Dubbel: Taschenbuch für den Maschinenbau [11. Aufl.] 978-3-662-41643-3;978-3-662-41642-6

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XXXIII
Mathematik (W. Meyer zu Capellen)....Pages 1-184
Mechanik (Rich. Hänchen, W. Meyer zu Capellen, B. Eck, E. Metzmeier)....Pages 185-319
Festigkeitslehre (W. Meyer zu Capellen)....Pages 320-405
Wärmelehre (O. Deublein)....Pages 406-449
Brennstoffe und Verbrennung (W. Gumz)....Pages 450-484
Werkstoffkunde (A. Thum, H. Sigwart, H. Holdt)....Pages 485-564
Schweißkonstruktionen (R. Hänchen)....Pages 565-583
Maschinenteile (Ch. Bouché)....Pages 584-735
Dampferzeugungsanlagen (E. Schulz)....Pages 736-815
Gaserzeuger (Generatoren) (Kurt Schmidt)....Pages 816-825
Kraft- und Arbeitsmaschinen mit Kolbenbewegung (F. Fröhlich)....Pages 826-970
Schwungräder, Massenausgleich, Schwingungen und Regler (F. Sass)....Pages 971-1006
Strömungsmaschinen (E. Sörensen, A. Garve)....Pages 1007-1122
Kondensation und Rückkühlung (H. Kraussold)....Pages 1123-1132
Kopplung der Erzeugung und Verwendung von Kraft und Wärme (Bruno Riediger)....Pages 1133-1164
Kältetechnik (K. Nesselmann)....Pages 1165-1183
Hebe- und Fördermittel (R. Hänchen)....Pages 1184-1287
Verfahren und Maschinen der Metallbearbeitung (H. Rögnitz)....Pages 1288-1461
Kraftwagen (F. Wettstädt)....Pages 1462-1493
Elektrotechnik (W. Lehmann)....Pages 1494-1584
Erratum to: Mathematik (F. Sass, Ch. Bouché)....Pages 1679-1679
Erratum to: Mechanik (F. Sass, Ch. Bouché)....Pages 1679-1679
Erratum to: Festigkeitslehre (F. Sass, Ch. Bouché)....Pages 1679-1679
Erratum to: Werkstoffkunde (F. Sass, Ch. Bouché)....Pages 1679-1679
Erratum to: Maschinenteile (F. Sass, Ch. Bouché)....Pages 1679-1679
Back Matter ....Pages 1585-1678

Citation preview

Dubbels Taschenbuch für den

Maschinenbau Bearbeitet von Dipl.-lng. Ch. Bouche, Dr.-Ing. 0. Deu blein, Dr.-Ing. B. Eck,Prof.Dr.-In g. F. Fröhlich, Dipi.-Ing. A.G arve, Dr.-Ing.W.G um z. Dipi.-Ing.R. H ä nc h en, Dr.-lng. V. Happach, Dr.-lng. H. Holdt, Dipl.-lng. G. Köhler, Dr.-Ing. H. Kraussold , Prof. Dipl.-lng. W.Lehmann, Prof.Dr.-lng. E. Metzmeier, Dr.-Iog. W. Meyer zur Capellen, Prof. Dr.-Ing. K.Nesselmann , Dr. Dr.B. Riediger, Dr.-Ing. H. Rög nit z, Prof. Dr.-lng. F. Sass,Dr.-Ing. H.Sigwart, Prof. Dr.-Ing. E. Sörensen, Dipl.-lng. K. Schmidt, Dipl.-Ing. E. Sch ulz, Prof. Dr. A. Tb um, Dr.-Ing. F. We ttstäd t

Elfte völligneub earbeitete Auflage unter Mitwirkung von Dr.-lng. A. Leitner herausgegeben von

Dr.-Ing. F. Sass

und

Mit etwa

Dipl.-Ing. Ch. Bouche Direktor der Ingenieurschule Beut h, Berlio

Professor an der Technischen Universität, Berlin 3000

Abbildungen

In zwei Bänden

Erster Band

Springer- Verlag Berlin Heidelber g GmbH 1953

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen. Copyright 1929, 1935, 1940, 1941, 1943 and 1953 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag OHG., Berlin I Göttingen I Heidelberg 19 53. Softcoverreprint ofthe hardcover llst edition 1953 ISBN 978-3-662-41642-6 (eBook) ISBN 978-3-662-41643-3 DOI 10.1007/978-3-662-41642-6

Vorwort zur elften Auflage Am 24. Mai 1947 ist Professor Heinrich Dubbel nach einem mit nützlicher Arbeit für die Technik des Maschinenbaues ausgefüllten Leben im Alter von 74 Jahren verschieden. Unter den Werken, die er hinterlassen hat, nimmt sein "Taschenbuch für den Maschinenbau" die erste Stelle ein. Viele Tausende von angehenden Maschineningenieuren haben aus diesem Werk Nutzen gezogen, und in Deutschland gibt es wohl kaum eine Maschinenfabrik, in deren Konstruktionsbüro der "Dubbel" nicht als Nachschlagewerk gebraucht wird. Auch im Ausland hat die deutsche Ausgabe weite Verbreitung gefunden. Sie wurde ferner in die spanische, italienische und russische Sprache übersetzt. Im Juni 1914 erschien seine erste Auflage. Zu Lebzeiten Dubbels ist es neunmal aufgelegt und in mehreren hunderttausend Exemplaren gedruckt worden. In jeder Auflage hat Dubbel, der auf vielen Gebieten des Maschinenbaues ungewöhnlich gründliche Kenntnisse besaß, eine Reihe von Abschnitten selbst verfaßt; für die anderen Kapitel verstand er es, namhafte Mitarbeiter heranzuziehen. Der mühevollen redaktionellen Bearbeitung des Gesamtwerkes hat er sich stets allein, ohne fremde Mithilfe, unterzogen. Die neunte Auflage (1943) war die letzte, deren Bearbeitung ihm vergönnt gewesen ist. In der Unruhe der folgenden Jahre war es ihm begreiflicherweise nicht möglich, das Werk für eine neue Auflage mit der ihm eigenen Gründlichkeit zu überarbeiten, und so konnte, nachdem der Tod Heinrich Dubbel abberufen hatte, die zehnte Auflage (1949), die erforderlich geworden war, um der großen Nachfrage zu genügen, nur als berichtigter Neudruck erscheinen. Wenn jetzt - 1953 - die elfte Auflage der Fachwelt übergeben wird, so ist ein volles Jahrzehnt seit der letzten Überarbeitung des Taschenbuches verstrichen. Zehn Jahre sind eine kurze Spanne im Leben des einzelnen; für die sich rasch entwickelnde Technik sind sie eine lange Zeit. So war es uns klar, daß wir, als der Springer-Verlag uns die Nachfolge Dubbels in der Herausgabe des Taschenbuches übertragen hatte, in erster Linie den Inhalt des Werkes dem heutigen Stand der Technik anzupassen hatten; wir haben uns bemüht, dies zu erreichen. Von den früheren Mitarbeitern am "Dubbel" waren manche nicht mehr am Leben, andere nicht mehr verfügbar; es gelang uns, sie durch anerkannte Wissenschaftler zu ersetzen. Dem Werk seinen Charakter nicht nur als zuverlässiges Nachschlagewerk, sondern auch als kurzgefaßtes und doch leichtverständliches Lehrbuch zu erhalten galt unser besonderes Bemühen. Alle Teile sind sorgfältig überarbeitet worden, manche wurden wesentlich erweitert, die Abschnitte Ähnlichkeitsmechanik, Gaserzeuger und Kältetechnik neu aufgenommen. In der "Mathematik" sind u. a. die Differentialgleichungen ausführlicher behandelt als früher; die Formeltabellen für unbestimmte und bestimmte Integrale wurden vervollständigt, die Integralsätze von Gauß und Stokes hinzugefügt. Die "Dynamik" bringt nunmehr auch die Lagrangeschen Gleichungen, die Kreiseltheorie sowie die Schwingungen von Systemen mit zwei und mehr Freiheitsgraden. In der "Festigkeitslehre" wurden u. a. die Tafeln über Momente und Durchbiegungen von Trägern erweitert sowie die letzten behördlichen Vorschriften über das ru-Verfahren hinzugefügt. Der gesamte Stoff des Abschnitts "Wärmelehre" wurde neu gegliedert und wesentlich vermehrt; insbesondere wurden die Kreisprozesse det" wichtigsten thurnischen Maschinen be-

IV

Vorwort

handelt und die Ergebnisse der neuesten Forschungsarbeiten auf dem Gebiet der Wärmeübertragung aufgenommen. Der Abschnitt "Strömungslehre" wurde um die Grundlagen der Gasdynamik erweitert, und die neueren Erkenntnisse auf diesem Gebiet wurden berücksichtigt. Dies gilt auch für das Kapitel "Brennstoffe und Verbrennung" und für den umfangreichen Abschnitt "Werk· stoflkunde". Von den technischen Abschnitten, die mit den "Maschinen teilen" des I. Bandes beginnen und den ganzen II. Band ausfüllen, mußte die Mehrzahl neu bearbeitet werden, da der Inhalt an vielen Stellen nicht mehr dem heutigen Stand der Technik entsprach. Die Strömungsmaschinen sind - im "Dubbel" zum erstenmal - in einen Abschnitt zusammengeiaßt und von einheitlichem Gesichtspunkt aus behandelt worden. Die "Abwärmeverwertung" des II. Bandes der Alteren Auflage wurde in einen Abschnitt "Kopplung von Kraft- und Wärmeerzeugung" umgestaltet, der den heutigen Stand der industriellen Wärmewirtschaft darlegt. Der mehrteilige Abschnitt "Kolbenmaschinen" wurde neu bearbeitet, desgleichen die "Oberflächenkondensation und Rückkühlung", die Kapitel "Verfahren und Maschinen der Metallbearbeitung" und "Elektrotechnik" neu verfaßt. In den Abschnitt "Metallbearbeitung" sind die Verfahren, Werkzeugmaschinen und Werkzeuge der spanlosen Formung neu aufgenommen worden. Auch die übrigen Abschnitte wurden gründlich überarbeitet. Die Zahlentafeln, die der Maschinenbauer bei seiner Arbeit häufiger braucht, sind wie früher, soweit es tunlieh erschien, aus dem Text herausgenommen und im Anhang des l. Bandes zusammengestellt. In die Zahlentafeln sind überall die neuesten verfügbaren Zahlenwerte aufgenommen worden. Die mancherlei Erweiterungen der neuen Auflage machten eine Vermehrung der Textseiten um i39 Seiten erforderlich. Alle Abbildungen wurden gründlich durchgesehen und entweder berichtigt oder völlig neu gezeichnet. Darüber hinaus bringt das Taschenbuch in alten und neuen Abschnitten eine erhebliche Zahl völlig neuer Abbildungen. Allen unseren Mitarbeitern, die gleich uns bemüht waren, den hohen Wert des Dubbelschen Werkes zu erhalten und zu mehren, danken wir aufrichtig. Be· sonderen Dank schulden wir Herrn Dr.-lng. A. Leitner, der in unermüdlicher Arbeit einen hervorragenden Beitrag zum Gelingen des Werkes geliefert hat. Der Springer-Verlag hat auf die Herstellung die gewohnte große Sorgfalt ver· wendet und ist auf alle Wünsche, die aus dem Kreis unserer Mitarbeiter oder von uns geäußert wurden und deren Zahl nicht klein war, bereitwillig eingegangen. Ihm dafür auch an dieser Stelle zu danken ist uns eine angenehme Pfiicht. Berlin, im Juli 1953

F. Sau

Cb. Boueh6

Inhaltsverzeichnis Erster Band

Mathematik Bearbeitet von Dr.-Ing. W. Meyer '"' Capellen., Aachen I. Tafeln • • • • • • . • . . . . . . . . . . . . . . . A. Tafel der Potenzen, Wurzeln, natürlichen Logarithmen, Kreisumfänge und -inhalte • . . . . . . . . . . . . . . . . . • B. Tafel der 4stelligen Mantissen der Briggssehen Logarithmen von 100 bis 999 • . . . . . . . . . . . . . · . . · · · · · · C. Tafel der Kreisfunktionen . . . • . . . . . . . . . . . . . D. Bogenlängen, Bogenhöhen, Sehnenlängen und Kreisabschnitte für den Halbmesser r = 1 . . . E. Tafel der Hyperbelfunktionen . F. e•unde-•für 11: =Obis 11: = 7 G. Wichtige Zahlenwerte II. Arithmetik und Algebra • . . . • A. Potenz-, Wurzel- und Logarithmenrechnung • t • Potenzrechnung • • •

2. Wurzelrechnung • . • • • • • 3. Logarithmenrechnung. • • • •

B. Zahlensysteme • . . . • . . .

t • Reelle Zahlen • • • • • • • •

2. ImaginAre und komplexe Zahlen.

C. Kombinationslehre D. Determinanten E. Gleichungen . . . 1

t. 2. 34.

Algebralac:he Gleichungen . Transzendente Gleichungen Näherungsverfahren Transfonnationen

F. Reihen • . . . . . t. 2. 34.

Endliche Reihen • • Unendliche Reihen • • • • • • • • • . . Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen. Zusammenstellung der wichtigsten Potenzreihen S- Anwendungen • • • . .

l1 I. Funktionenlehre . . . . . A. Algebraische Funktionen

t. Rationale Funktionen. • 2. Irrationale Funktionen •

B. Elementare transzendente Funktionen t. 2. 34.

Die trigonometrischen Funktionen • Dreiecksberechnung Arcusfunktionen • • • • • • • • Hyperbelfunktionen • • • • • •

Seite 2 2 22 24

28 30 32 33 34 34 34

35 35

36

37 37

38 38

40 41 48

49

so

51 52 54 55

56 57

59 59 59 60 60 60 64

66

66

VI

Inhaltsverzeichnis IV. Differential- und Integralrechnung . . . • A. Differentialrechnung . . . . . . . . . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Grenzwert, Differentialquotient, Differential • • . Beispiele für die Ableitung elementarer Funktionen Differentialformeln • • . • • • . . . . . . Allgemeine Regeln • • . • • • • • • • • • Anwendung der Differentialformeln • . • . . Ableitungen höherer Ordnung, Differentialkurven Maxlma und Minima • • • . • . . • • . .

B. Integralrechnung. . . . . . . . . . . . .

1. Unbestimmtes und bestimmtes Integral. Flächeninhalt .

2. 3. 4. 5. 6. 7.

Grundintegrale . • • • • . • • . . . . . . Allgemeine Regeln • . • • • • • • • • • . . Integralformeln • . • • • • • . • • • • • • Anwendungen. • • • • . . . . . • • . . • Eigentliche und nneigentliche bestimmte Integrale Mehrfache Integrale und Linienintegrale

C. Höhere transzendente Funktionen

• 2. Integralsinus und verwandte Funktionen • . . J. Besselsche (Zylinder·) Funktionen 4. Legendresche (Kugel·) Funktionen. • • f. Elliptische Integrale und Funktionen.

D. Konforme Abbildung . . . . . . . .

I. Funktionen eines komplexen Argumentes . • 2. Differentileren und Integrieren im Komplexen 3. Konforme Abbildung • • • . . . .

E. Differentialgleichungen . . . . .

I. Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Partielle Differentialgleichungen

71

73

74 75 76 76 79 79

81

84

87

89

91 91

92

93 95 95 95 96 97 99

107 107

1. Die einfachsten Variationsprobleme 2. Isoperimetrische Probleme . . . .

V. Analytische Geometrie und Kurvenlehre A. Punkt und Gerade in der Ebene • 2. Inhalt eines Dreiecks . • • • 3. Gleichung einer Kurve • • • 4. Die gerade Linie. . . . . . Umwandlung der Koordinaten 1. Punkt und Gerade .

s.

B. Krumme Linien in der Ebene

Allgemeine Sätze und Erklärungen Die Kegelschnitte . . . . . . . Potenzkurven. • • • . • . • • Gleichungen einiger anderer Kurven Zyklische Kurven • • • • • • . Spiralen • . • . • • • • • . . Sinuslinien • • • • • • . • • .

68 68 70 70

100 lOS

F. Variationsrechnung . . . . . . .

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Seite 68

• • . .

C. Punkt, gerade Linie und Ebene im Raum D. Flächen und Raumkurven . . . . . . VI. Einführung in die Rechnung mit Vektoren . VII. Wahrscheinlichkeitsrechn ung und ihre technischen Anwendungen A. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechn ung B. Auswertung von Beobachtungen f. Allgemeines über Meßfehler

109 110 110

ffO f!O fff 1ff ff2 ff3 ff3 ff7

129 133

135

138 140

143 144 146 150 150

151 1 S1

155 C. Verteilungskurve . . . . . • . VIII. Fouriersehe Reihen (Harmonische Analyse periodischer Funktionen) 159 IX. Einführung in die Nomographie (bearbeitet von Dr. V. Happach, 164 Berlin) . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 A. Einzelkurven im rechtwinkligen Koordinatensystem 2. Ausgleichrechnung. . • • • •

1. Zusammengesetzte Funktionen und Kurven • . • • • 2. Verschiebung und Drehung der Kurven im Koordinatensystem. J. Umformung der Achsenteilungen • • • • • • . . . . . •

1 S7

164 16 S 165

VII

Inhaltsverzeichnis

Seite B. Kurvenscharen . . . . . . . . . . . . 167 t. Funktion mit drei Variablen als Kurvenschar 167 2. Gekoppelte Funktionen • • • • . • 168 C. Doppelskalen und Funktionsleitern . 169 1. Einteilung der Doppelskalen . 169 2. Auftragen der Doppelskalen 169 3. Teilungsmodul • • • • • • 170 D. Fluchtlinientafeln . . . . . 170 t. Zusammenhang zwischen rechtwinkligen und Parallelkoordinaten. 170 2. Allgemeiner Fall f,/, + {, 'l's +'Pa= 0 . · • · . . · · · · 171 J. Sonderfälle • . • . • • • • • • • • • • • . • . . . 172 4. Fluchtlinientafeln für mehr als drei Variable. • • • . . • 173 5. Umzeichnung gegebener Kurvenscharen in Fluchtlinientafeln 175 6. Besondere Vorzüge der Fluchtlinientafeln • • • • • • . • 175 X. Zeichnerische u. rechnerische Verfahren der praktischen ::llathematik 175

XI. Flächen- und Körperberechnung

•....

181 181 182

1. Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren 2. Oberfläche und Rauminhalt von Körpern

Mechanik I. Statik starrer Körper (bearbeitet von Dipl.-lng. R. llänchm, Braun-

lage) . • . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A. Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften - Gleichgewichts185 bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . I. 2. 3. 4.

Kräfte in der Ebene greifen in einem Punkt an • . Kräfte im Raum greifen in einem Punkt an • . . Kräfte greifen in mehreren Punkten einer Ebene an Kräftepaare . . • • • . • • • • • • • . . • • • •

185 186 188 197 198

B. Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) . . . . . . . . . . 1. Rechnerische Schwerpunktermittlung .

. . . . . . . . .

. .

198

2. Schwerpunkte der wichtigsten homogenen Linien, Flächen und Körper 199 J. Zeichnerische Schwerpunktermittlung von Fläch677 9,845 ro,oz ro,zo 10,39 5 -·85 11,43 rr,66 u,9r 12,16 r2,43 12,71 13,00 13,30 13,62 13,95 14,3C 4 86 14,30 14,67 r5,o6 15,46 15,89 r6,35 r6,83 17,34 17,89 r8,46 19,08 3 87 19,08 19,74 20,45 21,20 zz,oz 22,90 23,86 24,90 z6,o3l27,27 28,64 2 88 28,64 30,14 31,82 33,69 35,80 38,19 40,92 44,07 f7,74l52,o8 57,29 I 0 89 .57,29 63,66 71,62 8r,85 95,49 II4,6 143,2 I9I,c ~86,5.573,0 oo Grd ,I ,2 ,o ,6 ,8 .7 .5 .3 .9 .4 H'o Grd

,o

~::~~ ~:~i~ ~:;~: ;;;;~ ~:;~! ;:~~~

x4

"·'' "·'' "·'r·'" "·"

6o

54

I

48

I

42

I

36

30

24

I 18 I 12

6

I I

0

jMin

28

D. Bogenlängen, Bogenhöhen, Sehnenlängen

·i:R+t): (a

+ b) = a••- a••-• b + a•n-2 b'- + ••• + b'"a• - a · b + a' b' - u b' + b'. Das Potenzieren hat zwei Umkehrungen, je nachdem in ab = c die Zahl a (a' + b') : (a + b)

=

gesucht wird (Wurzelrechnung) oder die Zahl b (Logarithmenrechnung).

2. Wurzelrechnung 11

1. Begriff: Wenn b" = a, so ist b = Wurzelexponent. Dann ist

1"-" \JI a} =

ya;

a heißt Radikand, b Wurzel und

vo

a; 3. Y a = a; 4. = o. s. Jede Wurzel kann als Potenz mit gebrochenem Exponent angesehen werden (s. oben 15): "b ~ }' a = a 1 .,., da Ln = (a''")" = a• = a. 2.

1-

6. Gerader Wurzelexponent:

v81

2n - Va = ± 12"V-~ a •; V- a ist imaginär (S. 37);

2n-

= 3. 211+~r;-::

7. lJngeraderWurzelexponent: - , ±a = 8.

j"-; Yb =

Yab.

9.

s s ± \ 211+~~ -, a 1,; f-64 =-4, }164 = 4.

jr;j'}rb = Ya/b.

10.

y;z;; = (Va}" = a"''"·

6; YiB!v·i = V4 = 2; Vt6' = (JII6l' = 4' = 64. 11. Exponent der Wurzel und des Radikanden können mit ein und derselben Zahl multipliziert und durch ein und dieselbe Zahl dividiert werden:

V3· v12 = r36 =

12.

f'j!a

vxa vx-: =

=

(a''"l''"'

=

rsx• =

r2· x•

fj;;- = "'ya;

=

v2x'.

ffi ~ ~

=

jr3.

13. aVb-Ya"b. 14.YaYb= "ya"'b". 15.Ya±Yb=+Ya+b±2Yab, a>b.

3. Logarithmenrechnung 1. Begriff: m = 'log b, sprich: Logarithmus b zur Basis a, heißt b = a"'.

a ist die Grundzahl (Basis), m der Logarithmus. (Verlauf der logarithm. Kurve s. Bild 129, S. 135.) 2. Briggssehe oder dekadische Logarithmen haben die Grundzahl 10. Man schreibt nach DIN 1302 10log b = lg b. 3. Die natürlichen Logarithmen haben als Grundzahl die Eulersche Zahl e = 2,7182818 .. (s. S. 56 u. 69). Man schreibt 0 log b =In b (Iogarithmus naturalis). 4. Zur Umrechnung gilt In z = 2,3026 ·lg !Ii und lg !Ii = 0,4343 ·In z. Die Zahl 1/2,3026 = 0,4343 heißt Modul des Briggssehen Logarithmensystems (genauer 1/2,302585 ... = 0,434294 ... ). s. Aus d..!... Wieviel Gliedermanauch zusammennächsten 2n Glieder ( - -12 2n +I faßt, der Rest muß immer grOßer als 1 / 2 bleiben, d. b. die Summe ist unendlich groß.

c) Konvergenzbedlngungen. cx) Notwendige Bedingung ist lim u,.

"-+ 00

=

0, d. h.

von einem bestimmten n an müssen die Glieder kleiner werden und mit wachsen· dem n gegen null streben. Daß diese Bedingung nicht hinreichend ist, zeigt Beisp. 2 zu b). Bei Reihen mit abwechselnd positiven und negativen Gliedern (alternierenden Reihen) ist diese Bedingung auch hinreichend. Beispiel: Die Reihe I - -}

+

+-

~

+ - · · · ist hiernach konvergent. Nach FormeiiO,

S. 56, stellt di= unendliche Reihe den Wert ln 2 dar.

ß) Hinreichende Bedingung nach Cauchy: Eine Reihe ist konvergent (divergent), wenn von einem bdkbigen Glied an der Quotient der Absolutbeträge aus einem Glied und dem vorangehenden kleiner (größer) ist als eine besti.ni.mte Zahl q< 1 (q> 1) oder auch wenn

I tll


1 (Divergenz). u,.. j Ist der Quotient gleich 1, so sind besondere Untersuchungen anzustellen. !im

n-+oo

u,.

Un

1 (Konvergenz),

!im

"-+..'AJ

Beispiele: 1. In der harmonischen Reihe 1 + _!_ u,.+ 1 : u,. = I :(I+ ljn),

also,.::, (u,.t-

2.. In der Reihe füre" =I+

~!

+

1:

+ _!_3 +

+ _!_n +

- 1- + •. • ist n+l u,.)_ = 1, daherbesonderer Beweis, s. Beisp.2zub).

2

~- + ~

+··· (s.S. 56)

•· ·

istlu•t-I=~·I- q -Jxj: n.

Vonn>ixJabistqL z ± 1 1 ± 1/z x. z• z 3 z' 1 -1 1 1·3 1·3·5 20. (1 + z)2 = }"1 + :r. = 1 +- z - - - z' + - - - z' z• + - ··• 2 2·4 2·4·6 2·4·6·8 1 1 1 5 7 =1+-,z--:c2 + - : c ' - - , z ' + - z ' - + · · · · 2 8 16 128 256 1 ·-1 1·2 2 1·2·5 1·2·5·8. 21. (1 +z)"=Y1+z=1+ -z-- z +--x'------x +-· .. 3 3. 6 3 ·6·9 3·6·9·12 1 12 5 , 10, 22. =1 + - z - - z + -z - - , z + - z - +···· 3 9 81 243 729 1 1 1·3 1·3·5 22. -== = 1 z + - - z2 - - - - z' + 1·3•5•7 ,____ x• - + ... y1 + z 2 2·4 2·4·6 2·4·6·8 1

18. (1

=

1 -

~z +

1 1 23 - - - = 1 - +z 3

. Yt

a;

-} z2 - 156 z' +

1~8 z• - ~6 z• +

- .. ••

1·4 1•4•7 1•4•7•10 + z2 - - - - - z' + - - - - - - x' - + ... 3.6 3 . 6. 9 3 . 6 . 9. 12

1 2 2 14 35 • 91 • =1-,--z+-,z ---z·• +--x - - z + -···· 3 9 81 243 729

d) Reihen für Kreis·, Arcus· und Hyperbelfunktionen. In den Formeln 24 bis 27 ist :r. im Bogenmaß zu messen (S. 60). 24. sin:c = 2'/1!- z'/3! + z'/5!- z'/7! + ·-- ... gilt für jedes z. 25. cos z = 1 - z'/2! + x'/4! - z•j6! + - · · · gilt für jedes z. 2 17 62 26. tg z = :c + -- :r.' + -- :c• + --- z' + - z• + · · • Iz I< n/2. 3 15 315 2835 27. ctg :c = ..!_ - ..!_ z - _!..._ x.' z 3 45 . 1 z' 1·3 28. arc sm z = :c + - - + - 2 3 2·4

~. :c• - - 1- z' - .•• 945 4725 x• 1 • 3 · 5 z' - + - - - - + ...• 5 2·4·6 7

Sonderfall: arcsin 1/2 = nj6 = 1/2

+ 1/48 + 3/1280 +

5/14336

+ ....

29. arc tg z = :c/1 - :c'/3 + z'/5 - x'/7 + - • · •. Sonderfall: arc tg 1 = n{4 = 1- 1/3 + 1/5- 1/7 + - · · · Leibnizsche Reihe. 30. 6in z = z + z'/3! + z'/5! + x'/7! + · · · hyberbolischer Sinus; } gilt für 31. G:of :c = 1 + z'/2! + z'/4! + z'/6! +···hyperbolischer Cosinus; jedesz.

5. Anwendungen a) Näherungsformeln (Rechnen mit kleinen Größen). In Rechnungen, in denen so kleine Größen vorkommen, daß ihre zweiten und höheren Potenzen sowie ihre Produkte untereinander vernachlässigt werden können, lassen sich die Formeln sehr vereinfachen. Viele derartige Formeln beruhen auf der Taylor· sehen Entwicklung eines Ausdrucks: So ist /(z0 + h) ~ /(z0 ) + h/'(zo) oder

58

Mathematik. - Arithmetik und Algebra

f(:l') ">i I(O) + z/' (0), wenn die höheren Potenzen von h oder z vernachlässigt werden. Da hiernach I(~ + h) - I (x0 ) ">i h f' (z0 ) ist, so ist die Funktionsdifferenz (S. 69) LI y = I (x0 + h) - I (x0 ) durch das Differential d y = j' (x0 ) d z = = f' (x0 ) h, Bild 13, ersetzt worden. So wird z. B. y sin (x + h) ">i sin x + h cos z. Unter Umständen können die Näherungsformeln unter Berücksichtigung auch der zweiten Potenzen der kleinen Größen erweitert werden. Ist e im folgenden die "kleine Größe" und rp der Fehler, so ergibt &ich: 1. (a

2. (a

r

h·d.r

3. 4. 5. 6.

Bild 13

+ e1) (b + •1) ""'ab (1 + e1 fa + e1 fb). . + e,)""' ba (1 + t 1 ja-e,fb). + 0) Setzt man nun einmal k = 0 und läßt dann h ..... 0 gehen, das andere Mal h = 0 und läßt d. h. folgen, Werte gleichen k -> 0 gehen, so müssen die f'(z) = _!_ ou + ov = _1_ ow. oy i oy i oy Aus der Gleichheit beider Werte folgen dann die Gin. (2). f'(z) = ou + i ov = ow

ax

ax

ox

und

(1)' ( 1 )' d z = - z = - x +i y = z1folgt dw

x'-y'-2ixy

-(x' + Y')-,-. Anderer· seits folgt nach Beispiel2 unter 1a), daß u =xfr', v = - yfr' mit r' = x' + y', so daß hier· =- iJIJ wird alsodieGin.(2)erfülltsind. nach ou=- ~~= iJv und iJu= ·- ~::1! . • ox ,..

Beispiel: Für w =

ox

,..

i)y

i)y

97

Konforme Abbildung

Durch Differentiieren der Gin. (2) folgt u~~ + u•• = 0 oder L1 u = 0 bzw. + v•• = 0 oder L1 v = 0, d. h. Real- und Imaginärteil einer analytischen Funktion befriedigen die gleiche partielle Differentialgleichung 2. Ordnung, die PotentialgleiChung (S. 107 u. S. 149).

v~~

b) Das bestimmte Integral einer analytischen Funktion f(z) ist gegeben durch

J•f(z) dz Jf(z) dz,

(3)

=

1o

C

wobei das Integral von z0 = a:0 + i y0 bis z = z + i y, und zwar längs der Kurve C zu erstrecken ist (Schreibweise vgl. GI. 3). Dieses Integral ist vermöge des

J.

c

Satzes von Gauß (S. 90) und der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen unabhängig vom Weg, oder es ist f (z) dz = 0, wenn das Integrallängs einer

J

c

geschlossenen Kurve genommen wird (Hauptsatz der Funktionentheorie). I :1:,. Es ist Jt(z) dz = J

E) Homogene lineare Dif/erentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten haben die Form y(") + an-1 y("- 1) + · · · + a 1 y' + a,y = 0. Geht man mit dem Ansatz y = ea" in die Gleichung ein, so folgt, da y(") = o:• e' r ist, für die Bestimmung der o: eine Gleichung n-ten Grades o:• + a,._,o:n-t + ... +a,o: + a, = 0 mit den Lösungen o:., 0: 2 , • • • , o:,.. Dann sind y 1 = ea,z, y, = ea,z, , .. die Partikulärlösungen, und die Gesamtlösung ist gegeben durch y = C, ea z + c.ea•"+ ... + C"ea"", wobei die Konstanten C., C1 , ••• durch die Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt sind. • Das negative Vorzeichen der Wurz•! ist unterdrückt und führt zum gleichen

Ergebni~

104

Mathematik. - Differential- und Integralrechnung

Treten mehrfache Wurzeln auf, z. B. "'• = "'• = • • · "'• = "'• v.'fthrend die anderen "' von• einander verschieden sind, so wird

Da

U= (C, + C,z+ C,x'+ • • • +

Cv:tv-- 1) ~"'"' +

Cv +• e~•+•"' +

•••

c,.e"'""'.

komplexe Lösungen konjugiert auftreten, so lassen sich vermöge der Eulerschen Formeln entsprechende Glieder zu reellen Gliedern zusammenfassen (s. Beisp.). Beispiel: Gesucht die Lbsung der Difi.-Gl.

u"+ 2by'+ a'u= o.

ller Ansatz y = e""" führt auf 1 + 2 b + a• = 0, woraus die Wuneln "• = - b + Yb'- a' und "'• = - b- Yb'- a' folgen. Damit sind y, = e"•"' und y, = e"•"' zwei partikuläre Lösungen der Difi.-GI.: I. Ist b' a•, so werden die Werte "'" "'• negativ oder positiv, je nachdem b 0 oder b 0. Im ersten Fall liegt ein aperiodisch gedämpfter Vorgang vor, im zweiten Fall wllcbst y mit zunehmendem x. · 2. Ist b' < a', so werden die Wuneln komplex, d. h. 1 = - b + i d, "'• = - b - 16, wo d = Jl a'- b', und damit y 1 • e-bz ei dz = e-bx (cos6:t+ i sin dx),

>




11, ~ e-bx e-idx = e-bx.(cos d x- isln dz). Weitere partikulare Lösungen sind dann

Uo= (y 1 + y,)/2= e-b:tcosd:t, y, ~ (y 1 - y 1)/2i=e-bXsind:t. Das allgemeine Integral ist, wenn C1 und c, Integrationskonstanten sind, Mit C1 = Csin• und schrieben werden

y = C 1 y 1 + c, y, = e-bx (C 1 cosdz+ c, sindz). Ccose, also C und • als Integrationskonstanten kann auch ge-

c,-

y = C e-bx sin (c5x + e). Es ergibt sich dann ein periodisch gedämpfter oder periodisch angefachter Vorgang, je nach· dem b 0 oder b< o. Vgl. Bild 141, S. 142, für b> o. Der Sonderfall von Beisp. I unter d) ist hierin für b = 0 enthalten, J. Ist b•-= a 1 , so fallen die V\.'urzdn zuf'ammen, d. h. es ist cx 1 1::::: o 1 -=- b, und nach obigem wird, wie sich auch durch Einsetzen prüfen li!.Llt,

>

y = (C, + c,x) e-bz als Grenzfall zwischen periodischem und aperiodischem Vorgang. Anwendungen vgl. Schwingungslehre S. 265.

Cl Bei der inhomogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten von der Form yl"l + a,._ 1 y(ro-u + ... + a 1:v' + a 0:JI = h(z) steht rechts die Störungsfunktion h (.z); zur Lösung führt wie oben der Ansatz m=n :v =_2'c.. :v.. mit :v.. = e"m"' ln=l

als Lösung der homogenen Gleichung, wobei aber die C,. keine Konstanten, sondern Funktionen von z sind (Variation der KGnstanten). Ihre Ableitungen c;, C2 , ••• , C~ lassen sich aus den folgenden n linearen Gleichungen ermitteln: c~u.+ c,y~+

c;,

c;_u, c;u;

+ ... + C~y,. + ... + c:.u~

c;y,(n-ll+c:u, 0, nach rechts fürn < Oab, so erhält man den Schnittpunkt T 1 der Tangente mit der X-Achse (vgl. a. Bild 110, S.l26 für n=-1).

e) Tangente und Normale ln Polarkoordlnaten. Aus Bild 84 a folgt beim Grenzübergang von der Sekante P P 1 zur Tangente für ..g: tp zwischen Fahrstrahl OP1 und Sekante P 1 P, die im Grenzübergang zur Tangente in P wird (Bild 84b), • . ÄP 1 LI r 1 . .1r 1 dr r'(tp) ctgtp = lim - - = lim - - = -·· lim -- = - - = - p1_.p AP Aq;-+0 rLltp r Aq;-+oLitp r dtp r

oder

tg'P -r/r'(tp) =r/r'. Mit der Polarachse (Bild 84 b) bildet die Tangente den Winkel cx, für den tgtp + tgtp tgcx == tg(tp+tp) = 1 t t - gtp g'P r'tgtp+r. 1St. r'- rtgtp PolarsubnOf'male bzw. -tangente haben die Länge ON= S 11 =rctgtp =r'(tp) bzw. 0 T = S1 = rtg'P = r•jr', während N01'male P N und Tangente PT die Länge

=

11

a Bild 84

Yr + r'• = ds/dtp PT""' PNtgtp =~ ,. Yr + r' haben.

PN- Ys~ +,. = bzw.

(S. 85)

1

Beispiel: Es sind die Subnormale, Subtangente, Normale und Tangente für die Archi· medische Spirale r = aq; zu berechnen. Da r'(q;) = a, folgt, daß die Subnormale ON für alle Punkte den konstanten Wert a hat. Die Konstruktion von Normale und Tangente ergibt sich in einfacher Weise: Ziehe den beliebigen Leitstrahl OP und senkrecht dazu NT (Bild 135, S. 139). Mache ON= a; verbinde N mit P, so ist P N Normale und PT Tangente, wenn PT ·.t· PN. Ferner ist tg'l' = r{r'(q;) = arpJa = 'I'•

Krumme Linien in der Ebene

115

Für rp = 0 werden auch r und V' gleich null, d. h. die Kurve geht durch den Koordlnatenanfangspnnkt, und die Tangente in diesem Punkt fällt mit der Polarachse zusammen. Die Subtangente wird OT- r"Jr'(rp) = r'Ja = arp'. Die Länge der Normale folgt zu und die der Tangente zu

r,

NP= Vr''+r' =Jia'+ r" --

PT-?"'1r''+ r'

=

arp - , -- r -aJia'+ r'= q;y1a' +r'= a Jla• + r 1

f) Die Asymptote einer Kurve ist eine Gerade von der Art, daß der Abstand eines Kurvenpunktes von ihr gegen null geht, wenn der Kurvenpunkt ins Unendliche wandert. Sie berührt die Kurve im Unendlichen. g) Berührung. Zwei Kurven, die einen Punkt gemeinsam haben, bilden eine Berührung n-ter Ordnung, wenn in dem betreffenden Punkt für die beiden Kurven die ersten n Ableitungen y', y", •.. , y(") gleich, die (n + 1 )-ten y("+ 1) aber ver· schieden sind. Die Kurven haben dann (n + 1) "unendlich benachbarte" Punkte gemeinsam und berühren sich "(n + 1)·punktig". Die Berührung ist n-ter Ordnung. Für eine Berührung erster Ordnung müssen die ersten Ableitungen y' gleich sein; die Tangente an eine Kurve berührt mindestens in der ersten Ordnung oder mindestens "zweipunktig". Für eine Berührung zweiter Ordnung müssen die ersten Ableitungen y' und die zweiten y" gleich sein. Eine solche Berührung liegt im gewöhnlichen Wendepunkt (s. h} vor, da für beide Kurven y" = 0 ist und die dritten Ableitungen verschieden sind. Bei einer Berührung von gerader Ordnung durchsetzen sich die Kurven in dem gemeinsamen Berührungspunkt. Bei einer Berührung von ungerader Ordnung berühren sich die Kurven, ohne sich zu durchsetzen.

h) Wendepunkt. Ist in der Nähe eines Punktes P 1 (Bild 85, vgl. Bild 42, S. 75) !I y" > 0, so wird y' mit wachsendem • größer, die dem Berührungspunkt P 1 benachbarten Punkte liegen oberhalb der Tangente, und die Kurve ist nach oben konkav. Ist aber y" < 0 in der Nähe eines Punktes P 10 so wird y' mit wachsendem 111 kleiner, die dem Berührungspunkt P 1 be.r nachharten Punkte liegen unterhalb der Bild 8S Tangente, die Kurve ist nach oben konvex. Geht die Kurve mit wachsendem • von der konkaven in die konvexe Form über (Punkt P., Bild 85) bzw. umgekehrt, so heißt der Punkt P3 Wendepunkt, die Tangente in diesem Punkt Wendetangente. Für einen Wendepunkt muß y" = 0 sein; für einen gewöhnlichen Wendepunkt ist y'" =I= 0. Da die Wendetangente durch die Kurve hindurchgeht (Bild 85), so bildet sie mit der Kurve eine Berührung gerader Ordnung, d. h. die letzte Ableitung von y, welche wie die vorhergehenden y", y'" usw. ver· schwindet, muß gerade sein [siehe g)]. Eine Wendetangente hat also eine ungerade Zalll von unendlich benachbarten Punkten mit der Kurve gemeinsam, aber mindestens drei (mindestens dieipunktige Berührung, d. h. zweiter Ordnung). Beispiele: t. Für 11 = slnz (Bild 41, S. 75) ist in den Schnittpunkten mit dera;-Achse 11" = o, 11"' aber + 0; folgiich sind diese Pll!lkte Wendepunkte. 2. Es Ist der Wendepunkt der Kurve 11 = 1J1 (z'- 3z'- 9Z + 9) (Bild 43, S. 76) zu be· stimmen. Es Ist 11' -'/1 z 1 - :t-:- !,?; 11"- z- !; 11"'= t. Aus 11"= z- 1 = o folgt die Abszisse z.. des Wendepunktes W zu z,. = Za = 1. Da y"' + 0 ist, liegt ein gewöhnlicher Wendepunkt vor. Für z..- I wird 11.. = llo = - 'I• und II' =- 2.

i) Krümmung, Krümmungskrels, Evolute und Evolvente. 1. Unter der Krümmung k einer Kurve versteht man den Grenzwert, dem sich das Verhältnis

s•

116

Mathematik. - Analytische Geometrie und Kurvenlehre

der Änderung der Tangentenrichtung zur Änderung der Bogenlänge nähert, wenn die Bogenlänge sehr klein wird. Es ist also (Bild 86) k = lim LI Cl/LI s = del/ds. LIS-+0

y

Nach dieser Definition hat die Krümmung einer Kurve ein Vorzeichen. Durchläuft man einen Kreis im mathematisch positiven Sinn (Bild 87), so wird s = rel, also ist ds = rdel, k = del/ds = 1/r, 0 bzw. y" 0 ist. Q=

>

rB

D

Bild88


-1-1-7,= +P('7,+'7zl t.

-z Bild 122 bis 126

b) Ermittlung der Einflußlinien durch Kräftepläne. Bild 127 erläutert das Ver-

fahren an einem einfachen Träger.

1\fan stelle Last 1 auf Knoten II, berechne die Auflagerdrücke (A - I 3w = 0,7 5 und } 4w 8- I 1w ~ = 0,25 und entwerfe den Kräfteplan Bild 127b. Bei der angenommenen Laststellung 4W

erhalten 0 1 und ( 0 1 ) Ihren größten Druck, U 1 seinen größten Zui, V, seinen größten Druck und D, seinen größten Zug.

222

Mechanik. - Statik starrer Körper

Slab0 1 • Entnimm -0~ ans dem Kräfteplan Bild 127b und trage es auf der Wirkungslinie von "1" als- -Ordinate nach unten auf (Bild 127a). Verbindungslinien des Ordinateuendpnnktes mit a 1 und b1 liefern die EL. Stab U,. Verfahre wie bei Stab 0., nur trage+ u; nach oben auf. Stab V 1 • Trage V~ nach nnten auf und verbinde den Ordinatenpunkt mit a 1 und c1 • Stab D 1 • Trage + D; auf der Wirkungslinie von t über der Grundlinie nach oben auf und verbinde die Ordinatenendpunkte mita 1 • Stelle die Last 1 auf Knoten III und entwirf mit denAuflagerdrücken(A=B=ü,S) den Kräfteplan (Bild 127cl, der die EL. für +U, und die --Ordinate -Di für die Diagonale D 1 1iefert. Trage - D~ auf der Senkrechten durch Knoten III nach unten auf und verbinde den Ordinatenendpunkt mit b1 und dem Endpunkt der positiven Ordinate D; (Bild 127 a). Zwischen der positiven und negativen Ordinate der EL. wechselt die Stabkraft ihren Richtungsinn. Auswertnng der EL. wie unter a).

Bild 127

Das Verfahren ist geeignet, wenn die ungünstigsten Laststellungen bekannt sind und nur die EL. einiger Stäbe entworfen werden. Für einen Träger mit dem Netzwerk Bild 122 ist das Verfahren etwas umständlich, da zur Ermittlung der EL. fünf Kräftepläne erforderlich sind. Am einfach· sten ermittelt man die Stabkräfte aus den wandernden Lasten mit Hilfe des Kräfteplanes für A = 1 und der A · bzw. B-Linie (s. Bd. II, Hebe- und Fördermittel, Bild 156).

5. Bestimmung der Stabkräfte von Fachwerkauslegern (Kranauslegern) Für diese Fachwerkgebilde (z. B. Bild 128 bis 130) werden die Stabkräfte meist zeichnerisch nach Cremona (S. 215) oder rechnerisch nach Ritter (S. 217) bestimmt. Das Einflußlinienverfahren (S. 218) kommt nur für große Fachwerkausleger mit wandernden Lasten in Betracht.

Bild 128

223

Fachwerke

a) Ausleger zu einem Gießereidrehkran (Bd, II, Abschnitt Hebe- und Fördermittel, Bild 200). Lagerung des Auslegers in einem unteren Längs· und Querlager und einem oberen Querlager wie beim Wanddrehkran Bild 15, S. 189. Der Obergurt des Auslegers (Bild 128) wird von einer Katze mit der Tragkraft Q und dem Gewicht G0 befahren. a =größte Ausladung; ak = Kragarmlänge, h = theoretische Höhe der drehbaren Säule. Die Stabkräfte sind für die in der größten Ausladung (a) stehende, voll belastete Katze zu bestimmen, wobei der Ausleger gewichtslos sei. KraftQ+ G, auf Knoten I alsQ' umrechnen. Q' ~ (Q+ G,) aj(a- ak). Damit der Gleichgewichtszustand (L" Y = 0) erhalten bleibt, wird am Knoten III eine nach oben wirkende Ersatzkraft V,= Q'- (Q + G,) angebracht. Eine Berechnung der Auslegerstützkräfte (V,H' undH") erübrigt sich, da diese durch den Kräfteplan (Bild 128a) erhalten werden, der am Knoten I beginnt. Die gestrichelten Stäbe (Bild 128) sind Hilfsstäbe und für die angenommene Laststellung spa11nungslos. Da Q + G0 , ll" und die untere resultierende Stützkraft im Gleichgewicht sind, müssen sich ihre Wirkungslinien im Punkt 0 schneiden.

b) Ausleger zu einem freistehenden Drehkran mit veränderlicher Ausladung

a ---~':l

(s. Bd. II, Abschn. Hebe- u. Fördermittel, Bild217). Der auf einer feststehenden Stahlsäule drehbare Ausleger (Bild 129) hat ein oberes Längs- und Querlager und ein unteres Querlager. Am hinte.renAuslegerende ist ein Gegengewicht G, mit dem Abstand eq von der Drehachse angeordnet. h = Säulenhöhe. Der Lastkräfteplan ist für die in der größBild 130 ten Ausladung a stehende Katze mit der Tragkraft Q und dem Gewicht G0 zu entwerfen, RechneQ + G0 (Bild 129) wie untera gezeigt auf die Auslegerspitze I alsQ' um und bringe am oberen mittleren Knoten die Ersatzkraft V,= Q'- (Q + G,) an, damit L" Y = 0 ist. Zerlege Q' (Bild 129a) in die Stabkräfte S 1 und S,, desgl. Gu inS, und S,. Berechne die 1

bei III wirkende Auslegerstützkraft als ll' = Tz[(Q + G,) a- Ggeg] und zerlege H' inS, und S,. Am Knoten IV sind S 1 und S, bekannt, S 7 und S, werden gefunden. Am Knoten V sind S, und S 5 bekannt, S 9 und S 10 werden gefw1den. Die am inneren Knoten wirkende obere (resultierende) Stützkraft P, wird im Kräfteplan nach Größe und Richtung aus dem Dreieck (Gg- V 0 + Q') undH' (Bild 129a) gefunden und als (P,) parallel verschoben; desgl. + 5 nach (+ 5). S 11 ist gleich der Komponente (V) von P,. c) Ausleger zu einem Hafendrehkran (Drehscheibenkran) mit fester Ausladung a (Bild 130). Die unmittelbar am Seil angreifende Last Q ist an der Auslegerspitze angenommen. Der Seilzug ist parallel zu sich verschoben und durch die Mitten der Rollen und der Trommel gelegt. Der Lastkräfteplan ist mit Berücksichtigung des Seilzugs zu entwerfen. Vereinige Q und den SeilzugS= Q zur Resultierenden R 1 (Bild 130a) und S-S an der Umlenkrolle zuR, (Bild 130b). Zerlege das untereS in die an den Knoten angreifenden Kom-

ponenten SA und Sn (Bild 130 c). Der Seilzug tritt als innere Kraft nicht in Erscheinung und ändert am äußeren Gleichgewicht der Kräfte nichts. Auslegerstützkräfte: A=-Q(a-l,)jl; B=Q(a+l1 )jl. Der Lastkräfteplan (Bild 130 d) wird von der Auslegerspitze beginnend entworfen. Die an den Knoten angreifenden Kräfte und die Auslegerstützkräfte bilden, da sie im Gleichgewicht sind, einen geschlossenen Kräftezug, dessen Pfeilrichtungen gleichsinnig sind (Bild 130d).

Mechanik. - Dynamik

22~

II. Dynamik

Bearbeitet von Dr.-lng. W. Meyer zur Capellen, Aachen Literatur:. 1. Wittenbauer, F.: Graphische Dynamik. Berlin: Springer 1923. 2. Beyer, R.: Technische Kinematik. Leipzig: j. A. Barth 1931. - 3. Pöschl, Th.: Einführung in die ebene Getriebelehre. Berlin: Springer 1932. - 4. Föppl,A.: Technische

Mechanik. Bd. VI. Die wichtigsten Lehren der höheren Dynamik. München: Oldenbourg 1944. - 5. Franke, R.: Vom Aufbau der Getriebe. Bd. I. 2. Auf!. Beuth-Vertrieb 1948; Bd. II, Deutscher-Ingenieur-Verlag 1951. - 6. Pöschl, Th.: Lehrbuch der Technischen Mechanik. Bd. I. Statik und Dynamik. 3. Auf!. Berlin, Springer 1949. - 1. Rödel, H.: Dynamik. Braunschweig: Westermann 1949. - 8. Grammel, R.: Der Kreisel. 2. Auf!., Bd. I u. II. Berlin: Springer 1950. - 9. Rauh, K.: Praktische Getriebelebre. Bd. I, 2. Auf!. Berlin: Springer 1951. - 10. Biezeno, L., u. R. Grammel: Technische Dynamik. 2.Aufl. Berlin: Springer 1953. - Literatur betr. Schwingungen s. gesondert S. 264.

A. Bewegungslehre (Kinematik) Eine Bewegung heißt absolut, wenn sie auf eine ruhende Umgebung bezogen wird, sie heißt relativ, wenn die Umgebung sich selbst in Bewegung befindet.

t. Geradlinige Bewegung des Massenpunktes

a) Bei der gleichförmigen Bewegung legt der bewegte Punkt in gleichen

Zeiten gleiche Wege zurück. Seine Geschwindigkeit v, d. h. der in der Zeiteinheit zurückgelegte Weg, ist unveränderlich. Der Wegs ist der Vektor vom Anfangspunkt der Bewegung bis zur Lage zur Zeit t. Es gilt dann s = vt m. v =Weg/Zeit~ sft mfsek;

jede physikalische Größe bat eine Dimension, die auf den Grundeinheiten kg, m, sek auf· gebaut ist (vgl. S. 241).

Im Weg-Zeit-Bild ist s durch die Gerade s = vt dargestellt, Bild 1 a; ibre Steigung tg a: ist (entsprechend dem Maßstab} proportional der Geschwindigkeit v..

s

a

Bei der zeichnerischen Darstellung wird die darzustellende Größe in bestimmtem Maßstab aufgetragen. Man drücke diesen immer so aus, daß man die Bedeutung von 1 cm. der Zeichnung angibt, also: usw. 1 cm ~ c 0 mjsek 1 crn ~ b0 m; t cm ~ a 0 sek.; Mit diesen Werten folgt z. B. aus Bild 1 a, daß v ~ tg" · /J 0 ja 0 ist.

Im Geschwindigkeit-Zeit-Bild wird v durch eine zur Zeitachse parallele Gerade dargestellt, Bild 1 b, und der bis zur Zeit t1 zurückgelegte Weg s1 ist proportional der schraffierten Flache 0 A B C. Mit den Maßstabfaktoren ist dann 1 cm' ~ c0 a 0 m. b) Bei der ungleichförmigen Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit. Die Änderung der Geschwin· Bild 1 digkeit in der Zeiteinheit heißt Beschleunigung. a:} Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung b unveränderlich, und es gilt v2 - v, Geschwindigkeitsänderung / k• mse. b=·~-= Zeitänderung t, - t1 Ist v0 die Anfangsgeschwindigkeit, so folgt für Geschwindigkeit v und Wegs v=

V0

+ bt;

s=

V0

t + bt'/2 = (v 0 + v) tf2.

Ist die Geschwindigkeit positiv und nimmt sie ab, so spricht man auch wohl von verzögerter Bewegung. Ein negatives Vorzeichen von v oder b deutet an, daß v oder b entgegengesetzt gerichtet sind der positiven Richtung von s.

Das Geschwindigkeits-Zeit-Bild ist eine Gerade (Bild 2b für b > 0, Bild 3b für b < 0}, und ihre Steigung tg a: 2 ist proportional der Beschleunigung b. Das Weg-Zeit-Bild (Bild2a u. 3a} ist eine Parabel. Die veränderliche Steigung tga: 1 der Parabel ist proportional der Geschwindigkeit v.

225

Bewegungslehre (Kinematik) Ist die Anfangsgeschwindigkeit v0 gleich null, so gilt

s = bt'/2 = vt/2 = v'/Zb; v = bt = y' 2bs; b = v'/Zs = vft; t = vfb = y' Zsjb. Die mittlere Geschwindigkeit v" ist diejenige konstante Geschwindigkeit, mit der der Punkt in der gleichen Zeit den zurückgelegten Weg durchlaufen würde: s=

Vmt;

Vm

= (vo

+ v)/2.

Beispiele: 1. Freier Fall. Die Beschleunigung des freien Falls oder die Fallbeschleunigung im luftleeren Raum ist iu Deutschland im Mittel g = 9,81 mjsek2• Mit v, = o wird die

durchfallene Höhe

h = gt'/2 = v'f2g; 11 = g t = y'-2 g h; t = vjg =

ferner wird 2.

y' 2hjg.

.r a

Senkrechter Wurf nach oben. Die Beschleunigung

ist negativ (Bild 3b), und zwar gleich -g. Daher wird v = "•- g t; Steigzeit T = v0 jg; s = v, t - g 12j2; Steighöhe H = v'0 J2 g.

a

Bild2: b>o; Bild 3: bSek- 1 und ist auch die Geschwindigkeit eines Punktes im Abstand "Eins" vom Drehpunkt. Der vom Fahrstrahl überstrichene Winkel ist

!p =

Jw d t.

229

Bewegungslehre (Kinematik) y) Die Geschwindigkeit des Punktes P ist demnach

v = rw, so daß auch w = vjr. !5) Die Änderung der Winkelgeschwindigkeit in der Zeiteinheit heißt Winkel· .. k-• beschleunigung · s=w=tpse • Daher ist für konstante Winkelbeschleunigung w = ro 0 + Ii d t = OJ0 + st und bei konstanter Winkelgeschwindigkeit tp = w t. s) Die Beschleunigung b des Punktes P (Bild 14) hat als Komponenten die Normalbeschleunigung b,. = v'fr = rw• = vw und die Tangentialbeschleunigung b1 = rs = rw = rip, so daß b" = b~ + b{. Danach kann bei beliebiger ebener und krummliniger Bewegung (S. 227) mit e als Krüm· mungsradius auch geschrieben werden b,. = I! w' = 11 wund b1 = e• = I! w= I! ;p. Cl Bei gleichförmiger Bewegung, d. h. w = const. gilt mit n (U/min) w = rt n/30 = 0,1047n sek-' (R:J n/10 sek-'); n = 30 ro/rt = 9,549 w Ufmin (R:J 10 ro Ufmin). Umfangsgeschwindigkeit v = r w = rrt n/30 = D n n/60 m/sek mit D = 2r. Umlaufzeit T = 60/n = 2rt/ro sek. Ist die Zeit einer vollen Umdrehung unveränderlich, ändert sich aber die Winkelgeschwindigkeit w während einer Umdrehung periodisch derart, daß OJ zwischen den Grenzen OJmax und OJmin schwankt, ·so ist die mittlere Winkelgeschwindigkeit OJmittel = n n/30 und der Ungleichförmigkeitsgrad Ö = (romax- OJmin)/OJmittel {Bd. II, Abschn. Schwungräder). '1) Vektoriell werden die Größen q;, w, e durch je einen in der Drehachse liegenden Vektor dargestellt. Seine Spitze weist in die Fortschreitungsrichtung einer rechtsgängigen Schraube, die in gleichem Sinn gedreht wird, wie

c) Die natürliche Zerlegung der Kraft und der Beschleunigung (S. 227) in Richtung von Bahntangente und Bah1mormale liefert die Komponenten P, = mb, = m dvjdt und P,. = mb,. = mv'/(! (Zentripetalkraft), wenn (! der Krümmungsradius der Bahn ist. d) Die Zerlegung der Kraft bei Polarkoordinaten (S. 229) in die Komponenten in Richtung des Fahrstrahls und senkrecht dazu liefert für den Fall, daß die zweite Komponente gleich null ist, die Zentralbewegung. Die Kraft geht also immer durch einen festen Punkt. e) Ist die Bahnkurve ein Kreis, führt also der Massenpunkt eine Drehung um eine Achse bzw. um den Mittelpunkt aus, so gelten mit den Formeln für die Komponenten der Beschleunigung nach S. 228 (b, = rE, b. = rw' = v'/r = vw) für die Komponenten der Kraft und für diese selbst die Beziehungen P = mr Jl e2 + w•. P,. = mrw' = mv'jr; P, = mre; Die Kraft P,. (Zentripetalkraft) ist nach dem Mittelpunkt hin gerichtet. Das Moment von P in bezugauf den Mittelpunkt ist M = P,r = mr'e. Arbeit und Leistungs. S. 242. Wucht des Massenpunktes: E = mv'/2 = mr'w'/2 (S. 244).

6. Unfreie Bewegung des Massenpunktes a) Die unfreie oder gezwungene Bewegung kann auf die freie dadurch zurück-

geführt werden, daß man die von der festen Führung (Leitkurve oder Leitfiäche) ausgeübten Kräfte (Reaktionen) als äußere Kräfte einführt. Bei einer glatten Fläche steht diese Zwangskraft senkrecht zur Tangente der Kurve oder senkrecht zur Tangentialebene. Bei rauher Leitfiäche oder Leitkurve kommt noch die Reibungskraft hinzu, die in der Tangentialebene oder in der Tangente liegt und entgegengesetzt gerichtet ist wie die Geschwindigkeit des punktförmigen Körpers gegenüber der Führung.

247

Dynamik des Massenpunktes

b) Bewegt sich der Massenpunkt in einer bewegten Führung, so folgt für die Beschleunigungen bei der Relativbewegung (S. 236)

va = li1 + v, + v., wo v, = 2 w x b, vom Betrag b, = 2wv, die Corio!isbeschleunigung ist (Richtung s. S. 236). Ist mb = P die Gesamtkraft, mb1 = P 1 die Kraft, die notwendig ist, um dem Körper die Beschleunigung b1 zu erteilen, die der augenb!icklilh mit ihm zusammenfallende Punkt der Führung hat, und mb, = 2m w v = Z die Zusatzkraft, so folgt für die Gesamtkraft die geometrische Summe (vektoriell geschrieben) Nach

!ß, aufgelöst,

folgt

!ß =

!ß, = !ß -

!ßt

!ßJ-

+ !ß, + .3· .3 = !ß- !ßt + Q:.

heißt Zusatzkraft der Relativbewegung oder Corioliskraft, sie ist der Coriolisbeschleunigung entgegengesetzt gerichtet. (!:

c) Der Energiesatz (S. 244) kann auch bei unfreier Bewegung benutzt werden, nur ist bei rauher Führung die Arbeit der Reibung zu berücksichtigen, die von der eingeprägten Kraft P mit zu leisten ist. Die Reaktionskräfte senkrecht zur Führung leisten keine Arbeit. Beispiele: 1. Seiliefe Ebene. Auf den Massenpunkt wirken ein sein Gewicht G und die zur Ebene senkrechte Reaktion N der Ebene. Die Resultierende P von G und N muß, da der Punkt die Ebene nicht verlassen kann, parallel zur Ebene sein. Daraus ergiht sich unter

Vernachlässigung der Reibung, Bild 70, N = G cos "'• P = G sin a. Da die zu beschleunigende Masse m = Gfg Ist, so gilt Gsina =mb, d.h. b =gsina. 2. Matl!emaliscl!es Pendel {Bild 71). An einem Faden von der Länge I hängt ein Massenpunkt vom Gewicht G. Der Faden ist um den Winkel , -

!

~ I ("~-

~

~

~

durch Aufrollen der Strömung ein Wirbel, Bild 22. Die Reaktionswirkung dieses Wirbels ist ein ent·

gegengesetzt drehender Wirbel um den Tragflügel. llild 22 Der hintere Wirbel schwimmt nun schnell weg, und der Tragflügelwirbel, der ,.Zirkulationswirbel", bleibt bestehen. Diese Drehbewegung um den Tragflügel setzt sich mit der Parallelströmung zu einer resultierenden Bewegung zusammen, so daß anf der oberen Seite die Geschwindigkeiten vergrößert und auf der unteren die Geschwindigkeiten verkleinert werden. Nach dem Bernoullischen Gesetz ergeben sich entsprechend Unterdrücke auf der oberen und Überdrücke auf der unteren Seite, deren Gesamt· wirkungder Auftrieb A = er wb ist.

D. Hydraulisches Messen t. Messungen im offenen Strom a) Gesamtdruck p. Zur Messung genügt ein sog. Pitotrohr (Bild 23), d. h.

ein offenes Rohr, dessen Öffnung der Strömung entgegengerichtet und mit einem Manometer verbunden wird. Diese Messung ist von allen drei Messungen (a, b, c) die einfachste und genaueste. Das Manometer gibt ohne jede Berichtigung den Gesamtdruck an. Richtungsänderungen des Pitotrohres von ±6° gegenüber der Strömungsrichtung sind ohne Einfluß . auf die Genauigkeit der Messung. Bild 23

Bild24

b) Staudruck (dynami· scher Druck) q = r/2 g • w 2• Mit dem Prandtlschen Staurohr (Bild 24) wird vorn der Gesamtdruck p und durch einen Schlitz im zylindrischen Mantel der

statische Druck Pstat übertragen. Nach der Bernoullischen Gleichung ist der

284

Mechanik. - Strömungslehre

Differenzdruck LI p = p- Pstat = q = yj2g · w• = e/2 • w'. Aus diesem Druck, der identisch mit dem Staudruck ist, kann die Geschwindigkeit leicht berechnet werden. Das Instrument zeigt mit dem Faktor c = 1 den Staudruck an und ist unempfindlich für Richtungsänderungen von ± 10°. Bei sehr kleinen Reyno/.d. a angeblasen

d. h. in Ruhe. Man nennt Q\ den Machsehen Winkel, das Verhältnis cfa = Ma die Machsehe Zahl, Bild 83. Steht umgekehrt der störende Körper still, z. B. ein Hindernis an einer Wand (Bild 84), und wird er mit Überschallgeschwindigkeit angeblasen, so ergibt sich grundsätzlich der gleiche Vorgang. Vom Hindernis 1 aus bildet sich unter dem Winkel Q\ eine Front, auf der erstmalig die Strömung unstetig beeinflußt wird. Regel. Bei Strömungen mit Überschallgeschwindigkeit breitet sich jede Störung unter dem Machsehen Winkel aus. Unter Störung ist dabei jede Druck· erhöhung oder . -erniedrigung zu verstehen. Die Strömungsrichtung ist identisch 1 Schrifttum über Schraubenversuche: Schaffran, K.: Systematische Propellerversuche. DiEs. T. H. Danzig 1917. - Helmbold, H. B.: Systematische Versuche an Verstelluft· schrauben. Luftf.·Forsch. Bd. 12 (1935) S. 4. - Betz,A.: Windenergie und I~ A-usnutzung durc;ü Will~ühl~, Göttin~en: Vandenhoe~ u. Ruprecht 192(i; •·· ··

312

Mechanik. - Strömungslehre

mit der Winkelhalbierenden des Machsehen Kegels. (Macksche Wellen können durch Schlieren und neuerdings durch Interferenzverfahren leicht sichtbar gemacht werden.) c) Allgemeingültige Oleichungen. In. der BernouUischen Gleichung muß die Druckhöhe pjy = pv durch den Ausdruck v dp ersetzt werden. Als Lösung ergibt sich für reibungsfreie adiabatische Strömung:

J

-c' + "-1 -" - pv =

2g

H = const.

Für den Fall des Ausströmens aus einem Kessel (Index O) ergibt sich folgende Geschwindigkeit: C=

V

-~-..,[.-{p-o/-P)-,.:--,1:---1-::;]

2_"_:_ 1

=V

2 ":: 1

~ [ 1 - (P /Pol~]

Die größtmögliche Geschwindigkeit entsteht beim Ausströmen ins Vakuum: Cmax=V2":f(":-1) ·Po/~o· Für Po = 1 ata und 15° C ist Cmax= 757 mjsek. Bei Dämpfen ist es zweckmäßig, mit dem Wärmeinhalt (auch Enthalpie genannt) i = c.T+ Apv zu arbeiten. So entstehen folgende Gleichungen für die · Adiabate: cj- ci . . "1/ 2g-A-+c,. i1- i 1 2 ~A = s,- s.; Co=

r

d) Kritisches Druckverhältnis. Bei Unterschreitung eines bestimmten, sog. kritischen Druckverhältnisses Pkr/Po tritt im engsten Querschnitt F, die Schallgeschwindigkeit des Gases entsprechend der dort herrschenden Temperatur auf. ( 2 ~" "+ 1 Man erhält: Pkr/Po = - - --=1; To/Tkr = - - . "+ 1 2 Für den Vorgang ist es unerWasserdampf Krit. DruckLuft heblich, ob er in einer geverhältnis gesättigt überhitzt schlossenen Leitung (Düse) oder in einer Stromröhre einer freien 0,5283 o.m o,546 Strömung stattfindet. Soll bei irgendeiner Expansion OberschaUgeschwindigkeit eintreten, so muß der Düsenquerschnitt erweitert werden. Nach der Kontinnitätsgleichung F = Gvjc bedeutet dies, daß nach Überschreitung der Schallgeschwindigkeit das spez. Volumen stärker zunimmt als die Geschwindigkeit. Laval gab 1883 die nach ihm benannten Düsenformen an. Für die Machsehe Zahl Ma erhält man

I

I

Bild 85. Lavaldüse. Druckverlauf und Geschwindigkeit an der engsten Stelle bei unter- und überkritischen Druckverhältnissen I Unterkritischer Druckverlauf c< a. II Unterkritischer Druckverlauf (äußerste Grenze). lll Kritischer Druckverlauf ohne Verdichtungsstoß. Schallgeschwindigkeit im engsten Quer-

schnitt. IV Überkritischer Druckverlauf; Druckabnaiune im erweiterten Querschnitt.

V Überkritischer Druckverlauf mit Verdichtungsstoß. Drucksprung von IV ~ V (ohne Verlust könnte z. B. ein Drucksprung VOD 1 Dach 2 erfol&en),

313

Gasdynamik

Von praktischer Bedeutung ist das Verhältnis des engsten Querschnitts F, zum Austrittsquerschnitt F 1 sowie das Verhältnis der zugehörigen Geschwindigkeiten. Bei zweiatomigen Gasen ist" = 1,4, bei überhitztem Wasserdampf H= 1,3. x=t,4

"=1,3

Po/P,

F,/F,

c.tc•= c.ta

F,/F•

c1 /C•

2 4 6 8 10 20 30 40 80 100

1,03 1,26 1,55 1,82 2,08 3,22 4,20 5,12 5,97 6,76 8,26 9,71

1,02 1,21 1,47 1,70 1,94 2,90 3,72 4,46 5,16 5,82 7,04 8,13

00

00

1,07 1,45 1,61 1,71 1,78 1,96 2,04 2,10 2,14 2,17 2,21 2,24 2,77

1,04 1,40 1,55 1,64 1,72 1,86 1,93 ·1,98 2,01 2,03 2,07 2,10 2,45

so

60

00

Den Druckverlauf bei unter- und überkritischer Strömung sowie den Geschwin· digkeitsverlauf im engsten Querschnitt zeigt Bild 85.

e) Staudruck. Infolge der Kompressibilität ist bereits bei Unterschallströmungen der Staudruck am Staupunkt eines Körpers größer als der Wert f!/2 • c•. Man erhält

Po - P =

(!/2 • c•

Po!P -1 -"- _...:....:::...:,.'--_-1- (Po/P)_"_ - 1

"-1

= (!/2 • c• B.

Für Luft (K = 1,4) wird:

Po!P

1,1

1,035 cmjsek 124,3 B

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

1,07 173,1

1,1 209

1,133 238

1,16 262

1,189

1,22 303

1,25 320

1,28 336

284

Die bei größeren Geschwindigkeiten eintretenden relativen Dichte- und Volumenänderungen können mit guter Näherung durch folgende Gleichung ermittelt werden:. LJyjy = 1/ 0 (cja) 1 (gültig bis Ma ~ 0,8). Bis etwa Ma ~ 0,3 sind die Volumenänderungen geringfügig. Das bedeutet, daß bis zu diesen Werten meist unbedenklich Gase als Flüssigkeiten betrachtet werden können. f) Verdlchtungsstoß. Bei Überschallströmungen sind u. U. unstetige, endlich große Druckänderungen vorhanden. Hier findet ein plötzlicher Umschlag von Überschallgeschwindigkeit in Unterschallgeschwindigkeit statt. Vor trinem Staupunkt ist dies immer der Fall (Punkt B in Bild 86). Von B verläuft nach beiden Seiten eine Wellenfront, auf der sich der Verdichtungsstoß ausbreitet. Zwischen den Geschwindigkeiten vor und nach dem Verdichtungsstoß besteht die Beziehung: c1 c2 = a•. Der Be-

c" -c•

trag -1 _ _! setzt sich in Wärme um. Zwischen B und . 2g dem Staupunkt A findet dann eine normale adiabatische Bild 86. Verdichtungsstoßvoreiner Profilnase Verdichtung statt.

314

Mechanik. - Ähnlichkeitslehre

als

Der Staudruck ist bei vorausgehendem Verdichtungsstoß kleinet' bei rein adiabatischer Expansion, was durch den Stoßverlust zu erklären ist. Man erhält: Po - P = (!/2 • c" e', wobei e' < e ist. Es ergibt sich: cfa 1,5 2 3 e 1,69 2,48 4,85 e' 1,53 1,655 1,75 Am Staupunkt entsteht die Temperaturerhöhung T 1 - T 1 = A c"f2gc,.. Um diesen Wert zeigen somit Thermometer zuviel an. In Rohrleitungen springt ebenfalls die Uberschallströmung durch Verdichtungsstoß in Unterschallströmung. Nach FrösseP sind die Reibungskoeffizienten in beiden Fällen nicht verschieden von den fiüher bei Flüssigkeiten angegebenen Werten.

g) Widerstand bei Obers.:hallges.:hwindigkeit. . Die Wellenfront der Ver· dichtungswelle, die später in den Machsehen Winkel ausläuft, verursacht einen besonderen Widerstand des Körpers, der zu dem Flächen- und Formwiderstand (s. S. 297 /98) hinzukommt und u. U. beachtliche Werte erreichen kann. Dieser zusätzliche. Wellenwiderstand kann durch Ausbildung der Profilnase beeinfiußt werden. Spitze Ausbildungen der Nase verkleinern den Wellenwiderstand. Be· merkenswert ist, daß die gleichen Maßnahmen, die zur Verminderung des Wellen· widerstandes von Schiffen bekannt geworden sind, auch hier empfehlenswert sind. In beiden Fällen sind somit die Körper vorn spitz auszubilden.

V. Ähnlichkeitslehre Bearbeitet von Prof. Dr.·lng. E. Metzmeler, Berlin Literatur: 1. Weber, M.: Das allgemeine ÄJmliChkeitsprinzip in der Physik und sein

Zusammenhang mit der Dimensionslehre und der Modellwisseuschaft. ]abrb. Schiflbautechn. Ges. 1930, S. 274{388. - 2. Bridgman-Holl: Theorie der physikalischen Dimensionen. Leipzig: Teubner 1932. - 3. Traustel, S.: Modellgesetze der Vergasung und Verhüttung. Berlin: Akademie·Verlag 1949.

A. Grundlagen a) Aufgabe der .Ähnlichkeltslehre. Bei vielen technischen Problemen führt

der übliche mathematisch-deduktive Lösungsweg nicht zum Ziel. Um auch in diesen Fällen ein zalllenmäßiges Ergebnis des Naturvorganges geben zu können, ist man gezwungen, auf dem Versuchsweg die Natur zu befragen. Die an Modellen gemessenen Zalllenwerte werden auf die Natur durch Anwendung der Ähnlich· keitslehre übertragen. Weiterhin werden ähnliche Naturvorgänge durch das Zahlenbeispiel eines einzigen Versuches miterfaßt, sofern die Bedingungen und Voraussetzungen physikalischer Ähnlichkeit erfüllt sind. Jedoch lassen s1ch nicht alle Vorgänge mittels eines Modells nachallmen. Stets muß man prüfen, ob der betreffende Vorgang streng oder nur näherungsweise den Forderungen der Ähnlichkeitslehre genügt. b) Bedingungen für Ähnll.:hkeit. Grundbedingting für die Anwendung der Ähnlichkeitslehre ist stets der physikalisch ähnliche Verlauf an den beiden geo- · metrisch ähnlichen Ausführungen. Dies führt auf eine von der Art der wirkenden Kräfte abhängige Beziehung zwischen den geometrischen und zeitlichen Größen der beiden Vergleichsvorgänge. Diese Beziehung wird das Modellgesetz genannt. Ihre Aufstellung ist die Hauptaufgabe der Ähnlichkeitslehre. Damit zwei Vorgänge z. B. mechanisch ähnlich verlaufen, müssen die beiden ähnlichen Bewegungen der Hauptausführung (H) und des Modells (M) in allen Teilen selbständig nach dem dynamischen Grundgesetz: Kraft= Masse X Beschleunigung vor sich gehen. Ebenfalls müssen die Anfangs- und Grenzbedingungen geometrisch ähnlich sein. 1

Frössel, W.: Forsch. Ing.-Wes. Bd, 7 (1936) S. 75.

Modellgesetze

315

Die Ähnlichkeitslehre ist überall dort anwendbar, wo Grenzübergänge im Sinn der Infinitesimalrechnung physikalisch überhaupt möglich sind. Ausgeschlossen bleiben daher alle Gebiete, bei denen die Molekularstruktur eine Rolle spielt. c) Übertragungsregeln. Zwei zu vergleichende Probleme von (H) und (M) heißen vollkommen ähnlich, 1. wenn für alle entsprechenden linearen Größen von (H) und (M) gilt: l* = Äl, d. h. wenn geometrische Ähnlichkeit besteht; 2. wenn für alle entsprechenden Zeiten von (H) und (M) gilt: t* = rt, d. h. wenn zeitliche Ähnlichkeit besteht; 3. wenn für alle entsprechenden Kräfte von (H) und (M) gilt: k* = xk, d. h. wenn Kräfteähnlichkeit besteht; 4. wenn für,alle entsprechenden Temperaturen von (H) und (M) gilt: T* ={}T, d. h. wenn thermische Ähnlichkeit besteht. d) Übertragungsmaßstäbe abgeleiteter Einheiten. Mit der Festlegung der Maßstäbe für die Grundeinheiten der Längen, m, der Zeiten, sek, der Kräfte, kg, und der Temperaturen, °K, sind auch die Übertragungsmaßstäbe der abgeleiteten Einheiten der Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Flächen, Rauminhalte gegeben. Bei unbenannten Zahlengrößen, wie Winkel, Dehnungen, ist der Obertragungsmaßstab gleich 1. Bei statischen Problemen genügt die Auswahl von zwei Bezugsgrößen, welche die Grundeinheiten m und kg unabhängig voneinander enthalten; bei dynamischen Vorgängen kommt eine dritte Grundeinheit sek hinzu und bei thermischen Erscheinungen noch ° K. Sind w* = ds*/dt* und w = ds/dt zwei entsprechende Geschwindigkeiten von (H) und (M) in m/sek, dann gilt für entsprechende Bahnelemente ds* und ds auch ds* = Ä ds und für entsprechende Zeitelemente dt* und dt auch dt* = T dt. Also ist Ä Äds ds* w* = dt* = Tdt = T" · w. In gleicher Weise ergibt sich für entsprechende Beschleunigungen in mjsek' ). d Äds d ds* d's* - = - 2 b. =b* = - - - = --- T Tdt Tdt dt* dt* dt* 2 Allgemein gilt die Übertragungsregel: Bei physikalischer Ähnlichkeit ist das Übertragungsverhältnis für zwei entsprechende Definitionsgrößen von (H) und (M) in der gleichen Weise aus den Grundverhältnissen Ä, T, x, {}zu bilden wie die Maßeinheiten der betreffenden Größe aus m, sek, kg, ° K.

B. Modellgesetze 1. Dynamische Ähnlichkeit a) Die Bedingungsgleichung zwischen den vier Ähnlichkeitsmaßstäben der dynamischen Grundgleichung. Die dynamische Grundgleichung hat die .Form für (M) k = mb. für (H) k* = m*b*, Berücksichtigt man die Übertragungsmaßstäbe und setzt m* = pm, so erhält man für (H) Ä k* =xk =pm-;ob· Soll diese den Hauptvorgang beschreibende Gleichung mit der des Modell· Vorganges übereinstimmen, so muß ).

"=Top

die Bertrandsche Bedingungsgleichung zwischen den vier Ähnlichkeitsmaßstäben

A, T, x, p erfüllt sein.

316

Mechanik. - Ähnlichkeitslehre

b) Newtons allgemeines Ähnllcbkeltsgesetz. Führt man die Dichtee und das

Volumen V ein (m =

m*b* " = -mb

eV)

=

und schreibt die Bertrandsche Gleichung in der Form

e•V• Ä -(!V- T1 k*

e•

= -(!

Ä1 -

w••

Ä

T1

e* Ä1 e* l*" = - Ä"-1 = - 1 (!

k

e•z••w•• = ez•w = const. =

oder

(!

T

l

w1

"'·

so ergibt sich die folgende als Newtons allgemeines Ähnlichkeitsgesetz bezeichnete Doppelgleichung = und = Bei der Anwendung der Ähnlichkeitslehre wird der Längenmaßstab Ä beliebig passend gewählt. Außerdem ist das Verhältnis p, entsprechender Massen durch die Dichten e* und(! und das Verhältnis entsprechender Rauminhalte durch Ä1 gegeben. In der Berlrandschen Bedingungsgleichung sind also nur noch T und " Unbekannte. Tritt zu dieser Gleichung noch eine weitere Beziehung k1*/k1 hinzu, die "aus Ä und T berechnen läßt, dann sind die vier Maßstäbe Ä, T," und p, bekannt und damit auch das für diesen Fall in Frage kommende Modellgesetz.

k* cxe•l••w••

k "'e z•w•.

"=

c) Das Froudescbe Modellgesetz für Vorgänge mit Trägheitskräften und Schwerkraft. Die beiden Bewegungsvorgänge von (H) und (M) sollen unter der Wirkung der Schwerkraft ähnlich verlaufen. Sind y* und y entsprechende spez. Gewichte, g* undgentsprechende Erdbeschleunigungen, so ergibt das Verhältnis der Schwerkräfte

"= m* g* = e* V~ ~ = mg

eV

g

y* V* = ~ Ä". yV y

Durch Vergleich mit dem Verhältnis der Massenkräfte in der Newtonsehen Form erhält man T

==

r.

-./Ä!. g*

oder mit g* = g auch

T =

Yl,

das Froudesche Gesetz für den Zeitmaßstab, bzw.

w* w --=::::=-==Fr (Froudesche Zahl),

rz•c• Jlzc

das Froudesche Gesetz für den Geschwindigkeitsmaßstab; s. a. S. 280. Beispiel: Ein Schift von 100m Länge und einer Geschwindigkeit w = 10 mfsek soll im Modell von 4 m Länge im Schleppkanal untersucht werden. Damit das Wellenbild ähnlich wird, muß Fr ~w/Yfg = IO/Ytoou• = also mit g* = ·g die ModelJgeschwindigkeit w "' 2 mfsek sein.

-w•/Yz•u•

w/y;;g,

d) Das Reynoldsscbe Modellgesetz für Strömungen mit Trägheits- und ReibungskräfteJ;J.. Strömungen inkompressibler Flüssigkeiten sollen unter der alleinigen Wirkung innerer Reibungskräfte mechanisch ähnlich verlaufen. Die inneren Reibungskräfte an entsprechenden Flächen F* und F eines Flüssigkeitsteilchens sind k*=TJ*dw*jdn*·F* und k=1Jdwjdn·F. TJ* und 1J sind die dynamischen Zähigkeiten der beiden Flüssigkeiten, dw*jdn* und dwjdn die Änderung der Geschwindigkeit beim Fortschreiten in Richtung der Flächennormalen n* und n. Das Verhältnis der Zähigkeitskräfte ist

"= f]* dw*Jdn* ·F* = TJ* ~Ä" = !t ~. fJdWjdn·F

1J

TÄ

1J

T

317

Modellgesetze Der Vergleich mit dem Verhältnis der Massenkräfte ergibt T

= Ä1 '1}//1} = Ä' _!_ , das Reynoldssche Gesetz für den Zeitmaßstab,

'1}* I}*

11*

wobei 11 = '1}/(} die kinematische Zähigkeit ist, bzw. w*l*/v* = wlfv =Re (Reynoldssche Zahl), das Reynoldssche Gesetz für den Geschwindigkeitsmaßstab; s. a. S. 279. Beispiel: Der Widerstand einer Wasserleitung vom Durchmesser 10 cm bei einer Geschwindigkeit w = 2 mfsek soll mit Luft untersucht werden. Bei Ähnlichkeit muß Re= w*d*f•* = wdfv

to-• und v (Luft)= 15 • to-• m'fsek bei 20° und d* = d wird 2·0,1 w·o,t t · to-• = 15 · to-• die Geschwindigkeit der Luft w = 30 mfsek.

sein. Mit v* (Wasser)= t•

e) Die Modellgesetze für Bewegung unter gleichzeitiger Wirkung zweier Kräftearten 1• Wirken außer der Schwerkraft z. B. noch die innere Flüssigkeits-

reibung, so erhält man für die drei Maßstäbe "· Ä, T eine erste Beziehung aus dem Verhältnis entsprechender Trägheitskräfte, eine zweite aus dem Verhältnis entsprechender Schwerkräfte und eine dritte aus dem Verhältnis entsprechender innerer Reibungskräfte. Aus dem Bestehen dieser drei Gleichungeil mit den Unbekannten "• Ä, T folgt, daß jetzt auch der Wert Ä zu berechnen, also nicht mehr frei wählbar ist. Die Gleichsetzung der ersten beiden Gleichungen liefert T

;-;?_, fAi

·=-.

die der ersten und dritten T = Ä"

~•

~

Damit beide Gesetze erfüllt sind, muß 'IJ

= Ä'-

v•

oder mit g* = g auch

Ä= .1 - sein.

"' •

Bei gleichem Stoff für (H) und (M) folgt Ä = 1 , Die Hauptausführung kann nicht durch ein Modell nachgeahmt werden. Man muß hier auf eine strenge Ähnlichkeit verzichten und im Einzelfall besonders nachprüfen, ob nicht der Einßuß einer der Kräfte so geringfügig ist, daß er vernachläsSigt werden kann. Esliegt dann der Fall angenäherter Ähnlichkeit vor.

f) DM Cauchysche Modellgesetz für Bewegungsvorgänge unter der Wirkung elastischer Kräfte •. Die elastischen Kräfte für (H) sind k* = a* F* und für (M) k = a F, worin u• und u die Normalspannungen und F* und F deren Bezugsflächen sind. Im elastischen Bereich gilt u• =- E*e* und u = Ee, also k* =E*e*F* und k = EeF. Das Verhältnis der elastischen Kräfte liefert

"= e* E* F*jeEF = E*/E • Ä1 •

m,e•

Der Vergleich mit dem Verhältnis der Massenkräfte

e•~

" = -12. T1

führt auf T = Ä

- -

1] E*

und ergibt Ä/T = w*jw = YE*/1}*/VE/1] = C (Cauchysche Zahl), das Cauchysche Gesetz für den Geschwindigkeitsmaßstab.

"'YEJe = 1

a ist die Schallgeschwindigkeit in dem betreffenden Material.

Hagen, J.: Vergleichender Überblick über Ähnlichkeitsbedingungen und Kenngrößen

der Strömungslehre unter besonderer Berücksichtigung der Kenngrößenverkettung. Diss. T. H. Berlin 1941. 1 Weber, H.: Ober Modellgesebe und Ähnlichkeltsbedingungen beistatischen Elastizitätsproblemen. Dlss. T. H. Berlin 1940.

318

Mechanik. - Ähnlichkeitslehre

2. Thermische Ähnlichkeit1 Das Fouriersehe peraturleitwert

Modellgesetz für den Wärmeübergang. Wenn der Tem·

Ä! nnd für (M) a = Äw cy c* y* (J.! und Äw sind die Wärmeleitfähigkeiten der Körper, c• und c die spezifischen Wärmen, y* und y ihre spez. Gewichte) ist, so lautet die Differentialgleichung von Fourier für den Wärmeübergang für (H) für (H)

a• =

(iJ' T* iJ' T* iJ' T*) iJ T* - - = a* · - - + - - + - - =" a* 17' T* iJz*' iJy*' iJz*' iJt* bzw. nach Berücksichtigung der Übertragungsmaßstäbe iJT 1} 1} iJT - - = a 17' T. - - = -;;-2 a• J7B T und für (M) iJt 1. i)t • Damit Haupt- und Modellvorgang übereinstimmen, muß 1}

T

=

aa• ·x·1}

oder

t*a*

ta

·y;a = l2 = Fo

(Fouriersche Zahl),

das Fouriersehe Modellgesetz erfüllt werden . Beispiel: Ist (H) einhalbmal so groß wie (M), so ist l* =

•

nisse vorbanden sind, mnß

Mita*

=a wird

! l.

Damit ähnliche Verhält-

Fo = t*a*jl*' = tajl' sein.

t• l'/4 =-i'' t• = t/4. Die Temperaturverteilung bei (H) ist bereits in 1 / , der Zeit erreicht wie bei (M).

3. Thermodynamische Ähnlichkeit • Das Pecletsche Modellgesetz bei Wärmevorgängen. Die bisherige Ableitung der Modellgesetze aus der Identität der Differentialgleichungen von (H) und (M) zeigt, daß das Modellgesetz einfach aus dem Verhältnis der Stoffwerte von (H) und (M) unter Berücksichtigung der Übertragungsregeln erhalten werden kann. Das Verhältnis der Temperaturleitwerte a* und a (Dimension m'/sek) ist also

a•ja =

Ä'/•

= Ä · Ä/• = l*/l· w*fw,

l*w*ja* = lwfa = Pe (Pecletsche Zahl). Das Pieletsehe Modellgesetz muß neben dem Reynoldsschen dann berücksichtigt werden, wenn in der strömenden Flüssigkeit noch Temperaturunterschiede vor· handen sind. Dividiert man die Pieletsehe Zahl durch die Reynoldssche, so ergibt sich wlfa ·vfwl = vfa = Pr (Prandtlsche Zahl). Die Pranätlsche Zahl hat den Vorteil, daß sie nur aus Stoffwerten aufgebaut ist.

C. Dimensionsbetrachtung Nach dem Satz von Fourier von der Gleichheit der Dimensionen einer physikalischen Gleichung kann man die Ähnlichkeitsbetrachtung auch durch eine Dimensionsbetrachtung ersetzen. Am Beispiel des hydrodynamischen Widerstandes soll dies näher erläutert werden. ' van der Held: Die Ähnlichkeitsgesetze in der Wärmelehre. Z. tecbn. Physik Bd. 21 {1940) S. 79/85. - Ho/bauer, G.: Modellversuebe zur Wärmeleitung u. -speichemng. Ges.lng. Bd. 72 {1951) S. 274/77.

Dimensionsbetrachtung

319

Die maßgebenden Größen für den Widerstand sind - wenn die Zähigkeit der Flüssigkeit hier außer Betracht bleibt - die Form des Körpers, die durch eine Längenabmessung l dargestellt wird, die Geschwindigkeit w der Bewegung relativ zum Medium und die Masse e der Volumeneinheit- (Die Schwerkraft steht im Gleichgewicht zur statischen Auftriebskomponente und kann deshalbvernacblässigt werden.) Der Widerstand W kann in Form eines Potenzproduktes W = const. Z" w8 e't dargestellt werden. Andererseits ergibt sich nach Einführen der Symbole l, t und m für die Länge, Zeit und Masse mit W = m b die Dimensionsformel

m ljt• = const.Z" (Z/1){1 (mjl')Y, Durch Gleichsetzen der Exponenten der Größen m, l undtauf beiden Seiten ergeben sich dann drei Gleichungen. Bedingung für m : 1 = 1'• 1: I.="+ fl- 3 ", Daraus wird y = t , {J

Ähnlichkeitsgeselz.

= 2,

"

=2

1:-2 = -{J.

und damit W = const. e w' I', das Newtonsehe

Diese Dimensionsbetrachtungen haben gegenüber der Ähnlichkeitsbetrachtung den Vorteil, daß sie unter Umständen auch dann noch anwendbar sind, wenn die Differentialgleichungen des Problems noch unbekannt, die physikalischen Größen des Vorganges dagegen bekannt sind. Bei der turbulenten Bewegung einer Flüssigkeit mit ihren verwickelten und keinesfalls noch vollständig geklärten Erscheinungen kann man mit der Dimensionsbetrachtung recht gute Schlüsse auf die Gestalt der dabei auftretenden Gesetze ziehen,

Festigkeitslehre Bearbeitet von Dr.-Ing. W. Meyer zur Capellen, Aachen Literatur:

1.

Neuber, H.: Kerbspa.nnungslehre, Grundlagen für genaue Spannungs-

rechnungen. Berlin: Springer 1937.- 2. Föppl, L.: Drang- und Zwang. 3. Auf!. Bd. 11941, Bd. II 1944, Bd. III 1947. München-Berlin: Oldenbourg. - 3. Schultz-Grunow, F.: Einführung in die Festigkeitslehre. Düsseldorf: Werner 1949.-4. Neuere Festigkeitsprobleme des Ingenieurs. Hrsg. von K. Marguerre. Berlin: Springer 1950.- 5. Pöschl, Th.: Elementare Festigkeitslehre, 2. Auf!. Berlin: Springer 19 52. - 6. Biezeno, C. B., u. R. Grammel: Technische Dynamik. 2.Aufl. Berlin: Springer 1953.

In Anlehnung an DIN 1350 wurden die folgenden Bezeichnungen gewählt: Normalspannung, T Schubspannung, p Flächenpressung (Kraft/Fläche), O'zul zulässige Normalspannung, Tzut zulässige Schubspannung, Up Spannung an der Proportionalitätsgrenze, uE Spannung an der Elastizitätsgrenze, u8 ( = as) Spannung an der Fließgrenze (Streckgrenze, bei Druck Quetschgrenze), Knickspannung, an statische Festigkeit, an Dauerfestigkeit, GSch Schwellfestigkeit (früher Ursprungsfestigkeit au ), v Sicherheit. CJw Wechselfestigkeit, Indizes für Beanspruchungsart:

u

%

d b K

t Drehung (Torsion), . s Schub (r, = cQ(F), a Abscheren (r• = Q[F bei Annahme gleichförmiger Verteilung der Schubspannungen). gesetzt zu werden, wenn aus dem Zusammenhang nicht ohne weiteres die Art der Beanspruchung ersichtlich ist.

Zug, Druck, Biegung, Knickung, Die Indizes brauchen nur

Eulersche Knickkraft, Schlankheitsgrad = sKfi = Knicklänge/Trägheitshalbmesser, M Moment (Indizes b und t nur nach Bedarf), a = 1/E = Dehnzahl, E =Elastizitätsmodul (Elastizitätsmaß), ß = 1/G = Schubzahl, G = Gleitmodul, Querzahl (ohne Vorzeichen) = e./e = Querkürzung/Längsdehnung, p m = efeg = 1/p Reziprokwert der Querzahl (Poissonsche Konstante). K Ä

I. Allgemeines A. Spannung und Formänderung 1. Normal- und Schubspannung Wird ein elastischer Körper durch äußere Kräfte beansprucht, so werden in jeder Schnittebene Kräfte hervorgerufen; der auf die Flächeneinheit des noch nicht verformten Querschnittes entfallende Anteil heißt Spannung. Diese wird in kg/cm' oder kgfmm• angegeben (1 kgfmm' = 100 kg/cm'). Normalspannungen (] ( + für Zug, - für Druck) wirken senkrecht zur Schnittfläche, Schubspannungen Tin der Schnittfläche, Bild 1. Jede Spannung kann nach dem Satz vom Parallelogramm der Kräfte durch eine Normal- und eine Schubspannung ersetzt werden, z. B. a' in Bild 4 durch Grp und Trp• Bild t

321

Spannung und Formänderung

Wird der Stab, Bild. 2, durchgeschnitten, so müssen zur Wiederherstellung des Gleichgewichtes in den Schnittflächen die in Bild 3 angegebenen Kräfte P hinzugefügt werd~. Nimmt jedes Flächenteilchen des Querschnittes gleichmäßig an der Kräfteübertragung teil, so wird· die Normalspannung = P /F kgfcm·, wenn die Kraft P in li!g, der Querschnitt F in cm' gemessen wird. Die angedeutete gle!chmäßige Spimnungsverteilung gilt nur in genügend weiter Entfernung von der Kraftangriffsstelle (Prinzip von St. Venant,

a

a. a. Abs. D).

2. Einachsiger Spannungszustand In Bild 4 ist u = P/F, F/F' = cos rp und Urp = Pcosrp/F' =UF/F' • cosrp =Ucos•rp; Trp = P sinrp/F' = Urp tgrp =tu sin 2rp. Neben Normalspannungen treten auch Schubspannungen auf. In Bild 4 ist a'' = T~ + a~, also a' = a cos rp parallel a. Hierhel ist a'F'= aF = P.

Bild2

Bild 3

3. Einachsiger Formänderungszustand Der zylindrische Stab in Bild 2 wird unter dem Einfluß der beiden Kräfte P seine Länge von l auf l 1 = l + Lll vergrößern und seinen Durchmesser ·von d auf d 1 ver. kleinem. Die Zunahme der ursprünglichen Längeneinheit heißt Dehnung: ll = Lll/l = (ll - l)jl. Die Längenänderung im Augenblick des Bruches, Bruchdehnung (beim Zugversuch) bzw. Bruchstauchung (beim Bild4 Druckversuch), wird gekennzeichnet durch das Verhältnis ~ = Lll/l· 100%. Das Verhältnis e9 = (d- dtlfd heißt Querkontraktion oder Querkürzung. Der Wert m = e,'e9 (Poissonsche Zahl), d; h. das Verhältnis von Dehnung zu Querkürzung, ist vom Material abhängig und liegt für Metalle im allgemeinen zwischen 3 und 4. Der Reziprokwert von m, d. h. p = 1/m, heißt Querzahl, so daß bei Metallen mit m = 10/3, d. h. p = 0,3 im Durchschnitt gerechnet wird. Für Gußeisen liegt m zwischen 5 und 9. Sind die Dehnungen den Spannungen verhältnisgleich, so gilt das Hookesche Gesetz e=a;u; B:

heißt Dehnzahl, gemessen in cm•fkg, der Reziprokwert E = 1/a; Elastizitätsmodul, gemessen in kgfcm•; es ist daher u = eja; = E e die zweite Form des Hookeschen Gesetzes. · Beim Zug- bzw. Druckversuch, Bild 5 (weiches Eisen), bei dem der Stab einer stetig wachsenden Belastung unterworfen wird, ist das H ookesche Gesetz bis zur Proportionalitätsgtenzeu erfüllt, wältrend die Elastizitätsgrenze u ~ die Spannung darstellt, bis zu der der Stab belastet werden kann, um nach der Entlastung Bild S und 6. Spannungs-Deltnungsdiagramme

"

21

Taschenbuch für den Maschinenbau, tl. Auf!. I

322

Festigkeitslehre. - Allgemeines

nahezu auf die ursprüngliche Länge zurückzugehen (vgl. auch Werkstofikunde S. SOS). Bei manchen StOffen liegt auch bei kleinen Dehnungen keine Proportionalität zwischen a und s vor, wie z. B. bei Gußeisen, Bild 6 •.Häufig wird dann mit einem mittleren Wert B ge-

rechnet (obwohl dann E = dajde ist) oder ein Potenzgesetze = «o a" zugrundegelegt. Eine ausgesprochene Fließgrenze bzw. Streck- oder Quetschgrenze wie inBildSliegt nicht immer vor. Dann wird diese definiert durch eine Dehnung von 0,2% ("Dehngrenze").

4. Ebener Spannungszustand Beim ebenen Spannungszustand, wie er bei scheibenförmigen Körpern vorkommt, treten in Schnitten parallel zu einer bestimmten Ebene (der z,y-Ebene in Bild 7) keine Spanntingen auf. Die Momentengleichung für den Mittelpunkt des Quaders ergibt, da sämtliche Normalspannungen herausfallen: (-r.,"LI yLiz)LI x/2 +(Tz"+ LI Tzy) • · (LiyLiz)LI xf2- (-r..,.,LixLiz)LI y/2- (Tv.,+LI-r..,.,)(LixLiz)Liy/2=0 oder nach Division mit tLI x LI :Y LI z auch 2T.,, +LIT.,r- 2Ty.,-Lir,.,=O, Bild 7 T.,,- T"" = t (LI Ty.,-LI Tzg). Läßt man die Kanten des Quaders kleiner und kleiner werden, so wird die rechte Seite der letzten Gleichung beliebig klein, und daher muß Tzv = Tyz sein: In zwei zueinander senkrechten Schnittflächen herrschen gleich große, nach der Schnittkante zu oder von ihr weg gerichtete Schubspannungen. (Schubspannungen treten paarweise auf.) ~~7=-_.:11

Die Indizes bei den Schubapannungen sind folgenaernaßen ge...'ählt: Der erste Index gibt die Normale zu der Fläche an, in der die Schubspannung wirkt, der zweite die Richtung des Spannungsvektors. Dies gilt besonders für den räumlichen Spannungszustand, der durch drei Normalspannungen az, a•, aa"un.d seChs Schubspannungen T%tl = Tyz, Tvz= Tzg, T:a:% = Tzz bestimmt ist.

Für eine um den Winkel rp geneigte Ebene, Bild 8, ergibt die Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen O'rp=t (a,+a.,) +t(a,-a.,) cos2rp +'t'Sin2rp } Trp= t (a,-a.,) sin 2rp- T cos 2rp. (1) In den zueinander senkrechten Schnitten tp0 und 90° + rp0 , wobei tg2rpo=2T/(0'11 -a.,) ist, treten die größte und . die kleinste Spannung, . die -~ Hauptspannungen, auf (wie sich durch eine Maximum"" '7 Minimum-Rechnung ergibt), deren Werte durch Einsetzen BildS von rp0 in {1) zu

und

C

~

~l A

:fnarp=

t (a.+ a.,) ± t Y(a,- a.,)"+4-r"

{2)

folgen. In diesen HauptriChtungen verschwinden die Schubspannungen. Der größte bzw. kleinste Wert der Schubspannung :fnTrp=±tY(a.,-a.)1 +4T1 (3) tritt in den Schnitten auf, die die rechten Winkel der Rauptspannungen halbieren. Für diese Richtungen verschwinden die Normalspannungen im allgemeinen nicht. Ist a = a,. die einzige Normalspannung, so werden mit a., = 0 die Haupt· spannungen

:fnarp=t(a±Ya"+4t 1)

und die Hauptschubspannungen :fnTrp = ± t y' a• + 4 y•.

(4) (5)

323

Spannung und Formänderung

Sind die Rauptspannungen min G +Mo t. = 6E](ß1 + ß.>. Nach dem Mohrsehen Satz (S. 352) ist aber Ejß1 gleich der Auflagerkraft am Träger AB in B bei Belastung durch-die M 0 -Fläche, oder es ist E]ß, = -L,fl» wenn L, das Moment dl)r M 0 -Fläche .der linken Öffnung in bezug auf die linke Stützsenkrechte (durch A) -ist; ferner ist E]ß1 = __:_ RJl0 , wenn R~ das Moment

366

Festigkeitslehre. - Biegung

der M 0-Fläche der rechten Öffnung in hezug auf die rechte Stützsenkrechte durch C ist.

Hat man allgemein die Stützen 0, 1, ... , r- 1, r, r + 1, ... , n (Bild 69) mit den Momenten M 0 , M" ... usw., so wird

M,-llr +2M, (l,

+ lr+l) + Mr+l lr+I =

R,+ 6E] (/3r + ßr+l) = - 6 (L, - +-') , · l, lr+l Diese Gleichung heißt Dreimamentengleickung oder auch Clapeyronsche Gleichung. - In der lastfreien Öffnung i ist ßi = 0.

Beispiele: l. Bei Ein:zelkräflenkmm die Gleichung umgeformt werden. Für die Höhe h 1 desM0 -Momentendreiecks mit der Last P,, Bild 69, gilt nach Fall 3, S. ,354, h 1 = P 1 a 1 (lr-a1 )/lr. Das statiscpe Moment dieses in zwei Teile geteilten Dreiecks, bezogen auf die linke Stützsenkrechte, ist dann Lr = ta,h, .J-a,+ tCZ..- a 1)h 1 [a1 + t'

Größte Spannungen in der Mitte der Seiten

0,447QF = 1,481(.>3

0,520(.>2 F = 1 ,726(.>'

Größte Spannungen in der Mitte der Seiten

- - I b;• h;

!1.. 3 Ib~Jz-•• . I I

Dünnwandige Profile

11

a'/46, 19,., h'/26

0,436QF = 1,511 (.>'

~ Regel· mäßiges Achteck

Bemerkungen

In den Ecken ist

Regel· mäßiges Sechseck

9

J*

1 3bmax

Werte fJ und

r

L ~

1,12

0,99 1,6***

" w•

=

l.

I

x•• I p

+

1,12 1,31 1,29 1,17

2,6**** 0,9

1,2

1,2

0,15

Dünnwandige Profile von der Form der Walzträger.

,_

Größte Spannungen in der Mitte der Längsseiten des Rechteckes mit der größten Dicke bmax·

2,6••••

In den Abrundungen Ist T noch um 16% (nach Uebel' 60%) größer

w.ji.,

also max T =ÄM/W0 ;

w. =rtr"/2 =rtd'/16; 2-~

). = 1-

ö=

tlir.

2~'+~ö' J

;

rcd'/32

Schrifttum vgl. Anm. 2, S. 376

Für sehr kleine ö ist A=2-Ö=2.

Beispiele: 1. Ein Stab von rechteckigem Querschnitt aus Flußeisen mit den Maßen l = 1 m, a ~ 200 mm, b = 100 mm ist durch ein Drehmoment von Mt = 120 000 kgcm be· lastet. Gesucht die maximale Spannung und der VerdrehungswinkeL - Es ist n = a{b = . also c, = 0,229 und c, = 0,928; d. h. w• = o.229 = 200/100 = 2; lt. Tafel 1st iB · 20 · 10, =

o,

9 = 493,5 cm' und max T = M{W* = 120000{493,5 = 243 kg{cm'. In der Mitte der kleinen Seiten ist '• = c, max T = 0,796 · 243 = 193 kg{cm'. Ferner wirdJ* = c,ab'= 0,229 · 20 · 10' = =4580cm', rp=lii=lMt{J*G= 100·120000/(4580·810000) =0,00323,rp 0 =rp · 180°/n= = 0,185°. 1 Uebel, Fr.: Zur Berechnung von drillbeanspruchten Stäben mit rechteckigem Querschnitt und aus Rechtecken zusammengesetzten Profilen (Walzträger). Forsch. Ing.-Wes. Bd. 10 (1939) S. 123,41. •• Korrekturfaktor ~ nach A. Föppl (Lit. 2, Bd. II). C. Weber (vgl. Anm. S. 377) setzt bei konstanter Dicke b auch J • = b' !3 · ( 1: h- >< b); Werte für > a-. 11 ), also Ä < Äo ist. Dann hängt O"~c vorn gekrümmten Verlauf der Spannungsdehnungslinie ab. Engesser• hat auf Grund dessen e inc theoretische Knickformel angeregt (in Bild 98 ausgezogen), die durch Versuche von v. Karman• gut bestätigt wurde. Die Knickspannung überschreitet

a~c, in

• Vgl. z. B. Jeiek, K.: Die Festigkeit von Druckstäben aus Stab!. Wien: Springer 1937' Ferner Gercke, ll. J.: Über die allgemeine Form der Knickbedingungen des geraden Stabes. Konstruktion Bd. 4 ( t 952) S. 46/54. • Engesser, F.: z. Arch. lng.-Wes. {1889) S. 455 u. Schweiz. Bau-Ztg. Bd. 26 (1895) S. 24 • Untersuchungen über Knickfestigkeit. VDI-Forsch. Arb., Heft 8t. Berlin: t9t0.

382

Festigkeitslehre. - Stabilitätsfragen

hierbei die Fließ- (Quetsch-) Grenze. Doch wird, um bleibende Formänderungen zu vermeiden, diese als obere Grenze angenommen (vgl. Bild 98, bzw. die Gerade 2400, Bild 99): Stäbe mit genügend ~·r-~--r---_,-----+----~ kleinem Ä werden als Druckstäbe behandelt. "~ ~~~n~Mg~~-~~~~~~~~ d) Die praktische Berechnung eines Elementes im Maschinenbau ~ ~·~r------r----~~----t-----~ erfolgt oberhalb Ä0 {elastischer Bereich) nach der Euler-Formel, unterhalb Äo (unelastischer Bereich) nach ~ den durch zahlreiche Versuche begründeten Formeln von v. Tetmafer 1• q 50 100. 151/ ~oo Die Knickspannung ak in AbhängigScltltrnklteii8IJI'IRIA keit vonÄ wird für den unelastischen Bild 98. Knickung nach Bllf/esser-v. Karman Fall durch eine Gerade, die Tetund 11. Tetmajer mafersche Gerade (Bild 98), nur bei Gußeisen durch eine Parabel dargestellt, vgl. Zahlentafel:

! 10001---t---t--~k----l

a~o

E

Werkstoff

kgfcm1 Nadelholz • • • • • Grauguß . . • • • • Schweißstahl Flußstahl (Flußeisen) Flußstahl • • • • • , Nickelstahl bis 5% Ni

in kgfcm1

n'E

Gilt für

;.;;:;

-y.--

987000 :).I tOOOOO t 000000 9870000 :Ä1 2000000 19 740000: A1 }2100000 r0730000 :A1 bis bis 2200000 21 710000: Ä1 2100000 20 730 000 : .il1

I I

Euler-Formel

100

so

112 tOS 89 86

Für kleinere Werte ;. nach

Tetmajer

293-1,94Ä 7760 - 120 Ä + 0,53 ).I 3030-12,9Ä 3100- 11,4 A 3350- 6,2A 4700- 23,0.il

Die Sicherheil " darf nach Angaben von Rötscher I im Maschinenbau - falls nicht konstruktive Rücksichten oder die Herstellung und die Bearbeitung größere Querschnitte verlangen - bei kleinen Maschinen zwischen 8 und I 0, bei größeren zwischen 6 und 8 gewllhlt werden, da nicht Immer eindeutig der Elntluß von zusätzlichen Belastungen angegeben werden kann. Nach ten Bosch 1 werden Sicherheiten ' = 3,5 bis 5 vorgeschlagen. Z. B, weisen Lokomotiven mit Rücksicht auf die Forderung geringer hin- und hergehender Massen Werte bis herab zu 3, selbst t,75 auf. Das w-Ver/ahren (s. u.), das für .il< 100 je nach der Große von ;. eine andere Sicherheit hat, darf nicht im Maschinenbau benutzt werden.

Im Leichtbau wird von Wagner vorgeschlagen, im unelastischen Bereich die Knickspannung C11c in Abhängigkeit von Ä durch eine Parabel zu ersetzen, die für Ä= 0 den Scheitelinder Streckgrenze a8 =- a1 hat: a" = a8 - (as -a~:) Ä'/Äg. Beispiele: t. Es soll der Durcbmesser eines kreisformigen Stabes aus Flußstahl von 13 SO mm Länge bestimmt werden, der in Gelenken gelagert ist und einer Druckkraft von

P = 7800kg ausgesetztist. Sicherheitsgrad • = 3,5; E = 2,1 • 101 kgfcm'.

=!'H1 _7800·3,5·135 1 -~ •· Jerf n1 E n 1 • 2,1 ·10° - - 3•95 cm' also d= 4,7cm nachS.341;damiti=d/4 = 1,175; A=sti = 135/1,175 = ttS,alsogrößer als 105, daher Im Euler-Bereich. Die Aufrundung auf d = 5 cm liefert i = 5/4 = t,25 und A = 135/1,25 = 108, ebenfalls größer als A0 • Für reine Druckbelastung ist a = PtJ:.• = 450 blw. 397 kgfcm1 < azul• 2. Für eine Schubstange kreisfOrmigen Querschnitts aus weichem Flußstahl (E = 2,15 ·101 kgfcm1 ) sind die größte Druckkraft P = 19000kg, die Länge I= 1600mm und " = 7 gegeben. Gesucht ist der erforderliche Durchmesser. 19000. 7. 160' Nach Euler wird Jerf = 111 • 2 ,15 _ 10, = 161 cm•; damit

P =~=n1 EJ. •

11S1

'

d = 7,6 cm (S. 341); i

-----Gesetze der Knickfestigkeit.

= d/4 = 1,9;

A = 160/1,9 = 84,2 < 105.

1 Wien: Springer 1903. Diese Versuchsergebnisse gelten jedoch nur für bestimmte Werkstoffe und kOnnen auf andere nicht unmittelbar übertragen werden. 1 Röischer, F.: MMchlnenelemente. Berlin: Springer 1929. 1 len Bosch,M.: BerechDung der Maschlnenelemente, 3. Auß. Berlin: Springer 1951.

383

Knickung

Die Eu/er-Gleichung ist also nicht zuläsSig. Nach v. Telmajer folgt aus der Tafel für Ä = 84,2, daß die Knickspannung ak = 3100- 11,4 • 84,2 = 2140 kgjcm' ist. Die vorhandene Druckspannung ist avorh = _FP = -196,000 = 7, :nj4 = 418.kgjcm'. Danach wird v = Uk/"vorh = 2140/418 = 5,12, d. h. kleiner als verlangt. Die Telmajersche Formel ist vor allem zur Nachprüfung der Beanspruchung geeignet. Gewählt nunmehr d = 9 cm, d. h. i = dj4 = 2,25 cm, Ä = 160/2,25 = 71,1. Dann wird 19000 p avorh = F = 9,,.14 = 299 kgjcm'; Uk = 3100- 11,4 · 71,1 = 2290kgjcm';

>

7, d. h. ausreichend. also • = Uk/Uvorh = 2290/299 = 7,66 Schreibt man die Tetmajerschen 'Formeln {außer für Gußeisen) in der Fmm ak =a-b Ä, so ergibt sich bei Kreisquerschnitten für den gesuchten Durchmesser eine quadratische Gleichung mit der Lösung

+,/l+

Pa ", (~+,/•P). d=2bs( 1 Y s2 b1 n 2 a Yan a wonach ein braudibarer Wert gefunden werden kann. Im Zahlenbeispiel hätte dies auf d = 2 (11,4 • 160/3100 + 7 · 19000/3100 n) = 8,54 geführt, wasaufgerundet den oben zuletzt angenommenen Wert 9 cm liefert. e) Das w·Verfahren, beJzärdlich vorgeschrieben für den Hoch-, Kran- und Brückenbau, bringt die Aufgabe


Pak möglichst klein werden.

Für P1 = p 2 = p wird mit m = n = 1 : ""a Pk ~ k E (sjb)', worin k ~ 0,904 (1 + b'fa') Rechteckige Platte unter Für p, ~ o ergibt sich das Minimum formal für mjn und dieses liefert Formel 1 von Fall t. allseitigem Druck

~t

3

Kreisplatte unter allseitigem Druck

4

·~- t.~'-f Gekrümmter Schalenstreifen unter Druck

lh±dt+ ---_... .._..t:__

t

-a

Rechteckige Platte unter Schub.

t ~~if

•

6

""

---a

Gekrümmter Schalenstreifen unter Schub

* I" ~ 0,3 gesetzt. 25.

für gestützte Platte; für eingespannte Platte.

Föppl gibt auf Grund einer Näherungsrechnung die Faktoren

Pk~

3,6E (sjb)'

P.c

= 0,3E sjr;

Tk

= k,E (sjb)'.

für b/Yrs ~

Jlu =

4,9:

für b/Yrs;:;:;

Jl24 =

4,9:

+ 0,00625E (b/r)';

a > b; Streifen gestützt

afbl

1

1,5

2,0

I

00

k, ,8,52 6,42 5,97,4,83 k, 13,95 11 '12 10,44 8,13

-.-...~---

-r

ajb,

zu 0,229 bzw. 0,8 an.

-+

$.

5

Pk = 0,383E (sjr)' P., = 1,345E (s/r) 2

~

alle Seiten gestützt; alle Seiten eingespannt

für b/Yrs ;;;; 4,3 ••: Tk

= 1,79E sjb · Y sjr;

Tk

= 0,154E s/r+ 4,84E (s/b)';

für b!Yrs ~ 4,3 ••:

1,79 = 1,56/(1 - p,')'/,

** Auswertung der Arbeit von Kromm (s. Anm. 2, S. 386).

388

Festigkeitslehre. - Zusammengesetzte Beanspruchung

VII. Zusammengesetzte Beanspruchung 1. Beanspruchung durch Normalspannungen (Einachsiger Spannungszustand)

Zugspannungen a, erhalten das Vorzeichen +, Druckspannungen ad das Vorzeichen - und werden ihrem Vorzeichen entsprechend aufgetragen (in Bild 103 nach oben bzw. unten). Wirken an derselben Stelle die Spannungen a 1 und a,, so ist die resultierende Spannung Gres gleich der Summe von a 1 und a, unter Berücksichtigung der Vorzeichen (algebraische Summe): Gres = a 1 + a,. a) Zug und Biegung. An einem Stabe (Bild 103a), der an dem oberen Ende fest eingespannt ist, wirke die Kraft P exzentrisch in der Entfernung p von der Stabachse. WerderrinG zwei gleich große, entgegengesetzt a gerichtete Kräfte P angebracht, so ergeben sich eine Einzelkraft P in Richtung der Stabachse und ein Kräftepaar mit dem Moment M = P p, dessen Ebene in die Stabachse fällt. Die Einzelkraft P ruft eine Normalspannung a, hervor, die als gleichmäßig über den Querschnitt verteilt angenommen wird, so daß (Bild 103 a)

a, =P/F wird. Das Kräftepaar beansprucht den Stab auf Biegung. Ist e die Entfernung der stärkstgespannten Faser von der Achse, so wird die größte durch Biegung hervorgerufene Zugspannung cJ1

=e M/1

=

ePP/1,

die ohne Rücksicht auf das Vorzeichen größte Druckspannung

a,=-eM/1=-ePP/1 , wobei das Trägheitsmoment auf die durch S (Bild 103b} gehende senkrechte Achse zu beziehen ist; diese Achse ist Nullinie für den nur auf Biegung beanspruchten Querschnitt, Bild 103 Bild 103d. Die Addition der Einzelspannungen ergibt die Gesamtspannung, und zwar wird max C1res = a, +a1 = PJF +ePP/1, min C1res = a, + C12 = P/F- e Ppf1. Dadurch verschiebt sich die Nullinie des Querschnittes nach links, Bild 103e, -um die Strecke a = ea, cJ1

.. h e1·tsder T rag 1 = -1 = -i' , wenn ~. = ,;1/F p · -r = e-

F Me

Fp

P

radins ist. Für den Fall, daß a = i'/P > e ist, treten in dem Querschnitt nur Zugspannungen auf. Der Querschnitt muß dann so bemessen sein, daß die Bedingung

P/F +ePp!J ~ C1uul

erfüllt ist. Ist a =if/P < e, so treten Zug- und Druckspannungen auf. Es muß dann und sein.

P/F + ePP/1 ~ C1ozul ePP/1- P/F ~ C1dzul

389

Normalspannungen

Beispiel: An einem Träger I 10ist ein Blech von 10 mm Stärke angeschlossen (Bild 103 a). Wie groß darf P gewählt werden, wenn der zuläsSige Wert "zu!~ 1200 kgjcm' nicht überschrit· ten werden soll ? Nach S. 764 ist F ~ 10,6 cm' und J je~ W ~ 34,2 cm'. Mit p ~ e + 0,5 ~ 5,5 cm mnß P

5,5P

5,5P

P

und -34 ,2 - 10,6 ~ 0,161 P- 0,094P ~ 10,6 + -34 ,2 ~ 0,094 P + 0,161 P ~ 0,255 P = 0,067 P kleiner als 1200 kgjcm' sein. Daher ist P;;;; 1200j0,255 = 4700 kg, "• = 4700j10,6 = 443 kgjcm', Gb ~ 5,5 · 4700j34,2 = 756 kgjcm' und max "res = 443 + 756 ~ 1199 kgjcm', minares = 443- 756 = - 313 kgjcm'.

b) Druck und Biegung. cx) Ersetzt man in Bild 104 wie in a) die exzentrisch angreifende Kraft P durch eine Einzelkraft P und ein Kräftepaar Pp, so muß der Absolutwert der größten resultierenden Druckspannung P/F + ePpj] ~ 0".-zut. a für P/F< ePP/1 oder a = i'/P< e außerdem die größte resultierende Zugspannung ePpj]- P/F ~ O"zzul sein. Hierbei ist jedoch zu beachten, daß Stäbe, deren Länge im Verhältnis zum Querschnitt groß ist, auf Knickung nachzurechnen sind. Beispiel: Ein Träger I 30 ist miteiner KraftP belastet, die von der Stabachse die Entfernung p = 10 cm hat (Bild 1 04a). Wie groß darf P gewählt werden, wenn der zuläsSige Wert "zu!= 1000 kgjcm' nicht überschritten werden soll? Nach S. 764 ist F= 69,1 cm'nnddas Widerstandsmoment für die in Bild 104 b gezeichnete Achse W = J je = 653 cm3 • Es mnß Pj69,1 + 10 Pj653 = 0,0145 P + 0,0153 P = 0,0298 P Bild 104 und 10 Pj653- P/69,1 = 0,0153 P- 0,0145 P = 0,0008 P kleiner als 1000 kgjcm 3 sein. Daher ist P ;;;; 1000j0,0298 - 33600 kg. Wir wählen P = 33 t. Die größte Zugspannung wird max "res = 506 -477 = 29 kgjcm', die absolut größte Druckspannung min "res = = - 4 77 - 506 = - 983 kgjcm', Die spannungslose Faser ist nur wenig von der linken Kante des Querschnitts entfernt, Bild 104c; es ist a = i'jp = JjpF = 14,2 cm.

ß) Im Stahlhochbau sind bei exzentrischem Kraftangriff die behöf'dlichen Be-· stimmungen lt. DIN 4114 zu beachten.

Vorerst ist die gewöhnliche Spannungsuntersuchung auf Druck und Biegung durchzuführen; die auftretenden Spannungen dürfen uzul nicht überschreiten. Anschließend Untersuchung auf Knickung in der (als Hauptebene vorausgesetzten) Momentenebene. Liegt Kraftangriffspunkt auf einer der beiden Querschnitthauptachsen ist also M auf eine solche bezogen -, so gilt, wenn der Querschnittschwerpunkt von Biegezug- und Biegedruckrand gleichweit entfernt ist oder jenem näher liegt,

wP/F + 0,9 MjWd;;;; 0,5661 überwiegt /b, für h < 0,5661 überwiegt f0. Also wird mit E{G

Für h für h

< 1{16 > 61

ist

ist der Fehler durch Vernachlässigung der Schubkraft kleiner als 1,2%, ist der Fehler durch Vernachlässigung der Biegung kleiner als 0,9%-

2. Ein eingespannter Stab von kreisförmigem Querschnitt sei an seinem Ende mit einer durch den Mittelpunkt gehenden Kraft belastet. Die Biegespannung "b ergibt sich zu u6 = 32 P lfnd', die Schubspannung T 8 infolge der Querkraft zu T8 =16 P{3nd' (S. 390). Hieraus folgt nach den wichtigsten Hypothesen die Vergleichsspannung mit a 0 = 1 zu "Mohr= "b Jl~• = 2 r, }11 + (31/d)', "Gestalt.= "b Jl1 +rt (d/1)' =

T,

Jl3 Jl-1+-12-(,-lfd)-:-'·

393

Biegefedern

3. Bei der Belastung gemäß Bild 108 tritt, wenn die Stablänge I groß ist, noch ein Biege· moment PI hinzu, nnd es folgt nach S. 390, Beispiel, da Tres = 40 P/3 "d' ist,

f

(i 4)' = v~;(f~)'; 1./ 25 (d)' 1./-(5d)' T. ,J-1./-(7 r 3 r 1 + 5 dl)'. aGestalt. =ab r 1 + 48 T =ab r 1 + 7 T aMohr =ab

1

+

2 T,

=

VIII. Beanspruchung der Federn Literatur: 1. Grass, S., u. E. Lehr: Die Federn. Ihre Gestaltung u. Berechnung. Berlin: VDI-Verla!' 1938.- 2. Grass, S.: Berechnung u. Gestaltung von Metallfedern, 2. Auf!. Berlin: Springer 1951.- Außerdem'.

Es bedeuten: P die zulässige Belastung (Tragfähigkeit) der Feder in kg,

I die

Durchbiegung bzw. den Verdrehungsweg der Kraft in cm, entsprechend der Belastung P oder der zulässigen Biegespannung azul oder Drehungsspannung Tzul, I die Länge der Feder in cm, A = t PI in cmkg die Arbeit, die von einer Feder bei einer Durchbiegung von 0 bis f aufgenommen wird (Federungsarbeit), wobei die Kraft proportional der Durchbiegung von null auf P wächst. A. hatdieForm '1 (max u)'VjE bzw. '1 (max T)'VjG, worin 11 eine Konstante, die Raumzahl, V der Rauminhalt der Feder und max: a bzw. max T die größte wirklich auftretende Spannung ist, c 'die Federkonstante, d. h. spez. Rückstellkraft bzw. Rückstellmoment. Bei Quer- und Längsschwingungen (1 a, 2 b) ist die Schwingungsdauer einer gewichtslos gedachtenundmit der Masse m belasteten Feder gleich T=2nYmfc=2nYffg, wenn/ die Durchbiegung unter der Belastung P = G = m g ist. c = PI f ist die Federkonstante oder (spez.) Rückstellkraft in kgjcm (vgl. S. 264).

Y

Bei Drehschwingungen (1 b, 2al ist T = 2" Jjc. Darin ist J das Massenträgheitsmoment (S. 253) und c das (spez.) Rückstellmoment in kgcm, d. h. das Moment, das eine Drehung um d~n Winkel "eins" im Bogernnaß hervorruft. Es ist c = MomentjWinkel = =Mf

1-\>

1+~· • + 11a----;;; +0,212)- ai -z:; 1-\> 1 -\> 2~

401

Beanspruchung von ebenen Platten

Unter Einwirkung der Fliehkräfte des Schaufelkranzes, Gewicht G,, Abstand r,, Querechnittsfli!.che ft., Bild 114, errechnet sich nach Biezeno-Grammel (S. 320, Lit. 6) bzw. Stodola die Spannung er4 zu er8 = Q-w' r 11 Sca:

[G,r, --+f~:ro

1 (

2ny

r!

rr;)]

0 t-0,175,-0,825-,-

ro

ro

,

wobei auch für den zweiten Ausdruck in der Klammer genähert geschrieben werden kann 0,825 f~: r! (t - r;fr!). t!) Bei breiter Scheibe (Zylinder) muß noch die axiale Spannung erz berücksichtigt w~n (dreiachsiger Spannungszustand), und es folgt er,= 0,429 Q 111 [(t + r:fr;)- r;(r'- r'tr!]; ert = 0,429 !!ll'[(t +r;Jr;) +r;(r'- 0,667 r'tr!];

r;jr!-

erz =0,107 !!111 (t + 2r1 /r:), eru=0,858QII1 (t +O,t67r;/r~);

so daß

"'• = 0,858 !! 111 (r;;r! + o, t67) ; er.-=- erzl =- o,t07 !!111 (t- r:fr!). Über die Spannungen bei beliebig veränderlichem Profil vgl. Schrifttum, insbes. S. 320, Lit.6; ferner Baer, H.: Forschg. Ing.-Wes. Bd. 7 (1936) S.187-

4. Ebene Platten

Es bedeuten h cm die im Verhi!.ltnis zu den Plattenabmessungen kleine Plattendicke, f cm die größte, im Verhältnis zu h kleine Durchbiegung, er, die Normalspannungen (Hauptspannungen) in einem Plattenelement in radialer bzw. tangentialer Richtung, Bild t I 5, erz, er11 entsprechend die Spannungen in der x- bzw. y-Richtung, Bild 118, 119. Die unten angegebenen Vorzeichen beziehen sich auf die untere Plattenseite, für die obere kehren sich die Vorzeichen um. In der Auswertung ist die Querzahl p = 1/m = 0,3 gesetzt. Die Spannungen err und ert bzw. erz und er11 sind die Rauptspannungen und werden nach S. 330 zur reduzierten Spannung erred (Spalte 2) zusammengesetzt, erred ;;;;; erzul·

"'bzw.

a) Kreisplatten. Bei Belastung durch einen gleichförmig verteilten Druck p kg/cm• lassen sich Durchbiegung bzw. Spannung in der Form schreiben (r = Plattenhalbmesser in cm):

f=V'Pr'/Eh',

a,=VIrPr"/h',

a1 =VI.Pr/h1 ,

f'?t--~-?l1 -~ 0,58. 1/ Den Verlauf der Werte rp, und rp1 (und damit 17 der diesen proportionalen Spannungen u, und u1) in Abhängigkeit von e (Entfernung vom I? Mittelpunkt, Bild 115) bzw. von (! jr zeigt 41 4~ 4l Bild 116. Der Absolutwert von rp,. am Rande (d. h. von q:> 1) ist größer als der Wert von rp, = rp1 Bild117 in der Mitte (d.h. von q:>0 ), da;= r0/r> 0,58.

in der Mitte: am Rande: 8

6

'

ft-

Beispiele: I. Gegeben bei fester Einspannung r = 20 cm, r 0 = 12 cm, P = 600 kg. Gesucht die Plattendicke h fqr "zul = 300 kgfcm'. Für ~ = 12/20 = 0,6 (Bild 116 bzw. 117) liegt die absolut größte Spannung am Rande: q>r=-

N, • Fürr,-+ o wird

I= 0,55 Pr'tE h'.

rp. = 0,3 rp.,; = maxrp = -6C.

rpN

408

Beanspruchung bei Berührung zweier Körper

Beispiel: Eine fest eingespannte elliptische Platte von 4 5 mm Dicke mit den Achsen 2a = 420 mm und 2b = 320 mm wird durch 35 atü belastet. Gesucht die größte Beau· spruchung. Es wird '1 = bfa = 2bf2a = 320/420 = 0,762; C = 1/(3 +2'11 + 3 '7')- 1/(3+2 • 0,581+ + 3. 0,337) = 1/5,17- 0,194. Die größte Beanspruchung tritt in den Endpunkten der kleinen Achse auf. Es ist dort 'Pli= ma>:lj) = -6 C= -6 • 0,194 =- 1,164 und 'f'z =PIPI= 0,3 c,. Man setzt

cpfc, Dann wird

Werte für "

= "·

c, =AR

Cp-

=

s. Zahlentafel S. 741.

c, ("- 1)

=

Cp ( " -

1)/"·

Cl

Die Molwärme idealer Gase ist nur abhängig von der Art des Gases, und zwar von der Anzahl der Atome im Molekül. Da nach GI. (17) die beiden Molwärmen sich um rund 2 kcal/kmolgrd unterscheiden, ist für einatomige Gase; M cp

= 5 kcaljkmolgrd;

= 3 kcalfkmolgrd;

M c,

"

für zweiatomige Gase:

M cp = 7 kcalfkmolgrd;

M Cv =

= 1,67,

"= 1,4,

5 kcal/kmolgrd;

für dreiatomige Gase: M cp = 8 kcal/kmolgrd;

M c" = 6 kcal/kmolgrd:

" = 1,33.

Mit steigender Anzahl von Atomen im Molekül nähert sich " dem Wert 1.

2. Halbvollkommene Gase Man nennt Gase, welche die thermische Zustandsgleichung Pv = R T für das ideale Gas zwar noch befolgen, deren spez. Wärmen aber von der Temperatur abhängen, halbvollkommene Gase. Als solche dürfen alle schwer verflüssigbaren Gase, wie Luft usw., bei Drücken bis zu etwa 30 at betrachtet werden. Für die halbvollkommenen Gase ist die Differenz der inmren Energie zwischen den Temperaturen t 1 und t2 u2

-

u 1 = Cv". 1,o, ,

t2

'i'' t 1

Cv,n ,o

-

kcaljkg,

(18)

die Enthalpiedifferenz zwischen den Temperaturen t 1 und t2

. .

~.- t 1 =

I''

cp". 10 t2

I''

cp". ,o t1 kcal,I kg.

-

(19)

Zahlentafel der mittleren spez. Wärmen für Gase s. S. 741. Auch für das halbvollkommene Gas gilt Mcp- Mc~ = 1,986 kcal/kmolgrd.

Die Entropie für halbvollkommene Gase ist p

s=

f~dT +AR In T-A R In P +so kcal/kggrd;

mit Cv = Cv

(20)

IP+ T · d (cv j0P)jd T wird hieraus 1

m 10

11t

p

S=Cv

[P+}.cv m j'PdT/T+ARlnT-ARlnP+s 0• 0

m;O

0

Die Temperaturfunktion p

[cPml: +fcv"'!: dTfT+A R In T+ s

0}

0

M = !p(T)

(M =Molekulargewicht)

416

Wärmelehre. - Thermodynamik der Gase

ist in der Zahlentafel 1 angegeben. Somit wird

s=

lji(T)

/tl

-ARlnPkcalfkggrd (20a)

und Temperatur/unktion•

Zahlentafel 1

f

'I'

tp(T) = Mc.1; + Mcl' dTfT +MARIn T 0

0

+ Ms

0

kcalfkmol grd

.rur Berechnung der Entropie halbvollkommener Gase Verbren· nungsgase von Gasöl'

T •K

Luft

H,

o,

N,

H,O

CO

CO,

CH,

273 300 400 500 600 700 800 900 1000

63,994 64,650 66,664 68,239 69,552 70,685 71,690 72,596 73,424

49,005 49,623 51,621 53,180 54,455 55,538 56,469 57,318 58,075

66,73 67,40 69,475 71,094 72,471 73,668 74,735 75,696 76,568

63,527 64,182 66,187 67,755 69,055 70,176 71,169 72,064 72,881

62,752 63,505 65,826 67,669 69,218 70,570 71,779 72,879 73,896

65,055 65,711 67,720 69,"296 70,608 71,743 72,750 73,658 74,487

68,63 69,493 72,188 74,468 76,468 78,278 79,908 81,378 82,738

62,06 62,85 65,45 67,77 69,91 71,83 73,83 75,65 77.37

63,509 64,145 64,300 64,840 66,839 66,977 68,971 68,675 70,816 70,100 72,513 71,343 74,110 72,449 75,560 73,448 76.937 74,363

74,208 74,894 75,540 76,146 76,730 77,270 77,786 78,269 78,735 2000 79,183

58,755 59,407 60,012 60,556 61,093 61,592 62,057 62,506 62,948 63,380

77,406 78,104 78,774 79,416 80,034 80,585 81,099 81,606 82,098 82,588

73,689 74,344 74,991 75,592 76,161 76,725 77,213 77.693 78,156 78,603

74,866 75.734 76,598 77.379 78,137 78,862 79,547 80,202 80,853 81,48

75,271 75,964 76,593 77,211 77.809 78,368 78,872 79,351 79,821 80,269

84,015 85,148 86,233 87,247 88,198 89,125 89,963 90,761 91.SJZ 92,248

79,17 80,58 81,79 82,87

78,151 79,456 80,564 81,731 82,816

1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900

2100 79,605 63,789 83,027 79,006 82,065 80,673 92,919

2200 80,012 64,168 83,443 79.392 82,638 81,069 93,592

2300 80,406 64,532 83,842 2400 80,771 64,892 84,238 2500 81,135 65,245 84,627 2600 81,473 65,591 84,993 2700 81,813 65,911 85,351 2800 82,135 66,223 85,686 2900 82,450 66,528 86,025 3000 82,760 66,825 86,345

79.775 80,155 80,538 80,908 81,241 81,553 81,867 82,146

83,205 83,732 84,25 84,755 85,241 85,709 86,165 86,60

81,453 81,827 82,219 82,569 82,914 83,238 83,546 83,834

94,243 94,868 95,488 96,040 96,568 97,082 97.559 98,138

NH1

75,254 76,000 76,733 77,412 78,055 78,688 79,247 79,791 80,319 80,824 81,285 81,732 82,173 82,604 83,035 83,446 83,824 84,182 84,534 84,873

3. Wirkliche Gase Die wirklichen Gase befolgen bei höheren Drücken nicht mehr die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases. Die Abweichungen sind um so größer, je höher der Druck ist. In folgender Zahlentafel ist k = PvjRT für Luft und Wasserstoff gegeben. Für ideales Gas müßte k = 1 sein. Nach Schmidt, F.A. F.: Verbrennungskraftmaschinen. München; Oldenbourg 1951 •. Verbrennung bei Luft überschußzahl A - 1, Zusammenset.rung in Mol·%: CO, = 13,855, H"O - 11,498, N1 - 74,647. 1

1

417

Zustandsänderungen der Gase Werte für k

I

i= P=

0 20 40 60 80 100 ata

Für Luft

oo

1 0,9895 0,9812 0,9751 0,9714 0,9699

PvfRT Für Wasserstoff

I 200° c i=

100°

I

=

P=

1 1,0064 1,0132 1,0205 1,0282 1,0364

1 1,0027 1,0065 1,0112 1,0169 1,0235

I

-tooo 0 20 40 60 80 100 ata

I

I

oo

I

1,0122 1,0245 1,0370 1,0496 1,0625

1,0130 1,0271 1,0422 1,0584 1,07 56

100° I

1,0098 1,0197 1,0295 1,0394 1,0492

1

2oo 0 c I

1,0078 1,0157 1,0235 1,0313 1,0392

Die Abweichungen betragen bei 30 ata etwa 1-2%. Nähert sich das Gas dem Temperatur- und Druckbereich, in dem es verflüssigt werden kann, so ist die thermische Zustandsgleichung für ideales Gas nicht mehr verwendbar. Man muß eine gültige Zustandsgleichung empirisch aufstellen. Sie hat die Form z. B. nach Van der Waals (P + afv') (v- b) = RT, (21a) wobei b das Eigenvolumen der Moleküle und a/v' den Kohäsionsdruck berücksichtigen, oder nach Berthelot (p

+ -~) Tv'

oder nach Kamerlingh Onnes

(v- b) = RT

B

C

Ii + V'

Pv = A +

+

D

V'

(2!b)

(21 c)

+ · •• ,

= RT, B = b,T+ b,+ b,jT+ b,jT'+ ··•

mitA

C = c1 T

usw.

oder nach. R. Plank RT

+ c 2 + c,fT+ c,fT'+

A2

··•

A1

A

A5

3 P=----+--------+----. v- b (v - b)' (v - b)" (v - b)4 (v - b)•

(21d)

Die Konstanten a, b, b11 b" ... , c 11 c 8 ••• , A 1", A 3 ... in obigen Gin. sind so zu wählen, daß die experimentell gefundenen Werte von v = f (P, T) gut wiedergegeben werden. Alle diese Zustandsgleichungen gelten aber immer nur in einem bestimmten Druck· und Temperaturbereich.

Aus der thermischen Zustandsgleichung v i =

JcP,

= f (P, T)

J[ ~~)l

ergibt sich die Enthalpie i

p

d T- T'

0

d P + const.

0

und die Entropie s

p

s=fcP,~;- J(:~tdP+const., 0

worin Cp0 die spez. Wärme bei konst. Druck Po = 0 ist, die von der Temperatur abhängig ist. Die thermischen und kalorischen Zustandsgrößen werden meist tabellarisch oder in Diagrammen dargestellt (vgl. S. 750/53, S. 755 u. Anm. S. 425).

B. Zustandsänderungen der Gase 1. Darstellung im P, v-Diagramm a) Isobare Zustandsänqerung, p = const. (Bild 3). Für ideale und halbvollkommene Gase ist v.jv, = TdT 0 •

27

Taschenbuch für den Maschinenbau, 11. Autl. I

{22)

418

Wärmelehre. -Thermodynamik der Gase

Für alle, auch für die wirklichen Gase, gilt q = i 2 - i 1 kcaijkg. (23) Diese Wärmemenge ist bei isobarer Volumenvergrößerung des Gases zuzuführen und bei isobarer Volumenverminderung abzuführen. Die äußere Arbeit ist

L

=P

(24) (v2 - v1 ) mkgjkg. 5000 m','h Luft bei gleichbleibendem Druck von 1 ata von 11 = 20° C auf l 1 = 400° C ,erwärmt werden." Die hierzu erforderliche Wärmemenge ist

Beispiel: Es sollen stündlich V

=

Q = G (i,- i.) = G (cp wobei

10000 · 5000

PV

G = R-T; = 29 ,27 . 293 = 5830 kgjh

i'• 1

1 -

m:o

Cp m

11•,

t,),

0

der stündliche Luftstrom ist. Nach der

Zahlentafel S. 741 ist

Cpml:• = 0,318/1,293 = 0,243kcaljkggrd; Cpml:• = 0,3106/1,293 ~ 0,2405kcaljkggrd. Q = 5830 (0,24 3 · 400- 0,2405 · 20) = 538 700 kcaljh.

Somit

p

Bild 4. Isochore Zustandsänderung

Bild J. Isobare Zustandsänderung

Bild 5. Isothermische und adiabatische Zustandsänderungen·

b) Isochore Zustandsänderung, v = c_onst. (Bild 4). Für ideale und halbvollkommene Gase ist (25) P,j P 2 = TtfT,. (26) q = u 2 - u 1 kcaljkg. Für alle Gase i>t Diese Wärmernenge ist bei isochorer Druckerhöhung des Gases zuzuführen und bei isochorer Druckverminderung abzuführen. (27) L = 0. Die äußere Arbeit ist (28) L, = v (P 2 - P 1) rnkgjkg. Die technische Arbeit ist Beispiel: Die in einem Gefäß eingeschlossene Luft von p 1 = 1 ata und 11 = 15° C wird auf 1, = 160° C erwärmt. Dabei nimmt der Druck zu auf p, = p 1 T,jT 1 = 1 · 433/288 =~ 1,5 ata. c) Isothermische Zustandsänderung, T = const. (Bild 5, Kurve 1-2).

Für ideale und halbvollkommene Gase ist (29) P,v, = P 2 v2 = RT. Im P, v-Diagrarnrn (Bild 5) wird die Gleichung Pv = const. durch eine gleichseitige Hyperbel dargestellt. Die innere Energie bleibt unverändert u,- u, = 0. Die äußere Arbeit bei der Ausdehnung von v1 auf v, ist

L

=j

2

1

Technische Arbeit

Pdv =

j

2

RTdv/v

=

RT1nv,jv 1 = RT1nP,jP2 =

1

= P 1 v1 ln P,jP, = P,v,ln P 1/P1 mkgjkg. L, = L.

J

(30)

2

Nach dem I. Hauptsatz ist q = A P < ; mtt "= 1,4 wud

2)

L = Gcv (T1 - T,) = 500 · 0,172 · 113 = 9720 kcal = 9720 · 427 mkg (vgl. das Beispiel für deuselben Druckbereich bei der isathermischen Expansion).

e) Polytropische Zustandsänderung, Pvn = const. mit- oo< n 1000: wobei Gr = g d' ß(t,. - t)jv' und der Ausdehnungskoeffizient ß = 1/T in 1;o K ist. Die kinematische Zähigkeit 'V ist in m 2 jsek entsprechend der mittleren Temperatur zwischen Umgebung und Wand einzusetzen. Für Gr < 1000 gilt für Luft: 100 1000 10 1 w-• 10-• 10-• 10-1 10-• 10-• Gr = 0,435 0,447 0,468 0,512 0,585 0,716 0,905 1,203 1,698 2,66 Nu= Für waagerechtes Rohr in Flüssigkeiten gilt bei Gr · Pr> 1000 (85) Nu = 0,53(Gr · Pr)'f•. b) Für Wärmeübergang bei freier Strömung längs einer senkrechten Platte · von der Höhe H m ist (86) Nu =IX Hf).= 0,59 (Gr ·Pr)''' bei Gr · Pr = 10' bis 10 9 . wobei in Gr die Höhe H in m als charakteristische Länge einzusetzen ist und eo; die mittlere Wärmeübergangszahl über die Plattenhöhe bedeutet.

c) Es gilt bei freier Strömung von Luft • an horizontaler Platte, Wärmeübertragung nach oben: a = 2,14 Lli'l'kcaljm2 hgrd, an horizontaler Platte, Wärmeübertragung nach unten: a = 1,13 Lli'l', an vertikaler Platte, über 0,30 m hoch: a = 1,52LII 1 1', an vertikaler Platte, unter 0,30 m hoch (H = Plattenhöhe in m)·: a = 1,18 (LitjH) 1 14 , 1

Eckert, E.: Wärmeübertragung an eine längs angeströmte Platte. Z. VDI Bd. 84 (1940)

s. ·1032.

• Jürge~. W.: Der Wärmeübergang an einer ebenen Wand. Beih. z. Gesundh. Ing., Reihe 1, Nr.19, Oldenbourg 1924. • McAdams, W. H.:.lieat Transmission, 2. Auf!. New York 1942. S. 240/41.

441

Konvektion

an vertikalem Rohr, über 0,30 m hoch (d = Rohrdmr. in m): "= 1,13 (J ljd) 11'' an horizontalem Rohr (d = Rohrdmr. in m): "= 1,13 (Jijd) lfl. Hierin ist LI I = Im- IL der Temperaturunterschied in grd zwischen Rohrwand und Luft.

3. Wärmeübergang bei Änderung des Aggregatzustandes a) Kondensation. o:) Für Filmkondensation, d. h. wenn sich an der Kühl·

fläche ein zusammenhängender Kondensatfilm ausbildet, gilt bei senkrechtem Rohr oder senkrechter Wand 1 o: = 7,3

V

ry' Je•

?)H(tn-lw)

kcal/m2 h grd;

(87)

Hierin bedeuten: " die Wärmeübergangszahl in kcalfm'hgrd, r die Verdampfungswärme in kcaljkg, y das spez. Gewicht der kondensierten Flüssigkeit in kgjm', A die Wärmeleitmhl der kondensierten Flüssigkeit in kcaljm h grd, '1 die dynamische Zähigkeit der kondensierten Flüssigkeit in kg sekfm', H die Höhe der Wand bzw. Länge des senkrechten Rohres in m, (ID-Iw) den Temperaturunterschied zwischen Dampf und Wand in grd. Die Stoffwerte sind entspr. der mittleren Temperatur des Kondensats einzusetzen.

Für Filmkondensation an ebem waagerechten Rohr vom Außendurchmesser d in m ist in GI. (87) an Stelle von H der Wert 2,5 d und für nuntereinanderliegende waagerechte Rohre der Wert 2,5nd einzusetzen. Befindet sich im Kondensator überhitzter Dampf, so ist für die Verdampfungs· wärmer die Enthalpiedifferenz iv - i' kcai,Ikg zu setzen, wobei in die Enthalpie des überhitzten Dampfes und i' die Enthalpie des Kondensates bedeuten. Für die Berechnung von Kondensatoren ist es unbequem, daß in GI. (87) die zunächst unbekannte Wandtemperatur Iw auftritt. F. Neumann' gibt ein graphisches Verfahren an, nach dem sich die Wärmedurchgangszahlen für Kon· densatoren aus den gegebenen Größen ermitteln lassen. Bei großen Wandhöhen ist der Kondensatfilm vor allem am unteren Teil der Wand so dick, daß im abwärtsströmenden Kondensat Turbulenz auftritt. Hierdurch wird die Wärmeübergangszahl gegenüber GI. (87) vergrößert•.

ß) Bei Tropfenkondensation schlägt sich das Kondensat an der gekühlten Wand in Form von Tropfen nieder, die als solc;1e an der Wand herablaufen; sie tritt auf an glatten, polierten Wänden und besonders dann, wenn die Wand mit einer dünnen Ölschicht bedeckt ist. Die Wärmeübergangszahl für Tropfen· 60000 kcal(m2 h grd, ist wesentlich höher als die für Film· kondensation 4 , o: kondensation. Da sich eine Tropfenkondensation nicht mit Sicherheit voraus· sagen läßt, legt man der Berechnung des Kondensators zweckmäßig die Film· kondensationzugrunde und erhält damit für jeden Fall hinreichende Abmessungen.

=

y) Durch die Anwesenheit nicht kondensierbarer Gase im Dampf wird die Wärmeübergangszahl bei der Kondensation beträchtlich vermindert. In Bild 28 ist nach Liider 5 für kondensierenden Wasserdampf und Zusatz von Luft die Wärmeübergangszalli o: über dem Verhältnis des Teildruckes P, der Luft zum 1

Nuße/1, W.: Die Oberflächenkondensation des Wasserdampfes. Z. VDI Bd. 60 (1916)

s. 541.

• Neumann, F.: Vereinfachte Berechnung der Wärmedurchgangszahl von Kondensatoren. Z. VDI Bd. 91 (1949) S. 331/35. 8 Grigull, U.: Wärmeübergang bei Kondensation mit turbulenter Wasserhaut. Forschg. Ing.·Wes. Bd. 13 (1942) S. 49. - Ders.: Wärmeübergang bei Filmkondensation. Forsch. Ing.·Wes. Bd. 8 (1952) S. 10(12. ' Schm idt, E., W. Schurig n. W. Sellschopp: Techn. Mech. u. Thermodynamik. Bd. 1 (1930) s. 53. ' Lüder, H.: Z. VDI Bd. 83 (1939) S. 596. - Jaroschek, K.: Z. VDI Bejhefte Vq. fahrenstechnik (1939) S. 135.

Wärmelehre. - Wärmeübertragung Teildruck P 1 des Wasserdampfes aufgetragen. Schon ein geringer Luftzusatz bewirkt eine starke Abnahme der Wärmeübergangszahl gegenüber der des reinen Dampfes. b) Verdampfung. An der beheizten Fläche bilden sich 'lf/IJ Dampfblasen, die sich bei gewisser Größe ablösen und 'C 6/111 in der Flüssigkeit unter weiterer Vergrößerung hochsteigen_ Dadurch wird die Flüssigkeit durchwirbelt. Die 5110 fi.:riil!lnJt:lrli!rl.v/1 Wärmeübergangszahl ist um so größer, je mehr Dampf/1• n tks~ bläschen aufsteigen. Die Anzahl der Dampfbläschen nimmt mit der Heizflächenbelastung q zu. Bei sehr großer Ja/\ Heizflächenbelastung q jedoch bildet sich auf der Heizfläche eine zusammenhängende Dampfschicht, die den 11111 Wärmeübergang behindert. Für den Wärmeübergang von waagerechten Platten an siedendes Wasser gilt ff/1}--- ~ - a: = 152 q0 •26 kcal/m' h grd t I I für q = 0 bis 15 000 kcal/m' h, (88) P,/P,a: = 1,48 q0•11 kcal/m• h grd Bild28. Wärmeübergangsfür q = 15 000 bis 200 000 kcalfm' h. zahlfür Kondensation von Bei Verdampfung in senkrechten Rohren sind die lufthaitigernWasserdampf a:-Werte nach GI. (88) mit 1,25 zu multiplizieren1 • Für Drücke < 760 Torr gilt mit p in physikalischen Atm:

\I

--r-

I

O:p = 0:760 Torr •

P"•'

und für Drücke> 760 Torr gilt bis 16 Atm: O:p = 0:730 Torr '

P I/O •

Für andere Flüssigkeiten als Wasser gilt' a: = C10% 20% 40% 25% 55%

24%

Na,SO, . . . . . • • Zuckerlösung . . . . Zuckerlösung . . . Glyzerinwasser .• Glyzerinwasser .• NaCI. , , •• , •

0,94 0,87 0,84 0,83 0,75 0,61

O:wasser•

Hierin ist C für:

Isopropanol . . . • . Methanol . . . . . • . . . Petroleum . . . . . . • • Toluol • . . . . . . • • Tetrachlorkohlenstoff . • , n-Butanol • • • • • • •

0,70 0,53 0,52 0,36 0,35 0,32

c. Strahlung

a) Begriffe. Stehen sich zwei verschieden temperierte feste Körper gegen-

über, so gibt die Oberfläche des warmen Körpers Wärme durch Strahlung an den kalten Körper ab. Die auftreffende Strahlung kann absorbiert, reflektiert und durchgelassen werden. Der "absolut schwarze Körper" absorbiert die gesamte auftreffende Strahlung. Der "graue Körper" absorbiert einen Teil und reflektiert den übrigen Teil der Strahlung. Der "weiße Körper" reflektiert alle Strahlen. Der "diathermane Körper" läßt alle Strahlen hindurch. Absolut schwarze Körper gibt es in der Natur nicht, doch kann ein Hohlraum mit. gleichmäßiger Wandtemperatur und kleiner Öffnung nach außen hin als absolut schwarzer Körper aufgeiaßt werden, z. B. ein Feuerraum mit kleiner Beschickungsöffnung. Diese Öffnung absorbiert alle Strahlen und reflektiert_ nichts. Sie strahlt daher wie eine absolut schwarze Fläche von der Temperatur der Hohlraumwandung. b) Nach dem Stefan-Boltzmannschen Oesetz ist der Wärmestrom, der von der Fläche F m• des absolut schwarzen Körpers mit der Temperatur T °K ausgestrahlt wird: (89) Q, = C, F (T/100)' kcaljh. Hierin ist C, = 4,96 kcal/m' h (grd) • die Strahlungszahl des absolut schwarzen Körpers. Jacob, M.: Heat Tmnsfer, Bd. 1, New York 1950. S. 651. • Fritz, W.: Verdampfen und Kondensieren. Z. VDI Beiltefte Verfahrenstechnik Nr. t

1

(1943) 5.1.

443

Strahlung

c) Nach dem Kirchhofischen Gesetz verhält sich die Emission E eines wirklichen Körpers zur Emission E, des absolut schwarzen Körpers wie die Absorption AIA, der beiden Körper. Das Emissionsvermögen e =EIE, ist demnach gleich dem Absorptionsvermögen AIA,. Für den absolut schwarzen Körper, der alle Strahlen absorbiert, ist A, = 1, und es wird e = QIQ, = A. Mit GI. (89) folgt: e = CIC.,

wobei C die Strahlungszahl des wirklichen Körpers ist. Daraus folgt: C < C,. Strahlungszahlen s. Zahlentafer S. 748. d) Lambertsches Oesetz. Der absolut schwarze Körper sendet normal zur Fläche die Strahlung Q,. = Ql1t kcallm' h und in Richtung rp gegen die Normale die Strahlung

Qtp = .