Intersection mathématique 2e cycle du secondaire 2e année, culture, société et technique, manuel de l'élève B [2-2B] 9782765210382, 2765210381

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2e cycle du secondaire 2e année

Manuel de l’élève B Claude Boucher Michel Coupal Martine Jacques Lynn Marotte Avec la collaboration de Roberto Déraps Brahim Miloudi

CHENELIÈRE ÉDUCATION

Intersection Mathématique, 2e cycle du secondaire, 2e année Culture, société et technique Claude Boucher, Michel Coupal, Martine Jacques, Lynn Marotte © 2009 Chenelière Éducation inc.

Édition : Geneviève Gagné, Guylaine Cloutier Coordination : Carolina Navarrete, Caroline Bouffard, Marie Hébert, Marie-Noëlle Hamar Révision linguistique : Nicole Blanchette Correction d’épreuves : François Morin, André Duchemin, Caroline Bouffard Conception graphique et couverture : Matteau Parent graphisme et communication inc. Infographie : Interscript, Josée Brunelle Illustrations : Serge Rousseau, Bertrand Lachance, Jacques Perrault, Michel Rouleau Impression : Imprimeries Transcontinental

CHENELIÈRE ÉDUCATION

7001, boul. Saint-Laurent Montréal (Québec) Canada H2S 3E3 Téléphone : 514 273-1066 Télécopieur : 450 461-3834 / 1 888 460-3834 [email protected]

TOUS DROITS RÉSERVÉS. Toute reproduction, en tout ou en partie, sous quelque forme et par quelque procédé que ce soit, est interdite sans lʼautorisation écrite préalable de lʼÉditeur. ISBN 978-2-7652-1038-2 Dépôt légal : 1er trimestre 2009 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada Imprimé au Canada 3 4 5 6 7 ITIB 14 13 12 11 10 Nous reconnaissons l’aide financière du gouvernement du Canada par l’entremise du Programme d’aide au développement de l’industrie de l’édition (PADIÉ) pour nos activités d’édition. Gouvernement du Québec – Programme de crédit d’impôt pour l’édition de livres – Gestion SODEC.

Remerciements Nous tenons à remercier Christian Léger, professeur titulaire au département de mathématiques et de statistique de l’Université de Montréal, et Hassane Squalli, professeur au département de didactique de l’Université de Sherbrooke, qui ont agi à titre de consultants pour la réalisation de cet ouvrage. Un merci tout spécial à Emmanuel Duran pour sa collaboration à la partie Outils technologiques ainsi qu’à Sophie René de Cotret pour ses précieux commentaires. Pour sa contribution et pour ses commentaires avisés, nous tenons également à remercier Marie-France Vallée, enseignante, C.S. des Patriotes. Pour le soin qu’ils ont porté à leur travail d’évaluation, nous remercions Christian Boily, enseignant, Polyvalente de Saint-Georges ; Mélanie Boucher, enseignante, École secondaire André-Laurendeau ; Kamel Chihab, enseignant, Polyvalente Hyacinthe-Delorme ; Anne-Marie Éthier, enseignante, École Sophie-Barat ; Hugues Gendron, enseignant, Collège du SacréCœur ; Julie Gravel, enseignante, École Champagnat ; Angèle Hébert, enseignante, École Arthur Pigeon ; Dany Martineau, enseignant, École secondaire du Harfang ; Stéfanie Massé, enseignante, École Mont-Bruno.

Table des matières Chapitre

5

L’étude des fonctions Les fonctions quadratiques, exponentielles et périodiques ...............

Chapitre

6 2

4 6

7 8 11 13 15 18

Situation d’application Les courbes de croissance ............................. Activité d’exploration 1 Des joueurs de taille .......................................... Activité d’exploration 2 Dansez dans les rues ......................................... Activité d’exploration 3 Le test de mémoire ............................................ Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

53 54 56 58 60 63

Section 2 • L’appréciation qualitative d’une corrélation

Section 2 • La fonction exponentielle et la fonction quadratique Situation d’application Achetez maintenant, payez plus tard ..... Activité d’exploration 1 Plus ça va, moins ça vaut ............................... Activité d’exploration 2 Freiner à temps ..................................................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

En contexte .......................................................................................................................... 50 En bref .................................................................................................................................... 52

Section 1 • Les mesures de dispersion et de position

Section 1 • La modélisation de situations à l’aide de fonctions Situation de communication Épargne à la carte ..................................... Activité d’exploration 1 Des modèles fonctionnels ............................. Activité d’exploration 2 Du graphique aux propriétés ....................... Activité d’exploration 3 Quelques tours de grande roue ................ Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

48

Entrée en matière

Entrée en matière En contexte .......................................................................................................................... En bref ....................................................................................................................................

La statistique ..................................................

23 24 26 28 31

Consolidation ...................................................................................................... 36 Le monde du travail ................................................................................ 47

Situation de communication Les conséquences du manque de sommeil .............................................................. Activité d’exploration 1 La force du huard ................................................ Activité d’exploration 2 Skier dans les nuages ........................................ Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

67 68 70 72 75

Section 3 • Le coefficient de corrélation linéaire Situation de communication Le bonheur ................................................. Activité d’exploration 1 Encadrement judicieux ..................................... Activité d’exploration 2 Se méfier des apparences .............................. Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

79 80 82 84 86

Section 4 • La droite de régression Situation d’application Les années s’envolent en fumée ............... Activité d’exploration 1 Se déplacer autrement ..................................... Activité d’exploration 2 Faire le tour du baobab ................................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

89 90 92 94 97

Consolidation ...................................................................................................... 100 Le monde du travail ................................................................................ 113

Intersection Chapitres 1 à 6

................................................................................

114

SAÉ Maison à vendre ............................................................................................... 114 Problèmes ............................................................................................................................ 116 Énigmes ................................................................................................................................. 123 Table des matières

III

Chapitre

7

Chapitre

La trigonométrie

................................

124

Entrée en matière

Entrée en matière

En contexte .......................................................................................................................... 126 En bref .................................................................................................................................... 128

En contexte .......................................................................................................................... 174 En bref .................................................................................................................................... 176

Section 1 • Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle

Section 1 • La probabilité subjective

Situation-problème Compétition de bolides ...................................... Activité d’exploration 1 Quand les moyens changent de place .... Activité d’exploration 2 Mesures indirectes .............................................. Activité d’exploration 3 La grotte du mont Bossu ................................ Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

129 130 132 134 136 138

Section 2 • La recherche de mesures dans un triangle quelconque Situation d’application Une tyrolienne dans le parcours ............... Activité d’exploration 1 Voguer à Venise .................................................... Activité d’exploration 2 Oiselet .......................................................................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

143 144 146 148 150

Section 3 • L’aire de triangles Situation d’application Un rallye dans le Sahara ................................. Activité d’exploration 1 Camping et sentiers ............................................ Activité d’exploration 2 De Calibao à Porto Rico .................................. Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

153 154 156 158 159

Consolidation ...................................................................................................... 162 Le monde du travail ................................................................................ 171

IV

8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique ........................................... 172

Table des matières

Situation d’application À chacun sa force ................................................ Activité d’exploration 1 Calculer, estimer ou évaluer ? ...................... Activité d’exploration 2 La Triple Couronne ............................................. Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

177 178 180 182 185

Section 2 • L’espérance mathématique Situation-problème Tout le monde y gagne ! ................................. Activité d’exploration 1 Partage de coutume ........................................... Activité d’exploration 2 Le Plinko ................................................................... Faire le point ...................................................................................................................... Mise en pratique ............................................................................................................

189 190 192 194 196

Consolidation ...................................................................................................... 200 Le monde du travail ................................................................................ 211

Intersection Chapitres 1 à 8

................................................................................

212

SAÉ Audace aérienne ............................................................................................... 212 Problèmes ............................................................................................................................ 214 Énigmes ................................................................................................................................. 223

Outils technologiques

...............................

224

La calculatrice à affichage graphique ............................................................ Le traceur de courbes ................................................................................................ Le tableur ............................................................................................................................. Le logiciel de géométrie dynamique ..............................................................

224 227 229 237

Faire le point, manuel A .................................................................. Graphisme, notation et symboles .................................. Table de rapports trigonométriques ......................... Index ..................................................................................................................................

240 267 268 269

Organisation du manuel Le début d’un chapitre

L’ouverture du chapitre te propose un court texte d’introduction qui porte sur le sujet à l’étude du chapitre et qui établit un lien avec un domaine général de formation.

Le domaine général de formation abordé dans le chapitre est précisé dans le survol. Le survol te présente le contenu du chapitre en un coup d’œil. L’ouverture du chapitre te présente aussi le contenu de formation à l’étude dans le chapitre.

L’Entrée en matière fait appel à tes connaissances au moyen des situations et des questions de réactivation des rubriques En contexte et En bref. Ces connaissances te seront utiles pour aborder les concepts du chapitre.

Organisation du manuel

V

Les sections Chaque chapitre est composé de plusieurs sections qui portent sur le sujet à l’étude. L’ensemble des activités d’exploration proposées dans ces sections te permettent de développer tes compétences.

La situation de compétence t’amène à découvrir les concepts et les processus mathématiques qui seront approfondis dans la section, ainsi qu’à développer différentes stratégies de résolution de problèmes.

Chaque activité d’exploration te permet d’aborder certains concepts et processus à l’étude.

Les concepts et les processus à l’étude sont inscrits dans un encadré, au début de chaque activité d’exploration.

La rubrique Ai-je bien compris ? te donne l’occasion de vérifier ta compréhension des concepts abordés au cours de l’activité d’exploration.

Les pages intitulées Faire le point présentent la synthèse des concepts et des processus abordés dans la section, avec des exemples clairs. Facilement repérables, ces pages peuvent t’être utiles lorsque tu veux te rappeler un sujet bien précis. La Mise en pratique réunit un grand nombre d’exercices et de problèmes qui te permettent de réinvestir les concepts et les processus abordés dans la section.

VI

Organisation du manuel

La fin d’un chapitre La Consolidation te propose une banque d’exercices et de problèmes supplémentaires qui te permettent de réinvestir les concepts et les processus abordés dans l’ensemble des sections du chapitre et de continuer à développer tes compétences.

Le dernier problème de la Consolidation met en contexte un métier et permet de développer une compétence liée à un domaine général de formation.

Dans Le monde du travail, on trouve une courte description d’un domaine d’emploi lié à la séquence Culture, société et technique.

Organisation du manuel

VII

L’Intersection L’Intersection te permet de réinvestir les apprentissages des chapitres précédents au moyen de situations riches, qui ciblent plus d’un champ mathématique à la fois.

La situation d’apprentissage et d’évaluation te permet de réinvestir certains concepts et processus abordés au cours des chapitres précédents.

Une banque de problèmes te permet de réinvestir les concepts et les processus des chapitres précédents et de continuer à développer tes compétences.

La page Énigmes présente des énigmes et des jeux mathématiques pour t’aider à développer ta logique mathématique.

Les Outils technologiques Ces pages te présentent les fonctions de base de certains outils technologiques.

VIII

Organisation du manuel

Les rubriques Te présente une méthode de travail, des erreurs courantes et des stratégies de résolution de problèmes.

Te présente des personnages et des faits historiques liés à l’étude de la mathématique.

T’invite à mieux connaître l’une des technologies de l’information et de la communication (TIC) ou à l’utiliser dans la résolution d’un problème.

Fait divers L’industrie canadienne du disque récompense les artistes en leur remettant un disque d’or lorsque 50 000 exemplaires d’un album ont été vendus, un disque platine dans le cas de 100 000 exemplaires vendus et un disque diamant lorsque les ventes atteignent 1 000 000 d’exemplaires.

Relate une anecdote ou un fait intéressant lié au sujet à l’étude.

Te propose de l’information et des questions relatives à l’un des domaines généraux de formation suivants : santé et bien-être, orientation et entrepreneuriat, environnement et consommation, médias, vivre-ensemble et citoyenneté.

Te donne une définition qui vise à préciser un concept ou à faire un retour sur des savoirs à l’étude dans les années précédentes. Le mot défini est en bleu dans le texte courant pour en faciliter le repérage.

Les pictogrammes

?

Situation d’application

Situationproblème

Résoudre une situation-problème.

Déployer un raisonnement mathématique.

Situation de communication Communiquer à l’aide du langage mathématique.

Au besoin, utiliser la fiche reproductible disponible.

Organisation du manuel

IX

Les concepts et les processus à l’étude Le tableau suivant présente les concepts et les processus abordés dans les deux manuels de la séquence Culture, société et technique pour la 2e année du 2e cycle. Il facilite le repérage des concepts et des processus à l’étude par domaine mathématique, tant dans les activités d’exploration que dans les sections Faire le point.

Concepts et processus

Manuel A

B

Pages

Arithmétique et algèbre Propriétés d’une fonction : domaine

✔

AE : p. 8 et 9 FLP : p. 14 et 15

Propriétés d’une fonction : image

✔

AE : p. 8 et 9 FLP : p. 14 et 15

Propriétés d’une fonction : coordonnées à l’origine

✔

AE : p. 10 et 11 FLP : p. 14 et 15

✔

AE : p. 10 et 11 FLP : p. 14 et 15

Propriétés d’une fonction : variation

✔

AE : p. 12 et 13 FLP : p. 14 et 15

Propriétés d’une fonction : extremums

✔

AE : p. 12 et 13 FLP : p. 14 et 15

Fonction en escalier

✔

AE : p. 22 et 23 FLP : p. 26 et 27

Fonctions définies par parties

✔

AE : p. 22 et 23 FLP : p. 26 et 27

Fonction en escalier : modes de représentation

✔

AE : p. 24 et 25 FLP : p. 26 et 27

Fonction affine par parties

✔

AE : p. 34 et 35 FLP : p. 38 et 39

✔

AE : p. 36 et 37 FLP : p. 38 et 39

Propriétés d’une fonction : signe

Fonction affine par parties : règle Modélisation algébrique d’une situation par un système d’équations du premier degré à deux variables Résolution d’un système d’équations à l’aide de sa représentation graphique Résolution d’un système d’équations à l’aide de sa représentation graphique : nombre de solutions d’un système d’équations du premier degré à deux variables Résolution algébrique d’un système d’équations : méthode de comparaison Résolution algébrique d’un système d’équations : nombre de solutions d’un système d’équations du premier degré à deux variables

X

Organisation du manuel

✔

AE : p. 180 et 181 FLP : p. 186 et 187

✔

AE : p. 182 et 183 FLP : p. 186 et 187

✔

✔

✔

AE : p. 184 et 185 FLP : p. 186 et 187

AE : p. 192 FLP : p. 198 à 200

AE : p. 192 FLP : p. 198 à 200

Concepts et processus

Manuel A

B

Pages

Résolution algébrique d’un système d’équations : méthode de substitution

✔

AE : p. 193 et 194 FLP : p. 198 à 200

Résolution algébrique d’un système d’équations : méthode de réduction

✔

AE : p. 195 à 197 FLP : p. 198 à 200

Représentation d’une situation à l’aide d'une table de valeurs ou d’un graphique

✔

AE : p. 8 à 10 FLP : p. 15 à 17

Fonction quadratique : propriétés

✔

AE : p. 11 et 12 FLP : p. 15 à 17

Fonction exponentielle : propriétés

✔

AE : p. 11 et 12 FLP : p. 15 à 17

Comparaison de représentations graphiques

✔

AE : p. 11 et 12 FLP : p. 15 à 17

Fonction périodique : propriétés

✔

AE : p. 13 et 14 FLP : p. 15 à 17

Fonction exponentielle : règle de la forme f(x) = abx

✔

AE : p. 24 et 25 FLP : p. 28 à 30

Fonction exponentielle : réciproque

✔

AE : p. 24 et 25 FLP : p. 28 à 30

Fonction exponentielle : recherche de la règle

✔

AE : p. 24 et 25 FLP : p. 28 à 30

Fonction quadratique : règle de la forme f(x) = ax2

✔

AE : p. 26 et 27 FLP : p. 28 à 30

Fonction quadratique : relation réciproque

✔

AE : p. 26 et 27 FLP : p. 28 à 30

Fonction quadratique : recherche de la règle

✔

AE : p. 26 et 27 FLP : p. 28 à 30

Distinction entre probabilité théorique, probabilité fréquentielle et probabilité subjective

✔

AE : p. 178 et 179 FLP : p. 182 à 184

Probabilité subjective

✔

AE : p. 180 et 181 FLP : p. 182 à 184

« Chances pour » et « chances contre »

✔

AE : p. 180 et 181 FLP : p. 182 à 184

Espérance mathématique

✔

AE : p. 190 et 191 FLP : p. 194 à 195

Espérance mathématique : interprétation

✔

AE : p. 192 et 193 FLP : p. 194 à 195

Équité

✔

AE : p. 192 et 193 FLP : p. 194 à 195

Probabilités

Concepts et processus

Manuel A

B

Pages

✔

B

Pages AE : p. 97 et 98 FLP : p. 99 et 100

Accroissement

✔

AE : p. 130 et 131 FLP : p. 136 à 138

Distance entre deux points

✔

AE : p. 130 et 131 FLP : p. 136 à 138

Point de partage d’un segment : point milieu

✔

AE : p. 132 et 133 FLP : p. 136 à 138

Point de partage d’un segment

✔

AE : p. 134 et 135 FLP : p. 136 à 138

Droite

✔

AE : p. 144 FLP : p. 149 à 151

Pente

✔

AE : p. 144 FLP : p. 149 à 151

Équation d’une droite sous la orme onctionnelle

✔

AE : p. 144 FLP : p. 149 à 151

Équation d’une droite sous la orme générale

✔

AE : p. 145 et 146 FLP : p. 149 à 151

Passage d’une orme d'équation à une autre

✔

AE : p. 145 et 146 FLP : p. 149 à 151

Demi-plan

✔

AE : p. 147 et 148 FLP : p. 149 à 151

Droites parallèles

✔

AE : p. 90 et 91 FLP : p. 94 à 96

AE : p. 158 et 159 FLP : p. 161

Droites perpendiculaires

✔

AE : p. 158 et 159 FLP : p. 161

AE : p. 92 et 93 FLP : p. 94 à 96

Propriétés d’objets géométriques

✔

AE : p. 160 FLP : p. 161

AE : p. 54 et 55 FLP : p. 60 à 62

Mesure de dispersion : écart moyen

✔

AE : p. 56 et 57 FLP : p. 60 à 62

Mesure de position : rang centile

✔

Distribution à deux caractères

✔

AE : p. 58 et 59 FLP : p. 60 à 62 AE : p. 68 et 69 FLP : p. 72 à 74

✔

AE : p. 68 et 69 FLP : p. 72 à 74

Corrélation linéaire : sens de la corrélation

✔

AE : p. 68 et 69 FLP : p. 72 à 74

Corrélation linéaire : intensité de la corrélation

✔

AE : p. 70 et 71 FLP : p. 72 à 74

Nature du lien entre deux variables

✔

AE : p. 70 et 71 FLP : p. 72 à 74

Coefcient de corrélation linéaire : approximation et interprétation

✔

AE : p. 80 et 81 FLP : p. 84 et 85

Coefcient de corrélation linéaire : limites de l’interprétation

✔

AE : p. 82 et 83 FLP : p. 84 et 85

Droite de régression : droite de Mayer et prédictions

✔

Droite de régression : droite médiane-médiane et prédictions

✔

Nuage de points

A ✔

AE : p. 54 et 55 FLP : p. 60 à 62

✔

Dispersion des données

Manuel

Relations métriques dans le triangle rectangle

Statistique Diagramme à tige et à euilles

Concepts et processus

Géométrie et graphes

Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle : sinus, cosinus et tangente

✔

AE : p. 130 et 131 FLP : p. 136 et 137

Triangle rectangle : recherche de mesures de côtés

✔

AE : p. 132 et 133 FLP : p. 136 et 137

Triangle rectangle : recherche de mesures d’angles

✔

AE : p. 134 et 135 FLP : p. 136 et 137

Loi des sinus

✔

AE : p. 144 et 145 FLP : p. 148 et 149

Triangle quelconque : recherche de mesures de côtés

✔

AE : p. 144 et 145 FLP : p. 148 et 149

Triangle quelconque : recherche de mesures d’angles

✔

AE : p. 146 et 147 FLP : p. 148 et 149

Aire de triangles

✔

AE : p. 154 et 155 FLP : p. 158

Triangles isométriques

✔

AE : p. 64, 65 et 66 FLP : p. 68 à 70

Conditions minimales d’isométrie de triangles

✔

AE : p. 64, 65 et 66 FLP : p. 68 à 70

Triangles isométriques : recherche de mesures manquantes

✔

AE : p. 67 FLP : p. 68 à 70

Triangles semblables

✔

AE : p. 78 et 79, 80 et 81 FLP : p. 84 à 86

Conditions minimales de similitude de triangles

✔

AE: p. 78 et 79, 80 et 81 FLP : p. 84 à 86

Triangles semblables : recherche de mesures manquantes

✔

AE : p. 82 et 83 FLP : p. 84 à 86

Triangles rectangles semblables

✔

AE : p. 96 FLP : p. 99 et 100

Formule de Héron

✔

AE : p. 156 et 157 FLP : p. 158

Hauteur relative à l’hypoténuse

✔

AE : p. 96 FLP : p. 99 et 100

Aire de quadrilatères

✔

AE : p. 156 et 157 FLP : p. 158

Abréviations : AE : Activité d’exploration FLP : Faire le point

Organisation du manuel

XI

Chapitre

5

L’étude des fonctions Les fonctions quadratiques, exponentielles et périodiques La consommation de biens et de services fait partie de notre vie quotidienne, que ce soit pour combler nos besoins essentiels ou pour satisfaire un désir ponctuel. De nos jours, l’essor fulgurant de la technologie et l’accessibilité au crédit contribuent à l’accroissement de la consommation. Paradoxalement, alors que le crédit à la consommation augmente de façon exponentielle, la valeur des biens technologiques se déprécie de la même façon. De telles situations peuvent être modélisées à l’aide de fonctions, ce qui permet entre autres d’analyser les effets de la consommation sur l’environnement. Est-ce important pour toi de posséder plusieurs biens ? Avant de te procurer des biens, essaies-tu de déterminer si tu en as vraiment besoin ? Est-ce que tu t’informes de la provenance des biens que tu te procures ? Explique pourquoi.

Survol

Environnement et consommation

Entrée en matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Section 1 – La modélisation de situations à l’aide de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Section 2 – La fonction exponentielle et la fonction quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Consolidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Contenu de formation • • • •

Fonction polynomiale de degré 2 Fonction exponentielle Fonction périodique Modélisation et représentation d’une situation à l’aide d’une table de valeurs, algébriquement dans certains cas et graphiquement • Description des propriétés d’une fonction à l’aide de sa représentation graphique

Entrée en matière Les pages 4 à 6 ont appel à tes connaissances sur les onctions et sur les expressions algébriques.

En contexte Trois enants d’une même amille reçoivent chacun 10 000 $ en héritage de leur grand-père. Ils décident de mettre cette somme de côté pour pouvoir en bénéfcier plus tard. Pour ce aire, ils adoptent des stratégies diérentes. Le capital est une somme d’argent constituée d’un montant initial et des intérêts réinvestis.

Simon a rencontré un conseiller fnancier qui lui a recommandé de placer son argent dans un compte épargne longue durée. Dans ce compte, le taux d’intérêt est constant, de sorte que le capital double tous les 12 ans. Joëlle a choisi de placer son argent dans un compte où les intérêts accumulés dans l’année lui sont envoyés par la poste sous orme de chèque. De cette açon, elle ne touche pas à la somme laissée par son grandpère, mais elle bénéfcie tout de même d’un peu d’argent régulièrement. Le banquier lui a dit qu’elle recevrait annuellement 600 $, puisque le taux d’intérêt du compte qu’elle a choisi est constant pour la période visée. Camille a décidé de garder son argent dans un coret de sûreté à la banque. Ainsi, l’argent est en sécurité et accessible en cas d’urgence.

1. Quarante-huit ans plus tard, alors qu’ils sont tous les trois à la retraite, Simon, Joëlle et Camille décident que le temps est venu de partager cet argent avec leurs petits-enants. Ils se rendent ensemble à la banque. a) Qui retire la somme d’argent la plus élevée ? Justife ta réponse. b) Quelle somme d’argent Camille et Joëlle retirent-elles ? c) Au cours de la période écoulée, de quelle somme Joëlle a-t-elle bénéfcié en plus du montant initial de 10 000 $ ? d) Quelle somme d’argent retire Simon ?

4

Chapitre 5

L’étude des onctions

2. On s’intéresse à la somme d’argent de chaque enant selon le nombre d’années écoulées depuis l’héritage. a) Pour quel enant peut-on modéliser l’évolution de cette somme par : 1) une onction constante ? une onction afne ? b) Détermine la règle des onctions nommées en a. 2)

3. On s’intéresse à l’évolution de la somme disponible dans le compte de Simon selon le nombre d’années écoulées depuis l’héritage. a) Construis une table de valeurs, par tranche de 12 ans, représentant le montant accumulé par Simon au cours de cette période. b) Représente les couples de la table de valeurs construite en a dans un plan cartésien. c) À partir de ta représentation graphique, estime le nombre d’années nécessaires pour que la somme disponible dans le compte de Simon soit de 60 000 $.

4. Camille garde 25 % de la somme qu’elle a retirée et donne 30 % du reste à sa flleule Marianne. Elle partage ensuite ce qui reste, à parts égales, entre ses quatre petits-enants. a) Combien Marianne recevra-t-elle de Camille ? b) Combien chacun des petits-enants recevra-t-il ? Environnement et consommation Il peut être tentant, lorsqu’on a de l’argent, particulièrement quand on reçoit un montant imprévu, de le dépenser sur-le-champ. Chez certaines personnes, le besoin de dépenser est plus fort que chez d’autres, qui privilégient l’épargne dès que leurs besoins essentiels sont comblés. Comment peux-tu distinguer tes besoins de tes désirs lorsqu’il s’agit de dépenser ?

Entrée en matière

5

En bref 1. Transcris et complète les égalités suivantes. a) 82 = 2

=1

b) 5

2

c)

d) 105 = 10 • 10

=9

2. a) Parmi les expressions algébriques suivantes, lesquelles sont des polynômes ? 1

2

x²

2x

3

2 x+2

4

2(x -1)3

b) Détermine le degré des polynômes identifés en a.

3. Détermine si les égalités suivantes sont vraies ou ausses. b) 2 • 3x = 6x

a) 2 • (-x)2 = 2x2

-

c) (-2)4 = -(2)4

d) 5 2 = -25

4. Pour chacune des expressions suivantes, eectue une simple mise en évidence. a) 2x3 - 0,5x

c) x2 - 3x

b) 200xy - x

5. Résous les équations suivantes. a) a2 = 16

b) 3a3 = 192

c) a • 32 = -12

d) 32 = 2a

6. Voici quelques couples de la onction g. x

3

4

5

6

g(x)

17

19

21

23

a) De quel type de onction s’agit-il ? Justife ta réponse. b) Détermine la règle de la onction g.

7. Soit la onction afne f représentée en rouge dans le plan cartésien ci-contre. a) Détermine la règle de la onction f. b) Quelle droite représente la réciproque de f ?

y c a f 1 x

1

b

6

Chapitre 5

L’étude des onctions

La modélisation de situations à l’aide de fonctions Épargne à la carte

Section

1

Situation de communication

Le rôle des institutions fnancières s’est beaucoup transormé depuis la ondation de la première banque, en 1151, en Italie. Autreois utilisées en guise de « core-ort », les institutions fnancières ournissent aujourd’hui de nombreux services de gestion. Une institution fnancière a mis à l’essai un programme particulier de transert automatisé : chaque ois que les clients eectuent un achat avec leur carte de débit, l’institution fnancière arrondit le montant de l’achat au multiple de 2 $ supérieur. Elle débite ensuite ce montant du compte et dépose l’excédent, s’il y a lieu, dans un compte d’épargne appartenant aux clients. Afn de publiciser ce programme auprès de sa clientèle, l’institution fnancière te demande de produire une afche à placarder dans ses succursales. Propose une afche qui contient minimalement les éléments suivants. – Un graphique illustrant le montant d’argent déposé dans le compte d’épargne selon le montant de l’achat – Deux exemples d’achats ainsi que les montants déposés dans le compte d’épargne à la suite de ces achats – Une projection de l’épargne qu’il est possible de réaliser sur une certaine période

Environnement et consommation Une bonne stratégie d’épargne consiste à eectuer des dépôts périodiquement, aussi petits soient-ils. Pour aciliter l’adoption de cette stratégie par leur clientèle, les institutions fnancières ont mis en place plusieurs programmes. Par exemple, un montant peut être automatiquement transéré du compte courant à un compte réservé à l’épargne à une réquence déterminée par la personne qui détient le compte. Selon toi, pourquoi est-il avantageux pour les institutions fnancières que leur clientèle adopte de bonnes stratégies d’épargne ? Crois-tu qu’il est important d’avoir des comptes distincts pour l’épargne et pour les opérations courantes ?

Section 1

La modélisation de situations à l’aide de onctions

7

ACTIVITÉ d’exploration

1

Représentation d’une situation : table de valeurs et graphique

Des modèles fonctionnels Dans les derniers jours du mois d’avril, suppose qu’on observe les phénomènes suivants. 1

Les nénuphars d’un lac prolièrent. Chaque jour, les nénuphars recouvrent une surace deux ois plus grande que celle qu’ils recouvraient la veille. Le 20 avril, ils recouvraient 1 % de la surace du lac. Le 21 avril, ils en recouvrent 2 %.

2

La température d’une ville augmente. Chaque jour, elle augmente de la moitié d’un degré Celsius. Le 20 avril, il aisait 1 °C. Le 21 avril, il ait 1,5 °C.

3

Dans un parc, la surace de pelouse qui redevient visible à mesure que la neige ond croît. Le 20 avril, on ne pouvait pas voir de pelouse du tout. Le 21 avril, on voit 1 m2 de pelouse. Le 22 avril, on voit 4 m2 de pelouse. Ainsi, la surace de pelouse visible augmente chaque jour de 2 m2 de plus que l’augmentation de la veille.

A

Quelle est la variable indépendante de chacune de ces situations ?

B

Le 23 avril : quel pourcentage de la surace du lac sera recouverte de nénuphars ? 2) quelle sera la température extérieure de la ville ? 3) quelle sera l’aire de la surace de pelouse visible dans le parc ? 1)

C

Quelle situation peut-on modéliser à l’aide d’une onction afne ? Justife ta réponse.

D

Reproduis et complète les tables de valeurs suivantes. 1)

2)

3)

8

Chapitre 5

Nombre de jours écoulés depuis le 20 avril

0

1

Surface du lac recouverte de nénuphars (%)

1

2

Nombre de jours écoulés depuis le 20 avril

0

1

Température (°C)

1

1,5

Nombre de jours écoulés depuis le 20 avril

0

Surface de pelouse visible dans le parc (m2)

0

L’étude des onctions

2

3

4

5

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

4

E

Quelle régularité observes-tu dans chacune des tables de valeurs complétées en D ?

F

Représente les trois situations décrites en D dans un plan cartésien.

G

Nomme une caractéristique de chaque courbe tracée en F qui la distingue des autres.

H

Comment la caractéristique décrite en G se manieste-t-elle : 1) dans la description de la situation ? 2)

I

dans la table de valeurs ?

Quelle situation peut-on modéliser à l’aide : 1) d’une fonction quadratique ? 2) d’une fonction exponentielle ?

Fonction quadratique Fonction polynomiale de degré 2 à une variable. Exemple : f(x) = 3x2

Voici trois situations. 1

On s’intéresse à la hauteur, par rapport au sol, de la valve de gonfement du pneu avant d’une bicyclette qui roule à vitesse constante, selon le temps de parcours.

2

On s’intéresse à la proondeur des rainures de pneus selon la distance parcourue par une voiture de course. On remplace les pneus tous les 10 tours de piste.

3

On s’intéresse au niveau d’humidité du terreau d’une plante entre les arrosages réguliers.

J

Pourquoi les onctions quadratique ou exponentielle ne sont-elles pas utiles pour modéliser ces situations ?

Fonction exponentielle Fonction dont la variable indépendante est en exposant. La base est un nombre réel positi diérent de 1. Exemple : f(x) = 2x

Section 1

Activité d’exploration 1

9

K 1)

Les graphiques ci-dessous représentent des fonctions périodiques. Associe chacune des situations de la page précédente au graphique correspondant. 2)

f(x)

3)

g(x)

x

h(x)

x

x

Fonction périodique

L

Fonction dont la représentation graphique est composée d’un cycle qui se répète plusieurs ois.

M Trouve une autre situation qui pourrait être modélisée à l’aide d’une onction périodique et trace une esquisse du graphique de cette onction.

Quelle est la diérence entre les graphiques présentés en K et ceux que tu as tracés en F ?

Ai-je bien compris ? 1. Décris une situation qu’on peut modéliser par une onction : a) afne ; b) exponentielle ; c) quadratique ; d) périodique. 2. a) Associe chacune des tables de valeurs suivantes au type de onction approprié. 1)

A

x

f(x)

0

2)

x

g(x)

0

0

1

4

2 3

3)

x

h(x)

2

0

0

1

4

1

2

8

2

8

2

8

12

3

16

3

18

Fonction afne

B

Fonction quadratique

C

Fonction exponentielle

b) Représente graphiquement chaque onction. 10

Chapitre 5

L’étude des onctions

ACTIVITÉ D’exploration

Du ghqu u éés Voici les représentations graphiques de quatre fonctions. 1

3

f1(x)

2

B

C

• Propriétés d’une fonction exponentielle • Comparaison de représentations graphiques

x

4

f2(x)

f4(x)

x

A

• Propriétés d’une fonction quadratique

f3(x)

x

2

x

Quelles courbes représentent : a) une fonction exponentielle ?

b) une fonction quadratique ?

Associe chacune des propriétés suivantes à une des fonctions représentées ci-dessus. A

Mon image est ]0, +∞[.

C

Je suis strictement négative pour x r.

B

Mon image est [0, +∞[.

D

Je suis décroissante pour x ∈ [0, +∞[.

Toutes les propriétés des fonctions 2 et 3 sont différentes, sauf une. Laquelle ?

Section 1

Activité d’exploration 2

11

Asymptote Droite vers laquelle les points d’une courbe se rapprochent sans la toucher.

D

Quelle est l’asymptote des fonctions f1 et f3 ?

E

Compare le signe des fonctions suivantes. 1) f1 et f2 2) f3 et f4

F

Quelle fonction possède : 1) un maximum ?

2)

un minimum ?

Les fonctions f2 et f4 sont représentées par des courbes symétriques appelées « paraboles ».

Sommet

G

Quel est l’axe de symétrie des paraboles associées aux fonctions f2 et f4 ?

H

Quelles sont les coordonnées du sommet des paraboles associées aux fonctions f2 et f4 ?

Point de la parabole situé sur l’axe de symétrie de celle-ci.

Ai-je bien compris ? Pour chacune des fonctions représentées ci-dessous, détermine le domaine, l’image, l’ordonnée à l’origine, l’abscisse à l’origine et les extremums, et fais l’étude du signe et de la variation. a)

b)

f(x)

g(x) 1 1

1 1

12

Chapitre 5

L’étude des fonctions

x

x

ACTIVITÉ D’EXPLORATION

Quelques tours de grande roue

Le graphique ci-contre représente la hauteur par rapport au sol de la 42e nacelle en fonction du temps écoulé depuis que tous les passagers ont pris place dans leur nacelle.

Hauteur (m)

La grande roue SkyWheel est située à Niagara Falls, en Ontario. Cette grande roue a un diamètre de 53 m et compte 42 nacelles. Une fois que tous les passagers ont pris place dans la grande roue, celle-ci tourne pendant dix minutes, puis s’arrête. Au cours de cette période de dix minutes, une nacelle fait cinq tours complets.

3

Propriétés d’une fonction périodique

Le SkyWheel 55 50 45 40

A

Dans ce contexte, à quoi correspond l’ordonnée à l’origine de la fonction ? Quelle est-elle ?

35 30 25 20

B

Pourquoi la fonction qui modélise la situation ne possède-t-elle pas de zéros ?

15 10 5 0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 Temps (min)

C

Quel est le domaine de la fonction ? Dans ce contexte, à quoi correspond-il ?

D

À quels moments la 42e nacelle se trouve-t-elle : a) à 2 m du sol ? b) à 55 m du sol ?

E

Combien de temps faut-il pour effectuer un tour complet si le chronométrage débute au moment où la nacelle se situe : a) à 2 m du sol ? b) à 55 m du sol ? c) à 30 m du sol ?

F

Dans ce contexte, à quoi correspond la période de la fonction ?

G

Dans ce contexte, à quoi correspondent les intervalles de croissance ? Énumère-les en utilisant le symbole d’union.

Période Différence entre les abscisses des couples marquant le début et la fin d’un cycle d’une fonction périodique.

Section 1

Activité d’exploration 3

13

Temps (min)

Voici la représentation graphique de la relation réciproque : le temps écoulé selon la hauteur de la nacelle. Le SkyWheel

H

Dans tes mots, décris cette relation. Dans ce contexte, à quoi correspondent les couples (55, 1), (55, 3) et (55, 5) ?

I

Cette relation est-elle une onction ? Justife ta réponse.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Hauteur (m)

Ai-je bien compris ? Faire l’analyse d’une onction consiste à décrire ses propriétés.

1. Indique la période et ais l’analyse des onctions périodiques suivantes. b)

a)

g(x) f(x)

1 x

1

1 3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

−

x

2. Lequel des graphiques ci-dessous peut représenter la relation réciproque d’une onction périodique ? 1

2

y

y

5 4 3

1

2

1

1 0

14

Chapitre 5

L’étude des onctions

1

2

3

4

5

6

x

x

Faire le point La représentation d’une situation à l’aide d’une table de valeurs ou d’un graphique Les fonctions quadratique, exponentielle et périodique permettent de modéliser une grande variété de situations. Le tableau suivant montre la modélisation de trois situations à l’aide des trois types de fonctions. Situation 2

Situation 3

L’aire d’un rectangle dont la hauteur mesure le double de la base

Le nombre de bactéries sur une surface si ce nombre double chaque heure

La partie décimale d’un nombre réel

Fonction quadratique

Fonction exponentielle

Fonction périodique

Modèle retenu

Base (cm)

Aire (cm2)

0

0

1

Représentation à l’aide d’une table de valeurs

Temps (h)

Nombre de bactéries

0

1

1

2

2

4

3

8

4

16

5

32

6

64

2

2

8

3

18

4

32

5

50

6

72

Le nombre de bactéries

Représentation à l’aide d’un graphique

Nombre de bactéries

Aire (cm2)

L’aire d’un rectangle 90 80 70 60 50 40

90 80 70 60 50 40

30

30

20

20

10

10

0

1

2

3

4

5 6 7 Base (cm)

0

Nombre

Partie décimale

0,53

0,53

0,79

0,79

1,12

0,12

1,14

0,14

1,56

0,56

1,78

0,78

2,07

0,07

2,56

0,56

La partie décimale d’un nombre Partie décimale

Situation à modéliser

Situation 1

1 0,8 0,6 0,4 0,2

1

2

3

4

5 6 7 Temps (h)

0

1

2

3

4 Nombre

Remarque: La table de valeurs est moins utile pour représenter un modèle périodique, à moins qu’elle ne contienne un très grand nombre de valeurs.

Section 1

Faire le point

15

Les propriétés des fonctions La fonction quadratique f(x)

La représentation graphique d’une fonction quadratique s’appelle une « parabole ». La parabole possède un sommet situé sur son axe de symétrie. L’orientation et l’ouverture de la parabole varient selon la situation modélisée par la fonction quadratique.

Axe de symétrie Sommet

Parabole 2 x

1

Le tableau suivant décrit les propriétés d’une fonction quadratique représentée par une parabole ouverte vers le haut et dont le sommet est (0, 0). Domaine

Image

r

[0, +∞[

Abscisse à l’origine (ou zéro) L’abscisse à l’origine de la fonction est 0.

Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) L’ordonnée à l’origine de la fonction est 0.

Axe de symétrie

Signe

Extremums

Variation

La fonction est positive sur tout son domaine.

La fonction n’a pas de maximum. Le minimum de la fonction est 0.

La fonction est croissante pour x ∈ [0, +∞[. La fonction est décroissante pour x ∈ ]-∞, 0].

L’axe de symétrie est l’axe des ordonnées.

Remarque : Lorsque le contexte exige que l’on restreigne le domaine à des valeurs positives, la représentation graphique est une demi-parabole.

La fonction exponentielle La représentation graphique d’une fonction exponentielle est une courbe qui possède une asymptote, c’est-à-dire une droite vers laquelle les points d’une courbe se rapprochent sans la toucher. L’allure de la courbe varie selon la situation modélisée par la fonction.

f(x)

1 1

Domaine

Image

r

]0, +∞[

x

Le tableau suivant décrit les propriétés d’une fonction exponentielle dont l’asymptote est l’axe des abscisses.

Abscisse à l’origine (ou zéro)

Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale)

La fonction n’a pas d’abscisse à l’origine.

L’ordonnée à l’origine de la fonction est 2.

Signe La fonction est strictement positive sur tout son domaine.

Extremums La fonction n’a pas de maximum ni de minimum.

Variation La fonction est strictement croissante sur tout son domaine.

Remarque : Lorsque l’asymptote d’une fonction exponentielle est l’axe des abscisses, la fonction ne possède pas de zéros. Par conséquent, la fonction est soit strictement positive, soit strictement négative.

16

Chapitre 5

L’étude des fonctions

La fonction périodique

f(x)

La onction périodique est utilisée pour modéliser des phénomènes cycliques comme les marées, le mouvement d’un pendule ou les battements cardiaques. La période est défnie comme l’étendue d’un cycle de la onction.

Un cycle

Exemple : La période de la onction représentée dans le plan cartésien ci-contre est 4.

1 1

3

7

x

Le tableau suivant montre la représentation graphique et décrit les propriétés d’une onction périodique. f(x)

Un cycle

1

Représentation graphique

1

x

Domaine

[-3, 5]

Image

[-3, 3]

Abscisse à l’origine (ou zéro)

Les abscisses à l’origine de la onction sont {-2, 0, 2, 4}.

Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale)

L’ordonnée à l’origine de la onction est 0.

Signe

La onction est positive pour x ∈ [-3, -2] ∪ [0, 2] ∪ [4, 5]. La onction est négative pour x ∈ [-2, 0] ∪ [2, 4].

Extremums

Le minimum de la onction est -3. Le maximum de la onction est 3.

Variation

La onction est strictement croissante pour x ∈ [-1, 1] ∪ [3, 5]. La onction est strictement décroissante pour x ∈ [-3, -1] ∪ [1, 3].

Remarque : La relation réciproque d’une onction périodique n’est pas une onction.

Section 1

Faire le point

17

Mise en pratique 1. Voici trois situations pouvant être modélisées par une onction exponentielle, quadratique ou périodique. 1

On laisse tomber une balle d’un édifce de 10 m de hauteur. Chaque ois qu’elle touche le sol, la balle rebondit à 60 % de la hauteur du rebond précédent. On s’intéresse à sa hauteur selon le nombre de bonds.

2

On s’intéresse à l’aire d’un disque en onction de son diamètre.

3

On s’intéresse à l’angle que orme l’aiguille des heures d’une montre avec la position de l’aiguille lorsqu’elle pointe midi, selon le temps, sur une période de 48 heures.

a) Construis une table de valeurs avec au moins cinq couples pour chaque situation. b) Représente graphiquement chaque situation. c) Quel type de onction permet de modéliser chacune des situations ? d) Dans quel cas la description de la situation a-t-elle été plus utile que la table de valeurs pour la représenter graphiquement ? Justife ta réponse.

2. a) Associe chacune des situations suivantes à la table de valeurs qui peut la représenter. Explique ton raisonnement. 1)

A

Durée du placement (années)

On s’intéresse au solde d’un compte bancaire à intérêt fxe pour lequel l’intérêt est calculé à partir du solde initial et déposé dans le compte.

B

2)

On s’intéresse au solde d’un compte bancaire à intérêt fxe pour lequel l’intérêt est calculé à partir du solde de l’année précédente et déposé dans le compte. C

Solde ($)

Durée du placement (années)

Solde ($)

Durée du placement (années)

Solde ($)

0

100,00

0

100,00

0

100,00

1

103,25

1

103,25

1

103,25

2

109,75

2

106,61

2

106,50

3

116,25

3

110,07

3

109,75

b) Quel type de onction permet de modéliser les situations 1 et 2 ?

18

Chapitre 5

L’étude des onctions

3. Représente graphiquement les onctions suivantes. Détermine ensuite s‘il s’agit d’une onction quadratique ou exponentielle. a)

x

0

1

2

3

f(x)

0

5

20

45

x

0

1

2

3

g(x)

4

12

36

108

b)

c)

d)

x

0

1

2

3

h(x)

0

0,5

2

4,5

x

0

1

2

3

i(x)

-1

-2

-4

-8

4. a) Associe les graphiques suivants à la situation qu’ils représentent. 1)

2)

f(x)

g(x)

x

x

A

On s’intéresse à la valeur d’une voiture neuve en onction du nombre d’années écoulées depuis son achat.

B

On s’intéresse au périmètre d’un carré en onction de la mesure de son côté.

C

On s’intéresse à la hauteur de la tête, par rapport au sol, d’une personne qui ait des redressements assis.

b) Quel modèle (quadratique, linéaire, périodique ou exponentiel) peut-on associer aux situations A , B et C ? Justife ta réponse.

5. Voici trois tables de valeurs. a)

x

f(x)

1

-0,5

2

-2

3

-4,5

4

-8

b)

x

g(x)

1

c)

x

h(x)

1 2

1

1 4

2

1 4

2

1

3

1 8

3

9 4

4

1 16

4

4

Quel modèle, parmi les modèles quadratique et exponentiel, peut-on associer aux tables de valeurs ci-dessus ? Utilise un graphique au besoin.

Section 1

Mise en pratique

19

6. Voici une table de valeurs qui contient certains couples d’une fonction périodique. x

1

2

3

4

5

6

7

8

f(x)

4

5

4

5

4

5

4

5

a) Trace le graphique de deux fonctions périodiques différentes à partir de cette table de valeurs. b) Combien de fonctions périodiques différentes peut-on tracer à partir de cette table de valeurs ?

7. Fais l’analyse des fonctions représentées ci-dessous. a)

b)

f(x)

g(x) 1 1

1 1

x

x

8. Trace le graphique d’une fonction exponentielle qui possède les propriétés suivantes. a)

– La fonction strictement – La fonction strictement

f est décroissante. f est positive.

b)

– L’image de la fonction g est ]-∞, 0[. – L’ordonnée à l’origine de la fonction g est -4.

9. Quelles sont les propriétés communes à chaque famille de fonctions À l’aide d’un traceur de courbes, il est possible de représenter graphiquement une famille de fonctions. Pour en savoir plus, consulte la page 228 de ce manuel.

représentée dans les plans cartésiens ci-dessous ? a)

b) y

1

1 1

20

Chapitre 5

L’étude des fonctions

y

x

1

x

10. Indique si chacun des graphiques suivants représente une fonction périodique. Si oui, indique sa période. a)

c)

f(x)

h(x) 7 6 5

1

4 3

x

2

2 1 0

b)

1

d) g(x) 7

2

3

4

5

6

7

8

x

i(x)

6 5 4 3

1

2 1 0

x

1 2

4

6

8

10

12

x

11. Vrai ou faux ? Lorsque l’énoncé est faux, donne un contre-exemple. a) Une fonction périodique possède toujours des abscisses à l’origine. b) Une fonction périodique possède toujours des intervalles de croissance et des intervalles de décroissance. c) Une fonction périodique dont le domaine est r possède toujours une ordonnée à l’origine.

12. Représente graphiquement une fonction périodique qui possède les propriétés suivantes.

– La fonction f est toujours positive. – Sa période est 6. – Son domaine est r. – La fonction f est parfois croissante, parfois décroissante.

Section 1

Mise en pratique

21

13. Simone plie en deux une euille carrée ayant une aire de 100 cm2 en prenant bien soin d’aligner les coins de la euille. Elle plie ensuite la euille de la même açon une deuxième ois, puis une troisième ois, une quatrième ois, et ainsi de suite. Elle s’intéresse à deux onctions. 1

L’aire de la surace visible de la euille en onction du nombre de plis

2

Le nombre de couches en onction du nombre de plis

a) Construis une table de valeurs avec au moins cinq couples pour chaque onction. b) Représente ces onctions dans le même plan cartésien et détermine de quel type de onction il s’agit.

14. Le graphique ci-contre représente la quantité d’antibiotique

Quantité (mg)

La quantité d’antibiotique dans le sang

présente dans le sang d’une personne malade, en milligrammes, en onction du temps écoulé, en heures, depuis l’ingestion de la première dose d’antibiotique. a) Quel type de onction modélise cette situation ? b) Dans ce contexte, à quoi correspond l’ordonnée à l’origine de la onction ? c) S’il aut administrer une nouvelle dose d’antibiotique avant que la quantité d’antibiotique présente dans le sang soit inérieure à 1,5 mg, devrait-on le aire toutes les 8 heures, toutes les 12 heures ou toutes les 24 heures ? Justife ta réponse.

18 15 12 9 6 3 0

5

10 15 20 25 30 35 Temps (h)

15. La ville de Ferryland est située sur la côte est de la péninsule d’Avalon, dans

Niveau de l’eau (m)

la province de Terre-Neuve-et-Labrador. Le graphique ci-dessous représente le niveau de l’eau dans le port de Ferryland en onction du temps écoulé depuis minuit. Les marées à Ferryland 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Temps écoulé depuis minuit (h)

22

Chapitre 5

L’étude des onctions

a) Quelle est la hauteur maximale de l’eau dans le port de Ferryland ? b) Dans ce contexte, à quoi correspond la période de la onction ? c) Dans ce contexte, à quoi correspondent les intervalles de croissance et de décroissance de la onction ?

La fonction exponentielle et la fonction quadratique Achetez maintenant, payez plus tard

Section

2

Situation d’application

De plus en plus de gens utilisent diverses formes de crédit à la consommation (cartes de crédit, prêts personnels, paiements différés, etc.) pour se procurer des biens. Certains paient le montant dû aux échéances prescrites, mais d’autres accumulent les intérêts et se retrouvent ensuite avec une dette substantielle à rembourser.

Dans le plan cartésien ci-contre, on a représenté la fonction exponentielle, dont la règle est de la forme f(x) = abx, qui modélise l’évolution de la dette moyenne liée au crédit à la consommation selon le temps. En supposant que la tendance observée depuis 2000 se maintienne pour les années suivantes, estime le montant de la dette moyenne liée au crédit à la consommation par adulte canadien en 2012.

Dette moyenne par adulte ($)

Entre 2000 et 2007, on a observé une progression exponentielle de la dette moyenne liée au crédit à la consommation chez la population adulte canadienne. Le crédit à la consommation au Canada 14 000

12 000

(5, 11608)

10 000

8 000 0

(3, 9952)

(0, 7900) 1

2

3 4 5 6 7 Années écoulées depuis 2000

Adapté de : Statistique Canada, 2008.

Environnement et consommation Au Canada, les adolescents dépensent quelque 30 milliards de dollars par année. L’industrie de la publicité, les commerçants et les institutions fnancières contribuent à cette réalité. En eet, les publicités s’adressent de plus en plus aux jeunes, les commerçants leur orent des produits conçus pour combler leurs désirs et les institutions fnancières leur acilitent maintenant l’accès au crédit. Selon toi, pourquoi certaines institutions fnancières orent-elles des cartes de crédit aux adolescents qui terminent leurs études ? Dans quelles situations l’utilisation de la carte de crédit s’avère-t-elle justifée ? injustifée ?

Section 2

La fonction exponentielle et la fonction quadratique

23

ACTIVITÉ d’exploration

1

Plus ça va, moins ça vaut Certains objets se déprécient, c’est-à-dire qu’ils perdent de leur valeur au fl du temps. Voici l’évolution possible de la valeur d’un ordinateur, d’un rérigérateur et d’une voiture selon le nombre d’années écoulées depuis leur achat.

• Fonction exponentielle : règle de la forme f(x) = abx • Réciproque

Ordinateur

• Recherche de la règle

Réfrigérateur

Voiture

Nombre d’années écoulées depuis l’achat

Valeur ($)

Nombre d’années écoulées depuis l’achat

Valeur ($)

Nombre d’années écoulées depuis l’achat

Valeur ($)

0

1 000

0

1 000

1

16 000

1

800

1

900

2

12 800

2

600

2

810

3

10 240

3

400

3

729

4

8 192

A

Quelle régularité observes-tu dans la valeur de l’ordinateur année après année ?

B

Quel type de onction permet de modéliser la valeur de l’ordinateur selon le temps ? Quelle est la règle de cette onction ?

C

Le type de onction trouvé en B permet-il de modéliser la valeur du rérigérateur ou de la voiture en onction du temps ? Justife ta réponse.

Voici la régularité que Simon a observée à partir des diérentes valeurs du rérigérateur au fl du temps. 900 = 810 = 729 = 0,9 1000 900 810

24

Chapitre 5

D

Comment Simon a-t-il procédé ?

E

Utilise le rapport calculé par Simon pour déterminer la valeur du rérigérateur : 1) 4 ans après son achat ; 2) 10 ans après son achat.

L’étude des onctions

L’évolution de la valeur du rérigérateur peut être modélisée à l’aide d’une onction exponentielle dont la règle est de la orme f(x) = abx. F

Que représente 0,9 dans ce contexte ? Cette valeur correspond-elle au paramètre a ou b de la règle ?

G

Comment peut-on déterminer la valeur de l’autre paramètre ? Dans ce contexte, à quoi correspond-il ?

H

Quelle est la règle de la onction exponentielle qui modélise l’évolution de la valeur : 1) du rérigérateur ? 2) de la voiture ?

I

Représente graphiquement la onction qui modélise la valeur de la voiture en onction du temps.

J

Combien d’années après son achat la voiture vaudra-t-elle moins de 3 000 $ ?

K

Est-ce que la voiture ou le rérigérateur vaudront un jour 0 $ ? Justife ta réponse. Environnement et consommation

L’ore de nouveaux produits électroniques, toujours plus petits et plus perormants, ne semble pas connaître de limite. Ce phénomène incite un grand nombre de consommateurs à changer d’ordinateur, de téléviseur ou de téléphone cellulaire régulièrement, même si ceux qu’ils possèdent ne sont pas déectueux. À l’heure actuelle, plusieurs pays industrialisés ne savent plus comment gérer le nombre grandissant de déchets électroniques qui s’accumulent sur leur territoire. Une grande quantité de ces déchets sont d’ailleurs exportés illégalement en Asie, où ils sont démantelés afn d’en récupérer les métaux. Ces travaux de récupération provoquent l’émission de substances toxiques dans l’atmosphère et dans les cours d’eau. Selon toi, quelles mesures pourraient être mises en place pour empêcher l’exportation illégale de déchets électroniques ? Comment pourrait-on inciter les consommateurs à limiter leurs achats de nouveaux produits électroniques ?

Ai-je bien compris ? Voici les tables de valeurs de deux onctions exponentielles. 1

x

0

1

2

3

g(x)

64

16

4

1

2

x

1

2

3

4

h(x)

1

3

9

27

a) Représente graphiquement ces deux onctions. b) Détermine la règle de chacune de ces onctions. c) La réciproque de ces onctions est-elle une onction ? Vérife ta réponse en représentant la réciproque dans le même plan cartésien qu’en a. Section 2

Activité d’exploration 1

25

ACTIVITÉ d’exPlorAtion

2

F à mps Des citoyens orment un comité afn de aire abaisser la limite de vitesse dans les rues résidentielles de leur arrondissement. Présentement, cette limite est fxée à 50 km/h ; les citoyens voudraient la voir réduite d’au moins 10 km/h.

• Fonction quadratique : règle de la forme f(x) = ax2 • Relation réciproque • Recherche de la règle

Fait divers La distance parcourue entre le moment où l’automobiliste appuie sur le rein et le moment où le véhicule s’immobilise complètement s’appelle la « distance de reinage ». Plusieurs acteurs infuent sur cette distance : le type de véhicule, sa vitesse avant le reinage, sa masse, l’usure des reins, l’usure des pneus, l’état de la chaussée (sèche, couverte d’eau, de neige, de glace), etc.

Après avoir eectué des recherches sur la distance de reinage, le comité en ait son principal argument. La distance de reinage dépend de plusieurs acteurs, le plus important étant la vitesse. La table de valeurs ci-contre présente quelques données sur la distance de reinage d’un véhicule qui roule sur une chaussée sèche en onction de sa vitesse. A

La distance de reinage en onction de la vitesse peut-elle être modélisée :

Vitesse (km/h)

Distance de freinage (m)

30

5,40

35

7,35

40

9,60

45

12,15

50

15,00

à l’aide d’une onction afne ? Justife ta réponse. 2) à l’aide d’une onction exponentielle ? Justife ta réponse. 1)

B

Représente les couples de la table de valeurs dans un plan cartésien et trace la courbe qui relie les points.

C

À l’aide du contexte, explique pourquoi la courbe tracée en B doit passer par l’origine.

D

À partir de ton graphique, estime la distance de reinage qui correspond à une vitesse de 60 km/h.

La distance de reinage d’un véhicule en onction de sa vitesse peut être modélisée par une onction quadratique dont la règle est de la orme f(x) = ax2.

26

Chapitre 5

E

Quelle est la valeur du paramètre a de la règle qui modélise la distance de reinage ?

F

Calcule f(1). Explique ensuite pourquoi f(1) = a.

L’étude des onctions

G

Selon ce modèle, quelle est la distance de freinage d’un véhicule qui roule à 100 km/h ?

Un des membres du comité est policier. Il lui arrive de devoir déterminer, à partir des marques de pneus sur la chaussée, la vitesse à laquelle se déplaçait un véhicule au moment où la conductrice ou le conducteur a appuyé sur le frein. Il explique aux autres membres du comité que, lorsque la chaussée est mouillée, il utilise la règle f(x) = 0,012x2, où x représente la vitesse de la voiture. H

Sur une chaussée mouillée, quelle est la distance de freinage d’un véhicule qui roule à 40 km/h ?

I

Compare ta réponse en H avec la distance de freinage d’un véhicule sur une chaussée sèche donnée dans le tableau de la page précédente. Que remarques-tu ?

J

Représente graphiquement la vitesse en fonction de la distance de freinage sur une chaussée mouillée.

K

Détermine la vitesse d’un véhicule dont la distance de freinage est de 20 m : 1) à partir du graphique tracé en J ; 2) à partir de la règle de la fonction quadratique qui modélise la distance de freinage sur une chaussée mouillée.

Ai-je bien compris ? 1. Détermine la règle des fonctions quadratiques représentées ci-dessous. a)

b)

f(x)

g(x) 1 1

x

1 x

1

2. Voici les tables de valeurs de trois fonctions quadratiques. 1

x

1

2

3

f(x)

8

32

72

2

x

-4

g(x) 160

-3

-2

90

40

3

x

5

7

14

h(x)

-12,5

-24,5

-98

a) Détermine la règle de ces fonctions. b) Calcule f(6), g(6) et la valeur de x pour laquelle h(x) vaut -72. Section 2

Activité d’exploration 2

27

Faire le point La fonction exponentielle : règle de la forme f(x) = abx La onction exponentielle est une onction dont la variable indépendante se trouve en exposant dans la règle qui la décrit. La représentation graphique d’une onction exponentielle dont la règle est de la orme f(x) = abx est une courbe dont l’asymptote est l’axe des abscisses. Le paramètre a de la règle est l’ordonnée à l’origine (ou la valeur initiale) de la onction exponentielle. La valeur de a ne doit pas être égale à 0. Le paramètre b de la règle est la base de la onction exponentielle. La valeur de b doit être plus grande que 0, sans être égale à 1. Exemples : – f(x) = 2x est la règle d’une onction exponentielle dont la valeur initiale est 1 et dont la base est 2. – g(x) = -2(1,3)x est la règle d’une onction exponentielle dont la valeur initiale est -2 et dont la base est 1,3.

La réciproque de la fonction exponentielle La réciproque d’une onction exponentielle est une onction. On peut le vérifer à l’aide d’une représentation graphique. y

Fonction f

1 1

x

Réciproque de f

Remarque : Les représentations graphiques d’une onction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la bissectrice du premier quadrant.

28

Chapitre 5

L’étude des onctions

La recherche de la règle Il est possible de déterminer la règle d’une fonction exponentielle à partir d’une table de valeurs. +1

+1

+1

+1

+1

x

−1

0

1

2

3

4

f(x)

2,5

5

10

20

40

80

2

2

2

2

2

Voici les étapes à suivre pour déterminer la règle de cette fonction. Étape 1. Déterminer le rapport

f(x + 1) f(x)

Exemple à l’aide des couples

de la table de valeurs. Le rapport correspond à la base b de la fonction exponentielle.

f(0) f(1) f(4) = =…= − f( 1) f(0) f(3) 5 = 10 = … = 80 = 2 40 2,5 5 b=2

2. Remplacer la base b par la valeur déterminée à l’étape 1 dans la règle f(x) = abx.

f(x) = a(2)x

3. Substituer les coordonnées d’un couple de la table de valeurs à x et à f(x) dans la règle.

(3, 40) 40 = a(2)3

4. Résoudre l’équation afin de déterminer la valeur de a.

40 = 40 = a = 5 8 23

5. Écrire la règle sous la forme f(x) = abx avec les valeurs de a et de b déterminées précédemment.

f(x) = 5(2)x

Pièges et astuces La règle f(x) = 5(2)x n’est pas équivalente à la règle f(x) = 10x puisque l’exponentiation est prioritaire sur la multiplication.

Remarque : Cette procédure est également utile lorsqu’on dispose de la représentation graphique d’une fonction exponentielle dont on connaît les points de coordonnées (x, f(x)) et (x + 1, f(x + 1)).

La fonction quadratique : règle de la forme f(x) = ax2 La fonction quadratique, appelée aussi « fonction polynomiale de degré 2 », est une fonction dont la règle est un polynôme de degré 2 à une variable. La représentation graphique d’une fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = ax2 est une parabole dont le sommet est à l’origine du plan cartésien. La valeur du paramètre a ne doit pas être égale à 0. Exemples : – f(x) = 3x2 est la règle d’une fonction quadratique dont la valeur de a est 3. −1 − 2 – g(x) = x est la règle d’une fonction quadratique dont la valeur de a est 2 .

2

Section 2

Faire le point

29

La relation réciproque de la fonction quadratique La relation réciproque d’une onction quadratique n’est pas une onction. On peut le vérifer à l’aide d’une représentation graphique. y

Fonction f

Relation réciproque de f

x

La recherche de la règle Il est possible de déterminer la règle d’une onction quadratique à partir d’une table de valeurs. x

-5

0

5

10

f(x)

12,5

0

12,5

50

Voici les étapes à suivre pour déterminer la règle de cette onction. Pièges et astuces

Étape

Il est possible de connaître directement la valeur du paramètre a de la règle f(x) = ax2 lorsqu’on dispose de f(1), car f(1) = a.

Exemple

1. Substituer les coordonnées d’un point de la table de valeurs à x et à f(x) dans la règle f(x) = ax2.

Point (5, 12,5) 12,5 = a(5)2

2. Résoudre l’équation obtenue à l’étape 1 afn de déterminer la valeur de a.

12,5 12,5 = =a= 1 2 52 25

3. Écrire la règle sous la orme f(x) = ax2 avec la valeur de a déterminée précédemment.

f(x) = 1 x2 2

Remarque : Cette procédure est également utile lorsqu’on dispose de la représentation graphique d’une onction quadratique dont la règle est de la orme f(x) = ax2 et dont on connaît les coordonnées d’un point autre que le sommet.

30

Chapitre 5

L’étude des onctions

Mise en pratique 1. Voici les tables de valeurs de fonctions affines ou exponentielles. Détermine

Pièges et astuces

la règle de chaque fonction. a)

x

g1(x)

0

b)

x

g2(x)

180

8

40

1

540

10

50

2

1 620

12

60

3

4 860

14

70

4

14 580

16

80

c)

x

g3(x)

−2

1 4

−1

1 16

0

1 64

1

1 256

2

1 1024

Si le rapport f(x+1) est constant f(x) dans la table de valeurs, alors f est une fonction exponentielle.

2. La courbe d’une fonction exponentielle dont la règle est de la forme g(x) = abx et dont la base est de 0,2 passe par le point (2, 4). a) Calcule g(4). b) Détermine la valeur de x pour laquelle g(x) = 62 500. c) Représente graphiquement la fonction g.

3. Explique pourquoi la base d’une fonction exponentielle ne doit pas être égale à 1. 4. Voici les tables de valeurs de trois fonctions quadratiques dont la règle est de la forme f(x) = ax2. Détermine la règle de chaque fonction.

a)

x

f1(x)

3

b)

x

f2(x)

54

1

4

96

5

c)

x

f3(x)

−2,5

5

75

2

−10

10

300

150

3

−22,5

15

675

6

216

4

−40

20

1 200

7

294

5

−62,5

25

1 875

5. La courbe d’une fonction quadratique dont la règle

est de la forme f(x) = ax2 passe par le point (4, 8). a) Calcule f(5). b) Détermine les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 128. c) Représente graphiquement la fonction f.

Section 2

Mise en pratique

31

6. En considérant une fonction quadratique dont la règle est de la forme

f(x) = ax2, transcris et complète les énoncés suivants. a) À chaque image de la fonction correspondent exactement valeurs du domaine, sauf à l’origine. b) est l’axe de symétrie de la représentation graphique de cette fonction.

7. a) Représente les fonctions f1, f2, et f3 dans le même plan cartésien. 1)

f1(x) = 1 x

2)

2

f2(x) = 1 x2

(2)x

f3(x) = 1

3)

2

b) Nomme une caractéristique propre à chaque courbe.

8. Pour chaque fonction, calcule la valeur de f(6). a) f1(x) = 1 000(1,5)x b) f2(x) = -50(0,4)x

c) f3(x) = -4x2 d) f4(x) = 0,25x2

9. Détermine la règle des fonctions quadratiques ou exponentielles représentées ci-dessous. a)

c)

f(x)

h(x)

2

1 1

b)

x

d)

g(x)

2

−

1

1

x

1

x

i(x)

x

1

−

10. Voici les règles de trois fonctions. 1

f(x) = -4x2

2

g(x) = -1(4)x

3

Pour chacune de ces fonctions, détermine : a) si le couple (2, -16) appartient à la fonction ; b) la ou les valeurs de x dont l’image est -16.

32

Chapitre 5

L’étude des fonctions

h(x) = 16(0,5)x

11. Le 30 janvier, un champignon recouvrait la moitié de la surface d’une souche d’arbre. On estime que la surface recouverte par le champignon a doublé chaque jour. On s’intéresse à la surface de la souche d’arbre recouverte par le champignon en fonction du nombre de jours depuis le début de l’observation. Quelle est la règle de la fonction qui modélise cette situation si on considère que l’observation a débuté : a) le 28 janvier ? b) le 25 janvier ?

12. Un virus contenu dans 1 000 ordinateurs est programmé pour se déclencher à minuit. À partir de ce moment, chaque ordinateur infecté en infectera 8 autres chaque minute. a) Combien d’ordinateurs seront infectés, en tout, après 3 minutes ? b) À partir de quelle heure y aura-t-il plus d’un million d’ordinateurs infectés par ce virus ?

13. Younes dépose 3 000 $ dans un compte qui rapporte un intérêt annuel de 4 %. Dix ans plus tard, quelle somme d’argent y a-t-il dans son compte ?

14. Voici comment Andrew a procédé pour tracer le graphique de la fonction f(x) = 2(3)x.

f(x)

x

f(x) -

-

1 6

-1

2(3) 1 = 6 1 =

0

2(3)0 = 60 = 1

1

2(3)1 = 61 = 6

2

2(3)2 = 62 = 36

3

2(3)3 = 63 = 216

20 1

x

a) Quelle erreur Andrew a-t-il commise ? b) Trace correctement le graphique de la fonction f.

15. On laisse tomber un ballon d’une hauteur de 16 m. Chaque fois qu’il touche le sol, le ballon rebondit aux 5 de la hauteur du rebond précédent. 8

a) Quelles sont les variables en jeu dans cette situation ? b) À quelle hauteur le ballon rebondit-il après avoir touché le sol la troisième fois ? c) Quel type de fonction modélise cette situation ? d) Quelle est la règle de la fonction qui modélise cette situation ?

Section 2

Mise en pratique

33

16. Voici la représentation graphique d’une

f(x)

onction quadratique. Détermine la règle de la onction quadratique dont la représentation est symétrique à celle de la onction f par rapport à :

2

−

1

x

a) l’axe des abscisses ; b) l’axe des ordonnées.

17. Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples d’une onction. x f(x)

-5

0

2

6

6

54

10

Reproduis et remplis la table de valeurs en considérant que la onction f est une onction : a) afne ; b) quadratique dont la règle est de la orme f(x) = ax2.

18. Les drapeaux des pays du monde se distinguent non seulement par leurs couleurs et leurs motis, mais également par leur rapport largeur : longueur. Ce rapport peut être diérent d’un pays à l’autre, mais il est toujours le même dans les drapeaux réglementaires d’un pays donné. La table de valeurs ci-dessous contient quelques données relatives aux dimensions de drapeaux réglementaires au Canada. Largeur du drapeau (dm)

Aire du drapeau (dm2)

10

200

15

450

20

800

25

1 250

a) Quel est le rapport largeur : longueur d’un drapeau réglementaire au Canada ? b) Quelle est la règle de la onction qui permet de déterminer l’aire d’un drapeau à partir de sa largeur ? c) Quelles sont les dimensions d’un drapeau dont l’aire est de 2 000 dm2 ?

34

Chapitre 5

L’étude des onctions

19. Lorsqu’on se déplace, l’air oppose une résistance. À faible vitesse, cette résistance est presque imperceptible, mais elle se fait plus présente à mesure que la vitesse de déplacement augmente. La table de valeurs ci-dessous présente quelques données relatives à la résistance de l’air, en kilonewtons (kN), selon la vitesse d’une voiture, en kilomètres à l’heure (km/h). Vitesse (km/h) Résistance de l’air (kN)

20

30

40

50

60

1,28

2,88

5,12

8

11,52

a) Représente graphiquement la relation entre la résistance de l’air et la vitesse de la voiture. b) Détermine la règle de la fonction quadratique qui modélise cette situation. c) Calcule la résistance de l’air pour une vitesse de 100 km/h. d) On a calculé qu’à une certaine vitesse, la résistance de l’air est de 20,48 kN. Quelle est cette vitesse ?

Fait divers Une force est une poussée ou une traction appliquée sur un corps et qui peut modier le mouvement de ce corps. Le newton (N), nommé ainsi en hommage à Isaac Newton, un scientique anglais connu pour sa théorie de la gravitation universelle, est l’unité de mesure de la force. La manifestation la plus courante de la force est le poids, c’est-à-dire l’attraction entre la Terre et les objets qui se trouvent à sa surface. Le poids d’une pomme d’une masse de 102 g est d’environ 1 N.

Section 2

Mise en pratique

35

Consolidation 1. Associe chacune des représentations graphiques suivantes au type de onction approprié. a)

c)

g1(x)

g3(x)

1

1 1

b)

x

d)

g2(x)

2

1

x

1 x

1

Fonction afne

x

g4(x)

1

1

1

Fonction quadratique

3

Fonction exponentielle

4

Fonction périodique

2. Associe chacune des tables de valeurs suivantes au type de onction approprié. a)

1

36

Chapitre 5

x

f1(x)

3

x

f2(x)

32

3

4

64

5

c)

x

f3(x)

36

3

4

64

128

5

6

256

7

512

Fonction afne

L’étude des onctions

b)

2

d)

x

f4(x)

1

3

50

4

4

4

65

100

5

1

5

80

6

144

6

4

6

95

7

196

7

1

7

110

Fonction quadratique

3

Fonction exponentielle

4

Fonction périodique

3. Associe chacune des situations suivantes au type de onction approprié. a) b) c) d) 1

Une population de cers augmente de 6 % par année. La température d’un our augmente de 6 °C par minute. L’aire d’une sphère varie en onction de son rayon. L’heure à laquelle le soleil se lève varie en onction du jour de l’année. 2

Fonction afne

Fonction quadratique

3

4

Fonction exponentielle

Fonction périodique

4. Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou aux. Justife ta réponse. a) Une onction périodique peut avoir plusieurs ordonnées à l’origine. b) L’axe de symétrie d’une parabole représentant une onction quadratique peut être horizontal. c) Le graphique d’une onction exponentielle admet toujours une asymptote horizontale.

5. Voici les représentations graphiques d’une onction quadratique, d’une onction exponentielle et d’une onction périodique. 1

2

f(x)

3

g(x)

1

h(x)

1 1

x

1 1

x

x

1

a) Détermine le domaine et l’image de chacune de ces onctions. b) Représente la relation réciproque de chacune de ces onctions dans un plan cartésien. c) Parmi les relations représentées en b, lesquelles sont des onctions ? d) Détermine le domaine et l’image des onctions identifées en c et compare tes réponses avec celles données en a.

6. Fais l’analyse des onctions représentées ci-dessous. a)

b)

f(x)

1

g(x)

c)

1 1

x

h(x)

1 1

x

1

x

Consolidation

37

7. Détermine la règle de la onction quadratique représentée par une parabole dont le sommet est à l’origine et qui passe par le point : a) A(-3, -18) b) B(2, 98) c) C(-5, -80)

8. Voici les tables de valeurs de onctions exponentielles dont la règle est de la orme f(x) = abx. 1

x

f1(x)

2

2

x

f2(x)

180

-7

640

3

540

-

6

320

4

1 620

-5

5

4 860

6

14 580

3

x

f3(x)

0

1 4

160

1

1 2

-4

80

2

1

-3

40

3

2

4

4

a) Détermine la règle de chaque onction. b) Calcule f(10) pour chaque onction. c) Détermine la valeur de x si : f1(x) = 20

1)

2)

9

f2(x) = 1,25

3)

f3(x) = 1

64

9. Représente chacune des onctions suivantes dans un plan cartésien. 2 a) f(x) = x

4

b) g(x) = 3(5)x

c) h(x) = -5(3)x

d) i(x) = -5x2

10. Voici les règles de certaines onctions. 1

2

f(x) = 9x

3

g(x) = 2x

4

5

h(x) = (-7)x

j(x) = 12

7

l(x) = 4x3

k(x) = 2x4

8

m(x) = 8x 1

x

6

i(x) = 3x2

-

Quelles règles ne peuvent pas être celles d’une onction quadratique ni celles d’une onction exponentielle ? Justife tes réponses.

11. Joël a placé quelques couples dans la table de valeurs suivante. x

-2

-1

f(x)

1 16

-1

4

0

1

2

1

-4

16

Puisque les valeurs de f(x) sont tantôt positives, tantôt négatives, Joël conclut que f est une onction périodique. Convaincs-le qu’il n’a pas nécessairement raison.

38

Chapitre 5

L’étude des onctions

12. Hexaèdre régulier a) Quelle est la règle de la fonction quadratique qui met en relation l’aire totale d’un cube avec la mesure de son arête ? b) Calcule, au millimètre près, la longueur de l’arête d’un cube dont l’aire totale est de : 1)

73,5 cm2

2)

337,5 cm2

3)

150,3 dm2

13. Caféine

a) Détermine la règle de la fonction qui modélise cette situation. b) Selon ce modèle, quelle quantité de caféine restera-t-il dans l’organisme d’une personne : 1)

10 heures après l’ingestion d’une tasse de café ?

20 heures après l’ingestion d’une tasse de café ? c) Dans cette situation, à quoi correspond la valeur : 2)

1)

du paramètre a de la règle ?

2)

du paramètre b de la règle ?

La quantité de caféine dans l’organisme Quantité de caféine (mg)

Le graphique ci-contre présente l’évolution de la quantité de caféine présente dans l’organisme d’une personne en fonction du temps écoulé depuis l’ingestion d’une tasse de café.

180 165 150 135 120 105 90 75 60 45 30 15 0

A(4, 108) B(5, 97,2)

1

2

14. L’intérêt de l’intérêt On désire placer de l’argent dans un compte bancaire pour une période d’un an. Vaut-il mieux le placer dans un compte d’épargne qui rapporte 0,5 % d’intérêt chaque mois ou le placer dans un compte d’épargne qui rapporte 6,1 % d’intérêt chaque année ? Compare les deux alternatives à l’aide d’un exemple.

15. Pizzeria Paolo, le propriétaire d’une pizzeria, croit que le prix d’un des formats de pizza qui se trouvent sur le menu ci-contre n’est pas assez élevé par rapport à la taille de la pizza.

3

4

5

6

7 8 9 10 11 Temps écoulé (h)

Le tableur peut servir à calculer le solde de placements selon différents taux d’intérêt. C’est un outil de travail très utile pour manipuler des fonctions exponentielles lorsque la variable indépendante prend des valeurs élevées. Pour en savoir plus, consulte la page 229 de ce manuel.

Propose une correction au menu de Paolo qui ferait en sorte que toutes les pizzas, si elles étaient de même format, se vendraient au même prix.

Format

(diamètre)

Consolidation

Prix

39

16. La loi de la jungle

Date

La table de valeurs ci-contre présente les estimations mensuelles d’un zoologiste sur les populations de renards (prédateurs) et de lièvres (proies) d’une région.

1er janvier

Nombre de renards

Nombre de lièvres

500

1 300

er

700

1 000

er

1 mars

500

700

1er avril

300

1 000

1 évrier

er

1 mai 500 1 300 a) Selon toi, est-il possible er de modéliser l’évolution de 1 juin 700 1 000 chacune de ces populations 1er juillet 500 700 à l’aide d’une onction er 1 août 300 1 000 périodique ? Explique er ta réponse en onction 1 septembre 500 1 300 du contexte. er 1 octobre 700 1 000 b) Représente les données er 1 novembre 500 700 relatives aux populations de 1er décembre 300 1 000 renards et de lièvres dans le même plan cartésien. Trace ensuite chaque courbe de la açon qui te semble la plus réaliste. c) Décris la variation de la population de lièvres et la variation de la population de renards durant les quatre premiers mois de l’étude.

17. L’accroissement des accroissements Voici comment Élaine-Marie a trouvé la règle d’une onction à partir d’une table de valeurs après avoir conclu qu’elle avait aaire à une onction quadratique. À partir de ce que tu peux déduire de la démarche d’Élaine-Marie :

x

f(x)

3

27

4

48

5

75

6

108

108 - 75 = 33

7

147

147 - 108 = 39

48 - 27 = 21

a) détermine si les tables de valeurs ci-dessous peuvent être celles de onctions quadratiques ; b) trouve la règle des onctions quadratiques identifées en a.

27 - 21 = 6

75 - 48 = 27

33 - 27 = 6 39 - 33 = 6

1. C’est une fonction quadratique. 2. La règle de la fonction est y = 3x2.

1

x

2

3

4

5

6

f(x)

28

63

112

175

252

x

3

4

5

6

7

h(x)

40

60

98

142

188

2

40

Chapitre 5

L’étude des onctions

3

4

x

0

1

2

3

4

g(x)

0

3

12

27

48

x

4

5

6

7

8

i(x)

64

100

144

196

256

18. Albert Albert Einstein a ormulé la relation entre la masse et l’énergie, ou E = mc2. Dans cette relation, E représente l’énergie, m représente la masse et c représente la vitesse de la lumière dans le vide, soit environ 299 792 458 m/s. Est-ce que la relation E = mc2 est une onction quadratique de la orme f(x) = ax2 ? Justife ta réponse.

Point de repère Albert Einstein Le physicien allemand Albert Einstein (1879 – 1955) est reconnu principalement pour sa théorie de la relativité, plus spécifiquement l’équivalence de la masse et de l’énergie, exprimée par l’équation E = mc2. Einstein a développé cette équation en 1905, et ce n’est qu’en 2008, soit 103 ans plus tard, qu’une équipe de physiciens français, allemands et hongrois a finalement pu la corroborer.

19. Opération inverse Voici une table de valeurs qui contient des données relatives à la croissance d’une population de bactéries en onction du temps. Cette population croît de açon exponentielle. Nombre de bactéries

2

32

512

8 192

131 072

Temps (heures)

0

2

4

6

8

Voici comment deux élèves ont procédé pour déterminer la règle de la onction exponentielle qui modélise cette situation. Marika 1. La valeur initiale est 2, donc a = 2. 131072

8192

Amélie

1. La valeur initiale est 2, donc a = 2. 131072

512

8192

512

2. 8192 = 512 = 32 = 16

2. 8192 = 512 = 32 = 16

3. Chaque période de deux heures, le nombre de bactéries est multiplié par 16.

3. Chaque période de deux heures, le nombre de bactéries est multiplié par 16.

16

4. La valeur de b est donc 2 = 8.

4. La valeur de b est donc 16 = 4.

5. La règle de la fonction est donc f(x) = 2(8)x, où x est le nombre d’heures.

5. La règle de la fonction est donc f (x) = 2(4)x, où x est le nombre d’heures.

Qui a raison ? Justife ta réponse. Consolidation

41

20. Quelle horloge ! En 1999, la population de la Terre a ranchi le cap des six milliards d’individus. Plusieurs acteurs infuent sur l’augmentation de la population de la Terre, mais pour certaines périodes de temps, il est possible de modéliser son évolution à l’aide d’une onction exponentielle.

Fait divers C’est au cours de l’année 1959 que la population de la Terre aurait franchi le cap des trois milliards d’individus. Plusieurs modèles prévoient que la population de la Terre se stabilisera durant quelques années, qu’elle frôlera le cap des neuf milliards d’individus au milieu du xxie siècle et qu’elle commencera à diminuer par la suite.

Dominic présente aux élèves de son groupe de mathématique un site Web qui permet d’estimer ce qu’a été ou ce que sera la population de la Terre à n’importe quel moment entre le 1er janvier 1900 et le 31 décembre 2099. Il leur demande de recueillir les données aux mêmes dates pour quatre années consécutives, soit pour une période de trois ans, an de vérier si la croissance est exponentielle pour cette période. Voici les données de Michel et de Claude. Michel 19 décembre 1967

Claude

Calculer la population

17 avril 2003

Population humaine

Population humaine

3 579 993 820

6 294 472 719

19 décembre 1968

Calculer la population

17 avril 2004

Population humaine

3 651 518 281

6 370 535 515

Calculer la population

17 avril 2005

Population humaine

3 723 453 008

6 445 890 784

Calculer la population

17 avril 2006

Calculer la population

Population humaine

Population humaine

3 795 972 649

6 520 707 865

Estime la population de la Terre : a) en 1975 ;

b) en 2010.

Explique comment tu as procédé.

L’étude des onctions

Calculer la population

Population humaine

19 décembre 1970

Chapitre 5

Calculer la population

Population humaine

19 décembre 1969

42

Calculer la population

21. L’huile fotte sur l’eau Une petite faque d’huile circulaire ayant un rayon de 1 cm fotte à la surace d’une faque d’eau. On ajoute de l’huile de telle sorte que l’aire de la faque d’huile double chaque seconde. a) Représente graphiquement la relation entre l’aire de la faque d’huile et le temps. b) Quel type de onction peut servir à modéliser cette situation ? Détermine sa règle.

22. Maurice Maurice, un gardien de sécurité, travaille de nuit dans un immeuble à bureaux. Chaque nuit, en plus d’être au poste d’accueil à l’entrée de l’édice, il eectue quatre rondes pour s’assurer que tout est dans l’ordre. Voici un graphique qui représente la distance qui sépare Maurice du poste d’accueil en onction du temps quand il eectue sa première ronde. Distance par rapport au poste d’accueil (m)

La distance qui sépare Maurice du poste d’accueil

20

15

10

5

0

30

60

90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 Temps écoulé depuis le début du quart de travail (min)

a) Reproduis et complète le graphique, sachant que la distance qui sépare Maurice du poste d’accueil peut être modélisée par une onction périodique. b) À quoi correspond la période de la onction dans ce contexte ? Pendant la nuit, Maurice s’assoit au poste d’accueil et à un autre endroit dans l’immeuble. c) À quelle distance du poste d’accueil cet autre endroit se trouve-t-il ?

Consolidation

43

23. Pain moisi Léo est technicien en laboratoire. Il observe la croissance de la surface occupée par la moisissure sur une tranche de pain. Voici la compilation de ses observations. Journées écoulées

0

1

2

3

4

Surface de moisissure (mm2)

5

10

20

40

80

a) Quelle est la règle de la fonction exponentielle qui modélise cette situation ? Pendant les vacances de Léo, sa collègue Béatrice décide d’effectuer l’expérience à son tour à partir de la même tranche de pain. Voici la compilation de ses observations. Journées écoulées Surface de moisissure (mm2)

0

1

2

3

4

320

640

1 280

2 560

5 120

b) Quel paramètre sera différent dans la règle de Béatrice ? Explique ta réponse sans déterminer la règle obtenue par Béatrice.

24. Chute libre Pendant environ les 12 premières secondes de la chute d’une pièce de 1 cent, la distance de chute en fonction du temps peut être modélisée par une fonction quadratique. La table de valeurs ci-contre contient quelques données relatives à cette situation. Tu laisses tomber une pièce de 1 ¢ dans un puits vide ayant une profondeur de 108 m. Après combien de temps la pièce toucherat-elle le fond du puits ?

44

Chapitre 5

L’étude des fonctions

Pièce de 1 cent en chute libre Temps de chute (s)

Distance de chute (m)

0

0

2

20

4

80

6

180

8

320

25. Sans calculatrice Lorsque vient le temps de planifier ses finances personnelles, il peut être utile de pouvoir estimer rapidement et avec précision le moment où un montant d’argent placé va doubler grâce aux intérets accumulés. Voici trois tables de valeurs indiquant la valeur d’un placement de 1 000 $ au fil du temps, à différents taux d’intérêt annuels. Taux d’intérêt annuel de 4 %

Taux d’intérêt annuel de 6 %

Taux d’intérêt annuel de 8 %

Durée (années)

Valeur ($)

Durée (années)

Valeur ($)

Durée (années)

Valeur ($)

0

1 000,00

0

1 000,00

0

1 000,00

6

1 265,32

6

1 418,52

6

1 586,87

12

1 601,03

12

2 012,19

12

2 518,17

18

2 025,82

18

2 854,34

18

3 996,02

a) Selon toi, est-ce que le montant du placement influe sur le temps que celui-ci met à doubler ? Explique ta réponse. b) En combien d’années la valeur du placement aura-t-elle doublée si le taux d’intérêt est de : 1) 4 % ? 2) 6 % ? 3) 8 % ? c) Propose un moyen d’estimer rapidement le temps requis pour qu’un montant d’argent double lorsqu’on le place à un certain taux d’intérêt.

26. Demi-vie La demi-vie du radon 222, un gaz radioactif, est de 3,8 jours. a) Construis une table de valeurs où l’on trouve une quantité initiale de radon ainsi que les quantités restantes après 3,8 jours, 7,6 jours et 11,4 jours. b) À l’aide d’un graphique, estime la quantité résiduelle de radon après 30 jours. c) Vérifie ta réponse en b à l’aide de la règle de la fonction exponentielle qui modélise cette situation.

La demi-vie est le temps nécessaire à la moitié d’une quantité de matière radioactive pour se désintégrer.

Consolidation

45

27. Une dépense payante Un thermostat sert à mettre en marche ou à arrêter un appareil de chauage ou de climatisation selon la température qu’il capte. Plus un thermostat est en mesure de capter une température précise, plus il est sensible. Cette sensibilité a une infuence directe sur le niveau de conort et sur les coûts de chauage. Les thermostats électroniques ont une plus grande sensibilité que les thermostats mécaniques. C’est pourquoi les spécialistes du chauage et de la climatisation recommandent leur installation, même s’ils sont dispendieux. Pierre est un nouveau technicien en chauage. Il désire xer le prix de vente de ses thermostats électroniques à partir des diérentes inormations dont il dispose.

Température (oC)

– Il a en main le graphique suivant qui représente, pour une journée type, l’évolution de la température dans une maison selon le type de thermostat utilisé, pour une température souhaitée de 20 °C. L’évolution de la température dans une maison 22,5 22 21,5 21 20,5 20 19,5 19 18,5 18 17,5 17 0

Thermostat mécanique Thermostat électronique Température souhaitée 20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Temps (min)

– Il sait qu’il coûte en moyenne 0,45 $ l’heure pour aire onctionner un système de chauage, peu importe le type de thermostat utilisé. – Il sait qu’une entreprise concurrente annonce que ses thermostats électroniques se paient en deux ans avec l’économie d’énergie réalisée. Aide Pierre à ixer un prix de vente qui sera avantageux pour lui et sa clientèle. Environnement et consommation Les ménages québécois sont de plus en plus nombreux à prendre des mesures pour réduire leur consommation d’énergie. Hydro-Québec, une société d’État, les encourage d’ailleurs à se procurer des produits qui coûtent parois cher à l’achat, mais qui permettent de aire des économies importantes à long terme. C’est le cas, entre autres, des thermostats électroniques et des lampes fuorescentes compactes, qui réduisent considérablement les coûts de chauage et d’éclairage. Selon toi, qu’est-ce qui motive Hydro-Québec à encourager les Québécois à réduire leur consommation d’énergie ?

46

Chapitre 5

L’étude des onctions

Le monde du travail Technologie de la mécanique du bâtiment Les technologues en mécanique du bâtiment sont des proessionnels qui s’occupent, entre autres, des systèmes de chauage, de ventilation, de climatisation, de plomberie, de rérigération, d’électricité, dans des édifces comme les écoles, les hôpitaux et les commerces. En plus de concevoir les systèmes appropriés pour chaque bâtiment, ils les installent et en assurent l’entretien. Étant donné la complexité des systèmes que l’on trouve dans certains édifces, les technologues en mécanique du bâtiment peuvent occuper diérents postes : concepteurs de systèmes, représentants techniques et commerciaux, estimateurs, spécialistes en conservation de l’énergie, etc. Les spécialistes en conservation de l’énergie sont avant tout préoccupés par l’efcacité énergétique des systèmes de chauage, de climatisation et de ventilation. Ils évaluent et analysent la consommation énergétique des systèmes et eectuent des relevés. Ils proposent des améliorations à apporter aux systèmes en place ou suggèrent l’implantation de systèmes ayant peu d’impacts environnementaux et qui permettent de réaliser des économies d’énergie. Pour exercer cette proession, il aut avoir terminé une technique en mécanique du bâtiment, posséder une bonne capacité d’analyse et de synthèse ainsi que des aptitudes pour la résolution de problèmes, le dessin technique et l’inormatique. Une ois leur ormation collégiale terminée, les technologues en mécanique du bâtiment sont appelés à travailler dans les entreprises, dans les bureaux d’ingénieurs et d’entrepreneurs, dans les hôpitaux, les établissements scolaires, pour le gouvernement, etc.

Le monde du travail

47

Chapitre

6

La statistique Il existe de nombreux indicateurs de santé : l’évolution de la taille et de la masse chez l’enant, le taux de cholestérol ou encore la réquence cardiaque en sont des exemples. La statistique permet, grâce à la compilation d’un très grand nombre d’observations, d’établir une « norme » relativement à ces indicateurs. Cette norme permet à son tour de comparer des populations, ou de situer un individu par rapport à une population et ainsi de relever des anomalies. La statistique ournit également des outils qui permettent de quantifer le lien entre diérents caractères, comme les heures de sommeil et les résultats à un test, ou encore le pourcentage d’obésité et l’occurrence du diabète. Aussi, lorsque l’analyse des données révèle une certaine tendance, le lien entre les caractères peut être modélisé dans le but d’eectuer des prédictions. Selon toi, qu’est-ce qui explique que l’espérance de vie augmente, au fl des ans, dans les pays occidentaux ? Donne quelques exemples de saines habitudes de vie. Crois-tu que les gens qui adoptent de saines habitudes de vie vivent plus vieux ?

Survol

Santé et bien-être

Entrée en matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Section 1 – Les mesures de dispersion et de position . . . . . . . 53 Section 2 – L’appréciation qualitative d’une corrélation . . . . . . 67 Section 3 – Le coefcient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 79 Section 4 – La droite de régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Consolidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Le monde du travail

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

113

Contenu de formation • Distribution à un caractère : mesure de position (rang centile), mesure de dispersion (écart moyen) • Distribution à deux caractères : corrélation linéaire (coefcient de corrélation, droite de régression) • Analyse à l’aide d’outils appropriés et prise de décisions concernant des situations qui comportent une distribution à un ou deux caractères

Entrée en matière Les pages 50 à 52 ont appel à tes connaissances relatives à la statistique et aux onctions.

En contexte Le Déf Santé 5/30, une initiative conjointe de l’Institut de cardiologie de Montréal et de la Société canadienne du cancer, vise à encourager les gens à découvrir le plaisir de aire de l’activité physique et de mieux manger. Le déf des participants est de manger au moins cinq portions de ruits et de légumes par jour et de s’adonner à une activité physique d’au moins 30 minutes cinq jours par semaine.

1. Une étude sur la consommation de ruits et de légumes a été menée auprès de jeunes Québécois de 12 à 19 ans. Voici les réponses d’un échantillon de 30 jeunes d’une école secondaire à la question suivante : « Combien de portions de ruits et de légumes avez-vous consommées au cours de la journée d’hier ? » 1 2 6

5 1 5

1 5 5

0 1 2

6 5 0

5 5 3

9 5 5

5 6 0

6 2 4

1 5 2

a) Quelle est la population de cette étude ? b) Quel est le caractère étudié et quel est son type ? c) Détermine la moyenne et la médiane du nombre de portions de ruits et de légumes consommées par les jeunes de l’échantillon. d) Peut-on dire que, dans l’ensemble, ces jeunes auraient atteint l’objecti du volet « mieux manger » s’ils avaient participé au Déf Santé 5/30 ? Justife ta réponse. e) Selon toi, la conclusion tirée en d peut-elle être généralisée à l’ensemble de la population de cette étude ? Justife ta réponse.

Santé et bien-être Une alimentation équilibrée, de saines habitudes de vie et une activité physique régulière sont un gage de santé et de bien-être. Si l’un ou l’autre de ces aspects est négligé, notre corps a vite ait de nous le rappeler. Est-ce que ton alimentation et l’activité physique que tu pratiques correspondent aux critères du Déf Santé 5/30 ? Sinon, quelles habitudes devrais-tu changer pour relever ce déf ?

50

Chapitre 6

La statistique

2. Les diagrammes de quartiles ci-dessous représentent les distributions des réponses des garçons et des flles d’un groupe d’élèves à la question : « Combien de ois au cours des sept derniers jours avez-vous ait une séance d’activité physique d’au moins 20 minutes ? » Les séances d’activité physique des élèves au cours des sept derniers jours Garçons

Filles

0

1

2

3

4

5

6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 Nombre de séances d’activité physique

Indique, quand l’inormation dont tu disposes te le permet, si chacun des énoncés suivants est vrai ou aux. a) La moitié des garçons a ait de l’activité physique de 4 à 7 ois. b) Il y a plus de flles qui ont ait de l’activité physique de 5 à 9 ois que de flles qui en ont ait 4 ou 5 ois. c) Plus de garçons que de flles ont répondu au sondage. d) Deux ois plus de flles que de garçons ont ait au plus 4 séances d’activité physique d’au moins 20 minutes. e) Dans la distribution des données relatives aux garçons, il y a au moins une donnée aberrante.

Généralement, on considère qu’une donnée est aberrante si elle est située à plus de 1,5 ois de l’étendue interquartile du quartile le plus près.

3. Selon la Société canadienne du cancer, le nombre de nouveaux cas de cancer augmente régulièrement d’une année à l’autre. Le tableau ci-dessous présente les nouveaux cas de cancer déclarés au Canada chaque année de 2001 à 2007. Le cancer au Canada Année

Nouveaux cas

2001

141 700

2002

143 700

2003

145 200

2004

149 900

2005

152 300

2006

153 100

2007

159 900

Adapté de : Société canadienne du cancer.

a) Construis un nuage de points pour représenter ces données. b) Trace la droite la mieux ajustée au nuage de points. c) Estime le nombre de nouveaux cas qui seront déclarés : 1) en 2010 ; 2) en 2025. d) Selon toi, laquelle des deux estimations aites en c est la plus fable ? Justife ta réponse. Entrée en matière

51

En bref 1. Soit les deux situations ci-dessous.

En statistique, le mot « individu » ne désigne pas nécessairement une personne. Ce mot peut également être remplacé par l’expression « unité statistique ».

1

La directrice générale d’une commission scolaire veut connaître le nombre d’élèves qui réquentent ses écoles.

2

Le recteur d’une université s’intéresse à l’âge de ses étudiants.

Pour chacune de ces situations, détermine : a) la population ; b) l’individu ;

c) le caractère étudié.

2. Voici une distribution de 26 données. 155 225 158 156 192 163 153 160 150 148 156 172 154 151 149 153 149 167 180 160 161 159 150 155 154 159 Détermine la moyenne de cette distribution. Détermine les valeurs des quartiles Q1, Q2 et Q3 de cette distribution. Représente cette distribution de données à l’aide d’un diagramme de quartiles. Détermine l’étendue et l’étendue interquartile. Dans quel quart les données sont-elles : 1) le plus concentrées ? 2) le plus dispersées ? f) Cette distribution comporte-t-elle des données aberrantes ? Si oui, lesquelles ? a) b) c) d) e)

3. Détermine la règle associée

y

à chacune des onctions afnes représentées dans le plan cartésien ci-contre.

y2 (4, 9) (0, 8)

y3 (7, 10)

(1, 6)

(8, 4) y1

(2, 1)

x

4. Pour la table de valeurs ci-dessous : Lorsque l’estimation est située à l’intérieur du nuage de points, il s’agit d’une interpolation. Lorsque l’estimation est située à l’extérieur du nuage de points, il s’agit d’une extrapolation.

52

Chapitre 6

x

8

15

21

24

29

33

35

40

41

y

62

52

41

33

23

17

20

12

13

a) construis un nuage de points ; b) trace la droite la mieux ajustée au nuage de points ; c) estime : 1) la valeur de y pour x = 20 ; 2) la valeur de y pour x = 50.

5. Observe ta réponse en 4c. Généralement, qu’est-ce qui est le plus fable : une

La statistique

estimation par interpolation ou une estimation par extrapolation ?

Les mesures de dispersion et de position

Section

1

Les courbes de croissance Le développement staturo-pondéral, c’est-à-dire l’évolution de la taille et de la masse en fonction de l’âge d’une personne, est un bon indicateur de santé. Par exemple, une augmentation très rapide ou trop lente de la masse corporelle pourrait, dans certains cas, révéler un problème de santé. Ton enseignante ou ton enseignant te remettra les courbes canadiennes de croissance et d’indice de masse corporelle (IMC) pour les garçons de 2 à 20 ans. Les régions en blanc sont considérées comme le « chemin de la santé ». L’indice de masse corporelle est calculé à partir de la taille et de la (kg) masse à l’aide de la formule IMC = masse . taille2 (m2)

Le « chemin de la santé » correspond à la norme établie à partir d'observations faites sur un grand nombre de personnes d'une population donnée. C'est la raison pour laquelle les courbes de croissance varient d’un pays à l’autre.

Voici les âges et les rangs centiles relatifs à la taille et à la masse des garçons qui ont visité le centre de santé Laurentien jeudi dernier. Les garçons ayant visité le centre de santé Laurentien jeudi dernier Nom

Simon

Laurent

Justin

William

Romain

Louis

Lucas

Âge

14,5

7,5

12

16,75

8,25

5

9,5

Taille (rang centile)

75

5

60

50

25

50

80

Masse (rang centile)

65

10

80

5

75

80

65

Parmi ces garçons, lesquels ont un indice de masse corporelle qui se situe sur le « chemin de la santé » ?

Santé et bien-être À l’adolescence, la taille et la masse d’une personne sont des acteurs importants d’estime de soi. Même s’il ne révèle pas nécessairement un problème de santé, un écart par rapport aux normes établies peut donc être difcile à accepter. Selon toi, pourquoi l’apparence physique et les critères de beauté semblent-ils être si importants à l’adolescence?

Section 1

Les mesures de dispersion et de position

53

ACTIVITÉ d’exploration

1

Des joueurs de taille Il est reconnu que la taille des joueurs proessionnels de basketball joue un rôle important dans leurs perormances. Le tableau suivant présente la taille des joueurs des Warriors d’Oakland, de l’Association nationale de basketball (NBA), pour la saison 2008-2009.

• Diagramme à tige et à feuilles • Dispersion des données

La taille des joueurs des Warriors Joueur

Taille (cm)

Joueur

Taille (cm)

Kelenna Azubuike

193

Corey Maggette

195

Marco Belinelli

193

Anthony Morrow

192

Andris Biedrins

207

DeMarcus Nelson

190

Monta Ellis

188

Anthony Randolph

205

Al Harrington

202

Ronny Turia

205

Richard Hendrix

202

C.J. Watson

185

Stephen Jackson

200

Marcus Williams

188

Rob Kurz

203

Brandan Wright

204

Adapté de : NBA.

Mode de représentation d’un ensemble de données qui en permet l’organisation rapide et efcace. Les euilles, c’est-à-dire les chires à droite, sont les chires qui occupent la position des unités. La tige, à gauche, comprend les chires qui occupent une autre position que celle des unités : les dizaines, les centaines, etc.

54

Chapitre 6

Le diagramme à tige et à feuilles et l’histogramme ci-dessous représentent la distribution des tailles des joueurs des Warriors. Effectif

Diagramme à tige et à feuilles

La taille, en cm, des joueurs des Warriors 18 19 20

5 0 0

8 2 2

8 3 2

La taille des joueurs des Warriors 9 8 7 6 5

3 3

5 4

4

5

5

7

3 2 1 0

170

180

190

200

210

220 Taille (cm)

A

Relève au moins une similitude et au moins une diérence entre les deux modes de représentation ci-dessus.

B

Si DeMarcus Nelson était échangé contre un joueur mesurant 197 cm, quelle modifcation audrait-il apporter : 1) à l’histogramme ? 2) au diagramme à tige et à euilles ?

La statistique

Les Warriors d’Oakland doivent aronter les Knicks de New York. Le tableau suivant présente la taille des joueurs de cette équipe. La taille des joueurs des Knicks Joueur

Taille (cm)

Joueur

Taille (cm)

Wilson Chandler

200

David Lee

202

Mardy Collins

195

Stephon Marbury

184

Jamal Craword

193

Zach Randolph

203

Eddy Curry

207

Quentin Richardson

198

Chris Duhon

183

Anthony Roberson

185

Danilo Gallinari

205

Nate Robinson

172

Jerome James

213

Malik Rose

198

Jared Jeries

208

Adapté de : NBA.

C

Représente la distribution des tailles des joueurs des Knicks à l’aide d’un diagramme à tige et à euilles.

D

Compare les distributions des tailles des joueurs des deux équipes.

E

Pour laquelle des deux équipes les tailles sont-elles le plus homogènes ?

Données homogènes

F

Selon toi, si l’on considère la taille des joueurs, y a-t-il une équipe qui est avorisée par rapport à l’autre ? Justife ta réponse.

G

Propose une açon de représenter les deux distributions dans un même diagramme à tige et à euilles afn de aciliter les comparaisons.

Données dont les valeurs sont relativement proches les unes des autres. À l’inverse, des données relativement dispersées ou éloignées les unes des autres sont dites « hétérogènes ».

Ai-je bien compris? 1. Voici deux distributions de données. 1

27 17

38 28

23 31

33 43

39 25

21 29

25 36

25 34

2

183 140 125 121 160 144 154 135 129 128 153 148 149 166 140

30 24

22

a) Représente chacune de ces distributions à l’aide d'un diagramme à tige et à euilles. b) Compare la dispersion des données de ces deux distributions. 2. Décris une étude pour laquelle on peut s’attendre à obtenir des données : a) homogènes ; b) hétérogènes. Section 1

Activité d’exploration 1

55

ACTIVITÉ D’expLoration

2

Mesure de dispersion : écart moyen

Dsz ds ls us Un site Internet pour cinéphiles permet à ceux-ci de donner leur appréciation des flms qui prennent l’afche au cinéma. Voici les cotes attribuées au flm Dansez dans les rues le jour suivant sa sortie en salle. Les cotes attribuées au flm Dansez dans les rues Cotes attribuées par les hommes

10

10

8

9

5

9

9

10

3

8

9

6

Cotes attribuées par les emmes

9

7

8

7

9

8

7

8

10

7

8

8

A

D’après tes estimations, qui a le plus apprécié ce flm : les hommes ou les emmes ? Justife ta réponse sans eectuer de calculs.

B

Pour lequel des deux groupes les appréciations sont-elles le plus homogènes ?

C

Calcule la moyenne des cotes d’appréciation pour chacun des deux groupes. Cette mesure révèle-t-elle une diérence entre l’appréciation des hommes et celle des emmes ?

Écart à la moyenne

D

Diérence entre la valeur d’une donnée d’une distribution et la moyenne des données de cette distribution.

Pour les deux groupes, calcule l’écart à la moyenne de chacune des cotes attribuées.

E

Propose une açon d’utiliser les écarts calculés en D pour mesurer la dispersion des cotes d’appréciation de chacun des deux groupes.

F

Selon toi, est-ce que la moyenne des écarts à la moyenne constitue une bonne mesure de la dispersion des données d’une distribution ? Justife ta réponse.

Valeur absolue

G

Détermine la valeur absolue de chacun des écarts à la moyenne calculés en D.

H

Pour chacun des deux groupes, calcule l’écart moyen des cotes d’appréciation.

I

Décris ce que représentent, dans le contexte, les mesures calculées en H.

J

Établis un lien entre l’écart moyen et l’homogénéité ou l’hétérogénéité des données d’une distribution.

Valeur numérique d’un nombre, sans égard à son signe. Exemples : −8 = 8, 5 = 5 et 3 − 10 = 7. Le symbole  se lit « valeur absolue de ». Écart moyen Moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne.

56

Chapitre 6

La statistique

Le deuxième jour suivant la sortie du flm, les cotes de 12 emmes et de 4 hommes se sont ajoutées à celles consignées le premier jour. L’ajout de ces données n’a pas eu de répercussions sur les moyennes des deux groupes. K

Pour chacun des deux groupes, l’écart moyen est passé à 1,25. Comment estce possible ?

Ai-je bien compris? 1. Voici quatre distributions de données. 1

12

8

5

7

15

11

7

6

10

9

2

9

16

12

8

11

20

15

16

10

12

2 3 4 5

3 4 0 2

6

7

3

4 9 3 4

4

3 5

8

Valeur

Effectif

0

2

1

8

2

3

3

2

a) Calcule la moyenne de chacune de ces distributions. b) Calcule l’écart moyen de chacune de ces distributions. c) Utilise les écarts moyens calculés en b pour ordonner les quatre distributions, de celle dont les données sont le moins dispersées à celle dont les données sont le plus dispersées.

Section 1

Activité d’exploration 2

57

ACTIVITÉ D’expLoration

3

L s d mém Un site Internet sur la psychologie cognitive propose à ses visiteurs un test visant à évaluer leur mémoire. Ce test consiste à mémoriser puis à reproduire le plus rapidement possible une séquence de symboles disposés dans un tableau. À l’issue du test, le logiciel attribue un score à la participante ou au participant en tenant compte des erreurs commises et du temps pris pour aire le test. Deux inormations sont ensuite afchées à l’écran : le nombre de participants qui ont ait le test jusqu’à présent et la position de la personne en onction du score qu’elle a obtenu.

Mesure de position : rang centile

Gabrielle a réalisé ce test. Puis, elle a transmis l’adresse du site Internet à son amie Sarah-Maude, qui a ait le test deux semaines plus tard. Voici ce que l’écran afchait à l’issue des tests de Gabrielle et de Sarah-Maude. Résultat de Gabrielle

Résultat de Sarah-Maude

Nombre de participants : 176

Nombre de participants : 204

e

Position : 78e

Position : 67

A

Selon toi, qui a obtenu le meilleur score au test de mémoire : Gabrielle ou Sarah-Maude ? Justife ta réponse.

Soit le tableau ci-dessous. Le score des 204 premières personnes ayant réalisé le test de mémoire

40e

193

Rang centile Rang attribué à une donnée. Ce rang correspond au pourcentage (arrondi à l’unité supérieure) des données ayant une valeur inérieure ou égale à cette donnée. Pour une donnée X, le rang centile se note R100(X).

Chapitre 6

73e

193 192 191 189 189 188

74 75e 76e 77e 78e 79e

Score 170 169 168 167 166

Position

Score

Position

109 104 103

184e 185e 186e

e

98 99e 100e 101e 102e

….

218

e

….

38e 39e

69e 70e 71e 72e

Position

….

219 218

195 194 194 194

Score

….

….

41

….

216

e

….

1 2e 3e

Position

….

267 264 261

58

Score

er

….

Position

….

Score

84 81

202e 203e

111

183e

68

204e

B

Quelle raction des participants a obtenu un score inérieur ou égal à celui de Sarah-Maude ? À quel pourcentage cette raction correspond-elle ?

C

Détermine le rang centile associé au score de Sarah-Maude.

D

Sachant que Gabrielle a obtenu un score de 193, détermine son rang centile dans la distribution des 204 données.

E

Détermine le score qu’a obtenu un participant dont le rang centile est 51.

La statistique

Six mois plus tard, Kevin passe le même test de mémoire. Il est alors le 2 958e participant. F

Détermine le rang centile de Kevin, sachant que 1 247 personnes ont obtenu un moins bon score que le sien et que 1 632 personnes ont obtenu un meilleur score que le sien.

Avec l’ajout des scores des nouveaux participants, le rang centile de Gabrielle est passé à 66. G

Sachant que 15 des 2 958 participants ont obtenu le même score que Gabrielle, quelle peut être la position de son score dans la distribution des 2 958 scores ?

Ai-je bien compris ? 1. Voici trois distributions de données. 1

87

91

94

96

98

99

100 101 103 104 104 105 107 108 109 110

111 112 112 113 115 118 121 125 126 126 130 131 132 137 141 149 2

3

55

57

61

62

65

66

69

69

72

73

75

75

77

77

78

83

86

92

95

22

22

24

25

25

25

26

27

28

29

29

31

32

33

33

33

33

35

35

37

38

40

40

41

42

43

45

48

50

Pour chacune de ces distributions : a) détermine le rang centile de la donnée en rouge ; b) détermine la donnée X telle que R100(X) = 30.

En statistique, les variables sont désignées par des lettres majuscules.

2. Francis a participé à un concours de mathématique. Sur les 1 628 participants dont il faisait partie, 525 ont obtenu un meilleur résultat que le sien et 1 083 ont obtenu un moins bon résultat que le sien. Quel est le rang centile de Francis ?

Section 1

Activité d’exploration 3

59

Faire le point Le diagramme à tige et à feuilles Le diagramme à tige et à euilles est un mode de représentation qui permet une organisation rapide et efcace des données d’une distribution. Les euilles représentent les chires qui occupent la position des unités. La tige comprend les chires qui occupent une autre position que celle des unités. Le nombre de euilles correspond au nombre de données. Exemple : Voici les scores de 12 joueurs à un tournoi de gol amateur : 87

92

98

101 103 103 107 110 116 124 128 139

Ces scores sont représentés dans le diagramme à tige et à euilles ci-dessous. Les scores de 12 joueurs à un tournoi de golf

Les chires à gauche (ceux des dizaines et ceux des centaines) orment la tige.

8

7

9

2

8

10

1

3

11

0

6

12

4

8

13

9

Les chires à droite (les unités) sont appelés feuilles.

3

7

Cette ligne représente les valeurs 101, 103, 103 et 107.

Comme l’histogramme, le diagramme à tige et à euilles permet d’apprécier la dispersion des données. Si les données sont relativement proches les unes des autres, la distribution est dite « homogène ». Si les données sont relativement éloignées les unes des autres, la distribution est dite « hétérogène ». Par rapport à l’histogramme, le diagramme à tige et à euilles a comme avantage de présenter la valeur des données tout en les regroupant en classes.

Les mesures de dispersion Les mesures de dispersion servent à décrire l’étalement des données d’une distribution. Les mesures de tendance centrale et les mesures de dispersion sont complémentaires. Utilisées ensemble, elles permettent de décrire avec précision une distribution de données. On peut choisir d’utiliser la médiane et l’écart interquartile ou la moyenne et l’écart moyen, selon que la distribution présente ou non des données aberrantes.

60

Chapitre 6

La statistique

L’écart moyen L’écart moyen, noté « EM », est une mesure de dispersion égale à la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne des données d’une distribution.

La valeur absolue d’un nombre a (notée ⏐a⏐) est sa valeur numérique sans égard à son signe. Exemples : ⏐−8⏐ = 8, ⏐5⏐ = 5 et ⏐3 − 10⏐ = 7.

Plus l’écart moyen est petit, plus les données sont concentrées autour de la moyenne et plus la distribution est homogène. À l’inverse, plus l’écart moyen est grand, plus les données sont dispersées par rapport à la moyenne et plus la distribution est hétérogène. Le tableau suivant présente les étapes du calcul de l’écart moyen des scores obtenus par les 12 joueurs de golf. Étape 1. Calculer la moyenne des données. 2. Calculer l’écart à la moyenne de chacune des données. 3. Déterminer la valeur absolue de l’écart à la moyenne pour chacune des données.

4. Calculer la moyenne des valeurs obtenues en 3. 5. Interpréter les résultats.

Démarche x=

87 + 92 + 98 + … + 124 + 128 + 139 = 109 12

Donnée 87 92 98 101 103 103 107 110 116 124 128 139 EM =

Écart à la moyenne

Valeur absolue de l’écart à la moyenne

−22

22 17 11 8 6 6 2 1 7 15 19 30

−17 −11 −8 −6 −6 −2

1 7 15 19 30

Pièges et astuces Organiser les données dans un tableau facilite le calcul de l’écart moyen.

22 + 17 + 11 + … + 15 + 19 + 30 = 12 12

L’écart moyen est de 12 coups. Cela signifie qu’en moyenne, il y a une différence de ± 12 coups entre le score de chacun des golfeurs et le score moyen.

Remarque : À lui seul, l’écart moyen ne fournit pas beaucoup d’information. Avant de se prononcer sur l’homogénéité ou l’hétérogénéité des données, il importe donc de considérer le caractère étudié et la moyenne des données. Ainsi, un écart moyen de 12 coups n’est pas très élevé pour des scores de golf, si l’on considère que le score moyen est de 109 coups. Cependant, si l’on considère, par exemple, que la moyenne des températures extérieures maximales pour une période d’un mois est de 20 °C, alors un écart moyen de 12 °C serait très élevé.

Section 1

Faire le point

61

Les mesures de position Les mesures de position permettent de caractériser une donnée en la situant par rapport à l’ensemble des données ordonnées d’une distribution. Ces mesures sont utiles lorsqu’on s’intéresse non seulement à la donnée elle-même, mais également à son classement par rapport aux autres. Les quartiles Q1, Q2 et Q3, ainsi que les rangs centiles, sont des mesures de position.

Le rang centile Dans certaines situations, par exemple le gol, où un score élevé est moins bon qu’un score aible, l’expression « valeur inérieure ou égale » peut être remplacée par l’expression « valeur moins bonne ou égale ».

Le rang centile d’une donnée correspond au pourcentage (arrondi à l’unité supérieure) des données qui ont une valeur inérieure ou égale à cette donnée. Le rang centile d’une donnée X se note R100(X). Exemple : Si une donnée occupe le 80e rang centile, cela signife qu’environ 80 % des données sont inérieures ou égales à celle-ci. La proportion suivante permet de déterminer le rang centile d’une donnée ou la donnée qui occupe un rang centile particulier dans une distribution ordonnée en ordre croissant. R100(X) 100

=

Nombre de données de valeur inférieure ou égale à X Nombre total de données

Exemple : La distribution suivante compte 271 données, dont 170 sont inérieures à 84 et 8 sont égales à 84. 22

23

23

. . .

83

166 données

84

. . .

84

6 données

85

. . .

128

129

90 données

La recherche du rang centile d’une donnée Le rang centile de la donnée 84 se calcule comme suit : R100(84) 100

=

(

170 + 8 271

)  R100(84) =

178 • 100 271

≈ 65,68

On doit arrondir cette valeur à l’unité supérieure.

Le rang centile de 84 est 66. Cela signife qu’environ 66 % des données sont inérieures ou égales à 84. La recherche d’une donnée qui occupe un rang centile particulier La donnée X, qui occupe le rang centile 66, se calcule comme suit : 66 • 271 Nombre de données de valeur = ≈ 178,86 inférieure ou égale à X 100

On doit arrondir cette valeur à l’unité inérieure.

La donnée recherchée occupe la 178e position de la distribution. Sa valeur est 84. Remarques : – Pour une même distribution, deux données de même valeur auront le même rang centile. – Les rangs centiles sont signifants dans la mesure où la distribution présente un grand nombre de données. 62

Chapitre 6

La statistique

Mise en pratique 1. Le diagramme à tige et à feuilles ci-dessous représente la distribution des âges des employés du club de golf Le Verdoyant. L’âge des employés du club de golf Le Verdoyant 1 2 3 4 5 6

6 1 0 2 3 0

6 2 1 5 4 1

6 4 6 7 6 2

8 5 9

7

8

8

8

a) Quelle est l’étendue des âges des employés ? b) Quel est l’âge médian ? c) Représente la distribution des âges des employés à l’aide d’un diagramme de quartiles.

2. Représente chacune des distributions suivantes à l’aide d’un diagramme à tige et à feuilles. a) 52 25

65

77

81

43

43

58

33

73

50

32

54

87

28

49

63

52

Santé et bien-être

b) 161 138 145 159 121 163 112 140 162 127 188 110 153 c)

1 235 1 218 1 255 1 295 1 316 1 288 1 251 1 264 1 239 1 272 1 222 1 290 1 237

3. Voici les résultats de 28 élèves à un cours de conduite. Les résultats à un cours de conduite Examen théorique (%) 83 92 99 65

53 80 85 81

90 86 82 76

72 56 90 88

88 76 86 63

65 83 71 96

Examen pratique (%) 80 78 89 80

83 88 85 76

78 85 93 96

89 76 72 82

76 79 76 88

69 78 80 74

83 86 72 91

86 89 86 83

a) Représente chacune de ces distributions à l’aide d’un diagramme à tige et à feuilles. b) Compare la moyenne, la médiane et l’étendue des résultats de l’examen théorique et de l’examen pratique. c) Pour quel examen la distribution des notes est-elle le plus homogène ?

Section 1

Plusieurs personnes considèrent que le comportement de la personne qui conduit une automobile a une plus grande incidence sur la sécurité routière que ses habiletés techniques. Certains aimeraient d’ailleurs que l’âge minimum pour l’obtention d’un permis de conduire passe de 16 à 18 ans. Selon toi, le comportement routier est-il lié à l’âge des conducteurs ? Les cours de conduite sontils importants selon toi ? Pourquoi ?

Mise en pratique

63

4. Laurie organise un tournoi de volley-ball opposant différentes familles. Par souci d’équité, elle décide que chaque équipe sera constituée de huit joueurs dont la moyenne des âges est de 30 ans. La distribution des âges des joueurs des équipes est représentée ci-dessous à l’aide de diagrammes à tige et à feuilles et de diagrammes de quartiles. 1

Les âges des membres de l’équipe Bouffard 2 3

2

4 2

5 4

6 5

6 8

Les âges des membres de l’équipe Lavigne 1 2 3 4

6 4 2 2

3

Les âges des membres de l’équipe Hébert 2 3 4

7

0

1

7

7

7

7

A B C

4

7 6 8 5

4

Le tournoi de volley-ball

Les âges des membres de l’équipe Navarrete 1 2 3 4

4

5

0 5

0 6

D Âges (années)

0

0

a) Associe chacun des diagrammes à tige et à feuilles au diagramme de quartiles qui lui correspond. b) En considérant l’étendue des âges, ordonne les équipes, de celle dont les âges sont le moins dispersés à celle dont les âges sont le plus dispersés.

5. Soit la distribution de données suivante. 30 16

27 38

18 27

Donnée

41 24

23 30

30 27 18 41 23 16 38 27 24 30

a) Calcule la moyenne de cette distribution. b) Reproduis et complète le tableau ci-contre. c) Détermine l’écart moyen de cette distribution.

6. Calcule l’écart moyen de Le tableur permet de déterminer l’écart moyen d’une distribution de données. Pour en savoir plus, consulte la page 233 de ce manuel.

chacune des distributions de données suivantes. a) 12 15 8 5 10 b) c)

64

Chapitre 6

La statistique

Valeur absolue de l’écart à la moyenne

Écart à la moyenne

8

9

7

14

29

32

40

25

36

28

27

38

24

23

15

18

22

20

19

27

32

18

10

18

6

4

7. Considère à nouveau les équipes de volley-ball en 4. a) Calcule l’écart moyen des âges de chacune des équipes de volley-ball. b) Ordonne les familles, de celle dont la distribution des âges a le plus petit écart moyen à celle dont la distribution des âges a le plus grand écart moyen.

8. Deux distributions sont décrites sur chacun des cartons suivants. Dans chaque cas, indique laquelle de ces distributions a, selon toi, le plus grand écart moyen. a) c) 1 Les températures maximales 1 Le prix d’une maison quotidiennes à Miami durant unifamiliale au Québec une année 2 Le prix d’une maison 2 Les températures maximales unifamiliale au Canada quotidiennes à Saguenay durant une année b)

1

Le salaire des joueurs de la Ligue nationale de hockey au cours des 10 dernières années

2

Le salaire des joueurs de la Ligue nationale de hockey au cours des 20 dernières années

d)

1

Le temps des athlètes olympiques à l’épreuve du 1 000 m en patinage de vitesse

2

Le temps des membres du club L’Éclair à l’épreuve du 1 000 m en patinage de vitesse

9. Dresse une distribution de données qui répond aux critères suivants. a)

La taille est 6 ; la moyenne est 8 ; l’écart moyen est 2.

b)

La taille est 10 ; l’étendue est 12 ; la moyenne est 20 ; l’écart moyen est 4.

c)

La taille est 8 ; le mode est 9 ; la moyenne est 10 ; l’écart moyen est 3.

10. Ajoute deux données à la distribution ci-dessous sans changer sa moyenne ni son écart moyen. 15

19

12

16

16

21

9

12

11. Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux. Si un énoncé est faux, donne un contre-exemple. a) Si l’on ajoute une donnée égale à la moyenne à un ensemble de données, la moyenne et l’écart moyen demeureront inchangés. b) Si l’on additionne un même nombre à chacune des données d’une distribution, la moyenne augmentera de ce nombre et l’écart moyen demeurera inchangé. c) Si l’on double toutes les données d’un ensemble, la moyenne et l’écart moyen seront doublés.

Section 1

Mise en pratique

65

12. Gaël a préparé des biscuits aux raisins.

Pièges et astuces

Il se demande si les raisins ont été répartis uniformément dans ses 36 biscuits. Le tableau ci-contre présente la distribution du nombre de raisins par biscuit. a) Combien y a-t-il de raisins, en moyenne, par biscuit ? b) Détermine l’écart moyen du nombre de raisins par biscuit.

Lorsque les données sont condensées dans un tableau, visualiser l’ensemble des données de la distribution fournit un bon indice quant à la procédure qui permet de calculer l’écart moyen.

Nombre de raisins par biscuit

Nombre de biscuits

3

2

4

8

5

14

6

12

13. Détermine le rang centile d’une donnée X d’une distribution : a) de 284 données dont 92 sont inférieures ou égales à X ; b) de 653 données dont 332 sont supérieures à X et 20 sont égales à X ; c) de 498 données dont 156 sont supérieures à X.

14. Voici trois distributions de données. 1

55 75

56 77

58 78

59 79

62 79

64 79

65 79

65 80

66 80

67 81

69 82

69 84

69 87

70 90

71

73

74

74

75

2

12 29

15 30

17 32

19 33

20 35

21 37

21 39

22

22

22

22

23

24

25

26

27

27

29

29

3

32 48

33 49

33 49

34 50

34 52

34 52

35 53

36 55

38 56

38 57

39 59

40 62

41 62

41 63

41 64

41 66

45 67

46

47

Pour chacune de ces distributions : a) détermine le rang centile de la donnée en rouge ; b) détermine la donnée qui occupe le rang centile 78.

15. Voici le classement de Mélanie à ses quatre dernières courses. 1

5e sur 23

3 2

e

9 sur 37

2e sur 9

4

10e sur 62

À l’aide du rang centile de Mélanie à chacune de ses courses, ordonne ses performances du moins bon classement au meilleur classement.

16. Un collège fait passer un examen aux personnes qui ont rempli une demande d’admission. Cette année, 163 personnes ont passé l’examen. a) Détermine le rang centile de Patrick, sachant que 57 personnes ont obtenu une meilleure note que la sienne et que 98 personnes ont obtenu une moins bonne note que la sienne. b) Combien de personnes seront admises au collège si toutes les personnes dont la note se trouve aux rangs centiles 40 et plus sont admises ?

66

Chapitre 6

La statistique

L’appréciation qualitative d’une corrélation

Section

2

Les conséquences du manque de sommeil Aujourd’hui, les Québécois dorment en moyenne une heure de moins par jour qu’il y a 40 ans. Aussi, de plus en plus de gens ne dorment pas un nombre sufsant d’heures. Depuis plusieurs années, des spécialistes s’intéressent aux conséquences possibles du manque de sommeil. Un groupe de chercheurs universitaires a entrepris une étude qui vise à évaluer le lien entre le sommeil et la mémoire à court terme. Vingt‑quatre individus sélectionnés au hasard se sont prêtés à une expérience. Pour chacun des individus, deux inormations ont été notées au cours de l’expérience : le nombre de minutes de sommeil au cours d’une nuit et le résultat à un test de mémoire réalisé le lendemain, à 15 heures. Individu

Sommeil (min)

Résultat (/40)

Individu

Sommeil (min)

Résultat (/40)

Individu

Sommeil (min)

Résultat (/40)

1

295

26

9

275

23

17

412

31

2

333

25

10

243

21

18

512

34

3

422

37

11

305

23

19

369

29

4

467

36

12

413

29

20

410

34

5

428

34

13

492

30

21

250

23

6

355

27

14

378

25

22

298

24

7

375

32

15

330

27

23

430

39

8

464

33

16

390

28

24

444

35

Présente les résultats de cette étude à l’aide d’une représentation graphique appropriée. Puis, décris ces résultats et émets des recommandations quant aux heures de sommeil.

Santé et bien-être En plus d’être essentiel à la régénération de l’organisme, le sommeil permet au cerveau d’assimiler et d’emmagasiner toute l’inormation acquise et traitée pendant la journée. Le manque de sommeil peut entraîner, surtout à long terme, des conséquences néastes autant sur le plan psychique que physique. Combien d’heures dors-tu par nuit ? Comment te sens-tu lorsque tu n’as pas dormi sufsamment ou que tu as mal dormi ? Donne quelques conseils pour avoriser un bon sommeil.

Section 2

L’appréciation qualitative d’une corrélation

67

ACTIVITÉ D’EXPLORATION

1

• Distribution à deux caractères • Nuage de points • Sens de la corrélation

La force du huard Tous les mois, Statistique Canada compile des données sur les dépenses liées au tourisme au Canada ainsi que sur les sorties et les entrées de personnes au pays. Ces statistiques constituent des indicateurs nationaux du tourisme. L’observation de l’évolution de ces indicateurs révèle qu’il existe, entre autres, une corrélation entre le taux de change et le tourisme au Canada. A

Distribution à deux caractères Étude simultanée de deux caractères, ou variables. Pour chaque individu ou unité statistique, on obtient deux valeurs qui peuvent s’exprimer sous la orme d’un couple (X, Y). L’ensemble des couples (X, Y) constitue une distribution à deux caractères. On peut aussi employer le terme « distribution à deux variables ».

Selon toi, quelle est la signifcation du mot « corrélation » dans la dernière phrase du paragraphe qui précède ?

Le tableau suivant présente les données d’une distribution à deux caractères, soit le taux de change moyen et le nombre d’automobiles entrées au Canada en provenance des États-Unis au cours du dernier trimestre des années 1988 à 2007. Année

Nombre Taux de change moyen d’automobiles ($ US / $ CA)

(× 100 000)

1988

0,829

9,30

1989

0,856

1990

Année

Nombre Taux de change moyen d’automobiles ($ US / $ CA)

(× 100 000)

1998

0,648

13,60

8,93

1999

0,679

13,32

0,861

9,34

2000

0,655

12,89

1991

0,881

8,78

2001

0,633

10,70

1992

0,792

8,91

2002

0,637

12,11

1993

0,755

9,28

2003

0,760

10,72

1994

0,731

10,73

2004

0,819

9,68

1995

0,737

11,39

2005

0,852

8,72

1996

0,741

11,42

2006

0,878

7,74

1997

0,710

12,15

2007

1,019

6,82

Source : Statistique Canada, 2008.

La calculatrice à afchage graphique et le tableur sont des outils qui acilitent la représentation d’une distribution à deux caractères à l’aide d’un nuage de points. Pour en savoir plus, consulte les pages 225 et 231 de ce manuel.

68

Chapitre 6

B

Pour la distribution à deux caractères représentée ci-dessus, nomme : 1) l’unité statistique ; 2) les caractères étudiés.

C

Représente cette distribution à deux caractères à l’aide d’un nuage de points. Puis, décris le lien que tu observes entre le taux de change et le nombre d’automobiles entrées au Canada en provenance des États-Unis pour la période étudiée.

D

À l’aide du nuage de points tracé en C, estime le nombre d’automobiles en provenance des États-Unis qui entreraient au Canada si le taux de change moyen au cours du dernier trimestre d’une année était de 0,95 $ US pour 1 $ CA.

La statistique

E

Détermine le sens de la corrélation observée dans le nuage de points tracé en C.

Sens de la corrélation

Voici quelques-unes des variables pour lesquelles Statistique Canada compile des données.

Association entre deux variables quantitatives qui varient dans le même sens.

Le prix de l’essence au Canada

4

2

Le taux de chômage

5

3

Les revenus liés à l’exportation

6

1

F

Le nombre de touristes au Canada

7

Les ventes de piscines

8

Les revenus du tourisme Les ventes de roulottes

La température

Corrélation positive

Corrélation négative Association entre deux variables quantitatives qui varient dans le sens contraire.

Nomme au moins deux paires de variables, parmi celles présentées ci-dessus, entre lesquelles il est susceptible d’y avoir : 1)

une corrélation positive ;

2)

une corrélation négative.

G

Propose une explication pour chacune des corrélations positives et négatives relevées en F.

H

Nomme au moins une paire de variables entre lesquelles il est susceptible d’y avoir une corrélation nulle.

Corrélation nulle Association entre deux variables quantitatives qui ne présentent aucun lien évident.

Ai-je bien compris ? Voici des informations concernant les 10 enfants d’une garderie. Enfant

Âge Taille Durée de la sieste Nombre d’enfants (mois) (cm) (min) dans la famille

Christopher

58

105

30

1

Émilie

24

85

120

3

Félix

22

84

105

2

Grace

28

90

100

1

Arianne

55

105

45

5

Léa

44

99

60

2

Nathan

37

94

75

2

Sara‑Maude

35

91

90

1

Tristan

52

103

45

2

William

25

89

120

3

a) Représente, à l’aide de trois nuages de points, la relation entre l’âge et chacune des autres variables du tableau. b) Indique si chacune des corrélations observées en a est positive, négative ou nulle. Section 2

Activité d’exploration 1

69

ACTIVITÉ

1

3

Précipitations de neige

Association représentée par un nuage dont la disposition des points se rapproche d’une droite imaginaire. Plus le nuage de points ressemble à une droite oblique, plus la corrélation linéaire est orte.

Prix du chocolat chaud

B

Est-ce qu’une corrélation positive est nécessairement plus orte qu’une corrélation négative ? Justie ta réponse.

C

Pour chacune des corrélations non nulles relevées en A, indique la nature du lien entre les deux caractères.

Lien attribuable à un 3e acteur d’infuence Facteur qui exerce une infuence simultanée sur chacune des deux variables. Lien ortuit Situation où la corrélation ne s’explique par aucune raison évidente.

Chapitre 6

Précipitations de neige

Pour chacune des distributions représentées ci-dessus : 1) décris, dans tes mots, la orme du nuage de points ; 2) qualie l’intensité de la corrélation linéaire à l’aide d’un des mots suivants : nulle, aible, moyenne, orte ou paraite ; 3) indique, s’il y a lieu, le sens de la corrélation (positi ou négati).

Lien causal (ou causalité)

70

Nombre de journées où la station est en activité

Nombre de skieurs membres

A

Nature du lien

Lien de cause à eet. On dit que les variations d’une variable sont causées par les variations de l’autre variable.

6

Nombre de journées où la station est fermée

Corrélation linéaire

Précipitations de neige

4

Nombre de planchistes membres

2

5

Nombre de planchistes membres

• Nature du lien entre deux variables

Les propriétaires de la station Hauts Sommets compilent des statistiques annuelles leur permettant de comparer les saisons de ski et de mesurer l’infuence de certains acteurs sur les activités de la station. Voici les nuages de points de quelques distributions à deux caractères provenant de statistiques recueillies au cours des 20 dernières saisons.

Production de neige artificielle

• Intensité de la corrélation

Skier dans les nuages

Nombre d’abonnements

2

Revenus

D’EXPLORATION

La statistique

D

Pour chacun des liens causals identifés en C, laquelle des variables cause les variations de l’autre variable, selon toi ?

Ai-je bien compris ? 1. Ordonne les distributions à deux variables représentées ci-dessous, de celle qui a la plus aible corrélation linéaire à celle qui a la plus orte corrélation linéaire. 1

3

Y

5

Y

X

2

X

X

4

Y

Y

6

Y

Y

X

X

X

2. Les deux caractères d’une distribution sont décrits sur chacun des cartons suivants. 1

Le nombre de téléspectateurs d’émissions de télévision et le prix d’une annonce publicitaire pendant ces émissions

2

Le nombre d’internautes à Laval, de 1988 à 2008, et le prix moyen des maisons à Laval au cours de cette période

3

Les ventes de crème glacée et le nombre d’interventions des sauveteurs chaque jour sur une plage de Virginie durant la période estivale

4

L’âge des enants d’une garderie et le temps qu’ils mettent pour enfler leur habit de neige

Pour chacune de ces distributions, indique : a) le sens de la corrélation ; b) l’intensité de la corrélation ;

c) la nature du lien ; d) la variable qui cause les variations de l’autre variable, s’il y a lieu.

Section 2

Activité d’exploration 2

71

Faire le point La distribution à deux caractères Lorsqu’on étudie simultanément deux caractères, on obtient deux valeurs pour chaque unité statistique d’une population ou d’un échantillon. Ces valeurs peuvent s’exprimer sous la forme d’un couple (X, Y). L’ensemble des couples (X, Y) constitue une distribution à deux caractères, ou distribution à deux variables. Exemple : On considère la mesure du pied droit et la taille de chacun des joueurs d’une équipe de basket-ball. Ces deux mesures sont inscrites dans le tableau suivant. Joueur

Mesure Taille Mesure Taille Mesure Taille Joueur Joueur du pied (cm) (cm) du pied (cm) (cm) du pied (cm) (cm)

1

27,5

178

5

28,5

181

9

27,5

179

2

26,5

179

6

28,0

180

10

26,0

172

3

25,0

172

7

29,5

185

11

24,5

170

4

31,0

186

8

28,0

183

12

29,0

181

Chacun des joueurs de l’équipe de basket-ball est une unité statistique. L’ensemble des couples (mesure du pied droit, taille) forme une distribution à deux caractères.

Le nuage de points

La corrélation linéaire Lorsque le nuage de points représentant une distribution à deux caractères se rapproche d’une droite oblique imaginaire, on dit qu’il existe une corrélation linéaire entre les caractères de la distribution.

72

Chapitre 6

La statistique

190 185 180 175 170 //

Pour faciliter l’analyse d’une distribution à deux caractères, il importe de graduer les axes de façon à ce que l’étendue des valeurs de chacun des caractères soit représentée le plus possible par une même longueur horizontale et verticale dans le plan cartésien, comme l’indiquent les pointillés dans le diagramme ci-contre.

Les mesures des joueurs de l’équipe de basket-ball Taille (cm)

Le nuage de points permet d’observer la relation entre les deux caractères d’une distribution.

//

0

24 25 26 27 28 29 30 31 32 Mesure du pied (cm)

L’appréciation qualitative d’une corrélation linéaire L’observation d’un nuage de points permet de connaître le sens et l’intensité de la corrélation linéaire entre deux variables. Sens Intensité

Positif (les valeurs des deux variables varient dans le même sens)

Négatif (les valeurs des deux variables varient dans le sens contraire)

Y

Y

Faible

X

X

Y

Y

Moyenne

X

X

Y

Y

Forte

X

X

Y

Y

Parfaite

X

X

Y

Nulle

X

Remarque : On dit que la corrélation est nulle lorsque le nuage de points ne révèle aucun lien évident entre les deux variables.

Section 2

Faire le point

73

Tout comme il existe plusieurs modèles mathématiques, il existe plusieurs types de corrélation.

Productivité

La corrélation non linéaire

Par exemple, le nuage de points ci-contre révèle une corrélation qui n’est pas linéaire, mais plutôt quadratique. Nombre d’ouvriers

La nature du lien entre deux variables Le nuage de points permet de révéler un lien entre deux variables. Cependant, ils ne ournissent aucune explication quant à la nature de ce lien. Pour bien interpréter une corrélation, il aut utiliser son jugement critique. Les trois types de liens possibles entre deux variables sont présentés dans le tableau suivant. Nature du lien

Pièges et astuces Si l’on peut ormuler une phrase logique comportant la description de deux caractères et les mots « parce que », il est probable qu’il existe un lien causal entre ces deux caractères.

Causal (ou causalité)

3e acteur d’infuence

Fortuit

Explication

Exemple

Les variations d’une variable sont causées par les variations de l’autre variable.

Il existe une corrélation négative entre les ventes de véhicules utilitaires sport (VUS) et le prix moyen de l’essence au cours des 24 derniers mois. On peut armer : « Les ventes de VUS diminuent parce que le prix de l’essence augmente. » Le lien entre les variables est causal.

Les deux variables sont infuencées par un 3e acteur.

Il existe une corrélation négative entre la mesure des pieds des élèves d’une école primaire et le temps qu’ils mettent pour lire un texte. On ne peut pas armer : « Cet enant prend moins de temps à lire le texte parce qu’il a de grands pieds. » Le lien n’est pas causal. Il s’explique plutôt par un 3e acteur, l’âge, qui infue simultanément sur la mesure des pieds et sur le temps de lecture.

Le lien entre les deux variables ne s’explique par aucune raison évidente.

Il existe une corrélation positive entre le prix moyen du lait et le nombre de propriétaires de téléphones cellulaires au cours des 15 dernières années. On ne peut pas armer : « Le nombre de propriétaires de téléphones cellulaires augmente parce que le prix du lait augmente », ou vice-versa. Le lien n’est pas causal et il n’y a pas de 3e acteur évident qui explique la relation entre les deux variables.

Remarque : Même si une corrélation est orte, cela ne signie pas pour autant qu’il existe un lien de causalité entre les variables.

74

Chapitre 6

La statistique

Mise en pratique 1. Pour chacune des représentations ci-dessous, explique pourquoi les données ne correspondent pas à une distribution à deux caractères. Les familles des élèves d’une classe de 1re année

b) Temps (s)

a)

c)

Le temps des six dernières courses d’Adrian

La canicule Heure

Température (oC)

15,2

8h

31,0

15,0

10 h

31,5

14,8

12 h

31,5

14,6

14 h

32,0

14,4

16 h

32,5

18 h

30,0

20 h

29,5

Nombre d’enfants

Effectif

1

5

2

17

3

7

4

2

6

1

14,2

15,4

//

0

1

2

3

4 5 6 7 Numéro de la course

2. Voici les nuages de points de quelques distributions à deux caractères. Sur les routes de Jacksonville de 1992 à 2007

Âge

3

Les essais routiers d’une voiture prototype

4

Distance parcourue

Prix de l’essence

Les étudiants employés d’un restaurant à service rapide Moyenne générale à l’école

Nombre d’accidents mortels

2

Consommation de carburant

Les petits-enfants de grand-maman Rachel Taille

1

Heures travaillées

Pour chacune de ces distributions : a) nomme les caractères étudiés et l’unité statistique ; b) indique si la corrélation observée est positive, négative ou nulle.

3. Le tableau ci-dessous présente des informations sur les joueurs de volley-ball du club Astéris. a) Représente les données de cette distribution à l’aide d’un nuage de points. b) Décris la corrélation entre la taille et l’envergure des bras des joueurs du club Astéris.

Les joueurs du club Astéris Taille (cm)

Envergure Envergure Taille des bras des bras (cm) (cm) (cm)

169

172

165

168

161

159

178

177

155

157

185

188

167

165

195

200

177

178

160

155

Section 2

Mise en pratique

75

4. Le tableau suivant présente la relation entre l’âge des enfants d’une garderie et le temps qu’ils mettent à faire un casse-tête. Âge (mois)

25

44

48

33

50

42

37

41

54

21

63

34

Temps (s)

215 202 193 210 134 157 198 185 121 222 107 175

a) Représente les données de cette distribution à l’aide d’un nuage de points. b) Décris la corrélation entre l’âge des enfants et le temps qu’ils mettent à faire le casse-tête. c) Estime le temps que mettrait un enfant de 40 mois pour faire ce casse-tête.

5. Les variables ci-dessous portent sur des données recueillies au cours des mois de juillet, de 1990 à 2008, dans une ville du Québec.

76

Chapitre 6

Les heures d’ensoleillement

5

Le nombre d’accidents de la route

2

Le prix de la crème solaire

6

Les précipitations

3

Les ventes de parapluies

7

La population de la ville

4

Le nombre d’adeptes de patin à roues alignées

8

Les ventes de cornets de crème glacée

Associe les variables qui, selon toi, sont susceptibles de présenter : a) une corrélation négative ; c) une corrélation nulle. b) une corrélation positive ;

Santé et bien-être De nos jours, plusieurs adolescents délaissent l’activité physique pour s’adonner à des loisirs sédentaires comme regarder la télévision, naviguer sur Internet ou jouer à des jeux vidéo. Les jeunes Canadiens de 10 à 16 ans passeraient près de 6 heures par jour, soit 42 heures par semaine, assis devant un écran. Selon toi, quelles sont les conséquences de la sédentarité sur l’état de santé ? Comment peut-on parvenir à concilier activité physique et loisirs sédentaires ?

1

6. Indique si la corrélation entre les caractères décrits ci-dessous est susceptible

La statistique

d’être positive, négative ou nulle. a) Le temps que les élèves d’une classe passent à regarder la télévision et le temps qu’ils passent à faire du sport b) La durée de vie et le prix des montres d’un magasin c) Le nombre de chiens et le nombre de bornes-fontaines dans les villes du Québec d) Le prix de vente moyen des maisons dans une ville et le taux d’intérêt hypothécaire de 2000 à 2008 e) La taille des enfants d’une garderie et le nombre de dents qu’ils ont dans la bouche f) Le prix du pain et le nombre de divorces sur une période de 15 ans au Québec g) Les revenus des familles qui habitent un appartement et le pourcentage de leur revenu qu’elles consacrent au paiement du loyer h) Le nombre de coups de circuit et le salaire des joueurs de la LNB i) La taille des élèves d’une école secondaire et la taille de leur meilleure amie ou de leur meilleur ami

7. Pour chacune des associations décrites en 6, quelle est, selon toi : a) l’intensité de la corrélation ? Justife ta réponse. b) la nature du lien entre les deux caractères ? Justife ta réponse.

8. Donne un exemple de deux caractères entre lesquels il est susceptible d’exister : a) une corrélation positive ; b) une corrélation négative ; c) une corrélation nulle.

9. Ordonne les nuages de points ci-dessous, de celui qui présente la plus aible corrélation à celui qui présente la plus orte corrélation. 1

3

Y

5

Y

X

2

X

4

Y

Y

X

6

Y

X

X

Y

X

10. Qualife la corrélation entre les caractères des distributions représentées ci-dessous. Les membres juniors du club Lynx

c)

Les 12 lancers de 40 pièces de monnaie Nombre de côtés face

Pointage au golf

a)

Heures d’entraînement

d)

Les membres du club de ski de fond Rythme cardiaque au repos

Les élèves de la classe de Martine Taille de la mère

b)

Nombre de côtés pile

Taille de l’enfant

Âge

Section 2

Mise en pratique

77

11. Le tableau suivant présente des informations relatives aux joueurs du Canadien de Montréal qui ont participé à plus de 60 parties au cours de la saison 2007-2008. Les joueurs du Canadien de Montréal ayant joué plus de 60 parties, saison 2007-2008 Numéro du chandail

Joueur

Nombre de parties jouées

Points obtenus

Minutes de punition

Lancers au but

27

Alex Kovalev

82

84

70

230

14

Tomas Plekanec

81

69

42

186

2

Mark Streit

81

62

28

165

79

Andrei Markov

82

58

63

145

11

Saku Koivu

77

56

93

150

46

Andrei Kostitsyn

78

53

29

156

21

Christopher Higgins

82

52

22

241

73

Michael Ryder

70

31

30

134

84

Guillaume Latendresse

73

27

41

116

44

Roman Hamrlik

77

26

38

129

20

Bryan Smolinski

64

25

20

89

8

Mike Komisarek

75

17

101

75

25

Mathieu Dandenault

61

14

34

69

6

Tom Kostopoulos

67

13

113

98

26

Josh Gorges

62

9

32

41

51

Francis Bouillon

74

8

61

60

Source : Canadiens de Montréal, 2008.

a) Construis quatre nuages de points. Dans chaque nuage de points, met en relation le nombre de points obtenus par chacun des joueurs et une autre variable du tableau, soit le numéro du chandail, le nombre de parties jouées, les minutes de punition et les lancers au but. b) Qualifie chacune des corrélations observées en a. c) Quelle variable a : la plus forte corrélation avec le nombre de points obtenus ? 2) la plus faible corrélation avec le nombre de points obtenus ? d) Parmi les corrélations observées en a, précise lesquelles présentent un lien de causalité, puis indique quelle variable cause les variations de l’autre variable. 1)

e) À l’aide des nuages de points tracés en a, estime le nombre de points qu’a obtenus chacun des quatre joueurs québécois suivants, du Lightning de Tampa Bay, pour la saison 2007-2008 : 1)

Vincent Lecavalier, qui porte le chandail numéro 4

2)

Matthieu Darche, qui a joué 73 parties

Michel Ouellet, qui a lancé 132 fois au but 4) Martin St-Louis, qui a écopé de 26 minutes de punition f) Parmi les estimations données en e, laquelle, selon toi, se rapproche le plus de la réalité ? Justifie ta réponse. 3)

78

Chapitre 6

La statistique

Le coefcient de corrélation linéaire

Section

3

Le bonheur

Santé et bien-être

Mya effectue une étude sur l’influence que peuvent avoir certains facteurs sur le bonheur des gens. Pour ce faire, elle sélectionne 20 personnes au hasard. Elle leur demande d’abord d’évaluer leur niveau de bonheur sur une échelle de 1 à 20 (20 correspondant au niveau le plus élevé). Elle leur demande ensuite d’évaluer, toujours sur une échelle de 1 à 20, la façon dont elles se situent par rapport à chacun des facteurs suivants : satisfaction au travail, relations familiales, santé, niveau de stress et amitié.

Satisfaction au travail

r = 0,92

Relations familiales

Niveau de bonheur

r = 0,79

Niveau de bonheur

r = 0,46

Niveau de bonheur

Niveau de bonheur

Mya met en relation la cote que les personnes ont attribuée à chacun de ces cinq facteurs et la cote qu’elles ont attribuée à leur niveau de bonheur. Voici les nuages de points qu’elle obtient pour les quatre premiers facteurs. Chacun de ces nuages est accompagné du coefficient de corrélation linéaire (r), compris entre -1 et 1, qui quantifie la corrélation entre les deux caractères.

Selon de nombreuses recherches, la santé émotionnelle d’une personne dépend en grande partie de sa santé physique. En eet, les scientiques sont de plus en plus nombreux à reconnaître que l’activité physique, entre autres, exerce une infuence positive sur l’état d’esprit. À l’inverse, crois-tu que le bonheur peut avoir un impact sur la santé physique ? Justie ta réponse. r = –0,64

Niveau de stress

Santé

Le tableau ci-dessous présente, pour chacune des personnes interrogées par Mya, la cote attribuée au facteur « amitié » et celle attribuée au niveau de bonheur. Amitié (/20)

19 2

Bonheur (/20) 18 6

7 17 13 14 12 5 15 4 17 15 12 4

8

3 13 8 18 7

7 15 9 17 18 9 19 5 13 14 15 10 16 10 12 11 16 13

Estime la valeur de r pour la distribution ci‑dessus. Puis, décris et critique les résultats de l’étude de Mya.

Section 3

Le coefcient de corrélation linéaire

79

ACTIVITÉ d’exploration

1

Encadrement judicieux Voici quatre nuages de points.

Approximation et interprétation du coefcient de corrélation linéaire

1

3

Y

Y

X

X

2

4

Y

Y

X

A

Pour chacun de ces nuages de points, qualife l’intensité et indique le sens de la corrélation linéaire.

B

Reproduis ces nuages de points, puis encadre tous les points de chaque nuage en traçant le plus petit rectangle possible.

( ) peut être utilisée pour estimer le coefcient de corrélation linéaire d’une distribution à deux caractères à partir des dimensions ( qui ) encadre l’ensemble des points d’un nuage. du plus petit rectangle La ormule r ≈ ± 1 −

Coefcient de corrélation linéaire Mesure statistique, notée r, qui permet de quantifer l’intensité et le sens de la corrélation linéaire entre deux caractères.

mesure du petit côté mesure du grand côté

1 − 14

35

C

Quel est l’intervalle des valeurs que peut prendre r selon cette ormule ?

Voici les coefcients de corrélation linéaire des quatre nuages de points. -

0,9

0,4 0,3

80

Chapitre 6

X

-

0,8

D

À l’aide des rectangles tracés en B, associe chaque nuage de points au coefcient de corrélation linéaire qui lui correspond.

E

Établis un lien entre la valeur de r et l’intensité de la corrélation linéaire.

La statistique

Les trois nuages de points ci‑dessous représentent la même distribution à deux caractères. 1

2

Y

3

Y

Y

35

50

35

30

40

30

25

30

25

20

20

20

15

10

10 0

10 20 30 40 50

10 15 20 25 30 35

10

X

//

//

0

15 //

0

X

//

10 15 20 25 30 35

F

À l’aide de la méthode du rectangle, estime le coefcient de corrélation linéaire associé à chaque nuage de points.

G

Explique les diérences entre les valeurs estimées en F.

X

Ai-je bien compris ? 1. Associe chaque nuage de points au coefcient de corrélation linéaire qui lui correspond. a)

c)

Y

e)

Y

X

b)

Y

X

X

d)

Y

f)

Y

Y

X

X

X

1

r = 0,59

2

r = 0,87

3

r = –0,99

4

r = –0,38

5

r = 0,98

6

r = –0,91

2. Estime le coefcient de corrélation linéaire de chacun des nuages de points suivants à l’aide de la méthode du rectangle. a) Y b) Y c) Y

X

X

X

3. Ordonne les coefcients de corrélation ci‑dessous, de celui qui décrit la plus aible corrélation linéaire à celui qui décrit la plus orte corrélation linéaire. 1

r1 = –0,82

3

r3 = 0,78

5

r5 = –0,28

2

r2 = 0

4

r4 = 0,66

6

r6 = –1 Section 3

Activité d’exploration 1

81

ACTIVITÉ d’ExpLoration

2

La statistique a plusieurs applications, notamment dans le domaine du sport. Elle permet entre autres de comparer les perormances des joueurs et d’établir des liens entre certaines variables. Dans chacune des situations suivantes, deux variables ont été associées afn de vérifer s’il existe une corrélation linéaire entre elles. Temps de jeu

Coefcient de corrélation linéaire : limites de l’interprétation

Se méfe es eces

1 Ce nuage de points représente la relation entre le

salaire des joueurs d’une équipe de la LNH et leur temps de jeu au cours de la dernière semaine.

Moyenne au bâton

Salaire

2 Ce nuage de points représente la relation

entre l’âge des joueurs d’une équipe de baseball et leur moyenne au bâton au cours d’une saison. Paniers réussis (%)

Âge

3 Ce nuage de points représente la relation entre la

mesure des pieds des élèves d’une école primaire et le pourcentage de paniers réussis au basket‑ball lors d’un déf sporti.

4 Ce nuage de points représente la relation

Temps

Mesure des pieds

entre le salaire des joueurs d’une équipe de soccer et le temps qu’ils ont consacré à une cause humanitaire au cours de la dernière année. Salaire

82

Chapitre 6

A

Pour chacune de ces situations, qualife la corrélation entre les deux caractères étudiés.

B

À l’aide de la méthode du rectangle, estime le coefcient de corrélation linéaire de chaque distribution.

La statistique

Les conclusions suivantes ont été émises en se basant sur le coefficient de corrélation linéaire estimé de chaque nuage de points de la page précédente. Il n’existe pas de lien évident entre le salaire des joueurs de hockey et leur temps de jeu au cours d’une semaine.

1

2

Plus un joueur de baseball vieillit, plus sa moyenne au bâton augmente.

3

Pour être un bon joueur de basket-ball, il faut avoir de grands pieds.

4

Plus leur salaire est petit, moins les joueurs de soccer consacrent de temps à une cause humanitaire.

C

Selon toi, chacune des conclusions ci-dessus est-elle valable ? Justifie ta réponse.

D

Dans chacune des distributions de la page précédente, y a-t-il des points aberrants ? Si oui, devrait-on les inclure dans l’analyse des données ? Justifie tes réponses.

E

En tenant compte de tes réponses aux questions précédentes, émets une conclusion qui soit plus appropriée pour chacune des situations de la page précédente.

F

Laquelle des affirmations suivantes est la plus juste ? Explique ta réponse. 1

La connaissance de la valeur de r permet de bien qualifier la corrélation linéaire entre deux caractères.

2

Point aberrant Dans un nuage de points, point qui est très éloigné de la tendance du nuage.

L’observation du nuage de points permet de bien qualifier la corrélation linéaire entre deux caractères.

Ai-je bien compris ? Production de thyroxine

Un chercheur en médecine se demande s’il existe un lien entre la masse d’une personne et la production de thyroxine par la glande thyroïde. Pour répondre à cette question, il réalise une étude auprès d’enfants et d’adultes. Le diagramme ci-contre présente les résultats de son étude. a) Estime la valeur du coefficient de corrélation linéaire de cette distribution. b) Qualifie la corrélation entre la masse et la production de thyroxine. Quelle conclusion peux-tu en tirer ?

Masse

Section 3

Activité d’exploration 2

83

Faire le point Le coefcient de corrélation linéaire

Forte

Paraite

Positi Négati

X

Y

X

r ≈ 0,6

0

X



Moyenne

0,2

Y

r ≈ 0,3

r ≈ 0,1 X

Y

–0,4

–0,6

Y

X

–0,2



La statistique

Faible

r ≈ 0,9

0,4

    

Chapitre 6

Nulle

0,6

r≈1 Y



84



Le mathématicien britannique Karl Pearson (18571936) est un des fondateurs de la statistique moderne. C’est à lui que l’on doit la formulation actuelle du coefficient de corrélation linéaire. Dans ses écrits, Pearson attribue lui-même la paternité du concept de corrélation au physicien français Auguste Bravais. C’est la raison pour laquelle le coefficient de corrélation linéaire est également connu sous le nom de « coefficient de corrélation de BravaisPearson ».

Faible

0,8

Y



Karl Pearson

Moyenne

1

Exemple



Point de repère

Forte

                     

Le schéma ci‑contre présente la correspondance entre le sens et l’intensité de la corrélation linéaire, et la valeur de r. Quelques nuages de points sont donnés en exemple.

Paraite

                             

On peut connaître l’intensité et le sens de la corrélation linéaire en considérant la valeur de r.

Sens Intensité Valeur de r

                       

L’interprétation du coefcient de corrélation linéaire

 

Le coefcient de corrélation linéaire, noté r, permet de quantifer la corrélation linéaire entre deux caractères. La valeur de r se situe dans l’intervalle [–1, 1].

Y

r ≈ –0,4

r ≈ –0,6 X

–0,8

X

–1

Y

Y

r ≈ –0,9

r ≈ –1

X X

L’approximation du coefficient de corrélation linéaire Le calcul du coefficient de corrélation linéaire est fastidieux. Cependant, il est possible d’estimer la valeur de r à l’aide de la méthode du rectangle, présentée ci-dessous. Étape

Pièges et astuces

Exemple

1. Encadrer tous les points du nuage de points en traçant le plus petit rectangle possible.

Lorsque la distribution présente des points aberrants, la méthode du rectangle, présentée ci-contre, ne fournit pas une bonne approximation du coefficient de corrélation linéaire. Par ailleurs, puisque les dimensions du rectangle dépendent de la dispersion des points dans le plan, il importe de s’assurer que le nuage occupe le plus possible une même distance horizontale et verticale dans le plan.

Y 14 mm

2. Mesurer les dimensions du rectangle.

35 mm

3. Déterminer le signe de r en fonction du sens de la corrélation. 4. Déterminer la valeur approximative de r à l’aide de la formule :



r ≈ ± 1

mesure du petit côté mesure du grand côté



X

r est négatif



r ≈ − 1  14 r≈

–0,6

35



Les limites de l’interprétation du coefficient de corrélation linéaire

Exemple : Le nuage de points ci-contre représente la relation entre l’âge d’enfants du primaire et le temps qu’ils mettent à lacer leurs chaussures.

Temps

Le coefficient de corrélation linéaire, à lui seul, n’est pas suffisant pour conclure qu’il existe ou non une corrélation linéaire entre deux variables. Afin de porter un bon jugement, on doit respecter les conditions suivantes. 1. Observer la forme du nuage de points et s’assurer que le modèle linéaire est le plus approprié. 2. Repérer les points aberrants, s’il y a lieu, c’est-à-dire les points qui sont très éloignés de la tendance du nuage. Vérifier ce que ces points représentent dans le contexte. S’il s’agit d’anomalies, les exclure de l’analyse des données. Point aberrant

r  –0,69

La valeur de r indique une corrélation linéaire moyenne et négative. Cependant, la forme du nuage de points (en entonnoir) montre que le lien entre les variables est fort chez les plus jeunes et presque nul chez les plus vieux.

Âge

De plus, on constate la présence d’un point aberrant dans le nuage. Après vérification, on sait que ce point représente un enfant dont les lacets sont brisés. Donc, il vaut mieux l’exclure de l’analyse des données.

Section 3

Faire le point

85

Mise en pratique 1. Associe chacun des nuages de points ci‑dessous au coefcient de corrélation linéaire qui lui correspond. a)

d)

Y

g)

Y

X

X

b)

e)

Y

Y

X

X

f)

Y

X

h)

Y

X

c)

Y

i)

Y

X

Y

X

X

1

r = –0,77

2

r = –0,98

3

r = 0,25

4

r = 0,58

5

r = 0,96

6

r = 0,86

7

r = –0,99

8

r = –0,20

9

r = 0,92

2. Ordonne les coefcients de corrélation linéaire ci‑dessous de celui qui décrit la plus aible corrélation à celui qui décrit la plus orte corrélation. 1

r = 0,56

3

r = –0,28

5

r = 0,86

2

r = –0,71

4

r = 0,12

6

r = –1

3. Pour chacun des nuages de points suivants, estime le coefcient de corrélation linéaire entre les deux caractères étudiés à l’aide de la méthode du rectangle.

Température moyenne

86

Chapitre 6

La statistique

b)

Les nouveautés en librairie Prix du livre

Altitude

Les villes canadiennes

c)

Les parents des élèves de maternelle Âge de la mère

a)

Nombre de pages

Âge du père

4. a) Trace un nuage de points dont le coefcient de corrélation linéaire, r, est approximativement : 1) –0,95

1 3) 0,25 4) 0,7 b) Pour chacune des valeurs de r données en a, donne un exemple de distribution à deux caractères qui pourrait lui correspondre. 2)

5. Voici le nombre de cours manqués par 16 étudiants universitaires pendant une session et la note moyenne qu’ils ont obtenue à la fn de la session. Nombre de cours manqués Note moyenne (%)

a) b) c) d)

6

2

0

4

7

14

3

0

1

4

5

3

5

2

4

0

65 78 67 52 43 49 58 85 92 74 62 64 57 70 61 80

Représente ces données à l’aide d’un nuage de points. Qualife la corrélation linéaire entre les deux caractères de cette distribution. Estime le coefcient de corrélation linéaire entre les deux caractères. Les données relatives à un des étudiants ne fgurent pas dans cette distribution. Selon toi, dans quel intervalle devrait se situer la note de cet étudiant s’il a manqué 8 cours durant la session ?

6. Le tableau ci‑dessous présente les résultats d’un sondage sur les dons aits par la population canadienne en une année. Groupe d’âge

Donateurs Don moyen (%) par donateur ($)

De 15 à 19

58

De 20 à 24

70

122

De 25 à 34

77

229

De 35 à 44

85

242

De 45 à 54

83

338

De 55 à 64

81

316

De 65 à 74

80

294

75 et plus

72

330

Le calcul de la valeur exacte du coefcient de corrélation linéaire est astidieux. Le recours à la calculatrice à afchage graphique et au tableur permet de déterminer rapidement le coefcient de corrélation linéaire. Pour en savoir plus, consulte les pages 226 et 235 de ce manuel.

114

Adapté de : Enquête nationale sur le don, le bénévolat et la participation, Centre canadien de philanthropie.

a) Représente la relation entre le pourcentage de donateurs et le don moyen par donateur à l’aide d’un nuage de points. b) Estime la valeur du coefcient de corrélation entre les deux caractères de cette distribution. c) Que peux‑tu afrmer au sujet de la relation entre le pourcentage de donateurs et le don moyen par donateur ? d) Si les personnes de 15 à 24 ans n’avaient pas été considérées dans ce sondage, ta réponse en c aurait‑elle été diérente ? Justife ta réponse. e) Selon toi, est‑il préérable de tenir compte des points correspondants aux groupes d’âge de 15 à 24 ans ou de ne pas en tenir compte dans l’analyse des résultats de cette étude ? Justife ta réponse. Section 3

Mise en pratique

87

7. Pour chacune des distributions représentées ci‑dessous, explique pourquoi le coefcient de corrélation linéaire ne décrirait pas bien la relation entre les deux caractères étudiés. À l’affiche cette semaine

c)

Âge d’un enfant

Le salaire de Pierre, Jean et Jacques

d)

Les revenus des diplômés en médecine

Durée d’un film

Revenus

Prix du billet d’entrée

Nombre de mots de vocabulaire

b)

Salaire

Les enfants de la garderie

a)

Années de scolarité

Heures travaillées

8. Le nuage de points ci‑contre illustre la relation entre Revenus

Juin chez Jolly

la température maximale et les revenus de la crèmerie A Jolly pour chacune des journées du mois de juin. a) À l’aide de la méthode du rectangle, estime le coefcient de corrélation linéaire : 1) en incluant tous les points ; 2) en excluant les points A et B. b) Décris une situation pour laquelle il serait justifé de ne pas tenir compte des points A et B dans l’étude de la corrélation. c) Qualife la relation entre la température maximale et les revenus de la crèmerie Jolly.

Santé et bien-être

Chapitre 6

La statistique

24

T.-N.-L.

22 20

Î.-P.-É.

18 16

Sask. N.-É. N.-B. Alb. Man. Ont.

QC

14 12

C.-B.

10 0

L’obésité et l’activité physique dans les provinces

Obésité (%)

Obésité (%)

L’obésité et l’alimentation dans les provinces

//

24

32 40 48 56 64 Consommation d’au moins 5 fruits et légumes par jour (%)

Source : Statistique Canada, 2007.

24

T.-N.-L.

22 20

N.-B.

Sask.

18 16

QC

14 12

Î.-P.-É.

N.-É. Alb. Man. Ont. C.-B.

10 //

88

9. Observe les deux nuages de points ci‑dessous.

//

L’obésité est un problème de plus en plus répandu, notamment chez les jeunes. Au Québec, la malboue et le nombre insufsant d’heures d’activité physique dans les écoles ont souvent été pointés du doigt. En 2007, le gouvernement a mis sur pied une politique visant, entre autres, à éliminer la malboue des caétérias. Selon toi, cette mesure aura-t-elle un impact sur l’obésité chez les jeunes ? Quels autres moyens, en milieu scolaire ou amilial, proposeraistu pour remédier à ce problème ?

B Température maximale

0

//

40 42 44 46 48 50 52 54 Personnes actives (%)

Source : Statistique Canada, 2007.

a) Compare la relation entre l’activité physique et l’obésité avec la relation entre la consommation de ruits et de légumes et l’obésité. b) Que peux‑tu dire au sujet de l’alimentation et de l’activité physique des Québécois ? c) Décris la situation de la Colombie‑Britannique. d) Devrait‑on tenir compte de la Colombie‑Britannique dans l’étude des corrélations représentées ? Justife ta réponse.

Section

4

La droite de régression Les années s’envolent en fumée Il est bien connu que le tabagisme a des effets néfastes sur la santé. De nombreuses études ont démontré qu’il peut être associé à plus d’une vingtaine de maladies, dont certaines formes de cancer, de maladies respiratoires et de maladies cardiovasculaires. Le tableau ci-contre présente, pour les provinces canadiennes, le pourcentage de la population âgée de plus de 12 ans qui est constitué de fumeurs réguliers ainsi que l’espérance de vie à la naissance. D’après les données de ce tableau et sans tenir compte des autres acteurs susceptibles d’infuer sur l’espérance de vie, estime de combien le pourcentage de umeurs au Québec devrait diminuer pour que l’espérance de vie y soit de 85 ans.

Fumeurs Espérance de vie (%) à la naissance

Province Terre-Neuve-et-Labrador

25,3

78,2

Île-du-Prince-Édouard

21,5

79,8

Nouvelle-Écosse

24,4

79,3

Nouveau-Brunswick

23,3

79,8

Québec

25,1

80,4

Ontario

20,6

80,7

Manitoba

22,4

79,0

Saskatchewan

25,9

79,3

Alberta

21,9

80,3

Colombie-Britannique

17,8

81,2

Source : Statistique Canada, 2008.

Santé et bien-être Une cigarette contient plus de 4 000 produits chimiques, dont 50 sont cancérigènes. Selon toi, en moyenne, de combien d’années l’espérance de vie des non-fumeurs dépasse-t-elle celle des fumeurs ? Le pourcentage de fumeurs chez les 15 à 19 ans au Québec est passé de 36 % en 1999 à 18 % en 2006. Nomme quelques facteurs qui peuvent expliquer cette diminution.

Section 4

La droite de régression

89

ACTIVITÉ D’EXPLORATION

1

Droite de régression : droite de Mayer et prédictions

Se déplacer autrement Avec la hausse du prix de l’essence, de plus en plus de gens délaissent leur voiture et optent pour le transport en commun. D’ailleurs, au cours des quatre premiers mois de l’année 2008, la Société de transport de Montréal (STM) a enregistré une hausse de plus de quatre millions de déplacements sur ses circuits d’autobus et de métro. Le tableau ci-dessous présente, pour les années 2001 à 2008, le prix moyen de l’essence ordinaire à Montréal et l’achalandage enregistré par la STM. Année

Prix moyen de l’essence ordinaire à Montréal (¢/L)

Achalandage enregistré par la STM (millions de déplacements)

2001

73,8

354,9

2002

71,4

363,2

2003

76,7

363,2

2004

85,8

358,4

2005

96,4

359,3

2006

100,8

363,3

2007

104,3

367,5

2008

126,5

378,5

Adapté de : Statistique Canada et STM, Rapport d’activité 2007.

Droite de régression Droite qui s’ajuste le mieux à un nuage de points présentant une corrélation linéaire.

A

Représente les données de cette distribution à l’aide d’un nuage de points.

B

Pourrais-tu utiliser le nuage de points tracé en A pour estimer l’achalandage qu’enregistrerait la STM si le prix de l’essence ordinaire était de 3 $ le litre ?

C

Trace la droite de régression qui peut, selon toi, être associée à cette distribution.

D

Comment la droite de régression peut-elle t’aider à prédire l’achalandage si le prix moyen de l’essence ordinaire, pour une année, est de 3 $ le litre ?

Il est aussi possible de défnir une droite de régression algébriquement. Pour ceci, il existe plusieurs méthodes. Une de celles-ci est la méthode de la droite de Mayer.

Point de repère Tobias Mayer L’astronome et physicien allemand Tobias Mayer (1723-1762) a évalué les erreurs attribuables aux imperfections des réglages des instruments de mesure. Il a aussi inventé une méthode d’ajustement, la droite de Mayer, pour calculer les mouvements de la Lune et établir les premières tables des cycles lunaires. Cette réalisation lui a valu le grand prix décerné par le Bureau des longitudes de Londres en 1755.

90

Chapitre 6

La statistique

La première étape qui permet de déterminer l’équation de la droite de Mayer consiste à ordonner les données de la distribution selon la première variable et à les séparer en deux groupes équipotents. Le tableau suivant illustre cette étape. Groupe 1

Groupes comportant le même nombre de données.

Groupe 2

Prix moyen de l’essence ordinaire à Montréal (¢/L)

71,4

73,8

76,7

85,8

96,4

100,8

104,3

126,5

Achalandage enregistré par la STM (millions de déplacements)

363,2

354,9

363,2

358,4

359,3

363,3

367,5

378,5

E

Groupes équipotents

Détermine les coordonnées des points moyens (P1 et P2 ) des deux groupes du tableau ci-dessus. Représente P1 et P2 dans le nuage de points que tu as tracé en A. Trace ensuite la droite passant par ces points.

F

Quel est le taux de variation entre les points P1 et P2 ? Que représente ce taux ?

G

La droite tracée en E correspond à la droite de Mayer. Détermine son équation.

H

Utilise l’équation de la droite de Mayer pour estimer l’achalandage annuel de la STM si le prix moyen d’un litre d’essence ordinaire est de : 1) 1,15 $ 2) 3 $

I

Selon toi, qu’est-ce qui est le plus fable : une prédiction obtenue par interpolation ou par extrapolation ? Explique ta réponse.

Point moyen Le point moyen de deux ou de plusieurs points est celui dont les coordonnées sont la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées de ces points.

Ai-je bien compris ? Voici les données d’une distribution à deux variables, X et Y. X

27

21

13

12

29

16

7

11

26

13

25

Y

26

21

15

17

33

19

12

11

26

16

19

a) Détermine l’équation de la droite de Mayer.

Si le nombre de données est impair, on place la donnée du centre dans chacun des deux groupes.

b) À l’aide de l’équation de la droite de Mayer, estime : 1)

la valeur de Y pour X = 20 ;

2)

la valeur de X pour Y = 12. Section 4

Activité d’exploration 1

91

ACTIVITÉ D’EXPLORATION

2

Droite de régression : droite médiane-médiane et prédictions

Faire le tour du baobab Le baobab est un arbre reconnu pour sa longévité exceptionnelle. Le plus gros baobab du monde se trouve dans la province du Limpopo, en Arique du Sud. Sa circonérence est d’environ 40 m et son âge est estimé à 6 000 ans. Pour estimer l’âge d’un arbre, les spécialistes comptent habituellement ses anneaux de croissance. Cette méthode ne convient touteois pas aux baobabs, car ils ne produisent pas d’anneaux de croissance tous les ans et leur centre se résorbe avec les années. Pour estimer l’âge des plus vieux baobabs, les spécialistes procèdent donc en mesurant le carbone présent dans l’arbre. Pour les plus jeunes baobabs, ils estiment l’âge à partir de la circonérence du tronc. Le tableau suivant présente l’âge et la circonérence du tronc de 10 « jeunes » baobabs. Âge (années)

Circonférence (cm)

13

127

24

231

19

183

17

166

15

156

11

118

21

201

14

141

12

114

23

228

A Droite médianemédiane Droite défnie à partir de trois points médians, M1, M2 et M3 , représentatis de la distribution.

Âge Circonférence (années) (cm)

Représente les données de cette distribution à l’aide d’un nuage de points.

La méthode de la droite médiane-médiane permet de défnir une droite de régression. Les premières étapes à suivre pour déterminer l’équation de la droite médianemédiane consistent à : – ordonner les données de la distribution selon la première variable ; – diviser la distribution des données en trois groupes, de açon à ce que le premier et le troisième groupe soient équipotents et que les trois groupes soient le plus possible équipotents. Le tableau suivant illustre ces premières étapes. Groupe 1

92

Chapitre 6

Groupe 2

Groupe 3

Âge (années)

11

12

13

14

15

17

19

21

23

24

Circonférence (cm)

118

114

127

141

156

166

183

201

228

231

B

Pour chacun des trois groupes, détermine la valeur médiane en X et la valeur médiane en Y. Ces valeurs sont les coordonnées des trois points médians M1, M2 et M3.

C

Trace les points M1, M2 et M3 dans la représentation aite en A.

D

Quelles sont les coordonnées du point P, le point moyen des points M1, M2 et M3 ? Ajoute ce point à la représentation aite en A.

La statistique

La droite médiane-médiane est celle qui passe par P, le point moyen des points M1, M2 et M3 , et qui est parallèle à la droite passant par les points M1 et M3. E

Détermine l’équation de la droite médiane-médiane.

F

Trace la droite médiane-médiane dans la représentation aite en A.

G

À l’aide de l’équation de la droite médiane-médiane, estime : 1) l’âge d’un baobab dont la circonérence du tronc est de 175 cm ; 2) la circonérence du tronc d’un baobab de 40 ans.

H

La droite médiane-médiane pourrait-elle servir à estimer l’âge du baobab du Limpopo, le plus gros baobab du monde ? Justife ta réponse.

Fait divers Surnommé « l’arbre de la vie », le baobab est vénéré par certaines populations du sud de l’Afrique, à qui il procure abri, eau et nourriture. Le baobab est aussi appelé « l’arbre pharmacien », car il produit des médicaments naturels, « l’arbre bouteille », parce qu’il est gorgé d’eau, et « l’arbre à l’envers », parce que ses branches ressemblent à des racines.

Ai-je bien compris ? 1. On veut déterminer l’équation de la droite médiane-médiane d’une distribution à deux variables. De quelle açon audrait-il répartir les données en trois groupes si la distribution comportait : a) 19 données ? b) 36 données ? c) 41 données ? 2. Voici les données d’une distribution à deux variables, X et Y. X

76

57

82

89

75

59

60

94

88

70

86

71

83

78

Y

10

25

9

5

15

26

18

2

7

19

3

16

16

14

a) Détermine l’équation de la droite médiane-médiane. b) À l’aide de l’équation de la droite médiane-médiane, estime : 1) la valeur de Y pour X = 20 ; 2) la valeur de X pour Y = 12. Section 4

Activité d’exploration 2

93

Faire le point La droite de régression Lorsque le nuage de points d’une distribution à deux caractères présente une corrélation linéaire, la relation entre ces caractères peut être modélisée par une droite. La droite qui s’ajuste le mieux à l’ensemble des points est appelée « droite de régression ». Il existe plusieurs méthodes pour déterminer l’équation d’une telle droite.

La méthode de la droite de Mayer La droite de Mayer est la droite passant par deux points moyens (P1 et P2 ) qui sont représentatis de l’ensemble des points de la distribution. Voici les étapes à suivre pour déterminer son équation. Étape

Démarche

1. Ordonner les données en ordre croissant selon la première variable. Remarque : Pour deux valeurs égales de X, ordonner les valeurs de Y en ordre croissant. 2. Partager la distribution en deux groupes équipotents (contenant le même nombre de données). Remarque : Si le nombre de données est impair, la donnée du centre est placée dans chacun des deux groupes. 3. Déterminer la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des points de chaque groupe. 4. Défnir deux points moyens, P1 et P2 , dont les coordonnées sont les moyennes trouvées en 3. 5. Tracer la droite de Mayer qui passe par les points P1 et P2 , et déterminer son équation. Y 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

P2

P1

0

94

Droite de Mayer

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 X

Chapitre 6

La statistique

Moyenne des abscisses Groupe 1 3 + 6 + 9 + 14 =8 4

Groupe 2 14 + 19 + 22 + 27 = 20,5 4

X

Y

3

2

6

5

9

7

14

6

14

10

19

14

22

21

27

17

Moyenne des ordonnées

2+5+7+6 =5 4

10 + 14 + 21 + 17 = 15,5 4

P1(8, 5) et P2(20,5, 15,5) Taux de variation entre les points P1 et P2 :

15,5 - 5 10,5 = = 0,84 20,5 - 8 12,5

Ordonnée à l’origine de la droite : Y = 0,84X + b 5 = 0,84 • 8 + b 5 = 6,72 + b b = 5 - 6,72 = –1,72 L’équation de la droite de Mayer est Y = 0,84X - 1,72

La méthode de la droite médiane-médiane La droite médiane-médiane est la droite défnie à partir de trois points médians, M1, M2 et M3, représentatis de la distribution. Voici les étapes à suivre pour déterminer son équation. Étape

Démarche

1. Ordonner les couples en ordre croissant selon la première variable. Remarque : Pour deux valeurs égales de X, ordonner les valeurs de Y en ordre croissant. 2. Partager la distribution en trois groupes. Le premier et le troisième groupe doivent être équipotents. Les trois groupes doivent être le plus possible équipotents. 3. Déterminer la médiane des abscisses et la médiane des ordonnées des points de chaque groupe. 4. Défnir trois points, M1, M2 et M3, dont les coordonnées sont les médianes trouvées en 3. 5. Déterminer les coordonnées du point P, le point moyen de M1, M2 et M3.

Médiane des abscisses

X

Y

Groupe 1

3

2

6

5

9 14

7 6

14

10

6 Groupe 2

14

Groupe 3 22

19

14

22

21

27

17

Médiane des ordonnées 5

8

17

M1(6, 5), M2(14, 8) et M3(22,17) Abscisses

Ordonnées

6 + 14 + 22 = 14 3

5 + 8 + 17 = 10 3

P(14,10) 6. Trouver l’équation de la droite médianemédiane, sachant : – qu’elle est parallèle à la droite qui passe par les points M1 et M3 ; – qu’elle passe par le point P. Y 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

M3

M1

Taux de variation entre les points M1 et M3 :

17 - 5 12 = = 0,75 22 - 6 16

Ordonnée à l’origine de la droite : Y = 0,75X + b 10 = 0,75 • 14 + b 10 = 10,5 + b b = –0,5 L’équation de la droite médiane-médiane est Y = 0,75X - 0,5

P M2 Droite médiane-médiane

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 X

Lorsqu’on n’a pas accès aux technologies pour déterminer l’équation de la droite de régression, il est plus simple de déterminer celle de la droite de Mayer. Cependant, il est préérable d’avoir recours à l’équation de la droite médiane-médiane si la distribution présente des points aberrants, puisque la droite de Mayer est très sensible aux données extrêmes. D’autre part, si la distribution compte un très grand nombre de couples, on peut tracer une droite qui semble s’ajuster le mieux au nuage de points et déterminer l’équation de cette droite à partir de deux points appartenant à celle-ci. Section 4

Faire le point

95

La prédiction à l’aide de la droite de régression Lorsqu’on a recours à une droite de régression pour estimer la valeur d’une variable à partir d’une autre, il aut toujours s’interroger quant à la fabilité de la valeur calculée. Généralement, plus la corrélation linéaire est orte, plus il y a de chances que la prédiction soit fable. Interpolation et extrapolation

Exemple : Dans le diagramme ci-contre, un modèle linéaire a été établi à partir des données de l’intervalle compris entre 1 mois et 6 mois. On peut voir que ce modèle permet de prédire la masse d’un enant de 5 mois, mais qu’il n’est pas approprié pour prédire la masse d’un enant de 18 mois. En eet, le modèle ne s’applique pas au-delà des limites de l’intervalle pour lequel il a été établi, soit [1, 6].

Masse (kg)

Une prédiction par interpolation est généralement plus fable qu’une prédiction par extrapolation, puisque rien ne garantit que le modèle linéaire puisse être étendu à l’extérieur des limites de l’intervalle des données pour lesquelles il a été établi. Plus on s’éloigne de cet intervalle, plus le risque d’obtenir une prédiction aberrante est grand. Il est donc recommandé, lorsqu’on présente une estimation basée sur une extrapolation, de toujours aire la précision « si la tendance se maintient ». La relation entre l’âge et la masse de plusieurs jeunes enfants 30 27 25 20 15

0

Né à Brunswick en Allemagne, Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) apprit à lire et à compter dès l’âge de trois ans. Reconnu comme l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps, Gauss contribua également à l’avancement de la physique et de l’astronomie. En 1801, il élabora la méthode d’approximation des moindres carrés, qu’il utilisa pour prédire avec succès le retour de l’astéroïde Cérès, alors disparu subitement des télescopes. La droite de régression des moindres carrés est encore employée aujourd’hui en mathématique et en sciences. C’est d’ailleurs celle qu’on trouve sur la plupart des calculatrices à affichage graphique.

La statistique

Prédiction basée sur un modèle non linéaire

Modèle non linéaire

5

Carl Friedrich Gauss

Chapitre 6

Droite de régression

10 8

Point de repère

96

Extrapolation linéaire

Interpolation linéaire 3

6

9

12

15

18 Âge (mois)

Mise en pratique 1. Chacun des nuages de points ci-dessous est accompagné de la droite de Mayer qui modélise la relation entre les deux variables. 1

2

Y

3

Y

Y

P1(9, 27) P2(46, 40,1) P2(32, 28) P1(12, 13)

P2(29, 14)

P1(16, 13,1)

X

X

X

Pour chacun de ces nuages de points : a) détermine l’équation de la droite de Mayer ; b) utilise l’équation trouvée en a pour estimer la valeur de Y pour : 1) X = 20 2) X = 45 c) Selon toi, laquelle des estimations aites en b est la plus fable ?

2. Le tableau suivant présente les résultats d’examens de la vue de 11 personnes. Distance entre l’œil et le tableau (m)

5

6

3,5

7,5

5,5

8

8

4,5

6,5

6

5,5

Nombre de lettres lues correctement

17

10

20

9

12

5

2

20

13

15

11

a) b) c) d)

Représente les données de cette distribution à l’aide d’un nuage de points. Détermine l’équation de la droite de Mayer associée à cette distribution. Trace la droite de Mayer dans le nuage de points. À l’aide de l’équation de la droite de Mayer, estime le nombre de lettres lues correctement par une personne située à : 1) 4 m du tableau ; 2) 10 m du tableau.

Santé et bien-être Les yeux sont des organes complexes et ragiles. Ils peuvent être endommagés très acilement et de açon irréversible, par exemple s’ils reçoivent un choc violent, s’ils sont mis en contact avec des produits chimiques ou s’ils sont exposés trop longtemps aux rayons UVA et UVB du soleil. Ainsi, que ce soit au travail ou dans les loisirs, il importe de bien protéger ses yeux. Les lunettes de protection et les lunettes de soleil sont deux moyens efcaces pour éviter les blessures et les maladies oculaires. Nomme quelques sports et métiers qui présentent un risque de blessure oculaire.

Section 4

Mise en pratique

97

3. Le tableau ci-contre présente les données d’une étude portant sur la relation entre la circonférence du poignet et la circonférence du cou de 11 individus.

Circonférence Circonférence du poignet (cm) du cou (cm)

a) Détermine l’équation de la droite de Mayer associée à cette distribution. b) À l’aide de la droite de Mayer, estime : la circonférence du cou d’une personne dont la circonférence du poignet est de 20 cm ; 2) la circonférence du poignet d’une personne dont la circonférence du cou est de 30 cm. 1)

21,5

40,5

13

34

18

35

17

32

19

37

15

32,5

20,5

38

16,5

33

18,5

34,5

22,5

43

17

33,5

4. Des agriculteurs ont découvert qu’il existe un lien entre la densité des plants et le rendement des cultures. Le tableau ci-dessous présente les données relatives à la culture du canola. Densité (plants/m2)

a) Représente les données de cette distribution à l’aide d’un nuage de points. b) Qualifie la corrélation entre la densité et le pourcentage de plants à bon rendement. c) Détermine l’équation de la droite de Mayer qui modélise cette relation. d) À l’aide de l’équation trouvée en c, estime le pourcentage de plants à bon rendement pour une densité de : 2 2 1) 80 plants/m 2) 130 plants/m e) Laquelle de tes estimations en d est la plus fiable ? Justifie ta réponse. f) Le modèle linéaire est-il le plus approprié pour décrire la relation entre ces deux caractères ?

Plants à bon Plants à bon Densité rendement rendement (plants/m2) (%) (%)

32

61

75

85

40

66

84

88

41

64

88

92

45

74

100

92

48

69

106

95

57

77

109

97

60

81

113

94

66

89

115

90

68

84

120

88

5. Chacun des nuages de points ci-dessous est accompagné d’une droite de régression. Peux-tu te fier à une prédiction faite à partir de chacune de ces droites de régression ? Si oui, à quelle condition ? Si non, explique pourquoi. a)

b)

Y

X

98

Chapitre 6

La statistique

c)

Y

X

d)

Y

X

Y

X

6. Le nuage de points ci-contre est accompagné de la droite

Y

médiane-médiane qui modélise la relation entre les deux variables. a) Détermine l’équation de la droite médiane-médiane. b) À l’aide de l’équation trouvée en a, estime la valeur de Y pour : 1)

X = 15

2)

M1(7, 29) P(19,5, 20) M3(32, 13)

X = 45 X

7. On veut déterminer l’équation de la droite médiane-médiane d’une distribution à deux variables. De quelle açon audrait-il répartir les données en trois groupes si la distribution comportait : a) 17 données ? b) 24 données ? c) 40 données ?

8. Détermine l’équation de la droite médiane-médiane associée à la distribution suivante. X

40

45

25

32

51

21

50

44

27

38

Y

66

80

58

61

88

52

82

75

57

69 Altitude (m) Température (°C)

9. Un ballon-sonde a enregistré la température de l’air à diérentes altitudes. Le tableau ci-contre présente les résultats. a) Détermine l’équation de la droite médiane-médiane qui modélise cette relation. b) À l’aide de la droite médiane-médiane, estime la température : 1) à 500 m d’altitude ; 2) à 3 000 m d’altitude. c) Le modèle linéaire peut-il servir à prédire la température à 10 000 m d’altitude ? Justife ta réponse.

1 300

12,5

1 700

9,8

800

14,6

400

16,2

2 100

8,1

1 100

13,1

1 500

11,2

10. Le tableau ci-contre présente deux statistiques des joueurs de l’équipe de basket-ball des Raptors de Toronto qui ont joué plus de 50 parties au cours de la saison 2007-2008. a) Représente les données de cette distribution à l’aide d’un nuage de points. b) Estime la valeur du coefcient de corrélation linéaire entre les deux caractères. c) Trace la droite de Mayer et la droite médiane-médiane associées à cette distribution. d) Laquelle des deux droites tracées en c subit le plus l’inuence du point (84, 22,3) ? Explique ta réponse. e) Laquelle des deux droites privilégierais-tu pour prédire la moyenne de points par partie d’un joueur si tu connaissais le pourcentage de lancers rancs qu’il a réussis ? Justife ta réponse.

Raptors de Toronto Joueur

Lancers Moyenne francs de points réussis (%) par partie

Chris Bosh

84

22,3

Anthony Parker

82

12,5

T. J. Ford

88

12,1

Jose Calderon

91

11,2

Andrea Bargnani

84

10,2

Carlos Delfno

74

9,0

Jamario Moon

74

8,5

Rasho Nesterovic

76

7,8

Jason Kapono

86

7,2

Kris Humphries

61

5,7

Source : NBA, 2008.

Section 4

Mise en pratique

99

Consolidation 1. Les données de trois distributions sont représentées par les diagrammes à tige et à feuilles ci-dessous. 1

4 5 6 7

0 8 4 5

2 9 5 7

3 9 8

3

8

5

2

9

3 4 5 6 7 8

8 5 0 2 1 2

9 7 1 4 1 3

3 8 3 5 5

3 6

5

8

7

3

5

6

8

2

7

8

9

1

1

9

10 2

3

7

11 1

4

4

a) Calcule la moyenne de chacune de ces distributions. b) Calcule l’écart moyen de chacune de ces distributions. c) En considérant l’écart moyen, ordonne les trois distributions, de la plus homogène à la plus hétérogène. d) Pour chacune de ces distributions : détermine le rang centile de la donnée 75 ; e 2) trouve la donnée qui occupe le 40 rang centile. 1)

2. Soit la distribution de données suivante. 11

14

16

16

18

22

24

25

26

28

a) Calcule la moyenne et l’écart moyen de cette distribution. b) Modifie deux données de façon que la moyenne augmente de deux unités, mais que l’écart moyen demeure inchangé.

3. Soit les distributions de données suivantes. 1

21 24 24 26 27 28 29 31 31 31 32 33 36 37 38 39 39 40 42 44 47 50 51 55 56 57 58 58 63 68 71 77 80 81 89 93

2

32 32 33 33 33 33 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 36 36 36 37 38 38 38 39 39 39 40 40 41 42 42 43 44 44 45 45 45 46 47 47 48 49 Pour chacune de ces distributions : a) détermine le rang centile de la donnée 36 ; b) trouve la donnée qui occupe le 78e rang centile.

4. Un test d’habileté a été passé par 3 156 personnes. Détermine le rang centile du score de Kheeghan, sachant que 1 153 scores sont inférieurs au sien et que 1 832 scores sont supérieurs au sien.

100

Chapitre 6

La statistique

5. Pour chacun des nuages de points suivants, qualifie la corrélation entre les deux variables. a)

b)

Y

c)

Y

X

d)

Y

Y

X

X

X

6. Les deux caractères d’une distribution sont décrits sur chacun des cartons ci-dessous. La distance à parcourir et la durée du voyage pour participer à différents tournois de hockey durant la saison

1

La valeur des maisons de la rue Beauséjour et le revenu des familles qui les habitent

2

Le nombre de parties gagnées et le nombre de parties perdues par les équipes d’une ligue de volley-ball

3

La température moyenne et le nombre de policiers dans les villes canadiennes

4

L’âge des directeurs et les résultats scolaires des élèves des écoles primaires de l’Estrie

5

Les années d’expérience des secrétaires d’un bureau de courtage et le temps qu’ils prennent pour dactylographier un texte de 200 mots

6

7

L’année de fabrication et la valeur des voitures dans un commerce de voitures d’occasion

Le nombre de feux de circulation et le nombre de restaurants dans les villes du Québec

8

Pour chacune de ces distributions, indique, en justifiant tes réponses : a) le sens de la corrélation ; b) l’intensité de la corrélation ; c) la nature du lien, s’il y a lieu.

7. Associe chacun des nuages de points suivants au coefficient de corrélation linéaire qui lui correspond. a)

b)

Y

c)

Y

X

1

r = –0,94

d)

Y

X

2

r = 0,24

3

e)

Y

X

r = 0,64

4

r = 0,91

X

5

Y

X

r = –0,71

Consolidation

101

8. Les deux caractères d’une distribution sont décrits sur chacun des cartons suivants. 1

Le taux d’alcoolémie dans le sang et le temps de réaction à un stimulus

2

L’âge et la taille d’enants du primaire

4

3

Les années de scolarité et le salaire après les études

Les ventes de tuques et les ventes de maillots de bain dans un magasin de sport

a) Associe chacune de ces distributions au nuage de points qui lui correspond. 1) Y

2) Y

3) Y

X

4) Y

X

X

X

b) Décris la corrélation de chacune des distributions représentées en a en tenant compte du contexte.

9. Dans certains collèges, on ait passer des tests de classement aux étudiants afn de les inscrire à un cours qui correspond à leur niveau. Les administrateurs d’un collège veulent savoir s’il existe une relation entre la note obtenue au test de classement et la note obtenue à la fn du cours. Note au test de classement Note à la fn du cours

88 92

91 98

79 78

68 71

94 100

73 72

65 69

77 80

84 20

80

85

a) Représente cette distribution de données à l’aide d’un nuage de points. b) Existe-t-il une corrélation entre la note obtenue au test et la note obtenue à la fn du cours ? c) Estime le coefcient de corrélation linéaire de cette relation : en incluant toutes les données ; 2) en excluant le point (84, 20) de l’analyse des données. d) Donne une raison qui justiferait d’exclure le point (84, 20) de l’analyse des données. 1)

10. Voici deux distributions à deux variables. 1 2

X Y

3 22

5 24

6 18

6 17

7 18

9 15

10 11

12 13

15 10

17 8

18 5

X Y

12 7

14 11

17 10

18 14

19 13

22 9

25 15

25 16

29 14

29 18

32 19

Pour chacune de ces distributions : a) détermine l’équation de la droite de Mayer ; b) détermine l’équation de la droite médiane-médiane ; c) estime la valeur de Y pour X = 30 selon chacune des deux droites.

102

Chapitre 6

La statistique

18 7

11. Faire des liens Voici plusieurs facteurs relatifs à l’achat et à la possession d’une voiture. 1

Le prix de l’assurance automobile

2

Le kilométrage de la voiture

4

3

L’âge du conducteur

5

La valeur de la voiture

Le dossier de conduite du conducteur

6

L’âge de la voiture

Parmi ces facteurs, nommes-en deux qui ont, selon toi : une une une une

a) b) c) d)

faible corrélation linéaire positive. Justifie ta réponse. forte corrélation linéaire négative. Justifie ta réponse. corrélation linéaire positive moyenne. Justifie ta réponse. corrélation qui n’est pas linéaire. Justifie ta réponse.

12. Ce n’est pas pour rien

Coût ($)

La consommation annuelle d’énergie et le prix d’une machine à laver 1 200 1 100 1 000 900

La taille des oiseaux de proie 220 200 180 160 140 120 100

800

80 60

700

40 //

//

//

0

Envergure des ailes (cm)

Voici les nuages de points associés à deux distributions à deux caractères.

300 400 500 600 700 800 Consommation d’énergie (kWh)

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Taille (cm)

a) Pour chacune de ces distributions : 1) estime le coefficient de corrélation linéaire ; 2) décris la corrélation en tenant compte du contexte. 3) trace la droite qui, selon toi, s’ajuste le mieux au nuage de points ; p 4) trouve l’équation de cette droite à partir de deux des points oints qui se trouvent sur celle-ci. b) À l’aide de l’équation de la droite la mieux ajustée à chacun n des nuages de points, estime : 1) la consommation annuelle d’énergie d’une machine à laver aver qui coûte 1 050 $ ; 2) l’envergure des ailes d’un oiseau de proie dont la taille est de 40 cm.

Consolidation

103

13. Les dons par région Le tableau ci-dessous présente des données de Statistique Canada sur les revenus médians et les dons médians dans plusieurs régions du Canada. Revenu Don médian ($) médian ($)

Région

Revenu Don médian ($) médian ($)

Région

St. John’s, T.-N.-L.

43 300

280

London, Ont.

47 600

280

Île-du-Prince-Édouard

36 700

340

Windsor, Ont.

52 900

280

Halifax, N.-É.

47 700

270

Winnipeg, Man.

42 600

280

Saint John, N.-B.

42 700

310

Regina, Sask.

47 100

260

Saguenay, QC

43 700

120

Saskatoon, Sask.

45 100

310

Québec, QC

44 200

100

Calgary, Alb.

55 900

290

Sherbrooke, QC

40 000

130

Edmonton, Alb.

50 300

260

Trois-Rivières, QC

42 500

100

Abbotsford, C.-B.

40 000

560

Montréal, QC

46 100

150

Vancouver, C.-B.

46 800

310

Gatineau, QC

53 600

130

Victoria, C.-B.

46 700

300

Ottawa, Ont.

60 400

290

Territoire du Yukon

56 000

220

Kingston, Ont.

48 800

280

Territoires du Nord-Ouest

73 800

210

Toronto, Ont.

50 200

350

Nunavut

77 100

400

Source : Statistique Canada, 2006.

a) b) c) d)

Explique ce que signifient « revenu médian » et « don médian ». Émets une conjecture sur la relation entre ces deux caractères. Représente les données de cette distribution à l’aide d’un nuage de points. La représentation que tu as faite en c confirme-t-elle la conjecture que tu as émise en b ? e) Selon les données de Statistique Canada, dans quelle région les gens semblent-ils être le plus généreux ? Ces données sont-elles suffisantes pour affirmer qu’ils le sont ? Justifie ta réponse.

14. L’éparpillement Deux distributions sont décrites sur chacun des cartons suivants. Dans chaque cas, indique laquelle de ces distributions a, selon toi, le plus grand écart moyen. a)

b)

104

Chapitre 6

La statistique

1

L’âge des élèves d’une école secondaire

2

L’âge des étudiants d’une université

1

Le prix d’un litre d’essence au cours des 10 dernières années

2

Le prix d’un litre de lait au cours des 10 dernières années

c)

d)

1

Le salaire des commis chez Sogico

2

Le salaire des employés chez Sogico

1

La température à l’intérieur d’une résidence de Blainville

2

La température quotidienne à Blainville

15. Remaniement Les neuf données d’une distribution sont représentées dans la figure ci-contre.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

a) Détermine la moyenne de cette distribution de données. b) Sans calculer l’écart moyen, modifie cette figure de façon à représenter une distribution de neuf données qui a : la même moyenne et un plus petit écart moyen que la distribution représentée ; 2) un écart moyen nul et une moyenne égale à celle de la distribution représentée ; 3) le même écart moyen et une moyenne plus grande que celle de la distribution représentée ; 4) le plus grand écart moyen possible, mais une moyenne égale à celle de la distribution représentée. 1)

16. Postes à combler Un nouveau magasin à grande surface ouvrira ses portes dans un mois. L’administration a mis sur pied un comité de sélection qui évaluera les 338 candidatures reçues pour les 75 postes à combler. Afin de procéder à une première sélection des personnes qui seront invitées à passer une entrevue, le comité a attribué une note sur 100 au formulaire rempli par chacune et chacun des aspirants aux postes. Tous les candidats dont la note occupe un rang centile de 70 et plus seront invités à passer une entrevue. a) Détermine si les candidats suivants seront invités en entrevue : 1) Camille, si 98 personnes ont obtenu une meilleure note qu’elle ; 2) William, si 4 personnes ont eu la même note que la sienne et que 217 personnes ont eu une moins bonne que la sienne. b) Détermine la position de Catherine dans la distribution ordonnée des notes, sachant qu’elle est la seule à avoir obtenu une note de 81 % et que sa note occupe le 72e rang centile.

17. Comment se fait-il que… ? Propose une explication pour chacune des corrélations décrites ci-dessous. a) Selon les données de l’ONU, il existe une importante corrélation positive entre l’accès à l’eau potable et l’éducation des filles dans les pays en développement. b) En France, dans les régions où les cigognes sont nombreuses, les taux de natalité chez les humains sont élevés. c) Il existe une corrélation linéaire négative entre le nombre de cheveux sur la tête d’une personne et son salaire. d) De façon générale, à l’échelle mondiale, les gens vivent plus vieux dans les pays où la proportion de fumeurs est plus élevée. Consolidation

105

18. Mise en forme

Résultat de la seconde évaluation

Douze personnes se sont inscrites à un programme d’entraînement physique d’une durée de 10 semaines. L’entraîneur a ait une évaluation de la condition physique de chacune de ces personnes au début et à la fn des 10 semaines. Les résultats à un programme d’entraînement physique L E F G D

B K J

A

H

I C Résultat de la première évaluation

a) Qualife la corrélation entre les résultats des deux évaluations. b) Désigne par la lettre qui lui correspond dans le nuage de points : 1) la personne qui a le moins progressé ; 2) la personne qui a le plus progressé.

19. Sauter aux conclusions Le coefcient de corrélation linéaire entre la taille des joueurs d’une équipe de basket-ball et le nombre de rebonds qu’ils récupèrent est de 0,6. Détermine si chacune des afrmations suivantes est vraie ou ausse et justife tes réponses. a) Les grands joueurs récupèrent en moyenne 60 % des rebonds. b) Aucun joueur de petite taille ne récupère de rebond. c) Soixante pour cent des joueurs de grande taille récupèrent plus de rebonds que la moyenne. d) Les plus petits joueurs récupèrent moins de rebonds.

20. Il faut être Thomas Commente l’afrmation suivante. Si, pour une relation donnée, la valeur du coefcient de corrélation linéaire est près de 1 ou de –1, alors il existe nécessairement une orte corrélation linéaire entre les deux caractères.

21. La seule, l’unique ! Dans le cas d’un nuage de points qui ne contient que deux points, explique, à l’aide d’un exemple, pourquoi la valeur de r est orcément 1, –1 ou non défnie.

106

Chapitre 6

La statistique

22. Pas si différent Voici les représentations graphiques de deux distributions à deux caractères. 1

2

La valeur d’une maison et la facture d’électricité Montant de la facture d’électricité

Temps de combustion

La combustion d’une bougie

Hauteur d’une bougie

Valeur d’une maison

Pour chacune de ces distributions : a) estime le coefcient de corrélation linéaire : 1) en incluant le point aberrant dans l’analyse des données ; 2) en excluant le point aberrant de l’analyse des données. b) donne un exemple de situation pour laquelle il serait préérable : d’inclure le point aberrant dans l’analyse des données ; 2) d’exclure le point aberrant de l’analyse des données. 1)

23. Qui dit mieux ? La même distribution de données est représentée dans les deux nuages de points ci-dessous. Dans le premier nuage de points, la distribution est modélisée par la droite de Mayer. Dans le second, elle est modélisée par la droite médiane-médiane. 1

2

Y

Y

M3(33, 22,8)

P2(27,8, 21)

P(20,3, 13,7) P1(10, 8,2) M1(8, 7,8)

X

a) b) c) d)

X

Détermine l’équation de chacune de ces droites. À l’aide des équations déterminées en a, estime la valeur de Y pour X = 40. Quelle est la diérence entre les deux valeurs obtenues en b ? Pour modéliser une distribution qui comporte des données aberrantes, quelle droite choisirais-tu ? Justife ta réponse. Consolidation

107

24. Les objectifs du millénaire Deux des huit objectis de développement énoncés dans la Déclaration du millénaire des Nations Unies sont la réduction de la mortalité des enants de moins de 5 ans et l’amélioration de la santé maternelle dans les pays en développement. La mortalité infantile en Afrique subsaharienne Mortalité infantile (0 -1 an) pour 1 000 naissances vivantes

Le nuage de points ci-contre représente la relation entre la mortalité inantile (de 0 à 1 an) et le pourcentage des accouchements aits en présence de personnel de santé qualié dans les pays d’Arique subsaharienne.

180 150 120

90 a) Estime le coecient de corrélation linéaire de 60 cette distribution. 30 b) Décris la relation entre les deux caractères. 0 20 40 60 80 100 Accouchements en présence c) Selon toi, le lien entre les de personnel de santé qualifié (%) deux caractères est-il causal, attribuable à un 3e acteur Source : Indicateurs des objectis du millénaire de l’ONU. d’infuence ou ortuit ? d) Nomme d’autres acteurs qui, selon toi, pourraient avoir un impact sur le taux de mortalité inantile en Arique subsaharienne.

Santé et bien-être En septembre 2000, à l’occasion du Sommet du millénaire, les Nations Unies ont adopté huit objectis du millénaire pour le développement. Ces objectis visaient entre autres la réduction de l’extrême pauvreté et de la aim dans le monde, l’accès à l’école primaire pour tous, la lutte contre le VIH/sida, l’égalité entre les sexes, la préservation de l’environnement et la mise en place d’un partenariat mondial pour le développement. En 2007, on déplorait un retard dans l’atteinte de ces objectis, mais les Nations Unies maintiennent qu’ils devront être atteints d’ici 2015. Pourquoi crois-tu qu’il est si difcile pour la communauté internationale de s’entendre afn d’assurer la santé et le bien-être de l’ensemble de la population mondiale ?

108

Chapitre 6

La statistique

25. Les gardiens de la LNH Le tableau ci-dessous présente la moyenne de buts contre (MBC) par partie et le nombre de victoires remportées au cours de la saison 2007-2008 pour les gardiens de but de la LNH qui ont joué plus de 60 parties. a) Détermine l’équation de la droite de Mayer associée à cette distribution. b) À l’aide de l’équation trouvée en a, estime le nombre de victoires d’un gardien de but s’il termine la saison avec une moyenne de 2,5 buts par partie.

Les gardiens de but de la LNH Joueur

Équipe

MBC

Victoires

Evgeni Nabokov

SJS

2,14

46

Martin Brodeur

NJD

2,17

44

Henrik Lundqvist

NYR

2,23

37

Marty Turco

DAL

2,31

32

Roberto Luongo

VAN

2,38

35

Manny Legace

STL

2,41

27

Ilja Bryzgalov

PHX

2,44

28

Martin Biron

PHI

2,59

30

Ryan Miller

BUF

2,64

36

Tomas Vokoun

FLA

2,68

30

Miikka Kiprusoff

CGY

2,69

39

Vesa Toskala

TOR

2,74

33

Cam Ward

CAR

2,75

37

Rick Dipietro

NYI

2,82

26

Source : Ligue nationale de hockey, 2008.

26. Les bébés Le centre néonatal d’un hôpital enregistre plusieurs informations sur chacun des bébés qui y naît. Le tableau suivant présente, en ordre croissant, les masses en grammes de quelques-uns des 211 nouveau-nés du dernier mois. Masse Masse Masse Masse Masse Masse Position Position Position Position Position Position (g) (g) (g) (g) (g) (g) 3 479

150

3 740

179

97

3 482

151

3 784

180

1 795

3

2 742

11

3 154

98

3 486

152

4 002

181

1 897

4

3 156

99

3 499

153

1 935

5

3 508

154

1 971

6

2 178

7

2 248

8

3 156

100

2 966

71

3 138

93

3 167

101

3 002

72

3 144

94

3 017

73

3 145

95

….

92

….

3 137

3 725

178

….

96

3 148

….

3 147

75

….

74

3 022

….

3 021

10

….

9

2 651

….

2 459

2

….

1

1 532

….

1 364

4 537

209

4 712

210

4 832

211

a) Détermine le rang centile du bébé : 1) qui avait une masse de 3 002 g à la naissance; 2) qui avait une masse de 3 156 g à la naissance. b) Quelle est la masse d’un bébé qui occupe le 72e rang centile ?

Consolidation

109

27. De graves conséquences Le tableau ci-dessous présente les résultats d’une étude réalisée par un centre de santé public de la Californie. Cette étude met en relation le surplus de poids chez les enfants et les décès liés au diabète dans 12 districts électoraux de Los Angeles. L’excès de poids chez les enfants et le nombre de décès liés au diabète à Los Angeles, de 1996 à 2000 Districts électoraux

Enfants ayant Décès liés Enfants ayant Décès liés Districts un excès au diabète un excès au diabète électoraux de poids (%) (/100 000 décès) de poids (%) (/100 000 décès)

1

28,4

97,7

7

28,5

92,5

2

27,4

77,4

8

26,6

94,5

3

28,6

104,8

9

26,4

73,9

4

25,8

68,8

10

23,7

72,6

5

29,4

118,8

11

28,8

120,8

6

28,1

90,6

12

25,3

101,7

Adapté de : California Center for Public Health Advocacy.

Supposons que le district 11 met en place un programme qui vise à réduire le pourcentage d’enfants ayant un excès de poids. Estime de combien ce pourcentage devrait diminuer pour que le nombre de décès liés au diabète passe sous la barre des 100 pour 100 000 décès.

28. Plus près de chez nous Selon une enquête sur la santé des collectivités canadiennes, menée par Statistique Canada, le pourcentage d’enfants qui ont un excès de poids a plus que doublé au Québec entre 1980 et 2004. En 2004, 23 % des enfants québécois avaient un excès de poids. Cette même année, le taux de décès liés au diabète était de 16,9 pour 100 000 au Québec. Compare la situation du Québec avec celle de la Californie, présentée au numéro précédent, et propose des explications.

29. Une différence prévisible Il existe une corrélation linéaire entre la longueur du fémur et la taille d’un être humain. Les radiologistes qui font passer des échographies aux femmes enceintes de 32 semaines utilisent cette relation pour prédire la taille (en cm) du bébé à la naissance. L’équation de la droite de régression associée à cette relation est Y = 2,51X + 45,2. Une radiologiste a mesuré le fémur de deux jumelles à 32 semaines de grossesse. Le fémur d’une des jumelles mesure 2 mm de plus que celui de l’autre jumelle. Estime la différence de taille qu’auront ces jumelles à la naissance si l’accouchement a lieu à 40 semaines.

110

Chapitre 6

La statistique

30. Mieux vaut prévenir que guérir… Au cours des dernières années, l’Institut national du cancer des États-Unis a mené une vaste étude sur la relation entre la consommation de viande et l’occurrence du cancer du côlon dans différents pays. Le tableau ci-dessous présente les résultats de cette étude. Consommation de viande (g/pers. par jour)

Taux de cancer du côlon (/100 000 pers.)

Consommation de viande (g/pers. par jour)

Taux de cancer du côlon (/100 000 pers.)

201

15,5

Jamaïque

67

11,0

Chili

86

7,2

Japon

32

5,8

Colombie

83

4,1

Nigeria

23

1,4

Danemark

178

24,1

Norvège

116

17,2

États-Unis

282

32,6

Nouvelle-Zélande

319

38,7

Finlande

114

8,3

Pays-Bas

154

17,7

Grande-Bretagne

216

21,9

Pologne

138

7,6

Hongrie

149

7,1

Roumanie

107

6,9

Islande

226

15,4

Suède

150

18,9

Israël

146

16,8

Ex-Yougoslavie

72

8,1

Pays Allemagne

Pays

Adapté de : Institut national du cancer des États-Unis.

Au Canada, la consommation moyenne de viande par jour est d’environ 240 g par personne. On considère que la population canadienne s’élève à environ 33 500 000 habitants. On considère également que 90 % des cas de cancer du côlon surviennent chez des personnes de 50 ans et plus. Estime le plus précisément possible le nombre de Canadiens de moins de 50 ans atteints d’un cancer du côlon.

Santé et bien-être De nos jours, de plus en plus d’études sont réalisées dans le but d’établir des liens entre la consommation de diérents aliments et l’occurrence de certaines maladies. Des chercheurs s’intéressent également au rôle que peuvent jouer certains aliments dans la prévention du cancer. C’est le cas notamment du docteur québécois Richard Béliveau et de son équipe, qui mènent d’importantes recherches à ce sujet. Selon toi, quels aliments devrait-on éviter de consommer afn de réduire les risques de maladies ? Quels aliments devrait-on consommer davantage dans un but préventi ?

Consolidation

111

31. Le coût caché de la maladie Selon Statistique Canada, le nombre hebdomadaire d’employés canadiens qui s’absentent du travail en raison d’une maladie ou d’une incapacité a augmenté de açon constante sur une période de 10 ans, passant de 431 000 en 1997 à 758 000 en 2006. Ces absences engendrent des pertes de productivité et des coûts de remplacement de la main-d’œuvre. La direction de l’entreprise Prévensoin songe à mettre en place des mesures visant à réduire l’absentéisme. Le tableau suivant présente le nombre de congés de maladie pris par chacun des employés de l’entreprise au cours de la dernière année et cinq ans plus tôt. Les journées d’absence des employés de Prévensoin Cinq ans plus tôt

Année dernière

Cinq ans plus tôt

Année dernière

Cinq ans plus tôt

Année dernière

5

3

0

1

3

8

11

Retraité

7

5

10

8

7

4

2

4

8

6

3

0

3

4

4

6

6

12

9

18

15

12

7

3

0

3

14

7

2

5

10

7

6

9

2

6

12

11

1

4

6

4

1

9

Pas à l’emploi

2

0

6

0

4

Pas à l’emploi

7

4

11

7

6

Pas à l’emploi

5

En tant que responsable des ressources humaines chez Prévensoin, la direction te confe le mandat d’étudier la distribution et l’évolution de l’absentéisme au sein de l’entreprise. Le rapport que tu dois présenter devra comprendre : – une analyse de la distribution des absences pour les deux années prises en compte et une étude comparative de l’absentéisme pour ces deux années ; – une étude de la corrélation entre l’absentéisme il y a cinq ans et l’absentéisme l’année dernière ; – des recommandations, au besoin, quant aux mesures à privilégier pour réduire l’absentéisme.

Santé et bien-être L’état de santé et le stress sont deux des principaux facteurs qui expliquent l’absentéisme au travail. Selon des recherches rapportées par Statistique Canada en 2006, la moitié des employés disent que leur environnement de travail comprend un ou plusieurs éléments de stress. Selon toi, quels peuvent être les éléments de stress au travail ? Quelles initiatives les employeurs peuvent-ils prendre pour procurer aux employés un environnement de travail plus agréable ?

112

Chapitre 6

La statistique

Le monde du travail La gestion des ressources humaines La gestion des ressources humaines occupe une place importante dans les organisations de travail. Afn d’assurer de bonnes relations entre les employeurs et les employés, la plupart des grandes entreprises engagent des responsables des ressources humaines. Les responsables des ressources humaines analysent les conditions de travail des employés et mettent en œuvre des initiatives visant à assurer une qualité de vie au travail, ainsi qu’un environnement psychosocial et physique avorable. Ce sont également eux qui dirigent la sélection, la ormation et l’évaluation du personnel. En outre, ils peuvent être appelés à représenter l’employeur ou les employés dans une situation opposant les deux parties. Diérents programmes universitaires amènent les étudiants à travailler comme responsables des ressources humaines. C’est le cas notamment des programmes de relations industrielles et de relations de travail, ou encore de certains programmes de communication qui comportent un volet relations humaines. Outre la capacité à gérer des groupes, à comprendre les conventions et règlements d’une entreprise et à recueillir des données diverses, les responsables des ressources humaines doivent avoir une grande acilité à communiquer et aire preuve d’empathie. Comme ils occupent un rôle cle dans la qualité des relations de travail, ils doivent avoir une approche humaniste, comprendre la psychologie des personnes et aire preuve de tact et de diplomatie. Les programmes qui visent à ormer des responsables des ressources humaines peuvent également mener à des onctions connexes, telles que consultant organisationnel, conseiller en santé et sécurité au travail, ormateur, agent syndical, etc. Certaines de ces onctions peuvent s’exercer au sein d’une entreprise, mais également dans la onction publique, dans des frmes d’experts-conseils ou encore au sein même d’une entreprise de consultants.

Le monde du travail

113

Intersection Chapitres 1 à 6

Maison à vendre

?

Pour aciliter la vente de leur propriété, de nombreuses personnes ont recours aux services d’agents immobiliers. Les agents immobiliers évaluent la valeur marchande de la propriété et conseillent les vendeurs sur la açon d’obtenir le meilleur prix et les meilleures conditions de vente possibles. De plus, ils mettent en place des stratégies an d’accentuer la visibilité de la propriété auprès des acheteurs potentiels. Les Gosselin désirent vendre leur maison. Ils ont appel à l’agence immobilière Immo-Max, pour laquelle tu travailles. Tu te rends une première ois chez les Gosselin et tu t’inormes au sujet des acteurs susceptibles d’infuer sur la valeur de leur maison. Voici les inormations que tu recueilles.

Immo-Max : 22 ans Âge de la maison : 10 Nombre de pièces bres à coucher : 5 Nombre de cham pale : Évaluation munici

000 $ – bâtiment : 195 $ – terrain : 92 000 Taxes :

243 $ – municipales : 3 4$ – scolaires : 1 00 Superfcie : 2

m – bâtiment : 221

2

m – terrain : 1 016

114

Intersection

Chapitres 1 à 6

An de proposer aux Gosselin un prix de vente pour leur propriété, tu utilises un logiciel spécialement conçu pour les agents immobiliers. Le logiciel génère le tableau ci-dessous, qui indique le prix de vente demandé pour les maisons à vendre dans le secteur des Gosselin, ainsi que les données relatives aux acteurs susceptibles d’infuer sur ce prix.

Prix Âge Nombre demandé de la de (3 1 000 $) maison pièces

Évaluation municipale (3 1 000 $)

Nombre de chambres à coucher

Bâtiment

Terrain

Municipales

Scolaires

Bâtiment

Terrain

Taxes ($)

Superfcie (m²)

259

12

9

3

138

57

2 207

684

204

626

272

15

8

3

149

51

2 255

699

171

445

289

28

10

3

125

43

1 898

588

199

348

298

9

10

4

133

78

2 384

739

246

714

319

11

10

5

175

66

2 724

844

275

602

319

9

11

5

185

71

2 897

897

264

663

349

16

11

5

159

57

2 442

756

387

512

379

14

12

6

205

73

3 141

973

204

789

389

8

7

2

102

141

2 746

851

151

1 375

390

15

12

5

203

78

3 180

985

284

784

449

13

10

4

322

107

4 848

1 502

329

1 228

485

7

9

4

274

84

4 049

1 254

240

896

629

10

12

6

477

74

6 229

1 929

418

811

Propose un prix de vente pour la maison des Gosselin et explique-leur comment tu as procédé pour établir ce prix.

Situation d’apprentissage et d’évaluation

115

Problèmes 1. Les coussins gonflables L’industrie automobile est constamment à la recherche de nouveaux moyens d’améliorer la sécurité des passagers à l’intérieur des véhicules. Les coussins gonfables sont parmi les dispositis de sécurité qui ont le plus alimenté les débats de société. Le fonctionnement des coussins gonflables

Les coussins gonflables sont branchés à des capteurs qui détectent les décélérations brusques. Lorsque la décélération excède un seuil minimal, les capteurs envoient un signal électrique à un actionneur pyrotechnique qui fait gonfler le coussin. Le processus prend environ un vingtième de seconde, c’est-à-dire moins de temps qu’un clignement d’yeux. Des évents aménagés à l’arrière du coussin font en sorte qu’il se dégonfle lentement afin d’amortir le choc qui se produit quand la tête du passager vient s’enfoncer dans le coussin. Adapté de : Safety Issues for Canadians : Air Bags (traduction libre).

Volume du coussin gonflable (dm3)

Le volume du coussin gonfable en onction du temps écoulé depuis la collision est modélisé à l’aide d’une onction dénie par parties. La partie représentant le déploiement, en vert, est une onction quadratique. a) Pendant quel intervalle de La variation du volume d’un coussin gonflable temps la onction représentant au moment d’une collision frontale à 80 km/h le volume du coussin 140 gonfable selon le temps est-elle : 120 1) strictement croissante ? 100 2) strictement décroissante ? 80 3) constante ? 60 b) Détermine la règle de 40 la onction qui décrit la 20 variation du volume du coussin gonfable en onction 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Temps écoulé depuis la collision (millisecondes) du temps écoulé depuis la collision. c) Quel est le volume du coussin gonfable 40 millisecondes après la collision ?

116

Intersection

Chapitres 1 à 6

2. Mesures algébriques

A

Dans la figure ci-contre, les triangles DAE et ECD sont rectangles. Quelle est l’aire du triangle BDE ?

C

7,5

B x

F

E

D

6

4

3. Fort Bragg Fort Bragg, une petite ville de Californie, constitue un attrait touristique important aux États-Unis, notamment en raison de la vue spectaculaire qu’elle offre sur l’océan Pacifique. Le tronçon de l’autoroute 1 qui passe par cette ville doit être réparé. On a représenté la ville et ses environs dans le plan cartésien ci-contre, gradué en kilomètres. Le tronçon de la route qui doit être réparé est dessiné en bleu. Ses extrémités sont les points A(3, 2) et B(3,5, 5,5). Le gouvernement fédéral s’engage à réparer les 45 de la route, soit toute la partie qui se trouve au sud de l’emplacement du site historique C. La municipalité, quant à elle, se chargera de la partie qui se trouve au nord de ce site.

N O

E

1

S

B Site historique de Fort Bragg

C

A 20

En considérant que la réparation de un mètre de route coûte 790 $, rédige une soumission détaillée à la municipalité pour l’exécution de ces travaux.

Problèmes

117

4. Triangles en vue Dans le plan cartésien ci-contre, les segments BC et DE sont supportés par des droites parallèles.

y

D(7, 5)

a) Est-ce que le triangle AED est rectangle ? Laisse les traces de ta démarche. b) Sachant que les graduations sont en mètres, détermine la mesure du segment BC.

B(3,

3 23)

A(1, 3) C x E(11, –1)

Le nombre de plans d’eau infestés de cyanobactéries, communément appelées « algues bleues », a connu une croissance exponentielle entre les années 2004 et 2007, au Québec. Dans le plan cartésien ci-contre, chacun des points représente le nombre de plans d’eau infestés chaque année depuis 2004. La courbe représente la fonction qui modélise la relation entre le nombre de plans d’eau infestés et le nombre d’années écoulées depuis 2004. Selon ce modèle, il y aurait 456 plans d’eau infestés en 2008 et 867 plans d’eau infestés en 2009. Combien de plans d’eau seraient infestés de cyanobactéries en 2012 si cette tendance se maintenait ?

Nombre de plans d’eau infestés

5. La crise des cyanobactéries Les plans d’eau infestés de cyanobactéries 350 300 250 200 150 100 50

0

1

2 3 4 5 Années écoulées depuis 2004

Adapté de : Ministère du Développement durable, de l’Environnement et des Parcs.

118

Intersection

Chapitres 1 à 6

6. Même masse, même longueur Lorsqu’on suspend une masse à l’extrémité d’un ressort, celui-ci s’allonge. Pour une même masse, l’allongement varie selon le ressort utilisé.

Le ressort A ci-dessus mesure 8 cm. Ce ressort s’allonge de 1 cm pour chaque masse de 100 g qu’on suspend à son extrémité. Le ressort B mesure 5 cm et s’allonge de 1 cm pour chaque masse de 75 g qu’on suspend à son extrémité. Il est possible de suspendre une même masse à ces deux ressorts de façon qu’ils soient de même longueur, une fois allongés. Quelle est cette masse ?

7. Sans intérêts Monsieur et madame Aubin ont établi une façon de gérer leurs finances personnelles. Les revenus de monsieur Aubin servent à payer leur hypothèque et un prêt personnel par prélèvement bancaire. Pour toutes les autres dépenses, le couple utilise les revenus de madame Aubin. Voici un graphique qui présente l’évolution du solde du compte courant de monsieur Aubin au fil du temps. Solde du compte courant ($)

L'évolution du solde du compte courant de monsieur Aubin 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 Temps (jours)

a) Quelle est la période de la fonction qui permet de modéliser cette situation ? Que représente-t-elle dans le contexte ? b) À quelle fréquence monsieur Aubin reçoit-il sa paye ? Combien son employeur dépose-t-il dans son compte chaque fois ? c) Sachant que le versement hypothécaire est le plus gros retrait au compte de monsieur Aubin, détermine à combien s’élève le versement périodique de leur prêt personnel ? Problèmes

119

8. La masse des cubes Dans le cadre d’un cours de science et technologie, Nicolas et Jasmine doivent déterminer la masse d’un cube rouge et la masse d’un cube vert. Ils disposent de ces montages et d’une balance.

Voici les systèmes d’équations qui modélisent les pesées de Nicolas et Jasmine, où x représente la masse d’un cube rouge et y représente la masse d’un cube vert.

Nicolas

Jasmine

x + 3y = 530 3x + y = 910

x + 3y = 230 3x + y = 910

Qui a commis une erreur au moment de la pesée ? Justifie ta réponse.

9. Le parent le plus influent Les données du tableau ci-dessous portent sur 10 filles de 20 ans et leurs parents. Taille de la fille (cm)

200

170

185

170

171

172

170

178

163

160

Taille du père (cm)

201

190

185

180

178

177

180

184

172

180

Taille de la mère (cm)

185

166

160

176

167

181

174

190

166

152

a) Ordonne les groupes des filles, des pères et des mères de celui qui a le plus petit écart moyen à celui qui a le plus grand écart moyen. b) À l’aide d’un nuage de points, représente la relation entre : 1) la taille des filles et la taille de leur père ; 2) la taille des filles et la taille de leur mère. c) Estime le coefficient de corrélation linéaire pour chacune des distributions représentées en b. d) Quel parent semble avoir la plus grande influence sur la taille de sa fille ? Justifie ta réponse. e) Certaines personnes considèrent que c’est la moyenne de la taille des deux parents qui a la plus grande influence sur la taille de leur fille. Vérifie cette hypothèse. f) Soit les trois relations considérées en b et en e. En te basant sur celle qui présente la plus forte corrélation linéaire, estime la taille qu’aura une fille à 20 ans si sa mère mesure 172 cm et son père, 184 cm.

120

Intersection

Chapitres 1 à 6

10. Au menu Le tableau ci-dessous présente la teneur en gras et en énergie de mets préparés dans un casse-croûte. Mets

Portion (g)

Gras (g)

Énergie (kJ)

Croquettes de poisson

147

9

317

Croquettes de poulet

159

12

300

Hamburger double

157

20

410

Petit sous-marin

179

6

280

Petit sous-marin végétarien

117

3

165

Pointe de pizza garnie de pepperoni

277

19

630

Pointe de pizza végétarienne

326

14

580

Poitrine de poulet

161

19

380

Poulet pop-corn

114

21

380

Salade César

170

22

360

a) À l’aide d’un nuage de points, représente la relation entre la quantité de gras, en milligrammes, par gramme de portion et la quantité d’énergie, en kilojoules, par gramme de portion pour tous les mets oerts dans ce casse-croûte. b) Dans le menu de ce casse-croûte, on trouve également des nachos. Estime la quantité d’énergie, en kilojoules (kJ), dans une portion de 263 g de nachos contenant 16 g de gras.

11. Les normes du travail Lorsqu’un employeur congédie un employé, il doit lui remettre un avis écrit qui précise le moment où le lien d’emploi se terminera. Selon la Loi sur les normes du travail, le nombre de semaines minimal qui s’écoule entre la remise de l’avis écrit et la fn du lien d’emploi varie selon l’ancienneté de l’employé. Le tableau suivant présente cette relation. Normes du travail

Le délai de préavis pour un congédiment Ancienneté

Nombre de semaines

3 mois à 1 an

1 semaine

1 an à 5 ans

2 semaines

5 ans à 10 ans

4 semaines

10 ans et plus

8 semaines

Source : Gouvernement du Québec, 2009.

a) Quel type de onction permet de modéliser cette situation ? b) Représente graphiquement cette onction.

Problèmes

121

12. Origami Un carton a la orme d’un triangle isocèle dont les côtés AF et CF sont isométriques. On le plie de açon que le côté DE soit parallèle à la base AC. Détermine la mesure de l’angle EHC en justifant toutes les étapes de ta démarche.

B

G

A

H C ? E

D

50° F

13. La « taxe de Bienvenue » Au Québec, depuis 1976, les municipalités imposent une taxe de mutation à l’achat d’une maison. Voici comment le montant de la taxe de mutation est déterminé à partir du prix d’achat d’une maison.

Fait divers

– 0,5 % sur la première tranche de 50 000 $

Contrairement à la croyance populaire, la « taxe de Bienvenue » n’est pas une façon de souhaiter la bienvenue aux nouveaux propriétaires. Il s’agit plutôt d’une taxe perçue par les municipalités sur toutes les transactions immobilières effectuées sur leur territoire. Ces droits de mutations immobilières ont été instaurés en 1976 par le ministre Jean Bienvenue pour fournir aux munici­ palités une source de revenus supplémentaires. C’est donc en son honneur que les droits de mutations immo­ bilières sont commu­ nément appelés « taxe de Bienvenue ».

122

Intersection

– 1,0 % sur la tranche de 50 000 $ à 250 000 $ – 1,5 % sur la tranche qui excède 250 000 $ a) Parmi les règles ci-dessous, laquelle permet de déterminer la taxe de mutation ? Explique pourquoi les autres ne le permettent pas. 1

f1(x) =

0,005x pour 0 ≤ x ≤ 50 000 0,01x pour 50 000 < x ≤ 250 000 0,015x pour x > 250 000

f2(x) =

0,005x pour 0 ≤ x ≤ 50 000 250 + 0,01(x - 50 000) pour 50 000 < x ≤ 250 000 2250 + 0,015 (x - 250 000) pour x > 250 000

f3(x) =

0,005x 0,01(x - 50 000) 0,015 (x - 250 000)

2

3

pour 0 ≤ x ≤ 50 000 pour 50 000 < x ≤ 250 000 pour x > 250 000

b) Quel est le montant de la taxe de mutation pour une maison payée 265 000 $ ?

Chapitres 1 à 6

Énigmes 1

Une cliente apporte à un joaillier 6 chaînes en or composées chacune de 5 anneaux. Elle veut que le joaillier asse une seule chaîne circulaire ermée avec ces 6 chaînes. Elle lui demande combien cela lui coûtera. Le joaillier répond : « Chaque ois que j’ouvre un anneau et que je le reerme, cela coûte 5 $. Puisque vous avez 6 chaînes, cela vous coûtera 30$. – Je ne suis pas d’accord, répond la cliente. Je crois que vous pouvez aire ce que je vous demande pour moins cher sans réduire le prix que vous exigez pour ouvrir et reermer un anneau. » La cliente a-t-elle raison ? Justife ta réponse.

2

Un agriculteur possède un terrain de orme particulière, comme le montre l’illustration ci-dessous. Il souhaite diviser son terrain en quatre parties ayant la même orme et la même superfcie. Comment doit-il s’y prendre ?

Voici un montage d’allumettes en orme de pelle dans lequel on a placé des billes. Comment peux-tu déplacer deux allumettes de açon que le montage ait exactement la même orme, mais que les billes soient à l’extérieur ?

3

4

Tia est née au 20e siècle. Elle célébrera son ne anniversaire au cours de l’année n2. En quelle année est-elle née ?

5

Quelle règle détermine l’ordre des nombres dans cette suite ? 10

18

19

17

12

11

14

15

16

13

20

Énigmes

123

Chapitre

7

La trigonométrie Il y a plus de 2 000 ans, les astronomes aisaient partie de ceux qui détenaient le savoir. Ils étaient à la ois philosophes, mathématiciens et géographes. Certains ont d’ailleurs pu établir, à partir de leurs observations célestes, des liens entre les mesures des angles et les côtés des triangles. Au fl du temps, l’étude de ces liens a mené au développement d’une branche de la mathématique, aujourd’hui appelée la trigonométrie (du grec trigonos, « triangle », et metron, « mesure »). Cette dernière ait partie du quotidien des gens qui travaillent notamment en électronique, en aviation et en construction. Les métiers se sont spécialisés avec la révolution industrielle, époque à laquelle l’éducation est devenue plus accessible. Quels sont les avantages et les inconvénients de la spécialisation des métiers ? Pense à un métier qui t’intéresse et nomme quelques métiers qui y sont complémentaires.

Survol

Orientation et entrepreneuriat

Entrée en matière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 Section 1 – Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 Section 2 – La recherche de mesures dans un triangle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 Section 3 – L’aire de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 Consolidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162 Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Contenu de formation • Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle : sinus, cosinus, tangente • Relations trigonométriques dans un triangle quelconque : loi des sinus, ormule de Héron • Recherche de mesures manquantes mettant à proft des relations trigonométriques et des propriétés des fgures : angles d’un triangle, côtés d’un triangle • Aires de triangles et de quadrilatères

Entrée en matière Les pages 126 à 128 font appel à tes connaissances sur les triangles.

En contexte Marie-Claude est écodesigner. À l’aide de matériaux et d’objets qu’elle trouve dans les ruelles et les ventes-débarras, elle crée des meubles et des accessoires décoratifs.

1. La semaine dernière, Marie-Claude a déniché un vieil escabeau en bois. Les deux échelles formant cet escabeau sont droites, mais ont des largeurs différentes. Elle envisage de fabriquer une étagère en coin en séparant les échelles et en disposant des tablettes sur les barreaux. Elle considère deux dispositions, dont voici les vues du dessus. Disposition des deux échelles au coin des murs

Disposition des deux échelles le long des murs ?

45 cm Largeur de la planche

16 cm

40 cm

45 cm

Largeur de la planche

40 cm

a) Dans la disposition de droite, quelle distance sépare le coin du mur du début de l’échelle la plus large ? b) Calcule l’aire d’une tablette pour chacune des dispositions. c) Pour fabriquer ses tablettes, Marie-Claude utilisera des planches rectangulaires qu’elle coupera selon ses besoins. Détermine la largeur minimale de planche dont aura besoin Marie-Claude pour chacun des deux modèles de tablettes.

126

Chapitre 7

La trigonométrie

N

2. Marie-Claude a aussi trouvé le vitrail brisé ci-contre. Dans ce vitrail carré symétrique mesurant 60 cm de côté se trouve un moti ormé par le triangle équilatéral ABC et le carré ADEF. a) Dans ce vitrail, le triangle ABC est-il semblable au triangle EIH ? Justife ta réponse. b) Détermine les mesures des angles du triangle ADG. c) Quelles sont les mesures des trois côtés du morceau de vitrail manquant ?

A

K

F

D J

G

C

I

H

M

E

B L

3. Dans son atelier, Marie-Claude a des retailles de euilles métalliques. Elle souhaite en utiliser une pour conectionner un cadre. Afn de déterminer si les retailles dont elle dispose sont rectangulaires, elle entreprend de mesurer les quatre côtés et une diagonale de chacune des retailles ci-dessous. Les mesures indiquées sont en millimètres.

180

1

2

3

432

220

195

468

180 240

324

240

258

325

260

432 220

196

a) Laquelle de ces retailles est de orme rectangulaire ? Justife ta réponse. b) Explique pourquoi Marie-Claude a pris cinq mesures par retaille pour vérifer si chacune était de orme rectangulaire.

Orientation et entrepreneuriat La créativité peut s’exprimer de plusieurs açons ; elle peut se maniester dans la capacité d’imaginer et de réaliser quelque chose de nouveau, ou de découvrir une méthode, une idée ou encore une solution originale à un problème. La créativité est utile dans de nombreux secteurs d’activités, que ce soit dans les arts ou le domaine scientifque. Dans le cadre de leur travail, certaines personnes peuvent laisser libre cours à leur créativité. D’autres, qui n’ont pas cette possibilité, privilégient les loisirs ou les passe-temps qui mobilisent leur côté créati. La créativité est-elle une priorité dans le choix de ton métier ? Quels sont, pour toi, les aspects incontournables dans un emploi ?

Entrée en matière

127

En bref 1. Les mesures suivantes peuvent-elles être celles des côtés d’un triangle rectangle ? Justife ta réponse. a) 8 cm, 15 cm et 17 cm b) √5 m, √11 m et 8 m

c) 35 cm, 120 cm et 125 cm d) 1 m, 2 m et √3 m

2. Dans le plan cartésien ci-contre, les triangles ABC et DEF ont des sommets à coordonnées entières et se coupent aux points G et H. a) Démontre que : ΔABC ~ ΔDEF 2) ΔDEF ~ ΔDGH b) Détermine l’aire du triangle DGH. 1)

y 10

B

9 8 7

D

6 5 4

G

C

3 2

H

E

1 1

0

2

3

A F

4

5

6

7

9 10 11 12 x

8

3. Résous les proportions suivantes. x 4 a) 0,6 = 0,48

3 c) x + 2 = 2,4 6

2

b) x = 1,28

150

72

d) 0,32 = x

3

x

e) x + 2 = 8

4. Détermine l’aire de chaque fgure. a)

c)

b) 10 cm

6 cm

d

8 cm

d

P = 52 cm d = 10 cm

d = 2,3 cm

5. Reproduis les triangles suivants et trace, pour chacun d’eux, la hauteur relative au côté AB. a)

b) A

C

C B

c)

B

A

C B

A

6. Vrai ou aux ? a) Tous les triangles rectangles qui ont une hypoténuse mesurant 20 cm sont isométriques. b) Tous les triangles rectangles isocèles sont semblables. c) Deux triangles semblables ont des angles homologues isométriques.

128

Chapitre 7

La trigonométrie

Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Compétition de bolides

Section

1

?

Dans le cadre d’une compétition, des élèves doivent concevoir des bolides capables de gravir le plus de plans inclinés parmi les huit proposés. Deux de ces plans inclinés ont un angle d’inclinaison de plus de 45°. Un bolide est éliminé dès qu’il ne réussit pas à gravir un des plans inclinés. Madame Lorrain, l’enseignante qui organise l’événement, sollicite l’aide de ses collègues pour trouver ou concevoir des plans inclinés. La longueur de la partie inclinée de chaque plan doit être d’au moins 1 m. En attendant le jour de la compétition, elle invite ses collègues à lui fournir deux mesures parmi celles qui sont indiquées dans le schéma ci-contre pour chacun des plans qu’ils proposent.

Voici les mesures qu’elle reçoit à propos de six plans. Donnée

Plan

1

Hauteur (cm)

2

3

84

Longueur horizontale (cm)

109

Longueur de la partie inclinée (cm)

116

84

4

5

6

79

82

55

123

100

110

140 145

Madame Lorrain te remet ce tableau et te demande de lui fournir des mesures pour les deux plans manquants. Elle te demande aussi d’établir un ordre pour l’utilisation des huit plans inclinés durant la compétition.

Orientation et entrepreneuriat Le milieu scolaire est un lieu propice pour s’engager dans des comités, faire partie d’équipes sportives, participer à des concours, etc. La participation à ces différentes facettes de la vie scolaire et parascolaire procure une motivation et permet de vivre des expériences variées. Parfois, ces expériences forgent les souvenirs les plus marquants des années passées à l’école. Nomme des activités parascolaires auxquelles tu participes dans ton école. Que fais-tu pour dynamiser ta vie scolaire ? En quoi participer à des activités parascolaires peut-il avoir un effet sur ton avenir ?

Section 1

Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle

129

ACTIVITÉ d’exploration

1

Quand les moyens changent de place Voici cinq triangles rectangles semblables dont les côtés ormant l’angle de 30° sont alignés.

Rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente

A

K H F

Puisque les triangles ABC et ADE sont semblables, on peut établir que

D B

m BC m AB = . m DE m AD

30˚

A

C

Reproduis les cinq triangles côte à côte et mesure leurs trois côtés.

E

G

L

J

B

Est-ce que m BC = m DE ? m AB

m AD

Justife ta réponse. Sinus d’un angle

C

Rapport entre la mesure du côté opposé à un angle aigu et la mesure de l’hypoténuse dans un triangle rectangle. Le sinus de l’angle A est noté sin A.

En utilisant les valeurs mesurées en A, vérife que

mesure du côté opposé à ∠ A mesure de l’hypoténuse

a la même valeur dans les cinq triangles. Quelle est la valeur de ce rapport ? D

Transcris et complète les énoncés suivants. 1)

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle de 30° mesure de l’hypoténuse.

2)

Le sinus d’un angle de 30° vaut

.

Côté adjacent à un angle

Le cosinus d’un angle se défnit : mesure du côté adjacent à un angle .

Cathète qui orme l’angle dans un triangle rectangle.

Ce rapport, noté cos A, a aussi une valeur unique pour chaque angle aigu.

mesure de l’hypoténuse

E

En utilisant les valeurs mesurées en A, calcule : 1)

La lettre A désigne à la ois le sommet, l’angle et la mesure de cet angle.

Chapitre 7

cos 60°

Reproduis et remplis le tableau suivant à l’aide de ta calculatrice.

Avant de calculer les valeurs des rapports trigonométriques, assuretoi que ta calculatrice est en mode DEGRÉ.

130

2)

Sur ta calculatrice scientifque, les touches SIN et COS permettent de calculer la valeur du sinus ou du cosinus d’un angle. La touche TAN permet de calculer la valeur de la tangente d’un angle. F

Pièges et astuces

cos 30°

La trigonométrie

Angle (A)

10°

20°

30°

sin A

0,1736

0,3420

0,5000

cos A

0,8660

tan A

0,5774

40°

50°

60° 0,5000

70°

80°

G

À l’aide de ta calculatrice, détermine comment on peut obtenir la valeur de tan A à partir des valeurs de sin A et de cos A.

H

Défnis la tangente d’un angle comme un rapport de deux côtés d’un triangle rectangle.

I

Dans le tableau en F, sin 30° = cos 60°. D’autres valeurs sont les mêmes. À l’aide de tes observations et d’un dessin au besoin, complète la conjecture suivante. Ensuite, démontre-la. Le sinus d’un angle est égal

J

de l’angle qui lui est

Dessine un triangle rectangle ABC dans lequel : 1) sin A > cos A 2) cos A < cos B

3)

.

tan A > sin A

K

Explique pourquoi, dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle est toujours compris entre 0 et 1.

L

Dans un triangle rectangle, quelles sont les valeurs que peuvent prendre : 1) le cosinus d’un angle ? 2) la tangente d’un angle ?

À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on peut étudier les rapports formés des mesures des côtés d’un triangle rectangle. Pour en savoir plus, consulte la page 238 de ce manuel.

Ai-je bien compris ? B

1. Soit le triangle rectangle ABC ci-contre. Sachant que sin A = 3 , détermine la valeur de : 5 a) cos B

b) cos A

c) tan A

A

C

2. Dans chacun des triangles suivants, détermine le rapport qui correspond à : a) sin A b) cos A c) tan A 1

B 78 m A

72 m

2

3

B

B

5 cm

C

30 m C

6m

A

2m

C

7 cm

A

Section 1

Activité d’exploration 1

131

ACTIVITÉ d’Exploration

2

Recherche de mesures de côtés dans un triangle rectangle

Le clinomètre est un instrument qui permet de mesurer un angle ormé par une ligne de visée et la direction horizontale.

Mesues eces À l’aide d’un clinomètre et d’un ruban à mesurer, il est possible de déterminer des mesures qui sont difciles à prendre directement. Voici quelques explorations que Xuan a aites au parc municipal. À l’entrée du parc, un drapeau est hissé au sommet d’un mât. Pour déterminer la hauteur du mât, Xuan se place à 5 m de ce dernier. Il mesure l’angle d’élévation du mât, qui est de 63°.

63° 5m

Angle d’élévation Angle ormé par la ligne de visée et la direction horizontale en un point d’observation lorsque l’objet observé est situé plus haut que l’observateur. Si l’objet observé se situe plus bas que l’observateur, l’angle ormé est un angle de dépression. Angle d’élévation Angle de dépression

A

Quel rapport trigonométrique met en relation l’angle d’élévation, la hauteur du mât et la distance qui sépare Xuan du mât ?

B

Pose une égalité avec le rapport déterminé en A.

C

Quelle est la hauteur du mât ?

Un enant ait voler un cer-volant au-dessus du parc à l’aide d’une corde mesurant 11 m. Pour calculer la hauteur du cer-volant à un moment précis, Xuan mesure l’angle d’élévation du cer-volant au point où l’enant tient la corde. Cet angle mesure 55°. Ensuite, il mesure la distance qui sépare le point où l’enant tient la corde et le sol. Il obtient 1,2 m. D

Schématise cette situation en t’assurant de tracer un triangle rectangle. Sur ton schéma, indique toutes les données connues ainsi que la mesure recherchée.

E

Quelle mesure peut-on déterminer avec sin 55° ?

F

À quelle hauteur se trouve le cer-volant ?

Pièges et astuces Schématiser est une excellente açon de s’approprier une situation.

132

Chapitre 7

La trigonométrie

Xuan grimpe sur l’échelle d’un toboggan. En fxant un poids au bout de son ruban à mesurer, il mesure sa hauteur par rapport au sol et obtient 3,6 m. Il aperçoit sa jeune sœur qui joue dans le sable. À l’aide de son clinomètre, il mesure l’angle de dépression, qui est de 42°. 42° ?

G

Indique le rapport trigonométrique permettant de calculer la distance qui sépare Xuan de sa sœur et pose une égalité avec ce rapport.

H

Quelle distance sépare Xuan de sa sœur ?

I

Calcule, de deux açons diérentes, la distance qui sépare la sœur de Xuan du pied de l’échelle du toboggan.

Ai-je bien compris ? 1. Détermine la mesure manquante dans chacun des triangles suivants. a)

c)

A 13 cm

C

54˚ ?

b)

B

d)

K ?

G 48˚

E

18 cm 41˚

e) D

?

M

L

12 m 43˚

F

J

Q

?

f)

N ?

8,2 cm

H

R

63˚ 10 m

P

4 dm 20˚

T

?

S

2. Une échelle est appuyée contre un arbre. Sa base se trouve à 1,2 m du tronc de l’arbre et orme, avec le sol, un angle de 64°. a) Modélise cette situation à l’aide d’un triangle rectangle. b) À quelle hauteur l’échelle touche-t-elle l’arbre ? c) Quelle est la longueur de l’échelle ?

Section 1

Activité d’exploration 2

133

ACTIVITÉ D’EXPLORATION

3

Recherche de mesures d’angles dans un triangle rectangle

Un odomètre est un instrument de mesure muni d’une roue qui roule sur le sol et indique la distance parcourue. Un altimètre est un instrument électronique qui indique l’altitude par rapport à un repère.

La grotte du mont Bossu Pour cartographier les grottes, les spéléologues y pénètrent et prennent des mesures. Louise pratique la spéléologie comme loisir et tente de relever des données dans le passage de la grotte du mont Bossu. Elle dispose d’un odomètre et d’un altimètre. À l’entrée de la grotte, Louise a réinitialisé les deux instruments de mesure de façon à ce qu’ils soient à 0 m. ELouise

Louise avance dans le passage souterrain, s’arrêtant au premier changement important d’inclinaison du passage, soit au point A, tel qu’illustré ci-contre. À ce point, Louise fait la lecture de ses instruments : l’odomètre indique 10,3 m et l’altimètre, −2,3 m. A

A D B

Selon toi, pourquoi l’altimètre fournit-il une mesure négative ?

C

Le triangle rectangle ci-dessous montre les mesures fournies par les instruments. Premier segment 10,3 m A

Entrée

? Déplacement horizontal associé

Profondeur 2,3 m

B

Quel rapport trigonométrique met en relation l’angle d’inclinaison A du premier segment et les deux mesures de côtés connues ? Pose une égalité avec ce rapport.

C

À l’aide de la table de rapports trigonométriques qui se trouve à la page 268 de ce manuel, estime l’angle d’inclinaison de ce premier segment.

Orientation et entrepreneuriat Bien que la spéléologie soit un loisir, certaines personnes obtiennent des accréditations qui leur permettent de devenir guides d’expédition, de pratiquer des sauvetages ou de cartographier les passages souterrains. Pour obtenir une telle accréditation, il faut effectuer de nombreuses visites souterraines, participer à des séminaires et réussir certains examens. Nomme d’autres loisirs pour lesquels une accréditation ou une expertise peut être utile ou reconnue.

134

Chapitre 7

La trigonométrie

Trouver la mesure de l’angle dont on connaît le sinus est un processus qui s’apparente à celui de trouver un nombre dont on connaît la racine carrée. Voici la démarche permettant de trouver la valeur de x. √x = 12 (√x)2 = (12)2 x = 144 D

Pourquoi a-t-on utilisé l’opération « élever au carré » dans cette démarche ?

E

Sachant que l’arc sinus permet de trouver la mesure d’un angle à partir de son sinus, propose une démarche qui permet de trouver la mesure de l’angle A à partir de la valeur de sin A.

Avant de quitter le point A, Louise remet l’altimètre et l’odomètre à 0 m. Elle reprend sa marche et s’arrête au point B, qui correspond au prochain changement marqué dans l’inclinaison du passage. Louise fait de nouveau la lecture de ses instruments : l’odomètre indique 4,1 m et l’altimètre, -2,6 m. F

Reproduis le triangle rectangle du schéma de la grotte qui représente le deuxième segment du parcours de Louise. Indiques-y les mesures que tu connais. 1) Quel est l’angle d’inclinaison de cette partie du passage ? 2) Quel est le déplacement horizontal associé à cette partie du passage ?

G

Après le point B, Louise doit descendre avec le matériel d’escalade dans un gouffre d’une profondeur de 6 m dont le déplacement horizontal associé est de 1,2 m. Détermine l’angle d’inclinaison de ce gouffre.

Sur la calculatrice, on a accès à arc sinus en appuyant sur la touche SIN 1 ou INVSIN.

Ai-je bien compris ? Détermine la mesure de l’angle A dans chacun des triangles suivants. a)

c)

A 5m ?

11 m

4 cm

?

B

B

d)

C

B 20 cm

A

7 cm

C

b)

9 cm

C

B 102 mm

? A

C

125 mm ?

A

Section 1

Activité d’exploration 3

135

Faire le point Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Puisque tous les triangles rectangles ayant un angle aigu isométrique sont semblables et que les mesures de leurs côtés homologues sont proportionnelles, les rapports entre les mesures des côtés d’un triangle rectangle, pour un angle donné, sont uniques. A

Pour nommer les côtés d’un triangle, on utilise normalement la même lettre que celle du sommet opposé, mais en minuscule.

Côté opposé à ∠ B Côté adjacent à ∠ A b

C

c a

B

Côté opposé à ∠ A Côté adjacent à ∠ B

Dans un triangle ABC rectangle en C : sinus A = cosinus A = tangente A =

mesure du côté opposé à ∠ A a ou sin A = c mesure de l’hypoténuse mesure du côté adjacent à ∠ A b ou cos A = c mesure de l’hypoténuse mesure du côté opposé à ∠ A a ou tan A = b ou tan A = sin A mesure du côté adjacent à ∠ A cos A

Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1. La tangente d’un angle aigu est positive.

Les relations entre les rapports trigonométriques d’angles complémentaires Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires et le côté opposé à un angle aigu est nécessairement le côté adjacent à l’autre angle aigu. Ces propriétés permettent d’établir certaines relations entre les rapports trigonométriques. Soit le triangle rectangle ABC. Égalités sin A = cos B = cos A = sin B =

136

Chapitre 7

Relations entre les rapports trigonométriques 3 = 0,6 5 4 = 0,8 5

tan A =

3 = 0,75 4

tan B =

4 = 1,3 3

La trigonométrie

sin A =

tan A =

a = cos B = cos (90° - A) c

a 1 1 = = b tan B tan (90° - A)

B a = 3 cm

C

c = 5 cm

b = 4 cm

A

La recherche de mesures dans un triangle rectangle Pour trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle, il aut connaître, en plus de l’angle droit, au moins deux autres mesures, dont une mesure de côté.

Trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle dont on connaît une mesure de côté et une mesure d’angle aigu Exemple : Voici les étapes à suivre pour déterminer la mesure de l’hypoténuse du triangle ABC. Étape

Démarche

1. Identifer le côté dont on cherche la mesure.

B 150 cm

65˚

c

C 2. À partir de l’angle aigu dont on connaît la mesure, identifer le rapport trigonométrique qui met en relation le côté dont on cherche la mesure et celui dont on connaît la mesure et poser une égalité.

cos 65° =

3. Trouver la valeur de l’inconnue.

c=

A

150 c

150 ≈ 354,9 cos 65°

L’hypoténuse mesure environ 354,9 cm. 4. Au besoin, résoudre le triangle. Déduire la mesure du troisième angle et celle du troisième côté.

m ∠ A = 90° - 65° = 25° b≈

Résoudre un triangle, c’est trouver toutes les mesures de ses côtés et de ses angles.

(354,9)2 - (150)2 ≈ 321,6

AC mesure environ 321,6 cm.

Trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle dont on connaît deux mesures de côtés

Exemple : Voici les étapes à suivre pour déterminer la mesure de l’angle E du triangle DEF. Étape

Démarche

1. Identifer l’angle dont on cherche la mesure.

E 10 cm

?

F 2. À partir de l’angle recherché, déterminer le rapport trigonométrique qui met en relation les deux côtés dont on connaît les mesures et poser une égalité. 3. Trouver la mesure de l’angle à l’aide de arc sinus, arc cosinus ou arc tangente.

tan E =

24 cm

D

24 10

m ∠ E = tan 1 24

10

m ∠ E ≈ 67,4° L’angle E mesure environ 67,4°. 4. Au besoin, résoudre le triangle. Déduire la mesure du deuxième angle aigu et celle du troisième côté.

m ∠ D ≈ 90° - 67,4° ≈ 22,6° f=

(24)2 + (10)2 = 26

DE mesure 26 cm.

L’arc tangente permet de calculer la mesure de l’angle à partir de la tangente. On la note aussi tan 1. Section 1

Faire le point

137

Mise en pratique 1. Soit le triangle RST ci-contre. Donne les appellations

S

possibles des rapports suivants. r

s

a) s

r

b) t

s

c) t

d) r

t

r T

R

s

2. Détermine le rapport qui correspond à sin A dans chacun des triangles suivants. a) A

c) A 25 cm

238 cm

0,2 m

A

B C

B

151 cm

b) B

B

e)

C

C

10 cm

A

d)

7,1 m

f) A

50 cm

10 cm

C

0,28 m

2x B

C

B

x

4m

C

A

3. Détermine le rapport qui correspond à cos D dans chacun des triangles suivants. D

a)

D

c)

26 mm

15 cm

42 mm

F

E E

b)

d) D

F

138

Chapitre 7

9,8 cm

F

La trigonométrie

D

E

E

f) E

26 cm

48 cm F

E

13 cm

D

0,7 m

0,6 m

10 cm

F

F

e)

24 cm

54 cm

D

4. Détermine le rapport qui correspond à tan G dans chacun des triangles suivants. G

a)

J

c)

G

6 cm 8 cm

H

184 cm

J

e) 10 cm

20 cm

G H

151 cm

H

J

b) G

d) 9 cm

J

50 cm

14 cm

H

7,2 cm

x

x J

G J

H

f) G

H

5. a) À l’aide de ta calculatrice ou de la table de trigonométrie, trouve la valeur de : 1)

sin 35°

2)

cos 35°

b) À l’aide des valeurs trouvées en a, déduis les valeurs de : 1) tan 35° 2) cos 55° 3) tan 55°

6. Dans chacun des triangles suivants, détermine la valeur de x. a)

d)

24 cm

x

g)

65˚

61˚ 55 cm

x

33˚

32 cm x

b)

e)

29˚

x

12 cm

x 35˚ 10 cm

h) 12 cm

47˚ x

15 cm

50˚

c)

x

f)

6 cm 18˚ x

i)

x 51˚ 18 cm

Section 1

Mise en pratique

139

7. Le phare de Peggy’s Cove, en Nouvelle-Écosse, est l’un des phares les plus photographiés au monde. Du poste d’observation de ce phare, situé à environ 20 m au-dessus du niveau de la mer, Maïka aperçoit un bateau. L’angle de dépression avec lequel elle voit le bateau est de 6°. Quelle distance sépare le bateau du pied du phare ?

8. Détermine les valeurs de x et de y dans les triangles suivants. a)

b)

A

P 36˚

x C

35˚ D

y

60 m

48˚ y

21˚

B

10 m

S

x

R

Q

9. Vrai ou aux ? Justife tes réponses. a) Dans un triangle rectangle, plus l’angle aigu est grand, plus le sinus de cet angle est grand. b) Dans un triangle rectangle, la tangente des deux angles aigus peut être plus petite que 1. c) Le sinus d’un angle aigu est toujours plus petit que la tangente de ce même angle.

10. Quelle est la mesure de l’angle B dans chacun des triangles suivants ? a)

c)

A 31,2 cm

12 cm C

72 mm B

28,8 cm

C

Pièges et astuces Lorsqu’on cherche plus d’une mesure dans un triangle, il est préérable d’utiliser autant que possible les données ournies plutôt que celles calculées, qui peuvent comporter des erreurs.

140

Chapitre 7

B

b)

La trigonométrie

d)

A

A

59 mm

C 0,4 m

4,2 cm A C

4 cm

B

0,47 m

B

11. Voici des mesures de triangles rectangles. Résous ces triangles.

Fait divers

a) ΔABC dont m ∠ C = 90°, m AC = 11 cm et m AB = 13 cm. b) ΔDEF dont m ∠ F = 90°, m ∠ D = 43,5° et m EF = 12 cm.

12. La tour IBM-Marathon, l’un des 10 édifces les plus hauts de Montréal, a une hauteur de 195 m. D’un point situé au sol, à 48 m de la base de l’édifce, quel est l’angle d’élévation du sommet de celui-ci ?

?

13. Détermine les mesures de x et de y dans les triangles suivants. a)

c)

A 10 m B 20 m

y

C

b) E

8 cm 48˚

x

x

S

T

d) y

G

y

93˚

D

9 cm

V 54,8 m

45,2 m

45 m

F

R

Au sommet de la liste des 10 plus hauts édices de Montréal se trouve le 1 000 de la Gauchetière, qui mesure 205 m. Il s’agit d’une hauteur bien modeste lorsqu’on la compare aux 800 m de la tour Burj Duba , l’édice le plus haut au monde en 2009, situé dans les Émirats arabes unis. C’est un ingénieur en aérodynamique du Conseil national de recherches du Canada, Guy Larose, qui a mené l’étude dont le but était de préciser les effets du vent sur la tour Burj Duba .

K

U

63,1 m

x

L

y

x

H

P

36˚ 50 m

N

47˚ 35 m

M

14. Deux arbres se trouvent à 100 m l’un de l’autre. À partir d’un point situé à mi-chemin entre les deux arbres, les angles d’élévation de leurs sommets sont 8° et 13°. De combien de mètres le plus grand arbre dépasse-t-il l’autre ?

Section 1

Mise en pratique

141

15. Un unambule fxe un câble entre les toits des deux édifces

Fait divers C’est le Britannique Hugh Beaver qui, en 1955, à la suite d’une discussion animée entre amis portant sur l’oiseau le plus rapide du monde, eut l’idée de publier un livre, le Guinness World Records, compilant les différents records établis. Depuis, chaque année, une nouvelle édition compile les plus récents records. Par exemple, en 1998, un nouveau record particulier a été établi. Pendant 145 heures et 57 minutes, sans interruption, Suresh Joachim a « voyagé » sur un escalier roulant d’un centre commercial d’Australie. Suresh Joachim n’en était pas à son premier record ! En effet, Il a établi plus d’une douzaine de records mondiaux.

voisins représentés dans le schéma ci-dessous. 21,5 m ?

83 m

21 m

Quel est l’angle que orme le câble avec l’horizontale ?

16. L’escalier mécanique le plus long du monde se trouve en Russie, dans le métro de Saint-Pétersbourg. Cet escalier a une longueur de 330,7 m et gravit une distance verticale de 59,7 m. Quel est l’angle que orme l’escalier avec le sol, au degré près ?

17. Est-il possible de résoudre un triangle rectangle dont on ne connaît que deux mesures de côtés en ayant seulement recours au rapport trigonométrique sinus ? Explique ton raisonnement.

18. Un club d’alpinisme veut organiser l’escalade d’une alaise qui surplombe une rivière. Pour ce aire, un arpenteur prend quelques mesures dans le but de déterminer la hauteur de la alaise. À partir du schéma dessiné par l’arpenteur, détermine la hauteur de la alaise.

43° 30 m

69°

19. Un réservoir de pétrole de orme cylindrique a une hauteur de 55,3 m et un diamètre de 28,4 m. On peut monter sur le toit du réservoir par un escalier en spirale qui ait exactement une ois le tour du réservoir. Quel est l’angle d’inclinaison de l’escalier ?

142

Chapitre 7

La trigonométrie

La recherche de mesures dans un triangle quelconque Une tyrolienne dans le parcours

Section

2

Situation d’application

Propriétaire d’un parc d’hébertisme, monsieur Ipperciel envisage d’agrandir ses installations en y aménageant un parcours aérien. Il songe à mettre en place une tyrolienne qui relierait le haut d’une paroi rocheuse et une plateforme installée dans un arbre à proximité. Dans le but de déterminer la longueur de la tyrolienne, monsieur Ipperciel se rend sur le terrain et mesure la distance qui sépare la paroi rocheuse de l’arbre. Ensuite, il se place à mi-chemin entre l’arbre et le rocher et mesure les angles d’élévation du haut de la paroi rocheuse et de la plateforme. Le schéma ci-dessous décrit son parcours et les mesures qu’il a prises. Monsieur Ipperciel croit qu’en se servant de ses mesures et en traçant une hauteur dans le triangle APS, il pourra déterminer la longueur de la tyrolienne. Par conséquent, il n’aura pas besoin de payer une équipe de spécialistes pour faire les calculs.

P nne yrolie

T

Prouve que monsieur Ipperciel a raison et détermine la longueur de la tyrolienne.

A

47°

S 59° 44 m

Orientation et entrepreneuriat Être propriétaire d’un commerce demande beaucoup de travail. Il aut chaque jour servir la clientèle, superviser le personnel et gérer les fnances de l’entreprise. Pour ne pas tomber dans la désuétude et pour bien répondre aux besoins parois changeants des clients, les propriétaires d’un commerce doivent se tenir à l’aût des nouveautés. Ils doivent également prévoir des sommes d’argent afn de pouvoir s’adapter au marché, de rénover ou d’innover. Nomme quelques types de commerces qui doivent continuellement innover pour conserver leur clientèle.

Section 2

La recherche de mesures dans un triangle quelconque

143

ACTIVITÉ d’exploration

1

Voguer à Venise Venise est une ville célèbre d’Italie. Elle compte 177 canaux et près de 200 îles. À Venise, les gens se déplacent en bateau ou en empruntant les rues piétonnières.

• Loi des sinus • Recherche de mesures de côtés dans un triangle quelconque

Ce soir, Adriano soupe chez son amie Cecilia, qui habite à 350 m de chez lui. Avant de s’y rendre, Adriano doit se procurer un pain à la boulangerie. Celle-ci n’est pas très loin, mais elle est située sur l’autre rive du canal. Adriano s’y rendra donc en bateau. Voici un schéma sur lequel sont identifées la demeure d’Adriano (A), celle de Cecilia (C) et la boulangerie (B). On y trouve aussi les mesures d’angles avec lesquels chacun des deux amis aperçoit, de sa demeure, la boulangerie. A

Explique pourquoi sin 65° ≠

m AB . 350

On s’intéresse à la distance que ranchit Adriano pour se rendre à la boulangerie. Dans la représentation ci-dessous du triangle ABC, on a tracé hA , la hauteur issue du sommet A.

A 40°

A

350 m B C

65°

40˚ 350 m hA

C

B

1. sin B = 2.

= hA

3.

= bsin C

144

Chapitre 7

Justifcation

sin C =

hA b

bsin C =

Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle est le rapport entre . On isole hA dans chacune des équations. On pose une égalité entre les deux expressions équivalentes à hA.

Explique pourquoi l’équation que tu as complétée à l’étape 3 de la question B est équivalente à

D

B

Le tableau suivant présente les étapes d’un raisonnement algébrique qui met en relation des angles et des côtés du triangle ABC. Reproduis ce tableau et remplis-le. Étape

C

65˚

b c = . sin B sin C

Remplace les mesures connues dans la proportion en C pour déterminer la valeur de c, c’est-à-dire la distance séparant la demeure d’Adriano de la boulangerie.

La trigonométrie

E

En traçant la hauteur issue du sommet C, calcule la distance qui sépare la demeure de Cecilia de la boulangerie.

La généralisation de ce raisonnement mène à la loi des sinus. Celle-ci permet de déterminer les mesures manquantes dans un triangle quelconque. F

Pour chacun des triangles ci-dessous, détermine la valeur de la mesure manquante. Pour ce faire, écris la loi des sinus, repère la proportion à résoudre et résous-la. 1

2

A

71˚

C

a

3

D

W

e

F

B

Relation de proportionnalité entre les mesures des côtés d’un triangle et les sinus des angles qui leur sont respectivement opposés : a sin A

32˚

56˚

40 m

G

Loi des sinus

=

b sin B

=

c . sin C

y 72˚

49˚

57 m

E

Y

67˚ 16 m

Explique pourquoi la loi des sinus ne permet pas de trouver la mesure de FH dans le triangle FGH ci-contre.

X

F H 10 m

80˚

11 m

G

Ai-je bien compris ? 1. Pour chacun des triangles suivants, détermine la mesure manquante. a)

b)

A

71,5˚

?

54 cm C

D

65˚

38˚

B

F

? 30˚

7,4 m

E

2. Quel est le périmètre du triangle RST ? R 38˚

T

10 cm

S

Section 2

Activité d’exploration 1

145

ACTIVITÉ d’exploration

2

Recherche de mesures d’angles dans un triangle quelconque

os Ce matin, Patrice a réussi un trou de 208 m en 2 coups seulement, tel que cela est illustré ci-dessous. Au premier coup, représenté par le segment rouge, la balle a emprunté une trajectoire formant un angle de 15° avec la trajectoire optimale, représentée par un segment en tirets. Au coup suivant, représenté par un segment jaune, Patrice a frappé la balle directement dans la coupe (C) grâce à un coup de 57 m. Voici une représentation possible des deux coups de Patrice. Départ 15˚

208 m

C 57 m A1

A

Calcule le sinus de l’angle formé par les deux coups de Patrice, c’est-à-dire sin A1.

B

Quelle est la mesure de l’angle A1 ?

C

Quelle est la mesure de l’angle C ?

D

Que vaut sin C ?

E

Qu’obtiens-tu si tu détermines l’angle associé à sin C à l’aide de ta calculatrice ?

Voici une seconde représentation possible des deux coups de Patrice. Départ 15˚

208 m

C 57 m A2

146

Chapitre 7

F

Calcule sin A2. Obtiens-tu la même réponse qu’en A ?

G

Détermine la mesure de l’angle obtus A2.

H

Complète l’énoncé suivant : sin X = sin ( ).

I

Poursuis la résolution de ce triangle et détermine la distance qu’a parcourue la balle au premier coup, et ce, dans les deux représentations.

La trigonométrie

Au trou suivant, une ois sa balle sur le vert, Patrice eectue deux coups roulés, comme le montre la représentation ci-dessous. La trajectoire optimale est en tirets.

B 1m C 72˚ 6m

P C

J

Est-ce que la loi des sinus permet de trouver la distance qui séparait la balle de la coupe avant que Patrice eectue le premier coup roulé ? Justife ta réponse.

K

Reproduis cette fgure et traces-y CH, la hauteur relative au premier coup roulé. Détermine : 1) m CH 2) m BH 3) m PH

L

Quelle est la distance qui séparait la balle de la coupe avant que Patrice eectue son premier coup roulé ?

Pièges et astuces Tracer une hauteur dans un triangle permet d’obtenir des triangles rectangles et d’avoir recours aux rapports trigonométriques pour le résoudre.

M Aurais-tu pu trouver cette mesure si tu avais tracé la hauteur issue : 1) de P ? 2) de B ? Justife tes réponses.

Ai-je bien compris ? 1. Pour chacun des triangles suivants, détermine la mesure manquante. a) b) c) R

D

10 m

F

58˚

15 cm ?

12 m

E T

A

B C

10 dm

?

b)

7 dm

49 cm ?

45˚

18 cm 72˚

2. Résous les triangles suivants. a)

35˚

G

H

40 cm

I S

M

N 2,7 km

87˚

2,1 km

P

Section 2

Activité d’exploration 2

147

Faire le point La loi des sinus Pièges et astuces Inverser les rapports de la loi des sinus permet parois d’isoler plus acilement une variable. On peut donc aussi utiliser sin A a

=

sin B b

=

sin C . c

Dans un triangle, les rapports entre la mesure d’un côté et le sinus de l’angle qui lui est opposé sont équivalents. a b c = = sin A sin B sin C

Le sinus d’un angle obtus est égal au sinus de l’angle qui lui est supplémentaire. sin A = sin (180° - A) Exemple : sin 150° = sin (180° - 150°) = sin 30° = 0,5

La recherche de mesures manquantes La loi des sinus permet de résoudre un triangle, et ce, dès qu’on connaît la mesure d’un angle et celle de son côté opposé ainsi qu’une autre mesure d’angle ou de côté.

La recherche d’une mesure de côté Exemple : Voici les étapes à suivre pour résoudre le triangle ABC ci-dessous. A

16 cm

C

62˚

71˚

B

Étape

Démarche

1. Déduire la mesure du troisième angle.

m ∠ A = 180° - 71° - 62° = 47°

2. Remplacer les mesures connues dans la loi des sinus et identifer la proportion à résoudre.

a = b = c sin A sin B sin C a 16 = = c sin 47° sin 71° sin 62°

3. Isoler le terme manquant dans la proportion identifée en 2.

a=

4. Déterminer la mesure du troisième côté.

16 • sin 47° ≈ 12,4 sin 71°

BC mesure environ 12,4 cm. 16 = c sin 71° sin 62° 16 • sin 62° c= ≈ 14,9 sin 71°

AB mesure environ 14,9 cm.

148

Chapitre 7

La trigonométrie

La recherche d’une mesure d’angle Exemple : Dans le triangle DEF, m ∠ F = 47°, m EF = 5 cm et m DE = 4 cm. Voici les étapes à suivre pour déterminer la mesure de l’angle D. Étape

Démarche

1. Au besoin, illustrer le ou les triangles.

D D F

4 cm 4 cm

47° 5 cm

2. Remplacer les mesures connues dans la loi des sinus et identifer la proportion à résoudre.

d sin D 5 sin D

3. Isoler le terme manquant dans la proportion identifée en 2.

sin D =

E

47° 5 cm

F

E

e = f sin E sin F e = = 4 sin E sin 47°

=

Pièges et astuces

5 • sin 47° ≈ 0,9142 4

La calculatrice ournit toujours la mesure de l’angle aigu associé à un sinus. On doit donc parois considérer le supplément de l’angle ourni par celle-ci.

-

4. Trouver les deux mesures d’angles correspondant à ce sinus.

m ∠ D ≈ sin 1 (0,9142) ≈ 66,1° ou m ∠ D ≈ 180° – 66,1° ≈ 113,9°

5. Selon la fgure ou le contexte, donner la mesure de l’angle aigu, de l’angle obtus ou des deux.

Deux triangles diérents ont ces trois mesures. L’angle D mesure environ 66,1° ou D 113,9°.

La recherche de mesures manquantes : un cas particulier Dans un triangle quelconque dont on ignore la mesure d’un angle et celle de son côté opposé, on ne peut pas utiliser la loi des sinus. Dans ce cas, tracer une hauteur permet d’obtenir des triangles rectangles et d’avoir recours aux rapports trigonométriques. Exemple : Voici les étapes à suivre pour déterminer la mesure de RT dans le triangle RST ci-contre. Étape

R ?

Démarche

1. Tracer une hauteur h relative à un des deux côtés dont on connaît la mesure.

T

R ?

70˚ 10 cm

8 cm

S

8 cm

h 70˚

T

H 10 cm

S

h 2. Déterminer h à l’aide du sinus de Dans ∆RHS, sin 70° = 8 l’angle dans le triangle rectangle dont on h = 8 • sin 70° ≈ 7,52 connaît la mesure d’un angle aigu.

3. À l’aide de la relation de Pythagore, déduire la mesure du troisième côté du triangle rectangle RHS et la mesure des côtés du triangle rectangle RHT.

Dans ∆RHS, m SH ≈ (8)2 - (7,52)2 ≈ 2,74 m HT ≈ 10 – 2,74 ≈ 7,26 Dans ∆RHT, m RT ≈

(7,52)2 + (7,26)2 ≈10,5

RT mesure environ 10,5 cm. Section 2

Faire le point

149

Mise en pratique 1. Détermine la mesure du côté AB dans chacun des triangles suivants. a)

c)

B

C

4m 140 cm 65˚

40˚

A

b)

100˚

C

d)

A 8 cm

C

40˚

B

0,7 m

A

C A

B

72˚

15˚

9˚

B

15 cm

2. Le plus long côté d’un triangle mesure 50 cm. Deux de ses angles mesurent 42°

Dans un triangle, le plus grand angle est opposé au plus grand côté.

et 64°. Détermine le périmètre de ce triangle.

3. Le rocher Percé est une attraction touristique de la péninsule gaspésienne. Pour en déterminer la hauteur, quelqu’un a pris des mesures à marée basse et les a inscrites dans le schéma ci-dessous. Quelle est la hauteur du rocher Percé ? C

D 41° 54° 51° 100 m

B

A

4. Détermine la mesure de l’angle C dans chacun des triangles suivants. a)

b)

A

d)

C

5 cm 76˚

B

B

26˚ 1,4 cm

A

A

10 cm

0,7 cm

8 cm

C

c)

C

120˚

B

7 cm

A

41,6 mm 30˚

C

150

Chapitre 7

La trigonométrie

22 mm

B

5. Résous chacun des triangles ci-dessous. a)

b)

A

F

45˚

M

K

32˚

81˚

18 m

46 mm

10 m 17 m

72˚

C

c)

D

57˚

E

L

B

A

6. Dans la fgure ci-contre, les triangles ABC

12˚

et DEC sont semblables. a) Quelle est la mesure de l’angle E ? b) Quelle est la mesure de DE ?

25 cm

C

B

5,4 cm 60 cm

D

E

7. Deux amis s’exercent au ootball. Le quart-arrière et le receveur de passes se placent au même point de départ. Le receveur de passes court 5 m parallèlement aux lignes de côté du terrain, change sa direction de 45° vers la droite, puis court 3,5 m. Si la passe du quart-arrière est optimale, détermine :

3,

5

m

45°

5m

x version fnale à venir

a) la distance que le ballon parcourt ; b) l’angle que ait la trajectoire du ballon avec les lignes de côté du terrain.

8. Le pont suspendu Capilano à North Vancouver est l’un des plus élevés au monde. La distance séparant ses extrémités est de 140 m. À ses extrémités, les angles de dépression vers un point de la rivière qu’il surplombe sont de 41° et de 48°. À quelle hauteur les extrémités du pont se trouvent-elles au-dessus de la rivière ? 140 m 41˚

48˚

Section 2

Mise en pratique

151

9. Un avion s’apprête à atterrir sur une piste de 2 510 m de longueur. À un moment précis, les angles de dépression de l’avion par rapport au début de la piste et à la fn de la piste mesurent respectivement 13° et 10°. À ce moment, quelle distance sépare l’avion du début de la piste d’atterrissage ?

Piste

10. Dans un jeu de quilles, les quilles sont disposées

7

8

9

de açon à ce que leurs centres orment un triangle équilatéral de 91,2 cm de côté. La 4 5 6 distance qui sépare deux quilles voisines est 2 3 constante. Après le premier lancer, les quilles 6, 7 et 10 restent debout. 1 Quelle distance sépare les centres des quilles 6 et 7 ? 27°

10

11. Deux édifces voisins sont situés à 42 m l’un de l’autre. À partir du toit de l’édifce le plus haut, l’angle de dépression du toit de l’édifce le plus petit est de 27° et celui de la base de l’édifce, de 72°. Quelle est la hauteur de chacun des édifces ?

72°

12. Monsieur Kerba doit changer le bardeau qui recouvre le toit de sa maison. Il demande une soumission à une entreprise spécialisée dans ce domaine. Après examen de la toiture, le bardeau recouvrant les deux parties rectangulaires qui orment le toit, comme illustré ci-dessous, doit être remplacé. Le tari de l’entreprise, qui comprend les matériaux et la main-d’oeuvre, est de 25 $/m2. Quel sera le montant de la soumission que l’entreprise era à monsieur Kerba ?

42 m

18

35°

m

35° 8m

Orientation et entrepreneuriat Avant de procéder à des rénovations majeures, on peut demander des soumissions à quelques entreprises. Ces entreprises évaluent le temps requis pour effectuer le travail, estiment les coûts et la quantité des matériaux nécessaires et s’engagent, par écrit, à respecter toutes les conditions de l’estimation. La plupart du temps, il y a des écarts, parfois importants, entre plusieurs soumissions pour un même projet. Comment peux-tu expliquer ces écarts ? Selon toi, est-ce que l’entreprise qui offre la soumission la plus basse est toujours celle qui est retenue pour procéder aux travaux ?

152

Chapitre 7

La trigonométrie

Section

L’aire de triangles

3

Un rallye dans le Sahara

Situation d’application

Le désert du Sahara est l’hôte d’un rallye de neuf jours où des femmes, en équipe de deux, parcourent les dunes et les pistes du désert en véhicule tout-terrain à la recherche de balises, c’est-à-dire de petits drapeaux dissimulés. Il est 15 h 40 lorsqu’un pneu du véhicule de Claude et Nathalie éclate. C’est leur deuxième crevaison et elles n’ont plus de pneu de rechange. Si elles demandent de l’aide par radio aux organisateurs, leur pointage subira une importante pénalité. Par contre, si elles trouvent la prochaine balise avant le coucher du soleil, prévu pour 18 h 15, elles pourront se faire aider par d’autres équipes sans subir de pénalité. À l’aide de l’échelle de la carte et des prises d’azimuts des lignes de visée de deux repères, Claude trace un schéma, à même la carte, afin de déterminer la position de leur véhicule. Elle délimite ainsi la région où se trouve, selon elle, la prochaine balise. À pied, les équipières estiment pouvoir ratisser 4 km2 à l’heure.

Repère B Azimut 317˚

Repère A Azimut 12˚

6,8 km

L’azimut est l’angle compris entre le nord géographique et la ligne de visée. L’azimut se mesure dans le sens des aiguilles d’une montre, en degrés, à partir du nord (0°). Nord géographique

Ligne de visée

Azimut 220˚

4,4 km Véhicule de Claude et Nathalie

2 km

En supposant que la balise se trouve bien dans la région délimitée sur la carte, Claude et Nathalie devraient-elles demander de l’aide par radio ou partir à la recherche de la balise ? Justifie ta réponse.

Orientation et entrepreneuriat Le Rallye Aïcha des Gazelles, compétition réservée aux emmes, s’inspire de la navigation à l’ancienne et a lieu chaque année dans le désert du Sahara. Cartes et boussole à la main, les concurrentes doivent parcourir un itinéraire balisé en un minimum de kilomètres. La participation à un projet d’une telle envergure nécessite beaucoup de temps et d’énergie. Les participantes doivent, entre autres, se préparer physiquement, amasser les onds nécessaires et solliciter des commanditaires. Quelles stratégies de planifcation peuvent t’aider à bien te préparer dans le cadre d’un projet ou de tes études ? Selon toi, est-ce qu’une préparation adéquate à un projet d’envergure est un gage de succès ? Justife ta réponse.

Section 3

L’aire de triangles

153

ACTIVITÉ d’exploration

Aire de triangles

1

Camping et sentiers Dans le cadre de sa ormation en techniques d’intervention en loisir, Guylaine prépare une activité de camping et de randonnée pour les enants d’âge scolaire qui aura lieu dans le parc national de la Jacques-Cartier. Elle eectuera ensuite un stage au cours duquel elle ira camper avec des enants du camp de jour de la région de Québec. Sur le sentier Le Scotora, Guylaine a trouvé un emplacement pour ériger un campement. Cette parcelle de terrain est délimitée par l’extrémité d’un chemin en bois, E, l’intersection de la rivière et du sentier, R, et l’accès au chemin en bois, A. Guylaine a pris quelques mesures afn d’évaluer la superfcie de l’emplacement, puis elle les a notées sur un schéma du secteur, qui est un agrandissement de la carte du parc ci-dessous.

Le Camp

Le Scotora Mont Andante

Sentier 35˚

R

E

e Rivièr 70 m

Chemin en bois

Adapté de : Parc national de la Jacques-Cartier, Sépaq, 2008.

64 m

A

154

Chapitre 7

La trigonométrie

A

Reproduis le triangle qui modélise le contour de cette parcelle de terrain. Traces-y la hauteur relative à chacun des côtés suivants, puis détermine sa mesure. 1) ER 2) AR

B

Détermine l’aire de cette parcelle de terrain en utilisant la mesure de chacune des hauteurs déterminées en A.

C

Pourquoi ne peut-on pas, dans ce cas-ci, calculer l’aire à partir de AE ?

Dans le sentier de la montagne de la Sautauriski, Guylaine trouve une autre parcelle de terrain qui pourrait servir d’emplacement pour le campement. Ce second emplacement est délimité par deux points, D et E, situés sur le sentier et un cap rocheux, C. Voici le schéma accompagné des mesures qu’elle a prises. Le Héron

Le Bec-Scie

Montagne de la Sautauriski

Mont Adagio

Le Grand Duc

L’Étang Maubèche

E 65 m

Le Balbuzard

75˚ 61˚

C

Adapté de : Parc national de la Jacques-Cartier, Sépaq, 2008.

D

D

Dans le triangle CDE, peux-tu trouver la mesure de la hauteur relative au côté dont on connaît la mesure ? Justife ta réponse.

E

Détermine d’autres mesures du triangle. Calcule ensuite son aire.

F

Selon toi, est-il toujours possible de trouver l’aire d’un triangle lorsqu’on connaît trois mesures d’angles ou de côtés ? Justife ta réponse. Orientation et entrepreneuriat

Pour des étudiants, le stage en milieu de travail comporte de nombreux avantages : il leur permet, entre autres, de se familiariser avec le domaine d’emploi dans lequel ils désirent travailler, de concrétiser les concepts théoriques acquis en classe, d’acquérir de l’expérience et d’apprendre de nouvelles choses. Quels sont les avantages, pour des employeurs, à accueillir des étudiants en stage ? Selon toi, pourquoi n’y a-t-il pas de stages en milieu de travail dans toutes les formations à l’emploi ?

Ai-je bien compris ? Détermine l’aire des triangles suivants. a)

b)

D 9,2 m 67˚

c)

R 10 m

E T

121˚

P

20 m

S

11 cm

8,1 m

F

R

Section 3

12 cm 61˚

Q

Activité d’exploration 1

155

ACTIVITÉ D’EXPLORATION

2

• Formule de Héron • Aire de quadrilatères

De Calibao à Porto Rico Il est étonnant de voir, quand on consulte des cartes géographiques, le nombre considérable d’îles qu’il y a sur la planète. Aujourd’hui, grâce à Internet et à différents logiciels, il est possible de mesurer facilement les dimensions réelles de ces îles. Voici Calibao, une île de l’archipel des Philippines. Le contour de cette île peut être modélisé par un triangle isocèle comme ci-dessous.

3,5 km 3,5 km

Calibao

4 km

Mer de Bohol

Un triangle isocèle possède un axe de symétrie qui supporte une médiane et une hauteur.

A

AΔ = √p(p − a)(p − b)(p − c) où p = a + b + c . 2

Détermine : le périmètre du triangle qui modélise le contour de l’île de Calibao ; 2) l’aire du triangle qui modélise le contour de cette île. 1)

B

Aurais-tu pu déterminer une hauteur du triangle à partir de ses trois mesures de côtés si ce triangle avait été scalène ? Justifie ta réponse.

C

Détermine l’aire du triangle qui modélise le contour de cette île à l’aide de la formule de Héron. Obtiens-tu la même aire qu’en A ?

D

Exprime en mots la formule de Héron. Pour l’utiliser, quelles mesures d’un triangle faut-il connaître ?

Formule de Héron Formule qui permet de déterminer l’aire d’un triangle.

Bohol

Fait divers On estime qu’il y a près de 20 000 les sur la Terre, mais ce nombre varie. En effet, les mouvements de la croûte terrestre causent des séismes et des éruptions volcaniques qui peuvent être responsables de la création de nouvelles les. Par ailleurs, la crue des eaux peut entra ner la disparition d’ les. Ce phénomène, causé notamment par le réchauffement climatique, inquiète de plus en plus les chefs d’État et les scientifiques.

156

Chapitre 7

La trigonométrie

Voici l’île de Porto Rico, un État libre associé aux États-Unis situé dans les Grandes Antilles. Le contour de cette île peut être modélisé par un quadrilatère quelconque ayant un angle droit.

Mer des Antilles

184 km

Porto Rico

64 km

68 km

148 km

E

Calcule la mesure d’une diagonale du quadrilatère qui modélise le contour de l’île de Porto Rico.

F

Calcule l’aire du quadrilatère qui modélise le contour de cette île.

G

Selon toi, est-il toujours possible de déterminer l’aire d’un quadrilatère dont on connaît : 1) les mesures de côtés ? 2) les mesures de côtés et la mesure d’une diagonale ? Appuie tes réponses à l’aide d’une fgure servant d’exemple ou de contre-exemple.

Ai-je bien compris ? Calcule l’aire des fgures suivantes. a) A

9,5 cm

B

c) 6 cm

10,3 cm

8,9 cm

D

F

d)

G 3,8 m H 7,8 m

E

8 cm

C

b)

6 cm

14 cm L

K 35 cm

4,6 m

J

N

27 cm

M

Section 3

Activité d’exploration 2

157

Faire le point L’aire de triangles Selon les mesures d’angles et de côtés connues, il est possible de calculer l’aire des triangles de différentes façons.

Le demi-produit d’une base et de sa hauteur relative Lorsque les mesures connues dans un triangle permettent de déterminer une hauteur relative à un côté dont on connaît la mesure, on calcule l’aire du triangle à l’aide de la formule : A∆ =

base • hauteur 2

Exemple : Voici les étapes à suivre pour calculer l’aire du triangle ABC. Pièges et astuces

Étape

Le calcul de l’aire d’un triangle repose essentiellement sur l’habileté à déterminer la hauteur dont on peut déduire la mesure.

Démarche A

1. Déterminer la hauteur relative à un des côtés connus.

hA C

hA 11

sin 43° =

hA = 11 • sin 43°

11 cm

43˚ 10 cm

B

A∆ ABC = base • hauteur = 10 • 11 • sin 43°

2. Calculer l’aire du triangle à l’aide de la formule :

2

2

A∆ ABC ≈ 37,5 cm2

A∆ = base • hauteur . 2

La formule de Héron A

8 cm

B

Pour calculer l’aire d’un triangle à l’aide des mesures de ses trois côtés, on utilise la formule de Héron : A∆ = √p(p - a)(p - b)(p - c)

10 cm 12 cm

où p est le demi-périmètre du triangle et a, b et c sont les mesures de ses côtés.

C

Exemple : Voici les étapes à suivre pour calculer l’aire du triangle ABC. Avant d’utiliser l’une ou l’autre de ces formules pour calculer l’aire d’un triangle, il faut parfois calculer d’autres mesures à l’aide des rapports trigonométriques ou de la loi des sinus.

158

Chapitre 7

Étape 1. Calculer le demi-périmètre.

Démarche p = a + b + c = 12 + 10 + 8 = 15 2

2. Calculer l’aire du triangle à l’aide de la formule de Héron : A∆ = √p(p - a)(p - b)(p - c)

2

A∆ = √15(15 - 12)(15 - 10)(15 - 8) A∆ = √1575

A∆ ≈ 39,7 cm2

Remarque : On peut déterminer l’aire de certains quadrilatères en les divisant en triangles.

La trigonométrie

Mise en pratique 1. Calcule l’aire de chacun des triangles suivants. R

a)

L

c)

e)

10 m T

40˚

121˚ 133 m

N

b) J

38˚

15 cm

29˚

G

10,4 cm

M

B

f)

72˚

8 cm

H

W

D

d)

V

9,5 m

97 m

S

20 m

15,7 m

U

5m

F

15 cm

E

100˚

40˚

A

C

2. Le plus long côté d’un triangle mesure 50 cm. Deux de ses angles mesurent respectivement 42° et 64°. Quelle est l’aire de ce triangle ?

3. Calcule l’aire de chacun des triangles suivants. a)

W

5 cm

Y

R

b) 5 cm

S

12,1 m

8 cm

X

A

c)

17,4 m

108 cm

125 cm

19,8 m T

C 114 cm

B

4. En 1853, la colonie du Cap, en Afrique du Sud, 2,7 cm

2,7 cm

a imprimé un timbre-poste de forme triangulaire, le premier au monde à avoir cette forme. Quelle est l’aire de ce timbre-poste ?

3,8 cm

Fait divers Bien que la majorité des timbres-poste soient rectangulaires, certains se démarquent par leur originalité. Par exemple, le Canada a imprimé des timbres en forme de balle de golf, la Sierra Leone a imprimé un timbre à l’efgie d’un ourson qui a une texture de peluche et la Suisse a imprimé un timbre enrobé d’un vernis spécial contenant une substance odoriférante. Lorsqu’on frottait la surface du timbre, il s’en dégageait une odeur de chocolat.

Section 3

Mise en pratique

159

5. Calcule le périmètre et l’aire du quadrilatère DEFG.

E 35,7˚ F 56,1˚ D 150,5 m G

6. Benoît a développé une formule pour calculer l’aire d’un triangle à partir de la mesure d’un angle et des mesures de deux de ses côtés. A 9,1 cm

C

o A = bcsin A = 9,1 • 13,6 • sin 60

60˚

53,6 cm2

2

13,6 cm

79˚

41˚

12 cm

B

2 o ac sin B 12 • 13,6 • sin 41 53,6 cm2 A = = 2 2 o A = absin C = 12 • 9,1 • sin 79 53,6 cm2 2 2

a) Prouve que la formule de Benoît est équivalente à celle-ci : A∆ = b) Exprime en mots la formule développée par Benoît.

base • hauteur . 2

7. Le yoga est une discipline d’origine indienne. Les postures de yoga sollicitent les muscles et le sens de l’équilibre. Observe les photos ci-dessous. Quelle est l’aire de la région délimitée : a)

par le bras, la jambe et le torse de cette femme ?

b)

par le sol, le bras, le torse et la jambe de cet homme ?

45 cm 110° 75 cm

110 cm

90 cm

60 cm 60 cm

Orientation et entrepreneuriat Le stress lié aux exigences du monde du travail est un mal qui touche bon nombre de personnes. Afn d’améliorer la qualité de vie des employés, certains employeurs orent des garderies en milieu de travail. D’autres employeurs paient à leurs employés les rais d’abonnement à un centre de conditionnement physique. Selon toi, pourquoi certains employeurs choisissent-ils d’absorber des rais supplémentaires pour orir de meilleures conditions de travail à leurs employés ? Nomme d’autres moyens susceptibles de diminuer le stress au travail.

160

Chapitre 7

La trigonométrie

8. Le côté de l’octogone régulier ci-contre mesure 4 cm.

A 4 cm

C

D

AB est une diagonale et CD relie les points milieu de deux côtés opposés. a) Détermine : m AB ; 2) m CD. b) Quelle est l’aire de l’octogone ? 1)

B

9. Soit le triangle ABC ci-contre.

B

a) Quelle est l’aire de ce triangle ? b) À partir de l’aire, calcule la mesure de la hauteur issue de C. c) Détermine les mesures d’angles du triangle ABC.

11 cm

14 cm

A

15 cm

C

10. Jeanne-Mance est une géocacheuse. Sur le sommet d’un mont, elle note les coordonnées de trois points délimitant un triangle. Les géochercheurs devront trouver la cache dans l’espace ainsi délimité. Le premier point constitue l’origine d’un plan cartésien dont les axes sont gradués en mètres, et les coordonnées des deux autres points sont (3, -2) et (4, 1). Quelle est l’aire de la région que les géochercheurs auront à ratisser ?

Fait divers La popularité du GPS a mené à la création d’un nouveau loisir : le géocaching. Le géocaching, qui s’effectue à l’échelle planétaire, comporte deux aspects. D’abord, les géocacheurs dissimulent un contenant appelé « cache » à un endroit précis. Puis, ils fournissent dans Internet les coordonnées géographiques de la cache. Ensuite, des géochercheurs partent, munis de ces renseignements et de leur GPS, à la recherche de la cache. Les caches, des contenants étanches qui renferment des babioles, sont dispersées partout sur la planète. Les géochercheurs sont invités à prendre ou à échanger un objet de la cache lorsqu’ils la trouvent. Au retour, ils enregistrent leur visite pour conrmer que la cache est toujours là.

Section 3

Mise en pratique

161

Consolidation 1. Un arbre projette une ombre de 12 m lorsque les rayons du soleil forment un angle de 48° avec le sol. Quelle est la hauteur de l’arbre ?

2. Dans l’État du Vermont, aux États-Unis, on trouve l’une des plus longues glissades du monde, avec une distance horizontale de 1 200 m. Le point le plus haut de la glissade se situe à 213 m du sol. a) Quelle est la longueur de la glissade ? b) Quel est l’angle d’inclinaison de la glissade par rapport au sol ?

3. Un bateau en détresse se trouve à 4,5 km du phare de l’Île-Verte, en direction nord-est. Au même moment, le bateau de la garde côtière se trouve à 14,8 km à l’est du phare. a) À quelle distance le bateau de la garde côtière se trouve-t-il du bateau en détresse ? b) À bord de son bateau, le patrouilleur de la garde côtière se dirige vers le bateau en détresse. Quel est l’angle formé par sa direction et le nord géographique ?

4. Soit la figure ci-contre.

A

a) Quelle est la mesure de l’angle ABC ? b) Quelle est l’aire du triangle ABC ?

3 cm C 2 cm

? B

6 cm

5. Détermine la mesure manquante dans les figures suivantes. a)

c)

A 28,8 cm

19,4 cm

?

?

91,7˚ C

N

D

M

E

B

L

b)

d)

F

14,6 m 11,4 m H

162

Chapitre 7

La trigonométrie

25˚ 5,8 cm

10 m P

J

22˚

35˚

Q

K

R

125˚ ?

? 52,3˚

G

S

D

6. Un triangle isocèle a deux côtés mesurant 11 cm et deux angles mesurant 32°. Détermine : a) le périmètre de ce triangle ;

b) l’aire de ce triangle.

7. Quel est le volume des prismes droits suivants ? a)

b)

15 cm

4,3 cm

9,4 cm

8,8 cm 37,4˚ 28,5˚ 9 cm

16,2 cm

8. Détermine le nombre de triangles qu’il est possible de tracer à partir des mesures indiquées ci-dessous. Ensuite, résous chacun de ces triangles. a) D ABC pour lequel m ∠ A = 42°, m BC = 30 cm et m AC = 25 cm. b) D DEF pour lequel m ∠ E = 144°, m DF = 10,5 cm et m DE = 12,5 cm.

9. Aujourd’hui beaucoup plus éclatés qu’autreois, les motis et les couleurs des courtepointes donnent un second soufe à cet art. Voici un moti de courtepointe carré de 10 cm de côté, sur lequel certaines mesures sont indiquées. Détermine : a) le périmètre du triangle orange ; b) l’aire du quadrilatère jaune ; c) l’aire du triangle lilas.

5 cm

5 cm 2 cm

4,5 cm

5,5 cm

7 cm 33,7˚

39,9˚

3 cm

10. Voici un schéma du pont suspendu qui traverse l’estuaire de Humber, en Angleterre.

18,7˚

135 m

10,8˚

10,8˚

135 m

18,7˚

Quelle est la longueur du pont ?

Consolidation

163

11. Même tour, autre façon de faire En visite à Paris, Raphaël aperçoit la tour Eiffel du balcon de sa chambre d’hôtel, qui se situe à 8,1 m du sol. À partir de ce point, Raphaël mesure l’angle d’élévation du sommet de la tour et l’angle de dépression de la base de la tour à l’aide d’un clinomètre. Ces angles mesurent respectivement 53,7° et 2°. a) Calcule la hauteur de la tour Eiffel. b) Calcule la distance horizontale qui sépare le balcon où se trouve Raphaël de la tour Eiffel.

12. La grue blanche d’Amérique La grue blanche d’Amérique est le plus grand oiseau nichant au Canada. Lorsque l’angle d’élévation du Soleil passe de 30° à 25°, la longueur de l’ombre formée par une grue blanche augmente de 62 cm. Quelle est la taille de cette grue blanche d’Amérique ?

62 cm

13. Dans le port d’Amsterdam… Deux bateaux de plaisance quittent le même quai du port d’Amsterdam en même temps. Les deux bateaux prennent des directions différentes, tel que l’illustre le schéma ci-contre. L’un navigue à 10 km/h et l’autre navigue à 8 km/h. Quelle distance sépare ces deux bateaux après 45 minutes ?

38˚

14. Chat perché Zizou, le chat de Marie-Noëlle, a grimpé au sommet d’un poteau téléphonique et ne peut pas en redescendre. Il se trouve à 6 m du sol. Marie-Noëlle mesure 1,58 m et elle peut, avec sa main, atteindre un objet situé à 40 cm au-dessus de sa tête. L’échelle sur laquelle elle grimpe pour attraper son chat mesure 4,5 m. Pour que l’échelle reste bien en place, Marie-Noëlle doit l’appuyer contre le poteau à un angle maximal de 70° par rapport au sol. Réussira-t-elle à récupérer Zizou ?

164

Chapitre 7

La trigonométrie

15. Deux par deux, ace à ace À l’aide de la loi des sinus, explique pourquoi, dans un triangle isocèle, les deux côtés isométriques sont nécessairement opposés aux deux angles isométriques.

16. Hissez ce symbole Les drapeaux des diérents pays se distinguent par leurs couleurs et leurs symboles. Tous possèdent une histoire et une signifcation particulières. a) Voici le drapeau des Seychelles, un archipel de 115 îles situé près du continent aricain, dans l’océan Indien. Son moti est tel qu’il partage deux côtés du drapeau en trois segments isométriques.

Quel est le périmètre du secteur rouge qui se trouve sur un drapeau des Seychelles mesurant 140 cm sur 70 cm ? b) Voici le drapeau des îles Marshall, un archipel situé au nord de l’équateur dans l’océan Pacifque. Sur le côté droit du drapeau, les segments orange et blanc mesurent chacun le cinquième de la mesure du côté.

Estime la raction du drapeau qui est orange sur un drapeau des îles Marshall mesurant 190 cm sur 100 cm.

17. Minuscule solitude Voici quelques Staurastrum, ou algues vertes, qu’on trouve dans certains lacs. On peut modéliser le contour d’une de ces algues à l’aide d’un triangle équilatéral de 30 µm de côté. Combien de Staurastrum seraient nécessaires pour recouvrir la surace de 22 km2 du Grand lac Nominingue, situé dans les Laurentides ?

Un micromètre (µm) correspond à un millionième de mètre ou 10 6 m.

18. Une seule mesure suft maintenant ! Sachant que les angles intérieurs d’un polygone régulier sont isométriques, détermine l’aire : a) d’un pentagone régulier dont la mesure de côté est 4 cm ; b) d’un hexagone régulier dont l’apothème mesure 2 cm ; c) d’un décagone régulier dont le périmètre est de 20 cm. Consolidation

165

19. Calcul d’aire et coupe d’aire Soit le triangle ABC représenté dans le plan cartésien ci-contre. a) Calcule son aire à l’aide de la formule de Héron. b) Calcule son aire en soustrayant l’aire des trois triangles rectangles de l’aire du rectangle.

y 10 9 8 7

A

6 5 4 3 2

C B

1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

20. Somme simplifée Pour au moins trois valeurs de x comprises entre 0° et 90°, évalue l’expression (sin x)2 + (cos x)2. Formule ensuite une conjecture et démontre-la.

21. La Terre est ronde

Point de repère

Près de 200 ans avant notre ère, Ératosthène a trouvé une façon d’estimer la circonférence de la Terre. Il a d’abord supposé que les rayons solaires sont parallèles entre eux. Il a ensuite remarqué qu’au solstice d’été, le 21 juin, alors que le Soleil est à son zénith, les rayons solaires se rendent directement au fond d’un puits à Syène, et qu’ils sont donc perpendiculaires au sol. À la même heure et le même jour, à Alexandrie, un obélisque de 23 m de hauteur a une ombre de 2,9 m. Syène se situe à 788 km d’Alexandrie.

Ératosthène Astronome, mathématicien et géographe grec, Ératosthène (276-194 av. J.-C.) est connu pour son « crible », une méthode pour trouver les nombres premiers. Il est aussi à l’origine de la première bonne approximation de la circonférence de la Terre. Cette mesure diffère de moins de 1 % de la circonférence d’un cercle passant par les deux pôles.

166

Chapitre 7

23 m

Alexandrie 2,9 m

Syène

a) Quelle est la mesure de l’angle que forment les rayons solaires avec l’obélisque, à Alexandrie ? b) Explique pourquoi cet angle a la même mesure que l’angle au centre de la Terre qui intercepte l’arc entre Syène et Alexandrie. c) Comme l’a fait Ératosthène, estime la circonférence de la Terre.

La trigonométrie

22. Écoénergétiquement vôtre Germain planife le enêtrage de la açade sud de sa nouvelle maison à un étage. Il souhaite que sa maison soit écoénergétique grâce à l’énergie solaire passive. Au solstice d’hiver, alors qu’au zénith le Soleil est à son plus bas, Germain voudrait que le prolongement du toit n’empêche pas les rayons solaires d’entrer pleinement par les enêtres pour réchauer la maison. Au solstice d’été, alors qu’au zénith le Soleil est à son plus haut, il voudrait que le prolongement du toit empêche les rayons solaires de rapper directement les enêtres. Les schémas ci-dessous montrent un modèle qu’il a trouvé dans Internet. Le Soleil à son zénith au solstice d’été

Prolongement du toit

Le Soleil à son zénith au solstice d’hiver

Prolongement du toit

Voici les inormations dont il aut tenir compte.

– Pour avoir une açade très lumineuse, Germain choisit des enêtres d’une hauteur de 1,5 m. – La municipalité où Germain construit sa maison possède une réglementation concernant la construction des bâtiments. Celle-ci exige entre autres une distance d’au moins 45 cm entre le plancher et le bas d’une enêtre. – Dans la région où Germain demeure, l’angle d’élévation du Soleil varie entre 19° au solstice d’hiver et 67° au solstice d’été. – La distance qui sépare la plaond du plancher est de 240 cm. Aide Germain à planifer la position de ses enêtres sur la açade sud de sa maison et à trouver la longueur du prolongement du toit.

Orientation et entrepreneuriat L’autoconstruction consiste à exécuter soi-même les travaux de construction de sa maison. Un projet d’autoconstruction peut se révéler stimulant et gratifant, mais il s’agit d’une entreprise de longue haleine qui exige temps, disponibilité, patience et minutie. Pour entreprendre un tel projet, il aut également avoir une bonne connaissance des techniques et des matériaux de construction, et posséder des aptitudes pour le travail manuel. Selon toi, quelles sont les diérentes étapes d’un projet d’autoconstruction ? Si tu devais construire une maison, opterais-tu pour l’autoconstruction ou préérerais-tu confer les travaux à une entreprise ?

Consolidation

167

23. Médiane équitable

A

Dans le triangle ABC ci-contre, on a tracé la médiane AM. Démontre que cette médiane partage le triangle ABC en deux triangles qui ont la même aire.

21 cm

B

14 cm 75˚

40˚ M

C

24. Langage de construction La plupart des fermes de toit utilisées en construction ont des inclinaisons standard. Voici la vue transversale de quatre fermes de toit avec leurs mesures, arrondies au centimètre près. 3

1

2,1 m

2,3 m

6,64 m

4,6 m

2

7,3 m

4 2m

5,2 m

6,74 m

a) Pour prévenir les accidents liés aux chutes d’un toit en pente, la Commission de la santé et de la sécurité du travail (CSST) recommande le port du harnais pour travailler sur un toit dont l’inclinaison est supérieure à 19°. Parmi les quatre fermes de toit représentées ci-dessus, sur lesquelles faut-il porter un harnais ? b) Selon la terminologie propre au domaine de la construction, les toits dont l’inclinaison est standard sont appelés « 4 : 12 », « 5 : 12 » et « 6 : 12 ». Sachant que ces trois inclinaisons se trouvent parmi les toits représentés ci-dessus, explique ces appellations. c) Selon le principe de cette terminologie, comment appellerait-on la ferme de toit ci-dessous ?

168

Chapitre 7

La trigonométrie

25. Jeux olympiques d’hiver Le saut à ski est une discipline où les athlètes semblent fotter dans les airs sans eort. Pourtant, la position des skieurs, pendant la glisse et le saut, ait toute la diérence entre un saut réussi et une chute. Alors qu’un athlète est dans les airs, les extrémités des skis, qui mesurent 190 cm de longueur, se touchent à l’arrière selon un angle de 38°. La xation est située à 65 cm de l’extrémité arrière du ski. L’intérieur de la jambe du skieur, du pied jusqu’au haut de la cuisse, mesure 1,2 m de longueur. Quel angle les jambes du skieur orment-elles ?

26. Jeux olympiques d’été Voici une gure réalisée par huit nageuses synchronisées. À partir des mesures ournies, détermine l’aire de la région comprise entre deux nageuses synchronisées.

75 cm

124 cm

17 0

cm

133 cm

84 cm

Fait divers D’abord connue sous le nom de ballet aquatique, la natation synchronisée a été pratiquée pour la première fois au Canada au cours des années 1920. Avant de devenir une discipline ofcielle en 1984, à Los Angeles, la natation synchronisée a été un sport de démonstration aux Jeux olympiques de 1948 à 1968. L’expertise en natation synchronisée de la Québécoise Sylvie Fréchette, double médaillée olympique, a été mise à prot dans l’élaboration de chorégraphies sous-marines dans le spectacle du Cirque du Soleil « Ô », présenté à Las Vegas, aux États-Unis.

Consolidation

169

27. L’altitude des nuages la nuit Les pilotes de petits avions récréatis pratiquent le vol à vue, une açon de voler qui consiste à se diriger simplement avec les yeux et à l’aide de cartes de navigation. Il n’est touteois possible de pratiquer cette technique de vol que lorsque les conditions de visibilité respectent certains critères. Par exemple, l’avion peut décoller pour un vol à vue à condition que l’altitude minimale des nuages soit de 300 m. Pendant la journée, les pilotes qui désirent voler peuvent observer acilement l’altitude des nuages. Par contre, la nuit, ils se servent d’un projecteur pour éclairer les nuages afn de calculer leur altitude. Aux abords d’une piste d’atterrissage d’un petit aéroport, un projecteur éclairant les nuages est installé en permanence à 1,5 m du sol et orme un angle de 70° avec l’horizontale. À 300 m du projecteur se trouve une cabine d’observation dans laquelle est fxé, à 1,5 m du sol, un clinomètre, tel qu’illustré ci-dessous. Les pilotes qui désirent voler après le coucher du soleil utilisent ce clinomètre pour mesurer l’angle d’élévation du point où le aisceau éclaire les nuages.

70˚ 1,5 m

1,5 m 300 m

Construis un tableau associant l’angle mesuré à l’aide du clinomètre et la hauteur des nuages. Ce tableau sera afché dans la cabine d’observation. Les pilotes qui souhaitent connaître la hauteur des nuages sans devoir la calculer pourront le consulter.

Orientation et entrepreneuriat Dans le Grand Nord canadien, les routes permettant de se déplacer d’une communauté à l’autre sont presque inexistantes. Le transport aérien demeure donc souvent l’unique option pour se déplacer. Les pilotes d’avion commencent souvent leur carrière en assurant les liaisons aériennes entre les petits villages nordiques. Il s’agit pour eux d’une façon intéressante d’acquérir de l’expérience et d’accumuler les heures de vol nécessaires à l’obtention d’une licence de pilote de ligne. En plus de transporter les passagers, les pilotes effectuent la livraison du courrier, de marchandises diverses et de nourriture. En cas d’urgence, ils se servent également de leur appareil comme d’une ambulance pour conduire les personnes malades ou blessées vers les hôpitaux des grandes villes. Selon toi, quelles sont les aptitudes nécessaires pour pratiquer le métier de pilote ? En quoi une expérience de pilote dans le Grand Nord peut-elle être utile aux pilotes de ligne ?

170

Chapitre 7

La trigonométrie

Le monde du travail L’aviation Au Canada seulement, plusieurs milliers de personnes travaillent dans le domaine de l’aviation. Outre le personnel travaillant dans l’industrie aéronautique, le domaine de l’aviation emploie des proessionnels aux compétences variées : employés d’aéroports, contrôleurs aériens, ingénieurs, techniciens, agents de bord, pilotes, etc. Le métier de pilote proessionnel peut être stimulant et passionnant. Les pilotes proessionnels sont amenés à piloter diérents types d’aérones dans des secteurs aussi diversifés que le transport de voyageurs, de gens d’aaires, de blessés ou de marchandises. Plusieurs pilotes se spécialisent également en suivant la ormation nécessaire au pilotage de certains types d’appareils : hélicoptères, hydravions, avions de ligne, etc. Dans tous les cas, le métier de pilote proessionnel est exigeant et requiert de nombreuses habiletés, notamment en prise de décision et en travail d’équipe. Il s’agit d’un métier comportant une grande part de responsabilités, car ces proessionnels sont responsables de la vie de leurs passagers. Pour devenir pilote proessionnel, il aut être en excellente condition physique, attestée par un certifcat médical, et posséder les qualifcations exigées par Transports Canada, c’est-à-dire une licence de pilote proessionnel (300 heures de vol) ou une licence de pilote de ligne (1 500 heures de vol). Pour acquérir une licence de pilote, on peut suivre une ormation collégiale ou dans les écoles d’aviation privées, ou encore dans les Forces canadiennes. Les compagnies aériennes régionales ou majeures et les Forces canadiennes comptent parmi les principaux employeurs qui embauchent des pilotes. Puisqu’on prévoit une augmentation du trafc aérien, on estime que les perspectives d’avenir dans ce domaine seront avorables au cours des prochaines années.

Fait divers « Être au-dessus de l’océan Atlantique avec deux moteurs qui ne fonctionnent pas, c’est une situation dont aucun pilote ne rêve. » - Robert Piché Robert Piché est un pilote québécois qui, le 24 août 2001, a sauvé la vie des 304 passagers qu’il conduisait de Toronto à Lisbonne, capitale du Portugal, à bord d’un Airbus A-330. Une panne de moteur a forcé Robert Piché à faire planer l’avion pendant environ 20 minutes et à le détourner de sa trajectoire pour atterrir à Terceira, une le des Açores au large des côtes du Portugal. Selon monsieur Piché, ses 15 000 heures de vol et son expérience de pilote de brousse lui ont permis de garder son calme et de prendre les bonnes décisions et, ainsi, de sauver la vie de l’équipage et des passagers de l’avion.

Le monde du travail

171

Chapitre

8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique Les modèles mathématiques que nous développons à partir d’observations et d’analyses de certains phénomènes permettent de préciser nos prévisions concernant ces phénomènes. Par exemple, dans le domaine de la météorologie, on tente de perectionner les modèles utilisés afn de prévoir l’arrivée d’une tempête ou d’un ouragan. C’est aussi le cas dans le domaine de l’assurance. Bien qu’il soit impossible de prévoir lesquels de leurs clients eront une réclamation, les compagnies d’assurance utilisent la mathématique pour estimer de açon assez précise combien de clients en moyenne eront des réclamations, et pour quelle somme moyenne d’argent. Selon toi, pourquoi une compagnie d’assurance a-t-elle besoin d’un très grand nombre d’assurés pour pouvoir onctionner ? Selon toi, à partir de quelles données le gouvernement peut-il établir les montants à injecter dans un onds d’urgence en cas de sinistre ?

Survol

Vivre-ensemble et citoyenneté

Entrée en matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 1 – La probabilité subjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 2 – L’espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Consolidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le monde du travail

...............................................

174 177 189 200 211

Contenu de formation • Probabilité subjective • Équité : chance, espérance mathématique • Analyse et prise de décision concernant des données probabilistes : distinction entre probabilité théorique, probabilité fréquentielle et probabilité subjective ; distinction entre probabilité et chance ; approximation et prédiction de résultats ; calcul et interprétation de l’espérance mathématique

Entrée en matière Les pages 174 à 176 font appel à tes connaissances en probabilités et en statistique.

En contexte Dans une école secondaire, un groupe d’élèves souhaite que la structure de représentation des élèves passe d’un conseil à un parlement. Sylvain, l’animateur de la vie scolaire, a choisi de procéder à un référendum sur la modification de la structure. Les élèves sont invités à voter en répondant à la question suivante. Acceptes-tu que la structure de représentation des élèves devienne celle d’un parlement ? Oui

Non

1. Le tableau suivant présente certaines statistiques relatives au référendum. Nombre d’élèves

Nombre d’élèves qui ont voté

Pourcentage d’élèves qui ont voté « Oui »

Pourcentage d’élèves qui ont voté « Non »

1re année

252

100

21

79

2e année

228

125

24

76

1re année

201

130

40

60

2e année

157

140

75

25

3e année

132

125

88

12

Niveau

er

1 cycle

2e cycle

Parmi les élèves qui ont voté, on en a choisi deux au hasard pour dépouiller les bulletins de vote. a) Quelle est la probabilité que la première personne choisie soit une ou un élève du 2e cycle ? b) Quelle est la probabilité que les deux personnes choisies soient des élèves de la 3e année du 2e cycle ? c) Quel est le résultat du vote ?

2. Au moment de l’annonce du résultat du vote, les élèves de certains niveaux ont eu l’impression que leur opinion n’avait pas été respectée. Des élèves de chacun de ces niveaux ont formulé une plainte. a) De quels niveaux peuvent être les élèves qui ont formulé cette plainte ? Justifie ta réponse. b) Si tous les élèves de la 1re année du 1er cycle étaient allés voter et que 80 % d’entre eux avaient voté « Non », est-ce que le résultat du référendum aurait été le même ? Justifie ta réponse. 174

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

3. Dans cette nouvelle structure de représentation des élèves, il faut élire des députés pour représenter chacun des 34 groupes d’élèves de l’école. Quelquesuns de ces députés formeront ensuite la tête du parlement ainsi que le conseil des ministres. Voici la répartition des députés par niveau ainsi que la structure du parlement des élèves. La répartition des députés par niveau Niveau re

1er cycle

2e cycle

Nombre de députés

1 année

9

2e année

8

1re année

7

2e année

6

e

3 année

4

Le parlement des élèves Tête du parlement – – – –

Première ou premier ministre Vice-première ou vice-premier ministre Présidente ou président d’assemblée Leader parlementaire

Conseil des ministres – – – – – –

Ministre Ministre Ministre Ministre Ministre Ministre

de l’Environnement de l’Équité et de la Solidarité des Sports et des Loisirs de la Communication de la Formation de la Santé des élèves

La tête du parlement sera formée des quatre députés de la 3e année du 2e cycle et le conseil des ministres sera formé des six députés de la 2e année du 2e cycle. a) Combien de têtes du parlement différentes est-il possible de former ? b) Combien de conseils des ministres différents est-il possible de former ?

Vivre-ensemble et citoyenneté Depuis 1991, le Directeur général des élections du Québec et le ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport encouragent les écoles de la province à offrir à leurs élèves une tribune où ils pourront exprimer leur point de vue sur des questions touchant la vie scolaire et faire l’expérience du partage du pouvoir. Aujourd’hui, les élèves des écoles primaires et secondaires peuvent choisir différentes structures de représentation, dont le conseil d’élèves et le parlement des élèves. Les membres d’un conseil ou d’un parlement sont élus par leurs pairs. Leur rôle est de représenter tous les élèves de leur école dans certains dossiers déterminés, comme le dossier des activités parascolaires, celui de l’amélioration de la qualité de vie à l’école, ou encore dans des rencontres, par exemple celles du conseil d’établissement. Quelles sont les qualités recherchées chez une ou un membre d’un conseil d’élèves ou d’un parlement des élèves ? De quelles façons peut s’exercer le leadership d’une ou d’un élève dans une école ?

Entrée en matière

175

En bref Sauf indication contraire, un dé est toujours considéré comme régulier et ayant six faces.

1. Classe les quatre événements suivants du plus probable au moins probable. 1

2

3

4

Obtenir une somme supérieure à 5 en lançant deux dés. Tirer l’as de cœur d’un jeu de 52 cartes.

Te réveiller demain.

Lancer une pièce de monnaie deux fois et obtenir deux fois le côté pile.

2. On s’intéresse aux trois événements suivants. 1 Tirer un 8 d’un jeu de 52 cartes. 2 Obtenir un résultat plus petit que 7 en lançant un dé. 3 Obtenir trois fois le côté pile en lançant trois fois une pièce de monnaie. Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.

a) Lesquels de ces événements proviennent d’expériences aléatoires ? b) Calcule la probabilité de ces trois événements.

3. Le tableau suivant présente des données relatives au salaire horaire des employés d’une entreprise selon le poste qu’ils occupent. Salaire horaire

Nombre de personnes qui occupent ce poste

Commis

18 $

40

Répartitrice ou répartiteur

23 $

7

Superviseure ou superviseur

31 $

4

Poste

a) Quel est le salaire horaire moyen de tous les employés de cette entreprise ? b) Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans le personnel de cette entreprise gagne plus de 20 $ l’heure ?

4. Dans un chapeau, on a mis 20 tuiles. Sur chaque tuile, on a inscrit un chiffre différent (0 à 9) ou une lettre différente (A à J). On tire deux tuiles du chapeau. Sachant qu’il s’agit d’un tirage sans remise, détermine la probabilité : a) de tirer une lettre d’abord et un chiffre ensuite ; b) de tirer deux lettres ; c) de tirer une voyelle et un multiple de 2. 176

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

La probabilité subjective À chacun sa force

Section

1

Situation d’application

Chaque année, une commission scolaire organise une compétition sportive à laquelle les élèves de toutes ses écoles sont invités à participer. Cette année, la compétition comporte les trois épreuves suivantes. – Tir à l’arc : atteindre le disque central d’une cible située à 30 m. – Basketball : réussir un panier à partir de la ligne de lancer ranc. – Gol : réussir un coup roulé de 5 m.

Les équipes qui participent à la compétition doivent être ormées de trois membres actis (chaque membre se voit assigner une épreuve) et d’une remplaçante ou d’un remplaçant. Chaque membre acti peut demander de se aire remplacer par la remplaçante ou le remplaçant. Le jour de la compétition, l’ordre d’exécution des épreuves sera déterminé au hasard. La réussite d’une épreuve qualife l’équipe pour l’épreuve suivante. On répète les épreuves dans le même ordre jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une seule équipe. Alix, Béatrice, Dinara et Émile représentent leur école. Ils se rencontrent pour assigner un rôle à chaque membre de l’équipe en se basant sur leurs perormances à l’entraînement ainsi que sur leurs impressions personnelles.

Vivre-ensemble et citoyenneté Pour être réellement efcace, une équipe doit tenir compte des diverses aptitudes de ses membres. C’est en valorisant les orces de chacune et de chacun qu’il est possible d’accomplir une tâche de açon optimale. Quelle est ton attitude lorsque tu travailles en équipe ? Crois-tu qu’il est préérable de travailler avec des personnes très diérentes de soi ? Pourquoi ?

Les perormances et les impressions des membres de l’équipe Membre

Impressions personnelles

Alix

8 en 20

19 en 20

3 en 3

J’aurais aimé qu’Émile s’entraîne sérieusement.

Béatrice

2 en 3

19 en 20

13 en 30

Je suis meilleure lorsque ça compte.

Dinara

20 en 30

2 en 2

12 en 20

Je me sens vraiment prête.

Émile

3 en 4

5 en 6

11 en 20

Je sens qu’Alix est très nerveuse cette année.

Assigne une épreuve à trois membres et désigne la remplaçante ou le remplaçant de açon à maximiser les chances de réussite de l’équipe. Justife chacun de tes choix.

Section 1

La probabilité subjective

177

ACTIVITÉ d’exploration

1

Calculer, estimer ou évaluer ? Voici 11 événements ayant différentes probabilités de se réaliser.

Distinction entre différents types de probabilités

Un dé truqué est un dé pour lequel tous les résultats ne sont pas équiprobables.

1

Cliquer sur « Répondre à tous » par accident en répondant à un courriel.

7

Observer que Tiger Woods réalisera un trou d’un coup à sa prochaine partie de golf.

2

Laisser tomber une punaise par terre et observer qu’elle est tombée la pointe vers le haut.

8

Ouvrir un dictionnaire à n’importe quelle page et observer que le premier mot de la page de gauche compte cinq lettres.

3

Tirer un as d’un jeu de 52 cartes.

9

Observer qu’il neigera le jour de Noël.

4

Lancer deux dés truqués et obtenir un double.

10

Obtenir le côté pile en lançant une pièce de monnaie.

5

Oublier l’anniversaire de ta meilleure amie.

11

Obtenir une somme de 11 en lançant deux dés.

6

Observer une victoire des Canadiens de Montréal à leur prochain match.

A

Selon toi, lequel de ces événements est : 1)

Probabilité théorique

le plus probable ?

Chapitre 8

le moins probable ?

B

Pourquoi plusieurs bonnes réponses sont-elles possibles en A ?

C

Pour lesquels de ces événements est-on en mesure de calculer la probabilité théorique?

Probabilité calculée à partir d’un modèle.

178

2)

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

D

Calcule la probabilité théorique de chacun des événements nommés en C.

E

Pour lesquels de ces événements doit-on estimer une probabilité fréquentielle ?

Probabilité fréquentielle

F

Pour lesquels de ces événements doit-on évaluer une probabilité subjective ?

Probabilité estimée à partir de résultats observés dans une expérience aléatoire.

G

Quel type de probabilité peut donner lieu à des évaluations diérentes, selon la personne qui la détermine ? Justife ta réponse.

H

Selon toi, quelles questions peut-on se poser pour aciliter l’association d’un événement à un type de probabilité ?

I

Trouve un événement, autre que ceux présentés à la page précédente, auquel est associée : 1) une probabilité théorique ; 2) une probabilité réquentielle ; 3) une probabilité subjective.

Probabilité subjective Probabilité évaluée à partir d’un jugement.

Ai-je bien compris ? Classe les six événements suivants selon que la probabilité qui leur est associée est théorique, réquentielle ou subjective. Justife tes réponses. 1

Obtenir huit ois de suite le côté pile en lançant une pièce de monnaie.

4

Retrouver ses clés tout de suite après en avoir ait tailler de nouvelles.

2

Observer qu’un adolescent est gaucher.

5

Perdre à une certaine loterie.

3

Observer qu’il pleuvra la fn de semaine prochaine.

6

Observer que la voiture stationnée devant chez soi est rouge.

Section 1

Activité d’exploration 1

179

ACTIVITÉ d’exploration

2

• Probabilité subjective • « Chances pour » et « chances contre »

La Triple Couronne Chaque printemps, aux États-Unis, des chevaux âgés de trois ans essaient de gagner la Triple Couronne. Pour ce aire, ils doivent d’abord remporter le Kentucky Derby, puis le Preakness Stakes et, enfn, le Belmont Stakes. Dans l’histoire de la Triple Couronne, 32 chevaux ont remporté les deux premières courses, mais seulement 11 d’entre eux ont aussi remporté le Belmont Stakes et donc la Triple Couronne. Le tableau suivant présente des statistiques et de l’inormation relatives à cinq chevaux qui ont remporté le Kentucky Derby et le Preakness Stakes ; deux de ces chevaux ont remporté la Triple Couronne.

Année

1932

1935

Cheval Burgoo King

Omaha

Kentucky Derby – Il n’était pas avori.

Preakness Stakes – Il était avori.

Le jour de la course du Belmont Stakes, il aisait chaud et humide, et le ciel était nuageux.

21 courses, 8 victoires

– Il a gagné par 1 tête.

– Il n’était pas avori.

– Il n’était pas avori.

– Il a gagné par 1,5 longueur.

– Il a gagné par 6 longueurs.

Son père a gagné la Triple Couronne.

22 courses, 9 victoires

– Il n’était pas avori.

– Il était avori.

Son père, Tom Fool, et sa mère, Two Lea, sont membres du Temple de la renommée des chevaux.

14 courses, 10 victoires

Le même cheval (Arts and Letters) est arrivé 2e lors des deux premières courses.

10 courses, 9 victoires

Secretariat a établi un record de vitesse à ces deux courses.

21 courses, 16 victoires

Tim Tam

– Il a gagné par 0,5 longueur.

– Il a gagné par 1,5 longueur.

1969

Majestic Prince

– Il était avori.

– Il était avori.

– Il a gagné par 1 cou.

– Il a gagné par 1 tête.

– Il était avori.

– Il était avori.

– Il a gagné par 2,5 longueurs.

– Il a gagné par 2,5 longueurs.

Secretariat

Fiche en carrière

– Il a gagné par 3 longueurs.

1958

1973

Fait divers

Adapté de : Unofficial Thoroughbred Hall of Fame (traduction libre), 2009.

Pour décrire l’avance avec laquelle un cheval gagne une course, on indique la partie du corps du cheval ou encore le nombre de longueurs du cheval entier qui a ranchi la ligne d’arrivée avant l’arrivée du deuxième cheval.

180

Chapitre 8

A

Selon toi, parmi ces cinq chevaux, lesquels ont remporté la Triple Couronne ? Justife ta réponse.

B

Quelle statistique ou quelle inormation supplémentaire pourrait t’aider à répondre à la question A ?

C

Trouve des arguments qui peuvent justifer la victoire d’un cheval autre que ceux que tu as nommés en A.

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

En 1935, alors que 17 experts jugeaient qu’Omaha remporterait le Belmont Stakes, 12 autres évaluaient que ce cheval n’avait pas ce qu’il allait pour remporter une troisième course consécutive. D

Utilise l’opinion de ces experts pour déterminer : 1) les « chances pour » la victoire d’Omaha au Belmont Stakes ; 2)

les « chances contre » la victoire d’Omaha au Belmont Stakes.

E

Les « chances pour » et les « chances contre » représentent-elles la probabilité qu’Omaha gagne ou perde la course ? Justife ta réponse.

F

Comment peux-tu utiliser les « chances pour » afn d’évaluer la probabilité qu’Omaha gagne la course ? Évalue cette probabilité.

G

De quel type de probabilité est-il question en F ?

«Chances pour» et «chances contre» Rapports entre les cas avorables et les cas déavorables à la réalisation d’un événement .

En 2008, Big Brown a ailli remporter la Triple Couronne. Le tableau suivant présente les « chances pour » telles qu’elles avaient été établies pour chacune des courses de la Triple Couronne qu’a courue Big Brown. Big Brown (2008)

Kentucky Derby

Preakness Stakes

Belmont Stakes

3:1

4:1

5:2

Adapté de : Internet Broadcasting Systems Inc., 2009 ; The Spread Inc., 2008 ; Newser, 2009.

H

Évalue la probabilité subjective qu’avait Big Brown de remporter : 1) le Kentucky Derby ; 2) le Preakness Stakes ; 3) le Belmont Stakes.

I

Donne un exemple d’utilisation des rapports « chances pour » et « chances contre » dans un contexte : 1) de probabilité théorique ; 2) de probabilité réquentielle.

On utilise généralement le deux-points plutôt que la barre de raction pour exprimer les « chances pour » et les « chances contre ». Par exemple, si les « chances pour » sont de 51 , on écrit 5 : 1 et on dit « 5 contre 1 ».

Ai-je bien compris ? 1. Évalue la probabilité subjective : a) que tous tes amis b) qu’une de tes soient présents à amies oublie ses l’école mardi prochain ; clés aujourd’hui ;

c) qu’il pleuve dans cinq jours.

2. Exprime les probabilités suivantes en « chances pour » et en « chances contre ». a) 14 b) 35 c) 99 % 3. Exprime les « chances pour » ou les « chances contre » suivantes en probabilités. a) 3 contre 5 b) Les « chances pour » c) « Chances contre » = 47 sont de 7 : 2.

Section 1

Activité d’exploration 2

181

Faire le point La distinction entre différents types de probabilités La valeur d’une probabilité est toujours comprise dans l’intervalle [0, 1].

Une probabilité peut être théorique, fréquentielle ou subjective selon qu’on la calcule à l’aide d’un modèle, qu’on l’estime à l’aide d’une expérience ou qu’on l’évalue en faisant appel à son jugement.

La probabilité théorique Il est possible de calculer la probabilité théorique d’un événement lorsqu’on peut modéliser une situation sans nécessairement recourir à l’expérimentation. Lorsque les résultats d’une expérience aléatoire sont équiprobables, la probabilité d’un événement se calcule de la façon suivante. Nombre de résultats favorables Probabilité théorique = Nombre de résultats possibles d’un événement

Exemple : Soit l’expérience aléatoire « Sans regarder, tirer une bille du bocal ci-contre et noter sa couleur ». La probabilité de tirer : 2 11 ; 5 bleue est de 11 ; 4 verte est de 11 .

– une bille rouge est de – une bille – une bille

Point de repère Blaise Pascal et Pierre de Fermat Blaise Pascal (1623-1662) et Pierre de Fermat (1601-1665), deux mathématiciens français, se sont intéressés à des problèmes faisant intervenir des concepts mathématiques jusque-là peu explorés. Pascal et Fermat se questionnaient, par exemple, sur la probabilité d’obtenir un 6 en lançant quatre fois un dé ou d’obtenir une paire de 6 en lançant 24 fois deux dés. C’est de leurs échanges qu’est née la théorie des probabilités. Leurs travaux ont permis de développer des modèles mathématiques qui sont aujourd’hui utilisés en économie.

182

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

La probabilité réquentielle La probabilité réquentielle est une estimation aite à partir de résultats observés suite à plusieurs réalisations d’une expérience aléatoire. On doit avoir recours à une expérience aléatoire lorsqu’on ne dispose pas d’un modèle permettant de calculer une probabilité théorique. Lorsque l’expérience aléatoire est eectuée un grand nombre de ois, la probabilité réquentielle constitue une bonne estimation de la probabilité théorique d’un événement. Probabilité réquentielle Nombre de réalisations de l’événement = d’un événement Nombre de réalisations de l’expérience aléatoire Exemple : Soit l’expérience aléatoire « Lancer un pince-euilles et noter sa position nale ». Voici la compilation des résultats de 300 lancers. Résultat (position fnale) 225

Nombre de réalisations Probabilité réquentielle

225 300

= 75 %

39 39 300

= 13 %

36 36 300

0

= 12 %

0%

Remarque : Même si on n’a pas observé un des résultats en eectuant l’expérience aléatoire, on ne peut pas conclure que ce résultat est impossible.

La probabilité subjective Une probabilité subjective refète l’avis d’une personne sur la probabilité qu’un événement se réalise. La probabilité est subjective puisqu’elle ait appel au jugement et correspond à une évaluation personnelle basée à la ois sur des connaissances et des opinions. On évalue une probabilité subjective dans le cas où il est impossible de calculer une probabilité théorique ou d’estimer une probabilité réquentielle. Les prévisions de résultats sportis et certaines prévisions météorologiques ont appel à la probabilité subjective. Remarque : La probabilité subjective qu’un événement se réalise peut être évaluée diéremment d’une personne à une autre.

Section 1

Faire le point

183

Les « chances pour » et les « chances contre » Dans certaines situations, les probabilités théorique, fréquentielle ou subjective sont exprimées en « chances pour » et en « chances contre ». Les « chances pour » et les « chances contre » la réalisation d’un événement sont exprimées par les rapports suivants. « Chances pour » =

« Chances contre » =

Nombre de cas favorables Nombre de cas défavorables Nombre de cas défavorables Nombre de cas favorables

Exemple : Pour une saison donnée, trois analystes sportifs croient que l’équipe des Canadiens de Montréal remportera la coupe Stanley alors que huit autres croient qu’une autre équipe de la Ligue nationale de hockey la remportera. Les « chances pour » sont de 3 : 8. Les « chances contre » sont de 8 : 3. Remarque : On exprime généralement les « chances pour » et les « chances contre » à l’aide d’un deux-points. Ainsi, si les « chances pour » la réalisation d’un événement sont évaluées à 38, on écrit 3 : 8 et on dit : les « chances pour » que l’événement se réalise sont de 3 contre 8.

De la probabilité aux chances et des chances à la probabilité La relation entre le nombre de cas possibles et le nombre de cas favorables et défavorables à la réalisation d’un événement permet d’exprimer une probabilité en « chances pour » ou en « chances contre » ou l’inverse. Nombre de cas possibles = Nombre de cas favorables + Nombre de cas défavorables Exemples : 1)

5 Pour exprimer la probabilité 12 en « chances pour », on détermine le nombre de cas défavorables à partir du dénominateur qui représente le nombre de cas possibles. On a donc 7 cas défavorables (12 – 5 = 7).

Les « chances pour » sont de 5 : 7. 2)

Pour exprimer le rapport « chances contre » 9 : 2 en probabilité, on détermine le nombre de cas possibles à partir du nombre de cas défavorables et du nombre de cas favorables. On a donc 11 cas possibles (9 + 2 = 11). 2 La probabilité est de 11 .

Remarque : Le rapport « chances pour » est l’inverse multiplicatif du rapport « chances contre ».

184

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Mise en pratique 1. À quel type de probabilité est associé chacun des neuf événements suivants ? a) Observer que les six enfants de mêmes parents sont de même sexe. b) Attribuer une note de 10 sur 10 au film que tu verras en juillet prochain. c) Constater que le nombre de mots d’une page choisie au hasard dans le dernier roman que tu as lu est un nombre premier. d) Tirer le roi de trèfle d’un jeu de 52 cartes. e) Réaliser un arrêt sur un tir de barrage durant un match de la Ligue nationale de hockey. f) Observer que la masse d’un nouveau-né est supérieure à 3 kg. g) Lancer deux dés et observer que la somme obtenue est un multiple de 3. h) Constater que ta nouvelle amie sera contente de la cote qu’elle obtiendra à sa prochaine évaluation de mathématique. i) Observer que le groupe sanguin d’une Québécoise est A+.

2. Soit l’affirmation suivante. Notre produit nettoyant tue 99,9 % des germes. a) Dans tes mots, reformule cette affirmation en utilisant le mot « probabilité ». b) De quel type de probabilité s’agit-il ? Justifie ta réponse.

3. Voici quatre affirmations. 1

2

3

4

Quand le soleil est orangé dans le ciel par un soir d’été, c’est le signe qu’il fera très chaud le lendemain. Si tu ne te brosses pas les dents tous les jours, elles finiront par tomber. La nuit, lorsque je vais me chercher un verre d’eau, je me frappe souvent un orteil à un meuble. Une personne qui trouve un trèfle à quatre feuilles est assurée de connaître une période de chance.

a) Explique pourquoi on peut associer chacune de ces affirmations à une probabilité subjective. b) Formule deux autres affirmations qui peuvent être associées à une probabilité subjective.

Section 1

Mise en pratique

185

4. Léo a compilé dans le tableau ci-contre

Position

les résultats de 2 500 lancers d’un gobelet de carton. a) Quelle est la probabilité que le gobelet tombe en position debout au prochain lancer ? b) Si Léo eectue 2 500 autres lancers, combien de ois crois-tu que le gobelet tombera en position couchée ? c) Tes réponses en a et en b sont-elles basées sur une opinion, une expérience ou un modèle mathématique ? Justife tes réponses.

Effectif

207 Debout

2 293 Couché

5. Associe les événements suivants au rapport « chances pour » ou « chances contre » correspondant. A

B

C

D

Obtenir une somme de 11 en lançant deux dés. Obtenir une somme de 7 en lançant deux dés. Obtenir un nombre pair en lançant un dé. Obtenir un diviseur de 6 en lançant un dé.

1

2

3

4

Les « chances pour » sont de 1 : 5. 2 chances contre 1.

Les « chances pour » égalent les « chances contre ». Les « chances contre » sont de 17 : 1.

6. Le tableau ci-dessous présente certaines observations météorologiques obtenues durant les derniers jours à Detroit, à Toronto et à Montréal. Avant-hier

Hier

Aujourd’hui

Detroit

Vents violents Orages 15 °C

Vents modérés Faibles averses 10 °C

Pas de vent Nuageux 9 °C

Toronto

Pas de vent Nuageux 8 °C

Vents modérés Orages 14 °C

Vents aibles Faibles averses 9 °C

Montréal

Vents modérés Ensoleillé 18 °C

Pas de vent Nuageux 9 °C

Vents modérés Averses 13 °C

Fais une prévision météorologique (vents, probabilité de précipitations et température) pour demain et après-demain à Montréal. Justife ta réponse. 186

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

7. Voici cinq acteurs qui peuvent infuer sur le ait que l’équipe de soccer l’Impact de Montréal remporte son prochain match. 1

2

3

4

5

La fche de l’Impact pour ses trois derniers matchs Trois victoires et aucune déaite La fche de l’équipe adverse pour ses trois derniers matchs Deux victoires et une déaite La fche de l’Impact contre cette équipe au cours de la saison dernière Une victoire et une déaite Les prévisions météorologiques 80 % de probabilité d’averses, orts vents Le degré d’importance du match en regard de la qualifcation aux quarts de fnale L’équipe adverse ne peut pas se qualier, alors que l’Impact ne doit gagner qu’un seul de ses quatre derniers matchs pour se qualier.

a) Classe les cinq acteurs ci-dessus du plus infuent au moins infuent. b) Selon toi, quels autres acteurs pourraient infuer sur le ait que l’Impact remporte son prochain match ? c) Évalue la probabilité que l’Impact remporte son prochain match.

8. Josée vient de terminer une évaluation de rançais. Elle arme que, puisqu’elle a toujours eu la cote A à ses évaluations de rançais, elle aura probablement la cote A cette ois-ci aussi. De plus, elle prétend qu’elle aura probablement la cote A à l’évaluation de rançais de la semaine prochaine. a) Josée se base-t-elle sur une opinion ou une expérience pour armer : 1) qu’elle aura probablement la cote A à l’évaluation qu’elle vient de terminer ? 2) qu’elle aura probablement la cote A à l’évaluation de la semaine prochaine ? b) Quels arguments peux-tu présenter à Josée pour lui aire prendre conscience du ait qu’elle pourrait ne pas avoir un A à l’évaluation de la semaine prochaine ?

9. Explique pourquoi on ne peut pas exprimer une probabilité égale à 1 en « chances pour ».

Section 1

Mise en pratique

187

10. Réponds aux questions suivantes. a) Exprime les probabilités suivantes en « chances pour » et en « chances contre ». 3

1) 8 2) 12,5

2

%

2 3%

4) 17 12 5) 37

66 6) 4 chances sur 7 b) Exprime les « chances pour » ou les « chances contre » suivantes en probabilités. 1) 8 contre 3 4) 7 chances contre 2 11 2) Les « chances pour » sont de 8 : 1. 5) « Chances pour » = 5 9 3) Les « chances contre » sont de 5 : 9. 6) « Chances contre » = 13 3)

11. Vrai ou aux ? Justie tes réponses. a) Les « chances pour » donnent une probabilité de gagner alors que les « chances contre » donnent une probabilité de perdre. b) Si le rapport « chances pour » est inérieur à un entier, alors le rapport « chances contre » sera supérieur à un entier. c) « 2 chances sur 7 » est un rapport « chances pour ». d) « 5 chances sur 8 », c’est la même chose que « des chances de 5 contre 3 ». e) S’il y a autant de « chances pour » la réalisation d’un événement que de « chances contre », alors la probabilité que l’événement se réalise est de 12 .

12. Jean-Simon utilise cinq cartes d’un jeu de 52 cartes pour aire des tours de magie. Voici de l’inormation sur les cartes qu’il utilise. – Les « chances pour » qu’une carte choisie au hasard soit noire sont de 3 : 2.

– Les « chances contre » qu’une carte choisie au hasard soit une gure sont de 1 : 4. – La probabilité qu’une carte choisie au hasard soit une carte de trèfe est de 60 %. a) Quelle est la probabilité qu’une carte choisie au hasard parmi les cinq cartes de Jean-Simon soit rouge ? b) Quelles sont les « chances pour » qu’une carte choisie au hasard parmi les cinq cartes de Jean-Simon n’en soit pas une de trèfe ? c) Nomme deux ensembles de cinq cartes qui pourraient être celles que Jean-Simon utilise pour ses tours de magie.

188

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Section

L’espérance mathématique

2

?

Tout le monde y gagne !

Dans le cadre d’un événement-bénéfce annuel, on invite les visiteurs à participer au jeu du labyrinthe. Ce jeu sert à amasser des onds pour venir en aide à des enants malades. Les participants doivent payer un droit d’entrée pour ce jeu et tous remportent un lot. Les participants commenceront l’épreuve à l’entrée du labyrinthe représenté ci-contre. À l’intérieur, ils se trouveront devant une succession de portes à sens unique, identiques, donnant accès à diérents sentiers. Certains parcours mènent à la salle 1 , d’autres aux salles 2 , 3 ou 4 . Dans chacune de ces salles se trouve un des quatre lots suivants. A

Un porte-clés de l’événement

B

Deux billets pour un match de hockey junior

C

1

Entrée

D

Deux laissezpasser pour le cinéma

2

3

4

Un souper au restaurant pour deux

Les lots proviennent de commanditaires. La somme déboursée par les organisateurs pour acquérir ces lots, soit respectivement 1 $, 0 $, 4 $ et 40 $, est donc inérieure à leur valeur réelle. L’objecti est de recueillir au moins 3 000 $. On estime que 1 000 personnes participeront au jeu du labyrinthe, et aucun commanditaire n’a fxé de limite quant au nombre de lots oerts. Propose aux organisateurs une salle du labyrinthe où placer chaque lot et fxe le droit d’entrée qui leur permettra d’atteindre leur objecti.

Vivre-ensemble et citoyenneté Il arrive souvent que des événements populaires s’associent à une cause. C’est le cas du Grand Déf, un pentathlon nouveau genre. En eet, l’argent recueilli au cours de cet événement annuel, qui attire plus de 1 000 participants et plusieurs milliers de spectateurs, sert, entre autres, à soutenir les activités de la ondation Les Amis d’Elliot, dont la mission est de venir en aide aux enants malades de la région des Bois-Francs. Comment un tel partenariat peut-il être proftable aux deux parties ? Selon toi, à quoi peut-on attribuer le succès d’un événement de cette envergure ?

Section 2

L’espérance mathématique

189

ACTIVITÉ

D ’ EXPLORATION

1

Partage de coutume Alex décrit à Cynthia le jeu du dreidel auquel il joue avec les membres de sa famille au cours de la fête juive de la Hanoukkah. Un dreidel est une toupie dont chacune des quatre faces est marquée d’une lettre hébraïque. Pour y jouer, on détermine d’abord les objets qui constituent la mise. À tour de rôle, les joueurs font ensuite tourner le dreidel et suivent la consigne correspondant au résultat obtenu. Par exemple, les joueurs passent leur tour, ajoutent ou prennent un certain nombre d’objets, et ce, jusqu’à ce que la mise soit vide. Cynthia a fabriqué une toupie en carton semblable à un dreidel, mais dont les résultats ne sont pas équiprobables. Sur les faces de la toupie, elle a inscrit « Passe ton tour », « Prends 1 », « Ajoute 2 » et « Prends 3 ». Elle propose à son frère et à sa sœur de jouer avec 30 chocolats. Chaque joueuse ou joueur prend 4 chocolats et les 18 restants constituent la mise.

Espérance mathématique

Le tableau suivant présente la probabilité d’obtenir chacun des résultats de la toupie de Cynthia. Résultat Probabilité Espérance mathématique Moyenne pondérée des résultats d’une expérience aléatoire dans laquelle les facteurs de pondération sont les probabilités d’obtenir chacun des résultats.

« Passe ton tour »

« Prends 1»

« Ajoute 2 »

« Prends 3 »

25 %

30 %

25 %

20 %

A

Calcule l’espérance mathématique de cette toupie.

B

Que représente la valeur trouvée en A dans le présent contexte ?

C

Pourquoi le fait que les résultats de la toupie fabriquée par Cynthia ne soient pas équiprobables affecte-t-il l’espérance mathématique de cette toupie ?

D

Quelle aurait été l’espérance mathématique de la toupie si, à la place de l’indication « Passe ton tour », Cynthia avait inscrit « Ajoute 1 » ?

Fait divers La fête juive de Hanoukkah, aussi appelée « Fête des lumières », commémore la libération de Jérusalem de la domination grecque, il y a plus de 2 000 ans. Chaque soir, pendant huit jours au mois de décembre, les familles allument une à une les huit bougies du chandelier traditionnel. La neuvième sert à allumer les autres.

190

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

E

Selon toi, de quelle façon le changement dont il est question en D est-il susceptible d’influer sur le nombre de tours nécessaires pour que la mise soit vide ? Justifie ta réponse.

F

Par quoi faudrait-il remplacer « Prends 1 » sur la toupie de Cynthia pour que la mise diminue d’un chocolat par tour, en moyenne ?

Vivre-ensemble et citoyenneté Les lettres de l’alphabet hébraïque qui apparaissent sur un dreidel sont (Nun), (Gimel), (Hei) et (Shin). Ces lettres sont les premières de chaque mot de la phrase Nes Gadol Haya Sham, qui signifie « Un grand miracle s’est produit là-bas ». Il existe plusieurs variantes aux règles du jeu du dreidel. La plus courante est la suivante. – –

correspond à « Passe ton tour ». correspond à « Ajoute 1».

–

correspond à « Prends la moitié de la mise ». Si le nombre d’objets dans la mise est impair, on arrondit à la hausse.

–

correspond à « Prends toute la mise ». Chaque joueuse ou joueur peut ensuite regarnir la mise en y ajoutant un objet.

Nomme une coutume propre à une religion. Selon toi, comment la diversité culturelle contribue-t-elle à l’éducation à la citoyenneté ?

Ai-je bien compris ? 1. Calcule l’espérance mathématique de chacune des roulettes suivantes. Les secteurs qui semblent isométriques le sont. a)

b))

c) 4

4

2

4

3

2 1

3 2

3

0

5

1

1

3 5

2

2. Voici quatre probabilités et quatre résultats liés à une expérience aléatoire. Résultats

Probabilités 15 %

25 %

20 %

40 %

8

20

−

10

15

Associe chaque probabilité à un résultat de manière à obtenir, pour cette expérience aléatoire, une espérance mathématique de : a) 4

b) 10,2

c) 8,1 Section 2

Activité d’exploration 1

191

ACTIVITÉ d’exploration

• Interprétation de l’espérance mathématique • Équité

2

Le Plinko Le Plinko, un jeu basé sur l’espérance mathématique, a fait sa première apparition en 1983 dans un jeu télévisé. Le Plinko est un plan incliné sur lequel on a placé des piquets. On y laisse glisser une rondelle et on observe le parcours qu’elle effectue. Chaque fois que la rondelle frappe un piquet, elle dévie vers la gauche ou la droite selon la même probabilité, soit 12. On s’intéresse au résultat indiqué par la rondelle lorsqu’elle arrive au bas du plan incliné. Voici le parcours effectué par une rondelle qu’on laisse glisser sur un plan incliné construit selon le modèle du Plinko. Point de départ

1$

5 $ 0 $ 20 $ 0 $ 5 $

1$

Le tableau suivant présente la probabilité de chacun des résultats si on laisse glisser une rondelle à partir du même point de départ que celui illustré. Résultat Probabilité

192

Chapitre 8

1$ 2 64

1 = 32

5$ 12 64

3 = 16

0$ 30 64

15 = 32

20 $ 20 64

5 = 16

A

Quelle est l’espérance mathématique de ce plan incliné ?

B

Que représente l’espérance mathématique dans ce contexte ?

C

Que devient l’espérance mathématique du jeu si, pour y participer, il faut payer : 1) 1 $ ? 2) 5 $ ? 3) 10 $ ?

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

D

À quels prix, parmi ceux présentés en C, serait-il avantageux, en moyenne, de participer au jeu ? Justife ta réponse.

E

Détermine le prix à payer pour participer au jeu pour qu’il soit un jeu équitable.

Jeu équitable Dans un contexte de jeu de hasard, jeu dont l’espérance mathématique est nulle.

Suppose que les lots à gagner inscrits au bas du plan incliné sont les suivants (de gauche à droite). 50 $

F

5$

1$

0$

1$

5$

50 $

Détermine le prix à payer pour participer au jeu pour qu’il soit un jeu équitable. Explique comment tu as procédé.

Voici sept lots. 0$

1$

2$

5$

10 $

12 $

20 $

On veut inscrire ces lots au bas d’un plan incliné. Chaque lot ne doit apparaître qu’une seule ois. G

De quelle açon peut-on disposer ces lots pour que le jeu soit le plus avorable possible : 1) aux participants ? 2) à la personne propriétaire du jeu ?

Ai-je bien compris ? Un club de gymnastique organise une loterie pour fnancer ses activités. Le tableau suivant présente les lots à gagner et la probabilité de gagner chacun de ces lots. Lot Probabilité

1 000 $

500 $

100 $

50 $

1 2000

2 2000

8 2000

12 2000

a) Quelle est la probabilité de ne rien gagner à cette loterie ? b) Calcule l’espérance mathématique de cette loterie en considérant que le prix d’un billet est de : 1) 5 $ 2) 6 $ Section 2

Activité d’exploration 2

193

Faire le point L’espérance mathématique L’espérance mathématique est la moyenne pondérée des résultats d’une expérience aléatoire dans laquelle les acteurs de pondération sont les probabilités d’obtenir chacun des résultats. Il s’agit donc de la somme des produits des résultats et des probabilités correspondantes. Exemple : On ait tourner la fèche de la roulette ci-dessous et on remporte le lot inscrit dans le secteur où la fèche s’immobilise. Pièges et astuces

5$

Pour calculer l’espérance mathématique, il est souvent plus simple de ne pas réduire les ractions correspondant aux probabilités.

2$ 0$

Résultat

12 $

2$

12 $ 0$

0$

5$

5$ 2$

2$ 0$

5 $ 12 $

0$

Espérance mathématique = 0 • Espérance mathématique =

5 16

12•

4 16

0 1 8 1 20 1 36 16

=

Probabilité

0$

5 16

2$

4 16

5$

4 16

12 $

3 16

15• 64 16

4 16

1 12 •

3 16

=4

L’espérance mathématique de cette roulette est de 4 $. Cela signie qu’en aisant tourner la fèche de la roulette un très grand nombre de ois, on peut s’attendre à gagner en moyenne 4 $ chaque ois qu’on la ait tourner. Remarques : – La valeur moyenne des résultats obtenus en répétant une expérience aléatoire un très grand nombre de ois tend vers l’espérance mathématique. – On note parois l’espérance mathématique avec la lettre E. Par exemple, l’espérance mathématique d’une roulette peut se noter E(Roulette).

Point de repère Jacob Bernoulli Le Suisse Jacob Bernoulli (1654-1705) fut l’un des premiers mathématiciens à tenter d’établir un lien entre la probabilité théorique et la probabilité fréquentielle d’un événement. Ses travaux l’ont mené à énoncer la « loi des grands nombres ». Cette loi stipule que si on réalise une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la probabilité fréquentielle converge vers la probabilité théorique associée à l’événement en question.

194

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

L’interprétation de l’espérance mathématique et l’équité Dans un jeu qui consiste à effectuer une expérience aléatoire et où il est possible de gagner ou de perdre des points, des objets ou de l’argent, il y a trois possibilités. Le jeu est : – favorable à la joueuse ou au joueur si l’espérance mathématique est positive ; – défavorable à la joueuse ou au joueur si l’espérance mathématique est négative ;

Toutes les loteries sont des jeux défavorables à la joueuse ou au joueur.

– équitable si l’espérance mathématique est nulle.

L’espérance mathématique d’un jeu de hasard dépend du prix à payer pour y participer. Exemples : Voici deux façons équivalentes de calculer l’espérance mathématique de la roulette ci-contre si on doit payer 5 $ pour en faire tourner la flèche.

5$

2$ 0$

12 $

2$

12 $ 0$

0$ 5$

5$

2$

2$ 0$

1)

Soustraire le prix à payer de chacun des résultats possibles.

Résultat Probabilité

0$

2$

5$

12 $

5 16

4 16

4 16

3 16

5 $ 12 $

Résultat Probabilité

0$

−5

$

5 16

−3

$

4 16

0$

7$

4 16

3 16

Calculer ensuite l’espérance mathématique du jeu. 5 4 4 3 E(Jeu) = −5 • 16  −3 • 16  0 • 16  7 • 16 = −1

L’espérance mathématique de ce jeu est de −1 $. 2)

Soustraire le prix à payer de l’espérance mathématique de la roulette pour obtenir l’espérance mathématique du jeu. Espérance mathématique de la roulette

Prix à payer  pour jouer à la roulette

Espérance = mathématique du jeu

4 $  5 $ = −1 $ L’espérance mathématique de ce jeu est de −1 $. Cela signifie qu’en jouant un très grand nombre de fois, on peut s’attendre à perdre en moyenne 1 $ par participation. Pour que ce jeu soit un jeu équitable, le prix à payer pour y participer doit être de 4 $. Si le prix à payer pour y participer est inférieur à 4 $, le jeu est alors favorable à la joueuse ou au joueur ; s’il est supérieur à 4 $, le jeu leur est alors défavorable.

Section 2

Faire le point

195

Mise en pratique 1. Calcule l’espérance mathématique de chacune des roulettes suivantes. Les secteurs qui semblent isométriques le sont. a)

b) 2

c)

1 2 2

1

4

5

4

4

3

3 3

2

3

3

2 6

4

2. Pascale déplace un pion sur le plateau d’un jeu en lançant un dé. Elle le déplace du nombre de cases correspondant au nombre obtenu au lancer du dé. Si le nombre est impair, Pascale recule son pion ; s’il est pair, elle avance son pion. a) Quelle est l’espérance mathématique du déplacement du pion pour un lancer du dé ? b) Décris le déplacement auquel Pascale peut s’attendre si elle lance le dé 30 ois.

3. Une boutique de vêtements organise une vente promotionnelle à l’occasion de laquelle les clients reçoivent un bon de réduction à gratter à la caisse. Sur 20 bons de réduction, il y en a 1 de 40 %, 2 de 30 %, 2 de 20 % et 15 de 10 %. a) Quelle est l’espérance mathématique d’un bon de réduction ? b) Combien une personne peut-elle espérer économiser si le montant de son achat avant la réduction est de 75 $ ?

4. Sur le dé à huit aces ci-contre, il y a quatre chires diérents inscrits deux ois chacun. Sachant que l’espérance mathématique d’un lancer de ce dé est de 4, détermine le quatrième chire.

5. On ait tirer 15 lots parmi les 1 000 personnes présentes à un souper-bénéfce. Il y a dix lots de 50 $, quatre lots de 100 $ et un lot de 500 $. Quelle est l’espérance mathématique de ce tirage ?

6. Un jeu consiste à lancer simultanément trois pièces de monnaie. Si les trois pièces montrent la même ace, on gagne cinq points ; sinon, on perd un point. a) Quelle est la probabilité : de gagner cinq points ? 2) de perdre un point ? b) Calcule l’espérance mathématique de ce jeu. 1)

196

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

7. Après avoir calculé que l’espérance mathématique d’un dé est de 3,5, Andrew formule la conjecture suivante. L’espérance mathématique du carré du résultat est le carré de 3,5, soit 12,25. Voici comment il a procédé pour vérifier sa conjecture. E(Carré du résultat) = 16 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) E(Carré du résultat) = 16 (91) = 1516 Ma conjecture est fausse. a) Sachant que l’espérance mathématique d’un dé est de 3,5, formule une conjecture quant à l’espérance mathématique de chacune des expériences aléatoires suivantes. 1)

Lancer deux de ces dés et noter la somme des nombres obtenus.

2)

Lancer deux de ces dés et noter le produit des nombres obtenus.

b) Vérifie les conjectures formulées en a.

8. Pendant la saison estivale, le nombre de visiteurs d’un parc aquatique dépend du temps qu’il fait et le nombre d’employés nécessaires dépend du nombre de visiteurs. Le tableau suivant présente des données tirées des dernières saisons. Temps

Nombre moyen de visiteurs

Nombre d’employés nécessaires

Ensoleillé

2 000

40

Nuageux

1 500

32

Pluvieux

200

16

Le 22 juillet, le bulletin météo donne les probabilités suivantes pour le 23 juillet. Temps Probabilité

Ensoleillé

Nuageux

Pluvieux

10 %

20 %

70 %

a) Calcule l’espérance mathématique du nombre de visiteurs du parc aquatique le 23 juillet. b) Combien d’employés la direction du parc devrait-elle faire travailler le 23 juillet ?

Section 2

Mise en pratique

197

9. Voici les règles d’un jeu de dés.

Fait divers L’origine des jeux de dés remonte à des temps très anciens. Les premiers dés étaient faits d’ivoire ou d’os d’animaux. Les dés ont été utilisés comme moyen de divertissement à presque toutes les époques par de nombreuses sociétés.

À tour de rôle, les joueurs lancent deux dés et additionnent les nombres obtenus. La personne qui lance les dés : – gagne deux points si la somme obtenue est supérieure ou égale à 9 ; – gagne trois points si la somme obtenue est inérieure ou égale à 4 ; – perd un point si la somme obtenue est supérieure à 4, mais inérieure à 9. La première personne à accumuler 10 points gagne la partie. a) Calcule l’espérance mathématique d’un lancer de dés. b) Combien de ois, en moyenne, doit-on lancer les dés pour accumuler 10 points à ce jeu ?

10. Il s’est vendu 2 000 000 de billets d’une certaine loterie. Le tableau ci-dessous présente le nombre de billets gagnants pour chacun des cinq lots de cette loterie. Lot ($)

Nombre de billets gagnants

500 000

1

50 000

9

5 000

90

500

900

5

9 000

a) Quelle est l’espérance mathématique de cette loterie si le prix d’un billet est de : 1) 1 $ ? 2) 2 $ ? 3) 5 $ ? b) Détermine le prix d’un billet pour que cette loterie soit un jeu équitable.

11. Charlotte propose à Ian de déterminer qui era la vaisselle en jouant à un jeu. Elle lui demande de lancer deux dés et lui dit que si la diérence entre les nombres obtenus est supérieure à 3, elle era la vaisselle pour les 10 prochains jours. Par contre, si la diérence entre les nombres obtenus est inérieure ou égale à 3, c’est lui qui devra aire la vaisselle pour les 8 prochains jours. Ian devrait-il accepter la proposition de Charlotte ? Justife ta réponse.

198

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

12. Madame Mallou est une voyante qui ore ses services par le truchement d’Internet. Elle dit être capable de prédire le sexe d’un bébé avant la première échographie à partir d’une photo de la main de la mère. Cette photo peut même lui être envoyée par courriel. Pour ses services, madame Mallou exige 20 $. Confante en son don, madame Mallou ore une garantie sur sa « prédiction ». Si elle se trompe, elle remet aux clients leurs 20 $ et, pour les dédommager, leur ore 10 $ supplémentaires. Un couple qui désire connaître le sexe de son bébé avant la première échographie devrait-il aire appel aux services de madame Mallou ? Justife ta réponse.

13. Dès l’entrée du labyrinthe illustré ci-dessous, on ait ace à une succession de portes à sens unique, identiques, donnant accès à diérents sentiers. Certains parcours mènent à la salle 1 , d’autres à la salle 2 . Entrée

1

2

a) Quelle est la probabilité d’accéder à la salle 1 ? b) Détermine l’espérance mathématique de ce labyrinthe si on gagne 5 $ en accédant à la salle 1 et 100 $ en accédant à la salle 2 . c) Détermine le prix à payer pour participer au jeu pour qu’il soit un jeu équitable.

Section 2

Mise en pratique

199

Consolidation 1. Le diagramme ci-dessous représente une compilation des résultats de 100 lancers d’un dé régulier.

Effectif

100 lancers d’un dé régulier 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Diviseur de 6

Pas un diviseur de 6 Résultat

a) D’après ces résultats, quelle est la probabilité d’obtenir un diviseur de 6 ? b) Pourquoi la probabilité fréquentielle déterminée en a est-elle différente de la probabilité théorique d’obtenir un diviseur de 6 quand on lance le dé ? c) Dans cette situation, vaut-il mieux se fier à la probabilité théorique ou à la probabilité fréquentielle pour déterminer une probabilité ? Justifie ta réponse.

2. Quelles sont les « chances pour » associées aux événements suivants ? a) Tirer un as d’un jeu de 52 cartes. b) Obtenir trois fois de suite le côté pile en lançant une pièce de monnaie. c) Observer que la date d’anniversaire d’une personne née en janvier est un nombre premier.

3. Exprime les « chances pour » suivantes en probabilités. a) À 3 contre 2, les experts prédisent une victoire des Canadiens de Montréal à leur prochain match. b) On évalue les « chances pour » une victoire du boxeur québécois Éric Lucas à 7 : 4.

4. Un jeu a seulement deux résultats possibles , le 2 et le 5. Si les « chances pour » l’obtention d’un 5 sont de 4 : 3, quelle est l’espérance mathématique de ce jeu ?

200

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

5. Placer une masse à l’intérieur d’un dé fait en sorte que les résultats obtenus en lançant ce dé ne sont plus équiprobables. Le dé est alors truqué. Le tableau suivant présente les probabilités d’obtenir chacun des résultats en lançant un certain dé truqué.

Résultat

Probabilité

1 16

3 32

1 2

1 32

1 4

1 16

L’espérance mathématique de ce dé est-elle plus grande que celle d’un dé non truqué ? Justifie ta réponse.

6. Pourquoi une banque refuserait-elle de faire un prêt personnel de 50 000 $ à un taux d’intérêt de 4 % à un client si l’information dont elle dispose lui permet d’estimer que les « chances pour » le remboursement du prêt sont de 19 : 1 ?

7. Si l’espérance mathématique de la roulette ci-contre est de −4, quelle est la valeur de x ?

x4 2x x–2

8. Voici deux jeux proposés dans une fête foraine. Obtenez trois fois le côté pile en lançant trois fois une pièce de monnaie et gagnez 15 $.

Obtenez un double en lançant une fois deux dés et gagnez 15 $.

Prix : 3 $

2

Prix : 3 $

1

a) Pierre prétend que, puisque le prix à payer pour participer et le montant à gagner sont les mêmes pour les deux jeux, ces deux jeux ont la même espérance mathématique. Montre qu’il a tort. b) Change le prix à payer pour participer à chacun de ces jeux de façon à rendre les jeux équitables.

Consolidation

201

9. Dés devinettes Les deux dés réguliers suivants ne comptent jamais plus de six points sur une face, mais plus d’une face peut avoir le même nombre de points. Voici de l’information relative aux résultats possibles quand on lance chacun de ces dés. 1

2

– Les « chances pour » l’obtention d’un nombre pair sont de 1: 2. – L’espérance mathématique du dé est de 5.

– La probabilité d’obtenir un nombre premier est de 23 . – Les « chances contre » l’obtention d’un multiple de 3 sont de 1: 2.

Détermine combien il y a de points sur chacune des trois faces cachées de chacun de ces dés.

10. Le jour de la marmotte

Fait divers Un grand nombre de croyances populaires traversent le temps parce que suffisamment de gens leur accordent de l’importance et croient d’emblée que leur fondement est vrai sans l’avoir vérifié. Voici quelques exemples de croyances populaires « vieilles comme le monde ». – Le nombre 13 porte malheur. – Une salière renversée annonce une visite. – Un trèfle à quatre feuilles porte bonheur. – Un miroir cassé signifie sept ans de malheur.

202

Chapitre 8

Le 2 février de chaque année, vers 7 h 30, une marmotte qu’on appelle Punxsutawney Phil sort de son terrier. Selon la croyance populaire, si la marmotte voit son ombre, le temps hivernal se poursuivra encore au moins six semaines, c’est-à-dire au moins jusqu’au 16 mars. Si elle ne la voit pas, le temps hivernal se terminera avant le 16 mars. De toutes les prédictions de la marmotte répertoriées depuis 1887, soit plus d’une centaine, environ 37 % se sont avérées justes. a) De quelle façon pourrait-on modifier un peu cette croyance populaire afin d’augmenter de beaucoup la probabilité que la marmotte « voie » juste ? b) Dans ce contexte, puisqu’on se base sur plus de 100 prédictions, peut-on associer le résultat à une probabilité fréquentielle ? Justifie ta réponse.

11. Planifier avec assurance Au cours d’une année, une compagnie d’assurance habitation estime que 3 % de ses assurés réclameront en moyenne 10 000 $ et que 0,05 % réclameront en moyenne 200 000 $. En supposant que les autres assurés ne feront aucune réclamation : a) détermine le prix minimal d’une prime d’assurance qui garantit à la compagnie l’argent nécessaire pour payer toutes les réclamations au cours de l’année ; b) trouve deux raisons pour lesquelles le prix de la prime fixé par la compagnie sera certainement supérieur à celui que tu as déterminé en a.

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

12. Garanti ou pas ?

Point de repère

Voici les probabilités de rendement de deux placements déterminées par une conseillère en placements. Placement 1

Placement 2

Rendement

Probabilité

Rendement

Probabilité

6%

100 %

9%

80 %

−5

20 %

%

a) Si tu voulais placer de l’argent, lequel de ces deux placements choisirais-tu ? b) Calcule l’espérance mathématique de chaque placement.

13. Éruption prédite L’extrait d’article de journal suivant nous inorme que le volcan Redoubt, en Alaska, entrera sans doute en éruption. Alerte en Alaska après des signes d’éruption d’un volcan

[…] « Ce qui va sans doute se produire, c’est une éruption similaire à celle que nous avons vue en 1989-1990. Cela fait 18 heures à peu près que nous avons observé de longues périodes de séismes volcaniques », a déclaré vendredi après-midi un volcanologue de l’Alaska Volcano Observatory […]. Le volcan Redoubt, en Alaska. Source : Cyberpresse, 2009.

a) Si le volcanologue se base sur les observations recueillies juste avant une éruption passée du volcan, peut-on dire que sa prédiction est ondée sur une probabilité réquentielle ? Justife ta réponse. b) Plus de six semaines après la parution de cet article, le volcan n’était toujours pas entré en éruption. Explique pourquoi il reste toujours une part de subjectivité dans ce type de prédiction.

John Allen Paulos John Allen Paulos (1945 -) est professeur de mathématique à l’Université Temple, à Philadelphie. Dans son livre La peur des chiffres : l’illettrisme en mathématiques et ses conséquences, il illustre, à l’aide d’exemples en lien avec la vie de tous les jours, que beaucoup de gens prennent de mauvaises décisions à cause de lacunes en mathématique. Lorsqu’ils doivent choisir entre deux stratégies de placement, par exemple, les gens évitent le plus souvent celle qui risque d’entraîner la plus grande perte plutôt que de calculer leur espérance mathématique et de tenir compte d’autres facteurs relatifs à leur situation.

Consolidation

203

14. Le « dilemme du prisonnier »

Fait divers Dans le flm Batman : Le chevalier noir, le Joker utilise une variante du « dilemme du prisonnier » pour opposer les habitants de Gotham City aux criminels de cette ville. Face à ce dilemme, chaque individu ou chaque groupe doit mettre en perspective ses intérêts personnels par rapport à ceux des autres avant de prendre une décision.

La présidente d’une entreprise a de bonnes raisons de croire que deux de ses employés ont volé de l’inormation contenue dans les fchiers inormatiques de l’entreprise. Après avoir congédié ces deux employés, elle a déclaré le vol au service de police. Les policiers vont interroger les deux suspects individuellement et simultanément de açon qu’aucun ne soit au courant de ce qui se dira durant l’interrogatoire de l’autre. Avant l’interrogatoire, les policiers inorment les deux suspects que : – s‘ils demeurent tous deux silencieux, chacun d’eux devra payer une amende de 6 000 $ ; – si un seul des deux suspects dénonce l’autre, celui qui dénonce ne paiera pas d’amende et l’autre devra payer une amende de 10 000 $ ; – s‘ils se dénoncent l’un l’autre, ils devront payer une amende de 15 000 $ chacun. Un des suspects sait que son complice utilisera une pièce de monnaie pour prendre une décision : s’il obtient le côté pile, il demeurera silencieux et, s’il obtient le côté ace, il le dénoncera. Quelle stratégie ce suspect devrait-il utiliser pour minimiser le montant de l’amende qu’il peut s’attendre à payer ? Justife ta réponse.

15. Avant le grand match Voici trois prévisions aites par diérentes personnes quant à l’issue d’un match de ootball. Une grande spécialiste de ootball évalue les « chances pour » une victoire de l’équipe locale à 4 : 1.

Un joueur de l’équipe locale évalue les « chances pour » une victoire de son équipe à 15 : 2.

Un joueur de l’équipe adverse évalue les « chances pour » une victoire de son équipe à 4 : 9.

Évalue les « chances pour » une victoire de l’équipe locale en tenant compte de l’opinion de ces trois personnes. Explique ton raisonnement.

204

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

16. Jeu de dés Voici les règlements d’un jeu de dés. – – – –

Pour jouer, il faut payer 2 $. La personne choisit un chiffre de 1 à 6, puis lance deux dés simultanément. Si elle obtient une fois le chiffre choisi, la personne gagne 5 $. Si elle obtient deux fois le chiffre choisi, la personne gagne 20 $.

Sandrine prétend que ce jeu est favorable à la joueuse ou au joueur puisque le chiffre choisi peut apparaître sur l’un ou l’autre des deux dés et que les lots à gagner sont beaucoup plus élevés que le prix payé pour jouer. À l’aide d’arguments mathématiques, vérifie la conjecture de Sandrine.

17. Moyenne au bâton Une joueuse de baseball constate qu’elle a la meilleure moyenne au bâton de la ligue pour la première moitié de la saison et qu’elle a également la meilleure moyenne au bâton de la ligue pour la seconde moitié. Pourtant, elle n’a pas remporté le championnat de la meilleure moyenne au bâton pour la saison entière. Cette joueuse prétend qu’il y a certainement eu une erreur de calcul. À l’aide d’arguments mathématiques, convaincs-la qu’il est possible qu’une autre joueuse ait eu une meilleure moyenne que la sienne pour la saison entière.

Au baseball, la moyenne au bâton est le rapport entre le nombre de coups sûrs et le nombre de présences au bâton.

18. Langage subjectif Voici les quatre réponses que Stéphanie a reçues après avoir demandé à quatre amis s’ils seraient présents à la fête organisée pour souligner l’anniversaire de Jean-Pierre. 1

2

« Je serai sans doute présente. »

« J’y serai certainement. »

3

« Oui, probablement. »

4 ent. »

« Je vais fort probablement y être. »

a) Évalue la probabilité que chacune de ces personnes soit présente à la fête. b) Quelle partie de sa réponse chaque personne pourrait-elle enlever pour que Stéphanie n’ait aucun doute quant à sa présence ? c) Réponds à l’invitation de Stéphanie en utilisant des mots qui peuvent semer le doute quant à ta présence à la fête.

Consolidation

205

19. Le jeu du petit cochon Le jeu du petit cochon consiste à lancer une figurine, représentant un cochon, comme on lance un dé, et à observer sa position. Voici les règles du jeu. Une personne lance la figurine un certain nombre de fois. Son tour se termine lorsque la figurine tombe sur le côté ou, le cas échéant, lorsque la personne choisit de s’arrêter. – Si la personne choisit de s’arrêter, son pointage pour ce tour correspond à la somme des points qu’elle a obtenus. – Si le tour se termine parce que la figurine tombe sur le côté, la personne n’obtient alors aucun point et doit remettre la figurine à la prochaine joueuse ou au prochain joueur. – La première personne qui accumule 100 points gagne la partie. Pour se familiariser avec le jeu, Ariane a lancé 600 fois la figurine. Le tableau suivant présente la compilation du nombre d’occurrences de chacun des résultats. Résultat (position du petit cochon)

Nombre de points associé au résultat

Nombre d’occurrences du résultat

Sur le côté

0

297

Sur le dos

5

175

Assis

5

82

Sur le museau

10

36

Sur le museau et une oreille

15

10

Ariane joue une partie avec son ami Jonathan. Elle a 60 points et Jonathan en a 85. C’est maintenant au tour d’Ariane de jouer. Elle lance la figurine et obtient deux fois de suite la position « sur le museau et une oreille ». Elle se demande si elle doit continuer à lancer la figurine ou s’arrêter. Émets, à l’intention d’Ariane, une recommandation qui repose sur des arguments mathématiques.

20. Évaluer ou estimer le risque ? Voici deux panneaux de signalisation aperçus dans le parc des Laurentides. Trouve des arguments qui justifient la décision d’inscrire sur les panneaux « risque élevé » plutôt que « risque très élevé » et qui s’appuient sur : a) une probabilité fréquentielle ; b) une probabilité subjective.

206

Chapitre 8

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

21. Dans le journal Voici deux articles de journal. Djokovic : « J’ai mes chances contre Nadal. »

Le joueur de tennis Novak Djokovic pense gagner le prochain match qu’il jouera contre Rafael Nadal. « À Hambourg, j’ai vraiment fait un bon match. Je n’ai pas eu de chance. Mais si je suis capable de maintenir mon agressivité comme au début du match à Hambourg, et que je sais adapter mon jeu au sien au cours de la partie, alors j’ai mes chances contre lui. Mon objectif est de gagner, de jouer bien et d’aller aussi loin que possible dans le tournoi », a-t-il déclaré. Novak Djokovic. Adapté de : AOL, 2008.

Woody Allen va « très probablement » tourner son prochain film à Paris

Le cinéaste américain Woody Allen tournera son prochain film « très probablement » à Paris, a annoncé le ministère français de la Culture, soulignant qu’un abattement fiscal allait lui permettre de réaliser un projet reporté pour des raisons financières. Woody Allen. Adapté de : Cyberpresse, 2009.

a) Explique pourquoi la p probabilité que q se réalisent certains événements auxquels on fait référence ence dans ces articles est subjective. b) Évalue la probabilité que se réalise chacun des événements mentionnés dans les articles et exprime-les prime-les en « chances pour ».

Fait divers Woody Allen a réalisé près de 40 films en 40 ans de carrière. Bananas (1971), Annie Hall (1977) et, plus récemment, Vicky Cristina Barcelona (2008) figurent parmi ses plus grands succès. Les acteurs Scarlett Johansson et Javier Bardem, pendant le tournage du film Vicky Cristina Barcelona, en 2007.

Consolidation

207

22. Roulette à rabais À l’ouverture ocielle d’un nouveau magasin de meubles, les clients qui ont un achat sont invités à aire tourner la fèche de la roulette ci-contre, constituée de huit secteurs isométriques, pour obtenir un rabais. Le rabais inscrit dans le secteur désigné par la fèche sera appliqué à leur achat.

Rabais de 100 $

On arrondit au 100 $ inférieur Rabais de 20 %

On arrondit au 100 $ inférieur Rabais de 20 %

La acture d’Emmanuelle s’élève à 316,74 $. Quel montant peut-elle s’attendre à payer une ois qu’elle aura ait tourner la fèche ?

Rabais de 100 $

Rabais de 50 %

On arrondit au 100 $ inférieur

23. Loi de Benford La loi de Benord, aussi appelée « loi des nombres anormaux », établit que le premier chire de nombres tirés d’une multitude de contextes n’a pas les mêmes chances d’être un 1 qu’un 3 ou un 9, par exemple.

L’utilisation d’un tableur facilite considérablement la compilation d’un grand nombre de données. Le tableur permet aussi de générer des suites de nombres rapidement. Pour en savoir plus, consulte la page 236 de ce manuel.

Chaque terme de la suite de Fibonacci est la somme des deux termes précédents : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et ainsi de suite.

a) Reproduis et remplis le tableau suivant en y indiquant le nombre de ois que chacun des chires (1 à 9) se trouve au début des nombres. Ensembles de nombres

Premier chiffre du nombre en question 1

2

3

4

7

8

9

100 premiers termes de la suite de Fibonacci

b) Comment peux-tu expliquer qu’il soit plus probable qu’un nombre débute, par exemple, par un 1 que par un 9 ?

Point de repère Frank Benford (1883-1948), ingénieur et physicien américain, titulaire de plus d’une vingtaine de brevets, est surtout connu pour ce qu’on appelle aujourd’hui la « loi de Benford ». Cette loi établit que la probabilité fréquentielle qu’un nombre tiré d’un certain contexte débute par le chiffre 1 est plus grande que la probabilité fréquentielle qu’il débute par le chiffre 2, elle-même plus grande que la probabilité fréquentielle qu’il débute par le chiffre 3 et ainsi de suite jusqu’à 9. Même si cette loi semble à priori très peu pratique, on l’utilise aujourd’hui pour détecter des fraudes fiscales, car elle permet de déceler des irrégularités dans les états financiers.

Chapitre 8

6

100 premiers nombres carrés

Frank Benford

208

5

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

24. Météo Voici une page Web qui afche des prévisions météorologiques détaillées pour les prochaines heures. Prévisions météorologiques

Mercredi soir

−14

Température

Nuit de mercredi à jeudi

−18

ºC

Jeudi matin

−13

ºC

ºC

Jeudi après-midi

−9

ºC

Probabilité de précipitations

60 %

80 %

80 %

70 %

Vents

NE 20 km/h

NE 30 km/h

NE 35 km/h

NE 40 km/h

Humidité

97 %

100 %

96 %

84 %

Neige

1 à 3 cm

5 à 10 cm

Près de 10 cm

Près de 5 cm

Précipitations prévues de mercredi soir à jeudi après-midi : 25 à 30 cm de neige.

En se basant sur ces prévisions, Christian afrme qu’on devrait plutôt s’attendre à une chute de neige ne dépassant pas 20 cm entre mercredi soir et jeudi après-midi. Quels peuvent être ses arguments ? Selon toi, Christian a-t-il raison ? Justife ta réponse.

25. David Wright Au baseball, certains lanceurs préèrent accorder un but sur balles intentionnel plutôt que d’aronter un rappeur vedette. David Wright est un joueur des Mets de New York de la Ligue nationale de baseball. Le tableau suivant présente quelques-unes des statistiques sur ses perormances au bâton pour la saison 2008. Nombre de présences au bâton

Nombre de simples (1 but)

Nombre de doubles (2 buts)

Nombre de triples (3 buts)

Nombre de circuits (4 buts)

626

112

42

2

33

Accorder un but sur balles intentionnel consiste à lancer quatre balles que le rappeur ne peut rapper afn de lui permettre de se rendre au 1er but.

Adapté de : MLB Advanced Media, 2009.

En te basant uniquement sur ces statistiques, explique pourquoi il est préérable d’aronter David Wright plutôt que de lui accorder un but sur balles intentionnel. Consolidation

209

26. Partager le risque Une compagnie d’assurance automobile a analysé les réclamations qui lui ont été aites au cours des dernières années. Le tableau suivant présente les statistiques compilées pour l’année dernière selon le groupe d’âge des conducteurs et les fns d’utilisation du véhicule. Groupe d’âge des conducteurs

25 ans et plus

16 ans à 24 ans

Utilisation du véhicule

Nombre de véhicules assurés

Nombre de réclamations

Montant moyen de la réclamation ($)

Utilisation commerciale

44 508

3 561

9 682

Déplacements quotidiens ≤ 15 km

532 837

31 971

6 629

Déplacements quotidiens > 15 km

165 419

11 580

6 438

Toutes les utilisations

159 218

28 660

6 570

Voici les statistiques compilées pour l’année en cours. Groupe d’âge des conducteurs

25 ans et plus

16 ans à 24 ans

Une prime est un montant d’argent que les assurés doivent verser à une compagnie d’assurance pour que celle-ci dispose de sufsamment de onds pour payer les réclamations et pour aire onctionner la compagnie.

210

Chapitre 8

Utilisation du véhicule

Nombre de véhicules assurés

Utilisation commerciale

43 887

Déplacements quotidiens ≤ 15 km

528 241

Déplacements quotidiens > 15 km

165 612

Toutes les utilisations

161 452

Cette année, la prime moyenne pour assurer les véhicules utilisés à des fns commerciales est de 968 $. Aide la compagnie d’assurance à établir la prime moyenne selon l’âge du conducteur et l’utilisation du véhicule. Explique ton raisonnement.

Vivre-ensemble et citoyenneté L’industrie de l’assurance a pris naissance dans les caés de Londres au xviie siècle. À cette époque, les propriétaires des navires transportant des marchandises y afchaient leur prochain itinéraire ainsi que la marchandise qu’ils allaient transporter. Contre une prime versée, certaines personnes acceptaient d’assurer ces navires et leur cargaison en écrivant leur nom sous la description afchée. L’assurance est une açon de partager un risque entre plusieurs assurés afn qu’une perte, à la suite d’un vol, d’un eu ou d’un accident, n’entraîne pas la ruine d’un individu ou d’une amille. Donne un autre exemple de situation où des gens sont appelés à s’entraider.

La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Le monde du travail L’assurance de biens et de personnes Les agents d’assurance déterminent les besoins de leurs clients en matière d’assurances, vendent des polices d’assurance de toutes sortes (automobile, habitation, maladie, voyage, vie, etc.), calculent parfois les primes que les assurés doivent verser et donnent suite aux réclamations. Pour accomplir toutes les tâches liées à leur profession, les agents d’assurance doivent être polyvalents. Leur travail exige d’abord de bonnes aptitudes sociales et un solide esprit d’analyse : ils doivent savoir écouter leurs clients pour comprendre leurs besoins et déterminer le service le mieux adapté à ces besoins. Leur travail exige aussi qu’ils soient attentifs à l’activité économique, car les besoins de la clientèle varient selon la conjoncture économique. Les agents d’assurance doivent également avoir de bonnes connaissances mathématiques, surtout en statistique. Les agents d’assurance travaillent dans des compagnies d’assurance, des maisons de courtage ou des agences immobilières. Certains travaillent à leur compte. Pour faire carrière dans ce domaine, il faut minimalement obtenir un diplôme d’études secondaires, une formation en entreprise et une formation spécialisée offerte par l’industrie. L’expérience ainsi qu’un diplôme d’études collégiales permettent aux agents d’assurance de gravir les échelons d’une compagnie pour devenir conseillers ou gestionnaires d’assurances.

Le monde du travail

211

Intersection Chapitres 1 à 8

Audace aérienne

?

Le cirque est un spectacle fascinant pour un public de tous âges. En effet, alors que les petits s’esclaffent devant les maladresses des clowns, les grands admirent, le souffle court, les périlleuses et audacieuses démonstrations des acrobates. Une troupe d’acrobates te demande de concevoir un numéro pour son prochain spectacle. Voici le concept que tu as élaboré. Cinq acrobates montent à bord d’une grande roue, dans les nacelles numérotées 10, 11, 12, 1 et 2. La grande roue s’arrête lorsque la nacelle 12 est au point le plus haut. L’acrobate à bord de la nacelle 12 s’élance sur un trampoline en mouvement sur un rail incliné passant sous la grande roue. Les quatre autres acrobates sautent chacun sur un trampoline fixe, placé devant eux, dont le centre est à 2 m de la roue et dont le tapis est à 3 m du sol. Les cinq acrobates doivent rebondir simultanément sur les trampolines. Voici une vue de face et une vue de côté de la grande roue et une suggestion de disposition du rail. Certaines mesures y sont indiquées. 11

12

10

2

14 m

14 m

3m

3m

2m

212

Intersection

1

Chapitres 1 à 8

1,5 m

Puisque les acrobates sautent à partir de hauteurs diérentes, tu dois synchroniser leurs sauts. À partir du moment où un acrobate quitte sa nacelle, la distance d(t) qui le sépare de son point de départ selon le temps écoulé t depuis le début du saut suit la règle d(t) = 4,9t2, où d(t) est exprimée en mètres et t, en secondes. Voici tes mandats. Pour l’équipe du son

Pour l’équipe de la conception du rail

Fournir les moments précis des sauts. L’équipe concevra une bande sonore comportant une série de signaux à l’intention des acrobates. Cette bande sonore s’activera au moment de la mise en marche du trampoline mobile.

Fournir la hauteur des deux extrémités du rail ainsi que l’angle d’inclinaison désiré. Spécifer aussi la vitesse à laquelle le trampoline se déplacera sur ce rail.

y

Pour l’équipe de la direction scénique Fournir un plan d’aménagement de la scène, vue de haut sur le plan cartésien ci-contre, où les axes sont gradués en mètres. Ce plan doit contenir : – l’emplacement de la grande roue ; – l’emplacement du centre des quatre trampolines fxes ; – l’emplacement des extrémités du rail, de part et d’autre de la grande roue.

10 8 6 4 2 –12 –10

–8

–6

–4

–2

–2

2

4

6

8

10 12

x

–4 –6 –8 –10

Situation d’apprentissage et d’évaluation

213

Problèmes 1. Primes à bord Les vendeurs qui travaillent pour le commerce de voitures d’occasion Roulenkor reçoivent un salaire de base de 300 $ en plus d’une prime calculée à partir du nombre de voitures qu’ils ont vendues au cours de la semaine. Le tableau suivant présente la prime totale reçue par les vendeurs en fonction du nombre de voitures qu’ils ont vendues au cours de la semaine. Nombre de voitures vendues

Prime totale reçue

0à2

0$

3à5

500 $

6à9

800 $

10 à 13

1 200 $

14 ou plus

1 800 $

a) Dans un plan cartésien, représente le salaire hebdomadaire d’une vendeuse ou d’un vendeur en fonction du nombre de voitures qu’elle ou il a vendues. b) Quelle est la règle de la fonction qui modélise cette situation ? c) Pour les quatre semaines du mois de février, une vendeuse a reçu 5 200 $ en tout. Combien de voitures peut-elle avoir vendu ? Justifie ta réponse.

2. Un toit sur mesure Une entreprise doit fabriquer 15 fermes de toit identiques à celle qui est représentée ci-dessous.

2,7 m

4,2 m

2,9 m

Cette entreprise dispose de madriers de 5 m, de 6 m et de 8 m de longueur. Pour assurer la solidité des fermes de toit, aucune des sept composantes ne doit être faite de madriers réunis bout à bout. Propose un nombre de madriers de chaque longueur que l’entreprise peut utiliser pour fabriquer les 15 fermes de toit . Évalue ensuite le pourcentage des pertes.

214

Intersection Inte In ters rsec ecti tion on

Chapitres Chap Ch apititre ress 1 à 8

3. Point milieu

y

A(12,13)

On a représenté un triangle rectangle dans le plan cartésien ci-contre. Vérifie que le point milieu de l’hypoténuse est équidistant des trois sommets du triangle. B(4, 1)

C(12, 1) x

4. Fatou

Fatou, une Africaine de neuf ans, va chercher de l’eau au ruisseau tous les jours. Un jour sur deux, en plus de rapporter de l’eau pour sa famille, elle en rapporte aussi pour sa tante. Voici un schéma qui montre le domicile de Fatou, celui de sa tante, le ruisseau où Fatou va chercher de l’eau ainsi que les trajets qu’elle emprunte selon qu’elle se rend ou non chez sa tante.

5 km

Trajet de Fatou lorsqu’elle ne va pas chez sa tante

Trajet de Fatou lorsqu’elle va chez sa tante

1,8 km

Domicile de la tante

Domicile de Fatou

La vitesse moyenne à laquelle Fatou marche quand elle s’acquitte de sa tâche est de 2,7 km/h. Lorsqu’elle ne va pas chez sa tante, Fatou met deux heures à se rendre au ruisseau et à en revenir. Combien de temps Fatou met-elle à s’acquitter de sa tâche lorsqu’elle va chez sa tante ?

Fait divers Environ un milliard de personnes dans le monde n’ont pas accès à l’eau potable. En Afrique subsaharienne, la région la plus pauvre de la planète, on marche en moyenne 6 km par jour pour accéder à une eau bien souvent insalubre. Cette situation est un facteur important de la sous-scolarisation des jeunes Africaines, qui doivent remplir cette tâche au lieu d’aller à l’école. La distance (d) est égale au produit de la vitesse (v) et du temps (t).

Problèmes

215

5. Point de rencontre Un parc a la forme d’un parallélogramme. Lin et Nahn traversent ce parc par les sentiers AC et BD qui suivent les diagonales du parc.

B(4, 11)

A(–5, 8) C(7, 9)

D(–2, 6)

Prouve que si Lin et Nahn se rencontrent, c’est qu’ils auront tous deux franchi la moitié de la distance qu’ils avaient à parcourir pour traverser le parc.

6. Pente raide Les panneaux routiers qui annoncent une pente raide sur un tronçon de route y utilisent la notation en pourcentage plutôt que le rapport x pour mesurer la pente. Voici un de ces panneaux. a) Quel est l’angle d’inclinaison de ce tronçon de route ? b) La distance parcourue par les véhicules sur ce tronçon de route n’est pas de 3 km. Quelle est-elle ?

216

Intersection

Chapitres 1 à 8

7. Peroxyde Sandra est coieuse. Elle doit préparer 250 mL d’une solution de peroxyde concentrée à 20 %. Elle dispose de deux solutions de peroxyde dont les concentrations sont respectivement de 10 % et de 40 %. Quelle quantité de chaque solution Sandra doit-elle mélanger pour obtenir une solution concentrée à 20 % ?

8. Caribou Après avoir rôlé l’extinction dans les années 1970, le caribou appelé kaminuriak, qui vit dans le Nord canadien à l’ouest de la baie d’Hudson, a vu sa population augmenter de açon exponentielle au début des années 1980. En 1980, on estimait la population de caribous à 39 000 individus ; en 1983, à 138 000 individus ; en 1985, à 320 000 individus. a) Quelle est la règle de la onction exponentielle qui permet de modéliser l’évolution de cette population de 1980 à 1985 ? b) À l’aide de la règle trouvée en a, estime la population de caribous : 1) en 1981 ; 2) en 1988. c) Quelle estimation, parmi celles trouvées en b, est la plus fable ? Justife ta réponse.

9. Char à voile Sean est un adepte du char à voile, un sport de vitesse qui se pratique généralement sur de grandes plages. Le char se déplace grâce à la orce du vent. Voici le parcours que Sean doit eectuer pendant un entraînement où il s’exerce à contourner une borne. Borne 200 m 140º

250 m

Départ Arrivée

La borne se situe à 200 m du départ et à 250 m de l’arrivée. Les deux trajectoires qu’emprunte Sean orment un angle de 140°. À l’aller, avec le vent, Sean eectue ce parcours en 45 secondes. Au retour, c’est plus long, car Sean doit marcher. a) Sur quelle distance minimale Sean doit-il marcher pour revenir au point de départ ? b) Si Sean marche à 6 km/h et qu’il s’entraîne pendant une heure, combien de ois pourra-t-il aire le parcours ? Problèmes

217

10. L’économie ou l’environnement ? La société RECYC-QUÉBEC s’intéresse à la gestion des matières résiduelles au Québec ainsi qu’aux facteurs qui peuvent avoir une influence sur elle. Le tableau ci-dessous dresse un bilan de l’évolution de certains de ces facteurs et de la gestion des matières résiduelles au Québec entre 1996 et 2006.

Année

Génération PIB Population de déchets (milliards de (millions de (millions de dollars) personnes) tonnes)

Nombre de tonnes de déchets par personne par année Génération

Élimination

Récupération et valorisation

1996

181

7,21

8,3

1,15

0,74

0,41

1998

196

7,33

8,9

1,21

0,75

0,46

2000

225

7,37

10,7

1,46

0,94

0,51

2002

241

7,46

11,2

1,50

0,87

0,63

2004

263

7,55

11,4

1,51

0,86

0,65

2006

283

7,65

13,0

1,69

0,88

0,81

Sources : RECYC-QUÉBEC, 2006 ; Statistique Canada, 2006.

Le produit intérieur brut (PIB) est un indicateur économique qui mesure le niveau de production d’une province ou d’un pays.

a) Présente les données de ce tableau de façon à mettre en lumière certaines des tendances qu’elles révèlent. Décris ensuite ces tendances. b) Estime la quantité de déchets qui serait générée : 1) en 2020 ; 2) pour un PIB de 325 milliards de dollars ; 3) pour une population de 8 millions de personnes ; 4) pour une population de 8 millions de personnes avec un PIB de 270 milliards de dollars.

11. Les chèvres de monsieur Bisson Monsieur Bisson élève des chèvres dont le lait sert à la production de fromage. Il sait que ses chèvres ont besoin de 250 g de protéines par jour et que, bien qu’elles mangent beaucoup d’herbe et de foin, la moulée représente leur seul apport en protéines. Une chèvre mange 1 kg de moulée chaque jour. Voici la teneur en protéines des deux constituants de la moulée. Ingrédient

Teneur en protéines (pour 100 g de l’ingrédient)

Maïs

9g

Soya

44 g

Explique à monsieur Bisson comment il peut utiliser ces ingrédients pour arriver à la recette d’un mélange de 100 kg de moulée qui répondra aux besoins en protéines de ses chèvres.

218

Intersection

Chapitres 1 à 8

12. Parc Jarry On a représenté le parc Jarry de Montréal dans le plan cartésien ci-dessous, où les graduations sont en mètres.

Fait divers

y

Le parc Jarry est situé au centre de l’ le de Montréal. On y trouve, entre autres, des terrains de sport, des sentiers, un étang et une fontaine. Les matchs à domicile des Expos et des Alouettes y ont été présentés pendant quelques années. Depuis 1995, le parc accueille les Internationaux de tennis du Canada.

C(210, 780) Bou

ain

t-La

ure nt

D(921, 543)

Rue

Jarr y

O.

l. S

B(0, 150)

Rue

Fail

lon

O.

Parc Jarry

A(740, 0) 0

x

Quelle est l’aire du parc Jarry ?

13. Horizon lointain C

Claudia se trouve à 30 m de hauteur dans un phare situé au bord de l’océan. Elle regarde l’horizon et se demande jusqu’à quelle distance elle peut voir. Afn de calculer cette distance, elle utilise le schéma ci-contre. Le segment CP représente le phare au sommet duquel Claudia se trouve, et l’arc PH représente la distance qu’elle désire calculer. Le rayon de la Terre OH est d’environ 6 378 km. a) Reproduis et complète ce schéma en y indiquant les mesures connues. b) Détermine la mesure de l’arc PH. c) Si C représentait plutôt le sommet du mont Everest, à une altitude de 8 844 m, quelle serait la mesure de l’arc PH ?

P H r O

Problèmes

219

14. Quoi cocher ? Plusieurs compagnies aériennes offrent à leurs clients une assurance modification ou annulation de vol. Une de ces compagnies inclut l’assurance dans le prix de ses billets. Si une personne ne désire pas se prévaloir de cette assurance, le prix affiché pour son billet sera réduit de 5 $, peu importe ce prix. Une personne qui désire se prévaloir de l’assurance paiera le prix affiché pour son billet et pourra modifier ou annuler sa réservation moyennant des frais de 75 $. Billet d’avion

Soustraire 5 $ du prix affiché

Aucune modification ou annulation permise

Modification ou annulation permise (avec frais de 75 $) Compris dans le prix affiché

Voici la situation de trois personnes qui désirent se procurer un billet d’avion auprès de cette compagnie. 1

Marc part seul, mais sa conjointe est enceinte et devrait accoucher trois semaines après la date prévue du vol. Le prix affiché pour son billet est de 145 $.

2

Nadine est à peu près certaine qu’elle n’aura pas à modifier ou à annuler sa réservation. Le prix affiché pour son billet est de 575 $.

3

Karine doit se rendre le 21 février à Saguenay pour une rencontre. Cette rencontre sera annulée s’il y a une tempête. Le prix affiché pour son billet est de 280 $.

Décris les facteurs que ces personnes doivent considérer avant de prendre la décision de conserver ou non l’assurance. Explique ensuite à ces trois personnes comment elles peuvent se servir de ces facteurs pour déterminer si elles doivent conserver l’assurance à l’achat d’un billet d’avion.

220

Intersection

Chapitres 1 à 8

15. Rabais postaux Plusieurs entreprises offrent des rabais substantiels sur certains produits lorsque les clients leur envoient par la poste une copie de la facture et une preuve d’achat. Bien qu’une majorité de clients aient l’intention de se prévaloir du rabais postal lorsqu’ils achètent le produit, beaucoup d’entre eux ne le réclament pas, pour diverses raisons. Une entreprise met sur le marché un nouveau shampooing dont le prix de vente est de 8,50 $. Afin d’établir sa stratégie marketing, la direction de l’entreprise fait des calculs à partir du pourcentage de clients qui réclament le rabais postal. Selon ce pourcentage, il est équivalent d’offrir un rabais de 20 % à l’achat ou d’offrir un rabais postal correspondant à 100 % du prix du shampooing. Pour un effet marketing maximal, ils ont choisi la deuxième option. Selon cette entreprise, quel pourcentage de clients réclamera le rabais postal ?

16. Probabilité d’averses Monsieur Landry a évalué les degrés de confort qui découlent de sa désicion de trimballer ou non son parapluie. Voici son évaluation. J’ai mon parapluie

Je n’ai pas mon parapluie

Il pleut

+5

−20

Il ne pleut pas

−6

+10

a) Afin de maximiser son degré de confort, monsieur Landry devrait-il trimballer son parapluie si la probabilité d’averses est de 50 % ? b) Pour quelle probabilité d’averses n’y a-t-il aucune différence entre l’espérance mathématique du degré de confort de monsieur Landry, qu’il trimballe ou non son parapluie ?

Prob Problèmes

221

17. Affiches en ligne Hussein collectionne des afches anciennes. Il a acheté la plupart des afches de sa collection dans Internet. Sur le site où il a l’habitude de aire ses achats, les acheteurs ont la possibilité d’attribuer une cote de 0 à 5 à la vendeuse ou au vendeur afn d’exprimer leur satisaction quant au déroulement de la transaction : délai de livraison, état de la marchandise reçue, etc. La cote « 0 » signife Totalement insatisfait et la cote « 5 » signife Très satisfait. Les acheteurs potentiels peuvent consulter ces cotes et ainsi se aire une idée de la fabilité des vendeurs. Le diagramme à tige et à euilles ci-dessous présente la cote moyenne des 49 vendeurs d’afches de ce site. La cote moyenne des 49 vendeurs d’afches Dans ce diagramme à tige et à euilles, les euilles correspondent aux chires qui se trouvent à la position des dixièmes.

2,

5 8 9 9 9

3,

0 0 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9

4,

0 1 1 1 2 3 4 4 5 5 6 6 6 7 9 9

5,

0 0 0

Sur le site, trois vendeurs orent une afche qu’Hussein souhaite acheter. Le tableau ci-dessous présente la distribution des cotes que ces vendeurs ont obtenues pour leurs transactions antérieures. Cote

Nom d’utilisateur des vendeurs TARA1005

DADAM12

ARYA99

0

0

2

0

1

1

3

0

2

0

7

0

3

0

3

22

4

1

28

16

5

3

22

9

Compare ces trois vendeurs entre eux et par rapport à l’ensemble des 49 vendeurs d’afches. Émets ensuite une recommandation à Hussein en lui indiquant le nom et le rang centile de la vendeuse ou du vendeur en qui tu aurais le plus confance. Justife ta réponse.

222

Intersection

Chapitres 1 à 8

Énigmes Reproduis ce diagramme.

1

Trouve 5 nombres naturels consécutifs et place-les dans ns les cases noires de façon que : • • • •

la la la la

somme somme somme somme

des des des des

nombres dans le triangle soit 28 ; nombres dans le cercle soit 41; nombres dans le rectangle soit 30 ; 5 nombres soit 70.

Énumère les 5 nombres comme ils apparaissent dans le diagramme, de gauche à droite. Dans la figure ci-dessous, le premier rectangle mesure 3 m de long et 2 m de large. Le deuxième mesure 4 m de long et 3 m de large. Le troisième mesure 5 m de long et 4 m de large. Trouve l’aire de la partie ombrée.

2

3

Quel est le prochain nombre de cette suite ? 21

4

22

23

42

25

62

27

82

…

Recopie la phrase ci-dessous. Dans la case, écris un nombre en toutes lettres qui rend la phrase vraie. Cette phrase contient

lettres en tout.

5

Dans l’addition suivante, chaque lettre représente un chiffre différent de 0 à 9. Trouve la valeur de chaque lettre. H

U

I

T

S

E

P

T

U

N

Z

E

 S

E

I

Énigmes

223

Outils technologiques La calculatrice à affichage graphique La calculatrice à afchage graphique permet, entre autres, de représenter graphiquement des onctions et d’obtenir de nombreux renseignements sur ces onctions, comme leurs propriétés. Les touches du menu graphique se trouvent directement sous l’écran de la calculatrice. Voici une description de quelques touches particulièrement sollicitées lorsqu’on utilise la capacité graphique de la calculatrice.

Écran d’aichage

Permet de saisir des règles de onctions ou des équations de droites. Permet de déinir la enêtre d’aichage. Permet d’accéder au menu indiqué en haut à gauche d’une touche. Permet d’eacer le caractère sélectionné. Permet de saisir la variable x.

Permet de déplacer le curseur sur la courbe et de voir les couples de coordonnées qui appartiennent à une onction. Permet d’aicher les représentations graphiques de onctions, de demi-plans ou de systèmes d’équations. Permet de modiier les paramètres préétablis de la enêtre d’aichage. Permet de déplacer le curseur. Permet d’eacer les données sur l’écran d’aichage. Permet d’exécuter une commande, de aire un retour à la ligne, de sélectionner un élément aiché à l’écran.

224

Outils technologiques

Afficher un nuage de points 2

Pour tracer ces points dans un plan cartésien, appuyer sur et . Sélectionner ensuite « 1 : Graph1…Aff ».

1

Appuyer sur et sélectionner « 1 : Edite… ». Saisir les valeurs dans les colonnes L1 et L2.

3

Avec la touche , déplacer le curseur pour avoir accès à différentes options : sélectionner « Aff » pour afficher les points ; sélectionner le nuage de points dans l’option « Type » ; les options « Listes X : L1 » et « Listes Y : L2 » permettent d’afficher les valeurs saisies dans les listes L1 et L2 ; l’option « Marque » permet de choisir le type de point. Appuyer ensuite sur pour confirmer les options choisies.

4

Appuyer sur pour régler la graduation des axes.

5

Appuyer sur pour afficher le nuage de points.

Xmax Xmin

= 10

Xgrad

= 70

= 10

La calculatrice à afchage graphique

225

Tracer la droite de régression associée à un nuage de points et déterminer le coefficient de corrélation 1

Pour afficher le coefficient de corrélation, il faut appuyer sur et . Puis, avec la touche , déplacer le curseur sur « CorrelAFF » et appuyer sur . Remarque : Sur une calculatrice en anglais, sélectionner « DiagnosticOn » plutôt que « CorrelAff ».

2

Pour obtenir la droite de régression et le coefficient de corrélation linéaire, appuyer d’abord sur . Avec la touche , déplacer le curseur sur le menu « CALC ». Sélectionner « 4 : RegLin(ax+b) » et appuyer sur .

3

Appuyer successivement sur les touches , 1, et , pour saisir L1, puis sur , 2 et pour saisir L2. Appuyer ensuite sur et, en déplaçant le curseur avec la touche , sélectionner le menu « Y-Vars ». Sélectionner « 1 : Fonction », puis « 1 : Y1 » pour saisir Y1. Appuyer sur .

4

Appuyer sur pour obtenir la droite de régression et le coefficient de corrélation linéaire. Remarque : « a » et « b » sont les paramètres de la droite de régression, « r » est le coefficient de corrélation.

226

Outils technologiques

Le traceur de courbes L’interface

Barre de menus

Barre d’outils de création et d’édition d’objets graphiques : textes, formules, bulles et dessins

Barre d’outils de déplacement

Barre d’outils de formatage des textes et des bulles

Barre de documents

Fenêtre graphique Liste des éléments du document Fenêtre calculatrice

La barre de documents et la liste La barre de documents permet de créer de nouveaux objets mathématiques qui seront ajoutés au graphique. On peut aussi voir et modifier les objets mathématiques créés, tout en ayant accès à de l’information complémentaire sur tous les objets du graphique. Tous les objets Affiche la liste de tous les objets créés : objets mathématiques, axes et grilles, formules, textes et dessins. Objets mathématiques Affiche la liste de tous les objets mathématiques créés et permet d’en créer de nouveaux.

Bouton de suppression Permet de supprimer l’objet sélectionné (souligné).

Bouton « Nouveau » Permet de créer un nouvel objet mathématique.

Boutons de visibilité Si le bouton est vert, l’objet est affiché. Si le bouton est rouge, l’objet est masqué.

Bouton d’options Permet de modifier les propriétés et l’aspect de l’objet mathématique.

Élément Permet de lire la description de l’objet mathématique.

Bouton de développement Permet d’afficher de l’information complémentaire sur l’objet mathématique.

Le traceur de courbes

227

Représenter une famille de courbes Il est possible de créer une amille de courbes à l’aide de la catégorie prévue à cet eet. Cela permet de créer des animations dynamiques en aisant varier un paramètre entre des bornes spécifées.

1

Sélectionner l’onglet « Paramètre » dans la barre de documents et saisir un paramètre (exemple : a = 1).

2

3

Cliquer sur le bouton « Nouveau », puis sélectionner la catégorie « Famille de courbes ». Choisir un type de courbe (exemple : « Famille de courbes du type y = f(x) »).

Saisir la onction (exemple : ax^2) et spéciier les bornes (exemple : –3 et 3) et le pas dans la zone « Paramètre utilisé pour générer la amille ».

Le symbole utilisé pour l’exposant est « ^ ».

On obtient une amille de courbes.

228

Outils technologiques

Le tableur L’interface

Barre de mise en forme Barre de formule

Adresse de la cellule active

Feuille de calcul

Ligne Cellule active

Poignée de copie

Colonne

Calculer la valeur de placements selon différents taux d’intérêt Le tableur est un outil très utile pour déterminer rapidement des valeurs de la variable dépendante de fonctions exponentielles pour plusieurs valeurs de la variable indépendante. Exemple : Calculer la valeur des deux placements suivants : un placement de 2 000 $ à un taux annuel de 7,2 % et un placement de 1 800 $ à un taux annuel de 8 % pour des termes de 10 ans. 1

Saisir les données dans les cellules du tableur.

2

Dans la cellule B6, saisir la formule =2000*(1,072)^A6, sur le modèle de la règle de la fonction exponentielle y = abx. Dans cette situation, on peut calculer la valeur du placement y selon le nombre d’années x à partir de la valeur initiale et du taux d’intérêt correspondant au placement.

Le tableur

229

230

3

Utiliser la poignée de copie de la cellule B6 pour recopier la formule dans les cellules B7 à B16.

5

Sélectionner les cellules B6 à C16, puis cliquer sur le bouton de droite de la souris. Sélectionner « Format de cellule ».

Outils technologiques

4

Dans la cellule C6, saisir la formule =1800*(1,08)^A6. Comme en 3, recopier la formule dans les cellules C7 à C16 à l’aide de la poignée de copie.

6

Sous l’onglet « Nombre », choisir « Monétaire ». Fixer le nombre de décimales à 2. Dans le menu déroulant « Symbole », choisir « Aucune ». Les cellules afcheront les valeurs en argent.

Afn de créer un graphique pour comparer les deux placements, sélectionner à nouveau les cellules B6 à C16. Sous l’onglet « Insertion », cliquer sur le bouton « Ligne », puis choisir « Courbe 2D ».

Représenter un nuage de points Voici la açon de procéder pour représenter un nuage de points à l’aide du tableur. 1

Saisir les données de la distribution à deux variables dans les cellules du tableur.

2

Sélectionner les cellules qui correspondent aux valeurs de X et de Y. Dans le menu « Insertion », sélectionner l’option « Graphiques » puis cliquer sur l’option « Nuage de points ».

Le tableur

231

3

Pour modifier la graduation des axes, cliquer sur l’axe vertical. Cliquer ensuite sur le bouton droit de la souris et sélectionner « Mise en forme de l’axe… ».

4

Sous l’onglet « Options d’axe », dans la catégorie « Minimum », inscrire 4 comme minimum pour la valeur des ordonnées. 5

6

232

On peut obtenir la droite de régression en sélectionnant « Dispositions du graphique » dans le menu « Création » et en sélectionnant la mise en forme qui permet de tracer la droite.

Outils technologiques

On obtient alors le graphique suivant.

Déterminer l’écart moyen d’une distribution de données Le tableur permet de déterminer rapidement l’écart moyen d’une distribution de données. 1

Saisir les données de la distribution dans les cellules du tableur.

3

Pour calculer l’écart à la moyenne de chacune des données, saisir la formule =B3-$B$15 dans la cellule C3. Utiliser la poignée de copie de la cellule C3 pour recopier la formule dans les cellules C4 à C14.

2

Pour calculer la moyenne des données, saisir la formule =MOYENNE(B3:B14) dans la cellule B15.

4

Pour déterminer la valeur absolue de l’écart à la moyenne de chacune des données : 1) cliquer sur la cellule D3 pour l’activer. Dans la barre de menus, sélectionner « (fx) Insérer une fonction » sous l’onglet « Formules ». Sélectionner « Tous » dans le menu déroulant des catégories de fonctions, puis choisir la fonction « ABS ».

Le tableur

233

2) Dans la enêtre d’afchage qui apparaît, inscrire C3.

3) Utiliser la poignée de copie de la cellule D3 pour recopier la ormule dans les cellules D4 à D14.

5

234

Pour calculer l’écart moyen, soit la moyenne des valeurs obtenues à l’étape précédente, saisir la ormule =MOYENNE(D3:D14) dans la cellule D15.

Outils technologiques

Déterminer le coefficient de corrélation d’une distribution à deux caractères 1

Pour obtenir le coefficient de corrélation, placer le curseur sur une cellule vide. Dans le menu « Formules », sélectionner l’option « Plus de fonctions » puis placer le curseur sur « Statistiques ». Sélectionner ensuite « Coefficient de corrélation ».

2

Sélectionner la plage de cellules correspondant aux valeurs de X pour la catégorie « Matrice 1 » et la plage de cellules correspondant aux valeurs de Y pour la catégorie « Matrice 2 ». Cliquer sur le bouton « OK ».

3

Inscrire « Coefficient de corrélation = » dans la cellule à gauche de celle qui correspond au calcul du coefficient. Élargir la colonne au besoin.

Le tableur

235

Traiter un grand nombre de données Le tableur facilite considérablement le traitement d’un grand nombre de données. Par exemple, voici les étapes pour simuler 100 lancers d’un dé régulier à six faces.

236

1

Sélectionner la cellule A1 pour l’activer. Dans la barre de menus, sélectionner « (fx) Insérer une fonction » sous l’onglet « Formules ». Sélectionner « Tous » dans le menu déroulant des catégories de fonctions, puis choisir « ALÉA.ENTRE.BORNES ».

2

Entrer les valeurs minimale et maximale de la fonction. Dans le cas d’un dé régulier à six faces, le minimum est 1 et le maximum est 6. Cliquer sur le bouton « OK ».

3

Pour obtenir les résultats de 100 lancers, utiliser la poignée de copie de la cellule A1 et recopier la formule dans les cellules A2 à A100.

Outils technologiques

Le logiciel de géométrie dynamique L’interface A priori singulière, l’interface du logiciel de géométrie dynamique devient simple et intuitive après quelques utilisations. Barre de menus Barre d’outils Outil actif Fenêtre de dessin Barres de défilement

La barre d’outils La principale particularité du logiciel vient du fait que les icônes des boutons changent en fonction de l’outil sélectionné. Afin d’obtenir les outils relatifs à une icône, il suffit de maintenir le curseur enfoncé sur celle-ci.

Menu déroulant

Par exemple, l’icône « Droite perpendiculaire » prend un autre aspect si on choisit l’outil « Bissectrice », et demeure ainsi tant qu’on ne choisit pas un nouvel outil. Outil « Pointeur »

Pointeur Permet de sélectionner, de déplacer, etc.

Points Permet d’insérer des points.

Outils « Création »

Lignes Permet de tracer des droites, des triangles, des polygones, etc.

Courbes Permet de tracer des cercles ou des arcs.

Outils « Construction »

Constructions Permet de tracer des droites parallèles, perpendiculaires, bissectrices, etc.

Transformations Permet d’effectuer des symétries, des translations, etc.

Outils « Interrogation » Outils « Édition »

Macros N’est pas utilisé dans la construction de figures simples.

Propriétés Permet de vérifier certaines propriétés (parallélisme, perpendicularité, etc.).

Mesures Permet d’afficher certaines mesures.

Affichage Permet d’écrire du texte ou de nommer les objets mathématiques tracés.

Aspect Permet de modifier les paramètres d’affichage (couleur, épaisseur, etc.).

Le logiciel de géométrie dynamique

237

Vérifer que le sinus d’un angle est le rapport entre la mesure du côté opposé à un angle aigu et la mesure de l’hypoténuse dans un triangle rectangle 1

Tracer une droite à l’aide de l’outil « Droite », qui se trouve dans le menu déroulant du bouton « Lignes ». Il est également possible d’utiliser les outils « Segment » et « Demi-droite », qu’on trouve dans le même menu déroulant.

2

3

À l’aide de l’outil « Triangle », tracer un triangle ayant, comme sommets, l’intersection des droites et un point sur chacune d’elles. Nommer les sommets.

4

Sélectionner l’outil « Segment » dans le menu déroulant du bouton « Lignes» et tracer les segments AC, AB et BC sur le triangle.

5

Sélectionner l’outil « Distance ou longueur » dans le menu déroulant du bouton « Mesures » et mesurer les trois segments. Remarque : Même si le logiciel de géométrie dynamique arrondit les mesures qu’il afche sur une fgure, il considère les valeurs exactes lors de la construction ou des calculs qu’il eectue.

238

Outils technologiques

À l’aide de l’outil « Droite perpendiculaire », qui se trouve dans le menu déroulant du bouton « Construction », tracer une deuxième droite, perpendiculaire à la première, en passant par un point de la droite tracée en 1 .

6

Sélectionner l’outil « Marquer un angle » dans le menu déroulant du bouton « Afchage » et marquer les angles A, B et C. Mesurer ces angles à l’aide de l’outil « Mesure d’angles » dans le menu déroulant du bouton « Mesures ».

7

Utiliser l’outil « Calculatrice » dans le menu déroulant du bouton « Mesures » pour calculer le rapport m BC . Cliquer d’abord sur la mesure de m AB BC, saisir le signe « / », puis cliquer sur la mesure de AB. Positionner la réponse à l’endroit souhaité sur la euille du logiciel.

8

En utilisant à nouveau la calculatrice du logiciel, calculer le sinus de l’angle A et positionner la réponse à côté de celle de l’étape 5.

9

À l’aide de l’outil « Pointeur », déplacer le sommet A ou le sommet B afn de créer un nouveau triangle rectangle. Le logiciel de géométrie dynamique permet de démontrer que le sinus de l’angle A est toujours égal au rapport de la mesure de son côté opposé et celle de l’hypoténuse, et que sa valeur est comprise entre 0 et 1.

Le logiciel de géométrie dynamique

239

Faire le point

Manuel A

Arithmétique et algèbre ............................................................................................................................. 241 Les propriétés d’une fonction.................................................................................................................................................. 241 Les fonctions définies par parties........................................................................................................................................... 243 La fonction en escalier............................................................................................................................................................... 243 Les modes de représentation d’une fonction en escalier .............................................................................................. 244 La fonction affine par parties ................................................................................................................................................... 245 La règle d’une fonction affine par parties ............................................................................................................................ 246 La modélisation algébrique d’une situation par un système d’équations du premier degré à deux variables ............................................................................................................................. 247 La résolution d’un système d’équations à l’aide de sa représentation graphique .................................................. 247 Le nombre de solutions d’un système d’équations ......................................................................................................... 248 Les méthodes algébriques de résolution d’un système d’équations du premier degré à deux variables ............................................................................................................................. 249 Le nombre de solutions d’un système d’équations du premier degré à deux variables ...................................... 251

Géométrie et graphes ................................................................................................................................................ 252 Les triangles isométriques ........................................................................................................................................................ 252 Les conditions minimales d’isométrie de triangles ........................................................................................................... 252 La recherche de mesures manquantes ............................................................................................................................... 254 Les triangles semblables ........................................................................................................................................................... 255 Les conditions minimales de similitude de triangles........................................................................................................ 255 La recherche de mesures manquantes ............................................................................................................................... 257 Les triangles rectangles semblables déterminés par la hauteur relative à l’hypoténuse ....................................... 258 Les relations métriques dans le triangle rectangle ............................................................................................................ 258 Les accroissements .................................................................................................................................................................... 260 La distance entre deux points ................................................................................................................................................. 260 Le point de partage d’un segment ........................................................................................................................................ 261 La droite ......................................................................................................................................................................................... 263 La pente ......................................................................................................................................................................................... 263 L’équation d’une droite sous la forme fonctionnelle........................................................................................................ 263 L’équation d’une droite sous la forme générale................................................................................................................ 263 Le passage d’une forme d’équation à une autre.............................................................................................................. 264 Le demi-plan ................................................................................................................................................................................ 264 Les droites parallèles.................................................................................................................................................................. 266 Les droites perpendiculaires .................................................................................................................................................... 266 Les propriétés d’objets géométriques................................................................................................................................... 266

240

Faire le point

Manuel A

Arithmétique et algèbre Les propriétés d’une onction Faire l’analyse d’une onction consiste à décrire ses propriétés. Soit la représentation graphique de la onction f ci-dessous. f(x) 4

Maximum

Constante

3 2 1

11 –10

–

9

8

–

–

7

–

–

6

–

5

–

4

–

3

–

Négative

2

–

1– 1

Strictement décroissante

Positive 1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

x

Négative

2

–

Ordonnée à l’origine ou valeur initiale

8

3

–

–

Strictement croissante

4

–

5

–

6

Abscisses à l’origine ou zéros

7

–

Les propriétés en question sont défnies dans les tableaux suivants. Chacune d’elles est accompagnée d’un exemple qui réère à la onction f.

Le domaine et l’image Défnition

Exemple

Domaine

Ensemble des valeurs que prend la variable indépendante.

Dom f = r

Image (ou codomaine)

Ensemble des valeurs que prend la variable dépendante.

Ima f = ]–∞, 3]

Les coordonnées à l’origine Défnition Abscisse(s) à l’origine ou zéro(s)

Valeur(s) de la variable indépendante pour laquelle (lesquelles) la variable dépendante vaut zéro. Une onction peut ne pas avoir d’abscisses à l’origine, en avoir une ou en avoir plusieurs.

Ordonnée à l’origine ou valeur initiale

Valeur de la variable dépendante lorsque la variable indépendante vaut zéro. Une onction peut avoir une ordonnée à l’origine ou ne pas en avoir.

Exemple Les abscisses à l’origine de la onction f sont 2 et 7. f(0) = –3 L’ordonnée à l’origine de la onction f est –3.

Remarque : Par coordonnée à l’origine, on entend la valeur d’une des coordonnées lorsque l’autre coordonnée vaut zéro. Arithmétique et algèbre

241

Le signe Défnition

Exemple

Positive

Intervalle(s) du domaine pour lequel (lesquels) les valeurs de la variable dépendante sont positives.

La fonction f est positive pour x ∈ [2, 7].

Négative

Intervalle(s) du domaine pour lequel (lesquels) les valeurs de la variable dépendante sont négatives.

La fonction f est négative pour x ∈ ]–∞, 2] ∪ [7, +∞[.

Remarque : Par convention, aux zéros, la fonction est considérée à la fois comme positive et négative. Pour exclure les zéros, il faut préciser, selon le cas, qu’on s’intéresse aux intervalles sur lesquels la fonction est strictement positive ou strictement négative. Exemple : La fonction f est strictement positive pour x ∈ ]2, 7[.

Les extremums Défnition Maximum

Valeur la plus élevée de la fonction sur tout son domaine.

Minimum

Valeur la moins élevée de la fonction sur tout son domaine.

Exemple Max f = 3 La fonction f n’a pas de minimum.

La variation Défnition

Exemple

Croissance

Intervalle(s) du domaine sur lequel (lesquels) la fonction ne diminue jamais.

La fonction f est croissante pour x ∈ ]–∞, 5].

Décroissance

Intervalle(s) du domaine sur lequel (lesquels) la fonction n’augmente jamais.

La fonction f est décroissante pour x ∈ [4, +∞[.

Constance

Intervalle(s) du domaine sur lequel (lesquels) la fonction ne subit aucune variation (variation nulle).

La fonction f est constante pour x ∈ [4, 5].

Remarque : Par convention, sur un intervalle où la fonction est constante, celle-ci est à la fois croissante et décroissante. Pour exclure la constance, il faut préciser, selon le cas, qu’on s’intéresse aux intervalles sur lesquels la fonction est strictement croissante ou strictement décroissante. Exemple : La fonction f est strictement croissante pour x ∈ ]–∞, 4].

242

Faire le point

Manuel A

Les onctions défnies par parties Une onction défnie par parties est une onction dont la règle s’exprime comme un ensemble de règles défnies sur diérentes intervalles de son domaine. Bien qu’elle soit ormée de plusieurs parties, la onction défnie par parties est une seule onction.

La onction en escalier La onction en escalier est une onction défnie par parties. Voici les caractéristiques d’une onction en escalier. Caractéristique

Maniestation dans le graphique Le graphique est ormé de segments horizontaux ou de demi-droites horizontales.

La onction est constante sur chaque intervalle du domaine.

Généralement, les segments ont un point ermé à une extrémité et un point ouvert à l’autre.

La onction possède des valeurs critiques.

Aux valeurs critiques, la onction varie par saut.

La onction est discontinue.

Le graphique de la onction ne peut pas être tracé sans lever le crayon.

Le graphique suivant permet de visualiser les maniestations des diérentes caractéristiques. f(x) 14 12

La fonction est constante

10 8

Sauts

6

Valeurs critiques

4 2 0

5

10

15

20

25 30

35 40

x

Arithmétique et algèbre

243

Exemple : Le stationnement d’un marché public est ouvert tous les jours de 8 h à 18 h. Voici le tari du stationnement. • La première heure est gratuite ; • chaque heure supplémentaire partielle ou complète coûte 2 $ ; • le tari maximal pour une journée est de 9 $. Soit x, le temps d’utilisation du stationnement du marché public (en heures) et t(x), le tari de stationnement (en dollars).

Tarif ($)

Voici la représentation graphique et les propriétés de cette onction. Le tarif de stationnement au marché public 11 10 9 8 7 6 5

Propriété

Valeur

Domaine

]0, 10]

Image

{0, 2, 4, 6, 8, 9}

Abscisses à l’origine

]0, 1]

Ordonnée à l’origine

Cette onction n’a pas d’ordonnée à l’origine.

Signe

La onction est positive pour x ∈ ]0, 10].

Extremums

La onction a un minimum de 0 et un maximum de 9.

Variation

La onction est croissante pour x ∈ ]0, 10].

4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 Durée (h)

Les modes de représentation d’une fonction en escalier En plus de la représentation graphique ou en mots, la onction en escalier peut être représentée à l’aide d’une règle. Cette règle s’écrit comme un ensemble de règles de onctions constantes défnies sur diérents intervalles du domaine. Exemple : Voici la règle de la onction qui modélise les taris du stationnement du marché public.

L’image de cette onction est {0, 2, 4, 6, 8, 9}.

t(x) =

0 2 4 6 8 9

pour 0 < x ≤ 1 pour 1 < x ≤ 2 pour 2 < x ≤ 3 pour 3 < x ≤ 4 pour 4 < x ≤ 5 pour 5 < x ≤ 10

Le domaine de la onction est ]0, 10].

Remarques : – La table de valeurs n’est pas un mode de représentation utile pour ce type de onction. – La réciproque d’une onction en escalier n’est pas une onction. 244

Faire le point

Manuel A

La onction afne par parties La onction afne par parties est une onction défnie par parties. Il s’agit d’une onction constituée de plusieurs onctions afnes défnies sur diérents intervalles de son domaine. Exemple : Soit le graphique d’une onction afne par parties. f(x) 4 000

(0, 4000)

3 000

2 000

1 000

(70, 500) (270, 0)

0

30

60

90 120 150 180 210 240 270 x

Le tableau ci-dessous présente les propriétés de la onction f. Domaine

x ∈ [0, 270]

Image

f(x) ∈ [0, 4000]

Abscisse à l’origine

270

Ordonnée à l’origine

4 000

Signe

La onction est positive pour x ∈ [0, 270].

Extremums

La onction a un maximum de 4 000 et un minimum de 0.

Variation

La onction est strictement décroissante pour x ∈ [0, 270].

Arithmétique et algèbre

245

La règle d’une onction afne par parties En plus de la représentation graphique, la onction afne par parties peut être représentée à l’aide d’une règle. Cette règle s’écrit comme un ensemble de règles de onctions afnes défnies sur diérents intervalles du domaine. Il aut donc déterminer autant de règles que la onction a de parties. Le tableau ci-dessous présente les étapes à suivre pour déterminer la règle d’une onction afne par parties. Exemples Étape

Intervalle du domaine [0, 70]

Intervalle du domaine ]70, 270]

1. Pour chacune des parties, relever l’inormation dont on dispose.

On dispose des points (0, 4000) et (70, 500).

On dispose des points (70, 500) et (270, 0).

2. Calculer le taux de variation à partir de deux points.

Le taux de variation est : f(x ) - f(x1) a= 2 x2 - x1

Le taux de variation est : f(x ) - f(x1) a= 2 x2 - x1

500 - 4000 –3500 = 70 - 0 70 – a = 50

0 - 500 = 270 - 70 a = –2,5

–

500 200

a=

a=

3. Trouver la valeur de b en remplaçant le taux de variation et les coordonnées d’un point de la onction dans la règle f(x) = ax + b.

f(x) = ax + b

f(x) = ax + b

4 000 = –50 (0) + b

500 = –2,5(70) + b

4 000 = b

500 = –175 + b

4. Écrire la règle de chaque partie.

f(x) = –50x + 4 000

675 = b f(x) = –2,5x + 675

Voici la règle de la onction. Cette règle est constituée des règles de deux onctions afnes défnies sur diérents intervalles du domaine.

Règles des onctions afnes

f(x) =

– –

50x + 4 000 pour 0 ≤ x ≤ 70 2,5x + 675 pour 70 < x ≤ 270

Intervalles du domaine

Remarques : — La réciproque d’une onction afne par parties n’est pas nécessairement une onction. — La table de valeurs n’est pas un mode de représentation utile pour ce type de onction. 246

Faire le point

Manuel A

La modélisation algébrique d’une situation par un système d’équations du premier degré à deux variables Deux contraintes d’égalité qu’on impose simultanément à deux variables orment un système d’équations à deux variables. Pour modéliser une situation à l’aide d’un système d’équations, on doit d’abord défnir les variables, puis poser les équations.

La résolution d’un système d’équations à l’aide de sa représentation graphique Résoudre un système d’équations consiste à déterminer les valeurs des deux variables qui vérifent simultanément les deux équations. Si la solution est unique, ces valeurs sont les coordonnées du point de rencontre des droites et sont exprimées sous la orme d’un couple-solution (x, y).

Pièges et astuces La détermination de la solution repose souvent sur la traduction algébrique de la situation. Il est important de porter une attention particulière à cette étape et de s’assurer que les équations traduisent correctement les relations en remplaçant les variables par des valeurs du contexte.

Exemple : Une tirelire, remplie de pièces de 1 $ et de 2 $, contient 90 $. Il y a en tout 55 pièces de monnaie. Combien de pièces de 1 $ et de pièces de 2 $ y a-t-il dans la tirelire ? Étape 1. Défnir les variables et modéliser la situation à l’aide d’un système d’équations.

Démarche x : nombre de pièces de 1 $

x + 2y = 90

y : nombre de pièces de 2 $

x + y = 55

Pièges et astuces

y 60

2. Représenter graphiquement le système d’équations et déterminer les coordonnées du point de rencontre.

50 30 20 10 0

3. Valider le couple-solution dans les deux équations ou dans le contexte. 4. Retourner au contexte et interpréter la solution pour répondre à la question.

Les coordonnées du point de rencontre sont (20, 35).

40

10 20 30 40 50 60 70 80 90

x + 2y = 90 x + y = 55

⇒

x

20 + 2(35) = 90 20 + 35 = 55

Si les variables de la situation sont discrètes, on peut tout de même représenter la situation par des droites continues. Il aut cependant aire preuve de prudence dans l’interprétation de la solution en contexte.

Il y a 55 pièces en tout et un montant de 90 $. La tirelire contient 20 pièces de 1 $ et 35 pièces de 2 $.

Remarque : La représentation graphique d’un système d’équations ournit toujours la solution du système, même si elle ne permet pas toujours de déterminer avec précision ses coordonnées.

Arithmétique et algèbre

247

Le nombre de solutions d’un système d’équations Un système d’équations du premier degré à deux variables peut avoir une solution unique, une infnité de solutions ou aucune solution. La représentation graphique d’un système d’équations ou la comparaison des pentes et des ordonnées à l’origine des droites associées aux équations qui le composent permettent de déterminer le nombre de solutions. Droites sécantes

Comparaison des pentes et des ordonnées à l’origine

Nombre de solutions

248

Faire le point

Manuel A

Droites confondues

y

y

y

2

2

2

Représentation graphique

Système d’équations

Droites parallèles distinctes

2

y = 2x - 4 y = -x +

7 2

Pentes diérentes 2 ≠ -1

2

x

2

x

y= x +2

y=x+2 y=x-1

2

2y = -x + 4

Pentes égales 1=1

Pentes égales

La comparaison des ordonnées à l’origine n’a pas d’incidence.

Ordonnées à l’origine diérentes 2 ≠ -1

2

Solution unique :

Aucune solution :

Infnité de solutions :

Le point de rencontre des deux droites est

Aucun point n’appartient à la ois aux deux droites.

Tous les points de la première droite appartiennent aussi à la deuxième droite.

( 32 , 1).

-1

=

-

1 2

Ordonnées à l’origine égales 2=2

x

Les méthodes algébriques de résolution d’un système d’équations du premier degré à deux variables Pour résoudre algébriquement un système d’équations du premier degré à deux variables, il aut le transormer pour obtenir une équation à une variable. Pour ce aire, on peut employer les méthodes de comparaison, de substitution et de réduction.

La méthode de comparaison Exemple : Le billet pour une voiture et un adulte à bord d’un traversier coûte 28,25 $. Le billet pour deux voitures et quatre adultes coûte 68 $. Combien coûte le billet pour une voiture à bord de ce traversier ? Étape 1. Défnir les variables et modéliser la situation par un système d’équations. 2. Isoler une même variable dans les deux équations. 3. Comparer les deux expressions algébriques pour ormer une équation à une variable et résoudre cette équation. 4. Remplacer la valeur trouvée en 3 dans les deux équations initiales du système pour déterminer et valider la valeur de l’autre variable. 5. Communiquer la solution ou la réponse à la question.

Démarche x : tari pour une voiture y : tari pour un adulte

x + y = 28,25 2x + 4y = 68

x = 28,25 - y x = 34 - 2y x=x 28,25 - y = 34 - 2y y = 5,75

x + y = 28,25 x + 5,75 = 28,25 x = 22,50

2x + 4y 2x + 4(5,75) 2x x

= = = =

68 68 45 22,50

Le billet pour une voiture à bord du traversier coûte 22,50 $.

Arithmétique et algèbre

249

La méthode de substitution Exemple : Samedi, il a ait 12 degrés de moins que dimanche. La température moyenne de ces deux jours a été de -5 °C. Quelle température a-t-il ait samedi et dimanche ? Étape 1. Défnir les variables et modéliser la situation par un système d’équations.

Démarche s = d - 12

s : température enregistrée samedi d : température enregistrée dimanche

s+d = 5 2

s = d - 12 2. Isoler une variable dans l’une des deux équations.

s+d = 5 2 (d - 12) + d = 5 2

3. Substituer à cette variable, dans la seconde équation, l’expression algébrique qui correspond à la variable isolée.

2d - 12 = -10 2d = 2 d=1

5. Communiquer la solution ou la réponse à la question.

s+d = 5 2

s = d - 12 s = 1 - 12 s = -11

4. Remplacer la valeur trouvée en 3 dans les deux équations initiales du système pour déterminer et valider la valeur de l’autre variable.

s + 1 = -10 s = -11

Il a ait -11 °C samedi et 1 °C dimanche.

La méthode de réduction Exemple : Dans un club vidéo, la location de trois flms et de deux jeux vidéo coûte 20 $. La location de deux flms et de cinq jeux vidéo coûte 25,25 $. Combien coûte la location d’un flm et de deux jeux vidéo ? Étape 1. Défnir les variables et modéliser la situation par un système d’équations. 2. Former un système d’équations équivalent dont les deux équations s’expriment sous la orme ax + by = c et dans lequel les coefcients d’une variable sont opposés (ou égaux).

Démarche x : coût de location d’un flm y : coût de location d’un jeu vidéo 2 • (3x + 2y = 20) (2x + 5y = 25,25)

-3 •

5. Communiquer la solution ou la réponse à la question.

250

Faire le point

Manuel A

⇒

6x + 4y = 40 - 15y = -75,75

-6x

6x + 4y = 40 + -6x - 15y = -75,75

3. Réduire en additionnant (ou en soustrayant) les deux équations et résoudre l’équation.

4. Remplacer la valeur trouvée en 3 dans les deux équations initiales du système pour déterminer et valider la valeur de l’autre variable.

3x + 2y = 20 2x + 5y = 25,25

-11y

= -35,75 y = 3,25

3x + 2y 3x + 2(3,25) 3x x

= = = =

20 20 13,5 4,5

2x + 5y 2x + 5(3,25) 2x x

= = = =

25,25 25,25 9 4,5

La location d’un flm coûte 4,50 $ et celle d’un jeu vidéo, 3,25 $. La location d’un flm et de deux jeux vidéo coûte donc 11 $.

Les avantages de chacune des méthodes algébriques de résolution Bien que chacune des méthodes algébriques de résolution permette de résoudre n’importe quel système d’équations, il y a des avantages à recourir à une méthode plutôt qu’à une autre, selon la forme sous laquelle se présente le système. Méthode de comparaison

Avantageuse lorsqu’une même variable est déjà isolée ou est facile à isoler dans les deux équations.

Méthode de substitution

Avantageuse lorsqu’une des variables est déjà isolée ou est facile à isoler dans une des équations.

Méthode de réduction

Avantageuse lorsque les deux équations qui constituent le système sont exprimées sous la forme ax + by = c.

Le nombre de solutions d’un système d’équations du premier degré à deux variables Lors de la résolution algébrique, l’observation de l’équation du premier degré à une variable obtenue par transformation permet de déterminer le nombre de solutions du système d’équations. Solution unique x=b

Aucune solution 0x = b

Infnité de solutions 0x = 0

y = 6x - 5

y = 4x + 8

y = 6x + 10

y = 2x + 27

y = 4x + 2

y = 2(3x + 5)

6x - 5 = 2x + 27

6x + 10 = 2(3x + 5)

4x = 32

4x + 8 = 4x + 2

6x + 10 = 6x + 10

x=8

0x = -6

0x = 0

Seule la valeur 8 rend l’égalité vraie.

Aucun nombre réel ne rend l’égalité vraie, car il est impossible que le produit d’un nombre et de 0 donne -6.

Tous les nombres réels rendent l’égalité vraie, car le produit de n’importe quel nombre et de 0 donne 0.

Arithmétique et algèbre

251

Géométrie et graphes Les triangles isométriques Deux triangles sont isométriques lorsque leurs éléments homologues (trois angles et trois côtés) sont isométriques.

Le symbole d’égalité concerne des nombres alors que le symbole d’isométrie (≅) concerne des objets géométriques. On a donc m AB = m DE, mais AB ≅ DE.

Exemple : Les triangles ABC et DEF sont isométriques, car leurs angles homologues sont isométriques et leurs côtés homologues sont isométriques. ∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E et ∠ C ≅ ∠ F AB ≅ DE, BC ≅ EF et CA ≅ FD. B 1,7 cm

E

80˚

3,1 cm

70˚

A

1,7 cm

D

30˚

3,1 cm

C

3,2 cm

80˚

70˚ 3,2 cm

On écrit alors ΔABC ≅ ΔDEF. Remarques : – Le symbole « ≅ » se lit « est isométrique à ».

30˚

F

– On nomme des triangles isométriques selon leurs sommets homologues. Donc, si ΔABC ≅ ΔDEF, on peut afrmer que l’angle A est homologue à l’angle D, que l’angle B est homologue à l’angle E et que l’angle C est homologue à l’angle F.

Les conditions minimales d’isométrie de triangles Pour pouvoir afrmer que deux triangles sont isométriques, il n’est pas nécessaire de vérifer que tous leurs côtés homologues et tous leurs angles homologues sont isométriques. Il suft de s’assurer que les triangles respectent une des trois conditions minimales suivantes.

La condition minimale d’isométrie CCC Deux triangles ayant trois côtés isométriques sont nécessairement isométriques. Exemple : ΔABC ≅ ΔDEF, car AB ≅ DE, BC ≅ EF et CA ≅ FD. A

D

5 cm 4 cm

5 cm 4 cm

B E

C

252

Faire le point

Manuel A

6 cm

6 cm

F

La condition minimale d’isométrie CAC Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre deux côtés homologues isométriques sont nécessairement isométriques. Exemple : ΔGHJ ≅ ΔKLM, car ∠ H ≅ ∠ L, GH ≅ KL et JH ≅ ML. L

J 3,5 cm

H

Attention ! Le triangle ABC n’est pas isométrique au triangle GHJ, car l’angle de 40° n’est pas compris entre les côtés de 3 cm et de 3,5 cm.

40˚ 3,5 cm

3 cm

40˚

C

G

3 cm

M

K

A

40˚

3,5 cm

3 cm

B

La condition minimale d’isométrie ACA Deux triangles ayant un côté isométrique compris entre deux angles homologues isométriques sont nécessairement isométriques. Exemple : ΔNPR ≅ ΔSTU, car ∠ N ≅ ∠ S, ∠ P ≅ ∠ T et NP ≅ ST.

Attention ! Le triangle DEF n’est pas isométrique au triangle NPR, car le côté de 3 cm n’est pas compris entre les angles de 30° et de 125°.

R T 125˚

N

30˚ 3 cm

U

125˚

P

3 cm 30˚

S

E 30˚

D

125˚ 3 cm

F

Géométrie et graphes

253

La recherche de mesures manquantes Les relations entre les angles L’observation de certaines relations entre les angles constitue une étape ondamentale de la recherche de mesures manquantes dans des triangles isométriques. On trouve notamment plusieurs paires d’angles isométriques lorsqu’une sécante coupe deux droites parallèles. Dans le schéma ci-dessous, les angles ombrés de couleurs diérentes sont supplémentaires et les angles ombrés de la même couleur sont isométriques. p

• Les angles 1 et 3, 2 et 4, 5 et 7, 6 et 8 sont opposés par le sommet. • Les angles 1 et 5, 2 et 6, 3 et 7, 4 et 8 sont correspondants. • Les angles 3 et 5, 4 et 6 sont alternes-internes. • Les angles 1 et 7, 2 et 8 sont alternes-externes.

2

1

3

4 5

6

d

e

7

8

Le raisonnement déducti Pièges et astuces Pour trouver quelle condition minimale d’isométrie est respectée, il est utile de se baser sur le triangle pour lequel on connaît le moins de mesures.

Le processus de recherche de mesures manquantes s’appuie sur les relations qui existent entre les éléments homologues de triangles isométriques. C’est pourquoi il est essentiel de s’assurer que les triangles en jeu sont isométriques avant de calculer la mesure en question. Exemple : Quelle est la mesure du segment DE et de l’angle D dans la fgure ci-contre ?

C

4,9 cm

2,1 cm

B

Étape

Afrmation

1. Vérifer l’isométrie de certains

m AB = m AD m AC = m AE

éléments homologues des triangles en question à partir des données du problème ou des relations entre les angles.

ΔABC ≅ ΔADE

Manuel A

A 4,9 cm

Justifcation Données du problème Des angles opposés par le sommet sont isométriques. La condition minimale d’isométrie CAC est respectée.

m DE = 2,1 cm

m ∠ D = 125°

L’angle D est homologue à l’angle B, qui mesure 125° et, dans des triangles isométriques, les angles homologues sont isométriques.

manquantes à partir de celles des éléments homologues.

Faire le point

D

Le côté DE est homologue au côté BC, qui mesure 2,1 cm et, dans des triangles isométriques, les côtés homologues sont isométriques.

3. Calculer les mesures

254

3,4 cm

∠ CAB ≅ ∠ EAD

2. S’assurer qu’une condition

minimale d’isométrie est respectée.

3,4 cm

125˚

E

Les triangles semblables Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles homologues sont isométriques et les mesures de leurs côtés homologues sont proportionnelles. Le coefcient de proportionnalité correspond alors au rapport de similitude (k) des deux triangles. Exemple : Les triangles ABC et DEF sont semblables, car leurs angles homologues sont isométriques et les mesures de leurs côtés homologues sont proportionnelles : ∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E et ∠ C ≅ ∠ F

B 8,6 cm

5 cm

125˚

35˚

20˚

A

12,2 cm

C

E

m AB m BC m CA = = =2=k m DE m EF m FD

4,3 cm

D

On écrit alors ΔABC ~ ΔDEF.

20˚

125˚

2,5 cm 35˚

6,1 cm

F

Remarque : On nomme des triangles semblables selon leurs sommets homologues. Donc, si ΔABC ~ ΔDEF, on peut afrmer que l’angle A est homologue à l’angle D, que l’angle B est homologue à l’angle E et que l’angle C est homologue à l’angle F.

Les conditions minimales de similitude de triangles Pour pouvoir afrmer que deux triangles sont semblables, il suft de s’assurer que les triangles respectent une des trois conditions minimales suivantes.

La condition minimale de similitude CCC Deux triangles dont les mesures des trois côtés homologues sont proportionnelles sont nécessairement semblables. Exemple : ΔABC ~ ΔDEF, car

A

m AB m BC m CA = = = 1 m DE m EF m FD 3

3,5 cm

E

3,1 cm

B 1,3 cm

C

D

3,9 cm 9,3 cm

F 10,5 cm

Géométrie et graphes

255

La condition minimale de similitude CAC Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre deux côtés homologues dont les mesures sont proportionnelles sont nécessairement semblables. Exemple : ΔGHJ ~ ΔKLM, car ∠ H ≅ ∠ L et J G 3,5 cm

m KL m ML = =2 m GH m JH

Attention ! Le triangle ABC n’est pas semblable au triangle GHJ, car l’angle de 40° n’est pas compris entre les côtés de 3 cm et de 3,5 cm.

M

40˚ 3 cm

6 cm

H

K 40˚

L

C A

7 cm

40˚ 40˚ 3 cm

3,5 cm

B

La condition minimale de similitude AA Deux triangles ayant deux angles homologues isométriques sont nécessairement semblables. Exemple : ΔNPR ~ ΔSTU, car ∠ N ≅ ∠ S et ∠ P ≅ ∠ T T 80˚

P 80˚

N

60˚

R

S

60˚

U

Remarques : – Puisque la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180°, on peut conclure que le triangle ABC est semblable au triangle NPR. – Une droite parallèle à celle portée par un côté d’un triangle détermine des triangles semblables puisque la condition minimale de similitude AA est respectée. Puisque GH // BC, alors ΔAGH ~ ΔABC.

256

Faire le point

Manuel A

B A

B

G A

H

C

60˚

40˚

C

La recherche de mesures manquantes Le raisonnement déducti Le processus de recherche de mesures manquantes s’appuie sur les relations qui existent entre les éléments homologues de triangles semblables. C’est pourquoi il est essentiel de s’assurer que les triangles en jeu sont semblables avant de calculer la mesure manquante. Exemple : Quelle est la mesure du segment BC et de l’angle BCA dans la fgure ci-contre ?

A

2,8 cm 70˚

3,6 cm

B 70˚

D

5,1 cm

C 1,8 cm

E Étape 1. Vérifer l’isométrie d’angles

homologues et, s’il y a lieu, la proportionnalité de côtés homologues à partir des données du problème ou des relations entre les angles. 2. S’assurer qu’une condition

minimale de similitude est respectée.

Afrmation

Justifcation

m ∠ ABC = m ∠ ADE

Donnée du problème

∠ CAB ≅ ∠ EAD

Il s’agit du même angle.

ΔABC ~ ΔADE

La condition minimale de similitude AA est respectée.

m DE = m AE = 5,4 = 1,5 m BC m AC 3,6

m BC = m DE = 5,1 = 3,4 1,5

3. Calculer les mesures

1,5

m BC = 3,4 cm

manquantes à partir de celles des éléments homologues.

L’angle BCA est homologue à l’angle DEA, qui mesure 48° et, dans des triangles semblables, les angles homologues sont isométriques.

m ∠ BCA = 48°

Remarque : Des sécantes coupées par des droites parallèles sont partagées en segments de longueurs proportionnelles.

Le côté BC est homologue au côté DE et, dans des triangles semblables, les côtés homologues sont proportionnels.

E

D

F

Puisque DR, ES et FT sont parallèles, alors m EF m ST . = m DE m RS

S

T

R

Géométrie et graphes

257

Les triangles rectangles semblables déterminés par la hauteur relative à l’hypoténuse Dans un triangle rectangle, la hauteur relative à l’hypoténuse détermine deux autres triangles rectangles, semblables au premier. B

H

Hauteur relative à l’hypoténuse

C B

A H

C

C

A

H

Par la condition minimale de similitude AA : • ΔABC ~ ΔCBH puisque ces deux triangles ont un angle droit et qu’ils ont l’angle B en commun ;

La relation de similitude est transitive, c’est-à-dire que si ΔABC ~ ΔDEF et ΔDEF ~ ΔGHJ, alors ΔABC ~ ΔGHJ.

ΔABC ~ ΔACH puisque ces deux triangles ont un angle droit et qu’ils ont l’angle A en commun.

•

Par la transitivité de la relation de similitude, ΔCBH ~ ΔACH.

Les relations métriques dans le triangle rectangle Établir des proportions à partir des côtés homologues des triangles rectangles semblables permet de trouver plusieurs relations métriques qui facilitent la recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle. Ces relations font intervenir le concept de moyenne proportionnelle.

La moyenne proportionnelle Lorsque les deux extrêmes ou les deux moyens d’une proportion ont la même valeur, cette valeur est appelée moyenne proportionnelle des deux autres valeurs. Exemple : Dans la proportion a = b , on dit que b est moyenne proportionnelle de a et b c de c. B 2 cm H

Exemple 1 : Pour déterminer la hauteur relative à l’hypoténuse du triangle rectangle ABC ci-contre :

6 cm

h

A

C Étape

Raisonnement

1. Dessiner les deux triangles rectangles

Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur relative à l’hypoténuse est moyenne proportionnelle des mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.

258

Faire le point

semblables dans lesquels se trouve la mesure manquante en les orientant de la même façon et en reportant les mesures connues et la mesure manquante. 2. Établir une proportion à partir des

mesures des côtés homologues. 3. Résoudre la proportion pour trouver

Manuel A

la mesure manquante.

C B

h

2 cm

H

h

C

H

m AH = m CH ⇒ 6 = h h 2 m CH m BH

h2 = 12 h = √12 ≈ 3,46 m CH ≈ 3,5 cm

6 cm

A

C

Exemple 2 : Pour déterminer la mesure de la cathète BC dans le triangle rectangle ABC ci-contre, on procède de la façon suivante.

y A

B

H

Remarque : BH est la projection de la cathète BC sur l’hypoténuse.

2 dm 8 dm

Étape

Raisonnement

1. Dessiner les deux triangles rectangles

semblables dans lesquels se trouve la mesure manquante en les orientant de la même façon et en reportant les mesures connues et la mesure manquante.

B 8 dm

B

y A

C

2 dm

y

H

C

m BH = m BC ⇒ 2 = y y 8 m BC m BA

2. Établir une proportion à partir des

mesures des côtés homologues. 3. Résoudre la proportion pour trouver

la mesure manquante.

y 2 = 16 y = √16 = 4 m BC = 4 dm

Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque cathète est moyenne proportionnelle de la mesure de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse.

Exemple 3 : En calculant l’aire d’un triangle rectangle de deux façons différentes, on peut déduire une autre relation métrique dans le triangle rectangle. Calcul de l’aire d’un triangle rectangle Première façon B

Deuxième façon C

H

hauteur

hauteur

C

base

Atriangle = m AC • m CB 2

A

A

base

H

B

Atriangle = m AB • m CH 2

On a donc m AC • m CB = m AB • m CH

Remarque : Il existe plusieurs démarches permettant de déterminer une mesure manquante dans un triangle rectangle. Dans tous les cas, on peut avoir recours aux relations métriques incluant la relation de Pythagore.

Dans un triangle rectangle, le produit des cathètes égale le produit de l’hypoténuse et de la hauteur relative à l’hypoténuse.

Géométrie et graphes

259

Les accroissements Puisque l’accroissement est une différence, on utilise la lettre delta (Δ) pour le représenter. Delta est la lettre « D » dans l’alphabet grec.

L’accroissement des abscisses (Δ x) du point A(x1, y1) au point B(x2, y2) est la différence des abscisses de ces deux points (Δ x = x2 – x1). L’accroissement des ordonnées (Δy) du point A(x1, y1) au point B(x2, y2) est la différence des ordonnées de ces deux points (Δy = y2 – y1). Exemple : L’accroissement des abscisses du point S(-4, 6) au point T(2, 3) est Δ x = 2 – -4 = 6.

S(–4, 6)

L’accroissement des ordonnées du point S(-4, 6) au point T(2, 3) est Δy = 3 – 6 = -3.

∆y ∆x

T(2, 3)

La distance entre deux points Contrairement à l’accroissement des abscisses ou des ordonnées entre deux points, qui peut être un nombre positif ou négatif, la distance entre deux points est nécessairement un nombre positif.

La distance entre deux points A(x1, y1) et B(x2, y2) dans un plan cartésien, notée d(A, B), est la longueur du segment AB. À partir de l’accroissement des abscisses et de l’accroissement des ordonnées entre ces deux points, on utilise la relation de Pythagore pour calculer d(A, B). (m AB)2 = (m AC)2 + (m BC)2 (d(A, B))2 =

B(x2, y2) ∆y = y2− y1

A(x1, y1) ∆x = x2− x1

C(x2, y1)

(Δ x)2

+

(Δy)2

(d(A, B))2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 L’expression qui permet de calculer la distance entre A et B est d(A, B) =

x2

x1

2

y 2 − y1 2.

Exemple : Voici comment calculer la distance entre les points C(8, 7) et D(-1, 10). d(C, D) = ( −1 − 8)2 + (10 − 7)2 = ( − 9)2

260

Faire le point

Manuel A

32 =

81 + 9 =

90 ≈ 9,5

Le point de partage d’un segment Il est possible de déterminer les coordonnées d’un point de partage d’un segment, c’est-à-dire un point situé à une certaine fraction d’un segment. Pour ce faire, on détermine séparément l’abscisse et l’ordonnée de ce point de partage. Soit le segment UV tracé dans le plan cartésien ci-dessous. On s'intéresse aux coordonnées du point de partage P, situé à la fraction ab du segment UV à partir du point U.

V(x2, y2)

b P

a

∆y

a • ∆y b

U(x1, y1)

a •∆ x b ∆x

Abscisse du point de partage

Ordonnée du point de partage

– L’accroissement des abscisses du point U au point P est

a b •

– L’abscisse du point P est donc x1 +

Abscisse du point U

L’accroissement des ordonnées du point U au point P est ab • Δ y.

Δx. a b •

L’ordonnée du point P est donc y1 +

Δ x.

Ordonnée du point U

Accroissement des abscisses du point U au point P

Les coordonnées du point P situé à la fraction

(

du point U(x1, y1) sont donc P x1 +

a b •

a b

Δ x, y1 +

a b •

Δy.

Accroissement des ordonnées du point U au point P

du segment UV à partir a b •

)

Δy .

Géométrie et graphes

261

Exemples : 1) Voici les étapes à suivre pour déterminer les coordonnées du point P situé aux du segment UV, d’extrémités U(4, 6) et V(9, 16), à partir du point U. Étape

3 5

Démarche

1. Calculer l’accroissement des abscisses et l’accroissement des ordonnées du segment en considérant que les coordonnées du point de départ (U) correspondent à (x1, y1). 2. Déterminer les coordonnées du point de 3 partage en additionnant la raction des

() 5

accroissements calculés à l’étape 1 aux coordonnées du point de départ.

Δ x = x2 – x1 = 9 – 4 = 5 Δy = y2 – y1 = 16 – 6 = 10

( P(4 +

P x1 + a • Δx, y1 + a • Δ y b b

)

3 3 • (5), 6 + • (10) 5 5

P(4 + 3, 6 + 6)

)

P(7, 12)

Remarque : Le point situé aux 35 du segment UV à partir du point U est le point qui partage le segment UV en segments de rapport 3 : 2 à partir du point U. 2) Voici les étapes à suivre pour déterminer les coordonnées du point milieu M du

segment EF d’extrémités E(-3, 5) et F(1, -3). Étape

1. Calculer l’accroissement des abscisses et l’accroissement des ordonnées du segment en considérant que les coordonnées du point de départ (E) correspondent à (x1, y1).

2. Déterminer les coordonnées du point milieu M en additionnant la moitié des accroissements calculés à l’étape 1 aux coordonnées du point de départ.

Démarche Δx = x2 – x1 = 1 – -3 = 4 Δy = y2 – y1 = -3 – 5 = -8

( M( 3 + 2

M x1 + 1 • Δx, y1 + 1 • Δy 2 2 -

1

• (4), 5 +

1

2

)

• (-8)

)

M(-3 + 2, 5 + -4) M(-1, 1)

Remarques : Le point milieu est un cas particulier du point de partage d’un segment. – Le point milieu d’un segment partage celui-ci en segments isométriques. – Afn de déterminer les coordonnées du point milieu M d’un segment, on peut calculer la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des extrémités de ce segment. Ainsi, les coordonnées du point milieu M du segment AB d’extrémités A(x1, y1) et B(x2, y2) sont

262

Faire le point

Manuel A

(

x1 + x2 y1 + y2 , 2 2

).

La droite En géométrie analytique, la droite se défnit comme l’ensemble des points d’un plan cartésien qui vérifent une équation du premier degré à deux variables.

La pente La pente de la droite qui passe par les points A(x1, y1) et B(x2, y2) est le rapport de l’accroissement des ordonnées à l’accroissement des abscisses entre deux points de cette droite. Pente de la droite AB =

y2 - y1 Δy = x2 - x1 Δx

Exemple : Voici comment calculer la pente de la droite qui passe par les points R(-2, 5) et S(3, -15). Pente de la droite RS =

y -y Δy = 2 1 = 15 -- 5 = 20 = -4 Δx x2 - x1 3- 2 5

L’équation d’une droite sous la forme fonctionnelle

On doit calculer l’accroissement des ordonnées à partir du même point utilisé pour calculer l’accroissement des abscisses.

Une équation de la orme y = ax + b est l’équation d’une droite sous la orme onctionnelle. Dans l’équation d’une droite sous la orme onctionnelle : – le paramètre a représente la pente de la droite ; – le paramètre b représente son ordonnée à l’origine.

L’équation d’une droite sous la forme générale Une équation de la orme A x + By + C = 0 est l’équation d’une droite sous la orme générale. Dans l’équation d'une droite sous la orme générale : -

– l’ordonnée à l’origine correspond à BC ; – l’abscisse à l’origine correspond à AC ; – la pente correspond à BA .

Les lettres qui constituent les paramètres de l’équation d’une droite sous la orme générale sont des lettres majuscules.

Géométrie et graphes

263

Tracer une droite On procède diéremment pour tracer une droite selon la orme d’équation présentée. Exemples : 1) Voici les étapes à suivre pour tracer la droite d’équation y = 2x + 3. Étape

2) Voici les étapes à suivre pour tracer la droite d’équation 4x – 8y + 16 = 0.

Démarche

Étape

Démarche

1. Déterminer l’ordonnée à 1. À partir de l’ordonnée à

l’origine, placer un autre point en utilisant la pente de la droite.

l’origine de la droite en calculant la valeur de y lorsque x = 0.

+1 +2

Déterminer l’abscisse à l’origine de la droite en calculant la valeur de x lorsque y = 0.

1 1

x

y

0

2

-4

0

2. Placer les coordonnées 2. Tracer la droite reliant

à l’origine dans un plan cartésien et tracer la droite reliant ces points.

ces points. 1

1 1

1

Le passage d’une forme d’équation à une autre L’équation d’une droite sous la orme générale est équivalente à l’équation de cette droite sous la orme onctionnelle. Des manipulations algébriques permettent donc de passer d’une orme d’équation à une autre. Il n’est pas nécessaire que les coefcients A, B et C de l’équation d’une droite sous la orme générale soient des nombres entiers. Cependant, on choisit habituellement de les présenter ainsi.

Exemples : 1) Il suft d’isoler la variable y d’une équation de orme générale pour l’exprimer sous la orme onctionnelle. 3x – 4y – 12 = 0 -4y = -3x + 12 y = 3x – 3 4

2) Il suft de rassembler tous les termes du même côté du signe d’égalité d’une équation de orme onctionnelle pour l’exprimer sous la orme générale. y = 1x – 9

2 1 x+y+9=0 2

x + 2y + 18 = 0

Le demi-plan En géométrie analytique, un demi-plan se défnit comme l’ensemble des points d’un plan qui vérifent une inéquation du premier degré à deux variables.

264

Faire le point

Manuel A

Tracer un demi-plan Pour tracer un demi-plan, on trace d’abord la droite qui constitue la frontière du demiplan. Ensuite, on se base sur le signe d’inégalité pour déterminer la région à hachurer. Exemple : Voici les étapes à suivre pour tracer le demi-plan d’inéquation 3x – 4y + 24 > 0. Étape

Démarche

1. Tracer la droite 3x – 4y + 24 = 0.

Puisque le signe d’inégalité est strict (>), cette droite doit être en tirets.

2. Choisir un point-test et

remplacer ses coordonnées dans l’inéquation du demi-plan.

x

y

0

6

-8

0

2 2

Pour faciliter les calculs, on choisit souvent l’origine du plan cartésien comme point-test : 3(0) – 4(0) + 24 > 0 Puisque 24 > 0, l’origine fait partie de la région à hachurer.

3. Hachurer la région

correspondant au demi-plan selon la conclusion à laquelle on arrive à l’étape 2.

2 2

Déterminer l’inéquation qui décrit un demi-plan Pour déterminer l’inéquation qui décrit un demi-plan, on détermine d’abord l’équation de la droite qui constitue la frontière du demi-plan. Ensuite, on détermine le signe d’inégalité qui correspond à la région hachurée du demi-plan. Exemple : Soit le demi-plan tracé dans le plan cartésien ci-contre.

B(2, 2)

1 1 A(0, −4)

Voici les étapes à suivre pour déterminer l’inéquation qui décrit ce demi-plan. Étape 1. Déterminer l’équation de

la droite qui constitue la frontière du demi-plan.

Démarche L’ordonnée à l’origine de la droite est -4. La pente de la droite est

Δy Δx

=

y 2 - y1 x2 - x 1

=

2 - -4 2-0

=

6 2

= 3.

L’équation de la droite est donc y = 3x – 4. Puisque la droite est pleine et non en tirets, on doit choisir entre les symboles «≤» et «≥».

2. Déterminer le signe

d’inégalité.

Puisque la région hachurée s’étend vers le bas, toutes les valeurs de y inférieures ou égales à 3x – 4 font partie de cette région. L’inéquation du demi-plan est donc y ≤ 3x – 4.

Géométrie et graphes

265

Les droites parallèles Deux droites parallèles ne se coupent jamais. Cette propriété géométrique se manieste algébriquement par le ait que deux droites parallèles ont la même pente. Propriété géométrique : parallélisme

Manifestation algébrique Équations sous la forme fonctionnelle y = 2x + 4 y = 2x – 1 La pente correspond au paramètre a. 2=2

1 1

Équations sous la forme générale 6x – 3y + 12 = 0 8x – 4y – 8 = 0 La pente correspond au rapport -6 -3

= -8 = 2

-A . B

4

Les droites sont parallèles.

Remarque : Des droites parallèles qui ont la même ordonnée à l’origine sont des droites conondues.

Les droites perpendiculaires Deux droites perpendiculaires se coupent à angle droit. Cette propriété géométrique se manieste algébriquement par le ait que le produit des pentes de deux droites perpendiculaires égale -1. Propriété géométrique : perpendicularité

Manifestation algébrique Équations sous la forme fonctionnelle

Équations sous la forme générale

y=1 x+2 5 y = -5x – 4

1

( ) • ( 5) = 1

1

1 5

-

-

x – 5y + 10 = 0 10x + 2y + 10 = 0

( )•( )= 1 -1 -5

-10

2

-

Les droites sont perpendiculaires.

Les propriétés d’objets géométriques La géométrie analytique permet de vérifer les propriétés de certains objets géométriques. Par exemple, il est possible de montrer que les diagonales d’un carré sont isométriques et perpendiculaires à l’aide des concepts de distance entre deux points et de perpendicularité de droites.

266

Faire le point

Manuel A

Graphisme, notation et symboles n

L’ensemble des nombres naturels

k

Le rapport de similitude

z

L’ensemble des nombres entiers

A∩B

q

L’ensemble des nombres rationnels

L’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B

q’

L’ensemble des nombres irrationnels

A∪B

L’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B

r

L’ensemble des nombres réels

∞

L’infini

La notation qui indique l’absence du zéro dans les ensembles de nombres n, z, q et r

∈

… est élément de…

f(x)

L’image de x par la fonction f

x

La valeur absolue de x

Dom f

Le domaine de la fonction f

Ima f

L’image de la fonction f

Max f

Le maximum de la fonction f

Min f

Le minimum de la fonction f

∠A

L’angle A

m∠A

La mesure de l’angle A

AB

Le segment AB

*

+

La notation qui indique les nombres positifs des ensembles de nombres z, q, q’ et r

–

La notation qui indique les nombres négatifs des ensembles de nombres z, q, q’ et r

2

a

3

Le carré de a

a

Le cube de a

bx

La ixième puissance de b

3

a

La racine carrée de a

a

La racine cubique de a

π

La constante « pi » π ≈ 3,1416

m AB

La mesure du segment AB

=

… est égal à…

∆ABC

Le triangle ABC

≈

… est approximativement égal à…

[a, b]

L’intervalle fermé a, b

≅

… est isométrique à…

]a, b[

L’intervalle ouvert a, b

∼

… est semblable à…

P(x, y)

Le point P de coordonnées x et y

⁄⁄

… est parallèle à…

a:b

Le rapport de a à b

⊥

… est perpendiculaire à…

(a, b)

Le couple a b

≠

… n’est pas égal à…

d(A, B)

La distance de A à B




… est supérieur à…

≥

… est supérieur ou égal à… Graphisme, notation et symboles

267

Table de rapports trigonométriques Angle

268

sin

cos

tan

Angle

sin

cos

0° 1° 2° 3° 4° 5°

0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872

1,0000 0,9998 0,9994 0,9986 0,9976 0,9962

0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875

45° 46° 47° 48° 49° 50°

0,7071 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660

0,7071 0,6947 0,6820 0,6691 0,6561 0,6428

1,0000 1,0355 1,0724 1,1106 1,1504 1,1918

6° 7° 8° 9° 10°

0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736

0,9945 0,9925 0,9903 0,9877 0,9848

0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763

51° 52° 53° 54° 55°

0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192

0,6293 0,6157 0,6018 0,5878 0,5736

1,2349 1,2799 1,3270 1,3764 1,4281

11° 12° 13° 14° 15°

0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588

0,9816 0,9781 0,9744 0,9703 0,9659

0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679

56° 57° 58° 59° 60°

0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660

0,5592 0,5446 0,5299 0,5150 0,5000

1,4826 1,5399 1,6003 1,6643 1,7321

16° 17° 18° 19° 20°

0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420

0,9613 0,9563 0,9511 0,9455 0,9397

0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640

61° 62° 63° 64° 65°

0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063

0,4848 0,4695 0,4540 0,4384 0,4226

1,8040 1,8807 1,9626 2,0503 2,1445

21° 22° 23° 24° 25°

0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226

0,9336 0,9272 0,9205 0,9135 0,9063

0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663

66° 67° 68° 69° 70°

0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397

0,4067 0,3907 0,3746 0,3584 0,3420

2,2460 2,3559 2,4751 2,6051 2,7475

26° 27° 28° 29° 30°

0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000

0,8988 0,8910 0,8829 0,8746 0,8660

0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774

71° 72° 73° 74° 75°

0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659

0,3256 0,3090 0,2924 0,2756 0,2588

2,9042 3,0777 3,2709 3,4874 3,7321

31° 32° 33° 34° 35°

0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736

0,8572 0,8480 0,8387 0,8290 0,8192

0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002

76° 77° 78° 79° 80°

0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848

0,2419 0,2250 0,2079 0,1908 0,1736

4,0108 4,3315 4,7046 5,1446 5,6713

36° 37° 38° 39° 40°

0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428

0,8090 0,7986 0,7880 0,7771 0,7660

0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391

81° 82° 83° 84° 85°

0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962

0,1564 0,1392 0,1219 0,1045 0,0872

6,3138 7,1154 8,1443 9,5144 11,4301

41° 42° 43° 44°

0,6561 0,6691 0,6820 0,6947

0,7547 0,7431 0,7314 0,7193

0,8693 0,9004 0,9325 0,9657

86° 87° 88° 89°

0,9976 0,9986 0,9994 0,9998

0,0698 0,0523 0,0349 0,0175

14,3007 19,0811 28,6363 57,2900

Table de rapports trigonométriques

tan

Index A aire de triangles, 158 angle côté adjacent à un, 130 d’élévation, 132 sinus d’un, 130 angles complémentaires relations entre les rapports trigonométriques d’, 136 asymptote, 12

C chances, 181, 184 « chances pour », 181, 184 « chances contre », 181, 184 coefcient de corrélation linéaire, 80, 84 approximation du, 85 interprétation du, 84 limites, 85 corrélation linéaire, 70, 73 appréciation qualitative d’une, 73 négative, 69 non linéaire, 74 nulle, 69 positive, 69 cosinus d’un angle, 137

D demi-produit d’une base et de sa hauteur relative, 158 diagramme à tige et à euilles, 54, 60 distribution à deux caractères, 68, 72 données homogènes, 55 droite de régression, 90, 94 de Mayer, 94 médiane-médiane, 92, 95 prédiction à l’aide de la, 96

E écart à la moyenne, 56 moyen, 57, 61 Einstein, Albert, 41 équité, 193, 195 Ératosthène, 166 espérance mathématique, 190, 194, 195

F onction(s) exponentielle, 9, 16 réciproque de la, 28 règle de la orme f(x) = abx , 28 périodique, 10, 17 propriété des, 16 quadratique, 9, 16 règle de la orme f(x) = ax2, 28 relation réciproque de la, 30 ormule de Héron, 156, 158

G Gauss, Carl Friedrich, 96 groupes équipotents, 91

H Héron, ormule de, 156, 158

J jeu équitable, 193, 195

L lien entre deux variables, 70, 74

M Mayer, Tobias, 90 mesures de dispersion, 60 de position, 62

N nuage de points, 72

P Pearson, Karl, 84 période, 13 point(s) aberrant, 83 moyen, 91 nuage de, 72 probabilité(s), 178, 179, 182 réquentielle, 179, 183 subjective, 179, 183 théorique, 178, 182 types de, 178, 179, 182 propriétés des onctions, 16

R rang centile, 58, 62 rapports trigonométriques dans un triangle rectangle cosinus, 137 sinus, 137 tangente, 137 recherche de la règle, 29, 30 recherche de mesures d’angle, 149 dans un triangle rectangle, 137 de côté, 148 manquantes, 148 réciproque de la onction exponentielle, 28 relation réciproque de la onction quadratique, 30 représentation d’une situation à l’aide d’une table de valeurs ou d’un graphique, 15

S sinus d’un angle, 130, 137 loi des, 145, 148 sommet, 12

T tangente d’un angle, 137 triangles, aire de, 158 triangle rectangle rapports trigonométriques dans le, 136 recherche de mesures dans un, 137

V valeur absolue, 56 variables, lien entre deux, 70, 74

Index

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Sources