. a) log2 8 b) log5 125 4. Résous les équations exponentielles suivantes. a) 2 x = 32 c) 0,75x = 0,562 5 b) 3x = 19 683

( 4 )x = 641

d) 1

Section 1

Activité d’exploration 1

29

Faire le point La fonction logarithmique Soit la fonction exponentielle f(x) = bx, où b > 0 et b ≠ 1. La réciproque de cette fonction est une fonction logarithmique dont la règle est : −

f 1(x) = logb x, où b > 0 et b ≠ 1 Le graphique de la réciproque s’obtient en effectuant une réexion par rapport à la bissectrice du 1er et du 3e quadrant. −

Exemple : Soit f(x) = 3x et f 1(x) = log3 x.

L’équivalence entre l’écriture exponentielle et l’écriture logarithmique Une expression sous la forme exponentielle peut aussi s’écrire sous la forme logarithmique. L’équivalence suivante permet de passer d’une forme à l’autre. Note : Dans ces deux expressions, y > 0, b > 0 et b ≠ 1.

Forme exponentielle Puissance Base

Forme logarithmique

Exposant

y = bx

Logarithme



Base

Puissance

x = log b y

Le logarithme d’un nombre est l’exposant qu’on doit attribuer à une base pour obtenir ce nombre, ou puissance. Dans l’équivalence 23 = 8 ⇔ 3 = log2 8, 3 est l’exposant qu’on doit attribuer à la base 2 pour obtenir la puissance 8. On peut aussi dire que 3 est le logarithme de 8 en base 2. Remarque : Une expression logarithmique dont la base n’est pas indiquée sousentend une base 10. Ainsi, log 100 = 2, car 102 = 100. 30

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

La loi du changement de base On peut résoudre une équation exponentielle en la réécrivant sous la forme d’une équation logarithmique. La touche « logarithme » (log) d’une calculatrice scientique permet d’évaluer tout logarithme en base 10. Si la base n’est pas 10, on peut effectuer un changement de base grâce à la propriété suivante. logb y = Ainsi, log2 8 =

log10 y log10 b

Note : Dans cette expression, y > 0, b > 0 et b ≠ 1.

log10 8 = 3. log10 2

La résolution d’une équation exponentielle Voici comment résoudre une équation exponentielle à l’aide de l’équation logarithmique équivalente. Exemple : 2 • 4x = 100 Étape 1. Isoler la base affectée de l’exposant x dans un membre de l’équation, au besoin. 2. Réécrire l’équation sous la forme logarithmique.

Exemple x

2•4 = 100 2 2

4x = 50 4x = 50 ⇔ x = log4 50

3. Effectuer un changement de base au besoin, puis résoudre l’équation à l’aide de la calculatrice.

x=

log 50 ≈ 2,821 93 log 4

La résolution d’une équation logarithmique Voici comment résoudre une équation logarithmique à l’aide de l’équation exponentielle équivalente. Exemple : 3 log2 x = 15 Étape 1. Isoler le logarithme dans un membre de l’équation, au besoin.

Exemple 3 log2 x 3

=

15 3

log2 x = 5 2. Réécrire l’équation sous la forme exponentielle. 3. Effectuer l’exponentiation pour résoudre l’équation.

3 log2 x correspond à 3 multiplié par log 2 x ou 3 fois log2 x.

log2 x = 5 ⇔ x = 25 x = 25 = 32

Section 1

Faire le point

31

Mise en pratique 1. Écris chacune des expressions suivantes sous la forme logarithmique. 3

(2)3 = 18 16 (25)4 = 625

a) 74 = 2 401

c) 4 2 = 8

e) 1

b) 25 = 32

d) 54 = 625

f)

2. Écris chacune des expressions suivantes sous la forme exponentielle. a) 6 = log3 729

c) 3 = log9 729

e) 8 = log2 256

b) 5 = log4 1 024

d) 3 = log1 1

f) 3 = log5 125

4

64

3. Trouve les logarithmes suivants. a) log9 81

c) log4 12

e) log3 15

b) log2 128

d) log 0,001

f) log6 216

4. Résous les équations exponentielles suivantes en les réécrivant d’abord sous la forme logarithmique. a) 3x = 243

c) 2,3x = 27,984 1

e) 0,6x = 0,216

b) 2 x = 512

d) 5x = 2,236 1

f) 1,15x = 4

5. Résous les équations logarithmiques suivantes en les réécrivant d’abord sous la forme exponentielle. a) log3 x = 8

c) log0,1 x = 3

e) 3 log1 x = 9

b) log5 x = 3

d) 5 log2 x = 20

f) 1 log4 x = 2

2

2

6. Une motocyclette perd 25 % de sa valeur chaque année. Si elle vaut 24 500$ à l’achat, au bout de combien d’années vaudra-t-elle 13 781,25$ ?

7. L’équation permettant de calculer le nombre d’utilisateurs d’Internet à l’échelle de la planète est U(x) = 509 394 212(1,138) x, où x est le nombre d’années depuis l’an 2000 et U(x), le nombre d’utilisateurs d’Internet. Dans combien d’années après l’an 2000 y aura-t-il 5 000 000 000 d’utilisateurs ?

Fait divers Le pourcentage de la population qui a accès à Internet varie considérablement d’une région à une autre. En Amérique du Nord, région où ce pourcentage est le plus élevé, presque 9 personnes sur 10 ont accès à Internet. En Afrique, par contre, moins de 30 % de la population a accès à Internet.

32

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

8. En 2016, la population mondiale était estimée à 7,43 milliards de personnes. On établit que le taux annuel de croissance démographique est d’environ 1,2 %. a) Si le taux de croissance se maintient à 1,2 %, quelle sera la population mondiale en 2035 ? b) Dans ces mêmes conditions, en quelle année la population de la Terre aurat-elle doublé par rapport à 2016 ?

9. La valeur d’une action diminue de 2,5 % par année depuis plusieurs années. Elle était de 112,20 $ en 2005. a) Quelle équation traduit cette situation ? b) Si la tendance se maintient, quelle sera la valeur de cette action en 2030 ? c) Dans combien d’années cette action ne vaudra-t-elle plus que le tiers de sa valeur en 2005 ?

10. Le nombre d’ordinateurs infectés par un virus informatique quadruple toutes les heures. Il est actuellement midi et 250 ordinateurs sont infectés. a) Quelle équation traduit cette situation ? b) Si la tendance se maintient, combien d’ordinateurs seront infectés dans quatre heures ? c) Dans combien d’heures y aura-t-il 20 000 000 d’ordinateurs infectés ?

Fait divers Les virus informatiques existent depuis plusieurs dizaines d’années et n’étaient pas nécessairement malveillants à l’origine. Ce sont des programmes capables de se reproduire et de se propager d’un ordinateur à un autre. Les virus informatiques peuvent, entre autres, perturber le fonctionnement du système d’exploitation et corrompre ou détruire les chiers stockés sur l’ordinateur.

Section 1

Mise en pratique

33

11. En 2009, Daniel a acheté une terre à bois d’une supercie de 200 hectares.

Chaque année depuis, il coupe 5 % des arbres sur sa terre. a) Quelle supercie Daniel avait-il encore à déboiser 2 ans après avoir acheté sa terre ? b) Quelle supercie lui restait-il à déboiser en 2016 ? c) Combien d’années après avoir acheté sa terre lui restera-t-il environ 126 hectares à déboiser ? d) En quelle année Daniel aura-t-il déboisé la moitié de sa terre ? e) En quelle année aura-t-il déboisé les trois quarts de sa terre ?

12. Le salaire annuel de Gabrielle était de 42 500 $ en 2016. Gabrielle prévoit qu’il augmentera de 2 % par année pendant les 10 prochaines années. a) Si ses prévisions s’avèrent justes, quel sera le salaire annuel de Gabrielle en 2020 ? b) Quel sera son salaire en 2026 ? c) Si le salaire de Gabrielle augmente de 2,5 % par année au lieu de 2 % comme elle l’avait prévu, quelle sera la différence entre son salaire réel et son salaire prévu en 2026 ?

13. Le nombre de bactéries d’une culture double toutes les 10 minutes. Il est de 250 au départ. a) Quelle équation traduit cette situation ? b) Combien de bactéries y aura-t-il après : 1

30 minutes ?

2

1 heure 20 minutes ?

3

3 heures ?

On peut représenter le nombre de bactéries d’une deuxième culture par l’équation n(x) = 300 • 2,5x, où x est le temps écoulé en heures depuis la création de la culture. c) Combien de bactéries y avait-il au départ dans cette culture ? d) Combien de bactéries y aura-t-il après 150 minutes ? e) Après combien de temps y aura-t-il 27 000 bactéries dans la première culture ? dans la deuxième culture ? f) Quelle est la différence entre le nombre de bactéries présentes dans chaque culture après trois heures ?

34

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

Les mathématiques nancières

Section

2

Acheter maintenant, payer plus tard Thomas joue au hockey dans une ligue. Il doit renouveler une partie de son équipement avant le début de la saison et estime que le montant de la facture sera de 1 225 $. Il consulte les circulaires de plusieurs magasins pour comparer les prix. Deux publicités retiennent son attention.

Le spécialiste du hockey

La source du hockey

Pour tout achat de 1000 $ ou plus, ne payez rien avant 24 mois* !

Pour tout achat de 1000 $ ou plus, ne payez rien avant 24 mois* !

* Intérêt composé mensuel de 1,5 %

* Intérêt composé annuel de 19 %

Thomas demande des précisions sur ces offres. Dans les deux cas, il peut attendre 24 mois avant de régler ses achats, en un seul versement, mais il devra payer de l’intérêt. Chez Le spécialiste du hockey, par exemple, l’intérêt s’ajoute au solde dû à la n de chaque mois. Si Thomas dépense 1 225$, sa dette sera donc de 1 225(1 + 0,015) = 1 243,38$ à la n du premier mois. Un mois plus tard, elle sera de 1 243,38$ plus l’intérêt accru sur ce montant pendant le mois, soit : 1 225(1 + 0,015)(1 + 0,015) = 1 262,03$. Chez La source du hockey, l’intérêt est calculé de la même façon, mais une fois l’an. Si Thomas désire proter de l’une de ces offres, quel magasin devrait-il choisir ? Justie les étapes de ta démarche.

Orientation et entrepreneuriat Selon une enquête réalisée en 2012 par Statistique Canada, seulement 29 % des ménages canadiens n’avaient aucune dette cette année-là. En 2016, le taux d’endettement moyen des ménages canadiens s’élevait à 165 %, soit une dette de 1,65 $ pour chaque dollar gagné après impôts. L’augmentation du taux d’endettement inclut le crédit à la consommation, les prêts hypothécaires et les autres prêts. Quelles peuvent être les conséquences de l’endettement ?

Section 2

Les mathématiques nancières

35

ACTIVITÉ d’exploration

1

Les certicats de placement garanti Une façon de faire fructier son argent en vue d’en retirer un revenu est de le placer dans un certicat de placement garanti (CPG). Les CPG conviennent aux épargnants qui privilégient la prudence en matière de placements, car le capital est garanti (il est certain qu’on ne perdra rien du montant placé). Ce type de placement offre donc une tranquillité d’esprit.

• Intérêt simple • Intérêt composé Capital Montant placé ou emprunté.

Une banque offre deux options à un épargnant. Ce dernier a choisi de placer de l’argent dans un CPG parce qu’il veut être certain que son argent est protégé. Il veut placer 2 000 $ pendant 5 ans et se questionne sur l’option la plus avantageuse parmi les suivantes : Option 1 : CPG qui rapporte 4 % d’intérêt simple par année

Intérêt simple Intérêt calculé uniquement sur le capital initial. Intérêt composé Intérêt qui s’ajoute au capital à la n de chaque période pour le calcul de l’intérêt à la période suivante.

Option 2 : CPG qui rapporte 4 % d’intérêt composé annuellement A

Calcule l’intérêt généré la première année du placement peu importe l’option choisie.

B

Détermine la valeur du placement au bout de 5 ans pour l’option 1, dont l’intérêt est calculé chaque année sur le capital initial.

C

Complète le tableau ci-dessous pour l’option 2, dont l’intérêt s’ajoute au capital à la n de chaque année. Capital au début de l’année ($)

Intérêt annuel de 4 % ($)

Capital à la n de l’année ($)

1re année

2 000

80

2 080

2e année

2 080

3e année 4e année 5e année

D

36

Chapitre A

Quelle expression exponentielle permet de calculer directement la valeur du placement au bout de 5 ans si l’épargnant choisit l’option 2 (le CPG à intérêt composé) ?

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

E

Quelle option est la plus avantageuse et pourquoi rapporte-t-elle plus d’argent ?

F

Au bout de 5 ans, quel est l’écart de valeur entre le placement avec l’option 1 et le placement avec l’option 2 ?

G

L’expression 2 000(1 + 0,04 • 5) donne-t-elle le même résultat que l’expression obtenue en B, qui représente la valeur du placement dans 5 ans si l’épargnant opte pour le CPG à intérêt simple ?

Environnement et consommation Les CPG sont souvent non rachetables avant l’échéance. Autrement dit, toute personne qui place un montant d’argent sous la forme d’un CPG ne peut pas le retirer avant la n du terme. Par contre, au Québec, la plupart de ces dépôts sont protégés jusqu’à concurrence de 100 000 $ (capital et intérêts) par la Société d’assurancedépôts du Canada (SADC) ou l’Autorité des marchés nanciers (AMF).

Ai-je bien compris ? 1. Mathieu place un montant de 760$ pour 8 ans à un taux d’intérêt simple de 6,2 % par année. Détermine la valeur de ce placement à l’échéance. 2. Si Mathieu place le même montant pour la même durée au même taux d’intérêt, mais avec un intérêt composé annuellement, quelle sera la valeur de son placement à l’échéance ? 3. Roxana emprunte 1 200 $ à un taux d’intérêt simple de 3 % par année. Quelle somme devra-t-elle rembourser dans 6 ans si elle règle sa dette en un seul versement ? 4. Si l’emprunt de Roxana comportait un intérêt composé annuellement au lieu d’un intérêt simple, au même taux annuel de 3 %, combien devra-t- elle verser de plus pour régler sa dette ?

Section 2

Activité d’exploration 1

37

ACTIVITÉ d’exploration

• • • • • • •

2

Taux d’intérêt Période d’intérêt Valeur actuelle Valeur future Capitalisation Actualisation Durée d’un emprunt ou d’un placement Semestriellement Tous les six mois. Période d’intérêt Intervalle de temps constant entre les calculs de l’intérêt.

Financer ses études Certains programmes universitaires offrent la possibilité de suivre une partie des cours à l’étranger. Un étudiant originaire de la France décide de faire sa dernière année d’études universitaires au Québec. N’ayant pas droit aux prêts et bourses, il emprunte 17 000 $ pour payer tous les frais de cette dernière année d’études : droits de scolarité, manuels scolaires, logement, nourriture, transport, etc. Cet emprunt porte un intérêt composé semestriellement, ce qui veut dire que l’intérêt est calculé et ajouté au capital deux fois par année. Il y a ainsi deux périodes d’intérêt par année. Selon l’entente signée par l’étudiant, le taux d’intérêt annuel est de 3 %. Il faut diviser ce taux par 2 pour connaître le taux d’intérêt par période. L’étudiant doit recevoir sa part d’un héritage vers la n de sa dernière année d’études au Québec. Il prévoit utiliser cet argent pour passer une autre année au Québec après avoir terminé ses études. Il compte ensuite régler sa dette en un seul versement deux ans après avoir contracté son emprunt.

Taux d’intérêt (i) Taux utilisé pour calculer l’intérêt sur un capital pour une période donnée.

Valeur actuelle (C0 ) Capital initial, soit le montant placé ou emprunté au départ. L’actualisation est le calcul de cette valeur à partir de la valeur future.

A

Calcule le taux d’intérêt semestriel si le taux d’intérêt annuel est de 3 %.

B

Détermine le nombre de périodes d’intérêt si l’emprunt a une durée de 2 ans.

Valeur future (Cn )

C

À l’aide de la formule Cn = C0 (1 + i ) n, où C0 est la valeur actuelle, Cn, la valeur future, n, le nombre de périodes d’intérêt et i, le taux d’intérêt par période, détermine le montant que l’étudiant devra rembourser à l’échéance, c’est-à-dire la valeur future (Cn ) de l’emprunt.

Capital à la n de n période(s) d’intérêt. La capitalisation est le calcul de cette valeur à partir de la valeur actuelle.

38

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

À noter : Tous les taux d’intérêt indiqués sur cette page sont annuels. D

Une autre étudiante étrangère vient terminer ses études universitaires au Québec. Quelle est la valeur actuelle de l’emprunt qu’elle a obtenu, à un taux de 4 % d’intérêt composé trimestriellement, si elle doit verser 16 242,85 $ dans 2 ans pour régler sa dette ?

E

Un étudiant québécois admissible au Programme de prêts et bourses a reçu un prêt de 5 500 $. Il utilise 2 500 $ an de payer divers frais et place le reste à un taux de 3 % d’intérêt composé mensuellement. À l’échéance, son placement vaudra 3 060,53$. Établis l’équation permettant de déterminer la durée de ce placement.

F

Détermine la durée du placement en E à l’aide des outils logarithmiques vus aux pages 28 à 31 du complément.

Trimestriellement Tous les trois mois.

Environnement et consommation Pour avoir droit au Programme de prêts et bourses, une étudiante ou un étudiant doit résider au Québec, avoir la citoyenneté canadienne ou le statut de résident permanent, de réfugié ou de personne protégée en vertu de la Loi sur l’immigration et la protection des réfugiés. L’étudiante ou l’étudiant doit aussi fréquenter à temps plein un établissement d’enseignement reconnu par le ministère de l’Éducation et de l’Enseignement supérieur. Ce programme aide les étudiants dont les ressources nancières sont insufsantes à poursuivre des études postsecondaires.

Ai-je bien compris ? 1. Calcule la valeur actuelle d’un placement qui vaudra 39 236,51 $ dans 8 ans à un taux de 7,5 % d’intérêt composé annuellement. 2. Détermine la valeur future d’un placement de 5 140 $ d’une durée de 5 ans, à un taux de 6 % d’intérêt composé mensuellement. 3. Évalue la durée du placement dans chaque cas. Placement A

Placement B

Valeur actuelle de 30 000 $

Valeur actuelle de 8 800 $

Valeur future de 53 875,69 $

Valeur future de 11 516,08 $

Taux de 5 % d’intérêt composé annuellement

Taux de 9 % d’intérêt composé mensuellement

Section 2

Activité d’exploration 2

39

ACTIVITÉ d’exploration

3

• Versements périodiques • Annuité • Versements de début de période • Valeur future de versements périodiques

Des versements égaux (enrichissement) Il n’est pas toujours nécessaire d’emprunter pour faire un achat important. L’épargne périodique, ou épargne systématique, qui consiste à mettre une même somme d’argent de côté à intervalles réguliers, permet d’amasser le montant nécessaire an de se procurer un bien ou un service. Avec ce mode d’épargne, on accumule de l’argent par des versements périodiques. (Remarque : On peut aussi utiliser le terme annuité lorsqu’il s’agit de versements périodiques annuels.)

Versements périodiques

Dans le but de s’acheter une voiture d’occasion, une élève qui travaille à temps partiel décide de mettre 100 $ de côté au début de chaque mois pendant 2 ans. Ce placement lui rapporte un intérêt composé mensuellement selon un taux annuel de 3 %. On veut déterminer la somme qu’elle aura amassée pour faire son achat.

Versements égaux effectués à intervalles réguliers.

On peut modéliser cette situation d’épargne périodique à l’aide de la représentation visuelle suivante :

Annuité Suite de versements périodiques annuels.

A

Calcule le taux d’intérêt mensuel.

B

Détermine la valeur future du premier versement de 100 $.

C

Détermine la valeur future du deuxième versement de 100 $.

D

Détermine la valeur future du 24e versement de 100 $.

Pour calculer le montant accumulé au bout de 2 ans, il faut donc déterminer la valeur future de ces 24 versements et en faire la somme.

40

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

Il existe une formule permettant de déterminer plus rapidement la valeur future d’une suite de versements égaux effectués chacun en début de période (versements de début de période). Cn = M •

(1 + i) n − 1 i

(1 + i)

Versements de début de période Versements périodiques qui s’effectuent toujours en début de période.

Cn : valeur future n : nombre de périodes d’intérêt i : taux d’intérêt composé par période M : montant versé au début de chaque période

E

À l’aide de cette formule, détermine la valeur future des 24 versements décrits.

Environnement et consommation L’épargne périodique (ou épargne systématique) est une façon efcace d’accumuler de l’argent. La plupart des planications nancières sont basées sur l’épargne périodique.

Ai-je bien compris ? 1. Détermine la valeur future des versements périodiques suivants. a) Un montant de 500 $ placé au début de chaque année, pendant 13 ans, à un taux de 11 % d’intérêt composé annuellement b) Un montant de 2 000 $ placé au début de chaque année, pendant 30 ans, à un taux de 8 % d’intérêt composé annuellement c) Un montant de 180 $ placé au début de chaque mois, pendant 6 ans, à un taux de 8,4 % d’intérêt composé mensuellement d) Un montant de 250 $ placé au début de chaque année, pendant 20 ans, à un taux de 6 % d’intérêt composé annuellement e) Un montant de 700 $ placé au début de chaque semestre, pendant 15 ans, à un taux de 6,9 % d’intérêt composé semestriellement f) Un montant de 150 $ placé au début de chaque trimestre, pendant 10 ans, à un taux de 10,5 % d’intérêt composé trimestriellement 2. Laquelle des situations suivantes est la plus avantageuse ? Situation 1 Pendant 20 ans, on place 1 000 $ au début de chaque année à un taux d’intérêt composé annuellement de 8 %.

Situation 2 Pendant 8 ans, on place 1 000 $ au début de chaque année à un taux d’intérêt composé annuellement de 20 %.

Section 2

Activité d’exploration 3

41

Faire le point Les mathématiques nancières Intérêt : Rémunération d’un placement ou coût d’un emprunt. Il est calculé selon le montant placé ou emprunté, qu’on appelle le capital. Intérêt simple : Intérêt calculé uniquement sur le capital initial. Intérêt composé : Intérêt qui s’ajoute au capital à la n de chaque période pour le calcul de l’intérêt à la période suivante. Taux d’intérêt (i) : Taux utilisé pour calculer l’intérêt à recevoir ou à verser sur un capital pour une période donnée (année, semestre, mois, etc.). Période d’intérêt : Intervalle de temps constant entre les calculs de l’intérêt, aussi appelée période de capitalisation. Le nombre de périodes d’intérêt (n) correspond à la durée d’un placement ou d’un emprunt. Valeur actuelle (C0 ) : Capital initial, soit le montant placé ou emprunté au départ. Valeur future (Cn ) : Capital à la n de n période(s) d’intérêt. La valeur future correspond à la valeur actuelle capitalisée n fois. Dans le cas de l’intérêt composé, le terme capitalisation désigne aussi la transformation de l’intérêt en capital à la n de chaque période.

Capitalisation : Calcul de la valeur future (Cn ) d’un placement ou d’un emprunt à partir de sa valeur actuelle (C0 ). Actualisation : Calcul de la valeur actuelle (C0 ) d’un placement ou d’un emprunt à partir de sa valeur future (Cn ). Voici un exemple pour bien comprendre ce vocabulaire. Maélie place 2 000 $ à un taux d’intérêt composé annuellement de 8 %, pendant 5 ans. La valeur de son placement au bout de 5 ans est de 2 938,66 $. Valeur actuelle (C0 )

Valeur future (Cn )

Taux d’intérêt (i)

Nombre de périodes d’intérêt (n)

2 000 $

2 938,66 $

8 % ou 0,08

5

Dans cette situation, Maélie recevra 938,66$ d’intérêt.

Les placements et emprunts à intérêt simple La formule ci- dessous permet de déterminer divers éléments d’un placement ou d’un emprunt à intérêt simple. Cn = C0(1 + n × i )

Cn : valeur future C0 : valeur actuelle n : nombre de périodes d’intérêt i : taux d’intérêt simple par période

42

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

Déterminer la valeur future (Cn) Exemple : Un montant de 1 500 $ est placé à un taux d’intérêt simple de 3,5 % par année. Quelle sera la valeur (Cn) de ce placement dans 5 ans ? Données du problème 3,5

i = 3,5 % =

100

n=5

= 0,035

Solution Cn = C0 (1 + n × i) Cn = 1 500(1 + 5 × 0,035)

C0 = 1 500 $

Cn = 1 762,50$

Cn = ?

La valeur future de ce placement est de 1 762,50 $.

Déterminer la valeur actuelle (C0 ) Exemple : Un emprunt a été obtenu à un taux d’intérêt simple de 8 % par année. S’il faut verser 12 160 $ dans 6,5 ans pour régler cette dette, quelle est la valeur actuelle (C0 ) de l’emprunt ? Données du problème i = 8% = n = 6,5

8 100

= 0,08

Solution Cn = C0 (1 + n × i) 12 160 = C0 (1 + 6,5 × 0,08) 12 160

Cn = 12 160 $

1,52

C0 = ?

C0 • 1,52

=

1,52

Pour tous les emprunts de cette section, le remboursement s’effectue à la n du terme (à l’échéance) en un seul versement.

C0 = 8 000 $

La valeur actuelle de cet emprunt est de 8 000 $.

Déterminer le nombre de périodes d’intérêt ou la durée (n) Exemple : Un capital de 5 000 $ est placé à un taux d’intérêt simple de 6,2 % par année. À l’échéance, le placement vaudra 7 170 $. Quelle est la durée de ce placement ? Données du problème i = 6,2 % = C0 = 5 000 $

6,2 100

= 0,062

Cn = 7 170 $ n=?

Solution Cn = C0 (1 + n × i) 7 170 = 5 000(1 + n × 0,062) 7 170 5 000

=

5 000(1 + 0,062n) 5 000

1,434 = 1 + 0,062n 1,434 − 1 = 0,062n 0,434 0,062

=

0,062n 0,062

n=7

La durée de ce placement est de 7 ans. Section 2

Faire le point

43

Déterminer le taux d’intérêt simple par période (i) Exemple : Un emprunt de 1 250$ a été obtenu pour une durée de 4 ans. S’il faut verser 1 475 $ à l’échéance, quel est le taux d’intérêt simple (i) de cet emprunt ? Données du problème

Solution

n=4

Cn = C0 (1 + n × i)

C0 = 1 250 $

1 475 = 1 250(1 + 4 × i) 1 475

Cn = 1 475$

1 250

i=?

=

1 250(1 + 4i) 1 250

1,18 = 1 + 4i 1,18 − 1 = 4i 0,18 4

=

4i 4

i = 0,045

Le taux d’intérêt annuel de cet emprunt est de 4,5 %. Remarque : Il y a peu de situations de la vie courante où on utilise l’intérêt simple. La plupart des placements et des emprunts portent un intérêt composé.

Les placements et emprunts à intérêt composé La formule ci- dessous permet de déterminer divers éléments d’un placement ou d’un emprunt à intérêt composé. Cn = C0(1 + i )n

Cn : valeur future C0 : valeur actuelle i : taux d’intérêt composé par période

Par souci de réalisme, les taux d’intérêt indiqués ici sont annuels. En effet, les institutions nancières et les marchands qui proposent diverses formes de crédit annoncent presque toujours le taux annuel, que la période d’intérêt soit annuelle, mensuelle ou autre. Lorsqu’on utilise la formule de l’intérêt, il faut s’assurer que la valeur de i correspond au taux d’intérêt par période.

44

Chapitre A

n : nombre de périodes d’intérêt

Déterminer la valeur future (Cn) Exemple : Un montant de 3 200 $ est placé à un taux de 9 % d’intérêt composé mensuellement. Quelle sera la valeur (Cn) de ce placement dans 11 ans ? Données du problème i=

9% 12

=

0,09 12

= 0,007 5

(i étant le taux d’intérêt mensuel) n = 11 × 12 = 132

Solution Cn = C0 (1 + i) n Cn = 3 200(1 + 0,007 5)132 Cn = 8 580,20 $

C0 = 3 200 $ Cn = ?

La valeur future de ce placement est de 8 580,20 $.

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

Déterminer la valeur actuelle (C0 ) Exemple : Un emprunt porte un intérêt composé annuellement de 12 %. S’il faut régler cette dette en versant 4 338,22 $ dans 4 ans et 3 mois, quelle est sa valeur actuelle (C0 ) ? Données du problème i = 12 % =

12 100

Solution Cn = C0 (1 + i ) n

= 0,12

4 338,22 = C0 (1 + 0,12)4,25

n = 4,25 (car 4 ans et 3 mois = 4,25 ans)

4 338,22

Cn = 4 338,22 $

=

1,618 738

C0 = ?

C0 • 1,618 738 1,618 738

C0 = 2 680 $

La valeur actuelle de cet emprunt est de 2 680 $.

Déterminer le nombre de périodes d’intérêt ou la durée (n) Exemple : Un capital de 6 250 $ placé à un taux d’intérêt composé annuellement de 9,5 % vaut 20 335,91 $ à l’échéance. Quelle est la durée (n) du placement ? Données du problème i = 9,5 % =

9,5 100

= 0,095

C0 = 6 250 $ Cn = 20 335,91$ n=?

Solution Cn = C0 (1 + i ) n 20 335,91 = 6 250(1 + 0,095) n 20 335,91

6 250 • (1,095) n

=

6 250

6 250

3,253 746 = (1,095) n n = log1,095 3,253 746 =

log (3,253 746) log (1,095)

= 13

La durée de ce placement est de 13 ans.

Déterminer le taux d’intérêt composé par période (i) Exemple : Un emprunt de 7 400 $ a une durée de 8 ans. Quel est le taux d’intérêt composé par période (i ) s’il faut verser 19 672,49 $ à l’échéance et que la capitalisation est annuelle ? Données du problème n=8 C0 = 7 400 $ Cn = 19 672,49 $ i=?

Solution Cn = C0 (1 + i ) n 19 672,49 = 7 400(1 + i )8 19 672,49 7 400

=

7 400 • (1 + i ) 8 7 400

2,658 445 = (1 + i) 8 1

(2,658 445)8 = 1 + i 1,13 = 1 + i i = 0,13

Le taux d’intérêt composé par période (année) est de 13 %. Section 2

Faire le point

45

Les versements périodiques (enrichissement) Des versements périodiques consistent en une suite de versements égaux effectués à intervalles réguliers. S’il s’agit de versements annuels, on peut aussi parler d’une annuité. Par exemple, si une personne place ou rembourse le même montant chaque année, et ce, toujours au même taux d’intérêt composé annuellement, ces versements périodiques forment une annuité.

Les versements de début de période Dans le cas de versements de début de période, chaque versement est effectué en début de période. Voici une représentation de versements de début de période.

Environnement et consommation Un plan d’épargne par versements périodiques offre un excellent moyen de mettre de l’argent de côté en vue de l’achat d’une automobile ou d’une première maison. Il facilite la planication, puisqu’on peut déterminer en tout temps sa valeur future.

La formule suivante permet de calculer la valeur future de versements de début de période. Cn = M •

(1 + i) n − 1 i

(1 + i)

Cn : valeur future M : montant versé au début de chaque période i : taux d’intérêt composé par période n : nombre de périodes d’intérêt

Exemple : Au début de chaque année, un montant de 1 000 $ est déposé dans un compte rapportant 6 % d’intérêt composé annuellement. Quelle sera la valeur de cette annuité au bout de 10 ans ?

Données du problème i = 6% =

6 100

n = 10 M = 1 000 $ Cn = ?

= 0,06

Solution Cn = M



(1 + i ) n − 1

Cn = 1 000



(1 + i)

i (1,06)10 − 1 0,06

(1,06)

Cn = 13 971,64 $

La valeur de cette annuité au bout de 10 ans sera de 13 971,64$.

46

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

Mise en pratique 1. Un capital de 1 500 $ a été placé à un taux d’intérêt simple de 5 %

Sauf indication contraire, tous les taux d’intérêt sous la rubrique Mise en pratique sont des taux annuels.

pour une durée de 4 ans. a) Quel est le taux d’intérêt ? b) Quel est le nombre de périodes d’intérêt ? c) Quelle est la valeur actuelle de ce placement ? d) Quelle sera sa valeur dans 5 ans ?

2. Un capital de 15 000 $ a été emprunté à un taux d’intérêt composé

annuellement de 8,5 % et cette dette sera réglée en un seul versement dans 7,25 ans. a) Quel est le taux d’intérêt ? b) Quel est le nombre de périodes d’intérêt ? c) Quelle est la valeur actuelle de cet emprunt ? d) Quel sera le montant à verser dans 7,25 ans ?

3. Détermine la valeur future de chacun des placements suivants. a) Antoine place 9 000 $ à un taux d’intérêt simple de 2,5 % pour une durée de 2 ans. b) Rosalie place 7 250$ à un taux d’intérêt simple de 4 % pour une durée de 36 mois. c) Andrei place 2 000 $ à un taux d’intérêt simple de 3,5 % pour une durée de 18 mois. d) Arianne place 11 500 $ à un taux d’intérêt simple de 8,9 % pour une durée de 12,5 ans.

4. Détermine la valeur actuelle de chacun des emprunts suivants. a) Katia obtient un emprunt à un taux d’intérêt simple de 4,5 %. Elle doit rembourser cette dette dans 7 ans par un seul versement de 16 437,50 $. b) Juan obtient un emprunt à un taux d’intérêt simple de 6 %. Il doit rembourser cette dette dans 2 ans par un seul versement de 1 007 $. c) Mariana obtient un emprunt à un taux d’intérêt simple de 11,2 %. Elle doit rembourser cette dette dans 30 mois par un seul versement de 1 696 $. d) Robert obtient un emprunt à un taux d’intérêt simple de 8,2 %. Il doit rembourser cette dette dans 6 ans et 3 mois par un seul versement de 14 066,25 $.

Section 2

Mise en pratique

47

5. Détermine la durée de chaque placement ou emprunt. a) Fabien place 12 000 $ à un taux d’intérêt simple de 3,5 %. À l’échéance, son placement vaut 20 400 $. b) Stéphanie emprunte 8 700 $ à un taux d’intérêt simple de 14,5 %. Elle rembourse sa dette en un seul versement de 23 838 $. c) Raoul place 800 $ à un taux d’intérêt simple de 4,9 %. À l’échéance, son placement vaut 1 172,40 $. d) Sophie emprunte 17 550$ à un taux d’intérêt simple de 7,8 %. Elle rembourse sa dette en un seul versement de 26 447,85$.

6. Détermine le taux d’intérêt annuel de chaque placement ou emprunt. a) Armand a placé 750$ il y a 11 ans à un taux d’intérêt simple et il a maintenant 1 575 $. b) Juliette a emprunté 3 800 $ à un taux d’intérêt simple et a réglé cette dette 6 ans plus tard en versant 5 966$. c) Jean-Pierre a placé 5 675 $ il y a 15 ans à un taux d’intérêt simple et il a maintenant 9 080$. d) Nicole a emprunté 14 400 $ à un taux d’intérêt simple et a réglé cette dette 7,25 ans plus tard en versant 19 515,60 $.

7. Détermine la valeur future de chacun des placements suivants.

Pièges et astuces i représente le taux d’intérêt associé à chaque période et peut donc être différent du taux annuel indiqué.

a) Un capital de 2 500 $ placé pendant 5 ans à un taux de 4 % d’intérêt composé annuellement b) Un capital de 500 $ placé pendant 7 ans à un taux de 2,5 % d’intérêt composé annuellement c) Un capital de 12 000 $ placé pendant 15 mois à un taux de 5,5 % d’intérêt composé mensuellement d) Un capital de 25 225$ placé pendant 25 ans à un taux de 12 % d’intérêt composé semestriellement e) Un capital de 14 750 $ placé pendant 7,75 ans à un taux de 4,8 % d’intérêt composé trimestriellement

8. Détermine la valeur actuelle de chacun des placements suivants. a) Mariannick a placé un montant à un taux de 8 % d’intérêt composé annuellement. Dans 35 ans, elle aura un capital de 73 926,72$. b) Martine a placé un montant à un taux de 3,6 % d’intérêt composé annuellement. Dans 17 ans, elle aura un capital de 19 429,67$. c) Dimitri a placé un montant à un taux de 10,5 % d’intérêt composé mensuellement. Dans 12 ans, il aura un capital de 122 715,36$. d) Keshin a placé un montant à un taux de 12,75 % d’intérêt composé trimestriellement. Dans 12 ans, il aura un capital de 11 238,43 $. e) Maëllie a placé un montant à un taux de 5,8 % d’intérêt composé semestriellement. Dans 4,5 ans, elle aura un capital de 7 243,13$.

48

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

9. Détermine la durée de chaque placement ou emprunt. a) Lucas place 1 500 $ à un taux d’intérêt composé annuellement de 4 %. À l’échéance, son placement vaut 1 824,98 $. b) Jeanne emprunte 2 750$ à un taux d’intérêt composé annuellement de 1,5 %. Elle rembourse sa dette en un seul versement de 2 812,11$. c) Paul place 25 000 $ à un taux d’intérêt composé annuellement de 7,9 %. À l’échéance, son placement vaut 78 209,89 $. d) Antonin emprunte 500 $ à un taux de 1,75 % d’intérêt composé mensuellement. Il rembourse sa dette en un seul versement de 514,78$. e) Judith place 750$ à un taux de 7,5 % d’intérêt composé semestriellement. À l’échéance, son placement vaut 6 828,85$.

10. Pour chaque placement ou emprunt, détermine le taux d’intérêt selon

la période. a) Mathilde a placé 1 000 $ il y a 2 ans à un taux d’intérêt composé annuellement. Elle a maintenant 1 166,40$. b) Mégane a emprunté 2 500 $ à un taux d’intérêt composé annuellement. Elle a réglé cette dette 4 ans plus tard en versant 2 759,53 $. c) Pierre- Luc a placé 5 750 $ il y a 6 ans à un taux d’intérêt composé semestriellement. Il a maintenant 10 931,94$. d) Agnès a emprunté 10 000 $ à un taux d’intérêt composé mensuellement. Elle a réglé cette dette 1,25 an plus tard en versant 13 478,49$. e) Charles a placé 8 950 $ il y a 8,25 ans à un taux d’intérêt composé mensuellement. Il a maintenant 14 664,36$.

Pièges et astuces Il est possible de représenter les racines carrées et cubiques, et même les racines énièmes, par des exposants fractionnaires 1 n

de forme . Ainsi, pour tout nombre a positif : 1

a2 = 1 an

=

1

, a3 =

et

.

11. Il y a 15 ans, Lowan a cotisé 4 500 $ à un Régime enregistré d’épargne-retraite (REER). Ce placement lui rapporte 7,5 % d’intérêt composé annuellement. Lowan prévoit prendre sa retraite dans 20 ans. a) Quelle sera alors la valeur de ce placement ?

b) Si Lowan cotise 9 000 $ à son REER cette année et qu’il obtient le même taux d’intérêt avec capitalisation annuelle, lequel de ses deux placements vaudra le plus au moment où Lowan prévoit prendre sa retraite ?

Fait divers Les taux d’intérêt peuvent varier au l du temps. Depuis quelques années, ils sont relativement peu élevés. Un certicat de placement garanti (CPG) de 5 ans, par exemple, rapporte environ 2 % d’intérêt par année. En 1981, par contre, les taux atteignaient des niveaux records. Cette année-là, un GPC de 5 ans pouvait rapporter un intérêt annuel de 17 % et les taux annuels appliqués aux emprunts hypothécaires d’une durée de 5 ans ont atteint plus de 22 %.

Section 2

Mise en pratique

49

12. À la naissance de sa lle, Leila a placé 575$ à un taux de 9,5 % d’intérêt

composé annuellement. Quelle sera la valeur de ce placement lorsque sa lle atteindra l’âge de 18 ans ?

13. Véronica s’intéresse à l’effet de la fréquence de la capitalisation sur

l’accroissement d’un capital placé à intérêt composé. Elle décide de comparer la valeur future de 1 600 $ placés à un taux annuel de 6,5 % selon que l’intérêt est capitalisé annuellement ou quotidiennement. Quel sera l’écart de valeur au bout de 3 ans ? (Suppose qu’il n’y a pas d’année bissextile.)

14. Selon des prévisions nancières, le prix des immeubles augmentera de 2,5 %

annuellement au cours des 15 prochaines années. Un investisseur fait l’acquisition d’une propriété. Il prévoit qu’elle vaudra 378 005,82$ dans 15 ans. Quel montant l’investisseur a-t-il payé pour cette propriété ?

15. Maude emprunte de l’argent à ses grands-parents. Ensemble, ils conviennent

d’un taux de 1,5 % d’intérêt composé mensuellement. Maude remboursera sa dette dans 5 ans en versant 12 934 $. Quel montant ses grands-parents lui ont-ils prêté ?

16. An d’effectuer des rénovations dans sa cuisine, Timothé a emprunté 35 000 $ à un taux de 12,75 % d’intérêt composé annuellement. Pour rembourser cette dette, il a effectué un versement unique de 50 166,95 $. Quelle était la durée de l’emprunt ?

17. Juliane achète des meubles chez un marchand. Elle peut régler la facture de

9 200 $ immédiatement ou plus tard. Juliane décide de reporter le paiement. Le marchand exige un intérêt composé annuellement de 3,9 %. Dans combien de temps Juliane réglera-t-elle sa dette si le montant total à verser à la n du terme est de 11 139,50 $ ?

18. Johanna a placé 12 850 $ à un taux de 9 % d’intérêt composé mensuellement. Dans combien d’années son capital aura-t-il doublé ?

50

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

19. En prévision d’un voyage autour du monde, Mali estime qu’elle aura besoin de

22 500 $. An de faire ce voyage de rêve dans 10 ans, combien devrait-elle placer aujourd’hui, au dollar près, si le taux d’intérêt composé annuellement est : a) de 4 % ? b) de 7,5 % ? c) de 12 % ?

20. Pendant les vacances d’été, Nicole est allée travailler dans un camp de jour.

Elle a ainsi amassé une jolie somme d’argent qu’elle désire faire fructier. Elle place 7 500 $ à un taux d’intérêt annuel de 8 % pour une durée de 12,5 ans. a) Quelle sera la valeur de ce placement à l’échéance si l’intérêt est simple ? b) Quelle sera la valeur de ce placement à l’échéance si l’intérêt est composé et que la capitalisation est annuelle ? c) Pourquoi l’intérêt composé rapporte-t-il davantage, selon toi ?

Pièges et astuces Pour s’assurer d’amasser la somme voulue, il faut arrondir à la hausse, le cas échéant. L’écart est très petit dans la question 19, mais il peut arriver qu’il soit important.

21. Ismaël a reçu 2 000 $ en cadeau de sa marraine. Il décide de placer cet

argent an d’accumuler le montant nécessaire pour s’offrir un nouveau vélo de route. Ismaël choisit un placement à intérêt composé mensuellement qui lui permettra d’avoir 2 539,47 $ dans 2 ans. Quel est le taux d’intérêt par période ?

22. Sébastien fait partie d’un groupe musical. Il a emprunté 5 000 $ an d’acheter

des instruments pour son groupe. Il doit régler sa dette dans 5 ans, par un seul versement de 5 657,04 $. Quel est le taux d’intérêt composé par période si la capitalisation est annuelle ?

23. Deux jeunes de 17 ans rêvent de fonder une entreprise à la n de leurs

études, dans 6 ans, pour être leurs propres patronnes. Elles reçoivent 10 000 $ en héritage et décident de placer cet argent à un taux d’intérêt composé annuellement de 8,5 %. Les deux jeunes entrepreneures pensent avoir ainsi un capital de plus de 16 000 $ dans 6 ans. Ont-elles raison ?

Fait divers L’entrepreneuriat joue au rôle important dans l’économie québecoise. En 2015, on comptait près de 240 000 petites et moyennes entreprises (PME) dans la province. Plus de 90 % des emplois au Québec se trouvent dans les PME, bien que la plupart d’entre elles comptent moins de 100 employés.

24. Jean-Christophe place 2 350 $ à un taux d’intérêt simple de 4,9 % par année

pour une durée de 6,5 ans. Par la suite, il décide de changer de type de placement et place la somme accumulée pour 5,25 années supplémentaires, à 7 % d’intérêt composé annuellement. Quelle sera la valeur de ce nouveau placement à l’échéance ?

25. Il y a 5 ans, Éloïse a placé 5 000 $ à un taux de 3,6 % d’intérêt composé

trimestriellement. Elle décide d’utiliser 1 800 $ du capital accumulé pour acheter un nouveau matelas et de placer le reste pour 2 ans à un taux de 3 % d’intérêt composé mensuellement. Quelle sera la valeur de ce placement à l’échéance ?

Section 2

Mise en pratique

51

26. Il y a 6 ans, Naïma a reçu une bourse d’excellence sportive de 15 000 $.

Dans le but de s’acheter un condo, elle a placé ce montant à un taux d’intérêt composé annuellement de 4,1 %. Aujourd’hui, elle estime que la mise de fonds nécessaire à l’achat d’un condo est de 25 000 $. Comme elle n’a pas amassé tout ce montant, Naïma emprunte la différence à un taux d’intérêt composé annuellement de 6,9 %. Quelle est la durée de cet emprunt si elle doit régler sa dette en un seul versement de 7 590,79 $ ?

27. Thierry a reçu 12 000 $ de ses grands-parents et décide de répartir cette

somme à parts égales dans trois placements différents. Il place le premier tiers à un taux simple de 6 %. Il place le deuxième tiers à un taux d’intérêt composé annuellement de 5,2 %. Enn, il place le dernier tiers à un taux de 5 % d’intérêt composé mensuellement. Quelle sera la valeur à l’échéance de l’ensemble des placements de Thierry si chacun a une durée de 8 ans ?

28. Amélie, Janie et Benjamin sont des amis de longue date. Chacun a effectué

un placement cette année. Amélie a placé 5 800 $ à un taux d’intérêt simple de 8 % pour une durée de 6 ans. Pour sa part, Janie a placé 5 300 $ à un taux de 7,5 % d’intérêt composé annuellement pour la même durée. Finalement, Benjamin a placé 4 300 $ à un taux de 12 % d’intérêt composé trimestriellement pour une durée de 6 ans. Qui des trois amis aura accumulé le plus d’argent à l’échéance de son placement ?

29. Monica a 3 500 $ qu’elle désire placer pendant 3 ans. Laquelle des deux options suivantes lui rapportera le plus d’argent ?

Option A : 6,12 % d’intérêt composé mensuellement Option B : 6,16 % d’intérêt composé semestriellement

30. La Bel Air décapotable de 1957 est une automobile

très recherchée par les collectionneurs. Ce véhicule à moteur V8 est l’une des voitures américaines les plus reconnaissables de tous les temps. Kevin est un collectionneur de voitures anciennes et a constaté que la valeur marchande de ce modèle augmente de 2,8 % par année depuis 1975 si le véhicule demeure en bon état. Par contre, selon les calculs de Samuel, un autre collectionneur, l’augmentation de la valeur marchande est plutôt de 2,95 % par année pour la même période. Samuel et Kevin estiment la valeur qu’aura une Bel Air 57 en 2020 si elle valait 29 500 $ en 1975. Quelle est la différence entre les valeurs estimées par chacun ?

52

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

Enrichissement

31. Océane décide de mettre de l’argent de côté dans le but de s’acheter une voiture. Elle place alors 120 $ par mois au début de chaque mois pendant 4 ans à un taux de 6 % d’intérêt composé mensuellement. De combien d’argent disposera-t-elle au bout de ces 4 années ?

32. Rose-Lyne a 40 ans et planie de prendre sa retraite dans 25 ans. Elle

commence à cotiser 1 500 $ par année à un REER et prévoit un intérêt composé annuellement de 6 %. Quelle sera la valeur de son REER dans 25 ans ?

33. Henry et Isabelle désirent s’acheter une maison. An d’accumuler une mise

de fonds, ils décident de s’inscrire à un plan d’épargne périodique et déposent 350 $ par mois dans un CELI. Ce dernier rapporte en moyenne chaque année 3 % d’intérêt composé mensuellement. Quelle sera la valeur de leur mise de fonds dans 6 ans ?

Environnement et consommation Le Régime enregistré d’épargne- retraite (REER) permet d’accumuler de l’argent à l’abri de l’impôt. Les montants cotisés à un REER et les revenus qu’ils produisent sont exempts d’impôt tant qu’ils demeurent dans le régime. Lorsqu’une personne retire de l’argent de son REER, ce montant s’ajoute à son revenu annuel pour le calcul de l’impôt. Le Compte d’épargne libre d’impôt (CELI) produit des revenus de placement non imposables, contrairement à ceux d’un compte bancaire ou d’un CPG ordinaire. Le gouvernement fédéral xe le montant maximal que l’on peut y cotiser chaque année.

Section 2

Mise en pratique

53

Consolidation 1. Écris chaque expression sous la forme logarithmique. a) 113 = 1 331

b) 38 = 6 561

c) (0,5)4 = 0,062 5

2. Écris chaque expression sous la forme exponentielle. a) 3 = log4 64

b) 2 = log13 169

c) 3 = log1,1 1,331

3. Résous les équations exponentielles suivantes. a) b) c) d) e) f)

6x = 7 776 1,05x = 1,215 5 3x = 1,442 25 0,85x = 0,614 125 1 000(1,08) x = 1 212,16 1 x= 1

( 8)

512

4. Résous les équations logarithmiques suivantes. a) b) c) d) e) f)

Sauf indication contraire, tous les taux d’intérêt indiqués dans la section Consolidation sont des taux annuels et peuvent être différents du taux par période d’intérêt.

Chapitre A

4

5. Détermine la valeur future de chacun des placements ou emprunts suivants.

Pièges et astuces

54

log2 x = 7 log8 y = 3 log0,05 x = 2 log1,06 x = 4 3 log3 x = 18 5 log1 x = 15

a) Julie place 6 350 $ pour 30 mois à un taux d’intérêt simple de 3 %. b) Carlos obtient un emprunt de 4 500 $ à un taux d’intérêt simple de 1,5 %. Il doit rembourser cette dette dans 5 ans en un seul versement. c) Marie- Pierre place 22 250 $ pour 3 ans à un taux de 7,25 % d’intérêt composé annuellement. d) Urey a emprunté 2 000 $ pour 5 ans à un taux de 6,75 % d’intérêt composé annuellement. e) Judith place 43 400 $ pour 72 mois à un taux de 8 % d’intérêt composé mensuellement. f) Romana place 25 750 $ pour 3 ans à un taux de 12 % d’intérêt composé trimestriellement.

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

6. Détermine la valeur actuelle des placements ou des emprunts suivants. a) An d’acheter une auto, Jimmy emprunte de l’argent pour 3 ans à un taux d’intérêt simple de 2 %. Il doit régler cette dette par un seul versement de 3 710 $. b) Salomé place de l’argent pour 4,5 ans à un taux d’intérêt simple de 5,8 %. À l’échéance, son placement vaudra 2 963,35 $. c) An d’acheter sa robe de bal, Léa emprunte de l’argent pour 18 mois à un taux d’intérêt composé annuellement de 1,75 %. Elle doit régler cette dette par un seul versement de 872,41 $. d) An de rénover son appartement, Amir emprunte de l’argent pour 4 ans à un taux d’intérêt composé annuellement de 3,25 %. Il doit régler cette dette par un seul versement de 8 551,98$. e) An d’acheter un vélo, Julianne emprunte de l’argent pour 16 mois à un taux de 1,2 % d’intérêt composé mensuellement. Elle doit régler sa dette par un seul versement de 584,27$. f) Arif place de l’argent pour 3,25 ans à un taux de 9,2 % d’intérêt composé trimestriellement. À l’échéance, son placement vaudra 11 423,58$.

7. Détermine la durée de chacun des placements ou emprunts suivants. a) Marc-Antoine place 2 500 $ à un taux d’intérêt simple de 2,5 %. À l’échéance, son placement vaut 3 125 $. b) Joanie emprunte 5 400 $ à un taux d’intérêt simple de 12,75 %. Elle rembourse sa dette en un seul versement de 15 727,50$. c) Zaboor place 875$ à un taux d’intérêt composé annuellement de 12,5 %. À l’échéance, son placement vaut 53 994,10 $. d) Juan place 32 600 $ à un taux d’intérêt composé annuellement de 18 %. À l’échéance, son placement vaut 53 562,84 $. e) Mariane emprunte 1 500 $ à un taux de 6 % d’intérêt composé mensuellement. Elle rembourse sa dette en un seul versement de 1 640,89$. f) Ahmed place 9 500 $ à un taux de 4 % d’intérêt composé trimestriellement. À l’échéance, son placement vaut 14 686,81 $.

Consolidation

55

8. Détermine le taux d’intérêt par période de chaque placement ou emprunt. a) Joseph a placé 1 450$ il y a 8 ans, à un taux d’intérêt simple, et il a maintenant 2 320 $. b) Jasmin a emprunté 7 300 $ à un taux d’intérêt simple et il a réglé cette dette 3 ans plus tard par un seul versement de 10 585 $. c) Sophiane a placé 5 000 $ il y a 2,5 ans, à un taux d’intérêt composé annuellement, et elle a maintenant 5 648,63$. d) John a emprunté 5 200 $ à un taux d’intérêt composé annuellement et il a réglé cette dette 12 ans plus tard par un seul versement de 10 171,10 $. e) Margot a placé 12 250$ il y a 5 ans, à un taux d’intérêt composé semestriellement, et elle a maintenant 18 132,99 $. f) Felicia a emprunté 20 000 $ à un taux d’intérêt composé mensuellement et elle a réglé cette dette 3,75 ans plus tard par un seul versement de 25 032,42 $.

9. Quel placement aura la plus grande valeur à l’échéance : 5 000 $ qui rapportent un intérêt simple de 5 % pendant 5 ans, ou 5 000 $ qui rapportent un intérêt simple de 3 % pendant 8 ans ?

10. Charlot place 15 000 $ dans un fonds commun dont la valeur augmente annuellement de 12,4 % en moyenne. a) Quelle sera la valeur de ce placement au bout de 20 ans ? b) Dans combien de temps ce placement vaudra-t-il 1 274 122,21$ ?

11. Compare la valeur à l’échéance des placements suivants. Suppose que l’intérêt est composé et que la capitalisation est annuelle. La valeur à l’échéance du placement 2 sera-t-elle le double de celle du placement 1 ? a) 1

1 000 $ placés à un taux d’intérêt de 5 % pendant 10 ans

2

1 000 $ placés à un taux d’intérêt de 5 % pendant 20 ans

b) 1

1 000 $ placés à un taux d’intérêt de 5 % pendant 10 ans

2

56

Chapitre A

1 000 $ placés à un taux d’intérêt de 10 % pendant 10 ans

c) 1

1 000 $ placés à un taux d’intérêt de 5 % pendant 10 ans

2

2 000 $ placés à un taux d’intérêt de 5 % pendant 10 ans

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

12. Le jeu vidéo Le nombre d’adeptes d’un jeu vidéo triple toutes les semaines depuis sa sortie. Au départ, 38 personnes s’adonnaient à ce jeu. a) Quelle équation traduit cette situation ? b) Combien d’adeptes ce jeu vidéo comptait-il 8 semaines après sa sortie ? c) Combien de temps après sa sortie le jeu aura-t-il 545 258 466 adeptes ?

13. L’évaporation On installe une piscine et on la remplit. Elle contient alors 28,82 m3 d’eau. Une partie de l’eau s’évapore sous l’effet de la chaleur du soleil. Ainsi, le volume d’eau dans la piscine diminue en moyenne de 0,5 % par jour. a) Quelle équation traduit la situation ? b) Quel volume d’eau y a-t-il dans la piscine 17 jours après le remplissage ? c) Si la tendance se maintient et que personne n’ajoute d’eau dans la piscine, combien de jours après le remplissage le volume d’eau sera-t-il de 22,66 m3 ?

14. La perte de valeur d’un ordinateur La valeur d’un ordinateur diminue de 20 % par année en raison de l’évolution rapide des technologies. Dans combien d’années cette valeur sera-t-elle égale à la moitié du prix initial de l’ordinateur ?

15. Un camion qui se déprécie Lorsqu’un bien perd de sa valeur, on dit qu’il se déprécie. Justin a acheté un camion neuf dont la valeur totale était alors de 45 837,29$. Dans combien d’années après l’achat ce camion vaudra-t-il moins de 10 000 $ s’il se déprécie de 21 % par année ?

16. Une population qui décroît

Fait divers Les premiers microordinateurs ont fait leur apparition dans les années 1970. À l’époque, la fréquence d’horloge (vitesse de calcul) des microprocesseurs était inférieure à 2 MHz, alors qu’elle dépasse aujourd’hui 4 000 MHz (4 GHz).

La population d’une petite ville rurale est de 4 250 habitants. Le nombre de personnes qui habitent cette ville diminue de 3,8 % chaque année depuis 1988. a) Quelle équation traduit cette situation ? b) Combien d’habitants y avait-il dans cette ville en 2007 ? c) Si la tendance se maintient, en quelle année la ville ne comptera-t-elle plus que 1 493 habitants ?

Consolidation

57

17. La convention collective

CD 2

Amélie représente les employés de son entreprise en tant que déléguée syndicale. Le syndicat vient tout juste de terminer la négociation d’une nouvelle convention collective d’une durée de 7 ans. Selon l’entente conclue entre la partie patronale et la partie syndicale, les employés de l’entreprise toucheront des augmentations salariales annuelles de 2,5 % pendant les trois premières années et de 2 % pendant les quatre dernières années. À la n de l’entente, les salaires auront-ils augmenté autant que le coût de la vie si la hausse du coût de la vie est en moyenne de 2,25 % par année ? Environnement et consommation Au Canada, l’indice des prix à la consommation (IPC) est la mesure la plus largement reconnue de l’augmentation (ou de la baisse) du coût de la vie. Une convention collective peut prévoir l’indexation annuelle des salaires en fonction du coût de la vie. Les salaires versés varient alors chaque année au même rythme que le coût de la vie.

18. Un voyage de fin d’études Jean-Edward a gagné 2 000 $ en travaillant l’été dernier. Il décide de placer cet argent an d’avoir 3 500 $ dans 3 ans pour partir en voyage à la n de ses études collégiales. Si Jean-Edward choisit un placement à intérêt composé semestriellement, quel devra être le taux d’intérêt par période pour qu’il puisse atteindre son objectif ?

19. Chez l’antiquaire Les antiquaires sont toujours à l’affût d’antiquités à bas prix. La revente d’objets anciens peut s’avérer lucrative. Cependant, il faut un certain nombre d’années avant qu’un objet soit considéré comme une antiquité et prenne de la valeur. Mélodie a trouvé une montre de poche qui date des années 1930. En 1980, cette montre valait 175 $. Combien vaut-elle en 2017 si sa valeur a augmenté en moyenne de 2 % par année de 1980 à 2004 et de 4,5 % par année les années subséquentes ?

58

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

20. Cinq fois plus ? Andreja place 7 500 $ à un taux d’intérêt composé annuellement de 5,5 %. Au bout de 6,75 ans, elle décide de changer de type de placement et investit la somme accumulée pour 12,5 ans à un taux de 9 % d’intérêt composé mensuellement. Andreja croit que la valeur initiale de son avoir aura quintuplé à l’échéance de ce nouveau placement. A-t-elle raison ?

21. L’héritage de Kiona Il y a 10 ans, Kiona a hérité de 18 000 $. Elle a placé ce montant à un taux de 7,2 % d’intérêt composé annuellement. Aujourd’hui, elle désire utiliser ce placement an de démarrer une entreprise avec trois amis. Il a été convenu que chaque personne fournira 48 000 $. Kiona emprunte l’argent qu’il lui manque à un taux de 6 % d’intérêt composé trimestriellement. Si elle doit régler sa dette par un seul versement de 14 250,09 $ à l’échéance, quelle est la durée de cet emprunt ?

22. Une harmonie mathématique On appelle « demi-ton » l’intervalle qui sépare les notes produites par deux touches consécutives d’un piano. Une octave est l’intervalle de 12 demi-tons qui sépare deux notes de même nom, mais de hauteurs différentes. Ainsi, le do3 est une octave au-dessus du do2. Au moment d’accorder un instrument de musique, on utilise en général le la3, d’une fréquence de 440 Hz, comme note de référence. La fréquence d’une note double d’une octave à l’autre. Ainsi, le la4 a une fréquence de 880 Hz. On peut déterminer la fréquence de n’importe quelle note à l’aide de n l’équation F = F0 • 212 , où F est la fréquence recherchée, en hertz, F0 est la fréquence de la note de référence, en hertz, et n est le nombre de demi-tons qui séparent les deux notes. Quelle est la fréquence du do6 ? demi-tons

do3

ré3

mi3

fa3 sol3

la3

si3

do4

1 octave ou 12 demi-tons

Consolidation

59

23. Un cadeau de naissance

CD 2

À la naissance de chacun de leurs enfants, Paul et Diane ont placé de l’argent pour une durée de 18 ans. Ils souhaitent que chaque enfant ait à peu près le même capital accumulé à l’échéance. Dans ce but, ils ont placé : — 5 000 $ à un taux de 12 % d’intérêt simple pour l’aînée ; — 4 000 $ à un taux de 8 % d’intérêt composé annuellement pour le cadet ; — 2 800 $ à un taux de 10 % d’intérêt composé semestriellement pour la benjamine. Paul croit que chaque enfant aura le même capital à l’échéance, à une cinquantaine de dollars près. Diane pense qu’il y aura plus d’écart entre les montants et que le benjamin recevra plus d’argent que les autres enfants. Qui a raison ?

24. La vidéo virale Une vidéo virale circule sur les réseaux sociaux. Dès sa mise en ligne, 1 200 personnes l’ont visionnée. Les adeptes se sont mis à la partager et le nombre de personnes qui l’ont vue double toutes les 5 minutes. Combien de temps après la mise en ligne le nombre de visionnements atteindra-t-il un million ?

25. Le reboisement d’une forêt

CD 2

Après une coupe à blanc, il est important de reboiser une région an de renouveler cette ressource naturelle qu’est la forêt. Une région de 1 365 km2 doit être reboisée. À l’heure actuelle, on a déjà planté des arbres sur 5 % de cette supercie. Combien de temps faudra-t-il encore pour reboiser entièrement cette région si la supercie couverte d’arbres est 2,5 fois plus grande d’une année à l’autre ?

26. La règle de 72

CD 1

La règle de 72 fournit une approximation du temps que la valeur d’un placement met à doubler sous l’effet de l’intérêt composé. On peut l’exprimer ainsi : f(x) = 72 , où x est le taux d’intérêt composé annuellement et f(x) est le x nombre d’années nécessaires pour que la valeur du placement double. Compare les résultats de cette règle aux valeurs exactes, que l’on peut déterminer à l’aide d’équations exponentielles de la forme 2 = (1 + i ) n, où i est le taux d’intérêt composé annuellement et n est le nombre d’années nécessaires pour que la valeur double. Pour quel taux d’intérêt entier la règle de 72 est-elle la plus précise ?

60

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

Enrichissement : versements de début de période et placements

27. Le choix d’un plan d’épargne Soit deux plans d’épargne systématique d’une durée de 5 ans, A et B. Plan A

Plan B

Un montant de 600 $ placé au début de chaque semestre à un taux de 8,9 % d’intérêt composé semestriellement

Un montant de 100 $ placé au début de chaque mois à un taux de 9 % d’intérêt composé mensuellement

a) Calcule la valeur future de chacun de ces deux plans d’épargne. b) Détermine le plan d’épargne qui rapporte le plus. Explique pourquoi il aura la plus grande valeur dans 5 ans.

28. L’épargne-études

CD 2

Amélie et Simon ont un enfant de 4 ans et décident de commencer à placer de l’argent dans un REEE en prévision de ses études. Ils cotisent 50$ le premier jour de chaque mois jusqu’à ce que l’enfant atteigne l’âge de 17 ans, soit pendant exactement 12 ans et 5 mois. Quel montant d’argent aurontils accumulé, avec les subventions de 30 % des gouvernements, si le taux d’intérêt est de 4,5 % et que la capitalisation est mensuelle ?

29. Le montant placé Dans une situation d’épargne systématique, il arrive que l’on cherche le montant de chaque versement ou le montant placé à chaque période, M. En isolant M dans la formule Cn = M formule utile en pareil cas. M=



(1 + i ) n - 1 (1 + i ), on obtient une i

Cn • i ((1 + i ) - 1) • (1 + i) n

Environnement et consommation Le Régime enregistré d’épargne- études (REEE) permet d’accumuler des sommes d’argent, à l’abri de l’impôt, pour les études postsecondaires d’un enfant. Les gouvernements fédéral et provincial donnent des subventions respectives de 20 % et de 10 % des sommes cotisées à un REEE.

Julia dépose le même montant le premier de chaque mois et prévoit le faire pendant 15 ans. Le taux d’intérêt composé mensuel est de 0,4 %. Quel montant Julia dépose-t-elle chaque mois si la valeur future de ce plan d’épargne est de 46 186,47 $ ?

30. Un plan d’épargne à long terme Steven place 2 500 $ au début de chaque année dans son fonds de retraite. Il calcule qu’il doit accumuler 650 000 $ pour subvenir à ses besoins à la retraite et il prévoit un taux de rendement annuel composé de 4 %. a) Combien de temps lui faudra-t-il pour accumuler cette somme ? b) Si le taux de rendement annuel est de 8 %, combien de temps faudra-t-il à Steven pour accumuler la même somme ? Est-ce la moitié du temps requis en a ?

Consolidation

61

Enrichissement : versements de fin de période et remboursement d’emprunts

31. Des versements de fin de période Le remboursement d’un emprunt peut se faire par des versements effectués chacun en n de période. La formule suivante permet de déterminer divers éléments d’une suite de versements de n de période. C0 = M



1 -(1 + i ) –n C0 : valeur actuelle i

M : montant de chaque versement i : taux d’intérêt composé par période n : nombre de périodes d’intérêt

Dans une situation d’emprunt, on cherche le plus souvent le montant de chaque versement, M. Ainsi, en isolant M dans la formule précédente, on obtient une formule très utile dans diverses situations d’emprunt. M=

C0 • i 1 - (1 + i ) –n

Jade veut acheter un nouvel ordinateur. Elle emprunte 1 500 $ à un taux de 12 % d’intérêt composé mensuellement. Si elle désire rembourser cet emprunt en 2 ans, quel montant Jade devra-t-elle verser chaque mois ?

32. Le paiement par versements périodiques Achim s’est acheté un cinéma maison dernier cri. Pour le payer, il a choisi des versements égaux portés sur sa carte de crédit de la chaîne de grands magasins où il a fait cet achat. Le taux d’intérêt annuel est de 29,9 % et la capitalisation est mensuelle. Le montant total de la facture s’élève à 2 249,50$. a) Quel montant Achim doit-il verser chaque mois s’il désire régler sa dette en 3 ans ? La première mensualité échoit un mois après l’achat. b) Quel montant total Achim versera-t-il pour rembourser cet emprunt ? c) Puisque le montant versé chaque mois est légèrement inférieur à la valeur exacte, quel sera le montant du dernier versement pour le remboursement de cet emprunt ? d) À combien s’élèvera le montant des intérêts payés pour cet emprunt ?

33. Le prêt auto

CD 2

Bianca veut acheter une voiture d’occasion et doit emprunter 9 200 $ pour la payer. Le marchand lui propose un prêt à un taux d’intérêt annuel de 8,4 %. Si elle l’accepte, Bianca devra faire des versements mensuels. Elle veut rembourser son emprunt le plus rapidement possible, mais elle doit respecter un budget mensuel de 155$. Devrait-elle choisir un terme de 5 ans ou de 7 ans ?

62

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières

Le monde du travail La planication nancière Où te vois-tu dans 5 ans ? dans 10 ans ? Tes aspirations professionnelles et tes rêves sont-ils nancièrement réalisables ? Quels placements devrais-tu faire pour atteindre tes objectifs ? C’est le rôle de la planicatrice ou du planicateur nancier d’aider les gens à répondre à ce type de questions. En effet, après avoir analysé la situation nancière d’une personne, la planicatrice ou le planicateur nancier élabore un plan d’action adapté à ses besoins, à ses contraintes et à ses objectifs. Ce plan d’action peut toucher, entre autres, la scalité, les placements, les assurances et la planication de la retraite. En général, il prévoit un suivi qui permet de le réviser au besoin, lorsque la situation personnelle ou professionnelle de la personne change. Pour devenir planicatrice ou planicateur nancier, il faut d’abord effectuer un programme universitaire de formation en planication nancière personnelle ou posséder une formation équivalente (autres programmes de formation universitaire, titres professionnels et expérience professionnelle). Par la suite, il faut suivre le cours de formation professionnelle (CFP) et réussir l’examen de l’Institut québécois de planication nancière (IQPF). Pour exercer la profession, on doit aussi obtenir un permis auprès de l’Autorité des marchés nanciers (AMF). Une planicatrice ou un planicateur nancier doit être à l’écoute de sa clientèle, savoir établir une relation de conance, utiliser sa capacité d’analyse et de jugement pour aider sa clientèle à réaliser ses rêves, adopter un comportement éthique et respecter les règles de déontologie. La facilité à communiquer, le sens de l’organisation, la rigueur et la logique sont aussi des qualités nécessaires.

Environnement et consommation Pour connaître l’indépendance nancière, réaliser ses projets, ses rêves, et vivre une retraite à la hauteur de ses aspirations, il est primordial de bien gérer ses nances personnelles.

Le monde du travail

63

Chapitre

B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique Les modèles mathématiques élaborés à partir d’observations et d’analyses permettent de préciser les prévisions concernant certains phénomènes. Par exemple, les compagnies d’assurance utilisent la mathématique pour estimer de façon assez précise combien de clients en moyenne feront des réclamations, et pour quelle somme moyenne d’argent. De même, en météorologie, on tente de perfectionner les modèles servant à prévoir l’arrivée d’une tempête ou d’un ouragan. Selon toi, pourquoi une compagnie d’assurance a-t-elle besoin d’un très grand nombre d’assurés pour pouvoir fonctionner ? Selon toi, à partir de quelles données le gouvernement peut-il établir les montants à injecter dans un fonds d’urgence en cas de sinistre ?

Survol

Vivre-ensemble et citoyenneté

Entrée en matière                                                   66 Section 1 – La probabilité subjective                            69 Section 2 – L’espérance mathématique                         81 Consolidation                                                        92 Le monde du travail                                                103

Contenu de formation • Probabilité subjective • Équité : chance, espérance mathématique • Analyse et prise de décision concernant des données probabilistes : distinction entre probabilité théorique, probabilité fréquentielle et probabilité subjective ; distinction entre probabilité et chance ; approximation et prédiction de résultats ; calcul et interprétation de l’espérance mathématique

Faire le point

sur les connaissances antérieures

• Probabilités                      394 à 396 du manuel

Entrée en matière Les pages 66 à 68 font appel à tes connaissances en probabilités et en statistique.

En contexte Dans une école secondaire, un groupe d’élèves souhaitent que la structure de représentation des élèves passe d’un conseil à un parlement. Sylvain, l’animateur de la vie scolaire, a choisi de procéder à un référendum sur la modication de la structure. Les élèves sont invités à voter en répondant à la question suivante. Acceptes-tu que la structure de représentation des élèves devienne celle d’un parlement ? Oui

Non

1. Le tableau suivant présente certaines statistiques relatives au référendum. Nombre d’élèves

Nombre d’élèves qui ont voté

Pourcentage d’élèves qui ont voté « Oui »

Pourcentage d’élèves qui ont voté « Non »

1re année

250

100

21

79

2e année

228

125

24

76

1re année

201

130

40

60

2e année

157

140

75

25

3e année

132

125

88

12

Niveau

er

1 cycle

2e cycle

Parmi les élèves qui ont voté, on en a choisi deux au hasard pour dépouiller les bulletins de vote. a) Quelle est la probabilité que la première personne choisie soit une ou un élève du 2e cycle ? b) Quelle est la probabilité que les deux personnes choisies soient des élèves de la 3e année du 2e cycle ? c) Quel est le résultat du vote ?

2. Au moment de l’annonce du résultat du vote, les élèves de certains niveaux ont

eu l’impression que leur opinion n’avait pas été respectée. Des élèves de chacun de ces niveaux ont formulé une plainte. a) De quels niveaux peuvent être les élèves qui ont formulé cette plainte ? Justie ta réponse. b) Si tous les élèves de la 1re année du 1er cycle étaient allés voter et que 80 % d’entre eux avaient voté « Non », est-ce que le résultat du référendum aurait été le même ? Justie ta réponse.

66

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

3. Dans cette nouvelle structure de représentation des élèves, il faut élire des

députés pour représenter chacun des 34 groupes d’élèves de l’école. Quelquesuns de ces députés formeront ensuite la tête du parlement ainsi que le conseil des ministres. Voici la répartition des députés par niveau ainsi que la structure du parlement des élèves. La répartition des députés par niveau Niveau re

1er cycle

2e cycle

Nombre de députés

1 année

9

2e année

8

1re année

7

2e année

6

e

3 année

4

Le parlement des élèves Tête du parlement – – – –

Première ou premier ministre Vice-première ou vice-premier ministre Présidente ou président d’assemblée Leader parlementaire

Conseil des ministres – – – – – –

Ministre Ministre Ministre Ministre Ministre Ministre

de l’Environnement de l’Équité et de la Solidarité des Sports et des Loisirs de la Communication de la Formation de la Santé des élèves

La tête du parlement sera formée des quatre députés de la 3e année du 2e cycle et le conseil des ministres sera formé des six députés de la 2e année du 2e cycle. a) Combien de têtes du parlement différentes est-il possible de former ? b) Combien de conseils des ministres différents est-il possible de former ?

Vivre-ensemble et citoyenneté Depuis 1991, le Directeur général des élections du Québec et le ministère de l’Éducation et de l’Enseignement supérieur encouragent les écoles de la province à offrir à leurs élèves une tribune où ils pourront exprimer leur point de vue sur des questions touchant la vie scolaire et faire l’expérience du partage du pouvoir. Aujourd’hui, les élèves des écoles primaires et secondaires peuvent choisir différentes structures de représentation, dont le conseil d’élèves et le parlement des élèves. Les membres d’un conseil ou d’un parlement sont élus par leurs pairs. Leur rôle est de représenter tous les élèves de leur école dans certains dossiers déterminés, comme le dossier des activités parascolaires, celui de l’amélioration de la qualité de vie à l’école, ou encore dans des rencontres, par exemple celles du conseil d’établissement. Quelles sont les qualités recherchées chez une ou un membre d’un conseil d’élèves ou d’un parlement des élèves ? De quelles façons peut s’exercer le leadership d’une ou d’un élève dans une école ?

Entrée en matière

67

En bref Sauf indication contraire, un dé est toujours considéré comme régulier et ayant six faces.

1. Classe les quatre événements suivants du plus probable au moins probable. 1

2

3

4

Obtenir une somme supérieure à 5 en lançant deux dés. Tirer l’as de cœur d’un jeu de 52 cartes.

Te réveiller demain. Lancer une pièce de monnaie deux fois et obtenir deux fois le côté pile.

2. On s’intéresse aux trois événements suivants. 1 Tirer un 8 d’un jeu de 52 cartes. 2 Obtenir un résultat plus petit que 7 en lançant un dé. 3 Obtenir trois fois le côté pile en lançant trois fois une pièce de monnaie. Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.

a) Lesquels de ces événements proviennent d’expériences aléatoires ? b) Calcule la probabilité de ces trois événements.

3. Le tableau suivant présente des données relatives au salaire horaire des employés d’une entreprise selon le poste qu’ils occupent. Salaire horaire

Nombre de personnes qui occupent ce poste

Commis

18 $

40

Répartitrice ou répartiteur

23 $

7

Superviseure ou superviseur

31 $

4

Poste

a) Quel est le salaire horaire moyen de tous les employés de cette entreprise ? b) Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans le personnel de cette entreprise gagne plus de 20 $ l’heure ?

4. On a mis 20 jetons dans un chapeau. Sur chaque jeton, on a inscrit un chiffre

différent (0 à 9) ou une lettre différente (A à J). On tire deux jetons du chapeau. Sachant qu’il s’agit d’un tirage sans remise, détermine la probabilité : a) de tirer une lettre d’abord et un chiffre ensuite ; b) de tirer deux lettres ; c) de tirer une voyelle et un multiple de 2.

68

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

La probabilité subjective

Section

1

À chacun sa force Chaque année, une commission scolaire organise une compétition sportive à laquelle les élèves de toutes ses écoles sont invités à participer. Cette année, la compétition comporte les trois épreuves suivantes. – Tir à l’arc : atteindre le disque central d’une cible située à 30 m. – Basketball : réussir un panier à partir de la ligne de lancer franc. – Golf : réussir un coup roulé de 5 m.

Les équipes qui participent à la compétition doivent être formées de trois membres actifs (chaque membre se voit assigner une épreuve) et d’une remplaçante ou d’un remplaçant. Chaque membre actif peut demander de se faire remplacer par la remplaçante ou le remplaçant. Le jour de la compétition, l’ordre d’exécution des épreuves sera déterminé au hasard. La réussite d’une épreuve qualie l’équipe pour l’épreuve suivante. On répète les épreuves dans le même ordre jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une seule équipe. Alix, Béatrice, Dinara et Émile représentent leur école. Ils se rencontrent pour assigner un rôle à chaque membre de l’équipe en se basant sur leurs performances à l’entraînement ainsi que sur leurs impressions personnelles.

Vivre-ensemble et citoyenneté Pour être réellement efcace, une équipe doit tenir compte des diverses aptitudes de ses membres. C’est en valorisant les forces de chacune et de chacun qu’il est possible d’accomplir une tâche de façon optimale. Quelle est ton attitude lorsque tu travailles en équipe ? Crois-tu qu’il est préférable de travailler avec des personnes très différentes de soi ? Pourquoi ?

Les performances et les impressions des membres de l’équipe Membre

Impressions personnelles

Alix

8 en 20

19 en 20

3 en 3

J’aurais aimé qu’Émile s’entraîne sérieusement.

Béatrice

2 en 3

19 en 20

13 en 30

Je suis meilleure lorsque ça compte.

Dinara

20 en 30

2 en 2

12 en 20

Je me sens vraiment prête.

Émile

3 en 4

5 en 6

11 en 20

Je sens qu’Alix est très nerveuse cette année.

Assigne une épreuve à trois membres et désigne la remplaçante ou le remplaçant de façon à maximiser les chances de réussite de l’équipe. Justie chacun de tes choix.

Section 1

La probabilité subjective

69

ACTIVITÉ d’exploration

1

Calculer, estimer ou évaluer ? Voici 11 événements ayant différentes probabilités de se réaliser.

Distinction entre différents types de probabilités

Un dé truqué est un dé pour lequel tous les résultats ne sont pas équiprobables.

Probabilité théorique

1

Cliquer sur « Répondre à tous » par accident en répondant à un courriel.

7

Observer que Tiger Woods réalisera un trou d’un coup à sa prochaine partie de golf.

2

Laisser tomber une punaise par terre et observer qu’elle est tombée la pointe vers le haut.

8

Ouvrir un dictionnaire à n’importe quelle page et observer que le premier mot de la page de gauche compte cinq lettres.

3

Tirer un as d’un jeu de 52 cartes.

9

Observer qu’il neigera le jour de Noël.

4

Lancer deux dés truqués et obtenir un double.

10

Obtenir le côté pile en lançant une pièce de monnaie.

5

Oublier l’anniversaire de ta meilleure amie.

11

Obtenir une somme de 11 en lançant deux dés.

6

Observer une victoire des Canadiens de Montréal à leur prochain match.

A

Selon toi, lequel de ces événements est : 1) le plus probable ? 2) le moins probable ?

B

Pourquoi plusieurs bonnes réponses sont-elles possibles en A ?

C

Pour lesquels de ces événements est-on en mesure de calculer la probabilité théorique ?

Probabilité calculée à partir d’un modèle.

70

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

D

Calcule la probabilité théorique de chacun des événements nommés en C.

E

Pour lesquels de ces événements doit-on estimer une probabilité fréquentielle ?

Probabilité fréquentielle

F

Pour lesquels de ces événements doit-on évaluer une probabilité subjective ?

Probabilité estimée à partir de résultats observés dans une expérience aléatoire.

G

Quel type de probabilité peut donner lieu à des évaluations différentes, selon la personne qui la détermine ? Justie ta réponse.

H

Selon toi, quelles questions peut-on se poser pour faciliter l’association d’un événement à un type de probabilité ?

I

Trouve un événement, autre que ceux présentés à la page précédente, auquel est associée : 1) une probabilité théorique ; 2) une probabilité fréquentielle ; 3) une probabilité subjective.

Probabilité subjective Probabilité évaluée à partir d’un jugement.

Ai-je bien compris ? Classe les six événements suivants selon que la probabilité qui leur est associée est théorique, fréquentielle ou subjective. Justie tes réponses. 1

Obtenir huit fois de suite le côté pile en lançant une pièce de monnaie.

4

Retrouver ses clés tout de suite après en avoir fait tailler de nouvelles.

2

Observer qu’une adolescente est gauchère.

5

Perdre à une certaine loterie.

3

Observer qu’il pleuvra la n de semaine prochaine.

6

Observer que la voiture stationnée devant chez soi est rouge.

Section 1

Activité d’exploration 1

71

ACTIVITÉ d’exploration

2

• Probabilité subjective • « Chances pour » et « chances contre »

La Triple Couronne Chaque printemps, aux États-Unis, des chevaux âgés de trois ans essaient de gagner la Triple Couronne. Pour ce faire, ils doivent d’abord remporter le Kentucky Derby, puis le Preakness Stakes et, enn, le Belmont Stakes. Dans l’histoire de la Triple Couronne, 35 chevaux ont remporté les deux premières courses, mais seulement 12 d’entre eux ont aussi remporté le Belmont Stakes et donc la Triple Couronne. Le tableau suivant présente des statistiques et de l’information relatives à cinq chevaux qui ont remporté le Kentucky Derby et le Preakness Stakes ; deux de ces chevaux ont remporté la Triple Couronne.

Année

1932

1935

Cheval Burgoo King

Omaha

Kentucky Derby – Il n’était pas favori.

Preakness Stakes – Il était favori.

Le jour de la course du Belmont Stakes, il faisait chaud et humide, et le ciel était nuageux.

21 courses, 8 victoires

– Il a gagné par 1 tête.

– Il n’était pas favori.

– Il n’était pas favori.

– Il a gagné par 1,5 longueur.

– Il a gagné par 6 longueurs.

Son père a gagné la Triple Couronne.

22 courses, 9 victoires

– Il n’était pas favori.

– Il était favori.

Son père, Tom Fool, et sa mère, Two Lea, sont membres du Temple de la renommée des chevaux.

14 courses, 10 victoires

Un autre cheval (Arts and Letters) est arrivé 2e lors des deux premières courses.

10 courses, 9 victoires

Secretariat a établi un record de vitesse à ces deux courses.

21 courses, 16 victoires

Tim Tam

– Il a gagné par 0,5 longueur.

– Il a gagné par 1,5 longueur.

1969

Majestic Prince

– Il était favori.

– Il était favori.

– Il a gagné par 1 cou.

– Il a gagné par 1 tête.

– Il était favori.

– Il était favori.

– Il a gagné par 2,5 longueurs.

– Il a gagné par 2,5 longueurs.

Secretariat

Fiche en carrière

– Il a gagné par 3 longueurs.

1958

1973

Fait divers

Adapté de : Unofficial Thoroughbred Hall of Fame (traduction libre), 2009.

Pour décrire l’avance avec laquelle un cheval gagne une course, on indique la partie du corps du cheval ou encore le nombre de longueurs du cheval entier qui a franchi la ligne d’arrivée avant l’arrivée du deuxième cheval.

72

Chapitre B

A

Selon toi, parmi ces cinq chevaux, lesquels ont remporté la Triple Couronne ? Justie ta réponse.

B

Quelle statistique ou quelle information supplémentaire pourrait t’aider à répondre à la question A ?

C

Trouve des arguments qui peuvent justier la victoire d’un cheval autre que ceux que tu as nommés en A.

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

En 1935, alors que 17 experts jugeaient qu’Omaha remporterait le Belmont Stakes, 12 autres évaluaient que ce cheval n’avait pas ce qu’il fallait pour remporter une troisième course consécutive. D

Utilise l’opinion de ces experts pour déterminer : 1) les « chances pour » la victoire d’Omaha au Belmont Stakes ; 2) les « chances contre » la victoire d’Omaha au Belmont Stakes.

E

Les « chances pour » et les « chances contre » représentent-elles la probabilité qu’Omaha gagne ou perde la course ? Justie ta réponse.

F

Comment peux-tu utiliser les « chances pour » an d’évaluer la probabilité qu’Omaha gagne la course ? Évalue cette probabilité.

G

De quel type de probabilité est-il question en F ?

«Chances pour» et «chances contre» Rapports entre les cas favorables et les cas défavorables à la réalisation d’un événement .

En 2014, California Chrome a failli remporter la Triple Couronne. Le tableau suivant présente les « chances contre » telles qu’elles avaient été établies pour chacune des courses de la Triple Couronne qu’a courue California Chrome. California Chrome (2014)

Kentucky Derby

Preakness Stakes

Belmont Stakes

5:2

1:2

4:5

Sources : Kentucky Derby, 2014 ; SB Nation, 2014 ; Radio-Canada, 2014.

H

Évalue la probabilité subjective que California Chrome ne remporte pas : 1) le Kentucky Derby ; 2) le Preakness Stakes ; 3) le Belmont Stakes.

I

Donne un exemple d’utilisation des rapports « chances pour » et « chances contre » dans un contexte : 1) de probabilité théorique ; 2) de probabilité fréquentielle.

On utilise généralement le deux-points plutôt que la barre de fraction pour exprimer les « chances pour » et les « chances contre ». Par exemple, si les « chances pour » sont de 51 , on écrit 5 : 1 et on dit « 5 contre 1 ».

Ai-je bien compris ? 1. Évalue la probabilité subjective : a) que tous tes amis b) qu’une de tes soient présents à amies oublie ses l’école mardi prochain ; clés aujourd’hui ;

c) qu’il pleuve dans cinq jours.

2. Exprime les probabilités suivantes en « chances pour » et en « chances contre ». a) 14 b) 35 c) 99 % 3. Exprime les « chances pour » ou les « chances contre » suivantes en probabilités. a) 3 contre 5 b) Les « chances pour » c) « Chances contre » = 47 sont de 7 : 2.

Section 1

Activité d’exploration 2

73

Faire le point La distinction entre différents types de probabilités La valeur d’une probabilité est toujours comprise dans l’intervalle [0, 1].

Une probabilité peut être théorique, fréquentielle ou subjective selon qu’on la calcule à l’aide d’un modèle, qu’on l’estime à l’aide d’une expérience ou qu’on l’évalue en faisant appel à son jugement.

La probabilité théorique Il est possible de calculer la probabilité théorique d’un événement lorsqu’on peut modéliser une situation sans nécessairement recourir à l’expérimentation. Lorsque les résultats d’une expérience aléatoire sont équiprobables, la probabilité d’un événement se calcule de la façon suivante. Nombre de résultats favorables Probabilité théorique = Nombre de résultats possibles d’un événement

Exemple : Soit l’expérience aléatoire « Sans regarder, tirer une bille du bocal ci-contre et noter sa couleur ». La probabilité de tirer : 2 11 ; 5 bleue est de 11 ; 4 verte est de 11 .

– une bille rouge est de – une bille – une bille

Point de repère Blaise Pascal et Pierre de Fermat Blaise Pascal (1623-1662) et Pierre de Fermat (1601-1665), deux mathématiciens français, se sont intéressés à des problèmes faisant intervenir des concepts mathématiques jusque-là peu explorés. Pascal et Fermat se questionnaient, par exemple, sur la probabilité d’obtenir un 6 en lançant quatre fois un dé ou d’obtenir une paire de 6 en lançant 24 fois deux dés. C’est de leurs échanges qu’est née la théorie des probabilités. Leurs travaux ont permis de développer des modèles mathématiques qui sont aujourd’hui utilisés en économie.

74

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

La probabilité fréquentielle La probabilité fréquentielle est une estimation faite à partir de résultats observés après plusieurs réalisations d’une expérience aléatoire. On doit avoir recours à une expérience aléatoire lorsqu’on ne dispose pas d’un modèle permettant de calculer une probabilité théorique. Lorsque l’expérience aléatoire est effectuée un grand nombre de fois, la probabilité fréquentielle constitue une bonne estimation de la probabilité théorique d’un événement. Probabilité fréquentielle Nombre de réalisations de l’événement = d’un événement Nombre de réalisations de l’expérience aléatoire Exemple : Soit l’expérience aléatoire « Lancer un pince-feuilles et noter sa position nale ». Voici la compilation des résultats de 300 lancers. Résultat (position nale) 225

Nombre de réalisations Probabilité fréquentielle

225 300

= 75 %

39 39 300

= 13 %

36 36 300

0 0%

= 12 %

Remarque : Même si on n’a pas observé un des résultats en effectuant l’expérience aléatoire, on ne peut pas conclure que ce résultat est impossible.

La probabilité subjective Une probabilité subjective reète l’avis d’une personne sur la probabilité qu’un événement se réalise. La probabilité est subjective puisqu’elle fait appel au jugement et correspond à une évaluation personnelle basée à la fois sur des connaissances et des opinions. On évalue une probabilité subjective dans le cas où il est impossible de calculer une probabilité théorique ou d’estimer une probabilité fréquentielle. Les prévisions de résultats sportifs et certaines prévisions météorologiques font appel à la probabilité subjective. Remarque : La probabilité subjective qu’un événement se réalise peut être évaluée différemment d’une personne à une autre.

Section 1

Faire le point

75

Les « chances pour » et les « chances contre » Dans certaines situations, les probabilités théorique, fréquentielle ou subjective sont exprimées en « chances pour » et en « chances contre ». Les « chances pour » et les « chances contre » la réalisation d’un événement sont exprimées par les rapports suivants. « Chances pour » =

Nombre de cas favorables Nombre de cas défavorables

« Chances contre » =

Nombre de cas défavorables Nombre de cas favorables

Exemple : Pour une saison donnée, trois analystes sportifs croient que l’équipe des Canadiens de Montréal remportera la coupe Stanley alors que huit autres croient qu’une autre équipe de la Ligue nationale de hockey la remportera. Les « chances pour » sont de 3 : 8. Les « chances contre » sont de 8 : 3. Remarque : On exprime généralement les « chances pour » et les « chances contre » à l’aide d’un deux-points. Ainsi, si les « chances pour » la réalisation d’un événement sont évaluées à 38, on écrit 3 : 8 et on dit : les « chances pour » que l’événement se réalise sont de 3 contre 8.

De la probabilité aux chances et des chances à la probabilité La relation entre le nombre de cas possibles et le nombre de cas favorables et défavorables à la réalisation d’un événement permet d’exprimer une probabilité en « chances pour » ou en « chances contre », ou l’inverse. Nombre de cas possibles = Nombre de cas favorables + Nombre de cas défavorables Exemples : 1)

5 Pour exprimer la probabilité 12 en « chances pour », on détermine le nombre de cas défavorables à partir du dénominateur, qui représente le nombre de cas possibles.

On a donc 7 cas défavorables (12 – 5 = 7). Les « chances pour » sont de 5 : 7. 2)

Pour exprimer le rapport « chances contre » 9 : 2 en probabilité, on détermine le nombre de cas possibles à partir du nombre de cas défavorables et du nombre de cas favorables. On a donc 11 cas possibles (9 + 2 = 11). 2 La probabilité est de 11 .

Remarque : Le rapport « chances pour » est l’inverse multiplicatif du rapport « chances contre ». Par conséquent, si les « chances pour » la réalisation d’un événement sont de 3 : 8, les « chances contre » sa réalisation sont de 8 : 3.

76

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Mise en pratique 1. À quel type de probabilité est associé chacun des neuf événements suivants ? a) Observer que les six enfants de mêmes parents sont de même sexe. b) Attribuer une note de 10 sur 10 au lm que tu verras en juillet prochain. c) Constater que le nombre de mots d’une page choisie au hasard dans le dernier roman que tu as lu est un nombre premier. d) Tirer le roi de trèe d’un jeu de 52 cartes. e) Réaliser un arrêt sur un tir de barrage durant le match nal d’un tournoi international de hockey. f) Observer que la masse d’un nouveau-né est supérieure à 3 kg. g) Lancer deux dés et observer que la somme obtenue est un multiple de 3. h) Constater que ta nouvelle amie sera contente de la cote qu’elle obtiendra à sa prochaine évaluation de mathématique. i) Observer que le groupe sanguin d’une Québécoise est A+.

2. Soit l’afrmation suivante. Notre produit nettoyant tue 99,9 % des germes. a) Dans tes mots, reformule cette afrmation en utilisant le mot « probabilité ». b) De quel type de probabilité s’agit-il ? Justie ta réponse.

3. Voici quatre afrmations. 1

2

3

4

Quand le soleil est orangé dans le ciel par un soir d’été, c’est le signe qu’il fera très chaud le lendemain. Si tu ne te brosses pas les dents tous les jours, elles niront par tomber. La nuit, lorsque je vais me chercher un verre d’eau, je me frappe souvent un orteil à un meuble. Une personne qui trouve un trèe à quatre feuilles est assurée de connaître une période de chance.

a) Explique pourquoi on peut associer chacune de ces afrmations à une probabilité subjective. b) Formule deux autres afrmations qui peuvent être associées à une probabilité subjective.

Section 1

Mise en pratique

77

4. Ingrid a compilé dans le tableau ci-contre

Position

les résultats de 2 500 lancers d’un gobelet de carton. a) Quelle est la probabilité que le gobelet tombe en position debout au prochain lancer ? b) Si Ingrid effectue 2 500 autres lancers, combien de fois crois-tu que le gobelet tombera en position couchée ? c) Tes réponses en a et en b sontelles basées sur une opinion, sur une expérience ou sur un modèle mathématique ? Justie tes réponses.

Effectif

207 Debout

2 293 Couché

5. Associe les événements suivants au rapport « chances pour » ou « chances contre » correspondant. A

B

C

D

Obtenir une somme de 11 en lançant deux dés. Obtenir une somme de 7 en lançant deux dés. Obtenir un nombre pair en lançant un dé. Obtenir un diviseur de 6 en lançant un dé.

1

2

3

4

Les « chances pour » sont de 1 : 5. Il y a 2 chances contre 1.

Les « chances pour » égalent les « chances contre ». Les « chances contre » sont de 17 : 1.

6. Le tableau ci-dessous présente certaines observations météorologiques obtenues durant les derniers jours à Detroit, à Toronto et à Montréal. Avant-hier

Hier

Aujourd’hui

Detroit

Vents violents Orages 15 °C

Vents modérés Faibles averses 10 °C

Pas de vent Nuageux 9 °C

Toronto

Pas de vent Nuageux 8 °C

Vents modérés Orages 14 °C

Vents faibles Faibles averses 9 °C

Montréal

Vents modérés Ensoleillé 18 °C

Pas de vent Nuageux 9 °C

Vents modérés Averses 13 °C

Fais une prévision météorologique (vents, probabilité de précipitations et température) pour demain et après-demain à Montréal. Justie ta réponse. 78

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

7. Voici cinq facteurs qui peuvent inuer sur le fait que l’équipe de soccer l’Impact de Montréal remporte son prochain match. 1

2

3

4

5

La che de l’Impact pour ses trois derniers matchs Trois victoires et aucune défaite

La che de l’équipe adverse pour ses trois derniers matchs Deux victoires et une défaite

La che de l’Impact contre cette équipe au cours de la saison dernière Une victoire et une défaite Les prévisions météorologiques 80 % de probabilité d’averses, forts vents Le degré d’importance du match au regard de la qualication aux quarts de nale L’équipe adverse ne peut pas se qualier, alors que l’Impact ne doit gagner qu’un seul de ses quatre derniers matchs pour se qualier.

a) Classe les cinq facteurs ci-dessus du plus inuent au moins inuent. b) Selon toi, quels autres facteurs pourraient inuer sur le fait que l’Impact remporte son prochain match ? c) Évalue la probabilité que l’Impact remporte son prochain match.

8. Nadia vient de terminer une évaluation de français. Elle afrme que, puisqu’elle

a toujours eu la cote A à ses évaluations de français, elle aura probablement la cote A cette fois-ci aussi. De plus, elle prétend qu’elle aura probablement la cote A à l’évaluation de français de la semaine prochaine. a) Nadia se base-t-elle sur une opinion ou sur une expérience pour afrmer : 1) qu’elle aura probablement la cote A à l’évaluation qu’elle vient de terminer ? 2) qu’elle aura probablement la cote A à l’évaluation de la semaine prochaine ? b) Quels arguments peux-tu présenter à Nadia pour lui faire prendre conscience du fait qu’elle pourrait ne pas avoir un A à l’évaluation de la semaine prochaine ?

9. Explique pourquoi on ne peut pas exprimer une probabilité égale à 1 en « chances pour ».

Section 1

Mise en pratique

79

10. Réponds aux questions suivantes. a) Exprime les probabilités suivantes en « chances pour » et en « chances contre ». 3

1) 8 2) 12,5 %

2

4) 17 12 5) 37

66 23 % 6) 4 chances sur 7 b) Exprime les « chances pour » ou les « chances contre » suivantes en probabilités. 1) 8 contre 3 2) Les « chances pour » sont de 8 : 1. 3) Les « chances contre » sont de 5 : 9. 4) 7 chances contre 2 11 5) « Chances pour » = 5 9 6) « Chances contre » = 13 3)

11. Vrai ou faux ? Justie tes réponses. a) Les « chances pour » donnent une probabilité de gagner alors que les « chances contre » donnent une probabilité de perdre. b) Si le rapport « chances pour » est inférieur à un entier, alors le rapport « chances contre » sera supérieur à un entier. c) « 2 chances sur 7 » est un rapport « chances pour ». d) « 5 chances sur 8 », c’est la même chose que « des chances de 5 contre 3 ». e) S’il y a autant de « chances pour » la réalisation d’un événement que de « chances contre », alors la probabilité que l’événement se réalise est de 12 .

12. Noah utilise cinq cartes d’un jeu de 52 cartes pour faire des tours de magie. Voici de l’information sur les cartes qu’il utilise.

– Les « chances pour » qu’une carte choisie au hasard soit noire sont de 3 : 2.

– Les « chances contre » qu’une carte choisie au hasard soit une gure sont de 1 : 4. – La probabilité qu’une carte choisie au hasard soit une carte de trèe est de 60 %. a) Quelle est la probabilité qu’une carte choisie au hasard parmi les cinq cartes de Noah soit rouge ? b) Quelles sont les « chances pour » qu’une carte choisie au hasard parmi les cinq cartes de Noah n’en soit pas une de trèe ? c) Nomme deux ensembles de cinq cartes qui pourraient être celles que Noah utilise pour ses tours de magie.

80

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

L’espérance mathématique

Section

2

Tout le monde y gagne ! Dans le cadre d’un événement-bénéce annuel, on invite les visiteurs à participer au jeu du labyrinthe. Ce jeu sert à amasser des fonds pour venir en aide à des enfants malades. Les participants doivent payer un droit d’entrée pour ce jeu et tous remportent un lot. Les participants commenceront l’épreuve à l’entrée du labyrinthe représenté ci-contre. À l’intérieur, ils se trouveront devant une succession de portes à sens unique, identiques, donnant accès à différents sentiers. Certains parcours mènent à la salle 1 , d’autres aux salles 2 , 3 ou 4 . Dans chacune de ces salles se trouve un des quatre lots suivants. A

Un porte-clés de l’événement

B

Deux billets pour un match de hockey junior

C

1

Entrée

D

Deux laissezpasser pour le cinéma

2

3

4

Un souper au restaurant pour deux

Les lots proviennent de commanditaires. La somme déboursée par les organisateurs pour acquérir ces lots, soit respectivement 1$, 0$, 4$ et 40$, est donc inférieure à leur valeur réelle. L’objectif de l’événement est d’amasser au moins 3 000$. On estime que 1 000 personnes participeront au jeu du labyrinthe, et aucun commanditaire n’a xé de limite quant au nombre de lots offerts. Propose aux organisateurs une salle du labyrinthe où placer chaque lot et xe le droit d’entrée qui leur permettra d’atteindre leur objectif.

Vivre-ensemble et citoyenneté Il arrive souvent que des événements populaires s’associent à une cause. C’est le cas du Grand Dé de Victoriaville. En effet, l’argent amassé au cours de cet événement sportif annuel sert, entre autres, à soutenir les activités de la fondation Les Amis d’Elliot, dont la mission est de venir en aide aux enfants malades de la région des Bois-Francs. Comment un tel partenariat peut-il être protable aux deux parties ? Selon toi, à quoi peut-on attribuer le succès d’un événement de cette envergure ?

Section 2

L’espérance mathématique

81

ACTIVITÉ d’exploration

1

Partage de coutume Alex décrit à Cynthia le jeu du dreidel auquel il joue avec les membres de sa famille au cours de la fête juive de la Hanoukkah. Un dreidel est une toupie dont chacune des quatre faces est marquée d’une lettre hébraïque. Pour y jouer, on détermine d’abord les objets qui constituent la mise. À tour de rôle, les joueurs font ensuite tourner le dreidel et suivent la consigne correspondant au résultat obtenu. Par exemple, les joueurs passent leur tour, ajoutent ou prennent un certain nombre d’objets, et ce, jusqu’à ce que la mise soit vide. Cynthia a fabriqué une toupie en carton semblable à un dreidel, mais dont les résultats ne sont pas équiprobables. Sur les faces de la toupie, elle a inscrit « Passe ton tour », « Prends 1 », « Ajoute 2 » et « Prends 3 ». Elle propose à son frère et à sa sœur de jouer avec 30 chocolats. Chaque joueuse ou joueur prend 4 chocolats et les 18 restants constituent la mise.

Espérance mathématique

Le tableau suivant présente la probabilité d’obtenir chacun des résultats de la toupie de Cynthia. Résultat Probabilité Espérance mathématique Moyenne pondérée des résultats d’une expérience aléatoire dans laquelle les facteurs de pondération sont les probabilités d’obtenir chacun des résultats.

« Passe ton tour »

« Prends 1»

« Ajoute 2 »

« Prends 3 »

25 %

30 %

25 %

20 %

A

Cynthia a commencé le calcul de l’espérance mathématique (E) de cette toupie. Complète-le. 25 30 E(Toupie) = 100 (0) + 100 (1) + …

B

Que représente la valeur trouvée en A dans le présent contexte ?

C

Pourquoi le fait que les résultats de la toupie fabriquée par Cynthia ne soient pas équiprobables affecte-t-il l’espérance mathématique de cette toupie ?

D

Quelle aurait été l’espérance mathématique de la toupie si, à la place de l’indication « Passe ton tour », Cynthia avait inscrit « Ajoute 1 » ?

Fait divers La fête juive de la Hanoukkah, aussi appelée « Fête des lumières », commémore la libération de Jérusalem de la domination grecque, il y a plus de 2 000 ans. Chaque soir, pendant huit jours au mois de décembre, les familles allument une à une les huit bougies du chandelier traditionnel. La neuvième sert à allumer les autres.

82

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

E

Selon toi, de quelle façon le changement dont il est question en D est-il susceptible d’inuer sur le nombre de tours nécessaires pour que la mise soit vide ? Justie ta réponse.

F

Par quoi faudrait-il remplacer « Prends 1 » sur la toupie de Cynthia pour que la mise diminue d’un chocolat par tour, en moyenne ?

Vivre-ensemble et citoyenneté Les lettres de l’alphabet hébraïque qui apparaissent sur un sont (Nun), (Gimel), (Hei) et (Shin). Ces lettres sont les premières de chaque mot de la phrase qui signie « Un grand miracle s’est produit là-bas ». Il existe plusieurs variantes aux règles du jeu du . La plus courante est la suivante. – –

correspond à « Passe ton tour ». correspond à « Ajoute 1».



correspond à « Prends la moitié de la mise ». Si le nombre d’objets dans la mise est impair, on arrondit à la hausse.



correspond à « Prends toute la mise ». Chaque joueuse ou joueur peut ensuite regarnir la mise en y ajoutant un objet.

Nomme une coutume propre à une religion. Selon toi, comment la diversité culturelle contribue-t-elle à l’éducation à la citoyenneté ?

Ai-je bien compris ? 1. Calcule l’espérance mathématique de chacune des roulettes suivantes. Les secteurs qui semblent isométriques le sont. a)

b)

c)

2. Voici quatre probabilités et quatre résultats liés à une expérience aléatoire. Résultats

Probabilités 15 %

25 %

20 %

40 %

8

20



10

15

Associe chaque probabilité à un résultat de manière à obtenir, pour cette expérience aléatoire, une espérance mathématique de : a) 4

b) 10,2

c) 8,1 Section 2

Activité d’exploration 1

83

ACTIVITÉ d’exploration

• Interprétation de l’espérance mathématique • Équité

2

Le Plinko Le Plinko, un jeu basé sur l’espérance mathématique, a fait sa première apparition en 1983 dans un jeu télévisé. Le Plinko est un plan incliné sur lequel on a placé des piquets. On y laisse glisser une rondelle et on observe le parcours qu’elle effectue. Chaque fois que la rondelle frappe un piquet, elle dévie vers la gauche ou la droite selon la même probabilité, soit 12. On s’intéresse au résultat indiqué par la rondelle lorsqu’elle arrive au bas du plan incliné. Voici le parcours effectué par une rondelle qu’on laisse glisser sur un plan incliné construit selon le modèle du Plinko.

Point de départ

1$

5$

0$

20 $ 0 $

5$

1$

Le tableau suivant présente la probabilité de chacun des résultats si on laisse glisser une rondelle à partir du même point de départ que celui illustré. Résultat Probabilité

84

Chapitre B

1$ 2 64

=

1 32

5$ 12 64

=

3 16

0$ 30 64

=

15 32

20 $ 20 64

5 = 16

A

Quelle est l’espérance mathématique de ce plan incliné ?

B

Que représente l’espérance mathématique dans ce contexte ?

C

Que devient l’espérance mathématique du jeu si, pour y participer, il faut payer : 1) 1 $ ? 2) 5 $ ? 3) 10 $ ?

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

D

À quels prix, parmi ceux présentés en C, serait-il avantageux, en moyenne, de participer au jeu ? Justie ta réponse.

E

Détermine le prix à payer pour participer au jeu pour qu’il soit un jeu équitable.

Jeu équitable Dans un contexte de jeu de hasard, jeu dont l’espérance mathématique est nulle.

Suppose que les lots à gagner inscrits au bas du plan incliné sont les suivants (de gauche à droite). 50 $

F

5$

1$

0$

1$

5$

50 $

Détermine le prix à payer pour participer au jeu pour qu’il soit un jeu équitable. Explique comment tu as procédé.

Voici sept lots. 0$

1$

2$

5$

10 $

12 $

20 $

On veut inscrire ces lots au bas d’un plan incliné. Chaque lot ne doit apparaître qu’une seule fois. G

De quelle façon peut-on disposer ces lots pour que le jeu soit le plus favorable possible : 1) aux participants ? 2) à la personne propriétaire du jeu ?

Ai-je bien compris ? Un club de gymnastique organise une loterie pour nancer ses activités. Le tableau suivant présente les lots à gagner et la probabilité de gagner chacun de ces lots. Lot Probabilité

1 000 $

500 $

100 $

50 $

1 2 000

2 2 000

8 2 000

12 2 000

a) Quelle est la probabilité de ne rien gagner à cette loterie ? b) Calcule l’espérance mathématique de cette loterie en considérant que le prix d’un billet est de : 1) 5 $. 2) 6 $. Section 2

Activité d’exploration 2

85

Faire le point L’espérance mathématique L’espérance mathématique est la moyenne pondérée des résultats d’une expérience aléatoire dans laquelle les facteurs de pondération sont les probabilités d’obtenir chacun des résultats. Il s’agit donc de la somme des produits des résultats et des probabilités correspondantes. Exemple : On fait tourner la èche de la roulette ci-dessous et on remporte le lot inscrit dans le secteur où la èche s’immobilise. Pièges et astuces

Résultat

Pour calculer l’espérance mathématique, il est souvent plus simple de ne pas réduire les fractions correspondant aux probabilités.

Espérance mathématique = 0 • Espérance mathématique =

5 16

12•

4 16

0 1 8 1 20 1 36 16

=

Probabilité

0$

5 16

2$

4 16

5$

4 16

12 $

3 16

15• 64 16

4 16

1 12 •

3 16

=4

L’espérance mathématique de cette roulette est de 4 $. Cela signie qu’en faisant tourner la èche de la roulette un très grand nombre de fois, on peut s’attendre à gagner en moyenne 4 $ chaque fois qu’on la fait tourner. Remarques : – La valeur moyenne des résultats obtenus en répétant une expérience aléatoire un très grand nombre de fois tend vers l’espérance mathématique. – On note parfois l’espérance mathématique avec la lettre E. Par exemple, l’espérance mathématique d’une roulette peut être notée E(Roulette).

Point de repère Jacob Bernoulli Le Suisse Jacob Bernoulli (1654-1705) fut l’un des premiers mathématiciens à tenter d’établir un lien entre la probabilité théorique et la probabilité fréquentielle d’un événement. Ses travaux l’ont mené à énoncer la « loi des grands nombres ». Cette loi stipule que si on réalise une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la probabilité fréquentielle converge vers la probabilité théorique associée à l’événement en question.

86

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

L’interprétation de l’espérance mathématique et l’équité Dans un jeu qui consiste à effectuer une expérience aléatoire et où il est possible de gagner ou de perdre des points, des objets ou de l’argent, il y a trois possibilités. Le jeu est : – favorable à la joueuse ou au joueur si l’espérance mathématique est positive ; – défavorable à la joueuse ou au joueur si l’espérance mathématique est négative ;

Toutes les loteries sont des jeux défavorables à la joueuse ou au joueur.

– équitable si l’espérance mathématique est nulle.

L’espérance mathématique d’un jeu de hasard dépend du prix à payer pour y participer. Exemples : Voici deux façons équivalentes de calculer l’espérance mathématique de la roulette ci-contre si on doit payer 5 $ pour en faire tourner la èche.

1)

Soustraire le prix à payer de chacun des résultats possibles.

Résultat

0$

2$

5$

12 $

Probabilité

5 16

4 16

4 16

3 16

Résultat Probabilité

−5 $

−3 $

0$

7$

5 16

4 16

4 16

3 16

Calculer ensuite l’espérance mathématique du jeu. 5

4

4

3

E(Jeu) = −5 • 16 1 −3 • 16 1 0 • 16 1 7 • 16 = −1 L’espérance mathématique de ce jeu est de −1 $. 2)

Soustraire le prix à payer de l’espérance mathématique de la roulette pour obtenir l’espérance mathématique du jeu. Espérance mathématique de la roulette 4$

2

Prix à payer pour jouer à la roulette

=

2

5$

=

Espérance mathématique du jeu −1$

L’espérance mathématique de ce jeu est de −1 $. Cela signie qu’en jouant un très grand nombre de fois on peut s’attendre à perdre en moyenne 1 $ par participation. Pour que ce jeu soit un jeu équitable, le prix à payer pour y participer doit être de 4 $. Si le prix à payer pour y participer est inférieur à 4 $, le jeu est alors favorable à la joueuse ou au joueur ; s’il est supérieur à 4 $, le jeu lui est alors défavorable.

Section 2

Faire le point

87

Mise en pratique 1. Calcule l’espérance mathématique de chacune des roulettes suivantes. Les secteurs qui semblent isométriques le sont. a)

b)

c)

2. Roseline déplace un pion sur le plateau d’un jeu en lançant un dé. Elle le déplace du nombre de cases correspondant au nombre obtenu au lancer du dé. Si le nombre est impair, Roseline recule son pion ; s’il est pair, elle avance son pion. a) Quelle est l’espérance mathématique du déplacement du pion pour un lancer du dé ? b) Décris le déplacement auquel Roseline peut s’attendre si elle lance le dé 30 fois.

3. Une boutique de vêtements organise une vente promotionnelle à l’occasion

de laquelle les clients reçoivent un bon de réduction à gratter à la caisse. Sur 20 bons de réduction, il y en a 1 de 40 %, 2 de 30 %, 2 de 20 % et 15 de 10 %. a) Quelle est l’espérance mathématique d’un bon de réduction ? b) Combien une personne peut-elle espérer économiser si le montant de son achat avant la réduction est de 75 $ ?

4. Sur le dé à huit faces ci-contre, il y a quatre chiffres différents inscrits deux fois chacun. Sachant que l’espérance mathématique d’un lancer de ce dé est de 4, détermine le quatrième chiffre.

5. On fait tirer 15 lots parmi les 1 000 personnes

présentes à un souper-bénéce. Il y a dix lots de 50 $, quatre lots de 100 $ et un lot de 500 $. Quelle est l’espérance mathématique de ce tirage ?

6. Un jeu consiste à lancer simultanément trois pièces de monnaie. Si les trois

pièces montrent la même face, on gagne cinq points ; sinon, on perd un point. a) Quelle est la probabilité : 1) de gagner cinq points ? 2) de perdre un point ? b) Calcule l’espérance mathématique de ce jeu.

88

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

7. Après avoir calculé que l’espérance mathématique d’un dé est de 3,5, Andrew formule la conjecture suivante.

L’espérance mathématique du carré du résultat est le carré de 3,5, soit 12,25. Voici comment il a procédé pour vérier sa conjecture. E(Carré du résultat) = 16 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) E(Carré du résultat) = 16 (91) = 1516 Ma conjecture est fausse. a) Sachant que l’espérance mathématique d’un dé est de 3,5, formule une conjecture quant à l’espérance mathématique de chacune des expériences aléatoires suivantes. 1)

Lancer deux de ces dés et noter la somme des nombres obtenus.

2)

Lancer deux de ces dés et noter le produit des nombres obtenus.

b) Vérie les conjectures formulées en a.

8. Pendant la saison estivale, le nombre de visiteurs d’un

parc aquatique dépend du temps qu’il fait et le nombre d’employés nécessaires dépend du nombre de visiteurs. Le tableau suivant présente des données tirées des dernières saisons. Temps

Nombre moyen de visiteurs

Nombre d’employés nécessaires

Ensoleillé

2 000

40

Nuageux

1 500

32

Pluvieux

200

16

Le 22 juillet, le bulletin météo donne les probabilités suivantes pour le 23 juillet. Temps Probabilité

Ensoleillé

Nuageux

Pluvieux

10 %

20 %

70 %

a) Calcule l’espérance mathématique du nombre de visiteurs du parc aquatique le 23 juillet. b) Combien d’employés la direction du parc devrait-elle faire travailler le 23 juillet ?

Section 2

Mise en pratique

89

9. Voici les règles d’un jeu de dés.

Fait divers L’origine des jeux de dés remonte à des temps très anciens. Les premiers dés étaient faits d’ivoire ou d’os d’animaux. Les dés ont été utilisés comme moyen de divertissement à presque toutes les époques par de nombreuses sociétés.

À tour de rôle, les joueurs lancent deux dés et additionnent les nombres obtenus. La personne qui lance les dés : – gagne deux points si la somme obtenue est supérieure ou égale à 9 ; – gagne trois points si la somme obtenue est inférieure ou égale à 4 ; – perd un point si la somme obtenue est supérieure à 4, mais inférieure à 9. La première personne à accumuler 10 points gagne la partie. a) Calcule l’espérance mathématique d’un lancer de dés. b) Combien de fois, en moyenne, doit-on lancer les dés pour accumuler 10 points à ce jeu ?

10. Il s’est vendu 2 000 000 de billets d’une certaine loterie. Le tableau ci-dessous

présente le nombre de billets gagnants pour chacun des cinq lots de cette loterie. Lot ($)

Nombre de billets gagnants

500 000

1

50 000

9

5 000

90

500

900

5

9 000

a) Quelle est l’espérance mathématique de cette loterie si le prix d’un billet est de : 1) 1 $ ? 2) 2 $ ? 3) 5 $ ? b) Détermine le prix d’un billet pour que cette loterie soit un jeu équitable.

11. Charlotte propose à Ian de déterminer qui fera la vaisselle en jouant à un jeu.

Elle lui demande de lancer deux dés et lui dit que si la différence entre les nombres obtenus est supérieure à 3, elle fera la vaisselle pour les 10 prochains jours. Par contre, si la différence entre les nombres obtenus est inférieure ou égale à 3, c’est lui qui devra faire la vaisselle pour les 8 prochains jours. Ian devrait-il accepter la proposition de Charlotte ? Justie ta réponse.

90

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

12. Madame Mallou est une voyante qui offre ses services par le truchement

d’Internet. Elle dit être capable de prédire le sexe d’un bébé avant la première échographie à partir d’une photo de la main de la mère. Cette photo peut même lui être envoyée par courriel. Pour ses services, madame Mallou exige 20 $. Conante en son don, madame Mallou offre une garantie sur sa « prédiction ». Si elle se trompe, elle remet aux clients leurs 20 $ et, pour les dédommager, leur offre 10 $ supplémentaires. Un couple qui désire connaître le sexe de son bébé avant la première échographie devrait-il faire appel aux services de madame Mallou ? Justie ta réponse.

13. Dès l’entrée du labyrinthe illustré ci-dessous, on fait face à une succession de portes à sens unique, identiques, donnant accès à différents sentiers. Certains parcours mènent à la salle 1 , d’autres à la salle 2 . Entrée

1

2

a) Quelle est la probabilité d’accéder à la salle 1 ? b) Détermine l’espérance mathématique de ce labyrinthe si on gagne 5 $ en accédant à la salle 1 et 100 $ en accédant à la salle 2 . c) Détermine le prix à payer pour participer au jeu pour qu’il soit un jeu équitable.

Section 2

Mise en pratique

91

Consolidation 1. Le diagramme ci-dessous représente une compilation des résultats de 100 lancers d’un dé régulier.

a) D’après ces résultats, quelle est la probabilité d’obtenir un diviseur de 6 ? b) Pourquoi la probabilité fréquentielle déterminée en a est-elle différente de la probabilité théorique d’obtenir un diviseur de 6 quand on lance le dé ? c) Dans cette situation, vaut-il mieux se er à la probabilité théorique ou à la probabilité fréquentielle pour déterminer une probabilité ? Justie ta réponse.

2. Quelles sont les « chances pour » associées aux événements suivants ? a) Tirer un as d’un jeu de 52 cartes. b) Obtenir trois fois de suite le côté pile en lançant une pièce de monnaie. c) Observer que la date d’anniversaire d’une personne née en janvier est un nombre premier.

3. Exprime les « chances pour » suivantes en probabilités. a) À 3 contre 2, les experts prédisent une victoire des Canadiens de Montréal à leur prochain match. b) On évalue les « chances pour » une victoire du boxeur québécois Jean Pascal à 7 : 4.

4. Un jeu a seulement deux résultats possibles , le 2 et le 5. Si les « chances pour »

l’obtention d’un 5 sont de 4 : 3, quelle est l’espérance mathématique de ce jeu ?

92

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

5. Placer une masse à l’intérieur d’un dé fait en sorte que les résultats obtenus

en lançant ce dé ne sont plus équiprobables. Le dé est alors truqué. Le tableau suivant présente les probabilités d’obtenir chacun des résultats en lançant un certain dé truqué.

Résultat

Probabilité

1 16

3 32

1 2

1 32

1 4

1 16

L’espérance mathématique de ce dé est-elle plus grande que celle d’un dé non truqué ? Justie ta réponse.

6. Pourquoi une banque refuserait-elle d’accorder un prêt de 50 000 $ à un taux

d’intérêt de 4 % à un client si l’information dont elle dispose lui permet d’estimer que les « chances pour » le remboursement du prêt sont de 19 : 1 ?

7. Si l’espérance mathématique de la roulette ci-contre est de −4, quelle est la valeur de x ?

8. Voici deux jeux proposés dans une fête foraine. Obtenez trois fois le côté pile en lançant trois fois une pièce de monnaie et gagnez 15 $.

Obtenez un double en lançant une fois deux dés et gagnez 15 $.

Prix : 3 $

2

Prix : 3 $

1

a) Pierre prétend que, puisque le prix à payer pour participer et le montant à gagner sont les mêmes pour les deux jeux, ces deux jeux ont la même espérance mathématique. Montre qu’il a tort. b) Change le prix à payer pour participer à chacun de ces jeux de façon à rendre les jeux équitables.

Consolidation

93

9. Dés devinettes Les deux dés réguliers ci-dessous ne comptent jamais plus de six points sur une face, mais plus d’une face peut avoir le même nombre de points. Voici de l’information relative aux résultats possibles quand on lance chacun de ces dés. 1

2

– Les « chances pour » l’obtention d’un nombre pair sont de 1: 2. – L’espérance mathématique du dé est de 5. – La probabilité d’obtenir un nombre premier est de 23 . – Les « chances contre » l’obtention d’un multiple de 3 sont de 1: 2.

Détermine combien il y a de points sur chacune des trois faces cachées de chacun de ces dés.

10. Le jour de la marmotte

Fait divers Un grand nombre de croyances populaires traversent le temps parce que sufsamment de gens leur accordent de l’importance et croient d’emblée que leur fondement est vrai sans l’avoir vérié. Voici quelques exemples. – Le nombre 13 porte malheur. – Une salière renversée annonce une visite. – Un trèe à quatre feuilles porte bonheur. – Un miroir cassé signie sept ans de malheur.

La prime est la somme qu’il faut verser à la compagnie pour obtenir une assurance. C’est le prix de l’assurance.

94

Chapitre B

Le 2 février de chaque année, vers 7 h 30, une marmotte qu’on appelle Punxsutawney Phil sort de son terrier. Selon la croyance populaire, si la marmotte voit son ombre, le temps hivernal se poursuivra encore au moins six semaines, c’est-à-dire au moins jusqu’au 16 mars. Si elle ne la voit pas, le temps hivernal se terminera avant le 16 mars. De toutes les prédictions de la marmotte répertoriées depuis 1887, soit plus d’une centaine, environ 39 % se sont avérées justes. a) De quelle façon pourrait-on modier un peu cette croyance populaire an d’augmenter de beaucoup la probabilité que la marmotte « voie » juste ? b) Dans ce contexte, puisqu’on se base sur plus de 100 prédictions, peut-on associer le résultat à une probabilité fréquentielle ? Justie ta réponse.

11. Planifier avec assurance Au cours d’une année, une compagnie d’assurance habitation estime que 3 % de ses assurés réclameront en moyenne 10 000 $ et que 0,05 % réclameront en moyenne 200 000 $. En supposant que les autres assurés ne feront aucune réclamation : a) détermine la prime ou le prix minimal qui garantit à la compagnie d’assurance l’argent nécessaire pour payer toutes les réclamations au cours de l’année ; b) trouve deux raisons pour lesquelles la prime xée par la compagnie sera certainement supérieure à celle que tu as déterminée en a.

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

12. Garanti ou pas ?

Point de repère

Voici les probabilités de rendement de deux placements déterminées par une conseillère en placements. Placement 1

Placement 2

Rendement

Probabilité

Rendement

Probabilité

6%

100 %

9%

80 %

−5 %

20 %

a) Si tu voulais placer de l’argent, lequel de ces deux placements choisirais-tu ? b) Calcule l’espérance mathématique de chaque placement.

13. Une éruption prédite L’extrait d’article de journal suivant nous informe que le volcan Hekla, en Islande, entrera sans doute en éruption. Le volcan Hekla prêt à entrer en éruption

Un professeur de géophysique de l’Université d’Islande affirme qu’une éruption du volcan Hekla est imminente. La pression mesurée à l’intérieur du volcan est plus élevée qu’avant les deux plus récentes éruptions, survenues en 1991 et en 2000 respectivement. Le volcan Hekla, en Islande Adapté de : Iceland Monitor, 2016.

a) Si le scientique se base sur les observations recueillies juste avant les deux dernières éruptions du volcan, peut-on dire que sa prédiction est fondée sur une probabilité fréquentielle ? Justie ta réponse. b) Plus de six mois après la parution de cet article, le volcan n’était toujours pas entré en éruption. Explique pourquoi il reste toujours une part de subjectivité dans ce type de prédiction.

John Allen Paulos John Allen Paulos (1945 -) est professeur de mathématique à l’Université Temple, à Philadelphie. Dans son livre La peur des chiffres : l’illettrisme en mathématiques et ses conséquences, il illustre, à l’aide d’exemples en lien avec la vie de tous les jours, que beaucoup de gens prennent de mauvaises décisions à cause de lacunes en mathématique. Lorsqu’ils doivent choisir entre deux stratégies de placement, par exemple, les gens évitent le plus souvent celle qui risque d’entraîner la plus grande perte plutôt que de calculer leur espérance mathématique et de tenir compte d’autres facteurs relatifs à leur situation.

Consolidation

95

14. Le « dilemme du prisonnier »

Fait divers Dans le lm Batman : Le chevalier noir, le Joker utilise une variante du « dilemme du prisonnier » pour opposer les habitants de Gotham City aux criminels de cette ville. Face à ce dilemme, chaque individu ou chaque groupe doit mettre en perspective ses intérêts personnels par rapport à ceux des autres avant de prendre une décision.

La présidente d’une entreprise a de bonnes raisons de croire que deux de ses employés ont volé de l’information contenue dans les chiers informatiques de l’entreprise. Après avoir congédié ces deux employés, elle a déclaré le vol au service de police. Les policiers vont interroger les deux suspects individuellement et simultanément de façon qu’aucun ne soit au courant de ce qui se dira durant l’interrogatoire de l’autre. Avant l’interrogatoire, les policiers informent les deux suspects que : – s‘ils demeurent tous deux silencieux, chacun d’eux devra payer une amende de 6 000 $ ; – si un seul des deux suspects dénonce l’autre, celui qui dénonce ne paiera pas d’amende et l’autre devra payer une amende de 10 000 $ ; – s‘ils se dénoncent l’un l’autre, ils devront payer une amende de 15 000 $ chacun. Un des suspects sait que son complice utilisera une pièce de monnaie pour prendre une décision : s’il obtient le côté pile, il demeurera silencieux, et s’il obtient le côté face, il le dénoncera. Quelle stratégie ce suspect devrait-il utiliser pour minimiser le montant de l’amende qu’il peut s’attendre à payer ? Justie ta réponse.

15. Avant le grand match Voici trois prévisions faites par différentes personnes quant à l’issue d’un match de football. Une grande spécialiste de football évalue les « chances pour » une victoire de l’équipe locale à 4 : 1.

Un joueur de l’équipe locale évalue les « chances pour » une victoire de son équipe à 15 : 2.

Un joueur de l’équipe adverse évalue les « chances pour » une victoire de son équipe à 4 : 9.

Évalue les « chances pour » une victoire de l’équipe locale en tenant compte de l’opinion de ces trois personnes. Explique ton raisonnement.

96

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

16. Un jeu de dés

CD 2

Voici les règlements d’un jeu de dés. – – – –

Pour jouer, il faut payer 2$. La personne choisit un chiffre de 1 à 6, puis lance deux dés simultanément. Si elle obtient une fois le chiffre choisi, la personne gagne 5 $. Si elle obtient deux fois le chiffre choisi, la personne gagne 20$.

Sandrine prétend que ce jeu est favorable à la joueuse ou au joueur puisque le chiffre choisi peut apparaître sur l’un ou l’autre des deux dés et que les lots à gagner sont beaucoup plus élevés que le prix payé pour jouer. À l’aide d’arguments mathématiques, vérie la conjecture de Sandrine.

17. La moyenne au bâton Une joueuse de baseball constate qu’elle a la meilleure moyenne au bâton de la ligue pour la première moitié de la saison et qu’elle a également la meilleure moyenne au bâton de la ligue pour la seconde moitié. Pourtant, elle n’a pas remporté le championnat de la meilleure moyenne au bâton pour la saison entière. Cette joueuse prétend qu’il y a certainement eu une erreur de calcul. À l’aide d’arguments mathématiques, convaincs-la qu’il est possible qu’une autre joueuse ait eu une meilleure moyenne que la sienne pour la saison entière.

Au baseball, la moyenne au bâton est le rapport entre le nombre de coups sûrs et le nombre de présences au bâton.

18. Un langage subjectif Voici les quatre réponses que Stéphanie a reçues après avoir demandé à quatre amis s’ils seraient présents à la fête organisée pour souligner l’anniversaire de Jean-Pierre. 1

2

« Je serai sans doute présente. » « J’y serai certainement. »

3

« Oui, probablement. »

4 ent. »

« Je vais fort probablement y être. »

a) Évalue la probabilité que chacune de ces personnes soit présente à la fête. b) Quelle partie de sa réponse chaque personne pourrait-elle enlever pour que Stéphanie n’ait aucun doute quant à sa présence ? c) Réponds à l’invitation de Stéphanie en utilisant des mots qui peuvent semer le doute quant à ta présence à la fête.

Consolidation

97

19. Le jeu du petit cochon Le jeu du petit cochon consiste à lancer une gurine, représentant un cochon, comme on lance un dé, et à observer sa position. Voici les règles du jeu. Une personne lance la gurine un certain nombre de fois. Son tour se termine lorsque la gurine tombe sur le côté ou, le cas échéant, lorsque la personne choisit de s’arrêter. – Si la personne choisit de s’arrêter, son pointage pour ce tour correspond à la somme des points qu’elle a obtenus. – Si le tour se termine parce que la gurine tombe sur le côté, la personne n’obtient alors aucun point et doit remettre la gurine à la prochaine joueuse ou au prochain joueur. – La première personne qui accumule 100 points gagne la partie. Pour se familiariser avec le jeu, Ariane a lancé 600 fois la gurine. Le tableau suivant présente la compilation du nombre d’occurrences de chacun des résultats. Résultat (position du petit cochon)

Nombre de points associé au résultat

Nombre d’occurrences du résultat

Sur le côté

0

297

Sur le dos

5

175

Assis

5

82

Sur le museau

10

36

Sur le museau et une oreille

15

10

Ariane joue une partie avec son ami Jonathan. Elle a 60 points et Jonathan en a 85. C’est maintenant au tour d’Ariane de jouer. Elle lance la gurine et obtient deux fois de suite la position « sur le museau et une oreille ». Elle se demande si elle doit continuer à lancer la gurine ou s’arrêter. Émets, à l’intention d’Ariane, une recommandation qui repose sur des arguments mathématiques.

20. Évaluer ou estimer le risque ? Voici deux panneaux de signalisation aperçus dans le parc des Laurentides. Trouve des arguments qui justient la décision d’inscrire sur les panneaux « risque élevé » plutôt que « risque très élevé » et qui s’appuient sur : a) une probabilité fréquentielle ; b) une probabilité subjective.

98

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

21. Dans le journal Voici deux articles de journal. À la conquête de l’Ouest

L’attaquant Tomas Plekanec pense que le Canadien peut revenir victorieux de son séjour dans l’Ouest. « Ça pourrait nous donner un coup de pouce pour la confiance », a-t-il noté à Detroit samedi soir. « Nous avons une bonne fiche jusqu’ici, mais on sait aussi qu’on peut faire mieux que ça. On peut jouer mieux. »

Tomas Plekanec Adapté de : La Presse, 2016.

Woody Allen va « très probablement » tourner son prochain film à Paris

Le cinéaste américain Woody Allen tournera son prochain film « très probablement » à Paris, a annoncé le ministère français de la Culture, soulignant qu’un abattement fiscal allait lui permettre de réaliser un projet reporté pour des raisons financières. Woody Allen Source : Agence France-Presse, 2009.

a) Explique pourquoi la probabilité que se réalisent certains événements auxquels on fait référence dans ces articles est subjective. b) Évalue la probabilité que se réalise chacun des événements mentionnés dans les articles et exprime-les en « chances pour ».

Fait divers Woody Allen a réalisé près de 50 lms en plus de 45 ans de carrière. Bananas (1971), Annie Hall (1977) et, plus récemment, Minuit à Paris (2011) gurent parmi ses plus grands succès.

Consolidation

99

22. Une roulette à rabais À l’ouverture ofcielle d’un nouveau magasin de meubles, les clients qui font un achat sont invités à faire tourner la èche de la roulette ci-contre, constituée de huit secteurs isométriques, pour obtenir un rabais. Le rabais inscrit dans le secteur désigné par la èche sera appliqué à leur achat. La facture d’Emmanuelle s’élève à 316,74 $. Quel montant peut-elle s’attendre à payer une fois qu’elle aura fait tourner la èche ?

23. La loi de Benford La loi de Benford, aussi appelée « loi des nombres anormaux », établit que le premier chiffre de nombres tirés d’une multitude de contextes n’a pas les mêmes chances d’être un 1 qu’un 3 ou un 9, par exemple. Chaque terme de la suite de Fibonacci est la somme des deux termes précédents : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et ainsi de suite.

a) Reproduis et remplis le tableau suivant en y indiquant le nombre de fois que chacun des chiffres (1 à 9) se trouve au début des nombres. Ensembles de nombres

Premier chiffre du nombre en question 1

2

3

4

5

6

7

8

9

100 premiers nombres carrés 100 premiers termes de la suite de Fibonacci

b) Comment peux-tu expliquer qu’il soit plus probable qu’un nombre débute, par exemple, par un 1 que par un 9 ?

Point de repère Frank Benford Frank Benford (1883-1948), ingénieur et physicien américain, titulaire de plus d’une vingtaine de brevets, est surtout connu pour ce qu’on appelle aujourd’hui la « loi de Benford ». Cette loi établit que la probabilité fréquentielle qu’un nombre tiré d’un certain contexte débute par le chiffre 1 est plus grande que la probabilité fréquentielle qu’il débute par le chiffre 2, elle-même plus grande que la probabilité fréquentielle qu’il débute par le chiffre 3, et ainsi de suite jusqu’à 9. Même si cette loi semble à priori très peu pratique, on l’utilise aujourd’hui pour détecter des fraudes fiscales, car elle permet de déceler des irrégularités dans les états financiers.

100

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

24. La météo

CD 2

Voici une page Web qui afche des prévisions météorologiques détaillées pour les prochaines heures. Prévisions météorologiques

Mercredi soir

Nuit de mercredi à jeudi

Jeudi matin

Jeudi après-midi

Température

−14 °C

−18 °C

−13 °C

−9 °C

Probabilité de précipitations

60 %

80 %

80 %

70 %

Vents

NE 20 km/h

NE 30 km/h

NE 35 km/h

NE 40 km/h

Humidité

97 %

100 %

96 %

84 %

Neige

1 à 3 cm

5 à 10 cm

Près de 10 cm

Près de 5 cm

Précipitations prévues de mercredi soir à jeudi après-midi : 25 à 30 cm de neige.

En se basant sur ces prévisions, Christian afrme qu’on devrait plutôt s’attendre à une chute de neige ne dépassant pas 20 cm entre mercredi soir et jeudi après-midi. Quels peuvent être ses arguments ? Selon toi, Christian a-t-il raison ? Justie ta réponse.

25. Russell Martin

CD 2

Au baseball, certains lanceurs préfèrent accorder un but sur balles intentionnel plutôt que d’affronter un frappeur vedette. Russell Martin est un joueur de baseball professionnel qui a grandi au Québec. Le tableau suivant présente quelques statistiques sur ses performances au bâton pendant sa première saison avec les Blue Jays de Toronto, en 2015. Nombre de présences au bâton

Nombre de simples (1 but)

Nombre de doubles (2 buts)

Nombre de triples (3 buts)

Nombre de circuits (4 buts)

441

58

23

2

23

Accorder un but sur balles intentionnel consiste à lancer quatre balles que le frappeur ne peut frapper an de lui permettre de se rendre au 1er but.

Adapté de : Marqueur.com, 2016.

En te basant uniquement sur ces statistiques, explique pourquoi il est préférable d’affronter Russell Martin plutôt que de lui accorder un but sur balles intentionnel. Consolidation

101

26. Partager le risque

CD 2

Une compagnie d’assurance automobile a analysé les réclamations qui lui ont été faites au cours des dernières années. Le tableau suivant présente les statistiques compilées pour l’année dernière selon le groupe d’âge des conducteurs et les ns d’utilisation du véhicule. Groupe d’âge des conducteurs

25 ans et plus

16 à 24 ans

Utilisation du véhicule

Nombre de véhicules assurés

Nombre de réclamations

Montant moyen de la réclamation ($)

Utilisation commerciale

44 508

3 561

9 682

Déplacements quotidiens ≤ 15 km

532 837

31 971

6 629

Déplacements quotidiens > 15 km

165 419

11 580

6 438

Toutes les utilisations

159 218

28 660

6 570

Voici les statistiques compilées pour l’année en cours. Groupe d’âge des conducteurs

25 ans et plus

16 à 24 ans

La prime est le montant d’argent que les assurés doivent verser à une compagnie d’assurance pour que celle-ci dispose de sufsamment de fonds an de payer les réclamations et de poursuivre ses activités.

102

Chapitre B

Utilisation du véhicule

Nombre de véhicules assurés

Utilisation commerciale

43 887

Déplacements quotidiens ≤ 15 km

528 241

Déplacements quotidiens > 15 km

165 612

Toutes les utilisations

161 452

Cette année, la prime moyenne pour assurer les véhicules utilisés à des ns commerciales est de 968 $. Aide la compagnie d’assurance à établir la prime moyenne selon l’âge du conducteur et l’utilisation du véhicule. Explique ton raisonnement.

Vivre-ensemble et citoyenneté L’industrie de l’assurance a pris naissance dans les cafés de Londres au xviie siècle. À cette époque, les propriétaires des navires transportant des marchandises y afchaient leur prochain itinéraire ainsi que la marchandise qu’ils allaient transporter. Contre une prime versée, certaines personnes acceptaient d’assurer ces navires et leur cargaison en écrivant leur nom sous la description afchée. L’assurance est une façon de partager un risque entre plusieurs assurés an qu’une perte, à la suite d’un vol, d’un feu ou d’un accident, n’entraîne pas la ruine d’un individu ou d’une famille. Donne un autre exemple de situation où des gens sont appelés à s’entraider.

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Le monde du travail L’assurance de biens et de personnes Les agents d’assurance déterminent les besoins de leurs clients en matière d’assurances, vendent des polices d’assurance de toutes sortes (automobile, habitation, maladie, voyage, vie, etc.), calculent parfois les primes que les assurés doivent verser et donnent suite aux réclamations. Pour accomplir toutes les tâches liées à leur profession, les agents d’assurance doivent être polyvalents. Leur travail exige d’abord de bonnes aptitudes sociales et un solide esprit d’analyse : ils doivent savoir écouter leurs clients pour comprendre leurs besoins et déterminer le service le mieux adapté à ces besoins. Leur travail exige aussi qu’ils soient attentifs à l’activité économique, car les besoins de la clientèle varient selon la conjoncture économique. Les agents d’assurance doivent également avoir de bonnes connaissances mathématiques, surtout en statistique. Les agents d’assurance travaillent dans des compagnies d’assurance, des maisons de courtage ou des agences immobilières. Certains travaillent à leur compte. Pour faire carrière dans ce domaine, il faut minimalement obtenir un diplôme d’études secondaires, une formation en entreprise et une formation spécialisée offerte par l’industrie. L’expérience ainsi qu’un diplôme d’études collégiales permettent aux agents d’assurance de gravir les échelons d’une entreprise pour devenir conseillers ou gestionnaires d’assurances.

Le monde du travail

103

Outils technologiques La calculatrice à affichage graphique Reporte-toi à la page 360 du manuel pour une description de la calculatrice à afchage graphique et de quelques-unes de ses touches.

Représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation Voici les étapes pour tracer le demi-plan qui correspond à l’ensemble-solution de l’inéquation y ≥ 3x - 3. 4

104

1

Appuyer sur et saisir l’équation de la droite frontière du demi-plan.

2

Déplacer le curseur sur « \ », à gauche du Y1.

3

Appuyer sur pour sélectionner « hachurer la zone supérieure ».

4

Appuyer sur

Outils technologiques

pour afficher le demi-plan.

Faire le point sur les connaissances antérieures La fonction exponentielle : règle de la forme f(x) = abx La fonction exponentielle est une fonction dont la variable indépendante se trouve en exposant dans la règle qui la décrit.

Algèbre

La représentation graphique d’une fonction exponentielle dont la règle est de la forme f(x) = abx est une courbe dont l’asymptote est l’axe des abscisses. Le paramètre a de la règle est l’ordonnée à l’origine (ou la valeur initiale) de la fonction exponentielle. La valeur de a ne doit pas être égale à 0. Le paramètre b de la règle est la base de la fonction exponentielle. La valeur de b doit être plus grande que 0, sans être égale à 1. Lorsque la base est plus grande que 1 (b > 1), le graphique est une courbe croissante.

Lorsque la base est comprise entre 0 et 1 (0 < b < 1), le graphique est une courbe décroissante.

Exemple : f(x) = 3(2)x est la règle d’une fonction exponentielle dont l’ordonnée à l’origine (ou la valeur initiale) est 3 et dont la base est 2. x

f(x)

0

3

1

6

2

12

3

24

4

48

5

96

Remarque : Le graphique est une courbe passant par le point qui a pour coordonnées le couple (0, 3). Faire le point sur les connaissances antérieures

105

La recherche de la règle Il est possible de déterminer la règle d’une fonction exponentielle à partir d’une table de valeurs. Exemple :

x

-1

0

1

2

3

4

f(x)

2,5

5

10

20

40

80

Voici les étapes à suivre pour déterminer la règle de cette fonction. Étape 1. Vérier si le rapport de valeurs.

f(x + 1) f(x)

est constant dans la table

Si le rapport est constant, il correspond à la base b de la fonction exponentielle.

Pièges et astuces x

La règle f(x) = 5(2) n’est pas équivalente à la règle f(x) = 10 x puisque l’exponentiation est prioritaire sur la multiplication.

Exemple f(0) f(1) f(4) = =…= f( 1) f(0) f(3) 5 = 10 = … = 80 = 2 40 2,5 5 b=2

2. Remplacer la base b par la valeur déterminée à l’étape 1 dans la règle f(x) = abx.

f(x) = a(2)x

3. Substituer les coordonnées d’un couple de la table de valeurs à x et à f(x) dans la règle.

(3, 40) : 40 = a(2)3

4. Résoudre l’équation an de déterminer la valeur de a.

40 = 40 = a = 5 23 8

5. Écrire la règle sous la forme f(x) = abx avec les valeurs de a et de b déterminées précédemment.

f(x) = 5(2)x

Remarque : Cette procédure est aussi utile lorsqu’on dispose du graphique de la fonction et qu’on connaît les points de coordonnées (x, f(x)) et (x + 1, f(x + 1)). Il est également possible de déterminer la règle à partir d’une description. Exemple : En 2000, la population de coccinelles d’un terrain boisé était estimée à 20 000 individus. Selon des scientifiques, elle augmente de 2 % par année. Voici les étapes à suivre pour déterminer la règle de cette fonction. Étape

106

Exemple

1. Déterminer la valeur de a, c’est-à-dire la valeur initiale ou l’ordonnée à l’origine de la fonction exponentielle.

La population de départ est de 20 000 coccinelles. a = 20 000

2. Déterminer la valeur de b, c’est-à-dire la base de la fonction. Pour ce faire, établir si la situation présente une augmentation ou une diminution des valeurs de f(x). Ajouter le pourcentage d’augmentation à 100 %, ou soustraire de 100 % le pourcentage de diminution.

100 %+ 2 % = 102 % = 1,02 La base est donc b = 1,02.

3. Écrire la règle sous la forme f(x) = abx avec les valeurs de a et de b déterminées précédemment.

f(x) = 20 000(1,02)x

Faire le point sur les connaissances antérieures

Index A actualisation, 36, 42 angle, cosinus d’un, 15 sinus d’un, 14 annuité, 40

B Benford, Frank, 100 Bernouilli, Jacob, 86

C capital, 36 capitalisation, 36, 42 chances pour, 73, 76 contre, 73, 76 changement de base, 29, 31 cosinus, loi des, 15, 16

D droite frontière, 9

E emprunts à intérêt composé, 44, 45 à intérêt simple, 42, 43, 44 ensemble-solution d’une inéquation, 4 représentation graphique de l’, 6 équation exponentielle, 28, 31 logarithmique, 29, 31 équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique, 28, 30 espérance mathématique, 82, 86, 87

F Fermat, Pierre de, 74 fonction exponentielle, 28 logarithmique, 28, 30

I inéquation(s), 2 du premier degré à deux variables, 4, 6 ensemble-solution d’une, 4, 6 intérêt, 42 composé, 36, 42, 44, 45 période(s) d’, 38, 42, 43, 45 simple, 36, 42, 43, 44 taux d’, 38, 42, 44, 45

J

T taux d’intérêt, 38, 42, 44, 45

V valeur actuelle, 36, 42, 43, 45 future, 36, 42, 43, 44 versements de début de période, 41, 46 de fin de période, 62 périodiques, 40, 46

jeu équitable, 85, 87

L logarithme(s), 28, 30 loi des cosinus, 15, 16 du changement de base, 29, 31

M mathématiques financières, 42

P Pascal, Blaise, 74 Paulos, John Allen, 95 période(s) d’intérêt, 38, 42, 43, 45 placements à intérêt composé, 44, 45 à intérêt simple, 42, 43, 44 probabilité(s), 70, 71, 74 fréquentielle, 71, 75 subjective, 71, 75 théorique, 70, 74 types de, 70, 71, 74 puissance, 28, 30

R résolution d’une équation exponentielle, 31 logarithmique, 31

S sinus d’un angle, 14

Index

107

Le guide se poursuit à la page suivante.

Julie Cléroux Valérie Rodrigue

Table des matières Page Le complément à la collection Intersection                                                              

G-3

Planification annuelle                                                                                

G-4

Critères d’évaluation des compétences                                                                   G-14

Complément au chapitre 1 (Section A – Les inéquations du premier degré à deux variables) Survol                                                                                              G-15 Planification de l’enseignement et de l’évaluation                                                          G-16 Notes pédagogiques                                                                                  G-18

Complément au chapitre 2 (Section A – La loi des cosinus) Survol                                                                                              G-21 Planification de l’enseignement et de l’évaluation                                                          G-22 Notes pédagogiques                                                                                  G-24

Chapitre A – Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières Survol                                                                                              G-29 Planification de l’enseignement et de l’évaluation                                                          G-30 Notes pédagogiques                                                                                  G-32

Chapitre B – La probabilité subjective et l’espérance mathématique Survol                                                                                              G-43 Planification de l’enseignement et de l’évaluation                                                          G-44 Notes pédagogiques                                                                                  G-46

Le complément à la collection Intersection Le présent complément à la collection Intersection, séquence Culture, société et technique, assure la conformité au programme mis à jour de la 3e année du 2e cycle du secondaire. Voici un bref aperçu de son contenu. Le complément au manuel renferme : – la section Les inéquations du premier degré à deux variables, qui s’insère au début du chapitre 1 (L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire) et comprend aussi un ajout à la partie Consolidation du chapitre ; – la section La loi des cosinus, qui s’insère au début du chapitre 2 (La géométrie des figures planes) et comprend aussi un ajout à la partie Consolidation du chapitre ; – le chapitre A – Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières, à intégrer entre les chapitres 3 et 4* ; – le chapitre B – La probabilité subjective et l’espérance mathématique, à intégrer entre les chapitres 4 et 5. Le complément au guide d’enseignement renferme : – un guide d’accompagnement pédagogique, y compris une planification annuelle ; – des fiches reproductibles Plus de Mise en pratique et Plus de Consolidation ; – le corrigé du complément au manuel ; – un nouveau test pour le chapitre 2 ; – de nouvelles grilles d’évaluation et d’autoévaluation des compétences disciplinaires ; – deux nouvelles situations d’apprentissage et d’évaluation.

* Comme le chapitre A est entièrement nouveau et indépendant des autres, il peut être vu à un autre moment de l’année, après le chapitre 4, par exemple.

Guide d’accompagnement pédagogique

Le complément

G-3

Planification annuelle Les tableaux qui suivent aident à planifier l’enseignement tout en respectant les modifications apportées à la séquence Culture, société et technique, 3e année du 2e cycle du secondaire. On y explique notamment comment et à quel moment intégrer les divers éléments du complément. Pour faciliter l’intégration du nouveau matériel, tous les changements qui résultent des modifications apportées au programme sont tramés dans les tableaux qui suivent. De plus, des pictogrammes (voir ci- contre) signalent les renvois au complément et les adaptations suggérées au matériel existant.

Légende des pictogrammes Complément au manuel Document reproductible du complément au guide d’enseignement Adaptation et réutilisation du matériel existant

Durée : 1 250 min/1 700 min*

Chapitre 1 L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

Ce chapitre comporte l’ajout d’une section qui traite des inéquations. Bien que l’étude des inéquations ait été amorcée à la 1re année du 2e cycle, l’ajout de la section s’avère nécessaire puisque les élèves n’ont pas réinvesti ces apprentissages à la 2e année du cycle. Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

PRÉPARATION

Entrée en matière En contexte

4 et 5

Laisser de côté le no 1 f).

En bref

6à8

Laisser de côté les nos 5 à 9.

RÉALISATION

Section A • Les inéquations du premier degré à deux variables Situation d’application Bien traiter l’information

1

Activité d’exploration 1 Toujours plus haut !

2 et 3

Inéquation du premier degré à une et à deux variables

Activité d’exploration 2 C’est payant de récupérer

4 et 5

Inéquation du premier degré à deux variables

Faire le point Mise en pratique

6 7 à 11

Inéquation du premier degré à deux variables Représentation graphique de l’ensemble-solution d’une inéquation Principaux concepts et processus de la section Au besoin, utiliser la fiche A.1 (Plus de Mise en pratique). Au besoin, utiliser les nos 5 à 9 des pages 6 et 7 du manuel.

* Planification annuelle sur 100 h/150 h.

G-4

Planification annuelle

Guide d’accompagnement pédagogique

Chapitre 1 L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire (suite) Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

Section 1 • Le polygone de contraintes Situation-problème Prendre de l’assurance

9

Activité d’exploration 1 Fera-t-il plus chaud demain ?

10 et 11

Système d’inéquations Représentation graphique d’une situation Contraintes d’un problème

Activité d’exploration 2 La création sous contraintes

12 et 13

Polygone de contraintes

Activité d’exploration 3 Une description précise

14

Coordonnées des sommets du polygone de contraintes

Faire le point

15 et 16

Système d’inéquations du premier degré à deux variables Représentation graphique d’un système d’inéquations Contraintes d’un problème Polygone de contraintes

Mise en pratique

17 à 26

Principaux concepts et processus de la section

Section 2 • La recherche de la solution optimale Situation-problème Une jeune entreprise

27

Activité d’exploration 1 Les mélanges de fruits séchés

28 et 29

Fonction à optimiser Comparaison de solutions

Activité d’exploration 2 Émettre des conjectures

30 et 31

Recherche de la solution optimale

Activité d’exploration 3 Une balade en voiture

32 et 33

Méthode de la droite baladeuse

Activité d’exploration 4 Rénover au moindre coût

34

Modification des conditions d’une situation

Faire le point

35 à 39

Fonction à optimiser Comparaison de solutions Recherche de la solution optimale Méthode de la droite baladeuse Modélisation d’un problème d’optimisation Modification des conditions d’une situation

Mise en pratique

40 à 51

Principaux concepts et processus de la section

INTÉGRATION ET RÉINVESTISSEMENT

Consolidation

12 52 à 66

Le monde du travail

Principaux concepts et processus du chapitre Commencer la partie Consolidation avec la page 12 du complément.

67

Guide d’accompagnement pédagogique

Planification annuelle

G-5

Durée : 500 min/830 min*

Chapitre 2 La géométrie des figures planes

Ce chapitre comporte l’ajout d’une section qui traite de la loi des cosinus. Il est à noter que les transformations géométriques dans le plan cartésien ne font plus partie du contenu prescrit par le programme. Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

PRÉPARATION

Entrée en matière En contexte

70 à 72

Laisser de côté le no 3.

En bref

73 à 76

Laisser de côté les nos 9 à 13.

RÉALISATION

Section a • La loi des cosinus Situation d’application C’est clair et net !

13

Activité d’exploration 1 Triangulation planétaire

14 et 15

Loi des cosinus

16

Loi des cosinus

Faire le point Mise en pratique

17 à 20

Principaux concepts et processus de la section Au besoin, utiliser la fiche 2.A (Plus de Mise en pratique).

Section 1 • Le concept d’équivalence 77

Situation d’application Le mot du chroniqueur Activité d’exploration 1 Des figures planes équivalentes

78 et 79

Figures planes équivalentes Recherche de mesures manquantes

Activité d’exploration 2 « Voir » la différence

80 et 81

Polygones équivalents à n côtés

Activité d’exploration 3 Des trampolines dans Internet

82 et 83

Périmètre de polygones réguliers convexes équivalents Recherche de mesures manquantes

Faire le point

84 et 85

Figures planes équivalentes Recherche de mesures manquantes Propriétés concernant les figures planes équivalentes

Mise en pratique

86 à 90

Principaux concepts et processus de la section

Section 2 • Les transformations géométriques dans le plan cartésien Cette section traite des concepts et des processus qui ne font plus partie du contenu prescrit par le programme. INTÉGRATION ET RÉINVESTISSEMENT

Consolidation

21 110 à 120

Principaux concepts et processus du chapitre Commencer la partie Consolidation avec la page 21 du complément. Aux pages 110 à 120 du manuel, laisser de côté les nos 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 19, 20 et 22. On peut inviter les élèves à résoudre le problème no 22 sans établir les règles d’une suite de transformations pour passer d’une plaque à l’autre. Les élèves devront tout de même travailler à l’aide du plan cartésien. Le complément au guide d’enseignement comprend un test pour le chapitre 2 dans la partie Évaluation.

Le monde du travail

121

* Planification annuelle sur 100 h/150 h.

G-6

Planification annuelle

Guide d’accompagnement pédagogique

Durée : 75 min/150 min*

Intersection Chapitres 1 et 2 Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

INTÉGRATION ET RÉINVESTISSEMENT

SAÉ Un jardin communautaire (Situation-problème)

122 et 123

Analyse de situations à l’aide de la programmation linéaire Recherche de mesures manquantes : position, angles, longueur, aires, mettant à profit des figures équivalentes

SAÉ Des comptoirs de céramique (Situation d’application)

124 et 125

Cette situation fait appel à certains concepts et processus qui ne font plus partie du contenu prescrit par le programme.

Problèmes

126 à 133

Il est toutefois possible de l’utiliser en fournissant aux élèves les coordonnées des sommets du comptoir, les concepts et les processus mis à contribution étant alors les mêmes que dans la SAÉ Un jardin communautaire. Principaux concepts et processus des chapitres 1 et 2 Laisser de côté les nos 2, 13, 14 et 16 b). 134 et 135

Défis mathématiques * Planification annuelle sur 100 h/150 h.

Durée : 600 min/975 min*

Chapitre 3 Les solides équivalents

Ce chapitre constitue la suite logique du chapitre 2, puisqu’il traite de géométrie et de solides équivalents. Il n’est pas touché par les modifications apportées au programme de la séquence Culture, société et technique de la 3e année du 2e cycle du secondaire. Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

PRÉPARATION

Entrée en matière En contexte

138 à 141

En bref

142 à 144

RÉALISATION

Section 1 • Les solides équivalents et la recherche de mesures manquantes Situation-problème Nouveau contenant, même qualité !

145

Activité d’exploration 1 Sculptures de cire

146 et 147

Solides équivalents Aire de solides équivalents

Activité d’exploration 2 Un design personnalisé

148 et 149

Recherche de mesures manquantes

Faire le point

150 et 151

Solides équivalents Recherche de mesures manquantes

Mise en pratique

152 à 154

Principaux concepts et processus de la section

Section 2 • L’optimisation dans différents contextes Situation d’application Du sable au musée

155

Activité d’exploration 1 Des ballons dans le ciel

156 et 157

Volume de solides de même aire

Activité d’exploration 2 Former, déformer, reformer

158 et 159

Aire de solides de même volume

Faire le point

160 et 161

Optimisation dans différents contextes impliquant des solides

Mise en pratique

162 à 165

Principaux concepts et processus de la section

166 à 174

Principaux concepts et processus du chapitre

INTÉGRATION ET RÉINVESTISSEMENT

Consolidation Le monde du travail

175

* Planification annuelle sur 100 h/150 h.

Guide d’accompagnement pédagogique

Planification annuelle

G-7

Chapitre A Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières

Durée : 675 min/1 125 min*

Ce tout nouveau chapitre traite de plusieurs des concepts et des processus désormais au programme de la séquence Culture, société et technique de la 3e année du 2e cycle du secondaire. La section 1 du chapitre porte sur la résolution d’équations exponentielles et logarithmiques. Les élèves de la séquence Culture, société et technique ont été initiés à la fonction exponentielle à la 2e année du 2e cycle, mais ils ne peuvent résoudre une équation exponentielle qu’en procédant par l’essai d’exposants successifs. En 3e année du cycle, ils sont amenés à découvrir les logarithmes pour résoudre les équations exponentielles. L’étude des logarithmes se limite à l’équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique et à la loi du changement de base. Dans le cadre du cours Culture, société et technique, la base 10 est privilégiée. La section 2 du chapitre propose une initiation aux mathématiques financières, une application très concrète des équations exponentielles. Les élèves pourront ainsi utiliser leurs nouvelles connaissances dans des contextes concrets et signifiants. Le vocabulaire propre aux mathématiques financières est abordé : intérêt simple et intérêt composé, capitalisation, période d’intérêt, etc. Au moment jugé opportun, il est possible d’arrimer ces concepts avec les apprentissages réalisés dans le cours d’éducation économique, lui aussi offert en 3e année du cycle. Il est à noter que la section 2 permet d’enrichir les notions de mathématiques financières avec le concept de versements périodiques. Si le temps le permet, l’enseignante ou l’enseignant peut ainsi bonifier les connaissances financières des élèves. Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

PRÉPARATION

Entrée en matière En contexte

24

En bref

25 et 26

RÉALISATION

Section 1 • Les logarithmes et la résolution d’équations Situation d’application Une question de salaire

27

Activité d’exploration 1 L’intensité de la lumière du Soleil sous la surface de l’eau

28 et 29

Équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique Logarithme Loi du changement de base Résolution d’équations exponentielles

Faire le point

30 et 31

Fonction logarithmique Équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique Loi du changement de base Résolution d’équations exponentielles Résolution d’équations logarithmiques

Mise en pratique

32 à 34

Principaux concepts et processus de la section Au besoin, utiliser la fiche A.1 (Plus de Mise en pratique).

Section 2 • Les mathématiques financières Situation d’application Acheter maintenant, payer plus tard

35

Activité d’exploration 1 Les certificats de placement garanti

36 et 37

Intérêt simple Intérêt composé

Activité d’exploration 2 Financer ses études

38 et 39

Taux d’intérêt Période d’intérêt Valeur actuelle Valeur future Capitalisation Actualisation Durée d’un emprunt ou d’un placement

* Planification annuelle sur 100 h/150 h.

G-8

Planification annuelle

Guide d’accompagnement pédagogique

Chapitre A Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières (suite) Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

Activité d’exploration 3 Des versements égaux (enrichissement) Remarque : Cette activité porte sur des concepts non prescrits.

40 et 41

Versements périodiques Annuité Versements de début de période Valeur future de versements périodiques

Faire le point

42 à 46

Vocabulaire des mathématiques financières Placements et emprunts à intérêt simple • Détermination de la valeur future, de la valeur actuelle, de la durée, du taux d’intérêt Placements et emprunts à intérêt composé • Détermination de la valeur future, de la valeur actuelle, de la durée, du taux d’intérêt Versements périodiques (enrichissement)

Mise en pratique

47 à 53

Principaux concepts et processus de la section Au besoin, utiliser la fiche A.2 (Plus de Mise en pratique).

INTÉGRATION ET RÉINVESTISSEMENT

Consolidation Remarque : Les problèmes des pages 61 et 62 ont trait aux versements périodiques et constituent donc un enrichissement. Le monde du travail

54 à 62

Principaux concepts et processus du chapitre Au besoin, utiliser la fiche A.3 (Plus de Consolidation).

63

Durée : 1 200 min/1 500 min*

Chapitre 4 Les graphes

Ce chapitre porte sur les graphes. Il n’est pas touché par les modifications apportées au programme de la séquence Culture, société et technique de la 3e année du 2e cycle du secondaire. Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

PRÉPARATION

178 à 181

Entrée en matière En contexte

182

En bref RÉALISATION

Section 1 • La représentation d’une situation à l’aide de graphes Situation de communication Compatibilité vitale

183

Activité d’exploration 1 Réunion au sommet

184 à 186

Graphe et graphe orienté Chaîne et cycle, chemin et circuit

Activité d’exploration 2 Marcher pour la forme

187 et 188

Graphe valué Degré des sommets Poids (valeur) d’une chaîne ou d’un cycle

Activité d’exploration 3 Souvenirs organisés

189 et 190

Arbre Distance entre deux sommets

Faire le point

191 à 194

Graphe Types de graphes

Mise en pratique

195 à 202

Principaux concepts et processus de la section

* Planification annuelle sur 100 h/150 h.

Guide d’accompagnement pédagogique

Planification annuelle

G-9

Chapitre 4 Les graphes (suite) Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

Section 2 • L’analyse de situations à l’aide de graphes 203

Situation-problème Sensibilisation colorée Activité d’exploration 1 Ponts historiques

204 et 205

Chaîne et cycle eulériens

Activité d’exploration 2 La route des gourmets

206 et 207

Chaîne et cycle hamiltoniens

Activité d’exploration 3 Une question de goût

208 et 209

Coloration des sommets d’un graphe Nombre chromatique d’un graphe

Faire le point

210 à 212

Chaîne et cycle eulériens Chaîne et cycle hamiltoniens Coloration des sommets d’un graphe Nombre chromatique d’un graphe

Mise en pratique

213 à 218

Principaux concepts et processus de la section

Section 3 • L’optimisation de situations à l’aide de graphes valués Situation-problème Aller au plus court

219

Activité d’exploration 1 En route !

220 et 221

Arbres de valeurs minimales et maximales Algorithme de Kruskal

Activité d’exploration 2 Redescendre rapidement

222 et 223

Chaîne la plus courte Algorithme de Dijkstra

Activité d’exploration 3 Organisation humanitaire

224 et 225

Chemin critique

Faire le point

226 à 228

Arbre de valeurs minimales ou maximales Chaîne la plus courte Chemin critique

Mise en pratique

229 à 235

Principaux concepts et processus de la section

236 à 248

Principaux concepts et processus du chapitre

INTÉGRATION ET RÉINVESTISSEMENT

Consolidation Le monde du travail

249

Durée : 150 min/300 min*

Intersection Chapitres 1 à 4 Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

INTÉGRATION ET RÉINVESTISSEMENT

SAÉ Publicité rotative (Situation d’application)

250 et 251

Analyse de situations à l’aide de la programmation linéaire Recherche de mesures manquantes : position, angles, longueur, aires, mettant à profit des figures équivalentes

SAÉ Ravitaillement « antarctique » (Situation de communication)

252 et 253

Analyse de situations à l’aide de la programmation linéaire Recherche de mesures manquantes : position, angles, longueur, aires, mettant à profit des figures équivalentes Analyse de situations qui mettent à profit le concept de graphe

Problèmes

254 à 261

Principaux concepts et processus des chapitres 1 à 4 Laisser de côté le no 5.

Défis mathématiques

262 et 263

* Planification annuelle sur 100 h/150 h.

G-10

Planification annuelle

Guide d’accompagnement pédagogique

Durée : 525 min/900 min*

Chapitre B La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Ce tout nouveau chapitre traite des différents types de probabilités, des « chances pour » et « chances contre », ainsi que de l’espérance mathématique. La phase de préparation revêt ici une importance particulière puisque les élèves n’ont pas abordé le domaine des probabilités depuis la 1re année du 2e cycle. Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

PRÉPARATION

Entrée en matière En contexte En bref

66 et 67 68

RÉALISATION

Section 1 • La probabilité subjective Situation d’application À chacun sa force

69

Activité d’exploration 1 Calculer, estimer ou évaluer ?

70 et 71

Distinction entre différents types de probabilités

Activité d’exploration 2 La Triple Couronne

72 et 73

Probabilité subjective « Chances pour » et « chances contre »

Faire le point

74 à 76

Distinction entre différents types de probabilités « Chances pour » et « chances contre »

Mise en pratique

77 à 80

Principaux concepts et processus de la section Au besoin, utiliser la fiche B.1 (Plus de Mise en pratique).

Section 2 • L’espérance mathématique Situation-problème Tout le monde y gagne !

81

Activité d’exploration 1 Partage de coutumes

82 et 83

Espérance mathématique

Activité d’exploration 2 Le Plinko

84 et 85

Interprétation de l’espérance mathématique Équité

Faire le point

86 et 87

Espérance mathématique Interprétation de l’espérance mathématique et équité

Mise en pratique

88 à 91

Principaux concepts et processus de la section Au besoin, utiliser la fiche B.2 (Plus de Mise en pratique).

INTÉGRATION ET RÉINVESTISSEMENT

Consolidation

92 à 102

Principaux concepts et processus du chapitre Au besoin, utiliser la fiche B.3 (Plus de Consolidation).

Le monde du travail

103

* Planification annuelle sur 100 h/150 h.

Guide d’accompagnement pédagogique

Planification annuelle

G-11

Durée : 675 min/1 050 min*

Chapitre 5 Les probabilités et les procédures de vote

Ce chapitre constitue la suite logique du chapitre B, puisqu’il traite de probabilités. Il n’est pas touché par les modifications apportées au programme de la séquence Culture, société et technique de la 3e année du 2e cycle. Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

PRÉPARATION

Entrée en matière En contexte

266 à 268

En bref

269 à 272

Certains numéros (notamment les nos 11 à 16) peuvent être soit laissés de côté, puisque les concepts associés ont été vus au chapitre précédent, soit utilisés à des fins de révision.

RÉALISATION

Section 1 • La probabilité conditionnelle Situation d’application Moi, je vote !

273

Activité d’exploration 1 Pas de fumée sans feu !

274 et 275

Probabilité conditionnelle Tableau à double entrée Diagramme de Venn

Activité d’exploration 2 Le jeu de cartes

276 et 277

Diagramme en arbre Événements dépendants et indépendants

Activité d’exploration 3 Le dé à 8 faces

278 et 279

Événements dépendants et indépendants Événements mutuellement exclusifs et non mutuellement exclusifs

Faire le point

280 à 283

Probabilité conditionnelle

Mise en pratique

284 à 288

Principaux concepts et processus de la section

Section 2 • Les procédures de vote Situation de communication Des élections présidentielles

289

Activité d’exploration 1 Le conseil des élèves

290 et 291

Scrutin à la majorité et scrutin à la pluralité Vote par assentiment Scrutin proportionnel

Activité d’exploration 2 Le trophée

292 et 293

Méthode de Borda Critère de Condorcet

Activité d’exploration 3 Le championnat régional

294 et 295

Vote préférentiel Choix de la procédure de vote

Faire le point

296 à 299

Scrutin à la majorité et à la pluralité Vote par assentiment et scrutin proportionnel Méthode de Borda, critère de Condorcet et vote préférentiel

Mise en pratique

300 à 305

Principaux concepts et processus de la section

306 à 318

Principaux concepts et processus du chapitre

INTÉGRATION ET RÉINVESTISSEMENT

Consolidation Le monde du travail

319

* Planification annuelle sur 100 h/150 h.

G-12

Planification annuelle

Guide d’accompagnement pédagogique

Durée : 150 min/300 min*

Intersection Chapitres 1 à 5 Partie du manuel ou de son complément

Pages du manuel

Concepts, processus et notes

SAÉ** Nichoirs (Situation-problème)

320 et 321

Solides équivalents Probabilité conditionnelle

SAÉ Installation géométrique (Situation d’application)

322 et 323

Cette situation fait appel à certains concepts et processus qui ne font plus partie du contenu prescrit par le programme.

SAÉ Le plus grand film de superhéros du XXIe siècle (Situation de communication)

324 et 325

Graphe orienté Procédures de vote

Problèmes

326 à 344

Principaux concepts et processus des chapitres 1 à 5

Il est toutefois possible de l’utiliser sans demander aux élèves la règle de la transformation géométrique à appliquer pour s’en tenir aux concepts et aux processus associés aux figures équivalentes et à la recherche de mesures manquantes.

Laisser de côté les nos 12 à 14. Situations de compétences

345 à 359

Principaux concepts et processus des chapitres 1 à 5 Laisser de côté la situation 6.

* Planification annuelle sur 100 h/150 h. ** Dans la partie Évaluation, le complément au guide d’enseignement propose deux nouvelles SAÉ plus particulièrement axées sur le contenu des chapitres A et B.

Guide d’accompagnement pédagogique

Planification annuelle

G-13

Critères d’évaluation des compétences Voici la liste des critères d’évaluation de chacune des compétences mobilisées dans la collection Intersection, séquence Culture, société et technique, 3e année du 2e cycle du secondaire.

Les compétences disciplinaires CD1 Résoudre une situation-problème 1 Manifestation, oralement ou par écrit, d’une compréhension adéquate de la situation-problème 2 Mobilisation de savoirs mathématiques appropriés à la situation-problème 3 Élaboration d’une solution appropriée à la situation-problème 4 Validation appropriée des étapes de la solution élaborée

CD2 Déployer un raisonnement mathématique 1 Formulation d’une conjecture appropriée à la situation 2 Application correcte des concepts et des processus appropriés à la situation 3 Mise en œuvre convenable d’un raisonnement mathématique adapté à la situation 4 Structuration adéquate des étapes d’une preuve ou d’une démonstration adaptée à la situation 5 Justification congruente des étapes d’une preuve ou d’une démonstration adaptée à la situation

Les compétences transversales CT1 Exploiter l’information 1 Efficacité des stratégies de recherche 2 Pertinence des sources consultées 3 Qualité de l’analyse critique 4 Cohérence dans l’organisation de l’information 5 Diversité des contextes d’utilisation

CT6 Exploiter les technologies de l’information et de la communication 1 Pertinence des diverses ressources technologiques utilisées 2 Rigueur dans le respect des règles d’éthique 3 Efficacité des stratégies mises en œuvre pour interagir et se dépanner 4 Qualité de l’analyse de ses réussites et de ses difficultés 5 Pertinence des ajustements effectués

CT2 Résoudre des problèmes 1 Rigueur dans la prise en compte des données initiales 2 Précision de la définition du problème 3 Pertinence des stratégies envisagées 4 Justesse de l’évaluation des stratégies retenues 5 Souplesse dans la poursuite des pistes de solution 6 Qualité du retour sur la démarche CT3 Exercer son jugement critique 1 Précision dans la formulation d’une question et des enjeux sous-jacents 2 Pertinence des critères invoqués 3 Qualité de l’articulation de son point de vue 4 Capacité à nuancer son jugement 5 Degré d’ouverture à la remise en question CT4 Mettre en œuvre sa pensée créatrice 1 Diversité des idées générées et des scénarios envisagés 2 Degré d’ouverture dans l’exploration de nouvelles façons de faire 3 Degré de tolérance dans des situations ambiguës 4 Originalité des liens établis entre les éléments d’une situation 5 Souplesse dans l’exploitation de nouvelles idées CT5 Se donner des méthodes de travail efficaces 1 Qualité de l’analyse des moyens requis 2 Pertinence des méthodes choisies 3 Capacité d’adaptation et d’ajustement des méthodes retenues 4 Persévérance dans l’accomplissement de la tâche 5 Rigueur du jugement sur l’efficacité des méthodes choisies

G-14

Critères d’évaluation des compétences

CT7 Actualiser son potentiel 1 Justesse dans l’identification de ses possibilités et de ses limites 2 Réalisme dans l’appréciation de l’impact de ses actions 3 Capacité de partager clairement ses perceptions et ses valeurs 4 Autonomie dans l’expression de ses opinions et l’affirmation de ses choix 5 Pertinence des moyens mis en œuvre pour réaliser son potentiel CT8 Coopérer 1 Degré d’engagement dans la réalisation d’un travail de groupe 2 Qualité du respect des règles de fonctionnement 3 Sensibilité aux besoins et aux caractéristiques des autres 4 Degré de contribution aux échanges 5 Capacité de gérer des conflits 6 Qualité de l’évaluation de sa contribution et de celle de ses pairs CT9 Communiquer de façon appropriée 1 Degré de maîtrise du vocabulaire, de la syntaxe ou des symboles utilisés 2 Rigueur dans le respect des usages, des codes et des conventions 3 Pertinence dans le choix du langage retenu comme véhicule du message 4 Adéquation du message au contexte et à l’interlocuteur 5 Degré de cohérence du message 6 Qualité du jugement porté sur l’efficacité de la communication

Guide d’accompagnement pédagogique

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

Chapitre

1

Survol Le chapitre 1 vise à initier les élèves à la résolution de problèmes d’optimisation qui se caractérisent par une fonction objectif et des contraintes dont les règles sont linéaires. Les élèves y font connaissance avec la programmation linéaire, qui repose sur les concepts et les processus associés aux systèmes d’équations du premier degré.

Section

A

Les inéquations du premier degré à deux variables

Dans cette section, les élèves s’approprient le concept d’inéquation du premier degré à deux variables. Ils traduisent différentes situations par une inéquation. En réinvestissant leurs apprentissages antérieurs relatifs à la droite, ils représentent graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables et le valident.

Guide d’accompagnement pédagogique

Survol du chapitre 1

G-15

Planification de l’enseignement et de l’évaluation Parties du manuel ou de son complément (durée1)

Pages2

Fiches3

Concepts et processus4

Plus de Mise en pratique (1.A)

Algèbre Sens et manipulation des expressions algébriques • Analyse de situations à l’aide d’inéquations – Résoudre graphiquement et valider la région-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables Géométrie analytique Analyse de situations • Droite et demi-plan – Modéliser, avec ou sans outils technologiques, une situation en recourant à un demi-plan : graphiquement et algébriquement

PHASE DE PRÉPARATION

Entrée en matière6 (75 min)

4à8

PHASE DE RÉALISATION

Section A – Les inéquations du premier degré à deux variables (225 min)

1 à 11

Section 1 – Le polygone de contraintes (375 min)

9 à 26

Section 2 – La recherche de la solution optimale (425 min)

27 à 51

– Guide d’enseignement A : Plans cartésiens vierges (1.7)

PHASE D’INTÉGRATION ET DE RÉINVESTISSEMENT

Consolidation7 (150 min)

12 52 à 66

DURÉE TOTALE : 1 250 min

G-16

Chapitre 1

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

Principaux concepts et processus du chapitre

Compétences disciplinaires et transversales mobilisées et critères d’évaluation ciblés

CD1 Résoudre une situation-problème 1

2

4

CD2 Déployer un raisonnement mathématique 1

2

3

4

5

CT3 Exercer son jugement critique 1

2

3

4

3

CD1 – – CD2 – – – – CT3 –

Grille d’évaluation (EC1) Autoévaluation (EC2) Grille d’évaluation (EC3) Autoévaluation (EC4) Dossier de l’élève (E5) Mes réflexions (E34) Autoévaluation (E15)

5

CT7 Actualiser son potentiel 1

Outils d’évaluation suggérés5

CT7 – Autoévaluation (E23)

Notes 1. Les durées indiquées sont approximatives. 2. Cette colonne renvoie au manuel et à son complément. Les pages du complément au manuel sont indiquées en gras. 3. Sauf indication contraire, les fiches énumérées se trouvent dans le complément au guide d’enseignement. 4. QUÉBEC, MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION ET DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR. Progression des apprentissages au secondaire – Mathématique, Québec, le Ministère, 2016. 5. Les outils d’évaluation se trouvent dans le guide d’enseignement A, à l’exception des fiches EC1, EC2, EC3 et EC4, qui se trouvent dans le complément au guide d’enseignement. 6. Les cases tramées renvoient au guide d’enseignement A. 7. Le complément au manuel propose un ajout à la partie Consolidation. La durée suggérée englobe cet ajout.

4

Guide d’accompagnement pédagogique

Planification du chapitre 1

G-17

Complément au manuel • p. 1

PHASE DE RÉALISATION Section

A

Les inéquations du premier degré à deux variables

Les inéquations et leur résolution ont été abordées en 1re année du 2e cycle, mais dans la perspective d’une seule variable. La présente section traite du concept d’inéquation du premier degré à deux variables. Les élèves sont appelés à traduire des énoncés par une inéquation et à résoudre des inéquations. Ils pourront aussi établir les liens entre la représentation algébrique de l’inéquation à deux variables et sa représentation par un demi-plan dans le plan cartésien. Les concepts et les processus relatifs à la droite que les élèves ont acquis depuis le début du 2e cycle sont réinvestis. 225 min 1.A, 1.7, EC1 à EC4, E5, E15, E23 et E34 Réponses : pages CM-1 à CM-7 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement

Bien traiter l’information DGF : Orientation et entrepreneuriat Axe de développement : Connaissance du monde du travail, des rôles sociaux, des métiers et des professions – Connaissance de produits, biens et services associés à ces métiers et professions – Connaissance des fonctions principales et des conditions d’exercice d’un emploi Intention éducative : Amener les élèves à réfléchir aux différents aspects dont doit tenir compte une entrepreneure ou un entrepreneur à la tête de sa propre entreprise de services, et à prendre conscience des qualités nécessaires pour assurer un équilibre entre le profit et la qualité du service offert à la clientèle. But : Amener les élèves à utiliser de façon intuitive le concept d’inéquation du premier degré à deux variables dans un contexte signifiant.

Domaine général de formation Orientation et entrepreneuriat Gérer une entreprise exige des prises de position rapides et fréquentes. Être traiteuse ou traiteur, c’est bien plus que de préparer des plats. Il faut s’assurer de décrocher des contrats, prévoir les ressources humaines et matérielles nécessaires, s’assurer de la satisfaction de la clientèle tout en demeurant concurrentiel sur le marché. Le leadership, la connaissance du milieu et le souci du détail peuvent faire toute la différence. Si, dans une petite entreprise, ces éléments peuvent être gérés par une seule personne, la dirigeante ou le dirigeant d’une entreprise en croissance peut gagner à s’appuyer sur l’expertise d’autres personnes, pour sa publicité, par exemple.

Évaluation CD2 CT3 CT7

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation : Composantes : 1 2 Critères d’évaluation : Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

Chapitre 1

1

* 2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

3

4

*

3

Outils d’évaluation : EC3, EC4, E15 et E23 Évaluation et autoévaluation La situation d’application Bien traiter l’information permet de développer et d’évaluer la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Bien que cette situation soit une introduction aux inéquations du premier degré à deux variables, les élèves peuvent essayer de réaliser la tâche en faisant appel aux connaissances déjà acquises. Insister pour que les élèves produisent une solution claire et détaillée. Dans la phase préparatoire, indiquer aux élèves la compétence et les composantes mobilisées, et préciser les critères d’évaluation ciblés. Si la situation est présentée en début de séquence d’apprentissage, elle peut servir d’activité d’exploration et être complétée en fin de section. Permettre des discussions en petit groupe pour que les élèves confrontent leur solution à celle d’autres élèves. Au moment opportun, convier certains élèves à présenter leur production en grand groupe. Traiter des ressemblances et des différences entre les solutions. Discuter des difficultés éprouvées par certains élèves. Présenter les éléments d’un raisonnement approprié. Inviter les élèves à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Analyser les productions des élèves à partir des éléments observables de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction détaillée aux élèves. Cette situation permet aussi de faire un lien avec les compétences transversales 3, Exercer son jugement critique, et 7, Actualiser son potentiel. Inviter les élèves à prendre connaissance du contenu de la rubrique Domaine général de formation de la page 1 du complément au manuel. Proposer aux élèves de répondre d’abord individuellement aux questions, puis de présenter leurs réponses à leurs pairs. Inviter les élèves à valider leurs réponses auprès d’autres élèves quant à leur attitude lors d’un travail en équipe. En grand groupe, discuter des qualités requises pour prendre de bonnes décisions dans des situations semblables à celle décrite dans la situation d’application. Inviter les élèves à exprimer leur opinion. * Les numéros dans les pastilles réfèrent aux composantes et aux critères d’évaluation décrits à la page G-14 du présent complément ainsi que dans les tableaux Référentiel pour l’évaluation des compétences du Fascicule d’introduction du guide d’enseignement.

Concepts et processus : Modélisation d’une situation en recourant à un demi-plan

G-18

3

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

Complément au manuel • p. 2 à 6

ACTIVITÉ d’exploration

Toujours 1 plus haut !

But : Amener les élèves à réinvestir le concept d’inéquation du premier degré à une variable, à s’approprier le concept d’inéquation du premier degré à deux variables et à aborder la notion de demi-plan. Concepts et processus : Inéquation du premier degré à deux variables, résolution graphique d’une inéquation du premier degré à deux variables L’activité d’exploration Toujours plus haut ! permet de développer et d’évaluer la compétence 2.

ACTIVITÉ d’exploration

C’est payant 2 de récupérer

Évaluation CD2

Composante : 1 Critère d’évaluation :

2

Outil d’évaluation : E34 Consignation Dans l’activité d’exploration Toujours plus haut !, les élèves enrichissent leur réseau de concepts et de processus en s’appropriant la notion de demi-plan. Cette activité favorise le développement de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Amorcer l’activité en grand groupe et convier certains élèves à fournir une réponse à la question A. Poursuivre l’activité en grand groupe et favoriser les discussions. Insister pour que les élèves répondent individuellement à la question E. Faire une correction en grand groupe et inviter les élèves à échanger sur leur façon de procéder. Pour la première inéquation, leur faire comprendre que, même si la représentation n’est pas une fonction, elle peut tout de même être utilisée. En fin d’activité, inviter les élèves à faire un retour sur leurs apprentissages. Leur proposer de consigner des observations pertinentes à leurs apprentissages, telles que des exemples de façons de passer de l’inéquation à sa représentation graphique, sur la fiche E34 (Mes réflexions), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A.

But : Amener les élèves à modéliser une situation associée à une inéquation du premier degré à deux variables, puis à représenter et à valider l’ensemblesolution de cette inéquation. Concepts et processus : Inéquation du premier degré à deux variables, résolution graphique et validation de l’ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables L’activité d’exploration C’est payant de récupérer favorise le développement de la compétence disciplinaire 3.

Faire le point But : Permettre aux élèves de faire une synthèse des principaux concepts et processus de la section.

La calculatrice à affichage graphique permet de tracer rapidement un demi-plan. Toutefois, comme pour le traçage d’une droite à l’aide de cet outil, les élèves doivent se rappeler qu’il faut utiliser l’équation de la droite frontière sous la forme y = ax + b.

Concepts et processus : Inéquation du premier degré à deux variables, résolution graphique et validation de l’ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables

Guide d’accompagnement pédagogique

Section A

G-19

Complément au manuel • p. 7 à 12

Mise en pratique But : Permettre aux élèves de développer leurs compétences en réinvestissant les concepts et les processus étudiés dans la section. Concepts et processus : Inéquations du premier degré à deux variables, résolution graphique et validation de l’ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables DÉROULEMENT • Au besoin, l’enseignante ou l’enseignant distribue la fiche 1.A (Plus de Mise en pratique), qui se trouve dans la partie Chapitres du complément au guide d’enseignement, et la fiche 1.7 (Plans cartésiens vierges), qui se trouve sous l’onglet Chapitre 1 du guide d’enseignement A. • La question 11 favorise le développement de la compétence 3. Les questions 12 et 15 favorisent le développement de la compétence 2 et peuvent servir d’outils d’évaluation. La question 16 favorise le développement de la compétence 1 et peut servir d’outil d’évaluation.

Domaine général de formation Orientation et entrepreneuriat De plus en plus, les entreprises sont appelées à démontrer leurs valeurs de façon concrète. Ce faisant, elles peuvent aussi accumuler un capital de sympathie et ainsi obtenir un avantage sur la concurrence. Certaines mettent l’accent sur des pratiques environnementales exemplaires ; d’autres s’associent à des causes comme le soutien aux enfants malades. Les choix que nous faisons en tant que consommateurs peuvent les inciter à maintenir de telles pratiques.

PHASE D’INTÉGRATION ET DE RÉINVESTISSEMENT

Consolidation – ajout La page 12 du complément au manuel propose un ajout à la partie Consolidation. Les élèves devraient répondre à ces questions avant d’aborder la partie Consolidation du manuel. Les réponses de l’ajout se trouvent aux pages CM-7 et CM-8 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement.

G-20

Chapitre 1

Évaluation CD2

Composante : 2 Critère d’évaluation :

2

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 12 est une nouvelle occasion pour les élèves d’établir des liens tout en consolidant leur réseau de concepts relatif aux inéquations. Elle favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Rappeler aux élèves l’importance de la justification lors de la communication du raisonnement. Insister pour que les élèves détaillent leur raisonnement sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Analyser les productions des élèves et évaluer les éléments pertinents de la compétence en se référant aux éléments observables de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Inviter les élèves à valider en dyade l’inéquation obtenue en a avant de passer à l’étape b. Profiter de l’occasion pour initier les élèves aux contraintes de positivité, x ≥ 0 et y ≥ 0, qui sont sous-entendues dans le contexte. Inviter les élèves à faire les ajustements nécessaires à leur production, puis à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. CD2

Composante : 2 Critère d’évaluation :

2

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 15 offre aussi aux élèves l’occasion d’établir des liens tout en consolidant leur réseau de concepts relatif aux inéquations. Elle favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Rappeler aux élèves l’importance de la justification lors de la communication du raisonnement. Insister pour que les élèves détaillent leur raisonnement sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Analyser les productions des élèves et évaluer les éléments pertinents de la compétence en se référant aux éléments observables de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Certains élèves pourraient éprouver de la difficulté à graduer les axes du plan d’une façon qui convient aux trois inéquations. Au besoin, échanger en grand groupe sur la stratégie à utiliser dans ce type de problème que les élèves verront à plusieurs reprises dans la section 2. Inviter les élèves à faire les ajustements nécessaires à leur production, puis à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. CD1

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

3 1

2

4

Outils d’évaluation : EC1 et EC2 La question 16 est propice au développement et à l’évaluation de la compétence 1, Résoudre une situation-problème. Dans leur démarche de résolution, les élèves devront utiliser les propriétés des droites perpendiculaires et les inéquations. Rappeler aux élèves qu’ils doivent laisser des traces détaillées de leur démarche. Analyser les travaux en se référant à la fiche EC1 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, pour évaluer les solutions des élèves. Au moment opportun, faire une correction en grand groupe. Discuter des difficultés éprouvées par certains élèves. Inviter les élèves à remplir la fiche EC2 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement.

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

Chapitre

La géométrie des figures planes

2

Survol Dans le chapitre 2, les élèves mobilisent et approfondissent leurs connaissances relatives aux figures planes. En s’appuyant sur les concepts de trigonométrie acquis à la 2e année du 2e cycle, ils découvrent la loi des cosinus et l’appliquent à la recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque. Ils s’approprient également la relation d’équivalence de figures planes. Les élèves sont amenés à utiliser cette relation pour déterminer certaines mesures manquantes et dégager les principales propriétés des figures planes. La section 2 du chapitre traite des transformations géométriques dans le plan cartésien. Cependant, les concepts et les processus en cause ne font plus partie du contenu prescrit par le programme. Un test conforme à la mise à jour du programme pour le chapitre 2 est inclus dans le complément au guide d’enseignement. Il se trouve dans la partie Évaluation.

Section

A

La loi des cosinus

Cette section présente la loi des cosinus. Les élèves élargissent ainsi leur réseau de concepts et de processus relatifs à la trigonométrie dans le triangle. Ils sont amenés à réinvestir leurs apprentissages antérieurs et à exploiter la loi des cosinus pour déterminer des mesures manquantes dans un triangle.

Guide d’accompagnement pédagogique

Survol du chapitre 2

G-21

Planification de l’enseignement et de l’évaluation Parties du manuel ou de son complément (durée1)

Pages2

Fiches3

Concepts et processus4

Plus de Mise en pratique (2.A)

Géométrie Analyse de situations faisant appel à des mesures • Relations trigonométriques – Rechercher des mesures manquantes dans un triangle quelconque à l’aide de la loi des cosinus

PHASE DE PRÉPARATION

Entrée en matière6 (70 min)

70 à 76

PHASE DE RÉALISATION

Section A – La loi des cosinus (225 min)

13 à 20

Section 1 – Le concept d’équivalence (115 min)

77 à 90

Section 2 – Les transformations géométriques dans le plan cartésien

91 à 109

PHASE D’INTÉGRATION ET DE RÉINVESTISSEMENT

Consolidation7 (90 min)

21 110 à 120

DURÉE TOTALE : 500 min

G-22

Chapitre 2

La géométrie des figures planes

Principaux concepts et processus du chapitre

Compétences disciplinaires et transversales mobilisées et critères d’évaluation ciblés

CD2 Déployer un raisonnement mathématique 1

2

3

4

5

CT3 Exercer son jugement critique 1

2

3

4

3

4

CD2 – – – CT3 –

Grille d’évaluation (EC3) Autoévaluation (EC4) Dossier de l’élève (E5) Autoévaluation (E15)

5

CD2 Déployer un raisonnement mathématique 2

Outils d’évaluation suggérés5

Notes 1. Les durées indiquées sont approximatives. 2. Cette colonne renvoie au manuel et à son complément. Les pages du complément au manuel sont indiquées en gras. 3. Sauf indication contraire, les fiches énumérées se trouvent dans le complément au guide d’enseignement. 4. QUÉBEC, MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION ET DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR. Progression des apprentissages au secondaire – Mathématique, Québec, le Ministère, 2016. 5. Les outils d’évaluation se trouvent dans le guide d’enseignement A, à l’exception des fiches EC1, EC2, EC3 et EC4, qui se trouvent dans le complément au guide d’enseignement. 6. Les cases tramées renvoient au guide d’enseignement A. 7. Le complément au manuel propose un ajout à la partie Consolidation. La durée suggérée englobe cet ajout. La compétence et les outils d’évaluation mentionnés ici ne touchent que cet ajout.

CD2 – Grille d’évaluation (EC3) – Dossier de l’élève (E5)

5

Guide d’accompagnement pédagogique

Planification du chapitre 2

G-23

Complément au manuel • p. 13

PHASE DE RÉALISATION Section

A

La loi des cosinus

La présente section porte sur la loi des cosinus, qui permet la détermination de mesures manquantes dans des triangles quelconques. En plus de s’approprier la loi des cosinus, les élèves sont amenés à prendre conscience du fait que, en la combinant avec les concepts et processus de trigonométrie acquis en 2e année du 2e cycle, ils sont en mesure de résoudre divers problèmes associés à des contextes réalistes.

Domaine général de formation Médias Peu importe la manière, l’école d’aujourd’hui tend à moderniser ses façons de faire par l’ajout d’outils technologiques et médiatiques. L’enseignante ou l’enseignant peut profiter de cette situation d’application pour questionner les élèves sur l’impact de ces pratiques sur leur motivation et leurs apprentissages. Étendre la discussion à d’autres milieux : Quelle utilisation les élèves font-ils des ressources médiatiques à la maison ? À quoi les TIC et les médias peuvent-ils servir en milieu de travail ? Quels en sont les avantages et les inconvénients ?

Évaluation CD2

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation : Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

3 1

* 2

3

4

5

2

3

4

5

*

3

225 min

CT3

2.A, EC3, EC4, E5 et E15

Outils d’évaluation : EC3, EC4, E5 et E15

Réponses : pages CM-9 à CM-12 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement

Évaluation et autoévaluation La situation d’application C’est clair et net ! permet de développer et d’évaluer la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Bien que cette situation soit une introduction à la loi des cosinus, les élèves peuvent essayer de réaliser la tâche en faisant appel aux connaissances déjà acquises en trigonométrie. Insister pour que les élèves produisent une solution claire et détaillée sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Durant la phase de préparation, indiquer aux élèves la compétence et les composantes mobilisées, et préciser les critères d’évaluation ciblés. Si la situation est présentée en début de séquence d’apprentissage, elle peut servir d’activité d’exploration et être complétée en fin de section. Permettre des discussions en petit groupe pour que les élèves confrontent leur solution à celle d’autres élèves. Au moment opportun, convier certains élèves à présenter leur production en grand groupe. Traiter des ressemblances et des différences entre les solutions. Discuter des difficultés éprouvées par certains élèves. Présenter les éléments d’un raisonnement approprié. Inviter les élèves à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Analyser leurs productions à l’aide de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve également dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction détaillée aux élèves. Cette situation permet aussi de faire un lien avec la compétence transversale 3, Exercer son jugement critique. Plus particulièrement, les élèves peuvent exprimer et réévaluer leur opinion sur l’apport des TIC et des ressources médiatiques dans divers milieux. Inviter les élèves à prendre connaissance du contenu de la rubrique Domaine général de formation de la page 13 du complément au manuel.

C’est clair et net ! DGF : Médias Axe de développement : Constat de la place et de l’influence des médias dans sa vie quotidienne et dans la société – Réflexion sur les fonctions des médias Intention éducative : Amener les élèves à réfléchir aux avantages et aux inconvénients de l’utilisation des TIC en classe et, par extension, dans différentes sphères de la vie en société. But : Amener les élèves à réinvestir certains savoirs acquis à la 2e année du cycle ainsi qu’à constater qu’une autre loi pourrait être avantageuse en matière d’efficacité dans la résolution de triangles quelconques. Concepts et processus : Relations trigonométriques : loi des cosinus ; recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque

1

Proposer aux élèves de répondre d’abord individuellement aux questions posées, puis de présenter leurs réponses à leurs pairs. Inviter les élèves à valider leurs réponses auprès d’autres élèves quant à leur attitude lors d’un travail en équipe. Animer une discussion en grand groupe sur les avantages et les inconvénients de l’utilisation des TIC dans l’apprentissage. Inviter les élèves à exprimer leur opinion. Leur rappeler d’appuyer leur point de vue sur des arguments efficaces. En fin d’activité, convier les élèves à remplir la fiche E15 (Autoévaluation), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour faire un retour sur la compétence transversale 3. * Les numéros dans les pastilles réfèrent aux composantes et aux critères d’évaluation décrits à la page G-14 du présent complément ainsi que dans les tableaux Référentiel pour l’évaluation des compétences du Fascicule d’introduction du guide d’enseignement.

G-24

Chapitre 2

La géométrie des figures planes

Complément au manuel • p. 14 à 16

ACTIVITÉ d’exploration

Triangulation 1 planétaire

But : Amener les élèves à découvrir une nouvelle relation trigonométrique dans un triangle quelconque : la loi des cosinus. Concepts et processus : Relations trigonométriques : loi des cosinus ; recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque

Évaluation CD2

Composantes : 2 3 Critères d’évaluation :

2

3

4

Outil d’évaluation : EC4 Autoévaluation et consignation L’activité d’exploration Triangulation planétaire permet aux élèves de réinvestir leurs apprentissages en trigonométrie et de pratiquer la justification à l’aide de concepts et de processus relatifs à ce champ mathématique. Elle favorise le développement de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Profiter de la question A pour rappeler aux élèves les éléments d’une justification efficace. Insister pour que les élèves y répondent individuellement. Faire une correction en grand groupe. À la question E, proposer aux élèves de travailler en dyade et de valider leur compréhension de la loi des cosinus. Faire une correction en grand groupe. En fin d’activité, inviter les élèves à faire un retour sur leurs apprentissages. Leur demander de remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement.

Faire le point But : Permettre aux élèves de faire une synthèse des principaux concepts et processus de la section. Concepts et processus : Relations trigonométriques : loi des cosinus ; recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque

CONCEPTION ERRONÉE Des élèves pourraient penser que les trois égalités suivantes décrivent trois formules différentes : a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A b2 = a2 + c2 - 2ac • cos B c2 = a2 + b2 - 2ab • cos C Il importe que les élèves saisissent qu’il s’agit en fait d’une même loi exprimée sous trois formes. C’est une relation entre la longueur d’un côté quelconque d’un triangle et la longueur des deux autres côtés ainsi que l’angle du sommet opposé. Au besoin, inviter les élèves à décrire cette loi à l’aide de mots (dans un triangle, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, diminuée du double produit de ces côtés par le cosinus de l’angle compris entre eux).

Guide d’accompagnement pédagogique

Section A

G-25

Complément au manuel • p. 17 à 20

Mise en pratique But : Permettre aux élèves de développer leurs compétences en réinvestissant les concepts et les processus étudiés dans la section. Concepts et processus : Relations trigonométriques : loi des cosinus ; recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque DÉROULEMENT • Au besoin, l’enseignante ou l’enseignant distribue la fiche 2.A (Plus de Mise en pratique), qui se trouve dans la partie Chapitres du complément au guide d’enseignement. • Les questions 3, 4, 8, 9 et 10 favorisent le développement de la compétence 2 et peuvent servir d’outils d’évaluation.

Évaluation CD2

Composantes : 2 3 Critères d’évaluation :

2

3

4

5

Outils d’évaluation : EC3 et E5 Évaluation La question 3 favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Cette activité permet de vérifier la capacité des élèves à appliquer correctement les concepts et les processus relatifs à la loi des cosinus et aux propriétés des triangles isocèles et quelconques. Distribuer la fiche E5 (Dossier de l’élève) pour que chaque élève y consigne le détail de son raisonnement. Cette fiche se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Analyser les productions des élèves en utilisant la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction aux élèves sur leurs apprentissages. CD2

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

3 1

2

3

4

Outils d’évaluation : EC3 et E5

Pièges et astuces Les élèves doivent reconnaître qu’on peut devoir exploiter plus d’une relation métrique ou trigonométrique pour déterminer les mesures manquantes dans une figure composée de triangles et qu’il peut y avoir plus d’une démarche qui mène à la solution. Inviter les élèves à consulter au besoin les pages 382 à 387 de leur manuel pour faire un retour sur la loi des sinus et les relations métriques et trigonométriques exploitées en 1re et en 2e année du 2e cycle.

Évaluation La question 4 est une activité de réinvestissement qui favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Cette activité permet aux élèves de développer leur capacité à émettre et à valider une conjecture à l’aide de concepts et de processus relatifs à la trigonométrie. Au moment opportun, favoriser le partage en petit groupe pour que les élèves puissent valider leur conjecture. Distribuer la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour que chaque élève y consigne le détail de son raisonnement. Analyser les productions des élèves en utilisant la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction aux élèves sur leurs apprentissages. CD2

Composantes : 2 3 Critères d’évaluation :

2

3

4

5

Outils d’évaluation : EC3 et E5 Évaluation La question 8 est une activité de réinvestissement qui favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Cette activité permet de vérifier la capacité des élèves à appliquer correctement la loi des cosinus en tenant compte d’un facteur de plus, soit ici la vitesse des embarcations. Au moment opportun, inviter certains élèves à présenter leur solution en grand groupe. Distribuer la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour que chaque élève y consigne le détail de son raisonnement. Analyser les productions des élèves en utilisant la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction aux élèves sur leurs apprentissages.

G-26

Chapitre 2

La géométrie des figures planes

Complément au manuel • p. 17 à 20 (suite)

Évaluation CD2

Composantes : 2 3 Critères d’évaluation :

2

3

4

5

Outils d’évaluation : EC3 et E5 Évaluation La question 9 est une activité de réinvestissement qui favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Cette activité permet de vérifier la capacité des élèves à appliquer correctement la loi des cosinus lorsqu’ils recherchent des mesures d’angles dans un triangle quelconque. Distribuer la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour que chaque élève y consigne le détail de son raisonnement. Analyser les productions des élèves en utilisant la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction aux élèves sur leurs apprentissages. CD2

Composantes : 2 3 Critères d’évaluation :

2

3

4

5

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 10 est une activité de réinvestissement qui favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Il s’agit d’une nouvelle occasion pour l’enseignante ou l’enseignant de vérifier la capacité des élèves à appliquer correctement les relations trigonométriques dans la recherche de mesures d’angles et de côtés dans un triangle quelconque. Distribuer la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour que les élèves y consignent le détail de leur raisonnement. Analyser les productions des élèves en utilisant la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction aux élèves sur leurs apprentissages. Faire une correction en grand groupe. Présenter les éléments d’une solution appropriée et discuter des difficultés éprouvées par les élèves. Revoir les concepts abordés dans la situation. Inviter les élèves à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, afin d’y consigner leurs conclusions et des observations pertinentes sur leurs apprentissages. CD2

Composante : 3 Critères d’évaluation :

4

5

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 13 favorise le développement de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Elle offre à l’enseignante ou à l’enseignant une occasion de vérifier la capacité des élèves à réaliser des preuves et des démonstrations à l’aide de concepts et de processus relatifs à la trigonométrie. Distribuer la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour que chaque élève y consigne le détail de son raisonnement. Analyser les productions des élèves en utilisant la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Inviter les élèves à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, afin d’y consigner leurs conclusions et des observations pertinentes sur leurs apprentissages.

Guide d’accompagnement pédagogique

Section A

G-27

Complément au manuel • p. 21

PHASE D’INTÉGRATION ET DE RÉINVESTISSEMENT

Consolidation – ajout La page 21 du complément au manuel propose un ajout à la partie Consolidation. Les élèves devraient répondre aux questions de cette page complémentaire avant d’aborder la partie Consolidation du manuel. 20 min (pour l’ajout) EC3 et E5 (pour l’ajout) Réponses : page CM-12 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement

Évaluation CD2

3

4

5

Évaluation La question 3 est une activité de réinvestissement qui favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Cette activité permet de vérifier la capacité des élèves à appliquer correctement les concepts et les processus relatifs aux relations trigonométriques et à la recherche de mesures manquantes. Pour la question b, inviter les élèves à valider leur réponse en dyade. Si certains élèves feront le calcul, d’autres pourront s’appuyer sur un raisonnement découlant des propriétés des figures équivalentes. Distribuer la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour que chaque élève y consigne le détail de son raisonnement. Analyser les productions des élèves en utilisant la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction aux élèves sur leurs apprentissages.

DÉROULEMENT • La question 3 favorise le développement de la compétence 2 et peut servir d’outil d’évaluation.

Test du chapitre Le complément au guide d’enseignement offre un outil conforme à la mise à jour du programme de la séquence Culture, société et technique pour l’évaluation de fin de chapitre. Cet outil se trouve dans la partie Évaluation du complément.

Chapitre 2

2

Outils d’évaluation : EC3 et E5

But : Permettre aux élèves de mobiliser les compétences disciplinaires et de réinvestir les concepts et les processus abordés tout au long du chapitre, et ce, dans des situations et des contextes variés.

G-28

Composantes : 2 3 Critères d’évaluation :

La géométrie des figures planes

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières

Chapitre

A

Survol Ce chapitre aborde des concepts qui permettront aux élèves de prendre de meilleures décisions par rapport, entre autres, à leurs finances personnelles. D’une part, il traite du concept de logarithme, qui permet de résoudre de façon précise et efficace des équations exponentielles. D’autre part, en abordant des situations réelles, il initie les élèves au vocabulaire et aux relations mathématiques utilisées dans des contextes financiers. De plus, ce chapitre permet de revoir le concept de fonction exponentielle étudié en 2e année du 2e cycle du secondaire. Dans la section 1, les élèves sont appelés à réinvestir les connaissances acquises en 1re et en 2e année du 2e cycle du secondaire en ce qui a trait aux puissances, aux exposants et à la fonction exponentielle. Le concept de logarithme leur est présenté. Les élèves sont amenés à résoudre des équations exponentielles et logarithmiques en faisant appel à l’équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique ainsi qu’à la loi du changement de base. La section 2 initie les élèves au vocabulaire, aux concepts et aux processus relatifs aux mathématiques financières. Les élèves sont amenés à déterminer la valeur future, la valeur actuelle, la durée et le taux de placements et d’emprunts dans des contextes d’intérêt simple et d’intérêt composé. Ils ont entre autres l’occasion d’appliquer les concepts et les processus relatifs aux équations exponentielles dans des situations concrètes. La section 2 comporte aussi un volet d’enrichissement qui a trait aux versements périodiques.

Domaine général de formation Environnement et consommation Pour donner un sens et une portée aux compétences, aux concepts et aux processus développés dans ce chapitre, le domaine général de formation Environnement et consommation (axes de développement : « Utilisation responsable de biens et de services » et « Conscience des aspects sociaux, économiques et éthiques du monde de la consommation ») sert de trame de fond aux différentes situations présentées. La mathématique, et plus particulièrement les concepts et les processus mis en jeu dans le présent chapitre, permettent de quantifier les conséquences financières de différents choix en matière de consommation, d’emprunt et d’épargne. Les élèves pourront s’appuyer sur ces connaissances pour prendre des décisions financières éclairées.

Guide d’accompagnement pédagogique

Survol du chapitre A

G-29

Planification de l’enseignement et de l’évaluation Parties du manuel ou de son complément (durée1)

Pages2

Fiches3

Concepts et processus4

PHASE DE PRÉPARATION

24 à 26

Entrée en matière (30 min)

Algèbre Sens des liens de dépendance • Analyse de situations à l’aide de fonctions réelles – Fonctions exponentielles

PHASE DE RÉALISATION

Section 1 – Les logarithmes et la résolution d’équations (160 min)

27 à 34

Plus de Mise en pratique (A.1)

Arithmétique Sens du nombre réel • Représenter et écrire des nombres en notation logarithmique en utilisant, au besoin, l’équivalence loga x = n ⇔ an = x Algèbre Sens et manipulation d’expressions algébriques • Analyse de situations à l’aide d’équations – Résoudre une équation exponentielle ou logarithmique à une variable en recourant aux propriétés des exposants et des logarithmes (définition et changement de base)

Section 2 – Les mathématiques financières (410 min)

35 à 53

Plus de Mise en pratique (A.2)

Mathématiques financières Initiation aux mathématiques financières • Décrire les composantes des mathématiques financières : taux d’intérêt (intérêt simple et composé), période d’intérêt, actualisation (valeur actuelle), capitalisation (valeur future) • Modéliser une situation financière • Calculer la capitalisation • Calculer l’actualisation • Déterminer des valeurs ou des données par la résolution d’équations • Comparer des situations financières • Prendre des décisions, au besoin, selon le contexte

Plus de Consolidation (A.3)

Principaux concepts et processus du chapitre

PHASE D’INTÉGRATION ET DE RÉINVESTISSEMENT

Consolidation (75 min)

54 à 62

DURÉE TOTALE : 675 min

G-30

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières

Compétences disciplinaires et transversales mobilisées et critères d’évaluation ciblés CD2 Déployer un raisonnement mathématique 2

CT3 Exercer son jugement critique 2

2

3

4

5

CT1 Exploiter l’information 1

2

3

4

2

3

4

5

CT1 Exploiter l’information 1

2

3

4

5

CT3 Exercer son jugement critique 1

2

2

3

4

5

6

CD1 Résoudre une situation-problème 1

2

3

4

5

CD2 Déployer un raisonnement mathématique 1

2

3

4

5

CT6 Exploiter les technologies de l’information et de la communication 1

CD2 – – – – CT1 –

Grille d’évaluation (EC3) Autoévaluation (EC4) Dossier de l’élève (E5) Mes réflexions (E34) Autoévaluation (E11)

CD2 – – – – CT1 – – CT3 –

Grille d’évaluation (EC3) Autoévaluation (EC4) Dossier de l’élève (E5) Mes réflexions (E34) Grille d’évaluation (E10) Autoévaluation (E11) Autoévaluation (E15)

3

1. Les durées indiquées sont approximatives. 2. Cette colonne renvoie au manuel et à son complément. Les pages du complément au manuel sont indiquées en gras. 3. Sauf indication contraire, les fiches énumérées se trouvent dans le complément au guide d’enseignement. 4. QUÉBEC, MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION ET DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR. Progression des apprentissages au secondaire – Mathématique, Québec, le Ministère, 2016. 5. Les outils d’évaluation se trouvent dans le guide d’enseignement A, à l’exception des fiches EC1, EC2, EC3 et EC4, qui se trouvent dans le complément au guide d’enseignement.

4

CT9 Communiquer de façon appropriée 1

Autoévaluation (EC4) Fiche anecdotique (E33) Mes réflexions (E34) Autoévaluation (E15)

Notes

5

CD2 Déployer un raisonnement mathématique 1

CD2 – – – CT3 –

3

CD2 Déployer un raisonnement mathématique 1

Outils d’évaluation suggérés5

4

CT9 – Grille d’évaluation (E26) – Autoévaluation (E27) – Fiche d’évaluation par les pairs (E35)

CD1 – – – CD2 – – – CT6 –

Grille d’évaluation (EC1) Autoévaluation (EC2) Dossier de l’élève (E2) Grille d’évaluation (EC3) Autoévaluation (EC4) Dossier de l’élève (E5) Autoévaluation (E21)

5

Guide d’accompagnement pédagogique

Planification du chapitre A

G-31

Complément au manuel • p. 24

PHASE DE PRÉPARATION

Entrée en matière Les situations et les exercices proposés dans cette partie visent à réactiver les concepts et les processus dont les élèves auront besoin dans leur apprentissage des logarithmes et des mathématiques financières. L’Entrée en matière vise essentiellement à rappeler les concepts et les processus liés à la fonction exponentielle qui ont été vus à la 2e année du 2e cycle. La partie En contexte présente des situations liées au domaine général de formation Environnement et consommation. 30 min Fiches EC4, E15, E33 et E34 Réponses : pages CM-13 et CM-14 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement But : Permettre aux élèves de mobiliser des concepts et des processus acquis antérieurement, qui leur serviront de tremplin à de nouveaux apprentissages. Concepts et processus : Analyse de situations à l’aide de fonctions réelles : fonctions exponentielles

Domaine général de formation Environnement et consommation Les élèves ont sans doute appris ce qu’est l’inflation en discutant avec leurs parents, leurs grands-parents ou d’autres membres de leur entourage du prix de certains produits de consommation courants. Ils ont ici l’occasion de découvrir un nouveau vocabulaire avec lequel ils ont tout avantage à se familiariser. Pour les élèves, acquérir le vocabulaire en lien avec ces connaissances intuitives les rendra plus susceptibles de rechercher et de comprendre des renseignements précis en ce qui a trait à leurs finances personnelles.

Évaluation CD2 CT3

Composante : 2 * Critère d’évaluation : 2 * Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 2

Outils d’évaluation : EC4, E15 et E34 Autoévaluation et consignation Les questions de la partie En contexte représentent une belle occasion pour les élèves de réinvestir les connaissances acquises lors de la 2e année du 2e cycle. Elles favorisent particulièrement la réactivation du concept de fonction exponentielle. Les élèves développent ainsi la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Proposer aux élèves de répondre individuellement aux questions 1 et 2. Favoriser les discussions en petit groupe pour que les élèves valident leur solution à ces questions. Au moment opportun, inviter certaines équipes à présenter leur solution en grand groupe. Faire un retour sur les concepts abordés. Inviter les élèves à s’autoévaluer à l’aide de la fiche EC4 (Autoévaluation) et à consigner sur la fiche E34 (Mes réflexions) des observations pertinentes sur leurs apprentissages, telles que le concept oublié de fonction exponentielle. La fiche EC4 se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement et la fiche E34, sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Profiter du contexte et exploiter l’information contenue dans la rubrique Domaine général de formation, qui se trouve à la page 24 du complément au manuel, pour discuter de l’inflation et des répercussions que ce phénomène peut avoir sur la vie personnelle des élèves. À la question 1 de la page 24, demander aux élèves de répondre individuellement à la partie c, puis de présenter leur réponse en grand groupe. Il s’agit d’une occasion pour les élèves de faire un lien avec la compétence transversale 3, Exercer son jugement critique. Leur poser les questions suivantes : – As-tu un véhicule ou prévois-tu en avoir un ? – Quels seraient tes critères pour le choix d’un véhicule ? – Combien de temps envisages-tu conserver ton premier véhicule ? Lors du retour sur les discussions, revoir les composantes et les critères de la compétence transversale et inviter les élèves à utiliser la fiche E15 (Autoévaluation), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, afin qu’ils s’autoévaluent et qu’ils consignent leurs réflexions. * Les numéros dans les pastilles réfèrent aux composantes et aux critères d’évaluation décrits à la page G-14 du présent complément ainsi que dans les tableaux Référentiel pour l’évaluation des compétences du Fascicule d’introduction du guide d’enseignement.

La Banque du Canada a été créée en 1934. En plus de contrôler le taux d’intérêt directeur et de veiller à maintenir le taux d’inflation à environ 2 %, elle est entre autres responsable de concevoir et de distribuer les billets de banque canadiens et de conserver une monnaie sûre.

G-32

Chapitre A

3

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières

Complément au manuel • p. 25 et 26

Évaluation CD2

Composante : 2 Critère d’évaluation :

2

Outil d’évaluation : E33 Évaluation et consignation La partie En bref favorise la réactivation de concepts relatifs à la fonction exponentielle. Les exercices présentés dans cette partie sont une bonne occasion pour l’enseignante ou l’enseignant de vérifier la capacité des élèves à appliquer les concepts et les processus nécessaires pour amorcer le chapitre. Il s’agit aussi d’une occasion pour les élèves de développer la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Proposer aux élèves de faire les exercices individuellement. Faire une correction en grand groupe. Rencontrer individuellement les élèves qui éprouvent de la difficulté et relever les observations pertinentes à l’évaluation de la compétence sur la fiche E33 (Fiche anecdotique), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A.

Guide d’accompagnement pédagogique

Entrée en matière

G-33

Complément au manuel • p. 27

PHASE DE RÉALISATION Section

1

Les logarithmes et la résolution d’équations

Dans cette section, les élèves se familiarisent avec le concept de logarithme en réinvestissant leurs connaissances sur les puissances et les exposants. Ils manipulent des expressions numériques comportant des exposants, des puissances et des logarithmes, notamment en passant de la forme exponentielle à la forme logarithmique, et vice versa. Ils apprennent aussi à résoudre une équation exponentielle ou logarithmique à une variable en recourant à l’équivalence d’écriture, à la définition du logarithme et à la loi du changement de base. 160 min Fiches A.1, EC3, EC4, E5, E11 et E34 Réponses : pages CM-14 à CM-17 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement

Une question de salaire DGF : Environnement et consommation Axes de développement : Utilisation responsable de biens et de services – Connaissance des sources d’influence liées à la consommation – Recherche d’un équilibre budgétaire Conscience des aspects sociaux, économiques et éthiques du monde de la consommation – Compréhension du rôle central de la production de biens et de services ainsi que de leur consommation dans l’organisation sociale et économique Intention éducative : Amener les élèves à réfléchir sur la distinction entre salaire et pouvoir d’achat. Leur faire prendre conscience du fait qu’une hausse de salaire n’augmente pas toujours le pouvoir d’achat et que ce dernier peut même diminuer malgré une hausse de salaire.

Domaine général de formation Environnement et consommation Le salaire minimum peut être un sujet sensible pour les élèves. Les élèves qui ont commencé à travailler connaîtront le salaire minimum en vigueur. Aussi, laisser les élèves s’exprimer à ce sujet tout en leur faisant prendre conscience de certains aspects de la réalité. Le taux horaire en vigueur est-il suffisant ? Quelles sont les conséquences d’une hausse du salaire minimum ? Quels sont les impacts de cette hausse sur les autres salaires ? sur le prix des produits et des services offerts ? Quels avantages et inconvénients y a-t-il à négocier son salaire soi-même ?

Évaluation CD2 CT1

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation : Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

3 1

1

4

5

2

3

4

5

Évaluation et autoévaluation La situation d’application Une question de salaire permet de développer et d’évaluer la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Bien que cette situation soit une introduction à la résolution d’équations exponentielles, les élèves peuvent essayer de réaliser la tâche en faisant appel aux connaissances déjà acquises sur la fonction exponentielle. Insister pour que les élèves produisent une solution claire et détaillée sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Dans la phase préparatoire, indiquer aux élèves la compétence et les composantes mobilisées, et préciser les critères d’évaluation ciblés. Si la situation est présentée en début de séquence d’apprentissage, elle peut servir d’activité d’exploration et être complétée en fin de section. Permettre des discussions en petit groupe pour que les élèves confrontent leur solution à celle d’autres élèves. Au moment opportun, convier certains élèves à présenter leur production en grand groupe. Traiter des ressemblances et des différences entre les solutions. Discuter des difficultés éprouvées par certains élèves. Présenter les éléments d’un raisonnement approprié. Inviter les élèves à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Analyser les productions des élèves à l’aide de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction détaillée aux élèves. Cette situation permet aussi de faire un lien avec la compétence transversale 1, Exploiter l’information. Inviter les élèves à prendre connaissance du contenu de la rubrique Domaine général de formation de la page 27 du complément au manuel. Leur proposer de répondre d’abord individuellement aux questions, puis de présenter leurs réponses à leurs pairs. Inviter les élèves à utiliser les ressources appropriées pour répondre à la question. En profiter pour discuter de la validité des sources d’information utilisées. En grand groupe, discuter de la signification de l’expression « pouvoir d’achat ». En fin d’activité, convier les élèves à utiliser la fiche E11 (Autoévaluation), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, afin qu’ils s’autoévaluent.

Concepts et processus : Analyse de situations : résolution d’équations exponentielles Chapitre A

3

Outils d’évaluation : EC3, EC4, E5 et E11

But : Amener les élèves à utiliser le processus de résolution d’une équation exponentielle de façon intuitive dans un contexte signifiant.

G-34

2

3

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières

Complément au manuel • p. 28 à 31

ACTIVITÉ d’exploration

L’intensité 1 de la lumière du Soleil sous la surface de l’eau

But : Initier les élèves au processus de résolution rigoureuse d’équations exponentielles. Concepts et processus : Représentation de nombres en notation logarithmique, équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique ; analyse de situations : résolution d’équations exponentielles en recourant aux propriétés des exposants et des logarithmes (définition et changement de base)

Domaine général de formation Environnement et consommation L’intensité de la lumière et la température de l’eau des océans ont des impacts majeurs sur la faune et la flore aquatiques. Profiter de cette rubrique pour faire réfléchir les élèves sur les impacts des changements climatiques et de la pollution sur les milieux marins. En quoi les effets de ces phénomènes sur les océans ont-ils un impact sur les activités humaines ? (Les domaines de la pêche et du tourisme, par exemple, pourraient subir des changements importants.)

Évaluation CD2

Composante : 2 Critère d’évaluation :

2

Outil d’évaluation : E34 Consignation Dans l’activité d’exploration L’intensité de la lumière du Soleil sous la surface de l’eau, les élèves enrichissent leur réseau de concepts et de processus en s’appropriant le concept de logarithme ainsi que la loi du changement de base. Cette activité favorise le développement de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Amorcer l’activité en grand groupe et convier certains élèves à fournir une réponse à la question A. Poursuivre l’activité en grand groupe et favoriser les discussions. Certains élèves pourraient avoir besoin d’un accompagnement de l’enseignante ou de l’enseignant pour répondre aux questions C, D et E. Faire une correction en grand groupe. En fin d’activité, inviter les élèves à faire un retour sur leurs apprentissages. Leur proposer de consigner des observations pertinentes à leurs apprentissages, telles que les définitions et des exemples des différentes notions abordées dans l’activité, sur la fiche E34 (Mes réflexions), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. CD2

Composante : 2 Critère d’évaluation :

2

Outil d’évaluation : EC4 Autoévaluation Les questions de la rubrique Ai-je bien compris ? favorisent le développement de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Elles permettent aux élèves de valider leur maîtrise des concepts et des processus relatifs aux logarithmes. Demander aux élèves de faire l’activité individuellement. Les inviter à valider leurs réponses en comparant leurs choix avec ceux d’autres élèves. Faire une correction en grand groupe. Inviter les élèves à remplir la fiche d’autoévaluation EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement.

Faire le point But : Permettre aux élèves de faire une synthèse des principaux concepts et processus de la section. Concepts et processus : Représentation de nombres en notation logarithmique ; équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique ; analyse de situations : résolution d’équations exponentielles ou logarithmiques en recourant aux propriétés des exposants et des logarithmes (définition et changement de base)

Guide d’accompagnement pédagogique

Section 1

G-35

Complément au manuel • p. 32 à 34

Mise en pratique But : Permettre aux élèves de développer leurs compétences en réinvestissant les concepts et les processus étudiés dans la section. Concepts et processus : Représentation de nombres en notation logarithmique ; équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique ; analyse de situations : résolution d’équations exponentielles ou logarithmiques en recourant aux propriétés des exposants et des logarithmes (définition et changement de base) DÉROULEMENT • Au besoin, l’enseignante ou l’enseignant distribue la fiche A.1 (Plus de Mise en pratique), qui se trouve dans la partie Chapitres du complément au guide d’enseignement. • La question 9 favorise le développement de la compétence 2 et peut servir d’outil d’évaluation.

G-36

Chapitre A

Évaluation CD2

Composante : 2 Critère d’évaluation :

2

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 9 est une occasion pour les élèves de consolider leur réseau de concepts relatif aux équations exponentielles et logarithmiques. Elle favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Rappeler aux élèves l’importance de la justification lors de la communication du raisonnement. Insister pour que les élèves détaillent leur raisonnement sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Analyser les productions des élèves et évaluer les éléments pertinents de la compétence en se référant aux éléments observables de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Au moment opportun, présenter en grand groupe certaines prédictions et justifications. Faire une correction et relever les éléments appropriés. Inviter les élèves à faire les ajustements nécessaires à leur production, puis à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement.

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières

Complément au manuel • p. 35 Section

2

Les mathématiques financières

Domaine général de formation Environnement et consommation

Dans cette section, les élèves se familiarisent avec les concepts d’intérêt simple, d’intérêt composé, de taux d’intérêt et de période d’intérêt. Ils calculent la valeur actuelle (actualisation), la valeur future (capitalisation), le taux d’intérêt par période et la durée d’un placement ou d’un emprunt à l’aide de formules préalablement présentées. Enfin, les élèves sont amenés à comparer des situations financières et à prendre des décisions appuyées sur des raisonnements mathématiques. 410 min Fiches A.2, EC3, EC4, E5, E11, E15, E26, E27, E34 et E35 Réponses : pages CM-17 à CM-29 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement

Acheter maintenant, payer plus tard DGF : Environnement et consommation Axes de développement : Utilisation responsable de biens et de services – Connaissance des sources d’influence liées à la consommation – Recherche d’un équilibre budgétaire Conscience des aspects sociaux, économiques et éthiques du monde de la consommation – Compréhension du rôle central de la production de biens et de services ainsi que de leur consommation dans l’organisation sociale et économique Intention éducative : Amener les élèves à réfléchir sur l’endettement à la consommation et à comprendre que l’accès facile au crédit peut être à la fois un bien et un mal pour un individu selon la façon dont il l’utilise. But : Initier les élèves aux notions d’intérêt composé, de capitalisation et de période d’intérêt. Concepts et processus : Mathématiques financières : intérêt composé, capitalisation (valeur future) ; modélisation et comparaison de situations financières

Les ménages canadiens sont de plus en plus endettés. En outre, la part de l’endettement associée à la consommation (c’est-à-dire sans les dettes hypothécaires) est en hausse importante depuis quelques années. Sensibiliser les élèves aux effets de l’endettement. De plus, aborder avec eux le phénomène du « voisin gonflable ». En effet, le surendettement d’un ménage a une influence sur les membres de l’entourage qui considéreront, parfois à tort, qu’ils peuvent, eux aussi, s’offrir plus de biens de consommation. Interroger les élèves sur la manière dont ce phénomène peut se manifester à leur âge. Par exemple, les vêtements et les appareils électroniques sont autant d’occasions de se comparer et de s’endetter.

Évaluation CD2 CT1 CT3

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation : Composantes : 1 2 Critères d’évaluation : Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

3 1

2

3

2

3

4

1

2

4

4

5

3

Outils d’évaluation : EC3, EC4, E5, E11 et E15 Évaluation et autoévaluation La situation d’application Acheter maintenant, payer plus tard favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Bien que cette situation soit une introduction aux mathématiques financières, les élèves peuvent tenter de réaliser la tâche en faisant appel aux connaissances déjà acquises sur les taux et les fonctions exponentielles. Dans la phase préparatoire, indiquer aux élèves les compétences et les composantes mobilisées, et leur préciser les critères d’évaluation ciblés. Si la situation est présentée en début de séquence d’apprentissage, elle peut servir d’activité d’exploration et être complétée en fin de section. Inviter les élèves à remplir la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, et insister pour qu’ils y consignent les traces de leur démarche. Demander aux élèves de travailler individuellement, puis de former des dyades pour valider leur démarche de solution. Au moment opportun, analyser et évaluer les travaux des élèves en se référant à la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction détaillée aux élèves sur leurs apprentissages et leurs compétences. Faire une correction en grand groupe. Présenter quelques productions d’élèves. Traiter en grand groupe des similitudes et des différences entre leurs solutions. Discuter des difficultés éprouvées par certains. Inviter les élèves à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du guide d’enseignement. Exploiter l’information présentée dans l’encadré Domaine général de formation de la page 35 du complément au manuel pour faire un lien avec les compétences transversales 1, Exploiter l’information, et 3, Exercer son jugement critique. Demander aux élèves de commencer par répondre Individuellement à la question. Inviter ensuite les élèves à présenter leurs réponses en grand groupe. Traiter de l’endettement. Discuter des différentes raisons de s’endetter et des conséquences possibles du surendettement. Demander aux élèves de se renseigner sur l’endettement des ménages canadiens. Ils doivent signifier leur accord ou leur désaccord avec les pratiques des ménages, en justifiant leur point de vue. Les élèves peuvent se référer aux éléments des fiches E11 et E15 (Autoévaluation), qui se trouvent sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour évaluer les compétences transversales 1 et 3.

Guide d’accompagnement pédagogique

Section 2

G-37

Complément au manuel • p. 36 et 37

ACTIVITÉ d’exploration

Les certificats 1 de placement garanti

But : Permettre aux élèves de s’initier aux concepts d’intérêt simple et d’intérêt composé par l’entremise d’une situation réaliste associée à un certificat de placement garanti (CPG). Concepts et processus : Mathématiques financières : intérêt simple et composé ; comparaison de situations financières DÉROULEMENT L’exploitation de la rubrique Domaine général de formation (ci-dessous) favorise le développement des compétences transversales 1 et 9 (voir la rubrique Évaluation).

Domaine général de formation Environnement et consommation L’activité d’exploration Les certificats de placement garanti permet d’aborder avec les élèves les différents profils d’épargnant. Certaines personnes choisissent d’être très prudentes alors que d’autres sont prêtes à assumer certains risques dans l’espoir de faire croître davantage leurs économies.

Évaluation CT1 CT9

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation : Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

3 1

1

Chapitre A

3

4

5

2

3

4

5

6

Outils d’évaluation : E10, E11, E26, E27 et E35 Évaluation par les pairs et autoévaluation En grand groupe, prendre connaissance de l’information présentée sous la rubrique Domaine général de formation de la page 37 du complément au manuel. Inviter les élèves à se placer en équipe de trois ou quatre. Leur demander de choisir une institution financière et de trouver les certificats de placement garanti offerts par cette institution. À des fins de comparaison, proposer à tout le groupe un même montant à placer, par exemple 1 000 $. Inviter les élèves à déterminer le montant accumulé après 5, puis 10 ans. Leur proposer de noter leurs résultats sous forme de tableau afin de pouvoir les présenter en classe. Indiquer aux élèves que leur présentation doit s’adresser à de jeunes adultes qui arrivent sur le marché du travail. Il s’agit d’une belle occasion pour les élèves de mobiliser les compétences transversales 1, Exploiter l’information, et 9, Communiquer de façon appropriée. Revoir les composantes et les critères d’évaluation à l’aide des fiches E10 et E26 (Grille d’évaluation), qui se trouvent sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Les productions peuvent être présentées en classe. Proposer aux élèves d’évaluer les productions de leurs pairs et de fournir une rétroaction en leur demandant de remplir la fiche E35 (Fiche d’évaluation par les pairs), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. En fin d’activité, demander aux élèves de remplir les fiches E11 et E27 (Autoévaluation), qui se trouvent sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour évaluer individuellement les éléments pertinents des compétences transversales 1 et 9.

Discuter des avantages et des inconvénients de ces deux façons de placer de l’argent. Profiter de l’occasion pour faire remarquer qu’une conseillère ou un conseiller financier devrait toujours déterminer le profil d’épargnant d’un individu avant de lui proposer un type de placement afin que le produit offert soit adapté à sa tolérance au risque ainsi qu’à son horizon de placement.

G-38

2

3

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières

Complément au manuel • p. 38 à 46

ACTIVITÉ d’exploration

Financer 2 ses études

Évaluation CD2

Composante : 2 Critères d’évaluation : Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

2

3

3

But : Permettre aux élèves d’aborder différents concepts relatifs aux mathématiques financières dans un contexte signifiant.

CT1

Concepts et processus : Mathématiques financières : intérêt composé, période d’intérêt, actualisation (valeur actuelle), capitalisation (valeur future) ; détermination de valeurs ou de données par la résolution d’équations ; modélisation et comparaison de situations financières

Autoévaluation et consignation Dans l’activité d’exploration Financer ses études, les élèves enrichissent leur réseau de concepts et de processus en apprenant un vaste vocabulaire en lien avec les mathématiques financières. L’activité favorise le développement de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Faire commencer l’activité individuellement. Au moment opportun, inviter les élèves à comparer leurs résultats en dyade. Inviter les élèves à échanger en grand groupe sur les difficultés rencontrées lors de l’activité d’exploration. En fin d’activité, vérifier la compréhension des nombreux nouveaux termes présentés lors de l’activité. Proposer aux élèves de s’autoévaluer en remplissant la fiche EC4 (Autoévaluation) et de consigner sur la fiche E34 (Mes réflexions) les observations pertinentes sur leurs apprentissages. La fiche EC4 se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement et la fiche E34, sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Exploiter le contexte de la situation et poursuivre l’activité sous forme de projet. Demander aux élèves de réaliser une recherche sur les moyens financiers nécessaires à la poursuite de leur plan d’études. Selon leurs aspirations, leur proposer de réaliser un budget pour la durée de leurs études et d’explorer les différentes sources de revenus possibles (travail, aide des parents, économies, prêts et bourses, etc.). Demander aux élèves d’utiliser la fiche E11 (Autoévaluation), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour évaluer individuellement les éléments pertinents de la compétence transversale 1.

ACTIVITÉ d’exploration

Des versements 3 égaux (enrichissement)

But : Permettre aux élèves d’enrichir leur initiation aux mathématiques financières en abordant les concepts de versements périodiques et de versements de début de période. Amener les élèves à déterminer la valeur future de versements périodiques. Concepts et processus : Versements périodiques, annuité, versements de début de période, valeur future de versements périodiques

Faire le point But : Permettre aux élèves de faire une synthèse des principaux concepts et processus de la section. Concepts et processus : Mathématiques financières : intérêt simple et composé, période d’intérêt, actualisation (valeur actuelle), capitalisation (valeur future) ; détermination de valeurs ou de données par la résolution d’équations ; modélisation et comparaison de situations financières ; versements périodiques, versements de début de période*

1

2

3

4

5

Outils d’évaluation : EC4, E11 et E34

CONCEPTION ERRONÉE Les élèves doivent comprendre que le taux d’intérêt indiqué n’est pas nécessairement le taux d’intérêt par période. À cet effet, l’enseignante ou l’enseignant peut attirer leur attention sur la note en marge du texte à la page 44 du complément au manuel. Un compte d’épargne à intérêt quotidien dont le taux annoncé est de 1 % rapporte en fait chaque jour un intérêt de 1 de 1 %. 365

* Les deux derniers concepts sont présentés en enrichissement.

Guide d’accompagnement pédagogique

Section 2

G-39

Complément au manuel • p. 47 à 53

Mise en pratique But : Permettre aux élèves de développer leurs compétences en réinvestissant les concepts et les processus étudiés dans la section. Concepts et processus : Mathématiques financières : intérêt simple et composé, période d’intérêt, actualisation (valeur actuelle), capitalisation (valeur future) ; détermination de valeurs ou de données par la résolution d’équations ; modélisation et comparaison de situations financières ; versements périodiques, versements de début de période, valeur future de versements périodiques* * Les trois derniers concepts sont présentés en enrichissement.

DÉROULEMENT • Au besoin, l’enseignante ou l’enseignant distribue la fiche A.2 (Plus de Mise en pratique), qui se trouve dans la partie Chapitres du complément au guide d’enseignement. • Les questions 26, 29 et 30 favorisent le développement de la compétence 2 et peuvent servir d’outils d’évaluation. • Les questions 31 à 33 ont trait aux versements périodiques et constituent un enrichissement.

Évaluation CD2

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

3 1

2

3

4

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation À la question 26, les élèves ont une occasion de consolider leur capacité à appliquer les concepts et les processus relatifs aux emprunts. Cette activité favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Demander aux élèves de produire une solution individuelle détaillée sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Analyser les productions des élèves à l’aide de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, et leur fournir une rétroaction. En grand groupe, présenter les éléments d’un raisonnement approprié. Inviter les élèves à faire les ajustements nécessaires, et leur proposer de s’autoévaluer en remplissant la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. CD2

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

3 1

2

3

4

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 29 est une activité de réinvestissement qui permet à l’enseignante ou à l’enseignant de vérifier la capacité des élèves à émettre une conjecture appropriée et à la valider. Cette activité favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Demander aux élèves de produire une solution individuelle détaillée sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Leur rappeler l’importance de la justification du raisonnement à l’aide de notions mathématiques abordées dans la séquence d’apprentissage. Analyser leurs productions à l’aide de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, et leur fournir une rétroaction. En grand groupe, utiliser certaines copies d’élèves pour présenter les éléments d’un raisonnement approprié. Inviter les élèves à faire les ajustements nécessaires, et les guider vers les éléments observables de la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, pour qu’ils s’autoévaluent. CD2

Composantes : 2 3 Critères d’évaluation :

2

3

4

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 30 est une nouvelle occasion pour les élèves de réinvestir les notions acquises dans la section 2. Cette activité permet à l’enseignante ou à l’enseignant de vérifier la capacité des élèves à appliquer correctement les concepts et les processus relatifs aux taux d’intérêt. Cette activité favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Demander aux élèves de produire une solution individuelle détaillée sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Leur rappeler l’importance de la justification du raisonnement à l’aide de notions mathématiques abordées dans la séquence d’apprentissage. Analyser les productions des élèves à l’aide de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, et leur fournir une rétroaction. En grand groupe, présenter les éléments d’un raisonnement approprié. Inviter les élèves à s’autoévaluer à l’aide de la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement.

G-40

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières

Complément au manuel • p. 54 à 63

PHASE D’INTÉGRATION ET DE RÉINVESTISSEMENT

Évaluation CD2

Consolidation La Consolidation permet aux élèves de réinvestir les concepts et les processus abordés tout au long du chapitre dans d’autres situations propices à la mobilisation des compétences. 75 min Fiches A.3, EC2, EC3, EC4, E2, E5 et E21 Réponses : pages CM-30 à CM-39 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement But : Permettre aux élèves de mobiliser les compétences disciplinaires et de réinvestir les concepts et les processus abordés tout au long du chapitre, et ce, dans des situations et des contextes variés. DÉROULEMENT • Au besoin, l’enseignante ou l’enseignant distribue la fiche A.3 (Plus de Consolidation), qui se trouve dans la partie Chapitres du complément au guide d’enseignement. • Les questions 17, 23 et 25 favorisent le développement de la compétence 2 et peuvent servir d’outils d’évaluation. La question 23 favorise aussi le développement de la compétence transversale 6. La question 26 favorise le développement de la compétence 1 et peut servir d’outil d’évaluation. • Les questions 27 à 33 ont trait aux versements périodiques et constituent un enrichissement. Les questions 28 et 33 favorisent aussi le développement de la compétence 2.

Domaine général de formation Environnement et consommation À la question 17, plusieurs élèves pourraient être surpris de constater qu’une hausse de salaire ne se traduit pas toujours par une augmentation du pouvoir d’achat. Amener les élèves à discuter des avantages et des inconvénients d’avoir un salaire établi par une convention collective.

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

3 1

2

3

4

5

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 17 est une belle occasion pour les élèves de démontrer leur capacité à formuler et à valider une conjecture. Cette activité de réinvestissement favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Des élèves tenteront d’effectuer un raisonnement approprié, mais pour un salaire précis. Insister pour que les élèves généralisent leur réflexion à un salaire x. Fournir aux élèves une copie de la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Analyser les copies des élèves en se reportant à la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. En grand groupe, traiter des difficultés éprouvées par certains élèves et fournir les éléments d’une justification appropriée à la situation. Inviter les élèves à faire un retour sur leurs apprentissages et à s’autoévaluer en remplissant la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. CD2 CT6

Composante : 2 Critères d’évaluation : Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

2

3

3 1

3

4

5

Outils d’évaluation : EC4 et E21 Autoévaluation La question 23 est une nouvelle occasion de vérifier la capacité des élèves à mettre en œuvre un raisonnement mathématique s’appuyant sur les concepts et les processus relatifs à l’intérêt simple et à l’intérêt composé. Les élèves développent la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Demander aux élèves de produire une solution détaillée. Leur rappeler l’importance de soutenir leur raisonnement à l’aide d’arguments mathématiques. Proposer aux élèves de valider leur solution en dyade. Chaque élève explique son raisonnement à l’autre élève et fournit une rétroaction sur la solution entendue. En grand groupe, présenter les éléments d’un raisonnement approprié. Inviter les élèves à faire les ajustements nécessaires et leur proposer de remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, pour s’autoévaluer. Cette question est propice à l’utilisation d’un outil technologique tel qu’un tableur. Certains élèves peuvent éprouver des difficultés avec la technologie proposée. Faire une démonstration de l’utilisation du tableur. Présenter les différentes commandes susceptibles d’aider les élèves dans leur analyse. Rappeler aux élèves les composantes de la compétence transversale 6, Exploiter les technologies de l’information et de la communication. Proposer aux élèves de travailler en dyade et d’utiliser le tableur pour répondre aux questions et valider leur conjecture. En fin d’activité, inviter les élèves à s’autoévaluer en remplissant la fiche E21 (Autoévaluation), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A.

Guide d’accompagnement pédagogique

Consolidation

G-41

Complément au manuel • p. 54 à 63 (suite)

Le monde du travail LA PLANIFICATION FINANCIÈRE La partie Le monde du travail sensibilise les élèves au fait que plusieurs des compétences et des concepts mathématiques développés dans ce chapitre peuvent être exploités dans le contexte de diverses professions ou carrières. On y traite de la planification financière et de la formation requise pour faire carrière dans ce domaine.

Évaluation CD2

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

3 1

2

3

4

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 25 est une situation d’application qui permet l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Elle permet particulièrement de vérifier dans quelle mesure les élèves appliquent les concepts et les processus relatifs aux équations exponentielles. Demander aux élèves de consigner en détail leur solution individuelle sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Analyser les productions des élèves et évaluer la compétence disciplinaire à l’aide de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Faire une correction en grand groupe. Inviter les élèves à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, pour faire un retour sur leurs apprentissages et s’autoévaluer. CD1

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

3 1

4 2

5 3

4

5

Outils d’évaluation : EC1, EC2 et E2 Évaluation et autoévaluation La question 26 est une activité de réinvestissement propice à l’évaluation de la compétence 1, Résoudre une situation-problème. Elle permet particulièrement de vérifier dans quelle mesure les élèves mobilisent les concepts et les processus relatifs à l’intérêt composé et aux équations exponentielles. Demander aux élèves de consigner le détail de leur démarche de solution individuelle sur la fiche E2 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Analyser les productions des élèves et évaluer la compétence disciplinaire à l’aide de la fiche EC1 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction détaillée aux élèves sur leurs apprentissages et leurs compétences. Inviter les élèves à s’autoévaluer à l’aide de la fiche EC2 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement.

G-42

Chapitre A

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Chapitre

B

Survol Ce chapitre aborde deux concepts clés qui permettront aux élèves d’améliorer l’efficacité de leur processus de prise de décisions dans diverses situations : le concept de probabilité subjective et le concept d’espérance mathématique. Il donne également l’occasion aux élèves de consolider certains acquis concernant la probabilité fréquentielle et la probabilité théorique étudiées au 1er cycle et en 1re année du 2e cycle du secondaire. La section 1 traite de la probabilité subjective. En apprenant à distinguer une probabilité subjective d’une probabilité théorique ou fréquentielle, les élèves sont amenés à constater que, dans le cas d’une probabilité subjective, l’opinion de la personne qui évalue la probabilité fait partie intégrante de sa détermination. Dans la section 2, les élèves sont d’abord appelés à réinvestir le concept de moyenne pondérée abordé en 1re année du 2e cycle. Ce concept sera ensuite utilisé, dans un contexte probabiliste, comme outil de prise de décisions. Le lien entre la probabilité et la statistique est exploité. Grâce à lui, les élèves constatent que les statistiques compilées à partir d’observations permettent d’établir des modèles pour estimer la probabilité d’observer un résultat donné.

Domaine général de formation Vivre-ensemble et citoyenneté Pour donner un sens et une portée aux compétences, aux concepts et aux processus développés dans ce chapitre, le domaine général de formation Vivre-ensemble et citoyenneté (axe de développement : « Engagement, coopération et solidarité ») sert de trame de fond aux différentes situations présentées. Grâce aux questions et problématiques soulevées, les élèves sont en mesure de constater que les concepts mathématiques en jeu dans ce chapitre peuvent être utilisés à différentes fins, par exemple pour analyser les résultats d’une élection ou encore pour maximiser l’efficacité de la collaboration entre des individus ou des groupes de personnes.

Guide d’accompagnement pédagogique

Survol du chapitre B

G-43

Planification de l’enseignement et de l’évaluation Parties du manuel ou de son complément (durée1)

Pages2

Fiches3

Concepts et processus4

PHASE DE PRÉPARATION

66 à 68

Entrée en matière (50 min)

Probabilités • Calculer la probabilité (théorique ou fréquentielle) d’un événement Statistique • Déterminer et interpréter la moyenne pondérée

PHASE DE RÉALISATION

Section 1 – La probabilité subjective (175 min)

69 à 80

Plus de Mise en pratique (B.1)

Probabilités Traitement de données d’expériences aléatoires • Reconnaître les types de probabilités : fréquentielle, théorique, subjective • Définir ou interpréter le concept de chance Analyse de situations à caractère probabiliste • Associer le type de probabilité à une situation • Choisir et appliquer le concept de chance ou de probabilité selon le contexte • Déterminer des chances pour ou des chances contre • Interpréter et prendre des décisions au regard des chances obtenues

Section 2 – L’espérance mathématique (225 min)

81 à 91

Plus de Mise en pratique (B.2)

Probabilités Traitement de données d’expériences aléatoires • Définir ou interpréter le concept d’espérance mathématique Analyse de situations à caractère probabiliste • Calculer l’espérance mathématique • Modifier, au besoin, certains paramètres pour rendre une situation équitable, atteindre un objectif ou optimiser un gain ou une perte • Interpréter l’espérance mathématique obtenue et prendre les décisions appropriées

Plus de Consolidation (B.3)

Principaux concepts et processus du chapitre

PHASE D’INTÉGRATION ET DE RÉINVESTISSEMENT

Consolidation (75 min)

92 à 103

DURÉE TOTALE : 525 min

G-44

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Compétences disciplinaires et transversales mobilisées et critères d’évaluation ciblés CD2 Déployer un raisonnement mathématique 2

CT7 Actualiser son potentiel 1

3

2

3

4

5

CT3 Exercer son jugement critique 1

2

3

4

3

2

3

4

CD2 Déployer un raisonnement mathématique 1

2

3

4

CT1 Exploiter l’information 1

2

3

4

CT3 Exercer son jugement critique 1

2

3

4

5

CT4 Mettre en œuvre sa pensée critique 1

2

2

3

4

5

6

CT9 Communiquer de façon appropriée 1

2

3

4

5

6

CD2 Déployer un raisonnement mathématique 1

2

3

4

5

CT6 Exploiter les technologies de l’information et de la communication 1

3

4

2

CT7 – Autoévaluation (E23)

CD1 – – – CD2 – – – – CT1 – – CT3 – – – CT4 –

Grille d’évaluation (EC1) Autoévaluation (EC2) Dossier de l’élève (E2) Grille d’évaluation (EC3) Autoévaluation (EC4) Dossier de l’élève (E5) Mes réflexions (E34) Autoévaluation (E11) Fiche d’évaluation par les pairs (E35) Grille d’évaluation (E14) Autoévaluation (E15) Fiche d’évaluation par les pairs (E35) Autoévaluation (E17)

4

CT8 – Autoévaluation (E25) – Fiche d’évaluation par les pairs (E35) CT9 – Grille d’évaluation (E26) – Autoévaluation (E27) – Fiche d’évaluation par les pairs (E35) CD2 – – – CT6 –

Grille d’évaluation (EC3) Autoévaluation (EC4) Dossier de l’élève (E5) Autoévaluation (E21)

5

CT7 Actualiser son potentiel 1

Grille d’évaluation (EC3) Autoévaluation (EC4) Dossier de l’élève (E5) Mes réflexions (E34) Autoévaluation (E15)

2. Cette colonne renvoie au manuel et à son complément. Les pages du complément au manuel sont indiquées en gras. 3. Sauf indication contraire, les fiches énumérées se trouvent dans le complément au guide d’enseignement. 4. QUÉBEC, MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION ET DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR. Progression des apprentissages au secondaire – Mathématique, Québec, le Ministère, 2016. 5. Les outils d’évaluation se trouvent dans le guide d’enseignement A, à l’exception des fiches EC1, EC2, EC3 et EC4, qui trouvent dans le complément au guide d’enseignement.

4

CT8 Coopérer 1

CD2 – – – – CT3 –

1. Les durées indiquées sont approximatives.

4

CD1 Résoudre une situation-problème 1

Autoévaluation (EC4) Fiche anecdotique (E33) Mes réflexions (E34) Autoévaluation (E23)

Notes

5

CT7 Actualiser son potentiel 1

CD2 – – – CT7 –

4

CD2 Déployer un raisonnement mathématique 1

Outils d’évaluation suggérés5

CT7 – Autoévaluation (E23)

5

Guide d’accompagnement pédagogique

Planification du chapitre B

G-45

Complément au manuel • p. 66 à 68

PHASE DE PRÉPARATION

Entrée en matière Les situations et les exercices proposés dans cette partie visent à réactiver les concepts et les processus dont les élèves auront besoin dans leur apprentissage de la probabilité subjective et de l’espérance mathématique. La partie En contexte présente des situations liées au domaine général de formation Vivre-ensemble et citoyenneté. 50 min Fiches EC4, E23, E33 et E34 Réponses : page CM-40 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement But : Permettre aux élèves de mobiliser des concepts et des processus acquis antérieurement, qui leur serviront de tremplin à de nouveaux apprentissages. Concepts et processus : Probabilité théorique et probabilité fréquentielle, calcul de la probabilité ; moyenne pondérée

Évaluation CD2 CT7

Composante : 2 * Critère d’évaluation : 2 * Composantes : 1 2 Critères d’évaluation : 1 3

4

Outils d’évaluation : EC4, E23 et E34 Autoévaluation et consignation Les questions de la partie En contexte représentent une belle occasion pour les élèves de réinvestir les connaissances acquises lors de la 1re année du 2e cycle. Elles favorisent particulièrement la réactivation de concepts utilisés pour aborder le chapitre, tels que le dénombrement et le calcul de probabilités. Les élèves développent ainsi la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Proposer aux élèves de répondre individuellement aux questions 1 et 2. Favoriser les discussions en petit groupe pour que les élèves valident leur solution à ces questions. Faire une correction en grand groupe. Former des dyades et leur proposer de répondre à la question 3. Au moment opportun, inviter certaines équipes à présenter leur solution en grand groupe. Faire un retour sur les concepts abordés. Inviter les élèves à s’autoévaluer à l’aide de la fiche EC4 (Autoévaluation) et à consigner sur la fiche E34 (Mes réflexions) des observations pertinentes sur leurs apprentissages, telles que les concepts de probabilité oubliés. La fiche EC4 se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, et la fiche E34, sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Profiter du contexte et exploiter l’information contenue dans la rubrique Domaine général de formation, qui se trouve à la page 67 du complément au manuel, pour discuter de la représentation des élèves dans les structures scolaires. Traiter de la participation des jeunes dans la prise de décisions pour ce qui a trait à la vie scolaire. Demander aux élèves de répondre individuellement aux questions, puis de présenter leurs réponses en grand groupe. Il s’agit d’une occasion pour les élèves d’exprimer leurs opinions et de faire un lien avec la compétence transversale 7, Actualiser son potentiel. Leur poser les questions suivantes : – Crois-tu posséder les qualités recherchées pour être membre d’un conseil d’élèves ? – Comment serais-tu un membre efficace dans un parlement étudiant ? – Crois-tu exercer le leadership nécessaire pour contribuer positivement à la vie dans ton école ? Lors du retour sur les discussions, revoir les composantes et les critères de la compétence transversale et inviter les élèves à utiliser la fiche E23 (Autoévaluation), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, afin qu’ils s’autoévaluent et qu’ils consignent leurs réflexions. * Les numéros dans les pastilles réfèrent aux composantes et aux critères d’évaluation décrits à la page G-14 du présent complément ainsi que dans les tableaux Référentiel pour l’évaluation des compétences du Fascicule d’introduction du guide d’enseignement.

G-46

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Complément au manuel • p. 66 à 68 (suite)

Évaluation

Domaine général de formation Vivre-ensemble et citoyenneté Une des premières occasions pour les élèves de s’affirmer comme leaders, d’émettre leurs idées, de travailler en équipe et d’influer sur leur environnement scolaire consiste à adhérer aux différentes structures de représentation qu’ils rencontreront tout au long de leur scolarité. Ces structures permettent également aux élèves de développer des qualités relatives aux relations interpersonnelles, d’apprendre quels types de tâches ils aiment réaliser et d’évaluer l’engagement dont ils sont capables lorsqu’un mandat leur tient à cœur. Plus les élèves prennent conscience tôt de leurs compétences, de leurs goûts et de leurs aptitudes, plus ils sont en mesure de s’engager dans des études ou des activités en lien avec leurs forces, et d’évoluer dans des contextes valorisants. Ils développent ainsi une attitude positive à l’égard des nouveaux défis.

CD2

Composante : 2 Critère d’évaluation :

2

Outil d’évaluation : E33 Évaluation et consignation La partie En bref favorise la réactivation de concepts relatifs aux expériences aléatoires et au calcul de probabilités. Les exercices présentés dans cette partie sont une bonne occasion pour l’enseignante ou l’enseignant de vérifier la capacité des élèves à appliquer les concepts et les processus nécessaires pour amorcer le chapitre. Il s’agit aussi d’une occasion pour les élèves de développer la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Proposer aux élèves de faire les exercices individuellement. Faire une correction en grand groupe. Rencontrer individuellement les élèves qui éprouvent de la difficulté et relever les observations pertinentes à l’évaluation de la compétence sur la fiche E33 (Fiche anecdotique), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A.

L’intégrité, le respect et le discernement sont des qualités que doivent avoir les personnes qui occupent des postes où leurs idées et leurs opinions sont confrontées à celles de leurs pairs. Le leadership peut s’exercer de plusieurs façons, par exemple lorsque les élèves ont la possibilité d’exprimer leurs opinions dans le journal étudiant ou de demeurer disponibles en dehors des heures de classe pour prendre le pouls de la population étudiante.

Guide d’accompagnement pédagogique

Entrée en matière

G-47

Complément au manuel • p. 69

PHASE DE RÉALISATION Section

1

La probabilité subjective

Cette section porte sur le concept de probabilité subjective. En développant des moyens de distinguer une probabilité subjective d’une probabilité théorique ou fréquentielle, les élèves peuvent plus facilement se rendre compte qu’il existe ce type de probabilité où l’opinion de la personne qui l’évalue fait partie intégrante de sa détermination. Les élèves sont appelés à prendre conscience du fait que, dans certains contextes, le jugement (et donc la subjectivité) fait partie intégrante de l’évaluation d’une probabilité. Ils pourront ainsi mieux interpréter les résultats issus de ces contextes. 175 min

Réponses : pages CM-41 à CM-44 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement

À chacun sa force DGF : Vivre-ensemble et citoyenneté Axe de développement : Engagement, coopération et solidarité — Respect des principes, règles et stratégies du travail d’équipe et de la complémentarité des rôles, en classe ou en stage dans un milieu de travail — Adhésion au processus de prise de décisions (compromis, consensus, etc.) Intention éducative : Amener les élèves à réfléchir aux avantages et aux inconvénients reliés au travail en équipe et à la coopération, et à prendre conscience de l’importance de tenir compte et d’exploiter les diverses aptitudes de chacun des membres pour maximiser l’efficacité de l’équipe. But : Amener les élèves à utiliser le concept de probabilité subjective de façon intuitive dans un contexte signifiant. Concepts et processus : Probabilité subjective, types de probabilités : fréquentielle, théorique, subjective ; analyse de situations à caractère probabiliste : interprétation et prise de décisions

Chapitre B

Vivre-ensemble et citoyenneté Que ce soit par manque d’occasions de travailler en équipe ou à cause de conceptions erronées relatives au travail en équipe, plusieurs élèves éprouvent de la difficulté à faire en sorte qu’un travail réalisé en équipe reflète les personnalités et les façons différentes de travailler de ses membres. L’enseignante ou l’enseignant peut profiter de l’occasion offerte par cette situation d’application pour questionner les élèves sur leur vision du travail en équipe, sur la façon dont ils se comportent lors d’un travail en équipe et sur les moyens à prendre pour exploiter au maximum le potentiel de chacun des membres d’une équipe. Laisser les élèves s’exprimer à ce sujet peut les amener à prendre conscience du fait que leurs pairs peuvent avoir les mêmes idées qu’eux ou des idées différentes, par exemple concernant les types de personnes (différentes ou semblables) qui devraient faire partie d’une même équipe.

Évaluation CD2 CT3

Fiches B.1, EC3, EC4, E5, E15, E23, E33 et E34

G-48

Domaine général de formation

CT7

Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1 Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1 Composantes : 1 2 Critères d’évaluation : 1

2

3

4

5

2

3

4

5

3

4

Outils d’évaluation : EC3, EC4, E5, E15 et E23 Évaluation et autoévaluation La situation d’application À chacun sa force permet de développer et d’évaluer la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Bien que cette situation soit une introduction à la probabilité subjective, les élèves peuvent essayer de réaliser la tâche en faisant appel aux connaissances déjà acquises sur la probabilité fréquentielle d’un événement. Insister pour que les élèves produisent une solution claire et détaillée sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Dans la phase préparatoire, indiquer aux élèves la compétence et les composantes mobilisées, et préciser les critères d’évaluation ciblés. Si la situation est présentée en début de séquence d’apprentissage, elle peut servir d’activité d’exploration et être complétée en fin de section. Permettre des discussions en petit groupe pour que les élèves confrontent leur solution à celle d’autres élèves. Au moment opportun, convier certains élèves à présenter leur production en grand groupe. Traiter des ressemblances et des différences entre les solutions. Discuter des difficultés éprouvées par certains élèves. Présenter les éléments d’un raisonnement approprié. Inviter les élèves à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Analyser les productions des élèves à l’aide de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction détaillée aux élèves. Cette situation permet aussi de faire un lien avec les compétences transversales 3, Exercer son jugement critique, et 7, Actualiser son potentiel. Inviter les élèves à prendre connaissance du contenu de la rubrique Domaine général de formation de la page 69 du complément au manuel. Leur proposer de répondre d’abord individuellement aux questions, puis de présenter leurs réponses à leurs pairs. Inviter les élèves à valider leurs réponses auprès d’autres élèves quant à leur attitude lors d’un travail en équipe. En grand groupe, discuter des avantages et des inconvénients du travail en équipe homogène par rapport au travail en équipe hétérogène. Inviter les élèves à faire part de leur opinion. Leur rappeler d’appuyer leur point de vue sur des arguments efficaces. En fin d’activité, convier les élèves à utiliser les fiches E15 et E23 (Autoévaluation), qui se trouvent sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, afin qu’ils s’autoévaluent.

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Complément au manuel • p. 70 à 73

ACTIVITÉ d’exploration

Calculer, estimer 1 ou évaluer ?

But : Initier les élèves au concept de probabilité subjective et les amener à distinguer celle-ci d’une probabilité théorique ou d’une probabilité fréquentielle. Concepts et processus : Types de probabilités : fréquentielle, théorique, subjective ; analyse de situations à caractère probabiliste

Évaluation CD2

Composante : 2 Critère d’évaluation :

2

Outil d’évaluation : E34 Consignation Dans l’activité d’exploration Calculer, estimer ou évaluer ?, les élèves enrichissent leur réseau de concepts et de processus en s’appropriant la distinction entre différents types de probabilités. Cette activité favorise le développement de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Amorcer l’activité en grand groupe et convier certains élèves à fournir une réponse à la question A. Poursuivre l’activité en grand groupe et favoriser les discussions. Insister pour que les élèves répondent individuellement à la question I. Faire une correction en grand groupe. En fin d’activité, inviter les élèves à faire un retour sur leurs apprentissages. Leur proposer de consigner des observations pertinentes à leurs apprentissages, telles que les définitions et les exemples des différentes fréquences abordées dans la section, sur la fiche E34 (Mes réflexions), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. CD2

Composante : 2 Critère d’évaluation :

2

Outil d’évaluation : EC4 Autoévaluation Les activités d’association comme celle de la rubrique Ai-je bien compris ? de l’activité d’exploration Calculer, estimer ou évaluer ? favorisent le développement de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Elles permettent aux élèves de faire des liens entre différents concepts, ce qui soutient la consolidation de leurs réseaux de concepts mathématiques. Demander aux élèves de faire l’activité individuellement. Les inviter à valider leurs réponses en comparant leurs choix avec ceux d’autres élèves. Faire une correction en grand groupe. Inviter les élèves à remplir la fiche d’autoévaluation EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement.

ACTIVITÉ d’exploration

La Triple 2 Couronne

But : Amener les élèves à utiliser le concept de probabilité subjective dans une situation signifiante et les initier au concept de chance. Concepts et processus : Probabilité subjective, chance ; analyse de situations à caractère probabiliste : application du concept de chance ou de probabilité selon le contexte, détermination des « chances pour » ou des « chances contre » DÉROULEMENT L’activité d’exploration La Triple Couronne favorise le développement de la compétence 3.

autrement SOUTIEN Voici un tableau qui peut aider les élèves à s’approprier la définition du rapport « chances pour » et à le distinguer d’une probabilité.

Rapport « partie-partie » ou « chances »

Rapport « partie-tout » ou probabilité

Dans ce disque, une moitié est ombrée et une moitié ne l’est pas.

Dans ce disque, une moitié est ombrée.

On a des chances égales (1 : 1) qu’un point choisi au hasard se trouve dans la partie ombrée ou dans la partie qui ne l’est pas.

La probabilité qu’un point choisi au hasard se trouve dans la partie ombrée est de 1 .

Guide d’accompagnement pédagogique

2

Section 1

G-49

Complément au manuel • p. 74 à 80

Faire le point But : Permettre aux élèves de faire une synthèse des principaux concepts et processus de la section. Concepts et processus : Probabilité subjective, types de probabilités : fréquentielle, théorique, subjective ; chance ; analyse de situations à caractère probabiliste : application du concept de chance ou de probabilité selon le contexte, détermination des « chances pour » ou des « chances contre », interprétation et prise de décisions

Mise en pratique But : Permettre aux élèves de développer leurs compétences en réinvestissant les concepts et les processus étudiés dans la section. Concepts et processus : Probabilité subjective, types de probabilités : fréquentielle, théorique, subjective ; chance ; analyse de situations à caractère probabiliste : application du concept de chance ou de probabilité selon le contexte, détermination des « chances pour » ou des « chances contre », interprétation et prise de décisions DÉROULEMENT • Au besoin, l’enseignante ou l’enseignant distribue la fiche B.1 (Plus de Mise en pratique), qui se trouve dans la partie Chapitres du complément au guide d’enseignement. • Les questions 2, 5 et 10 favorisent le développement de la compétence 3. Les questions 6 et 11 favorisent le développement de la compétence 2 et peuvent servir d’outils d’évaluation.

G-50

Chapitre B

Évaluation CD2

Composante : 2 Critère d’évaluation :

2

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 6 est une nouvelle occasion pour les élèves de travailler la justification tout en consolidant leur réseau de concepts relatif aux probabilités. Elle favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Rappeler aux élèves l’importance de la justification lors de la communication du raisonnement. Insister pour que les élèves détaillent leur raisonnement sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Analyser les productions des élèves et évaluer les éléments pertinents de la compétence en se référant aux éléments observables de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Au moment opportun, présenter en grand groupe certaines prédictions et justifications. Faire une correction et relever les éléments appropriés. Inviter les élèves à faire les ajustements nécessaires à leur production, puis à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. CD2

Composantes : 1 2 Critères d’évaluation :

1

2

Outils d’évaluation : EC4 et E5 Autoévaluation Les situations de « vrai ou faux » sont souvent favorables à l’évaluation de la capacité des élèves à formuler et à valider une conjecture. La question 11 favorise le développement de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Pour chaque énoncé, demander aux élèves de répondre et de fournir une justification appropriée sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Proposer aux élèves de valider leur réponse en dyades. Faire une correction en grand groupe. Souligner la pertinence d’utiliser parfois des exemples et des contre-exemples pour appuyer une justification. Proposer aux élèves de s’autoévaluer en se référant aux éléments de la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement.

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Complément au manuel • p. 81 Section

2

L’espérance mathématique

Domaine général de formation Vivre-ensemble et citoyenneté

Cette section permet aux élèves de réinvestir le concept de moyenne pondérée abordé en 1re année du 2e cycle du secondaire. Les élèves utilisent ensuite ce concept comme outil de prise de décisions dans des contextes où interviennent des probabilités. L’exploitation du lien probabilitéstatistique les amène à constater que les statistiques compilées à partir d’observations permettent d’établir des modèles qui donnent de l’information sur la probabilité d’obtenir un résultat. 225 min

Avoir un proche éprouvé par une maladie ou en être soi-même atteint sont deux des situations qui sensibilisent le plus quelqu’un à la nécessité d’appuyer les gens qui amassent des fonds en vue de soutenir la recherche médicale. Un organisme communautaire qui s’associe à une organisation sportive, par exemple, permet généralement d’augmenter la portée d’une collecte de fonds et d’intéresser un grand nombre de gens à la cause soutenue. Pour être une réussite, une campagne de collecte de fonds doit toucher un large public. Chaque organisme recherche aussi la plus grande visibilité possible.

Évaluation CD1

Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1 Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 2 Composantes : 1 2 Critères d’évaluation : 1

4

5

2

3

3

4

2

4

4

Fiches B.2, EC1 à EC4, E2, E5, E11, E14, E15, E17, E25 à E27, E34 et E35

CT1

Réponses : pages CM-45 à CM-49 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement

Outils d’évaluation : EC1, EC2, E2, E11 et E17

Tout le monde y gagne ! DGF : Vivre-ensemble et citoyenneté Axe de développement : Engagement, coopération et solidarité — Engagement dans des projets d’action communautaire Intention éducative : Amener les élèves à réfléchir aux sources de financement des organismes communautaires et à comprendre l’importance de ces sources de financement pour l’atteinte des objectifs de ces organismes, voire leur survie. But : Permettre aux élèves de s’initier au concept d’espérance mathématique. Concepts et processus : Espérance mathématique ; analyse de situations à caractère probabiliste : calcul et interprétation de l’espérance mathématique, modification de paramètres pour atteindre un objectif, prise de décisions

CT4

Évaluation et autoévaluation La situation-problème Tout le monde y gagne ! favorise le développement et l’évaluation de la compétence 1, Résoudre une situation-problème. Bien que cette situation soit une introduction au calcul et à l’interprétation de l’espérance mathématique, les élèves peuvent tenter de réaliser la tâche en faisant appel aux connaissances déjà acquises sur le dénombrement de résultats possibles et le calcul de probabilités dans des situations variées. Dans la phase préparatoire, indiquer aux élèves les compétences et les composantes mobilisées, et leur préciser les critères d’évaluation ciblés. Si la situation est présentée en début de séquence d’apprentissage, elle peut servir d’activité d’exploration et être complétée en fin de section. Inviter les élèves à remplir la fiche E2 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, et insister pour qu’ils y consignent les traces de leur démarche. Demander aux élèves de travailler individuellement, puis de former des dyades pour valider leur démarche de solution. Au moment opportun, analyser les travaux des élèves en se référant à la fiche EC1 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Fournir une rétroaction détaillée aux élèves sur leurs apprentissages et leurs compétences. Faire une correction en grand groupe. Présenter quelques productions d’élèves. Traiter en grand groupe des similitudes et des différences de leurs solutions. Discuter des difficultés éprouvées par certains. Inviter les élèves à remplir la fiche EC2 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Exploiter l’information présentée dans l’encadré Domaine général de formation de la page 81 du complément au manuel pour faire un lien avec les compétences transversales 1, Exploiter l’information, et 4, Mettre en œuvre sa pensée créatrice. Demander aux élèves de commencer par répondre individuellement aux questions. Inviter ensuite les élèves à présenter leurs réponses en grand groupe. Traiter de l’engagement de différents organismes dans des causes diverses. Discuter des activités qu’il est possible de faire pour amasser des fonds. Demander aux élèves de réfléchir à un nouveau concept pour une collecte de fonds au profit d’un organisme de leur choix. Les élèves doivent rechercher de l’information pertinente sur les activités de l’organisme, puis préparer une proposition de collecte de fonds originale à présenter au conseil d’administration. Ils peuvent se référer aux éléments des fiches E11 et E17 (Autoévaluation), qui se trouvent sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour évaluer les compétences transversales 1 et 4. Guide d’accompagnement pédagogique

Section 2

G-51

Complément au manuel • p. 82 et 83

ACTIVITÉ d’exploration

Partage 1 de coutume

But : Permettre aux élèves de s’initier au concept d’espérance mathématique en réinvestissant leurs connaissances sur la moyenne pondérée. Concepts et processus : Espérance mathématique ; analyse de situations à caractère probabiliste : calcul et interprétation de l’espérance mathématique, modification de paramètres pour optimiser un gain, prise de décisions DÉROULEMENT L’exploitation de la rubrique Domaine général de formation (ci-contre) favorise le développement des compétences transversales 3 et 9 (voir la rubrique Évaluation).

autrement VARIANTE L’enseignante ou l’enseignant qui le désire peut utiliser la question F pour aborder différemment le concept d’espérance mathématique avec les élèves. Elle ou il peut leur imposer de raisonner seulement à partir du résultat qui change, à savoir le résultat « prends 1 ». Les élèves doivent alors comprendre que l’ancien résultat « prends 1 » (obtenu à la question F) fait augmenter, à lui seul, l’espérance mathématique de la toupie de 0,3, puisque la probabilité qui lui est associée est 0,3. De là, les élèves doivent déterminer un nouveau résultat qui, à lui seul, ferait plutôt augmenter l’espérance mathématique de la toupie de 0,9, soit 0,6 de plus que 0,3 (pour que l’espérance mathématique, qui est de 0,4 chocolat par tour pour le moment, passe à 1 chocolat par tour, elle doit augmenter de 0,6 chocolat par tour). Si la probabilité du résultat est de 0,3, ce résultat doit être « prends 3 ». Cette façon de procéder permettra aux élèves de consolider leur compréhension du concept d’espérance mathématique en observant que chaque résultat contribue à l’espérance mathématique, et ce, indépendamment des autres résultats possibles de l’expérience aléatoire. Analyser chaque résultat de façon indépendante facilite ainsi l’interprétation (et le calcul) de l’espérance mathématique d’une expérience aléatoire.

G-52

Chapitre B

Domaine général de formation Vivre-ensemble et citoyenneté La coutume de jouer au dreidel lors de la fête de Hanoukkah viendrait de l’époque où Jérusalem était occupée, il y a quelque 2 000 ans. Les Grecs avaient alors ordonné le culte des dieux païens et interdit la lecture de la Torah, le livre saint du judaïsme. Pour contrer cette mesure inacceptable, les juifs continuaient l’étude de textes, mais en cachette, et demandaient à leurs enfants de guetter les ennemis tout en jouant à des jeux de hasard. C’est ainsi qu’ils pouvaient alerter leurs pères avant d’être surpris… Des coutumes religieuses existent dans toutes les religions. Par exemple, chez les musulmans, la nourriture doit être halal, c’est-à-dire préparée selon les règles établies par le Coran. Chez les bouddhistes, lors de la fête des Lumières, on a l’habitude de déposer, sur les fleuves et les rivières, de petites barquettes faites de feuilles de bananier dans lesquelles on place une chandelle, des fleurs et trois bâtons d’encens. Chez les catholiques, la fête des Rois est traditionnellement soulignée par un gâteau dans lequel on cache une fève. La diversité culturelle est de plus en plus importante dans la société québécoise et donc dans les écoles québécoises. De nos jours, particulièrement dans la région montréalaise, la plupart des élèves ont des camarades issus de différentes communautés culturelles et pratiquant des religions différentes. La diversité culturelle contribue à l’éducation à la citoyenneté parce qu’elle offre plusieurs occasions de réagir de façon convenable et responsable aux différents us et coutumes des communautés culturelles. Elle contribue à ouvrir les individus sur le monde, sur des réalités autres que celles qui leur sont familières, et ainsi à développer une bonne entente entre les peuples.

Évaluation CT3 CT9

Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1 Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1

2

3

4

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2

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6

Outils d’évaluation : E14, E15, E26, E27 et E35 Évaluation par les pairs et autoévaluation En grand groupe, prendre connaissance de l’information présentée sous la rubrique Domaine général de formation de la page 83 du complémentent au manuel. Inviter les élèves à répondre individuellement à la question formulée en fin de rubrique. Leur proposer d’écrire un court texte sur une coutume propre à une religion et de traiter de la contribution de la diversité culturelle à l’éducation à la citoyenneté. Le public cible pourrait être d’autres élèves ou des parents. Les élèves sont libres de choisir s’ils veulent sensibiliser ou simplement informer les destinataires. Leur dire qu’ils doivent préciser leur intention de communication. Il s’agit d’une belle occasion pour les élèves de mobiliser les compétences transversales 3, Exercer son jugement critique, et 9, Communiquer de façon appropriée. Revoir les composantes et les critères d’évaluation à l’aide des fiches E14 et E26 (Grille d’évaluation), qui se trouvent sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Les productions peuvent être présentées en classe ou affichées à l’école dans un espace réservé. Proposer aux élèves d’évaluer les productions de leurs pairs et de fournir une rétroaction en leur demandant de remplir la fiche E35 (Fiche d’évaluation par les pairs), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. En fin d’activité, demander aux élèves de remplir les fiches E15 et E27 (Autoévaluation), qui se trouvent sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour évaluer individuellement les éléments pertinents des compétences transversales.

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Complément au manuel • p. 84 à 87

Le Plinko

ACTIVITÉ d’exploration

2

But : Permettre aux élèves d’aborder le concept d’équité dans un contexte signifiant. Concepts et processus : Espérance mathématique ; analyse de situations à caractère probabiliste : calcul et interprétation de l’espérance mathématique, modification de paramètres pour rendre une situation équitable, prise de décisions

Évaluation CD2 CT1 CT8

Composante : 2 Critères d’évaluation : 2 Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1 Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1

3

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6

Outils d’évaluation : EC4, E11, E25, E34 et E35 Autoévaluation, évaluation par les pairs et consignation Dans l’activité d’exploration Le Plinko, les élèves enrichissent leur réseau de concepts et de processus en consolidant leur compréhension des concepts d’espérance mathématique et de jeu équitable. Cette activité favorise le développement de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Amorcer l’activité en grand groupe et favoriser les échanges. Proposer aux élèves de réaliser la dernière partie individuellement, puis de présenter leurs réponses de la question G en grand groupe. Insister pour que les élèves répondent individuellement à la question I. Faire une correction en grand groupe. En fin d’activité, inviter les élèves à faire un retour sur leurs apprentissages. Leur proposer de s’autoévaluer en remplissant la fiche EC4 (Autoévaluation) et de consigner sur la fiche E34 (Mes réflexions) des observations pertinentes sur leurs apprentissages. La fiche EC4 se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement et la fiche E34, sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Exploiter le contexte de la situation et poursuivre l’activité sous forme de projet. Inviter les élèves à former des équipes de trois ou quatre. Demander aux équipes de s’inspirer du jeu du Plinko et de rechercher de l’information sur un autre jeu basé sur l’espérance mathématique. Chaque équipe devra produire un dépliant explicatif sur les origines du jeu, son fonctionnement et le calcul de l’espérance mathématique. Rappeler l’importance de la pertinence des sources consultées et de l’analyse critique de l’information trouvée. Il s’agit d’une belle occasion pour les élèves de mobiliser les compétences transversales 1, Exploiter l’information, et 8, Coopérer. Les productions peuvent être présentées en classe puis exposées dans l’école. En fin d’activité, favoriser un retour en équipe sur les éléments de la coopération. Chaque membre de l’équipe doit fournir une rétroaction sur la contribution et la participation des autres au projet. Inviter les élèves à évaluer le travail de leurs pairs en remplissant la fiche E35 (Fiche d’évaluation par les pairs), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Demander aux élèves d’utiliser les fiches E11 et E25 (Autoévaluation), qui se trouvent sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour évaluer individuellement les éléments pertinents des compétences transversales 1 et 8.

Faire le point

Pièges et astuces

But : Permettre aux élèves de faire une synthèse des principaux concepts et processus de la section.

Comme il est indiqué dans la rubrique Pièges et astuces de la page 86 du complément au manuel, il est plus facile d’additionner les fractions correspondant aux probabilités si ces fractions ont déjà le même dénominateur.

Concepts et processus : Espérance mathématique ; analyse de situations à caractère probabiliste : calcul et interprétation de l’espérance mathématique, modification de paramètres pour rendre une situation équitable, atteindre un objectif ou optimiser un gain ou une perte, prise de décisions

Si on réduit les fractions et qu’elles ont ensuite des dénominateurs différents, il faudra effectuer le processus inverse pour les additionner. Dans l’exemple de la page 86 du complément, le travail avec des fractions réduites aurait mené à cette étape intermédiaire : il aurait fallu exprimer toutes les fractions en seizièmes pour pouvoir les additionner, ce qui rend superflue l’étape de leur réduction.

Guide d’accompagnement pédagogique

Section 2

G-53

Complément au manuel • p. 88 à 91

Mise en pratique

CONCEPTION ERRONÉE

But : Permettre aux élèves de développer leurs compétences en réinvestissant les concepts et les processus étudiés dans la section.

L’enseignante ou l’enseignant peut profiter de la question 7 pour rappeler aux élèves que leurs intuitions peuvent être trompeuses, et ce, particulièrement dans le domaine de la probabilité. Voici d’autres exemples de questions à poser aux élèves pour illustrer le fait que la réponse qui vient spontanément à l’esprit n’est pas toujours la bonne.

Concepts et processus : Espérance mathématique ; analyse de situations à caractère probabiliste : calcul et interprétation de l’espérance mathématique, modification de paramètres pour rendre une situation équitable, atteindre un objectif ou optimiser un gain ou une perte, prise de décisions

– Si on lance 100 fois une pièce de monnaie (non truquée), a-t-on plus de chances d’obtenir exactement 50 fois « pile » et 50 fois « face » que moins que 50 fois « pile » et plus que 50 fois « face » ? – Si on lance 10 fois une pièce de monnaie (non truquée) et qu’on obtient 10 fois « pile », a-t-on plus de chances d’obtenir « face » lors du 11e lancer ? Mieux vaut donc procéder comme Andrew et vérifier les conjectures qui semblent évidentes à première vue.

DÉROULEMENT • Au besoin, l’enseignante ou l’enseignant distribue la fiche B.2 (Plus de Mise en pratique), qui se trouve dans la partie Chapitres du complément au guide d’enseignement. • Les questions 7, 11 et 12 favorisent le développement de la compétence 2 et peuvent servir d’outils d’évaluation. La question 12 favorise aussi le développement de la compétence transversale 3.

Évaluation CD2

Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1

2

3

4

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation À la question 7, les élèves ont une nouvelle occasion de consolider leur capacité à émettre des conjectures appropriées et à les valider. Cette activité favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Demander aux élèves de produire une solution individuelle détaillée sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Analyser les productions des élèves à l’aide de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, et leur fournir une rétroaction. En grand groupe, présenter les éléments d’un raisonnement approprié. Inviter les élèves à faire les ajustements nécessaires, et leur proposer de s’autoévaluer en remplissant la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. CD2

Composante : 2 Critère d’évaluation :

2

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 11 est une activité de réinvestissement qui permet à l’enseignante ou à l’enseignant de vérifier la capacité des élèves à appliquer correctement les concepts et les processus relatifs à l’espérance mathématique. Cette activité favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Demander aux élèves de produire une solution individuelle détaillée sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Leur rappeler l’importance de la justification du raisonnement à l’aide de notions mathématiques abordées dans la séquence d’apprentissage. Analyser leurs productions à l’aide de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, et leur fournir une rétroaction. En grand groupe, utiliser certaines copies d’élèves pour présenter les éléments d’un raisonnement approprié. Inviter les élèves à faire les ajustements nécessaires, et les guider vers les éléments observables de la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, pour qu’ils s’autoévaluent.

G-54

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Complément au manuel • p. 88 à 91 (suite)

Évaluation CD2 CT3

Composantes : 2 3 Critères d’évaluation : 2 Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1

3

4

2

3

4

5

Outils d’évaluation : EC3, EC4, E5 et E15 Évaluation et autoévaluation La question 12 est une nouvelle occasion pour les élèves de réinvestir les notions acquises dans la section 2. Cette activité permet à l’enseignante ou à l’enseignant de vérifier la capacité des élèves à appliquer correctement les concepts et les processus relatifs à l’espérance mathématique. Cette activité favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Demander aux élèves de produire une solution individuelle détaillée sur la fiche E5 (Dossier de l’élève), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A. Leur rappeler l’importance de la justification du raisonnement à l’aide de notions mathématiques abordées dans la séquence d’apprentissage. Analyser les productions des élèves à l’aide de la fiche EC3 (Grille d’évaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, et leur fournir une rétroaction. En grand groupe, présenter les éléments d’un raisonnement approprié. Inviter les élèves à s’autoévaluer à l’aide de la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Profiter du contexte de l’activité pour faire un lien avec la compétence transversale 3, Exercer un jugement critique. Discuter du désir de certains parents de connaître le sexe de leur bébé avant sa naissance et des motivations possibles. Demander aux élèves d’exprimer leur opinion sur la légitimité de ce désir. Rappeler aux élèves d’appuyer leurs opinions par des arguments appropriés. Inviter les élèves à remplir la fiche E15 (Autoévaluation), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A.

Guide d’accompagnement pédagogique

Section 2

G-55

Complément au manuel • p. 92 à 103

PHASE D’INTÉGRATION ET DE RÉINVESTISSEMENT

Évaluation CD2

Consolidation La Consolidation permet aux élèves de réinvestir les concepts et les processus abordés tout au long du chapitre dans d’autres situations propices à la mobilisation des compétences. 75 min Fiches B.3, EC3, EC4, E5, E21, E23 et E35 Réponses : pages CM-49 à CM-55 de la partie Corrigé du complément au guide d’enseignement But : Permettre aux élèves de mobiliser les compétences disciplinaires et de réinvestir les concepts et les processus abordés tout au long du chapitre, et ce, dans des situations et des contextes variés.

Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1

2

3

4

5

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 16 est une belle occasion pour les élèves de démontrer leur capacité à formuler et à valider une conjecture. Cette activité de réinvestissement favorise le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Profiter de cette situation pour rappeler aux élèves qu’il ne faut pas se fier aux apparences. Leur fournir une copie de la fiche E5 (Dossier de l’élève). Insister pour que les élèves y consignent les détails de leur raisonnement. Leur rappeler l’importance de la justification à l’aide d’arguments mathématiques. Analyser les copies des élèves en se reportant à la fiche EC3 (Grille d’évaluation). La fiche E5 se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A et la fiche EC3, dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. En grand groupe, traiter des difficultés éprouvées par certains élèves et fournir les éléments d’une justification appropriée à la situation. Inviter les élèves à faire un retour sur leurs apprentissages et à s’autoévaluer en remplissant la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. CT6

Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1

3

4

5

Outil d’évaluation : E21 DÉROULEMENT • Au besoin, l’enseignante ou l’enseignant distribue la fiche B.3 (Plus de Consolidation), qui se trouve dans la partie Chapitres du complément au guide d’enseignement. • Les questions 3, 13, 15, 19 et 21 favorisent le développement de la compétence 3. Les questions 16, 24, 25 et 26 favorisent le développement de la compétence 2 et peuvent servir d’outils d’évaluation. La question 23 favorise le développement de la compétence transversale 6 et les questions 24 et 26, celle de la compétence transversale 7.

Autoévaluation La question 23 est propice à l’utilisation d’un outil technologique tel qu’un tableur. Certains élèves peuvent éprouver des difficultés avec la technologie proposée. Faire une démonstration de l’utilisation du logiciel. Présenter les différentes commandes susceptibles d’aider les élèves dans leur analyse. Leur rappeler aussi les composantes de la compétence transversale 6, Exploiter les technologies de l’information et de la communication. Proposer aux élèves de travailler en dyades et d’utiliser le logiciel pour répondre aux questions et valider leur conjecture. En fin d’activité, inviter les élèves à s’autoévaluer en remplissant la fiche E21 (Autoévaluation), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A.

À la question 23, l’utilisation d’un tableur permettra aux élèves de concentrer leurs efforts sur l’interprétation des données observées plutôt que sur la détermination et l’organisation de celles-ci.

G-56

Chapitre B

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Complément au manuel • p. 92 à 103 (suite)

Évaluation CD2 CT7

Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1 Composantes : 1 3 Critères d’évaluation : 1

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Outils d’évaluation : EC3, EC4, E5 et E23 Évaluation et autoévaluation La question 24 offre une belle occasion d’observer et d’évaluer dans quelle mesure les élèves mobilisent la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Elle permet aussi de vérifier comment les élèves font appel à leurs connaissances sur la probabilité subjective. Insister pour que les élèves produisent une solution individuelle et détaillée sur la fiche E5 (Dossier de l’élève). Leur rappeler l’importance de structurer leur solution et d’appuyer leur raisonnement à l’aide de concepts mathématiques. Analyser les productions des élèves et évaluer la compétence en se reportant aux éléments observables de la fiche EC3 (Grille d’évaluation). La fiche E5 se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A et la fiche EC3, dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Effectuer une correction en grand groupe. Présenter quelques productions d’élèves et traiter des difficultés éprouvées par certains. Présenter les éléments d’un raisonnement approprié à la situation. Inviter les élèves à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Profiter du contexte de cette situation d’application pour faire un lien avec la compétence transversale 7, Actualiser son potentiel. Traiter des exigences du métier de météorologue et de l’application directe des concepts et des processus à l’étude dans ce chapitre. Discuter du vocabulaire qu’utilisent les météorologues et les présentateurs météo à la télévision. Inviter les élèves intéressés à explorer leurs aptitudes et les connaissances à développer pour exercer un métier lié à la météorologie. Leur indiquer qu’ils peuvent utiliser les éléments de la fiche E23 (Autoévaluation), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour guider leur réflexion. CD2

Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1

2

3

4

5

Outils d’évaluation : EC3, EC4 et E5 Évaluation et autoévaluation La question 25 est une situation d’application qui permet l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. Elle permet particulièrement de vérifier dans quelle mesure les élèves appliquent les concepts et les processus à l’étude dans ce chapitre, notamment comment ils interprètent l’espérance mathématique. Demander aux élèves de consigner en détail leur solution individuelle sur la fiche E5 (Dossier de l’élève). Analyser les productions des élèves et évaluer la compétence disciplinaire à l’aide de la fiche EC3 (Grille d’évaluation). La fiche E5 se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A et la fiche EC3, dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Faire une correction en grand groupe. Inviter les élèves à remplir la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement, pour faire un retour sur leurs apprentissages et s’autoévaluer.

Guide d’accompagnement pédagogique

Consolidation

G-57

Complément au manuel • p. 92 à 103 (suite)

Évaluation

Domaine général de formation Vivre-ensemble et citoyenneté À la question 26, certains élèves seront peut-être surpris d’apprendre qu’avant toute chose, une assurance consiste à répartir le risque qu’un événement ou un sinistre survienne entre les assurés qui souhaitent se protéger contre ce risque. Une assurance permet aux citoyens de se prémunir contre une faillite qui serait la conséquence d’un sinistre (accident d’automobile, incendie ou inondation, par exemple) ou d’une maladie. Dans certains cas, le gouvernement rend même l’assurance obligatoire aux usagers et la prend en partie à sa charge (assurance automobile par le truchement de la Société de l’assurance automobile du Québec, assurance maladie et assurance médicaments par le truchement de la Régie de l’assurance maladie du Québec), de façon que le grand nombre d’assurés permette d’offrir les meilleurs services aux meilleurs coûts à l’ensemble de la population. Afin de protéger les assurés, les compagnies d’assurance se voient également imposer des règles très strictes par le gouvernement, comme l’établissement d’une réserve financière ou l’obligation de divulguer leurs états financiers régulièrement.

Le monde du travail L’ASSURANCE DE BIENS ET DE PERSONNES Tout comme la question 26 à la page précédente du complément au manuel, la partie Le monde du travail touche le domaine de l’assurance. Elle décrit la profession d’agente ou d’agent d’assurance de biens et de personnes, et la façon dont ces professionnels utilisent la mathématique.

G-58

Chapitre B

CD2 CT7

Composantes : 1 2 3 Critères d’évaluation : 1 Composantes : 1 3 Critères d’évaluation : 1

2

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4

Outils d’évaluation : EC3, EC4, E5 et E23 Évaluation et autoévaluation La question 26 est une situation d’application qui permet de développer et d’évaluer la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. À travers leur raisonnement, les élèves démontrent leur capacité à appliquer correctement des concepts et des processus relatifs aux probabilités. Fournir aux élèves la fiche E5 (Dossier de l’élève). Leur rappeler qu’ils doivent laisser des traces détaillées de leur raisonnement. Insister pour que chaque élève produise une solution individuelle. Analyser les travaux en se référant à la fiche EC3 (Grille d’évaluation) pour évaluer les productions des élèves et leur fournir une rétroaction détaillée sur leurs apprentissages. La fiche E5 se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A et la fiche EC3, dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Au moment opportun, faire une correction en grand groupe. Présenter quelques productions d’élèves. Traiter des similitudes et des différences entre les solutions, et des difficultés éprouvées par certains élèves. Permettre aux élèves de s’autoévaluer en remplissant la fiche EC4 (Autoévaluation), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement. Inviter les élèves à prendre connaissance du contenu de la rubrique Domaine général de formation. Profiter du contexte de la situation pour présenter de l’information sur les métiers liés au domaine de l’assurance. Demander aux élèves de chercher des renseignements sur les possibilités de formation comme agente ou agent d’assurance ou actuaire. Il s’agit d’une belle occasion pour les élèves de mobiliser la compétence transversale 7, Actualiser son potentiel. Leur demander de répondre aux questions suivantes : – Comment pourrais-tu t’y prendre pour poursuivre une carrière dans le domaine de l’assurance ? – Quels genres de services rendent les personnes qui travaillent dans ce domaine ? Demander aux élèves de décrire clairement les stratégies possibles et les contraintes associées à chacune des questions. Insister pour qu’ils traitent de leurs caractéristiques personnelles qui peuvent les aider à atteindre l’objectif fixé. En grand groupe, inviter quelques élèves à présenter leurs réponses. Permettre les échanges. En fin d’activité, demander aux élèves de faire un retour sur leur démarche. Distribuer la fiche E23 (Autoévaluation), qui se trouve sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A, pour qu’ils évaluent individuellement les éléments pertinents de la compétence transversale 7.

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Mathématique Culture, société et technique

2e cycle du secondaire 3e année

Complément au guide d’enseignement Julie Cléroux Valérie Rodrigue

Intersection Mathématique, 2e cycle du secondaire, 3e année Culture, société et technique Complément au guide d’enseignement

Remerciements Pour sa précieuse expertise, l’Éditeur tient à remercier Wilda Audet.

Julie Cléroux, Valérie Rodrigue © 2018 TC Média Livres Inc.

Sources iconographiques

Édition : Johanne L. Massé Coordination : Dany Cloutier Révision linguistique : Nicole Blanchette Correction d’épreuves : Renée Bédard Conception graphique : Matteau Parent graphisme et communication inc. Infographie : Claude Bergeron

TOUS DROITS RÉSERVÉS. Toute reproduction du présent ouvrage, en totalité ou en partie, par tous les moyens présentement connus ou à être découverts, est interdite sans l’autorisation préalable de TC Média Livres Inc. Les pages portant la mention « Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc. » peuvent être reproduites uniquement par l’enseignant dont les élèves disposent personnellement du complément au manuel scolaire faisant partie intégrante de l’ensemble didactique comprenant le présent ouvrage et exclusivement pour les élèves visés dans ce paragraphe. Toute utilisation non expressément autorisée constitue une contrefaçon pouvant donner lieu à une poursuite en justice contre l’individu ou l’établissement qui effectue la reproduction non autorisée. ISBN 978-2-7650-5567-9 Dépôt légal : 1er trimestre 2018 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada Imprimé au Canada 1

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Gouvernement du Québec – Programme de crédit d’impôt pour l’édition de livres – Gestion SODEC.

Couverture du guide d’accompagnement pédagogique : iStockphoto (haut), Shutterstock (bas à gauche), Ldprod/Dreamstime.com (bas à droite). Illustrations : p. CH-7, S-1, S-9 : Shutterstock Pictogrammes : p. G-4 à G-13 : Shutterstock

Table des matières Page Chapitres 1, 2, A et B Sommaire                                                                                CH-i Documents reproductibles                                                                   CH-1

Corrigé du complément au manuel Sommaire                                                                                CM-i

Évaluation Sommaire                                                                                TE-i Tests et outils d’évaluation                                                                   TE-1 Situations d’apprentissage et d’évaluation                                                      

S-1

Chapitres 1, 2, A et B SOMMAIRE Fiche CHAPITRE 1 • L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire Section A – Les inéquations du premier degré à deux variables 1.A

Plus de Mise en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CH-1

CHAPITRE 2 • La géométrie des figures planes Section A – La loi des cosinus 2.A

Plus de Mise en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CH-7

CHAPITRE A • Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières Section 1 – Les logarithmes et la résolution d’équations A.1

Plus de Mise en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CH-11

Section 2 – Les mathématiques financières A.2

Plus de Mise en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CH-15

Consolidation A.3

Plus de Consolidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CH-21

CHAPITRE B • La probabilité subjective et l’espérance mathématique Section 1 – La probabilité subjective B.1

Plus de Mise en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CH-29

Section 2 – L’espérance mathématique B.2

Plus de Mise en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CH-33

Consolidation B.3

Plus de Consolidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CH-39

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche 1.A

Plus de Mise en pratique Complément de la section Mise en pratique des pages 7 à 11 du complément au manuel

1. Soit les situations suivantes. 1

Simon paie moins de 2,40 $ pour 2 biscuits et un verre de lait.

2

Isabelle suit un cours de sauvetage. Entre deux cours, elle passe au moins trois fois plus de temps à répéter les manœuvres apprises qu’à réviser la théorie.

3

Dans une école, on compte plus de 40 filles de plus que de garçons. L’année dernière, la moyenne des températures enregistrées au mois de juin a été d’au moins 5 °C de plus que celle du mois de mai.

4

Inéquations du premier degré à deux variables Niveau de difficulté : moyen

a) Traduis chacune des situations par une inéquation du premier degré à deux variables. N’oublie pas de définir les variables. 1 2x + y

2

2,40, où x représente le prix d’un biscuit et y, le prix d’un verre de lait.

x ≥ 3y, où x représente le nombre d’heures passées par Isabelle à répéter les manœuvres apprises et y, le nombre d’heures passées à réviser la théorie.

3

x > y + 40, où x représente le nombre de filles et y, le nombre de garçons.

4 x ≥ y + 5, où x représente la moyenne des températures enregistrées en juin et y, la moyenne des températures enregistrées en mai.

b) Pour chaque inéquation trouvée en a, nomme deux couples de valeurs qui font partie de l’ensemble-solution. Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : 1 (0,80, 0,70) et (0,70, 0,95)

2 (40, 10) et (50, 15) 3 (600, 550) et (810, 750) 4 (23, 18) et (24, 17)

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Guide CHAPITRE 1

CH-1

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Fiche 1.A (suite)

2. Représente l’ensemble-solution de chacune des inéquations suivantes dans un plan cartésien. Inéquations du premier degré à deux variables Niveau de difficulté : faible

a) y
- 2 .

Oui, car 2 > -2,5.

Non, car -7 < -6.

4. Justin s’est fixé comme objectif d’amasser au moins 900 $ au profit d’une banque alimentaire. Pour ce faire, il offre ses services de peintre à 30 $ l’heure et ses services de chauffeur à 50 $ l’heure. Inéquations du premier degré à deux variables Niveau de difficulté : moyen

a) Identifie les variables, puis représente la situation par une inéquation. x : le nombre d’heures travaillées comme peintre y : le nombre d’heures travaillées comme chauffeur 30x + 50y ≥ 900

b) Représente l’ensemble-solution de la situation dans le plan cartésien. N’oublie pas de nommer les axes.

5. Parmi les points donnés, lesquels appartiennent à la région-solution de l’inéquation y < - 34 x + 18 ? Inéquations du premier degré à deux variables Niveau de difficulté : moyen

A(0, 0)

B(15, 9)

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C(24, 0)

D(-2, -5)

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E(-2, 19)

Guide CHAPITRE 1

CH-3

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Fiche 1.A (suite)

6. Sur le plan d’un terrain de golf, une zone d’herbe haute sépare deux allées de départ définies chacune par une inéquation : Inéquations du premier degré à deux variables Niveau de difficulté : moyen

0 ≤ 3x - 2y y > 2x + 7 Représente l’ensemble-solution dans un plan cartésien.

La balle sera-t-elle dans l’herbe haute si elle tombe : a) au point (2, 2) ? b) au point (-2, 3) ? c) au point (3, 1) ?

7. La zone scolaire d’un petit village est représentée par la région grisée dans le plan cartésien ci-contre. La rue Joly délimite cette zone scolaire. Sachant que le bureau de poste B(10, 49,5) et le dépanneur D(80, -3) se trouvent sur cette rue, indique l’inéquation qui décrit la région représentée par la zone scolaire. Inéquations du premier degré à deux variables Niveau de difficulté : faible

CH-4

CHAPITRE 1 Intersection, complément CST

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Fiche 1.A (suite)

On trouve l’équation de la droite-frontière, sachant qu’elle passe par les points B(10, 49,5) et D(80, -3). Pente : m=

y2 - y1 x2 - x1

m=

(-3 - 49,5) (80 - 10)

y = mx + b -3 •

80 + b

-3

=

-3

= -60 + b

4

57 = b y=

52,5 m=70

m=

Ordonnée à l’origine :

- 3x

4

+ 57

On écrit l’inéquation qui représente la zone scolaire :

-3

4

y≤

-3x

4

+ 57

8. Afin d’intercepter un voleur en cavale, la police a mis toutes ses ressources disponibles dans un secteur de la ville représenté par l’inéquation suivante : Inéquations du premier degré à deux variables Niveau de difficulté : faible

0 ≥ 3x - 4y - 20 a) Représente le demi-plan correspondant dans le plan cartésien ci-dessous.

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CH-5

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Fiche 1.A (suite)

b) Si le voleur se trouve au point (7, -1), la police a-t-elle des chances de l’intercepter ? Justifie ta réponse. Non, puisque le point (7, -1) ne fait pas partie de l’ensemble-solution de l’inéquation.

9. Dans un plan cartésien dont

Longueur (cm)

les axes sont gradués en centimètres, Dominique a dessiné un rectangle ombré pour représenter le plancher de sa nouvelle cuisine. Dominique souhaite installer du plancher chauffant sur la partie délimitée 7 par l’inéquation y ≤ - x + 700. 5 Si le plancher chauffant coûte 82 $/m2, détermine le budget que doit prévoir Dominique pour en installer dans sa cuisine.

500 450 400 350 300 250 200 150

Inéquations du premier degré à deux variables 100

Niveau de difficulté : moyen

50

0

50

100

150 200

250 300

350 400 450 500 Largeur (cm)

On représente l’ensemble-solution de l’inéquation dans le plan cartésien (voir ci-dessus).

On convertit l’aire en mètres carrés :

La partie de la cuisine où Dominique veut installer un plancher chauffant a la forme d’un trapèze tel que B = 500, b = 250 et h = 350.

On calcule le coût du plancher :

On détermine l’aire du trapèze :

Dominique doit prévoir un budget de 1 076,25 $ pour installer le plancher chauffant.

A=

(B + b)h 2

A=

(500 + 250)350 2

A=

750 • 350 2

A=

262 500 2

A = 13,125 m2

82 • 13,125 = 1 076,25 $

A = 131 250 cm2

CH-6

CHAPITRE 1 Intersection, complément CST

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Fiche 2.A

Plus de Mise en pratique Complément de la section Mise en pratique des pages 17 à 20 du complément au du manuel

1. Dans un triangle, un des angles mesure 102° et est formé par des côtés qui mesurent respectivement 23 cm et 27 cm. Quelle est la longueur du troisième côté ? Loi des cosinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté : moyen

Soit x, la mesure du troisième côté du triangle. On remplace les mesures connues dans la loi des cosinus. x2 = 232 + 272 - 2 • 23 • 27 • cos 102° x ≈ 38,94 Le troisième côté du triangle mesure environ 38,94 cm.

2. Afin d’offrir aux skieurs un circuit en boucle, on voudrait relier deux pistes de ski de fond qui partent d’une auberge. La piste 1 se termine à 3,2 km de l’auberge en direction nord-ouest ; la piste 2 se termine à 5 km à l’est de l’auberge. Recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque, loi des consinus Niveau de difficulté : faible

a) Quelle sera la longueur de la nouvelle piste 3 qui reliera l’extrémité de la piste 1 à celle de la piste 2 ? On représente cette situation à l’aide d’un schéma : N

3

1

NO

2

NE

O

E

On remplace les mesures connues dans la loi des cosinus : SO

x 2 = 3,22 + 52 - 2 • 3,2 • 5 • cos 135°

SE

S

x ≈ 7,61 La nouvelle piste 3 aura une longueur d’environ 7,6 km.

b) Quelle est la mesure de l’angle formé par la piste 3 et la piste 2 ? 7,61 ≈ 3,2 sin 135° sin ?

sin ? ≈ 3,2 • sin 135° 7,61

(

m ∠ ? ≈ sin 1 3,2 • sin 135° –

7,61

)

m ∠ ? ≈ 17,3° L’angle formé par la piste 3 et la piste 2 mesure environ 17,3°.

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Guide CHAPITRE 2

CH-7

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Fiche 2.A (suite)

3. Un ornithologue observe une hirondelle en vol. Une des particularités de l’hirondelle est que ses ailes forment un V. Dans le schéma ci-contre, la distance entre les extrémités des ailes est de 11,53 cm et les ailes mesurent chacune 6,5 cm. Trouve la mesure de l’angle formé par les deux ailes. Recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque, loi des cosinus Niveau de difficulté : faible

On détermine la mesure de l’angle A à l’aide de la loi des cosinus : 11,532 = 6,52 + 6,52 - 2 • 6,5 • 6,5 • cos A m ∠ A = cos 1 –

(

11,532 - 6,52 - 6,52 -2 • 6,5 • 6,5

)

m ∠ A ≈ 124,98° La mesure de l’angle formé par les ailes est d’environ 124,98°.

4. Quelle est la mesure de l’angle DBC dans la figure ci-contre ? Recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle ou quelconque, loi des cosinus Niveau de difficulté : moyen

On détermine la mesure des segments BD et BC à l’aide de la relation de Pythagore. Dans le triangle rectangle ABD : (m BD)2 = 52 + 22

On détermine la mesure de l’angle DBC à l’aide de la loi des cosinus : 102 = 5,392 + 6,662 - 2 • 5,39 • 6,66 • cos DBC

(

m BD ≈ 5,39

2 2 2 – m ∠ DBC = cos 1 10- - 5,39 - 6,66

Le segment BD mesure environ 5,39 cm.

2 • 5,39 • 6,66

)

m ∠ DBC ≈ 111,7°

Dans le triangle rectangle ACD :

La mesure de l’angle DBC est d’environ 111,7°.

(m AC)2 = 102 - 52 m AC ≈ 8,66 On en déduit que le segment BC mesure 8,66 - 2 = 6,66 cm.

5. Dans le feu de l’action, un joueur de hockey réussit un superbe coup : il effectue une passe parfaite par ricochet sur la bande. La rondelle parcourt une distance de 2,6 m avant de rebondir sur la bande pour franchir une distance de 4,2 m avant d’atteindre le bâton de son coéquipier. L’angle du ricochet est de 107°. Quelle était la distance initiale entre le joueur et son coéquipier ? Loi des cosinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté : faible

On remplace les mesures connues du triangle ABC dans la loi des cosinus : a2 = 4,22 + 2,62 - 2 • 4,2 • 2,6 • cos 107° a ≈ 5,55 La distance initiale entre le joueur de hockey et son coéquipier était d’environ 5,55 m.

CH-8

CHAPITRE 2 Intersection, complément CST

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Fiche 2.A (suite)

6. Deux motoneigistes arrivent sur un lac gelé par la même piste et partent ensuite dans des directions différentes, comme l’indique le schéma ci-contre. Le premier motoneigiste se déplace à une vitesse de 60 km/h et l’autre, à une vitesse de 40 km/h. Au moment où le premier motoneigiste aura parcouru 30 km, à quelle distance se trouvera-t-il du second ? Recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque Niveau de difficulté : moyen

On détermine la valeur de x à l’aide de la loi des cosinus :

Au moment où le premier motoneigiste aura parcouru 30 km, 30 minutes se seront écoulées, car une vitesse de 60 km/h correspond à 1 km parcouru par minute.

x 2 = 302 + 202 - 2 • 30 • 20 • cos 62°

Le second motoneigiste aura parcouru 20 km. On obtient le triangle suivant.

x ≈ 27,14 Le premier motoneigiste se trouvera à ce moment-là à environ 27,14 km du second.

7. Détermine les trois mesures manquantes dans la figure ci-contre. Les sommets A, E et C sont alignés. Loi des cosinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté : faible

Soit x, la mesure du segment AB. On remplace les mesures connues du triangle ABE dans la loi des cosinus : x2 = 7,22 + 9,52 - 2 • 7,2 • 9,5 • cos 78° x ≈ 10,66

Soit y, la mesure du segment BC.

Le segment AB mesure environ 10,66 cm. Soit z, la mesure de l’angle ECD. On remplace les mesures connues du triangle ECD dans la loi des cosinus : 5,72 = 10,42 + 5,82 - 2 • 10,4 • 5,8 • cos z –1

z = cos z ≈ 25°

(

5,72 - 10,42 - 5,82 -2 • 10,4 • 5,8

)

On détermine la mesure de l’angle BEC : m ∠ BEC = 180° - 78° = 102° On remplace les mesures connues du triangle BCE dans la loi des cosinus : y2 = 7,22 + 10,42 - 2 • 7,2 • 10,4 • cos 102° y ≈ 13,83 Le segment BC mesure environ 13,83 cm.

L’angle ECD mesure environ 25°.

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Guide CHAPITRE 2

CH-9

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Fiche 2.A (suite)

8. Soit un triangle ABC pour lequel m ∠ B = 103°, m BC = 25 cm et m AB = 21 cm. Trouve la mesure du côté AC.

Loi des cosinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté : moyen

On trace le triangle ABC suivant :

On détermine la mesure du côté AC à l’aide de la loi des cosinus : 2

(m AC ) = 212 + 252 - 2 • 21 • 25 • cos 103° m AC ≈ 36,09 Le côté AC mesure environ 36,09 cm.

9. Jeanne et Simon se trouvent à l’orée d’une forêt (O). Ils doivent se rendre à leur campement (C), mais ils ne sont pas d’accord sur le chemin à prendre. Ils décident donc de se séparer et de faire la course pour voir qui arrivera le premier. Jeanne suit la route en bordure de la forêt et, au rocher rouge (R), emprunte un sentier aménagé. Simon se rend au campement en ligne droite en empruntant la piste. Voici un schéma de leurs trajets respectifs. Loi des cosinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté : moyen

a) Quelle distance sépare le rocher rouge (R) du campement (C) ? On remplace les mesures connues dans la loi des cosinus et on isole l’inconnue : (m RC)2 = 0,6752 + 0,9252 - 2 • 0,675 • 0,925 • cos 49° m RC ≈ 0,701 km La distance qui sépare le rocher rouge (R) du campement (C) est d’environ 0,701 km.

b) Si Jeanne court à une vitesse de 2,36 m/s et Simon à une vitesse de 1,53 m/s, lequel des deux remportera la course ? TRAJET DE JEANNE :

TRAJET DE SIMON :

Distance parcourue :

Distance parcourue : d = 0,925 km

d = 0,675 + 0,701 = 1,376 km

Vitesse : v = 1,53 m/s • 3,6 = 5,508 km/h

Vitesse :

Temps mis pour parcourir la distance entre l’orée de la forêt (O) et le campement (C) :

v = 2,36 m/s • 3,6 = 8,496 km/h Temps mis pour parcourir la distance entre l’orée de la forêt (O) et le campement (C) : 1,376

t = 8,496 ≈ 0,162 h ≈ 9 min 43 s

CH-10

CHAPITRE 2 Intersection, complément CST

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0,925

t = 5,508 ≈ 0,168 h ≈ 10 min 5 s C’est Jeanne qui remportera la course. Elle arrivera au campement environ 22 s avant Simon.

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Fiche A.1

Plus de Mise en pratique Complément de la section Mise en pratique des pages 32 à 34 du complément au manuel

1. Écris chacune des expressions suivantes sous la forme logarithmique. a) 73 = 343

b) 54 = 625

c) 36 = 729

d) 1

1 (3)5 = 243

2

f) c x = y

e) 8 3 = 4

2. Écris chacune des expressions suivantes sous la forme exponentielle. a) 3 = log6 216

b) 4 = log4 256

c) 6 = log5 15 625

d) 3 = log 1 1

e) 7 = log3 2 187

f) a = logb c

3

27

3. Trouve les logarithmes suivants. a) log9 81

b) log4 11

c) log3 243

d) log5 21

e) log10 0,001

f) log 2 7 3

4. Résous les équations exponentielles suivantes à l’aide de la loi du changement de base. a) 4x = 8

b) 102x = 4

4x = 8 ⇔ x = log4 8 x=

1,02x = 4 ⇔ x = log1,02 4

log10 8 log10 4

x=

x = 1,5

log10 4 log10 1,02

x ≈ 70,01

c) 8x = 4 096

d) 0,7x = 0,49

8x = 4 096 ⇔ x = log8 4 096 x=

log10 4 096 log10 8

x=4

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0,7x = 0,49 ⇔ x = log0,7 0,49 x=

log10 0,49 log10 0,7

x=2

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Guide CHAPITRE A

CH-11

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Fiche A.1 (suite)

e) 3x = 12

f) 1,25x = 14,55

3x = 12 ⇔ x = log3 12 x=

1,25x = 14,55 ⇔ x = log1,25 14,55

log10 12 log10 3

x=

x ≈ 2,26

log10 14,55 log10 1,25

x = 11,999… ≈ 12

5. La fonction f(x) = 2,04(1,015)x représente le prix de détail moyen au Canada, en dollars, d’un litre de lait entier selon le nombre d’années écoulées depuis 2008. a) Si la tendance se maintient, combien coûtera un litre de lait entier au Canada : 1 15 ans après 2008 ?

2 en 2040 ?

On cherche la valeur de f(15).

2040 - 2008 = 32 ; on a donc :

f(15) = 2,04(1,015)15

f(32) = 2,04(1,015)32

f(15) ≈ 2,55

f(32) ≈ 3,29

En 2023, un litre de lait entier coûtera environ 2,55 $.

En 2040, un litre de lait entier coûtera environ 3,29 $.

b) Si la tendance se maintient, en quelle année le prix moyen d’un litre de lait entier atteindra-t-il 3,55 $ au Canada ? 3,55 = 2,04(1,015)x 3,55 2,04(1,015)x = 2,04 2,04

1,740 196 = 1,015x ⇔ x = log1,015 1,740 196 x=

log10 1,740 196 log10 1,015

x ≈ 37,2 Il va s’écouler environ 37,2 ans avant que le prix atteigne 3,55 $. 2008 + 37,2 = 2045,2. Le prix d’un litre de lait entier atteindra 3,55 $ en 2046.

CH-12

CHAPITRE A

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Fiche A.1 (suite)

6. Une voiture neuve perd 18 % de sa valeur chaque année. a) Si la voiture vaut 21 000 $ à l’achat, combien b) Dans combien de temps la voiture aura-t-elle vaudra-t-elle cinq ans plus tard ? perdu la moitié de sa valeur initiale ? Soit v(x) = 21 000(0,82)x, où x est le nombre d’années depuis l’achat de la voiture et v(x), la valeur de la voiture en dollars. v(5) = 21 000(0,82)5 ≈ 7 785,54

21 000 ÷ 2 = 10 500 ; on a donc : 10 500 = 21 000(0,82)x 10 500 21 000(0,82)x = 21 000 21 000

0,5 = 0,82x ⇔ x = log0,82 0,5

Cinq ans après l’achat, la voiture vaudra 7 785,54 $.

x=

log10 0,5 log10 0,82

x ≈ 3,5 La voiture aura perdu la moitié de sa valeur environ 3,5 ans après l’achat.

7. La population de la province de Québec augmente à un rythme annuel moyen de 0,8 % depuis 2011. En 2016, elle était de 8 325 000 habitants. Si la tendance se maintient : a) quelle sera la population du Québec en 2050 ? Soit p(x) = 8 325 000(1,008)x, où x est le nombre d’années depuis 2016 et p(x), la population du Québec. 2050 - 2016 = 34

b) en quelle année la population du Québec atteindra-t-elle 9 millions d’habitants ? 9 000 000 = 8 325 000(1,008)x 9 000 000 8 325 000(1,008)x = 8 325 000 8 325 000

1,081 = 1,008x ⇔ x = log1,008 1,081 log10 1,081 log10 1,008

p(34) = 8 325 000(1,008)34 ≈ 10 915 467,3

x=

La population du Québec sera d’environ 10 915 467 habitants en 2050.

x ≈ 9,78 Il va s’écouler environ 9,78 ans. 2016 + 9,78 = 2025,78. La population du Québec atteindra 9 millions d’habitants en 2026.

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Guide CHAPITRE A

CH-13

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Fiche A.1 (suite)

8. En 2000, on estimait le nombre de truites d’un lac à 3 500. Ce nombre a diminué depuis en raison de la présence d’achigans se nourrissant des œufs de truites. Si on suppose que la population décroît à un rythme constant, la règle représentant le nombre de truites selon le temps écoulé depuis l’an 2000 est f(x) = 3 500(0,87)x. a) À l’aide de la règle donnée, détermine le nombre de truites en 2010. f(10) = 3 500(0,87)10 ≈ 869,48 Il y avait environ 869 truites en 2010.

b) Si la tendance se maintient, en quelle année ne restera-t-il que 50 truites dans le lac ? 50 = 3 500(0,87)x

2000 + 30,5 = 2030,5

x

50 3 500(0,87) = 3 500 3 500

Il ne restera que 50 truites en 2031.

0,014 285 = 0,87x ⇔ x = log0,87 0,014 285 x=

log10 0,014 285 log10 0,87

x ≈ 30,5

9. Le pouvoir de fermentation de certaines bactéries est à l’origine de la fabrication de nombreux aliments dont le fromage, le yogourt et le pain. Une substance contient au départ 150 bactéries. Le nombre de bactéries double toutes les demi-heures. a) Quelle est la règle de la fonction qui représente le nombre de bactéries n(t) en fonction du temps écoulé t, en heures ? b) Combien de bactéries y aura-t-il dans la substance au bout de 3,5 h ?

c) Après combien de temps le nombre de bactéries présentes dans la substance sera-t-il de 1 500 000 ?

n(3,5) = 150(2)2 • 3,5

1 500 000 = 150(2)2t

n(3,5) = 150(2)7

1 500 000 150(2)2t = 150 150

10 000 = 22t ⇔ 2t = log2 10 000

n(3,5) = 19 200

2t =

Il y aura 19 200 bactéries dans la substance au bout de 3,5 h.

log10 10 000 log10 2

2t ≈ 13,287 712 t ≈ 6,64 Il y aura 1 500 000 bactéries après environ 6,64 h ou 6 h 39 min.

CH-14

CHAPITRE A

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Fiche A.2

Plus de Mise en pratique Complément de la section Mise en pratique des pages 47 à 53 du complément au manuel À noter : Sauf indication contraire, tous les taux d’intérêt indiqués sont annuels.

1. Détermine la valeur future de chaque placement ou emprunt. a) Amir place 1 250 $ à un taux d’intérêt simple de 3,75 % pour une durée de 3,5 ans. i = 3,75 % =

3,75 = 0,037 5 100

C0 = 1 250 $

n = 3,5

Cn = ?

Cn = C0(1 + n × i) Cn = 1 250(1 + 3,5 × 0,037 5) ≈ 1 414,06 $

La valeur future est de 1 414,06 $.

b) Felippe a emprunté 9 500 $ pour 8 ans à un taux de 9,25 % d’intérêt composé annuellement. i = 9,25 % =

9,25 = 0,092 5 100

n=8

C0 = 9 500 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 9 500(1 + 0,092 5)8 ≈ 19 279,47 $

La valeur future est de 19 279,47 $.

c) Louis-Philippe a placé 4 750 $ pendant 3 ans à un taux de 7,5 % d’intérêt composé mensuellement. On a un taux d’intérêt annuel de 7,5 % = i=

0,075 = 0,006 25 12

n = 36

7,5 = 0,075. 100

C0 = 4 750 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 4 750(1 + 0,006 25)36 ≈ 5 944,37 $

La valeur future est de 5 944,37 $.

2. Détermine la valeur actuelle de chaque placement ou emprunt, au dollar près. a) Hicham obtient un emprunt à un taux d’intérêt simple de 5,25 %. Il doit rembourser cette dette dans 10 ans par un seul versement de 34 312,50 $. i = 5,25 % =

5,25 = 0,052 5 100

Cn = 34 312,50 $

n = 10

C0 = ?

b) Amélia obtient un emprunt à un taux d’intérêt composé annuellement de 8,75 %. Elle doit rembourser cette dette dans 48 mois par un seul versement de 34 966,90 $. i = 8,75 % =

8,75 = 0,087 5 100

Cn = 34 966,90 $

C0 = ?

Cn = C0(1 + n × i)

Cn = C0(1 + i )n

34 312,50 = C0(1 + 10 × 0,052 5)

34 966,90 = C0(1 + 0,087 5)4

34 312,50 C • 1,525 = 0 1,525 1,525

C0 = 22 500 $ La valeur actuelle est de 22 500 $. Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

n=4

34 966,90 C • 1,398 676 = 0 1,398 676 1,398 676

C0 = 25 000 $ La valeur actuelle est de 25 000 $. Intersection, complément CST

Guide CHAPITRE A

CH-15

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche A.2 (suite)

c) Maya a placé de l’argent à un taux de 3,9 % d’intérêt composé annuellement. Dans 15 ans, elle aura un capital de 11 538,43 $. i = 3,9 % =

3,9 = 0,039 100

Cn = 11 538,43 $

d) Rania a placé de l’argent à un taux de 6,25 % d’intérêt composé semestriellement. Dans 15 ans, elle aura un capital de 18 375,61 $.

n = 15

On a un taux d’intérêt annuel de 6,25 % =

C0 = ?

i=

Cn = C0(1 + i )n

6,25 = 0,062 5. 100

0,062 5 = 0,031 25 2

Cn = 18 375,61 $

11 538,43 = C0(1 + 0,039)15

n = 30

C0 = ?

Cn = C0(1 + i )n

11 538,43 C • 1,775 142 = 0 1,775 142 1,775 142

18 375,61 = C0(1 + 0,031 25)30

C0 ≈ 6 500 $

18 375,61 C • 2,517 207 = 0 2,517 207 2,517 207

La valeur actuelle est de 6 500 $.

C0 ≈ 7 300 $ La valeur actuelle est de 7 300 $.

3. Détermine la durée de chaque placement ou emprunt. a) Andy place 7 000 $ à un taux d’intérêt simple de 4,75 %. À l’échéance, son placement vaut 8 828,75 $. i = 4,75 % =

b) Kiona place 15 250 $ à un taux d’intérêt composé annuellement de 10,25 %. À l’échéance, son placement vaut 49 182,77 $.

4,75 = 0,047 5 100

C0 = 7 000 $

Cn = 8 828,75 $

i = 10,25 % =

10,25 = 0,102 5 100

C0 = 15 250 $

n=?

Cn = 49 182,77 $

n=?

Cn = C0(1 + i )n

Cn = C0(1 + n × i) 8 828,75 = 7 000(1 + n × 0,047 5)

49 182,77 = 15 250(1 + 0,102 5)n

8 828,75 7 000(1 + 0,047 5n) = 7 000 7 000

49 182,77 15 250 • (1,102 5)n = 15 250 15 250

1,261 25 = 1 + 0,047 5n

3,225 100 = (1,102 5)n

0,261 25 0,047 5n = 0,047 5 0,047 5

n = log1,102 5 3,225 100 n=

n = 5,5

log10 3,225 100 log10 1,102 5

n ≈ 12

La durée de ce placement est de 5,5 ans.

La durée de ce placement est de 12 ans.

CH-16

CHAPITRE A

Intersection, complément

CST

Guide

Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche A.2 (suite)

c) Gary emprunte 3 450 $ à un taux de 8,4 % d’intérêt composé mensuellement. Il rembourse sa dette par un seul versement de 4 746,05 $. Taux annuel : 8,4 % = i=

0,084 = 0,007 12

Cn = 4 746,05 $

8,4 = 0,084 100

d) Hiba place 10 500 $ à un taux de 11 % d’intérêt composé trimestriellement. À l’échéance, son placement vaut 13 403,73 $. Taux annuel : 11 % =

C0 = 3 450 $

i=

0,11 = 0,027 5 4

C0 = 10 500 $

Cn = 13 403,73 $

n=?

Cn = C0(1 + i )n

11 = 0,11 100

n=?

Cn = C0(1 + i )n

4 746,05 = 3 450(1 + 0,007)n

13 403,73 = 10 500(1 + 0,027 5)n

4 746,05 3 450 • (1,007)n = 3 450 3 450

13 403,73 10 500 • (1,027 5)n = 10 500 10 500

1,375 667 = (1,007)n

1,276 546 = (1,027 5)n

n = log1,007 1,375 667 n=

n = log1,027 5 1,276 546

log10 1,375 667 log10 1,007

log10 1,276 546 log10 1,027 5

n=

n ≈ 46

n≈9

La durée de cet emprunt est de 46 mois ou 3 ans et 10 mois.

La durée de ce placement est de 9 trimestres ou 2 ans et 3 mois.

4. Détermine le taux d’intérêt par période de chaque placement ou emprunt. a) Anne-Marie a placé 14 000 $ il y a 8 ans à un taux d’intérêt simple. Elle a maintenant 18 480 $.

n=8

C0 = 14 000 $ Cn = 18 480 $ i = ?

b) Pierre-Luc a emprunté 8 400 $ à un taux d’intérêt composé annuellement. Il a réglé cette dette 6 ans plus tard par un seul versement de 12 395,55 $. n = 6 C0 = 8 400 $ Cn = 12 395,55 $ i = ? Cn = C0(1 + i )n

Cn = C0(1 + n × i) 18 480 = 14 000(1 + 8 × i )

12 395,55 = 8 400(1 + i )6

18 480 14 000(1 + 8i) = 14 000 14 000

12 395,55 8 400 • (1 + i)6 = 8 400 8 400

1,475 661 = (1 + i)6

1,32 = 1 + 8i

1

0,32 8i = 8 8

(1,475 661)6 = 1 + i

i = 0,04

1,067 = 1 + i i ≈ 0,067

Le taux par période (année) est de 4 %.

Le taux par période (année) est de 6,7 %.

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Intersection, complément

CST

Guide CHAPITRE A

CH-17

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche A.2 (suite)

c) Nawid a placé 4 125 $ il y a 10 ans à un taux d’intérêt composé semestriellement. Il a maintenant 7 820,33 $.

n = 20 C0 = 4 125 $ Cn = 7 820,33 $ i=?

d) Aminata a emprunté 1 525 $ à un taux d’intérêt composé annuellement. Elle a réglé cette dette 3 ans plus tard par un seul versement de 2 569,87 $. n=3 C0 = 1 525 $ Cn = 2 569,87 $ i=?

Cn = C0(1 + i )n

Cn = C0(1 + i )n

7 820,33 = 4 125(1 + i )20

2 569,87 = 1 525(1 + i )3

7 820,33 4 125 • (1 + i)20 = 4 125 4 125

2 569,87 1 525 • (1 + i )3 = 1 525 1 525

1,895 838 = (1 + i)20

1,685 161 = (1 + i)3

1

1

(1,895 838)20 = 1 + i

(1,685 161)3 = 1 + i

1,032 5 = 1 + i

1,19 = 1 + i

i ≈ 0,032 5

i ≈ 0,19

Le taux par période (semestre) est de 3,25 %.

Le taux par période (année) est de 19 %.

5. Il y a 25 ans, Annie-Claude a cotisé 6 125 $ à un REER. Ce placement lui rapporte un intérêt de 6,5 % composé annuellement. Quelle sera sa valeur au moment de la retraite d’Annie-Claude prévue dans 15 ans ?

i = 6,5 % =

6,5 = 0,065 100

n = 40

C0 = 6 125 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 6 125(1 + 0,065)40 Cn ≈ 76 048,46 $ Dans 15 ans, ce placement vaudra 76 048,46 $.

CH-18

CHAPITRE A

Intersection, complément CST

Guide

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Nom :

Groupe :

Date :

Fiche A.2 (suite)

6. Dali a 2 400 $ à placer et on lui propose 3 options. Elle doit choisir entre un CPG rapportant 7,9 % d’intérêt composé annuellement pendant 5 ans, un CPG rapportant 7,8 % d’intérêt composé semestriellement pendant 5 ans ou un CPG rapportant 7,5 % d’intérêt composé annuellement les trois premières années puis 8,5 % d’intérêt composé annuellement les deux dernières années. Quelle option Dali devrait-elle choisir ?

OPTION 1

OPTION 3

7,9 i = 7,9 % = = 0,079 100

C0 = 2 400 $

n=5

Cn = ?

Trois premières années : i = 7,5 % =

7,5 = 0,075 100

Cn = C0(1 + i )n

C0 = 2 400 $

Cn = 2 400(1 + 0,079)5 ≈ 3 510,09 $

Cn = C0(1 + i )n

n=3

Cn = ?

Cn = 2 400(1 + 0,075)3 ≈ 2 981,51 $

OPTION 2 Taux annuel de 7,8 % = 0,078 i= = 0,039 2

C0 = 2 400 $

7,8 = 0,078. 100

n = 10

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )

Cn = 2 400(1 + 0,039)

i = 8,5 % =

8,5 = 0,085 100

C0 = 2 981,51 $

n=2

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n

n 10

Deux dernières années :

≈ 3 518,57 $

Cn = 2 981,51(1 + 0,085)2 ≈ 3 509,91 $ Dali devrait choisir l’option 2.

7. Mourad veut faire l’achat d’un condo dans 8 ans. Il souhaite avoir alors 56 250 $ comme mise de fonds. Combien devrait-il placer aujourd’hui, au dollar près, si le taux d’intérêt composé annuellement est : a) de 3,5 % ? i = 0,035 C0 = ?

b) de 8 % ? n=8

Cn = 56 250 $

i = 0,08 C0 = ?

Cn = 56 250 $

n=8

Cn = C0(1 + i )n

Cn = C0(1 + i )n

56 250 = C0(1 + 0,035)8

56 250 = C0(1 + 0,08)8

56 250 C • 1,316 809 = 0 1,316 809 1,316 809

C0 ≈ 42 716,90 $ Mourad devrait placer 42 717 $.

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56 250 C • 1,850 930 = 0 1,850 930 1,850 930

C0 ≈ 30 390,12 $ Mourad devrait placer 30 391 $.

Intersection, complément CST

Guide CHAPITRE A

CH-19

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche A.2 (suite)

8. Fabio veut emprunter 8 300 $. Une institution financière lui propose un prêt d’une durée de 3 ans à un taux de 6 % d’intérêt composé mensuellement. Une autre institution lui offre un prêt d’une durée de 5 ans à intérêt composé mensuellement. Dans chaque cas, Fabio devra régler sa dette par un seul versement à l’échéance. À quel taux d’intérêt par période le prêt d’une durée de 5 ans coûtera-t-il moins cher que le prêt d’une durée de 3 ans ?

Valeur du premier prêt à l’échéance :

Taux d’intérêt par période du deuxième prêt :

On a un taux d’intérêt annuel

n = 60

6 de 6 % = = 0,06. 100

i=

0,06 = 0,005 12

C0 = 8 300 $

C0 = 8 300 $

Cn ≤ 9 932,45 $

i=?

Cn = C0(1 + i )n

9 932,45 8 300(1 + i )60 = 8 300 8 300

n = 36 Cn = ?

1,196 681 = (1 + i)60 1

Cn = C0(1 + i )n

(1,196 681)60 = 1 + i

Cn = 8 300(1 + 0,005)36

1,002 997 = 1 + i i ≈ 0,003

Cn ≈ 9 932,45 $

Ce prêt coûtera moins cher si le taux d’intérêt par période est inférieur à 0,3 %. Autrement dit, il coûtera moins cher si son taux annuel annoncé est de 3,6 %, ce qui est beaucoup moins que le taux de 6 % du prêt d’une durée de 3 ans.

9. Enrichissement Kevin décide de mettre de l’argent de côté dans le but de payer une partie de ses études universitaires. Il place 200 $ au début de chaque mois pendant 3 ans à un taux annuel de 9,6 % d’intérêt composé mensuellement. De quel montant disposera-t-il au bout de ces trois années ?

On a un taux d’intérêt annuel de 9,6 % = i=

0,096 = 0,008 12

Cn = M •

n = 36

M = 200 $

9,6 = 0,096. 100

Cn = ?

(1 + i)n - 1 (1 + i) i

Cn = 200 •

(1 + 0,008)36 - 1 (1 + 0,008) 0,008

Cn = 200 •

(1,008)36 - 1 (1,008) 0,008

Cn ≈ 8 372,19 $ Au bout de ces trois années, Kevin disposera de 8 372,19 $.

CH-20

CHAPITRE A

Intersection, complément CST

Guide

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Nom :

Groupe :

Date :

Fiche A.3

Plus de Consolidation Complément de la section Consolidation des pages 54 à 62 du complément au manuel

1. Écris chaque expression sous la forme logarithmique. a) 64 = 1 296

b) 135 = 371 293

c) (0,85)2 = 0,722 5

d) (1,07)3 = 1,225 043

2. Écris chaque expression sous la forme exponentielle. a) 4 = log7 2 401

b) 3 = log17 4 913

c) 2 = log1,05 1,102 5

d) 5 = log0,9 0,590 49

3. Résous les équations exponentielles suivantes. a) 9x = 59 049

b) 2,1x = 19,448 1

9x = 59 049 ⇔ x = log9 59 049 x=

2,1x = 19,448 1 ⇔ x = log2,1 19,448 1

log10 59 049 log10 9

x=

x=5

log10 19,448 1 log10 2,1

x=4

c) 0,6x = 0,046 656

d) 5 000(1,12)x = 7 024,64

0,6x = 0,046 656 ⇔ x = log0,6 0,046 656 x=

log10 0,046 656 log10 0,6

5 000(1,12)x = 7 024,64 1,12x = 1,404 928 ⇔ x = log1,12 1,404 928 x=

x=6

log10 1,404 928 =3 log10 1,12

4. Résous les équations logarithmiques suivantes. a) log3 x = 8

b) log12 y = 4

log3 x = 8 ⇔ x = 38 x = 6 561

c) log0,8 x = 6

log12 y = 4 ⇔ y = 124 y = 20 736

d) 2 log1,04 x = 10

log0,8 x = 6 ⇔ x = 0,86 x = 0,262 144

2 log1,04 x = 10 log1,04 x = 5 ⇔ x = 1,045 x ≈ 1,217

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Intersection, complément CST

Guide CHAPITRE A

CH-21

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche A.3 (suite)

À noter : Dans les questions qui suivent, tous les taux d’intérêt indiqués sont annuels.

5. Détermine la valeur future de chaque placement. a) Laurianne place 8 750 $ pour 78 mois à un taux de 6,8 % d’intérêt composé semestriellement. Taux annuel : 6,8 % = i=

0,068 = 0,034 2

C0 = 8 750 $

b) Émilie place 12 000 $ pour 125 mois à un taux de 3 % d’intérêt composé mensuellement.

6,8 = 0,068 100

Taux annuel : 3 % =

n = 13

i=

0,03 = 0,002 5 12

C0 = 12 000 $

Cn = ?

3 = 0,03 100

n = 125 Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n

Cn = C0(1 + i )n

Cn = 8 750(1 + 0,034)13

Cn = 12 000(1 + 0,002 5)125

Cn ≈ 13 513,72 $

Cn ≈ 16 395,66 $

La valeur future de ce placement est de 13 513,72 $.

La valeur future de ce placement est de 16 395,66 $.

6. Détermine la valeur actuelle de chaque placement ou emprunt. a) Arianne emprunte de l’argent pour 30 mois à un taux de 4,8 % d’intérêt composé mensuellement. Elle doit régler sa dette par un seul versement de 648,16 $. Taux annuel : 4,8 % = i=

0,048 = 0,004 12

Cn = 648,16 $

4,8 = 0,048 100

Taux annuel : 10,4 % =

n = 30

i=

0,104 = 0,026 4

Cn = 17 883,91 $

C0 = ?

Cn = C0(1 + i )n

10,4 = 0,104 100

n = 51 C0 = ?

Cn = C0(1 + i )n

648,16 = C0(1 + 0,004)30

17 883,91 = C0(1 + 0,026)51

648,16 C • 1,127 227 = 0 1,127 227 1,127 227

17 883,91 C • 3,702 673 = 0 3,702 673 3,702 673

C0 ≈ 575 $

C0 ≈ 4 830 $

La valeur actuelle de cet emprunt est de 575 $.

CH-22

b) Henry place de l’argent pour 12,75 ans à un taux de 10,4 % d’intérêt composé trimestriellement. À l’échéance, son placement vaudra 17 883,91 $.

CHAPITRE A

Intersection, complément CST

La valeur actuelle de ce placement est de 4 830 $.

Guide

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Nom :

Groupe :

Date :

Fiche A.3 (suite)

7. Détermine la durée de chaque placement ou emprunt. a) Raphaël place 12 500 $ à un taux d’intérêt simple de 3,85 %. À l’échéance, son placement vaut 16 350 $. i = 3,85 % =

3,85 = 0,038 5 100

C0 = 12 500 $

Cn = 16 350 $

b) Annie emprunte 16 200 $ à un taux de 12,75 % d’intérêt composé annuellement. Elle rembourse sa dette en un seul versement de 42 310,43 $. i = 12,75 % =

n=?

12,75 = 0,127 5 100

C0 = 16 200 $

Cn = 42 310,43 $

n=?

Cn = C0(1 + i )n

Cn = C0(1 + n × i ) 16 350 = 12 500(1 + n × 0,038 5) 16 350 12 500(1 + 0,038 5n) = 12 500 12 500

42 310,43 = 16 200(1 + 0,127 5)n 42 310,43 16 200 • (1,127 5)n = 16 200 16 200

2,611 755 = (1,127 5)n

1,308 = 1 + 0,038 5n 0,308 0,038 5n = 0,038 5 0,038 5

n = log1,127 5 2,611 755 n=

n=8

log10 2,611 755 log10 1,127 5

n≈8

La durée de ce placement est de 8 ans.

La durée de cet emprunt est de 8 ans.

c) Tomy emprunte 15 150 $ à un taux d) Dominic place 650 $ à un taux de 10,2 % de 8,2 % d’intérêt composé semestriellement. d’intérêt composé mensuellement. À l’échéance, Il rembourse sa dette en un seul versement son placement vaut 1 044,15 $. de 27 680,48 $. Taux annuel : 8,2 % = i=

0,082 = 0,041 2

Cn = 27 680,48 $

8,2 = 0,082 100

0,102 = 0,008 5 12

C0 = 15 150 $

i=

n=?

Cn = 1 044,15 $

Cn = C0(1 + i )n 27 680,48 = 15 150(1 + 0,041)n 27 680,48 15 150 • (1,041)n = 15 150 15 150

1,827 094 = (1,041)n n = log1,041 1,827 094 n=

Taux annuel : 10,2 % =

log10 1,827 094 log10 1,041

n ≈ 15 La durée de cet emprunt est de 15 semestres ou 7 ans et demi.

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10,2 = 0,102 100

C0 = 650 $ n=?

Cn = C0(1 + i )n 1 044,15 = 650(1 + 0,008 5)n 1 044,15 650 • (1,008 5)n = 650 650

1,606 385 = (1,008 5)n n = log1,008 5 1,606 385 n=

log10 1,606 385 log10 1,008 5

n ≈ 56 La durée de ce placement est de 56 mois ou 4 ans et 8 mois.

Intersection, complément CST

Guide CHAPITRE A

CH-23

Nom :

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Fiche A.3 (suite)

8. Détermine le taux d’intérêt par période de chaque placement ou emprunt. a) Karine a placé 1 340 $ il y a 12 ans, à un taux d’intérêt simple, et elle a maintenant 2 465,60 $.

b) Samy a emprunté 32 900 $ à un taux d’intérêt composé annuellement. Il a réglé cette dette 4 ans plus tard par un seul versement de 42 643,57 $.

C0 = 1 340 $

n = 12

Cn = 2 465,60 $

n=4

C0 = 32 900 $

Cn = 42 643,57 $

i =?

i=?

Cn = C0(1 + i )n

Cn = C0(1 + n × i) 2 465,60 = 1 340(1 + 12 × i)

42 643,57 = 32 900(1 + i)4

2 465,60 1 340(1 + 12i ) = 1 340 1 340

42 643,57 32 900 • (1 + i )4 = 32 900 32 900

1,296 157 = (1 + i)4

1,84 = 1 + 12i

1

0,84 12i = 12 12

(1,296 157)4 = 1 + i 1,066 999 = 1 + i

i = 0,07 Le taux d’intérêt par période (année) est de 7 %.

i ≈ 0,067 Le taux d’intérêt par période (année) est de 6,7 %.

9. Un achat pour le travail Mariepier est esthéticienne. Elle a emprunté 3 500 $ pour acheter les produits de base dont elle a besoin afin de recevoir sa clientèle chez elle. Elle doit régler cette dette dans 3 ans par un seul versement de 4 287,65 $. Quel est le taux d’intérêt composé par période si la capitalisation est annuelle ? n=3

C0 = 3 500 $

Cn = 4 287,65 $

i=?

Cn = C0(1 + i )n 4 287,65 = 3 500(1 + i )3 4 287,65 3 500 • (1 + i )3 = 3 500 3 500

1,225 043 = (1 + i)3 1

(1,225 043)3 = 1 + i 1,069 999 = 1 + i i ≈ 0,07 Le taux d’intérêt composé par période (année) est de 7 %.

CH-24

CHAPITRE A

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Guide

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Fiche A.3 (suite)

10. Un capital qui triple Miguel a placé 7 500 $ à un taux de 8,4 % d’intérêt composé mensuellement. Dans combien de temps son capital aura-t-il triplé ?

On a un taux d’intérêt annuel de 8,4 % = i=

0,084 = 0,007 12

C0 = 7 500 $

8,4 = 0,084. 100

Cn = 7 500 $ • 3

n=?

Cn = C0(1 + i )n 7 500 • 3 = 7 500(1 + 0,007)n 3 = (1,007)n ⇔ n = log1,007 3 n=

log10 3 log10 1,007

n ≈ 157,49 Son capital aura triplé dans 158 mois ou 13 ans et 2 mois.

11. Combien vaut un téléphone cellulaire ? La valeur d’un téléphone cellulaire diminue de 35 % par année en raison de l’évolution rapide des technologies. Après combien d’années ce téléphone ne vaudra-t-il plus que le quart de son prix initial ?

L’équation qui traduit la situation est f(x) = C0(0,65)n, où f(x) est la valeur actuelle du téléphone cellulaire, C0, sa valeur initiale, et x, le nombre d’années depuis l’achat du téléphone. f(x) = C0(0,65)n 0,25 • C0 = C0(0,65)x 0,25 • C0 C0(0,65)x = C0 C0

0,25 = (0,65)x ⇔ x = log0,65 0,25 x=

log10 0,25 log10 0,65

x ≈ 3,22 Le téléphone cellulaire n’aura plus que le quart de sa valeur initiale au bout de 3,22 ans environ ou un peu plus de 3 ans et 2 mois et demi.

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Guide CHAPITRE A

CH-25

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Fiche A.3 (suite)

12. L’épaisseur d’une pièce métallique Une machine permet de réduire l’épaisseur d’une pièce métallique. Son marteau-pilon frappe toutes les 5 secondes avec une force qui s’adapte à l’épaisseur de la pièce, qui est de 2 cm au départ. La pièce métallique voit ainsi son épaisseur diminuer de 1 % à chaque coup. Combien de temps faut-il à la machine pour réduire l’épaisseur de la pièce à 12 mm ?

L’équation qui traduit cette situation est E(x) = 2(0,99)x, où E(x) représente l’épaisseur finale de la pièce, en centimètres, et x, le nombre de coups donnés par la machine. E(x) = 2(0,99)x 1,2 = 2(0,99)x

51 • 5 = 255 255 = 4,25 60

La machine a donc besoin de 255 s ou 4 min et 15 s pour réduire l’épaisseur de la pièce à 12 mm.

x

0,6 = (0,99) ⇔ x = log0,99 0,6 x=

Il faut environ 51 coups et la machine frappe la pièce toutes les 5 secondes.

log10 0,6 log10 0,99

x ≈ 50,83

13. À l’entraînement Un athlète commence son entraînement en vue des prochaines compétitions de cross-country. Il court 2 000 m lors de son premier jour d’entraînement et augmente cette distance du huitième tous les 10 jours. Si cet athlète court 4 300,5 m aujourd’hui, depuis combien de temps a-t-il commencé son entraînement ?

j

L’équation qui traduit cette situation est D( j ) = 2 000(1,125) 10 , où D( j) représente la distance courue et j, le nombre de jours écoulés depuis le début de l’entraînement. j

4 300,5 = 2 000(1,125) 10 j

4 300,5 = 2 000

2 000(1,125) 10 2 000 j

2,150 25 = (1,125) 10 ⇔

j = log1,125 2,150 25 10

j = 10 • log1,125 2,150 25 j = 10 •

log10 2,150 25 log10 1,125

j ≈ 65 L’athlète a commencé son entraînement il y a environ 65 jours.

CH-26

CHAPITRE A

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Fiche A.3 (suite)

14. Le placement de Jérémi Jérémi place 12 000 $ à un taux d’intérêt composé annuellement de 8,2 %. Au bout de 8 ans, ce placement vient à échéance et Jérémi place la somme accumulée pour 6,5 ans à 6 % d’intérêt composé trimestriellement. Quelle sera la valeur de ce nouveau placement à l’échéance ?

Valeur du premier placement à l’échéance :

Valeur future du nouveau placement :

8,2 i = 8,2 % = = 0,082 100

Taux annuel : 6 % =

C0 = 12 000 $

n=8

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n 8

Cn = 12 000(1 + 0,082) Cn ≈ 22 542,36 $

i=

0,06 = 0,015 4

6 = 0,06 100

n = 26

C0 = 22 542,36 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 22 542,36(1 + 0,015)26 Cn ≈ 33 198,35 $ À l’échéance, le placement vaudra 33 198,35 $.

15. La maison de Sarah Il y a 7 ans, Sarah a placé 17 750 $ à un taux de 8,9 % d’intérêt composé semestriellement. Aujourd’hui, elle désire utiliser ce placement pour s’acheter une maison. Sarah a calculé qu’elle aura besoin d’une mise de fonds de 42 500 $. Elle emprunte l’argent qu’il lui manque à un taux de 6,6 % d’intérêt composé mensuellement. Si elle doit régler sa dette par un seul versement de 12 954,76 $ à l’échéance, quelle est la durée de cet emprunt ? Valeur du placement après 7 ans : Taux annuel : 8,9 % = i=

0,089 = 0,044 5 2

C0 = 17 750 $

Taux annuel : 6,6 % =

8,9 = 0,089 100

i=

n = 14

Cn = 12 954,76 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 17 750(1 + 0,044 5)14 Cn ≈ 32 652,51 $ Montant manquant pour la mise de fonds : 42 500 - 32 652,51 = 9 847,49 $

0,066 = 0,005 5 12

6,6 = 0,066 100

C0 = 9 847,49 $ n=?

Cn = C0(1 + i )n 12 954,76 = 9 847,49(1 + 0,005 5)n 12 954,76 9 847,49 • (1,005 5)n = 9 847,49 9 847,49

1,315 539 = (1,005 5)n n = log1,005 5 1,315 539 n=

log10 1,315 539 log10 1,005 5

n ≈ 50 La durée de l’emprunt est de 50 mois.

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Guide CHAPITRE A

CH-27

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Fiche A.3 (suite)

Enrichissement

16. La nouvelle voiture de Paul Depuis 27 mois, Paul place 350 $ au début de chaque mois à un taux de 8,4 % d’intérêt composé mensuellement. Quel montant lui manque-t-il pour acheter une voiture de 26 750 $ ?

Valeur des versements périodiques au bout de 27 mois : 0,084 = 0,007 n = 27 M = 350 $ Cn = ? 12 27 27 (1 + i) - 1 (1,007) - 1 Cn = M • (1 + i ) = 350 • (1,007) ≈ 10 434,83 $ i 0,007

i=

Montant d’argent manquant pour l’achat de la voiture : 26 750 - 10 434,83 = 16 315,17 $ Il lui manque 16 315,17 $.

17. L’appartement de Marianne Marianne veut acheter des meubles pour son nouvel appartement et doit emprunter 4 500 $ pour les payer. Le marchand lui propose un prêt à un taux de 7,8 % d’intérêt composé mensuellement. Marianne devra faire des versements mensuels pendant 2 ans afin de rembourser sa dette. Quel sera le montant de ces versements périodiques ?

i=

0,078 = 0,006 5 n = 24 C0 = 4 500 $ 12 C0 • i 4 500 • 0,006 5

M=

1 - (1 + i)

-n

=

-24

1 - (1,006 5)

M=?

≈ 203,11 $

Le montant de chaque versement mensuel sera de 203,11 $.

18. Le motorisé de Cathie Cathie place 3 200 $ au début de chaque année pour acheter un motorisé. Elle estime qu’elle doit accumuler 56 000 $ et elle prévoit un taux de rendement annuel composé de 6,5 %. Combien de temps faudra-t-il à Cathie pour accumuler cette somme ?

M = 3 200 $

i = 0,065

Cn = 56 000 $

n=?

n

Cn = M •

(1 + i ) - 1 (1 + i) i

56 000 = 3 200 • 56 000(0,065) 3 200(1,065)

(1,065)n - 1 (1,065) 0,065

+ 1 = 1,065n

2,068 075 = 1,065n n = log1,065 2,068 075 =

log10 2,068 075 ≈ 11,538 log10 1,065

Il lui faudra environ 11 ans et demi pour accumuler cette somme.

CH-28

CHAPITRE A

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Fiche B.1 8.X

Plus de Mise en pratique Complément de la section Mise en pratique des pages 77 à 80 du complément au manuel

1. À quel type de probabilité est associé chacun des huit événements suivants ? Distinction entre différents types de probabilités Niveau de difficulté : faible

a) Lancer 20 fois un ballon vers un panier de basketball et réussir un panier 12 fois.

e) Observer que le prochain client qui arrive au restaurant est une fille.

Probabilité fréquentielle

Probabilité théorique

b) Obtenir un 6 en lançant un dé régulier à 6 faces.

f) Samuel et Guillaume ont joué 10 parties de billard et Samuel en a gagné 6. Observer que Samuel gagnera aussi la prochaine partie.

Probabilité théorique

c) Parmi les films proposés à 19 h par 4 chaînes de films à la télévision, en avoir un qui te plaît. Probabilité subjective

d) Choisir au hasard une piste de ski difficile dans une station.

Probabilité fréquentielle

g) Observer la victoire de l’Impact de Montréal à sa prochaine partie. Probabilité subjective

h) Tirer un valet d’un jeu de 52 cartes.

Probabilité théorique

Probabilité théorique

2. Soit l’affirmation suivante. Distinction entre différents types de probabilités, « chances pour » et « chances contre » Niveau de difficulté : moyen

La probabilité qu’il pleuve demain est de 60 %. a) De quel type est cette probabilité ? Justifie ta réponse. Une prévision météorologique est la plupart du temps subjective. En effet, la probabilité que cet événement se réalise peut être évaluée différemment d’une personne à une autre.

b) Transforme cette probabilité en « chances pour » et en « chances contre ». Les « chances pour » sont de 3 : 2.

Les « chances contre » sont de 2 : 3.

3. Carl travaille sur des chantiers de construction de la route. Il doit parfois distribuer des cônes de sécurité à ses collègues afin qu’ils les placent sur la route. Depuis un certain temps, il lance les cônes à ses collègues lorsqu’ils en ont besoin. Il a noté le nombre de fois que le cône est tombé debout au cours de ses 600 derniers lancers. Probabilité fréquentielle Niveau de difficulté : moyen

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Position

Couché

Debout

Effectif

548

52

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Guide CHAPITRE B

CH-29

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Fiche B.1 8.X (suite)

a) Quelle est la probabilité que le cône de sécurité soit en position debout au 601e lancer de Carl ? 52 13 La probabilité qu’il soit en position debout est de 600 = 150.

b) Sur quoi est basée ta réponse obtenue en a ? Elle est basée sur l’expérience effectuée par Carl. Il s’agit donc d’une probabilité fréquentielle.

4. Associe les événements suivants au rapport « chances pour » ou « chances contre » correspondant. « Chances pour » et « chances contre » Niveau de difficulté : moyen

A

B

Les « chances contre » sont de 220 : 1.

1

1 chance contre 3.

2 Dans un tirage sans remise, obtenir une carte noire suivie d’une carte de cœur d’un jeu de 52 cartes.

C

Les « chances pour » sont de 13 : 89.

3

D

Les « chances pour » sont de 1 : 51.

4

A

3

B

5. Soit les trois énoncés suivants.

1

Tirer une carte de cœur d’un jeu de 52 cartes.

Dans un tirage sans remise, obtenir 2 dames d’un jeu de 52 cartes. Tirer un as de carreau d’un jeu de 52 cartes. C

2

D

4

Probabilité subjective Niveau de difficulté : moyen

a) Indique une raison qui pourrait amener une personne à énoncer les affirmations suivantes. 1

Les voitures japonaises sont 80 % plus fiables que les voitures américaines.

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : La personne a présentement une voiture de marque japonaise. Elle a eu des voitures américaines avant et elle les aimait moins.

2

Marianne St-Gelais gagnera une médaille aux prochains Jeux olympiques.

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Les résultats de cette patineuse de vitesse sont excellents et elle est un espoir de médaille pour le Canada.

3

Il faudra déneiger l’entrée au retour de mes deux semaines de vacances en février.

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Il neige souvent en février.

CH-30

CHAPITRE B

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Fiche B.1 8.X (suite)

b) De quel type sont les probabilités énoncées en a ? Ce sont des probabilités subjectives.

6. Le lac Mégantic contient une quarantaine d’espèces de poissons. Voici les 30 dernières prises de Stéphane : 5 truites brunes, 2 truites grises, 3 truites arc-en-ciel, 4 truites mouchetées, 11 perchaudes, 1 achigan, 1 ouananiche, 2 touladis et 1 barbotte. Probabilité fréquentielle Niveau de difficulté : moyen

a) En tenant compte de ces résultats, détermine la probabilité que la prochaine prise de Stéphane soit une truite brune. 5 = 1 30 6

b) De quel type est la probabilité exprimée en a ? Justifie ta réponse. La probabilité est fréquentielle étant donné qu’une estimation est faite à partir de résultats observés.

7. Réponds aux questions suivantes. « Chances pour » et « chances contre » Niveau de difficulté : faible

a) Exprime les probabilités suivantes en « chances pour » et en « chances contre ». 1)

4 15

2)

2 chances sur 9

3)

22,5 %

4)

12 25

5)

18 %

6)

11 60

« chances pour » : 4 : 11

« chances contre » : 11 : 4

« chances pour » : 2 : 7

« chances contre » : 7 : 2

« chances pour » : 9 : 31

« chances contre » : 31 : 9

« chances pour » : 12 : 13

« chances contre » : 13 : 12

« chances pour » : 9 : 41

« chances contre » : 41 : 9

« chances pour » : 11 : 49

« chances contre » : 49 : 11

b) Exprime les « chances pour » ou les « chances contre » suivantes en probabilités. 1)

5 contre 8

5 13

2)

Les « chances pour » sont de 8 : 3.

8 11

3)

Les « chances contre » sont de 3 : 7.

7 10

4)

10 chances contre 15

10 2 = 25 5

5)

« Chances pour » =

6)

« Chances contre » =

13 5 7 19

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13 18 19 26

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Guide CHAPITRE B

CH-31

Nom :

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Date :

Fiche B.1 8.X (suite)

8. Vrai ou faux ? Justifie ta réponse lorsque tu réponds « faux ». Distinction entre différents types de probabilités, « chances pour » et « chances contre » Niveau de difficulté : moyen

a) Une probabilité de

5 est équivalente à l’affirmation « les chances contre sont de 7 : 5 ». 12

Vrai

b) La valeur d’une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Vrai

c) Pour calculer la probabilité théorique, il faut recourir à une expérimentation. Faux, c’est la probabilité fréquentielle qui requiert une expérimentation.

d) La probabilité subjective d’un événement est toujours la même selon diverses personnes. Faux, la probabilité subjective peut être évaluée différemment d’une personne à l’autre parce qu’elle est basée sur une opinion.

9. Antoine, Andréanne et Olivier sont les trois candidats à la présidence du conseil des élèves de l’école. Les « chances contre » d’Andréanne sont de 11: 4. Les « chances pour » d’Antoine sont de 1: 2. 2 5

La probabilité qu’Olivier gagne est de . Qui a le plus de chances de gagner les élections ? « Chances pour » et « chances contre » Niveau de difficulté : moyen

On transforme les « chances pour » et les « chances contre » en probabilités : 4

La probabilité qu’Andréanne gagne est de 15. 1 5 La probabilité qu’Antoine gagne est de = . 2

3

15 6

La probabilité qu’Olivier gagne est de 5 = 15. C’est Olivier qui a le plus de chances de gagner les élections.

CH-32

CHAPITRE B

Intersection, complément CST

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Date :

Fiche B.2

Plus de Mise en pratique Complément de la section Mise en pratique des pages 89 à 91 du complément au manuel

1. Calcule l’espérance mathématique de la cible ci-contre. Espérance mathématique Niveau de difficulté : moyen

Aire du plus grand cercle : 706,86 cm2 Aire du cercle moyen : 314,16 cm2 Aire du plus petit cercle : 78,54 cm2 E(Cible) = 15 • 78,54 + 10 • (314,16 - 78,54) + 5 • (706,86 - 314,16) 706,86

706,86

706,86

E(Cible) = 15 • 0,111 + 10 • 0,333 + 5 • 0,556 E(Cible) = 1,665 + 3,33 + 2,78 E(Cible) = 7,775

L’espérance mathématique de la cible est d’environ 8 points.

2. Dans une fête foraine, un jeu consiste à faire tourner une flèche fixée au centre d’une roue subdivisée en 12 secteurs isométriques comme l’illustre le schéma ci-dessous. Si la flèche s’immobilise sur un secteur blanc, la personne qui joue gagne le prix indiqué. Quelle est l’espérance mathématique de ce jeu ? Espérance mathématique Niveau de difficulté : faible

E(Jeu) = 0 • 1 + 4 • 1 + 6 • 1 + 12 • 1 2

E(Jeu) = 1 + 1 + 1 E(Jeu) = 3

4

6

12

L’espérance mathématique de ce jeu est de 3 $.

3. On lance trois fois de suite une pièce de monnaie. Si on obtient trois fois le côté pile ou trois fois le côté face, on gagne 4 $. Sinon, on perd 2 $. Détermine l’espérance mathématique de ce jeu. Espérance mathématique Niveau de difficulté : faible

E(Jeu) = 4 • 2 + –2 • 6 8

E(Jeu) = 1 - 1,5 E(Jeu) = –0,5

8

L’espérance mathématique de ce jeu est de –0,50 $.

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Guide CHAPITRE B

CH-33

Nom :

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Fiche B.2 (suite)

4. Dans un sac, il y a 12 billes de même grosseur : 7 billes bleues, 3 rouges et 2 vertes. Tu tires une bille de ce sac. Si la bille est verte, tu gagnes un jouet en peluche d’une valeur de 10 $ ; si elle est rouge, tu gagnes un jouet en peluche d’une valeur de 5 $. Quelle est l’espérance mathématique de ce jeu ? Espérance mathématique Niveau de difficulté : faible

E(Jeu) = 10 • 1 + 5 • 1 + 0 • 7 6

4

12

E(Jeu) = 10 + 5 6

4

E(Jeu) = 20 + 15 12 12 E(Jeu) = 35 12

E(Jeu) ≈ 2,92 L’espérance mathématique de ce jeu est d’environ 2,92 $.

5. Un sac contient 10 billets de 5 $, un certain nombre de billets de 10 $, 4 billets de 20 $ et un billet de 50 $. Les gagnants à une épreuve d’endurance ont la possibilité de jouer à ce jeu et de garder le billet tiré au hasard. L’espérance mathématique de ce jeu est de 11,50 $. Combien y a-t-il de billets de 10 $ ? Espérance mathématique et équité Niveau de difficulté : moyen

Soit x, le nombre de billets de 10 $ dans le sac. Le nombre de billets dans le sac : 10 billets de 5 $, x billets de 10 $, 4 billets de 20 $, 1 billet de 50 $ Il y a (15 + x) billets dans le sac. E(Jeu) = 5 • 11,5 =

10 + 10 • x + 20 • 4 + 50 • 1 15 + x 15 + x 15 + x 15 + x

50 + 10x + 80 + 50 15 + x 15 + x 15 + x 15 + x

11,5x + 172,5 = 180 + 10x 1,5x = 7,5 x=5 Il y a 5 billets de 10 $ dans le sac.

6. Vérifie si la conjecture suivante est vraie ou fausse. Espérance mathématique et équité Niveau de difficulté : faible

Si je lance un dé à 12 faces numérotées de 1 à 12, l’espérance mathématique sera supérieure à 6. E(Dé) = 1 • 1 + 2 • 1 + 3 • 1 + 4 • 1 + 5 • 1 + 6 • 1 + 7 • 1 + 8 • 1 + 9 • 1 + 10 • 1 + 11 • 1 + 12 • 1 12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

E(Dé) = 78 12

E(Dé) = 6,5 Cette conjecture est vraie, car l’espérance mathématique est de 6,5.

CH-34

CHAPITRE B

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Fiche B.2

7. Un restaurant propose des menus du midi à trois prix différents. Le tableau suivant présente les choix des clients pour la dernière semaine. Espérance mathématique et interprétation Niveau de difficulté : moyen

Menu Choix des clients

Menu 1 à 9,00 $

Menu 2 à 12,00 $

Menu 3 à 14,00 $

30 % des clients

50 % des clients

20 % des clients

a) Calcule l’espérance mathématique du pourboire de 15 % que recevra la serveuse ou le serveur de ce restaurant ce midi. Calcul des pourboires : Menu 1 : 15 % de 9,00 $ = 1,35 $ Menu 2 : 15 % de 12,00 $ = 1,80 $ Menu 3 : 15 % de 14,00 $ = 2,10 $ E(Pourboire) = 1,35 •

30 50 20 + 1,80 • + 2,10 • 100 100 100

E(Pourboire) = 0,405 + 0,9 + 0,42 E(Pourboire) = 1,725

L’espérance mathématique du pourboire de la serveuse ou du serveur est de 1,73 $.

b) Indique ce que cette espérance mathématique signifie. Cette espérance mathématique signifie que si la serveuse ou le serveur sert un nombre élevé de clients, elle ou il peut s’attendre à recevoir en moyenne un pourboire de 1,73 $ par client.

8. Le prix d’entrée d’un spectacle de variétés organisé pour financer un voyage étudiant a été fixé à 10 $. Les spectateurs ont la chance de gagner des prix de présence : un prix de 50 $, un prix de 20 $ et deux prix de 15 $. Une personne ne peut gagner plus d’une fois et l’ordre des tirages est du plus gros prix au plus petit. Il y a 250 personnes qui assistent au spectacle. Espérance mathématique et équité Niveau de difficulté : moyen

a) Quelle est l’espérance mathématique de ce tirage ? E(Tirage) = 50 •

1 + 20 • 1 + 15 • 1 + 15 • 1 250 249 248 247

E(Tirage) = 0,2 + 0,08 + 0,06 + 0,06 E(Tirage) = 0,40 L’espérance mathématique de ce tirage est de 0,40 $.

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CH-35

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Fiche B.2 (suite)

b) Ce tirage est-il équitable, favorable ou défavorable pour les spectateurs ? Justifie ta réponse. Espérance mathématique - coût d’entrée = 0,40 - 10,00 = –9,60 $ Ce tirage est défavorable aux spectateurs, car l’espérance mathématique du jeu est négative.

9. Antoine a la responsabilité de vider les poubelles cette semaine. Sa sœur Dorianne lui propose de jouer à un jeu : obtenir une somme de 6 ou de 8 en lançant 2 dés. Si elle gagne, elle videra les poubelles à sa place cette semaine et, s’il perd, Antoine devra vider les poubelles cette semaine et les vider à la place de Dorianne la semaine suivante. Antoine devrait-il accepter la proposition de sa sœur s’il n’aime pas sortir les poubelles ? Espérance mathématique et équité Niveau de difficulté : moyen

Une somme de 6 peut être obtenue en ayant : un 1 et un 5 : probabilité de un 5 et un 1 : probabilité de un 2 et un 4 : probabilité de un 4 et un 2 : probabilité de

1 36 1 36 1 36 1 36

E(Jeu) : 14 jours de congé • probabilité de gagner + 14 jours de travail • probabilité de perdre = 14 • 10 + –14 • 26 36

36

= 140 - 364 36 36 – = 224

36

deux 3 : probabilité de 1

36

= –6,22

La probabilité d’avoir une somme de 6 est de 5 . 36

Antoine devrait refuser le jeu de Dorianne, car il lui est défavorable.

Une somme de 8 peut être obtenue en ayant : un 2 et un 6 : probabilité de 1

36 un 6 et un 2 : probabilité de 1 36 un 3 et un 5 : probabilité de 1 36 un 5 et un 3 : probabilité de 1 36 1 deux 4 : probabilité de 36

La probabilité d’avoir une somme de 8 est de 5 . 36

La probabilité d’avoir une somme de 6 ou de 8 est de 10 . 36

CH-36

CHAPITRE B

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10. Les cadets font du porte-à-porte pour amasser des fonds. Ils vendent des cartes à gratter à 1 $. Selon ce qu’indique la case grattée, la personne qui participe gagne ou paie un certain montant. Les cadets présentent les probabilités suivantes aux participants. Espérance mathématique et équité Niveau de difficulté : moyen

Probabilités de gagner :

Probabilités de payer :

0,25 $ : 3

0,25 $ : 1

0,50 $ : 1

0,50 $ : 1

1,00 $ : 1

1,00 $ : 1

1,25 $ : 1

1,25 $ : 1

1,50 $ : 1

1,50 $ : 1

10

10

10

10

10

10

20

20

20

20

a) Sachant qu’il y a un total de 20 cases, détermine la distribution des montants à gagner ou à payer sur une carte. On détermine le nombre de cases attribuées à un montant selon la probabilité qu’il a d’être choisi. Si la probabilité est de 1 , le montant est indiqué sur une case.

20 Si la probabilité est de 1 , c’est-à-dire 2 , le montant est indiqué sur 2 cases. 10 20 3 Si la probabilité est de , c’est-à-dire 6 , le montant est indiqué sur 6 cases. 10 20

La distribution des montants à gagner est la suivante : 6 × 0,25 $, 2 × 0,50 $, 2 × 1,00 $, 1 × 1,25 $ et 1 × 1,50 $ La distribution des montants à payer est la suivante : 2 × 0,25 $, 2 × 0,50 $, 2 × 1,00 $, 1 × 1,25 $ et 1 × 1,50 $

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CH-37

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Fiche B.2 (suite)

b) Ce jeu est-il équitable ? E(Carte) = 0,25 • 3 + 0,50 • 1 + 1,00 • 1 + 1,25 • 1 + 1,50 • 1 + –0,25 • 1 + –0,50 • 1 + 10 10 10 1 1 – – + 1,25 • + 1,50 • 1 10 20 20

20

20

10

10

–1,00 •

E(Carte) = 0,05 E(Carte) = 0,05 - 1 = –0,95 Le jeu est défavorable aux participants, car l’espérance mathématique est négative.

11. Un jeu consiste à lancer une fléchette sur une des quatre portes derrière lesquelles on a caché les prix indiqués. Mireille paie 5 $ pour jouer à ce jeu. Elle croit que ce jeu est favorable à la personne qui joue. A-t-elle raison ? Espérance mathématique et équité Niveau de difficulté : moyen

E(Jeu) = –5 • 1 + 5 • 1 + 10 • 1 + 20 • 1 2

4

8

8

E(Jeu) = 2,5 Mireille a raison. Le jeu est favorable aux joueurs, car l’espérance mathématique est positive.

CH-38

CHAPITRE B

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Fiche B.3

Plus de Consolidation Complément de la section Consolidation des pages 92 à 102 du complément au manuel

1. David s’est amusé à faire tourner 80 fois une toupie à 8 faces numérotées de 1 à 8, dont les résultats ne sont pas équipropables. Il a noté ses résultats dans le tableau suivant. Distinction entre certains types de probabilités Niveau de difficulté : faible

Face

1

2

3

4

5

6

7

8

Fréquence

9

11

8

12

10

9

10

11

a) D’après ces résultats, quelle est la probabilité que David obtienne un nombre pair lorsqu’il fera tourner la toupie une autre fois ?

43 80

b) De quel type est la probabilité déterminée en a ? Probabilité fréquentielle

2. Quelles sont les « chances pour » associées aux événements suivants ? « Chances pour » et « chances contre » Niveau de difficulté : faible

a) Obtenir une somme de 5 en lançant 2 dés. 1 : 8 b) Choisir au hasard une fille dans une classe de 26 élèves où il y a 15 garçons. 11 : 15 c) Avoir la combinaison 213 en faisant tourner un boulier qui contient des boules numérotées de 1 à 9 si on n’y remet pas les boules tombées. 1 : 503

3. Exprime les « chances contre » suivantes en probabilités. Des « chances » à la probabilité Niveau de difficulté : faible

a) Les « chances contre » la victoire d’Anne à sa course de ski sont de 45 : 14.

15 59

b) Les « chances contre » qu’on tire une bille noire d’un bocal sont de 4 : 1.

1 5

4. Les « chances pour » qu’on gagne 4 $ à un jeu sont de 7 : 3. Il est également possible de gagner 1 $ à ce jeu. Quelle est l’espérance mathématique de ce jeu, sachant qu’il n’y a que deux résultats possibles ? « Chances pour » et « Chances contre », espérance mathématique Niveau de difficulté : moyen

4 • 7 + 1 • 3 = 28 + 3 = 31 = 3,10 10

10

10

10

10

L’espérance mathématique de ce jeu est de 3,10 $.

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CH-39

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Fiche B.3 (suite)

5. Le tableau suivant présente les probabilités d’obtenir un certain nombre de points à un jeu. Espérance mathématique Niveau de difficulté : faible

Nombre de points

5

2

1

0

Probabilité

2 3

2 9

2 27

1 27

Calcule l’espérance mathématique du nombre de points. 5 • 2 + 2 • 2 + 1 • 2 + 0 • 1 = 90 + 12 + 2 = 104 ≈ 3,85 3

9

27

27

27

27

27

27

L’espérance mathématique est d’environ 3,85 points.

6. Une équipe de football met sur pied un tirage. Elle émet 1 000 billets qu’elle vend 10 $ chacun. Les lots à gagner comprennent un prix de 2 000 $, deux prix de 1 500 $, deux prix de 1 000 $, un certain nombre de prix de 500 $ et deux prix de 200 $. L’espérance mathématique de cette loterie est de −1. Combien y a-t-il de prix de 500 $ à gagner ? Espérance mathématique Niveau de difficulté : moyen

Soit x, le nombre de prix de 500 $. –1 –1

=

1 2 2 x 2 993 – x – • 2 000 + • 1 500 + • 1 000 + • 500 + • 200 + • 10 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

000 = 2 000 + 3 000 + 2 000 + 500x + 400 - 9 930 + 10x

1 530 = 510x 3=x Il y a 3 prix de 500 $ à gagner.

7. Dans un sac, il y a 18 billes de même grosseur : 7 billes bleues, 9 billes noires et 2 billes rouges. On te propose le jeu suivant : tu tires une bille du sac. Si la bille est rouge, tu gagnes 10 $ ainsi que ta mise. Si la bille est noire, tu gagnes 2 $ ainsi que ta mise. Si la bille est bleue, tu perds ta mise. Interprétation de l’espérance mathématique et équité Niveau de difficulté : moyen

Quelle doit être ta mise pour que le jeu soit équitable ? 2 9 7 • 10 + •2 + •p = 0 18 18 18 10 + 18 + 7p = 0 18 18 18 28 –7p = 18 18

28 = –7p p = –4 La mise doit être de 4 $ pour que le jeu soit équitable.

CH-40

CHAPITRE B

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8. Jeu de poches Dans un jeu de poches, il est possible de marquer 10 points, 5 points, 3 points et 2 points lors d’un lancer. Il n’y a qu’un seul trou de 10 points par jeu. Deux jeux différents sont décrits ci-dessous. « Chances pour » et « chances contre » Niveau de difficulté : moyen

Dans le jeu 2 , les « chances contre » qu’on obtienne 3 points lors d’un lancer sont de 4 : 2.

Dans le jeu 1 , les « chances pour » qu’on obtienne 5 points lors d’un lancer sont de 4 : 5. La probabilité d’avoir 3 points lors d’un lancer est de

L’espérance mathématique de ce jeu est de 4,6.

2 . 9

Combien de trous de 2 points chacun de ces jeux a-t-il ? Dans le jeu 1 , la probabilité d’avoir 5 points est de 4 . Il y a donc 4 trous de 5 points. 9

Il y a aussi 2 trous de 3 points et un trou de 10 points. Il y a donc 2 trous de 2 points. Dans le jeu 2 , la probabilité d’avoir 3 points est de 2 . Il y a donc 2 trous de 3 points 6

et un trou de 10 points. Il reste un total de 3 trous de 5 points et de 2 points. Soit x, le nombre de trous de 2 points, et y, le nombre de trous de 5 points. x 1 2 y • 2 + • 10 + •3 + • 5 = 4,6 6 6 6 6 2x + 10 + 6 + 5y = 4,6 6 6 6 6 2x + 5y = 4,6 - 2,6 6 6 2x + 5y = 2 6 6

2x + 5y = 12 Puisque x + y = 3, alors x = 1 et y = 2. Le jeu 1 contient 2 trous de 2 points et le jeu 2 contient 1 trou de 2 points.

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CH-41

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9. Festival rock Une ville accueille chaque année un festival de musique rock. Les organisateurs de cet événement prétendent que 60 % de la population de la ville se rendra au festival pendant la fin de semaine de la prochaine édition. Probabilité subjective Niveau de difficulté : moyen

a) Pourquoi peut-on affirmer que la probabilité donnée par les organisateurs est subjective ? Bien que les organisateurs puissent s’appuyer sur des statistiques des éditions précédentes, leur probabilité fait appel au jugement. Elle correspond à une évaluation personnelle basée à la fois sur des connaissances et sur des opinions.

b) Nomme au moins deux raisons qui pourraient modifier la probabilité émise par les organisateurs. Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : Le mauvais temps, les artistes invités, les autres événements qui auront lieu cette même fin de semaine.

10. Une nouvelle revue Un éditeur veut lancer une nouvelle revue consacrée aux véhicules récréatifs (véhicules tout terrain, motos, motoneiges, motomarines, etc.). Une enquête effectuée par une maison de sondage permet d’évaluer, pour la première année, le nombre d’abonnements selon la distribution suivante. Interprétation de l’espérance mathématique Niveau de difficulté : moyen

Nombre d’abonnements

3 000

6 000

9 000

12 000

15 000

Probabilités de réalisation

20 %

35 %

25 %

15 %

5%

a) Détermine l’espérance mathématique du nombre d’abonnements pour la prochaine année. E = 3 000 • 20 % + 6 000 • 35 % + 9 000 • 25 % + 12 000 • 15 % + 15 000 • 5 % E = 7 500 L’espérance mathématique est de 7 500 abonnements.

b) Calcule le revenu anticipé si les frais d’abonnements annuels sont fixés à 25,20 $. 7 500 • 25,20 = 189 000 $ Le revenu anticipé est de 189 000 $.

CH-42

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11. Les prédictions de sismologues Une étude publiée dans un hebdomadaire scientifique a révélé qu’un séisme risquait de frapper l’île de Sumatra, dans l’océan Indien, deux semaines avant qu’un puissant tremblement de terre ne se produise dans cette région. Ses auteurs estimaient que le risque de séisme avait considérablement augmenté après qu’une forte hausse de la pression sur deux lignes de failles majeures de la région de Sumatra ait été enregistrée. Selon un sismologue ayant participé à l’étude, des tensions semblables à celles qui avaient été enregistrées dans cette région avaient abouti à un séisme dans de nombreux autres cas. Toujours d’après ce scientifique, le fait qu’un séisme avait frappé la région trois mois auparavant n’était pas un argument suffisant pour contredire la thèse du séisme prochain. Les chercheurs avaient pronostiqué un séisme de grande ampleur, d’une magnitude de 8,5 sur l’échelle de Richter, à l’ouest de l’île indonésienne de Sumatra. Ils rappelaient toutefois que, s’il est possible de faire une estimation probabiliste de la survenance d’un séisme, il est toujours impossible d’en prévoir la date. – Adapté du journal Le Monde, édition du 30 mars 2005. Distinction entre certains types de probabilités Niveau de difficulté : moyen

a) D’après le texte ci-dessus, pourquoi peut-on affirmer que la prédiction du prochain séisme était fondée sur une probabilité fréquentielle ? Le passage « des tensions semblables à celles qui avaient été enregistrées dans cette région avaient abouti à un séisme dans de nombreux autres cas » démontre que les chercheurs se sont basés sur des statistiques et des faits pour prévoir le séisme.

b) Explique pourquoi, d’après ce texte, il y a une part de subjectivité dans la prédiction d’un séisme. Il est écrit : « s’il est possible de faire une estimation probabiliste de la survenance d’un séisme, il est toujours impossible d’en prévoir la date ».

12. La direction des véhicules Une analyse de la circulation à une intersection indique que 35 % des véhicules effectuent un virage à gauche, que 25 % des véhicules effectuent un virage à droite et que 40 % des véhicules continuent tout droit. Distinction entre certains types de probabilités Niveau de difficulté : moyen

a) De quel type sont ces probabilités ? Justifie ta réponse. Ce sont des probabilités fréquentielles, car on se base sur une analyse pour donner 1

les probabilités. S’il s’agissait de probabilités théoriques, les probabilités seraient de 3 pour chaque cas.

b) Si, demain, 500 véhicules passent à cette intersection, combien d’entre eux effectueront un virage à gauche ou à droite ? 300 véhicules

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CH-43

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13. Jeu de hasard Un jeu de hasard consiste à lancer un dé régulier à 6 faces numérotées de 1 à 6. Pour participer à ce jeu, on doit faire une mise de 4 $. Voici les résultats possibles de ce jeu. Interprétation de l’espérance mathématique et équité Niveau de difficulté : moyen

• Si la personne qui joue obtient un 6, elle gagne 7 $ et on lui remet sa mise. • Si la personne qui joue obtient un 4 ou un 5, elle gagne une certaine somme d’argent et on lui remet sa mise. • Si la personne qui joue obtient un 1, un 2 ou un 3, elle perd sa mise. Ce jeu est équitable. Louise lance le dé et obtient un 5. En incluant sa mise, détermine quelle somme d’argent Louise recevra. Soit x, la somme gagnée lorsque la personne qui joue obtient un 4 ou un 5. 1 2 3 – • 7 + •x + • 4 =0 6 6 6 7 + 2x - 12 = 0 6 6 6

2x = 5 x = 2,5 La somme gagnée est de 2,50 $ et la mise à recevoir est de 4 $. Louise recevra donc 6,50 $.

14. Hyperactivité La mère de Jeffrey prétend que son fils est hyperactif parce qu’il bouge sans arrêt, change toujours de jeu et n’est pas capable de se concentrer sur une tâche. Probabilité subjective Niveau de difficulté : moyen

a) Pourquoi peut-on dire que la phrase fait appel à une probabilité subjective ? Parce que le mot « prétend » est utilisé. La mère de Jeffrey ne peut pas utiliser une probabilité théorique ou fréquentielle. Elle se fonde donc sur une évaluation personnelle basée sur des connaissances et des opinions.

b) Qu’est-ce qui pourrait rendre cette probabilité plus fiable ? Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : La mère de Jeffrey pourrait observer les comportements et gestes de son enfant pour voir combien de fois ils se répètent.

CH-44

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15. Téléviseur ou écouteurs ? Un magasin d’appareils électroniques annonce des soldes d’une durée d’une semaine. En plus de payer les taxes pour les clients, le magasin accorde une réduction de 15 % à l’achat d’un appareil et une réduction de 25 % à l’achat de deux appareils. Chantal hésite entre acheter un téléviseur dont le prix courant est de 500 $, une paire d’écouteurs dont le prix courant est de 200 $, ou les deux. Il se pourrait aussi qu’elle n’achète rien du tout. 3 Selon une étude, la probabilité qu’une personne achète un téléviseur dans un tel contexte est de 5 tandis que les « chances pour » qu’elle achète une paire d’écouteurs sont de 4 : 3. « Chances pour » et « chances contre », espérance mathématique Niveau de difficulté : moyen

a) À l’aide d’un diagramme en arbre, évalue la probabilité de chaque possibilité. La probabilité que Chantal achète les deux appareils est de 12 . 35

La probabilité que Chantal achète le téléviseur seulement est de 9 . 35

La probabilité que Chantal achète seulement la paire d’écouteurs est de 8 . 35

La probabilité que Chantal n’achète rien est de 6 . 35

b) Calcule le prix que Chantal devra payer pour chacune des possibilités. Si Chantal achète les deux appareils, elle payera 525 $. Si Chantal achète le téléviseur seulement, elle payera 425 $. Si Chantal achète la paire d’écouteurs seulement, elle payera 170 $.

c) Calcule l’espérance mathématique de cet événement. 6 8 9 12 •0 + • 170 + • 425 + • 525 = 0 35 35 35 35 1 360 3 825 6 300 11 485 + + = 35 35 35 35

≈ 328,14 Le magasin peut espérer une dépense d’environ 328,14 $ par client.

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16. Recommandation demandée Le directeur d’une entreprise te demande de l’aider à choisir entre deux projets de renouvellement d’équipement. Les gains pour chacun de ces projets sont présentés dans le tableau ci-dessous. Interprétation de l’espérance mathématique Niveau de difficulté : faible

Projet A

Projet B

Gains ($)

25 000

30 000

35 000

40 000

45 000

Probabilité

0,25

0,30

0,20

0,15

0,10

Gains ($)

20 000

25 000

30 000

35 000

40 000

Probabilité

0,15

0,35

0,25

0,15

0,10

Quel projet recommanderais-tu au directeur de l’entreprise afin qu’il maximise les gains ? E (Projet A) = 25 000 • 0,25 + 30 000 • 0,30 + 35 000 • 0,20 + 40 000 • 0,15 + 45 000 • 0,10 E (Projet A) = 32 750 $ E (Projet B) = 20 000 • 0,15 + 25 000 • 0,35 + 30 000 • 0,25 + 35 000 • 0,15 + 40 000 • 0,10 E (Projet B) = 28 500 $ Je recommanderais donc le projet A au directeur de l’entreprise parce que c’est le plus économique.

17. Loterie instantanée Une loterie propose des billets qui présentent 8 cases à gratter. Les « chances pour » le choix d’une case qui rapporte 3 $ sont de 1 : 3. Une seule case donne droit à un lot de 10 $. Les autres cases portent l’inscription : « Meilleure chance la prochaine fois ! » Sur chaque billet, la position des inscriptions est distribuée au hasard. On doit débourser une certaine somme d’argent pour acheter un de ces billets de loterie. Ensuite, on doit gratter une seule case. Si le billet est gagnant, la caissière ou le caissier remet la somme d’argent inscrite dans la case découverte. Ce jeu de loterie est équitable. Jean-François achète un de ces billets de loterie et gagne 10 $. En considérant le prix du billet, détermine le montant que Jean-François a réellement gagné. « Chances pour », espérance mathématique et équité Niveau de difficulté : moyen

Le prix du billet est de 2 $. Jean-François a donc gagné 8 $.

Soit x, le prix du billet. (3 - x) • 2 + (10 - x) • 1 + –x • 5 = 0 8 8 8 6 – 2x 10 – x + - 5x = 0 8 8 8

6 - 2x + 10 - x - 5x = 0 16 = 8x 2=x

CH-46

CHAPITRE B

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Corrigé du complément au manuel SOMMAIRE CHAPITRE 1 • L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire

Page

Section A – Les inéquations du premier degré à deux variables                                  CM-1 Consolidation – ajout                                                                     CM-7

CHAPITRE 2 • La géométrie des figures planes Section A – La loi des cosinus                                                              CM-9 Consolidation – ajout                                                                     CM-12

CHAPITRE A • Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières Entrée en matière                                                                        CM-13 Section 1 – Les logarithmes et la résolution d’équations                                        CM-14 Section 2 – Les mathématiques financières                                                   CM-17 Consolidation                                                                            CM-30

CHAPITRE B • La probabilité subjective et l’espérance mathématique Entrée en matière                                                                        CM-40 Section 1 – La probabilité subjective                                                        CM-41 Section 2 – L’espérance mathématique                                                      CM-45 Consolidation                                                                            CM-49

Le guide se poursuit à la page suivante.

L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire Les inéquations du premier

E

Section A degré à deux variables

Chapitre

1

1)

Bien traiter l’information Complément au manuel • p. 1

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Non, Yoan ne devrait pas suivre la recommandation de son assistant. En effet, ce dernier propose de réaliser 120 plats au total (40 + 80), ce qui est moins que le maximum de 125 personnes prévues. Yoan veut bien répondre à ses clients.

Représentation obtenue : une droite verticale.

Traduction des données en inéquations :

2)

Soit x, le nombre de plats de poulet, et y, le nombre de plats de bœuf. x ≥ 65

y ≥ 18

x + y ≥100

x + y ≤ 125

x ≥ 2y

y ≥ 40

Une meilleure proposition serait de préparer 84 plats de poulet et 41 plats de bœuf.

ACTIVITÉ d’exploration

1

Toujours plus haut !

Complément au manuel • p. 2 A

Oui. Par exemple, 29,5 heures est sous la limite donnée de 30 heures.

B

1) Plusieurs réponses sont possibles.

Représentation obtenue : une droite horizontale. F

x ≥ 100

Exemples : 100 ; 101 ; 110 ; 120 ; 130 2) Plusieurs réponses sont possibles.

Exemples : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 20 ; 25 ; 29,5 C

3) x ≥ 100

D

y < 30

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Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-1

y < 30

b) Soit x, le nombre d’inscriptions à l’activité cinéma, et y, le nombre d’inscriptions à l’activité quilles. x ≥ y + 15

ACTIVITÉ d’exploration

2

C’est payant de récupérer

Complément au manuel • p. 4 A

3x + 2y = 36

B

La région hachurée se trouve à droite de la première droite et sous la deuxième. G

1) Oui.

2) Non.

Complément au manuel • p. 3 H

Oui, c’est possible, puisqu’on dit qu’elle a accumulé « au moins » 100 heures aux commandes d’un avion monomoteur.

I

x + y > 150

J

y ≥ 2x

K

m ≤ d + 50 C

Ai-je bien compris ? 1. a)

1) Oui, la droite passe par le point (8, 6). 2) Non, le montant du chèque aurait alors été de 35 $.

D

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Le couple (6, 8)

E

3x + 2y < 36

F

b)

G

2. a) Soit x, le nombre d’équipes cadettes, et y, le nombre d’équipes juvéniles. x ≤ 2y

CM-2

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Non, les points situés sur la droite tracée en B ne font pas partie de l’ensemble-solution de l’inéquation 3x + 2y < 36. Afin que la représentation graphique soit celle de l’ensemble-solution de cette inéquation, il faut que la droite soit tracée en tirets.

Guide

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Mise en pratique

Complément au manuel • p. 5

Complément au manuel • p. 7

H

3x + 2y > 54

I

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Le couple (12, 10)

J

Le graphique 1

K

On choisit un point-test et on remplace ses coordonnées dans l’inéquation. Si l’inéquation obtenue est vraie, le demi-plan contenant ce point est l’ensemble-solution. Si l’équation obtenue est fausse, le demi-plan ne contenant pas ce point est l’ensemble-solution.

L

1. Niveau de difficulté : faible

Le graphique 3 : 3x + 2y ≥ 54

1. a) x: le résultat de Vincent b) x: l’âge de Martine y: le résultat de Bruno y: l’âge de Marianne x≥y x ≤ 3y -

x + 4 3 3

y : la note de Daniel x≤y+8 3 x : le nombre de paragraphes écrits par Lynn

4 x : le nombre d’heures consacrées aux devoirs

Ai-je bien compris ?

b) 1 y >

2 x : la note de Claude

y : le nombre de paragraphes écrits par Frank x ≥ y + 20

Le graphique 2 : 3x + 2y < 54

2. a) L’inéquation 3

a) 1 x : le prix d’une chemise y : le prix d’un pantalon 2x + 3y ≥ 200

de français y : le nombre d’heures consacrées aux devoirs de mathématique x + y ≤ 10 b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : 1 Prix d’une chemise = 25 $ et prix d’un

pantalon = 50 $, ou prix d’une chemise = 70 $ et prix d’un pantalon = 30 $ 2 Note de Claude = 68 et note de Daniel = 60,

ou note de Claude = 75 et note de Daniel = 70 3 Nombre de paragraphes écrits par Frank = 10

et nombre de paragraphes écrits par Lynn = 30, ou nombre de paragraphes écrits par Frank = 5 et nombre de paragraphes écrits par Lynn = 25 2 y< x +4 3

4 Nombre d’heures consacrées aux devoirs

de mathématique = 5 et nombre d’heures consacrées aux devoirs de français = 5, ou nombre d’heures consacrées aux devoirs de mathématique = 6 et nombre d’heures consacrées aux devoirs de français = 3 2. Niveau de difficulté : faible

2 x ≥ 2y

4 y > x + 20 3 5 x>y

3 x - y > 200

6 y + 250 > x

a) 1 x + y ≤ 500

4 y ≥ -3x + 4

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Mélissa peut avoir 350 points et Mathieu, 140 points. 3. Niveau de difficulté : faible

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a) x ≤ -4

d) x ≤ 3

b) x < 4

e) x ≤ -6

c) x < 7

f) x < -57

Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-3

c) y ≤ -4x - 5

Complément au manuel • p. 8

4. Niveau de difficulté : faible a) y ≤ 26

d) y ≥ 2 x - 3

b) y ≥ -4x + 8

e) y > 24x - 28

c) y < - 3 x - 9

f) y ≥ x - 3

2

5

2

2

5. Niveau de difficulté : faible a) y ≤ 1 x + 3

c) y > -0,5x - 1

b) y ≥ 0

d) y < 4

3

6. Niveau de difficulté : faible a) B , C

d) A , C , E

b) A , E

e) C , E

c) A , C , E

f)

B, C, D

d) y > 0,2x + 1,2

Complément au manuel • p. 9

7. Niveau de difficulté : moyen a) x < 10

e) x > y

b) y ≥ 7

CM-4

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

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f) 2x + 5y + 20 ≥ 0

b) x ≥ 400

8. Niveau de difficulté : faible a) 3

y ≥ 350 b) 1

9. Niveau de difficulté : moyen y > - 4 x + 12 5

10. Niveau de difficulté : faible a) m : le nombre de motocyclettes fabriquées s : le nombre de scooters fabriqués m + s ≤ 400 b)

x + y ≥ 800

c) Non. Puisqu’il est impossible de construire un nombre négatif de véhicules, seuls les points situés dans le premier quadrant sont des solutions. Ainsi, le point (-100, 500), par exemple, n’est pas une solution. Complément au manuel • p. 10

11. Niveau de difficulté : moyen a) Soit x, le nombre de romans en format standard, et y, le nombre de romans en format de poche : x ≥ 400

y ≥ 350

x + y ≥ 800

x + y ≤ 1 000

y - x ≤ 250

y≥ x+y

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3

Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-5

x + y ≤ 1 000

12. Niveau de difficulté : moyen a) Soit x, le nombre de savons vendus, et y, le nombre de boîtes de chocolats vendues : 2x + 1,50y > 130 b)

y - x ≤ 250

c) Yannick a vendu au minimum 29 boîtes de chocolats. 13. Niveau de difficulté : moyen a) Soit x, l’âge de Naomi, et y, l’âge de sa mère. x≥

y + 12 4

b)

y≥

x+y 3

c) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Les coordonnées (14, 8) ne peuvent pas être une solution, car la mère serait plus jeune que la fille !

CM-6

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

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16. Niveau de difficulté : élevé

Complément au manuel • p. 11

Pente de la route principale : 2

14. Niveau de difficulté : moyen

3

La limite de la zone vaporisée est perpendiculaire à

a) Soit x, le nombre de jours en milieu urbain, et y, le nombre de jours à la plage : y ≥ 2x

la route. Sa pente est donc de - 3 . Elle passe par le 2

point (-150, 150), ce qui donne l’équation

b)

y = - 3 x - 75. Comme la zone vaporisée se trouve 2

sous la limite du champ, l’inéquation qui la décrit est donc y < - 3 x - 75. 2

Consolidation — ajout Complément au manuel • p. 12

1.

Inéquations du premier degré à deux variables Niveau de difficulté : faible

y> 2.

-

x -2 2

Inéquations du premier degré à deux variables Niveau de difficulté : faible

c) Oui. Félix planifie un voyage de trois semaines, ce qui veut dire que x + y = 21. S’il passe 14 jours à la plage, il passera 7 jours en milieu urbain. Le point (7, 14) appartient à l’ensemble-solution de l’inéquation, tout comme le point (6, 15). Le point (8, 13), par contre, n’en fait pas partie. Il est donc vrai que Félix passera au moins 14 jours à la plage.

Jade a raison. Plusieurs justifications sont possibles. Exemple : Loïc a oublié d’inverser le symbole d’inégalité lorsqu’il a divisé chaque membre par un nombre négatif (-6). 3.

Inéquations du premier degré à deux variables Niveau de difficulté : moyen

a)

15. Niveau de difficulté : moyen

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Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-7

b)

e)

c)

f)

d)

4.

Inéquations du premier degré à deux variables Niveau de difficulté : moyen

CM-8

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

a) Faux.

c) Vrai.

b) Faux.

d) Vrai.

Guide

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La géométrie des figures planes Section A La loi des cosinus

Chapitre

2 On détermine la mesure du côté DC: m DC ≈ 130 - 32,73 ≈ 97,27 cm

C’est clair et net !

On détermine la mesure du côté BC: c2 = a2 + b2

Complément au manuel • p. 13

Le schéma suivant représente les données du problème.

(m BC)2 ≈ 31,612 + 97,272 (m BC)2 ≈ 10 640,645 m BC ≈ 102,28 cm L’image a une hauteur d’un peu plus de 102 cm ; elle dépasse le mètre requis. L’ajustement est donc approprié.

ACTIVITÉ

Triangulation planétaire

d’exploration

Complément au manuel • p. 14 A

Non, c’est impossible. La loi des sinus permet de résoudre un triangle seulement si l’on connaît la mesure d’un angle et celle du côté qui lui est opposé, ainsi qu’une autre mesure d’angle ou de côté. Ici, pour le seul angle dont on connaît la mesure, la mesure du côté qui lui est opposé n’est pas connue.

B

Si le triangle était rectangle en T, la mesure de t serait égale à 752 + 1052. Puisque l’angle T mesure moins de 90°, la mesure du côté opposé à cet angle doit mesurer moins de 752 + 1052. La distance qui sépare Vénus de Mars sera plus petite que 752 + 1052.

On détermine la mesure de l’angle DAB : m ∠ DAB : 72 - 28 = 44° On détermine la mesure de la hauteur de BD : sin 44° = m BD m AB m BD sin 44° = 45,5

m BD ≈ 31,61 cm On détermine la mesure du côté AD: cos 44° = m AD m AB m AD cos 44° = 45,5

C

Il s’agit de la hauteur h qui intercepte le segment MT au point W. sin 70° =

h 75

m h = 75 • sin 70° m h ≈ 70,48 La hauteur issue de V mesure environ 70,48 Gm.

m AD ≈ 32,73 cm

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Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-9

D

En appliquant la relation de Pythagore dans le triangle rectangle VTW, on trouve que le segment TW mesure environ 25,65 m.

Mise en pratique

On calcule la mesure du segment MW :

1. Niveau de difficulté : faible

Complément au manuel • p. 17

105 – 25,65 ≈ 79,35

a) m AC ≈ 38,61 cm

d) m ∠ M ≈ 22,6°

Le segment MW mesure environ 79,35 m.

b) m FG ≈ 16,53 m

e) m ∠ Q ≈ 40,2°

En appliquant la relation de Pythagore dans le triangle rectangle VMW, on trouve que le segment MV mesure environ 106,13 m.

c) m ∠ H ≈ 110,2°

f) m RS ≈ 32,65 cm

La distance qui sépare Mars de Vénus est d’environ 106,13 Gm. Complément au manuel • p. 15 2

2

2. Niveau de difficulté : faible La distance qui séparait la balle de la coupe avant le premier coup roulé de Bernard est d’environ 11,54 m. 3. Niveau de difficulté : élevé On détermine la mesure des angles B et E à l’aide de la loi des cosinus :

2

E

a = b + c – 2bc • cos A

F

hc2 = b2 – x2 et hc2 = a2 – (c – x)2

b2 = a2 + c2 - 2ac • cos B

2

2

2

2

2

b – x = a – (c – 2cx + x )

m ∠ B = cos 1 -

b2 – x2 = a2 – c2 + 2cx – x2

2



2



m ∠ EAB ≈ 180 - 2 • 51,3 ≈ 77,4°

b2 + c2 – 2cx = a2 x . b

Dans le triangle rectangle ACH, on a cos A = On a donc b • cos A = x. En substituant la valeur de x dans l’équation b2 + c2 – 2cx = a2, on arrive à b2 + c2 – 2cx = a2 b2 + c2 – 2cb • cos A = a2

I

2

-

m ∠ B ≈ m ∠ E ≈ 51,3°

b2 + c2 – x2 + x2 – 2cx = a2

H

( 2ac ) ( 10 2- 1212 -44 )

2 2 2 m ∠ B = cos 1 b -- a - c

b2 – x2 = a2 – (c – x)2

G

m DE = 4 cm puisque ∆ADE ≅ ∆ABC (condition minimale d’isométrie CAC). On trouve ensuite la mesure du segment BE en utilisant la loi des cosinus dans le triangle ABE. a2 = b2 + e2 - 2be • cos A a2 ≈ 122 + 122 - 2 • 12 • 12 • cos 77,4° a ≈ 15 cm

1) b2 = a2 + c2 – 2ac • cos B 2) c2 = a2 + b2 – 2ab • cos C

m CD = m BE - m DE - m BC ≈ 15 - 4 - 4 ≈ 7

a2 = b2 + c2 – 2bc • cos A

La mesure de CD est d’environ 7 cm.

75,142 = 752 + 0,3842 – 2 • 75 • 0,384 • cos A 75,142 – 752 – 0,3842 = -2 • 75 • 0,384 • cos A 75,142 - 752 - 0,3842 = cos A -2 • 75 • 0,384 -0,362

≈ cos A

111,2° ≈ m ∠ A L’angle formé par les lignes de visée de la Lune et de Vénus à partir de la Terre est d’environ 111,2°.

Ai-je bien compris ? a) m RS ≈ 13,91 m

c) m ∠ C ≈ 50,1°

b) m KH ≈ 9,34 cm

d) m ∠ E ≈ 61,3°

4. Niveau de difficulté : faible Oui, car pour un triangle donné ABC, rectangle en C, et en utilisant la loi des cosinus, on obtient c2 = a2 + b2 - 2ab • cos 90°. Mais, comme le cosinus d’un angle droit vaut 0, on obtient donc l’égalité suivante : c2 = a2 + b2. Complément au manuel • p. 18

5. Niveau de difficulté : moyen Dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques et le côté le plus long est opposé à l’angle le plus grand. On trouve la mesure du troisième côté à l’aide de la loi des cosinus : x2 = 112 + 112 - 2 • 11 • 11 • cos 116° x ≈ 18,66 cm

CM-10

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

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On calcule le périmètre du triangle : P ≈ 18,66 + 11 + 11 ≈ 40,66 Le périmètre de ce triangle est d’environ 40,66 cm. 6. Niveau de difficulté : moyen a) m ∠ C = 180° - (57° + 48°) = 75° On trouve la mesure du segment DE en utilisant la loi des cosinus dans le triangle DEF.

On détermine la distance qui sépare les deux bateaux à l’aide de la loi des cosinus : x2 = 7,52 + 62 - 2 • 7,5 • 6 • cos 38° x ≈ 4,62 La distance qui sépare les deux bateaux après 45 minutes est d’environ 4,62 km. 9. Niveau de difficulté : moyen

(m DE)2 = 2,52 + 3,92 - 2 • 2,5 • 3,9 • cos 97° m DE ≈ 4,88 m À l’aide de la loi des sinus, on trouve la mesure du segment CD. sin 75° sin 57° ≈ 4,88 m CD

Selon la loi des cosinus, a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A .

(

2 2 2 m ∠ O = cos 1 152- - 96 - 96

m CD ≈ 4,24 m b) On trouve la mesure du segment BD en utilisant la loi des cosinus dans le triangle ABD.

2 • 96 • 96

)

m ∠ O ≈ 104,7 Å L’angle de liaison d’une molécule d’eau est d’environ 104,7 Å.

(m BD)2 = 212 + 252 - 2 • 21 • 25 • cos 70° m BD ≈ 26,59 mm

10. Niveau de difficulté : moyen

Avec la relation de Pythagore, on obtient

On peut représenter cette situation à l’aide de deux triangles isocèles.

(m CD)2 ≈ 162 + 26,592 m CD ≈ 31,03 mm 7. Niveau de difficulté : moyen a) On trouve la distance entre le point de départ et l’arrivée en utilisant la loi des cosinus. b2 = 2002 + 2502 - 2 • 200 • 250 • cos 140° b ≈ 423,21

On détermine la mesure du troisième côté du petit triangle isocèle, sachant que les deux angles isométriques mesurent 71° chacun. 65 x = sin 71° sin 38°

Sean doit marcher environ 423,21 m. b) On trouve le temps total qu’il faut à Sean pour revenir au point de départ. Temps total ≈ 0,75 + 423,21 6 000 60

x ≈ 42,32 Le troisième côté du triangle formé par les jambes du skieur mesure environ 42,32 cm. On détermine la mesure de l’angle formé par les jambes du skieur à l’aide de la loi des cosinus.

≈ 0,75 + 4,2321

( m ∠ A ≈ cos (

2 2 2 m ∠ A = cos 1 a -- b - c

≈ 4,9821 ≈ 5 min Si l’entraînement dure une heure, Sean pourra faire le parcours 12 fois. Complément au manuel • p. 19

1

-

2bc

)

42,322 - 1202 - 1202 -2 • 120 • 120

)

m ∠ A ≈ 20,3° L’angle formé par les jambes du skieur est d’environ 20,3°.

8. Niveau de difficulté : moyen Après 45 minutes, l’un des bateaux se situe à 7,5 km du port d’Amsterdam et l’autre, à 6 km.

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Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-11

Il s’agit donc bien d’un pentagone.

Complément au manuel • p. 20

11. Niveau de difficulté : moyen

Consolidation — ajout Complément au manuel • p. 21

1. Niveau de difficulté : faible a) x ≈ 23°

b) x ≈ 13,4 cm

2. Niveau de difficulté : moyen Distance entre la chute et le rocher : c2 = a2 + b2 Soit A, l’angle obtus formé par la route principale et la rue sur laquelle se trouve le magasin. 2

2

2

c2 = 3002 + 4002 c = 500 m

a = b + c - 2bc • cos A

Distance entre l’entrée du sentier et la chute :

a2 = 9,82 + 5,32 - 2 • 9,8 • 5,3 • cos 127°

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

a ≈ 13,7

c2 = 5002 + 7502 - 2 • 500 • 750 • cos 120°

À vol d’oiseau, le magasin est à une distance d’environ 13,7 km de l’entrepôt. 12. Niveau de difficulté : faible a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A

( m ∠ A = cos (

2

2

2

m ∠ A = cos 1 a -- b - c

1

-

2bc

2

)

2

c ≈ 1 089,72 m Maxime a parcouru environ 2,5 km (1 089,72 + 400 + 300 + 750). 3. Niveau de difficulté : élevé a) Mesure manquante du triangle :

2

4,5 - 5 - 1,8 -2 • 5 • 1,8

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

)

c2 = 92 + 92 - 2 • 9 • 9 • cos 115° c ≈ 15,18 cm

m ∠ A ≈ 63,6°

Périmètre du triangle :

L’échelle a un angle d’inclinaison de 63,6° environ, ce qui n’est pas suffisant.

P ≈ 9 + 9 + 15,18 ≈ 33,18 cm

13. Niveau de difficulté : élevé

Rayon du cercle : C = 2pr 33,18 ≈ 2pr 5,28 ≈ r

La somme des angles au centre d’un polygone régulier est de 360°. Il faut donc démontrer que l’angle formé par les deux côtés isométriques d’un triangle est de 360° = 72°.

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Comme le cercle a le plus petit périmètre de toutes les figures qui lui sont équivalentes, si deux figures ont le même périmètre, on est assuré que le cercle aura la plus grande aire.

5

Soit A, l’angle formé par les côtés isométriques. a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A

( m ∠ A = cos (

2 2 2 m ∠ A = cos 1 a -- b - c

1

-

2bc

)

5,882 - 52 - 52 -2 • 5 • 5

)

m ∠ A ≈ 72°

CM-12

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

Chapitre

Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières Note : Certaines réponses peuvent varier selon le nom donné aux variables.

Entrée en matière

A

En bref Complément au manuel • p. 25

1. a) f(x) = 4(3)x

En contexte

c) f(x) = 3(2)x

b) f(x) = 1 200(0,8)x

Complément au manuel • p. 24

2. a) 1,025 (100 % + 2,5 % = 102,5 % = 102,5 = 100 1,025)

1. a) 100 % - 25 % = 75 % = 75 = 0,75 100

b) 52 725 ; ce nombre correspond à la population de la ville lors du recensement.

f(x) = 32 000(0,75)x f(2) = 32 000(0,75)2

c) f(x) = 52 725(1,025)x, où x est le nombre d’années après le recensement et f(x), la population de cette ville.

f(2) = 18 000 $ Dans 2 ans, la valeur de la voiture sera de 18 000 $.

d) f(75) = 52 725(1,025)75

b) f(x) = 32 000(0,75)10

f(75) = 335 974,63… ≈ 335 975 habitants

f(x) ≈ 1 802,03 Elle peut espérer obtenir environ 1 800 $ dans 10 ans. c) Non, car c’est dans les trois à quatre premières années que la voiture perd le plus de valeur. 2. a) 1,038 = 103,8 %, donc une augmentation moyenne de 3,8 % par année b) f(80) = 0,076(1,038)80

3. a) 3 (On dit dans l’énoncé que le nombre de têtards triple toutes les semaines.) b) 200 ; c’est le nombre de têtards dans le lac au début du printemps. c) g(x) = 200(3)x, où x est le nombre de semaines depuis le 1er jour du printemps et g(x), le nombre de têtards présents dans le lac. d) g(5) = 200(3)5 g(5) = 48 600 têtards

f(80) ≈ 1,50 Le prix d’une brique de beurre en 1980 était de 1,50 $. c) f(100) = 0,076(1,038)

d) f(x) = 16(0,25)x

100

f(100) ≈ 3,17 Le prix d’une brique de beurre en 2000 était de 3,17 $. d) f(150) = 0,076(1,038)150 f(150) ≈ 20,44 Le prix d’une brique de beurre en 2050 sera de 20,44 $.

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Complément au manuel • p. 26

4. a) f(x) = 125(0,88)x, où x est le nombre de mois depuis septembre et f(x), le nombre de membres du club des cinéphiles. b) f(3) = 125(0,88)3 = 85,184 ≈ 85 Trois mois après septembre, le club comptera 85 membres. c) De septembre à avril, il s’écoulera 7 mois. f(7) = 125(0,88)7 = 51,084 ≈ 51 En avril, il restera 51 membres.

Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-13

d) À l’aide de la règle f(x) = 125(0,88)x, on construit une table de valeurs afin de trouver la solution. 10

x

15

18

19

f(x) ≈ 34,8 ≈ 18,4 ≈ 12,5 ≈ 11,0

20

21

≈ 9,7

≈ 8,5

Les augmentations salariales étant annuelles, x est une variable discrète et ne peut représenter que des valeurs entières. À l’aide de l’équation, 35 000(1,03)x = 45 500, on procède par essai et erreur pour trouver la réponse à la question.

Puisque le nombre de membres est une variable discrète et qu’il est à la baisse, le club comptera 10 membres dans 20 mois et 9 dans 21 mois. C’est donc dans 21 mois qu’il restera moins de 10 membres.

Nombre d’années

Salaire ($)

10

47 037,07

9

45 667,06

8

44 336,95

x

5. a) f(x) = 2(0,8) , où x est le nombre de rebonds et f(x), la hauteur atteinte par le ballon, en mètres, à son dernier rebond. b) f(4) = 2(0,8)4 = 0,819 2 Le ballon atteint une hauteur de 0,819 2 m à son quatrième rebond. c) f(7) = 2(0,8)7 ≈ 0,419 430 Le ballon atteint une hauteur d’environ 0,419 m à son septième rebond. 6. a) f(x) = 75(1,3)x, où x est le nombre d’années depuis la fondation de l’entreprise et f(x), le nombre de colonies d’abeilles. b) f(3) = 75(1,3)3 = 164,775 Sandrine a 164 colonies d’abeilles. c) f(8) = 75(1,3)8 ≈ 611,798 Dans cinq ans, Sandrine aura 611 colonies d’abeilles.

Section

logarithmes et la résolution 1 Les d’équations

Une question de salaire Complément au manuel • p. 27

Salaire du graphiste majoré de 30 % : 1,3 × 35 000 = 45 500 $

C’est donc dans 9 ans que le salaire des trois personnes aura augmenté d’au moins 30 %.

ACTIVITÉ d’exploration

En isolant la base affectée de l’exposant, on obtient l’équation suivante : 35 000(1,03)x = 45 500 35 000

(1,03)x = 1,3

A

f(x) = 100(0,65)x, où x est la profondeur en mètres et f(x), l’intensité de la lumière du Soleil

B

0,25 = 0,65x

C

Base = 0,65 ; exposant = x ; puissance = 0,25

Complément au manuel • p. 29 D

0,65x = 0,25 ⇔ log0,65 0,25 = x

E

log0,65 0,25 =

F

À une profondeur d’environ 3,22 m, l’intensité lumineuse correspond à 25 % de sa valeur à la surface.

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

log10 0,25 log10 0,65

≈ 3,218

Ai-je bien compris ? 1. a) log3 9 = 2 2. a) 216 = 6 3. a)

log10 8 log10 2

3

=3

b) log4 16 = 2

c) log2 128 = 7 8

b) 65 536 = 4 c) 1 728 = 123 b)

log10 125 log10 5

=3

4. a) 2x = 32 ⇔ x = log2 32 x=

log10 32 log10 2

=5

b) 3x = 19 683 ⇔ x = log3 19 683 x=

log10 19 683 log10 3

=9

c) 0,75x = 0,5625 ⇔ x = log0,75 0,562 5 x=

Ce sera la même équation pour les trois fonctions : (1,03)x = 1,3. Donc, pour obtenir la réponse, on peut simplement trouver dans combien d’années le salaire du graphiste aura augmenté d’au moins 30 %.

CM-14

L’intensité de la lumière du Soleil sous la surface de l’eau

Complément au manuel • p. 28

Temps nécessaire pour atteindre ce salaire : 35 000(1,03)x = 45 500

1

Guide

log10 0,562 5 log10 0,75

=2

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(4) = 641 ⇔ x = log

d) 1

x

1 64

1 4

1 64 1 log10 4

log10

x=

e) 0,6x = 0,216 ⇔ x = log0,6 0,216 x=

=3

x=

Complément au manuel • p. 32

d) log5 625 = 4

b) 2 log2 32 = 5

e) log1 1 = 3

8 f) log2 16 = 4 5 625 2

2. Niveau de difficulté : faible

(4)

d) 1

3

b) c)

log10 81 log10 9 log10 2 log10 12 log10 4

d)

5 log2 x

= 20 5

5

2

=9 3

3

(2)

3

log1 x = 3 ⇔ x = 1

f) 5 = 125

2

=1 8

f) 2 • 1 log4 x = 2 • 2 2

log4 x = 4 ⇔ x = 44 = 256

6. Niveau de difficulté : faible =7

v(x) = 24 500(0,75)x, où x est le nombre d’années depuis l’achat de la motocyclette et v(x), sa valeur en dollars.

= 1,792 481… ≈ 1,79

d) log 0,001 = e) log3 15 =

c) log0,1 x = 3 ⇔ x = 0,13 = 0,001

e)

=2

log10 128

b) log5 x = 3 ⇔ x = 53 = 125

3 log1 x

64

3. Niveau de difficulté : faible a)

a) log3 x = 8 ⇔ x = 38 = 6 561

= 1

3

c) 9 = 729

log10 1,15

log2 x = 4 ⇔ x = 24 = 16

e) 28 = 256

3

log10 4

5. Niveau de difficulté : faible

a) log7 2 401 = 4

b) 45 = 1 024

=3

x = 9,918 968… ≈ 9,92

1. Niveau de difficulté : faible

a) 36 = 729

log10 0,6

f) 1,15x = 4 ⇔ x = log1,15 4

Mise en pratique

c) log4 8 = 3 2

log10 0,216

log10 0,001 log10 10

log10 10

f) log6 216 =

log10 3

=

13 781,25 = 24 500(0,75)x

-3

= 2,464 973… ≈ 2,46

log10 216 log10 6

x=

a) 3 = 243 ⇔ x = log3 243

log10 243 log10 3 log10 512 log10 2

5 000 000 000 = 509 394 212(1,138)x 509 394 212 509 394 212

=9

log10 27,984 1 log10 2,3

9,815 581 = (1,138)x ⇔ x = log1,138 9,815 581 x=

=4

d) 5x = 2,236 1 ⇔ x = log5 2,236 1 x=

=2

5 000 000 000 = 509 394 212(1,138)x

c) 2,3x = 27,984 1 ⇔ x = log2,3 27,984 1 x=

log10 0,75

7. Niveau de difficulté : moyen

=5

b) 2 = 512 ⇔ x = log2 512 x=

log10 0,562 5

La motocyclette vaudra 13 781,25 $ au bout de 2 ans.

x

x

0,562 5 = (0,75)x ⇔ x = log0,75 0,562 5

=3

4. Niveau de difficulté : faible

x=

13 781,25 = 24 500(0,75)x 24 500 24 500

log10 2,236 1

log10 9,815 581 log10 1,138

x ≈ 17,667 9 Il y aura 5 000 000 000 d’utilisateurs d’Internet environ 17,7 ans après l’an 2000.

log10 5

x = 0,500 008… ≈ 0,5

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Guide Corrigé du manuel

CM-15

Complément au manuel • p. 33

Complément au manuel • p. 34

8. Niveau de difficulté : moyen

11. Niveau de difficulté : élevé x

a) p(x) = 7 430 000 000(1,012) , où x est le nombre d’années depuis 2016 et p(x), la population de la Terre. p(19) = 7 430 000 000(1,012)19

a) On peut représenter la situation par f(x) = 200(0,95)x, où x est le nombre d’années depuis l’achat de la terre à bois et f(x), la superficie qu’il reste à déboiser, en hectares. f(2) = 200(0,95)2 = 180,5

p(19) ≈ 9 320 056 633 personnes

Deux ans après avoir acheté sa terre, Daniel avait encore 180,5 hectares à déboiser.

x b) 14 860 000 000 = 7 430 000 000(1,012)

7 430 000 000

7 430 000 000

2 = (1,012)x ⇔ x = log1,012 2 x=

log10 2

log10 1,012

b) De 2009 à 2016, il s’est écoulé 7 ans. f(7) = 200(0,95)7 = 139,667 459 ≈ 139,7

≈ 58,108

En 2016, il lui restait environ 139,7 hectares à déboiser.

2016 + 58,108 = 2074,108 En 2075, la population mondiale aura doublé par rapport à 2016.

c) f(x) = 200(0,95)x 126 = 200(0,95)x

9. Niveau de difficulté : moyen

126 = 200(0,95)x 200 200

x

a) f(x) = 112,20(0,975) , où x est le nombre d’années après l’an 2005 et f(x), la valeur de cette action en dollars

0,63 = (0,95)x ⇔ x = log0,95 0,63 x=

25

b) f(25) = 112,20(0,975)

log10 0,95

≈9

Il lui restera 126 hectares à déboiser dans environ 9 ans.

f(25) ≈ 59,58 $ c) 112,20 = 37,40 $

d) f(x) = 200(0,95)x

3 37,40 = 112,20(0,975)x 112,20 112,20 1 = (0,975)x ⇔ x = log 1 0,975 3 3

x=

1 log10 3

log10 0,975

100 = 200(0,95)x 100 = 200(0,95)x 200 200

0,5 = (0,95)x ⇔ x = log0,95 0,5

≈ 43,39

x=

L’action n’aura plus que le tiers de sa valeur initiale environ 43 ans et 5 mois après 2005. a) v(x) = 250(4)x, où x est le temps écoulé, en heures, depuis midi et v(x), le nombre d’ordinateurs infectés

e)

f(x) = 200(0,95)x 50 = 200(0,95)x 200 200

0,25 = (0,95)x ⇔ x = log0,95 0,25

v(4) = 64 000 ordinateurs

x=

x c) 20 000 000 = 250(4) 250 250

log10 4

log10 0,25 log10 0,95

≈ 27,03

Daniel aura déboisé les trois quarts de sa terre 27 ans environ après l’avoir achetée, soit en 2036.

80 000 = (4)x ⇔ x = log4 80 000

log10 80 000

≈ 13,5

50 = 200(0,95)x

4

x=

log10 0,5

log10 0,95

Daniel aura déboisé la moitié de sa terre environ 13,5 ans après l’avoir achetée, soit en 2022 ou en 2023.

10. Niveau de difficulté : moyen

b) v(4) = 250(4)

log10 0,63

≈ 8,143 9

Il y aura 20 000 000 d’ordinateurs infectés dans un peu plus de 8 heures.

CM-16

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f) Culture 1 : 3 h = 18 périodes de 10 min

12. Niveau de difficulté : élevé a) On peut représenter la situation par f(x) = 42 500(1,02)x, où x est le nombre d’années depuis 2016 et f(x), le salaire annuel de Gabrielle, en dollars. f(4) = 42 500(1,02)4 ≈ 46 003,37

b(18) = 250 • 218 = 65 536 000 bactéries Culture 2 : n(3) = 300 • 2,53 = 4 687,5 bactéries Toutefois, comme on ne peut pas avoir une demibactérie, on arrondit à l’unité inférieure, soit 4 687. 65 536 000 - 4 687 = 65 531 313

En 2020, le salaire de Gabrielle sera de 46 003,37 $.

Il y aura une différence de 65 531 313 bactéries.

b) De 2016 à 2026, il s’écoulera 10 ans. f(10) = 42 500(1,02)10 ≈ 51 807,26

Section

En 2026, le salaire de Gabrielle sera de 51 807,26 $.

2 Les mathématiques financières

Acheter maintenant, payer plus tard

c) Si l’augmentation annuelle est de 2,5 % au lieu de 2 %, la règle de la fonction devient f(x) = 42 500(1,025)x. On calcule le salaire de Gabrielle en 2026 :

Complément au manuel • p. 35

f(10) = 42 500(1,025)10 ≈ 54 403,59

On détermine le montant total à verser dans chaque cas.

La différence de salaire sera donc de 54 403,59 $ - 51 807,26 $ = 2 596,33 $.

Le spécialiste du hockey : Le montant emprunté est de 1 225 $.

13. Niveau de difficulté : élevé a) b(x) = 250 • 2

Le montant à rembourser augmente chaque mois pendant 24 mois.

x

Son taux d’augmentation (le taux d’intérêt) est

b) 1 b(3) = 250 • 23 = 2 000 bactéries

de 1,5 % = 1,5 = 0,015 par mois.

2 b(8) = 250 • 28 = 64 000 bactéries

100

c) 300 bactéries

On peut représenter cette situation par f(x) = 1 225(1,015)x, où x est le nombre de mois depuis l’achat et f(x), le montant à rembourser.

d) 150 min = 2 h 30 min = 2,5 h

1 225(1,015)24 ≈ 1 751,141

3 b(18) = 250 • 2

18

= 65 536 000 bactéries

n(x) = 300 • 2,52,5 ≈ 2 964,635 3

Dans 24 mois, le montant à rembourser sera de 1 751,14 $.

Comme on ne peut pas avoir une fraction de bactérie, on arrondit à l’unité inférieure. Ainsi, après 150 minutes, il y aura 2 964 bactéries.

La source du hockey : Le montant emprunté est de 1 225 $.

x e) Culture 1 : 27 000 = 250(2) 250 250

Le montant à rembourser augmente chaque année pendant 2 ans (24 mois ÷ 12).

108 = 2x ⇔ x = log2 108 x=

Son taux d’augmentation (le taux d’intérêt) est

log10 108

de 19 % = 19 = 0,19 par année.

log10 2

100

x ≈ 6,754 9

On peut représenter cette situation par f(x) = 1 225(1,019)x, où x est le nombre d’années depuis l’achat et f(x), le montant à rembourser.

6,754 9 × 10 ≈ 67,55 min ou 1,13 h x Culture 2 : 27 000 = 300(2,5)

300

1 225(1,19)2 ≈ 1 734,723

300

90 = 2,5x ⇔ x = log2,5 90 x=

Dans 2 ans, le montant à rembourser sera de 1 734,72 $.

log10 90

Thomas devrait choisir La source du hockey pour faire son achat.

log10 2,5

x ≈ 4,910 9 La première culture comptera 27 000 bactéries au bout de 1,13 h et la deuxième, au bout de 4,9 h. Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

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Guide Corrigé du manuel

CM-17

ACTIVITÉ d’exploration

1

Les certificats de placement garantis

1 432,86 − 1 416 = 16,86 $ Elle devra verser 16,86 $ de plus.

Complément au manuel • p. 36

ACTIVITÉ

2 000 • 0,04 = 80 $

A

1 200(1,03)6 ≈ 1 432,86 $

4.

d’exploration

L’intérêt généré la première année est de 80 $. 2 000 + 2 000(0,04) • 5 = 2 000 + 80 • 5 = 2 400 $

B

La valeur du placement au bout de 5 ans pour l’option 1 est de 2 400 $.

2

Financer ses études

Complément au manuel • p. 38 A

Il y a deux semestres dans une année.

C

Voir au bas de la page.

0,03 = 0,015 2

D

2 000(1,04)5 ≈ 2 433,31 $

Le taux d’intérêt semestriel est de 1,5 %.

Complément au manuel • p. 37

L’option 2 est la plus avantageuse, car les intérêts s’ajoutent au capital chaque année pour le calcul des intérêts de l’année suivante. On fait donc des intérêts sur les intérêts.

E

B

La durée est de 2 ans et il y a 2 périodes par année, ce qui donne 2 × 2 = 4 périodes d’intérêt.

C

Cn = C0(1 + i )n Cn = 17 000(1,015)4 ≈ 18 043,18 $ Le montant que l’étudiant devra débourser à l’échéance est de 18 043,18 $.

2 433,31 - 2 400 = 33,31

F

Au bout de 5 ans, l’écart de valeur entre l’option 1 et l’option 2 est de 33,31 $. Oui

G

Complément au manuel • p. 39 D

Taux d’intérêt annuel : 4 % = 4 = 0,04 100

i = 0,04 = 0,01 4

2 000(1 + 0,04 • 5) = 2 000 + 2 000(0,04) • 5

n=2×4=8

Cn = 16 242,85 $ C0 = ?

2 000(1,2) = 2 000 + 400

Cn = C0(1 + i )n

2 400 = 2 400

16 242,85 = C0(1 + 0,01)8

Ai-je bien compris ?

16 242,85 = C0 • 1,082 857 1,082 857 1,082 857

1. 760 + 760(0,062) • 8 = 1 136,96 $

Cn ≈ 15 000 $

À l’échéance, la valeur du placement de Mathieu sera de 1 136,96 $. 8

2. 760(1,062) ≈ 1 229,73 $

La valeur actuelle de cet emprunt est de 15 000 $. E

On a un taux d’intérêt annuel de 3 % = 3 = 0,03. i = 0,03 = 0,002 5

La valeur du placement de Mathieu sera de 1 229,73 $ dans 8 ans.

12

Cn = 3 060,53 $

3. 1 200 + 1 200(0,03) • 6 = 1 416 $

C0 = 3 000 $

100

n=?

Puisque Cn = C0(1 + i )n, on obtient l’équation 3 060,53 = 3 000(1,002 5)n.

Dans 6 ans, Roxana devra rembourser une somme de 1 416 $.

Réponses de la page 36 C re

1 2e 3e 4e 5e

CM-18

année année année année année

Capital au début de l’année ($) 2 000 2 080 2 163,20 2 249,73 2 339,72

Intérêt annuel de 4 % ($) 80 83,20 86,53 89,99 93,59

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

Capital à la n de l’année ($) 2 080 2 163,20 2 249,73 2 339,72 2 433,31

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F

Placement B

3 060,53 = 3 000(1,002 5)n

On a un taux d’intérêt annuel de 9 % = 9 = 0,09.

n

3 060,53 = 3 000 • (1,002 5) 3 000 3 000

i = 0,09 = 0,007 5

1,020 177 = (1,002 5)n

12

Cn = 11 516,08 $ n = ?

n = log1,002 5 1,020 177

Cn = C0(1 + i)n

n = log 1,020 177 log 1,002 5

11 516,08 = 8 800(1,007 5)n

n≈8

11 516,08 = 8 800 • (1,007 5)n 8 800 8 800

La durée du placement est de 8 mois.

1,308 645 = (1,007 5)n

Ai-je bien compris ?

n = log1,007 5 1,308 645

1. i = 7,5 % = 7,5 = 0,075 n = 8

n = log 1,308 645

100

log 1,007 5

Cn = 39 236,51 $ C0 = ?

n ≈ 36

n

Cn = C0(1 + i )

La durée du placement est de 36 mois ou 3 ans.

39 236,51 = C0(1 + 0,075)

8

ACTIVITÉ

39 236,51 = C0 • 1,783 478 1,783 478 1,783 478

d’exploration

Cn ≈ 22 000 $ La valeur actuelle de cet emprunt est de 22 000 $. 2. La durée est de 5 ans et il y a 12 périodes d’intérêt par année. i = 0,06 = 0,005 12 C0 = 5 140 $

n = 5 × 12 = 60

A

0,03 = 0,002 5 12

Le taux d’intérêt mensuel est de 0,002 5 ou 0,25 %. B

100(1,0025)24 ≈ 106,18 $ La valeur future du premier versement est de 106,18 $.

n

Cn = C0(1 + i)

C

Cn = 5 140(1,005)60 ≈ 6 933,09 $ 3. Placement A C0 = 30 000 $

Cn = 53 875,69 $ n = ? Cn = C0(1 + i)n 53 875,69 = 30 000(1,05)n 53 875,69 = 30 000 • (1,05)n 30 000 30 000

1,795 856 = (1,05)n n = log1,05 1,795 856 n = log 1,795 856

100(1,0025)23 ≈ 105,91 $ La valeur future du deuxième versement est de 105,91 $.

La valeur future du placement est de 6 933,09 $.

100

Des versements égaux (enrichissement)

3

Complément au manuel • p. 40

Cn = ?

i = 5 % = 5 = 0,05

100

C0 = 8 800 $

D

100(1,0025)1 = 100,25 $ La valeur future du 24e versement est de 100,25 $.

Complément au manuel • p. 41 E

i = 0,002 5 n = 24 M = 100 $ 24

Cn = 100 • (1,002 5)

0,002 5

Cn = ?

- 1(1,002 5)

Cn ≈ 2 476,46 $ La valeur future des 24 versements est de 2 476,46 $.

log 1,05

n ≈ 12 La durée du placement est de 12 ans.

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Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-19

f) Taux d’intérêt annuel : 10,5 % = 10,5 = 0,105

Ai-je bien compris ?

100

1. a) i = 0,11 n = 13

i = 0,105 = 0,026 25 n = 4 • 10 = 40

M = 500 $ Cn = ?

4

M = 150 $ Cn = ?

n Cn = M • (1 + i) - 1 (1 + i ) i

Cn = 500 • (1,11)

13

0,11

n Cn = M • (1 + i) - 1 (1 + i)

- 1(1,11)

i (1,026 25)40 - 1 (1,026 25) Cn = 150 • 0,026 25

Cn ≈ 14 547,46 $

Cn ≈ 10 668,34 $

La valeur future de ces versements périodiques est de 14 547,46 $. b) i = 0,08 = 0,08 n = 30 M = 2 000 $ Cn = ? 100

n Cn = M • (1 + i) - 1 (1 + i) i 30 Cn = 2 000 • (1,08) - 1(1,08) ≈ 244 691,74 $ 0,08

La valeur future de ces versements périodiques est de 244 691,74 $. c) Taux d’intérêt annuel : 8,4 % = 8,4 = 0,084 i = 0,084 = 0,007 12

M = 180 $

100

n = 12 • 6 = 72

La valeur future de ces versements périodiques est de 10 668,34 $. 2. Situation 1 i = 0,08 n = 20

M = 1 000 $ Cn = ?

Cn = 1 000 • (1,08)

20

0,08

Cn ≈ 49 422,92 $ Situation 2 i = 0,20 n = 8

M = 1 000 $ Cn = ? 8

Cn = 1 000 • (1,2) - 1(1,2)

Cn = ?

0,2

n Cn = M • (1 + i) - 1 (1 + i)

i 72 (1,007) - 1 (1,007) Cn = 180 • 0,007

Cn ≈ 16 894,09 $ La valeur future de ces versements périodiques est de 16 894,09 $. d) i = 0,06 = 0,06 n = 20 M = 250 $ Cn = ? 100

Cn ≈ 19 798,90 $ La situation 1 est nettement plus avantageuse parce que la somme totale placée est de 20 000 $ comparativement à 8 000 $ pour la situation 2.

Mise en pratique Complément au manuel • p. 47

1. Niveau de difficulté : faible a) i = 5 % = 5 = 0,05

n

Cn = M • (1 + i) - 1 (1 + i)

i 20 (1,06) - 1 (1,06) Cn = 250 • 0,06

b) n = 4

100

c) C0 = 1 500 $

Cn ≈ 9 748,18 $ La valeur future de ces versements périodiques est de 9 748,18 $.

d) Cn = C0(1 + n × i) Cn = 1 500(1 + 4 × 0,05) Cn = 1 800 $

e) Taux d’intérêt annuel : 6,9 % = 6,9 = 0,069 100

i = 0,069 = 0,034 5 n = 2 × 15 = 30 2

M = 700 $ Cn = ?

n Cn = M • (1 + i) - 1 (1 + i) i 30 Cn = 700 • (1,034 5) - 1 (1,034 5) 0,034 5

Cn ≈ 37 076,46 $

2. Niveau de difficulté : faible a) i = 8,5 % = 8,5 = 0,085 b) n = 7,25

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

100

c) C0 = 15 000 $ d) Cn = C0(1 + i )n Cn = 15 000(1 + 0,085)7,25

La valeur future de ces versements périodiques est de 37 076,46 $.

CM-20

- 1 (1,08)

Cn ≈ 27 099,22 $

Guide

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b) i = 6 % = 6 = 0,06

3. Niveau de difficulté : faible a) i = 2,5 % = 2,5 = 0,025 100

n=2

Cn = ?

C0 = 9 000 $

1 007 = C0 • 1,12 1,12 1,12

Cn = 9 450 $ La valeur future de ce placement est de 9 450 $. Cn = ?

c) i = 11,2 % = 11,2 = 0,112 100

Cn = C0(1 + n × i)

n = 2,5

Cn = 1 696 $ C0 = ?

Cn = 7 250(1 + 3 × 0,04)

Cn = C0(1 + n × i)

Cn = 8 120 $ La valeur future de ce placement est de 8 120 $. C0 = 2 000 $

C0 ≈ 899,11 $ La valeur actuelle de cet emprunt est de 899,11 $.

b) i = 4 % = 4 = 0,04 n = 36 ÷ 12 = 3

c) i = 3,5 % = 3,5 = 0,035 100

Cn = 1 007 $

1 007 = C0(1 + 2 × 0,06)

Cn = 9 000(1 + 2 × 0,025)

C0 = 7 250 $

n=2

Cn = C0(1 + n × i)

Cn = C0(1 + n × i)

100

C0 = ?

100

n = 18 ÷ 12 = 1,5

La valeur actuelle de cet emprunt est de 1 325 $.

Cn = C0(1 + n × i)

d) i = 8,2 % = 8,2 = 0,082

Cn = 2 000(1 + 1,5 × 0,035)

100

La valeur future de ce placement est de 2 105 $. C0 = 11 500 $ Cn = ? Cn = C0(1 + n × i) Cn = 11 500(1 + 12,5 × 0,089) Cn = 24 293,75 $ La valeur future de ce placement est de 24 293,75 $. 4. Niveau de difficulté : faible a) i = 4,5 % = 4,5 = 0,045 n = 7 100

Cn = 16 437,50 $ C0 = ? Cn = C0(1 + n × i) 16 437,50 = C0(1 + 7 × 0,045) 16 437,50 = C0 • 1,315 1,315 1,315

C0 = 12 500 $ La valeur actuelle de cet emprunt est de 12 500 $.

Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

n = 6,25

Cn = 14 066,25 $ C0 = ?

Cn = 2 105 $

100

1 696 = C0 • 1,28 1,28 1,28

C0 = 1 325 $

Cn = ?

d) i = 8,9 % = 8,9 = 0,089 n = 12,5

1 696 = C0(1 + 2,5 × 0,112)

Cn = C0(1 + n × i) 14 066,25 = C0(1 + 6,25 × 0,082) 14 066,25 = C0 • 1,512 5 1,512 5 1,512 5

C0 = 9 300 $ La valeur actuelle de cet emprunt est de 9 300 $. Complément au manuel • p. 48

5. Niveau de difficulté : faible a) i = 3,5 % = 3,5 = 0,035 100

C0 = 12 000 $

Cn = 20 400 $ n = ? Cn = C0(1 + n × i) 20 400 = 12 000(1 + n × 0,035) 20 400 = 12 000(1 + n × 0,035) 12 000 12 000

1,7 = 1 + 0,035n 0,7 = 0,035n 0,035 0,035

n = 20 La durée de ce placement est de 20 ans.

Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-21

b) i = 14,5 % = 14,5 = 0,145 C0 = 8 700 $ 100

b) n = 6

Cn = 23 838 $ n = ?

5 966 = 3 800(1 + 6 × i ) 5 966 = 3 800(1 + 6 × i) 3 800 3 800

23 838 = 8 700(1 + n × 0,145) 23 838 = 8 700(1 + n × 0,145) 8 700 8 700

1,57 = 1 + 6i 0,57 = 6i 6 6

2,74 = 1 + 0,145n 1,74 = 0,145n 0,145 0,145

i = 0,095

n = 12

Le taux d’intérêt annuel de cet emprunt est de 9,5 %.

La durée de cet emprunt est de 12 ans. c) i = 4,9 % = 4,9 = 0,049 100

C0 = 800 $

c) n = 15

Cn = 1 172,40 $ n = ?

C0 = 5 675 $ Cn = 9 080 $ i = ?

Cn = C0(1 + n × i) 9 080 = 5 675(1 + 15 × i)

Cn = C0(1 + n × i)

9 080 = 5 675(1 + 15 × i ) 5 675 5 675

1 172,40 = 800(1 + n × 0,049) 1 172,40 = 800(1 + n × 0,049) 800 800

1,6 = 1 + 15i 0,6 = 15i 15 15

1,465 5 = 1 + 0,049n 0,465 5 = 0,049n 0,049 0,049

i = 0,04 Le taux d’intérêt annuel de ce placement est de 4 %.

n = 9,5 La durée de ce placement est de 9,5 ans. d) i = 7,8 % = 7,8 = 0,078 100

C0 = 17 550 $

d) n = 7,25 C0 = 14 400 $ Cn = 19 515,60 $ i = ? Cn = C0(1 + n × i)

Cn = 26 447,85 $ n = ?

19 515,60 = 14 400(1 + 7,25 × i )

Cn = C0(1 + n × i)

19 515,60 = 14 400(1 + 7,25 × i) 14 400 14 400

26 447,85 = 17 550(1 + n × 0,078) 26 447,85 = 17 550(1 + n × 0,078) 17 550 17 550

1,355 25 = 1 + 7,25i 0,355 25 = 7,25i 7,25 7,25

1,507 = 1 + 0,078n 0,507 = 0,078n 0,078 0,078

i = 0,049 Le taux d’intérêt annuel de cet emprunt est de 4,9 %.

n = 6,5 La durée de cet emprunt est de 6,5 ans. 6. Niveau de difficulté : faible C0 = 750 $

Cn = 5 966 $ i = ?

Cn = C0(1 + n × i)

Cn = C0(1 + n × i)

a) n = 11

C0 = 3 800 $

Cn = 1 575 $ i = ?

7. Niveau de difficulté : faible a) i = 4 % = 4 = 0,04 100

C0 = 2 500 $

Cn = C0(1 + n × i)

n=5

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n

1 575 = 750(1 + 11 × i )

Cn = 2 500(1 + 0,04)5

1 575 = 750(1 + 11 × i ) 750 750

Cn ≈ 3 041,63 $

2,1 = 1 + 11i

La valeur future de ce placement est de 3 041,63 $.

1,1 = 11i 11 11

i = 0,1 Le taux d’intérêt annuel de ce placement est de 10 %.

CM-22

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

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b) i = 2,5 % = 2,5 = 0,025 n = 7

b) i = 0,036

100

C0 = 500 $ Cn = ?

n = 17

Cn = 19 429,67 $

Cn = C0(1 + i )n 19 429,67 = C0(1 + 0,036)17

Cn = C0(1 + i )n

19 429,67 = C0 • 1,824 382 1,824 382 1,824 382

Cn = 500(1 + 0,025)7 Cn ≈ 594,34 $ La valeur future de ce placement est de 594,34 $. c) Taux d’intérêt annuel : 5,5 % = 5,5 = 0,055 100

i = 0,055 = 0,004 583 ≈ 0,004 583 12

C0 ≈ 10 650 $ La valeur actuelle de ce placement est de 10 650 $. c) Taux d’intérêt annuel : 10,5 % = 10,5 = 0,105

n = 15

100

C0 = 12 000 $ Cn = ?

i = 0,105 = 0,008 75 n = 144

Cn = C0(1 + i )n

Cn = 122 715,36 $

12

15

Cn = 12 000(1 + 0,004 583)

122 715,36 = C0(1 + 0,008 75)144

La valeur future de ce placement est de 12 851,94 $.

122 715,36 = C0 • 3,506 153 3,506 153 3,506 153

Remarque : La réponse peut varier si on utilise la valeur exacte du taux d’intérêt par période. d) Taux d’intérêt annuel : 12 % = 12 = 0,12 2

C0 = ?

Cn = C0(1 + i )n

Cn ≈ 12 851,94 $

i = 0,12 = 0,06

C0 = ?

100

n = 50 C0 = 25 225 $

Cn = ?

C0 ≈ 35 000 $ La valeur actuelle de ce placement est de 35 000 $. d) Taux d’intérêt annuel : 12,75 % = 12,75 = 0,127 5 100

Cn = C0(1 + i )n

i = 0,127 5 = 0,031 875

Cn = 25 225(1 + 0,06)50

Cn = 11 238,43 $ C0 = ?

4

Cn ≈ 464 648,39 $

Cn = C0(1 + i )n

La valeur future de ce placement est de 464 648,39 $.

11 238,43 = C0(1 + 0,031 875)48 11 238,43 = C0 • 4,509 209 4,509 209 4,509 209

e) Taux d’intérêt annuel : 4,8 % = 4,8 = 0,048 i = 0,048 = 0,012 4

n = 4 • 12 = 48

100

n = 4 • 7,75 = 31

C0 ≈ 2 492,33 $

C0 = 14 750 $ Cn = ?

La valeur actuelle de ce placement est de 2 492,33 $.

Cn = C0(1 + i )n

e) Taux d’intérêt annuel : 5,8 % = 5,8 = 0,058

Cn = 14 750(1 + 0,012)31

100

i = 0,058 = 0,029 2

Cn ≈ 21 349,51 $

Cn = 7 243,13 $

La valeur future de ce placement est de 21 349,51 $.

n = 2 • 4,5 = 9 C0 = ?

Cn = C0(1 + i )n 7 243,13 = C0(1 + 0,029)9

8. Niveau de difficulté : faible a) i = 0,08 n = 35 Cn = 73 926,72 $ C0 = ? Cn = C0(1 + i )n

7 243,13 = C0 • 1,293 416 1,293 416 1,293 416

C0 ≈ 5 600 $

73 926,72 = C0(1 + 0,08)35

La valeur actuelle de ce placement est de 5 600 $.

73 926,72 = C0 • 14,785 344 14,785 344 14,785 344

C0 ≈ 5 000 $ La valeur actuelle de ce placement est de 5 000 $.

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Intersection, complément CST

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CM-23

d) Taux d’intérêt annuel : 1,75 % = 1,75 = 0,017 5

Complément au manuel • p. 49

100 0,017 5 i= = 0,001 458 3 ≈ 0,001 458 12

9. Niveau de difficulté : faible a) i = 4 % = 4 = 0,04 100

Cn = 1 824,98 $

Cn = 514,78 $ C0 = 500 $ n = ?

C0 = 1 500 $

n=?

Cn = C0(1 + i )n 514,78 = 500(1 + 0,001 458)n

Cn = C0(1 + i )n

514,78 = 500 • (1,001 458)n 500 500

1 824,98 = 1 500(1 + 0,04)n 1 824,98 = 1 500 • (1,04)n 1 500 1 500

1,029 56 = (1,001 458)n n = log1,001 458 1,029 56

1,216 653 = (1,04)n n = log1,04 1,216 653 n=

n=

log10 1,216 653

La durée de cet emprunt est de 20 mois.

n≈5 La durée de ce placement est de 5 ans.

Cn = 2 812,11 $

e) Taux d’intérêt annuel : 7,5 % = 7,5 = 0,075 100

i = 0,075 = 0,037 5 2

C0 = 2 750 $

n=?

Cn = C0(1 + i )

Cn = C0(1 + i )n

2 812,11 = 2 750(1 + 0,015)n 2 812,11 = 2 750 • (1,015) 2 750 2 750

6 828,85 = 750(1 + 0,037 5)n

n

6 828,85 = 750 • (1,037 5)n 750 750

1,022 584 = (1,015)n

9,105 133 = (1,037 5)n

n = log1,015 1,022 584

n = log1,037 5 9,105 133

log10 1,022 584

n=

log10 1,015

n ≈ 1,5

C0 = 25 000 $

Cn = 78 209,89 $ n = ? Cn = C0(1 + i )n

10. Niveau de difficulté : faible a) n = 2

1 166,40 = 1 000(1 + i)2 1 166,40 = 1 000 • (1 + i )2 1 000 1 000

3,128 396 = (1,079)n

1,166 4 = (1 + i )2

n = log1,079 3,128 396

1

(1,166 4)2 = 1 + i

log10 3,128 396

1,08 = 1 + i

log10 1,079

i = 0,08

n ≈ 15

Le taux d’intérêt par période (année) est de 8 %.

La durée de ce placement est de 15 ans.

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

C0 = 1 000 $ Cn = 1 166,40 $ i = ? Cn = C0(1 + i )n

78 209,89 = 25 000 • (1,079)n 25 000 25 000

CM-24

log10 1,037 5

La durée de ce placement est de 60 semestres ou 30 ans.

78 209,89 = 25 000(1 + 0,079)n

n=

log10 9,105 133

n ≈ 60

La durée de cet emprunt est de 1,5 an. c) i = 7,9 % = 7,9 = 0,079 100

Cn = 6 828,85 $

C0 = 750 $ n = ?

n

n=

log10 1,001 458

n ≈ 20

log10 1,04

b) i = 1,5 % = 1,5 = 0,015 100

log10 1,029 56

Guide

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b) n = 4

C0 = 2 500 $

i ≈ 0,005

Cn = C0(1 + i )n

Le taux d’intérêt par période (mois) est de 0,5 %.

2 759,53 = 2 500(1 + i )4 4

11. Niveau de difficulté : faible

2 759,53 = 2 500 • (1 + i ) 2 500 2 500

a) i = 7,5 % = 7,5 = 0,075

1,103 812 = (1 + i)4 1 (1,103 812)4

100

n = 15 + 20 = 35 C0 = 4 500 $ Cn = ?

=1+i

Cn = C0(1 + i )n

1,025 = 1 + i

Cn = 4 500(1 + 0,075)35

i ≈ 0,025

Cn ≈ 56 559,92 $

Le taux d’intérêt par période (année) est de 2,5 %. c) n = 12

1,004 999 = 1 + i

Cn = 2 759,53 $ i = ?

Dans 15 ans, ce placement vaudra 56 559,92 $.

C0 = 5 750 $ Cn = 10 931,94 $ i = ? Cn = C0(1 + i )n

b) Valeur future du nouveau placement : i = 7,5 % = 7,5 = 0,075 100

n = 20

C0 = 9 000 $ Cn = ?

10 931,94 = 5 750(1 + i )12 12

10 931,94 = 5 750 • (1 + i) 5 750 5 750

Cn = C0(1 + i )n Cn = 9 000(1 + 0,075)20

1,901 207 = (1 + i )12 1

Cn ≈ 38 230,66 $

(1,901 207) 12 = 1 + i

Le placement qui vaudra le plus au moment où Lowan prévoit prendre sa retraite est le premier (4 500 $ placés pour 35 ans).

1,055 = 1 + i i ≈ 0,055 Le taux d’intérêt par période (semestre) est de 5,5 %.

Complément au manuel • p. 50

12. Niveau de difficulté : faible

d) n = 12 • 1,25 = 15 C0 = 10 000 $ Cn = 13 478,49 $ i = ?

i = 9,5 % = 9,5 = 0,095 Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n

100

n = 18 C0 = 575 $

Cn = C0(1 + i )n

13 478,49 = 10 000(1 + i)15 13 478,49 = 10 000 • (1 + i)15 10 000 10 000

Cn = 575(1 + 0,095)18 Cn ≈ 2 945,25 $

1,347 849 = (1 + i )15

Ce placement aura une valeur de 2 945,25 $.

1

(1,347 849) 15 = 1 + i

13. Niveau de difficulté : moyen

1,020 1 = 1 + i

Intérêt capitalisé annuellement :

i ≈ 0,02 Le taux d’intérêt par période (mois) est de 2 %. e) n = 12 • 8,25 = 99 C0 = 8 950 $ Cn = 14 664,36 $ i = ?

i = 6,5 % = 6,5 = 0,065 Cn = ?

100

n=3

C0 = 1 600 $

Cn = C0(1 + i )n Cn = 1 600(1 + 0,065)3

Cn = C0(1 + i )n 14 664,36 = 8 950(1 + i )99

Cn ≈ 1 932,72 $

99

14 664,36 = 8 950 • (1 + i) 8 950 8 950

1,638 476 = (1 + i)99 1

(1,638 476)99 = 1 + i

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Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-25

Intérêt capitalisé quotidiennement : On a un taux d’intérêt annuel de

16. Niveau de difficulté : moyen i = 0,127 5 C0 = 35 000 $ Cn = 50 166,95 $ n = ?

6,5 % = 6,5 = 0,065.

100 i = 0,065 ≈ 0,000 178 365

C0 = 1600 $

Cn = C0(1 + i)n n = 1 095

Cn = ?

50 166,95 = 35 000(1 + 0,127 5)n 50 166,95 = 35 000(1,127 5)n 35 000 35 000

1,433 341 = (1,127 5)n

Cn = C0(1 + i )n Cn = 1 600(1 + 0,000 178)1 095

n = log1,127 5 1,433 341

Cn ≈ 1 944,29 $

n=

1 944,29 − 1 932,72 = 11,57 $

n≈3

L’écart de valeur sera de 11,57 $. Remarque : La réponse peut varier si on utilise la valeur exacte du taux d’intérêt quotidien. n = 15

Cn = 378 005,82 $ C0 = ?

17. Niveau de difficulté : moyen i = 0,039

n=?

Cn = C0(1 + i)n 11 139,50 = 9 200(1 + 0,39)n

15

1,210 815 = (1,039)n n = log1,039 1,210 815

378 005,82 = C0 • 1,448 298 1,448 298 1,448 298

n=

C0 ≈ 261 000,00 $ L’investisseur a payé 261 000 $ pour l’immeuble. 15. Niveau de difficulté : moyen Taux d’intérêt annuel : 1,5 % = 1,5 = 0,015 100 0,015 i= = 0,001 25 n = 60 12

Cn = 12 934 $

C0 = 9 200 $ Cn = 11 139,50 $

11 139,50 = 9 200(1,039)n 9 200 9 200

Cn = C0(1 + i)n 378 005,82 = C0(1 + 0,025)

log10 1,127 5

La durée de l’emprunt était de 3 ans.

14. Niveau de difficulté : moyen i = 2,5 % = 2,5 = 0,025 100

log10 1,433 341

C0 = ?

n≈5

12 934 = C0 • 1,077 834 1,077 834 1,077 834

log10 1,039

Juliane réglera sa dette dans 5 ans. 18. Niveau de difficulté : moyen Taux d’intérêt annuel : 9 % = 9 = 0,09 i = 0,09 = 0,007 5 12

100

C0 = 12 850 $

Cn = 25 700 $ Cn = C0(1 + i)n

Cn = C0(1 + i)n 12 934 = C0(1 + 0,001 25)60

log10 1,210 815

25 700 = 12 850(1 + 0,007 5)n 25 700 = 12 850(1,007 5)n 12 850 12 850

2 = (1,007 5)n

C0 ≈ 11 999,99 $

n = log1,007 5 2

Les grands-parents de Maude lui ont prêté 11 999,99 $.

n=

log10 2

log10 1,007 5

n ≈ 92,8 Son capital aura doublé dans environ 92,8 mois, soit environ 7,73 ans ou un peu moins de 7 ans et 9 mois.

CM-26

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

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Si l’intérêt est composé et que la capitalisation est annuelle, la valeur du placement sera de 19 627,19 $.

Complément au manuel • p. 51

19. Niveau de difficulté : moyen a) i = 0,04 n = 10 Cn = 22 500 $

c) Avec l’intérêt composé, l’intérêt rapporte de l’intérêt, donc le capital accumulé augmente plus rapidement.

C0 = ?

Cn = C0(1 + i)n 22 500 = C0(1 + 0,04)10

21. Niveau de difficulté : moyen

22 500 = C0 • 1,480 244 1,480 244 1,480 244

n = 24

Cn = C0(1 + i)n

C0 ≈ 15 200,19 $

2 539,47 = 2 000(1 + i)24

Si le taux d’intérêt est de 4 %, Mali devra placer 15 201 $. b) i = 0,075

n = 10

2 539,47 = 2 000 • (1 + i)24 2 000 2 000

Cn = 22 500 $ C0 = ?

1,269 735 = (1 + i )24 1

Cn = C0(1 + i)n

(1,269 735) 24 = 1 + i

22 500 = C0(1 + 0,075)10 22 500 = 2,061 031

C0 = 2 000 $ Cn = 2 539,47 $ i = ?

1,01 = 1 + i

C0 • 2,061 031

i = 0,01

2,061 031

Le taux d’intérêt par période (mois) est de 1 %.

C0 ≈ 10 916,86 $

22. Niveau de difficulté : moyen

Si le taux d’intérêt est de 7,5 %, Mali devra placer 10 917 $. c) i = 0,12 n = 10 Cn = 22 500 $

n=5

C0 = ?

Cn = C0(1 + i)n 5 657,04 = 5 000(1 + i)5

Cn = C0(1 + i)n

5 657,04 = 5 000 • (1 + i )5 5 000 5 000

22 500 = C0(1 + 0,12)10 22 500 = C0 • 3,105 848 3,105 848 3,105 848

1,131 408 = (1 + i )5 1

(1,131 408)5 = 1 + i

C0 ≈ 7 244,40 $

1,025 = 1 + i

Si le taux d’intérêt est de 12 %, Mali devra placer 7 245 $.

i = 0,025

20. Niveau de difficulté : moyen a) i = 8 % = 8 = 0,08 100 C0 = 7 500 $

C0 = 5 000 $ Cn = 5 657,04 $ i = ?

Le taux d’intérêt par période (année) est de 2,5 %. n = 12,5

23. Niveau de difficulté : moyen i = 8,5 % = 8,5 = 0,085

Cn = ?

100

Cn = C0(1 + n × i )

C0 = 10 000 $ Cn = ?

Cn = 7 500(1 + 12,5 × 0,08)

Cn = C0(1 + i )n

Cn = 15 000 $

Cn = 10 000(1 + 0,085)6

Si l’intérêt est simple, la valeur du placement sera de 15 000 $.

Cn ≈ 16 314,68 $

b) i = 8 % = 8 = 0,08 100

C0 = 7 500 $

n = 12,5

n=6

Elles ont raison, car le capital accumulé sera de 16 314,68 $, ce qui est supérieur à 16 000 $.

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 7 500(1 + 0,08)12,5 Cn ≈ 19 627,19 $

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Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-27

24. Niveau de difficulté : élevé

Complément au manuel • p. 52

Valeur du premier placement à l’échéance : i = 4,9 % = 4,9 = 0,049 100

C0 = 2 350 $

26. Niveau de difficulté : élevé

n = 6,5

Valeur du placement au bout de 6 ans :

Cn = ?

i = 4,1 % = 4,1 = 0,041 100

Cn = C0(1 + n × i )

C0 = 15 000 $ Cn = ?

Cn = 2 350(1 + 6,5 × 0,049)

Cn = C0(1 + i )n

Cn ≈ 3 098,48 $ Valeur du deuxième placement à l’échéance : i = 7 % = 7 = 0,07 100

n = 5,25

Cn = 15 000(1 + 0,041)6 Cn ≈ 19 089,55 $ Montant emprunté :

C0 = 3 098,48 $ Cn = ?

25 000 − 19 089,55 = 5 910,45 $

n

Cn = C0(1 + i )

Durée de l’emprunt :

Cn = 3 098,48(1 + 0,07)5,25

i = 6,9 % = 6,9 = 0,069

Cn ≈ 4 419,91 $

Cn = 7 590,79 $

100

À l’échéance, le deuxième placement vaudra 4 419,91 $.

7 590,79 = 5 910,45(1,069)n 5 910,45 5 910,45

1,284 299 8 = (1,069)n

On a un taux d’intérêt annuel de 3,6 % = 3,6 = 0,036.

n = log1,069 1,284 299 8

n = 20 C0 = 5 000 $

n=

Cn = ?

log10 1,284 299 8 log10 1,069

n = 3,75

n

Cn = C0(1 + i )

La durée de l’emprunt est de 3,75 ans.

Cn = 5 000(1 + 0,009)20

27. Niveau de difficulté : élevé

Cn ≈ 5 981,27 $ Valeur du deuxième placement à l’échéance : On a un taux d’intérêt annuel de 3 % = 3 = 0,03. 100

12

n=?

7 590,79 = 5 910,45(1 + 0,069)n

Valeur du premier placement à l’échéance :

i = 0,03 = 0,002 5

C0 = 5 910,45 $

Cn = C0(1 + i)n

25. Niveau de difficulté : élevé

100 0,036 i= = 0,009 4

n=6

n = 24

C0 = 4 181,27 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 4 181,27(1 + 0,002 5)24 Cn ≈ 4 439,49 $ À l’échéance, le deuxième placement vaudra 4 439,49 $.

Valeur du premier tiers à l’échéance : i = 6 % = 6 = 0,06 100

n=8

C0 = 4 000 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + n × i ) Cn = 4 000(1 + 8 × 0,06) Cn = 5 920 $ Valeur du deuxième tiers à l’échéance : i = 5,2 % = 5,2 = 0,052 Cn = ?

100

n=8

C0 = 4 000 $

Cn = C0(1 + i )n Cn = 4 000(1 + 0,052)8 Cn ≈ 6 000,48 $

CM-28

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

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Valeur du troisième tiers à l’échéance : On a un taux d’intérêt annuel de 5 % = 5 = 0,05. 100

i = 0,05 = 0,004 16 ≈ 0,004 167 12

C0 = 4 000 $

Cn = C0(1 + i )n Cn = 3 500(1 + 0,005 1)36 Cn ≈ 4 203,41 $

n = 96

Option B :

Cn = ?

On a un taux d’intérêt annuel de

Cn = C0(1 + i )n

6,16 % = 6,16 = 0,061 6. 100 0,061 6 i= = 0,030 8 2

96

Cn = 4 000(1 + 0,004 167) Cn ≈ 5 962,53 $

Valeur totale : 5 920 + 6 000,48 + 5 962,53 = 17 883,01 $

Cn = C0(1 + i )n

La valeur totale des placements sera de 17 883,01 $ dans 8 ans.

Cn ≈ 4 198,70 $

Remarque : La réponse peut varier si on utilise la valeur exacte du taux d’intérêt par période.

n=6

C0 = 5 800 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + n × i )

Cn = 3 500(1 + 0,030 8)6 Pour une même durée de placement, l’option A rapportera le plus d’argent.

Évaluation selon les calculs de Samuel : 29 500(1,029 5)45 ≈ 109 146,00 $ Différence de valeurs : 109 146,00 − 102 214,42 = 6 931,58 $

Cn = 5 800(1 + 6 × 0,08) Cn = 8 584 $

La différence entre les valeurs estimées par chacun est de 6 931,58 $.

Janie : i = 7,5 % = 7,5 = 0,075 Cn = ?

Cn = ?

Évaluation selon les calculs de Kevin : 29 500(1,028)45 ≈ 102 214,42 $

Amélie : 100

C0 = 3 500 $

30. Niveau de difficulté : moyen

28. Niveau de difficulté : élevé i = 8 % = 8 = 0,08

n=6

100

n=6

C0 = 5 300 $

Complément au manuel • p. 53

31. Niveau de difficulté : élevé

Cn = C0(1 + i )

i = 0,005 n = 48 M = 120 $ Cn = ?

Cn = 5 300(1 + 0,075)6

48 Cn = 120 • (1,005) - 1 (1,005)

Cn ≈ 8 179,50 $

Cn ≈ 6 524,20 $

Benjamin :

Au bout de 4 années, Océane disposera de 6 524,20 $.

n

0,005

On a un taux d’intérêt annuel de 12 % = 12 = 0,12. 100 i = 0,12 = 0,03 n = 24 C0 = 4 300 $ Cn = ? 4 Cn = C0(1 + i )n Cn = 4 300(1 + 0,03)

0,06

Cn ≈ 87 234,57 $

Cn ≈ 8 741,01 $ C’est Benjamin qui aura accumulé le plus d’argent, soit 8 741,01 $.

La valeur du REER de Rose-Lynn sera de 87 234,57 $ dans 25 ans. 33. Niveau de difficulté : élevé

29. Niveau de difficulté : moyen

i = 0,002 5 n = 72 M = 350 $ Cn = ?

Option A :

72 Cn = 350 • (1,002 5) - 1 (1,002 5)

On a un taux d’intérêt annuel de

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i = 0,06 n = 25 M = 1 500 $ Cn = ? 25 Cn = 1 500 • (1,06) - 1(1,06)

24

6,12 % = 6,12 = 0,061 2. 100 i = 0,061 2 = 0,005 1 n = 36 12

32. Niveau de difficulté : élevé

0,002 5

Cn ≈ 27 641,72 $ C0 = 3 500 $ Cn = ?

La valeur de leur mise de fonds sera de 27 641,72 $ dans 6 ans.

Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-29

Consolidation

4.

Logarithmes, résolution d’équations logarithmiques,

Complément au manuel • p. 54

1.

équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique

Logarithmes, équivalence entre les écritures

Niveau de difficulté : faible

exponentielle et logarithmique

a) log2 x = 7 ⇔ x = 27 = 128

Niveau de difficulté : faible

a) log11 1 331 = 3

b) log8 y = 3 ⇔ y = 83 = 512

c) log0,5 0,062 5 = 4

c) log0,05 x = 2 ⇔ x = 0,052 = 0,002 5

b) log3 6 561 = 8 2.

Logarithmes, équivalence entre les écritures

d) log1,06 x = 4 ⇔ x = 1,064 ≈ 1,262 5

exponentielle et logarithmique

e)

c) 1,13 = 1,331 f)

b) 132 = 169 3.

entre les écritures exponentielle et logarithmique, logarithmes, loi du changement de base

5.

log10 1,215 5 log10 1,05

log10 1,442 25 log10 3

C0 = 6 350 $

≈4

≈ 0,333 333 6

b) i = 1,5 % = 1,5 = 0,015 100

C0 = 4 500 $

log10 1,212 16

1 ⇔ x = log (18) = 512 x

x=

1 8

≈ 2,5

1 512

log10

1 8

Cn = ?

Cn = 4 500(1 + 5 × 0,015) Cn = 4 837,50 $ À l’échéance, cet emprunt vaudra 4 837,50 $. c) i = 7,25 % = 7,25 = 0,072 5 100

n=3

C0 = 22 250 $ Cn = ?

1 512

log10

n=5

Cn = C0(1 + n × i )

=3

1,08x = 1,212 16 ⇔ x = log1,08 1,212 16

f)

Cn = ?

À l’échéance, ce placement vaudra 6 826,25 $.

log10 0,85

log10 1,08

n = 2,5

Cn = 6 826,25 $

e) 1 000(1,08) = 1 212,16

x=

64

Cn = 6 350(1 + 2,5 × 0,03)

log10 0,614 125

x

= 1

Cn = C0(1 + n × i )

d) 0,85x = 0,614 125 ⇔ x = log0,85 0,614 125 x=

3

Valeur future, intérêt simple, intérêt composé

=5

c) 3x = 1,442 25 ⇔ x = log3 1,442 25 x=

(4)

4

b) 1,05 = 1,215 5 ⇔ x = log1,05 1,215 5 x=

5

100

a) 6 = 7 776 ⇔ x = log6 7 776 log10 6

= 15

a) i = 3 % = 3 = 0,03

x

x

4

5

Niveau de difficulté : faible

Niveau de difficulté : faible

log10 7 776

5 log1 x

log1 x = 3 ⇔ x = 1

Résolution d’équations exponentielles, équivalence

x=

= 18 3

3

log3 x = 6 ⇔ x = 36 = 729

Niveau de difficulté : faible

a) 43 = 64

3 log3 x

Cn = C0(1 + i )n ≈3

Cn = 22 250(1 + 0,072 5)3 Cn ≈ 27 448,71 $ À l’échéance, ce placement vaudra 27 448,71 $.

CM-30

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

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d) i = 0,067 5 n = 5

b) i = 5,8 % = 5,8 = 0,058

C0 = 2 000 $ Cn = ?

100

Cn = 2 963,35 $

Cn = C0(1 + i )n Cn = 2 000(1 + 0,067 5)5

C0 = ?

Cn = C0(1 + n × i )

Cn ≈ 2 772,49 $

2 963,35 = C0(1 + 4,5 × 0,058)

À l’échéance, cet emprunt vaudra 2 772,49 $.

2 963,35 = C0 • 1,261 1,261 1,261

e) Taux d’intérêt annuel : 8 % = 8 = 0,08 100 0,08 i= = 0,006 n = 72 C0 = 43 400 $ 12

C0 = 2 350 $ La valeur actuelle de ce placement est de 2 350 $.

Cn = ?

c) i = 0,017 5 n = 1,5

Cn = C0(1 + i )n

Cn = C0(1 + i)

872,41 = C0(1 + 0,017 5)1,5

Cn ≈ 70 025,99 $ À l’échéance, ce placement vaudra 70 025,99 $. Remarque : La réponse variera selon qu’on utilise la valeur exacte du taux d’intérêt par période ou une valeur arrondie. f) Taux d’intérêt annuel : 12 % = 12 = 0,12 100 0,12 i= = 0,03 n = 12 C0 = 25 750 $ Cn = ? 4 n

Cn = C0(1 + i )

872,41 ≈ C0 • 1,026 364 1,026 364 1,026 364

C0 ≈ 850,00 $ La valeur actuelle de cet emprunt est de 850 $. d) i = 0,032 5 n = 4

Cn = C0(1 + i)n 8 551,98 = C0(1 + 0,032 5)4

Cn ≈ 36 713,34 $

C0 ≈ 7 525,00 $

À l’échéance, ce placement vaudra 36 713,34 $.

100

i = 0,012 = 0,001 12

Valeur actuelle, intérêt simple, intérêt composé

n = 16 Cn = 584,27 $

C0 = ?

Niveau de difficulté : faible

C0 = ?

La valeur actuelle de cet emprunt est de 7 525 $. e) Taux d’intérêt annuel : 1,2 % = 1,2 = 0,012

Complément au manuel • p. 55

100

Cn = 8 551,98 $ C0 = ?

8 551,98 = C0 • 1,136 476 1,136 476 1,136 476

Cn = 25 750(1 + 0,03)12

a) i = 2 % = 2 = 0,02

Cn = 872,41 $ C0 = ? n

Cn = 43 400(1 + 0,006)72

6.

n = 4,5

n=3

Cn = 3 710 $

Cn = C0(1 + i)n Cn = C0(1 + 0,001)16 584,27 = C0 • 1,016 121 1,016 121 1,016 121

Cn = C0(1 + n × i ) 3 710 = C0(1 + 3 × 0,02)

C0 ≈ 575,00 $

3 710 = C0 • (1,06) 1,06 1,06

La valeur actuelle de cet emprunt est de 575 $. f) Taux d’intérêt annuel : 9,2 % = 9,2 = 0,092

C0 = 3 500 $

100

La valeur actuelle de cet emprunt est de 3 500 $.

i = 0,092 = 0,023 4

n = 4 • 3,25 = 13

Cn = 11 423,58 $ C0 = ?

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Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-31

d) i = 18 % = 18 = 0,18 C0 = 32 600 $

Cn = C0(1 + i)n

100

11 423,58 = C0(1 + 0,023)13

Cn = 53 562,84 $ n = ?

11 423,58 = C0 • 1,343 950 1,343 950 1,343 950

Cn = C0(1 + i)n 53 562,84 = 32 600(1 + 0,18)n

C0 ≈ 8 500 $

53 562,84 = 32 600 • (1,18)n 32 600 32 600

La valeur actuelle de ce placement est de 8 500 $. 7.

1,643 032 = (1,18)n

Durée d’un emprunt ou d’un placement, intérêt

n = log1,18 1,643 032

simple, intérêt composé

n=

Niveau de difficulté : faible

a) i = 2,5 % = 2,5 = 0,025 100

La durée de ce placement est de 3 ans. e) Taux d’intérêt annuel : 6 % = 6 = 0,06 100

Cn = C0(1 + n × i )

i = 0,06 = 0,005 12

3 125 = 2 500(1 + n × 0,025)

Cn = 1 640,89 $

3 125 = 2 500(1 + n × 0,025) 2 500 2 500 0,25 = 0,025n 0,025 0,025

n=?

1 640,89 = 1 500(1 + 0,005)n 1 640,89 = 1 500 • (1,005)n 1 500 1 500

n = 10

1,093 927 = (1,005)n

La durée de ce placement est de 10 ans. b) i = 12,75 % = 12,75 = 0,127 5

n = log1,005 1,093 927

100

Cn = 15 727,50 $ n = ?

n=

Cn = C0(1 + n × i ) 15 727,50 = 5 400(1 + n × 0,127 5) 5 400 5 400

2,912 5 = 1 + 0,1275n

f) Taux d’intérêt annuel : 4 % = 4 = 0,04 100

i = 0,04 = 0,01 4

n = 15

Cn = C0(1 + i)n

C0 = 875 $

14 686,81 = 9 500(1 + 0,01)n

Cn = 53 994,10 $ n = ?

14 686,81 = 9 500 • (1,01)n 9 500 9 500

Cn = C0(1 + i)n

1,545 98 = (1,01)n

n

53 994,10 = 875(1 + 0,125)

n = log1,01 1,545 98

53 994,10 = 875 • (1,125)n 875 875

n=

61,707 543 = (1,125)n

log10 1,125

log10 1,545 98 log10 1,01

n ≈ 43,78

n = log1,125 61,707 543 log10 61,707 543

C0 = 9 500 $

Cn = 14 686,81 $ n = ?

La durée de cet emprunt est de 15 ans. 100

log10 1,005

La durée de cet emprunt est de 18 mois ou 1,5 an.

1,912 5 = 0,127 5n 0,127 5 0,127 5

c) i = 12,5 % = 12,5 = 0,125

log10 1,093 927

n ≈ 18

15 727,50 = 5 400(1 + n × 0,127 5)

n=

C0 = 1 500 $

Cn = C0(1 + i)n

1,25 = 1 + 0,025n

C0 = 5 400 $

log10 1,18

n=3

C0 = 2 500 $

Cn = 3 125 $ n = ?

log10 1,643 032

La durée de ce placement est d’environ 43,78 trimestres, soit presque 11 ans.

≈ 35

La durée de ce placement est de 35 ans.

CM-32

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

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Le taux d’intérêt par période (année) est de 5,75 %.

Complément au manuel • p. 56

8.

Taux d’intérêt, intérêt simple, intérêt composé

e) n = 10

Niveau de difficulté : faible

a) n = 8

C0 = 1 450 $ Cn = 2 320 $

Cn = C0(1 + i)n

i=?

18 132,99 = 12 250(1 + i )10

Cn = C0(1 + n × i )

18 132,99 = 12 250 • (1 + i)10 12 250 12 250

2 320 = 1 450(1 + 8 × i )

1,480 244 = (1 + i )10

2 320 = 1 450(1 + 8 × i) 1 450 1 450

1

(1,480 244) 10 = 1 + i

1,6 = 1 + 8i

1,039 999 = 1 + i

0,6 = 8i 8 8

i ≈ 0,04

i = 0,075

Le taux d’intérêt par période (semestre) est de 4 %.

Le taux d’intérêt par période (année) est de 7,5 %. b) n = 3

C0 = 12 250 $ Cn = 18 132,99 $ i = ?

f) n = 45

C0 = 7 300 $ Cn = 10 585 $ i = ?

C0 = 20 000 $ Cn = 25 032,42 $ i = ? Cn = C0(1 + i)n

Cn = C0(1 + n × i )

25 032,42 = 20 000(1 + i )45

10 585 = 7 300(1 + 3 × i )

25 032,42 = 20 000 • (1 + i)45 20 000 20 000

10 585 = 7 300(1 + 3 × i) 7 300 7 300

1,251 621 = (1 + i )45

1,45 = 1 + 3i

1

0,45 = 3i 3 3

(1,251 621) 45 = 1 + i 1,005 = 1 + i

i = 0,15

i ≈ 0,005

Le taux d’intérêt par période (année) est de 15 %. c) n = 2,5

C0 = 5000 $ Cn = 5 648,63 $

9.

Cn = C0(1 + i)n 2,5

5 648,63 = 5 000 • (1 + i ) 5 000 5 000

PLACEMENT 1 : 5 000 $ qui rapportent un intérêt annuel simple de 5 % pendant 5 ans

1,129 726 = (1 + i )2,5 1

Cn = C0(1 + n × i )

(1,129 726) 2,5 = 1 + i

Cn = 5 000(1 + 5 × 0,05)

1,049 999 = 1 + i

Cn = 6 250 $

i ≈ 0,05 Le taux d’intérêt par période (année) est de 5 %. C0 = 5 200 $ Cn = 10 171,10 $ Cn = C0(1 + i)n 10 171,10 = 5 200(1 + i)12 10 171,10 = 5 200 • (1 + i)12 5 200 5 200

1,955 980 = (1 + i )12 1 (1,955 980) 12

=1+i

Valeur future, intérêt simple Niveau de difficulté : faible

5 648,63 = 5 000(1 + i)2,5

d) n = 12

Le taux d’intérêt par période (mois) est de 0,5 %.

i=?

i=?

PLACEMENT 2 : 5 000 $ qui rapportent un intérêt annuel simple de 3 % pendant 8 ans Cn = C0(1 + n × i ) Cn = 5 000(1 + 8 × 0,03) Cn = 6 200 $ Le premier placement aura la plus grande valeur à l’échéance.

1,057 499 = 1 + i i ≈ 0,0575 Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-33

10. Valeur future, durée d’un placement, intérêt composé Niveau de difficulté : moyen

a) i = 12,4 % = 12,4 = 0,124

n = 20

100

Complément au manuel • p. 57

12. Le jeu vidéo Résolution d’équations exponentielles, équivalence

C0 = 15 000 $ Cn = ?

entre les écritures exponentielle et logarithmique,

n

Cn = C0(1 + i )

logarithmes, loi du changement de base 20

Cn = 15 000(1 + 0,124)

Niveau de difficulté : faible

Cn ≈ 155 388,00 $ Au bout de 20 ans, la valeur de ce placement sera de 155 388 $. b) i = 12,4 % = 12,4 = 0,124

C0 = 15 000 $

100

a) f(x) = 38(3)x, où x est le nombre de semaines depuis la sortie du jeu vidéo et f(x), le nombre d’adeptes de ce jeu. b) f(8) = 38(3)8 = 249 318 Huit semaines après sa sortie, le jeu comptait 249 318 adeptes.

Cn = 1 274 122,21 $ n = ? Cn = C0(1 + i)n

c) n

1 274 122,21 = 15 000(1 + 0,124)

f(x) = 38(3)x 545 258 466 = 38(3)x

n

1 274 122,21 = 15 000 • (1,124) 15 000 15 000

545 258 466 = 38(3)x 38 38

84,941 481 = (1,124)n

14 348 907 = (3)x

n = log1,124 84,941 481 n=

x = log3 14 348 907

log10 84,941 481

n ≈ 38

x=

log10 1,124

log10 14 348 907

x = 15

Ce placement vaudra 1 274 122,21 $ dans 38 ans. 11. Valeur future, intérêt composé

log10 3

Le jeu aura 545 258 466 adeptes 15 semaines après sa sortie. 13. L’évaporation

Niveau de difficulté : moyen

Résolution d’équations exponentielles, équivalence 10

≈ 1 628,89 $

entre les écritures exponentielle et logarithmique,

20

≈ 2 653,30 $

logarithmes, loi du changement de base

a) Placement 1 : 1 000(1,05) Placement 2 : 1 000(1,05)

Non, la valeur à l’échéance du placement 2 ne sera pas le double de celle du placement 1 . b) Placement 1 : 1 000(1,05)10 ≈ 1 628,89 $ Placement 2 : 1 000(1,10)10 ≈ 2 593,74 $ Non, la valeur à l’échéance du placement 2 ne sera pas le double de celle du placement 1 . c) Placement 1 : 1 000(1,05)10 ≈ 1 628,89 $

Niveau de difficulté : faible

a) f(x) = 28,82(0,995)x, où x est le nombre de jours écoulés depuis le remplissage de la piscine et f(x), le volume d’eau dans la piscine en mètres cubes (m³) b) f(17) = 28,82(0,995)17 ≈ 26,465 9 m³ c)

22,66 = 28,82(0,995)x 22,66 = 28,82 • (0,995)x 28,82 28,82

Placement 2 : 2 000(1,05)10 ≈ 3 257,79 $

0,786 26 = 0,995x

Oui, la valeur à l’échéance du placement 2 sera le double de celle du placement 1 .

x = log0,995 0,786 26 x=

log10 0,786 26 log10 0,995

x ≈ 47,97 Le volume d’eau sera de 22,66 m3 environ 48 jours après le remplissage.

CM-34

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

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14. La perte de valeur d’un ordinateur

f(x) = 4 250(0,962)x

c)

Résolution d’équations exponentielles, équivalence

1 493 = 4 250(0,962)x

entre les écritures exponentielle et logarithmique,

1 493 = 4 250(0,962)x 4 250 4 250

logarithmes, loi du changement de base

0,351 294 = (0,962)x

Niveau de difficulté : moyen

x = log0,962 0,351 294

0,5 = (0,8)x ⇔ x = log0,8 0,5 x=

x=

log10 0,5 log10 0,8

log10 0,962

x ≈ 27,003

x ≈ 3,11 La valeur de l’ordinateur sera égale à la moitié de son prix initial dans environ 3,11 ans ou 3 ans et 1 mois. 15. Un camion qui se déprécie Résolution d’équations exponentielles, équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique,

La ville comptait 1 493 habitants 27 ans après 1988, soit en 2015. Complément au manuel • p. 58

17. La convention collective Résolution d’équations exponentielles, valeur future Niveau de difficulté : élevé

logarithmes, loi du changement de base

Soit x le salaire annuel d’une ou d’un employé.

Niveau de difficulté : moyen

On peut représenter la situation par f(x) = 45 837,29(0,79)x, où x est le nombre d’années depuis l’achat du camion et f(x), sa valeur en dollars. 10 000 = 45 837,29(0,79)x 10 000 = 45 837,29(1,79) 45 837,29 45 837,29

Salaire annuel selon la nouvelle convention collective : — À la fin des 3 premières années : x(1,025)3 = 1,076 890 625x — À la fin des 4 dernières années : 1,076 890 625x • (1,02)4 ≈ 1,165 661x

x

Salaire annuel dans 7 ans selon l’augmentation moyenne du coût de la vie : x(1,022 5)7 ≈ 1,168 539x

0,218 163 = (0,79)x ⇔ x = log0,79 0,218 163 x=

log10 0,351 294

log10 0,218 163 log10 0,79

Non, le salaire des employés n’aura pas augmenté autant que le coût de la vie.

x ≈ 6,46 Le camion vaudra moins de 10 000 $ dans 6 ans et demi environ. 16. Une population qui décroît Résolution d’équations exponentielles, équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique,

a) f(x) = 4 250(0,962)x, où x est le nombre d’années depuis 1988 et f(x), le nombre d’habitants de la ville.

En 2007, il y avait 2 036 habitants.

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Niveau de difficulté : moyen

n=6

C0 = 2 000 $ Cn = 3 500 $

i=?

3 500 = 2 000(1 + i)6

Niveau de difficulté : moyen

f(19) = 4 250(0,962)19 ≈ 2 035,707

Taux d’intérêt, intérêt composé

Cn = C0(1 + i)n

logarithmes, loi du changement de base

b) De 1988 à 2007, il s’est écoulé 19 ans.

18. Un voyage de fin d’études

3 500 = 2 000 • (1 + i )6 2 000 2 000 1

(1,75)6 = 1 + i 1,097 757 = 1 + i i ≈ 0,098 Le taux d’intérêt par période (semestre) devra être de 9,8 %.

Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-35

Montant de l’emprunt :

19. Chez l’antiquaire Résolution d’équations exponentielles, valeur future

48 000 − 36 076,16 = 11 923,84 $

Niveau de difficulté : moyen

Durée de l’emprunt :

Valeur de la montre de poche en 2004 : 175(1,02)24 = 281,476 519 ≈ 281,48 $

On a un taux d’intérêt annuel de 6 % = 6 = 0,06.

Valeur de la montre de poche en 2017 : 281,476 519(1,045)13 = 498,831 588 ≈ 498,83 $

i = 0,06 = 0,015

C0 = 11 923,84 $

4

100

Cn = 14 250,09 $ n = ? Cn = C0(1 + i)n

Complément au manuel • p.59

14 250,09 = 11 923,84(1 + 0,015)n

20. Cinq fois plus ?

14 250,09 = 11 923,84(1,015)n 11 923,84 11 923,84

Valeur future, intérêt composé

1,195 092 = (1,015)n

Niveau de difficulté : élevé

n = log1,015 1,195 092

Valeur du premier placement à l’échéance :

log10 1,195 092

i = 5,5 % = 5,5 = 0,055 n = 6 ans et 9 mois = 6,75

n=

C0 = 7 500 $

n ≈ 11,97

100

Cn = ?

log10 1,015

La durée de l’emprunt est de 12 trimestres, c’està-dire 3 ans.

Cn = C0(1 + i )n Cn = 7 500(1 + 0,055)6,75

22. Une harmonie mathématique

Cn ≈ 10 765,03 $ Valeur du deuxième placement à l’échéance : On a un taux d’intérêt annuel de 9 % = 9 = 0,09. 100

i = 0,09 = 0,007 5 n = 12,5 × 12 = 150 12

C0 = 10 765,03 $ Cn = ?

Résolution d’équations exponentielles Niveau de difficulté : moyen

À partir du la3 : F0 = 440 Hz

Cn = C0(1 + i )n

n = 39 (3 demi-tons de la3 à do4 + 2 × 12 demi-tons (1 octave) du do4 au do6)

Cn = 10 765,03(1 + 0,007 5)150

On a donc : F = 440 • 2 12 ≈ 2 093,004 5

Cn ≈ 33 019,73 $

La fréquence du do6 est de 2 093 Hz.

Capital accumulé par rapport au capital initial : 33 019,73 ≈ 4,4 7 500

Complément au manuel • p. 60

23. Un cadeau de naissance

À l’échéance de son nouveau placement, Andreja aura accumulé environ 4,4 fois son capital initial. Andreja n’a pas raison : la valeur de son avoir sera moins élevée que le quintuple de son capital initial. 21. L’héritage de Kiona

Valeur future, intérêt simple, intérêt composé Niveau de difficulté : élevé

Aînée : i = 12 % = 12 = 0,12

Valeur future, durée d’un placement, intérêt composé Niveau de difficulté : élevé

Valeur du placement au bout de 10 ans : i = 7,2 % = 7,2 = 0,072 100

n = 10

C0 = 18 000 $ Cn = ?

Cn = ?

100

n = 18

C0 = 5 000 $

Cn = C0(1 + n × i ) Cn = 5 000(1 + 18 × 0,12) Cn = 15 800 $ Cadet :

Cn = C0(1 + i )n 10

Cn = 18 000(1 + 0,072) Cn ≈ 36 076,16 $

CM-36

27

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

i = 8 % = 8 = 0,08 n = 18 C0 = 4 000 $ Cn = ?

Guide

100

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1 365 = 68,25(2,5)x

Cn = C0(1 + i )n

1 365 = 68,25 • (2,5)x 68,25 68,25

Cn = 4 000(1 + 0,08)18

20 = (2,5)x

Cn ≈ 15 984,08 $

x = log2,5 20

Benjamine : On a un taux d’intérêt annuel de 10 % = 10 = 0,1.

x=

100

i = 0,10 = 0,05 n = 2 × 18 = 36 2

C0 = 2 800 $

log10 20

log10 2,5

x ≈ 3,269

Cn = ?

Cette région sera reboisée dans environ 3,27 ans ou un peu plus de 3 ans et 3 mois.

n

Cn = C0(1 + i )

26. Voir la page suivante.

Cn = 2 800(1 + 0,05)36

Complément au manuel • p. 61

Cn ≈ 16 217,09 $ Il y a plus de 50 $ d’écart entre les montants accumulés et la benjamine recevra plus d’argent que les autres enfants, soit 16 217,09 $. C’est Diane qui a raison. 24. Résolution d’équations exponentielles, équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique, logarithmes, loi du changement de base

27. Le choix d’un plan d’épargne Versements périodiques de début de période, valeur future Niveau de difficulté : moyen

a)

PLAN A : i = 0,089 = 0,044 5 2

Niveau de difficulté : élevé

L’équation qui traduit cette situation est f(x) = 1 200(2)x, où x est le nombre de périodes de 5 minutes depuis la mise en ligne et f(x), le nombre de visionnements sur les réseaux sociaux. 1 000 000 = 1 200(2)x

n = 10

M = 600 $

Cn = ?

n Cn = M • (1 + i ) - 1 (1 + i )

i (1,044 5)10 - 1 (1,044 5) Cn = 600 • 0,044 5

Cn ≈ 7 683,13 $

1 000 000 = 1 200 • (2)x 1 200 1 200

PLAN B :

833,333 3 = 2x

x = log2 833,333 3

i = 0,09 = 0,007 5

x=

Cn = ?

12

log10 833,333 3 log10 2

n = 60

M = 100 $

n Cn = M • (1 + i ) - 1 (1 + i )

x ≈ 9,702 7 Le nombre de visionnements atteindra un million au bout d’environ 9,7 périodes de 5 minutes ou 48,5 minutes. 25. Le reboisement d’une forêt Résolution d’équations exponentielles, équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique, logarithmes, loi du changement de base Niveau de difficulté : élevé

i (1,007 5)60 - 1 (1,007 5) Cn = 100 • 0,007 5

Cn ≈ 7 598,98 $ b) Le plan d’épargne A rapporte le plus. Même si le taux d’intérêt est plus faible que celui du plan B et que la capitalisation des intérêts est moins fréquente, le fait de placer une plus grosse somme dès le départ fait en sorte que le montant des intérêts est plus élevé.

Soit x, le nombre d’années à partir de maintenant et f(x), la superficie reboisée. On traduit la situation par une règle de la forme f(x) = abx. La valeur de b correspond à 2,5 et celle de a (la superficie reboisée au départ), à 0,05 × 1 365 = 68,25, ce qui donne f(x) = 68,25(2,5)x. Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

Intersection, complément CST

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CM-37

Réponses de la page 60 26. La règle de 72 Résolution d’équations exponentielles, équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique, logarithmes, loi du changement de base, intérêt composé, durée d’un placement Niveau de difficulté : élevé

Taux d’intérêt ( %)

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Nombre d’années nécessaires pour le doublement (règle de 72)

24

18

14,4

12

10,29

9

8

7,2

6,55

6

Nombre d’années nécessaires pour le doublement (équation exponentielle)

23,45

17,67

14,21

11,90

10,24

9,01

8,04

7,27

6,64

6,12

Précision

0,977

0,982

0,987

0,992

0,995

0,999

0,995

0,990

0,986

0,980

Exemple des calculs pour un taux d’intérêt de 5 % : Règle de 72 : f(5) = 72 = 14,4 5

Équation exponentielle : 2 = (1 + i )x 2 = (1,05)x x = log1,05 2 = Précision : 14,21 ≈ 0,987

log10 2 log10 1,05

≈ 14,21

14,4

C’est avec un taux d’intérêt annuel de 8 % que la précision est optimale, soit 0,999.

28. L’épargne-étude

29. Le montant placé

Versements périodiques de début de période,

Versements périodiques de début de période,

valeur future

montant des versements

Niveau de difficulté : élevé

Niveau de difficulté : moyen

i = 0,045 = 0,003 75 12

i = 0,004 n = 12 × 15 = 180 Cn = 46 186,47 $ M = ?

n = 12 × 12 + 5 = 149

M = 50 × 130 % = 65 $ Cn = ? n Cn = M • (1 + i ) - 1 (1 + i )

M=

Cn • i n

((1 + i) - 1) • (1 + i)

i (1,003 75)149 - 1 (1,003 75) Cn = 65 • 0,003 75

M = (1,004180 - 1) • (1,004)

Cn ≈ 12 990,63 $

M ≈ 175,00 $

Ils auront accumulé un montant de 12 990,63 $.

Julia dépose 175 $ chaque mois.

CM-38

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

46 186,47 • 0,004

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30. Un plan d’épargne à long terme.

32. Le paiement par versements périodiques

Versements périodiques de début de période, durée

Versements périodiques de fin de période, montant

d’un placement

des versements

Niveau de difficulté : élevé

Niveau de difficulté : moyen

a) i = 0,04 Cn = 650 000 $ M = 2 500 $ n = ?

a) i = 0,299 = 0,024 916 ≈ 0,024 917

n

Cn = M • (1 + i ) - 1 (1 + i )

i n (1,04) - 1(1,04) 650 000 = 2 500 • 0,04 650 000(0,04) + 1 = 1,04n 2 500(1,04)

11 = 1,04n ⇔ n = log1,04 11 n=

n 650 000 = 2 500 • (1,08) - 1(1,08)

C0 • i

-

1 - (1 + i ) n 2 249,50 • 0,024 917 M = 1 - (1,024 917)-36 ≈ 95,372 147

c) 3 433,40 - 35 × 95,37 = 95,45 $ Le montant du dernier versement sera de 95,45 $. d) 3 433,40 - 2 249,50 = 1 183,90 $

0,08

Le montant des intérêts payés s’élèvera à 1 183,90 $.

650 000(0,08) + 1 = 1,08n 2 500(1,08)

20,259 259 = 1,08n ⇔ n = log1,08 20,259 259 n = log 20,259 259 log 1,08

Remarque : Les réponses peuvent varier si on utilise la valeur exacte du taux d’intérêt par période en a. 33. Le prêt auto

n ≈ 39,09 Si le taux de rendement annuel est de 8 %, il faudra un peu plus de 39 ans pour accumuler la même somme. Ce n’est pas la moitié du temps requis en a.

Versements périodiques de fin de période, montant des versements Niveau de difficulté : élevé

i = 0,084 = 0,007 n = 84 (7 ans) et n = 60 (5 ans)

Complément au manuel • p. 62

12

C0 = 9 200 $

31. Des versements de fin de période Versements périodiques de fin de période, montant

M=?

Terme de 7 ans : 9 200 • 0,007

M = 1 - (1,007)-84 ≈ 145,23 $ Terme de 5 ans :

des versements Niveau de difficulté : moyen

C0 • i

M=

Il versera un montant total de 3 334,40 $.

b) i = 0,08 Cn = 650 000 $ M = 2 500 $ n = ?

M=

C0 = 2 249,50 $ M = ?

b) 36 × 95,372 147 ≈ 3 433,397 3

log10 1,04

Il faudra environ 61 ans et 2 mois pour accumuler 650 000 $.

12

n = 36

Achim doit verser 95,37 $ chaque mois.

log10 11

n ≈ 61,14

i = 0,12 = 0,01

12

9 200 • 0,007

M = 1 - (1,007)-60 ≈ 188,31 $ Bianca devrait choisir un terme de 7 ans.

n = 24 C0 = 1 500 $ M = ?

-

1 - (1 + i ) n 1 500 • 0,01 M = 1 - 1,01-24 = 70,610 2… ≈ 70,61 $

Remarque : Le dernier versement exigé pourrait être un peu plus élevé que 70,61 $ pour compenser l’arrondissement à la baisse. Plusieurs institutions financières choisissent plutôt d’arrondir à la hausse, le cas échéant, de sorte que le dernier versement soit inférieur aux autres.

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CM-39

Chapitre

La probabilité subjective et l’espérance mathématique Entrée en matière En contexte Complément au manuel • p. 66

1. a) Il y a 620 élèves qui ont voté. Il y a 395 élèves de 2e cycle. 395 = 79 ≈ 64 % 620 124

La probabilité que la première personne choisie soit une ou un élève du 2e cycle est d’environ 64 %. b) La probabilité que les deux personnes choisies soient des élèves de la 3e année est de : 125 • 124 = 25 ≈ 4 % 620 619 619

La probabilité que les deux personnes choisies soient des élèves de la 3e année du 2e cycle est d’environ 4 %. c) 318 élèves sur 620 ont voté « oui » et 302 élèves ont voté « non ». Donc il y a plus d’élèves en faveur d’une nouvelle structure de représentation que d’élèves qui y sont opposés. 2. a) Les élèves du 1er cycle ont sûrement formulé cette plainte. En effet, les élèves de ce cycle qui sont allés voter ont très majoritairement voté pour le statu quo. De plus, les élèves de ce cycle représentent près de la moitié des élèves de l’école (49,4 %), mais ils ne sont pas allés voter en assez grand nombre pour faire valoir leur opinion. Pour les mêmes raisons, les élèves de la 1re année du 2e cycle ont, eux aussi, pu formuler une plainte. b) Dans ce cas, 347 élèves sur 770 auraient voté « oui » et 423 élèves auraient voté « non ». Le résultat du référendum n’aurait pas été le même. Il y aurait eu environ 45 % des élèves en faveur de la nouvelle structure de représentation et environ 55 % des élèves contre cette nouvelle structure.

B

Complément au manuel • p. 67

3. a) 4 • 3 • 2 • 1 = 24 possibilités Il est possible de former 24 têtes du parlement différentes. b) 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 possibilités Il est possible de former 720 conseils des ministres différents.

En bref Complément au manuel • p. 68

1. a) 3 – 1 – 4 – 2 2. a) Les événements 1 et 3 b) L’événement 1 : 4 ou 1 52

13

L’événement 2 : 6 ou 1 6 L’événement 3 : 1 8

3. a) Le salaire horaire moyen est d’environ 19,71 $/h. b) Il y a 51 employés dans l’entreprise. Il y a 11 employés qui gagnent plus de 20 $ l’heure. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans le personnel de cette entreprise gagne plus de 20 $ l’heure est de 11 ou environ 21,6 %. 51

4. a) 10 • 10 = 100 ou 5 20

19

380

19

La probabilité de tirer une lettre d’abord et un chiffre ensuite est de 5 . 19

b) 10 • 9 = 90 ou 9 20

19

380

38

La probabilité de tirer deux lettres est de 9 . 38

(

)= )+(

c) 2 3 • 5

(

20

19

3 • 5 20 19

30 = 3 ou 380 38

)

5 • 3 = 15 + 15 = 3 20 19 380 380 38

La probabilité de tirer une voyelle et un multiple de 2 est de 3 . 38

CM-40

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

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Section

1 La probabilité subjective

À chacun sa force Complément au manuel • p. 69

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Pour obtenir un portrait global de la situation, on analyse d’abord les forces et les faiblesses de chaque participant. Nom

Forces

Faiblesses

Analyse

– Basketball – Golf (peu d’essais)

– Tir à l’arc – Commentaire négatif d’Émile à son endroit

– Basketball en 1 choix, golf en 2e choix

– Basketball – Tir à l’arc (peu d’essais) – Elle affirme être meilleure lorsque ça compte.

– Golf

– Basketball en 1er choix, tir à l’arc en 2e choix

Dinara

– Tir à l’arc (moyen) – Basketball (peu d’essais) – Elle affirme qu’elle se sent prête.

– Golf

Il est difficile d’identifier une épreuve où elle est vraiment forte. Surtout que le basket semble déjà devoir être attribué à Alix ou à Béatrice. Elle s’est cependant beaucoup entraînée au tir à l’arc, contrairement à la plupart des participants.

Émile

– Basketball (peu d’essais) – Tir à l’arc (peu d’essais)

– Golf – Commentaire d’Alix à son endroit

Alix a remarqué qu’Émile ne s’était pas entraîné sérieusement (on peut le voir dans le nombre d’essais qu’il a faits par rapport aux autres participants). Ses deux forces sont dans des épreuves qui seront probablement comblées par des personnes ayant fait plus d’essais, donc ayant des résultats plus représentatifs de leurs habiletés. Émile pourrait être retenu pour le golf, puisque les performances de tous ceux qui ont effectué un plus grand nombre d’essais sont relativement semblables.

Alix

Béatrice

er

Le commentaire d’Émile fait qu’on devrait hésiter à la prendre pour remplaçante.

Son commentaire et le fait qu’elle est relativement forte dans toutes les épreuves font qu’elle pourrait être remplaçante.

Cette première analyse de l’information disponible permet de proposer au moins deux scénarios. On doit ensuite déterminer lequel maximisera les chances de réussite de l’équipe. Scénario 1 Tir à l’arc : Dinara — Basketball : Béatrice Golf : Alix — Remplaçant : Émile

Scénario 2 Tir à l’arc : Émile — Basketball : Alix Golf : Dinara — Remplaçante : Béatrice

Forces

Faiblesses

Forces

Faiblesses

– Chaque épreuve est assurée par la personne qui a été la meilleure à l’entraînement.

– Alix a effectué peu d’essais au golf. – Le fait de nommer Émile comme remplaçant ne permet pas d’exploiter ce rôle de façon stratégique.

– Béatrice est bonne dans toutes les épreuves, c’est donc une bonne stratégie de la nommer remplaçante.

– Dinara a un peu de difficulté au golf. – Émile a fait peu d’essais au tir à l’arc.

Puisque le scénario 1 semble considérer davantage les forces et les faiblesses de chaque participant, il pourrait permettre de maximiser les chances de réussite de l’équipe.

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Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-41

ACTIVITÉ d’exploration

Ai-je bien compris ?

1

Calculer, estimer ou évaluer ?

Complément au manuel • p. 70 A

Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : 1) L’événement 9 2) L’événement 2

B

C

Plusieurs bonnes réponses sont possibles en A, car certains événements font appel à une évaluation personnelle basée à la fois sur des connaissances et des opinions au sujet de ces événements. Les événements 3 ,

10

et

11

Événement 1 : Probabilité théorique, car il existe un modèle théorique de la situation. Événement 2 : Probabilité fréquentielle, car on doit l’estimer à partir de résultats observés dans une expérience aléatoire. Événement 3 : Probabilité subjective, car on doit faire appel à son jugement pour l’évaluer. Événement 4 : Probabilité subjective, car on doit faire appel à son jugement pour l’évaluer. Événement 5 : Probabilité théorique, car il existe un modèle théorique de la situation. Événement 6 : Probabilité fréquentielle, car on doit l’estimer à partir de résultats observés dans une expérience aléatoire.

Complément au manuel • p. 71 D

Pour l’événement 3 : 1

13

Pour l’événement

10

: 1 2

Pour l’événement

11

: 1

18

E

Les événements 2 , 4 , 8 et 9

F

Les événements 1 , 5 , 6 et 7

G

C’est la probabilité subjective qui donne lieu à des évaluations différentes, car ce type de probabilité fait appel à un jugement. L’évaluation est donc différente d’une personne à l’autre.

H

Probabilité théorique : Est-ce qu’il existe un modèle théorique de la situation qui me permettra de calculer cette probabilité ? Probabilité fréquentielle : Dois-je effectuer une expérience aléatoire ou ai-je les résultats d’une expérience aléatoire pour estimer la probabilité associée à cette situation ?

ACTIVITÉ d’exploration

A

2) Observer que la prochaine tartine de confiture que tu échappes sur le sol tombe du côté non tartiné. 3) Observer que ton meilleur ami oublie sa calculatrice le jour d’un examen de mathématique.

CM-42

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Le cheval Omaha et le cheval Secretariat. Ce sont ces deux chevaux qui ont gagné par le plus de longueurs d’avance au total pour les deux premières courses. De plus, Omaha semble être avantagé génétiquement et Secretariat a établi un record de vitesse aux deux premières courses. Enfin, Secretariat est celui qui a le plus de victoires en carrière.

B

Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : Le nom de l’entraîneur, les conditions météo le jour de la course, l’opinion des experts quant à la victoire d’un cheval le jour de la course, etc.

C

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Tim Tam est un autre cheval qui pourrait avoir remporté la Triple Couronne. Les arguments suivants peuvent justifier ce choix : – Il a le deuxième plus grand nombre de victoires en carrière ;

Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : 1) Dans le portefeuille de Jonathan, il y a 3 billets de 5 $ et 4 billets de 10 $. S’il prend un billet dans ce portefeuille sans regarder, quelle est la probabilité qu’il tire un billet de 5 $ ?

La triple Couronne

Complément au manuel • p. 72

Probabilité subjective : Dois-je faire appel à mon jugement pour l’évaluation de cette probabilité ? D’autres personnes pourraient-elles l’évaluer d’une façon différente de la mienne ? I

2

– Il semble être avantagé génétiquement par ses deux parents. Complément au manuel • p. 73 D

1) 17 : 12 2) 12 : 17

E

Non, la valeur d’une probabilité est toujours comprise dans l’intervalle [0, 1]. Ce n’est pas le cas pour les « chances pour » et les « chances contre ».

Guide

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F

En additionnant les deux nombres formant un rapport « chances pour » ou « chances contre », on obtient le dénominateur de la probabilité qui y est associée. Les « chances pour » qu’Omaha gagne la course sont de 17 : 12. En additionnant les nombres 17 et 12, on obtient 29. Selon les experts, la probabilité qu’Omaha gagne la course est de 17. 29

G

Il s’agit d’une probabilité subjective.

H

1) 5

a) La probabilité que notre produit nettoyant tue les germes est de 99,9. 100

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Il s’agit d’une probabilité fréquentielle. Cette probabilité est une estimation faite à partir de résultats observés dans une expérience aléatoire qui a été effectuée un grand nombre de fois. 3. Niveau de difficulté : faible

7

a) On peut associer chacune de ces affirmations à une probabilité subjective, car elles font appel au jugement et correspondent à une évaluation personnelle basée à la fois sur des connaissances et sur des opinions.

2) 1 3

3) 4 9

I

2. Niveau de difficulté : faible

Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

1) Les « chances pour » qu’on choisisse au hasard un billet de 5 $ dans un portefeuille sont de 7 : 2.

5 Un jeune enfant qui suce son pouce devra

2) Les « chances pour » que la page de gauche d’un roman se termine par un point sont de 1: 7.

6 Il faut toucher du bois lorsqu’on fait remarquer à

Ai-je bien compris ? 1. Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

10

b) J’évalue que la probabilité qu’une de mes amies oublie ses clés est de 1 . 100

c) J’évalue que la probabilité qu’il pleuve dans cinq jours est de 50 . 100

2. a) Les « chances pour » sont de 1: 3 et les « chances contre » sont de 3 : 1. b) Les « chances pour » sont de 3 : 2 et les « chances contre » sont de 2 : 3. c) Les « chances pour » sont de 99 : 1 et les « chances contre » sont de 1: 99. 8

b) 7 9

quelqu’un qu’on a été à l’abri de la malchance depuis un certain temps, sinon notre période de chance cessera. Complément au manuel • p. 78

a) J’évalue que la probabilité que tous mes amis soient présents à l’école mardi prochain est de 9 .

3. a) 3

nécessairement porter des broches plus tard.

c) 7

4. Niveau de difficulté : faible a) La probabilité que le gobelet tombe en position debout est de 207 = 8,28 %. 2 500

b) On peut estimer que le gobelet tombera en position couchée environ 2 293 fois. c) Elles sont basées sur une expérience aléatoire. Il n’existe pas de modèle mathématique pour cette situation, et le jugement n’entre pas en jeu pour la détermination de la probabilité. 5. Niveau de difficulté : faible L’événement A est associé au rapport 4 . L’événement B est associé au rapport 1 . L’événement C est associé au rapport 3 .

11

Mise en pratique

L’événement D est associé au rapport 2 . 6. Niveau de difficulté : moyen

Complément au manuel • p. 77

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

1. Niveau de difficulté : faible a) Probabilité théorique

f) Probabilité fréquentielle

b) Probabilité subjective

g) Probabilité théorique

c) Probabilité théorique

h) Probabilité subjective

d) Probabilité théorique

i) Probabilité fréquentielle

e) Probabilité subjective

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On peut observer que la température semble perdre un degré en passant d’une ville à l’autre : ainsi, avant-hier la température était de 15 °C à Detroit, puis de 14 °C hier à Toronto, et enfin de 13 °C aujourd’hui à Montréal. Le vent semble perdre de l’intensité lorsqu’il passe d’une ville à l’autre, et le même phénomène semble se répéter en ce qui concerne les précipitations. D’après ces observations, voici les prévisions météorologiques pour demain et après-demain à Montréal.

Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-43

Demain

Après-demain

Vents faibles

Pas de vent

Faibles averses

Nuageux

8 ºC

7 ºC

Complément au manuel • p. 79

7. Niveau de difficulté : faible Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : a) 1 – 2 – 3 – 5 – 4 b) Le nombre de joueurs blessés dans l’équipe et l’endroit où le match sera joué (à l’extérieur ou à domicile) sont d’autres facteurs qui pourraient influer sur le fait que l’Impact remporte son prochain match. c) La probabilité que l’Impact remporte son prochain match est de 75 %. 8. Niveau de difficulté : faible

6) Les « chances pour » sont de 4 : 3

et les « chances contre » sont de 3 : 4. b) 1) 8

3)

9 14

5) 11 16

8 9

4)

7 9

6) 13 22

11

2)

11. Niveau de difficulté : faible a) Cet énoncé est faux. Les « chances pour » et les « chances contre » font intervenir le nombre de cas favorables et le nombre de cas défavorables, alors qu’une probabilité fait intervenir le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles. Les deux rapports expriment donc des choses différentes. b) Cet énoncé est vrai. Puisque le produit du rapport « chances pour » et du rapport « chances contre » d’une situation donnée est égal à un entier, si un des rapports est inférieur à un entier, l’autre doit nécessairement être supérieur à un entier. Le rapport « chances pour » est en fait l’inverse multiplicatif du rapport « chances contre » pour une situation donnée.

a) 1) Nadia se base sur une expérience. 2) Nadia se base sur une opinion.

c) Cet énoncé est faux. Il s’agit en fait

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

d) Cet énoncé est vrai. À partir de cette probabilité, on peut déterminer qu’il existe 5 cas favorables et 3 cas défavorables (8 − 5 = 3).

Elle ne connaît pas encore les concepts sur lesquels portera son évaluation. D’autre part, elle pourrait être malade et ne pas être dans un bon état physique et mental, ce qui pourrait influer sur le résultat de son évaluation. 9. Niveau de difficulté : moyen Le rapport « chances pour » est le rapport des cas favorables (numérateur) aux cas défavorables (dénominateur). Or, s’il est certain qu’un événement se réalise, il n’y a pas de cas défavorables et le dénominateur d’un rapport ne peut égaler zéro.

d’une probabilité de 2 . 7

e) Cet énoncé est vrai. Par exemple, si les « chances pour » sont de 3 : 3, la probabilité que cet événement se produise est de 3 ou 1 . 12. Niveau de difficulté : moyen

6

2

a) La probabilité que la carte choisie au hasard soit noire est de 3 . Alors, la probabilité que la carte 5

choisie au hasard soit rouge est de 2 . 5

b) La probabilité que la carte choisie au hasard soit une carte de trèfle est de 60 % ou de 3 . Alors,

Complément au manuel • p. 80

5

la probabilité que la carte choisie ne soit pas une

10. Niveau de difficulté : faible

carte de trèfle est de 2 . Les « chances pour » sont 5 de 2 : 3.

a) 1) Les « chances pour » sont de 3 : 5 et les « chances contre » sont de 5 : 3. 2) Les « chances pour » sont de 1: 7

et les « chances contre » sont de 7 : 1. 3) Les « chances pour » sont de 2 : 1

et les « chances contre » sont de 1: 2.

c) Les réponses doivent satisfaire aux trois contraintes suivantes : – Il doit y avoir 4 figures sur les 5 cartes. – Il doit y avoir 3 cartes de trèfle sur les 5 cartes. – Il ne doit pas y avoir de cartes de pique.

4) Les « chances pour » sont de 2 : 15

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Premier ensemble : {valet de trèfle, roi de trèfle, dame de cœur, roi de carreau et 8 de trèfle} Deuxième ensemble : {roi de trèfle, valet de trèfle, valet de cœur, dame de cœur et 4 de trèfle}

et les « chances contre » sont de 15 : 2. 5) Les « chances pour » sont de 12 : 25

et les « chances contre » sont de 25 : 12.

CM-44

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

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Section

2 L’espérance mathématique

Salle 4 : Deux billets pour un match de hockey junior (coûte 0 $ aux organisateurs) On estime le coût total que les organisateurs doivent débourser pour acquérir les lots :

Tout le monde y gagne !

P(Salle 1 ) : 250 • 1 = 250

Complément au manuel • p. 81

P(Salle 2 ) : 42 • 40 = 1 680

On trace un diagramme en arbre pour calculer les probabilités associées à chaque salle :

P(Salle 3 ) : 208 • 4 = 832 P(Salle 4 ) : 500 • 0 = 0 Avec cette répartition des lots et 1 000 participants, les organisateurs peuvent s’attendre à débourser un montant de 2 762 $. Comme l’objectif est de recueillir au moins 3 000 $, les droits d’entrée doivent rapporter au moins 5 762 $. Puisqu’on estime qu’il y aura 1 000 participants, chaque participant devrait payer un droit d’entrée de 5,76 $ ou de 5,77 $. On suggère donc aux organisateurs de fixer le droit d’entrée à 6 $.

ACTIVITÉ d’exploration

Voici la probabilité associée à chacune des salles. P(Salle 1 ) : 1

A

E(Toupie) = 25 (0) + 30 (1) + 25 (−2) + 20 (3) 100

100

100

100

100

100

100

5

L’espérance mathématique de cette toupie est de 2 .

Salle 1 : 250 personnes Salle 2 : 42 personnes

5

B

Dans le présent contexte, l’espérance mathématique signifie qu’en jouant un très grand nombre de fois à ce jeu on peut s’attendre à gagner 2 d’un chocolat 5 par tour en moyenne.

C

Si les résultats que Cynthia a placés sur les faces de sa toupie étaient équiprobables, l’espérance mathématique ne serait pas la même :

Salle 3 : 208 personnes

E(Toupie) = 1 (0) + 1 (1) + 1 (−2) + 1 (3)

Salle 4 : 500 personnes

4

Afin que la somme déboursée par les organisateurs pour les lots soit la moins élevée possible, le lot qui coûte le plus cher doit être dans la salle la moins fréquentée, et ainsi de suite. On suggère donc aux organisateurs de répartir les lots de la façon suivante :

4

4

4

E(Toupie) = 1 − 2 + 3 = 2 = 1 4

4

4

4

2

On aurait une chance sur deux d’obtenir un chocolat lorsque c’est à son tour de jouer. D

E(Toupie) = 25 (−1) + 30 (1) + 25 (−2) + 20 (3) 100

100

100

100

−25

− E(Toupie) = + 30 + 50 + 60 = 15 = 3 100 100 100 20 100 100

L’espérance mathématique aurait été de 3 . 20

Salle 3 : Deux laissez-passer pour le cinéma (coûte 4 $ aux organisateurs)

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100

E(Toupie) = 30 − 50 + 60 = 40 = 2

À partir de ces probabilités, voici l’estimation du nombre de participants qui aboutiront dans chacune des salles lors de cet événement-bénéfice, en considérant qu’il y a 1 000 participants :

Salle 2 : Un souper au restaurant pour deux (coûte 40 $ aux organisateurs)

Partage de coutume

Complément au manuel • p. 82

4 P(Salle 2 ) : 1 24 P(Salle 3 ) : 5 24 P(Salle 4 ) : 1 2

Salle 1 : Un porte-clés de l’événement (coûte 1 $ aux organisateurs)

1

Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-45

Complément au manuel • p. 83 E

C

Le changement dont il est question à la question D est susceptible d’augmenter le nombre de tours nécessaires pour que la mise soit vide. En effet, il fait en sorte qu’à chaque tour on peut s’attendre à gagner 3 d’un chocolat, en moyenne, alors qu’on 20

pouvait auparavant s’attendre à gagner 2 8 d’un 5 20 chocolat, en moyenne. F

x : le résultat qui remplace « Prends 1 » 25 (0) + 30 (x) + 25 (−2) + 20 (3) = 1 100 100 100 100

2) 2,22 $ (7,22 − 5) 3) –2,78 $ (7,22 − 10) Complément au manuel • p. 85 D

Il est avantageux de participer au jeu avec les mises de 1 $ et de 5 $.

E

Le prix à payer devrait être de 7,22 $.

F

On calcule l’espérance mathématique de ce plan incliné avec les nouveaux lots à gagner : E(Plan) = 50 2 + 5 12 + 1 30 + 0 20

30x − 50 + 60 = 100 100 100 100 100

64

64

30x = 90

Probabilité

64

64

L’espérance mathématique du plan avec les nouveaux lots est d’environ 2,97 $. Le prix à payer est donc de 2,97 $ puisque le prix à payer pour participer doit être le même que l’espérance mathématique du plan incliné pour que le jeu soit équitable.

Ai-je bien compris ? c) 0,875

G

20

8

15

–10

15 %

25 %

20 %

40 %

8

20

–10

15

15 %

25 %

20 %

40 %

20

–10

8

15

15 %

25 %

20 %

40 %

Résultat

64

64

Sur la toupie, il faudrait remplacer « Prends 1 » par « Prends 3 ».

2. a)

64

E(Plan) = 190 = 2,968 75

x=3

b) 1,125

64

E(Plan) = 100 + 60 + 30

30x − 50 + 60 = 100

1. a) 0,75

1) 6,22 $ (7,22 − 1)

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : 1)

1$

5$

10 $ 20 $ 12 $

2$

0$

2$

10 $ 20 $

E(Plan) = 573 32

b)

Résultat Probabilité

c)

Résultat Probabilité

2

Le Plinko

0$

64

32

Ai-je bien compris ?

64



3,30 $

2)



4,30 $

64

64

Complément au manuel • p. 88

E(Plinko) = 2 + 60 + 400 = 462 = 231 ≈ 7,22

1. Niveau de difficulté : faible

L’espérance mathématique est d’environ 7,22 $.

2. Niveau de difficulté : moyen

64

64

64

32

Dans ce contexte, l’espérance mathématique signifie qu’en jouant un très grand nombre de fois à ce jeu on peut s’attendre à gagner 7,22 $ chaque fois, en moyenne.

CM-46

1$

Mise en pratique

E(Plinko) = 2 (1) + 12 (5) + 30 (0) + 20 (20) 64

B

5$

E(Plan) = 167

b) 1)

Complément au manuel • p. 84 A

12 $

a) La probabilité de ne rien gagner est de 1 977, 2 000 soit 98,85 %.

ACTIVITÉ d’exploration

2)

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

a) 0

b) 1

c) 0,375

a) E(Jeu) = 1(−1) + 1(2) + 1(−3) + 1(4) + 1(−5) + 1(6) 6

E(Jeu) = 0,5

Guide

6

6

6

6

6

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b) Si elle joue un très grand nombre de tours, Roseline peut s’attendre à avancer de 0,5 case, en moyenne, à chaque tour. 0,5 • 30 = 15 Roseline peut s’attendre à avancer de 15 cases, en moyenne, si elle joue 30 tours.

b) E(Jeu) = 1 (5) + 3 (−1) = 0,5 4

Complément au manuel • p. 89

7. Niveau de difficulté : moyen a) Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

3. Niveau de difficulté : faible a) E(Bon) = 1 (0,40) + 2 (0,30) + 2 (0,20) + 15(0,10) 20 20 20 20 E(Bon) = 0,145

L’espérance mathématique d’un bon de réduction est de 14,5 %. b) 75 • 0,145 ≈ 10,88 Une personne peut espérer économiser environ 10,88 $ sur un achat de 75 $. 4. Niveau de difficulté : moyen Pour résoudre ce problème, on peut représenter l’espérance mathématique à l’aide d’une équation.

1) L’espérance mathématique de la somme

des résultats obtenus lors du lancer de deux dés est égale à la somme de l’espérance mathématique des deux dés, soit 7. 2) L’espérance mathématique du produit des

résultats obtenus lors du lancer de deux dés est égale au produit de l’espérance mathéma­ tique des deux dés, soit 12,25. b) 1) On peut représenter l’ensemble des possibilités de la somme obtenue lors du lancer de deux dés dans un tableau. 1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

22 + 2x = 32

4

5

6

7

8

9

10

2x = 10

5

6

7

8

9

10

11

x=5

6

7

8

9

10

11

12

E(Dé) = 4 2 (2) + 2 (3) + 2 (6) + 2 (x) = 4 8 8 8 8 4 + 6 + 12 + 2x = 4 8

E = 1 (2) + 2 (3) + 3 (4) + 4 (5) + 5 (6) +

Le quatrième chiffre sur le dé à huit faces est 5.

36

5. Niveau de difficulté : faible E(Tirage) =

4

L’espérance mathématique de ce jeu est de 0,5 point.

10 (50) + 4 (100) + 1 000 1 000

36

36

36

1 (12) = 7 36

1 (500) + 985 (0) 1 000 1 000

La conjecture est vraie, car 3,5 + 3,5 = 7.

E(Tirage) = 1,40 L’espérance mathématique de ce tirage est de 1,40 $.

2) On peut représenter l’ensemble des possibilités

dans un tableau.

6. Niveau de difficulté : moyen a) Si on lance trois pièces de monnaie, il y a huit résul­ tats possibles dont deux représentent trois pièces qui montrent la même face : (F, F, F) et (P, P, P). 1) 2 = 1 8 4

La probabilité de gagner 5 points est de 1 . 4

2) 4 − 1 = 3 4 4 4

La probabilité de perdre 1 point est de 3 . 4

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36

6 (7) + 5 (8) + 4 (9) + 3 (10) + 2 (11) + 36 36 36 36 36

1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

6

2

2

4

6

8

10

12

3

3

6

9

12

15

18

4

4

8

12

16

20

24

5

5

10

15

20

25

30

6

6

12

18

24

30

36

Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-47

E = 1 (1) + 2 (2) + 2 (3) + 3 (4) + 2 (5) + 36

36

36

36

36

4 (6) + 2 (8) + 1 (9) + 2 (10) + 4 (12) + 36 36 36 36 36

10. Niveau de difficulté : moyen a) On peut calculer l’espérance mathématique de cette loterie sans tenir compte du prix du billet.

2 (15) + 1 (16) + 2 (18) + 2 (20) + 36 36 36 36

E(Loterie) =

2 (24) + 1 (25) + 2 (30) + 1 (36) = 12,25 36 36 36 36

La conjecture est vraie, car 3,5 × 3,5 = 12,25. 8. Niveau de difficulté : moyen a) E = 0,10(2 000) + 0,20(1 500) + 0,70(200) = 640 b) Il faut déterminer l’espérance mathématique du nombre d’employés nécessaires en tenant compte des probabilités du bulletin météo. E = 0,10(40) + 0,20(32) + 0,70(16) = 21,6 La direction du parc devrait faire travailler environ 22 employés le 23 juillet. Complément au manuel • p. 90

9. Niveau de difficulté : moyen On peut représenter l’ensemble des possibilités dans un tableau. 1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

5

6

7

8

9

6

7

8

9

10

1 (500 000) + 2 000 000 9 (50 000) + 2 000 000 90 (5 000) + 2 000 000 900 (500) + 2 000 000 9 000 (5) + 2 000 000 1 990 000(0) ≈ 0,95 2 000 000

1) 0,95 – 1 ≈ −0,05 $ 2) 0,95 – 2 ≈ −1,05 $ 3) 0,95 – 5 ≈ −4,05 $

b) Pour qu’un jeu soit équitable, le prix demandé pour jouer doit être égal à l’espérance mathématique calculée en a. Le prix du billet devrait donc être d’environ 0,95 $. 11. Niveau de difficulté : faible On peut représenter l’ensemble des possibilités dans un tableau. 1

2

3

4

5

6

1

0

1

2

3

4

5

10

2

1

0

1

2

3

4

10

11

3

2

1

0

1

2

3

11

12

4

3

2

1

0

1

2

5

4

3

2

1

0

1

6

5

4

3

2

1

0

La probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 9 est de 10 . 36

La probabilité d’obtenir une somme inférieure ou égale à 4 est de 6 . 36

La probabilité d’obtenir une somme supérieure à 4, mais inférieure à 9 est de 20 . 36 10 6 20 a) E = (2) + (3) + (−1) = 0,5 36 36 36

b) En moyenne, on peut espérer obtenir 0,5 point à chaque lancer des dés. Si x représente le nombre de lancers des dés : 0,5x = 10 x = 20 Si on joue un très grand nombre de fois, il faut lancer 20 fois les dés, en moyenne, pour accumuler 10 points à ce jeu.

La probabilité que Ian gagne est de 6 . 36

On peut calculer l’espérance mathématique du jeu selon la perspective de Ian : 6 (10) + 30 (−8) = −5 36 36

Puisque l’espérance mathématique est négative, et qu’elle est calculée selon la perspective de Ian, ce jeu lui est défavorable. Il ne devrait donc pas accepter la proposition de Charlotte. Complément au manuel • p. 91

12. Niveau de difficulté : moyen En supposant que, de tous les nouveau-nés, autant soient de sexe masculin que de sexe féminin, la probabilité que madame Mallou prédise le bon sexe est de 1 . 2

CM-48

Corrigé du manuel Intersection, complément CST

Guide

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On peut calculer l’espérance mathématique selon la perspective des parents : E(variation de l’argent dans le portefeuille) = P(Mme Mallou ait prédit correctement) • (variation de l’argent dans le portefeuille) + P(Mme Mallou ait prédit incorrectement) • (variation de l’argent dans le portefeuille) E(variation de l’argent dans le portefeuille) =

Consolidation Complément au manuel • p. 92

1.

Niveau de difficulté : faible

a) La probabilité d’obtenir un diviseur de 6 est de 70 %. b) Cette probabilité est différente, car elle est déterminée à partir d’un petit nombre de réalisations de l’expérience aléatoire.

1 (−20) + 1 (10) = −5 $ 2 2

La valeur négative de l’espérance mathématique nous indique que cette façon de faire est défavorable aux parents et favorable à madame Mallou.

c) Si l’on considère que le dé est régulier, il vaut mieux se fier à la probabilité théorique, car les résultats observés devraient se rapprocher de la probabilité théorique à mesure qu’augmente le nombre de lancers.

Un couple qui désire connaître le sexe de son bébé ne devrait pas faire appel aux services de madame Mallou. 13. Niveau de difficulté : moyen

Distinction entre différents types de probabilités

2.

On peut représenter l’ensemble des possibilités par un diagramme en arbre.

« Chances pour » et « chances contre » Niveau de difficulté : faible

a) Les « chances pour » l’obtention d’un as tiré d’un jeu de 52 cartes sont de 1: 12. b) Les « chances pour » l’obtention d’un côté pile trois fois de suite sont de 1: 7. c) Les « chances pour » l’observation d’une date d’anniversaire d’une personne née en janvier qui soit un nombre premier sont de 11: 20. 3.

« Chances pour » et « chances contre » Niveau de difficulté : faible

a) La probabilité d’une victoire des Canadiens de Montréal à leur prochain match est de 3 . 5

b) La probabilité d’une victoire du boxeur québécois Jean Pascal est de 7 .

a) 1 + 1 + 1 = 2 6 3 6 3

La probabilité d’accéder à la salle 1 est de 2 . 3

b) 1 + 1 = 1 6

6

3

La probabilité d’accéder à la salle 2 est de 1 . 3

On calcule l’espérance mathématique du labyrinthe :

4.

« Chances pour » et « chances contre », espérance mathématique Niveau de difficulté : moyen

La probabilité d’obtenir un 5 est de 4 et celle d’obtenir un 2 est de 3 .

2 (5) + 1 (100) ≈ 36,67 3 3

7

7

On calcule l’espérance mathématique :

L’espérance mathématique de ce labyrinthe est d’environ 36,67 $. c) Le prix à payer pour participer au jeu pour qu’il soit un jeu équitable est d’environ 36,67 $.

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11

E(Jeu) = 4 (5) + 3 (2) ≈ 3,71 7

7

L’espérance mathématique de ce jeu est d’environ 3,71.

Intersection, complément CST

Guide Corrigé du manuel

CM-49

8.

Complément au manuel • p. 93

5.

Espérance mathématique, équité Niveau de difficulté : moyen

Espérance mathématique

a) On calcule l’espérance mathématique du jeu 1 :

Niveau de difficulté : moyen

E(Jeu 1) = 1 (12) + 7 (−3) = −1,125 $

On détermine l’espérance mathématique d’un dé non truqué :

8

On calcule l’espérance mathématique du jeu 2 :

E(Dé non truqué) = 1 (1) + 1 (2) + 1 (3) + 1 (4) + 6 6 6 6 1 (5) + 1 (6) = 3,5 6 6

E(Jeu 2) = 6 (12) + 30 (−3) = −0,50 $ 36

16 32 2 1 (5) + 1 (6) = 3,5 4 16

32

b) En additionnant le prix demandé pour participer, soit 3 $, à l’espérance mathématique de chacun des jeux, on obtient le prix qui rendrait chaque jeu équitable :

L’espérance mathématique de ce dé truqué est égale à celle d’un dé non truqué. 6.

Jeu 1 : 3 − 1,125 = 1,875

« Chances pour » et « chances contre »

Il faudrait payer 1,88 $ pour que ce jeu soit équitable.

Niveau de difficulté : moyen

Jeu 2 : 3 − 0,5 = 2,5

La probabilité que le client rembourse le prêt de 50 000 $ est de 95 %. Dans ce cas, la banque obtient 2 000 $ en intérêts. Ainsi, la probabilité que la banque obtienne 2 000 $ est de 95 %, tandis que la probabilité qu’elle perde 50 000 $ est de 5 %.

Il faudrait payer 2,50 $ pour que ce jeu soit équitable. Complément au manuel • p. 94

9. Dés devinettes

On calcule l’espérance mathématique du prêt :

« Chances pour » et « chances contre »,

E(Prêt) = 95 (2 000) + 5 (−50 000) = −600

espérance mathématique

100

100

On peut conclure qu’en moyenne la banque perdrait 600 $ dans ces conditions. Voilà pourquoi elle refuserait d’accorder le prêt. 7.

36

Les deux jeux sont défavorables au joueur, mais, comme ils n’ont pas la même espérance mathématique, le jeu 1 est plus défavorable que le jeu 2.

On détermine l’espérance mathématique de ce dé truqué : E(Dé truqué) = 1 (1) + 3 (2) + 1 (3) + 1 (4) +

8

Espérance mathématique Niveau de difficulté : faible

E(Roulette) = 2 (2x) + 1 (x + 4) + 1 (x − 2) 4 4 4 −4

= 4x + x + 4 + x − 2 4

−16

= 6x + 2

−18

= 6x

−3

=x

La valeur de x est de −3.

Niveau de difficulté : moyen

Dé 1 : La probabilité d’obtenir un nombre pair est de 1 ou 3 2 . Il y a donc deux faces qui portent un nombre 6

pair et quatre faces qui portent un nombre impair. Puisque tous les résultats ont une chance sur six de se réaliser, l’espérance mathématique est égale à la somme des produits de chacun des résultats par 1 . 6

Si on identifie les faces cachées par x, y et z, on a : 1 x + 1 y + 1 z + 1 (3) + 1 (5) + 1 (5) = 5 6 6 6 6 6 6

En multipliant tous les termes par 6, on obtient : x + y + z + 13 = 30 x + y + z = 17 La seule façon d’obtenir une somme de 17 avec trois faces d’un dé, étant donné que le nombre de points maximal sur chacune des faces est de 6 et que le nombre de points sur deux des faces doit être un nombre pair, c’est avec un 5 et deux 6.

CM-50

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Les trois faces cachées du dé ont respectivement 6, 6 et 5 points. Dé 2 : La probabilité d’obtenir un nombre premier est de 2 ou 4 . Il y a donc 4 faces sur 6 qui ont un nombre 6 premier de points, soit 2, 3 ou 5.

3

Les « chances contre » l’obtention d’un multiple de 3 sont de 1: 2. La probabilité d’obtenir un nombre de points qui soit un multiple de 3 est donc de 2 , ou 4 . 3 6 Il y a donc 4 faces sur 6 qui doivent compter un nombre de points multiple de 3.

b) La compagnie d’assurance doit s’assurer de faire des profits. De plus, elle doit tenir compte de ses frais d’exploitation (salaires, fournitures de bureau, etc.). Complément au manuel • p. 95

12. Garanti ou pas ? Espérance mathématique Niveau de difficulté : moyen

a) Les deux réponses sont possibles. b) On calcule l’espérance mathématique du placement. 1 .

Parmi les trois nombres de points visibles, il n’y a qu’un nombre premier et un multiple de trois. Chacune des trois faces cachées doit donc avoir un nombre qui soit à la fois un multiple de 3 et un nombre premier. Les faces cachées doivent donc toutes avoir 3 points. 10. Le jour de la marmotte

L’espérance mathématique est de 6 %. On calcule l’espérance mathématique du placement 2 . 80 (9 %) + 20 (−5 %) = 6,2 % 100 100

D’après l’espérance mathématique de chaque placement, le meilleur choix serait le placement 2 .

Probabilité subjective, probabilité fréquentielle, distinction entre différents types de probabilités

13. Une éruption prédite

Niveau de difficulté : moyen

Distinction entre différents types de probabilités

a) On pourrait inverser la croyance. Si la marmotte voit son ombre, le temps hivernal se terminera avant le 16 mars. Si la marmotte ne voit pas son ombre, alors le temps hivernal se poursuivra encore au moins six semaines. Ainsi, la probabilité que la prédiction de la marmotte soit juste serait d’environ 61 %, ce qui représente une augmentation substantielle. b) Oui. On se base sur les résultats passés pour établir la probabilité que la marmotte prédise le moment où l’hiver se terminera. 11. Planifier avec assurance

Niveau de difficulté : moyen

a) Cette prédiction est fondée sur une probabilité fréquentielle, car elle est basée sur des expériences antérieures. b) Dans ce genre de contextes, il y a toujours une part de subjectivité. En effet, le scientifique doit aussi utiliser son jugement pour évaluer la probabilité. Une ou un autre scientifique pourrait évaluer une probabilité différente dans cette situation, même si elle ou il dispose des mêmes statistiques au sujet du volcan. Complément au manuel • p. 96

Espérance mathématique

14. Le « dilemme du prisonnier »

Niveau de difficulté : moyen

a) On calcule l’espérance mathématique des pertes subies par l’assureur, c’est-à-dire le montant moyen par client que celui-ci peut s’attendre à devoir débourser : E(Pertes) = 200 000(0,000 5) + 10 000(0,03) + 0(0,969 5) E(Pertes) = 100 + 300 + 0

Espérance mathématique Niveau de difficulté : moyen

Puisque le suspect sait que son complice utilisera une pièce de monnaie, il sait que celui-ci a une chance sur deux de parler ou de se taire. Il peut donc calculer l’espérance mathématique, selon sa perspective, s’il se tait ou s’il dénonce son complice :

E(Pertes) = 400 La prime ou le prix minimal devrait couvrir l’espérance mathématique des pertes et donc être de 400 $.

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CM-51

E(Se taire) = P(complice se taise) • (amende) + P(complice dénonce) • (amende) E(Se taire) = 1 (6 000) + 1 (10 000) = 8 000 $ 2 2

E(Dénoncer) = P(complice se taise) • (amende) + P(complice dénonce) • (amende)

17. La moyenne au bâton Distinction entre différents types de probabilités Niveau de difficulté : moyen

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Niveau de difficulté : moyen

Cette situation est possible parce que la moyenne au bâton ne précise pas le nombre de présences au bâton de chaque joueuse. Ainsi, si une joueuse a une très forte moyenne au bâton, mais très peu de présences, et que l’autre joueuse a une moyenne un peu moins forte, mais beaucoup de présences, cette dernière aura accumulé beaucoup plus de coups sûrs, et ce sont les coups sûrs qui influencent la moyenne de l’année.

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Joueuse

Les probabilités que l’équipe locale gagne associées aux « chances pour » exprimées par chacune des personnes sont, respectivement, de 4 , 15 et 9 .

1re moitié de la saison : moyenne au bâton de 2 .

E(Dénoncer) = 1 (0) + 1 (15 000) = 7 500 $ 2

2

Le suspect devrait donc dénoncer son complice. 15. Avant le grand match « Chances pour » et « chances contre »

5 17

13

Les « chances pour » exprimées par les joueurs (et donc les probabilités qui leur sont associées) sont sans doute biaisées. On remarque malgré tout que même le joueur de l’équipe adverse croit davantage à une victoire de l’équipe locale. On peut ainsi donner un poids de 50 % à l’opinion de l’expert, de 30 % à celle du joueur de l’équipe adverse et de 20 % à celle du joueur de l’équipe locale (puisqu’il semble le plus biaisé, sa probabilité étant très forte).

()

( )

( )

E(Équipe locale) = 50 4 + 20 15 + 30 9 100 5

100 17

100 13

E(Équipe locale) ≈ 0,4 + 0,176 5 + 0,207 7

4 100 2 moitié de la saison : moyenne au bâton de . 300 Saison entière : moyenne au bâton de 102. 304 e

Gagnante 1re moitié de la saison : moyenne au bâton de 120.

304 100 2 moitié de la saison : moyenne au bâton de . 304 Saison entière : moyenne au bâton de 220, soit 110. 608 304 e

Ainsi, la joueuse a une meilleure moyenne pour chacune des demi-saisons, mais la gagnante a une meilleure moyenne pour l’ensemble de la saison. 18. Un langage subjectif

E(Équipe locale) ≈ 0,784 2 ≈ 78 % Les « chances pour » une victoire de l’équipe locale sont donc d’environ 78 : 22. Complément au manuel • p. 97

16. Un jeu de dés Espérance mathématique, interprétation de l’espérance mathématique Niveau de difficulté : moyen

La probabilité d’obtenir le chiffre choisi sur un des deux dés est de 5 , et celle d’obtenir deux fois 18

le chiffre choisi est de 1 . 36

On détermine l’espérance mathématique de ce jeu : E(Jeu) = 5 (3) + 1 (18) + 25 (−2) = −0,05 $ 18

36

36

L’espérance mathématique est négative, ce qui indique que le jeu est défavorable au joueur ou à la joueuse. Sandrine a tort.

Probabilité subjective Niveau de difficulté : faible

Plusieurs réponses sont possibles en a et en c. Exemples : a) Réponse 1 : La probabilité que la personne soit présente est d’environ 80 %. Réponse 2 : La probabilité que la personne soit présente est d’environ 95 %. Réponse 3 : La probabilité que la personne soit présente est d’environ 75 %. Réponse 4 : La probabilité que la personne soit présente est d’environ 90 %. b) Réponse 1 : La personne devrait enlever le « sans doute ». Réponse 2 : La personne devrait enlever le « certainement ». Réponse 3 : La personne devrait enlever le « probablement ». Réponse 4 : La personne devrait enlever le « fort probablement ». c) « Il y a de bonnes chances que j’y sois. »

CM-52

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20. Évaluer ou estimer le risque ?

Complément au manuel • p. 98

Distinction entre différents types de probabilités

19. Le jeu du petit cochon

Niveau de difficulté : moyen

Probabilité fréquentielle, probabilité subjective Niveau de difficulté : élevé

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Ariane a considérablement amélioré ses chances de remporter la partie, et ceci peut même se produire durant ce tour en un lancer si la figurine tombe « sur le museau » ou « sur le museau et une oreille », ou en deux lancers si la figurine tombe d’abord dans une position valant 5 points et, ensuite, dans n’importe quelle position, sauf « sur le côté ». Ariane doit cependant tenir compte du fait qu’il y a une forte probabilité que la figurine tombe sur le côté et qu’elle perde tous les points qu’elle vient d’accumuler, ce qui diminuerait considérablement ses chances de gagner la partie. Pour l’aider dans sa décision, on calcule l’espérance mathématique de son prochain lancer, où l’obtention de la position « sur le côté » représente une perte des 30 points qu’elle a accumulés jusqu’à maintenant dans ce tour : E(Lancer d’Ariane) = 297 (–30) + 257 (5)

600 600 36 + (10) + 10 (15) 600 600

– E(Lancer d’Ariane) = 8 910 + 1 285 + 360 + 150

E(Lancer d’Ariane) =

600 600 600 115 ≈ –11,86 600

600

–7

On calcule l’espérance mathématique du prochain lancer de Jonathan : E(Lancer de Jonathan) = 297 (0) + 257 (5)

600 600 36 + (10) + 10 (15) 600 600

Complément au manuel • p. 99

21. Dans le journal Probabilité subjective, « chances pour » et « chances contre » Niveau de difficulté : faible

a) Tomas Plekanec « pense » que son équipe peut gagner des matchs dans l’Ouest. Il fait alors appel à son jugement, ce qui est donc subjectif. D’autre part, le ministère français de la Culture annonce que le cinéaste Woody Allen tournera « très probablement » son prochain film à Paris, ce qui est subjectif, car basé sur une évaluation personnelle de la situation. b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : Article 1 : On évalue les probabilités du Canadien de gagner le prochain match à 3 . Les « chances 5

pour » une victoire sont de 3 : 2. Article 2 : On évalue les probabilités que Woody Allen tourne son prochain film à Paris à 9 . Les 10

Complément au manuel • p. 100

600

22. Une roulette à rabais

On conseille à Ariane de s’arrêter et de conserver les 30 points. L’important est de gagner la partie et non de la gagner durant ce tour. Si Jonathan avait 95 points, le conseil serait différent, car l’espérance mathématique d’un lancer pour Jonathan est de près de 5, et on devrait alors considérer qu’il pourrait gagner au prochain tour. Ariane pourrait alors jouer le tout pour le tout puisqu’elle en serait à son dernier tour, mais ce n’est pas le cas présentement.

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b) Ce risque peut être évalué en tenant compte du jugement d’une ou d’un spécialiste sur la présence plus ou moins importante d’orignaux dans la région.

« chances pour » ce tournage sont de 9 : 1.

E(Lancer de Jonathan) = 1 285 + 360 + 150 600 600 1 795 E(Lancer de Jonathan) = ≈3 600

a) Ce risque peut être estimé à partir de statistiques. Dans la portion de route où le risque est très élevé, on aurait recensé plus d’orignaux que sur la portion de la route où le risque est élevé.

Interprétation de l’espérance mathématique Niveau de difficulté : moyen

On détermine l’espérance mathématique de la roulette : E(Roulette) = 3 (16,74) + 2 (100) + 1 (158,37) + 8 8 2 (63,348) ≈ 66,91 8

8

Emmanuelle peut s’attendre à obtenir un rabais de 66,91 $. Elle peut donc s’attendre à payer une facture de 249,83 $.

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CM-53

Les quantités maximales de précipitations attendues pour chaque colonne du tableau deviennent donc :

23. La loi de Benford Distinction entre différents types de probabilités Niveau de difficulté : moyen

a) À l’aide d’un tableur, on peut compiler les 100 premiers nombres carrés et les 100 premiers termes de la suite de Fibonacci. On remplit ensuite le tableau ci-dessous. Ensembles de nombres 100 premiers nombres carrés 100 premiers termes de la suite de Fibonacci

Premier chiffre du nombre en question 1

2

3

4

5

6

7

8

9

21

14

12

12

9

9

8

7

8

1,8 cm, 8 cm, près de 8 cm et près de 3,5 cm. En additionnant ces quantités maximales, il obtient 21,3 cm. Puisqu’on retrouve souvent des intervalles et des « près de », il affirme que la quantité de neige maximale attendue sera un peu en deçà de ce qu’il calcule et prévoit donc 20 cm. 25. Russell Martin Interprétation de l’espérance mathématique Niveau de difficulté : moyen

On calcule l’espérance mathématique du nombre de buts en utilisant les statistiques de Russell Martin comme probabilités : E(Buts) = 335(0) + 58 (1) + 23 (2) + 2 (3) +

30

18

13

9

8

6

5

7

4

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Il est plus probable qu’un nombre commence par le chiffre 1, car, dans l’ordre des nombres, il apparaît en premier. Prenons l’exemple du numéro dans les adresses d’une rue. Pour qu’il y ait autant de numéros qui débutent par le chiffre 9 que par le chiffre 1, il faut que le numéro de la dernière adresse de la rue soit 99, 999 ou 9 999. Dès que les numéros franchissent le cap des 100, 1 000 ou 10 000, le chiffre 1 apparaît plus souvent que le chiffre 9. De la même façon, si les numéros ne se rendent pas à 90, 900 ou 9 000, le chiffre 9 apparaît moins souvent que le chiffre 1. Complément au manuel • p. 101

24. La météo Probabilité subjective Niveau de difficulté : moyen

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Christian semble avoir procédé en tenant compte de la probabilité de précipitations. Par exemple, si la quantité de neige attendue est de 5 à 10 cm et que la probabilité de précipitations est de 80 %, Christian considère plutôt que la quantité de neige attendue est de 4 à 8 cm. Il semble donc calculer l’espérance mathématique de la quantité de neige attendue en pondérant les quantités écrites sur la page Web par les probabilités de précipitations.

441 441 23 (4) ≈ 0,46 441

441

441

En se basant sur les statistiques passées de Russell Martin, on constate qu’en moyenne il parcourt 0,46 but (soit un peu moins que la moitié d’un but) à chaque présence au bâton. Puisque le but sur balles correspond à un but, il est préférable d’affronter Russell Martin. Complément au manuel • p. 102

26. Partager le risque Espérance mathématique, probabilité fréquentielle Niveau de difficulté : élevé

Remarque : Dans le complément au manuel, à la question 26, la première phrase du dernier paragraphe devrait se lire comme suit : « Cette année, la prime moyenne pour assurer les véhicules utilisés à des fins commerciales par des conducteurs de 25 ans et plus est de 968 $. » Les statistiques données pour l’année passée permettent de déterminer le montant total des réclamations pour chaque type d’utilisation du véhicule (voir le tableau à la page suivante). La compagnie d’assurance peut utiliser ces montants pour estimer le montant total des réclamations pour chaque type d’utilisation du véhicule pour l’année en cours, en supposant que le rapport nombre de réclamations demeure constant nombre de véhicules assurés

d’une année à l’autre.

On estime le montant total des réclamations pour l’année en cours pour les conducteurs de 25 ans et plus qui font une utilisation commerciale de leur véhicule : Année dernière : 44 508 assurés ont réclamé 34 477 602 $.

CM-54

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Réponse à la question 26, page 102 Groupe d’âge des conducteurs 25 ans et plus

Utilisation du véhicule

Montant total des réclamations

Utilisation commerciale

34 477 602 $

Déplacements quotidiens ≤ 15 km

211 935 759 $

Déplacements quotidiens > 15 km

74 552 040 $

Toutes les utilisations

188 296 200 $

16 à 24 ans

Année en cours : 43 887 assurés devraient réclamer 34 477 602 • 43 887 ≈ 33 996 551,61 $. 44 508

En répartissant ce montant également entre les 43 887 assurés, on obtient une prime d’environ 774,64 $, ce qui est bien inférieur au montant de 968 $ facturé par la compagnie d’assurance. On suppose donc que la compagnie ajoute un certain montant à la prime pour couvrir ses frais d’exploitation et obtenir un profit. Ce pourcentage est de (968 - 774,64) ≈ 0,249 6, soit environ 25 %. 774,64

En supposant que le pourcentage ajouté à la part de la prime servant à couvrir les réclamations est constant d’un groupe d’âge et d’un type d’utilisation à l’autre, on peut calculer, de la même façon, les primes suivantes : 25 ans et plus, déplacements quotidiens ≤ 15 km : 211 935 759 ≈ 397,75 $ 532 837

La prime moyenne pour assurer des conducteurs de 25 ans et plus qui effectuent des déplacements quotidiens d’au plus 15 km est d’environ 497,19 $. 25 ans et plus, déplacements quotidiens > 15 km : 74 552 040 ≈ 450,69 $ 165 419

450,69 • 125 ≈ 563,36 100

La prime moyenne pour assurer des conducteurs de 25 ans et plus qui effectuent des déplacements quotidiens de plus de 15 km est d’environ 563,36 $. 16 à 24 ans, toutes les utilisations : 188 296 200 ≈ 1 182,63 $ 159 218

1 182,63 • 125 ≈ 1 478,29 100

La prime moyenne pour assurer des conducteurs de 16 à 24 ans est d’environ 1 478,29 $.

397,75 • 125 ≈ 497,19 100

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CM-55

Évaluation SOMMAIRE Tests

Fiche

Chapitre 2 • La géométrie des figures planes                                       TE-1 Chapitre A • Les puissances, les logarithmes et les mathématiques financières           TE-13 Chapitre B • La probabilité subjective et l’espérance mathématique                    TE-23

Outils d’évaluation (Compétences disciplinaires) EC1 Résoudre une situation-problème (CD1) – Grille d’évaluation                     EV-1 EC2 Résoudre une situation-problème (CD1) – Autoévaluation                       EV-2 EC3 Déployer un raisonnement mathématique (CD2) – Grille d’évaluation              EV-3 EC4 Déployer un raisonnement mathématique (CD2) – Autoévaluation                EV-4

Situation d’apprentissage et d’évaluation A – Le coût du neuf 1 Dossier de l’élève                                                          

S-1

2 Accompagnement pédagogique                                              

S-5

3 Grille d’évaluation spécifique                                                 

S-6

Situation d’apprentissage et d’évaluation B – La roulette 1 Dossier de l’élève                                                          

S-9

2 Accompagnement pédagogique                                               S-12 3 Grille d’évaluation spécifique                                                  S-13

Note à l’enseignante ou à l’enseignant Les situations d’apprentissage et d’évaluation présentées ici s’ajoutent à celles qui se trouvent dans le manuel et le guide d’enseignement Intersection, séquence Culture, société et technique, 3e année du 2e cycle Pour chacune, l’élève trouvera dans son dossier une présentation de la situation et des pages pour y consigner sa démarche, ses réponses, ses explications et ses justifications Chaque situation fait aussi l’objet d’un accompagnement pédagogique et d’une grille d’évaluation spécifique destinés à l’enseignante ou à l’enseignant

Nom :

Groupe :

Date :

Chapitre 2 : Test 1. Détermine la circonférence d’un disque équivalent à chacune des figures suivantes. Figures planes équivalentes, recherche de mesures manquantes

a)

On détermine l’aire du triangle à l’aide de la formule de Héron : p = 7 + 18 + 21 = 23 2

A=

23(23 - 7)(23 - 18)(23 - 21) ≈ 60,66

L’aire du triangle est d’environ 60,66 cm2.

On détermine la circonférence du disque : C ≈ 2 • 4,394 C ≈ 27,608 La circonférence du disque est d’environ 27,61 cm.

On détermine la mesure du rayon d’un disque équivalent : 60,66 ≈ r 2 r ≈ 4,394 Le rayon mesure environ 4,39 cm.

b)

On détermine la mesure de la deuxième cathète du triangle rectangle :

On détermine la mesure du rayon d’un disque équivalent :

tan 70° = x

5

34,343

x

r

13,737

r2 3,306

La deuxième cathète du triangle mesure environ 13,74 cm.

Le rayon mesure environ 3,31 cm.

On détermine l’aire du triangle :

C ≈ 2 • 3,306

A ≈ 5 • 13,737 2

C ≈ 20,772

A ≈ 34,343

La circonférence du disque est d’environ 20,77 cm.

L’aire du triangle est d’environ 34,34 cm2.

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On détermine la circonférence du disque :

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Guide TESTS

TE-1

Nom :

Groupe :

Date :

c)

On détermine la hauteur du trapèze :

On détermine l’aire du trapèze :

sin 80,4° = h 9

A ≈ (15 + 12)8,874 2

h ≈ 8,874

A ≈ 119,799

La hauteur du trapèze est d’environ 8,87 cm.

L’aire du trapèze est d’environ 119,8 cm2.

On détermine la mesure de la grande base du trapèze :

On détermine la mesure du rayon d’un disque équivalent :

2 2 x ≈ 9 - 8,874

119,799 ≈ r 2

x ≈ 1,5 cm

r ≈ 6,175

B ≈ 2 • 1,5 + 12

Le rayon mesure environ 6,18 cm.

B ≈ 15

On détermine la circonférence du disque :

La grande base du trapèze mesure environ 15 cm.

C ≈ 2 • 6,175 C ≈ 38,799 La circonférence du disque est d’environ 38,8 cm.

2. Dans chaque cas, détermine la mesure manquante. Arrondis tes réponses au centième près. Recherche de mesures manquantes, loi des cosinus

a)

On détermine la mesure de l’angle opposé au côté x : 180 - (38 + 23) = 119 La mesure de l’angle est de 119°. On détermine la mesure du côté x à l’aide de la loi des cosinus : x2 = 62 + 9,452 - 2 • 6 • 9,45 • cos 119° x ≈ 13,427 La mesure du côté x est d’environ 13,43 cm.

TE-2

TESTS Intersection, complément CST

Guide

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Nom :

Groupe :

Date :

b)

On détermine la mesure de l’angle x à l’aide de la loi des cosinus : 242 = 322 + 482 - 2 • 32 • 48 • cos x 2 2 2 cos x = 24- - 32 - 48

2 • 32 • 48

m ∠ x = cos

-1

( ) 43 48

m ∠ x ≈ 26,4° La mesure de l’angle x est d’environ 26°.

c)

On détermine la mesure de la diagonale, d, à l’aide de la loi des cosinus : d 2 = 42 + 8,662 - 2 • 4 • 8,66 • cos 107° d ≈ 10,548 cm La mesure de la diagonale est d’environ 10,55 cm. On détermine la mesure de l’angle x à l’aide de la loi des cosinus : 112 ≈ 42 + 10,5482 - 2 • 4 • 10,548 • cos x 2 2 2 cos x ≈ 11- - 4 - 10,548

2 • 4 • 10,548 -

m ∠ x ≈ cos 1(0,074 188) m ∠ x ≈ 85,7° La mesure de l’angle x est d’environ 86°.

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TE-3

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3. Soit le rectangle ci-contre. Figures planes équivalentes et recherche de mesures manquantes

a) Quelle est la mesure des côtés d’un hexagone régulier équivalent à ce rectangle ? On détermine l’aire du rectangle : A = 12 • 9 = 108 L’aire du rectangle est de 108 cm2. On détermine la mesure d’un côté d’un hexagone régulier équivalent : 108 c2 • sin 60° = 6 2

c ≈ 6,447 La mesure des côtés d’un hexagone régulier équivalent au rectangle est d’environ 6,45 cm.

b) Quel est le périmètre d’un pentagone régulier équivalent à ce rectangle ? On détermine la mesure des côtés isocèles des triangles qui forment le pentagone régulier équivalent : 108 c2 • sin 72° = 5 2

c

6,74 cm

On détermine la mesure d’un côté du pentagone régulier : cos 54° ≈

x 6,74

x ≈ 3,962 2 • 3,962 = 7,924 La mesure des côtés du pentagone régulier est d’environ 7,92 cm. Le périmètre du pentagone régulier équivalent est d’environ 39,62 cm (7,924 • 5).

TE-4

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4. Voici une série de triangles isocèles équivalents. Figures planes équivalentes

On compare la mesure des côtés isométriques à celle du troisième côté de chacun des triangles. Quelle est la valeur du rapport entre ces mesures dans le triangle qui a le plus petit périmètre ? Justifie ta réponse. Le rapport entre la mesure des côtés isométriques et celle du troisième côté du triangle ayant le plus petit périmètre sera de 1. En effet, de tous les polygones équivalents à n côtés, c’est le polygone régulier qui a le plus petit périmètre. Dans le cas des triangles, c’est le triangle équilatéral. Les côtés d’un triangle équilatéral étant tous isométriques, le rapport pour un tel triangle est de 1.

5. Détermine l’aire du carré ayant le même périmètre que ce triangle. Figures planes équivalentes, loi des cosinus

On détermine la mesure du côté BC à l’aide de la loi des cosinus :

On détermine la mesure d’un côté du carré ayant le même périmètre :

(m BC)2 = 282 + 132 - 2 • 28 • 13 • cos 34°

c ≈ 59,694 ≈ 14,923 5

m BC ≈ 18,694 La mesure du côté BC est d’environ 18,69 cm. On détermine le périmètre du triangle : P ≈ 28 + 13 + 18,694 ≈ 59,694 Le périmètre du triangle est d’environ 59,69 cm.

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4

La mesure des côtés du carré est d’environ 14,923 5 cm. On détermine l’aire du carré : A ≈ 14,923 52 A ≈ 222,711 L’aire du carré ayant le même périmètre que le triangle est d’environ 222,71 cm2.

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TE-5

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6. Éliane s’implique en tant que bénévole pour la Journée mondiale contre le cancer. Elle est chargée de la fabrication des pancartes. Elle en a préparé trois modèles qui ont tous la forme de polygones réguliers de 1 m2 d’aire. Recherche de mesures manquantes, périmètre de polygones réguliers convexes équivalents

a) Éliane veut réduire le plus possible le périmètre des pancartes à fabriquer. Lequel des modèles proposés a le plus petit périmètre ? Quel est ce périmètre ? De tous les polygones réguliers convexes équivalents, celui qui a le plus petit périmètre est celui qui a le plus de côtés. Dans ce cas-ci, c’est donc l’octogone régulier qui a le plus petit périmètre. On détermine le périmètre de l’octogone régulier convexe : 2 1 = c • sin 45° 8 2

c

0,595 m

cos 67,5° ≈

x 0,595

x ≈ 0,228 m Le périmètre de la pancarte octogonale est d’environ 3,65 m (2 • 0,228 • 8).

b) Élabore les plans d’une pancarte équivalente aux modèles proposés qui aurait un périmètre encore plus petit. Quel est ce périmètre ? Une pancarte équivalente aux modèles proposés, ayant la forme d’un polygone régulier et un plus petit périmètre, aura neuf côtés ou plus. En fait, la pancarte équivalente ayant le plus petit périmètre possible aurait la forme d’un cercle. On détermine la mesure du rayon d’une pancarte circulaire : 1 = r2 r ≈ 0,564 Le rayon de cette pancarte circulaire mesure environ 0,56 m. La circonférence de la pancarte circulaire équivalente est d’environ 3,54 m (2 • 0,564).

TE-6

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7. Stationnement résidentiel Pierre fera paver son stationnement cet été. Il veut qu’une bordure de ciment entoure le stationnement, à l’exception du côté qui donne sur la rue. Comme Pierre souhaite une entrée originale, il donne la forme d’un pentagone régulier de 90 m2 de superficie à son stationnement. Voici le croquis qu’il a tracé.

Pierre croit que le choix de cette forme pour le stationnement minimisera la longueur de bordure à acheter. A-t-il raison ? Si oui, donne la longueur de bordure dont il aura besoin. Sinon, détermine une forme équivalente qui demandera une plus petite longueur de bordure. Pierre a probablement tort de penser qu’en choisissant la forme d’un pentagone régulier il minimisera la longueur de bordure à acheter. Il devrait opter pour une forme régulière équivalente ayant le plus grand nombre de côtés possible pour minimiser la longueur de bordure à acheter. En effet, pour les polygones réguliers convexes équivalents, plus le nombre de côtés est grand, plus le périmètre est petit. On détermine la mesure d’un côté du stationnement de forme pentagonale, puis on calcule la longueur de bordure à installer : 2 90 = c • sin 72° 5 2

c ≈ 6,152 m cos 54° ≈

x 6,152

x ≈ 3,616 m La longueur de bordure à installer autour du stationnement de forme pentagonale, excepté le côté donnant sur la rue, est d’environ 28,93 m (2 • 3,616 • 4). Selon l’affirmation de départ, plus le nombre de côtés est grand pour les polygones réguliers convexes équivalents, plus le périmètre est petit. On vérifie cette affirmation en déterminant la longueur de bordure qu’il faudrait installer si le stationnement avait la forme d’un octogone régulier équivalent : 2 90 = c • sin 45° 8 2

c ≈ 5,641 m cos 67,5° ≈

x 5,641

x ≈ 2,159 m

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TE-7

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La longueur de bordure à installer autour du stationnement octogonal, excepté le côté donnant sur la rue, serait d’environ 30,23 m (2 • 2,159 • 7). Le retrait d’un côté du calcul du périmètre du stationnement fait donc en sorte que l’affirmation de départ ne peut s’appliquer. On peut supposer que, plus le nombre de côtés est petit, moins la longueur de bordure nécessaire sera grande. On détermine la mesure d’un côté du stationnement ayant la forme d’un triangle équilatéral dont la superficie est de 90 m2 pour ensuite calculer la longueur de bordure à installer : 2 90 = c • sin 60° 8 2

c ≈ 14,417 m La longueur de bordure à installer autour du stationnement ayant la forme d’un triangle équilatéral, excepté le côté donnant sur la rue, est d’environ 28,83 m (2 • 14,417). Pierre a tort de choisir un stationnement de forme pentagonale. Un stationnement équivalent ayant la forme d’un triangle équilatéral nécessitera une moins grande longueur de bordure.

TE-8

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8. Terre agricole Marie et Jacob viennent d’acheter une terre agricole. La terre, d’une superficie de 2,5 km2, est divisée en deux zones équivalentes : une zone où sera cultivé du blé et une autre qui sera en jachère. Voici une copie du plan cadastral de la terre. Certaines mesures sont absentes du plan.

Jacob pense qu’il est impossible de déterminer les mesures manquantes, alors que Marie croit que c’est possible. Qui a raison ? Justifie ta réponse. Marie a probablement raison de penser qu’il est possible de déterminer les mesures manquantes, puisqu’on connaît la superficie totale du terrain et que les deux zones sont équivalentes.

La superficie de la zone cultivée est de 1,25 km2 et sa base b mesure environ 5 km. La distance entre le sommet de la zone cultivée et sa base est d’environ 0,5 km 1,25 • 2 .

On calcule la superficie de chacune des zones équivalentes :

On détermine la mesure du côté a :

(

5

)

A = 2,5 = 1,25 2

Chacune des zones a une superficie de 1,25 km2. On détermine la mesure de l’angle obtus situé entre les deux côtés de 2,55 km : 2 1,25 = 2,55 • sin x 2

x ≈ 22,61° La mesure de l’angle est d’environ 157,39° (180° – 22,61°). On détermine la longueur du segment séparant les deux zones : b2 ≈ 2,552 + 2,552 - 2 • 2,55 • 2,55 cos 157,39° b ≈ 5,001 La longueur du segment b séparant les deux zones est d’environ 5 km.

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b1 ≈ 1,22 - 0,52 b1 ≈ 1,091 km b2 ≈ 5 - 1,091 b2 ≈ 3,909 a ≈ 3,9092 + 0,52 ≈ 3,941 La mesure du côté a est d’environ 3,94 km. Marie a raison. Il est possible de déterminer les mesures manquantes du terrain, qui sont d’environ 3,94 km pour le côté a et d’environ 5 km pour la limite b des deux zones.

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TE-9

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9. Cerfs-volants Romy fabrique deux modèles de cerfs-volants à l’aide de pellicule de plastique et de tiges de bois. Le premier modèle est en forme de losange alors que le second a la forme d’un hexagone régulier. Les deux modèles ont la même surface de pellicule de plastique. Les tiges de bois sont placées sur les diagonales des cerfs-volants. Pour le modèle hexagonal, Romy utilise 168 cm de bois au total. Pour le modèle en forme de losange, la plus longue tige mesure 80 cm. Sachant que les tiges de bois coûtent 2 $ le mètre et que la pellicule lui revient à 4,80 $ le mètre carré, détermine le prix auquel Romy devrait vendre chaque modèle si elle souhaite en tirer 10 % de profit. Suppose qu’elle utilise tout le bois et toute la pellicule de plastique sans aucune perte. Sachant que la somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180° et que les angles opposés à des côtés isométriques sont eux aussi isométriques, on en déduit que les deux autres angles de chaque triangle mesurent 60° chacun et que les six triangles sont équilatéraux. La mesure de côté de l’hexagone est donc de 28 cm. La loi des cosinus permet de le vérifier. Soit c, la mesure de côté de l’hexagone. MODÈLE HEXAGONAL :

c2 = 282 + 282 - 2 • 28 • 28 • cos 60°

À partir de la longueur totale des tiges de bois, on détermine la mesure de chaque diagonale, d : 168 d= = 56 3

La mesure de chaque diagonale est de 56 cm. Les diagonales divisent l’hexagone en six triangles isométriques. On détermine la mesure d’un côté de ces triangles :

c = 28 On détermine la hauteur de chaque triangle à l’aide de la relation de Pythagore :

( ) = 28

h2 + 28 2

2

2

( )

h2 = 282 - 28

2

2

h = 588 ≈ 24,249 La hauteur de chaque triangle est d’environ 24,25 cm.

56 = 28 2

La mesure d’un côté des triangles est de 28 cm. On détermine l’angle au centre qui correspond à chaque triangle : 360° = 60° 6

La mesure de l’angle au centre qui correspond à un triangle est de 60°.

TE-10

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Sachant que cette hauteur correspond à l’apothème de l’hexagone, on utilise la formule de l’aire d’un polygone régulier : A ≈ 6 • 28 • 24,249 2

A ≈ 2 036,916 L’aire de l’hexagone est d’environ 2 037 cm2. On calcule le coût des matériaux d’un cerf-volant hexagonal : Tiges de bois : 168 cm à 2 $ le mètre → 1,68 • 2 = 3,36 Pellicule de plastique : 2 037 cm2 à 4,80 $ le mètre carré → 0,203 7 • 4,8 ≈ 0,978 Total : 3,36 + 0,98 = 4,34 $ Il en coûte 4,34 $ pour fabriquer un cerf-volant. On majore ce montant de 10 % : 4,34 • 110 = 4,774 100

Romy devrait vendre ce modèle de cerf-volant 4,78 $ l’unité. MODÈLE EN FORME DE LOSANGE : Sachant que les deux modèles de cerf-volant ont la même aire, on détermine la mesure de la petite diagonale du modèle en forme de losange : 2 036,916 ≈ 80 • d

2 2 036,916 • 2 d≈ 80

d ≈ 50,922 9 La mesure de la petite diagonale est d’environ 50,92 cm. On détermine la longueur de tiges de bois nécessaire pour fabriquer un cerf-volant : 80 + 50,92 = 130,92 Il faut environ 130,92 cm ou 1,31 m de tiges de bois. On calcule le coût des matériaux d’un cerf-volant en forme de losange : Tiges de bois : 1,31 • 2 = 2,62 $ Pellicule de plastique : 0,98 $ (les deux modèles de cerf-volant ayant la même aire) Total : 2,62 + 0,98 = 3,60 $ Il en coûte 3,60 $ pour fabriquer un cerf-volant. On majore ce montant de 10 % : 3,60 • 110 = 3,96 100

Romy devrait vendre ce modèle de cerf-volant 3,96 $ l’unité.

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TE-11

Le guide se poursuit à la page suivante.

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Chapitre A : Test À noter : Sauf indication contraire, tous les taux d’intérêt indiqués sont annuels.

1. Parmi les expressions logarithmiques suivantes, laquelle correspond à ( 14) = 4

Logarithmes, équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique

a) log4 1 = 1 4

b) log1 1 = 4

256

4

256

c) log

1 256

1 =4 4

1 ? 256

d) log4 1 = 1 256

4

2. Pendant une période de canicule, la quantité d’eau dans une piscine diminue de 1,75 % par jour en raison de l’évaporation. Au bout de combien de temps aura-t-elle diminué du quart ? Résolution d’équations exponentielles, équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique, loi du changement de base

a) Environ 2 jours

b) Environ 14 jours

c) Environ 16 jours

d) Environ 19 jours

3. Tom a emprunté 1 750 $ à un taux d’intérêt simple de 5,75 %. Il règle cette dette en un seul versement de 2 077,03 $ à l’échéance. Quelle est la durée de cet emprunt ? Durée d’un emprunt ou d’un placement, intérêt simple

a) 3,25 ans

b) 0,4 an

c) 2,5 ans

d) 0,3 an

4. Résous les équations exponentielles ou logarithmiques suivantes. Résolution d’équations exponentielles et logarithmiques, équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique, loi du changement de base

a) 0,75x = 0,316 406

b) log2,5 x = 4

0,75x = 0,316 406 ⇔ x = log0,75 0,316 406 x=

log2,5 x = 4 ⇔ x = 2,54 = 39,062 5

log10 0,316 406 log10 0,75

x≈4

c) 500(1,12) x = 1 044,45

d) 3 log4 x = 24

500(1,12)x = 1 044,45 x

1,12 = 2,088 9 ⇔ x = log1,12 2,088 9 log

2,088 9

10 x = log 1,12 10

3 log4 x 24 = 3 3

log4 x = 8 ⇔ x = 48 = 65 536

x ≈ 6,5

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TE-13

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5. Trouve la donnée manquante dans chaque cas. a) Julien obtient un emprunt à un taux d’intérêt b) Juliette a placé 1 125 $ il y a 6 ans à un taux simple de 2,5 %. Il le remboursera dans 4 ans d’intérêt simple et elle a maintenant 1 428,75 $. par un versement de 5 775 $. Détermine la Détermine le taux d’intérêt par période. valeur actuelle de l’emprunt. Valeur actuelle, intérêt simple

2,5

i = 2,5 % = 100 = 0,025 Cn = 5 775 $ C0 = ?

Taux d’intérêt, intérêt simple

n=6 C0 = 1 125 $ Cn = 1 428,75 $ i=?

n=4

Cn = C0(1 + n × i )

Cn = C0(1 + n × i )

1 428,75 = 1 125(1 + 6 × i)

5 775 = C0(1 + 4 × 0,025)

1 428,75 1 125(1 + 6i ) = 1 125 1 125

5 775 C0 • 1,1 = 1,1 1,1

1,27 = 1 + 6i

C0 = 5 250 $ La valeur actuelle de l’emprunt est de 5 250 $.

0,27 6i = 6 6

i = 0,045 Le taux d’intérêt par période (année) est de 4,5 %.

c) Andrew a emprunté 3 500 $ à un taux de 6,25 % d’intérêt composé annuellement pendant 4 ans. Il règlera cette dette par un seul versement à l’échéance. Détermine sa valeur future. Valeur future, intérêt composé

6,25

i = 6,25 % = 100 = 0,062 5 C0 = 3 500 $ Cn = ?

Valeur actuelle, intérêt composé

n=4

Cn = C0(1 + i )

18 619,76 = C0(1 + 0,049)22

Cn = 3 500(1 + 0,062 5)4

18 619,76 C0 • 2,864 579 = 2,864 579 2,864 579

Cn ≈ 4 460,50 $

C0 ≈ 6 500 $

La valeur future de l’emprunt est de 4 460,50 $.

TESTS Intersection, complément CST

i = 0,049 n = 22 Cn = 18 619,76 $ C0 = ? Cn = C0(1 + i )n

n

TE-14

d) Than Thui a placé de l’argent à un taux de 4,9 % d’intérêt composé annuellement pour une durée de 22 ans. À l’échéance, ce placement vaudra 18 619,76 $. Détermine sa valeur actuelle.

La valeur actuelle du placement est de 6 500 $.

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e) Félix-Antoine emprunte 6 725 $ à un taux de 6 % d’intérêt composé mensuellement. Il rembourse sa dette en un seul versement de 8 544,04 $. Quelle est la durée de cet emprunt ? Durée d’un emprunt, intérêt composé

6

Taux annuel de 6 % = 100 = 0,06 0,06

C0 = 6 725 $

i = 12 = 0,005 Cn = 8 544,04 $

f) Antonin a placé 3 250 $ il y a 12 ans à un taux d’intérêt composé semestriellement. Il a maintenant 6 232,28 $. Détermine le taux d’intérêt par période. Taux d’intérêt, intérêt composé

n = 24 C0 = 3 250 $ Cn = 6 232,28 $ i=? Cn = C0(1 + i )n

n=?

6 232,28 = 3 250(1 + i )24

Cn = C0(1 + i )n 8 544,04 = 6 725(1 + 0,005)n 8 544,04 6 725 • (1,005)n = 6 725 6 725 n

1,270 489 = (1,005)

n = log1,005 1,270 489 n=

Date :

log10 1,270 489 log10 1,005

n ≈ 48

6 232,28 3 250 • (1 + i)24 = 3 250 3 250

1,917 625 = (1 + i)24 1

(1,917 625)24 = i + 1 1,027 5 = i + 1 i ≈ 0,027 5 Le taux d’intérêt par période (semestre) est de 2,75 %.

La durée de cet emprunt est de 48 mois ou 4 ans.

6. Julianne prévoit faire un voyage de plusieurs semaines en Australie dans 6 ans. Elle estime que le coût de ce voyage sera de 32 500 $. Quelle somme, à la dizaine de dollars près, Julianne doit-elle placer aujourd’hui afin d’avoir le montant nécessaire dans 6 ans si le taux d’intérêt composé annuellement est : Valeur actuelle, intérêt composé a) de 4,5 % ? i = 0,045 C0 = ?

b) de 7,5 % ? n=6

Cn = 32 500 $

i = 0,075 C0 = ?

n=6

Cn = 32 500 $

Cn = C0(1 + i )n

Cn = C0(1 + i )n

32 500 = C0(1 + 0,045)6

32 500 = C0(1 + 0,075)6

32 500 C • 1,302 260 = 01,302 260 1,302 260

32 500 C • 1,543 302 = 01,543 302 1,543 302

C0 ≈ 24 956,61 $

C0 ≈ 21 058,74 $

Julianne doit placer 24 960 $.

Julianne doit placer 21 060 $.

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TE-15

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7. Ludovic et Aurélie doivent agrandir une affiche au photocopieur afin de la placer dans la fenêtre du

commerce où ils travaillent. L’aire actuelle de l’affiche est de 605 cm2. Ludovic agrandit l’affiche de 25 % à 10 reprises avant de se rendre compte que l’affiche est trop grande pour la fenêtre. Il doit ensuite la réduire de 20 % à trois reprises pour obtenir la taille voulue. De son côté, Aurélie effectue un certain nombre d’agrandissements de 30 % à partir de l’affiche originale et obtient une affiche à peu près de la même taille que l’affiche finale de Ludovic. Combien d’agrandissements Aurélie a-t-elle dû faire ? Résolution d’équations exponentielles, équivalence entre les écritures, loi du changement de base LUDOVIC

AURÉLIE

Agrandissement :

Soit f(x) = 605 • 1,3x, où x est le nombre d’agrandissements et f(x), l’aire de l’affiche.

Soit f(x) = 605 • 1,25x, où x est le nombre d’agrandissements et f(x), l’aire de l’affiche.

2 884,86 = 605 • 1,3x 2 884,86 605(1,3)x = 605 605

f(10) = 605 • 1,2510 ≈ 5 634,50 cm2

4,768 364 = 1,3x ⇔ x = log1,3 4,768 364

Réduction :

x=

Soit g(x) = 5 634,50 • 0,8x, où x est le nombre de réductions et g(x), l’aire de l’affiche. 3

g(3) = 5 634,50 • 0,8 ≈ 2 884,86 cm

2

log10 4,768 364 log10 1,3

x ≈ 5,95 Aurélie a dû faire 6 agrandissements.

8. Le nombre de bactéries d’une culture triple toutes les 20 minutes. Il est de 125 au départ. Résolution d’équations exponentielles, équivalence entre les écritures, loi du changement de base

a) Quelle équation traduit cette situation ? b) Combien de bactéries y aura-t-il : 1 au bout de 60 min ? 2 au bout de 2 h et 20 min ? 3 au bout de 5 h ? c) Combien de temps faut-il pour qu’il y ait 27 000 bactéries dans la culture ? b(x) = 125 • 3x 27 000 125(3)x = 125 125

216 = 3x ⇔ x = log3 216 log

216

10 x = log ≈ 4,89 3 10

Il faut donc environ 4,89 × 20 min = 97,8 min ou 1 h et 38 min.

TE-16

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9. Nicolas a gagné 3 500 $ à la loto. Il décide de placer cet argent afin d’avoir 5 000 $ dans 5 ans pour effectuer un versement initial à l’achat d’une nouvelle automobile. Si Nicolas choisit un placement à intérêt composé annuellement, quel devra être le taux d’intérêt annuel pour qu’il atteigne son objectif ? Taux d’intérêt, intérêt composé

C0 = 3 500 $

n=5

Cn = 5 000 $

i=?

Cn = C0(1 + i )n 5 000 = 3 500(1 + i )5 5 000 3 500 • (1 + i)5 = 3 500 3 500

1,428 571 = (1 + i)5 1

(1,428 571)5 = 1 + i 1,073 941 = 1 + i i ≈ 0,073 941 Le taux d’intérêt annuel devra être de 7,4 %.

10. Maélie place 2 500 $ à un taux de 4,5 % d’intérêt composé annuellement. Cinq ans plus tard, elle change de type de placement et place la somme cumulée à un taux de 6 % d’intérêt composé mensuellement pour une durée de 4,25 ans. Quelle sera la valeur de ce nouveau placement à l’échéance ? Valeur future, intérêt composé Valeur du premier placement à l’échéance : 4,5

i = 4,5 % = 100 = 0,045

C0 = 2 500 $

n=5

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 2 500(1 + 0,045)5 Cn ≈ 3 115,45 $ Valeur du nouveau placement à l’échéance : 6

Taux d’intérêt annuel de 6 % = 100 = 0,06 0,06

i = 12 = 0,005

n = 51

C0 = 3 115,45 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 3 115,45(1 + 0,005)51 Cn ≈ 4 017,81 $ À l’échéance, le nouveau placement de Maélie vaudra 4 017,81 $.

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TE-17

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11. Éric doit remplacer la toiture de sa maison. Il contacte l’entreprise Toitures Xperts. Le coût des travaux s’élève à 25 500 $, taxes comprises. Éric devra emprunter pour payer ces travaux. L’entreprise Toitures Xperts lui propose un prêt qu’il pourra rembourser en un seul versement dans 4 ans, à un taux de 4,2 % d’intérêt composé annuellement. Éric s‘informe également à son institution financière. Sa conseillère lui offre un emprunt à un taux de 3,9 % d’intérêt composé annuellement, remboursable en un seul versement dans 5 ans. Quelle option Éric devrait-il choisir ? Valeur future, intérêt composé, capitalisation

Entreprise Toitures Xperts : 4,2

Taux d’intérêt annuel de 4,2 % = 100 = 0,042 0,042

i = 12 = 0,003 5

n = 48

C0 = 25 500 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 25 500(1 + 0,003 5)48 Cn ≈ 30 156,04 $ Institution financière : 3,9

Taux d’intérêt annuel de 3,9 % = 100 = 0,039 i = 0,039

n=5

C0 = 25 500 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 25 500(1 + 0,039)5 Cn ≈ 30 875,78 $ Éric devrait choisir le prêt offert par l’entreprise Toitures Xperts.

TE-18

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12. Un sandwich peu appétissant En faisant le ménage de sa case mercredi midi, Jimmy trouve un reste de sandwich qu’il n’a pas mangé le lundi midi. Son amie Sarah affirme : « C’est dégoûtant ! Il doit y avoir presque deux milliards de bactéries dans ce sandwich maintenant ! » La fin de semaine précédente, Jimmy a lu dans un article scientifique que les bactéries se multiplient rapidement dans les aliments à une température de 4 °C à 60 °C, et qu’en milieu propice leur nombre peut tripler toutes les 40 minutes. Il a également appris qu’un bloc réfrigérant garde les aliments froids pendant 4 à 6 heures. Jimmy croit que son sandwich contenait déjà deux milliards de bactéries lundi en fin de journée. Puisqu’il avait un bloc réfrigérant, il estime qu’à midi, lundi, il y avait une vingtaine de bactéries dans son sandwich, et que ce nombre a triplé toutes les 40 minutes depuis. Qui, de Jimmy ou de Sarah, a raison ? Puisqu’il y avait une vingtaine de bactéries dans le sandwich lundi midi et que ce nombre triple toutes les 40 minutes, on peut représenter la situation par : f(x) = 20(3)x, où x est le nombre de périodes de 40 minutes depuis lundi midi et f(x), le nombre de bactéries. On cherche le moment où le sandwich contient deux milliards de bactéries : 2 000 000 000 = 20(3)x 2 000 000 000 20(3)x = 20 20

100 000 000 = (3)x ⇔ x = log3 100 000 000 x=

log10 100 000 000 log10 3

x ≈ 16,77 On cherche le moment qui correspond à 16,77 périodes de 40 min après le lundi midi : 16,77 × 40 = 670,8 min 670,8 ÷ 60 = 11,18 h 12 + 11,18 = 22,18 h Le sandwich contenait 2 milliards de bactéries lundi soir vers 22 h 11. C’est donc Jimmy qui a raison.

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TE-19

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13. Les obligations d’épargne à taux progressif Mélodie vient de lire une publicité sur des obligations d’épargne à taux progressif. Elle se demande si ce type de placement est plus avantageux qu’un certificat de placement garanti (CPG) à taux fixe. Dans les deux cas, le capital placé est garanti. Voici les renseignements que Mélodie a recueillis dans la publicité et sur le site Web de son institution financière actuelle. Obligations d’épargne à taux progressif : • On peut retirer le montant accumulé avant l’échéance, mais seulement une fois l’an, à la date anniversaire de l’achat des obligations ; • Le taux d’intérêt annuel augmente chaque année et les intérêts sont capitalisés (ils s’ajoutent au capital) chaque année. Voici les taux offerts d’une année à l’autre : Année

1re

2e

3e

4e

5e

6e

7e

8e

9e

10e

Taux d’intérêt (%)

1,10

1,30

1,50

1,75

2,05

2,45

2,90

3,35

3,85

4,35

Certificats de placement garantis (CPG) : • On ne peut pas retirer le montant accumulé avant l’échéance. Si on choisit un terme de deux ans, par exemple, le capital initial et les intérêts accumulés sont gelés pendant deux ans ; • Le taux d’intérêt annuel est fixe pour toute la durée du placement et l’intérêt est capitalisé annuellement. Ainsi, le taux d’intérêt d’un CPG d’une durée de trois ans est de 1,2 % chaque année. Voici les taux en vigueur : Durée (années)

1

2

3

4

5

Taux d’intérêt annuel (%)

0,85

1,05

1,2

1,35

1,4

Mélodie désire placer 10 000 $ dans un de ces deux types de placements. Lequel est le plus avantageux pour une durée de cinq ans ? Quel serait être le taux par période du CPG si les deux types de placements avaient la même valeur dans cinq ans ? Obligations d’épargne à taux progressif : Il faut déterminer la valeur future (Cn) d’une obligation de 10 000 $ à la fin de chaque année selon le taux d’intérêt en vigueur. Cn = C0(1 + n × i ) i varie selon l’année, n égale 1 et C0 correspond à la valeur du placement à la fin de l’année précédente. Année

Valeurs de l’obligation

re

10 000(1 + 0,011 × 1) = 10 000(1,011) = 10 110 $

2

e

10 110(1 + 0,013 × 1) = 10 110(1,013) = 10 241,43 $

3

e

10 241,43(1 + 0,015 × 1) = 10 241,43(1,015) ≈ 10 395,05 $

4

e

10 395,05(1 + 0,017 5 × 1) = 10 395,05(1,017 5) ≈ 10 576,96 $

5

e

10 576,96(1 + 0,020 5 × 1) = 10 576,96(1,020 5) ≈ 10 793,79 $

1

Au bout de cinq ans, l’obligation vaudra 10 793,79 $.

TE-20

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Certificat de placement garanti : Il faut déterminer la valeur future (Cn) d’un CPG de 10 000 $ d’une durée de cinq ans. i = 1,4 %

n=5

C0 = 10 000 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 10 000(1,014)5 Cn ≈ 10 719,88 $ À l’échéance, le CPG vaudra 10 719,88 $. L’obligation à taux progressif rapporte donc plus que le CPG en cinq ans. Elle permet aussi de retirer le montant accumulé avant l’échéance, contrairement au CPG. Taux d’intérêt du CPG s’il avait la même valeur que l’obligation dans cinq ans : n=5

C0 = 10 000 $

Cn = 10 793,79 $

i=?

Cn = C0(1 + i )n 10 793,79 = 10 000(1 + i)5 10 793,79 10 000(1 + i )5 = 10 000 10 000

1,079 379 = (1 + i)5 1

(1,079 379)5 = 1 + i 1,015 394 = 1 + i i ≈ 0,015 394 Le taux d’intérêt par période (année) du CPG serait de 1,54 % si les deux placements avaient la même valeur dans cinq ans.

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TE-21

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14. Le meilleur placement Cette année, Stéphanie peut cotiser 25 000 $ à un REER. Son institution financière lui propose trois types de placements d’une durée de 20 ans. Option A : Taux de 8,9 % d’intérêt composé annuellement Option B : Taux de 8 % d’intérêt composé semestriellement Option C : Taux de 3 % d’intérêt composé annuellement les 10 premières années et taux de 12 % d’intérêt composé mensuellement les 10 dernières années Stéphanie croit que l’option B est la plus avantageuse, mais que chaque option lui permettrait d’avoir plus de 115 000 $ dans 20 ans. A-t-elle raison ? OPTION A

OPTION C

8,9 i = 8,9 % = 100 = 0,089

C0 = 25 000 $

Capitalisation annuelle :

n = 20

3

i = 3 % = 100 = 0,03 n = 10 C0 = 25 000 $ Cn = ?

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n

Cn = C0(1 + i )n

Cn = 25 000(1 + 0,089)20 ≈ 137 561,72 $ OPTION B

Cn = 25 000(1 + 0,03)10 ≈ 33 597,91 $

8

Taux annuel de 8 % = 100 = 0,08

Capitalisation mensuelle :

i = 2 = 0,04 C0 = 25 000 $

Taux annuel de 12 % = 100 = 0,12

0,08

12

n = 40 Cn = ?

0,12

Cn = C0(1 + i )n

i = 12 = 0,01 n = 120 C0 = 33 597,91 $ Cn = ?

Cn = 25 000(1 + 0,04)40 ≈ 120 025,52 $

Cn = C0(1 + i )n Cn = 33 597,91(1 + 0,01)120 ≈ 110 886,10 $ Stéphanie a tort. L’option A est la plus avantageuse et l’option C ne permet pas d’accumuler 115 000 $.

TE-22

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Chapitre B : Test 1. À quel type de probabilité est associé chacun des événements suivants ? Distinction entre différents types de probabilités

a) Observer que le prochain numéro de rue que tu croiseras du regard sera un nombre impair.

d) Laisser tomber par terre à plusieurs reprises un arrosoir vide et prévoir qu’à la 75e fois il tombera en position debout.

Probabilité fréquentielle

Probabilité fréquentielle

b) Obtenir deux fois le côté face en lançant à deux reprises une pièce de monnaie.

e) Aimer l’activité spéciale prévue dans ton cours d’histoire.

Probabilité théorique

Probabilité subjective

c) Apprécier ta prochaine journée d’anniversaire.

f) Observer qu’un adolescent porte des lunettes ou des lentilles cornéennes.

Probabilité subjective

Probabilité fréquentielle

2. Associe les probabilités suivantes au rapport « chances pour » ou « chances contre » correspondant. « Chances pour » et « chances contre »

7 a) Probabilité de 20

1

67 contre 33

b) Probabilité de 11 32

2

Les « chances pour » sont de 7 : 4.

c) Probabilité de 67 %

3

Les « chances contre » sont de 13 : 7.

d) 7 chances sur 11

4

Les « chances contre » sont de 10 : 11.

e) Probabilité de 11 21

5

« Chances pour » = 11 21

a) 3

b) 5

c) 1

d) 2

e) 4

3. Vrai ou faux ? Justifie les affirmations qui sont fausses. Distinction entre différents types de probabilités, « chances pour » et « chances contre », interprétation de l’espérance mathématique et équité

a) On évalue une probabilité subjective dans le cas où il est impossible de calculer une probabilité théorique ou d’estimer une probabilité fréquentielle. Vrai

b) Un jeu est défavorable à la joueuse ou au joueur lorsque l’espérance mathématique est comprise entre 0 et 1. Faux. Un jeu est défavorable à la joueuse ou au joueur lorsque l’espérance mathématique est négative.

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TE-23

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c) Une probabilité de 4 est équivalente à des « chances contre » de 4 : 5.

9 4 Faux. Une probabilité de 9 est équivalente à des « chances contre » de 5 : 4.

d) La probabilité fréquentielle, lorsqu’elle est estimée à partir de résultats d’une expérience aléatoire effectuée un grand nombre de fois, constitue une bonne estimation de la probabilité théorique d’un événement. Vrai

4. Au cours d’une soirée, Philippe et Marie-Ève s’amusent à laisser tomber par terre un verre en plastique et à noter la position dans laquelle il tombe. Voici leurs résultats après avoir répété cette expérience à 90 reprises. Probabilité fréquentielle

Philippe

Marie-Ève

Debout

12

16

À l’envers

23

26

Sur le côté

55

48

a) Pour chaque personne, quelle est la probabilité que le verre tombe en position debout à l’essai suivant ? 12

2

Pour Philippe, cette probabilité est de 90 ou 15 . 16

8

Pour Marie-Ève, cette probabilité est de 90 ou 45 .

b) Sur quoi sont basées tes réponses en a ? Elles sont basées sur l’expérience effectuée par Philippe et Marie-Ève qui consiste à laisser tomber par terre un verre en plastique à plusieurs reprises. Il s’agit donc d’une probabilité fréquentielle.

5. Un parc d’attractions propose à sa clientèle un jeu qui permet de gagner des billets de manège. Ce jeu consiste à tirer une bille d’un bocal contenant 25 billes de même grosseur : 2 billes roses, 5 billes noires, 8 billes jaunes et 10 billes vertes. Si la bille tirée est rose, on gagne deux billets de manège, soit une valeur de 2 $. Si la bille tirée est noire, on gagne un billet de manège, soit une valeur de 1 $. Si on tire une bille jaune ou une bille verte, on ne gagne rien. Espérance mathématique et interprétation de l’espérance mathématique

a) Quelle est l’espérance mathématique de ce jeu ? E(Jeu) = 2 • 2 + 1 • 5 + 0 • 18 25

25

25

4 5 E(Jeu) = + 25 25

E(Jeu) = 9 = 0,36 25

L’espérance mathématique de ce jeu est de 0,36 $.

TE-24

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b) Que signifie cette espérance mathématique ? Elle signifie que si on joue à ce jeu un très grand nombre de fois, on peut s’attendre à gagner l’équivalent de 0,36 $ par participation.

6. Danielle s’apprête à aller marcher sur un sentier de randonnée pédestre situé dans un parc près de la ville où elle habite. Avant de partir, Danielle affirme : « Il y aura probablement beaucoup de monde en raison du temps agréable qu’il fait aujourd’hui ! » Probabilité subjective

a) Sur quoi Danielle se base-t-elle pour faire une telle affirmation ? Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Il fait très beau dehors aujourd’hui, et il y a toujours plus de randonneurs sur les sentiers lorsque la température est clémente.

b) Lorsque Danielle arrive au sentier, elle constate qu’il y a peu de gens. Pourquoi Danielle s’est-elle trompée, selon toi ? Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Danielle a émis une opinion qui est reliée à une probabilité subjective. Elle n’a pas pensé, par exemple, qu’il pouvait y avoir un événement spécial organisé en ville ce jour-là ou que de nombreuses personnes pouvaient séjourner à l’extérieur de la ville en raison de la période des vacances.

7. Un jeu consiste à faire tourner la flèche de la roulette ci-contre et à gagner, s’il y a lieu, un chèque-cadeau de la valeur indiquée dans le secteur où la flèche s’immobilise. Tous les secteurs de la roulette sont isométriques. Il faut payer 3 $ pour faire tourner la flèche. Ce jeu est-il favorable aux joueurs ? Espérance mathématique, interprétation de l’espérance mathématique et équité

E(Roulette) = 20 • 2 + 10 • 3 + 5 • 3 + 2 • 3 + 0 • 5 16 16 40 30 15 E(Roulette) = + + + 6 16 16 16 16 91 E(Roulette) = = 5,687 5 16

16

16

16

E(Jeu) = E(Roulette) – Prix à payer pour jouer E(Jeu) = 5,687 5 – 3 E(Jeu) = 2,687 5 L’espérance mathématique de ce jeu est d’environ 2,69 $. Le jeu est favorable aux joueurs puisque son espérance mathématique est positive.

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TE-25

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8. Un jeu consiste à lancer un bâton dans un bac rectangulaire rempli d’eau. Le fond du bac est divisé en régions de la façon illustrée ci-dessous. Les régions portant le même numéro sont isométriques. Lorsque le bâton est lancé dans le bac, les joueurs gagnent le montant d’argent indiqué sur la région où tombe le bâton. Le coût d’une participation est de 5 $. Pour que ce jeu soit équitable, quel doit être le montant gagné si le bâton lancé tombe sur la région 1 ? Interprétation de l’espérance mathématique et équité

Montants gagnés Région 1 : Montant à déterminer Région 2 : 2 $ Région 3 : 5 $

Aire du rectangle = 45 • 60 = 2 700 cm2 Aire d’une région 1 = 17,5 • 22,5 = 196,875 cm2 2

Aire d’une région 2

= (35 + 17,5) • 22,5 = 590,625 cm2 2

Aire d’une région 3 = 25 • 45 = 562,5 cm2 2

Probabilité d’atteindre une région 1 = 393,75 = 7 2 700

Probabilité d’atteindre une région 2

48

= 1 181,25 = 7 2 700 16

Probabilité d’atteindre une région 3 = 1 125 = 5 2 700

12

Soit x, le montant gagné si on lance le bâton sur la région 1 . Pour que le jeu soit équitable, l’espérance mathématique doit être de 5 $. 5• 5 +x• 7 +2• 7 =5 12

48 25 + 12 100 + 48

16 7x + 14 = 5 48 16 7x 42 + = 240 48 48 48 7x 98 = 48 48

7x = 98 x = 14 Pour que le jeu soit équitable, le montant gagné lorsque le bâton tombe sur la région 1 doit être de 14 $.

TE-26

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9. Pour encourager les participants à une randonnée cycliste, les organisateurs offrent des prix à ceux qui arriveront le plus vite. Les premiers arrivés tirent leur prix dans un sac. Ce sac contient 7 jetons d’une valeur de 5 $, 4 jetons d’une valeur de 10 $, un certain nombre de jetons d’une valeur de 20 $ et 1 jeton d’une valeur de 50 $. L’espérance mathématique de ce jeu est de 12,33 $. Combien y a-t-il de jetons d’une valeur de 20 $ dans le sac ? Espérance mathématique

Soit x, le nombre de jetons d’une valeur de 20 $. Nombre de jetons dans le sac : 7 jetons d’une valeur de 5 $, 4 jetons d’une valeur de 10 $, x jetons d’une valeur de 20 $, 1 jeton d’une valeur de 50 $ Il y a donc (12 + x) jetons dans le sac. 5•

7 + 10 • 4 + 20 • x + 50 • 1 = 12,33 12 + x 12 + x 12 + x 12 + x 35 40 20x + + + 50 = 12,33 12 + x 12 + x 12 + x 12 + x

125 + 20x = 12,33x + 147,96 7,67x = 22,96 x

3

Le sac contient 3 jetons d’une valeur de 20 $.

10. Sébastien vient de terminer un examen de français. Il affirme que, comme il a toujours obtenu une note supérieure à 80 % à ses examens de français depuis le début de l’année, il aura probablement une note supérieure à 80 % cette fois encore. De plus, il prétend qu’il aura également une note supérieure à 80 % à son examen d’anglais puisqu’il l’a trouvé facile. Probabilités fréquentielle et subjective

a) Sur quel type de probabilité Sébastien se base-t-il pour faire ces deux prédictions ? Justifie ta réponse. Pour sa note à l’examen de français, Sébastien se base sur une probabilité fréquentielle parce qu’il tient compte de l’expérience de ses résultats antérieurs. Pour son résultat à l’examen d’anglais, il se base sur une probabilité subjective étant donné qu’il émet une opinion personnelle à propos de l’examen, qu’il a trouvé facile.

b) Présente à Sébastien des moyens qui pourraient rendre plus fiable sa prédiction à propos de son résultat à l’examen d’anglais. Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : – Connaître l’opinion de ses amis qui ont passé le même examen ; – Se souvenir des réponses qu’il a inscrites et les comparer avec ses notes de cours ; – Connaître les moyennes de groupe de ceux qui ont passé le même examen et qui ont déjà obtenu leurs résultats.

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TE-27

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11. Prédictions de spectateurs Les musiciens de l’orchestre de l’école donneront leur spectacle de fin d’année la semaine prochaine. Se basant sur une évaluation approximative du nombre d’entrées enregistrées à leurs derniers concerts, trois des membres de l’orchestre font des prédictions sur le nombre de spectateurs qui seront présents. La salle a une capacité d’accueil maximale de 350 personnes. 1

Les « chances pour » que la salle soit pleine sont de 260 : 90.

2

La salle sera pleine à 75 % de sa capacité.

3

Les « chances contre » que la salle soit pleine sont de 85 : 265.

Évalue le nombre de spectateurs en tenant compte des prédictions des trois membres de l’orchestre. Explique ton raisonnement. « Chances pour » et « chances contre », probabilité subjective

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : On transforme les « chances pour » et les « chances contre » en probabilités. Les « chances pour » que la salle soit pleine sont de 260 : 90. Cela équivaut à une probabilité de 260 de faire salle comble. 350

La salle sera pleine à 75 % de sa capacité. Cela équivaut à une probabilité de 262,5 de faire 350 salle comble. Les « chances contre » que la salle soit pleine sont de 85 : 265. Cela correspond à une probabilité de 265 de faire salle comble. 350

Si on fait la moyenne de ces prédictions, on obtient une probabilité de 262,5. 350

On pourrait donc affirmer que la salle sera pleine à 75 % de sa capacité. Toutefois, il faut être prudent, car les prédictions énoncées par les trois musiciens sont subjectives. Ceux-ci peuvent avoir évalué des prédictions qui leur sont favorables. Pour avoir une prédiction plus juste, il faudrait demander à d’autres élèves de l’école, à des enseignants, etc., de prédire le nombre de spectateurs.

TE-28

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12. Jeu de dés Une fête foraine installée sur le site d’une foire agroalimentaire propose plusieurs jeux. Zachary observe un ami qui essaie un jeu de dés. Voici les règles de ce jeu.

– – – –

Pour jouer, il faut payer 3 $. Le joueur lance deux dés simultanément. S’il obtient une somme supérieure à 8, il gagne 5 $. S’il obtient le même chiffre sur chaque dé, il gagne 20 $.

Zachary prétend que ce jeu est favorable à la joueuse ou au joueur puisque les lots à gagner sont plus élevés que le prix payé pour jouer. À l’aide d’arguments mathématiques, vérifie la conjecture de Zachary. La probabilité d’obtenir une somme des deux dés supérieure à 8 est de 10 ou 5 . La probabilité d’obtenir le même chiffre sur chaque dé est de 6 ou 1 . 36 6 10 6 E(Dés) = 5 • + 20 • 36 36

36

18

E(Dés) = 50 + 120 36

36

E(Dés) = 170 = 4,72 36 E(Jeu) = E(Dés) – Prix à payer pour jouer E(Jeu) = 4,72 – 3 = 1,72 La conjecture de Zachary est donc vraie puisque l’espérance mathématique du jeu est positive.

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TE-29

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13. La mangeoire à oiseaux Justin et Jade veulent installer une mangeoire à oiseaux dans leur cour. Afin de trouver le meilleur emplacement possible pour leur mangeoire, ils décident d’en placer quatre à des endroits différents (notés A, B, C et D). Au cours de la période d’observation, 400 oiseaux ont fréquenté les différentes mangeoires. Dans le tableau suivant, on a compilé la probabilité ou les chances d’observer un oiseau à chaque emplacement. Emplacement de la mangeoire

Probabilité ou chances d’observer un oiseau

A

« Chances pour » de 9 : 31

B

3 10

C

« Chances contre » de 4 : 1

D

11 40

Selon ces résultats, à quel endroit Justin et Jade devraient-ils installer leur mangeoire ? Justifie ta réponse. On transforme les chances en probabilités et on compare les probabilités obtenues : Emplacement A : Comme les « chances pour » sont de 9 : 31, la probabilité d’observer un oiseau à cet emplacement est de 9 . 40

Emplacement B : La probabilité d’observer un oiseau à cet emplacement est de 3 ou 12 . 10

40

Emplacement C : Comme les « chances contre » sont de 4 : 1, la probabilité d’observer un oiseau à cet emplacement est de 1 ou 8 . 5

40

Emplacement D : La probabilité d’observer un oiseau à cet emplacement est de 11 . 40

Comme la probabilité d’observer un oiseau est plus élevée à l’emplacement B, Justin et Jade devraient installer leur mangeoire à cet endroit. De plus, puisque l’observation a été faite un grand nombre de fois, c’est-à-dire pour 400 oiseaux, cette probabilité fréquentielle constitue une bonne estimation de la probabilité théorique de l’événement.

TE-30

TESTS Intersection, complément CST

Guide

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Nom :

Groupe :

Date :

14. Un labyrinthe au zoo Les gestionnaires d’un zoo proposent aux enfants de participer à un jeu de labyrinthe. Ceux-ci sont sûrs de gagner à tous les coups, mais ils doivent d’abord payer un droit d’entrée pour jouer. Les participants commencent l’épreuve à l’entrée du labyrinthe représenté ci-contre. Une fois à l’intérieur, ils se retrouvent devant une succession de portes à sens unique, identiques, donnant accès à différents sentiers. Certains parcours mènent à la salle 1 , d’autres aux salles 2 ou 3 . Dans chacune des salles se trouve un des trois prix suivants. Un macaron du zoo

Un coupon pour un cornet de crème glacée

Un animal en peluche

La somme déboursée par les gestionnaires du zoo est de 0,25 $ pour un macaron, de 3 $ pour un cornet de crème glacée et de 10 $ pour un animal en peluche. Leur objectif est de recueillir au moins 50 000 $ pendant l’été grâce à cette activité. On estime que 60 000 enfants participeront au jeu du labyrinthe et on sait que les gestionnaires du zoo n’ont pas fixé de limite quant au nombre de prix offerts. Propose aux gestionnaires une salle où placer chaque prix et fixe le droit d’entrée à un montant qui leur permettra d’atteindre leur objectif. On trace un diagramme en arbre pour calculer les probabilités associées à chaque salle.

Voici la probabilité que le parcours choisi mène à chacune des salles. P(Salle 1 ) : 1 2

P(Salle 2 ) : 1 3

P(Salle 3 ) : 1 6

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Intersection, complément CST

Guide TESTS

TE-31

Nom :

Groupe :

Date :

À partir de ces probabilités, voici le nombre d’enfants dont le parcours devrait se terminer dans une des salles du labyrinthe au cours de l’été. Salle 1 : 30 000 enfants Salle 2 : 20 000 enfants Salle 3 : 10 000 enfants Afin que la somme déboursée par les gestionnaires pour acquérir les prix soit la moins élevée possible, le prix qui leur coûte le plus cher doit être placé dans la salle la moins fréquentée, et ainsi de suite. Salle 1 : Un macaron du zoo (0,25 $) Salle 2 : Un coupon pour un cornet de crème glacée (3 $) Salle 3 : Un animal en peluche (10 $) On estime la somme que les gestionnaires du zoo devront débourser pour acquérir les prix. P(Salle 1 ) : 30 000 • 0,25 = 7 500 $ P(Salle 2 ) : 20 000 • 3 = 60 000 $ P(Salle 3 ) : 10 000 • 10 = 100 000 $ Les gestionnaires du zoo devront donc débourser une somme de 167 500 $. On détermine le montant que devront leur rapporter les droits d’entrée pour qu’ils puissent atteindre leur objectif de recueillir au moins 50 000 $. 50 000 + 167 500 = 217 500 Les droits d’entrée pour participer au jeu devront leur rapporter au moins 217 500 $. On estime à 60 000 le nombre d’enfants qui participeront au jeu au cours de l’été. 217 500 = 3,625 60 000

Chaque enfant devra payer un droit d’entrée d’au moins 3,63 $ pour jouer. On peut donc suggérer aux gestionnaires du zoo de fixer le droit d’entrée au jeu du labyrinthe à 3,75 $ ou à 4 $.

TE-32

TESTS Intersection, complément CST

Guide

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Intersection, complément CST L’élève utilise des stratégies de validation appropriées (vérifie la plupart de ses calculs ou affirmations, compare sa réponse à la question).

16 points

L’élève laisse des traces claires de la solution, même si certaines étapes sont implicites, en commettant des erreurs mineures relatives aux règles et conventions du langage mathématique.

32 points

L’élève : – sélectionne les concepts et processus appropriés à la situation ; – produit une solution qui comporte des erreurs mineures (ex. : erreurs de calcul, oublis ou imprécisions).

32 points

L’élève utilise des stratégies de validation appropriées (vérifie certains de ses calculs ou affirmations, compare sa réponse à la question).

12 points

L’élève laisse des traces incomplètes ou peu structurées tout en commettant des erreurs par rapport aux règles et conventions du langage mathématique.

24 points

L’élève : – sélectionne la plupart des concepts et processus appropriés à la situation ; – produit une solution qui comporte des erreurs conceptuelles.

24 points

L’élève utilise peu de stratégies de validation appropriées.

8 points

L’élève laisse des traces confuses et incomplètes de la solution, qui présentent des erreurs par rapport aux règles et conventions du langage mathématique.

16 points

L’élève : – sélectionne certains concepts et processus appropriés à la situation ; – produit une solution qui comporte des erreurs majeures (ex. : erreurs conceptuelles).

16 points

– présente une planification peu structurée des étapes à franchir ; – tient peu compte des contraintes de la situation.

L’élève : – identifie de façon incomplète les données pertinentes à la résolution de la situation ;

D Insatisfaisant

L’élève n’utilise pas de stratégies de validation appropriées.

4 points

L’élève laisse peu ou pas de traces de sa solution.

8 points

L’élève : – sélectionne des concepts et processus peu appropriés à la situation ; – produit une solution qui comporte des erreurs majeures.

8 points

– ne planifie pas les étapes à franchir ; – ne tient pas compte des contraintes de la situation.

L’élève : – identifie de façon incomplète les données pertinentes à la résolution de la situation ;

E Nettement insatisfaisant

Date :

* Le critère 4, « Validation appropriée des étapes de la solution », doit faire l’objet d’une rétroaction à l’élève, mais ne doit pas être évalué.

L’élève utilise des stratégies de validation appropriées (vérifie ses calculs, révise ses étapes, justifie ses affirmations, compare sa réponse à la question).

20 points

L’élève présente une démarche complète et structurée tout en respectant les règles et conventions du langage mathématique.

40 points

L’élève : – sélectionne les concepts et processus appropriés à la situation ; – produit une solution exacte.

40 points

– planifie la plupart des étapes à franchir ; – tient compte de la plupart des contraintes de la situation.

– planifie chacune des étapes à franchir ; – tient compte de toutes les contraintes de la situation.

L’élève : – identifie les données explicites et certaines données implicites ; – planifie certaines des étapes à franchir ; – tient compte de certaines contraintes de la situation.

C Partiellement satisfaisant

Groupe :

4. Validation appropriée des étapes de la solution*

3. Élaboration d’une solution appropriée

2. Mobilisation des savoirs mathématiques appropriés

1. Manifestation, oralement ou par écrit, de sa compréhension de la situation-problème

L’élève : – identifie les données pertinentes à la résolution de la situation ;

B Satisfaisant

L’élève : – identifie toutes les données pertinentes à la résolution de la situation ;

A Très satisfaisant

Résoudre une situation-problème (CD1)

Grille d’évaluation

Nom :

Fiche EC1

Guide ÉVALUATION

EV-1

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EC2

Autoévaluation Résoudre une situation-problème (CD1)

Situation :

Évalue ton travail en remplissant la fiche qui suit.

Oui

Plus ou moins

Non

Facilement

Assez facilement

Difficilement

1





Oui

Plus ou moins

Non

Compréhension de la situation-problème J’identifie les éléments pertinents de la situation. Je comprends le problème. J’établis un plan pour résoudre le problème. Je tiens compte des contraintes de la situation. Mobilisation des savoirs J’utilise les connaissances mathématiques appropriées. Je produis une solution exacte. Élaboration de la solution Je présente ma démarche de façon claire et structurée. J’utilise le vocabulaire et les symboles mathématiques appropriés. Validation de la solution Je vérifie ma solution. Je révise ma démarche et ma réponse au besoin. Ce qui m’a été très utile :

Ce que j’ai trouvé difficile :

Ce que j’aimerais améliorer :

EV-2

ÉVALUATION Intersection, complément CST

Guide

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Intersection, complément CST

Guide ÉVALUATION

L’élève formule correctement une ou des conjectures, et couvre la plupart des éléments de la situation.

16 points

L’élève formule une ou des conjectures, et couvre quelques éléments de la situation, ou formule une conjecture peu appropriée.

12 points

L’élève : – présente une démarche incomplète ou qui manque de clarté, en commettant des erreurs mineures par rapport aux règles et conventions du langage mathématique ; – justifie certaines étapes de sa démarche ou manque de précision dans ses justifications.

24 points

L’élève applique de façon appropriée la plupart des concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation, en commettant des erreurs mineures (ex. : erreurs conceptuelles).

24 points

L’élève formule une ou des conjectures peu appropriées, et couvre peu d’éléments de la situation.

8 points

L’élève : – présente une démarche incomplète et confuse, en commettant plusieurs erreurs par rapport aux règles et conventions du langage mathématique ; – justifie certaines étapes de sa démarche en utilisant des arguments inadéquats et peu variés.

16 points

L’élève applique de façon peu appropriée les concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation et commet plusieurs erreurs conceptuelles.

16 points

– recourt à certaines stratégies et formule des hypothèses peu appropriées à la situation.

* Dans le cas où la situation d’application s’y prête. Le cas échéant, l’évaluation de ces conjectures doit être prise en compte au critère 3.

L’élève formule une ou des conjectures de façon claire et précise, et couvre tous les éléments de la situation.

20 points

L’élève : – présente une démarche complète, concise et ordonnée où certaines étapes sont implicites et où il commet des erreurs mineures par rapport aux règles et conventions du langage mathématique ; – justifie les étapes de sa démarche à l’aide des concepts et processus appropriés.

32 points

L’élève applique de façon appropriée les concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation, en commettant des erreurs mineures (ex. : erreurs de calcul, oublis ou imprécisions).

32 points

– recourt à certaines stratégies et formule des hypothèses.

L’élève : – sélectionne certains concepts et processus appropriés à la situation ;

D Insatisfaisant

L’élève formule une ou des conjectures inadéquates ou non plausibles.

4 points

L’élève : – présente une démarche incomplète qui ne tient pas compte des règles et conventions du langage mathématique ; – ne justifie pas les étapes de sa démarche.

8 points

L’élève applique des concepts et processus peu ou pas appropriés pour répondre aux exigences de la situation.

8 points

– recourt à des stratégies et formule des hypothèses peu appropriées ou sans lien avec la situation.

L’élève : – sélectionne des concepts et processus peu appropriés à la situation ;

E Nettement insatisfaisant

Date :

1. Formulation d’une conjecture appropriée à la situation*

5. Justification congruente des étapes d’une démarche pertinente

L’élève : – présente une démarche complète, concise et ordonnée, en respectant les règles et conventions du langage mathématique ; – justifie de façon rigoureuse les étapes de sa démarche, et le fait en utilisant un registre varié.

40 points

L’élève applique de façon appropriée et sans erreur les concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation.

40 points

– recourt à des stratégies et formule des hypothèses appropriées.

– recourt à des stratégies efficaces et formule des hypothèses appropriées.

L’élève : – sélectionne la majorité des concepts et processus appropriés à la situation ;

C Partiellement satisfaisant

Groupe :

et

4. Structuration adéquate des étapes d’une démarche pertinente

2. Utilisation correcte des concepts et des processus mathématiques appropriés

3. Mise en œuvre convenable d’un raisonnement mathématique adapté à la situation

L’élève : – sélectionne les principaux concepts et processus appropriés à la situation ;

B Satisfaisant

L’élève : – sélectionne tous les concepts et processus appropriés à la situation ;

A Très satisfaisant

Déployer un raisonnement mathématique (CD2)

Grille d’évaluation

Nom :

Fiche EC3

EV-3

Nom :

Groupe :

Date :

Fiche EC4

Autoévaluation Déployer un raisonnement mathématique (CD2)

Évalue ton travail en remplissant la fiche qui suit.

Situation : Oui

Plus ou moins

Non

Facilement

Assez facilement

Difficilement

1





Oui

Plus ou moins

Non

Raisonnement mathématique J’identifie les éléments pertinents. Je dis ce qui est le plus vraisemblable selon mon analyse de la situation. Je choisis des stratégies efficaces. Concepts et processus J’applique correctement les connaissances mathématiques utilisées. Je fais des liens, je trouve des règles et j’explique les relations entre les connaissances mathématiques utilisées. Démarche et justification Je présente une démarche complète et ordonnée. J’explique mon raisonnement à chaque étape, je démontre, j’argumente. J’utilise un vocabulaire et des symboles mathématiques appropriés. Ce qui m’a été très utile :

Ce que j’ai trouvé difficile :

Ce que j’aimerais améliorer :

EV-4

ÉVALUATION Intersection, complément CST

Guide

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Nom : ___________________________________________ Groupe : ________

Date : ____________

SAÉ A

1

Dossier de l’élève

Le coût du neuf Étienne vient d’acheter une voiture d’occasion au prix de 13 692 $, taxes en sus. À l’état neuf, il y a 3 ans, ce véhicule se vendait 24 384 $, taxes en sus. Le taux des taxes qui s’appliquent est de 14,975 %. Pour cet achat, Étienne a obtenu un financement à un taux de 4,8 % d’intérêt composé mensuellement. Il versera ainsi 257,13 $ chaque mois pendant 5 ans. Étienne a choisi ce véhicule plutôt qu’une voiture neuve ayant un prix de base de 17 610 $. À ce prix s’ajoutaient des frais de transport et de préparation de 1 695 $ ainsi que 2 650 $ pour des équipements en option. Le même taux de taxe s’appliquait à ce véhicule. Le vendeur offrait un financement sur 5 ans à un taux de 0,99 % d’intérêt composé mensuellement. Le montant des versements mensuels était de 431,38 $. Étienne prévoit remplacer son véhicule dans 5 ans. Quelle sera alors la valeur de sa voiture et son coût réel d’achat à la fin de la période durant laquelle il aura possédé son véhicule ? Combien d’argent Étienne aura-t-il économisé en achetant le véhicule d’occasion plutôt que le véhicule neuf ?

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Intersection, complément CST

Guide SAÉ A

S-1

Nom : ___________________________________________ Groupe : ________

Date : ____________

SAÉ A

1 (suite)

Résoudre une situation-problème (CD1)

Situation : Le coût du neuf

ÉLÉMENTS PERTINENTS DE LA SITUATION Étienne vient d’acheter une nouvelle voiture. Il a choisi un véhicule d’occasion. Le coût à l’achat est de 13 692 $, taxes en sus. Étienne a obtenu un financement à un taux de 4,8 % d’intérêt composé mensuellement. Il doit verser 257,13 $ chaque mois pendant 5 ans. À l’état neuf, il y a 3 ans, le véhicule se vendait 24 384 $, taxes en sus. Le taux des taxes est de 14,975 %. Étienne aurait pu choisir une voiture neuve avec un prix de base de 17 610 $, plus des frais de transport et de préparation de 1 695 $ ainsi que 2 650 $ pour des équipements en option. Il faut également ajouter les taxes de 14,975 %. Le financement offert était de 5 ans à un taux de 0,99 % d’intérêt composé mensuellement. Le montant des versements mensuels était de 431,38 $. Étienne prévoit remplacer son véhicule dans 5 ans.

TÂCHE À EFFECTUER Je cherche la valeur de la voiture d’Étienne et son coût réel d’achat au moment où Étienne remplacera son véhicule dans 5 ans. Je cherche l’économie réalisée par Étienne sur une période de 5 ans en choisissant la voiture d’occasion plutôt que la voiture neuve.

SOLUTION 1 Déterminer le prix du véhicule d’occasion, avec les taxes.

1,149 75 × 13 692 = 15 742,38 $ Le véhicule d’occasion se vend 15 742,38 $ avec les taxes.

S-2

SAÉ A Intersection, complément CST

Guide

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Nom : ___________________________________________ Groupe : ________

Date : ____________

SAÉ A

1 (suite)

2 Déterminer le prix avec les taxes de la même voiture lorsqu’elle était neuve.

1,149 75 × 24 384 = 28 035,50 $ Neuve, la même voiture se vendait 28 035,50 $ avec les taxes.

3 Déterminer le taux de dépréciation du véhicule d’Étienne.

Le taux de dépréciation est le pourcentage de sa valeur qu’un bien perd chaque année. Pour l’obtenir, on détermine d’abord la base de la fonction exponentielle (1 + i ). Si la base est plus grande que 1, le taux i représente un taux d’augmentation. Si la base est plus petite que 1, le taux i est un taux de dépréciation. Le pourcentage associé à la différence entre 1 et la base est le taux de dépréciation ou d’augmentation. n=3

C0 = 28 035,50 $

Cn = 15 742,38 $

i=?

Cn = C0(1 + i )n

3 15 742,38 = 28 035,50(1 + i ) 28 035,50 28 035,50

0,561 515 9 = (1 + i)3 1

(0,561 515 9)3 = 1 + i 0,825 000 1 = 1 + i 0,825 000 1 - 1 = i i ≈ -0,175 Le taux de dépréciation est de 17,5 %.

4 Déterminer la valeur du véhicule d’Étienne dans 5 ans.

i = 17,5 % = 0,175

n=5

C0 = 15 742,38 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 15 742,38(0,825)5 Cn ≈ 6 016,45 $ La valeur du véhicule dans 5 ans sera de 6 016,45 $.

5 Déterminer le coût réel d’achat de la voiture d’occasion au bout de 5 ans.

Le coût réel d’achat correspond au total des versements mensuels moins la valeur de la voiture dans 5 ans. 60 × 257,13 - 6 016,45 = 9 411,35 $ Le coût réel d’achat de la voiture d’occasion sera de 9 411,35 $.

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Intersection, complément CST

Guide SAÉ A

S-3

Nom : ___________________________________________ Groupe : ________

Date : ____________

SAÉ A

1 (suite)

6 Déterminer le prix total de la voiture neuve, avec les taxes.

17 610 + 2 650 + 1 695 = 21 955 $ 1,149 75 × 21 955 = 25 242,76 $ Le prix total de la voiture neuve était de 25 242,76 $, avec les taxes.

7 Déterminer la valeur de la voiture neuve dans 5 ans.

i = 17,5 % = 0,175

n=5

C0 = 25 242,76 $

Cn = ?

Cn = C0(1 + i )n Cn = 25 242,76(0,825)5 Cn ≈ 9 647,32 $ Dans 5 ans, la voiture neuve vaudra 9 647,32 $.

8 Déterminer le coût réel d’achat de la voiture neuve au bout de 5 ans.

Le coût réel d’achat correspond au total des versements mensuels moins la valeur de la voiture dans 5 ans. 60 × 431,38 - 9 647,32 = 16 235,48 $ Le coût réel d’achat de la voiture neuve serait de 16 235,48 $.

9 Déterminer l’économie réalisée par Étienne.

16 235,48 - 9 411,35 = 6 824,13 $ Étienne aura économisé 6 824,13 $ en choisissant le véhicule d’occasion.

NOTE : Il est intéressant de remarquer que, même si le prix de la voiture neuve est moins élevé que celui du véhicule d’occasion quand il était neuf et que le taux d’intérêt à l’achat est plus élevé pour la voiture d’occasion, Étienne fait des économies importantes.

S-4

SAÉ A Intersection, complément CST

Guide

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Nom : ___________________________________________ Groupe : ________

Date : ____________

SAÉ A

2

Accompagnement pédagogique

Le coût du neuf Description de la situation d’apprentissage et d’évaluation Étienne vient d’acheter une nouvelle voiture, qu’il prévoit remplacer dans cinq ans. Il avait le choix entre un véhicule neuf et un véhicule d’occasion ayant trois ans d’usure. Étienne a opté pour le véhicule d’occasion. La tâche des élèves consiste à déterminer le montant qu’Étienne aura économisé par ce choix, en tenant compte du financement, du prix d’achat de chaque véhicule, de son taux de dépréciation et de sa valeur résiduelle dans cinq ans. L’enseignante ou l’enseignant qui le désire peut modifier l’énoncé de la situation pour amener les élèves à déterminer eux-mêmes le montant des versements pour chaque véhicule. Travail individuel

75 min

Chapitre A du complément au manuel Compétences mobilisées CD1 Résoudre une situation-problème CT2 Résoudre des problèmes Outils d’évaluation proposés • Fiche 3 (Grille d’évaluation spécifique) de la SAÉ A • Fiche EC2 (Autoévaluation) de la partie Évaluation du complément au guide • Fiche E13 (Autoévaluation) sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A Concepts et processus Algèbre Résoudre une équation exponentielle Mathématiques financières Modéliser une situation financière Déterminer des valeurs ou des données par la résolution d’équations Comparer des situations financières Buts : Cette situation d’apprentissage et d’évaluation permet le développement et l’évaluation de la compétence 1, Résoudre une situationproblème. En effet, les élèves sont amenés à mobiliser leurs savoirs mathématiques sur les équations exponentielles et les mathématiques financières afin de déterminer la valeur résiduelle et le coût d’achat réel de deux véhicules. Les élèves doivent élaborer une solution claire et structurée qui tient compte de tous les éléments pertinents. La présente situation d’apprentissage et d’évaluation favorise aussi le développement de la compétence transversale 2, Résoudre des problèmes. En effet, les élèves doivent analyser adéquatement l’information afin de bien comprendre le problème, reconnaître les données importantes dans le contexte et choisir la démarche la plus avantageuse pour arriver à la réponse. Enfin, le contexte s’inscrit dans l’axe de développement « Utilisation responsable de biens et de services » du domaine général de formation Consommation et environnement. En effet, il veut amener les élèves à prendre conscience du fait que le coût d’achat réel d’un bien tel qu’une automobile peut être très différent de son prix et qu’il importe d’en tenir compte pour faire des choix éclairés en matière de consommation. Une discussion en grand groupe peut aussi faire ressortir le fait qu’un modèle neuf, en plus de coûter plus cher, offre parfois moins de fonctions ou d’avantages qu’un modèle d’occasion.

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Intersection, complément CST

Guide SAÉ A

S-5

S-6

SAÉ A Intersection, complément CST

Guide 32 points

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24 points

12 points

L’élève laisse des traces incomplètes ou peu structurées tout en commettant des erreurs par rapport aux règles et conventions du langage mathématique.

24 points

L’élève : – sélectionne la plupart des concepts et processus appropriés à la situation ; – produit une solution qui comporte des erreurs conceptuelles.

8 points

L’élève : – identifie de façon incomplète les données pertinentes à la résolution de la situation ; – ne planifie pas les étapes à franchir ; – ne tient pas compte des contraintes de la situation.

8 points

L’élève laisse des traces confuses et incomplètes de la solution, qui présentent des erreurs par rapport aux règles et conventions du langage mathématique.

16 points

4 points

L’élève laisse peu ou pas de traces de sa solution.

8 points

L’élève : L’élève : – sélectionne certains concepts – sélectionne des concepts et et processus appropriés à la processus peu appropriés à la situation ; situation ; – produit une solution qui – produit une solution qui comporte des erreurs majeures comporte des erreurs majeures. (ex. : mauvaise interprétation du taux de dépréciation, confusion du prix net et avec taxes).

16 points

L’élève : – identifie de façon incomplète les données pertinentes à la résolution de la situation ; – présente une planification peu structurée des étapes à franchir ; – tient peu compte des contraintes de la situation.

E Nettement insatisfaisant ou incomplet

* Le critère 4, « Validation appropriée des étapes de la solution », doit faire l’objet d’une rétroaction à l’élève, mais ne doit pas être évalué. Se référer aux comportements observables selon la fiche EC1 (Grille d’évaluation générale), qui se trouve dans la partie Évaluation du complément au guide d’enseignement.

16 points

L’élève laisse des traces claires de la solution, même si certaines étapes sont implicites, en commettant des erreurs mineures relatives aux règles et conventions du langage mathématique.

32 points

L’élève : – sélectionne les concepts et processus appropriés à la situation ; – produit une solution qui comporte des erreurs mineures (ex. : erreurs de calcul ou d’arrondissement).

L’élève : – identifie les données explicites (prix du véhicule d’Étienne, taux des taxes, mensualités, etc.) et certaines données implicites (ex. : prix du véhicule neuf, taux de dépréciation ou total des mensualités) ; – planifie certaines des étapes à franchir ; – tient compte de certaines contraintes de la situation.

D Insatisfaisant

SAÉ A

20 points

L’élève présente une démarche complète et structurée tout en respectant les règles et conventions du langage mathématique.

40 points

L’élève : – sélectionne les concepts et processus appropriés à la situation (équation exponentielle, taux de variation, valeur actuelle, valeur future) ; – produit une solution exacte.

40 points

L’élève : – identifie les données pertinentes à la résolution de la situation ; – planifie la plupart des étapes à franchir ; – tient compte de la plupart des contraintes de la situation.

L’élève : – identifie toutes les données pertinentes à la résolution de la situation (prix du véhicule d’Étienne et valeur à l’état neuf, prix du véhicule neuf, taux des taxes, mensualités, nombre d’années où Étienne prévoit conserver le véhicule) ; – planifie chacune des étapes à franchir (prix du véhicule d’Étienne taxes comprises, prix de ce véhicule à l’état neuf, taux de dépréciation, valeur du véhicule dans 5 ans et coût d’achat réel ; prix de la voiture neuve taxes comprises, valeur dans 5 ans et coût d’achat réel ; économie réalisée) ; – tient compte de toutes les contraintes de la situation.

C Partiellement satisfaisant

Date : ____________

3. Élaboration d’une solution appropriée*

2. Mobilisation des savoirs mathématiques appropriés

1. Manifestation, oralement ou par écrit, de sa compréhension de la situation-problème

B Satisfaisant

A Très satisfaisant

Résoudre une situation-problème (CD1)

Grille d’évaluation spécifique

Nom : ___________________________________________ Groupe : ________

3

Nom : ___________________________________________ Groupe : ________

Date : ____________

SAÉ B

1

Dossier de l’élève

La roulette La roulette est un jeu de hasard où l’on doit miser sur un ou plusieurs numéros à la fois. La roulette européenne comporte 37 cases, numérotées de 0 à 36. Les joueurs établissent leur mise sur une table de jeu comme celle-ci.

La croupière ou le croupier fait tourner la roulette dans un sens et lance une bille dans l’autre sens. La case dans laquelle la bille s’arrête détermine les mises gagnantes. Lorsque les joueurs gagnent, la croupière ou le croupier paie leur mise un certain nombre de fois en plus de leur remettre leur mise initiale. Le tableau ci-dessous présente les différentes stratégies de mises à la roulette et le gain correspondant dans le cas où la mise est gagnante. Stratégie possible

Explication

Gain*

Plein

Miser sur un numéro

35 fois la mise

À cheval

Miser sur deux numéros

17 fois la mise

Transversale

Miser sur trois numéros

11 fois la mise

Carré

Miser sur quatre numéros

8 fois la mise

Sixain

Miser sur six numéros

5 fois la mise

Douzaine ou colonne

Miser sur douze numéros

2 fois la mise

Miser sur les numéros rouges ou les numéros noirs Chance simple

Miser sur les numéros pairs ou les numéros impairs

1 fois la mise

Miser sur « manque » (nombres 1 à 18) ou sur « passe » (nombres 19 à 36) * La mise initiale s’ajoute aux gains décrits dans cette colonne.

Lorsque la bille s’arrête sur le zéro, les joueurs ayant misé sur les autres options perdent leur mise. Sandrine affirme qu’il vaut mieux miser sur rouge, noir, pair, impair, « manque » ou « passe » pour espérer avoir plus de chances de gagner. A-t-elle raison ? Quelle est l’espérance mathématique de cette stratégie et que représente-t-elle dans la situation ?

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Intersection, complément CST

Guide SAÉ B

S-9

Nom : ___________________________________________ Groupe : ________

Date : ____________

SAÉ B

1 (suite)

Déployer un raisonnement mathématique (CD2)

Situation : La roulette

Il existe sept stratégies de mises à la roulette européenne. Un gain différent est associé à chaque stratégie. La roulette comporte 37 cases, numérotées de 0 à 36, ce qui veut dire qu’il y a 37 résultats possibles. Une joueuse ou un joueur gagnant récupère sa mise initiale et, selon la stratégie utilisée, remporte un montant égal à 1, 2, 5, 8, 11, 17 ou 35 fois sa mise.

Selon Sandrine, la stratégie de la chance simple (miser sur rouge, noir, pair, impair, « manque » ou « passe ») a une espérance mathématique plus élevée que les autres stratégies. Pour vérifier si Sandrine a raison, je dois calculer l’espérance mathématique de cette stratégie et la comparer à celle des autres. On me demande aussi d’interpréter l’espérance mathématique de la stratégie dans le contexte.

Parmi les numéros sur lesquels on peut miser, 18 sont rouges, 18 sont noirs, 18 sont pairs, 18 sont impairs, 18 sont associés à « manque » et 18 sont associés à « passe ». La stratégie de la chance simple consiste donc à miser sur 18 numéros. Je détermine l’espérance mathématique de chacune des stratégies avec une mise de 1 $. Plein (1 numéro) : E = 1 (35) + 36 (-1) = 35 - 36 = 1 = -0,027 ≈ -0,03 $

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À cheval (2 numéros) : E = 2 (17) + 35 (-1) = 34 - 35 = 1 = -0,027 ≈ -0,03 $

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Transversale (3 numéros) : E = 3 (11) + 34 (-1) = 33 - 34 = 1 = -0,027 ≈ -0,03 $

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Carré (4 numéros) : E = 4 (8) + 33 (-1) = 32 - 33 = 1 = -0,027 ≈ -0,03 $

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Sixain (6 numéros) : E = 6 (5) + 31 (-1) = 30 - 31 = 1 = -0,027 ≈ -0,03 $

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Douzaine ou colonne (12 numéros) : E = 12 (2) + 25 (-1) = 24 - 25 = 1 = -0,027 ≈ -0,03 $

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Chance simple (18 numéros) : E = 18 (1) + 19 (-1) = 18 - 19 = 1 = -0,027 ≈ -0,03 $

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SAÉ B Intersection, complément CST

Guide

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1 (suite)

Étant donné que chaque stratégie a la même espérance mathématique, Sandrine a tort d’affirmer qu’il vaut mieux utiliser la stratégie de la chance simple. L’espérance mathématique de cette stratégie (et des autres) est d’environ -0,03 $, ce qui veut dire qu’en moyenne on peut espérer une perte de 0,03 $ chaque fois que l’on mise 1 $.

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Intersection, complément CST

Guide SAÉ B

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2

Accompagnement pédagogique

La roulette Description de la situation d’apprentissage et d’évaluation Sandrine s’intéresse à la roulette européenne, qui comporte 37 cases numérotées de 0 à 36. À ce jeu, on peut miser sur un seul nombre ou sur 2, 3, 4, 6, 12 ou 18 nombres à la fois. Le gain que procure une mise gagnante varie selon la stratégie utilisée. On peut ainsi remporter une fois à 35 fois la somme misée, en plus de récupérer sa mise initiale. Selon Sandrine, la meilleure stratégie consiste à miser sur rouge, noir, pair, impair, « manque » ou « passe » (c’est-à-dire sur 18 nombres). Les élèves doivent déterminer si elle a raison ou si elle a tort. On leur demande aussi d’indiquer l’espérance mathématique de cette stratégie et de l’interpréter dans le contexte. Travail individuel

75 min

Chapitre B du complément au manuel Compétences mobilisées CD2 Déployer un raisonnement mathématique CT3 Exercer son jugement critique Outils d’évaluation proposés • Fiche 3 (Grille d’évaluation spécifique) de la SAÉ B • Fiche EC4 (Autoévaluation) de la partie Évaluation du complément au guide • Fiche E15 (Autoévaluation) sous l’onglet Révision et évaluation du guide d’enseignement A Concepts et processus Probabilités Calculer l’espérance mathématique Interpréter l’espérance mathématique Buts : Cette situation d’apprentissage et d’évaluation permet le développement et l’évaluation de la compétence 2, Déployer un raisonnement mathématique. En effet, les élèves sont amenés à s’approprier une conjecture (l’affirmation de Sandrine), à exploiter un réseau de concepts et de processus (associés à la probabilité et à l’espérance mathématique) et à faire la preuve de leur raisonnement. La présente situation peut également servir à mobiliser la compétence transversale 3, Exercer son jugement critique, en relation avec le domaine général de formation Vivre-ensemble et citoyenneté (axe de développement « Engagement, coopération, solidarité ») en ouvrant la voie à des échanges ou à un débat en classe sur l’équité et les jeux de hasard. – Les casinos offrent-ils délibérément des jeux de hasard défavorables à leur clientèle ? – Les jeux proposés devraient-ils être équitables ? – Qu’est-ce qui explique la popularité des jeux de hasard nettement défavorables aux joueurs ?

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SAÉ B Intersection, complément CST

Guide

Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc.

Reproduction autorisée © TC Média Livres Inc. 40 points

32 points

Intersection, complément CST

Guide SAÉ B

16 points

– présente une démarche complète, concise et ordonnée où certaines étapes sont implicites et où il commet des erreurs mineures par rapport aux règles et conventions du langage mathématique ; – justifie les étapes de sa démarche à l’aide des concepts et processus appropriés.

20 points

L’élève :

– présente une démarche complète, concise et ordonnée, en respectant les règles et conventions du langage mathématique ; – justifie de façon rigoureuse les étapes de sa démarche, et le fait en utilisant un registre varié.

32 points

L’élève applique de façon appropriée les concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation, en commettant des erreurs mineures (ex. : erreurs dans le calcul de l’espérance mathématique de l’une ou l’autre stratégie).

L’élève :

40 points

L’élève applique de façon appropriée et sans erreur les concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation.

L’élève : – sélectionne les principaux concepts et processus appropriés à la situation ; – recourt à des stratégies et formule des hypothèses appropriées.

B Satisfaisant

12 points

– présente une démarche incomplète ou qui manque de clarté, en commettant des erreurs mineures par rapport aux règles et conventions du langage mathématique ; – justifie certaines étapes de sa démarche ou manque de précision dans ses justifications.

L’élève :

24 points

L’élève applique de façon appropriée la plupart des concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation, en commettant des erreurs mineures (ex. : erreur conceptuelle).

24 points

L’élève : – sélectionne la majorité des concepts et processus appropriés à la situation ; – recourt à certaines stratégies et formule des hypothèses.

C Partiellement satisfaisant

8 points

– présente une démarche incomplète et confuse, en commettant plusieurs erreurs par rapport aux règles et conventions du langage mathématique ; – justifie certaines étapes de sa démarche en utilisant des arguments inadéquats et peu variés.

L’élève :

16 points

L’élève applique de façon peu appropriée les concepts et processus pour répondre aux exigences de la situation et commet plusieurs erreurs conceptuelles (ex. : ne reconnaît que 36 résultats possibles, attribue aux résultats défavorables une valeur nulle, attribue aux résultats favorables une valeur qui ne tient pas compte du fait que les gagnants récupèrent leur mise initiale).

16 points

L’élève : – sélectionne certains concepts et processus appropriés à la situation ; – recourt à certaines stratégies et formule des hypothèses peu appropriées à la situation.

D Insatisfaisant

4 points

– présente une démarche incomplète qui ne tient pas compte des règles et conventions du langage mathématique ; – ne justifie pas les étapes de sa démarche.

L’élève :

8 points

L’élève applique des concepts et processus peu ou pas appropriés pour répondre aux exigences de la situation.

8 points

L’élève : – sélectionne des concepts et processus peu appropriés à la situation ; – recourt à des stratégies et formule des hypothèses peu appropriées ou sans lien avec la situation.

E Nettement insatisfaisant ou incomplet

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SAÉ B

* S’il y a une conjecture à formuler (critère 1), son évaluation doit être prise en compte au critère 3.

4. Structuration adéquate des étapes d’une démarche pertinente et 5. Justification congruente des étapes d’une démarche pertinente

2. Utilisation correcte des concepts et des processus mathématiques appropriés

3. Mise en œuvre convenable d’un raisonnement mathématique adapté à la solution*

L’élève : – sélectionne tous les concepts et processus appropriés à la situation (résultats d’une expérience aléatoire, probabilité théorique, espérance mathématique, jeu équitable) ; – recourt à des stratégies efficaces et formule des hypothèses appropriées.

A Très satisfaisant

Déployer un raisonnement mathématique (CD2)

Grille d’évaluation spécifique

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S-13

La collection Intersection propose une démarche claire et exible pour l’apprentissage de la mathématique au deuxième cycle du secondaire. À partir de contextes signiants et actuels, elle amène l’élève à acquérir les concepts et les processus au programme et à s’engager pleinement dans le développement de ses compétences. Le complément à la collection Intersection, c’est : • un contenu conforme à la mise à jour du programme de mathématique de 5e secondaire pour la séquence Culture, société et technique ; • une section sur les inégalités, en complément au chapitre 1 ; • une section sur la loi des cosinus, en complément au chapitre 2 ; • un chapitre complet sur les puissances, les logarithmes et les mathématiques nancières ; • un chapitre complet sur la probabilité subjective et l’espérance mathématique. Le complément à la collection Intersection offre : • un contenu théorique présenté de façon accessible et accompagné de plusieurs exemples ; • un grand nombre d’exercices et de problèmes à la n de chaque section ; • une entrée en matière, en début de chapitre, qui permet de réactiver les connaissances des élèves avant d’aborder les nouveaux concepts et processus à l’étude ; • des exercices et des problèmes de consolidation à la n de chaque chapitre. Les composantes de la collection Intersection • Manuel de l’élève, version imprimée

• Guide d’enseignement, version imprimée

• Complément au manuel de l’élève, version imprimée

• Complément au guide d’enseignement, version imprimée

• Manuel de l’élève (incluant le complément), • Complément au guide d’enseignement version numérique (et manuel complet), version numérique

ISBN 978-2-7650-5565-5