Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe B.. Planimetrie und Arithmetik nebst den Anfangsgründen der Trigonometrie und Stereometrie und drei Anhängen: Für die unteren und mittleren Klassen höherer Lehranstalten [2. unveränd. Aufl.. Reprint 2018] 9783111624150, 9783111246673

Table of contents :
Vorwort zur ersten Auflage
Inhalt
Erster Teil: Planimetrie
Zweiter Teil: Arithmetik und Algebra
Dritter Teil: Anfangsgründe der ebenen Trigonometrie
Vierter Teil: Anfangsgründe der Stereometrie
Anhang I. Von der geometrischen Konstruktionsaufgabe
Anhang II. Anleitung zum perspektivischen Zeichnen räumlicher Gebilde
Anhang III. Grundzüge der graphischen Darstellung

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Hauptsätze der

Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von

Dr. 5. G. Mchler. Beaebrtrer von A. Schulkv-Tigges, Direktor de« Realgymnasiums zu Rassel.

Ausgabe B. Unterstufe. Planimetrie und Arithmetik nebst den Anfangsgründen der Trigonometrie und Stereometrie und drei Anhängen.

Berlin W. 35 Druck und Verlag von Georg Reimer 1910.

Planimetrie und Arithmetik nebst den Anfangsgründen

der Trigonometrie und Stereometrie und drei Anhängen.

5üt die unteren und mittleren Älaffen höherer -Lehranstalten bearbeitet von

21. Schulte - Tigges, Direktor des Realgymnasiums zu Rafiel.

Zweite unveränderte Auflage

Berlin W. 3$ Druck und Verlag von Georg Reimer 1910

.

Vorwort zur ersten Auflage. Bei der Bearbeitung -er vorliegenden Ausgabe B der SchellbachMehlerschen »Hauptsätze der Elementar-Mathematik" hatte der Heraus­ geber völlige Freiheit hinsichtlich der Art und des Umfangs der ihm notwendig erscheinenden Änderungen. Es konnte daher den neueren Anschauungen auf dem Gebiet mathematischer Methodik in weitem Umfang, wenn auch in vorsichtiger Abwägung ihres wirklichen Wertes, Rechnung getragen werden, ohne daß dabei Altbewährtes hätte zurück­ treten müssen. Insbesondere gilt jenes von der Pflege des räumlichen Anschauungs- und Vorstellungsvermögens und der Gewöhnung an die Auffassung von Raumgebilden und Zahlen als im Werden be­ griffener und voneinander abhängiger Größen. So sind überall, wo dies ohne Künstelei möglich war, die Figuren durch Bewegung, Ver­ schiebung oder Drehung, erst gebildet, und auch bei den Beweisen selbst sowie bei der Ermittelung von Übungssätzen (vgl. insbesondere die Winkel-, Dreiecks- und Kreislehre) ist von demselben Grundsatz vielfach Gebrauch gemacht worden. Daß dabei funktionelle Abhängig­ keiten zutage treten, ist natürlich, doch find ihrer Betrachtung noch zwei besondere Abschnitte, die Vorübungen zur Dreieckslehre und die Einführung in die graphische Darstellung im Anhang III, gewidmet. Die Einleitung zur Planimetrie ist bedeutend erweitert worden und dürste in ihrer jetzigen Gestalt wohl die Grundlage für eine erste Einführung in die Geometrie darbieten. In der sich anschließenden Winkel- und Dreieckslehre sind die indirekten Beweise wie die arith­ metische Beweisform — beides Klippen, an denen das Verständnis erfahrungsgemäß oft scheitert — nach Möglichkeit vermieden worden. Die Forderung, alle Zeichnungen nur mit Lineal und Zirkel aus­ zuführen, tritt mit Absicht erst ziemlich spät auf (§ 77); bis dahin wird von dem Winkelmeffer, dem Meßstreifen und dem Zeichendreieck (zum Ziehen von Parallelen und zum Errichten und Fällen von Loten)

VI

Vorwort.

ausgiebig Gebrauch gemacht. Es erscheint dies auch notwendig, wenn man die Schüler die Voraussetzung der Beweise nicht durch eine reine Gedankenoperation, sondern auf Grund -er von ihnen ausgeführten Zeichnung finden lassen will. Die eigentliche Dreieckslehre ist in zwei Arten getrennt be­ handelt worden, so daß die Wahl zwischen beiden völlig frei bleibt, das eine Mal unter ausgiebiger Verwendung des Begriffs der Symmetrie, während die andere Art der Betrachtung fich der heute meist gebräuchlichen mehr nähert. Es ist dabei aber auch nicht ausgeschlossen, einige Sätze nach der ersten, andere wiederum nach der zweiten Art durchzunehmen. Auch die Kreislehre hat eine voll­ ständige Umgestaltung erfahren, indem der Stoff einheitlich geordnet und seine Behandlung soweit als möglich auf symmetrische Betrach­ tungen gegründet ist. In der Arithmetik find die negativen Zahlen und diejenigen Fälle besonders eingehend, wenn auch in möglichst einfacher Weise, behandelt worden, wo die ursprüngliche Erklärung der betreffenden Rechnungsart versagt und eine neue für den Zahlenausdruck gesucht werden muß. Daß der von der geometrischen Konstruktionsaufgabe handelnde Anhang! trotz der klärenden Vorarbeiten von Petersen, FischerBenzon u. A. noch weiterer Durcharbeitung bedarf, weiß der Verfasser recht wohl; indessen ist die Schwierigkeit, einen Überblick über die Lösungsmethoden so zu geben, daß bei einer vorliegenden Aufgabe der Weg zum Ziel leicht in die Augen springt, nicht zu unterschätzen. Anhang II enthält eine kurze Anleitung zum perspektivischen Zeichnen räumlicher Gebilde, wie fie für Realanstalten verbindlich ist. In dem Anhang III ist auf Grund geometrischer und arithmetischer Vorübungen, die sich zum Teil schon für eine frühe Stufe eignen, der Begriff der Funktion und ihrer graphischen Darstellung in ein­ facher Weise entwickelt und auf die verschiedenen arithmetischen Rechnungsarten sowie auf praktische Beispiele angewandt worden. Da diese Beispiele, deren Zahlentabellen dem Statistischen Handbuch und den Statistischen Jahrbüchern für das Deutsche Reich entnommen sind, sich größtenteils auf die handelspolitische und volkswirtschaft­ liche Entwicklung Deutschlands seit dem großen Kriege beziehen, so dürften sie, auch von allgemeinen pädagogischen Gesichtspunkten aus, hinreichendes Jntereffe beanspruchen.

Vorwort.

VII

Die Beigabe von Übungsstoff, der in den »Hauptsätzen" bisher fehlte, schien aus mehrfachen Gründen zweckmäßig. Nur in der Arithmetik ist hiervon abgesehen worden, da cs eine Reihe von guten Aufgabensammlungen gibt und solche meist auch in den Händen -er Schüler zu sein pflegen. Die durch die Aufnahme des Übungsstoffes verursachte Vermehrung des äußeren Umfanges bedingte die Zerlegung des in der Ausgabe A ungetrennten Buches in zwei Stufen, von denen die vorliegende Unterstufe für die unteren und mittleren Klassen der Realanstalten völlig ausreichen dürfte. Eine gern geübte Pflicht ist es dem Herausgeber, Herrn Professor Frenzel in Lauenburg i. P. für seine auch diesmal freundlichst gewährten, auf langjähriger Erfahrung beruhenden Ratschläge sowie den Herren Fachgenossen des hiesigen Realgymnasiums für die Bereit­ willigkeit, mit der sie einzelne Teile des vorliegenden Buches im Unterricht erprobten, den herzlichsten Dank auszusprechen. Cassel, im September 1908.

A. Schulte-Tigges.

Vorwort zur zweiten Auflage. Die zweite Auslage ist ein unveränderter Abdruck der ersten, in dem nur eine Reihe von Druckfehlern berichtigt worden ist. Casftl, im März 1910.

A. Schulte-Tigges.

Inhalt «eite

I. Planimetrie. Einleitung.................................................... 1 1. Von den Winkeln.......................................... 5 2. Von den Dreiecken.......................................... 17 3. Von den Vierecken und Vielecken überhaupt ... 39 4. Vom Kreise................................................... 44 5. Von der Gleichheit und Ausmessung der geradlinigen Figuren........................................................ 58 6. Proportionen an Strahlenbüscheln .................... 66 7. Von der Ähnlichkeit der Figuren........... .. 71 8. Proportionen am Kreise.................................. 76 9. Von den regelmäßigen Vielecken und der Ausmeffung des Kreises........................................ 80 10. Aufgaben aus der algebraischen Geometrie. ... 86 II. Arithmetik und Algebra. 1. Die vier Grundrechnungsarten......................... 95 2. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.................... 115 3. Proportionen ................................................... 128 4. Gleichungen......................................................131 III. Anfangsgründe der ebenen Trigonometrie . . . 136 IV. Anfangsgründe der Stereometrie............... 150 Anhang I: Von der geometrischen Konstruktionsaufgabe. 163 Anhang II: Anleitung zum perspektivischen Zeichnen räumlicher Gebilde.........................................171 Anhang III: Grundzüge der graphischenDarstellung . 177

Erster Teil: Planimetrie. Einleitung. CV
20. q9 y> wc; 21. p, c, «; 22. p, c, Aa; 23. q9 hc, wc; 24. p, a -J- b H- c, y. § 109.

Übungsaufgaben: Kreiszeichnungen.

1. Einen Kreis von ge-

gebenem Halbmesser q zu zeichnen, der a) durch zwei Punkte Px und P2 geht; b) eine Gerade L in einem Punkte P berührt; c) durch einen Punkt P geht und eine Gerade L berührt; d) zwei Gerade Lx und X2 berührt; e) einen Kreis K in einem Punkt P berührt; f) durch einen Punkt P geht und einen Kreis K berührt; g) eine Gerade L und einen Kreis K berührt; h) zwei Kreise Kx und K2 berührt. 2. Einen Kreis zu zeichnen, der a) durch drei Punkte Pu P2, Pz geht; b) durch einen Punkt Px geht und eine Gerade L in einem Punkte P2 berührt; c) durch einen Punkt Px geht und einen Kreis K in einem Punkte P2 berührt; d) zwei Gerade und i2 berührt, und zwar Lx in einem Punkte Px\ e) zwei parallele Gerade Lt und L2 berührt und durch einen zwischen ihnen liegenden Punkt P geht; f) eine Gerade L in einem Punkte P und einen Kreis K berührt; g) einen Kreis K in einem Punkte P und eine Gerade L berührt; h) zwei Kreise Kx und K2 berührt, und zwar Kx in einem Punkte P,; i) drei Gerade L19 1*» L3 berührt. Frage: Welche Aufgaben fehlen in dieser Zusammenstellung? § 110. Vermischte Übungsaufgaben: 1. Durch einen Punkt innerhalb eines Kreises eine Sehne von vorgeschriebener Länge zu ziehen (vgl. § 106, 10a). 2. Durch einen Punkt außerhalb eines Kreises eine Sekante zu ziehen, auf der der Kreis eine Sehne von vorgeschriebener Länge abschneidet (vgl. § 106, 10 a). 3. In einem Kreise eine Sehne von vorgeschriebener Länge (vgl. § 106, 10a) zu ziehen, die a) zu einer gegebenen Geraden parallel ist; b) auf einer gegebenen Geraden senkrecht steht; c) von einer gegebenen Geraden halbiert wird. 4. Von einem Punkte der Kreislinie aus eine Sehne zu ziehen, die von einer gegebenen Geraden halbiert wird (vgl. § 106, 2 a). 5. Desgl. von einem beliebigen Punkt aus (vgl. § 106, 3 a). 6. Durch einen Punkt innerhalb eines Kreises die kürzeste Sehne zu ziehen (vgl. § 106, 3 b). 7. Eine Sehne in einem Kreise so zu ziehen, daß die in den Endpunkten angelegten Tangenten einen gegebenen Winkel einschließen (vgl. § 106, Id).

58

1. Planimetrie.

8. Desgl., wenn die Sehne durch einen gegebenen Punkt gehen soll (vgl. § 106, ld). 9. Von einem Punkte außerhalb eines Kreises die Tangenten an ihn zu ziehen auf Grund von § 106, 11a. 10. An zwei Kreise die gemeinschaftlichen äußeren und inneren Tangenten zu legen. Anleitung: Verschiebe die gezeichnet gedachte gemeinschaftliche Tangente parallel zu sich selbst, bis ste durch den Mittelpunkt des einen Kreises geht, und überlege, wie weit ste dann noch von dem Mittelpunkt des andern Kreises entfernt ist. 11. Durch zwei Kreise eine Sekante zu legen, auf der die Kreise Sehnen von vorgeschriebener Länge abschneiden (vgl. § 106, 10 a u. Aufg. 10).

Fünfter Abschnitt.

Von der Gleichheit und Ausmessung der geradlinigen Figuren. A. Flächengleichheit. § 111. Bemerkung: In jedem Parallelogramm (oder Dreieck) kann man irgend eine Seite als Grundlinie bezeichnen, und man nennt dann Höhe den Abstand der Grundlinie von der gegenüber­ liegenden Seite (oder Ecke). Parallelogramme, sowieDreieckevon gleicherHöhe lassen sich zwischen dieselben Parallelen stellen. § 112. Lehrsätze: 1) Parallelogramme von gleicher Beweis: Man denke sich die Paral­ lelogramme zwischen dieselben Parallelen gestellt und mit den Grundlinien zu­ sammenfallend; sie seien cd AD und Fig 76. C7AF. £)aAC=BD,-$C'ACE—BDF, < AEC — BFD, so ist A AEC^BFD, folglich ABFC — AEC= ABFC— BFD, d. h. CD AF= cd AD. Der Beweis bleibt derselbe, wenn E auf D oder zwischen D und C füllt. 2) Dreiecke von gleicher Grundlinie und Höhe haben gleichen Flächeninhalt.

Von der Gleichheit und Ausmessung der geradlinigen Figuren.

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Beweis: Ergänzt man die Dreiecke durch Parallelen zu Parallelo­ grammen, so erkennt man, daß sie als Hälften gleicher Parallelogramme selbst inhaltsgleich sind. 3) Ein Dreieck ist die Hälfte eines Parallelogramms von gleicher Grundlinie und Höhe. Beweis: Das Dreieck ist die Hälfte des Parallelogramms, zu dem es durch Parallelen ergänzt werden kann, also auch halb so groß als jedes andere Parallelogramm von gleicher Grundlinie und Höhe. Geometrischer Ort: Der geometrische Ort für die Spitzen aller slächengleichen Dreiecke über derselben Grundlinie ist eine -er Grundlinie parallele Gerade. (Denn flächengleiche Dreiecke von gleicher Gmndlinie haben gleiche Höhe.) § 113. 1. Erklärung: Eine Figur in eine andere ver­ wandeln heißt eine andere zeichnen, die ihr inhaltsgleich ist. 2. Ausgabe: Ein Vieleck in ein anderes zu verwandeln, das eine Ecke weniger hat. Auflösung: Soll z. B. das Fünfeck ABCDE in ein Viereck verwandelt werden, so verlängere man eine $ Seite AB, ziehe die Diagonale DB, dann CF\\ DB und verbinde F mit D, so leistet

einzeln zu dem Viereck ABDE hinzu, z. so folgt: AFDE = ABCDE. ®'6Anmerkung: Durch Fortsetzung dieses Verfahrens kann man jedes Vieleck in ein Dreieck verwandeln. 3. Aufgabe: Ein Dreieck in ein Rechteck zu verwandeln. Auflösung: Man zeichne über der Hälfte der Grundlinie -es Dreiecks ein Rechteck, das mit dem Dreieck gleiche Höhe hat, oder über -er ganzen Gmndlinie ein Rechteck von halber Höhe. Bemerkung: Zm rechtwinkligen Dreieck versteht man unter der Höhe gewöhnlich das von der Spitze des rechten Winkels auf die Hypotenuse gefällte Lot. Die Abschnitte, in die es die Hypotenuse teilt, heißen Hypotenusenabschnitte. § 114. Lehrsätze: 1) Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete gleich dem Rechteck aus

I. Planimetrie.

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der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt. Kathetensatz. Beweis: Es sei

CHJ.AB,

so soll bewiesen werden, daß das

AC (□ AD) gleich dem AR und AB (□ AG, worin AF= AB) ist. Man ziehe BE und CF, so ist A EAB ^ CAF (toetl EA = CA, AB = AF, n) zu teilen. Auslösung: a) Trage auf einem durch A gelegten Strahle c__

Fig. 87.

AD = m und in derselben (oder entgegengesetzter) Richtung DE—n ab, verbinde E mit B und ziehe DC\ EB\ dann ist C der gesuchte Teilpunkt. Denn nach § 123a) ist ACxBG=AD:ED. b) Trage ixiA unter einem beliebigen c Winkel AC=m und in B parallel hierzu BD — BE — n an, ziehe CD und CE, so ist F der innere und G der äußere

Teilpunkt. Anmerkung: Ist eine Strecke innen und außen in demselben Verhältnis Fig. 88. geteilt (wie in Fig. 88 AB in F und G), so heißt sie harmonisch geteilt und A, B, F und G heißen har­ monische Punkte. 3. Folgerung: Eine Strecke kann nur in je einem Punkte innen oder außen nach einem gegebenen Verhältnis geteilt werden. § 127. Lehrsatz: Die Halbierungslinie eines Winkels (oder Außenwinkels) eines Dreiecks teilt die gegenüber-

Proportionen an Strahlenbüscheln.

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liegende Seite innen (oder außen) nach dem Verhältnis -er anliegenden Seiten. Beweis: Ist CD die Halbierungslinie des Winkels ACB (bzw. des Außenwinkels A'CB), und zieht man durch B zu DC die Paral­

lele, welche die Verlängerung von AC (bzw. AC selbst) in F schneidet, so ist nach § 29 Äslj h) ^ (^> ta)>

(ö> ^a)'

16. Einen Transversalmaßstab zu zeichnen. § 130. Übungssätze und Fragen: 1. Wird ein Strahlenbüschel von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte der einen Parallelen wie die entsprechenden der andern. 2. Teilt eine Ecklinie eines Dreiecks eine Seite (oder ihre Verlängerung) nach dem Verhältnis der anliegenden Seiten, so halbiert fie den gegenüber, liegendeu Dreieckswinkel (oder seinen Nebenwinkel). 3. Teilen zwei Ecklinien eines Dreiecks sich (von den Ecken aus gerechnet) nach dem Verhältnis 2:1, so halbieren sie die gegmüberliegenden Seiten. 4. Ist folgender Umkehrungssatz richtig? Werden die Schenkel eines Winkels von zwei Geraden geschnitten und verhalten sich deren Abschnitte wie die vom Scheitel begrenzten Abschnitte eines Schenkels, so find die Geraden parallel. 5. Jede Winkelhalbierende eines Dreiecks wird durch den Mittelpunkt des einbeschriebenen und des in Betracht kommenden anbeschriebenen Kreises harmonisch geteilt, und zwar nach dem Verhältnis der Summe der angrenzenden Seiten zur dritten Seite. 6. Wie teilt die Ecklinie eines Dreiecks, die eine Seitenhalbierende halbiert, die Gegenseite? 7. Wie teilen zwei Ecklinien eines Dreiecks die Gegenseiten, die selbst ein­ ander (von den Ecken aus gerechnet) nach dem Verhältnis 3:2 schneiden? 8. Wie lang ist die Parallele zur Dreiecksseite a, die die Seite b nach dem Verhältnis m: n teilt? Beispiel: a = 56 cm, m:n = 3:4. 9. Wie lang ist die Parallele zu den Grundlinien 6 und d eines Trapezes, die die Schenkel nach dem Verhältnis m: n teilt? Beispiel: 6 = 48 cm, d = 36 cm, m: n = 2:3. 10. Wie teilen sich gegenseitig die Ecklinien eines Dreiecks, die ihre Gegenseiten in zwei bzw. drei gleiche Teile zerlegen? Anleitung: Ziehe durch den Endpunkt der einen Ecklinie die Parallele zur Gegenseite der andern. 11. In der vorigen Frage sind statt 2 und 3 andere bestimmte Zahlen oder m und n zu setzen.

Siebenter Abschnitt.

Von der Ähnlichkeit der Figuren. § 131. Erklärung: Zwei Gruppen von Größen find einander proportioniert, wenn je zwei entsprechende Größen dasselbe Ver­ hältnis haben. (Z. B. Drei Strecken a, b, c find drei anderen V, c' proportioniert, wenn a:a' = b:b' = c:c'.)

2) Lehrsatz: Verbindet man die Ecken eines Vielecks mit einem Punkte M unb verkürzt oder verlängert die Ver­ bindungsstrecken von M aus in demselben Verhältnis, so entstehen die Ecken eines neuen Vielecks, dessen Winkel denen des alten der Reihe nach gleich und dessen Seiten den ent­ sprechenden des alten proportioniert sind. B e w ei s: Es sei MA'x MA = MB': MB=MC: MC=MD’x MD. Dann ist (nach § 124,i) A'B' || AB, B'C || ßCufto; daher hc; h) b: r, q, ha.

Achter Abschnitt.

Proportionen am Kreise. § 142. Erklärung: Eine Strecke c heißt die mittlere (geo­ metrische) Proportionale zu zwei anderen a und b, wenn axc=c:b oder o'—a.- (das Quadrat der Strecke c gleich dem Pro­ dukte der Strecken a und b) ist. § 143. Lehrsatz: Im rechtwinkligen Dreieck ist 1) jede Kathete die mittlere Proportionale zur Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt (Kathetensatz), 2) die Höhe die mittlere Proportionale zu den beiden Ab­ schnitten der Hypotenuse (Höhensatz). Beweis: Ist ^ACB = R und CD±AB, so ist AACD^ ABC nach § 134, daher: la) AD: AC=AC: AB (oder AC c = AD. AB', ebenso A BCD BAC, daher lb) BD: BC=BC: BA (oder BC3 = BD. b ß-4); ferner auch A ACD CBD, daher: 2) DA : DC = DC: DB (oder DC3 Fig. 98. = DA. DB). Anmerkung: Aus la) und lb) ergibt sich durch Addition: AC BC3 = AD. AB + BD. BA = (AD+BD). AB = AB. AB, ober AC3 + BC3=AB3. Mit Rücksicht auf § 117,i erhält man hieraus

Proportionen am Kreise.

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den Pythagoreischen Lehrsatz. Ebenso ergibt sich aus 1) der Lehrsatz in § 114,i und aus 2) der Lehrsatz in § 114,s. Die Aufgabe, ein Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln, kann demnach gelöst werden durch Konstruktion der mittleren Pro­ portionale zur Grundlinie und Höhe -es Rechtecks. (Siehe die fol­ gende Aufgabe.) § 144. Ausgabe: Zu zwei gegebenen Strecken «unddie mittlere Proportionale zu kon­ struieren. Auflösung 1: Man trage auf einer Geraden nebeneinander die Strecken AD — a, DB — b ab und beschreibe über AB den Halbkreis, der das in D auf AB errichtete Lot in C schneidet; alsdann ist CD die mittlere Proportionale zu a und b (§ 143, r). 2) Man trage auf einer Geraden von A aus die Strecken AD — a und AB — b nach derselben Richtung ab, beschreibe über AB den Halbkreis, der das in D aus AB errichtete Lot in C schneidet, und verbinde C mit A] dann ist AC die mittlere s Fig. 100. Proportionale zu a und b (§ 143 ,i). § 145. a) Lehrsatz: Dreht sich eine Sehne um einen auf ihr oder ihrer Verlängerung gelegenen Punkt, so behält das Produkt aus den vom Drehpunkt gemessenen Abschnitten einen unveränderlichen Wert. — In anderer Fassung: b) Lehrsätze: 1) Wenn sich zwei Sehnen innerhalb oder (verlängert) außerhalb des Kreises schneiden, so ist das Produkt aus den Abschnitten der einen gleich dem aus den Abschnitten der anderen. (Sehnensatz). Beweis: Es ist A ABE ADC (§ 134), folglich: ABxAE=AD-.AC, AB AC=AD.AE.

2) Wenn eine Tangente und die Verlängerung

78

I. Planimetrie.

einer Sehne sich schneiden, so ist der Abschnitt der Tan­ gente die mittlere Proportionale zu den Abschnitten der Sehne (Tangentensatz). Beweis: Die Tangente AI ist als eine Gerade anzusehen, deren beide Schnittpunkte mit dem Kreise in einen einzigen / zu­ sammengefallen sind: also ist AI.AI=AB.AC, obtxAP—AB.AC. § 146. Ausgabe: Eine Strecke (.AB) stetig, d. h. so zu teilen, daß der größere Abschnitt mittlere Proportionale zu der ganzen Strecke und dem kleineren Abschnitt ist. (Goldener Schnitt.) Arithmetische Lösung (zugleich Vorbereitung der geometrischen Lösung).

Geometrische Lösung. Auflösung: Man errichte in B auf AB das Lot BC—\AB, beschreibe um C mit CB einen Kreis, ziehe die gerade Linie ADCE und mache AF= AD, so ist F der verlangte Teilungspunkt. Beweis: AE:AB = AB:AD (nach § 145,2), also (AE —AB): AB = (AB — AD): AD, d. h. AF:AB = BF:AF oder AB:AF=AF:FB. § 147. Übungssätze: 1. Wie geht a) der Höhensatz aus dem Sehnensatz, b) der Kathetensatz aus dem Tangentensatz hervor? 2. Ist in einem Dreieck eine Seite mittlere Proportionale zwischen einer benachbarten Seite und ihrem anliegenden Höhenabschnitt, so liegt der letzteren Seite ein rechter Winkel gegenüber. 3. Ist in einem Dreieck eine Höhe mittlere Proportionale zwischen den Abschnitten, in die sie eine Seite teilt, so liegt dieser Seite ein rechter Winkel gegenüber. 4) Wird eine Sehne von einer andern halbiert, so ist die Hälfte der ersteren mittlere Proportionale zu den Abschnitten der letzteren.

Proportionen am Kreise.

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5. Schneiden sich zwei Strecken zwischen ihren Endpunkten so, daß die Produkte aus den Abschnitten je einer Strecke gleich sind, so liegen die Endpunkte auf einem Kreise. Anleitung: Lege durch drei Endpunkte einen Kreis. 6. Schneiden sich zwei Strecken in ihren Verlängerungen so, daß die Produkte aus den (vom Schnittpunkt aus gemessenen) Abschnitten je einer Strecke gleich sind, so liegen die Endpunkte auf einem Kreise. Anleitung wie bei 5. 7. Geht die Verlängerung einer Strecke durch den einen Endpunkt einer zweiten Strecke und ist letztere mittlere Proportionale zu den Abschnitten der ersteren, so bilden die beiden Strecken Sehne und Tangente eines Kreises. Anleitung: Lege durch einen Endpunkt der ersten Strecke den Kreis, der die zweite in ihrem freien Endpunkt berührt. 8. Verlängert man eine stetig geteilte Strecke um den größeren Abschnitt, so ist die entstandene ganze Strecke wiederum stetig geteilt. 9. Verkürzt man den größeren Abschnitt einer stetig geteilten Strecke um dm kleineren, so ist ersterer wiederum stetig geteilt. § 148. Übungsaufgaben: 1. Zu drei gegebenen Strecken die vierte Proportionale mittels des Sehnensatzes zu zeichnen. 2. Zu zwei gegebenen Strecken die mittlere Proportionale a) mittels des Sehnensatzes, b) mittels des Tangentensatzes zu zeichnen. 3. Die übrigen Stücke (Seiten, Höhe, Höhenabschnitte der Hypotenuse) zu berechnen, wenn gegeben stnd (Bezeichnung wie in Fig. 109): a) a — 20 cm, Lu 15 cm, b) a = 1,56 m, c= 1,69 m, c) b = 7,5 cm, q = 4,5 cm, d) p =. 2,88 m, q •=. 0,5 m, e) p = 0,64 m, c = 1 m, f)q = 3,2 cm, A = 6 cm, g) 6 = 1,95 m, h — 1,8 m, h) c = 289 m, A = 120 m, i) b — 272 my p = 450 m. (Die zu ziehenden Quadratwurzeln gehen sämtlich auf). 4. In einem Dreieck eine Ecklinie so zu ziehen, daß fie mittlere Proportionale zu den Abschnitten der Gegenseite wird (§ 147,4). 5) Zwei Strecken zu zeichnen, wenn ihre Summe und die mittlere Proportionale zu beiden gegeben ist (Höhensah). 6. Zwei Strecken zu zeichnen, wenn ihre Differenz und die mittlere Proportionale zu beiden gegeben ist (Tangentensatz). 7. Eine Strecke so zu verlängern, daß fie den größeren Abschnitt der stetig geteilten ganzen Strecke bildet. 8. Eine Strecke so zu verlängern, daß fie den kleineren Abschnitt der stetig geteilten ganzen Sttecke bildet. 9. Ein Dreieck in ein gleichschenkliges mit demselben Winkel an der Spitze zu verwandeln (§ 140,i). 10. Ein Dreieck durch eine Parallele zu einer Seite zu halbieren (§ 139,i). 11. Ein Dreieck durch Parallelen zu einer Seite in eine gegebene Zahl gleicher Teile zu teilen (§ 139,i). 12. Einen Kreis zu zeichnen, der durch zwei gegebene Punkte P und Q geht und eine gegebene Gerade L berührt.

Anleitung: Ziehe die Sehne PQ und berücksichtige den Tangentensatz. 13. Einen Kreis zu zeichnen, der zwei gegebene Gerade L und M berührt und durch einen gegebenen Punkt P geht. Anleitung: Suche den Kreispunkt, der in Bezug auf die Halbierungslinie des Winkels zwischen L und M P symmetrisch liegt, und verfahre alsdann wie in 12.

Neunter Abschnitt.

Von den regelmäßigen Vielecken und der Ausmessung § 149. Bemerkung: Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn es lauter gleiche Seiten und Winkel hat. Teilt man die Kreislinie in »gleiche Teile und verbindet je zwei aufeinander­ folgende Teilpunkte durch gerade Linien, so entsteht ein dem Kreise einbeschriebenes regelmäßiges »-Eck; denn die Seiten find gleich als Sehnen gleicher Bogen und die Winkel als Umsangswinkel über gleichen Bogen. Umgekehrt läßt sich um jedes gegebene regelmäßige »-Eck ein Kreis beschreiben. Denn sind A, B, C, D vier aufeinanderfolgende Eck­ punkte, so ist A ABC DCB (Kongr. I), also = 36°, ^ MAB = MBA — 72° — 2 a. Halbiert nun BC den Winkel MBA, so ist MC = CB = AB und &MABBAC,bö, a.

5. Die Addition und Subtraktion entgegengesetzter Zahlen ge­ staltet sich folgendermaßen: (9) (+ 7) + (— 4) = + 3, denn die 4 negativen Einheiten heben 4 positive auf, (10) (+4) + (-7)----- 3. (11) (— 7) + (+ 4) = — 3 |entsprechend, (12) (— 4) + (+ 7) = + 3 (13) (+ 7) — (— 4) = + 11, denn zu den 4 negativen Ein­ heiten find erst 4 positive, um sie aufzuheben, und dann noch7 positive hinzuzufügen, (14) (— 7) — (-s- 4) — —11 entsprechend. Allgemein: (9') {(+ «) + (—*) = + (« — b), wenn b, (10') l(+«) + (-6) = -(6-a), „ (11') (12')

■b,

f(-a)+(+&) = -(«-6),

l(— a) + (+ b) = + (b — a),

»

*>a,

(13') (+ °) — (— b) = + (« + ö), (14') (— T’ ~i=2a’ ~J = 3a' T = 4a “fto‘ jeder folgende Quotient größer als der vorhergehende. Wenn also der Nenner sich immer mehr der Null nähert, wächst der Wert des

Die vier Grundrechnungsarten.

109

Quotienten über jedes Maß hinaus, er wird unendlich (oo). sprechend nähert sich der Wert -er Brüche — und

Ent­

der Null,

wenn n unendlich groß wird. §7. Division von Ausdrücken. Bruchrechnung. 1. Eine algebraische Summe wird durch eine Zahl dividiert, indem man jedes Glied durch die Zahl dividiert und die Zeichen beibehält.

(1)

a ■(■ ä c

a , b a—b c'~c‘> c

a c

b a+b—c_a b c c’ x XXX

Beweis durch die Probe. 2. Ein Produkt wird durch eine Zahl dividiert, indem man einen Faktor durch die Zahl dividiert.

Beweis durch die Probe. 3. Der Wert eines Bruches bleibt üngeändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert (den Bruch erweitert), oder Zähler und Nenner durch einen ihnen gemeinschaftlichen Faktor (Teiler) dividiert (den Bruch kürzt oder hebt).

a b

(3)

am am bm ’ bm

a_ b’

denn wenn die Einheit in b gleiche Teile und jeder derselben in m gleiche Teile geteilt wird, so besteht sie aus bm gleichen Teilen, von denen am dem Bruche ^ angehören. 4. Gleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert oder subtrahiert; um un­ gleichnamige Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, macht man sie gleichnamig.

(4)

a ^ b

c

c

a+b c ’

a c b — d

ad i_bc bd — bd

(5)^ +

b

c

X

X

ad+bc bd

a-\-b — c x

II. Arithmetik und Algebra.

110

Beweis -urch Umkehrung von (1) oder durch Auffassung -er Brüche als benannter Zahlen (vgl. § 6,s). 5. Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert oder den Nenner durch die Zahl dividiert.

Beweis; Der Bruch y kann omal so groß gemacht werden, indem man die Zahl der Stücke c mal so groß macht (-£-) oder die Stücke selbst' Vorauszusehen ist dabei, daß bxc ausgeht. 6. Ein Bruch wird -urch eine ganze Zahl dividiert, indem man den Zähler durch die Zahl dividiert oder den Nenner mit der Zahl multipliziert.

Beweis: Der Bruch y kann c mal so klein gemacht werden, indem man die Zahl der Stücke omal so klein macht (-£-) oder die Stücke selbst 7. Auf den Ausdruck a • ~ paßt nicht die Erklärung der Multi­ plikation. Soll die Regel für die Vertauschung der Faktoren aber auch für solche Ausdrücke ihre Gültigkeit behalten, so muß dem Aus­ druck a. y derselbe Wert beigelegt werden wie y *a, also der Wert y

oder y • Dieser Wert ergibt sich aber bei der Auffassung: a •

~

bedeutet, es soll der cu Teil von a mit b multipliziert werden; denn es ist dann «•-- = — • 6 = c

c

c

•

111

Die vier Grundrechnungsarten.

Der Ausdruck a:

kann durch Meffen gedeutet werden.

8. Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

a c __ a . c b d b.d

(9)

Beweis: Es ist (nach 7)

= (y : dj • c = -^ • c

ac

Td 9. Durch einen Bruch wird dividiert, indem man ihn umkehrt und multipliziert.

b

(10)

a c b ' d

(11)

c

b

a .c

a d ad c bc

Beweis durch die Probe. 10. Durch Umkehrung von (8) ergibt sich noch die Regel: Durch ein Produkt wird dividiert, indem man durch seine Faktoren nacheinander, in beliebiger Reihenfolge, dividiert.

a a a . = -r:c = — :o. bc b c

(12)

j—

§ 8. Dezimalbrüche. 1. Ein Bruch, dessen Nenner eine der Zahlen 10, 100,1000,... (eine Potenz von 10) ist, heißt ein Dezimalbruch. Er kann zer­ legt werden in: . . . Zehner Einer, Zehntel Hundertstel . . . Die Einer und Zehntel werden durch ein Komma getrennt, so daß das Hinschreiben des Nenners überflüssig wird. Es ist z. B.: 24,769 = 10.2 + 1.4 + ^- 7 + = 24 0,05308=

5

769

•6 +

1 1000

24769

1000 .

100

1000 3

0

100 ^ 1000 T 10000

8

5308

100000

100000

Der Wert eines Dezimalbruchs wird durch Anhängen von Nullen nicht geändert, z. B. 0,7=0,70=0,700 usw.

112

II. Arithmetik und Algebra.

2. Addition und Subtraktion der Dezimalbrüche. Man achte daraus, daß Komma unter Komma stehen muß. Fehlende Stellen können durch Nullen ersetzt werden. 2,439 +43,8076 46,2466 12,936 -11,98 0,956

0,93758 +0,746 1,68358

0,7(00) —0,2 58 0,4 42

27,(0000) — 5,1384 21,8616

3. Multiplikation und Division eines Dezimalbruches durch eine der Zahlen 10, 100, 1000, . . . Man rücke das Komma um so viele Stellen nach rechts (bzw. links), wie der Multiplikator (bzw. Divisor) Nullen enthält. Nicht vorhandene Stellen werden durch Nullen ergänzt, und wenn (bei der Multiplikation) das Ergebnis eine ganze Zahl wird, so wird das Komma fortgelassen. 1,347.10 = 13,47 45,68:10 =4,568 0,93:10 = 0,093 0,009.10= 0,09 0,93.100= 93 31,4:100 =0,314 0,5:1000=0,0005, 0,7.1000=700 4. Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer beliebigen ganzen Zahl oder einem andern Dezimalbruch. Das Produkt enthält so viele Dezimalstellen wie beide Faktoren zusammen. (Eine ganze Zahl enthält keine Dezimalstelle.) Z. B. 5,43.6=32,58; 2,0701.0,012=0,0248412. RAU Denn: 5,43.6=^-6 = 3258

100

2,0701.0,012=

100

12 10000 1000

20701 =

'

248412

10000000

'

5. Verwandlung eines gemeinen Bruchs in einen Dezimalbruch und Division eines Dezimalbruchs durch eine ganze Zahl. Man dividiere den Zähler, dem man eine beliebige Anzahl von Nullen als Dezimalstellen anhängt, durch den Nenner des Bruchs und setze im Quotienten das Komma, sobald man die Einer des Dividenden dividiert hat. — Enthält der Nenner eine von 2 und 5 verschiedene Primzahl, die nicht zugleich im Zähler aufgeht, als Faktor, so geht die Division nicht auf, sondern es wiederholt sich eine

Die vier Grundrechnungsarten.

113

bestimmte Anzahl von Ziffem in derselben Reihenfolge unendlich oft, es entsteht ein periodischer Dezimalbruch. 217 4 217,00:4 = 54,25

20 17 16

10 8 20 20

101 9,00:101 --- 0,08910891 • • • 808 920 909

110 101 90

Auch wenn ein gegebener Dezimalbruch durch eine ganze Zahl divi­ diert werden soll, setzt man im Quotienten das Komma, sobald man im Dividenden an das Komma gelangt ist, z. B. 316,8:4 = 79,2; 0,4 : 9 = 0,40 . . .: 9 = 0,0444 .... 6. Division durch einen Dezimalbruch. Man rücke, bevor man die Division beginnt, im Dividenden und im Divisor das Komma so viele Stellen nach rechts, daß der Divisor eine ganze Zahl wird, und bestimme im Quotienten das Komma so wie in 5. 1,476:0,08= 147,6 : 8 = 18,45 8 67 64 36 32 40 40

1:2,718 = 1000,0:2718 = 0,3679 . . . 8154 18460 (Auf drei Stellen 16308 abgekürzt: 21520 0,368.) 19026 24940 24462

Im zweiten Beispiele ist als angenäherter Wert deS Quotienten der Bruch 0,368 und nicht 0,367 gesetzt, weil 0,3679 . . . näher an 0,3680 als an 0,3670 liegt. — Allgemein wird bei der Abkürzung eines Dezimalbruchs die letzte beibehaltene Ziffer stets dann, aber auch nur dann, um eine Einheit erhöht, wenn die erste fortgelassene Ziffer 5 oder größer als 5 ist. 7. Verkürzte Multiplikation. Man rücke im Multiplikanden und Multiplikator das Komma um gleich viele Stellen in entgegen­ gesetzter Richtung so, daß der Multiplikator links vom Komma nur Mehler-Schulte-TtggeS, Ausgabe B, Unterstufe. 2. Ausl.

g

114

11. Arithmetik und Algebra.

Einer) also nur eine der Zahlen 1, 2, ... 9) enthält, beginne mit Mefen die Multiplikation und setze schon in der ersten Zeile des Produkts das Komma an dieselbe Stelle, die es im Multiplikanden einnimmt. Bevor man mit den Zehnteln multipliziert, durchstreicht man die erste Ziffer des Multiplikators und die letzte -es Multipli­ kanden, und so fort. 0,325467 - 249,18 32,5467 2,4918 65,0934 13,0187 2,9291 325 260 81,0997

46,136.0,0017842 0,046136 1,7842 0,046136 32295 3690 184 9 0,082314.

Jede Ziffer, die man im Multiplikanden eben durchstrichen hat, benutzt man noch zur Verbefferung der letzten Stelle der nächstfolgenden Zeile. So istz.B. 130187entstandenaus7-4=28=3(0), plus32546.4= 130184; ferner 29291 aus 6 • 9 = 54 = 5(0), plus 3254 • 9 = 29286 usw. 8. Verkürzte Division. Nachdem der Divisor (nach 6) ganz­ zahlig gemacht, die erste von Null verschiedene Ziffer -es Quotienten bestimmt und der Divisor damit multipliziert und das Produkt vom Dividenden subtrahiert ist, streicht man die letzte Ziffer des Divisors und die erste -er etwa noch vorhandenen Ztffem des Dividenden, und so fort. Das Komma wird im Quotienten gesetzt, sobald man im Dividenden an das Komma gelangt ist. 2,61:0,12048 12048 261000,0 21,664 24096 2004 1205 799 722 77 72 5 5

0,435781:60,219 60219 435,781 0,0072366 421 533 14 248 12 044 2 204 1806 398 361 37 36

Um den Quotienten genauer zu erhalten, müßte man die Verkürzung

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.

115

des Divisors erst später eintreten lassen. Wenn jedoch Dividend und Divisor selbst nur angenäherte (um eine halbe Einheit der letzten geschriebenen Stelle unsichere) Werte vorstellen, so kann eine noch weitere Verkürzung des Ergebnisses geboten sein. Im ersten Bei­ spiele müßte, wenn die 1 in 2,61 unsicher ist, der Quotient nicht 21,664, fonbern 21,7 heißen. 9. Verwandlung periodischer Dezimalbrüche in gemeine Brüche. b) Unrein — periodische a) Rein — periodische Dezimalbrüche. Dezimalbrüche, » = 0,7272 100»= 72,72 1»= 0,72 99»= 72 72 99 “

- - - - - - 8 11'

z — 0,4379379 • • 10000z = 4379,379 - • 10z = 4,379 - - 9990z = 4375 4375 875 9990 1998

Zweiter Abschnitt. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. § 9. Potenzen mit ganzen positiven Exponenten: 1. Aus dem Multiplizieren wird ein Potenzieren, wenn die Fak­ toren sämtlich gleich sind. Man schreibt: «•«=#’ (ahoch 2); «•0‘fl = a'(a hoch 3); a • a • a • • • • • a = am, wenn m die Zahl der Faktoren, und nennt am die mie Potenz von a. Die mu Potenz von a ist ein Produkt von m Faktoren, deren jeder gleich a ist. (1) am = a-a-a.......... a (m Faktoren). Die Zahl a heißt die Basis oder Grundzahl, m der Exponent. Die zweite Potenz einer Zahl («’=«• a) heißt auch ihr Quadrat, die dritte (a'=aa-a) ihr Kubus. Aus den Ausdruck a1 paßt die obige Erklärung nicht; da aber a' = a - a - a - a, a'=a-a-a, a' —a-a ist, so ist a} — a zu setzen. 2. Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert (oder dividiert), indem man die Exponenten addiert (oder subtrahiert). (2) (3) (3')

om-s” = ti"+n. am: a" = am—". (m > n.) a«:a» = 1: o" ~m. (m < n.)

Beweis: at.al—aa. aaa — aaaaa—a4=oa+a, ai aaaaa . , , a‘ a.a.a 1 1 ~t=------ =aa=a =a*~ r- =--------------= _ = -1^-T. a aaa a a.a.a.a.a a a‘—’

Der allgemeine Beweis entsprechend. 3. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multi­ pliziert (oder dividiert), indem man die Basen multi­ pliziert (oder dividiert). (4) a'n .bm=(ab)m.

®

£

-(?)■•

Beweis: aV—aaa. 666= ab .ab .ab=(a6)*, aa_ aaa__ a a a__ Z«V 6i — ~m~ V Tb~ VT/ -

Der allgemeine Beweis entsprechend. 4. Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor, ein Bruch, indem man Zähler und Nenner potenziert. (6)

(ab)m=am 6”.

z_x

(o\m

W

am

u) ~1F'

Beweis durch Umkehrung -er Formeln (4) und (5) oder der zugehörigen Beweise. 5. Eine Potenz wird potenziert, indem man die Ex­ ponenten multipliziert. Und: Bei wiederholter Poten­ zierungist die Reihenfolge der Exponenten gleichgültig. (8)

(am)n — amn — («")">.

Beweis: (a’),=a,.a,.o, = a,+,+, = a,'‘ oder — (a. a)* — a'.a® — («’)’. Der allgemeine Beweis entsprechend. § 10. Potenzen mit demExponentenNullund ganzen negativen Exponenten. 1. Nach der Erklärung einer Potenz (§ 9,1) muß der Exponent eine natürliche ganze Zahl sein. Aus­ drücke wie a®, a~a, a~m find also keine eigentlichen Potenzen, und

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.

117

es bedarf einer Feststellung ihres Sinnes, um fie wie Potenzen be­ handeln zu können. Nun ist at=a.a.a.a, a> = a.a.a, a' = a.a, al= a.

Dementsprechend wird zu setzen sein: o° = 1, a~l = i= ^5. . . und allgemein: (1)

«* = 1;

(2)

= dr­

unter dieser Voraussetzung gilt die Formel § 9, (3) am'an — am~n auch dann, wenn rr >- m ist. 2. Außerdem ist nachzuweisen, daß die bisherigen Potenzregeln, aus obige Ausdrücke angewandt, richtige Ergebnisse liefern. Beweis an einem Beispiel. Es soll bewiesen werden, daß arm . Ä-" — (ab)~m ist. Nun ist arm . b~m = • -kr = — v '

1

1

am b™

am.bm

= r4^=H_m(ab)m

v '

3. Für die Basis einer Potenz ist eine Einschränkung von vorn­

herein unnötig; denn es ist 0™ — 0.0.0 .. . = 0, lm=l.l.l.. . = 1, (-+• st)' = (+ st).(+ st) =+st', (+ st)' — (+ st).(-+-st).(+ st) = +«’

usw., (— st)' — (— st) . (— st) — +sta, (—«)* =(— st) - (— a) (— st) ——st' usw; d. h. die Potenz einer positiven Zahl ist stets positiv, die gerade Potenz einer negativen Zahl ist positiv, die ungerade negativ. § 11. Wurzeln: 1. Eine Umkehrung des Potenzierens ist das Radizieren. Ist nämlich a"—a und außer dem Wert der Potenz, «, der Potenzexponent n gegeben, die Basis aber gesucht, so schreibt man diese Ausgabe /ä(nte Wurzel aus a)und versteht darunter die Zahl, deren »te Potenz gleich a ist,- a heißt der Radi­ kand, n der Wurzelexponent. Nach dieser Erklärung ist, wenn s st —a, —a oder auch (s/st) — st (Wurzelprobe). 2. Ist also «'-st, so ist a = ]s0L (Quadratwurzel aus «); ist (1)

8

«'--st, so tft« = y^ (Kubikwurzel aus st). folgt ferner für jeden Wert von a:

Aus der Erklärung

(2) (3) |/a, = a, |/a*=a, s/ä" — a.

3. Eine positive Zahl a kann man sich sowohl in zwei positive als auch in zwei negative gleiche Faktoren zerlegt denken, die Quadrat­ wurzel aus a ist also zweiwertig. Um jeden einzelnen der beiden Werte in unzweideutiger Weise bezeichnen zu können, versteht man (in der Regel) unter dem Zeichen yä nur den positiven Wert der Wurzel und bezeichnet den negativen durch —yä, schreibt also z. B. y9=3 und —y9=—3. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann weder einer positiven noch einer negativen Zahl gleichgesetzt werden. (Z. B. y=9 ist weder =+3 noch —— 3.) Die Kubikwurzel aus einer positiven Zahl hat einen positiven Wert, die aus einer negativen Zahl einen negativen Wert; usw. f»

n

In den folgenden Formeln sollen die Zeichen a, b, yä, \b, . sämtlich positive Größen bedeuten. 4. Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten werden multipliziert (oder dividiert), indem man die Radi­ kanden multipliziert (oder dividiert).

Beweis: Es sei yä —a, Yb=ß, dann ist (nach (1)) w=a, ßH=b, also aHßn=ab oder (aß)*=ab, demnach aß=~)/ab-

Ent­

sprechend für (6). 5. Ein Produkt wird radiziert, indem man jeden Faktor radiziert, ein Bruch, indem man Zähler und Nenner radiziert.

Beweis: durch Umkehrung von (5) und (6) oder durch die Probe: -Wb) =a.b und

KV^.Vb) w \n Va \

tn \n

\Vä)

a

(h/W~v 6. a) Eine Potenz wird radiziert, indem man die Basis radiziert und die entstandene Wurzel potenziert b) Eine Wurzel wird potenziert, indem man den Radi­ kanden potenziert und die entstandene Potenz radiziert. Zusammengefaßt: c) Soll eine Zahl hintereinander potenziert und radi­ ziert werden, so ist die Reihenfolge gleichgültig. n___

(9)

/«

\m

Vam ss \Va) ;

tn

(10)

\m

n___

\Va) = Vam.

Beweis: Vam =s Va. a . a.... a = Va. Va.... Va= \Va) .

und rückwärts. 7. Eine Wurzel wird radiziert, indem man die Wurzel­ exponenten multipliziert oder die Reihenfolge des Radizierens ändert. Beweis: M

n_

jn

Ist y

V« = a,

so ist

Va — am,

mn_

a — («")" — amR; daher ia= a.

Ebenso ist }!vä=Va. 8. Soll aus einer Potenz eine Wurzel gezogen werden, so ist es gestattet, den Potenz- und den Wurzelexponenten mit einer und derselben Zahl zu multiplizieren oder auch durch einen gemeinschaftlichen Faktor zu dividieren.

np

fl

(12) Vä" — Kö’’»; Beweis:

Vor* = Vam.

(13)

Es sei VcF ---- a, dann ist am — a", folglich (am)p-= (an)f oder np

— «”p, also Väw — a. Beweis von (13) durch Umkehrung von (12) oder des vorstehenden Beweises. § 12. Potenzen mit gebrochenen Exponenten. 1. Es ist am?

(1) Vär — a*, worin die Zahl m zunächst als teilbar durch n vorausgesetzt ist, denn die rote Potenz von a" ist gleich am.

Diesem entsprechend versteht

man auch in dem Falle, wo ro nicht in m aufgeht, unter a- die rote Wurzel aus am. In ähnlicher Weise bedient man sich der Bezeichnung: »

1

an —-Vä und

(2)

1 i _,/~r _ •__ a n=— m = n r am Vä” an — —

(3) 2. Es ist:

P_

n

q

nq

nq

nq

an .ai — VctP Va? — Va’"i Va* — Va'"i. an* nq —

yamg + np

mq-\-np _

a

nq

m ^p _ a"n

Durch diese und ähnliche Rechnungen gelangt man zu der Über­ zeugung, daß die für Potenzen geltenden Regeln bei der Anwendung auf Ausdrücke von der Form an richtige Ergebnisse liefern, und nennt diese letzteren daher Potenzen mit gebrochenen Exponenten. § 13. Berechnung der Quadrat- und Kubikwurzel. 1. Quadratwurzeln. Wenn Vm = a-\-b-\-c-\-d-\----- , also m = (a-\-b-\-c-\-d-\------)* gesetzt wird. so ist nach § 5, (19):

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.

121

-}- 2ob -f“ -j- 2 (ct "j“ 6) c -f-