La empresa de servicios y la teoría de colas

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La empresa de servicios y la teoría de colas José M. Castán Farrero Laura Guitart Tarrés Ana Núñez Carballosa P01/71062/00203

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Índice

Introducción............................................................................................... 5 Objetivos ...................................................................................................... 6 1. Las empresas de servicios ................................................................... 7 1.1. Características de las empresas de servicios ...................................... 7 1.2. Posibilidades de las empresas de servicios......................................... 8 2. La teoría de colas.................................................................................. 12 2.1. Introducción a las líneas de espera.................................................... 12 2.2. Características de las líneas de espera................................................ 13 2.2.1. Características de las llegadas................................................. 14 2.2.2. Características de las colas ..................................................... 16 2.2.3. Características del servicio ..................................................... 20 2.3. Aplicación de los modelos de colas en el diseño de sistemas ........... 21 2.4. Los modelos ....................................................................................... 21 2.4.1. Modelo 1 ................................................................................ 22 2.4.2. Modelo 2 ................................................................................ 24 2.4.3. Modelo 3 ................................................................................ 27 2.4.4. Modelo 4 ................................................................................ 30 2.4.5. Modelo 5 ................................................................................ 32 2.4.6. Modelo 6 ................................................................................ 35 Resumen....................................................................................................... 39 Actividades.................................................................................................. 41 Ejercicios de autoevaluación .................................................................. 42 Solucionario................................................................................................ 43 Glosario ........................................................................................................ 44 Bibliografía................................................................................................. 45 Anexos .......................................................................................................... 46

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Introducción

Actualmente, en nuestro país, el sector terciario es el que genera más ocupación y el que contribuye más a la formación del producto interior bruto. Por este motivo –y ya que en el resto de los módulos la mayoría de las técnicas y conceptos comentados se refiere a empresas de fabricación, a pesar de que se puedan utilizar también en servicios–, es interesante observar las principales características diferenciadoras entre las empresas de servicios y las de fabricación. Comprender estas diferencias puede ayudar a establecer correctamente la estrategia empresarial más adecuada en cada caso. En este módulo didáctico también veremos el fenómeno de las líneas de espera (también llamado teoría de colas), muy extendido tanto en empresas de fabricación como en empresas de servicios. Se puede tratar, por ejemplo, de coches esperando a ser reparados en un taller, colas de impresión que se forman cuando se envían diferentes documentos desde distintos ordenadores o diferentes aplicaciones a una impresora, piezas de un determinado proceso productivo que deben ser procesadas en alguna estación de trabajo, clientes de un banco aguardando a que los atiendan, etc. Como podéis ver, hay muchos casos y muy cotidianos en los que se generan líneas de espera. Sin embargo, ¿por qué encuadramos la teoría de colas en un módulo que inicialmente se refiere a empresas de servicios? Bien, la explicación tiene mucho sentido. Ya hemos comentado en el módulo “Gestión de la calidad total” la importancia de satisfacer al cliente, y las empresas centradas en el cliente. Y seguro que todos habéis sufrido alguna vez el hecho de hacer cola como clientes (sólo hay que pensar qué es lo que sucede cuando vamos al cine). Por lo tanto, creemos que estaréis de acuerdo con que las colas largas son un motivo de insatisfacción para los clientes. Y las colas de clientes se forman, esencialmente, en empresas de servicios.

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Objetivos

Globalmente, el objetivo de este módulo didáctico es apreciar las diferencias principales que hay entre las empresas de fabricación y las de servicios, y analizar el fenómeno de las colas de espera; este fenómeno, a pesar de que está presente en cualquier tipo de empresa, es especialmente crítico en el caso de los servicios (todos hemos hecho cola alguna vez y sabemos la insatisfacción que esto comporta como clientes). Más concretamente, a lo largo del módulo podréis conseguir los siguientes objetivos: 1. Conocer las características fundamentales que diferencian las empresas de servicios de las de fabricación. 2. Entender la base de la teoría de colas y su aplicación en el mundo empresarial. 3. Adquirir el vocabulario y los conceptos básicos sobre el fenómeno de las colas. 4. Ser capaces de resolver los problemas que se plantean habitualmente sobre colas, utilizando, en cada caso, el modelo adecuado.

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1. Las empresas de servicios

1.1. Características de las empresas de servicios

Kotler (1992, pág. 504) define servicio como cualquier actuación esencialmente intangible que alguien puede ofrecer sin transmisión de la propiedad. Su prestación puede estar asociada a un producto físico o no.

Es evidente que, para esta característica de intangibilidad de los servicios, el tratamiento que deben recibir las empresas productoras de servicios es diferente del que reciben las de fabricación. En los otros módulos de esta asignatura hemos visto algunas de las técnicas de dirección de operaciones, fundamentalmente referidas a empresas industriales. Estas técnicas no son de aplicación exclusiva a este tipo de organizaciones, pero para aplicarlas correctamente, también en empresas de servicios, hay que conocer las principales diferencias entre los dos tipos de empresas. Los principales aspectos diferenciadores de las empresas de servicios son: 1) En las empresas de servicios, el cliente forma parte del proceso. Es decir, es el mismo cliente quien entra en el proceso de producción y sale de él después

*Por ejemplo, igual que sucede cuando vamos al banco a pedir un préstamo o a un restaurante a cenar.

de ser servido*. 2) Los servicios son intangibles y perecederos, y generalmente no pueden ser almacenados. Decimos generalmente porque puede producirse algún caso excepcional. Pensad, por ejemplo, en los acumuladores de calor, que permiten almacenar energía durante la noche (cuando las tarifas son reducidas) y utilizarla durante el día (momento en que este servicio es más caro). 3) Si no se pueden almacenar, tampoco se pueden transportar, de forma que la capacidad para suministrar el servicio debe estar disponible en el momento y en el lugar adecuados. Por lo tanto, la localización de la empresa de servicios debe estar cerca del cliente. Evidentemente, hay excepciones, como sucede en el caso de los servicios de elevada calidad. A la clínica Barraquer de Barcelona, por ejemplo, acuden personas de todo el Estado (y del extranjero) a causa de su reconocido prestigio. En este caso, son los mismos pacientes quienes se trasladan para recibir estos servicios. 4) Como consecuencia de su intangibilidad, los servicios no se pueden patentar. Esto comporta que para los competidores sea muy fácil copiar o imitar una idea innovadora de servicio. Por lo tanto, hay muy poca innovación real y mucha imitación. Además, las empresas imitadoras pueden modificar fácilmente el nuevo servicio, diferenciándolo de la idea inicial e innovadora*.

* Ésta es una práctica habitual, por ejemplo, en el sector bancario.

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5) Los servicios no se pueden transmitir y, por lo tanto, tampoco se pueden revender. La producción y el consumo de un servicio son simultáneos. No existen antes de la compra*.

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* Por ejemplo, cuando vamos a esquiar a una pista de esquí, no podemos transmitir el servicio que hemos recibido a una tercera persona que también quiere practicar este deporte.

6) Los servicios están personalizados. Los empleados deben interaccionar con los clientes. Por lo tanto, es necesario un contacto directo con los clientes*. Como consecuencia, resultan difíciles de estandarizar, ya que varían en función

* Por ejemplo, cuando vamos al barbero o a la peluquería.

de quién los ofrece, cuándo y dónde los ofrece, y de la percepción que recibe de ello el cliente. 7) La demanda de muchos servicios no se puede posponer, ya que éstos son requeridos por el cliente justo cuando los necesita*. 8) La demanda es, en general, más difícil de prever, ya que con frecuencia está

* Por ejemplo, cuando tomamos un avión para ir a un congreso en la Coruña, necesitamos llegar un día determinado y no podemos posponer la salida.

sujeta a más alteraciones, es más irregular y aleatoria. En empresas de servicios es más complejo encontrar el equilibrio entre oferta y demanda. A pesar de todo, es posible atenuar la irregularidad de la demanda a corto plazo mediante las citas previas, utilizadas en consultas médicas, talleres, asesorías, etc., o las reservas previas, utilizadas en hostelería, compañías de aviación, centros deportivos, etc. También se pueden utilizar otras estrategias como por ejemplo las estrategias de precio diferencial, según las cuales se aplican descuentos en el precio en periodos de baja demanda. Éste es el caso de los hoteles, que han establecido la temporada baja, la media, la alta y la extra. 9) Para hacer frente a las puntas de demanda hay diferentes posibilidades: podemos contratar empleados a tiempo parcial, establecer más turnos de trabajo o hacer horas extraordinarias. Una práctica interesante es mantener a un grupo de trabajadores polivalentes de reserva que puedan cubrir las vacaciones de los empleados fijos, las bajas por enfermedad o el exceso de demanda en un periodo determinado. En estos periodos de demanda elevada, las empresas de fabricación pueden subcontratar actividades determinadas. Sin embargo, en empresas de servicios, la subcontratación es peligrosa, ya que la empresa subcontratada puede captar a los clientes que les hemos enviado. También es posible incrementar la participación del cliente en el proceso de producción. 10) En general, la empresa de servicios es intensiva en trabajo, y la de fabricación lo es en capital; es decir, la utilización de maquinaria y equipos en servicios con frecuencia es menos importante que la utilización de mano de obra.

1.2. Posibilidades de las empresas de servicios En el subapartado anterior comentábamos, como característica de los servicios, que son fácilmente copiables o imitables, y que por lo tanto, la innovación se

El autoservicio Algunas empresas de servicios optan por incrementar la participación del cliente. Por ejemplo, en las gasolineras de autoservicio es el mismo usuario quien pone la gasolina al coche, o en el caso de los cajeros automáticos, los clientes se pueden ahorrar más de una cola ante la ventanilla de una caja o de un banco.

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hace difícil. Es decir, las empresas de servicios que invierten en mejoras, en general, sólo ofrecen a sus clientes ventajas competitivas temporales, ya que la competencia también aplicará enseguida estas mejoras a sus servicios. Además, la etapa siempre difícil de introducir un producto nuevo o un servicio nuevo, en este caso en el mercado, y el riesgo que esto comporta, están a cargo de la empresa innovadora, que sólo podrá gozar de un corto periodo de ventajas en el caso de éxito del nuevo servicio. Por lo tanto, la estrategia de algunas empresas es dejar innovar a la competencia y dedicarse a copiar sólo las mejores ideas. Sin embargo, ¿qué pasaría si una empresa fuese capaz de innovar en algún aspecto que las empresas competidoras no pudiesen copiar fácilmente? Se trataría de establecer una ventaja difícilmente imitable por parte de la competencia. Coyne (1994, pág. 69) sugiere dos tipos de innovaciones de este tipo con las siguientes características: 1) Ventaja competitiva basada en la constancia del servicio En primer lugar, una posibilidad consiste en conseguir la constancia del servicio, ya sea creando sistemas excelentes que garanticen el buen servicio o mediante decisiones excelentes del personal que está en contacto con los clientes. La empresa McDonald’s ha creado uno de estos sistemas excelentes para ofrecer a los cliente siempre el mismo nivel de calidad. Los empleados no pueden modificar la receta de las hamburguesas para adaptarla a los gustos de cada país, ni hacerlas más o menos cocidas para adaptarlas a los gustos de cada cliente. Todas deben ser iguales; las patatas fritas tienen unas medidas determinadas y unos estándares que deben cumplir; la caja registradora dice a los empleados qué “extra” deben sugerir al cliente en cada caso. El precio de los artículos aparece automáticamente cuando introducen los datos del pedido. En cualquier país, todos los productos de McDonald’s son iguales. En este caso, es precisamente la falta de libertad del personal lo que hace que McDonald’s mantenga su constancia y su uniformidad de servicio. British Airways, en cambio, opta por un personal que sea capaz de ofrecer un trato personalizado a cada cliente. En este caso, no vale un sistema o un procedimiento de trabajo estandarizado; aquí la excelencia viene dada por unos empleados extremadamente competentes. Por este motivo, hace falta invertir más en las personas y dedicar más esfuerzo a la selección, la contratación y la formación del personal que tratará directamente con el usuario del servicio. En este segundo caso, a diferencia del anterior, la mejor forma de potenciar la calidad de servicio consiste en dar a los empleados el suficiente margen de maniobra para que actúen, de cara al cliente, con la suficiente libertad e iniciativa personal (L.A. Schelesinger, J.L. Heskett; 1993, pág. 85).

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Estos dos ejemplos nos ayudan a establecer la siguiente conclusión: cuando la constancia en el servicio es el factor clave del éxito de una empresa y la prestación del servicio no varía de un cliente a otro, es necesario eliminar la toma de decisiones por parte de los empleados en contacto con el público y diseñar un buen sistema que preste el servicio. En cambio, cuando hace falta la toma de decisiones por parte de los empleados, será necesario invertir en su formación y darles la libertad suficiente para que puedan hacerlo. (Coyne, 1994, pág. 71).

2) Ventaja competitiva basada en una estructura diferencial característica El segundo tipo de innovación para conseguir ventajas difícilmente imitables por parte de la competencia es aprovechar alguna característica estructural de la empresa o de su situación que la diferencie y sea difícil de imitar; por ejemplo, diferencias de escala o de alcance, diferencias geográficas, características organizativas o características operativas. A continuación hablaremos de ellas. a) Diferencias de escala o diferencias de alcance • Algunas empresas pueden utilizar las ventajas de las economías de escala. Por ejemplo, American Express se puede permitir el lujo de dar a los usuarios de sus tarjetas de crédito un servicio de veinticuatro horas al día, ya que los costes del personal nocturno se pueden repartir entre una amplia base de clientes. Pero además, la gran escala en la empresa es importante para explotar los efectos de red, fenómeno mucho más importante en el sector de servicios que en el de fabricación. La adición de nuevos nudos en la red aumenta el volumen de las partes ya establecidas y consolida, por lo tanto, la utilización media de la capacidad de la red. Por ejemplo, cuando VISA incorpora un nuevo detallista a su red de establecimientos que aceptan la tarjeta de crédito, aumenta su atractivo para los actuales o futuros poseedores (J.L. Heskett, 1987, pág. 83). • Por lo que respecta a las economías de alcance, consisten en ofrecer dos o más servicios complementarios de forma simultánea en un mismo paquete a un precio global inferior. Retomemos el ejemplo de American Express; esta empresa introdujo un nuevo servicio que ofrecía a sus clientes la posibilidad de contactar con médicos o abogados cuando la persona que viajase a otro país lo necesitara. A su competidor principal, VISA, le costó dieciocho meses copiar este producto (K.P. Coyne, 1994, pág. 73). b) Diferencias geográficas Nike cambió la ubicación de su centro de distribución, que antes estaba en Oregón, y lo situó en Memphis, ya que en esta ciudad también está localizada la sede de la empresa de transportes urgentes Federal Express. De este modo,

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Nike se puede comprometer a servir sus productos al día siguiente de efectuar el pedido, incluso si se ha hecho durante la noche anterior. Sin embargo, esta ventaja geográfica no es exclusiva de las grandes empresas. El banco de una pequeña población de Estados Unidos llevó a cabo una campaña publicitaria basada en el siguiente razonamiento: “Somos el banco de su ciudad. ¿Prefiere que las decisiones se tomen aquí o en la gran ciudad, a trescientos kilómetros?” (K.P. Coyne, 1994, pág. 73). Basada en esta diferenciación geográfica, la campaña tuvo un éxito extraordinario. c) Características organizativas Adoptar un sistema de organización determinado puede dar ventajas a la empresa innovadora ante la competencia. La empresa AVIS de alquiler de coches ofrece un servicio que permite a los clientes utilizar un coche sin reserva previa gracias a su procesamiento de datos centralizado; de este modo, cualquier empleado, desde cualquier lugar geográfico, puede conocer la disponibilidad de toda la red de coches de la compañía. Las demás empresas competidoras no pueden imitar este servicio, ya que disponen de una estructura descentralizada. d) Características operativas Algunas de las características operativas sobre las que podemos actuar son el diseño del proceso de producción o la capacidad no utilizada. Por ejemplo, la llegada de IKEA a España ha revolucionado la distribución del sector de muebles. Esta empresa sueca funciona como un autoservicio. El proceso de producción, en este caso, implica mucho al cliente. Rápidamente, las empresas competidoras han optado por diferenciar su producto en aquellas características operativas que IKEA deja de lado, como por ejemplo el asesoramiento al cliente, el pago a plazos y el transporte y montaje gratuitos. En relación con la capacidad no utilizada y con la disponibilidad de información, comentamos un ejemplo curioso. Los miembros de la dotación de un coche del Departamento de Bomberos de Scottsdale (Arizona), mientras van a apagar un incendio a toda velocidad, estudian en una pantalla una microficha del plano de la planta del edificio donde deben dirigirse, examinan la disposición de la construcción, etc. De este modo, no se desaprovecha el tiempo previo a apagar el incendio y adquieren una información que puede ser de gran valor posteriormente (J.L. Heskett, pág. 93).

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2. La teoría de colas

2.1. Introducción a las líneas de espera Para cualquier tipo de empresa, de servicios o de fabricación, ya hemos comentado la importancia de satisfacer al cliente. También hemos hecho referencia a las empresas centradas en el cliente. Pensando en algunas empresas de servicios, está claro que hacer cola es motivo de insatisfacción para los clientes. En este subapartado trataremos el fenómeno de las líneas de espera, también denominado teoría de colas. Hacer cola es un fenómeno bastante cotidiano en nuestros días: en el peaje de una autopista, en la caja del supermercado, en el banco, cuando llamamos por teléfono y el receptor comunica, etc.

Las líneas de espera surgen en los sistemas informáticos productivos de bienes o de servicios siempre que los flujos de entrada y salida no están perfectamente sincronizados. Es decir, un número de unidades físicas (llegadas) intenta recibir un servicio de un número limitado de instalaciones (servidores).

Las colas pueden ser de personas o de objetos. Los trabajos esperan en cola para que las diferentes máquinas los procesen, las piezas esperan para que las acoplen, los pedidos esperan a ser procesados, las máquinas esperan su turno de mantenimiento, los materiales esperan su inspección o su transporte, etc. Incluso los documentos que hemos hecho con algún programa informático y que enviamos a imprimir deben hacer una cola de impresión, en el caso de que tengamos distintos trabajos pendientes de imprimir. Cuando somos nosotros quienes hacemos cola para recibir un servicio determinado, probablemente pensemos que la empresa que ofrece el servicio es la que nos hace esperar para ahorrarse personal, y este hecho nos insatisface. Cuando la cola es exageradamente grande sí podemos decir que hay una mala gestión por parte de la empresa. Sin embargo, en general, la existencia de colas no significa sistemáticamente que la empresa quiere ahorrar recursos y generar insatisfacción. Los problemas de líneas de espera suponen una situación de compromiso (de equilibrio) para la empresa: es preciso evaluar el coste de añadir más unidades de servicio para minimizar las colas en comparación con el coste inherente de las esperas. En ocasiones es sencillo tomar esta decisión: si los empleados de una compañía pasan mucho tiempo esperando para utilizar la fotocopiadora, hay que valorar el coste de instalar otra teniendo en cuenta el tiempo que cada trabajador ahorrará; este

Por lo que respecta a la importancia de satisfacer al cliente, consultad el apartado 2 del módulo “Gestión de la calidad total”.

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tiempo podría ser utilizado en otras actividades más productivas para la empresa. En otros casos, es más difícil de evaluar, ya que, cuando la cola es de personas, aparte de los problemas económicos, nos encontramos con el riesgo de insatisfacción de los clientes. Incluso hay ocasiones en las que una cola no se puede valorar en términos monetarios, como por ejemplo en el caso de los pacientes que esperan en el servicio de urgencias de un hospital. Tenemos que pensar que las líneas de espera son una condición que debe determinar la empresa; es la empresa la que debe tomar la decisión sobre el número de servidores que será necesario ofrecer a los clientes para recibir un servicio determinado, y fijar de este modo el número de personas u objetos que quiere tener en espera. Además, los problemas de colas son también de gran utilidad para otras cuestiones relacionadas con el diseño del proceso productivo, como por ejemplo la determinación de la mejor distribución en planta, decisiones sobre la necesidad de personal, etc. Los problemas de colas, como veremos más adelante, se pueden resolver mediante la utilización de fórmulas analíticas. Estos modelos de fórmulas tienen ciertas limitaciones como consecuencia de las restricciones de simplificación matemática; es decir, no son eficientes al ciento por ciento, pero gracias a su sencillez de aplicación pueden servir para una primera aproximación al problema.

Las colas Hay colas en todas las industrias y en todo el mundo. El McDonald’s de Moscú, por ejemplo, ubicado en la plaza Pushkin, a cuatro calles del Kremlin, presume de tener una gran capacidad (setecientos asientos interiores y doscientos exteriores), de contratar a ochocientos ciudadanos rusos, y de efectuar unas ventas anuales de diez mil millones de pesetas. Sin embargo, a pesar de su medida y su volumen, se producen líneas de espera, por lo que ha sido necesario desarrollar una estrategia de colas para poder controlarlas (J. Heizer, B. Render; 1997, pág. 458).

Para resolver problemas más complejos que requieran una solución más exacta, deberemos recurrir a la simulación. Ésta es una técnica que, como su nombre indica, simula el comportamiento de un sistema a lo largo del tiempo mediante un modelo y una serie de parámetros de entrada. A pesar de que proporciona una solución más fiable, tiene un grave inconveniente: el coste es más elevado.

2.2. Características de las líneas de espera

Definimos cola o línea de espera como el número de clientes (personas, máquinas, piezas, etc.) que esperan a ser atendidos, sin incluir a aquel cliente que ya está siendo atendido por el servidor.

Una cola está formada básicamente por tres elementos: las llegadas, la cola en sí y el servidor, como podéis observar en el gráfico siguiente.

Veamos las características de cada uno de estos elementos.

Por lo que respecta a la resolución de problemas de colas mediante fórmulas, consultad el subapartado 2.4. de este módulo.

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2.2.1. Características de las llegadas Las llegadas se caracterizan por los siguientes rasgos: 1) Fuente de población Las llegadas a un servicio se originan a partir de una fuente de población finita o infinita.

La población es una población infinita cuando el número de clientes que llegan al servicio es sólo una pequeña parte de las llegadas potenciales. La población es una población finita cuando el número de clientes que representan la fuente de población es limitado.

La mayoría de los modelos de colas suponen una población infinita, pero es importante esta distinción; por ejemplo, en el caso de poblaciones finitas, cuando un cliente deja de pertenecer a la población (pensemos en una máquina averia-

Poblaciones infinitas y poblaciones finitas Algunos ejemplos de poblaciones infinitas pueden ser los coches que llegan a un peaje de la autopista o las personas que hacen cola en un cine. Una población finita sería la formada por un conjunto de siete máquinas en un taller determinado, susceptibles de averiarse y necesitar un servicio de mantenimiento. En este caso, la fuente de población está totalmente acotada a siete máquinas, por lo que se considera finita.

da que necesita un mantenimiento), el número de clientes potenciales (máquinas en este caso) se reduce en una unidad (suponiendo una población finita de siete máquinas, ahora la población sería de seis máquinas) y, por lo tanto, se reduce la probabilidad de la siguiente avería. En cambio, cuando ya se ha hecho el mantenimiento y el cliente (máquina en buen funcionamiento) vuelve a la población (volvemos a tener siete máquinas), aumenta la población y, por lo tanto, aumenta también la probabilidad de que una máquina (cliente) requiera un nuevo mantenimiento.

En el caso de colas de población infinita, el número de clientes es lo bastante grande como para que un aumento o una disminución de este número no afecte a las probabilidades del sistema.

Entonces podríamos pensar, por ejemplo, que la cola para obtener algún servicio de una oficina del INEM puede ser de población finita, ya que el número de personas paradas, a pesar de ser (por desgracia) grande, es finito. Cuando el número de posibles clientes es elevado, como en este caso, la fuente de población se considera infinita, ya que, como hemos comentado antes, un aumento o una disminución de esta población no afecta al comportamiento del sistema. Por lo tanto, sería también un problema de cola de población infinita el caso de un médico con ochocientos pacientes o el servicio de nóminas de una empresa de mil doscientos trabajadores.

Finalmente, debemos tener en cuenta que para resolver problemas de colas de población finita nos hará falta un modelo de fórmulas diferente del que corresponde a las colas infinitas, como ya veremos más adelante.

Consultad la resolución de problemas de colas de poblaciones finitas en el subapartado 2.4.6. de este módulo.

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2) Tipos de distribución de las llegadas Las llegadas se caracterizan por su distribución estadística, que se puede hacer de las siguientes dos formas: a) En función de la distribución del número de llegadas (n) para cada unidad de tiempo (T). b) En función de la distribución del tiempo entre llegadas (t).

Por ejemplo,... ... en un banco pueden llegar diez clientes por hora (número de llegadas por unidad de tiempo) o un cliente cada seis minutos (tiempo entre llegadas).

Definimos la tasa de llegadas (λ) como el número medio de clientes que llegan al sistema para ser atendidos, por unidad de tiempo*.

El número de elementos que llega a una cola puede ser constante o variable. Por ejemplo, las piezas que se fabrican de forma automatizada llegan a las diferentes etapas del proceso de forma constante en el tiempo. Sin embargo, este hecho no es demasiado habitual. El caso general es el de colas variables, en el que las llegadas tienen lugar de forma variable, como por ejemplo, la llegada de clientes a una tienda o la de coches a una gasolinera. Cuando las llegadas son aleatorias, el número de llegadas por periodo sigue una distribución de probabilidad de Poisson, mientras que el tiempo entre llegadas sigue una distribución exponencial negativa. Por lo tanto, la utilización de una distribución o de otra dependerá de estas variables. Estudiemos estas distribuciones con mayor detenimiento: a) Distribución de Poisson Cuando las llegadas son aleatorias, nos interesa conocer la probabilidad de que tengan lugar n llegadas en un periodo T determinado, donde n = 0, 1, 2, etc. Si suponemos que estas llegadas se producen de forma constante (es decir, la tasa media de llegadas es constante) y que son independientes entre sí, el número de llegadas por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson:

n

– λT

λ ⋅ T) ⋅ e P T ( n ) = (-------------------------------n!

donde λ = tasa media de llegadas por unidad de tiempo; T = periodo de tiempo; n = número de llegadas durante el periodo T (n = 0, 1, 2...); PT(n) = probabilidad de que tengan lugar n llegadas en el tiempo T.

* Por ejemplo, diez clientes por hora.

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b) Distribución exponencial negativa La distribución exponencial negativa es la que siguen los tiempos entre llegadas t cuando son aleatorias. En este caso, la función de probabilidad es la siguiente:

P(T ≤ t) = 1 − e−λt

donde: λ = tasa media de llegadas por unidad de tiempo; T = tiempo entre llegadas; t = tiempo determinado (0 ≤ t < α); P(T≤ t) = probabilidad de que el tiempo entre llegadas T sea menor o igual que un valor determinado t de tiempo. c) Otros Hay otras distribuciones posibles para las llegadas de clientes a un servicio, como por ejemplo la distribución de Erlang, la más conocida, pero que no veremos aquí por problemas de extensión. 3) Nivel de paciencia Por lo que respecta a las llegadas, también es preciso definir el nivel de paciencia de los clientes. ¿Cuánto tiempo estarán dispuestos a esperar los clientes en la cola? Algunos de ellos ni siquiera la harán, pues se marcharán antes de esperar a que el servidor los atienda, y otros esperarán un tiempo prudencial y decidirán marcharse después de haber analizado la situación.

2.2.2. Características de las colas

Las características que definen las colas de clientes que esperan a ser atendidos son las siguientes:

1) Longitud

Cuando se habla de colas, también es necesario identificar su longitud. Se considera una cola de longitud infinita aquella cuya longitud es muy superior a la capacidad de servicio del sistema.

El nivel de paciencia y los espejos Se ha comprobado que en los edificios de oficinas y en los hoteles, los espejos junto al ascensor o dentro de la cabina hacen la espera más agradable, porque la gente se peina, se arregla el vestido, etc. Un estudio demostró que a los huéspedes de un hotel con espejos en los ascensores les parecía que los ascensores eran más rápidos que a los clientes de los hoteles donde no había espejos. En realidad, las esperas de los ascensores eran idénticas; la única diferencia consistía en la percepción que la gente tenía de estas esperas (J. Heizer, B. Render; 1997, pág. 459).

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Las colas de longitud infinita son, por ejemplo, las formadas por kilómetros de vehículos en una carretera a la vuelta de las vacaciones, las que se generaron en la Expo de Sevilla, las que hay un día concurrido de verano en Port Aventura o las que dan la vuelta a una manzana del Ensanche para entrar en el cine. Las colas en Disney De la factoría Disney, el Epcot Center y Disney World en Orlando, Disneyland en California y en París, y Disney Japan en Tokio tienen una característica común: grandes colas y esperas interminables. A pesar de ello, es una de las compañías líderes del mundo en el análisis científico de las colas. Analiza los comportamientos de las colas y puede prever qué cantidad de personas acudirá a cada una de las atracciones. Para mantener felices a los visitantes, Disney desarrolla tres acciones: 1) Hace que parezca que las colas se mueven constantemente hacia adelante. 2) Entretienen a la gente mientras hace cola. 3) Colocan rótulos en los que se indica a los visitantes cuántos minutos deben estar en la cola para cada atracción. De este modo, los padres pueden decidir si una espera de veinte minutos para Small World vale más la pena que una de treinta minutos para Mr. Frog’s Wild Ride (J. Heizer, B. Render; 1997, pág. 456).

En otros casos, hay un límite para la longitud de una cola. Una cola de longitud finita o de capacidad limitada es aquella que físicamente no dispone de suficiente espacio para incluir a un nuevo cliente.

Un ejemplo de cola de longitud finita sería el de una gasolinera con espacio físico para un número limitado de vehículos, los cuales, una vez superado este límite, no podrían quedarse esperando en la calle (por ejemplo, porque la calle fuese de un solo carril, con lo que podría colapsarse el tráfico habitual). En este caso, por falta de espacio, no puede entrar una nueva llegada en la cola, por lo que deberá intentarlo posteriormente o buscar otro servicio. Otro caso sería el de un aeropuerto que ya tuviese un número de aviones igual a su capacidad límite, de forma que sería necesario suprimir las nuevas llegadas y dirigirlas hacia otro aeropuerto cercano. 2) Número de colas

Las colas únicas son aquellas que están formadas por una sola línea. Se consideran colas múltiples las colas únicas formadas ante dos o más servidores.

En el caso de colas múltiples, como por ejemplo las que se forman ante las cajas de un supermercado, los clientes cambian de cola si los servicios previos han sido de corta duración o si se prevé que lo sean (como ocurre cuando el carro de la compra de la persona de la cola de al lado no está demasiado lleno).

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En ocasiones, para evitar que un cliente espere más por haberse situado en una cola determinada, se suele hacer una única cola que se bifurca en los diferentes servidores cuando el anterior cliente ha acabado su servicio (por ejemplo, las colas de los bancos o de las cajas de ahorros). Finalmente, hay casos en los que los servicios son prácticamente iguales y, por lo tanto, el tiempo de servicio es similar. Por ejemplo, éste es el caso de la matriculación en una facultad, en la que no hay diferencias significativas entre las colas de las distintas ventanas. 3) Disciplina de una cola

La disciplina de la cola se refiere a cómo se atienden las llegadas. El caso más habitual de disciplina es el denominado FIFO (del inglés First In First Out); es decir, el primero que llega será el primero en ser atendido por el servidor.

Esta disciplina es en principio la más justa, a pesar de que puede discriminar las llegadas que sólo necesiten un periodo breve de tiempo de servicio. En este caso, hay métodos de estructuración de las colas, como por ejemplo las cajas rápidas de los supermercados para uso exclusivo de clientes con una compra de menos de diez artículos. Otras disciplinas pueden ser las siguientes: • Las emergencias, primero (utilizada en los servicios de urgencias de los hospitales). • Los mejores clientes, primero (utilizada en algunos bancos). • Las reservas, primero (utilizada en algunos restaurantes), etc. 4) Estructura

La estructura de una cola viene determinada por el número de servidores o de canales, así como por el número de fases de las que consta el servicio. Un servicio multifase es aquél en el que el cliente debe pasar por una secuencia de dos o más servidores para que el servicio finalice.

La combinación de servidores (un canal o multicanal) y de fases únicas o múltiples da lugar a los siguientes tipos de estructura: a) Un canal y una fase Éste es el tipo de estructura más básico. Sería el caso de un banco con una sola ventanilla de caja abierta.

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Estructura de una cola con un canal y una fase

b) Un canal y múltiples fases Éste es el caso de una cola a la espera para obtener un servicio que se efectúa mediante una secuencia de diferentes fases. Por ejemplo, un centro de lavado de coches, donde el vehículo va pasando por los diferentes servidores según la secuencia de servicio: aspiración interior, lavado de exterior, enjuague del exterior, secado, limpieza de cristales, etc. En sistemas de un canal y multifase se da el inconveniente de los diferentes tiempos de servicio de cada servidor (el tiempo de lavado puede ser diferente del tiempo de secado del coche), lo cual puede generar colas de espera ante cada operación. Cuando esto no es físicamente posible, la capacidad de toda la secuencia dependerá del tiempo del servicio intermedio más lento.

Estructura de una cola con un canal y múltiples fases

c) Múltiples canales y una fase Éste es el caso de un banco con varias ventanillas o el caso de los supermercados con múltiples cajas de pago. En estos sistemas, el inconveniente se presenta cuando los tiempos de servicio para los diversos clientes es diferente; por ejemplo, cuando la cola de una caja de un supermercado va más de prisa que otra. Entonces, la disciplina del “primero en llegar, primero en ser atendido” se puede alterar. Por este motivo, en algunos bancos, lo que se hace es formar una cola única, desde la que se van distribuyendo los clientes a los diferentes servidores cuando quedan libres. Estructura de una cola con múltiples canales y una fase

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d) Múltiples canales y múltiples fases Esto es lo que ocurre en el caso, por ejemplo, de una peluquería grande donde en un servidor se lava el pelo, en otro se hacen los tintes, en otro las permanentes, en otro se peina a los clientes y en otro se cobra el servicio.

Estructura de una cola con múltiples canales y múltiples fases

2.2.3. Características del servicio Dentro del servicio estudiamos las siguientes características: 1) Tasa de servicio

Definimos tasa de servicio (µ) como el número de llegadas que puede atender un servidor por unidad de tiempo. También se denomina capacidad del servidor*.

Además de la capacidad del servidor, una de las características del servicio que afecta a los problemas de colas es la distribución del tiempo de servicio. Al igual que los tiempos entre llegadas, los tiempos de servicio pueden variar de un cliente al siguiente. La distribución exponencial representa una aproximación de la distribución de los tiempos de servicios variables. Cuando los servidores son máquinas, cada servicio será llevado a cabo en el mismo tiempo y, por lo tanto, el tiempo de servicio será constante. Esto es lo que ocurre en el caso, por ejemplo, de una máquina expendedora de café. 2) Condición de salida de un cliente Cuando un cliente ha recibido el servicio, puede volver a la fuente de población susceptible de necesitar un nuevo servicio o, en cambio, puede salir del sistema con una baja probabilidad de volver a él. El primer caso sería, por ejemplo, el de una máquina que, después de ser reparada y devuelta a su estado de funcionamiento, se podría volver a averiar. El segundo caso sería el de una máquina en mejor estado que, después de reparada, tuviese una probabilidad muy baja de volverse a averiar.

* Por ejemplo, un cajero de un banco puede atender a quince personas por hora.

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Cuando la fuente de población es finita, cualquier cliente que vuelve a la población altera el número de llegadas a un nuevo servicio, circunstancia que modifica las características de la cola de espera y requiere un nuevo estudio del problema.

2.3. Aplicación de los modelos de colas en el diseño de sistemas La teoría de colas es de gran utilidad para la determinación de las características de funcionamiento de un sistema ya establecido o para el diseño de uno nuevo, de acuerdo con objetivos determinados. En este último caso, será necesario valorar las posibles soluciones alternativas en función de algún parámetro concreto, como por ejemplo el número de servidores. Con frecuencia, el objetivo que hay que considerar es minimizar el coste (funcionamiento, desplazamiento y espera) o conseguir un cierto nivel de servicio al mínimo coste (un posible problema sería determinar el mínimo número de servidores posible para conseguir un nivel de servicio concreto). En los siguientes subapartados podremos comprobar este ejemplo, en los ejemplos que proponemos para cada modelo de colas.

2.4. Los modelos En función de las diferentes variables que acabamos de estudiar sobre el comportamiento de las colas, hay varias fórmulas aplicables para resolver determinados problemas de líneas de espera. A continuación, exponemos seis de los modelos más habituales. La notación que utilizaremos para resolver los problemas de colas será diferente según se trate de una población finita o infinita. La que corresponde a poblaciones infinitas es la siguiente: Notación de la ecuaciones de colas para una población infinita λ

= tasa de llegadas (número medio de llegadas por unidad de tiempo)

µ

= tasa de servicio o capacidad del servicio (número de servicios por unidad de tiempo)

1/µ = tiempo medio de servicio 1/λ = tiempo medio entre llegadas ρ

= factor de servicio o de utilización de la instalación de servicio (λ/µ)

σ

= desviación estándar

nl

= número medio de esperas en cola

ns

= número medio de unidades en el sistema (cola + servicio)

tl

= tiempo medio de espera de las unidades en la cola

ts

= tiempo total medio de espera de las unidades en el sistema (cola + servicio)

n

= número de unidades en el sistema

M

= número de canales de servicios idénticos

Q

= longitud máxima de la cola (espera + servicios)

Pn = probabilidad de que haya n unidades en el sistema Pw = probabilidad de esperar en la cola

La notación de las ecuaciones para poblaciones finitas se expone en el subapartado 2.4.6. de este módulo.

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Veamos estos seis modelos más habituales para resolver problemas de colas.

2.4.1. Modelo 1 1) Características del modelo Podemos resumir las características generales de este modelo en la siguiente tabla: Número de canales

1

Fuente de la población

Infinita

Estructura de las llegadas

Distribución de Poisson

Disciplina de la cola

FIFO

Estructura de los servicios

Distribución exponencial

Longitud de la cola

Infinita

2) Fórmulas 2

λ • Número medio de unidades esperando en la cola: n l = -----------------------µ ⋅ (µ – λ ) λ • Número medio de unidades esperando en el sistema: n s = ----------------(µ – λ) λ • Tiempo medio de espera en la cola: t l = ------------------------µ ⋅ (µ – λ) 1 • Tiempo medio de espera de las unidades en el sistema: t s = ----------------(µ – λ) λ λ n • Probabilidad de que haya n unidades en el sistema: P n =  1 – --- ⋅  ---  µ  µ λ • Factor de utilización: ρ = --µ 3) Ejemplo Un restaurante que ofrece comida rápida de estilo americano quiere abrir un nuevo servicio para los clientes que quieran adquirir el producto sin bajar del coche. Por experiencias de la misma cadena de restaurantes en otras ciudades, se calcula que los clientes llegarán a una tasa de ocho por hora, según una distribución de Poisson. La persona encargada de este nuevo servicio puede atender a un cliente cada cinco minutos, según una distribución exponencial. Por lo tanto, los datos de los que disponemos son los siguientes: • Tasa de llegadas: λ = 8 clientes / hora. • Tasa de servicio: µ = 12 clientes / hora (un cliente cada 5 minutos). • Estructura de las llegadas: distribución de Poisson.

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• Estructura del servicio: distribución exponencial. A partir de este planteamiento, queremos conocer las siguientes cuestiones: a) Utilización del servicio: λ 8 ρ = --- = ------ = 0,67 ⇒ 67%. µ 12 b) Media de clientes esperando en la cola y en el servicio: 2

2

λ 8 n l = ------------------------- = -------------------------------- = 1,33 clientes; µ ⋅ (µ – λ ) 12 ⋅ ( 12 – 8 ) λ = --------------8 - = 2 clientes. n s = -----------µ–λ 12 – 8 c) Tiempo medio de espera en la cola y en el sistema: λ 8 t l = ------------------------- = -------------------------------- = 0,17 horas ⇒ 10 minutos; µ ⋅ (µ – λ ) 12 ⋅ ( 12 – 8 ) 1 1 t s = ------------ = ---------------- = 0,25 horas ⇒ 15 minutos. µ–λ 12 – 8 d) Si los clientes se retiran de la cola siempre que encuentran a otros tres clientes delante suyo en el sistema, ¿cuál es la proporción de clientes que se pierde? La probabilidad de que haya n elementos en el sistema es:

λ λ n P n =  1 – --- ⋅  ---  µ  µ

Por lo tanto: •

8 8 0 n = 0 ⇒ P 0 =  1 – ------ ⋅  ------ = 0,333; 12 12

•

8  ⋅  -----8  1 = 0,222; n = 1 ⇒ P 1 =  1 – ----- 12  12

•

8 8 2 n = 2 ⇒ P 2 =  1 – ------ ⋅  ------ = 0,148;    12 12

•

8 8 3 n = 3 ⇒ P 3 =  1 – ------ ⋅  ------ = 0,099;    12 12

Con lo que, en total, la probabilidad de que haya 0, 1, 2 ó 3 elementos en el sistema es 0,802. Por lo tanto, en este caso, garantizamos un nivel de servicio del 80,2%. La proporción de clientes que se pierde será: 1 − (0,333 + 0,222 + 0,148 + 0,099) = 0,198 ⇒ 19,8%.

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e) Para no perder a estos clientes, ¿cuál debe ser la capacidad del empleado para garantizar un nivel de servicio del 90%? Debemos resolver la siguiente ecuación: 0,90 = P0 + P1 + P2 + P3 ; λ 0 λ 1 λ 2 λ 3 λ λ λ λ 0,90 =  1 – --- ⋅  --- +  1 – --- ⋅  --- +  1 – --- ⋅  --- +  1 – --- ⋅  --- ; µ µ µ µ µ µ µ µ 2 3 0,90 =  1 – --λ- ⋅ 1 +  --λ- +  --λ- +  --λ- .  µ   µ  µ µ

Por prueba y error: 2 3 λ • Si --- = 0,5 ⇒ 0,90 ≠ ( 1 – 0,5 ) ⋅ [ 1 + 0,5 + 0,5 + 0,5 ] = 0,94. µ 2 3 λ • Si --- = 0,55 ⇒ 0,90 ≠ ( 1 – 0,55 ) ⋅ [ 1 + 0,55 + 0,55 + 0,55 ] = 0,91. µ 2 3 λ • Si --- = 0,56 ⇒ 0,90 ≈ ( 1 – 0,56 ) ⋅ [ 1 + 0,56 + 0,56 + 0,56 ] = 0,90. µ

λ Con --- = 0,56 , la probabilidad de que haya tres automóviles o menos en el µ sistema es del 90%. λ 8 Por lo tanto: --- = 0,56 ⇒ µ ------ = 14 clientes / hora. µ 56 Es preciso aumentar la tasa de servicio de doce a catorce clientes por hora. Podríamos añadir un segundo empleado, pero pensemos que la inactividad de uno de ellos ya es del 33% (1 – 0,67) del tiempo. Ya hemos comentado anteriormente que, con frecuencia, la solución a los problemas de colas es una decisión de compromiso entre el número de servidores y la posible insatisfacción de los clientes.

2.4.2. Modelo 2 1) Características del modelo Las características del modelo son las que exponemos en la tabla siguiente: Número de canales

1

Fuente de la población

Infinita

Estructura de las llegadas

Distribución de Poisson

Disciplina de la cola

FIFO

Estructura de los servicios

Constante

Longitud de la cola

Infinita

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2) Fórmulas Las fórmulas de este segundo modelo son las siguientes: 2

λ • Número medio de unidades que esperan en la cola: n l = ----------------------------2µ ⋅ ( µ – λ ) λ • Número medio de unidades que esperan en el sistema: n s = n l + --µ λ • Tiempo medio de espera en la cola: t l = ----------------------------2µ ⋅ ( µ – λ ) 1 • Tiempo medio de espera de las unidades en el sistema: t s = t l + --µ 3) Ejemplo

Un centro médico dedicado a hacer certificados para el automovilista (imprescindibles para obtener el carnet de conducir o para renovarlo), al ver las necesidades de su clientela, ha decidido instalar una máquina de revelado rápido de fotos tamaño carnet exclusiva para sus clientes. La empresa quiere alquilar la máquina, siempre que le sea rentable, y dispone de dos alternativas: • Opción 1: – Máquina capaz de revelar cuatro fotos cada cuatro minutos. – Coste diario del alquiler y mantenimiento: 20.000 u.m. • Opción 2: – Máquina capaz de revelar cuatro fotos cada tres minutos. – Coste diario del alquiler y mantenimiento: 30.000 u.m. El beneficio obtenido por la empresa de cada servicio fotográfico (lote de cuatro fotografías) es de 300 u.m. El centro médico, que está abierto diez horas diarias, atiende a treinta y seis personas por hora, de las cuales se prevé que una tercera parte utilice la máquina de fotos. De este modo, deberemos basar nuestro razonamiento en los datos siguientes: • Tasa de llegadas: λ = 12 clientes/hora. • Tasa de servicio (opción 1): µ = 15 clientes/hora (es decir, un cliente cada cuatro minutos). • Tasa de servicio (opción 2): µ = 20 clientes/hora (un cliente cada tres minutos). • Estructura de las llegadas: distribución de Poisson. • Estructura del servicio: constante.

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Al director del centro le interesa obtener la siguiente información: a) Media de clientes en cola y tiempo medio de espera en la cola para las dos opciones: • Opción 1: – λ = 12 clientes/hora y µ = 15 clientes/hora. – Media de clientes esperando en la cola: 2

2

12 λ n l = ----------------------------- = ------------------------------------------- = 1,6 clientes. 2µ ⋅ ( µ – λ ) 2 ⋅ 15 ⋅ ( 15 – 12 ) – Tiempo medio de espera en la cola: λ 12 t l = ----------------------------- = ------------------------------------------- = 0,133 horas ⇒ 8 minutos. 2µ ⋅ ( µ – λ ) 2 ⋅ 15 ⋅ ( 15 – 12 ) • Opción 2: – λ = 12 clientes/hora y µ = 20 clientes/hora. – Media de clientes esperando en la cola: 2

2

λ 12 n l = ----------------------------- = ------------------------------------------- = 0,45 clientes. 2µ ⋅ ( µ – λ ) 2 ⋅ 20 ⋅ ( 20 – 12 ) – Tiempo medio de espera en la cola: 2

λ 12 T l = ----------------------------- = ------------------------------------------- = 0,037 horas ⇒ 2,25 minutos. 2µ ⋅ ( µ – λ ) 2 ⋅ 20 ⋅ ( 20 – 12 ) b) El director del centro médico piensa que los clientes no esperarán haciendo cola más de tres minutos, ya que justo al lado de su establecimiento hay una entrada de metro donde también han instalado una máquina de fotos para carnet de características similares. En este caso, ¿qué opción será necesario elegir? ¿Cuántos clientes por hora se marcharían si finalmente se decidiese alquilar la máquina de la opción 1? Si no se quiere perder clientes, tendrán que estar en la cola como máximo durante una media de tres minutos. Por lo tanto, tendremos que elegir la opción 2. En el caso de la opción 1, si t l = 3 minutos = 0,05 horas: λ λ t l = ---------------------------- ⇒ 0,05 = --------------------------------------- ⇒ 1,5 ⋅ ( 15 – λ ) = λ ⇒ 2µ ⋅ ( µ – λ ) 2 ⋅ 15 ⋅ ( 15 – λ ) ⇒ 22,5 – 1,5 ⋅ λ = λ ⇒ 22,5 = 2,5 ⋅ λ. λ = 9 clientes/hora. Por lo tanto, perdemos tres clientes por hora.

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c) Económicamente, ¿cuál es la opción más rentable para el centro, considerando los tres clientes perdidos por hora en el caso de la opción 1? La máquina de la opción 1 nos cuesta, en concepto de alquiler y mantenimiento, 20.000 u.m. al día, mientras que la máquina de la opción 2 sale a 30.000 u.m. diarias. Con la máquina 1, si podemos atender a nueve clientes por hora (ya que perdemos tres), los ingresos diarios serán: 9 clientes 10 horas 300 u.m. -------------------------- ⋅ ------------------------ ⋅ ------------------------- = 27.000 u.m. ⁄ día. hora día cliente Y los beneficios diarios serán de: 27.000 − 20.000 = 7.000 u.m./día. En cambio, con la opción 2 podemos atender a los doce clientes por hora que quieren utilizar el servicio fotográfico: 12 clientes- ⋅ 10 horas- ⋅ 300 u.m.- = 36.000 u.m. ⁄ día. -------------------------------------------------------------------------hora día cliente Por lo tanto, el beneficio será de 36.000 − 30.000 = 6.000 u.m./día. De este modo, incluso perdiendo tres clientes por hora, la opción 1 es más interesante económicamente para el centro. Lo que debemos valorar es si estas mil u.m. de diferencia que ganamos con la opción 1, en relación con la opción 2, compensan los treinta clientes diarios que perdemos (tres por hora), que tal vez se marchan insatisfechos del servicio. También habrá que valorar si se prevé un aumento de la tasa de llegadas, con lo que podríamos elegir la máquina de la opción 2 en previsión de futuro.

2.4.3. Modelo 3

1) Características del modelo

La siguiente tabla reúne las características de este tercer modelo de comportamiento de las colas: Número de canales

1

Fuente de la población

Infinita

Estructura de las llegadas

Distribución de Poisson

Disciplina de la cola

FIFO

Estructura de los servicios

Distribución exponencial

Longitud de la cola

Finita

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2) Fórmulas Las fórmulas de este tercer modelo son las siguientes: • Número medio de unidades que esperan en la cola: Q+1

Q

 1 – Q ⋅  --λ- + ( Q – 1 ) ⋅  --λ-   µ  µ  λ   n l = --- ⋅  ------------------------------------------------------------------------------- Q  µ    1 – --λ- ⋅ 1 –  --λ-     µ µ 2

• Número medio de unidades esperando en el sistema: Q Q+1  1 – ( Q + 1 ) ⋅  --λ- + Q ⋅  --λ-  µ  µ  n s = --λ- ⋅  -----------------------------------------------------------------------------Q+1 µ   1 – --λ- ⋅ 1 –  --λ-    µ µ

    

• Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:  1 – --λ-   µ  ⋅  --λ- n P n =  --------------------------  1 –  --λ- Q + 1  µ    µ 3) Ejemplo Una gasolinera con un único surtidor sólo dispone de espacio para tres vehículos (cola + servicio). La tasa media de llegadas es de diez coches por hora, y la tasa de servicio es de treinta coches por hora. Se supone que las llegadas siguen una distribución de Poisson y el servicio, una distribución exponencial.

Es decir, los datos de nuestro ejemplo son los siguientes: • Tasa de llegadas: λ = 10 coches/hora. • Tasa de servicio: µ = 30 coches/hora. • Estructura de las llegadas: distribución de Poisson. • Estructura del servicio: distribución exponencial. • Longitud máxima de la cola: Q = 3 coches.

Ahora queremos saber cuál es la solución a las siguientes cuestiones:

a) Número medio de automóviles esperando en el sistema y porcentaje del tiempo en el que se sirve gasolina respecto del tiempo total:

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El número medio de vehículos esperando en el sistema es: Q+1

Q

 1 – ( Q + 1 ) ⋅  --λ- + Q ⋅  --λ-  µ  µ λ  n s = --- ⋅  -----------------------------------------------------------------------------Q+1 µ   1 – --λ- ⋅ 1 –  --λ-    µ µ 3

   =  

4

 1 – ( 3 + 1 ) ⋅  10 ------ + 3 ⋅  10 ------   30  30  10  - = 0,45 automóviles. = ------ ⋅  --------------------------------------------------------------------------30  10 4   1 – 10   ------ ⋅ 1 – -----    30 30 La probabilidad de que haya n unidades en el sistema es:  1 – --λ-   µ   λ n P n =  -------------------------- ⋅ -- 1 –  --λ- Q + 1  µ    µ Por lo tanto, la probabilidad de que no haya ningún coche en el sistema es:  1 – 10 ------  0  30 - ⋅  10 P 0 =  ----------------------  ------ = 0,675 ⇒ 1 – P 0 = 0,325 ⇒ 32,5%. 4 30  1 –  10 ------    30  Se sirve gasolina el 32,5% del tiempo. b) La calle donde se ubica la gasolinera estaba hasta ahora en obras, por lo que el tráfico era inferior a lo habitual. La semana que viene se abren al tráfico dos carriles más de los que ya hay actualmente, y la tasa de llegadas aumentará hasta veinte coches por hora. ¿Cuál será ahora el número medio de vehículos en el sistema y el porcentaje del tiempo de servicio? Ahora la tasa de llegadas es λ = 10 coches/hora, y la tasa de servicio es µ = 30 servicios/hora. El número medio de vehículos que esperan en el sistema será: 3 20 4  1 – ( 3 + 1 ) ⋅  20 ------ + 3 ⋅  ------  30  30 20  n s = ------ ⋅  --------------------------------------------------------------------------4 30   1 – 20  ⋅ 1 –  20  ----------   30 30

   = 1,02 automóviles.  

La probabilidad de que no haya ningún coche en el sistema es:  1 – 20 ------   30 20 0 P 0 =  -----------------------4- ⋅  ------ = 0,415 ⇒ 1 – P 0 = 0,585 ⇒ 58,5%.  30  1 –  20 ------    30  En este caso, se atiende a los clientes el 58,5% del tiempo. Como es evidente, ha aumentado la actividad de la gasolinera.

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c) En función del incremento de la tasa de llegadas, el espacio de tres coches actualmente disponible en la gasolinera se considera insuficiente. Por ello se quieren hacer reformas para redistribuir el espacio, redistribución que, con la nueva repartición, daría cabida a cinco coches. ¿Cómo afecta este hecho al número medio de clientes en el sistema? ¿Cuál será ahora el porcentaje de tiempo activo del servidor? Ahora tenemos que Q = 5 automóviles, λ = 10 coches/hora y µ = 30 servicios/hora. El número medio de vehículos esperando en el sistema será el siguiente: 5

6

 + 5 ⋅  20   1 – ( 5 + 1 ) ⋅  20  ----- -----30 30 20  n s = ------ ⋅  --------------------------------------------------------------------------30  20 6  1 – 20   ------ ⋅ 1 – -----   30 30

   = 1,42 automóviles.  

La probabilidad de que no haya ningún coche en el sistema será:  1 – 20 ------   30 20 0 P 0 =  -----------------------6- ⋅  ------ = 0,365 ⇒ 1 – P 0 = 0,585,635 ⇒ 63,5%.    1 –  20   30   -----30  Por lo tanto, la nueva redistribución de la gasolinera ha hecho aumentar el tiempo en el que realmente se atiende a los clientes al 63,5% del tiempo total.

2.4.4. Modelo 4 1) Características del modelo Como en el resto de los modelos, definimos las características del modelo: Número de canales

1

Fuente de la población

Infinita

Estructura de las llegadas

Distribución de Poisson

Disciplina de la cola

FIFO

Estructura de los servicios

Distribución discreta

Longitud de la cola

Infinita

2) Fórmulas La utilización de este modelo implicará el uso de las siguientes fórmulas: 2

 --λ- + λ 2 ⋅ σ 2  µ • Número medio de unidades esperando en la cola: n l = ---------------------------------λ 2 ⋅  1 – ---  µ

31

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λ • Número medio de unidades esperando en el sistema: n s = n l + --µ 2 λ -----2 + λ ⋅ σ µ • Tiempo medio de espera en la cola: t l = -------------------------λ 2 ⋅  1 – ---  µ

1 • Tiempo medio de espera de las unidades en el sistema: t s = t l + --µ 3) Ejemplo Un economista, dedicado a la consultoría de empresas, recibe solicitudes de nuevos clientes, según una distribución de Poisson, con una media de diez cada año. Ya que es un buen profesional, únicamente se dedica a un solo caso a la vez, de forma que los clientes (empresas) deben esperar su turno. Durante el año pasado llevó a cabo diez proyectos con los plazos de ejecución siguientes: 31, 30, 28, 29, 33, 30, 32, 27, 31 y 29 días. Por lo tanto, los datos de los que disponemos son los siguientes: • Tasa de llegadas: λ = 10 empresas/año. • Estructura de las llegadas: distribución de Poisson. • Estructura del servicio: distribución discreta. • Datos de los tiempos de servicios anteriores: 31, 30, 28, 29, 33, 30, 32, 27, 31 y 29 días. a) Tiempo medio de ejecución de un proyecto (tiempo medio de servicio):

N Xi 31 + 30 + 28 + 29 + 33 + 30 + 32 + 27 + 31 + 29 i∑ =1 X = ------------- = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ = 30 días; N 10

2

2

2

2

2

2 ( 31 – 30 ) + ( 30 – 30 ) + ( 28 – 30 ) + ( 29 – 30 ) + ( 33 – 30 ) σ = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + 10

2

2

2

2

2

( 30 – 30 ) + ( 32 – 30 ) + ( 27 – 30 ) + ( 31 – 30 ) + ( 29 – 30 ) + ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 3,4 días; 10 1 µ = ------------------= 0,0333 proyectos/día = 1 proyecto/mes. 30 días b) Número medio de clientes en espera: 2 2 2 2  --λ- + λ 2 ⋅ σ 2  0,0274 ------------------- + 0,0274 ⋅ 3,4  µ   0,0333 λ 0,0274 n s = ---------------------------------- + --- = ----------------------------------------------------------------------- + ------------------- = 2,76 clientes. µ 0,0333 λ 0,0274 2 ⋅  1 – --- 2 ⋅  1 – ------------------- µ 0,0333

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c) Tiempo medio de espera de un cliente: 2 λ -----2 + λ ⋅ σ µ 1 t s = -------------------------- + --- = µ 2 ⋅  1 – --λ-   µ

2 0,0274 --------------------2- + 0,0274 ⋅ 3,4 0,0333 1 --------------------------------------------------------------- + ------------------- = 100,65 días. 0,0333 2 ⋅  1 – 0,0274 -------------------  0,0333

Los clientes deberán esperar más de tres meses para que el consultor los atienda.

2.4.5. Modelo 5 1) Características del modelo A continuación exponemos las características del modelo en forma de tabla: Número de canales

Múltiples

Fuente de la población

Infinita

Estructura de las llegadas

Distribución de Poisson

Disciplina de la cola

FIFO

Estructura de los servicios

Distribución exponencial

Longitud de la cola

Infinita

2) Fórmulas Para utilizar este modelo nos harán falta las siguientes fórmulas: λ • Factor de servicio: ρ = ------------M⋅µ λ M λ ⋅ µ ⋅  ---  µ • Número medio de unidades esperando en la cola: n l = ---------------------------------------------------2 ⋅ P 0 ( M – 1 )! ( M ⋅ µ – λ ) λ • Número medio de unidades esperando en el sistema: n s = n l + --µ P0 λ M • Tiempo medio de espera en la cola: t l = ----------------------------------------------------------- ⋅  --- 2  µ λ µ ⋅ M ⋅ M! ⋅  1 – -------------  µ ⋅ M --• Tiempo medio de espera de las unidades en el sistema: t s = t l + 1 µ • Probabilidad de que no haya ninguna unidad en la cola: 1 P 0 = ---------------------------------------------------------------------n M  --λ-  --λ- M–1     µ ∑ µ n = 0 ----------- + ---------------------------------------n! λ M! ⋅  1 – -------------  µ ⋅ M

Recordad que M es el número de canales de servicios idénticos.

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• Probabilidad de esperar en la cola: P0 λ M P W =  --- ⋅ -------------------------------------- µ λ   M! ⋅ 1 – ------------ µ ⋅ M 3) Ejemplo Los trabajadores de una compañía (clientes internos) llegan al servicio de personal de la empresa de forma aleatoria (Poisson), con una tasa de cuarenta por hora durante las siete horas que permanece abierto al público. Un empleado del servicio puede atender a veinte clientes por hora según una distribución exponencial. El coste de los empleados del departamento de personal es de 1.500 u.m. por hora y el del resto de los trabajadores de la empresa que utilizan este servicio es, de media, de 3.000 u.m. por hora. Actualmente hay tres ventanas de atención al público (clientes internos), y se quiere comprobar si es conveniente para la empresa añadir una cuarta. Es decir, nuestros datos son los siguientes: • Tasa de llegadas: λ = 40 clientes/hora. • Tasa de servicio: λ = 20 clientes/hora. • Estructura de las llegadas: distribución de Poisson. • Estructura del servicio: distribución exponencial. • Número de canales de servicio: M = 3. Para ver si es necesario añadir o no un cuarto empleado, debemos calcular lo siguiente: a) Probabilidad de que no haya ningún elemento en la cola: 1 P 0 = ---------------------------------------------------------------------n M λ  ---  --λ- M–1  µ ∑  µ n = 0 ----------- + ---------------------------------------n! λ - M! ⋅  1 – ----------- µ ⋅ M • Si M = 3 canales de servicio (ventanillas de atención a los empleados de la empresa), tenemos que: 1 P 0 = ------------------------------------------------------------------------- = n 3 40 2  ------  40 ------  20 ∑  20 - + --------------------------------------n = 0 -------------n! 40  3! ⋅  1 – ------------- 20 ⋅ 3 1 = ------------------------------------------------------------------------------- = 0,111. 0 1 2 3 2 2 2 2 ----- + ----- + ----- + -----------------------------------------0! 1! 2! 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 – 4 ---  6

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• Si M = 4 ventanillas, nos encontramos con lo siguiente: 1 - = P 0 = -----------------------------------------------------------------------n 40 4 3   40  ---------- 20 ∑  20 - + --------------------------------------n = 0 -------------n! 40 4! ⋅  1 – -------------- 20 ⋅ 4 1 = --------------------------------------------------------------------------------------------------- = 0,130. 0 1 2 3 4 2 2 2 2 2 ----- + ----- + ----- + ----- + -------------------------------------------------0! 1! 2! 3! 4 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅  1 – ---  8 b) Número medio de clientes esperando en la cola: λ M λ ⋅ µ ⋅  ---  µ n l = ---------------------------------------------------2 ⋅ P 0. ( M – 1 )! ( M ⋅ µ – λ ) • Si M = 3: 40 3 40 ⋅ 20 ⋅  ------  20 n l = --------------------------------------------------------2- ⋅ 0,111 = 0,888 trabajadores de la empresa. ( 3 – 1 )! ( 3 ⋅ 20 – 40 ) • Si M = 4: 40 4 40 ⋅ 20 ⋅  ------ 20 n l = --------------------------------------------------------2- ⋅ 0,130 = 0,173 trabajadores de la empresa. ( 4 – 1 )! ( 4 ⋅ 20 – 40 ) c) Análisis de costes: Si un trabajador está haciendo cola en el servicio de personal, no se encuentra en su puesto de trabajo, lo cual genera un coste de inactividad que la empresa debe soportar: • Si M = 3, en una jornada de siete horas de trabajo se perderán: 0,888 trabajadores · 3.000 u.m./h · 7 h/día = 18.648 u.m./día. • Si M = 4, se perderán: 0,173 trabajadores · 3.000 u.m./h · 7 h/día = 3.633 u.m./día. Este cuarto empleado cuesta a la empresa: 7 h · 1.500 u.m./h = 10.500 u.m./día. Con el cuarto empleado del servicio de personal (cuarta ventana de atención al público), tenemos un coste de 10.500 u.m./día, pero un ahorro de 18.648 − 3.633 = = 15.015 u.m./día. Por lo tanto, será conveniente añadir este cuarto canal de servicio.

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2.4.6. Modelo 6 Este modelo se basa en una población finita. En este caso, la notación que utilizamos es la siguiente: Notación de las ecuaciones de colas para una población finita X = factor de servicio (proporción del tiempo requerido de servicio) F = factor de eficiencia (valor que aparece en las tablas de colas finitas) T = tiempo medio para efectuar el servicio U = tiempo medio entre requerimientos de servicio por parte de los clientes W = tiempo medio de espera en la cola N = número de unidades de la fuente de población H = número medio de unidades que se atienden n = número medio de unidades en el sistema (cola + servicio) L = número medio de unidades en la cola J

= número medio de unidades útiles

Pn = probabilidad de n unidades de servicio de los clientes D = probabilidad de que una llegada tenga que esperar en cola M = número de canales de servicio

1) Características del modelo La tabla resumen de las características de este modelo sería la siguiente: Número de canales

1

Fuente de la población

Finita

Estructura de las llegadas

Distribución de Poisson

Disciplina de la cola

FIFO

Estructura de los servicios

Distribución exponencial

Longitud de la cola

Infinita

2) Fórmulas La aplicación de este modelo pasará por los siguientes cálculos: T • Factor de servicio: X = -------------T+U • Número medio de unidades en la población (activas): J = N · F · (1 – X)

• Número medio de clientes que se atienden: H = F · N · X

• Número medio de unidades esperando en la cola: L = N · (1 − F) • Número medio de unidades esperando en el sistema (inactivas): n = L + H = N − J n N! • Probabilidad de que haya n unidades en el sistema: P n = -------------------- ⋅ X ⋅ P 0 ( N – n )!

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• Tiempo medio de espera en la cola: L ⋅ (T + U ) L⋅T W = --------------------------- = ----------N–L H • Factor de eficiencia: T+U F = --------------------------T+U+W 3) Ejemplo Una de las bibliotecas de una universidad catalana dispone de cinco fotocopiadoras, que requieren un servicio de mantenimiento después de 30 horas de utilización. Los mantenimientos siguen una distribución aleatoria. El técnico del servicio pone a punto una fotocopiadora en una media de 3 horas, siguiendo una distribución exponencial. El coste de inactividad de una máquina (esperando en cola o para mantenimiento) es de 5.000 u.m. por hora, y el técnico cobra 2.000 u.m. por hora. ¿Será necesario contratar a una segunda persona para realizar el mantenimiento de las cinco fotocopiadoras? Los datos de que disponemos son los siguientes: • Tiempo necesario para el mantenimiento de una máquina: T = 3 horas. • Tiempo medio de utilización de una máquina antes de necesitar el servicio de mantenimiento: U = 30 horas. • Estructura de las llegadas: distribución de Poisson. • Estructura del servicio: distribución exponencial. • Fuente de población: finita (N = 5 máquinas fotocopiadoras). Para llegar a encontrar la solución, deberemos efectuar los siguientes cálculos: a) Factor de servicio: T - = ---------------3 X = ------------= 0,091. T+U 3 + 30 b) Factor de eficiencia: El factor de eficiencia se puede encontrar en las tablas de colas finitas, que aparecen en el anexo de este módulo. En este caso utilizaremos la segunda tabla (con una población de N = 5 máquinas), para un factor de servicio X = 0,091. El resultado de la búsqueda es el siguiente: • Para M = 1 técnico de mantenimiento:

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El valor de X = 0,091 no está tabulado. Por lo tanto, lo deberemos interpolar entre los siguientes dos valores: – Si X = 0,090 y M = 1 ⇒ F = 0,960. – Si X = 0,095 y M = 1 ⇒ F = 0,955. Interpolando entre los dos valores, obtendremos el factor de eficiencia siguiente: 0,095 – 0,090 0,091 – 0,090 ------------------------------------- = ------------------------------------- ⇒ F = 0,959. 0,955 – 0,960 F – 0,960 • Para M = 2 técnicos de mantenimiento: Interpolamos entre los valores: – Si X = 0,090 y M = 2 ⇒ F = 0,998. – Si X = 0,095 y M = 2 ⇒ F = 0,997. Por lo tanto, para X = 0,091, F = 0,998. c) Número medio de fotocopiadoras trabajando: J = N · F · (1 − X) • Para M = 1 ⇒ J = 5 · 0,959 · (1 − 0,091) = 4,359 máquinas. • Para M = 2 ⇒ J = 5 · 0,998 · (1 − 0,091) = 4,536 máquinas. d) Número medio de fotocopiadoras en cola para el mantenimiento: L = N · (1 − F) • Para M = 1 ⇒ L = 5 · (1 − 0,959) = 0,205 máquinas. • Para M = 2 ⇒ L = 5 · (1 − 0,998) = 0,010 máquinas. e) Número de máquinas en mantenimiento H=F·N·X • Para M = 1 ⇒ H = 0,959 · 5 · 0,091 = 0,436 máquinas. • Para M = 2 ⇒ H = 0,998 · 5 · 0,091 = 0,454 máquinas.

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f) Número medio de fotocopiadoras inactivas: Evidentemente, N − J = H + L. Comprobadlo en este caso: • Para M = 1 ⇒ 5 − 4,359 = 0,205 + 0,436 = 0,641 máquinas. • Para M = 2 ⇒ 5 − 4,536 = 0,010 + 0,454 = 0,464 máquinas. g) Análisis de costes: El coste medio por hora de las máquinas inactivas es: • Para M = 1 ⇒ 0,641 · 5.000 = 3.205 u.m./h. • Para M = 2 ⇒ 0,464 · 5.000 = 2.320 u.m./h. Y el coste medio por hora de los técnicos es: • Para M = 1 ⇒ 2.000 u.m./h. • Para M = 2 ⇒ 4.000 u.m./h. Por lo tanto, el coste total por hora es, respectivamente: • Para M = 1 ⇒ 3.205 + 2.000 = 5.205 u.m./h. • Para M = 2 ⇒ 2.320 + 4.000 = 6.320 u.m./h. Llegamos a la conclusión de que es mejor tener un solo técnico de mantenimiento, ya que ésta es la opción de menos coste.

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Resumen

En la primera parte de este módulo didáctico hemos visto las principales diferencias entre las empresas de servicios y las empresas de fabricación. Los servicios son intangibles, perecederos, no se pueden almacenar ni transportar, no se pueden transmitir y están totalmente personalizados. Los servicios no se pueden patentar y son fácilmente copiables. Por lo tanto, la innovación se hace difícil, ya que sólo ofrece ventajas competitivas temporales al ser posible que la competencia imite las mejoras conseguidas por una empresa. Entonces, lo que una organización innovadora puede hacer para evitarlo es conseguir ventajas difícilmente imitables por la competencia, como por ejemplo la constancia en el servicio, o el hecho de aprovechar alguna característica estructural de la empresa o de su situación que la diferencie de la competencia y que sea difícil de imitar: diferencias de escala o de alcance, diferencias geográficas, características organizativas, operativas, etc. La segunda parte del módulo está dedicada al fenómeno, tan cotidiano, de hacer cola. Es un problema existente en todas las organizaciones, tanto industriales como de servicios, pero es especialmente crítico en las empresas de servicios como consecuencia de la insatisfacción que provoca en las personas. Hemos visto las características de las líneas de espera: de las llegadas, de la cola en sí y de los servidores. Por lo que respecta a las llegadas, hemos definido la fuente de población finita e infinita, el tipo de distribución de Poisson, el exponencial y el nivel de paciencia. Para las líneas de espera, hemos comentado su posible longitud finita e infinita, el número de colas, la disciplina y los diferentes tipos de estructura. Finalmente, hemos visto la tasa de servicio y la salida de clientes como características de los servidores. Estas características nos han servido para estudiar seis de los modelos que existen para resolver los problemas más habituales de colas en las organizaciones. Todo esto sirve para que una empresa pueda evaluar el coste de añadir más unidades de servicio y para minimizar las colas en relación con el coste inherente de las esperas. Ya hemos comentado que se trata con frecuencia de una situación de compromiso por parte de la empresa.

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Actividades 1. Os han invitado a la inauguración de una exposición de vuestro pintor preferido. Puesto que se prevé la asistencia de personajes y de la prensa, habéis decidido ir a la peluquería para estar a la altura de las circunstancias. Sin embargo, sólo tenéis dos horas de tiempo si no queréis llegar tarde al inicio del acto. El peluquero tarda una media de veinte minutos por servicio, según una distribución exponencial, y los clientes llegan a la peluquería de forma aleatoria, con una tasa de llegadas de dos por hora. El tiempo estimado de traslado al lugar donde se hará la exposición es de cuarenta y cinco minutos. ¿Os quedarán diez minutos para tomar un café? 2. La sección de enfermedades tropicales de un hospital dispone de cinco camas, que están a cargo de dos enfermeras en cada uno de los tres turnos de ocho horas que se hacen diariamente. Aproximadamente cada dos horas (siguiendo una distribución de Poisson) uno de los pacientes necesita la atención de una enfermera. El tiempo medio de atención a un paciente es de treinta minutos según una distribución exponencial. Dado que el servicio inmediato resulta crítico para los cinco enfermos, se quiere saber cuál es el tiempo medio de espera de los pacientes para que los atiendan. 3. Una máquina automática expendedora de café da servicio a los clientes a un ritmo constante de uno cada dos minutos. A la máquina llegan aleatoriamente los clientes con una tasa de dos cada cinco minutos. Calculad: a) ¿Cuál es la media de clientes esperando en la cola? ¿Y en el sistema? b) ¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola? ¿Y en el sistema? 4. El servicio telefónico de atención al cliente de unos grandes almacenes recibe llamadas con una tasa de dos por minuto, según una distribución de Poisson. Si el empleado está ocupado atendiendo una llamada, el resto las recibe un contestador automático que las pone en espera. Cuando el empleado queda libre, atiende en primer lugar la llamada que hace más tiempo que espera. El tiempo medio para atender a un cliente telefónico es de veinte segundos (distribución exponencial). a) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado de la centralita esté ocupado? b) ¿Qué proporción de tiempo está ocupado el empleado del servicio telefónico? c) ¿Cuál es el tiempo medio de espera de una llamada antes de que el empleado del servicio la atienda? 5. Una hamburguesería quiere instalar en su establecimiento una ventanilla de servicio para automóviles, con espacio para dos vehículos: uno en la ventanilla y otro en espera. Se prevé que los clientes lleguen, según una distribución de Poisson, con una tasa de diez por hora durante las diez horas en las que está abierto el establecimiento. La tasa de servicio es de quince por hora. Los tiempos de servicio se distribuyen según una exponencial. Cada servicio deja un beneficio medio de 200 u.m.. Si cada espacio adicional para un coche más le cuesta a la empresa 1.000 u.m. al día, ¿de cuántos de estos espacios adicionales conviene disponer? 6. Un hospital de Barcelona lleva a cabo anualmente una campaña, por las diferentes facultades catalanas, para recibir donaciones de sangre por parte de los estudiantes y del personal (profesores, administración y servicios). Como paso previo a la extracción de sangre, aparte de rellenar un cuestionario sobre la salud del donante, es preciso tomar la presión sanguínea. De media, aleatoriamente llegan ocho personas por hora para tomarse la presión. Esta prueba se hace en un tiempo constante de cinco minutos. Según esto, calculad: a) ¿Cuál es la media de personas en el sistema? b) ¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema? 7. Un técnico controla las cuatro máquinas de un taller de confección automatizado, que funcionan una media de veinticinco horas (distribuidas según Poisson) sin necesitar ningún mantenimiento. Ajustar las máquinas supone una media de dos horas (distribuidas exponencialmente). a) ¿Cuántas máquinas están esperando a ser ajustadas? b) ¿Cuántas máquinas están inactivas de media? c) ¿Cuántas máquinas están, de media, en la fase de mantenimiento? 8. Una empresa del sector de la construcción edificó durante el año pasado ocho naves industriales, con unos plazos de tiempo de 45, 43, 44, 42, 46, 44, 39 y 41 días. La empresa, que puede construir ocho naves industriales en un año de media, recibe seis contratos al año distribuidos aleatoriamente. La constructora sólo se dedica a una nave a la vez, de forma que hasta que una no se acaba, no se inicia la siguiente. Calculad: a) El tiempo medio de construcción de una nave industrial. b) El número medio de clientes en espera. c) El tiempo medio de espera de un cliente.

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9. El cajero de un banco puede atender una media de diez clientes por hora. Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Los clientes llegan a la ventanilla a una media de siete por hora, según una distribución de Poisson. Calculad: a) El porcentaje de tiempo en el que el cajero está ocupado. b) El porcentaje de tiempo en el que no habrá clientes ni en la cola ni recibiendo el servicio. c) El número medio de clientes esperando en la cola. d) El número medio de clientes esperando en el sistema (cola y servidor). e) El tiempo medio de espera en la cola. f) El tiempo medio de espera en el sistema. g) Si los clientes se retiran de la cola siempre que encuentran a otros tres clientes por delante, ¿cuál es la proporción de clientes que se pierde? 10. Si se añade un segundo cajero al banco de la actividad 9, calculad: a) El porcentaje de tiempo en el que los cajeros están ocupados. b) La probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema. c) La probabilidad de que haya un cliente en el sistema. d) La probabilidad de que haya dos clientes en el sistema. e) La probabilidad de que haya tres clientes en el sistema. f) La probabilidad de que haya cuatro clientes en el sistema. g) El número medio de clientes esperando en la cola. h) El número medio de clientes esperando en el sistema (cola y servidor). i) El tiempo medio de espera en la cola. j) El tiempo medio de espera en el sistema.

Ejercicios de autoevaluación Cuestiones breves 1. Resumid las características principales que diferencian a las empresas de servicios de las empresas de fabricación. Buscad ejemplos que puedan ilustrar estas diferencias. 2. Diferenciad las economías de escala de las economías de alcance. 3. ¿Qué puede hacer una empresa de servicios para conseguir ventajas difícilmente imitables por parte de la competencia? 4. Explicad si las colas son inherentes a la prestación de un servicio o si por el contrario la empresa puede tomar medidas para minimizarlas. 5. Definid las características de la cola de un cine por lo que respecta a población, longitud, disciplina, distribución de las llegadas, distribución del servicio y estructura. 6. Buscad un ejemplo de cola de longitud infinita y otro de cola de longitud finita. 7. ¿Qué quiere decir FIFO? ¿Qué otras posibles disciplinas hay para una cola? Proponed ejemplos. 8. Definid tasa de servicio y tasa de llegadas. 9. ¿Qué es el nivel de paciencia? 10. Comentad un ejemplo de cola con una población finita. Justificad la respuesta. 11. ¿Qué recomendaríais a una empresa que tiene un servidor con un factor de utilización de sólo el 20%? 12. ¿Por qué motivo se generan las líneas de espera? 13. ¿Para qué sirve la teoría de colas? ¿En qué elementos puede ayudar esta teoría a una empresa? 14. Resumid los tipos de estructura de una cola. 15. ¿Cuál es la diferencia entre el número medio de clientes esperando en la cola y el número medio de clientes esperando en el sistema?

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Solucionario Actividades 1. Este primer planteamiento corresponde al modelo 1. Aplicando las fórmulas, la solución correcta es que nos quedan quince minutos para tomar un café, ya que el tiempo medio de espera en el sistema es de una hora y tardamos tres cuartos de hora para llegar a la exposición. 2. Éste es un caso de aplicación del modelo 6, con N = 5 pacientes, M = 2 enfermeras, T = 30 minutos y U = 120 minutos. Con estos datos, el tiempo medio de espera en cola es de 3,69 minutos. 3. Sigue el modelo 2. a) 1,6 clientes y 2,4 clientes. b) 4 minutos y 6 minutos. 4. Aplicamos el modelo 1. a) P0 = 0,33; 1 – P0 = 0,67 ⇒ 67%. b) Evidentemente, ρ = 0,67 ⇒ 67%. c) 40 segundos 5. Corresponde al modelo 3. • Con Q = 2 ⇒ P0 = 0,4737 ⇒ 1 – P0 = 0,5263 ⇒ 52,63%. • Con Q = 3 ⇒ P0 = 0,4154 ⇒ 1 – P0 = 0,5846 ⇒ 58,46%. Incremento beneficio = 0,0583 · (10 clientes/h · 200 u.m./cliente) = 1.166 u.m. > 1.000 u.m. Por lo tanto, vale la pena un tercer espacio adicional. • Con Q = 4 ⇒ P0 = 0,3839 ⇒ 1 – P0 = 0,6161 ⇒ 61,61%. Incremento beneficio = 0,0315 · (10 clientes/h · 10 h · 200 u.m./cliente) = 630 u.m. < 1.000 u.m. Es decir, el cuarto espacio adicional no proporciona beneficios a la empresa. 6. Se trata del modelo 2. a) 1,33 clientes. b) 0,17 minutos. 7. Es preciso aplicar el modelo 6. a) 0,068 máquinas. b) 9,359 máquinas. c) 0,291 máquinas. 8. Debemos seguir la pauta del modelo 4. a) 43 días. b) 1,55 clientes. c) Aproximadamente 95 días. 9. Se trata del modelo 1. a) 70%. b) 30%. c) 1,63 clientes. d) 2,33 clientes. e) 14 minutos. f) 20 minutos. g) 24%. 10. Corresponde al modelo 5. a) 35%. b) 0,4814. c) 0,3369. d) 0,1179. e) 0,413. f) 0,145. g) 0,0977 clientes. h) 0,7977 clientes. i) 0,0139 horas. j) 0,1139 horas.

Ejercicios de autoevaluación Cuestiones breves Las soluciones a los ejercicios de autoevaluación las podeis encontrar en el texto.

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Glosario clientes de una cola Elementos que esperan en una cola. Pueden ser personas que esperan a ser atendidas en un banco, máquinas que esperan que las reparen, piezas en un proceso productivo que esperan a ser procesadas para una operación determinada, documentos que esperan a que los impriman, etc. cola o línea de espera Número de clientes (personas, máquinas, productos, etc.) que esperan a que los atiendan. No se incluye en el concepto de cola a aquel cliente que ya es atendido por el servidor. colas múltiples Colas únicas que se forman delante de dos o más servidores. colas únicas Colas que están formadas por una sola línea. disciplina de una cola Forma con la que el sistema atiende las llegadas. El caso más habitual es la disciplina FIFO: el primero que llega es el primero que recibe el servicio. distribución de Poisson Distribución que sigue el número de llegadas de clientes a un sistema, por unidad de tiempo, cuando son aleatorias. distribución exponencial Distribución que siguen los tiempos entre llegadas cuando son aleatorias. estructura de una cola Disposición de los elementos de una cola, referidos al número de servidores, número de canales y número de fases de las que consta el servicio. factor de servicio (ρ ρ) Proporción del tiempo total disponible en el que el servidor está ocupado prestando servicio. También se denomina factor de utilización de la instalación de servicio. FIFO Ved first in first out. first in first out Disciplina de atención de las llegadas según la cual el primer cliente que llega al sistema es el primero que recibe el servicio. sigla: FIFO longitud de una cola Número de clientes que pueden estar físicamente en una cola. Una línea de espera se considera de longitud finita o de capacidad limitada cuando sólo dispone de espacio físico para incluir un número concreto de clientes. En cambio, una cola se considera infinita cuando su longitud es muy superior a la capacidad de servicio del sistema. nivel de paciencia Tiempo que están dispuestos a esperar los clientes en una cola. También se puede cuantificar como el número de clientes en la cola que hace que un nuevo cliente, que también quiere recibir el servicio, desista de entrar en la línea de espera. población finita Conjunto de clientes que pertenecen a una población limitada en número. población infinita Conjunto de clientes que pertenecen a una población suficientemente grande, de forma que, si un grupo de ellos está haciendo cola, este grupo es sólo una pequeña parte de las llegadas potenciales. servicio Actuación que puede llevar a cabo una persona (o una máquina), esencialmente intangible, sin transmisión de la propiedad, y que beneficia a alguien.

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servidor Persona o máquina que presta un servicio a los clientes de un sistema. tasa de llegada (λ λ) Número medio de clientes, por unidad de tiempo, que llega a un sistema para recibir un servicio. tasa de servicio (µ µ) Número medio de clientes, por unidad de tiempo, que puede atender un servidor. También se denomina capacidad del servicio.

Bibliografía Bibliografía básica Arbonés Malesiana, E. (1990). Logística empresarial. Barcelona: Marcombo (Prodúctica). Chase, R.B.; Aquilano, N.J. (1992). Dirección y administración de la producción y de las operaciones. Madrid: Addison-Wesley Iberoamericana. Coyne, K.P. (1994). “Servicio: desarrolle una ventaja inimitable”. Harvard DEUSTO Business Review (núm. 59, enero, pág. 68-75). Heizer, J.; Render, B. (1997). Dirección de la producción. Decisiones estratégicas. Madrid: Prentice Hall. Heskett, J.L. (1987). “Lessons in the service sector”. Harvard DEUSTO Business Review (4.º trimestre, pág. 83-94). Shlesinger, L.A.; Heskett, J.L. (1992). “La empresa de servicios orientada al servicio”. Harvard DEUSTO Business Review (núm. 49, abril, pág. 42-55). Shlesinger, L.A.; Heskett, J.L. (1992). “Servicio: nunca un no por respuesta”. Harvard DEUSTO Business Review (núm. 56, abril, pág. 85-95).

Bibliografía complementaria Departamento de Organización de Empresas (ETSEIB) (1993). Teoría de colas. Simulación. Barcelona: CPDA. Domínguez Machuca, J.A. y otros (1994). Dirección de operaciones. Aspectos tácticos y operativos en la producción y los servicios. Madrid: McGraw-Hill. Fernández Sánchez, E. (1993). Dirección de la producción. I. Fundamentos estratégicos. Madrid: Civitas. Fernández Sánchez, E.; Vázquez Ordás, C.J. (1994). Dirección de la producción. II. Métodos operativos. Madrid: Civitas. Gould, F.J.; Eppen, G.D. (1987). Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. México: Prentice Hall. Lynn Shostack, G. (1984). “El diseño de los servicios”. Harvard DEUSTO Business Review (4.º trimestre, pág. 133-140). Meredith, J.R.; Gibbs, T.E. (1986). Administración de operaciones. México D.F.: Limusa.

Referencias bibliográficas Kotler, P. (1992). Dirección de marketing. Madrid: Prentice Hall. Peck, L.G.; Hazelwood, R.N. (1958). Finite Queueinng Tables (pág. 3-4). Nueva York: John Wiley & Sons.

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Anexos

Fuente: L.G. Peck; R.N. Hazelwood (1958)

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La empresa de servicios y la teoría de colas

 FUOC • P01/71062/00203

Fuente: L.G. Peck; R.N. Hazelwood (1958)

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La empresa de servicios y la teoría de colas