Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe B.: Planimetrie und Arithmetik nebst den Anfangsgründen der Trigonometrie und Stereometrie und drei Anhängen [6., unveränd. Aufl., Reprint 2021] 9783112395929, 9783112395912

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Hauptsätze der

El ementar-^sstarhematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von

Dr. 8. G. Mchlcr. JSearbeitet von 2L Schulke-TiAgeo, Direktor des Realgymnasiums zu Rassel.

Ausgabe B. Unterstufe. Planimetrie und Arithmetik nebst den Anfangsgründen der Trigonometrie und Stereometrie und drei Anhängen.

Berlin W. jo Druck und Verlag von Georg Reimer 1916.

Planimetrie und Arithmetik nebst den Anfangsgründen

der Trigonometrie und Stereometrie und drei Anhängen.

Lür die unteren und mittleren Rlafsen höherer Lehranstalten

bearbeitet von

A. Schulte-Tigges, Direktor des Realgymnasiums zu Rassel.

Sechste unveränderte Auflage

Berlin W. io Druck und Verlag von Georg Reimer

1916.

Vorwort zur ersten Auflage. Bei der Bearbeitung der vorliegenden Ausgabe B der SchellbachMehlerschen »Hauptsätze der Elementar-Mathematik" hatte der Heraus­ geber völlige Freiheit hinsichtlich der Art und des Umfangs der ihm notwendig erscheinenden Änderungen. Es konnte daher den neueren

Anschauungen auf dem Gebiet mathematischer Methodik in weitem Umfang, wenn auch in vorsichtiger Abwägung ihres wirklichen Wertes Rechnung getragen werden, ohne daß dabei Altbewährtes hätte zurück­ treten müssen. Insbesondere gilt jenes von der Pflege des räumlichen Anschauungs- und Vorstellungsvermögens und der Gewöhnung an die Auffaffung von Raumgebilden und Zahlen als im Werden be­ griffener und voneinander abhängiger Größen. So sind überall, wo dies ohne Künstelei möglich war, die Figuren durch Bewegung, Ver­ schiebung oder Drehung erst gebildet, und auch bei den Beweisen selbst sowie bei der Ermittelung von Ubungssätzen (vgl. insbesondere die Winkel-, Dreiecks- und Kreislehre) ist von demselben Grundsatz vielfach Gebrauch gemacht worden. Daß dabei funktionelle Abhängig­ keiten zutage treten, ist natürlich, doch sind ihrer Betrachtung noch zwei besondere Abschnitte, die Vorübungen zur Dreieckslehre und die Einführung in die graphische Darstellung im Anhang III, gewidmet. Die Einleitung zur Planimetrie ist bedeutend erweitert worden und dürfte in ihrer jetzigen Gestalt wohl die Grundlage für eine erste Einfiihrung in die Geometrie darbieten. In der sich anschließenden Winkel- und Dreieckslehre sind die indirekten Beweise wie die arith­ metische Beweisform — beides Klippen, an denen das Verständnis erfahrungsgemäß ost scheitert — nach Möglichkeit vermieden worden. Die Forderung, alle Zeichnungen nur mit Lineal und Zirkel aus­ zuführen, tritt mit Absicht erst ziemlich spät auf (§ 77); bis dahin wird von dem Winkelmesser, dem Meßstreifen und dem Zeichendreieck (zum Ziehen von Parallelen und zum Errichten und Fällen von Loten)

VI

Vorwort.

ausgiebig Gebrauch gemacht. Es erscheint dies auch notwendig, wenn man die Schüler die Voraussetzung der Beweise nicht durch eine reine Gedankenoperation, sondern auf Grund der von ihnen ausgeführten Zeichnung finden lassen will. Die eigentliche Drcieckslehre ist in zwei Arten getrennt be­ handelt worden, so daß die Wahl zwischen beiden völlig frei bleibt, das eine Mal unter ausgiebiger Verwendung des Begriffs der Symmetrie, während die andere Art der Betrachtung sich der heute meist gebräuchlichen mehr nähert. Es ist dabei aber auch nicht ausgeschlossen, einige Sätze nach der ersten, andere wiederum nach der zweiten Art durchzunehmen. Auch die Kreiskehre hat eine voll­ ständige Umgestaltung erfahren, indem der Stoff einheitlich geordnet und seine Behandlung soweit als möglich auf symmetrische Betrach­ tungen gegründet ist. In der Arithmetik sind die negativen Zahlen und diejenigen Fälle besonders eingehend, wenn auch in möglichst einfacher Weise behandelt worden, wo die ursprüngliche Erklärung der betreffenden Rechnungsart versagt und eine neue für den Zahlenausdruck gesucht werden muß. Daß der von der geometrischen Konstruktionsaufgabe handelnde Anhang! trotz der klärenden Vorarbeiten von Petersen, FischerBenzon u. A. noch weiterer Durcharbeitung bedarf, weiß der Verfasser recht wohl; indessen ist die Schwierigkeit, einen Überblick über die

Lösungsmethoden so zu geben, daß bei einer vorliegenden Aufgabe der Weg zum Ziel leicht in die Augen springt, nicht zu unterschätzen. Anhang II enthält eine kurze Anleitung zum perspektivischen Zeichnen räumlicher Gebilde, wie sie für Realanstalten verbindlich ist. In dem Anhang III ist auf Grund geometrischer und arithmetischer Vorübungen, die sich zum Teil schon für eine frühe Stufe eignen, der Begriff der Funktion und ihrer graphischen Darstellung in ein­ facher Weise entwickelt und auf die verschiedenen arithmetischen Rechnungsarten sowie auf praktische Beispiele angewandt worden. Da diese Beispiele, deren Zahlentabellen dem Statistischen Handbuch und den Statistischen Jahrbüchern für das Deutsche Reich entnommen sind, sich größtenteils auf die handelspolitische und volkswirtschaft­ liche Entwicklung Deutschlands seit dem großen Kriege beziehen, so dürften sie, auch von allgemeinen pädagogischen Gesichtspunkten ans, hinreichendes Interesse beanspruchen.

vn

Vorwort.

Die Beigabe von Übungsstoff, der in den .Hauptsätzen" bisher

fehlte, schien aus mehrfachen Gründen zweckmäßig. Nur in der Arithmetik ist hiervon abgesehen worden, da es eine Reihe von guten Aufgabensammlungen gibt und solche meist auch in den Händen der Schiller zu sein Pflegen. Die durch die Aufnahme des Übungsstoffes verursachte Vermehrung des äußeren Umfanges bedingte die Zerlegung des in der Ausgabe A ungetrennten Buches in zwei Stufen, von denen die vorliegende Unterstufe für die unteren und mittleren Klassen der Realanstalten völlig ausreichen dürfte. Eine gern geübte Pflicht ist es dem Herausgeber, Herrn Professor Frenzel in Lauenburg i. P. für seine auch diesmal freundlichst gewährten, auf langjähriger Erfahrung beruhenden Ratschläge sowie den Herren Fachgenosscn des hiesigen Realgymnasiums für die Bereit­ willigkeit, mit der sie einzelne Teile des vorliegenden Buches im Unterricht erprobten, den herzlichsten Dank auszusprechen.

Cassel, im September 1908.

A. Schulte-Tigges.

Vorwort zur dritten Auflage. Die dritte Auflage ist wie auch die zweite ein unveränderter Abdmck der ersten, in dem nur eine Reihe von Druckfehlern berichtigt worden ist. Cassel, im Februar 1912.

A. Schulte-Tigges.

vn

Vorwort.

Die Beigabe von Übungsstoff, der in den .Hauptsätzen" bisher

fehlte, schien aus mehrfachen Gründen zweckmäßig. Nur in der Arithmetik ist hiervon abgesehen worden, da es eine Reihe von guten Aufgabensammlungen gibt und solche meist auch in den Händen der Schiller zu sein Pflegen. Die durch die Aufnahme des Übungsstoffes verursachte Vermehrung des äußeren Umfanges bedingte die Zerlegung des in der Ausgabe A ungetrennten Buches in zwei Stufen, von denen die vorliegende Unterstufe für die unteren und mittleren Klassen der Realanstalten völlig ausreichen dürfte. Eine gern geübte Pflicht ist es dem Herausgeber, Herrn Professor Frenzel in Lauenburg i. P. für seine auch diesmal freundlichst gewährten, auf langjähriger Erfahrung beruhenden Ratschläge sowie den Herren Fachgenosscn des hiesigen Realgymnasiums für die Bereit­ willigkeit, mit der sie einzelne Teile des vorliegenden Buches im Unterricht erprobten, den herzlichsten Dank auszusprechen.

Cassel, im September 1908.

A. Schulte-Tigges.

Vorwort zur dritten Auflage. Die dritte Auflage ist wie auch die zweite ein unveränderter Abdmck der ersten, in dem nur eine Reihe von Druckfehlern berichtigt worden ist. Cassel, im Februar 1912.

A. Schulte-Tigges.

Inhalt Seite

l. Planimetrie. Einleitung........................................................................... 1. Von den Winkeln....................................................

1 5

2. Von den Dreiecken.....................................................

17 39 44

3. Von den Vierecken und Vielecken überhaupt ... 4. Vom Kreise................................................................. 5. Von der Gleichheit und Ausmessung der geradlinigen Figuren........................................................................ 6. Proportionen an Strahlenbüscheln......................... 7. Von der Ähnlichkeit der Figuren.........................

58 66 71

8. Proportionen am Kreise........................................... 76 9. Von den regelmäßigen Vielecken und der Aus­ messung des Kreises.................................................. 80 10. Aufgaben aus der algebraischen Geometrie. ... 86 n. Arithmetik und Algebra. 1. Die vier Grundrechnungsarten................................ 95 2. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.................. 115 3. Proportionen .................................................................128 4. Gleichungen............................................................. 131 HI. Anfangsgründe der ebenen Trigonometrie ... 136

IV. Anfangsgründe der Stereometrie............................. 150 Anhang I: Von der geometrischen Konstruktionsaufgabe. 163 Anhang II: Anleitung zum perspektivischen Zeichnen räumlicher Gebilde..............................................................171 Anhang III: Grundzüge der graphischen Darstellung . 177

Mk'nler-Sckulte-Tigges, AuSyabe B, Unterstufe,

6. Ausl-

b

Erster Teil: Planimetrie. Einleitung. § 1.

Aeder Teil des Raumes, der nach allen Setten begrenzt

ist, wird Körper genannt. Als Beispiele können dienen: Rechtkant, Würfel, (vierseitig«) Pyramide, Zylinder (Walze), Kegel, Kugel, sowie Gegenstände, die im Schulzimmer vor-

Handen oder allgemein bekannt sind.

Gegen

übrigen Teil des Raumes ist ein Körper durch

den

Flächen abgegrenzt, die eben oder gekrümmt sein können.

die Körper auch in Teile zerlegbar,

Flächen sind

Körper sind.

Durch

die selbst wieder

Eine solche Trennungsfläche bildet dann die gemeinsame

Grenzfläche der Teilkörper. An einem Körper unterscheidet man Länge, Breite und Höhe oder Dicke. Eine Fläche hat nur Länge und Breite, aber keine Dicke. Übungen:

1) Gib bei den erwähnten Körpern die Zahl und Art der

Grenzflächen an. 2) Denke dir bei diesen Körpern Flächen aus, durch die sie in Teile zerlegt werden, und untersuche di« Teilkörper.

§ 2. Eine Fläche ist durch Linien begrenzt, die gerade oder krumm find; sie kann auch durch Linien in Teile zerlegt werden, die

selbst wieder Flächen find.

Die Linien, in denen die Flächen eines

Körpers zusammenstoßen, heißen seine Kanten.

Eine Linie hat weder Breite noch Dicke, nur eine Länge. Übungen: 1) Gib bei den schon untersuchten Körpern die Zahl und Art

der Kanten an. 2) Denke dir Linien aus, durch die jene Flächen zerlegt werden, und unter­ suche die Teilflächen.

§ 3. Eine Linie wird durch Punkte begrenzt und ist auch durch Punkte in Teile zerlegbar, die selbst wieder Linien find. Endpunkte, Teilpunkte.

Die Endpunkte der Kanten eines Körpers heißen seine

Ecken. Mehler-Schulte-Ttgge-, Ausgabe B, Unterstufe.

6. «ufl.

I. Planimetrie.

2

Ein Punkt hat weder Länge, noch Breite, noch Dicke. Übungen: Untersuche die Ecken der betrachteten Körper auf Anzahl und Beschaffenheit.

§ 4. Denkt man sich eine gerade Linie nach beiden Seiten un­ begrenzt, so spricht man von einer Geraden schlechthin; ist sie da­ gegen an einer Seite durch einen Punkt begrenzt, so heißt sie Strahl und, wenn beiderseits begrenzt, Strecke.

Eine gebrochene Linie setzt sich aus Strecken zusammen, die verschiedenen Geraden angehören; eine krumme Linie ist eine solche, von der auch nicht der kleinste Teil gerade ist. Einen Punkt bezeichnet man gewöhnlich mit einem großen latei­ nischen Buchstaben, eine gerade Linie durch einen daneben geschriebenen großen lateinischen Buchstaben (wie G oder L), oder indem man zwei ihrer Punkte bezeichnet, eine Strecke auch durch einen neben ihre Mitte gesetzten kleinen lateinischen Buchstaben. Übungen: Zeichne eine Gerade, einen Strahl, eine Strecke, eine gebrochene, eine krumme Linie und versieh sie mit der üblichen Bezeichnung.

§ 5. Eine Linie kann man sich veranschaulicht denken durch einen möglichst dünnen Faden. Einem solchen Faden, der zwei Punkte lose verbindet, kann man die mannigfaltigste Form und die ver­ schiedenste Länge geben. Spannt man ihn aber hinreichend straff an, so nimmt er stets dieselbe Form an, nämlich die der geraden Linie. Grundsatz: Die gerade Linie ist die kürzeste Verbin­ dung zweier Punkte (oder der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten). Man nennt daher die Strecke, die zwei Punkte verbindet, ihre Entfernung oder ihren Abstand. § 6. Eine ebene Fläche heißt, wenn man sie sich nach allen Richtungen unbegrenzt denkt, Ebene schlechthin. Eine Ebene hat die Eigenschaft, daß man nach allen Richtungen gerade Linien hineinlegen kann (oder daß eine Gerade, die zwei beliebige Punkte der Ebene verbindet, ganz in sie hineinfällt). Hierauf beruht ein praktisches Verfahren, wie man eine Fläche auf ebene Beschaffenheit prüfen kann. Ein Teil einer ebenen Fläche, der ringsum begrenzt ist, heißt ebene Figur oder einfach Figur. Je nach der Begrenzung unter­ scheidet man geradlinige und krummlinige Figuren. Zu den krummlinigen Figuren gehört der Kreis; die geradlinigen Figuren

Einleitung.

S

werden von Strecken begrenzt, die Seiten genannt werden und in den Ecken der Figur Zusammenstößen. Nach der Zahl der Ecken

(oder Seiten) unterscheidet man: Dreiecke, Vierecke, Fünfecke usw., allgemein Vielecke.

Besondere Arten der Vierecke sind u. a.: Rechteck

und Quadrat.

Man bezeichnet eine Figur, lateinischen Buchstaben benennt

indem man die Ecken uud diese Buchstaben

mit großen in derselben

Reihenfolge, wie die Ecken aufeinander folgen, aneinandersügt. Diejenigen Strecken, die zwei nicht benachbarte Ecken einer Figur verbinden, heißen Diagonalen. Übungen: 1) Suche Figuren an den betrachteten Körpern auf und gib ihre nähere Beschaffenheit an. 2) Zeichne die Figuren ab, indem du die betreffende Fläche des Körpers auf das Papier legst und mit einem recht spitzen Bleistift vorsichtig herumfährst. 3) Ziehe in den Figuren Diagonalen und untersuche die Teilfiguren.

§ 7.

Zwei ebene Figuren, die man so aufeinander legen kann,

daß sie sich genau decken,

heißen kongruent; sie haben

nicht nur

genau denselben Umriß, sondern schließen auch gleich große Flächen ein (haben gleichen Flächeninhalt). Seiten der Figuren, die hierbei aufeinander fallen, heißen gleichliegend (oder homolog).

Zn kon­

gruenten Figuren sind daher die gleichliegenden Seiten gleich lang;

denn zwei Strecken sind dann gleich lang, wenn sie sich zur Deckung bringen lassen. Solches geschieht beim Messen,

indem man durch Auflegen

des Maßstabes auf die zu meffende Strecke seststellt, welche Strecke des ersteren sich mit der letzteren deckt.

Strecke kann dann werden,

Die Länge der untersuchten

in Längeneinheiten des

und zwar durch

Maßstabes angegeben

eine Maßzahl unter Hinzufügung der

benutzten Längeneinheit als Benennung. Übungen: 1) Miß Strecken an den untersuchten Körpern und an den ge­

widmeten Figuren. 2) Welche Eigenschaften dieser Figuren ergeben stch hieraus?

8) Zeichne Strecken nach Maßangaben.

§ 8.

Unter dem Umfang einer Figur versteht man die Länge

der geschlossenen Linie, die die Figur begrenzt.

Ist die Figur gerad­

linig, so kann man den Umfang auch bezeichnen als die Summe der Seiten.

Man kann diese Summe durch

durch eine Strecke darstellen.

eine Zahl angeben oder

Im ersteren Fall mißt man jede Seite

und addiert die Ergebnisse, im letzteren legt man auf einer geraden

1*

4

I. Planimetrie.

Linie die einzelnen Seiten aneinander, so daß sie eine einzige Strecke bilden (Addition von Strecken). Übungen: Führe solche Addition von Strecken an den gemessenen und gezeichneten Strecken aus, im letzteren Fall unter Benutzung eines Papierstreifens (Meßstreifens).

Ergebnis: Wenn alle Schüler eine Strecke von gleicher Länge zeichnen nnd eine andere Strecke von wiederum gleicher Länge addieren, so erhalten sie gleich lange Strecken als Ergebnis. Daraus erhellt -er Grundsatz: Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches. § 9. Sind zwei Strecken ungleich lang, so kann man ihren Unterschied (ihre Differenz) bestimmen, indem man ihre Maß­ zahlen subtrahiert oder die beiden Strecken so aufeinander legt, daß die einen Endpunkte zusammenfallen (Subtraktion von Strecken). Übungen: Führe solche Subtraktionen an den gemessenen oder gezeich­ neten Strecken aus.

Grundsatz: Gleiches.

Gleiches

von

Gleichem

subtrahiert

gibt

§ 10. Sind die zu addierenden Strecken gleich lang wie die Seiten eines Quadrats, so vereinfachen sich Rechnung und Zeichnung; aus der Addition wird die Multiplikation, aus der Summe das Produkt. Übungen: Bestimme in dieser Weise den Umfang des Quadrats und führe sonstige Multiplikationen aus.

Grundsatz: Gleiches mit Gleichem multipliziert gibt Gleiches. § 11. Soll ein bestimmter Teil einer Strecke bestimmt werden, so erhält man ihn durch Division der Maßzahl der Strecke oder da­ durch, -aß man die Strecke selbst in die vorgeschriebene Anzahl gleicher Teile zerlegt (Division von Strecken). Übungen:

1) Bestimme aus dem Umfang eines Quadrats seine Srite

(zeichnerisch zunächst durch Ausprobieren mit einem Meßstreifen). 2) Bestimme aus dem Umfang eines Rechtecks und der einen Seite die

andere.

Grundsatz: Gleiches durch Gleiches dividiert gibt Gleiches. § 12. Bei im Raum befindlichen Geraden oder Strecken kommt es auch noch auf die Lage an; es lasten sich wagerecht liegende, senkrecht stehende und schief stehende unterscheiden. Übungen; Suche solche Geraden an den betrachteten Körpern und im

Schulzimmer auf, und zwar nicht bloß sichtbare, sondern auch gedachte.

Don den Winkeln.

5

§ 13. Wichtig ist ferner die gegenseitige Lage zweier Ge­ raden. Zwei Gerade, die nicht einer Ebene angehören, heißen wind­ schief. Zwei Gerade, die in einer Ebene liegen, können nicht mehr als einen Punkt (den Schnittpunkt) gemeinsam haben, ohne ganz zusammenzusallen. Eine Linie kann man sich nämlich auch entstanden denken durch Bewegung eines Punktes, und zwar eine gerade Linie durch Bewegung eines Punktes in derselben Richtung. Ist nun außer dem Ausgangspunkt noch ein zweiter Punkt als Ziel gegeben, nach dem sich der erstere in ge­ rader Linie bewegen soll, so ist damit die einzuschlagende Richtung bestimmt. Daher gilt der Grundsatz: Durch zwei Punkte ist eine Gerade bestimmt — oder: Durch zwei Punkte läßt sich nur eine Gerade legen. Übungen: Gib windschiefe Geraden an den untersuchten Körpern an und zeige bei den andern Geraden die sie enthaltenden Ebenen.

§ 14. Wie durch Bewegung eines Punktes eine Linie, so kann durch Bewegung einer Linie eine Fläche und durch Bewegung einer Fläche ein Körper entstehen. Nur in besonderen Fällen ist die Bahn einer bewegten Linie wieder eine Linie und die Bahn einer bewegten Fläche wieder eine Fläche. Die Lehre von solchen gerad- und krummlinigen Gebilden, die in einer und derselben Ebene liegen, heißt ebene Geometrie oder Planimetrie; die Lehre von den Gebilden im Raume heißt körper­ liche Geometrie oder Stereometrie.

Erster Abschnitt.

Von den Winkeln. A. Drehung einer Strecke um einen der beiden Endpunkte. § 15. Dreht eine Strecke sich um einen ihrer beiden Endpunkte, bis fie in ihre ur­ sprüngliche Lage zurückkehrt, so beschreibt fie selbst eine Kreisfläche und der sich bewegende Endpunkt eineKr e i s l i n i e. Der feste Punkt (M), um den sich die Strecke dreht, heißt Mittel­ punkt, der unveränderliche Abstand (MA, MB) eines jeden Punktes der Kreislinie vom Mittelpunkt heißt Halbmesser oder Radius.

Don den Winkeln.

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§ 13. Wichtig ist ferner die gegenseitige Lage zweier Ge­ raden. Zwei Gerade, die nicht einer Ebene angehören, heißen wind­ schief. Zwei Gerade, die in einer Ebene liegen, können nicht mehr als einen Punkt (den Schnittpunkt) gemeinsam haben, ohne ganz zusammenzusallen. Eine Linie kann man sich nämlich auch entstanden denken durch Bewegung eines Punktes, und zwar eine gerade Linie durch Bewegung eines Punktes in derselben Richtung. Ist nun außer dem Ausgangspunkt noch ein zweiter Punkt als Ziel gegeben, nach dem sich der erstere in ge­ rader Linie bewegen soll, so ist damit die einzuschlagende Richtung bestimmt. Daher gilt der Grundsatz: Durch zwei Punkte ist eine Gerade bestimmt — oder: Durch zwei Punkte läßt sich nur eine Gerade legen. Übungen: Gib windschiefe Geraden an den untersuchten Körpern an und zeige bei den andern Geraden die sie enthaltenden Ebenen.

§ 14. Wie durch Bewegung eines Punktes eine Linie, so kann durch Bewegung einer Linie eine Fläche und durch Bewegung einer Fläche ein Körper entstehen. Nur in besonderen Fällen ist die Bahn einer bewegten Linie wieder eine Linie und die Bahn einer bewegten Fläche wieder eine Fläche. Die Lehre von solchen gerad- und krummlinigen Gebilden, die in einer und derselben Ebene liegen, heißt ebene Geometrie oder Planimetrie; die Lehre von den Gebilden im Raume heißt körper­ liche Geometrie oder Stereometrie.

Erster Abschnitt.

Von den Winkeln. A. Drehung einer Strecke um einen der beiden Endpunkte. § 15. Dreht eine Strecke sich um einen ihrer beiden Endpunkte, bis fie in ihre ur­ sprüngliche Lage zurückkehrt, so beschreibt fie selbst eine Kreisfläche und der sich bewegende Endpunkt eineKr e i s l i n i e. Der feste Punkt (M), um den sich die Strecke dreht, heißt Mittel­ punkt, der unveränderliche Abstand (MA, MB) eines jeden Punktes der Kreislinie vom Mittelpunkt heißt Halbmesser oder Radius.

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I. Planimetrie.

Irgend ein Punkt der Ebene liegt innerhalb des Kreises, auf der Kreislinie oder außerhalb des Kreises, je nachdem sein Ab­ stand vom Mittelpunkt kleiner, ebenso groß oder größer als der Radius ist. Übungen: Zeichne mit Hülfe des Zirkels Kreise, deren Halbmesser eine vorgeschriebene Länge haben; zeichne und miß alsdann den Abstand beliebiger Punkte der Ebene vom Mittelpunkt.

§ 16. Kehrt die sich drehende Strecke nicht in die ursprüngliche Lage zurück, führt sie also keine volle Umdrehung aus, so beschreibt der sich bewegende Endpunkt einen Kreisbogen (-AB),

bei einer

halben Umdrehung einen Halbkreis (-AC), bei einer viertel Um­ drehung einen Viertelkreis (AD). Dreht sich der ganze Kreis um den Mittelpunkt, so bewegt sich die Kreislinie auf sich selbst; dreht sich ein einzelner Bogen um den Mittelpunkt, so bewegt er sich auf der Kreislinie. (Hier liegt also der Fall vor, -aß die Bahn einer bewegten Linie keine Fläche, sondern wieder eine Linie ist.) Bogenstücke, die bei einer solchen Drehung genau aufeinanderfallen, sind gleich lang. Übungen: Zeichne Kreisbogen einzeln oder als Teile von ganzen Kreisen,

auch, so gut es geht, Halb- und Viertelkrcise. zeichnen?

Wie kann man Halbkreise genau

§ 17. Die ganze Kreislinie pflegt man in 360 gleiche Teile, also in 360 gleiche Bogenstücke (den Halbkreis in 180, den Viertel­ kreis in 90) zu teilen. Jeden dieser Bogen nennt man einen Bogen­ grad. (Den Bogengrad teilt man weiter in 60 Bogenminuten und jede Bogenminute in 60 Bogensekunden.) Übungen: 1) Schätze die Länge der in § 16 gezeichneten Bogen (nach Er-

gänzung zu einem vollen Kreise durch Vergleichen mit dem letzteren) in Bogengraben. 2) Wieviel Bogenminuten oder Bogensekunden enthält der volle Kreis, der Halb- und Viertelkreis? 3) Sind die Bogengrade gleich groß, die die Spitzen des großen und des kleinen Uhrzeigers beschreiben? 4) Wieviel Bogengrade beschreibt die Spitze des Stundenzeigers in 1, 2, ü, I, 9f, 12 Stunden, in 1, 2, 4 Tagen? 5) Wieviel Bogengrade beschreibt die Spitze des Minutenzeigers in 1, 2, 6, j, 5|, 15, 30, 60 Minuten, in lj, 2, 5 Stunden? 6) Vergleiche die Bogengrade, die die Spitze des Stundenzeigers beschreibt, mit den Bogengraden, die ein anderer Punkt des Stundenzeigers gleichzeitig beschreibt, nach Zahl und Größe.

Von den Winkeln.

7

B. Drehung eines Strahls um seinen Endpunkt. § 18. Dreht sich ein Strahl um seinen Endpunkt, so beschreibt er einen Winkel. Winkel sind also überall da vor­ handen, wo zwei gerade Linien sich schneiden, denn man kann dort die eine Gerade stets durch Drehung um den Schnittpunkt in die Lage der andern bringen. Ein Winkel ( „größer als".

I. Planimetrie.

22

sich selbst bis C. C ist alsdann der symmetrische Punkt zu A; denn, wenn man herumklappt, so fällt BA der Richtung und der Länge nach auf BC. Lösung 2: Man kann auch A mit einem beliebigen Punkt D der Achse verbinden und •3C LDC = LDA und DC = DA machen. § 47. Aufgabe: Zu einer gegebenen Geraden die symmetrische ohne Umklappen zu zeichnen. Lösung 1: Man bildet zwei Punkte der gegebenen Geraden ab und verbindet deren Bilder. Als den einen Punkt kann man den Schnittpunkt der gegebenen Geraden mit der Achse wählen, wenn ein solcher vor­ handen ist. 2. Wenn die Gerade die Achse schneidet, kann man auch in diesem Punkte den mit der Achse gebildeten Winkel auf der anderen Seite der Achse antragen, um die symmetrische Gerade zu erhalten. Steht die gegebene Gerade auf der Achse senkrecht, so genügt es, sie über die Achse hinaus zu verlängern. § 48. Aufgabe: Zu einem gegebenen Dreieck das sym­ metrische zu zeichnen. Lösung: Man bilde entweder die drei Eckpunkte oder die drei

Seiten ab.

Insbesondere ist der Fall zu betrachten, wo eine Seite des Dreiecks auf der Achse liegt, wie in Figur 21. Dann handelt es sich nur noch um die Abbildung des Punktes A, der durch AC und AB mit der Achse zusammenhängt. Für die Abbildung des Punktes A ergeben sich also folgende Möglichkeiten: 1. durch AC und y (oder AB und ß), 2. durch y und ß, 3. durch AC und AB, Fig. 21. 4. durch AC und ß (oder AB und y). Demgemäß ergeben sich vier verschiedene Lösungen.

z

§ 49. Lösung I (mittels AC und y): Man trägt y an der andern Seite von CL in C an, macht den freien Schenkel CD gleich CA und verbindet D mit B.

Don den Dreiecken.

23

Beim Herumklappen fällt alsdann CA der Richtung und der Länge nach aus CD, daher A auf D und AB auf DB. Die Dreiecke fallen daher auseinander. Zwei Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (wie die Dreiecke ABC und DBG), brauchen nicht die gezeichnete Lage zu haben; sie liegen daher im allgemeinen nicht sym­ metrisch, lassen sich aber stets in die ge­ zeichnete Lage und durch Umklappen zur Deckung bringen; sie sind daher kongruent. Kongruenzsatz I: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel über­ einstimmen. Anm.: Benutzt man statt CA und BCA die Seite BA und CBA, so ergibt sich nichts Neues. § 50. Lösung II (mittels y und ß): Man trägt 7 und ß an der andern Seite von CB in C und B an; die freien Schenkel schneiden sich in D. Beim Herumklappen fallen dann CA und BA der Richtung nach auf CD und BD, demnach auch A auf D. Die Dreiecke decken sich also. Zwei Dreiecke, die wie die Dreiecke ABC und DBG in einer Seite und den beiden an­ liegenden Winkeln übereinstimmen, brauchen nicht die gezeichnete Lage zu haben und sind daher im allgemeinen nicht symmetrisch; sie lassen sich aber stets in diese Lage bringen, können dann durch Umklappen zur Deckung ge­ bracht werden und sind daher kongruent. Kongruenzsatz II: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. Stimmen zwei Dreiecke in einer Seite, einem anliegenden und dem gegenüberliegenden Winkel überein, so sind nach § 33, Folg. 2 auch die dritten Winkel gleich, und die Dreiecke sind folglich kongruent. Daher gilt der

24

I. Planimetrie.

Kongruenzsatz IIa: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite, einem anliegenden und dem gegenüber­ liegenden Winkel übereinstimmen. § 51. Lösung III (mittels AC und AB): Man schlägt mit CA um C und mit BA um B Kreise, die sich (außer in A) in D schneiden, und verbindet D mit C und B. Beim Herumklappen fällt jeder Halbkreis rechts von der Achse auf den entsprechenden Halbkreis auf der anderen Seite; demnach fällt auch ihr Schnittpunkt A auf D und in­ folgedessen CA auf CD und BA auf BD. Zwei Dreiecke, die wie die Drei­ ecke ABC und DBC in den drei Seiten übcreinstimmen, brauchen nicht die gezeichnete Lage zu haben und sind daher im allgemeinen nicht symmetrisch; sie lassen sich aber stets in diese Lage und dann durch Herumklappen zur Deckung bringen;

sie find daher kongruent. Kongruenzsatz III: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den drei Seiten übereinstimmen. § 52. Lösung IV: Für die vierte Lösung sei AC"> CB, aber ABC CB. LösungIVa (mittels AC unfc ß): Man trägt ß auf der anderen Seite von BC in B an, schlägt mit CA den Kreis um B, der den freien Schenkel in D schneidet, und ver­ bindet D mit C. (Der Kreis schneidet den freien Schenkel natürlich zwei­ mal, aber, da B innerhalb des Kreises liegt, nur einmal auf der linken Seite). Beim Herumklappen fällt BA in die Richtung von BD und der Halbkreis rechts auf den Halbkreis links. Demnach muß auch

Von den Dreiecken.

25

der Schnittpunkt A auf den Schnittpunkt D fallen, da links kein anderer Schnittpunkt vorhanden ist. Die Dreiecke decken sich mithin. Aus denselben Gründen wie in § 49—51 gilt daher der Kongruenzsatz IV; Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel üdereinstimmen, der der größeren von ihnen gegenüberliegt.") § 53. Lösung IVb. (mittels AB und y): Man trägt y auf der anderen Seite von CB in C an und schlägt mit BA den Kreis um B, der den freien Schenkel in D und E schneidet. (Da C diesmal außer­ halb des Kreises liegt, so liegen die beiden Schnittpunkte jetzt auf derselben Seite von C, also links von der Achse). Nun verbindet man D und E mit B. Beim Herumklappen fallen die Halbkreise aufeinander und CA in die Richtung von CD, der Schnittpunkt A demnach auf einen der Schnittpunkte von CD mit dem Halbkreise, wie die unmittelbare Anschauung zeigt, auf D, nicht auf E. Es decken sich also die Dreiecke ABC und DBG, nicht aber die Dreiecke ABC und EBC. Nun stimmen aber die beiden letzteren Dreiecke ebenso wie die ersteren in zwei Seiten und dem Winkel überein, der der kleineren Seite gegenüberliegt. Solche Dreiecke find also nicht notwendigerweise kongruent. § 54.

Übungen: 1. Die Halbierungslinie eines Winkel- ist Achse zu den

Schenkeln. 2. Verschiebt man die Achse parallel mit sich selbst, so verschiebt fich das Btld eines Punktes um das Doppelte. 3. Dreht sich die Achse um einen Winkel a, so dreht fich das Bild eines Punktes um 2 a. 4. Zu zwei gegebenen Punkten die Achse zu zeichnen (mehrere Lösungen).

5. Zu zwei fich schneidenden Geraden die Achse zu zeichnen. 6. Zu zwei parallelen Geraden die Achse zu zeichnen.

7. Wie folgt aus § 46, 1 der Satz: Von einem Punkte läßt fich nur ein Lot auf eine Gerade fällen? 8. Wie folgt aus Fig. 20 der Satz: Unter allen Strecken, die einen Punkt

mit einer Geraden verbinden, ist die Senkrechte die kürzeste? *) Der Schnittpunkt des Kreises mit BD auf der rechten Seite liefert zwar auch ein Dreieck, daS aber nicht den Winkel ß enthält.

26

L Planimetrie. 9. Wie läßt sich der Sah: Alle Lote auf einer Geraden sind parallel, durch

Umklappen beweisen?

§ 55. Lehrsatz: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Grundlinie (die Grundwinkel) einander gleich. Beweis: a) Es sei CA — CB und CD die Halbierungslinie des Winkels ACB. Dann fällt beim Herumklappen um CD als Achse CB der Richtung und der Länge nach auf CA, demnach auch BD auf AD und < CBD auf CAD. b) Es sei CA = CB und BD = AD, d. h. CD die Verbindungslinie der Spitze mit der Mitte der Grundlinie; dann liegen C und D auf der Achse der Fig. 27. Punkte A und B (neben der Achse würden sie ungleiche Entfernungen haben), d. h. CD ist die Achse selbst. Beim Herumklappen um diese Achse fällt also B auf A, demnach auch BC auf AC und BD auf AD, daher < CBD auf CAD. § 56. Lehrsatz: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich, so sind auch die gegenüberliegenden Seiten gleich, d. h. das Dreieck ist gleichschenklig. A = B, so halbiere man AB in D und er­ richte die Senkrechte DE auf AB. Klappt man dann um DE herum, so fällt DB der Richtung und der Länge nach auf DA, also B auf A und BC der Richtung nach auf AC. BC und AC liegen also symmetrisch und müssen sich daher auf der Achse schneiden. Demnach geht DL" durch C, und es if\CB=CA. § 57. Folgerungen: 1. Die Grund» winkel eines gleichschenkligen Dreiecks können nur spitze sein; sie find je 45°, wenn der Winkel an -er Spitze ein Beweis: Ist

Rechter ist. 2. Der Außenwinkel an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ist doppelt so groß als ein Grundwinkel. 3. Im gleichseitigen Dreieck find alle Winkel gleich, und zwar beträgt jeder 60° oder $R. 4. Sind in einen« Dreieck alle Winkel gleich, so ist es gleich­ seitig.

§ 58. Zusätze: 1. Die Halbierungslinie deS Winkels an der Spitze in einem gleichschenkligen Dreieck halbiert auch die Grundlinie und steht auf ihr senkrecht. 2. Die Verbindungslinie der Spitze eines gleichschenk­ ligen Dreiecks mit der Mitte der Grundlinie halbiert auch den Winkel an der Spitze und steht auf der Grundlinie senkrecht.

3. Das Lot von derSpitze eines gleichschenkligen Dreiecks auf die Grundlinie halbiert die letztere und den Winkel an der Spitze. 4. Das Mittellot auf der Grundlinie eines gleich­ schenkligen Dreiecks geht durch die Spitze und halbiert den Winkel an der Spitze. § 59. Lehrsatz: Verbindet man die Spitzen zweier gleich­ schenkligen Dreiecke, die die Grundlinie gemeinsam haben, so halbiert die Verbindungslinie die Winkel an den Spitzen und die gemeinsame Grundlinie und steht auf der letzteren senkrecht. Beweis: Ist CA = CB und DA == DB, so find > CB und er­ richtet man auf AB das Mittellot als Achse zu den Punkten A und B, so muß C auf der Seite von B liegen (weshalb?), der Weg von C nach A muß also die Achse schneiden; es sei Fig. 30. in D. Verbindet man nun D mit B, so ist DB — DA, also CAB, so dreht man BC um B soweit nach A hin, bis DBA = A ge­ worden ist. Dann ist aber DB —DA (§ 56) und daher D ein Punkt der Achse zu A und B, mithin CB «< CA nach § 43. § 61. Folgerungen: 1. Der größten Seite im Dreieck liegt der größte Winkel gegenüber.

2. Dem größten Winkel im gegenüber.

Dreieck

liegt

die

3. Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse jede Kathete.

größte größer

Seite

als

4. Jin stumpfwinkligen Dreieck ist diejenige Seite die größte, die dem stumpfen Winkel gegenüberliegt. D \'x \

A t----------------- -^2? Fig. 32.

§ 62. Lehrsätze: 1) In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seiten größer als die dritte. Beweis: Verlängert man BC um CA bis D und zieht zu D und A die Sym­ metrieachse durch C und die Mitte von AD, so ist BD >- BA nach § 43, daher auch CB-VCA>»AB.

2) In jedem Dreieck ist die Differenz zweier Seiten kleiner als die dritte. Beweis: Verkürzt man CB um CA c bis D und zieht zu A und D die Sym­ / metrieachse durch C und die Mitte von AD, so ist BD < BA nach § 43, daher A auch CB — CA DFE.

CA = FD und

29

CB = FE,

aber

ACB

Verschiebt man ZX DFE, bis FE auf CB fällt, so daß

/

i

es die Lage GCB annimmt, so muß CG zwischen CA und CB fallen. Die Symmetrieachse zu A und G, die durch C und die Mitte von

AG geht, hat also A auf der einen und G und B auf der anderen

Seite. Es ist daher (nach § 43) BA > BG oder BA > ED. 2) Umkehrung: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten überein, sind aber die dritten Seiten ungleich, so find auch die den letzteren gegenüberliegenden Winkel ungleich, und zwar liegt der größeren

Seite der größere Winkel gegenüber.

C. Zweite Art der Betrachtung. § 64. bilden.

Aufgabe:

Ein gegebenes Dreieck genau nachzu­

Lösung I:

Gegeben ist das Dreieck ABC.

Ich zeichne eine Strecke (Figur

rechts)

DE — AB, trage daran in D den Winkel A an und mache auf dem freien Schenkel DF= AC. Nun­ mehr verbinde ich F mit E.

Zwei Seiten und der

eingeschlofsene Winkel also

ebenso

worden

wie

groß

in

sind

gemacht dem

Fig- 35.

ge­

gebenen Dreieck; über die übrigen Stücke konnte alsdann nicht mehr

frei verfügt werden, und es fragt sich, ob diese Stücke etwa von selbst

gleich den entsprechenden des gegebenen Dreiecks geworden find.

Um

dies zu untersuchen, legen wir das gezeichnete Dreieck mit der Seite DE

30

I. Planimetrie.

an die Seite AB des gegebenen. Dann fällt beim Herumklappen um AB AC der Richtung und der Länge nach auf DF, mithin C auf F und daher auch CB auf FE, d. h. die beiden Dreiecke decken sich und stimmen auch in den Stücken überein, die nicht ausdrücklich gleich gemacht worden sind. Es gilt also der Kongruenzsatz I: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überetnstimmen. § 65. Lösung II: Gegeben ist das Dreieck ABC. Ich zeichne eine Strecke (Figur rechts) DE=AB und trage daran in D den Winkel A und in E nach derselben Seite c den Winkel B an. Die freien Schenkel schnei­ den sich in F. fahren wir ebenso wie bei Lösung I. Dann fallen beim permn= klappen ^eundL6"der Fig. 36. Richtung nach auf DF und EF, daher muß auch ihr Schnittpunkt C auf den Schnittpunkt der letzteren, F, fallen. Die Dreiecke decken sich mithin und stimmen daher auch in den nicht gleich gemachten Stücken überein. Es gilt daher: Kongruenzsatz II: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. Stimmen zwei Dreiecke in einer Seite, einem anliegenden und dem gegenüberliegenden Winkel überein, so find nach § 33, Folg. 2 auch die dritten Winkel gleich, und die Dreiecke sind folglich kongruent. Daher gilt der Kongruenzsatz Ila: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite, einem anliegenden und dem gegenüber­ liegenden Winkel übereinstimmen. § 66. Lösung III: Gegeben ist das Dreieck ABC. Ich zeichne (Figur 37, rechts) eine Strecke DE — AB und schlage Kreisbogen mit AC um D und mit BC um E, die sich in F schneiden. Alsdann verbinde ich F mit D und E.

Don den Dreiecken.

31

Legen wir A DEF wie oben an A ABC, so geht ein mit AC um A geschlagener Kreis auch durch F und ein mit BC um B geschlagener Kreis C/' r, ebenfalls durch F. Beim HerumklapX X Pen fallen die obe- A A-j----- h------—■z>^-------- 1-------- —s reit Halbkreise auf 73 ''A J ' B

die unteren, also auch auf Daher decken sich auch

--ja ®‘ö‘ 371

AC und BC mit DF und FF. Die Dreiecke sind mithin kongruent und stimmen auch in den Winkeln überein. Daher gilt Kongruenzsatz III: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den drei Seiten übereinstimmen. § 67. Lösung IV: Gegeben ist das Dreieck ABC, in dem AB «< CB sei. Ich zeichne (Fig. rechts) eine Strecke DE = AB, trage daran in D den Winkel A an und schlage mit CB um E einen Kreis, der den freien Schenkel in F schneidet. Alsdann verbinde ich E mit F. Da DE < FE ist, so liegt der Punkt D innerhalb des geschlagenen Kreises, und der freie Schenkel des Winkels D schneidet ihn Fig. 38. nur einmal, nämlich in F. (Der andere Schnittpunkt liegt auf der Verlängerung von FD über D hinaus.) Legen wir nun A DEF wie oben an A ABC, so geht der mit CB um B geschlagene Kreis durch F. Beim Herumklappen um AB fällt der obere Halbkreis auf den untern und AC der Richtung nach auf DF, daher auch der einzige Schnittpunkt C auf F. Mithin find die beiden Dreiecke kongruent und stimmen daher auch in den übrigen Stücken überein. Es gilt daher Kongruenzsatz IV: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel übereinstimmen, der der größeren von ihnen gegenüberliegt.

32

I. Planimetrie.

§ 68. Lehrsatz: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Grundlinie (die Grundwinkel) einander gleich. Beweis: Ist CA — CB und halbiert CD den Winkel an der Spitze, so ist A CDA^LACDB (Kongr. I) und daher d. h< ACB = | AMB. 3. Liegt M außerhalb des Umfangswinkels, so er­ hält man, wenn wiederum CD gezogen wird, ß — ia und J=|y, also ß — = | (« — /) oder ACB — ±AMB. § 100. 1. Zusätze: a) Alle Umfangswinkel auf dem­ selben Bogen eines Kreises sind gleich. b) Umfangswinkel auf gleichen Bogen eines Kreises sind gleich. c) Gleiche Umfangswinkel eines Kreises stehen auf dem­ selben oder auf gleichen Bogen. d) Der Umfangswinkel im Halbkreise ist ein Rechter. (Denn y —■ /;

c) c .* c — tc - t c>

(?, ^c) —

(c > t c))

d) a : a’ = tc : t'c,

(a, tc) =

(a'> t'c);

e) a: al = wc : w'c, y — y'\ f) hc : h’c — wc : w’c> a —

g) hc: hielte: t'c, « = «';

h) c:c' =

t

: r’> a — a';

i) c:c’ = r :r' = ha : h'a; k) a:a* = q: 9’, y = /; l) ha : h'a = hb : h’b, y = /;

m) ha : h'a — hb : h'b = hc : h'c.

76

I. Planimetrie.

§ 141.

Übungsaufgaben: 1. In einem Dreieck, dessen Seiten a — 30 em,

= 24 cm und c = 36 cm sind, ist zur Seite c eine Parallele gezogen.

a) Wie lang ist diese Parallele, wenn sie «) die anderen Seiten nach dem Verhältnis m: n (2:3), von C aus gerechnet, teilt, ß) auf CA von C aus eine Strecke p = 6 cm abschneidet? b) In welchem Verhältnis teilt die Parallele die Seiten, wenn sie

----- 24 cm lang ist? 2. Ein Vieleck im vergrößerten Maßstabe 3:2 zu zeichnen. 3. Ein Vieleck im verkleinerten Maßstabe 2:5 so zu zeichnen, daß eine feiner Ecken auf einen gegebenen Punkt fällt.

4. Ein Dreieck zu zeichnen aus: a) a : b, y; b) a, ß; c) a:b:c\ d) a : b, « und außerdem: «) hc; ß) tc; y) wc; J) r; e) o. 5. Ein Dreieck zu zeichnen aus: a) b : hc, c, ß; b) b : hc, c, tc; c) b : hc, c> tb; d) b : hc, wa, ha; e) b : tc, (b, tc), hc; f) b : wc, y, tc; g) b:r, wb, hc; h) b : r, q, ha.

Achter Abschnitt. Proportionen am Kreise. § 142. Erklärung: Eine Strecke c heißt die mittlere (geo­ metrische) Proportionale zu zwei anderen a und b, wenn a\c=c'.b oder e'—a. - (das Quadrat der Strecke c gleich dem Pro­ dukte der Strecken a und b) ist. § 143. Lehrsatz: Im rechtwinkligen Dreieck ist 1) jede Kathete die mittlere Proportionale zur Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt (Kathetensatz), 2) die Höhe die mittlere Proportionale zu den beiden Ab­ schnitten der Hypotenuse (Höhensatz). Beweis: Ist ^ACB = R und CD±AB, so ist A ACD BAC, daher lb) BD: BC = BC: BA (oder BC1 = BD. BA); ferner auch A ACD > p) gebildet wird. Flächeninhalt eines Kreisringes ist gleich dem eines Trapezes, dessen Grundlinien gleich den Umfängen der beiden Kreise und dessen Höhe gleich ihrem Abstande ist. 15. Ptolemäischer Lehrsatz. In jedem Kreisviereck ist das Rechteck aus den beiden Diagonalen gleich der Summe der Rechtecke aus je zwei Gegenseiten. Anleitung: Mache