Taschenbuch für den Maschinenbau: Zweiter Band [10. Aufl.] 978-3-662-41616-7;978-3-662-41615-0

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XIV
Tafeln (H. Baer, Ch. Bouché, Heinrich Dubbel, E. Dürre, Bruno Eck, K. Gottwein et al.)....Pages 1-33
Arithmetik und Algebra (W. Meyer zur Capellen)....Pages 34-56
Die Kreis- und Hyperbelfunktionen (W. Meyer zur Capellen)....Pages 56-64
Differential- und Integralrechnung (W. Meyer zur Capellen)....Pages 64-90
Analytische Geometrie und Kurvenlehre (W. Meyer zur Capellen)....Pages 90-128
Einführung in die Rechnung mit Vektoren (W. Meyer zur Capellen)....Pages 128-130
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf die Fehler-, Ausgleichs- und Großzahlrechnung (W. Meyer zur Capellen)....Pages 130-139
Die Fourierschen Reihen (W. Meyer zur Capellen)....Pages 139-144
Einführung in die Nomographie (V. Happach)....Pages 144-155
Zeichnerische und rechnerische Verfahren der praktischen Mathematik (W. Meyer zur Capellen)....Pages 155-160
Flächen- und Körperberechnung (H. Dubbel)....Pages 160-164
Statik starrer Körper (Rich. Hänchen)....Pages 165-203
Dynamik (W. Meyer zur Capellen)....Pages 203-243
Statik flüssiger und gasförmiger Körper (Bruno Eck)....Pages 243-247
Strömungslehre (Bruno Eck)....Pages 247-272
Wärmelehre (H. Dubbel)....Pages 289-318
Die Brennstoffe und ihre technische Verwendung (W. Gumz)....Pages 319-344
Festigkeitslehre (W. Meyer zur Capellen)....Pages 345-419
Werkstoffkunde (A. Thum, H. Holdt)....Pages 420-487
Schweißkonstruktionen (R. Hänchen)....Pages 488-496
Maschinenteile (Ch. Bouché, H. Dubbel)....Pages 497-633
Die Dampferzeugungsanlagen (E. Schulz)....Pages 634-709
Die Dampfmaschinen (H. Dubbel)....Pages 710-739
Die Brennkraftmaschinen (H. Dubbel, F. Wettstädt)....Pages 739-800
Die Kolbenverdichter (Ch. Bouché)....Pages 800-811
Die Kolbenpumpen (Ch. Bouché)....Pages 811-822
Pumpen und Verdichter verschiedener Bauart (Ch. Bouché)....Pages 822-826
Schwungräder, Massenausgleich, Schwingungen und Regler (H. Dubbel)....Pages 827-844
Die Kondensation (H. Dubbel)....Pages 845-856
Die Wasserturbinen (Fr. Oesterlen)....Pages 857-904
Die Kreiselpumpen (E. Sörensen)....Pages 904-922
Die Dampfturbinen (H. Baer)....Pages 922-959
Turbokompressoren und Gebläse (H. Baer)....Pages 959-968
Abwärmeverwertung (W. Pauer)....Pages 969-991
Rohrleitungen (H. Dubbel)....Pages 992-997
Hebe- und Fördermittel (R. Hänchen)....Pages 998-1109
Werkzeugmaschinen (K. Gottwein, W. Reichel)....Pages 1110-1265
Kraftwagen (F. Wettstädt)....Pages 1266-1296
Elektrotechnik (E. Dürre)....Pages 1297-1389
Erratum to: Arithmetik und Algebra (H. Baer, Ch. Bouché, Heinrich Dubbel, E. Dürre, Bruno Eck, K. Gottwein et al.)....Pages 1470-1470
Erratum to: Differential- und Integralrechnung (H. Baer, Ch. Bouché, Heinrich Dubbel, E. Dürre, Bruno Eck, K. Gottwein et al.)....Pages 1470-1470
Erratum to: Analytische Geometrie und Kurvenlehre (H. Baer, Ch. Bouché, Heinrich Dubbel, E. Dürre, Bruno Eck, K. Gottwein et al.)....Pages 1470-1470
Erratum to: Dynamik (H. Baer, Ch. Bouché, Heinrich Dubbel, E. Dürre, Bruno Eck, K. Gottwein et al.)....Pages 1470-1470
Erratum to: Statik flüssiger und gasförmiger Körper (H. Baer, Ch. Bouché, Heinrich Dubbel, E. Dürre, Bruno Eck, K. Gottwein et al.)....Pages 1470-1470
Erratum to: Wärmelehre (H. Baer, Ch. Bouché, Heinrich Dubbel, E. Dürre, Bruno Eck, K. Gottwein et al.)....Pages 1470-1470
Erratum to: Festigkeitslehre (H. Baer, Ch. Bouché, Heinrich Dubbel, E. Dürre, Bruno Eck, K. Gottwein et al.)....Pages 1470-1470
Erratum to: Maschinenteile (H. Baer, Ch. Bouché, Heinrich Dubbel, E. Dürre, Bruno Eck, K. Gottwein et al.)....Pages 1470-1470
Erratum to: Die Dampferzeugungsanlagen (H. Baer, Ch. Bouché, Heinrich Dubbel, E. Dürre, Bruno Eck, K. Gottwein et al.)....Pages 1470-1470
Erratum to: Werkzeugmaschinen (H. Baer, Ch. Bouché, Heinrich Dubbel, E. Dürre, Bruno Eck, K. Gottwein et al.)....Pages 1470-1470
Back Matter ....Pages 1433-1469

Citation preview

Taschenbuch für den

Maschinenbau Bearbeitet von Prof. Dr.-lng. H. Ba e r, Dipl.-Ing. Ch. B o u c h e, Prof. H. Du b b e l, Dipl.,Ing. K Dürre, Dr.-Ing. Bruno Eck, Prof. K. Gottwein. Dr.-lng. W. Gumz, Dipl.-lng. R. Hänchen, Dr. V. Happach, Dr.-Ing. H. Holdt, DrAng. W. Meyer zur Capellen, Prof. Dr.~Ing. Fr. 0 es t erlen, Prof. DrAng. W. Pa 11 er, Dr.-Ing. W. Reiche I, Dipl.-Ing. E. Sc h u I z, Prof. Dr.-lng. E. Sörensen, Prof. Dr. A. Thum, Dr.-Ing. F. Wettstädt. Herausgegeben von

Prof. Heinrich Dubbel Ingenieur, Berlin

Zehnte Auflage Berichtigter Neudruck der 9· Auflage (1943)

Mit etwa

2900

Textfiguren

In zwei Bänden

Erster Band

Springer- Verlag Berlin Heidelberg GmbH I

94 9

ISBN 978-3-662-41616-7

ISBN 978-3-662-41615-0 (eBook)

DOI 10.1007/978-3-662-41615-0

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Copr. 1929, 1935, 1940, 1941 and 1943 hy Springer-Verlag Berlin Heidelberg Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag OHG .. Berlin. in 1943 Softcover reprint of the bardeover 1st edition 1943

Vorwort zur neunten Auflage. Bei der Bearbeitung dieses Taschenbuches waren die folgenden'Erwägungen maßgebend: Mathematik und Mechanik, diese beiden wichtigsten Grundlagen der wissenschaftlichen Ingenieurausbildung, sind in eingehender, besonders die Elemente berücksichtigender Form dargestellt. Diese Behandlung ent~pricht den Bedürfili. 1 S. 55, ferner S. 65).

4. Gerade Hochzahl: (±a)tn = +a8 "; (±4)' = +!6. 5. Ungerade Hochzahl: (±a)s.+ 1 =±a111 +1 ; (±4)' .. ±64. 6. a"'a" = a•+•; 21 ·2'- 2'. 7. a"'b"' =(ab)"'; 3'·2'- 6'. 8. a"'/a" = a•-• = 1/a"-"' (a. 11); s•ts•- s•; s•ts•- 1/S'- s-a 9- a"'/b'"' = (t~/b)"'; 8'/21 ..; 41 • 10. (a"')" = a"'"; (3')'- 3'. 11. a-"'= 1/t~"'; t0-'-1/10000=o,ooot. 12. Go== 1. f3. 1/0 = oo. 14. 1/oo = o.

Das Zeichen oo bedeutet, daß die betreffende Zahl Qber alle Grenzen 'ivllcltst.

Die Regeln 6 bis 11 gelten für jede Hochzahl ganze oder gebrochene Werte:

15.

·

amfn

.1,UJ110,U -

16. 17.

s.

n.

für positive, negative,

= fäii' (s. Wurzelrechnung); fißt b = a"'. a ist die Grundzahl (Basis), m der l..ng-

· arithmus. (Verlauf der logarithm. Kurve s. Fig. 116, S. 118.) 2. Briggssehe oder dekadische Logarithmen haben die Grundzahl 10. Man schreibt l~gb = lgb. 3. Die natürlichen Logarithmen haben als Grundzahl die Eutersehe Zahl 1=2,718:a8t8 •• (s. S. 53 und 65). Man schreibt I.Ögb= lnb (Iogarithmus aaturalis). 4 •. Zur Umrechnung gilt lnx=2,3026 •lgx und lgx=0,4343 •lna;. Die Zahl1/2,3026=0,4343 heißt Modul des Briggssehen Logarithmensystem$ (se· 0,434294 ••• ). nauer 1/2,302585 .•• 5, AUI dem Begriff dell LoiarithmWI folgt l~t=O, ~0=-oo, logoo=oo, ~•=t, lgto-t, ln••t. Die Brlgg1 sehen UDd die natflrllchen Loiarlthmen aegatlver Zahleo IIDd lmaciJtlr. Für das Rechnen mit Logarithmen gelten folgende 4 Regeln:

=

= l~gu + l~gv; 7. l~g(u/v) = l~u - l~v; 1 • ·=v-u = -logu. • u; • 10. lg10" 9. log logu• = n log . = n, n

6. l~g(uv) 8.

t t = o, da to' = 1g 1g tO=.t, da tO'= tO 1g t00=2, da to'= too Jgtooo·=3,' da tO'=tOOO

d. h.

lgO,t =-t, da t0-1.=0,t lgO,Ot =-2, ·da tO-I=O,Ot lgO,OOt=-3, da to-•=o,oot.

11. Für dekadische Logarithmen ist ferner zu beachten: Es Ist 1g t ,092 - 0,0382 (s. s. 22). Ferner Ist lgt0,92 - lg(t,092 · tO) - lgt,092 + lgtO - t,0382; ebeiiSO -Jc(I,092/tO) -Jgt,092- Jgto = 0,0382- t. Entaprechend. Ist lgO,Ot092 • 0,0312- 2; lgt09,2- 2,0382; lgO,OOt092 • 0,0312- 3 IIIW. lgt092 - 3,0382 uaw.,

Ist JcO,t092

. · I I heißt absoluter Betng. Um filr gerade Wurzelhochzahlen der Wurzel die Vleideuu,klit zu Mblllea, IChreiJ,t 10 dall z. B. 13 •l'ii • (+).'Ji36 ~ 6 Wurzel, die vor Vorzeichen man Im allgemeinen das ist. Dagegen lautet aber die Parabelgleichung (S. 99) y" • •• aufpliist !I - ± -~---

1) 1)

fH •

3*

Mathematik. - .Arithmetik und Algebra. Die v.on der Stellung des Komp1as abhängige ganze Zahl (0, 1 , 2, 3, ••• ,

-1, -2, -3, ...)heißt Kennziffer, der nach dem Komma stehende Dezimalbruch heißt Mantisse. Zahlen mit gleicher Ziffernfolge haben die g)eiche Mantisse•.Diese ist in den Tafeln für die Briggssehen Logarithmen zu finden.

Beispiele: ZweckmiBfc lat clle V.wendwlg elael Schemas, beldem IIDka clle Zahlen IUld rechts Ihre jewel1fcen Logarithmen stehen:

t

. • II:=

0,536. 2t7,3 0,028t

Zahl

2' • -

Loprtthmu

0,536 0,7292- t 2,3371 2t7.3 2,0663 Zlh1er 0,0281 0,4487-2 (-) ~ 3,6176

~O,o827 • 565,1 0,923' •46,2

O,o827 tat,9t75-U 0,6392- t 2,752t 2,3913 0,9652- I

565,1 Zlhler 0,923

:3

(·'·) X4

0,,8608 -lU t,6646 1,5254 1-:l_ ~ 0,8659 46,2 Neimer

2,78

0,4440

~

0,6260

0,687

xl,41

0,8370 - I

~

s. • =

0,4271/1,01

6

• 111

= In

0,4446

o,678 cL h = ln 678 • 10 0,0753 • .lll 753

I

-----'.-----0,427 0,6304- I +o.os -o,os ~~~-

X 1,33 l,tt32- 1,33 -0.33 +0,33_ 0,7832-t

67816,5191 ' tO 2,3026 8,82t7 753 ,~241 2,t976-

(-)

0,6804- I,OS. tOS 0,6480- t . •

111

8. Zahlensysteme. Zahlen

I

I

komplexe Zahlen

I

reelle Zahlen

--------~11~--------~ I I

Rationalzahlen

,.---'1_1__ 1 ganze Zahlen

Brüche

imaginäre Zahlen

Irrationalzahlen

1_ _ _ 1[_____1 algebraisch irrational

transzendent irrational

a) ReeDe Zahlen. Sämtliche ganze Zahlen, gewöhnliche Brüche, endliche• und unendlich periodische Dezimalbrüche ·bilden das System der rationalen Zahlen. Alle übrigen reellen Z~en, deren Wert durch einen unendlichen, nicht periodischen Dezimalbruch ausgedrückt werden kann, nennt man irrationale Zahlen. Die-

37

Zahlensysteme.

jenigen irrationalen Zahlen, die Lösungen einer Gleichung tS-ten Grades mit rationalen Koe~enten sind, z. B. all~. Wurzeln, heißen algebraische, die übrigen transzendente Zahlen, z. B. n, e.

b) lmaglnire und komplexe Zahlen.

+R.

I. Die Imaginäre Einheit ist i = so daß ,.,. = -1. Eine imaginäre Zahl i • b Ist das Produkt aus der Imaginären Einheit und einer reellen Zahl. So Ist z. B. = 3 i. Für die Potenzen von i gilt dann die folgende

+H

Tabelle. Eine Verbindung zwischen einer reellen und ih+ 1 einer Imaginären Zahl, z. B. l.=a+ib, heißtiktm• -1·----:i.=-z-------:-i---=-2---ihH p~xe Zahl. a ist der Realteil, b der ·lmaginäri"'+3 teil. a ib und a- ib sind konjugiert k~ple:r.e -i Zahlen. Aus a+ib=O folgt a=O und b=O; aus a+ib~c+id folgt tJ=C und b=d. UnterBeachtung von't"~=-1 gelten für komple:r.e Zahlen die gleichen Rechenregeln wie für reelle Zahlen. Potenzieren s. 4.

i'•

+

Belaplele1 (a + 4&) + (• + (a + 4&)(c + 44) • + 4b _ (11 + ib) (c • + i4. (c + i4)(c -

+ 4(&- 4)1

44) - (e + c) + 4(& + 4); (• + ib)- (c + i4) - (•- c) (11c- b4) + 4(114 + be); (11 + ib)(11- ib) = 11• + b'. 44) _ 11e + b4 + i . &c - ~~ •tl .._ ill) •• + II' c' + + • .,.. 0 •

z. EJne komple:r.e Zahl l=a+ib wird in der

a• • •

OauBsc:ben Zahlenebene dargestellt durch einen Punkt mit .den Koordinaten a und b, Fig.1: Den

reellen Zahlen wird die waagerechte Achse der reellen Zahlen, den Imaginären Zahlen die dazu senkrechte Achse der Imaginären Zahlen zugeordnet. Unter Hinführung von Polarkoordinaten liest ""8 man mit a=rcoscp, b=rsincp die Normalform oder trigonometrische Form e = a i b = r(coscp i sincp)

+

-J

-t

-i -Ii

+

ya +

ab. Hierin ist r = bB der Absolutbetrag Fig. i. (Modul), d. i. die Länge.der StreckeOP, und cp. gegebeu durch tglp = bfa, der Winkel (das Argument) der komplexen Zahl. 2

__.

Man kann auch den von o nach P gezogenen Vektor (s. S. t 28) 1 = 0 P als Darstellung der komplexen Zahl auffassen; seine Richtung ist durch 'P, seine Länge durch r gegeben.

3. Die Normalform liefert den ii\oivrcsc:ben Satz für beliebiges reelles n: (COSIJ' ± i sinlp)n = cosn'P ± i sinn 'I'; eine komplexe Zahl wird mit n potenziert, indem man den Betrag mit • potenziert und den Winkel mit n multipliziert. So wird

,.va+ib= __ 1"-J IJ'+2k:n; cp+2k:n;) yr. (cos--n--+i·sin--n--.

'1' Im Bogenmaß;

für k=0,1,2, ... ,n-1 erhält man sämtlichen Wurzeln. 4. Aus J. folgen mit r= 1 und lp=O bzw. '1' =:n; die Einheltswurzeln: .. 2k:n; .. . 2k:n; f1=cos--+~·sm--, k=0,1,2, •.. ,n-1.

n

"t~ -1

=

Beispiel:

n

(2k + 1):n;

cos - - - - -

frt =

~'

.

+

.

J •

. (2k + 1):n; sm -------, . n

k

= 0,

1., 2, ....• n- 1,

+t bzw. -0,5 + 0,8661 bzw. -0,5- 0,866t.

Die komplexe Zahl z = r(coscp z = r ·~~'I' (s. S. 53)·

+ i • sintp)

kann auch geschrieben werden

Mathematik. - Arlthm,.tJ.k und Algebra.

C. Kombinationslehre. 1. Die Zahl der Permutationen, d. h. der möglichen Zusammenstellungen von n ungleichen Elementen ist t • 2 • 3 • 4 ·:· (n- t) • n

= nl

(sprich "n-Fakultät").

Befinden sich unter den n Elementen fJ gleiche einer Art, g gleiche einer anderen Art, r gleiche einer dritten Art usw., so ist die Anzahl der möglichen nl Permutationen .J.I 1 1 • r ·q •r ••• Bellpielei t. 6 Elemente abctl1l haben 61-720 Permutationen. 2. Die 3 Blemea.te •6 haben 31-6 Permutationen, Dimllch abe, bae, bca, acb, cab, 91 3. Die 9 Elemente 111111abbbce haben 41 • 31 • 21 - t260 Permutationen.

cb•.

Z. Eine Zusammenstellung, die nicht sämtliche n Elemente enthält, hei.Bt eine Variation: ist k die Anzahl der zusammengestellten Elemente, so liegt eine Variation aer n Elemente zur k-ten Kl;155e vor. Die Anzahl aller möglichen Variationen ist damit ohne Wiederholung

(~) • kl = (n :' k) 1 ,

mit Wiederholung n•,

d. h. je nachdem das gleiche Element in der Zusammenstellung nur einmal oder k-mal vorkommt. (:) sind die Binomlaikoeffizienten von S. 34. Beispiele: t. Die 4 Gege111tlnde abctl haben ln Gmppeu iu je 2 Elementen ohue Wiederholung (~) • 21 - t2 Varlatlonen, nämlich ab, ac, atl, bc, btl, ctl, ba, ca, tla, cb, tlb,. tlc. 2. Bel Wiederholung erhAlt man 41 -16, d. h. außer den genannten noch 1111, bb, cc, tltl.

3. Die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur k-ten Klasse, d. h. die Anzahl der versChiedenen Arten, auf welche man n Elemente zu je k Elementen ohne Rücksicht auf die Reihenfolge anordnen kann, ist ohne Wiederholung (s.o.) (:), mit Wiederholung

(n +:- t).

Beispiele: t. Die 4 GegenstAnde abctl haben ln Groppen zu je 2 Glledem ohne Wieder· 3 6 Kombinationen, nämlich ab, ac, ad, bc, btl, eil. holung ( 24) - 4. W2. Mit Wiederholung erhält man (4+~-t)- (~)- tO KomblnatloneD. Ba kommen blnzu ••· bb, cc, tltl.

D. Determinanten. Bei verschied~artigsten Aufgaben der Mathematik und ihrer Anwendungsgebiete trifft man auf gewisse Zahlenausdrücke, die Determinanten, die nach ganz bestimmten Gesetzen gebaut sind und durch besondere Schreibweise auch besonders einfach darzustellen sind. U. a. läßt sich - um aus den vielen Anwendungsmöglichkelten eine herauszugreifen in .der Schwingungslehre die Bedingungsgleichung zur Bestimmung der Eigenfrequenzen eines schwingungsfähigeu, mehrgliedrigen Systems in der Form D- o schreiben, wo D eine gewisse Determinante ist.

.

1. Determinanten 2. und 3. Grades sind I a 1 a2

I~ ~ ~I ~

-:: :: I =

,~ ~,

al ba

b1 1 = a 1 lltb2

,~ ~,

Ca - aa ba

Ca

+ aa

~-b 1 ;

,~ ~, ba

Ca

=~~~-~~-~~~-~~+~~~-~~ = a1 b2 c 3 a 2 b3 c 1 a 3 b1 c2 - a 1 b8 c 2 - a 2 b1 c3 . - a 8 b2 c,

+

+

•

39

Determinanten.

Die Determinante n·ten Grades von n2 Elementen IZt• a2 , , .. , a,.; b1 , b8 , ••• , b,.; •.. r,. hat n Zeilen (waagerechte Reihen) und n Spalten (senkrechte Reihen). Sie wird geschriebeB a1

bt

Ct

a1

t2

r2

a8

b2 ba

Ca

t'a

an

bn

fn

rn

r1

und stellt die Summe '1; ±(a1 b2 c3 ••• rn) dar, in der die einzelnen Summanden durch Permutation (s. 0, S. 38) der Zeiger (Indizes) 1, 2, 3, •.. des diagonalen Produktes a:t b2 c3 ••• ,.,. gewonnen werden. Jedes alphabetisch geordnete Produkt erhält ein positives oder negatives Vorzeichen, je nachdem die Zahl der Umkehrungen seiner Zeiger gerade oder ungerade ist. Die Determinante ent· bJi.lt nl = 1 • 2 • 3 ••• n Produkte. Beispiele vgl. 1. Eine Determinante n-ten Grades kann mit Hilfe von Unterdeterminanten (tJ- 1)-ten Grades zerlegt werden (s. a. 1. u. 8.): a1 b1 c1 dt 1

z.

a, b, c, d, a,

b,

Ca

d3

Cl.s

b..

c".

d,

=---"'

r, II b2 a;. b8 r 8 b,

r4

d,

d3 d4

I

-

a1

1 1

d, ,

b1 c, b8 C3 b4

d3 d4

C.1

1

+

a,

I

I

b1 c, d1 b2 c 2 d 2 r.fo

b.a

-

I b1 a 4 ! b2

·r2

,... 3

r3

d,

c, d,

d2 d3

I 1

.

Die Unterdeterminante zu einem Element in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte wird erhalten, indem man die i-te Zeile und die k-te Spalte der urspriinglichen Determinante durchstreicht und die so entstehende Determinante mit (-t)l+k multipliziert. 3. In einer Determinante kann man die Zeilen mit den Spalten unter Beibehaltung der Reihenfolge vertauschen:

I

a, b,

I=

a., b, I

I"'

0'

\ a. at b, c, 1 b, r, : co ! b, j Ct ra ~ Cla ba

I a,

i;

bz I

bl

az

aal

Cz

Ca

b,

b, •

4. Werden in der Determinante 2 Zeilen oder 2 Spalten miteinander ver-

tauscht, so ändert die Determinante ihr Vorzeichen. 5. Sind die entsprechenden Elemente zweier Spalten oder zweier Zeilen ~er­ hältnisgleich (also auch einander gleich und gleich Null), so ist die Determinante gleich Null.

I:: :: ::I ~

~

=

~ ::

o:

~

~

I ~: I:: ~: ~;:

:: :: ~

cc

G

I'

=

o.

G kG

~

6. Sind alle Elemente einer Zeile oder einer Spalte mit der gleichen Zahl multipliziert, so kann der Faktor vor die Determinante gesetzt werden: ka, b, c,

I k a2 h~ · k o3

/1 3

I . I a, = k

l" 2

c3

b1

c,

a2 b2

r2 c3

a3

J

b3

,II

=

ka, kb, kc, i

I :

1

he. b3

:1 2

r. 3

'2

r3

!• I

1. Der Wert einer Determinante bleibt unverändert, wenn man zu den Eiernenten einer Zeile oder Spalte das gleiche Vielfache der entsprechenden Ele.nente einer anderen Zeile oder Spalte addiert oder subtrahiert:

c,l laa

a, b1 1 b2 c" a3 b3 C 3

Ia

1

=

2

a1

c+

b1 1 +ka1 b1 c, k a 2 b8 c 8 +ka 3

1

1 • 1

8. Eine Determinante 3. Gracles kann auch folgendermaßen gebildet werden:

+

a 1 b2 Ca b1 C2 t1 8 -a 1 b2 ct- b8 c2 a1

+ -

a 2 b3 c,a,b 1

C1

,

Mathematik. - Arithmetik und Algebra.

40

d. h. man setzt die beiden ersten Spalten in der gleichen Reihenfolge neben die letzte und bildet die 6 Produkte der Elemente, die auf einer Diagonalen liegen. Die Produkte erhalten je nach Pfeilrichtung + f~) oder - ()') als Vorzeichen. · Zahlenbelsplele: 1. Zu Punkt 2:

I~ ! :1- 2·1 ! ~ 1- 1 1! ~ 1+ 31 ~ : ~ 2. 1

3 0 .2 2, Zu Punkt

5:

12

I 6

4 2! 2. 6 2 • 2 2 . 1 I 2 1 = 1 6 2 1 =

353

3. Zu Punkt 6, 1, 2:

3

0

: 11=12·{0-1·1:

1 2

- 1 . (3. 2) -1-0 = 6.

o.

53

4 12 81 i t 3 21 I 1 3 21 12 3 4 = 4. 112 3 4 = 4. 3 ·j2 3 4 = 3 69 369 . 123

=12·1~ ~

(3. 2)

12 •

I11 ' 13 12 I = 12 . ! 1 12 1t , I

0

'I

123

123

~~+o}=-12·(2·2-1·tl--36.

Über Anwendung bei Gleichungen 1. Grades mit mehreren vgl. S. 42. Femer vgl. S. 91.

Un~ekannten

E. Oleichungen. Eine Gleichung drückt aus, daß 2 Größen einander gleich sind. Eine identische Gleichung zeigt eine algebraische oder rechnerische Uinformung an, z. B. (a+b)(a-b)=a1 -1Jll. Eine Bestimmungsgleichung, z. B. :~:-9=0, dient zur Ermittlung einer unbekannten Größe, z. B. :~:, und ist nUl' für einen bestimmten Wert :1: (oder mehrere) eine identische, im Beispiel für :~:==9· Jede Gleichung bleibt richtig, wenn auf beiden Seiten die gleichen Rechnungsvorginge ausgeführt werden. . · Zur Ermittlung von n Unbekannten dienen n voneinander unabhängige Gleichungen. Gleichungen, die olch derart umformen lassen, daß nur pn2Ahlige Potenzen der Unbekannten auftreten, heUlen algebraische Gleichungen Im Gegenatz zu den transzeDdenten Gleichungen. Uegt eine Gleichung mit einer Unbekannten ln der Form f(z) -o vor, 10 lassen lieh zeichnerisch reelle LOsungen dadurch finden, dall,man die Kurve y-t(z) ln Abhlngfgkelt voa s auftrigt. Die Abszissen lbrer Schnlttpuakte mit der s-Acble lind die nellm LOsungen oder Wurzeln der Gleichung (s. c, e, f).

a) Olelc:hungen I. Orades mit einer Unbekannten. Diese lassen sich immer auf die Form a:~:-b=O oder a:~:=b bringen. Zur Umformung (die in entsprechender Weise auch auf andere Gleichungen zu übertragen ist) ist zu beachten: 1. Sind ln einer Gleichung mehrere Glieder mit z und mehrere Glieder ohne z mtbalten, bringt man die Glieder mit s auf die eine und die ohne z auf dli andere Seite. Hierbel mtlssen Klammerausdrflcke,. die s mthelten, aufgelost werden. 2. Enthält die Gleichung Brüche, steh\ besonders z Im Nenner, 10 Ist die Glelchq mit dem Hauptnenner zu multiplizieren. . J. Steht z ·ln der Grundzahl einer Potenz (oder Im Radikandeil einer Wurzel), 10 Ist die Potens (Wurzel) auf eine Seite zu bringen und dann die Wurzel zu ziehen (die Gleichung zu putenzleren). Sind mehrere Wurzeln vorhanden, so 1H mehrfaches Patensteren erforderlich. 4. Steht s ln der Hochzahl einer Potenz (Exponentialgleichung), so Ist die Pote~~& auf eine Seite zu brlngeD und dann die Gleichung zo logarithmieren. 10

Beispiel: 4,6+2,31-z=.IOJ2,]1-z=5,4J(3-z)•li2, 3=Js5,4J 3-z=li5.4 = 0 • 73 ~ lg 2,3 0,3617 -2,025; z- 3 - 2,025 - 0,97 S • - Das Logarltbmlerm kann auch fortfallen durch Bellutzune der doppellogarlthmlacben Teßung auf dem Rechenschlebw (z. B. Syatem D.armstedt). ·

b) Olclc:bungen I. Orades mit mehreren Unbekannten. I. " Gleichungen mit n Unbekannten werden rechnerisch derart aufgelöst, daß man zunächst aus ihnen durch Umformung und Zusammenfassung passen-

41

Gleichungen.

der Gleichungen n-1 Gleichungen mit n-1 Unbekannten bildet. Durch Wiederholung dieses Verfahrens e~hält man n-2 Gleichungen mit n.-2 Unbekannten, dann n- 3 Gleichungen mit n- 3 Unbekannten usw., schließlich 1 Gleichung mit 1 Unbekannten. Nach Ausrechnung dieser Unbekannten setzt man ihren Wert in eine der zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten ein und erhält so die zweite Unbekannte. Durch weiteres Einsetzen erhält man der Reihe nach sämtliche n Unbekannte. Zur Rückführung .von fl Gleichungen mit fl Unbekannten auf n-1 Gleichungen mit n-1 Unbekannten sind folgende Wege möglich: Addltlonsmethode: Wegschaffen einer Unbekannten durch Addition bzw. Subtraktion der Gleichungen nach passender Umformung (gleiche Belwerte der wegznschaffenden Größen). 3:1: + 6y-2,1 •=63 :1: + 2 y-0,7 1=21 ,. 3 0,9z+0,06y~·0,3•-7,2 3z+0,2y-l-24 I { 3z+0,2y-l-24 •1j•0,3 0,9 o:+ 7 y-21=27 5,8 y- 1,1 •- 39 •1 0,9 z+ 7 y -2 •-27 6,94)'-1,7 1-19,8 III. 22,26 y- 445,2 ü { 5,8y-1,1 1-39 1·17 98,6)1-1,1 ·17•=663 !6,34)'-' 1~.!.!_=217,8 6,94 y-1,7 · - 19,8 • u :1: + 2. 20-0,7.70 =21 5,8 ·20- 1,1 1=39 1,11=77

.:..:::.12

Gleichsetzungsmethode: Wegschaffen einer. Unbekannten dadurch, daß man sie oder ein passendes Vielfaches von ihr ln jeder Gleichung durch die anderen Unbekannten au•drilckt und die so erhaltenen Werte einander gleichseut. z +ly-0,7 • =21 171-10 z+20y-210 7 r-21 z + 1,4y- 16812 1=6 .:+0,4 y-48 I { 3 z +0,2)'-1=24 2 •=0,9.:+ 7,. -27 0,9 z + 7,.- 21=27 Il {10 o: +20y- 210=21 z+ 1,4y- 168 6.: +0,4 y-48 -0,9 o:+ 7 y- 27 oder . 11.1:+42 i tt z-18,6y+42~o [ y=--'---· ll

J . l 5,1 x-6,6y-21 =0

lll. ~ + 42 = 5•1 z- 21 6,6 18;6 121 :1: + 462 = 158,1 :1:-651 37.1 %=1113

:..::12.

~~

5.1"' --21 !; :Y=~

(mit 11 ·18,6 erweitern:)

)=~~_±42 =20 -18,6 !..::_3· 30+0,2· 20-24~

Einsetzungsmethode: Eine Unbekannte wird dadurch weggeschafft, daß man ln einer Gleichung diese Unbekannte durch die andere~ au~ckt und den so erhaltenen Wert in die übrigen Gleichungen einsetzt. . z+2y-0,7r=21\o:=21-2y+0,7• I { 3z+0,2y--•=24 l·(21-2y+0,7r)+0,2y-r=24 5,8y-1,1r=39 27 0,9 · (21- 2 y + 0,7 1) + 7 y- 2: = 271 5,2 y- 1,37: = 8,1) 0,9 z + 7Y - 2 r 5,8y-39 5,8y-l,l •= 39 1,1 ll { 5,8y-39 5.2y-1,37·-~=8,1 III. S,2y-1,37•-8,1

=

·----

5,72 y -7,946" + 53.43 = 8,91 2,226,. = 44,52 y=20 • "" 5:8~0-=-~2-,;, !!_ = 70 t,l

~

1,1 - -

21 - 2. 20 + 0.7. 70 :::.12

Mathematik. - Arithmetik und Algebra.

42

2. Unter Benutzung von Determinanten (s. S. 38) können die Lösungen unmittelbar hingeschrieben werden. So folgt z•.B. für ein System von 3 linearen Gleichungen: a1 z a,z

a1 z

+ b1 y + e1 1 = 111 ,

+ b,y + c,r ~ d,, + b y + c,r -~ d,, 0

s-=-D1 :D, y-D 1 :D, x-=-D:D., wo d, b1 e,

Id,

D, =

d1

b1 c, b0 e0

I

D0 =

I

111

1

b1 rl.

a, b, 110 a, b, d,

I •

Für ein beliebiges, lineares Gleichungssystem gelten entsprechende Formeln: Die Beiwerte der Unbekannten liefern, unter Beachtung von Zeile und Spalte, die .,Systemdeterminante" D. Die Determinanten D1 , D2, ••• findet man, indem man in D die Spalte der Beiwerte der betreffenden Unbekannten ersetzt durch die Zahlen auf den rechten Seiten. Ist D=O, so widersprechen sich die Gleichungen oder eine Gleichung ist die Folge der anderen (z. B. :1: - y = 4 und 2 z - 2 y = 8). Sind jedoch die rechten Seiten (oben d1 , d1 , ...)" gleich Null (homogene Gleichungen), so ist entweder z=O, y=O, .r=O, ... oder es muß die Determinante D gleich Null sein. In diesem Fall ist eine Unbekannte willkürlich, d. h. es sind nur die Verhältnisse der Unbekannten bestimmbar. 2:z +I 4)' = I3J 6,5:z _ 3:1 )' = 4 ;

Beispiel:

Dl-

D,-

I134 2

1

6, 5

D -

I 41 12 6, 5 _ 3;1 - -2 • 3,1 - 6,5 • 1,4 - -IS,3l

1,41 - -13 • 3,1 - 4 • 1,4 - -45,9; -3,1

:z- -45,9:-15,3- 3;

13[

,. --76,5: -15,3"-

41

-:a·4-6,5·13--76,SJ

s.

Für viele Unbek:mnte führen beide Wege (t. und 2.) im allgemeinen nur langsam zum Ziel. Dann empfehlen sich zeichnerische oder instrumentelle VerfahrenI). c) Olelchungen 2. Orades mit einer Unbekannten. I. Rechnerische Lösung. Jede quadratische Gleichung kann auf die az b = 0 Normalform zl gebracht werden. Um diese zu erhalten, sind älmliche Umformungen notwendig, wie unter a), S. 40, angegeben. Für die Lö"sungen oder. Wurzeln der quadratischen Gleichung zl +az+ b = 0 folgt mit

+

+

z' + 2 · (a/2) • :z + (a/2) 1 '= (a/2)'- b oder (:z +a/2) 1

:11_ · z1

- b + y(a/2\2 = -a/2 ' ___ ' __ '

= -a/2 -

Y(a/2) 1

-

-

(a/2)'- 6:

worin (a/2)1 -· b = LI =,.Diskriminante"

b, •

Die Gleichung hat 2 reelle

WU!;zeln," wenn LI

>

0,

LI = 0, ., LI < 0. 0, so liegt eine rein quadratische Gleichung vor: xu = ± 2 zusammenfallende reelle 2 konjugiert komplexe

y-

b. Ist a = Ist b=O, so ist :11_=0 und x 1 =-a, denn es ist xl+ax=O oder x(x+a)=O, a) = 0, d. h. :c2 = -a. d. h. zt = 0 oder (z

+

') Vgl. C. Runge: Graphische Methoden. S. 17f. Leipzig t928; s. a. Amn. 2, S. 140.

43

Gleichungen. Beispiele:

2. z' - 10 z + 25 - o 3. z' + 6 z + 10 = o

z'~_! z-t = o

f.

2

z=+-± 3~ -+1 4 ,t6 z1 =_!+2_=2 4 3

4 5

z(z-10) =0

z= -3±f9-10 z,-z,=5.

.

4. z 1 -IO:r=O

t

,.;,=4-4= -2 ·

z,=-3+i

:&:t=O

z,= - 3 T''

:r 2 =10.

s. Y13 + z + Yo- z- 6 =

u. V13+z+Y13-z=6, t3 + z + 13 - z + 2 · V13'- "'' = 36. V169- z' = 5, t69- ..,. = 25' z' = 144, "" = + 12' z, = -12. Beziehungen zwischen den W1urzeln: Durch Multiplikation und Addition der b~den Wurzeln z 1 und z 1 findet man: ~ • x 1 = b (von z freies oder absolutes Glied), z 1 + z 1 = -a (negativer Beiwert von z). Damit kann eine quadratische Gleichung auch geschrieben werden ~+ax+b (z- ~) (x- z 8) = 0, die, wie unmittelbar einzusehen ,ist, für z = ~ und x = x 2 erfüllt ist. Die Wurzeln haben ' gleiches Vorzeichen, wenn b > 0, I i entgegengesetztes, wenn b< o. i Lösung ;"it dem Rechenschieber: K 10: 9I 8I 7I 6I k I ! ~ ~

=

I

4 'ft Stellt man b auf der Grundteilung des i Schiebers ein und dividiert durch einen G 6 7~ ~0 ~ 2 b 3 aogenommenen Wert z 1 ; ·so folgt nach vorsteheniiem z,- b/z.. Die Wurz/100 die jährlich.. AbschreibUDgSS111DDle R•K,grs q- 1- beträgt.

q•- i .Zahlenbeisplel: Wann Ist ein Kapital von 20000 RM. aufgezehrt, wenn am Ende jedes Jahres 3000 RM. fortgenommen werden? 11-31/ 1 YH.- Setzt man in der ersten Formel von 4. K,.- O, so wird 0- K,q•(q- 1)- R(f" -1), d. h. q" _ _ _R ____ • R- K 8 {g- I) 3000 3 3 i•035"- 3ooo- 20000 ·0,035- 32,3 • 3 O~i~ 11 •lg i,035 - lg 2 , 3 , it • 0,0149 • O.H54, II - 0,0149" - 7,741

o,i-

d. h. man kann 7 Jahre lang 3000 RM. und. dann noch einen Rest fortnehmen. (Mit der Potenz· tellung auf dem Rechenschieber .,System Darmstadt" kann 11 ohne Logarithmieren unmlttel· bar abgelesen werden.)

b) UnendHthe Reiben. 1. Die Summe einer unendlichen Reihe ist der Grenzwert, dem sich die ein· 1=00

zeinen Teilsummen s,. für n ~ oo nähern. Es ist s = ~ u 1 = lim s,. ; worin die Teilsummen die Werte s1 = u1 , s 2 s,. = 111 + u1 + ·.. + u,. bedeuten.

=; U1

+ u1 ,

i=l

s3

ft ... ·OO

= U,. + U 1 + Ua• ... ,

Beispiel: i. 0,3 +0,03 + 0,003 +"'hat dieTeilsummen s1 -0,3, • 1 -0,33, s,-0,333, ... , so daß lim ... - 1/3 . n-+oo

Z. In einer konvergenteJPReihe ist die Srimme endlich, in einer diver· gen ten Reihe unendlich. Beispiele: 2. Die Reihe von Bsp. I l•t konvergent, da Um s,.- i/3. t 1 1 n_,..oo + -j + .. · + + ... ist divergent, da,.~~ s,.-oo:

n

3. Die haunonhebe Reihe 1 + l

>

Für die folgendan " Glieder Ist - 1- + _ i _ + "· + _.!__ 11 • _!._ - _!_. Die SUIIUile der fl + I " + 2 211 2fl 2 nächsten 2fl Glieder + ·") ist wiede.- >-i__, Wieviel Glieder man anch zuoammen

(-i+ 2fl

i

faßt, der Rest muß immer größer als

2

1/ 1

bleiben, d. h. die Summe ist unendlich groß.

4*

Mathematik. - Arithmetik und Algebra.

52

3. Konvergenzbedlngungen. a) Notwendige Bedingung ist"!lm00 u,. = 0, d. h. von einem bestimmten n an müssen die Glieder kleiner werden und mit wachsendem n gegen Null streben. Daß diese Bedingung nicht hinreichend ist, zeigt Beispiel 3 oben. Bei Reihen mit abwechselnd positiven und negativen Gliedern (alternierenden Reihen) ist diese Bedingung auch hinreichend. Beispiel: 4. Die Reihe t Formel

w,. S. 53,

~ 2

+ _!_3 - ~4 +- •••

Ist hiernach konvergent.

Nach

stellt diese unendliche Reihe den Wert ln2 dar.

b) Hinreichende Bedingung nach Oauchy: Eine Reihe ist konvergent (divergent), wenn von einem gewissen Glied an der Quotient der Absolutbeträge aus einem Glied und dem vorangehenden kleiner (größer) ist als eine best4nmte Zahl q < 1 (q > 1) oder auch wenn lim

n+oo

1 I < 1 (Konvergenz), Iu,.+ u,.

lim / u+_.l,

n~oo

u.

>t

(Divergenz).

Ist der Quotient gleich 1, so sind besondere Untersuchungen anzustellen. Beispiele:

s.

In der harmonischen Reihe

t + -~ + ~ + ... + -~ + -

1 -

+ ...

2 3 n n+ t ist "•+l:u.-t+t/e, allo 11 ~00 (u,.+1:u.)-t, daher beaondererl:lewels, 1. Bsp.J oben. :z re' • :z' . 6. In der Reihe f11r ez -1 + 1i + -21 + 3l + · .. (L S. 53) Ist lun+l: u,. 1-f-IZI :n Von n Iz I ab Ist f t, und es wird 11m I u,. + 1 : u,. 1-0, d. h. die Reihe konvergiert fllt jeden Wert :z. n+oo




c) Eine Reihe mit Gliedern beliebigen Vorzeichens ist konvergent, wenn die Reihe aus den absoluten Beträgen konvergiert (absolut konvergente Reihe). Beispiel: 7. FflrdieReihe Reihe konvergiert f1lr I z I t •


k Iot, wo 0 < k
:! b(1 + • /a- • /b). 1)

(b

1)

3. (1 :1: •)" F>:! 1 :1: "'· S. (1±:! a(1 ± J:b'/a'), wenn b :ie'l'(1±:i tge F>:i • = e0 .n/180- 0,0174S.0 ; dmBogeumaß. Beispiel: sinS' F>:i0,01745 • 5 F>:i0,0873. 15. ctg• F>:! 1/•. f4. cos• F>:! ;I- •'/2 F>:! t. 17. cos(e< ± •),.,. cose< 'F • slne:i slna< ± • cosa=i~•,..•·

Z. Unbestimmte Formen. Nähern sich in dem Bruch y(x) =~(~~für x-+ a Zähler und Nenner dem Wert Null, so entsteht eine "unbestimmte Form" 0/0. Dieser Grenzwert kann jedoch nach S. 65 vorhanden sein: Nach dem Satz von Taylor gilt y(a

+ ~) = ~(~: :;

=

~~:~-: ~~ia"H:-I~:j:;!;>:t~:~

·

Mathematik. - Die Kreis· und Hyperbelfunktionen.

56

Da F(•)-o und /(11)-o, ergibt sich nach Kürznng durch 11 Damit wird fftr

+ f:o\F"(IJ) + ... + ili('(IJ) + .-~ s-+ "• cl. h. 11-+ o: !im F(z!- !im F(• + 11).;;. !im (IJ + l) ~ h-+o )' h-+0 /(IJ + lt) s-+•/(z) " 1"

+

•>-

F'(IJ)

t'(•)

F'(IJ) •

t'(•i Um den Grenzwert zu bestimmen, hat man also nur Zähler und Nenner einzeln nach :r: zu differenzieren und dann :r: = a zu setzen. Erhält man wieder 0/0, so ist das Verfahren zu wiederholen. Das gleiche gilt für 0~ die Form oofoo. Andere tmbestimmte Fotmen, wie · . . 8 0 • oo, oo - oo, 0"", ooO u. a. lassen sich .auf beide Fälle zurückfiihren. · A '

Beispiel: Angenäherte Strecknng eines ~els~gens. Es sei, Flg. 14, AD Tangente an den Kreis und AD=AC. Die Verll.ngerung von DC achneidet die Verlängerung von MA in B. Flg. 14.· Welchem GteJUWert nlhert sich die Strecke )'=AB für klelne Bögen, d. h. für .x-+ o 1

·

Y

Es ist BA:BC'=DA:CC'-AC: CC'oder

--~-"--) = ~ ,cl.h.y~r· (x).

Die in diesen höheren Ableitungen auftretenden Differentiale cP y, d 3 y, •.• dn y bezeichnet man als Differentiale zweiter, dritter, ... n-ter Ordnung. Für die Berechnung einer höheren Ableitung gelteu dieselben Regeln wie bei der ersten Ableitung. Geometrisch bedeutet y' = tg.x die Steigung der Kurve y = I (x). Ist y' als Funktion von x aufgeFig. 35. tragen, so kann leicht (Fig. 35) im Punkt P 1 d (x). Beispiele: t. Ist t die blit, v 0 clie Anfangsgoschwindigkeo.

Die Integralrechnung.

73

Die zugehörigen Funktionswerte sind somit y, =21/ 1 und y,=-3. Zeichnet man die Funktion als Kurve auf, so erkennt man, daß größere Funktionsw•rte als lm Maximum bzw. kleinere als im Minimum auftreten können: In diesen Punkten sind eben die Funktionswerte größer bzw. kleiner als die benachy harten. J 2. Aus einem quadratischen -Blech soll ein obe~ offener Kasten größten Rauminhalts mit quadratischer Grund· fläche hergestellt werden. Wie groß sind eine Höhe und sein Rauminhalt?

-.1

Flg. 40.

Flg. 39.

Durch Wegschneiden der Ecken (Fig. 40) folgt ftlr den Raumfnhalt V~ (a- :t)1 • :t/2. Mit 2·V'(:t)=(a-:z)'-2:t(a-:t)=(a-x)(a-3x)=O hat man a-30

•

v, in V ,.. •o

(S. 77),

wobei o, die Grenze bedeutet, bis zu der sich das Gas ausdehnt, oder A- p, • v, (lnv1 - lnv,) = f>t • "• • lnoJv,. FilrfJ1 =8 at-sooookg fm'; v1 ... tm8fkg;o1 =3 m' fkgwlrd A = 80000 • 1 • ln3 = 80000 • 1,0986 = 87900 mkg. In Flg. 44 ist die schraffierte FlAche gleich LI A. •

Flächen, die unterhalb der a:-Achse liegen und für die die Anfangskoordinate links und die Endkoordin ate rechts befindlich ist, erhalten das negative Vorzeichen. Will man den absoluten Flächeninh alt haben, so ist besonders darauf zu achten: Jeder ober- oder unterhalb der a:-Achse befindliche Flächen· teil muß für sich integriert werden.

3. Das bestimmte Integral als Orenzwert einer Summe. Nach s. 74 kann der ,b

Flächeninh alt F oder das Integral jf(x)dx als Grenzwert der Summen

~

U - 2/(x) h und 0 - 2/(x +" h) • h aufgef.aßt werden (Fig. 45). Wählt man in jedem Teilinterva ll einen Wert ; zwischen x h) und x + h, so ist /(x) < /(;) < f(x und daher auch U < 2/(~) h < 0. Daher muß M- .Z/(;) h mli wachsender Unter·

Yl

+

b

tlx . teilung gegen Jrf(x) I .

•

gehen,

wenn die

0

~~--~~~~~~

p·tg. 45•

a

werden; es ist Breiten aller Teilinterva lle kleiner und kleiner . b a:< ~(1

lly- 1ll:z:+ :z:tll --(1 + 1)1l:z:,

+ 2r) --tls:z:,

tl:z: --~, :z:

1 +2'

2y) -:z:'+2:z:y=C. . 1 ( 1+= :z:'(1+2r)-:t

1 1n(1+2•)+1nl'C, ln:z:-~ 2

Differentlaigleichungen zweiter Ordnung. I. Die einfachste Differential-

gleichung zweiter Ordnung ist Au:' dyfdz

=C

y'' (x) ... ko111t.

folgt durcb Integration y' = Cz + C1 •

_

zB Durch nochmaliges Integrieren erhält man 'Y = C2 + C1 z + C2 , und C1 die Integrationskonstanten sind. Beispiel: Narl> S. 71 Ist die Beschleunigung der- zweite Differentialquotient des Weges nach der Zeit und konstant bei der gleichförmig beschleunigten Bewegung, d.'h. tll• b - lil' - konst. Die Integration ergibt v- ~~ - Jbtll- o, + bl; 1n diesem Fall ist die Integrations-_ konstante gleich der Anfangsgeschwindigkeit v,; durch nochmalige Integration erhält man ~,I

I -

+ 1/a b I' + So,

wobei die Integrationskonstante •• der zur Zeit I - 0 ztnilckgelegte Weg Ist.

z.

Gegeben -sei die Differentialgleichung y''(x) -f(x). · Aus dy'fdz = f{z). ergibt sich durch_ Integration y' =;jf(x)dz = f1(x) +Cl,

'Y

= jf1 (z)d:r; +

C1 z

= /2 (x)

+ C1 z+ C1 •

Beispiel: Die Differentialgleichung der elastischen J.,in.le (S. 363; Fig. 43 d) lautet ftlr y" (:z:) = MfEJ, kleine Durchbiegungen webe! J das Trägheitsmoment des Querschnittes Ist. FQr einen am Ende mit P belasteten • M - _ p :z:, Freiträger Ist wenn :z: die Entfernung vom freien Ende bedeutet; folglich wird für unverllnderUches l:

~:.

=-;f P:z:

~!

oder

=-

E~JP:z: tl:z:---h P~ + C1 •

Die Größe der Integrationskonstanten C, ergibt sich aus den technischen Bedingungen der Aufgabe; so verläuft für den waagerecht eingespannten Freiträger die Tangente an die elastische Linie in der Einspannstelle waagerecht, d. h. ftlr z = l wird tg " = y' = 0 , Setzt man diese Werte 1n die Gleichung y' = t(:z:) ein, so wird 0 =

so daß

t

Pl'

--EI- -2 + c.,

y----1

-2 EJ

c, - +

t

Pz•

EJ -2- •

P:t:'+ ---1 -· PI' 2EJ

wird. Die nochmalige Integration liefert

P 'Y=-2E]

Pl P :z:• .PI' f d:z:=-2E]-3+2E]:r+C,. f :z:'ä:z:+2EJ 1

Der Wert der Integrationskonstanten C1 Ist Null, da für z = 0 auch y - 0 sein soll; daher ist

P

PI'

PI• (~~'

t :z:')

:v=-6Ei"'' + 2E]:Z:= 2E] T- 311.

Mathematik. -

88

Differential- und Integralrechnung.

3. Die gegebene Differentialgleichung habe die Form y'' (x) o= f[y' (x)] •

f

Setze y' dll z = f(z)

= .e;

z' = y" = j(z), dz =

/(z) dx oder dx

· 1 (z). Löst man nach z auf, so wird z

=/

y=jqJ(X)dx.

=/2 (z),

also

= y' =

dz

= -/( , z)

folglicn •

qJ (x) und damit zdz Es folgt auch aus dy=zdx=-,-, daß :Y= ~~-•.dz -

.

·

W

/W

und durch Elimination von z aus / 1 (z) und / 2 (z) ergibt sich dann v-/(x).

Beispiele: t. Gegeben sei die Differentialgleichung y"~;~::a+y'.

tir Setze y'=r; y"=ll', also .c'=a+r; d:z:=a+:;

y , :U+dJf r'

-...L.~f--f-..:.L-----1-~-'-------'JX~

IEL---x--J t:l-.d..Fig.58.

Z=

j aTz=lu(a+tJ-Inc tiz

1

oder

a+•=t1 ex, .r=c1 ex-a; mft :v·= z WJid y = Jzdx =c1 ez-a::r;+ c1 • e1 , e1 folgen aus den Anfangsbedlngungen. 2. Es Ist die Differentialgleichung der Kettenlinie zu entwickeln, die mit der Gestalt eines an zwei Punk· ten aufgehängten Seiles identisch Ist. Hierbel wird vorausgesetzt, daß das Seil keine Biegungssteifigkeit aufweist. Diese Bedingung ist angenähert bei einer Kette erfüllt. Ist l' das Gewicht der Längeneinheit, so hat das Bogenelement ds (Fig. 58) das Gewicht y ·'1ls. Denkt man sich das Bogenelement ds herausgeschnitten und die Spannkräfte Q und Q + tiQ in tangentialer Richtung angebracht, so muß tis int Gleichgewicht sein. Wird Q in Hund V, Q+dQ in H + dH und V+ d V zerlegt, so ergibt die erste Gleichgewichtsbedingung :Z H = 0: H-H-dH=O, d. h. tiH=O oder H=konst., d. h. der Horizontalzug der Kette Ist unveränderlich. Die zweite Gleichgewichtsbedingung :Z V= o ergibt V+yds-V-dV=O, oder dV=y-tis.

Mit ds= Yt + y' 1 ti:z: (S. 80) wird V'(:z:)= rVi + y''· Da :v'=tgrp= V[H Ist, wird V=Hy' und V'= H y". Durch Gleichsetzen der für V' gefundenen Werte ergibt sich die Differential· gleichung zweiter Ordnung

hy"=Yt+r'',

wenn H/y = h gesetzt wird. Führt man y' = • ein, so wird II • t' = V1 + t' oder d:z:/11 = d•!V t + :' und daher :z:/11 = j ti:l'( t + ... = Jn (: + Jl t + t') + C, (S. 78). Für den Scheitel ist :z: ;" 0 und rp == o, also auch tgrp = y' = •= 0, d. h. C1 = 0. Somit ist :z:/11= ln(•+ 111 + •') = fl!t a', so werden die Werte "'•• "'• negativ oder positiv, je nachdem o>o oder 0. Im ersten Fall liegt ein aperiodisch gedämpfter Vorgang vor, im zweiten Fall wächst 'JI mit zunehmendem x. 2. Ist b'< a', so werden die Wurzeln komplex, d. h. "'' = - b + i d, "'• = - b- i d, wo iJ=l'b•-.' + s"l'i•fp•. · damit Im Scheitel, für z-o, ist der Krümmungsradius e gleich dem halben Parameter, d. h. gleich i> (Fig. 74). Dort berflhrt der Krümmungskreis vierpnnktig. 2. Die Krümmungsradien in den Scheiteln der Ellipse sind zu berechnen. Aus der Para· z = 11 cosl, :Y = b sinl meterdarstellung der Ellipse z--asinl; .e.--acosl; ;-l>cosl; :r--llalnl; folgt i' +;'-a1 sin 11 + blcos1 1 also :H- yi =ab· sin11 + 111> • cos11- ab, und e - (11 1 &in1 1 + ll1 ooa'l}/llll , d. h.

Tnscbcnbuch für den Maschinenbau. 10. Aufl. I.

7

98

Mathematik. -

Analytische Geometrie und Kurvenlehre.

In den Endpunkten der großen Achse wird 1=0 oder I =n, d. b. (!'=b'/a; in den Endpunktel der kleinen Achse wird I -n/2 oder I= 3 n/2, d. b. e = 4 1/b. 3. Für den Krümmungsradius der logarithmischen Spirale r folgt mil r' = ".,,,mq; = mr und'r"= m•r,e"''P ~ m'r, daß r'+ r'' = r 1 (1 + 1111), r' + 2r''- rr' = r• (1 + m'), also [r'(i + 1 (! = --,a(i+ m') - r 'Vf'"+m •

,,,mrp

m•n''•

e ist

gleich der Normalen P N, Fig. 67.

II. Doppelpunkt. Geht eine Kurve zweimal durch denselben Punkt, so heißt er Doppelpunkt. In diesem Fall ist die Tangentenrichtung unbestimmt. Bel impliziter Darstellung F{z, y) = 0 müssen dann Fe und F. (S. 68) gleichzeitig verschwinden.

=

Beispiel: Bei der Lemniskate (Fig. 64, S. 93) l:st F(z, y) (z'+ y')'- 4 1 (z'- )'1)=0. Dann wird F.,-2z(zi+:Y')-241 Z; Fw-2:Y(zi+:Y')+241 )'. Für z=O und y-o bat die Kurve einen Doppelpunkt: es verschwinden Fe und1 F 1 gleichzeitig. ·

12!" Über Bogenlänge siehe S. 79. 13. Über den Inhalt einer Fläche siehe S. 74, 14. Einbüßende Kurve. Die durch die Gleichung F(z, y, p) = o dargesteDle Kurvenscliar, worin p ein veränderlicher Parameter ist, kann eine Hüllkurve haben, deren Gleichung sieb durch Elimination von p aus iJF(z, y, 1>)/i!i>- 0 und F(z, y, I>) - o ergibt. · 15. Eine Kurve, welche eine gegebene Kurvenscba:r unter t!inem konstanten Winkel aclmel· det, beißt 'l"rajektorle; ist der Winkel ein rechter, so beißt sie ortbogouale Trajektorie.

b) Die Kegelschnitte. 1. Der Kreis. Die allgemeine Gleichung für Parallelkoordinaten lautet (Fig. 75): (x- a) 9 (y- b) 1 = R 1 • Liegt der Koordinatenanfangspunkt im Mittelpunkt, so ergibt sich die Mittelpunktgleichung, da a- 0 und b- 0 werden, zu: :~;1 ya =

+ +

R•.

Fig. 75.

Fig. 76.

Liegt der Koordinatenanfangspunkt auf der Kreislinie, so lautet die Scheitelgleichung mit OM als Halbmesser und der y·Achse als Scheite!tangente, da a - R und b - 0, Fig. 76: y 8 = 2Rx- x 1 • Die Gleichung Ax1 By2 Cx :t Dy E = 0 stellt einen Kreis dar, wenn A - B un"d Cl Dl > 4 A E ist.

+

+

+

+

Ist nämlich A. = B, so wird z'+ Y1+Cz/A. +Dy/A. +E/A.=O, (z+C/2A.)'+ (:Y+ D/2A.) 1 =C1/4.4 1 +D'/4A. 1 - 4AE/4A. 1 , und es Ist daher II = -C/2A.; b ~ -D/2A.; R- tc• + D'- 4A.E/2A.; der Ausdruck unter der Wurzel muß größer als Null sein.

99

Krumme Ilnien in der Ebene.

Für. die Kreisgleichung charakteristisch smd die gleichen Koeffizienten der quadratischen Glieder und das Fehlen des Produktes :~: • y • Die Polargleichung mit OM als Polarachse und 0 ali Pol lautet: 1 = R1 , r 2 -1,rf • COS!p 0 hindurch, Fig. 76, so gilt durch wobei r der Leitstrahl ist. Geht der Kreis r = 2 R costp. Bildet PM, Fig. 75, mit der z-Achse den Winkel t, so gilt die Parameterdarstellu ng z a R cost, y b R sint (vgl. Fig. 76 für a =Rund b 0).

+/

= +

= +

=

Die Gleichung der Tangente Im Punkte P 1 (z1 , y 1) lautet bei der all· (y - b) (y1 - b) = R 8 • gemeinen Form (z - a)(z1 - a) Umfang und Inhalt der Kreisfläche siehe S. t6t. Inhalt des Kreisausschnittes siehe S. t6t. Vgl. ferner Tafel D, S. 28/29:

+

2. Die Parabel.

t. Bildungsgesetz: Ein Punkt P (Fig. 77) bewege sich so, daß seine Ent·

fernungen von einem festen Punkte F, dem Brennpunkt, und einer festen Ge· raden L, der Leitlinie, gleich groß sind, d. h. daß PF =PD Ist. Scheitelgleiehun g: y 1 = 2 pz; der Parameter 2P ist die doppelte Ordinate im Brennpunkt und die doppelte Entfernung des Brennpunktes von der Leitlinie, der Anfangspunkt 0 halbiert diese En:tfernung. Eigenschaften der Parabel: Die zur z-Achse parallele Gerade PX' heißt Durchmesser der Parabel, sie halbiert alle Sehnen ab, die der Tangente AP parallel sind. Die Tangente AP halbiert im PunkteE die Strecke OH = y und steht senkrecht auf FE. Die Subtangente AC ist gleich 2 z. Die Gerade BP Ist Normale, die Subnormale BC ist gleich p, also für alle Punkte der Parabel konstant. Der von dem Brennstrahl F P und dem Durch· messer P X' gebildete Winkel wird von der Normalen PB halbiert.

Flg. 77.

Fig. 78.

2. Hat der Scheitel der Parabel die Koordinaten :r0 und y 0 , so hat sie die (y - y 0)2 = 2 p (z - z 0). Gleichung Öffnet sich die Parabel nach links, so kehren sich die Vorzeichen alf der rech· · ten Seite um. Vertauscht man die :~:- und y-Achse, so erhält man die Parabel mit senk• rechter Achse (Fig. 78 u. 74), ihre Scheitelgleichung lautet :r2 = 2py oder y = z 2 /2P:

7*

100

Mathematik. -

Analytische Geometrie und Kurvenlehre.

Geht die Parabel durch 'den Punkt P 0 mit den Koordinaten a: = a:0 und y =Yo• so lautet die Gleichung der Parabel

Yiii"o

y = Yo (Fig. 84) bzw. Y = Yo • (a;fa:0) 8 (Fig. 78). Hat der Scheitel die Koordinaten a:0 und Yo.• so bat die Patabel mit llellkrechter Achse die Gleichung · . ()'- Yo)- (z- teo) 1/2fJ, die auf die Form y..,.. 1J bz ca:l gebracht werden kann. Ist c negativ, so öffnet lieh die Parabel nach unten, und 4er Scheitel ist der höchste Punkt. Im Scheitel der Parabel " = ,. bz ca:l . (c =1= o) Ist die Tau.getLte horizontal, d. h. y' = b 2cz = O. Hieraus folgen seine Koordinaten a;. und Yo -= y(Zo) zu · Zo == -b/2c und y0 = • - 'bl/4c. Die Parabelachse balbiert die Sehnen, die parallel zur a:-Achse sind. Löst man die Gleichung y - y0 = (a: .....;. r~:o)i/2fJ nach y auf, so ist der Faktor von a;l gleich 1f1 p. Durch Vergleich mit der gegebenen Form folgt c == 1/ 1fJ, d. b. der Parameter der Parabel ist 2fJ = It/cl.. . 3- Konstruktionen: a) Mache OG (Fig. 77) gleich 2fJ. Ziehe den beUebigen Strahl GH; CH senla:echt GH, dann schneiden sich die Waagerec:hte durch'Il und die Senkrechte durch. C in dem Parabelpunkte P. b) Gegeben sei der Punkt P 0 (:J:o, yo) (Fig. 78). Projiziere den bellebtgeh Punkt P 1 der Geraden OP0 , dessen Abszisse z ist, auf die gegebene Ordinate y0 ; verbinde pt mit dem Anfang&pimkt'O, dann schneidet OPt die Ordinate des· Punktes P 1 im Parabelpunkte P. Daraus folgt die Koustruktlon: teile die gegebenen Koordinaten a:0 und y0 in dieselbe 4nzab1 gleicher Teile, ziehe daS Strahlenbilschel 0 1, B, 3, dann schneiden die Senk· rechten durch 1', B', 3' die entsprechenden Strahlen in Punkten der Kurve. o) Gegeben sei der Scheitel 0 (Fig. 79) und der Brennpunkt F. Ziehe den beUebigen Strabl F1 und 11' J.F1 0 dann ist 11' Tangente an die Parabel. (Hüllkonstruktion.) Schneidet die Tangente I'1 die •Achse in A, so trifft der Kreis um. 1 mit 1A die Tangente 11' in ihrem Beriihrungspunkt P mit c:l.er Parabel.

+

+

+

Flg 79.

+

+

Flg. 80.

. d) Gegeben seien zwei Tangenten PA und PB; die Punkte A und B seien Berührungspunkte. Teile beide Strecken in dieselbe Anzabl gleicher Teile· (Fig. 80) und wrWnde die entsprechenden ~te, dann sind die Geraden 11; BB; 33 •.• Tangentin an die Parabel. (HUllkonstruktlon.) Das rechtwinklige Achsenkreuz.. bei dem die y-Achse Scheiteltangente der Kurve Ist, wird in folgender Weise gefunden: halbiere AB in C (Fig. St), verbinde P mit C, dann ist PC Durchmesser der Parabel, der Halbierungspunkt D Ist ein Punkt der Kurve. Die z-Achse läuft parallel PC, die Subnormalen :...

Krumme Linien in .der Ebene.

f01

d. h. die Projektionen der Normalen auf die :~:-Achse müssen gleioh sein. Ziehe durch A und B zu dem Durchmesser PC Parallelen, mache A IZt = p1 = der Projektion der Normalen BB 1 auf den Durchmesser und Bb1 ~ p1 =der Projektion der Normalen AA 1 auf den Durchmesser, dann schneidet a1b1 die Sehne AB im Punkte E der :~:·Achse, die parallel PC läuft. Der Anfangspunkt 0 halbiert die SubA tangenten asA 1 und B 1 b1 •

:1'-2;

. Ptg. 81.

e) In einem Punkt P (Fig. 77) soll an die Parabel die Tangente gezogen werden: Mache OA = OC, dann ist AP Tangente oder halbiere OH in E, dann ist EP Tangente. f) Von einem Punkte Q außerhalb der Parabel soll an diese die·Tangente gezogen werden: beschreibe (Fig. 77) mit QF um Q einen Kreis, der die Leitlinie in"D und D' schneidet, verbindeF mit D bzw. mit D'. FD undFD' treffen die y-Achse in E und E'. Dann sind die Geraden QE und QE' die Tangenten. Ihre Be- !/ rührungspunkte P und P' sind
0, so hat tu die gleiche, ist m < 0, so hat tu die entgegengesetzte Richtung wie b (Fig. 135).

Fig. 137.

Fig.135.

7. Addition und Subtraktion von Vektoren. Trägt man (Fig. 136) an den Vektor a durch Parallelverschiebung den Vektor an, so entsteht der Vektor Den Vektor a-b erhält man, indem man zu dem Vektor a den a addiert. Es ist also Vektor

+ o.

o

-o

a-ri=a+(-o).

In dem durch

a

und

o bestimmten

Parallelogramm sind

b = a- o die entsprechend Fig. 137 gerichteten Diagonalen.

c = a + o und

Übereinstimmend mit den Regeln der Algebra gelten folgende Gesetze, die sich Ieich t geometrisch nachweisen lasse!:).: a

a + o = o+ a (Vertauschbarkeitsgesetz der Addition). + (0 + C) = (a + o) + c (Verbindungsgesetz), m(a

+ o) = ma + mo

a- a = o.

(Verteilungsgesetz),

8. Differentiation eines Vektors. Ist 0 ein fester Punkt, so kann die krummlinige Bahn eines Körpers dargestellt werden durch die zeitlich veränderlichen ~

Radienvektoren OP = t =

r(t) (Fig. 138). Nach LI t Sekunden ist P nach ~

gewandert, und der entsprechende Vektor ist 0

PI

PI

+ At). Dann ist t(t + Llt)- r(t), und

= t 1 = t (t

~

PP1 der in At sek zurückgelegte Weg At= t 1 - t = es wird demnach die mittlere Geschwindigkeit gleich LI t/A t. Der Grenzwert dieses Ausdruckes für At~ 0 (S. 65) oder für P ~ P1 ist der Geschwindigkeitsvektor b=

um r. beim Ausgleichen besondere Vorsicht notwendig; nach Möglichkeit sind solche Punkte durch unmittelbare Messungen sorgfältig zu bestimmen.

Pul=

L----------99~~r.~~~o--~~--Jv.~ec·nsel Fig. 18J

8,3

Z. Es bedeuten wieder X den wahren Wert der gemessenen Größe, L den arithmetischen Mittelwert aus den n Messungen ~, 12 , ••• , ln und v1 = L - l1, v2 = L - l 2 , ••• die schei~baren Fehler. Ferner seien die wahren Fehler, d. h. Abweichungen vom wahren Wert mit e1 , e2 , ••• , e,. bezeichnet, und es sei die Abkürzung v~ + vi + · · · + v! = [vv] und e~ + ei + · · · + e~ [ee] ei!J.· geführt. Dann ist nach Gauß der mittlere Fehler der einzelnen Be!lbachtung.

=

8

= '

[ee] =

n

J/

[vv] n-t

(~. 1/[.t:~,

r

n

falls n

:>

1).

136

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung.

Mathematik. -

3. Der mittlere Fehler des Mittelwertes ist dann nach Gauß

Der mittlere Fehler des Mittelwertes aus n Beobachtungen nimmt also bei d. h. es ist zweckgleiche;m mittleren Fehler B der Einzelmessung ab wie los, ungenaue :M:essungen durch eine große Anzahl von Beobachtungen ausgleichen zu wollen. Für eine kleinere Anzahl n von Beobachtungen nimmt er mit wachsendem n schneller, für eine größere Anzahl· n von Beobachtungen nur langsamer ab, Fig. 146. Sind einzelne Messungen ihrem "Gewicht" (s. o S. 132) entsprechend zu berücksichtigen,. so ergeben sich ähnliche Beziehungen (Literatur: Anm. 1, S. 137). 4. Der wabrscbelnllche Fehler ist der, für' den mit FJs. 1.46. gleicher Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist, daß der wirkliche Fehlet kleiner oder größer ist. Unter Verwendung des Gaußsehen Fehlerverteilungsgesetzes (s. 0, S. 138) ist der wahrscheinliche Fehler das · 0,674-fache (All. f-fache) des mittleren Fehlers. Beispiel: Die Bestimmuog VOll .. -eptc., nach der Methode voo Clement und Desormea

t{yn,

.

ergab folgeDde Werte:

I.

Gemessen

I

2 3 4

.S 6

7

8 9

tc.

II

I

12 20 12 18 28

I

t],,

16 18 20 12

4 6 3 .. 5

7

4,, 5 4,.

s••

3,,

8 14 8,, 13 21 9 t1

13,,

t4,,

. 8,,

Gereclmet

I I

Mittel Mittlerer Fehler }

der Em~~

b,09

1,50 1,43 1,41 1,38, 1,33 1,50 1,45, 1,33 1,38 1,41

• -

Mittlerer Fehler } E des Mittelwertes

[1111]

1,41

V

0,0081 0,0004 0,0000 0,0006 0,0064 0,0081 0,0020 0,0064 0,0009 0,0000

0,02 0,00 0,02, 0,08 0,09 0,04. 0,08 O.o3 0.00

±

o,oz.

t · .o,o6, -

0,04.

" - 1,41

= 0,0329

0,0329

---0,06. 9 Wahrschemlicher Fehler 1

~,0329

V10

9•

-= = ---·10

0,019 Fl:f 0,02.

Wahneheinileber Fehler- f • 0,019 = o,o1 •• Wenn der wabrscheinllcbe Febler der Ejnzeilnesaun~ ± 0,04 ist, so heißt das: Es ist mit gleicher Wahrscheinlichkelt anzunehmen, daB die Emzelfehler grOBer bzw. kleiner als 0,04 sind. Tataleblich smd bei vontehenden 10 Messun~ 5 Fclller größer [Messung Nr. 1, 5, 6, 7 und 8] und 5 klemer als 0,04. I. Folgt ein Ergebnis •-t(s, y, •• ••.) ans mehreren Einzelmessungen z, y, •, •.• (s. S. 133, 6) und smd e,;,, 'JI• ... die mittleren Fehler der einzelnen Messungen, so ist der mittlere Fehlw •• der 'gesucllten GrOße 11 gegeben durch

._ -l'(o., · i!•fi!s)• + (•• · i!•fi!y)' + · ··• 6. Mehr~e Unbekannte. ~~~fig l,tönnen nur Werte gemessen werden, die eine ·Beziehung zwischen mehreren Unbekannten ergeben. Hat man z. B. eine Funktion mit drei Größen, so können diese aus drei Gleichungen berechnet, also auch aus drei Messungen bestimmt werden. Führt man weitere Messungen durch, so ist die Zahl der Gleichungen größer als die Zahl der Unbekannten, die Aufgabe erscheint zunächst unbestimmt. Um jedoch diese Unbekannten

Auswertung von Beobachtungen.

1)7

möglichst genau zu erhalten, werden diese so bestimmt, daß nach 1. die Summe der Quadrate der Abweichungen ein Minimum ist. Dies bedeutet, daß die partiellen Ableitungen der Fehlerquadrate {der Quadrate der Abweichungen) nach den einzelnen Unbekannten gleich Null zu setzen sind. Beispiel für eine lineare Beziehu~>g: Die Länge 11 eines Weißmetallstabes ist bei verschiedenen Temperaturen I gemessen worden: Länge 11 5. 1116 =200,52mm 7. 1".- 200,69 mm 3: z,. =200,33mm 1. Z11 =200,14mm 2.

z.. = 200,24

4.

u

lte 3 = 200,41 "

6.

l160 = 200,61 "

8. '··· = 200,8o "

Unter Annahme einer linearen Ausdehnung soll die lineare Wärmedehnzahl bestimmt .1l (/9 werden. Danach ist t/ 11 =11 {1.+ Ol, weil die Geraden A.E über (1) hfuaus zu verlängern sinä, benutzt man dann statt (t) eine Parallele zur y-Achse im Abstand •>t (z. B. e = tO, 20, ••• ), wobei e nicht kleiner ist als der größte in Frage kommende Wert z. A1•f der y-Acbse bat man dann die _StreCken OA. 0 = a:0 A 1 A 1 ==- ea1 , A. 1 A 1 == ela1 , ••• Aa-t An= etta,.. abzutragen.

3. Flächenlnhali. a) Man zerlegt das F1ächenstück (Fig. 180) durch senk.rechte Linien in Streifen, die man nach dem Augenmaß in Rechtecke verwandelt. Hierzu muß man in jedem Streifen zwei waagerechte Linien so ziehen, daß die durch Schraffieren hervorgehobenen F1ächen inhaltsgleich werden~ Zeichnet man die F1äche ll auf Millimeterpapier, so kann man Breite und Höhe der einzelnen Rechtecke ohne weiteres ablesen. b) Unterteilt man die gegebene Kurve (Fig. 181) in 2 n · Parallelstreifen von gleicher Breite h, indem man in gleichen Abständen Parallele zur y-Achse zieht, welche die Kllrve in den PunktenP0 (z0 ,y0), P 1 (z1 , y 1), ••• P 1 ,.(z,,., YsJ 11chneiden, so wird,''wenn man die Kurve durch das Sehnenpolygon~P0 P1 ••• P 210 ersetzt: · Fig. tSt. F ~T

= h(-Yo+ Yt + Ya + •·· +,Ya•-• +"•") -22

(Trapezformel). (S. auch Bd. II, S. 82.)

158

Mathematik. -

Zeichnerische und rechnerische Verfahren.

Zieht man in P 1 , P 8 , ••• P 8 ,._ 1 Tangenten und ersetzt den Kurventeil P 0 P 1 P 2 durch das von den Ordinaten y0 und Ya abgeschnittene Stück der Tangente in P 1 usw., so wild der Inhalt F PI:! U = 2h (y1 + Ya + · • · + y2 ,._ 1) (Tangentenformel). Ein besserer Näherungswert ergibt sich, wenn' das Kurvenstück zwischen drei auteblanderfolgenden Punkten rurch eine allgemeine Parabel dritter Ordnung etliCtzt wird.; es ist 2T+ U Ja Ff/!IIJ. S .,.._.-3-..., cm: 'f-111/Jf>, wobei E,-E1·E1• Durch die Walll VOD 1> kallll

J

~~~~D=

l/

pregelt werden.

b) Seilpolygon. Istaus y" "" f(z) die zweite Inte(a:) da: da: gralkurve y= zu ermitteln, so kann man das unter a) beschriebene Verfahren zweimal anwenden. Da aber die elastische Linie eines i Trägers lnit Quergleichbleibendem schnitt, abgesehen vom Maßstabe, die zweite Integralkurve zur MomentenFlg. t83. linie ist (S. 363), so kann auch das dort geschilderte Verfahren zur zweüachen Integration benutzt werden (Fig. 46, S. 364). Dieser Weg ist nur bei wenig gekrümmten Kurven y = /(z) zu wählen, da sonit die Schwerpunkte der Flächenstreifen nicht genau zu bestimmen sind. S. InstrumenteHe Jntegratlon1). Zur Ermittlung des bestimmten Integrals

//1

..,.

J y(a:) (la: ..dienen Grundplanimeter oder Planimeter erster Ordnung; zur Ermitt..,_

lung von jy(a:)da:, dem unbestimmten Integral, durch Ablesung an einer Meß-

. J

~

rolle dienen Integrimeter(O t t), zumAufzeichnender Integralkurve.Y(a:) = y{z) da: ~ · Grundintegraphen. Zur Auswertung von Integralen der Form 1 =j-yRrla:, worin y = /{a:), dienen Potenzplanimeter und können als solche auch zur Bestimmung von statischen Momenten, daher Schwerpunkten, von Trägheitsmomenten, Rauminhalten u. a. m. verwendet werden. Zur Auswertung von Integralen der Form

• (z)] da: dienen Funktionsplariimeter• J"'rprJ .

....

6. Zelebnerlsebe Differentiation. a) Tangente in einem Kurvenpunkt P (Fig. 184). Diese kann nach Augenmaß gefunden werden. Oder: Von den Schnittpunkten· b1 , b1 , • .. der . Kurve mit den durch P gezogenen Strahlen aus tr!lgt

,..>:stz, p

-:;?C l"f hB~~ .

Flg. 184.

c,

";;. ,.

.

m,

~\

Flg. 185.

man auf diesen die beliebige,.aber unveränderliche Strecke b1 ct == b1 c1 nach der gleichen Seite ab. Der Kreis um P mit der gleichen Strecke trifft ·die durch C:t, c1 , ••• gezogene Kurve in t:· Dann ist Pc die gesuchte Tangente. 1)

Siehe Anm. 2, S. 140.

Flächen- und Körperbereehnung.

Mathematik. -

160

b) Tangente gegebener Rieb tung (Fig.185). NachAugenmaß zu zeichnen, oder man zieht parallel zur gegebenen Richtung mehrere Sehnen s 1 , s2 , ••• , halqiert diese und verbindet ihre Mittelpunkte m1 , m2 , ••• durch eine Kurve. Diese schneidet die gegebene Kurve im gesuchten Kurvenpunkt. c) Instrumentelle Hilfsmittel sind: das Spiegellineal (Spiegelebene senkrecht zur Zeichenebene), das die Normale liefert, das Derivimeter nach Ott mit Visolettlupen oder der Derivator , nach Harbou mit Prismen. !I !I d) D i f f e r e n t i a I k u r v e (Fig. 186). Man zieht nach a) oder b) oder c) an die Kurve y = /(x) mehrere Tangenten in den Punkten P 1 , P 2 , ••• und durch den Pol P im Punkte "-1" der x-Achse hierzu die Parallelen (Fig. 35, S. 71). Die .z: Waagerechten durch ihre Schnittpunkte 1,2, ••• mit der y-Achse schneiden die Lotrechten durch P 1 , P 1 , ••.• in den Punkten Q1 , ~ !f'•/'fl:l Q2 , ••• der gesuchten Düferentialkurve y' = /'(x). Die Senkrechten Fig. t86. durch die Schnittpunkte 1', 2', •.. der Tangenten müssen bei der Differentialkurve nach 4. den in Fig. 186 durch Schraffur angedeuteten Flächenausgleich hervorbringen. Dementsprechend ist die Differentialkurve durch die Punkte Q1 , Q1 ••• bpldurcbzulegen. Sind allgemein die Maßstäbe derart, daß auf der x-Acbse 1 cm =IX Einheiten E 1 , auf der Achse für y = f (x) 1 cm = ß Einheiten E 2 und auf der Achse für y' 1 cm = y Einheiten E 3 bedeuten, so gilt mit dem Polabstand 0 P = p cm: y = ß/IXp, wobei E 3 = E 1/E2 • Durch entsprechende Wall! von p vermeidet man zu steile _oder zu flache Düferentialkurven.

XI. Flächen· und Körperberechnung. Bearbeitet von Pl:ofessor H. Dubbel, Berlin.

A. Umfänge und PlächeninhQite ebener Figuren. I, Dreieck (Fig. 187). Seiten a, b, '; Winkel

IX, ß,

y; H;;:,en h., hb, h,.; Mittelliu;en m., mb, mc; 2s=a tb+c; 2!5=m.+mb+m c. a2 sin ß • sin y . 1 1 --·-F = -- • a · h =-·-ab· smy = - - -2-sintx 2 a 2 abc = 2r2 sintx sinß siny = --4r

=

n2ctg

· sen· mit den Halbachsen a, b und a 1 , b1 • Höhe h.

Höhe h , Halb·

+

V= "6" {- 3" im Aufriß ergibt ebellfalls die wahre Größe voll 'jl. Verfahreil sind ill gleicher Weise im Auf- und Seitenriß durchführbar.

. Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften.

167

. Z. Zusammensetzung dreler Krifte. Drei im Raum nach Fig. 10 an einem Punltt A angreifende, nicht in einer Ebene liegende Kräfte $t bis ~ werden

Fig. 8 u. 9.

Fig.

to.

durch zweimalige Anwendung des Satzes vom Kräfteparallelogramm (s. S. 16S) zu einer Resultierenden vereinigt. BOde die Resultierende 9h - 11 der in einer Ebene liegenden Krlfte '.jl1 nnd '.l!o· llh - s ancl

!J1 liegen ebenfalls in einer Ebene nnd werden :m 8! vereinigt. iR ist die Diagonale des aus deD drei Kriften gebildeten Parallelepipeds. In vektorieller Schreibweise Ist:

a.

m= $t + ~ + ~.,

Zerlegung einer Kraft na.:b clrel nicht ln einer Ebene Hegenden Wir· kungsllnlen. Das Zerlegen einer Kraft 9l nach den Wirkungslinien I bis 111, Fig. 10, die mit !R einen gemeinsamen Schnittpunkt A haben, geschieht in um-

geltehrter Weise wie oben durch Aufzeichnen des Parallelepipeds. Durchführung am besten zeichnerisch im Grund- imd Aufriß illit Hllfe der darstellenden Geometrie, Fig. 11. Die in die Richtungen 1 bis 3 zu zerlegende Kraft !ß Ist durch ihre Projek· tionen !ß' und !ß" gegeben. Bringe die Wirkungslinie von ll! mit der Grundrlßebe..e &um Durchstoß, wobei D' und D"

die Projektionen des Durobstoßpullktes sind. Die Verllogerung von B' D' ist die Hori&ontalapur der Ebene A BD. Sie IChneidet die Horizontallpur C'D' der Ebene ACD ln E'. AE b&W. L ist die Schnittlinie der belden Ebenen. Siedleutals Culmannscbe Gerade (s. S. 169 unter 3) ancl ermöglicht die Zerlegnng von 'l3 nach den Riebtungen 1 und L. Alsdann urlege man die Zwlscbenresultienmde Sr. nach den _Richtungen I und .J. Zerlegung von 'll Ist Im Grund· ancl Aufriß mit den gegebenen Projektionen anunfilhren (Fig. 11 a nnd b).

Bestimmung der wahren Größe der gefundenen Kräfte S 1 bis S 8 und von !ß nach Fig. t 1 c und den Angaben unter 1. S. 166. Anwendung dieser Zerlegungs., aufgabe bei dreibeinigen Bockgerüsten, Derrickkranen u. a.

Beispiel: Ein dreibeiniges Bock· gerillt (Fic. t2) mit der HObe i, den Nellll'ngswlnkeln "', f1 und y der Streben trli~ an der Splbe einen Flaocben:mg mit der Trackraft Q. Die Stablailfte s, I bfl SI sind ZU bestimmen. Bringe A' B' mit C' D' bel E' aum S4;hnltt, dann Ist ;c E die Culm-nnscbe Gerade(.. Zerlege Q 1m Aufriß nacb den Riebtungen 1" nnd I" (.(..'1 · Da die StMbe 1 parallel &nr Aufrißebene liegt, 1tt S{' - S, die wahre GrOBe der Stabkraft YOil t, Pie· t 2a.

Plg. lt .

Mechanik. -

f68

Statik starrer Körper.

Mache im Grundriß C.' A 0 - C" A, so ist A. 0 C' D' die wabre Größe des in die Grundriß· ebene IUIIgeklappten Dreieck& A' C' D'. Da L ebenfalls parallel zur Aufrißebene liegt, so ist S'/,- Sr, die wahre GrOße der Zwischenresoltlerenden. Die Zerlegung von Sr, nach den Rieb· tuDpn A 0 C' und A. 0 D' im Grundriß ergibt die wahren Größen der Stabkräfte S 1 und 5 8 , Fig. 12 b.

Alle drei Stabkräfte sind Druckkräfte.

-·~·· Fig. 13.

a

2. Die Kräfte greifen in mehreren Punkten einer Ebene an (Ebene Kriftegruppen). I. Oielebgewicht zweler Kräfte. Zwei in den Punkten A und B einer Ebene angreifende Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sie dieselbe Wirkungslinie, die gleiche Größe, aber entgegengesetzte Richtung haben. Im PunktA, Fig. 13, wil.ke die Kraft lj!. Fügt man bei B auf der Wirkungs· Iinie von A zwei gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte lj! und -lj! hinzu, so heben sich die durch zwei Striche gekennzeichneten Kräfte auf. Die Kraft lj! ist also vom Punkt A nach Punkt B verschoben. Satz: An einer starren Scheibe (oder einem starren Körper) darf eine Kraft läugs ihrer Wirkungslinie beliebig verschoben werden (Verschiebungssatz). Eine Kraft !13, die ljll eine Wir'mngslinie gebunden ist und deren AngriffspUnkt längs deser Wirkungslinie gleichgilltlg.Jst, wird als linienflüchtiger Vektor bezeichnet.

II,

z. Oielebgewicht dreler Kräi~~.

ten A, B und C greifen die Kräfte an, Fig. 14.

In den Punk· und $ 8

$1, $1

Verlängere die WirkungsliPie'l I und II von \131 und bis zum Schnittpunkt D. Verschiebe die Kräfte !ß1 und nach D und bUde aus ihnen die Resultierende llh _ 2 •

!ß1 !ß1

Die ~räftegruppe \l!1 bis $ 8 ist im Gleich· gewicht, wenn ffi 1 _ 1 der Kraft lJ!a gleich, aber ent· gegengesetzt gerichtet ist. Satz: Drei nicht parallele Kräfte sind im Fig. 15. Gleichgewicht, wenn sich ihre Wirkungslinien in einem Punkt schneiden und die Pfeile des Kraftecks, Fig. 14a, gleichsinnig sind. Bellpiel: Ein W~!~~ddrehkian, Fig. 15, Ist bell in einem unteren Ungs- und Querlager und (II)

bei II jn einem oberen Querlaser drehbar. Die Ansleprstützkrlfte sind zeichnerisch zu bestimmen. Denkt man lieh das obere Lager (bei II) entfernt und bei I einen Drel!pUnkt, so muß bei 11 eine W&agerechte .Kraft H, angebracht werden, deren Richtungslinie sich mit der von Q in 111 schneidet. Die Verbindungslinie I-+ III ist die Wirlmngslinle der unteren Stützkraft P,. Die GrOBe von H, und Pr werden durch Anfzeichnen des Krafteckll nach Flg. 1 S a erhalten. Die Stützkraft .Pr liflt lieh in V und H, zerlegen.

Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften.

169

J. Zerlegung einer Kraft ' nach drei sich nicht ln einem Punkt schnel· denden Richtungen. I, II und III, Fig. t6, seien die Wirkungslinien der ge· suchten Komponenten. Bringe je zwei Wirlrungslinien 0 von !ß und I, sowie Il und III zum Schnitt und lege durcli

?fll

die Schnittpunkte A und B die Gerade l - I (die sog. Culmannsche Gerade). Zerlege 'ß mit Hilfe des Kräftedreiecks A (Fig. 16 a) in die Ko;:;,ponente $ 1 und die Hilfsresultierende L, wobei

der Pfeil der Resultierenden denen der Komponenten entgegengesetzt ist. Die Zerlegung von

na4 den Richtungen II und III (Kräftedreieck B) liefert die Komponenten jJ! 1 und

0

-l.-· !l

'

t

i

1 -%JI[ o~ %

·:·--·-. .t. .."

-

ll,

-z·-

l-.i.-·

A

\jlz ·---

'll.

ß/

--.

~B

'431 •

L

l

·-·--t

~-·· . ~ ~"· . ~

Die Zerlegung einer Kraft in mehr als drei Teilkräfte ist statisch unbestimmt.

4. Oieichgewicht von vier Kräften. Kehrt man die- Richtungen d~r Kräfte jß1 bis lßa in Fig. 16 um, so sind sie mit der Richtung von lß (Kräftezug

in Fig. 17 a) gleichsinnig, d. h. lß und lß1 bis lßa sind im Gleichgewicht. Mit Hilfe der Oulmannschen Geraden l - l , Fig. 17, kann man daher eine Kraft lß mit den Kräften $ 1 bis $ 8 , deren Wirkungslinien I bis III gegeben sind, ins Gleichgewicht bringen. S. Statisches Moment. - ParaUelverscb.lebung einer, Kraft. Das statische Moment einer Kraft $, Fig. 18, bezogen auf den Pol (Drehachse) 0, ist M ='aP [cmkg], wobei a.l.P ist. (10) Das Moment ist positiv, wenn es links dreht (positiv im mathematischen Dreh· sinn), sonst negativ. ' Der Wert eines Momentes läßt sich, seinem Vorzeichen entsprechend, als Vektor senkrecht zur Bildebene darstellen. Ist das Moment positiv, so weist sein Pfeil von der Bildebene nach oben (Fig. 18), sonst nach unten (Fig. 19 u. 22).

~~~~~~ 0?5~

~/ Fig. 18.

Fig. 19.

'IJl

Ein Moment ist ein freier:..(planarer) Vektor, der in seiner Richtung und parallel dazu versclJ.iebbar ist. Verschiebt man eine Kraft $ um Strecke (Fig. 20), so entsteht das Moment . ffil == l· $; M = I!ml = lll·l $1· sm ~l$ = aP. (11) Damit die Wirkung der Kraft dieselbe bleibt, ist beim Parallelverschieben ein Moment ffil = -l· ll3 = - a$ hinzuzufügen. 6. Zusammensetzung beUeblg gerichteter Kräfte mit HUfe des Kraft· und Sellecks. Ein bei A und B befestigtes Seil (Fig. 23) ist in den Punkten I bis V durch Kräfte \13"1 bis ~~ belastet. Die Kräfte $. und die Seilspannkräfte S 0 bis sind an jedem Knoten und in ihrer Gesamtheit im Gleichgewicht.

die

+l

s.

Reihe die Kräfte 'ß 1 bis !ß,. als ~ aneinander (Fig. 23a), und zlelle die ~­ strahlen o bis n. Am Knoten I sind die Kräfte S 0 , ljl 1 und S1 in1 Gleichgewicht. Ihre

170

Mechanik. -

Statik starrer Körper.

(elufachen) PfeUe sind daher im Kräftedreieck I (Fig. 23 a) g!e~c!!.s!nnig. Da• Kräftedrel· eck Il beginnt mit dem Dreieckpfeü von 1 und wirrl in diesem Sinne d"rcblaufea. Für die weitereD Knoten und Kriftedre.iecke gilt das gleiche. Durchschneid;! :nllil die Scilabsclmitte an den Aufhällgepunkten, so herrscht Gleicbpwieht zwischen non ätißaren Kräften jß1 bU !Ua · und d.lr. !st.zten Seiizugkräften 5 0 und S,.. Alle einfachen Pfeüe 1m Kraftock von 5 0 , ~. bis iß. und S 1 II eind daher gleiehsiJmi&".

Das Seileck kann daher als starres Gebilde betrachtet werden (Erstarrungsprinzip). Fig. 24 zeigt die Zusam.· mensetzung mehrerer beliebig gerichteten Kräfte 1111 einer Resultierenden. Nach Aufzeichnen dea Kraftzuges ~ !ßa !ß., .Fig. 24a, nehme man den Pol 0 an und ~ehe die Fig. 23. Polstrahlen 0 bis •· Begin· nend mit dem Punkt I auf der Wirkungslinie von ~ ziehe man 4fe Parallelen 0' bis tl (Fig. 24), die die Wirkungslinien der Kräfte in den Punkt,m I bis ,. schneiden; Verlängere die äußersten Seilstrahlen (0' und tt'l und bringe sie zum Schnitt. Durch diesen Schnittpunkt geht die Resultierende Bl. Ihre Richtung ist parallel zur Resultierenden im Krafteck (Fig. 24a), aus dem auch die Größe von Bi abgegriffen wird.

+

+

+ · ••

7. Zelc:bnerlsc:he Olelc:h· gewlc:htsbecllngungea. t. Ist

das Krafteck oUen (Fig. 24a), so lassen sich die gegebenen Kräfte zu einer Resultieren· den zusammensetzen. 2. Ist das Krafteck geschlossen (Fig. 25 a), das Seileck, Fig. 25, aber offen {jp, ist nicht erfaßt), so ist die Resultierende»{ aus jp1 bis lßa der letzten Kraft lßa Fig. 24.

m

-~

a

Flg. 26.

(hier !Jicl gleich, aber entgegengesetzt. Beide haben im La.teplari den Abstand z und bilden somit ein Kräftepaar (s. 5.176). Das Schließen des Kraftecks bedeutet, daß die Summe der Kräfte gleich Null ist; das Schließen des Seilecks das Verschwinden der Momente,

Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften.

171

3- Gleichgewicht herrscht, wenn das Krafteck und das Seileck geschl0151111 (Fig. 26); d. h. N .. ~~~ = 0; ~M1 = o. (f2}

~Ud

l

l

Beispiel: Ein doppelarmiger Hebel (Fi,. 27) hat seine Drehachse bell. An seinen Enden greHen die Kräfte P1 und P 1 an. Durch Hinzufilgen der Kraft P, (Auflagerkraft) Im Krafteck, Fig. 27 a, ist dieses geschlossen p: 1.1!1- O). Da auch das Sdleck 0'- 1'- S', Fig. 27, s-hlonenlst (1.' M- 0), Ist der Hebel Im Gleichgewicht. · Zu d-lben Ergebnis gelangt man, wenn man die Kräfte als P{ und P~ Im Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien (Fig. 27) gleich, aber entgegengesetzt anbringt und zur Resultierenden P, vereinigt, deren Wirkungslinie durch den Drehpunkt geht. Da noch P 1 • Z. • P 1 • Z. Ist (Hebels-tz), Hegt Gleichgewicht vor.

8. Zusammensetzung uncl Zerlegung paraUeler Kräfte. a) Zwei parallele Kräfte. 1. Zur zeichnerischen Bestimmung der Resultierenden ffi

Flg. 211. Jl

I

Fig. 27.

zweier gleichgerichteter paralleler Kräfte HUfsresultierenden Fig. 28 anwendbar.

Fig. 29. ~

und

~~

ist das Verfahren mit den

Lege durch A und B eine Gerade und bringe auf dieser als Wirkungslinie in A und B die gleich grollen, aber entgegengesetzt gerichteten Kräfte ll' an, so wird am Glelchgewichtzuatand nichts geändert. Vereinige '.13 1 und ~ sowie 'j.l, und it zu den Hllfsresultlerenden !R, und m,. Bringe die Wirkungslinien von !il, und !ll, zum Schnitt, so geht die Resultierende t)l der Kräfte (il!,l tmd (!l!,) durch deu Schnittpunkt C.

+

Rechnerisch ist: Grö3e der Resultierenden: R = P 1 P1 • Abstände der Resultierenden von den Teilkräften: ~ "= P 2 • afR; i1J = P 1 afR. Zeichnerische Zusammensetzung der parallelen Kräfte ~~ und ~2 zur Resultierenden lR meist mit Hilfe des Kraft- und Seilecks, Fig. 29. Der Schnittpunkt der Seilstrahlen 0' und 2' ergibt die Lage der Resultierenden. 2. Zerlegung von ffi in die Komponenten mft den Wirkungslinien I und Il, l'ig. 29, ebenfalls mit Hilfe des Kraft- und Seilecks. Die Parallele 1 im Krafteck zur Schlußlinie 1' des Seilecks zerlegt !R in ·die Komponenten ~ und ~~ (Fig. 29a). R.echD.erisch ist: P 1 =RaJa; P 2 =RaJa. J. Gleichgewicht herrscht, wenn an Stelle von !R (Fig. 29) eine gleich große, aber entgeg·engesetzt gerichtete Kraft ~~ tritt. Es muß sein: . EP=O und EM=O.

Mechanik. -

172

Statik starrer ·Körper.

+

Da P 1 P1 - P 8 = 0 und P 1 • a - P 8 • ~~t = 0 ist, sind diese Bedingun· gen erfüllt. b) Mehrere pa;allele Kräfte. Zeichnerische Zusammensetzung mehrerer paralleler Kräfte l.ß1 , l.ßa bis \ß,. mit Hilfe des Kraft· und Seilecks Fig. 30. Wähle den Pol 0, F.ig. 30a, so, daß die äußersten Polstrahlen 0 und 4 einen rech· ten Winkel bilden, damit man im Lageplan keine schleifenden Schnitte erhält. Ziehe zu den Polstrahlen 0 bis " von einem beliebigen Anfangspunkt aus die Seilstrahlen 0' bis n' bis zum Schnitt mit den Wirkungslinien. Der Schnittpunkt der äußersten Seilstrahlen 0" und n' (hiei' n' = 4'') ergibt die Lage der Resultierenden !)l.

Rechnerisch ist: Größe der Resultierenden:

" 1 • Cf3) R=P1 +P2 + ·· · +P,.= ~P 1

Zur rechnerischen Bestimmung der Lage der Resultierenden nehme man eine Drehachse (Pol) D an, Fig. 30, und lege durch diese eine Parallele zur Kräftegruppe (Polparallele). Abstand der Resultierenden von der Polparallelen:

a,

F.lc.JO.

I

= ("'P1 + ~P1 + ··· • ~ + a,.·P"}: R =f. (a P,) :R. 1

(14)

Die Vielfachen a1 P 1 sind die ·statischen Momente der Kräfte P 1 in bezug auf die Drehachse D. Hierbei sind links drehende Momente positiv, rechts drehende negativ ein· zusetzen (s. auch S. 169). Die rechnerische Bestimmung von a,. wkd zweckmäßlc ln Form einer Zehlentafel durch· gefObrt. Legt man die Drehachle D 1n die Wirkunplinie von '.jl1 , so IBt .., - 0.

a,. R

Aus GL (14) folgt:

=i

(a,P,).

(tS)

1

Satz: Das statische Moment der Resultierenden einer parallelen Kräftegruppe bezogen auf eine Drehachse D ist gleich der Summe der statischen Momente der Teilkräfte bezogen auf die gleiche Drehachse..

Verlillgert man die Seilstrahlen 1' bis ,, ln Fic· 30 bis zur Polparallelen (durch D), so ICimeideD 1ie auf dieser Abschnitte y1 bis "• heraus. Aus der Almliehkelt der schraffierten Dn:iecke im Lage· und Kraftplan folgt:

Pt:11-H:at,

wobei H die Polentfernung bedeutet. Hieraus qlbt lieh das statische Moment der Kraft !,Jl1 in bezugauf die Drehachse (D) zu:

M 1 -.,•P1 -y1 ·H. Entsprecb""d alnd die statischen Momente der übrigen Kräfte: M,--.P1 -y1 ·H;

M,-a,P,Q;Iy,H;

Mc-••P• :::ooy.,·H.

Allgemein: M;-atPi-)';·H. Die Resultierende IR hat das Moment

(t6)

M -a,.· R- (y1 + y1 + ... + y,.j·H- yH,

(t7)

woraus die Gleichung für den Momentensatz erhalten wird: n

M-M1 +M1 + .. ·+Mn- ::!;Mi. l

(18)

Fig. 31: Zusammensetzung versemeden gerichteter paralleler Kräfte \ß1 bis $ 3 zur Resultierenden !R mit Hilfe des Kraft· und Seilecks. Für die Momentensumme gelten die vorstehenden Ausführungen sinngemäß.

Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften.

173

9. Rec:bnerilche Olelch· Eine gewlc:htsbedlngungen. ebene IUäftegruppe beliebig geri~hteter Kräfte ist im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende und ihte Momentensumme verschwinden.

Fig. 31.

.

Hieraus folgen die rechnerischen Gleicbgewichtsb.edingungen:

1) R,. = 1,;X1 = 0. Die algebraische Summe aller waagerechten Kompol

nenten der Kräfte muß gleich Null sein. 2) Rw

" Y1 = o. =~

Die Summe. aller senkrechten Komponenten muß

gleich Null sein. 3) M

=

i (x• · Yl) + i; l

1

(y1 X 1)

= O.

Die algebraische Summe aller Mo-

mente in bezug auf einen beliebigen Punkt mUß. gleich Null sein. Kurze Bezeichnung der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen:

IX=O;

l.'Y=O;

l.'M=O.

1)

(i9)

10. Auflaaerkriifte gestützter ebener Klrper. Um die durch die Belastunpkrifte •es Korpen hervorgerufen""' Auflagerdtucke zu bestimmeD, denke man seine Stützpunkte eDtfernt und an derea Stelle Gegenkräfte angebracht, die den KOrper im Gleichgewicht halteil (.,Freimachen des Körpen"). Di- Gegellkräfte (die Auflagerkräfte) stehen auf den StiltdlicheD oenkrecht (Nonnalkrifte). WirkeD an den Stützflicben noch tangentiale Krifte. (z. B. Relbunpkrifte), 10 lind dipgebeneufalla zu berücksichtigen.

Ein ebenes Tragwerk ist statisch bestimmt, wenn die drei Gleichgewichtsbedingungen (l.'X = 0; _l.'Y = 0 und l.'M = 0) zur Ermittlung der Auflagerkräfte ausreichen. Fig. 32 bis 4J zeigen die meist vorkommenden Lagerungsarten in der Ebene. 1. Eine unbekannte Auflagerkraft (einwel;tige Lagerung) Fig. 32 bis 36. Die Kraft liebt senkrecht zur Stiltzebene. Tritt noch eine Reibungskraft {Tiingentialkraft) blnm, 10 hat man zwei Unbekannte.

rrf r• Fijr. 32 bil 36.

:Z. Zwei Unbekannte (zweiwertige Lagernng) Fig. 37 bis 41. Ist noch Reibnng, ·. z. B. bei der Wellenlagerung Fijr. 40 und 41 vorbandeD, so tritt nech eine dritte Unbekannte hinzu. 3. Drei Unbekannte (dreiwertige Lagerung). Fig. 42 und 43 zeigen diesen alleemeinen Fall

für die

~

von Balken und Wellen.

Reichen die drei Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Auflagerkräfte nicht aus, so ist das Tragwerk statisch unbestimmt (äußerliche sta-

'l Früher: XH-o; xv-o; X M-o.

174

Mechanik. -

Statik starrer Körper.

tische Unbestimmtheit). In diesem Falle lassen sich die Auflagerdrucke nur mit Hilfe des elastischen Verhaltens des Tragwerks bestimmen.

Fig. 37 bis 41.

Einfache Beispfele für statisch unbestimmte Lagerungen sind der Träger auf drei Stützen (s. Festigkeitslehre) und der Zweigelcnkbogcn. . Betrachtet man den durch eine senkrechte Kraft ',jl belasteten Zweigelenkbogen nach F•g. 44, so müssen sich die Wirl. nach unten. Kräftepaare sind daher (ebenso wie Momente) planare Vektoren (s, 8.129). Mehrere Kräftepaare lassen sich daher nach. den Regeln der Vektorrechnung zu einem resultierenden Kräftepaar vereinigen. Beispiele: t. Fig. SS zeigt eine Welle mft mehrenm Riemenscheiben. Die Wirkung der Krattepaare mft den Kräften P., P 1 und P 1 soU dnreh ein Krattepaar mft den Kratten P aufgehoben werden, das an einer Scheibe vom Durchmesser D wirkt. Die GrOlle von P Ist zu berechnen. . Da die vier Krattepaare ki!Jne Drehwirkung hervorrufen sollen, muß das Moment des NIUI· tiere!lden KriftepaarM gleich Null sein. Daher Ist . .

o- P,D, + PsD1

f. P1 D 1 -

PD

oder

p-

'l"n~chcnbudt fiir ''"" Mascbincub:m. Hl. Aufl. ·I.

P,D,

+

p-:• +

PoD•,

12

178

Mechanik. -

Statik starrer Körper.

2. In Fig. 59 ist S der Schwerpunkt und 00 die Achse einer gekröpften Welle. E 1 und E 1 sind die Ebenen, welche die Mittellinien der Zylinder enthalten, E, Ist die Kröpftm""Sebene. Parallel zu den angreifenden Kräften werden in S je zwei gleich große, entgegengesetzt ge-

richtete Kräfte"P1 und P 1 angebracht. Zwei Kräfte P, bilden ein Kräftepaar mit dem Moment P 1 "•· können daher nach Fig. 56 durch .einen Vektor !81 dargestellt werden, der auf E., der Ebene des Kräftepaares, senkrecht steht. Ebenso bilden zwei Kräfte P 1 ein Kräftepaar vom Moment P, a,, dessen Vektor IB1 Im Richtungssinn mit !8, zusammenfällt, wenn die Kräfte P 1 und P 1 wie in FU!-. 59 wirken. An der Größe und Richtung der in S Qbrigblelbenden Einzelkräfte P 1 und P 1 hat sich bei der Verschiebung nach S nichts geändert. Sind P 1 und P 1 z. B. Flieh, kräfte rotierender Massen, so rotieren bei Drehung der Welle auch die Vektoren !B 1 Und !B 1 , Und ZWar derart, daß sie stets senkrecht zur Kröpfungseheue E, und parallel zu den Ebenen E 1 und E 1 bleiben.

B. Schwerpunkt (1\\-assenmittelpunkt). 1. Rechnerische Sehwerpunktsermlttelung. 1. Der Schwerpunkt eines K ö rpers ist der Angriffspunkt der Resultierenden aller Elementarkräfte. Zu seiner Bestimmung :terlege man den Körper (Fig. 60) in n Einzelteile (z. B. 4 in Fig. 60) und bringe die. Teilgewichte in den Teilschwerpunkten an. Die Teilgewichte sind parallele Kräfte, deren Resultierende (das Gesamtgewicht) und ihre Wirkungslinie (Schwerlinie) nach S. 172 bestimmt werden. ,r-.z;.Größe der Resultierenden: ;y-- -----.r~ --

Ä-

Fig. 6o.

Abstand von der y-z-Ebene:

x0

=

Abstand von der x--z-Ebene:

y0

Abstand von der x-y-Ebene:

*

(23)

(x1 G1)jG.

(24)

=

i; (y G;)jG.

(25)

z0 =

i; (z G,)jG.

(26)

1

1

1

1

Der Schwerpunkt : lst der Schnittpunkt der Schwerlinien.

179

Schwerpunkt (MasseDJDittelpunkt).

Aus G = y ·V und G = m • g ergibt sicn m == y/g ·V. genen Körper gehen die obigen Gleichungen über in:

.

n

z0

= ~ (z1 V;)/V;

:0

1

=

Für einen homo-

.

~ (.r1 VJlfV.

(27)

2. Für die Fläche lauten die Koordinatengleichungen des Hächenschwer· punktes: (28)

3. Für die Linie tritt an Stelle von F die Länge l, mit l1 = Teillängen. Eine durc~ den Schwerpunkt gehende Ebene (Linie) heißt Schwerebene (Schwerlinie). Jede Symmetrieebene ist Schwerebene,jede Symmetrielinie ist Schwerlinie. Der geometrische Mittelpunkt ist der Schwerpunkt. Für eine Schwerebene (Schwerlinie) ist das statische Moment gleich Null, weil der .Hebelarm der Resultierenden verschwindet. Umgekehrt: Ist das sta· tische Moment, bezogen auf eine Ebene (Gerade) gleich Null, so liegt der Schwerpunkt in dieser Ebene (Linie). Die Sätze von Guldin (s. S. 164) geben den Zusammenhang zwischen dem Inhalt bzw. der Oberfläche eines UmdrehungskOrpers und dem Schwerpunkt det erze1J11111lden l 1. Für Ketten und Drahtseile ist e, = 1,04 bis 1,06 entsprechend 1Jt = 0,96 bis 0,94 i. M. 0,95. 2. Lose Rolle (Übersetzungsrolle). Die Last hängt am Bolzen der losen Rolle (Fig. 101). Das eine Ende ist an einem Katzengestell oder an der Auslegerspitze eines Drehkranes befestigt. Am anderen greift die Zugkraft an. Ohne Reibung ist: Zugkraft: P 0 = S 0 = Q/2; Übersetzung: i, = 2. Kraftweg = 2 X Lastweg; s = 211. Mit Berücksichtigung der Reibungswiderstände ist die Zugkraft beim Lastheben:

+ +

p +So =Q;

P = S

=

eS0

=

e(Q - P);

woraus:

P

= S = ---~---Q. 1+e

Tragwerke.

191

Wirkungsgrad der losen Rolle: '11 = P 0{P = S0 /S = Q/2 (1 e)/sQ = (1 e)j2e. (63) Mit dem Mittelwert der festen Rolle "'r = 0,95 und s = BrF::J 1,05 wird: '11 = (1 1,05): (2. 1,05) = 2,05:2,10 F::J 0,976Der Wirkungsgrad der losen Rolle i~t also besser als der der festen. 3- Rollenzüge (Flaschenzüge). Die. Im Hebezeugbau als ObersetZUDgSIDittel

+

+

+

zwischen Last und Kraft verwendeten FlaschenzUge sind allgemein Faktorenflaschenz1lge. Sog. Potenzrollenzüge werden praktisch kaum angewendet.

Bei dem als Lastrollenzug dienenden Faktorenflaschenzug sind eine Anzahl fester und loser Rollen auf je einem gemeinsamen Bolzen angeordnet. Bei dem Rollenzug Fig. 102 läuft das Seil von einer losen Rolle ab. Bezeichnet n die Rollenzahl des Flaschenzuges, so Ist die Zahl der tragenden Seilstränge " + 1 • Für die Hubhöhe II ist der Kraftweg: •- (n + 1) • A. Ohne Reibung ist: P 0 =Q:(n+1).

Ist 'lB der Wirkungsgrad des Rollenzuges, so ist die erforderliche Zugkraft: . p =

____Q_ -.

(64)

'ln(n-l-1)

!'

Mit dem Verlustfaktor der einfachen Rolle e - 1 : 7] ist: 1

'lB

= n+i"

e"+ 1 - 1 e"(e _:-fJ.

(65)

Fllr • FO:< 1,05 und " = 2 bis 10 ergeben sich folgende Wirkungsgrade: " 2 3 4 6 b~~

~

~

~

~

~

Fig. 102 u. 103.

8

~

9

~

10

~

Läuft das Seil von einer festen Rolle ab (Fig. 103), so tritt noch der Wirkungsgrad der festen Rolle hinzu und die Zugkraft ist:

Pwobei 'lt F::J 0,95

Q f'/B. 'lr. (n

-1-

1)

•

(66)

D. Tragwerke.

1. Biegemomente und Querkräfte von Trägem mit mittelbarer Belastung und wandernden Lasten.1) a) Träger mit mittelbarer Belastung (Fig. 104 und 105)-

Querkraftlinien (Fig. 104a). Zeichne zunächst die Querkraftlinie ohne Berücksichtigung der Querträger auf und rechne P als P' = P •11 : (11 + 11) • und P'' = P · 11 : (11 + 11 ) auf die Stellen 1 und 2 des Trägers um. Diese Kräfte zeichne man in die alte Q-Linie ein. In gleicher Weise verfahre man beim Entwurf der Quer· kraftlinie Fig. 105a. Momentenlinien (Fig. 104b und 10Sb). Berechne die Momente unter P ·(Fig. 104)· bzw. P 1 und P 1 (Fig. lOS) ohne die Querttäger und trage sie zeichnerisch auf (gestrichelte M-Linie), Ziehe Senkrechte durch die Stützpunkte der Querträger, die die M - Linie schneiden. Die Verbindung dieser Schnittpunkte ergib! die gesuchte (ans· gezogene) M-Linie mit den Momenten M 1 und M, in Fig. 104b bzw. M, bis ivl, in Fig.10Sb.

Fig. 104.

Biegemomente und Querkräfte von Trigern mit festen Lasten (Eiw.el- und Strecket'· lasten) s. Abschnitt "Fest~gi~citsiehre". 1)

192

Mechanik. -

Statik starrer Körper.

b) Träger mit wandemden Luten (Verkelmlaaten). 1. Eine Last P wan· dert über den Träger (Fig. 106). Auflagerlinien (Fig.106a). Auflagerkraft für eine beliebige Laststellung z vom linken Auflager: A,.=P(L -z):L; B,.-Pz:L.

a

a

b

b Fig. tos.

Fig. t06.

Auftragen von P über deni linken Auflager ergiht die A·Linie, über dem rechten die B·Linie. Momentenlinie (Fig. t06b). Da." im Abstand z vom linken Auflager auf· tretende Biegemoment ist: M".., A,.· z .,. p. (L _ z). z: L. WIIIj.dert P vom linken Auflager zum rechten, so 'liegen die M.·Werte auf einer Parabel mit senk· rechter Achse und der Länge L. Für z ... L/2 ist der Größtwert des Biege· momentes (Pfeilhöhe der Parabel):

·maxM -PL:4.

a. Zwei wandemde Luten P 1 und P 1 titlt dem loten Abstand b (Fig. 107). Annahme:

Pt >P•; Resultierende:

b

R -P1+P1 ; Abstände der Resultieren· den: Fig. t07•.

b"- P 1 ·bfR; ba- P 1 b/R ~

Tragwerke.

193

Auflagerlinien. Auflagerkraft für eine Laststellung im beliebigen Abstand

x vom linken Auilager:

A~ = R. (L - X - bl)/L. Zur zeichnerischen Bestimmung von Az wird die A-Linie (Fig.107a) entworfen.

Trage P 1 und P 1 über einer Grundlinie und auf der Senkrechten durch das Auflager (A) auf. Verbinde die Punkte 1 und 2 mit o. Steht P, über dem Auflager (A), so kommt von P 1 der Betrag P 1 • b/L auf das rechte Auflager, der daher abgezogen wird. Steht die Last P 1 über dem rechten Auflager (B), so ist der Auflagerdruck bei A gleich P 1 b/L. Die stark ausgezogene Unie ergibt die A·Linie (Fig.107a) und den mit :r: veränderlichen Auflagerdruck A%.

In gleicher Weise wird die B-Linie entworfen (Fig.107a). Momentenlinien. Für die Laststellung im Abstand x vom linken Auflager ist das Biegemoment unter der Last P 1 : M~ = A,. · x = R • (L - x - b1) • xfL = R • (x - xlfL - b1 xjL). Dieser Ausdruck, der eine Parabel darstellt, wird nach :r: differenziert und gleich Null gesetzt. dM/da:= R (I- 2:r:/L- bJLJ = 0. Mit :r: - (L - b1 )/2 ist die Länge der Parabel (Fig. 107'b)·: L- b1 • Für :r: - (L- b1 )/2 wird:

maxM = 1

!!_. (L- b1)2 = P 1 .+ Pa. (L- b1 )1 4L

4L

(67)

•

Diese Pfeilhöhe der Parabel liegt im Abstand bJ2 von der Trägermitte und unter der Last P 1 , wennRum bJ2 rechts von der Trägermitte steht. Steht die Last Pa im Abstand x vom rechten Auflager (Fig. 107b), so wird entsprechend mit x = (L - bal/2 ~rhalten: Länge (Sehne) der zweiten Parabel: L - b1 • Größtes Biegemoment im Abstand bJ2 von der Trägermitte (Pfeilböhe der Parabel): R P1 + P8 maxM1 = 4 L · (L- b1 )2 = ---;u:- · (L- b1 )a. (68) Da P 1 >Pa ist, ist maxM = maxM1 Die Parabeln sind nur soweit gültig, bis die eine Last über dem linken bzw. rechten Aufl_ager steht !Fig. 107).

•

3. Sonderfall filr zwei gleichgroße Lasten P-P mit dem festenAbstand b (Fig. 108). Resultierende:

R -2P. Abstände der Resultierenden von den Lasten: b/2. Auflagerlinien (Fig. t08a). Die A- und B-Linien sind einander gleich. Daher genügt Aufzeichnen der A-Linie. Momentenlinien. Größtes Biegemoment tritt unter einer Last P auf, wenn die Katzenmitte um bf 4 außerhalb der Trägermitte steht.

b

Fig. 108.

Tuschenbuch fiir den Muscbincnbuu. 10. Aufl. I.

13

Mechanik. -

194

Statik starrer Körper.

Der Verlauf des Biegemomentes jeder der beiden Lasten stellt t>ine Parabel

mit der Länge L - b:2 und dem Größtwert maxM als Pfeilhöhe dar (Fig 108b). Größtes BiegemoiDP" · . --•"' der Last 1):

b)2

p · (L - - . (69) 2 Oben wird die M-Linie durch Verbindung der beiden Pfeilhöhen der Parabeln waagerecht begrenzt. maxM~

2L

E. Fachwerke. a) AUgemeines über das ebene Fachwerk. I. Im folgenden werden Fachwerke behandelt, deren Lagerung statisch bestimmt ist (äußere statische Bestimmtheit) und deren Auflagerkräfte sich mit den drei Gleichgewichtsbedingtmgen (s. S. 173) ermitteln Jassen. Es wird angenommen, daß die Stäbe tn ihren Endpunkten durch reibungsfreie Gelenke verbunden sind. Die infolge der Niet- oder Schweißanschlüsse an den Knoten noch auftretenden zusät%lichen. Spannungen (Nebenspannungen) sind rechnerisch schwer zu erfassen und werden durch die Höhe der zulässigen Spannungen berücksichtigt.

Z. Aufbau. Das einfachste Fachwerkgebilde ist das Dreieck mit den Knoten

I bis III (Fig.109). Nimmt man die Kno4en I und"II als Festpunkte (Lager)

an, und reiht man weitere Dreiecke mit den neuen Knoten IV bis VI an, so erhält man ein Fachwerk (Fig. 109), das z. B. als Kranausleger verwendbar ist. Der Aufbau des FachFig. 109. Fig. 110. auf zwei werkträgers Stützen (Fig. 110) geschieht ebenfalls durch das Aneinanderreihen von Dreiecken mit den Knoten I bis VIII. Die Stäbe, die das Fachwerk nach außen begrenzen, werden Gurtungen genannt. O, bis O, sind die Obergurtstäbe, r;, bis U, die Untergurtstäbe. Die die Gurtungen miteinander verbindenden Stäbe heißen Füllungs- oder Gitterstäbe. Die senkrechten Füllungsstäbe (Vertikalen) werdea mit V, bis V,, die Diagonalen (Schrägen) mit D 1 und D 1 bezeichnet.

A

3. Statische Bestimmt· helt (Starrheit). Für ein Fachwerk mit n Gelenken I 1 u (Knoten) ist die erforder" " , , liehe Stabzahl: Fig. 111 bis 113. s = 2n - 3. (70) Ein dieser Bedingung entsprechendes Fachwerk ist in sich starr und geometrisch bestimmt. I/I

lf1

~llf JV

Beispiele: Fig. 109: n = 6; s = 9. Fig. 110: n = 8; s = 13. Fig. 112: n = 4; s = S.

Ein Fachwerk mit n Gel~nken und weniger als 2n lich und geometrisch unbestimmt.

3 Stäben ist beweg-

Beispiel: Gelenkviereck (Fig.ttO); n=4; s=42n-3.

Die meist angewendt-ten Fachwerke (z. B. Träger oder Ausleger) entsprechen der Starrheitbedingung (innerlichen statischen Bestimmtheit). Stäbe, die sich in diesen entfernen lassen, ohne den Dreieckscharakter des Fachwerks zu stören sind Hilfsstäbe und dienen dazu, die Biegestützweite oder Knicklänge ein~ Stabes zu vermindern.

Fachwerke.

195

4. Äußere Krifte. Die Belastungskräfte (Eigenlast, feste Einzellasten oder wandemde Lasten) müssen stets an den Knoten angreifen. Alsdann werden sämtliche Stäbe des Fachwerks nur durch Längskräfte (Zug· oder DJ;nckkräfte) beansprucht. Kräfte, die nicht an den Knoten wirken, werden auf diese umgerechnet (reduziert). Belspiel s. Bd. Il, S. 44 7, Fig. t 97: Reduktion der Katzenraddrucke auf die AuslegQr• knoten eioes Konsolkranes.

b) Bestimmung der Stabkräfte von Fachwerktrigern auf zwei Stützen, I. Zeichnerisches Verfahren von Cremona. An dem Fachwerkträger Fig. 114 wirken die Knotenlasten P 1 bis P 3 • Die Auflagerkräfte A und B sind

berechnet. Das Aufzeichnen des Kräfteplanes beginnt beim Auflager A. Als Umfahrungssinn wird allgemein der Uhrzeigersinn festgelegt.

Knoten I. Auflagerkraft A ist nach Größe und Richtung bekannt. Mit den Richtungen von 0 1 und U1 erhält man Krafteck I. Wegen des Gleichgewichts der Kräfte müssen alle Pfeil· richtungen, ausgehend von A, gleichsinnig sein. Im System eingetragene Pfeile zeige!}, daß 0 1 Druck (Pfeil deutet im Netzwerk auf den Knoten zu) und U 1 Zug ist (Pfeil ist vom Knoten ab· gewandt). Knoten 11. An diesem greift Last P 1 an. Die von I her bekannte Stabkraft 0 1 wird im Netzwerk als Druckkraft {Dreieckpfeil) gekennzeichnet. Im Krafteck sind 0 1 und P 1 nach Größe und Richtung bekannt. Richtungen von (0,) und V1 werden gezeichnet (Krafteck II). Die aus dem Umfahrungssinn von 0 1 ubd P 1 erhaltenen Pfeilrlchtungen filr {01 ) und V1 werden im Netzwerk eingetragen und ergeben filr beide Stäbe Druck. Knoten 2. U1 und V 1 sind von Knoten I und II her bekannt. Richtungen von V, und U1 antragen und diesen im Krafteck den Pfeilsinn von U1 und V 1 (Dreieckpfeile) geben. Im System eingetragene Pfeile Zf'jgen, daß D 1 Druck und U1 Zug erhält. Knoten III. Bekannt sind D,, (01 ) und Last P 1 • 0 1 und D, werden als Druckkräfte erhalten. Das Entwerfen der Kraftecke filr die weiteren Knoten erübrigt sich, da das Netzwerk sym· metrisch und symmetrisch belastet ist.

Fig. 1t 4.

Fig. 115.

Die in Fig. 114 entworfenen Kraftecke werden aneinander gereiht und er· ge)>en den Kräfteplan Fig. 115. Bei gleichem Umfahrungssinn der Kraftecke werden die Pfeile (keine Dreieckp~eile mehr) im Netzwerk eingetragen und ergeben die Richtung der Stabkräfte in bezug auf d1e KnOten. (Zullll.; o,._-··-1---+0 (Druck). Außere Kräfte im Kräfteplan (P1 bis P., A und B) stark und «llt Pfeilen zeichnen, Stabkräfte (innere Kräfte) dünn und durch +· oder --Zeichen als Zug- bzw. Druckkräfte kennzeichnen. Bei Symmetrie des Netzwerks und der an ihm angreifenden äußeren Kräftegruppe genügt Aufzeichnen der oberen Hälfte des Kräfteplanes (Fig. t t 5), da die untere spiegelbildlich lst. Es sind: 0 1 = 0 1 ; U 1 =- U,; V1 = V1 ; D 1 =Da~

0-->--i-~-,._o

Mechanik. -

196

Statik starrer Körper.

Beispiel: ;Bestimmung der Stablaäfte eines Laufkrantrigers au.• der Eigenlast (II. Bd., Pig.155 S.4JO). Eigenlast: G-4oookg. Netzwerk: Fig.tl6; Spannwelte: L=16m;Feldweite: •-1,6m; Trägerhöhe: la-w-1,6m; Maßstab des Netzwerks: 1 mm~toomm (M 1/100). Verteile die Eigenlast zu gleichen Teilen aui die 10 Obergurtknoten, wobei die beiden Endknoten als ein Knoten gerechnet werden. Knotenlasten: k1 = k11 -G/20=4000/20=200kg; k, = k, = ··· = k, 0 =G/t0=4000/10-400kg. Nach Auftragen der Knotenlasten im Netzwerk (Fig. 116) entwerfe man den Kräfteplan ~~~~i:or?~:i~?sf!:T~f.il;:j~jr-;r (Fig.Die t16a).ausMaßstab mm~20 kg. lJ ibm 1entnommenen Stabkräfte werden zur Durch· führung der statischen Berechnung in eine Zahlentafel eingetrapn.

2. Verfahren von Culmann

a

Pig. 116.

ermöglicht eine schnelle Be· stimmung der Stabkräfte einzelner Stäbe und ist für diesen Fall dem Verfahren von Cre· mona (s. unter1) vorzuziehen. Zerlege das. Netzwerk Fig. 117 durch einen Schnitt s-s, der die gesuchten Stäbe, z. B. (01), D 1 und U2 trifft, in zwei Teile.

Am linken Trigertell grellen die Kräfte A und P 1 an, deren Resultierende R rechnerisch nach dem Momentensatz (s. S. 172) oder zeichnerisch mit dem Kraft- und Seileck (Fig. 1_17 a und t17b) bestimmt wird. Das aufwärts wirkende R muß mit den Stabkräften (01 ), D 1 und U 1 im Gleichgewicht sein, deren GrOße und Richtung mit Hilfe der Culmannschen Geraden als Hilfskrafl (s. S. 169) ermittelt werden. Bringe' die Wirkungslinien von R und (01 ) zum Schnitt und ziehe die Culmannscbe Gerade L (Fig. 117). Trage R der GrOße und Richtung nach maßstäblich auf (Fig. 117 c) "nd ziehe die Parallelen zu (01 ) A B

4J,~R R'~4

~

~-·

Fig. 117.

Fig. 118.

und L. Aus R ergeben sich GrOße und Richtung von (01 ) und der Hilfskraft Kraft L. Durch Umkehren des Pfeilsinnes von L erhält man GrOße und Richtung von D 1 und U1 • Aus dem Kräfteplan Fig. t17C werden (01 ), D1 und U1 abgegriffen. Ihre Richtungen sind durch den stetigen Umfahrungsslnn und Eintragen im Netzwerk gegeben. Am rechten Träg~ wirken die Kräfte P,, P, und B. Ihre Resultierende R' hat die gleiche GrOße und Wirkungslinie wie R, ist diesem aber entgegengesetzt gerichtet. Der Kräfteplan für den rechten Trägerteil (Fig. 117 d) ergibt mit derselben Culmannschen Geraden die gleichen Stabkräfte wie für den linken.

Ein Vergleich mit dem Cremona-Pian (Fig. 115) muß ~ter gleichen Be· dingungen dieselben Stabkräfte wie in Fig. 11 7 c und d erge"ten. 3. Rechnerisches Verfahren nach Ritter. Nach Bestimmung der Auflagerkräfte zerlege man das Fachwerk (Fig. 118) durch einen Schnitt (s-s), der

Fachwerke.

197

nicht mehr als drei Stäbe trüft, in zwei Teile und betrachte den Tell, an dem weniger äußere Kräfte wirken. Die gesuchten Stabkräfte sind als äußere Kräfte anzubringen, deren Richtungen durch Pfeile festgelegt werden. Nimmt man an, sämtliche Stabkräfte seien Zugkräfte, so ergibt die Rechnung für Zugkräfte positive und für Druckkräfte negative Werte. Nehme an dem abgeschnittenen Teil einen Knoten als Drehpunkt (Pol) an und ste!le die Momentengleichung l:M = 0 auf. Da die Momente der durch Pol gehenden den Kräfte gleich Null sind, erhält man eine Beziehung, aus der die gesuchte Stabkraft erhalten wird. Stab01 • Schnitb1 -s1 (Fig. tt8a); Drehpunkt 2; Aw+0,h=0;01 --.A • wjlt (Druck); (01) = 0,. Stab U 1 • Schnitt s1 (Fig. tt8 b); Dreh· punkt/I; A.w- U1 ·a=O; U,- +A. • wja (Zug). s t ab u.. Schnitt s1 - 1a (.Pig. U 8 c) ; Dreh· punkt I/I; B · 2w·- P 1 • w U 1 -= - U1 ·1I=O; +(B 2w - P 1 w)/1 (Zug). Stab V1 • V 1 - -P1 (Druck). Schnitt Stab D 1 • s,-•, (Fig. t18d); Dreh· punkt II. A111- U1 • h -D1 ·b=O; D 1 =-(Aw - u•. h)/b (Druck).

s,-

a

4. Bestimmung der b Stabkräfte eines Trä· gers mit wandemden Lasten mit Hilfe der Momenten· und Quer· kraftUnie (Fig. 119).

p

P

Flg. tt9.

P

Zur Bestimmung der größten Ober· und Unte'rgurtstabkräfte aus den wandemden Lasten P-P mit dem festen Ab· stand b zeichne man die M-Linie (.Fig. 119a) riach den Angaben S. 193 auf. Die größten Stabkräfte werden aus den Knotenmomenten berechnet. Stab 0 1 • Die L~tengruppe steht mit der linken Last über Knoten /1. Stabkraft: 0 1 =-Mu/1&,. Stab 0 1 • Lastengruppe steht mit der linken Last über Knoten IV (Fig. 119). Stabkraft: o, =-Mivfh. In gleicher Weise erhält man die Stabkraft 0 1 • Stab U1 • Lastengruppe steht mit der linken Last über Knoten II. Stabkraft: U 1 =+Mufa. Stab u,. Lastengruppe steht mit der linken Last über Knoten III (s. auch Flg. 120 u.121, S.199, Einflußlinie für Stab U1 ). Stabkraft: U 1 =+MuiJII. In gleicher Weise erhält man die Stabkraft U1 •

Die größten Stabkräfte aus den Diagonalen werden durch Aufzeichnen der A- und B-Linie (Fig. 119b) nach c;len Angaben S. 193 erhalten. Beispielsweise werd~n die Größtwerte der in der Diagonalen D 1 auftretenden Zug- und Druckkraft aus den im Feld III - IV wirkenden Querkräften bestimmt. Steht die linke Last P über dem Knoten IV, dann zerlege man die Querkraft A1v waage· recht und iq Richtung des Stabes, wodurch die größte Zugkraft +D, erhalten wird. Zur Bestimmung der größten Druckkraft stelle man die rechte Last über den Knoten III. Durch Zerlegen der Querkraft Bu1 in waagerechter Richtung und der Stabrichtung erhält man die Druckkraft - D,. In gleicher Weise verfanre man mit den übrigen Diagonalen.

Mechanik. -

198

Statlk starrer Körper.

Die Stabkraft der Vertikalen V1 1st ~leich der Querkraft A 111 (Lastengruppe steht mit der linken Last über Knoten 111). Bei den übrigen Vertikalen (V1 bis V8 ) Ist die Stabkraft (Druckkraft) gleich -P (eine Last steht auf der Vertikalen). S. ·Elnflu8Unlen. Bestimmung der Stabkräfte mit Hilfe der Einflußlinien (EL.) Ist bei mehreren wandemden Lasten vorteilhaft. Auch auf Kranträger mit verschiedener Tragkraft, aber gleicher Stützweite und gleichem Netzwerk (Tafel14, II. Bd., S. 424) trifft dies zu. Zum Aufzeichnen der EL. lasse man (ohue Rücksicht auf clle gegebene Lastengmppe) eine Last von der GrOBe "t" (Einheitslaat) 11ber den Triger wandern. F11r clle Last "t" (z. B. t t) und verschiedeoe Stellungen derselben bestimme man clle gesuchte Stabkraft und zelehne ihren Verlauf ala Ordlllaten dber einer GrundliDie auf. Det hierdurch erhaltene Linienzug ergibt die EL. fOr die Einheltsleat. Ihre Auswertung Uefert clle gesuchte Stabkraft aus der den Träger

Laatengruppe. Für die hier betrachteten, statisch bestimmten Träger bestehen die EL. aus Ergeben sich für die Stabkraft positive Werte (Zug), so trage geraden

befahrenden

Linien.

man die EL. über der Grundlinie auf, bei negativen Werten (Druck) unterhalb derselben. a) Rechner1scne Ermittlung der Einflußlinien (EL.~. Die Stabkräfte S' aus der Einheitslast "1" werden nach dem Verfahren von Ritter (s. S. f96) berechnet, wobei alle Stabkräfte als Zugkräfte betrachtet werden. Beispiel: F11r einen Laufkrantriger von Q- 30 t Tragkraft und L- t6 m (s. II. Bd., Flg. 155, S. 430) sind die EL. zu entwerfen. Raddruck P-9000kg; Radstand der Katze: b-=;2200mm. Mal.lstab des Netzwerks (Fig. 120): t mm~toomm (M t:too). Trägerhöhe 1-Feldweite w- t,6m. t. Obergurtstäbe (Fig. 120). Stab 0 1 • Last ,.1" steht rechts von Knoten III. Momentengleichung (Drehpunkt 3): A2w+{Y,·w-o; 0f=-A•2wfw=-2A. FürA-t,ist 0~--2. Dieser Wert wird als Druckwert unter 11o (Fig. 121) mal.lstäblich aufgetragen und der Ordinatenendpunkt -2 mit b1 verbunden. Linie - 2-+ b1 schneidet die SeJlkrechte durch Knoten /I und. ergibt den GrOßtwert der EL.-Ordinate 'I (Last t steht auf Knoten /I). Mit der Auflagerkraft für diese Laststellung A - t • 9w/10w - 0,9 wird der Wert 'I erhalten zu~- -2 · 0,9- -1,8. Stab (01). Es ist: (~)- 0{. Stab 0 1 • Last 1 ·steht rechts von Knoten IV. Momentengleichung (Drehpunkt 4):

A ·3m+ l

"

---~ .".,""'"'

...

~-

Fig.4S.

Flg. 46.

Fig. 47.

Man Uest aus Fig. 44 ab mlt P 1 , 1 P~,- r; Ji~~-,d -l; P 1, 0 P 1, 0 -= a; P 1 ,o P1,1, -.6: + 1),..,., 0 + z....,J • r0.11 , 0 + l(m1 , 0 +..,.,,); ferner, wenn die Geschwindigkeit voo Po, 1 gleich 11- r ""-· 0 fi!'Mlzt wird: ..,., 0 - tg 6 1 , 0 - (v..1 - u)/1 - ro 1, o + "'•· , ; v-r,..,_,,-bmo,o oder r:b-..,.,,:ro,,o oder (ll+b):b=(w,, +ro.,,):w,,o. d.h. a: b- COt.t: O)l.la .,_..- llf+ " • - (r

Beispiele: t. Beim UmiaufrAdertrieb (Fig. 45) hat das Planetenrad gegenüber dem festen Zahnrad die Winkelgeschwindjgkoit ma, 1 - m1 , 0 • (R + r)/1" und ..,.nüber dem Steg die Winkel· . geschwindigkeit "'o,l - N t I ' R/r. 2. Beim GeleJiliviereclt (Kurbeltrieb), Fig. 46, liefen je drei Pole in einer Geraden. 3, Auch bei der geschrio.kten Qeradachubkurbel (Fig. 47) llegeaje drei Pole in ailw Geraden. Nur liegt P 1, ' nnendlioh fern, da E 1 parallel verecbobe.u wird, und es Ist ..... 1 - O. Bei der zentrischen Slllluhkurbe1118cb Fig, 25, 26 fällt .P1, 1 mit dem geo:adpfilbrten Punkt B zusammen. Anm.• Beldm- Reiheufa~Be dir llli!Ua Ist 111 beachten, daß "'i,t"'-"'•·•; so Ist z.B. in Pig. 46, ...... - - ..... ., d. h. Ea cbeh1 sich pgenüher E, 1m llll:lgekllhrte SiiUl wie E 1 gegenilber B 1 •

Bewegungslehre (Kinematik).

217

b) Riumßche Bewerung. 1.. Die Bewegung des Körpen um einen Pqnkt kann im Aucenblick auf-

gefaßt werden als die Drehung \un eine durch den festen Punkt gehende Drehachse. Die gesamte Bewegung erscheint d&IIll. als Abrollen eines bewegten, allgemeinen Kegels auf t:inem festen (Präzessionsliewegung), Wie z. B. bei einem Urolaufkegelrädertrieb (Fig. 51). Bei der Schraubung eines · Körpers (der allgemeinSten· Bewegung) kann dio Elementarbewegung dargestellt werden durCh eine Dnihung ilrp (Fig. 48) um eine Achse mit der Winkelgeschwindigkeit cu und durch eine Verschieb1mg ds in Richtung der Dreh- oder Schraubenachse mit der Schiebunpgeschwindigkeit v,. Das Ergebnis ist eine Elementarschraubung.

z.

I ~.

.

Ist v, proportlooal m, und bleibt die Drehacble fest, 10 belchrelben alle Punkte des, KOrperl Schraubenlinien (S. f 27).

'~

Beispiele: SAmtliehe Schrauben· bewegungen; Scllifflacbtaube; Luft·

""-'

~

~·

"'='"

~@)~ ~p· Fic. 48.

Flg. SO.

Fic. 49.

Flg. Sf.

(:) Zusammensetzung von Beweruqen. I. Zwei Schiebungen eines Körpers mit den Geschwindigkeiten b1 und lJw ergeben eine resultierende Schiebung mit der Geschwindigkeit b = b1 b1 als geometrisCher Summe, Fig. 49. Z. Zwei Drehungen um sich achneidende Achsen mit den Winkelgeschwindigkeiten 1 und 1 (Fig. 50) ergeben eine resultierende Drehung~ die Diagonale des aus w1 und w1 gebildeten Parallelogramms. Die Diagonale .ist gleich dem resultierenden Drehvektor (geometrische Summe):

+

w

w

(J)

= w1 + w1 ;

w

cu1 : Ws: cu = sin(Xa: sin(X1 : sin(X;

cu

= t'cu~ + 2cu1 cu.cos(X + cul: cu = cu1 cos~ + ~cos~.

Beispiele: f. ~ht sich ein KOrper K 1 (Fig. 51) mit der Winkelpsch:wlndlgkelt m1, 1 um die am ruhenden GeStell K, befestigte Achse Ot, und triJt dieler KOrper K 1 eine Achse 2f, um die der KOrper K, sich mit der (relativen) Winkel· geschwindigkeit cu,, 1 gegen· über K 1 dreht, 10 Ist die (absolute) Wlnkelgeschwin· digkelt m,. 1 des KOrpers K 1 gegenüber dem Gestell die geometrische Summe aus der (Führungs·) Winkel· I[ geSchwindigkeit m1 , 0 nnd der Winkelgeschwindigkeit ro,,,, d. J;a. f»s,o-Cds,t c + ros, t. Die Wlnkelge· schwlndigkelt mo, 1 kann dadurch erzwangen wer· Flr. S2. den, daß das Keplrad K 1 auf dem festen Kqelc: a b rad r. ~ abrollt. . . . 2. ]n Flg.S2a IIbeil die Kegelrider. .. nnd 6 aUf di!I!.Well . enl umJ.·I1, daen.~oterlm· lla· schtnengestell 0 ~t lind. Außerdem tragen die Wellen die J:.acer L, wiit L,, die Im Gehluoe G angebracht sind. Dieses enthält auch das Lager L1 in dem sich das Kecelrad o l!lit Welle 111 ~t. Auf die Räder'" und b Werden von außen die Winkelgeschwindigkeiten a;.~ un!f ii>&o überti-qen. Du Rad • kann sich im Lager 111 llllt der Wlnkelgeschwfndltlkelt drehen, nnd da8 Gehiiuse kann sich mit der Winkelgeschwindigkeit um die kdlae 11 drehen. Die wahre Wlnkelgeschwilldlgkelt ;;;. 0 Ist die Rei!Uitierende yon ;;;;. , und ;;;;,., Gesucht lind und a;, o, wenn i» und ii>t gegeben sirid. 0 0 1 0

ro,.

we

i»eJ

:Mechanik. -

218

Dynamik.

Der Vektor ;;;, 0 muß stets durch den Punkt M gehen, weil sowohl o;, • wie o;, 0 durch M gehL Es ist wco = 00 +oo,., wobei der Vektor Wca die Richtung MN hat, seiner Größe nach aber unbestimmt ist. Ebenso ist Wco= Wbo +Web, wobei der Vektor Web die Richtung M U hat, seiner Größe nach unbestimmt ist. ro, • und ro, b schneiden sich in H, Fig. 52 b für entgegengesetzte, Fig. 52c für gleichgerichtete Winkelgeschwindigkeiten ;;;. 0 und rot.. MH ist nach Richtung und Größe gleich ruco, und dieser Vektor ist in seine hori..zontale Kom· ponente ruc, und seine vertikale ro 0 o zu zerlegen. Statt der Wibkelgeschwindig;.."ten können die Umlaufzahlen gesetzt werden. Für roao ist nach Fig. 52,b w10 = o, das Gehäuse ruht.

w

-wbo

3. Drehungen um paraDele Achsen können unter Benutzung der Drehvek-

toren wie Kräfte zusammengesetzt werden und ergeben wieder eine Drehung (S. 216): Das Moment der resultierenden Drehung w in bezug auf einen Punkt muß gleich sein der Summe der Momente der anderen 1 Drehungen. a) w1 und w1 sir.d

!

4lf

ra. . llrj j

rA •

llt

i

a 1 ~ I~

>~

~ gle~cqgerichtet(Fig.S~)Es 1St w = w1 + w8 • Fur

"'

b

'

die Entfernung der resultierenden Drehachse gilt . llt : /Ia = OJa : OJ1 uni!

w,

~

-a.~

1----+az----l i

al = awrfw;

Fig. 53.

Fig. 54. (S. 216). b) w1 und w1 sind entgegengesetzt gerichtet (Fig. 54). Dann ist w = Wt - w1 und die Achse der resultierenden Drehung w liegt außerhalb der beiden anderen Achsen, und zwar nach der Seite der größten Winkelgeschwindigkeit. Es ist wieder ~~t = aw.jw und a 1 = o~.wJw.

aa = aw1/w

Beispiel: In Fig. 55 drehe sich der Stab B0 B um den Punkt B, des Stabes A.,B, mit ro1 . und der Stab A. 0 8 0 seinerseits um A. 0 mit ru 1 in entgegengesetzter Richtung. Die resultie.-ende Winkelgeschwindigkeit ist ro=w1 -w1 • Der Dreh· oder Momentanpol P liegt auf A 0 B 0 um A. 0 P-A, B, • ru,/ru von A. 0 entfernt. Wenn co1 co., wird ru ~ "'• - ru1 und ist entgegengesetzt gC{ichtet wie ru1 •


chwerpunkt um e cm von der Wellenachse entfernt ist (Fig. 93a), so ruft die Fliehkraft C eine Durchbiegung ) hervor. Lenkt die Kraft c die Welle an dex Scheibe um 1 cm durch, so muß die Fliehkraft C der Kraft cy das Gleichgewicht halten:

= mar(e + y) = cy.

C a

Daraus folgt mear

= c-

(wfw")1

= e · 1 - (w/w")1 • Hierin ist W.t = w. = YCtm die Kreisfrequenz y

mwl

der ungedämpfter. EigenSchwingung der Welle, Für w = W.t wird y = oo, und dann Für. 93. besteht. Resonanz. Mit I = Gfc cm als Durchbiegung unter der Last G im Ruhezustand (bei entsprechendem Zuschlag für die Eigenmasse der Welle) folgt dann die kritische Winkelgeschwindigkeit w~: = i'{m = Vglf sek- 1 , die kritische Umlaufzahl nk Fl::i3DO'(CiG ==300ft// U/min. Die Abhängigkeit der Schwerpunktentfernung r = e y und der Durchbiegung y von dem Verhältnis w/w" der Winkelgeschwindigkeiten läßt erkennen, (Fig. 93 a für w < w", Fig. 93 b für w > W.tl, daß die Welle nach Oberschreiten der kritischen Drehzahl ruhiger läuft, r wird kleiner als im Ruhezustand und nähert sich dem Wert Null. Die Welle "zentriert" sich von selbst. Sonderfälle. Ist G kg' das Gewicht der Scheibe, l cm die Länge ~·= 5610 (und '• . Es sei "'-75, d. h. oo'- 5625 gewählt (Fig. 102a, b). a. wird gleich I gesetzt; im Kräfteplan wird die Strecke 01 gleich m, a. oo1 gemacht. Hierauf wird in der linken Figur durCh den Endpunkt von At die Parallele zum Strahl nach I gezogen, l 1, 1

ro:-

Besondere ~igenschaften von Flüssigkeiten und Gas\n.

24j

T,

der ... abschneidet; dieser Wert ... liefert = """' ro' und so fort. Bei riclltiger Wahl von "' müßte Punkt 5 auf 0 · fallea Ist dies Dicht der Fall, so muß die Aulzeichnung mit eiaem anderen Wert ro wiederholt werden. T 1)=0,44ro1 • Dieses positive Die Zeichnung ergibt ein Restglied von {T1 T 1 Restglied gibt für die Eigenschwingung der ungeraden Ordnung an, daß ro' zu klein gewll.hlt Ist. Das VerhältDis d~ Maßstäbe von T und H und von a und I muß das gleiche sein. Rein rechnerisch verfährt man wie folgt: Es sei ro = 76, d. h. w' = 5776 angenommen. Daun wird mit k = ro1 • 1/H:

+ + T,+T,-

k 1, 1 =k 1, 1 -111 ,,= ro1 •10/H ~ O,tt48;

at=1; ·

... = a 1 - 111, 1 • m1 a. =1- O,tt48- 0,8852; = ko, 1 (m1 a. =·0,!1852- O,tt48 ·1,8852=0,6688; a, = ... - k,,,(m,.a. m,a,)- 0,6688- O,tt48 • 2,5540 = 0,3756; k,, 1 = ro' • 20/H=0,2296; a, k1, 1 (m1 a, m,a,) = 0,3756- 0,2296 • 2,9296 -0,2975.

+ """')

a, a,-

+ "'•"'+ = a,+ """' + "'•"' + Dann ist T + T + T, + T,= (m,.a. +m a, +m, ... +m,a,) · w•1

1

T~ =

=

2;930 • ro1, ==-2,975 • ro1 ~T=-0,045 • d. h. ro ist zu groß. Aus beiden Wegen folgt durch Inter-

m,a, co 1

1

w•.

Die Restkraft, ist -0,045 • ro1 , polieren ro = 7 5,8, d. h. " = 714 U/min.

111. Statik flüssiger und gasförmiger Körper. Bearbeitet von.Dr.-Ing. Bruno Eck, Köln.

A. Besondere Eigenschaften von Flüssigkeiten und Oasen. 1. Ruhende Flüssigkeiten oder Gase können keine Schubspannungen aus· üben, so daß nur Drücke normal zur Oberfläche wirken. Dieses Gesetz verliert

seine Gültigkeit bei halbflüssigen Gebilden, z. B. bei Teer, Asphalt, Kohlenstaub usw. 2. Flüssigkeiten und Gase nehmen widerstandslos jede äußere Form an. 3- Zusammendrückbarkeit: Gase lassen sich beliebig in ihrem Volumen vergrößern oder verkleinern. Flüssigkeiten sind fast nicht zusammendrückbar: inkompressibel. Das Volumen des Wassers wird z. B. durch 1 at um den 44millionsten Teil verkleinert, bei höheren Drücken nimmt diese Verminderung noch etwas ab. Immerhin spielt bei hohen Drücken verschiedentlich die Zusammendrückbarkeit des Wassers eine Rolle. Bei den praktischen Problemen der !:.trötnungslehre kann in den meisten Fällen auch die Zusammendrückbarkeit der Gase vernachlässigt werden, weun die Strömungsgeschwindigkeiten die halbe Schallgeschwindigkeit Dicht übersteigen, so daß es fast inlmer genügt, von "Flüssigkeiten" zu sprechen (bei 150 mfsek beträgt die größte Kompression der Luft nur etwa t vH).

4. Änderung des Volumens mit der Temperatur. Das spezifische Gewicht von Flüssigkeiten ändert sich, wie foigende Zahlentafel zeigt, mit der Temperatur (wichtig bei Kondensatmessungen): Spezifisches Gewicht von Wasser bei verschiedenen Temperaturen. I

'Y kgfm3

111~

I

10· 1000

I

20· 998

. 40° 992

600 983

so·

972

100° 958

s. Kapillarität. An der Oberfläche einer Flüssigkeit bzw. der Grenze mit einer festen Wand wirken Molekularkräfte, die einer Andernng der Oberfläche Widerstand entgegensetzen. Bei freier Auswirkungsmöglichkeit erzwingen diese Oberflächenspannungen eine möglichst kleine Gesamtoberfläche (Tropfen). Bei Berührung einer Flüssigkeit mit festen Körpern tritt BenetzuO.g nur ein, weun Qle Molekularkräfte des festen Körpers größer sind als die der Flüssigkeit. In diesem Fall wird die Flüssigkeit am Körper hochgezogen; in einer Kapillaren steigt dieselbe, z. B. Aufsaugung von Flüssigkelten durch poröse Körper und die Organe der Pflanzen. Wenn umgekehrt die Molekularkräfte im Flüssi~keitsinnern überwiegen, so tritt Kapillardepression ein. 16*

244

· Mechanik. - Statik flüssiger und gasförmiger Körper.

Steighöhe in Kapillaren: II = 4 • T/y d (d =Durchmesser der Kapillaren in cm, r = spez. Gewicht der Flüssigkeit in gfcm'; T wird die Kapillarkonstante genannt und kann z. B. aus der SteighOhe in Kapillaren bestimmt werden). Wert der Wasser gegen Luft . . Quecksilber gegen Luft Alkohol gegen Luft • •

Kapillarkonstanten T [gfcm]: • 0,077 Olivenöl gegen Luft . 0,47 Olivenöl gegen Wasser . 0,0258 Alkohol gegen Wasser

0,0327 0,021 0,0023

SteighOhe: Wasser II = 30/d, Alkohol II"" 10/d (II und d in mm). Der auf eine gekrümmte Oberfläche pro Flächeneinheit wirkende Krümmungsdruck ist: (1 = T

[_I_ + ..!.]

,1

'•

gjcm' .

(r1 , r 1 Krümmungsradien der Oberfläche in zwei aufeinander senkrecht stehenden Schnitten in cm.)

8. Hauptgesetze ruhender Flüssigkeiten und Oase. 1. (Pascal.) Der Druck an einer Stelle einer ruhenden Flüssigkeit ist unabhängig von der Schnittrichtun~ auf die der Druck bezogen wird. Anwendung: Der Druck in einem Wasserbehälter an der Stelle A ist

P=h·y und hängt nur von der NiveaJ\höhe h ab. Der gleiche Druck wirkt bei B auf die Wand. Demgemäß nimmt der Wanddruck linear von der Oberfläche nach unten zu (Fig. 1). 2. Die auf eine ebene Fläche wirkende hydraulische Kraft ist ebenso groß, als wenn der im Schwerpunkt dieser Fläche wirkende Druck auf die Gesamtfläche wirke. Die Kraft greift im Schwerpunkt der Belastungsfläche an. P - F · h · y [kg] • 3- Die Resultierende des Wasserdruckes auf eine Fläche F, die unter einem beliebigen Winkel gegen die Vertikale geneigt ist, geht durch den Druckmittelpunkt M, der nach Fig. 2 durch folgende Ordinaten bestimmt wird:

x". = J~,/Fy,; e = fxfFy,. x". = Abstand des Druckmittelpunktes von der Achse AB; e = Abstand :les Dru.:kmittelpunktes vom Flächenschwerpunkt in m; F =Fläche; J~ =Trägheitsmoment für Achse durch den Schwerpunkt; fxr = Zentrifugalmoment von F, bezogen auf Koordinatennullpunkt; y, = Lage des Schwerpunktes unter dem Wasserspiegel.

Ftg. t.

Fig. 3.

Ist die Fläche symmetrisch in bezug auf das xy-Koordinatensystem, so ist das Zentrifugalmoment gleich Null, so daß die Berechnung von e genügt. Abstände für verschiedene Flächen: 1) Rechteck (b =Breite parallel zur Oberfläche; e = h2/12y,;· h = Höhe auf schräger Fläche). 2) Kreis (d = Durchmesser) e = tP/16 y,. Beispiel: Ein Wasserbehälter hat eine Ablaßklappe nach Fig. 3, II= 1,2 m; Rohrdruckmesser = n • 0,41/4 · 1200 = 151 kg. Nach Fig. 3 ist: · =-"--=~- 1386 m· tl' 0,41 •1000 y, ·cos30" 0,866 ' ' • = 16 • y,- 16 ·1,386 = 7•22 mm

4. Die in beliebiger Richtung auf eine gekrümmte Fläche wirkende statische Druckkraft ist ebenso groß, als wenn der statische Druck auf eine .fläche wirke, die durch Projektion der gekrümmten Fläche auf eine zur angenommenen Richtung n~rmalen Ebene erhalten wird. · Beispiel: Die auf einen Druckwindkessel wirkende Gesamtkraft nach Fig. 4 beträgt p = p . 4' n/4 kg.

5. Der Auftrieb, den ein Körper in einer ruhenden Flüssigkeit erhält, ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge. Die Auftriebskraft wirkt senkrecht nach oben und greift im Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeitsmenge an. · Die Tragkraft eines Ballons ist gleich dem verdrängten Luftgewicht abzüglich des Gewichtes für das Füllgas. G = V(yL- )lau) kg. Werte für gebräuchliche Ballongase bei (trockene Luft). Gas

\1

Leuchtgas . . Wasserstoff rein.

r kgfm'

Fig.4.

f> == 760 mm ag und 0° II

ykg/m'

bis 0,451 Wasserstoff normaler Reinheit II II 0,67 0,08904 Heliup1 • . . . . . . . . .

0,15 0,1785

Gas

Heiße Luft von rund 370° hat die Tragkraft von Leuchtgas. Ein Ballon steigt, bis ·der Auftrieb gleich dem Gesamtgewicht einschließlich Traggas ist. Die erreichte Höhe nennt man Gleichgewichtahöhe. Eine Verminderung .der Außenteu).peratnr um t • vergrößert die Gleichgewichtshöbe um rund 30 m, während eine · Temperaturverminderung des Füllgases um 1 • die Gleichgewichtshöhe um 20m bei Leuchtgas und etwa 3 m bei Wassentoff erniedrigt. ·

6. Ein Körper, der in eine Flüssigkeit eintaucht, erhält einen Auftrieb gleich dem Gewicht der vom Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge. Der Auftrieb greift im Schwerpunkt des verdrängten Volumens an. 7- Stabilität schwimmender Körper. Ein eingetauchter Körper schwimmt, wenn das Körpergewicht gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit ist und Körperschwerpunkt S K und Schwerpunkt der verdrängten Wassermenge S~ auf einer Fig. S. Senkrechten liegen (Fig. 5). Metazentrum. Wird der schwimmende Körper geneigt, so wandert der Schwerpunkt der verdrängten Wassermenge nach S~. Der hier angreifende Auftrieb schneidet die vorherige Senkrechte durch den Körperschwerpunkt in M. Diesen Punkt nennt man Metazentrum. Ein Körper schwimmt nur stabil, wenn M oberhalb des Körperschwerpunktes liegt.

C. Statik und Eigenschaften der Atmosphäre: I. Allgemeines•. Als internationale Normalatmosphä re bezeichnet man den Wert: bei I = 1 So C; das entsprechende spezifische Gewicht beträgt y = 1,226 kgfm'; I!- y/g- 0,125 - 1/8 [kg · aek1fm•].

p = 10332 kgfm'·

246

Mechanik. -

Statik flüssiger und gasförmiger Körper.

Als deutsche Normalatmosphäre gelten folgende Bodenwerte: 1>- 10363 kg/m'; to = to• C; • r = 1,25 kgfm'; e = o,t27 [kg · sek'/m']. Berechnung des spezifischen Gewichtes nach der Gasgleichung r = PI R T. Außer dem absoluten Druck muß somit noch die Temperatur gemessen werden.

Mittlere Jahreswerte für

~~~ I' dem Meer in km

0

2

Juh

i

16

I

o --3

I

•

IJahresmittiol 8 o

1

t.

und

~~ezi~~ch~s Gewicl_J_t_l

Lufttemperatur

IJanuar Ij

p, y

Januar

Ti:zs

l1,o26

Ij

. Juh

Barometerstand ...

Il ~mittel ahres- . I Januar I

/1,23 .!, -1,25 o,996 1,oo8

I

. ~; Jahresmittel

Jull

764 1 i61 : 762 593 , 599 : 596

Der Luftdruck schwankt infolge Wettereinflüsse um etwa 5 vH um die Mittelwerte, während das spezifische Gewicht um, etwa 20 vH schwanken kann. Für meteorologische Zwecke wird eine neue Einheit, das "Millibar" verwendet. 1000mb= 750mmQS= 106 dyn/cm2 ; d.h. 1mb= -immQS; 1mmQS = fmb. Bei vollkommen· ruhiger Atmosphäre findet nach oben hin eine adiabatische Druckabnahme und Temperaturerniedrigung statt. Hierbei ändert sich bei 100m Höhenunterschied die Tem· peratur um 1 • C.

2. Feuchtigkeit der Luft. Bezüglich Feuchtigkeitsgehalt der Luft s. S. 312. Mit WasserdamJ?f gesättigte Luft enthält folgende Mengen Wasser in 1 m 3 : 0

c

g Wasser je m 8

/ -20° ~-1o• 4,0

2,3

/

o• .,. to• -I 20; ,. · 3o• 4,9 9,3 I 17,2 30

Bei den Anwendungen der Strömungslehre wirkt sich die Luftfeuch,igkeit so aus, daß das spezifische Gewicht der Luft etwas geändert wird. Beigenauen Messungen ist dies zu beac)\ten. Am zweckmäßigsten wird die Luftfeuchtigkeit durch Einführung der Gaskonstanten R für das Luft-Dampf-Gemis" t8 = 15- 6,5H; Pn= 1,03323 --2ssat];

+

Yn

=

288 - 6,5H)4.25a 1,2255 ( ---- 288 -~ rkgjm3].

Zahlenangaben für die Cina-Höhe.

~ r1~ Pn

Yn

Pa/Po (!a/(! 0

0,5 11,75 1,033 0,973 1,225 1,168 0,942 1,0 0,952 t,O

8~5 I 2~0

0,916 1,112 0,887 o,907

0,81.1 1,01 0,784 o,821

l_!.s -~1 I -1~.s ~~o -1-Ü.s -~~.5 0,715 0,909 0,6921 o,742

0,628 0,551 0,269 0,819 0,736 0,413 0,608 0,533 i 0,261 o,668 o,601 1 o,337

0,123 0,194 0,1191 o,1s6

0,0557 0,088 0,054 o,o71,

Hauptgesetze.

247

Zusammensetzung der Luft (gültig bis etwa 20 km Höhe): 78 Raumteile Stickstoff, 21 vH Sauerstoff, 0,9 vH Argon, 0,03 vH Kohlensäure, 0,0012 vH Neon, 0,001 vH Wasserstoff und 0,0004 vH Helium. Von etwa 20 km Höhe ab nimmt der Sauerstoffgehalt um 0,3 vH für i km Höhe ab, bis in einer Höhe von etwa 60 km kein Sauerstoff mehr vorhanden ist.

IV. Strömungslehre 1). Bearbeitet von Dr.-Ing. Bruno Eck, Köln.

A. Hauptgesetze.

+

+

l. Bernoulllsche Gleichung.

+

+

P1/Y wU2g = h2 p.Jy w:f2g = H = konst. h1 Die Gleichung gilt. ~..,.........,...s"...,....,..."o::+ für reibungslose Flüssigkeit und besagt, daß die gesamte. Energie an jeder Stelle konstant ist (Fig. 6). Man nennt: w2/2g die Geschwindigkeitsenergie, h die Lagen-· energie, p/y die Druckenergie. Bei einer LeiFig.?. Fig. 6. keinerlei die tung, Niveauunterschiede aufweist, vereinfacht sich die Gleichung in wV2g = p.Jy wU2g = H oder · P1 + yf2g • ~ = Ps yf2g • w: = P. P1

/y +

+

+

Anmerkung: a) Bei nichtstationären Bewegungen, d. h. wenn die Geschwlndigkei,t an einer Stelle sich noch mit der Zeit ändert, tritt zu der Bernoullischen Gleichung noch ein , , Beschleunigungsglied

/J"'

Ii . 1 1 /~"' 2g +-g 81 s -konst. y-+ w: a·ilis ~ 11"+ "' 2g~ +-g y-+ ... "+ ~'• 0

0

Beispiele: t.Anordnung nach Fig.7: f> 1 =0,1atü-+1,1ata; Ul1 =4m/sek. ~ Ünterdruck an d~~r Stelle 2 ist zu bestimmen a) für Wasser und b) für Luft als Durchflußmittel. a) Nach der Kontinuitätsgleichung (S. 251j ist "'• = "'• (li1 /li1 ) 1 = 4 (20/14)1 = 8,16 m/sek;

r

p,+2gw~

tooo

r

r

= Po+ 2g"'l; . AP=P1 =f>,- 2g(w~ -. w~) '= -2 -. 9-,8-1 (8,161 -

41) =2570mm WS;

p, = p,- A p = t,t- 0,257 = 0,843 ata; ·Unterdruck -+ 1,0- 0,843 = 0,157 at bzw. 1570 mm WS. b) Luft von

ts• C

iLutt =

p

11000

•·

R T = .29,3 . 288 = I ,3 kg/m '

wie unter a) 1 ' 3 . 50' 6 = 3,35 mm WS; 2. 9,8! p, = p,-A p = tt000 -3,3S= l0996,65mmWS-+ t ,0997ata. Ll P =P,-

L (w: - w1l = p, = 2g

Fig. 8. Die Meßstelie oeigt somit bei Luft 996,65 mm WS Über· druck an. 2. Ein Tragflügel wird im Windkanal mit einer Geschwindigkeit von .,; = 40 m/sek angeblasen (Fig. 8). An der Stelle R wird ein Unterdruck von JOO mm WS gemessen. Wie groß • ist die Geschwindigkeit an dieser Stelle? p, + y{2g - w~ = p, + y/2g • wi,

hi:~:U_' ______"'• ~ v~p~f~~ ~-~;;

"'•

= V300 . 16 + 4Qi = 80 m/sek.

Uteratur: Eck: Technische Strömungslehre. Berlin: Springer 1935 (in enger Anlehnung an diesen Abschnitt). - Prandti -T ietjens: Aero- und Hydromechanik. Berlin: Spiinger. Wien-Harms: Handbuch der Experimentalphysik. Bd. 4 . 1)

Mechanik. -

248

Strömungslehre.

b) Für die Bedürfnisse des Kreiselmaschlnenuaues interessiert noch eine andere Form der Bernoullischen Gleichung. Ist bei einem rotierenden Schaufelkranz u die Umfangsgeschwindigkeit, w die Relativgeschwindigkeit tmd p der statische Druck, so besteht die Beziehung:

+

+

wU2g P1/y - tt~ f2g = w:f2g p2fy -- u:f2g = konst. Man bezeichnet diese Formel als Bernoullische Gleichung der Relativbewegung. c) Bei höheren Geschwindigkeiten - etwa von 150 mfsek - spielt die Kompressibilität bei Gasen eine Rolle. Größere Druckunterschiede bedingen eine Arbeitsleistung nach den thermodynamischen Gesetzen; dann ist folgende Form der Bernoullischen Gleichung zu verwenden: ·

j d pfy + w2f2g =

konst.

Zusatz: Die Lels,:mg ln ,m·kgjsek, die etwa v [m/sek]. w2 = IX Hieraus ergibt sich die sekundliehe Durchflußmenge V= w2 • F 1 • Der Koeffizient IX enthält alle Abweichungen von der reibungslos durchgeführten Berechnung. Unter F 1 .versteht man den .engsten Querschnitt der Düse und der Blende. Die Düsenkoeffizienten, die in Fig. 42 und 43 in Abhängigkeit von der Reynoldsschen Zahl ReD= w1 • D/v (D = Rohrdurchmesser) für verschiedene Öffnungsverhältnisse m= F.JF1 aufgetragen sind, sind oberhalb gewisser Reynolds • scher Zahlen praktisch konstant. Vor und hinter der Meßstelle muß eine störungsfreie gerade Rohrstrecke von (10 bis 20) • D vorhanden seic.

Jl2g

Genaue Untersuchungen filr NormdOSen und Normblenden Im Einlauf und Auslauf ohne vor- bzw. nachgeschaltetes Roh.-,tßck wurden v011 Stach 'I ausgefllhrt. Elo wurde festgestellt, daß die Durchflußzahlen für Dillen und Blenden im Einlauf oberhalb der Reynoldsscben Zahl 0,55 · 101 konstant sind und unabhängig vom Öffnungsdurchmesser den konstanten Wert "'Dttoe ~ 0,99 und "'Blende = 0,6 haben. Bei Verwendung Im Auslauf liegen die Beiwerte >0,25 etwas oberhalb der Toleranzgrenze bei Oasen etwas unterhalb und bei Blenden mit oberhalb der aus den ,.Regeln" bekannten tx-Werte# Normblenden sind für alle Rohrdurchmesser lichen Stahlrohren kann nach den Versuchen von Zimmermann und den Untersuchungen von Galavics folgend~ Formel angewendet werden (d in mm): ' o 86 • tu • (. Rt!1'dl,l ')1.75 _ ). = ), glatt + .,:__ d 112.----- • lg - -.-...

tu•·•

Fi~.4o

zeigt nach Galavics di,c Abhängigkeil ), von Re.

d) ürenzrauhigkeit. Ftir jedes Strömungsproblem gibt es eine be>timmte Rauhigkeit, die •o.:. Grenzrauhigkeit, die den gleichen Widerstand Wie die absolut glatte Waad aufwdst. Praktist:n ist d1eser Fall von grobem Interesse, da beim Erreichen dit!ser Gren7xauhigkeit eine weitere feinere Bearbeitung einer Obcrfläcbe zwecklos ist. Ist k die die Rauhigkeit bestimmende mittlere War.d~.rhebung und c die StrömungsgPSChwindigkeit, so ist unterhalb der sog. Kornkennzahl k • •I"•~ 100 die Wand glatt und oberhalb als ranb zu betrachten.

5. Unrunde Querschnitte.

F Querschnittsfläche t•Uhrt man den sog. hydraulischen Radius ein a == = , · · benetzter Umfang so können. alle vorherigen Formeln und A.-Werte übernommen werden, wenn il~

-u·

-j-=

Widerstände in Rohrleitungen und Armaturen.

263

!

\.

I

~, _

w=~ 1/l(J, _ _

---

1----

--

--

--

-

I

-f--·

I i

.i

I

I

I

l

~"---- ·

-- ~~

~&7i-;-f--'---

~ .:s::-1---

' (/()

_ _l __ ~~

I i ___ I~~ --r--·:

---j -- --~----1·-- ~ :-- ,__ I -r- -----={ _. _j_l_ .....____ ---~~ -- 'I _, - __ i I i i ......~..---

f6

'

!,Q

(4

I

iYfr.?SJ'--.W NW

-~ ~

~

I

4(lfl)q ~

_l__

'flJNW

~i'

4f

~6

M

lgh'e-

60

.ff

4l

7iir f,6

1$4

Fig. 46. Kurve '" glattes Rohr nach Pr an d.t L

allen Formeln d dur:h 4a ersetzt wird. (Für den Kreis wird a =

jO

"':J. = f). 4

Zu beachten ist, daß auch in der Reynoldsschen Zahl diese Einsetzung er. d. h. R e f orderlieh 1St,

4F/u = w-•,. - .

• Beispiele: t. Ein Turbinenrohr von 300m Unge und tl- 300 mm Dmr. liegt vor, dessen Wandbeschaffenheit als theoretisch glatt bezeichnet werden ooll. Die Geschwindigkeit sei 2,5 m/sek. . Druckverlust? Nach · S. 646 ist v = 103 · 9,8/1000 = I . R1 - uulfv ~ 2,5 • 03 · 10'/1 - 750000. Für diesen Bereich kommt ·das Gesetz von Hermann in Frage. l - 0,0054 + 0,396 • tfR,O,I - 0,005'4 + 0,396 • I/7S0()()()0,8 - 0,01228, • · 1·000 • 2 s• - 3900 kgfm'• · !_ ..,. - o•o1228 • 300 4 ~ - 1 !... 0,3 2 • 9,81 • tl 21 d. h. 4 ~ - 0,39 at. 2. Für eine WaSserleitung aus handelsüblichem Stahlrohr (50 NW},2 km Läng•, 18 Krümmern und 6 Schieber soll die Pu111penleistung bestimmt werden bei einer Geschwindigkeit von 1,5 m/sek in der Ro"rleitung. Für die Krummer werde nach S. 265 ein C1 =0,5 und fürdie Schieber (offen) ein C1 •o,OS · eingesetzt, Re= w • dJv = 1,5 · 0,05 • 101 /1 = 75000. Nach der Formel von Galavics , hzw. Fig. 46, erhält ·man für SO NW und Re= 150000 den Wert 4 ~ 0,02184. Es ergeben sich folgende Einzelwiderstände: a) Rohrleitung .Ii p, = ;. · !__ 1'... d 2g Staudruck

·15 !. · w' = 2_l_~ d= 2g ' 9,81

1

°

b) Krümmer d p, = 4 p, = c) Schieber Gesamtwiderstand 4 p = ll h = somit Wassermenge

2000 • 114,8 = wr = 0,~2184 · 0,05

= I 14 8 kg im . •

100300 kg/m 1,

1.

I 8 · C, y(2 g • w' = 18 · 0,5 · 1 14~8 = 1032 kg/m'c b · ,:-, · y/2g w' = 6 · 0,05 · 114,8 = 34,5 kgfm1 • 4 p, = 101 366.5 kg(m 1, 4 p, ll p, 101,366 m, d. h. LI p ~ 10,137 at,

+

+

V = u"l-' = 1,5 · "-/~ · 10 -!= 29,5 · 10- •m1/sek~2.951/sek ... 2,95 kg(sek,

LI_~ = ~~s_: -~01 • 3 ~

= 3 98 PS. ' 75 75 Mit 'I Pumpe= O,X2 (Kolbt>npumpe) ergiht .,rh als Atariebleistung: N,= 3,98/0,82 = 4,85 PS.

theoretische Pumpenleistung N = G ·

264

Mechanik. -

Strömungslehre.

Gesc11winaigkeitsverteilung in Rohren. a) Laminare Strömung. Die Geschwindigkeitsverteilung ist parabolisch. Die Maximalgeschwindigkeit Wmai (d. h. in Rohrmittel ist doppelt so groß wie die Mittelgeschwindigkeit. b) Turbulente Strömung. Die Geschwindigkeitsverteilung ist. viel völliger. Für praktische Rechnungen .genügt ein Potenzgesetz: w = wmax (yjr) 1 /" (y Abstand von Rohrwand in m), genauer nach v. Karman: w = wmu.J1 - (.r/r)1,2lbio 2]t (z Abstand von Rohrmitte in m). Im größten Bereich des glatten Rohres ist n = 7.

n

W/Wm&I

Re

I

6

0,791

IraW:e Rohre

I

o.~37

7

0,812

1

o.~55

-0,45 ·tOS ~ 2 • 105 i~o,64 · 1o6

1

10 0,865

11 0,877

höhere Re-Werte

6. Anlaufstrecke. Alle angegebenen Werte beziehen sich auf die "ausgebildete Rohtströmung", die erst .nach einer gewissen "Anlaufs'-~ ....~= •. -.r-.- -.J.

wiEQi ~ .FJ&. 58.

Fig. 57.

Die Strömung legt sich nach der Einschnürung erst allmählich wieder an. Nach etwa achtfachem Durchmesser des Rohres ist der Energieumsatz ziemlich ab· geschlossen. Den Druckumsatz in der Erweiterung kann man durch einen WirkWlgsgrad · · erfassen: D~ckverlust

1'/ = 1 - Druckumsatz nach Bernoulli

F1(F=II o,1 .. I. 1'/

o,t82

1

I

0,2 - -0,3 ,- 0,4 ., 0,5 -~ 0,6 0,333 1 0,462 0,571 0,667 0,75

I 0,7

., 0,8 ,. 0,9

o,824 o,889 0,947

Beispiel: Ein Wasserrohr von too Dmr. wird durch einen Bolzen voo 30 Dmr. teilweiSe versperrt. Welcher Druckverlust entsteht hierdurch bei einer Geschwindigkeit voo 4 mfsek im · Ha)lptquer&cbnitt? (Fig. 58.) Engster Quersclmitt: /,- "'D'/4- d ·I- 78,5- 3 • to- 48,5 cm•, /, •78,5 qm'. Nach der .Korl.tinuitätsglelchung güt: "'• = y

Druckverlust = Zg

tOOO

[1111 -

"'•(~)- 4 78•5 '·

w1] 1 = 2 • 9, 81 [6,47-.4]1 -

48,5

6,47 mfsek..

1000 • 2· 71

2 • 9,Si-:- 3H mm WS.

b) Unstetige Rohrverengunl(; An der scharfen Kante entsteht eine Einschnürung der Strömung (Fig. 59). Wenn die Kontraktionszalll p = F~!F1 be· 1) 1 ).

VDI-Foncb.-Heft 272. Eck: Z. angew. Matb. Mech. t923.

268

Mechanik. -

Strömungslehre.

kannt, ist, is~ der Verlust LJp = _'!_ (w~ - w1 )B. Mit w 2 • p. = w2 entsteht: 2

L1pv.r1 = e/2 · wU1/,u - 1Y

so daß bei Einführung von C= (1/p. -- 1)2 der Verlust auf den Staudruck der Geschwindigkeit des ausgefüllten Querschnitts bezogen wird.

Pig. 59;

0,41 bis 0,314 0,221 " 0,0625 0,0125 0,0001

0,61 bis 0,64

0,68 " 0,8 0,9 0,99

scharfe Kante Kante etwas gebrochen Abrundung mit kleinem Krümmungsradius bei sehr großer und glatter Abrundung

Wenn die Zuflußgeschwindigkeit steigt, d. h. wenn F',)F1 größer wird, bildet sich die Kontraktion nicht mehr so stark aus. FR•-5·101 I I

_>Re=IO'

0,21

0,09

unter Jfll etetil'er Übergang zu _g_:~~~e-.Wertcn _I _____

0,2

Re>tO'

0,1

006

0.083 0,094

unterkritisch

0.63 0,68

Re>5-tO'

0.82 0,98 1,2 0,35

etWll Re- 9 • IO'

I

I

I

-- '------·----

Flg. 66.

0,74

Widerstand '!O.D. Körpem.

271

Krümmungsradius an der zu erwartendeQ Ablösungsste).le, so findet der Umschlag bei Re = wrf"""' 6 • 101 bis 15 • 1o' statt.

Bel Widerstands!Orpern mit großem · Widerstand Ist der Formwiderstand llbenriegend, z. B. bei der Kuael beträgt im überkritischen Bereich der Formwiderstand 90 vH und der Relbuncswideistand nur 10 vH. · '

Übersicht über den Widerstand typjScher Körperformen Fig.

65 u. 66.

4. Beeinflussung des Widerstandes clureh die Ausbildung der Vor.derkante. Die Widerstandsangaben ftlr venchiedq.e KOrpfr (S. 270) lassen deutlich erkennen, daß ein möglichst schlanker AbflußkOrper den Widerstand sehr gpnstig be· einfluß!, trotzdem. ist die Ausbildung der Vqrderkante von nicht geringerer Bedeutung. Bel der U~romung eines Körpers bildet sich nämlich in der Nil\e der vor· deren Abrundung ein Druckminimum und damit eine Stelle grOßter Geschwindigkeit aus. Je grOBer· d,lese Geschwindigkeit ist, um so stärker muß nachher die. Ver· zOgerung sein, um so grOBer ist somit auch die.:AblOsungsgefahr. Durch zweckmäßige Formgebung ddskörpern, sondern auch bei der Gestaltung der Schaufeleintrlttskanten von Turbomaschinen (Kavit11tlon!) zu beachten.

5, Widerstand von· Fahrzeu&en.

~~-------

.~a

10 ~

-~=-----1

Flg. 67. Druckvertel!ung an der venchieden geformten Vorder· kante eines uneudlich langen Körpers.

Bei den ständig steigenden Geschwindigkeiten der Fahrzeuge spielt der Luftwiderstand eine immer größere Rolle. Bis zu Geschwindigkeiten von rund 70 km/h ist .der Anteil des Luftwiderstandes im Verhältnis zu den anderen Widerstinden gering. Bei Geschwindigkeiten über 100 km/h ist der Einfluß so groß, daß die Formgebung dieser Wagen durch Scheibe in Bodennähj die forderung nach kleinstem Luft· c",-1,27 widerstand entscheidend beeinflußt wird. . Der Leistungsaufwand wächst ~ Offener Wagen mit der dritten Potenz der Geschwin2 digkeit und wird nach folgender Formel berechnet: Geschlossener Wapo

3

L

= c · yf2g · F · w (mkgfsek).

F i~t die .sog. Spantfläche des Wagens, worunter man das projizierte Schattenprofil des Wagens in Fahrtrichtung versteht. Fig. 68 zeigt anschaulich, was durch zweckentsprechende Formgebung erreicht werden l20m · w = 40 m{sek (45 m{sek). Die eingeklammerten Zahlen gelten für besonders windreiche Gegenden. ·Genaue Werte über den Winddruck auf Gebäude sind nur durch Modellversuebe im Windkanal zu erhalten. Nach Aßmann können über die Häufigkeit der Wind,.tärken in verschiedenen Höhen bei verschiedenen Jahreszeiten folgende Angaben gemacht werden: Häufigkeit der Windstärken nan~·r· FlüssigkPiten ist nur an der Seite ·der Flüssfgkeit mit ktPinerer Wärm,.iibergangszahJ angebracht, also zwecklos. wenn die Flüssigkeiten annähernd gleiche WännPüberi;canl!'•ahl haben. Der Wärmeübergang bei senkrechten Rohren erreicht nur den bei waagerechten Rohren von gleichem Dmr., wenn die Länge ersterer I;;;; 2,85.t ist. Trotzdem werden Verdampfer BeDk-

>

Thermodynamik.

297

recht angeordnet, weil im I nnern der außen beheizten Rohre die Dampfblasen Im Kern der zu verdampfenden FIOssigkeit aufsteigen und keine den Wärmeübergana hiDdernde Dampfscblcht

u.

den Rohrwiinrlf":o entsteht.

Filmkondensation tntt bei ganz reinem Dampf auf, wenn dieser an rauben oder polierten reinen Flächen kondensiert; auch bei Dampfgeschwindigkeiten etwa über 10 mfsek zeigt sich Filmkondensation. In Tropfenform ,.,ird bei verunreinigten Kondensationsflächen kondensiert, so daß durch "Impfung" des l>ampfes mit Ölen und Fettsäuren Tropfeokoodeosatlon.herbei· geführt werden kann, für die Stahl- und Aluminiumrohre am weni1!5ten geeignet sind. Vereinzelt sind bei Tropfenkondensation Werte von "'-68000 und 100000 .kcaltm' h • C gemessen worden. (Fritz: Z. VDI 1938 S. llt.) Zu beachten ist die Verringerung der Wärmeübertragung durch Kesselstein (J.-2) und 01 (Ä-0,1). Beispiel: Durch die Rohre eines Speisewasservorwärmersstrome Wasser mit w=t mfsek, das Rohr sei mit einer Kesselsteinschicht von 0,3 mm behaftet. Mittlere Wassertemperatur=60°. Nach S. 637 ist ). = 80 für Messing, nach S. 293 ist "'Dampf- 10000 kcal/w 1 h • C und "'wauer- 2900 • 1°·.. (1 + 0,014 • 60)- 5336 kca.IJm••c h. Für das reine Rohr folgt bei 3 mm Wanddicke: 1/k ~ 1/10000 + 1/5336 + 0,003/80- 0,000327; k- 3060 kcal/m' h • C. Für das lnkrustieyte Rohr ist tfk,- tfk + o,0003/2.- o,ooo~n; ~< = (T.fT,)'/"-t.

"

= cpfc.

Die von 1 kg Gas geleistete Arbeit ist

jA Pdv

=

A L0 = c.(T1

oder auch

Lo

= =

Pt f!t [ t -

" -

1

•

(.!!.)"f] o.

-

T1), in Wärmeeinheiten gemessen, iu mkgjkg

~ [1 _(fr)" : '] = !'t (t _ T,) 0l

"- t ~

=AR (P1 v1

Pt

-

P 1 111 )

Die Konstruktion der Kurve

" -

"-1

Tt

1

t = - - (P1 v1

pv" = konst.

-

P 2 v2)

= "-1 -R- (T1 -

s. S. 115.

T 2).

Mechanik. -

302

Wärmelehre.

Beispiel: 500 kg Luft von 11 at abs und 20" C dehnen sieb adiabatiscll anf2 at abs aus. Die Endtemperatur der Luft, sowie die Arbeitsleistung sind 1111 berechnen. T,fT, - fp,fp)"-I/> ", sind mit Wärmeabfuhr, solche, bei denen m < ", sind mit Wärmezufuhr verbunden. Die Konstruktion der Polytrope ist derjenigen der Adiabate entsprechend. Für 1 < m < " ist c negativ, sonst positiv. Im negativen Gebiet sinkt die Temperatur trgtz Wärmezufuhr, bzw. sie steigt trotz Wärmeabfuhr.

·

A L = G (c - c.) (t1

-

GRA

t 1 ) = m _ 1 (~ -

t 1 ).

f) Ermittlung von T und m aus einer gegebenen Kurve. Die Temperatur Tb des Punktes b, Fig. 6, kann bestimmt werden, wenn für einen Punkt a mit den Koordinaten· P0 und V a die Temperatur Ta gegeben ist, indem von 0 der Strahl Oe gezogen wird. Ist der TempE'raturmaßstab so gewählt, daß ae c --nicht nur P 4 , sondern auch Ta darstellt, dann ist dc= Tt. Der Beweis folgt aus den Beziehungen·

•

PbVb=Tb. PaVa Ta'

T 6 -Ta.VbP~ Po V0 '

Zur Feststellung von m e'iner gegebenen Kurve überträgt man diese auf doppelt logarithmisches Papier, also logp = f (J6gv); ergibt sich eine Gerade, so ist tglX = m, entsteht eine gekrümmte Linie, so ist m veränderlich und die jeweilige Größe ist gleich ~r Richtungskonstanten an die Tangente der Kurve. Aus der p V-Linie selbst kann man m gemäß Fig. 7erhalten.A B=vfm. Ziehtman(nach Dubbel, Fig. 6. Öl· und Gasmaschinen) die Waagerechte L im Abstande 1 von der V-Achse, fällt von B das Lot auf L bis C, zieht CA , so schneidet die Verlängerung auf der p-Achse das Stück m ab. Für sehr flache Kurven, bei denen Punkt B sehr weit nach rechts fällt, kann man nach Fig. 7a vorgehen. Man zieht die Tangente in P bis zum Schnitt A mit der P·Achse, zieht ferner die Waagerechte PB. Dann ist OA = (m + t)p.

303

Thermodynamik.

Trägt man auf einer beliebigen durchO gehenden Geraden die Einheit ab, verbindet B mit dem Ende dieser Strecke C und zieht durch A eine Parallele Zlll' Verbindungslinie BC, so schneidet diese Parallele die Strecke m, gemessen von C an, ab. g) .Drosselung. Bei dieser Zustandsänderung bleibt die Summe der inneren Energie und der kinetischen Energie bei vollkommenen Gasen konstant. Sind w1 und w 8 die bezüglichen Geschwindigkeiten, so gi\t

A P V1

G w~

+ G c. · t1 + A • -g

p

----'2

= G c. t2 + A

mithin, da Pv = R T (t1 -

t 2 ) (AR

+ c.) =

G

I

•

Wg ·--+ APV2 ; g 2 .

A/2g • (w~- wn.

p

Fig. 7.

Fig. 7a.

Sind w1 und w2 verhältnismäßig klein, so ist nahezu t1 - t 2 = 0, d. h. die Temperatur ändert sich bei einer Drosselung nicht. Strömt das Gas mit hoher Geschwindigkeit durch eine Drosselstelle, nimmt aber nachher geringe Geschwindigkeiten an, so ist an der Drosselstelle eine Temperaturabsenkung vorhanden, die sich aber im weiteren Rohr verliert, da die kinetische Energie durch Wirbelung verzehrt und in Wärme umgewandelt wird. Von der Abkühlung des Gases in der DrosselsieHe ist schad die Abkühlung des Behälters zu unterscheiden, dem etwa das-. Gas entnommen wird, da hier das Gas eine nahezu adiabatische 7.ustandsände.rung erfährt. Thol...son-Jo•Jle-Effekt. Alle nicht .vollkommenen Gase erleiden bei Drosselung eine Temperaturänderung. Jel Druckabfall bewirkt bei hohen Temperaturen eine geringe Temperaturerhöbung, die bei sinkender Temperatur zunächst auf 0 abnimmt und dann in Temperatursenkung umschlägt. Auch durch Steigerung des Ausgangsdruckes kann das Vorzeichen geändert werden, so daß sich eine von p und T abhängige ulnversionskurve" ergibt. Nur Wasserstoft und Helium erwärmen sieb bei normaler (Zimmer·) Temperatur durch Entspannung. DerThomso:n·Joule-Effekt ermöglicht die Verflüssigung der Luft und anderer Gase. z. B. ist für Luft die Temperatursenkung je at Druckabfall bei 25° C p=0,22°, bel-100° ,u=0,62°.

5. Kreisprozesse. Verändert ein Körper seinen Zustand so, daß er nach einiger Zeit den ursprünglichen Zustand wieder annimmt, so durchläuft er einen l{reisprozeß. Im Pv-Diagramm stellt der Inhalt des Diagrammes die je kg geleistete Arbeit dar. Die Differenz zwischen der zugeführten und der abgeführten Wärmemenge ist die Arbeitsleistung, im Wärmemaß gemessen. Kreisprozesse, bei denen die zugeführte Wärme vollständig in Arbeit umgewandelt wird, sind unmöglich. Ist Q1 die ge5amte zugeführte, Q2 die gesamte abgeführte Wärmemenge und L die geleistete Arbeit in, mkg, so gilt die Wärmebilanzgleichung Der thermische Wirkungsgrad des Kreisprozesses ist

AL Q1

Qt- Q2 Q,

'1'}=-=----. Unter allen möglichen Krelsprozt'ssen bei .bestinlmten Arbeitsbedingungen haben diejenigen den günstigsten Wirkungsgrad, bei denen alle vorkommenden

304

Mechanik. -

Wärmelehre.

Zustandsänderungen umkehrbar, reversibel sind. Ein Vorgang ist umkehr· bar, wenn er auch in umg,.kehrt"r Richtung verlauten kann, so daß sieb am Schluß der umgekehrten Zustandsänderung alle bdeiligten Korper im gJ.,ichen Zustande wie am Anfang bt'findPn. Um kehrbare Zustandsänderungen sind: Adiabati.~che Ausdehnung bzw. Verdichtung, Wärmetibergang zwischen z;wel Körptru bei unendlich kleiner Temperaturdifferenz, Verdampfen und KonrlPnsil'ren unter der Voraussl'tzung,. daß der Heiz- bzw. der Kühlkörper die TempPratur des Siedepunktes bat, isothermische oder auch polytropfsehe Ausdehnung und Verdichtung. unter der Voraussetzung, daß der Heiz- bzw. der Kühlkörper je.weils die Temperatur des arbeitenden Stoffes hat. Nicht umkehrbar sind: Reibung in jf'der Form. also Drosselung in Rohrleitungen. Reibung fester Körper, unvollkommene Elastizität, ferner Wärmeübergang zwischen Körpern, deren Temperaturen verachieden sind. Vollkommen rE"versible Prozessr sind in Wlrk.llchkelt ausgeo;chlossen, da Reibung stets vorhanden ist, alll' Körper nur unvollkommen elastisch sind und man stPtS mit Temperaturdifferenzen von endlicher Größe arbeiten muß. um mit endlichen Wärmeübertragungsflachen bzw. endheben Zeiten·a~zukommen, auch dPn Einfluß der Zvlindel·wandungen bei wiumekraftwa..chinen und Verdichtem nicht ausschalten kann.

Der Carnotsche Krelsprozeß. Dieser setzt sich aus totgenden vier umkehrbaren Prozessen zusammen: I. Isothermische Ausdehnung bei der Temperatur des Heizkörpers T 1 • ll. adiabatische Ausdehnung bis zur s..nkung der Temperatur auf die des KühlkÖrpers lll. isotht-rWISCbe Verdichtung bei der Temperatur r •. lV. adiabatische Verdichtung bis zum Erreichen des Anfangszustandes. Während des Prozesses I r. WITd die Wärm.,menge Q1 zu 1 während des Prop.,u, zesses lll die Wärmemen~e Q2 abgeführt (Fig. 8).

T,.

Q1 = GAR.T 1 lnu1fu 1 GART1 lnv 1 ju,, Q, r. ln u.fv, -- = --.-------·;

Es ist

r, A.

Q1

und also

p,v,"

a.

Pig. 8.

r. ln "sfu' (v 3fv 1 )"--1 = (u,/v1)"-1,

und

Mithin wird

=

=

''3/u, = o,fv1, Q1 /T1 = QafT1 •

also

ist

7J

T1 fT1

da ferner

Q, - Qa

~-

. also Q E•s 1st 1

=

Tl - Tz Tt

=

Tz 1 ..., Tl'

~-r. = Q1 + Q1 -r,-T, -.

AL .

-

Q Tl- Tz I

T

I

•

Die unter den Adiabaten liegenden Flächen sind gleich groß. Andere Kreisprozesse: Gasmaschine, Dieselmotor Bd. II, S. 108.

Zweiter Hauptsatz. Sind Heiz- und Kühlkörper nicht von unendlicher, sonde.rn von endlicher Wärmekapazität, so läßt sich die isothermisch!' Zustandsänderung nur während des Cberströmens der unendlich kleinen Wärmem.,uge d Q umkehrbar durchführen. Man kann jeden beliebigen umkehrbaren PI'Ozeß in unendlich viele Elementarprozesse unterteilen. für deren jeden die Beziehuug dQ 1 dQ 2 dQ 1 - dQ 2 T1 - T 1 1'2. und 'I = =

----r;

..

-Jo;- --- --·-r;- '

305

Thermodynamik. also auch

dQI = dQ•

+ Tl ~~ T_!_ dQl

gilt.

=

Wegen ihrer allgemeinen Bedeutung wird die Gleichung d(l 1/Tt dQz/Tz als zweiter Hauptsatz der mechanischen Wär11.ethevrie bezeichnet. Ist T 2 > T 1 , w.ird a).so die Wärme, wie bei einer Kältemaschine, dem kalten Körper ·entzogen und auf den warmen übertragen, so wird

T1

T1

-

dAL = --f---dQ1 1

T -T negaiiv, d. h. der Arbeitsbetrag -~-f-1 d Q2 muß der Maschine zugeführt, die 1

Maschine muß angetrieben werden. s = Q1/A L = T Jf(T1 - T 1 ) = Leis_tungszahl der Kältemaschine. (S. auch Bd, ll, s. 340.) Es ist dann

so kann man den zweiten Hauptsatz auch so aussprechen. Wärme kann niemals ohne Energieaufwand von einem kälteren· auf. einen wärmeren Körper übertragen werden. (Die Energie kann auch die Form von Wärme haben, wie bei Absorptionskältemaschinen.) In jedem umkehrbaren Elementarprozeß ist dQ 1/T 1 = dQJT2 • Faßt man die Größen auf beiden Seiten der Gleichung als Differentiale einer dritten Größe, der Eu tropie, auf, so wird die Zunahme an Entropie dQ 1/T 1 gleich d~r Abnallme der Entropie dQ.JT?.. Bei diesem Differentialprozeß ist also die Anderung der Entropie dS·= 0. Bezüglich Entropie s. S. 314." Da jeder umkehrbare Kreisprozell aus derartigen elementaren Carnotprozessen zusammengesetzt gedacht werden kann, so gilt auch

fdS = fdQ/T = konst., d. h. bei Jedem vollständig umkehrbaren KrelsprozeB nimmt die Entropie des arbeitenden Körpers nach Durchlaufen des Pror.esses wieder denselben Wert an die Entropie ist eine Zustandsgröße. Da dS = dQfT, kann man den ersten Hauptsatz auch schreiben T·dS=dU+APdV.

6. Strömung von Oasen. a) Bei sehr kleinen Druckunterschieden.

Sind bei der Ausströmung die Änderungen von Druck und Volumen sehr klein, so kann wi!l bei tropfbar flüssigen Körpem' die Arbe!tsfläche als ein Rechteck mit dem lnbalt v (P1 - P 2 ) ange!\f'hen werden. Es wird und, mit

v= 1/y, P 1 -

P1

c = y~ii-.--tiT.P~=-:P;i = AP .c

=

J'2i-XJ>Jr.

Wird h mm Wassersäule statt A P kg/rn 2 gesetzt, so ist c =

Y2gh{y =

4.4 3 fhfr.

Bei s p i e 1: Die Geschwindigke-it eines Gases ist zu ben·chnen, das aus f'iner Leitung mit 35 mm Oberdruck, 15° Temperatur bei 745 rum Barometerstand ausströmt. Spezifisches Gewicht des Gaseo r ~o.so kgJm 1 bei o• und 760 mm. Dann ist bei 15° und 745 mm:

. 273.

745

1;-35

r = o,s • (273-; 151 • 76ö = 0,465; < ~ 4,43 Vo,465 = 38,5 mfsek. b) Bei größeren Druckunterschieden. Wird von der Reibung an den Wänden der Düse abgesehen - durch die in Wirklichkeit dem strömenden 'l'as,·heuiJudt fiir den )la::;C'hillclll.mu. 10. Aun. I.

20

3o6

Mechanik. ...:.... Wännelehre.

Arbeitsmittel Wärme zugefühtt wird -, "batisch anzusehen. Es Ist

·

c=

Y21· L 0

so Ist

die Zustandsänderung als adia[ ,. -

"

mit L 0 = - " - P 1 • v1 1. .

x-1.

1]

.

0n Ca rnotschen Kreisprozeß schließt. Die geleistete Arbeit erFlg. 9· gibt skb aus dem Diagramm zu (v"- v') dP mkg oder A (v"- v') dP Wärmeelnheiten. Nach dem zweiten Hauptsatz ist der Wirkungsgrad des Prozesses

'1=:'

T- (T- d1)

T

=

Die geleistete Arbeit ist demnach auch r • '1 rdT/T. Folglich ist A Cv"- 11) dP = r· dTfT oder

A(v"- v') dPfdT

== rfT (Clapeyronsc-.lle

Gleichung).

Dabei ist zu beachten, daß dP/dT die Richtungskonstante der Tangente an die Dampfspannungskurve P = 1 (T) darstellt, also bekannt ist. c) Zustandsänderungen des nassen Dampfes. «) Die Isotherme. Die Zustandsänderung wird im pv- Diagramm durch eine zur v-Achse parallele Gerade dargestellt, da der Druck konstant bleibt. Bei der Ausdehnung des Volumei)S von 11 1 auf v1 ändert sich der Dampfgehalt v011 z 1 auf und es ist o1 - 111 = (z9 - z,) (v 11 - v')""' (Zz - zt) v", L0 P(v1 - 1>1 ) == P(:r2 - z,) (v"- v') mkgfkg. Die zuzuführende Wärmemenge ist q = A P(v"- v') (:z:2 - z1 ) e(:z:1 - z 1 ) = r(:z:2 - z 1 ) kcalfkg; sie wird nur zum Teil in Arbeit umgesetzt, zum größten Teil erhöht sie liie innere Energie des Dampfes. {J) Die Adiabate. Wärme wird weder zu- noch abgeführt. s konstant; also

·:r:,

=

+

sl = s2

=

1

s,

Ztf'l + -T = s. + Zzf'a T-- . 1 2 I

Bei adiabatischer Ausdehnung nimmt der 'Dampfgehalt bei sehr nassem Dampf zu, bei sehr trockenem Dampf ab. Bei adiabatischer Verdichtung wird sehr nasser Dampf noch nasser, sehr trockener Dampf noch trockener. Die absolute Dampfarbeit (Fig. 10) (Fläche unter der Kurve) ist, da die Arbeit auf Kosten der inneren Energie geleistet wird, A Lo = ut- u, = i~ +'z1 e1 - i~- z 1 e1 kcal/kg; die Maschinenarbeit (Fig. 11) (Fläche neben der Kurve) Ist: A L 0 = i 1 - i 1 = i~ :r.1 r 1 - i~- z 1 r 1 kcal{kg. Bis zu 25 kg/cm2 kann die Expansion~linie von troekenem Wasserdampf als Polytrope mit dem Exponenten 1,135 behandelt werden. rl D rosse I u n _g. Zu s t an d sä n der u n g bei g I eich b 1eibendem Wärmeinhalt.

+

309

Thermodynamik. Wird Dampf vom Zustand 1 uuf den Zustand 2 gedrosselt, so ist

+

+

i1 wU2g • A = i 1 wV2g • A oder i 1 - i 2 = A/2g • (w~ - wi). Hierbei sind w 1 und w2 die Geschwindigkeiten des Dampfes vor und nach der Drosselung. Sind, wie bei Kolbenmaschinen, die Dampf![eschwindigkeiten verhältnismäßig klein, kann also die rechte Seite der Gleichung gleich 0 gesetzt werden, so ist i 1 = i 2 • Bei Dross~Iung bleibt der WärmP.inhalt des DampfE"S konstant, der Sp=

PDIP'·

Beispiel: Das trockene Thermometer zeige 30° C, das leuchte 20° C an. Dann ist der wirkliche Partialdruck des Dampfes (bezüglich der Zableuwerte s. Fig, 12): Po- 15.3-0,5 • 10 = 10.3 Torr;

gelw.n die relative Feuchtigkeit bezogen auf Spannung über Eis an, auch wenn sie bei Temperaturen über 0° geeicht sind. Bei Tempt"raturen unter o• ist beim Arbeiten mit Psychrometern besondere Vorsicht geboten. Man kaan, je nach dem Zweck, die relative Feuchtigkdt auf die Dampfspannung über Wasser oder über E!s beziehen.

313

Thermodynamik.

J. Im I-x-Diagramm von MoiJier, FiJ. 12, ist Änderung des Luftzustandes bei Änderung von ·Temperatur und Feuchtigkeit leicl:\t zu erkennen. Das Diagramm enthält die annähernd waagerecht verlaufenden Linien konstanter Temperatur t, die schrägen Linien konstanten Wärmeinhaltes i und die senkrechten Linien gleichen Wassergehaltes z:. Für einen bestimmten Luftdruck in Fig. 12 zu 760 mm. QS gewählt - lassen sich die Kur\ren gleicher relativer Feuchtigkeit 1p eintragen; 1p = 1 stellt die Sättigungskurve dar.

~

,.

~

~ ..

~

c.'

~~ 1.~

~

.,

~

,.,.=s;:

~

>nsl

.,.

,, _JO ·

,..,

II~

~~

.... rc=:

';'.;~

:.·

~·

k ~

~~

21

La

-s

·i.

-14

~

u z

!S

''" §'§

==

~;.::=

~==-"

d. 13'

''\:

~~\~~v~~ ~

~~ :=

;'?

rn.

;-_; ;.~ -.o:{ i

70

-15

. -.;

';}.'~

vn ...."~ E=

~ §'

L

22;,

~ ~==!-

28 JO

~

~

lmn !~

I

l~ f$0 ~

:'!

J

~

~

!~

i .IS

I'Q

~

Iu'

j

f1P.

I1G

~5 '1IJ !P!. 15 = 5

'Ii V, Vö fl8 SO S!

~

Oll

Ia

{l

lrt-

~

==

~ F'

~·

~,

~ :=-

I

I

@

..

:~

~ ~

~ 55 587ag~

--~

Fig. t 2.

Die Ordinaten der unter dem Diagramm eingezeichneten Schrägen geben für jeden Wert x den zugehörigen Dampfdruck in mm QS. Wird Luft mit einer bestimmten Feuchtigkeit 1p1 auf einen anderen Feuchtigkeitsgrad rp2 gebracht; so kann dieser Übergang von einer rp· Linie auf eine andere in der verschiedensten Weise erreicht werden. Wird die die beiden Zustände 1 und 2 verbindende Gerade bis zum Tafelrand verlängert, so geben die hier be· findlichen Richtungsstrahlen das Verhältnis di{dx an. Bei Wärmeentzug mit x = konst. wird im Schnittpunkt der X-Ordinate mit der Sättigungskurve 1p = 1 der Taupunkt gefunden, dessen Unterschreitung Wasserniederschlag zur Folge hat. Bei Abkühlung unter den Taupunkt werden fi.ir jede tiefere Temperatur x und i im Schnittpunkt der betreffenden Temperaturlinie ni'it der Sättigungs.curve gefunden. Beisp iel t . F