Intersection : mathématique, 2e cycle du secondaire, 2e année [2-2B] 9782765213109

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2e cycle du secondaire 2e année

Manuel de l’élève B Jean-François Bernier Claude Boucher Martine Jacques Lynn Marotte Valérie Rodrigue Avec la collaboration de Michel Coupal

CHENELIÈRE ÉDUCATION

Intersection Mathématique, 2e cycle du secondaire, 2e année Technico-sciences Jean-François Bernier, Claude Boucher, Martine Jacques, Lynn Marotte, Valérie Rodrigue © 2010 Chenelière Éducation inc.

Édition : Geneviève Gagné Coordination : Marie Hébert, Carolina Navarrete Révision linguistique : Nicole Blanchette Correction d’épreuves : Caroline Bouffard Conception graphique et couverture : Matteau Parent graphisme et communication inc. et Josée Brunelle Infographie : Matteau Parent graphisme et communication inc., Linda Szefer, Josée Brunelle Illustrations techniques : Bertrand Lachance, Jacques Perrault, Michel Rouleau, Serge Rousseau, Late Night Studio Impression : Imprimeries Transcontinental

Remerciements Pour sa précieuse participation à la rédaction, nous tenons à remercier Isabelle Desjardins, enseignante, C.S. des Affluents. Un merci tout spécial à Emmanuel Duran, enseignant, C.S. des Laurentides, pour sa collaboration à la partie Outils technologiques. Nous tenons à remercier Christian Léger, professeur titulaire au département de mathématiques et de statistique de l’Université de Montréal, Hassane Squalli, professeur au département de didactique de l’Université de Sherbrooke, ainsi que Sophie René de Cotret, professeure au département de didactique de l’Université de Montréal, qui ont agi à titre de consultants pour la réalisation de cet ouvrage. Pour leur contribution et pour leurs commentaires avisés, nous tenons également à remercier Roberto Déraps, auteur pour la collection et enseignant, Collège Saint-Sacrement, Patricia Mercier, auteure pour la collection et enseignante, C.S. Beauce-Etchemin, Brahim Miloudi, auteur pour la collection et enseignant, C.S. de Montréal, et Eugen Pascu, enseignant, C.S. Marguerite-Bourgeoys. Pour le soin qu’ils ont porté à leur travail d’évaluation, nous remercions Caroline Alaouz, enseignante, C.S. de Laval, Gaétan Beaubien, enseignant, C.S. de la Pointe-de-l’Île, Alain Beaupré, enseignant, C.S. de la Rivière du Nord, Sylvie Blanchette, enseignante, C.S. des Chênes, Marleyne Caouette, enseignante, C.S. des Découvreurs, Sophie Glazier, enseignante, C.S. des Bois-Francs, Daniel Jean, enseignant, C.S. du Val-des-Cerfs, Mélanie Ratelle, enseignante, Séminaire Sainte-Marie, Philippe Thibault, enseignant, C.S. du Val-des-Cerfs.

CHENELIÈRE ÉDUCATION

7001, boul. Saint-Laurent Montréal (Québec) Canada H2S 3E3 Téléphone : 514 273-1066 Télécopieur : 450 461-3834 / 1 888 460-3834 [email protected]

TOUS DROITS RÉSERVÉS. Toute reproduction, en tout ou en partie, sous quelque forme et par quelque pr océdé que ce soit, est inter dite sans l'autorisation écrite préalable de l'Éditeur. ISBN 978-2-7652-1310-9 Dépôt légal : 1er trimestre 2010 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada Imprimé au Canada 2 3 4 5 6 ITIB 14 13 12 11 10 Nous reconnaissons l’aide financière du gouvernement du Canada par l’entremise du Programme d’aide au développement de l’industrie de l’édition (PADIÉ) pour nos activités d’édition. Gouvernement du Québec – Programme de crédit d’impôt pour l’édition de livres – Gestion SODEC.

Table des matières Chapitre

5

L’étude des fonctions quadratiques et exponentielles ............................................

Chapitre

2

Entrée en matière

La statistique

.................................................

78

Entrée en matière

En contexte .......................................................................................................................... En bref ....................................................................................................................................

4 6

Section 1 • La fonction quadratique Situation d’application La vitesse fait ralentir ......................................... Activité d’exploration 1 L’énergie marémotrice ..................................... Activité d’exploration 2 Coïncidence ? ........................................................... Activité d’exploration 3 Freiner à temps ....................................................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

Situation d’application Tout se transforme ! ............................................ Activité d’exploration 1 Présentation à l’antenne .................................. Activité d’exploration 2 Un bon voisinage ................................................. Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

7 8 11 13 15 19

23 24 26 28 29

33 34 37 39 41 45

51 52 54 56 58 62

Consolidation ...................................................................................................... 66 ................................................................................

83 84 86 88 90 95

Situation de communication Une vie bien remplie ! .......................... Activité d’exploration 1 La force du huard ................................................ Activité d’exploration 2 Skier dans les nuages ........................................ Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

101 102 105 108 111

Section 3 • Le coefficient de corrélation linéaire

Section 4 • La résolution d’équations et d’inéquations exponentielles Situation d’application Effet de serre exponentiel .............................. Activité d’exploration 1 La loi, c’est la loi ! ................................................. Activité d’exploration 2 L’invasion ................................................................... Activité d’exploration 3 Alerte générale ! ..................................................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

Situation de communication La prudence, c’est vital ! ...................... Activité d’exploration 1 Montréal et Vancouver ..................................... Activité d’exploration 2 Un film qui a la cote .......................................... Activité d’exploration 3 Quand l’insomnie vous guette ....................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

Section 2 • L’appréciation qualitative d’une corrélation

Section 3 • La fonction exponentielle Situation de communication Une planète dans le vent .................. Activité d’exploration 1 Une question de paramètres ....................... Activité d’exploration 2 Plus ça va, moins ça vaut ............................... Activité d’exploration 3 Multiplier les bonnes bactéries ................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

En contexte .......................................................................................................................... 80 En bref .................................................................................................................................... 82

Section 1 • Les mesures de dispersion

Section 2 • La résolution d’équations et d’inéquations quadratiques

Le monde du travail

6

77

Situation de communication Le bonheur .................................................. Activité d’exploration 1 Encadrement judicieux ..................................... Activité d’exploration 2 Se méfier des apparences .............................. Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

115 116 118 120 122

Section 4 • La droite de régression Situation d’application Les années s’envolent en fumée ............... Activité d’exploration 1 Se déplacer autrement ..................................... Activité d’exploration 2 Faire le tour du baobab ................................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

125 126 128 130 133

Consolidation ...................................................................................................... 136 Le monde du travail

................................................................................

151

Intersection Chapitres 1 à 6

................................................................................

152

SAÉ Croissance fœtale ........................................................................................... 152 Problèmes ............................................................................................................................ 154 Énigmes ................................................................................................................................. 159

Table des matières

III

Chapitre

7

La trigonométrie ................................. 160

Entrée en matière En contexte .......................................................................................................................... 162 En bref .................................................................................................................................... 164

Section 1 • Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Situation-problème Compétition de bolides ................................... Activité d’exploration 1 Quand les moyens changent de place ...................................................................... Activité d’exploration 2 La grotte du mont Bossu ................................ Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

165 166 168 171 173

Section 2 • La recherche de mesures manquantes et l’aire de triangles Situation d’application Un rallye dans le Sahara ................................. Activité d’exploration 1 Animal et végétal .................................................. Activité d’exploration 2 D’Anaphi à Santa Rosa ..................................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

179 180 182 184 185

Section 2 • L’espérance mathématique Situation-problème Tout le monde y gagne ! ................................. Activité d’exploration 1 Partage de coutume ........................................... Activité d’exploration 2 Le Plinko ..................................................................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

215 216 218 220 222

Section 3 • La probabilité conditionnelle Situation d’application Moi, je vote ! ............................................................ Activité d’exploration 1 Pas de fumée sans feu ! ................................... Activité d’exploration 2 Le jeu de cartes ..................................................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

227 228 230 232 234

Consolidation ...................................................................................................... 240 Le monde du travail

................................................................................

251

Intersection Chapitres 1 à 8

................................................................................

252

SAÉ Un bon tuyau .......................................................................................... 252 Problèmes ............................................................................................................................ 254 Énigmes ................................................................................................................................. 263

Consolidation ...................................................................................................... 188 Le monde du travail

Chapitre

8

................................................................................

197

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique ............................................ 198

En contexte .......................................................................................................................... 200 En bref .................................................................................................................................... 202

Section 1 • La probabilité subjective

IV

Table des matières

...............................

264

La calculatrice à affichage graphique ............................................................ Le traceur de courbes ................................................................................................ Le tableur ............................................................................................................................. Le logiciel de géométrie dynamique ..............................................................

264 269 271 282

Graphisme, notation et symboles ................................... 320 Table de rapports trigonométriques .......................... 322

Entrée en matière

Situation de communication Un jeu stratégique .................................. Activité d’exploration 1 À l’épicerie ................................................................ Activité d’exploration 2 La Triple Couronne ............................................. Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

Outils technologiques

203 204 206 208 211

Index ................................................................................................................................... 323

Les concepts et les processus à l’étude Le tableau suivant présente les concepts et les processus abordés dans les deux manuels de la séquence Technicosciences pour la 2e année du 2e cycle. Il facilite le repérage des concepts et des processus à l’étude par domaine mathématique, tant dans les activités d’exploration que dans les sections Faire le point. Concepts et processus

Manuel A

B

Pages

Arithmétique et algèbre Addition et soustraction d’expressions rationnelles



AE : p. 96 et 97 FLP : p. 101

Division d’un polynôme par un binôme



AE : p. 77 FLP : p. 79

Double mise en évidence



AE : p. 84 et 85 FLP : p. 88

Équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique



AE : p. 56 et 57 FLP : p. 59

Factorisation de trinômes



AE : p. 84 et 85 FLP : p. 89

Factorisation d’une différence de carrés



AE : p. 86 et 87 FLP : p. 89

Factorisation d’un trinôme carré parfait



AE : p. 86 et 87 FLP : p. 89

Fonction définie par parties



AE : p. 40 à 42 FLP : p. 46

Fonction en escalier



AE : p. 24 et 25 FLP : p. 32

Fonction exponentielle dont la règle est de la forme f(x) = ac bx



AE : p. 34 à 36 FLP : p. 41

Fonction exponentielle dont la règle est de la forme f(x) = ac x



AE : p. 37 et 38 FLP : p. 41

Fonction partie entière de base



AE : p. 24 et 25 FLP : p. 32

Fonction partie entière dont la règle est f(x) = a[bx]



AE : p. 29 à 31 FLP : p. 33 et 34

Fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = a(bx)2



AE : p. 8 à 10 FLP : p. 15

Fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = ax2



AE : p. 11 et 12 FLP : p. 15

Concepts et processus

Manuel A

B

Pages

Propriétés d’une fonction : extremums



AE : p. 12 et 13 FLP : p. 16

Propriétés d’une fonction partie entière



AE : p. 29 à 31 FLP : p. 32

Propriétés d’une fonction quadratique



AE : p. 11 et 12 FLP : p. 17

Propriétés d’une fonction : signe



AE : p. 10 et 11 FLP : p. 16

Propriétés d’une fonction : variation



AE : p. 12 et 13 FLP : p. 16

Rationalisation du dénominateur



AE : p. 52 et 53 FLP : p. 59

Recherche de la règle d’une fonction exponentielle



AE : p. 37 et 38 FLP : p. 43

Recherche de la règle d’une fonction partie entière

AE : p. 29 à 31 FLP : p. 34



Recherche de la règle d’une fonction quadratique



AE : p. 11 et 12 FLP : p. 17

Réciproque d’une fonction exponentielle



AE : p. 39 et 40 FLP : p. 44

Réciproque d’une fonction quadratique



AE : p. 13 et 14 FLP : p. 18

Règle d’une fonction définie par parties



AE : p. 40 à 42 FLP : p. 47

Résolution algébrique d’un système d’équations du premier degré à deux variables : méthode de comparaison



AE : p. 220 et 221 FLP : p. 229

Résolution algébrique d’un système d’équations du premier degré à deux variables : méthode de réduction



AE : p. 224 à 226 FLP : p. 230

Résolution algébrique d’un système d’équations du premier degré à deux variables : méthode de substitution



AE : p. 222 et 223 FLP : p. 230

Fonction périodique



AE : p. 43 à 45 FLP : p. 48

Identités algébriques remarquables du second degré



AE : p. 74 et 75 FLP : p. 78

Résolution d’équations exponentielles



AE : p. 54 et 55 FLP : p. 60 et 61

Inéquation du premier degré à deux variables



AE : p. 218 et 219 FLP : 227

Résolution d’inéquations exponentielles



AE : p. 56 et 57 FLP : p. 60 et 61

AE : p. 56 et 57 FLP : p. 59

Résolution d’équations quadratiques



AE : p. 24 et 25 FLP : p. 28



AE : p. 26 et 27 FLP : p. 28



Loi du changement de base Multiplication de polynômes



AE : p. 76 FLP : p. 78 et 79

Résolution d’inéquations quadratiques à une variable

Multiplication et division d’expressions rationnelles



AE : p. 98 FLP : p. 100



AE : p. 220 et 221 FLP : p. 228 et 229

Notation fonctionnelle



AE : p. 8 et 9 FLP : p. 14

Résolution graphique d’un système d’équations du premier degré à deux variables Rôle des paramètres multiplicatifs a et b dans la règle f(x) = a[bx]



AE : p. 26 à 28 FLP : p. 33 et 34



Propriétés des radicaux Propriétés d’une fonction : coordonnées à l’origine



AE : p. 52 et 53 FLP : p. 58 AE : p. 10 et 11 FLP : p. 15

Rôle des paramètres de la fonction exponentielle



AE : p. 34 à 36 FLP : p. 42

Concepts et processus

V

Concepts et processus

Manuel A

Rôle des paramètres de la fonction quadratique Simplification d’expressions rationnelles

B

 

Pages

A

B

Pages

Droite de régression : droite médiane-médiane et prédictions



AE : p. 128 et 129 FLP : p. 130 à 132

AE : p. 94 et 95 FLP : p. 99

Écart moyen



AE : p. 86 et 87 FLP : p. 91 et 92

Écart type



AE : p. 88 et 89 FLP : p. 93 et 94

Nature du lien entre deux variables



AE : p. 105 à 107 FLP : p. 110



AE : p. 180 à 183 FLP : p. 184

« Chances pour » et « chances contre »



AE : p. 206 et 207 FLP : p. 209 et 210

Diagramme de Venn



AE : p. 228 et 229 FLP : p. 233

Géométrie



AE : p. 230 et 231 FLP : p. 233

Aire de triangles

Distinction entre probabilité théorique, probabilité fréquentielle et probabilité subjective



AE : p. 204 et 205 FLP : p. 208 et 209

Équité



AE : p. 218 et 219 FLP : p. 221

Espérance mathématique



Espérance mathématique : interprétation

Diagramme en arbre

Manuel

AE : p. 8 à 10 FLP : p. 16

Probabilités

Conditions minimales de similitude de triangles



AE : p. 144 à 147 FLP : p. 150 et 151

Conditions minimales d’isométrie de triangles



AE : p. 130 à 132 FLP : p. 135 et 136

Distance entre deux points



AE : p. 216 et 217 FLP : p. 220

AE : p. 190 et 191 FLP : p. 196

Droites parallèles





AE : p. 218 et 219 FLP : p. 221

AE : p. 208 et 209 FLP : p. 212

Droites perpendiculaires



Événements mutuellement exclusifs et non mutuellement exclusifs

AE : p. 208 et 209 FLP : p. 212



AE : p. 230 et 231 FLP : p. 234

Équation d’une droite sous la forme fonctionnelle



AE : p. 204 et 205 FLP : p. 210

Événements dépendants et indépendants



AE : p. 230 et 231 FLP : p. 234

Équation d’une droite sous la forme générale



AE : p. 206 et 207 FLP : p. 210

Notation factorielle



AE : p. 204 et 205 FLP : p. 210

Équation d’une droite sous la forme symétrique



AE : p. 204 et 205 FLP : p. 210

Probabilité conditionnelle



AE : p. 228 et 229 FLP : p. 232 à 234

Hauteur relative à l’hypoténuse



AE : p. 160 FLP : p. 164

Probabilité fréquentielle



AE : p. 204 et 205 FLP : p. 208

Médiatrice d’un segment de droite



AE : p. 208 et 209 FLP : p. 212

Probabilité subjective



AE : p. 206 et 207 FLP : p. 209

Pente



AE : p. 204 et 205 FLP : p. 210

Probabilité théorique



AE : p. 204 et 205 FLP : p. 208

Point de partage d’un segment



AE : p. 194 et 195 FLP : p. 197 et 198

Tableau à double entrée



AE : p. 228 et 229 FLP : p. 232

Point milieu



AE : p. 192 et 193 FLP : p. 198

Statistique Coefficient de corrélation linéaire : interprétation et approximation



AE : p. 116 et 117 FLP : p. 120 et 121

Coefficient de corrélation linéaire : limites de l’interprétation



AE : p. 118 et 119 FLP : p. 121



AE : p. 102 à 104 FLP : p. 109



AE : p. 105 à 107 FLP : p. 109



AE : p. 84 et 85 FLP : p. 90



AE : p. 84 et 85 FLP : p. 91 à 94

Distribution à deux caractères et modes de représentation



AE : p. 102 à 104 FLP : p. 108

Droite de régression : droite de Mayer et prédictions



AE : p. 126 et 127 FLP : p. 130 à 132

Corrélation linéaire : sens Corrélation linéaire : intensité Diagramme à tige et à feuilles Dispersion des données

VI

Concepts et processus

Concepts et processus

Rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente



AE : p. 166 et 167 FLP : p. 171

Recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle



AE : p. 168 à 170 FLP : p. 172

Relations métriques dans le triangle rectangle



AE : p. 161 à 163 FLP : p. 164 et 165

Triangles isométriques



AE : p. 130 à 132 FLP : p. 135

Triangles isométriques : recherche de mesures manquantes



AE : p. 133 et 134 FLP : p. 137

Triangles semblables



AE : p. 144 et 145 FLP : p. 150

Triangles semblables : recherche de mesures manquantes



AE : p. 148 et 149 FLP : p. 152

Abréviations :

AE : Activité d’exploration

FLP : Faire le point

Organisation du manuel Le début d’un chapitre Chapitre

6

La statistique L’ouverture du chapitre te propose un court texte d’introduction qui porte sur le sujet à l’étude du chapitre et qui établit un lien avec un domaine général de formation.

Dans de nombreux domaines, des spécialistes tentent de déterminer les acteurs qui inuent les uns sur les autres. Qu’il soit par exemple question de santé, de sécurité ou de bien-être, l’habileté à comprendre les causes de certains comportements et à prévoir les conséquences de ceux-ci est essentielle pour aire des choix éclairés. La statistique ournit des outils qui permettent de quantifer le lien entre diérents caractères, comme les heures consacrées à un emploi et celles consacrées à l’activité physique, ou encore le pourcentage de personnes obèses dans une population et l’occurrence de diabète. Aussi, lorsque l’analyse des données révèle une tendance, le lien entre les caractères peut être modélisé dans le but d’eectuer des prédictions. Donne quelques exemples de saines habitudes de vie. Crois-tu que les gens qui adoptent de saines habitudes de vie vivent plus longtemps ? Selon toi, qu’est-ce qui explique que l’espérance de vie augmente au fl des ans dans les pays occidentaux ?

Survol

Le domaine général de formation abordé dans le chapitre est précisé dans le survol.

Santé et bien-être

Entrée en matière

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Section 1 – Les mesures de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Section 2 – L’appréciation qualitative d’une corrélation . . . . . 101

Section 3 – Le coefcient de corrélation linéaire

.............

115

Section 4 – La droite de régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Consolidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 151

Le survol te présente le contenu du chapitre en un coup d’œil.

Contenu de formation • Distribution à un caractère : mesures de dispersion (écart moyen, écart type) • Distribution à deux caractères : corrélation linéaire et autre (coefcient de corrélation, droite de régression et courbes apparentées aux modèles onctionnels à l’étude) 4483TSB_p78-100_C6EEMS1 [5].indd 78 concernant des données • Analyse et prise de décisions statistiques qui portent sur des distributions à un ou deux caractères ; organisation et choix d’outils appropriés permettant de rendre compte de données ; comparaison de distributions ; description et critique d’une étude statistique

09-12-01 16:39

L’ouverture du chapitre te présente aussi le contenu de formation à l’étude dans le chapitre.

• Anticipation (prédiction, prévision) et interprétation de tendances et de résultats statistiques

4483TSB_p78-100_C6EEMS1 [5].indd 79

09-12-01 16:39

Entrée en matière Les pages 80 à 82 ont appel à tes connaissances relatives à la statistique et aux onctions polynomiales du premier degré.

En contexte Le Déf Santé 5/30, une initiative conjointe de l’Institut de cardiologie de Montréal et de la Société canadienne du cancer, vise à encourager les gens à découvrir le plaisir de aire de l’activité physique et de mieux se nourrir. Le déf des participants est de manger au moins cinq portions de ruits et de légumes par jour et de s’adonner à une activité physique d’au moins 30 minutes cinq jours par semaine.

L’Entrée en matière fait appel à tes connaissances au moyen des situations et des questions de réactivation des rubriques En contexte et En bref. Ces connaissances te seront utiles pour aborder les concepts du chapitre.

1. Le tableau ci-contre présente les résultats d’une étude menée par Statistique Canada sur la consommation de ruits et de légumes chez les jeunes des 10 provinces canadiennes. a) Quelle est la population de cette étude ?

En bref

Les jeunes de 12 à 19 ans qui mangent au moins cinq portions de fruits et de légumes par jour Pourcentage de jeunes

Province Terre-Neuve-et-Labrador

31,3

Île-du-Prince-Édouard

30,7

b) Quel est le caractère étudié ? Nouvelle-Écosse 40,1 c) Quel est le type du caractère étudié Nouveau-Brunswick 43,1 (quantitati discret ou continu) ? Soittableau les trois situationsQuébec suivantes. 58,1 d) Les données 1. de ce permettent-elles de déterminer Ontario 41,3veut connaître 1 La directrice générale d’une commission scolaire le pourcentage de jeunes le nombre d’élèves qui fréquentent ses écoles.40,1 Manitoba Canadiens qui mangent au moins cinq portions de ruits Saskatchewan 38,4 recteur d’une université s’intéresse à l’âge de ses étudiants. et de légumes par2jourLe ? Justife Alberta

ta réponse.

En statistique, le mot « individu » ne désigne pas nécessairement une personne. Ce mot peut également être remplacé par l’expression « unité statistique ».

39,6

Le propriétaire d’une boutique de chaussures 40,7 veut savoir Colombie-Britannique combien de paires de chaussures de chaque pointure Source : Statistique Canada, 2007. ont été vendues dans la dernière année.

3

Pour chacune de ces situations, détermine : Santé et bien-être

a) la population ;

b) l’individu ;

c) le caractère étudié.

Une alimentation équilibrée, de saines habitudes de vie et une

sont un gage santé d’une et de bien-être. 2.activité Voiciphysique la taille, régulière en centimètres, de 26deélèves classe de 2e année du 3e cycle Si l’un l’autre de ces aspects est négligé, notre corps a vite du ou primaire. ait de nous le rappeler. Est-ce que ton alimentation et l’activité physique tu pratiques correspondent critères Déf 148 155que 166 158 156 165 161aux152 160du 150 Santé 5/30 ? Si non, quelles habitudes devrais-tu changer pour 151 149 153 149 161 164 160 161 159 150 relever ce déf ?

156 162 154 155 154 159

a) Représente cette distribution dans un tableau à données groupées en classes. 80

Chapitre 6

b) Quels critères as-tu utilisés en a pour le choix des classes ?

La statistique

3. Soit les deux distributions de données suivantes. 4483TSB_p78-100_C6EEMS1 [5].indd 80

1

3

4

4

5

6

9

10

11

12

12

2

19

30

15

22

18

11

17

15

22

16

Pour chacune d’elles, détermine : a) la moyenne ;

12 09-12-01 16:39

y

b) la médiane. y2

4. Nomme les types de fonctions représentées

y3

dans le plan cartésien ci-contre. y1

5. Pour la table de valeurs ci-dessous : x

8

15

21

24

29

33

y

62

52

41

33

23

17

y4

a) construis un nuage de points ; b) trace la droite la mieux ajustée au nuage de points ; c) estime : 1) la valeur de y pour x = 20 ;

82

Chapitre 6

2)

x

la valeur de x pour y = 50.

La statistique

4483TSB_p78-100_C6EEMS1 [5].indd 82

09-12-01 16:39

Organisation du manuel

VII

Les sections Chaque chapitre est composé de plusieurs sections qui portent sur le sujet à l’étude. L’ensemble des activités d’exploration proposées dans ces sections te permettent de développer tes compétences.

Section

1

Les mesures de dispersion

La situation de compétence t’amène à découvrir les concepts et les processus mathématiques qui seront approfondis dans la section, ainsi qu’à développer différentes stratégies de résolution de problèmes.

La prudence, c’est vital ! Entre 1979 et 2004, le nombre de décès dus à des accidents impliquant des véhicules à moteur au Canada a diminué de plus de 50 %, et ce, même si le nombre de conducteurs n’a cessé de croître. Certains acteurs techniques ont contribué à cette diminution, tels les reins antiblocage et les coussins gonfables. Des acteurs comportementaux y ont également contribué, encadrés par la législation concernant entre autres les limites de vitesse, les taux d’alcoolémie et le port du casque de bicyclette. Le tableau suivant présente les taux annuels moyens de mortalité causée par des accidents impliquant des véhicules à moteur entre 2000 et 2004, pour 100 000 personnes, selon le sexe et la province ou le territoire. Taux de mortalité chez les hommes (/100 000 personnes)

Province ou territoire

Taux de mortalité chez les emmes (/100 000 personnes)

Yukon

23,1

9,6

Saskatchewan

20,3

8,5

Île-du-Prince-Édouard

18,9

7,8

Nunavut

18,8

Nouveau-Brunswick

18,5

7,6

Alberta

16,1

6,7

Colombie-Britannique

Santé et bien-être Les accidents impliquant des véhicules à moteur sont l’une des principales causes de décès chez les jeunes. Entre 2000 et 2004, ces accidents ont été la cause de 70 % des décès accidentels chez les jeunes de 15 à 24 ans comparativement à 32 % pour l’ensemble de la population. La vitesse et la conduite avec les acultés aaiblies fgurent parmi les causes les plus importantes des accidents de la route. Selon toi, quels autres moyens que ceux déjà utilisés par les médias peuvent être utiles pour sensibiliser les jeunes aux dangers associés à la vitesse et à l’alcool au volant ?

7,7

14,4

6,0

Manitoba

14,1

Territoires du Nord-Ouest

13,6

5,6

Québec

12,8

5,4

5,8

Nouvelle-Écosse

12,6

5,1

Terre-Neuve-et-Labrador

11,0

4,6

Ontario

9,9

4,1

Adapté de : Statistique Canada, 2004.

Un analyste te demande de aire un rapport sur la dispersion des données de chacun des deux groupes afn de déterminer qui, des hommes ou des emmes, présente les taux de mortalité moyens les plus homogènes. Pour chaque groupe, compare la moyenne de la distribution avec les données de chaque province ou territoire.

Section 1

Les mesures de dispersion

4483TSB_p78-100_C6EEMS1 [5].indd 83

83

09-12-01 16:39

ACTIVITÉ d’exploration

Les concepts et les processus à l’étude sont inscrits dans un encadré, au début de chaque activité d’exploration.

1

• Diagramme à tige et à feuilles • Dispersion des données

Chaque activité d’exploration te permet d’aborder certains concepts et processus à l’étude.

Montréal et Vancouver Montréal et Vancouver sont deux grandes villes canadiennes. Alors que Montréal se situe sur une île entourée du euve Saint-Laurent et de la rivière des Prairies, Vancouver baigne dans l’océan Pacifque et est entourée d’immenses chaînes de montagnes. Ces caractéristiques géographiques fgurent parmi les acteurs inuant sur les variations de température et la quantité de précipitations dans chacune des deux villes. Les tableaux suivants présentent quelques statistiques sur et les B laSitempérature Montréal avait reçu des précipitations moyennes de 70 mm au mois d’avril, précipitations (sous orme de neige ou de pluie) observées àquelle Montréal et à Vancouver. modication aurait-il allu apporter : Ces statistiques mensuelles moyennes ont été recueillies sur une période de 30 ans. 1) à l’histogramme ? au diagramme à tige et à euilles ? La température et les précipitations2)moyennes à Montréal J Température (°C)

–

9

F –

8

56

A

M

J

1

6

13

18

– diagramme à tige et à euilles. 21 Vancouver 19 15 à8l’aide2 d’un 6

68

M

75

68

83

86 Compare 100 87 les 75distributions 93 86 des précipitations mensuelles moyennes pour D les deux villes.

–

CJ

A S O N D des précipitations mensuelles moyennes pour Représente la distribution

Précipitations (mm)

63

J

F

M

A

Température (°C)

3

5

6

9

12

15

17

150 124 109 75

62

46

36 diagramme 38 64 115 170 à tige et à179 euilles an de aciliter les comparaisons.

La ville de Vancouver.

La température et les précipitations moyennes à Vancouver

Précipitations (mm)

J

E

J

F

Pour laquelle des deux villes les précipitations mensuelles moyennes sont-elles O N ?D leAplus Shomogènes 17

14

10

6

4

Propose une açon de représenter les deux distributions dans un même

G Compare les distributions des températures mensuelles moyennes pour Le diagramme à tige et à feuilles et l’histogramme ci-dessous représentent la les deux villes. distribution des précipitations mensuelles moyennes que Montréal a reçues. H

Mode de représentation d’un ensemble de données qui en permet l’organisation rapide et efcace. Dans le diagramme ci-contre, les euilles, c’est-à-dire les chires à droite, sont les chires qui occupent la position des unités. La tige, à gauche, comprend les chires qui occupent la position des dizaines et des centaines.

Les précipitations mensuelles moyennes (mm) à Montréal

5 6

6 3

8

7 8

5 3

5 6

9 10

3 0

8 6

Effectif

Diagramme à tige et à feuilles

M

1. Voici deux distributions de données.

2

1

27 17

23 31

33 43

39 25

21 29

25 36

25 34

2

183 140 125 121 160 144 154 135 129 128 153 148 149 166 140

30 24

22

1 // 0

A

38 28

50

60

70 80 90 100 110 Précipitations mensuelles (mm)

a) Représente chacune de ces distributions à l’aide d’un diagramme à tige et à euilles. Relève au moins une ressemblance et une diérence b) entre les deux Compare la modes dispersion des données de ces deux distributions. de représentation ci-dessus. 2. Décris une étude pour laquelle on peut s’attendre à obtenir des données : a) homogènes ; b) hétérogènes.

84

Chapitre 6

La statistique

4483TSB_p78-100_C6EEMS1 [5].indd 84

Données dont les valeurs sont relativement proches les unes des autres. À l’inverse, des données relativement dispersées ou éloignées les unes des autres sont dites « hétérogènes ».

Fait divers

Ai-je bien compris ?

4 3

7

Selon toi, quelle ville présente un climat plus clément pour une personne de température ?

Les précipitations mensuelles sensiblemoyennes aux fuctuations à Montréal 5

Données homogènes

09-12-01 16:39

Section 1

En été, dans les grandes villes, les périodes de chaleur et d’ensoleillement font stagner l’air, ce qui empêche les polluants de se dissiper. Ces conditions favorisent la formation de smog, un mélange nocif de gaz et de divers types de polluants. Le smog (dont le terme est formé à partir des mots anglophones smoke et fog) peut être invisible à l’œil nu ou prendre la forme d’un épais voile brumeux. En raison de ses caractéristiques météorologiques, la ville de Montréal présente davantage d’épisodes de smog que la ville de Vancouver.

Activité d’exploration 1

4483TSB_p78-100_C6EEMS1 [5].indd 85

La distribution à deux caractères Lorsqu’on étudie simultanément deux caractères, on obtient deux valeurs pour chaque unité statistique d’une population ou d’un échantillon. Ces valeurs peuvent s’exprimer sous la forme d’un couple (X, Y). L’ensemble des couples (X, Y) constitue une distribution à deux caractères, ou distribution à deux variables. Exemple : On considère la mesure du pied droit et la taille de chacun des joueurs d’une équipe de basket-ball. Ces deux mesures sont inscrites dans le tableau suivant. Mesure Taille Mesure Taille Mesure Taille Joueur Joueur du pied (cm) (cm) du pied (cm) (cm) du pied (cm) (cm) 27,5 178 28,5 181 27,5 179 5 9 179

6

28,0

180

10

26,0

172

3 4

25,0

172

7

29,5

185

11

24,5

170

31,0

186

8

28,0

183

12

29,0

181

Chacun des joueurs de l’équipe de basket-ball est une unité statistique. L’ensemble des couples (mesure du pied droit, taille) forme une distribution à deux caractères.

Les modes de représentation d’une distribution à deux caractères On peut représenter une distribution à deux caractères à l’aide d’un nuage de points ou d’un tableau à double entrée. Le nuage de points

Taille (cm)

Les mesures des joueurs d’une équipe de basket-ball

[170, 175[ [175, 180[ [180, 185[ [185, 190[

175 170 //

//

0

Chapitre 6

h)

Y

X

c)

X

X

f)

Y

Y

i)

Y

X

Y

X

X

r = –0,77

2

r = –0,98

3

r = 0,25

4

r = 0,58

5

r = 0,96

6

r = 0,86

7

r = –0,99

8

r = –0,20

9

r = 0,92

1

r = 0,56

3

r = –0,28

5

r = 0,86

2

r = –0,71

4

r = 0,12

6

r = –1

3. Pour chacun des nuages de points suivants, estime le coefcient de corrélation linéaire entre les deux caractères étudiés à l’aide de la méthode du rectangle.

I III IIII I

La Mise en pratique réunit un grand nombre d’exercices et de problèmes qui te permettent de réinvestir les concepts et les processus abordés dans la section.

I

La statistique

Organisation du manuel

e)

Y

X

1

la plus aible corrélation à celui qui décrit la plus orte corrélation.

Remarque : Pour chacun des caractères, les classes choisies doivent être mutuellement exclusives, de même amplitude et définies de façon à inclure toutes les données.

4483TSB_p101-114_C6S2.indd 108

VIII

b)

Y

X

X

[24, 26[ [26, 28[ [28, 30[ [30, 32[

II

g)

Y

2. Ordonne les coefcients de corrélation linéaire ci-dessous de celui qui décrit

24 25 26 27 28 29 30 31 32 Mesure du pied (cm)

Remarque : Pour bien représenter une distribution à deux caractères, il importe de graduer les axes de façon à ce que l’étendue des valeurs de chacun des caractères soit représentée par une même longueur horizontale et verticale dans le plan cartésien, comme l’indiquent les pointillés dans le diagramme ci-dessus.

108

Mesure du pied (cm)

d)

Y

Les mesures des joueurs d’une équipe de basket-ball

Taille (cm)

180

a)

Le tableau à double entrée

190 185

linéaire qui lui correspond.

09-12-01 16:53

a)

Les villes canadiennes

Température moyenne

122

Chapitre 6

4483TSB_p115-124_C6S3.indd 122

b)

Les nouveautés en librairie

c)

Les parents des élèves de maternelle Âge de la mère

26,5

1. Associe chacun des nuages de points ci-dessous au coefcient de corrélation

Prix du livre

2

Mise en pratique

Altitude

1

85

09-12-01 16:39

Les pages intitulées Faire le point présentent la synthèse des concepts et des processus abordés dans la section, avec des exemples clairs. Facilement repérables, ces pages peuvent t’être utiles lorsque tu veux te rappeler un sujet bien précis.

Faire le point

Joueur

La rubrique Ai-je bien compris ? te donne l’occasion de vérifier ta compréhension des concepts abordés au cours de l’activité d’exploration.

Nombre de pages

Âge du père

La statistique

09-12-01 17:03

La fin d’un chapitre La Consolidation te propose une banque d’exercices et de problèmes supplémentaires qui te permettent de réinvestir les concepts et les processus abordés dans l’ensemble des sections du chapitre et de continuer à développer tes compétences.

Consolidation 1. Soit les distributions de données suivantes. 1

0 1 2 3 4 5 6 7

2

1 1 1 5 2 0 6

1

2

3

4

3 2 7

5

Valeur Effectif

9

9

3

Classe

Effectif

5

[10, 20[

1

15

7

[20, 30[

17

10

[30, 40[

3

2

[40, 50[

4

12 4

20

5

7

a) Pour chacune de ces distributions, calcule : l’écart moyen ; 2) l’écart type. b) Utilise les écarts types calculés en a pour classer les trois distributions selon 30. Triathlon la dispersion de leurs données, de celle dont les données sont le moins Clément et Arthur s’entraînent en vue de participer à un triathlon, une épreuve dispersées à celle dont les données sont le plus dispersées. d’athlétisme qui comprend trois disciplines sportives : la natation, le cyclisme sur route et la course à pied. Ils s’entraînent quotidiennement ensemble à la 2. Pour chacun des nuages de points suivants, qualife la corrélation entre les deux course à pied. Pour ce qui est de la natation et du cyclisme, ils notent leur variables. temps d’entraînement dans un tableau. Voici les résultats obtenus au bout de b) Y c) Y d) Y leurs sept premières semaines d’entraînement. 1)

a)

Y

Clément

X

X

X

Natation (min)

Cyclisme (min)

Natation (min)

1

400

400

100

450

300

90

700

3

300

700

300

500

4

280

700

350

600

5

500

350

200

6

500

200

460

550

7

550

400

550

400

2

3. Associe chacun des nuages de points suivants au coefcient de corrélation linéaire qui lui correspond. a)

b)

Y

c)

Y

X

X

1

136

Chapitre 6

La statistique

d)

Y

r = –0,94

e)

Y

X

2

r = 0,24

3

Y

X

r = 0,64

4

r = 0,91

5

Arthur

Semaine

X

Cyclisme (min) 650

700

X a) L’entraîneur de Clément et d’Arthur leur conseille de déterminer une durée d’entraînement idéale et de maintenir cette durée d’une semaine à l’autre, rafn = –0,71 que leur entraînement soit le plus régulier possible. Au cours des sept dernières semaines, lequel des deux s’est entraîné de la açon la plus régulière : 1) en natation ?

2) en cyclisme ? 3) dans les deux disciplines ? b) S’ils doivent passer en moyenne trois ois plus de temps à s’entraîner pour l’épreuve de cyclisme sur route que pour celle de natation, comment devraient‑ils modifer leur temps d’entraînement ?

Fait divers 4483TSB_p136-151_C6Cons.indd 136

09-12-01 17:20

Les origines du triathlon remontent à la Grèce antique, mais cette épreuve d’athlétisme n’apparaît sous sa forme moderne que dans les années 1920 en France. Le triathlon est maintenant une discipline olympique ; il a fait ses débuts aux Jeux olympiques d’hiver de 2000 à Sidney, en Australie.

Consolidation

4483TSB_p136-151_C6Cons.indd 149

149

09-12-01 17:21

31. Prudence recommandée !

Le dernier problème de la Consolidation met en contexte un métier et permet de développer une compétence liée à un domaine général de formation.

L’activité physique, lorsqu’elle est pratiquée de façon sécuritaire et modérée, permet de se maintenir en bonne santé. Malheureusement, tout le monde ne mesure pas son effort et l’on déplore chaque année au Québec des blessures sportives nécessitant une hospitalisation. Le tableau ci‑dessous présente les résultats d’une étude mettant en relation les traumatismes d’origine récréative ou sportive (TORS) enregistrés au cours d’une année et le nombre d’hospitalisations qu’ils ont nécessitées selon différentes régions. Nombre de TORS

Région

Nombre d’hospitalisations

Abitibi‑Témiscamingue

101 000

2 100

Gaspésie – Îles‑de‑la‑Madeleine/Côte‑Nord

342 000

5 500

Mauricie

312 000

5 500

Outaouais

169 000

3 300

Saguenay – Lac‑Saint‑Jean

166 000

3 000

Adapté de : Ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport, 2000.

Dans la région de l’Estrie, 253 000 TORS ont été déclarés au cours d’une année. Estime la totalité des coûts engendrés par les TORS dans cette région du Québec, sachant : – qu’il en coûte 430 $ par jour d’hospitalisation par patient ; – qu’un patient est hospitalisé, en moyenne, pendant 4 jours ; – qu’à la suite d’un accident, 23 % des personnes ont recours, en moyenne, à 11 séances de physiothérapie au coût de 60 $ chacune.

Santé et bien-être Le hockey et le ski alpin sont les deux sports qui engendrent le plus de TORS. Quels moyens pourrais-tu suggérer pour réduire les risques de blessures lorsqu’on pratique ces sports ?

Le monde du travail La physiothérapie La physiothérapie est une discipline relevant du domaine de la médecine. Elle consiste à utiliser des agents naturels comme la chaleur, le roid, l’eau, ainsi que des exercices et des massages pour traiter les personnes qui sourent de douleurs musculaires et articulatoires ou qui éprouvent des problèmes neurologiques. La physiothérapie traite des problèmes causés par un accident, la pratique d’un sport, une maladie ou encore des blessures liées au travail.

150

Chapitre 6

La statistique

4483TSB_p136-151_C6Cons.indd 150

Dans Le monde du travail, on trouve une courte description d’un domaine d’emploi lié à la séquence Technico-sciences.

En tant que proessionnels de la santé, les physiothérapeutes sont des spécialistes du mouvement. Ils évaluent, rétablissent et maintiennent la orme physique. Pour cela, ils élaborent et appliquent des programmes d’exercices individuels. Ces programmes visent autant à soulager la douleur qu’à permettre aux patients de retrouver la plus grande autonomie possible. Les physiothérapeutes ont aussi la promotion de la bonne santé en donnant des09-12-01 conseils 17:21 à leurs patients pour les aider à traiter leurs problèmes de santé. Pour exercer la proession de physiothérapeute, il aut obtenir un diplôme universitaire en physiothérapie et réussir les examens de l’Ordre des physiothérapeutes du Québec. Les candidats doivent maniester un vi intérêt pour tout ce qui a trait à la santé et à la relation d’aide. Ils doivent également avoir des aptitudes pour les sciences comme la physique, la biologie et l’anatomie. Une bonne capacité d’analyse et de synthèse ainsi que la tenue des dossiers statistiques sont des atouts essentiels pour un physiothérapeute, car il doit évaluer et élaborer des méthodes de traitements efcaces. La capacité d’écoute, la patience et une grande dextérité manuelle sont des qualités tout aussi importantes que l’habilité à communiquer clairement et à travailler en équipe. Traiter des patients exige aussi un sens des responsabilités et un sens de l’organisation développés. Les proessionnels qui travaillent en physiothérapie appartiennent le plus souvent à des équipes multidisciplinaires. Ils exercent dans une très grande variété de milieux : hôpitaux, centres de réadaptation, cliniques de physiothérapie, cliniques de médecine sportive, organismes communautaires, agences de soin à domicile.

Le monde du travail

4483TSB_p136-151_C6Cons.indd 151

151

09-12-01 17:21

Organisation du manuel

IX

L’Intersection L’Intersection te permet de réinvestir les apprentissages des chapitres précédents au moyen de situations riches, qui ciblent plus d’un champ mathématique à la fois.

Intersection Chapitres 1 à 8

?

Un bon tuyau

La situation d’apprentissage et d’évaluation te permet de réinvestir certains concepts et processus abordés au cours des chapitres précédents.

Pour faire face à la croissance de la population et pour attirer les futurs propriétaires, plusieurs municipalités construisent de nouveaux quartiers résidentiels. De tels projets nécessitent l’intervention de divers spécialistes, entre autres dans les domaines de l’aménagement du territoire, de l’arpentage, de la construction de bâtiments, mais aussi des réseaux souterrains tels l’aqueduc et les égouts. Dans un quartier résidentiel, sur la route Sainte-Mérence, trois maisons sont déjà construites. Les nouveaux propriétaires attendent que leur maison soit reliée au nouveau réseau d’égouts avant d’emménager. Tu es responsable de la planification des travaux qui seront effectués par les ouvriers de la municipalité. Tu dois fournir les détails techniques aux ouvriers pour chacune des trois maisons à relier au réseau. Voici les renseignements dont tu disposes. Le plan ci-dessous est une vue aérienne de la route Sainte-Mérence et des trois maisons en question. La maison de la famille Nô et celle de la famille Tremblay seront reliées au réseau par le côté ouest de la route, tandis que la maison des Johnson le sera par le côté est. Les graduations du plan sont en mètres. y

Problèmes 1. Tangram Une ébéniste a construit un jeu de tangram avec un morceau de noyer. Ce jeu d’origine chinoise est composé de sept pièces de ormes géométriques. Quand elles sont placées dans leur position initiale, les sept pièces orment un prisme à base carrée. En déplaçant les pièces, on peut ormer toutes sortes de fgures. L’expression algébrique représentant le volume du prisme à base carrée initial, en centimètres cubes, est 18x3 + 63x2 + 36x - 36. La fgure 9 2 9 9 2 ci-contre représente un lapin. Elle se Abase = 8 x + 2 x + 2 cm compose des sept pièces du jeu et l’aire de la base de certaines pièces est connue.

Route Sainte-Mérence

Quelle expression algébrique représente les dimensions du prisme à base carrée ormé par les sept pièces du jeu ?

9 2 9 Abase = 16 x + 4x + 9 cm2 4

Une banque de problèmes te permet de réinvestir les concepts et les processus des chapitres précédents et de continuer à développer tes compétences.

Borne-fontaine (80, 90) Maison des Nô (22, 86)

Lampadaire (81, 83)

Maison des Tremblay (20, 32)

Maison des Johnson (105, 28)

Lampadaire (45, 29)

Borne-fontaine (30, 15) x

0

252

Intersection

Chapitres 1 à 8

4483TSB_p252-263_Int1-8.indd 252

M

2. Des triangles particuliers

5 cm

On a juxtaposé les triangles rectangles semblables RMN et RNP pour constituer le quadrilatère MNPR. Quelle est l’aire du triangle rectangle RST ?

10 cm

60°

N

S

R

T

P

3. Sans contexte C 3,9 cm

F

3,1 cm

B

A

59°

E 13,4 cm

09-12-01 21:52

D

∆ABC ~ ∆DEF Quelle est la mesure du segment EF ?

254

Intersection

Chapitres 1 à 8

4483TSB_p252-263_Int1-8.indd 254

La page Énigmes présente des énigmes et des jeux mathématiques pour t’aider à développer ta logique mathématique.

Énigmes 1

Trois enfants entrent dans une boutique de bonbons et décident d’acheter un sac de bonbons à 1,50 $. Une fois devant le commis, ils paient chacun 50 cents et quittent la boutique pour aller manger leurs bonbons dans le parc de l’autre côté de la rue. Quelques minutes après le départ des enfants, le gérant du magasin remarque que le sac de bonbons était mal étiqueté et qu’il ne coûtait pas 1,50 $, mais 1 $. Par souci d’honnêteté envers les enfants, le patron décide d’envoyer son commis les rembourser. En recevant les 50 cents payés en trop, le commis se dit qu’il ne sera pas facile, pour les enfants, de diviser cette somme en trois. Il décide donc de garder 20 cents pour lui et de rendre 10 cents à chaque enfant. Ainsi, chaque enfant a payé 40 cents pour le sac de bonbons, ce qui fait un total de 1,20 $. Si on ajoute à ce montant les 20 cents gardés par le commis du magasin, on arrive à un total de 1,40 $… Où sont passés les 10 cents manquants ?

2

Soit le schéma ci-contre, où chaque lettre représente un nombre. Les nombres à l’extérieur du carré indiquent la somme de chaque rangée, de trois colonnes et d’une diagonale. Quelle est la somme de la deuxième colonne ?

A

B

C

B

A

C

C

21

B

C

C

A

21

D

D

A

D

25

21

23

25

21

B

20

3

On dispose 9 cartes à jouer en 3 rangées et en 3 colonnes. Il y a au moins 2 as, 2 rois, 2 dames et 2 valets. Chaque valet est voisin d’un roi et d’une dame. Chaque dame est voisine d’un roi et d’un as. Chaque roi est voisin d’un as. On considère comme voisines les cartes dont les bords verticaux ou horizontaux sont côte à côte. Les cartes en diagonale ne sont pas considérées comme voisines. Détermine où se trouve chacune des cartes.

4

Evelyne a 6 allumettes de même taille. Comment peut-elle construire 4 triangles équilatéraux avec ces allumettes sans les briser ?

Les Outils technologiques Énigmes

4483TSB_p252-263_Int1-8.indd 263

09-12-01 21:53

263

09-12-01 21:54

Outils technologiques La calculatrice à affichage graphique La calculatrice à afchage graphique permet, entre autres, de représenter graphiquement des onctions et d’obtenir de nombreux renseignements sur ces onctions. Les touches du menu graphique se trouvent directement sous l’écran de la calculatrice. En voici une description.

Ces pages te présentent les fonctions de base de certains outils technologiques.

Pour saisir les règles des onctions à représenter graphiquement.

Pour déplacer le curseur sur la courbe et voir les couples de coordonnées qui appartiennent à la onction.

Pour déinir la enêtre d’aichage.

Pour aicher les représentations graphiques des onctions. Pour modiier les paramètres préétablis de la enêtre d’aichage.

Pour saisir la variable x.

264

X

Organisation du manuel

Outils technologiques

Les rubriques Pièges et astuces Pour effectuer une double mise en évidence sur un polynôme à quatre termes, les coefficients des termes doivent être de même signe ou deux d’entre eux doivent être positifs et les deux autres, négatifs.

Point de repère Al-Khawarizmi Au ixe siècle, le mathématicien arabe Al-Khawarizmi faisait déjà référence à la complétion du carré. Ce mathématicien,

Te présente une méthode de travail, des erreurs courantes et des stratégies de résolution de problèmes.

Te présente des personnages et des faits historiques liés à l’étude de la mathématique.

La calculatrice à afchage graphique permet, entre autres, de vérifer si deux expressions algébriques sont équivalentes. Pour en savoir plus sur la calculatrice à afchage graphique, consulte la page 130 de ce manuel.

T’invite à mieux connaître l’une des technologies de l’information et de la communication (TIC) ou à l’utiliser dans la résolution d’un problème.

Les pictogrammes

?

Résoudre une situation-problème.

Communiquer à l’aide du langage mathématique.

Fait divers L’industrie canadienne du disque récompense les artistes en leur remettant un disque d’or lorsque 50 000 exemplaires d’un album ont été vendus, un disque platine dans le cas de 100 000 exemplaires vendus et un disque diamant lorsque les Médias ventes atteignent 1 000 000 d’exemplaires.

Autrefois, une personne qui assistait à un événement exceptionnel ne pouvait que rapporter l’événement verbalement ; elle ne

Double mise en évidence Procédé qui permet de factoriser un polynôme en effectuant, d’abord, une simple mise en évidence sur des groupes de termes du polynôme, puis une seconde simple mise en évidence du binôme ou du polynôme commun.

Relate une anecdote ou un fait intéressant lié au sujet à l’étude.

Te propose de l’information et des questions relatives à l’un des domaines généraux de formation suivants : santé et bien-être, orientation et entrepreneuriat, environnement et consommation, médias, vivre-ensemble et citoyenneté.

Te donne une définition qui vise à préciser un concept ou à faire un retour sur des savoirs à l’étude dans les années précédentes. Le mot défini est en bleu dans le texte courant pour en faciliter le repérage.

Déployer un raisonnement mathématique.

Au besoin, utiliser la fiche reproductible disponible.

Organisation du manuel

XI

Chapitre

5

L’étude des fonctions quadratiques et exponentielles Alors que les ressources de la planète sont limitées, la demande énergétique mondiale ne cesse de croître. Les spécialistes se tournent de plus en plus vers des façons de produire de l’électricité qui minimisent les impacts sur l’environnement. On peut modéliser plusieurs situations ayant trait à l’énergie à l’aide des fonctions quadratiques et exponentielles. L’analyse de ces modèles permet de faire des prévisions et d’apporter des améliorations aux systèmes énergétiques existants. De plus, ces modèles sont essentiels à la compréhension du fonctionnement de certains appareils destinés à la transformation d’une forme d’énergie en une autre. Nomme quelques moyens de produire de l’énergie électrique. Lequel te paraît le plus prometteur à long terme ?

Survol

Environnement et consommation

Entrée en matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Section 1 – La fonction quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Section 2 – La résolution d’équations et d’inéquations quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Section 3 – La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Section 4 – La résolution d’équations et d’inéquations exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Consolidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Contenu de formation Radicaux (racine ne) Puissances de base 2 et 10 (changement de base) Fonction polynomiale du second degré Fonction exponentielle Résolution d’équations et d’inéquations exponentielles et du second degré • Interprétation et représentation graphique de la réciproque de la fonction du second degré et de la fonction exponentielle • • • • •

Entrée en matière Les pages 4 à 6 ont appel à tes connaissances sur les onctions et les expressions algébriques.

En contexte Un kilowattheure correspond à une dépense énergétique de 1 000 W pendant une durée d’une heure.

Il y a de nombreux modes de production de l’énergie électrique à travers le monde. Centrales nucléaires, au charbon ou marémotrices, barrages hydroélectriques ou parcs éoliens, tous produisent de l’énergie électrique qui est ensuite vendue aux entreprises et aux ménages. L’énergie est acturée selon la consommation, calculée en kilowattheures (kWh). Voici un exemple de tarifcation : • une redevance de 0,4064 $ par jour ; • un coût de 0,0545 $/kWh pour les 30 premiers kilowattheures utilisés par jour ; • un coût de 0,0746 $/kWh pour le reste de la consommation. La amille Cloutier a consommé 2 055 kWh sur une période de 62 jours. Voici le calcul qui apparaît sur sa acture avant l’ajout des taxes. 62 × 0,4064 =

25,20 $

Les 30 premiers kWh par jour

(30 × 62) × 0,0545 = 1 860 × 0,0545 =

101,37 $

Le reste de la consommation

(2 055 – 1 860) × 0,0746 = 195 × 0,0746 =

14,55 $

Total

141,12 $

Redevance

Source : Hydro-Québec, 2009.

Coût de l’électricité ($)

Le graphique ci-dessous représente le coût de l’électricité selon la consommation de la amille Cloutier pour cette période de acturation. Le coût de l’électricité pour la famille Cloutier 200

150 (1860, 126,57) 100

50

0

4

Chapitre 5

500

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

1000

1500

2000 2500 Consommation (kWh)

1. Observe le graphique de la page précédente et réponds aux questions suivantes. a) Cette relation est-elle une fonction ? Si oui, de quel type de fonction s’agit-il ? Si non, pourquoi ? b) Que représente l’ordonnée à l’origine dans ce contexte ? c) Détermine le domaine et l’image de cette relation.

2. Les Cloutier s’intéressent au coût de l’électricité selon leur consommation pour cette période de 62 jours. a) Détermine la règle associée à cette relation. b) À quoi correspondent les paramètres de la première partie de la règle dans ce contexte ? c) Détermine l’intervalle dans lequel la consommation des Cloutier devrait se situer pour que le montant de leur facture varie entre 150 $ et 200 $. d) Dans quel intervalle se situe le coût de la facture d’électricité pour une consommation de x kWh, si 1 500 < x < 1 900 ?

3. La famille Rosa a reçu une facture qui s’élève à plus de 120 $ pour la même période de 62 jours. a) Quelle inéquation représente le montant de la facture d’électricité en fonction de la consommation de cette famille ? b) Détermine l’intervalle du domaine associé à cette inéquation.

4. La dernière facture de la famille Balekian s’élève à 132,09 $. Dans le but de diminuer leur consommation d’électricité, les membres de la famille choisissent de remplacer leur réfrigérateur par un modèle à faible consommation énergétique. Selon les normes en vigueur, l’appareil utilisera 40 % moins d’énergie que leur réfrigérateur actuel. Sachant que celui-ci a utilisé 180 kWh sur une période de 62 jours, détermine le montant de la prochaine facture si le reste de la consommation d’électricité de la famille demeure constant.

Environnement et consommation Le symbole « Energy Star » est utilisé dans plusieurs pays pour désigner les appareils dont l’efcacité et l’économie d’énergie sont optimales. Les appareils sont testés par un organisme indépendant des abricants. Ils doivent être moins polluants et plus efcaces que ce que prévoient les normes gouvernementales pour obtenir cette accréditation. Le logo « Energy Star » permet aux consommateurs de aire des choix éclairés lorsqu’ils achètent des appareils électriques. Selon toi, pourquoi est‑il nécessaire de confer la gestion d’un tel programme à un organisme indépendant plutôt qu’aux abricants ou aux distributeurs ? Comment un tel programme peut‑il encourager l’innovation chez les entreprises qui produisent des appareils électriques ?

Entrée en matière

5

En bref 1. Transcris et complète les égalités suivantes. a) 82 = 2

=1

b) 5

2

c)

d) 105 = 10 • 10

=9

2. a) Parmi les expressions algébriques suivantes, lesquelles sont des polynômes ? 1

2

x²

3

2x

4

2(x -1)3

2 x+2

b) Détermine le degré des polynômes identifés en a.

3. Détermine si les égalités suivantes sont vraies ou ausses. a) 2 • (-x)2 = 2x2

b) 2 • 3x = 6x

c) (-2)4 = -(2)4

-

d) 5 2 = -25

e)

1

x = x2

4. À l’aide des propriétés des exposants, détermine la valeur de x dans chacune des équations suivantes. a) 34 • 37 = 3x b) (62)4 = 6x

c)

57 = 5x 54

d) 42 • 72 = x2

e) (a • b) x = a4 • b4

5. Résous les équations suivantes. a) a2 = 16

b) 3a3 = 192

c) a • 32 = -12

d) 32 = 2a

6. Voici quelques couples de la onction g. x

3

4

5

6

g(x)

17

19

21

23

a) De quel type de onction s’agit-il ? Justife ta réponse. b) Détermine la règle de la onction g.

7. Soit la onction afne f représentée en rouge dans le plan cartésien ci-dessous. y c a f 1 x

1

b

a) Détermine la règle de la onction f. b) Quelle droite représente la réciproque de f ?

6

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

Section

1

La fonction quadratique La vitesse fait ralentir Les concepteurs de véhicules ou d’objets devant résister au vent doivent rendre leurs produits aussi aérodynamiques que possible pour minimiser la résistance de l’air. On améliore l’aérodynamisme en modifiant la forme et les dimensions des objets. Ces modifications augmentent la sécurité, mais aussi les performances et l’efficacité énergétique des véhicules. La table de valeurs ci-dessous présente, pour une voiture, quelques données relatives à la résistance de l’air, en kilonewtons (kN), selon la vitesse, en kilomètres à l’heure (km/h). Vitesse de la voiture (km/h) Résistance de l’air (kN)

20

30

40

50

60

1,28

2,88

5,12

8

11,52

À partir de ces données, estime la résistance de l’air pour la même voiture si elle roule à une vitesse de 100 km/h.

Environnement et consommation Grâce aux innovations technologiques, les voitures sont plus propres et moins énergivores que jamais. Toutefois, comme leur nombre augmente sans cesse, les émissions de gaz à effet de serre liées à la circulation automobile sont toujours à la hausse au Canada. Ainsi, on compte 560 véhicules pour 1 000 Canadiens, ce qui place le pays au cinquième rang mondial. Crois‑tu que la voiture soit un bien essentiel ? Pourquoi ? Selon toi, que pourrait‑on faire pour freiner l’augmentation du nombre de véhicules au Canada ?

Section 1

La fonction quadratique

7

ACTIVITÉ d’exploration

1

• Fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = a(bx)2

L’énergie marémotrice L’énergie marémotrice est l’énergie produite par le mouvement de l’eau associé aux marées océaniques. Pour transformer ce mouvement en énergie électrique, on a développé des systèmes appelés « usines marémotrices », dont voici une illustration.

• Rôle des paramètres

Côté mer Côté bassin

Turbine

Conduite

Dans ces usines, un barrage dirige l’eau de la marée montante dans des conduites, ce qui en augmente le débit. Dans chacune des conduites se trouve une turbine dont la rotation entraîne l’action d’un alternateur qui produit l’énergie électrique. La friction de l’eau avec la surface de la conduite cause une perte d’énergie appelée « perte de charge ». Pour une conduite ayant un diamètre de 25 cm et une longueur de 10 m, la perte de charge est donnée par la règle p = 3,4v 2, où v représente la vitesse de l’eau en mètres par seconde et p, la perte de charge en centimètres. A

Reproduis et complète la table de valeurs ci-dessous. La perte de charge selon la vitesse de l’eau dans une conduite de 10 m de longueur et de 25 cm de diamètre

Les vitesses négatives indiquent que l’eau circule en sens contraire, c’est-à-dire qu’elle retourne vers la mer.

Accroissements

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

8

Chapitre 5

Vitesse de l’eau dans la conduite (m/s)

Perte de charge (cm)

–3

30,6

–2

13,6

–1

0 1 2 3 4 5

L’étude des fonctions quadratiques et exponentielles

B

Pour des accroissements unitaires de la variable indépendante, détermine les accroissements correspondants de la variable dépendante. Que remarques-tu ?

C

Détermine les accroissements des accroissements obtenus en B. Que remarques-tu ?

D

Représente les couples de la table de valeurs dans un plan cartésien et trace la courbe qui relie les points.

Le graphique que tu as tracé en D est la représentation d’une onction quadratique, aussi appelée « onction polynomiale de degré 2 ». E

Selon toi, d’après les observations que tu as aites en B et en C, quelle particularité permet de reconnaître une onction quadratique à partir de sa table de valeurs ?

Les dimensions des conduites d’eau jouent un rôle primordial pour maximiser le rendement d’une usine marémotrice. On appelle « section » la surace circulaire d’une conduite à travers laquelle l’eau peut passer. On peut représenter la section d’une conduite par la règle S1(r) = p r 2, où r représente le rayon de la section en centimètres, et S1(r), l’aire de la section en centimètres carrés.

Aire de la section (cm2)

Pour des raisons d’efcacité, les responsables d’une usine veulent accroître la quantité d’eau circulant dans un barrage sans augmenter la pression. On analyse plusieurs options. La première option est l’ajout d’une deuxième conduite de même rayon que la première. La règle donnant l’aire totale des deux sections serait alors S2(r) = 2p r 2. Une autre option consiste à remplacer la conduite existante par une nouvelle, dont le rayon serait deux ois plus grand. La section serait alors représentée par la règle S3(r) = p(2r)2.

1

1 Rayon de la section (cm)

Une employée de l’usine estime que ces deux options sont équivalentes, puisqu’on double la section dans les deux cas. Pour vérifer son hypothèse, elle utilise un logiciel traceur de courbes afn de comparer les onctions S1, S2 et S3. Pour ce aire, elle doit saisir dans le logiciel les paramètres a et b de chacune des onctions quadratiques dont la règle est sous la orme f(x) = a(bx)2. F

Associe chacune des courbes à l’une des onctions S1, S2 ou S3.

G

Es-tu d’accord avec l’estimation de l’employée ? Justife ta réponse.

H

Dans le contexte, quel est le domaine de S ? L’usine marémotrice de la Rance, en France.

Section 1

Activité d’exploration 1

9

I

Qu’ont en commun les trois courbes du graphique de la page précédente ?

J

Reproduis et remplis le tableau suivant. Deux conduites ayant chacune un rayon r

Une seule conduite ayant un rayon r

Une seule conduite ayant un rayon deux fois plus grand que r

Règle

Fait divers Les marées sont des mouvements périodiques du niveau de la mer qui résultent de la rotation de la Terre et de l’attraction de la Lune. En retenant les marées avec leur barrage, les usines marémotrices ont ralentir, de açon infniment petite, la rotation de la Terre !

Paramètre a Paramètre b

K

Quel eet ont les paramètres a et b sur le graphique ?

L

Si l’on double le paramètre a, obtient-on le même eet que si l’on double le paramètre b ? Pourquoi ?

Environnement et consommation Au Canada, plusieurs sites ont un bon potentiel d’énergie marémotrice. La baie de Fundy, par exemple, est réputée pour avoir les plus hautes marées de la planète. Cependant, les projets d’installation d’un barrage dans la baie de Fundy demeurent à l’étude à cause de leurs conséquences possibles sur l’érosion des berges et sur la faune environnante, dont les baleines. À ton avis, à quelles conditions devrait‑on aller de l’avant avec ce type de projet ?

Ai-je bien compris ? 1. Identife la ou les tables de valeurs qui peuvent être celles de onctions quadratiques. 1

2

3

x

1

2

3

4

5

6

y

–5

–20

–45

–80

–125

–180

x

1

2

3

4

5

6

y

2

4

8

16

32

64

x

–2

–1

0

1

2

3

y

–24

–6

0

–6

–24

–54

2. Trace le graphique associé à chacune des onctions dont la règle est donnée ci-dessous. Puis, détermine pour chacune la valeur des paramètres a et b. a) f(x) = 0,5(2x)2 10

Chapitre 5

b) g(x) = 2(0,5x)2

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

c) h(x) = –2x2

d) i(x) = (–2x)2

ACTIVITÉ d’exploration

Coïncidence ? Jovan et Pier-Luc participent à un atelier sur le traceur de courbes. Leur enseignante leur apprend à utiliser cet outil pour tracer diérentes onctions et en limiter le domaine afn de créer un dessin. Comme exercice, ils doivent compléter le dessin ci-dessous en ajoutant un sourire au visage déjà tracé à l’aide de diérentes onctions. Pour y arriver, ils tracent une courbe rouge d’après la règle d’une onction quadratique.

2

• Fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = ax2 • Recherche de la règle d’une fonction quadratique • Propriétés d’une fonction quadratique

La calculatrice à afchage graphique permet aussi de limiter le domaine d’une onction donnée. Pour en savoir plus, consulte la page 265 de ce manuel.

Jovan et Pier-Luc constatent qu’ils ont tracé la même courbe. Voici les équations qu’ils ont saisies dans le logiciel. Équation de Jovan : Y1 = 2(3x)2 Équation de Pier-Luc : Y2 = 18x2 A

Détermine la valeur des paramètres a et b de chacune des règles que Jovan et Pier-Luc ont saisies dans le logiciel traceur de courbes.

B

Montre que l’équation de Jovan est équivalente à celle de Pier-Luc.

C

À partir de l’observation que tu as aite en B, démontre que toute onction quadratique dont la règle est de la orme f(x) = a(bx)2 peut être exprimée par une règle de la orme f(x) = a′x 2.

Voici le graphique de la onction représentant le sourire du dessin. D

f(x)

Fais l’analyse complète de cette onction.

10 1

x

Section 1

Activité d’exploration 2

11

Pour réaliser un autre exercice, Pier-Luc doit tracer, à l’aide du traceur de courbes, la onction quadratique passant par les points donnés dans la table de valeurs ci-dessous. Pour ce aire, il doit d’abord en trouver la règle. x

–2

–1

f(x)

–2

–0,5

0

1

2

3

4

0

–0,5

–2

–4,5

–8

Jovan lui suggère de trouver l’équation de la orme f(x) = ax2. E

Pour déterminer le paramètre a, Pier-Luc remplace x et f(x) par leurs valeurs respectives dans l’expression f(x) = ax 2. Peut-il utiliser n’importe quel couple de la table de valeurs ? Justife ta réponse.

F

Détermine la règle représentant la onction quadratique associée à la table de valeurs.

Voici une onction quadratique tracée par Jovan. G

Détermine la règle de la orme f(x) = ax2 de cette onction.

Ai-je bien compris ? 1. Exprime les règles des onctions quadratiques suivantes sous la orme f(x) = ax 2. a) g(x) = -5(3x)2 b) h(x) = 1(-3x)2 c) i(x) = -1 1 x 2 d) j(x) = 4(0,2x)2

(2 )

3

2. Détermine la règle des onctions quadratiques représentées ci-dessous. a) b) c) d) g(x) x f(x)

12

x

h(x)

-4

12

-3

6,75

-5

-62,5

-4

-40

-3

-22,5

-2

3

-2

-10

-1

0,75

-1

-2,5

0

0

0

0

1

0,75

1

-2,5

2

3

Chapitre 5

(–3, 63)

5 1

x

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

i(x) 1 1

x

(4, ) –16

3

ACTIVITÉ d’exploration

Freiner à temps Une équipe d’étudiants en génie mécanique analyse les systèmes de reinage d’une automobile. Les étudiants procèdent à diérents tests pour déterminer les acteurs qui infuent sur la distance de reinage. Ils déterminent ainsi que le acteur le plus important est la vitesse du véhicule. La table de valeurs ci-contre présente quelques données sur la distance de reinage d’un véhicule qui roule sur une chaussée sèche en onction de sa vitesse. A

B

Représente les couples de la table de valeurs dans un plan cartésien et trace la courbe qui relie les points.

Vitesse (km/h)

Distance de freinage (m)

–40

9,60

–35

7,35

–30

5,40

30

5,40

35

7,35

40

9,60

45

12,15

50

15,00

À l’aide de la table de valeurs, détermine la règle de la onction quadratique qui peut modéliser la distance de reinage d d’un véhicule en onction de sa vitesse v.

3

Réciproque d’une fonction quadratique

Certaines vitesses indiquées sont négatives. En science et en ingénierie, une vitesse négative indique la direction du déplacement. Ainsi, si on dénit la direction nord comme positive, on dira qu’une voiture se dirigeant vers le sud à 60 km/h a une vitesse de –60 km/h.

Les étudiants ont une amie qui est policière. Il lui arrive de devoir déterminer, à partir des marques de pneus sur la chaussée, la vitesse à laquelle se déplaçait un véhicule au moment où la conductrice ou le conducteur a appuyé sur le rein. C

Trace un graphique représentant la vitesse à laquelle roulait un véhicule en onction de la distance de reinage observée par la policière sur une scène d’accident. Tiens compte du ait que les vitesses peuvent être négatives.

D

À l’aide de ton graphique, détermine si la relation réciproque d’une onction quadratique est une onction.

Fait divers La distance parcourue entre le moment où l’automobiliste appuie sur le frein et le moment où le véhicule s’immobilise complètement s’appelle la « distance de freinage ». Plusieurs facteurs inuent sur cette distance : le type de véhicule, sa vitesse avant le freinage, sa masse, l’usure des freins, l’usure des pneus, l’état de la chaussée (sèche, couverte d’eau, de neige, de glace), etc.

Section 1

Activité d’exploration 3

13

En contexte, on trouve la règle de la relation réciproque d’une fonction en isolant la variable indépendante dans la règle de la fonction initiale.

E

Détermine la règle de la relation réciproque tracée en C.

F

Détermine la vitesse à laquelle roulait un véhicule dont la distance de freinage est de 20 m : 1) à partir du graphique tracé en C ; 2) à partir de la règle déterminée en E. Est-ce que ces deux réponses concordent ?

On appelle « fonction racine carrée » la fonction dont la règle de base est f(x) = a bx. G

En considérant seulement la partie positive de la relation réciproque obtenue en E, détermine les paramètres a et b de cette fonction racine carrée.

H

À partir des propriétés des exposants, montre que les expressions suivantes sont équivalentes. f1(x) = 2 9x

f2(x) = 6 x

Ai-je bien compris ? 1. Pour chacune des fonctions quadratiques représentées ci-dessous : a) détermine la règle de la fonction ; b) détermine la règle de la relation réciproque de la fonction. 1

2

f(x)

g(x) 1 1

x

1 x

1

2. Voici les tables de valeurs de trois fonctions quadratiques. 1

x

1

2

3

f(x)

8

32

72

2

x

-4

-3

-2

g(x)

160

90

40

3

x

5

7

14

h(x)

-12,5

-24,5

-98

a) Détermine la règle de la relation réciproque de ces fonctions. b) Trace le graphique de la relation réciproque de ces fonctions. 14

Chapitre 5

L’étude des fonctions quadratiques et exponentielles

Faire le point La fonction quadratique La onction quadratique, aussi appelée « onction polynomiale de degré 2 », est une onction dont la règle est un polynôme de degré 2 à une variable. La représentation graphique d’une onction quadratique dont la règle est de la orme f(x) = a(bx)2, où a ≠ 0 et b ≠ 0, est une parabole dont le sommet se situe à l’origine du plan cartésien. Exemple : f(x) = 3(2x)2 est la règle d’une onction quadratique dont la valeur du paramètre a est 3 et celle du paramètre b est 2. Règle

Table de valeurs

Représentation graphique f(x)

+1 f(x) = 3(2x)2

+1 +1 +1

x

f(x)

-1

12

0

0

1

12

2

48

3

108

-12

+12 +36 +60

+24 +24 +24 20 3

−

2

−

1

−

0

1

2

3

x

Remarque : Afn de s’assurer que le modèle mathématique qui correspond à cette table de valeurs est une onction quadratique, il suft de vérifer que les accroissements des accroissements de la variable dépendante sont constants pour des accroissements constants de la variable indépendante. Dans l’exemple ci-dessus, pour des accroissements unitaires de la variable indépendante (+1), les accroissements des accroissements de la variable dépendante sont constants (+24).

Une autre forme de la règle de la fonction quadratique Les onctions quadratiques de la orme f(x) = a( bx)2 peuvent aussi s’écrire sous la orme f(x) = ax2. Les lois des exposants permettent d’établir cette équivalence. Exemple : f(x) = 5(3x)2 f(x) = 5 • 32 • x 2 f(x) = 45x 2

Section 1

Faire le point

15

Le rôle des paramètres de la fonction quadratique Le rôle du paramètre a Le tableau suivant décrit l’infuence du paramètre a sur l’ouverture de la parabole. a>0 La parabole est ouverte vers le haut.

a< 0 La parabole est ouverte vers le bas.

y

y 1

| a| > 1 La parabole est moins ouverte que lorsque a = 1. Elle subit un étirement vertical.

1

x

1

x

1 1

x

f(x) = x2 g1(x) = 2x2 g2(x) = 4x2

f(x) = –x2 g1(x) = –2x2 g2(x) = –4x2 y

y

1

| a| < 1 La parabole est plus ouverte que lorsque a = 1. Elle subit un rétrécissement vertical.

1 1

f(x) = x2

x

f(x) = –x2 –1

1

g1(x) = 2 x2

1

g2(x) = 4 x2

g1(x) = 2 x2 g2(x) = 4 x2

–1

Remarque : Dans certains contextes, la onction quadratique est exprimée sous la orme f(x) = a(bx)2. Le carré du paramètre b infue sur l’ouverture de la courbe de la même açon que le paramètre a. Par ailleurs, un paramètre b négati amène une réfexion de la courbe par rapport à l’axe des ordonnées. La parabole qui représente f(x) = x2 est donc la même que celle qui représente h(x) = (–x)2.

16

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

La recherche de la règle d’une fonction quadratique Il est possible de déterminer la règle d’une fonction quadratique de la forme f(x) = ax 2 à partir de sa table de valeurs. Exemple :

+5

+5

+5

+5

x

-5

0

5

10

15

f(x)

12,5

0

12,5

50

112,5

-12,5

+12,5

+25

+37,5

+25

+ 62,5

+25

Étape

Démarche

1. Substituer les coordonnées d’un point de la table de valeurs à x et à f(x) dans la règle f(x) = ax2.

(5, 12,5)

2. Résoudre l’équation obtenue à l’étape 1 afin de déterminer la valeur de a.

a = 12,5 = 12,5 = 1 2

3. Écrire la règle sous la forme f(x) = ax2 avec la valeur de a déterminée à l’étape 2.

f(x) = 1 x2

12,5 = a(5)2 5

25

2

2

Remarque : Cette procédure est également utile lorsqu’on dispose de la représentation graphique d’une fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = ax2 et dont on connaît les coordonnées d’un point autre que le sommet.

Les propriétés d’une fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = ax 2 Faire l’analyse d’une fonction consiste à décrire ses propriétés. Le tableau ci-dessous présente la représentation graphique et les propriétés d’une fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = ax2. Exemple : f(x) = 12x2 Domaine

r

Image

[0, + ∞[

Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale)

0

Zéros (ou abscisses à l’origine)

0

Variation

f est croissante pour x ∈ [0, + ∞[ f est décroissante pour x ∈ ]– ∞, 0]

Signe

f est positive pour x ∈ r

Extremum

Min f = 0 Aucun maximum

Représentation graphique

f(x)

20 3

−

2

−

1

−

0

1

2

3

x

Section 1

Faire le point

17

La réciproque d’une fonction quadratique La réciproque d’une onction quadratique n’est pas une onction, car deux ordonnées peuvent être attribuées à une même abscisse. Elle correspond plutôt à une relation défnie par deux onctions racine carrée. La représentation graphique de la relation réciproque d’une onction quadratique est une courbe symétrique à la onction quadratique par rapport à la bissectrice du premier et du troisième quadrant.

Exemple : y f(x) = x2

1

g(x) = x 1 h(x) = − x

La représentation graphique de chacune des onctions racine carrée de la orme f(x) = a bx est une courbe dont le sommet se situe à l’origine du plan cartésien.

x

Exemple : Règle

g(x) = 2 3x h(x) = –2 3x

Table de valeurs

Représentation graphique g(x) 12

h(x)

–

x

0

3

12

27

10

g(x)

0

6

12

18

8

2 x

2

6

x h(x)

0

3

12

27

4

0

–6

–12

–18

2 0

2

4

6

8

10

12 x

À partir de la règle d’une onction quadratique de la orme f(x) = ax2, on peut obtenir la règle de la relation réciproque. 2 Exemple : Soit la règle de la onction f(x) = x . Quelle est la règle de la relation 3 réciproque de f ?

Étant donné que la relation réciproque de la onction quadratique n’est pas une onction, on utilise la notation relationnelle (y au lieu de f(x)) pour déterminer et écrire la règle qui lui correspond.

18

Chapitre 5

Étape 1. Écrire la règle de la onction quadratique à l’aide de la notation relationnelle, puis inverser les variables x et y. 2. Isoler la nouvelle variable dépendante ( y) dans l’équation.

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

Démarche 2 y2 y= x ⇔x=

3

y 2 = 3x y = ± 3x

3

Mise en pratique 1. Voici la règle de deux fonctions quadratiques. 1

f(x) = 4(2x)2

2

g(x) = –0,5(5x)2

a) Quelles sont les coordonnées du sommet de chacune des paraboles de ces fonctions ? b) Complète les tables de valeurs suivantes. 1

x

-2

-1

0

1

2

2

x

f(x)

-2

-1

0

1

2

g(x)

c) Représente graphiquement chacune de ces fonctions. y

2. Voici les représentations graphiques de plusieurs fonctions quadratiques. La fonction de base, f(x) = x2, est représentée par une parabole rouge. Parmi les propriétés d’une fonction quadratique, lesquelles sont communes à toutes les fonctions quadratiques de la forme f(x) = a(bx)2 ?

1

f 2

1 1

x

4

3. En considérant une fonction quadratique dont la règle est de la forme

f(x) = ax2, transcris et complète les énoncés suivants. a) À chaque image de la fonction correspondent exactement valeurs du domaine, sauf à l’origine. b) est l’axe de symétrie de la représentation graphique de cette fonction.

4. Écris les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme f(x) = ax2. a) f(x) = 4(5x)2

c) h(x) = 3 (–4x)2

b) g(x) = –6(2x)2

2

5. Parmi les règles des fonctions quadratiques suivantes, lesquelles ont la même représentation graphique ? 1

-1

1

f(x) = 2(3x)2

3

f(x) = 2(3x)2

2

f(x) = -1,5x2

4

f(x) = 4,5x2

5

f(x) = 1,5x2

6. Détermine la règle des fonctions quadratiques suivantes. a)

b)

x

0

1

2

3

f(x)

0

4

16

36

x

–1

1

3

5

g(x)

–2

–2

–18

–50

c)

d)

x

–2

0

2

4

h(x)

3

0

3

12

x

–2

–1

1

2

i(x)

–10

–2,5

–2,5

–10

Section 1

Mise en pratique

19

7. Voici la représentation graphique d’une

f(x)

onction quadratique. Détermine la règle de la onction quadratique dont la représentation est symétrique à celle de la onction f par rapport à : a) l’axe des abscisses ;

2

−

1

x

b) l’axe des ordonnées.

8. Rebecca prétend que les règles f(x) = a(bx)2 et g(x) = a(-bx)2 représentent exactement la même onction quadratique. Es-tu d’accord avec son afrmation ? Justife ta réponse en utilisant les propriétés des exposants.

9. Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples d’une onction. x

-5

f(x)

0

2

6

6

54

10

Reproduis et complète la table de valeurs en considérant que f est une onction : a) afne ; b) quadratique dont la règle est de la orme f(x) = ax2.

10. Dans la photo ci-dessous, détermine l’emplacement de l’origine du plan

cartésien et trouve la règle de la orme f(x) = ax2 qui représente la parabole modélisant la corde à danser. Chaque graduation vaut une unité.

20

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

11. Les drapeaux des pays du monde se distinguent non seulement par leurs couleurs et leurs motis, mais également par leur rapport largeur : longueur. Ce rapport peut être diérent d’un pays à l’autre, mais il est toujours le même dans les drapeaux réglementaires d’un pays donné. La table de valeurs ci-dessous contient quelques données relatives aux dimensions de drapeaux réglementaires au Canada. Largeur du drapeau (dm)

Aire du drapeau (dm2)

10

200

15

450

20

800

25

1 250

a) Quel est le rapport largeur : longueur d’un drapeau réglementaire au Canada ? b) Quelle est la règle de la onction qui permet de déterminer l’aire d’un drapeau à partir de sa largeur ? c) Quelle est la réciproque de la règle trouvée en b ? Que représente-t-elle dans le contexte ?

12. Détermine la règle et l’intervalle du domaine de la onction quadratique dont une branche de la réciproque est représentée ci-dessous. y

(24, 6)

Fait divers 1 1

x

13. Pour chauer de açon signifcative l’eau d’une piscine avec l’énergie solaire, les techniciens recommandent que la surace de captation de l’énergie soit située au sud et qu’elle s’étende sur l’équivalent de 40 % de la surace de la piscine. Détermine la règle d’une onction quadratique de la orme f(x) = a(bx)2 représentant la surace de captation de l’énergie selon le diamètre d’une piscine circulaire.

Section 1

L’énergie solaire est tout indiquée pour chauer l’eau d’une piscine à aible coût. L’installation, généralement placée sur un toit, nécessite un capteur d’énergie, une pompe permettant la circulation de l’eau et la tuyauterie nécessaire pour relier le tout. L’énergie thermique absorbée par la toiture est alors transérée à l’eau. L’efcacité de ce type d’installation dépend principalement de son emplacement et des conditions météorologiques.

Mise en pratique

21

14. La réglementation en matière d’utilisation de pesticides et d’herbicides pour l’entretien des pelouses est de plus en plus sévère. Voici le logo d’une entreprise qui utilise des produits respectueux de l’environnement. y ( 4, 4) −

(4, 4)

(2, −1)

x

(−1, −2)

Le propriétaire de cette entreprise veut avoir une version électronique de son logo an de pouvoir l’acher sur la papeterie de son entreprise. Détermine les règles des courbes qui orment ce logo, sachant qu’elles peuvent être modélisées par des onctions quadratiques et racine carrée.

15. Pour étudier et protéger certaines espèces ragiles de la fore, on érige parois des zones protégées où l’on interdit toute activité humaine comme le camping et la randonnée. Ces espaces sont souvent délimités à l’aide d’un ruban. a) Quelle règle permet de déterminer la longueur minimale de ruban nécessaire pour délimiter cinq zones carrées de mêmes dimensions en onction de leur supercie, qui est de x m2 chacune ? b) Représente graphiquement cette onction. c) À partir de la règle trouvée en a, détermine la règle qui représente la longueur minimale de ruban nécessaire pour délimiter n zones protégées de mêmes dimensions.

Fait divers Au Québec, l’ail des bois est considéré comme une espèce vulnérable. Ce sont les développements urbain et agricole de même que la cueillette excessive qui sont responsables de sa raréfaction. Aujourd’hui, son commerce est interdit et sa cueillette est limitée à 50 bulbes par année par personne dans les zones non protégées.

22

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

La résolution d’équations et d’inéquations quadratiques

Section

2

Tout se transforme ! Dans le réservoir d’une centrale hydroélectrique, l’eau a une énergie potentielle élevée, qui est proportionnelle à la hauteur de la chute. Lorsque les vannes sont ouvertes, l’eau se met en mouvement et on considère que toute l’énergie potentielle de l’eau est transformée en énergie cinétique. Le courant de l’eau actionne la turbine qui entraîne la génératrice, produisant ainsi l’électricité. L’énergie potentielle (Ep) de l’eau du réservoir peut être représentée par l’équation Ep = mgh, où m est la masse de l’eau en kilogrammes, g, l’accélération gravitationnelle sur Terre (soit 9,8 m/s2), et h, la hauteur de la chute en mètres. Toute l’énergie potentielle est transformée en énergie cinétique (Ec ) pour faire tourner la turbine de la centrale. L’énergie cinétique est donnée par l’équation Ec = 12 mv2, où m est la masse de l’eau, en kilogrammes, et v, la vitesse de l’eau, en mètres par seconde.

L’énergie potentielle est l’énergie accumulée lorsqu’un objet est surélevé tandis que l’énergie cinétique est l’énergie associée à la vitesse.

Un litre d’eau a une masse de 1 kg.

Une centrale hydroélectrique Réservoir d’eau

Ligne à haute tension Barrage

Hauteur de la chute

Turbine

Vannes

Eau évacuée vers le cours d’eau

Une équipe d’un ournisseur d’électricité travaille sur les plans d’une nouvelle centrale. Son objecti est de maximiser la quantité d’énergie produite. À partir des données qui te sont ournies, propose à l’équipe deux modifcations qui permettraient à une centrale d’augmenter sa production d’énergie hydroélectrique. Sachant que la centrale Manic-5 est alimentée par le réservoir du barrage Daniel-Johnson, dont la hauteur de chute est de 141,8 m, donne un exemple numérique pour chacune de tes propositions. Environnement et consommation Bien que l’hydroélectricité soit considérée comme une source d’énergie renouvelable et propre, certains environnementalistes arment que l’inondation de vastes supercies par les réservoirs contribue à la détérioration de nombreux écosystèmes. Selon toi, peut-on produire de l’énergie en quantité susante sans causer de dommages à l’environnement ? Comment peut-on minimiser l’impact des installations hydroélectriques sur la aune et la fore ?

Section 2

La résolution d’équations et d’inéquations quadratiques

23

ACTIVITÉ d’exploration

1

Résolution d’équations quadratiques

Présentation à l’antenne Dans le cadre d’une exposition scientifque et technologique qui a lieu à leur école secondaire, Félix, Frédérique et Lou-James ont choisi de tenir un kiosque d’inormation sur les antennes paraboliques. Félix accueille les visiteurs en leur expliquant que les antennes paraboliques ont la orme d’une parabole de révolution, c’est-à-dire d’une parabole que l’on aurait ait pivoter autour de son axe de symétrie. Pour bien illustrer son propos, Félix se sert d’un rectangle de plastique transparent qu’il ait pivoter sur son axe de symétrie.

De son côté, Frédérique a représenté la coupe transversale d’une antenne de 2 m de hauteur dans le plan cartésien ci-dessous, où les graduations sont en mètres. Les extrémités de la coupe transversale sont représentées par les points (–10, 2) et (10, 2). La règle de la relation qui modélise la coupe transversale de l’antenne est f(x) = 0,02x2 pour x ∈ [ –10, 10 ].

y

A (–10, 2)

(10, 2)

x

B

24

Chapitre 5

À l’aide du graphique de Frédérique, estime la largeur d’une nouvelle antenne ayant la même courbure, mais une hauteur de 1,28 m.

À partir de la règle f(x) = 0,02x2, détermine l’équation qu’il aut résoudre pour trouver les coordonnées des deux extrémités de la coupe transversale de la nouvelle antenne.

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

C

Transorme l’équation trouvée en B sous la orme x2 = k, où k est un nombre réel, puis résous l’équation obtenue.

D

Reproduis le graphique de Frédérique et places-y les extrémités de la nouvelle antenne.

Lou-James a créé une maquette d’une antenne parabolique en trois dimensions. La coupe transversale de sa maquette peut être modélisée par la règle g(x) = 0,052x2, où x et g(x) sont donnés en centimètres. E

Sachant que la maquette a une hauteur de 12 cm, détermine sa largeur.

F

Représente graphiquement la coupe transversale de la maquette dans un plan cartésien et détermine le domaine pour lequel la onction g représente l’antenne.

G

Sur la maquette, combien de points sont situés à une hauteur de 10 cm ? Justife ta réponse.

H

Sur le plan tracé en F, combien de points sont situés à une hauteur de 10 cm ? Quels sont ces points ?

Fait divers Cette antenne, d’une envergure de 70 m, est située à Goldstone, en Californie. Elle fait partie d’une série d’antennes assurant la communication au cours des missions spatiales de la NASA. C’est à l’aide de cette série d’antennes que la NASA a assuré la communication pour la mission Apollo, alors que le premier homme a été envoyé sur la Lune. On trouve deux autres centres de communication semblables en Espagne et en Australie.

Ai-je bien compris ? 1. Résous les équations suivantes. a) 9x2 = 16 c) 4 = 1(3x)2 5

b) 8 = 1 (4x)2 3

5

e) 5,6(0,2x)2 = 1,4

(4 )

d) 18 = 2 1x

2

f) 7 (3x)2 = 126 8

2. Pour quelles valeurs de x trouve-t-on : a) f(x) = -288 si f(x) = -2(3x)2 ? b) g(x) = 22,5 si g(x) = 0,4x2 ? c) h(x) = -16 si h(x) =

(3x ) ?

-

2

Section 2

Activité d’exploration 1

25

ACTIVITÉ d’exploration

1 2

Résolution d’inéquations quadratiques à une variable

Environnement et consommation Alors qu’une sécheuse par culbutage consomme environ 2 390 wattheures, l’utilisation d’une corde à linge ne nécessite aucune énergie électrique et prolonge de surcroît la durée de vie des vêtements. En 2008, l’Ontario a légiféré pour empêcher l’interdiction de cordes à linge, souvent invoquée pour des raisons esthétiques. De quelles autres façons peut-on économiser de l’énergie lors des tâches ménagères ?

Un bon voisinage Catherine et Marie-Élène habitent des appartements au deuxième étage d’immeubles voisins situés à une distance de 4 m l’un de l’autre. Elles ont décidé d’installer une corde à linge entre les deux immeubles, qui sont séparés par une cour commune. Dans le plan cartésien ci-contre, on a représenté la corde à linge. Celle-ci est installée à 3,4 m du sol.

A

Chapitre 5

1 1

x

Détermine la règle de la relation qui modélise la corde à linge et défnis chacune des variables utilisées.

La propriétaire des immeubles veut planter un cornouiller, une espèce d’arbuste qui atteint une hauteur de 3,2 m à maturité, dans la cour commune sans que l’arbuste puisse dépasser la corde à linge. Elle s’interroge sur l’emplacement idéal pour le planter. B

Si la propriétaire plante le cornouiller à mi-chemin entre les deux immeubles, de combien dépassera-t-il le centre de la corde à linge à maturité ?

C

Parmi les inéquations suivantes, laquelle représente les zones où la propriétaire peut planter le cornouiller sans qu’il dépasse la corde à linge ? Justife ta réponse. 0,2 > 0,1x2

26

y

0,2 ≤ 0,1x2

0,2 < 0,1x2

0,2 ≥ 0,1x2

D

Transorme l’inéquation choisie en C en équation et résous-la.

E

Reproduis le graphique illustrant la situation et places-y les points déterminés en D. À partir de ces points, surligne les sections de la courbe pour lesquelles la contrainte de plantation est respectée.

F

À partir de la solution obtenue en E, détermine à quelle distance des immeubles la propriétaire peut planter le cornouiller sans que celui-ci, une ois à maturité, atteigne la corde à linge.

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

À l’occasion d’une ête organisée par la propriétaire, on installe une arche de ballons entre les deux immeubles. La orme de l’arche peut être modélisée par la relation dont la règle est g(x) = 34 x2 et dont l’origine est la même que celle de la relation modélisant la corde à linge. G

Représente graphiquement la relation qui modélise l’arche de ballons.

La propriétaire embauche, pour la ête, un clown marchant sur des échasses. Le clown atteint une hauteur de 2 m. H

Détermine l’inéquation représentant les endroits où le clown peut passer sous l’arche de ballons sans la toucher. Justife le choix de ton symbole d’inéquation.

I

Détermine à quelle distance des immeubles le clown peut passer sans rien toucher.

J

Représente par un intervalle toutes les valeurs de la variable x représentant les endroits où le clown peut passer sans toucher l’arche.

Point de repère Galilée Galilée (1564-1642) est un scientifique italien. Il a émis l’hypothèse qu’une corde suspendue à ses deux extrémités prend exactement la forme d’une parabole, ce qui n’est pas tout à fait exact. C’est dans les années 1690 que des mathématiciens ont trouvé l’équation modélisant une corde suspendue, démontrant que l’hypothèse de Galilée était très près de la réalité. Par ailleurs, Galilée est à l’origine d’avancements scientifiques majeurs : il perfectionne la lunette astronomique et s’intéresse, entre autres, au mouvement, à la gravité et à l’astronomie. Il a défendu toute sa vie l’idée que la Terre tourne autour du Soleil, malgré une opposition vive de l’Église à l’époque.

Ai-je bien compris ? 1. Soit la onction f(x) = 1 ( -3x)2. Détermine l’intervalle pour lequel : 4 a) f(x) ≤ 182,25 b) f(x) > 4 c) f(x) ≥ 8,1 2. Résous les inéquations suivantes. a) 8(0,5x)2 ≤ 200 b) 12 ≥ -2(-x)2

-

c) -324 > 1 (2x)2 4 d) 85,75 ≥ 7x2 Section 2

Activité d’exploration 2

27

Faire le point La résolution d’équations quadratiques La résolution d’une équation quadratique consiste à trouver la ou les valeurs de la variable x qui vérifent cette équation. Ces valeurs sont appelées les « solutions » de l’équation. Une équation quadratique peut posséder une ou deux solutions réelles, ou n’en posséder aucune. Voici les étapes à suivre pour résoudre une équation quadratique. Exemple : Soit l’équation 3(4x)2 = 192. Étape

Démarche

1. Transormer l’équation en une équation de la orme x2 = k, où k est une constante, à l’aide des lois des exposants.

3(4x)2 = 192 3 • 42 • x2 = 192 x2 = 1922 3•4 x2 = 4

2. Résoudre l’équation obtenue à l’étape 1 en déterminant les nombres qui, élevés au carré, donnent k.

x2 = 4 x = ± 4 = ±2 x = 2 ou x = –2, car 22 = 4 et (–2)2 = 4

Remarque : Selon le contexte, certaines solutions trouvées peuvent être rejetées.

La résolution d’inéquations quadratiques à une variable Résoudre une inéquation quadratique à une variable consiste à déterminer les valeurs de la variable qui vérifent l’inéquation. On utilise l’esquisse du graphique ainsi que les solutions de l’équation pour déterminer l’ensemble-solution de l’inéquation. Exemple : Pour résoudre l’inéquation 49 x2 > 16, on peut tracer le graphique dont la règle est f(x) = 49 x2 et interpréter le graphique pour déterminer les valeurs de x qui vérifent f(x) > 16.

Étape

1. Trouver les valeurs de x qui vérifent f(x) = 16.

2. Tracer l’esquisse du graphique de f. 3. Placer les points (-6, 16) et (6, 16) sur l’esquisse.

4 2 x = 16 9 9 x2 = 16 • 4 x2 = 36 Démarche

4. Interpréter le graphique pour déterminer l’ensemble-solution, c’est-à-dire les valeurs de la variable indépendante pour lesquelles f(x) > 16.

f(x)

f(x)

16

16

x = ± 36 x = ±6 x1 = -6 x2 = 6

6

−

6

x

6

x ∈ ] – ∞,

28

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

6

−

–6[

∪ ]6, + ∞[

x

Mise en pratique 1. Résous les équations quadratiques suivantes. a) 2x2 = 128 b) –3x2 = –27

2 c) 2x = 12 3 d) 5(3x)2 = 9

e) 1,04(0,9x)2 = 7 f) –3(2x)2 = 9

g) 210 = 7(0,3x)2 h) -22 = 1(0,5x)2 4

2. Jasmine veut trouver les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 12 dans l’équation

f(x) = -0,5x2. En aisant ses calculs, sa calculatrice lui donne un message d’erreur. À l’aide du graphique de la onction, explique à Jasmine pourquoi elle reçoit ce message d’erreur.

3. Romy prétend que toute équation quadratique a deux solutions ou qu’elle n’en a aucune. Es-tu d’accord avec cette afrmation ? Justife ta réponse.

4. La longueur d’un terrain de soccer rectangulaire, en mètres, est égale au double de sa largeur, en mètres. a) Quelle est la règle de la onction représentant la superfcie du terrain f(x) en onction de sa largeur x ? b) Quelle est la superfcie du terrain si sa longueur est de 30 m ? c) Quelles sont les dimensions du terrain si sa superfcie est de 312,5 m2 ? d) Quelle serait la règle de la réciproque de la onction trouvée en a ? e) Représente graphiquement la onction trouvée en a ainsi que la relation réciproque. f) Quelles sont les dimensions d’un terrain rectangulaire dont la longueur est égale au triple de sa largeur si sa superfcie est de 1 518,75 m2 ?

5. La photo ci-contre montre un type particulier de saut à l’élastique, appelé « Euro bungee ». Si l’on place un des élastiques dans un plan cartésien où le harnais est l’origine, on peut le défnir à l’aide de la relation f dont la règle est f(x) = 0,75x2, où x et f(x) sont donnés en mètres. Les extrémités de la gaine recouvrant l’élastique sont situées à 1,5 m au-dessus du harnais lorsque l’installation est au repos. a) Quelle est la f(x) distance entre les deux extrémités de la gaine ? b) L’élastique est lié aux supports à une hauteur de 1 10 m. Quel est x 1 le domaine de la onction dans ce contexte ?

Section 2

Mise en pratique

29

6. L’enseignant de Marianne lui demande de

( ) (51 x)

2 51 x

reprendre un exercice. Il afrme que sa réponse n’est pas complète. À l’aide d’un graphique approprié, explique l’erreur de Marianne et reais correctement l’exercice.

2

= 18

2

=9

1 x=3 5

x = 15

7. Résous les inéquations quadratiques suivantes. a) 4x2 ≤ 16

e) 1,2(0,75x)2 > 14

b) 2(3x)2 < 36

f) 45 < 5(3x)2

2 c) x ≥ 12

g) –180 ≥ –20(2x)2

d) –3(–4x)2 > –147

h) 4(1,5x)2 ≤ –8

3

8. Pour chaque graphique ci-dessous, détermine l’inéquation quadratique correspondant à la partie colorée en bleu. a)

c)

y

y

(–6, 12)

(6, 12)

(2, 2)

(–2, 2)

x

b)

x

d)

y

y

x

x

(–5, –5) ( 4, 48) –

30

Chapitre 5

–

(4, 48) –

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

(5, –5)

9. Christelle afrme que si, dans une inéquation quadratique, le symbole est > ou ≥ , alors l’ensemble-solution comporte nécessairement un symbole d’union (∪). Prouve qu’elle a tort à l’aide d’un contre-exemple.

10. Un commerçant vient de lancer sur le marché un jeu électronique miniature qui ait ureur. Le nombre de jeux vendus peut être représenté par la règle f(x) = 1,2x2, où x représente le temps, en semaines, depuis la sortie du jeu et f(x), le nombre de jeux vendus, en milliers. a) Durant combien de temps a-t-on été sous la barre des 100 000 jeux vendus ? b) Sous orme d’intervalle, représente la période de temps au cours de laquelle moins de 20 000 jeux avaient été vendus. c) Sous orme d’intervalle, représente la période de temps entre le moment où l’on a atteint 30 000 jeux vendus et le moment où ce nombre a triplé.

11. Émilie ait partie du comité qui prépare la journée « portes ouvertes » de son école secondaire. Elle présentera aux visiteurs l’une des activités qui se déroulent pendant l’heure du dîner : l’atelier d’origami. Pour attirer l’attention sur son kiosque, elle propose de aire un origami en ormat géant. La euille de papier dont elle a besoin au départ a la orme du triangle rectangle isocèle ci-dessous.

c

Environnement et consommation Les adolescents représentent le public cible d’un nombre grandissant de produits de consommation. Des publicités et certaines chaînes commerciales leur sont entièrement consacrées. Selon toi, pourquoi les entreprises qui produisent des biens de consommation misent-elles autant sur les adolescents ?

c

h

a) Trace le graphique représentant l’aire du triangle, en centimètres carrés, en onction de la mesure du côté c, en centimètres. b) Détermine l’inéquation qui représente la mesure des côtés c, de sorte que la euille de papier d’Émilie ait une aire d’au moins 100 cm2. c) Résous l’inéquation trouvée en b et donne ta réponse sous orme d’intervalle.

Section 2

Mise en pratique

31

12. Dans le cadre de leur cours de science et technologie, Vincent et Françoise ont glisser un chariot sur un rail. À l’aide d’un chronomètre, ils déterminent la distance parcourue par le chariot selon le temps. La table de valeurs suivante donne les résultats obtenus après plusieurs essais. Temps de parcours (s)

0

0,5

1

1,5

2

Distance parcourue (cm)

0

37,5

150

337,5

600

a) Détermine la règle représentant la distance d(t) parcourue, en centimètres, selon le temps de parcours t, en secondes. b) Le rail qu’utilisent Vincent et Françoise a une longueur de 8 m. Combien de temps aut-il au chariot pour parcourir le rail complet ? c) Combien de temps aut-il au chariot pour parcourir : 1) le premier mètre du rail ? 2) le dernier mètre du rail ? d) Détermine l’intervalle de temps pour lequel le chariot a parcouru moins de 5 m.

13. Alexe ait une randonnée sur le mont Hibou. Après avoir passé quelque temps au sommet, elle commence sa descente. L’altitude, en mètres, à laquelle elle se trouve selon le temps, en heures, peut être représentée par le graphique de la onction ayant pour règle f(x) = -129x2. a) À partir du début de la descente, après combien de temps Alexe sera-t-elle à une altitude qui est de 600 m inérieure à l’altitude du sommet du mont ? b) Détermine l’intervalle de temps pour lequel l’altitude d’Alexe sera à moins de 300 m de celle du sommet. c) Trace le graphique de la onction dont la règle est f(x) = -129x2, puis surligne la section de la courbe qui correspond à la descente d’Alexe. d) Selon toi, est-ce que le mont Hibou est plus incliné à sa base ou à son sommet ? Justife ta réponse.

32

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

Section

La fonction exponentielle

3

Une planète dans le vent En vue d’un congrès sur les énergies propres, monsieur Assem, un ingénieur spécialisé en environnement, prépare une conférence sur l’énergie éolienne. Voici une partie de sa présentation.

Autrefois transformée en énergie mécanique par les moulins à vent, l’énergie éolienne est maintenant transformée en électricité. Les éoliennes, développées par des ingénieurs, peuvent capter des vents très faibles tout en s’adaptant à la direction du vent. En croissance depuis les années 1990, les parcs éoliens s’étendent désormais sur tous les continents habités de la planète, que ce soit en mer, en milieu rural ou en milieu urbain. En 1999, la production mondiale d’électricité éolienne a atteint 27 térawattheures (TWh). Depuis, la production d’électricité éolienne double approximativement tous les trois ans.

Téra (T) est le préfxe qui signife « mille milliards » (1012).

En 2008, l’énergie éolienne a fourni 1, 5 % de la consommation mondiale d’électricité. Dans le cadre de sa conérence, monsieur Assem veut illustrer la croissance de l’énergie éolienne. Pour ce aire, il doit déterminer l’année où cette orme d’énergie ournira 25 % de l’électricité qui était consommée dans le monde en 2008, si le rythme de croissance de production d’énergie éolienne se maintient. Il te demande de déterminer cette inormation et de produire un graphique pour illustrer son propos. Environnement et consommation Le choix des emplacements des parcs éoliens fait l’objet d’un examen méticuleux. On préconise les endroits où les vents sont légers mais réguliers. Ces emplacements se trouvent parfois très près de sites touristiques ou directement sur ces sites, ce qui transforme considérablement le paysage. Crois-tu que le souci d’esthétisme devrait être pris en compte dans le développement de l’énergie éolienne ? Connais-tu d’autres inconvénients associés à ce type d’énergie ?

Section 3

La onction exponentielle

33

ACTIVITÉ d’exploration

1

• Fonction exponentielle dont la règle est de la forme f(x) = acbx • Rôle des paramètres

Les intérêts sont dits composés lorsque les intérêts de chaque période sont ajoutés au capital investi. Ce nouveau capital constitue le montant à partir duquel les intérêts seront calculés à la prochaine échéance.

Une question de paramètres Emy et Chantrel ont épargné chacune 200 $ qu’elles ont investi dans un compte en banque. L’institution d’Emy lui ore un taux d’intérêt de 3 % par année. Chantrel obtient aussi un taux d’intérêt annuel de 3 % mais, dans son compte, les intérêts sont composés trois ois par année. Tous les quatre mois, des intérêts sont donc versés dans le compte de Chantrel. Le solde S(t) du compte des deux amies selon le temps t écoulé, en années, peut être modélisé par des onctions exponentielles de la orme S(t) = a(c)bt. Emy calcule que chaque année le solde de son compte représentera 103 % du solde de l’année précédente, car il sera composé de 3 % d’intérêt et du montant versé initialement dans son compte (100 %). Afn d’estimer la valeur de son placement, elle construit une table de valeurs selon la règle suivante. Solde du compte après n années = 200 • 1,03 • 1,03 • … • 1,03

A

Construis une table de valeurs qui représente le solde du compte d’Emy selon le temps écoulé, en années, depuis son placement. Considère une période de 10 ans.

La règle de la onction exponentielle modélisant cette situation est SE(t) = 200(1,03)t. B

Compare cette règle avec celle que s’était donnée Emy pour construire sa table de valeurs. Sont-elles équivalentes ? Quel avantage présente la seconde règle ?

Environnement et consommation Une bonne stratégie d’épargne consiste à eectuer des dépôts périodiquement, aussi petits soient-ils. Pour aciliter l’adoption de cette stratégie par leur clientèle, les institutions fnancières ont mis en place plusieurs programmes. Par exemple, un montant peut être automatiquement transéré du compte courant à un compte réservé à l’épargne à une réquence déterminée par la personne qui détient le compte. Selon toi, pourquoi les institutions fnancières ont-elles avantage à inciter leur clientèle à adopter de bonnes stratégies d’épargne ? Crois-tu qu’il est important d’avoir des comptes distincts pour l’épargne et pour les opérations courantes ? Pourquoi ?

34

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

La règle de la fonction exponentielle modélisant le solde du compte de Chantrel est SC(t) = 200(1,01)3t. C

Reproduis et complète la table de valeurs de Chantrel en considérant une période de 10 ans. Temps écoulé depuis le début du placement (années) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Solde du compte de Chantrel ($) 200 206,06 212,30

D

Est-ce que le rapport du solde du compte pour une année au solde de l’année précédente est constant pour chacun des deux comptes ?

E

Selon toi, à partir des observations que tu as faites en D, de quelle façon peut-on reconnaître une fonction exponentielle à partir de sa table de valeurs ?

Le plan cartésien ci-contre représente trois fonctions exponentielles de la forme f(x) = acbx dans lesquelles la valeur de b est de 1.

y

f1(x) = 4(2)x f2(x) = 8(2)x

1 1

x

f3(x) = –4(2)x

F

À quoi correspond le paramètre a d’une fonction exponentielle ?

G

Quel effet a un paramètre a négatif sur la représentation graphique d’une fonction exponentielle ?

Le plan cartésien ci-contre représente trois autres fonctions exponentielles dont les règles ont les mêmes paramètres a et b.

y

g1(x) = 2(2)x g2(x) = 2(6)x

1 1

x

()

g3(x) = 2 1 2

x

Section 3

Activité d’exploration 1

35

H

En comparant les représentations graphiques et les règles des onctions qui leur sont associées, détermine l’eet de la base c dans une onction exponentielle.

I

Pour analyser l’eet du paramètre b, trace dans un même plan cartésien les représentations graphiques des trois onctions exponentielles dont les règles sont représentées ci-dessous. h2(x) = 2(2)2x

h1(x) = 2(2)x

h3(x) = 2(2)–x

J

Quel est l’eet du signe du paramètre b sur la représentation graphique de la onction exponentielle ?

K

Parmi les paramètres a et b, et la base c, lesquels ont un eet semblable sur la représentation graphique de la onction ? Justife ta réponse.

Ai-je bien compris ? 1. a) Parmi les tables de valeurs suivantes, détermine celles qui peuvent représenter des onctions exponentielles. 1

2

3

4

5

x

-2

-1

0

1

f1(x)

0,32

0,8

2

5

x

-1

0

1

2

f2(x)

2

0

2

4

x

0

1

2

3

f3(x)

0,8

60

36

21,6

x

-2

-1

0

1

f4(x)

-0,4

-1,3

-4

-12

x

-2

-1

0

1

f5(x)

14

9

4

-1

b) Trace le graphique des onctions déterminées en a. Dans chaque cas, indique l’ordonnée à l’origine de la onction. 2. Détermine les paramètres a et b, et la base c de chacune des onctions exponentielles ci-dessous. a) f1(x) = 2(0,5)3x c) f3(x) = 40,5x b) f2(x) = 1 (5)3x d) f4(x) = 700(1,08)x 4 36

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

ACTIVITÉ d’exploration

Plus ça va, moins ça vaut Certains objets se déprécient, c’est-à-dire qu’ils perdent de leur valeur au fl du temps. Voici l’évolution possible de la valeur d’un ordinateur, d’un rérigérateur et d’une voiture selon le nombre d’années écoulées depuis leur achat.

2

• Fonction exponentielle dont la règle est de la forme f(x) = acx • Recherche de la règle

Ordinateur

Réfrigérateur

Voiture

Années écoulées depuis l’achat

Valeur ($)

Années écoulées depuis l’achat

Valeur ($)

Années écoulées depuis l’achat

Valeur ($)

0

1 000

0

1 000

1

16 000

1

800

1

900

2

12 800

2

640

2

810

3

10 240

3

512

3

729

4

8 192

Ces trois situations peuvent être modélisées par une onction exponentielle ayant une règle de la orme f(x) = ac x. Toute règle de onction exponentielle de la orme f(x) = acbx peut s’exprimer sous la orme f(x) = acx. A

Vérife cette afrmation en montrant que la règle f(x) = 5 • 32x est équivalente à la règle g(x) = 5 • 9x.

B

À l’aide des propriétés des exposants, démontre que toute onction f(x) = ac1bx peut s’écrire sous la orme f(x) = ac2x, où c2 = c1b.

Simon détermine que le rérigérateur conserve 90 % de sa valeur chaque année à l’aide des rapports ci-contre.

900 = 810 = 729 = 0,9 1000 900 810

Il en déduit que la base c de la onction représentant la valeur du rérigérateur est 0,9. C

Quel pourcentage de leur valeur la voiture et l’ordinateur conserventils chaque année ? Détermine la base c de la onction qui modélise la valeur de ces objets.

Le paramètre a est donné par l’ordonnée à l’origine de la onction qui modélise cette situation. D

Détermine le paramètre a de la onction qui modélise la valeur : 1) du rérigérateur ; 2) de l’ordinateur.

Section 3

Activité d’exploration 2

37

E

À partir de tes réponses en C et en D, détermine la règle de la onction exponentielle de la orme f(x) = ac x modélisant la valeur : 1)

Asymptote Droite vers laquelle les points d’une courbe se rapprochent sans la toucher.

du rérigérateur ;

2)

de l’ordinateur.

F

Vérife les règles trouvées en E avec quelques couples des tables de valeurs qui leur correspondent.

G

Pourrais-tu trouver, de la même açon, la règle représentant la valeur de la voiture ? Si oui, trouve-la et vérife ta réponse à l’aide de la table de valeurs. Si non, pourquoi ?

H

Trace le graphique représentant l’évolution de la valeur de la voiture selon le temps, puis estime la valeur du paramètre a.

I

Pour obtenir une réponse plus précise, détermine un moyen algébrique d’obtenir la valeur du paramètre a en utilisant les données de la table de valeurs. La valeur trouvée valide-t-elle l’estimation que tu as aite en H ?

J

Détermine la règle représentant la valeur de la voiture avec le paramètre a trouvé en H. Combien la voiture vaudra-t-elle après 10 ans ?

K

Selon les modèles que tu viens de trouver, est-ce que l’ordinateur, le rérigérateur et la voiture vaudront un jour 0 $ ? Explique ta réponse à l’aide d’un exemple numérique et d’un graphique.

L

Quelle est l’asymptote des onctions représentant la valeur des trois objets dans le temps ?

Ai-je bien compris ? 1. Transorme les règles suivantes sous la orme f(x) = acx. a) f1(x) = 3(0,1)4x b) f2(x) = 2 c) f3(x) = -5(2)2x (4)2x 3

-

d) f4(x) = 6(4) x

2. Détermine la règle de chacune des onctions exponentielles représentées ci-dessous. a)

b)

x

0

1

2

3

f1(x)

200

250

312,50

390,625

x

1

2

3

4

f2(x)

420

294

205,8

144,06

c)

f3(x)

(0, 4)

(1, 2) (2, 1)

x

38

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

ACTIVITÉ d’exploration

Multiplier les bonnes bactéries Christopher est ingénieur chimiste. Il travaille pour une compagnie de fabrication de yogourt. Pour fabriquer du yogourt, il faut faire chauffer les ingrédients à une température précise qui permet la multiplication des bactéries transformant le lait en yogourt. Le temps durant lequel cette température est maintenue est appelé « période d’incubation ». Au moment de mélanger les ingrédients, il y a 90 millions de bactéries vivantes par millilitre de substances laitières.

3

Réciproque d’une fonction exponentielle

Voici la table de valeurs représentant la concentration de bactéries, en millions de bactéries par millilitre, selon la période d’incubation, en heures. Période d’incubation (h)

Concentration de bactéries (millions/mL)

0

90,000

1 2 3

92,250 94,556

Fait divers

96,920

A

Quel type de fonction permet de modéliser la concentration de bactéries selon la période d’incubation ? Détermine la règle de cette fonction.

B

Christopher s’intéresse à la période d’incubation nécessaire pour obtenir une certaine concentration de bactéries. Dans ce contexte, quelle est la variable : 1) indépendante ? 2) dépendante ?

C

Représente graphiquement la situation décrite en B.

D

Le graphique que tu as tracé en C représente-t-il une fonction ? Quel est le lien entre cette relation et la fonction dont tu as trouvé la règle en A ?

On a trouvé des traces de produits de lait fermenté comestible remontant à 3 000 ans avant notre ère. On suppose donc que la découverte du yogourt aurait eu lieu alors que l’on transportait le lait dans des poches fabriquées avec des peaux de chèvre, où de bonnes bactéries se trouvaient.

Pour obtenir la consistance du yogourt, on doit en arriver à une concentration de 100 millions de bactéries par millilitre de substances laitières. E

Estime, à l’aide de ton graphique, la période d’incubation nécessaire pour fabriquer le yogourt.

Section 3

Activité d’exploration 3

39

La multiplication de bactéries se ait par division cellulaire. Dans des conditions optimales de température, de milieu et d’humidité, chaque bactérie mère se sépare en deux bactéries flles, qui se sépareront à leur tour en deux, etc. On peut représenter par f(x) = 2x le nombre de bactéries contenues dans un milieu propice selon le temps x, en heures, en supposant que l’on a au départ une seule bactérie et que les séparations s’eectuent toutes les heures. La réciproque d’une – onction est notée « f 1 » lorsqu’il s’agit aussi d’une onction.

L’expression log2 x se lit « log en base deux de x ».

F

Dans un plan cartésien dont le pas de graduation est de une unité, trace le graphique de la onction f pour x ∈ [-3, 3] ainsi que de sa réciproque f 1. Que remarques-tu ?

G

Détermine le domaine de la onction réciproque en tenant compte du contexte. Que représente le premier point de ce domaine ?

La onction réciproque d’une onction exponentielle est nommée « onction – logarithmique ». La règle de la onction réciproque tracée en F est f 1(x) = log2 x, où 2 est la base de la onction. H

Observe la base de la onction exponentielle et celle de sa relation réciproque. Que remarques-tu ?

I

Cette table de valeurs donne les accroissements pour la onction exponentielle f. Construis la table – de valeurs de f 1 et ajoutes-y les accroissements. Que remarques-tu ?

J

+1 +1 +1

x

f(x)

-1

1 2

0 1 2

1 2 4

32 32 32

Quelles sont les propriétés de la onction logarithmique ? Pour les trouver, ais l’analyse complète du graphique de la onction f 1 que tu as tracé en F.

Ai-je bien compris ? 1. a) Trace le graphique de la onction réciproque associée aux onctions exponentielles représentées ci-dessous. x

-2

-1

0

1

2

f1(x)

0,027

0,16

1

6

36

-2

-1

0

1

2

-1

-1

-1

-2

-4

1

2

x f2(x)

4

2

1x

3

f3(x) = 10 • 2

4

f4(x) = 4 • 2

1

x

b) Quelle est la base des onctions logarithmiques tracées en a ? 2. Détermine le domaine et l’image de chacune des onctions logarithmiques représentées ci-dessous. a)

b)

f1(x)

c)

f2(x)

d)

f3(x)

f4(x)

1 1

x

1

40

Chapitre 5

1

1

1 x

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

1 x

1 x

Faire le point La fonction exponentielle La fonction exponentielle est une fonction dont la variable indépendante se trouve en exposant dans la règle qui la décrit. La représentation graphique d’une fonction exponentielle dont la règle est de la forme f(x) = acbx (où a ≠ 0, b ≠ 0, c ≥ 0 et c ≠ 1) est une courbe passant par le point (0, a) et dont l’asymptote est l’axe des abscisses. Exemple : g(x) = 100(1,1) 2x est la règle d’une fonction exponentielle dont la valeur initiale est 100, le paramètre b est 2 et la base est 1,1. Règle

Table de valeurs

Représentation graphique f(x)

f(x) = 3

()

1 2x 2

+1 +1 +1

x

f(x)

0

3

1

1 4

2

1 16

3

1 64

4

×

12 2

×

12 2

×

12 2

3 2 1

0

1

2

3

4

x

Remarque : Pour chaque augmentation d’une unité en abscisse, on multiplie l’ordonnée par la base affectée de l’exposant b de la fonction exponentielle.

Une autre forme de la règle de la fonction exponentielle Les fonctions exponentielles de la forme f(x) = ac bx peuvent aussi s’écrire sous la forme f(x) = ac x. Les lois des exposants permettent d’établir cette équivalence. Exemple : f(x) = 10(3)2x = 10(32) = 10(9)x x

Section 3

Faire le point

41

Le rôle des paramètres de la fonction exponentielle Le rôle du paramètre a Le tableau suivant décrit l’infuence du paramètre a sur le graphique d’une onction exponentielle. a> 0 La courbe est strictement positive.

a< 0 La courbe est strictement négative. y

y

1

f(x) = 1(2) x

1

g(x) = 3(2) x

1 x

1

f(x) = –1(2) x x

g(x) = –3(2) x –

h(x) = 1 (2) x 3

h(x) = 1 (2) x 3

Remarque : L’ordonnée à l’origine du graphique est le point ayant pour coordonnées (0, a).

Le rôle de la base c c>1

00

a b

0

0 a

m

n

Puissance d’un quotient :

() a b

m

=

am , où a > 0 et b > 0 bm

Puissance d’un produit : (a • b) = am • bm, où a > 0 et b > 0 m

Puissance d’un exposant ractionnaire : n

m

am = an , sau si n est pair et que am < 0

A

Illustre chacune de ces lois ainsi que la propriété des puissances d’exposants ractionnaires à l’aide d’un exemple numérique.

B

Complète le tableau afrmation-justifcation ci-dessous, sachant que a > 0 et b > 0. Afrmation

Justifcation

1.

a

•

b=a

2.

a

•

b = (a • b)2

3.

a

•

b = a•b

•

b

Par la propriété des puissances d’exposants ractionnaires.

1

C

Utilise la propriété démontrée en B pour réduire 12.

D

Complète le tableau afrmation-justifcation ci-dessous, sachant que a > 0. Afrmation

52

Chapitre 5

1.

( a) 2 = (

2.

( a) 2 =

3.

( a) 2 = a

)

1 2 a2

Justifcation Par la propriété des puissances d’exposants ractionnaires.

Puisque a1 = a.

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

E

a

Démontre la propriété des radicaux = b à l’aide d’un exemple numérique.

a b (a > 0 et b > 0) et illustre-la

Les radicaux sont rarement des nombres entiers. Ainsi, les calculs comportant des radicaux étaient difciles à eectuer avant l’apparition de la calculatrice. C’est pourquoi les mathématiciens ont convenu de méthodes pour simplifer ces calculs. Une de ces méthodes est la rationalisation du dénominateur, dont voici un exemple. 2 = 2 • 3 3 3 3

Le terme « radical » réère à toutes les racines possibles : racines carrée, cubique, quatrième, etc. Dans ce manuel, lorsque l’indice du radical n’est pas spécifé, il est sousentendu qu’il s’agit d’une racine carrée.

2 = 2 32 3 ( 3) 2 = 2 3 3 3 3

F

Le ait de multiplier un seul des membres de l’égalité par modife-t-il 3 l’égalité ? Pourquoi ?

G

Justife chacune des étapes de l’exemple ci-dessus.

H

En arrondissant 3 à 1,732, et sans utiliser ta calculatrice, eectue les divisions suivantes. 2 3

2 3 3

Laquelle des deux notations simplife la division ? Justife ta réponse. I

Complète la rationalisation suivante. 4 = 4 • 7 7 4 = 7

Ai-je bien compris ? 1. À l’aide des propriétés des radicaux, simplife les expressions suivantes. a) 27

b)

72 8

c) 2 • 8

d) 3 • 27

e) 5 • 20 8 2

2. Rationalise les expressions suivantes. a) 5

2

b) 7

7

c) 8

3

d)

3 12

e) a

b

Section 4

Activité d’exploration 1

53

ACTIVITÉ d’exploration

1 2

Résolution d’équations et d’inéquations exponentielles

L’invasion Grâce aux ordinateurs et à Internet, des personnes des quatre coins du monde peuvent communiquer instantanément. Cependant, les réseaux inormatiques, de plus en plus nombreux et perormants, sont susceptibles de transmettre des virus d’un ordinateur à l’autre. Un nouveau virus est programmé pour inecter un ordinateur à minuit. On estime que chaque jour, chaque ordinateur atteint en inectera 10 autres. A

Quel type de onction permet de modéliser l’évolution du nombre d’ordinateurs inectés quotidiennement selon le temps écoulé, en jours ? Donne la règle de cette onction.

B

Combien d’ordinateurs auront été atteints : 1)

durant la première journée ?

2)

durant la quatrième journée ?

Une équipe de spécialistes en sécurité inormatique trouve comment neutraliser le virus. Un million d’ordinateurs ont été atteints au cours de cette journée. C

Quelle équation permet de déterminer le temps qu’il a allu pour neutraliser le virus ?

D

Peut-on isoler x dans cette équation ? Si oui, ais-le. Si non, indique pourquoi.

E

Reproduis et poursuis la table de valeurs des puissances de 10 suivante jusqu’à l’exposant 10. Exposant

Puissance de 10

0

1

1

10

2

100

F

Détermine l’exposant qui, aecté à la base 10, donne une puissance de un million.

G

Dans l’équation déterminée en C, remplace un million par la base 10 aectée de l’exposant trouvé en F. Peut-on déduire la valeur de la variable x ? Justife ta réponse.

L’équipe repère un deuxième virus. La propagation de ce virus peut être modélisée par la onction exponentielle f(x) = 10 • 2x, où x représente le temps, en jours, depuis l’apparition du virus et f(x), le nombre d’ordinateurs inectés quotidiennement. H

54

Chapitre 5

Explique dans tes mots la signifcation du paramètre a et de la base c de la onction exponentielle f dans le contexte.

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

I

Quelle équation permet de déterminer le temps écoulé pour que 1 280 ordinateurs soient infectés en une journée ? Isole la base et son exposant dans cette équation.

J

Peux-tu utiliser la table de valeurs des puissances de 10 pour résoudre l’équation déterminée en I ? Explique ton raisonnement.

K

Fait divers

Construis une table de valeurs qui te permettra d’exprimer chaque membre de l’équation déterminée en I dans une même base, puis résous l’équation.

L’équipe de spécialistes en sécurité informatique a déterminé que lorsque moins de 10 240 ordinateurs sont infectés en une journée avant que le virus ne soit neutralisé, on considère ce virus comme rapidement contrôlé. L

Détermine l’inéquation à résoudre pour trouver l’intervalle de temps durant lequel le deuxième virus serait rapidement contrôlé.

M Représente graphiquement l’évolution du nombre d’ordinateurs infectés quotidiennement par le deuxième virus. N

Résous l’équation associée à l’inéquation déterminée en L, puis place le point obtenu sur ta représentation graphique.

O

En interprétant ton graphique, donne sous forme d’intervalle le temps disponible pour contrôler rapidement le deuxième virus.

Trois inormaticiens s’adonnant à un jeu sont à l’origine des tout premiers virus. Le déf consistait à produire le programme se multipliant le plus rapidement tout en limitant l’expansion des programmes adverses. En 1986, un important réseau inormatique précurseur d’Internet a été atteint par un virus. Ses créateurs y avaient laissé leurs coordonnées pour aire connaître leurs talents en inormatique !

Ai-je bien compris ? 1. Résous les équations et les inéquations suivantes. 1 a) 512 = 2x b) 0,125 = 2x c) 100 = 10x d) 27 ≤ 3x

e) 4x ≥ 64

2. Détermine la ou les valeurs de x telles que : 3 d) f4(x) > 16 a) f1(x) = 1 024 pour f1(x) = 4 • 2x pour f4(x) = 3 • 2x b) f2(x) = 300 000 pour f2(x) = 3 • 10x

e) f5(x) < 15 625 pour f5(x) = 52x

1 c) f3(x) = 16 pour f3(x) = 3 • 2x 3

2 f) f6(x) ≤ 81 pour f6(x) = 2 1 3

()

x

Section 4

Activité d’exploration 2

55

ACTIVITÉ d’exploration

1 3

• Équivalence entre les écritures exponentielle et logarithmique • Loi du changement de base • Résolution d’équations et d’inéquations exponentielles

Alerte générale ! Lorsqu’il y a un déversement pétrolier dans l’océan, le temps presse ! Les produits toxiques, aidés par les vents et les courants marins, s’étendent rapidement à la surace de l’eau. Dans certains cas, on peut retirer le pétrole à l’aide d’outils mécaniques ou de açon manuelle. Dans d’autres cas, l’utilisation de produits chimiques s’avère nécessaire pour accélérer la dégradation des produits pétroliers. Cela permet de réduire les impacts de la catastrophe sur l’environnement. Après un important déversement pétrolier dans l’océan Atlantique, une équipe de secours s’active afn de minimiser les impacts de l’accident sur le milieu. Elle utilise un produit chimique pour aire diminuer la quantité de pétrole dans l’eau. La superfcie s(t) de la nappe de pétrole, en kilomètres carrés, en onction du temps t écoulé depuis le déversement, en jours, peut être associée à la règle s(t) = 2 000 • ( 34 )t. A

Que représentent le paramètre a et la base c dans le contexte ?

Lorsque la nappe de pétrole atteindra une superfcie de 100 km2, l’équipe de secours pourra utiliser un autre produit chimique plus efcace sur de petites superfcies. B

Choisis, parmi les équations suivantes, celle qui permet de déterminer après combien de jours l’utilisation du deuxième produit sera possible. 1

C

Exposant qu’il aut attribuer à une base pour obtenir une puissance donnée.

Par convention, un logarithme pour lequel on n’inscrit pas la base est nécessairement en base 10.

Chapitre 5

x

2

()

1 3 = 4 20

x

3

(3 )

20 = 4

x

4

(3 )

2 000 = 4

x

Construis la table de valeurs des puissances de 34 . Arrives-tu à exprimer le membre de gauche de l’équation choisie en B comme une puissance de 34 ? Si oui, quelle est cette puissance ? Si non, détermine entre quelles valeurs elle devrait se situer.

La relation réciproque de la onction exponentielle, la onction logarithmique, permet d’utiliser les logarithmes pour résoudre ce type d’équation.

Logarithme

56

(3 )

100 = 4

D

Dans l’équation choisie en B, détermine la base, l’exposant et la puissance.

E

Sachant que 32 = 9 ⇔ log3 9 = 2 est une équivalence d’écriture entre la orme exponentielle et la orme logarithmique, transorme l’équation choisie en B sous la orme logarithmique.

F

En comparant les ormes exponentielle et logarithmique et à l’aide de ta réponse en D, complète l’énoncé suivant : Dans l’expression sous la orme logarithmique log3 9 = 2, l’exposant qu’il aut attribuer à la 3 pour obtenir la

G

est 9.

À l’aide de ta calculatrice, calcule log 100. Que signife la réponse que tu obtiens ?

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

La calculatrice permet seulement de calculer des logarithmes en base 10. Afn d’utiliser la calculatrice pour calculer des logarithmes, il est donc nécessaire de transormer une expression logarithmique en une expression en base 10. La loi du changement de base ci-dessous permet d’eectuer cette manipulation. b logc b = log log c

H

À l’aide de la loi du changement de base et de ta calculatrice, détermine la solution de log3 9. Comment peux-tu vérifer ta réponse ?

I

Calcule le nombre de jours nécessaires avant que l’équipe de secours puisse utiliser le deuxième produit chimique. Est-ce que ta réponse valide l’estimation que tu as aite en C ?

Afn de disposer d’un peu de temps pour organiser la deuxième étape du traitement, l’équipe de secours doit déterminer l’intervalle de temps à partir duquel la superfcie de la nappe de pétrole sera plus petite que 200 km2. J

Détermine l’inéquation qui représente cette situation, puis représente graphiquement la onction qui décrit l’évolution de la superfcie de la nappe de pétrole en onction du temps écoulé depuis le déversement.

K

Résous l’équation associée à l’inéquation déterminée en J, puis place le point obtenu sur ta représentation graphique.

L

En interprétant ton graphique, donne l’intervalle des valeurs de x pour lesquelles la nappe de pétrole aura une superfcie de moins de 200 km2.

Environnement et consommation Chaque année, on dénombre jusqu’à 14 000 déversements de produits pétroliers dans le monde. Bien que la plupart soient rapidement contrôlés et nettoyés, ces millions de litres déversés dans l’océan ne sont pas sans conséquence. Nomme deux conséquences néfastes d’un déversement pétrolier sur l’environnement.

La calculatrice à afchage graphique permet de représenter rapidement le graphique d’une onction exponentielle. Pour en savoir plus, consulte la page 265 de ce manuel.

Ai-je bien compris ? 1. Transorme les expressions exponentielles suivantes sous la orme logarithmique. a) 54 = 625 –2

b) 4

1 = 16

c) 6x = 216

e) 24x = 2 800

( ) = 2 187

1 1 d) 10 y = 1000 f) 3

x

2. À l’aide de la loi du changement de base et de ta calculatrice, résous les équations et les inéquations suivantes. Arrondis tes réponses au dix-millième près. 1 a) 5x = 100 c) 0,2x = 20 e) 4x > 32 b) 5(2)x = 55 d) 32x < 64

( ) ≥ 216 125

f) 5 6

x

Section 4

Activité d’exploration 3

57

Faire le point Des propriétés des radicaux À partir des lois des exposants, il est possible de déduire quelques propriétés des radicaux. Propriété

( a)2 = a

(a ≥ 0)

Exemples

( 3)2 = 3

Le carré d’un radical est égal au radicande.

a • b = a • b (a ≥ 0, b ≥ 0) Le produit des radicaux de deux acteurs est égal au radical du produit des acteurs. Remarque : Il est possible d’utiliser cette propriété dans le sens inverse pour réduire le radicande. Il suft d’écrire le radicande sous la orme d’un produit de deux acteurs, dont l’un est un carré parait, puis d’appliquer cette propriété. a = b

a b

(a ≥ 0, b > 0)

Le quotient des radicaux de deux acteurs est égal au radical du quotient des acteurs.

1)

8=

2• 3

16 = 4 6 a4 =

2)

2a •

3a =

3)

32 =

16 • 2 =

4)

5

18 a =

1)

27 = 3

2)

a = 4

16 •

4

9 a • 2a =

27 = 3

6•

a4 =

6 • a2

2=4 2 9 a4 •

2a = 3a2 •

2a

9=3

a a = 2 4

Point de repère Les calculs sur les radicaux Sur une tablette d’argile babylonienne datant du xviiie siècle avant notre ère, on a découvert un carré dans lequel étaient tracées ses diagonales. Sur une des diagonales se trouvait une valeur approximative de 2, ce qui laisse supposer que les calculs sur les radicaux remontent aussi loin que cette ère. La découverte de textes anciens a permis d’établir que la racine carrée était aussi connue des Indiens au viiie siècle et des Chinois au iie siècle avant notre ère. Les Grecs auraient, quant à eux, prouvé au e v siècle avant notre ère que 2 est un nombre irrationnel en utilisant une preuve par l’absurde, qui est une méthode de preuve encore utilisée aujourd’hui. Voici un exemple de preuve par l’absurde : supposons qu’on souhaite prouver qu’il n’existe pas de plus grand nombre entier positif. Afin d’utiliser la méthode de preuve par l’absurde, on doit d’abord supposer le contraire de notre affirmation, soit qu’il existe un plus grand nombre entier positif, noté x. Or, puisque x + 1 est aussi un entier et qu’il est supérieur à x, il y a contradiction. On peut donc déduire qu’il n’existe pas de plus grand entier positif.

58

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

La rationalisation du dénominateur Pour simplifer des expressions arithmétiques et algébriques, il est parois utile de rationaliser le dénominateur. Pour ce aire, on multiplie un quotient par une unité, qui est exprimée comme le rapport du dénominateur de l’expression de départ à ce même dénominateur. Démarche a = a • b b

Exemples

b b = a , où b b b

≠0

1)

1 = 1 • 2 2

2 2 = 2 2

2)

2 = 2 • 3 3

2 3 3 = 3 3

3)

a = a • 5 5

5 = 5

5• a 5

Remarque : Ce type de rationalisation est utile lorsque le dénominateur ne comporte qu’un terme.

L’équivalence entre l’écriture exponentielle et l’écriture logarithmique L’équivalence suivante permet de passer d’une orme d’écriture à une autre. Forme exponentielle Exposant

Forme logarithmique Base Puissance

c a = b ⇔ log c b = a Base

Puissance

Logarithme

Dans ces expressions, b > 0, c > 0 et c ≠ 1.

Un logarithme est l’exposant qu’on doit attribuer à une base pour obtenir une puissance. Dans l’équivalence 23 = 8 ⇔ log2 8 = 3, 3 est l’exposant qu’on doit attribuer à la base 2 pour obtenir la puissance 8. On peut aussi dire que 3 est le logarithme de 8 en base 2. Remarque : Sous la orme logarithmique, on considère que la base utilisée est 10 si elle n’est pas précisée.

La loi du changement de base La touche logarithme, « log », d’une calculatrice scientifque permet de calculer des logarithmes en base 10. Afn de calculer des logarithmes qui ne sont pas écrits en base 10, il est possible d’utiliser la loi du changement de base. Loi du changement de base logc b = Exemple : log2 8 =

log b log c

Dans cette égalité, b > 0, c > 0 et c ≠ 1.

log 8 =3 log 2 Section 4

Faire le point

59

La résolution d’équations ou d’inéquations exponentielles La résolution d’une équation exponentielle ou d’une inéquation exponentielle consiste à trouver la valeur d’un exposant. Voici deux méthodes qui permettent de résoudre une équation exponentielle ou une inéquation exponentielle.

Méthode 1 : Exprimer chacun des membres de l’équation ou de l’inéquation dans une même base 1) La résolution d’une équation exponentielle Exemple : Résoudre l’équation 3(2)0,5x = 12. Étape

Démarche 0,5x

1. Isoler la base aectée de son exposant dans l’équation.

= 12 3(2) 20,5x = 4

2. Exprimer chacun des membres de l’équation dans une même base.

20,5x = 22

3. La base des deux membres étant la même, on peut alors conclure à l’égalité pour les exposants.

0,5x = 2

4. Résoudre l’équation.

x=4

2) La résolution d’une inéquation exponentielle On peut se servir de la méthode 1 et de l’esquisse du graphique pour déterminer l’ensemble-solution d’une inéquation exponentielle. Exemple : Soit la onction f(x) = 81x. Trouve les valeurs de x pour lesquelles f(x) ≥ 243.

Étape

1. Trouver la valeur de x qui vérife l’équation associée à l’inéquation.

81x = 243

2. Tracer l’esquisse du graphique de f.

(5

4. Interpréter le graphique pour déterminer l’ensemble-solution, c’est-à-dire les valeurs de la variable indépendante qui vérifent l’inéquation.

)

3. Placer le point 4 , 243 sur l’esquisse. f(x)

f(x)

243

243

(34)x = 35 34x = 35 4x = 5 Démarche

x=5 4

0

5 4

x

0

x≥5 4

60

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

5 4

x

Méthode 2 : Utiliser la loi du changement de base 1) La résolution d’une équation exponentielle Exemple : Résoudre l’équation 2 • 4x = 100. Étape

Démarche

1. Isoler la base de l’équation.

4x = 50

2. Utiliser l’équivalence entre l’écriture exponentielle et l’écriture logarithmique afn de transormer l’équation.

4x = 50 ⇔ x = log4 50

3. Utiliser la loi du changement de base pour résoudre l’équation.

x=

log 50 ≈ 2,821 93 log 4

2) La résolution d’une inéquation exponentielle On peut se servir de la méthode 2 et de l’esquisse du graphique pour déterminer l’ensemble-solution d’une inéquation exponentielle. Exemple : Soit la onction f(x) = 6(5)2x. Trouve les valeurs de x pour lesquelles f(x) ≤ 144.

Étape

1. Trouver la valeur de x qui vérife l’équation associée à l’inéquation.

6(5)2x = 144

2. Tracer l’esquisse du graphique de f.

Pièges et astuces Bien que la méthode de la loi du changement de base onctionne pour toutes les équations et les inéquations, il est souvent plus rapide, lorsque c’est possible, de les résoudre en ramenant les deux membres de l’équation dans une même base.

4. Interpréter le graphique pour déterminer l’ensemble-solution, c’est-à-dire les valeurs de la variable indépendante qui vérifent l’inéquation.

3. Placer le point (0,987, 144) sur l’esquisse. f(x)

f(x)

144

144

52x = 24 ⇔ 2x = log5 24 log 24

2x = log 5

log 24

Démarche

x = 2log 5

x ≈ 0,987

0,987

x

x

0,987

x ≤ 0,987

Section 4

Faire le point

61

Mise en pratique 1. Calcule la valeur des expressions suivantes en utilisant les lois des exposants et les propriétés des radicaux. a)

( 5)2

d) 4 9

g)

b) 3 • 27

e)

( 7)4

h)

18 2

f)

(2 8 )2

i)

c)

( 916) 5 k) ( ) 6

( 2 )2 3 8 11 4 3

j)

( )

( ) 3 7

2

9

3

3

2

(4 16 • 4 36)2

l)

2. Rationalise le dénominateur des expressions suivantes. a) 3 2 b)

c)

2 3 7

1 72 e) 2 2 f) 4 a 8 3

5 3 5 2

d)

3. Simplife les expressions suivantes et exprime-les à l’aide d’exposants positis. a) b)

(

12a3)

c)

a3 a

d)

4

( ) a b3

4

e)

(

a4b6) •

f)

( c3d 4 )-2 cd5

3

(

3a7 )

2

-

a8b4

1

4. Explique pourquoi an = n a n’est pas valide si n est pair et a est plus petit que zéro.

5. Résous les équations exponentielles suivantes en exprimant chacun des membres dans une même base. a) 2x = 128

d) 53x = 1

b) 32x = 27

(3)

c) 5x = 1

125

2x g) 6 5 = 1

36

x

e) 2 = 8

h) –4(3)3x = –36

27

() 2 2

x i) 3 1 = 48

x 3

f) 4 = 64

(4) = 5 k) 4( 2 ) = 64 3 81 l) 12( 1 ) = 1 6 18 j) 5 3

x

–

6. Soit les règles suivantes. 1

f1(x) = 15 • 3x

2

f2(x) = 5 • 9x

3

f3(x) = 5 •

Pour chacune d’elles, détermine la ou les valeurs de x telles que : a) f(x) = 5

81

62

Chapitre 5

b) f(x) = 15

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

x 2

c) f(x) ≥ 45

2x

(13)

x

–

7. Josiane veut résoudre l’équation exponentielle 2x = 0,0625. Elle n’arrive pas à exprimer le membre de droite comme une puissance de 2. Voici la table de valeurs qu’elle a construite pour y arriver.

x

0

1

2

3

2x

1

2

4

8

Explique à Josiane l’erreur de raisonnement qu’elle a commise et aide-la à résoudre son équation.

8. Écris chacune des expressions suivantes sous la forme logarithmique.

(2)

5

a) 63 = 216

c) 4 2 = 32

e) 1

b) 28 = 256

d) 3x = 81

f) c a = b

4

= 1

16

9. Écris chacune des expressions suivantes sous la forme exponentielle. a) x = log9 729

c) y = log6 18

e) 2y = log4 30

b) x = log3 20

d) 3x = log2 64

f) x = log5 15 2

10. Calcule la valeur de chacun des logarithmes suivants. a) log7 49

c) log 0,01

e) 2log4 13

b) log2 64

d) log3 8

f) 2 log 4 8 3

5

11. Résous les équations exponentielles suivantes en utilisant la loi du changement de base. a) 3x = 6

c) 72 = 60

b) 23x = 9

d) 3

x

(4)

2x

e) 100(1,08)3x = 500

= 120

–

5(6)

f)

–3x

2

= –25

12. Résous les inéquations exponentielles suivantes à l’aide de la méthode la plus appropriée. a) 2x ≥ 256

c) 102x < 0,001

b) 3x ≤ 13

d) 54 ≤ 20

x

e) 8(4)x > 56 f) 800(0,6)2x ≥ 40

13. Soit les fonctions suivantes. 1

f(x) = 23x

2

g(x) = 1 (3)x 2

a) Représente graphiquement chacune de ces fonctions et sa réciproque. b) Détermine la règle de la réciproque de chacune de ces fonctions en utilisant l’équivalence d’écriture. c) Calcule la valeur de : –1 –1 1) f(4) 2) g(3) 3) f (64) 4) g (121,5)

Section 4

Mise en pratique

63

14. Soit la onction f(x) = 2,59(1,02)x, représentant le prix, en dollars, d’un pain blanc tranché en onction du nombre d’années écoulées depuis 2009. Cette règle permet de modéliser le prix d’un pain blanc tranché depuis 2001. a) Selon cette règle, quelle est l’augmentation annuelle du prix d’un pain ? b) Si la tendance se maintient, combien coûtera un pain blanc tranché : dans quatre ans ? 2) en 2017 ? c) Combien coûtait un pain blanc tranché en 2005 ? d) Si la tendance se maintient, en quelle année un pain blanc tranché coûtera-t-il 3,22 $ ? 1)

15. Une voiture perd 20 % de sa valeur chaque année. a) Si elle vaut 18 000 $ à l’achat, combien vaudra-t-elle après six ans ? b) À partir de combien de temps la voiture vaudra-t-elle moins de la moitié de sa valeur initiale ?

16. La population de Minville croît à un rythme annuel moyen de 3 % depuis les 20 dernières années. En 2009, il y avait 120 000 habitants dans cette ville. Si la tendance se maintient : a) combien y aura-t-il d’habitants à Minville en 2020 ? b) en quelle année la population de Minville sera-t-elle de 3 213 600 habitants ?

17. La orêt amazonienne est située principalement sur le territoire du Brésil. Des gens y pratiquent la déorestation en vue d’augmenter la superfcie du territoire agricole. On a constaté en 2008 que 627 espèces étaient menacées de disparition au Brésil à cause de la déorestation. Ce nombre avait triplé en 15 ans. a) En supposant que le rythme de déorestation se maintienne, détermine la règle représentant l’évolution du nombre d’espèces menacées selon le temps. b) À partir de la règle trouvée en a, détermine le nombre d’espèces qui étaient menacées en 2003. c) Si la tendance se maintient, en quelle année y aura-t-il 1 881 espèces menacées au Brésil ?

Fait divers Le lion tamarin est une espèce dont la survie est menacée. La population était de 200 individus vers 1970. Comme le panda l’est pour la Chine, ce petit singe est l’emblème de la protection de la nature au Brésil où 627 espèces d’animaux sont menacées.

64

Chapitre 5

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

18. Une substance contient au départ 100 bactéries. Le nombre de bactéries triple deux ois toutes les heures. a) Quelle est la règle de la onction représentant le nombre de bactéries n(t) en onction du temps t écoulé, en heures ? b) Combien y aura-t-il de bactéries dans la substance après 2,5 heures ? c) Après combien de temps le nombre de bactéries dans la substance sera-t-il de 1 000 000 ? d) Après combien de temps le nombre de bactéries dans la substance sera-t-il supérieur à 50 000 000 ?

19. La règle de la onction exponentielle suivante décrit le capital accumulé c(t) en

onction du nombre d’années t : c(t) = c0(1 + ni )nt, où c0 est le capital investi à un taux d’intérêt annuel i composé n ois par année. a) Stéphane place 1 000 $ à un taux d’intérêt annuel de 6 % composé deux ois par année. Quelle règle décrit le capital accumulé par Stéphane en onction du nombre d’années d’investissement ? b) Combien d’argent Stéphane aura-t-il accumulé après 10 ans ? c) Combien d’argent Stéphane aurait-il accumulé après 10 ans si les intérêts étaient composés tous les mois au lieu de deux ois par année ? d) Émets une conjecture sur le capital accumulé par Stéphane en onction du nombre de ois que les intérêts sont composés annuellement. e) Après combien de temps le capital investi aura-t-il plus que doublé si les intérêts sont composés annuellement ? f) Justine a placé un montant d’argent pour 5 ans à un taux d’intérêt fxe de 12 % annuellement, avec des intérêts composés tous les deux mois. Si son capital accumulé à l’échéance est de 9 056,81 $, combien a-t-elle placé au départ ?

20. En France, les recettes de la vente de produits biologiques augmentent de 9,5 % par année depuis 1999. En 2005, les revenus associés à la vente de produits biologiques représentaient 1,6 milliard d’euros. Cette situation peut être modélisée à l’aide d’une onction exponentielle. a) Quelle somme, en euros, représentaient les revenus associés à la vente de produits biologiques en 1999 ? b) En quelle année le cap des deux milliards d’euros de revenus sera-t-il ranchi, selon ce modèle ? c) Détermine la période durant laquelle les revenus associés à la vente de produits biologiques représentaient moins de 200 millions d’euros.

Section 4

Des intérêts composés sont les intérêts ajoutés au capital à la fn d’une période de temps pour ormer un nouveau capital.

Environnement et consommation L’agriculture biologique est en expansion. Pour mériter la mention « biologique », la production doit être exempte d’organismes génétiquement modifés (OGM) ainsi que d’engrais et de pesticides chimiques. Outre la santé des consommateurs, cette production avorise la qualité des plans d’eau et la biodiversité. Selon toi, de quelles açons peux-tu connaître la provenance et le type de production des aliments que tu consommes ?

Mise en pratique

65

Consolidation 1. Détermine la règle de la forme f(x) = ax2 des fonctions quadratiques représentées ci-dessous. a)

x

–8

–6

–4

–2

0

2

f1(x)

192

108

48

12

0

12

2 b) f2(x) = 5(4x)2

c)

f3(x)

x

(–3, –3)

2. Associe chacune des règles de fonctions quadratiques suivantes à la règle de sa relation réciproque. ±

x 3

a) f(x) = 3x2

1 y1 =

b) g(x) = (–2x)2

± 2 y2 = 2 x

c) h(x) = 3,5x2

±1 3 y3 = 2 x

d) i(x) = 1 x2 4

4 y4 =

±

2x 7

3. a) Résous chacune des équations suivantes avec chaque valeur de y. y1 = 6x2 y2 = –3x2 y3 = 23 x2 y4 = (–6x) 2

y=9 pour

y = –9 y=0

b) À l’aide des résultats obtenus en a, explique de quelle façon on peut connaître le nombre de solutions d’une équation quadratique de la forme y = ax2 à partir de la valeur de y et du paramètre a. 66

Chapitre 5

L’étude des fonctions quadratiques et exponentielles

4. Pour la onction dont la règle est f(x) = 16 (–4x)2, détermine les valeurs de x pour lesquelles : a) f(x) ≤ 24 ;

b) f(x) ≤ 56 ;

d) f(x) < 1 .

c) f(x) ≥ 0,12 ;

12

5. a) Fais l’analyse complète de chacune des onctions représentées ci-dessous. 1

3

f(x)

h(x)

1 1

x

1 x

1

2

4

g(x)

i(x)

1 1

x 1 1

x

b) Quel est le type de chacune des onctions représentées en a ?

6. Soit les situations suivantes. 2 1 L’étendue de glace sur un lac est estimée à 4 km et augmente

de 5 % par jour. 2 On considère la quantité de matière plastique utilisée pour conectionner un ballon de plage selon la mesure de son rayon. 3 Rose dépose 100 $ à la banque, puis elle ajoute 20 % de ce montant chaque mois. 4 La température de l’eau d’une piscine perd un dixième de degré par jour depuis le 1er septembre, alors que l’eau était à 27 °C. a) Quel type de onction modélise chacune des situations ci-dessus ? b) Détermine la règle associée à chaque onction identifée en a.

Consolidation

67

7. Détermine si les énoncés suivants sont vrais ou aux. Justife tes réponses. a) L’axe de symétrie d’une parabole représentant une onction quadratique peut être horizontal. b) Le graphique d’une onction exponentielle admet toujours une asymptote horizontale. c) Le graphique d’une onction exponentielle admet toujours un axe de symétrie. d) Le domaine d’une onction correspond à l’image de sa relation réciproque. e) Deux onctions racine carrée sont nécessaires pour ormer la relation réciproque d’une onction polynomiale de degré 2. f) L’image de toutes les onctions quadratiques de la orme f(x) = ax2 est constituée de tous les nombres réels positis. g) Dans une onction quadratique, le taux de variation est constant.

8. Détermine la règle de la onction exponentielle associée à chacune des onctions représentées ci-dessous. a)

b)

x

–1

0

1

2

g1(x)

1 4

3 4

9 4

27 4

x

–3

–2

1

3

g2(x)

–40

–20

–2,5

–0,625

c)

d)

g3(x)

g4(x)

(0, 13) –

1

1 x

1 (0, –5)

x

1

(–1, 2 ) (–2, –6)

(1, –10)

9. Simplife les expressions suivantes et rationalise-les au besoin. a)

(3 5 • 3 7)6

b)

8x • 6x 12x

c)

3•

27 5

d)

4

8 • 38 7

2

5

4

10. Résous les équations et les inéquations suivantes.

Chapitre 5

–2x

e) 3

b) –2 • 8x = –512

f) 3x ≥ 81

c) 1 = 32x

g) 16 < 1

d) 27x = 243

h) –7 • 2–x < 22

27

68

(5 )

a) 5x = 625

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

= 0,5

(4 )

2x

e)

345

1

x6

i)

–

3 • 6x > –72

j)

–

0,75 ≤ –5 • 0,1x

k) 2 • 6x > 432

(3 )

x l) 7 • 1 < 1 701

11. À l’origine… Victor analyse la relation réciproque de la onction exponentielle dont la règle –1 x – est g(x) = 2(10) 3 . Il cherche à déterminer algébriquement les valeurs à 3

l’origine en remplaçant tour à tour x et g(x) par 0. a) Détermine la valeur de l’abscisse à l’origine. b) Explique à Victor pourquoi il ne pourra pas trouver l’ordonnée à l’origine.

12. Bienvenue à bord Pour décoller, les avions de ligne accélèrent rapidement afn d’atteindre une vitesse avoisinant 280 km/h. La distance d(t), en mètres, parcourue sur la piste de décollage en onction du temps t, en secondes, depuis que l’appareil roule est représentée par la règle d(t) = 0,835t 2. a) Un avion a roulé sur une distance de 2 090 m avant de décoller. Combien de temps a-t-il mis à décoller ? b) Un symbole est tracé sur la piste tous les 1 000 m. Indique l’intervalle de temps durant lequel l’avion se trouvait entre les deux premiers symboles.

13. Don de vie Samedi dernier, le maire de la ville de Bonneterre a organisé une collecte de sang qui a eu lieu de 11 h à 19 h 30. L’objecti de la collecte était de recueillir 300 dons de sang. Le nombre de dons eectués peut être modélisé par une onction quadratique dont la règle est de la orme d(t) = at2, où t est le nombre d’heures écoulées depuis l’ouverture de la collecte et d(t), le nombre de dons eectués. On sait que deux heures après le début de la collecte, 16 personnes avaient donné du sang. a) Détermine l’intervalle de temps pendant lequel il y avait moins de 200 dons de sang eectués. b) Le maire a-t-il atteint son objecti ? c) Selon cette tendance, combien de temps devrait durer la collecte pour atteindre 400 dons de sang ?

14. Chute libre Pendant environ les 12 premières secondes de la chute d’une pièce de 1 cent, la distance de chute en onction du temps peut être modélisée par une onction. La table de valeurs ci-contre contient quelques données relatives à cette situation. Tu laisses tomber une pièce de 1 cent dans un puits vide ayant une proondeur de 108 m. Après combien de temps la pièce touchera-t-elle le ond du puits ?

Pièce de 1 cent en chute libre Temps de chute (s)

Distance de chute (m)

0

0

2

20

4

80

6

180

8

320

Consolidation

69

15. Albert Albert Einstein a représenté la relation entre la masse et l’énergie par la ormule E = mc2. Dans cette relation, E représente l’énergie, m représente la masse et c représente la vitesse de la lumière dans le vide, soit environ 299 792 458 m/s. Est-ce que la relation E = mc2 est une onction quadratique de la orme f(x) = ax2 ? Justife ta réponse.

Poi nt de r epèr e Albert Einstein Le physicien allemand Albert Einstein (1879 – 1955) est reconnu principalement pour sa théorie de la relativité, plus spécifiquement l’équivalence de la masse et de l’énergie, exprimée par l’équation E = mc2. Einstein a développé cette équation en 1905, et ce n’est qu’en 2008, soit 103 ans plus tard, qu’une équipe de physiciens français, allemands et hongrois a finalement pu la corroborer.

16. L’intérêt de l’intérêt Sabrina désire placer de l’argent dans un compte bancaire. On lui ore de placer ses économies dans un compte d’épargne qui rapporte 0,5 % d’intérêt chaque mois ou dans un compte d’épargne dont voici l’évolution. Durée du placement (années)

Solde du compte ($)

1

106,10

2

112,57

3

119,44

4

126,73

Aide Sabrina à déterminer le meilleur placement. Justife ton raisonnement.

17. Pizzeria

Format

70

(diamètre)

Chapitre 5

Prix

Paolo, le propriétaire d’une pizzeria, croit que le prix d’un des ormats de pizza qui se trouvent sur le menu ci-dessous n’est pas assez élevé par rapport à la taille de la pizza. A-t-il raison ? Justife ta réponse. Puis propose, s’il y a lieu, une correction au menu de Paolo qui erait en sorte que toutes les pizzas, si elles étaient de même ormat, se vendraient au même prix.

L’étude des onctions quadratiques et exponentielles

18. Écrire pour mieux retenir Pour s’assurer de bien maîtriser les concepts qu’on lui enseigne, Philippe produit parois ses propres résumés. Afn de réviser la relation réciproque de la onction quadratique, soit la onction racine carrée, il a construit le tableau suivant.

Fonction racine carrée : f (x) = a bx

a>0

a0

b cos A

2)

cos A < cos B

3)

tan A > sin A

K

Explique pourquoi, dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle est toujours compris entre 0 et 1.

L

Dans un triangle rectangle, quelles sont les valeurs que peut prendre :

À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on peut étudier les rapports formés des mesures des côtés d’un triangle rectangle. Pour en savoir plus, consulte la page 283 de ce manuel.

le cosinus d’un angle ? 2) la tangente d’un angle ? 1)

Ai-je bien compris ? B

1. Soit le triangle rectangle ABC ci-contre. Sachant que sin A = 3 , détermine la valeur de : 5 a) cos B

b) cos A

c) tan A

A

C

2. Dans chacun des triangles suivants, détermine le rapport qui correspond à : a) sin A b) cos A c) tan A 1

B 78 m A

72 m

2

3

B

B

5 cm

C

30 m C

6m

A

2m

C

7 cm

A

Section 1

Activité d’exploration 1

167

ACTIVITÉ d’exploration

2

Recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle

Le clinomètre est un instrument qui permet de mesurer un angle formé par une ligne de visée et la direction horizontale.

La grotte du mont Bossu Pour cartographier les grottes, il faut s’y aventurer et prendre des mesures. Daniel et Louise pratiquent la spéléologie comme loisir et s’exercent avec les instruments de mesure à relever les données relatives au passage de la grotte du mont Bossu. Daniel est muni d’un ruban à mesurer et d’un clinomètre. Dès l’entrée de la grotte, il mesure la distance qu’il parcourt et s’arrête, 14,1 m plus loin, au premier changement marqué dans l’inclinaison du passage, soit au point A. À cet endroit, il mesure l’angle d’inclinaison du premier segment parcouru. Ce premier segment est schématisé par l’hypoténuse du triangle orange dans l’illustration ci-dessous.

EDaniel Profondeur associée

Premier segment 14,1 m Déplacement horizontal associé

12°

A

15°

8,2 m

B

6m 78°

A

Quel rapport trigonométrique met en relation l’angle d’inclinaison de 12°, la mesure du premier segment et la profondeur qui lui est associée ?

B

Pose une égalité avec le rapport nommé en A et détermine cette profondeur.

C

Calcule, de deux façons différentes, le déplacement horizontal associé à ce segment du passage.

Daniel poursuit sa marche et s’arrête au point B qui correspond au prochain changement marqué de l’inclinaison du passage. Ce segment de 8,2 m, qui remonte vers le niveau du sol, est représenté dans le schéma ci-dessus par l’hypoténuse du triangle mauve. L’angle d’inclinaison de ce segment du passage est de 15°.

168

Chapitre 7

D

Détermine le déplacement horizontal associé à ce segment du passage.

E

Après le point B, Daniel doit descendre avec le matériel d’escalade dans une cavité d’une profondeur de 6 m. L’angle d’inclinaison du segment du passage est de 78°. Quelle est la mesure de ce segment du passage ?

La trigonométrie

Par une autre entrée de la grotte, Louise s’aventure dans le passage équipée d’un odomètre et d’un altimètre. À l’entrée, elle a réinitialisé les deux instruments de mesure de façon qu’ils indiquent 0 m.

ELouise

Louise avance dans le passage, s’arrêtant au point C représenté cicontre. À ce point, l’odomètre de Louise indique 10,3 m et son altimètre, 2,3 m.

C D

F

G

F

Selon toi, pourquoi l’altimètre de Louise fournit-il une mesure négative ?

G

Quel rapport trigonométrique met en relation l’angle DCE, l’angle d’inclinaison de ce premier segment, et les deux mesures de côtés connues ? Pose une égalité avec ce rapport.

H

À l’aide de la table de rapports trigonométriques qui se trouve à la page 322 de ce manuel, estime l’angle d’inclinaison de ce premier segment.

L’arc sinus permet de trouver la mesure d’un angle aigu à partir de son sinus. Voici la démarche qui permet de trouver la mesure de l’angle C. sin C = 2,3

10,3

( ) 2,3 2,3 C = arc sin ( 10,3 ) ou sin (10,3 )

2,3 arc sin (sin C) = arc sin 10,3

Un odomètre est un instrument de mesure muni d’une roue qui roule sur le sol et qui indique la distance parcourue. Un altimètre est un instrument électronique qui indique l’altitude par rapport à un repère.

Sur la calculatrice, l’arc sinus s’effectue en appuyant sur la touche SIN 1, INVSIN ou ARC SIN.

-1

I

Explique chaque étape de cette démarche et détermine l’angle d’inclinaison de ce premier segment du passage. Orientation et entrepreneuriat

Bien que la spéléologie soit un loisir, certaines personnes obtiennent des accréditations qui leur permettent de devenir guides d’expédition, de pratiquer des sauvetages ou de cartographier les passages souterrains. Pour obtenir une telle accréditation, il faut effectuer de nombreuses visites souterraines, participer à des séminaires et réussir certains examens. Il s’agit d’une démarche de formation complémentaire dans laquelle certains géologues s’engagent. Nomme d’autres accréditations ou formations non offertes par le réseau scolaire, mais qui peuvent être des atouts dans le cadre d’une profession.

Section 1

Activité d’exploration 2

169

Avant de quitter le point C, Louise remet l’altimètre et l’odomètre à zéro. Elle reprend sa marche et s’arrête au point F. Louise fait de nouveau la lecture de ses instruments : l’odomètre indique 4,1 m et l’altimètre, -2,6 m. E

C D ?

F

J

G

À l’aide du schéma de la grotte reproduit ci-dessus, détermine l’angle d’inclinaison de ce deuxième segment du passage.

Ai-je bien compris ? 1. Détermine la valeur de x dans chacun des triangles suivants. a)

c)

A

12 m 43°

F

e)

D

G 48°

x

13 cm

x

8,2 cm 54°

C

x

b)

E

B

d)

M 18 cm L

H

R

f)

N x

K

41°

J

63°

Q

x

x

4 dm P

10 m

20°

T

S

2. Détermine la mesure des angles de chacun des triangles suivants. a)

A 5m C

b) 11 m

4 cm

N

c)

7 cm

M B

20 cm

G L

170

Chapitre 7

La trigonométrie

H

9 cm

F

Faire le point Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Puisque tous les triangles rectangles ayant un angle aigu homologue isométrique sont semblables et que les mesures de leurs côtés homologues sont proportionnelles, les rapports entre les mesures des côtés d’un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, sont uniques. A

Côté opposé à ∠ B Côté adjacent à ∠ A b

C

c a

B

Côté opposé à ∠ A Côté adjacent à ∠ B

Dans un triangle ABC rectangle en C : sinus A = cosinus A = tangente A =

mesure du côté opposé à ∠ A a ou sin A = c mesure de l’hypoténuse mesure du côté adjacent à ∠ A b ou cos A = c mesure de l’hypoténuse mesure du côté opposé à ∠ A a ou tan A = ou tan A = sin A mesure du côté adjacent à ∠ A b cos A

Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1. La tangente d’un angle aigu est positive.

Les relations entre les rapports trigonométriques d’angles complémentaires Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires et le côté opposé à un angle aigu est nécessairement le côté adjacent à l’autre angle aigu. Ces propriétés permettent d’établir certaines relations entre les rapports trigonométriques. Soit le triangle rectangle ABC. Égalités sin A = cos B =

Relations entre les rapports trigonométriques 3 = 0,6 5

4 cos A = sin B = = 0,8 5 3 = 0,75 4 4 tan B = = 1,3 3

tan A =

sin A =

a = cos B = cos (90° - A) c

B a = 3 cm

C tan A =

c = 5 cm

b = 4 cm

A

a 1 1 = = b tan B tan (90° - A)

Section 1

Faire le point

171

La recherche de mesures dans un triangle rectangle Pour trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle, il aut connaître, en plus de l’angle droit, au moins deux autres mesures, dont une mesure de côté.

Trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle dont on connaît une mesure de côté et une mesure d’angle aigu Exemple : Voici les étapes à suivre pour déterminer la mesure de l’hypoténuse du triangle ABC. Étape

Démarche B

1. Identifer le côté dont on cherche la mesure.

65°

150 cm

c

C

Résoudre un triangle, c’est trouver toutes les mesures de ses côtés et de ses angles.

2. À partir de l’angle aigu dont on connaît la mesure, déterminer le rapport trigonométrique entre le côté dont on cherche la mesure et celui dont on connaît la mesure, puis poser une égalité.

cos 65° =

3. Trouver la valeur de l’inconnue.

c=

A 150 c

150 ≈ 354,9 cos 65°

L’hypoténuse mesure environ 354,9 cm. 4. Au besoin, résoudre le triangle. Déduire la mesure du troisième angle et celle du troisième côté.

m ∠ A = 90° - 65° = 25° b≈

(354,9)2 - (150)2 ≈ 321,6

AC mesure environ 321,6 cm.

Trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle dont on connaît deux mesures de côtés Exemple : Voici les étapes à suivre pour déterminer la mesure de l’angle E du triangle DEF. Étape

Démarche

1. Identifer l’angle dont on cherche la mesure.

E 10 cm

?

F

L’arc tangente permet de calculer la mesure de l’angle à partir de la tangente. On la note aussi tan 1.

2. À partir de l’angle recherché, déterminer le rapport trigonométrique entre les deux côtés dont on connaît les mesures, puis poser une égalité. 3. Trouver la mesure de l’angle à l’aide de arc sinus, arc cosinus ou arc tangente. 4. Au besoin, résoudre le triangle. Déduire la mesure du deuxième angle aigu et celle du troisième côté.

tan E =

24 cm 24 10

m ∠ E = tan 1 24

10

m ∠ E ≈ 67,4° L’angle E mesure environ 67,4°. m ∠ D ≈ 90° - 67,4° ≈ 22,6° f=

(24)2 + (10)2 = 26

DE mesure 26 cm.

172

Chapitre 7

La trigonométrie

D

Mise en pratique 1. Soit le triangle RST ci-contre. Donne les appellations

S

possibles des rapports suivants. r

s

a) s

r

b) t

s

c) t

d) r

t

r T

R

s

2. Pour chacun des triangles suivants, détermine : a) sin A

b) cos A

1 A

c) tan A

3 A

C

5

B

B C

2 B

B

151 cm

C

4

7,1 m C

10 cm

A 10 cm C

A

0,6 m

25 cm

238 cm

0,7 m

B

6 A

50 cm

x

x

B

C

4m A

3.

Le phare de Peggy’s Cove, en Nouvelle-Écosse, est l’un des phares les plus photographiés au monde. Du poste d’observation de ce phare, situé à environ 20 m au-dessus du niveau de la mer, Maïka aperçoit un bateau. L’angle de dépression avec lequel elle voit le bateau est de 6°. Quelle distance sépare le bateau du pied du phare ?

L’angle d’élévation est l’angle formé par la ligne de visée et la direction horizontale en un point d’observation lorsque l’objet observé est situé plus haut que l’observateur. Si l’objet observé se situe plus bas que l’observateur, l’angle formé est un angle de dépression. Angle d’élévation Angle de dépression

Section 1

Mise en pratique

173

4. a) À l’aide de ta calculatrice ou de la table de rapports trigonométriques qui se trouve à la page 322 de ce manuel, trouve la valeur de : 1)

sin 35°

cos 35°

2)

b) À l’aide des valeurs trouvées en a, déduis les valeurs de : 1) tan 35° 2) cos 55° 3) tan 55°

5. Dans chacun des triangles suivants, détermine la valeur de x. a)

d)

24 cm

x

g)

65°

61° 55 cm

x

33°

32 cm x

b)

e)

29°

x

12 cm

47°

12 cm

x

15 cm

50°

c)

h)

x

f)

x

6 cm

i)

18°

51° 18 cm

x

35° 10 cm

x

6. Dans chacun des triangles suivants, détermine les valeurs de x et de y. a)

b)

A

36°

x C

174

Chapitre 7

La trigonométrie

48° y

60 m 35°

D

P

10 m

21° y

B S

R

x

Q

7. Vrai ou aux ? Justife tes réponses. a) Dans un triangle rectangle, plus l’angle aigu est grand, plus le sinus de cet angle est grand. b) Dans un triangle rectangle, la tangente de chacun des deux angles aigus peut être plus petite que 1. c) Le sinus d’un angle aigu est toujours plus petit que la tangente de ce même angle.

8. Quelle est la mesure de l’angle B dans chacun des triangles suivants ? a)

c)

A

B

31,2 cm

12 cm C

Lorsqu’on cherche plus d’une mesure dans un triangle, il est préérable d’utiliser autant que possible les données ournies plutôt que celles calculées, qui peuvent comporter des erreurs.

B

28,8 cm

C

b)

Pièges et astuces

72 mm

d)

A

A

59 mm

C 0,4 m

4,2 cm A C

4 cm

B

0,47 m

B

9. Voici les mesures de certains éléments de triangles rectangles. Résous ces triangles. a) ΔABC dont m ∠ C = 90°, m AC = 11 cm et m AB = 13 cm. b) ΔDEF dont m ∠ F = 90°, m ∠ D = 43,5° et m EF = 12 cm.

10. Situées en Égypte, les pyramides du plateau de Gizeh, à proximité du célèbre Sphinx, constituent la dernière des Sept Merveilles du monde. Parmi ces pyramides, Khéphren est celle dont l’angle d’inclinaison des aces latérales est le plus grand, avec une mesure de 53,17°. La hauteur d’origine de cette pyramide est de 143,5 m et sa base est carrée. Quelle est la mesure du côté de la base de la pyramide de Khéphren ?

Section 1

Mise en pratique

175

11. Détermine les mesures de x et de y dans les triangles suivants. a)

c)

A 10 m B 20 m

y

C

b) E

8 cm 48°

x

x

S

T

d) y

G

y

93°

D

9 cm

V 54,8 m

45,2 m

45 m

F

R

K

U

63,1 m

x

L

y

x

P

H

36° 50 m

47° 35 m N

M

12. Un club d’alpinisme projette l’escalade d’une alaise qui surplombe une rivière. À cette fn, un arpenteur prend quelques mesures dans le but de déterminer la hauteur de la alaise. À partir du schéma ci-dessous, détermine la hauteur de la alaise.

43° 30 m

69°

13. Deux arbres se trouvent à 100 m l’un de l’autre. À partir d’un point situé à mi-chemin entre les deux arbres, les angles d’élévation de leurs sommets sont 8° et 13°. De combien de mètres le plus grand arbre dépasse-t-il l’autre ?

176

Chapitre 7

La trigonométrie

14. Un unambule fxe un câble entre les toits de deux édifces voisins représentés dans le schéma ci-dessous.

21,5 m ?

83 m

21 m

Quel est l’angle que orme le câble avec l’horizontale ?

15. Le plus haut pylône électrique au Canada est situé à Sorel-Tracy, près de la centrale thermique. Pour en déterminer la hauteur, Francine se place à exactement 315 m du centre de la base du pylône et mesure l’angle d’élévation de son plus haut point. Cet angle mesure 29°. a) Calcule la hauteur du pylône en utilisant la valeur du rapport trigonométrique : 1) ournie par la table de rapports trigonométriques ; 2) exacte ournie par la calculatrice ; 3) ournie par la calculatrice et arrondie au millionième près. b) La mesure de l’angle d’élévation du plus haut point du pylône est comprise entre 28,9° et 29,1°, l’instrument de mesure de Francine ne permettant pas de la déterminer de açon plus précise. Détermine l’intervalle dans lequel se situe la hauteur du pylône. c) Qu’est-ce qui est le plus important : la précision de l’angle ou la précision du rapport trigonométrique ? Justife ta réponse.

Fait divers La centrale thermique de Tracy produit de l’électricité à l’aide de mazout lourd. Le mazout sert de combustible pour chauffer un réservoir d’eau qui, transformée en vapeur, fait tourner la turbine produisant l’électricité. Ce type de centrale produit de nombreuses émanations néfastes pour l’environnement. Pour cette raison, les gestionnaires de la centrale de Tracy se sont engagés, en 2005, à utiliser la centrale en période de pointe seulement, c’est-à-dire lorsque la demande en électricité est très grande.

Section 1

Mise en pratique

177

Fait divers

16. L’escalier mécanique le plus long du monde se trouve en Russie, dans le métro

En 1998, pendant 145 heures et 57 minutes, sans interruption, Suresh Joachim a « voyagé » sur un escalier roulant d’un centre commercial d’Australie. Cela lui permit d’établir un nouveau record du monde.

17. Est-il possible de résoudre un triangle rectangle dont on ne connaît que

de Saint-Pétersbourg. Cet escalier a une longueur de 330,7 m et gravit une distance verticale de 59,7 m. Quel est l’angle que forme l’escalier avec le sol, au degré près ? deux mesures de côtés en ayant seulement recours au rapport trigonométrique sinus ? Explique ton raisonnement.

18. Sans utiliser la calculatrice : a) associe les rapports trigonométriques qui ont la même valeur ; b) trouve une expression équivalente aux rapports qui n’ont pas été utilisés en a. 1

sin 62°

4

cos 62°

7

sin 28°

10

tan 28°

2

cos 118°

5

sin 152°

8

sin 118°

11

tan 62°

3

tan 118°

6

tan 152°

9

cos 152°

12 cos 28°

19. Un réservoir de pétrole de forme cylindrique a une hauteur de 55,3 m et un diamètre de 28,4 m. On peut monter sur le toit du réservoir par un escalier en spirale qui fait exactement une fois le tour du réservoir. Quel est l’angle d’inclinaison de l’escalier ?

178

Chapitre 7

La trigonométrie

La recherche de mesures manquantes et l’aire de triangles

Section

2

Un rallye dans le Sahara Le désert du Sahara est l’hôte d’un rallye de neuf jours où des femmes, en équipe de deux, parcourent les dunes et les pistes du désert en véhicule tout-terrain à la recherche de balises, c’est-à-dire des drapeaux. Il est 15 h 40 lorsqu’un pneu du véhicule de Claude et Nathalie éclate. C’est leur deuxième crevaison et elles n’ont plus de pneu de rechange. Si elles demandent de l’aide par radio aux organisateurs, elles subiront une importante pénalité. Par contre, si elles trouvent la prochaine balise avant le coucher du soleil, prévu pour 18 h 15, elles pourront se faire aider par d’autres équipes sans subir de pénalité. À l’aide de l’échelle de la carte et des prises d’azimuts des lignes de visée de deux repères, Claude trace un schéma, à même la carte, afin de déterminer la position de leur véhicule. Elle délimite ainsi la région où se trouve, selon elle, la prochaine balise. À pied, les équipières estiment pouvoir ratisser 4 km2 à l’heure.

Repère B Azimut 317°

Repère A Azimut 12°

6,8 km

4,4 km Véhicule de Claude et Nathalie

2 km

L’azimut est l’angle compris entre le nord géographique et la ligne de visée. L’azimut se mesure dans le sens des aiguilles d’une montre, en degrés, à partir du nord (0°). Nord géographique

Ligne de visée

Azimut 220°

En supposant que la balise se trouve bien dans la région délimitée sur la carte, Claude et Nathalie devraient-elles demander de l’aide par radio ou partir à la recherche de la balise ? Justifie ta réponse.

Orientation et entrepreneuriat Le Rallye Aïcha des Gazelles, compétition réservée aux emmes, s’inspire de la navigation à l’ancienne et a lieu chaque année dans le désert du Sahara. Cartes et boussole à la main, les concurrentes doivent trouver des balises en parcourant la plus petite distance possible. La participation à un projet d’une telle envergure nécessite beaucoup de temps et d’énergie. Les participantes doivent, entre autres, se préparer physiquement, amasser les onds nécessaires et solliciter des commanditaires. Quelles stratégies de planifcation peuvent t’aider à bien te préparer dans le cadre d’un projet ou de tes études ? Selon toi, est-ce qu’une préparation adéquate à un projet d’envergure est un gage de succès ? Justife ta réponse.

Section 2

La recherche de mesures manquantes et l’aire de triangles

179

ACTIVITÉ d’exploration

Aire de triangles

1

Animal et végétal Dans le cadre de sa ormation en techniques d’écologie appliquée, François era un stage de trois mois au sein d’un organisme gouvernemental. Il sera chargé d’étudier l’eet de la présence humaine sur la reproduction des espèces végétales aux abords des sentiers, dans le parc national de la Jacques-Cartier. Alors que François est sur le sentier Le Scotora à la recherche d’endroits propices au recensement des espèces, il remarque une parcelle de terrain délimitée par les extrémités A et E du chemin en bois et l’intersection R de la rivière et du sentier. François prend quelques mesures afn d’évaluer la superfcie de cet espace. Il les note ensuite sur un schéma du secteur, qui est un agrandissement de la carte du parc ci-dessous. Le Camp

Le Scotora

Sentier

R

E

70 m

Chemin en bois

35° 64 m

Adapté de : Parc national de la Jacques-Cartier, Sépaq, 2008.

A

180

Chapitre 7

A

Reproduis cette parcelle de terrain et ajoute sur ton schéma : 1) la hauteur relative à ER ; 2) la hauteur relative à AR.

B

Détermine la mesure de la hauteur relative à ER, puis calcule l’aire de la parcelle de terrain que François a identifée.

C

Calcule à nouveau l’aire de cette parcelle de terrain en utilisant cette ois-ci la mesure de la hauteur relative à AR. Tes résultats concordent-ils ?

D

Détermine la mesure de AE et celle de sa hauteur relative.

La trigonométrie

François poursuit son exploration et trouve deux autres parcelles de terrain propices à son étude. Voici les schémas des secteurs sur lesquels il a noté quelques mesures.

Le Héron

Le Bec-Scie

Le Grand Duc

G

B 65 m

45 m

75°

C

61°

42° Adapté de : Parc national de la Jacques-Cartier, Sépaq, 2008.

D

52 m 35°

F

H

E

De quelles mesures dois-tu disposer, au minimum, pour calculer l’aire d’un triangle comme tu l’as ait en B et en C ?

F

Déduis les mesures identifées en E pour chacune des nouvelles parcelles trouvées par François, puis calcule l’aire de ces parcelles. Orientation et entrepreneuriat Pour des étudiants, le stage en milieu de travail comporte de nombreux avantages : il leur permet, entre autres, de se familiariser avec le domaine d’emploi dans lequel ils désirent travailler, de concrétiser les concepts théoriques acquis en classe, d’acquérir de l’expérience et d’apprendre une foule de choses. Quels sont les avantages, pour des employeurs, à accueillir des étudiants en stage ? Selon toi, pourquoi n’y a-t-il pas de stages en milieu de travail dans toutes les formations à l’emploi ?

Ai-je bien compris ? Détermine l’aire des triangles suivants. a)

b)

A 9,2 m 67° 8,1 m

C

c)

D

G

10 m

B F

40° 26,3 m

E

11 cm

J

Section 2

12 cm 73°

61°

H

Activité d’exploration 1

181

ACTIVITÉ d’exploration

2

D’Anaphi à Santa Rosa Quand on consulte des cartes géographiques, il est étonnant de voir le nombre considérable d’îles qu’il y a sur la planète. Aujourd’hui, grâce à Internet et à différents logiciels, il est possible de mesurer facilement les dimensions réelles de ces îles.

Aire de triangles

Anaphi est une île grecque située dans la mer Égée. Le contour de cette île peut être modélisé par le triangle scalène ci-contre. A

Angles supplémentaires Des angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est de 180°.

Trace la hauteur relative à AB du triangle ABC. Qu’a-t-elle de particulier ?

B 6,8 km

100°

10,7 km

Anaphi A

C

B

Peux-tu déterminer la mesure de cette hauteur à l’aide de la mesure de l’angle ABC ? Pourquoi ?

C

À l’aide de la mesure de l’angle supplémentaire à l’angle ABC, détermine la mesure de la hauteur relative à AB.

D

Calcule l’aire du triangle qui modélise le contour de l’île d’Anaphi.

E

Compare le sinus de 100° au sinus de 80°. À la suite de cette comparaison, propose une autre façon de calculer l’aire de l’île d’Anaphi sans utiliser la mesure de la hauteur relative à AB.

Mer Égée

Fait divers On estime qu’il y a près de 20 000 les sur la Terre, mais ce nombre varie. En effet, les mouvements de la croûte terrestre causent des séismes et des éruptions volcaniques qui peuvent être responsables de la création de nouvelles les. Par ailleurs, la crue des eaux peut entra ner leur disparition. Ce phénomène, causé notamment par le réchauffement climatique, inquiète de plus en plus les chefs d’État et les scientiques.

182

Chapitre 7

La trigonométrie

Voici l’île de Porto Rico, un État libre associé aux États-Unis et situé dans les Grandes Antilles. Le contour de cette île peut être modélisé par un quadrilatère quelconque ayant un angle droit. F G

Mer des Antilles 184 km

A

Calcule la mesure de la diagonale BD du quadrilatère qui modélise le contour de l’île de Porto Rico.

Porto Rico

64 km

148 km

D

Calcule l’aire du quadrilatère qui modélise le contour de cette île.

B 68 km

125°

C

Voici l’île de Santa Rosa, située près de la côte caliornienne, aux États-Unis. On l’a représentée dans un plan cartésien dont les axes sont gradués en kilomètres. y

Océan Pacifique

A(−10,2, 6) 56°

B(8,5, 2,8) x

Santa Rosa 78°

D(−3,5, −9)

C(11, −9)

H

Détermine la mesure de chacun des côtés du quadrilatère qui modélise le contour de l’île de Santa Rosa.

I

De quelle autre mesure aurais-tu besoin pour calculer l’aire du quadrilatère modélisant le contour de l’île de Santa Rosa ?

J

Calcule l’aire de ce quadrilatère.

Ai-je bien compris ? Calcule l’aire des fgures suivantes. a)

b)

G 3,8 m H 111°

c)

D 80° 15 cm

F G

J

E

159°

4,6 m 15,62 cm

14 cm

H

18 cm

6 cm

I

35 cm

K

27 cm

J

Section 2

Activité d’exploration 2

183

Faire le point L’aire de triangles Selon les mesures d’angles et de côtés dont on dispose, on peut calculer l’aire d’un triangle de différentes façons. Avant d’avoir recours à l’une ou l’autre de ces méthodes, il faut parfois calculer d’autres mesures à l’aide des rapports trigonométriques.

Le demi-produit d’une base et de sa hauteur relative Lorsque les mesures connues dans un triangle permettent de déterminer une hauteur relative à un côté dont on connaît la mesure, on calcule l’aire du triangle à l’aide de la relation : A∆ =

base • hauteur 2

Lorsque les mesures connues d’un triangle quelconque comprennent un angle compris entre deux côtés dont on connaît la mesure, on peut déterminer l’aire du triangle à l’aide d’une des relations suivantes :

La multiplication est commutative. Par conséquent, a • c • sin B est équivalent à c • a • sin B. Cependant, par convention, les variables sont placées en ordre alphabétique.

A

A∆ABC = a • b 2• sin C A∆ABC = a • c 2• sin B

c

b

A∆ABC = b • c 2• sin A

C

B

a

où b • sin C, a • sin B et c • sin A représentent respectivement les hauteurs relatives aux côtés a, c et b. Exemple : Voici les étapes à suivre pour calculer l’aire du triangle ABC. Étape

Pièges et astuces Pour éviter de perdre de la précision, il est préférable de conserver les rapports trigonométriques dans les calculs plutôt que d’utiliser la notation décimale arrondie.

Démarche

1. Déterminer la hauteur relative à un des côtés dont on connaît la mesure.

A b

C 2. Calculer l’aire du triangle à l’aide de la relation : A∆ = a • c • sin B . 2

hA

h

c = 11 cm

43° a = 10 cm

sin 43° = 11A hA = 11 • sin 43°

B

A∆ ABC = a • c • sin B = 10 • 11 • sin 43° 2

2

2

A∆ ABC ≈ 37,5 cm

Remarques : – Comme les angles supplémentaires ont le même sinus, on peut utiliser directement la mesure de l’angle connu lorsqu’on calcule l’aire d’un triangle obtusangle. – On peut calculer l’aire de certains quadrilatères en les divisant en triangles. 184

Chapitre 7

La trigonométrie

Mise en pratique 1. Calcule l’aire de chacun des triangles suivants. a)

b)

R R R

m m 10 10 m 10 40°40°40° T T T m m 20 20 m 20

S S S

c)

L L L

15,7 m m 15,7 m15,7 V V V 29°29°29°

U U U

m m 9,59,5 m 9,5 W W W

m m 97 97 m 97 121° 121° 121°M M M m m m133 N N N 133133

2. En 1853, la colonie du Cap, en Afrique du Sud, a imprimé un timbre-poste de forme triangulaire, le premier au monde à avoir cette forme. 2,7 cm

2,7 cm

Quelle est l’aire de ce timbre-poste ?

3,8 cm

3. Détermine le périmètre et l’aire des quadrilatères suivants. a) B

b)

E

35,7°

40 mm

F

45°

C

G 40 mm

56,1° A 150,5 m D

20 mm

H

4. Dans l’octogone régulier de 4 cm de côté ci-contre, AB et CD sont supportés par des axes de symétrie. Quelle est l’aire de cet octogone ?

A 4 cm

C

D

B

Section 2

Mise en pratique

185

5. Aujourd’hui beaucoup plus éclatés qu’autreois, les motis et les couleurs des courtepointes donnent un second soufe à cet art. Voici un moti de courtepointe carré de 10 cm de côté, sur lequel certaines mesures sont indiquées. 5 cm 2 cm 4,5 cm

33,7°

39,9°

7 cm

3 cm

Quel pourcentage du moti est ormé du tissu : a) rayé ?

b) à pois ?

6. Le yoga est une discipline d’origine indienne. Les postures de yoga sollicitent les muscles et le sens de l’équilibre. Dans les photos ci-dessous, quelle est l’aire de la région délimitée : a) par le bras, la jambe et le torse de cette emme dans la posture de Trikonasana ?

b) par le sol, le bras, le torse et la jambe de cet homme dans la posture de Ardha-Chandrasana ?

45 cm 133,5°

48,7° 75 cm

110°

110 cm

90 cm

60 cm 60 cm

Orientation et entrepreneuriat Le stress lié aux exigences du monde du travail est un mal qui touche bon nombre de personnes. Afn d’améliorer la qualité de vie des employés, certains employeurs orent des garderies en milieu de travail. D’autres paient à leurs employés les rais d’abonnement à un centre de conditionnement physique. Selon toi, pourquoi certains employeurs choisissent-ils d’absorber des rais supplémentaires pour orir de meilleures conditions de travail à leurs employés ? Nomme d’autres moyens susceptibles de diminuer le stress au travail.

186

Chapitre 7

La trigonométrie

7. Soit le triangle ABC ci-dessous dont l’aire est

B

de 73,48 cm2.

11 cm

14 cm

a) Détermine la mesure de la hauteur issue de C. b) Détermine les mesures d’angles du triangle ABC.

A

15 cm

C

8. Détermine l’aire des fgures suivantes. a)

b)

y B(2, 6)

y D(45, 84) 127,8°

74°

x A(7, 1)

F(40, 55)

–

C(–4, –5)

E(72, 20) x

9. Un triangle possède un seul côté mesurant 5 cm et un seul angle mesurant 62°. Détermine l’aire de ce triangle, sachant qu’il est isocèle.

10. Si tu connais les mesures des quatre côtés de n’importe quel quadrilatère et la mesure de l’un de ses angles, peux-tu déterminer l’aire du quadrilatère ? Si oui, indique comment. Si non, quelle autre mesure serait nécessaire pour y arriver ?

11. Jeanne-Mance est une géocacheuse, c’est-à-dire une adepte d’un loisir qui se pratique avec un GPS. Sur le sommet d’un mont, elle note les coordonnées de trois points délimitant un triangle. Les géochercheurs devront trouver la cache dans l’espace ainsi délimité. Le premier point constitue l’origine d’un plan cartésien dont les axes sont gradués en mètres, et les coordonnées des deux autres points sont (3, -2) et (4, 1). Quelle est l’aire de la région que les géochercheurs auront à ratisser, sachant que le plus grand angle du triangle ormé par Jeanne-Mance mesure 74,7° ?

Fait divers La popularité du GPS a mené à la création d’un nouveau loisir : le géocaching. Ce loisir, qui s’effectue à l’échelle planétaire, comporte deux aspects. D’abord, les géocacheurs dissimulent un contenant appelé « cache » à un endroit précis. Puis, ils fournissent dans Internet les coordonnées géographiques de la cache. Ensuite, des géochercheurs, munis de ces renseignements et de leur GPS, partent à la recherche de la cache. Les caches, des contenants étanches qui renferment des babioles, sont dispersées partout sur la planète. Les géochercheurs sont invités à prendre ou à échanger un objet de la cache lorsqu’ils la trouvent. Au retour, ils enregistrent leur visite pour conrmer que la cache est toujours là.

Section 2

Mise en pratique

187

Consolidation 1. Un arbre projette une ombre de 12 m lorsque les rayons du soleil orment un angle de 48° avec le sol. Quelle est la hauteur de l’arbre ?

2. Dans l’État du Vermont, aux États-Unis, on trouve l’une des plus longues glissades du monde, avec une distance horizontale de 1 200 m. Le point le plus haut de la glissade se situe à 213 m du sol. a) Quelle est la longueur de la glissade ? b) Quel est l’angle d’inclinaison de la glissade par rapport au sol ?

3. Un bateau en détresse se trouve à 4,5 km du phare de l’Île-Verte, en direction nord-est. Au même moment, le patrouilleur de la garde côtière se trouve à 14,8 km à l’est du phare. a) À quelle distance le bateau de la garde côtière se trouve-t-il du bateau en détresse ? b) Le patrouilleur de la garde côtière se dirige vers le bateau en détresse. Quel est l’angle ormé par sa direction et le nord géographique ?

4. Soit la fgure ci-contre.

A

a) Quelle est la mesure de l’angle ABC ? b) Quelle est l’aire du triangle ABC ?

3 cm C 2 cm

? B

6 cm

D

5. Détermine la mesure manquante dans les fgures suivantes. a)

b)

A 29 cm 91,7° C 19,4 cm

B

N

D ?

? E

M L

22° 25° 5,8 cm

K

6. Un triangle isocèle a deux côtés mesurant 11 cm et un angle mesurant 116°. Détermine : a) le périmètre de ce triangle ;

188

Chapitre 7

La trigonométrie

b) l’aire de ce triangle.

7. Quel est le volume du prisme droit suivant ? 15 cm

37,4° 28,5° 9 cm

8. Le Staurastrum est une algue verte qu’on trouve dans certains lacs. On peut modéliser le contour d’une de ces algues à l’aide d’un triangle équilatéral de 30 µm de côté.

Un micromètre (µm) correspond à un millionième de mètre ou 10 6 m.

Combien de Staurastrum seraient nécessaires pour recouvrir la surface de 22 km2 du Grand lac Nominingue, situé dans les Laurentides ?

9. Soit le triangle ABC rectangle en C. Détermine la mesure de A si sin A = 4cos A. 10. Voici un schéma du pont suspendu qui traverse l’estuaire de Humber, en Angleterre.

18,7°

135 m

10,8°

10,8°

135 m

18,7°

Quelle est la longueur du pont ?

Fait divers La construction du pont suspendu de Humber, qui s’est étendue de 1972 à 1981, a nécessité plus de 480 000 tonnes de béton. Chacun de ses deux câbles principaux est constitué de 14 948 fls métalliques et supporte une tension de 19 400 tonnes. Ce pont suspendu a détenu pendant 16 ans le record du plus long pont suspendu au monde. Aujourd’hui, c’est le pont de Runyang, qui traverse le Yangtze en Chine, qui détient ce record, avec une longueur de 35 660 mètres.

Consolidation

189

11. Hissez ce symbole Les drapeaux des diérents pays se distinguent par leurs couleurs et leurs symboles. Tous possèdent une histoire et une signifcation particulières. Voici le drapeau des Seychelles, un archipel de 115 îles situé près du continent aricain, dans l’océan Indien. Son moti est tel qu’il partage deux côtés du drapeau en trois segments isométriques.

Quel est le périmètre du secteur rouge qui se trouve sur un drapeau des Seychelles mesurant 140 cm sur 70 cm ?

12. Feutrine Dans un carré de eutrine mesurant 20 cm de côté, Macha découpe d’abord le plus grand triangle équilatéral possible. Elle retranche ensuite un autre triangle à partir d’un coin du carré, comme dans l’illustration ci-dessous.

Quelle est l’aire de la eutrine restante ?

13. Une seule mesure suft maintenant ! Détermine l’aire des fgures suivantes. a) Un pentagone régulier dont la mesure de côté est 4 cm. b) Un hexagone régulier dont l’apothème mesure 2 cm. c) Un décagone régulier dont le périmètre est de 20 cm.

14. Chat perché Zizou, le chat de Marie-Noëlle, a grimpé au sommet d’un poteau téléphonique et ne peut pas en redescendre. Il se trouve à 6 m du sol. Marie-Noëlle mesure 1,58 m et elle peut, avec sa main, atteindre un objet situé à 40 cm au-dessus de sa tête. L’échelle sur laquelle elle grimpe pour attraper son chat mesure 4,5 m. Pour que l’échelle reste bien en place, Marie-Noëlle doit l’appuyer contre le poteau à un angle maximal de 70° par rapport au sol. Réussira-t-elle à récupérer Zizou ? 190

Chapitre 7

La trigonométrie

15. Triangles en plan

y

Dans le plan cartésien ci-contre, gradué en mètres, on a représenté les droites d’équations y = x, y = -2x, y = 2x et y = -4. Celles-ci délimitent entre autres les triangles ABC et ADC. Résous ces deux triangles.

y = 2x y = –2x y=x 1 A x

1

C

D

B

y = –4

16. Médiane équitable Dans le triangle ABC ci-contre, on a tracé la médiane AM. Démontre que cette médiane partage le triangle ABC en deux triangles qui ont la même aire. A

B

M

C

17. Dans le port d’Amsterdam… Deux bateaux de plaisance quittent le même quai du port d’Amsterdam en même temps. Les deux bateaux prennent des directions différentes et naviguent en ligne droite, tel que l’illustre le schéma ci-contre. L’un va à 10 km/h et l’autre, à 8 km/h. Quelle distance sépare ces deux bateaux 45 minutes après leur départ ? 38°

Consolidation

191

18. La Terre est ronde Près de 200 ans avant notre ère, Ératosthène a trouvé une façon d’estimer la circonférence de la Terre. Il a d’abord supposé que les rayons solaires sont parallèles entre eux. Il a ensuite remarqué qu’au solstice d’été, le 21 juin, alors que le Soleil est à son zénith, les rayons solaires se rendent directement au fond d’un puits à Syène, et qu’ils sont donc perpendiculaires au sol. À la même heure et le même jour, à Alexandrie, un obélisque de 23 m de hauteur a une ombre de 2,9 m. Syène se situe à 788 km d’Alexandrie.

23 m

Alexandrie 2,9 m

Syène

a) Quelle est la mesure de l’angle que forment les rayons solaires avec l’obélisque, à Alexandrie ? b) Explique pourquoi cet angle a la même mesure que l’angle au centre de la Terre qui intercepte l’arc entre Syène et Alexandrie. c) Comme l’a fait Ératosthène, estime la circonférence de la Terre.

Point de repère Ératosthène Astronome, mathématicien et géographe grec, Ératosthène (276-194 av. J.-C.) est connu pour son « crible », une méthode pour trouver les nombres premiers. Il est aussi à l’origine de la première bonne approximation de la circonférence de la Terre. Cette mesure diffère de moins de 1 % de la circonférence d’un cercle passant par les deux pôles.

192

Chapitre 7

La trigonométrie

19. Langage de construction La plupart des ermes de toit utilisées en construction ont des inclinaisons standard. Voici la vue transversale de quatre ermes de toit avec leurs mesures, arrondies au centimètre près. 3

1

2,1 m

2,3 m

6,64 m

4,6 m

2

7,3 m

4 2m

5,2 m

6,74 m

a) Pour prévenir les accidents liés aux chutes d’un toit en pente, la Commission de la santé et de la sécurité du travail (CSST) recommande le port du harnais pour travailler sur un toit dont l’inclinaison est supérieure à 19°. Parmi les quatre ermes de toit représentées ci-dessus, sur lesquelles aut-il porter un harnais ? b) Selon la terminologie propre au domaine de la construction, les toits dont l’inclinaison est standard sont appelés « 4 : 12 », « 5 : 12 » et « 6 : 12 ». Sachant que ces trois inclinaisons se trouvent parmi les ermes de toit représentées ci-dessus, explique ces appellations. c) Selon le principe de cette terminologie, comment appellerait-on la erme de toit ci-dessous ?

20. Jeux olympiques d’hiver Le saut à ski est une discipline où les athlètes semblent fotter dans les airs sans eort. Pourtant, la position des skieurs, pendant la glisse et le saut, ait toute la diérence entre un saut réussi et une chute. Alors qu’un athlète est dans les airs, les extrémités des skis, qui mesurent 190 cm de longueur, se touchent à l’arrière selon un angle de 38°. La xation est située à 65 cm de l’extrémité arrière du ski. L’intérieur de la jambe du skieur, du pied jusqu’au haut de la cuisse, mesure 1,2 m de longueur. Quel angle les jambes du skieur orment-elles ?

Consolidation

193

21. L’altitude des nuages la nuit Les pilotes de petits avions récréatis pratiquent le vol à vue, une açon de voler qui consiste à se diriger sans instruments électroniques de navigation, c’est-à-dire seulement avec les yeux et à l’aide de cartes de navigation. Il n’est touteois possible de pratiquer cette technique de vol que lorsque les conditions de visibilité respectent certains critères. Par exemple, l’avion peut décoller pour un vol à vue à condition que l’altitude minimale des nuages soit de 300 m. Pendant la journée, les pilotes qui désirent voler peuvent observer acilement l’altitude des nuages. Par contre, la nuit, ils se servent d’un projecteur pour éclairer les nuages afn de calculer leur altitude. Aux abords d’une piste d’atterrissage d’un petit aéroport, un projecteur éclairant les nuages est installé en permanence à 1,5 m du sol et orme un angle de 70° avec l’horizontale. À 300 m du projecteur se trouve une cabine d’observation dans laquelle est fxé, à 1,5 m du sol, un clinomètre, tel qu’illustré ci-dessous. Les pilotes qui désirent voler après le coucher du soleil utilisent ce clinomètre pour mesurer l’angle d’élévation du point où le aisceau éclaire les nuages.

70° 1,5 m

1,5 m 300 m

Construis un tableau qui associe des mesures d’angles prélevées à l’aide du clinomètre et la hauteur des nuages. Ce tableau sera afché dans la cabine d’observation. Les pilotes qui souhaitent connaître la hauteur des nuages sans devoir la calculer pourront le consulter.

22. Le cercle arctique Le cercle arctique est un parallèle terrestre situé à une latitude de 66° 34’ nord. Il délimite le jour polaire au solstice d’été. En eet, au-delà du cercle arctique, le Soleil reste au-dessus de l’horizon pendant 24 heures au moins une ois dans l’année. Il s’agit aussi de la région où, en hiver, il y a au moins 24 heures consécutives où le Soleil ne dépasse pas l’horizon. Sachant que le rayon de la Terre est de 6 378 km, détermine la longueur du cercle arctique. 194

Chapitre 7

La trigonométrie

La latitude donne la position nord-sud d’un point par rapport au plan de l’équateur (0°) et s’exprime de 90° S au pôle Sud à 90° N au pôle Nord. Chaque degré (°) compte 60 minutes (‘).

23. Sur la piste des éléphants L’éléphant de savane d’Arique, le plus gros animal terrestre du monde, est considéré comme une espèce menacée. Des chercheurs d’un département de zoologie étudient les déplacements des troupeaux d’éléphants au Kenya grâce à un système de repérage par satellite. C’est ce système qui, à ce jour, perturbe le moins les habitudes des éléphants. Sur leurs écrans, les zoologistes suivent le déplacement d’un troupeau d’éléphants qui se dirige vers le lac Baringo. À un endroit précis, le troupeau s’est scindé en deux groupes. Les scientifques ont remarqué cette division du troupeau depuis maintenant 30 minutes. Alors que le premier groupe avance à une vitesse moyenne de 8 km/h dans la direction initiale, le second groupe se dirige vers les terres cultivées, selon un azimut de 53°, à une vitesse moyenne de 10 km/h. Pour assurer le suivi, les scientifques établissent un système de repérage, gradué en kilomètres, où l’origine correspond à l’endroit où le troupeau s’est scindé. Les coordonnées des points qui délimitent les terres cultivées ainsi que le point de ravitaillement du premier groupe d’éléphants y sont afchés. Les zoologistes sont prêts à intervenir pour aire dévier la trajectoire du deuxième groupe d’éléphants, afn qu’il atteigne les rives du lac pour se ravitailler et qu’il y retrouve le premier groupe en piétinant le moins possible les terres cultivées des Kenyans.

A(14,3, 15,1)

y

B(9,1, 10,9) C(24,8, 6,2) D(25, 13,3) L(12,1, 21,5)

Sachant que l’équipe peut se rendre sur place en environ 30 minutes, propose aux zoologistes un plan d’intervention qui précise la direction dans laquelle il audra rediriger le groupe d’éléphants afn qu’il rejoigne le premier groupe au bord du lac et indique la distance qu’il lui restera à parcourir.

Lac Baringo

L A B 5

53°

D C x

5

Orientation et entrepreneuriat Pour être mené à bien, un projet de recherche doit bénéfcier de subventions. C’est notamment le cas du projet de recherche sur les éléphants d’Arique. Pour obtenir ces subventions, les chercheurs d’un laboratoire et leurs étudiants au doctorat soumettent un plan du projet à diérentes organisations intéressées par les résultats possibles de cette recherche. Il arrive touteois que les chercheurs et leurs étudiants ne parviennent pas à rassembler les onds nécessaires pour couvrir les dépenses de la recherche : ils doivent alors reporter le projet ou en élaborer un nouveau, car ils doivent absolument mener à bien un projet de recherche pour obtenir un diplôme. En eet, pas de subventions, pas de recherche ; pas de recherche, pas de diplôme. Sans subvention, comment peut-on mener à bien un projet qui requiert des onds ?

Consolidation

195

24. Arpenter le parc Une municipalité désire aménager un nouveau parc bordé au nord par la rue Turcotte, à l’ouest par la rue Iberville et au sud par l’avenue des Bégonias. Ce parc aura la orme d’un pentagone irrégulier et on y retrouvera un magnifque érable centenaire à l’une de ses pointes. La rue Iberville et l’avenue des Bégonias orment un angle droit tandis que l’angle ormé par les rues Turcotte et Iberville est de 110°. Un arpenteur-géomètre est mandaté pour dessiner le plan du utur parc. Il installe d’abord les bornes B1 et B2 et prend ensuite quelques mesures, indiquées dans le plan ci-dessous.

te

ot Turc Rue

Rue Iberville

60 m

B1 46 m 160°

52 m 30 m 75 m

B2

Avenue des Bégonias

Le maire de la municipalité afrme que la superfcie du nouveau parc dépassera les 5 000 m2. A-t-il raison ? Justife ta réponse.

Orientation et entrepreneuriat Avec l’avènement et le perectionnement du système de géopositionnement par satellite (GPS), le travail des arpenteurs-géomètres s’est considérablement modifé au cours des dernières années. Les percées technologiques provoquent généralement des changements en proondeur dans le monde du travail : de nouvelles proessions voient le jour tandis que d’autres se trouvent complètement transormées ou disparaissent carrément. Nomme une proession qui n’existait pas lorsque tes parents avaient ton âge ou qui était très diérente de ce qu’elle est aujourd’hui. À ton avis, quels sont les avantages et les inconvénients d’exercer une toute nouvelle proession ?

196

Chapitre 7

La trigonométrie

Le monde du travail La géomatique La géomatique est une discipline relativement récente qui intègre inormatique et géographie. Elle permet la création de cartes dites intelligentes et interrogeables dont la consultation est dynamique et précise. D’abord réservées aux spécialistes, ses applications pratiques sont maintenant plus diversifées : calcul d’un trajet en voiture, coordination des secours en cas de sinistre, suivi des épidémies mondiales, prévision de l’impact environnemental de projets d’inrastructures tels que la construction d’un barrage ou d’une autoroute, etc. La géomatique regroupe toutes les disciplines, les technologies et les moyens inormatiques qui permettent d’acquérir, de stocker, de traiter et de diuser des données décrivant le territoire, ses ressources ou tout objet ou phénomène ayant une position géographique sur la Terre. Pour recueillir ces données, les géomaticiens utilisent des photographies aériennes (photogrammétrie), des photographies prises à partir de plates-ormes comme les satellites (télédétection) et des cartes représentant des éléments d’un territoire (cartographie). Ils ont aussi appel à des disciplines comme la géodésie et l’arpentage, qui permettent de déterminer les dimensions, la orme, la position et les limites d’un terrain, d’un bâtiment ou d’un cours d’eau. Le travail des géomaticiens consiste ensuite à analyser les données recueillies et à les traiter dans le but de produire des mesures, des cartes ou des systèmes d’inormation. Pour devenir technicienne ou technicien en géomatique, il aut aire des études collégiales. Des programmes universitaires de baccalauréat, de maîtrise ou de doctorat en géomatique ou en géographie mènent quant à eux à une carrière de spécialiste en géomatique. Pour exercer une proession liée à ce domaine, il aut avoir un intérêt pour les sciences et l’inormatique, avoir un bon sens de l’observation, une grande capacité d’analyse et savoir aire preuve d’autonomie. Les secteurs d’emploi qui orent des débouchés aux diplômés en géomatique sont nombreux et diversifés : les gouvernements édéral et provinciaux, les entreprises de services en environnement, les frmes de consultants en géomatique ou en génie-conseil ainsi que des entreprises dans des domaines aussi variés que la oresterie, le transport, l’agriculture, la santé, les biotechnologies et l’océanologie.

Le monde du travail

197

Chapitre

8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique L’observation de certains phénomènes à partir d’expérimentations nous permet de déterminer des modèles mathématiques. Ces modèles nous permettent de préciser nos prévisions relatives aux phénomènes étudiés. Par exemple, dans le domaine de la météorologie, on tente de perectionner les modèles utilisés afn de prévoir l’arrivée d’une tempête ou d’un ouragan. L’étude des probabilités peut aussi permettre aux autorités gouvernementales de ormuler un projet de loi visant à protéger la population. Par exemple, à la suite de l’analyse de données statistiques en matière de sécurité routière, on peut calculer les probabilités que des accidents de la route aient eu lieu alors que les conducteurs utilisaient le téléphone cellulaire. Selon toi, à quelles conditions une loi visant à protéger la sécurité des citoyens peut être adoptée ? Nomme des situations où une loi a été adoptée à la suite de l’observation de comportements non sécuritaires.

Survol

Vivre-ensemble et citoyenneté

Entrée en matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 1 – La probabilité subjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 2 – L’espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 3 – La probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Consolidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200 203 215 227 240 251

Contenu de formation • • • • •

Probabilité subjective Probabilité conditionnelle Équité : chance, espérance mathématique Notation actorielle Analyse et prise de décision concernant des données probabilistes : représentation et calcul d’une probabilité conditionnelle ; distinction entre événements mutuellement exclusis ou non, indépendants et dépendants ; détermination des chances pour et des chances contre; calcul et interprétation de l’espérance mathématique ; modifcation de la valeur de paramètres ou de conditions dans la situation pour la rendre équitable, ou pour optimiser un montant de gain ou de perte selon certains objectis

Entrée en matière Les pages 200 à 202 ont appel à tes connaissances en probabilités et en statistique.

En contexte Dans une école secondaire, un groupe d’élèves souhaite que la structure de représentation des élèves passe d’un conseil à un parlement. Sylvain, l’animateur de la vie scolaire, a choisi de procéder à un réérendum sur la modifcation de la structure. Les élèves sont invités à voter en répondant à la question suivante. Acceptes-tu que la structure de représentation des élèves devienne celle d’un parlement ? Oui

Non

1. Le tableau suivant présente certaines statistiques relatives au réérendum. Nombre d’élèves

Nombre d’élèves qui ont voté

Pourcentage d’élèves qui ont voté « Oui »

Pourcentage d’élèves qui ont voté « Non »

1re année

252

100

21

79

2e année

228

125

24

76

1re année

201

130

40

60

2e année

157

140

75

25

3e année

132

125

88

12

Niveau

er

1 cycle

2e cycle

Parmi les élèves qui ont voté, on en a choisi deux au hasard pour dépouiller les bulletins de vote. a) Quelle est la probabilité que la première personne choisie soit une ou un élève du 2e cycle ? b) Quelle est la probabilité que les deux personnes choisies soient des élèves de la 3e année du 2e cycle ? c) Quel est le résultat du vote ?

2. Au moment de l’annonce du résultat du vote, les élèves de certains niveaux ont eu l’impression que leur opinion n’avait pas été respectée. Des élèves de chacun de ces niveaux ont ormulé une plainte. a) De quels niveaux peuvent être les élèves qui ont ormulé cette plainte ? Justife ta réponse. b) Si tous les élèves de la 1re année du 1er cycle étaient allés voter et que 80 % d’entre eux avaient voté « Non », est-ce que le résultat du réérendum aurait été le même ? Justife ta réponse. 200

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

3. Dans cette nouvelle structure de représentation des élèves, il faut élire des députés pour représenter chacun des 34 groupes d’élèves de l’école. Quelquesuns de ces députés formeront ensuite la tête du parlement ainsi que le conseil des ministres. Voici la répartition des députés par niveau ainsi que la structure du parlement des élèves. Le parlement des élèves La répartition des députés par niveau Niveau er

1 cycle

2e cycle

Nombre de députés

1re année

9

2e année

8

1re année

7

2e année

6

3e année

4

Tête du parlement – – – –

Première ou premier ministre Vice-première ou vice-premier ministre Présidente ou président d’assemblée Leader parlementaire

Conseil des ministres – – – – – –

Ministre Ministre Ministre Ministre Ministre Ministre

de l’Environnement de l’Équité et de la Solidarité des Sports et des Loisirs de la Communication de la Formation de la Santé des élèves

La tête du parlement sera formée des quatre députés de la 3e année du 2e cycle et le conseil des ministres sera formé des six députés de la 2e année du 2e cycle. a) Combien de têtes du parlement différentes est-il possible de former ? b) Combien de conseils des ministres différents est-il possible de former ?

Vivre-ensemble et citoyenneté Depuis 1991, le Directeur général des élections du Québec et le ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport encouragent les écoles de la province à offrir à leurs élèves une tribune où ils pourront exprimer leur point de vue sur des questions touchant la vie scolaire et faire l’expérience du partage du pouvoir. Aujourd’hui, les élèves des écoles primaires et secondaires peuvent choisir différentes structures de représentation, dont le conseil d’élèves et le parlement des élèves. Les membres d’un conseil ou d’un parlement sont élus par leurs pairs. Leur rôle est de représenter tous les élèves de leur école dans certains dossiers, comme celui des activités parascolaires, celui de l’amélioration de la qualité de vie à l’école, ou encore dans des rencontres, par exemple celles du conseil d’établissement. Quelles sont les qualités recherchées chez les membres d’un conseil d’élèves ou d’un parlement des élèves ? De quelles façons les élèves peuvent-ils exercer leur leadership dans une école ?

Entrée en matière

201

En bref Sauf indication contraire, un dé est toujours considéré comme régulier et ayant six faces.

1. Classe les quatre événements suivants du plus probable au moins probable. 1

Obtenir une somme supérieure à 5 en lançant deux dés.

2

Tirer l’as de cœur d’un jeu de 52 cartes.

3

Te réveiller demain.

4

Lancer une pièce de monnaie deux fois et obtenir deux fois le côté pile.

2. On s’intéresse aux trois événements suivants. 1 Tirer un 8 d’un jeu de 52 cartes. 2 Obtenir un résultat plus petit que 7 en lançant un dé. 3 Obtenir trois fois le côté pile en lançant trois fois une pièce de monnaie.

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.

a) Lesquels de ces événements proviennent d’expériences aléatoires ? b) Calcule la probabilité de ces trois événements.

3. Le tableau suivant présente des données relatives au salaire horaire de tous les employés d’une entreprise selon le poste qu’ils occupent. Salaire horaire

Nombre de personnes qui occupent ce poste

Commis

18 $

40

Répartiteur

23 $

7

Superviseur

31 $

4

Poste

a) Quel est le salaire horaire moyen de tous les employés de cette entreprise ? b) Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans le personnel de cette entreprise gagne plus de 20 $ l’heure ?

4. Dans un chapeau, on a mis 20 tuiles. Sur chaque tuile, on a inscrit un chiffre différent (0 à 9) ou une lettre différente (A à J). On tire deux tuiles du chapeau. Sachant qu’il s’agit d’un tirage sans remise, détermine la probabilité de tirer : a) une lettre d’abord et un chiffre ensuite ; b) deux lettres ; c) une voyelle et un multiple de 2.

202

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

Section

1

La probabilité subjective Un jeu stratégique À toute épreuve est une émission de téléréalité dans laquelle 30 participants s’arontent dans des épreuves qui sollicitent autant leurs capacités physiques que mentales. À la base, il s’agit d’un jeu stratégique dans lequel les participants votent à la fn de chaque journée pour éliminer une participante ou un participant. La personne qui remporte l’épreuve du jour ne peut être éliminée. À partir du moment où il reste neu participants, chaque personne éliminée devient membre du jury. Ce jury, qui sera composé de sept personnes au moment de la fnale, déterminera la personne gagnante parmi les deux fnalistes. Voici les quatre derniers participants de cette année et quelques renseignements à leur sujet. Participant

Renseignements sur la participante ou le participant

Jean

Jean est du type caméléon : il accepte toujours d’aider une participante ou un participant qui le sollicite. Il a ormé une alliance avec Sally et Antonio, mais il n’a jamais eu besoin de prendre des risques pour progresser dans le jeu.

Sally

Sally est la personne la plus endurante du groupe. Elle a ormé une alliance avec Jean et Antonio, mais sa confance envers Antonio est ébranlée parce qu’il utilise des stratégies déloyales.

Stéphane Antonio

Stéphane a gagné les trois dernières épreuves. Il n’a créé aucune alliance. Il croit qu’il est perçu comme une menace dans le jeu, car il est le plus athlétique du groupe. Antonio est la personne la moins endurante du groupe, mais il réussit très bien dans les épreuves qui nécessitent de la logique. Il s’est rendu là où il est grâce à plusieurs alliances qu’il a trahies au cours du jeu. Il a ormé une alliance avec Sally et Jean depuis le début du jeu. Il est en quelque sorte un meneur.

Évalue la probabilité de gagner pour chaque participant. Explique comment tu as procédé.

Vivre-ensemble et citoyenneté Les émissions de téléréalité font de plus en plus partie du paysage télévisuel. En plus d’être populaires, ces émissions sont très rentables, car leur coût de production est moindre que celui d’autres types d’émissions. Leur mise en scène requiert bien souvent que les participants vivent ensemble dans un espace restreint. Selon toi, l’entraide ou les qualités de chef qu’on peut constater dans un jeu de téléréalité sont-elles comparables à celles qu’on observe dans la vie réelle ? Pourquoi ?

Section 1

La probabilité subjective

203

ACTIVITÉ d’exploration

1

• Distinction entre différents types de probabilités

À l’épicerie Voici huit événements ayant diérentes probabilités de se réaliser dans une épicerie. 1

Observer que la prochaine personne qui entre dans l’épicerie est un homme.

5

Acheter de la viande lorsqu’on est végétarien.

2

Acheter un pain qui vient tout juste de sortir du our après avoir senti l’odeur qui s’en dégage.

6

Acheter au hasard du lait 2 % parmi les choix suivants : lait écrémé, 1 %, 2 % et 3,25 %.

3

Passer au hasard à la caisse 2 lorsque les cinq caisses sont ouvertes.

7

Observer que la prochaine personne qui entre dans l’épicerie porte une casquette.

4

Observer qu’une personne passe deux ois dans la même rangée.

8

Acheter un article portant une étiquette rouge.

A

Selon toi, lequel de ces événements est :

• Notation factorielle

1)

Probabilité théorique Probabilité calculée à partir d’un modèle. Probabilité fréquentielle Estimation de la probabilité théorique à partir de résultats observés dans une expérience aléatoire. Probabilité subjective Probabilité évaluée à partir d’un jugement.

204

Chapitre 8

le plus probable ?

2)

le moins probable ?

B

Pourquoi plusieurs bonnes réponses sont-elles possibles en A ?

C

Pour lesquels de ces événements est-on en mesure de calculer la probabilité théorique ?

D

Calcule la probabilité théorique de chacun des événements nommés en C.

E

Pour lesquels de ces événements aut-il recourir à la probabilité fréquentielle afn de déterminer la probabilité ?

F

Pour lesquels de ces événements aut-il évaluer une probabilité subjective ?

G

Quel type de probabilité peut donner lieu à des évaluations diérentes, selon la personne qui la détermine ? Justife ta réponse.

H

Selon toi, quelles questions peut-on se poser pour aciliter l’association d’un événement à un type de probabilité ?

I

Trouve un autre événement que ceux présentés précédemment auquel est associée une probabilité : 1) théorique ; 2) réquentielle ; 3) subjective.

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

Pour vendre davantage de produits, les épiciers ont recours à diérentes techniques. Une de ces techniques consiste à déplacer diérents produits dans leurs étalages. Ainsi, en cherchant les produits qu’ils ont l’habitude de trouver à un certain endroit, les clients voient plutôt des produits dont ils n’ont pas nécessairement besoin, mais qu’ils pourraient décider d’acheter. Théo travaille dans une épicerie. Il utilise cette technique pour disposer des ruits et des légumes dans un comptoir. Son comptoir contient trois étalages ayant respectivement trois, quatre et huit compartiments. Dans le premier étalage, Théo doit placer trois variétés de poires. Dans le deuxième, il doit placer quatre variétés de pommes et, dans le troisième, il doit placer huit variétés de légumes. 1 2 3

Dans le cas des poires, Théo sait qu’il a trois choix pour remplir le premier compartiment, deux choix pour le deuxième, et un seul choix pour le dernier. À l’aide du principe de multiplication, il calcule donc le nombre de açons dont il peut disposer les poires : 3 • 2 • 1 = 6. J

À l’aide de la méthode de Théo, calcule le nombre de açons dont il peut disposer : 1) les pommes dans le deuxième étalage ; 2) les légumes dans le troisième étalage.

K

Utilise la notation factorielle afn de simplifer l’écriture de ta démarche en J.

Fait divers On estime qu’au moment où une personne ait ses courses, environ 20 % de ses achats sont planifés tandis que 80 % ne le sont pas. C’est sur ce deuxième pourcentage que les commerçants se basent pour aire augmenter le nombre de ventes. Ils utilisent plusieurs techniques afn d’inciter les clients à aire des achats non planifés : placer certains articles à la hauteur des yeux, s’assurer que de bonnes odeurs circulent, placer des étiquettes rouges sur certains articles afn de donner l’impression qu’ils sont en solde, etc. Une liste s’avère donc un outil indispensable pour éviter de aire des dépenses non souhaitées ! Notation factorielle

Ai-je bien compris ? 1. Quel type de probabilité (théorique, réquentielle ou subjective) est le plus approprié pour chacune des situations suivantes si l’on veut en déterminer la probabilité ? a) Obtenir cinq ois de suite le côté pile en lançant une pièce de monnaie. b) Observer une victoire des Canadiens de Montréal à leur prochain match. c) Tirer un as d’un jeu de 52 cartes. d) Observer le nombre de jours où il pleuvra durant une semaine. e) Oublier l’anniversaire de sa meilleure amie. f) Observer le nombre de voitures rouges qui passent à une intersection pendant qu’on attend à un eu rouge. 2. Calcule la valeur de chacune des expressions suivantes. a) 5 ! b) 7 ! c) 9 ! 4!

Notée n !, la notation actorielle permet de simplifer l’écriture lorsqu’on veut trouver le produit de tous les nombres entiers positis inérieurs ou égaux à n. Par exemple, 3 • 2 • 1 est noté 3 ! et a comme résultat 6, car 3! = 3 • 2 • 1 = 6.

d) 3 ! • 6 !

Section 1

Activité d’exploration 1

205

ACTIVITÉ d’exploration

2

• Probabilité subjective • « Chances pour » et « chances contre »

La Triple Couronne Chaque printemps, aux États-Unis, des chevaux âgés de trois ans essaient de gagner la Triple Couronne. Pour ce aire, ils doivent d’abord remporter le Kentucky Derby, puis le Preakness Stakes et, enfn, le Belmont Stakes. Dans l’histoire de la Triple Couronne, 32 chevaux ont remporté les deux premières courses, mais seulement 11 d’entre eux ont aussi remporté le Belmont Stakes et donc la Triple Couronne. Le tableau suivant présente des statistiques et de l’inormation relatives à cinq chevaux qui ont remporté le Kentucky Derby et le Preakness Stakes ; deux de ces chevaux ont remporté la Triple Couronne.

Année

1932

1935

Cheval Burgoo King

Omaha

Kentucky Derby – Il n’était pas avori.

Preakness Stakes – Il était avori.

Fait divers

Fiche en carrière

Le jour de la course du Belmont Stakes, il aisait chaud et humide, et le ciel était nuageux.

21 courses, 8 victoires

– Il a gagné par 3 longueurs.

– Il a gagné par 1 tête.

– Il n’était pas avori.

– Il n’était pas avori.

– Il a gagné par 1,5 longueur.

– Il a gagné par 6 longueurs.

Son père a gagné la Triple Couronne.

22 courses, 9 victoires

– Il n’était pas avori.

– Il était avori.

Son père, Tom Fool, et sa mère, Two Lea, sont membres du Temple de la renommée des chevaux.

14 courses, 10 victoires

Le même cheval (Arts and Letters) est arrivé 2e lors des deux premières courses.

10 courses, 9 victoires

Secretariat a établi un record de vitesse à ces deux courses.

21 courses, 16 victoires

1958

Tim Tam

– Il a gagné par 0,5 longueur.

– Il a gagné par 1,5 longueur.

1969

Majestic Prince

– Il était avori.

– Il était avori.

– Il a gagné par 1 cou.

– Il a gagné par 1 tête.

– Il était avori.

– Il était avori.

1973

Secretariat

– Il a gagné par 2,5 longueurs.

– Il a gagné par 2,5 longueurs.

Adapté de : Unofficial Thoroughbred Hall of Fame (traduction libre), 2009.

Pour décrire l’avance avec laquelle un cheval gagne une course, on indique la partie du corps du cheval ou encore le nombre de longueurs du cheval entier qui a ranchi la ligne d’arrivée avant l’arrivée du deuxième cheval.

206

Chapitre 8

A

Selon toi, parmi ces cinq chevaux, lesquels ont remporté la Triple Couronne ? Justife ta réponse.

B

Quelle statistique ou quelle inormation supplémentaire pourrait t’aider à répondre à la question A ?

C

Trouve des arguments qui peuvent justifer la victoire d’un cheval autre que ceux que tu as nommés en A.

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

En 1935, alors que 17 experts jugeaient qu’Omaha remporterait le Belmont Stakes, 12 autres évaluaient que ce cheval n’avait pas ce qu’il allait pour remporter une troisième course consécutive. D

En te basant sur l’opinion de ces experts, détermine : 1) les « chances pour » la victoire d’Omaha au Belmont Stakes ; 2)

« Chances pour »

les « chances contre » la victoire d’Omaha au Belmont Stakes.

E

Les « chances pour » et les « chances contre » représentent-elles la probabilité qu’Omaha gagne ou perde la course ? Justife ta réponse.

F

Comment peux-tu utiliser les « chances pour » afn d’évaluer la probabilité qu’Omaha gagne la course ? Évalue cette probabilité.

G

De quel type de probabilité est-il question en F ?

Rapport entre les cas avorables et les cas déavorables à la réalisation d’un événement. « Chances contre » Rapport entre les cas déavorables et les cas avorables à la réalisation d’un événement.

En 2008, Big Brown a ailli remporter la Triple Couronne. Le tableau suivant présente les « chances pour » telles qu’elles avaient été établies pour chacune des courses de la Triple Couronne qu’a courues Big Brown. Big Brown (2008)

Kentucky Derby

Preakness Stakes

Belmont Stakes

3:1

4:1

5:2

Adapté de : Internet Broadcasting Systems Inc., 2009 ; The Spread Inc., 2008 ; Newser, 2009.

H

Évalue la probabilité subjective qu’avait Big Brown de remporter : 1) le Kentucky Derby ; 2) le Preakness Stakes ; 3) le Belmont Stakes.

I

Donne un exemple d’utilisation des rapports « chances pour » et « chances contre » dans un contexte de probabilité : 1) théorique ; 2) réquentielle.

On utilise généralement le deux-points plutôt que la barre de raction pour exprimer les « chances pour » et les « chances contre ». Par exemple, si les « chances pour » sont de 51 , on écrit 5 : 1 et on dit « 5 contre 1 ».

Ai-je bien compris ? 1. Évalue la probabilité subjective : a) que tous tes amis b) qu’une de tes soient présents à amies oublie ses l’école mardi prochain ; clés aujourd’hui ;

c) qu’il pleuve dans cinq jours.

2. Exprime les probabilités suivantes en « chances pour » et en « chances contre ». a) 14 b) 35 c) 99 % 3. Exprime les « chances pour » ou les « chances contre » suivantes en probabilités. a) Pour la course de demain, Arold a 3 chances de l’emporter contre 5 de perdre. b) Les « chances pour » sont de 7 : 2. c) « Chances contre » = 47 Section 1

Activité d’exploration 2

207

Faire le point La distinction entre différents types de probabilités La valeur d’une probabilité est toujours comprise dans l’intervalle [0, 1].

Une probabilité peut être théorique, fréquentielle ou subjective selon qu’on la calcule à l’aide d’un modèle théorique, qu’on l’estime à l’aide d’une expérience aléatoire ou qu’on l’évalue en faisant appel à son jugement.

La probabilité théorique Il est possible de calculer la probabilité théorique d’un événement lorsqu’on peut modéliser une situation sans nécessairement recourir à l’expérimentation. Lorsque les résultats d’une expérience aléatoire sont équiprobables, la probabilité d’un événement se calcule de la façon suivante. Nombre de résultats favorables Probabilité théorique = Nombre de résultats possibles d’un événement

Exemple : Soit l’expérience aléatoire « Sans regarder, tirer une bille du bocal ci-contre et noter sa couleur ». 2 La probabilité de tirer une bille rouge est de 11 . La probabilité de tirer une bille bleue 5 4 est de 11 . La probabilité de tirer une bille verte est de 11 .

La probabilité fréquentielle (ou expérimentale) La probabilité fréquentielle est une estimation de la probabilité théorique faite à partir de résultats observés à la suite de plusieurs réalisations d’une expérience aléatoire. On doit avoir recours à une expérience aléatoire lorsqu’on ne dispose pas d’un modèle permettant de calculer une probabilité théorique. Lorsque l’expérience aléatoire est effectuée un très grand nombre de fois, la probabilité fréquentielle tend à se rapprocher de la probabilité théorique. La probabilité fréquentielle constitue alors une bonne estimation de la probabilité théorique. Probabilité fréquentielle Nombre de réalisations de l’événement = d’un événement Nombre de réalisations de l’expérience aléatoire

Point de repère Jacob Bernoulli Le Suisse Jacob Bernoulli (1654-1705) fut l’un des premiers mathématiciens à tenter d’établir un lien entre la probabilité théorique et la probabilité fréquentielle d’un événement. Ses travaux l’ont mené à énoncer la « loi des grands nombres ». Cette loi stipule que si on réalise une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la probabilité fréquentielle converge vers la probabilité théorique associée à l’événement en question.

208

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

Exemple : Soit l’expérience aléatoire « Lancer un pince-euilles et noter sa position nale ». Voici la compilation des résultats de 300 lancers. Résultat (position fnale) 225

Nombre de réalisations Probabilité réquentielle

225 300

39

= 75 %

39 300

= 13 %

36 36 300

0

= 12 %

0%

Remarque : Même si un des résultats n’a pas été observé en eectuant l’expérience aléatoire, on ne peut pas conclure que ce résultat est impossible.

La probabilité subjective Une probabilité subjective refète l’avis d’une personne sur la probabilité qu’un événement se réalise. Cette probabilité est subjective parce qu’elle ait appel au jugement et correspond à une évaluation personnelle basée à la ois sur des connaissances et des opinions. On évalue une probabilité subjective dans le cas où il est impossible de calculer une probabilité théorique ou de l’estimer à l’aide d’une probabilité réquentielle. Les prévisions de résultats sportis et certaines prévisions météorologiques ont appel à la probabilité subjective. Remarque : La probabilité subjective qu’un événement se réalise peut être évaluée diéremment d’une personne à une autre.

Les « chances pour » et les « chances contre » Dans certaines situations, les probabilités théorique, réquentielle ou subjective sont exprimées en « chances pour » et en « chances contre ». Les « chances pour » et les « chances contre » au moment de la réalisation d’un événement sont exprimées par les rapports suivants. « Chances pour » =

« Chances contre » =

Nombre de cas avorables Nombre de cas déavorables Nombre de cas déavorables Nombre de cas avorables

Exemple : Pour une saison donnée, trois analystes sportis croient que l’équipe des Canadiens de Montréal remportera la coupe Stanley, alors que huit autres croient qu’une autre équipe de la Ligue nationale de hockey remportera la coupe. Les « chances pour » sont de 3 : 8. Les « chances contre » sont de 8 : 3. Remarque : On exprime généralement les « chances pour » et les « chances contre » à l’aide d’un deux-points. Ainsi, si les « chances pour » la réalisation d’un événement sont évaluées à 38, on écrit 3 : 8 et on dit : les « chances pour » que l’événement se réalise sont de 3 contre 8. Section 1

Faire le point

209

De la probabilité aux chances et des chances à la probabilité La relation entre le nombre de cas possibles et le nombre de cas favorables et défavorables à la réalisation d’un événement permet d’exprimer une probabilité en « chances pour » ou en « chances contre », ou l’inverse. Nombre de cas possibles = Nombre de cas favorables + Nombre de cas défavorables Exemples : 1)

Pour exprimer le rapport « chances pour » 3 : 8 en probabilités, on détermine le nombre de cas possibles à partir du nombre de cas favorables et du nombre de cas défavorables. On a donc 11 cas possibles (3 + 8 = 11).

La probabilité que les Canadiens de Montréal remportent la coupe Stanley est 3 de 11 . puisque 3 analystes sportifs sur 11 croient qu’ils la remporteront. 4 2) Pour exprimer en « chances contre » la probabilité 11 que les Canadiens de Montréal gagnent la coupe, on détermine le nombre de cas défavorables à partir du dénominateur, qui représente le nombre de cas possibles. On a donc 8 cas défavorables (11 − 3 = 8). Les « chances contre » sont de 8 : 3. Remarques : – Le rapport « chances pour » est l’inverse du rapport « chances contre ». – L’expression « 3 chances sur 11 » est équivalente à l’expression « des chances de 3 contre 8 ».

La notation factorielle La notation factorielle permet de simplifier l’écriture de certaines opérations. Pour tout entier positif, la factorielle d’un nombre n, notée n !, est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n. n ! = n • (n − 1) • (n − 2) • … • 2 • 1 Exemple : Une expérience aléatoire consiste à déterminer par tirage au sort l’ordre dans lequel six élèves présenteront leur exposé oral. Combien de possibilités y a-t-il ? Cette expérience aléatoire comporte six étapes. Il y a six choix possibles pour la première étape, car les six élèves peuvent être choisis pour passer en premier. Il y a cinq choix possibles pour la deuxième étape, car il ne reste que cinq élèves qui n’ont pas encore présenté leur exposé oral. Suivant le même raisonnement, il y a quatre choix possibles pour la troisième étape, trois choix possibles pour la quatrième étape, deux choix possibles pour la cinquième étape et un seul choix possible pour la sixième et dernière étape, car il ne reste plus qu’une ou un élève. 6 ! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 Cette expérience aléatoire peut donc se réaliser de 720 façons.

210

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

Mise en pratique 1. Quel type de probabilité (théorique, réquentielle ou subjective) est le plus approprié pour chacune des situations suivantes si l’on veut en déterminer la probabilité ? a) Observer que les quatre enants d’une même amille sont de même sexe. b) Attribuer une note de 10 sur 10 au lm que tu verras en juillet prochain. c) Observer le nombre de jours, durant un mois, où la température atteindra 25 °C. d) Tirer le roi de trèfe d’un jeu de 52 cartes. e) Réaliser un arrêt sur un tir de barrage durant un match de la Ligue nationale de hockey. f) Observer que la masse d’un nouveau-né est supérieure à 3 kg. g) Lancer deux dés et observer que la somme obtenue est un multiple de 3. h) Constater que ta nouvelle amie sera contente de la cote qu’elle obtiendra à sa prochaine évaluation de mathématique. i) Tirer deux boules rouges consécutives d’une urne contenant quatre boules rouges, deux boules jaunes et trois boules vertes.

2. Soit l’armation suivante. Notre produit nettoyant tue 99,9 % des germes. a) Dans tes mots, reormule cette armation en utilisant le mot « probabilité ». b) De quel type de probabilité s’agit-il ? Justie ta réponse.

3. Léo a compilé dans le tableau ci-dessous les résultats de 2 500 lancers d’un gobelet de carton. Position

Effectif

207 Debout

2 293 Couché

a) Quelle est la probabilité que le gobelet tombe en position debout au prochain lancer ? b) Si Léo eectue 2 500 autres lancers, combien de ois crois-tu que le gobelet tombera en position couchée ? c) Tes réponses en a et en b sont-elles basées sur une opinion, une expérience ou un modèle mathématique ? Justie tes réponses. Section 1

Mise en pratique

211

4. Le tableau ci-dessous présente certaines observations météorologiques faites durant les derniers jours à Detroit, à Toronto et à Montréal. Avant-hier

Hier

Aujourd’hui

Detroit

Vents violents Orages 15 °C

Vents modérés Faibles averses 10 °C

Pas de vent Nuageux 9 °C

Toronto

Pas de vent Nuageux 8 °C

Vents modérés Orages 14 °C

Vents faibles Faibles averses 9 °C

Montréal

Vents modérés Ensoleillé 18 °C

Pas de vent Nuageux 9 °C

Vents modérés Averses 13 °C

Fais une prévision météorologique (vents, probabilité de précipitations et température) pour demain et après-demain à Montréal. Justifie ta réponse.

5. Dans le cadre d’un sondage réalisé auprès de 500 personnes, 85 % des répondants ont dit préférer le beurre à la margarine. a) À quel type de probabilité peux-tu associer cette affirmation ? b) Quelles sont les « chances pour » et les « chances contre » des événements suivants ? Observer une personne qui préfère le beurre. 2) Observer une personne qui préfère la margarine. c) Formule une conjecture à propos de la relation entre les « chances pour » et les « chances contre » des deux événements décrits en b. d) Comment peux-tu qualifier les deux événements décrits en b ? 1)

6. Des analystes sportifs évaluent les chances des Canadiens de Montréal et des Pingouins de Pittsburgh de remporter la coupe Stanley. Ils placent les Canadiens favoris à 2 contre 27, tandis qu’ils estiment que les « chances contre » des Pingouins sont de 13 : 3. Selon ces estimations, pour quelle équipe la probabilité de remporter la coupe Stanley est-elle la plus grande ? Justifie ta réponse.

7. Effectue les calculs factoriels suivants. a) 6 !

b) 7 !

8!

c) 4 !

13 !

d) 3 !(9 !)

8. On veut placer cinq livres différents, debout et côte à côte, sur une tablette. De combien de façons différentes peut-on placer ces livres ? Représente la solution de cette situation à l’aide de la notation factorielle et calcule son résultat.

9. Explique pourquoi on ne peut pas exprimer une probabilité égale à 1 en « chances pour ».

212

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

10. Exprime les probabilités suivantes en « chances pour » et en « chances contre ». a) 4 chances sur 7 3

b) 8

c) 17

2

e) 12,5 %

12

) 66 23 %

d) 37

11. Exprime les « chances pour » ou les « chances contre » suivantes en probabilités. a) 8 chances de gagner contre 3 de perdre

11

b) Les « chances contre » sont de 5 : 9.

d) « Chances pour » = 5 e) Les « chances pour » sont de 8 : 1.

c) 7 chances de gagner contre 2 de perdre

) « Chances contre » = 13

9

12. Valérie vient tout juste d’acheter un baladeur MP3 et elle y a stocké 10 chansons. Elle commande à son baladeur de aire jouer aléatoirement toutes les chansons. Sachant que le baladeur ait jouer chaque chanson une seule ois, de combien de açons diérentes peut-il jouer l’ensemble des 10 chansons ?

13. Voici cinq acteurs qui peuvent infuer sur le ait que l’équipe de soccer l’Impact de Montréal remporte son prochain match. 1

La fche de l’Impact pour ses trois derniers matchs Trois victoires et aucune déaite

2

La fche de l’équipe adverse pour ses trois derniers matchs Deux victoires et une déaite

3

La fche de l’Impact contre cette équipe au cours de la saison dernière Une victoire et une déaite

4

Les prévisions météorologiques 80 % de probabilité d’averses, orts vents

5

Le degré d’importance du match au regard de la qualifcation aux quarts de fnale L’équipe adverse ne peut pas se qualier, alors que l’Impact ne doit gagner qu’un seul de ses quatre derniers matchs pour se qualier.

a) Ordonne les cinq acteurs ci-dessus du plus infuent au moins infuent. b) Selon toi, quels autres acteurs pourraient infuer sur le ait que l’Impact remporte son prochain match ? c) Évalue la probabilité que l’Impact remporte son prochain match.

Section 1

Mise en pratique

213

14. Une enseignante a trois objets à aire tirer parmi les 32 élèves de sa classe. Chaque élève ne peut gagner qu’une seule ois. a) Si l’on tient compte de l’ordre des gagnants, combien de groupes de trois élèves diérents peuvent remporter les objets ? b) As-tu utilisé la notation actorielle pour déterminer le calcul à eectuer en a ? Pourquoi ? c) Dans quel cas de dénombrement la notation actorielle est-elle utile ? Justie ta réponse.

15. Julie joue au sudoku dans l’autobus. Ce jeu consiste à remplir une grille composée de 9 sections de 9 cases chacune à l’aide des chires 1 à 9, sans répéter le même chire sur une même ligne, une même colonne ou une même section. Sans tenir compte des chires déjà inscrits dans certaines cases, de combien de açons Julie peut-elle remplir : a) chacune des lignes ou des colonnes ? b) chacune des sections ?

16. Vrai ou aux ? Justie tes réponses. a) Les « chances pour » donnent une probabilité de gagner alors que les « chances contre » donnent une probabilité de perdre. b) Si le rapport « chances pour » est inérieur à un entier, alors le rapport « chances contre » sera supérieur à un entier. c) « 2 chances sur 7 » est un rapport « chances pour ». d) « 5 chances sur 8 » signie la même chose que « des chances de 5 contre 3 ». e) S’il y a autant de « chances pour » la réalisation d’un événement que de « chances contre », alors la probabilité que l’événement se réalise est de 12 .

17. Sept personnes s’assoient autour d’une table ronde pour partager un repas. De combien de açons ces personnes peuvent-elles s’asseoir autour de la table ?

18. Jean-Simon utilise cinq cartes d’un jeu de 52 cartes pour aire des tours de magie. Voici de l’inormation sur les cartes qu’il utilise. – Les « chances pour » qu’une carte choisie au hasard soit noire sont de 3 : 2.

– Les « chances contre » qu’une carte choisie au hasard soit une gure sont de 1 : 4. – La probabilité qu’une carte choisie au hasard soit un trèfe est de 60 %. a) Quelle est la probabilité qu’une carte choisie au hasard parmi les cinq cartes de Jean-Simon soit rouge ? b) Quelles sont les « chances pour » qu’une carte choisie au hasard parmi les cinq cartes de Jean-Simon n’en soit pas une de trèfe ? c) Nomme deux ensembles de cinq cartes qui pourraient être celles que Jean-Simon utilise pour ses tours de magie.

214

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

Section

2

L’espérance mathématique

?

Tout le monde y gagne !

Dans le cadre d’un événement-bénéfce annuel, on invite les visiteurs à participer au jeu du labyrinthe. Ce jeu sert à amasser des onds pour venir en aide à des enants malades. Les participants doivent payer un droit d’entrée pour ce jeu et tous remportent un lot. Les participants commenceront l’épreuve à l’entrée du labyrinthe représenté ci-contre. À l’intérieur, ils se trouveront devant une succession de portes à sens unique, identiques, donnant accès à diérents sentiers. Certains parcours mènent à la salle 1 , d’autres aux salles 2 , 3 ou 4 . Dans chacune de ces salles se trouve un des quatre lots suivants. A

Un porte-clés de l’événement

B

Deux billets pour un match de hockey junior

C

1

Entrée

Deux laissezpasser pour le cinéma

D

2

3

4

Un souper au restaurant pour deux

Les lots proviennent de commanditaires. La somme déboursée par les organisateurs pour acquérir ces lots, soit respectivement 1 $, 0 $, 4 $ et 40 $, est donc inérieure à leur valeur réelle. L’objecti est de recueillir au moins 3 000 $. On estime que 1 000 personnes participeront au jeu du labyrinthe, et aucun commanditaire n’a fxé de limite quant au nombre de lots oerts. Propose aux organisateurs une salle du labyrinthe où placer chaque lot et fxe le droit d’entrée qui leur permettra d’atteindre leur objecti. Vivre-ensemble et citoyenneté Il arrive souvent que des événements populaires s’associent à une cause. C’est le cas du Grand Déf, un pentathlon nouveau genre qui regroupe cinq sports, dont le kayak et l’escalade. L’argent recueilli au cours de cet événement annuel, qui attire plus de 1 000 participants et plusieurs milliers de spectateurs, sert, entre autres, à soutenir les activités de la ondation Les Amis d’Elliot, dont la mission est de venir en aide aux enants malades de la région des Bois-Francs. Comment un tel partenariat peut-il être proftable aux deux parties ? Selon toi, à quoi peut-on attribuer le succès d’un événement de cette envergure ?

Section 2

L’espérance mathématique

215

ACTIVITÉ d’exploration

1

Partage de coutume Alex décrit à Cynthia le jeu du dreidel auquel il joue avec les membres de sa amille au cours de la ête juive de la Hanoukkah. Un dreidel est une toupie dont chacune des quatre aces est marquée d’une lettre hébraïque. Pour y jouer, on détermine d’abord les objets qui constituent la mise. À tour de rôle, les joueurs ont ensuite tourner le dreidel et suivent la consigne correspondant au résultat obtenu. Par exemple, les joueurs passent leur tour, ajoutent ou prennent un certain nombre d’objets, et ce, jusqu’à ce que la mise soit vide.

Espérance mathématique

Des résultats équiprobables sont des résultats qui ont la même probabilité de se réaliser.

Cynthia a abriqué une toupie en carton semblable à un dreidel, mais dont les résultats ne sont pas équiprobables. Sur les aces de la toupie, elle a inscrit « Passe ton tour », « Prends 1 », « Ajoute 2 » et « Prends 3 ». Elle propose à son rère et à sa sœur de jouer avec 30 chocolats. Chaque personne prend 4 chocolats et les 18 restants constituent la mise. Le tableau suivant présente la probabilité d’obtenir chacun des résultats de la toupie de Cynthia. Résultat Probabilité

« Passe ton tour »

« Prends 1»

« Ajoute 2 »

« Prends 3 »

25 %

30 %

25 %

20 %

Espérance mathématique

A

Calcule l’espérance mathématique de cette toupie.

Moyenne pondérée des résultats d’une expérience aléatoire dans laquelle les acteurs de pondération sont les probabilités d’obtenir chacun des résultats.

B

Que représente la valeur trouvée en A dans le présent contexte ?

C

Pourquoi le ait que les résultats de la toupie abriquée par Cynthia ne soient pas équiprobables infue-t-il sur l’espérance mathématique de cette toupie ?

D

Quelle aurait été l’espérance mathématique de la toupie si, à la place de l’indication « Passe ton tour », Cynthia avait inscrit « Ajoute 1 » ?

Fait divers La fête juive de la Hanoukkah, aussi appelée « Fête des lumières », commémore la libération de Jérusalem de la domination grecque, il y a plus de 2 000 ans. Chaque soir, pendant huit jours au mois de décembre, les familles allument une à une huit des neuf bougies du chandelier traditionnel. La neuvième bougie sert à allumer les autres.

216

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

E

Selon toi, de quelle açon le changement dont il est question en D aurait-il été susceptible d’infuer sur le nombre de tours nécessaires pour que la mise soit vide ? Justie ta réponse.

F

Par quoi audrait-il remplacer « Prends 1 » sur la toupie de Cynthia pour que la mise diminue d’un chocolat par tour, en moyenne ?

Vivre-ensemble et citoyenneté Les lettres de l’alphabet hébraïque qui apparaissent sur un dreidel sont (Nun), (Gimel), (Hei) et (Shin). Ces lettres orment l’acronyme de la phrase Nes Gadol Haya Sham, qui signife « Un grand miracle s’est produit là-bas ». Il existe plusieurs variantes aux règles du jeu du dreidel. La plus courante est la suivante. – –

correspond à « Passe ton tour ». correspond à « Ajoute 1».

–

correspond à « Prends la moitié de la mise ». Si le nombre d’objets dans la mise est impair, on arrondit à la hausse.

–

correspond à « Prends toute la mise ». Chaque personne peut ensuite regarnir la mise en y ajoutant un objet.

Nomme une coutume propre à une religion. Selon toi, comment la diversité culturelle contribue-t-elle à l’éducation à la citoyenneté ?

Ai-je bien compris ? 1. Le tableau suivant présente les résultats obtenus à un jeu de hasard ainsi que les probabilités qui leurs sont associées. 8

20

-10

-15

15 %

25 %

20 %

40 %

Résultat Probabilité

Calcule l’espérance mathématique de ce jeu. 2. Calcule l’espérance mathématique de chacune des roulettes suivantes. Les secteurs qui semblent isométriques le sont. a)

b) 2

c) 4

4

4

3

2 –

3 –

0

–

3

–

2 1

5

–

1

1

3 –

5

2

Section 2

Activité d’exploration 1

217

ACTIVITÉ d’exploration

• Interprétation de l’espérance mathématique • Équité

2

Le Plinko Le Plinko, un jeu basé sur l’espérance mathématique, a fait sa première apparition en 1983 dans un jeu télévisé. Le Plinko est un plan incliné sur lequel on a placé des piquets. On y laisse glisser une rondelle et on observe le parcours qu’elle effectue. Chaque fois que la rondelle frappe un piquet, elle dévie vers la gauche ou la droite selon la même probabilité, soit 12. On s’intéresse au résultat indiqué par la rondelle lorsqu’elle arrive au bas du plan incliné. Voici le parcours effectué par une rondelle qu’on laisse glisser sur un plan incliné construit selon le modèle du Plinko. Point de départ

1$

5 $ 0 $ 20 $ 0 $ 5 $

1$

Le tableau suivant présente la probabilité de chacun des résultats si on laisse glisser une rondelle à partir du même point de départ que celui illustré. Résultat Probabilité

218

Chapitre 8

1$ 2 64

=

1 32

5$ 12 64

=

3 16

0$ 30 64

=

15 32

20 $ 20 64

5 = 16

A

Quelle est l’espérance mathématique de ce plan incliné ?

B

Que représente l’espérance mathématique dans ce contexte ?

C

Que devient l’espérance mathématique du jeu si, pour y participer, il faut payer une mise de : 1) 1 $ ? 2) 5 $ ? 3) 10 $ ?

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

D

Avec quelles mises, parmi celles présentées en C, serait-il avantageux, en moyenne, de participer au jeu ? Justife ta réponse.

E

Si tu participes au jeu 8 ois et que la mise est de 9 $, combien peux-tu espérer gagner ou perdre au total ?

F

Détermine le prix à payer pour participer au jeu pour qu’il soit un jeu équitable.

Suppose que les lots à gagner inscrits au bas du plan incliné sont les suivants (de gauche à droite). 50 $

G

5$

1$

0$

1$

5$

50 $

Jeu équitable Dans un contexte de jeu de hasard, jeu dont l’espérance mathématique est nulle.

Détermine la mise à payer pour participer au jeu pour qu’il soit un jeu équitable. Explique comment tu as procédé.

Voici sept lots. 0$

1$

2$

5$

10 $

12 $

20 $

On veut inscrire ces lots au bas d’un plan incliné. Chaque lot ne doit apparaître qu’une seule ois. H

De quelle açon peut-on disposer ces lots pour que le jeu soit le plus avorable possible : aux participants ? 2) à la personne propriétaire du jeu ? 1)

Ai-je bien compris ? Un club de gymnastique organise une loterie pour fnancer ses activités en vendant des billets de tirage. Le tableau suivant présente les lots à gagner et la probabilité de gagner chacun de ces lots. Lot Probabilité

1 000 $

500 $

100 $

50 $

1 2000

2 2000

8 2000

12 2000

a) Quelle est la probabilité de ne rien gagner à cette loterie ? b) Calcule l’espérance mathématique de cette loterie en considérant que le prix d’un billet est de : 1) 5 $ 2) 6 $ c) Si tu achètes 5 billets qui coûtent 6 $ chacun, combien peux-tu espérer gagner ou perdre au total ? Section 2

Activité d’exploration 2

219

Faire le point L’espérance mathématique L’espérance mathématique est la moyenne pondérée des résultats d’une expérience aléatoire dans laquelle les acteurs de pondération sont les probabilités d’obtenir chacun des résultats. Il s’agit donc de la somme des produits des résultats et des probabilités correspondantes. Exemple : On ait tourner la fèche de la roulette ci-dessous et on remporte le lot inscrit dans le secteur où la fèche s’immobilise. Pièges et astuces Pour calculer l’espérance mathématique, il est souvent plus simple de ne pas réduire les ractions correspondant aux probabilités.

5$

2$ 0$

12 $

2$

12 $ 0$

0$

5$

5$

0$

2$

5$

12 $

Probabilité

5 16

4 16

4 16

3 16

4 16

4 16

Résultat

2$

2$ 0$

5 $ 12 $

0$

Espérance mathématique = 0 • Espérance mathématique =

5 16

12•

0 1 8 1 20 1 36 16

=

15• 64 16

1 12 •

3 16

=4

L’espérance mathématique de cette roulette est de 4 $. Cela signie qu’en aisant tourner la fèche de la roulette un très grand nombre de ois, on peut s’attendre à gagner en moyenne 4 $ chaque ois qu’on la ait tourner. Remarques : – La valeur moyenne des résultats obtenus en répétant une expérience aléatoire un très grand nombre de ois tend vers l’espérance mathématique. – On note parois l’espérance mathématique avec la lettre E. Par exemple, l’espérance mathématique d’une roulette peut se noter E(Roulette).

220

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

L’interprétation de l’espérance mathématique et l’équité Dans un jeu qui consiste à eectuer une expérience aléatoire et où il est possible de gagner ou de perdre des points, des objets ou de l’argent, il y a trois possibilités. Le jeu est : – favorable à la joueuse ou au joueur si l’espérance mathématique est positive ; – défavorable à la joueuse ou au joueur si l’espérance mathématique est négative ; – équitable si l’espérance mathématique est nulle.

L’espérance mathématique d’un jeu de hasard dépend du prix à payer pour y participer. Exemples : Voici deux açons équivalentes de calculer l’espérance mathématique du jeu si on doit payer 5 $ pour aire tourner la fèche de la roulette ci-contre. 1)

Soustraire le prix à payer de l’espérance mathématique de la roulette pour obtenir l’espérance mathématique du jeu. Espérance mathématique du jeu

Espérance mathématique de la roulette

=

5$

2$ 0$

12 $

2$

12 $ 0$

0$ 5$

5$

2$

2$ 0$

-

Toutes les loteries sont des jeux déavorables à la joueuse ou au joueur.

5 $ 12 $

0$

Prix à payer pour jouer à la roulette

E(Jeu) = 4 $ 2 5 $ = -1 $ L’espérance mathématique de ce jeu est de -1 $. Cela signie qu’en jouant un très grand nombre de ois, on peut s’attendre à perdre en moyenne 1 $ par participation. Par exemple, pour 5 participations, on peut s’attendre à perdre 5 ois 1 $, donc perdre 5 $ au total. 2)

Calculer le gain net ou la perte nette en soustrayant le prix à payer de chacun des résultats possibles.

Résultat Probabilité

0$

2$

5$

12 $

5 16

4 16

4 16

3 16

0$

7$

-5

Gain net ou perte nette

-3

$

$

Calculer ensuite l’espérance mathématique du jeu. 5

4

4

3

E(Jeu) = -5 • 16 + -3 • 16 + 0 • 16 + 7 • 16 = -1 L’espérance mathématique de ce jeu est de -1 $. Pour que ce jeu soit un jeu équitable, le prix à payer pour y participer doit être de 4 $. Si le prix à payer pour y participer est inérieur à 4 $, le jeu est alors avorable à la joueuse ou au joueur ; s’il est supérieur à 4 $, le jeu lui est alors déavorable.

Section 2

Faire le point

221

Mise en pratique 1. Calcule l’espérance mathématique de chacune des roulettes suivantes. Les secteurs qui semblent isométriques le sont. a)

b) –

2

4

4

c)

1

– –

–

2

4

–

5

2

2

3

3

3

2

–

1

–

3 3

6

–

4

2. Pascale déplace un pion sur le plateau d’un jeu en lançant un dé. Elle le déplace du nombre de cases correspondant au nombre obtenu au lancer du dé. Si le nombre est impair, Pascale recule son pion ; s’il est pair, elle avance son pion. a) Quelle est l’espérance mathématique du déplacement du pion pour un lancer du dé ? b) Décris le déplacement auquel Pascale peut s’attendre si elle lance le dé 30 ois.

3. Une boutique de vêtements organise une vente promotionnelle à l’occasion de laquelle les clients reçoivent un bon de réduction à gratter à la caisse. Sur 20 bons de réduction, il y en a 1 de 40 %, 2 de 30 %, 2 de 20 % et 15 de 10 %. a) Quelle est l’espérance mathématique d’un bon de réduction ? b) Combien une personne peut-elle espérer économiser si le montant de son achat avant la réduction est de 75 $ ?

4. Sur le dé à huit aces ci-contre, quatre chires diérents sont inscrits deux ois chacun. Sachant que l’espérance mathématique d’un lancer de ce dé est de 4, détermine le quatrième chire.

5. On ait tirer 15 lots parmi les 1 000 personnes présentes à un souper-bénéfce. Il y a 10 lots de 50 $, 4 lots de 100 $ et 1 lot de 500 $. Quelle est l’espérance mathématique de ce tirage ?

6. Un jeu consiste à lancer simultanément trois pièces de monnaie. Si les trois pièces montrent la même ace, on gagne cinq points ; sinon, on perd un point. a) Quelle est la probabilité : de gagner cinq points ? 2) de perdre un point ? b) Calcule l’espérance mathématique de ce jeu. 1)

222

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

7. Roche, papier, ciseaux est un jeu qui se joue généralement à deux. Simultanément, les deux joueurs représentent une roche, une euille de papier ou une paire de ciseaux avec leur main. Si les deux joueurs représentent le même objet, alors la partie est nulle. Dans les autres cas, voici comment déterminer qui l’emporte : la roche l’emporte sur les ciseaux, car elle les brise ; les ciseaux l’emportent sur le papier, car ils le coupent ; le papier l’emporte sur la roche, car il l’enveloppe. On considère que les deux joueurs choisissent chaque ois un objet au hasard parmi les trois objets. a) Ce jeu est-il équitable ? Justife ta réponse. b) Une variante de ce jeu propose une quatrième possibilité : l’allumette. La roche et les ciseaux cassent l’allumette, mais l’allumette brûle le papier. Cette variante du jeu est-elle équitable ? 2) Décris une stratégie qui permet de maximiser le nombre de victoires d’une personne si elle joue plusieurs ois à cette variante du jeu. 1)

8. Sylvio désire acheter une entreprise d’entretien ménager, mais il souhaite d’abord en analyser la rentabilité. Un fscaliste a dressé cinq prévisions de profts pour l’année prochaine dans le tableau suivant. Profts prévus

Proft annuel ($)

-10

Probabilité

000

1 10

0

10 000

20 000

5 20

6 15

3 20

25 000

a) Quelle probabilité se cache sous la tache d’encre ? b) Quel proft Sylvio peut-il espérer réaliser l’an prochain s’il achète cette entreprise ? c) Sylvio est-il assuré de réaliser des profts l’an prochain s’il achète cette compagnie ? Justife ta réponse.

9. Samy afrme qu’on ne peut pas perdre si l’on joue à un jeu dont l’espérance mathématique est supérieure ou égale à zéro. Sally prétend que c’est aux. Qui a raison ? Justife ta réponse.

10. Voici les règles d’un jeu de dés. À tour de rôle, les joueurs lancent deux dés et additionnent les nombres obtenus. La personne qui lance les dés : – gagne deux points si la somme obtenue est supérieure ou égale à 9 ; – gagne trois points si la somme obtenue est inérieure ou égale à 4 ; – perd un point si la somme obtenue est supérieure à 4, mais inérieure à 9. La première personne à accumuler 10 points gagne la partie. a) Calcule l’espérance mathématique d’un lancer de dés. b) Combien de ois, en moyenne, doit-on lancer les dés pour accumuler 10 points à ce jeu ?

Section 2

Mise en pratique

223

11. Il s’est vendu 2 000 000 de billets d’une certaine loterie. Le tableau ci-dessous présente le nombre de billets gagnants pour chacun des cinq lots de cette loterie. Lot ($)

Nombre de billets gagnants

500 000

1

50 000

9

5 000

90

500

900

5

9 000

a) Quelle est l’espérance mathématique de cette loterie si le prix d’un billet est de : 1) 1 $ ? 2) 2 $ ? 3) 5 $ ? b) Détermine le prix d’un billet pour que cette loterie soit un jeu équitable.

12. Charlotte propose à Ian de déterminer qui era la vaisselle en jouant à un jeu. Elle lui demande de lancer deux dés et lui dit que si la diérence entre les nombres obtenus est supérieure à 3, elle era la vaisselle pour les 10 prochains jours. Par contre, si la diérence entre les nombres obtenus est inérieure ou égale à 3, c’est lui qui devra aire la vaisselle pour les 8 prochains jours. Ian devrait-il accepter la proposition de Charlotte ? Justife ta réponse.

13. Pendant la saison estivale, le nombre de visiteurs d’un parc aquatique dépend du temps qu’il ait et le nombre d’employés nécessaires dépend du nombre de visiteurs. Le tableau suivant présente des données des dernières saisons. Temps

Nombre moyen de visiteurs

Nombre d’employés nécessaires

Ensoleillé

2 000

40

Nuageux

1 500

32

Pluvieux

200

16

Le 22 juillet, le bulletin météo donne les probabilités suivantes pour le 23 juillet. Temps Probabilité

Ensoleillé

Nuageux

Pluvieux

10 %

20 %

70 %

a) Calcule l’espérance mathématique du nombre de visiteurs du parc aquatique le 23 juillet. b) Combien d’employés la direction du parc devrait-elle aire travailler le 23 juillet ?

224

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

14. La roulette est un jeu de hasard où l’on doit miser sur un ou plusieurs numéros à la fois. Elle comporte 37 cases numérotées de 0 à 36. Les joueurs établissent leur mise sur la table de jeu. Le croupier fait tourner la roulette dans un sens et lance une bille dans l’autre sens. La case dans laquelle la bille s’arrête détermine les mises gagnantes. Le tableau ci-dessous présente les différentes stratégies de mises à la roulette et le gain correspondant dans le cas où la mise est gagnante. Lorsque les joueurs gagnent, le croupier paie leur mise un certain nombre de fois en plus de leur remettre leur mise initiale. Stratégie possible

Explication

Gain*

Plein

Miser sur un numéro

35 fois la mise

À cheval

Miser sur deux numéros

17 fois la mise

Transversale

Miser sur trois numéros

11 fois la mise

Carré

Miser sur quatre numéros

8 fois la mise

Sixain

Miser sur six numéros

5 fois la mise

Douzaine ou colonne

Miser sur douze numéros

2 fois la mise

Miser sur les numéros noirs ou rouges Chance simple

Miser sur les numéros pairs ou impairs

1 fois la mise

Miser sur « manque » (nombres de 1 à 18) ou « passe » (nombres de 19 à 36) * La mise initiale s’ajoute aux gains décrits dans cette colonne.

Lorsque la bille s’arrête sur le zéro, les joueurs ayant misé sur les douzaines et les colonnes perdent leur mise, alors que les joueurs qui ont misé sur une chance simple perdent la moitié de leur mise. a) Dresse un tableau des différentes stratégies énumérées ci-dessus et de la probabilité de gagner pour chacune d’elles. b) Quelle est l’espérance mathématique de chacune des stratégies ? c) Que peux-tu conclure à partir des résultats obtenus en b ?

Fait divers La roulette européenne comporte 37 numéros, tandis que la roulette américaine en comporte 38. Le numéro supplémentaire est le double zéro. La roulette américaine est donc encore plus défavorable aux joueurs que la roulette européenne.

Section 2

Mise en pratique

225

15. Madame Mallou est une voyante qui ore ses services dans Internet. Elle dit être capable de prédire le sexe d’un bébé avant la première échographie à partir d’une photo de la main de la mère. Cette photo peut lui être envoyée par courriel. Pour ses services, madame Mallou exige 20 $. Confante en son don, madame Mallou ore une garantie sur sa « prédiction ». Si elle se trompe, elle remet aux clients les 20 $ déboursés et, pour les dédommager, leur ore 10 $ supplémentaires. Un couple qui désire connaître le sexe de son bébé avant la première échographie devrait-il aire appel aux services de madame Mallou ? Justife ta réponse.

16. Dès l’entrée du labyrinthe illustré ci-dessous, on ait ace à une succession de portes à sens unique, identiques, donnant accès à diérents sentiers. Certains parcours mènent à la salle 1 , d’autres à la salle 2 . Entrée

1

2

a) Quelle est la probabilité d’accéder à la salle 1 ? b) Détermine l’espérance mathématique de ce labyrinthe si on gagne 5 $ en accédant à la salle 1 et 100 $ en accédant à la salle 2 . c) Détermine le prix à payer pour participer au jeu du labyrinthe pour qu’il soit un jeu équitable.

226

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

Section

3

La probabilité conditionnelle Moi, je vote ! La Chambre des communes est l’assemblée formée par les députés élus du Canada. Elle est la seule assemblée autorisée par la Constitution à présenter des projets de loi, qui sont soumis au vote des députés. Elle se compose de 308 députés représentant tous une circonscription particulière. Chaque province ou territoire comporte un certain nombre de circonscriptions, qui varie selon la superficie et le nombre d’habitants. Le tableau suivant présente la répartition des sièges de la Chambre des communes après les élections fédérales de 2008, selon les provinces ou les territoires.

Terre-Neuve-et-Labrador Île-du-Prince-Édouard Nouvelle-Écosse Nouveau-Brunswick Québec Ontario Manitoba Saskatchewan Alberta Colombie-Britannique Yukon Territoires du Nord-Ouest Nunavut

Parti conservateur du Canada 0 1 3 6 10 51 9 13 27 22 0 0 1

Parti libéral du Canada

Bloc québécois

Nouveau Parti démocratique

Indépendants et autres

6 3 5 3 14 38 1 1 0 5 1 0 0

0 0 0 0 49 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 2 1 1 17 4 0 1 9 0 1 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Source : Statistique Canada, 2008.

Le che de chacun des quatre partis ofciels doit choisir au hasard une députée ou un député pour participer à un souper de bienaisance où les quatre partis seront représentés. Quel parti présente la probabilité la plus élevée de choisir une députée ou un député provenant de l’Ontario ? Explique ton raisonnement. Vivre-ensemble et citoyenneté Aux élections fédérales de 2008, seulement 58,8 % des électeurs inscrits sur les listes électorales ont voté. Pour leur part, les Québécois ont exercé leur droit de vote dans une proportion de 61,7 %. Que penses-tu de ces taux de participation ? Selon toi, quelles sont les conséquences d’un faible taux de participation aux élections ? Pour quelles raisons les personnes ayant le droit de vote peuvent-elles décider de ne pas aller voter ?

Section 3

La probabilité conditionnelle

227

ACTIVITÉ d’exploration

1

Pas de fumée sans feu ! Le tableau à double entrée suivant met en relation le nombre de personnes âgées de 12 à 19 ans ayant déclaré faire l’usage du tabac au Canada, en 2008, et le sexe de ces personnes. Les données ont été arrondies au millier près.

• Probabilité conditionnelle • Tableau à double entrée • Diagramme de Venn

Hommes (× 1 000)

Femmes (× 1 000)

Total (× 1 000)

217

167

384

Fumeurs (× 1 000) Tableau à double entrée

Non-fumeurs (× 1 000)

1 559

1 522

3 081

Tableau permettant d’organiser les données d’une distribution à deux caractères, dans lequel le premier caractère est placé en entrée ligne et le deuxième, en entrée colonne.

Total (× 1 000)

1 776

1 689

3 465

Adapté de : Statistique Canada, 2008.

A

Si l’on choisit au hasard une personne de cette distribution, quelle est la probabilité de choisir : 1) un homme ? 2) une personne qui fait l’usage du tabac ? 3) une femme non fumeuse ?

B

Parmi les personnes ayant déclaré ne pas faire l’usage du tabac : combien sont des femmes ? 2) quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit une femme ? 1)

C

Soit les événements suivants. A = {Choisir un homme} B = {Choisir une personne qui fait l’usage du tabac} Quelle est la probabilité de choisir : 1) un homme, sachant que cette personne fait l’usage du tabac ? 2) une personne qui fait l’usage du tabac, s’il s’agit d’un homme ?

Probabilité conditionnelle Probabilité qu’un événement se réalise alors que l’on connaît le résultat d’un autre événement. La probabilité conditionnelle que l’événement B se réalise, sachant que l’événement A s’est réalisé, est notée P(B | A).

D

Représente les deux probabilités conditionnelles calculées en C à l’aide de la notation appropriée.

E

Comment peux-tu calculer P(B | A) à l’aide d’un tableau à double entrée ?

Le diagramme de Venn ci-dessous décrit les liens entre les événements A et B. Les jeunes et l’usage du tabac au Canada A Homme

B Fait usage du tabac 1 559

217

1 522

228

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

167

F

À l’aide du diagramme, détermine P(A ∩ B). Que représente cette probabilité dans le contexte ?

G

À l’aide du diagramme, détermine P(A). Que représente cette probabilité dans le contexte ?

H

∩ B) Calcule le rapport P(AP(A) . Que représente-t-il dans le contexte ? As-tu déjà effectué ce calcul précédemment ?

I

Comment peux-tu calculer P(B | A) à l’aide d’un diagramme de Venn ?

J

Calcule les deux probabilités conditionnelles suivantes : P(B | A) et P(A | B). Quelles conclusions peux-tu tirer en comparant les réponses à ces calculs ?

K

Compare le tableau à double entrée et le diagramme de Venn pour le calcul d’une probabilité conditionnelle. Quelles conclusions peux-tu en tirer ?

Ai-je bien compris ? 1. Le tableau ci-contre présente les résultats d’un test diagnostique effectué sur un échantillon de 640 personnes. Diabétique a) Reproduis et complète ce tableau à double entrée. Non-diabétique b) Quelle est la probabilité qu’une personne soit diagnostiquée négative alors qu’elle est diabétique ? Total c) Quelle est la probabilité qu’une personne soit non diabétique, sachant qu’elle a été diagnostiquée positive ? 2. Un fabricant de patins à glace teste 80 paires de patins. Le diagramme de Venn ci-contre présente les résultats des tests. En supposant qu’on choisit une paire de patins au hasard parmi les 80 paires testées : a) quelle est la probabilité de choisir une paire de patins dont une lame est défectueuse, sachant qu’une bottine est endommagée ? b) quelle est la probabilité de choisir une paire de patins dont une bottine est endommagée alors qu’une lame est défectueuse ?

Positif

Négatif

Total

20 15 480

Les patins défectueux Lame défectueuse

Section 3

6

Bottine endommagée 4

5

Activité d’exploration 1

229

ACTIVITÉ d’exploration

2

• Diagramme en arbre • Événements dépendants et indépendants

Le jeu de cartes Josiane étudie les probabilités à l’aide d’un jeu de 52 cartes. Elle tire une carte et note sa couleur (rouge ou noire). Sans remettre la carte dans le paquet, elle tire une deuxième carte et note sa couleur. A

• Événements mutuellement exclusifs, non mutuellement exclusifs

Reproduis le diagramme en arbre suivant et indique les probabilités sur chacune des branches. Complète ensuite le calcul des probabilités de réalisation de chaque résultat de l’expérience aléatoire. 1er tirage

2e tirage R

P(R, R) =

•

=

P(R, N) =

•

=

P(N, R) =

•

=

P(N, N) =

•

=

R N

R N N

B

Quelle est la probabilité de tirer une carte rouge au deuxième tirage, sachant qu’on a tiré une carte : 1) rouge au premier tirage ? 2) noire au premier tirage ?

C

Est-ce que le résultat obtenu au premier tirage infue sur la probabilité du résultat qu’on peut obtenir au deuxième tirage ? Pourquoi ?

Soit les événements suivants. A = {Tirer une carte rouge au premier tirage} B = {Tirer une carte rouge au deuxième tirage}

230

Événements dépendants et indépendants

D

Est-ce que les événements A et B sont dépendants ou indépendants ? Justie ta réponse.

Deux événements sont dépendants lorsque la réalisation de l’un infue sur la probabilité de réalisation de l’autre. Ils sont indépendants lorsque la réalisation de l’un n’infue pas sur la probabilité de réalisation de l’autre.

E

Si Josiane remet la première carte tirée dans le paquet de cartes avant de tirer la seconde, les événements A et B sont-ils dépendants ou indépendants ? Justie ta réponse.

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

Josiane décide maintenant de ne tirer qu’une seule carte. Elle considère les événements suivants. C = {Tirer une carte de cœur} D = {Tirer une fgure (valet, dame ou roi)} F

Est-ce que les événements C et D sont mutuellement exclusifs ? Justife ta réponse.

Josiane répète son expérience aléatoire qui consiste à tirer une seule carte et elle considère l’événement E = {Tirer une carte noire} en plus des événements C et D. G

Est-ce que les événements C et E sont mutuellement exclusis ? Justife ta réponse.

Événements mutuellement exclusifs Deux événements sont mutuellement exclusifs s’ils ne peuvent pas se produire en même temps. Ils sont non mutuellement exclusifs s’ils peuvent se produire en même temps.

Ai-je bien compris ? 1. Un couple désire avoir deux enants. Les chances d’avoir un garçon ou une flle sont les mêmes à chaque grossesse. a) Soit les événements A = {Avoir une flle comme premier enant}, B = {Avoir une flle comme deuxième enant} et C = {Avoir un garçon comme premier enant}. 1) Est-ce que les événements A et B sont dépendants ou indépendants ? 2) Est-ce que les événements A et C sont mutuellement exclusis ou non mutuellement exclusis ? b) Quelle est la probabilité que ce couple ait deux enants du même sexe ? c) Quelle est la probabilité que le deuxième enant de ce couple soit une flle, si le premier enant est un garçon ? 2. Le tiroir d’une commode contient huit bas bleus et quatre bas gris. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à tirer, sans remise, deux bas du tiroir et à en noter la couleur. a) Quelle est la probabilité de tirer un bas bleu au deuxième tirage, sachant qu’on a tiré : 1) un bas gris au premier tirage ? 2) un bas bleu au premier tirage ? b) Soit les événements A = {Tirer un bas bleu au premier tirage} et B = {Tirer un bas gris au deuxième tirage}. Est-ce que les événements A et B sont dépendants ou indépendants ? 2) Calcule P(B | A). 1)

Section 3

Activité d’exploration 2

231

Faire le point La probabilité conditionnelle On appelle « probabilité conditionnelle » la probabilité qu’un événement se réalise, alors que l’on connaît le résultat d’un autre événement. Le tableau à double entrée, le diagramme de Venn et le diagramme en arbre sont des outils qui permettent de représenter une expérience aléatoire afn de déterminer la probabilité conditionnelle d’un événement.

Déterminer une probabilité conditionnelle dans une expérience aléatoire Pour déterminer la probabilité qu’un événement B se réalise, sachant que l’événement A s’est réalisé dans une expérience aléatoire, il est possible d’utiliser un tableau à double entrée ou un diagramme de Venn. La probabilité conditionnelle est notée P(B | A). Elle peut aussi être notée PA(B). Ces notations se lisent « P de B sachant A ».

∩ B) La probabilité conditionnelle est donnée par P(B | A) = P(AP(A) , où P(A ∩ B) est la probabilité de l’intersection des deux événements et où P(A) > 0.

Exemple : On a demandé à 32 élèves d’une classe leur préérence entre deux activités qui se pratiquent sur une pente : le ski alpin et la planche à neige. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard une personne dans cette classe. On considère les événements A = {Choisir une flle} et B = {Choisir une personne qui préère la planche à neige}. Si l’on choisit une personne au hasard et qu’il s’agit d’une flle, quelle est la probabilité qu’elle préère la planche à neige ? On peut déterminer cette probabilité de deux açons : à l’aide du tableau à double entrée ou à l’aide du diagramme de Venn. Ces méthodes ne dièrent que par leur présentation. 1)

Déterminer une probabilité conditionnelle à l’aide du tableau à double entrée

Le tableau à double entrée suivant présente les préérences des 32 élèves de la classe. Ski alpin

Planche à neige

Total

Garçons

5

9

14

Filles

10

8

18

Total

15

17

32

Sachant que la personne choisie est une flle, on tient uniquement compte de la rangée des flles dans le tableau à double entrée. La probabilité cherchée est donc 4 8 18 = 9 , car le nombre de flles qui préèrent la planche à neige est 8 et le nombre total de flles est 18.

232

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

2)

Déterminer une probabilité conditionnelle à l’aide du diagramme de Venn

Voici la même situation modélisée à l’aide d’un diagramme de Venn. Les sports de glisse Planche à neige

Fille

9

8

10

5

∩ B) P(B | A) = P(AP(A) la planche à neige P(préère la planche à neige, P(préère et est une lle) sachant que c’est une lle) = = P(choisir une lle)

8 32 18 32

8

4

= 18 = 9

Déterminer une probabilité conditionnelle dans une expérience aléatoire à plusieurs étapes Dans une expérience aléatoire à plusieurs étapes, la probabilité qu’un événement se réalise compte tenu du résultat obtenu à l’étape précédente est une probabilité conditionnelle. Pour déterminer une probabilité conditionnelle dans le contexte d’une expérience aléatoire à plusieurs étapes, il est utile de construire un diagramme en arbre an de représenter cette expérience. Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à tirer, sans remise, deux billes d’une urne qui contient trois billes rouges et deux billes bleues, et à noter leur couleur. Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue au deuxième tirage, sachant qu’on a tiré une bille bleue au premier tirage ? Le diagramme en arbre ci-dessous permet d’analyser cette expérience aléatoire. 2e tirage

1er tirage 2 5

3 5

B

R

1 4

B

3 4 2 4

R

2 4

R

B

Ω = {(B, B), (B, R), (R, B), (R, R)} Dans cette expérience aléatoire, la probabilité de tirer une bille bleue au deuxième tirage est infuencée par le résultat du premier tirage. La probabilité de tirer une bille bleue au deuxième tirage après qu’on a tiré une bille bleue au premier tirage est de 14 . Section 3

Faire le point

233

Les événements dépendants et indépendants Deux événements sont dépendants lorsque la réalisation de l’un infue sur la probabilité de réalisation de l’autre. Ils sont indépendants lorsque la réalisation de l’un n’infue pas sur la probabilité de réalisation de l’autre. Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à tirer, sans remise, deux billes de l’urne, une à une. On considère les événements suivants. A = {Tirer une bille bleue au premier tirage} B = {Tirer une bille bleue au deuxième tirage} Dans cette expérience, les événements A et B sont dépendants, car le tirage est sans remise. Dans le cas d’un tirage avec remise, les événements A et B seraient indépendants.

Les événements mutuellement exclusifs et non mutuellement exclusifs Deux événements sont mutuellement exclusis s’ils ne peuvent pas se produire en même temps. Ils sont non mutuellement exclusis s’ils peuvent se produire en même temps. Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé à six aces, numérotées de 1 à 6. Soit les événements suivants. A = {Obtenir un nombre pair} B = {Obtenir un nombre impair} C = {Obtenir un multiple de 3} L’univers des résultats possibles pour chacun des événements est A{2, 4, 6}, B{1, 3, 5} et C{3, 6}.

234

Chapitre 8

1)

Les événements A et B ne peuvent pas se produire en même temps. Ils sont donc mutuellement exclusis. La probabilité de l’intersection des deux événements est donc P(A ∩ B) = 0.

2)

Les événements A et C peuvent se produire en même temps si le résultat est 6. Ils sont donc non mutuellement exclusis. La probabilité de l’intersection des événements est donc diérente de zéro : P(A ∩ C) ≠ 0.

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

Mise en pratique 1. Pour chacune des expériences aléatoires suivantes, indique si les événements sont mutuellement exclusis ou non mutuellement exclusis. Expérience aléatoire

Événements

a) Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes.

A = {Tirer une gure} B = {Tirer un trèfe}

b) Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes.

A = {Tirer un cœur} B = {Tirer une carte noire}

c) Lancer une pièce de monnaie deux ois et observer le côté obtenu.

A = {Obtenir deux ois le même côté} B = {Obtenir deux côtés diérents}

d) Choisir au hasard deux élèves d’une classe et noter le sexe de chacun.

A = {Choisir deux garçons} B = {Choisir un garçon au premier tirage}

2. Élizabeth lance un dé à six aces numérotées de 1 à 6. Dans le diagramme de Venn suivant, elle représente les événements A = {Obtenir un nombre pair} et B = {Obtenir un nombre supérieur ou égal à 3}. Le lancer d’un dé B Nombre ≥ à 3

A Nombre pair 2

5

4 6

3

1

a) Détermine : 1) P(A) 3) P(A ∪ B) 5) P(A | B) 2) P(B) 4) P(A ∩ B) 6) P(B | A) b) Est-ce que les événements A et B sont mutuellement exclusis ou non ? Justie ta réponse.

3. Amélie a quatre bas rayés et cinq bas bleus dans son tiroir. Elle tire deux bas, un à un, au hasard. a) Construis un diagramme en arbre qui modélise cette expérience aléatoire. b) Quelle est la probabilité qu’Amélie tire deux bas bleus ? c) Quelle est la probabilité qu’Amélie tire deux bas qui ne vont pas ensemble ? d) Les événements A = {Tirer un bas rayé au premier tirage} et B = {Tirer un bas rayé au deuxième tirage} sont-ils dépendants ou indépendants ? Justie ta réponse.

Section 3

Mise en pratique

235

4. Lorsque Josée réussit un lancer franc au basket-ball, la probabilité qu’elle réussisse le lancer suivant est de 70 %. Lorsqu’un lancer est raté, son pourcentage de réussite au lancer suivant diminue de 25 %. a) Quelle est la probabilité que Josée réussisse son deuxième lancer franc, sachant qu’elle a raté son premier ? b) Les événements A = {Réussir un lancer franc au premier lancer} et B = {Réussir un lancer franc au deuxième lancer} sont-ils dépendants ou indépendants ? Justifie ta réponse. c) Si le résultat du premier lancer n’influe pas sur la probabilité de réalisation du deuxième lancer, les événements A et B sont-ils dépendants ou indépendants ?

5. Afin d’obtenir un emploi d’agente ou d’agent de police, il faut réussir plusieurs

Test n° 1

tests d’aptitudes autant physiques que mentales. Le diagramme de Venn suivant présente le nombre de candidats selon leur réussite aux trois tests d’aptitudes. On choisit au hasard une personne parmi celles qui ont Les tests d’aptitudes passé les tests d’aptitudes. Quelle est la probabilité de choisir une personne qui a réussi : Test n° 3

13

10

27

45

32

18 Test n° 2

5

a) les trois tests ? b) les tests numéros 1 et 2 seulement ? c) un seul test ? d) le test numéro 1, sachant qu’elle a réussi le test numéro 2 ? e) le test numéro 3, sachant qu’elle n’a pas réussi le test numéro 2 ?

6. On tire deux billes d’une urne contenant cinq billes rouges, deux billes vertes et trois billes jaunes. a) Au premier tirage, quelle est la probabilité de tirer une bille : rouge ? 2) verte ? 3) jaune ? b) Dans un tirage avec remise, quelle est la probabilité de tirer une bille verte au deuxième tirage, sachant qu’au premier tirage on a tiré une bille : 1)

verte ? 2) jaune ? 3) rouge ? c) Dans un tirage sans remise, quelle est la probabilité de tirer une bille rouge au deuxième tirage, sachant qu’au premier tirage on a tiré une bille : 1)

rouge ? 2) jaune ? 3) verte ? d) Quelle est la probabilité de tirer deux billes de la même couleur si le tirage est : 1) avec remise ? 2) sans remise ? e) Dans un tirage sans remise, si l’on tire trois billes de l’urne, quelle est la probabilité de tirer : 1)

1)

236

Chapitre 8

une bille de chaque couleur ?

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

2)

trois billes de la même couleur ?

7. On a fait un sondage auprès de 230 personnes. Le tableau suivant indique leur préférence quant à deux types de véhicules. Voiture sport

Berline

Total

Hommes

85

35

120

Femmes

45

65

110

Total

130

100

230

a) Si l’on choisit une personne au hasard parmi celles interrogées, quelle est la probabilité que cette personne : 1) soit un homme ? 3) préfère les voitures sport ? 2) soit une femme ? 4) soit un homme préférant les berlines ? b) Si l’on choisit un homme au hasard, quelle est la probabilité qu’il préfère les voitures sport ? c) Si l’on choisit une femme au hasard, quelle est la probabilité qu’elle préfère les berlines ? d) Quelle est la probabilité de choisir un homme au hasard, sachant que cette personne préfère les berlines ? e) Quelle est la probabilité de choisir une femme au hasard, sachant que cette personne préfère les voitures sport ?

8. De tous les partisans de l’équipe des Canadiens de Montréal, 65 % sont des hommes. Parmi ceux-ci, 25 % ont moins de 18 ans. Quelle est la probabilité de choisir parmi les partisans une personne de moins de 18 ans, sachant que c’est un homme ?

9. On a interrogé des élèves dans un gymnase. Le diagramme de Venn suivant montre le nombre d’élèves pratiquant deux sports. Les sports pratiqués Badminton

Volley-ball 12

14

8

On choisit au hasard un élève parmi ceux interrogés. Quelle est la probabilité que cet élève pratique : a) b) c) d) e) f) g)

le volley-ball ? le badminton ? uniquement le badminton ? uniquement le volley-ball ? les deux sports ? le volley-ball, sachant qu’il pratique le badminton ? le badminton, sachant qu’il pratique le volley-ball ? Section 3

Mise en pratique

237

10. On a demandé aux élèves d’un groupe de nommer les relations d’aide qu’ils ont vécues au cours du mois dernier. Les élèves devaient nommer le type d’aide et leur lien avec la personne. Ils devaient également préciser s’il s’agissait d’une aide donnée ou d’une aide reçue. Au total, on a compilé 260 relations d’aide. Les tableaux suivants présentent ces 260 relations d’aide selon le type d’aide d’abord, puis selon le lien avec la personne qui a donné ou reçu l’aide. Les relations d’aide selon le type d’aide Aide donnée

Aide reçue

Soutien affectif

42

31

Aide pédagogique

32

28

Moyen de transport

0

45

Travaux et entretien ménagers

24

12

Garde d’enfants

34

0

Autres

8

4

Les relations d’aide selon le lien avec la personne Aide donnée

Aide reçue

Ami

78

68

Membre de la famille

42

38

Voisin

13

8

Autre personne

7

6

On choisit au hasard une relation d’aide parmi toutes celles données ou reçues. a) Quelle est la probabilité : 1) que cette relation d’aide soit liée au soutien affectif ? 2) que cette relation d’aide ait été vécue avec une amie ou un ami ? 3) qu’il s’agisse d’une aide reçue d’un membre de la famille ? b) Sachant que l’aide a été donnée par un des élèves du groupe, quelle est la probabilité : 1) qu’elle ait été donnée à une voisine ou à un voisin ? 2) qu’elle soit de type pédagogique ? c) Quelle est la probabilité qu’une ou un élève ait reçu de l’aide, sachant qu’il s’agissait de garde d’enfants ? d) Quelle est la probabilité que le type d’aide soit lié aux travaux et à l’entretien ménagers, sachant que l’élève a donné de l’aide ? Vivre-ensemble et citoyenneté En aidant les autres, on développe ses aptitudes sociales comme l’empathie et la compréhension. Le soutien affectif apporté à une amie ou un ami est une forme d’aide très courante chez les jeunes. Donne quelques exemples d’aide que tu as déjà reçue ou donnée dans le passé. Nomme d’autres façons d’apporter de l’aide à autrui.

238

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

11. Un sondage mené auprès de 500 personnes travaillant dans le domaine de la santé montre que 175 d’entre elles doivent porter un uniorme et que, de ce nombre, 125 sont des emmes. L’échantillon comporte 70 % de emmes. Parmi les personnes interrogées : a) quelle est la probabilité de choisir une emme qui n’est pas obligée de porter un uniorme ? b) quelle est la probabilité de choisir une emme, sachant que cette personne doit porter un uniorme ? c) quelle est la probabilité de choisir une personne qui doit porter un uniorme, sachant que c’est un homme ?

12. Au Canada, il y a deux langues ofcielles : le rançais et l’anglais. Le tableau suivant présente la population canadienne selon la connaissance des langues ofcielles, par province et territoire. Anglais seulement

Français seulement

Anglais et français

Ni anglais ni français

Terre-Neuve-et-Labrador

475 985

90

23 675

850

Île-du-Prince-Édouard

116 990

60

17 100

55

Nouvelle-Écosse

805 690

1 000

95 010

1 385

Nouveau-Brunswick

405 045

73 750

240 085

765

Québec

336 785

4 010 880

3 017 860

70 375

Ontario

10 335 705

49 210

1 377 325

266 660

Manitoba

1 017 560

1 930

103 520

10 500

902 655

485

47 450

3 260

Alberta

2 990 805

2 200

222 885

40 470

Colombie-Britannique

3 653 365

2 070

295 645

123 305

Yukon

26 515

105

3 440

130

Territoires du Nord-Ouest

37 010

50

3 665

325

Nunavut

25 830

20

1 170

2 305

Saskatchewan

Source : Statistique Canada, 2006.

a) Selon ces données, la population de quelle province ou de quel territoire est la plus bilingue au Canada ? b) Si l’on choisit une personne au hasard en Ontario, quelle est la probabilité qu’elle soit unilingue anglophone ? c) Quelle est la probabilité de choisir une personne au hasard qui soit Québécoise, sachant qu’elle parle uniquement le rançais ? d) Quelle est la probabilité de choisir une personne qui ne parle ni le rançais ni l’anglais, alors qu’elle réside en Alberta ?

Section 3

Mise en pratique

239

Consolidation 1. Une enseignante a quatre prix diérents à aire tirer parmi les 30 élèves de sa classe. Chaque élève ne peut gagner qu’une seule ois. a) Si l’on tient compte de l’ordre des gagnants, combien de groupes de quatre élèves diérents peuvent remporter les prix ? b) Quelles sont les « chances pour » de gagner d’une ou d’un élève de cette classe ? c) Quelle est la probabilité qu’une ou un élève gagne un des quatre prix ? d) Si la classe ne comptait que 25 élèves, quelles seraient les chances de gagner d’une ou d’un élève, en pourcentage ? e) Parmi les quatre gagnants du tirage, combien y a-t-il de possibilités quant à l’ordre dans lequel chacun choisira son prix ?

2. La municipalité de Sainte-Ursule a ait un sondage pour connaître l’avis de ses citoyens à propos de deux projets : la construction d’un centre sporti et la construction d’un centre culturel. Le diagramme de Venn ci-contre présente le résultat du sondage. On choisit au hasard une personne parmi les citoyens interrogés.

La municipalité de Sainte-Ursule A Favorable à un centre sporti 520

B Favorable à un centre culturel 365

640

960

a) Calcule : 1) P(A) 3) P(A ∩ B) 5) P(A | B) 2) P(B) 4) P(A ∪ B) 6) P(B | A) b) Explique ce que représente chacune des probabilités calculées en a selon le contexte.

3. Un jeu a seulement deux résultats possibles , le 2 et le 5. Si les « chances pour » l’obtention d’un 5 sont de 4 : 3, quelle est l’espérance mathématique de ce jeu ?

4. Parmi tous les admirateurs du groupe Étrange orange, 85 % sont des jeunes de moins de 18 ans, et 45 % de ceux-ci sont des flles. On sait aussi que 5 % des admirateurs de ce groupe sont des garçons de 18 ans et plus. Parmi les admirateurs du groupe, quelle est la probabilité de choisir une personne de moins de 18 ans, sachant que c’est une flle ?

5. Si l’espérance mathématique de la roulette ci-contre est de −4, quelle est la valeur de x ?

x4 2x x–2

240

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

6. Karen aimerait s’asseoir à côté de son amie Taïga lors d’un repas dans une grande salle de réception. La salle comporte les trois modèles de table suivants.

Sachant que les places seront tirées au hasard parmi les six personnes qui s’assoiront à la table, lequel des modèles de table ci-dessus maximise les chances de Karen de s’asseoir à côté de Taïga ? Justife ta réponse.

7. Le diagramme ci-dessous représente la compilation des résultats de 100 lancers d’un dé.

Effectif

Les 100 lancers d’un dé 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Diviseur de 6

Pas un diviseur de 6 Résultat

a) D’après ces résultats, quelle est la probabilité d’obtenir un diviseur de 6 ? b) Pourquoi la probabilité réquentielle déterminée en a est-elle diérente de la probabilité théorique d’obtenir un diviseur de 6 quand on lance le dé ? c) Dans cette situation, vaut-il mieux se fer à la probabilité théorique ou à la probabilité réquentielle pour déterminer une probabilité ? Justife ta réponse.

8. Placer une masse à l’intérieur d’un dé ait en sorte que les résultats obtenus en le lançant ne sont plus équiprobables. Le dé est alors truqué. Le tableau suivant présente les probabilités d’obtenir chacun des résultats en lançant un certain dé truqué.

Résultat

Probabilité

1 16

3 32

1 2

1 32

1 4

1 16

L’espérance mathématique de ce dé est-elle plus grande que celle d’un dé non truqué ? Justife ta réponse.

Consolidation

241

9. Garanti ou pas ? Voici les probabilités déterminées par une conseillère relativement au rendement de deux placements. Placement 1 Rendement

Probabilité

6%

100 %

Placement 2 Rendement

Probabilité

9%

80 %

−5

%

20 %

a) Si tu voulais placer de l’argent, lequel de ces deux placements choisirais-tu ? b) Calcule l’espérance mathématique de chaque placement.

10. Le « dilemme du prisonnier »

Fait divers Dans le flm Batman : Le chevalier noir, le Joker utilise une variante du « dilemme du prisonnier » pour opposer les habitants de Gotham City aux criminels de cette ville. Face à ce dilemme, chaque individu ou chaque groupe doit mettre en perspective ses propres intérêts par rapport à ceux des autres avant de prendre une décision.

La présidente d’une entreprise a de bonnes raisons de croire que deux de ses employés ont volé de l’inormation contenue dans des fchiers inormatiques. Après avoir congédié ces deux employés, elle a déclaré le vol au service de police. Les policiers vont interroger les deux suspects individuellement et simultanément de açon qu’aucun ne soit au courant de ce que dira l’autre durant l’interrogatoire. Avant l’interrogatoire, les policiers inorment les deux suspects que : – s‘ils demeurent tous deux silencieux, chacun d’eux devra payer une amende de 6 000 $ ; – si un seul des deux suspects dénonce l’autre, celui qui dénonce ne paiera pas d’amende et l’autre devra payer une amende de 10 000 $ ; – s‘ils se dénoncent l’un l’autre, ils devront payer une amende de 15 000 $ chacun. Un des suspects sait que son complice utilisera une pièce de monnaie pour prendre une décision : s’il obtient le côté pile, il demeurera silencieux et, s’il obtient le côté ace, il le dénoncera. Quelle stratégie ce suspect devrait-il utiliser pour minimiser le montant de l’amende qu’il peut s’attendre à payer ? Justife ta réponse.

11. Avant le grand match Voici trois prévisions aites par diérentes personnes quant à l’issue d’un match de ootball. Une grande spécialiste de ootball évalue les « chances pour » une victoire de l’équipe locale à 4 : 1.

Un joueur de l’équipe locale évalue les « chances pour » une victoire de son équipe à 15 : 2.

Un joueur de l’équipe adverse évalue les « chances pour » une victoire de son équipe à 4 : 9.

Évalue les « chances pour » une victoire de l’équipe locale en tenant compte de l’opinion de ces trois personnes. Explique ton raisonnement.

242

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

12. L’âge des Québécois Le tableau suivant présente la répartition de la population québécoise en 2008, en milliers de personnes, selon le groupe d’âge, par région administrative. Les données ont été arrondies au millier près. 0à 19 ans

20 à 39 ans

40 à 59 ans

60 ans et plus

Total

Abitibi-Témiscamingue

35

35

47

28

145

Bas-Saint-Laurent

41

45

66

50

202

Capitale-Nationale

134

181

212

153

680

Centre-du-Québec

53

56

70

51

230

Chaudière-Appalaches

91

99

126

86

402

Côte-Nord

23

24

32

18

97

Estrie

69

76

92

68

305

Gaspésie–Îles-de-la-Madeleine

19

19

33

25

96

Lanaudière

112

110

146

85

453

Laurentides

131

129

173

102

535

Laval

93

98

118

76

385

Mauricie

52

59

85

67

263

Montérégie

341

353

444

277

1 415

Montréal

382

585

528

382

1 877

Nord-du-Québec

15

12

10

4

41

Outaouais

84

93

114

61

352

Saguenay–Lac-Saint-Jean

60

64

90

61

275

1 735

2 038

2 386

1 594

7 753

Total

Sources : Statistique Canada et Institut de la statistique du Québec, 2008.

a) On choisit une personne au hasard au Québec en 2008. Quelle est la probabilité : 1) qu’elle réside à Laval ? 2) qu’elle ait entre 20 et 39 ans ? 3) qu’elle ait entre 0 et 19 ans, alors qu’elle réside dans la région Gaspésie–Îles-de-la-Madeleine ? 4) qu’elle réside en Outaouais, sachant qu’elle a 60 ans ou plus ? b) Peut-on calculer la probabilité de choisir une personne qui réside dans Lanaudière, sachant qu’elle a entre 20 et 30 ans ? Si oui, quelle est cette probabilité ? Si non, pourquoi ?

Consolidation

243

13. David Wright Accorder un but sur balles intentionnel consiste à lancer quatre balles que le frappeur ne peut frapper afin de lui permettre de se rendre au 1er but.

Au baseball, certains lanceurs préfèrent accorder un but sur balles intentionnel plutôt que d’affronter un frappeur vedette. En 2008, David Wright était un joueur des Mets de New York de la Ligue nationale de baseball. Le tableau suivant présente quelques-unes des statistiques sur ses performances au bâton pour la saison 2008. Nombre de présences au bâton

Nombre de simples (1 but)

Nombre de doubles (2 buts)

Nombre de triples (3 buts)

Nombre de circuits (4 buts)

626

112

42

2

33

Adapté de : MLB Advanced Media, 2009.

En te basant uniquement sur ces statistiques, explique pourquoi il est préférable d’affronter David Wright plutôt que de lui accorder un but sur balles intentionnel.

14. En route ! Le tableau suivant présente la répartition des travailleurs de cinq régions métropolitaines du Québec selon le mode de transport qu’ils utilisent pour se rendre au travail. Montréal

Québec

Saguenay

Sherbrooke

Trois-Rivières

Total

1 122 050

270 645

56 280

68 720

52 660

570 355

Automobile (en tant que passager)

86 170

19 680

3 480

4 990

2 805

117 125

Bicyclette

27 400

5 140

510

760

875

34 685

Marche

98 560

26 370

3 505

6 365

3 770

138 570

Motocyclette

2 055

485

65

130

65

2 800

Taxi

4 035

425

100

125

65

4 750

367 755

37 060

1 600

4 080

1 490

411 985

8 470

1 770

590

395

340

11 565

1 716 495

361 575

66 130

85 565

62 070

2 291 835

Automobile (en tant que conducteur)

Transport en commun Autres Total Source : Statistique Canada, 2006.

On choisit une personne au hasard parmi les travailleurs de ces cinq régions. Quelle est la probabilité de choisir une personne : a) qui voyage en taxi ? b) qui utilise le transport en commun, alors qu’elle vit à Trois-Rivières ? c) qui vit à Sherbrooke, sachant qu’elle se rend au travail à pied ? d) qui utilise l’automobile en tant que conducteur, sachant qu’elle vit au Saguenay ?

244

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

15. Jeu de dés Un jeu consiste à lancer deux dés et à observer la somme obtenue. Pour jouer, il aut déposer une mise de 5 $. Si la somme obtenue est 2 ou 12, la personne qui a lancé les dés gagne 18 $. Si la somme obtenue est un nombre carré, elle gagne 10 $. Si la somme obtenue est un nombre impair autre que 9, la personne récupère sa mise. Dans tous les autres cas, elle perd sa mise. Julie prétend que ce jeu est avorable à la joueuse ou au joueur puisque lorsqu’on calcule la somme obtenue, le nombre de résultats possibles dans le cas d’un gain est plus grand que le nombre de résultats possibles dans le cas d’une perte (4 : 3). À l’aide d’arguments mathématiques, vérife la conjecture de Julie.

16. Le don de soi Le tableau suivant présente la répartition des personnes qui ont répondu à un sondage sur le bénévolat selon le sexe et le groupe d’âge. Hommes

Femmes

15 à 24 ans

10 %

8%

25 à 34 ans

7%

9%

35 à 44 ans

12 %

13 %

45 à 54 ans

10 %

9%

55 à 64 ans

6%

7%

65 ans et plus

5%

4%

Source : Statistique Canada, 2000.

Élodie afrme que si l’on choisit une personne au hasard parmi celles qui ont répondu au sondage, la probabilité de choisir un homme, sachant que cette personne a entre 45 et 54 ans, est plus grande que la probabilité de choisir une personne qui a entre 15 et 24 ans, sachant que c’est une emme. A-t-elle raison ou tort ? Justife ton raisonnement à l’aide d’arguments mathématiques.

Vivre-ensemble et citoyenneté Tout comme les bénévoles, les gens qui amassent des onds pour des causes humanitaires ont don de leur temps afn d’aider les autres. Terrance Stanley Fox (1958-1981), surnommé « Terry Fox », était un athlète canadien. À 19 ans, il a subi l’amputation d’une jambe à cause d’un cancer. En 1980, malgré sa jambe artifcielle, il a décidé de traverser le Canada à la course afn d’amasser des onds pour la recherche sur le cancer. Il a touché et inspiré des milliers de personnes pendant cette course qu’il a cependant dû interrompre en raison de problèmes de santé. Chaque année depuis sa mort, plusieurs courses ont lieu lors de la Journée Terry Fox afn d’amasser des onds pour la lutte contre le cancer. La Monnaie royale canadienne a rendu hommage à Terry Fox en 2005 en gravant une pièce souvenir à son efgie. Connais-tu d’autres personnalités publiques qui donnent de leur temps pour une cause humanitaire ? Selon toi, qu’est-ce qui motive une personnalité publique à s’engager dans ce type de cause ?

Consolidation

245

17. La stratégie de Tarek Tarek souhaite utiliser une stratégie dans un jeu de hasard où des gains sont associés à l’un des côtés d’une pièce de monnaie qu’on lance. Sa stratégie consiste à miser sur un côté seulement si ce côté n’a pas été obtenu depuis quelques lancers. Par exemple, il pense que si l’on obtient le côté ace quatre ois de suite, alors les chances d’obtenir le côté pile au prochain tirage sont bien meilleures. Analyse la stratégie de Tarek et commente-la à l’aide d’arguments mathématiques.

18. Encourager le sport La ligue de soccer Plan de match organise une loterie comme moyen de fnancement afn de permettre aux jeunes de ses équipes de participer à des tournois. Elle émet 1 000 billets de loterie qu’elle vend au coût de 4 $ chacun. Les prix à gagner sont les suivants : 3 chèques-cadeaux de 100 $ dans un magasin de sport et une fn de semaine pour deux dans un complexe hôtelier, d’une valeur de 350 $. Les chèques-cadeaux ont été gracieusement oerts par un commanditaire, mais la ligue de soccer a dû payer 80 % de la valeur du séjour hôtelier. Un montant de 150 $ a aussi été nécessaire pour couvrir diérents rais. a) Si tous les billets sont vendus, quel proft la ligue réalisera-t-elle ? b) Quelle est l’espérance mathématique de cette loterie si une personne achète un billet ? c) Si la loterie ne comportait comme prix que le séjour hôtelier, combien devrait coûter chacun des 1 000 billets afn que la loterie soit équitable ?

19. Le problème de Monty Hall Alexandra participe à un jeu télévisé. L’animateur la place devant trois portes ermées. Derrière l’une de ces portes se trouve le gros lot et derrière chacune des deux autres portes se trouve un prix sans importance. L’animateur sait ce qui se cache derrière chaque porte. Il demande à Alexandra de choisir une porte, sans l’ouvrir. Il ouvre ensuite l’une des deux autres portes, qui contient l’un des deux prix sans importance. Alexandra a alors deux options : conserver et ouvrir la porte qu’elle a choisie au départ ou modifer son choix et ouvrir la troisième porte. Énonce une conjecture afn d’aider Alexandra à aire le bon choix. Fais la preuve de ta conjecture.

Fait divers Ce jeu est inspiré d’un véritable jeu télévisé américain dans lequel les participants devaient choisir une porte parmi trois. S’ils choisissaient la porte gagnante, les participants remportaient une superbe voiture, tandis que les deux autres portes cachaient des chèvres ! La popularité de ce jeu a amené de nombreux mathématiciens à se pencher sur les probabilités qui en découlent. Cette question porte même le nom de « problème de Monty Hall », en référence au nom de l’animateur du jeu télévisé.

246

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

20. Une jeunesse active Dans un sondage eectué en 2008 au Canada auprès de la population âgée de 12 à 19 ans, 73 % des hommes et 58 % des emmes afrmaient aire de l’activité physique pendant leurs temps libres. S’il y avait 1 775 100 hommes et 1 688 900 emmes âgés de 12 à 19 ans au Canada en 2008, quelle est la probabilité de choisir une emme au hasard parmi cette population, sachant que cette personne ne pratique pas d’activité physique pendant ses temps libres ?

21. Planifier avec assurance Au cours d’une année, une compagnie d’assurance habitation estime que 3 % de ses assurés réclameront en moyenne 10 000 $ et que 0,05 % réclameront en moyenne 200 000 $. En supposant que les autres assurés ne eront aucune réclamation : a) détermine le prix minimal d’une prime d’assurance qui garantit à la compagnie l’argent nécessaire pour payer toutes les réclamations au cours de l’année ; b) trouve deux raisons pour lesquelles le prix de la prime fxé par la compagnie sera certainement supérieur à celui que tu as déterminé en a.

22. Le jeu du petit cochon Le jeu du petit cochon consiste à lancer une fgurine, représentant un cochon, comme on lance un dé, et à observer sa position. Voici les règles du jeu. Une personne lance la fgurine un certain nombre de ois. Son tour se termine lorsque la fgurine tombe sur le côté ou, le cas échéant, lorsque la personne choisit de s’arrêter. – Si la personne choisit de s’arrêter, son pointage pour ce tour correspond à la somme des points qu’elle a obtenus. – Si le tour se termine parce que la fgurine tombe sur le côté, la personne n’obtient alors aucun point et doit remettre la fgurine à la prochaine joueuse ou au prochain joueur. – La première personne qui accumule 100 points gagne la partie. Pour se amiliariser avec le jeu, Ariane a lancé la fgurine 600 ois. Le tableau suivant présente la compilation du nombre d’occurrences de chacun des résultats. Nombre de points associé au résultat

Nombre d’occurrences du résultat

Sur le côté

0

297

Sur le dos

5

175

Assis

5

82

Sur le museau

10

36

Sur le museau et une oreille

15

10

Résultat

Ariane joue une partie avec son ami Jonathan. Elle a 60 points et Jonathan en a 85. C’est maintenant au tour d’Ariane de jouer. Elle lance la fgurine et obtient deux ois de suite la position « sur le museau et une oreille ». Elle se demande si elle doit continuer à lancer la fgurine ou s’arrêter. Émets une recommandation, à l’intention d’Ariane, qui repose sur des arguments mathématiques. Consolidation

247

23. État matrimonial Le tableau suivant présente la répartition de la population canadienne selon le sexe et l’état matrimonial en 2007. Hommes

Femmes

Célibataire

7 396 835

6 404 162

Fait divers

Marié

7 910 554

8 006 306

Un grand nombre de croyances populaires traversent le temps parce que sufsamment de gens leur accordent de l’importance et croient d’emblée que leur ondement est vrai sans l’avoir vérifé. Voici quelques exemples de croyances populaires « vieilles comme le monde ». – Le nombre 13 porte malheur. – Une salière renversée annonce une visite. – Un trèe à quatre euilles porte bonheur. – Un miroir cassé signife sept ans de malheur.

Veuf

312 357

1 261 098

Divorcé

712 531

972 183

Source : Statistique Canada, 2007.

Est-ce que la probabilité de choisir une personne mariée, sachant que cette personne est une emme, est plus grande que la probabilité de choisir une emme, sachant qu’elle est mariée ? Explique ton raisonnement.

24. Le jour de la marmotte Le 2 évrier de chaque année, vers 7 h 30, une marmotte qu’on appelle Punxsutawney Phil sort de son terrier. Selon la croyance populaire, si la marmotte voit son ombre, le temps hivernal se poursuivra encore au moins six semaines, c’est-à-dire au moins jusqu’au 16 mars. Si elle ne la voit pas, le temps hivernal se terminera avant le 16 mars. De toutes les prédictions de la marmotte répertoriées depuis 1887, soit plus d’une centaine, environ 37 % se sont avérées justes. a) De quelle açon pourrait-on modifer un peu cette croyance populaire afn d’augmenter de beaucoup la probabilité que la marmotte « voie » juste ? b) Dans ce contexte, puisqu’on se base sur plus de 100 prédictions, peut-on associer le résultat à une probabilité réquentielle ? Justife ta réponse.

25. Évaluer ou estimer le risque ? Voici deux panneaux de signalisation aperçus dans le parc des Laurentides. Trouve des arguments qui justifent la décision d’inscrire sur les panneaux « risque élevé » plutôt que « risque très élevé » et qui s’appuient sur : a) une probabilité réquentielle ; b) une probabilité subjective.

248

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

26. La loi de Benford La loi de Benford, aussi appelée « loi des nombres anormaux », établit que le premier chiffre de nombres tirés d’une multitude de contextes n’a pas les mêmes chances d’être un 1 qu’un 3 ou un 9, par exemple. a) Reproduis et remplis le tableau suivant en y indiquant le nombre de fois que chacun des chiffres (1 à 9) se trouve au début des nombres. Premier chiffre du nombre en question

Ensemble de nombres

1

2

3

4

5

6

7

8

9

100 premiers nombres carrés 100 premiers termes de la suite de Fibonacci

L’utilisation d’un tableur facilite considérablement la compilation d’un grand nombre de données. Le tableur permet aussi de générer des suites de nombres rapidement. Pour en savoir plus, consulte la page 281 de ce manuel.

b) Comment peux-tu expliquer qu’il soit plus probable qu’un nombre débute, par exemple, par un 1 que par un 9 ?

Point de repère Frank Benford Frank Benford (1883-1948), ingénieur et physicien américain, titulaire de plus d’une vingtaine de brevets, est surtout connu pour ce qu’on appelle aujourd’hui la « loi de Benford ». Cette loi établit que la probabilité fréquentielle qu’un nombre tiré d’un certain contexte débute par le chiffre 1 est plus grande que la probabilité fréquentielle qu’il débute par le chiffre 2, elle-même plus grande que la probabilité fréquentielle qu’il débute par le chiffre 3 et ainsi de suite jusqu’à 9. Même si cette loi semble a priori très peu pratique, on l’utilise aujourd’hui pour détecter des fraudes fiscales, car elle permet de déceler des irrégularités dans les états financiers.

27. La cible Dans une fête foraine, un jeu consiste à lancer, les yeux bandés, deux fléchettes sur la cible représentée ci-contre, où les dimensions sont en centimètres. On marque respectivement 25 points, 10 points et 5 points lorsqu’on atteint les régions rouge, jaune et verte de la cible. Les fléchettes qui n’atteignent pas la cible sont lancées à nouveau jusqu’à ce que deux lancers atteignent la cible. Le tableau suivant présente le gain associé au total de points marqués lors des deux lancers. Total des points

Gain ($)

50

500

35

100

30

50

20

5

15 et moins

0

5

10

15

Propose un prix à payer pour participer à ce jeu de telle sorte que les organisateurs ne perdent pas d’argent s’il y a un très grand nombre de participants. Justifie toutes les étapes de ta démarche. Consolidation

249

28. L’aide internationale Pierre est technicien en génie civil et travaille pour une compagnie d’ingénierie œuvrant dans des projets de développement pour des pays qui bénifcient d’aide internationale. Il est souvent appelé à se déplacer dans plusieurs pays afn d’arpenter les terrains, d’eectuer des calculs topométriques et de concevoir des projets de construction. La carte suivante présente l’aide internationale apportée et reçue en 2003 dans le monde.

Valeur de l’aide internationale par habitant en 2003 ($ US) Régions qui Régions qui reçoivent donnent 289 388 50 100 10 50 0 25 Données non disponibles

Madagascar Argentine

Adapté de : Banque mondiale, 2006.

L’entreprise pour laquelle Pierre travaille lui annonce qu’il era partie d’une équipe de travail pour un projet à l’étranger. En supposant qu’il a autant de chances de se retrouver dans chacune des 25 régions de cette carte qui reçoivent de l’aide, détermine la probabilité conditionnelle la plus orte parmi les suivantes. Justife ta démarche. 1 La probabilité que Pierre travaille en Argentine, sachant qu’il travaille

sur un projet dont la valeur de l’aide internationale reçue par habitant en 2003 était entre 0 et 10 $ US. 2 La probabilité que Pierre travaille à Madagascar, sachant qu’il travaille

sur un projet dont la valeur de l’aide internationale reçue par habitant en 2003 était supérieure à 10 $ US. Vivre-ensemble et citoyenneté En 2009, le gouvernement du Canada a adopté un plan qui oriente le travail de l’Agence canadienne de développement international (ACDI) autour de trois thèmes : accroître la sécurité alimentaire, avoriser une croissance économique durable et assurer un avenir aux enants et aux jeunes. L’ACDI contribue à répondre aux besoins alimentaires des pays en développement en appuyant, entre autres, le Programme alimentaire mondial (PAM). Le Canada est l’un des principaux donateurs du PAM. Donne un exemple d’aide humanitaire que tu pourrais apporter à des personnes autour de toi afn d’améliorer leur vie.

250

Chapitre 8

La probabilité conditionnelle et l’espérance mathématique

Le monde du travail Les techniques du génie civil Les techniciens en génie civil ournissent des services techniques dans le domaine du génie. Ils participent à la planifcation et à la réalisation de projets liés à la construction, aux routes, au transport, à la topographie, à l’écoulement des eaux et à l’environnement. Ils peuvent travailler avec des ingénieurs et d’autres proessionnels ou de açon indépendante. Les techniciens en génie civil réalisent des mandats variés. Au sein d’une équipe de proessionnels, ils collaborent à la conception de plans et de devis ainsi qu’à l’estimation des coûts. Ils sont aussi appelés à se rendre sur le terrain pour aire des relevés d’arpentage et des études techniques en vue de recueillir des données. De plus, ils surveillent des chantiers et s’assurent de la bonne marche des projets. Ils eectuent également des inspections pour vérifer la conormité relativement aux normes établies et ils rédigent des rapports. Leurs aptitudes et leur expérience peuvent les amener à aire de la gestion de projets. Pour devenir technicienne ou technicien en génie civil, il aut obtenir un diplôme d’études collégiales en techniques du génie civil. Cela exige de très bonnes aptitudes en mathématique et en sciences, principalement en physique. De plus, il est nécessaire de connaître l’inormatique et les logiciels de dessin assisté par ordinateur pour pouvoir lire et préparer des plans. Un bon sens de l’organisation et des responsabilités, des habiletés à communiquer verbalement et par écrit ainsi qu’un excellent esprit d’équipe sont également importants. La capacité à analyser et à résoudre des problèmes constitue un atout de réussite pour les candidats. Au terme de leurs études, les techniciens en génie civil travaillent, entre autres, pour des municipalités, des sociétés d’État ou divers ministères. Ils peuvent également œuvrer pour des entreprises en construction, des bureaux d’estimateurs en bâtiments, des abricants de matériaux de construction et d’équipement, des frmes d’ingénieurs-conseils et d’architectes ou encore des laboratoires d’analyse et de contrôle de la qualité.

Le monde du travail

251

Intersection Chapitres 1 à 8

?

Un bon tuyau

Pour faire face à la croissance de la population et pour attirer les futurs propriétaires, plusieurs municipalités construisent de nouveaux quartiers résidentiels. De tels projets nécessitent l’intervention de divers spécialistes, entre autres dans les domaines de l’aménagement du territoire, de l’arpentage, de la construction de bâtiments, mais aussi des réseaux souterrains tels l’aqueduc et les égouts. Dans un quartier résidentiel, sur la route Sainte-Mérence, trois maisons sont déjà construites. Les nouveaux propriétaires attendent que leur maison soit reliée au nouveau réseau d’égouts avant d’emménager. Tu es responsable de la planification des travaux qui seront effectués par les ouvriers de la municipalité. Tu dois fournir les détails techniques aux ouvriers pour chacune des trois maisons à relier au réseau. Voici les renseignements dont tu disposes. Le plan ci-dessous est une vue aérienne de la route Sainte-Mérence et des trois maisons en question. La maison de la famille Nô et celle de la famille Tremblay seront reliées au réseau par le côté ouest de la route, tandis que la maison des Johnson le sera par le côté est. Les graduations du plan sont en mètres. y

Route Sainte-Mérence

Borne-fontaine (80, 90) Lampadaire (81, 83)

Maison des Nô (22, 86)

Maison des Tremblay (20, 32) Lampadaire (45, 29)

Maison des Johnson (105, 28)

Borne-fontaine (30, 15) 0

252

Intersection

Chapitres 1 à 8

x

Le tuyau principal du réseau d’égouts, qui mesure 1 m de diamètre, se situe sous la route Sainte-Mérence et est centré par rapport à la largeur de la route. Des tuyaux secondaires, enouis à 2,5 m de proondeur, raccordent chacune des maisons au tuyau principal. Chacun des trois points situés au centre des rectangles gris du plan de la page précédente correspond à l’endroit où le tuyau secondaire est rattaché à la maison. L’illustration suivante donne un exemple de l’installation d’un tuyau du côté est de la route. Maison des Johnson

Élévation de la maison par rapport à la route Partie inclinée du tuyau secondaire

Tuyau principal

Partie horizontale du tuyau secondaire

La quantité d’eau maximale déversée par chacune des maisons dans le réseau, qu’on appelle « charge hydraulique maximale », détermine le diamètre du tuyau secondaire à installer. La règle suivante sert à déterminer le diamètre du tuyau secondaire, où c représente la charge hydraulique maximale de la maison et d(c), le diamètre du tuyau, en centimètres.

[ ] –

c d(c) = –2,5 15

Le tableau suivant résume les caractéristiques de chacune des maisons à relier au réseau d’égouts. Propriétaire

Nombre Charge Élévation par Superfcie Nombre de salles hydraulique rapport à la route habitable d’habitants de bain maximale (m) (m2)

Famille Nô

4

2

65

11,5

124,02

Famille Tremblay

5

3

90

12,5

241,11

Famille Johnson

2

1

50

3,6

75,15

Produis un rapport technique à l’intention des ouvriers. Ton rapport doit contenir les données suivantes. • Le diamètre des tuyaux secondaires à installer pour chacune des maisons ; • la longueur des tuyaux secondaires requise pour atteindre le tuyau d’égout principal de la municipalité sous la route ; • l’angle d’inclinaison de chacun des tuyaux secondaires.

Situation-problème

253

Problèmes 1. Tangram Une ébéniste a construit un jeu de tangram avec un morceau de noyer. Ce jeu d’origine chinoise est composé de sept pièces de ormes géométriques. Quand elles sont placées dans leur position initiale, les sept pièces orment un prisme à base carrée. En déplaçant les pièces, on peut ormer toutes sortes de fgures. L’expression algébrique représentant le volume du prisme à base carrée initial, en centimètres cubes, est 18x3 + 63x2 + 36x - 36. La fgure ci-contre représente un lapin. Elle se Abase = 9 x2 + 9 x+9 cm2 8 2 2 compose des sept pièces du jeu et l’aire de la base de certaines pièces est connue. Quelle expression algébrique représente les dimensions du prisme à base carrée ormé par les sept pièces du jeu ?

9 2 9 Abase = 16 x + 4x + 9 cm2 4

M

2. Des triangles particuliers

5 cm

On a juxtaposé les triangles rectangles semblables RMN et RNP pour constituer le quadrilatère MNPR. Quelle est l’aire du triangle rectangle RST ?

10 cm

T

3. Sans contexte C 3,1 cm

B

F

A

59°

E 13,4 cm

∆ABC ~ ∆DEF Quelle est la mesure du segment EF ?

254

Intersection

Chapitres 1 à 8

N

S

R

3,9 cm

60°

D

P

4. Homard raffiné

a) La relation entre le prix de vente d’un homard et sa masse est-elle une fonction définie par parties ? Explique ta réponse.

Prix de vente ($)

Voici un graphique qui représente le prix d’un homard en fonction de sa masse.

Le prix du homard 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 Masse du homard (kg)

b) Trois personnes ont trouvé des règles différentes pour modéliser cette situation. Identifie la règle qui est correcte et explique les erreurs qu’on trouve dans les deux autres.

f1(x) =

8 pour 0,15 < x ≤ 0,4 5x + 8 pour 0,4 < x ≤ 1,2 5x + 16 pour x > 1,2

f3(x) =

f2(x) =

8 pour 0,15 < x ≤ 0,4 5x + 6 pour 0,4 < x ≤ 1,2 5x + 10 pour x > 1,2

8 pour 0,15 < x ≤ 0,4 5x pour 0,4 < x ≤ 1,2 5x + 4 pour x > 1,2

c) Quel est le prix d’un homard de 2 kg ? d) Quelle est la masse d’un homard qui se vend 17,50 $ ?

5. Pente raide Les panneaux routiers qui annoncent une pente raide sur un tronçon de route affichent une notation en pourcentage plutôt qu’un rapport ΔΔyx . Voici un de ces panneaux. a) Quel est l’angle d’inclinaison de ce tronçon de route ? b) La distance parcourue par les véhicules sur ce tronçon de route n’est pas de 3 km. Quelle est-elle ?

Problèmes

255

6. « Super » glissade Les concepteurs des installations récréatives d’un parc aquatique présentent les plans d’une nouvelle glissade qui sera érigée sur les berges du lac artificiel du parc : la glissade Gigantescus. La trajectoire de cette glissade peut être modélisée par la règle suivante, où x est le déplacement horizontal associé à la glissade, en mètres, et f(x), la hauteur de la glissade, en mètres. 0,15x2 pour −10 ≤ x < 0 2 − 0,075x pour 0 ≤ x ≤ 15 Afin de la soutenir, une structure métallique sera construite et installée sous la glissade. Une tige métallique sera fixée au point le plus bas de la glissade et au point situé à l’origine du plan. Représente graphiquement la glissade. Indique sa hauteur, la longueur de la tige et l’angle que formera la tige avec le sol. f(x) =

7. Le géant de l’Illinois L’ Américain Robert Wadlow détient le record de l’homme le plus grand ayant existé. Sa croissance exceptionnelle est attribuée à une tumeur située dans l’hypophyse. Lorsqu’il est mort, en 1940, à l’âge de 22 ans, sa croissance n’était toujours pas terminée. Le tableau suivant présente l’évolution de la taille de Robert Wadlow de 8 à 22 ans. Âge (années)

Taille (m)

Âge (années)

Taille (m)

Âge (années)

Taille (m)

8

1,83

13

2,18

18

2,53

9

1,89

14

2,26

19

2,58

10

1,96

15

2,34

20

2,61

11

2,00

16

2,40

21

2,65

12

2,10

17

2,45

22

2,72

Combien Robert Wadlow aurait-il mesuré à l’âge de 30 ans, si l’évolution de sa taille s’était maintenue ?

Robert Wadlow et son père, Harlod Wadlow, en 1938.

Fait divers À l’âge de neuf ans, Robert Wadlow était déjà beaucoup plus grand que son père ; il pouvait d’ailleurs le porter dans ses bras jusqu’en haut de l’escalier de la maison familiale. Au moment de son décès, l’homme le plus grand du monde portait des souliers de pointure 37 (47 cm) et ses mains mesuraient 32,4 cm. Aujourd’hui, au centre d’Alton, aux États-Unis, dans la ville natale de Robert Wadlow, une statue de bronze grandeur nature permet aux touristes de se photographier en compagnie du géant.

256

Intersection

Chapitres 1 à 8

8. La famille se rapproche Monsieur Cameron possède un grand terrain rectangulaire à la campagne. Il veut séparer son terrain en trois lots rectangulaires afn que ses deux fls et lui vivent près les uns des autres. Monsieur Cameron demande à une entreprise d’arpentage de placer des bornes aux quatre coins de chacun des lots pour les délimiter. Il demande aux arpenteurs de séparer le terrain en trois lots de même superfcie. Le plan ci-contre représente le terrain avec les bornes installées par l’arpenteur-géomètre, placé dans un plan cartésien gradué en mètres. Voici les équations des droites qui modélisent les côtés BC et CD du terrain. Côté

Équation

BC

x - 10y + 2 165 = 0

CD

20x + 2y = 4 675

Quelles sont les coordonnées de chacune des bornes qui serviront à délimiter les trois lots ?

y

C

B M. Cameron G E 1er fils

A(100, 75)

F

2e fils

D

H

0

x

Le nombre de plans d’eau inestés de cyanobactéries, communément appelées « algues bleues », a connu une croissance exponentielle entre les années 2004 et 2007, au Québec. Dans le plan cartésien ci-contre, chacun des points représente le nombre de plans d’eau inestés chaque année depuis 2004. La courbe représente la onction qui modélise la relation entre le nombre de plans d’eau inestés et le nombre d’années écoulées depuis 2004. Selon ce modèle, il y aurait 456 plans d’eau inestés en 2008 et 867 plans d’eau inestés en 2009. Combien de plans d’eau seraient inestés de cyanobactéries en 2012 si cette tendance se maintenait ?

Nombre de plans d’eau infestés

9. La crise des cyanobactéries Les plans d’eau infestés de cyanobactéries 350 300 250 200 150 100 50

0

1

2 3 4 5 Années écoulées depuis 2004

Adapté de : Ministère du Développement durable, de l’Environnement et des Parcs, 2007.

Problèmes

257

10. Au menu Le tableau ci-dessous présente la teneur en gras et en énergie de mets préparés dans un casse-croûte. Portion (g)

Gras (g)

Énergie (kJ)

Croquettes de poisson

Mets

147

9

317

Croquettes de poulet

159

12

300

Hamburger double

157

20

410

Petit sous-marin

179

6

280

Petit sous-marin végétarien

117

3

165

Pointe de pizza garnie de pepperoni

277

19

630

Pointe de pizza végétarienne

326

14

580

Poitrine de poulet

161

19

380

Poulet pop-corn

114

21

380

Salade César

170

32

360

a) À l’aide d’un nuage de points, représente la relation entre la quantité de gras, en milligrammes, par gramme de portion et la quantité d’énergie, en kilojoules (kJ), par gramme de portion pour tous les mets oerts. b) Dans le menu de ce casse-croûte, on trouve également des nachos. Estime la quantité d’énergie, en kilojoules, dans une portion de 263 g de nachos contenant 16 g de gras.

11. Spectateurs recherchés Les responsables du marketing d’une équipe de hockey proessionnel préparent la prochaine saison. Ils veulent prévoir l’afuence de spectateurs durant les matchs locaux de l’équipe an d’organiser leur campagne de publicité. Pour aire leurs prédictions, ils ont compilé dans un tableau des données recueillies au cours des 18 dernières années relativement au nombre de victoires par année et à la moyenne annuelle du nombre de spectateurs. Nombre Nombre de Nombre Nombre de Nombre Nombre de de spectateurs de spectateurs de spectateurs victoires (moyenne annuelle) victoires (moyenne annuelle) victoires (moyenne annuelle) 49

17 920

34

19 397

30

14 795

36

17 509

30

18 356

20

13 253

47

17 776

29

17 330

26

13 318

39

17 771

33

16 274

31

12 727

41

20 818

29

14 997

40

16 814

40

20 391

41

15 569

46

22 247

Sachant que tous les analystes sportis prévoient que l’équipe remportera entre 49 et 53 victoires pendant la prochaine saison, estime le nombre de spectateurs, en moyenne, qui assisteront aux matchs locaux de l’équipe.

258

Intersection

Chapitres 1 à 8

12. Barrière d’eau Lorsque des travaux routiers sont eectués près d’un cours d’eau, des mesures sont prises an de permettre à la machinerie d’accéder au site. Ainsi, il est parois nécessaire d’assécher temporairement une partie d’un cours d’eau à l’aide d’une barrière d’eau. Un nouveau modèle de barrière d’eau existe maintenant. Il s’agit d’un dispositi gonfable qui a la orme d’un prisme à base triangulaire lorsqu’il est gonfé à pleine capacité. Voici une illustration de cette barrière d’eau.

6,65 m

22°

6m

Combien de litres d’air aut-il pour gonfer cette barrière d’eau à pleine capacité ?

1 L = 1 dm3

13. Horizon lointain Claudia se trouve à 30 m de hauteur dans un phare situé au bord de l’océan. Elle regarde l’horizon et se demande jusqu’à quelle distance elle peut voir. An de calculer cette distance, elle utilise le schéma ci-contre. Le segment CP représente le phare au sommet duquel Claudia se trouve et l’arc PH représente la distance qu’elle désire calculer. Le rayon de la Terre OH est d’environ 6 378 km.

C

P H r O

a) Reproduis et complète ce schéma en y indiquant les mesures connues. b) Détermine la mesure de l’arc PH. c) Si C représentait plutôt le sommet du mont Everest, à une altitude de 8 844 m, quelle serait la mesure de l’arc PH ?

Problèmes

259

14. Logo précis Une entreprise spécialisée dans la coupe de précision de matériaux divers souhaite moderniser son logo. Au lieu de la paire de ciseaux qui représentait jusqu’alors l’entreprise, le nouveau logo sera composé d’un triangle traversé d’un rayon laser, dont voici la représentation graphique. y

(2 )

B 1, 8

M T x

(4 2)

− − C 9 , 5

A(5, −4)

Sachant que le segment MT, qui modélise le rayon laser, est la médiatrice du segment AB, quel pourcentage du logo sera de couleur bleue ?

15. Tyrolienne Dans un parc d’hébertisme, un nouveau parcours aérien est en chantier. Le responsable de la construction doit installer une tyrolienne entre deux arbres. L’illustration ci-dessous représente l’emplacement de la nouvelle tyrolienne. Quelques mesures y sont inscrites.

Tyrolienne xm Responsable debout mesurant 1,80 m 60,6° 20,1 m

38,4° 30,5 m

a) À quelle hauteur se situe chacune des plateformes ? b) Quelle sera la longueur de la tyrolienne ? 260

Intersection

Chapitres 1 à 8

16. Jouer pour une bonne cause Une soirée-bénéfce est organisée afn d’amasser des onds pour une ondation qui lutte contre le cancer. À l’occasion de cette soirée, les invités pourront acheter des coupons au coût de 1 $ chacun et les utiliser pour jouer à diérents jeux de hasard et d’adresse. Tout l’argent amassé grâce à la vente de ces coupons servira à la recherche sur le cancer. Les organisateurs de la soirée élaborent un des jeux d’adresse : le lancer du pois. Ce jeu consiste à lancer un pois sec dans une boîte divisée en trois cases de ormes diérentes. La boîte est représentée dans le plan cartésien ci-dessous, où certaines mesures ont été arrondies. y

(11,66, 11,66)

(14,49, 8,83)

(6, 6)

(17,32, 6)

(11,66, 6)

(8,83, 3,17) (11,66, 0,34) 0

x

Il en coûte 10 coupons pour chaque lancer du pois. Si le pois tombe dans la case bleue, la personne gagne 50 coupons. Si le pois tombe dans la case rouge, la personne ne gagne aucun coupon. Afn de rendre le jeu équitable, détermine le nombre de coupons qu’une personne gagnera si elle lance un pois dans la case jaune.

17. Probabilité d’averses Monsieur Landry a évalué les degrés de conort qui découlent de sa désicion de trimballer ou non son parapluie. Voici son évaluation. J’ai mon parapluie

Je n’ai pas mon parapluie

Il pleut

+5

-

Il ne pleut pas

-

+10

6

20

a) Afn de maximiser son degré de conort, monsieur Landry devrait-il trimballer son parapluie si la probabilité d’averses est de 50 % ? b) Pour quelle probabilité d’averses l’espérance mathématique du degré de conort de monsieur Landry est-elle la même, qu’il trimballe ou non son parapluie ?

Problèmes

261

18. Pêche au saumon

Fait divers La pêche au saumon de l’Atlantique est réservée aux pêcheurs qui possèdent un permis. Elle est encadrée par un code d’éthique très strict. Par exemple, la pêche doit se pratiquer à la mouche exclusivement, sans appât, et ne peut s’effectuer qu’à l’aide d’une mouche à soie.

Madame Doré pêche depuis plusieurs années. Cette année, elle a obtenu un permis pour la pêche au saumon sur la rivière Cascapédia, en Gaspésie. Sur cette rivière, le taux de capture est de 3 sur 20, ce qui signife que, pour chaque personne qui pêche, 3 poissons sont attrapés sur une période de 20 jours de pêche. La population de saumons à cet endroit est estimée à 2 125, dont 1 775 sont des saumons reproducteurs. Le rapport entre les mâles et les emelles est de 5 : 4. a) Quelle est la probabilité que madame Doré pêche un saumon et qu’il s’agisse d’une emelle ? b) Quelle est la probabilité que madame Doré pêche un saumon et qu’il s’agisse d’un mâle non reproducteur ? c) Quelle est la probabilité que madame Doré revienne bredouille de ses quatre jours de pêche ?

19. Tests concluants Une entreprise de recherche pharmaceutique a mis au point un test de dépistage pour une maladie. Une étude clinique est menée afn de vérifer l’efcacité de ce test. Au cours de cette étude, 1 000 personnes, dont certaines étaient atteintes de la maladie, ont subi le test de dépistage. Les résultats de l’étude sont compilés dans le tableau suivant. Tests de dépistage positifs

Tests de dépistage négatifs

Total

Personnes atteintes

99

13

112

Personnes non atteintes

23

865

888

Total

122

878

1 000

Malgré ces résultats encourageants, il ne sera pas possible d’utiliser le test pour dépister la maladie. Explique pourquoi à l’aide d’arguments mathématiques.

262

Intersection

Chapitres 1 à 8

Énigmes 1

Trois enfants entrent dans une boutique de bonbons et décident d’acheter un sac de bonbons à 1,50 $. Une fois devant le commis, ils paient chacun 50 cents et quittent la boutique pour aller manger leurs bonbons dans le parc de l’autre côté de la rue. Quelques minutes après le départ des enfants, le gérant du magasin remarque que le sac de bonbons était mal étiqueté et qu’il ne coûtait pas 1,50 $, mais 1 $. Par souci d’honnêteté envers les enfants, le patron décide d’envoyer son commis les rembourser. En recevant les 50 cents payés en trop, le commis se dit qu’il ne sera pas facile, pour les enfants, de diviser cette somme en trois. Il décide donc de garder 20 cents pour lui et de rendre 10 cents à chaque enfant. Ainsi, chaque enfant a payé 40 cents pour le sac de bonbons, ce qui fait un total de 1,20 $. Si on ajoute à ce montant les 20 cents gardés par le commis du magasin, on arrive à un total de 1,40 $… Où sont passés les 10 cents manquants ?

2

Soit le schéma ci-contre, où chaque lettre représente un nombre. Les nombres à l’extérieur du carré indiquent la somme de chaque rangée, de trois colonnes et d’une diagonale. Quelle est la somme de la deuxième colonne ?

A

B

B

C

20

B

A

C

C

21

B

C

C

A

21

D

D

A

D

25

21

23

25

21 3

On dispose 9 cartes à jouer en 3 rangées et en 3 colonnes. Il y a au moins 2 as, 2 rois, 2 dames et 2 valets. Chaque valet est voisin d’un roi et d’une dame. Chaque dame est voisine d’un roi et d’un as. Chaque roi est voisin d’un as. On considère comme voisines les cartes dont les bords verticaux ou horizontaux sont côte à côte. Les cartes en diagonale ne sont pas considérées comme voisines. Détermine où se trouve chacune des cartes.

4

Evelyne a 6 allumettes de même taille. Comment peut-elle construire 4 triangles équilatéraux avec ces allumettes sans les briser ?

Énigmes

263

Outils technologiques La calculatrice à affichage graphique La calculatrice à afchage graphique permet, entre autres, de représenter graphiquement des onctions et d’obtenir de nombreux renseignements sur ces onctions. Les touches du menu graphique se trouvent directement sous l’écran de la calculatrice. En voici une description.

Pour saisir les règles des onctions à représenter graphiquement.

Pour déplacer le curseur sur la courbe et voir les couples de coordonnées qui appartiennent à la onction.

Pour déinir la enêtre d’aichage.

Pour aicher les représentations graphiques des onctions. Pour modiier les paramètres préétablis de la enêtre d’aichage.

Pour saisir la variable x.

264

Outils technologiques

Limiter la représentation d’une fonction sur un intervalle donné Voici les étapes pour représenter la fonction dont la règle est y = 0,5x2 pour les valeurs de x comprises entre –3 et 3. 1

Appuyer sur et saisir la règle de la fonction en limitant le domaine. Pour limiter le domaine, utiliser les symboles qui se trouvent dans les menus « Catalog » et « Test », en appuyant sur et , ou encore sur et . Utiliser le symbole < et le « et » pour saisir /((–3< X) et (X< 3)).

2

Appuyer sur le graphique.

pour afficher

Observer l’effet d’un paramètre sur la représentation graphique d’une fonction exponentielle 1

Appuyer sur et saisir la règle d’une fonction exponentielle de base et celle d’une fonction exponentielle dont la valeur d’un paramètre varie.

2

Appuyer sur pour afficher les graphiques.

3

Accéder au menu « Table » en appuyant sur , puis pour afficher la table de valeurs.

La calculatrice à afchage graphique

265

Déterminer l’écart moyen et l’écart type d’une distribution de données Voici les étapes pour déterminer l’écart type d’une distribution de données. 1

Appuyer sur et sélectionner « 1 : Edite… ». Saisir les valeurs de la distribution dans la colonne L1.

2

Appuyer sur puis, avec la touche , déplacer le curseur sur « CALC ». Dans le menu « CALC », sélectionner «1 : Stats 1–Var » et appuyer deux fois sur .

Remarque : sx représente l’écart type de la distribution. Voici les étapes pour déterminer l’écart moyen de cette même distribution. 1

Prendre en note la moyenne de la distribution, notée x, indiquée à l’écran précédent (dans ce cas-ci, 60).

3

Avec la touche , déplacer le curseur sur la colonne L3. Saisir abs(L2) afin d’obtenir la valeur absolue de l’écart à la moyenne. Appuyer sur .

4

Appuyer sur . Avec la touche , déplacer le curseur sur « CALC ». Sélectionner « 1 : Stats 1–Var » et L3. Appuyer sur .

2

Appuyer sur et sélectionner « 1 : Edite… ». Avec la touche , déplacer le curseur sur la colonne L2. Saisir L1–60 afin d’obtenir les écarts à la moyenne. Appuyer sur .

Remarque : x représente l’écart moyen de la distribution.

266

Outils technologiques

Afficher un nuage de points 2

Pour tracer ces points dans un plan cartésien, appuyer sur et . Sélectionner ensuite « 1 : Graph1…Aff ».

1

Appuyer sur et sélectionner « 1 : Edite… ». Saisir les valeurs dans les colonnes L1 et L2.

3

Avec les touches , déplacer le curseur pour avoir accès à différentes options : sélectionner « Aff » pour afficher les points, sélectionner le nuage de points dans l’option « Type », les options « ListeX : L1 » et « ListeY : L2 » permettent d’afficher les valeurs saisies dans les listes L1 et L2, l’option « Marque » permet de choisir le type de point. Appuyer ensuite sur pour confirmer les options choisies.

4

Appuyer sur pour régler la graduation des axes.

5

Appuyer sur pour afficher le nuage de points.

Xmax Xmin

= 10

Xgrad

= 70

= 10

La calculatrice à afchage graphique

267

Tracer la droite de régression associée à un nuage de points et déterminer le coefficient de corrélation 1

Pour afficher le coefficient de corrélation, il faut appuyer sur et . Puis, avec la touche , déplacer le curseur sur « CorrelAff » et appuyer sur . Remarque : Sur une calculatrice en anglais, sélectionner « DiagnosticOn » plutôt que « CorrelAff ».

2

Pour obtenir la droite de régression et le coefficient de corrélation linéaire, appuyer d’abord sur . Avec la touche , déplacer le curseur sur le menu « CALC ». Sélectionner « 4 : RegLin(ax+b) » et appuyer sur .

3

Appuyer successivement sur les touches , 1, et , pour saisir L1, puis sur , 2 et pour saisir L2. Appuyer ensuite sur et, en déplaçant le curseur avec la touche , sélectionner le menu « Y–VARS ». Sélectionner « 1 : Fonction », puis « 1 : Y1 » pour saisir Y1. Appuyer sur .

4

Appuyer sur pour obtenir la droite de régression et le coefficient de corrélation linéaire. Remarque : « a » et « b » sont les paramètres de la droite de régression, « r » est le coefficient de corrélation.

268

Outils technologiques

Le traceur de courbes L’interface Barre de menus

Barre d’outils de création et d’édition d’objets graphiques : textes, formules, bulles et dessins

Barre d’outils de déplacement

Barre d’outils de formatage des textes et des bulles

Barre de documents

Fenêtre graphique Liste des éléments du document Fenêtre calculatrice

Observer l’effet d’un paramètre sur la représentation graphique d’une fonction Tracer plusieurs courbes d’une famille de fonctions dans un même plan cartésien permet d’observer l’effet d’un paramètre sur la représentation graphique d’une fonction. Voici plusieurs fonctions de la forme y = ax2 pour lesquelles on a fait varier la valeur de a.

Le traceur de courbes

269

Représenter une famille de courbes Il est possible de créer une amille de courbes à l’aide de la catégorie prévue à cet eet. Cela permet de créer des animations dynamiques en aisant varier un paramètre entre des bornes spécifées.

1

Sélectionner l’onglet « Paramètre » dans la barre de documents et saisir un paramètre (exemple : a = 1).

2

3

Cliquer sur le bouton « Nouveau », puis sélectionner la catégorie « Famille de courbes ». Choisir un type de courbe (exemple : « Famille de courbes du type y = f(x) »).

Saisir la onction (exemple : ax^2) et spéciier les bornes (exemple : –3 et 3) et le pas dans la zone « Paramètre utilisé pour générer la amille ».

Le symbole utilisé pour l’exposant est « ^ ».

On obtient une amille de courbes.

270

Outils technologiques

Le tableur L’interface

Barre de mise en forme Barre de formule

Adresse de la cellule active

Feuille de calcul

Ligne Cellule active

Poignée de copie

Colonne

Calculer la valeur de placements selon différents taux d’intérêt Le tableur est un outil très utile pour déterminer rapidement des valeurs de la variable dépendante de fonctions exponentielles pour plusieurs valeurs de la variable indépendante. Exemple : Calculer la valeur des deux placements suivants : un placement de 2 000 $ à un taux annuel de 7,2 % et un placement de 1 800 $ à un taux annuel de 8 % pour des termes de 10 ans. 1

Saisir les données dans les cellules du tableur.

2

Dans la cellule B6, saisir la formule =2000*(1,072)^A6, sur le modèle de la règle de la fonction exponentielle y = acx. Dans cette situation, on peut calculer la valeur du placement y selon le nombre d’années x à partir de la valeur initiale et du taux d’intérêt correspondant au placement.

Le tableur

271

272

3

Utiliser la poignée de copie de la cellule B6 pour recopier la formule dans les cellules B7 à B16.

5

Sélectionner les cellules B6 à C16, puis cliquer sur le bouton de droite de la souris. Sélectionner « Format de cellule ».

Outils technologiques

4

Dans la cellule C6, saisir la formule =1800*(1,08)^A6. Comme en 3, recopier la formule dans les cellules C7 à C16 à l’aide de la poignée de copie.

6

Sous l’onglet « Nombre », choisir « Monétaire ». Fixer le nombre de décimales à 2. Dans le menu déroulant « Symbole », choisir « Aucune ». Les cellules afcheront les valeurs en argent.

Remarque : Afn de créer un graphique pour comparer les deux placements, sélectionner à nouveau les cellules B6 à C16. Sous l’onglet « Insertion », cliquer sur le bouton « Ligne », puis choisir « Courbe 2D ».

Le tableur

273

Déterminer l’écart moyen et l’écart type d’une distribution de données Voici les étapes pour déterminer l’écart moyen d’une distribution de données.

274

1

Saisir les données de la distribution dans les cellules du tableur.

2

Pour calculer la moyenne des données, saisir la formule =MOYENNE(B3:B14) dans la cellule B15.

3

Pour calculer l’écart à la moyenne de chacune des données, saisir la formule =B3-$B$15 dans la cellule C3. Utiliser la poignée de copie de la cellule C3 pour recopier la formule dans les cellules C4 à C14.

4

Pour déterminer la valeur absolue de l’écart à la moyenne de chacune des données : 1) cliquer sur la cellule D3 pour l’activer. Dans la barre de menus, sélectionner « (fx) Insérer une fonction » sous l’onglet « Formules ». Sélectionner « Tous » dans le menu déroulant des catégories de fonctions, puis choisir la fonction « ABS ».

Outils technologiques

2) Dans la enêtre d’afchage qui apparaît, inscrire C3. Cliquer sur le bouton « OK ».

3) Utiliser la poignée de copie de la cellule D3 pour recopier la ormule dans les cellules D4 à D14.

5

Pour calculer l’écart moyen, soit la moyenne des valeurs obtenues à l’étape précédente, saisir la ormule =MOYENNE(D3:D14) dans la cellule D15.

Le tableur

275

Voici les étapes pour déterminer l’écart type d’une distribution.

276

1

Saisir les données de la distribution dans les cellules du tableur.

3

Calculer la somme des effectifs et celle de la troisième colonne, qui représente toutes les notes de la distribution, en saisissant la formule =SOMME(B2:B6) dans la cellule B8 et la formule =SOMME(C2:C6) dans la cellule C8.

Outils technologiques

2

Ajouter une troisième colonne au tableau afin d’obtenir la somme de chacune des notes. Pour calculer cette somme, saisir la formule =A2*B2 dans la cellule C2. Utiliser la poignée de copie de la cellule C2 pour recopier la formule dans les cellules C3 à C6.

4

Calculer la moyenne de la distribution en saisissant la formule =SOMME(C2:C6)/28 dans la cellule C10.

5

Ajouter une quatrième colonne au tableau afin d’obtenir la somme des carrés des écarts à la moyenne de chacune des données de la distribution en saisissant la formule =B2*(A2-$C$10)^2 dans la cellule D2.

6

Utiliser la poignée de la cellule D2 pour recopier la formule dans les cellules D3 à D6.

Le tableur

277

7

Calculer la somme des données de la quatrième colonne en saisissant la formule =SOMME(D2:D6) dans la cellule D8.

8

Calculer l’écart type en saisissant la formule =RACINE(D8/B8) dans la cellule D12.

Remarque : L’utilisation du tableur est utile lorsque la distribution est très grande.

Représenter un nuage de points Voici les étapes pour représenter un nuage de points à l’aide du tableur. 1

278

Saisir les données de la distribution à deux variables dans les cellules du tableur.

Outils technologiques

2

Sélectionner les cellules qui correspondent aux valeurs de X et de Y. Dans le menu « Insertion », sélectionner l’option « Graphiques » puis cliquer sur l’option « Nuage de points ».

3

Pour modifier la graduation des axes, cliquer sur l’axe vertical. Cliquer ensuite sur le bouton droit de la souris et sélectionner « Mise en forme de l’axe… ».

4

Sous l’onglet « Options d’axe », dans la catégorie « Minimum », inscrire 4 comme minimum pour la valeur des ordonnées. 5

6

On obtient alors le graphique suivant.

On peut obtenir la droite de régression en sélectionnant « Dispositions du graphique » dans le menu « Création » et en sélectionnant la mise en forme qui permet de tracer la droite.

Le tableur

279

Déterminer le coefficient de corrélation d’une distribution à deux caractères

280

1

Pour obtenir le coefficient de corrlation, placer le curseur sur une cellule vide. Dans le menu « Formules », slectionner l’option « Plus de fonctions » puis placer le curseur sur « Statistiques ». Slectionner ensuite « COEFFICIENT.CORRéLATION ».

2

Slectionner la plage de cellules correspondant aux valeurs de X pour la catgorie « Matrice1 » et la plage de cellules correspondant aux valeurs de Y pour la catgorie « Matrice2 ». Cliquer sur le bouton « OK ».

3

Inscrire « Coefficient de corrlation = » dans la cellule à gauche de celle qui correspond au calcul du coefficient. élargir la colonne au besoin.

Outils technologiques

Traiter un grand nombre de données Le tableur facilite considrablement le traitement d’un grand nombre de donnes. Par exemple, voici les tapes pour simuler 100 lancers d’un d rgulier à six faces. 1

Slectionner la cellule A1 pour l’activer. Dans la barre de menus, slectionner « (fx) Insrer une fonction » sous l’onglet « Formules ». Slectionner « Tous » dans le menu droulant des catgories de fonctions, puis choisir « ALéA.ENTRE.BORNES ».

2

Entrer les valeurs minimale et maximale de la fonction. Dans le cas d’un d rgulier à six faces, le minimum est 1 et le maximum est 6. Cliquer sur le bouton « OK ».

3

Pour obtenir les rsultats de 100 lancers, utiliser la poigne de copie de la cellule A1 et recopier la formule dans les cellules A2 à A100.

Le logiciel de géométrie dynamique

281

Le logiciel de géométrie dynamique L’interface À priori singulière, l’interace du logiciel de géométrie dynamique devient simple et intuitive après quelques utilisations. Barre de menus Barre d’outils Outil acti Fenêtre de dessin Barres de déilement

La barre d’outils La principale particularité du logiciel vient du ait que les icônes des boutons changent en onction de l’outil sélectionné. Afn d’obtenir les outils relatis à une icône, il suft de maintenir le curseur enoncé sur celle-ci.

Menu déroulant

Par exemple, l’icône « Droite perpendiculaire » prend un autre aspect si on choisit l’outil « Bissectrice », et demeure ainsi tant qu’on ne choisit pas un nouvel outil. Outil « Pointeur »

Pointeur Permet de sélectionner, de déplacer, etc.

282

Points Permet d’insérer des points.

Outils « Création »

Lignes Permet de tracer des droites, des triangles, des polygones, etc.

Outils technologiques

Courbes Permet de tracer des cercles ou des arcs.

Outils « Construction »

Constructions Permet de tracer des droites parallèles, perpendiculaires, bissectrices, etc.

Transformations Permet d’effectuer des symétries, des translations, etc.

Outils « Interrogation » Outils « Édition »

Macros N’est pas utilisé dans la construction de figures simples.

Propriétés Permet de vérifier certaines propriétés (parallélisme, perpendicularité, etc.).

Mesures Permet d’afficher certaines mesures.

Affichage Permet d’écrire du texte ou de nommer les objets mathématiques tracés.

Aspect Permet de modifier les paramètres d’affichage (couleur, épaisseur, etc.).

Vérifer que le sinus d’un angle est le rapport entre la mesure du côté opposé à un angle aigu et la mesure de l’hypoténuse dans un triangle rectangle 1

Tracer une droite à l’aide de l’outil « Droite », qui se trouve dans le menu déroulant du bouton « Lignes ». Il est également possible d’utiliser les outils « Segment » et « Demi-droite », qu’on trouve dans le même menu déroulant.

2

3

Placer un point sur chacune des droites. À l’aide de l’outil « Triangle », tracer un triangle ayant comme sommets chacun de ces points et l’intersection des deux droites. Nommer les sommets.

5

Sélectionner l’outil « Distance ou longueur » dans le menu déroulant du bouton « Mesures » et mesurer les trois côtés.

À l’aide de l’outil « Droite perpendiculaire », qui se trouve dans le menu déroulant du bouton « Construction », tracer une deuxième droite, perpendiculaire à la première, en passant par un point de la droite tracée en 1 .

Remarque : Même si le logiciel de géométrie dynamique arrondit les mesures qu’il afche sur une fgure, il considère les valeurs exactes lors de la construction ou des calculs qu’il eectue.

Le logiciel de géométrie dynamique

283

284

6

Sélectionner l’outil « Marquer un angle » dans le menu déroulant du bouton « Afchage » et marquer les angles A, B et C. Mesurer ces angles à l’aide de l’outil « Mesure d’angles » dans le menu déroulant du bouton « Mesures ».

7

Utiliser l’outil « Calculatrice » dans le menu déroulant du bouton « Mesures » pour calculer le rapport m BC . Cliquer d’abord sur la mesure de m AB BC, saisir le signe « / », puis cliquer sur la mesure de AB. Positionner la réponse à l’endroit souhaité sur la euille du logiciel.

8

En utilisant à nouveau la calculatrice du logiciel, calculer le sinus de l’angle A et positionner la réponse à côté de celle de l’étape 5.

9

À l’aide de l’outil « Pointeur », déplacer le sommet A ou le sommet B afn de créer un nouveau triangle rectangle. Le logiciel de géométrie dynamique permet de démontrer que le sinus de l’angle A est toujours égal au rapport de la mesure de son côté opposé et de celle de l’hypoténuse, et que sa valeur est comprise entre 0 et 1.

Outils technologiques

Faire le point

Manuel A

Arithmétique et algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 La onction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La notation onctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les propriétés d’une onction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les onctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les onctions partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les onctions défnies par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les identités algébriques remarquables du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La multiplication de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La division d’un polynôme par un binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La actorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La actorisation par mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La actorisation d’un trinôme carré parait et d’une diérence de carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . La actorisation d’un trinôme de la orme ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La simplifcation d’expressions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les opérations sur les expressions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les inéquations du premier degré à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les systèmes d’équations du premier degré à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La résolution graphique d’un système d’équations du premier degré à deux variables . . . . . . La résolution algébrique d’un système d’équations du premier degré à deux variables . . . . . .

286 286 287 289 289 292 295 295 296 297 297 298 298 299 300 302 303 303 304

Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Les triangles isométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les conditions minimales d’isométrie de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La recherche de mesures manquantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les conditions minimales de similitude de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La recherche de mesures manquantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les triangles rectangles semblables déterminés par la hauteur relative à l’hypoténuse . . . . . . Les relations métriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La distance entre deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le point de partage d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La pente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’équation d’une droite sous la orme onctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’équation d’une droite sous la orme symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’équation d’une droite sous la orme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les positions relatives de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Faire le point

306 306 308 309 309 311 312 312 314 315 317 317 317 317 317 319

Manuel A

285

Arithmétique et algèbre La fonction Une onction est une relation pour laquelle tout élément de l’ensemble de départ est associé à au plus un élément de l’ensemble d’arrivée. S’il n’y a pas de contexte, on considère généralement que les ensembles de départ et d’arrivée sont r.

Le type des variables d’une situation détermine les ensembles de départ et d’arrivée de la onction. Ces ensembles sont généralement des sous-ensembles des nombres réels tels que n, z, r+, etc.

La notation fonctionnelle La notation onctionnelle sert à défnir une onction en précisant ses ensembles de départ et d’arrivée ainsi que sa règle de correspondance. Voici les éléments qui constituent la notation onctionnelle.

Nom de la onction

Ensemble de départ

Ensemble d’arrivée

f: n → r x a f(x) = 2x - 4 Variable indépendante (élément de l’ensemble de départ)

Règle de correspondance

Variable dépendante (élément de l’ensemble d’arrivée, qui est l’image de x par la onction f )

Cette notation se lit ainsi : « Fonction f de n vers r qui, à un élément x appartenant à n, ait correspondre un élément appartenant à r qu’on note f(x). » Exemple : Une voiture roule à une vitesse constante de 90 km / h. On peut défnir la relation entre la distance parcourue d(t), en kilomètres, et le temps de parcours t, en heures, de la açon suivante. d : r+ → r+ t a d(t) = 90t d(1,5) désigne la distance parcourue en 1,5 h d(1,5) = 90 • 1,5 = 135 La distance parcourue en 1,5 h est de 135 km.

286

Faire le point

Manuel A

Les propriétés d’une onction Décrire les propriétés d’une onction, c’est en aire l’analyse. Les propriétés sont défnies dans les tableaux qui fgurent au bas de la page. Chacune d’elles est accompagnée d’un exemple qui réère à la onction f représentée ci-dessous. f (x) 6

Abscisses à l’origine (ou zéros)

Maximum absolu

5 4

Constante

3 2 1

Positive –

15 14 13 12 11 10 –

–

–

–

–

–

9

–

8

–

7

–

6

–

5

–

4

–

3

–

2

–

1–

1

Positive 1

2

3

4

5

6

7

Négative

Négative

Strictement croissante

–

2

–

3

–

4

–

5

–

Minimum relatif

7

8

– –

9

10 11

x

Négative

Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale)

6

– –

8

Strictement décroissante

9

10

Le domaine et l’image Propriété

Défnition

Exemple

Domaine

Ensemble des valeurs que prend la variable indépendante.

Dom f = r

Image

Ensemble des valeurs que prend la variable dépendante.

Ima f = ]–∞, 5]

Les coordonnées à l’origine Propriété Abscisses à l’origine (ou zéros) Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale)

Défnition Valeurs de la variable indépendante pour lesquelles la valeur de la variable dépendante est zéro. Valeur de la variable dépendante pour laquelle la valeur de la variable indépendante est zéro.

Exemple Les abscisses à l’origine de la onction f sont {–12, –6, 2, 6}. f(0) = –6 L’ordonnée à l’origine de la onction f est –6.

Remarque : Une onction peut n’avoir aucun zéro, en avoir un ou en avoir plusieurs.

Arithmétique et algèbre

287

Le signe Propriété

Défnition

Exemple

Positive

Sous-ensemble(s) du domaine pour lequel (lesquels) les valeurs de la variable dépendante sont positives.

La fonction f est positive pour x ∈ [–12, –6] ∪ [2, 6].

Sous-ensemble(s) du domaine pour lequel (lesquels) les valeurs de la variable dépendante sont négatives.

La fonction f est négative pour x ∈ ]–∞, –12] ∪ [–6, 2] ∪ [6, +∞[.

Négative

Remarque : Par convention, aux zéros, la fonction est considérée comme à la fois positive et négative. Pour exclure les zéros, il faut préciser, selon le cas, que la fonction est strictement positive ou strictement négative. Exemple : La fonction f est strictement positive pour x ∈ ] –12, –6[ ∪ ]2, 6[.

La variation Propriété

Défnition

Exemple

Croissance

Intervalle(s) du domaine sur lequel (lesquels) la fonction ne diminue jamais.

La fonction f est croissante pour x ∈ ]–∞, –8] ∪ [–2, 4].

Décroissance

Intervalle(s) du domaine sur lequel (lesquels) la fonction n’augmente jamais.

La fonction f est décroissante pour x ∈ [–10, –2] ∪ [4, +∞[.

Constance

Intervalle(s) du domaine sur lequel (lesquels) la fonction ne subit aucune variation (variation nulle).

La fonction f est constante pour x ∈ [–10, –8].

Remarque : Par convention, sur un intervalle où la fonction est constante, celle-ci est à la fois croissante et décroissante. Pour exclure la constance, il faut préciser selon le cas que la fonction est strictement croissante ou strictement décroissante. Exemple : La fonction f est strictement croissante pour x ∈ ]–∞, –10] ∪ [–2, 4].

Les extremums Propriété

Défnition

Maximum (absolu)

Valeur la plus élevée de la fonction sur tout son domaine.

Minimum (absolu)

Valeur la moins élevée de la fonction sur tout son domaine.

Exemple Max f = 5 La fonction f n’a pas de minimum.

Remarque : On dit qu’une fonction possède un maximum ou un minimum relatif en x1 si, pour tout x de part et d’autre de x1, on a selon le cas f(x1) ≥ f(x) ou f(x1) ≤ f(x). Exemple : Pour la fonction f, –8 est un minimum relatif.

288

Faire le point

Manuel A

Les fonctions en escalier Les fonctions en escalier sont des fonctions discontinues. Elles sont constantes sur des intervalles et, à certaines valeurs de la variable indépendante appelées valeurs critiques, les valeurs de la fonction varient brusquement par sauts. Le graphique d’une fonction en escalier est formé de segments horizontaux habituellement fermés à une extrémité et ouverts à l’autre.

f(x) 14 12 10 8

Sauts

6

Valeurs critiques

4 2 0

5

10

15

20

25 30

35 40

x

Les fonctions partie entière Les fonctions partie entière sont des fonctions en escalier pour lesquelles tous les segments horizontaux (marches) sont isométriques et la distance verticale entre deux segments consécutifs (contremarche) est constante.

La fonction partie entière de base La règle de la fonction partie entière de base est f(x) = [x]. Cette fonction associe, à chaque valeur de x, le plus grand entier inférieur ou égal à x. L’expression [x] se lit « partie entière de x » et se calcule de la façon suivante. Si x ∈ [n, n + 1[ , où n ∈ z, alors [x] = n Exemples : [4,28] = 4 ;

1 = 0; 2

[8] = 8 ;

[–3,1] = –4

Les propriétés de la fonction partie entière de base Le tableau ci-dessous présente les propriétés de la fonction de base dont la règle est f(x) = [x]. Domaine

r

Image

z

Abscisses à l’origine

x ∈ [0, 1[

Ordonnée à l’origine

f(0) = 0

Signe

• positive pour x ∈ [0, +∞[ • négative pour x ∈ ]-∞, 1[

Extremum

La fonction ne possède pas d’extremum.

Variation

La fonction est croissante sur tout son domaine, soit sur r.

f(x)

1 1

x

Remarque : La réciproque de cette fonction n’est pas une fonction.

Arithmétique et algèbre

289

La fonction partie entière dont la règle est f(x) = a[bx] Les paramètres multiplicatis a et b transorment la règle d’une onction de base et provoquent une modication de sa représentation graphique.

Le rôle des paramètres multiplicatifs a et b Le rôle du paramètre a L’expression | a| se lit « valeur absolue de a » et désigne la valeur positive de a. Par exemple, la valeur absolue de –3 est 3 et la valeur absolue de 7 est 7.

Le paramètre a, dont la valeur est diérente de 1, provoque un changement d’échelle vertical. Pour la onction partie entière, cette modication est telle que | a| correspond à la distance verticale entre deux segments consécutis (contremarche). Le tableau suivant décrit l’infuence du paramètre a sur l’allure du graphique. | a| > 1 Allongement vertical

0 < | a| < 1 Rétrécissement vertical

Exemple 1 f1(x) = 2 [x]

f2(x) = 2[x]

y

1 1

x

De plus, si le paramètre a est négati, il provoque une réfexion par rapport à l’axe des x. Le rôle du paramètre b Le paramètre b, dont la valeur est diérente de 1, provoque un changement d’échelle horizontal. Pour la onction partie entière, cette modication est telle que | 1b | correspond à la largeur de chacun des segments (marche). Le tableau suivant décrit l’infuence du paramètre b sur l’allure de la courbe. |b| > 1 Rétrécissement horizontal

0 < |b| < 1 Allongement horizontal

Exemple 1

f1(x) = 2 x

f2(x) = [2x]

y

1 1

x

De plus, si le paramètre b est négati, il provoque une réfexion par rapport à l’axe des y.

290

Faire le point

Manuel A

L’infuence des paramètres a et b sur la variation de la onction Le signe des paramètres a et b détermine la variation de la onction (croissance ou décroissance) ainsi que l’orientation des segments ( ou ). Le tableau ci-dessous illustre les quatre cas possibles à l’aide d’un exemple. a>0

a 0 ; • décroissante si a • b < 0.

b>0

Pièges et astuces Pour déterminer les propriétés d’une onction partie entière, le recours à la représentation graphique est le moyen le plus eicace.

b 0, car le segment est ouvert à droite donc a < 0 1

2. Déterminer la valeur de a (la hauteur de la contremarche est | a| ).

a = –3

3. Déterminer la valeur de b (la largeur de la marche est 1 ).

1 =5 b 1 b = 5 = 0,2

|b|

g(x)

5

x

La règle de la onction est g(x) = –3[0,2x].

Arithmétique et algèbre

291

Les onctions défnies par parties Une onction défnie par parties est une onction dont la règle s’exprime comme un ensemble de règles défnies sur diérents intervalles de son domaine. Les onctions défnies par parties permettent de modéliser des situations ou des phénomènes qui ne peuvent être modélisés à l’aide d’un seul type de onction.

Altitude (m)

Exemple : Voici la représentation graphique de l’altitude d’un parachutiste, en mètres, en onction du temps écoulé, en secondes, depuis qu’il a sauté de l’avion. Un saut en parachute 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500

0

50

100

150

200

250

300 Temps (s)

Cette situation compte trois parties distinctes : le saut en chute libre, l’ouverture du parachute et la descente contrôlée vers le sol. Une onction défnie par parties permet de modéliser cette situation. Le tableau ci-dessous présente les propriétés de cette onction.

292

Faire le point

Domaine

[0, 300]

Image

[0, 3500]

Abscisse à l’origine

300

Ordonnée à l’origine

3 500

Signe

La onction est positive pour x ∈ [0, 300].

Extremums

La onction a un maximum de 3 500 et un minimum de 0.

Variation

La onction est strictement décroissante pour x ∈ [0, 300].

Manuel A

La règle d’une onction défnie par parties La règle d’une onction défnie par parties s’écrit comme un ensemble de règles défnies sur diérents intervalles de son domaine. Il aut donc déterminer une règle pour chaque partie de la onction.

f(x) (0, 4000)

(70, 500)

Le tableau ci-dessous présente les étapes à suivre pour déterminer la règle de la onction f représentée ci-contre.

(270, 0)

x

Exemples Étape

Intervalle du domaine [0, 70]

Intervalle du domaine ]70, 270]

1. Pour chacune des parties, relever l’inormation dont on dispose.

On dispose des couples (0, 4000) et (70, 500).

On dispose des couples (70, 500) et (270, 0).

2. Calculer le taux de variation à partir des coordonnées de deux points.

Le taux de variation est : f(x ) - f(x1) a= 2 x2 - x1

Le taux de variation est : f(x ) - f(x1) a= 2 x2 - x1

500 - 4000 -3500 = 70 - 0 70 a = 50

0 - 500 -500 = 270 - 70 200 a = -2,5

a=

a=

3. Trouver la valeur de b en remplaçant le taux de variation et les coordonnées d’un couple de la onction dans la règle f(x) = ax + b.

f(x) = ax + b

f(x) = ax + b

4 000 = -50(0) + b

500 = -2,5(70) + b

4 000 = b

500 = -175 + b

4. Écrire la règle de chaque partie.

f(x) = -50x + 4 000

675 = b f(x) = -2,5x + 675

Voici la règle de la onction. Règles

f(x) =

-

50x + 4 000 pour 0 ≤ x ≤ 70 2,5x + 675 pour 70 < x ≤ 270

Intervalles du domaine

Remarques : — La réciproque d’une onction défnie par parties n’est pas nécessairement une onction. — La table de valeurs n’est pas toujours un mode de représentation utile pour ce type de onction.

Arithmétique et algèbre

293

Les fonctions périodiques Les onctions périodiques sont utilisées pour modéliser des phénomènes cycliques comme les marées, le mouvement d’un pendule ou les battements cardiaques. La période est défnie comme l’étendue d’un cycle de la onction.

f(x)

Période Cycle

Exemple : La période de la onction représentée dans le plan cartésien ci-contre est 4.

1 1

3

7

x

Le tableau suivant montre la représentation graphique et décrit les propriétés d’une onction périodique. f(x)

1

Représentation graphique

1

x

Domaine

r

Image

[-3, 3]

Abscisses à l’origine (ou zéros)

{… , -4, -2, 0, 2, …}

Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale)

0

Signe

La onction est positive pour x ∈ … [4, -2] ∪ [0, 2] ∪ [4, 6] … . La onction est négative pour x ∈ … [-2, 0] ∪ [2, 4] ∪ [6, 8]… .

Extremums

Le minimum de la onction est -3. Le maximum de la onction est 3.

Variation

La onction est strictement croissante pour x ∈ … [-5, -3] ∪ [-1, 1] ∪ [3, 5] … . La onction est strictement décroissante pour x ∈ … [-3, -1] ∪ [1, 3] ∪ [5, 7] … .

Remarques : – La relation réciproque d’une onction périodique n’est jamais une onction. – Lorsque le cycle d’une onction périodique se répète une infnité de ois, on utilise des points de suspension dans l’étude de la variation et du signe pour signifer que la suite des intervalles se poursuit à l’infni.

294

Faire le point

Manuel A

Les identités algébriques remarquables du second degré Les identités algébriques remarquables du second degré sont des égalités qui permettent de développer acilement certains produits de binômes. On les qualife de remarquables, car elles permettent de prendre des raccourcis dans les calculs algébriques. Les identités algébriques remarquables du second degré Algébriquement 2

2

2

2

2

2

(a + b) = a + 2 ab + b

(a - b) = a - 2 ab + b

2

Exemple

En mots

2

(a + b)(a - b) = a - b

Le carré d’une somme de deux quantités est égal à la somme des carrés des quantités à laquelle on additionne le double produit des quantités.

(2x + 7)2 = (2x)2 + 2(2x)(7) + (7)2 (2x + 7)2 = 4x 2 + 28x + 49

Le carré d’une diérence de deux quantités est égal à la somme des carrés des quantités de laquelle on soustrait le double produit des quantités.

(2x - 7)2 = (2x)2 - 2(2x)(7) + (7)2

Le produit de la somme de deux quantités et de leur diérence est égal à la diérence des carrés des quantités.

(2x + 7)(2x - 7) = (2x)2 - (7)2

(2x - 7)2 = 4x2 - 28x + 49

(2x + 7)(2x - 7) = 4x2 - 49

Les identités algébriques remarquables permettent de calculer mentalement le carré de certains nombres. Exemple : 532 = (50 + 3)2 = 502 + 32 + 2 • 50 • 3 = 2 500 + 9 + 300 = 2 809

La multiplication de polynômes Pour multiplier des polynômes, on utilise la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction. Exemple :

(3x - 2y)(4x 2y - xy 2 + 5) = 3x(4x 2y - xy 2 + 5) - 2y(4x 2y - xy 2 + 5) = 12x 3y - 3x 2y 2 + 15x - 8x 2y 2 + 2xy 3 - 10y = 12x 3y - 11x 2y 2 + 2xy3 + 15x - 10y

Arithmétique et algèbre

295

La multiplication de trois polynômes Pour multiplier trois polynômes, on multiplie d’abord deux d’entre eux. On multiplie ensuite le produit ainsi obtenu par le troisième polynôme. Les propriétés de commutativité et d’associativité de la multiplication permettent de aire des choix stratégiques, comme repérer les identités algébriques remarquables ou privilégier les binômes qui ont les mêmes variables et ceux qui ont des coefcients entiers. Exemple : (x + 6)(2x + 1)(x - 6) = (x + 6)(x - 6)(2x + 1) 2

= (x - 36)(2x + 1) = x 2(2x + 1) - 36(2x + 1) = 2x 3 + x 2 - 72x - 36

Identité algébrique remarquable

La division d’un polynôme par un binôme Pour diviser un polynôme par un binôme, on peut procéder de la même açon que pour diviser deux nombres. La division est possible seulement lorsque le diviseur est non nul. Voici deux exemples de divisions de polynômes. Dans chaque cas, le diviseur est non nul. 1)

x 2 + 8x + 15 x+3

-

2)

x 2 + 8x + 15 x + 3 x 2 + 3x x+5 5x + 15 5x + 15 0

x 2 + 8x + 15 =x+5 x+3

2x 3 + x 2 - 13x + 9 2x - 1

-

2x 3 + x 2 - 13x + 9 2x - 1 2x 3 - x 2 x2 + x - 6 2 2x -13x - 2 2x - x 12x + 9 - 12x + 6 3

3 2x 3 + x 2 - 13x + 9 = x 2 + x - 6 + 2x - 1 2x - 1

Remarques : – D’une açon générale, le quotient s’exprime de la açon suivante. Quotient 3 x2 + x - 6 +   2x - 1 Polynôme   

Reste Diviseur

– Lorsque le reste de la division est 0, le diviseur et le quotient sont des acteurs du polynôme. Par exemple, x + 3 et x + 5 sont des acteurs du polynôme x 2 + 8x + 15, tandis que 2x - 1 n’est pas un acteur de 2x 3 + x 2 - 13x + 9. – Le reste est toujours de degré inérieur au degré du diviseur. 296

Faire le point

Manuel A

La factorisation Factoriser un polynôme consiste à l’exprimer sous la orme d’un produit de acteurs. Par convention, les acteurs sont des polynômes de degré inérieur au polynôme de départ. Factoriser

x 2 + xy + 2x + 2y = (x + 2)(x + y) Développer

Un polynôme du second degré est dit irréductible s’il ne peut s’écrire sous la orme du produit de deux polynômes du premier degré. Par exemple, x2 + 4 est irréductible.

La factorisation par mise en évidence La simple mise en évidence est un procédé qui permet de actoriser un polynôme en mettant en évidence un acteur commun à tous les termes. Exemple : 2x 3 + 6x 2 - 10x = 2x(x 2 + 3x - 5) La double mise en évidence est un procédé qui permet de actoriser un polynôme en deux étapes. La première étape consiste à eectuer une simple mise en évidence sur des groupes de termes du polynôme de açon à aire ressortir un binôme commun à tous les termes. La deuxième étape consiste à mettre en évidence le binôme commun afn d’obtenir un produit de acteurs. Exemple : Étape 1. Ordonner les termes du polynôme de manière à regrouper les termes qui ont un acteur commun. Eectuer ensuite une simple mise en évidence sur chacune des parties du polynôme afn de aire ressortir le binôme commun. 2. Eectuer une simple mise en évidence du binôme commun.

Démarche algébrique 2

x - 12y - 3x + 4x y x 2 - 3x + 4x y - 12y x(x - 3) + 4y(x - 3)

(x - 3)(x + 4y)

Remarque : On dit de cette mise en évidence qu’elle est double, car elle comprend une simple mise en évidence à deux niveaux.

Arithmétique et algèbre

297

La factorisation d’un trinôme carré parfait et d’une différence de carrés Les identités algébriques remarquables permettent, lorsqu’on les reconnaît, de actoriser les polynômes qui leur sont associés. Les identités algébriques remarquables Trinôme carré parfait

Différence de carrés

Le seul acteur d’un trinôme carré parait est un binôme.

Les acteurs d’une diérence de carrés sont deux binômes conjugués.

a2 + 2 ab + b2 = (a + b)2

a2 - 2 ab + b2 = (a - b)2

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Exemple :

Exemple :

Exemple :

y 2 + 6y + 9 = (y + 3)2, car y 2 et 9 sont les carrés de y et de 3 et 6y est le double du produit de y et de 3.

4y2 - 4y + 1 = (2y - 1)2, car 4y2 et 1 sont les carrés de 2y et de –1 et –4y est le double du produit de 2y et de –1.

4x 2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5), car 4x 2 est le carré de 2x et 25 est le carré de 5.

La factorisation d’un trinôme de la forme ax 2 + bx + c On peut actoriser un trinôme de la orme ax2 + bx + c par la recherche de la somme et du produit. Ce procédé consiste à exprimer un trinôme sous la orme d’un polynôme à quatre termes afn d’eectuer une double mise en évidence. Exemple : Factoriser 2x2 + x - 15. Étape

Démarche algébrique

1. Chercher deux nombres dont la somme est égale à b et dont le produit est égal à ac.

a = 2, b = 1 et c = –15

2. Remplacer le second terme du trinôme par deux termes, dont les coefcients sont les nombres trouvés à l’étape 1, afn d’obtenir quatre termes.

2x 2 + x - 15 = 2x 2 + 6x - 5x - 15

3. Eectuer une double mise en évidence.

2x(x + 3) - 5(x + 3)

Somme : 1 et Produit : 2(–15) = –30 Ces nombres sont 6 et –5.

(x + 3)(2x - 5)

298

Faire le point

Manuel A

La simplifcation d’expressions rationnelles Une expression rationnelle est une expression algébrique qui a la orme d’un rapport de polynômes. Exemple : 3x + 4 , 1 2x -1 2x2 + 4x 3x + 4 2 x −1

et 5x3 sont des expressions rationnelles.

n’est pas une expression rationnelle.

Simplifer une expression rationnelle, c’est rechercher des acteurs communs au numérateur et au dénominateur afn de la rendre irréductible, comme on le ait avec des ractions. Pour ce aire, il aut exprimer le numérateur et le dénominateur sous la orme d’un produit de acteurs. Puisqu’il est impossible de diviser par 0, une expression rationnelle n’est pas défnie lorsque son dénominateur vaut 0. Il aut poser les restrictions, c’est-à-dire préciser les valeurs qui annulent le dénominateur et pour lesquelles l’expression rationnelle n’a donc pas de valeur. Les restrictions doivent être posées avant de simplifer l’expression rationnelle. Exemple : La simplifcation de ractions Fraction

Factorisation

Fraction irréductible

42 54

2•3•7 2•3•3•3

7 2•3•7 = 9 2•3•3•3

Pièges et astuces Lorsque l’expression rationnelle représente une quantité, le contexte impose parois davantage de restrictions. Par exemple, dans un contexte de mesure, on s’intéressera seulement aux valeurs positives de l’expression rationnelle.

La simplifcation d’expressions rationnelles Expression rationnelle

Factorisation

Restrictions

Expression rationnelle irréductible

x3 + 4x2 + 5x x-1

x(x2 + 4x + 5) x(x + 5)(x + 1) = x-1 x-1

x-1≠0 si x ≠ 1

L’expression rationnelle ne se simplife pas.

(3x + 4)(5x - 20) 4x(x - 4)

5(3x + 4)(x - 4) 4x(x - 4)

4x(x - 4) ≠ 0 si x ≠ 0, x ≠ 4*

5(3x + 4)(x - 4) 5(3x + 4) + 20 ou 15x4x = 4x 4x (x - 4)

x(x + 5)(x + 1) x(x2 + 4x + 5) ou x-1 x-1

* La restriction x ≠ 4 demeure malgré le ait que cette valeur n’annule pas le dénominateur de l’expression rationnelle irréductible.

Arithmétique et algèbre

299

Les opérations sur les expressions rationnelles Il existe un lien étroit entre « eectuer des opérations sur les ractions » et « eectuer des opérations sur les expressions rationnelles ». La multiplication Fractions Exemple

Expressions rationnelles

Étape

21 8 • 20 3

x2 - 4x - 21 x+1 • 2x2 + 7x + 3 2x - 14

1. Décomposer en acteurs.

3•7 2•2•2 • 2•2•5 3

(x + 3)(x - 7) x+1 • (2x + 1)(x + 3) 2(x - 7) 1 si x ≠ –3, x ≠ – 2 , x ≠ 7

2. Poser les restrictions*. 3. Simplifer les acteurs communs.

3 • 7 • 2 • 2 • 2 14 = 5 2•2•5•3

x+1 (x + 3)(x - 7)(x + 1) = 2(2x + 1)(x + 3)(x - 7) 4x + 2

* Les restrictions qui s’appliquent à la variable correspondent à toutes les valeurs pour lesquelles les polynômes ombrés valent zéro. La division Fractions Exemple

Expressions rationnelles 2

Étape

21 9 ÷ 20 10

x - 4x - 21 2x - 8 ÷ 2x 2 + 7x + 3 2x + 1

1. Décomposer en acteurs.

3•7 3•3 ÷ 2•2•5 2•5

2(x - 4) (x + 3)(x - 7) ÷ (2x + 1)(x + 3) 2x + 1 1 si x ≠ –3, x ≠ – 2 , x ≠ 4

2. Poser les restrictions*. 3. Multiplier par l’inverse multiplicati du diviseur.

3•7 2•5 • 2•2•5 3•3

2x + 1 (x + 3)(x - 7) • (2x + 1)(x + 3) 2(x - 4)

4. Simplifer les acteurs communs.

3•7•2•5 7 = 2•2•5•3•3 6

x-7 (x + 3)(x - 7)(2x + 1) = 2(2x + 1)(x + 3)(x + 4) 2x + 8

* Les restrictions qui s’appliquent à la variable correspondent à toutes les valeurs pour lesquelles les polynômes ombrés valent zéro. Il aut aussi prendre en compte les valeurs qui annulent le numérateur du diviseur.

300

Faire le point

Manuel A

L’addition et la soustraction Fractions Exemple

Expressions rationnelles

Étape

21 7 5 + 20 10 8

3 1 x+1 + 2x + 4 3 x2 + 8x + 12

1. Décomposer les dénominateurs en acteurs.

21 7 5 + 2•2•5 2•5 2•2•2

3 1 x+1 + (x + 2)(x + 6) 2(x + 2) 3

2. Trouver le plus petit dénominateur commun.

2 • 2 • 2 • 5 = 40

6(x + 2)(x + 6) si x ≠ –2 et x ≠ –6

3. Poser les restrictions*. 4. Exprimer chaque raction sur ce dénominateur.

42 28 25 + 40 40 40

6(x + 1) 3 • 3(x + 6) 2(x + 2)(x + 6) + 6(x + 2)(x + 6) 6(x + 2)(x + 6) 6(x + 2)(x + 6)

5. Eectuer les opérations sur les numérateurs.

45 40

–2x 2 - x + 36 (6x + 6) + (9x + 54) - (2x 2 + 16x + 24) = 6(x + 2)(x + 6) 6(x + 2)(x + 6)

6. Factoriser à nouveau le numérateur afn de simplifer, s’il y a lieu, les acteurs communs.

9 8

(–2x - 9)(x - 4) 6(x + 2)(x + 6)

* Les restrictions qui s’appliquent à la variable correspondent à toutes les valeurs pour lesquelles les polynômes ombrés valent zéro.

Arithmétique et algèbre

301

Les inéquations du premier degré à deux variables Une inéquation du premier degré à deux variables est un énoncé mathématique comportant une relation d’inégalité et deux variables. Résoudre une inéquation consiste à déterminer les couples de valeurs que peuvent prendre les variables pour que l’inégalité soit vraie.

La représentation graphique de l’ensemble-solution d’une inéquation L’ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables compte une infnité de couples de valeurs. La région du plan qui représente graphiquement l’ensemble-solution est nommée le « demi-plan ». Exemple : Voici les étapes à suivre pour déterminer l’ensemble-solution de l’inéquation x + 2y < 100. Étape

Démarche y

x + 2y = 100 1. Remplacer le signe d’inégalité par un signe d’égalité et tracer la droite. Si le signe d’inégalité est strict (< ou >), cette droite doit être en tirets.

2. Choisir un point-test et remplacer ses coordonnées dans l’inéquation.

x

y

0

50

100

0

25 x

25

Pour aciliter les calculs, lorsque la droite ne passe pas par l’origine, on choisit souvent l’origine du plan cartésien comme point-test : 0 + 2(0) < 100 Puisque 0 < 100, l’origine ait partie de la région à hachurer. y

3. Hachurer la région correspondant à l’ensemble-solution selon la conclusion obtenue à l’étape 2.

25 25

Remarque : En contexte, l’ensemble-solution d’une inéquation doit tenir compte des valeurs pouvant être prises par les variables.

302

Faire le point

Manuel A

x

Les systèmes d’équations du premier degré à deux variables Deux relations d’égalité du premier degré qu’on impose simultanément à deux variables orment un système d’équations du premier degré à deux variables. Pour modéliser une situation à l’aide d’un système d‘équations, on doit d’abord défnir les variables, puis poser les équations. La représentation graphique des équations du système permet, entre autres, de déterminer son nombre de solutions. Système d’équations

Représentation graphique

Nombre de solutions

y

y = 2x - 4 y = -x +

1

7 2

1

x

Solution unique

Droites sécantes y

1

y=x+2 y=x-1

1

x

Aucune solution

Droites parallèles distinctes y

y= x +2

2

2y = -x + 4

1 1

x

Infnité de solutions

Droites parallèles conondues

La résolution graphique d’un système d’équations du premier degré à deux variables Résoudre un système d’équations consiste à déterminer les valeurs des deux variables qui vérifent simultanément les deux équations. Exemple : Une tirelire, remplie de pièces de 1 $ et de 2 $, contient 90 $. Il y a en tout 55 pièces de monnaie. Combien de pièces de 1 $ et de pièces de 2 $ y a-t-il dans la tirelire ? (Voir le tableau à la page suivante.)

Pièges et astuces Lorsque les variables de la situation sont discrètes, il est possible de représenter la situation par des droites continues. Il aut alors aire preuve de prudence dans l’interprétation de la solution en contexte.

Arithmétique et algèbre

303

Étape

Démarche

1. Défnir les variables et modéliser la situation à l’aide d’un système d’équations.

x : nombre de pièces de 1 $

x + 2y = 90

y : nombre de pièces de 2 $

x + y = 55

y 60 50

Les coordonnées du point de rencontre sont (20, 35).

40

2. Représenter graphiquement les équations et déterminer les coordonnées du point de rencontre des droites.

30 20 10 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90

x + 2y = 90 x + y = 55

3. Valider la solution dans les deux équations et ensuite dans le contexte.

⇒

x

20 + 2(35) = 90 20 + 35 = 55

Il y a bien 55 pièces en tout et un montant de 90 $.

4. Retourner au contexte et répondre à la question.

La tirelire contient 20 pièces de 1 $ et 35 pièces de 2 $.

Remarque : La représentation graphique d’un système d’équations ne permet pas toujours de déterminer avec précision les coordonnées du point de rencontre des deux droites.

La résolution algébrique d’un système d’équations du premier degré à deux variables Pour résoudre algébriquement un système d’équations du premier degré à deux variables, il aut le transormer pour obtenir une équation à une variable. Pour ce aire, on peut employer les méthodes de comparaison, de substitution et de réduction.

La méthode de comparaison Exemple : Le billet pour une voiture et un adulte à bord d’un traversier coûte 28,25 $. Le billet pour deux voitures et quatre adultes coûte 68 $. Combien coûte le billet pour une voiture à bord de ce traversier ? Étape 1. Défnir les variables et modéliser la situation par un système d’équations.

Démarche x : tari pour une voiture (en $) y : tari pour un adulte (en $)

x = 28,25 - y x = 34 - 2y

2. Isoler une même variable dans les deux équations. 3. Comparer les deux expressions algébriques pour ormer une équation à une variable et résoudre cette équation. 4. Remplacer la valeur trouvée en 3 dans les deux équations initiales du système pour déterminer et valider la valeur de l’autre variable. 5. Retourner au contexte et répondre à la question.

304

Faire le point

Manuel A

x + y = 28,25 2x + 4y = 68

x=x 28,25 - y = 34 - 2y y = 5,75 x + y = 28,25 x + 5,75 = 28,25 x = 22,50

2x + 4y 2x + 4(5,75) 2x x

= = = =

68 68 45 22,50

Le billet pour une voiture à bord du traversier coûte 22,50 $.

La méthode de substitution Exemple : Samedi, il a ait 12 degrés de moins que dimanche. La température moyenne de ces deux jours a été de -5 °C. Quelle température a-t-il ait samedi et dimanche ? Étape 1. Défnir les variables et modéliser la situation par un système d’équations.

Démarche s : température enregistrée samedi (en °C) d : température enregistrée dimanche (en °C) s = d - 12

2. Au besoin, isoler une variable dans l’une des deux équations.

s+d = 5 2 (d - 12) + d = 5 2

3. Substituer à cette variable, dans l’autre équation, l’expression algébrique qui correspond à la variable isolée.

2d - 12 = -10 2d = 2 d=1 s+d = 5 2

s = d - 12 s = 1 - 12 s = -11

4. Remplacer la valeur trouvée en 3 dans les deux équations initiales du système pour déterminer et valider la valeur de l’autre variable. 5. Retourner au contexte et répondre à la question.

s = d - 12

s+d = 5 2

s + 1 = -10 s = -11

Il a ait -11 °C samedi et 1 °C dimanche.

La méthode de réduction Exemple : Dans un club vidéo, la location de trois flms et de deux jeux vidéo coûte 20 $. La location de deux flms et de cinq jeux vidéo coûte 25,25 $. Combien coûte la location d’un flm et de deux jeux vidéo ? Étape 1. Défnir les variables et modéliser la situation par un système d’équations. 2. Former un système d’équations équivalent dont les deux équations s’expriment sous la orme x + by = c et dans lequel les coefcients d’une variable sont opposés (ou égaux).

Démarche x : coût de location d’un flm (en $) y : coût de location d’un jeu vidéo (en $) 2 • (3x + 2y = 20) (2x + 5y = 25,25)

-3 •

5. Retourner au contexte et répondre à la question.

6x + 4y = 40 - 15y = -75,75

-6x

+ - 6x + 4y = 40 6x - 15y = -75,75

3. Réduire en additionnant (ou en soustrayant) membre à membre les deux équations et résoudre l’équation. 4. Remplacer la valeur trouvée en 3 dans les deux équations initiales du système pour déterminer et valider la valeur de l’autre variable.

⇔

3x + 2y = 20 2x + 5y = 25,25

-11y

= -35,75 y = 3,25

3x + 2y 3x + 2(3,25) 3x x

= = = =

20 20 13,5 4,5

2x + 5y 2x + 5(3,25) 2x x

= = = =

25,25 25,25 9 4,5

La location d’un flm coûte 4,50 $ et celle d’un jeu vidéo, 3,25 $. La location d’un flm et de deux jeux vidéo coûte donc 11 $.

Arithmétique et algèbre

305

Géométrie Les triangles isométriques Deux triangles isométriques ont leurs éléments homologues (trois angles et trois côtés) isométriques. Exemple : Les triangles ABC et DEF sont isométriques, car leurs angles homologues sont isométriques et leurs côtés homologues sont isométriques. Le symbole d’égalité concerne des nombres alors que le symbole d’isométrie (≅) concerne des objets géométriques. On a donc m AB = m DE, mais AB ≅ DE.

B

A

3,1 cm

80°

1,7 cm

1,7 cm

70°

30°

D

80° 3,1 cm

C

3,2 cm

70°

E

3,2 cm

On a ∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E et ∠ C ≅ ∠ F et AB ≅ DE, BC ≅ EF et CA ≅ FD.

30°

F

On écrit alors ΔABC ≅ ΔDEF. Remarque : On nomme des triangles isométriques selon leurs sommets homologues. Donc, si ΔABC ≅ ΔDEF, on peut afrmer que l’angle A est homologue à l’angle D, que l’angle B est homologue à l’angle E et que l’angle C est homologue à l’angle F.

Les conditions minimales d’isométrie de triangles Pour pouvoir afrmer que deux triangles sont isométriques, il n’est pas nécessaire de vérifer que tous leurs côtés homologues et tous leurs angles homologues sont isométriques. Il suft de s’assurer que les triangles respectent une des trois conditions minimales suivantes.

La condition minimale d’isométrie CCC Deux triangles ayant leurs côtés homologues isométriques sont nécessairement isométriques. Exemple : ΔABC ≅ ΔDEF, car AB ≅ DE, BC ≅ EF et CA ≅ FD. A 4 cm

C

306

Faire le point

Manuel A

D

5 cm

5 cm

B 6 cm

4 cm

E 6 cm

F

La condition minimale d’isométrie CAC Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre deux côtés homologues isométriques sont nécessairement isométriques. Exemple : ΔGHJ ≅ ΔKLM, car ∠ H ≅ ∠ L, GH ≅ KL et JH ≅ ML . L

J 3,5 cm

40°

40°

H

40°

3,5 cm

3 cm

3,5 cm

K

M

G

3 cm

C A

3 cm

B

Le triangle ABC n’est pas isométrique au triangle GHJ, car l’angle de 40° n’est pas compris entre les côtés de 3 cm et de 3,5 cm.

La condition minimale d’isométrie ACA Deux triangles ayant un côté isométrique compris entre deux angles homologues isométriques sont nécessairement isométriques. Exemple : ΔNPR ≅ ΔSTU, car ∠ N ≅ ∠ S, ∠ P ≅ ∠ T et NP ≅ ST. R T 125°

N

U

125°

30°

E 30°

30°

P

3 cm

D

3 cm

125° 3 cm

F

S

Le triangle DEF n’est pas isométrique au triangle NPR, car le côté de 3 cm n’est pas compris entre les angles de 30° et de 125°.

Géométrie

307

La recherche de mesures manquantes Les relations entre les angles L’observation de certaines relations entre les angles est une étape ondamentale de la recherche de mesures manquantes. On trouve notamment plusieurs paires d’angles isométriques lorsqu’une sécante coupe deux droites parallèles. Dans le schéma ci-dessous, les angles ombrés de couleurs diérentes sont supplémentaires et les angles ombrés de la même couleur sont isométriques. p • Les angles 1 et 3, 2 et 4, 5 et 7, 6 et 8 sont opposés par le sommet. • Les angles 1 et 5, 2 et 6, 3 et 7, 4 et 8 sont correspondants. • Les angles 3 et 5, 4 et 6 sont alternes-internes. • Les angles 1 et 7, 2 et 8 sont alternes-externes.

5

Pour trouver quelle condition minimale d’isométrie est respectée, il est utile de se baser sur le triangle pour lequel on connaît le moins de mesures.

6

Exemple : Quelle est la mesure du segment DE et de l’angle D dans la fgure ci-contre ?

1. Démontrer que les triangles sont isométriques en s’assurant qu’une condition minimale d’isométrie est respectée.

2. Déduire les mesures manquantes à partir de celles des éléments homologues.

C 2,1 cm

4,9 cm

3,4 cm

Manuel A

D

125°

B

3,4 cm

Afrmation

A 4,9 cm

Justifcation

m AB = m AD

Par hypothèse

∠ CAB ≅ ∠ EAD

Deux angles opposés par le sommet sont nécessairement isométriques.

m AC = m AE

Par hypothèse

ΔABC ≅ ΔADE

Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre deux côtés homologues isométriques sont nécessairement isométriques (condition minimale CAC).

m DE = 2,1 cm

Dans les triangles isométriques, les côtés homologues sont isométriques.

m ∠ D = 125°

Dans les triangles isométriques, les angles homologues sont isométriques.

Remarque : Une hypothèse est un énoncé du problème qui contient une inormation dont on se sert pour la démonstration.

Faire le point

e

7

Le processus de recherche de mesures manquantes s’appuie sur les relations qui existent entre les éléments homologues de triangles isométriques. C’est pourquoi il est essentiel de démontrer que les triangles en jeu sont isométriques avant de déduire la mesure en question.

Étape

308

d

3

4

8

Pièges et astuces

2

1

E

Les triangles semblables Deux triangles sont semblables si leurs angles homologues sont isométriques et si les mesures de leurs côtés homologues sont proportionnelles. Le coefcient de proportionnalité correspond alors au rapport de similitude (k) des deux triangles. Exemple : Les triangles ABC et DEF sont semblables, car leurs angles homologues sont isométriques et les mesures A de leurs côtés homologues sont proportionnelles. On a ∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E et ∠ C ≅ ∠ F

B 8,6 cm

m EF

5 cm 35°

20°

C

12,2 cm

Des triangles semblables sont isométriques lorsque k = 1.

E 4,3 cm

et m AB = m BC = m CA = 2 = k. m DE

125°

m FD

20°

D

On écrit alors ΔABC ~ ΔDEF.

125°

2,5 cm 35°

F

6,1 cm

Remarque : On nomme des triangles semblables selon leurs sommets homologues. Donc, si ΔABC ~ ΔDEF, on peut afrmer que l’angle A est homologue à l’angle D, que l’angle B est homologue à l’angle E et que l’angle C est homologue à l’angle F.

Les conditions minimales de similitude de triangles Pour afrmer que deux triangles sont semblables, il suft de s’assurer que les triangles respectent une des trois conditions minimales suivantes.

La condition minimale de similitude CCC Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont nécessairement semblables. Exemple : ΔABC ~ ΔDEF, car m AB m BC m CA = = = 1 m DE m EF m FD 3

ou m DE = m EF = m FD = 3 m AB m BC m CA

A

E

3,1 cm

3,5 cm

B

3,9 cm

1,3 cm

9,3 cm

C

F 10,5 cm

D

L’inverse multiplicati du rapport de similitude ( 1k ) est aussi un rapport de similitude.

Géométrie

309

La condition minimale de similitude CAC Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre des côtés homologues dont les mesures sont proportionnelles sont nécessairement semblables. Exemple : m KL m ML ΔGHJ ~ ΔKLM, car ∠ H ≅ ∠ L et = = 2. m GH

J

m JH

B

A

M

40° 40˚ 3 cm

G

40° 3 cm 3,5 cm

3,5 cm

C

6 cm

K

H 40°

Le triangle ABC n’est pas semblable au triangle GHJ, car l’angle de 40° n’est pas compris entre les côtés de 3 cm et de 3,5 cm.

7 cm

L

La condition minimale de similitude AA Deux triangles ayant deux angles homologues isométriques sont nécessairement semblables. Exemple : ΔNPR ~ ΔSTU, car ∠ N ≅ ∠ S et ∠ P ≅ ∠ T. T P 80°

N

60°

S

Remarques : – Une droite parallèle à celle portée par un côté d’un triangle détermine des triangles semblables puisque la condition minimale de similitude AA est respectée. Puisque GH // BC, alors ΔAGH ~ ΔABC. – Des sécantes coupées par des droites parallèles sont partagées en segments de longueurs proportionnelles. C’est ce qu’on appelle le théorème de Thalès. Dans l’exemple ci-contre, DR, ES et FT sont parallèles, alors m EF m ST m EF m ST = et = . m DE m RS m DF m RT

310

Faire le point

Manuel A

40˚

C

Le triangle ABC est semblable au triangle NPR, car la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180°.

60°

R

60˚

A

80°

B

U

B

G A

C

H

E

D

R

F

S T

La recherche de mesures manquantes Le processus de recherche de mesures manquantes s’appuie sur les relations qui existent entre les éléments homologues de triangles semblables. C’est pourquoi il est essentiel de démontrer que les triangles en jeu sont semblables avant de déterminer une mesure manquante. Exemple : Voici comment déterminer la mesure du segment BC et la mesure de l’angle BCA dans la fgure ci-contre.

A

2,8 cm

B

1,4 cm

D

3,6 cm

C 48°

5,1 cm

1,8 cm

E Étape

Afrmation m AC 3,6 2 = = m AE 5,4 3 m AB 2,8 2 = = m AD 4,2 3

1. Démontrer que les triangles sont semblables en s’assurant qu’une condition minimale de similitude est respectée.

Les côtés homologues ont des mesures proportionnelles.

∠ CAB ≅ ∠ EAD

L’angle compris entre les côtés homologues est commun aux deux triangles.

ΔABC ~ ΔADE

Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre des côtés homologues dont les mesures sont proportionnelles sont nécessairement semblables (condition minimale CAC).

m BC 2 = m DE 3

2. Calculer les mesures manquantes à partir de celles des éléments homologues.

Justifcation

m BC 2 =3 5,1

m BC = 3,4 cm

m ∠ BCA = m ∠ DEA = 48°

Dans des triangles semblables, les côtés homologues ont des mesures proportionnelles. Dans des triangles semblables, les angles homologues sont isométriques.

Géométrie

311

Les triangles rectangles semblables déterminés par la hauteur relative à l’hypoténuse Dans un triangle rectangle, la hauteur relative à l’hypoténuse détermine deux autres triangles rectangles, semblables au premier. B a

ca

D

Hauteur relative à l’hypoténuse

C

cb

h

b

B a

ca

C

b

D

A

h

C

h

D

A

cb

Par la condition minimale de similitude AA : • ΔABC ~ ΔCBD puisque ces deux triangles ont un angle droit et qu’ils ont l’angle B en commun ; • ΔABC ~ ΔACD puisque ces deux triangles ont un angle droit et qu’ils ont l’angle A en commun. La relation de similitude est transitive, c’est-à-dire que si ΔABC ~ ΔCBD et ΔABC ~ ΔACD, alors ΔCBD ~ ΔACD.

Les relations métriques dans le triangle rectangle

Lorsque les deux extrêmes ou les deux moyens d’une proportion ont la même valeur, cette valeur est appelée « moyenne proportionnelle des deux autres valeurs ».

À partir des côtés homologues des triangles semblables déterminés par la hauteur relative à l’hypoténuse, il est possible d’établir plusieurs proportions. Ces proportions permettent d’énoncer trois relations métriques importantes qui facilitent la recherche de mesures manquantes. Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur relative à l’hypoténuse est la moyenne proportionnelle des mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse. ca = h ⇒ h2 = ca • cb h cb

C’est ce qu’on appelle parfois le théorème de la hauteur relative à l’hypoténuse.

Exemple : Voici comment déterminer la mesure de BD dans le triangle ci-contre à l’aide de cette relation métrique.

B

Faire le point

Manuel A

b

a

B

h

ca

A

cb

D c

h2 = ca • cb

62 = 12ca

D

36 = 12ca

12 cm

ca = 3

6 cm

C

312

ca

C

A

m BD = 3 cm

Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque cathète est la moyenne proportionnelle de la mesure de sa projection orthogonale sur l’hypoténuse et de la mesure de l’hypoténuse.

C

ca

= a ⇒ a2 = ca • c c a cb = b ⇒ b2 = cb • c c b

b

a

B

h

ca

cb

D

A

c

C’est ce qu’on appelle parois le théorème de la cathète.

B A

Exemple : Voici comment déterminer la mesure de BC dans le triangle ci-dessous à l’aide de cette relation métrique. B 4 cm

D

a2 a2 a2 a

16 cm

a

C

= = = =

d C B’ A’

ca • c 4 • 16 64 8

m BC = 8 cm

A

Dans un triangle rectangle, le produit des mesures des cathètes égale le produit des mesures de l’hypoténuse et de la hauteur relative à l’hypoténuse.

C b

a

a•b=h•c C’est ce qu’on appelle parois le théorème du produit des cathètes.

Dans la fgure cidessous, A’B’ est la projection orthogonale de AB sur la droite d et B’C est la projection orthogonale de BC sur la droite d.

B

h

ca

cb

D

A

c

Exemple : Voici comment déterminer la mesure de CD dans le triangle ci-dessous à l’aide de cette relation métrique. 1. Utiliser la relation de Pythagore pour déterminer la mesure de la cathète BC. a2 + 122 = 132 a2 = 169 - 144 = 25 a=5 m BC = 5 cm

C 12 cm h

B

A

D 13 cm

2. Calculer la mesure de CD. a•b=h•c 5 • 12 = h • 13 60 h= ≈ 4,6 13 m CD ≈ 4,6 cm Géométrie

313

La distance entre deux points Puisque l’accroissement est une différence, on utilise la lettre delta (Δ) pour le représenter. Delta est la lettre « D » dans l’alphabet grec.

La distance entre deux points A(x1, y1) et B(x2, y2) dans un plan cartésien, notée d(A, B), correspond à la longueur du segment AB. À partir de l’accroissement des abscisses (Δx = x2 - x1) et de l’accroissement des ordonnées (Δy = y2 - y1) entre ces deux points, on utilise la relation de Pythagore pour calculer d(A, B). y

B(x2, y2)

∆y = y2− y1

A(x1, y1)

C(x2, y1)

∆x = x2− x1

x

(m AB)2 = (m AC)2 + (m BC)2 (d(A, B))2 =

(Δ x)2

+

(Δy)2

(d(A, B))2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 L’expression qui permet de calculer la distance entre A et B est d(A, B) =

x2 − x1 2 + y 2 − y1 2 .

Exemple : Voici comment calculer la distance entre les points C(8, 7) et D(-1, 10). d(C, D) = ( −1 − 8)2 + (10 − 7)2 = ( − 9)2 32 = 81 + 9 = 90 ≈ 9,5

314

Faire le point

Manuel A

Le point de partage d’un segment Il est possible de déterminer les coordonnées d’un point de partage d’un segment, c’est-à-dire d’un point situé à une certaine fraction d’un segment. Pour ce faire, on détermine séparément l’abscisse et l’ordonnée de ce point de partage. Soit le segment UV tracé dans le plan cartésien ci-dessous. On s’intéresse aux coordonnées du point de partage P, situé à la fraction ab du segment UV à partir du point U.

V(x2, y2)

b a

U(x1, y1)

P

∆y

a • ∆y b a •∆ x b ∆x

Remarque : Le point P situé à la fraction UV dans un rapport a: b - a.

a b

à partir du point U partage le segment

Abscisse du point de partage

Ordonnée du point de partage

L’accroissement des abscisses du point U au point P est ab • Δx. L’abscisse du point P est donc x1 +

a b •

L’accroissement des ordonnées du point U au point P est ab • Δ y.

Δx.

L’ordonnée du point P est donc y1 +

Abscisse du point U

a b •

Δy.

Ordonnée du point U Accroissement des ordonnées du point U au point P

Accroissement des abscisses du point U au point P

Les coordonnées du point P situé à la fraction

(

du point U(x1, y1) sont donc P x1 +

a b •

a b

Δ x, y1 +

du segment UV à partir a b •

)

Δy .

Géométrie

315

Exemples : 1) Voici les étapes à suivre pour déterminer les coordonnées du point P situé aux du segment UV, d’extrémités U(4, 6) et V(9, 16), à partir du point U.

3 5

Démarche Étape

Abscisse du point de partage

Ordonnée du point de partage

1. Calculer l’accroissement des abscisses et l’accroissement des ordonnées du segment en considérant que les coordonnées du point de départ (U) correspondent à (x1, y1).

Δx = x2 - x1

Δy = y2 - y1

Δx = 9 - 4

Δy = 16 - 6

Δx = 5

Δy = 10

2. Déterminer l’abscisse et l’ordonnée du point de partage en

x = x1 +

additionnant la raction

( ) des accroissements calculés à 3 5

a

b

•

Δx

y = y1 +

x = 4 + 3 • (5) 5 x=7

l’étape 1 aux coordonnées du point de départ.

a

b

•

Δy

y = 6 + 3 • (10) 5 y = 12

3. Déterminer les coordonnées du point de partage P.

P(7, 12)

Remarque : Le point situé aux 35 du segment UV à partir du point U est le point qui partage le segment UV en segments de rapport 3 : 2 à partir du point U. 2) Voici les étapes à suivre pour déterminer les coordonnées du point milieu M du

segment EF d’extrémités E(-3, 5) et F(1, -3).

Démarche Étape

Abscisse du point milieu Δx = x2 - x1

1. Calculer l’accroissement des abscisses et l’accroissement des ordonnées du segment en considérant que les coordonnées du point de départ (E) correspondent à (x1, y1).

Δx = 1 -

2. Déterminer l’abscisse et l’ordonnée du point milieu M en additionnant la moitié des accroissements calculés à l’étape 1 aux coordonnées du point de départ.

-3

Ordonnée du point milieu Δy = y2 - y1 Δy = -3 - 5

Δx = 4

Δy = -8

x = x1 + 1 • Δx 2

y = y1 + 1 • Δy 2

x = -3 + 1 • (4) 2 x = -1

y = 5 + 1 • (-8) 2 y=1 M( -1, 1)

3. Déterminer les coordonnées du point milieu M.

Remarques : – Le point milieu est un cas particulier du point de partage d’un segment. – Le point milieu d’un segment partage celui-ci en deux segments isométriques. – Afn de déterminer les coordonnées du point milieu M d’un segment, on peut calculer la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des extrémités de ce segment. Ainsi, les coordonnées du point milieu M du segment AB d’extrémités A(x1, y1) et B(x2, y2) sont 316

Faire le point

Manuel A

(

x1 + x2 y1 + y2 , 2 2

).

La droite En géométrie analytique, la droite se défnit comme l’ensemble des points d’un plan cartésien dont les coordonnées vérifent une équation du premier degré à deux variables.

La pente La pente de la droite qui passe par les points A(x1, y1) et B(x2 , y2 ) est le rapport de l’accroissement des ordonnées à l’accroissement des abscisses entre deux points de cette droite.

Pente de AB =

y2 - y1 Δy = x2 - x1 Δx

Exemple : Voici comment calculer la pente de la droite qui passe par les points R(-2, 5) et S(3, -15). y -y Δy Pente de RS = = 2 1 = 15 -- 5 = 20 = -4 Δx

x2 - x1

3- 2

5

L’équation d’une droite sous la forme fonctionnelle Une équation de la orme y = ax + b est l’équation d’une droite sous la orme onctionnelle. Dans l’équation d’une droite sous la orme onctionnelle : – le paramètre a représente la pente de la droite ; – le paramètre b représente son ordonnée à l’origine.

L’équation d’une droite sous la forme symétrique Une équation de la orme la orme symétrique.

x a

+

y b

Pièges et astuces Attention ! Dans l’équation d’une droite sous la orme onctionnelle et dans celle d’une droite sous la orme symétrique, le paramètre a ne représente pas la même chose.

= 1 où a et b ∈ r* est l’équation d’une droite sous

Dans l’équation d’une droite sous la orme symétrique : – le paramètre a représente l’abscisse à l’origine de la droite ; – le paramètre b représente son ordonnée à l’origine ; – – la pente correspond à ab .

L’équation d’une droite sous la forme générale Une équation de la orme A x + By + C = 0 est l’équation d’une droite sous la orme générale. Dans l’équation d'une droite sous la orme générale : – l’ordonnée à l’origine correspond à BC ; – l’abscisse à l’origine correspond à AC ; – la pente correspond à BA .

La orme générale de l’équation d’une droite est la seule orme d’équation qui permet de décrire n’importe quelle droite d’un plan cartésien.

Géométrie

317

Tracer une droite On procède différemment pour tracer une droite selon la forme d’équation dont on dispose. 1) Voici les étapes à suivre pour tracer une droite à 2) Voici les étapes à suivre pour tracer une droite à partir de son équation sous la forme fonctionnelle. partir de son équation sous la forme symétrique. y Exemple : 3x + -2 = 1 Exemple : y = 2x + 3 Étape

Démarche

Étape

Démarche

1. À partir des valeurs de 1. À partir de l’ordonnée à

l’origine, placer un autre point en utilisant la pente de la droite.

+1 +2

1 1

l’abscisse à l’origine et de l’ordonnée à l’origine de la droite (les dénominateurs dans la forme symétrique de l’équation), placer les coordonnées à l’origine dans un plan cartésien.

y

1 1

x

1

x

y

2. Tracer la droite passant

2. Tracer la droite passant

par ces points.

1

par ces points. 1 1

3) Voici les étapes à suivre pour tracer une droite à partir de son équation sous la forme générale. Exemple : 4x – 8y + 16 = 0 Étape 1. Déterminer l’ordonnée à l’origine de la droite en

calculant la valeur de y lorsque x = 0. Déterminer l’abscisse à l’origine de la droite en calculant la valeur de x lorsque y = 0.

Démarche 4(0) - 8y + 16 = 0 -8y = -16 y=2 4x - 8(0) + 16 = 0 4x = -16 x = -4 y

2. Placer les coordonnées à l’origine dans un plan

cartésien et tracer la droite passant par ces points.

1 1

318

Faire le point

Manuel A

x

x

y

0

2

-4

0

Les positions relatives de deux droites On détermine la position relative de deux droites à partir de leurs représentations graphiques ou de leurs équations.

Les droites parallèles Deux droites parallèles ne se coupent jamais. Cette propriété géométrique se manifeste algébriquement par le fait que deux droites parallèles ont la même pente. Propriété géométrique : parallélisme

Manifestation algébrique Équations sous la forme fonctionnelle

1 1

y = 2x + 3 y = 2x – 1 La pente correspond au paramètre a. 2=2

Équations sous la forme générale

6x – 3y + 9 = 0 8x – 4y – 4 = 0 La pente correspond au rapport -6 -3

=

-8 -4

-A . B

=2

Les droites sont parallèles.

Remarque : Des droites parallèles qui ont la même ordonnée à l’origine sont des droites confondues.

Les droites perpendiculaires Deux droites perpendiculaires se coupent à angle droit. Cette propriété géométrique se manifeste algébriquement par le fait que le produit des pentes de deux droites perpendiculaires, non parallèles aux axes, est égal à -1. Propriété géométrique : perpendicularité

Manifestation algébrique Équations sous la forme fonctionnelle

1 1

Équations sous la forme générale

y = -5x - 4

x – 5y + 10 = 0

y = 0,2x + 2

10x + 2y - 8 = 0

La pente correspond au paramètre a.

La pente correspond au rapport

(-5) • (0,2) = -1

( 15) ( 102) = -

-

•

-A

B

.

-1

Les droites sont perpendiculaires.

Remarque : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire qui passe par le milieu de celui-ci. On utilise la manifestation algébrique des droites perpendiculaires pour déterminer l’équation d’une médiatrice.

Géométrie

319

Graphisme, notation et symboles n

L’ensemble des nombres naturels

≤

… est inférieur ou égal à…

z

L’ensemble des nombres entiers

>

… est supérieur à…

q

L’ensemble des nombres rationnels

≥

… est supérieur ou égal à…

q’

L’ensemble des nombres irrationnels

k

Le rapport de similitude

r

L’ensemble des nombres réels

A∩B

L’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B

La notation qui indique l’absence du zéro dans les ensembles de nombres n, z, q et r

A∪B

L’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B

+

La notation qui indique les nombres positifs des ensembles de nombres z, q, q’ et r

P(A)

La probabilité de l’événement A

–

La notation qui indique les nombres négatifs des ensembles de nombres z, q, q’ et r

P(B | A)

La probabilité conditionnelle de B sachant que A s’est réalisé

a2

Le carré de a

Ω

a3

L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire

Le cube de a n!

La notation factorielle

∞

L’infini

*

3

a

La racine carrée de a

a

La racine cubique de a

∈

… est élément de…

La constante « pi » π ≈ 3,1416

f(x)

L’image de x par la fonction f

=

… est égal à…

f 1(x)

L’image de x par la fonction réciproque de f

≈

… est approximativement égal à… logb a

Le logarithme en base b de a

x

La valeur absolue de x

[ x]

Le plus grand entier inférieur ou égal à x

π

320

-

≅

… est isométrique à…

∼

… est semblable à…

⇔

… est équivalent à…

⁄⁄

… est parallèle à…

Dom f

Le domaine de la fonction f

⊥

… est perpendiculaire à…

Ima f

L’image de la fonction f

≠

… n’est pas égal à…

Max f

Le maximum de la fonction f