Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe B.: Planimetrie und Arithmetik nebst den Anfangsgründen der Trigonometrie und Stereometrie und drei Anhängen [Zahlr. Abb., Reprint 2021 ed.] 9783112603864, 9783112603857

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Ausgabe B (ohne Übungen)

Hauptsätze der

Elementar -^Itathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von

Dr. 8. G. Mchler Bearbeiter von 21. Schulte-Tigges Dberftudiendirekror des Realgymnasiums I zu Rassel Geh. Studienrat

Ausgabe B (ohne Übungen)

Unterstufe Planimetrie und Arithmetik nebst den Anfangsgründen der Trigonometrie und Stereometrie und drei Anhängen

Berlin und Leipzig 1925

Walter de Gruyter & £o. vormals G. I. Göfchen'fche Verlagshandlung — 3* Guttenrag, Verlagsduchhandlung — Georg Reimer — Rarl 3- Trübner — Veit & Lomp.

Planimetrie und Arithmetik nebst den Anfangsgründen

der Trigonometrie und Stereometrie und drei Anhängen

Sur die unteren und mittleren Rlaffen

höherer Lehranstalten bearbeitet von

A. Schulte -Tigges OdersiudienDirektor des Realgymnasiums 1 zu Rassel Geh. Studienrar

Berlin und Leipzig J925

Walter de Gruyter Sc AC, CA: C'A' = CB: C'B' unb A = A. Verfährt man wie in § 109, so ist wie vorhin DF || AB, also A DFC ~ ABC; ferner •£. D = A und folglich

8—C

und entsprechend ßo und 3.

Der RadiuS des umbeschriebenen

Zieht man den Durchmesser CE — 2r, verbindet E mit B und fällt die Höhe CD, so ist A CEB-CAD (§ 134), also

KreiseS.

Fig. 105.

2r

a

abc iv CLÖC IX. r = -r— = 4A 4s» . — «)(» — 6)(» — o) Anmerkung: Die nachstehenden Formeln lassen sich leicht beweisen:

g 136.

Die durch die Berührungspunkte mit bot Berührungs­ kreisen gebildeten Abschnitte der Seiten.

Der einbeschriebene Kreis (0) berühre in Fig. 91 die Seiten in D, E, F. Je zwei an derselben Ecke liegende Abschnitte sind nach § 88a)

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Aufgaben aus der algebraischen Geometrie.

gleich; die Summe von drei an verschiedenen Ecken liegenden Abschnitten ist also gleich dem halben Umfang s des Dreiecks. Es ist demdemnach AF 4- BD 4- CD = s oder AF 4- a = s, also

X. AE = AF = 8 — a, BF — BD = 8 — b, CD — CE=«-c.

Der an der Seite c liegende äußere Berührungskreis (0.) berühre die Seiten in D', E' und F'. Es ist dann 2s = CA+ AF' + F'B + BC = CA+ AE’+BD' + BC, oder 2s = CE' 4- CD’ = 2CE', folglich XI. CE' = CD = s, AF1 = AE' = 8-b, BF“ = BD' = 8-a. Es folgt hieraus noch, daß die Abschnitte AF und BF’ gleich lang sind, und ferner, daß

DD' — EE' — c und FF' — a — b. g 137. Die Höhen und die Höhenabfchnitte der Setten. 1. Da A = iah, — ibht — ich, ist, so ergibt sich 2A

XII.

_

2A

Ivorin A nach VI. ausgedrückt werden kann. 2. Nach § 133, V ist XIII. p-=

«2

£2 — &2

C2 — «2

2c

2c

je nachdem der dem Abschnitt anliegende Dreieckswinkel spitz oder stumpf ist.

g 138. Tie Mittellinien ((«, tb, t,). Aus den Dreiecken BCE und ACE folgt nach § 133, V: a* = je2 4- t; 4- 2 . ic . x,

62=|c*4- t; — 2.ic.x, und dmch Addition dieser Gleichungen:

a2 4-fr* = je» 4- 2t.'. In Worten: Die Summe der Quadrate zweier Seiten ist gleich der Summe des halben Quadrates der dritten Sette und des doppelten Quadrates der zugehörigen Mttellinie. — Die Formel für t, ist:

XIV. t. = Vi(a2 - 62)-lc2.

I. Planimetrie.

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H189. 1. Die ans einet Seite c durch die Halbierungslinie des gegeuSberliegenden Winkels (»der AußeuwinkelS) gebildeten Abschnitte « «nd v (oder u' «nd v). ES ist u + v = c und nach § 105:

XV. M=

u

a

- — p also:

a+ 6

wnb

cb v=a —+m 6 Ferner ist u' — v' = c und u:v’ = a:b, also

XVI. u =

a

2. Die Winkelhalbierende we und die Autzenwinkelhalbierende w. Verlängert man Cfr(toe), bis sie den um das Dreieck beschriebenen Kreis in G schneidet, so ist nach § 119b

u.v = we. FG, uv — to^CG — toe), we* =we.CG — uv. Verbindet man noch G mit B, so ist A GBC ~ AFC, also CG: a = b:wc oder wr .CG = a .b, folglich: w*= ab — uv. Durch Einsetzung der für u und v gefundenen Werte hieraus:

ergibt

sich

"■=o6(i-(,+V): TVII

A. V LI e

}/a6(a 4- 6 T c)(a I 6 — c) Wc— • *— *zr • a+o

Auf ganz ähnliche Weise findet man: w'* = u' v' — ab-,

XVIII.

w'e= Vab^—a

+ &7+cJ(a — & + c)

B. Konstruktion algebraischer Ausdrücke.

g 140. Die Länge einer gesuchten Strecke sei von den Längen gegebener Strecken abhängig, und diese Abhängigkeit sei durch eine algebraische Gleichung dargestellt, welche die Maßzahl x der gesuchten

Aufgaben aus der algebraischen Geometrie.

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Strecke und die Maßzahlen a, b, e, . . der gegebenen Strecken ent­ hält. Man kann sich dann die Aufgabe stellen, die Strecke, deren Maßzahl x ist, (oder, kürzer ausgedrückt, die Strecke x) aus den gegebenen Strecken (a, b, e, . zu konstruieren. Eine solche Aufgabe ist nm dann mittels Zirkels und Lineals lösbar, wenn jene Gleichung, nach x auf­ gelöst, für x einen Ausdruck liefert, der sich auf eine oder mehrere der folgenden Formen zurückführen läßt:

1. x = a + b.

2. x = a — b.

3. x — - (n eine gegebene ganze Zahl). n

4. x = y«2 + 62.

5. x= y^-62.

In Aufgabe 1. wird eine Strecke gesucht, die der Summe, in 2. eine solche, die der Differenz zweier gegebenen Sttecken gleich ist. Man erhält die gesuchte Sttecke, indem man die Sttecke a um b entweder verlängert oder verkürzt.

In 3. wird eine Sttecke gesucht, die dem nten Teile einer gegebenen Sttecke gleich ist. Diese Aufgabe ist in § 77,3 gelöst. In Aufgabe 4. (x = Va* + ft») ist x konstruierbar als die Hypo-

teitufe eines rechtwinlligen Dreiecks, dessen Katheten gleich a und b sind. Der Ausdruck 6. (x = Va? — b*) bedeutet die zweite Kachele des

rechtwinlligen Dreiecks, dessen erste Kathete gleich b und dessen Hypotenuse gleich a ist.

/ a. b\ In6. Ix — —— I ist x als die viette Pwportionale zu c, a und b, und in 7. (x= Vab) ist x als die mittlere Proportionale zu a und b konstruierbar.

g 141.

Beisstiele: 1. x = a + b — c.

Auflösung: Konstruiere y = a+b und dann x = y —c. 2. x=Va?+bt —