Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe B.: Teil 2 Arithmetik mit Einschluss der niederen Analysis, ebene und sphärische Trigonometrie und Stereometrie [2. Aufl. Reprint 2021] 9783112396001, 9783112395998

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Hauptsätze der

Elementar-M^athematik zürn Gebrauche an höheren Lehranstalten von

Dr. F. G. Mchler. Bearbeiter von A. Schulte-Tigges, Direktor des Realgymnasiums zu Raffel.

Ausgabe B. Oberstufe 2. Teil.

Arithmetik mit Einschluß der niederen Analyst», ebene und sphärische Trigonometrie und Stereometrie.

Berlin W. 5$

Druck und Verlag von Georg Reimer 1912.

Arithmetik mit Einschluß der niederen Analysis, Trigo­ nometrie und Stereometrie. Sur die oberen Rlassen höherer Lehranstalten

bearbeitet von

A. Schulte-Tigges, Direktor des Realgymnasiums zu Raffel,

unter Mitwirkung von Professor €♦ Frenzcl, Oberlehrer am Gymnasium zu Lauendurg i. p.

Mit 46 Textfigurkn.

Zweite unveränderte Auflage.

Berlin W. 35 Druck und Verlag von Georg Reimer

WI2.

Vorwort zur ersten Auflage. Der vorliegende zweite Teil der Oberstufe weicht so sehr von denk ursprünglichen Mchlerschen Buch ab, daß es zweckmäßiger er­ scheint, ihn mit den entsprechenden Abschnitten der von dem Unter­ zeichneten neu bearbeiteten Ausgabe A zu vergleichen. Auch hier ergeben sich wesentliche Unterschiede. Manche Beweise und Ableitungen sind grundsätzlich geändert worden, weil es der Verfasser für richtig hält, auf dem geradesten Wege vom Ausgangspunkt zum Ziel vorwärts zu schreiten und möglichst alles zu vermeiden, was nach Künstelei aussieht. Des ferneren erschien es notwendig, dem Lehrer beim Ge­ brauch des Buches möglichst viel Bewegungsfreiheit zu gewähren, daher denn eine ganze Reihe von Ableitungen zur Auswahl zweimal vertreten sind, wie z. B. die Berechnung der Kugel und ihrer Teile, der Sinus- und Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie, die Auf­ lösung des irreduziblen Falls der kubischen Gleichung, die Ableitung der höheren Reihen (eine dritte bleibt noch dem dritten Teil der Oberstufe Vorbehalten) u. dgl. mehr. Abgewichen ist dagegen nicht von dem bewährten Grundsatz, die Beweise und Ableitungen nur soweit zu geben, daß die Schüler imstande sind, sie nach der Unter­ richtsstunde selbständig zu ergänzen. Im besonderen sind dem arithmetischen Teil zwei neue Abschnitte hinzugefügt worden, die von den Wurzeln der Gleichungen und den numerischen Gleichungen und ihrer Auflösung handeln. Neu ist auch die Anwendung der Zinseszinsrechnung auf die Renten- und Lebens­ versicherung, zu deren Aufnahme der Aufsatz von Prof. Nitsche über »Die Behandlung versicherungsmathematischer Aufgaben im Unterricht" (Lehrproben und Lehrgänge, 1907; 3. Heft) Anlaß gegeben hat. Die zugehörigen Tabellen hat Herr Professor Nitsche nicht nur in dankens­ werter Weise zur Verfügung gestellt, sondern auch durch zwei von ihm nach den neuesten statistischen Ergebnissen berechnete ersetzt. Die jedem Buche lose bcigefügte Tabelle ist zum Einheften in

VI

Vorwort.

die Logarithmentafel bestimmt,

so daß

diese

dem praktischen Leben

entnommenen Aufgaben auch für Klassenarbeiten zur Verfügung stehen. Völlig umgestaltet ist der Abschnitt, der von unmittelbar

der Konvergenz unendlicher Reihen handelt,

und

in

dem wieder­

holenden Aufban des arithmetischen Systems ist der Begriff der irra­

tionalen Zahl

schärfer

gefaßt und

dargestellt

worden,

auch

tritt

die graphische Darstellung der Rechnungsarten der komplexen Zahlen ergänzend hinzu. Um für diese notwendigen Änderungen Raum zu schaffen, sind die Kettenbrüche und diophantischen Gleichungen weg­

gelassen worden, die ja der mathematischen Lehraufgabe der oberen Klassen längst nicht mehr angehören.

Gänzlich umgearbeitet sind auch die ebene Trigonometrie, dieStercometrie und mehr oder weniger auch die sphärische Trigonometrie. In der Trigonometrie wurde dem überwiegenden Gebrauch entsprechend auf

die Definition der Winkel durch Kreisbogen verzichtet; in der

Stereometrie ist besonders

die systematische Begründung

und

die

Lehre von den körperlichen Ecken eingehender gestaltet worden;

in der mathematischen Himmelskunde wurde der gebräuchlicheren Zähl­ weise des Azimuts und des Stundenwinkels der Vorzug gegeben. Dem

allgemeinen Plan

der Ausgabe B entsprechend sind den

einzelnen Abschnitten zahlreiche Aufgaben beigegeben worden; nur die Arithmetik, für die ja besondere Aufgabensammlungen im Gebrauch

zu sein Pflegen, macht hiervon eine Ausnahme bis auf die Aufgaben

ans der Renten- und Lebensversicherung, die sich in dieser Art noch nicht allgemein eingebürgert haben.

Im Interesse einer beschleunigten

Fertigstellung des Buches, die von verschiedeuen Seiten lebhaft ge­ wünscht wurde, hatte Herr Professor Frenzel in Lauenburg i. P., dem

auch für manche andere Ratschläge und Zusätze besonderer Dank ge­

bührt, die Ausarbeitung des größten Teiles der Aufgaben übernommen.

So find denn die mit großer Sorgfalt und Umsicht aufgestellten Auf­

gaben in kl §§ 28—32, III §§ 58-66, IV §§ 18, 20, 21 sein Werk. Es ist auf solche Weise durch einen ungewöhnlichen Aufwand von Arbeitskraft möglich geworden, diesen Teil der Oberstufe jetzt schon zu

vollenden, so daß das Erscheinen des dritten (letzten) Teils, der die Differentialrechnung und die analytische Geometrie der Ebene ent­

halten wird, für den Herbst in sichere Aussicht gestellt werden kann. Cassel, im Juni 1909.

A. Schulte-Tigges.

Inhalt. Sette

I. Arithmetik mit Einschluß der Algebra und niederen Analysis. 1. Von den Gleichungen...................................................... 1 2. Arithmetische und geometrische Reihen nebst Anwen­ dungen .............................................................................. 20 3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.... 39 4. Binomischer Saß.................................................... 45 5. Anwendungen des binomischen Satzes ....................... 52 6. Wiederholender Aufbau des arithmetischenLehrgangs . . 57 II. Ebene Trigonometrie. 1. Ausdehnung des Begriffs der trigonometrischen Funk­ tionen aus beliebige Winkel ................................... 71 2. A. Weitere Ausführung der Lehre von den trigono­ metrischen Funktionen (Gouiometrie) 76 B. Auflösung goniometrischerGleichungen....................... 81 3. Dreiecksberechnung............................................................. 83 A. Formeln und Methoden............................................. 83 B. Aufgaben................................. •................................ 86 lH. Stereometrie. 1. Systematische Begründung............................................. 96 2. Von den körperlichen Ecken.............................................• 103 3. Von den Polyedern.............................................................. 107 4. Von den krummflächigen Körpern..................................... 114 5. Stereometrische Aufgaben..................... •.............................125 IV. Sphärische Trigonometrie nebst Anwendung auf die mathematische Erd- und Himmelskunde. 1. Sphärische Trigonometrie..................................................... 136 2. Anwendung auf die mathematische Erd- und Himmels­ kunde ...................................................................................... 147 3. Aufgaben.............................................................................. 154

Tabellen zur Renten- und Lebensversicherung............................. 165

Erster Teil: Arithmetik mit Einschluß der Algebra und niederen Analysis.

Erster Abschnitt. Von dm Gleichungen.

A. Reziproke Gleichungen. § 1. Eine Gleichung heißt reziprok, wenn der reziproke Wert (i) jeder ihrer Wurzeln (r) ebenfalls Wurzel der Gleichung ist. Eine reziproke Gleichung ändert ihre Form nicht, wenn man die Unbekannte

x in - verwandelt und nach Fortschaffung der Nenner wieder nach X absteigenden Potenzen von x ordnet. § 2.

Auflösung der Gleichung: x4 + ax3 -f- ax -|- 1 = 0.

Es ist (x3 + 1) + ax(x + l) = 0 oder (x + 1)(^’ — » + 1) + ax + 1) = 0, daher (x + 1) (x2 — x 4* 1 -f- ax) — 0. Diese Gleichung ist aber erfüllt, wenn x 4-1 = 0 oder x2 — (1 — a)x

4-1=0 ist, woraus sich die Wurzeln

x,=—i und ®2,3—1 ergeben. Bemerkung. Die reziproke Gleichung x3 — ax3 + ax — kann in entsprechender Weise gelöst werden. § 3. Auflösung der Gleichung: x3 4“ ax3 4“ bx3~V* ax 4- 1 = 0. Die Division beider Seiten durch x3 ergibt

(®* + p) + ® (® + x) + b = °Mehler-Schulte-Tigges, Ausg. B, Oberstufe II. 2. Aufl.

1—0

I. Arithmetik.

2

Setzt man nun x 4- - = u, so ist x2 4- ~i= u2 — 2, daher u" — 2 + au + b = 0. Durch Auflösung dieser quadratischen Gleichung findet man u und

alsdann x aus der Gleichung « r ’- = u. Bemerkung. Die Gleichung x* 4- ax3 4- l>x2 — «^4-1 — 0 ist zwar nicht reziprok, geht aber in eine solche über, wenn man x — iy setzt. §. 4. Auflösung der Gleichung: x3 4- ax* 4- bx3 4* bx2 4- ax 4- 1—0. Es rst (x3 4* 1) “f" olx (x3 4" 1) 4~ Qx 4" 1) == 0 oder (x 4" 1) (x* — x3 4- x2 — x 4- 1) 4- ax(x 1) (x2 — x 4- 1) 4- bx2 (x 4-1) = 0, also (x 4- 1) (x* — x3 4* x2 — i 4 1 4- a®s — ax