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German Pages 130 [184] Year 1924
Ausgabe B (ohne Übungen)
Hauptsätze der
Elementar -^Itathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von
Dr. 8. G. Mchler Bearbeiter von 21. Schulte-Tigges Dberftudiendirekror des Realgymnasiums I zu Rassel Geh. Studienrat
Ausgabe B (ohne Übungen)
Unterstufe Planimetrie und Arithmetik nebst den Anfangsgründen der Trigonometrie und Stereometrie und drei Anhängen
Berlin und Leipzig 1925
Walter de Gruyter & £o. vormals G. I. Göfchen'fche Verlagshandlung — 3* Guttenrag, Verlagsduchhandlung — Georg Reimer — Rarl 3- Trübner — Veit & Lomp.
Planimetrie und Arithmetik nebst den Anfangsgründen
der Trigonometrie und Stereometrie und drei Anhängen
Sur die unteren und mittleren Rlaffen
höherer Lehranstalten bearbeitet von
A. Schulte -Tigges OdersiudienDirektor des Realgymnasiums 1 zu Rassel Geh. Studienrar
Berlin und Leipzig J925
Walter de Gruyter Sc AC, CA: C'A' = CB: C'B' unb A = A. Verfährt man wie in § 109, so ist wie vorhin DF || AB, also A DFC ~ ABC; ferner •£. D = A und folglich
8—C
und entsprechend ßo und 3.
Der RadiuS des umbeschriebenen
Zieht man den Durchmesser CE — 2r, verbindet E mit B und fällt die Höhe CD, so ist A CEB-CAD (§ 134), also
KreiseS.
Fig. 105.
2r
a
abc iv CLÖC IX. r = -r— = 4A 4s» . — «)(» — 6)(» — o) Anmerkung: Die nachstehenden Formeln lassen sich leicht beweisen:
g 136.
Die durch die Berührungspunkte mit bot Berührungs kreisen gebildeten Abschnitte der Seiten.
Der einbeschriebene Kreis (0) berühre in Fig. 91 die Seiten in D, E, F. Je zwei an derselben Ecke liegende Abschnitte sind nach § 88a)
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Aufgaben aus der algebraischen Geometrie.
gleich; die Summe von drei an verschiedenen Ecken liegenden Abschnitten ist also gleich dem halben Umfang s des Dreiecks. Es ist demdemnach AF 4- BD 4- CD = s oder AF 4- a = s, also
X. AE = AF = 8 — a, BF — BD = 8 — b, CD — CE=«-c.
Der an der Seite c liegende äußere Berührungskreis (0.) berühre die Seiten in D', E' und F'. Es ist dann 2s = CA+ AF' + F'B + BC = CA+ AE’+BD' + BC, oder 2s = CE' 4- CD’ = 2CE', folglich XI. CE' = CD = s, AF1 = AE' = 8-b, BF“ = BD' = 8-a. Es folgt hieraus noch, daß die Abschnitte AF und BF’ gleich lang sind, und ferner, daß
DD' — EE' — c und FF' — a — b. g 137. Die Höhen und die Höhenabfchnitte der Setten. 1. Da A = iah, — ibht — ich, ist, so ergibt sich 2A
XII.
_
2A
Ivorin A nach VI. ausgedrückt werden kann. 2. Nach § 133, V ist XIII. p-=
«2
£2 — &2
C2 — «2
2c
2c
je nachdem der dem Abschnitt anliegende Dreieckswinkel spitz oder stumpf ist.
g 138. Tie Mittellinien ((«, tb, t,). Aus den Dreiecken BCE und ACE folgt nach § 133, V: a* = je2 4- t; 4- 2 . ic . x,
62=|c*4- t; — 2.ic.x, und dmch Addition dieser Gleichungen:
a2 4-fr* = je» 4- 2t.'. In Worten: Die Summe der Quadrate zweier Seiten ist gleich der Summe des halben Quadrates der dritten Sette und des doppelten Quadrates der zugehörigen Mttellinie. — Die Formel für t, ist:
XIV. t. = Vi(a2 - 62)-lc2.
I. Planimetrie.
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H189. 1. Die ans einet Seite c durch die Halbierungslinie des gegeuSberliegenden Winkels (»der AußeuwinkelS) gebildeten Abschnitte « «nd v (oder u' «nd v). ES ist u + v = c und nach § 105:
XV. M=
u
a
- — p also:
a+ 6
wnb
cb v=a —+m 6 Ferner ist u' — v' = c und u:v’ = a:b, also
XVI. u =
a
2. Die Winkelhalbierende we und die Autzenwinkelhalbierende w. Verlängert man Cfr(toe), bis sie den um das Dreieck beschriebenen Kreis in G schneidet, so ist nach § 119b
u.v = we. FG, uv — to^CG — toe), we* =we.CG — uv. Verbindet man noch G mit B, so ist A GBC ~ AFC, also CG: a = b:wc oder wr .CG = a .b, folglich: w*= ab — uv. Durch Einsetzung der für u und v gefundenen Werte hieraus:
ergibt
sich
"■=o6(i-(,+V): TVII
A. V LI e
}/a6(a 4- 6 T c)(a I 6 — c) Wc— • *— *zr • a+o
Auf ganz ähnliche Weise findet man: w'* = u' v' — ab-,
XVIII.
w'e= Vab^—a
+ &7+cJ(a — & + c)
B. Konstruktion algebraischer Ausdrücke.
g 140. Die Länge einer gesuchten Strecke sei von den Längen gegebener Strecken abhängig, und diese Abhängigkeit sei durch eine algebraische Gleichung dargestellt, welche die Maßzahl x der gesuchten
Aufgaben aus der algebraischen Geometrie.
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Strecke und die Maßzahlen a, b, e, . . der gegebenen Strecken ent hält. Man kann sich dann die Aufgabe stellen, die Strecke, deren Maßzahl x ist, (oder, kürzer ausgedrückt, die Strecke x) aus den gegebenen Strecken (a, b, e, . zu konstruieren. Eine solche Aufgabe ist nm dann mittels Zirkels und Lineals lösbar, wenn jene Gleichung, nach x auf gelöst, für x einen Ausdruck liefert, der sich auf eine oder mehrere der folgenden Formen zurückführen läßt:
1. x = a + b.
2. x = a — b.
3. x — - (n eine gegebene ganze Zahl). n
4. x = y«2 + 62.
5. x= y^-62.
In Aufgabe 1. wird eine Strecke gesucht, die der Summe, in 2. eine solche, die der Differenz zweier gegebenen Sttecken gleich ist. Man erhält die gesuchte Sttecke, indem man die Sttecke a um b entweder verlängert oder verkürzt.
In 3. wird eine Sttecke gesucht, die dem nten Teile einer gegebenen Sttecke gleich ist. Diese Aufgabe ist in § 77,3 gelöst. In Aufgabe 4. (x = Va* + ft») ist x konstruierbar als die Hypo-
teitufe eines rechtwinlligen Dreiecks, dessen Katheten gleich a und b sind. Der Ausdruck 6. (x = Va? — b*) bedeutet die zweite Kachele des
rechtwinlligen Dreiecks, dessen erste Kathete gleich b und dessen Hypotenuse gleich a ist.
/ a. b\ In6. Ix — —— I ist x als die viette Pwportionale zu c, a und b, und in 7. (x= Vab) ist x als die mittlere Proportionale zu a und b konstruierbar.
g 141.
Beisstiele: 1. x = a + b — c.
Auflösung: Konstruiere y = a+b und dann x = y —c. 2. x=Va?+bt —