Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen [26. Aufl.] 9783662597101, 9783662597118

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-CVI
Front Matter ....Pages 1-2
Mengen, Funktionen und Boolesche Algebra (Uller Jarecki)....Pages 3-11
Zahlen (Uller Jarecki)....Pages 13-25
Lineare Algebra (Uller Jarecki)....Pages 27-43
Geometrie (Hans-Joachim Schulz)....Pages 45-63
Analytische Geometrie (Uller Jarecki)....Pages 65-80
Differential- und Integralrechnung (Uller Jarecki)....Pages 81-118
Kurven und Flächen, Vektoranalysis (Uller Jarecki)....Pages 119-140
Differentialgleichungen (Uller Jarecki)....Pages 141-159
Stochastik und Statistik (Hans-Joachim Schulz)....Pages 161-180
Numerische Verfahren (Hans-Joachim Schulz)....Pages 181-212
Optimierung (Hans-Joachim Schulz)....Pages 213-223
Back Matter ....Pages 225-228
Front Matter ....Pages 229-230
Statik starrer Körper (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 231-256
Kinematik (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 257-272
Kinetik (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 273-294
Schwingungslehre (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 295-309
Hydrostatik (Statik der Flüssigkeiten) (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 311-313
Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide) (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 315-342
Ähnlichkeitsmechanik (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 343-348
Back Matter ....Pages 349-349
Front Matter ....Pages 351-352
Allgemeine Grundlagen (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 353-363
Beanspruchung stabförmiger Bauteile (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 365-413
Elastizitätstheorie (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 415-419
Beanspruchung bei Berührung zweier Körper (Hertz’sche Formeln) (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 421-423
Flächentragwerke (Andreas Hanau, Joachim Villwock)....Pages 425-432
Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte (Andreas Hanau, Joachim Villwock)....Pages 433-435
Stabilitätsprobleme (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 437-446
Finite Berechnungsverfahren (Joachim Villwock, Andreas Hanau)....Pages 447-456
Plastizitätstheorie (Andreas Hanau, Joachim Villwock)....Pages 457-461
Festigkeitsnachweis (Heinz Mertens, Robert Liebich)....Pages 463-469
Back Matter ....Pages 471-471
Front Matter ....Pages 473-474
Werkstoff- und Bauteileigenschaften (Matthias Oechsner, Christina Berger, Karl-Heinz Kloos)....Pages 475-519
Werkstoffprüfung (Matthias Oechsner, Christina Berger, Karl-Heinz Kloos)....Pages 521-538
Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe (Matthias Oechsner, Christina Berger, Karl-Heinz Kloos)....Pages 539-625
Kunststoffe (Michael Kübler, Andreas Müller, Helmut Schürmann)....Pages 627-671
Tribologie (Karl-Heinz Habig, Mathias Woydt)....Pages 673-689
Korrosion und Korrosionsschutz (Thomas Böllinghaus, Michael Rhode, Thora Falkenreck)....Pages 691-725
Front Matter ....Pages 727-727
Thermodynamik. Grundbegriffe (Peter Stephan, Karl Stephan)....Pages 729-731
Temperaturen. Gleichgewichte (Peter Stephan, Karl Stephan)....Pages 733-736
Erster Hauptsatz (Peter Stephan, Karl Stephan)....Pages 737-742
Zweiter Hauptsatz (Peter Stephan, Karl Stephan)....Pages 743-745
Exergie und Anergie (Peter Stephan, Karl Stephan)....Pages 747-749
Stoffthermodynamik (Peter Stephan, Karl Stephan)....Pages 751-776
Zustandsänderungen von Gasen und Dämpfen (Peter Stephan, Karl Stephan)....Pages 777-781
Thermodynamische Prozesse (Peter Stephan, Karl Stephan)....Pages 783-792
Gemische (Peter Stephan, Karl Stephan)....Pages 793-799
Verbrennung (Peter Stephan, Karl Stephan)....Pages 801-805
Wärmeübertragung (Peter Stephan, Karl Stephan)....Pages 807-824
Back Matter ....Pages 825-825
Front Matter ....Pages 827-828
Schwingungen (Holger Hanselka, Sven Herold, Rainer Nordmann, Tamara Nestorović)....Pages 829-862
Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung (Rainer Nordmann, Tamara Nestorović)....Pages 863-877
Maschinenakustik (Holger Hanselka, Joachim Bös, Tamara Nestorović)....Pages 879-899
Front Matter ....Pages 901-901
Allgemeine Tabellen (Karl-Heinrich Grote)....Pages 903-922
Back Matter ....Pages 923-1068

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Beate Bender Dietmar Göhlich Hrsg.

DUBBEL

BAND 1

Taschenbuch für den Maschinenbau Grundlagen und Tabellen 26. Auflage

Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen

DIE KUNST DES HEBENS

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Beate Bender  Dietmar Göhlich (Hrsg.)

Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen 26., überarbeitete Auflage

Hrsg. Prof. Dr.-Ing. Beate Bender Lehrstuhl für Produktentwicklung, Fakultät für Maschinenbau Ruhr-Universität Bochum Bochum, Deutschland

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Göhlich Fachgebiet Methoden der Produktentwicklung und Mechatronik, Fakultät Verkehrs und Maschinensysteme Technische Universität Berlin Berlin, Deutschland

ISBN 978-3-662-59710-1 ISBN 978-3-662-59711-8 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 1914, 1929, 1935, 1940, 1941, 1943, 1953, 1961, 1970, 1974, 1981, 1983, 1986, 1987, 1990, 1995, 1997, 2001, 2005, 2007, 2011, 2014, 2018, 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

Vorwort zur 26. Auflage des DUBBEL – Fundiertes Ingenieurwissen in neuem Format

Der DUBBEL ist seit über 100 Jahren für Generationen von Studierenden sowie in der Praxis tätigen Ingenieurinnen und Ingenieuren das Standardwerk für den Maschinenbau. Er dient gleichermaßen als Nachschlagewerk für Universitäten und Hochschulen, technikorientierte Aus- und Weiterbildungsinstitute wie auch zur Lösung konkreter Aufgaben aus der ingenieurwissenschaftlichen Praxis. Die enorme inhaltliche Bandbreite basiert auf den umfangreichen Erfahrungen der Herausgeber und Autoren, die sie im Rahmen von Lehr- und Forschungstätigkeiten an einschlägigen Hochschulen und Universitäten oder während einer verantwortlichen Industrietätigkeit erworben haben. Die Stoffauswahl ist so getroffen, dass Studierende in der Lage sind, sich problemlos Informationen aus der gesamten Breite des Maschinenbaus zu erschließen. Ingenieurinnen und Ingenieure der Praxis erhalten darüber hinaus ein weitgehend vollständiges Arbeitsmittel zur Lösung typischer Ingenieuraufgaben. Ihnen wird ein schneller Einblick insbesondere auch in solche Fachgebiete gegeben, in denen sie keine Spezialisten sind. So sind zum Beispiel die Ausführungen über Fertigungstechnik nicht nur für Betriebsingenieur*innen gedacht, sondern beispielsweise auch für Konstrukteur*innen und Entwickler*innen, die fertigungsorientiert gestalten. Durch die Vielschichtigkeit technischer Produkte ist eine fachgebietsübergreifende bzw. interdisziplinäre Arbeitsweise nötig. Gerade in Anbetracht der Erweiterung des Produktbegriffs vor dem Hintergrund der Serviceintegration und Digitalisierung müssen Entwicklungsingenieur*innen z. B. über Kenntnisse in der Mechatronik oder Informations- und Kommunikationstechnik verfügen, aber auch auf Systemverständnis sowie Methodenkenntnisse zurückgreifen können. Der DUBBEL hilft somit den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern in allen Unternehmensbereichen der Herstellung und Anwendung maschinenbaulicher Produkte (Anlagen, Maschinen, Apparate, Geräte, Fahrzeuge) bei der Lösung von Problemen: Angefangen bei der Produktplanung, Forschung, Entwicklung, Konstruktion, Arbeitsvorbereitung, Normung, Materialwirtschaft, Fertigung, Montage und Qualitätssicherung über den technischen Vertrieb bis zur Bedienung, Überwachung, Wartung und Instandhaltung und zum Recycling. Die Inhalte stellen das erforderliche Basis- und Detailwissen des Maschinenbaus zur Verfügung und garantieren die Dokumentation des aktuellen Stands der Technik. Die Vielfalt des Maschinenbaus hinsichtlich Ingenieurtätigkeiten und Fachgebieten, der beständige Erkenntniszuwachs sowie die vielschichtigen V

VI

Vorwort zur 26. Auflage des DUBBEL – Fundiertes Ingenieurwissen in neuem Format

Zielsetzungen des DUBBEL erfordern bei der Stoffzusammenstellung eine enge Zusammenarbeit zwischen Herausgeber*innen und Autor*innen. Es müssen die wesentlichen Grundlagen und die unbedingt erforderlichen, allgemein anwendbaren und gesicherten Erkenntnisse der einzelnen Fachgebiete ausgewählt werden. Um einerseits diesem Ziel weiterhin gerecht zu werden und andererseits die Übersichtlichkeit und Lesbarkeit zu verbessern, haben die Herausgeberin und der Herausgeber gemeinsam mit dem Springer-Verlag entschieden, Schrift- und Seitengröße deutlich zu erhöhen. Damit finden sich die bewährten Inhalte nunmehr in einer dreibändigen Ausgabe. Jeder Band wird künftig zudem als Full-Book-Download über das digitale Buchpaket SpringerLink angeboten. Die Reihung der Kapitel wurde gegenüber der 25. Auflage so verändert, dass im Band 1 Grundlagen und Tabellen, im Band 2 maschinenbauliche Anwendungen und im Band 3 Maschinen und Systeme zu finden sind. Band 1 mit Grundlagen und Tabellen enthält neben den allgemeinen Tabellenwerken das technische Basiswissen für Ingenieur*innen bestehend aus Mechanik, Festigkeitslehre, Werkstofftechnik, Thermodynamik und Maschinendynamik. Aufgrund vielfacher Leser*innen-Hinweise sind auch die Grundlagen der Mathematik für Ingenieure wieder Teil dieser Auflage des DUBBEL. Band 2 behandelt maschinenbauliche Anwendungen und umfasst die Produktentwicklung, die virtuelle Produktentwicklung, mechanische Konstruktionselemente, fluidische Antriebe, Elektrotechnik, Messtechnik und Sensorik, Regelungstechnik und Mechatronik, Fertigungsverfahren sowie Fertigungsmittel. Band 3 fokussiert auf Maschinen und Systeme, im Einzelnen sind dies Kolbenmaschinen, Strömungsmaschinen, Fördertechnik, Verfahrenstechnik, thermischer Apparatebau, Kälte-, Klima- und Heizungstechnik, Biomedizinische Technik, Energietechnik und -wirtschaft sowie Verkehrssysteme (Luftfahrt, Straße und Schiene). Beibehalten wurden in allen Bänden die am Ende vieler Kapitel aufgeführten quantitativen Arbeitsunterlagen in Form von Tabellen, Diagrammen und Normenauszügen sowie Stoff- und Richtwerte. Die Benutzungsanleitung vor dem Inhaltsverzeichnis hilft, die Buchstruktur einschließlich Anhang sowie die Abkürzungen zu verstehen. Zahlreiche Hinweise und Querverweise zwischen den einzelnen Teilen und Kapiteln erlauben eine effiziente Nutzung des Werkes. Infolge der Uneinheitlichkeit nationaler und internationaler Normen sowie der Gewohnheiten einzelner Fachgebiete ließen sich in wenigen Fällen unterschiedliche Verwendung gleicher Begriffe und Formelzeichen nicht immer vermeiden. „Informationen aus der Industrie“ mit technisch relevanten Anzeigen bekannter Firmen zeigen industrielle Ausführungsformen und ihre Bezugsquellen. Mit dem Erscheinen der 26. Auflage wird Prof. Grote nach 25 Jahren und sieben Auflagen aus dem Herausgeberteam ausscheiden. Die Herausgeber danken ihm sehr herzlich für seine lange und zeichensetzende Herausgeberschaft des DUBBEL.

Vorwort zur 26. Auflage des DUBBEL – Fundiertes Ingenieurwissen in neuem Format

VII

Die Herausgeber danken darüber hinaus allen am Werk Beteiligten, in erster Linie den Autoren für ihr Engagement und ihre Bereitschaft zur kurzfristigen Prüfung der Manuskripte im neuen Layout. Wir danken insbesondere Frau G. Fischer vom Springer-Verlag für die verlagsseitige Koordination und Frau N. Kroke, Frau J. Krause sowie Frau Y. Schlatter von der Fa. le-tex publishing services für die engagierte und sachkundige Zusammenarbeit beim Satz und der Kommunikation mit den Autoren. Ein Dank aller Beteiligten geht auch an die Verantwortlichen für das Lektorat beim Springer-Verlag, Herrn M. Kottusch, der insbesondere die Weiterentwicklung des Layouts und die Aufnahme des Mathematikteils vorangetrieben hat, sowie Herrn A. Garbers, der in diesem Jahr das Lektorat des DUBBEL übernommen hat. Beide wurden wirkungsvoll von Frau L. Burato unterstützt. Abschließend sei auch den vorangegangenen Generationen von Autoren gedankt. Sie haben durch ihre gewissenhafte Arbeit die Anerkennung des DUBBEL begründet, die mit der jetzt vorliegenden 26. Auflage des DUBBEL weiter gefestigt wird. Dank der Mitwirkung zahlreicher sehr engagierter und kompetenter Personen steht die Marke DUBBEL weiter für höchste Qualität, nunmehr in einem dreibändigen Standardwerk für Ingenieurinnen und Ingenieure in Studium und Beruf. Bochum und Berlin im Herbst 2020

Prof. Dr.-Ing. Beate Bender Prof. Dr.-Ing. Dietmar Göhlich

Hinweise zur Benutzung

Gliederung. Das Werk umfasst 26 Teile in drei Bänden: Band 1 enthält Grundlagen und Tabellen. Hier findet sich das technische Basiswissen für Ingenieure bestehend aus den Teilen Mathematik, Mechanik, Festigkeitslehre, Werkstofftechnik, Thermodynamik und Maschinendynamik sowie allgemeine Tabellen. Band 2 behandelt Anwendungen und Band 3 richtet den Fokus auf Maschinen und Systeme. Die Bände sind jeweils unterteilt in Teile, die Teile in Kapitel, Abschnitte und Unterabschnitte. Weitere Unterteilungen werden durch fette Überschriften sowie fette und kursive Zeilenanfänge (sog. Spitzmarken) vorgenommen. Sie sollen dem Leser das schnelle Auffinden spezieller Themen erleichtern. Kolumnentitel oder Seitenüberschriften enthalten auf den linken Seiten (gerade Endziffern) die Namen der Autoren, auf der rechten jene der Kapitel. Kleindruck. Er wurde für Bildunterschriften und Tabellenüberschriften gewählt, um diese Teile besser vom übrigen Text abzuheben und Druckraum zu sparen. Inhalts- und Sachverzeichnis sind zur Erleichterung der Benutzung des Werkes ausführlich und Band-übergreifend gestaltet. Kapitel. Es bildet die Grundeinheit, in der Gleichungen, Bilder und Tabellen jeweils wieder von 1 ab nummeriert sind. Fett in blau gesetzte Bild- und Tabellenbezeichnungen sollen ein schnelles Erkennen der Zuordnung von Bildern und Tabellen zum Text ermöglichen. Anhang. Am Ende vieler Kapitel befinden sich Anhänge zu Diagrammen und Tabellen sowie zur speziellen Literatur. Sie enthalten die für die praktische Zahlenrechnung notwendigen Kenn- und Stoffwerte sowie Sinnbilder und Normenauszüge des betreffenden Fachgebietes und das im Text angezogene Schrifttum. Am Ende von Band 1 findet sich zudem das Kapitel „Allgemeine Tabellen“. Er enthält die wichtigsten physikalischen Konstanten, die Umrechnungsfaktoren für die Einheiten, das periodische System der Elemente sowie ein Verzeichnis von Bezugsquellen für Technische Regelwerke und Normen. Außerdem sind die Grundgrößen von Gebieten, deren ausführliche Behandlung den Rahmen des Buches sprengen würden, aufgeführt. Hierzu zählen die Kern-, Licht-, Schall- und Umwelttechnik. IX

X

Nummerierung und Verweise. Die Nummerierung der Bilder, Tabellen, Gleichungen und Literatur gilt für das jeweilige Kapitel. Gleichungsnummern stehen in runden ( ), Literaturziffern in eckigen [ ] Klammern. Bilder. Hierzu gehören konstruktive und Funktionsdarstellungen, Diagramme, Flussbilder und Schaltpläne. Bildgruppen. Sie sind, soweit notwendig, in Teilbilder a, b, c usw. untergliedert (z. B. Bd. 3, Abb. 14.5). Sind diese nicht in der Bildunterschrift erläutert, so befinden sich die betreffenden Erläuterungen im Text (z. B. Bd. 1, Abb. 17.12). Kompliziertere Bauteile oder Pläne enthalten Positionen, die entweder im Text (z. B. Bd. 3, Abb. 2.26) oder in der Bildunterschrift erläutert sind (z. B. Bd. 3, Abb. 51.5). Sinnbilder für Schaltpläne von Leitungen, Schaltern, Maschinen und ihren Teilen sowie für Aggregate sind nach Möglichkeit den zugeordneten DINNormen oder den Richtlinien entnommen. In Einzelfällen wurde von den Zeichnungsnormen abgewichen, um die Übersicht der Bilder zu verbessern. Tabellen. Sie ermöglichen es, Zahlenwerte mathematischer und physikalischer Funktionen schnell aufzufinden. In den Beispielen sollen sie den Rechnungsgang einprägsam erläutern und die Ergebnisse übersichtlich darstellen. Aber auch Gleichungen, Sinnbilder und Diagramme sind zum besseren Vergleich bestimmter Verfahren tabellarisch zusammengefasst. Literatur. Spezielle Literatur. Sie ist auf das Sachgebiet eines Kapitels bezogen und befindet sich am Ende eines Kapitels. Eine Ziffer in eckiger [ ] Klammer weist im Text auf das entsprechende Zitat hin. Diese Verzeichnisse enthalten häufig auch grundlegende Normen, Richtlinien und Sicherheitsbestimmungen. Allgemeine Literatur. Auf das Sachgebiet eines Kapitels bezogene Literatur befindet sich ebenfalls am Ende eines Kapitels und enthält die betreffenden Grundlagenwerke. Literatur, die sich auf das Sachgebiet eines ganzen Teils bezieht, befindet sich am Ende des Teils. Sachverzeichnis. Nach wichtigen Einzelstichwörtern sind die Stichworte für allgemeine, mehrere Kapitel umfassende Begriffe wie z. B. „Arbeit“, „Federn“ und „Steuerungen“ zusammengefasst. Zur besseren Übersicht ersetzt ein Querstrich nur ein Wort. In diesen Gruppen sind nur die wichtigsten Begriffe auch als Einzelstichwörter aufgeführt. Dieses raumsparende Verfahren lässt natürlich immer einige berechtigte Wünsche der Leser offen, vermeidet aber ein zu langes und daher unübersichtliches Verzeichnis. Gleichungen. Sie sind der Vorteile wegen als Größengleichungen geschrieben. Sind Zahlenwertgleichungen, wie z. B. bei empirischen Gesetzen oder bei sehr häufig vorkommenden Berechnungen erforderlich, so erhalten sie den Zusatz „Zgl.“ und die gesondert aufgeführten Einheiten den Zusatz „in“. Für einfachere Zahlenwertgleichungen werden gelegentlich auch zugeschnittene Größengleichungen benutzt. Exponentialfunktionen sind meist in der

Hinweise zur Benutzung

Hinweise zur Benutzung

XI

Form „exp(x)“ geschrieben. Wo möglich, wurden aus Platzgründen schräge statt waagerechte Bruchstriche verwendet. Formelzeichen. Sie wurden in der Regel nach DIN 1304 gewählt. Dies ließ sich aber nicht konsequent durchführen, da die einzelnen Fachnormenausschüsse unabhängig sind und eine laufende Anpassung an die internationale Normung erfolgt. Daher mussten in einzelnen Fachgebieten gleiche Größen mit verschiedenen Buchstaben gekennzeichnet werden. Aus diesen Gründen, aber auch um lästiges Umblättern zu ersparen, wurden die in jeder Gleichung vorkommenden Größen wenn möglich in ihrer unmittelbaren Nähe erläutert. Bei Verweisen werden innerhalb eines Kapitels die in den angezogenen Gleichungen erfolgten Erläuterungen nicht wiederholt. Wurden Kompromisse bei Formelzeichen der einzelnen Normen notwendig, so ist dies an den betreffenden Stellen vermerkt. Zeichen, die sich auf die Zeiteinheit beziehen, tragen einen Punkt. Beispiel: Bd. 1, Gl. (17.5). Variable sind kursiv, Vektoren und Matrizen fett kursiv und Einheiten steil gesetzt. Einheiten. In diesem Werk ist das Internationale bzw. das SI-Einheitensystem (Système international) verbindlich. Eingeführt ist es durch das „Gesetz über Einheiten im Messwesen“ vom 2. 7. 1969 mit seiner Ausführungsverordnung vom 26. 6. 1970. Außer seinen sechs Basiseinheiten m, kg, s, A, K und cd werden auch die abgeleiteten Einheiten N, Pa, J, W und Pa s benutzt. Unzweckmäßige Zahlenwerte können dabei nach DIN 1301 durch Vorsätze für dezimale Vielfache und Teile nach Bd. 1, Tab. 49.3 ersetzt werden. Hierzu lässt auch die Ausführungsverordnung folgende Einheiten bzw. Namen zu: Masse Volumen Druck

1 t = 1000 kg 1 l = 103 m3 1 bar = 105 Pa

Zeit Temperaturdifferenz Winkel

1 h = 60 min = 3600 s 1 °C = 1 K 1° =  rad/180

Für die Einheit 1 rad D 1 m=m darf nach DIN 1301 bei Zahlenrechnungen auch 1 stehen. Da ältere Urkunden, Verträge und älteres Schrifttum noch die früheren Einheitensysteme enthalten, sind ihre Umrechnungsfaktoren für das internationale Maßsystem in Bd. 1, Tab. 49.5 aufgeführt. Druck. Nach DIN 1314 wird der Druck p in der Einheit bar angegeben und zählt vom Nullpunkt aus. Druckdifferenzen werden durch die Formelzeichen, nicht aber durch die Einheit gekennzeichnet. Dies gilt besonders für die Manometerablesung bzw. atmosphärischen Druckdifferenzen. DIN-Normen. Hier sind die bei Abschluss der Manuskripte gültigen Ausgaben maßgebend. Dies gilt auch für die dort gegebenen Definitionen und für die angezogenen Richtlinien.

XII

Chronik des Taschenbuchs Der Plan eines Taschenbuchs für den Maschinenbau geht auf eine Anregung von Heinrich Dubbel, Dozent und später Professor an der Berliner BeuthSchule, der namhaftesten deutschen Ingenieurschule, im Jahre 1912 zurück. Die Diskussion mit Julius Springer, dem für die technische Literatur zuständigen Teilhaber der „Verlagsbuchhandlung Julius Springer“ (wie die Firma damals hieß), dem Dubbel bereits durch mehrere Fachveröffentlichungen verbunden war, führte rasch zu einem positiven Ergebnis. Dubbel übernahm die Herausgeberschaft, stellte die – in ihren Grundzügen bis heute unverändert gebliebene – Gliederung auf und gewann, soweit er die Bearbeitung nicht selbst durchführte, geeignete Autoren, zum erheblichen Teil Kollegen aus der Beuth-Schule. Bereits Mitte 1914 konnte die 1. Auflage erscheinen. Zunächst war der Absatz unbefriedigend, da der 1. Weltkrieg ausbrach. Das besserte sich aber nach Kriegsende und schon im Jahre 1919 erschien die 2. Auflage, dicht gefolgt von weiteren in den Jahren 1920, 1924, 1929, 1934, 1939, 1941 und 1943. Am 1. 3. 1933 wurde das Taschenbuch als „Lehrbuch an den Preußischen Ingenieurschulen“ anerkannt. H. Dubbel bearbeitete sein Taschenbuch bis zur 9. Auflage im Jahre 1943 selbst. Die 10. Auflage, die Dubbel noch vorbereitete, deren Erscheinen er aber nicht mehr erlebte, war im wesentlichen ein Nachdruck der 9. Auflage. Nach dem Krieg ergab sich bei der Planung der 11. Auflage der Wunsch, das Taschenbuch gleichermaßen bei den Technischen Hochschulen und den Ingenieurschulen zu verankern. In diesem Sinn wurden gemeinsam Prof. Dr.-Ing. Fr. Sass, Ordinarius für Dieselmaschinen an der Technischen Universität Berlin, und Baudirektor Dipl.-Ing. Charles Bouché, Direktor der Beuth-Schule, unter Mitwirkung des Oberingenieurs Dr.-Ing. Alois Leitner, als Herausgeber gewonnen. Das gesamte Taschenbuch wurde nach der bewährten Disposition H. Dubbels neu bearbeitet und mehrere Fachgebiete neu eingeführt: Ähnlichkeitsmechanik, Gasdynamik, Gaserzeuger und Kältetechnik. So gelang es, den technischen Fortschritt zu berücksichtigen und eine breitere Absatzbasis für das Taschenbuch zu schaffen. In der 13. Auflage wurden im Vorgriff auf das Einheitengesetz das technische und das internationale Maßsystem nebeneinander benutzt. In dieser Auflage wurde Prof. Dr.-Ing. Egon Martyrer von der Technischen Universität Hannover als Mitherausgeber herangezogen. Die 14. Auflage wurde von den Herausgebern W. Beitz und K.-H. Küttner und den Autoren vollständig neubearbeitet und erschien 1981, also 67 Jahre nach der ersten. Auch hier wurde im Prinzip die Disposition und die Art der Auswahl der Autoren und Herausgeber beibehalten. Inzwischen hatten aber besonders die Computertechnik, die Elektronik, die Regelung und die Statistik den Maschinenbau beeinflusst. So wurden umfangreichere Berechnungsund Steuerverfahren entwickelt, und es entstanden neue Spezialgebiete. Der Umfang des unbedingt nötigen Stoffes führte zu zweispaltiger Darstellung bei größerem Satzspiegel. So ist wohl die unveränderte Bezeichnung „Taschenbuch“ in der Tradition und nicht im Format begründet. Das Ansehen, dessen sich das Taschenbuch überall erfreute, führte im Lauf der Jahre auch zu verschiedenen Übersetzungen in fremde Sprachen.

Hinweise zur Benutzung

Hinweise zur Benutzung

XIII

Eine erste russische Ausgabe gab in den zwanziger Jahren der Springer-Verlag selbst heraus, eine weitere erschien unautorisiert. Nach dem 2. Weltkrieg wurden Lizenzen für griechische, italienische, jugoslawische, portugiesische, spanische und tschechische Ausgaben erteilt. Von der Neubearbeitung (14. Auflage) erschienen 1984 eine italienische, 1991 eine chinesische und 1994 eine englische Übersetzung. 1997 wurde K.-H. Grote Mitherausgeber und begleitete 7 Auflagen bis 2018, darunter auch die beiden interaktiven Ausgaben des Taschenbuchs für Maschinenbau um die Jahrtausendwende. Jörg Feldhusen wurde zur 21. Auflage Mitherausgeber des DUBBEL. Mit der 25. Ausgabe übernahmen B. Bender und D. Göhlich zunächst die Mit-Herausgeberschaft gemeinsam mit K.-H. Grote. Entsprechend der Entwicklung des maschinenbaulichen Kontexts wurden die Inhalte des Dubbel erweitert und aktualisiert wie beispielsweise die komplette Überarbeitung des Kapitels Energietechnik oder die gemeinsame Neustrukturierung der Kapitel Mechatronik und Regelungstechnik erkennen lassen. Mit der 26. Auflage übernahmen B. Bender und D. Göhlich die alleinige Herausgeberschaft. Sie führten 2020 eine übersichtliche Band-Dreiteilung ein. Bereits 2001 übertraf der DUBBEL die Marke von 1 Million verkauften Exemplaren seit der Erstauflage. Dieses beachtliche Gesamtergebnis wurde durch die gewissenhaft arbeitenden Autoren und Herausgeber, die sorgfältige Bearbeitung im Verlag und die exakte drucktechnische Herstellung möglich.

XIV

Biographische Daten über H. Dubbel Heinrich Dubbel, der Schöpfer des Taschenbuches, wurde am 8. 4. 1873 als Sohn eines Ingenieurs in Aachen geboren. Dort studierte er an der Technischen Hochschule Maschinenbau und arbeitete in der väterlichen Fabrik als Konstrukteur, nachdem er in Ohio/USA Auslandserfahrungen gesammelt hatte. Vom Jahre 1899 ab lehrte er an den Maschinenbau-Schulen in Köln, Aachen und Essen. Im Jahre 1911 ging er an die Berliner Beuth-Schule, wo er nach fünf Jahren den Titel Professor erhielt. 1934 trat er wegen politischer Differenzen mit den Behörden aus dem öffentlichen Dienst aus und widmete sich in den folgenden Jahren vorwiegend der Beratung des Springer-Verlages auf dem Gebiet des Maschinenbaus. Er starb am 24. 5. 1947 in Berlin. Dubbel hat sich in hohem Maße auf literarischem Gebiet betätigt. Seine Aufsätze und Bücher, insbesondere über Dampfmaschinen und ihre Steuerungen, Dampfturbinen, Öl- und Gasmaschinen und Fabrikbetrieb genossen großes Ansehen. Durch das „Taschenbuch für den Maschinenbau“ wird sein Name noch bei mancher Ingenieurgeneration in wohlverdienter Erinnerung bleiben.

Hinweise zur Benutzung

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PDMD-A10097-00-7600

Inhaltsverzeichnis

Teil I 1

2

Mathematik Mengen, Funktionen und Boolesche Algebra . . Uller Jarecki 1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Mengenbegriff . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Mengenrelationen . . . . . . . . . . . 1.1.3 Mengenverknüpfungen . . . . . . . . 1.1.4 Das kartesische oder Kreuzprodukt 1.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Boolesche Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Zweielementige Boolesche Algebra Allgemeine Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3

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3 3 3 4 4 5 6 6 6 9

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Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uller Jarecki 2.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Grundgesetze der reellen Zahlen . . . . . . . . . . 2.1.3 Der absolute Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Mittelwerte und Ungleichungen . . . . . . . . . . 2.1.5 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen . . . . . . . 2.1.6 Zahlendarstellung in Stellenwertsystemen . . . . 2.1.7 Endliche Folgen und Reihen. Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.8 Unendliche reelle Zahlenfolgen und Zahlenreihen 2.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Addition und Multiplikation . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Darstellung in Polarkoordinaten. Absoluter Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 13 13 15 15 15 16 16 18 20 20 20 21 21

XVII

XVIII

Inhaltsverzeichnis

2.3

Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Algebraische Gleichungen . 2.3.2 Polynome . . . . . . . . . . . 2.3.3 Transzendente Gleichungen Allgemeine Literatur . . . . . . . . . . . . . . 3

4

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Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uller Jarecki 3.1 Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Vektoren und ihre Eigenschaften . . . . . . . 3.1.2 Lineare Abhängigkeit und Basis . . . . . . . 3.1.3 Koordinatendarstellung von Vektoren . . . . 3.1.4 Inneres oder skalares Produkt . . . . . . . . . 3.1.5 Äußeres oder vektorielles Produkt . . . . . . 3.1.6 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7 Entwicklungssatz und mehrfache Produkte 3.2 Der reelle n-dimensionale Vektorraum Rn . . . . . . 3.2.1 Der reelle Euklidische Raum . . . . . . . . . 3.2.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Cramer-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Matrizen und lineare Abbildungen . . . . . . 3.2.5 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . 3.3 Ergänzungen zur Höheren Mathematik . . . . . . . . Allgemeine Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hans-Joachim Schulz 4.1 Bemerkungen zur elementaren Geometrie . . . . . . 4.2 Ebene Geometrie (Planimetrie) . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Punkt, Gerade, Strahl, Strecke, Streckenzug 4.2.2 Orientierung einer Ebene . . . . . . . . . . . 4.2.3 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Teilung von Strecken . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Pythagoreische Sätze . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Goniometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Berechnung von Dreiecken und Flächen . . 4.4 Räumliche Geometrie (Stereometrie) . . . . . . . . . 4.4.1 Punkt, Gerade und Ebene im Raum . . . . . 4.4.2 Körper, Volumenmessung . . . . . . . . . . . 4.4.3 Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Oberfläche und Volumen von Polyedern . . 4.4.5 Oberfläche und Volumen von einfachen Rotationskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.6 Guldinsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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22 22 23 25 25

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27 27 28 29 30 31 31 32 32 33 34 36 37 41 42 43

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45

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45 45 45 46 46 46 47 48 48 49 49 56 57 57 59 59 60

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60 60 63

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XIX

5

6

Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . Uller Jarecki 5.1 Analytische Geometrie der Ebene . . . . . . 5.1.1 Das kartesische Koordinatensystem 5.1.2 Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Koordinatentransformationen . . . . 5.1.7 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . 5.1.8 Allgemeine Kegelschnittgleichung . 5.2 Analytische Geometrie des Raumes . . . . . 5.2.1 Das kartesische Koordinatensystem 5.2.2 Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Dreieck und Tetraeder . . . . . . . . 5.2.4 Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.6 Koordinatentransformationen . . . . Allgemeine Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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65 65 65 66 66 67 68 69 73 75 75 75 76 76 78 79 80

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Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Uller Jarecki 6.1 Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen . . . . . . 81 6.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.1.2 Grundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.1.3 Einteilung der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.4 Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.5 Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . 86 6.1.6 Differentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.1.7 Sätze über differenzierbare Funktionen . . . . . . 88 6.1.8 Monotonie, Konvexität und Extrema von differenzierbaren Funktionen . . . . . . . . . . . . 90 6.1.9 Grenzwertbestimmung durch Differenzieren. Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.1.10 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.1.11 Integralfunktion, Stammfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . 94 6.1.12 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . 94 6.1.13 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.1.14 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . 96 6.1.15 Integration von irrationalen algebraischen und transzendenten Funktionen . . . . . . . . . . . . . 98 6.1.16 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.1.17 Geometrische Anwendungen der Differentialund Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.1.18 Unendliche Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . 101

XX

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6.2

7

8

Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen 6.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . 6.2.3 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Integraldarstellung von Funktionen und Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Flächen- und Raumintegrale . . . . . . . . . . Allgemeine Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Kurven und Flächen, Vektoranalysis . . . . . Uller Jarecki 7.1 Kurven in der Ebene . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . 7.1.2 Tangenten und Normalen . . . 7.1.3 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Krümmung . . . . . . . . . . . . 7.1.5 Einhüllende einer Kurvenschar 7.1.6 Spezielle ebene Kurven . . . . 7.1.7 Kurvenintegrale . . . . . . . . . 7.2 Kurven im Raum . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . 7.2.2 Tangente und Bogenlänge . . . 7.2.3 Kurvenintegrale . . . . . . . . . 7.3 Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . 7.3.2 Tangentialebene . . . . . . . . . 7.3.3 Oberflächenintegrale . . . . . . 7.4 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . 7.4.2 Der r-(Nabla-)Operator . . . . 7.4.3 Integralsätze . . . . . . . . . . . Allgemeine Literatur . . . . . . . . . . . . . . . .

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119 119 120 122 123 124 124 128 131 131 131 132 134 134 135 136 137 137 138 139 140

Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uller Jarecki 8.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Differentialgleichung 1. Ordnung . . . . . . . . . 8.1.3 Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . . . . . 8.1.4 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . 8.1.5 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.6 Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . 8.1.7 Randwertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.8 Eigenwertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141 141 141 142 145 146 147 150 153 154

Inhaltsverzeichnis

XXI

8.2

Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . 8.2.1 Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Trennung der Veränderlichen . . . . . . . . 8.2.3 Anfangs- und Randbedingungen . . . . . . Allgemeine Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

10

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Stochastik und Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hans-Joachim Schulz 9.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Ausgleich direkter Messungen gleicher Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Fehlerfortpflanzung bei zufälligen Fehlergrößen 9.2.4 Ausgleich direkter Messungen ungleicher Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Definitionen und Rechengesetze der Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktion . . . . . 9.3.3 Parameter der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . 9.3.4 Einige spezielle Verteilungsfunktionen . . . . . . 9.4 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Häufigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Arithmetischer Mittelwert, Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Regression und Korrelation . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hans-Joachim Schulz 10.1 Numerische – Analytische Lösung . . . . . . . . . . . . . 10.2 Näherungsverfahren (Iterationsverfahren) . . . . . . . . . 10.2.1 Splineinterpolation und Bezier-Kurven . . . . . 10.2.2 Methode der schrittweisen Näherung (Iterationsverfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Newtonsches Näherungsverfahren . . . . . . . . 10.2.4 Sekantenverfahren und Regula falsi . . . . . . . 10.2.5 Konvergenzordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.6 Probleme der Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . 10.3 Interpolationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Aufgabenstellung, Existenz und Eindeutigkeit der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161 161 162 162 163 163 163 165 165 166 166 170 171 174 175 176 176 178 180

. 181 . 181 . 181 . 182 . . . . . .

189 190 190 190 191 191

. 191

XXII

11

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10.3.2 Ansatz nach Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Ansatz nach Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Polynomberechnung nach dem Horner-Schema . 10.4 Gaußsches Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Teilweise Pivotierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Vollständige Pivotierung . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Standardaufgabe der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . 10.6 Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 Newton-Cotes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.2 Graphisches Integrationsverfahren . . . . . . . . . 10.6.3 Differenzenoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Steifheit von Anfangswertproblemen . . . . . . . . . . . . 10.8 Numerische Lösungsverfahren für Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.1 Aufgabenstellung des Anfangswertproblems . . 10.8.2 Das Eulersche Streckenzugverfahren . . . . . . . 10.8.3 Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192 192 194 195 196 196 197 199 199 202 202 204 205 205 205 206 207 212

Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hans-Joachim Schulz 11.1 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Graphisches Verfahren für zwei Variablen 11.1.2 Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Parametrische lineare Optimierung . . . . 11.2 Nichtlineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Einige spezielle Algorithmen . . . . . . . . 11.3 Optimierungsverfahren zur Eigenwertbestimmung

213 214 214 219 221 221 221 223

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Literatur Teil I Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Teil II 12

Mechanik Statik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . Joachim Villwock und Andreas Hanau 12.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Zusammensetzen und Zerlegen von mit gemeinsamem Angriffspunkt . . 12.2.1 Ebene Kräftegruppe . . . . . 12.2.2 Räumliche Kräftegruppe . . 12.3 Zusammensetzen und Zerlegen von mit verschiedenen Angriffspunkten . 12.3.1 Kräfte in der Ebene . . . . . 12.3.2 Kräfte im Raum . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 231 ...... Kräften ...... ...... ...... Kräften ...... ...... ......

. . . . . . . 231 . . . . . . . 232 . . . . . . . 232 . . . . . . . 233 . . . . . . . 234 . . . . . . . 234 . . . . . . . 235

Inhaltsverzeichnis

XXIII

12.4

Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen . . . . 12.4.1 Kräftesystem im Raum . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Kräftesystem in der Ebene . . . . . . . . . . . . 12.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten . . . . . . . . . 12.4.4 Arten des Gleichgewichts . . . . . . . . . . . . 12.4.5 Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip . . . . . . . . . . 12.6 Auflagerreaktionen an Körpern . . . . . . . . . . . . . . 12.6.1 Körper in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.2 Körper im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Systeme starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8 Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.1 Ebene Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.2 Räumliche Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . 12.9 Seile und Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) . . . . . 12.9.2 Seil unter konstanter Streckenlast . . . . . . . 12.9.3 Seil mit Einzellast . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.10 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) . . . . . . . . . . . . 12.11 Haftung und Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.11.1 Anwendungen zur Haftung und Gleitreibung 12.11.2 Rollwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.11.3 Widerstand an Seilrollen . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

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Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Joachim Villwock und Andreas Hanau 13.1 Bewegung eines Punkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Ebene Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3 Räumliche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Bewegung starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Translation (Parallelverschiebung, Schiebung) 13.2.2 Rotation (Drehbewegung, Drehung) . . . . . . . 13.2.3 Allgemeine Bewegung des starren Körpers . . Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Joachim Villwock und Andreas Hanau 14.1 Energetische Grundbegriffe – Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Spezielle Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newton’sches Axiom) . . . . . . . . . . 14.2.2 Arbeits- und Energiesatz . . . . . . . . . . . 14.2.3 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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236 236 239 239 239 240 241 241 241 243 244 245 245 247 247 248 248 249 249 250 253 255 255 256

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257 257 260 263 264 264 264 265

. . . . 273

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XXIV

Inhaltsverzeichnis

14.2.4 Prinzip von d’Alembert und geführte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.5 Impulsmomenten- (Flächen-) und Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Kinetik des Massenpunktsystems . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Arbeits- und Energiesatz . . . . . . . . . . . . . 14.3.3 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.4 Prinzip von d’Alembert und geführte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5 Impulsmomenten- und Drehimpulssatz . . . . 14.3.6 Lagrange’sche Gleichungen . . . . . . . . . . . 14.3.7 Prinzip von Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.8 Systeme mit veränderlicher Masse . . . . . . . 14.4 Kinetik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1 Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.2 Allgemeines über Massenträgheitsmomente . 14.4.3 Allgemeine ebene Bewegung starrer Körper . 14.4.4 Allgemeine räumliche Bewegung . . . . . . . 14.5 Kinetik der Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6.1 Gerader zentraler Stoß . . . . . . . . . . . . . . 14.6.2 Schiefer zentraler Stoß . . . . . . . . . . . . . . 14.6.3 Exzentrischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6.4 Drehstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Joachim Villwock und Andreas Hanau 15.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . 15.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen . . . . . . 15.1.2 Freie gedämpfte Schwingungen . . . . . . . 15.1.3 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen . 15.1.4 Gedämpfte erzwungene Schwingungen . . . 15.1.5 Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle . . . . . . . . . . 15.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . 15.2.2 Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . 15.2.3 Eigenfrequenzen ungedämpfter Systeme . . 15.2.4 Schwingungen der Kontinua . . . . . . . . . 15.3 Nichtlineare Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1 Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder Rückstellkraft . . . . . . . . . . . . . . .

. . 276 . . . . .

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277 278 278 279 279

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280 281 281 282 282 282

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283 285 287 289 292 292 293 293 294 294 294

. . . 295 . . . . .

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295 295 297 298 299

. . . 300 . . . 301 . . . 301 . . . .

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302 303 303 307

. . . 307

Inhaltsverzeichnis

XXV

15.3.2 Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen) . . . . . . . . . . . . . 308 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 16

Hydrostatik (Statik der Flüssigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . . 311 Joachim Villwock und Andreas Hanau

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Joachim Villwock und Andreas Hanau 17.1 Eindimensionale Strömungen idealer Flüssigkeiten . . . . 316 17.1.1 Anwendungen der Bernoulli’schen Gleichung für den stationären Fall . . . . . . . . . . . . . . . . 317 17.1.2 Anwendung der Bernoulli’schen Gleichung für den instationären Fall . . . . . . . . . . . . . . . 318 17.2 Eindimensionale Strömungen zäher Newton’scher Flüssigkeiten (Rohrhydraulik) . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 17.2.1 Stationäre laminare Strömung in Rohren mit Kreisquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 17.2.2 Stationäre turbulente Strömung in Rohren mit Kreisquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 17.2.3 Strömung in Leitungen mit nicht vollkreisförmigen Querschnitten . . . . 322 17.2.4 Strömungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten . . . . . . . 322 17.2.5 Stationärer Ausfluss aus Behältern . . . . . . . . . 325 17.2.6 Stationäre Strömung durch offene Gerinne . . . . 326 17.2.7 Instationäre Strömung zäher Newton’scher Flüssigkeiten . . . . . . . . . 326 17.2.8 Freier Strahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 17.3 Eindimensionale Strömung Nicht-Newton’scher Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 17.3.1 Berechnung von Rohrströmungen . . . . . . . . . 327 17.4 Kraftwirkungen strömender inkompressibler Flüssigkeiten 328 17.4.1 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 17.4.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 17.5 Mehrdimensionale Strömung idealer Flüssigkeiten . . . . 330 17.5.1 Allgemeine Grundgleichungen . . . . . . . . . . . 330 17.5.2 Potentialströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 17.6 Mehrdimensionale Strömung zäher Flüssigkeiten . . . . . 334 17.6.1 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes . . . 334 17.6.2 Einige Lösungen für kleine Reynolds’sche Zahlen (laminare Strömung) . . . . . . . . . . . . 334 17.6.3 Grenzschichttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 17.6.4 Strömungswiderstand von Körpern . . . . . . . . 336 17.6.5 Tragflügel und Schaufeln . . . . . . . . . . . . . . 339 17.6.6 Schaufeln und Profile im Gitterverband . . . . . . 341 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

XXVI

18

Inhaltsverzeichnis

Ähnlichkeitsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Joachim Villwock und Andreas Hanau 18.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Ähnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) . . . . . . . . . . 18.2.1 Statische Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Dynamische Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . 18.2.3 Thermische Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . 18.2.4 Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und ˘ -Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 343 . . . . .

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343 344 344 345 347

. . 347 . . 348

Literatur zu Teil II Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Teil III 19

20

Festigkeitslehre

Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Joachim Villwock und Andreas Hanau 19.1 Spannungen und Verformungen . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.2 Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.3 Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . 19.2 Festigkeitsverhalten der Werkstoffe . . . . . . . . . 19.3 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen . 19.3.1 Normalspannungshypothese . . . . . . . . . 19.3.2 Schubspannungshypothese . . . . . . . . . 19.3.3 Gestaltänderungsenergiehypothese . . . . . 19.3.4 Anstrengungsverhältnis nach Bach . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 353 . . . . . . . . . . .

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Beanspruchung stabförmiger Bauteile . . . . . . . . . . . . . Joachim Villwock und Andreas Hanau 20.1 Zug- und Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . 20.1.1 Stäbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Längskraft . . . . . . . . . . . . 20.1.2 Stäbe mit veränderlicher Längskraft . . . . . . 20.1.3 Stäbe mit veränderlichem Querschnitt . . . . . 20.1.4 Stäbe mit Kerben . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.5 Stäbe unter Temperatureinfluss . . . . . . . . . 20.2 Abscherbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Flächenpressung und Lochleibung . . . . . . . . . . . . 20.3.1 Ebene Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.2 Gewölbte Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.1 Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4.2 Schnittlasten am geraden Träger in der Ebene 20.4.3 Schnittlasten an gekrümmten ebenen Trägern

. . . . . . . . . . .

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353 353 357 358 358 361 361 361 361 362 363

. . 365 . . 365 . . . . . . . . . .

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365 365 365 366 366 366 367 367 367 368

. . 368 . . 368 . . 370

Inhaltsverzeichnis

XXVII

20.4.4 Schnittlasten an räumlichen Trägern . . . . . . . . 370 20.4.5 Biegespannungen in geraden Balken . . . . . . . 370 20.4.6 Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 20.4.7 Biegespannungen in stark gekrümmten Trägern . 380 20.4.8 Durchbiegung von Trägern . . . . . . . . . . . . . 382 20.4.9 Formänderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen . . . . . . . . . . . . . . . . 391 20.5 Torsionsbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 20.5.1 Stäbe mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 20.5.2 Stäbe mit Kreisquerschnitt und veränderlichem Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 20.5.3 Dünnwandige Hohlquerschnitte (Bredt’sche Formeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 20.5.4 Stäbe mit beliebigem Querschnitt . . . . . . . . . 398 20.6 Zusammengesetzte Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . 399 20.6.1 Biegung und Längskraft . . . . . . . . . . . . . . . 399 20.6.2 Biegung und Schub . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 20.6.3 Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 20.6.4 Längskraft und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . 401 20.6.5 Schub und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 20.6.6 Biegung mit Längskraft sowie Schub und Torsion 401 20.7 Statisch unbestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 401 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 21

22

23

Elastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Joachim Villwock und Andreas Hanau 21.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand 21.3 Ebener Spannungszustand . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 415 . . . .

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Beanspruchung bei Berührung zweier Körper (Hertz’sche Formeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Joachim Villwock und Andreas Hanau 22.1 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Beliebig gewölbte Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächentragwerke . . . . . . . . . . . . Andreas Hanau und Joachim Villwock 23.1 Platten . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.1 Rechteckplatten . . . . 23.1.2 Kreisplatten . . . . . . .

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415 416 418 419

. 421 . . . .

421 422 422 423

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XXVIII

Inhaltsverzeichnis

23.1.3 Elliptische Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.4 Gleichseitige Dreieckplatte . . . . . . . . . . . 23.1.5 Temperaturspannungen in Platten . . . . . . . 23.2 Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.1 Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2 Ringförmige Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.3 Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung 23.2.4 Keilförmige Scheibe unter Einzelkräften . . . 23.3 Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.1 Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie für Innendruck . . . . . . . . 23.3.2 Biegesteife Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

25

Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andreas Hanau und Joachim Villwock 24.1 Umlaufender Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Umlaufender dünnwandiger Ring oder Hohlzylinder 24.3 Umlaufende Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.1 Vollscheibe konstanter Dicke . . . . . . . . . 24.3.2 Ringförmige Scheibe konstanter Dicke . . . 24.3.3 Scheiben gleicher Festigkeit . . . . . . . . . . 24.3.4 Scheiben veränderlicher Dicke . . . . . . . . 24.3.5 Umlaufender dickwandiger Hohlzylinder . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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428 428 428 428 428 429 429 429 430

. . 430 . . 431 . . 432

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433 433 434 434 434 435 435 435 435

Stabilitätsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Joachim Villwock und Andreas Hanau 25.1 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.1 Knicken im elastischen (Euler-)Bereich . . . . . . 25.1.2 Knicken im unelastischen (Tetmajer-)Bereich . . 25.1.3 Näherungsverfahren zur Knicklastberechnung . 25.1.4 Stäbe bei Änderung des Querschnitts bzw. der Längskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.5 Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen 25.1.6 Biegedrillknicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2.1 Träger mit Rechteckquerschnitt . . . . . . . . . . . 25.2.2 Träger mit I-Querschnitt . . . . . . . . . . . . . . . 25.3 Beulung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.1 Beulen von Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.2 Beulen von Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.3 Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

437 437 437 438 439 440 440 441 442 442 442 442 443 445 446 446

Inhaltsverzeichnis

XXIX

26

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28

Finite Berechnungsverfahren . . . . . Joachim Villwock und Andreas Hanau 26.1 Finite Elemente Methode . . . . 26.2 Randelemente . . . . . . . . . . . 26.3 Finite Differnezen Methode . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 447 . . . .

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Plastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andreas Hanau und Joachim Villwock 27.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2.1 Biegung des Rechteckbalkens . . . . . . . . . 27.2.2 Räumlicher und ebener Spannungszustand . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

Festigkeitsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . Heinz Mertens und Robert Liebich 28.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte 28.2 Nennspannungskonzepte . . . . . . . . . 28.3 Kerbgrundkonzepte . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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447 452 455 456

. . . 457 . . . . .

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457 458 458 459 461

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463 464 466 468

Literatur zu Teil III Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

Teil IV 29

Werkstofftechnik

Werkstoff- und Bauteileigenschaften . . . . . . . . . . . . . . Matthias Oechsner, Christina Berger und Karl-Heinz Kloos 29.1 Beanspruchungs- und Versagensarten . . . . . . . . . . 29.1.1 Beanspruchungsfälle . . . . . . . . . . . . . . . 29.1.2 Versagen durch mechanische Beanspruchung 29.1.3 Versagen durch komplexe Beanspruchungen . 29.2 Grundlegende Konzepte für den Festigkeitsnachweis . 29.2.1 Festigkeitshypothesen . . . . . . . . . . . . . . 29.2.2 Nenn-, Struktur- und Kerbspannungskonzept 29.2.3 Örtliches Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.2.4 Plastisches Grenzlastkonzept . . . . . . . . . . 29.2.5 Bruchmechanikkonzepte . . . . . . . . . . . . . 29.3 Werkstoffkennwerte für die Bauteildimensionierung . 29.3.1 Statische Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 29.3.2 Schwingfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.3.3 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei statischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . 29.3.4 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . .

. . 475 . . . . . . . . . . . . .

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475 475 477 478 480 480 481 481 482 482 484 485 485

. . 487 . . 489

XXX

Inhaltsverzeichnis

29.4

Einflüsse auf die Werkstoffeigenschaften . . . . . . . . . . 490 29.4.1 Werkstoffphysikalische Grundlagen der Festigkeit und Zähigkeit metallischer Werkstoffe 490 29.4.2 Metallurgische Einflüsse . . . . . . . . . . . . . . . 491 29.4.3 Technologische Einflüsse . . . . . . . . . . . . . . 492 29.4.4 Oberflächeneinflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 29.4.5 Umgebungseinflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 29.4.6 Gestalteinfluss auf statische Festigkeitseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 494 29.4.7 Gestalteinfluss auf Schwingfestigkeitseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 496 29.5 Festigkeitsnachweis von Bauteilen . . . . . . . . . . . . . . 497 29.5.1 Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung 497 29.5.2 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit konstanter Amplitude . . . . . . . . . . . . . . 497 29.5.3 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit variabler Amplitude (Betriebsfestigkeitsnachweis) . . . . . . . . . . . . 498 29.5.4 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter statischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . 501 29.5.5 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter zyklischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . 502 29.5.6 Festigkeitsnachweis unter Zeitstand und Kriechermüdungsbeanspruchung . . . . . . . . . . 503 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 30

Werkstoffprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matthias Oechsner, Christina Berger und Karl-Heinz Kloos 30.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.1.1 Probenentnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.1.2 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2 Prüfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.1 Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.2 Druckversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.3 Biegeversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.4 Härteprüfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.5 Kerbschlagbiegeversuch . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.6 Bruchmechanische Prüfungen . . . . . . . . . . . 30.2.7 Chemische und physikalische Analysemethoden 30.2.8 Materialographische Untersuchungen . . . . . . . 30.2.9 Technologische Prüfungen . . . . . . . . . . . . . . 30.2.10 Zerstörungsfreie Werkstoffprüfung . . . . . . . . 30.2.11 Dauerversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

521 521 521 522 523 523 524 525 526 529 530 532 533 535 535 537 538

Inhaltsverzeichnis

XXXI

31

32

Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe . . . . . . . . Matthias Oechsner, Christina Berger und Karl-Heinz Kloos 31.1 Eisenwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Das Zustandsschaubild Eisen-Kohlenstoff . . . . 31.1.2 Stahlerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Wärmebehandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Stähle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.5 Gusseisenwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Nichteisenmetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Kupfer und seine Legierungen . . . . . . . . . . . 31.2.2 Aluminium und seine Legierungen . . . . . . . . 31.2.3 Magnesiumlegierungen . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Titanlegierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.5 Nickel und seine Legierungen . . . . . . . . . . . . 31.2.6 Zink und seine Legierungen . . . . . . . . . . . . . 31.2.7 Blei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.8 Zinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.9 Überzüge auf Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Nichtmetallische anorganische Werkstoffe – Keramische Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Werkstoffauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Michael Kübler, Andreas Müller und Helmut Schürmann 32.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Aufbau und Verhalten von Kunststoffen . . . . . . . . . 32.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Wichtige Thermoplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5 Fluorhaltige Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.6 Duroplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.7 Kunststoffschäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.8 Elastomere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.9 Prüfung von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.9.1 Kennwertermittlung an Probekörpern . . . . . 32.9.2 Prüfung von Fertigteilen . . . . . . . . . . . . . 32.10 Verarbeiten von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . 32.10.1 Urformen von Kunststoffen . . . . . . . . . . . 32.10.2 Umformen von Kunststoffen . . . . . . . . . . 32.10.3 Fügen von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . 32.11 Gestalten und Fertigungsgenauigkeit von KunststoffFormteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.12 Nachbehandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.13 Faser-Kunststoff-Verbunde . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.13.1 Charakterisierung und Einsatzgebiete . . . . . 32.13.2 Fasern, Matrix-Kunststoffe und Halbzeuge . . 32.13.3 Spannungsanalyse von Laminaten . . . . . . .

539 539 539 541 543 550 570 574 574 578 581 582 583 584 585 585 585 590 593 594 625

. . 627 . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

627 628 629 629 633 634 637 638 640 640 644 645 645 649 649

. . . . . .

. . . . . .

651 652 653 653 653 657

XXXII

Inhaltsverzeichnis

32.13.4 32.13.5 32.13.6 32.13.7 Anhang . . . . Literatur . . . . 33

34

Laminattypen . . . . . . . . . . . . . Festigkeitsanalyse von Laminaten Fügetechniken . . . . . . . . . . . . Fertigungsverfahren . . . . . . . . . ...................... ......................

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. . . . . .

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658 661 664 666 667 670

Tribologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Karl-Heinz Habig und Mathias Woydt 33.1 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Verschleiß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.3 Systemanalyse von Reibungs- und Verschleißvorgängen . 33.3.1 Funktion von Tribosystemen . . . . . . . . . . . . 33.3.2 Beanspruchungskollektiv . . . . . . . . . . . . . . 33.3.3 Struktur tribologischer Systeme . . . . . . . . . . 33.3.4 Tribologische Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . 33.3.5 Checkliste zur Erfassung der wichtigsten tribologisch relevanten Größen . . . . . . . . . . . 33.4 Schmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.5 Schmierstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.5.1 Schmieröle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.5.2 Schmierfette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.5.3 Festschmierstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

673

Korrosion und Korrosionsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . Thomas Böllinghaus, Michael Rhode und Thora Falkenreck 34.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2 Elektrochemische Korrosion . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.1 Gleichmäßige Flächenkorrosion . . . . . . . . 34.2.2 Galvanische und Kontaktkorrosion . . . . . . . 34.2.3 Selektive und interkristalline Korrosion . . . . 34.2.4 Passivierung, Loch- und Spaltkorrosion . . . . 34.2.5 Risskorrosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.6 Erosions- und Kavitationskorrosion . . . . . . 34.2.7 Reibkorrosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.8 Mikrobiologisch beeinflusste Korrosion . . . 34.3 Chemische Korrosion und Hochtemperaturkorrosion . 34.3.1 Hochtemperaturkorrosion ohne mechanische Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.3.2 Hochtemperaturkorrosion mit mechanischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.4 Korrosionsprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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673 675 676 676 677 677 677 679 680 680 680 684 685 686 688

. . 691 . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

691 693 697 699 701 704 709 715 716 716 717

. . 718 . . 723 . . 724 . . 725

Inhaltsverzeichnis

XXXIII

Teil V

Thermodynamik

35

Thermodynamik. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729 Peter Stephan und Karl Stephan 35.1 Systeme, Systemgrenzen, Umgebung . . . . . . . . . . . . 729 35.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

36

Temperaturen. Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Peter Stephan und Karl Stephan 36.1 Thermisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2 Nullter Hauptsatz und empirische Temperatur . . . . . . 36.3 Temperaturskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.3.1 Die Internationale Praktische Temperaturskala Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

Erster Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Peter Stephan und Karl Stephan 37.1 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . 37.2 Die verschiedenen Energieformen . . . . . 37.2.1 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.2.2 Innere Energie und Systemenergie 37.2.3 Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.3 Anwendung auf geschlossene Systeme . . 37.4 Anwendung auf offene Systeme . . . . . . . 37.4.1 Stationäre Prozesse . . . . . . . . . 37.4.2 Instationäre Prozesse . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

Zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . Peter Stephan und Karl Stephan 38.1 Das Prinzip der Irreversibilität . . . . . . . 38.2 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . 38.3 Spezielle Formulierungen . . . . . . . . . 38.3.1 Adiabate, geschlossene Systeme 38.3.2 Systeme mit Wärmezufuhr . . .

. . . . .

37

38

39

40

Exergie und Anergie . . . . . . . . . . . . . . Peter Stephan und Karl Stephan 39.1 Exergie eines geschlossenen Systems 39.2 Exergie eines offenen Systems . . . . 39.3 Exergie einer Wärme . . . . . . . . . . 39.4 Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.5 Exergieverluste . . . . . . . . . . . . . .

. 733 733 733 734 735 736

. . . . . . . . . 737 . . . . . . . . .

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737 737 737 738 739 739 740 740 741

. . . . . . . . . . 743 . . . . .

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743 744 745 745 745

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Stoffthermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Peter Stephan und Karl Stephan 40.1 Thermische Zustandsgrößen von Gasen und Dämpfen 40.1.1 Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1.2 Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro .

. . . . .

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747 748 748 749 749

. . 751 . . 751 . . 751 . . 751

XXXIV

41

42

43

Inhaltsverzeichnis

40.1.3 Reale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1.4 Dämpfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 Kalorische Zustandsgrößen von Gasen und Dämpfen 40.2.1 Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.2 Reale Gase und Dämpfe . . . . . . . . . . . . . 40.3 Inkompressible Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.4 Feste Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.4.1 Wärmedehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.4.2 Schmelz- und Sublimationsdruckkurve . . . . 40.4.3 Kalorische Zustandsgrößen . . . . . . . . . . . Tabellen zu Kap. 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Zustandsänderungen von Gasen und Dämpfen . . . . . . Peter Stephan und Karl Stephan 41.1 Zustandsänderungen ruhender Gase und Dämpfe . . 41.2 Zustandsänderungen strömender Gase und Dämpfe . 41.2.1 Strömung idealer Gase . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Düsen- und Diffusorströmung . . . . . . . .

. . . .

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Thermodynamische Prozesse . . . . . . . . . . . . Peter Stephan und Karl Stephan 42.1 Energiewandlung mittels Kreisprozessen . 42.2 Carnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Wärmekraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . 42.3.1 Ackeret-Keller-Prozess . . . . . . . 42.3.2 Geschlossene Gasturbinenanlage . 42.3.3 Dampfkraftanlage . . . . . . . . . . 42.4 Verbrennungskraftanlagen . . . . . . . . . . 42.4.1 Offene Gasturbinenanlage . . . . . 42.4.2 Ottomotor . . . . . . . . . . . . . . . 42.4.3 Dieselmotor . . . . . . . . . . . . . . 42.4.4 Brennstoffzellen . . . . . . . . . . . 42.5 Kälteanlagen und Wärmepumpen . . . . . . 42.5.1 Kompressionskälteanlage . . . . . 42.5.2 Kompressionswärmepumpe . . . . 42.6 Kraft-Wärme-Kopplung . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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752 753 755 755 755 757 757 757 757 758 759 776

. . . 777 . . . .

777 779 779 780

. . . . . . . . . 783 . . . . . . . . . . . . . . . .

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Gemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Peter Stephan und Karl Stephan 43.1 Gemische idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Gas-Dampf-Gemische . . . . . . . . . . . . . . . 43.2.1 Mollier-Diagramm der feuchten Luft 43.2.2 Zustandsänderungen feuchter Luft . . Tabellen zu Kap. 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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783 783 784 784 785 786 787 788 788 789 789 790 790 791 792 792

. . . . . . . 793 . . . . .

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793 794 795 796 798

Inhaltsverzeichnis

XXXV

44

45

Verbrennung . . . . . . . . . . . Peter Stephan und Karl Stephan 44.1 Reaktionsgleichungen . . 44.2 Heizwert und Brennwert 44.3 Verbrennungstemperatur Tabellen zu Kap. 44 . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 . . . . .

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Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Peter Stephan und Karl Stephan 45.1 Stationäre Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.2 Wärmeübergang und Wärmedurchgang . . . . . . . . . 45.3 Nichtstationäre Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . 45.3.1 Der halbunendliche Körper . . . . . . . . . . . 45.3.2 Zwei halbunendliche Körper in thermischem Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.3.3 Temperaturausgleich in einfachen Körpern . . 45.4 Wärmeübergang durch Konvektion . . . . . . . . . . . . 45.4.1 Wärmeübergang ohne Phasenumwandlung . 45.4.2 Wärmeübergang beim Kondensieren und beim Sieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.5 Wärmeübertragung durch Strahlung . . . . . . . . . . . 45.5.1 Gesetz von Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . 45.5.2 Kirchhoffsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . 45.5.3 Wärmeaustausch durch Strahlung . . . . . . . 45.5.4 Gasstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabellen zu Kap. 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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801 802 803 804 805

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807 808 810 811

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812 812 813 814

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817 818 818 819 819 819 820 824

Literatur zu Teil V Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825

Teil VI 46

Maschinendynamik

Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Holger Hanselka, Sven Herold, Rainer Nordmann und Tamara Nestorovi´c 46.1 Problematik der Maschinenschwingungen . . . . . . . . . 46.2 Grundbegriffe der Schwingungsanalyse . . . . . . . . . . . 46.2.1 Mechanisches Ersatzsystem . . . . . . . . . . . . . 46.2.2 Bewegungsgleichungen, Systemmatrizen . . . . . 46.2.3 Modale Parameter – Eigenfrequenzen, modale Dämpfungen, Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . 46.2.4 Modale Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.2.5 Frequenzgangfunktionen mechanischer Systeme, Amplituden- und Phasengang . . . . . . . . . . . .

829

829 830 830 830 831 833 833

XXXVI

Inhaltsverzeichnis

46.3

47

48

Grundaufgaben der Maschinendynamik . . . . . . . . . . . 46.3.1 Direktes Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.3.2 Eingangsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.3.3 Identifikationsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . 46.3.4 Entwurfsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.3.5 Verbesserung des Schwingungszustands einer Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.4 Darstellung von Schwingungen im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.4.1 Darstellung von Schwingungen im Zeitbereich . 46.4.2 Darstellung von Schwingungen im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.5 Entstehung von Maschinenschwingungen, Erregerkräfte F(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.5.1 Freie Schwingungen (Eigenschwingungen) . . . 46.5.2 Selbsterregte Schwingungen . . . . . . . . . . . . 46.5.3 Parametererregte Schwingungen . . . . . . . . . . 46.5.4 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . 46.6 Mechanische Ersatzsysteme, Bewegungsgleichungen . . 46.6.1 Strukturfestlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.6.2 Parameterermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.7 Anwendungsbeispiele für Maschinenschwingungen . . . 46.7.1 Drehschwinger mit zwei Drehmassen . . . . . . . 46.7.2 Torsionsschwingungen einer Turbogruppe . . . . 46.7.3 Maschinenwelle mit einem Laufrad (Ventilator) 46.7.4 Tragstruktur (Balken) mit aufgesetzter Maschine Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

835 835 836 836 839

842 843 843 843 843 848 848 849 849 850 851 854 858 861

Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rainer Nordmann und Tamara Nestorovi´c 47.1 Drehkraftdiagramm von Mehrzylindermaschinen 47.2 Massenkräfte und Momente . . . . . . . . . . . . . 47.2.1 Analytische Verfahren . . . . . . . . . . . 47.2.2 Ausgleich der Kräfte und Momente . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

863 866 866 876 877

839 839 839 840

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Maschinenakustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Holger Hanselka, Joachim Bös und Tamara Nestorovi´c 48.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.1.1 Schall, Frequenz, Hörbereich, Schalldruck, Schalldruckpegel, Lautstärke . . . . . . . . . 48.1.2 Schnelle, Schnellepegel, Kennimpedanz . . 48.1.3 Schallintensität, Schallintensitätspegel . . . 48.1.4 Schallleistung, Schallleistungspegel . . . . . 48.1.5 Fourierspektrum, Spektrogramm, Geräuschanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . .

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879 880 881 881

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Inhaltsverzeichnis

XXXVII

48.1.6 Frequenzbewertung, A-, C- und Z-Bewertung . 48.1.7 Bezugswerte, Pegelarithmetik . . . . . . . . . . . 48.2 Geräuschentstehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.2.1 Direkte und indirekte Geräuschentstehung . . . 48.2.2 Maschinenakustische Grundgleichung . . . . . 48.2.3 Anregungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.2.4 Körperschallfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 48.2.5 Luftschallabstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . 48.3 Möglichkeiten zur Geräuschminderung . . . . . . . . . . 48.3.1 Verminderung der Kraftanregung . . . . . . . . 48.3.2 Verminderung der Körperschallfunktion . . . . 48.3.3 Verminderung der Luftschallabstrahlung . . . . 48.4 Aktive Maßnahmenzur Lärm- und Schwingungsminderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.5 Numerische Verfahren zur Simulation von Luft- und Körperschall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.6 Strukturintensität und Körperschallfluss . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teil VII 49

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882 883 884 884 884 885 886 886 888 888 889 890

. 891 . 895 . 895 . 898

Allgemeine Tabellen

Allgemeine Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903 Karl-Heinrich Grote

Fachausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999

Inhaltsverzeichnis Band 2

Teil I 1

Grundlagen der Produktentwicklung Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beate Bender, Jörg Feldhusen, Dieter Krause, Gregor Beckmann, Kristin Paetzold und Albert Hövel 1.1 Technische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Energie-, Stoff- und Signalumsatz . . . . . . . . . 1.1.2 Funktionszusammenhang . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Wirkzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Bauzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Übergeordneter Systemzusammenhang . . . . . . 1.2 Methodisches Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Allgemeine Arbeitsmethodik . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Abstrahieren zum Erkennen der Funktionen . . . 1.2.3 Suche nach Lösungsprinzipien . . . . . . . . . . . 1.2.4 Beurteilen von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Kostenermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Arbeitsphasen im Produktentwicklungsprozess . . . . . . 1.3.1 Klären der Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Konzipieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Entwerfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Ausarbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Validierung und Verifikation . . . . . . . . . . . . 1.4 Gestaltungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Grundregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Gestaltungsprinzipen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Gestaltungsrichtlinien . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Entwicklung varianter Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Modulare Produktstrukturierung . . . . . . . . . . 1.5.2 Produktstrukturstrategien . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Methoden der Produktstrukturierung . . . . . . . 1.6 Toleranzgerechtes Konstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Grundlagen für ein Toleranzmanagement . . . . . 1.6.2 Die Toleranzvergabe . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Die Toleranzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Prozessfähigkeitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 4 4 7 8 9 9 10 10 10 13 16 19 20 21 22 22 24 25 25 25 29 35 35 38 40 41 41 44 46 46

XXXIX

XL

Inhaltsverzeichnis Band 2

1.7

Normen und Zeichnungswesen . . . . 1.7.1 Normenwerk . . . . . . . . . . 1.7.2 Grundnormen . . . . . . . . . . 1.7.3 Zeichnungen und Stücklisten 1.7.4 Sachnummernsysteme . . . . Literatur – Spezielle Literatur . . . . . . . . .

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47 47 50 56 58 60

Anwendung für Maschinensysteme der Stoffverarbeitung . Jens-Peter Majschak 2.1 Aufgabe und Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen . . . . . . . . . . . 2.2.1 Verarbeitungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Antriebs- und Steuerungssystem . . . . . . . . . 2.2.3 Stütz- und Hüllsystem . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Verarbeitungsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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65

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65 66 67 73 76 78 78

Bio-Industrie-Design: Herausforderungen und Visionen . . . Luigi Colani und Juri Postnikov Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 82

Literatur zu Teil I Grundlagen der Konstruktionstechnik . . . . . .

83

2

3

Teil II

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Elektronische Datenverarbeitung

4

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reiner Anderl

87

5

Informationstechnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reiner Anderl 5.1 Grundlagen und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Zahlendarstellungen und arithmetische Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Datenstrukturen und Datentypen . . . . . 5.1.3 Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Numerische Berechnungsverfahren . . . 5.1.5 Programmiermethoden . . . . . . . . . . . 5.1.6 Programmiersprachen . . . . . . . . . . . 5.1.7 Objektorientierte Programmierung . . . . 5.1.8 Softwareentwicklung . . . . . . . . . . . . 5.2 Digitalrechnertechnologie . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Hardwarekomponenten . . . . . . . . . . . 5.2.2 Hardwarearchitekturen . . . . . . . . . . . 5.2.3 Rechnernetze . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Client-/Serverarchitekturen . . . . . . . . 5.2.5 Betriebssysteme . . . . . . . . . . . . . . .

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89

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89

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90 92 93 94 95 98 99 99 100 100 102 103 104 105

Inhaltsverzeichnis Band 2

XLI

5.3 5.4

Internet und Integrationstechnologien Sicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Betriebssicherheit – Safety . 5.4.2 IT-Sicherheit – Security . . . 5.4.3 Kryptografie . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7

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Virtuelle Produktentstehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reiner Anderl 6.1 Produktentstehungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Basismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Geometrische Modellierung . . . . . . . . . . 6.2.2 Featuretechnologie . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Parametrik und Zwangsbedingungen . . . . 6.2.4 Wissensbasierte Modellierung . . . . . . . . 6.2.5 Modellierung der Produktstruktur . . . . . . 6.2.6 Durchgängige Erstellung von Dokumenten 6.3 CAx-Prozessketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 CAD-CAE-Prozessketten . . . . . . . . . . . 6.3.2 Prozesskette CAD-FEM . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Prozesskette CAD-CFD . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Prozesskette CAD-MKS . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Prozesskette CAD-DMU . . . . . . . . . . . . 6.3.6 Prozesskette CAD-CAM . . . . . . . . . . . . 6.3.7 Prozesskette CAD-TPD . . . . . . . . . . . . 6.3.8 Prozesskette CAD-VR/AR . . . . . . . . . . 6.3.9 Prozesskette CAD-AF . . . . . . . . . . . . . 6.4 Produktdatenmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Methoden des Produktdatenmanagements . 6.4.2 Funktionen des Produktdatenmanagementsystems . . . . . . 6.4.3 Architektur des Produktdatenmanagementsystems . . . . . . 6.5 Kooperative Produktentwicklung . . . . . . . . . . . . 6.6 Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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106 108 108 108 109 112 115

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117 118 118 121 122 124 125 126 127 127 128 128 128 129 129 129 130 130 130 131

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136 138 138 140

Elektronische Datenverarbeitung – Agentenbasiertes Steuern 143 Arndt Lüder und Birgit Vogel-Heuser 7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.2 Agentenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.3 Entwurfsprozess für Agentensysteme . . . . . . . . . . . . 144

XLII

Inhaltsverzeichnis Band 2

7.4

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Agentenbasierte Produktionsplanung 7.4.2 Agentenbasierte Feldsteuerung . . . . 7.4.3 Agenten in der Intralogistik . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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146 146 148 149 149

Literatur zu Teil II Elektronische Datenverarbeitung . . . . . . . . . 151

Teil III 8

Mechanische Konstruktionselemente

Bauteilverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Helmut Wohlfahrt, Thomas Widder, Manfred Kaßner, Karl Thomas, Klaus Dilger, Heinz Mertens und Robert Liebich 8.1 Schweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Schweißverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Schweißbarkeit der Werkstoffe . . . . . . . . . 8.1.3 Stoß- und Nahtarten . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Darstellung der Schweißnähte . . . . . . . . . 8.1.5 Festigkeit von Schweißverbindungen . . . . . 8.1.6 Thermisches Abtragen . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Löten und alternative Fügeverfahren . . . . . . . . . . . 8.2.1 Lötvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Weichlöten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Hartlöten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Hochtemperaturlöten . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Lichtbogenlöten, Laserlöten . . . . . . . . . . . 8.2.6 Umformtechnische Fügeverfahren . . . . . . . 8.3 Kleben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Anwendung und Vorgang . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Klebstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Tragfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Reibschlussverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Formen, Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Pressverbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 Klemmverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Formschlussverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Formen, Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Stiftverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 Bolzenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.4 Keilverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.5 Pass- und Scheibenfeder-Verbindungen . . . . 8.5.6 Zahn- und Keilwellenverbindungen . . . . . . 8.5.7 Polygonwellenverbindungen . . . . . . . . . . 8.5.8 Vorgespannte Welle-Nabe-Verbindungen . . . 8.5.9 Axiale Sicherungselemente . . . . . . . . . . . 8.5.10 Nietverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 155

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155 155 156 170 173 175 185 187 187 187 188 190 190 191 193 193 194 195 196 196 199 203 205 205 205 206 207 208 209 210 210 210 211

Inhaltsverzeichnis Band 2

XLIII

8.6

Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.6.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.6.2 Kenngrößen der Schraubenbewegung . . . . . . . 213 8.6.3 Gewindearten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.6.4 Schrauben- und Mutterarten . . . . . . . . . . . . . 215 8.6.5 Schrauben- und Mutternwerkstoffe . . . . . . . . 217 8.6.6 Kräfte und Verformungen beim Anziehen von Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.6.7 Überlagerung von Vorspannkraft und Betriebslast 221 8.6.8 Auslegung und Dauerfestigkeitsberechnung von Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.6.9 Sicherung von Schraubenverbindungen . . . . . . 229 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

9

Federnde Verbindungen (Federn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Heinz Mertens, Robert Liebich und Peter Gust 9.1 Aufgaben, Eigenschaften, Kenngrößen . . . . . . . . . . . 245 9.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.1.2 Federkennlinie, Federsteifigkeit, Federnachgiebigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 9.1.3 Arbeitsaufnahmefähigkeit, Nutzungsgrad, Dämpfungsvermögen, Dämpfungsfaktor . . . . . 246 9.2 Metallfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.2.1 Zug/Druck-beanspruchte Zug- oder Druckfedern 247 9.2.2 Einfache und geschichtete Blattfedern (gerade oder schwachgekrümmte, biegebeanspruchte Federn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 9.2.3 Spiralfedern (ebene gewundene, biegebeanspruchte Federn) und Schenkelfedern (biegebeanspruchte Schraubenfedern) . . . . . . . 250 9.2.4 Tellerfedern (scheibenförmige, biegebeanspruchte Federn) . . . . . . . . . . . . . 251 9.2.5 Drehstabfedern (gerade, drehbeanspruchte Federn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.2.6 Zylindrische Schraubendruckfedern und Schraubenzugfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 9.3 Gummifedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 9.3.1 Der Werkstoff „Gummi“ und seine Eigenschaften 258 9.3.2 Gummifederelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 9.4 Federn aus Faser-Kunststoff-Verbunden . . . . . . . . . . . 262 9.5 Gasfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 9.6 Industrie-Stoßdämpfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 9.6.1 Anwendungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 9.6.2 Funktionsweise des Industrie-Stoßdämpfers . . . 263 9.6.3 Aufbau eines Industrie-Stoßdämpfers . . . . . . . 264 9.6.4 Berechnung und Auswahl . . . . . . . . . . . . . . 264 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

XLIV

10

11

Inhaltsverzeichnis Band 2

Kupplungen und Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Armin Lohrengel und Peter Dietz 10.1 Überblick, Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Drehstarre, nicht schaltbare Kupplungen . . . . . . . . . . 10.2.1 Starre Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Drehstarre Ausgleichskupplungen . . . . . . . . . 10.3 Elastische, nicht schaltbare Kupplungen . . . . . . . . . . . 10.3.1 Feder- und Dämpfungsverhalten . . . . . . . . . . 10.3.2 Auslegungsgesichtspunkte, Schwingungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Auswahlgesichtspunkte . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen . . . . . . 10.5 Fremdgeschaltete Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1 Formschlüssige Schaltkupplungen . . . . . . . . . 10.5.2 Kraft-(Reib-)schlüssige Schaltkupplungen . . . . 10.5.3 Der Schaltvorgang bei reibschlüssigen Schaltkupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.4 Auslegung einer reibschlüssigen Schaltkupplung 10.5.5 Auswahl einer Kupplungsgröße . . . . . . . . . . 10.5.6 Allgemeine Auswahlkriterien . . . . . . . . . . . . 10.5.7 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Selbsttätig schaltende Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 Drehmomentgeschaltete Kupplungen . . . . . . . 10.6.2 Drehzahlgeschaltete Kupplungen . . . . . . . . . . 10.6.3 Richtungsgeschaltete Kupplungen (Freiläufe) . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wälzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gerhard Poll 11.1 Kennzeichen und Eigenschaften der Wälzlager . . . . 11.2 Bauarten der Wälzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Lager für rotierende Bewegungen . . . . . . . 11.2.2 Linearwälzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Wälzlagerkäfige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Wälzlagerwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Bezeichnungen für Wälzlager . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Konstruktive Ausführung von Lagerungen . . . . . . . 11.6.1 Fest-Loslager-Anordnung . . . . . . . . . . . . 11.6.2 Schwimmende oder Stütz-Traglagerung und angestellte Lagerung . . . . . . . . . . . . 11.6.3 Lagersitze, axiale und radiale Festlegung der Lagerringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.4 Lagerluft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Wälzlagerschmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.2 Fettschmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267 267 268 268 268 271 271 273 275 276 276 277 280 280 282 284 285 286 286 287 288 288 289 291 292

. . 295 . . . . . . . . .

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295 295 296 301 301 302 302 305 305

. . 306 . . . . .

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307 308 308 308 310

Inhaltsverzeichnis Band 2

XLV

12

13

11.7.3 Ölschmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.4 Feststoffschmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8 Wälzlagerdichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der Wälzlager . . . . . . 11.9.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9.2 Statische bzw. dynamische Tragfähigkeit und Lebensdauerberechnung . . . . . . . . . . . . . . 11.10 Bewegungswiderstand und Referenzdrehzahlen der Wälzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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311 312 312 314 314

. 318 . 320 . 328

Gleitlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ludger Deters und Dirk Bartel 12.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Aufgabe, Einteilung und Anwendungen . 12.1.2 Wirkungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Reibungszustände . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Berechnung fluiddynamischer Gleitlager . . . . . . 12.2.1 Stationär belastete Radialgleitlager . . . . 12.2.2 Radialgleitlager im instationären Betrieb . 12.2.3 Stationär belastete Axialgleitlager . . . . . 12.2.4 Mehrgleitflächenlager . . . . . . . . . . . . . 12.3 Hydrostatische Anfahrhilfen . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Berechnung hydrostatischer Gleitlager . . . . . . . 12.4.1 Hydrostatische Radialgleitlager . . . . . . . 12.4.2 Hydrostatische Axialgleitlager . . . . . . . 12.5 Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Wartungsfreie Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Konstruktive Gestaltung . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.1 Konstruktion und Schmierspaltausbildung 12.7.2 Lagerschmierung . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.3 Lagerkühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.4 Lagerwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.5 Lagerbauformen . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Zugmittelgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Heinz Mertens und Robert Liebich 13.1 Bauarten, Anwendungen . . . . . . . . . . . . 13.2 Flachriemengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Kräfte am Flachriemengetriebe . . . 13.2.2 Beanspruchungen . . . . . . . . . . . 13.2.3 Geometrische Beziehungen . . . . . 13.2.4 Kinematik, Leistung, Wirkungsgrad 13.2.5 Riemenlauf und Vorspannung . . . .

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. 315

. . . . 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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331 331 331 332 333 333 338 338 344 345 345 345 347 348 348 349 349 349 350 351 352 353 357

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359 360 360 361 361 362 363

XLVI

Inhaltsverzeichnis Band 2

13.2.6 Riemenwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . 13.2.7 Entwurfsberechnung . . . . . . . . . . . 13.3 Keilriemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Anwendungen und Eigenschaften . . . 13.3.2 Typen und Bauarten von Keilriemen . . 13.3.3 Entwurfsberechnung . . . . . . . . . . . 13.4 Synchronriemen (Zahnriemen) . . . . . . . . . . 13.4.1 Aufbau, Eigenschaften, Anwendung . . 13.4.2 Gestaltungshinweise . . . . . . . . . . . 13.4.3 Entwurfsberechnung . . . . . . . . . . . 13.5 Kettengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.1 Bauarten, Eigenschaften, Anwendung . 13.5.2 Gestaltungshinweise . . . . . . . . . . . 13.5.3 Entwurfsberechnung . . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

15

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Reibradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gerhard Poll 14.1 Wirkungsweise, Definitionen . . . . . . . . . . . . . 14.2 Bauarten, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Reibradgetriebe mit festem Übersetzungsverhältnis . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Wälzgetriebe mit stufenlos einstellbarer Übersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Bohrbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Schlupf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.3 Übertragbare Leistung und Wirkungsgrad 14.3.4 Gebräuchliche Werkstoffpaarungen . . . . 14.4 Hinweise für Anwendung und Betrieb . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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365 365 367 367 368 369 369 369 370 370 371 371 371 372 372 375

. . . . 377 . . . . 377 . . . . 378 . . . . 378 . . . . . . . .

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378 381 381 382 383 385 385 386

Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bernd-Robert Höhn 15.1 Stirnräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.1 Verzahnungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.2 Übersetzung, Zähnezahlverhältnis, Momentenverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.3 Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke 15.1.4 Flankenlinien und Formen der Verzahnung . . . 15.1.5 Allgemeine Verzahnungsgrößen . . . . . . . . . . 15.1.6 Gleit- und Rollbewegung . . . . . . . . . . . . . . 15.1.7 Evolventenverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.8 Sonstige Verzahnungen (außer Evolventen) und ungleichmäßig übersetzende Zahnräder . . . . . .

389 390 390 390 391 391 392 394 394 398

Inhaltsverzeichnis Band 2

XLVII

15.2 15.3

Verzahnungsabweichungen und -toleranzen, Flankenspiel 399 Schmierung und Kühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 15.3.1 Schmierstoff und Schmierungsart . . . . . . . . . 401 15.4 Werkstoffe und Wärmebehandlung – Verzahnungsherstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 15.4.1 Typische Beispiele aus verschiedenen Anwendungsgebieten . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 15.4.2 Werkstoffe und Wärmebehandlung – Gesichtspunkte für die Auswahl . . . . . . . . . . 403 15.5 Tragfähigkeit von Gerad- und Schrägstirnrädern . . . . . 404 15.5.1 Zahnschäden und Abhilfen . . . . . . . . . . . . . 404 15.5.2 Pflichtenheft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 15.5.3 Anhaltswerte für die Dimensionierung . . . . . . 405 15.5.4 Nachrechnung der Tragfähigkeit . . . . . . . . . . 408 15.6 Kegelräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 15.6.1 Geradzahn-Kegelräder . . . . . . . . . . . . . . . . 416 15.6.2 Kegelräder mit Schräg- oder Bogenverzahnung . 416 15.6.3 Zahnform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 15.6.4 Kegelrad-Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 15.6.5 Tragfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 15.6.6 Lagerkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 15.6.7 Hinweise zur Konstruktion von Kegelrädern . . . 418 15.6.8 Sondergetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 15.7 Stirnschraubräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 15.8 Schneckengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 15.8.1 Zylinderschnecken-Geometrie . . . . . . . . . . . 420 15.8.2 Auslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 15.8.3 Zahnkräfte, Lagerkräfte . . . . . . . . . . . . . . . 422 15.8.4 Geschwindigkeiten, Beanspruchungskennwerte . 423 15.8.5 Reibungszahl, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . 424 15.8.6 Nachrechnung der Tragfähigkeit . . . . . . . . . . 425 15.8.7 Gestaltung, Werkstoffe, Lagerung, Genauigkeit, Schmierung, Montage . . . . . . . . . . . . . . . . 427 15.9 Umlaufgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 15.9.1 Kinematische Grundlagen, Bezeichnungen . . . 428 15.9.2 Allgemeingültigkeit der Berechnungsgleichungen 430 15.9.3 Vorzeichenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 15.9.4 Drehmomente, Leistungen, Wirkungsgrade . . . 431 15.9.5 Selbsthemmung und Teilhemmung . . . . . . . . 434 15.9.6 Konstruktive Hinweise . . . . . . . . . . . . . . . . 436 15.9.7 Auslegung einfacher Planetengetriebe . . . . . . . 436 15.9.8 Zusammengesetzte Planetengetriebe . . . . . . . 439 15.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . 442 15.10.1 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 15.10.2 Anschluss an Motor und Arbeitsmaschine . . . . 444 15.10.3 Gestalten und Bemaßen der Zahnräder . . . . . . 445 15.10.4 Gestalten der Gehäuse . . . . . . . . . . . . . . . . 445 15.10.5 Lagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

XLVIII

Inhaltsverzeichnis Band 2

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 16

Getriebetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Burkhard Corves und Hanfried Kerle 16.1 Getriebesystematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.2 Arten ebener Getriebe . . . . . . . . . . . . . 16.2 Getriebeanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Kinematische Analyse ebener Getriebe . . . 16.2.2 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe . . 16.2.3 Kinematische Analyse räumlicher Getriebe 16.2.4 Laufgüte der Getriebe . . . . . . . . . . . . . 16.3 Getriebesynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.1 Viergelenkgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.2 Kurvengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Sondergetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 453 . . . . . . . . . . . . .

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453 453 455 458 458 462 463 464 465 465 467 468 468

Literatur zu Teil III Mechanische Konstruktionselemente . . . . . . 471

Teil IV 17

18

Fluidische Antriebe

Hydrostatik und Pneumatik in der Antriebstechnik . Dierk Feldmann und Stephan Bartelmei 17.1 Das hydrostatische Getriebe . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Elemente des Hydrostatischen Getriebes 17.1.2 Berechnung des Betriebsverhaltens des Hydrostatischen Getriebes . . . . . . . . . 17.1.3 Energieübertragung durch Gase . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 475 . . . . . 475 . . . . . 476 . . . . . 479 . . . . . 481 . . . . . 482

Bauelemente hydrostatischer Getriebe . . . . . . . . . . . . . . 485 Dierk Feldmann und Stephan Bartelmei 18.1 Verdrängermaschinen mit rotierender Welle . . . . . . . . 485 18.1.1 Zahnradpumpen und Zahnring-(Gerotor-)pumpen 488 18.1.2 Flügelzellenpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 18.1.3 Kolbenpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 18.1.4 Andere Pumpenbauarten . . . . . . . . . . . . . . . 491 18.1.5 Hydromotoren in Umlaufverdrängerbauart . . . . 491 18.1.6 Hydromotoren in Hubverdränger-(Kolben-)bauart 492 18.2 Verdrängermaschinen mit translatorischem (Ein- und) Ausgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 18.3 Hydroventile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 18.3.1 Wegeventile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 18.3.2 Sperrventile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 18.3.3 Druckventile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 18.3.4 Stromventile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

Inhaltsverzeichnis Band 2

XLIX

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500 500 501 501 502

Aufbau und Funktion der Hydrostatischen Getriebe . . . . . Dierk Feldmann und Stephan Bartelmei 19.1 Hydrostatische Kreisläufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Offener Kreislauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.2 Geschlossener Kreislauf . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.3 Halboffener Kreislauf . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Funktion des Hydrostatischen Getriebes . . . . . . . . . . . 19.2.1 Berechnung des Betriebsverhaltens . . . . . . . . 19.2.2 Dynamisches Betriebsverhalten . . . . . . . . . . 19.3 Steuerung der Getriebeübersetzung . . . . . . . . . . . . . . 19.3.1 Getriebe mit Verstelleinheiten . . . . . . . . . . . . 19.3.2 Selbsttätig arbeitende Regler und Verstellungen an Verstellmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . .

503

18.4 18.5 19

20

21

18.3.5 Proportionalventile . . . . . . . . . . 18.3.6 Servoventile . . . . . . . . . . . . . . 18.3.7 Ventile für spezielle Anwendungen Hydraulikflüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . Hydraulikzubehör . . . . . . . . . . . . . . . .

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Auslegung und Ausführung von Hydrostatischen Getrieben Dierk Feldmann und Stephan Bartelmei 20.1 Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Projektierung, Dimensionierung und konstruktive Gestaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.1 Projektierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2 Dimensionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.3 Konstruktive Gestaltung . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.4 Werkzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

503 503 503 504 504 504 505 505 505 506 509 509 511 511 511 512 512

Pneumatische Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 Dierk Feldmann und Stephan Bartelmei 21.1 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 21.2 Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

Literatur zu Teil IV Fluidische Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

Teil V 22

Elektrotechnik Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wilfried Hofmann und Manfred Stiebler 22.1 Grundgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.1 Feldgrößen und -gleichungen . . . . . . . . . 22.1.2 Elektrostatisches Feld . . . . . . . . . . . . . . 22.1.3 Stationäres Strömungsfeld . . . . . . . . . . . 22.1.4 Stationäres magnetisches Feld . . . . . . . . 22.1.5 Quasistationäres elektromagnetisches Feld .

. . . 521 . . . . . .

. . . . . .

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521 521 522 523 523 524

L

Inhaltsverzeichnis Band 2

22.2

23

24

Elektrische Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.1 Gleichstromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2 Kirchhoff’sche Sätze . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.3 Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.4 Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.5 Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.6 Magnetische Materialien . . . . . . . . . . . . . 22.2.7 Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld 22.3 Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.1 Wechselstromgrößen . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.2 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.3 Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.4 Schwingkreise und Filter . . . . . . . . . . . . . 22.4 Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.1 Ausgleichsvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4.2 Netzwerkberechnung . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Werkstoffe und Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . 22.5.1 Leiter, Halbleiter, Isolatoren . . . . . . . . . . . 22.5.2 Besondere Eigenschaften bei Leitern . . . . . 22.5.3 Stoffe im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . 22.5.4 Stoffe im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . 22.5.5 Elektrolyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Transformatoren und Wandler . . . . . . . . . . . . . Wilfried Hofmann und Manfred Stiebler 23.1 Einphasentransformatoren . . . . . . . . . . . . . 23.1.1 Wirkungsweise und Ersatzschaltbilder 23.1.2 Spannungsinduktion . . . . . . . . . . . 23.1.3 Leerlauf und Kurzschluss . . . . . . . . 23.1.4 Zeigerdiagramm . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Messwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.1 Stromwandler . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2 Spannungswandler . . . . . . . . . . . . 23.3 Drehstromtransformatoren . . . . . . . . . . . . . 23.4 Spezielle Anwendungen von Transformatoren . 23.4.1 Regeltransformatoren . . . . . . . . . . . 23.4.2 Mittelfrequenztransformatoren . . . . . 23.4.3 Berührungslose Energieübertragung . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Elektrische Maschinen . . . . . . . . . . . . Wilfried Hofmann und Manfred Stiebler 24.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.1 Maschinenarten . . . . . . . 24.1.2 Bauformen und Achshöhen 24.1.3 Schutzarten . . . . . . . . . .

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524 524 525 527 527 528 528 529 531 531 532 533 535 538 538 540 540 540 541 542 543 543 544 546

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547 547 548 548 549 550 550 550 550 552 552 552 554 555

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Inhaltsverzeichnis Band 2

LI

24.1.4 Elektromagnetische Ausnutzung . . . . . 24.1.5 Verluste und Wirkungsgrad . . . . . . . . 24.1.6 Erwärmung und Kühlung . . . . . . . . . 24.1.7 Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.8 Schwingungen und Geräusche . . . . . . 24.1.9 Drehfelder in Drehstrommaschinen . . . 24.2 Asynchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.1 Ausführungen . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.2 Ersatzschaltbild und Kreisdiagramm . . 24.2.3 Betriebskennlinien . . . . . . . . . . . . . 24.2.4 Einfluss der Stromverdrängung . . . . . . 24.2.5 Einphasenmotoren . . . . . . . . . . . . . . 24.3 Synchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.1 Ausführungen . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.2 Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . . . 24.3.3 Kurzschlussverhalten . . . . . . . . . . . . 24.4 Gleichstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . 24.4.1 Ausführungen . . . . . . . . . . . . . . . . 24.4.2 Stationäres Betriebsverhalten . . . . . . . 24.4.3 Instationäres Betriebsverhalten . . . . . . 24.5 Kleinmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.5.2 Asynchron-Kleinmotoren . . . . . . . . . 24.5.3 Synchron-Kleinmotoren für Netzbetrieb 24.5.4 Schrittmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . 24.5.5 Elektronisch kommutierte Motoren . . . 24.5.6 Gleichstrom-Kleinmotoren . . . . . . . . 24.5.7 Universalmotoren . . . . . . . . . . . . . . 24.6 Linearmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.6.1 Gleichstromlinearmotoren . . . . . . . . . 24.6.2 Asynchronlinearmotoren . . . . . . . . . . 24.6.3 Synchronlinearmotoren . . . . . . . . . . . 24.7 Torquemotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.8 High-Speed-Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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Leistungselektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wilfried Hofmann und Manfred Stiebler 25.1 Grundlagen und Bauelemente . . . . . . . . . . . . . 25.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.2 Ausführungen von Halbleiterventilen . . . 25.1.3 Leistungsmerkmale der Ventile . . . . . . . 25.1.4 Einteilung der Stromrichter . . . . . . . . . 25.2 Wechselstrom- und Drehstromsteller . . . . . . . . . 25.3 Netzgeführte Stromrichter . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.1 Netzgeführte Gleich- und Wechselrichter . 25.3.2 Steuerkennlinien . . . . . . . . . . . . . . . .

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560 560 561 561 563 564 565 565 565 566 567 568 568 568 570 572 573 573 573 574 575 575 575 577 577 578 578 579 580 580 580 581 581 582 583 584

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585 585 585 586 588 589 589 589 590

LII

Inhaltsverzeichnis Band 2

25.3.3 Umkehrstromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.4 Netzrückwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.5 Direktumrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4 Selbstgeführte Stromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4.1 Gleichstromsteller . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4.2 Selbstgeführte Wechselrichter und Umrichter 25.4.3 Blindleistungskompensation . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

27

Elektrische Antriebstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . Wilfried Hofmann und Manfred Stiebler 26.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1.2 Stationärer Betrieb . . . . . . . . . . . . . 26.1.3 Anfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1.4 Drehzahlverstellung . . . . . . . . . . . . . 26.1.5 Drehschwingungen . . . . . . . . . . . . . 26.1.6 Elektrische Bremsung . . . . . . . . . . . 26.1.7 Elektromagnetische Verträglichkeit . . . 26.2 Gleichstromantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2.1 Gleichstromantriebe mit netzgeführten Stromrichtern . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2.2 Regelung in der Antriebstechnik . . . . . 26.2.3 Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . . . . 26.3 Drehstromantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.1 Antriebe mit Drehstromsteller . . . . . . 26.3.2 Stromrichterkaskaden . . . . . . . . . . . . 26.3.3 Stromrichtermotor . . . . . . . . . . . . . . 26.3.4 Umrichterantriebe mit selbstgeführtem Wechselrichter . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.5 Regelung von Drehstromantrieben . . . . 26.4 Elektroantriebe in speziellen Anwendungen . . . 26.4.1 Servoantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4.2 Hybridantriebe in der Fahrzeugtechnik . 26.4.3 Antriebe für Elektrofahrzeuge . . . . . . 26.5 Magnetlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.5.1 Aktive Magnetlager . . . . . . . . . . . . . 26.5.2 Passive Magnetlager . . . . . . . . . . . . 26.5.3 Leistungssteller . . . . . . . . . . . . . . . 26.5.4 Regelung von Magnetlagern . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energieverteilung . . . . . . . . . . . . . . . Wilfried Hofmann und Manfred Stiebler 27.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . 27.2 Kabel und Leitungen . . . . . . . . . 27.2.1 Leitungsnachbildung . . . . 27.2.2 Kenngrößen der Leitungen

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592 592 593 593 593 594 598 598

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599 599 600 601 601 603 603 604 604

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604 605 606 609 609 610 610

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611 611 616 616 619 622 624 624 628 629 630 632

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Inhaltsverzeichnis Band 2

LIII

27.3

Schaltgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.1 Schaltanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.2 Hochspannungsschaltgeräte . . . . . . . . 27.3.3 Niederspannungsschaltgeräte . . . . . . . 27.4 Schutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.4.1 Kurzschlussschutz . . . . . . . . . . . . . . 27.4.2 Schutzschalter . . . . . . . . . . . . . . . . 27.4.3 Thermischer Überstromschutz . . . . . . 27.4.4 Kurzschlussströme . . . . . . . . . . . . . 27.4.5 Selektiver Netzschutz . . . . . . . . . . . . 27.4.6 Berührungsschutz . . . . . . . . . . . . . . 27.5 Energiespeicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5.1 Speicherkraftwerke . . . . . . . . . . . . . 27.5.2 Batterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5.3 Andere Energiespeicher . . . . . . . . . . 27.6 Elektrische Energie aus erneuerbaren Quellen . . 27.6.1 Solarenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.6.2 Windenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.6.3 Antriebsstränge in Windenergieanlagen . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Elektrowärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wilfried Hofmann und Manfred Stiebler 28.1 Widerstandserwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2 Lichtbogenerwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2.1 Lichtbogenofen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2.2 Lichtbogenschweißen . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3 Induktive Erwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3.1 Stromverdrängung, Eindringtiefe . . . . . . . . . 28.3.2 Aufwölbung und Bewegungen im Schmelzgut 28.3.3 Oberflächenerwärmung . . . . . . . . . . . . . . . 28.3.4 Stromversorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.4 Dielektrische Erwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Elektronische Komponenten . . . . . . . . . . . . . Ulrich Grünhaupt und Hans-Jürgen Gevatter 29.1 Passive Komponenten . . . . . . . . . . . . . . 29.1.1 Aufbau elektronischer Schaltungen 29.1.2 Widerstände . . . . . . . . . . . . . . 29.1.3 Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . 29.1.4 Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . 29.2 Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.2.1 Diodenkennlinien und Daten . . . . 29.2.2 Schottky-Dioden . . . . . . . . . . . . 29.2.3 Kapazitätsdioden . . . . . . . . . . .

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638 638 638 639 639 639 639 640 640 641 642 643 643 644 645 646 646 648 649 654 654

. 657 657 657 657 659 659 659 659 660 660 661 662

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663 663 663 665 666 666 666 667 667

LIV

Inhaltsverzeichnis Band 2

29.2.4 Z-Dioden . . . . . . . . . . . . . 29.2.5 Leistungsdioden . . . . . . . . . 29.3 Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.3.1 Bipolartransistoren . . . . . . . 29.3.2 Feldeffekttransistoren . . . . . . 29.3.3 IGB-Transistoren . . . . . . . . 29.4 Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.4.1 Thyristorkennlinien und Daten 29.4.2 Steuerung des Thyristors . . . . 29.4.3 Triacs, Diacs . . . . . . . . . . . 29.4.4 Abschaltbare Thyristoren . . . 29.5 Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . 29.6 Optoelektronische Komponenten . . . . 29.6.1 Optoelektronische Empfänger 29.6.2 Optoelektronische Sender . . . 29.6.3 Optokoppler . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Literatur zu Teil V Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679

Teil VI 30

31

Messtechnik und Sensorik

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Horst Czichos und Werner Daum 30.1 Aufgabe der Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2 Strukturen der Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.1 Messkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.2 Kenngrößen von Messgliedern . . . . . . . . . . . 30.2.3 Messabweichung von Messgliedern . . . . . . . . 30.2.4 Dynamische Übertragungseigenschaften von Messgliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3 Planung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.4 Auswertung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.4.1 Typ A – Methode zur Ermittlung der Standardmessunsicherheit durch statistische Analyse von Messreihen . . . . . . . . . . . . . . . 30.4.2 Typ B – Methode zur Ermittlung der Standardmessunsicherheit . . . . . . . . . . . . 30.5 Ergebnisdarstellung und Dokumentation . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Messgrößen und Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . Horst Czichos und Werner Daum 31.1 Einheitensystem und Gliederung der Messgrößen der Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Internationales Einheitensystem . . . . . . . . 31.1.2 Gliederung der Messgrößen . . . . . . . . . . .

683 683 683 683 684 685 686 687 688

688 689 690 691 691

. . 693

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Inhaltsverzeichnis Band 2

LV

31.2

Sensoren und Aktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 31.2.1 Messgrößenumformung . . . . . . . . . . . . . . . 694 31.2.2 Zerstörungsfreie Bauteil- und Maschinendiagnostik . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 31.3 Geometrische Messgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 31.3.1 Längenmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 31.3.2 Gewinde- und Zahnradmesstechnik . . . . . . . . 698 31.3.3 Oberflächenmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . 699 31.3.4 Mustererkennung und Bildverarbeitung . . . . . . 701 31.4 Kinematische und schwingungstechnische Messgrößen . 703 31.4.1 Wegmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 31.4.2 Geschwindigkeits- und Drehzahlmesstechnik . . 705 31.4.3 Beschleunigungsmesstechnik . . . . . . . . . . . . 706 31.5 Mechanische Beanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . 707 31.5.1 Kraftmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 31.5.2 Dehnungsmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . 708 31.5.3 Experimentelle Spannungsanalyse . . . . . . . . . 711 31.5.4 Druckmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712 31.6 Strömungstechnische Messgrößen . . . . . . . . . . . . . . 714 31.6.1 Flüssigkeitsstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 31.6.2 Volumen, Durchfluss, Strömungsgeschwindigkeit 715 31.6.3 Viskosimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 31.7 Thermische Messgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 31.7.1 Temperaturmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . 717 31.7.2 Kalorimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 31.8 Optische Messgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 31.8.1 Licht- und Farbmesstechnik . . . . . . . . . . . . . 719 31.8.2 Refraktometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 31.8.3 Polarimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 31.9 Umweltmessgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722 31.9.1 Strahlungsmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . 722 31.9.2 Akustische Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . 723 31.9.3 Feuchtemesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 31.10 Stoffmessgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 31.10.1 Anorganisch-chemische Analytik . . . . . . . . . 726 31.10.2 Organisch-chemische Analytik . . . . . . . . . . . 727 31.10.3 Oberflächenanalytik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 32

Messsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 Horst Czichos und Werner Daum 32.1 Signalarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 32.2 Analoge elektrische Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . 734 32.2.1 Strom-, Spannungs- und Widerstandsmesstechnik 734 32.2.2 Kompensatoren und Messbrücken . . . . . . . . . 735 32.2.3 Messverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 32.2.4 Funktionsbausteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

LVI

33

Inhaltsverzeichnis Band 2

32.3

Digitale elektrische Messtechnik . . . . . . . 32.3.1 Digitale Messsignaldarstellung . . . 32.3.2 Analog-Digital-Umsetzer . . . . . . 32.4 Rechnerunterstützte Messsignalverarbeitung Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Messwertausgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Horst Czichos und Werner Daum 33.1 Messwertanzeige . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.1 Messwerke . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.2 Digitalvoltmeter, Digitalmultimeter 33.1.3 Oszilloskope . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Messwertregistrierung . . . . . . . . . . . . . . 33.2.1 Schreiber . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2.2 Drucker . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2.3 Messwertspeicherung . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 745 . . . . . . . . .

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745 745 746 747 747 747 748 748 749

Literatur zu Teil VI Messtechnik und Sensorik . . . . . . . . . . . . . 751

Teil VII 34

35

Regelungstechnik und Mechatronik

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Michael Bongards, Dietmar Göhlich und Rainer Scheuring 34.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2 Differentialgleichung und Übertragungsfunktion . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 755 . . . 756 . . . 760 . . . 761

Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rainer Scheuring, Dietmar Göhlich, Michael Bongards und Helmut Reinhardt 35.1 White-Box-Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.2 Black-Box-Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.2.1 Sprungantwort und Übergangsfunktion . . . . . 35.2.2 Frequenzgang, Ortskurve und Bode-Diagramm 35.3 Zusammenhang Frequenzbereich – Zustandsraum . . . 35.4 Statisches Systemverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.4.1 Lineare Kennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.4.2 Nichtlinearitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.5 Dynamisches Verhalten linearer zeitinvarianter Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.5.1 P-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.5.2 I-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.5.3 D-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.5.4 T t -Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.5.5 T 1 -Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.5.6 T2=n -Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 763

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763 767 767 768 769 769 770 770

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771 771 771 772 772 772 772

Inhaltsverzeichnis Band 2

LVII

35.6

Grundstrukturen des Wirkungsplans . . . . . . . . . . . . . 35.6.1 Reihenstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.6.2 Parallelstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.6.3 Kreisstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.7 Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.7.1 P-Strecke 0. Ordnung .P -T0 / . . . . . . . . . . . . 35.7.2 P-Strecke 1. Ordnung .P -T1 / . . . . . . . . . . . . 35.7.3 P-Strecke 2. und höherer Ordnung .P -Tn / . . . . 35.7.4 P-Strecke mit Totzeit .P -Tt / . . . . . . . . . . . . 35.7.5 Strecke mit Ausgleich n-ter Ordnung und Totzeit .P -Tn -Tt / . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.7.6 I-Strecke 0. Ordnung .I -T0 / . . . . . . . . . . . . 35.7.7 I-Strecke 1. Ordnung .I -T1 / . . . . . . . . . . . . 35.7.8 I-Strecke n-ter Ordnung und Totzeit .I -Tn -Tt / . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

37

Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rainer Scheuring, Michael Bongards und Helmut Reinhardt 36.1 Struktur und Größen des Regelkreises . . . . . . . . . . . 36.1.1 Funktionsblöcke des Regelkreises . . . . . . . . 36.1.2 Größen des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . 36.1.3 Stell- und Störverhalten der Strecke . . . . . . . 36.2 PID-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2.1 P-Anteil, P-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2.2 I-Anteil, I-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2.3 PI-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2.4 PD-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2.5 PID-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.3 Linearer Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.3.1 Führungs-, Störungs- und Rauschverhalten des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.3.2 Stabilität des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . 36.3.3 Regelgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.3.4 Einstellregeln für Regelkreise . . . . . . . . . . . 36.3.5 Signalskalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.4 Spezielle Formen der Regelung . . . . . . . . . . . . . . . 36.4.1 Regelung mit Störgrößenaufschaltung . . . . . . 36.4.2 Kaskadenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.4.3 Zweipunkt-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . 36.4.4 Fuzzy-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

773 773 773 774 774 774 775 775 776 776 777 777 778 778

. 779 . . . . . . . . . . .

779 779 779 780 781 781 782 782 782 782 783

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783 785 786 787 788 789 789 790 790 792 793

Mechatronische und regelungstechnische Systeme . . . . . . . 795 Dietmar Göhlich, Heinz Lehr und Jan Hummel 37.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795 37.2 Modellbildung und Entwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

LVIII

Inhaltsverzeichnis Band 2

37.3

Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.3.1 Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.3.2 Aktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.3.3 Prozessdatenverarbeitung und Bussysteme 37.4 Beispiele mechatronischer Systeme . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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796 796 797 799 801 804

Literatur zu Teil VII Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

Teil VIII 38

39

40

Fertigungsverfahren

Übersicht über die Fertigungsverfahren Berend Denkena 38.1 Definition und Kriterien . . . . . . . 38.2 Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 809 . . . . . . . . . . . . . 809 . . . . . . . . . . . . . 810 . . . . . . . . . . . . . 810

Urformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rüdiger Bähr 39.1 Einordnung des Urformens in die Fertigungsverfahren . 39.2 Begriffsbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.3 Das Urformen im Prozess der Herstellung von Einzelteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.4 Wirtschaftliche Bedeutung des Formgießens . . . . . . . 39.5 Technologischer Prozess des Formgießens . . . . . . . . 39.6 Formverfahren und -ausrüstungen . . . . . . . . . . . . . 39.6.1 Urformwerkzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.6.2 Verfahren mit verlorenen Formen . . . . . . . . 39.6.3 Dauerformverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 39.7 Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.7.1 Verfahrensüberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.7.2 Aushärtung verlorener Kerne . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 813

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Umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathias Liewald und Stefan Wagner 40.1 Systematik der Umformverfahren . 40.2 Grundlagen der Umformtechnik . 40.2.1 Fließspannung . . . . . . . 40.2.2 Formänderung . . . . . . . 40.2.3 Fließkriterien . . . . . . . . 40.2.4 Fließgesetz . . . . . . . . . 40.2.5 Fließkurve . . . . . . . . . . 40.2.6 Verfestigungsverhalten . . 40.2.7 Umformvermögen . . . . . 40.3 Verfahren der Druckumformung . 40.3.1 Kaltfließpressen . . . . . . 40.3.2 Warmschmieden . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. 813 . 813 813 815 816 817 818 818 834 844 844 847 848

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Inhaltsverzeichnis Band 2

LIX

40.3.3 Strangpressen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.3.4 Walzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.4 Verfahren der Zug-Druckumformung . . . . . . . . . . . 40.4.1 Gleitziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.4.2 Tiefziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.4.3 Ziehen von unsymmetrischen Blechformteilen 40.4.4 Tiefziehen im Weiterzug . . . . . . . . . . . . . . 40.4.5 Stülpziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.4.6 Abstreckgleitziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.5 Verfahren der Zugumformung . . . . . . . . . . . . . . . . 40.5.1 Streckziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.6 Verfahren der Biegeumformung . . . . . . . . . . . . . . . 40.6.1 Biegeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.6.2 Rückfederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.6.3 Biegen mit geradliniger Werkzeugbewegung . 40.6.4 Biegen mit drehender Werkzeugbewegung . . . 40.7 Wirkmedienbasierte Umformverfahren . . . . . . . . . . 40.7.1 Hydromechanisches Tiefziehen . . . . . . . . . . 40.7.2 Superplastisches Umformen . . . . . . . . . . . . 40.7.3 Innenhochdruck-Umformung (IHU) . . . . . . . 40.8 Warmumformung (Presshärten) . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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Trennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879 Stefan Wagner, Berend Denkena und Mathias Liewald 41.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879 41.2 Spanen mit geometrisch bestimmten Schneiden . . . . . . 879 41.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879 41.2.2 Drehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882 41.2.3 Bohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887 41.2.4 Fräsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890 41.2.5 Sonstige Verfahren: Hobeln und Stoßen, Räumen, Sägen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895 41.2.6 Schneidstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897 41.3 Spanen mit geometrisch unbestimmter Schneide . . . . . 899 41.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899 41.3.2 Schleifen mit rotierendem Werkzeug . . . . . . . 902 41.3.3 Honen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904 41.3.4 Sonstige Verfahren: Läppen, InnendurchmesserTrennschleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906 41.4 Abtragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907 41.4.1 Gliederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907 41.4.2 Thermisches Abtragen mit Funken (Funkenerosives Abtragen) . . . . . . . . . . . . . 908 41.4.3 Lasertrennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 41.4.4 Elektrochemisches Abtragen . . . . . . . . . . . . 912 41.4.5 Chemisches Abtragen . . . . . . . . . . . . . . . . . 912

LX

Inhaltsverzeichnis Band 2

41.5

Scheren und Schneiden . . . . . . . . . . . . 41.5.1 Systematik der Schneidverfahren . 41.5.2 Technologie des Scherschneidens 41.5.3 Kräfte beim Schneiden . . . . . . 41.5.4 Werkstückeigenschaften . . . . . . 41.5.5 Materialausnutzungsgrad . . . . . 41.5.6 Schneidwerkzeuge . . . . . . . . . 41.5.7 Sonderschneidverfahren . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

43

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913 913 914 916 918 919 919 921 924 926

Sonderverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andreas Dietzel, Nico Troß, Jens Brimmers, Eckart Uhlmann, Christian Brecher, Stephanus Büttgenbach, Berend Denkena und Manfred Weck 42.1 Gewindefertigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Gewindefertigung mit geometrisch bestimmter Schneide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.3 Gewindefertigung mit geometrisch unbestimmter Schneide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.4 Gewindefertigung mit abtragenden und umformenden Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.5 Entwicklungstrends . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Verzahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.1 Verzahnen von Stirnrädern . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Verzahnen von Schnecken . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3 Verzahnen von Schneckenrädern . . . . . . . . . . 42.2.4 Verzahnen von Kegelrädern . . . . . . . . . . . . . 42.3 Fertigungsverfahren der Mikrotechnik . . . . . . . . . . . . 42.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.2 Maskengebundene Fertigungsverfahren . . . . . . 42.3.3 Direkte Strukturierungsmethoden . . . . . . . . . 42.4 Beschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5 Additive Fertigungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5.2 Folienbasierte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 42.5.3 Drahtbasierte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 42.5.4 Pulverbasierte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 42.5.5 Flüssigkeitsbasierte Verfahren . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

929

935 937 938 938 949 951 952 955 955 956 962 971 973 973 975 977 977 980 982

Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . Günther Seliger 43.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Aufgaben der Montage und Demontage 43.2.1 Montage . . . . . . . . . . . . . . 43.2.2 Demontage . . . . . . . . . . . .

987 989 989 990

929 929 930 934

. . . . . . . . . . . 987 . . . .

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Inhaltsverzeichnis Band 2

LXI

43.3

Durchführung der Montage und Demontage 43.3.1 Montageprozess . . . . . . . . . . . . 43.3.2 Demontageprozess . . . . . . . . . . 43.3.3 Montageplanung . . . . . . . . . . . . 43.3.4 Organisationsformen der Montage . 43.3.5 Montagesysteme . . . . . . . . . . . . 43.3.6 Automatisierte Montage . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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990 990 991 992 992 992 993 995

Fertigungs- und Fabrikbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997 Engelbert Westkämper und Alexander Schloske 44.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997 44.2 Das industrielle System der Produktion . . . . . . . . . . . 997 44.3 Management des Systems Produktion . . . . . . . . . . . .1000 44.3.1 Operative Ziele der Planung und des Fabrikbetriebes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1002 44.3.2 Gestaltungsprinzipien der Produktion . . . . . . .1002 44.4 Planung und Steuerung der Produktion . . . . . . . . . . .1003 44.4.1 Planung der Produktion – Industrial Engineering1003 44.4.2 Traditionelle Arbeitsplanung . . . . . . . . . . . .1005 44.4.3 Arbeitsteuerung bzw. Auftragsmanagement . . .1010 44.5 Fertigung und Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1012 44.5.1 Teilefertigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1012 44.5.2 Einteilung von Fertigungssystemen . . . . . . . .1014 44.5.3 Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1015 44.5.4 Automatisierung von Handhabung und Montage 1017 44.6 Digitale Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1018 44.6.1 Architektur der Informationssysteme . . . . . . .1019 44.6.2 CAX-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1020 44.6.3 Auftragsmanagementsysteme . . . . . . . . . . . .1021 44.6.4 Leitstände und Manufacturing Execution Systeme (MES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1022 44.7 Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1023 44.7.1 Aufgaben des Qualitätsmanagements . . . . . . .1024 44.7.2 Qualitätsmanagementsysteme (QM-Systeme) . .1024 44.7.3 Werkzeuge des Qualitätsmanagements . . . . . .1026 44.7.4 Methoden des Qualitätsmanagements . . . . . . .1028 44.7.5 Prüfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1032 44.8 Kostenmanagement und Wirtschaftlichkeitsrechnung . .1033 44.8.1 Betriebliches Rechnungswesen und Kostenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1033 44.8.2 Kostenartenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . .1034 44.8.3 Kostenstellenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . .1035 44.8.4 Kostenträgerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . .1036 44.8.5 Herstellkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1037 44.8.6 Vollkostenrechnung und Teilkostenrechnung . .1039 44.8.7 Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung . .1039

LXII

Inhaltsverzeichnis Band 2

44.9 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . .1042 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1042

Teil IX 45

46

Fertigungsmittel

Elemente der Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . Christian Brecher, Manfred Weck, Marcel Fey und Stephan Neus 45.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.1.1 Funktionsgliederung . . . . . . . . . . . . . . . 45.1.2 Mechanisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . 45.2 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.2.1 Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.2.2 Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.2.3 Mechanische Vorschubübertragungselemente 45.3 Gestelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.3.1 Anforderungen und Bauformen . . . . . . . . . 45.3.2 Werkstoffe für Gestellbauteile . . . . . . . . . 45.3.3 Gestaltung der Gestellbauteile . . . . . . . . . 45.3.4 Berechnung und Optimierung . . . . . . . . . . 45.4 Führungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.4.1 Linearführungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.4.2 Drehführungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .1049

. . . . . . . . . . . . . . . .

.1049 .1049 .1051 .1054 .1054 .1064 .1070 .1078 .1078 .1081 .1082 .1084 .1086 .1087 .1093 .1096

Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1099 Alexander Verl und Günter Pritschow 46.1 Steuerungstechnische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . .1099 46.1.1 Zum Begriff Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . .1099 46.1.2 Informationsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . .1099 46.1.3 Programmsteuerung und Funktionssteuerung . .1099 46.1.4 Signaleingabe und -ausgabe . . . . . . . . . . . . .1100 46.1.5 Signalbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1100 46.1.6 Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .1100 46.1.7 Steuerungsprogramme . . . . . . . . . . . . . . . .1103 46.1.8 Aufbauorganisation von Steuerungen . . . . . . .1103 46.1.9 Aufbau von Steuerungssystemen . . . . . . . . . .1104 46.1.10 Dezentralisierung durch den Einsatz industrieller Kommunikationssysteme . . . . . . . . . . . . . .1105 46.1.11 Feldbusse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1106 46.1.12 Offene Steuerungssysteme . . . . . . . . . . . . . .1107 46.2 Steuerungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1109 46.2.1 Mechanische Speicher und Steuerungen . . . . .1109 46.2.2 Fluidische Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . .1110 46.2.3 Elektrische Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . .1110

Inhaltsverzeichnis Band 2

LXIII

46.3

47

48

Speicherprogrammierbare Steuerungen 46.3.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . 46.3.2 Arbeitsweise . . . . . . . . . . . 46.3.3 Programmierung . . . . . . . . . 46.4 Numerische Steuerungen . . . . . . . . . 46.4.1 Zum Begriff . . . . . . . . . . . 46.4.2 Bewegungssteuerungen . . . . . 46.4.3 NC-Programmierung . . . . . . 46.4.4 Datenschnittstellen . . . . . . . 46.4.5 Steuerdatenverarbeitung . . . . 46.4.6 Numerische Grundfunktionen . 46.4.7 Lageeinstellung . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Maschinen zum Scheren und Schneiden Mathias Liewald und Stefan Wagner 47.1 Kraft- und Arbeitsbedarf . . . . . . . 47.2 Maschinen zum Scheren . . . . . . . 47.3 Längs- und Querteilanlagen . . . . . 47.4 Platinenschneidanlagen . . . . . . . . 47.5 Feinschneidpressen . . . . . . . . . . 47.6 Stanz- und Nibbelmaschinen . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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.1111 .1112 .1112 .1113 .1114 .1114 .1115 .1115 .1115 .1117 .1118 .1120 .1123

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Werkzeugmaschinen zum Umformen . . . . . . . . Mathias Liewald und Stefan Wagner 48.1 Aufbau von Pressen . . . . . . . . . . . . . . . . 48.1.1 Pressengestell . . . . . . . . . . . . . . 48.1.2 Pressenstößel . . . . . . . . . . . . . . . 48.1.3 Stößelantrieb . . . . . . . . . . . . . . . 48.1.4 Funktionsweise von Tiefziehpressen . 48.1.5 Zieheinrichtungen . . . . . . . . . . . . 48.2 Pressenkenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . 48.2.1 Leistungskenngrößen . . . . . . . . . . 48.2.2 Genauigkeitskenngrößen . . . . . . . . 48.2.3 Geometrische Pressenkenngrößen . . 48.2.4 Umweltkenngrößen . . . . . . . . . . . 48.2.5 Richtlinien, Normen . . . . . . . . . . 48.3 Weggebundene Pressen . . . . . . . . . . . . . . 48.3.1 Arbeitsprinzip . . . . . . . . . . . . . . 48.3.2 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.3.3 Servopressen . . . . . . . . . . . . . . . 48.3.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . 48.4 Kraftgebundene Pressen . . . . . . . . . . . . . 48.4.1 Wirkprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 48.4.2 Antrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.4.3 Pressengestell . . . . . . . . . . . . . . 48.4.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . .

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.1125 .1125 .1126 .1127 .1128 .1128 .1130

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.1131 .1131 .1132 .1132 .1133 .1134 .1134 .1134 .1135 .1136 .1136 .1136 .1136 .1136 .1136 .1138 .1139 .1140 .1140 .1140 .1141 .1141

LXIV

Inhaltsverzeichnis Band 2

48.5

Arbeitsgebundene Pressen 48.5.1 Hämmer . . . . . . 48.5.2 Spindelpressen . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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Spanende Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . Eckart Uhlmann 49.1 Drehmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.1.2 Universaldrehmaschinen . . . . . . . . . . 49.1.3 Frontdrehmaschinen . . . . . . . . . . . . 49.1.4 Drehautomaten . . . . . . . . . . . . . . . . 49.1.5 Vertikaldrehmaschinen . . . . . . . . . . . 49.1.6 Drehbearbeitungszentren . . . . . . . . . . 49.1.7 Sonderdrehmaschinen . . . . . . . . . . . 49.1.8 Entwicklungstrends . . . . . . . . . . . . . 49.2 Bohrmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.2.2 Tischbohrmaschinen . . . . . . . . . . . . 49.2.3 Säulenbohrmaschinen . . . . . . . . . . . 49.2.4 Ständerbohrmaschinen . . . . . . . . . . . 49.2.5 Schwenkbohrmaschinen . . . . . . . . . . 49.2.6 Bohrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.2.7 Tiefbohrmaschinen . . . . . . . . . . . . . 49.2.8 Weitere Typen . . . . . . . . . . . . . . . . 49.2.9 Entwicklungstrends . . . . . . . . . . . . . 49.3 Fräsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.3.2 Konsolfräsmaschinen . . . . . . . . . . . . 49.3.3 Bettfräsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . 49.3.4 Portalfräsmaschinen . . . . . . . . . . . . . 49.3.5 Universal-Werkzeugfräsmaschinen . . . 49.3.6 Waagerecht-Bohr-Fräsmaschine . . . . . 49.3.7 Hochgeschwindigkeitsfräsmaschinen . . 49.3.8 Hochleistungsfräsmaschinen . . . . . . . 49.3.9 Fräsmaschinen mit Parallelkinematik . . 49.3.10 Sonderfräsmaschinen . . . . . . . . . . . . 49.3.11 Entwicklungstrends . . . . . . . . . . . . . 49.4 Bearbeitungszentren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.4.2 Bauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.4.3 Werkzeugsysteme . . . . . . . . . . . . . . 49.4.4 Werkstückwechselsysteme . . . . . . . . . 49.4.5 Integration von Fertigungsverfahren zur Komplettbearbeitung . . . . . . . . . . . . 49.4.6 Entwicklungstrends . . . . . . . . . . . . .

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.1142 .1142 .1143 .1144

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.1147 .1147 .1149 .1151 .1151 .1154 .1155 .1155 .1157 .1157 .1157 .1158 .1158 .1159 .1159 .1159 .1160 .1160 .1161 .1163 .1163 .1163 .1164 .1165 .1166 .1166 .1167 .1167 .1168 .1168 .1169 .1170 .1170 .1171 .1171 .1172

. . . . .1173 . . . . .1173

Inhaltsverzeichnis Band 2

LXV

49.5

Hobel- und Stoßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.5.2 Hobelmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.5.3 Stoßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.5.4 Nutenstoß- und Nutenziehmaschinen . . . . . 49.5.5 Entwicklungstrends . . . . . . . . . . . . . . . . 49.6 Räummaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.6.2 Innen- und Außenräummaschinen . . . . . . . 49.6.3 Senkrecht-, Waagerecht- und HubtischRäummaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.6.4 Entwicklungstrends . . . . . . . . . . . . . . . . 49.7 Säge- und Feilmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.7.2 Bügel-/Hubsäge- und Hubfeilmaschinen . . . 49.7.3 Bandsäge- und Bandfeilmaschinen . . . . . . 49.7.4 Kreissägemaschinen . . . . . . . . . . . . . . . 49.7.5 Entwicklungstrends . . . . . . . . . . . . . . . . 49.8 Schleifmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.8.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.8.2 Planschleifmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . 49.8.3 Profilschleifmaschinen . . . . . . . . . . . . . . 49.8.4 Rundschleifmaschinen . . . . . . . . . . . . . . 49.8.5 Unrund- und Exzenterschleifmaschinen . . . 49.8.6 Koordinatenschleifmaschinen . . . . . . . . . . 49.8.7 Verzahnungsschleifmaschinen . . . . . . . . . 49.8.8 Schraubenschleif-/Gewindeschleifmaschinen 49.8.9 Kugelschleifmaschinen . . . . . . . . . . . . . . 49.8.10 Werkzeugschleifmaschinen . . . . . . . . . . . 49.8.11 Schleifzentren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.8.12 Sonderschleifmaschinen . . . . . . . . . . . . . 49.8.13 Bandschleifmaschinen . . . . . . . . . . . . . . 49.8.14 Entwicklungstrends . . . . . . . . . . . . . . . . 49.9 Honmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.9.2 Langhubhonmaschinen . . . . . . . . . . . . . . 49.9.3 Kurzhubhonmaschinen . . . . . . . . . . . . . . 49.9.4 Sonderhonmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . 49.9.5 Entwicklungstrends . . . . . . . . . . . . . . . . 49.10 Läppmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.10.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.10.2 Einscheiben-Läppmaschinen . . . . . . . . . . 49.10.3 Zweischeiben-Läppmaschinen . . . . . . . . . 49.10.4 Rundläppmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . 49.10.5 Entwicklungstrends . . . . . . . . . . . . . . . . 49.11 Mehrmaschinensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.11.2 Flexible Fertigungszellen . . . . . . . . . . . .

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.1173 .1173 .1174 .1174 .1175 .1175 .1176 .1176 .1176

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.1176 .1178 .1178 .1178 .1178 .1179 .1179 .1180 .1180 .1180 .1180 .1181 .1182 .1183 .1183 .1183 .1184 .1184 .1184 .1185 .1185 .1185 .1186 .1187 .1187 .1187 .1188 .1190 .1191 .1191 .1191 .1192 .1192 .1193 .1193 .1193 .1193 .1194

LXVI

Inhaltsverzeichnis Band 2

49.11.3 49.11.4 49.11.5 Literatur . . . . 50

51

52

Flexible Fertigungssysteme Transferstraßen . . . . . . . . Entwicklungstrends . . . . . ..................

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Schweiß- und Lötmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . Lutz Dorn und Uwe Füssel 50.1 Lichtbogenschweißmaschinen . . . . . . . . . . . . 50.1.1 Bauausführungen . . . . . . . . . . . . . . 50.2 Widerstandsschweißmaschinen . . . . . . . . . . . 50.3 Laserstrahl-Schweiß- und Löteinrichtungen . . . 50.4 Löteinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.4.1 Mechanisiertes Hartlöten . . . . . . . . . . 50.4.2 Ofenlöten mit Weich- und Hartloten . . . 50.4.3 Weichlöteinrichtungen in der Elektronik Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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.1194 .1195 .1195 .1196

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Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eckart Uhlmann und Jörg Krüger 51.1 Definition, Abgrenzung und Grundlagen . . . . . . . 51.2 Mechatronischer Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Kinematik und Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Kinematisches Modell . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Dynamisches Modell . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Leistungskenngrößen und Kalibrierung . . . . . . . . 51.4.1 Leistungskenngrößen . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Steuerung und Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.1 Aufbau der Robotersteuerung . . . . . . . . . 51.5.2 Regelungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.3 Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.1 Online-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.2 Offline-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.3 Weitere Programmierverfahren . . . . . . . . 51.7 Integration und Anwendungen industrieller Roboter Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Werkzeugmaschinen für die Mikroproduktion Eckart Uhlmann 52.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Hochpräzisionsmaschinen . . . . . . . . . . 52.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3 Ausrüstung . . . . . . . . . . . . . . 52.2.4 Entwicklungstrends . . . . . . . . .

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.1199 .1200 .1201 .1202 .1202 .1202 .1203 .1203 .1203

. . .1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.1205 .1208 .1208 .1208 .1209 .1210 .1210 .1210 .1211 .1211 .1211 .1213 .1214 .1214 .1215 .1215 .1216 .1217

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.1219 .1219 .1219 .1219 .1220 .1222

Inhaltsverzeichnis Band 2

LXVII

52.3

Ultrapräzisionsmaschinen . . . . 52.3.1 Allgemeines . . . . . . . 52.3.2 Anwendung . . . . . . . . 52.3.3 Ausrüstung . . . . . . . . 52.3.4 Entwicklungstrends . . . 52.4 Mikrofunkenerosionsmaschinen 52.4.1 Allgemeines . . . . . . . 52.4.2 Anwendung . . . . . . . . 52.4.3 Ausrüstung . . . . . . . . 52.4.4 Entwicklungstrends . . . 52.5 Laserbearbeitungsmaschinen . . 52.5.1 Allgemeines . . . . . . . 52.5.2 Anwendung . . . . . . . . 52.5.3 Ausrüstung . . . . . . . . 52.5.4 Entwicklungstrends . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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.1222 .1222 .1222 .1223 .1224 .1224 .1224 .1225 .1225 .1226 .1226 .1226 .1226 .1227 .1227 .1227

Fachausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1229 Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1305

Inhaltsverzeichnis Band 3

Teil I 1

2

Kolbenmaschinen Allgemeine Grundlagen der Kolbenmaschinen . . . . Helmut Tschöke und Klaus Mollenhauer 1.1 Definition und Einteilung der Kolbenmaschinen . 1.2 Vollkommene und reale Kolbenmaschine . . . . . 1.2.1 Die vollkommene Maschine . . . . . . . . 1.2.2 Die reale Maschine . . . . . . . . . . . . . 1.3 Hubkolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Triebwerksbauarten . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Kinematik des Kurbeltriebs . . . . . . . . 1.3.3 Kräfte am Kurbeltrieb . . . . . . . . . . . 1.4 Elemente der Kolbenmaschine . . . . . . . . . . . 1.4.1 Kurbeltrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Abdichten des Arbeitsraumes . . . . . . . 1.4.3 Zylinderanordnung und -zahl . . . . . . . 1.4.4 Lagerung und Schmierung . . . . . . . . . 1.4.5 Kühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Verdrängerpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Helmut Tschöke und Herbert Hölz 2.1 Bauarten und Anwendungsgebiete . . . . . . . . . . . . 2.2 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Förderhöhen, Geschwindigkeiten und Drücke 2.2.2 Förderleistung, Antriebsleistung, Gesamtwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Instationäre Strömung . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Pulsationsdämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Verlustteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Betriebsverhalten der verlustfreien Verdrängerpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Definition von Wirkungsgraden . . . . . . . . 2.3.3 Volumetrische Verluste . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Mechanisch-hydraulische Verluste . . . . . . . 2.3.5 Nutzliefergrad und Gesamtwirkungsgrad . . .

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3

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3 4 4 5 8 8 9 11 14 14 17 18 19 20 20

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23 24 25 25 27

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LXX

Inhaltsverzeichnis Band 3

2.4

Auslegung und Hauptabmessungen . . . . . . . . . . 2.4.1 Oszillierende Verdrängerpumpen . . . . . . . 2.4.2 Rotierende Verdrängerpumpen . . . . . . . . 2.5 Baugruppen und konstruktive Gestaltung . . . . . . . 2.5.1 Baugruppen zur Ein- und Auslasssteuerung 2.5.2 Verstellung und Regelung . . . . . . . . . . . 2.5.3 Verwendungsbedingte Ausführung . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

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Kompressoren, Verdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Helmut Tschöke und Herbert Hölz 3.1 Bauarten und Anwendungsgebiete . . . . . . . . . . . . . 3.2 Grundlagen und Vergleichsprozesse . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Volumenstrom, Eintrittspunkt, Austrittspunkt . 3.2.2 Verdichtung idealer und realer Gase . . . . . . . 3.2.3 Vergleichsprozesse für einstufige Verdichtung . 3.2.4 Definition von Wirkungsgraden . . . . . . . . . 3.2.5 Mehrstufige Verdichtung . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Verdichtung feuchter Gase . . . . . . . . . . . . . 3.3 Arbeitszyklus, Liefergrade und Druckverluste . . . . . . 3.3.1 Arbeitszyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Liefergrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Druckverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Auslegung und Hauptabmessungen . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Hubkolbenverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Schraubenverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Rotationsverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Flüssigkeitsringverdichter . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Roots-Gebläse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Ein- und Auslasssteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Aufbau selbsttätiger Ventile . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Ventileinbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Ventilauslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Regelung und Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Bauformen und Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Hubkolbenverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Membranverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Schraubenverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.4 Rotationsverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis Band 3

LXXI

4

Verbrennungsmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Helmut Tschöke und Klaus Mollenhauer 4.1 Einteilung und Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Arbeitsverfahren und Arbeitsprozesse . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Arbeitsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Vergleichsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Wirklicher Arbeitsprozess . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Ladungswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Kenngrößen des Ladungswechsels . . . . . . . . . 4.3.2 Steuerorgane für den Ladungswechsel . . . . . . 4.3.3 Ladungswechsel des Viertaktmotors . . . . . . . . 4.3.4 Ladungswechsel des Zweitaktmotors . . . . . . . 4.3.5 Aufladung von Motoren . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Verbrennung im Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Motoren-Kraftstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Gemischbildung und Verbrennung im Ottomotor 4.4.3 Gemischbildung und Verbrennung im Dieselmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Hybride Verfahren für Gemischbildung und Verbrennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Verfahren zur Gemischbildung und Zündung bei Ottomotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Anforderungen an Gemischbildung . . . . . . . . 4.5.2 Vergaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Saugrohr-Benzin-Einspritzung . . . . . . . . . . . 4.5.4 Direkte Benzin-Einspritzung . . . . . . . . . . . . 4.5.5 Zündausrüstung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Einrichtungen zur Gemischbildung und Zündung bei Dieselmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Einspritzsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Einspritzdüse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Start- und Zündhilfen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Betriebsverhalten und Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Leistung, Drehmoment und Verbrauch . . . . . . 4.7.2 Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Umweltverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.4 Verbrennungsmotor als Antriebsaggregat . . . . . 4.8 Konstruktion von Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Ähnlichkeitsbeziehungen und Beanspruchung . . 4.8.2 Motorbauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3 Motorbauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4 Ausgeführte Motorkonstruktionen . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69 69 70 70 70 73 79 79 80 83 85 87 91 91 92 94 97 98 98 98 99 100 102 104 104 107 108 109 109 110 111 120 122 122 124 126 130 136

LXXII

5

Teil II 6

Inhaltsverzeichnis Band 3

Motoren für den maritimen Betrieb . . . . . Udo Schlemmer-Kelling und Lars Nerheim 5.1 Grundsätzliches . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Kraftstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Flüssige Kraftstoffe . . . . . . . 5.2.2 Gasförmige Kraftstoffe . . . . . 5.3 Motor Auslegung und Design . . . . . . 5.4 Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Grundauslegung . . . . . . . . . 5.4.2 Brennverfahren . . . . . . . . . . 5.4.3 Emissionen . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Motorapplikation und Betrieb . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Grundlagen der Strömungsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . Jörg Seume und Ronald Mailach 6.1 Strömungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Einleitung und Definitionen . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Wirkungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Strömungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Absolute und relative Strömung . . . . . . . . . . 6.1.5 Schaufelanordnung für Pumpen und Verdichter (Arbeitsmaschinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.6 Schaufelanordnung für Turbinen (Kraftmaschinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.7 Schaufelgitter, Stufe, Maschine, Anlage . . . . . 6.2 Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Thermodynamische Gesetze . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Zustandsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Totaler Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Statischer Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Polytroper und isentroper Wirkungsgrad . . . . . 6.2.6 Mechanische Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Arbeitsfluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Allgemeiner Zusammenhang zwischen thermischen und kalorischen Zustandsgrößen . . 6.3.2 Ideale Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Reales Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Kavitation bei Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . 6.3.6 Kondensation bei Dämpfen . . . . . . . . . . . . .

169

Strömungsmaschinen

169 169 170 170 172 173 173 173 174 174 175 176 176 176 178 178 178 179 179 179 182 182

Inhaltsverzeichnis Band 3

LXXIII

6.4

7

Schaufelgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Anordnung der Schaufeln im Gitter . . . . . . . . 6.4.2 Leit- und Laufgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Einteilung nach Geschwindigkeits- und Druckänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Reale Strömung in Schaufelgittern . . . . . . . . . 6.4.5 Gitterauslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.6 Strömungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Zusammensetzen von Gittern zu Stufen . . . . . . 6.5.2 Stufenkenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Axiale Repetierstufe eines vielstufigen Verdichters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4 Radiale Repetierstufe eines Verdichters . . . . . . 6.5.5 Kenngrößen-Bereiche für Verdichterstufen . . . . 6.5.6 Axiale Repetierstufe einer Turbine . . . . . . . . . 6.5.7 Radiale Turbinenstufe . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.8 Kenngrößen-Bereiche für Turbinenstufen . . . . 6.6 Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Beschaufelung, Ein- und Austrittsgehäuse . . . . 6.6.2 Maschinenkenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Wahl der Bauweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Betriebsverhalten und Regelmöglichkeiten . . . . . . . . . 6.7.1 Zusammenwirken von Strömungsmaschine und Anlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Regelung von Strömungsmaschinen . . . . . . . 6.7.3 Kennfeld und Betriebsverhalten von Verdichtern 6.8 Beanspruchung und Festigkeit der wichtigsten Bauteile . 6.8.1 Rotierende Scheibe, rotierender Zylinder . . . . . 6.8.2 Durchbiegung, kritische Drehzahlen von Rotoren 6.8.3 Beanspruchung der Schaufeln durch Fliehkräfte 6.8.4 Beanspruchung der Schaufeln durch stationäre Strömungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.5 Schaufelschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.6 Gehäuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.7 Thermische Beanspruchung . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182 182 183

206 207 210 211 213

Wasserturbinen . . . . . . . . . . Paul Thamsen 7.1 Allgemeines . . . . . . . . . 7.1.1 Kennzeichen . . . 7.1.2 Wasserkraftwerke 7.1.3 Wirtschaftliches . 7.2 Gleichdruckturbinen . . . . 7.2.1 Peltonturbinen . . 7.2.2 Ossbergerturbinen

215 215 216 217 217 217 218

184 185 185 187 188 188 190 192 192 193 193 194 195 196 196 196 197 199 199 200 201 202 203 205 205

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LXXIV

Inhaltsverzeichnis Band 3

7.3

Überdruckturbinen . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Francisturbinen . . . . . . . . 7.3.2 Kaplanturbinen . . . . . . . . . 7.3.3 Dériazturbinen . . . . . . . . . 7.4 Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Kennliniendarstellungen . . . . . . . . 7.6 Extreme Betriebsverhältnisse . . . . . 7.7 Laufwasser- und Speicherkraftwerke . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

9

10

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Kreiselpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paul Thamsen 8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Laufrad . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Gehäuse . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Werkstoff . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Antrieb . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Kavitation . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Kennlinien . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Anpassung der Kreiselpumpe an den Leistungsbedarf . . . . . 8.3.4 Achsschubausgleich . . . . . . . 8.4 Ausgeführte Pumpen . . . . . . . . . . . 8.4.1 Wasserwirtschaft . . . . . . . . . 8.4.2 Kraftwerkstechnik . . . . . . . . 8.4.3 Verfahrenstechnik . . . . . . . . 8.4.4 Andere Einsatzgebiete . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schiffspropeller . . . . Paul Thamsen 9.1 Allgemeines . . . 9.2 Schiffspropeller . Literatur . . . . . . . . . .

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Föttinger-Getriebe . . . . . . . Paul Thamsen 10.1 Prinzip und Bauformen 10.2 Auslegung . . . . . . . . 10.3 Föttinger-Kupplungen . 10.4 Bremsen . . . . . . . . . 10.5 Föttinger-Wandler . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . .

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LXXV

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Dampfturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Edwin Krämer 11.1 Benennungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Kraftwerksturbinen . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Industrieturbinen . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Kleinturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Konstruktionselemente . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Gehäuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Ventile und Klappen . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Beschaufelung . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.4 Wellendichtungen . . . . . . . . . . . . . . 11.3.5 Läufer-Dreheinrichtung . . . . . . . . . . 11.3.6 Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Anfahren und Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Regelung, Sicherheits- und Schutzeinrichtungen 11.6 Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.2 Auslegung von Industrieturbinen . . . . .

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Turboverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Harald Stricker 12.1 Einteilung und Einsatzbereiche . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2 Ventilatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Axialverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Radialverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Radiale Laufradbauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Allgemeine Anforderungen . . . . . . . . . . 12.2.2 Das geschlossene 2D-Laufrad . . . . . . . . . 12.2.3 Das geschlossene 3D-Laufrad . . . . . . . . . 12.2.4 Das offene 3D-Laufrad . . . . . . . . . . . . . 12.2.5 Laufradverwendung . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.6 Laufradherstellung . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.7 Laufradfestigkeit und Strukturdynamik . . . 12.3 Radiale Verdichterbauarten . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Einwellenverdichter . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Getriebeverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3 Gekapselte, direkt angetriebene Verdichter . 12.4 Regelung und Maschinenschutz . . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Verdichterkennfeld . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.3 Saugdrosselregelung . . . . . . . . . . . . . . 12.4.4 Eintrittsleitschaufel-Regelung . . . . . . . . . 12.4.5 Bypass-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.6 Maschinenüberwachung und -schutz . . . .

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LXXVI

Inhaltsverzeichnis Band 3

12.5

13

Beispiel einer Radialverdichterauslegung . . . . . . . . . 12.5.1 Vereinfachtes Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 12.5.2 Betriebsbedingungen (vorgegeben) . . . . . . . 12.5.3 Gasdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.4 Volumenstrom, Laufraddurchmesser, Drehzahl 12.5.5 Endtemperatur, spezifische polytrope Arbeit . . 12.5.6 Wirkungsgrad, Stufenzahl . . . . . . . . . . . . . 12.5.7 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Gasturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jörg Seume und Jochen Gier 13.1 Einteilung und Verwendung . . . . . 13.2 Thermodynamische Grundlagen . . 13.2.1 Idealisierte Kreisprozesse . 13.2.2 Reale Gasturbinenprozesse 13.3 Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Verdichter . . . . . . . . . . . 13.3.2 Turbine . . . . . . . . . . . . 13.3.3 Brennkammer . . . . . . . . 13.4 Gasturbine im Kraftwerk . . . . . . . 13.4.1 Allgemeines und Bauweise 13.4.2 Gas- und Dampf-Anlagen . 13.4.3 Luftspeicher-Kraftwerk . . 13.5 Gasturbinen im Verkehr . . . . . . . . 13.5.1 Flugtriebwerke . . . . . . . . 13.5.2 Schifffahrt . . . . . . . . . . . 13.5.3 Straßenfahrzeuge . . . . . . 13.5.4 Abgasturbolader . . . . . . . 13.6 Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . 13.7 Beanspruchungen und Werkstoffe . 13.8 Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . 13.8.1 Ähnlichkeitskennfelder . . . 13.8.2 Teillastbetrieb . . . . . . . . 13.9 Abgasemission . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Literatur zu Teil II Strömungsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Inhaltsverzeichnis Band 3

LXXVII

Teil III 14

15

Fördertechnik

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorsten Schmidt, Jan Scholten, Michael Ketting und KarlHeinz Wehking 14.1 Begriffsbestimmungen und Übersicht . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Einordnung der Fördertechnik . . . . . . . . . . . 14.1.2 Fördergüter und Fördermaschinen . . . . . . . . . 14.1.3 Kenngrößen des Fördervorgangs . . . . . . . . . . 14.2 Antriebe der Fördermaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Hubwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.3 Drehwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.4 Einzieh- und Wippwerke . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.5 Kraftschlüssige Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.6 Formschlüssige Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.7 Antriebsmotoren und Steuerungen . . . . . . . . . 14.3 Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Tragwerksgestaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Grundlagen der Tragwerksberechnung . . . . . . 14.3.3 Lasten und Lastkombinationen . . . . . . . . . . . 14.3.4 Zu führende Einzelnachweise . . . . . . . . . . . . 14.4 Charakteristische Maschinenelemente der Fördertechnik 14.4.1 Ketten und Kettentriebe . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.2 Seile und Seiltriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.3 Faserseile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.4 Mechanische Elemente der Antriebe . . . . . . . 14.4.5 Laufrad und Schiene (Schienenfahrwerke) . . . . 14.4.6 Raupenfahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Hebezeuge und Krane . . . . . . . . . . . . . . . . . Jan Scholten 15.1 Tragmittel und Lastaufnahmemittel . . . . . 15.1.1 Lasthaken . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.2 Lastaufnahmemittel für Stückgüter 15.1.3 Lastaufnahmemittel für Schüttgüter 15.2 Hubwerksausführungen . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Serienhebezeuge . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Einzelhebezeuge . . . . . . . . . . . . 15.3 Kranarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1 Brücken- und Portalkrane . . . . . . 15.3.2 Drehkrane . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.3 Fahrzeugkrane . . . . . . . . . . . . . 15.3.4 Weitere Kranarten . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis Band 3

Flurförderzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rainer Bruns 16.1 Baugruppen und Komponenten . . . . . . . . . . . . 16.1.1 Fahrwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.2 Fahrantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.3 Hubgerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.4 Lastaufnahmevorrichtung . . . . . . . . . . 16.1.5 Hubantrieb, Antrieb der Nebenfunktionen 16.2 Handbetriebene Flurförderzeuge . . . . . . . . . . . 16.2.1 Handwagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.2 Rollwagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.3 Handgabelhubwagen . . . . . . . . . . . . . 16.3 Motorisch betriebene Flurförderzeuge . . . . . . . . 16.3.1 Niederhubwagen . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.2 Gabelhochhubwagen . . . . . . . . . . . . . 16.3.3 Spreizenstapler . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.4 Gegengewichtstapler . . . . . . . . . . . . . 16.3.5 Schubstapler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.6 Mehrwegestapler . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.7 Querstapler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.8 Schmalgangstapler . . . . . . . . . . . . . . 16.3.9 Kommissionier-Flurförderzeuge . . . . . . 16.3.10 Wagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.11 Schlepper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.12 Schleppzüge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.13 Portalstapler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.14 Fahrerlose Transportsysteme (FTS) . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Weitere Unstetigförderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 Ludger Overmeyer 17.1 Elektrohängebahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

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Aufzüge und Schachtförderanlagen . . . . . . . . . Karl-Heinz Wehking 18.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Aufzüge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.1 Hydraulikaufzüge . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Seilaufzüge . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.3 Bemessung, Förderstrom, Steuerung 18.2.4 Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.5 Spezifische Sicherheitseinrichtungen 18.3 Schachtförderanlagen . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis Band 3

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Stetigförderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andre Katterfeld, Friedrich Krause, Ludger Overmeyer, Karl-Heinz Wehking, Willibald Günthner und Michael ten Hompel 19.1 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Stetigförderer mit Zugmittel . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Grundlagen der Berechnung . . . . . . . . . . . 19.2.2 Gurtförderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Becherwerke (Becherförderer) . . . . . . . . . 19.2.4 Kreisförderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.5 Gliederbandförderer . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.6 Kratzerförderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.7 Trogkettenförderer . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3 Stetigförderer ohne Zugmittel . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.1 Förderer mit Schnecken . . . . . . . . . . . . . 19.3.2 Schwingförderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.3 Rollen- und Kugelbahnen . . . . . . . . . . . . 19.4 Sorter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.1 Sortiersystem – Sortieranlage – Sorter . . . . 19.4.2 Systematik der Verteilförderer . . . . . . . . . 19.4.3 Quergurtsorter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.4 Kippschalensorter . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.5 Schiebeschuhsorter . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5 Weitere Stetigförderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.1 Plattenbandförderer . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.2 Schubplattformförderer . . . . . . . . . . . . . . 19.5.3 Schuppenförderer . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.4 Umlauf-S-Förderer . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.5 Rutschen und Fallrohre . . . . . . . . . . . . . . 19.6 Strömungsförderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6.1 Pneumatische Förderer . . . . . . . . . . . . . . 19.6.2 Hydraulische Förderer . . . . . . . . . . . . . . 19.6.3 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Lager- und Systemtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Willibald Günthner, Michael ten Hompel, Andre Katterfeld und Friedrich Krause 20.1 Stückgut-Systemtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.1 Transporteinheiten (TE) und Transporthilfsmittel (THM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.2 Funktion und Subsysteme . . . . . . . . . . . . . . 20.1.3 Theoretische Behandlung von Materialflusssystemen . . . . . . . . . . . . . . 20.1.4 Lagereinrichtung und Lagerbedienung . . . . . . 20.1.5 Belegungs- und Bedienstrategien . . . . . . . . . . 20.1.6 Lagerkennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.7 Kommissionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

459

459 459 460 463 465 471 473 474

LXXX

Inhaltsverzeichnis Band 3

20.1.8 Steuerung automatischer Lagersysteme 20.1.9 Betrieb von Lagersystemen . . . . . . . 20.2 Schüttgut-Systemtechnik . . . . . . . . . . . . . . 20.2.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2 Schüttgutlager . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

22

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Automatisierung in der Materialflusstechnik . . . . . . . . . . Ludger Overmeyer 21.1 Materialflusssteuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Sensorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Aktuatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Identifikationssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.1 Identifikation durch Personen und Geräte . . . . 21.4.2 Optische Datenerfassung und -übertragung . . . 21.4.3 Elektronische Datenerfassung und -übertragung durch RFID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.4 Magnetische Datenübertragung . . . . . . . . . . . 21.4.5 Mechanische Datenübertragung . . . . . . . . . . 21.4.6 Weiterverarbeitung der gewonnenen Daten . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

485

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Baumaschinen . . . . . . . . . . . . . . Günter Kunze 22.1 Einteilung und Begriffe . . . . . 22.2 Hochbaumaschinen . . . . . . . 22.2.1 Turmdrehkrane . . . . . 22.2.2 Betonmischanlagen . . 22.2.3 Transportbetonmischer 22.2.4 Betonpumpen . . . . . . 22.2.5 Verteilermasten . . . . 22.3 Erdbaumaschinen . . . . . . . . 22.3.1 Bagger . . . . . . . . . . 22.3.2 Schaufellader . . . . . . 22.3.3 Planiermaschinen . . . 22.3.4 Transportfahrzeuge . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

497 497 497 497 499 499 500 502 502 504 507 508 509

Teil IV 23

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Grundlagen der Verfahrenstechnik

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 Matthias Bohnet Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

Inhaltsverzeichnis Band 3

LXXXI

24

25

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Mechanische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . Arno Kwade und Jörg Schwedes 24.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Zerkleinern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.1 Bruchphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.2 Zerkleinerungsmaschinen . . . . . . . . . . 24.3 Agglomerieren/Granulieren . . . . . . . . . . . . . . 24.3.1 Bindemechanismen, Agglomeratfestigkeit 24.3.2 Granulationstechnik . . . . . . . . . . . . . . 24.4 Trennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.4.1 Abscheiden von Partikeln aus Gasen . . . 24.4.2 Abscheiden von Feststoffpartikeln aus Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 24.4.3 Klassieren in Gasen . . . . . . . . . . . . . . 24.5 Mischen von Feststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . 24.6 Lagern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.6.1 Fließverhalten von Schüttgütern . . . . . . 24.6.2 Dimensionierung von Silos . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Thermische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stephan Scholl und Alfons Mersmann 25.1 Absorbieren, Rektifizieren, Flüssig-flüssig-Extrahieren 25.1.1 Durchsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.2 Stofftrennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2 Verdampfen und Kristallisieren . . . . . . . . . . . . . . . 25.3 Adsorbieren, Trocknen, Fest-flüssig-Extrahieren . . . . 25.4 Membrantrennverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chemische Verfahrenstechnik . . . . Andreas Seidel-Morgenstern 26.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . 26.2 Stöchiometrie . . . . . . . . . . . 26.3 Chemische Thermodynamik . . 26.4 Kinetik chemischer Reaktionen 26.5 Ideale isotherme Reaktoren . . 26.6 Reale Reaktoren . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Mehrphasenströmungen . . . . . . . . . . . . Matthias Bohnet 27.1 Einphasenströmung . . . . . . . . . . . 27.2 Widerstand fester und fluider Partikel 27.3 Feststoff/Fluidströmung . . . . . . . . . 27.3.1 Pneumatische Förderung . . . 27.3.2 Hydraulische Förderung . . . 27.3.3 Wirbelschicht . . . . . . . . . .

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LXXXII

Inhaltsverzeichnis Band 3

27.4

Gas-/Flüssigkeitsströmung 27.4.1 Strömungsform . 27.4.2 Druckverlust . . . 27.4.3 Filmströmung . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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Bioverfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rainer Krull, Dietmar Hempel und Thomas Wucherpfennig 28.1 Mikroorganismen mit technischer Bedeutung . . . . . . 28.1.1 Bakterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.1.2 Pilze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.1.3 Hefen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.1.4 Algen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.1.5 Viren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.1.6 Pflanzliche und tierische Zellen . . . . . . . . . . 28.2 Kultivierungsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2.1 Wachstumsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 28.2.2 Phänomenologie des Wachstums . . . . . . . . . 28.2.3 Ablauf technischer Kultivierungen . . . . . . . . 28.2.4 Prozessbeispiel – Produktion monoklonaler Antikörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3 Sterilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3.1 Hitzesterilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.3.2 Sterilfiltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.4 Bioreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.4.1 Oberflächenkultivierung . . . . . . . . . . . . . . 28.4.2 Submerskultivierung . . . . . . . . . . . . . . . . 28.4.3 Mess- und Regelungstechnik . . . . . . . . . . . 28.4.4 Schaumzerstörung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.4.5 Steriler Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.5 Kinetik enzymatischer Reaktionen . . . . . . . . . . . . . 28.5.1 Katalytische Wirkung der Enzyme . . . . . . . . 28.5.2 Michaelis-Menten-Kinetik . . . . . . . . . . . . . 28.5.3 Transformationen der Michaelis-MentenGleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.5.4 Einfluss von Temperatur, pH-Wert, Inhibitoren und Aktivatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.6 Kinetik des mikrobiellen Wachstums . . . . . . . . . . . 28.6.1 Substratlimitiertes Wachstum . . . . . . . . . . . 28.6.2 Wachstumshemmung . . . . . . . . . . . . . . . . 28.6.3 Wachstum mit Transportlimitierung . . . . . . . 28.6.4 Wachstum in kontinuierlicher Kultivierung . . 28.6.5 Fed Batch-Kultivierung . . . . . . . . . . . . . . . 28.6.6 Zellerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.6.7 Filamentöses Wachstum . . . . . . . . . . . . . . 28.6.8 Rheologie von Kultivierungsbrühen . . . . . . . 28.6.9 Produktbildungskinetik . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis Band 3

LXXXIII

Teil V 29

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Thermischer Apparatebau und Industrieöfen Industrieöfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eckehard Specht und Friedherz Becker 29.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.2 Charakterisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.3 Spezifischer Energieverbrauch . . . . . . . . . . . 29.4 Wärmerückgewinnung durch Luftvorwärmung Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Drehrohröfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eckehard Specht und Friedherz Becker 30.1 Bauarten und Prozesse . . . . . . . . . . . . 30.1.1 Wirkungsweise . . . . . . . . . . . . 30.1.2 Materialtransport . . . . . . . . . . 30.1.3 Beheizung . . . . . . . . . . . . . . . 30.1.4 Drehrohrmantel . . . . . . . . . . . 30.1.5 Lagerung und Antrieb . . . . . . . 30.1.6 Ofenköpfe . . . . . . . . . . . . . . . 30.1.7 Thermische Behandlungsprozesse 30.2 Quertransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.1 Arten der Querbewegung . . . . . 30.2.2 Rolling Motion . . . . . . . . . . . . 30.2.3 Segregation . . . . . . . . . . . . . . 30.3 Axialtransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3.1 Betttiefenprofil . . . . . . . . . . . . 30.3.2 Mittlere Verweilzeit . . . . . . . . . 30.4 Wärmeübergang . . . . . . . . . . . . . . . . 30.4.1 Gesamtmechanismus . . . . . . . . 30.4.2 Direkter Wärmeübergang . . . . . 30.4.3 Regenerativer Wärmeübergang . . 30.4.4 Axiale Temperaturverläufe . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Schacht-, Kupol- und Hochöfen . . . . . . . . . . . Eckehard Specht und Friedherz Becker 31.1 Prozesse und Funktionsweisen . . . . . . . . 31.2 Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Druckverlust . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Lückengrad . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Wärme- und Stoffübertragung . . . . . . . . . 31.4 Axiale Temperatur- und Massenstromprofile Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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LXXXIV

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Inhaltsverzeichnis Band 3

Öfen für geformtes Gut . . . . . . . . . . . . . . Eckehard Specht und Friedherz Becker 32.1 Betriebsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Durchlauföfen . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.1 Stoßofen . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 Hubbalkenofen . . . . . . . . . . . 32.2.3 Tunnelwagenofen . . . . . . . . . 32.2.4 Rollenherdofen . . . . . . . . . . . 32.2.5 Konstruktive Merkmale . . . . . 32.2.6 Verfahrenstechnische Merkmale 32.3 Beschreibung von Chargenöfen . . . . . . 32.4 Beheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4.1 Direkte Beheizung . . . . . . . . . 32.4.2 Indirekte Beheizung . . . . . . . . 32.4.3 Elektrobeheizung . . . . . . . . . 32.5 Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . 32.5.1 Strahlung in Industrieöfen . . . . 32.5.2 Konvektion . . . . . . . . . . . . . 32.5.3 Wärmeübergang ins Solid . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Feuerfestmaterialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 Eckehard Specht und Friedherz Becker Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

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Wärmeübertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lothar Mörl und Eckehard Specht 34.1 Konstante Wärmestromdichte . . . . . . . . . . . . 34.2 Konstante Wandtemperatur . . . . . . . . . . . . . . 34.3 Wärmeübertragung Fluid–Fluid . . . . . . . . . . . 34.3.1 Temperaturverläufe . . . . . . . . . . . . . 34.3.2 Gleiche Kapazitätsströme (Gegenstrom) 34.3.3 Ungleiche Kapazitätsstromverhältnisse . 34.4 Auslegung von Wärmeübertragern . . . . . . . . . 34.5 Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.5.1 Grundbegriffe der Kondensation . . . . . 34.5.2 Oberflächenkondensatoren . . . . . . . . . 34.5.3 Luftgekühlte Kondensatoren . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen . Lothar Mörl und Horst Gelbe 35.1 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.2 Zylindrische Mäntel und Rohre unter innerem Überdruck 35.3 Zylindrische Mäntel unter äußerem Überdruck . . . . . .

673 673 674 675

Inhaltsverzeichnis Band 3

LXXXV

35.4

36

Ebene Böden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.4.1 Wanddicke verschraubter runder ebener Böden ohne Ausschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.4.2 Wanddicke ebener Böden mit Ausschnitten . . 35.5 Gewölbte Böden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.6 Ausschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.6.1 Spannungsbeanspruchte Querschnitte . . . . . . 35.6.2 Druckbeanspruchte Querschnittsflächen Ap . . 35.7 Flanschverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.7.1 Schrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.7.2 Flansche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.8 Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.8.1 Rohrdurchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.8.2 Strömungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.8.3 Rohrarten, Normen, Werkstoffe . . . . . . . . . 35.8.4 Rohrverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.8.5 Dehnungsausgleicher . . . . . . . . . . . . . . . . 35.8.6 Rohrhalterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.9 Absperr- und Regelorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.9.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.9.2 Ventile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.9.3 Schieber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.9.4 Hähne (Drehschieber) . . . . . . . . . . . . . . . 35.9.5 Klappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.10 Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.10.1 Berührungsdichtungen an ruhenden Flächen . . 35.10.2 Berührungsdichtungen an gleitenden Flächen . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Intensivkühlung heißer Metalle mit Flüssigkeiten Eckehard Specht 36.1 Phänomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2 Tauchkühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.3 Spritzkühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.3.1 Düsentechnik . . . . . . . . . . . . . . . 36.3.2 Wärmeübergangsmechanismus . . . . 36.3.3 Filmverdampfung . . . . . . . . . . . . 36.3.4 Einfluss der Wassertemperatur . . . . 36.4 Wasserqualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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677 678 678 680 680 681 682 682 684 687 687 688 688 689 691 692 695 695 697 698 699 700 700 700 702 704 706

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709 712 713 713 715 715 717 717 718

Literatur zu Teil V Thermischer Apparatebau und Industrieöfen . 719

LXXXVI

Inhaltsverzeichnis Band 3

Teil VI 37

Kälte-, Klima- und Heizungstechnik

Kältetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 Christian Hainbach 37.1 Einsatzgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 37.2 Kältetechnische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 37.2.1 Kaltdampf-Kompressionskälteanlage . . . . . . . 724 37.2.2 Absorptionskälteanlage . . . . . . . . . . . . . . . . 725 37.2.3 Verdunstungskühlverfahren . . . . . . . . . . . . . 727 37.3 Kältetechnische Betriebsstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . 728 37.3.1 Kältemittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 37.3.2 Kältemaschinen-Öle . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 37.3.3 Kühlsolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734 37.4 Systeme und Bauteile der kältetechnischen Anlagen . . . 736 37.4.1 Kältemittelverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 37.4.2 Verdampfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 37.4.3 Verflüssiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740 37.4.4 Sonstige Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740 37.5 Direktverdampfer-Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742 37.5.1 Verflüssigersätze, Splitgeräte für Klimaanlagen . 743 37.6 Kaltwassersätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744 37.6.1 Kompressions-Kaltwassersätze . . . . . . . . . . . 744 37.6.2 Absorptions-Kaltwassersatz . . . . . . . . . . . . . 744 37.7 Rückkühlwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745 37.7.1 Kühlwassertemperaturen im Jahresverlauf . . . . 746 37.7.2 Wasserbehandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 37.8 Freie Kühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 37.8.1 Freie Kühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 37.8.2 Freie Kühlung durch Solekreislauf . . . . . . . . . 748 37.8.3 Freie Kühlung durch Kältemittel-Pumpen-System 748 37.8.4 Freie Kühlung durch Rückkühlwerk . . . . . . . . 748 37.9 Speichersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 37.9.1 Eisspeichersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 37.9.2 Kältespeicherung in eutektischer Lösung . . . . . 750 37.9.3 Kältespeicherung in Binäreis . . . . . . . . . . . . 751 37.10 Wärmepumpenanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752 37.10.1 Wärmequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754 37.10.2 Kleinwärmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754 37.10.3 Wärmepumpen größerer Leistung . . . . . . . . . 755 37.10.4 Absorptionswärmepumpen . . . . . . . . . . . . . 756 37.10.5 Wärmepumpensysteme Heizbetrieb . . . . . . . . 757 37.10.6 Systeme für gleichzeitigen Kühl- und Heizbetrieb 758 37.10.7 Wärmepumpen in Heizsystemen . . . . . . . . . . 760 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762

Inhaltsverzeichnis Band 3

LXXXVII

38

Klimatechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sylvia Schädlich 38.1 Anforderungen an das Raumklima . . . . . . . . . . . . 38.1.1 Raumluftfeuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.1.2 Raumluftgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . 38.1.3 Schadstoffgehalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.1.4 Weitere Einflussgrößen . . . . . . . . . . . . . . 38.2 Auslegung von Klimaanlagen . . . . . . . . . . . . . . . 38.2.1 Meteorologische Grundlagen . . . . . . . . . . 38.2.2 Heizlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.2.3 Kühllast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.2.4 Luft-Volumenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . 38.3 Luftführung und Luftdurchlässe . . . . . . . . . . . . . . 38.3.1 Luftführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.3.2 Luftdurchlässe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.4 Komponenten von Lüftungs- und Klimaanlagen . . . . 38.4.1 Ventilatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.4.2 Lufterhitzer, -kühler . . . . . . . . . . . . . . . . 38.4.3 Luftbefeuchter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.4.4 Wärmerückgewinnung . . . . . . . . . . . . . . 38.4.5 Luftfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.4.6 Schalldämpfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.4.7 Luftkanalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.4.8 Mess- und Regelungstechnik . . . . . . . . . . 38.5 Lüftungsanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.5.1 Einrichtungen zur freien Lüftung . . . . . . . . 38.5.2 Mechanische Lüftungsanlagen . . . . . . . . . 38.6 Zentrale Raumlufttechnische Anlagen . . . . . . . . . . 38.6.1 Klassifizierung raumlufttechnischer Systeme 38.6.2 Nur-Luft-Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.6.3 Luft-Wasser-Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . 38.7 Dezentrale Klimaanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.8 Berücksichtigung von Klimaanlagen nach Energieeinsparverordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.8.1 Referenzgebäudeverfahren für Nichtwohngebäude . . . . . . . . . . . . . . 38.8.2 Wartung von Klimaanlagen . . . . . . . . . . . 38.8.3 Energetische Inspektion von Klimaanlagen . 38.8.4 Vorgaben für die Planung von Lüftungs- und Klimaanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.8.5 Berücksichtigung von Klimaanlagen in der DIN V 18599 . . . . . . . . . . . . . . . . 38.8.6 Endenergie für Ventilatoren . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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765 769 770 770 770 772 772 772 775 777 777 777 781 784 785 793 794 797 801 804 807 808 808 808 810 810 810 812 814 819

. . 821 . . 821 . . 821 . . 822 . . 822 . . 823 . . 824 . . 824

LXXXVIII

39

Inhaltsverzeichnis Band 3

Systeme und Bauteile der Heizungstechnik . . Christian Hainbach 39.1 Einzelheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.2 Zentralheizung . . . . . . . . . . . . . . . . 39.2.1 Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 39.2.2 Raum-Heizkörper, -Heizflächen 39.2.3 Rohrnetz . . . . . . . . . . . . . . . 39.2.4 Armaturen . . . . . . . . . . . . . . 39.2.5 Umwälzpumpen . . . . . . . . . . 39.2.6 Wärmeerzeugung . . . . . . . . . 39.2.7 Heizzentrale . . . . . . . . . . . . 39.2.8 Wärmeverbrauchsermittlung . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teil VII

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Biomedizinische Technik

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Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 Stephan Klein und Marc Kraft Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846

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Einteilung von Medizinprodukten . . . . . . . . . . . . . . . . . 849 Stephan Klein und Marc Kraft Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850

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Ausgewählte Beispiele wichtiger medizintechnischer Geräte Stephan Klein, Marc Kraft, Henrik Botterweck, Jürgen Manigel, Martin Ryschka, Harald Hanke, Peter Schouwink und Jochim Koch 42.1 Bildgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1 Definition und Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Modalitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.3 Trends und Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Monitoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.1 Patientenmonitoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Maschinenmonitoring . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3 Alarmgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.4 Zentrale Überwachung . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.5 Gerätetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Beatmung, Inhalationsnarkose . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.1 Beatmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.2 Inhalationsnarkose . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.3 Gasdosierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.4 Narkosemitteldosierung . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.5 Kreissystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.6 CO2 -Absorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.7 Ventilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.8 Gas-, Druck- und Flussmessung . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis Band 3

LXXXIX

42.4 42.5 42.6

Therapie von Herzrhythmusstörungen . . . . . . . . . . Blutreinigung (Dialyse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pumpen für Infusionen und Herzunterstützung . . . . . 42.6.1 Herzunterstützungssysteme . . . . . . . . . . . 42.7 Minimal-invasive Technologien . . . . . . . . . . . . . . 42.7.1 Endoskopische Techniken . . . . . . . . . . . . 42.7.2 Endoskope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.7.3 Interventionelle Kardiologie . . . . . . . . . . . 42.8 Orthopädische Implantate . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.9 Gliedmaßenprothetik (Exoprothetik der Extremitäten) 42.10 Wärmetherapiegeräte für Früh- und Neugeborene . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Entwicklung und Marktzugang von Medizinprodukten . . . 887 Stephan Klein, Marc Kraft und Folker Spitzenberger Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891

44

Aufbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893 Marc Kraft Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893

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Telemedizin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895 Marc Kraft Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896

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Physiologische Regelkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897 Philipp Rostalski Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899

Literatur zu Teil VII Biomedizinische Technik . . . . . . . . . . . . . . 901

Teil VIII 47

48

Energietechnik und -wirtschaft

Grundsätze der Energieversorgung . . . . . . . . . . . . . Hermann-Josef Wagner, Hendrik Hasenclever und Kathrin Hoffmann 47.1 Planung und Investitionen . . . . . . . . . . . . . . . . 47.2 Elektrizitätswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47.3 Gaswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47.4 Fernwärmewirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Primärenergien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hermann-Josef Wagner, Christian Bratfisch, Hendrik Hasenclever und Kathrin Hoffmann 48.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.2 Feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.2.1 Natürliche feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . 48.2.2 Künstliche feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . .

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917 917 917 918

XC

Inhaltsverzeichnis Band 3

48.2.3 Abfallbrennstoffe . . . . . . . . . . 48.2.4 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . 48.2.5 Mineralische Bestandteile . . . . . 48.3 Flüssige Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . 48.3.1 Zusammensetzung . . . . . . . . . . 48.3.2 Natürliche flüssige Brennstoffe . . 48.3.3 Künstliche flüssige Brennstoffe . . 48.3.4 Abfallbrennstoffe . . . . . . . . . . 48.3.5 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . 48.4 Gasförmige Brennstoffe oder Brenngase . 48.4.1 Natürliche Brenngase . . . . . . . . 48.4.2 Künstliche Brenngase . . . . . . . . 48.4.3 Abfallbrenngase . . . . . . . . . . . 48.4.4 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . 48.5 Kernbrennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . 48.5.1 Brutprozess . . . . . . . . . . . . . . 48.5.2 Brennstoffkreislauf . . . . . . . . . 48.5.3 Endlagerung radioaktiver Abfälle 48.6 Regenerative Energien . . . . . . . . . . . . 48.6.1 Wasserenergie . . . . . . . . . . . . 48.6.2 Windenergie . . . . . . . . . . . . . 48.6.3 Solarenergie . . . . . . . . . . . . . 48.6.4 Geothermische Energie . . . . . . . 48.6.5 Biogas . . . . . . . . . . . . . . . . . 48.6.6 Biomasse . . . . . . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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Wandlung von Primärenergie in Nutzenergie . . . . . . . . . . Hermann-Josef Wagner, Christian Bratfisch, Hendrik Hasenclever und Kathrin Hoffmann 49.1 Fossile Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.1.1 Wärmekraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.1.2 Kombi-Kraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.1.3 Brennstoffzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.2 Kraft-Wärme-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.2.1 KWK-Anlagen mit Verbrennungsmotoren . . . . 49.2.2 KWK-Anlagen mit Gasturbinen . . . . . . . . . . 49.2.3 KWK-Anlagen mit Dampfturbinen . . . . . . . . 49.2.4 Kraft-Wärme-Kälte-Kopplungsanlagen . . . . . . 49.2.5 Kraft-Wärme-Kopplungsgesetz . . . . . . . . . . . 49.3 Strom-/Wärmeerzeugung mit regenerativen Energien . . 49.3.1 Wasserkraftanlagen (s. Abschn. 48.6) . . . . . . . 49.3.2 Windkraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.3.3 Anlagen zur Nutzung der Sonnenenergie . . . . . 49.3.4 Wärmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis Band 3

XCI

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51

49.4

Kernkraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.4.1 Bauteile des Reaktors und Reaktorgebäude 49.4.2 Sicherheitstechnik von Kernreaktoren . . . . 49.4.3 Leistungsregelung bei Kernreaktoren . . . . 49.4.4 Bauarten von Kernreaktoren . . . . . . . . . . 49.5 Umweltschutztechnologien . . . . . . . . . . . . . . . . 49.5.1 Rauchgasentstaubung . . . . . . . . . . . . . . 49.5.2 Rauchgasentschwefelung . . . . . . . . . . . 49.5.3 Rauchgasentstickung . . . . . . . . . . . . . . 49.5.4 Kohlendioxidabscheidung . . . . . . . . . . . 49.5.5 Entsorgung der Kraftwerksnebenprodukte . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Verteilen und Speicherung von Nutzenergie . . . . . . . . Hermann-Josef Wagner, Hendrik Hasenclever und Kathrin Hoffmann 50.1 Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.1 Mineralöltransporte . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.2 Erdgastransporte . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.3 Elektrische Verbundnetze . . . . . . . . . . . 50.1.4 Fernwärmetransporte . . . . . . . . . . . . . . 50.2 Energiespeicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.1 Pumpspeicherwerke . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.2 Druckluftspeicherwerke . . . . . . . . . . . . 50.2.3 Dampfspeicherung . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.4 Elektrische Speicher . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Feuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klaus Görner 51.1 Technische Feuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Feuerung in einem Dampferzeuger . . . . . 51.1.2 Einteilung von Feuerungen für gasförmige, flüssige und feste Brennstoffe . . . . . . . . . 51.2 Verbrennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Verbrennungsvorgang . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Emissionsgrenzwerte . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Feuerungen für gasförmige Brennstoffe . . . . . . . . 51.3.1 Verbrennung und Brennereinteilung . . . . . 51.3.2 Brennerbauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Feuerungen für flüssige Brennstoffe . . . . . . . . . . 51.4.1 Besondere Eigenschaften . . . . . . . . . . . 51.4.2 Brenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.3 Gesamtanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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981 981 982 983 985 985 986 987 988 988 990

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. 993 . 994 . 994 . 995 . 997 . 998 . 998 . 998 . 999 . 999 . 999 .1000

XCII

Inhaltsverzeichnis Band 3

51.5

Feuerungen für feste Brennstoffe 51.5.1 Kohlenstaubfeuerung . . 51.5.2 Wirbelschichtfeuerung . 51.5.3 Rostfeuerungen . . . . . 51.6 Allgemeines Feuerungszubehör . 51.6.1 Gebläse . . . . . . . . . . 51.6.2 Schornstein . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Dampferzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gerd Oeljeklaus 52.1 Angaben zum System . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1 Entwicklungsstufen . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Dampferzeugersysteme . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Drücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.4 Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.5 Dampfleistungen . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.6 Sicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Ausgeführte Dampferzeuger . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Großwasserraumkessel . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Naturumlaufkessel für fossile Brennstoffe 52.2.3 Zwanglaufkessel für fossile Brennstoffe . 52.3 Bauelemente von Dampferzeugern . . . . . . . . . . 52.3.1 Verdampfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.2 Überhitzer und Zwischenüberhitzer . . . . 52.3.3 Speisewasservorwärmer (Eco) . . . . . . . 52.3.4 Luftvorwärmer (Luvo) . . . . . . . . . . . . 52.3.5 Speisewasseraufbereitung . . . . . . . . . . 52.4 Wärmetechnische Berechnung . . . . . . . . . . . . 52.4.1 Energiebilanz und Wirkungsgrad . . . . . . 52.4.2 Ermittlung der Heizfläche . . . . . . . . . . 52.4.3 Strömungswiderstände . . . . . . . . . . . . 52.4.4 Festigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teil IX 53

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.1001 .1001 .1009 .1011 .1016 .1016 .1016 .1017

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.1019 .1019 .1019 .1020 .1020 .1021 .1021 .1021 .1021 .1021 .1023 .1026 .1026 .1026 .1028 .1028 .1029 .1030 .1030 .1031 .1032 .1032 .1032

Fahrzeugtechnik

Kraftfahrzeugtechnik . . . . . . . . . . . Volker Schindler und Steffen Müller 53.1 Definition von Kraftfahrzeugen . . 53.2 Bedeutung von Kraftfahrzeugen . . 53.3 Karosserie . . . . . . . . . . . . . . . 53.4 Fahrwerk . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4.1 Räder . . . . . . . . . . . . . 53.4.2 Radführungen . . . . . . . 53.4.3 Federung und Dämpfung . 53.4.4 Lenkung . . . . . . . . . . .

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.1037 .1039 .1041 .1045 .1046 .1049 .1050 .1051

Inhaltsverzeichnis Band 3

XCIII

53.5

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Antrieb und Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.5.1 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.5.2 Fahrdynamikregelsysteme . . . . . . . . . . 53.5.3 Energiewandlung . . . . . . . . . . . . . . . 53.5.4 Kupplung und Kennungswandler . . . . . . 53.5.5 Achsgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.6 Ausstattungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.6.1 Verglasung, Scheibenwischer . . . . . . . . 53.6.2 Sitzanlage, Bedienelemente, Anzeigen . . 53.6.3 Heizung und Klimatisierung . . . . . . . . 53.6.4 Systeme für den Insassenschutz . . . . . . 53.6.5 Licht und Beleuchtung . . . . . . . . . . . . 53.6.6 Fahrerassistenzsysteme . . . . . . . . . . . . 53.6.7 Automatisiertes Fahren . . . . . . . . . . . . 53.7 Elektrische Infrastruktur . . . . . . . . . . . . . . . . 53.8 Eigenschaften des Gesamtfahrzeugs . . . . . . . . . 53.8.1 Package, Ergonomie, Mensch-MaschineInterface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.8.2 Fahrdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.8.3 Aerodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.8.4 Verbrauch und CO2 -Emission . . . . . . . . 53.8.5 Abgasverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.8.6 Geräusch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.8.7 Fahrzeugsicherheit . . . . . . . . . . . . . . 53.8.8 Betriebsfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 53.9 Typgenehmigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.10 Entwicklungsprozesse und -methoden . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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.1053 .1053 .1054 .1058 .1064 .1067 .1067 .1068 .1068 .1069 .1069 .1070 .1071 .1072 .1073 .1076

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Schienenfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Markus Hecht, Oldrich Polach und Ulrich Kleemann 54.1 Grundsätzliche Randbedingungen . . . . . . . . . 54.1.1 Fahrzeugbegrenzungsprofil . . . . . . . . 54.1.2 Fahrgastwechselzeiten . . . . . . . . . . . 54.1.3 Lebenszykluskosten LCC . . . . . . . . . 54.2 Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2.1 Grundbegriffe der Spurführungstechnik . 54.2.2 Radbauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2.3 Radsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2.4 Rad-Schiene-Kontakt . . . . . . . . . . . . 54.2.5 Fahrwerkskonstruktionen . . . . . . . . . 54.2.6 Neigetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3 Aufbau, Fahrzeugarten . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3.1 Rohbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3.2 Klimaanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3.3 Türen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3.4 Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3.5 Führerräume . . . . . . . . . . . . . . . . .

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.1089 .1090 .1091 .1091 .1092 .1092 .1094 .1094 .1095 .1098 .1102 .1103 .1104 .1104 .1105 .1106 .1106

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Inhaltsverzeichnis Band 3

54.3.6 Zug-Stoßeinrichtungen . . . . . . . . . . . 54.3.7 Fahrzeugarten . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4.1 Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4.2 Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 54.5 Elektrische/Elektronische Ausrüstung/Diagnose . 54.5.1 Leistungselektrik . . . . . . . . . . . . . . 54.5.2 Diagnosetechnik . . . . . . . . . . . . . . . 54.6 Sicherheitstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.6.1 Aktive Sicherheitstechnik/Bremse, Bremsbauarten . . . . . . . . . . . . . . . . 54.6.2 Passive Sicherheit . . . . . . . . . . . . . . 54.7 Entwicklungsmethodik . . . . . . . . . . . . . . . . 54.7.1 Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.7.2 Fahrkomfort . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.7.3 Rad-Schiene-Kräfte . . . . . . . . . . . . . 54.8 Zuverlässigkeitsprüfung . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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Luftfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1135 Rudolf Voit-Nitschmann und Thomas Keilig 55.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1135 55.1.1 Luftverkehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1135 55.1.2 Anforderungen an den Luftverkehr und an Luftfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1136 55.1.3 Einordnung und Konstruktionsgruppen von Luftfahrzeugen . . . . . . . . . . . . . . . . . .1137 55.1.4 Einordnung von Luftfahrzeugen nach Vorschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1139 55.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1142 55.2.1 Die internationale Standardatmosphäre (ISA) . .1142 55.2.2 Achsenkreuze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1144 55.2.3 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1144 55.2.4 Gewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1145 55.2.5 Fluggeschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . .1145 55.2.6 Geometrische Beschreibung des Luftfahrzeuges 1147 55.2.7 Kräfte und Winkel im Flug . . . . . . . . . . . . .1151 55.2.8 Flugsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1152 55.2.9 Flugstabilitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1153 55.3 Grundlagen der Flugphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . .1154 55.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1154 55.3.2 Flugzeugpolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1157 55.3.3 Flugleistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1158 55.4 Zelle, Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1170 55.4.1 Konstruktionsphilosophien und -prinzipien . . .1170 55.4.2 Lasten, Lastannahmen . . . . . . . . . . . . . . . .1171 55.4.3 Leichtbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1173 55.4.4 Werkstoffe und Bauweisen . . . . . . . . . . . . .1175

Inhaltsverzeichnis Band 3

XCV

55.4.5 55.4.6 55.4.7 Literatur . . .

Rumpf . . . . . . . . . . . . . . Tragflügel . . . . . . . . . . . . Wartung und Instandhaltung . ....................

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.1178 .1180 .1184 .1185

Fachausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1189 Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1265

Verzeichnis der Herausgeber und Autoren

Über die Herausgeber Professor Dr.-Ing. Beate Bender 1987–2000 Studium des Maschinenbaus und Tätigkeit als Wissenschaftliche Mitarbeiterin am Institut für Maschinenkonstruktion – Konstruktionstechnik an der TU Berlin, bis zu dessen Tod 1998 unter der Leitung von Prof. Beitz. 2001 Promotion an der TU München, 2001 bis 2013 bei Bombardier Transportation Bahntechnologie im Angebotsmanagement, Engineering, Projektleitung und Produktmanagement. Seit 2013 Leiterin des Lehrstuhls für Produktentwicklung an der Ruhr-Universität Bochum. Herausgeberin des DUBBEL, Taschenbuch für den Maschinenbau (ab 25. Auflage), des Pahl/Beitz – Konstruktionslehre (ab 9. Auflage), Mitglied der Wissenschaftlichen Gesellschaft für Produktentwicklung (WiGeP). Professor Dr.-Ing. Dietmar Göhlich 1979–1985 Studium an der TU Berlin, 1985–1989 Promotion am Georgia Institute of Technology in den U.S.A, 1989 bis 2010 in leitender Funktion in der Pkw-Entwicklung der Daimler AG u. a. in der Gesamtfahrzeugkonstruktion Smart und S-Klasse. Seit 2010 Leiter des Fachgebiets Methoden der Produktentwicklung und Mechatronik und Geschäftsführender Direktor des Instituts für Maschinenkonstruktion und Systemtechnik an der Technischen Universität Berlin. Herausgeber des DUBBEL, Taschenbuch für den Maschinenbau (ab 25. Auflage). Mitglied der Wissenschaftlichen Gesellschaft für Produktentwicklung (WiGeP), Sprecher des BMBF Forschungscampus Mobility2Grid, Mitglied in der acatech – Deutsche Akademie der Technikwissenschaften. XCVII

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Verzeichnis der Herausgeber und Autoren

Autorenverzeichnis

Christina Berger studierte Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung mit dem Grundstudium Allgemeiner Maschinenbau an der TH Magdeburg und promovierte an der RWTH Aachen. Von 1975 bis 1995 bearbeitete sie im Turbinen- und Generatorenwerk der Siemens AG in Mülheim a. d. Ruhr werkstofftechnische Prüf- und Entwicklungsaufgaben. Seit 1981 leitete sie die Abteilung „Mechanische Eigenschaften – Festigkeit – Großbauteile“. 1995 wurde sie zur Universitätsprofessorin für Werkstoffkunde an der TU in Darmstadt ernannt und leitete bis 2011 das Institut für Werkstoffkunde sowie die Staatliche Materialprüfungsanstalt in Darmstadt. Thomas Böllinghaus geb. 1960, Dipl.-Ing. Maschinenbau (1980–1984), Dr.-Ing. (1995) und Habilitation (1999) an der Helmut-Schmidt-Universität/Universität der Bundeswehr Hamburg, Grundstudium Informatik (1984–1989) an der Fernuniversität Hagen, Internationaler Schweißfachingenieur (1991). Geschäftsführer des Instituts für Schadensforschung und Schadensverhütung an der HSU/UniBwH (1996–1999), Leiter der Fachgruppe Sicherheit gefügter Bauteile (1999–2006), Vizepräsident (seit 2003), Leiter der Abteilung Komponentensicherheit (seit 2011) und Koordinator des Themenfeldes Material (seit 2014) an der Bundesanstalt für Materialforschung und -prüfung (BAM). Honorarprofessor für das Gebiet Schadensanalyse und -prävention sowie kooptiertes Mitglied der Fakultät für Maschinenbau an der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg (seit 2008). Präsident World Materials Research Institute Forum (2011–2015), Mitglied Board of Directors im IIW (seit 2014), Editor der Journale Materials Testing (seit 2000) und Welding in the World (seit 2009). Forschungsschwerpunkte: Kaltriss- und Heißrissbildung beim Schweißen, Risskorrosion, Wasserstoffunterstützte Rissbildung, Schadensanalyse und Lebenszyklus von Komponenten und Systemen des Maschinen-, Anlagen- und Apparatebaus.

Verzeichnis der Herausgeber und Autoren

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Joachim Bös Darmstadt, Deutschland Thora Falkenreck Berlin, Deutschland Karl-Heinrich Grote 1973 bis 1984: Studium und Promotion an der Technischen Universität Berlin; 1984 bis 1986: Industrie und Forschungsarbeiten in den USA, anschließend Leitung der Konstruktionsabteilung der Ingenieurgesellschaft Auto und Verkehr (IAV), Berlin; 1995 bis 2020: Univ.-Professor für Konstruktionstechnik, Institut für Maschinenkonstruktion, Otto-von-Guericke Universität, Magdeburg (OvGU); 2002 bis 2004: Visiting Full-Professor am Engineering Design Research Laboratory, California Institute of Technology (Caltech), Pasadena, USA; Herausgebertätigkeiten (alle Springer-Verlag): 19. Auflage (1995) bis 25. Auflage (2018): DUBBEL – Taschenbuch für den Maschinenbau; 1. Auflage (2008) und 2. Auflage (2021): Handbook of Mechanical Engineering; 5. Auflage (2003) bis 8. Auflage (2013): Pahl/Beitz: Konstruktionslehre; Mitglied diverser wissenschaftlichen Beiräte und Gesellschaften; 2005 bis 2016: Dekan der Fakultät für Maschinenbau der OvGU Ab 2012: Professor II, Bergen University College, Norwegen; Institute for Mechanical and Marine Engineering. 1993: VDI-Ehrenring und 2015: Ehrendoktorwürde (Dr. h.c.) des Kiev Institute of Technology (KPI). Karl-Heinz Habig 1939 Geburt in Hagen/ Westfalen, Studium und Promotion in Metallkunde an der TU Berlin, 1977: Wissenschaftlicher Mitarbeiter in der Bundesanstalt für Materialforschung und -prüfung. 1983 Habilitation auf dem Gebiet der Tribologie, 1989 apl. Professor an der TU Berlin. Forschungsschwerpunkte: Reibung und Verschleiß metallischer und keramischer Werkstoffe sowie von Oberflächenschutzschichten, Simulation tribologischer Prozesse. 2003: Verleihung des Georg-Vogelpohl-Ehrenzeichens der Gesellschaft für Tribologie für herausragende Leistungen bei der Entwicklung, Anwendung und Verbreitung tribologischer Erkenntnisse.

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Verzeichnis der Herausgeber und Autoren

Andreas Hanau Studium des Maschinenbaus an der Technischen Universität Berlin und Promotion. 1995–1999 Projektleiter für ein integrales Heizungs- und Lüftungssystem bei Stiebel Eltron GmbH. Ab 1999 BSH Hausgeräte GmbH mit den Tätigkeiten: Projektleiter für eine neue Waschmaschinenplattform, Entwicklungsleitung für Wäschepflegegeräte in den USA, Leiter Vorentwicklung für Waschgeräte, Coach für Product Engineering.

Holger Hanselka Nach einem Maschinenbaustudium promovierte Holger Hanselka 1992 an der TU Clausthal parallel zu seiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Strukturmechanik des Deutschen Zentrums für Luftund Raumfahrt e.v. (DLR) in Braunschweig. 1997 erhielt er eine Professur am Lehrstuhl für Adaptronik an der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, bevor er 2001 nach Darmstadt wechselte. Dort war er an der TU Darmstadt Leiter des Fachgebiets „Systemzuverlässigkeit und Maschinenakustik“ und gleichzeitig Leiter des Fraunhofer-Instituts für Betriebsfestigkeit und Systemzuverlässigkeit LBF. Ab 2006 war er zudem Mitglied des Präsidiums der Fraunhofer-Gesellschaft und wurde im Jahr 2011 zum Vizepräsident für Wissens- und Technologietransfer der TU Darmstadt ernannt. Prof. Hanselka ist seit Oktober 2013 Präsident des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT) und ist zeitgleich Vizepräsident für den Forschungsbereich Energie bei der HelmholtzGemeinschaft Deutscher Forschungszentren. Sven Herold Groß-Umstadt, Deutschland Uller Jarecki Berlin, Deutschland

Verzeichnis der Herausgeber und Autoren

CI

Karl Heinz Kloos, Jahrgang 1930 studierte an der TH Darmstadt Maschinenbau. 1960 promovierte er mit dem Thema „Einfluss der Oberflächengrenzschicht auf das Reibungsverhalten austenitischer Werkstoffe bei der Kaltumformung im Tiefziehverfahren“. 1973 trat er die Nachfolge von Professor Dr. Heinrich Wiegand als Leiter des Fachgebietes und Instituts für Werkstoffkunde der Technischen Hochschule Darmstadt an, das er bis zu seiner Emeritierung 1995 führte. Seine Forschertätigkeit, insbesondere auf den Gebieten Ermüdungseigenschaften, Hochtemperatur-, Werkstoffverhalten und Tribologie, dokumentiert sich in rund 350 Veröffentlichungen. Dr.-Ing. Michael Kübler studierte an der Hochschule Heilbronn im Studiengang Mechatronikund Mikrosystemtechnik. Nach seinem Studium war er als wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Hochschule Heilbronn tätig und promovierte 2010 an der TU Berlin an der Fakultät III Prozesswissenschaften im Institut für Werkstoffwissenschaften und -technologie auf dem Fachgebiet der Polymertechnik. Seit 2012 ist er für die LANXESS Deutschland GmbH im Geschäftsbereich High Performance Materials für die Material- und Bauteilprüftechnik zuständig. Robert Liebich Studium der Luft- und Raumfahrttechnik an der TU Berlin. Promotion 1997 zum Dr.-Ing. bei Prof. Gasch zum Thema Rotor-Stator-Kontakt mit thermischen Effekten. Mitgründer und alleiniger Geschäftsführer eines Ingenieurbüros. Ab 2001 in diversen Positionen bei Rolls-Royce-Deutschland (Luftfahrtantriebe) tätig. Seit 2007 Professor für Konstruktion und Produktzuverlässigkeit an der TU Berlin. Forschung und Lehre auf den Gebieten der beanspruchungsgerechten Konstruktion, Festigkeit und Lebensdauer sowie der Rotor- und Strukturdynamik insbesondere im Bereich der Luftlager.

CII

Verzeichnis der Herausgeber und Autoren

Heinz Mertens Lehre als Maschinenschlosser; Maschinenbaustudium am Ohm-Polytechnikum Nürnberg (TFH) und TH München; Industrietätigkeit bei Robert Bosch GmbH Nürnberg (Konstruktion) und Siemens AG, Dynamowerk Berlin (Konstruktion, Festigkeitsberechnung, Materialprüfung – Oberingenieur). Von 1981 bis 2005 Professor für Konstruktionslehre an der TU Berlin, mit den Schwerpunkten Antriebstechnik und Beanspruchungsgerechtes Konstruieren, Lebensdauer- und Zeitfestigkeitsfragen. Dr.-Ing. Andreas K. Müller studierte an der Hochschule Heilbronn im Studiengang Mechatronik- und Mikrosystemtechnik. Nach seinem Studium war er als wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Hochschule Heilbronn tätig und promovierte 2006 an der TU Ilmenau an der Fakultät für Maschinenbau auf dem Fachgebiet der Polymertechnik. Seit 2008 ist er für die DuPont de Nemours (Deutschland) GmbH im Geschäftsbereich Performance Polymers für die Verarbeitungs- und Anwendungstechnik zuständig. Tamara Nestorovi´c 1989–1994 Studium des Maschinenbaus an der Universität in Niš, Serbien. 2001–2005 Wissenschaftliche Mitarbeiterin, Fakultät für Maschinenbau, Universität Niš. 2000 Magisterabschluss, Regelungstechnik. 2001–2005 Wissenschaftliche Mitarbeiterin und Promotion an der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg. 2005–2006 Projektleiterin, Fraunhofer-Institut für Fabrikbetrieb und -automatisierung IFF Magdeburg. 2006–2008 Projektleiterin, DFG Eigene Stelle, Otto-von-Guericke- Universität Magdeburg. Seit 2008 Universitätsprofessorin für Mechanik adaptiver Systeme, Ruhr-Universität Bochum. Seit 2015 Leiterin des Instituts für Computational Engineering, Ruhr-Universität Bochum. Forschungsschwerpunkte: Smart Structures and Systems, Regelungsmethoden für den Entwurf intelligenter Strukturen, Aktive Schwingungsreduktion, Optimierung und Identifikation, Structural Health Monitoring.

Verzeichnis der Herausgeber und Autoren

CIII

Rainer Nordmann wurde 1974 an der TU-Darmstadt zum Dr.-Ing. promoviert. Thema: Ein Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte und Eigenformen großer Turbomaschinen. Von 1980–1995 war er Professor für Maschinendynamik an der Universität Kaiserslautern. Von 1995 bis 2008 leitete er an der TU Darmstadt das Fachgebiet für Mechatronik im Maschinenbau. Seine Forschungsarbeiten lagen im Bereich der Mechatronik für rotierende Maschinen. Matthias Oechsner, geb. 1967, studierte von 1990–1995 Maschinenbau an der Universität Karlsruhe. Im Jahr 2000 promovierte er auf dem Gebiet der Zuverlässigkeitsbewertung von keramischen Wärmedämmschichtsystemen. Von 1997 bis 2010 war er in der Industrie in der Entwicklung und der Fertigung von stationären Gasturbinen in Deutschland, USA und China tätig. Seit 2010 ist er Leiter des Instituts für Werkstoffkunde und der Staatlichen Materialprüfungsanstalt an der Technischen Universität Darmstadt. Michael Rhode Bundesanstalt für Materialforschung und -prüfung (BAM), Berlin, Deutschland Hans-Joachim Schulz Berlin, Deutschland Helmut Schürmann, Jahrgang 1950, studierte Maschinenbau/Flugzeugbau an TU Braunschweig und promovierte an der Universität Kassel über das Thema „Gezielt eingebrachte Eigenspannungen in Faser-Kunststoff-Verbunde“. Er war Leiter einer Forschungs- und Entwicklungsabteilung eines deutschen Chemieunternehmens. 1994 erhielt er eine Professur an der Technischen Universität Darmstadt, Fachbereich Maschinenbau. Lehr- und Forschungsschwerpunkt seines Fachgebiets, das er bis 2016 leitete, war der Leichtbau mit FaserKunststoff-Verbunden. Es wurden insbesondere Konstruktionsmethoden und Krafteinleitungsprobleme bearbeitet.

CIV

Verzeichnis der Herausgeber und Autoren

Karl Stephan 1959 Dr.-Ing. Universität (TH) Karlsruhe, 1963 Habilitation, 1963–1967 Leiter der Abteilung Wärme- und Strömungstechnik Mannesmann AG Duisburg. 1967–1970 ordentlicher Prof. an der Technischen Universität Berlin, 1970–1975 an der Ruhr-Universität Bochum. 1975–1996 o. Professor und Direktor des Instituts für Thermodynamik u. Thermische Verfahrenstechnik Universität Stuttgart, 1996 emeritiert. Zahlreiche Veröffentlichungen über Themen der Wärme- und Stoffübertragung und der Thermischen Verfahrenstechnik. Autor und Mitautor mehrerer Fachbücher. Zahlreiche wissenschaftliche Preise, Ehrendoktor der TU Berlin und der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg. Peter Stephan studierte Maschinenwesen an der Technischen Universität München. Nach einem Forschungsaufenthalt als Marie-Curie-Stipendiat am Joint Research Centre Ispra wurde er 1992 promoviert. Von 1992 bis 1997 war er bei DaimlerBenz tätig. Seit 1997 ist er ordentlicher Professor für Technische Thermodynamik an der Technischen Universität Darmstadt. Seine Forschungsschwerpunkte liegen auf den Gebieten Verdampfung, Mikrowärmeübertragung, Grenzflächenphänomene, Wärmerohrtechnologie und Thermalanalyse. Er erhielt zahlreiche Preise für seine Arbeiten, u. a. 2012 den Nukiyama Memorial Award der Heat Transfer Society of Japan. Er ist Vorsitzender des Redaktionsausschusses des VDI-Wärmeatlas. Joachim Villwock Studium der Luft- und Raumfahrttechnik an der TU Berlin. Promotion an der TU Berlin am 2. Institut für Mechanik. Ab 1997 in diversen Tätigkeiten bei Rolls-Royce Deutschland für die Entwicklung von Luftfahrtantrieben tätig. Seit 2004 Professor an der Beuth Hochschule (ehemals TFH) im Fachbereich Maschinenbau, Veranstaltungstechnik, Verfahrenstechnik. Vorlesungen über Mechanik, Maschinenelemente und Finite-Elemente Methoden.

Verzeichnis der Herausgeber und Autoren

CV

Mathias Woydt, geb. 1963, studierte Werkstoffwissenschaften und Metallurgie an der Technische Universität Berlin, promovierte 1989 zum Dr.-Ing. an der Technischen Universität Berlin und war langjähriger Leiter des Fachgebietes „Tribologie und Verschleißschutz“ an der BAM. Das Innovationsmanagement für disruptive Technologie umfasste die Arbeitsschwerpunkte alternativer Schmierstoffe und Bioschmierstoffe, alternative Werkstoffe, Beschichtungen, Keramiken und Hartmetalle zum jeweiligen Stand der Technik sowie die Normung und Weiterentwicklung der Tribometrie, welche in über 51 Prioritätspatentanmeldung und in über 350 Publikationen niedergelegt sind. Verleihung des Award of Excellence der ASTM. Mitglied in Vorstand der Gesellschaft für Tribologie.

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Teil I Mathematik

Die Struktur des Kapitels beruht inzwischen wieder weitgehend auf den Ausführungen von U. Jarecki und H.-J. Schulz, die bis 2011 in einem separaten Buch Dubbel Mathematik publiziert worden sind. Enthalten ist die gesamte Mathematik für Ingenieure. Bis zur 25. Auflage umfasste der Mathematikteil des Dubbel von P. Ruge und N. Wagner lediglich ausgewählte Ergänzungen zur höheren Mathematik. Dabei wurde der Schwerpunkt auf Numerische Methoden gelegt, die in den Igenieurwissenschaften zahlreiche Anwendungen finden. Dazu zählen insbesondere Eigenwertprobleme, Anfangswertprobleme aber auch Optimierungsprobleme. Durch die Integration dieser Teilaspekte steht ab dieser Auflage nun wieder ein umfassendes Nachschlagewerk zur Verfügung. Alle Abschnitte sind durch zahlreiche Beispiele angereichert, die konkrete Lösungen für konkrete Probleme aufzeigen. In der Praxis sind konkrete Lösungen häufig nur näherungsweise darstellbar; das ist kein grundsätzlicher Mangel, falls gesicherte Abschätzungen über den Fehler möglich sind. Die rasante Entwicklung der Leistungsfähigkeit moderner Computer eröffnet die Analyse immer komplexerer Problemfelder auch und gerade in den Ingenieurwissenschaften. Im interdisziplinären Spannungsfeld von Mathematik, Informatik, Ingenieur- und Naturwissenschaften entstanden neue Fachgebiete wie das Scientific Computing, Cryptography, Machine Learning, Artificial Intelligence und Uncertainty Quantification, um nur einige zu nennen. Im Kern dieser Bemühungen stehen zum einen die Entwicklung leistungsfähiger numerischer Algorithmen; zum anderen aber auch Aussagen über Genauigkeit, Konvergenz und numerische Stabilität. Dies sind zutiefst mathematische Begriffe, die bis in die Funktionalanalysis führen. Aus diesen wenigen Aussagen wird die stetige Fortentwicklung auch der Ingenieurmathematik deutlich. So wie die Theorie und Anwendung der Integraltransformationen, der Tensoren und Matrizen Eingang gefunden haben in die Ingenieurwelt, wird auch die Funktionalanalysis an Bedeutung gewinnen. Zugenommen hat auch die Verfügbarkeit von Mathematik in Form von freien und kommerziellen Softwarepaketen. Wesentliche Bedeutung für die Anwendungen im Maschinenbau haben neben den elementaren Grundlagen die Matrizen und Tensoren, die Integraltransformationen, die Variationsrechnung einschließlich verallgemeinerter Optimierungsstrategien und schließlich alle numerischen Verfahren. Dazu

2

gehören sowohl die Diskretisierung kontinuierlicher Probleme in Ort und Zeit mittels effektiver Integrationsverfahren als auch die anschließende Lösung algebraischer Gleichungen. Daneben gibt es das eigenständige Fachgebiert der Statistik unnd der weiterführenden Wahrscheinlichkeitslehre. Zu allen Themenkreisen sind spezielle Literaturhinweise aufgelistet, die das Selbststudium erleichtern sollen.

1

Mengen, Funktionen und Boolesche Algebra Uller Jarecki

1.1 Mengen 1.1.1 Mengenbegriff Die Menge ist als eine Gesamtheit von verschiedenen Objekten mit gemeinsamen Eigenschaften erklärt. Die grundlegende Beziehung zwischen Mengen M und ihren Elementen m ist die Relation des Enthaltenseins mit dem Symbol 2: m2M

m ist Element von M;

m 62 M

m ist nicht Element von M:

Endliche Mengen können durch Aufzählung ihrer Elemente in einer Mengenklammer erklärt sein, z. B. M D f1, 2, 3g. Einelementige Mengen, z. B. fag, sind von ihrem Element, z. B. a, zu unterscheiden. Die leere Menge f g oder ; enthält kein Element. Unendliche Mengen werden durch die Eigenschaften ihrer Elemente gekennzeichnet. Bedeutet G(x) die Aussageform „x ist gerade Zahl“, so wird die Menge G der geraden Zahlen dargestellt durch

Abb. 1.1 Venn-Diagramm

1.1.2

Mengenrelationen

Teilmengenrelation A  B (Abb. 1.1b). A ist Teilmenge von B oder B ist Obermenge von A, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. So ist die Menge der natürlichen Zahlen Teilmenge der ganzen Zahlen. Es gelten die Eigenschaften ;  A; A  AI aus A  B und B  C folgt A  C:

Gleichheitsrelation A DB. Die Mengen A und B heißen gleich, wenn sie die gleichen Elemente Mengen werden durch Punktmengen in der enthalten. Jedes Element von A ist in B und jeEbene, z. B. Kreise (Abb. 1.1), veranschaulicht des Element von B ist in A enthalten. Also A D B (Venn-Diagramm). Auf Abb. 1.1a ist der Punkt genau dann, wenn AB und B A. a ein Element der Menge A, während der Punkt b Beispiele nicht zu A gehört. G D fx j G.x/g D fx j x ist gerade Zahlg:

U. Jarecki () Berlin, Deutschland

f1I 2g D f2I 1g D fx j .x  1/.x  2/ D 0g; fx j x 2 > 1g D fx j x > 1 oder x < 1g: J

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_1

3

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U. Jarecki

Potenzmenge P.X /. Sie ist definiert als Men- Komplement CA (Abb. 1.1g). Ist A Teilmenge ge aller Teilmengen von X, also A 2 P.X / ist einer Grundmenge X, so ist CA D X/A. gleichbedeutend mit A  X. Beispiel

1.1.3 Mengenverknüpfungen Durchschnitt A \ B (Abb. 1.1c). Er ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören. A \ B D fx j x 2 A und x 2 Bg:

Bedeutet R die Menge der reellen Zahlen und ist A D fxjx 5 0g  R, dann lautet das Komplement CA D R n A D fx j x > 0g: J

1.1.4

Das kartesische oder Kreuzprodukt

Beispiele

fa; b; cg \ fb; d g D fbg; fx j x = 1g \ fx j x 5 2g D fx j 1 5 x 5 2g: J

Das Kreuzprodukt A × B zweier Mengen A und B ist erklärt als die Menge aller geordneten Paare (a, b) mit a 2 A und b 2 B, A  B D f.a; b/ja 2 A und b 2 Bg;

Vereinigung A [ B (Abb. 1.1d). Sie ist die wobei A und B als Faktoren bezeichnet werden. Menge aller Elemente, die mindestens in einer Im allgemeinen ist A × B ¤ B × A. a und b heißen der beiden Mengen A und B enthalten sind. Koordinaten des Paares (a, b). Zwei Paare (a, b) und (x, y) sind genau dann gleich, wenn x D a und A [ B D fx j x 2 A oder x 2 Bg: y D b. Beispiele

Beispiel

fa; b; cg [ fa; d g D fa; b; c; d g; fx j 0 5 x 5 2g [ fx j 1 5 x 5 1g D fx j 1 5 x 5 2g: J Differenz A n B (Abb. 1.1e). Sie ist die Menge aller Elemente, die zu A und nicht zu B gehören. A n B D fx j x 2 A und x 62 Bg: Beispiele

fa; b; cg n fb; d g D fa; cg; fx j x 5 1g n fx j x < 0g D fx j 0 5 x 5 1g: J

Ist R die Menge der reellen Zahlen, dann besteht die Menge R2 D R  R D f.x; y/jx 2 R und y 2 Rg aus den geordneten Zahlenpaaren (x, y), die als Punkte in der Ebene dargestellt werden können, wobei x und y die kartesischen Koordinaten des Punktes (x, y) bedeuten. J Das Kreuzprodukt aus den A1 ; A2 ; A3 ; : : : ; An ist erklärt durch

n-Mengen

A1  A2  : : :  An D f.a1 ; a2 ; : : : ; an /ja1 2 A1 und a2 2 A2 : : : und an 2 An g:

Diskrepanz A4B (Abb. 1.1f) oder symmetrische Differenz. Sie ist die Menge aller Elemente, die zu A und nicht zu B oder die zu B und nicht zu A gehören.

Seine Elemente .a1 ; a2 ; : : : ; an / heißen geordnete n-Tupel mit den Koordinaten a1 ; a2 ; : : : ; an . Zwei n-Tupel sind genau dann gleich, wenn ihre Koordinaten gleich sind. Sind alle n Faktoren gleich A, so ist

A4B D .A n B/ [ .B n A/

A  A  A  : : :  A D An :

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Mengen, Funktionen und Boolesche Algebra

1.2 Funktionen

5 Abb. 1.2 Bild f (A)

1

Ist jedem Element einer Menge X genau ein Element einer Menge Y zugeordnet, so wird eine solche Zuordnung als eine Funktion f auf der Menge X mit Werten in der Menge Y bezeichnet und geschrieben Abb. 1.3 Urbild f 1 .B/

f W X ! Y

f

!Y oder X 

.f bildet X in Y ab/: Funktion und Abbildung sind synonyme Begriffe. Für Y D X bildet f die Menge X in sich ab. X ist die Definitions-, Urbild- oder Argumentmenge oder Wertemenge lautet also exp: R!R oder von f , ihre Elemente heißen Urbilder, Argumente exp oder auch unabhängige Veränderliche (Variable). R ! R bzw. B.exp/ D fy j y > 0g  R. Das jedem Element x 2 X durch die Funktion f Der Graph der Exponentialfunktion exp lautet eindeutig zugeordnete Element y 2 Y heißt Wert Œexp D f.x; y/jx 2 R und y D exp.x/g D oder Bild der Funktion an der Stelle x und wird f.x; exp.x//jx 2 Rg. J mit f (x) bezeichnet. Symbolisch wird dies ausgeZwischen einer Funktion f : X ! Y, die X in Y drückt durch x 7! f (x) oder x 7! y D f (x). Bild der Funktion f auf X ist die Menge abbildet, und ihren Werten f (x) muss klar unterschieden werden. Für die Funktion f gilt: B.f / D ff .x/jx 2 Xg  Y: Bild f .A/ der Menge AX (Abb. 1.2) heißt die Menge f (A) D fyj y D f (x) und Sie enthält alle Bilder oder Werte der Funktion x 2 Ag D ff (x)|x 2 AgY. Sie enthält alle Elemenf auf X. Graph [f ] einer Funktion f auf X mit te y 2 Y, die Bild eines Elements x 2 A sind. Für Werten in Y ist die Menge [f ] D f(x, y)|x 2 X und f (X) D Y heißt die Funktion f surjektiv. y D f (x)g D f(x, f (x)|x 2 Xg. Sie enthält als Elemente alle geordneten Paare (x, y), bei denen die Urbild oder inverses Bild f 1 .B/ von BY erste Koordinate x Argument von f und die zwei(Abb. 1.3) ist die Menge f 1 .B/ D fx j f .x/ 2 te Koordinate y Wert von f an der Stelle x ist. Bg  X. Sie enthält alle Urbilder x, deren Bild Sind insbesondere X und Y Teilmengen der ref (x) Element von B ist. Für den Sonderfall, dass ellen Zahlen, X  R und Y  R, so ist der Graph B D fbg eine einelementige Menge ist, lautet das [f ] eine Menge von geordneten Zahlenpaaren, die Urbild f 1 .fbg/ oder kürzer f 1 .b/ D fx j als Punkte in der Ebene veranschaulicht werden f .x/ D bg (Menge aller Urbilder x mit dem können. Dies ist ein gebräuchliches Verfahren, Bild b). Enthält f 1 .y/ für jedes y 2 Y höchstens um eine reellwertige Funktion mit reellem Arguein Element, so heißt die Funktion f eineindeutig, ment graphisch als Punktemenge darzustellen. eindeutig umkehrbar oder injektiv. Surjektive und injektive Funktionen heißen biBeispiel jektiv. Bei einer bijektiven Funktion f : X ! Y Durch die Gleichung y D e x ist jeder reellen ist jedem Element y 2 Y genau ein Urbild x 2 X Zahl x genau eine reelle Zahl y zugeordnet. mit y D f (x) zugeordnet. Dem entspricht eine Hierdurch wird die Exponentialfunktion exp Funktion auf Y mit Werten in X. Diese Funktidefiniert. Definitionsmenge ist die Menge R on heißt inverse Funktion oder Umkehrfunktion der reellen Zahlen. Die Werte der Funktion von f und wird symbolisch ausgedrückt durch sind ebenfalls reelle Zahlen. Die symboli- f 1 W Y ! X. Ihre Definitionsmenge ist die sche Darstellung der Funktion bzw. ihrer Bild- Bildmenge von f , und ihre Bildmenge ist die De-

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U. Jarecki

finitionsmenge von f . Es gelten die Identitäten f 1 .f .x// D x

für alle x 2 X;

f .f 1 .y// D y

für alle y 2 Y:

 Adjunktivität a C .a  b/ D a

a  .a C b/ D a

(1.4)

 Komplementarität

Zwei Funktionen heißen gleich, wenn sie den a C aN D 1 a  aN D 0 gleichen Definitionsbereich und für jedes Argu Idempotenz ment die gleichen Werte haben. aCa Da

Beispiel

aa Da

(1.5)

(1.6)

Ist R die Menge der reellen Zahlen und RC  Regel von de Morgan die Menge der positiven reellen Zahlen, so a C b D aN  bN a  b D aN C bN (1.7) ist die Exponentialfunktion exp: R ! RC eine eineindeutige Abbildung der Menge der aC0Da a1Da (1.8) reellen Zahlen auf die Menge der positiven aC1D1 a0D0 (1.9) reellen Zahlen und hat dementsprechend ei0N D 1 1N D 0 (1.10) ne Umkehrfunktion exp1 W RC ! R, die als Logarithmusfunktion bezeichnet und mit dem .a/ N Da (1.11) Symbol „ln“ gekennzeichnet wird. J Jede der Gln. (1.1) bis (1.10) hat ihre „duale“ Form, die durch Tausch der Verknüpfungssymbo1.3 Boolesche Algebra le „+“ und „“ einerseits und der ausgezeichneten Elemente 0 und 1 andererseits entsteht. Dieses 1.3.1 Grundbegriffe Dualitätsprinzip gilt für alle Gleichheiten und Sätze der Booleschen Algebra, die sich ebenso Einer Booleschen Algebra liegt eine Menge B wie die Gln. (1.6) bis (1.11) aus den Gln. (1.1) mit mindestens zwei ausgezeichneten Elementen bis (1.5) ableiten lassen. 0 und 1 zugrunde, auf der eine unäre VerknüpEin Beispiel für eine Boolesche Algebra ist fung, die Komplementierung mit dem Symbol die Potenzmenge P.X/ einer beliebigen Grund„ N “, zwei binäre Verknüpfungen, die Addition menge X, auf der die unäre Verknüpfung als mit Symbol „+“ und die Multiplikation mit dem Komplement einer Menge aus P.X/ und die beiSymbol „“, erklärt sind, sodass für beliebige Ele- den binären Verknüpfungen als Durchschnitt und mente a, b, c 2 B die Eigenschaften gelten: Vereinigung von zwei Mengen aus P.X/ erklärt sind. Die ausgezeichneten Elemente sind die lee Kommutativität re Menge ¿ und die Grundmenge X. aCb DbCa

ab Dba

 Assoziativität .a C b/ C c D a C .b C c/ .a  b/  c D a  .b  c/  Distributivität a C .b  c/ D .a C b/  .a C c/ a  .b C c/ D .a  b/ C .a  c/

(1.1)

1.3.2

Zweielementige Boolesche Algebra

Es wird eine Menge B mit zwei Elementen, die (1.2) dann notwendig die ausgezeichneten Elemente 0 und 1 sind, zugrunde gelegt. Konkrete Modelle sind die Aussagen- und die Schaltalgebra, wobei die Elemente 0 und 1 die Aussagenwerte „falsch“ und „wahr“ bzw. die Schaltwerte „aus“ und „ein“ (1.3) bedeuten.

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Mengen, Funktionen und Boolesche Algebra

Tab. 1.1 Boolesche Funktionen Negation .N/ (a: N nicht a) a aN 0 L L 0

Disjunktion ._/ (a _ b: a oder b) a b a_b 0 0 0 0 L L L 0 L L L L

Konjunktion .^/ (a ^ b: a und b) a b a^b 0 0 0 0 L 0 L 0 0 L L L

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Wertetripel .L; 0; L/ den Funktionswert A D f .L; 0; L/ D .LN _ 0/ ^ L D .0 _ 0/ ^ L D 0N ^ L D L ^ L D L zu. J Allgemein wird als n-stellige Boolesche Funktion f auf der Menge B D f0; Lg eine Abbildung aller n-Tupel .E1 ; E2 ; : : : ; En / mit Ei 2 B in die Menge B bezeichnet, symbolisch

Schaltalgebra f W B  B  B  : : :  B ! B: Hier werden die ausgezeichneten Elemente mit n-mal 0 und L bezeichnet, sodass B D f0; Lg. Ein Buchstabe, z. B. x, der durch die Elemente 0 oder L ersetzt werden kann, heißt Schaltvariable. Da die Ei .i D 1; 2; : : : ; n/ nur die beiden Werte Folgende Bezeichnungen und Symbole werden 0 oder L annehmen, enthält die Definitionsmenge 2n verschiedene n-Tupel, denen durch f genau eiverwendet: ner der beiden Werte 0 oder L zugeordnet ist. Es n Komplementierung . N / W gibt also 2.2 / verschiedene n-stellige Boolesche Funktionen auf B. Negation „ “ oder „:“: Für n D 2 ergeben sich 16 zweistellige BooleAddition .C/ W sche Funktionen. Von ihnen sind außer der OderOder-Verknüpfung oder Disjunktion „ _ “: Funktion f .a; b/ D a _ b und der Und-FunkMultiplikation ./ W tion f .a; b/ D a ^ b noch von Bedeutung: (s. Tab. 1.2). Und-Verknüpfung oder Konjunktion „ ^ “: Hiernach ist die Nand-Verknüpfung die NegaIhre Definitionen auf der Menge B D f0; Lg er- tion der Und-Verknüpfung und die Nor-Verknüpgeben sich aus den Gln. (1.8) bis (1.10). Siehe fung die Negation der Oder-Verknüpfung. Die Tab. 1.1. vorstehenden Funktionen lassen sich mit Hilfe Der Schaltalgebra liegen Netzwerke zugrun- der Grundverknüpfungen „ “, „_“, „^“ folgende, bei denen eine Anzahl von Schaltern mit dermaßen darstellen: den Variablen Ei 2 f0; Lg .i D 1; 2; 3; : : : ; n/ N teils parallel, hintereinander geschaltet oder geN D a ^ b D aN _ b; Nand-Funktion a^b koppelt ist. Dem entspricht eine n-stellige VerN N D a _ b D aN ^ b; Nor-Funktion a_b knüpfung der Schaltvariablen Ei durch die SymImplikation a  b D aN _ b; bole „^“, „_“, „ “, über die jedem n-Tupel N .E1 ; E2 ; : : : ; En / mit Ei 2 f0; Lg genau eiÄquivalenz a  b D .a ^ b/ _ .aN ^ b/; ner der Werte aus f0; Lg, nämlich der SchaltAntivalenz a 6 b D a  b wert des Netzwerks, zugeordnet ist. Ein solN ^ .a _ b/ D .aN _ b/ ches Netzwerk wird durch eine Schaltfunktion N _ .aN ^ b/: A D f .E1 ; E2 ; : : : ; En / mit den EingangsgröD .a ^ b/ ßen Ei 2 f0; Lg und der Ausgangsgröße A 2 f0; Lg beschrieben. Daher heißt die Negation Allgemein ist jede n-stellige Boolesche Funkauch Nicht-, die Disjunktion Oder- und die Kon- tion auf B D f0; Lg mit Hilfe der Grundverknüpjunktion Und-Funktion (s. Tab. 1.1). fungen darstellbar. Sind E1 ; E2 ; E3 ; : : : ; En die Variablen einer n-stelligen Funktion, dann heißen Beispiel

Die durch A D f .E1 ; E2 ; E3 / D .EN 1 _ E2 /^ E3 definierte Funktion f ordnet dem

X1 ^ X2 ^ X3 ^ : : : ^ Xn bzw. X1 _ X2 _ X3 _ : : : _ Xn ;

1

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U. Jarecki

Tab. 1.2 Weitere Boolesche Funktionen Nand-Verknüpfung N (^) N a nand b) (a^b: a 0 0 L L

b 0 L 0 L

N a^b L L L 0

Nor-Verknüpfung N (_) N a nor b) (a_b: a 0 0 L L

b 0 L 0 L

N a_b L 0 0 0

Implikation () (a  b: a impliziert b) a b 0 0 0 L L 0 L L

bei denen an Stelle von Xi entweder Ei oder EN i steht, ihr konjunktives bzw. disjunktives Elementarglied. Sie nehmen genau für eine Belegung der Variablen mit 0 oder L den Wert L bzw. 0 an. So nimmt das konjunktive bzw. disjunktive Elementarglied EN 1 ^ E2 ^ EN 3 bzw. EN 1 _ E2 _ EN 3 genau dann den Wert L bzw. 0 an, wenn E1 D 0; E2 D L, E3 D 0 bzw. E1 D L, E2 D 0, E3 D L oder kürzer, wenn .E1 ; E2 ; E3 / D .0; L; 0/ bzw. .E1 ; E2 ; E3 / D .L; 0; L/. Ist nun f eine Funktion, die mindestens für eine Belegung der Variablen den Wert L annimmt, so werden für alle n-Tupel .E1 ; E2 ; : : : ; En / mit f .E1 ; E2 ; : : : ; En / D L die konjunktiven Elementarglieder gebildet, sodass diese genau für ihre entsprechenden n-Tupel den Wert L annehmen. Die disjunktive Verknüpfung dieser Elementarglieder stellt dann die Funktion f dar. Diese Darstellung heißt disjunktive Normalform der Funktion f . Vollkommen analog lässt sich eine Funktion, die mindestens einmal den Wert 0 annimmt, in der konjunktiven Normalform darstellen, die aus der Konjunktion von disjunktiven Elementargliedern besteht. Beispiel

Die dreistellige Boolesche Funktion f auf B D f0; Lg sei durch die Tabelle erklärt.

Antivalenz (6)

Äquivalenz ()

(a  b: a äquivalent b) ab a b ab L 0 0 L L 0 L 0 0 L 0 0 L L L L

(a 6 b: a antivalent b) a b 0 0 0 L L 0 L L

a 6 b 0 L L 0

Sie nimmt für die folgenden 3-Tupel .0; 0; L/, .L; 0; 0/, .L; L; 0/ den Wert L an. Die entsprechenden konjunktiven Elementarglieder lauten EN 1 ^ EN 2 ^ E3 , E1 ^ EN 2 ^ EN 3 , E1 ^ E2 ^ EN 3 . Die disjunktive Verknüpfung dieser Elementarglieder liefert die disjunktive Normalform der Funktion f . f .E1 ; E2 ; E3 / D .EN 1 ^ EN 2 ^ E3 / _ .E1 ^ EN 2 ^ EN 3 / _ .E1 ^ E2 ^ EN 3 /: Für die konjunktive Normalform werden alle 3-Tupel mit dem Funktionswert 0 betrachtet. Diese sind .0; 0; 0/; .0; L; 0/; .0; L; L/; .L; 0; L/; .L; L; L/: Die entsprechenden disjunktiven Elementarglieder sind E1 _ E2 _ E3 ; E1 _ EN 2 _ E3 ; E1 _ EN 2 _ EN 3 ; EN 1 _ E2 _ EN 3 ; EN 1 _ EN 2 _ EN 3 : Ihre konjunktive Verknüpfung liefert die konjunktive Normalform f .E1 ; E2 ; E3 / D .E1 _ E2 _ E3 / ^ .E1 ^ EN 2 ^ E3 / ^ .E1 ^ EN 2 ^ EN 3 / ^ .EN 1 ^ E2 ^ EN 3 / ^ .EN 1 _ EN 2 _ EN 3 /: J

1

Mengen, Funktionen und Boolesche Algebra

9

Die Funktion f in der disjunktiven Normal- Allgemeine Literatur form wird wie folgt vereinfacht: Bücher Alexandroff, P.S.: Lehrbuch der Mengenlehre. 6. Auflage f .E1 ; E2 ; E3 / 1994, Deutsch. D .EN 1 ^ EN 2 ^ E3 / _ .E1 ^ EN 2 ^ EN 3 / Böhme, G.: Anwendungsorientierte Mathematik. Bd. 1: _ .E1 ^ E2 ^ EN 3 / D .EN 1 ^ EN 2 ^ E3 / _ Œ.E1 ^ EN 3 / ^ .E2 _ EN 2 / s. Distributivität a.b C c/ D ab C ac mit a D E1 ^ EN 3 ; b D E2 und c D EN 2 I D .EN 1 ^ EN 2 ^ E3 / _ Œ.E1 ^ EN 3 / ^ L s. Komplementarität a C aN D 1I D .EN 1 ^ EN ^ E3 / _ .E1 ^ EN 3 / aus a  1 D 1 mit a D E1 ^ EN 3 :

Algebra. 7. Auflage 1992, Springer. Klaua, D.: Mengenlehre. 1997, de Gruyter. Mangoldt, von; Knopp; Lösch: Höhere Mathematik. Bd. I: Zahlen, Funktionen, Grenzwerte, Analytische Geometrie, Algebra, Mengenlehre 17. Auflage 1990, Bd. IV: Mengenlehre, Lebesguesches Maß und Integral, topologische Räume, Vektorräume, Funktionalanalysis, Integralgleichungen. 4. Auflage 1990, Hirzel. Mendelson, E.: Boolesche Algebra und Logische Schaltungen. 1982, Hanser.

Normen und Richtlinien DIN1302: Mathematische Zeichen.

1

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2

Zahlen Uller Jarecki

2.1 Reelle Zahlen

2.1.2

Grundgesetze der reellen Zahlen

2.1.1 Einführung

Algebraische Eigenschaft. Auf der Menge R der reellen Zahlen sind die folgenden Verknüpfungen zweier Zahlen a und b definiert: Addition (+) mit der Summe a C b 2 R, wobei die Eigenschaften gelten: für beliebige Zahlen a, b, c

Die reellen Zahlen zeichnen sich durch Grundeigenschaften aus, nämlich eine algebraische, eine Ordnungs- und eine topologische Eigenschaft, die auf der Zahlengeraden (Abb. 2.1) deutbar sind. Jeder reellen Zahl a kann genau ein Punkt P(a) oder kurz a auf der Zahlengeraden zugeord- a C b D b C a; .a C b/ C c D a C .b C c/I net werden, wobei insbesondere der Zahl 0 der zu zwei beliebigen Zahlen a und b gibt es genau Ursprung O und der Zahl 1 der Einheitspunkt E eine Zahl x, sodass gilt: entspricht. Umgekehrt entspricht jedem Punkt P auf der Geraden genau eine reelle Zahl, die die a C x D b; Koordinate des Punkts P heißt. x D b  a heißt die Differenz von b und a: Die Menge der reellen Zahlen wird mit R bezeichnet. Besondere Teilmengen von R sind Multiplikation () mit dem Produkt a  b D ab 2 R, wobei die Eigenschaften gelten: für beliebige N D f1; 2; 3; : : :g natürliche Zahlen, Zahlen a, b, c Z D f0; ˙1; ˙2; : : :g ganze Zahlen, ab D ba; .ab/c D a.bc/; Q D fp=qjp 2 Z und q 2 N; a.b C c/ D ab C acI p und q teilerfremdg rationale Zahlen. zu jeder Zahl a ¤ 0 und zu jeder Zeit b gibt es genau eine Zahl x, sodass gilt: Abb. 2.1 Zahlengerade

ax D b; x D b=a

heißt der Quotient von b und a:

Hieraus ergeben sich alle elementaren Rechenregeln wie b C .a/ D b  a; U. Jarecki () Berlin, Deutschland

 .a  b C c/ D a C b  c; a  0 D 0;

a  1 D a;

a C .a/ D 0;

a.b  c/ D ab  acI

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_2

13

14

U. Jarecki

ab D 0 genau dann, wenn a D 0 oder b D 0; a a a WcD ;  b bc b a c a d W D  D b d b c c a˙c a ˙ D ; b b b

c ac D ; d bd ad ; bc a c ad ˙ bc ˙ D : b d bd

Abb. 2.2 Intervallschachtelung

Topologische Eigenschaft. Jede Intervallschachtelung bestimmt genau eine reelle Zahl. Sind a 5 b zwei reelle Zahlen, dann heißen die Zahlenmengen

fx j a 5 x 5 bg D Œa; b abgeschlossene; Ordnungseigenschaft. In der Menge R ist eine Ordnungsrelation 5 (kleiner oder gleich) defi- fx j a < x < bg D .a; b/ offene; niert mit den Eigenschaften fx j a 5 x < bg D Œa; b/ und fx j a < x 5 bg D .a; b halboffene Intervalle.

 Reflexivität a 5 a;  Antisymmetrie Wenn a 5 b und b 5 a; so a D b  Transitivität

a und b sind ihre Randpunkte, und b  a ist ihre Länge. Für eine beliebige reelle Zahl a heißen die Zahlenmengen  unbeschränkte halboffene fx j a 5 xg D Œa; 1/ und

Wenn a 5 b und b 5 c; so a 5 c Für beliebige a, b 2 R gilt a 5 b oder b 5 a.

fx j x 5 ag D .1; a  sowie unbeschränkte offene Intervalle

a < b (a kleiner b) ist erklärt durch a 5 b und a ¤ b.

fx j a < xg D .a; 1/ und fx j x < ag D .1; a/:

Ist a = 0 bzw. a > 0;

Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von abgeschlossenen Intervallen In D Œan ; bn  mit an 5 Ist a 5 0 bzw. a < 0; anC1 5 bnC1 5 bn für jedes n 2 N, wobei die Indann heißt a nichtpositiv bzw. negativ. tervallängen bn  an eine Nullfolge bilden. Auf der Zahlengeraden schrumpfen die Intervalle auf In Verbindung mit den algebraischen Verknüpeinen Punkt zusammen (Abb. 2.2), dem eine refungen gilt: elle Zahl c zugeordnet ist. dann heißt a nichtnegativ bzw. positiv.

Wenn a 5 b; so a C c 5 b C c für beliebiges c: Wenn 0 5 a und 0 5 b; so 0 5 a  b: Hieraus folgt z. B. a2 = 0 für beliebige a 2 R: Wenn a < b und c > 0; so ac < bc: Wenn a < b und c < 0; so ac > bc:

Beispiel

Die Folge mit den Intervallen In D Œ.1 C 1=n/n ; .1 C 1=n/nC1 n D 1; 2; 3; : : : ist eine Intervallschachtelung, welche die Zahl e D 2,7182818 : : : bestimmt, sodass für alle n 2 R .1 C 1=n/n 5 e 5 .1 C 1=n/nC1 gilt. Die Randpunkte der Intervalle sind rationale Zahlen; sie sind approximative Werte für die irrationale Zahl e. J

2 Zahlen

15

2.1.3 Der absolute Betrag

Für sie gelten die Ungleichungen

H.ai / 5 G.ai / 5 A.ai / 5 Q.ai /: Der absolute Betrag (Modul) einer reellen Zahl a ist definiert durch Ist min ai die kleinste und max ai die größte der ( Zahlen ai , so gilt min ai 5 H.ai / und Q.ai / 5 a für a = 0 max ai : jaj D oder a für a 5 0 Bernoullische und Cauchy-Schwarzsche Ungleichungen: jaj D max.a; a/; .1 C x/n = 1 C nx für 1 C x = 0 und wobei max.a; b/ die größte der beiden Zahlen n D 1; 2; 3; : : : ; a und b bedeutet. Geometrisch kennzeichnet jaj n .1 C x/ > 1 C nx für 1 C x > 0 und den Abstand des Punkts a vom Ursprung und n D 2; 3; 4; : : : ; jb-aj den Abstand der beiden Punkte a und b. Es gelten jaj = 0 für alle a 2 R und j aj D 0 genau und dann, wenn a D 0. .a1 b1 C a2 b2 C : : : C an bn /2 j  aj D jaj; jabj D jajjbj; 5 .a2 C a2 C : : : C a2 /.b 2 C b 2 C : : : C b 2 /: ja W bj D jaj W jbj; jaj 5 a 5 jaj; jjaj  jbjj 5 ja C bj 5 jaj C jbjI jaj < c genau dann, wenn c < a < c (c > 0).

2.1.4 Mittelwerte und Ungleichungen Sind ai für i D 1; 2; 3; : : : ; n mit n = 2 positive Zahlen, so sind für sie die Mittelwerte erklärt:

2

n

A.ai / D .a1 C a2 C : : : C an /=n;  geometrisch G.ai / D

p n

a1 a2 a3 : : : an ;

1

2

n

2.1.5 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Potenzen. Für die Potenzsymbole ab ist vorauszusetzen, dass a > 0 und b 2 R oder a¤0 und b 2 R oder a 2 R und b 2 R. Es gilt a1 D a;

a0 D 1;

ab  ac D abCc ;

1b D 1;

ab D 1=ab I

.a  b/c D ac b c ;

.ab /c D abc I ab W ac D abc ;

 arithmetisch

.a W b/c D ac W b c :

Wurzeln. Ist b¤0, so gibt es zu jeder positiven Zahl c genau eine positive Zahl a, sodass ab D c. p Diese Zahl a D b c heißt b-te Wurzel aus a, wobei b der Wurzelexponent und c der Radikand bedeuten. Also ist p ab D c äquivalent a D b c für b ¤ 0 und c > 0:

 harmonisch   1 1 1 1 1 H.ai / D C C:::C ; n a1 a2 an  quadratisch Q.ai / D

1

q a12 C a22 C : : : C an2 =n:

Es gilt p p p c p b a b 1 D 1; c b D c; b a D ac D ac=b ; q p p p b p bp b c acp D ac ; bc a D a; p p p c c c ab D a b; p p p c c a W b D c a W b:

2

16

U. Jarecki

Logarithmen. Ist a > 1, so gibt es zu jeder positiven Zahl c genau eine Zahl b, sodass ab D c: Diese Zahl b D loga c heißt der Logarithmus von c zur Basis a, wobei a die Basis und c der Logarithmand oder Numerus bedeuten. Also ist ab D c

äquivalent b D loga c

für a > 1 und c > 0:

Binärsystem ebenso wie das Dezimalsystem ein Stellenwertsystem ist, sind die für das Rechnen mit Stellenwerten gültigen Regeln übertragbar. Lediglich das kleine Einspluseins und Einmaleins sind verschieden. Im Binärsystem gilt: Addition 0 C 0 D 0I 0 C 1 D 1I 1 C 0 D 1I 1 C 1 D 10:

Bevorzugte Logarithmen sind der dekadische mit Multiplikation der Basis 10, der natürliche mit der Basis e und 0  0 D 0I 0  1 D 0I 1  0 D 0I 1  1 D 1: der binäre mit der Basis 2. Es gilt aloga c D c; e lnc D c;

b D loga ab ; b D ln e b ;

loga 1 D 0; ln 1 D 0:

loga .bc/ D loga b C loga c;

Beispiel

Addition bzw. Multiplikation von Dezimalzahlen im Binärsystem.

loga .b W c/ D loga b  loga c; loga .1=b/ D  loga b; loga b c D c loga b; p c loga b D .1=c/ loga b: loga c D loga b  logb c; lg a D lg e  ln a mit lg e D 0;43429 J

2.1.6 Zahlendarstellung in Stellenwertsystemen

Das Hexadezimalsystem hat die Basis 16 und die Ziffernmenge f0, 1, 2, : : : ; 9, A, B, C, D, Fg. Hierzu dient meist das Dezimalsystem mit der Dabei entsprechen die hexadezimalen Ziffern A, Basis (Grundzahl) 10 und den zehn Ziffern B, : : : ; F den Dezimalzahlen 10, 11, : : : ; 15. So 0; 1; 2; : : : ; 9. Jeder natürlichen Zahl n wird dann ist eine endliche Folge von Ziffern zugeordnet, wobei jedes Glied der Folge neben seinem Ziffern- .940/10 D 3  162 C 10  161 C 12  160 D .3AC/16 : noch einen Stellenwert hat (z. B. 9021 D 9103 C 0  102 C 2  101 C 1  100 ). Ist g > 1 eine natürliche Zahl und f0; 1; 2; : : : ; g  1g eine Ziffernmenge, 2.1.7 Endliche Folgen und Reihen. so lässt sich jede natürliche Zahl n als ZiffernfolBinomischer Lehrsatz ge im Stellenwertsystem mit der Basis g eindeutig darstellen. Eine endliche reelle Zahlenfolge ist durch eine n D .am am1 am2 : : : a1 a0 /g D

m X

ai g i

i D0

für ai 2 f0; 1; 2; : : : ; g  1g: Das Binär- oder Dualsystem hat die Basis 2 und die Ziffernmenge f0, 1g. Die Darstellung der natürlichen Zahl 18 ist z. B. (10010)2 D 1  24 C 0  23 C 0  22 C 1  21 C 0  20 D .18/10 D 18: Da das

reellwertige Funktion auf einer endlichen Menge I D f1; 2; 3; : : : ; ng; der Indexmenge, erklärt, die jedem k 2 I genau eine reelle Zahl ak zuordnet. Sie wird dargestellt durch .ak /k2I oder .a1 ; a2 ; : : : ; an / oder .ak / für k 2 I. Die Zahlen ak heißen Glieder der Folge. Folgen können durch verschiedenartige Zuordnungsvorschriften erklärt sein. Oft lassen sie sich als Funktionsgleichungen ak D f .k/ darstellen.

2 Zahlen

17

Für das Rechnen mit dem Summenzeichen Arithmetische Folgen Bei einer Folge .ak / für k 2 I D f1; 2; : : : ; ng gelten die Regeln heißt die Differenz (s. Abschn. 10.6.3). n n X X c  a D c ak ; k 1 ak D akC1  ak kD1 kD1 n n n für k 2 f1; 2; : : : ; n  1g von 1. Ordnung, X X X .ak C bk / D ak C bk ; 2 1 1  ak D  akC1   ak kD1 kD1 kD1 n m n für k 2 f1; 2; : : : ; n  2g von 2. Ordnung, X X X a D a C ak (Zerlegung); k k ........................................... kD1

j ak D j 1 akC1  j 1 ak für k 2 f1; 2; : : : ; n  j g von j -ter Ordnung:

n X

........................................... Haben für jedes k 2 f1; 2; : : : ; n  j g die Differenzen j-ter Ordnung den gleichen Wert, dann heißt die Folge .ak / arithmetische Folge j-ter Ordnung. Einfache Beispiele für arithmetische Folgen 1., 2. und 3. Ordnung sind .1; 2; 3; 4; : : : ; n/ mit 1ak D 1; D 2; .1; 4; 9; 16; : : : ; n2 / mit 2ak .1; 8; 27; 64; : : : ; n3 / mit 3ak D 6: Insbesondere ist jede arithmetische Folge 1. Ordnung darstellbar durch die Gleichung

kD1

X

ak D

kD1 n X

kDmC1

nCj

akj

1 D n;

kD1

m X

(Indexverschiebung), j 2Z

kD1Cj

ak D am :

kDm

m und n sind natürliche Zahlen, wobei 1 5 m < n. Arithmetische Reihen. Sie sind aus den Gliedern einer arithmetischen Folge aufgebaut. Die Summenformel für die arithmetische Reihe 1. Ordnung lautet a C .a C d / C .a C 2d / C : : : C Œa C .n  1/d 

ak D a C .k  1/d für k 2 I D f1; 2; 3; : : : ; ng

D

n X

Œa C .k  1/d  D .n=2/Œ2a C .n  1/d :

kD1

(a Anfangsglied und d Differenz der Folge). Geometrische Folge. Bei ihr hat der Quotient akC1 =ak von zwei aufeinander folgenden Gliedern stets den gleichen Wert q. Mit dem Anfangsglied a wird ak D aq

k1

für k 2 I D f1; 2; : : : ; ng:

Reihen. Ist .ak / für k 2 f1; 2; 3; : : : ; ng eine reelle Zahlenfolge, dann heißt der Ausdruck a1 C a2 C a3 C : : : C an D

n X

ak :

kD1

endliche reelle Reihe mit den Gliedern a1 ; a2 ; : : : ; an : a1 bzw. an sind das Anfangsbzw. Endglied.

Sonderfälle von arithmetischen Reihen 1., 2. und 3. Ordnung sind n X kD1 n X

k D n.n C 1/=2; k 2 D n.n C 1/.2n C 1/=6;

kD1 n X

k 3 D Œn.n C 1/=22 :

kD1

Geometrische Reihe. Sie besteht aus den Gliedern einer geometrischen Folge und hat die Summenformel a C aq C aq 2 C : : : C aq n1 ( n X na für q D 1; k1 D aq D 1q n a 1q für q ¤ 1 kD1

2

18

U. Jarecki

(a Anfangsglied und q Quotient der Reihe). Wird a durch b n1 und q durch a=b ersetzt, so ergibt sich für a ¤ b b n1 C ab n2 C a2 b n3 C : : : C an2 b C an1 D

n X

ak1 b nk D

kD1 n n

b n  an ba

oder

b  a D .b  a/.b n1 C ab n2

Abb. 2.3 Pascalsches Zahlendreieck

! n X n nk k .a C b/ D a b ; k n

C a2 b n3 C : : : C an2 b C an1 /:

Binomischer Lehrsatz Das Zeichen n! (n-Fakultät) ist erklärt durch

n = 0;

ganzI

kD0

z. B.

! ! 3 3 3 2 a C a .˙b/ .a ˙ b/ D 0 1 ! ! 3 3 2 .˙b/3 C a.˙b/ C 3 2 3

nŠ D 1  2  3  : : : n für n 2 N

und 0Š D 1:

Es hat nur für nichtnegative ganze Zahlen einen Sinn. So ist 4! D 1  2  3  4 D 24.  Der Binomialkoeffizient kc (c über k), wobei c eine beliebige reelle Zahl und k eine nichtnegative ganze Zahl ist, ist erklärt durch c k

!

c.c  1/.c  2/ : : : Œc  .k  1/ D kŠ

für k 2 N und ! c D 1; 0 ! . 12 /. 12  1/. 12  2/ 5  12 D D : z. B. 3 3Š 16 Ist insbesondere c eine ganze Zahl n, so   positive nŠ ; für n = k > 0, ergibt sich hieraus kn D kŠ.nk/Š n n  D 1 und D 0 für 0 < n < k. 0 k Diese Binomialkoeffizienten werden anschaulich durch das Pascalsche Zahlendreieck wiedergegeben (Abb. 2.3), aus dem sich ! ! n n D und k nk ! ! ! n n nC1 C D k kC1 kC1 ablesen lassen. Hiermit kann durch vollständige Induktion der binomische Lehrsatz bewiesen werden.

D a3 ˙ 3a2 b C 3ab 2 ˙ b 3 :

2.1.8

Unendliche reelle Zahlenfolgen und Zahlenreihen

Eine reellwertige Funktion auf der Menge R der natürlichen Zahlen, durch die jedem n 2 N genau eine reelle Zahl an 2 R zugeordnet wird, heißt unendliche reelle Zahlenfolge auf N und wird dargestellt durch .an /n 2 N

oder .a1 ; a2 ; a3 ; : : :/

oder .an /

für n 2 N: Es heißen N die Indexmenge und an das allgemeine Glied der Folge. Grenzwerte. Eine Zahl a heißt Grenzwert der Folge .an / auf N oder .an / konvergiert gegen a oder ist eine a-Folge; in Zeichen limn!1 an D a oder an ! a für n ! 1, wenn es zu jeder Zahl " > 0 ein N 2 N gibt, sodass jan  aj < " für alle n > N. Konvergente Folgen mit dem Grenzwert 0 heißen Null-Folgen. Beispiele

Die harmonische Folge (1=n) für n 2 N ist Nullfolge, d. h. limn!1 .1=n/ D 0; da j1=nj D 1=n < " für alle n > 1=" D N.

2 Zahlen

19

Die geometrische Folge .q n1 / für n 2 N und jqj < 1, q ¤ 0 ist Nullfolge, d. h. limn!1 q n1 D 0; da jq n1 j D jqjn1 < " für alle n > 1 C .lg "= lg jqj/ D N .lg jqj < 0Š/. J Folgen, die keinen Grenzwert haben, heißen divergent. Eine Folge .an / auf N heißt divergent gegen plus bzw. minus unendlich, in Zeichen limn!1 an D ˙1, wenn es zu jeder Zahl M ein N 2 N gibt, sodass M < an bzw. an < M für alle n > N. Jede monotone und beschränkte Folge hat einen Grenzwert. Sind die Folgen .an / und .bn / konvergent, und gibt es ein N 2 N, sodass an 5 bn für alle n > N, dann ist limn!1 an 5 limn!1 bn . Aus limn!1 an D a und limn!1 bn D b folgen lim jan j D jaj; lim.can / D ca für jedes c 2 R, lim.an ˙ bn / D a ˙ b; lim an =bn D a=b;

lim.an bn / D ab;

bn ; b ¤ 0:

Reihen Ist .an / eine unendliche reelle Zahlenfolge auf N, dann ist mit der Folge der Partialsummen n X

n

a 1q ; q ¤ 1. Wegen limn!1 q n D 0 für 1q jqj < 1, ist lim sn D a=.1q/; und damit ergibt sich sD

1 X

aq n1 D a=.1  q/

für jqj < 1:

nD1

Für jqj = 1 ist die geometrische Reihe divergent. P 1 1 Die Reihe 1 nD1 n.nC1/ : Wegen k.kC1/ D 1 1  kC1 lautet die n-te Partialsumme sn D k   1 1 P n 1 1 kD1 k.kC1/ D 1  2 C 2  3 C : : : C 1  1 1 n  nC1 D 1  nC1 und damit 1 X

1 k.k C 1/ kD1   1 D lim 1  D 1: J n!1 nC1

sD

Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe ist konverPlimn!1 an D 0:PFür 1 a D A und b gentePReihen mit P1 n n D B 1 1 1 ca D c a D cAI gilt: 1 n n 1 1 1 X

.an ˙ bn / D

1

1 X

an ˙

1

1 X

bn D A ˙ B:

1

Konvergenzkriterium von Leibniz. Ist die Folge .an / auf N mit an > 0 eine monotone NullfolP kD1 n ge, dann ist die alternierende Reihe 1 1 .1/ an eine unendliche reelle Zahlenfolge .sn / auf N er- konvergent. klärt, die unendliche reelle Zahlenreihe heißt sn D a1 C a2 C : : : C an D

1 X

ak

.n 2 N/

Beispiel

P nC1 Die Reihe 1 .1=n/ ist konvergent, 1 .1/ weil die Folge (1=n) auf N eine monotone kD1 P1 nC1 .1=n/ D Nullfolge ist. Es gilt 1 .1/ Konvergiert die Folge .sn / gegen den Grenzwert ln 2. J s, so heißt die Reihe konvergent und s ist ihre P Summe a heißt absolut konvergent, Eine Reihe 1 P1 1 n n 1 ist. Jede abwenn die Reihe X X 1 jan j konvergent P ak D lim ak D lim sn : sD a ist konvergent, solut konvergente Reihe 1 n 1 n!1 n!1 kD1 kD1 und es gilt ˇ ˇ1 1 Eine Reihe, die nicht konvergiert, heißt divergent. ˇX ˇ X ˇ ˇ an ˇ 5 jan j: ˇ ˇ ˇ Beispiel

ak D a1 C a2 C : : : C an C : : :

1

1

P Die unendliche geometrische P Reihe. Ihre n-te Eine ReiheP 1 1 cn mit cn = 0 für alle n 2 N heißt n k1 D bezüglich 1 Partialsumme lautet sn D kD1 aq 1 an

2

20

U. Jarecki

 (konvergente) Majorante, wenn es einen Index 2.2 Komplexe Zahlen N 2 N gibt, sodass jan j 5 cn für alle n = N, und wenn sie konvergiert; 2.2.1 Komplexe Zahlen und ihre  (divergente) Minorante, wenn es einen Index geometrische Darstellung N 2 N gibt, sodass jan j = cn für alle n = N, und wenn sie divergiert. Die Menge C der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der Menge R der reellen Zahlen. Die Majoranten- und Minorantenkriterium. Be- komplexen Zahlen sind als geordnete Paare von sitzt eine Reihe eine (konvergente) Majorante, reellen Zahlen definiert: dann ist sie absolut konvergent. Besitzt sie eine z D (a, b), wobei a D Re.z/ 2 R der Realteil (divergente) Minorante, dann ist sie nicht absolut von z und b D Im.z/ 2 R der Imaginärteil von z konvergent. Demnach sind Reihen mit nichtne- heißt. Sie können daher in einem ebenen Koordigativen Gliedern, die eine (divergente) Minorante natensystem (Abb. 2.4) als Punkte der Gaußschen besitzen, divergent. oder komplexen Zahlenebene oder als Zeiger darDie verallgemeinerte harmonische Reihe gestellt werden. P1 ˛ Die Gleichheit zweiter komplexer Zahlen ist 1 1=n ist für ˛ > 1 konvergent und für ˛ 5 1 divergent. erklärt durch: .a1 ; b1 / D .a2 ; b2 / genau dann, wenn a1 D a2 und b1 D b2 : Ist z D (a, b), dann heißt zN D .a; b/ konjugiert zu z. Beispiel P1 p Die Reihep 1 1= n.n C 1/ ist divergent, da wegen 1= n.n C 1/ > 1=.n C 1/ die ReiP 2.2.2 Addition und Multiplikation he 1 1 1=.n C 1/ eine (divergente) Minorante ist. J Addition: Wurzel- und Quotientenkriterium. Exisp n ja j bzw. tieren die Grenzwerte lim n!1 n ˇ ˇ P1 ˇ anC1 ˇ limn!1 ˇ an ˇ, dann ist die Reihe 1 an für

für

p n

jan j < 1 bzw. n!1 ˇ ˇ ˇ anC1 ˇ ˇ ˇ < 1 konvergent und lim n!1 ˇ an ˇ p lim n jan j > 1 bzw. n!1 ˇ ˇ ˇ anC1 ˇ ˇ ˇ > 1 divergent. lim n!1 ˇ an ˇ lim

z1 C z2 D .a1 ; b1 / C .a2 ; b2 / D .a1 C a2 ; b1 C b2 /; Multiplikation: z1  z2 D .a1 ; b1 /.a2 ; b2 / D .a1 a2  b1 b2 ; a1 b2 C b1 a2 /: Wegen .a; b/ D .a; 0/ C .0; b/ D .a; 0/ C .b; 0/.0;1/ gilt mit (a, 0) D a und .0;1/ D i

z D .a; b/ D a C b i; wobei i2 D i  i D 1: Existieren die Grenzwerte nicht oder sind sie gleich 1, dann sind die Kriterien auf die Reihe Abb. 2.4 Gaußsche Zahlenebene nicht anwendbar.

2 Zahlen

21

Rechenregeln Addition:

Abb. 2.5 Polarkoordinaten

.a1 C b1 i/ C .a2 C b2 i/

2

D .a1 C a2 / C .b1 C b2 /i; Subtraktion: .a1 C b1 i/  .a2 C b2 i/ D .a1  a2 / C .b1  b2 /i; Multiplikation:

Multiplikation und Division. Mit z1 D r1 .cos '1 Ci sin '1 / und z2 D r2 .cos '2 Ci sin '2 / gilt

.a1 C b1 i/.a2 C b2 i/

z1 z2 D r1 r2 Œcos.'1 C '2 / C i sin.'1 C '2 /

D .a1 a2  b1 b2 / C .a1 b2 C b1 a2 /i;

und

Division: a 1 C b1 i a 2 C b2 i .a1 C b1 i/.a2  b2 i/ D .a2 C b2 i/.a2  b2 i/ .a1 a2 C b1 b2 / C .b1 a2  a1 b2 /i D a22 C b22 a 1 a 2 C b1 b2 b1 a 2  a 1 b2 D C i 2 2 a 2 C b2 a22 C b22 a22 C b22 > 0

z1 =z2 D .r1 =r2 /Œcos.'1  '2 / C i sin.'1  '2 /: Für z D r.cos ' C i sin '/ lautet die konjugiert komplexe Zahl zN D rŒcos.'/ C i sin.'/ D r.cosp'  i sin '/; und es gilt z  zN D r 2 oder r D z  zN D jzj: Moivresche Formel. Die Multiplikationsregel liefert mit z D r.cos ' C i sin '/ z n D r n Œcos.n'/ C i sin.n'/;

n 2 N:

Konjugiert komplexe Zahl zu z D a C b i ist Absoluter Betrag. Es ist jzj = 0 für alle z 2 R zN D a  b i. Es gilt und jzj D 0 genau dann, wenn z D 0; .Nz / D z; z1 ˙ z2 D z1 ˙ z2 ; z1 z2 D z1 z2 ; jz1 z2 j D jz1 jjz2 j; jz1 =z2 j D jz1 j=jz2 j; z1 =z2 D z1 =z2 : jjz1 j  jz2 jj 5 jz1 C z2 j 5 jz1 j C jz2 j (Dreiecksungleichung):

2.2.3 Darstellung in Polarkoordinaten. Absoluter Betrag 2.2.4

Potenzen und Wurzeln

Mit a D r cos ' und b D r sin ' ist z D aCb i D r.cos ' C i sin '/: Geometrisch (Abb. 2.5) bedeu- Ist z D r.cos ' C i sin '/ ¤ 0 und a eine beliebitet r die Länge des Zeigers z und  den Winkel ge reelle Zahl, dann ist zwischen dem Zeiger z und dem positiven Teil der reellen Achse. r D jzj heißt absoluter Betrag z a D Œr.cos ' C i sin '/a oder Modul von z, ' D Arg.z/ das Argument D r a fcosŒa.' C 2k / C i sinŒa.' C 2k /g von z. Es gilt p mit k 2 Z D f0; ˙1; ˙2; ˙3; : : :g: Für k D 0 r D jzj D a2 C b 2 I ergibt sich der Hauptwert z a D r a Œcos.a'/ C cos ' D a=r; sin ' D b=r: i sin.a'/: Der Winkel  mit   < ' 5   heißt HauptFür a > 0 wird 0a D 0 festgesetzt. Ist a D n wert von Arg.z/. eine ganze Zahl, dann ist cosŒn.' C 2k / D

22

U. Jarecki

cos.n'/ und sinŒn.' C 2k / D sin.n'/; sodass Fundamentalsatz der Algebra. Jede algebraische Gleichung n-ten Grades (n = 1) hat in der gilt Menge der komplexen Zahlen mindestens eine z n D r n Œcos.n'/ C i sin.n'/; n 2 Z: Lösung oder Wurzel. Sind die Koeffizienten reell, dann ist die zu einer Lösung konjugiert komplexe Für a D 1=n mit n 2 R wird festgesetzt z 1/ n D Zahl ebenfalls eine Lösung. p n z, sodass p 2 n z D z 1=n

  ' C 2k  ' C 2k  D r 1=n cos C i sin n n   p ' C 2k  ' C 2k  D n r cos C i sin ; n n

k 2 f0; 1; 2; 3; > : : : ; n  1g: p Hierbei hat n z für r > 0 genau n verschiedene p Werte mit dem gleichen Betrag n r. Sie liegen in der Gaußschen Zahlenebene in den Eckpunkten eines regelmäßigen n-Ecks. Beispiel

p Wertemenge von 3 1. Wegen 1 D cos   C i sin   ist p 3 1 D 11/3 .cos   C i sin  /1/3   p   C 2k    C 2k  3 D 1 cos C i sin 3 3 für k 2 f0; 1; 2g: Somit gilt ( p p ) p 1 3 3 1 3 1 D Ci ; 1;  i : J 2 2 2 2

2.3 Gleichungen

Lösungsformeln für algebraische Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichung) a0 z C a1 D 0W z D a1 =a0 : 2 2. Grades (quadratische Gleichung) r a0 z C 2 a1 a1 a1 z C a2 D 0W z D  2a ˙  aa20 D 2a0 0 p2 a1 ˙ a1 4a0 a2 : 2a0 q Von der komplexen Wurzel a12  4a0 a2 ist stets der Hauptwert zu nehmen. Für reelle Koeffizienten bestimmt die Diskriminante  D a12  4a0 a2 der quadratischen Gleichung Anzahl und Art der Lösungen, und zwar für

 > 0 zwei reelle.a1 ˙

q a12  4a0 a2 /=2a0 ;

 D 0 eine reelle  a1 =2a0 ;  < 0 zwei konjugiert komplexe q .a1 ˙ i 4a0 a2  a12 /=2a0 : Beispiel

Die Gleichung 4z 2 C 4z C 5 D 0 hat die Diskriminante  D 4; und ihre Lösungsformel lautet z D .1=2/ ˙ i: J

3. Grades (kubische Gleichung) a0 z 3 C a1 z 2 C a2 z C a3 D 0: Die Koeffizienten a0 ; a1 ; a2 ; a3 n n1 n2 a0 z C a1 z C a2 z C : : : C an1 z C an D 0 werden als reell vorausgesetzt. Die Gleichung mit n D 0; 1; 2; : : : ; wobei a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; an wird durch die Substitution z D y  .a1 =3a0 / Konstante (Koeffizienten der Gleichung) und z und anschließende Division durch a0 auf die reeine Variable (Unbekannte) bedeuten, heißt für duzierte Form a0 ¤ 0 eine algebraische Gleichung n-ten Gray 3 C py C q D 0 des.

2.3.1 Algebraische Gleichungen

2 Zahlen

23

gebracht. Diese Gleichung 3. Grades hat die Lösungsformeln y D u C v, y D "u C "2 v; y D "2 u C "v, wobei q p 3 u D q=2 C .q=2/2 C .p=3/3 und q p 3 v D q=2  .q=2/2 C .p=3/3 ; p 3 1 ı ı " D cos 120 C i sin 120 D  C i und 2 2 p 3 1 2 ı ı " D cos.120 / C i sin.120 / D   i: 2 2 Von den komplexen Wurzeln ist stets der Hauptwert zu nehmen. Die Gleichung y 3 C py C q D 0 hat für

und damit p u D 3.cos 50ı C i sin 50ı /; p v D 3Œcos.50ı / C i sin.50ı /I p "u D 3.cos 170ı C i sin 170ı /; p "v D 3.cos 70ı C i sin 70ı /I p "2 u D 3Œcos.70ı / C i sin.70ı /; p "2 v D 3Œcos.170ı / C i sin.170ı /: p Für y p ergeben sich dann p y D 2 3 cos 50ı ; y D 2 3 cos 170ı ; y D 2 3 cos 70ı ; woraus wegen z D y  3 die Formeln für die Ausgleichsgleichung folgen. J

2.3.2 .q=2/ C .p=3/ > 0 eine reelle und zwei 2

konjugiert komplexe Lösungen, .q=2/ C .p=3/ D 0 zwei verschiedene reelle 2

3

Lösungen, wobei p ¤ 0 und q ¤ 0; .q=2/ C .p=3/ < 0 drei verschiedene reelle 2

3

Lösungen.

Beispiel

Polynome

3

Pn .z/ D a0 z n Ca1 z n1 Ca2 z n2 C: : :Can1 z C an mit a0 ¤ 0: Pn heißt Polynom oder ganze rationale Funktion n-ten Grades. Die Konstanten a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; an heißen die Koeffizienten und n der Grad des Polynoms, n D Grad Pn : Die Koeffizienten sind hier stets reell, während für die Variable z auch komplexe Zahlen zugelassen werden. Beim Null-Polynom sind alle Koeffizienten Null. Die Werte z, die Lösungen der algebraischen Gleichung n-ten Grades Pn .z/ D 0 sind, heißen Nullstellen des Polynoms Pn .

Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren. Die Gleichung z 3 C 9z 2 C 18z C 9 D 0 geht Für eine beliebige Zahl  lässt sich das Polydurch die Substitution z D y  3 über in nom auch darstellen durch Pn .z/ D Qn1 .z/.z  / C Pn ./: Hierbei ist Qn1 .z/ ein Polynom (n  1)-ten Grades. y 3  9y C 9 D 0: Qn1 .z/ D b0 z n1 Cb1 z n2 C: : :Cbn-2 z Cbn1 : Für die einzelnen Ausdrücke ergeben sich die Werte Seine Koeffizienten b0 ; b1 ; b2 ; : : : ; bn1 lassen sich durch die Koeffizienten von Pn .z/ und durch  gemäß den Rekursionsformeln ausdrücken. .q=2/2 C .p=3/3 D 27=4; p p .q=2/2 C .p=3/3 D 3 3i=2; b0 D a0 ; bk D bk-1  C ak ; p  q=2 ˙ .q=2/2 C .p=3/3 wobei bn D Pn ./: p 3 p D 3 . 3=2 ˙ 1=2i/ Sie können leicht mit Hilfe des Horner-Schep 3 mas berechnet werden (s. Abschn. 10.3.4). D 3 Œcos.˙150ı / C i sin.˙150ı /

2

24

U. Jarecki

Zerlegungssatz Jedes Polynom n-ten Grades mit Insbesondere gilt für ein Polynom 3. Grades n = 1 lässt sich als Produkt von n Linearfaktoren und dem Faktor a0 darstellen. P3 .z/ D a0 z 3 C a1 z 2 C a2 z C a3 D a0 .z  z1 /.z  z2 /.z  z3 /;

Pn .z/ D a0 z n C a1 z n1 C : : : C an1 z C an

a0 .z1 C z2 C z3 / D a1 ;

D a0 .z  z1 /.z  z2 /.z  z3 / : : : .z  zn /:

a0 .z1 z2 C z1 z3 C z2 z3 / D a2 ; Das System der Zahlen z1 ; z2 ; z3 ; : : : ; zn ; die a0 z1 z2 z3 D a3 : nicht notwendig voneinander verschieden sind, heißt ein vollständiges System von Nullstellen Rechnen mit Polynomen. Die Summe bzw. des Polynoms Pn . Differenz zweier Polynome Pn .x/ und Qm .x/ vom Grad n und m ist wieder ein Polynom, desBeispiel sen Grad höchstens max.n; m/ ist. Ebenso ist ihr 4 3 Produkt aus Das Polynom P4 .z/ D .1=2/z  .3=2/z C 2z 2  4 hat die p vier Nullstellen p z1 D 1; z2 D 2; z3 D 1Ci 3; z4 D 1i 3: Seine Produktdarstellung mit Linearfaktoren lautet demnach

p P4 .z/ D .1=2/.z C 1/.z  2/Œz  .1 C i 3/ p  Œz  .1  i 3/: J

Pn .x/ D

n X

ai s ni und Qm .x/ D

i D0

m X

bj x mj

j D0

Pn .x/Qm .x/ D a0 b0 x

nCm

C .a0 b1 C a1 C a1 b0 /x nCm1

C : : : C a n bm Aus dem Zerlegungssatz folgt: Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Hat es ein Polynom vom Grad n C m. Ist Pn nicht mehr, so ist es das Nullpolynom. das Nullpolynom, so kann der Quotient Qm .x/=Pn .x/ gebildet werden. Er bestimmt eine Identitätssatz Zwei Polynome sind dann und nur rationale Funktion, die für alle reellen Zahlen x dann identisch gleich, wenn ihre Koeffizienten mit Pn .x/ ¤ 0 definiert ist. Sie heißt für m < n echt gebrochen und für m = n unecht gebrochen. gleich sind. Jede unechte gebrochene rationale Funktion lässt Vietasche Formeln (Wurzelsatz von Vieta) sich nach dem Divisionsalgorithmus für PolynoBilden z1 ; z2 ; z3 ; : : : ; zn ein vollständiges Sys- me in eine Summe aus einer ganzen rationalen tem von Nullstellen, dann gilt nach dem Zerle- und einer echt gebrochenen rationalen Funktion zerlegen: Qm .x/=Pn .x/ D Rmn .x/ C r.x/; wogungssatz bei die ganze rationale Funktion Rmn vom Grad m  n ist. a0 z n C a1 z n1 C : : : C an1 z C an  a0 .z  z1 /.z  z2 / : : : .z  zn /: Hieraus ergeben sich durch Multiplikation der Linearfaktoren und Koeffizientenvergleich

Beispiel

Q4 .x/ D 4x 4 C 2x 2  x C 1 und P2 .x/ D 2x 2 C 3: Nach dem Divisionalgorithmus

a0 .z1 C z2 C z3 C : : : C zn1 C zn / D a1 ; a0 .z1 z2 C z1 z3 C : : : C z1 zn C z2 z3 C : : : C zn1 zn / D a2 ; :: : a0 .z1 z2 z3 : : : zn / D .1/n an :

.4x 4 C 2x 2  x C 1/ W .2x 2 C 3/ D 2x 2  2 4x 4 C 6x 2  4x 2  x C 1 6  4x 2 xC7

2 Zahlen

ergibt sich Q4 .x/ 4x 2 C 2x 2  x C 1 D P2 .x/ 2x 2 C 3 x C 7 D 2x 2  2 C 2 : J 2x C 3

2.3.3 Transzendente Gleichungen Sie sind nicht algebraisch, wie sin2 x  cos x D 0 oder e 2 x  x D 0:

25

Exponentialgleichungen. Hier tritt die Variable x mindestens einmal im Exponenten einer Potenz auf. Beispiel

5x  2  5x  1 D 0: Die Substitution z D 5x führt auf die quadratische Gleichung z 2  z  2 D 0 mit den Lösungen z D 5x D 2 oder z D 5x D 1: Aus der ersten Gleichung folgt 2 D 0;4307: Wegen 5x > 0 x D log5 2 D lg lg 5 für x 2 R hat die zweite Gleichung keine reelle Lösung. J

Logarithmische Gleichungen. Die Variable x Bis auf einige einfache Sonderfälle müssen ihre tritt hier im Argument eines Logarithmus auf. Lösungen mittels Näherungsverfahren bestimmt werden. Als Definitionsmenge der Gleichungen Beispiel wird eine zulässige Teilmenge der reellen Zahlen zugrunde gelegt. lg.2x C 3/ D lg.x  1/ C 1: Die Definitionsmenge der Gleichung ist durch 2x C 3 > 0 und Goniometrische Gleichungen. Bei ihnen tritt x  1 > 0, d. h. x > 1, bestimmt. Aus der Gleidie Variable x im Argument von trigonometrichung folgt lg 2xC3 x1 D 1; also (2x C 3/=.x  schen Funktionen oder deren Umkehrfunktionen 1/ D 101 oder x D 13=8. J auf. Beispiel

cos.2x/  3 sin x  2 D 0: Mit der Formel cos.2x/ D 1  2 sin2 x und der Substitution z D sin x ergibt sich die quadratische Gleichung für z zu z 2 C 1;5z C 0;5 D 0 mit der Lösungsformel z D sin x D 0;75 ˙ 0;25, also sin x D 1 bzw. x D (90ı C n1  360ı oder 30ı C n2  360ı ; sin x D 0;5 bzw. x D 150ı C n3  360ı d. h. x 2 f30ı C n1  360ı I 90ı C n2  360ı I  150ı C n3  360ı j n1 ; n2 ; n3 2 Zg: J

Allgemeine Literatur Bücher Böhme, G.: Anwendungsorientierte Mathematik. Bd. 1: Algebra. 7. Auflage 1992, Springer. Mangoldt, von; Knopp; Lösch: Höhere Mathematik. Bd. I: Zahlen, Funktionen; Grenzwerte; Analytische Geometrie, Algebra, Mengenlehre 17. Auflage 1990; Hirzel. Pieper, H.: Komplexe Zahlen. 3. Auflage 1991, Dtsch. Verlag der Wissenschaften.

Normen und Richtlinien DIN5473: Zeichen der Mengenlehre. DIN5474: Zeichen der mathematischen Logik. DIN5475: Komplexe Größen.

2

3

Lineare Algebra Uller Jarecki

3.1 Vektoralgebra 3.1.1 Vektoren und ihre Eigenschaften In der Physik und Technik treten häufig Größen auf, die als Vektoren bezeichnet und in unserem Anschauungsraum als gerichtete Strecken dargestellt werden. Hierzu gehören z. B. die Kraft, die Geschwindigkeit und die Feldstärke. ! Eine gerichtete Strecke AB (Abb. 3.1a) ist ein geordnetes Punktepaar mit dem Anfangspunkt A ! und dem Endpunkt B. Ihre Länge wird mit jABj bezeichnet. Die Zusammenfassung oder Klasse aller gerichteten Strecken, die durch eine Parallelverschiebung auseinander hervorgehen und somit die gleiche Länge und Richtung sowie den gleichen Richtungssinn haben, heißt Vektor und wird symbolisch durch a gekennzeichnet. Er wird durch einen Länge, Richtung und Richtungssinn bestimmenden Pfeil (Abb. 3.1b) dargestellt. Wird im Raum ein Punkt O, der Bezugspunkt, ausgezeichnet, dann heißen die in O abgetrage-

! ! nen Vektoren OP D a und OQ D b Ortsvektoren (Abb. 3.1c). Jedem Punkt des Raums kann damit umkehrbar eindeutig ein Vektor zu ! ! geordnet werden. Wenn AB D A0 B 0 D a, 0 !0 ! dann ist jaj D jABj D jA B j die Länge, der Betrag oder die Norm des Vektors. Einheitsvektoren oder normierte Vektoren haben die Länge 1. Der Vektor mit der Länge 0 heißt Nullvektor 0. Zu jedem Vektor a gibt es genau einen Vektor, der die gleiche Länge, die gleiche Richtung und den entgegengesetzten Richtungssinn hat. Er heißt entgegengesetzter Vektor a (Abb. 3.1d). Addition und Subtraktion von Vektoren. Werden zwei Vektoren a und b so zusammengeheftet, dass der Endpunkt von a mit dem Anfangspunkt von b zusammenfällt, dann ist durch den Anfangspunkt von a und den Endpunkt von b eindeutig ein Vektor erklärt, der als Summe a C b der beiden Vektoren a und b bezeichnet wird (Abb. 3.2a). Die Differenz zweier Vektoren ist erklärt durch b  a D b C .a/ (Abb. 3.2b). Sie kann auch durch die gerichtete Strecke dargestellt werden, deren Anfangspunkt mit dem Endpunkt

! ! Abb. 3.1 Vektoren. a gerichtete Strecke AB; b A0 B 0 D a; c Ortsvektoren; d entgegengesetzter Vektor U. Jarecki () Berlin, Deutschland

Abb. 3.2 a Summe a C bI b Differenz b  a D b C .a/; c Produkt ca

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_3

27

28

U. Jarecki

von a und deren Endpunkt mit dem Endpunkt Für die Norm (Betrag, Länge) eines Vektors gilt von b zusammenfällt, wenn a und b mit ihren jaj = 0 und jaj D 0 Anfangspunkten zusammengeheftet sind. Diese Differenzbildung heißt Subtraktion. genau dann, wenn a D 0I Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (Abb. 3.2c). Das Produkt eines Vektors a mit einer reellen Zahl c ist ein Vektor ca D ac. Seine Länge ist das | c|-fache von jaj, d. h. jcaj D jcjjaj, und seine Richtung stimmt mit der von a überein. Der Richtungssinn von ca ist für c > 0 dem von a gleich und für c < 0 entgegengesetzt. Ist c D 0 oder a D0, dann ist ca der Nullvektor, d. h. 0  a D c  0 D 0. Ist a ¤ 0, dann ist der Vektor ˇ ˇ ˇ a ˇ a jaj 1 aD D a0 wegen ˇˇ ˇˇ D D1 jaj jaj jaj jaj

j˛aj D j˛jjajI jjaj  jbjj 5 ja C bj 5 jaj C jbj (Dreiecksungleichung).

3.1.2

Lineare Abhängigkeit und Basis

Zwei Vektoren a und b heißen linear abhängig oder kollinear (Abb. 3.4a), wenn es zwei Zahlen ˛ und ˇ gibt, mit denen ˛a C ˇb D 0 und ˛ 2 C ˇ 2 > 0

gilt. Dies bedeutet anschaulich, dass a und b die gleiche Richtung haben oder – falls sie in einem Vektoreigenschaften. Für die Verknüpfungen Punkt zusammengeheftet sind – auf einer Gera„Addition zweier Vektoren“ und „Multiplikation den liegen. Zwei nicht linear abhängige Vektoren a und eines Vektors mit einer Zahl“ gelten die Eigenb heißen linear unabhängig. Werden sie in einem schaften (Abb. 3.3a,b) Punkt P zusammengeheftet, dann spannen sie ein Parallelogramm auf (Abb. 3.4b), und die Gleia C b D b C a; 1  a D a; chung ˛a C ˇb D 0 ist nur dann erfüllt, wenn a C .b C c/ D .a C b/ C c; ˛.ˇa/ D .˛ˇ/a; ˛ D 0 und ˇ D 0. a C 0 D a; ˛.a C b/ D ˛a C ˛b; ein Einheits- oder normierter Vektor.

a C .a/ D 0;

.˛ C ˇ/a D ˛a C ˇa:

Die griechischen Buchstaben kennzeichnen hierbei die Zahlenvariablen. Hieraus folgen alle weiteren Vektoreigenschaften wie .1/  a D a; .a/ D a; .a  b  c/ D a C b C c; aCx Db

genau dann, wenn x D b  a:

Beispiel

Beweis eines Satzes, nach dem sich die Diagonalen eines Parallelogramms gegenseitig halbieren. – Nach Abb. 3.5 gilt .a C b/ D a C .b  a/ oder . C   1/a C .  /b D 0: Da a und b linear unabhängig sind, folgen  C   1 D 0 und    D 0 oder  D  D 1=2. Die Diagonalen halbieren einander also. J Allgemein heißen n Vektoren a1 ; a2 ; : : : ; an linear abhängig, wenn es n Zahlen ˛1 ; ˛2 ; : : : ; ˛n

Abb. 3.4 a kollineare Vektoren; b nichtkollineare Vektoren

Abb. 3.3 a Assoziativ-Gesetz; b Distributiv-Gesetz

3

Lineare Algebra

29

Abb. 3.5 Parallelogramm-Satz (Beispiel)

gibt, sodass ˛1 a1 C ˛2 a2 C : : : C ˛n an D 0 und ˛12 C ˛22 C : : : C ˛n2 > 0, sonst heißen sie linear unabhängig. Drei linear abhängige Vektoren heißen komplanar. Werden sie in einem Punkt des Raumes zusammengeheftet, dann liegen sie in einer Ebene. Im Raum (Abb. 3.6) gibt es stets drei nichtkomplanare oder linear unabhängige Vektoren a; b; c; die – von einem Punkt aus abgetragen – einen Spat (Parallelepiped) aufspannen. Jeder Vektor x des Raums lässt sich dann eindeutig als Linearkombination dieser Vektoren darstellen, d. h., es gibt genau ein geordnetes Zahlentripel ˛, ˇ, , sodass x D ˛a C ˇb C c gilt. Mehr als drei Vektoren im Raum sind linear abhängig. Drei linear unabhängige Vektoren a; b; c des Raums heißen Basisvektoren, und ihre Gesamtheit wird als Basis bezeichnet. In der Darstellung des Vektors x durch die Basisvektoren a; b; c heißen ˛, ˇ, die Koordinaten und ˛a; ˇb; c die Komponenten von x in Bezug zur Basis a; b; c. Eine Basis mit den Vektoren a; b; c ist ein Rechtssystem oder ist rechtsorientiert, wenn die Vektoren in der angegebenen Reihenfolge dem gespreizten Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand zugeordnet werden können, wie dies bei a; b und c auf Abb. 3.6a der Fall ist. Anderenfalls ist sie ein Linkssystem. Sind die Basisvektoren normiert (Länge 1) und orthogonal

3

Abb. 3.7 a kartesisches Koordinatensystem; b skalares Produkt; c Projektionssatz

(senkrecht) zueinander, dann heißen sie bzw. ihre Basis orthonormiert.

3.1.3 Koordinatendarstellung von Vektoren In den Anwendungen werden rechtsorientierte und orthonormierte Basen bevorzugt, deren Basisvektoren gewöhnlich mit i ; j ; k oder e 1 ; e 2 ; e 3 bezeichnet werden. Ein räumliches kartesisches Koordinaten-System (0; e 1 ; e 2 ; e 3 ) ist durch eine solche Basis und den Anfangspunkt O festgelegt (Abb. 3.7a). Die Endpunkte E1 ; E2 ; E3 ! ! ! der Ortsvektoren OE 1 D e 1 ; OE 2 D e 2 ; OE 3 D e 3 heißen Einheits-Punkte auf den Koordinatenachsen. ! Jeder Vektor a bzw. jeder Ortsvektor OP D a mit dem Endpunkt P (Abb. 3.7a) lässt sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen. a D a1 e 1 C a2 e 2 C a3 e 3 D

3 X

ai e i

i D1

D .a1 ; a2 ; a3 /:

Die Zahlen a1 ; a2 ; a3 heißen Koordinaten des Vektors a bzw. des Punktes P bezüglich (0I e 1 ; e 2 ; e 3 ). Bei vorgegebener Basis und vorgegebenem Koordinatenursprung ist jeder Vektor und jeder Ortsvektor (Punkt) umkehrbar eindeutig durch ein geordnetes Zahlentripel, das geAbb. 3.6 a nichtkomplanare Vektoren; b Zerlegung in wöhnlich als Spalte bzw. Zeile geschrieben und als Spalten- oder Zeilenvektor bezeichnet wird, Komponenten

30

U. Jarecki

darstellbar. Letztere werden hier wegen der Platzersparnis bevorzugt. Der Nullvektor 0 und die Basisvektoren e 1 ; e 2 ; e 3 haben die Darstellungen 0 D .0; 0; 0/I

e 1 D .1; 0; 0/I

e 2 D .0; 1; 0/I

e 3 D .0; 0; 1/:

wobei  der von a und b eingeschlossene Winkel ist, wenn beide Vektoren in einem Punkt zusammengeheftet sind (Abb. 3.7b). jbj cos ' heißt die Projektion von b auf a. Eigenschaften des inneren Produkts sind:  Kommutativität

Für das Rechnen mit Zeilenvektoren gelten die Definitionen  Gleichheit zweier Vektoren: .a1 ; a2 ; a3 / D .b1 ; b2 ; b3 / genau dann, wenn ai D bi .i D 1; 2; 3/I  entgegengesetzter Vektor: .a1 ; a2 ; a3 / D .a1 ; a2 ; a3 /I

a  b D b  a;  Assoziativität bezüglich der Multiplikation mit einer Zahl .˛a/  b D ˛.a  b/;  Distributivität a  .b C c/ D a  b C a  c:

 Summe zweier Vektoren:

Die Distributivität folgt aus dem Projektionssatz (Abb. 3.7c), wonach die Projektion der Summe .a1 ; a2 ; a3 / C .b1 ; b2 ; b3 / b C c auf a gleich der Summe aus der Projektion D .a1 C b1 ; a2 C b2 ; a3 C b3 /I von b auf a und der von c auf a ist. 2 Für b D a ( p D 0) gilt a  a D a oder p 2  Produkt eines Vektors mit einer Zahl: jaj D a  a D a : Ein Vektor e hat also genau dann die Länge 1, wenn e  e D e 2 D 1. Zwei .a1 ; a2 ; a3 / D .a1 ; a2 ; a3 /: vom Nullvektor verschiedene Vektoren a und b sind genau dann orthogonal, wenn für sie die OrBei einer orthonormierten Basis hat nach dem thogonalitätsbedingung a  b D 0 gilt. pythagoreischen Lehrsatz der Vektor Demnach gelten für die drei orthonormierten Basisvektoren eines kartesischen Koordinatena D a1 e 1 C a2 e 2 C a3 e 3 Systems die Länge

e 1  e 1 D e 2  e 2 D e 3  e 3 D 1 und jaj D

q a12 C a22 C a32 :

e1  e2 D e2  e3 D e3  e1 D 0 oder kürzer mit dem Kronecker-Symbol ıij

( 1 für i D j .i; j D 1; 2; 3/: e i e j D ıij D 0 für i ¤ j Das innere Produkt a  b D ab D .a; b/ zweier Vektoren a und b ist eine Zahl, die für a D 0 oder b D 0 Null ist oder die, falls keiner der Vektoren Für a D .a1 ; a2 ; a3 / und b D .b1 ; b2 ; b3 / gilt dann der Nullvektor ist, definiert ist durch

3.1.4 Inneres oder skalares Produkt

a  b D jajjbj cos '

und 0 5 ' 5  ;

a  b D jajjbj cos ' D a1 b1 C a2 b2 C a3 b3 :

3

Lineare Algebra

31

Für den Betrag von a und für den von b einge-  Assoziativität bezüglich der Multiplikation schlossenen Winkel ' folgen hieraus mit einer Zahl jaj D cos ' D

p

a2

q D a12 C a22 C a32

und

ab jajjbj

.a  b/ D .a/  b;  Distributivität

a 1 b1 C a 2 b2 C a 3 b3 q : Dq a12 C a22 C a32 b12 C b22 C b32

3

a  .b C c/ D a  b C a  c:

Zwei Vektoren a ¤ 0 und b ¤ 0 sind genau dann linear abhängig oder kollinear, wenn Die Richtungskosinusse eines Vektors a, der mit a  b D 0. Für die rechtsorientierten und orthodem Basisvektor e i den Winkel ˛i einschließt, normierten Basisvektoren e 1 ; e 2 ; e 3 gelten: sind e1  e 2 D e3; e 3  e 1 D e2; e 2  e3 D e 1: a  ei a cos ˛i D D  e i D a0  e i Mit a D a1 e 1 Ca2 e 2 Ca3 e 3 und b D b1 e 1 C jaj jaj ai b2 e 2 C b3 e 3 wird dann Dq .i D 1; 2; 3/: a12 C a22 C a32 a  b D .a b  a b /e C .a b  a b /e 2 3

3.1.5 Äußeres oder vektorielles Produkt Das äußere Produkt a  b zweier Vektoren a und b (Abb. 3.8) ist ein Vektor, für den Länge, Richtung und Richtungssinn wie folgt erklärt sind: ja  bj D jajjbj sin '

.0 5 ' 5  /;

3 2

1

3 1

C .a1 b2  a2 b1 /e 3 ˇ ˇ ˇ ˇ a a ˇ ˇ a ˇ 2 ˇ 3 3 ˇ D ˇ ˇ e1 C ˇ ˇ b2 b3 ˇ ˇ b3 ˇ ˇ ˇ a a ˇ ˇ 1 2 ˇ Cˇ ˇe ˇ b1 b2 ˇ 3 ˇ ˇ ˇ e1 e2 e3 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D ˇ a1 a2 a3 ˇ : ˇ ˇ ˇ b1 b2 b3 ˇ

a1 b1

1 3

2

ˇ ˇ ˇ ˇ e2 ˇ

das ist der Inhalt der von a und b aufgespannten Parallelogrammfläche, a  b steht senkrecht auf 3.1.6 Spatprodukt a und b; die Vektoren a; b; a  b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Das Spatprodukt .a; b; c/ dreier Vektoren a; b; c Aus dieser Definition ergeben sich die Eigen- ist definiert durch schaften des äußeren Produkts: .a; b; c/ D .a  b/c:  Antikommutativität a  b D .b  a/;

Es stellt geometrisch das (orientierte) Volumen V eines Spates oder Parallelepipeds dar, das von den drei Vektoren a; b; c aufgespannt wird (Abb. 3.8). Es ist V D ja  bjjcj cos D .a  b/c D .a; b; c/:

Die möglichen sechs Produkte der Vektoren a; b; c unterscheiden sich höchstens im VorzeiAbb. 3.8 a äußeres Produkt ab; b Spatprodukt (a; b; c) chen. Sind die Vektoren des Produkts .a; b; c/

32

U. Jarecki

in der Reihenfolge des Produkts rechtsorientiert Es gelten ferner die Identitäten (Abb. 3.8b), also cos > 0, dann ist .a; b; c/ > 0, anderenfalls .cos < 0/ ist .a; b; c/ < 0. Für .a  b/.c  d/ D .a  c/.b  d/ komplanare Vektoren a; b; c ist cos D 0, und es  .a  d/.b  c/ (Laplace); gilt: Drei Vektoren a; b; c sind genau dann linear 2 abhängig oder komplanar, wenn .a; b; c/ D 0. .a  b/ D a2 b2  .ab/2 (Lagrange): Eigenschaften des Spatprodukts: .a; b; c/ D .c; a; b/ D .b; c; a/ D .b; a; c/ D .c; b; a/ D .a; c; b/; 3.2 .a; b; c/ D .a; b; c/;

Der reelle n-dimensionale Vektorraum Rn

.a C b; c; d/ D .a; c; d / C .b; c; d/: Zugrunde gelegt wird die Menge R  R  : : :  Für die rechtsorientierten und orthonormierten R D Rn , d. h. die Menge aller geordneten Basisvektoren gilt .e 1 ; e 2 ; e 3 / D 1: n-Tupel reeller Zahlen. Die n-Tupel werden als Für a D .a1 ; a2 ; a3 /; b D .b1 ; b2 ; b3 /; Spalten geschrieben und kurz dargestellt durch c D .c1 ; c2 ; c3 / gilt ˇ ˇ 1 0 ˇ a1 a2 a3 ˇ a1 ˇ ˇ ˇ ˇ C B .a; b; c/ D ˇ b1 b2 b3 ˇ : B a2 C mit ai 2 R .i D 1; 2; : : : ; n/ ˇ ˇ C ˇ c1 c2 c3 ˇ aDB B :: C und a 2 Rn : @ : A an

3.1.7 Entwicklungssatz und mehrfache Produkte

Die reellen Zahlen ai .i D 1; 2; : : : ; n/ heißen Koordinaten von a. Zwei Elemente a 2 Rn und Der Vektor a.bc/ steht senkrecht (orthogonal) b 2 Rn heißen gleich, a D b, wenn ihre Koordiauf a und b  c, er ist somit komplanar mit den naten gleich sind; Vektoren b und c. Nach dem Entwicklungssatz Addition und Multiplikation mit einer reellen gilt Zahl sind in der Menge Rn definiert durch a  .b  c/ D .a  c/b  .a  b/c: Hiermit ist es möglich, mehrfache Produkte auf einfache zurückzuführen, z. B. .a  b/  .c  d/ D .a; c; d/b  .b; c; d /a D .a; b; d /c  .a; b; c/d : Hieraus folgt weiter die Identität für vier Vektoren a; b; c; d : .a; b; c/d  .a; b; d /c C .a; c; d/b  .b; c; d /a D 0: Ist .a; b; c/ ¤ 0, sind also a; b; c nicht komplanar, so gilt für jeden Vektor d die Darstellung dD

.a; d ; c/ .a; b; d/ .d; b; c/ aC bC c: .a; b; c/ .a; b; c/ .a; b; c/

0 B B aCbDB B @

a1 a2 :: : an

1

0

C B C B CCB C B A @

b1 b2 :: : bn

1 C C C C A

1 a 1 C b1 C B B a 2 C b2 C C 2 Rn ; DB :: C B A @ : a n C bn 1 0 1 0 a1 a1 C B C B B a2 C B a2 C n C C B a D  B D B :: C B :: C 2 R : @ : A @ : A 0

an

an

3

Lineare Algebra

33

Die Menge Rn heißt n-dimensionaler Vektorraum und ihre Elemente Vektoren. Es gilt a C b D b C a; 1  a D a;

a C .b C c/ D .a C b/ C c; .a/ D ./a;

.a C b/ D a C b;

. C /a D a C a:

Zu jedem a 2 Rn und zu jedem b 2 Rn gibt es genau ein x 2 Rn , sodass a C x D b gilt. Dieser Vektor x, der zu a addiert b ergibt, wird durch x D b  a gekennzeichnet und heißt Differenz von b und a. Nullvektor und entgegengesetzte Vektoren sind 1 0 0 B C B 0 C B 0DB : C C und @ :: A 0 1 1 0 0 a1 a1 C C B B B a2 C B a2 C C B B a D B : C ; a D B : C C: @ :: A @ :: A

Beispiel

Die drei Vektoren des R3 0

1 0 1 0 1 3 2 0 B C B C B C a1 D @ 1 A ; a2 D @ 1 A ; a3 D @ 1 A 1 1 1 sind linear abhängig, denn es gilt 2a1 C 3a2 C .1/a3 D 0 und 22 C 32 C .1/2 > 0. J

3.2.1

Der reelle Euklidische Raum

Skalares oder inneres Produkt. Für zwei Vektoren a und b ist es erklärt durch a  b D ab D a1 b1 C a2 b2 C : : : C an bn D

n X

ai bi 2 R:

i D1

Es hat die Eigenschaften ab D ba, .a/b D .ab/, a.b C c/ D ab C ac. Der Vektoran an raum Rn mit diesem Skalarprodukt heißt reeller Euklidischer Raum. Zwei Vektoren a; b heißen Es gilt a C 0 D a; a C .a/ D 0; b C .a/ D orthogonal, wenn ab D 0 ist. b  a: Bei Koordinateneinheitsvektoren ist eine KoNorm oder absoluter Betrag von a heißt die ordinate 1, und alle übrigen sind 0, also reelle Zahl 0 1 0 1 0 1 1 0 0 q p B C B C B C kak D a  a D a12 C a22 C : : : C an2 B 0 C B 1 C B 0 C B C B C B C v B C B C B : C u n e 1 D B 0 C ; e 2 D B 0 C ; : : : ; e n D B :: C : uX B : C B : C B C t B : C B : C B C D ai2 : @ : A @ : A @ 0 A i D1 0 0 1

m Vektoren und Sind a1 ; a2 ; : : : ; am 1 ; 2 ; : : : ; m m reelle Zahlen, dann heißt die Summe 1 a1 C 2 a2 C : : : C m am eine Linearkombination der Vektoren a1 ; a2 ; : : : ; am . Die Vektoren a1 ; a2 ; : : : ; am heißen linear abhängig, wenn es Zahlen ˛1 ; ˛2 ; : : : ; ˛m gibt, sodass ˛1 a1 C ˛2 a2 C : : : C ˛m am D 0 und 2 >0 ˛12 C ˛22 C : : : C ˛m

gilt. Anderenfalls heißen sie linear unabhängig.

Eigenschaften der Norm: kak = 0 und kak D 0 genau dann, wenn a D 0I kak D jjkak

. 2 R/I

jkbk  kakj 5 ka C bk 5 kak C kbk (Dreiecksungleichung). Für beliebige Vektoren a; b 2 Rn gilt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz: jabj 5 kakkbk.

3

34

U. Jarecki

Normierte Vektoren. Sie haben die Norm 1. ten: Orthonormierte Vektoren sind normiert und or1: Det.a1 ; : : : ; ak ; : : : ; an / thogonal. Die Koordinateneinheitsvektoren ei D Det.a1 ; : : : ; ak ; : : : ; an /; sind orthonormiert, und es gilt 2: Det.a1 ; : : : ; ak1 ; b C c; akC1 ; : : : ; an /

( 1 für i D j; e i e j D ıij D 0 für i ¤ j:

D Det.a1 ; : : : ; ak1 ; b; akC1 ; : : : ; an / C Det.a1 ; : : : ; ak1 ; c; akC1 ; : : : ; an /; 3: Det.: : : ; ai 1 ; ai ; ai C1 ; : : : ; aj 1 ; aj ; aj C1 ; : : :/ D Det.: : : ; ai 1 ; aj ; ai C1 ; : : : ; aj 1 ; ai ;

3.2.2 Determinanten

aj C1 ; : : :/ und 4: Det.e 1 ; e 2 ; : : : ; e n / D 1:

Sind 0 B B B B a1 D B B B @

a11 a21 a31 :: : an1

0

1 C C C C C; C C A

a2

a12 B B a22 B B D B a32 B : B : @ : an2 1 a1n C a2n C C a3n C C :: C C : A ann

1 C C C C C; C C A

Hiermit ist eine Determinante n-ter Ordnung eindeutig bestimmt. Ihre wichtigsten Eigenschaften sind: :::;

 Haben die Elemente einer Spalte einen gemeinsamen Faktor, so darf er vor das Determinantenzeichen gezogen werden (Homoge0 nität). B  Besteht eine Spalte aus der KoordinatensumB B me zweier Vektoren, so lässt sich die DetermiB an D B nante in eine Summe aus zwei Determinanten B B zerlegen, von denen jede an Stelle der Koor@ dinatensumme jeweils die Koordinaten eines Vektors enthält (Additivität).  Beim Tausch zweier Spalten kehrt sich das n Vektoren des Rn , so ordnet die Determinante Vorzeichen der Determinante um (Antisymn-ter Ordnung metrie).  Die Determinante aus den KoordinateneinDet.a1 ; a2 ; : : : ; an / heitsvektoren ist 1. ˇ ˇ  Sind zwei Spalten gleich, dann ist die Deterˇ ˇ a ˇ 11 a12 a13 : : : a1n ˇ minante 0. ˇ ˇ ˇ a21 a22 a23 : : : a2n ˇ  Sind alle Elemente einer Spalte 0, so ist die ˇ ˇ ˇ ˇ D ˇ a31 a32 a33 : : : a3n ˇ D jaij jn Determinante 0. ˇ : :: :: :: ˇˇ ˇ :  Wird zu einer Spalte ein Vielfaches einer an: : : ˇ ˇ : ˇ ˇ deren Spalte addiert, so ändert sich der Wert ˇ an1 an2 an3 : : : ann ˇ der Determinante nicht.  Werden alle Spalten mit den entsprechenden den n Vektoren a1 ; a2 ; : : : ; an genau eine reelle Zeilen vertauscht, so ändert sich der Wert der Zahl zu, wobei die folgenden Eigenschaften gelDeterminante nicht.

3

Lineare Algebra

35

Wegen der letzten Eigenschaft können alle für Entwicklungssatz von Laplace. Werden in der die Spalten gültigen Regeln auf die Zeilen über- Determinante tragen werden. Dem Tausch der Spalten mit den Zeilen entspricht ein Spiegeln (Stürzen) der Elemente an der Hauptdiagonale.

Determinantenberechnung

3

!

a11 Determinante 2. Ordnung. Mit a1 D D a21 ! a12 a11 e 1 C a21 e 2 und a2 D D a12 e 1 C a22 e 2 a22 wie angedeutet, die i-te Zeile und die k-te Spalergibt sich te gestrichen, so wird die Determinante (n-1)-ter Ordnung aus den restlichen Elementen als UnDet.a1 ; a2 / terdeterminante Di k bezeichnet. Der Ausdruck D Det.a11 e 1 C a21 e 2 ; a2 / Ai k D .1/i Ck Di k heißt dann adjungierte Unterdeterminante oder Adjunkte des Elements ai k . D a11 Det.e 1 ; a12 e 1 C a22 e 2 / Damit lautet der Entwicklungssatz C a21 Det.e 2 ; a12 e 1 C a22 e 2 / D a11 a12 Det.e 1 ; e 1 / C a11 a22 Det.e 1 ; e 2 /

D D a1k A1k C a2k A2k C : : : C ank Ank ;

C a21 a12 Det.e 2 ; e 1 / C a21 a22 Det.e 2 ; e 2 /

k D 1; 2; 3; : : : ; n:

D .a11 a22  a21 a12 /Det.e 1 ; e 2 / D a11 a22  a21 a12 ;

Dies wird als Entwicklung der Determinante nach den Elementen der k-ten Spalte bezeichnet. a12 Werden die Elemente einer Spalte mit den a22 Adjunkten der Elemente einer anderen Spalte multipliziert, z. B. die Elemente der i-ten Spalte Determinante 3. Ordnung. Eine entsprechende mit den Adjunkten der Elemente der k-ten SpalRechnung ergibt te, dann gilt für die Summe dieser Produkte ˇ ˇ ˇ a11 a12 a13 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a1i A1k C a2i A2k C a3i A3k C : : : C ani Ank ˇ a21 a22 a23 ˇ ˇ ˇ n X ˇ a31 a32 a33 ˇ D ali Alk D 0 für i ¤ k; lD1 a11 a22 a33 C a12 a23 a31 C a13 a21 a32 D : a13 a22 a31  a11 a23 a32  a12 a21 a33 da die zugehörige Determinante zwei gleiche Eine Determinante 3. Ordnung, aber auch nur sie, Spalten enthält. kann mit Hilfe der Regel von Sarrus, die durch Allgemein lautet der Entwicklungssatz für die das folgende Schema gekennzeichnet ist, berech- Spalten bzw. Zeilen net werden. ˇ ˇ a ˇ 11 d. h. ˇ ˇ a21

ˇ ˇ ˇ ˇ D a11 a22  a12 a21 . ˇ

n X

ali Alk D Dıi k

lD1

mit

ıi k

( 1 D 0

bzw.

n X

ai l Akl D d ıi k

lD1

für i D k für i ¤ k

i; k D 1; 2; : : : ; n:

36

U. Jarecki

Beispiel

1. Umformung

Entwicklung einer Determinante 3. Ordnung a) 1. Zeile wird mit 2 multipliziert und zur 2. nach den Elementen der 2. Spalte. Zeile addiert; b) 1. Zeile wird zur 3. Zeile addiert; ˇ ˇ ˇ 1 2 ˇ ˇ ˇ 2 ˇ ˇ ˇ 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2. Umformung ˇ ˇ 1 0 2 ˇ D  .2/ ˇ ˇ ˇ ˇ 2 ˇ 1 ˇ 2 3 1 ˇ a) 2. Zeile wird zur 3. Zeile addiert. J ˇ ˇ ˇ 1 2 ˇ ˇ ˇ C0ˇ ˇ ˇ 2 1 ˇ 3.2.3 Cramer-Regel ˇ ˇ ˇ ˇ 1 2 ˇ ˇ  3ˇ ˇ D 6 J Zugrunde gelegt wird ein lineares Gleichungsˇ 1 2 ˇ system aus n Gleichungen mit n Unbekannten Mehrfache Anwendung des Entwicklungssat- x1 ; x2 ; : : : ; xn zes auf Determinanten mit oberer (unterer) Dreia11 x1 C a12 x2 C a13 x3 C : : : C a1n xn D b1 ; ecksform ergibt a21 x1 C a22 x2 C a23 x3 C : : : C a2n xn D b2 ; ˇ ˇ ˇ a ˇ .................... ; ˇ 11 a12 a13 : : : a1n ˇ ˇ ˇ ˇ 0 a22 a23 : : : a2n ˇ an1 x1 C an2 x2 C an3 x3 C : : : C ann xn D bn : ˇ ˇ ˇ 0 ˇ 0 a33 : : : a3n ˇ ˇ Mit den Vektoren ˇ :: ˇˇ :: ˇ 0 0 1 1 : : ˇ ˇ a1i b1 ˇ ˇ ˇ B B C C 0 ann ˇ B a2i C B b2 C n n B B C C a D ; b D 2 R i D a11 a22 a33 : : : ann: B :: C B :: C 2 R @ : A @ : A Jede Determinante kann auf eine solche Form ani bn gebracht werden mit Hilfe der „elementaren Umformungen“: Tausch zweier Zeilen (Spalten), Ad- lautet das Gleichungssystem dition eines Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu x1 a1 C x2 a2 C x3 a3 C : : : C xn an D b: einer anderen Zeile (Spalte). Das Gleichungssystem heißt regulär, wenn die Systemdeterminante Det.a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an / ¤ Beispiel ˇ ˇ 0, sonst singulär. ˇ 1 2 ˇ ˇ ˇ Werden bei einem regulären Gleichungssysˇ ˇ ˇ 2 0 1 ˇ tem alle n Determinanten gebildet, die aus der ˇ ˇ ˇ 1 3 4 ˇ System-Determinante dadurch hervorgehen, dass jeweils ein Vektor ai .i D 1; 2; : : : ; n/ durch den 1. Umformung ˇ ˇ Vektor b ersetzt wird, so ergibt sich unter Beachˇ 1 1 2 ˇ ˇ ˇ tung der Determinanteneigenschaften ˇ ˇ D ˇ 0 2 3 ˇ ˇ ˇ Det.: : : ; ai 1 ; b; ai C1 ; : : :/ ˇ 0 2 6 ˇ ! n X 2. Umformung xi ai ; ai C1 ; : : : D Det : : : ; ai 1 ; ˇ ˇ i D1 ˇ 1 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D xi Det.a1 ; a2 ; : : : ; ai 1 ; ai ; ai C1 ; : : : ; an / oder D ˇ 0 2 3 ˇ ˇ ˇ Det.a1 ; a2 ; : : : ; ai 1 ; b; ai C1 ; : : : ; an / ˇ 0 0 9 ˇ xi D Det.a1 ; a2 ; : : : ; ai 1 ; ai ; ai C1 ; : : : ; an / D 1.2/.9/ D 18 .i D 1; 2; 3; : : : ; n/

3

Lineare Algebra

37

Diese n Gleichungen geben die Cramer-Regel 3.2.4 Matrizen und lineare zur Lösung eines regulären Gleichungssystems Abbildungen wieder. Praktische Lösungen nach dem Gaußschen Verfahren s. Abschn. 10.4.1. Für homo- Durch ein lineares Gleichungssystem mit reellen gene Gleichungssysteme .b D 0/ folgt aus Koeffizienten der Cramer-Regel, dass xi D 0 für i D y1 D a11 x1 C a12 x2 C a13 x3 C : : : C a1n xn ; 1; 2; : : : ; n. Dies bedeutet, dass die Vektoren a1 ; a2 ; : : : ; an linear unabhängig sind. Daher gilt: y2 D a21 x1 C a22 x2 C a23 x3 C : : : C a2n xn ; Ist Det.a1 ; a2 ; : : : ; an / ¤ 0, so sind die Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , a1 ; a2 ; : : : ; an 2 Rn linear unabhängig. ym D am1 x1 C am2 x2 C am3 x3 C : : : C amn xn ist eine Abbildung A des Vektorraums Rn in den Vektorraum Rm definiert.

Beispiel

A W Rn ! Rm ;

x1  3x2 C 2x3 D 1 x1 C 2x2  x3 D 0 oder x1 a1 C x2 a2 C x3 a3 D b;

wobei

2x1  x2 C 3x3 D 2 0

1 0 1 1 3 B C B C a1 D @ 1 A ; a2 D @ 2 A ; 2 1 0 1 0 1 2 1 B C B C a3 D @ 1 A ; b D @ 0 A : 3 2 Das Gleichungssystem ist regulär, da die System-Determinante ˇ ˇ ˇ 1 3 2 ˇˇ ˇ ˇ ˇ Det.a1 ; a2 ; a3 / D ˇ 1 2 1 ˇ ˇ ˇ ˇ 2 1 3 ˇ D 4 ¤ 0: Die Berechnung der einzelnen Determinanten ergibt Det.b; a2 ; a3 / D 7;

Det.a1 ; b; a3 / D 3;

Det.a1 ; a2 ; b/ D 1;

die jedem Vektor x genau einen Vektor y D Ax 2 Rm zuordnet, wobei 1 1 0 0 y1 x1 C C B B B y2 C B x2 C n m C B B xDB : C2R ; y DB : C C2R : @ :: A @ :: A xn ym y D Ax heißt das Bild von x bei der Abbildung A. Um die Abhängigkeit der Abbildung A von den Koeffizienten ai k .i D 1; 2; : : : ; mI k D 1; 2; : : : ; n/ hervorzuheben, wird A als eine Matrix vom Typ (m, n), also mit m Zeilen und n Spalten, geschrieben. Die Abbildungsgleichung y D Ax lautet dann 1 0 y1 C B B y2 C B : C B : C @ : A ym 0 B B DB B @

a11 a21 . am1

a12 a22

a13 a23

am2

am3

10 a1n CB B a2n C CB CB A@ : : : amn ::: :::

x1 x2 :: : xn

1 C C C C A

Hierbei ist die i-te Koordinate von y D Ax bestimmt durch yi D

n X

ai k xk

kD1

sodass x1 D 7=4; x2 D 3=4; x3 D 1=4. J

D ai1 x1 C ai 2 x2 C ai 3 x3 C : : : C ai n xn :

3

38

U. Jarecki

Es wird also jedes Element ai k der i-ten Zeile durch von A mit der entsprechenden Koordinate xk des Vektors x multipliziert und dann die Summe über A D .a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an / alle Produkte gebildet. Beispiel

2 3 2 3 0 1 D D

!

1 1 B C @ 1 A 2

A.x C y/ D Ax C Ay; A.x/ D .Ax/

2 der Abbildung A D 3 ! 9 Vektor 2 R2 . J 5

!

Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl.

Das Bild des Koordinateneinheitsvektors e i lautet 0 B 1B a11 a12 : : : a1i : : : a1n B B B CB B a21 a22 : : : a2i : : : a2n C B Ae i D B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C B @. .. . .. . .. . .. . . .. . .. . ..AB B am1 am2 : : : ami : : : amn B B @ 0

0 B B B B DB B B @

a1i a2i a3i :: : ami

1

. 2 R/:

Die Matrix A ist also eine lineare Abbildung des Raumes Rn in den Raum Rm . Matrizen mit der gleichen Spalten- und Zeilenanzahl n, die also vom Typ (n, n) sind, heißen n-reihige quadratische Matrizen. Sie bestimmen eine lineare Abbildung des Raums Rn in 1 sich. Zwei Matrizen A D .ai k /(m, n) und B D 1 .b i k /(m, n) vom gleichen Typ heißen gleich .A D C 1 A 2 R3 bei B/, wenn ai k D bi k für alle i D 1; 2; 3; : : : ; m 2 und k D 1; 2; 3; : : : ; n. Dies ist gleichbedeutend ! mit Ax D Bx für alle x 2 Rn . 3 2 ist der In der Menge der Matrizen vom gleichen Typ 0 1 (m, n) sind die Verknüpfungen erklärt:

.2/.1/ C 3  1 C 2  2 3.1/ C 0  1 C .1/2 ! 9 ; 5

B d. h., das Bild des Vektors @

.i D 1; 2; 3; : : : ; n/:

Ist A eine Matrix vom Typ (m, n) und sind x; y beliebige Vektoren aus Rn , dann gelten

0

0

mit ai 2 Rm

0 0 W 1 W 0 0

1 C C C C C C C C C C C A

A D .ai k /(m, n) D .ai k /(m, n) Jedes Element von A wird mit  multipliziert. Beispiel

i

C C C C C D a i 2 Rm : C C A

Die Elemente der i-ten Spalte von A sind also die Koordinaten des Bildvektors Ae i D ai , und die Matrix A wird dementsprechend auch dargestellt

3

2 1 3 1 1 0

! D

6 3 9 3 3 0

! J

Addition zweier Matrizen. Die Summe A C B der Matrizen A D .ai k /(m, n) und B D .bi k /(m, n) ist erklärt durch ACB D .ai k /(m, n) C.bi k /(m, n) D .ai k Cbi k /(m, n) : Matrizen werden elementweise addiert. Beispiel

2 2 1 3 1 0 D

1 1 1 4 1 1

! C !

1 1 2 1 0 1

!

J

3

Lineare Algebra

39

Für diese beiden Verknüpfungen gelten fol- Hiernach erhält man das Bild .BA/x des Vektors x 2 Rn bei der Abbildung BA dadurch, dass gende Eigenschaften: zuerst das Bild Ax von x 2 Rn bei der AbbilACB D BCA; .ACB/CC D AC.BCC /: dung A und dann das Bild B.Ax/ des Vektors Ax 2 Rm bei der Abbildung B bestimmt wird. Zu jeder Matrix A und zu jeder Matrix B gibt es Die zugehörige Matrix BA wird als das Produkt genau eine Matrix X, sodass A C X D B gilt. der Matrizen B D .b / ij (l, m) und A D .aj k /(m, n) ¯ ¯ Diese Matrix X, die zu A addiert B ergibt, wird bezeichnet; es ist eine Matrix vom Typ (l, n) mit ¯ durch X D B  A gekennzeichnet und heißt Dif- den Elementen ¯ ferenz von B und A. m 9 X 1  A D A; .A/ D ./A; > ci k D bij aj k i D 1; 2; 3; : : : ; lI = j D1 ;  2 R: .A C B/ D A C B; k D 1; 2; 3; : : : ; n: > ; . C /A D A C A Diese Summe heißt das „Produkt aus der i-ten Die Matrix, deren Elemente Null sind, heißt Null- Zeile von B und der k-ten Spalte von A“. Das matrix 0. Für sie gilt AC0 D A. Produkt BA ist nur für Matrizen erklärt, bei deDie Matrix, deren Elemente das entgegenge- nen die Anzahl der Spalten von B mit der Anzahl setzte Vorzeichen der Elemente einer Matrix A der Zeilen von A übereinstimmt. haben, heißt die zu A entgegengesetzte Matrix A. Für sie gilt A C .A/ D0. Beispiel Multiplikation von Matrizen. Durch die beiden linearen Gleichungssysteme z1 D b11 y1 C b12 y2 C b13 y3 C : : : C b1m ym z2 D b21 y1 C b22 y2 C b23 y3 C : : : C b2m ym z D b y1 C b32 y2 C b33 y3 C : : : C b3m ym . .3. . . . . 31 ................................... zl D bl1 y1 C bl2 y2 C bl3 y3 C : : : C blm ym y1 D a11 x1 C a12 x2 C a13 x3 C : : : C a1n xn y2 D a21 x1 C a22 x2 C a23 x3 C : : : C a2n xn y D a x C a x C a x C : : : C a xn . . 3. . . . . .31. . .1 . . . . .32. . .2 . . . . .33. . .3 . . . . . . . . . .3n ....... ym D am1 x1 C am2 x2 C am3 x3 C : : : C amn xn sind zwei lineare Abbildungen erklärt. z D By;

B W Rm ! Rl

y D Ax;

AWR !R n

und m

mit den Matrizen B D .bij /(l, m) und A D .aj k /(m, n) . Die Zusammensetzung oder Komposition der beiden Abbildungen – zuerst A, dann B – bestimmt wieder eine lineare Abbildung: die Produktabbildung mit dem Symbol B  A oder BA. BA W Rn ! Rl ;

z D .BA/x D B.Ax/:

BA D C . 1 0 2 1 D

2 3 3 0

1 1 0 2 3 3 B C @ 0 1 1 2 A 1 1 1 0 0 ! 2 3 3 4 !

0

c24 D b21 a14 C b22 a24 C b23 a34 D 2  3 C 1.2/ C 1  0 D 4: J 1 x1 C B B x2 C C Wird der Vektor x D B B :: C entsprechend @ : A xn seiner Schreibweise als Matrix vom Typ (n, 1) aufgefasst, so lässt sich der Vektor Ax 2 Rm auch als Produkt aus der Matrix A D .ai k /(m, n) vom Typ (m, n) und der Matrix x vom Typ (n, 1) darstellen. Im Allgemeinen sind in einem Matrizenprodukt die Matrizen nicht vertauschbar. Die Matrizenmultiplikation besitzt aber die Eigenschaften der Assoziativität und der Distributivität (bezüglich der Matrizenaddition), d. h., es gelten die 0

3

40

U. Jarecki

Gleichungen .AB/C D A.BC /;

Quadratische Matrizen. Eine quadratische Matrix A mit n Zeilen und Spalten heißt n-reihig.

.A C B/C D AC C BC ;

A D .aij /n D .a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an /

A.B C C / D AB C AC :

Gestürzte oder transponierte Matrix A T . Sie Ihre Determinante ist geht aus der Matrix A dadurch hervor, dass deren Spalten und Zeilen vertauscht werden. jAj D Det.a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an / : 1 0 a11 a12 a13 : : : a1n Quadratische Matrizen A mit jAj ¤ 0 heißen C B A D @ a21 a22 a23 : : : a2n A ; regulär sonst singulär. Für die n-reihige Einheitsam1 am2 am3 : : : amn matrix 1 0 1 0 a11 a21 : : : am1 1 0 C B B a12 a22 : : : am2 C C B C: C B 1 AT D B C B a C B @ 13 a23 : : : am3 A C B 1 E DB C D .ıi k /n ; C B a1n a2n : : : amn :: C B : A @ Rang einer Matrix. Werden in der Matrix 0 1 ( 1 für i D k A D .aij /(m, n) D .a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an /; ai 2 Rm ; ıi k D 0 für i ¤ k ; m-k verschiedene Zeilen und n-k verschiedene Spalten gestrichen, wobei 1 5 k 5 min.m; n/, so bilden die übrigen Elemente ein quadratisches gilt jE j D 1 und AE D E A D A. Ist A D .ai l /n eine reguläre Matrix, also Schema aus k Zeilen und k Spalten. Die Determinante aus diesen Elementen heißt eine Unterde- jAj ¤ 0, so folgt aus dem Entwicklungssatz von terminante k-ter Ordnung der Matrix A. Besitzt Laplace (s. Abschn. 3.2.2) A eine von Null verschiedene Unterdeterminante n X r-ter Ordnung und haben alle UnterdeterminanAkl ai l blk D ıi k mit blk D und ten, deren Ordnung größer als r ist, den Wert 0, jAj lD1 so heißt r Rang der Matrix AI Rg.A/ D r. i; k; l D 1; 2; 3; : : : ; nI Der Rang einer Matrix ist invariant gegenüber elementaren Umformungen. Elementare Umformungen einer Matrix A oder AB D E , wobei B D .blk /n inverse Matrix von A heißt und das Symbol A 1 hat. sind:  Vertauschen von beliebig vielen Spalten (Zeilen), Multiplikation von Spalten (Zeilen) mit einer von Null verschiedenen Zahl,  Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile),  Vertauschen von Zeilen und Spalten (Stürzen).

0 A

1

B 1 B B D jAj B @

mit AA

1

A11 A12 . A1n

A21 A22

A31 A32

A2n

A3n

1 An1 C An2 C C C A : : : Ann ::: :::

1

D A A D E:

Bei einer Matrix mit dem Rang r sind genau r ihrer Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) linear un- Hierbei ist jAj die Determinante von A und Aij die Adjunkte des Elements aij . abhängig.

3

Lineare Algebra

41

Beispiel

AD

A

a12 a22

;

ˇ ˇ ˇ ˇ D a11 a22  a12 a21 ¤ 0; ˇ ! 1 a22 a12 D : J a11 a22  a12 a21 a21 a11

ˇ ˇ a ˇ 11 jAj D ˇ ˇ a21 1

a11 a21

!

a12 a22

Koordinaten xi .i D 1; 2; 3; : : : ; n/ des Lösungsvektors x sind dann gemäß der Cramer-Regel (s. Abschn. 3.2.3) bestimmt durch xi D

Det.a1 ; a2 ; : : : ; b; : : : ; an / ; Det.a1 ; a2 ; : : : ; ai ; : : : ; an / .i D 1; 2; : : : ; n/:

Homogenes Gleichungssystem Ax D 0 Hat die Koeffizientenmatrix vom Typ (m, n) den Rang r, dann hat das homogene Gleichungssystem Ax D 0 für r D n als einzige Lö3.2.5 Lineare Gleichungssysteme sung den Nullvektor 0 (triviale Lösung) für r < n n  r linear unabhängige Lösungsvektoren Zugrunde gelegt wird ein lineares Gleichungssys- x ; x ; : : : ; x , und jede Lösung x ist eine Li1 2 nr tem aus m linearen Gleichungen mit n Unbekann- nearkombination dieser Vektoren ten x1 ; x2 ; : : : ; xn . a11 x1 C a12 x2 C a13 x3 C : : : C a1n xn D b1 a x1 C a22 x2 C a23 x3 C : : : C a2n xn D b2 . . 21 .......................................... am1 x1 C am2 x2 C am3 x3 C : : : C amnxn D bm

i 2 R:

Die Gesamtheit der Linearkombinationen heißt allgemeine Lösung der homogenen Gleichung. Beispiel

bzw. Ax D b, wobei A D .aij /(m, n) D .a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an /; ai 2 Rm ;

x D 1 x 1 C x 2 C : : : C nr x nr ;

.i D 1;2; : : : ; n/:

Die Matrix, die aus A durch Erweiterung mit den Koordinaten bi des Vektors b hervorgeht, heißt erweiterte Koeffizientenmatrix und wird ausgedrückt durch .A; b/ D .a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ; b/: Das Gleichungssystem heißt homogen, wenn b D 0, sonst inhomogen. Wird die Matrix A als eine lineare Abbildung des Raumes Rn in den Raum Rm aufgefasst, so besteht die Lösungsmenge des Gleichungssystems aus allen Vektoren x 2 Rn , deren Bild Ax der Vektor b ist. Das lineare Gleichungssystem Ax D b ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Matrix A gleich dem Rang der erweiterten Matrix .A; b/ ist, d. h., wenn Rg.A/ D Rg.A; b/: Für den Sonderfall, dass A regulär ist, also die inverse Matrix A 1 existiert, folgt unmittelbar aus Ax D b die Lösungsformel x D A 1 b. Die

2x1 C x2 C 2x4 D 0 x1 C x2  2x3 C 3x4 D 0 oder 3x2  4x3 C 8x4 D 0 1 0 0 1 0 1 x1 C 2 1 0 2 B 0 C B x2 C B B C C @ 1 1 2 3 A B B x C D @ 0 A: @ 3 A 0 3 4 8 0 x4 Alle vier Unterdeterminanten 3. Ordnung ˇ der ˇ 1ˇ D Koeffizientenmatrix sind Null. Da ˇ 2 1 1 3 ¤ 0 ist, hat die Koeffizientenmatrix den Rang 2 und es gibt 4 – 2 D 2 linear unabhängige Lösungsvektoren x 1 ; x 2 . Da die dritte Gleichung des Systems eine Linearkombination der beiden ersten Gleichungen und damit überflüssig ist, werden diese beiden Vektoren aus den beiden ersten Gleichungen bestimmt. C 2x4 D 0 2x1 C x2 x1 C x2  2x3 C 3x4 D 0 2x1 C x2 D  2x4 : x1 C x2 D 2x3  3x4

oder

3

42

U. Jarecki

Hieraus ergeben sich nach der Cramer-Regel (s. Abschn. 3.2.3) für x3 D 1 und x4 D 0 bzw. für x3 D 0 und x4 D 1 die Lösungen x1 D 2=3 und x2 D 4=3 bzw. x1 D 1=3 und x2 D 8=3, sodass 0 B B x1 D B B @

2=3 4=3 1 0

1

0

C C C D 1=3 C A

B B B B @

2 4 3 0

B B x2 D B B @

1=3 8=3 0 1

1

0

C C C D 1=3 C A

B B B B @

0 B B x H D 1 B B @

1 C C C C A

1 8 0 3

2 4 3 0

1

0

C B C B C C 2 B C B A @

1 8 0 3

1 C C C; C A

1 ; 2 2 R

und 0

der Gleichung des letzten Beispiels überein, sodass deren allgemeine Lösung

1

ist. Die dritte Gleichung ist wieder eine Linearkombination der beiden ersten Gleichungen und damit überflüssig. Mit x1 D 0 und x2 D 0 lauten die beiden ersten Gleichungen

C C C C A

zwei linear unabhängige Lösungsvektoren sind, mit denen die allgemeine Lösung x D 1 x 1 C 2 x 2 für beliebige 1 ; 2 2 R ist. J

Inhomogenes Gleichungssystem AxDb .b ¤ 0) Die Lösbarkeitsbedingung Rg.A/ D Rg.A; b/ sei erfüllt. Aus den linearen Eigenschaften der Abbildung A folgt unmittelbar: Die allgemeine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems ist gleich der Summe aus der allgemeinen Lösung des homogenen Gleichungssystems und einer speziellen Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. Beispiel

2x1 C x2 C 2x4 D 1 x1 C x2  2x3 C 3x4 D 0 oder 3x2  4x3 C 8x4 D 1 1 0 0 1 0 1 x1 C 2 1 0 2 B 1 B C B x2 C C C B @ 1 1 2 3 A B B x C D @ 0 A: @ 3 A 0 3 4 8 1 x4

2x4 D 1 2x3 C 3x4 D 0 woraus

;

x3 D 3=4 x4 D 1=2

folgt, so dass 0 B B xP D B B @

0 0 3=4 1=2

1

0

C B C B CD 1B C 4B A @

0 0 3 2

1 C C C C A

eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Die allgemeine Lösung lautet somit 1 1 0 0 0 1 2 1 0 C C B B B C B 4 C B 8 C 1 B 0 C C C B B C x D 1 B B 3 C C 2 B 0 C C 4 B 3 C A A @ @ @ A 0 3 2 für beliebige 1 ; 2 2 R: J

3.3

Ergänzungen zur Höheren Mathematik

Klarere Definitionen alter mathematischer BeDie Lösbarkeitsbedingung ist erfüllt. Die griffe, neue Ingenieuranwendungen auf der Bazugehörige homogene Gleichung stimmt mit sis der klassischen Analysis und die Einführung

3

Lineare Algebra

43

Abb. 3.9 Differenz u  v von Fuzzyzahlen

3 verallgemeinerter Zahlendarstellungen ergänzen immer wieder die mathematischen Hilfsmittel des Ingenieurs. Beispiele gibt es hierfür in der Beschreibung von Stoffgesetzen mit Gedächtnis über fraktionale Ableitungen und in der Zuschärfung des Dirac-Delta Formalismus über integral formulierte Distributionen. Selbst in der Algebra gibt es neue für den Ingenieur interessante Entwicklungen. So die Einführung der Intervallrechnung und die Weiterentwicklung zur Fuzzy-Algebra. In der Intervallarithmetik wird eine Zahl z nicht mehr nur durch einen einzigen diskreten Wert dargestellt, sondern durch ein Intervall mit einer unteren Schranke z und einer oberen Schranke zN .

Eine Aussage wie: die Verschiebung u liegt überwiegend zwischen 7,4 cm und 7,6 cm und fällt gelegentlich bis auf 7,0 cm ab oder steigt bis auf maximal 8,0 cm, lässt sich durch die Zugehörigkeitsfunktion im Abb. 3.9b darstellen. Eine weitere Aussage wie: die Verschiebung v beträgt ungefähr 3,0 cm und liegt garantiert nicht unter 2,5 cm oder über 3,5 cm, ist in Abb. 3.9a veranschaulicht. Die Differenz u  v folgt aus einfacher Anwendung der Regel (3.2) angewandt auf jedes -Niveau, wie im Abb. 3.9c für  = 0,5 eingetragen.

Allgemeine Literatur z D Œz; zN  I

z 6 z 6 z: N

(3.1)

Bücher Auf dieser Menge werden Verknüpfungen de- Jänich, K.: Lineare Algebra. 5. Auflage 1993, Springer. Kowalsky, H.-J.: Lineare Algebra. 9. Auflage 1979, de finiert; so zum Beispiel die Subtraktion u  v: N I u D Œu; u

v D Œv; v N :

u  v D Œu  v; N uN  v :

(3.2)

Gruyter. Walter, R.: Einführung in die lineare Algebra. 3. Auflage 1990, Vieweg. Walter, R.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. 2. Auflage 1993, Vieweg. Zurmühl; Falk: Matrizen und ihre technischen Anwendungen. Tl. 1: Grundlagen. 6. Auflage 1992. Tl. 2: Numerische Methoden. 5. Auflage 1986, Springer.

Die Bewertung der Zahlen z im Intervall Œz ; zN  hinsichtlich ihrer Zugehörigkeit zum Intervall durch eine sogenannte Zugehörigkeitsfunktion  (memoryfunction) mit Werten zwi- Normen schen 0 (mit Sicherheit keine Zugehörigkeit) und DIN1303: Schreibweise von Tensoren (Vektoren). DIN5486: Schreibweise von Matrizen. 1 (mit Sicherheit volle Zugehörigkeit) beschreibt den Übergang von bewertungsneutralen Zahlenintervallen zu Fuzzyzahlen.

4

Geometrie Hans-Joachim Schulz

4.1 Bemerkungen zur elementaren Geometrie

Schnittpunkt. n verschiedene, nicht paarweise parallele Geraden ergeben n(n  1)=2 Schnittpunkte (z. B. haben vier Geraden sechs Schnittpunkte). In der Geometrie werden – ausgehend von durch Abstraktion gewonnenen Grundfiguren (Punkt,  Durch einen Punkt einer Ebene lassen sich unendlich viele Geraden legen. Sie bilden ein Gerade, Ebene) und Grundrelationen (ZugehörigGeradenbüschel; der Schnittpunkt heißt Träkeit D Inzidenz, Symbol 2; Anordnung, Symbole ger des Büschels. ; Deckungsgleichheit D Kongruenz,  Die Gesamtheit aller zu einer gegebenen GeSymbol Š; Stetigkeit = dichte Anordnung der raden parallelen Geraden bildet ein ParallelenPunkte) – Axiome aufgestellt, die unmittelbar büschel oder eine Richtung. Der Träger des verständlich und nicht anderweitig zu beweisen Parallelenbüschels liegt im Unendlichen. sind.  Durch drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, lassen sich genau drei 4.2 Ebene Geometrie (Planimetrie) verschiedene Geraden durch je zwei Punkte legen. Sie bestimmen eine Ebene im Raum. In der Planimetrie (Flächenmessung) wird eine unendlich ausgedehnte Ebene als gegeben vor- Halbgerade. Ein Punkt A auf der Geraden teilt ausgesetzt. In Bildern sind nur endliche Aus- diese in zwei Halbgeraden. schnitte darstellbar. Achse. Eine orientierte Gerade heißt Achse. Die Orientierung (der Richtungssinn) einer Geraden 4.2.1 Punkt, Gerade, Strahl, Strecke, wird durch einen Pfeil, der den Durchlaufsinn Streckenzug angibt, oder ein geordnetes Punktepaar kenntlich gemacht, dessen erster Punkt z. B. der AnfangsParallelen. Zwei Geraden heißen parallel, wenn punkt der Halbgeraden ist. sie keinen oder alle Punkte gemeinsam haben. Aus den Axiomen folgt für die Schnittpunkte Strahl. Eine orientierte Halbgerade mit Anmehrerer Geraden: fangspunkt heißt Strahl.  Zwei verschiedene, nichtparallele Geraden Strecke. Zwei verschiedene Punkte A, B auf eihaben genau einen Punkt gemeinsam: den ner Geraden definieren die Strecke AB durch ihre Endpunkte. Zum Vergleich verschiedener StreH.-J. Schulz () Berlin, Deutschland cken mit Hilfe der Kongruenzaxiome werden © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_4

45

46

H.-J. Schulz

Abbildungen der Ebene auf sich definiert, die die Abstände und Anordnungen der Punkte einer Figur in sich nicht ändern, mit denen man aber Figuren „übereinanderschieben“ und auf Deckung vergleichen kann. Diese Abbildungen sind anschaulich mit den Bewegungen Parallelverschiebung, Drehung um einen Punkt und Spiegelung an einer Geraden zu beschreiben. Streckenzug. Eine zusammenhängende Folge von Strecken verschiedener Richtung heißt Streckenzug (Polygonzug: Polygon = Vieleck). Die je zwei Strecken gemeinsamen Punkte werden Eckpunkte genannt. Ist der Polygonzug geschlossen, d. h. fallen Anfangspunkt der ersten Strecke und Endpunkt der n-ten Strecke zusammen, so bildet der Polygonzug den Rand eines n-Ecks mit den Strecken als Seiten. Die Verbindungsstrecken zweier Eckpunkte, die nicht Seiten sind, heißen Diagonalen. Ein Polygon ist konvex, wenn für zwei beliebige Punkte des Polygons auch alle Punkte der Verbindungsstrecke zum Polygon gehören, anderenfalls ist es konkav.

Abb. 4.2 Ebene Winkel. a Richtungssinn; b Bezeichnungen; c Paarungen

Schenkel zweier ungerichteter Winkel (Pfeilbögen 1 und 2). So ist der Winkel ^ASB oder ^.aC ; b C / mit den Pfeilen 1 und 2 entgegen dem Uhrzeigersinn mathematisch positiv. Er ist durch Zahlenwert und Richtung bestimmt. Nach der Größe (Abb. 4.2b) werden ˛ spitze, ˇ rechte, stumpfe, ı gestreckte, " überstumpfe und

volle Winkel unterschieden (Einheiten s. DIN 1315).

Winkel an zwei einander schneidenden Geraden (Abb. 4.2c). Nebenwinkel sind ˛ und ˇ, ˇ und , und ı, ı and ˛. Es gilt ˛ C ˇ D 180ı I ˛ hat mit ˇ einen Schenkel gemeinsam. Scheitelwinkel sind ˛ und , ˇ und ı. Es gilt ˛= und 4.2.2 Orientierung einer Ebene ˇ=ı. Supplementwinkel haben die Winkelsumme Eine Gerade g zerlegt eine Ebene  in eine po- 180, Komplementwinkel 90. sitive . C / und negative .  / Halbebene; sie ist Rand für jede dieser Halbebenen. Wird die Gerade orientiert mit der Wahl eines Strahls g C , 4.2.4 Strahlensätze so markiert die Kreislinie mit Durchlaufsinn die Orientierung der Ebene, die durch den Punkt B 2 Werden zwei parallele Geraden von einer dritten g C entsteht, wenn g C in  C hineingedreht wird. geschnitten, so gelten für die dabei entstehenden Der mathematisch positive Drehsinn einer Ebene Winkel (Abb. 4.3): ist entgegen dem Uhrzeigersinn (Abb. 4.1).  Stufenwinkel .˛; ˛ 0 /; . ; 0 /; .ˇ; ˇ 0 / und (ı, ı) sowie Wechselwinkel .˛; 0 /; .˛ 0 ; /; .ˇ; ı 0 / 4.2.3 Winkel und .ˇ 0 ; ı/ sind gleich.  Entgegengesetzt liegende Winkel .˛; ı 0 /; Zwei Strahlen aC ; b C (Abb. 4.2a) mit gemein.˛ 0 ; ı/; .ˇ; 0 / und .ˇ 0 ; / sind Supplementsamem Anfangspunkt S (Scheitel) bilden die winkel mit der Summe 180°. Abb. 4.1 Orientierung einer Ebene

Abb. 4.3 Winkel an Parallelen, die von einer Geraden geschnitten werden

4 Geometrie

47

Jede dieser Eigenschaften ist notwendig und Die Umkehrung des 2. Strahlensatzes ist nicht hinreichend dafür, dass zwei von einer dritten ge- eindeutig, wenn jA1 B1 j < jSA1 j ist. Dann ist zwar jA1 B3 j W jA2 B2 j D jSA1 j W jSA2 j, aber schnittene Gerade parallel sind. jA1 B3 j ¬ jA2 B2 j. Abstand. Vor allen Verbindungsstrecken PAi (Abb. 4.4) zwischen einem Punkt P und einer Geraden g, mit P 62 g und beliebigen Punkten 4.2.5 Ähnlichkeit Ai 2 g, heißt die Strecke mit der kleinsten Länge jPAl j D minjPAi j der Abstand d des Punkts P Zwei Polygone heißen ähnlich, wenn durch gevon der Geraden. Der Punkt Al liegt auf der zu g eignete Drehung oder Spiegelung einander entsprechende Seiten parallele Geraden werden, senkrechten Geraden durch P. Für viele Konstruktions- und Messaufgaben d. h., wenn die Figuren in der Form – also in Anordnung und Größe aller Winkel –, jedoch nicht sind folgende Sätze wichtig: in den Seitenlängen übereinstimmen. Weiterhin 1. Strahlensatz (Thales). Werden zwei von ei- folgt mit den beiden Strahlensätzen, dass in ähnnem Punkt ausgehende Strahlen von (zwei) Paral- lichen Polygonen die einander entsprechenden lelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnit- Seitenlängen proportional sind. te (Streckenlängen) auf dem einen Strahl wie Beispiel die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl. Nach Abb. 4.5 ist Aus jSB1 j W jB1 B2 j D jSA1 j W jA1 A2 j und jSB1 j W jSB2 j D jSA1 j W jSA2 j:

(4.1)

Ferner gilt die Umkehrung des 1. Strahlensatzes (Beispiel s. Abschn. 4.1.6).

jBC j W jB 0 C 0 j D jBSj W jB 0 Sj und jBAj W jB 0 A0 j D jBSj W jB 0 Sj (2. Strahlensatz; Abb. 4.6) folgt jBC j W jB 0 C 0 j D jBAj W jB 0 A0 j und jBC j W jBAj D jB 0 C 0 j W jB 0 Aj; also sind die Dreiecke 4(ABC) und 4.A0 B 0 C 0 / ähnlich. J

2. Strahlensatz. Werden zwei von einem Punkt S ausgehende Strahlen von (zwei) Parallelen geSpeziell für Dreiecke ergeben sich Ähnlichschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf keitssätze, bei denen nicht alle Winkel bzw. Proden Parallelen wie die entsprechenden von S aus portionen geprüft werden müssen. Dreiecke sind gemessenen Abschnitte auf jedem Strahl. Mit ähnlich, wenn sie übereinstimmen in zwei SeitenAbb. 4.5 gelten also verhältnissen, im Verhältnis zweier Seiten und in jA1 B1 j W jA2 B2 j D jSA1 j W jSA2 j und jA1 B1 j W jA2 B2 j D jSB1 j W jSB2 j:

(4.2)

Abb. 4.4 Abstand des Punkts P von der Geraden gI d D jPA1 j D minjPAi jI i D 1; 2; : : : ; l; : : :

Abb. 4.5 Strahlensätze

Abb. 4.6 Ähnliche Dreiecke. a Parallellage; b Spiegellage

4

48

H.-J. Schulz

dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel, in zwei gleichliegenden Innenwinkeln, im Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel.

lelen (gestrichelt) ist die Strecke AB in n C m gleich große Strecken zu teilen (Abb. 4.7a). J

4.2.7 Pythagoreische Sätze 4.2.6 Teilung von Strecken

Allgemeine Dreiecke Nach Abb. 4.8 sind Eckpunkte A, B, C im maDie Aufgabe, eine gegebene Strecke AB in ei- thematisch positiven Umlaufsinn zu definieren nem beliebigen reellen Verhältnis v D m W n mit (4ABC). Die Seiten a, b, c liegen gegenüber jvj D jAT j W jTBj zu teilen, ist mit Hilfe der den gleich lautenden Eckpunkten, und die InStrahlensätze lösbar (Abb. 4.7a). nenwinkel ˛, ˇ, haben den „gleich lautenden“ Eckpunkt als Scheitel. Äußere und innere Teilung. Liegt der Teilungspunkt Ti zwischen A und B, so liegt eine innere Bezeichnungen. Höhen ha ; hb ; hc sind AbstänTeilung vor; es sei v > 0. Liegt Ta außerhalb de der Eckpunkte von ihren gegenüberliegenden der Strecke AB, so ist es die äußere Teilung mit Seiten. Insbesondere schneiden sich (Abb. 4.8a– v < 0. c) die: Harmonische Teilung. Hier sind die Beträge a Seitenhalbierenden sa ; sb und sc im Schwerder äußeren und inneren Teilung gleich, also punkt S, jATa j W jTa Bj D jATi j W jTi Bj. b Winkelhalbierenden w˛ ; wˇ und w im Mittelpunkt Mi des Innenkreises mit den Seiten als Goldener Schnitt. Er heißt auch stetige Teilung Tangenten, (Abb. 4.7b) und stellt die innere Teilung dar, für c Mittelsenkrechten m ; m und m im Mittela b c die jABj W jAT j D jAT j W jTBj ist. punkt Mu des Umkreises durch die Eckpunkte. Beispiel

Gegeben ist die Strecke AB. Gesucht werden Ti für v D 3 W 5 und Ta für v D 3 W 5. – Die Geraden durch (A, D) und (B, C) sind beliebige Parallelen. Mit Hilfe weiterer Paral-

Abb. 4.7 Teilung der Strecke AB. a äußere und innere Teilung; b stetige Teilung (Goldener Schnitt)

Für die Höhen (Abb. 4.8d) gilt: ha W hb W hc D 1=a W 1=b W 1=c:

Abb. 4.8 Dreieck. a Seitenhalbierende und Schwerpunkt; b Winkelhalbierende und Innenkreis; c Mittelsenkrechte und Umkreis; d Höhen

4 Geometrie

49

Sätze Von je zwei verschieden großen Seiten eines Dreiecks liegt der größeren Seite der größere Winkel gegenüber. – Die Summe der Innenwinkel beträgt 180. – Für Dreiecke folgen aus einer Formel zwei weitere durch zyklische Vertauschungen, also durch Ersetzen der Zahlentripel (a, b, c) und (˛, ˇ, ) durch (b, c, a) und (ˇ, , ˛) oder (c, a, b) und ( , ˛, ˇ).

der Ähnlichkeit der Dreiecke 4(ABC), 4(ACF) und 4(CBF). Seine allgemeine Form ist der Kosinussatz (s. Abschn. 4.2.2). Dreiecke lassen sich durch ihre Höhe in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Konvexe Polygone bestehen aus einzelnen Dreiecken (s. Abschn. 4.2.2).

Einteilung. Sie erfolgt nach Winkeln in spitz-, recht- und stumpfwinklige Dreiecke sowie nach den Seiten in gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke.

Beweis für die Konstruktion des goldenen Schnitts. – Nach Abb. 4.7b mit jABj D a; jAT j D x D jAS j; jTBj D a  x und jMBj D a=2 gilt im Dreieck 4ABM der Satz des Pythagoras: a2 C a2 =4 D .x C a=2/2 bzw. a : x D x : (a  x), also stetige Teilung. J

Beispiel

Rechtwinkliges Dreieck Hier heißen die Schenkel des rechten Winkels Katheten (a und b in Abb. 4.9a) und die ihm ge4.3 genüberliegende Seite Hypotenuse (c).

Trigonometrie

Die Trigonometrie ist die Lehre von der Berechnung der Dreiecke mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen, auch Winkel- oder Kreisfunktionen genannt. Die hier behandelte ebene Trigonometrie setzt das Dreieck in der Ebene voraus. Bei der sphärischen Trigonometrie dagegen werden die Dreiecke von Kreisbögen auf Kugeloberflächen gebildet. Mit der Erweiterung der Definition trigonometrischer Funktionen auf komplexe Variable ergeben sich Zusammenhänge Höhensatz, Sätze von Euklid und Pythagoras. mit den Exponential- und Hyperbelfunktionen. Sie lauten (4.3) h2c D a0 b 0 I

Satz von Thales. Der geometrische Ort aller Dreieckpunkte Ci , die mit einer gegebenen Strecke AB ein rechtwinkliges Dreieck bilden, ist der Kreis durch A und B mit Mittelpunkt M auf der Strecke AB (Abb. 4.9b). Im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b teilt der Fußpunkt F der Höhe hc die Hypotenuse c in die Abschnitte a0 und b 0 , die Projektionen der Katheten auf die Hypotenuse.

a2 D a0 c;

b 2 D b 0 cI

4.3.1 Goniometrie

(4.4)

In der Goniometrie werden diejenigen Beziehungen der trigonometrischen Funktionen, die allein Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Winkel (s. Abschn. 4.1.3) betreffen, untersucht. Hypotenusenlänge gleich der Summe der Quadrate der Kathetenlängen. Der Beweis folgt aus Trigonometrische Funktionen Sie sind zunächst für ungerichtete spitze Winkel im rechtwinkligen Dreieck als Verhältnisse von Seitenlängen definiert. Entsprechend Abb. 4.9a gilt mit der Ankathete b, der Gegenkathete a und der Hypotenuse c a2 C b 2 D c 2 :

(4.5)

Sinus: Abb. 4.9 Sätze des rechtwinkligen Dreiecks. a Pythagoras und Höhensatz; b Thales

Kosinus:

sin ˛ D a=c D 1= cosec ˛I

(4.6)

cos ˛ D b=c D 1= sec ˛I

(4.7)

4

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H.-J. Schulz

tan ˛ D a=b;

Tangens: Kotangens:

˛ ¤ 90ı I

(4.8)

˛ ¤ 0ı :

(4.9)

cot ˛ D b=a;

Trigonometrischer Satz von Pythagoras sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1I

(4.10)

tan ˛ D 1= cot ˛ D sin ˛= cos ˛; 1 C tan2 ˛ D 1= cos2 ˛; 1 C cot2 ˛ D 1= sin2 ˛ sin.90ı  ˛/ D cos ˛;

(4.11)

cos.90ı  ˛/ D sin ˛;

tan.90ı  ˛/ D cot ˛;

cot.90ı  ˛/ D tan ˛: (4.12) Die Anwendung der Definitionen auf rechtwinklige Dreiecke als Teile von gleichseitigen Dreiecken oder Quadraten der Kantenlänge 1 ergibt die Werte für einige wichtige Winkel: ˛ sin ˛ cos ˛ tan ˛ cot ˛

0° 0 1 0 1

30° 1/2 p .1=2/p 3 .1=3/ 3 p 3

45° p .1=2/p 2 .1=2/ 2 1 1

60° p .1=2/ 3 1/2 p 3 p .1=3/ 3

90° 1 0 1 0

Abb. 4.10 Trigonometrische Funktionen. a Einheitskreis; b Darstellung

Funktionen beliebiger Winkel. Abb. 4.10a zeigt die für einen auf dem Kreis umlaufenden Punkt P D (x, y) geltenden Zuordnungen für beliebige Winkel '. Die trigonometrischen Funktionen (Abb. 4.10b) – als Menge von Punktpaaren (x, y) im Sinne der Abbildung einer Menge fxg .x D '=rad Zahlenwert des Winkels, s. Abschn. 4.1.3) – sind Œsin D f.x; y/jx 2 R; y 2 Œ1; 1; x 7! y D sin xgI Œcos D f.x; y/jx 2 R; y 2 Œ1; 1; x 7! y D cos xgI

2 n/ D sin x, cos.x C 2 n/ D cos x; n 2 Z. tan- und cot-Funktionen sind unbeschränkt und periodisch mit der Periode  , d. h. tan.x C n/ D tan x, cot.x C  n/ D cot x, n 2 Z. Sie haben Unstetigkeitsstellen (s. Gln. (4.13)). Nullstellen der Funktionen für k 2 Z:

sin x D tan x D 0 für x D x k D k ; 9 cos x D cot x D 0 für x D xk D .2k C 1/ =2: > > > > > > > Ungerade Funktionen: > > > > > > > = sin.x/ D  sin x; tan.x/ D  tan x;

cot.x/ D  cot x: Œtan D f.x; y/jx 2 R n f.2n C 1/ =2jn 2 Zg;> > > > > > x 7! y D tan xg; > > Gerade Funktion: cos.x/ D cos x. > > > Œcot D f.x; y/jx 2 R n fn jn 2 Zg; > Die Beträge aller Funktionswerte sind aus dem > > ; Intervall 0 5 x 5  =2 (I. Quadrant) zu entx 7! y D cot xg: (4.13) nehmen und daher in Tabellen nur für dieses Intervall angegeben. Zur Reduktion auf das Incos- und sin-Funktionen sind beschränkt und tervall 0 5 x 5  =2 gelten die Beziehungen periodisch mit der Periode 2 , d. h. sin.x C sinngemäß auch für den Winkel ' in Grad, d. h.

4 Geometrie

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0 5 ' 5 90ı , daher auch als Quadrantenrelatio- Abb. 4.11 Zur Ableitung der Additionstheoreme nen bezeichnet. zD sin z D cos z D tan z D cot z D

˙x ˙ sin x C cos x ˙ tan x ˙ cot x

 ˙x sin x  cos x ˙ tan x ˙ cot x

=2˙x C cos x sin x cot x tan x

2  x  sin x C cos x  tan x  cot x

3=2˙x  cos x ˙ sin x cot x tan x

Für Argumente jxj > 2  ist zuerst die Restklasse z D x mod.2 / D sign.x/fjxj  2   entŒjxj=.2 /g zu bilden, d. h. von |x| das größte ganzzahlige Vielfache von 2 , das kleiner bzw. gleich jxj ist, zu subtrahieren. Hierbei ist ent.x/ die größte ganze Zahl kleiner bzw. gleich x. Funktionen desselben Arguments. Sie ergeben sich aus den in Abb. 4.10a benutzten Dreiecken mit dem Satz von Pythagoras (s. Gln. (4.10) bis (4.12)). gesucht

gegeben sin x

sin x D

–

cos x D

p ˙ 1  sin2 x –

cos x tan x p ˙ 1  cos2 x ˙ p tan x

1Ctan2 x

˙p p

tan x D

˙

p sin x

1sin2 x

˙

1cos2 x cos x

1 1Ctan2 x

cot x ˙p

1 1Ccot2 x

˙

1sin2 x sin x

˙ p cos x

1cos2 x

– 1 tan x

–

Additionstheoreme. Sie geben die Relationen zwischen der Anwendung der Funktion auf ein aus mehreren Winkeln gebildetes Argument und den Funktionen der beteiligten Winkel an. Summe und Differenz zweier Winkel. Aus Abb. 4.11 folgt z. B.

D

jAEj jOEj jCBj

D 

(4.15)

1Ccot2 x

1 cot x

Das Vorzeichen richtet sich nach dem Quadranten, in dem x liegt.

sin.˛ C ˇ/ D

9 > > > > sin.˛ C ˇ/  sin.˛  ˇ/ D 2 cos ˛ sin ˇI > > > > > cos.˛ C ˇ/ C cos.˛  ˇ/ D 2 cos ˛ cos ˇ; > > > > > cos.˛ C ˇ/  cos.˛  ˇ/ D 2 sin ˛ sin ˇI > > = 2 2 sin.˛ C ˇ/ sin.˛  ˇ/ D cos ˇ  cos ˛ > > > D sin2 ˛  sin2 ˇI > > > > > 2 2 > cos.˛ C ˇ/ cos.˛  ˇ/ D cos ˇ  sin ˛ > > > > > > 2 2 ; D cos ˛  sin ˇ:> sin.˛ C ˇ/ C sin.˛  ˇ/ D 2 sin ˛ cos ˇ;

˙ p cot x

p cot x

9 sin.˛ ˙ ˇ/ D sin ˛ cos ˇ ˙ cos ˛ sin ˇI> > > > cos.˛ ˙ ˇ/ D cos ˛ cos ˇ sin ˛ sin ˇI> > > = tan ˛ ˙ tan ˇ ; tan.˛ ˙ ˇ/ D > 1 tan ˛ tan ˇ > > > > > cot ˛ cot ˇ 1 > ; cot.˛ ˙ ˇ/ D : cot ˇ ˙ cot ˛ (4.14)

Vielfache und Teile eines Winkels. Mit ˇ D ˛ oder ˛=2 folgen

sin ˛ cos 2˛ cos ˛ tan 2˛ tan ˛

jADj C jDEj

jOC j

jOC j jOEj

jOEj C

jDEj jEC j  ; jEC j jOEj

9 > > > > D 2 sin.˛=2/ cos.˛=2/I > > > > > > 2 2 > D cos ˛  sin ˛; > > > > 2 2 > D cos .˛=2/  sin .˛=2/I> > > > > 2 tan ˛ > = ; D 2 1  tan ˛ > > 2 tan.˛=2/ > > I D > > > 1  tan2 .˛=2/ > > > 2 > cot ˛  1 > > > ; D > > 2 cot ˛ > > > 2 > cot .˛=2/  1 > > ; D : 2 cot.˛=2/

sin 2˛ D 2 sin ˛ cos ˛;

cot 2˛ cot ˛

(4.16)

4

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H.-J. Schulz

9 > > > > 3 sin 4˛ D 8 sin ˛ cos ˛  4 sin ˛ cos ˛I= > cos 3˛ D 4 cos3 ˛  3 cos ˛; > > > ; 4 2 cos 4˛ D 8 cos ˛  8 cos ˛ C 1: (4.17) ! n sin.n˛/ D sin ˛ cosn1 ˛ 1 ! n  sin3 ˛ cosn3 ˛ 3 ! n C sin5 ˛ cosn5 ˛  C : : : I 5 ! ! n n n sin2 ˛ cosn2 ˛ cos ˛  cos.n˛/ D 2 0 ! n C sin4 ˛ cosn4 ˛  C : : : 4 sin 3˛ D 3 sin ˛  4 sin3 ˛;

Satz von Euler und Moivre. Für komplexe Zahlen (s. Abschn. 2.2.3) gilt exp.i˛/ D cos ˛ C i sin ˛ und .cos ˛ C i sin ˛/n D cos.n˛/ C i sin.n˛/ D exp.n i˛/. Potenzen der Funktionen. Die Umformung der Gln. (4.16) liefert sin2 ˛ D .1  cos 2˛/=2;

Zyklometrische Funktionen Sie werden auch Arcus- oder Bogenfunktionen genannt und sind die Umkehrfunktionen (Inversen) der trigonometrischen Funktionen. Die Spiegelung der trigonometrischen Funktionskurven an der Geraden y D x ergibt die Kurven der zyklometrischen Funktionen (Abb. 4.12) in dem mit „Hauptwerte“ gekennzeichneten Bereich. Die implizierte Form der Umkehrfunktion zum Sinus ist x D sin y, die explizite y D arcsin x. Letztere besagt, dass am Einheitskreis y der Zahlenwert des Bogens ist, dessen Sinus gleich x ist. Im Abb. 4.13 sind y und z Winkel; y ist im positiven Sinn, z entgegengesetzt skaliert. Damit gilt Œarcsin D f.x; y/jx 2 Œ1; 1; y 2 Œ =2;  =2; x 7! y D arcsin xg; Œarccos D f.x; y/jx 2 Œ1; 1; y 2 Œ0;  ; x 7! y D arccos xg;

9 > > > > > > > > > > > > > > > > =

> > Œarctan D f.x; y/jx 2 R; y 2 . =2;  =2/;> > > > > > > x 7! y D arctan xg; > > > > > Œarccot D f.x; y/jx 2 R; y 2 .0;  /; > > ; x 7! y D arccot xg: (4.20)

9 > > > > =

Im angelsächsischen Sprachgebrauch gelten für diese Funktionen die Bezeichnungen sin1 ; (4.18) cos1 ; tan1 und cot1 (z. B. auf Taschenrechsin3 ˛ D .3 sin ˛  sin 3˛/=4; > > > nern). > ; cos3 ˛ D .3 cos ˛ C cos 3˛/=4: Die Gln. (4.20) erklären zusammen mit den Gln. (4.13) die Umkehridentitäten: Summen und Differenzen der Funktionen. Sie er9 geben sich aus den Gln. (4.14) mit ˛ 0 C ˇ 0 D ˇ sin.arcsin x/  x für x 2 Œ1; 1; > > > und ˛ 0  ˇ 0 D ˛ zu > > arcsin.sin x/  x für x 2 Œ =2;  =2I > > > > 9 > > cos.arccos x/  x für x 2 Œ1; 1; ˛ ˇ > ˛˙ˇ > >  cos ; > sin ˛ ˙ sin ˇ D 2 sin > > > > > 2 2 arccos.cos x/  x für x 2 Œ0;  I > = > > = ˛ˇ ˛Cˇ tan.arctan x/  x für x 2 R; >  cos ; cos ˛ C cos ˇ D 2 cos > > 2 2 > arctan.tan x/  x für x 2 . =2;  =2/I> > > > > > > > > ˛ˇ > ˛Cˇ > > cot.arccot x/  x für x 2 R; >  sin :; cos ˛  cos ˇ D 2 sin > > > 2 2 > > > arccot.cot x/  x für x 2 .0;  /: (4.19) ; cos2 ˛ D .1 C cos 2˛/=2;

(4.21)

4 Geometrie

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Abb. 4.12 Zyklometrische Funktionen

4

k-ter Monotoniebereich der Sinus-Funktion: Mit  =2 C k  5 x 5  =2 C k  ist die Umkehrfunktion für diesen Bereich der k-te Nebenwert arck sin x für k 2 Z. Damit wird y D arck sin x D k  C .1/k arcsin x für y 2 Œ =2 C k ; k  C  =2; ( k  C arccos x für k gerade yD .k C 1/   arccos x für k ungerade und y 2 Œk ; .k C 1/ ; y D arck tan x D k  C arctan x für y 2 . =2 C k ; k  C  =2/; Abb. 4.13 Bogenfunktionswerte am Einheitskreis. a für y D arcsin x und z D arccos x; b für y D arctan x und z D arccot x

y D arck cot x D k  C arccot x für y 2 .k ; .k C 1/ /I k D 0 liefert die Hauptwerte:

Eigenschaften. Alle vier zyklometrischen Funktionen sind im Bereich der Hauptwerte beschränkt.  Nullstellen: arcsin x D 0 für x D 0; arccos x D 0 für x D 1 und arctan x D 0 für x D 0 :  Ungerade Funktionen:

Beispiel

0; 1.x  4/2 C sin x D 0: – Einer Skizze entnimmt man den Schnittpunkt der Parabel y D 0; 1.x  4/2 mit der Sinuskurve und dass ein Wert x 2 . ; 4/ sein muss. Will man mit dem Iterationsverfahren xi C1 aus xi berechnen, so ist xi C1 D    arcsinŒ.xi  4/2  0;1

arcsin.x/ D  arcsin x;

D   C arcsinŒ.xi  4/2  0;1

arctan.x/ D  arctan x :

zu bilden und damit auf den für die Inversion gültigen Monotoniebereich zu reduzieren. Mit x0 D 3;2 erhält man nach einigen Schritten xi D 3;20486 als brauchbare Näherungslösung. J

 Negative Argumente: arccos.x/ D    arccos x; arccot.x/ D    arccot x :

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H.-J. Schulz

Beziehungen im Bereich der Hauptwerte. Es gelten: arcsin x D  =2  arccos x p D arctan.x= 1  x 2 /; arccos x D  =2  arcsin x p D arccos.x= 1  x 2 /; arctan x D  =2  arccotx p D arcsin.x= 1 C x 2 /;

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > =

> > > > > > arccot x D  =2  arctan x > > > p > > > > D arccos.x= 1 C x 2 /; > > ( > > > arctan.1=x/ für x > 0; > > > arccot x D ;   C arctan.1=x/ für x < 0: (4.22)

Hyperbelfunktionen Sie sind spezielle Linearkombinationen der Exponentialfunktion (Abb. 4.14a), die sich als Lösung einer Reihe technischer Probleme ergeben, wie der Hyperbelsinus (sinus hyperbolicus) sinh, der Hyperbelkosinus cosh, der Hyperbeltangens tanh und der Hyperbelkotangens coth. 9 > > > > > x 7! y D sinh x > > > > D Œexp.x/  exp.x/=2gI > > > > > > > Œcosh D f.x; y/jx 2 R; y 2 Œ1; 1/; > > > > > x 7! y D cosh x > > > > D Œexp.x/ C exp.x/=2gI> > > >

> > > > Œtanh D .x; y/jx 2 R; y 2 .1; 1/; > > > = x 7! y D tanh x > >  > > exp.x/  exp.x/ > I > D > > > exp.x/ C exp.x/ > >

> > > > Œcoth D .x; y/jx 2 R n f0g; > > > > > > > > y 2 R n .1; 1/; > > > > > > x 7! y D coth x > > >  > > > exp.x/ C exp.x/ ; : > D exp.x/  exp.x/ (4.23) Œsinh D f.x; y/jx 2 R; y 2 R;

Abb. 4.14 a Einheitshyperbel mit Sektor t=2 schraffiert; b Funktionsverlauf (Graph)

sinh, cosh und coth sind unbeschränkt, tanh ist beschränkt. tanh und coth haben horizontale Asymptoten bei y D ˙1.  Nullstellen: sinh x D 0 für x D 0; tanh x D 0 für x D 0:  Gerade Funktion: cosh.x/ D cosh x:  Ungerade Funktionen: sinh.x/ D  sinh x; tanh.x/ D  tanh x; coth.x/ D  coth x: Definitionsgemäß ist 9 tanh x D sinh x= cosh x D 1= coth x;> > > > > sinh x C cosh x D exp.x/; > > > > = sinh x  cosh x D  exp.x/; cosh2 x  sinh2 x D 1; 1  tanh2 x D 1= cosh2 x; coth2 x  1 D 1=sinh2 x:

> > > > > > > > > ;

(4.24)

4 Geometrie

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Additionstheoreme. Analog den Kreisfunktionen gilt 9 sinh.x ˙ y/ D sinh x cosh y ˙ cosh x sinh y; > > > > cosh.x ˙ y/ D cosh x cosh y ˙ sinh x sinh y;> > > = tanh x ˙ tanh y tanh.x ˙ y/ D ; > 1 ˙ tanh x tanh y > > > > > 1 ˙ coth x coth y > ; coth.x ˙ y/ D : coth x ˙ coth y (4.25) ! 9 n > n1 > > sinh.nx/ D cosh x sinh x > > 1 > > > ! > > > > n > n3 3 > C cosh x sinh x > > 3 > > > > ! > = n n1 C: : :C cosh x sinh x; > n1 > > > ! > > > n > n n2 2 > cosh x sinh x > cosh.nx/ D cosh x C > > 2 > > > ! > > > > n > n > C:::C sinh x: ; n (4.26) Deutung an der Einheitshyperbel. So wie x D cos '; y D sin ' eine Parameterdarstellung des Einheitskreises mit dem Parameter  ist, ergeben sich x D ˙ cosh t; y D sinh t für die Einheitshyperbel. x 2  y 2 D cosh2 t  sinh2 t D 1. Die Koordinaten des Punkts P in Abb. 4.14b sind den Hyperbelsinus- und Hyperbelkosinuswerten des Parameters t zuzuordnen. Der Parameter t ist ein Maß für die Fläche A des schraffierten Hyperbelsektors OPF, wie mittels Integration nachweisbar ist. t D ln.cosh t C

p cosh2 t  1/ D 2A: (4.27)

Die tanh-t-Werte sind Strecken auf der Scheiteltangente, die coth-t-Werte Strecken auf der Geraden y D 1, jeweils bis zum Schnitt mit der Strecke OP .

4 Abb. 4.15 Areafunktionen

Areafunktionen Sie sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen (Abb. 4.15). Der Name (area D Fläche) erklärt sich aus der Deutung der Hyperbelfunktion (Abb. 4.14b) an der Einheitshyperbel. Für den Hyperbelsinus (überall streng monoton) y D sinh x ergibt sich als Inverse in impliziter Form x D sinh y bzw. explizit y D arsinh x. Für die Graphen der Areafunktionen gilt 9 > > > > > x 7! y D arsinh x > > > p > > 2 D ln.x C x C 1/gI > > > > > > Œarcosh D f.x; y/jx 2 Œ1; 1/; y 2 Œ0; C1/;> > > > > > x 7! y D arcosh x > > > p > > D C ln.x C x 2  1/gI > > > >

> > > > Œartanh D .x; y/jx 2 .1; 1/; y 2 R; > > = Œarsinh D f.x; y/jx 2 R; y 2 R;

x 7! y D artanh x

 1Cx 1 D 2 ln I 1x

Œarcoth D .x; y/jx 2 R n Œ1; 1; y 2 R n f0g; x 7! y D arcoth x D

1 2

 xC1 ln : x1

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ; (4.28)

p So folgt aus Gl. (4.27) 2A D t D ln.x C x 2  1/ D arcosh x mit x D cosht.

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Umkehridentitäten. Sie sind mithin 9 > > > >  arsinh.sinhx/ für x 2 R;> > > > > cosh.arcosh x/  x für x 2 Œ1; 1/ und > > > > > > arcosh.cosh x/  x für x 2 Œ0; 1; > = tanh.artanh x/  x für x 2 .1; 1/ und > > > artanh.tanh x/  x für x 2 R; > > > > > coth.arcoth x/ D x für x 2 R n Œ1; 1 > > > > > > und > > ; arcoth.coth x/ D x 2 R n f0g: (4.29) sinh.arsinh x/  x

Eigenschaften. Ungerade Funktionen sind arsinh.x/ D  arsinh x; artanh.x/ D  artanh x; arcoth.x/ D  arcoth x:

Rechtwinkliges Dreieck. Hier (Abb. 4.9a) gelten nach dem Satz von Pythagoras mit den trigonometrischen Funktionen die Lösungen in Tab. 4.1 für die fünf Grundaufgaben. Schiefwinkliges Dreieck. In ihm gelten die folgenden Sätze (zyklische Vertauschungen sind gekennzeichnet mit Õ): b c a D D D 2r: sin ˛ sin ˇ sin (4.31) Kosinussatz oder verallgemeinerter Satz von Pythagoras: 9 a2 D b 2 C c 2  2bc I cos ˛I > > > > zyklische Vertauschung führt zu = (4.32) b 2 D c 2 C a2  2ca cos ˇ und> > > > ; c 2 D a2 C b 2  2ab cos : Sinussatz:

Bedingte Identitäten für die Winkelfunktionen: Wegen ˛ C ˇ C D 180ı folgen aus den Ad8 p 9 ditionstheoremen 2 C 1/ ˆ arcosh. x für x > 0; > ˆ > ˆ sin ˛ D sin.ˇ C /; p > ˆ > ˆ 2 > ˆ  arcosh. x C 1/ für x < 0; > < > > sin.˛=2/ D cosŒ.ˇ C /=2; x > > arsinh x D > artanh p > ˆ 2 > cos ˛ D  cos.ˇ C /; ˆ xp C 1 > ˆ > ˆ > 2C1 ˆ > x ˆ > cos.˛=2/ D sinŒ.ˇ C /=2 und Õ : : D arcoth > I = x p Summe der Projektionen. Jede Seite lässt sich > arcosh x D ˙arsinh. x 2  1/ > > aus den beiden anderen Seiten berechnen; a D > ! > p > > x2  1 > b cos C c cos ˇ und Õ. > > D ˙artanh > > x Tangenssatz oder Nepersche Formel: > > >   > > > x > ˛ˇ ab ˛Cˇ ; D ˙arcoth p : tan D  tan 2 x 1 2 aCb 2 (4.30) ˛Cˇ 180ı  mit D und Õ : (4.33) 2 2

Weiterhin gilt

4.3.2 Berechnung von Dreiecken und Flächen

Mollweidesche Formeln: .b C c/ sin.˛=2/ D a cosŒ.ˇ  /=2

9 und > =

.b  c/ cos.˛=2/ D a sinŒ.ˇ  /2 sowie Die Berechnung fehlender Bestimmungsstücke > ; eines Dreiecks aus gegebenen kann mit Hilfe Õ: (4.34) der trigonometrischen Funktionen über den in Abschn. 4.1.7 dargestellten Umfang für recht- Halbwinkelsatz: s winklige Dreiecke hinaus erweitert werden. Das .s  b/.s  c/ ˛ Problem ist gelöst, wenn aus drei gegebenen Gröund Õ : (4.35) tan D 2 s.s  a/ ßen drei andere berechnet werden können.

4 Geometrie

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Tab. 4.1 Grundaufgaben für rechtwinklige Dreiecke . D 90ı /

Fall SWS SSW WSW SWW SWW

gegeben a; ; b c; a; ˛; c; c; ; ˛ a; ; ˛

gesucht p c D pa2 C b 2 b D pc 2  a2 a D c2  b2 a D c sin ˛ c D a= sin ˛

tan ˛ D a=b sin ˛ D a=c c D b= cos ˛ b D c cos ˛ b D a= tan ˛

tan ˇ D b=a cos ˇ D a=c ˇ D 90ı  ˛ ˇ D 90ı  ˛ ˇ D 90ı  ˛

S Seite, W Winkel

Tab. 4.2 Grundaufgaben für schiefwinklige Dreiecke

a

Tab. 4.3 Merkmale für SSW

Fall SSS

gegeben a; b; c

SWS

a; b;

SSW

a; b; ˛ a

WSW

˛; ˇ; c

SWW

c; ˛;

gesucht 2 cos ˛ D .bp C c 2  a2 /=.2bc/Is D .a C b C c/=2I tan ˛=2 p D .s  b/.s  c/=Œs.s  a/ und Õ c D a2 C b 2  2ab cos Isin ˇ D b sin =cI sin ˛ D a sin =cI.˛ C ˇ/=2 D 90ı  =2I tan.˛  ˇ/=2 D .a  b/ tan.90ı  =2/=.a C b/I ˛ D .˛ C ˇ/=2 C .˛  ˇ/=2Iˇ D .˛ C ˇ/=2  .˛  ˇ/=2I c D Œ.a C b/ sin =2= cos..˛  ˇ/=2/ sin ˇ D b sin ˛=aI D 180ı  .˛ C ˇ/I c D a sin = sin ˛ D 180ı  .˛ C ˇ/I a D c sin ˛= sin I b D c sin ˇ= sin s. WSW

Siehe Tab. 4.3 Merkmale für SSW. Nr. 1 2 3 4

Fall a>b aDb a< windschief:

Die Stereometrie ist die Erweiterung der in Abschn. 4.1 und 4.2 dargestellten euklidischen Geometrie der Ebene auf den dreidimensionalen Raum, in dem die Betrachtung auf die Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, ausgedehnt wird. Dieser Raum wird mit R3 bezeichnet und durch ein Volumenmaß gemessen. Die Dimension eines Raums, die in der Vektoralgebra mit der Zahl  Zwei Geraden (Abb. 4.16) im Raum heider linear unabhängigen Basisvektoren definiert ßen parallel, wenn sie in einer Ebene liegen wird, ist in der axiomatischen Geometrie mit der (komplanar sind) und keine oder alle Punk-

4

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H.-J. Schulz

Tab. 4.4 Umfang und Fläche der wichtigsten ebenen Figuren Allgemeine Bezeichnungen: Seiten a, b, c, d; Innenwinkel ˛, ˇ, , ı; Diagonalen e, f ; Radien r i , r u (i innen, u außen) ha , hb Höhen auf Seiten a, b; Fläche A; Umfang U p Dreiecke s D .a C b C c/=2I A D s.s  a/.s  b/.s  c/ Heronsche Formel ha D b sin I A D aha =2 D .ab sin /=2I ˛ C ˇ C D 180ı hb D c sin ˛I A D bhb =2 D .bc sin ˛/=2 hc D a sin ˇI A D chc =2 D .ca sin ˇ/=2

Sehnenviereck

˛ C ˇ C C ı D 360ı Ips D .a C b C c C d /=2I " D .˛ C /=2 A D .aha C bhb /=2 D .s  a/.s  b/.s  c/.s  d /  abcd cos2 " p ˛ C D ˇ C ı D 180ı I A D .s  a/.s  b/.s  c/.s  d /

Trapez

ak cI m D .a C c/=2I A D mha

Parallelogramm

a kcI b kd I ˛ D I ˇ D ıI A D aha

Rhombus Rechteck Quadrat regelmäßige n-Ecke

a D b D c D d I ˛ D I ˇ D ıI A D aha a D cI b D d I ˛ D ˇ D D ı D 90ı I A D abI U D 2.a C b/ a D b D c D d I ˛ D ˇ D D ı D 90ı I A D a2 I U D 4a Außen-, Innenwinkel ˛ a , ˛ i ; Mittelpunktswinkel ı xi D 90 ˛a D 360ı =n q  .2n  4/=nI p 2 2 sn D 2 ru  ri I ri D 4ru2  sn2 =2 D 180ı  ˛i p A D nsn ri =2 D 0;25nsn 4ru2  sn2 D nru2 sin =2

Kreis

Außenradius R, Innenradius r, Bogenlänge b, Zentriwinkel ', Sehnenlänge s, Segmenthöhe h A D  r 2 I U D 2 r A D  r 2 '=360ı D r 2 '=2I b D r' p A D r 2 .'p sin '/=2 D Œbr  s.r  h/ =2I s D 2 2hr  h2 I h D r  4r 2  s 2 =2 für r < h A D .R2  r 2 / A D .R2  r 2 /'=2

konvexe Vierecke mit Sonderfällen

4 Geometrie

59

Die mathematisch positive Orientierung des Raumes entspricht einer Rechtsschraube. Die Winkel als geometrische Figuren werden durch ihre Größen (˛; ˇ; ; : : :) gekennzeichnet.

4.4.2 Abb. 4.16 Geraden und Ebenen im Raum









te gemeinsam haben. Nicht in einer Ebene liegende Geraden heißen windschief. Es gilt k12 kg ) k12  E1 ^ g  E1 und a >< g. Eine Gerade hat mit einer Ebene gemeinsam: alle Punkte (g  E1 ), den Durchstoßpunkt D (a, b, c, d mit der Ebene E2 ) und keine Punkte (a und E1 ). Hier ist k12  E2 und D 2 a ^ D 2 E2 . Zwei Ebenen im Raum heißen parallel, wenn sie keine oder alle Punkte gemeinsam haben. Zwei nichtparallele Ebenen haben alle Punkte einer Geraden, der Schnittgeraden oder Kante, gemeinsam. Es ist E2 kE3 I E1 ¬ E2 ) k12 D E1 \ E2 D Kante. Durch einen Punkt P im Raum lassen sich unendlich viele Geraden legen. Sie bilden ein Bündel mit dem Träger D und den Elementen a, b, c und d. Durch einen Punkt P im Raum (Abb. 4.17) lassen sich unendlich viele verschiedene Ebenen legen. Sie bilden ein Ebenenbündel mit den Elementen E1 bis E4 und dem Träger k D E1 \ E2 \ E3 . Durch mindestens drei Ebenen, die einen Punkt P D E1 \ E3 \ E4 gemeinsam haben, wird in P eine körperliche Ecke gebildet.

Abb. 4.17 Ebenenbündel

Körper, Volumenmessung

Ein Körper ist eine abgeschlossene, einfach zusammenhängende Teilmenge des Raumes, dessen Randpunkte die Oberfläche des Körpers bilden, die die inneren Punkte des Körpers vollständig umschließt. Die Menge aller inneren Punkte bildet das Volumen (den Rauminhalt) des Körpers. Besteht die Oberfläche nur aus ebenen Flächen (Polygonen), so wird der Körper Vielflächner (Polyeder) genannt (z. B. Vierflächner D Tetraeder). Je zwei Polygone haben eine Seite, d. h. eine Kante des Körpers, gemeinsam. n Polygone (n 2 N, n = 3) haben einen Eckpunkt des Körpers gemeinsam; sie bilden eine n-kantige Ecke. Ist der Körper von krummen Oberflächen begrenzt, so heißt er Krummflächner. Kanten an einem Krummflächner entstehen entlang der Raumkurve, in der sich zwei Oberflächen schneiden (z. B. Kegelmantel und Grundfläche).

4.4.3

Polyeder

Polyeder sind konvex, wenn für zwei beliebige Punkte des Innern oder Randes auch alle Punkte der Verbindungsstrecke zum Polyeder gehören, d. h., wenn es keine „nach innen springenden“ Ecken gibt. Satz von Euler. Bezeichnet e die Anzahl der Ecken, f die Anzahl der Flächen und k die Anzahl der Kanten, so gilt im konvexen Polyeder e C f  k D 2 (z. B. für den Würfel mit e D 8, f D 6 ist k D 12, da 8 C 6  12 D 2). Kantenwinkelsatz. An einer n-kantigen körperlichen Ecke ist die Summe aller Kantenwinkel kleiner als 360.

4

60

H.-J. Schulz

Regelmäßige Polyeder (platonische Körper) heißen die konvexen Polyeder, deren Begrenzungsflächen regelmäßige kongruente Polygone sind. Es gibt nur die folgenden fünf regelmäßigen Polyeder (s. Tab. 4.5): Tetraeder aus vier gleichseitigen Dreiecken, Hexaeder oder Würfel aus sechs Quadraten, Oktaeder aus acht gleichseitigen Dreiecken, Pentagondodekaeder aus zwölf gleichseitigen Fünfecken und Ikosaeder aus 20 gleichseitigen Dreiecken.

4.4.5 Oberfläche und Volumen von einfachen Rotationskörpern

Abwicklung. Die längentreue Abbildung einer Fläche in eine Ebene heißt Abwicklung. Beim Polyeder ist die Abwicklung der Begrenzungsfläche durch „Aufschneiden“ entlang einer ausreichenden Zahl von Kanten und „Umklappen“ in ein zusammenhängendes System von Begrenzungsflächen, Netz genannt, anschaulich beschreibbar. Mit Hilfe der Abwicklung lassen sich Oberflächenmaße von Körpern und Wege zwischen Punkten auf diesem Körperrand berechnen. Als Weg bezeichnet man die Länge aller Teilstrecken, die eine Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf den Begrenzungsflächen herstellen.

4.4.6

4.4.4 Oberfläche und Volumen von Polyedern Die Summe aller Flächeninhalte der Begrenzungspolygone eines Körpers heißt Oberfläche O. Der Rauminhalt V von Körpern ergibt sich als Produkt dreier geeigneter Strecken oder als Produkt von Grundfläche und Höhe, jeweils versehen mit einem Zahlenfaktor, der die vom Würfel abweichende Form berücksichtigt (s. Tab. 4.5). Satz von Cavalieri. Körper mit parallelen, gleich großen Grundflächen und gleichen Höhen haben gleiches Volumen, wenn sie in gleichen Höhen über der Grundfläche flächengleiche, zur Grundfläche parallele Querschnitte haben.

Bei der Drehung um eine Gerade im Raum, Drehachse genannt, beschreibt jeder Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, einen Kreisbogen. Hierbei entstehen Zylinder, Kegel, Kugeln, Paraboloide, Ellipsoide und Hyperboloide als Körper (Tab. 4.5).

Guldinsche Regeln

Die Guldinschen Regeln ermöglichen die Berechnung komplizierter geformter Rotationskörper. Ihre Richtigkeit ist mit den Mitteln der Integralrechnung beweisbar. 1. Guldinsche Regel zur Flächenberechnung. Der Flächeninhalt einer Rotationsfläche ist gleich dem Produkt aus der Bogenlänge s der sie erzeugenden Kurve und dem Umfang des Kreises, den der Schwerpunkt der Kurve bei einer vollen Umdrehung beschreibt (y0 Schwerpunktabstand von der Drehachse). A D 2 y0 s

(4.36)

2. Guldinsche Regel zur Volumenberechnung. Der Rauminhalt eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt A der den Körper erzeugenden Fläche und dem Umfang des Kreises, den der Schwerpunkt der Fläche bei einer vollen Umdrehung beschreibt. V D 2 y0 A:

(4.37)

4 Geometrie

61

Tab. 4.5 Oberfläche und Volumen von Polyedern und Rotationskörpern; V Volumen, AO Oberfläche, AM Mantelfläche, AG Grundfläche, U Umfang, h Höhe, ru Radius der um-, ri Radius der einbeschriebenen Kugel Prisma

Grund- und Deckfläche kongruente n-Ecke, Seitenflächen Parallelogramme V D AG hI AO D 2AG C U hI AM D U h Quader: gerades Prisma mit Rechteck a b, Grundfläche, Kanten a, b, c V D abcI AO D 2.ab C ac C bc/I AM D 2.ac C bc/

Pyramide

Pyramide: G1 ist ein n-Eck, Seitenflächen sind Dreiecke mit Spitze in Höhe h V D AG1 h=3 gerade, regelmäßig, viereckigpmit Grundkante a p V D a2 h=3I AO D a2 C 2a h2 C a2 =4I AM D 2a h2 C a2 =4 Pyramidenstumpf: Deckfläche G2 k G1 mit Grundkante a V D hs .a2 C ab C b 2 /=3I p AO D a2 C b 2 C 2.a C b/ h2s C .a  b/2 =4; p AM D 2.a C b/ h2s C .a  b/2 =4

Tetraeder

4 gleichseitige Dreiecke p p p p V D a3 2=12I AO D a2 3I ru D a 6=4I ri D a 6=12

Hexaeder (Würfel)

6 Quadrate p V D a3 I AO D 6a2 I ru D a 3=2I ri D a=2

Oktaeder

8 gleichseitige Dreiecke p p V D a3p 2=3I AO Dp2a2 3I ru D a 2=2I ri D a 6=6

Pentagon – Dodekaeder

12 gleichseitigep Fünfecke V D a3 .15qC 7 5/=4I p AO D 3a2 5.5 C 2 5/I q p p p ru D a 3.1 C 5/=4I ri D a 10.25 C 11 5/=20

4

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H.-J. Schulz

Tab. 4.5 (Fortsetzung) Ikosaeder

20 gleichseitigepDreiecke p V D 5aq3 .3 C 5/=12I AO D 5a2 3I p p p ru D a 2.5 C 5/=4I ri D a 3.3 C 5/=12

Keil

Keil; Grundfläche rechteckig, Kanten a, b, Gratkante c V D .2a p C c/bh=6I p hT D h2 C b 2 =4I hb D h2 C .a  c/2 =4I AO D ab C .a C c/hT C bhb I Obelisk: abgeschnittener Keil; G1 kG2 V D hO Œab C .a C a1 /.b C b1 / C q a1 b1  =6I

Kreiszylinder, gerade

schief abgeschnittener Kreiszylinder

Kegel, gerade

Kugel

AO D ab C a1 b1 C .a C a1 / h2O C .b  b1 /2 =4 q C .b C b1 / h2O C .a  a1 /2 =4 V D  r 2 hI AO D 2 r 2 I AM D 2 rh

s1 längste, s2 kürzeste Mantellinie V D  r 2 .s1 C s2 /=2I p AO D  r.s1 C s2 C r C r 2 C .s1  s2 /2 =4/I AM D  r.s1 C s2 / Zylinderhut

V D .h=.3b// a.3r 2  a2 / C 3r 2 .b  r/'=2 I AM D .2rh=b/ Œ.b  r/'=2 C a q V D  r12 h=3I s1 D r12 C h2 I AO D  r1 s C  rI AM D  r1 s1 Kegelstumpf: in der Höhe hs abgeschnittener Kegel; G1 kG2 V D hs .r12 C r1 r2 C r22 /=3I p s2 D h 2s C .r1  r2 /2 I

AO D  r12 C r22 C s2 .r1 C r2 / I AM D s2 .r1 C r2 / Kugel: V D 4 r 3 =3I AO D 4 r 2 Segment: V D h21 .3r  h1 /=3I AO D 2 rh1 C  r12 (Kappe + Kleinkreis) Schicht: V D h2 .3r12 C 3r22 C h22 /=6I AO D .2rh2 C r12 C r22 / (Zone + 2 Kleinkreise) Sektor: V D 2 r 2 h=3I AO D 2 rh C  rrs (Kappe + Kegelmantel)

4 Geometrie

63

Tab. 4.5 (Fortsetzung) Rotationsparaboloid

Rotationsellipsoid

Rotationshyperboloid

p Erzeugende: y D x; x 2 Œ0; h, Drehung um x-Achse

2 Vx D  r =2I AM D 4 .h C 1=4/3=2  .1=4/3=2 =3

p Erzeugende: y D b 1  x 2 =a2 I x 2 Œa; a Drehung um x-Achse: Vx D 4ab 2 =3 Drehung um y-Achse: Vy D 4a2 b=3

p Erzeugende: y D ˙b x 2 =a2  1 Rotation um die x-Achse: x 2 Œ.a C h/I a [ Œ.a C h/I a: Vx D p h.3r 2  b 2 h2 =a2 /=3 (zweischalig); r D b .a C h/2 =a2  1 Rotation um die y-Achse: Vy D h.2a2 C 2 /=3 (einschalig)

Allgemeine Literatur Bücher Böhm, J., u.a.: Geometrie I u. II. Mathematik für Lehrer, Bd. 6 u. 7. Berlin: VEB Dt. Verl. d. Wiss. 1975. Efimow, N.W.: Höhere Mathematik I u. II, uni-text. Braunschweig: Vieweg 1970. Fucke, R.; Kirch, K.; Nickel, H.: Darstellende Geometrie. Leipzig: VEB Fachbuchverlag 1975. Haack, W.: Darstellende Geometrie (3 Bde.). Sammlg. Göschen Nr.4142, 4143, 4144. Berlin: de Gruyter 1969–71. Hessenberg, G.; Diller, J.: Grundlagen der Geometrie, 2. Aufl. Sammlg. Göschen Nr.17. Berlin: de Gruyter 1967. Hilbert, Barnays: Grundlagen der Geometrie, 10. Aufl. Stuttgart: Teubner 1968. Klein, F.: Das Erlanger Programm. Ostw. Klass. d. exakten Wiss. Nr.253. Frankfurt a.M.: Akad. Verl.-ges. Geest & Portig 1974. Klotzek, B.: Geometrie. Berlin: VEB Dt. Verl. d. Wiss. 1971.

Müller, E.; Kruppa, E.: Lehrbuch der Darstellenden Geometrie. Wien: Springer 1961. Rehbock, F.: Darstellende Geometrie. Heidelb. Taschenb. Bd.64. Berlin: Springer 1969. Reutter, F.: Darstellende Geometrie. Karlsruhe: Verl. Wiss. u. Tech. G. Braun 1975. Schreiber, P.: Theorie der geometrischen Konstruktionen. Studienbüch. Math. Berlin: VEB Dt. Verl. d. Wiss. 1975. Sigl, R.: Ebene und sphärische Trigonometrie. Frankfurt a.M.: Akad. Verl.-ges. Geest & Portig 1969. Wunderlich, W.: Darstellende Geometrie (2 Bde.). BI Hochschultaschenbücher Bd.96 u. 133. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1966/67.

Normen und Richtlinien DIN5: Zeichnungen; Axonometrische Projektionen; Teil1: Isometrische Projektion: Teil2: Dimetrische Projektion. DIN6: Darstellungen in Zeichnungen; Ansichten, Schnitte, besondere Darstellungen. DIN1312: Geometrische Orientierung. DIN1315: Winkel; Begriffe, Einheiten.

4

5

Analytische Geometrie Uller Jarecki

5.1

Analytische Geometrie der Ebene ordnetes Zahlenpaar (x, y) bzw. ein Ortsvektor

! r D OP D xe 1 C ye 2 mit den Punktkoordina5.1.1 Das kartesische ten x und y zugeordnet werden, wobei x Abszisse Koordinatensystem und y Ordinate von P bzw. r heißen. Punkt und Ortsvektor werden im folgenden als synonyme Zugrunde gelegt wird ein orthogonales kartesi- Begriffe verwendet und häufig mit demselben sches Koordinatensystem (O; e 1 ; e 2 ) in der posi- Symbol bezeichnet. tiv orientierten Ebene (Abb. 5.1). In einem Punkt O (Ursprung, Nullpunkt oder Anfangspunkt) sind zwei Vektoren e 1 und e 2 der Länge 1 (Normiert- 5.1.2 Strecke heit) senkrecht zueinander angeheftet (Orthogonalität). e 1 wird durch eine Drehung entgegen Die Punkte r 1 D .x1 ; y1 / und r 2 D .x2 ; y2 / dem Uhrzeigersinn um  =2 mit e 2 zur Deckung seien Anfangs- und Endpunkt der (gerichteten) ! gebracht (positive Orientierung). Die durch O Strecke  P1 P2 (Abb. 5.2a) Ein Punkt r D .x; y/ ! verlaufenden und entsprechend e 1 und e 2 orienliegt genau dann auf P1 P2 , wenn für t 2 [0, 1] gilt tierten Geraden heißen Koordinatenachsen: die xr D r 1 C t.r 2  r 1 / oder x D x1 C t.x2  x1 / oder Abszissen-Achse und die y- oder Ordinatenund y D y1 C t.y2  y1 /: Wird t D t2 und Achse. 1  t D t1 gesetzt, so lassen sich diese GleichunJeder Vektor a der Ebene lässt sich eindeugen auch schreiben tig als Linearkombination der Vektoren e 1 und e 2 darstellen: a D ax e 1 C ay e 2 D .ax ; ay /, r D t1 r 1 C t2 r 2 oder ( wobei ax und ay seine Koordinaten sind. Durch x D t1 x1 C t2 x2 t1 C t2 D 1 die Auszeichnung eines Punkts O als Koordinafür 0 5 t1 ; t2 y D t1 y1 C t2 y2 tenursprung kann außerdem jedem Punkt P der Ebene (Abb. 5.1) umkehrbar eindeutig ein geLänge. Sie beträgt Abb. 5.1 Ebenes kartesisches Koordinatensystem

U. Jarecki () Berlin, Deutschland

! jP1 P2 j D jr 2  r 1 j p D .x2  x1 /2 C .y2  y1 /2 D l:

Richtung (Abb. 5.2a). Sie ist bestimmt durch ! den orientierten Winkel ˛ D ^.e 1 ; P1 P2 /, um den e 1 gedreht werden muss, damit er die gleiche

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_5

65

66

U. Jarecki Abb. 5.3 Dreieck mit Mittelpunkt M

Für t1 D 0 ist r Randpunkt und liegt auf der Drei! eckseite P2 P3 . Der Mittelpunkt M und der Flächeninhalt A Richtung und den gleichen Richtungssinn wie des Dreiecks sind ! P1 P2 hat. ˛ ist bis auf Vielfache von   bestimmt r M D .r 1 C r 2 C r 3 /=3 oder durch xM D .x1 C x2 C x3 /=3 und cos ˛ D .x2  x1 /= l; sin ˛ D .y2  y1 /= l: yM D .y1 C y2 C y3 /=3; ˇ ˇ ˇ x x x x ˇ Im allgemeinen wird derjenige Winkel ˛ gewählt, 1 3 1 ˇ ˇ 2 A D .1=2/  ˇ ˇ dessen Betrag den kleinsten Wert hat. Die Steiˇ y2  y1 y3  y1 ˇ ! ˇ ˇ gung m der Strecke P1 P2 ist: ˇ x1 x2 x3 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ tan ˛ D m D .1=2/  ˇ y1 y2 y3 ˇ ˇ ˇ ˇ 1 1 1 ˇ D .y2  y1 /=.x2  x1 /; wenn x1 ¤ x2 : ! Abb. 5.2 Strecke P1 P2 . a Darstellung; b Teilung

Teilung (Abb. 5.2b). Ein Punkt P mit dem Orts! vektor r D .x; y/ teilt die Strecke P1 P2 im Verhältnis  mit 1 C  ¤ 0, wenn gilt r  r 1 D .r 2  r/ bzw. r D .r 1 C r 2 /=.1 C / oder y1 C y2 x1 C x2 und y D : xD 1C 1C

D .1=2/  Œx1 .y2  y3 / C x2 .y3  y1 / C x3 .y1  y2 /: Wird der Rand des Dreiecks 4.P1 ; P2 ; P3 / in der Punktfolge P1 ; P2 ; P3 durchlaufen, so ist der Flächeninhalt positiv, wenn die Dreieckfläche wie in Abb. 5.3 zur Linken liegt, sonst negativ.

Der Punkt P liegt für  = 0 auf und für  < 0 au- 5.1.4 Winkel ßerhalb der Strecke (innere und äußere Teilung). ! Für  D 1 ist P Mittelpunkt M der Strecke P1 P2 . Sind a D .ax ; ay / und b D .bx ; by / zwei Vektoren, so ist der orientierte Winkel ' D ^.a; b/ r M D .r 1 C r 2 /=2 oder durch den Drehwinkel erklärt, um den der VekxM D .x1 C x2 /=2 und yM D .y1 C y2 /=2: tor a gedreht werden muss, damit er die gleiche Richtung und den gleichen Richtungssinn wie b hat (Abb. 5.4). Er ist bis auf Vielfache von 2  5.1.3 Dreieck durch die beiden Gleichungen Die Eckpunkte (Abb. 5.3) eines Dreiecks 4.P1 ; P2 ; P3 / seien r 1 ; r 2 ; r 3 . Ein Punkt r ist genau dann ein Punkt dieses Dreiecks, wenn r D t1 r 1 C t2 r 2 C t3 r 3 x D t1 x1 C t2 x2 C t3 x3

oder

a x bx C a y by q cos ' D q ax2 C ay2 bx2 C by2 a x by  a y bx sin ' D q q ax2 C ay2 bx2 C by2

und

t1 C t2 C t3 D 1 bestimmt. Im allgemeinen wird derjenige Winkel 0 5 t1 ; t2 ; t3 : gewählt, dessen Betrag den kleinsten Wert hat, Für t1 ; t2 ; t3 > 0 ist r innerer Punkt des Dreiecks. d. h.   < ' 5  . y D t1 y1 C t2 y2 C t3 y3

für

5 Analytische Geometrie

67

Abb. 5.4 Orientierter Winkel 

5.1.5 Gerade

Abb. 5.5 Gerade. a allgemeine Form; b Hessesche Normalform

Punktrichtungs- und Zweipunktegleichung. Eine Gerade g (Abb. 5.5a) sei bestimmt durch einen ihrer Punkte r 1 und ihren Richtungsvektor v oder zwei ihrer Punkte r 1 und r 2 . Für jeden Punkt r von g gilt dann mit einem Parameter t 2 R r D r 1 C tv x D x1 C tvx

oder

und y D y1 C tvy

bzw.

r D r 1 C t.r 2  r 1 / oder x D x1 C t.x2  x1 /

und

y D y1 C t.y2  y1 /:

Hessesche Normalform (Abb. 5.5b). Eine Gerade g sei in der Punktrichtungsdarstellung gegeben. g: r D r 1 Ctv; t 2 R. Normal- oder Stellungsvektor n0 von g ist ein Einheitsvektor, der orthogonal zu v ist und der vom Ursprung O aus zur Geraden g weist (verläuft g durch O, dann ist der Richtungssinn beliebig wählbar). Mit dem orientierten Winkel ' D ^.e 1 ; n0 / gilt dann n0 D e 1 cos ' C e 2 sin '. Skalare Multiplikation der Punktrichtungsgleichung von g mit n0 führt auf die Hessesche Normalform von g

Parameterfreie Darstellung: Elimination von t rn0  d D 0 oder x cos ' C y sin '  d D 0; ergibt .x  x1 /vy  .y  y1 /vx D 0 bzw. .x  x1 /.y2  y1 /  .y  y1 /.x2  x1 / ˇ ˇ ˇ x1 x2 x ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D ˇ y1 y2 y ˇ D 0: ˇ ˇ ˇ 1 1 1 ˇ

wobei d D r 1 n0 = 0 den Abstand des Ursprungs O von g angibt. Allgemeine Geradengleichung. Jede Geradengleichung lässt sich auf eine lineare Gleichung der Form

Ax C Bx C C D 0 mit A2 C B 2 > 0 Für vx ¤ 0 bzw. x2  x1 ¤ 0 liegt Gerade g nicht p parallel zur y-Achse, und es ergeben sich hieraus zurückführen. Nach Division durch ˙ A2 C B 2 die expliziten Darstellungen ergibt sich die Hessesche Normalform, wobei y D y1 C m.x  x1 / bzw. y2  y1 y D y1 C  .x  x1 /: x2  x1

p cos ' D A=.˙ A2 C B 2 /; p sin ' D B=.˙ A2 C B 2 /; p d D C =.˙ A2 C B 2 /

vy =vx D .y2  y1 /=.x2  x1 / D m D tan ' heißt Steigung der Geraden g, wobei  mit  =2 < sowie „+“ für C < 0 und „–“ für C > 0 gilt, sodass ' <  =2 den Steigungswinkel von g bedeutet. Sonderfälle: Hauptgleichung y D mx C b. Ge- d > 0. Für C D 0 verläuft Gerade g durch den Urrade mit der Steigung m durch (O, b); b Abschnitt sprung O. auf der y-Achse. Abstand Punkt – Gerade. Er wird zweckmäßig Abschnittsgleichung x=a C y=b D 1. Gerade mit Hilfe der Hesseschen Normalform bestimmt. durch (a, O) und (O, b); a und b Abschnitte g: rn0 d D 0 oder x cos 'Cy sin 'd D 0: Für einen beliebigen Punkt P0 mit dem Ortsvektor auf der x- bzw. y-Achse.

5

68

U. Jarecki

Tab. 5.1 Lagebeziehungen zweier Geraden in der Ebene

Geradengleichung

g1 : g2 :

Schnittwinkel .=2 < < =2/ Parallelität . D 0/ Orthogonalität . D =2/

y D m1 x C b 1 y D m2 x C b 2 m2 m1 tan D 1Cm 1 m2

A1 x C B1 y C C1 D 0 A2 x C B2 y C C2 D 0 A2 B1 tan D AA11AB22CB 1 B2

m1 D m2

A1 B2 D A2 B1

1 C m1 m2 D 0

A1 A2 C B1 B2 D 0

r 0 D .x0 ; y0 / ist sein Abstand a von g gegeben Cramer-Regel (s. Abschn. 3.2.3) lautet ˇ ˇ ˇ ˇ mit ˇ C B ˇ ˇ A B ˇ ˇ 1 1 ˇ ˇ 1 1 ˇ xS D ˇ ˇWˇ ˇ und ˇ C2 B2 ˇ ˇ A2 B2 ˇ a D jr 0 n0 d j oder jx0 cos ' Cy0 sin ' d j: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ A C ˇ ˇ A B ˇ ˇ 1 1 ˇ ˇ 1 1 ˇ yS D ˇ Falls g nicht durch den Ursprung O verläuft, gilt ˇWˇ ˇ: ˇ A2 C2 ˇ ˇ A2 B2 ˇ außerdem: für r 0 n0  d > 0 liegen P0 und O auf verschiedenen Seiten von g; für r 0 n0  d < 0 liegen P0 und O auf derselben Seite von g; für r 0 n0  d D 0 liegt P0 auf g: Beispiel

g: 3xp C 4y  10 D 0 und r 0 D .4; 3/, sodass A2 C B 2 D 5: – Hessesche Normalform von g ist (3=5)x C (4=5)y  2 D 0, sodass r 0 n0  d D .3=5/  4 C .4=5/  3  2 D 2;8: P0 hat von g den Abstand 2,8. P0 und O liegen auf verschiedenen Seiten von g. J Lagebeziehung zweier Geraden. Sind g1 und g2 zwei einander schneidende Geraden, so ist ihr Schnittwinkel D ^.g1 ; g2 / derjenige (orientierte) Winkel, um den die Gerade g1 auf dem kürzesten Weg gedreht werden muss, damit sie mit g2 zur Deckung kommt. Dieser Winkel ist für  =2 < <  =2 eindeutig durch seinen Tangens bestimmt (Tab. 5.1).

5.1.6

Koordinatentransformationen

Parallelverschiebung (Abb. 5.6). Sie ist gekennzeichnet durch einen Verschiebungsvektor v, durch den das Koordinatensystem .OI e 1 ; e 2 / in das Koordinatensystem .O 0 I e 1 ; e 2 ) übergeführt wird. Für einen Punkt P in der Ebene gilt ! ! ! ! dann OP D OO 0 C O 0 P ; wobei OO 0 D v ! der Verschiebungsvektor ist. Mit OP D xe 1 C ! ! ye 2 ; OO 0 D v D ae 1 C be 2 und O 0 P D x 0 e 1 C y 0 e 2 lautet dann die Koordinatendarstellung der Parallelverschiebung x D x 0 C a; 0

y D y0 C b

0

oder

0

.x; y/ D .x ; y / C .a; b/ D .x C a; y 0 C b/: Drehung (Abb. 5.7). Das Koordinatensystem .OI e 1 ; e 2 / wird durch eine Drehung um den Winkel ˛ D ^.e 1 ; e 01 / in das Koordinatensystem .OI e 01 ; e 02 / übergeführt. Dann ist e 01 D cos ˛e 1 C sin ˛e 2 und e 02 D  sin ˛e 1 C cos ˛e 2 . Für einen ! beliebigen Punkt P D (x, y) gilt OP D xe 1 C ye 2 D x 0 e 01 C y 0 e 02 . Hieraus ergibt sich die Ko-

Schnittpunkt zweier Geraden. Der Schnittpunkt S D .xS ; yS / zweier nichtparalleler Ge- Abb. 5.6 Parallelverschiebung raden in der allgemeinen Darstellung g1 : A1 x C B1 y C C1 D 0 und g2 : A2 x C B2 y C C2 D 0 mit A1 B2  A2 B1 ¤ 0 ist bestimmt durch die Lösung dieses linearen Gleichungssystems, die nach der

5 Analytische Geometrie

69

Abb. 5.7 Drehung

F bzw. von der Leitlinie l. Damit ist zugleich eine Konstruktionsvorschrift gegeben: In den Abständen d1 ; d2 ; d3 : : : werden Parallelen zur Leitlinie l gezogen, und um den Brennpunkt F werden Kreise mit den Radien "d1 ; "d2 ; "d3 : : : gezeichnet; ihre Schnittpunkte mit den entsprechenden ordinatendarstellung der Drehung um ˛ bzw. ihre Parallelen sind Punkte des Kegelschnitts. Die Matrizenform zur Leitlinie l senkrechte Gerade durch F heißt 0 0 Hauptachse. Die Länge der Sehne durch den x D x cos ˛  y sin ˛ und Brennpunkt F und senkrecht zur Hauptachse y D x 0 sin ˛ C y 0 cos ˛ bzw. heißt der Parameter 2p. F hat dann von l den Ab! ! ! stand p=". x cos ˛  sin ˛ x0 ; wobei D 0 y y sin ˛ cos ˛ ˇ ˇ Polarkoordinaten (Abb. 5.8a). Wenn der Pol ˇ cos ˛  sin ˛ ˇ ˇ ˇ mit F zusammenfällt und die Polarachse mit der ˇ ˇ D 1: ˇ sin ˛ cos ˛ ˇ Hauptachse gleichgerichtet ist, dann gilt " D 0 Kreis;

5.1.7 Kegelschnitte

rD

p I 1  " cos '

0 < " < 1 Ellipse;

" D 1 Parabel; Grundbegriffe und allgemeine " > 1 Hyperbel: Eigenschaften Wird ein Kreiskegel von einer Ebene geschnitten, Im Abb. 5.8b sind für einen Brennpunkt F und so werden die Schnittkurven als Kegelschnitte eine Leitlinie l jeweils eine Ellipse, eine Parabel bezeichnet. und eine Hyperbel dargestellt. Bei einem Kreis (" D 0) liegt die Leitlinie im Unendlichen, und Numerische Exzentrizität. Sie ist das bei jeder Brennpunkt F ist sein Mittelpunkt. dem echten Kegelschnitt konstante Verhältnis " D r=d. Hierbei sind r und d die Abstände Scheitelpunktgleichung (Abb. 5.8c). In ei(Abb. 5.8a) eines seiner Punkte vom Brennpunkt nem kartesischen Koordinatensystem, dessen Ursprung mit dem linken Scheitelpunkt und dessen x-Achse mit der Hauptachse der Kegelschnitte zusammenfällt, lautet sie y 2 D 2px  x 2 .1  "2 /

 p ;0 ; mit dem Brennpunkt F D 1C" p : mit der Leitlinie x D  ".1 C "/ 

Kreis Er ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einem Punkt M, dem Mittelpunkt, den gleichen Abstand R haben. R heißt Radius des Kreises. Abb. 5.8 Kegelschnitte. a Polarkoordinaten; b gemeinsamer Brennpunkt; c gemeinsamer Scheitelpunkt

Gleichungen. Für den Mittelpunkt M und den Radius R gelten:

5

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U. Jarecki

gelpunkt PN0 des Poles P0 verläuft und senkrecht auf der Halbgeraden hg durch PN0 mit dem Anfangspunkt M steht. Liegt der Pol P0 außerhalb des Kreises wie auf Abb. 5.9d, so sind die Schnittpunkte P1 und P2 der Polaren mit dem Kreis die Berührungspunkte der Kreistangenten durch P0 . Mit der Kreisgleichung .x  a/2 C .y  b/2 D R2 lautet die Gleichung der Polaren des Punkts P0 .x0 ; y0 / .x  a/.x0  a/ C .y  b/.y0  b/ D R2 : Abb. 5.9 Kreis. a kartesische, b Polarkoordinaten; c Spiegelung; d Pol und Polare

Kartesische Koordinaten (Abb. 5.9a) Allgemeine Form mit M.a; b/W

Parabel Sie ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, deren Abstände von einem Punkt F, dem Brennpunkt, und einer Geraden l, der Leitlinie, gleich sind (" D 1). Ihr Halbparameter p ist der Abstand des Brennpunkts F von l.

.x  a/2 C .y  b/2 D R2 ; Scheitelpunktsform mit M.R; 0/W x 2  2Rx C y 2 D 0; Mittelpunktsform mit M.0; 0/W x 2 C y 2 D R2 : Polarkoordinaten (Abb. 5.9b) Allgemeine Form mit M.r0 ; '0 /W r 2  2rr0 cos.'  '0 / C r02 D R2 ;

Konstruktion. Für die Parabelpunkte und ihre Tangenten (Abb. 5.10a) gilt: In einem Punkt A auf l wird das Lot und auf der Verbindungsstrecke AF die Mittelsenkrechte errichtet, die das Lot in einem Parabelpunkt P schneidet und zugleich Tangente in P ist. Hieraus geht hervor, dass jeder parallel zur Hauptachse einfallende Strahl nach Spiegelung an der Parabel durch den Brennpunkt F geht.

Scheitelpunktsform mit M.R; 0/W r D 2R cos ';

' 2 . =2;  =2/:

Tangente und Normale (t und n; Abb. 5.9c). Für den Kreis kW .x  a/2 C .y  b/2 D R2 mit dem Kreispunkt P0 .x0 ; y0 / gilt für tW .x  a/.x0  a/ C .y  b/.y0  b/ D R2 ; für nW .y  y0 /.x0  a/  .x  x0 /.y0  b/ D 0: Spiegelung an einem Kreis (Abb. 5.9c). Zwei Punkte P0 und PN0 der Ebene heißen Spiegelpunkte des Kreises mit dem Mittelpunkt M und dem Radius R, wenn sie auf der Halbgeraden hg mit dem Anfangspunkt M liegen und für ihre Abstände r und rN von M gilt: r rN D R2 . Polare des Poles P0 bezüglich des Kreises Abb. 5.10 Parabel. a Konstruktion; b Koordinaten; c Tan(Abb. 5.9d) ist eine Gerade, die durch den Spie- gente t und Normale n

5 Analytische Geometrie

71

Abb. 5.11 Ellipse. a Konstruktion; b Größen; c Koordinaten

Gleichungen (Abb. 5.10b). In Polar- bzw. kar- p D b 2 =a. Der Brennpunkt F1 bzw. der Mittesischen Koordinaten ist r D p=.1cos '/ bzw. telpunkt M hat von der Leitlinie l den Abstand y 2 D 2px mit Brennpunkt F: (p=2, 0) und Leit- p=" D b 2 =e bzw. a=" D a2 =e. linie l: x D p=2. Gleichungen (Abb. 5.11c). In Polarkoordinaten Tangente und Normale (t und n; Abb. 5.10c). (Pol fällt mit F1 zusammen, und die Polachse In der Scheitelpunktdarstellung y 2 D 2px mit geht durch F2 ) ist p a2  e 2 dem Parabelpunkt P0 .x0 ; y0 / gilt für tW yy0 D rD D ; " D e=a < 1: p.x C x0 / und für nW p.y  y0 / C y0 .x  x0 / D 0. 1  " cos ' a  e cos ' Die Tangente t schneidet die y-Achse bei y0 =2 und die x-Achse bei x0 . Die Länge der Subnor- Kartesische Koordinaten: malen SN ist stets p. Scheitelpunkt S liegt im Ursprung

Ellipse Sie ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene (Abb. 5.11a) mit konstanter Summe ihrer Abstände von zwei Punkten F1 und F2 , den Brennpunkten. Der Abstand der beiden Brennpunkte wird mit 2 e und die Abstandssumme für die Ellipsenpunkte P mit 2 a bezeichnet: F1 F2 D 2 e und F1 P C F2 P D 2 a, wobei e < a.

y 2 D 2px  x 2 .1  "2 / b2 b2 x  2 x 2 oder a a .x  a/2 y2 C 2 D 1; a2 b Mittelpunkt M liegt im Ursprung D2

x2 y2 b p C 2 D 1 oder y D ˙  a2  x 2 : 2 a b a

Konstruktion. Für die Ellipse und ihre Tangen- Tangente und Normale (t und n; Abb. 5.11b). ten (Abb. 5.11a) wird mit dem Radius 2 a um In der Mittelpunktdarstellung mit dem EllipsenF1 ein Kreis, der Leitkreis, gezeichnet und einer punkt P0 .x0 ; y0 / gilt seiner Punkte Q mit F1 und F2 verbunden. Die yy0 xx0 Mittelsenkrechte der Strecke QF2 schneidet die für tW 2 C 2 D 1; a b Strecke QF1 im Ellipsenpunkt P und ist zugleich /y .y  y0 /x0 .x  x 0 0 Tangente in P. Hiernach geht jeder vom Brenn D 0: für nW 2 b a2 punkt F1 ausgehende Strahl nach der Spiegelung an der Ellipse durch den anderen Brennpunkt F2 . Charakteristische Größen (Abb. 5.11b). Diese sind die lineare Exzentrizität e, die numerische Exzentrizität " D e=a < 1, die große und die kleine Halbachse a und b sowie der Halbparameter

Hyperbel Sie ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene mit konstanter Differenz ihrer Abstände von zwei Brennpunkten F1 und F2 . Der Abstand der Brennpunkte wird mit 2 e und die Abstands-

5

72

U. Jarecki

Abb. 5.12 Hyperbel. a Konstruktion; b Größen; c Koordinaten; d Tangente t und Normale n

differenz für einen Hyperbelpunkt P mit 2 a Gleichungen. In Polarkoordinaten (Pol fällt mit F zusammen, und die Polarachse ist mit der bezeichnet. Hauptachse gleichgerichtet; Abb. 5.12c) ist F1 F2 D 2e; F1 P  F2 P D 2a; wobei e 2  a2 e p e > a: D ; " D > 1: rD 1  " cos ' a  e cos ' a Konstruktion (Abb. 5.12a). Hierzu wird um F1 mit dem Radius 2 a ein Kreis, der Leitkreis, geKartesische Koordinaten. Die x-Achse mit der zeichnet. Ein Punkt Q auf dem Leitkreis wird Orientierung von links nach rechts geht durch F1 mit F2 verbunden. Die Mittelsenkrechte auf QF2 und F2 . schneidet die verlängerte Strecke F1 Q in dem Scheitelpunkt S, Abb. 5.12c liegt im Ursprung Hyperbelpunkt P und ist zugleich Tangente in P. Für diesen Punkt P ist F1 P F2 P D 2 a: Hieraus y 2 D 2px  x 2 .1  "2 / oder folgt, dass jeder vom Brennpunkt F1 ausgehen.x C a/2 y 2 de Strahl nach seiner Spiegelung an der Hyperbel  2 D 1; a2 b mit seiner rückwärtigen Verlängerung durch den zweiten Brennpunkt F2 verläuft. Mittelpunkt M, Abb. 5.12d liegt im Ursprung Charakteristische Größen (Abb. 5.12b). Diex2 y2 bp 2  D 1 oder y D ˙ x  a2 : se sind die lineare Exzentrizität e, die numerische a2 b2 a Exzentrizität " D e=a > 1, die reelle Halbachse a p e 2  a2 Tangente und Normale (t und n; Abb. 5.12d). und die imaginäre Halbachse b D sowie der Halbparameter p D b 2 =a. Der Brenn- In der Mittelpunktdarstellung mit dem Hyperbelpunkt F2 bzw. der Mittelpunkt M hat von der punkt P0 .x0 ; y0 / gilt Leitlinie l den Abstand p=" D b 2 =e bzw. x0 x y0 y  2 D 1; für tW a=" D a2 =e. Die Geraden durch M, die bezüga2 b lich der Hauptachse die Steigung ˙b/ a haben, .y  y0 /x0 .x  x0 /y0 C D 0: für nW sind Asymptoten der Hyperbel. 2 b a2

5 Analytische Geometrie

73

5.1.8 Allgemeine Kegelschnittgleichung

wobei die Koeffizienten mit einem Strich durch die Matrizengleichung

Jeder Kegelschnitt ist eine Kurve 2. Ordnung, d. h., dass er in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine Gleichung 2. Grades darstellbar ist:

0

A0 B 0 @B D0

B0 C0 E0

F .x; y/ D Ax 2 C 2Bxy C Cy 2 C 2Dx C 2Ey C F D 0; A2 C B 2 C C 2 > 0: ˇ ˇ ˇ ˇ A B D ˇ ˇ A ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D ˇ B C E ˇ; ı D ˇ ˇ B ˇ ˇ ˇ D E F ˇ

B C

ˇ ˇ ˇ ˇ : (5.1) ˇ

1 0 D0 cos ˛ 0C D B EA @ sin ˛ 0 0 F 0 A B B  @B C D E 0 cos ˛ B  @sin ˛ 0

bestimmt sind. Hierbei ist ˇ ˇ ˇ ˇ A0 B 0 D 0 ˇ ˇ A Die Diskriminante der Gleichung und die Disˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0 kriminante ı der quadratischen Glieder bestimˇ B C 0 E0 ˇ D ˇ B ˇ ˇ ˇ men im wesentlichen die Art des Kegelschnitts ˇ D0 E 0 F 0 ˇ ˇ D (Tab. 5.2). ˇ ˇ ˇ ˇ A0 B 0 ˇ ˇ A ˇ ˇ ˇ ˇDˇ ˇ 0 ˇ B C0 ˇ ˇ B Transformation der allgemeinen A0 C C 0 D A C C; Kegelschnittgleichung auf Hauptachsen

B C E B C

sin ˛ cos ˛ 0 1 D C EA F  sin ˛ cos ˛ 0

D E F

1 0 C 0A 1

1 0 C 0A 1

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D ; ˇ ˇ

ˇ ˇ ˇ ˇ D ı; ˇ

F 0 D F:

Der Drehwinkel ˛ wird nun so bestimmt, dass Drehung des Koordinatensystems. Sie ist nur dann erforderlich, wenn in Gl.(5.1) B ¤ 0. Oh- B 0 D .C  A/ sin ˛ cos ˛ C B.cos2 ˛  sin2 ˛/ ne Einschränkung wird vorausgesetzt, dass B > 0 D .1=2/.C  A/ sin 2˛ C B cos 2˛ D 0 (anderenfalls Multiplikation der Gleichung mit 1). Durch eine Drehung um den Winkel ˛ oder gemäß den Transformationsgleichungen x D .A  C / sin 2˛ D 2B cos 2˛; x 0 cos ˛  y 0 sin ˛, y D x 0 sin ˛ C y 0 cos ˛ geht woraus folgt Gl. (5.1) über in tan 2˛ D 2B=.A  C / für A ¤ C

A0 x 0 2 C 2B 0 x 0 y 0 C C 0 y 0 2 C 2Dx 0 C 2Ey 0 C F 0 D 0;

oder

cos 2˛ D 0 für A D C: (5.2) Hieraus ist ˛ bis auf ganzzahlige Vielfache von  =2 bestimmt. Mit ˛ 2 .0;  =2/ gilt

Tab. 5.2 Kegelschnitte ¤0

D0

ı >0 Ellipse (reell oder imaginär) Punkt

0, D 128 ¤ 0 und =ı D 16 ist der Kegelschnitt eine reelle Ellipse. Da A D C, ( D 0: ausgeartete Hyperbel oder Ellipse). ist cos 2˛ D 0 oder ˛ D  =4: Mit den Transformationsgleichungen für die Drehung, Fall ı D 0 ˇ ˇ x D x 0 cos. =4/  y 0 sin. =4/ ˇ A B ˇ ˇ ˇ 0 0 p ıDˇ ˇ D A C D 0: D .1= 2/.x 0  y 0 /; ˇ B C ˇ Es sei C 0 D 0 und A0 ¤ 0 (der andere mögliche Fall, A0 D 0 und C 0 ¤ 0, lässt sich entsprechend behandeln). Dann ist ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ A B D ˇ ˇ A0 0 D 0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Dˇ B C E ˇDˇ 0 0 E0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D E F ˇ ˇ D0 E 0 F 0 ˇ D A0 E 0 2 ;

y D x 0 sin. =4/ C y 0 cos. =4/ p D .1= 2/.x 0 C y 0 /; lautet die Kegelschnittgleichung im gedrehten p System 2x 0 2 C 4y 0 2  4 2x 0  12 Dp0: Die quadratische Ergänzung ergibt 2.x 0  2/2 C Parallelverschiebung D 4y 0 2  p16 D 0: Die 0 0 x  2;  D y liefert die Hauptachsengleichung 2 =8 C 2 =4 D 1. J

5 Analytische Geometrie

75

Beispiel 2

x 2  4xy C 4y 2  6x C 12y C 8 D 0: – Wegen ı D 0 und D 0 ist der Kegelschnitt eine ausgeartete Parabel. Es ist tan 2˛pD 4=3 oder p cos ˛ D 2= 5 und sin ˛ D 1= 5: Mit den Transformationsgleichungen für die Drehung, p ! x D x 0 cos ˛  y 0 sin ˛ D 1= 5.2x 0  y 0 /; Abb. 5.14 Strecke P1 P2 p y D x 0 sin ˛ C y 0 cos ˛ D 1= 5.x 0 C 2y 0 /; eindeutig als Linearkombination der Basisvektolautet die Kegelschnittgleichung im gedrehten ren darstellen, System a D ax e 1 C ay e 2 C az e 3 D .ax ; ay ; az / bzw. p 5y 0 2 C 6 5y 0 C 8 D 0 oder ! r D OP D xe 1 C ye 2 C ze 3 D .x; y; z/; p 2 0 .y C 3= 5/ D 1=5: wobei ax ; ay ; az bzw. x, y, z Koordinaten des p Die Parallelverschiebung  D y 0 C 3= 5; Vektors a bzw. des Punkts P heißen.

p D x 0 liefert die Hauptachsengleichung  D ˙ 1=5: Die ausgeartete Parabel ist also ein Paar 5.2.2 Strecke von reellen parallelen Geraden. J Die Punkte r 1 und r 2 seien Anfangs- und End! punkt der (orientierten) Strecke P1 P2 D r 2  r 1 5.2 Analytische Geometrie des (Abb. 5.14). Ein Punkt r liegt genau dann auf der ! Raumes Strecke P1 P2 , wenn

5.2.1

Das kartesische Koordinatensystem

r D r 1 C t.r 2  r 1 / für t 2 Œ0; 1 oder r D t1 r 1 C t2 r 2 für t1 C t2 D 1;

0 5 t1 ; t2 : Zugrunde gelegt wird ein räumliches Koordi! natensystem .OI e 1 ; e 2 ; e 3 / im positiv orientierLänge der Strecke P1 P2 : ten Raum (Abb. 5.13). In einem Punkt O, dem ! Ursprung, Nullpunkt oder Koordinatenanfangsl D jP1 P2 j D jr 2  r 1 j p punkt, sind drei orthonormierte Basisvektoren D .x2  x1 /2 C .y2  y1 /2 C .z2  z1 /2 : e 1 ; e 2 ; e 3 angeheftet, die in der angegebenen Rei! henfolge eine Rechtsschraube bilden (positive Richtung der Strecke P1 P2 : Sie ist bestimmt Orientierung). ! Jeder Vektor a des Raums bzw. jeder Orts- durch die Winkel ˛, ˇ, , die der Vektor P1 P2 D ! r 2  r 1 mit den Basisvektoren einschließt, wovektor OP D r eines Raumpunkts P lässt sich bei ihre Kosinuswerte Richtungskosinusse heißen. Mit dem Einheitsvektor Abb. 5.13 Räumliches kartesisches Koordinatensystem

e 0 D .r 2  r 1 /=jr 2  r 1 j gilt cos ˛ D e 0 e 1 D .x2  x1 /= l; cos ˇ D e 0 e 2 D .y2  y1 /= l; cos D e 0 e 3 D .z2  z1 /= lI cos2 ˛ C cos2 ˇ C cos2 D 1:

5

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U. Jarecki

Winkel zwischen zwei gerichteten Strecken: Der Abb. 5.15 Dreieck von den beiden gerichteten Strecken oder Vektoren ! a D P1 P2 D r 2  r 1 D .ax ; ay ; az / und ! b D P3 P4 D r 4  r 3 D .bx ; by ; bz / eingeschlossene Winkel ' .0 5 ' 5  / ist bestimmt durch ab jajjbj a x bx C a y by C a z bz q Dq 2 ax C ay2 C az2 bx2 C by2 C bz2

Abb. 5.16 Tetraeder

cos ' D

D cos ˛1 cos ˛2 C cos ˇ1 cos ˇ2 C cos 1 cos 2 ; wobei cos ˛1 ; cos ˇ1 ; cos 1 bzw. cos ˛2 ; cos ˇ2 ; ! cos 2 die Richtungskosinusse von P1 P2 bzw. ! P3 P4 sind.

5.2.3 Dreieck und Tetraeder Bilden die drei Punkte P1 ; P2 und P3 mit den Ortsvektoren r 1 D .x1 ; y1 ; z1 /; r 2 D .x2 ; y2 ; z2 / und r 3 D .x3 ; y3 ; z3 / die Eckpunkte eines Dreiecks (Abb. 5.15) und ist durch die Punktfolge P1 ; P2 ; P3 ein Umlaufsinn des Dreiecks festge! legt, so heißt das vektorielle Produkt .P1 P2  ! P2 P3 /=2 orientierte Dreieckfläche mit dem Flächeninhalt 0;5  j.r 2  r 1 /  .r 3  r 2 /j v uˇ ˇ ˇ u ˇ x x x ˇ2 ˇ y 2 3 ˇ uˇ 1 ˇ 1 uˇ ˇ ˇ u ˇ y1 y2 y3 ˇ C ˇ z1 uˇ ˇ ˇ uˇ 1 1 1 ˇ ˇ 1 u D 0;5u ˇ ˇ2 u ˇ u ˇ z1 d z2 z3 ˇˇ u ˇ ˇ uCˇ x x2 x3 ˇ : t ˇ 1 ˇ ˇ 1 1 1 ˇ

y2 z2 1

ˇ2 y3 ˇˇ ˇ z3 ˇ ˇ 1 ˇ

Bilden die vier Punkte P0 ; P1 ; P2 und P3 mit den Ortsvektoren r 0 ; r 1 ; r 2 und r 3 die Eckpunkte eines Tetraeders (Abb. 5.16), so ist dessen (orientiertes) Volumen bestimmt durch das Spatprodukt ! ! ! .1=6/.P0 P1 ; P0 P2 ; P0 P3 / ! ! ! D .1=6/.P0 P1  P0 P2 /  P0 P3 bzw. V D .1=6/Œ.r 1  r 0 /  .r 2  r 0 /  .r 3  r 0 / ˇ ˇ ˇ x y z 1 ˇ 0 0 ˇ 0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ x y z 1 1 1 1 1 ˇ ˇ: D 6ˇ ˇ ˇ x2 y2 z2 1 ˇ ˇ ˇ ˇ x3 y3 z3 1 ˇ Das Volumen hat positives Vorzeichen, wenn ! ! ! P0 P1 ; P0 P2 ; P0 P3 in dieser Reihenfolge positiv orientiert sind.

5.2.4

Gerade

Zweipunkte- und Punktrichtungsgleichung. Eine Gerade g (Abb. 5.17) sei bestimmt durch zwei ihrer Punkte r 1 und r 2 bzw. durch einen ihrer Punkte r 1 und ihren Richtungsvektor v D .vx ; vy ; vz /: Für jeden Punkt r der Geraden g gilt mit dem Parameter t 2 R r D r 1 C t.r 2  r 1 / x D x1 C t.x2  x1 /;

oder

y D y1 C t.y2  y1 /;

z D z1 C t.z2  z1 /

5 Analytische Geometrie

77

Allgemeine Darstellung einer Geraden. Sie ist bestimmt durch die Schnittgerade zweier Ebenen mit den linearen Gleichungen A1 x C B1 y C C1 z C D1 D 0 und A2 x C B2 y C C2 z C D2 D 0 Abb. 5.17 Gerade

bzw.

mit Rang r D r 1 C tv x D x1 C tvx ;

oder

y D y1 C tvy ;

z D z1 C tvz :

ˇ ˇ A ˇ 1 ˇ ˇ A2

B1 B2

A1 A2

B1 B2

C1 C2

ˇ ˇ ˇ ˇ; ˇ

ˇ ˇ A ˇ 1 ˇ ˇ A2

!

C1 C2

D 2; d. h., von ˇ ˇ ˇ ˇ; ˇ

ˇ ˇ B ˇ 1 ˇ ˇ B2

D1 C2

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

Vektorielle Multiplikation beider Gleichungen mit r 2  r 1 bzw. v führt auf die folgenden pa- ist mindestens eine Determinante von Null verrameterfreien Darstellungen: schieden. Für die Schnittgerade der beiden Ebenen ist Zweipunktegleichung dann nach Abschn. 5.2.5 der Richtungsvektor .r  r 1 /  .r 2  r 1 / D 0; .x  x1 /.y2  y1 / D .y  y1 /.x2  x1 /; .y  y1 /.z2  z1 / D .z  z1 /.y2  y1 /; .z  z1 /.x2  x1 / D .x  x1 /.z2  z1 /; Punktrichtungsgleichung

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ B C ˇ ˇ C A ˇ ˇ 1 ˇ 1 1 ˇ 1 ˇ vD ˇ ˇe C ˇ ˇe ˇ B2 C2 ˇ 1 ˇ C2 A2 ˇ 2 ˇ ˇ ˇ A B ˇ ˇ 1 1 ˇ Cˇ ˇ e ¤ 0: ˇ A2 B2 ˇ 3

.r  r 1 /  v D 0; .x  x1 /vy D .y  y1 /vx ;

Lagebeziehungen zweier Geraden. Die Geraden seien durch ihre Punktrichtungsgleichungen gegeben.

.y  y1 /vz D .z  z1 /vy ; .z  z1 /vx D .x  x1 /vz : Falls die im Nenner auftretenden Größen von Null verschieden sind, lauten diese Gleichungen in der kanonischen Form x  x1 y  y1 z  z1 D D bzw. x2  x1 y2  y1 z2  z1 y  y1 z  z1 x  x1 D D : vx vy vz Tab. 5.3 Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum

g1 W r D r 1 C t1 v1 ;

t1 ; t2 2 R: Die vier Möglichkeiten ihrer gegenseitigen Lage mit den entsprechenden Bedingungen und die Abstände der Geraden sind in Tab. 5.3 zusammengefasst.

parallel v1  v2 D 0 gleich verschieden v1  .r2  r1 / D 0 v1  .r2  r1 / ¤ 0 Abstand d D

jv1 .r2 r1 /j jv1 j

g2 W r D r 2 C t2 v2 I

nicht parallel v1  v2 ¤ 0 schneiden einander windschief .r2 r1 /.v1 v2 / D 0 .r2 r1 /.v1 v2 / ¤ 0 Abstand d D

j.r2 r1 /.v1 v2 /j jv1 v2 j

5

78

U. Jarecki

5.2.5 Ebene Die Ebene E sei durch drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkte P0 ; P1 ; P2 mit den Ortsvektoren r 0 ; r 1 ; r 2 bzw. durch einen Punkt P0 und zwei nichtkollineare Vektoren v D r 1  r 0 ; w D r 2  r 0 bestimmt (Abb. 5.18a), wobei .r 1  r 0 /  .r 2  r 0 / ¤ 0 bzw. v  w ¤ 0:

Hessesche Normalform. Die Ebene E sei durch einen ihrer Punkte P0 mit dem Ortsvektor r 0 und durch ihren Stellungsvektor n0 festgelegt (Abb. 5.18b). n0 ist ein zur Ebene E senkrechter Einheitsvektor, dessen Richtungssinn vom Ursprung O aus zur Ebene weist, falls O nicht auf E liegt. Sonst ist sein Richtungssinn beliebig wählbar. Für jeden Punkt r von E gilt dann

Parameterdarstellung. Mit den Parametern ;  lautet sie

n0 .r  r 0 / D 0 oder n0 r  d D 0;

.r  r 0 /Œ.r 1  r 0 /  .r 2  r 0 / D 0 bzw.

Allgemeine Ebenengleichung. Sie hat die lineare Form

wobei d D n0 r 0 = 0 der Abstand des Urr D r 0 C .r 1  r 0 / C .r 2  r 0 / bzw. sprungs O von der Ebene E ist. Mit n0 D .cos ˛; cos ˇ; cos / und r D .x; y; z/, wobei r D r 0 C v C w: (5.9) cos ˛; cos ˇ und cos die Richtungskosinusse von n0 sind, lautet die Koordinatendarstellung Parameterfreie Form. Skalare Multiplikation der Hesseschen Normalform der Gl.(5.9) mit .r 1  r 0 /  .r 2  r 0 / bzw. v  w x cos ˛ C y cos ˇ C z cos  d D 0: ergibt .r  r 0 /.v  w/ D 0

oder in Koordinatenschreibweise ˇ ˇ x  x0 y  y0 z  z0 ˇ ˇ ˇ x1  x0 y1  y0 z1  z0 ˇ ˇ x2  x0 y2  y0 z2  z0 ˇ ˇ ˇ x y z 1 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ x0 y0 z0 1 ˇ ˇ ˇD0 Dˇ ˇ ˇ x1 y1 z0 1 ˇ ˇ ˇ ˇ x2 y2 z2 1 ˇ bzw.

ˇ ˇ x  x0 ˇ ˇ ˇ vx ˇ ˇ wx

y  y0 vy wy

z  z0 vz wz

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D 0: ˇ ˇ

Ax C By C C z C D D 0;

wobei

A C B C C > 0: 2

2

2

Einige Sonderfälle sind: Ax C By C C z D 0 Ebene geht durch den Ursprung O; By C C z C D D 0 Ebene parallel zur x-Achse; Cz C D D 0 Ebene parallel zur x; y-Ebene; zD0 Ebene fällt mit x; y-Ebene zusammen. Abschnittsgleichung (Ebene geht durch die Punkte .a; 0;0/; (0, b, 0) und (0, 0, c)): x=a C y=b C z=c D 1: Abstand eines Punkts von einer Ebene. Er wird zweckmäßig mit Hilfe der Hesseschen Normalform bestimmt.

Abb. 5.18 Ebene. a Parameterdarstellung; b Hessesche Normalform

EW rn0  d D 0 bzw. x cos ˛ C y cos ˇ C z cos  d D 0:

5 Analytische Geometrie

79

Für einen beliebigen Punkt P0 mit dem Ortsvek- Abb. 5.19 Parallelverschietor r 0 D .x0 ; y0 ; z0 / ist der Abstand a von E bung gegeben durch a D jn0 r 0  d j

bzw.

a D jx0 cos ˛ C y0 cos ˇ C z0 cos  d j: Falls die Ebene E nicht durch den Ursprung O in das Koordinatensystem .O 0 ; e 1 ; e 2 ; e 3 / übergeht, gilt für: geführt wird. Für einen Punkt P des Raums gilt ! ! ! 0 n r 0  d > 0 P0 und O auf verschiedenen dann OP D OO 0 C O 0 P mit dem Verschie!0 ! bungsvektor v D OO . Für OP D xe 1 C ye 2 C Seiten von E; ! ! ze 3 ; OO 0 D ae 1 C be 2 C ce 3 ; O 0 P D x 0 e 1 C n0 r 0  d < 0 P0 und O auf derselben Seite y 0 e 2 C z 0 e 3 hat die Parallelverschiebung die Kovon E; ordinatendarstellung n0 r 0  d D 0 P0 liegt auf E: .x; y; z/ D .x 0 ; y 0 ; z 0 / C .a; b; c/ Lagebeziehungen zweier Ebenen. Die GleiD .x 0 C a; y 0 C b; z 0 C c/: chungen zweier Ebenen E1 und E2 seien E1 W A1 x C B1 y C C1 z C D1 D 0 .A21 C B12 C C12 > 0/ bzw. n01 r  d1 D 0; E2 W A2 x C B2 y C C2 z C D2 D 0 .A22 C B22 C C22 > 0/ bzw. n02 r  d2 D 0: Die Ebenen schneiden einander genau dann!in eiA1 B1 C1 ner Geraden, wenn Rang D2 A2 B2 C2 (s. Abschn. 5.2.4) bzw. n01  n02 ¤ 0: Der Schnittwinkel '0 der beiden Ebenen ist durch den von den Stellungsvektoren n01 und n02 eingeschlossenen Winkel  erklärt. cos ' D n01 n02 A1 A2 C B1 B2 C C1 C2 Dq q A21 C B12 C C12 A22 C B22 C C22

Drehung (Abb. 5.20). Durch sie wird das Koordinatensystem .OI e 1 ; e 2 ; e 3 / in .OI e 01 ; e 02 ; e 03 ) übergeführt. Für die orthonormierten Basisvektoren e 01 ; e 02 ; e 03 ; die in dieser Reihenfolge positiv orientiert sind, gelten die Gleichungen e 01 D cos ˛1 e 1 C cos ˇ1 e 2 C cos 1 e 3 ; e 02 D cos ˛2 e 1 C cos ˇ2 e 2 C cos 2 e 3 ; e 03 D cos ˛3 e 1 C cos ˇ3 e 2 C cos 3 e 3 ; wobei cos ˛i D e 0i e 1 ; cos ˇi D e 0i e 2 ; cos i D e 0i e 3 (i D 1, 2, 3) die Richtungskosinusse von e 0i sind (auf Abb. 5.20 sind nur die Winkel ˛1 ; ˇ1 ; 1 angegeben, die der Basisvektor e 01 mit den Basisvektoren e 1 ; e 2 ; e 3 des Ausgangssystems einschließt). Für einen beliebigen Raumpunkt P gilt dann ! OP D r D x 0 e 01 C y 0 e 02 C z 0 e 03 D xe 1 C ye 2 C ze 3 : Abb. 5.20 Drehung

5.2.6

Koordinatentransformationen

Parallelverschiebung (Abb. 5.19). Sie ist gekennzeichnet durch einen Verschiebungsvektor v, durch den das Koordinatensystem .OI e 1 ; e 2 ; e 3 /

5

80

U. Jarecki

Skalare Multiplikation dieser Gleichung mit nal. Da außerdem die Basisvektoren e 01 ; e 02 ; e 03 e 01 ; e 02 ; e 03 liefert die Transformationsgleichungen positiv orientiert sind, gilt DetA D jAj D 1. Mafür eine Drehung. trizen A mit den Eigenschaften AA T D E und jAj D 1 heißen „eigentlich orthogonal“. Damit x 0 D cos ˛1 x C cos ˇ1 y C cos 1 z; ist jede Drehung durch eine eigentlich orthogo0 nale Matrix charakterisiert. y D cos ˛2 x C cos ˇ2 y C cos 2 z; z 0 D cos ˛3 x C cos ˇ3 y C cos 3 zI 10 1 0 01 0 cos ˛1 cos ˇ1 cos 1 x x CB C B 0C B @y A D @cos ˛2 cos ˇ2 cos 2 A @y A z z0 cos ˛3 cos ˇ3 cos 3 0 1 x B C D A @y A : z Da die Basisvektoren e 01 ; e 02 ; e 03 orthonormiert sind, gilt die Matrizengleichung AA T D E bzw. A T D A 1 ; wobei A T die transponierte und A 1 die inverse Matrix von A ist (s. Abschn. 3.2.4). Matrizen mit dieser Eigenschaft heißen orthogo-

Allgemeine Literatur Bücher Eisenreich, G.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. 3. Auflage 1991, Akademie Vlg. Fischer, G.: Analytische Geometrie. 6. Auflage 1992, Vieweg. Koecher, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. 3. Auflage 1992, Springer. Mangoldt, von; Knopp; Lösch: Höhere Mathematik. Bd. I: Zahlen, Funktionen, Grenzwerte, Analytische Geometrie, Algebra, Mengenlehre 17. Auflage 1990, Hirzel. Walter, R.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. 2. Auflage 1993, Vieweg.

6

Differential- und Integralrechnung Uller Jarecki

6.1 Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen 6.1.1 Grundbegriffe Urbild- und Bildmenge. Ist D eine Teilmenge der reellen Zahlen, D  R, und ist jedem x 2 D genau eine reelle Zahl y 2 R zugeordnet, dann ist auf D eine reellwertige Funktion f definiert, symbolisch ausgedrückt f W D ! R oder y D f .x/

für x 2 D:

D heißt Definitions-, Argument- oder Urbildmenge von f . Das dem Argument oder Urbild x 2 D zugeordnete Element y D f (x) heißt Bild von x oder Funktionswert f (x). Die Menge B(f ) aller Bilder f (x) heißt Bildmenge: B.f / D ff .x/jx 2 Dg D fyjy D f .x/

für x 2 Dg:

Graph der Funktion f , in Zeichen [f ], ist die Menge aller geordneten Paare (x, f (x)): Œf  D f.x; f .x//jx 2 Dg D f.x; y/jy D f .x/

für x 2 Dg:

Die geometrische Darstellung der geordneten Zahlenpaare (x, f (x)) als Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem gibt das graphische Bild von f wieder. Zwei Funktionen f und g heißen gleich, in Zeichen f D g, wenn sie die gleiche U. Jarecki () Berlin, Deutschland

Definitionsmenge D haben und f (x) D g(x) für alle x 2 D. Funktionen können durch Zahlengleichungen mit zwei Variablen x und y, Wertetabellen, ihr graphisches Bild oder dergleichen erklärt sein. Beispiel 1

y D 1=x (Abb. 6.1a). – Diese Funktion ist explizit durch eine Gleichung erklärt mit D D R\f0g und B(f ) D R\f0g. J Beispiel 2

F .x; y/ D x 2 C y 2  1 D 0 und y = 0. – Diese Funktion (Abb. 6.1b) ist implizit durch eine Gleichung und explizit durch eine Ungleichung erklärt. Sie ist mit der Funktion pgleich, die explizit durch die Gleichung y D 1  x 2 erklärt ist. D D [1, 1], B(f ) D [0, 1]. J Beispiel 3

( für 0 5 x 5 1 x2 – Die Funky D x C 2 für 1 < x 5 2: tion (Abb. 6.1c) ist explizit durch zwei Gleichungen erklärt. D D [0, 2], B(f ) D [0, 1]. J Beispiel 4

y D 0, wenn x eine rationale Zahl ist, und y D 1, wenn x eine irrationale Zahl ist. – Diese Funktion, die auch Dirichlet-Funktion heißt, ist durch eine mit Worten ausgedrückte Zuordnungsvorschrift erklärt. D D R, B(f ) D f0, 1g. Das graphische Bild der Funktion ist nicht darstellbar. J

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_6

81

82

U. Jarecki

Abb. 6.1 Funktion p mit zwei Variablen. a y D 1=x; b y D 1  x 2; ( 2 x 0 5 x 51 c yD xC2 1 5 x 5 2

Beschränktheit. Eine Funktion f auf D heißt Abb. 6.2 Inverse Funktion beschränkt, wenn es eine untere und eine obere Schranke m und M gibt, sodass m 5 f (x) 5 M für alle x 2 D. Untere Grenze von f ist die größte untere Schranke, und obere Grenze von f ist die kleinste obere Schranke. Beispiel 1

Die Funktion y D sin x für x 2 R ist bef .x2 / oder wenn f .x1 / D f .x2 /, so x1 D x2 . schränkt und hat die obere Grenze 1 und die Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar untere Grenze 1. J eindeutig. Beispiel 2.

Die Funktion y D 1=x für x > 0 ist nicht beschränkt, da sie keine obere Schranke besitzt. Sie ist aber nach unten beschränkt und hat die untere Grenze 0. J Eine Funktion f heißt gerade bzw. ungerade, wenn f (x) D f (x) bzw. f (x) D f (x). So ist die Funktion y D f .x/ D x 2 für x 2 R gerade und y D f .x/ D x 3 für x 2 R ungerade. Periodizität. Die Funktion f auf D heißt periodisch mit der Periode , wenn f (x C ) D f (x) für alle x 2 D. So ist die Funktion y D tan x periodisch mit der Periode  .

Umkehrbarkeit. Ist f eine umkehrbar eindeutige Funktion auf D, so hat jedes Element y 2 B(f ) genau ein Urbild x 2 D. Inverse Funktion oder Umkehrfunktion von f ist dann diejenige Funktion, die jedem Bild y D f (x) sein Urbild x zuordnet. Sie hat das Symbol f 1 , und es gilt die Äquivalenz y D f (x) genau dann, wenn x D f 1 .y/: f ist auch inverse Funktion von f 1 . Werden – wie üblich – die Argumente mit x und die Bilder mit y bezeichnet, dann lautet die Darstellung für die inverse Funktion y D f 1 .x/, wobei x 2 B(f ) und y 2 D. Durch den Tausch der Variablen x und y geht das Paar (x, y) aus [f ] in das Paar (y, x) über. Dies bedeutet, dass das graphische Bild von f 1 aus dem graphischen Bild von f durch Spiegelung an der Geraden y D x hervorgeht (Abb. 6.2).

Monotonie. Gilt für eine Funktion f auf D für alle x1 2 D und x2 2 D : Wenn x1 < x2 , so f .x1 / 5 f .x2 / bzw. wenn x1 < x2 , so f .x2 / 5 f .x1 /, dann heißt sie monoton steigend bzw. fallend. Gilt statt „5“ die Relation „ 0 ist.

˛ negative ganze Zahl. y D x n .n D 1; 2; 3 : : :/ ist für alle Argumente x ¤ 0 erklärt. Exponential- und Logarithmusfunktion Sie ist für gerades n eine gerade und für unge- (Abb. 6.4) rades n eine ungerade Funktion. Ihre Bilder sind Hyperbeln (Abb. 6.3b) durch den Punkt (1,1). Exponentialfunktion. Definitionsgleichung: p y D exp.x/ D ex : D.exp/ D .1; 1/ D R; n x .n D ˛ rationale Zahl. y D x 1=n D B.exp/ D .0; 1/ D RC . 2; 3; 4 : : :/ ist für alle Argumente x = 0 erklärt. Sie heißt auch Wurzelfunktion und ist Inverse von y D x n für x = 0. Ihr Bild ist eine Halbparabel Logarithmusfunktion. Definitionsgleichung: durch den Punkt (1,1). Sie kann für gerades bzw. y D ln x: D.ln/ D .0; 1/ D RC ; B.ln/ D p ungerades n durch die Funktion y D  n x mit .1; 1/ D R. p x = 0 bzw. y D  n x mit x 5 0 zu einer Vollparabel mit der Gleichung y n D x ergänzt werden. In Abb. 6.3c sind die ergänzenden Halbparabeln getrichelt. p Funktion y D x 1=n D 1= n x; n D 2; 3; 4 : : : . Sie ist für alle Argumente x > 0 erklärt. Sie ist die inverse Funktion von y D x n mit x > 0. Ihr Bild ist eine Halbhyperbel durch den Punkt (1, 1). Sie kann für gerades bzw. ungerades n durch die Funktion y D x 1=n mit x > 0 bzw. y D .x/1=n mit x < 0 zu einer Vollhyperbel Abb. 6.4 Exponential- und Logarithmusfunktion

84

U. Jarecki

Sonderfälle von algebraischen Funktionen sind: Ganzrationale n-ten Grades y D Pn .x/

Funktionen oder

Polynome

a0 ¤ 0

D a0 x C a1 x n1 C a2 x n2 C : : : n

C an1 x C an Gebrochenrationale Funktionen yD Abb. 6.5 Hilfsfunktionen. a y D x; b y D sgn.x/; c y D [x]

D

Qm .x/ Pn .x/

b0 x m C b1 x m1 C b2 x m2 C : : : C bm1 x C bm : a0 x n C a1 x n1 C a2 x n2 C : : : C an1 x C an

Beide Funktionen sind streng monoton wach- Für m = n heißen sie unecht, für m < n echt gebrochen. send und zueinander invers. Algebraische Funktionen, die nicht rational p sind heißen irrational (z. B. y D x). Hyperbel- und Areafunktionen sowie trigonometrische und zyklometrische Transzendente Funktionen (arcus-)Funktionen (s. Abschn. 4.3) Sie sind nicht algebraisch. Zu ihnen gehören beiHilfsfunktionen (Abb. 6.5a–c), die häufig be- spielsweise die trigonometrischen Funktionen (s. nutzt werden, sind Abschn. 4.3). ( x für x = 0 a/ y D jxj D x für x 5 0; 6.1.4 Grenzwert und Stetigkeit 8 ˆ < 1 für x > 0 b/ y D sgn.x/ D 0 für x D 0 und Grundbegriffe. Es werden die Umgebungsˆ : Definitionen eingeführt. 1 für x < 0; c/ y D Œx D n 2 Z;

wenn n 5 x < n C 1:

links bzw. rechtsseitige Umgebung von aW Uı .a/ D fx j a  ı < x 5 ag D .a  ı; a;

6.1.3 Einteilung der Funktionen Algebraische Funktionen Eine Funktion y D f (x) heißt algebraisch, wenn sie eine Lösung der Gleichung Pn .x/y C Pn1 .x/y n

n1

C : : : C P1 .x/y

C P0 .x/ D 0 ist, wobei die Ausdrücke Pi .x/ .i D 0, 1, 2, : : :, n/ Polynome in x sind. So ist die Funktion y D p x  2x  1 algebraisch, da sie eine Lösung der Gleichung y 2  2xy C x 2  2x C 1 D 0 ist.

UıC .a/ D fx j a 5 x < a C ıg D Œa; a C ı/ Uı .a/ D fx j a  ı < x < a C ıg D .a  ı; a C ı/ Umgebung von ˙ 1W UM .1/ D fx j M < xg D .M; 1/; UM .1/ D fx j x < M g D .1; M / Hierbei bedeuten ı und M beliebige positive Zahlen. Wird die Zahl a bei der (links-, rechtsseitigen) Umgebung von a ausgeschlossen, so heißt die Restmenge gelochte oder punktierte (links-, rechtsseitige) Umgebung von a.

6 Differential- und Integralrechnung

Grenzwert. Der Definitionsbereich D der Funktion f besitze einen Häufungswert x0 , der auch uneigentlich sein kann. Eine Zahl g heißt (links-, rechtsseitiger) Grenzwert der Funktion f auf D für x gegen x0 .x ! x0 /, wenn es zu jeder Umgebung V von g eine (links-, rechtsseitige) Umgebung U von x0 gibt, sodass f (x) 2 V für alle x 2 U und x ¤ x0 : g kann hierbei auch 1 oder 1 sein und heißt dann uneigentlicher Grenzwert. Ist g der Grenzwert schlechthin oder der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert, so wird symbolisch geschrieben lim f .x/ D g;

x!x0

lim f .x/ D g D f .x0  0/;

x!x0 0

lim f .x/ D g D f .x0 C 0/:

x!x0 C0

85

werte lim

tan x D 1 D tan. =2  0/

lim

tan x D 1 D tan. =2 C 0/: J

x! =20 x! =2C0

bzw.

Beispiel 4

Die auf R definierte Funktion ( e1=x für x ¤ 0 f .x/ D 0 für x D 0 hat für x ! 0 keinen Grenzwert, den rechtsseitigen Grenzwert limx!C0 f .x/ D 0 und den linksseitigen uneigentlichen Grenzwert limx!0 f .x/ D 1. Für x ! 1 und x ! 1 existiert der Grenzwert limx!˙1 f .x/ D 1. J

Beispiel 1

Die Funktion f .x/ D .x 2  1/=.x C 1/ auf Grenzwertsätze („lim“ steht für „limx!x0 “). D D R\f1g hat wegen .x 2  1/=.x C 1/ D Existieren die Grenzwerte lim f .x/ D a und x  1 (x ¤ 1) den Grenzwert 2 für x ! 1, lim g.x/ D b, dann gilt d. h. limx!1 f .x/ D 2. J lim ˛f .x/ D ˛ lim f .x/ D ˛a; Beispiel 2

Die Signum-Funktion (Abb. 6.5b) 8 ˆ < 1 für x > 0 sgn.x/ D 0 für x D 0 ˆ : 1 für x < 0

lim.f .x/ ˙ g.x// D lim f .x/ ˙ lim g.x/ D a ˙ b; lim.f .x/  g.x// D lim f .x/  lim g.x/ D ab; f .x/ lim f .x/ a lim D D I .b ¤ 0/: g.x/ lim g.x/ b

Die Sätze gelten auch für einseitige Grenzwerte hat für x!0 keinen Grenzwert. Es existieren und für x ! ˙1. aber die einseitigen Grenzwerte Stetigkeit. Die Funktion f auf D heißt in x0 2 D oder an der Stelle x0 2 D (links-, rechtsseilim sgn.x/ D 1 D sgn.C0/ und x!C0 tig) stetig, wenn gilt: Zu jeder Umgebung V von lim sgn.x/ D 1 D sgn.0/: J f .x0 / gibt es eine (links-, rechtsseitige) Umgex!0 bung U von x0 , sodass f (x) 2 V für alle x 2 U oder: Es gibt zu jedem " > 0 ein ı > 0, sodass Beispiel 3 jf .x/f .x0 /j < " für alle x mit jx x0 j < ı. Die Die Tangens-Funktion f .x/ D tan x auf Funktion f auf D ist in x0 2 D genau dann stetig, . =2;  =2/ hat in den Randpunkten des In- wenn limx!x0 f .x/ D f .x0 /: f heißt stetig auf tervalls die einseitigen uneigentlichen Grenz- D, wenn f an jeder Stelle x 2 D stetig ist.

6

86

U. Jarecki

Ableitung von f in x0 ist df .x0 / D lim 3.x C x0 / x!x0 dx D lim 3.2x0 C x/ D 6x0 : J

f 0 .x0 / D Df .x0 / D x!0

Abb. 6.6 Geometrische Deutung der Ableitung

6.1.5 Ableitung einer Funktion

Eine Funktion f heißt auf D differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle x 2 D eine Ableitung f 0 .x/ besitzt. Die dann auf D erklärte Funktion f 0 wird als abgeleitete Funktion oder kurz als Ableitung von f bezeichnet. Ableitungen der Grundfunktionen s. Tab. 6.1.

Differenzenquotient. Er ist erklärt für die FunkAbleitungsregeln. Sind die Funktionen f und g tion f auf D durch auf D in x 2 D differenzierbar, dann gilt f .x/  f .x0 / f .x0 C x/  f .x0 / D .˛f .x//0 D ˛f 0 .x/; ˛ 2 RI x  x0 x f .x0 / .f .x/ C g.x//0 D f 0 .x/ C g 0 .x/I D x .f .x/  g.x//0 D f 0 .x/  g.x/ C f .x/  g 0 .x/I   mit x; x0 2 D und x D x  x0 ¤ 0. f .x/ 0 f 0 .x/  g.x/  f .x/  g 0 .x/ D ; g.x/ g 2 .x/ Differenzierbarkeit. Die Funktion f heißt in g.x/ ¤ 0: x0 2 D differenzierbar, wenn der Differenzenquotient für x ! x0 bzw. für x ! 0 einen Beispiele Grenzwert (Abb. 6.6), in Zeichen f 0 .x0 /; besitzt. d.2x 3  3x C 1/=dx D 6x 2  3; f .x/  f .x0 / lim d.x ln x/=dx D ln x C 1; x!x0 x  x0   sinh x d cosh2 x  sinh2 x f .x0 C x/  f .x0 / D D lim dx cosh x cosh2 x x!0 x 1 f .x0 / D : J D lim D f 0 .x0 / x!0 x cosh2 x f 0 .x0 / heißt die Ableitung der Funktion f in x0 . Kettenregel. Ist die Funktion f in x und die Für das Ableitungssymbol f 0 sind auch die Zei- Funktion g in z D f (x) differenzierbar, so ist die chen df =dx oder Df üblich. zusammengesetzte Funktion gıf in x differenzierbar, und es gilt Beispiel

f .x/ D 3x 2 C 2: – Der Differenzenquotient lautet mit x D x0 C x f .x/  f .x0 / 3x 2  3x02 D x  x0 x  x0 3.x  x0 /.x C x0 / D x  x0 D 3.x C x0 / D 3.2x0 C x/I x ¤ x0 ;

x ¤ 0:

.g.f .x///0 D g 0 .z/  f 0 .x/ mit z D f .x/: Beispiel

g.f .x// D ln cos x; x 2 . =2;  =2/: – z D f .x/ D cos x, g.z/ D ln z;

g 0 .z/ D 1=z;

f 0 .x/ D  sin x: d.ln cos x/=dx D .1= cos x/  . sin x/ D  tan x: J

6 Differential- und Integralrechnung Tab. 6.1 Ableitungen der Grundfunktionen

87

f(x) f 0 (x) c 0 p 1 n p x n n x n1 .n 2 N/ exp x exp x

D x2R

f (x) x n .n 2 N/

f 0 (x) nx n1

D x2R

x>0

x ˛ .˛ 2 R/

˛x ˛1

x>0

x2R

ln x

1 x

x>0

sin x

cos x

x2R

arcsin x

p 1 1x 2

jxj < 1

cos x

sin x

x2R

arccos x

p

jxj < 1

tan x

1 cos2 x

x ¤ =2 C n

arctan x

1 1Cx 2

x2R

cot x

 sin12 x

arccot x

x2R

sinh x

cosh x

x2R

arsinh x

1  1Cx 2 1 p

cosh x

sinh x

x2R

arcosh x

p 1 x 2 1

x>1

tanh x

1 cosh2 x

artanh x

1 1x 2

jxj < 1

coth x

 sinh12 x

arcoth x

1 1x 2

jxj > 1

D 1 C tan2 x

D 1  cot x x ¤ n 2

D 1  tanh x 2

D 1coth x x ¤ 0

Logarithmische Ableitung. Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion y D ln f .x/ mit f (x) > 0 .ln f .x//0 D f 0 .x/=f .x/ oder f 0 .x/ D .ln f .x//0  f .x/:

p f .x/ D .2x  1/ x=.x C 1/,

Ableitung inverser Funktionen. Ist f eine auf D stetige, streng monotone und in x 2 D differenzierbare Funktion mit f 0 .x/ ¤ 0, dann ist die inverse Funktion f 1 in y D f (x) differenzierbar, und es gilt f

.y/ D 1=f .x/ mit x D f

x2R

p 1  y 2 . Damit ist f 10 .y/ D d.arcsin y/=dy D 1=f 0 .x/ p D 1= cos x D 1= 1  y 2 : J

f .n/ D

ln f .x/ D ln.2x  1/ C .1=2/ ln x  ln.x C 1/:   2 1 1 f 0 .x/ D C  2x  1 2x x C 1 p .2x  1/ x  : J xC1

0

1Cx 2

Ableitungen höherer Ordnung. Die n-te Ableitung einer Funktion f auf D ist die 1. Ableitung der Ableitung (n  1)-ter Ordnung.

Beispiel

10

x2R

2

1 1x 2

1

dn f D D nf dx n

.n D 0; 1; 2 : : :/

Die Ableitung nullter Ordnung ist dabei die Funktion f . Die 1. bis 3. Ableitung wird mit f 0 ; f 00 bzw. f 000 gekennzeichnet. Beispiel

f .0/ .x/ D f .x/ D x 4 C 3x 2  x: – f 0 .x/ D 4x 3 C 6x  1, f 00 .x/ D 12x 2 C 6;

f 000 .x/ D 24x;

f .4/ .x/ D 24; f .n/ .x/ D 0 für n = 5: J

.y/: Formel von Leibniz:

Beispiel

y D f .x/ D sin x; x 2 . =2;  =2/I x D f 1 .y/ D arcsin y: f 0 .x/ D cos x D

.f .x/  g.x//.n/

! n X n D f .nk/ .x/  g .k/ .x/: k kD0

6

88

U. Jarecki

6.1.6 Differentiale

Differentiale höherer Ordnung. Für eine Funktion f auf D, die in x 2 D n-mal differenzierFunktionsdifferential. Ist die Funktion f auf D bar ist, ist das Differential n-ter Ordnung dn f .x/ in x 2 D differenzierbar und x D h der Zu- in x mit dem Argumentzuwachs dx erklärt durch wachs des Arguments, dann ist f 0 .x/  x D dn f .x/ D f .n/ .x/dx n : f 0 .x/  h D df .x/ das Funktionsdifferential. Wegen x D h D dx für f (x) D x gilt df .x/ D Beispiel f 0 .x/dx, sodass f 0 .x/ D df .x/=dx wird, wobei 0 f .x/ D df .x/=dx Differentialquotient heißt. y D f .x/ D x n ; x 2 R und n 2 N. – Bei einer in x differenzierbaren Funktion f gilt 8 ˆ für den Funktionszuwachs n.n  1/.n  2/ : : : ˆ ˆ ˆ < .n  k C 1/dx nk dx k 1 5 k < n f .x/ D df .x/ C .x; x/  x dk x n D ˆnŠdx n kDn ˆ ˆ mit lim .x; x/ D 0: ˆ :0 x!0 k > n: Beispiel 1

f .x/ D 1 C sin x: – df .x/ D d.1 C sin x/ D .1 C sin x/0 dx D cos xdx: Insbesondere ergibt sich hieraus für das Funktionsdifferential in  =3 mit dem Argumentzuwachs 0,5 der Wert cos  =3  0;5 D 0;25. J Beispiel 2

Hieraus ergibt sich für y D x 3 , x D 2, dx D 0;5 y 0 D 3x 2 ; 00

dy D 12  0;5 D 6I

y D 6x;

d2 y D 12  0;52 D 3I

y 000 D 6;

d3 y D 6  0;53 D 0;75I

y .n/ D 0;

dn y D 0 für n = 4: J

6.1.7 Sätze über differenzierbare Funktionen

Für das Differential einer zusammengesetzten Funktion h D g ı f mit h(x) D g(f (x)) ergibt Satz von Rolle (Abb. 6.7). Ist f eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige und auf dem sich offenen Intervall (a, b) differenzierbare Funktion dh.x/ D d.g.f .x/// D g 0 .f .x//  f 0 .x/dx mit f (a) D f (b), dann gibt es eine Stelle c 2 (a, b) mit f 0 .c/ D 0. D g 0 .f .x//df .x/: J Für hinreichend kleine x D h gilt die Nähe- Mittelwertsatz (Abb. 6.8). Ist f eine auf dem rungsformel abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige und auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbare f .dx/ df .x/ oder Funktion, dann gibt es ein c 2 (a, b) oder ein 0 # 2 (0, 1), sodass f .x C x/  f .x/ f .x/x: Beispiel

f 0 .c/ D f 0 .a C #.b  a// D

Näherungsformel für eh bei kleinem h. – Es ist ex D exCh  eh und dex D ex h. Für jhj  1 Abb. 6.7 Satz von Rolle gilt exCh eh ex h oder eh 1Ch mit x D 0. Für h D 0;012 ergibt sich hieraus e0;012

1  0;012 D 0;988 (Tabellenwert e0;012 D 0;98807). J

f .b/  f .a/ b a

6 Differential- und Integralrechnung

89

Uı .x0 / eine solche Zahl # 2 (0, 1), sodass

Abb. 6.8 Mittelwertsatz

f 0 .x0 / h 1Š f 00 .x0 / 2 h C ::: C 2Š f .n/ .x0 / n C h C Rn .x0 ; h/; nŠ

f .x0 C h/ D f .x0 / C

ist. Hieraus folgt: Ist die Ableitung der auf (a, b) differenzierbaren Funktionen f überall Null, dann ist f auf (a, b) eine kon- gilt, wobei stante Funktion. Besitzen die auf (a, b) diff .nC1/ .x0 C #h/ nC1 .x ; h/ D h : R n 0 ferenzierbaren Funktionen f und g die glei.n C 1/Š che Ableitung, dann unterscheiden sie sich auf (a, b) höchstens durch eine additive Konstan- Diese Gleichung heißt Taylorsche Formel mit dem Restglied (von Lagrange) Rn .x0 ; h/. te. Mit der Substitution x0 C h D x lautet die Taylorsche Formel Beispiel Die beiden Funktionen f .x/ D arcsin x und g.x/ D  arccos x haben auf (1, 1)pdie gleiche Ableitung f 0 .x/ D g 0 .x/ D 1= 1  x 2 . – Wegen f .x/g.x/ D arcsin x Carccos x D  =2 unterscheiden sich beide Funktionen auf (1, 1) durch die additive Konstante  =2. J

f 0 .x0 / .x  x0 / 1Š f 00 .x0 / .x  x0 /2 C : : : C 2Š f .n/ .x0 / C .x  x0 /n C Rn .x0 ; x/; nŠ

f .x/ D f .x0 / C

wobei Rn .x0 ; x/ D

f .nC1/ .x0 C#.xx0 // .x  x0 /nC1 . .nC1/Š

Verallgemeinerter Mittelwertsatz. Sind f und g auf [a, b] stetige und auf (a, b) differenzierbare Formel von Maclaurin. Für x0 D 0 ergibt sich Funktionen und ist g 0 .x/ ¤ 0 für x2(a, b), dann f 00 .0/ 2 f 0 .0/ gibt es ein c 2 (a, b) oder ein # 2 (0, 1), sodass xC x C::: f .x/ Df .0/ C 1Š 2Š gilt f 0 .c/ f 0 .a C #.b  a// f .n/ .0/ n f .nC1/ .#x/ nC1 D 0 C x C x 0 g .c/ g .a C #.b  a// nŠ .n C 1/Š f .b/  f .a/ D : mit 0 < # < 1. g.b/  g.a/ Mit der Taylor und Maclaurin-Formel (s. Tab. 6.2) können Funktionen durch Polynome Taylorsche Formel. Ist f in der Umgebung approximiert werden, wobei das Restglied eine Uı .x0 / D .x0  ı; x0 C ı/ (n C 1)-mal differen- globale Abschätzung des Fehlers für die Umgezierbar, dann gibt es zu jedem h mit x0 C h 2 bung Uı .x0 / ermöglicht. Tab. 6.2 Maclaurin-Darstellung einiger Funktionen exp x D 1 C

x 1Š

C

x2 2Š

C

x3 3Š

C ::: C

xn nŠ

x7

C ::: C

sin.n=2/ n x nŠ

sin x D x 

x3 3Š

C

x5 5Š



cos x D 1 

x2 2Š

C

x4 4Š

 ::: C

2

7Š

3

C Rn .x/

cos.n=2/ n x nŠ

C Rn .x/

C Rn .x/ n

ln.1 C x/ D x  x2Š C x3Š  : : : C .1/n1 xn C Rn .x/ .x > 1/       .1 C x/˛ D 1 C ˛1 x C ˛2 x 2 C : : : C ˛n x n C Rn .x/ .x > 1/

Rn .x/ D

exp.#x/ nC1 x .nC1/Š

Rn .x/ D

sin.#xC.nC1/=2/ nC1 x .nC1/Š

Rn .x/ D

cos.#xC.nC1/=2/ nC1 x .nC1/Š

Rn .x/ D

.1/n x nC1 .nC1/ .1C#x/nC1

Rn .x/ D





˛ x nC1 nC1 .1C#x/nC1˛

6

90

U. Jarecki

Beispiel 1

f .x/ D sin x. – Die k-te Ableitung der SinusFunktion lautet sin.k/ .x/ D sin.x C k   =2/. Hieraus ergibt sich für x D 0 sin.k/ .0/ D sin.k   =2/ 8 ˆ < 0 für k D 0; 2; 4 : : : D 1 für k D 1; 5; 9 : : : ˆ : 1 für k D 3; 7; 11 : : : : Damit ergibt sich aus der Maclaurin-Formel Abb. 6.9 Funktionsverlauf. a streng monoton wachsend; b streng monoton fallend; c streng konvex; d streng konfür die Sinus-Funktion die Darstellung: kav

x3 x5 C  : : : C Rn mit 3Š 5Š sin.#x C .n C 1/ =2/ nC1 x : J Rn D .n C 1/Š

sin x D x 

bzw. f 0 .x/ < 0, dann ist f auf dem Intervall streng monoton wachsend bzw. fallend (Abb. 6.9a,b). Beispiel

Beispiel 2

Die Zahl e soll mit einer Genauigkeit von 105 bestimmt werden. – Für x D 1 ergibt sich aus der Maclaurin-Formel für die exp-Funktion e D 1 C 1Š1 C 2Š1 C : : : C nŠ1 C Rn mit Rn D P exp.#/ ; 0 < # < 1, oder 0 < e  nkD0 kŠ1 D .nC1/Š

f .x/ D ln x; x 2 .0; 1/. – Wegen f 0 .x/ D 1=x > 0 für 0 < x ist die Logarithmus-Funktion auf dem Intervall (0, 1) streng monoton wachsend. J

Konvexität. Die Funktion f heißt auf dem Interexp.#/ e 3 Rn D .nC1/Š < .nC1/Š < .nC1/Š . vall (a, b) streng konvex, wenn für je zwei Stellen 3 Für n D 8 ist .nC1/Š D 9Š3 < 105 , sodass x1 2 .a; b/ und x2 2 .a; b/ mit x1 < x < x2 die die Abschätzung Ungleichung 0 0 bzw. f 00 .x/ < 0, dann ist f auf (a, b) differenzierbar und ist dort überall f 0 .x/ > 0 streng konvex bzw. streng konkav (Abb. 6.9c,d).

6.1.8 Monotonie, Konvexität und Extrema von differenzierbaren Funktionen

6 Differential- und Integralrechnung

91

in x0 ein strenges Maximum, wenn f 0 .x0 / D 0 und f 00 .x0 / < 0; strenges Minimum, wenn f 0 .x0 / D 0 und f 00 .x0 / > 0: Das Kriterium ist für f 00 .x0 / D 0 nicht anwendbar.

Abb. 6.10 Extrema

So ist f .x/ D ln x; x 2 (0, 1), wegen f 00 .x/ D 1=x 2 < 0 eine streng konkave Funktion auf (0, 1). Die Definitionen der Konvexität und Konkavität sind nicht einheitlich. Maxima und Minima (gemeinsam heißen sie auch Extrema; Abb. 6.10). Für eine Funktion f auf dem Intervall I heißt f .x0 / strenges oder eigentliches Maximum bzw. Minimum, wenn es eine ganze in I enthaltene Umgebung Uı .x0 / D .x0  ı; x0 C ı/  I gibt, sodass gilt: f .x/ < f .x0 / bzw.

f .x/ > f .x0 /

für alle x 2 Uı .x0 / und x ¤ x0 . Diese Extrema sind relative oder lokale Maxima oder Minima. Zur Unterscheidung hiervon heißt das eventuell existierende Maximum bzw. Minimum der Funktion f auf I absolutes oder globales Extremum. Besitzt die Funktion f in x0 ein Extremum und existiert dort die 1. Ableitung f 0 .x0 /, dann ist f 0 .x0 / D 0. Bei differenzierbaren Funktionen sind die Tangentensteigungen (Abb. 6.11) in Extrempunkten notwendig Null. Hinreichendes Kriterium für ein strenges Maximum oder Minimum, das meist ausreicht, ist: Besitzt die Funktion f in einer Umgebung von x0 eine stetige 2. Ableitung, dann hat die Funktion f

Beispiel

f .x/ D x ln x; 0 < xI f 0 .x/ D ln x C 1; f 00 .x/ D 1=x: – Aus f 0 .x/ D ln x C 1 D 0 folgt x D 1=e, d. h., wenn f auf (0, 1) ein Extremum besitzt, so kann es nur in 1=e sein. Nun ist f 00 .1=e/ > 0. Aus f 0 .1=e/ D 0 und f 00 .1=e/ > 0 folgt nach dem hinreichenden Kriterium, dass die Funktion f in 1=e das strenge Minimum f .1=e/ D 1=e besitzt. J Allgemeines Kriterium. Hat die Funktion f in einer Umgebung von x0 eine stetige Ableitung (n C 1)-ter Ordnung und ist f 0 .x0 / D f 00 .x0 / D : : : D f .n/ .x0 / D 0 und f .nC1/ .x0 / ¤ 0 für eine ungerade Zahl n, dann hat die Funktion f in x0 ein strenges Maximum für f .nC1/ .x0 / < 0; strenges Minimum für f .nC1/ .x0 / > 0: Beispiel

Die Funktion f .x/ D x 4 besitzt in 0 offensichtlich das strenge und sogar absolute Minimum f (0) D 0, und es ist f 0 .0/ D f 00 .0/ D f 000 .0/ D 0 und f .4/ .0/ D 24 > 0: J

Abb. 6.11 Extrema und Wendepunkte

Wendepunkt. Ein Punkt .x0 ; f .x0 // des Graphen von f heißt Wendepunkt (Abb. 6.12) oder die Funktion f hat in x0 einen Wendepunkt, wenn die abgeleitete Funktion f 0 in x0 ein strenges Extremum besitzt. Hat also die Funktion f in einer Umgebung von x0 eine stetige Ableitung (n C 1)-ter Ordnung

6

92

U. Jarecki

Beispiel

lim

x!0

Abb. 6.12 Riemann-Summe

und gilt f 00 .x0 / D f 000 .x0 / D : : : D f .n/ .x0 / und f .nC1/ .x0 / ¤ 0

1  cos x sin x D lim 2 x!0 x 2x cos x 1 D lim D : J x!0 2 2

Unbestimmter Ausdruck 1=1. Zweite Regel von de l’Hospital: Ist lim f .x/ D 1 und 0 .x/ .x/ D lim fg0 .x/ , lim g.x/ D 1, dann gilt lim fg.x/ falls der letzte Grenzwert eigentlich oder uneigentlich existiert. Ist lim f 0 .x/ D 1 und lim g 0 .x/ D 1, dann kann dieselbe Regel noch einmal angewandt werden. Beispiel

für eine gerade Zahl n, dann hat f in x0 ei1 limx!1 lnxx D limx!1 1=x D 1. J nen Wendepunkt. Dies gilt besonders, wenn f 00 .x0 / D 0 und f 000 .x0 / ¤ 0 ist. Sonderformen. Die Ausdrücke 0  1; 1  1; 11 ; 00 ; 10 werden auf 0=0 oder 1=1 zuBeispiel rückgeführt. f .x/ D x 2 ln x; f 0 .x/ D 2x ln x C x, f 00 .x/ D ln x lim x  ln x D lim 2ln x C 3, f 000 .x/ D 2=x für x > 0. – Aus 0  1W x!C0 x!C0 1=x der notwendigen Bedingung für einen Wende1=x D lim .x/ D 0: D lim punkt f 00 .x/ D 2 ln xC3 D 0 ergibt sich x0 D x!C0 1=x 2 x!C0 000   exp.1;5/. Ferner ist f .x0 / D 2 exp.1;5/ ¤ 1 x  sin x 1 0. Die Funktion f hat in exp.1;5/ den einzi- 1  1W lim  D lim x!0 sin x x!0 x sin x x gen Wendepunkt auf (0, 1). J 1  cos x D lim x!0 sin x C x cos x sin x 0 6.1.9 Grenzwertbestimmung D lim D D 0: x!0 2 cos x  x sin x 2 durch Differenzieren. 1 x Regel von de l’Hospital 1 W lim .1 C 3=x/ D lim exp.x ln.1 C 3=x// x!1 x!1   ln.1 C 3=x/ Das Zeichen „lim“ steht abkürzend für D exp 3: D exp lim x!1 1=x „limx!x0 “, wobei x0 eigentlicher oder uneigentp x p 00 W lim x D lim exp.x ln x/ licher Häufungswert ˙1 ist (s. Abschn. 6.1.4). x!C0

Unbestimmter Ausdruck 0=0. Erste Regel von de l’Hospital: Ist lim f .x/ D 0 und lim g.x/ D 0 .x/ .x/ D lim fg0 .x/ , falls der letzte 0, dann gilt lim fg.x/ Grenzwert eigentlich oder uneigentlich existiert. Sind f 0 und g 0 in x0 stetig und g 0 .x0 / ¤ 0, dann ist nach den Grenzwertsätzen (s. Abschn. 6.1.4) lim

f 0 .x0 / f .x/ D 0 : g.x/ g .x0 /

x!C0

D exp.0;5  lim .x ln x// D exp 0 D 1: x!C0

1 W lim x 0

x!1

1=x

D lim exp.1=x ln x/ x!1

D exp. lim ln x=x/ D exp 0 D 1: x!1

6.1.10 Das bestimmte Integral

Definition. Zugrunde gelegt wird eine auf eiIst lim f .x/ D 0 und lim g .x/ D 0, dann kann nem abgeschlossenen Intervall I D [a, b] definierdieselbe Regel noch einmal angewandt werden. te und dort beschränkte Funktion f . Durch eine 0

0

6 Differential- und Integralrechnung

93

Zerlegung Z: x0 D a < x1 < x2 < x3 < : : : < xn1 < xn D b mit den Teilungspunkten x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn1 wird das Intervall I in n Teilintervalle I1 D Œx0 ; x1 ; I2 D Œx1 ; x2 ; : : : ; In D Œxn1 ; xn  mit den Längen x1 D x1  x0 ; x2 D x2  x1 ; : : : ; xn D xn  xn1 zerlegt. Die maximale Länge d.Z/ D max15k5n xk Abb. 6.13 Bestimmtes Integral. a Flächeninhalt; b Mitheißt Feinheit der Zerlegung Z. In jedem Teilin- telwertsatz tervall Ik .k D 1; 2; : : : ; n/ wird ein beliebiger Punkt xN k 2 Ik D Œxk1 ; xk  gewählt. Die Folge Eigenschaften. Mit den Definitionen .xN k /15k5n heißt Belegung B der Teilintervalle. Za Für die Zerlegung Z und die Belegung B wird f .x/ dx D 0 und die Riemann-Summe a

S.Z; B/ Df .xN 1 /x1 C f .xN 2 /x2 C : : : C f .xN n /xn D

n X

Zb

Za f .x/ dx D 

f .xN k /xk a

kD1

f .x/ dx

für b < a

b

gebildet. Ist f überall positiv, dann gibt die Rie- gilt für beliebige Zahlen a, b und c eines abgemann-Summe geometrisch die Summe der In- schlossenen Integrationsintervalls halte von Rechtecken wieder (Abb. 6.12). Ihr Zb Zc Za Grenzwert für d.Z/ ! 0 wird als bestimmtes f .x/ dx C f .x/ dx C f .x/ dx D 0; (Riemann-)Integral der Funktion f im Intervall a c b [a, b] bezeichnet: Zb Zb Zb n X cf .x/ dx D c f .x/ dx mit c 2 R f .xN k /xk D f .x/dx: lim n!1

a

kD1

.f .x/ ˙ g.x// dx

Bei dem bestimmten Integral heißen f Integrand, x Integrationsvariable, a untere und b obere Integrationsgrenze, wobei a < b. Für eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] monotone oder stetige Funktion f existiert dieser Grenzwert, und f ist über [a, b] integrierbar. Geometrische Deutung. Die Riemann-Summe stellt bei positiven oder auch nichtnegativen Funktionen f geometrisch eine Summe von Rechteckinhalten (Abb. 6.12) dar, wobei die Rechtecke die Fläche zwischen dem graphischen Bild von f und der x-Achse umso besser approximieren, je feiner die Zerlegung des Intervalls [a, b] ist. Ist also die Funktion f auf [a, b] nichtnegativ und über [a, b] integrierbar, dann beträgt der Inhalt A der Fläche unter dem Graph von f (Abb. 6.13a) Zb A D f .x/ dx: a

a

Zb

a

a

Zb

Zb

D

f .x/ dx ˙ a

g.x/ dx: a

Ungleichungen. Für a < b gelten ˇ ˇ b ˇ Zb ˇZ ˇ ˇ ˇ f .x/ dx ˇ 5 jf .x/j dx; ˇ ˇ ˇ ˇ a

a

Zb

Zb f .x/ dx 5

a

0 @

g.x/ dx; wenn f .x/ 5 g.x/: a

Zb

12

f .x/g.x/ dx A

a

Zb 5

Zb f .x/ dx  2

a

g 2 .x/ dx; a

6

94

U. Jarecki

ˇ ˇ b ˇ ˇZ ˇ ˇ ˇ .f .x/ C g.x// dx ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

Sind F1 und F2 zwei Stammfunktionen von f auf I, dann ist F20 .x/  F10 .x/ D d.F2 .x/  F1 .x//=dx

a

Zb

Zb jf .x/j dx C

5 a

jg.x/j dx: a

D 0 oder F2 .x/  F1 .x/ D c

Die beiden letzten heißen auch Schwarzsche und für alle x 2 I (c Konstante). Zwei Stammfunktionen einer Funktion f unterscheiden sich also Dreiecks-Ungleichung. höchstens durch eine Konstante. Mittelwertsatz der Integralrechnung Beispiel (Abb. 6.13b). Ist f eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige Funktion, dann gibt Die beiden Funktionen es eine Stelle 2[a, b], sodass F1 .x/ D  cos x und F2 .x/ D 2 sin2 .x=2/ Zb sind wegen F10 .x/ D F20 .x/ D sin x Stammf .x/ dx D f . /.b  a/ oder funktionen von f .x/ D sin x: Sie unterscheia Zb den sich auf R durch die additive Konstan1 f . / D f .x/ dx te 1. J ba a

Hauptsatz der Differential- und Integralrechgilt. f ( ) heißt Mittelwert der Funktion f im Innung. Ist f eine auf dem abgeschlossenen Intertervall [a, b]. vall [a, b] stetige Funktion und F eine Stammfunktion von f auf [a, b], dann gilt

6.1.11 Integralfunktion, Stammfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Zb f .x/ dx D ŒF .x/ba D F .x/jba a

D F .b/  F .a/; Integralfunktion. Ist die Funktion f über dem wobei F 0 .x/ D f .x/: abgeschlossenen Intervall [a, b] integrierbar und ist x0 ein beliebiger aber fester Wert aus [a, b], dann ist ihre Integralfunktion 6.1.12 Das unbestimmte Integral Zx

F .x/ D

f .t/ dt

x 2 Œa; b:

Ist f eine auf einem Intervall I definierte Funktion der Variablen x, dann heißt die Gesamtheit x0 oder die Menge aller Stammfunktionen von f unJede Integralfunktion einer auf [a, b] stetigen bestimmtes Integral von f auf I. Funktion f ist differenzierbar, und es gilt Z Zx f .x/ dx D F .x/ C C; d f .t/ dt D f .x/ F 0 .x/ D dx x0 wobei F eine Stammfunktion, F 0 .x/ D f .x/ und für alle x 2 Œa; b: C eine beliebige Konstante ist. Nach Definition des unbestimmten Integrals gilt Stammfunktion. Eine auf einem Intervall I difZ  d ferenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion f .x/ dx D f .x/ oder der Funktion f auf I, wenn dx Z d f .x/ dx D f .x/ dx: F 0 .x/ D f .x/ für alle x 2 I: mit

6 Differential- und Integralrechnung Tab. 6.3 Grundintegrale

R R

95 R

0 dx D C x ˛ dx D

R

x ˛C1

C C; ˛ ¤ 1 ( R 1 ln x; x>0 dx D ln jxj C C D x ln.x/; x < 0 ( R 1 arctan x C C dx D 1Cx 2  arccot x C C ( R 1 artanh x C C; jxj < 1 dx D 1x 2 arcoth x C C; jxj > 1 R 1 p dx D arsinh x C C 1Cx 2 ( R 1 arcsin x C C p dx D 1x 2  arccos x C C R 1 p dx D arcosh x C C 2 ˛C1

R R R R R R

x 1

R

sin xdx D  cos x C C cos xdx D sin x C C 1 dx cos2 x

D tan x C C

1 dx sin2 x

D  cot x C C

exp xdx D exp x C C sinh xdx D cosh x C C cosh xdx D sinh x C C 1 dx cosh2 x

D tanh x C C

1 dx sinh2 x

D  coth x C C

Tab. 6.3 enthält die Grundintegrale, die sich durch Hiermit ist es oft möglich, Integrale mit einem Umkehrung der Ableitungsformeln aus Tab. 6.2 Parameter n auf ein Integral desselben Typs mit dem Parameter n  1 oder n  2 zurückzuführen. ergeben. Dadurch ergibt sich eine Rekursionsformel, mit der das Integral schrittweise berechnet wird.

6.1.13 Integrationsmethoden Grundformeln. Sind f und g stetige Funktionen auf einem Intervall I, dann gilt mit ˛ 2 R und x2I Z Z ˛f .x/ dx D ˛ f .x/ dx und Z Z .f .x/ ˙ g.x// dx D f .x/ dx Z ˙ g.x/ dx: Beispiel

R

R R .3=x C 1/ dx D 3=x dx C 1 dx D 3 ln x C x C C; x > 0. J

Partielle Integration (Produktintegration). Sind die Funktionen f und g auf einem Intervall I stetig differenzierbar, dann gilt Z

f 0 .x/g.x/ dx D f .x/g.x/ Z  f .x/g 0 .x/ dx; x 2 I:

Beispiel 1

Z

Z ln x dx D

1  ln x dx Z D x ln x  x.1=x/ dx D x ln x  x C C;

x > 0: J

Beispiel 2

R In D exp.x/x n dx; n D 1; 2; 3; : : : : – Partielle Integration mit f 0 .x/ D exp x und g.x/ D x n führt auf Z In D exp x  x n  n

exp x  x n1 dx

D exp x  x n  nIn1 : Also gilt die Rekursionsformel In D exp x  x n  nIn1 mit Z I0 D exp x dx D exp x C C: J

6

96

U. Jarecki

Integration durch Substitution. Ist f eine stetige Funktion und g eine in einem Intervall I stetig differenzierbare Funktion, dann gilt Z  Z D f .g.t//g 0 .t/ dt; f .x/ dx

Partialbruchzerlegung. Vorausgesetzt wird eine echt gebrochene rationale Funktion r.x/ D Qm .x/=Pn .x/; wobei Qm und Pn Polynome m-ten und n-ten Grades mit m < n sind.

Nenner-Polynom Pn .x/ D a0 x n Ca1 x n1 C: : :C an1 x C an . Es lässt sich nach dem Zerlegungst 2 I: satz für reelle Polynome (s. Abschn. 2.3.2) als Wird also die Integrationsvariable x gemäß Produkt mit Faktoren 1. und 2. Grades darstellen: x D g(t) durch t substituiert, dann ist dx durch Pn .x/ D a0 : : : .x  a/r : : : .x 2 C px C q/s : : : ; g 0 .t/ dt zu ersetzen. wobei a eine reelle r-fache Nullstelle von Pn ist und x 2 C px C q wegen p 2  4q < 0 nur konjuBeispiel 1 giert komplexe Nullstellen besitzt und im Reellen R dx nicht mehr zerlegbar, also irreduzibel, ist. Die übI D 2px.1C p für x > 0 3 x/ rigen nicht angegebenen Faktoren von Pn haben Z Z einen entsprechenden Aufbau. 6t 5 dt t2 I D dt D3 3 2 2 2t .1 C t / 1Ct  Z  Partialbrüche 1. und 2. Art. Es sind Ausdrücke 1 der Form A=.x  a/r und .Bx C C /=.x 2 C px C D3 1 dt 1 C t2 q/s , wobei A, B, C 2 R und r, s 2 N. Jede echt D 3.t  arctan t/ C C gebrochene rationale Funktion kann als Summe p p 6 6 dieser Partialbrüche 1. und 2. Art dargestellt werD 3. x  arctan x/ C C: den: Hier wurden mit x D g.t/ D t 6 für t > 0 Qm .x/ und dx D 6t 5 dt die Wurzelausdrücke besei- r.x/ D Pn .x/ tigt. J   Qm .x/ 1 D a0 : : : .x  a/r : : : .x 2 px C q/s Beispiel 2  Z Z A2 1 A1 2 C::: C D :::C exp.t /t dt D 0;5 exp x dx a0 x a .x  a/2 Ar B 1 x C C1 D 0;5  exp x C C C C::: C 2 r .x  a/ x C px C q D 0;5  exp.t 2 / C C: B 2 x C C2 C 2 C ::: Hier wurde die Substitution g.t/ D t 2 D x; .x C px C q/2 0  also dx D g .t/ dt D 2t dt bzw. t dt D dx=2 B s x C Cs C 2 C ::: : mit t 2 R verwendet. J .x C px C q/s xDg.t /

6.1.14 Integration rationaler Funktionen Jede ganze rationale Funktion y D Pn .x/ D Pn ni kann mit Hilfe der Grundformeln i D0 ai x und des Grundintegrals für Potenzfunktionen integriert werden. Echt gebrochene rationale Funktionen sind allgemein mit der Partialbruchzerlegung integrierbar.

Koeffizientenbestimmung. Die Koeffizienten A1 ; B1 ; C1 : : : ; A2 ; B2 ; C2 : : : können nach folgenden Verfahren eindeutig bestimmt werden: Wird die Gleichung mit Pn .x/ multipliziert, dann steht auf der rechten Seite ein Polynom (n  1)-ten Grades, dessen Koeffizienten Linearkombinationen der n Unbekannten A1 ; B1 ; C1 : : : sind. Der Vergleich dieser Koeffizienten mit denen des Polynoms Qm

6 Differential- und Integralrechnung

97

nach dem Identitätssatz für Polynome (s. Integrationsformeln Z A Abschn. 2.3.2) ergibt n lineare Gleichundx .x  a/n gen für die n Unbekannten A1 ; B1 ; C1 : : : (s. ( Abschn. 3.2.3). A ln jx  aj C C für n D 1 D A 1n C C für n D 2; 3; 4 : : : ; 1n .x  a/ Z Ax C B Beispiel dx 2 C px C q/n h i .x A1 A2 B1 xCC1 2xC4 1 : D C C 3 x1 3.x1/2 .x 2 C1/ .x1/2 x 2 C1 A 2 – Multiplikation mit dem Nennerpolynom er- D 2 ln jx C px C qj gibt 2x C p 2B  Ap arctan p CC Cp 2 4q  p 4q  p 2 2x C 4 D A1 .x  1/.x 2 C 1/ C A2 .x 2 C 1/ für n D 1 C .B1 x C C1 /.x  1/2 2x C 4 D .A1 C B1 /x

oder

3

C .A1 C A2  2B1 C C1 /x 2 C .A1 C B1  2C1 /x C .A1 C A2 C C1 /: Koeffizientenvergleich führt auf die vier linearen Gleichungen C B1 D 0; A1 A1 C A2  2B1 C C1 D 0; A1 C B1  2C1 D 2; A1 C A2 C C1 D 4

D

A .x 2 C px C q/1n 2.1  n/ Z dx 2B  Ap C 2 .x 2 C px C q/n für n D 2; 3; 4 : : : : Z Ax C B dx 2 .x C px C q/n A D ln jx 2 C px C qj 2 2x C p 2B  Ap arctan p CC Cp 2 4q  p 4q  p 2

für n D 1 A .x 2 C px C q/1n D 2.1  n/ Z mit den Lösungen dx 2B  Ap C 2 2 .x C px C q/n A1 D 2; B1 D 2; für n D 2; 3; 4 : : : : A2 D 3; C1 D 1: R dx Hierbei gilt für das Integral In D .x 2 CpxCq/ n Damit lautet die Partialbruchzerlegung die Rekursionsformel 1 2x C p In D 2x C 4 .n  1/.4q  p 2 / .x 2 C px C q/n1 3.x  1/2 .x 2 C 1/ 2.2n  3/   C In1 2x  1 1 2 3 .n  1/.4q  p 2 / C 2 D C : J 3 x1 .x  1/2 x C1 .n D 2; 3; 4 : : :/ mit Z dx I1 D 2 C px C q x Durch die Partialbruchzerlegung ist nunmehr 2 2x C p die Integration einer echt gebrochenen rationalen Dp arctan p C C: 4q  p 2 4q  p 2 Funktion auf die Integration von Partialbrüchen 1. und 2. Art zurückgeführt. Für diese gelten die

6

98

U. Jarecki

Tab. 6.4 Substitutionen Typ Integral q R  n axCb 1 R x; cxCd dx p R 2 R.x; 1  x 2 /dx p R 3 R.x; x 2  1/dx p R 4 R.x; x 2 C 1/dx p R 5 R.x; ax 2 C bx C c/dx

6 7 8

D b 2  4ac ¤ 0 R R.exp x/dx R R.tan x/dx R R.sin x; cos x/dx

Substitution q axCb t D n cxCd xD

1t 2 ; 1Ct 2

4t dx D  .1Ct 2 /2 dt

xD

1Ct 2 ; 1t 2

dx D

4t dt .1t 2 /2

xD

t 2 1 ; 2t

dx D

t 2 C1 dt 2t 2 2axCb p führt

>0

tD

0 auf Typ 3

für

2

2

D lim .1=b C 1=2/ D 1=2: b!1

Z1 1

1 dx D lim b!1 1 C x2 a!1

Zb

1 dx 1 C x2

a

D lim Œarctan xba b!1 a!1

D lim .arctan b  arctan a/ b!1 a!1

D  =2  . =2/ D  : R1 1=x dx ist divergent wegen limb!1  R1b 1=x dx D limb!1 ln b D 1. J 1

6 Differential- und Integralrechnung Tab. 6.5 Integrationsformeln

Rationale Funktionen ( 1 R .ax C b/nC1 ; n .ax C b/ dx D a.nC1/ 1 ln jax C bj ; a R 1 1 x dx D arctan 2 2 a a a Cx ( 1 ˇ aCx ˇ R 1 artanh xa ; 1 a ˇ ˇ dx D ln D 2 2 1 2a ax a x arcoth xa ; a 8 2axCb ˆ p2 p ˆ < arctan R 2 l  dx D 2axCb ˇ ˇ ax 2 CbxCc p ˆ ˆ : p 1 ln ˇˇ 2axCbp ˇˇ  2axCbC 

99

n ¤ 1 n D 1 jxj < a jxj > a

a>0

>0 D 0; D 4ac  b 2 1

exp.k x/ dx D k1 ; exp.x 2 / dx D

dx D

 ; sin n

dx D

R1 tan k x x

0

sin.x 2 / dx D

R1

k>0

1p  2

x n exp.k x/ dx D

sin k x x

m¤n mDn

dx D 

dx D

xC1

m x a

dx D =2

0

0 R1

cos

dx D

( 0 a

dx D

1 xm

R1 xn1

Ra

n x a

n ; k nC1

k>0 n D 0; 1; 2 : : :

00 dx D x =2; ˛ 0

0 R1 0

m; n D 1; 2; 3 : : :

6 Differential- und Integralrechnung

101

Unbeschränkter Integrand. Ist Funktion f im Tab. 6.7 Geometrische Anwendungen der IntegralrechIntervall [a, b) unbeschränkt und auf jedem ab- nung geschlossenen Teilintervall [a, b-"] mit " > 0 inRb tegrierbar, dann heißt a f .x/ dx uneigentliches Integral bezüglich der oberen Grenze. Es heißt konvergent auf [a, b], wenn für " > 0 der GrenzR b" Rb wert lim"!0 a f .x/ dx D a f .x/ dx existiert. Entsprechendes gilt auch für die untere Grenze. Beispiele

Zb

Zb f .x/ dx D lim

f .x/ dxI

a!1

1

6

a

Z1

Zb f .x/ dx D lim

1

b!1 a!1

f .x/ dx a

Zc D lim

f .x/ dx

a!1 a

Zb C lim

f .x/ dx:

b!1 c

Weitere uneigentliche Tab. 6.6. J

Integrale

enthält

6.1.17 Geometrische Anwendungen der Differential- und Integralrechnung (S. Tab. 6.7.)

6.1.18 Unendliche Funktionenreihen Sind die Glieder einer unendlichen Reihe Funktionen fn .x/ .n D 1; 2; 3 : : :/ auf dem gleichen Konvergenzbereich. Dieser ist die Menge K der Definitionsbereich I, dann ist die Funktionsreihe Urbilder x 2 I, für die die zugehörige Zahlenreierklärt als die Folge der Partialsummen he konvergiert. Auf ihm ist dann eine Funktion S erklärt, die als die Summe der Reihe bezeichnet sn .x/ D f1 .x/ C f2 .x/ C : : : C fn .x/:

102

U. Jarecki

wird. S.x/ D

1 X

fn .x/

nD1

D lim

n!1

n X

fk .x/ für x 2 K:

kD1

Die Differenz Rn .x/ D S.x/  sn .x/ heißt Rest Abb. 6.14 Gleichmäßige Konvergenz der Reihe. Potenzreihe. Sie ist eine Funktionenreihe der Absolute Konvergenz. Die Funktionenreihe Form P1 auf K absolut konvergent, nD1 fn .x/ heißt P a0 C a1 .x  x0 / C a2 .x  x0 /2 C : : : wenn die Reihe 1 nD1 jfn .x/j für alle x 2 K konC an .x  x0 /n C : : : ; vergiert. wobei x0 die Entwicklungsstelle und die Konstanten a0 ; a1 ; a2 : : : die Koeffizienten der Reihe heißen. Es genügt, Potenzreihen mit der Entwicklungsstelle x0 D 0 zu untersuchen, da jede Potenzreihe durch die Substitution x  x0 D y auf eine solche zurückgeführt werden kann. Für die Potenzreihe

Beispiel

P1

nD1 x.1  x

2 n1

/ ist eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied a D x und dem Quotienten q D 1  x 2 : – Sie konvergiert für x D 0 und im Fall x ¤ 0 für j1  x 2 j < 1, was mit 0 < x 2 < 2 gleichbedeutend ist. Sie hat für x D 0 die Summe S(0) D 0 und für j1x 2 j < 1 die Summe S.x/ D x=Œ1  .1  x 2 / D 1=x: a0 C a1 x C a2 x 2 C : : : C ab x n C : : : Damit p auf dem Konvergenzbereich K D p ist . 2; 2/ der unendlichen Funktionenreihe sind zu unterscheiden: die Funktion S erklärt durch

 Es existiert eine positive Zahl r, sodass für alle jxj < r die Reihe absolut konvergiert und S.x/ D x.1  x / für alle jxj > r divergiert. Hierbei heißen r nD1 8 p der Konvergenzradius und das offene Intervall ˆ x < 0 oder 3 divergent. Sie konvergiert in der Randstelle 3 und divergiert in der Randstelle C3. J

1 X f .n/ .0/

nC1

x für 0 < # < 1. wobei Rn .x/ D exp.#x/ .nC1/Š nC1

x D 0 konvergiert das Wegen limn!1 .nC1/Š Restglied Rn .x/ für jedes x 2 R gegen 0. Damit lautet die Darstellung der exp-Funktion durch eine Maclaurin-Reihe

x x2 x3 xn C C C:::C C::: 1Š 2Š 3Š nŠ 1 X xn für x 2 R: J D nŠ nD0

exp x D 1 C

Fourier-Reihen

und 0 < # < 1: Periodische Funktionen. Eine Funktion f auf D heißt periodisch mit der Periode , wenn f (x C ) D f (x) für alle x2 D. Mit  ist auch n für n 2 N eine Periode. Jede Funktion f mit einer Periode  lässt sich durch die Substitution x D 0;5  t=  bzw. t D 2 x= auf eine Funkfür x 2 Uı .x0 /: tion mit der Periode 2  zurückführen. Ist f eine

Hieraus folgt: Ist die Funktion f auf einer Umgebung Uı .x0 / D .x0  ı; x0 C ı/ von x0 beliebig oft differenzierbar und ist limn!1 Rn .x0 ; x/ D 0 für alle x 2 Uı .x0 /, dann gilt f .x/ D

1 X f .n/ .x0 / nD0

nŠ

.xx0 /n

6

104

U. Jarecki

Tab. 6.8 Maclaurin-Reihen 1   P ˛ n .1 C x/a D x D 1 C ˛x C n

˛.˛1/ 2 x 2

nD0

1 1Cx

1 P

D

C:::

.1/n x n D 1  x C x 2  x 3 C : : :

für ˛ 2 R für  1 < ˛ für 0 < ˛ für ˛ 2 N

jxj < 1

nD0

1  p  P 1=2 n 1Cx D x D 1 C 12 x  18 x 2 C n 1   P 1=2 n x D 1  12 x C 38 x 2  n

D

1   p P 1=3 n 3 1Cx D x D 1 C 13 x  19 x 2 C n 1 P

exp x D

xn n

nD0

D1Cx C

1 P

ln.1 C x/ D

x2 2

x3 3

C

n

.1/nC1 xn D x 

nD1 1 P

sin x D

2nC1

1 P

cos x D

2n

nD0

1 P nD0 1 P nD0

sinh x D

1 P nD0

cosh x D

1 P nD0

C

2 5 x 35

x cot x D 1  13 x 2 

arctan x D

x2 2

x .1/n .2n/ D1

tan x D x C 13 x 3 C

arcsin x D

x3 3

x .1/n .2nC1/ Dx

nD0

1 x4 32 5

.2n/x 2nC1 4n .n/2 .2nC1/



tanh x D x  13 x 3 C

x3 3

x2 2

2 5 x 35

x coth x D 1 C 13 x 2 

C



1 x4 32 5

x5 5

C x4 4

C

x3 3

C

17 x7 32 57

C



x7 7

x7 7

x6 6

C :::

1 < x 1

C :::

jxj < 1

C :::

jxj < 1

C :::

3 5 x 40



jxj < =2 *

 :::

1 x8 33 52 7

x5 5

C

jxj < 1

x4 4

62 x9 32 579



C

x3 3

x6 6



jxj 1

C :::



D x C 16 x 3 C

DxC

D1C

x5 5

2 x6 33 57

2nC1

x 2n .2n/

C

x4 4

17 x7 32 57

.1/n x2 nC1 D x 

x 2nC1 .2nC1/

x2 2

C

C

x4 4

C

1 < x 1

C:::

5 3 x 81

nD0

jxj 1

C :::

5 3 x 16

nD0

C :::

1 3 x 16

nD0

p1 1Cx

˛.˛1/.˛2/ 3 x 3

C

jxj < 1 1 < x 1 1 x 1 x beliebig

jxj <  *

C :::

jxj < 1

x7 7C:::

jxj 1

C :::

jxj < 1

C :::

C

2 x6 33 57

62 x9 32 579



jxj < 1  :::

1 x7 33 52 7

jxj < =2 *

C :::

jxj <  *

* Die Koeffizienten werden mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen berechnet.

integrierbare Funktion mit der Periode 2 , dann Ist die Funktion f mit der Periode 2  gerade, also f (x) D f (x), bzw. ungerade, also f (x) D f (x), gilt für beliebige a und b dann gilt Zb

bC2  Z

f .x/ dx D a

f .x/ dx

und

aC2  aC2  Z

bC2  Z

f .x/ dx D a

Z  f .x/ dx D 2   Z 

f .x/ dx 0

f .x/ dx D 0:

f .x/ dx: b

Z 

 

bzw.

6 Differential- und Integralrechnung

105

Trigonometrisches Fundamentalsystem heißt gliedweise integriert, so ergeben sich mit den das System der Funktionen 1, cos x; sin x; Orthogonalitätsrelationen Z  cos 2x; sin 2x : : : cos nx; sin nx : : : an D 1=  f .x/ cos nx dx .n D 0; 1; 2 : : :/ Orthogonalitätsrelationen. Sie gelten für diese   Funktionen mit m, n 2 N: und Z  Z  bn D 1=  f .x/ sin nx dx .n D 1; 2; 3 : : :/: cos mx cos nx dx D  ımn ;  

 

Z  sin mx sin nx dx D  ımn ;   Z 

sin mx cos nx dx D 0;  

( wobei ımn D

1; m D n 0; m ¤ n:

Ist nun f eine beliebige Funktion mit der Periode 2 , die über Œ ;   integrierbar ist, dann heißen die Zahlen an und bn Fourierkoeffizienten der Funktion f und die mit ihnen gebildete Reihe Fourier-Reihe (Tab. 6.9). a0 =2 C

1 X

.an cos nx C bn sin nx/;

nD1

wobei ihre n-te Partialsumme als Fourier-Polynom n-ten Grades bezeichnet wird. Trigonometrisches Polynom (n-ten Grades). So f sei eine auf Œ ;   integrierbare Funkheißt eine Linearkombination von Funktionen tion mit der Periode 2 . Ist sie gerade, also des trigonometrischen Fundamentalsystems: f (x) D f (x), dann gilt Tn .x/ D a0 =2 C a1 cos x C b1 sin x C a2 cos 2x C b2 sin 2x C : : : C an cos nx C bn sin nx D a0 =2 C

n X

.ak cos kx C bk sin kx/:

nD1

Trigonometrische Reihe. Sie wird dargestellt durch 1 X .an cos nx C bn sin nx/ a0 =2 C nD1

und ist erklärt als Folge .Tn .x//n2N von trigonometrischen Polynomen Tn .x/. Ist die Reihe P1 .ja j C jb n n j/ konvergent, dann ist die trinD1 gonometrische Reihe gleichmäßig und absolut konvergent, und ihre Summe ist eine stetige periodische Funktion mit der Periode 2 .

Z  an D 2= 

f .x/ cos nx dx

und bn D 0I

0

ist sie ungerade, also f (-x) D f (x), dann gilt Z  an D 0 und bn D 2= 

f .x/ sin nx dx: 0

Die Fourier-Reihe einer geraden Funktion ist eine reine Kosinusreihe, die Fourier-Reihe einer ungeraden Funktion eine reine Sinusreihe.

Fourier-Reihen von stückweise glatten Funktionen. Eine Funktion f heißt auf [a, b] stückweise glatt, wenn sie auf [a, b] stückweise stetig ist und auf [a, b] eine stückweise stetige Ableitung f 0 besitzt. Ist f periodisch mit 2  und auf Œ ;   stückweise glatt, dann konvergiert die 1 X Fourier-Reihe von f in jedem abgeschlossenen .an cos nx C bn sin nx/: f .x/ D a2 =2 C Intervall, auf dem f stetig ist, gleichmäßig genD1 gen f . An jeder Sprungstelle x von f konvergiert Fourierkoeffizienten. Wird die vorstehen- die Fourier-Reihe gegen das arithmetische Mittel de Gleichung nacheinander mit 1, cos.mx/ 0;5  Œf .x C 0/ C f .x  0/ aus dem links- und und sin.mx/ multipliziert und über Œ ;   rechtsseitigen Grenzwert.

6

106

U. Jarecki

Tab. 6.9 Fourier-Reihen

Beispiel

Sägezahnkurve (Abb. 6.15). ( x für 0 5 x < 2  f .x/ D 0 für x D 2  und f .x C 2 / D f .x/: – Die Gleichungen für R 2 die Fourierkoeffizienten lauten an D 1=  0 x cos.nx/ dx .n D 0; 1; 2 : : :/ und R 2  bn D 1=  0 x sin.nx/ dx .n D 1; 2; 3 : : :/. Die Berechnung der Integrale ergibt a0 D 2 ; an D 0 für n D 1; 2; 3 : : : und bn D 2=n. Für alle Stetigkeitsstellen x ¤ 2n  (n 2 Z) der Funktion f lautet damit die Darstellung der Funktion f durch ihre Fourier-Reihe  sin x sin.2x/ C C::: f .x/ D    2 1 2  sin.nx/ C C ::: n 1 X sin.nx/ D 2 ; x ¤ 2n : n nD1

Abb. 6.15 Sägezahnkurve

6.2 6.2.1

Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen Grundbegriffe

Wegen der geometrischen Darstellbarkeit werden – wenn nicht anders betont – reellwertige Funktionen von zwei reellen Variablen betrachtet. Viele Aussagen über sie lassen sich auf Funktionen von mehr als zwei Variablen übertragen. Zugrunde gelegt wird ein ebenes kartesisches Koordinatensystem. Jedes geordnete Zahlenpaar .x; y/ 2 R2 wird dann als Punkt P(x, y) der Ebene oder durch seinen Ortsvektor r.x; y/ dargestellt. Teilmengen von R2 werden daher auch als ebene Punktmengen bezeichnet.

Abstand zweier Punkte r 2 .x2 ; y2 / und In den Sprungstellen x D 2n  (n 2 Z) konr 1 .x1 ; y1 / ist definiert durch vergiert die Fourier-Reihe gegen  . J p jr 2  r 1 j D .x2  x1 /2 C .y2  y1 /2 :

6 Differential- und Integralrechnung

107

(%-)Umgebung. Für einen Punkt r 0 .x0 ; y0 / ist z D f .x; y/ D f .r/ als Gleichung einer Fläche sie eine offene Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt bezeichnet. r 0. Beispiel

U% .r 0 / D frj jr  r 0 j < %g p D f.x; y/j .x  x0 /2 C .x  y0 /2 < %g; wobei % > 0:

p Die Funktion z D f .x; y/ D 1  x 2  y 2 für x 2 C y 2 5 1 stellt geometrisch die obere Hälfte einer Kugelfläche mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt (0, 0, 0) dar (Abb. 6.16b). J

Reellwertige Funktion zweier reeller Variablen. Sie ist eine Abbildung f einer Teilmenge Niveaulinien. Eine andere geometrische Deuvon R2 in R tung einer reellwertigen Funktion f auf D  R2 mit z D f (x, y) besteht in ihrer Darstellung f W D ! R für D  R2 oder z D f .x; y/ durch Niveaulinien: f (x, y) D c (c Konstante). Eifür .x; y/ 2 D  R2 : ne Niveaulinie besteht dabei aus der Menge aller Punkte (Urbilder) (x, y) 2 D in der KoordinatenGraph. Für die reellwertige Funktion f auf D  ebene, die das Bild oder das „Niveau“ c haben R2 wird er dargestellt durch die Menge und somit die Gl. f (x, y) D c erfüllen. Œf  D f.x; y; z/jz D f .x; y/ D f.r; z/jf .r/ D z

für .x; y/ 2 Dg

für r 2 Dg:

Beispiel

z D f (x, y) D xy für .x; y/ 2 R2 (Abb. 6.16c). – Die Niveaulinien sind für z ¤ 0 Hyperbeln und für z D 0 die Koordinatenachsen. J

Das geordnete Zahlentripel .x; y; z/ 2 Œf   R3 kann in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem als Punkt des Raums dargestellt werden (Abb. 6.16a). Die Punkte (x, y, z) von [f ] 6.2.2 Grenzwerte und Stetigkeit bilden i. Allg. eine Fläche. Der Graph [f ] wird daher auch häufig als Fläche und die Gleichung Grenzwerte. Ist f eine reellwertige Funktion auf D und r 0 Häufungspunkt von D, dann heißt die Zahl g Grenzwert der Funktion f für r ! r 0 , wenn es zu jedem " > 0 ein ı > 0 gibt, sodass jf .r/  gj < " für alle r 2 D mit 0 < jr  r 0 j < ı. Anschaulich bedeutet dies, dass für alle Punkte r 2 D, die hinreichend nahe bei r 0 liegen und von r 0 verschieden sind, die Bilder f .r/ beliebig nahe bei g liegen, symbolisch: lim f .r/ D g

! r !! r 0

lim

(x;y/!.x0 ;y0 /

oder

f .x; y/ D g:

Stetigkeit. Die Funktion f auf D heißt in r 0 2 D stetig, wenn es zu jedem " > 0 ein ı > 0 gibt, sodass jf .r/  f .r 0 /j < " für alle r 2 D mit jr  r 0 j < ı oder r 2 Uı .r 0 /. Ist r 0 Häufungspunkt von D, so ist dies gleichbedeutend mit r !! r f .r/ D f .r 0 /. lim! 0 Abb. 6.16 Funktionen mit zwei Veränderlichen. a geoDie Funktion f heißt stetig auf D, wenn sie in metrische Deutung von z D f (x, y); b Kugeloberfläche z D p jedem Punkt von D stetig ist. 1  x 2  y 2 ; c Niveaulinien

6

108

U. Jarecki

Höhere partielle Ableitungen. Ist die reellwertige Funktion f in einem Gebiet G  R2 partiell nach x und y differenzierbar, dann stellen die partiellen Ableitungen fx und fy Funktionen auf G dar, die selbst wieder partiell nach x und y differenzierbar sein können. Diese partiellen Ableitungen 2. Ordnung werden ausgedrückt durch

Abb. 6.17 Geometrische Deutung der partiellen Ableitungen

6.2.3 Partielle Ableitungen Die reellwertige Funktion f auf D  R2 heißt in .x0 ; y0 / 2 D partiell nach x bzw. y differenzierbar, wenn der Grenzwert f .x0 C h; y0 /  f .x0 ; y0 / h!0 h @f D .x0 ; y0 / D fx .x0 ; y0 / @x @ f .x0 ; y0 / bzw. D @x f .x0 ; y0 C k/  f .x0 ; y0 / lim k!0 k @f @ D .x0 ; y0 / D fy .x0 ; y0 / D f .x0 ; y0 / @y @y lim

existiert. Dieser Grenzwert heißt partielle Ableitung nach x bzw. y. Für y D y0 D const stellt der Graph von z D f .x; y0 / die Schnittkurve der Ebene y D y0 mit der Fläche z D f (x, y) dar, und die partielle Ableitung von f nach x ist dann die Steigung der Tangente im Punkt .x0 ; y0 ; f .x0 ; y0 // der Schnittkurve. Entsprechendes gilt für die partielle Ableitung nach y (Abb. 6.17). Beispiel

@2 f .x; y/ D @x 2 @2 f .x; y/ D @y 2 @2 f .x; y/ D @x @y @2 f .x; y/ D @y @x

  @ @f .x; y/ D fxx .x; y/; @x @x   @ @f .x; y/ D fyy .x; y/; @y @y   @ @f .x; y/ D fyx .x; y/; @x @y   @ @f .x; y/ D fxy .x; y/: @y @x

Alle weiteren partiellen Ableitungen höherer Ordnung werden analog erklärt. Beispiel

z D f .x; y/ D x exp.xy/; D D R2 : – fx .x; y/ D .1 C xy/ exp.xy/; fy .x; y/ D x 2 exp.xy/; fxx .x; y/ D .2y C xy/ exp.xy/; fyy .x; y/ D x 3 exp.xy/; fxy .x; y/ D .2x C x 2 y/ exp.xy/; fyx .x; y/ D .2x C x 2 y/ exp.xy/: J Sätze über partiell differenzierbare Funktionen. Besitzt die reellwertige Funktion f im Gebiet G  R2 beschränkte partielle Ableitungen fx und fy , d. h., gibt es eine solche positive Zahl m, sodass jfx .x; y/j 5 m

und

jfy .x; y/j 5 m

für alle .x; y/ 2 G

z D f .x; y/ D x y für (x, y) 2 D D f(x, y)jx > 0 gilt, dann ist f auf G stetig. und y 2 Rg. – Satz von Schwarz: Besitzt die Funktion in dem Gebiet G die partiellen Ableitungen fx ; fy ; fxy und fyx und sind fxy und fyx stetige Funktio@f .x; y/ D fx .x; y/ D yx y1 I nen auf G, dann ist fxy D fyx . Bei stetigen @x gemischten Ableitungen darf also die Reihenfol@f .x; y/ D fy .x; y/ D x y ln x: J ge der partiellen Ableitungen vertauscht werden. @y

6 Differential- und Integralrechnung

Differenzierbarkeit. Eine reellwertige Funktion f auf dem Gebiet G  R2 heißt in .x0 ; y0 / 2 G (total) differenzierbar, wenn es zwei Zahlen A und B und zu jedem " > 0 ein ı > 0 gibt, sodass

109

.x 2 C 1/ dy: Der Funktionszuwachs f .x; y/ ist f .x; y/ D .x C dx/2 .y C dy/ C .y C dy/  .x 2 y C y/

ˇ ˇ ˇ f .x0 C h; y0 C k/  f .x0 ; y0 /  .Ah C Bk/ ˇ ˇ ˇ p ˇ ˇ h2 C k 2 p < " für h2 C k 2 < ı: Eine notwendige Bedingung für die (totale) Differenzierbarkeit von f in .x0 ; y0 / ist die Existenz der partiellen Ableitungen in .x0 ; y0 /, wobei A D @f .x0 ; y0 / und B D @f .x0 ; y0 /. Damit gilt für ei@x @y ne in .x0 ; y0 / total differenzierbare Funktion f f .x0 C h; y0 C k/  f .x0 ; y0 / D fx .x0 ; y0 /h C fy .x0 ; y0 /k p C .h; k/ h2 C k 2 mit lim .h; k/ D 0 für (h, k) ! (0, 0). Für den Zuwachs h bzw. k ist auch die Bezeichnung x bzw. y und dx bzw. dy gebräuchlich.

D .2xy dx C .x 2 C 1/ dy/ C y dx 2 C 2xy dx dy C dx 2 dy D df .x; y/ C y dx 2 C 2x dx dy C dx 2 dy: Es ist leicht einzusehen, dass für .dx; dy/ ! .0; 0/ f .x; y/  d f .x; y/ p dx 2 C dy 2 y dx 2 C 2x dx dy C dx 2 dy D lim p dx 2 C dy 2

lim

D 0 für alle

.x; y/ 2 R2 :

Dies bedeutet, dass f in jedem .x; y/ 2 R2 (total) differenzierbar ist. J

Totales Differential. So heißt der in h und k Geometrische Deutung. Wird in der Gleichung bzw. dx und dy lineare Ausdruck df .x; y/ D fx .x; y/ dx C fy .x; y/ dy:

f .x0 C dx; y0 C dy/

D f .x0 ; y0 / C fx .x0 ; y0 / dx C fy .x0 ; y0 / dy p Mit der Bezeichnung f .x; y/ D f .x Cdx; y C C .dx; dy/ dx 2 C dy 2 dy/  f .x; y/ für den Funktionszuwachs lässt sich die Bedingung für die (totale) Differenzierp das Glied .dx; dy/ dx 2 C dy 2 vernachlässigt barkeit der Funktion f in (x, y) auch angeben: und x0 C dx D x; y0 C dy D y; f .x0 ; y0 / D z0 sowie f (x, y) D z gesetzt, dann lautet sie f .x; y/  df .x; y/ lim p D0 dx 2 C dy 2 z D z0 Cfx .x0 ; y0 /.x x0 /Cfy .x0 ; y0 /.y y0 /: für .dx; dy/ ! .0; 0/: Besitzt die reellwertige Funktion f in dem Gebiet Diese Gleichung stellt geometrisch die TangenG  R2 stetige partielle Ableitungen fx und fy , tialebene im Punkt .x0 ; y0 ; f .x0 ; y0 // der Fläche z D f (x, y) dar. Sie enthält die beiden Tangenten dann ist sie in G total differenzierbar. mit den Steigungen fx .x0 ; y0 / und fy .x0 ; y0 /, Abb. 6.17. Geometrisch bedeutet demnach die Beispiel totale Differenzierbarkeit von f in .x0 ; y0 /, dass z D f .x; y/ D x 2 y C y; .x; y/ 2 R2 : – Mit sich die Fläche z D f (x, y) in einer Umgebung von fx .x; y/ D 2xy und fy .x; y/ D x 2 C 1 lautet .x0 ; y0 / durch eine Tangentialebene approximiedas totale Differential df .x; y/ D 2xy dx C ren lässt.

6

110

Ableitung von zusammengesetzten Funktionen Kettenregel. Ist f eine reellwertige Funktion, die in einem Gebiet G  R2 stetige partielle Ableitungen fx und fy besitzt, und ist r.t/ D .x.t/; y.t// eine differenzierbare ebene Kurve, die für t 2 [a, b] ganz in G verläuft, dann ist die zusammengesetzte Funktion f .r.t// D F .t/ nach t differenzierbar, und es gilt – wenn der Punkt die Ableitung nach t kennzeichnet – df .r.t// FP .t/ D dt P C fy .x.t/; y.t//y.t/: P D fx .x.t/; y.t//x.t/

U. Jarecki

f und f 0 stetig auf Uı .x0 / und f 0 .x/ D 

Fx .x; f .x// : Fy .x; f .x//

Die letzte Eigenschaft heißt Ableitungsregel für implizite Funktionen. Bei entsprechenden Voraussetzungen haben implizite Funktionen z D f (x, y), die durch eine Gleichung der Form F(x, y, z) D 0 definiert sind, analoge Eigenschaften. Anwendung der Kettenregel auf die Identität F(x, y, f (x, y))  0 führt auf die Gleichungen Fx C Fz fx D 0 und Fy C Fz fy D 0:

Dies ist die Kettenregel für Funktionen von Taylor-Formel. Hier treten zur abkürzenden zwei Variablen, die von einem Parameter ab- Schreibweise Ausdrücke auf, die wie Potenzen hängen. Sie lässt sich auf Funktionen mehrerer eines Binoms behandelt werden:   Variablen und auf mehrere Parameter verallge@ n @ meinern. Werden bei der Funktion z D f (x, y) für n D 0; 1; 2 : : : ; z. B. Ck h @x @y gemäß x D x.u; v/ und y D y.u; v/ die neu  @ 2 @ en Variablen u und v eingeführt, so gilt z D f .x; y/ Ck h @x @y f .x.u; v/; y.u; v// D F .u; v/. Werden nacheinander v und u als Konstanten behandelt, so kann @2 f @2 f D h2 2 .x; y/ C 2hk .x; y/ die Funktion F nach der Kettenregel partiell nach @x @x @y u und v differenziert werden, und die partiellen @2 f C k 2 2 .x; y/: Ableitungen lauten @y @f @x @f @y @F D C und Besitzt die Funktion auf dem Gebiet G  R2 ste@u @x @u @y @u tige partielle Ableitungen bis zur Ordnung n C 1, @F @f @x @f @y dann ist D C : @v @x @v @y @v f .x C h; y C k/ Implizite Funktionen. Eine Funktion y D f (x)   @ @ einer Variablen, die durch eine Gleichung der D f .x; y/ C h Ck f .x; y/ @x @y Form F(x, y) D 0 definiert ist, heißt implizite   Funktion. Ist die Funktion F in dem Gebiet G  @ @ 2 1 f .x; y/ C : : : h Ck C R2 stetig und besitzt sie in G stetige partielle Ab2Š @x @y   leitungen Fx und Fy und ist 1 @ @ n f .x; y/ C h Ck nŠ @x @y F .x0 ; y0 / D 0 und   @ @ nC1 1 Fy .x0 ; y0 / ¤ 0 für .x0 ; y0 / 2 G; h Ck C .n C 1/Š @x @y dann gibt es eine Umgebung Uı .x0 /  R von x0  f .x C #h; y C #k/ und genau eine Funktion f auf Uı .x0 /, für die für (x, y) 2 G und (x C h, y C k) 2 G, wobei y0 D f .x0 /; F .x; f .x// D 0 0 < # < 1. Dies ist die Taylor-Formel für Funktionen zweier Variablen. Aus ihr ergibt sich für für alle x 2 Uı .x0 /;

6 Differential- und Integralrechnung

n D 0 der Mittelwertsatz f .x C h; y C k/ @f D f .x; y/ C h .x C #h; y C #k/ @x @f C k .x C #h; y C #k/; 0 < # < 1: @y Für die Untersuchung von Funktionen f auf lokale Extremwerte ist noch der Fall n D 1 von Bedeutung. f .x C h; y C k/ D f .x; y/ C hfx .x; y/ C kfy .x; y/ C 0;5  .h2 fxx . ; / C 2hkfxy . ; / C k 2 fyy . ; //; wobei D x C #h,  D y C # k und 0 < # < 1.

Lokale Extremwerte von Funktionen zweier Variablen f sei eine Funktion auf D  R2 und r 0 D .x0 ; y0 / innerer Punkt von D. f .r 0 / heißt lokales Maximum bzw. Minimum, wenn es eine Umgebung U% .r 0 / 2 D gibt, sodass f .r/ 5 f .r 0 / bzw. f .r/ = f .r 0 / für alle r 2 U% .r 0 / gilt. Gelten die Ungleichungen für r ¤ r 0 auch ohne Gleichheitszeichen, dann heißt f .r 0 / strenges lokales Extremum.

111 2 Ist fxx .r 0 /fyy .r 0 /  fxy .r 0 / < 0; dann ist f .r 0 / kein lokales Extremum (Sattelpunkt). Für fxx .r 0 /fyy .r 0 /  fxy .r 0 / D 0 lässt sich keine eindeutige Aussage darüber machen, ob f .r 0 / lokales Extremum ist oder nicht.

Beispiel 1

z D f .r/ D f .x; y/ D x 2  xy C y 2 C 9x  6y C 20: – fx .r/ D 2x  y C 9, fy .r/ D x C 2y  6, fxy .r/ D fyx .r/ D 1, fxx .r/ D 2; fyy .r/ D 2: Aus fx .r/ D 0 und fy .r/ D 0 folgen die notwendigen Bedingungen 2x  y C 9 D 0 und x C 2y  6 D 0, also r 0 D .x0 ; y0 / D .4I 1/: Damit ist fxx .r 0 / D fxx .4I 1/ D 2 > 0 und 2 .4I 1/ D 3 > fxx .4I 1/ fyy .4I 1/  fxy 0: Die Funktion f besitzt demnach in (4; 1) das strenge lokale Minimum z D f .r 0 / D f .4I 1/ D 1. J Beispiel 2

z D f .r/ D f .x; y/ D y 2  x 2 : – fx .r/ D 2x; fy .r/ D 2y; fxy .r/ D fyx .r/ D 0; fxx .r/ D 2; fyy .r/ D 2: Aus 2x D 0 und 2y D 0 folgt r 0 D .x0 ; y0 / D .0; 0/ und 2 .0; 0/ D 4 < 0: Die fxx .0; 0/fyy .0; 0/fxy Funktion f hat also in r 0 D .0; 0/ einen Sattelpunkt. J

Notwendige Bedingung. Besitzt die Funktion f Besitzt die Funktion f auf D  Rn in einem 2 auf D  R in einem inneren Punkt r 0 2 D ein inneren Punkt r D .x 0 ; x 0 ; x 0 : : : x 0 / 2 D ein 0 n 1 2 3 lokales Extremum und existieren in r 0 die parti- lokales Extremum und existieren in r die parti0 ellen Ableitungen fx .r 0 / und fy .r 0 /, dann ist ellen Ableitungen @f .r 0 /=@xi , dann ist fx .r 0 / D 0 und fy .r 0 / D 0:

@f .r 0 / D 0 für i D 1; 2; 3; : : : ; n: @xi

Hinreichende Bedingung. Besitzt die Funktion f auf D  R2 in einer Umgebung U% .r 0 /  D Bedingte lokale Extrema. Zugrunde gelegt sei von r 0 stetige partielle Ableitungen 2. Ordnung eine Funktion f auf D  R2 , deren Vaund gilt riablen x und y noch einer Nebenbedingung g.r/ D g.x; y/ D 0 unterworfen sind. f .r 0 / D fx .r 0 / D 0 und fy .r 0 / D 0 sowie f .x0 ; y0 / heißt ein bedingtes lokales Maximum 2 .r 0 / > 0; fxx .r 0 /fyy .r 0 /  fxy bzw. Minimum (beide gemeinsam: bedingtes lokales Extremum) von f in r 0 , wenn es eine dann ist f .r 0 / ein strenges lokales Extremum, Umgebung U% .r 0 /  D gibt, sodass und zwar f .r/ 5 f .r 0 / bzw. f .r/ = f .r 0 / ein Maximum, wenn f .r / < 0; xx

0

und ein Minimum, wenn fxx .r 0 / > 0:

für alle r 2 U% .r 0 / und g.r/ D 0 gilt.

6

112

U. Jarecki

Notwendige Bedingung. Besitzt die Funktion f auf D in r 0 2 D ein bedingtes lokales Extremum f .r 0 / mit der Nebenbedingung g.r/ D 0, und haben die Funktionen f und g in einer Umgebung von r 0 stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung, wobei gx .r 0 / ¤ 0 oder gy .r 0 / ¤ 0 und g.r 0 / D 0;

folgen die Bedingungsgleichungen für ein lokales Extremum: Fx .x; y; / D 2x C 2x D 0; Fy .x; y; / D 2.y  2/  2y D 0; F .x; y; / D x 2  y 2  4 D 0: Fürp D 1 hat die p Funktion f in den Punkten . 5; 1/ und . 5; 1/ ein bedingtes lokales Extremum (Minimum). J

dann gibt es eine Zahl , sodass fx .r 0 / C gx .r 0 / D 0 und fy .r 0 / C gy .r 0 / D 0:

Richtungsableitung und Gradient f sei eine Funktion auf D  R2 , die in einer Umgebung des inneren Punkts r 0 D .x0 ; y0 / 2 D stetige partielle Ableitungen besitzt.

Die Punkte (x, y), in denen die Funktion f bedingte lokale Extrema besitzt, befinden sich demnach Richtungsvektor. Durch den Einheitsvektor unter den Lösungen (x, y, ) des Gleichungssystems t D cos ˛e 1 C sin ˛e 2 fx .x; y/ C gx .x; y/ D 0; sei eine Richtung in der x, y-Ebene festgelegt, fy .x; y/ C gy .x; y/ D 0; wobei e 1 und e 2 die Koordinaten-Einheitsvekg.x; y/ D 0: toren sind. Für einen Punkt r D .x; y/ der Halbgeraden, die von dem Punkt r 0 in Richtung des Einheitsvektors t ausgeht, gilt Multiplikatorregel von Lagrange. Hiernach ergeben sich für bedingte lokale Extrema durch Einx D x0 C t cos ˛ und führungen der Funktion F(x, y, ) D f (x, y) C  g(x, y) mit dem Multiplikator  die notwendigen y D y0 C t sin ˛ für t = 0: Bedingungen Fx .x; y; / D fx .x; y/ C gx .x; y/ D 0; Fy .x; y; / D fy .x; y/ C gy .x; y/ D 0; F .x; y; / D g.x; y/ D 0: Beispiel

Gesucht sind die Punkte auf der Hyperbel g.x; y/ D x 2  y 2  4 D 0, die vom Punkt (0; 2) einen lokalen extremalen Abstand haben. – Das Abstandsquadrat eines Hyperbelpunkts (x, y) vom Punkt (0; 2) ist f .x; y/ D x 2 C .y  2/2 mit der Nebenbedingung g.x; y/ D x 2  y 2  4 D 0. Aus dem Ansatz F .x; y; / D x 2 C .y  2/2 C .x 2  y 2  4/

Richtungsableitung. Sie ist für die Funktion f in r 0 nach der durch t festgelegten Richtung definiert durch F .t/  F .0/ @f .r 0 / D lim D F 0 .0/; t !0 @t t wobei F .t/ D f .x0 C t cos ˛; y0 C t sin ˛/: Aus der Kettenregel folgt F 0 .0/ D fx .r 0 / cos ˛ C fy .r 0 / sin ˛: Damit lautet die Richtungsableitung der Funktion f in r 0 nach der durch t D cos ˛e 1 C sin ˛e 2 festgelegten Richtung @f .r 0 / D fx .r 0 / cos ˛ C fy .r 0 / sin ˛: @t Gradient. Der Vektor gradf .r 0 / D fx .r 0 /e 1 C fy .r 0 /e 2 heißt Gradient von f in r 0 .

6 Differential- und Integralrechnung

113

Die Richtungsableitung ist also das skalare 6.2.4 Integraldarstellung von Produkt des Gradienten von f und des RichtungsFunktionen und Doppelintegrale vektors t Die Funktion f sei auf einem Rechteck a 5 x 5 b @f und c 5 y 5 d erklärt und für jedes y über [a, b] in.r 0 / D fx .r 0 / cos ˛ C fy .r 0 / sin ˛ Rb @t tegrierbar. Dann ist durch F .y/ D a f .x; y/ dx D gradf .r 0 /  t eine Funktion f auf [c, d] erklärt, die als eine InD jgradf .r 0 /j cos '; tegraldarstellung bezeichnet wird. Die Variable y heißt Parameter des Integrals. F ist stetig, wenn f wobei ' der Winkel zwischen den Vektoren es ist. gradf .r 0 / und t ist. Existiert außerdem die stetige partielle AbleiFür cos ' D 1, d. h., wenn t und gradf .r 0 / die tung fy .x; y/ auf dem Rechteck, so ist F in [c, d] gleiche Richtung und den gleichen Richtungssinn differenzierbar, und es gilt haben, wird die Richtungsableitung am größten, Zb nämlich 0 F .y/ D fy .x; y/ dx: q @f 2 2 a .r 0 / D jgradf .r 0 /j D fx .r 0 / C fy .r 0 /: @t Ableitungsformel von Leibniz. Sind die GrenDies bedeutet, dass gradf .r 0 / die Richtung in zen des bestimmten Integrals selbst noch difr 0 angibt, in der die Funktion f am stärksten zuferenzierbare Funktionen der Variablen y, also nimmt. Wird f durch ihre Niveaulinien f .r/ D a D g(y) und b D h(y), dann gilt für konst. dargestellt und ist r 0 ein Punkt einer Niveaulinie, so steht gradf .r 0 / in r 0 auf dieser Zh.y/ Niveaulinie senkrecht und zeigt in die Richtung F .y/ D f .x; y/ dx des Niveauanstiegs. g.y/ Beispiel

Zh.y/ fy .x; y/ dx F 0 .y/ D

z D f .r/ D f .x; y/ D x 2 C y 2 : – Die Nig.y/ veaulinien sind konzentrische Kreise in der x, C f .h.y/; y/h0 .y/  f .g.y/; y/g 0 .y/: y-Ebenepmit dem Zentrum (0, 0). Der Punkt r 0 D . 3; 1/ liegt auf dem Kreis mit dem Doppelintegral. Es heißt auch iteriertes Integral Radius 2, der das Niveau z D 4 besitzt. Es ist und hat die Form 0 1 gradf .r/ D 2xe 1 C 2ye 2 und Zd Zh.y/ p p B C f .x; y/ dx A dy oder kürzer @ gradf . 3; 1/ D 2 3e 1  2e 2 : p Als größter Anstieg von f in . 3; 1/ ergibt sich damit p p jgradf . 3; 1/j D 12 C 4 D 4:

c

g.y/

Zd Zh.y/ f .x; y/ dx dy: c g.y/

Die p Richtungsableitung der Funktion f in . 3; 1/ nach der durch t D cos 30ı e 1 C 6.2.5 Flächen- und Raumintegrale sin 30ı e 2 festgelegten Richtung hat den Wert Flächenintegrale @f p Zugrunde gelegt wird ein beschränktes Gebiet G . 3; 1/ @t p der Ebene, dessen Rand aus einer geschlossenen, p D .2 3e 1  2e 2 /.0;5 3e 1 C 0;5e 2 / D 2: J stückweise glatten Kurve besteht. Auf G sei eine

6

114

U. Jarecki

Ist f (x, y) = 0 für (x, y) 2 G, so wird das Flächenintegral geometrisch als das Volumen des Zylinders mit der Grundfläche G und der Deckfläche [f ] definiert. Ist insbesondere f (x, y) D 1 für (x, y) 2 G, so bestimmt das Flächenintegral “

“ 1 dS D

G

“ dS D

G

d.x; y/ G

den Flächeninhalt des Gebiets G. Mittelwertsatz. Ist f eine auf dem abgeschlossenen Gebiet G stetige Funktion mit dem Kleinstwert m und dem Größtwert M, dann ist “ “ f .x; y/ d.x; y/ D  d.x; y/; Abb. 6.18 Flächenintegral. a und b Zerlegung eines Gebiets G; c geometrische Deutung

stetige beschränkte Funktion f definiert: z D f (x, y) für (x, y) 2 G. Das Gebiet G wird in eine endliche Zahl von Teilgebieten Gi .i D 1; 2; 3; : : : ; n/ zerlegt (Abb. 6.18a,b). Oft besteht eine solche Zerlegung in einer Unterteilung des Gebiets G durch Parallelen zur x- und y-Achse (Abb. 6.18b). Zur geometrischen Deutung sei speziell vorausgesetzt, dass f (x, y) = 0 für (x, y) 2 G. Ist .xi ; yi / ein Punkt des Teilgebiets Gi und Si der Flächeninhalt von Gi , dann stellt das Produkt f .xi ; yi /  Si das Volumen einer Säule mit der Grundfläche Gi und der Höhe f .xi ; yi / dar (Abb. 6.18c). Die Summe Pn i D1 f .xi ; yi /Si ; die auch als Riemann-Summe bezeichnet wird, gibt dann annähernd das Volumen des Zylinders mit der ebenen Grundfläche G und der Deckfläche Œf  D f.x; y; z/jz D f .x; y/ für .x; y/ 2 Gg wieder. Unter gewissen Voraussetzungen haben die Riemann-Summen bei Verfeinerung der Zerlegung von G einen Grenzwert, der Flächenintegral der Funktion f über G heißt: “ “ f .x; y/ dS oder f .x; y/ d.x; y/ oder G

“

G

wobei m 5  5 M:  heißt der Mittelwert von f auf G. Berechnung. G sei ein beschränktes Gebiet mit einer geschlossenen und doppelpunktfreien Randkurve. Jede Parallele zur x- bzw. y-Achse soll die Randkurve in höchstens zwei Punkten schneiden. Das kleinste abgeschlossene Rechteck (Abb. 6.19a), das G umschließt, sei bestimmt durch a 5 x 5 b und c 5 y 5 d. Hierdurch wird die Randkurve des Gebiets G wie folgt zerlegt: oberes und unteres Kurvenstück ABC W y D y2 .x/;

CDAW y D y1 .x/

für x 2 Œa; bI linkes und rechtes Kurvenstück BCDW x D x1 .y/;

DABW x D x2 .y/

für y 2 Œc; d :

G

f .r/ dr: G

G

Abb. 6.19 Ebenes Gebiet G. a Begrenzungen; b y1 .x/ D p x 2 ; y2 .x/ D x

6 Differential- und Integralrechnung

115

Hiermit gilt für eine stetige und beschränkte Funktion f auf G “ f .x; y/ d.x; y/ G

Zb D a

Zd D c

0 B @

1

yZ2 .x/

C f .x; y/ dy A dx

y1 .x/

0 B @

1

xZ2 .y/

C f .x; y/ dx A dy:

x1 .y/

Abb. 6.20 a und b Abbildung eines Gebiets F auf ein

Hiermit lässt sich das Flächenintegral einer steti- Gebiet G gen und beschränkten Funktion f über G auf ein Doppelintegral zurückführen. Funktionen ' und verschieden von Null. ˇ ˇ ˇ ˇ ' .u; v/ @.x; y/ .u; v/ ˇ ˇ u u Beispiel Dˇ ˇ ¤ 0: ˇ ˇ 'v .u; v/ @.u; v/ .u; v/ v Auf dem abgeschlossenen Gebiet (Abb. 6.19b) p xg;

Dann gilt für jede auf G stetige Funktion f die Substitutionsregel für Flächenintegrale: “ dessen Rand durch den Graph der Funktionen p f .x; y/ d.x; y/ y1 .x/ D x 2 und y2 .x/ D x bestimmt ist, ist G die Funktion f (x, y) D 2xy erklärt. – Es ist ˇ ˇ “ ˇ @.x; y/ ˇ ˇ d.u; v/: ˇ 0p 1 D f .'.u; v/; .u; v// ˇ @.u; v/ ˇ “ Z1 Z x F B C 2xy d.x; y/ D @ 2xy dy A dx G D f.x; y/j0 5 x 5 1 und x 2 5 y 5

0

G

Z1 D

Beispiel (Abb. 6.20b)

x2 p x

xŒy 2 x 2 dx 0

Z1 x.x  x 4 / dx D 1=6: J

D 0

Substitutionsregel. F sei ein ebenes abgeschlossenes Gebiet, dessen Rand eine stückweise glatte Kurve ist. Auf einem F umfassenden Gebiet seien zwei Funktionen x D .u; v/ und y D .u; v/ mit stetigen partiellen Ableitungen 1. Ordnung gegeben, die das Innere von F eineindeutig auf ein ebenes Gebiet G abbilden (Abb. 6.20a). Für jeden inneren Punkt .u; v/ von F sei die Funktionaldeterminante der beiden

In der x, y-Ebene sei das abgeschlossene Gep 2 2 biet G D f.x; y/ j 0 < a 5 x C y 5 1 und y = 0g gegeben, das die Form eines halben Kreisrings mit dem Außendurchmesser 1 und dem Innendurchmesser a hat. p Auf G ist die Funktion z D f .x; y/ D 1  x 2  y 2 für (x, y) 2 G erklärt. – Durch die Substitution x D '.r; ˛/ D r cos ˛ und y D .r; ˛/ D r sin ˛ wird das abgeschlossene Gebiet F D f(r, ˛)j0 < a 5 r 5 1 und 0 5 ˛ 5  g eineindeutig auf das abgeschlossene Gebiet G abgebildet. Mit der Funktionaldeterminante der beiden Funktionen ' und ˇ ˇ ˇ cos ˛ @.x; y/ sin ˛ ˇˇ ˇ Dˇ ˇDr >0 ˇ r sin ˛ r cos ˛ ˇ @.r; ˛/

6

116

U. Jarecki

ergibt sich für das Flächenintegral der Funkti- Abb. 6.21 Tetraeder als räumlich abgeschlossenes on f über G Gebiet “ p 1  x 2  y 2 d.x; y/ G

D

“ p 1  r 2 r d.r; ˛/ F

Z1 D

0 @

a

Zx p

1 1  r 2 r d˛ A dr

0

Z1 p p 3 1  r 2 r dr D  =3 1  a2 : J D 

und 0 5 z 5 1  x  yg. Auf G ist die Funktion f .x; y; z/ D 1=.1Cx Cy Cz/2 erklärt. – Das Raumintegral der Funktion f über G lautet • 1 d.x; y; z/ .1 C x C y C z/2 G

a

“

Raumintegrale Zugrunde gelegt wird ein räumliches abgeschlossenes Gebiet G D f(x, y, z)j(x, y) 2 B und f1 .x; y/ 5 z 5 f2 .x; y/g, wobei B ein ebenes abgeschlossenes Gebiet mit stückweise glattem Rand ist und f1 ; f2 stetige Funktionen auf B sind. G ist demnach ein zylindrischer Körper, dessen Projektion auf die x, y-Ebene B ist und der oben von der Fläche z D f2 .x; y/ und unten von der Fläche z D f1 .x; y/ begrenzt wird. Ist f eine stetige Funktion auf G, dann ist das Raumintegral der Funktion f über G erklärt durch das iterierte Integral • • f .x; y; z/ d.x; y; z/ D f .r/ dr G

G

“ D

f2Z.x;y/

d.x; y/ B

f .x; y; z/ dz:

f1 .x;y/

Der Ausdruck d.x; y; z/ D dx dy dz D dr D dV heißt Volumenelement in kartesischen Koordinaten. Durch das Raumintegral mit f (x, y, z)  1 ist das Volumen von G definiert. Beispiel (Abb. 6.21):

Das räumliche abgeschlossene Gebiet G ist ein Tetraeder, das von den vier Ebenen x D 0, y D 0, z D 0 und x C y C z D 1 begrenzt wird, sodass B D f(x, y)j0 5 x 5 1 und 0 5 y 5 1  xg und G D f(x, y, z)j(x, y) 2 B

D

1xy Z

d.x; y/

1 dz: J .1 C x C y C z/2

0

B

Integration des einfachen Integrals ergibt 1xy Z

0

1 dz .1 C x C y C z/2

1xy 1 D 1CxCyCz 0   1 1 D  : 2 1CxCy 

Für die Bestimmung des Raumintegrals ist jetzt nur noch das Flächenintegral zu berechnen, das sich wieder auf ein iteriertes Integral zurückführen lässt.  “  1 1  d.x; y/ 1CxCy 2 B

Z1x

Z1 D

dx 0

Z1 D 0

1 1  1CxCy 2

 dy

0

  1 1x dx ln.1 C x C y/  y 2 0

Z1 D

.ln 2  .1  x/=2  ln.1 C x// dx 0

D

3  ln 2: 4

6 Differential- und Integralrechnung

117

Substitutionsregel. Sind x D x.u; v; w/, y D Abb. 6.22 Zylinderkoordinay.u; v; w/ und z D z.u; v; w/ Funktionen mit ten r, ', z stetigen partiellen Ableitungen 1. Ordnung, die ein räumliches Gebiet F mit den Variablen u, v; w auf ein räumliches Gebiet G mit den Variablen x, y, z abbilden, und ist die Funktionaldeterminante der Transformation • ˇ ˇ ˇ xu xv xw ˇ f .x; y; z/ d.x; y; z/ ˇ ˇ @.x; y; z/ ˇ ˇ G D ˇ yu yv yw ˇ ¤ 0 • ˇ ˇ @.u; v; w/ ˇ zu zv zw ˇ D f .r cos '; r sin '; z/r d.r; '; z/: für .u; v; w/ 2 F;

F

Kugelkoordinaten (Abb. 6.23) dann gilt für eine auf G stetige Funktion f die Substitutionsregel für Raumintegrale: • f .x; y; z/ d.x; y; z/ G

•

D

f .x.u; v; w/; y.u; v; w/; z.u; v; w// F

ˇ ˇ ˇ @.x; y; z/ ˇ ˇ d.u; v; w/: ˇ ˇ @.u; v; w/ ˇ

Koordinatentransformationen. Häufig treten auf:

x D r cos # cos ' y D r cos # sin ' z D r sin #

@.x; y; z/ @.r; '; #/ ˇ ˇ ˇ cos # cos ' r cos # sin ' r sin # cos ' ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D ˇ cos # sin ' r cos # cos ' r sin # sin ' ˇ ˇ ˇ ˇ sin # ˇ 0 r cos # D r 2 cos #I • f .r/ dr G

Zylinderkoordinaten (Abb. 6.22) x D r cos ' y D r sin '; zDz

05r für  =2 5 # 5  =2 0 5 ' 5 2 

•

D

f .r cos # cos '; r cos # sin '; r sin #/ F

für

ˇ ˇ cos ' ˇ @.x; y; z/ ˇ D ˇ sin ' ˇ @.r; '; z/ ˇ 0

05r 0 5 ' 5 2  r sin ' r cos ' 0

0 0 1

 r 2 cos # d.r; '; #/: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D r; ˇ ˇ

Abb. 6.23 Kugelkoordinaten r, ', #

6

118

Allgemeine Literatur Bücher Böhme, G.: Anwendungsorientierte Mathematik. Bd. 2: Analysis 1. Funktionen, Differentialrechnung. 6. Auflage 1990; Bd. 3: Analysis 2. Integralrechnung, Reihen, Differentialgleichungen. 6. Auflage 1991. Springer. Burg; Haf; Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure. Bd. 1: Analysis. 11. Auflage 2017, Teubner. Jänich, K.: Analysis für Physiker und Ingenieure. Lehrbuch für das 2. Studienjahr. 4. Auflage 2001, Springer. Königsberger, K.: Analysis. Bd. 1: 6. Auflage 2004; Bd. 2: 5. Auflage 2004, Springer.

U. Jarecki Mangoldt, von; Knopp; Lösch: Höhere Mathematik. Bd. II: Differentialrechnung, Unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. 16. Auflage 1990. Bd. III: Integralrechnung und ihre Anwendungen, Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 15. Auflage 1990, Vieweg. Neunzert, H. u.a.: Ein Lehr- und Arbeitsbuch für Studienanfänger. Bd. 1 und 2: 2. Auflage 1993, Springer.

Normen und Richtlinien DIN5487: Fourier-Transformation und Laplace-Transformation.

7

Kurven und Flächen, Vektoranalysis Uller Jarecki

7.1 Kurven in der Ebene 7.1.1 Grundbegriffe

der Kurve erhalten. r.t/

für t 2 Œa; b und

r./ Q D r.'.//

für  2 Œ˛; ˇ Parameterdarstellung. Eine ebene Kurve k ist durch ein System aus zwei Gleichungen erklärt: heißen dann äquivalente Darstellungen der Kurx D x(t) und y D y(t) für t 2 [a, b], wobei x(t) und ve k. y(t) stetige Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall I D [a, b] sind. t heißt KurvenparameBeispiel (Abb. 7.2): ter und I Parameterintervall. Beide Gleichungen Durch die Gleichungen x D cos t und y D ordnen jedem Parameterwert t genau einen Punkt sin t oder r.t/ D .cos t; sin t/ für t 2 Œ0;   ist oder Ortsvektor der Kurve k zu (Abb. 7.1). ein Halbkreis mit dem Radius 1, dessen Orir.t/ D .x.t/; y.t// entierung dem Uhrzeigersinn entgegengesetzt ist, erklärt. Äquivalente Darstellungen dieser D x.t/e 1 C y.t/e 2 für t 2 I D Œa; b: Kurve sind x D x./ Q D 2 cos2   1 und Der Durchlaufsinn, mit dem der Punkt r.t/ y D y./ Q D 2 sin   cos  für  2 Œ0;  =2; mit wachsenden Parameterwerten t die Kurve k wobei t D '() D 2,  2 Œ0;  =2; p oder x D durchläuft, heißt Orientierung von k, sodass r.a/ x./ Q D  und y D y./ N D 1   2 für den Anfangs- und r.b/ den Endpunkt der Kur 2 [1, 1], wobei t D    arccos . J ve kennzeichnen. Die Kurve k heißt geschlossen, wenn r.a/ D r.b/. Unter k ist eine Kurve erklärt, die aus k durch Bei einer Substitution des Parameters t gemäß Umkehrung des Durchlaufsinns hervorgeht. Sind t D '() für  2 [˛, ˇ] und '(˛) D a, '(ˇ) D b, k1 und k2 zwei Kurven, bei denen der Anfangswobei ' eine streng monoton wachsende Funktipunkt von k2 mit dem Endpunkt von k1 zusamon auf [˛, ˇ] ist, bleiben Gestalt und Orientierung menfällt, dann ist durch die Summe k1 C k2 eine Kurve erklärt, bei der nacheinander die Kurven k1 und k2 durchlaufen werden. Abb. 7.1 Kurve k; x D x(t), y D y(t) für t 2 [a, b] Abb. 7.2 Halbkreis; x D cos t; y D sin t für t 2 Œ0;   U. Jarecki () Berlin, Deutschland © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_7

119

120

U. Jarecki

Beispiel

k1 W

r 1 .t/ D .t;

p

1  t 2/

r 2 .t/ D .t  2;0/ ( r 1 .t/ k1 C k2 W r.t/ D r 2 .t/

für t 2 Œ1; 1;

k2 W

für t 2 Œ1; 3; für t 2 Œ1; 1; für t 2 Œ1; 3: J

Häufig wird eine Kurve k in Polarkoordinaten Abb. 7.3 Tangenten- und Normaleneinheitsvektor t r und ' dargestellt. und n r D r.t/ und ' D '.t/

für t 2 Œa; b:

bei der die Funktionen x(t) und y(t) in [a, b] diffeSo stellt z. B. die Kurve r D r.t/ D exp.˛t/ und renzierbar sind. Die Ableitung einer Kurve wird ' D 2t für t 2 Œ0;   eine Windung einer logarith- dann ausgedrückt durch mischen Spirale dar. dr P y.t// P .t/ D r 0 .t/ D .x.t/; dt Parameterfreie Darstellung. Die Elimination D x.t/e P P 1 C y.t/e 2 für t 2 Œa; b: des Parameters t bei der Kurve k, x D '(t) und y D (t) für t 2 [˛, b], führt auf eine Gleichung In einem Kurvenpunkt r.t0 / mit der Form F(x, y) D 0 oder y D f (x) bzw. g D f (y). Vektoren. 0 .t / ¤ 0 D .0; 0/ beträgt für t0 2 Œa; b der r 0 Sie heißt dann implizite oder explizite parameterTangentenvektor freie Darstellung der Kurve. r 0 .t0 / D .x.t P 0 /; y.t P 0 //:

Beispiel

Der Einheitskreis x D cos t und y D sin t für Tangenteneinheitsvektor. Er ist der normierte t 2 Œ0; 2  hat wegen cos2 t C sin2 t D 1 die Tangentenvektor (Abb. 7.3) implizite Darstellung F .x; y/ D x 2 C y 2  r 0 .t0 / 1 1 D 0. Für t 2 Œ0;  ; also y = 0, lautet die .x.t P 0 /; y.t P 0 //: DtD p 0 .t /j 2 2 .t / jr 0 x P .t / C y P explizite Darstellung des oberen Halbkreises 0 0 p y D f .x/ D 1  x 2 . J Normaleneinheitsvektor. Er ergibt sich nach Bei Kurven in Polarkoordinaten r D r(t) und (Abb. 7.3) aus t durch Drehung um  =2 im posi' D '(t) für t 2 [a, b] lautet die parameterfreie tiven Sinn. Darstellung explizit und implizit 1 .y.t P 0 /; x.t P 0 // nD p 2 xP .t0 / C yP 2 .t0 / r D f .'/ für ' 2 Œ˛; ˇ oder ' D g.r/ für r 2 Œa; b; F .r; '/ D 0:

Gleichungen

Kartesische Koordinaten. Für eine Kurve k mit r.t/ für t 2 [a, b] werden ihre Tangente bzw. Differenzierbare Kurven. Eine Kurve k heißt Normale durch die orientierte Gerade mit dem differenzierbar, wenn sie eine Parameterdarstel- Parameter  2 R im Kurvenpunkt r.t0 / dargestellt (s. Tab. 7.1). lung besitzt,

7.1.2

Tangenten und Normalen

r D r.t/ D .x.t/; y.t//

für t 2 Œa; b;

 2 RW r D r.t0 / C t

bzw. r D r.t0 / C n

7

Kurven und Flächen, Vektoranalysis

Tab. 7.1 Tangenten

Kurvendarstellung y D f .x/ y0 D f .x0 / x D x.t /I y D y.t / x0 D x.t0 /I y0 D y.t0 / F .x; y/ D 0 F .x0 ; y0 / D 0

121 Tangentensteigung f 0 .x0 / y.t P 0/ x.t P 0/ Fx .x0 ; y0 /  Fy .x0 ; y0 /

Tangentengleichung y  y0 D f 0 .x0 /.x  x0 / y.t P 0 /.x x0 / x.t P 0 /.y y0 / D 0 Fx .x0 ; y0 /.x  x0 / C Fy .x0 ; y0 /.y  y0 / D 0

zwischen Tangente und Polarachse oder durch den Winkel # zwischen Tangente und verlängerp r.t/ D .2 3 cos t; 2 sin t/ für t 2 Œ0; 2  tem Ortsvektor des Punkts r angegeben. Es ist 0 ist eine Darstellung derp orientierten Ellipse mit den Halbachsen 2 3 und 2. – Es ist p r 0 .'0 / sin '0 C r.'0 / cos '0 r 0 .t/ D .2 3 sin t; 2 cos t/ für t 2 Œ0; 2 . tan D 0 bzw. r .'0 / cos '0  r.'0 / sin '0 Für den Kurvenpunkt p r. =6/ gilt r. =6/ D p 0 0 r.'0 / .3I tan # D 0 : p 1/; r . =6/ D . 3; 3/; jr . =6/j D r .'0 / 6. Damit lautet der Tangenteneinheitsvektor in r 0 . =6/ Die Gleichung der Tangente an k in r 0 lautet in p p 1 r 0 . =6/ Polarkoordinaten R und D p . 3; 3/ tD 0 jr . =6/j 6 p p D .1= 2; 1= 2/ R D R. / Beispiel

r 2 .'0 / und die Gleichung der (orientierten) Tangente : D r.'0 / cos.  '0 /  r 0 .'0 / sin.  '0 / r D r.t/ D .3I 1/ C .1I 1/ oder in Koordinatenschreibweise x D 3   und y D 1 C  Die Abschnitte T und N der Tangenten und der bzw. explizit y D x C 4. J Normalen sowie ihre Projektionen, die Subtangente ST und Subnormale SN, sind in Tab. 7.2 Polarkoordinaten. Ist eine Kurve k (Abb. 7.4) und Abb. 7.5 angegeben. durch eine explizite Darstellung in Polarkoordinaten r und ' gegeben, r D r.'/ für ' 2 Œ˛; ˇ und ist r 0 D .'0 ; r.'0 // ein Punkt der Kurve, so wird die Tangentenrichtung durch den Winkel

Abb. 7.4 Polarkoordinaten, Tangente

Abb. 7.5 Strecken an einer Kurve. a kartesische Koordinaten; b Polarkoordinaten

7

122

U. Jarecki

Tab. 7.2 Strecken an einer Kurve

Strecke

Subtangente ST

Kurve y D f .x/ ˇ ˇ ˇ f .x0 / ˇ p ˇ f 0 .x0 / ˇ 1 C f 02 .x0 / p jf .x0 /j 1 C f 02 .x0 / ˇ ˇ ˇ f .x0 / ˇ ˇ f 0 .x0 / ˇ

Subnormale SN

jf .x0 /f 0 .x0 /j

Tangentenabschnitt T Normalenabschnitt N

Beispiel

r D r.'/ ' 2 Œ'1 ; '2 

r D R.'/ p R.'0 / R2 .'0 / C R02 .'0 / jR0 .'0 /j p R2 .'0 / C R02 .'0 / R2 .'0 / jR0 .'0 /j jR0 .'0 /j

Z'2 p r 2 .'/ C r 0 2 .'/ d' LD

Logarithmische Spirale r D r.'/ D A  '1 exp.'=m/. – Mit r 0 .'/ D .A=m/ exp.'=m/ ergibt sich tan # D r.'/=r 0.'/ D m, d. h., Bogenelement. Das Element ds D jr 0 .t/j dt dass hier der Winkel zwischen der Tangente lautet in kartesischen bzw. Polarkoordinaten und der Verlängerung des Ortsvektors konp stant ist. J ds D .dx/2 C .dy/2 bzw. p Glatte Kurven. Eine Kurve k heißt glatt, wenn ds D .dr/2 C .r d'/2 : sie eine Parameterdarstellung r D r.t/ D .x.t/; y.t//

für t 2 Œa; b

besitzt, die auf [a, b] stetig differenzierbar ist und bei der r 0 .t/ ¤ 0 für alle t 2 [a, b] ist. Ist die Kurve geschlossen, dann gilt außerdem r 0 .a/ D r 0 .b/. Eine glatte Kurve hat demnach in jedem Punkt eine Tangente.

Beispiel 1

Bogenlänge einer gewöhnlichen Zykloide; k W x D a.t  sin t/; y D a.1  cos t/ für t 2 Œ0; 2 . – x.t/ P D a.1  cos t/; y.t/ P D a sin t, ds D

p xP 2 .t/ C yP 2 .t/ dt D 2a j sin.t=2/j dt

D 2a sin.t=2/ dt; Z2 

7.1.3 Bogenlänge Vorausgesetzt wird eine glatte oder stückweise glatte Kurve k. r D r.t/ D .x.t/; y.t//

für t 2 Œa; b

Ihre Bogenlänge ist – mit dem Bogenelement ds D jr 0 .t/j dt – Zb LD

Zb p 0 jr .t/j dt D xP 2 .t/ C yP 2 .t/ dt:

a

a

Kartesische und Polarkoordinaten. Hier die explizite Darstellung y D f .x/ x 2 Œa; b

sin.t=2/ dt D 8a: J

L D 2a

ergibt

Zb p LD 1 C f 0 2 .x/ dx; a

0

Beispiel 2

Windung einer logarithmischen Spirale; kW r D r.'/ D A exp.˛'/ für ' 2 Œ0; 2  und A > 0. – r 0 .'/ D ˛A exp.˛'/, p r 2 .'/ C r 0 2 .'/ d' p D A2 exp.˛'/ C ˛ 2 A2 exp.˛'/ d' p D A 1 C ˛ 2 exp.˛'/ d';

ds D

Z p 2 exp.˛'/ d' LDA 1C˛ 2 

0

p D A=˛ 1 C ˛ 2 .exp.2 ˛/  1/: J

7

Kurven und Flächen, Vektoranalysis

7.1.4

123

Krümmung

Im Abb. 7.6a ist ein Teil einer (orientierten) Kurve k dargestellt. Beim Durchlaufen der Kurve wird sich im Allgemeinen der Steigungswinkel ˛ der (orientierten) Tangente ändern. Ist ˛ der Zuwachs des Steigungswinkels beim Durchlau_ fen des Kurvenbogens PQ der Länge s, dann ist die Krümmung  der Kurve im Kurvenpunkt Abb. 7.7 a Evolute; b Evolvente P (Tab. 7.3) K heißt der zum Kurvenpunkt P(x, y) gehören˛ d˛ de Krümmungskreis (Abb. 7.6b), wenn der Punkt D lim : D s!0 s ds P auf dem Kreis K liegt, der Kreis K und die Kurvenpunkte, in denen die Krümmung ein lo- Kurve k in P die gleiche Tangente besitzen, der kales Extremum besitzt, heißen Scheitelpunkte. Radius R des Kreises mit dem Krümmungsradius Der Kehrwert des Betrags der Krümmung heißt der Kurve in P übereinstimmt. Krümmungsradius Krümmungsmittelpunkt. Er ist der Mittelpunkt M( , ) des Krümmungskreises K R D 1=jj: (Tab. 7.3) und liegt auf der Normalen in P. Seine Koordinaten sind dy ; ds dx  D y C R cos ˛ D y C R : ds

D x  R sin ˛ D x  R

Abb. 7.6 a Krümmung; b Krümmungskreis Tab. 7.3 Krümmung

Kurvendarstellung y D f .x/

Evolute und Evolvente. Die Kurve, deren Punkte die Krümmungsmittelpunkte M einer Kurve k sind, heißt Evolute der Kurve k (Abb. 7.7a). Sie ist Einhüllende der Normalenschar von k. Evolvente einer Kurve k ist eine Kurve, deren Evolute die Kurve k ist (Abb. 7.7b). Die Evolvente einer Kurve k schneidet die Tangenten von k senkrecht.

Krümmung

Krümmungsmittelpunkt ( ; )

f 00 .x/ .1Cf 02 .x//3=2

Dx D

x D x.t / y D y.t / r D R.'/

xP yR  yP xR .xP 2 C yP 2 /3=2 r 2 C2r 02 rr 00 .r 2 Cr 02 /3=2

1Cf 02 .x/ 0 f .x/ f 00 .x/ 02 .x/ f .x/ C 1Cf f 00 .x/

Dx

xP 2 CyP 2 yP xP y R yP xR

DyC

xP 2 CyP 2 xP xP y R yP xR

D r cos ' 

.r 2 Cr 02 /.r cos 'Cr 0 sin '/ r 2 C2r 0 2rr 00

 D r sin ' 

.r 2 Cr 02 /.r sin 'r 0 cos '/ r 2 C2r 02 rr 00

7

124

U. Jarecki

Beispiel

Eine Parameterdarstellung der Kreisevolvente lautet x D r cos t C rt sin t; y D r sin t  rt cos t für t = 0. – Hieraus folgt xP yR  xR yP D r 2 t 2 und xP 2 C yP 2 D r 2 t 2 , sodass ihre Krümmung und ihr Krümmungsradius nach Tab. 7.3  D 1=(rt) und R D rt sind. Ihre Krümmungsmittelpunkte haben die Koordinaten D r cos t und  D r sin t. Die Evolute der Kreisevolvente ist also ein Kreis mit dem Radius r. J

7.1.5 Einhüllende einer Kurvenschar Eine Gleichung der Form F(x, y, c) D 0 mit den drei Zahlenvariablen x, y und c, wobei x und y kartesische Koordinaten sind und c ein Parameter ist, stellt für jeden Wert c eines gewissen Bereichs eine ebene Kurve dar. Die Gesamtheit aller Kurven heißt einparametrige Kurvenschar mit dem Scharparameter c. So stellt die Gleichung F .x; y; c/ D .x  c/2 C y 2  c 2 D 0 für c 2 R eine einparametrige Schar von Kreisen mit dem Radius c dar, deren Mittelpunkte auf der x-Achse liegen und die die y-Achse berühren (Abb. 7.8). Häufig besitzt eine solche Kurvenschar eine Einhüllende oder Enveloppe (Abb. 7.9a), die jede Kurve der Schar in einem Punkt berührt und nur aus solchen Berührungspunkten besteht. Ist F(x, y, c) eine in einer Umgebung von .x0 ; y0 ; c0 / definierte Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen 2. Ordnung und ist

Abb. 7.9 Enveloppe. a allgemein; b einer Kreisschar

und ˇ ˇ F .x ; y ; c / F .x ; y ; c / ˇ x 0 0 0 y 0 0 0 ˇ ˇ Fcx .x0 ; y0 ; c0 / Fcy .x0 ; y0 ; c0 /

ˇ ˇ ˇ ˇ ¤ 0; ˇ

dann besitzt die einparametrige Kurvenschar F(x, y, c) D 0 eine Einhüllende x D '(c) und y D (c), die sich durch Auflösen von F(x, y, c) D 0 und Fc .x; y; c/ D 0 ergibt. Beispiel (Abb. 7.9b):

Einparametrige Kreisschar. F .x; y; c/ D .x  p 2 2 2 2c/ C y  c p D 0 für c = 0; Fc .x; y; c/ D p 2 2.x  2c/  2c D 0. – Aus diesen beiden Gleichungen p ergibt sich die Einhüllende p x D '.c/ D c= 2 und y D ˙c= 2 oder y D ˙x für x = 0. J

F .x0 ; y0 ; c0 / D 0; Fc .x0 ; y0 ; c0 / D 0; Fcc .x0 ; y0 ; c0 / ¤ 0

7.1.6

Spezielle ebene Kurven

Potenzkurven. In den Anwendungen treten die Potenzfunktionen (s. Abschn. 6.1.2) meist in Verbindung mit einem Faktor auf: Ihre Gleichungen lauten dann y D ax ˛ . Konstruktion (Abb. 7.10).

Abb. 7.8 Einparametrige Kurvenschar

Ausgegangen wird dabei von zwei Punkten P1 D .x1 ; y1 / und P2 .x2 ; y2 /, wobei y1 D

7

Kurven und Flächen, Vektoranalysis

125

Abb. 7.12 Kettenlinie Abb. 7.10 Konstruktion von y D ax

˛

ax1˛ und y2 D ax2˛ mit x1 ¤ x2 . Im Koordinatenursprung werden zwei Strahlen angetragen, die mit der x- bzw. y-Achse jeweils einen beliebigen Winkel bzw. ı bilden. Werden von den Punkten P1 und P2 die Lote auf die Koordinatenachsen gefällt, so schneiden diese die Koordinatenachsen und die Strahlen in den Punkten Q1 und R1 ; Q2 und R2 bzw. S1 und T1 ; S2 und T2 . Zu den Strecken Q1 R2 bzw. S1 T2 werden die parallelen Strecken Q2 R3 bzw. S2 T3 gezogen. Der Schnittpunkt der Lote von R3 auf die y-Achse und von T3 auf die x-Achse ergibt dann einen Punkt der Potenzkurve. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens können – wie in Abb. 7.10 angedeutet – weitere Punkte gewonnen werden. J

Kettenlinie. Sie ist die Evolute der Traktrix (Abb. 7.12) und es gilt mit t 2 .0;  / bzw. x 2 R x D a ln tan.t=2/

und y D a= sin t

bzw.

y D a=2Œexp.x=a/ C exp.x=a/: Die Länge des Kurvenbogens SP ist gleich der Länge R der Projektion der Ordinate y von P auf die Tangente mit dem Berührungspunkt P. In der Nachbarschaft ihres Scheitelpunktes S lässt sich die Kettenlinie durch die Parabel D a C x 2 =.2a/ annähern.

Zykloiden

Gewöhnliche Zykloiden (Abb. 7.13a). Sie wird beim Abrollen eines Kreises mit dem Radius r auf einer Geraden von einem festen Punkt P auf Schleppkurve (Traktrix). Bei der Schleppkur- dem Umfang des Kreises beschrieben und hat die ve (Abb. 7.11) ist der Tangentenabschnitt für Parameterdarstellung jeden Kurvenpunkt gleich einer Konstanten a. Eix D r.t  sin t/ und y D r.1  cos t/; ne Parameterdarstellung lautet x D a ln tan.t=2/ C a cos t

wobei der Parameter t den Wälzwinkel ^AMP darstellt. Länge eines Zykloidenbogens L D 8r, y D a sin t für t 2 .0;  /: Fläche unter einem Zykloidenbogen A D 3 r 2 , Der Punkt S D (0, a) für t D  =2 ist wegen Krümmungsradius R D 4r sin.t=2/. x. =2/ P D y. =2/ P D 0 singulärer Punkt (Umkehrpunkt). Verkürzte und verlängerte Zykloide (Abb. 7.13b,c). Hierbei liegt der Punkt P, der fest mit dem auf der Geraden abrollenden Kreis verbunden ist, im Abstand a von dessen Mittelpunkt. Die Parameterdarstellung für die verkürzte (a < r) und die verlängerte Zykloide (a > r) lautet Abb. 7.11 Schleppkurve (Traktrix)

und

x D rt  a sin t

und y D r  a cos t:

7

126

U. Jarecki

Abb. 7.13 Zykloiden. a gemeine; b verkürzte; c verlängerte; d Epi-, e Hypo-, f Kardioide; g Astroide

Epizykloide (Abb. 7.13d). Rollt ein Kreis mit dem Radius r auf der Außenseite eines Kreises mit dem Radius R, so beschreibt ein fester Punkt P des rollenden Kreises eine Epizykloide. Ist a der Abstand des Punkts P vom Mittelpunkt M des rollenden Kreises, so heißt die Epizykloide gewöhnlich, wenn a D r, verkürzt, wenn a < r und verlängert, wenn a > r ist. Die allgemeine Parameterdarstellung lautet   r RCr t  a cos t und x D .R C r/ cos R R   r RCr y D .R C r/ sin t  a sin t ; R R

wobei t D ^AMP der Wälzwinkel und rt/ R D ^AOB der Drehwinkel ist. Hypozykloide (Abb. 7.13e). Rollt der Kreis mit dem Radius r auf der Innenseite des Kreises mit dem Radius R(r< R), so beschreibt der feste Punkt P auf dem rollenden Kreis eine Hypozykloide. Ihre Parameterdarstellung lautet   r Rr t C a cos t und x D .R  r/ cos R R   r Rr y D .R  r/ sin t  a sin t : R R

7

Kurven und Flächen, Vektoranalysis

127

Sie ergibt sich aus der Parameterdarstellung der Epizykloidem, indem dort r durch r, a durch a und t durch t ersetzt wird. Bei der gewöhnlichen Hypozykloide ist a D r.

Einige Sonderfälle der Epi- und Hypozykloiden Herzkurve oder Kardioide heißt die Epyzykloide mit r D R D a (Abb. 7.13f). Hier gilt in Parame- Abb. 7.14 Kreisevolvente terdarstellung bzw. implizit straff abgewickelt, sodass er tangential vom Kreis x D aŒ2 cos t  cos.2t/ und (Punkt B) abläuft, so beschreibt sein Ende P eiy D aŒ2 sin t  sin.2t/ bzw. ne Kreisevolvente. Mit dem Parameter t D ^AOB 2 2 2 2 2 2 2 folgt in kartesischen bzw. Polarkoordinaten .x C y  a / D 4a Œ.x  a/ C y : Mit x D y C % cos ' und y D % sin ' folgt hieraus die Darstellung in Polarkoordinaten % und '. % D 2a.1  cos '/

x D x.t/ D a.cos t C t sin t/

und

y D y.t/ D a.sin t  t cos t/ p r D r.t/ D a 1 C t 2 und

bzw.

' D '.t/ D t  arctan t: Der Umfang der Kardioide hat die Länge u D 16a, die von ihr eingeschlossene Fläche den Hierbei ist ˛ D arctan t D t  ' der Winkel, Inhalt A D 6 a2 . Tangente in P mit dem verlängerten OrtsAstroide oder Sternkurve heißt die Hypozyklo- den die  ! vektor OP einschließt. Die Länge des Bogens ide mit r D a D R=4 (Abb. 7.13). Es gilt _ AP ist L D at 2 =2, der Inhalt des Sektors OPA t t 1 3t 3 2 3 D R cos3 und ist A D a t =6, der Krümmungsradius in P ist x D R cos C R cos 4 4 4 4 4 R D at. t t 1 3t 3 D R sin3 bzw. y D R sin  R sin 4 4 4 4 4 Spiralen .x 2 C y 2  R2 /3 C 27R2 x 2 y 2 D 0 oder x 2=3 C y 2=3 D R2=3 :

Archimedische Spirale (Abb. 7.15a). Bewegt sich ein Punkt P mit konstanter Geschwindigkeit v auf einem Strahl, der sich mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit ! um den festen Pol O dreht, so beschreibt er eine Archimedische Spirale r D a'; a > 0 und ' = 0

Der Umfang der Astroide ist u D 6R, die von ihr eingeschlossene Fläche A D .3=8/ R2 . Die Astroide ist Einhüllende aller Strecken mit der Länge R, deren Endpunkte auf der x- und y-Achse liegen. Ist R D 2r, dann ergibt sich aus der Hypozykloide eine Ellipse mit den Halbachsen r C a und Je zwei aufeinander folgende Schnittpunkte eines r-a. Es gilt x D .r C a/ cos.t=2/ und y D beliebigen, vom Pol O ausgehenden Strahls mit .r  a/ sin.t=2/. Ist außerdem noch r D a, liegt der Spirale haben den konstanten Abstand 2 a. der Punkt P also auf dem Umfang des rollenden Kreises, so wird x D 2r cos.t=2/ und y D 0. Der Bogenlänge: Punkt P bewegt sich dann auf der x-Achse und p sein Gegenpunkt auf dem Kreis auf der y-Achse. L D a.' 1 C ' 2 C arsinh'/=2; Krümmungsradius: Kreisevolvente (Abb. 7.14). Wird ein biegsamer Faden von einem Kreis mit dem Radius a

R D .a2 C r 2 /3=2 =.2a2 C r 2 /:

7

128

U. Jarecki

7.1.7

Kurvenintegrale

Die Kurvenintegrale sind eine Erweiterung des gewöhnlichen Riemann-Integrals, indem bei ihnen an die Stelle eines Integrationsintervalls eine Integrationskurve oder ein Integrationsweg k tritt. Der Einfachheit halber wird vorausgesetzt, dass die in Betracht kommenden Kurven (stückweise) glatt und die im Integranden auftretenden Funktionen stetig sind. Nichtorientiertes Kurvenintegral. Seine symbolische Schreibweise für eine Funktion f auf k ist Z Z f .r/ ds D

Abb. 7.15 Spiralen. a archimedisch; b hyperbolisch; c logarithmisch

k

f .x; y/ ds: k

Ist die Kurve k durch die Parameterdarstellung k: Hyperbolische Spirale (Abb. 7.15b). Ihre Glei- r D r.t/ D .x.t/; y.t// für t 2 [a, b] gegeben so chung lautet lässt sich das Kurvenintegral durch ein gewöhnliches Riemann-Integral ausdrücken. r' D a; a > 0; ' > 0 Wegen r ! 0 für ' ! 1 windet sich die Kurve um den Pol O, ohne ihn jedoch zu erreichen. Pol O ist asymptotischer Punkt. Die Parallele im Abstand a zur Polarachse ist Asymptote.

Zb

Z f .r/ ds D

f .r.t//jr 0 .t/j dt

a

k

Zb D

Krümmungsradius: R D r.1 C r 2 =a2 /3=2 :

p f .x.t/; y.t// xP 2 .t/ C y.t/ P dt

a

Logarithmische Spirale (Abb. 7.15c). Ihre Gleichung lautet Im Kurvenintegral ist also r durch die Kurvenpunkte r.t/ und ds durch das Bogenelement r D a exp.m'/ a; m > 0: jr 0 .t/j dt zu ersetzen. Wegen r ! 0 für ' ! 1 windet sich die Kurve um den Pol O, ohne ihn jedoch zu erreichen, d. h., der Pol O ist asymptotischer Punkt. Für den Winkel zwischen dem verlängerten ! Ortsvektor OP und der zugehörige Tangente gilt tan D 1=m. Dies bedeutet, dass die Spirale alle vom Pol O ausgehenden Halbgeraden unter dem konstanten Winkel D arctan.1=m/ schneidet. Der Krümmungsradius bzw. die Länge des Normalenabschnitts beträgt p R D N D r 1 C m2 ; _ die Länge des BogenspOP bzw. des Tangentenabschnitts T ist L D r 1 C m2 .

Beispiel 1

R

x 2 ds, wobei kW r D r.t/ D a.cos t; sin t/ für t 2 Œ0;  . – Die Kurve k stellt in der x, y-Ebene einen Halbkreis mit dem Radius a dar, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt. Mit ds D a dt gilt k

Z 

Z x 2 ds D k

a2 cos2 t a dt 0

Z  Da

cos2 t dt D . =2/a3: J

3 0

7

Kurven und Flächen, Vektoranalysis

Beispiel 2

R

C y 2 /3=2 ds, wobei k: r D r(') D 1=' p für 3 5 ' 5 2 2. – Die Kurve k stellt einen Teil der hyperbolischen Spirale dar. Wegen x D r cos ' D cos '=' und y D r sin ' D sin '=' gilt .x 2 C y 2 /3=2 D ' 3 . Für das Bogenelement ergibt sich p p ds in Polarkoordinaten ds D r 2 C r 0 2 d' D 1 C ' 2 =' 2 d', und damit ist 2 k .x p

Z

p 2

.x 2 C y 2 /3=2 ds D

Z2

Eigenschaften des orientierten Kurvenintegrals: f .r/ dr D  k

Z Z

k

Z f .r/ dr D

k

P .r/ dx C Q.r/ dy k

Z P .x; y/ dx C Q.x; y/ dy:

D

f 1 .r/ dr Z

f .r/ dr D

f 2 .r/ dr; k

Z

f .r/ dr C k1

f .r/ dr: k2

7

Beispiel

R C y/ dx C .x  y/ dy D k f .r/ dr mit f .r/ D .x C y; x  y/: – Die Kurve k soll ein orientierter Bogen der Parabel y D x 2 mit dem Anfangspunkt a D .1; 1/ und dem Endpunkt b D .1; 1/ sein. Eine Parameterdarstellung der Kurve k lautet r D r.t/ D .t; t 2 / für t 2 [-1, 1]. Es ist f .r.t// D .t C t 2 ; t  t 2 / und dr D r 0 .t/ dt D .1; 2t/ dt. Damit ergibt sich Z .x C y/ dx C .x  y/ dy R

k .x

k

k

Z1

Ist die Kurve k durch eine Parameterdarstellung gegeben, r D r.t/ D .x.t/; y.t// für t 2 [a, b], so lässt sich das orientierte Kurvenintegral auf ein gewöhnliches Riemann-Integral Zb

Z

Z

C Z

c 2 R;

f .r/ dr;

k

k1 Ck2

Das orientierte Kurvenintegral der Funktion f über k wird symbolisch ausgedrückt durch

k

.f 1 .r/ C f 2 .r// dr D

Z

für r 2 k

f .r/ dr;

k

k

Orientiertes Kurvenintegral. Auf der Kurve k sind zwei stetige Funktionen P und Q erklärt, die zu einer vektoriellen Funktion f zusammengefasst sind.

Z

Z

cf .r/ dr D c

D 19=3: J

f .r/ D .P .r/; Q.r//

Z

Z

p ' 1 C ' 2 d'

p 3

k

129

f .r/ dr D

..t C t 2 / C .2t 2  2t 3 // dt

D 1

Z1 .2t 3 C 3t 2 C t/ dt D 2: J

D 1

f .r.t//  r 0 .t/ dt

Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals. Auf dem ebenen Gebiet G sei eine FunktiZb on f .r/ D .P .r/; Q.r// erklärt, wobei P und Q stetige Funktionen sind. Das orientierP C Q.r.t//y.t// P dt D .P .r.t//x.t/ R te Kurvenintegral f .r/ dr heißt im Gebiet G a wegunabhängig, wenn für je zwei Punkte a 2 G zurückführen. Bedeutet f .r/ eine Kraft im Kur- und b 2 G sowie für jede ganz in G verlaufende venpunkt r, dann stellt das orientierte Kurvenin- und die Punkte aR und b verbindende Kurve k das tegral die Arbeit längs der Kurve k dar. Kurvenintegral k f .r/ dr stets denselben Wert k

a

130

U. Jarecki

besitzt. Dies ist gleichbedeutend damit, dass für jede ganz in G verlaufende geschlossene Kurve k gilt: I f .r/ dr D 0: k

Eine auf G definierte Funktion g.r/ heißt Stammfunktion von f .r/ D .P .r/; Q.r// in G, wenn für alle r 2 G @g @g .r/ D P .r/ und .r/ D Q.r/ oder @x @y grad g.r/ D f .r/ gilt. Ist g eine Stammfunkion von f im Gebiet G und sind a und b zwei Punkte aus G, dann gilt für jede ganz in G verlaufende Kurve k mit dem Anfangspunkt a und dem Endpunkt b Z f .r/ dr D g.b/  g.a/:

Beispiel

f .r/ D .6xy  4y 2 ; 3x 2  8xy/ oder P .r/ D 6xy  4y 2 und Q.r/ D 3x 2  8xy. – We.r/ D @Q .r/ D 6x  8y ist die gen @P @y @x Integrabilitätsbedingung in der ganzen Ebene (einfach zusammenhängendesR Gebiet G) erfüllt, d. h., das Kurvenintegral f .r/ dr ist in der ganzen Ebene wegunabhängig oder gleichbedeutend damit, die Funktion f besitzt eine Stammfunktion g. Mit dem festen Punkt (0, 0) und dem variablen Punkt .x 0 ; y 0 / der EbeR .x 0 ;y 0 / ne ist dann durch g.x 0 ; y 0 / D .0;0/ f .r/ dr eine Stammfunktion g von f auf R erklärt. Wird als Kurve k eine gerichtete Strecke mit dem Anfangspunkt (0, 0) und dem Endpunkt .x 0 ; y 0 / gewählt, r D r.t/ D .tx 0 ; ty 0 / für t 2 [0, 1], so ist wegen f .r.t// D .6t 2 x 0 y 0  4t 2 y 0 2 ; 3t 2 x 0 2 8t 2 x 0 y 0 / und r 0 .t/ D .x 0 ; y 0 /

k

Ist das Kurvenintegral wegunabhängig im Gebiet G, dann ist bei festem x 0 2 G

0

Z1

0

g.x ; y / D

.9x 0 2 y 0  12x 0 y 0 2 /t 2 dt

0

Zx g.x/ D

f .r/ dr

D .9x 0 2 y 0  12x 0 y 0 2 /Œt 3 =310

für x 2 G

D 3x 0 2 y 0  4x 0 y 0 2

x0

eine Stammfunktion von f in G, wobei das Integral ein Kurvenintegral längs einer beliebigen in G verlaufenden Kurve mit dem Anfangspunkt x 0 und dem Endpunkt x bedeutet.

die Funktion g.x; y/ D g.r/ D 3x 2 y  4xy 2 eine Stammfunktion von f .r/ D .6xy  4y 2 ; 3x 2  8xy/. Die Gesamtheit alle Stammfunktionen von f ergibt sich durch Addition einer beliebigen Konstanten C zu g. J

Integrabilitätsbedingung. Notwendig für die Gaußscher Integralsatz der Ebene (Abb. 7.16). Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals Ist G ein ebenes Gebiet, dessen Rand R aus Z Z ein oder mehreren stückweise glatten Kurven bef .r/ dr D P .x; y/ dx C Q.x; y/ dy steht, und sind P und Q zwei auf G und R erklärte Funktionen mit stetigen partiellen Ableitungen 1. im Gebiet G ist die Bedingung Ordnung, dann gilt @P @Q .r/ D .r/ @y @x

für r 2 G:

“  G

@Q @P  @x @y



Z P dx C Q dy:

d.x; y/ D R

Ist das Gebiet G einfach zusammenhängend, dann ist sie auch hinreichend für die Wegunab- Die Randkurven sind dabei so orientiert, dass das Gebiet G stets zur linken Seite liegt. Mit Hilfe des hängigkeit des Kurvenintegrals.

7

Kurven und Flächen, Vektoranalysis

131

Abb. 7.16 Orientierung der Randkurve eines Gebiets G

und Endpunkt von k. Fallen Anfangs- und Endpunkt zusammen, d. h. r.a/ D r.b/; dann heißt die Kurve geschlossen. Ist bei der Darstellung der Kurve k r D r.t/ D .x.t/; y.t/; z.t// für t 2 [a, b] z. B. die Funktion x D x(t) auf [a, b] umkehrbar mit t D t(x) für x 2 Œx1 ; x2 , dann heißt y D Gaußschen Satzes können Flächeninhalte durch y.t.x// D y.x/ N und z D z.t.x// D zN .x/ oder ein Kurvenintegral ausgedrückt werden. r D r.x/ N D .x; y.x/; N zN .x// für x 2 Œx1 ; x2  eine parameterfreie Darstellung der Kurve k. “ Z Z d.x; y/ D x dy D  y dx G

R

R

Z

D 1=2

x dy  y dx

7.2.2

Tangente und Bogenlänge

Differenzierbare Kurven. Eine Kurve k heißt differenzierbar, wenn sie eine differenzierbare Parameterdarstellung besitzt.

R

Beispiel

r D r.t/ D .x.t/; y.t/; z.t// für t 2 Œa; b; Inhalt der Fläche, die von der Astroide be3 grenzt wird. – Randkurve: x D a cos t und wobei x(t), y(t) und z(t) differenzierbare Funktioy D a sin3 t für t 2 .0; 2 . Flächeninhalt: nen sind. Es ist dann “ Z AD d.x; y/ D .1=2/ x dy  y dx dr r 0 .t/ D R G dt Z2  D .x.t/; P y.t/; P z.t// P D .3=2/a2 sin2 t cos2 dt r.t C t/  r.t/ : D lim 0 t !0 t D .3=8/ a2 : Die Kurve k heißt stetig differenzierbar, wenn enskip J x.t/; P y.t/ P und zP .t/ auf [a, b] stetig sind. Höhere Ableitungen sind entsprechend erklärt.

7.2 Kurven im Raum 7.2.1

Grundbegriffe

Zugrunde gelegt wird ein räumliches kartesisches Koordinatensystem .0I e 1 ; e 2 ; e 3 / im positiv orientierten Raum. Eine (stetige) Kurve k wird dargestellt durch eine stetige Funktion r D r.t/ D .x.t/; y.t/; z.t// D x.t/e 1 C y.t/e 2 C z.t/e 3

für t 2 Œa; b;

wobei x(t), y(t) und z(t) reellwertige stetige Funktionen des Parameters t auf dem Parameterintervall [a, b] sind. r.a/ bzw. r.b/ heißt Anfangs-

Tangente. Ist bei der differenzierbaren Kurve k r D r.t/; t 2 [a, b], r 0 .t0 / D P 0 /; z.t P 0 // ¤ 0 D .0; 0; 0/, dann heißt .x.t P 0 /; y.t r 0 .t0 / Tangentialvektor im Kurvenpunkt r.t0 /. Sein Richtungssinn stimmt mit der Orientierung der Kurve überein. Der normierte Tangentialvektor t D r 0 .t0 /=jr 0 .t0 /j heißt Tangenteneinheitsvektor. Die Gerade r D r.t0 / C sr 0 .t0 / mit r 0 .t0 / ¤ 0, wobei s Parameter der Geraden ist, heißt Tangente an k im Kurvenpunkt r.t0 /. Eine stetig differenzierbare Kurve k, r D r.t/ für t 2 [a, b], bei der r 0 .t0 / ¤ 0 für jedes t 2 [a, b], heißt glatt. Sie besitzt also in jedem Kurvenpunkt eine Tangente.

7

132

U. Jarecki

Bogenlänge. Für eine auf [a, b] stetig differen- erklärt durch zierbare Kurve k, r D r.t/ D .x.t/; y.t/; z.t//; Z Z beträgt sie f .r/ ds D f .x; y; z/ ds Zb LD

k

k

Zb

jr 0 .t/j dt

D

a

D

Zb p

f .r.t//jr 0 .t/j dt

a

Zb

xP 2 .t/ C yP 2 .t/ C zP 2 .t/ dt:

D

a

f .x.t/; y.t/; z.t// a



Beispiel

Schraubenline r D r.t/ D .a cos t; a sin t; ct/ für t 2 Œ0; 2 : – Für c > 0 ist die Schraubenlinie rechtsgängig. Sie hat die Ganghöhe h D 2 c. Ihre Projektion auf die x, z- bzw. y, z-Ebene ist durch die Gleichungen x D a cos t; z D ct oder x D a cos.z=c/ bzw. y D a sin t; z D ct oder y D a sin.z=c/ bestimmt. Der Tangential- bzw. Tangenteneinheitsvektor ist 0

r .t/ D .a sin t; a cos t; c/ bzw. r 0 .t/ tD 0 jr .t/j 1 Dp .a sin t; a cos t; c/: a2 C c 2

p xP 2 .t/ C yP 2 .t/ C zP 2 .t/ dt:

Sein Wert ist unabhängig von der Kurvenorientierung. ds D jr 0 .t/j dt heißt nichtorientiertes Bogenelement. Orientiertes Kurvenintegral. Es ist für eine Vektorfunktion v.r/ D v.x; y; z/ D .P .r/; Q.r/; R.r// auf k, r D r.t/ mit t 2 [a, b], definiert durch Zb

Z v.r/ dr D k

Z

v.r.t//r 0 .t/ dt

a

P .r/ dx C Q.r/ dy C R.r/ dz

D k

Zb

P C Q.r.t//y.t/ P D .P .r.t//x.t/ Der Tangentialvektor schließt mit der z-Achse a denpkonstanten Winkel ein, wobei cos D C R.r.t//Pz .t// dt: c= a2 C c 2 : Die Länge einer SchraubenR 2  p 2 C c 2 dt a D windung ist L D 0 p Bei entgegengesetzter Orientierung (Kurve k) 2  a2 C c 2 . J ändert sich das Vorzeichen des Integrals. Kurvenintegrale, bei denen die Integrationskurve k geschlossen H ist, werden gewöhnlich durch das 7.2.3 Kurvenintegrale Zeichen gekennzeichnet. Die Kurvenintegrale im Raum sind entsprechend denen in der Ebene definiert. Vorausgesetzt wird, dass die in Betracht kommenden Kurven glatt und die im Integranden auftretenden Funktionen stetig sind. Nichtorientiertes Kurvenintegral. Es ist für eine Funktion f auf k, r D r.t/ mit t 2 [a, b],

Beispiel

Schraubenwindung; k: r D r.t/ D .a cos t; a sin t; ct/ für t 2 Œ0; 2 . – v.r/ D .y; z; x/ oder P(x, y, z) D y, Q(x, y, z) D z, R(x, y, z) D x. Hieraus ergibt sich v.r.t// D .a sin t; ct; a cos t/; r 0 .t/ D .a sin t; a cos t; c/ und damit v.r.t// 

7

Kurven und Flächen, Vektoranalysis

133

r 0 .t/ D a2 sin2 t C act cos t C ac cos t: Endpunkt, dann ergibt sich Das Kurvenintegral der Funktion v längs k Zb Z lautet dann v.r/ dr D gradf .r.t//  r 0 .t/ dt Z2  Z a k 0 v.r/ dr D v.r.t//  r .t/ dt Zb df .r.t// dt D 0 dt 2  Z a D .a2 sin2 t C act cos t C ac cos t/ dt D f .r.b//  f .r.a// D f .b/  f .a/I

0

D  a2 : J

das Kurvenintegral ist also wegunabhängig.

Wegunabhängigkeit. Die vektorielle Funktion v D v.r/ sei in einem räumlichen Gebiet G erklärt und dort stetig. Das orientierte Kurvenintegral heißt wegunabhängig in G, wenn für jede geschlossene, ganz in G verlaufende Kurve I v.r/ dr D 0 gilt. Für jede, zwei beliebige Punkte des Gebiets G verbindende und ganz in G verlaufende Kurve k hat damit das Kurvenintegral der Funktion v längs k denselben Wert.

Integrabilitätsbedingungen. Ist die Funktion v.r/ D .P .r/; Q.r/; R.r// in G stetig differenzierbar und besitzt sie dort eine Stammfunktion f .r/, dann folgt aus gradf .r/ D v.r/; d. h. @f .r/ D P .r/; @f .r/ D Q.r/; @f .r/ D R.r/; @x @y @z unter Beachtung der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen die notwendige Bedingung für die Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals bzw. für die Existenz einer Stammfunktion von v. @Q @P .r/ D .r/; @y @x @R .r/ D @x

@Q @R .r/ D .r/; @z @y @P .r/: @z

Stammfunktion. Eine auf G stetig differenzier- Diese Gleichungen heißen Integrabilitätsbedinbare, reellwertige Funktion f .r/ heißt Stamm- gungen. funktion von v.r/ D .P .r/; Q.r/; R.r//, wenn Beispiel

gradf .r/ D v.r/ oder @f .r/ D P .r/; @x @f .r/ D Q.r/; @y @f .r/ D R.r/: @z Die Existenz einer Stammfunktion von v bedeuted zugleich, dass v.r/ dr D P .r/ dx C Q.r/ dy C R.r/ dz ein totales Differential ist. Ist nun f eine Stammfunktion von v in G und k, r D r.t/ für t 2 [a, b], eine beliebige, ganz in G verlaufende und stetig differenzierbare Kurve mit a D r.a/ als Anfangs- und b D r.b/ als

Feldstärke im Gravitationsfeld einer Masse m. m m .x; y; z/ D k 3 r; r3 r G D f.x; y; z/jx 2 C y 2 C z 2 > 0g; p r D jrj D x 2 C y 2 C z 2 :

F .r/ D k

Mit P .r/ D k rm3 x; Q.r/ D k rm3 y; R.r/ D k rm3 z sind die Integrabilitätsbedingungen erfüllt, und die reellwertige Funktion g.r/ D k mr ist eine Stammfunktion von F .r/. Für jede die Punkte r 1 D .x1 ; y1 ; z1 / und r 2 D .x2 ; y2 ; z2 / aus G und ganz in G  verlaufende R Kurve k ist k F .r/ dr D km r12  r11 mit r1 D jr 1 j und r2 D jr 2 j. J

7

134

7.3

U. Jarecki

Fläche

7.3.1 Grundbegriffe Parameterstellung. Eine Fläche A wird mit den Parametern u und v dargestellt durch r D r.u; v/ D .x.u; v/; y.u; v/; z.u; v// D x.u; v/e 1 C y.u; v/e 2 C z.u; v/e 3 Abb. 7.17 Fläche im Raum

für .u; v/ 2 G;

wobei der Definitionsbereich G ein ebenes Gebiet Tangentialvektoren sind mit stückweise glattem Rang in der u, v-Ebene @r ru D D .xu ; yu ; zu / und ist und die reellwertigen Funktionen x.u; v/, @u y.u; v/ und z.u; v/ stetig auf G sind. @r D .xv ; yv ; zv /: rv D @v Glatte Fläche. Die Fläche heißt glatt, wenn die Funktion r.u; v/ stetig differenzierbar ist, d. h., Durch jeden Flächenpunkt geht genau eine uwenn die Funktionen x.u; v/, y.u; v/ und z.u; v/ und v-Linie, die einander dort schneiden. Sind stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung besitzen, insbesondere die Tangentialvektoren der Koordinatenlinien in jedem Flächenpunkt orthogonal, und wenn außerdem d. h., r u  r v D 0, dann heißt das Koordinatennetz r u .u; v/  r v .u; v/ ¤ 0 bzw. orthogonal. jr u .u; v/  r v .u; v/j > 0 für .u; v/ 2 G; Beispiel @r D .xu ; yu ; zu / und r v D @r wobei r u D @u @v D .xv ; yv ; zv /: Dies ist gleichbedeutend damit, dass mindestens eine der Determinanten ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇy y ˇ ˇz ˇx x ˇ uˇ uˇ ˇ v ˇ v zu ˇ ˇ v ˇ; ˇ ˇ; ˇ ˇ ˇ ˇ zv zu ˇ ˇxv xu ˇ ˇyv yu ˇ

für alle .u; v/ 2 G verschieden von Null ist. Singulär heißt ein Flächenpunkt r.u; v/ mit .u; v/ 2 G, wenn r u .u; v/  r v .u; v/ D 0. Die einfachen glatten Flächen können geschlossen sein oder einen stückweise glatten Rand besitzen.

Oberfläche einer Kugel mit dem Radius R (Abb. 7.18). – r D r.u; v/ D R.cos v  cos u; cos v  sin u; sin v/; u 2 Œ0; 2 ; v 2 Œ =2;  =2: Die u-Linien .v D const/ sind die Breitenkreise und die v-Linien .u D const/ sind die Längenkreise. Ihre Tangentialvektoren sind r u D R. cos v  sin u; cos v  cos u; 0/ und r v D R. sin v  cos u;  sin v  sin u; cos v/:

Koordinatenlinien. So heißen die Kurven r.u; v0 / D .x.u; v0 /; y.u; v0 /; z.u; v0 //;

v0 D constI

r.u0 ; v/ D .x.u0 ; v/; y.u0 ; v/; z.u0 ; v//;

u0 D const

auf der Fläche. Sie bilden ein krummliniges Netz (Abb. 7.17) mit den Koordinaten u und v. Ihre Abb. 7.18 Kugeloberfläche

7

Kurven und Flächen, Vektoranalysis

Hieraus ergibt sich r u  r v D R2 .cos2 v  cos u; cos2 v  sin u; cos v  sin v/ D R cos v  r.u; v/: Die Pole .v D  =2 oder v D  =2/ sind wegen r v  r u D 0 singuläre Flächenpunkte. Das Koordinatennetz ist orthogonal, da r u  r v D 0 ist. J Parameterfreie Darstellung. Sie erfolgt in der Form F(x, y, z) D 0, wobei die Funktion F stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung Fx ; Fy und Fz besitzt und Fx2 .x; y; z/ C Fy2 .x; y; z/ C Fz2 .x; y; z/ > 0. Punkte (x, y, z) mit Fx2 C Fy2 C Fz2 D 0 heißen singulär. Ein Sonderfall einer parameterfreien Darstellung ist F(x, y, z) D f (x, y) z D 0 oder z D f (x, y) bzw. r D r.x; y/ D .x; y; f .x; y//.

135

Für einen Punkt r der Tangentialebene gilt: .r  r 0 /n D 0 bzw. ˇ ˇ ˇx  x.u0 ; v0 / xu .u0 ; v0 / xv .u0 ; v0 /ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇy  y.u0 ; v0 / yu .u0 ; v0 / yv .u0 ; v0 /ˇ D 0: ˇ ˇ ˇ z  z.u0 ; v0 / zu .u0 ; v0 / zv .u0 ; v0 / ˇ Bei einer Fläche in der parameterfreien Darstellung F(x, y, z) D 0 ist der Stellungsvektor bzw. der Normalvektor n D gradF D .Fx ; Fy ; Fz / bzw. n0 D gradF=jgradF j: Für die Tangentialebene gilt .r  r 0 /gradF D 0 bzw.

Beispiel

Fx .x0 ; y0 ; z0 /.x  x0 / C Fy .x0 ; y0 ; z0 /.y  y0 /

Kugeloberfläche mit dem Radius R. – Elimination der Parameter u und v aus dem letzten Beispiel führt auf die Gleichung F .x; y; z/ D x 2 Cy 2 Cz 2 R2 D 0: Insbesondere ergibt sich hieraus für die Darstellung der oberen Hälften der p Kugeloberfläche .z = 0/ z D f .x; y/ D R2  x 2  y 2 für x 2 C y 2 5 R2 . J

7.3.2 Tangentialebene Gleichungen. Die Fläche sei in der Parameterdarstellung gegeben, r D r.u; v/: Ist r 0 D .x0 ; y0 ; z0 / D .x.u0 ; v0 /; y.u0 ; v0 /; z.u0 ; v0 // D r.u0 ; v0 / ein Punkt der Fläche, dann spannen die Tangentialvektoren r u .u0 ; v0 / und r v .u0 ; v0 / der Koordinatenlinien im Punkt r.u0 ; v0 / die Tangentialebene der Fläche in r 0 auf. Ihr Stellungsvektor (Abb. 7.17) ist

C Fz .x0 ; y0 ; z0 /.z  z0 / D 0: Flächeninhalt. Die tangential zu den Koordinatenlinien der Fläche r D r.u; v/ gerichteten Vektoren r u du und r v dv mit r u  r v ¤ 0 spannen ein Parallelogramm auf (Abb. 7.19). Es heißen dS D .r u  r v / du dv vektorielles oder orientiertes Flächenelement, dS D jr u  r v j du dv skalares Flächenelement. Ist G ein Gebiet mit stückweise glattem Rand der u, v-Ebene, dann ist der Inhalt der Fläche r D r.u; v/ für .u; v/ 2 G bestimmt durch “ jr u  r v j du dv G

D

“ q r 2u  r 2v  .r u  r v /2 du dv: G

n D r u .u0 ; v0 /  r v .u0 ; v0 / ¤ 0: Der normierte Stellungsvektor n0 D

ru  rv jr u  r v j

heißt Normalvektor der Fläche im Punkt r 0 .

Abb. 7.19 Flächenelement

7

136

U. Jarecki

E D r 2u D xu2 Cyu2 Czu2 ; G D r 2v D xv2 Cyv2 Czv2 ; F D r u  r v D xu xv C yu yv C zu zv heißen Gaußsche Koeffizienten der Fläche. Für die Fläche mit der Gleichung z D f (x, y) für (x, y) 2 G lautet der Flächeninhalt “ q 1 C fx2 C fy2 dx dy:

Beispiel

Trägheitsmoment einer Kugeloberfläche bezüglich eines Kugeldurchmessers (z-Achse). – Gleichung der Kugeloberfläche: r D r.u; v/ D R.cos v  cos u; cos v  sin u; sin v/ für 0 5 u 5 2 ;  =2 5 v 5  =2. Das skalare Flächenelement der Kugeloberfläche lautet dS D jr u r v j du dv D R2 cos v du dv: Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse:

G

Beispiel

Inhalt der Kugeloberfläche (s. Abschn. 7.3.1). – Es ist jr u  r v j D jR cos vr.u; v/j D R2 cos v für 0 5 u 5 2 ;  =2 5 v 5  =2. “ R2 cos v du dv

“

“ .x C y / dS D 2

2

A

R2 cos2 vR2 cos v du dv G

Z2  DR

4

du 0

G

Z =2 D R2

Z2  cos v dv

 =2

D 2 R

2

 =2 Œsin v =2

D

du

Z =2 cos3 v dv

 =2

8  4 R : J 3

0

D 4 R2 : J

7.3.3 Oberflächenintegrale

Orientiertes Oberflächenintegral. Auf der Punktmenge der Fläche A; r D r.u; v/ für .u; v/ 2 G, sei die stetige vektorielle Funktion erklärt: F .r/ D .P .r/; Q.r/; R.r//. Das orientierte Oberflächenintegral ist dann definiert durch

Nichtorientiertes Oberflächenintegral. Auf der Punktemenge der Fläche A; r D r.u; v/ “ “ für .u; v/ 2 G, sei die stetige Funktion F .r/ dS D F .r.u; v//  .r u  r v / du dv; F .r/ D F .x; y; z/ erklärt. Das nichtorientierA G te Oberflächenintegral ist definiert durch “ “ wobei dS D .r u  r v / du dv das orientierte FläF .r/ dS D F .r.u; v//jr u  r v j du dv: chenelement ist. Mit dem Normalenvektor der Fläche A, A G Hiermit wird es auf ein gewöhnliches Flächeninn0 D .r u  r v /=jr u  r v j; tegral zurückgeführt, wobei dS D jr u r v j du dv das skalare Flächenelement ist. Für die Fläche A mit der Darstellung z D f (x, lautet es, y) für (x, y) 2 G lautet das Oberflächenintegral “ “ F .r/ dS F .r/ dS A

A

“

D

F .x; y; f .x; y//

“

D

F .r.u; v//  n0 jr u  r v j du dv G

G



q

“ 1 C fx2 .x; y/ C fy2 .x; y/ dx dy:

D

F .r/  n0 dS:

7

Kurven und Flächen, Vektoranalysis

137

Sind cos ˛; cos ˇ und cos die Richtungscosi- Feldlinie heißt eine Raumkurve k, r D r.t/, in einem Vektorfeld F , wenn F .r/  dr=dt D 0, nusse von n0 , dann ist d. h., wenn ihre Tangentialvektoren dr=dt mit “ den Vektoren F .r/ in den Kurvenpunkten r.t/ F .r/ dS kollinear sind. “ Fluss eines Vektorfelds F durch eine Fläche D .P .r/ cos ˛ CQ.r/ cos bCR.r/ cos / dS A. Er ist definiert durch das orientierte Oberflächenintegral A “ “ F .r/ dS : D P .r/ dy dz CQ.r/ dz dx CR.r/ dx dy: A

A

Zirkulation eines Vektorfelds F längs einer geWird der Richtungssinn der Flächennormalen schlossenen Kurve k. Sie ist definiert durch das umgekehrt, dann ändert sich das Vorzeichen des orientierte Kurvenintegral Integrals. I F .r/ dr:

7.4 Vektoranalysis 7.4.1

Grundbegriffe

k

Gradient. So heißt das Vektorfeld

@f @f @f Zugrunde gelegt wird ein räumliches kartesisches gradf .r/ D @x .r/e 1 C @y .r/e 2 C @z .r/e 3   Koordinaten-System .0I e 1 ; e 2 ; e 3 / mit positiver @f @f @f D ; ; : Orientierung (Rechtssystem), sodass jeder Punkt @x @y @z des Raums eindeutig durch seinen Ortsvektor ! OP D r D xe 1 C ye 2 C ze 3 dargestellt wird. Richtungsableitung. Sie ist für eine SkalarPunkte werden auch kurz mit r gekennzeichnet. funktion f und einen eine Richtung kennzeichnenden Einheitsvektor Skalarfeld Ist jedem Punkt r eines Raumgebiets G genau l D cos ˛e 1 C cos ˇe 2 C cos e 3 eine skalare Größe f .r/ D f .x; y; z/; z. B. Temperatur, zugeordnet, dann heißt die Funktion f mit cos2 ˛ C cos2 ˇ C cos2 D 1 definiert durch Skalarfeld auf G, z. B. Temperaturfeld, wobei die Flächen f .r/ D C D const als Niveauflächen @f D gradf  l von f bezeichnet werden. @l @f @f @f cos ˛ C cos ˇ C cos : D @x @y @z Vektorfeld s  2  2  2 Ist jedem Punkt r eines Raumgebiets G ge@f @f @f nau eine vektorielle Größe F .r/, z. B. Kraft C C : jgradf j D @x @y @z oder Geschwindigkeit, zugeordnet, dann heißt die vektorielle Funktion F Vektorfeld auf G, z. B. Dabei ist jgradf j die größte Richtungsableitung, Kraftfeld oder Geschwindigkeitsfeld. Eine solche wenn gradf und l gleichgerichtet sind. vektorielle Funktion F wird durch drei reellwertige Funktionen Fx ; Fy und Fz dargestellt. Beispiel

F .r/ D Fx .r/e 1 C Fy .r/e 2 C Fz .r/e 3 D .Fx .r/; Fy .r/; Fz .r//:

p f .r/ p D 1= x 2 C y 2 C z 2 D 1=r mit x 2 C y 2 C z 2 . – Die Niveauflächen r D

7

138

U. Jarecki

von f sind Kugeloberflächen mit dem Ursprung O als Mittelpunkt. Es ist @f @x .r/ D 3 @f 3 @f x=r ; @y .r/ D y=r ; @z .r/ D z=r 3 : Damit ergibt sich gradf .r/ D .1=r 3 /r und jgradf .r/j D 1=r 2. J

und des Richtungsvektors n bilden ein Rechtssystem. Gebildet wird der Grenzwert des Quotienten aus der Zirkulation des Vektorfelds F längs k und dem Flächeninhalt S, wobei die Kurve k auf den Punkt r zusammenschrumpft. Dieser Grenzwert liefert die Projektion des Vektors rotF .r/ auf die Richtung n.

Divergenz. Zur koordinatenunabhängigen DefiH nition der Divergenz eines Vektorfelds F in eiF .r/ dr nem Raumpunkt r wird ein Gebiet G mit dem : rotF .r/  n D lim S !0 S Punkt r betrachtet, dessen Rand aus einer geschlossenen, einfachen, stückweise glatten Flä- In kartesischen Koordinaten lautet die Rotation che Rd(G) besteht. Die Divergenz des Vektor- des Vektorfelds felds F im Raumpunkt r ist definiert durch – lim

V !0

F .r/ dS D divF .r/; V

–

wobei F .r/ dS den Fluss des Vektorfelds F durch die Fläche Rd(G) darstellt und V das Volumen des von der Fläche Rd(G) eingeschlossenen Gebiets G ist. Beim Grenzübergang schrumpft die geschlossene Fläche F auf den Punkt r zusammen. In kartesischen Koordinaten lautet die Divergenz des Vektorfelds F .r/ D Fx .r/e 1 C Fy .r/e 2 C Fz .r/e 3 ; @Fy @Fz @Fx .r/ C .r/ C .r/: divF .r/ D @x @y @z Rotation. Die Rotation rotF eines Vektorfelds F ist ein Vektorfeld. Zur koordinatenunabhängigen Definition von rotF .r/ in einem Raumpunkt r wird durch einen normierten Vektor n eine beliebige Richtung im Raum vorgegeben. In einer zu n senkrechten Ebene (Abb. 7.20) mit dem Punkt r ist dieser von einer einfachen, stückweise glatten Kurve k umschlossen, deren Innenfläche den Inhalt S hat. Die Orientierungen der Kurve k Abb. 7.20 Orientierung zur Rotation eines Vektorfelds

F .r/ D Fx .r/e 1 C Fy .r/e 2 C Fz .r/e 3 ; rotF .r/     @Fx @Fz @Fy @Fz  e1 C  e2 D @y @z @z @x   @Fy @Fx C  e3 @x @y ˇ ˇ ˇe 1 @ Fx ˇ ˇ ˇ @x ˇ ˇ @ D ˇe 2 @y Fy ˇ : ˇ ˇ ˇe 3 @ Fz ˇ @z

7.4.2

Der r -(Nabla-)Operator

Als r-Operator ist der symbolische Vektor r D e1

@ @ @ C e2 C e3 D @x @y @z



@ @ @ ; ; @x @y @z



definiert. Mit ihm lassen sich Gradient, Divergenz und Rotation auch gradf D rf , divF D r  F , rotF D r  F schreiben. In Verbindung mit dem r-Operator werden noch weitere Differentialoperatoren eingeführt: Ableitung nach einer Richtung l D cos ˛e 1 C cos ˇe 2 Ccos e 3 mit cos2 ˛ Ccos2 ˇ Ccos2 D 1: @ @ @ @ D l  r D cos ˛ C cos ˇ C cos @l @x @y @z

7

Kurven und Flächen, Vektoranalysis

139

So ist die Ableitung des Skalarfelds f nach der Richtung l @f D .l  r/f @l   @ @ @ f C cos ˇ C cos D cos ˛ @x @y @z @f @f @f D cos ˛ C cos ˇ C cos @x @y @z D l  rf D l  gradf:

Abb. 7.21 Beispiel zum Satz von Stokes

Ableitung nach einem Vektorfeld v D vx e 1 C vy e 2 C vz e 3 . @ @ @ d D v  r D vx C vy C vz : dv @x @y @z So ist die Ableitung des Vektorfelds F D Fx e 1 C Fy e 2 C Fz e 3 nach dem Vektorfeld v dF D .v  r/F dv D .v  rFx /e 1 C .v  rFy /e 2 C .v  rFz /e 3 D .v  gradFx /e 1 C .v  gradFy /e 2 C .v  gradFz /e 3 : Laplace-Operator  D r  r D r 2 D @2 @y 2

C

@2 : @z 2

@2 @x 2

C

die Kurve k, die aus dem Rand eines Dreiecks mit den Eckpunkten A D (a, 0, 0), B D (0, a, 0) und C D (0, 0, a) besteht. Es soll die Zirkulation längs k mit Hilfe des Satzes von Stokes berechnet werden. – Die Rotation des Vektorfelds F in r ist rotF .r/ D .2; 2; 2/; s. Abschn. 7.4.1. Die Dreiecksfläche ist bestimmt durch r D r.x; y/ D .x; y; a  x  y/ für 0 5 x 5 a und 0 5 y 5 a  x. Ihr Normalenvektor n0 muss entsprechend der Kurvenorientierung so orientiert sein, dass er vom Ursprung O aus zur Fläche weist, d. h., dass seine Projektion auf die z-Achse positiv ist. Wegen @r=@x D .1; 0; 1/ und @r=@y D .0; 1; 1/ gilt für das orientierte @r  @r Flächenelement dS D @x @y dx dy D .1; 1; 1/ dx dy. Nach dem Satz von Stokes ist dann “ I F .r/ dr D rotF .r/ dS

7.4.3 Integralsätze

“

Satz von Stokes. Ist F D F .r/ ein Vektorfeld mit stetigen partiellen Ableitungen 1. Ordnung und ist A eine stückweise glatte Fläche mit stückweise glattem Rand, wobei die Orientierung der Randkurve Rd.A/ und der Fläche ein Rechtssystem bilden, dann gilt (s. auch Abschn. 7.4.1)

D

Za

Zax dx dy

0

0

6 dx dy D 6 Za

.a  x/ dx D 3a2 : J

D6 0

Satz von Gauß. Ist F D F .r/ ein Vektorfeld mit stetigen partiellen Ableitungen 1. Ordnung F .r/ dr D rotF .r/ dS : und ist G das Innengebiet einer geschlossenen, Rd.A/ A stückweise glatten Fläche Rd.G/ mit nach außen orientiertem Normalenvektor, dann gilt Beispiel • — F .r/ dS D divF .r/ dV: Gegeben sind das Vektorfeld F D F .r/ D .z  y; x  z; y  x/ nach Abb. 7.21 und G Rd.G/ I

“

7

140

U. Jarecki

Weitere Integralformeln. Mit Hilfe des Satzes von Gauß lassen sich die weiteren IntegralforDer Fluss des Vektorfelds F D F .r/ D meln nachweisen: x 3 e 1 Cy 3 e 2 Cz 3 e 3 durch die Kugeloberfläche — • Rd.K/; x 2 Cy 2 Cz 2 D R2 , soll berechnet werf .r/ dS D gradf dV; den. – F hat in r die Divergenz divF .r/ D G Rd.G/ 3x 2 C 3y 2 C 3z 2 . Die Anwendung des Satzes “ — von Gauß ergibt F  dS D .F  n0 / dS • — Rd.G/ Rd.G/ F .r/ dS D 3 .x 2 C y 2 C z 2 / dV: • rotF dV: D K Rd.K/ Beispiel

V

Die Einführung von Kugelkoordinaten x D r cos #  cos ';

y D r cos #  sin ';

z D r sin #

Allgemeine Literatur

Bücher Burg; Haf; Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure. Bd. 2 mit dV D @.x;y;z/ dr d' d# D r cos #  @.r;';#/ 4: Vektoranalysis und Funktionentheorie. 2. Auflage dr d' d# führt auf das Ergebnis 1994, Teubner. —

ZR F .r/ dS D 3

Z =2 r 4 dr

cos # d#  =2

0

Rd.K/

Z2  d' 0

D .12=5/ R5 : J Greensche Formeln. Sie ergeben sich, wenn im Satz von Gauß das Vektorfeld F durch ' grad bzw. grad ' ersetzt wird. — ' grad

dS

Rd.G/

• .grad '  grad

D —

C '  / dV;

G

.' grad



grad '/ dS

Rd.G/

• .'  

D —

G

grad Rd.G/

'/ dV; •

dS D

 dV: G

Carmo, M.P.: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. 2. Auflage 1993, Vieweg. Fischer, G.: Analytische Geometrie. 6. Auflage 1992, Vieweg. Jänich, K.: Vektoranalysis. 5. Auflage 2005, Springer. Koecher, M.: Lineare Algebra und Vektoranalysis. 3. Auflage 1992, Springer. Kowalsky, H.-J.: Vektoranalysis Bd. 1: 1974. Bd. 2: 1976, de Gruyter. Walter, R.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. 2. Auflage 1993, Vieweg.

8

Differentialgleichungen Uller Jarecki

8.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 8.1.1 Grundbegriffe Eine gewöhnliche Differentialgleichung (Dgl.) n-ter Ordnung hat die Form F .x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y .n/ / D 0;

(8.1)

Umgebung des Punkts .x0 ; a1 ; a2 ; : : : ; an / 2 R.nC1/ stetig und besitzt sie dort stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung nach y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y .n1/ ; dann hat die Dgl. y .n/ D f .x; y 0 ; y 00 ; : : : ; y .n1/ ) in einer hinreichend kleinen Umgebung dieses Punkts genau eine Lösung y D g(x) mit g.x0 / D a1 ; g 0 .x0 / D a2 ; : : : ; g .n1/ .x0 / D an : Da die n Anfangswerte a1 ; a2 ; : : : ; an beliebige Konstanten (Parameter) sind, stellt die Funktion g eine (n-parametrische) Schar von Lösungen dar.

wobei y eine unbekannte Funktion einer Variablen x ist und y .n/ die höchste in F auftretende Ableitung bedeutet. Ist die Gleichung nach y .n/ auflösbar, so heißt Allgemeine Lösung. Sie lautet für die Dgl. (8.2) mit n beliebigen Konstanten C1 ; C2 ; : : : ; Cn y .n/ D f .x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y .n1/ / (8.2) y D g.x; C1 ; C2 ; : : : ; Cn /; (8.4) Normal- oder explizite Form. Eine Funktion y D g(x), welche die Dgl. identisch erfüllt, heißt wenn es für jede durch den Existenz- und Eindeupartikuläre (spezielle) Lösung, Integral oder Inte- tigkeitssatz gesicherte Anfangsbedingung Zahgralkurve der Dgl. lenwerte für die Konstanten C1 ; C2 ; : : : ; Cn gibt, Bei Anfangswert-Aufgaben oder -Problemen sodass die Funktion g diese Anfangsbedingung sind noch Anfangsbedingungen zu erfüllen, bei erfüllt. denen für einen festen Wert x0 die Werte der Funktion y nebst ihren Ableitungen bis zur Partikuläre Lösung. Ist y D g.x; C1 ; C2 ; : : : ; (n  1)-ten Ordnung vorgegeben sind. Cn / eine allgemeine Lösung der Dgl. (8.2), so kann hieraus eine partikuläre Lösung gey.x0 / D a1 ; y 0 .x0 / D a2 ; wonnen werden, welche die Anfangsbedingung (8.3) 00 .n1/ (8.3) erfüllt. Hierzu folgen die Konstanten .x0 / D an : y .x0 / D a3 ; : : : ; y C1 ; C2 ; : : : ; Cn aus dem Gleichungssystem Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. Ist die Funktion f .x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y .n1/ / in einer g.x0 ; C1 ; C2 ; : : : ; Cn / D a1 ; g 0 .x ; C ; C ; : : : ; C / D a ; . . . . . 0. . . .1. . . 2. . . . . . . .n. . . . . .2. . . . . . U. Jarecki () g .n1/ .x0 ; C1 ; C1 ; : : : ; Cn / D an : Berlin, Deutschland © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_8

141

142

8.1.2 Differentialgleichung 1. Ordnung Normalform y 0 D f .x; y/

U. Jarecki

Homogene oder gleichgradige Dgl. y 0 D g.y=x/:

(8.6)

Geometrische Deutung. Durch y 0 D f .x; y/ wird jedem Punkt (x, y) von f eine Steigung m D y 0 D f .x; y/ zugeordnet, die durch eine kurze Strecke, das Richtungselement, gekennzeichnet wird. Ihre Gesamtheit heißt Richtungsfeld.

Eine Dgl. y 0 D f .x; y/ heißt homogen, wenn f (x, y) eine homogene Funktion 0-ten Grads ist, d. h., wenn f (tx, ty) D f (x, y) ist. f (x, y) lässt sich dann in der Form g(y=x) darstellen. Zur Lösung von Gl. (8.6) wird die neue Funktion z(x) gemäß z(x) D y(x)=x eingeführt. Mit y 0 D z C xz 0 erIntegralkurven. Sie bilden Lösungen der Dgl., gibt sich dann eine Dgl. mit getrennten Variablen, 0 wenn sie auf das Richtungsfeld passen. Sind in z D Œg.z/  z=x; wie Dgl. (8.5). einem gewissen Gebiet G die Voraussetzungen nach Abschn. 8.1.1 erfüllt, dann verläuft durch Beispiel jeden Punkt dieses Gebiets genau eine Integraly 0 D .y  x/=x D .y=x/  1 D g.y=x/: – kurve. Die Substitution y D xz mit y 0 D xz 0 C z führt auf xz 0 C z D z  1 oder z 0 D 1=x, deren Isoklinenschar. Wird y 0 durch einen Konstante Integration die Lösung z D y=x D  ln jxj C C ersetzt, so stellt C D f (x, y) eine einparameC oder y D x. ln jxj C C / ergibt. J trische Kurvenschar dar, in deren Punkten die Richtungselemente gleichgerichtet sind .y 0 D Lineare Differentialgleichung C /: (8.7) y 0 C p.x/y D q.x/: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen y 0 D f .x/g.y/ (8.5) Die Funktionen p und q seien in einem Intervall (a, b) stetig. Für q(x)  0 heißt die Dgl. linef und g seien stetig für x 2 (a, b) und y 2 (c, d). Ist ar homogen, sonst linear inhomogen. Ist yH .x/ g(y) ¤ 0 für y 2 (c, d), dann folgt durch Trennen die allgemeine Lösung der homogenen und yP .x/ der Variablen dy=g.y/ D f .x/ dx: Quadratur eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl., dann ist die allgemeine Lösung der inhomogenen liefert R eine LösungRmit der beliebigen Konstanten C W dy=g.y/ D f .x/ dx C C: Ist g.y0 / D 0 Dgl. für ein y0 2 .c; d /, dann ist außerdem noch y.x/ D yH .x/ C yP .x/: y D y0 eine partikuläre Lösung. Die allgemeine Lösung der homogenen Dgl. y 0 C p.x/y D 0 kann durch Trennen der Variablen Beispiel bestimmt werden. Sie lautet 0 2 2 y D y I f (x)  1 und g.y/ D y ; .x; y/ 2  Z  2 y R¤ 0 folgt, wenn C beliebig ist, RR : – Für y .x/ D C exp  p.x/ dx : H dy=y 2 D dx C C; also ist 1/y D x C C oder y D 1/(x C C). Wegen g.y/ D y 2 D 0 für y D 0 gibt es noch die partikuläre Lösung Variation der Konstanten. Sie dient day  0. Durch jeden Punkt (x, y) der Ebene zu, eine partikuläre Lösung der inhomogenen Hier wird yP .x/ D geht genau eine Integralkurve. Mit der An- Dgl. zu gewinnen. R fangsbedingung y(1) D 1 ergibt sich C D 0 C.x/ exp. p.x/ dx/ in die inhomogene Dgl. aus 1 D 1=(1 C C), und die Integralkurve eingesetzt und die unbekannte Funktion C(x) so durch (1, 1) hat die Gleichung y D 1=x. J bestimmt, dass yP .x/ eine ihrer Lösungen ist.

8 Differentialgleichungen

143

Dann ist Z

Z



C.x/ D

q.x/ exp p.x/ dx dx und  Z  yP .x/ D exp  p.x/ dx Z  Z  q.x/ exp p.x/ dx dx:

Gleichung durch y n ergibt y n y 0 C P .x/y 1n D Q.x/: Die Substitution z.x/ D y 1n .x/ führt auf eine lineare Dgl. für z, z 0 C p.x/z D q.x/ mit p(x) D (1  n)P(x) und q(x) D (1  n)Q(x), die wie Dgl. (8.7) behandelt wird.

Riccatische Differentialgleichung y 0 C p.x/y C q.x/y 2 C r.x/ D 0:

(8.9)

Ihre Integration lässt sich allgemein nicht mit Allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl. y 0 C Quadraturen durchführen. Ist jedoch eine partip.x/y D q.x/: Sie lautet kuläre Lösung yP D u.x/ bekannt, führt die Substitution y(x) D u(x) C 1=z(x) auf die lineare y.x/ D yH .x/ C yP .x/ Dgl. z 0  Œp.x/ C 2u.x/q.x/z D q.x/ für z, die  Z  wie Dgl. (8.7) integriert wird. D exp  p.x/ dx

Z   Z Exakte Differentialgleichung  C C q.x/ exp p.x/ dx dx ; Jede Dgl. 1. Ordnung in der Normalform y 0 D f .x; y/ lässt sich als Gleichung mit Differentiawobei C eine beliebige Konstante ist. len dy D f .x; y/ dx oder allgemeiner schreiben. P .x; y/ dx C Q.x; y/ dy D 0:

Beispiel

y 0  2xy D x: – Allgemeine Lösung der homogenen Dgl. y 0  2xy D 0 ist yH .x/ D C exp.x 2 / mit C 2 R. Mit dem Ansatz zur partikulären Lösung, yP .x/ D C.x/ exp.x 2 /; folgt nach Einsetzen in die inhomogene Dgl. (8.7)

0

C .x/ D x exp.x /; 2

oder

Z

sodass

C.x/ D .1=2/ exp.x / und 2

yP .x/ D .1=2/ exp.x / exp.x / D 1=2: 2

Integrabilitätsbedingung. Die Dgl. (8.10) heißt exakt oder total, wenn ihre linke Seite das vollständige Differential einer Funktion F(x, y) ist, wenn also die Integrabilitätsbedingung @P(x, y)=@y D @Q(x, y)=@x gilt Allgemeine Lösung. Sie ist dann F(x, y) D C, wobei @F(x, y)=@ x D P(x, y) und @F(x, y)=@y D Q(x, y), oder ausführlicher

C 0 .x/ exp.x 2 / C 2xC.x/ exp.x 2 /  2xC.x/ exp.x 2 / D x

(8.10)

2

P .x; y/ dx  Z  Z @P .x; y/ dx dy D C Q.x; y/  C @y

die allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl. lautet damit oder Z y.x/ D yH .x/ C yP .x/ D C exp.x 2 /  1=2;

C 2 R: J

Bernoullische Differentialgleichung y 0 C P .x/y D Q.x/y n :

Q.x; y/ dy  Z  Z @Q.x; y/ dy dx D C: C P .x; y/  @x

(8.8)

Sie ist eine Verallgemeinerung einer linearen Dgl., da sie für n D 0 oder n D 1 linear wird. Es sei daher n ¤ 0; 1. Division beider Seiten der

Beispiel

4xy dx C .2x 2  3y 2 / dy D 0: – Es ist P .x; y/ D 4xy; Q.x; y/ D 2x 2  3y 2 ;

8

144

U. Jarecki

@P=@y D @Q=@x D 4x, d. h., die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt. Aus @F=@x D P(x, y) D 4xy folgt F .x; y/ D 2x 2 y C f .y/: Wegen @ F=@y D Q(x, y) gilt 2x 2 Cf 0 .y/ D 2x 2  3y 2 oder f 0 .y/ D 3y 2 , woraus f .y/ D y 3 C C1 folgt, sodass die allgemeine Lösung F .x; y/ D 2x 2 y  y 3 D C lautet. J Integrierender Faktor. Ist @P=@y ¤ @ Q=@x, so gibt es unter gewissen, sehr allgemeinen Voraussetzungen eine Funktion .x; y/, den integrierenden Faktor, sodass die Dgl. .x; y/P .x; y/ dx C.x; y/Q.x; y/ dy D 0 exakt ist. Einfache Sonderfälle sind:

Ist

ist

@P @y



@Q @x

D p.x/; so ist Z  .x/ D exp p.x/ dx I Q

@Q @x



Die implizite Dgl. F .x; y; y 0 / D y 0 2 2xy 0 D 0 besitzt die beiden Wurzeln y 0 D 0 und y 0 D 2x, also die beiden einparametrigen Kurvenscharen y D C1 und y D x 2 C C2 als Lösung. Durch jeden Punkte der Ebene verlaufen genau zwei Integralkurven. J Integration durch Differentiation. In der speziellen impliziten Form y D f .x; y 0 / wird y 0 D p gesetzt und die Dgl. nach x differenziert. Es ist dann y D f (x, p) und p D @f .x; p/=@x C Œ@f .x; p/=@pp 0 : Die letzte Gleichung lässt sich als explizite Dgl. für die Funktion p(x) darstellen. Hat sie die allgemeine Lösung p D g(x, C), dann ist y D f (x, g(x, C)) eine allgemeine Lösung von y D f .x; y 0 /: Beispiel

@P @y

D q.y/; so ist P Z  .y/ D exp q.y/ dy :

Beispiel

Die lineare Dgl. y 0  2xy D x (s. Beispiel unter lineare Dgl.) lässt sich auch schreiben .2xy  x/ dx C dy D 0 mit P(x, y) D 2xy  x und Q(x, y) D 1. – Wegen @P=@y D 2x und @Q=@x D 0 ist sie nicht exakt. DaR .Py  Qx /=Q D 2x; ist .x/ D exp. 2x dx/ D exp.x 2 / ein integrierender Faktor und die Dgl. .2xy  x/  exp.x 2 / dx C exp.x 2 / dy D 0 exakt. J Implizite Differentialgleichung F .x; y; y 0 / D 0

Beispiel

(8.11)

Besitzt sie in einem ebenen Gebiet m verschiedene reelle Wurzeln y 0 D fi .x; y/; i D 1; 2; : : : ; m; so stellt jede eine explizite Dgl. der bereits behandelten Art dar; ihre Lösung besteht i. Allg. aus m verschiedenen einparametrischen Kurvenscharen.

Clairautsche Dgl. y D xy 0 C h.y 0 /: – y 0 D p gesetzt und Differentiation liefern y D xp C h(p) und p D p C xp 0 C h0 .p/p 0 : Für die funktion p gilt p 0 Œx C h0 .p/ D 0: Aus p 0 D 0 folgt p(x) D C. Somit ist die allgemeine Lösung y D Cx C h(C). Sie stellt geometrisch eine einparametrische Geradenschar dar. J Singuläre Lösungen. Explizite Dgl. y 0 D f .x; y/: Singulär heißt eine Integralkurve v D g.x/ der Dgl. y 0 D f .x; y/; wenn durch jeden ihrer Punkte (x, g(x)) noch eine andere Integralkurve der Dgl. verläuft. In keinem Punkt einer singulären Lösung sind also die Bedingungen für die Eindeutigkeit erfüllt. Singuläre Lösungen müssen daher aus solchen Punkten der Ebene bestehen, in denen die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes nicht erfüllt sind. Beispiel

p 2 D f .x; y/: – Die Funktion y 0 D 3 yp f .x; y/ D 3 y 2 ist für alle Punkte (x, y) der Ebene erklärt und dort stetig. Ihre partielle Ableitung fy .x; y/ dagegen existiert nur für alle Punkte (x, y), für die y ¤ 0, und ist dort unbeschränkt. Eine allgemeine Lösung ist die

8 Differentialgleichungen

145

einparametrische Schar von kubischen Para- 8.1.3 Differentialgleichungen n-ter beln y D .x=3CC /3 : Außerdem ist y D 0 eine Ordnung partikuläre Lösung. Sie ist singulär, da durch jeden Punkt auf der x-Achse zwei Integralkur- Spezielle Differentialgleichungen n-ter Ordnung ven der Dgl. verlaufen. J y .n/ D f .x/: (8.12) 0 Implizite Dgl. F .x; y; y / D 0: Falls eine sinSie wird durch wiederholte Quadraturen gelöst. guläre Lösung existiert, so ergibt sie sich durch Für das Anfangswertproblem mit Elimination p D y 0 aus F(x, y, p) D 0 und @F(x, y, p)=@ p D 0 oder, wenn G(x, y, C) D 0 eine ally.x0 / D y 0 .x0 / D y 00 .x0 / D : : : D y .n1/ .x0 / gemeine Lösung der Dgl. ist, durch Elimination D0 von C aus G(x, y, C) D 0 und @G(x, y, C)=@C D 0. Geometrisch bedeutet die singuläre Lösung die gilt nach Cauchy Enveloppe (Einhüllende) einer Schar von Integralkurven. Zx y.x/ D .1=.n  1/Š/ .x  t/n1 f .t/ dt: Beispiel

x0 0

02

F .x; y; y / D y  y D 0: – Eliminati- Addition des Polynoms on von p aus den Gleichungen F .x; y; p/ D p 2 y D 0 und @F(x, y, p)=@p D 2p D 0 liefert y 00 Pn1 .x/ D y0 C y00 .x  x0 / C 0 .x  x0 /2 y D 0, eine singuläre Lösung. Die allgemei2Š .n1/ ne Lösung lautet y D .x=2 C C /2 ; die eine y0 C :::C .x  x0 /n1 einparametrische Schar von Parabeln darstellt, .n  1/Š deren Scheitelpunkte auf der x-Achse liegen. Die x-Achse ist Enveloppe dieser Schar. J auf der rechten Seite der Formel von Cauchy liefert die Lösung mit den allgemeinen AnfangsOrthogonale Trajektorien. F(x, y, C) D 0 sei bedingungen eine einparametrische Kurvenschar und y 0 D y.x0 / D y0 ; y 0 .x0 / D y00 ; f .x; y/ ihre Dgl. Dann heißen die Kurven der .n1/ Schar G(x, y, B) D 0 mit dem Parameter B, die : y 00 .x0 / D y000 ; : : : ; y .n1/ .x0 / D y0 Lösungen der Dgl. y 0 D 1=f .x; y/ sind, ortho.n/ .n1/ / D 0: F .x; y ; y gonale Trajektorien der Schar F(x, y, C) D 0, da (8.13) die Kurven der beiden Scharen einander unter ei.n/ .n/ auflösbar. y D Die Gleichung sei nach y nem rechten Winkel schneiden. .n1/ .n1/ /: Die Substitution z D y führt f .x; y auf z 0 D f .x; z/: Ist z D g.x; C1 / ihre allBeispiel gemeine Lösung, so lässt sich hieraus y durch Durch die Gleichung y D C x 2 mit dem wiederholte Quadraturen bestimmen. Parameter C wird eine Schar von Parabeln beschrieben, deren Scheitelpunkte im Ursprung (8.14) F .y (n2/ ; y .n/ / D 0: des Koordinatensystems liegen. – Durch Elimination des Parameters C aus den beiden Die Dgl. sei nach y .n/ auflösbar; y .n/ D Gleichungen y D C x 2 und y 0 D 2C x er- f .y (n2/ /: Durch die Substitution z D y (n2/ gibt sich die Dgl. der Schar y D C x 2 zu wird sie auf eine Dgl. 2. Ordnung für z zuy 0 D 2y=x: Die Dgl. der orthogonalen Tra- rückgeführt: z 00 D f .z/: Multiplikation dieser jektorien lautet dann y 0 D x=.2y/ mit der Gleichung mit dz D z 0 dx führt auf z 00 z 0 dx D allgemeinen Lösung y 2 C .x 2 =2/ D B; die f .z/z 0 dx oder z 0 dz 0 D f .z/ dz: Integraeine Schar von Ellipsen darstellt. J tion ergibt die Dgl. 1. Ordnung für z, z 0 2 D

8

146

U. Jarecki

R 2 f .z/ dz C C1 / D g.z/ C C1 ; aus der dann Wronski-Determinante. Sie ist für k Funktioz D y (n2/ als Funktion von x mit zwei beliebi- nen f1 ; f2 ; : : : ; fk definiert durch gen Konstanten C1 und C2 bestimmt wird. W .x/ D W .f1 ; f2 ; : : : ; fk /.x/ ˇ ˇ ˇ f1 .x/ f2 .x/ : : : fk .x/ ˇˇ ˇ 8.1.4 Lineare Differentialgleichungen ˇ ˇ f20 .x/ : : : fk0 .x/ ˇ ˇ f 0 .x/ Dˇ 1 ˇ ˇ. .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. .ˇ Grundbegriffe ˇ .k1/ ˇ .k1/ .k1/ ˇf .x/ f2 .x/ : : : fk .x/ˇ 1 Linearer Differentialausdruck. Er hat für die (8.17) Ordnung n die Form Sind die auf (a, b) definierten Funktionen f1 ; f2 ; : : : ; fk linear abhängig und besitzen sie LŒy D y .n/ C pn1 .x/y .n1/ C pn2 .x/y (n2/ dort stetige Ableitungen bis zur Ordnung (k  1), C : : : C p1 .x/y 0 C p0 .x/y: dann ist W(x) D 0 für alle x 2 (a, b). L heißt dabei linearer Differentialoperator und hat die Eigenschaften der Additivität und Homogeni- Homogene lineare Differentialgleichung Sie wird im folgenden kurz mit L[y] D 0 betät. zeichnet. Sind y1 .x/; y2 .x/; : : : ; yk .x/ LösunLŒy1 C y2  D LŒy1  C LŒy2 I gen von L[y] D 0, dann ist es auch ihre LiLŒ˛y D ˛LŒy; ˛ 2 R: (8.15) nearkombination C1 y1 .x/ C C2 y2 .x/ C : : : C Ck yk .x/: Zu jeder homogenen linearen Dgl. Eine lineare Differentialgleichung hat die Form n-ter Ordnung gibt es ein Fundamentalsystem .n/ .n1/ von n linear unabhängigen Lösungen. Bilden LŒy D y C pn1 .x/y y1 .x/; y2 .x/; : : : ; yn .x/ ein Fundamentalsystem, C pn2 .x/y (n2/ C : : : C p0 .x/y dann ist W .y1 ; y2 ; : : : ; yn /.x/ ¤ 0; und die allD f .x/: gemeine Lösung der Dgl. L[y] D 0 lautet y.x/ D (8.16) C1 y1 .x/CC2 y2 .x/C: : :CCn yn .x/ mit den willIst die Störungsfunktion f (x)  0, so heißt sie ho- kürlichen Konstanten C1 ; C2 ; : : : ; Cn : mogen, sonst inhomogen. Sind die Funktionen p0 ; p1 ; : : : ; pn1 und f auf (a, b)  R stetig, dann Beispiel gibt es zu jedem x0 2 .a; b/ und für n beliebige x 1 Zahlen a1 ; a2 ; : : : ; an genau eine Lösung y D y(x) y 00  x1 y 0 C x1 y D 0 für x 2 (1, 1). – der Dgl., die die Anfangsbedingung erfüllt: y1 .x/ D x und y2 .x/ D exp x sind für x 2 (1, 1) partikuläre Lösungen ˇ mit derˇ Wronskiy.x0 / D a1 ; y 0 .x0 / D a2 ; y 00 .x0 / D a3 ; : : : ; ˇx exp x ˇ ˇ ˇ Determinante W .x/ D .n1/ ˇ ˇ D .x  .x0 / D an : y ˇ 1 exp x ˇ 1/ exp x ¤ 0: Sie bilden somit ein FundamenLineare Abhängigkeit. Die auf einem Intalsystem, und die allgemeine Lösung lautet tervall (a, b)  R definierten Funktionen y.x/ D C1 x C C2 exp x. J f .x/; f .x/; : : : ; f .x/ heißen linear abhän1

2

k

gig, wenn es k Zahlen ˛1 ; ˛2 ; : : : ˛k mit ˛12 C ˛22 C ˛32 C : : : C ak2 > 0 gibt, sodass ˛1 f1 .x/C˛2 f2 .x/C˛3 f3 .x/C: : :C˛k fk .x/ D 0 für alle x 2 (a, b). Anderenfalls heißen sie linear unabhängig. So sind die drei auf R definierten Funktionen f1 .x/ D 1; f2 .x/ D cos 2x; f3 .x/ D sin2 x wegen cos 2x C 2 sin2 x C .1/ D 0 mit x 2 R linear abhängig.

Inhomogene lineare Differentialgleichung Bilden die Funktionen y1 .x/; y2 .x/; : : : ; yn .x/ ein Fundamentalsystem von L[y] D 0 und ist yP .x/ eine partikuläre Lösung der inhomogenen linearen Dgl. L[y] D f (x), dann ist ihre allgemeine Lösung y.x/ D C1 y1 .x/ C C2 y2 .x/ C : : : C Cn yn .x/ C yP .x/ mit beliebigen C1 ; C2 ; : : : ; Cn :

8 Differentialgleichungen

Variation der Konstanten. Durch sie kann mit Hilfe der Fundamentallösungen y1 .x/; y2 .x/; : : : ; yn .x/ von L[y] D 0 eine partikuläre Lösung von L[y] D f (x) gewonnen werden. Hierzu werden in der allgemeinen Lösung der homogenen Dgl. L[y] D 0, yH .x/ D C1 y1 .x/CC2 y2 .x/C: : :CCn yn .x/, die Konstanten durch Funktionen C1 .x/; C2 .x/; : : : ; Cn .x/ ersetzt, die so bestimmt werden, dass yP .x/ D C1 .x/y1 .x/ C C2 .x/y2 .x/ C : : : C Cn .x/yn .x/ eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl. L[y] D f (x) ist. Dies ist dann der Fall, wenn die Funktionen C1 .x/; C2 .x/; : : : ; Cn .x/ das Gleichungssystem C10 .x/y1 .x/ C C20 .x/y2 .x/ : : : C Cn0 .x/yn .x/ D 0; D 0; C10 .x/y10 .x/ C C20 .x/y20 .x/ : : : C Cn0 .x/yn0 .x/ .................................................... .n1/ .n1/ .n1/ .x/ C C20 .x/y2 : : : C Cn0 .x/yn .x/ C10 .x/y1 D f .x/

147

Mit ihr ergibt sich die allgemeine Lösung y.x/ D yH .x/ C yP .x/ D C1 exp x C C2 exp.x/ C .2x  1/ exp x;

C1 ; C2 2 R: J

Superpositionsprinzip. Sind yP1 .x/ und yP2 .x/ partikuläre Lösungen der inhomogenen Dgln. LŒy D f1 .x/ und LŒy D f2 .x/, dann ist yP1 .x/ C yP2 .x/ eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl. LŒy D f1 .x/ C f2 .x/.

8.1.5 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Bei ihnen treten an die Stelle der Funktionen p0 .x/; p1 .x/; : : : ; pn1 .x/ aus Gl. (8.16) die Konstanten a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; an1 2 R; sodass erfüllen. Da die Determinante dieses Gleichungssystems die von Null verschiedene WronskiLŒy D y .n/ C an1 y .n1/ C an-2 y (n2/ C : : : Determinante der Fundamentallösungen ist, las0 0 sen sich hieraus C1 .x/; C2 .x/; : : : ; Cn0 .x/ und C a1 y 0 C a0 y D f .x/: (8.18) damit C1 .x/; C2 .x/; : : : ; Cn .x/ durch Quadraturen bestimmen. Beispiel

LŒy D y 00  y D 4 exp x: – Es bilden y1 .x/ D exp x und y2 .x/ D exp.x/ auf R ein Fundamentalsystem von ˇ ˇ L[y] D 0 mit ˇexp x exp.x/ˇˇ ˇ W .x/ D ˇ ˇ D 2 ¤ 0: Die ˇexp x  exp.x/ˇ allgemeine Lösung von L[y]=0 lautet daher yH .x/ D C1 exp x C C2 exp.x/. Der Ansatz yP .x/ D C1 .x/ exp x C C2 .x/ exp.x/ führt auf das Gleichungssystem

Homogene Differentialgleichung Charakteristische Gleichung und Fundamentalsystem. Durch Einsetzen von y.x/ D exp.x/ in die homogene Dgl. L[y] D 0 ergibt sich die charakteristische Gleichung zu Pn ./ D n C an1 n1 C an-2 n2 C : : : C a1  C a0 D 0:

(8.19) Die linke Seite ist ein Polynom n-ten Grads (s. Abschn. 2.3.2). Die n Zahlen 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; n C10 .x/ exp x C C20 .x/ exp.x/ D 0; mögen ein vollständiges System von Nullstellen des Polynoms Pn bzw. von Wurzeln der charakC10 .x/ exp x  C20 .x/ exp.x/ D 4 exp x: teristischen Gleichung bilden. Es sind zu unterAusihmfolgtC10 .x/ D 2, C20 .x/ D 2 exp.2x/ scheiden: undintegriertC1 .x/ D 2x, C2 .x/ D  exp.2x/. Damit lautet eine partikuläre Lösung der inho- Verschiedene Wurzeln. Alle 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; n mogenen Dgl. LŒy D 4 exp x sind voneinander verschieden. Ein Fundamentalsystem der homogenen Dgl. (8.18) besteht dann yP .x/ D C1 .x/ exp x C C2 .x/ exp.x/ aus den Funktionen y1 .x/ D exp.1 x/, y2 .x/ D exp.2 x/, : : : ; yn .x/ D exp.n x/. D .2x  1/ exp x:

8

148

U. Jarecki

Mehrfache Wurzeln. Unter den 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; n treten einige mehrfache auf. Ist i in dem vollständigen System der Wurzeln k-mal enthalten (k-fache Wurzel), so treten für diese Wurzel i im Fundamentalsystem die k Funktionen y1 .x/ D exp.i x/; y2 .x/ D x exp.i x/; : : : ; yk .x/ D x k1 exp.i x/ auf. Sind einige der Wurzeln des vollständigen Systems komplex, z. B. j D ˛ C iˇ; dann treten auch die konjugiert komplexen N j D k D ˛  iˇ mit der gleichen Vielfachheit auf. Die Funktionen

D < 0: Es existieren zwei konjugiert komplexe Wurzeln p 1 D a C i D oder p 2 D a  i D: Das Fundamentalsystem besteht aus p y1 .x/ D exp.ax/ exp.i Dx/; p y2 .x/ D exp.ax/ exp.i Dx/ oder

exp.j x/ D exp.˛ C iˇ/x exp.N j x/ D exp.˛  iˇ/x

und

können aufgrund der Euler-Formel exp.i'/ D cos ' C i sin ' durch exp.˛x/ cos.ˇx/ und exp.˛x/ sin.ˇx/ ersetzt werden, sodass das Fundamentalsystem nur reellwertige Funktionen enthält. Beispiel

p y1 .x/ D exp.ax/ cos Dx; p y2 .x/ D exp.ax/ sin Dx: Die allgemeine Lösung lautet in komplexer bzw. reeller Darstellung p  y.x/ D exp.ax/ C1 exp.i Dx/ p  C C2 exp.i Dx/ ; p  y.x/ D exp.ax/ C1 cos Dx p  C C2 sin Dx : J

LŒy D y 00 C 2ay 0 C by D 0: Charakteristische Gleichung 2 C 2a C b D 0 mit der Inhomogene Differentialgleichung Sie lautet L[y] D f (x). Ist ein Fundamentalsystem Diskriminanten D D a2  b: der homogenen Dgl. L[y] D 0 bekannt, so kann D > 0: Es existieren zwei verschiedene reelle durch Variation der Konstanten stets eine partip D a C D oder  D a  Wurzeln  kuläre Lösung von L[y] D f (x) bestimmt werden 1 2 p D: Das Fundamentalsystem besteht aus (s. Abschn. 8.1.4). p y1 .x/ D exp.ax/ exp. Dx/; p y2 .x/ D exp.ax/ exp. Dx/: Die allgemeine Lösung ist y.x/ D exp.ax/ p p  ŒC1 exp. Dx/ C C2 exp. Dx/: D D 0. Es existiert eine doppelte reelle Wurzel 1 D 2 D a: Das Fundamentalsystem besteht aus y1 .x/ D exp.ax/, y2 .x/ D x exp.ax/. Die allgemeine Lösung ist y.x/ D exp.ax/.C1 C C2 x/.

Störfunktion. In den meisten Anwendungsfällen lautet sie  f .x/ D Pn.1/ .x/ cos bx  C Pm.2/ .x/ sin bx exp.ax/I (8.20) a und b sind reelle Zahlen, die auch Null sein .1/ .2/ können. Pn und Pm sind Polynome mit dem Grad n bzw. m, wobei auch ein Polynom identisch Null sein kann. Für diese Störfunktion f ergibt sich eine partikuläre Lösung von L[y] D f (x) einfacher durch den Ansatz  .1/ yP .x/ D x r QM .x/ cos bx  .2/ C QM .x/ sin bx exp.ax/: (8.21)

8 Differentialgleichungen .1/

149

.2/

QM und QM sind zwei Polynome mit dem Grad M D max.m; n/; und r = 0 gibt die Vielfachheit von a ˙ ib als Wurzel der charakteristischen Gl. (8.19) an. r D 0 bedeutet, dass a ˙ ib keine Wurzel ist. Die in diesem Ansatz auftretenden .1/ unbestimmten Koeffizienten der Polynome QM .2/ und QM werden nach Einsetzen von yP .x/ in die Dgl. durch Koeffizientenvergleich bestimmt. Ein Ersatz der Funktionen cos bx und sin bx in Gl. (8.20) nach der Euler-Formel mit cos bx D .1=2/Œexp.ibx/ C exp.ibx/ 1 sin bx D Œexp.ibx/  exp.ibx/ 2i

und

bringt oft Vereinfachungen der Gl. (8.21). Beispiel

LŒy D y 00 C y D x sin x: – Es gilt a D 0 und b D 1, d. h. a ˙ ib D ˙i: Aus der charakteristischen Gleichung 2 C 1 D 0 folgt  D ˙i; sodass a ˙ ib einfache Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind, also r D 1. Da außerdem M D 1 ist, lautet der Ansatz für eine partikuläre Lösung yP .x/ D x .A0 C A1 x/ cos x

C .B0 C B1 x/ sin x :

Einsetzen von yP .x/ in die Dgl. führt auf LŒyP  D .2B0 C 2A1 / cos x C 4B1 x cos x C .2A0 C 2B1 / sin x  4A1 x sin x

Lösung der homogenen Dgl. mit wachsendem Argument gegen Null abklingen. Diese Lösung ist aber eine Summe von Funktionen der Form x r ŒP .x/ cos ˇx C Q.x/ sin ˇx exp.˛x/; wobei P und Q Polynome sind, r = 0 ganzzahlig ist und ˛ ˙ iˇ Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind. Diese Funktionen nehmen mit wachsendem Argument x genau dann gegen Null ab, wenn der Realteil der Wurzeln negativ ist. Die Wurzeln der Gleichung a0 n C a1 n1 C a2 n2 C a3 n3 C : : : C an1  C an D 0 .a0 > 0; ai 2 R/ besitzen genau dann negative Realteile, wenn die Determinanten positiv sind: ˇ ˇ ˇa a ˇ ˇ 1 0ˇ D1 D a1 ; D2 D ˇ ˇ; ˇa3 a2 ˇ ˇ ˇ ˇa1 a0 0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D3 D ˇa3 a2 a1 ˇ ; ˇ ˇ ˇa5 a4 a3 ˇ ˇ ˇ ˇa a 0 0 ˇˇ ˇ 1 0 ˇ ˇ ˇa3 a2 a1 a0 ˇ ˇ ˇ D4 D ˇ ˇ ˇa5 a4 a3 a2 ˇ ˇ ˇ ˇa7 a6 a5 a4 ˇ ˇ ˇ ˇ a1 a0 0 0 0 0 : : : 0 ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a3 a2 a1 a0 0 0 : : : 0 ˇ ˇ ˇ Dn D ˇˇ a5 a4 a3 a2 a1 a0 : : : 0 ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ .................... ˇ ˇ ˇ ˇa2n1 a2n2 a2n3 ::: an .ak D 0 für k > n/:

D x sin x: Koeffizientenvergleich ergibt 2B0 C 2A1 D 0; 4B1 D 0; 2A0 C 2B1 D 0; 4A1 D 1; sodass A0 D B1 D 0; A1 D 1=4; B0 D 1=4: Damit lautet eine partikuläre Lösung yP .x/ D .1=4/x 2 cos x C .1=4/x sin x. J

Stabilitätskriterium von Hurwitz Viele physikalischen System werden durch lineare Dgln. mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Soll das System stabil sein, so muss die

Beispiel

y 000 C 3y 00 C 4y 0 C 2y D 0: – Charakteristische Gleichung 3 C32 C4C2ˇD 0; ˇa0 D 1 > 0: ˇ3 1ˇ ˇ ˇ Es gilt D1 D 3 > 0, D2 D ˇ ˇ D 10 > 0, ˇ2 4ˇ ˇ ˇ ˇ3 1 0ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D3 D ˇ2 4 3ˇ D 20 > 0, d. h., alle Wurˇ ˇ ˇ0 0 2ˇ zeln haben negative Realteile und lauten 1 D 1 C i; 2 D 1  i; 3 D 1. J

8

150

8.1.6 Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

U. Jarecki

Allgemeine Lösung. Sie lautet mit Gl.(8.24) y.x/ D C1 y 1 .x/ C C2 y 2 .x/ C C3 y 3 .x/ C : : :

C Cn y n .x/: Solche Systeme lassen sich auf ein Normalsystem von linearen Dgln. 1. Ordnung mit konstan- Für jede Anfangsbedingung y.x0 / D b mit ten Koeffizienten zurückführen. x0 2 R und b 2 Rn können dann die Konstanten C1 ; C2 ; : : : ; Cn aus der allgemeinen Lösung y10 D a11 y1 C a12 y2 C a13 y3 C : : : C a1n yn C f1 .x/ eindeutig bestimmt werden. Zur Ermittlung eiy20 D a21 y1 C a22 y2 C a23 y3 C : : : C a2n yn C f2 .x/ nes Fundamentalsystems wird y.x/ D c exp.x/ ::: 0 1 c1 0 yn D an1 y1 C an2 y2 C an3 y3 C : : : C ann yn C fn .x/ B C Bc2 C aik 2 R .i; k D 1; 2; 3; : : : ; n/ C mit c D B B :: C angesetzt, wobei c1 ; c2 ; : : : ; cn 0 oder y D Ay C f .x/: @:A (8.22) cn Die Dgl. für die Vektorfunktion y heißt homogen, und  unbestimmte Konstanten sind. Einsetzen in wenn f .x/  0, sonst inhomogen. Gl.(8.23) führt auf die Vektorgleichung Ac D c oder .A  E /c D 0 mit E als Einheitsmatrix. Homogene Differentialgleichung Sie stellt ein lineares homogenes GleichungsSie lautet system mit n Gleichungen und n Unbekannten (8.23) y 0 D Ay: c1 ; c2 ; : : : ; cn dar und hat nur dann vom Nullvektor verschiedene Lösungsvektoren c, wenn die Fundamentalsystem. Bilden die VektorfunktioDeterminante der Matrix A  E Null ist (s. nen Gl.(8.25)). 1 1 0 0 y11 .x/ y12 .x/ Charakteristische Gleichung. Für die Dgl. C C B B By21 .x/C By22 .x/C y 0 D Ay bzw. die Matrix A lautet sie C C B B y 1 .x/ D B : C ; y 2 .x/ D B : C ; : : @ : A @ : A Det.A  E / D jA  E j yn1 .x/ yn2 .x/ ˇ ˇ 1 0 ˇa11   a12 a13 a14 : : : a1n ˇˇ ˇ y1n .x/ ˇ ˇ C B a22   a23 a24 : : : a2n ˇ ˇ a21 By2n .x/C ˇ ˇ Dˇ C ˇ : : : ; y n .x/ D B ....................... B :: C ˇ ˇ @ : A ˇ ˇ ˇ an1 an2 an3 an4 : : : ann  ˇ ynn .x/ (8.24) D 0: (8.25) ein System von n Lösungen der Dgl. (8.23) und Sie ist eine algebraische Gleichung n-ten Grads ist für alle x 2 R die Determinante in . Bilden 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; n ein vollständiges W .x/ D D.y 1 .x/; y 2 .x/; : : : ; y n .x// System von Wurzeln dieser Gleichung, so sind ˇ ˇ ˇy11 .x/ y12 .x/ y13 .x/ : : : y1n .x/ ˇ zwei Fälle zu unterscheiden: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇy21 .x/ y22 .x/ y23 .x/ : : : y2n .x/ˇ ˇ ¤ 0; Verschiedene Wurzeln. 1 ; 2 ; : : : ; n unterD ˇˇ ˇ .................... ˇ ˇ scheiden sich voneinander. Für jedes i .i D ˇ ˇ ˇyn1 .x/ yn2 .x/ yn3 .x/ : : : ynn .x/ˇ 1; 2; 3; : : : ; n/ liefert die Gleichung .A  i E /c D 0 einen Lösungsvektor c i . Die Lödann heißt dieses System ein Fundamentalsystem sungsvektoren c 1 ; c 2 ; : : : ; c n sind voneinander linear unabhängig, und die Vektorfunktionen von Lösungen.

8 Differentialgleichungen

151

y 1 .x/ D c 1 exp.1 x/; y 2 .x/ D c 2 exp.2 x/; : : :, y n .x/ D c n exp.n x/ bilden ein Fundamentalsystem, sodass die allgemeine Lösung y.x/ D C1 c 1 exp.1 x/ C C2 c 2 exp.2 x/ C : : : C Cn c n exp.n x/ lautet. Tritt in dem vollständigen System der Wurzeln eine komplexe Wurzel auf, z. B. 1 D ˛ C iˇ, dann ist in dem System auch die konjugiert komplexe Wurzel, z. B. 2 D 1 D ˛  iˇ, enthalten. Mit y 1 D c 1 exp.1 x/ ist dann auch die konjugiert komplexe Vektorfunktion y 1 .x/ D y 2 .x/ eine Lösung bezüglich der Wurzel ˛  iˇ. Diese beiden komplexen Lösungen können durch die beiden reellen Lösungsvektoren y 1 .x/ C y 2 .x/ 2 y 1 .x/  y 2 .x/ Im.y 1 .x// D 2i Re.y 1 .x// D

und

Beispiel

D y1 C y2, y20 D  Ay mit A D 21 11 .

0

2y1  y2 oder y D – Die charakteristische ˇ ˇ 1 ˇ Gleichung lautet jA  E j D ˇ 1 2 1 D 2 C 1 und hat die Wurzeln 1, 2 D ˙i. Die Vektoren c ergeben sich aus .A  iE /c D 0 bzw. .A C iE /c D 0 oder ausführlicher c2 D 0; .1  i/c1 C 2c1 C .1  i/c2 D 0;

yQ 1 .x/ D Re.y 1 .x// ! ! 1 0 D cos x  sin x 1 1 ! cos x D ;  cos x  sin x yQ 2 .x/ D Im.y 1 .x// ! ! 0 1 cos x sin x C D 1 1 ! sin x D :  sin x C cos x Für die Determinante aus beiden Lösungen gilt

ersetzt werden, die dem Real- und Imaginärteil von y 1 .x/ entsprechen.

y10

y 2 .x/ kann auch direkt aus y 1 .x/ durch Ersetzen von i durch i gewonnen werden. Aus den beiden Lösungen lassen sich die beiden reellen Darstellungen herleiten.

bzw.

.1 C i/c1 C c2 D 0; 2c1 C .1 C i/c2 D 0: Bei beiden Gleichungssystemen folgt jeweils eine Gleichung aus der anderen, sodass eine der Größen c1 und c2 beliebig wählbar sich dann c 1 D ist.  c1 D 1 ergeben   1 Mit 1 D und c und damit y 1 .x/ D 2 1i 1Ci  1   1 .x/ D exp.ix/ und y 2 1Ci 1i exp.ix/. Die Lösungsvektoren y 1 .x/ und y 2 .x/ bilden ein Fundamentalsystem. Die Lösung

Det.yQ1 .x/; yQ2 .x// ˇ ˇ cos x ˇ Dˇ ˇ cos x  sin x

ˇ ˇ sin x ˇ ˇ D 1:  sin x C cos x ˇ

Die allgemeine Lösung der Dgl. lautet ! cos x y.x/ D C1  cos x  sin x ! sin x C C2 : J  sin x C cos x

Mehrfache Wurzeln. Die Wurzel i tritt r-mal auf. Die Lösungen, die der r-fachen Wurzel i im Fundamentalsystem entsprechen, folgen aus dem Ansatz y.x/ D .c 0 C c 1 x C c 2 x 2 C : : : C c r-1 x r1 /  exp.i x/; wobei c 0 ; c 1 ; : : : ; c r-1 unbestimmte Vektoren sind. Wird die Funktion y.x/ in Dgl. (8.23) eingesetzt, so ergibt sich ein algebraisches System von linearen Gleichungen für die Vektorkoordinaten, von denen r entsprechend der Vielfachheit der Wurzel i beliebig wählbar sind.

8

152

U. Jarecki

Beispiel

y10 D y2 , y20 D y3 , y30 D y2 C 2y3 0 1 0 1 0 B C oder y 0 D @0 0 1A y: – Die charak0 1 2 teristische Gleichung lautet ˇ ˇ jA  E j D ˇ ˇ 1 0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0  1 ˇ D .1/2 D 0 ˇ ˇ ˇ 0 1 2  ˇ und hat das vollständige System der Wurzeln 1 D 0; 2, 3 D 1 mit 1 als Doppelwurzel. Der einfachen Wurzel 0 entspricht der Lö0 1 c1 B C sungsansatz y 1 .x/ D c D @c2 A mit der Gleic3 0 1 10 1 0 0 1 0 c1 B C B CB C chung Ac D @0 0 1A @c2 A D @0A : 0 c3 0 1 2 Hieraus folgt c2 D 0; c3 D 0/ und c1 beliebig, 0 1 0 1 1 c1 B C B C sodass c D @ 0 A D c1 @0A mit beliebigem 0

0 0 c1 . Für c1 D 1 ergibt sich damit die partikuläre 0 1 1 B C Lösung y 1 .x/ D @0A : 0 Für die Doppelwurzel wird der Ansatz gemacht y.x/ D .a C bx/ exp x 0 1 a 1 C b1 x B C D @a2 C b2 x A exp x: a 3 C b3 x Einsetzen in die Dgl. führt auf die Gleichung 0 1 0 1 a 1 C b1 x b1 B C B C @b2 A exp x C @a2 C b2 x A exp x a 3 C b3 x b3 1 0 10 0 1 0 a 1 C b1 x C B CB D @0 0 1A @a2 C b2 x A exp x 0 1 2

a 3 C b3 x

oder 0

1 0 1 a 1 C b1 b1 B C B C exp x C a C b @ 2 @b2 A x exp x 2A a 3 C b3 b3 1 0 a2 C B D@ a3 A exp x a2 C 2a3 1 0 b2 C B C@ b3 A x exp x: b2 C 2b3

Koeffizientenvergleich führt auf das algebraische lineare Gleichungssystem mit sechs Gleichungen und sechs Unbestimmten. a 1 C b1 D a 2 ;

a 2 C b2 D a 3 ;

a3 C b3 D a2 C 2a3 ; b1 D b2 ;

b2 D b3 ;

b3 D b2 C 2b3 :

Aus den letzten drei Gleichungen folgt b1 D b ; b D b2 mit beliebigem b2 , sodass b D 0 1 02 13 1 b2 B C B C @b2 A D b2 @1A mit beliebigem b2 . 1 b2 Die übrigen drei Gleichungen lauten damit a1  a2 C b2 D 0; a2  a3 C b2 D 0; a2  a3 C b2 D 0, woraus sich ergibt a1 D a2  b2 ; a3 D a2 C b2 mit beliebigen a2 ; b2 , sodass 1 0 1 0 a 2  b2 a1 C B C B a D @a 2 A D @ a 2 A a3 a 2 C b2 0 1 0 1 1 1 B C B C D a 2 @1 A C b2 @ 0 A : 1 1 Damit ergibt sich für y.x/ die Darstellung y.x/ D .a C bx/ exp x 0 1 0 1 1 1Cx B C B C D a2 @1A exp x C b2 @ x A exp x: 1

1Cx

8 Differentialgleichungen

153

! 1 y 1 .x/ D exp x und 1 ! 1 exp.x/ y 2 .x/ D 1

Die Fundamentallösungen zur Doppelwurzel 1 lauten damit 0 1 1 B C y 2 .x/ D @1A exp x; 0

1

1 1Cx B C y 3 .x/ D @ x A exp x: 1Cx

bilden ein Fundamentalsystem von Lösungen der homogenen Dgl. Die Funktionen C1 .x/ und C2 .x/ bestimmen sich aus der Gleichung

Zusammen mit y 1 .x/ bilden sie ein Fundamentalsystem, und die allgemeine Lösung der Dgl. ist 0 1 0 1 1 1 B C B C y.x/ D C1 @0A C C2 @1A exp x 0 1 0 1 1Cx B C C C3 @ x A exp x: J 1Cx

Inhomogene Differentialgleichung Sie lautet y 0 D Ay C f .x/:

C10 .x/ exp x C C20 .x/ exp.x/ D 2 und C10 .x/ exp x  C20 .x/ exp.x/ D 2 exp x: Hieraus folgen

8

C10 .x/ D exp.x/ C 1; C20 .x/ D exp x  exp 2x; C1 .x/ D x  exp.x/; C2 .x/ D exp x  .1=2/ exp 2x:

(8.26)

Ist y H .x/ die allgemeine Lösung der homogenen Dgl. y 0 D Ay und y P .x/ eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl. y 0 D Ay C f .x/; dann ist y.x/ D y H .x/ C y P .x/ eine allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl. Bilden die Funktionen y 1 .x/; y 2 .x/; : : : ; y n .x/ ein Fundamentalsystem von Lösungen der homogenen Dgl., so lautet y P .x/ D C1 .x/y 1 .x/ C C2 .x/y 2 .x/C: : :CCn y n .x/; wobei die Funktionen C1 .x/; C2 .x/; : : : ; Cn .x/ gemäß der Variation der Konstanten durch die Gleichung C10 .x/y 1 .x/ C C20 .x/y 2 .x/ C C30 .x/y 3 .x/ C : : : C Cn0 .x/y n .x/ D f .x/

! ! 1 1 0 exp x C C2 .x/ exp.x/ 1 1 ! 2 D oder 2 exp x

C10 .x/

Damit lautet eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl. 1 y P .x/ D Œx  exp.x/ exp x 1

!

! 1 1 C Œexp x  exp 2x exp.x/ 2 1 ! x exp x  12 exp x D : J x exp x C 12 exp x  2

8.1.7 Randwertaufgabe

Sie besteht darin, Lösungen y(x) für eine Dgl. der Ordnung n zu bestimmen, die mit ihren Ableiten (i / .x/; 1 5 i 5 n  1, in zwei Randstellen x D a y Beispiel und x D b oder auch mehr, n voneinander un0 y10 D y!2 C 2, y20 D y! 1 C 2 exp x oder y D abhängige Randbedingungen erfüllen. Sie kann 2 0 1 keine oder genau eine Lösung oder mehrere (so.– yC 2 exp x 1 0 gar unendlich viele) Lösungen haben.

bestimmt sind.

154

U. Jarecki

Beispiel

Die Dgl. y 00 C y D 0 hat für die Randbedingungen  y(0) D 0 und y. / D 1 keine Lösung,  y(0) D 0 und y. =2/ D 1 genau eine Lösung y.x/ D sin x;  y(0) D 0 und y. / D 0 unendliche viele Lösungen y D C sin x. J Lineare Randwertaufgabe. Bei ihr sind die Dgl. sowie die Randbedingungen linear in y und deren Ableitungen. Eine besonders häufige Aufgabe für eine Dgl. 2. Ordnung lautet LŒy D y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D f .x/ mit den Randbedingungen R1 Œy.a/ D a1 y.a/ C a2 y 0 .a/ D A, R2 Œy.b/ D b1 y.b/ C b2 y 0 .b/ D B, wobei p, q und f stetige Funktionen auf [a, b] und a1 ; a2 ; b1 ; b2 ; A; B Konstanten sind. Die Randwertaufgabe heißt homogen, falls A D B D 0 und f (x) D 0, sonst inhomogen. Die Funktionen y1 .x/ und y2 .x/ sollen ein Fundamentalsystem von Lösungen der homogenen Dgl. L[y] D 0 bilden, deren allgemeine Lösung yH .x/ D C1 y1 .x/ C C2 y2 .x/ ist, wobei C1 ; C2 beliebige Konstanten sind.

Homogene Randwertaufgabe LŒy D 0; R1 Œy.a/ D R2 Œy.b/ D 0: Einsetzen der allgemeinen Lösung yH .x/ D C1 y1 .x/ C C2 y2 .x/

Randwertaufgabe ist. Nichttriviale Lösungen gibt es genau dann, wenn D D 0 ist. Beispiel

LŒy D y 00 C y D 0; R1 Œy.0/ D y.0/ D 0; R2 Œy. / D y. / D 0: – Die Funktionen y1 .x/ D cos x und y2 .x/ D sin x bilden ein Fundamentalsystem, sodass die allgemeine Lösung y.x/ D C1 cos x C C2 sin x lautet. Einsetzen in die Randbedingungen R1 und R2 führt auf die Gleichungen R1 Œy.0/ D y.0/ D C1  1 C C2  0 D 0; R2 Œy. / D y. / D C1 .1/ C C2  0 D 0; woraus C1 D 0 folgt, sodass y.x/ D C2 sin x für beliebiges C2 eine Lösung ist. J Inhomogene Randwertaufgabe. L[y] D f (x), R1 Œy.a/ D A; R2 Œy.b/ D B: Es sei yP .x/ eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl. L[y] D f (x), sodass deren allgemeine Lösung y.x/ D C1 y1 .x/CC2 y2 .x/CyP .x/ für beliebige C1 ; C2 ist. Einsetzen von y(x) in die Randbedingungen führt auf das Gleichungssystem C1 R1 Œy1 .a/ C C2 R1 Œy2 .a/ D A  yP .a/; C1 R2 Œy1 .b/ C C2 R2 Œy2 .b/ D B  yP .b/ mit der Systemdeterminante ˇ ˇ ˇR Œy .a/ R Œy .a/ˇ ˇ ˇ 1 1 1 2 DDˇ ˇ: ˇR2 Œy1 .b/ R2 Œy2 .b/ˇ

Ist D ¤ 0, so gibt es ein Lösungspaar .C1 ; C2 /, von L[y] D 0 in die Randbedingungen führt auf und die inhomogene Randwertaufgabe hat genau das Gleichungssystem eine Lösung. Für D D 0 existieren nur in Sonderfällen Lösungen. C1 R1 Œy1 .a/ C C2 R1 Œy2 .a/ D 0; C1 R2 Œy1 .b/ C C2 R2 Œy2 .b/ D 0 mit der Systemdeterminante ˇ ˇ ˇR Œy .a/ R Œy .a/ˇ ˇ ˇ 1 1 1 2 DDˇ ˇ: ˇR2 Œy1 .b/ R2 Œy2 .b/ˇ

8.1.8 Eigenwertaufgabe

Eine homogene Randwertaufgabe heißt Eigenwertaufgabe, wenn die Dgl. oder die Randbedingungen noch einen Parameter  enthalten. Parameterwerte, für die nichttriviale Lösungen Es hat stets die Lösungen C1 D C2 D 0, sodass existieren, heißen Eigenwerte und die entsprey(x)  0 stets eine triviale Lösung der homogenen chenden Lösungen Eigenfunktionen.

8 Differentialgleichungen

Beispiel

155

8.2

LŒy D y 00 C y D 0; R1 Œy.0/ D y.0/ D 0; 8.2.1 R2 Œy. / D y. / D 0: Fallunterscheidung:

Partielle Differentialgleichungen Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung

 p > 0. Fundamentalsystem y1 .x/ D p cos x; y2 .x/ D sin px: Allgemeine pLö- Allgemeine Form sung y.x/ D C1 cos x C C2 sin x: Sie lautet für eine Funktion u mit den beiden ArRandbedingungenpliefern y.0/ D p C1 D 0; gumenten x und y   C C sin   D 0; y. / D C1 cos 2 p woraus C2 sin   D 0 folgt. Damit die @2 u @2 u LŒu D A.x; y/ 2 C 2B.x; y/ Eigenwertaufgabe nichttriviale Lösungen bep @x @x @y sitzt, p muss C2 ¤ 0 und sin   D 0 2 u @u @ oder   D n  sein, d. h. n D n2 .n D C C.x; y/ 2 C D.x; y/ @y @x 1; 2; 3; : : :/: Sie hat also für  > 0 die Eigen2 @u werte n D n und die Eigenfunktionen C E.x; y/ C F .x; y/u @y yn .x/ D Cn sin nx. D f .x; y/: (8.27)  D 0 und damit LŒy D y 00 D 0. Fundamentalsystem y1 .x/ D 1; y2 .x/ D x: Allgemeine Sie heißt homogen, wenn f (x, y)0, sonst inhoLösung der Dgl. y.x/ D C1 C C2 x: Randbe- mogen. dingungen liefern y.0/ D C1 D 0; y. / D C1 C C2   D 0: Hieraus folgt C1 D 0 und Diskriminante. Sie lautet für Gl.(8.27) C2 D 0, d. h. es existiert nur die triviale Löˇ ˇ sung. ˇA.x; y/ B.x; y/ˇ ˇ ˇ Dˇ ˇ ˇB.x; y/ C.x; y/ˇ  < 0: Fundamentalsystem D A.x; y/C.x; y/  B 2 .x; y/: p y1 .x/ D exp. x/; p Charakteristische Dgl. So heißt die der partiely2 .x/ D exp. x/: len Dgl. (8.27) zugeordnete gewöhnliche Dgl. Allgemeine Lösung der Dgl. p y.x/ D C1 exp. x/ p C C2 exp. x/: Randbedingungen liefern y.0/ D C1 C C2 D 0; p p y. / D C1 exp.  / C C2 exp.  / D 0: Dieses Gleichungssystem hat wegen D ¤ 0 nur die Lösungen C1 D 0 und C2 D 0 d. h. für  < 0 existiert nur die triviale Lösung. Die Eigenwertaufgabe besitzt also nichttriviale Lösungen nur für  > 0. J

A.x; y/y 0 2 2B.x; y/y 0 CC.x; y/ D 0: (8.28) Sie lässt sich in zwei lineare Dgln. 1. Ordnung zerlegen und besitzt zwei einparametrische Lösungen, die Charakteristiken '.x; y/ D C1 und .x; y/ D C2 mit den Parametern C1 und C2 . Elliptischer Typus  > 0. Die Charakteristiken sind konjugiert komplex. Durch die Transformation '(x, y) D C i und (x, y) D  i wird die Dgl. (8.27) in die Normalform übergeführt @2 u @2 u @u C C a. ; / @ 2 @2 @ @u C b. ; / C c. ; /u D g. ; /: @

8

156

U. Jarecki

Parabolischer Typus  D 0. Die beiden Cha- Charakteristiken. Es sind in diesem Fall die rakteristiken stimmen überein. Durch die Trans- Geraden formation mit p B C B 2  AC yD x C C1 und

D '.x; y/ D .x; y/ und  D .x; y/; pA B  B 2 C AC und ˇ ˇ yD x C C2 : ˇ ˇ A @.'; / ˇ'x x ˇ Dˇ ˇ ¤ 0; ˇ'y y ˇ @.x; y/ Durch entsprechende Transformation der Koordiwobei  eine beliebige Funktion ist, wird die Dgl. naten kann die Dgl. in die Normalform übergeführt werden. Dabei sind die Koeffizienten a, b (8.27) in die Normalform übergeführt, und c Konstanten. Wird gemäß der Gleichung @2 u @u C a. ; / u. ; / D v. ; / exp.˛ C ˇ/ @2 @ @u C b. ; / C c. ; /u D g. ; /: die neue Funktion v eingeführt, so können nach @ Einsetzen von u in die Dgl. die Größen ˛ und Hyperbolischer Typus  < 0. Die Charak- ˇ so bestimmt werden, dass zwei Koeffizienten teristiken sind reell und verschieden. Durch die (z. B. die der partielle Ableitungen 1. Ordnung) Transformation für v verschwinden. Damit ergeben sich für eine lineare partielle Dgl. 2. Ordnung mit konstanten

D '.x; y/ und  D .x; y/ bzw. Koeffizienten in den ursprünglichen Bezeichnun D '.x; y/ C .x; y/ und gen die Normalformen  D '.x; y/  .x; y/ elliptischer Typus wird die partielle Dgl. (8.27) in die Normalform @2 u @2 u übergeführt. C 2 C au D f .x; y/I 2 @x @y @2 u @u C a. ; / hyperbolischer Typus @ @ @ @2 u @u C au D f .x; y/; C b. ; / C c. ; /u D g. ; / bzw. @x I @y @ @2 u @2 u @u @2 u @2 u  C au D f .x; y/I  2 C a. ; / @x 2 @y 2 @ 2 @ @ parabolischer Typus @u C b. ; / C c. ; /u D g. ; /: @u @2 u @ Ca D f .x; y/: 2 @x @y Gleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Normalform. Sie lautet für die lineare Dgl. 8.2.2 (8.27) mit konstanten Koeffizienten @2 u @2 u @2 u C 2B CC 2 2 @x @x @y @y @u @u CD CE C F u D f .x; y/; @y @y

A

wobei A, B, C, D, E, F Konstanten sind.

Trennung der Veränderlichen

Eine homogene lineare partielle Dgl. für eine Funktion u.x1 ; x2 ; : : : ; xn / kann oft nach dem Fourierschen Verfahren der Trennung der Veränderlichen mit dem Produktansatz u.x1 ; x2 ; : : : ; xn / D U1 .x1 /U2 .x2 / : : : Un .xn / auf gewöhnliche Dgln. zurückgeführt werden.

8 Differentialgleichungen

Durch Einsetzen der Funktion u in die Dgl. und Division durch u wird die Dgl. auf die Form F1 .x1 ; U1 ; U10 ; U100 / C F .x2 ; x3 ; : : : ; xn ; U2 ; U20 ; U200 ; U3 ; U30 ; U300 ; : : :/ D0 gebracht, wobei genau eine der Variablen x1 ; x2 ; : : : ; xn ; z. B. x1 , nur unter F1 und nicht unter F vorkommt. Damit gilt F1 .x1 ; U1 ; U10 ; U100 / D F .x2 ; x3 ; : : : ; xn ; U2 ; U20 ; U200 ; : : :/ D 1 D const: Dann ist F1 .x1 ; U1 ; U10 ; U100 / D 1 eine gewöhnliche Dgl. für die Funktion U1 . Für die 2. Gleichung F .x2 ; x3 ; : : : ; xn ; U2 ; U20 ; U200 ; : : :/ D 1 wird eine entsprechende Zerlegung gesucht, usw. Auf diese Weise wird eine Lösung mit n  1 beliebigen Separationskonstanten 1 ; 2 ; : : : ; n1 gewonnen.

157

x D l). Anfangsbedingung: u(x, 0) D f (x) und @u @t .x; 0/ D g.x/ (Auslenkung und Geschwindigkeit für t D 0). Produktansatz zur Lösung der Dgl.: u(x, t) D X(x)T(t). Einsetzen in die Dgl. (8.29) führt auf T 00 .t/X.x/ D a2 X 00 .x/T .t/ oder T 00 =.a2 T / D X 00 =X D  mit  als Separationskonstante. Hieraus ergeben sich T 00 C a2 T D 0 und X 00 C X D 0. Berücksichtigung der Randbedingungen: u(0, t) D u(l, t) D 0 oder X(0)T(t) D 0 und X(l)T(t) D 0 ergibt wegen T .t/ 6 0 die Randbedingung X(0) D X(l) D 0, sodass für die Funktion X die Eigenwertaufgabe (s. Abschn. 8.1.7) vorliegt; X 00 C X D 0 mit X(0) D X(l) D 0. Diese besitzt nur für die positiven Eigenwerte n D .n = l/2 nichttriviale x .n D Eigenfunktionen; Xn .x/ D sin n  l 1; 2; 3; : : : ; n/: Für jeden dieser Eigenwerte ergibt sich dann eine Dgl. für die Funktion T dann eine Dgl. T 00 C .n a= l/2 T D 0 für die Funktion T mit der allgemeinen Lösung Tn .t/ D t C Bn sin n a t: An cos n a l l Die unendlichen vielen Funktionen

8.2.3 Anfangs- und Randbedingungen Zur vollständigen Beschreibung eines physikalischen Vorgangs sind neben der Dgl. noch der Anfangszustand und der Zustand am Rand des räumlichen Gebiets, in dem der Vorgang stattfindet, zu berücksichtigen. Dies geschieht durch Vorgabe von Anfangs- und Randbedingungen. Beispiel 1

Freie Schwingung einer begrenzten und beidseitig eingespannten Saite. – Für die Auslenkung u lautet die Dgl. 2 @2 u 2@ u D a @t 2 @x 2

(hyperbolischer Typus). (8.29) Randbedingung: u(0, t) D u(l, t) D 0 (feste Einspannung an den Enden x D 0 und

un .x; t/  n a n a n  D An cos t C Bn sin t sin x; l l l n D 1; 2; 3; : : : ; n sind dann Lösungen der Dgl. (8.29) und erfüllen die Randbedingungen. Aufgrund der Linearität und Homogenität der partiellen Dgl. sowie der Randbedingungen gilt dies auch unter gewissen Voraussetzungen für die unendliche Funktionenreihe u.x; t/ 1  X n a n a An cos t C Bn sin t D l l nD1 n  x: (8.30)  sin l

8

158

U. Jarecki

Die Anfangsbedingungen führen auf die Gleichungen f .x/ D u.x; 0/ D g.x/ D

1 X

An sin

nD1 1 X

@u .x; 0/ D @t

nD1

n  x; l

n a n  Bn sin x: l l

Werden beide Seiten dieser Gleichungen mit x multipliziert und über x von 0 bis l sin m  l integriert, so ergeben sich wegen Z1 0

( n  m  0 für m ¤ n sin x sin x dx D l l l=2 für m D n

die Gleichungen für die Koeffizienten An und Bn . Z1 An D .2= l/

f .x/ sin

n  x dx l

und

0

Bn D

2 n a

Zl g.x/ sin

n  x dx: l

0

Mit diesen Koeffizienten ist dann die Funktion u gemäß Gl.(8.30) die Lösung der Aufgabe. J

Zur Lösung wird u.x; t/ D v.x/ C w.x; t/ angesetzt, wobei für die Funktion v die Bedingungen LŒv D v 00 D 0; v.0/ D U1 ; v.l/ D U2 und für die Funktion w die Bedingungen 2  a2 @@xw2 D 0; w.0; t/ D w.l; t/ D LŒw D @w @t 0, w.x; 0/ D f .x/  v.x/ bestehen. Für die Funktion u.x; t/ D v.x/Cw.x; t/ gelten dann die Bedingungen der Aufgabe. Die Lösung der Randwertaufgabe für v lautet v.x/ D

U2  U1 x C U1 : l

Zur Lösung der Randwert- und Anfangswertaufgabe für die Funktion w wird der Produktansatz w.x; t/ D X.x/T .t/ gemacht. Er führt auf die Gleichung mit getrennten Va0 00 .x/ D  mit  als riablen aT2 T.t.t// D XX.x/ Separationskonstante, sodass sich die beiden gewöhnlichen Dgln. X 00 .x/ C X.x/ D 0 und T 0 .t/ C a2 T .t/ D 0 ergeben. Die Eigenwertaufgabe für die Funktion X führt wie im Beispiel 1 auf die Eigenwerte n D .n = l/2 und auf die nichttriviax für len Eigenfunktionen Xn .x/ D sin n  l n D 1; 2; 3; : : : . Dementsprechend ergibt sich für jedes n D 1, 2, 3, . . . die Dgl. T 0 C .n a= l/2 T D 0 mit der allgemeinen Lösung Tn .t/ D An expŒ.n a= l/2 t, sodass die unendlich vielen Funktionen

Beispiel 2

Wärmeleitung in einem Stab von endlicher Länge. – Die Wärmeleitung in einem Stab wird beschrieben durch eine partielle Dgl. der Form @2 u @u  a2 2 D 0 @t @x (parabolischer Typus).

LŒu D

(8.31)

An den Enden des Stabs x D 0 und x D l seien die konstanten Temperaturen U1 und U2 vorgegeben, sodass die Randbedigung u.0; t/ D U1 und u.l; t/ D U2 lautet. Die Temperaturverteilung längs des Stabs zum Zeitpunkt t D 0 sei durch die Anfangsbedingung u(x, 0) D f (x) bestimmt.

wn .x; t/ D Tn .t/Xn .x/

   n  n a 2 D An sin t x exp  l l

Lösungen der Dgl. LŒw D 0 sind, die der Randbedingung w.0; t/ D w.l; t/ D 0 genügen. Dies gilt unter gewissen Voraussetzungen auch für die Funktionenreihe

w.x; t/ D D

1 X nD1 1 X nD1

wn .x; t/ An sin

   n  n a 2 t : x exp  l l (8.32)

8 Differentialgleichungen

159

Allgemeine Literatur

Aufgrund der Anfangsbedingung gilt 1 X

n  x D f .x/  v.x/ l nD1   U2  U1 D f .x/  x C U1 l D F .x/;

w.x; 0/ D

An sin

woraus entsprechend Beispiel 1 2 An D l

Zl F .x/ sin

n  x dx l

0

D

2 l

Zl 

 f .x/ 

U2  U1 x C U1 l



Bücher Braun, M.: Differentialgleichungen und ihre Anwendungen. 3. Auflage 1994, Springer. Collatz, L.: Differentialgleichungen. 7. Auflage 1990, Teubner. Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage 2009, Teubner. Kamke, E.: Differentialgleichungen. Lösungsmethoden und Lösungen. Bd. 1: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 10. Auflage 1983, Teubner. Meyberg; Vachenauer: Höhere Mathematik. Bd. 2: Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Fourier-Analysis, Variationsrechnung. 2. Auflage 1991, Springer. Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage 2000, Springer. Werner; Arndt: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Theorie und Praxis. 1986, Springer.

0

 sin

n  x dx l

folgt. Damit lautet die Lösung der Anfangswert- und Randwertaufgabe u.x; t/ D v.x/ C w.x; t/ U2  U1 x C U1 D l 1 X n  C An sin expŒ.n a= l/2 t: J l nD1

8

9

Stochastik und Statistik Hans-Joachim Schulz

9.1 Kombinatorik

Reihenfolge der Elemente übereinstimmen. Ihre Anzahl bei n untereinander verschiedenen EleDie Kombinatorik untersucht die Möglichkeiten menten ist zur Anordnung von beliebig gegebenen, endlich vielen Elementen einer Menge. Als Symbole für (9.1) Pn D 1  2  3  : : :  .n  1/  n D nŠ: die Elemente dienen Buchstaben und Ziffern. Komplexionen. So heißen die Zusammenstellungen der Elemente: Permutation, Variation und Kombination. Hierbei wird unterschieden a) nach der Zahl der Elemente, b) nach den Elementen bei gleicher Zahl, c) nach der Anordnung bei gleichen Elementen und d) nach der Zulässigkeit der Wiederholung von Elementen. Die Vorschriften zur Unterscheidung der Komplexionen sind mit der technischen Aufgabenstellung festgelegt.

Die Darstellung der verschiedenen Permutationen erfolgt nach der natürlichen Reihenfolge der Elemente (1; 2; 3 : : : oder a; b; c : : :) in einer lexikographischen Anordnung.

Inversion. Stehen in einer Permutation zwei Elemente in ihrer natürlichen Reihenfolge vertauscht, so bilden sie eine Inversion. Ist die Zahl der Inversionen gerade (ungerade), so bezeichnet man die Permutation als gerade (ungerade). Der Beispiel Vertauschungsvorgang zwischen zwei Elementen Wie viel Schraubentypen können mit vier heißt Transposition. Tritt in der Permutation ein Element n1 -mal Farben (z. B. rot, grün, blau, weiß) gekennauf, so reduziert sich die Anzahl um das zeichnet werden? Alle nach a) vereinbarten Š-fache. 1=n 1 Positionen sollen besetzt sein. – Tab. 9.1. J Die verschiedenen Permutationen für n Elemente mit m verschiedenen Arten und den Wiederholungszahlen n1 ; n2 ; : : : ; nm für jede Art 9.1.1 Permutationen sind Permutation. Die Komplexion, die aus allen n Elementen (n 2 R) einer endlichen Menge M in irgendeiner Anordnung gebildet werden kann, heißt Permutation der n Elemente. Zwei Permutationen sind genau dann gleich, wenn sie in der

Beispiel 1

H.-J. Schulz () Berlin, Deutschland

n D 2; M D f1, 2g. – P2 D 1  2 D 2I Permutationen; 12, 21. J

Pn.n1 ; n2 ;:::; nm / D

nŠ : n1 Šn2 Š : : : nm Š

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_9

(9.2)

161

162

H.-J. Schulz

Tab. 9.1 Komplexionen von vier Farben (r rot, g grün, b blau, w weiß) Fall

Unterscheidung nach

Mögliche Komplexionen

1

a) 2 Farben b) nach den Farben a), b), d) mit Wiederholung a), b), c) mit Anordnung a) b) c) d) a) 4 Farben, b), c)

rg, rb, rw, gb, gw, bw

2 3 4 5

wie 1 und rr, bb, gg, ww wie 1 und gr, br, wr, bg, wg, wb wie 3 und rr, bb, gg, ww rgbw, rgwb, rbgw, rbwg, rwgb, rwbg grbw, grwb, gbrw, gbwr, gwrb, gwbr, brgw, brwg, bgrw, bgwr, bwrg, bwgr wrgb, wrbg, wgrb, wgbr, wbrg, wbgr

Anzahl Bezeichnung der Komplexionen 6 Kombinationen o.W. 10 12 16 24

Kombinationen m.W. Variationen o.W. Variationen m.W. Permutationen

o.W. bzw. m.W. ohne bzw. mit Wiederholung

Beispiel 2

n D 3; M D f1, 2, 3g. – Jedes der drei Elemente kann an der ersten Stelle stehen, dahinter folgen die Permutationen der restlichen zwei Elemente. Also ergibt sich durch vollständige Induktion, dem Schluss von n auf n C 1 nach Prüfen des Anfangswerts, P3 D 3  P2 D 1  2  3 D 3Š D 6. J

Kann jedes Element bis zu k-mal wiederholt auftreten, ist die Anzahl V wn.k/ D nk Beispiel 1

Aus den zehn Ziffern 0; 1; 2 : : : 9 kann man .4/ V10 D 10Š=6Š D 5 040 vierstellige Zahlen bilden, in denen jede Ziffer nur einmal vorkommt. J

Beispiel 3

M D fr, g, bg D fb, g, rg. – Lexikographische Anordnung der Permutation zu drei Elementen: bgr, brg; gbr, grb; rbg, rgb. In der letzten Permutation stehen r vor g und b sowie g vor b. Sie enthält also drei Inversionen und ist ungerade. J

Beispiel 2

Beim Fußballtoto gibt es n D 3 verschiedene Elemente (0, 1, 2), die auf k D 11 verschiedenen Positionen mit Wiederholungen in richtiger Reihenfolge angegeben werden müssen. – .11/ Es gibt V w3 D 311 D 177 147 Möglichkeiten. J

Beispiel 4

M D fa; b; c; cg; m D 3; n1 D n2 D 1, n3 D 2. – P4(1, 1, 2) D 4Š=.1Š 1Š 2Š/ D 12. J

9.1.2 Variationen Eine Zusammenstellung von k verschiedenen Elementen aus einer Menge mit n verschiedenen Elementen, bei der es auf die Anordnung ankommt, heißt Variation von n Elementen zur k-ten Klasse oder Ordnung ohne Wiederholung. Ihre Anzahl ist Vn.k/ D

nŠ .n  k/Š

mit k 5 n:

(9.3)

mit k 5 n oder k > n: (9.4)

9.1.3 Kombinationen Komplexionen von k verschiedenen Elementen aus einer Menge von n verschiedenen Elementen ohne Berücksichtigung der Anordnung heißen Kombinationen von n Elementen zur k-ten Klasse ohne Wiederholung. Ihre Anzahl ist ! n nŠ .k/ D Cn D k kŠ.n  k/Š D

n.n  1/.n  2/ : : : .n  k C 2/.n  k C 1/ : 1  2  3  : : :  .k  1/  k (9.5)

9 Stochastik und Statistik

163

Kann jedes Element bis zu k-mal wiederholt auf- Multiplikationssatz, Gl. (9.26), mit treten, ist die Zahl f .xM1  x; xM2  x; : : : ; xMn  x/ ! ! n nCk1 1 X 1 2 : (9.6) C wn.k/ D  exp  2 .xMi  x / D p k 2 i D1 . 2  2 /n (9.8) gegeben. Für den unbekannten Erwartungswert x Beispiel 1 wird aus den xMi der wahrscheinlichste SchätzBeim Zahlenlotto 6 aus 49 gibt es wert xN berechnet, für den die Dichte f in Gl. ! (9.11) maximal ist, also für 49 49  48  47  46  45  44 .6/ D C49 D n X 6 123456 .xMi  x/ N 2 D Minimum. (9.9) D 13 983 816 Kombinationen J i D1 Dies wird als Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet. Sie findet auch vielfältige Die Zahl der Abstimmungskombinationen ei- Anwendung in der Approximationstheorie. nes vierköpfigen Gremiums (k D 4) mit drei Stimmöglichkeiten ! (ja, nein, enthalten; n D 3) 9.2.2 Ausgleich direkter Messungen 6 .4/ D 15. J ist C w3 D gleicher Genauigkeit 4 Beispiel 2

9.2 Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate 9.2.1 Grundlagen

Dies ist der mit Gl. (9.11) beschriebene Fall von n direkten Messungen unter gleichen Messbedingungen. Mittelwert und Fehler. Aus Gl. (9.12) folgt durch Differenzieren nach xMi und Nullsetzen

n Wahrscheinlichkeitsdichte. Jeder Messwert ist 1X xN D xMi : (9.10) eine Zufallsgröße X, die durch die Gaußsche n i D1 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder die zugehörige Gauß-Verteilungsfunktion charakteri- Der arithmetische Mittelwert xN (s. Abschn. 2.1.4) siert wird. Die Dichte dafür, dass der Messwert ist der wahrscheinlichste Wert für die wahre GröxM gemessen wird, ist (s. Abschn. 9.3.4) ße x. Die Differenz xMi  xN D vi heißt wahrscheinlicher Fehler. AlsPRechenprobe für richtige   1 .xM  x/2 Mittelwertbildung ist vi D 0 geeignet. Zur f .xM / D p  exp  ; (9.7) 2 2 2  2 Kennzeichnung der Genauigkeit des Mittelwerts xN ist der Mittelwert vN D 0 der wahrscheinlichen wobei  2 die Varianz und x der Erwartungswert Fehler ungeeignet. Die Summe der wahren FehP P der „sehr großen“ Grundgesamtheit bedeuten und ler .xMi  x/ D n.xN  x/ ist nicht "i D nicht bekannt sind. bekannt, jedoch P ist auch ihr Erwartungswert (s. Gl. (9.33)) E. "i / D 0; weil E xN D x ist. Methode der kleinsten Quadrate. Bei n Messungen unter gleichen Bedingungen (Stichprobe Varianz der Stichprobe. Aus dem Erwartungsvom Umfang n) ist die Dichte für das Auftre- wert P für die Summe der Fehlerquadrate folgt ten der Messwerte xM1 ; xM2 ; : : : ; xMn nach dem E. vi2 / D .n  1/ 2 : An die Stelle der unbe-

9

164

H.-J. Schulz

Tab. 9.2 Statistische Sicherheit P k Werte 317 50 46 10 3

Außerhalb des Bereichs xN ˙ 1 xN ˙ 1;96 xN C 2 xN ˙ 2;58 xN C 3

Sicherheit P P D 68;3 % P D 95 % P D 95;4 % P D 99 % P D 99;7 %

kannten Varianz  2 der Grundgesamtheit tritt als Schätzwert die Varianz s 2 der Stichprobe:

Tab. 9.3 Korrekturfaktor t (t-Verteilung nach Student; s. Tab. 9.8); f Freiheitsgrad, n Anzahl der Messungen, m Anzahl der Messgrößen, f D n  m f 4 10 20 50 100 200

P D 68;3 % 1,15 1,06 1,03 1,01 1,00 1,00

95 % 2,8 2,3 2,1 2,0 1,97 1,96

99 % 4,6 3,2 2,9 2,7 2,6 2,58

99,73 % 6,6 4,1 3,4 3,1 3,04 3,0

ist. Wenn xN E der von systematischen Messfehlern befreite Mittelwert ist, lautet das Ergebnis der n Einzelmessungen x D xN E ˙ mxN für die statistische Sicherheit P (s. Tab. 9.3). Eine Steigerung der Zahl n wirkt proportional p zu 1= n auf den Vertrauensbereich ein, d. h., mit der Steigerung von n auf große Werte (>10) wird Standardabweichung. Sie wird zur Kennzeich- die Verbesserung des Vertrauensbereichs immer nung der Genauigkeit herangezogen und lautet geringer. Daher ist mindestens n D 10 zu wähmit Gl. len. v ! u n n X X u 1 2 t sD x  xN xMi : (9.12) Weitere Bezeichnungen. In der Literatur sind n  1 i D1 Mi i D1 noch häufig zu finden: für Standardabweichung: Sie nähert sich  für große Werte von n. Ist  für mittlerer Fehler der Einzelmessung, mittlerer eine Gauß-Verteilung bekannt, so gilt: Von 1000 quadratischer Fehler, mittlere quadratische AbEinzelmessungen fallen im Mittel k Werte außer- weichung, Streuung; für Vertrauensbereich bei ˛P D 1: mittlerer Fehler des Mittelwerts; für halb des Bereichs entsprechend Tab. 9.2. n X Varianz: Streuungsquadrat und für xi D Œx Vertrauensbereich. Die Anwendung der i D1 Fehlerfortpflanzung für zufällige Fehler (s. Gaußsche Summenkonvention. Abschn. 9.2.3) auf die Folge der n Einzelmessungen ergibt als Vertrauensbereich für den Beispiel arithmetischen Mittelwert xN p Die Periodendauer eines Schwingungsvor(9.13) mxN D ˙˛P = n; gangs wurde gemessen (Tab. 9.4). Hierbei O und v D x  xi . Die Stangilt Ti Dx wobei ˛P der zur gewählten statistischen Sicherdardabweichung ist nach Gl. (9.14) s D heit P gehörende Faktor von  des zugehörigen p 2 =.5  1/ D 0;86 s. Der Vertrau2;9935 s Bereichs ist. Ist  nicht bekannt, so wird ˛P  ensbereich ist mit t D 1;15 für f D 5  1 D 4, durch ts ersetzt, wobei der Korrekturfaktor t von die statistische Sicherheit P D 68;3 % n und P nach Tab. 9.3 abhängt, also (Tab. 9.3) p und mit Gl. (9.17) mxN D 1;15  v uX n 0;86 s= 5 D 0;44 s: Das Messergebnis soll u u .xMi  x/ N 2 keine weiteren systematischen Fehler haben u t i D1 ts und lautet T D .TN C mxN / D .26;04 ˙ (9.14) mxN D ˙ p D ˙t n.n  1/ n 0;44/ s D 26;04 s ˙ 1;7 %. J n n 1 X 2 1 X vi D .xMi  x/ N 2 s D n  1 i D1 n  1 i D1 X 1 X 2 D xMi : xMi  xN n1 (9.11) 2

9 Stochastik und Statistik

165

Tab. 9.4 Messwerte, Fehler und Fehlerquadrate eines Schwingungsvorgangs i

Ti s 26,0 27,4 25,4 25,2 26,2 26,04

1 2 3 4 5

v2 s2 0,0016 1,8511 0,4096 0,7056 0,0256 2,9935

v s 0,04 1,36 0,64 0,84 0,16

9.2.3 Fehlerfortpflanzung bei zufälligen Fehlergrößen

2 vzi D

i D1

mit

n  X i D1

n X @f i D1

@x



@f @x

2 2 vxi C

n  X i D1

@f @y

2 2 vyi

@f vxi vyi D 0; @y

(9.15a) weil vxi und vyi gleich wahrscheinlich positiv und negativ sind. Division durch (n  1) und Wurzelziehen ergeben einen Schätzwert s sz D



@f @x



2 sx2

C

@f @y

2 sy2

q N TN 3 /2 s 2 sg D .4 2 =TN 2 /2 s12 C .8 2 l= T v u u.4 2  2;8  103 cm=1;8492  s 2 /2 Dt C .8 2  84;93 cm  3  104 s=1;8493 s 3 /2 D 0;32 cm/s2 : J

9.2.4

Für eine von zwei voneinander unabhängigen Messgrößen x, y abhängige Größe z D f (x, ya) wird zur Berechnung von sz als Schätzwert für die Standardabweichung das totale Differential gebildet und quadriert. Für praktische Zwecke sind für die Variablen die Messwerte xMi ; yMi ; i D 1; 2; : : : ; n; und für dx; dy; dz die kleinen wahrscheinlichen Fehler vxi ; vyi ; vzi einzusetzen und zu summieren. n X

mit sT D 3  104 s ermittelt. Mit Gl. (9.15) sowie @g=@l D 4 2 =T 2 und @g=@T D 8 2 l=T 3 wird dann

(9.15b)

für die Standardabweichung. Dies ist das Gaußsche Gesetz der Fehlerfortpflanzung bei zufälligen Fehlergrößen, das auf mehr als zwei Variable sinngemäß erweitert werden kann. Beispiel

Bei der Messung der Fallbeschleunigung g D 4 2 l=T 2 mit dem Fadenpendel wurde für die Pendellänge lN D 84;93 cm mit s1 D 2;8  103 cm die Schwingungsdauer TN D 1;849 s

Ausgleich direkter Messungen ungleicher Genauigkeit

Soll der Mittelwert einer Messgröße x aus Messungen nach verschiedenen Methoden gewonnen oder aus Mittelwerten von Messreihen gleicher Genauigkeit mit unterschiedlichen Stichprobenumfängen errechnet werden, so haben die xMi oder xN i verschiedenes Gewicht. Gewichtsfaktor. Hierzu dient die Dichte nach Gl. (9.11), in der mit jedem Messwert xMi die zum Messverfahren gehörende Standardabweichung i einzusetzen ist. Die Methode der kleinsten Quadrate, Gl. (9.12), und die Gewichtsfaktoren lauten n X

2 .xMi  x/= N i D Minimum und

i D1

pi D  2 =i2 s 2 =si2 :

(9.16)

Gewichtsfaktoren gelten für beliebiges  2 und sind als Varianzverhältnisse so definiert, dass dem Messergebnis mit der größten Genauigkeit, also mit der kleinsten Standardabweichung si , das größte Gewicht zukommt. Dabei wird s 2 so gewählt, dass ein pi D 1 wird. Gewogener Mittelwert. Er ergibt sich aus der Minimumforderung als wahrscheinlichster Wert xN D

n X i D1

, pi xMi

n X i D1

pi :

(9.17)

9

166

H.-J. Schulz

Tab. 9.5 Ausgleich der Messung von Dreieckflächen ungleicher Genauigkeit

pi 1,0 0,4 2,0 3,4

xMi D Ai cm2 238,0 240,5 239,5 –

Ausgeglichene Standardabweichung. Sie beträgt mit dem Mittelwert v u n u 1 X pi .xMi  x/ N 2 sDt n  1 i D1 v u n u 1 X Dt pi vi2 : (9.18) n  1 i D1

pi xMi cm2 238,0 96,2 479,0 813,2

vi D ANi Ai cm2 1,2 1,3 0,3 –

pi vi cm2 1,2 0,5 0,6 0;1 0

pi vi2 cm4 1,44 0,65 0,18 2,27

fällig ist das Ergebnis eines Versuchs, das – bei festgelegten Bedingungen – eintreten kann, aber nicht muss. Zur empirischen Überprüfung der Gesetzmäßigkeiten ist die Analyse einer großen Zahl von Versuchen unter gleichen Bedingungen erforderlich (s. Abschn. 9.4).

9.3.1 Definitionen und Rechengesetze der Wahrscheinlichkeit Vertrauensbereich. Für den gewogenen Mittelwert gilt

,v u n uX t mxN D ts pi :

Klassische Definition (P.S. de Laplace). Die (9.19) Wahrscheinlichkeit P für das Eintreten des Ereignisses A ist das Verhältnis aus der Zahl g der i D1 günstigen Fälle zur Zahl m der möglichen Fälle unter der Annahme, dass alle Fälle gleich wahrBeispiel scheinlich sind. Die Fläche eines Dreiecks wurde nach verP .A/ D g=m: (9.20) schiedenen Verfahren mehrfach gemessen, sodass folgende Mittelwerte und Standardabwei- Die Berechnung erfolgt durch Abzählen mit Hilfe chungen vorliegen: A1 D 238;0 cm2 ; s1 D der Kombinatorik oder Simulieren des Experi2;1 cm2 , A2 D 240;5 cm2 ; s2 D 3;2 cm2 , ments mittels Zufallszahlen. A3 D 239;5 cm2 ; s3 D 1;5 cm2 . Man berechne AN und mAN . – Für p1 D 1 folgt mit Gl. (9.16) Statistische Definition (R. v. Mises). Bezeichnet n die Anzahl der Versuche eines unter p2 =p1 D .s 2 =s22 /=.s 2 =s12 / D s12 =s22 0;4I gleichen Bedingungen ausgeführten Experiments und tritt dabei m-mal das Ereignis A auf, so ist p3 D 2;12 =1;52 2;0 h(A) D m=n die relative Häufigkeit des Ereignis(s. Tab. 9.5). ses A. Der Grenzwert 2 2 AN D 813;2 pcm =3;4 D2 239;2 cm 2nach Gl. (9.21) lim h.A/ D lim .m=n/ D P .A/ Gl. (9.17), s D 2;27=2 cm n!1 n!1 p D 1;1 cm mit 2 (9.18), mAN D 1;32 s= 3;4 D 0;8 cm aus Gl. (9.19) mit t D 1;32 für n D 3; P D ist die (statistische) Wahrscheinlichkeit von A 68;3 %: Das gewogene Messergebnis lautet (Gesetz der großen Zahl). Offenbar folgt aus beiden Definitionen 0 5 P(A) 5 1. Für das sichere A D .239;2 ˙ 0;8/ cm2 für P D 68;3 %. J Ereignis S gilt P(S) D 1. Für das unmögliche Ereignis ˚ gilt P(˚) D 0.

9.3

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung dient zur Aufdeckung von Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse (mit großen Buchstaben bezeichnet). Zu-

Beispiel 1

Aus einem gut gemischten Skatspiel wird zufällig eine Karte gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei a) der

9 Stochastik und Statistik

167

Tab. 9.6 Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen von Karten Zahl der günstigen Fälle Zahl der möglichen Fälle Wahrscheinlichkeit

g m P

a) 1 32 1/32

b) 4 32 1/8

c) 8 32 1/4

Kreuz-Bube, b) ein Bube, c) eine Kreuzkarte gezogen wird? – Tab. 9.6. J Beispiel 2

Für den Versuch des Ziehens einer Skatkarte a) 100mal, b) 500mal, c) 1000mal wurden a) 4mal, b) 14mal, c) 31mal der Kreuzbube gezogen. – Die relativen Häufigkeiten sind a) h(A) D 0,0400, b) h(A) D 0,0280 und c) h(A) D 0,0310. Sie nähern sich mit wachsendem n dem Wert P(A) D 0,03125 D 1=32. J Der Grenzwert P(A) muss unabhängig von der Auswahl der einzelnen Versuchsreihen gleich sein, wenn nur n genügend groß gewählt wird. Da er sich analytisch nicht beweisen lässt, wird die Wahrscheinlichkeit axiomatisch definiert. Axiomatische Definition (A.N. Kolmogorow). Zugrunde gelegt wird der Ergebnisraum M, bestehend aus allen möglichen elementaren Ergebnissen des Experiments als Elementarereignissen. M ist in ein System B von Teilmengen zerlegbar. Die Elemente dieses Borelschen Mengenkörpers B sind die zufälligen Ereignisse E1 ; E2 ; : : : ; und es gilt (s. Abschn. 1.1 bis 1.3) M 2 B; ˚ 2 B; E1 2 B ^ E2 2 B ) .E1 [ E2 / 2 B; E1 2 B ) :E1 2 B: Beispiel 1

(9.22)

E5 D :E2 D f1; 3; 5; 6g, E6 D :E3 D f3; 5; 6g, E7 D M D f1; 2; 3; 4; 5; 6g. J Zwei Ereignisse heißen unvereinbar (disjunkt), wenn ihr Durchschnitt leer ist; z. B. E1 \ E2 D ˚. Das zu E entgegengesetzte (komplementäre) Ereignis ist :E D M\E (z. B. zu E1 ist entgegengesetzt :E1 D E4 ). Das unmögliche Ereignis ist die leere Menge ˚ (z. B.: Eine andere Zahl als 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 kann nicht auftreten). Das sichere Ereignis ist die vollständige Menge M der Elementarereignisse (z. B.: Eine der Zahlen 1 bis 6 tritt gewiss auf). Die abzählbar vielen Ereignisse E1 ; E2 ; : : : ; En ; : : :, bilden dann ein vollständiges System, wenn sie paarweise disjunkt sind, Ei \ Ej D ˚ für i ¤ j , und wenn ihre Vereinigungsmenge (Summe) E1 [ E2 [ : : : En [ : : : D M das sichere Ereignis ist. So bilden E1 ; E2 ; E6 ein vollständige System. Für die elemente des Borelschen Mengenkörpers (auch Borelsches Ereignisfeld oder Boolescher  -Körper genannt) definierte Kolmogorow ein Wahrscheinlichkeitsmaß P mit Hilfe der drei Axiome Nichtnegativität P(E) = 0, Normierung P(M) D 1 ist sicheres Ereignis und Additivität E1 \ E2 D ˚ ) P .E1 [ E2 / D P .E1 / C P .E2 /, d. h., für paarweise unvereinbare Ereignisse E1 ; E2 2 B addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von E1 oder E2 . Beispiel 2

„Wappen“ und „Zahl“ beim Werfen einer Münze sind unvereinbar, ihre Wahrscheinlichkeiten P .Wappen/ D P .Zahl/ D 1=2. – Das Auftreten des Ereignisses „Wappen oder Zahl“, P(Wappen oder Zahl) D P(W [ Z) D 1=2 C 1=2 D 1 nach dem Additivitätsaxiom, ist das sichere Ereignis. J

Beim idealen Würfel sind die Elementarereignisse durch das Auftreten der Zahlen 1 bis 6 gekennzeichnet; M D f1, 2, 3, 4, 5, 6g. – Rechengesetze für Wahrscheinlichkeiten Für die Ereignisse E1 D f1g, d. h. „Zahl 1“, und E2 D f2; 4g, d. h. „Zahl 2 oder Zahl 4“, Entgegengesetzte Ereignisse. Für E 2 M ist ergeben sich als Elemente von B (damit die :E D M n E und Eigenschaften nach Gl. (9.22) erfüllbar sind) P .M / D P .E [ :E/ (9.23) E0 D ˚, E1 D f1g, E2 D f2;4g, E3 D E1 [ E2 D f1; 2; 4g, E4 D :E1 D f2; 3; 4; 5; 6g, D P .E/ C P .:E/ D 1;

9

168

H.-J. Schulz

d. h., die Summe der Wahrscheinlichkeiten ent- E1 auftritt. Es gilt gegengesetzter Ereignisse ist gleich eins (z. B. Münzwurfexperiment). Speziell für E D M folgt (9.25) P .E2 jE1 / D P .E2 \ E1 /=P .E1 /: P(˚) D 0, wie es sich für das unmögliche Ereignis ergeben muss. Gilt für zwei Ereignisse E1 Die bedingte Wahrscheinlichkeit erfüllt die drei E2 , so folgt P .E1 / 5 P .E2 / (Monotonie); ist Axiome. E2 D M , folgt 0 5 P .E1 / 5 1. Beispiel Beispiel

Im Borelschen Mengenkörper für das Würfeln ist E6  E5 . – Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von 3 oder 5 oder 6 ist also P .E6 / D P .3 [ 5 [ 6/ D P .3/ C P .5/ C P .6/ D 3=6. Für das Auftreten von 1 oder 3 oder 5 oder 6 ist P .E5 / D 4=6 > P .E6 /. J Vereinbare Ereignisse. Sind E1 ; E2 2 B beliebige, miteinander vereinbare Ereignisse, so berechnet sich die Wahrscheinlichkeit P .E1 [ E2 / für das Auftreten wenigstens eines der Ereignisse vermöge einer Zerlegung in unvereinbare Ereignisse. Es gilt E1 [ E2 D E1 [ .:E1 \ E2 / mit E1 \ .:E1 \ E2 / D ˚ und E2 D .E1 \ E2 / [ .:E1 \ E2 / mit .E1 \ E2 / \ .:E1 \ E2 / D ˚. Zweimaliges Anwenden des Additivitätsaxioms und Subtrahieren liefern

Zwei Betriebe I und II produzieren 45 000 und 30 000 Stück eines Getriebes, die in einem anderen Betrieb weiterverarbeitet werden. Dabei werden von I 4 000 und von II 6 000 Stück mit leichten Mängeln geliefert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P .E2 jE1 / dafür, dass ein Getriebe aus der Gesamtlieferung von I und II aus dem Betrieb I stammt unter der Bedingung, dass es leichte Mängel hat? – E1 Getriebe hat leichte Mängel, E2 Getriebe stammt aus Betrieb I. P .E1 / D .4 000 C 6 000=.45 000 C 30 000/ D 2=15, P .E2 / D 45 000=75 000 D 9=15. Das Ereignis E1 \ E2 heißt, dass das Getriebe sowohl aus Betrieb I stammt als auch leichte Mängel hat. Es ist daher P .E1 \E2 / D 4 000=75 000 D 4=75. Das Ergebnis lautet P .E2 jE1 / D 4  15=.75  2/ D 2=5 D 0;4. J

P .E1 [ E2 / D P .E1 / C P .E2 /  P .E1 \ E2 /: Unabhängige Ereignisse. Aus Gl. (9.25) folgt (9.24) der Multiplikationssatz für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens sowohl von E1 als auch von E2 . Beispiel

Beim Ziehen einer Skatkarte sei E1 das Ziehen einer Kreuzkarte mit P .E1 / D 8=32 und E2 das Ziehen eines Buben mit P .E2 / D 4=32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P .E1 [ E2 / dafür, dass die gezogene Karte eine Kreuzkarte oder ein Bube ist? Die Ereignisse E1 ; E2 sind miteinander vereinbar. Das Ereignis E1 \ E2 ist das Ziehen des Kreuzbuben mit P .E1 \ E2 / D 1=32. Also folgt aus Gl. (9.24) P .E1 [ E2 / D 8=32 C 4=32  1=32 D 11=32 D 0;34375. J

P .E1 \ E2 / D P .E1 /  P .E2 jE1 /:

(9.26)

Zwei Ereignise E1 und E2 heißen unabhängig voneinander, wenn P .E2 jE1 / D P .E2 / und P .E1 jE2 / D P .E1 / ist, d. h., wenn das Eintreten des einen Ereignisses von dem anderen nicht beeinflußt wird. Für unabhängige Ereignisse E1 ; E2 geht der Multiplikationssatz über in P .E1 \ E2 / D P .E1 /  P .E2 /:

(9.27)

Totale Wahrscheinlichkeit. Die Ereignisse Bedingte Wahrscheinlichkeit. Sind E1 , E2 2 E1 ; E2 ; : : : ; En und A seien Elemente von B, B mit P .E1 / > 0, so ist P .E2 jE1 / die Wahr- und die Ei sollen ein vollständiges System von scheinlichkeit dafür, dass E2 unter der Bedingung Ereignissen bilden. Wegen A D A \ M D

9 Stochastik und Statistik

169

A \ .E1 [ E2 [ : : :/ D .A \ E1 / [ .A \ E2 / [ : : : gilt P .A/ D

n X

für Urne I P .A \ Ei /

i D1

D

n X

Mit Gl. (9.29) ergibt sich

P .E1 /  P .AjE1 / P .A/ D .1=2/.2=5/.80=41/ D 16=41;

P .E1 jA/ D (9.28)

P .Ei /P .AjEi /:

für Urne II

i D1

P(A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, unabhängig davon, mit welchem Ereignis Ei es zusammentrifft. Bayessche Formel. Für die umgekehrte Fragestellung, nämlich nach der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Ei aus einem vollständigen System unter der Bedingung, dass das Ereignis A eingetreten ist, gilt

P .E2 /  P .AjE2 / P .A/ D .1=2/.5=8/.80=41/ D 25=41: J

P .E2 jA/ D

Bernoullische Formel. Ein Bernoulli-Experiment ist durch den Borelschen Mengenkörper B D f˚, E, -E, Mg gekennzeichnet, d. h., nur die beiden zueinander komplementären Ereignisse E und :E sind interessant. Beispiel

P .Ei /P .AjEi / P .Ei jA/ D P .A/ P .Ei /P .AjEi / I D n X P .Ej /P .AjEj /

Beim Entnehmen eines Stückes aus der Massenproduktion tritt entweder das Ereignis E D das Stück ist in Ordnung D Treffer oder das Ereignis :E D das Stück ist Ausschuss D Niete ein. J

j D1

i D 1; 2; : : : n:

(9.29)

Beispiel

Es stehen zwei Urnen zum Ziehen einer Kugel bereit. In Urne I sind drei weiße und zwei schwarze Kugeln, in Urne II drei weiße und fünf schwarze Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus einer beliebig gewählten Urne eine schwarze Kugel entnommen wird? – Ereignis A Entnehmen der schwarzen Kugel, Ereignis E1 Entnehmen der Kugel aus Urne I, Ereignis E2 Entnehmen der Kugel aus Urne II. Die unbedingten Wahrscheinlichkeiten sind P .E1 / D P .E2 / D 1=2. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind P .AjE1 / D 2=5, P .AjE2 / D 5=8. Mit Gl. (9.28) folgt P .A/ D P .E1 /  P .AjE1 /CP .E2 / P .AjE2 / D .1=2/.2=5/C .1=2/.5=8/ D 41=80. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel aus der Urne I (oder II) genommen wird, unter der Bedingung, dass es eine schwarze Kugel ist? –

Ist die Wahrscheinlichkeit P(E) D p, so ist nach Gl. (9.23) P(:E) D 1  p. Für die n-fache Wiederholung voneinander unabhängiger Bernoulli-Experimente ist die Wahrscheinlichkeit für das k-malige Eintreffen des Ereignisses E gegeben durch die Bernoullische Formel ! n k (9.30) p .1  p/nk ; P .E; n; k/ D k ! n Möglichkeiten hat, die k Treffer da man k auf n Plätzen anzuordnen (s. Abschn. 9.1.3) und sich die Wahrscheinlichkeiten der unabhängigen Ereignisse multiplizieren (s. Gl. (9.27)). Für die praktische Anwendung gibt es Tabellen. Beispiel

Die Ausschusswahrscheinlichkeit einer Massenproduktion sei p D 0;05 D 5 %. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher: E1 D unter zehn

9

170

H.-J. Schulz

– Bezeichnet E das zufällige Ereignis, dass zufällig herausgegriffenen Stücken ist kein dedie Länge l gemessen wird, so kann die stefektes, E2 D unter 20 zufällig herausgegriffetige Zufallsvariable durch XW fEg 7! fXjX 2 nen Stücken ist genau ein defektes, E3 D unter .l0  "; l0 C "/g charakterisiert werden. J 20 zufällig herausgegriffenen Stücken ist mindestens ein defektes? – ! Die Menge der möglichen Ereignisse bilden 10  .5  102 /0 P .E1 ; 10; 0/ D Definitionsund diejenige der reellen Zahlen den 0 Wertebereich der die Zufallsgröße definieren .1  5  102 /10 den Abbildung. Es gilt F(x) D P(X < x), d. h., der Wert der Verteilungsfunktion F(x) gibt die WahrD 1  1  0;9510 D 0;599I ! scheinlichkeit dafür an, dass der Wert der Zufalls20 größe kleiner als die reelle Zahl x ist. Hieraus  .5  102 /1 P .E2 ; 20;1/ D 1 folgen die Eigenschaften der Verteilungsfunktion: Für x2 > x1 gilt P .x1 5 X < x2 / D F .x2 /   .1  5  102 /19 F .x1 /. Für x2 = x1 gilt F .x2 / = F .x1 /, also 19 D 20  0;05  0;95 D 0;377I ist F(x) monoton nichtfallend. Für beliebige x gilt P .E3 / D 1  P .E; 20;0/ 05F(x)51. Es ist limx!1 F .x/ D 0 für das un! mögliche Ereignis (˚) und limx!1 F .x/ D 1 für 20 D1  .5  102 /0  0;9520 das sichere Ereignis (S). 0 Die Verteilungsfunktion einer diskreten ZuD 0;642: J fallsvariablen ist F .x/ D

9.3.2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktion

D

X xi 0

3. Normal- oder GaußVerteilung Messfehleranalyse, Verteilung von Eigenschaften auf Populationen

p1 2

  2 exp  12 x 

normiert für  D 0I  D 1

1

D '.x; ;  /  Rx  2 1 dt F .x/ D p2 exp  12 t 

f .x/ D

i D 0; 1; 2; : : :  D np D const p1 >0

2. Poisson-Verteilung Wie 1. für n ! 1, Radioaktiver Zerfall, Verkehrsunfälle, Gesprächszahl bei Telefonzentrale j D0

pi D P .E; n ! 1; i / i e  =i i P P p.x D i / D e  i =i F .x/ D

i D 0; 1; 2; : : : ; n 0 50 eine Einteilung des Wertebereichs xmin bis xmax in k vorzugsweise gleich breite, abgeschlossene Klassen vorzunehmen. Dabei ist etwa k = 10 für n 5 100 und k = 20 für n 5 105 zu wählen. Die Klassenmitten xj ; j D 1; 2; : : : ; k, sind die arithmetischen Mittelwerte der Klassengrenzen. Die Besetzungszahlen nj geben an, wie viel Werte der Urliste in die j-te Klasse fallen (absolute Häufigkeit).

Abb. 9.2 a relative Häufigkeitsdichte; b Summenhäufigkeit für eine in zehn Klassen unterteilte Stichprobe vom Umfang n D 90

9.4.2

Arithmetischer Mittelwert, Varianz und Standardabweichung

Relative Häufigkeit. Für das Auftreten des Werts xj (meist mit Rundungsfehlern) gilt Der arithmetische Mittelwert xN der Stichprobe ist ein erwartungstreuer Schätzwert für den Erhj D nj =n mit wartungswert  der Verteilung (s. Abschn. 9.2.1 k k X X u. 9.2.2). Analoges gilt von der Varianz s 2 der nj D n und hj D 1: (9.36) Stichprobe für die Varianz  2 der N.;  / -norj D1 j D1 malverteilten Grundgesamtheit. So heißt die Darstellung der relativen Häufigkeit als Funktion der Klassenmitten durch eine Treppenkurve (Abb. 9.2a) der Häufigkeitsdichte der Stichprobe. Sie stellt eine Näherung für die Wahrscheinlichkeitsdichte der Grundgesamtheit Pj dar. Aus den Teilsummen Gj D i D1 ni werden Pj die Häufigkeitssummen Hj D Gj =n D i D1 hi ermittelt, die – aufgetragen zwischen den Klassengrenzen – ein Bild der Häufigkeitsverteilung als Näherung für die Verteilungsfunktion ergeben (Abb. 9.2b und Tab. 9.12). Tab. 9.12 Klasseneinteilung und Häufigkeiten aus einer Urliste von n D 90 Längenmessungen

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k D 10

xu bis unter mm 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

Standardabweichung. Sie ist die Wurzel aus der Varianz s 2 . Zur Berechnung aus den Einzelwerten der Urliste dienen die Gln. (9.13) und (9.14). Vereinfacht gilt für einen runden Hilfswert x0 xN mit di D xi  x0 bzw. mit Gl. (9.14) 1X .xi  x0 / n i D1 n

xN D x0 C

D x0 C dN :

x0 mm 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

xj mm 44,50 45,50 46,50 47,50 48,50 49,50 50,50 51,50 52,50 53,50

(9.37)

nj

hj

Hj

2 1 6 15 22 20 13 7 2 2 90

0,022 0,011 0,067 0,167 0,244 0,222 0,144 0,078 0,022 0,022 0,999

0,022 0,033 0,10 0,267 0,511 0,733 0,877 0,955 0,977 0,999

9 Stochastik und Statistik

177

3 2 k X 1 4 s2 D nj dj2  ndN 2 5 : n  1 j D1

Tab. 9.13 Urliste von Dampfkessel-Wirkungsgraden  % 89,3 90,6 89,9 89,4 89,3 90,0 86,9 88,4

1 2 3 4 5 6 7 8

di2 %2 10,89 21,16 15,21 11,56 10,89 16,00 0,81 5,76 92,28

di % 3,3 4,6 3,9 3,4 3,3 4,0 0,9 2,4 25,8

Variationskoeffizient. So heißt die relative Standardabweichung vr D s=x. N Beispiel

Aus Tab. 9.12 ergeben sich 0 xN D @

Durch Einsetzen in die Varianzdefinition und Umformen folgt 1 X .xi  x/ N 2 n  1 i D1 " n # X 1 2 2 N D d  nd : n  1 i D1 i

(9.42)

10 X

1, nj xj A

90

j D1

D 4 412;00 mm=90 D 49;02 mm

n

s2 D

als Mittelwert und 2

(9.38)

s2 D 4

10 X

3, nj .xj  49;02/2 5

89

j D1

Beispiel

D 272;46 mm2 =89 D 3;06 mm2

Für die Messung von Wirkungsgraden  von acht Dampfkesseln ergab sich die Urliste (Tab. 9.13). Mit n0 D 86 % folgt aus Gl. (9.37) N D .86;0 C 25;8=8/ % D 89;2 %. Für die Varianz ergibt sich ohne Angabe der Einheit nach Gl. (9.38) s 2 D Œ92;288.89;2386;0/2 =7 D 1;26. J

für die Varianz aus den Gl. (9.39) und (9.40). Die Anwendung der Hilfsgröße x0 D 44;5 mm liefert Tab. 9.14. Damit folgen nach Gl. (9.41) xN D .44;5 C 407;0=90/ mm D .44;5 C 4;52/ mm

D 49;02 mm Häufigkeitstabelle. Bei gleich breiten Klassen werden zur Auswertung die Klassenmitten xj mit ihren Häufigkeiten als Gewichtsfaktoren multi- Tab. 9.14 Rechenschema für den Mittelwert und die pliziert. Damit folgen Standardabweichung X 1X nj xj D hj xj ; Mittelwert xN D n j D1 j D1 k

k

(9.39) 1 X Varianz s 2 D nj .xj  x/ N 2: n  1 j D1 k

(9.40)

Mit den Hilfsgrößen x0 und dj D xj x0 ergeben sich 1X nj .xj  x0 / D x0 C dN ; n j D1 k

xN D

(9.41)

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xj mm 44,5 45,5 46,5 47,5 48,5 49,5 50,5 51,5 52,5 53,5

nj 2 1 6 15 22 20 13 7 2 2 90

xj  x0 mm 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 407,0

nj (xj  x0 )2 mm2 0,0 1,0 24,0 135,0 352,0 500,0 468,0 343,0 128,0 162,0 2113,0

9

178

H.-J. Schulz

Abb. 9.4 Zur linearen Regression

Abb. 9.3 Darstellung der Summenhäufigkeit im Wahrscheinlichkeitsnetz

und nach Gl. (9.42) s 2 D Œ.2113;0  90  407;02 =902 /=89 mm2 D 3;06 mm2

EY D f (x) und der Varianz  2 . Als Ansatz für die theoretische Regressionsfunktion f (x) wird meist ein Polynom k-ten Grads gewählt, dessen Koeffizienten aj ; j D 0; 1; : : : ; k, zu bestimmen sind. Im Fall eines linearen Zusammenhangs gibt die nach „Augenmaß“ gezeichnete Ausgleichsgerade durch die im kartesischen Kooordinatensystem dargestellten Punkte der .xi ; yi /-Werte oft eine brauchbare Näherung (Abb. 9.4). Die Berechnung der Koeffizienten aj als Schätzwerte für die theoretischen aj erfolgt nach der Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate (s. Abschn. 9.2.1).

sowie s D 1;75 mm. Die relativen Häufigkeitssummen sind in Abb. 9.3 (s. Tab. 9.8) dargestellt. Man entnimmt die Werte xN D 48;6 mm und s D .50;3  46;8/ mm=2 D 1;75 mm. Die graphische Lö0 12 n n k sung macht die Ausreißer an den Rändern des X X X j @yi  .yi  f .xi //2 D aj xi A Messbereichs – im Gegensatz zur Rechnung i D1 i D1 j D0 – erkennbar. Die Abweichungen der Messpunkte von D g.a0 ; a1 ; : : : ; ak / der Geraden sind für eine Urliste abhängig von D Minimum. der Wahl der Klassenbreiten und ihrer Anzahl (9.43) k sowie von der Lage der Klassenmitten. Die Aus den partiellen Ableitungen @g=@aj D 0 Übereinstimmung wächst mit dem Stichproergeben sich (k C 1) lineare Gleichungen für benumfang n. J die (k C 1) unbekannten Koeffizienten des Polynoms, die mit den Methoden für lineare Gleichungssysteme gelöst werden können.

9.4.3 Regression und Korrelation

Regressionsgerade. Für den linearen Fall (k D 1 Regression. Aufgabe der Regressionsrechnung und y D a0 C a1 x/ folgen aus Gl. (9.43) mit den ist die Ermittlung des funktionalen ZusammenMittelwerten die Regressionskoeffizienten für die hangs y D f (x) zwischen einer unabhängigen (X) Regressionsgerade. und einer abhängigen (Y) Zufallsvariablen aus den Wertepaaren .xi ; yi /, i D 1; 2; : : : ; n, einer 1X 1X N xi ; yN D yi ; a0 D yN  a1 x; Stichprobe vom Umfang n. Dabei wird verlangt, xN D n n dass die Messwerte .xi ; yi / jeweils am gleichen oder y  yN D a .x  x/I N 1 X X i-ten Element der zu untersuchenden Objekte 2 2 : a D y  n x N y N =  n x N x x 1 i i bestimmt worden sind und dass die Zufallsvariai (9.44) ble Y normalverteilt ist mit dem Erwartungswert

9 Stochastik und Statistik

179

1; 2; : : : ; n, und sind identisch für a1 b1 D 1 D Varianzen. Sie betragen 2 . Alle Punkte liegen dann auf Y D a0 C a1 X. rxy X X 2  1 2 2 Für rxy D 0 gelten X, Y als unabhängige Zufallssx D xi  xi =n ; (9.45) n1 variablen. rxy < 0 ist die negative (ungleichsinnige) Korrelation, weil zu großen Werten von X X X 2  1 2 2 sy D yi  yi =n ; (9.46) kleine Werte von Y gehören und umgekehrt. Bei n1 jrxy j < 1 schneiden die beiden Geraden einander im Schwerpunkt S D .x; N y/ N des Punkthaufens. Kovarianz. Es gilt 2 heißt Bestimmtheitsmaß. Die Größe B D rxy 1 X sxy D N i  y/ N .xi  x/.y n1 Beispiel  X 1 (9.47) D xi yi  nxN yN : Regression und Korrelation der Zugfestigkeit n1 als Funktion des Kohlenstoffgehalts von StahlHiermit wird dann mit den Gln. (9.43), (9.46) und stäben. Y stellt die Zugfestigkeit in N/cm2 und (9.47) X den Kohlenstoffgehalt in % dar. – Tab. 9.15. (9.48) a1 D sxy =sx2 : xN D 0;442; yN D 67;075. – Aus den Gln. (9.46) folgen (ohne Angabe der Einheiten) die Wenn alle Messpunkte auf der RegressionsgeraVarianzen den liegen, gilt 2 sxy D sx2 sy2 :

sx2 D .2;69  5;302 =12/=11 D 0;032;

(9.49)

sy2 D .57172;09  804;92 =12/=11

Die Koeffizienten a0 ; a1 sind Schätzwerte für die Koeffizienten der theoretischen Geraden Y D ˛0 C˛1 X der Zufallsvariablen X, Y. Unter der Voraussetzung der N.Y.X/;  /-Normalverteilung lässt sich der Vertrauensbereich für a0 ; a1 zu einer vorgegebenen statistischen Sicherheit bestimmen.

D 289;40

9

und aus Gl. (9.47) die Kovarianz sxy D .388;69  12  0;442  67;075/=11 D 2;99:

Damit wird der Regressionskoeffizient nach Korrelation. Gibt es keine erkennbaren Gründe Gl. (9.48) a1 D 2;993=0;032 D 94;29 und für eine funktionale Abhängigkeit der Zufallsvariablen Y von der als unabhängig angenommenen Variablen X, so dient die Korrelations- Tab. 9.15 Zur Berechnung der Regression der Zugfestigrechnung (Korrelation D Wechselbeziehung) zur keit von Stahlstäben Prüfung der Güte eines unterstellten funktionalen i xi yi xi yi xi2 yi2 Zusammenhangs. 1 0,20 43,4 8,68 0,04 1 853,56 Korrelationskoeffizient. Als Maß für eine lineare Abhängigkeit dient der Koeffizient rxy aus den Gln. (9.46) bis (9.48) für den Wertebereich 1 5 rxy 5 1 und die Geraden rxy D sxy =sx sy ; Y D a0 C a1 X

(9.50)

und X D b0 C b1 Y (9.51)

mit a1 D sxy =sx2 und b1 D sxy =sy2 . Die Geraden beschreiben die Stichprobenwerte xi ; yi ; i D

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,20 0,30 0,30 0,40 0,40 0,40 0,50 0,60 0,60 0,70 0,70 5,30

44,5 52,2 56,8 61,0 62,5 65,0 72,1 80,0 82,2 92,9 92,3 804,9

8,90 15,66 17,04 24,40 25,00 26,00 36,05 48,00 49,32 65,03 64,61 388,69

0,04 0,09 0,09 0,16 0,16 0,16 0,25 0,36 0,36 0,49 0,49 2,69

1 980,25 2 724,84 3 226,24 3 721,00 3 906,25 4 225,00 5 198,41 6 400,00 6 756,84 8 630,41 8 519,29 57 172,09

180

H.-J. Schulz

nach Gl. (9.44) a0 D 67;075  94;29  Gnedenko, B.W.: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Frankfurt a.M.: Deutsch 1978. 0;442 D 25;40, die Regressionsgerade alGnedenko, B.W.; Chintschin, A.: Elementare Einführung so y D 25;40 C 94;29x mit y D  und in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Dt. Verx D c im Definitionsbereich 0;20 5 x 5 lag d. Wiss. 1955. 0;70 (Abb. 9.4). Der Korrelationskoeffizient Graf; Kenning; Stange: Formeln und Tabellen der mathematischen Statistik. Berlin: Springer 1966. ist nach Gl. (9.50)

1. Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publ. 1970.

Kreyszig, E.: Statistische Methoden und ihre Anwendungen, 6. Aufl. Göttingen: Vandenhoeck 1977. Meschkowski, H.: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mannheim: Bibl. Inst. 1968. von Mises, R.: Wahrscheinlichkeitsrechnung. New York: Rosenberg 1945. Morgenstern, D.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, 2. Aufl. Berlin: Springer 1968. Papoulis, A.: Probability, Random Variables and Stochastic Processes. New York: McGraw Hill 1965. von Steinecke, V.: Das Lebensdauernetz. Berlin: Beuth 1975. van der Waerden, B.L.: Mathematische Statistik, 3. Aufl. Berlin: Springer 1971.

Bücher

Normen und Richtlinien

Barth; Bergold; Haller: Stochastik I u. II. München: Ehrenwirth 1973/74. Butzer, P.L.; Scherer, K.: Approximationsprozesse und Interpolationsmethoden. Mannheim: Bibl. Inst. 1968. Fisz, M.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, 10. Aufl. Berlin: Dt. Verl. d. Wiss. 1980.

DIN 1319T3: Grundbegriffe der Meßtechnik; Begriffe für die Fehler beim Messen. DIN 55302T1: Statistische Auswertungsverfahren; Häufigkeitsverteilung, Mittelwert und Streuung, Grundbegriffe und allgemeine Rechenverfahren.

rxy

p D 2;993= 0;032  289;4 D 0;98I

er zeigt eine stark korrelierende lineare Abhängigkeit der Zugfestigkeit des Stahls vom Kohlenstoffgehalt an. J

Literatur

Numerische Verfahren

10

Hans-Joachim Schulz

10.1 Numerische – Analytische Lösung Verfasst von P. Ruge Abb. 10.1 Bernoullibalken

Von allen Teildisziplinen der Mathematik hatte in den letzten 30 Jahren die numerische Mathematik mit ihrer Realisierung auf programmierbaren Rechnern den mit Abstand größten Einfluss auf die Ingenieurwissenschaften. Universelle Lösungsstrategien wie die Finite Element Methode und hocheffektive Algorithmen erlauben die Behandlung von Problemen mit Millionen Freiheitsgraden. Analytische Verfahren treten dabei fast ganz in den Hintergrund und doch haben sie eine wesentliche Funktion bei der Kontrolle von Näherungsergebnissen. So können die Biegeeigenfrequenzen f [Hz] eines beidseitig frei drehbar unverschieblich gelagerten Bernoullibalkens nach Abb. 10.1 als analytische Funktion der Ordnungszahl k angegeben werden. k2  f D 2 EI: l: : A:

s EI l 3 Al

I

k D 1; : : :; 1:

Biegesteifigkeit Balkenlänge Spezifische Masse pro Volumen Querschnittsfläche

H.-J. Schulz () Berlin, Deutschland

10.2 Näherungsverfahren (Iterationsverfahren)

Die Lösung x einer transzendenten oder einer algebraischen Gleichung f (x) D 0 von mehr als 4. Grad – Wurzel der Gleichung genannt – ist meist nicht explizit angebbar. Daher sind schrittweise bestimmte Näherungswerte xi der Wurzel mit der Genauigkeit " numerisch so zu berechnen, dass limi !1 jxi  xj < ": Wichtig sind hierbei die geeigneten Anfangswerte x0 ; x1 ; : : : ; die schnelle Konvergenz des Verfahrens (s. Abschn. 10.2.2 bis 10.2.5) und die erreichbare Genauigkeit " (s. Abschn. 10.2.6). Die Lösung von f (x) D 0 ist äquivalent der Nullstelle z von f D f fx, y)jx 2 [a, b] R, y 2 R, (10.1) x ! y D f (x)g, wobei f (z) D 0 für x D z 2 [a, b] gilt. Es werden nur reelle Funktionen einer Variablen, die im Intervall [a, b] stetig differenzierbar sind und mindestens eine einfache Nullstelle haben, betrachtet. Ein geeigneter Anfangswert x0 ergibt sich häufig aus der Abszisse des Schnittpunkts der Kurve mit der x-Achse, welche oft durch die Umformung f .x/ D 0 , g1 .x/ D g2 .x/ leichter zu finden ist. Für Rechenanlagen ist es vorteilhaft,

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_10

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182

H.-J. Schulz

dass zu beiden Seiten der Nullstelle mit a0 < z < b0 ein Vorzeichenwechsel zwischen f .a0 / und f .b0 / auftritt, also f .a0 /  f .b0 / < 0 gilt. Besteht an den äquidistanten Stützstellen xj und xj C1 des Intervalls [a, b] der Vorzeichenwechsel gemäß f .xj /  f .xj C1 / < 0, so liegt die Nullstelle im Teilintervall Œxj ; xj C1 , dessen Grenzen zwei meist geeignete Anfangswerte sind; sonst Abb. 10.2 Straklatte als physikalischer Spline und maist die Schrittweite h D xj C1  xj zu verklei- thematische Nachbildung nern. len. Diese Kurven gehen für die Randwerte von t durch die Stützpunkte und stimmen dort in der 10.2.1 Splineinterpolation und Tangentenrichtung und der Krümmung überein.

Bezier-Kurven Problemstellung Beim Bau von Fahrzeugen, Maschinen und Werkzeugen besteht das Bedürfnis, „glatte“ Oberflächen durch eine diskrete Anzahl von Stützpunkten (Knoten) zu legen, die aus Messungen oder numerischen Berechnungen bekannt sind. Polynominterpolation nach Gl. (10.27) erzeugt dabei große Welligkeiten, wenn der Grad des Polynoms größer als drei wird, während Approximationen mit einem Grad, der wesentlich kleiner als die Zahl der Stützpunkte ist, diese nicht mehr genau darstellt. Der Körper kann durch Raumkurven, Flächen- oder Körperelemente dargestellt werden. Die Konstrukteure zeichneten früher solche Kurven mit Hilfe dünner Straklatten aus Holz oder Kunststoff (engl.: spline), die durch Strakgewichte in den Stützpunkten fixiert wurden. Die Entwicklung moderner CAD-Verfahren (s. Bd. 2, Kap. 6) machte die mathematische Nachbildung des physikalischen Strakens erforderlich, um rechnergesteuertes Zeichnen und interaktives Gestalten der Flächen zu ermöglichen. Für die dünne Straklatte (Abb. 10.2) gilt nach Gl. (20.37) vereinfacht mit y 0  1, dass für die Biegelinie die Formänderungsenergie Z W D 0;5  .M 2 .x/=E  I /  y 00 dx

Darstellung einer Raumkurve durch n C 1 Stützpunkte mit Hilfe von Spline-Funktionen Eine Funktion, die sich stückweise aus Polynomen vom Grade k zusammensetzt, die (k  1)mal stetig differenzierbar ist und durch die Stützpunkte geht, heißt interpolierende Spline-Funktion vom Grade k. Bevorzugt werden kubische Splines (k D 3) (Abb. 10.3) gewählt, da sie bei niedrigstem Grad einen Wendepunkt enthalten. Eine kubische Funktion wird durch vier Koeffizienten eindeutig festgelegt. Nach Ferguson werden zu ihrer Bestimmung die Koordinaten zweier Punkte und die zugehörigen ersten Ableitungen gewählt, wodurch stückweise aneinandergesetzte Kurvenstücke stetig differenzierbar anschließen. Im Intervall t 2 [0;1] gilt für das Polynom 3. Grads:

minimiert werden muss. Dies wird durch Polynome 3. Grads des Parameters t 2 [0;1] gelöst, die kubische Kurvensegmente zwischen den Stütz- Abb. 10.3 Zylindrische Schraubenlinie Z.t / approxi¯ punkten Pj , Pj C1 mit j D 0; 1; 2; : : : ; n darstel- miert durch eine Spline-Funktion S .t /

10 Numerische Verfahren

183

(Zur besseren Unterscheidung des Polynoms Segmente von P 1 bis P n1 , (n  1) lineare Gleivon den Stützpunkten P wird es mit S .t/ be- chungen, die sich rekursiv lösen lassen zeichnet. Die Ableitung nach dem Parameter t ist P 0j 1 C 4P 0j C Pj0 C1 D 3P j 1 C 3P j C1 hier mit 0 notiert.) für j D 1; 2; : : : ; .n  1/: (10.6) S .t/ D a3 t 3 C a2 t 2 C a1 t C a0 T Für die beiden äußeren Segmente können die D .x.t/; y.t/; z.t// (10.2) Randbedingungen für zwei bevorzugte Fälle aufgestellt werden: mit den Randbedingungen S .0/ D P 0 S .1/ D P 1 S 0 .0/ D P 00 S 0 .1/ D P 01

D .x0 ; y0 ; z0 /T D a0 ; D .x1 ; y1 ; z1 /T D a3 C a2 C a1 C a0 ; D .x00 ; y00 ; z00 /T D a1 ; D .x10 ; y10 ; z10 /T D 3a3 C 2a2 C a1 :

Fall I. Die Enden sind frei, d.h. die Krümmung verschwindet in den äußeren Punkten: S 001 .0/ D 0 D S 00n .1/ also folgt damit

2P 00 C P 01 D 3P 0 C 3P 1 (10.3) Die Koeffizienten aj D .ajx ; ajy ; ajz /T mit und P 0n1 C 2P 0n D 3P n1 C 3P n : (10.7) j D 0, 1, 2, 3 sind Vektoren für die drei Raumkoordinaten x, y, z, die aus dem Gleichungssystem Fall II. Die Enden sind eingespannt, d.h. die (10.3) zu berechnen sind ersten Ableitungen sind in den Endpunkten vorgegeben: 0 a0 D P 0 ; a1 D P 0 ; (10.8) S 01 .0/ D P 00 und S 0n .1/ D P 0n : a2 D 3P 0  3P 1  2P 00  P 01 a3 D 2P 0  2P 1 C P 00 C P 01 :

Damit lassen sich für jedes Segment beliebige Zwischenpunkte nach Gl. (10.4) ausrechnen und Eingesetzt in Gl. (10.2) und nach den gegebenen zeichnen. Werten umsortiert ergibt sich die Form S .t/ D P 0 .2t 3  3t 2 C 1/ C P 1 .2t 3 C 3t 2 / C P 00 .t 3  2t 2 C t/ C P 01 .t 3  t 2 /: Für die Kurvensegmente zwischen den Punkten P j 1 ; P j mit j D 1; 2; : : : ; .n  1/ ergeben sich (n  1) Polynome S j .t/ D P j 1 .2t 3  3t 2 C 1/ C P j .2t 3 C 3t 2 / C P 0j 1 .t 3  2t 2 C t/ C P 0j .t 3  t 2 / (10.4) für die gilt: S j .0/ D P j 1 ; 0 S j 1 .1/ D S 0j .0/;

S j .1/ D P j ;

Beispiel

Gegeben sei ein Stück einer zylindrischen Schraubenlinie, die exakt durch die Gleichung Z. / D .cos. /; sin. /;  /T im Intervall ¯  2 Œ0;   beschrieben wird, und das an (n C 1) D 4 Stützpunkten zum Vergleich der Darstellungsgüte durch eine Spline-Funktion S .t/ approximiert werden soll (s. Abb. 10.3), Tab. 10.1. Die Steigungen in den Endpunkten sind bekannt, sodass der Fall II vorliegt (Gl. (10.8)): P 00 D Z01 .0/ D .x00 ; y00 ; z00 /T D .0; 1; 1/T ¯ P 03 D Z03 .1/ D .x30 ; y30 ; z30 /T D .0; 1; 1/T : ¯

Tab. 10.1 Stützpunkte P j S 00j 1 .1/ D S 00j .0/: (10.5) j  /rad x ( ) Aus Gl. (10.4) und (10.5) folgen die Ablei- 0 0 1 /3 0,5 tungswerte P 0j bei gegebenen Punktkoordinaten. 1 2 2/3 0,5 Gl. (10.4) zweimal nach t differenziert ergibt, mit  1 den Randbedingungen Gl. (10.5) für die inneren 3

y ( ) 0 0,866 0,866 0

z ( ) 0 1,047 2,094 3,142

10

184

H.-J. Schulz

Tab. 10.2 Berechnete Steigungswerte P 0j D .xj0 ; yj0 ; zj0 /T

j 0 1 2 3

xi0 0 0,9 0,9 0

yi0 1 0,5327 0,5327 1

zi0 1 1,0566 1,0566 1

j 1 2 3

a3x 0,1 0,2 0,1

a2x 0,6 0,3 0,3

a1x 0 0,9 0,9

Aus Gl. (10.8) und (10.6) folgt .48/ W x00 .46/ j D 1W x00 C 4x10 C x20 j D 2W .48/

W

D0 D 3  1 C 3  .0;5/ D 4;5 x10 C 4x20 C x30 D 3  0;5 C 3  .1/ D 4;5 x30 D 0:

Aufgelöst ergeben sich die Werte x00 D 0; x10 D 0;9; x20 D 0;9; x30 D 0, die zusammen mit den Punktkoordinaten in Gl. (10.4) eingesetzt werden: x1 .t/ D 1  .2t 3  3t 2 C 1/ C 0;5  .2t 3 C 3t 2 /  0;9  .t 3  t 2 /: Durch Umsortieren nach Potenzen von t folgen auch die Koeffizienten ajx der Gl. (10.2) für das erste Segment, nämlich x1 .t/ D 0;1  t 3  0;6  t 2 C 1; also

Die Randwerte für t D 0 und t D 1 stimmen mit den Stützpunkten überein. In den weiteren Spalten sind die Werte für t D 0;5 berechnet und die Abstände zum Sollwert xSj angegeben. ı D xj .0;5/  xSj a0x xj (0,5) xSj ı103 1 0,8625 0,86603 3,5 0,5 0 0 0 0,5 0,8625 0,86603 3,5

berechnung erfordert. Kurvenzüge mit beabsichtigten Knicken (Unstetigkeiten der ersten Ableitung) oder sprunghafter Änderung der Krümmung (Unstetigkeiten der zweiten Ableitung) werden in Bereiche zerlegt, für die jeweils eigene Spline-Funktionen berechnet werden.

Bezier-Kurven Die in Gl. (10.4) auftretenden Hermite-Polynome des Parameters t heißen Binde- oder Basisfunktionen (blending-functions). Durch die Wahl anderer Bindefunktionen kann das Verhalten der approximierenden glatten Kurve beeinflußt werden. Das gibt dem interaktiv arbeitenden Konstrukteur die Möglichkeit, durch einen Polygonzug das Verhalten im Groben vorzugeben. Bevorzugt werden die Punkte zur Bestimmung des Polygons gewählt. Bei (n C 1) Polygoneckpunkten P j mit j D 0; 1; : : : ; n im Parameterintervall t 2 Œ0;1 erfolgt die Darstellung der Bezier-Kurve durch S .t/ D

n X

P j  B nj .t/;

j D0

wobei als Basisfunktionen Bjn .t/ die Bernsteina3x D 0;1I a2x D 0;6I funktionen dienen. Sie lauten ! a1x D 0I a0x D 1: n j n t  .1  t/nj Bj .t/ D j Analog lassen sich die Gleichungen für die anderen Segmente und für die y- bzw. mit der Eigenschaft z-Koordinaten aufschreiben. Die Ergebnisse n X sind in Tab. 10.2 zusammengefasst. Bjn .t/  1: (10.9) Die Abweichungen sind graphisch nicht j D0 darstellbar. J So ist B01 D 1  t und B11 D t, ferner B03 D Dieser einfachen Anwendbarkeit der Spline- .1  t/3 , B13 D 3t  .1  t/2 ; B23 D 3t 2  .1  t/ Funktion steht der Nachteil gegenüber, dass die und B33 D t 3 , wie in Abb. 10.4a,b für n D 1 und Änderung eines Stützpunkts vollständige Neu- n D 3 graphisch dargestellt.

10 Numerische Verfahren

185

Die Genauigkeit ist für graphische Anwendungen wohl ausreichend. J

Abb. 10.4 Bezier-Kurven für n D 1 und n D 3

Beispiel

Es soll die Sinuskurve im ersten Quadranten mittels des Polygons durch die willkürlich gewählten Punkte P0 ; P1 ; P2 ; P3 nach Abb. 10.5 als Bezier-Kurve S .t/ approximiert werden (Tab. 11.3). ! 3 X x.t/ xj  Bj3 .t/ und S.t/ D mit x.t/ D y.t/ j D0 y.t/ D

3 X

yj  Bj3 .t/

j D0

x.t/ D 0;5  3t.1  t/ C 1;2  3t 2 .1  t/ 2

C . =2/  t 3

B-spline-Kurven Für die B-spline-Kurve werden spezielle, nur stückweise definierte Polynome, die Basis-splines, als Bindefunktionen gewählt. Sie verbinden die (n C 1) Ecken P j eines die gewünschte Kurve umschreibenden Polygons. Das Intervall des Parameters u wird – anders als bisher – durch den Knotenvektor U D .u0 ; u1 ; : : : ; un / mit uj 5 uj C1 in ganzzahlige Segmente u 2 Œj; j C 1 D Œuj ; uj C1  zerlegt. Wie bei den Bezier-Kurven gilt die DarPn k stellung S .u/ D j D0 P j  Nj .u/ mit den normierten Basisfunktionen der Ordnung k, die rekursiv berechnet werden: ( 1 für u 2 Œj; j C 1 1 Nj .u/ D 0 für u 62 Œj; j C 1 und u  j k1 Njk .u/ D N .u/ k1 j j C k  u k1 (10.10) Nj C1 .u/: C k1

Die Basisfunktion Njk .u/ ist ein Polynom vom Grade (k  1), das gerade das Intervall [j, j C k] ıx D 100.x.t/  t  =2/=.t  =2/ % überspannt und (k  2)mal stetig differenzierbar ıy D 100.y.t/  sin.x.t///= sin.x.t// %: ist (Tab. 10.4). Damit wird erreicht, dass eine Ecke die Gestalt der Kurve nur lokal beeinflußt und die Kurve Knicke, Wendepunkte oder Schleifen nachbilden kann, wenn das Polygon diese Eigenschaften aufweist. Das definierende Polygon wird durch die Ordnung k D 2 nachgebildet. Für höhere Ordnungen fällt die Kurve steifer aus. Die Kurve liegt in der konvexen Hülle des k-Ecks der Stützstellen P j ; : : : P j Ck1 . Mit einfachen Knoten ergibt die Aneinanderreihung der B-splines periodische BaAbb. 10.5 Definierendes Polygon P0 ; P1 ; P2 ; P3 und Sinuskurve angenähert als Bezier-Kurve (vgl. Tab. 10.3) sisfunktionen mit der Periode k. y.t/ D 0;5  3t.1  t/2 C 3t 2 .1  t/ C t 3

Tab. 10.3 Bezier-Interpolation

Gegebene Pj j 0 1 2 3

xj 0 0,5 1,2 /2

yi 0 0,5 1 1

Interpolierte Punkte und ihre Abweichung von den exakten Werten t x(t) ı x in % y(t) ı y in % 0 0 0 0 0 0,2 0,3198 1,8 0,296 5,8 0,4 0,6621 5,4 0,568 7,6 0,6 1,0017 6,3 0,792 6,0 0,8 1,3130 4,5 0,944 2,3 1 1,5708 0 1 0

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Tab. 10.4 B-spline-Polynome der Ordnung k und ihre Kurven. (Es werden nur die in den Parameterabschnitten von Null verschiedenen Funktionen angegeben)

Werden m Knoten an der Stelle uj zusammengelegt, wird die Reichweite der Basisfunktionen verringert und die Differenzierbarkeit an der Stelle uj auf (k  m  2) reduziert. so ergeben sich nichtperiodische Basisfunktionen, die – im Sonderfall des Knotenvektors aus je k-fachem Anfangs- und Endknoten – eine Bernstein-Basis darstellen. Für die B-splines kann auch das umgekehrte Verfahren entwickelt werden: Sind am Anfang des Entwurfs einige Punkte der gesuchten Kurve bekannt, so kann mit dem zugehörigen Polygon so lange gearbeitet werden, bis die gewünschte Form erreicht ist.

Funktionen für die Koordinaten beschrieben werden durch die allgemeine Form P D .x; y; z/ D .x.u; v/; y.u; v/; z.u; v//. Es werden drei Kategorien von Flächen unterschieden: Strakflächen, dargestellt durch die Kurven ebener Schnitte mit der Fläche, z.B. Höhenlinien in Landkarten, Wasserlinien und dazu parallele Kurven im Schiffbau oder Rumpfquerschnitte im Schiff- und Flugzeugbau. Mit geeigneten Bindefunktionen F folgt P.u; v/ D

n X

P.uj ; v/  Fj .u/

j D0

für Schnitte uj D const Flächendarstellung oder m X Die Darstellung einer Fläche erfolgt durch LiniP.u; vk /  Fj .v/ P.u; v/ D en, die auf der Fläche liegen, sodass die TechnikD0 ken für Kurven passend in den dreidimensionalen für Schnitte vk D const; (10.11) Raum übertragen werden. Ein Raumpunkt auf der Fläche kann durch womit das Problem auf die einparametrische Kurzwei unabhängige Parameter u, v mittels dreier vendarstellung reduziert ist.

10 Numerische Verfahren

187

Produktflächen sind aus der Interpolation von diskreten Stützpunkten darstellbar, die meist in einem Rechteckraster angeordnet sind. Analog zur Kurvendarstellung nach Ferguson werden vier Randkurven ringförmig zusammengefügt. Die parametrischen partiellen Ableitungen in den Stützstellen sichern die stetigen Anschlüsse, um die Kurven an beliebigen Stellen innerhalb dieses Rahmens zu interpolieren P.u; v/ D

n X m X

P.uj ; vk /  Fj .u/  Fk .v/:

j D0 kD0

Abb. 10.6 Flächenstück über rechteckigem Raster, dar-

(10.12) gestellt durch vier Stützpunkte, Randkurven und partiellen Ableitungen in den Stützpunkten

Summenflächen werden aus zwei einparametrischen Kurvenfamilien gebildet. Es wird das die Fläche überspannende Liniennetz P.uj ; v/ und P.u; vk / aufgebaut, die ebenfalls über rechteckigen (für kugelige Flächen auch dreieckigen) Flächenrastern erklärt sind. Allgemein ergibt sich die Darstellung

forderungen zum jeweils benachbarten Flächenstück erfüllen. Im einfachsten Fall der linearen Coonsschen Fläche leisten die linearen Lagrange-Polynome (Gl. (4.22)) den stetigen Anschluss an die Nachbarflächen, wobei allerdings Knicke auftreten können

P.u; v/ D .Fj .u/ C Fk .v/  Fj .u/  Fk .v//  P j,k .u; v/: (10.13) Der negative Term berücksichtigt die Tatsache, dass bei der Kombination der beiden Kurvenscharen die Werte der Schnittpunkte doppelt vorhanden sind und daher die Mittelebene subtrahiert werden muss. Für die Summenfläche nach Coons folgt mit den Bezeichnungen des Abb. 10.6 das Flächenstück über dem rechteckigen Raster mit den vier Randkurven P.0; v/; P .1; v/; P .u; 0/; P.u; 1/ im ebenen Parameterbereich .u; v/ 2 Œ0I 1  Œ0I 1. P.u; v/ D P.0; v/  F0 .u/ C P.1; v/  F1 .u/

F0 .u/ D 1  u;

F1 .u/ D u;

F0 .v/ D 1  v;

F1 .v/ D v:

(10.15)

Um dies zu vermeiden, muss die Stetigkeit der ersten partiellen Ableitungen und die gemischte zweite Ableitung (Twistvektor genannt) durch Bindefunktionen eingeführt werden P u D @P=@uI

P v D @P=@vI

P uv D @ P=@u @v: 2

Damit folgt nach umfangreicher Schreibarbeit für die bikubische Coonsche Fläche, mit den Hermite-Polynomen

C P.u; 0/  F0 .v/ C P.u; 1/  F1 .v/  P.0;0/  F0 .u/  F0 .v/

F0 .u/ D 2u3  3u2 C 1;

 P.0;1/  F0 .u/  F1 .v/

F1 .u/ D 2u3 C 3u2 ;

 P.1;0/  F1 .u/  F0 .v/

G0 .u/ D u3  2u2 C u;

G1 .u/ D u3  u2  P.1;1/  F1 .u/  F1 .v/: (10.16) (10.14) mit u 2 Œ0;1 und analog für v 2 Œ0;1 und den Die Fj .u/; Fk .v/ sind wieder geeignete Binde- Randkurven P.0; v/, P.1; v/, P.u; 0/, P.u; 1/ funktionen mit Eigenschaften, die die Stetigkeits- sowie den partiellen Ableitungen P u ; P v ; P uv in

10

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H.-J. Schulz

P.0;1/ D .0; 2; 5/;

Matrixschreibweise 2

3T F0 .u/ 6 7 6 F1 .u/ 7 6 7 P.u; v/ D 6 7 4G0 .u/5 G1 .u/ 2 3 P.0;0/ P.0;1/ j P v .0;0/ P v .0;1/ 6 7 6 P.1;0/ P.1;1/ j P v .1;0/ P v .1;1/ 7 6 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 4P u .0;0/ P u .0;1/ j P uv .0;0/ P uv .0;1/5 P u .1;0/ P u .1;1/ j P uv .1;0/ P uv .1;1/ 2 3 F0 .v/ 6 7 6 F1 .v/ 7 6 7: 6 7 4G0 .v/5 G1 .v/ (10.17) Die Bestimmung des Twistvektors macht in der Praxis die meisten Schwierigkeiten und er wird für nicht zu hohe Ansprüche oft zu Null gesetzt. Es gibt dann etwas flach wirkende Flächen. Beispiel

Mit einer längeren Rechnung an der Fläche von Abb. 10.7 mit den unten stehenden Daten im Rechteck 0 5 x 5 1 und 0 5 y 5 2 soll die Berechnung der Coonsschen Fläche demonstriert werden: P.0;0/ D .0; 0; 9/;

P u .0;0/ D .1; 0; 1/;

P v .0;0/ D .0; 1; 1/

P u .0;1/ D .1; 0; 1/;

P v .0;1/ D .0;1; 4/ P.1;0/ D .1; 0; 8/;

P u .1;0/ D .1;0; 2/;

P v .1;0/ D .0; 1; 1/ P.1;1/ D .1; 2; 4/;

P u .1;1/ D .1;0; 2/;

P v .1;1/ D .0;1; 4/ und verschwindendem Twistvektor P uv  .0; 0; 0/. Aus Gl. (10.17) folgt 3T 2 3 0 0 0 0 F0 .u/ 7 6 6 7 6 F1 .u/ 7 61 1 0 07 6 7 6 7 x.u; v/ D 6 7 6 7 4G0 .u/5 41 1 0 05 G1 .u/ 1 1 0 0 3 2 3 2 2v  3v C 1 7 6 7 62v 3 C 3v 2 7 6 6 7 3 2 4 v  2v C v 5 v3  v2 3T 2 3 2 0 2u3  3 u2 C 1 7 6 7 6 7 617 62u3 C 3 u2 7 6 7 D 6 6 u3  2 u2 C u7  617 D u: 5 4 5 4 1 u3  u2 2

Analog ergeben sich y.u; v/ D 2v 3 C 3v 2 C v und z.u; v/ D u3  3u2 C u C 5v 3  10v 2 C v C 9: Die Randkurven sind z.u; 0/ D u3  3u2 C u C 9; z.u; 1/ D u3  3u2 C u C 5; z.0; v/ D 5v 3  10v 2 C v C 9; z.1; v/ D 5v 3  10v2 C v C 8:

Abb. 10.7 Bikubische Coonssche Fläche P.u; v/ D .x.u; v/I y.u; v/I z.u; v//

In entsprechender Weise können auch Bezierund B-spline-Flächen entwickelt werden. J

10 Numerische Verfahren

189

Abb. 10.8 Verfahren der schrittweisen Näherung. a und b konvergente, c und d divergente Umformungen x D g(x)

10.2.2 Methode der schrittweisen Näherung (Iterationsverfahren)

Beispiel

Gegeben ist exp x C sin x D 0. Eine grobe Handskizze der Kurven y D exp x und y D  sin x liefert einen Näherungswert x0 D 0;6 für die betragkleinste Nullstelle, die hier genügt, sodass f .x/ D exp x C sin x D 0 im Intervall Œ1; 0;5 untersucht werden kann. Eine Umformung nach Gl. (10.18) ist x D ln. sin x/ mit g.x/ D ln. sin x/ im ausgewählten Intervall. g 0 .x/ D cot x nach Gl. (10.19) liefert j cot.0;6/j D 1;46 > 1, also keine Konvergenz. Die Umkehrfunktion x/ hat die Ableig .1/ .x/ D arcsin. expp tung .g .1/ /0 D  exp x= 1  exp.2x/ mit .g .1/ /0 .0;6/ D 0;657 < 1; sie konvergiert mit xi C1 D arcsin. exp xi / von x0 D 0;6 an. g .1/ .x/ ist die zweite Möglichkeit zum Umformen nach Gl. (10.18); s. Tab. 10.5, Spalte 3. J

Die gegebene Gleichung f (x) D 0 wird umgeformt in x D g(x). Für einen Anfangswert x0 und i D 1; 2; 3; : : : ergeben sich die xi aus xi C1 D g.xi /:

(10.18)

Diese Folge konvergiert gegen die Nullstelle z, d. h., limi !1 xi D z, wenn für alle xi die hinreichende Konvergenzbedingung jg 0 .xi /j 5 m < 1

(10.19)

erfüllt ist. Geometrisch bedeutet dies, den Schnittpunkt der Geraden y D x mit der Kurve y D g(x) entlang eines treppen- bzw. spiralförmigen Polygonzugs zwischen beiden zu bestimmen (Abb. 10.8). Die Konvergenzbedingung stellt sicher, dass beim Übergang von der Kurve zur Geraden die Abszissendifferenz jxi C1  xi j größer als die Ordinatendifferenz jg.xi C1 /  xi j ist (vgl. Abb. 10.8a,b mit Abb. 10.8c,d). Ist die Konvergenzbedingung verletzt, so hilft für Funktionen g, die in der Umgebung von z streng monoton sind, die Umkehrfunktion g .1/ weiter, da durch Spiegelung der Funktion g an der Geraden y D x die Ableitung der Umkehrfunktion j.g .1/ /0 j < 1 wird, der Schnittpunkt jedoch erhalten bleibt. Die konvergierende Funktion g(x) heißt Einpunkt-Iterationsfunktion, da nur Informationen eines Punkts genutzt werden.

Tab. 10.5 Vergleich der Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung am Beispiel f .x/ D exp x C sin x D 0 im Intervall Œ1; 0;5: z D 0;588532744 ˙ 5  1010 ; jxi  xi1 j < 103 i

xi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,6

Iterationsverfahren Gl. (10.18)

Newtonsches Regula falsi Verfahren Gl. (10.22) Gl. (10.20)

0,58094 0,59363 0,58515 0,59080 0,58702 0,58954 0,58786 0,58898 0,58823

0,58848 0,58853

0,5 0,58892 0,58855

10

190

H.-J. Schulz

Schnittpunkt mit der x-Achse liefert einen neuen Näherungswert x3 für die Nullstelle (Abb. 10.9b). Hier wurde also die 1. Ableitung in Gl. (10.20) – Newton-Verfahren – durch den Differenzenquotienten ersetzt. Mithin gilt

Abb. 10.9 Näherungsverfahren. a nach Newton; b Regula falsi

10.2.3 Newtonsches Näherungsverfahren Hierbei wird in der Nähe der Nullstelle z der gegebenen Funktion f die Kurve durch ihre Tangente im Näherungswert x0 ersetzt und deren Schnittpunkt mit der x-Achse als verbesserter Näherungswert x1 bestimmt (Abb. 10.9a). Damit folgt die Newtonsche Näherungsformel xi C1 D xi  f .xi /=f 0 .xi /:

(10.20)

xi C1 D xi  f .xi /.xi  xi 1 /=Œf .xi /  f .xi 1 /; (10.22) beginnend mit bekannten Werten x0 ; x1 . Die rechte Seite stellt die Einpunkt-Iterationsfunktion g.xi ; xi 1 / „mit Gedächtnis“ dar, welche die Information des vorherigen Punkts wiederverwendet. Liegt das Intervall [xi 1 ; xi ] so, dass es den Vorzeichenwechsel von f enthält, also f .xi /  f .xi 1 / < 0 gilt, so ist Gl. (10.22) die Regula falsi und die Interpolationsgerade eine Sekante. Für x0 ; x1 ist dies durch den in der Einleitung von Abschn. 10.2 beschriebenen Suchalgorithmus gegeben. Für die weiteren Iterationen ist immer zu erreichen, dass die Nullstelle zwischen den beiden Näherungswerten liegt, da entweder f .x0 /  f .x2 / < 0 oder f .x2 /  f .x1 / < 0 gilt. Die Regula falsi konvergiert immer für die als stetig vorausgesetzten Funktionen. Als Beispiel s. Tab. 10.5, Spalte 5, mit den Werten des Beispiels in Abschn. 10.2.2.

Wird hier die rechte Seite als Iterationsfunktion g.xi / bezeichnet, so zeigt Gl. (10.18), dass das Newton-Verfahren eine schrittweise Näherung für die spezielle Einpunkt-Iterationsfunktion g.xi / D xi f .xi /=f 0 .xi / ist mit f 0 .xi / ¤ 0. 10.2.5 Die Konvergenzbedingung ist mit Gl. (10.19)

Konvergenzordnung

jg 0 .xi /j D jf .xi /f 00 .xi /=f 0 2 .xi /j 5 m < 1: Der Aufwand zur Ermittlung der Nullstelle mit (10.21) vorgegebener Genauigkeit ist für die Verfahren sehr verschieden (s. Tab. 10.5). Neben ihm ist vor Beispiel allem die Zahl der Schritte ausschlaggebend. Sie Für exp x C sin x D 0 mit dem Anfangswert ist umso kleiner, je größer die Konvergenzordx0 D 0;6 und dem Intervall Œ1; 0;5 er- nung p ist. gibt sich nach Gl. (10.21) f .x/ D e x C sin x; lim jxi C1  zj=jxi  zjp D c f 0 .x/ D e x C cos 0x; f 00 .x/ D e x  sin x: i !1 ( jg 0 .0;6/j D 0;0093 < 1, also Konvergenz (s. jcj < 1 für p D 1 Tab. 10.5, Spalte 4) J mit (10.23) jcj < 1 für p > 1:

10.2.4 Sekantenverfahren und Regula falsi

Dabei ist c die asymptotische Fehlerkonstante. Mit Hilfe der Taylorentwicklung an der Nullstelle z folgt für eine gegen z konvergierende EinpunktAnstelle der Funktionskurve wird eine Sekante Iterationsfunktion: Ist g(x) p-mal stetig differendurch zwei in der Nähe der Nullstelle gelege- zierbar und gilt z D g(z) sowie jg 0 .z/j < 1, falls ne Punkte .x0 ; f .x0 // und .x1 ; f .x1 // gelegt. Ihr p D 1, bzw. g 0 .z/ D g 00 .z/ D : : : g (p1/ .z/ D 0

10 Numerische Verfahren

191

und g (p/ .z/ ¤ 0, so hat das durch xi C1 D g.xi / für die Grenzgenauigkeit, die durch die Funktion definierte Iterationsverfahren die Konvergenzord- f und die Stellenzahl der Rechenanlage bestimmt ist. Innerhalb des Intervalls ist f .xi / D 0, und nung p. die neuen Iterationswerte sind mit schwankenden Einfache Iteration. Nach Gl. (10.18) ist hier- Rundungsfehlern behaftet. Um diese Genauigbei g(x) D x  f (x), also folgt aus jg 0 .x/j D j1  keit, die meist vorher nicht bekannt ist, auszunutzen, wird eine relativ grobe Schranke " vorgegef 0 .x/j < 1 die Konvergenzanordnung p =1. ben und als Abbruchkriterium gefordert, dass Newton-Verfahren. Hier ist g.x/ D x  jxi C1  xi j = jxi  xi 1 j und f .x/=f 0 .x/; bei Konvergenz nach Gl. (10.21) aljxi  xi 1 j < " so g 0 .z/ D f .z/  f 00 .z/=f 0 2 .z/ D 0 und g 00 .z/, das meist unbekannt ist. Hier ist also p = 2. ist, um xi als Wurzel anzuerkennen. Sekanten-Verfahren und Regula falsi. Sie sind Einpunkt-Iterationsfunktionen „mit Gedächtnis“, für die p 1;62 bzw. 1 ist.

10.2.6 Probleme der Genauigkeit Abbruchfehler "a . Er entsteht durch Abbruch der Berechnung weiterer Folgeelemente vor Erreichen des Grenzwerts z, selbst wenn unendlich viele Stellen für die Zahlendarstellung benutzbar wären. Rundungsfehler "r . Er ergibt sich selbst bei unendlich vielen Folgeelementen durch die begrenzte Stellenzahl.

(10.26)

Beispiel

f .x/ D e x C 1=.10x/ D 0; die Nullstelle mit neun Dezimalen ist z D 3;577152064. Für eine sechsstellige Gleitkommaarithmetik ist ı D 5  107 ; f 0 .z/ D 0;020, also nach Gl. (10.25) "g ı=f 0 .z/ D 2:5  105 , d. h., für alle xi 2 Œ3;57717; 3;57713 ist f .xi / D 0: Eine größere Genauigkeit " < "g ist sinnlos. J xi 3,57718 3,57717 :: : 3,57713 3,57712

f (xi ) 5; 6  107 3; 6  107 :: : 4; 4  107 6; 5  107

>ı 2 wird der Näherungswert nur unwesentlich verbessert. Deswegen ist die Simpsonsche Formel (10.57) auch die am häufigsten verwendete. Eine höhere Genauigkeit ergibt sich durch Einteilen des Intervalls [a, b] in m gleich breite Streifen. Auf jeden Streifen wird Gl. (10.56) oder (10.57) angewendet. Es gilt dann h D (b  a)=(mn), xk D a C kh, k D 0; 1; 2; : : : ; .mn/; mit Gl. (10.54) für aj D a C j.b  a/=m folgt dann Zb f .x/ dx D

m1 n XX

wi f .aj C ih/

j D0 i D0

a

D

mn X

wN k yk :

(10.58)

kD0

Trapezregel. Sie ergibt sich wegen n D 1 zu Zb f .x/ dx a

h.y0 C 2y1 C 2y2 C : : : C 2ym1 C ym /=2: (10.59) Zusammengesetzte Simpson-Formel. Aus Gl. (10.57) folgt mit n D 2, also für m Streifen der Breite 2h, Zb f .x/ dx h.y0 C 4y1 C 2y2 C 4y3 C : : : a

C 2y2m-2 C 4y2m-1 C y2m /=3: (10.60)

Fehlerterme. Sie gelten bei den Gln. (10.59) und (10.60) jetzt für jeden der m Streifen. Der Gesamtfehler ist ihre Summe, wobei die Zwischenstelle z in den jeweiligen Streifen zu legen ist. Mit m X f 00 .zj / D mf 00 .z/; j D1

zj 2 .a C j.b  a/=m; a C .j C 1/.b  a/=m/ und z 2 (a, b) gilt für die Trapezregel und die zusammengesetzte Simpson-Formel mit 2mh D b  a FT D mh3 f 00 .z/=12 D .b  a/h2 f 00 .z/=12;

(10.61)

FS D h5 mf .4/ .z/=90 D h4 .b  a/f .4/ .z/=180:

(10.62)

Eine beliebige Vergrößerung der Streifenanzahl m ist ebenfalls nicht möglich, da damit die Zahl der Rechenoperationen zunimmt und Rundungsfehler dem Genauigkeitsgewinn entgegenwirken. Beispiel

R1 Man berechne 0 x e x dx D 1 näherungsweise nach der Trapez- und Simpson-Formel für m D 1, 2, 4. – Vorbetrachtung: Die Fehlerterme nach Gl. (10.61) sind fT D h2 .b  a/f 00 .z/=12 und FS D h4 .b  a/f .4/ .z/=180I sie werden nach oben abgeschätzt. Es ist f .x/ D xe x C 2e x und f .4/ .x/ D x e x C 4e x ; die ihre Maximalwerte M für x D 1 annehmen. Es ist M2 D 3e 8;2 und M4 D 5e 13;6: Für die kleinste Schrittweite hmn D .b  a/=2m D 0;125 ist also jFT j 5 0;1252  1  8;2=12 D 0;0107 sowie jFS j 5 .0;125/4  13;6=180 D 1;8  105 und für die größte Schrittweite hmax D 0;5 ist jFT j 5 .0;5/2  8;2=12 D 0;171 und jFS j 5 .0;5/4  13;6=180 D 0;0047: Für die Trapezregel (10.4) ist das Rechnen mit drei Stellen, für die Simpson-Formel (10.5) mit sechs Stellen nach dem Komma ausreichend, um Rundungsfehler kleiner als die Verfahrensfehler FT bzw. FS zu halten. i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

xi 0,0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1,000

f (xi ) 0,0000000 0,1416436 0,3210064 0,5456218 0,8243606 1,1676537 1,5877500 2,0990159 2,7182818

m

Trapez-Formel mit drei Stellen 1,092 1,023 1,006

Simpson-Formel mit sechs Stellen 1,002621 1,000169 1,000011

1 2 4

J

10

202

H.-J. Schulz

Richardson-Extrapolation. Ergibt die Trapezregel für die Schrittweite h die Näherung T(h), so gilt mit den Gln. (10.56) und (10.61) sowie Rb z 2 Œa; b J D a f .x/ dx D h.f0 C 2f1 C 2f2 C: : :C2fm1 Cfm /=2.ba/h2 f 00 .z/=12 D T .h/ C a1 h2 ; also T .h/ D J  a1 h2 doppelte Schrittweite T .2h/ D J  4a2 h2 ; wobei für die Näherungsformel a1 a2 D a gesetzt wird. Subtraktion und Auflösen nach ah2 liefern ah2 D ŒT .h/  T .2h/=3 und damit eine Verbesserung der Trapezformel. J D T  .h/

Abb. 10.11 Graphische Integration

D T .h/ C ah2

Darstellung der Rechteckformel (Newton-Cotes(10.63) Formel für n D 0), bei der die Funktionskurve ersetzt wird durch einen Treppenzug mit Da bei der Berechnung von T(h) alle für T(2h) er- zur Abszisse parallelen Stufen. Die Stützstelforderlichen Werte bekannt sind, ist die Verbesse- len werden dabei so gewählt, dass die im rung einfach. Dieses Verfahren heißt Richardson- Abb. 10.11 zu beiden Seiten der Kurve f (x) lieExtrapolation, seine wiederholte Anwendung auf genden, schraffierten Zipfel einer Stufe flächendie Trapezregel unter Verwendung weiterer Po- gleich werden. Die Ordinatenwerte der Stufentenzen von h für den Fehlerterm wird Romberg- punkte A1 ; A2 ; : : : ; A5 werden auf die y-Achse Integrationsverfahren genannt. übertragen und die so gewonnenen Punkte R1 Für 0 x e x dx gilt nach dem letzten Beispiel B1 ; B2 ; : : : ; B5 mit dem Pol P D (1; 0) verbunden. Diese Verbindungsgeraden stellen die [T(h)T(2h)]/3 T*(h) Steigungen der Tangenten an die gesuchte Funkfür m D 4W T .h/ D 1;006 0,006 1,000 tion F(x) dar, deren Ableitung der Integrand 1,000 m D 2W T .2h/ D 1;023 0,023 f (x) ist. Die Parallelen zu den Verbindungslinim D 1W T .4h/ D 1;092 en PBi , beginnend mit PB1 durch den Punkt C1 ; PB2 durch C2 usw., ergeben einen PolygonDa beide Werte in der letzten Spalte übereinstim- zug von Tangenten an die Integralkurve mit den men, ergibt sich schon nach einem Schritt das im BerührungspunktenD1; D2 ; : : : ; D5 : D T .h/ C ŒT .h/  T .2h/=3:

Rahmen der erwünschten Rechengenauigkeit liegende Ergebnis.

10.6.3 Differenzenoperatoren 10.6.2 Graphisches Integrationsverfahren Für orientierende Untersuchungen von Kurven, die zu Integralen mit veränderlicher R x oberer Grenze gehören, also zu F .x/ D a f .z/ dz; genügt oft eine graphische Lösung. Das Konstruktionsverfahren ist dabei die geometrische

Differenzenbildungen sind bei der numerischen Integration, Differentiation und Lösung von Differentialgleichungen hilfreich. Hierzu dient eine Reihe von Differenzenoperatoren, die auf Zahlenfolgen oder Funktionen anwendbar sind. Für die Operatoren gelten die Rechenregeln der Algebra. Die Funktionen seien im Reellen unendlich oft differenzierbar, f 2 C 1 .R/:

10 Numerische Verfahren

203

Exponential-Funktion. Aus dem Klammerausdruck in Gl. (10.66) folgt die Reihenentwicklung für die Exponentialfunktion. E D exp.hD/: Die Identität f (x C h) D f (x C h)  f (x) C f (x) ergibt die Beziehung Ef .x/ D f .x/ C f .x/ ) E D  C 1 D exp.hD/:

Definition. Es gibt Operatoren für

9 > D f .x C h/; > > > > D f .x C h/  f .x/; > > > > > D f .x/  f .x  h/; > > > > = D f .x C h=2/  f .x  h=2/; > Binomial-Satz. Die 2. Potenz des Vorwärtsdif> > > > ferenzoperators von > Differentiation Df D f 0 .x/; > > > > > Mittelwert f D Œf .x C h=2/ > > 2 f .x/ D .f .x// D .f .x C h/  f .x// > ; C f .x  h=2/=2: D Œf .x C 2h/  f .x C h/ (10.64)  Œf .x C h/  f .x/; Diese Operatoren sind linear, da für beliebige Konstanten a, b 2 R und Funktionen f , g gilt: also Verschiebung Ef Vorwärtsdifferenz f Rückwärtsdifferenz rf zentrale Differenz •f

P .af C bg/ D a  Pf C b  P g:

2 f .x/ D f .x C 2h/  2f .x C h/ C f .x/;

Für zwei beliebige lineare Operatoren P, Q sind erinnert an den Binomialsatz. Mit E D  C 1 die Summe, das Produkt und die Potenz erklärt: folgt 2 D .E  1/2 und für beliebige Potenzen k D .E  1/k . .P C Q/f D Pf C Qf I Newtonsche Interpolationsformel. Für die di.P  Q/f D Pf  Qf I vidierten Differenzen f Œx0 ; x1  D .y0  .PQ/f D P .Qf /I y1 /=.x0 x1 / nach Gl. (10.33) folgt mit den äqui.aP /f D a.Pf /; a 2 RI distanten Stützstellen xi D x0 C ih; yi D f .xi / P n f D .P  P  : : :  P /f durch vollständige Induktion mit n Faktoren. (10.65) f Œxi ; xi C1 ; : : : ; xi+j  D j f .xi /=.hj j Š/: (10.67) Zwei Operatoren P, Q sind gleich, also P D Q, Die Newtonsche Interpolationsformel lautet dann wenn Pf D Qf für alle Funktionen f gilt. Für die für 0 5 p 5 n linearen Operatoren gelten die kommutativen und assoziativen Gesetze der Addition und MultipliPn .x/ D f .x0 C ph/ kation. 2 3, n i 1 Es ergeben sich z. B. folgende Anwendungen: X Y 4i f .x0 /  .p  j /5 iŠ: D f .x0 / C i D1

Taylor-Reihe. Aus der üblichen Form 0

(10.68)

00

f .x C h/ D f .x/ C hf .x/ C h f .x/=2Š 2

j D0

C h3 f 000 .x/=3Š C : : : folgt mit Operatoren Ef .x/ D Œ1 C hD C .hD/2 =2Š C .hD/3 =3Š C : : :f .x/:

Rechenschema. Zur Berechnung der Vorwärtsbzw. Rückwärtsdifferenzen empfiehlt sich die Verwendung der folgenden Schemata. Bei dem Schema für den Vorwärtsdifferenz-Operator ergeben die Differenzen benachbarter Werte einer Spalte die nächsthöhere Potenz von  in der (10.66) Spalte rechts daneben.

10

204

H.-J. Schulz

10.7 Steifheit von Anfangswertproblemen

Beispiel

Im Zusammenhang mit linearisierten Anfangswertproblemen z0 D z.t0 / vorgegeben, (10.71) definieren die Eigenwerte  des zugeordneten Eigenwertproblems (S   I)x = 0 die Steifheit S. zP .t/ D Sz.t/;

Durch Umnumerierung der Argumente gewinnt man mit demselben Schema die Rückwärtsdifferenzen.

SD

jjmax : jjmin

(10.72)

Für große Werte von S spricht man von steifen Differentialgleichungen; hierfür eignen sich nur implizite Runge-Kutta-Verfahren. Bewährt haben sich für lineare Probleme (10.71) Padédarstellungen Ppq der Exponentiallösung mit Tab. 10.9. zP D Sz ! z.t/ D exp.St/z0 : z1 D z.t D h/ D exp.Sh/z0 :

(10.73)

Bei gleichen Potenzen p = q, z. B. p = q = 1, ist Anwendung auf die Newtonsche Interpolationsformel (10.65) für äquidistante Stützstellen die Stabilität der Übertragungsgleichung     h h (10.74) 1  S z1 D 1 C S z0 2 2 a priori gesichert. Randwertprobleme in der Regel im Ortsbereich werden durch Vorgaben an allen Rändern des Problemfeldes charakterisiert. Für Näherungslösungen eignen sich insbesondere lokale Mit Gl. (10.68) folgt für n D 3 Ansätze mit normierten Ansatzfunktionen; dies sind die Finite Element Methoden, kurz FEM. f .x0 C ph/ D f .x0 / C pf .x0 / Im Rahmen des Konzeptes gewichteter ResiC p.p  1/2 f .x0 /=2Š duen kann es durch die Wahl geeigneter WichC p.p  1/.p  2/3 f .x0 /=3Š: tungs- oder Projektionsfunktionen gelingen, die Integraldarstellung des Problems ausschließlich Mit x0 D 1; h D 1, f .x0 / D 0; auf den Problemrand zu reduzieren: dieses Vor1 f .x0 /2 f .x0 / D 2; 3 f .x0 / D 0 wird gehen begründet die Randelementmethode oder kurz BEM: Boundary Element Method. f .1 C p/ D 0 C 2p=1Š C 2.p  1/=2Š C 0  p.p  1/.p  2/=3Š

Tab. 10.9 Padé-Entwicklungen Ppq (x) für exp(x)

D 2p C p.p  1/: Mit der Substitution 1 C p D x ) p D x  1 ergibt sich f (x) D 2(x  1) C (x  1)(x  2) D (x  1)  x als Interpolationspolynom. J

pD1

pD2

qD1

1C 12 x 1 12 x

1C 23 xC 16 x 2 1 13 x

qD2

1C 13 x 1 23 xC 16 x 2

1 2 1C 12 xC 12 x 1 2 1 12 xC 12 x

10 Numerische Verfahren

205

10.8 Numerische Lösungsverfahren für Differentialgleichungen Zahlreiche Probleme lassen sich durch Differentialgleichungen oder Systeme derselben beschreiben. Die meisten sind nicht analytisch lösbar. Da Differentialgleichungen höherer Ordnung auf Systeme von Gleichungen 1. Ordnung zurückgeführt werden können, die mit der Vektorschreibweise durch eine Gleichung darstellbar sind, werden hier nur die einfachsten Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen für Gleichungen 1. Ordnung vorgestellt.

10.8.1 Aufgabenstellung des Anfangswertproblems

Als Lösung der Anfangswertaufgabe an den Stützstellen xi ist die Folge diskreter Anfangswertaufgaben erklärt, y.x0 / D y0 ; .1= h/Œy.xi C h/  y.xi / D fh .xi ; y.xi // C rh .xi /;

(10.78)

wobei die Verfahrensfunktionen fh durch geeignete Näherungen für das Integral in Gl. (10.77) gewonnen werden. Der Fehlerterm rh .xi / der Näherung ist nicht exakt angebbar, sodass anstelle der genaueren Stützwerte y.xi / nur die numerisch genäherten Werte yh;i bestimmt werden können, die von der Schrittweite h abhängen. In Gl. (10.78) eingesetzt, folgt für das gegebene Anfangswertproblem

Gegeben sei ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall I D [a, b] der reellen Zahlen und eiyh;0 D y0 ; yh;i C1 D yh;i C hfh .xi ; yh;i /; ne reelle Funktion f (x, y) zweier Veränderlicher. i D 0; 1; 2 : : : .n  1/: Gesucht ist eine Lösung y(x) der gewöhnlichen (10.79) Differentialgleichung Dieses „Einschrittverfahren“ nutzt zur Berechnung an der Stelle xi C1 nur die Information des y 0 D f .x; y/; x 2 Œa; b; .x; y/ 2 I  R; y 2 R (10.75) vorangegangenen Schrittes an der Stelle xi . 0

mit der Anfangsbedingung y.a/ D y0 . (Für ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung sind die Größen y, f und y0 als n-dimensionale Vektoren aufzufassen.) Die Funktion f erfülle die Lipschitz-Bedingung, sodass das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung hat. Besteht im Intervall ein Gitter von äquidistanten Stützstellen mit xi C a C ih; h > 0; i D 0; 1; 2; : : : ; n; und xn 5 b; (10.76) so sind für stetig differenzierbare Funktionen y(x) die Differentialquotienten y 0 .xi / näherungsweise durch ihre Vorwärtsdifferenzenquotienten zu ersetzen. Integration der Differentialgleichung y 0 D f .x; y/ von xi bis xi C h und Division durch h ergeben .1= h/Œy.xi C h/  y.xi / xZi Ch f .t; y.t// dt; D .1= h/ xi

y.x0 / D y0 :

(10.77)

10 10.8.2

Das Eulersche Streckenzugverfahren

Im einfachsten Fall ersetzt man in Gl. (10.79) die Verfahrensfunktion fh .xi ; yh;i ) durch die Funktion f (x, y) selbst. Dadurch entsteht die nach Euler benannte Rekursionsformel yh;i C1 D yh;i C h  f .xi ; yh;i /I

yh;0 D y0 : (10.80) Diese anschauliche geometrische Lösung (Abb. 10.12) zeigt die Forderungen an Näherungsverfahren. Aus y 0 D f .x; y/ folgt durch Einsetzen des Anfangspunkts .x0 ; y0 / in die rechte Seite die Steigung der Tangente nach Gl. (10.80) an die Lösungskurve im Anfangspunkt. Durch Fortschreiten um h zur Stelle x1 ergibt sich für den exakten Wert x1 ; y.x1 // eine Näherung .x1 ; yh;1 /, mit der das Verfahren wiederholt wird. Die richtige Lösungskurve y(x) wird durch den Streckenzug durch die Punkte .x0 ; y0 /; .x1 ; yh;1 /; .x2 ; yh;2 /; : : : ersetzt. Hierbei treten ein lokaler und ein globaler Fehler

206

H.-J. Schulz

Für i D 3 und h D 0;1 ist dann laut vorstehender Tabelle y4 D 1;032.1 C 0;1  0;3/ D 1;0611. Für h D 0;01 sind keine Zwischenwerte angegeben. J

10.8.3 Runge-Kutta-Verfahren Von großer praktischer Bedeutung sind RungeKutta-Verfahren und davon abgeleitete Varianten. Abb. 10.12 Lösung des Anfangswertproblems y 0 D xy

Verfahren 2. Ordnung. Für dieses nach Heun D h  rh .xi / und dh .xi / D benannte Verfahren gelten

(Abb. 10.12) ei yh;i  y.xi / auf. k1 D h  f .xi ; yi /; Das Eulersche Streckenzugverfahren ist stabil k2 D h  f .xi C1 ; yi C k1 /; und konvergent, wenn die rechte Seite von f (x, y) die Lipschitz-Bedingung erfüllt. Aus einer Tayyi C1 D yi C .k1 C k2 /=2: (10.81) lor-Reihenentwicklung für y.xi C h/ folgt, dass der praktisch geringe globale Fehler des Euler- Weil der globale Fehler mit h2 gegen Null strebt, Verfahrens dh .xi /  h ist. heißt es Verfahren 2. Ordnung. Beispiel

Verfahren 4. Ordnung. Für dieses bekannteste Für y 0 D xy; x 2 Œ0; 0;5; y.0/ D 1;0 ist die Verfahren gilt Lösung nach dem Eulerschen Streckenzugverfahren (vgl. Abb. 10.12) für Schrittweiten k1 D h  f .xi ; yi /; h1 D 0;1 und h2 D 0;01 an den Stellen k2 D h  f .xi C h=2; yi C k1 =2/; x D 0I 0;1I 0;2I 0;3I 0;4 und 0,5 zu ermitteln. k3 D h  f .xi C h=2; yi C k2 =2/; – Die exakte Lösung ist y D exp.x 2 =2/. Die k4 D h  f .xi C h; yi C k3 /; Ergebnisse der Rechnung sind yi C1 D yi C .k1 C 2k2 C 2k3 C k4 /=6: exakt h D Fehler h D Fehler (10.82) 0;1 0;01 Die Gleichungen ergeben, wenn f von y unabi xi y(xi ) yi d(xi ) yi d(xi ) hängig ist und h durch h=2 ersetzt wird, die 0 0 1,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 Simpson-Formel (10.5). Die Gln. (10.82) stellen 1 0,1 1,0050 1,0000 0,0050 1,0045 0,0005 ein Verfahren 4. Ordnung dar, weil der Fehler mit 2 0,2 1,0202 1,0100 0,0102 1,0192 0,0010 h4 gegen Null strebt, mithin gute Konvergenz er3 0,3 1,0460 1,0302 0,0158 1,0444 0,0016 gibt. 4 0,4 1,0833 1,0611 0,0222 1,0810 0,0023 5 0,5 1,1331

1,1036 0,0295

1,1301

0,0030

Aus Gl. (10.80) folgt mit f .xi ; yh;i / D xi yi yi C1 D yi C hxi yi D yi .1 C hxi /:

Rechenschema. Für die Berechnung „von Hand“ empfiehlt sich Tab. 10.10, welche die Gln. (10.82) widerspiegelt, die auch für Rechenanlagen geeignet sind.

10 Numerische Verfahren Tab. 10.10 Rechenschema für das Verfahren 4. Ordnung von Runge-Kutta

207 x xi xi + h=2 xi C h=2 xi + h xi C 1

y yi yi + k1 =2 yi C k1 =2 yi + k3 yi C 1

f (x,y) f (xi , yi ) f (xi + h=2, yi + k1 =2) f (xi + h=2, yi + k2 =2) f (xi + h, yi + k3 ) ...

k D h  f .x; y/ k1 k2 k3 k4 ...

(k1 + k4 )=2 k2 C k3 P =3

q k2  k3 k1  k2

...

Tab. 10.11 Schema zum Beispiel

Beispiel

Anhang 0

Das Anfangswertproblem y D .x C y  1/ mit y(0) D 1 soll im Intervall [0; 1, 2] nach dem Runge-Kutta-Verfahren gelöst und mit der exakten Lösung yex D 1x Ctan x verglichen werden. – Nach den Gln. (10.82) ergibt sich für h D 0;3 (s. Tab. 10.11). J 2

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

25 22  5 235 23  5 2  52 22  3  5 257 24  5 2  32  5 22  52 2  5  11 22  3  5 2  5  13 22  5  7 2  3  52 22  5 2  5  17 22  32  5 2  5  19 23  52 2357 22  5  11 2  5  23 24  3  5 2  53 22  5  13 2  33  5 23  5  7 2  5  29 22  3  52 2  5  31 26  5 2  3  5  11

0

3  107

3  97 7  43

32  29

13  17 3  7  11

3  67

7  23 32  19

3  47

3  37 112

34 7  13

3  17

37

1

22  3 2  11 26 237 22  13 2  31 23  32 2  41 22  23 2  3  17 24  7 2  61 22  3  11 2  71 23  19 2  34 22  43 2  7  13 26  3 2  101 22  53 2  3  37 23  29 2  112 22  32  7 2  131 24  17 2  3  47 23  73 2  151 23  3  13 2  7  23 22  83

2

Tab. 10.12 Primzahlen und Faktoren der Zahlen 1 bis 1000

17  19 32  37

3  101

3  7  13

35 11  23

7  29 3  71

3  61

3  41 7  19 11  13 32  17

3  31

32  7

3  11

3

4 22 27 23  3 2  17 22  11 2  33 26 237 22  3  7 2  47 23  13 2  3  19 22  31 2  67 24  32 2  7  11 22  41 2  3  29 23  23 2  97 22  3  17 2  107 26  7 2  32  13 22  61 2  127 23  3  11 2  137 22  71 2  3  72 24  19 2  157 22  34 2  167 35 52 57 32  5 5  11 5  13 3  52 5  17 5  19 357 5  23 53 33  5 5  29 5  31 3  5  11 52  7 5  37 3  5  13 5  41 5  43 32  52 5  47 5  72 3  5  17 5  53 52  11 3  5  19 5  59 5  61 32  5  7 52  13 5  67

5

6 23 24 2  13 22  32 2  23 23  7 2  3  11 22  19 2  43 25  3 2  53 22  29 2  32  7 23  17 2  73 22  3  13 2  83 24  11 2  3  31 22  72 2  103 23  33 2  113 22  59 2  3  41 28 2  7  19 22  3  23 2  11  13 23  37 2  32  17 22  79 2  163 24  3  7 3  109

7  41 33  11

3  89

3  79 13  19

32  23 7  31

3  59 11  17

3  72

32  13

7  11 3  29

3  19

33

7

8 23 2  32 22  7 2  19 24  3 2  29 22  17 2  3  13 23  11 2  72 22  33 2  59 27 2  3  23 22  37 2  79 23  3  7 2  89 22  47 2  32  11 24  13 2  109 22  3  19 2  7  17 23  31 2  3  43 22  67 2  139 25  32 2  149 22  7  11 2  3  53 23  41 2  132 32  31 172 13  23 3  103 11  29 7  47 3  113

3  83 7  37

11  19 3  73

33  7

3  53 132

7  17 3  43

32  11

3  23

3  13 72

9 32

208 H.-J. Schulz

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

0 22  5  17 2  53  7 23  32  5 2  5  37 22  5  19 2  3  5  13 24  52 2  5  41 23  3  5  7 2  5  43 23  5  11 2  32  52 22  5  23 2  5  47 25  3  5 2  5  72 22  53 2  3  5  17 23  5  13 2  5  53 22  33  5 2  52  11 24  5  7 2  3  5  19 22  5  29 2  5  59 23  3  52 2  5  61 22  5  31 2  32  5 7 27  5 2  52  13

Tab. 10.12 (Fortsetzung)

3  7  31

13  47 33  23

7  83 3  197

19  29 3  11  17

32  59

3  167 7  73

3  157 13  37

32  72 11  41

3  137

1 11  31 33  13 192 7  53 3  127 17  23

2 2  32  19 25  11 2  181 22  3  31 2  191 23  72 2  3  67 22  103 2  211 24  33 2  13  17 22  113 2  3  7  11 23  59 2  241 22  3  41 2  251 29 2  32  29 22  7  19 2  271 23  3  23 2  281 22  11  13 2  3  97 24  37 2  7  43 22  32  17 2  311 23  79 2  3  107 22  163 7  89 3  211

32  67

3  191 11  53

13  41 3  181 7  79

33  19

11  43 3  7  23 17  29

3  151

3  131 13  31 7  59 32  47

3  112

3 73

4 23  43 2  3  59 22  7  13 2  11  17 27  3 2  197 22  101 2  32  23 23  53 2  7  31 22  3  37 2  227 24  29 2  3  79 22  112 2  13  19 23  32  7 2  257 22  131 2  3  89 25  17 2  277 22  3  47 2  7  41 23  73 2  33  11 22  151 2  307 24  3  13 2  317 22  7  23 2  3  109

5 3  5  23 5  71 5  73 3  53 5  7  11 5  79 34  5 5  83 52  17 3  5  29 5  89 5  7  13 3  5  312 52  19 5  97 32  5  11 5  101 5  103 3  52  7 5  107 5  109 3  5  37 5  113 52  23 32  5  13 5  7  17 5  112 3  5  41 54 5  127 3  5  43 5  131

6 2  173 22  89 2  3  61 23  47 2  193 22  32  11 2  7  29 25  13 2  3  71 22  109 2  223 23  3  19 2  233 22  7  17 2  35 24  31 2  11  23 22  3  43 2  263 23  67 2  3  7  13 22  139 2  283 26  32 2  293 22  149 2  3  101 23  7  11 2  313 22  3  53 2  17  19 24  41 32  73

3  11  19 72  13

3  199

34  7

7  71 3  133 11  47 17  31 3  179

32  53

11  37 3  139 7  61 19  23 3  149

13  29 32  43

3  7  17

7

8 22  3  29 2  179 24  23 2  33  7 22  97 2  199 23  3  17 2  11  19 22  107 2  3  73 26  7 2  229 22  38  13 2  239 23  61 2  3  83 22  127 2  7  37 24  3  11 2  269 23  137 2  32  31 22  71 2  172 22  3  72 2  13  23 23  19 2  3  103 22  157 2  11  29 24  34 2  7  47 17  37 32  71 11  59

3  7  29

3  193 19  31

3  173 232 71  11 32  61 13  43

3  163

33  17 7  67

3  11  13

3  7  19

32  41

9

10 Numerische Verfahren 209

10

66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

0 22  3  5  11 2  5  67 23  5  17 2  3  5  23 22  52  7 2  5  71 24  32  5 2  5  73 22  5  37 2  3  53 23  5  19 2  5  7  11 22  3  5  13 2  5  79 25  52 2  34  5 22  5  41 2  5  83 23  3  5  7 2  52  17 22  5  43 2  3  5  29 24  5  11 2  5  89 22  32  52 2  5  7  13 23  5  23 2  3  5  31 22  5  47 2  52  19 26  3  5 2  5  97 23  5  72 2  32  5 11 23  53

Tab. 10.12 (Fortsetzung)

7  11  13

32  109

3  317 312

3  307 72  19

34  11 17  53

3  277 292 23  37 3  7  41 13  67

3  257 11  71 7  113 32  89

32  79 7  103 17  43 3  13  19

11  61 3  227

1

2 2  331 25  3  7 2  11  31 22  173 2  33  13 23  89 2  192 22  3  61 2  7  53 24  47 2  3  127 22  193 2  17  23 23  32  11 2  401 22  7  29 2  3  137 26  13 2  421 22  3  71 2  431 23  109 2  32  72 22  223 2  11  41 24  3  19 2  461 22  233 2  3  157 23  7  17 2  13  37 22  35 2  491 25  31 2  3  167 3  331 17  59

32  107 7  139

19  47 3  7  43 11  83 13  71 3  311 23  41

2

3  97

72  17 3  281

33  29 13  61 11  73 3  271

3  251 7  109

32  7  11 19  37 23  31 3  241

3 3  13  17

4 22  83 2  337 22  32  19 2  347 26  11 2  3  7  17 2 >>  181 2  367 23  3  31 2  13  29 22  191 2  32  43 24  72 2  397 22  3  67 2  11  37 23  103 2  3  139 22  211 2  7  61 25  33 2  19  23 22  13  17 2  3  149 23  113 2  457 22  3  7  11 2  467 24  59 2  32  53 22  241 2  487 24  3  41 2  7  71 22  251

5 5  7  19 33  52 5  137 5  139 3  5  47 5  11  13 52  29 3  5  72 5  149 5  151 32  5  17 52  31 5  157 3  5  53 5  7  23 5  163 3  52  11 5  167 5  132 32  5  19 5  173 53  7 3  5  59 5  179 5  181 3  5  61 52  37 5  11  17 33  5  7 5  191 5  193 3  52  13 5  197 5  199 3  5  67

6 2  32  37 22  132 2  73 23  2  29 2  353 22  179 2  3  112 25  23 2  373 22  33  7 2  383 23  97 2  3  131 22  199 2  13  31 24  3  17 2  7  59 22  11  19 2  32  47 23  107 2  433 22  3  73 2  443 27  7 2  3  151 22  229 2  463 23  32  13 2  11  43 23  239 2  3  7  23 24  61 2  17  29 22  3  83 2  503 19  53

3  7  47

3  11  29

7  131 32  103

3  13  23

3  172

33  31 7  112

3  269 19  43

13  59 3  7  37

11  67 32  83

3  229 17  41 7  101 22  329

7 23  29

8 21  167 2  3  113 24  43 2  349 22  3  59 2  259 23  7  13 2  32  41 22  11  17 3  379 28  3 2  389 22  197 2  3  7  19 24  101 2  109 22  32  23 2  419 24  53 2  3  11  13 22  7  31 2  439 23  3  37 2  449 22  227 2  33  17 23  29 2  7  67 22  3  79 2  479 23  112 2  3  163 22  13  19 2  499 24  32  7 3  313 13  73 7  137 3  17  19 11  89 23  43 33  37

11  79 3  293 7  127 29  31 32  101

3  283

32  7  13

19  41 3  263 17  47

7  107 3  11  23

36

3  233

9 3  223 7  97

210 H.-J. Schulz

10 Numerische Verfahren

211

Tab. 10.13 Evolventenfunktion ev˛ D tan ˛  arc˛ (neue Schreibweise: inv˛ D tan ˛  arc˛) a° 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

00 0,003117 0,003975 0,004982 0,006150 0,007493 0,009025 0,010760 0,012715 0,014904 0,017345 0,020054 0,023049 0,026350 0,029975 0,033947 0,038287 0,043017 0,048164 0,053751

100 0,003250 0,004132 0,005165 0,006361 0,007735 0,009299 0,011071 0,013063 0,015293 0,017777 0,020533 0,023577 0,026931 0,030613 0,034644 0,039047 0,043845 0,049064 0,054728

200 0,003387 0,004294 0,005353 0,006577 0,007982 0,009580 0,011387 0,013418 0,015689 0,018217 0,021019 0,024114 0,027521 0,031260 0,035352 0,039819 0,044685 0,049976 0,055717

300 0,003528 0,004459 0,005545 0,006798 0,008234 0,009866 0,011709 0,013779 0,016092 0,018665 0,021514 0,024660 0,028121 0,031917 0,036069 0,040602 0,045537 0,050901 0,056720

400 0,003673 0,004629 0,005742 0,007025 0,008492 0,010158 0,012038 0,014148 0,016502 0,019120 0,022018 0,025214 0,028729 0,032583 0,036798 0,041395 0,046400 0,051838 0,057736

500 0,003822 0,004803 0,005943 0,007256 0,008756 0,010456 0,012373 0,014523 0,016920 0,019583 0,022529 0,025777 0,029348 0,033260 0,037537 0,042201 0,047276 0,052788 0,058765

10

212

H.-J. Schulz

1,64872

1,39561 0,98475

0,13534

1:e2 p e p 3 e 0,86025

0,36788 1:e

0,68278

0,97721

7,38906 2

e

2,71828 e

0,79789

0,01027

1: p 1W p 2W p 3W p 3 1W p 3 2W p 3 3W 5,56833

1,25331

3,54491

2,50663

2 p 2  p W2 p   0,05097

1,00608

1:2 g

p2 :g 0,01745 p : 180

64:

0,03491 p : 90

32:

20,37184

0,10194

10,18592

13,91536

5,09296

0,63662

16: 0,04909 p : 64

2:  0,09818 p : 32

0,31831 0,19635 p : 16

1: 

2

4,42945

1:g

p

1,77245

97,40909

p4 p 9,83976



31,00628 p 6,26418

4 3

0,03225

0,10132

0,61685 p2 : 16

1 : 3

2,46740  W4

0,56419

0,70925

1,00303

0,31928

3,13209

g p g p 2 g p  g p 2g p  2g

2

96,2361

1:

2

57,29580 39,47842 4 2 (9,80665)

180 : 

9,86960 p2

Tab. 10.14 Wichtige Zahlenwerte (g in ms2 ) p 3 p 3,14159  1,46459 p 3 p:2 1,57080 2 1,84526 p 3 p:3 1,04720   4,60115 p 3 p:4 0,78540 2 2,14503 p 3 2 p:6 0,52360   6,73881 p 3 p : 12 0,26180 W2 1,16245

g

9,81

90 : 

28,64790

1 : g2 p 1W g p W g p  W 2g

0,01039

Allgemeine Literatur Bücher Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publ. 1970. Autorenkollektiv: Ausgewählte Kapitel der Mathematik, 8. Aufl. Leipzig: VEB Fachbuchverlag 1974. Björk, A.; Dahlquist, G.: Numerische Methoden. München: Oldenbourg 1972. Collatz, I.; Wetterling, W.: Optimierungsaufgaben, 2. Aufl. Berlin: Springer 1971. Dantzig, G.B.: Lineare Programmierung und Erweiterungen. Berlin: Springer 1966. Grigorieff, R.D.: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Bd. 1, 2. Stuttgart: Teubner 1972, 1977. Jentsch, W.: Digitale Simulation analoger Systeme. München: Oldenbourg 1969. Künzi, H.P.; Tan, S.T.: Lineare Optimierung großer Systeme. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 27. Berlin: Springer 1966. Meyer zur Capellen, W.: Leitfaden der Nomographie. Berlin: Springer 1953. Otto, E.: Nomography. New York: Macmillan 1963. von Pirani, M.: Graphische Darstellungen in Wissenschaft und Technik, 3. Aufl. Sammlung Göschen Bd. 728. Berlin: de Gruyter 1957. Ralston, A.; Wilf, H.S.: Mathematische Methoden für Digitalrechner. Bd. 1, 2. Aufl. 1972; Bd. 2, 2. Aufl. 1979. München: Oldenbourg 1972/79. Stummel, F.; Hainer, K.: Praktische Mathematik. Stuttgart: Teubner 1971. Werner, H.: Praktische Mathematik. Bd. 1: Methoden der linearen Algebra, 2. Aufl. 1975; Werner, H.; Schaback, R.: Bd. 2: Methoden der Analysis, 1. Aufl. 1972. Berlin: Springer 1975/72. Zurmühl, R.: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker, 5. Aufl. Berlin: Springer 1965.

Normen und Richtlinien DIN 461: Graphische Darstellung in Koordinatensystemen. DIN 5478: Maßstäbe in graphischen Darstellungen.

11

Optimierung Hans-Joachim Schulz

11.1 Lineare Optimierung

im Normalfall ebenfalls nicht negativ sein müssen, seien mit bi = 0 bezeichnet. Damit lauten Zur optimalen Entscheidungsfindung bei wirt- im Normalfall die m Nebenbedingungen mit den schaftlichen und technischen Problemen wird bei Nichtnegativitätsbedingungen der linearen Optimierung das Maximum oder x1 = 0; x2 = 0; : : : ; xn = 0 (11.2) Minimum einer linearen Funktion mehrerer Variablen mit eingeschränkten Bereichen bestimmt. für Max. für Min. Die aus der Differentialrechnung bekannten Exa11 x1 C a12 x2 C : : : C a1n xn 5 b1 = b1 tremwertverfahren versagen hier, weil lineare Funktionen Extremwerte nur auf den Rändern a21 x1 C a22 x2 C : : : C a2n xn 5 b2 = b2 : der Definitionsbereiche annehmen können. We- am1 x1 C am2 x2 C : : : C amnxn 5 bm = bm gen der einfachen aber aufwändigen Lösungsver(11.3) fahren ist oft die Verwendung von Rechenanlagen In der Matrixschreibweise ergeben sich mit erforderlich. Die lineare Programmierung wird dem Zeilenvektor c D .c1 ; c2 ; : : : ; cn /; den Spalangewendet bei Transport-, Mischungs- und Zu- tenvektoren schnittproblemen. 0 1 0 1 0 1 x1 b1 0 C C B B B C Verallgemeinerung der linearen Optimierung. B x2 C B b2 C B0C C C B B B C x D ; b D und 0 D Für n Entscheidungsvariablen xj und n KonB :: C B :: C B :: C A A @ @ @ A : : : stanten cj , j D 1; 2; : : : ; n, deren Wahl durch xn bm 0 das Optimierungskriterien entschieden wird, ergibt die Zielfunktion sowie der Matrix A mn D .aij / im Normalfall für die Zielfunktion, die Neben- und Nichtnegativiz D c1 x1 C c2 x2 C : : : C cn xn tätsbedingungen n X D cj xj ! Optimum: (11.1) z D c  x ! Optimum; j D1 ( 5 b für Maximum Ax Die Kennzahlen der Spalten 2 und 3 in Tab. 11.1 = b für Minimum seien mit aij und die mit der rechten Spalte diemit b = 0 und x = 0: (11.4) ser Tabelle korrespondierenden Gesamtmengen der zur Verfügung stehenden Einsatzgrößen, die H.-J. Schulz () Berlin, Deutschland

Hierbei gelten die Vektorungleichungen komponentenweise, und der Nullvektor 0 erhält jeweils gleich viele Komponenten.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_11

213

214

H.-J. Schulz

11.1.1 Graphisches Verfahren für zwei Variablen

te Gerade zum Rand des Lösungsgebiets gehört. Entweder ist im Abb. 11.1c die Nebenbedingung zu g1 überflüssig oder die zu g3 falsch. Analoges Der Sonderfall von m linearen Ungleichungen für gilt für g2 und g4 . nur zwei Variablen lässt sich in der Ebene graphisch darstellen und bildet die Grundlage zur Konvexe Polygone. Sie bilden nach außen geanschaulichen Deutung des Lösungswegs beim wölbte Punktmengen. Werden also zwei im Inneren oder auf dem Rand des Lösungsbereichs n-dimensionalen Problem. Die graphische Lösungsmethode veranschau- liegende Punkte gewählt, so gehören auch alle Punkte der Verbindungsgeraden zum Bereich. licht noch folgende Aussagen (Abb. 11.1a–f): Begrenzende Geraden. Die den Bereich der zulässigen Lösungen begrenzenden Geraden können aus den Nebenbedingungen geschlossene und offene Polygone – mithin beschränkte und unbeschränkte Punktmengen – ergeben. Die optimale Lösung liegt immer auf dem Rand des Gebiets, meist auf einem Eckpunkt (s. Abb. 11.1d).

Zielfunktionsgeraden. Sind diese parallel zu einer begrenzenden Geraden auf der der optimale Lösungspunkt liegt, so gibt es unendlich viele Varianten der optimalen Lösung mit dem gleichen Zielfunktionswert, die alle auf dieser Polygonkante liegen.

Abweichungen vom Normalfall. Sie ergeben sich, Überflüssige Forderungen. Sie werden von allen wenn z. B. beim Maximieren auch GrößerLösungen erfüllt, ohne dass die ihnen zugeordne- Gleich-Relationen bei den Nebenbedingungen auftreten. Dann kann die Lösungsmenge infolge einander widersprechender Nebenbedingungen leer sein. Nebenbedingung mit Gleichheitszeichen. Ist dieses vorgeschrieben (z. B. g2 ), so reduziert sich der Lösungsbereich auf die Punktmenge, die dem in dem Polygon liegenden Teil der Geraden (g2 ) zuzuordnen ist (s. Abb. 11.1f).

11.1.2

Abb. 11.1 Schematische Darstellung der aus der graphischen Lösungsmethode folgenden allgemeinen Aussagen

Simplexverfahren

Die im graphischen Verfahren für zwei Variablen gewonnenen Einsichten lassen sich zwar auf n-dimensionale Probleme übertragen, praktischer sind jedoch analytische Lösungsverfahren. Dabei wird aus dem konvexen Polynom im R2 ein von Ebenen begrenztes konvexes Polyeder (Vielfach) im R3 . Für n 2 R verallgemeinert, heißt dies: Die Menge der zulässigen Lösungen des Problems Gln. (11.4) im Rn ist ein von Hyperebenen begrenztes konvexes Polyeder. Die lineare Zielfunktion der n Variablen nimmt ihr Optimum in mindestens einer Ecke des durch die Nebenbedingungen bestimmten konvexen Polyeders an (Eckenprinzip von Dantzig).

11

Optimierung

215

Während im graphischen Verfahren jede Nebenbedingung unabhängig von den anderen gezeichnet werden kann, muss im analytischen Lösungsverfahren das System der Ungleichungen geschlossen behandelt werden, indem es durch Hinzufügen von Schlupfvariablen in ein Gleichungssystem verwandelt wird.

Standard-Maximum-Problem

den Wert Null haben und die daraus bestimmten m Variablen größer als Null sind. Die von Null verschiedenen m Variablen größer als Null sind. Die von Null verschiedenen m Elemente von X heißen Basisvariablen, die übrigen werden als Nichtbasisvariablen bezeichnet. Für jede Basislösung ist das n-Tupel der Entscheidungsvariablen .x1 ; x2 ; : : : ; xn / einer Ecke des konvexen Polyeders zuzuordnen, das den Bereich der zulässigen Lösungen begrenzt.

Zielfunktion. Sie lautet z D c  x ! Maximum; A  x 5 b;

b = 0;

x = 0:

(11.5)

Nebenbedingungen. Mit dem Differenzvektor b  A  x D y können die Nebenbedingungen in Form des unterbestimmten linearen, inhomogenen Gleichungssystems von m linear unabhängigen Gleichungen mit (n C m) Variablen geschrieben werden; AxCy Db

mit y = 0:

(11.6)

Die m Komponenten von y heißen Schlupfvariablen. Gleichung (11.6) lautet ausgeschrieben a11 x1 C a12 x2 C : : : C a1n xn C y1 D b1 ; a21 x1 C a22 x2 C : : : C a2n xn C y2 D b2 ; :: :: :: :: : : : : am1 x1 C am2 x2 C : : : C amn xn C ym D bm ; ergänzt um die Zielfunktion in der Form c1 x1 C c2 x2 C : : : C cn xn  z D 0: (11.7) Basislösung. Das System der ersten m Gleichungen hat unendlich viele Lösungen. Hierzu werden n beliebige Variablen (z. B. x1 bis xn ) frei gewählt und die restlichen m Variablen als deren Linearkombinationen dargestellt. yi D 

n X

aij xj C bi ;

i D 1; 2; : : : m:

j D1

(11.8) Eine zulässige Lösung X D .x1 ; x2 ; : : : ; xn I y1 ; : : : ; ym /T (s. Abschn. 3.2.4) heißt Basislösung, wenn die n frei gewählten Variablen alle

Simplex-Verfahren von Dantzig Das nach dem konvexen Polyeder im Rn mit (n C 1) Eckpunkten (z. B. Dreieck im R2 ) benannte Verfahren findet den optimalen Lösungspunkt, indem es schrittweise von einer Ecke oder einer Basislösung zur nächsten mit verbessertem Zielfunktionswert fortschreitet. Dabei wird in jedem Schritt eine Basis- gegen eine Nichtbasisvariable ausgetauscht, die die Zielfunktion vergrößert. Zur Überwachung kommt die (m C 1)-te Gleichung für die Zielfunktion in Gl. (11.7) hinzu, und z wird ständige Basisvariable des erweiterten Systems. Jeder Basistausch bedeutet eine Transformation der aus den Gln. (11.7) gebildeten Matrix ! A b S D D .sij /: c z Verfahrensschritte. Sie sind in der nachstehenden Reihenfolge auszuführen: Wahl der Anfangslösung (1. Basislösung) wie in den Gln. (11.8) angegeben, also alle Schlupfvariablen yi als Basisvariablen und alle Entscheidungsvariablen xj als Nichtbasisvariablen mit dem Wert Null. Der Wert der Zielfunktion ist z D 0. Prüfung der Zielfunktion auf Optimalität, die sich so lange vergrößern lässt, wie in der (m C 1)-ten Zeile der Gln. (11.7) Elemente smC1;j > 0 (also cj > 0 für die Anfangslösung) vorhanden sind. Damit ergibt sich als Abbruchkriterium smC1;j 5 0, j D 1; 2; : : : ; n. Bestimmung der auszutauschenden Nichtbasisvariablen aus der (m C 1)-ten Zeile für die Zielfunktion, die durch das größte Element smC1;jp D max.smC1;j /, j D 1; 2; : : : ; n (also

11

216

H.-J. Schulz

cjp für die Anfangslösung) am stärksten vergrößert wird; jp wird die das Pivotelement enthaltende Schlüsselspalte (Pivotspalte). Wahl der auszutauschenden Basisvariablen aus der Schlüsselspalte jp. Aus allen Quotienten q D si;nC1 =si;jp (also bi =ai;jp für die Anfangslösung) für i D 1; 2; : : : ; m wird die durch das kleinste q > 0 gekennzeichnete Basisvariable mit Index ip zum Austausch gewählt, damit wieder eine Basislösung entsteht. Nach dem Basistausch müssen die nach Gl. (11.10) bzw. (11.14) transformierten Elemente bi0 D bi  .bip  ai;jp /=aip;jp > 0 sein. Ist also in einer Schlüsselspalte mit smC1;jp > 0 kein Pivotelement si;jp > 0 zu finden, so gibt es keine obere Schranke für die Zielfunktion und damit keine Lösung. Austausch der Variablen bedeutet, dass in der durch ip bestimmten Schlüsselzeile die durch sie gegebene Gleichung nach der neuen Basisvariablen yip ! xjp aufgelöst wird und dieses Ergebnis in die anderen Gleichungen von (11.8) eingesetzt wird. Es ergibt sich für die Schlüsselzeile für die Anfangslösung yip ! xjp D

0 1 aip;jp

B @yip 

1 n X

C aip;j xj C bip A

j D1 j ¤jp

(11.9) und für die anderen Zeilen i D 1; 2; : : : m, m C 1 mit i ¤ ip

Regel II: Alle anderen Elemente der Pivotzeile ip werden durch das Pivotelement sip;jp dividiert gemäß dem Faktor von xj in Gl. (11.9). 0 sip;j D sip;j =sip;jp

(11.12)

Regel III: Alle anderen Elemente der Pivotspalte jp werden durch das negative Pivotelement dividiert entsprechend dem Faktor von yip in Gl. (11.10), das durch den Tausch zum xjp wird. 0 si;jp D si;jp =sip;jp

(11.13)

Regel IV: Alle anderen Matrixelemente werden transformiert nach den Klammerausdrücken in Gl. (11.10). sij0 D sij 

si;jp  sip;j I sip;jp

i D 1; 2; : : : ; m C 1 ¤ ip I j D 1; 2; : : : ; n C 1 ¤ jp :

(11.14)

Es ist noch zu zeigen, dass diese Formel auch für die (m C 1)-te Zeile mit der Zielfunktion gilt. Für n X die 1. Basislösung ist cj xj  z D 0. Setzt j D1

man Gl. (11.9) ein und fasst zusammen, so folgt n  X j D1 j ¤jp

cj 

 cjp  aip;j xj aip;jp

  cjp cjp C  yip  z   bip D 0; aip;jp aip;jp (11.15) j ¤jp   womit die Gleichartigkeit der Transformation ai;jp ai;jp  yip C bi  bip : auch für die Elemente der (m C 1)-ten Zeile beaip;jp aip;jp (11.10) wiesen ist. Daraus lassen sich die vier Regeln des Austauschverfahrens für die Transformation der Ma- Weiterverwendung der Basislösung. Die so gewonnene neue Basislösung mit vergrößerter Zieltrix S in die Matrix S 0 ableiten: funktion wird vom 2. Schritt an wieder genauso Regel I: Das Pivotelement geht in sein Rezipro- behandelt.  n  X ai;jp aip;j xj yi D  aij  aip;jp j D1

kes über entsprechend dem Faktor von yip in Gl. (11.9), das durch Tausch zum xjp wird. Simplextabelle. Sie ist ein Matrix-Schema für Rechnungen „von Hand“. Dabei ist es nicht nö0 sip;jp D 1=sip;jp (11.11) tig, die Gln. (11.9) und (11.10) auszuschreiben.

11

Optimierung

Beispiel

Eine Fabrik plane die Herstellung zweier Produkte P1 und P2 . Für einen Planungszeitraum gilt folgende Aufstellung:

217 Tab. 11.1 Simplextabelle der Beispiele, für die gewöhnliche als auch für die parametrische Optimierung. Für die Erklärung der Zeilen zu , zy und z(T) s. Abschn. 11.1.3

Wie viele Exemplare jedes Produkts müssen hergestellt werden, damit der Reingewinn des Gesamtprogramms ein Maximum wird? Mathematische Formulierung. Ziel der Optimierung ist nach Tab. 11.1 ein Maximum des Reingewinns, der erkennbar linear von den gesuchten Stückzahlen x1 ; x2 für jedes Produkt, den Entscheidungsvariablen, abhängt. Für den Reingewinn gilt die Zielfunktion nach Gl. (11.1) z D 15x1 C 10x2 ! Maximum. Die Bereiche für die Entscheidungsvariablen sind durch die Fertigungskapazität begrenzt. Die Nebenbedingungen nach Gl. (11.3) sind mit den Zeilen 1 bis 3 der Aufstellung 2x1 C x2 5 600; x1 5 250; 0;5  x1 C x2 5 400: Negative Werte für x1 ; x2 sind sinnlos, da verschwindende Produkteinheiten eine Gewinnsteigerung ausschließen (s. Nichtnegativitätsbedingungen (11.2)). Graphisches Verfahren. In dem Koordinatensystem x1 ; x2 (Abb. 11.2) folgt die Gerade g1 aus der ersten Nebenbedingung 2x1 C x2 5 600 ) x2 5 2x1 C 600: Die Lösungsmenge dieser Ungleichung ist dann durch die von der Geraden g1 begrenzten (schraffierten) Halbebene gegeben. Wegen der Nichtnegativitätsbedingung ist sie auf den ersten Quadranten beschränkt und liegt auf der durch die Geraden x1 D 0; x2 D 0 und x2 D 2x1 C 600 begrenzten Fläche. Die weiteren Nebenbedingungen, die Geraden g2 mit x1 D 250 und g3 mit x2 D 0;5  x1 C 400, schränken die zulässigen Lösungen auf das Polygon 0 ABCD

11

218

H.-J. Schulz

Simplexverfahren. Die Matrix S ist für m D 2, n D 3 (s. Tab. 11.1) 0 1 2 1 600 B C B 1 C 0 250 B C: S DB C 0;5 1 400 @ A 15 10 0

Abb. 11.2 Graphische Lösung des Lineare-OptimierungProblems für zwei Variablen

ein. Die Zielfunktion z D 15x1 C 10x2 oder x2 D 1;5  x1 C z=10 ist eine Schar paralleler Geraden der Steigung m D 1;5 mit z als Scharparameter. Dabei ist die Zielfunktion z auf der x2 -Achse ablesbar. Im Bereich der zulässigen Lösungen liegt der kleinste Wert z D 0 auf der Geraden durch den Punkt 0 des Polygons. Alle Punkte .x1 ; x2 / auf einer solchen Geraden für ein z D z1 , die innerhalb des Polygons liegen, repräsentieren zulässige Lösungen, die größte beim Schnittpunkt B D (400=3, 1 000=3) der zwei Geraden g1 und g3 . Aus der Zeichnung folgt das optimale Progamm x1 D 400=3 D 133;3I x2 D 1 000=3 D 333;3I zmax D 16 000=3 D 5 333;3. Also bringen 133,3 Stück des Produkts P1 und 333,3 Stück des Produkts P2 im Planungszeitraum den maximalen Gewinn DM 5333,30. Die Abteilungen Teilefertigung und Endmontage sind voll ausgelastet, da der Lösungspunkt B auf den Geraden g1 und g3 liegt. Die Abteilung Vormontage (vertreten durch die Gerade g2 ) ist mit x1 D 133;3 < 250 nur zu 53,3 % ihrer Kapazität ausgelastet.

1. Schritt: Alle Schlupfvariablen yi werden Basisvariablen, alle Entscheidungsvariablen xi Nichtbasisvariablen. Damit ist 1 0 1 0 0 x1 C B C B B x2 C B 0C C B C B C C B X1 D B By1 C D B600C C B C B @y2 A @250A 400 y3 die erste Basislösung mit z D 0. Ursprung in Abb. 11.2. 2. Schritt: z D 0 ist nicht optimal, da in der (m C 1)-ten, also vierten, Zeile der Matrix S noch Elemente größer Null sind. 3. Schritt: s41 D 15 ist größtes Element, jp D 1 wird Pivotspalte. 4. Schritt: q2 D 250 ist kleinster Quotient größer Null. Also wird ip D 2 Pivotzeile. s21 D 1 > 0 wird Pivotelement. 5. Schritt: x1 wird neue Basisvariable und tauscht mit y2 den Platz. Die Matrix S wird transformiert zu S 0 . 0 Regel I: s21 D 1=s21 D 1; 0 Regel II: s2j D s2j =s21 für die 2. Zeile; 0 D si1 =s21 für die 1. Spalte; Regel III: si1

Regel IV: sij0 D sij  .si1 =s21 /s2j ; z. B. s32 D 1  .0;5=1/  0 D 1:

11

Optimierung

219

Dieses LOz(t) hat als Standard-MaximumDie neue Basislösung X 2 D .x1 ; x2 ; y1 ; y2 ; y3 /T D .250; 0; 100; 0; 275/T ent- Problem folgende Eigenschaften: spricht dem Punkt D in Abb. 11.2 mit z D 3 750. 1. Existiert eine optimale Lösung x opt D x opt .t/ für einen Parameterwert t, so gibt es einen 6. Schritt: Die Matrix S 0 wird vom 2. Schritt Stabilitätsbereich t 2 Œtk I tkC1   R, in dem an genau so transformiert. s12 ist das Pivotdiese Ecke optimal ist. Ferner existieren solelement, und die dritte Basislösung X 3 D che charakteristischen Stabilitätsbereiche für .x1 ; x2 ; y1 ; y2 ; y3 /T D (250, 100, 0, 0, 175)T , jede der k D 0;1; : : : ;  Ecken. repräsentiert durch den Punkt C in Abb. 11.2, 2. Die optimale Zielfunktion z(t) ist stetig, von mit z D 4 750 für die Zielfunktion. Erst die oben konkav und ist ein Polygonzug über dem vierte Basislösung X 4 D (133, 33; 333, 33; Parameterintervall der Lösungen. Die Knick0; 116,67; 0)T führt zum Endergebnis z D stellen sind die charakteristischen tk -Werte. 5 333;3, weil alle Elemente der vierten Zeile negativ sind. Lösungsverfahren: Es basiert auf dem SimplexDie nicht verschwindende Schlupfvaria- verfahren, indem für jede Ecke (BL ) die Grenk ble y2 D 116;67 gibt wieder den Hin- zen t ; t k kC1 des zugehörigen Stabilitätsbereichs weis auf die nicht ausgeschöpfte Kapazität bestimmt werden. Dazu wird die Zielfunktionsder durch die zweite Zeile beschriebenen zeile in ihre zwei Anteilzeilen aufgespalten, die Nebenbedingung, hier direkt als „Schlupf“ erste enthält die konstanten Koeffizienten u und i 116,67=250 D 0,47 D 47 %, die nicht genutzt die zweite die Parameterkoeffizienten v . Beim i werden, sichtbar. J Basistausch werden sie wie normale Zielfunk-

11.1.3 Parametrische lineare Optimierung

tionszeilen behandelt. Damit schreibt sich Gl. (11.7) in Matrixform

1 A b C B Beim allgemeinen parametrischen linearen Opti- S D @ u zu A D .si;j / mit z.t/ D zu C zv t: v zv mierungsproblem hängen die Koeffizienten des Standard-Maximum-Problems Gl. (11.7) noch von einem Parameter t 2 R ab. Seine optimale Obere Grenze t0 des Stabilitätsbereichs. Gesucht Lösung x opt und die Zielfunktion zopt sind Funk- wird das Maximum für beliebig großes t, d. h. tionen des Parameters t, der oft die Zeit darstellt. ausschlaggebend für die Wahl der Pivotspalte jp Geschlossene Theorien für derart allgemein sind die Elemente vj ¤ 0 der Steuerzeile und gehaltene parametrische Probleme stehen nicht nur dort, wo die vj D 0 sind werden die uj ¤ zur Verfügung, sodass hier nur der praktische, 0 berücksichtigt. Beim Ausführen der Simplexexakt lösbare Fall der von t abhängigen Zielfunk- schritte können zwei Fälle auftreten: tion beschrieben wird. Fall I: Es sind alle vj 5 0 und bei vj D 0 Lineare Optimierung mit einparametrischer gilt stets uj 5 0. Der Stabilitätsbereich dieser Zielfunktion, LOz(t). Nur die gegebenen Ko- Ecke reicht bis t0 D 1. Im weiteren wird dann effizienten ci D ci .t/ D ui C ui C vi t mit die „untere Grenze des Stabilitätsbereichs“ ermiti D 1; : : : ; n hängen linear von t 2 R ab. telt. 0

11

220

Fall II: Es sind nicht alle vj 5 0. Für diejenigen Spalten k 2 f1; 2; : : : ; ng, für die alle Matrixelemente ai k 5 0 sind, wird aus den Ungleichungen uk C vk t 5 0 das zugehörige größte tC1 D t0 bestimmt. Findet sich keines, so existiert kein Parameterwert, für den das LOz(t) eine optimale Lösung hat. Mit diesem tC1 wird die Steuerzeile .ui Cvi tC1 / berechnet und ein neues Simplextableau aufgestellt. Ergibt sich damit eine optimale Lösung, so stellt tC1 die obere Grenze des Stabilitätsbereichs dieser Ecke dar. Es ist mit der Bestimmung der unteren Grenze fortzufahren. Anderenfalls ist wieder der Fall II eingetreten und die Prozedur muss wiederholt werden, bis entweder die obere Grenze gefunden wird oder entschieden werden kann, dass die Aufgabe unlösbar ist. Untere Grenze tu des Stabilitätsbereichs. Bekannt ist die obere Grenze tC1 D t0 einer optimalen Basislösung (BL ) und die zugehörige Simplextabelle. Der größte untere Parametergrenzwert tu ergibt sich aus der Forderung, dass alle .ui C vi t/ 5 0 sein müssen. Gibt es kein tu 5 tC1 , so ist das LOz(t) nicht lösbar. Wiederholungen des Verfahrens für alle existierenden Ecken des Lösungsbereichs liefern alle charakteristischen Parameterwerte, für die das LOz(t) Lösungen hat. Beispiel

Die Zielfunktion des Beispiels aus Abschn. 11.1.2 soll zum Studium von Gewinnschwankungen, etwa durch Inflation, geändert werden in z.t/ D 15.1 C 0;5t/x1 C 10.1  0;4t/x2 , d. h. t D 0 reproduziert das vorhandene Beispiel. Zunächst sei der Stabilitätsbereich für t an der graphischen Lösung von Abb. 11.2 für die Ecke B dargestellt: Aus zopt D 15x1 C 10x2 D 5 333;33 folgt die Gerade x2 D 1;5x1 C 533;33: Die Ecke wird aus g1 : x2 D 2x1 C 600 und g3 : x2 D 0;5x1 C 400 gebildet. Die parametrisierte Zielfunktion stellt sich als Gerade gt : x2 D x1 .15 C 7;5t/=.10  4t/ C z.t/=.10  4t/

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dar. Die Ecke ist also solange optimal, wie die Steigung von gt kleiner als die von g3 und größer als die von g1 ist. Für die untere Grenze ergibt sich tu D 1;0526 und für die obere Grenze t0 D 0;3226: Für t -Werte außerhalb dieses Intervalls werden die Ecken A bzw. C optimal (s. Tab. 11.1). Das Simplexverfahren wird wie in Abschn. 11.1.2 abgewickelt, wobei die Wahl der Pivotelemente weiterhin durch die .z D zu /-Zeile bestimmt wird: 1. Schritt: zu ; zv sind Null bzw. es gilt der Fall II. 2. Schritt: Für großes t ist z(t) > 0, also optimal auch für t ) 1. Folglich ist tC1 D 1 und, wie in Tab. 11.1 vorgerechnet, tu D 2;5. Dazu gehört xopt D .250I 0I 100I 0I 275/T sowie z(t) D 3 750 C 1 875t im Intervall t Œ2;5I 1, also z.2;5/ D 8 437;5 und z(1) D 1, das mathematisch den unendlichen Reingewinn für das Produkt P1 zulässt. Die weitere Vorgehensweise ist in Tab. 11.1 zu verfolgen, bis sich als vierte Basislösung die Zielfunktion z.t/ D 5 333;3 C 333;3t im Intervall t 2 Œ1;0526I 0;3226 ergibt. Danach kann das Programm beendet werden, wenn die Regel aus Abschn. 11.1.2 für die zu -Zeile angewendet wird. Zur Bestimmung des Pivotelements aus den z(t)-Zeilen lässt sich die jeweils die Null enthaltende Spalte verwenden. Das ergibt zwei qi -Spalten, wie es hier nur für die vierte Basislösung dargestellt ist. Die mit # gekennzeichnete Version schlägt den Tausch von y2 gegen y3 vor, was die darüberstehende Lösung reproduziert. Die mit * angegebene zweite Möglichkeit findet die Ecke A mit einem Parameterintervall, der an die Ecke B anschließt und bis tu D 1 reicht, was zopt .1/ D 1 für das Produkt P2 bedeutet. Die charakteristischen Parameterwerte tu D t0 , t1 , : : :, tC1 D to sind also 1; 1;0526; 0;3226; 2;5; C1; mit Zielfunktionswerten z.tk / D C1; 5 684;2; 5 225;8; 8 437;5; C1. J

11

Optimierung

221

11.2 Nichtlineare Optimierung

11.2.2

11.2.1 Problemstellung

Näherungslösung durch stückweise Linearisierung. Häufig ist nur die Zielfunktion z D f .x1 ; : : : ; xn / nichtlinear. Man kann sie in eine Taylor-Reihe entwickeln, die nach dem linearen Glied abgebrochen wird: fQ.x/ D f .x 0 / C .x  x 0 /T f 0 .x 0 /. Nur in der Umgebung des Entwicklungspunktes x 0 D .x01 ; x02 ; : : : ; x0n /T ist eine vertretbare Übereinstimmung zwischen der Tangentialhyperebene fQ und der Zielfunktion f zu erwarten. Man muss daher den zulässigen Bereich B durch eine endliche Anzahl von Teilbereichen B1 ; : : : ; Br überdecken, für jeden Teilbereich die Taylor-Reihe um einen Punkt x 0j 2 Bj bestimmen und die so erzeugten r linearen Optimierungsprobleme lösen. Das Optimum aus der Menge der Teillösungen ist eine brauchbare Näherung für das Ausgangsproblem. Die Taylorentwicklung setzt die analytische Darstellung und die Differenzierbarkeit von f .x/ voraus. Ist f .x/ nur an (n C 1) diskreten Stützstellen x i 2 Bj ; i D 1; 2; : : : ; .n C 1/ bekannt, so kann auch linear interpoliert werden: f .x/ D a0 C aT x mit dem linearen Gleichungssystem a0 C aT x i D f .x i / zur Bestimmung der (n C 1)-Koeffizienten

Ist auch nur eine der Gleichungen des Systems für das Standard-Maximum-Problem (11.7) nichtlinear, so liegt ein nichtlineares Optimierungsproblem vor. Die Vielfalt der denkbaren Aufgabentypen ist daher unübersehbar groß und eine allgemeine Behandlung zzt. nicht verfügbar, sodass man auf die Behandlung bestimmter Aufgabentypen angewiesen ist. Charakteristisch dafür sind numerische Algorithmen, die Näherungen für das gesuchte Optimum liefern.

Allgemeine nichtlineare Optimierung im Rn Zielfunktion: z D f .x1 ; x2 ; : : : ; xn / ! Optimum; (11.16) Nebenbedingungen: gi .x1 ; x2 ; : : : ; xn / 5 bi ; i D 1; 2; : : : ; m; mindestens eine der reellen Funktionen gi ; f ist nicht linear. Die Menge aller x, die die Nebenbedingungen erfüllen, heißt zulässiger Bereich B. Konvexe Optimierung. Sie liegt vor, wenn alle Funktionen der allgemeinen Aufgabe Gl. (11.16) konvex sind. Sie zieht ihre besondere Bedeutung aus dem Satz, dass ein lokales Minimum einer konvexen Funktion über einer konvexen Menge auch das globale Minimum ist, also das globale Minimum mit lokalen Methoden gesucht werden kann. Die grundlegenden theoretischen Ergebnisse über Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen werden durch die Sätze von Farkas und KuhnTucker formuliert, die jedoch hier nicht dargestellt werden sollen.

Einige spezielle Algorithmen

a0 ; aT D .a1 ; a2 ; : : : ; an /:

Man erkennt, dass eine Steigerung der Genauigkeit durch feinere Unterteilung des zulässigen Bereichs B nur mit erhöhtem Rechenaufwand erkauft werden kann, sodass diesem Verfahren von daher Grenzen gesetzt sind. Die Genauigkeit der Annäherung ist auch von der Wahl des jeweiligen Entwicklungspunkts x 0 abhängig. Bei praktischen Problemen hat man häufig keine Anhaltspunkte für einen sinnvollen Start. Man muss daher mehrere verschiedene Bereichsaufteilungen erproben und wenn die Zielfunktion analytisch bekannt ist, die LösungsKombinatorische Optimierung. Sie geht aus vorschläge einsetzen, um die Fehler der Taylorder allgemeinen Optimierung hervor, durch die entwicklung zu berücksichtigen. zusätzliche Forderung, dass der zulässige Bereich nur aus endlich vielen Punkten besteht. Eine Anstiegsverfahren. Ihnen liegt die Idee zugrunpraktisch bedeutende Klasse dieser Aufgaben bil- de, dass man Funktionen von zwei Variablen als „Gebirge“ darstellen kann. Von einem gegebeden die ganzzahligen Optimierungsprobleme.

11

222

H.-J. Schulz

nen Startpunkt gelangt man zum Gipfel, indem man in einer „brauchbaren“ Richtung solange fortschreitet wie es „bergan“ geht (Brauchbarkeitsgrenze). Dann muss eine neue „brauchbare“ Richtung eingeschlagen werden. Führen in einem Punkt alle Richtungen „bergab“, so ist das Maximum erreicht. (Für Minima ist entsprechend „bergab“ zu schreiten.)

stieg gegeben wird. Man bestimmt für den Startpunkt x 0 den Gradienten g 0 D grad f .x0 / und berechnet den neuen Punkt x 1 D x 0 C 0 g 0 , der wieder als Startpunkt dient. Wenn möglich, wird 0 D G gewählt. Bei g.x/ D 0 ist das Maximum erreicht. Dieses Verfahren konvergiert nahezu linear, doch treten in der Nähe des Maximums häufig numerische Instabilitäten auf, die eine genaue Bestimmung stören und ein geeigne„Brauchbare“ Richtung. Gegeben ist f .x/ ! tes Abbruchkriterium erfordern. Max. Der Vektor r D .r1 ; r2 ; : : : ; rn /T heißt Beispiel „brauchbare“ Richtung im Punkt x 0 , wenn für G > 0 und alle  2 .0; G  gilt: F .x 0 C r/ > Gegeben sei das Rotationsellipsoid mit der F .x 0 /. Dabei ist G der größte aller möglichen großen Halbachse a D 2 in x-Richtung, der -Werte und heißt Brauchbarkeitsgrenze. Ihre kleinen Halbachse b D 1 in y-Richtung und Ausnutzung ist für die Konvergenz der Verfahren dem Pol im Ursprung: wichtig, jedoch ist ihre Bestimmung häufig sehr p aufwändig, sodass oft sicherheitshalber mit kleiz D f .x; y/ D 0;5 4  x 2  4y 2 ) Max neren Schrittweiten probiert wird. und denpNebenbedingungen px 5 2, x 5 2, y 5 0;5 4  x 2 ; y 5 0;5 4  x 2 . StartRelaxation (Anstieg in Koordinatenrichtung). punkt für das Gradientenverfahren sei x0 D Die Richtungen jeder Koordinatenachse wer.1I 0;5/. Die Gradientenrichtung ist g D den in zyklischer Reihenfolge auf Brauchbar T  @f @f y x keit getestet und, wenn sie brauchbar sind, bis ; , also @f und @f @x @y @x D 4z @y D z . zur Brauchbarkeitsgrenze benutzt. Sind keine Der neue Punkt x 1 D x 0 C   g ist also .x0 / .x0 / brauchbaren Koordinatenrichtungen mehr zu fin; y1 D y0 C  @f@y zu aus x1 D x0 C  @f@x den, so ist das Maximum erreicht. berechnen. J Die Annäherung an die exakte Lösung zmax D Gradientenverfahren (Methode des steilsten Anstiegs). Hierbei muss die Funktion f (x) diffe- f .0; 0/ D 1 ist in Abb. 11.3 und Tab. 11.2 renzierbar sein, da ihr Gradient g als brauchbare zu verfolgen. Zur Veranschaulichung der InstaRichtung benutzt wird und somit der steilste An- bilität wurde nur zweistellig gerechnet und die Tab. 11.2 Beispiel zum Gradientenverfahren z

@f @x

@f @y

0,5

0,71

0,35

0,70

0,65

0,20

0,92

0,18

0,22

3

0,38

0,13

0,97

0,10

0,14

4

0,18

0,15

0,98

0,05

0,15

5

0,08

0,15

0,99

0,02

0,15

Anzahl d. x Richtg. 1 1,00

y

2



x

y

z

0,5 1,0 0,5 1,0 1,5 1,0 2,0 1,0 2,0 1,0 2,0

0,83 0,65 0,56 0,47 0,38 0,28 0,18 0,13 0,08 0,06 0,04

0,15 0,20 0,09 0,02 0,13 0,01 0,15 0,00 0,15 0,00 0,15

0,90 0,92 0,96 0,97 0,97 0,99 0,98 1,00 0,99 1,00 0,99

Anzahl d. Schritte 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2

11

Optimierung

223 105 103 Differenz |λn–λn|

101 10–1 10–3 10–5 10–7 10–9 10–11

0

10

20

30 40 50 60 Anzahl der Iterationen

70

80

90

Abb. 11.4 Verlauf der Iteration Abb. 11.3 Gradientenverfahren am Beispiel des Rotationsellipsoids mit den eingezeichneten Höhenlinien z D 0 und z D 0;8. Schritte wie in Tab. 11.2

mit der symmetrisch positiv definiten Massenmatrix M und der symmetrisch positiv semidefiniten Brauchbarkeitsgrenze für  nicht strapaziert. Fer- Steifigkeitsmatrix K. Durch die Schrankeneigenner wurde willkürlich abgebrochen, um das Bild schaften von R(x) nicht zu überlasten. (11.19) 1 R.x/ n

11.3 Optimierungsverfahren zur Eigenwertbestimmung

ist der kleinste Eigenwert das absolute Minimum und der größte Eigenwert das absolute Maximum. Die Zielfunktion zur Bestimmung des Optimierungsprobleme lassen sich vielfach durch größten Eigenwerts  n lautet ein Minimierungsproblem 2 1 1 T (11.20) x Mx  x T Kx P .x/ D (11.17) minf .x/ 4 2 g .x/ 0; j D1;2;:::;m j

hj .x/D0;

j D1;2;:::;r

mit dem Gradienten

mit Nebenbedingungen in Form von Gleichungen h(x) und Ungleichungen g(x) beschreiben. Die skalare Zielfunktion f (x) hängt von sogenannten Designvariablen x ab. Zur Lösung solcher Aufgaben existieren inzwischen leistungsfähige Programme. Entscheidungshilfen zur Auswahl eines geeigneten Lösers bieten die beiden Internetseiten zum NEOS-Server (http://www.neos-server. org/neos/) und die von Mittelmann gepflegte Übersicht http://plato.asu.edu/guide.html. Recht neu und frei verfügbar ist http://www.pyopt.org/. Eigenwerte sind bekanntlich stationäre Werte des Rayleigh-Quotienten R.x/ D

x T Kx x T Mx

x¤0

(11.18)

  grad P .x/ D x T Mx Mx  Kx:

11 (11.21)

Der gesuchte Eigenwert  n folgt aus der Lösung des unrestringierten Optimierungsproblems 1 min P .x/ D  2n : 4

(11.22)

ˇ Abb. ˇ11.4 zeigt den Verlauf der Differenz ˇn  N n ˇ zwischen exaktem Eigenwert  n und aktueller Näherung über der Anzahl der Iterationsschritte für ein Paar von Testmatrizen aus der Sammlung http://math.nist.gov/MatrixMarket/ data/Harwell-Boeing/bcsstruc2/bcsstruc2.html

Literatur Teil I Mathematik

Umfassende Darstellungen

Handbücher, Formelsammlungen

Aumann, G.: Höhere Mathematik I–III. Mannheim: Bibl. Inst. 1970–71 Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs. 2 Bde. Frankfurt: Deutsch 1979 Böhme, G.: Anwendungsorientierte Mathematik. 4 Bde. Berlin: Springer 1992, 1991, 1990, 1989 Brauch; Dreyer, Haacke: Mathematik für Ingenieure. 9. Aufl. Teubner 1995 Brenner, J.; Lesky, P.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. I: 4. Aufl., 1989. II: 4. Aufl., 1989, III: 4. Aufl., 1989, IV: 3. Aufl., 1989. Wiesbaden: Aula Burg, K.; Haf, H.; Wille, F.: Höhere Mathematik für Ingenieure. 5 Bde. Stuttgart: Teubner 2007–2009 Dirschmidt, H. J.: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik. Braunschweig: Vieweg 1990 Fetzer, A.; Fränkel, H.: Mathematik. Lehrbuch für Fachhochschulen. Bd. 1: 3. Aufl., 1986, Bd. 2: 2. Aufl., 1985, Bd. 3: 2. Aufl., 1985. Düsseldorf: VDI Günter, N. M.; Kusmin, R. O.: Aufgabensammlungen zur Höheren Mathematik I, II. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980 Laugwitz, D.: Ingenieurmathematik, 2 Bde. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1983, 1984 Mangoldt, H. v.; Knopp, K.: Höhere Mathematik. Rev. von Lösch, F. 4 Bde. Stuttgart: Hirzel 1990 Meyberg, K.; Vachenauer, P.: Höhere Mathematik. Bd. 1 u. 2, 5. u. 2. Aufl., Berlin: Springer 1999, 1997 Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Bd. 1 bis 3, 12., 12. u. 5. Aufl., Braunschweig: Vieweg 2008–2009 Sauer, R.; Szabo, I.: Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Teile I–IV. Berlin: Springer 1967, 1968, 1969, 1970 Smirnow, W. I.: Lehrgang der höheren Mathematik. 5 Teile. Berlin: Dt. Vlg. d. Wiss. 1990, 1990, 1995, 1995, 1991 Strubecker, K.: Einführung in die Höhere Mathematik I– IV. München: Oldenbourg 1966–84. Trinkaus, H.L.: Probleme? Höhere Mathematik (Aufgabensammlung). Berlin: Springer 1988 Wörle, H.; Rumpf, H. J.: Ingenieurmathematik in Beispielen. Bd. I: 4. Aufl. 1989. Bd. II u. III: 3. Aufl. 1986. München-Wien: Oldenbourg

Abramowitz, M.; Stegun, I. A.: Handbook of mathematical functions. New York: Dover 1971 Bartsch, H.-J.: Taschenbuch mathematischer Formeln. 18. Aufl. Leipzig: Fachbuchverlag 2004 Bosch, K.: Mathematik-Taschenbuch, 5. Aufl. München: Oldenbourg 2002 Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch, Leipzig: Teubner 7. Aufl. 2008 Erdelyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F.: Higher transcendental functions. 3 Bde. New York: McGraw-Hill 1953 Gradstein, I. S..; Ryshik, I. W.: Summen-, Produkt- und Integraltafeln. 5. Aufl. Frankfurt: Deutsch 1981 Gröbner, W.; Hofreiter, N. (Hrsg.): Integraltafeln. 2 Teile. Wien: Springer 1975 Jahnke, E.; Emde, F.; Lösch, F.: Tafeln höherer Funktionen. 7. Aufl. Stuttgart: Teubner 1966 Joos, G.; Richter, E.: Höhere Mathematik. 13. Aufl. Frankfurt: Deutsch 1994 Meyer zur Capellen, W.: Integraltafeln. Sammlungen unbestimmter Integrale elementarer Funktionen. Berlin: Springer 1950 Netz, H.; Rast, J.: Formeln der Mathematik. 7. Aufl. München: Hanser 1992 Papula, L.: Mathematische Formelsammlung. 10. Aufl., Vieweg 2009 Råde, L.; Westergren, B.; Vachenauer, P.: Springers mathematische Formeln. Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschaftswissenschaftler. 3. Aufl., Berlin: Springer 2000 Rottmann, K.: Mathematische Formelsammlung. 4. korr. Aufl. Mannheim: BI-Wiss.-Verlag 1993 Ruge, P.; Birk, C.: Mathematik, in: HÜTTE. Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften (H. Czichos; M. Hennecke, Hrsg.). 33. Aufl. Berlin: Springer 2007 Sneddon, I. N.: Spezielle Funktionen der mathematischen Physik. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1963

Ergänzungen Alefeld, G.; Herzberger, J.: Einführung in die Intervallrechnung. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1974 Bellen, M.; Zennaro, M.: Numerical methods for delay differential equations. Oxford Clarendon Press 2003 225

226 Böhme, G.: Algebra. Anwendungsorientierte Mathematik. 6. Aufl., Berlin: Springer 1996, S. 362–411 Burg, K.; Haf, H.; Wille, F.: Höhere Mathematik für Ingenieure. Bd. III: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen. 5. Aufl. Stuttgart: Teubner 2009 Chui, C. K.: An Introduction to wavelets. San Diego: Academic Press 1992 Gel’fand, I. M.; Shilov, G. E.: Generalized Functions, Vol. I. New York, London: Academic Press 1964 Klirr, G. J.; Folger, T. A.: Fuzzy sets. Englewood Cliffs: Prentice Hall 1988 Liu, Y.: Fast multipole boundary element method. Cambridge University Press 2009 Louis, A.; Maass, P.; Rieder, A.: Wavelets. Stuttgart. Teubner 1994 MacDonald, N.: Biological delay systems: linear stability theory Cambridge University Press 2008 Michiels, W.; Niculescu, S.-I.: Stability and stabilization of time-delay systems. SIAM 2007 Moore, R. E.; Baker Kearfott, R.; Cloud, M. J.: Introduction to interval analysis. SIAM 2009 Oldham, K.B.: Spanier, J.: The Fractional Calculus. Dover Publications 2006 Rommelfanger, H.: Fuzzy Decision Support-Systeme. 2. Aufl. Berlin: Springer 1988 Ross, B.; Miller, K.S.: An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New York: Wiley 1993 Rossikhin, Y. A.; Shitikova, M.V.: Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids. Appl. Mech. Review, Vol. 50, 1997 15–67. Walter, W.: Einführung in die Theorie der Distributionen. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1974

11

Literatur Teil I Mathematik

Zurmühl, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen, Teile 1 u. 2, 5. Aufl. Berlin: Springer 1984, 1986

Geometrie Basar, Y.; Krätzig, W. B.: Mechanik der Flächentragwerke. Braunschweig: Vieweg 1996 Behnke, H.; Holmann, H.: Vorlesungen über Differentialgeometrie. 7. Aufl., Münster: Aschaffendorf 1966 Grauert, H.; Lieb, I.: Differential- und Integralrechnung III: Integraltheorie. Kurven- u. Flächenintegrale. Vektoranalysis. 2. Aufl. Berlin: Springer 1977 Laugwitz, D.: Differentialgeometrie. 3. Aufl. Stuttgart: Teubner 1977 Rehbock, F.: Darstellende Geometrie. Berlin: Springer 1969 Wunderlich, W.: Darstellende Geometrie. 2 Bde. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1966, 1967

Funktionentheorie, Integraltransformation Ameling, W.: Laplace-Transformation. 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1990 Behnke, H.; Sommer, F.: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Aufl. Berlin: Springer 1976 Betz, A.: Konforme Abbildung. 2. Aufl. Berlin: Springer 1976 Föllinger, O.: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. 9. Aufl. Berlin: Hüthig 2007 Priestley, H. A.: Introduction to complex analysis. Oxford University Press 2. Aufl. 2003 Weber, H.; Ulrich, H.: Laplace-Transformation für Ingenieure der Elektrotechnik. 8. Aufl. Stuttgart: Teubner 2007

Variationsrechnung Matrizen und Tensoren Abadir, K. M.; Magnus, J. R.: Matrix algebra. Cambridge University Press 2005 Dietrich, G.; Stahl, H.: Matrizen und Determinanten. 9. Aufl. Frankfurt: Deutsch 1998 Duschek, A.; Hochrainer, A.: Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung. Bde. 1–3. Wien: Springer 1965, 1968, 1970 Gantmacher, F. R.: Matrizentheorie. Berlin: Springer 1998 Gerlich, G.: Vektor- und Tensorrechnung für die Physik. Braunschweig: Vieweg 1984 Hackbusch, W.: Hierarchische Matrizen. Springer 2009 Higham, N. J.: Functions of matrices. SIAM 2008 Laub, A. J.: Matrix analysis for scientists and engineers. SIAM 2005 Lippmann, H.: Angewandte Tensorrechnung. Berlin: Springer 1996 Reichard, H.: Vorlesungen über Vektor- und Tensorrechnung. 3. Aufl. Berlin: Dt. Verl. d. Wiss. 1977, 1968 Trefethen, L. N.; Embree, M.: Spectra and Pseudospectra. Princeton University Press 2005

Courant, R.; Hilbert, D.: Methoden der Mathematischen Physik. 4. Aufl. Berlin: Springer 1993 Dacorogna, B.: Introduction to the calculus of variations. Imperical College Press 2004 Locatelli, A.: Optimal control. Birkhäuser 2001 Smith, D. R.: Variational methods in optimization. Dover Publications 1998 Van Brunt, B.: The calculus of variations. 1. Aufl. Springer 2003 Vinter, R.: Optimal control. Birkhäuser 2000 Vujanovic, B. D.; Atanackovic, T. M.: An introduction to modern variational techniques in mechanics and engineering. Birkhäuser 2004

Statistik, Wahrscheinlichkeitslehre Benninghaus, H.: Deskriptive Statistik. Stuttgart: Vs Verlag 11. Aufl. 2007 Sachs, L.: Statistische Methoden. 9. Aufl. Berlin: Springer 1999 Sahner, H.: Schließende Statistik. Stuttgart: Vs Verlag 7. Aufl. 2008

11

Literatur Teil I Mathematik

Stange, K.; Henning, H.-J.: Formeln und Tabellen der angewandten mathematischen Statistik. 2. Aufl. Berlin: Springer 2007 Stenger, H.: Stichproben. Heidelberg: Physica-Verlag 1986

Numerische Methoden Bathe, K. J.: Finite-Element-Methoden. Berlin: Springer 2. Aufl. 2001 Bollhöfer, M.; Mehrmann, V.: Numerische Mathematik. Teubner 2004 Briggs, W. L.; Henson, V. E.; McCormick, S. F.: A multigrid tutorial. 2. Aufl. : SIAM 2000 Collatz, L.: Differentialgleichungen. 7. Aufl. Teubner 1990 Chu, M. T.: Inverse eigenvalue problems. Oxford University Press 2005 Davis, P. J.; Rabinokwitz, P.: Method of numerical integration. 2. Aufl. Dover Publications 2007 Davis. T. A.: Direct methods for sparse linear systems. SIAM 2006 Demmel, J. W.: Applied numerical linear algebra. SIAM 1997 Deuflhard, P.; Hohmann, A.: Numerische Mathematik I. Eine algorithmische orientierte Einführung. Berlin: de Gruyter 4. Aufl. 2008 Deuflhard, P.; Bornemann, F.: Numerische Mathematik II. Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen. Berlin: de Gruyter 3. Aufl. 2008 Duff, I. S.; Erisman, A. M.; Reid, J. K.: Direct methods for sparse matrices. Clarendon Press Oxford 1986 Eldén, L.: Matrix methods in data mining and pattern recognition. SIAM 2007 Engeln-Müllges, G.; Schäfer, W.; Trippler, G.: Kompaktkurs Ingenieurmathematik mit Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Leipzig: Fachbuchverlag 3. Aufl. 2004 Golub, G. H.; Van Loan, Ch. F.: Matrix computations 2. Aufl. Baltimore: The Johns Hopkins University Press 3. Aufl. 1996 Greenbaum, A.: Iterative methods for solving linear systems. SIAM 1997 Hairer, E.; Nrsett, S. P.; Wanner, G.: Solving ordinary differential equations. I. Nonstiff problems. Berlin: Springer 2. Aufl. 1993 Hairer, E.; Wanner, G.: Solving ordinary differential equations II. Stiff and differential-algebraic problems. Berlin: Springer 2. Aufl. 1991 Hämmerlin, G.; Hoffmann, K.-H.: Numerische Mathematik. Berlin: Springer 4. Aufl. 1994 Isaacson, E.; Keller, H. B.: Analysis of numerical methods. Dover Publications Reprint 1994 Komzsik, L.: The Lanczos method. SIAM 2003 Langtangen, H. P.: Python scripting for computational science. 3. Aufl.: Springer 2008 Ortega, J. M.; Rheinboldt, W. C.: Iterative solution of nonlinear equations in several variables. SIAM Reprint 1987

227 Parlett, B. N.: The symmetric eigenvalue problem. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall 1980 Saad, Y.: Iterative methods for sparse linear systems. 2. Aufl. SIAM 2003 Schwarz, H. R.; Köckler, N.: Numerische Mathematik. 6. Aufl. Stuttgart: Teubner 2008 Freund, R. W.; Hoppe, R. H. W.: Stoer/Burlisch.: Numerische Mathematik 1. 10. Aufl. Berlin: Springer 2007 Stoer, J.; Bulirsch, R.: Numerische Mathematik 2. 5. Aufl. Berlin: Springer 2005 Trefethen, L. N.; Bau, D.: Numerical linear algebra. SIAM 1997 van der Vorst, H.: Iterative Krylov methods for large linear systems. Cambridge University Press 2003 Varga, R. S.: Matrix iterative analysis. 3. Aufl. Berlin: Springer 1999 Verhulst, F.: Nonlinear differential equations and dynamical systems. 2. Aufl. Springer 1996 Watkins, D. S.: The matrix eigenvalue problem. SIAM 2007 Wesseling, P.: An introduction to multigrid methods. Corrected reprint Philadelphia: R. T. Edwards, Inc. 2004. Wilkinson, J. H.: The algebraic eigenvalue problem. Oxford University Press 1988 Young, D. M.: Iterative solution of large linear systems. Dover Publications 2003 Zienkiewicz, O. C.: The finite element method set. Butterworth Heinemann 6. Aufl. 2005 Zurmühl, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen. Teil 1: Grundlagen. 7. Aufl. Berlin: Springer 1996 Zurmühl, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen. Teil 2: Numerische Methoden. 5. Aufl. Berlin: Springer 1986

Optimierung Absil, P.-A.; Mahony, R., Sepulchre, R.: Optimization algorithms on matrix manifolds. Princeton University Press 2008 Alt, W.: Nichtlineare Optimierung. 1. Aufl. : Teubner 2002 Alt, W.: Numerische Verfahren der konvexen, nichtglatten Optimierung. 1. Aufl. :Teubner 2004 Antoniou, A.; Lu, W.-S.: Practical optimization, Springer 2007 Arora, J. S.: Introduction to optimum design. 2. Aufl.: Elsevier Academic Press 2004 Arora, J. S.: Optimization of structural and mechanical systems. World Scientific 2007 Baldick, R.: Applied optimization. Cambridge University Press 2006 Bazaraa, M.S.; Sherali, H. D.; Shetty, C. M.: Nonlinear programming. 2. Aufl.: John Wiley & Sons 1993 Bendsoe, M. P.; Sigmund, O.: Topology optimization. 2. Aufl.: Springer 2004 Bonnans, J. F.; Gilbert, J. C.; Lemaréchal, C., Sagastizábal, C. A.: Numerical optimization. 2. Aufl.: Springer 2006 Boyd, S.; Vandenberghe, L.: Convex optimization. Cambridge University Press 2004

11

228 Brent, R. P.: Algorithms for minimization without derivatives. Dover Publications 2002 Brinkhuis, J.; Tikhomirov, V.: Optimization: Insights and applications. Princeton University Press 2005 Christensen, P. W.; Klarbring, A.: An introduction to structural optimization. Springer 2009 Conn, A. R.; Scheinberg, K.; Vicente, L. N.: Introduction to derivative-free optimization. SIAM 2009 Fiedler, M.; Nedoma, J.; Ramík J.; Rohn, J.; Zimmermann, K.: Linear optimization problems with inexact data. Springer 2006 Fletcher, R.: Practical methods of optimization. 2. Aufl.: John Wiley & Sons 1987 Fourer, R.; Gay, D. M.; Kernighan, B. W.: AMPL a modeling language for mathematical programming. 2. Aufl.: Thomson Brooks/Cole 2003. Geiger, C.; Kanzow, C.: Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben, Springer 1999 Geiger, C.; Kanzow, C.: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer 2002 Gill, P. E.; Murray, W.; Wright, M. H.: Practical optimization. Academic Press 1986 Griva, I.; Nash, S. G.; Sofer, A.: Linear and nonlinear optimization. SIAM 2009

11

Literatur Teil I Mathematik

Harzheim, L.: Strukturoptimierung. 1. Aufl. Verlag Harri Deutsch 2008 Haslinger, J.; Mäkinen, R. A. E.: Introduction to shape optimization. SIAM 2003 Jarre, F.; Stoer, J.: Optimierung. Springer 2004 Kelley, C. T.: Iterative methods for optimization. SIAM 1999 Nash, S. G.; Sofer, A.: Linear and nonlinear programming. McGraw-Hill 1996 Nocedal, J.; Wright, S. J.: Numerical optimization. 2. Aufl. Springer 2006 Reinhardt, R., Hoffmann, A., Gerlach T.: Nichtlineare Optimierung. Springer Verlag 2013 Ruszczynski, A.: Nonlinear optimization. Princeton University Press 2006 Schumacher, A.: Optimierung mechanischer Strukturen. Springer 2005 Snyman, J. A.: Practical mathematical optimization. Springer 2005 Sun, W.; Yuan, Y.-X.: Optimization theory and methods. Springer 2006 Sundaram, R. K.: A first course in optimization theory. Cambridge University Press 1996 Ulbrich, M., Ulbrich, S.: Nichtlineare Optimierung. Springer Basel AG 2012

Teil II Mechanik

Der grundlegende Aufbau des Kapitels basiert auf den Ausführungen von G. Rumpel und H. D. Sondershausen (bis zur 18. Auflage). Er ist über die Jahre in wesentlichen Teilen konstant geblieben und umfasst den Fächerkanon der Mechanik eines klassischen Maschinenbaustudiums, mit dem Ziel die Grundtatsachen der angewandten Mechanik zusammenzufassen, ohne ein Lehrbuch zu ersetzen. Der Abschnitt wendet sich an Anwender, die ein konkretes mechanisches oder konstruktives Problem erfassen und berechenbar machen möchten, bzw. Simulationsergebnisse, die auf der Basis numerischer Näherungsmethoden (z. B. der Finite-Elemente Methode) erzeugt wurden, zu überprüfen. Der Anwender wird so in die Lage versetzt, einfache Problemstellungen u. U. auch ohne Zuhilfenahme von Computerprogrammen zu lösen, bzw. die Grenzen der jeweiligen Programme und deren Grundlagen zu ergründen. Neben kurzen Einführungen in die jeweiligen Themengebiete, werden anhand von einfachen aber praxisrelevanten Beispielen die einzelnen Unterkapitel ergänzt. Die eigentliche Modellbildung von der realen Konstruktion zum mechanischen Modell wird nicht behandelt, da sie doch sehr vom Anwendungsfall abhängt und der Erfahrung des in dem Bereich tätigen Ingenieurs oder Ingenieurin bedarf. Vielmehr sollen die Ausführungen dem Anwender dabei helfen, für den jeweiligen Anwendungsfall gültige Annahmen zu treffen, um eigenständig ein Berechnungsmodell aufzustellen. Der Inhalt des Kapitels umfasst die Statik des starren Körpers mit den technischen Anwendungen Fachwerk, Seil und Kette. Ausführungen zu Schwerpunkts-Berechnungen sowie Haftung und Reibung mit technischen Anwendungsbeispielen schließen das Themengebiet ab. Die Kinematik des Massenpunktes und des starren Körpers, sowie die Kinetik des Massenpunkts, des Massenpunktsystems und des starren Körpers werden dargestellt und mittels einfacher aber praxisrelevanter Beispiele vertieft. Grundlagen der freien und erregten Schwingungen von Systemen mit einem und mehreren Freiheitsgraden sowie von Kontinuums-Schwingungen werden dargestellt, um dem Anwender einen Einstieg in die Maschinendynamik zu erleichtern. Hierbei wird bei der Betrachtung von Schwingungen mit

230

mehreren Freiheitsgraden bewusst auf die Darstellung in Matrizenschreibweise verzichtet. Im Abschnitt Hydrostatik werden die Druckberechnungen auf ebene und gekrümmte Wände sowie die Stabilität schwimmender Körper behandelt. Der Einsatz der numerischen Strömungsmechanik (englisch: computational fluid dynamics, CFD) zur Lösung der im allgemeinen Fall nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen ist in den letzten Jahren, aufgrund schnell wachsender Hardware-Ressourcen und einer damit einhergehenden Verkürzung der Berechnungsdauer, stark angestiegen. Hier finden sich Anwendungen der Stromfadentheorie und der Rohrhydraulik, deren Berechnung ohne großen numerischen Aufwand durchzuführen sind, bzw. die auf empirisch gefundenen Daten von Widerstandsbeiwerte für z. B. Einbauten und Absperr- und Regelorgane basieren. Damit wird dem Anwender eine erste Auslegung von Rohrleitungssystemen ermöglicht. Mehrdimensionale Strömungen werden sowohl reibungsfrei (ideale Flüssigkeiten) als auch reibungsbehaftet betrachtet, was in der Darstellung der Bewegungsgleichungen nach Navier-Stokes mündet, für die, für kleine REYNOLDS-Zahlen, einige Lösungen dargestellt werden. Die Strömungsdynamik wird mit Darstellungen zur Grenzschichttheorie und dem Auftrieb und Widerstand von Tragflügeln und Schaufeln abgeschlossen. Das Kapitel Mechanik wird abgeschlossen durch einen kurzen Abriss in der Ähnlichkeitsmechanik, die im Zusammenhang mit der Mechanik insbesondere in dem Bereich der Strömungslehre Anwendung findet.

Statik starrer Körper

12

Joachim Villwock und Andreas Hanau

12.1 Allgemeines Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht am starren Körper oder an Systemen von starren Körpern. Gleichgewicht herrscht, wenn sich ein Gebilde in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung befindet. Starre Körper im Sinne der Statik sind Gebilde, deren Deformationen so klein sind, dass die Kraftangriffspunkte vernachlässigbar kleine Verschiebungen erfahren. Kräfte sind linienflüchtige, auf ihrer Wirkungslinie verschiebbare Vektoren, die Bewegungs- oder Formänderungen von Körpern bewirken. Ihre Bestimmungsstücke sind Größe, Abb. 12.1 Vektordarstellung. a Kraft; b Kräftepaar; c MoRichtung und Lage (Abb. 12.1a). ment

F D F x C F y C F z D Fx e x C Fy e y C Fz e z

Es gibt eingeprägte Kräfte und Reaktionskräfte sowie äußere und innere Kräfte. Äußere Kräfte sind alle von außen auf einen freigemachC .F cos /e z ; (12.1) ten Körper (s. Abschn. 12.5) einwirkende Kräfte (Belastungen und Auflagerkräfte). Innere Kräfte wobei q sind alle im Inneren eines Systems auftretende (12.2) Schnitt- und Verbindungskräfte. F D jF j D Fx2 C Fy2 C Fz2 : Momente oder Kräftepaare bestehen aus Für die Richtungskosinusse der Kraft gilt zwei gleich großen, entgegengesetzt gerichcos ˛ D Fx =F , cos ˇ D Fy =F , cos D Fz =F teten Kräften mit parallelen Wirkungslinien sowie cos2 ˛ C cos2 ˇ C cos2 D 1. (Abb. 12.1b) oder einem Vektor, der auf ihrer Wirkungsebene senkrecht steht. Dabei bilden J. Villwock () r, F , M eine Rechtsschraube (Rechtssystem). Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland Kräftepaare sind in ihrer Wirkungsebene und E-Mail: [email protected] senkrecht zu dieser beliebig verschiebbar, d. h. A. Hanau der Momentenvektor ist ein freier Vektor, festgeD .F cos ˛/e x C .F cos ˇ/e y

BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_12

231

232

J. Villwock und A. Hanau

legt durch das Vektorprodukt M D r  F D Mx C My C Mz D Mx e x C My e y C Mz e z D .M cos ˛  /e x C .M cos ˇ  /e y C .M cos  /e z : M D jM j D jrj  jF j  sin ' D F h q D Mx2 C My2 C Mz2 :

x, y, z bzw. Fx , Fy , Fz gegeben (Abb. 12.2b), so gilt ˇ ˇ ˇex e y ez ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ M Dr F Dˇx y zˇ ˇ ˇ ˇFx Fy Fz ˇ (12.3) D .Fz y  Fy z/e x C .Fx z  Fz x/e y C .Fy x  Fx y/e z D Mx e x C My e y C Mz e z :

(12.4)

(12.5) M heißt Größe oder Betrag des Moments und be- Für die Komponenten, den Betrag des Momendeutet anschaulich den Flächeninhalt des von r tenvektors und die Richtungskosinusse gilt und F gebildeten Parallelogramms. Dabei ist h Mx D Fz y  Fy z ; My D Fx z  Fz x ; der senkrecht zu F stehende Hebelarm. Für die Richtungskosinusse gilt (Abb. 12.1c) cos ˛  D Mz D Fy x  Fx y I Mx =M , cos ˇ  D My =M , cos  D Mz =M: M D jM j D jrj  jF j  sin ' D F h q D Mx2 C My2 C Mz2 I Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes (Versetzungsmoment). Die Wirkung einer cos ˛  D Mx =M ; cos ˇ  D My =M ; Einzelkraft mit beliebigem Angriffspunkt bezügcos  D Mz =M : lich eines Punkts O wird mit dem Hinzufügen eines Nullvektors, d. h. zweier gleich großer, entLiegt der Kraftvektor in der x, y-Ebene, d. h., sind gegengesetzt gerichteter Kräfte F und F im z und Fz gleich null, so folgt (Abb. 12.2c) Punkt O (Abb. 12.2a) deutlich. Es ergibt sich eine Einzelkraft F im Punkt O und ein Kräftepaar M D M z D .Fy x  Fx y/e z I bzw. Moment M (Versetzungsmoment), dessen M D jM j D Mz D Fy x  Fx y D F r sin ' Vektor auf der von r und F gebildeten Ebene D Fh: senkrecht steht. Sind r und F in Komponenten

12.2 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften mit gemeinsamem Angriffspunkt 12.2.1

Ebene Kräftegruppe

Zusammensetzen von Kräften zu einer Resultierenden. Kräfte werden geometrisch (vektoriell) addiert, und zwar zwei Kräfte mit dem Kräfteparallelogramm oder Kräftedreieck (Abb. 12.3), mehrere Kräfte mit dem KräftepoAbb. 12.2 Kraft und Moment. a und b Kraftversetzung; lygon oder Krafteck (Abb. 12.4, Kräftemaßstab c Moment in der Ebene 1 cm D O ~N).

12 Statik starrer Körper

233

Abb. 12.3 Zusammensetzen zweier Kräfte in der Ebene. a Mit Kräfteparallelogramm; b mit Kräftedreieck

Die rechnerische Lösung lautet FR D

n X i D1

Fi D

n X

Fix e x C

i D1

n X

Fiy e y

i D1

D FRx e x C FRy e y

Abb. 12.5 Zerlegen einer Kraft in der Ebene. a In zwei

(12.6) Richtungen (eindeutig); b in drei Richtungen (vieldeutig); c rechnerisch

mit Fix D Fi cos ˛i ; Fiy D Fi sin ˛i . Größe und d. h. F2 D .F sin ˛  F1 sin ˛1 /= sin ˛2 und somit Richtung der Resultierenden: FR D

q

2 2 FRx C FRy ;

tan ˛R D FRy =FRx :

F cos ˛ (12.7)

D F1 cos ˛1 C cos ˛2 .F sin ˛  F1 sin ˛1 /= sin ˛2 :

F cos ˛ sin ˛2  F sin ˛ cos ˛2 Zerlegen einer Kraft ist in der Ebene eindeutig nur nach zwei Richtungen möglich, nach drei D F1 cos ˛1 sin ˛2  F1 sin ˛1 cos ˛2 ; und mehr Richtungen ist die Lösung vieldeutig (statisch unbestimmt). Graphische Lösung s. also F1 D F sin.˛2  ˛/= sin.˛2  ˛1 / und entAbb. 12.5a,b. sprechend F2 D F sin.˛1  ˛/= sin.˛1  ˛2 /. Rechnerische Lösung (Abb. 12.5c): F D F 1 C F 2 bzw. in Komponenten F cos ˛ D F1 cos ˛1 C F2 cos ˛2 ; F sin ˛ D F1 sin ˛1 C F2 sin ˛2 I

12 12.2.2

Räumliche Kräftegruppe

Zusammensetzen von Kräften zu einer Resultierenden. Die rechnerische Lösung lautet

FR D D

n X i D1 n X i D1

Fi Fix e x C

n X i D1

Fiy e y C

n X

Fiz e z

i D1

D FRx e x C FRy e y C FRz e z I Abb. 12.4 Zusammensetzen mehrerer Kräfte in der Ebene. a Lageplan; b Kräftepolygon

(12.8) mit Fix D Fi cos ˛i , Fiy D Fi cos ˇi , Fiz D Fi cos i . Größe und Richtung der Resultieren-

234

J. Villwock und A. Hanau

Da der Vektor .e 2  e 3 / sowohl auf e 2 als auch auf e 3 senkrecht steht, werden die Skalarprodukte null, und es folgt F1 e 1 .e 2  e 3 / D F .e 2  e 3 /

bzw.

F1 D F e 2 e 3 =.e 1 e 2 e 3 / ; F2 D e 1 F e 3 =.e 1 e 2 e 3 / ; Abb. 12.6 Rechnerische Zerlegung einer Kraft im Raum

F3 D e 1 e 2 F =.e 1 e 2 e 3 / :

(12.10)

F e 2 e 3 ; e 1 e 2 e 3 usw. sind Spatprodukte, d. h. Skalare, deren Größe der Rauminhalt des von drei q Vektoren gebildeten Spats festlegt. Die Lösung 2 2 2 FR D FRx C FRy C FRz I ist eindeutig, wenn das Spatprodukt e 1 e 2 e 3 6D 0 cos ˛R D FRx =FR ; cos ˇR D FRy =FR ; ist, d. h., die drei Vektoren dürfen nicht in einer Ebene liegen. cos R D FRz =FR : Mit e i D cos ˛i e x C cos ˇi e y C cos i e z wird (12.9) Zerlegen einer Kraft ist im Raum eindeutig nur ˇ ˇ ˇF cos ˛1 cos ˛2 cos ˛3 ˇ nach drei Richtungen möglich; nach vier und ˇ ˇ ˇ ˇ mehr Richtungen ist die Lösung vieldeutig (staF1 D ˇF cos ˇ1 cos ˇ2 cos ˇ3 ˇ ˇ ˇ tisch unbestimmt). ˇ F cos 1 cos 2 cos 3 ˇ Die rechnerische Lösung lautet F 1 C F 2 C ˇ ˇ ˇcos ˛1 cos ˛2 cos ˛3 ˇ F 3 D F I F1x C F2x C F3x D Fx ; F1y C F2y C ˇ ˇ ˇ ˇ W ˇcos ˇ1 cos ˇ2 cos ˇ3 ˇ : (12.11) F3y D Fy ; F1z C F2z C F3z D Fz . Gemäß ˇ ˇ ˇ cos 1 cos 2 cos 3 ˇ Abb. 12.6 gilt für die Richtungskosinusse der drei gegebenen Richtungen q Entsprechend F 2 und F 3 . cos ˛i D xi = xi2 C yi2 C zi2 ; q cos ˇi D yi = xi2 C yi2 C zi2 ; 12.3 Zusammensetzen und Zerlegen q von Kräften mit verschiedenen 2 2 2 cos i D zi = xi C yi C zi : den:

Angriffspunkten

Damit folgt F1 cos ˛1 C F2 cos ˛2 C F3 cos ˛3 D F cos ˛ ;

12.3.1 Kräfte in der Ebene

F1 cos ˇ1 C F2 cos ˇ2 C F3 cos ˇ3 D F cos ˇ ;

Zusammensetzen mehrerer Kräfte zu einer Resultierenden. Rechnerisches Verfahren: BeF1 cos 1 C F2 cos 2 C F3 cos 3 D F cos : züglich des Nullpunkts ergibt die ebene Kräftegruppe eine resultierende Kraft und ein resultieDiese drei linearen Gleichungen für die drei rendes (Versetzungs-)Moment (Abb. 12.7a) unbekannten Kräfte F 1 , F 2 und F 3 haben nur n n X X dann eine eindeutige Lösung, wenn ihre SystemD F ; M D M i bzw. F R i R determinante nicht null wird, d. h., wenn die drei i D1 i D1 Richtungsvektoren nicht in einer Ebene liegen. n n X X Gemäß Abb. 12.6 gilt F1 e 1 C F2 e 2 C F3 e 3 D F Fix ; FRy D Fiy ; FRx D und nach Multiplikation mit e 2  e 3 i D1 i D1 F1 e 1 .e 2  e 3 / C F2 e 2 .e 2  e 3 / C F3 e 3 .e 2  e 3 / D F .e 2  e 3 / :

MR D

n X i D1

.Fiy xi  Fix yi / D

n X i D1

Fi hi :

12 Statik starrer Körper

235

oder an Stelle der letzten Gleichung F1 h1 C F2 h2 C F3 h3 D F h, wobei entgegen dem Uhrzeigersinn drehende Momente positiv sind. Das sind drei Gleichungen für die drei Unbekannten F1 , F2, F3. Abb. 12.7 Resultierende von Kräften in der Ebene

12.3.2 Für einen beliebigen Punkt ist die Wirkung der Kräftegruppe gleich ihrer Resultierenden. Wird die Resultierende parallel aus dem Nullpunkt soweit verschoben, dass MR null wird, so folgt für ihre Lage aus MR D FR hR usw. (Abb. 12.7b) hR D MR =FR

bzw. xR D MR =FRy

bzw.

yR D MR =FRx :

Zerlegen einer Kraft. Die Zerlegung einer Kraft ist in der Ebene eindeutig möglich nach drei gegebenen Richtungen, die sich nicht in einem Punkt schneiden und von denen höchstens zwei parallel sein dürfen. Die rechnerische Lösung folgt aus der Bedingung dass Kraft- und Momentenwirkung der Einzelkräfte F i und der Kraft F bezüglich des Nullpunktes gleich sein müssen (Abb. 12.8):

Kräfte im Raum

Kräftezusammenfassung (Reduktion). Eine räumliche Kräftegruppe, bestehend aus den Kräften F i D .Fix I Fiy I Fiz /, deren Angriffspunkte durch die Radiusvektoren r i D .xi I yi I zi / gegeben sind, kann bezüglich eines beliebigen Punkts zu einer resultierenden Kraft F R und zu einem resultierenden Moment M R zusammengefasst (reduziert) werden. Die rechnerische Lösung (Abb. 12.9) lautet, bezogen auf den Nullpunkt FR D

n X

Fi ;

i D1

ˇ ˇ n ˇ ex X ˇ MR D .r i  F i / D ˇ xi ˇ i D1 i D1 ˇF ix n X

ey yi Fiy

ˇ e z ˇˇ ˇ zi ˇ : ˇ Fiz ˇ

Kraftschraube oder Dyname. Eine weitere Vereinfachung des reduzierten Kräftesystems ist Fi D F ; .r i  F i / D r  F ; d: h: insofern möglich, als es eine Achse mit bestimmi D1 i D1 ter Lage gibt, auf der Kraftvektor und MomentF1 cos ˛1 C F2 cos ˛2 C F3 cos ˛3 D F cos ˛ ; vektor parallel zueinander liegen (Abb. 12.10). F1 sin ˛1 C F2 sin ˛2 C F3 sin ˛3 D F sin ˛ I Diese Achse heißt Zentralachse. Sie ergibt sich durch Zerlegen von M R in der durch M R und F R F1 .x1 sin ˛1  y1 cos ˛1 / gebildeten Ebene E in die Komponenten MF D C F2 .x2 sin ˛2  y2 cos ˛2 / MR cos ' (parallel zu F R ) und MS D MR sin ' C F3 .x3 sin ˛3  y3 cos ˛3 / (senkrecht zu F R ). Hierbei folgt ' aus dem SkaD F .x sin ˛  y cos ˛/ larprodukt M R F R D MR FR cos ', d. h. cos ' D M R  F R =.MR FR /. Anschließend wird MS durch Versetzen von F R senkrecht zur Ebene E um den n X

n X

Abb. 12.9 Räumliche Kräftereduktion

Abb. 12.8 Zerlegen einer Kraft in der Ebene

12

236

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 12.10 Kraftschraube (Dyname)

12.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen

Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn er sich in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung befindet. Da dann alle Beschleunigungen null sind, folgt aus den Grundgesetzen der DyBetrag a D MS =FR zu null gemacht. Der dazu namik, dass am Körper keine resultierende Kraft gehörige Vektor ist a D .F R  M R /=FR2 , da sein und kein resultierendes Moment auftreten. Betrag jaj D a D FR MR sin '=FR2 D MS =FR ist. Die Vektorgleichung der Zentralachse, in deren Richtung F R und M F wirken, lautet dann mit 12.4.1 Kräftesystem im Raum t als Parameter r.t/ D a C F R  t. Kraftzerlegung im Raum. Eine Kraft lässt sich Die Gleichgewichtsbedingungen lauten im Raum nach sechs gegebenen Richtungen einX X deutig zerlegen. Sind die Richtungen durch ih- F R D F i D 0 und M R D Mi D 0 re Richtungskosinusse gegeben und heißen die (12.12) Kräfte F 1 : : : F 6 , so gilt bzw. in Komponenten 6 X

X Fi cos ˛i D F cos ˛ ;

i D1 6 X

Fi cos ˇi D F cos ˇ ;

i D1 6 X

Fi cos i D F cos I

i D1 6 X

Fi .yi cos i  zi cos ˇi /

i D1

D F .y cos  z cos ˇ/ ; 6 X

Fi .zi cos ˛i  xi cos i /

i D1

D F .z cos ˛  x cos / ; 6 X

Fi .xi cos ˇi  yi cos ˛i /

i D1

D F .x cos ˇ  y cos ˛/ : Aus diesen sechs linearen Gleichungen erhält man eine eindeutige Lösung, wenn die Nennerdeterminante ungleich null ist.

X

Fix D 0 ;

Mix D 0 ;

X X

Fiy D 0 ;

Miy D 0 ;

X X

Fiz D 0 I

Miz D 0 : (12.13) Jede der drei Gleichgewichtsbedingungen für die Kräfte kann durch eine weitere für die Momente um eine beliebige andere Achse, die nicht durch den Ursprung O gehen darf, ersetzt werden. Aus den sechs Gleichgewichtsbedingungen lassen sich sechs unbekannte Größen (Kräfte oder Momente) berechnen. Sind mehr als sechs Unbekannte vorhanden, nennt man das Problem statisch unbestimmt. Seine Lösung ist nur unter Heranziehung der Verformungen möglich (s. Abschn. 20.7). Liegen Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt vor, so sind die Momentenbedingungen von Gl. (12.13) bezüglich des Schnittpunkts (und damit auch für alle anderen Punkte, da M R ein freier Vektor ist) identisch erfüllt. Dann gelten nur die Kräftegleichgewichtsbedingungen von Gl. (12.13), aus denen drei unbekannte Kräfte ermittelt werden können.

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12 Statik starrer Körper

12.4.2 Kräftesystem in der Ebene Das Gleichungssystem (12.13) reduziert sich auf drei Gleichgewichtsbedingungen: X X X Fiy D 0 ; Miz D 0 : Fix D 0 ; (12.14) Die beiden Kräftegleichgewichtsbedingungen können durch zwei weitere Momentenbedingungen ersetzt werden. Die drei Bezugspunkte für die drei Momentengleichungen dürfen nicht auf einer Geraden liegen. Aus den drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene lassen sich drei unbekannte Größen (Kräfte oder Momente) ermitteln. Sind mehr Unbekannte vorhanden, so ist das ebene Problem statisch unbestimmt. Für Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt in der Ebene ist die Momentenbedingung in Gl. (12.14) identisch erfüllt, es bleiben nur die beiden Kräftebedingungen X X Fiy D 0 : (12.15) Fix D 0 ;

239 Abb. 12.11 Prinzip virtueller Verrückungen

(mathematisch ausgedrückt Vektordifferentiale) der Ortsvektoren, die sich durch Bildung der ersten Ableitung ergeben; •'i Drehwinkeldifferentiale der Verdrehungen 'i . In natürlichen Koordinaten nimmt das Prinzip die Form X .e/ X .e/ Fi s •si C Mi' •'i D 0 •W .e/ D (12.17) .e/ an, wobei Fi s die in die Richtung der Verschie.e/ bung zeigenden Kraftkomponenten und Mi' die um die Drehachse wirksamen Komponenten der Momente sind. Das Prinzip dient unter anderem in der Statik zur Untersuchung des Gleichgewichts an verschieblichen Systemen und zur Berechnung des Einflusses von Wanderlasten auf Schnitt- und Auflagerkräfte (Einflusslinien).

12.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten Das Prinzip tritt an die Stelle der Gleichgewichtsbedingungen und lautet: Erteilt man einem starren Körper eine mit seinen geometrischen Bindungen verträgliche kleine (virtuelle) Verrückung, und ist der Körper im Gleichgewicht (Abb. 12.11), so ist die virtuelle Gesamtarbeit aller eingeprägten äußeren Kräfte und Momente – durch (e) hochgestellt gekennzeichnet – gleich null: X .e/ X .e/ F i •r i C M i •'i D 0 •W .e/ D (12.16) bzw. in Komponenten

12.4.4

Arten des Gleichgewichts

Man unterscheidet stabiles, labiles und indifferentes Gleichgewicht (s. Abb. 12.12). Stabiles Gleichgewicht herrscht, wenn ein Körper bei einer mit seinen geometrischen Bindungen verträglichen Verschiebung in seine Ausgangslage zurückzukehren trachtet, labiles Gleichgewicht, wenn er sie zu verlassen sucht, und indifferentes Gleichgewicht, wenn jede benachbarte Lage eine neue Gleichgewichtslage ist. Wird entsprechend Abschn. 12.4.3 die kleine Verschiebung als virtuelle aufgefasst, so gilt nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten für die Gleichgewichtsla.e/ •W ge •W .e/ D 0. Bewegt man den Körper gemäß X  .e/ .e/ .e/ Fix •xi C Fiy •yi C Fiz •zi D Abb. 12.12a aus einer Lage 1 in eine Lage 2 über X  .e/ die Gleichgewichtslage 0 hinweg, so ist im Be.e/ .e/ Mix •'ix C Miy •'iy C Miz •'iz C reich 1 bis 0 die Arbeit •W .e/ D Fs •s > 0, d. h. positiv, im Bereich 0 bis 2 •W .e/ < 0, d. h. negaD0I tiv. Aus der Funktion •W .e/ D f .s/ geht hervor, r i D .xi I yi I zi / Ortsvektoren zu den Kraftan- dass die Steigung von •W .e/ negativ ist, d. h. griffspunkten; •r i D .•xi I •yi I •zi / Variationen •2 W .e/ < 0, wenn stabiles Gleichgewicht. Allge-

12

240

J. Villwock und A. Hanau

zwei verschiedene Freiheitsgrade ' und

.

r G D .c sin ' C b sin I  c cos '/ ;

b cos

r Q D .l sin '  a sin I  a cos

C l cos '/ ;

•r G D .c cos ' •' C b cos b sin

C c sin ' •'/ ;

•

•r Q D .l cos ' •'  a cos a sin

Abb. 12.12 Gleichgewichtsarten. a Stabil; b labil; c indifferent

mein gilt für das Gleichgewicht: stabil •2 W .e/ < 0, labil •2 W .e/ > 0, indifferent •2 W .e/ D 0. Handelt es sich um Probleme, bei denen nur Gewichtskräfte eine Rolle spielen, dann gilt mit dem Potential U D FG z bzw. •U D FG •z •W .e/ D F .e/ •r D .0I 0I FG /.•xI •yI •z/

Beispiel

Bei einer Zeichenmaschine sind Gegengewicht FQ und sein Hebelarm l so zu bestimmen, dass sich die Zeichenmaschine vom Eigengewicht FG in jeder Lage im Gleichgewicht befindet (Abb. 12.13). – Das System hat

• I

 l sin ' •'/ :

•

Mit F G D .0I FG / und F Q D .0I FQ / wird X .e/ F i •r i •W .e/ D D FG .b sin D sin

C c sin ' •'/

•

 FQ .a sin

 l sin ' •'/

•

• .FG b  FQ a/

C sin ' •'.FG c C FQ l/ : Aus •W .e/ D 0 folgt wegen der Beliebigkeit von ' und

D FG •z D •U und •2 W .e/ D •2 U , d. h., bei stabilem Gleichgewicht ist •2 U > 0 und somit die potentielle Energie U ein Minimum, bei labilem Gleichgewicht •2 U < 0 und die potentielle Energie ein Maximum.

• I

FG b  FQ a D 0 und FG c C FQ l D 0 und damit FQ D FG b=a

und l D c

FG =FQ D ca=b : Ferner wird •2 W .e/ D cos

•

2

.FG b  FQ a/

C cos ' •' 2 .FG c C FQ l/ : Hieraus folgt mit den ermittelten Lösungswerten •2 W .e/ D 0, d. h., es liegt indifferentes Gleichgewicht vor. J

Abb. 12.13 Zeichenmaschine

12.4.5 Standsicherheit Bei Körpern, deren Auflagerungen nur Druckkräfte aufnehmen können, besteht die Gefahr des

12 Statik starrer Körper

241

Abb. 12.14 Standsicherheit

Umkippens. Es wird verhindert, wenn um die möglichen Kippkanten A oder B (Abb. 12.14) die Summe der Standmomente größer ist als die Summe der Kippmomente, d. h., wenn die Resultierende des Kräftesystems innerhalb der Kippkanten die Standfläche schneidet. Standsicherheit ist das Verhältnis der Summe aller Standmomente zur Summe aller Kippmomente P bezüglich einer P Kippkante: S D MS = MK . Für S  1 herrscht Standsicherheit und Gleichgewicht.

12.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip Körper werden durch sog. Lager abgestützt. Die Stützkräfte wirken als Reaktionskräfte zu den äußeren eingeprägten Kräften auf den Körper. Je nach Bauart der Lager können im räumlichen Fall maximal drei Kräfte und maximal drei Momente übertragen werden. Die Reaktionskräfte und -momente werden durch das sogenannte „Freimachen“ eines Körpers zu äußeren Kräften. Ein Körper wird freigemacht, indem man ihn mittels eines geschlossenen Schnitts durch alle Lager von seiner Umgebung trennt und die Lagerkräfte als äußere Kräfte am Körper anbringt (Abb. 12.15, Freimachungsprinzip). Auf die Lager wirken dann nach „actio D reactio“ (3. Newton’sches Axiom) gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte. Je nach Bauart und Anzahl der Abb. 12.15 Freimachungsprinzip. a Gestützter Körper mit geschlossener Schnittlinie; b freigemachter Körper

Abb. 12.16 Lagerungsarten

Reaktionsgrößen eines Lagers unterscheidet man ein- bis sechswertige Lager (Abb. 12.16).

12.6 Auflagerreaktionen an Körpern 12.6.1

Körper in der Ebene

12 In der Ebene hat ein Körper drei Freiheitsgrade hinsichtlich seiner Bewegungsmöglichkeiten (Verschiebung in x- und y-Richtung, Drehung um die z-Achse). Er benötigt daher eine insgesamt dreiwertige Lagerung für eine stabile und statisch bestimmte Festhaltung. Diese kann aus einer festen Einspannung oder aus einem Fest- und einem Loslager oder aus drei Loslagern (Gleitlagern) bestehen (im letzten Fall dürfen sich die drei Wirkungslinien der Reaktionskräfte nicht in einem Punkt schneiden). Ist die Lagerung n-wertig (n > 3), so ist das System (n  3)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist die Lagerung weniger als dreiwertig, so ist das System statisch unterbestimmt, d. h. instabil und beweglich. Die Berechnung der Auflagerreaktionen erfolgt durch

242

J. Villwock und A. Hanau

Freimachen und Ansetzen der Gleichgewichtsbedingungen. Beispiel

Welle (Abb. 12.17a). Gesucht werden die Auflagerkräfte in A und B infolge der gegebenen Kräfte F 1 und F 2 . Rechnerische Lösung: An der freigemach- Abb. 12.18 Abgewinkelter Träger. a System; b Freimachung ten Welle (Abb. 12.17b) gilt X

Mi A D 0 D F1 a C FB l  F2 .l C c/

also

X

FB D ŒF1 a C F2 .l C c/= l I X

Mi A D 0 D F1 sin ˛1 a  qc.a C b C c=2/

Mi B D 0 D FAy l C F1 b  F2 c ;

 F2 e C FS cos ˛S l C FS sin ˛S h

also

FAy D .F1 b  F2 c/= l I X Fix D 0 D FAx :

und daraus P

Die Gleichgewichtsbedingung Fiy D 0 muss ebenfalls erfüllt sein und kann als Kontrollgleichung benutzt werden. X

Rechnerische Lösung: Mit der Resultierenden der Streckenlast Fq D qc wird (Abb. 12.18b)

FS D Aus X

Fiy D FAy  F1 C FB  F2

D F1 .a C b  l/= l

Fix D 0 D FAx C F1 cos ˛1 C F2  FS sin ˛S

D .F1 b  F2 c/= l  F1 C ŒF1 a C F2 .l C c/= l  F2

F1 sin ˛1 a C qc.a C b C c=2/ C F2 e : l cos ˛S C h sin ˛S

X

und Fiy D 0 D FAy  F1 sin ˛1  qc C FS cos ˛S

C F2 .c C l C c  l/= l D 0 : J Beispiel

Abgewinkelter Träger (Abb. 12.18a). Für den durch zwei Einzelkräfte F1 und F2 und die konstante Streckenlast q belasteten abgewinkelten Träger ist die Auflagerkraft im Festlager A und die Kraft im Pendelstab bei B zu bestimmen.

folgen FAx D F1 cos ˛1  F2 C FS sin ˛S

und

FAy D F1 sin ˛1 C qc  FS cos ˛S ; wobei der vorstehend errechnete Wert für FS einzusetzen ist. J Beispiel

Abb. 12.17 Welle. a System; b Freimachung

Wagen auf schiefer Ebene (Abb. 12.19a,b). Der durch die Gewichtskraft F G und die Anhängerzugkraft F Z belastete Wagen wird von einer Seilwinde auf der schiefen Ebene im Gleichgewicht gehalten. Zu bestimmen sind

12 Statik starrer Körper

243

12.6.2

Körper im Raum

Im Raum hat ein Körper sechs Freiheitsgrade (drei Verschiebungen und drei Drehungen). Er benötigt daher für eine stabile Festhaltung eine Abb. 12.19 Wagen auf schiefer Ebene. a System; b Frei- insgesamt sechswertige Lagerung. Ist die Lagemachung rung n-wertig (n > 6), so ist das System (n  6)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist n < 6, so die Zugkraft im Halteseil sowie die Stützkräf- ist es statisch unterbestimmt, also beweglich und te an den Rädern, wobei Reibkräfte außer acht instabil. gelassen werden sollen. Beispiel Rechnerische Lösung: Am freigemachten Wagen (Abb. 12.19b) ergeben die GleichgeWelle mit Schrägverzahnung (Abb. 12.20). wichtsbedingungen Die Auflagerkräfte der Welle sind zu berechnen. – Die Welle P kann sich um die x-Achse X drehen, d. h. Mix D 0 entfällt. (LagerreiFix D 0 bung wird nicht berücksichtigt.) Die restlichen D FZ  FG sin ˛ C FS cos ˛ ; also fünf Gleichgewichtsbedingungen lauten: X FS D FG tan ˛ C FZ = cos ˛ I Fix D 0 ergibt X Mi A D 0 FAx D F1x  F2x I X D FZ h=4 C FG .h=2/ sin ˛ Mi Bz D 0 ergibt  FG b cos ˛ C 2Fn2 b FAy D .F1x r1 C F1y b  FS .h=2/ cos ˛  FS .a C 2b/ sin ˛ I X C F2x r2 C F2y c/= l I Mi B D 0 X Mi By D 0 ergibt D FZ h=4  2Fn1 b C FG .h=2/ sin ˛ FAz D .F1z b  F2z c/= l I C FG b cos ˛ X Mi Az D 0 ergibt  FS .h=2/ cos ˛  FS a sin ˛ : FBy D ŒF1x r1  F1y a C F2x r2 Hieraus folgen Fn2 D  FZ h=.8b/  FG Œ.h=2/ sin ˛  b cos ˛=.2b/ C FS Œ.h=2/ cos ˛ C .a C 2b/ sin ˛=.2b/ und

X

C F2y .l C c/= l I Mi Ay D 0 ergibt

FBz D ŒF1z a C F2z .l C c/= l : P P Die Bedingungen Fiy D 0 und Fiz D 0 können als Kontrollen verwendet werden. J

Fn1 D FZ h=.8b/ C FG Œ.h=2/ sin ˛ C b cos ˛=.2b/  FS Œ.h=2/ cos ˛ C a sin ˛=.2b/; wobei der errechnete Wert von FS einzusetzen P ist. Die Bedingung Fiy D 0 D Fn1 C Fn2  FG cos ˛FS sin ˛ kann dann als Kontrollgleichung benutzt werden. J Abb. 12.20 Welle mit Schrägverzahnung

12

244

J. Villwock und A. Hanau

12.7 Systeme starrer Körper

Beispiel

Sie bestehen aus mehreren Körpern, die durch Verbindungselemente, d. h. Gelenke a oder Führungen b oder auch durch gelenkig angeschlossene Führungen c, miteinander verbunden sind (Abb. 12.21). Ein Gelenk überträgt Kräfte in zwei Richtungen, aber kein Moment; eine Führung überträgt eine Kraft quer zur Führung und ein Moment, aber keine Kraft parallel zur Führung; eine gelenkige Führung überträgt eine Kraft quer zur Führung, aber keine Kraft parallel zur Führung und kein Moment. Man spricht daher von zweiwertigen oder einwertigen Verbindungselementen. Ist i die Summe der Wertigkeiten der Auflager und j die Summe der Wertigkeiten der Verbindungselemente, so muss bei einem System aus k Körpern mit 3k Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die Bedingung i C j D 3 k erfüllt sein, wenn ein stabiles System statisch bestimmt sein soll. Ist i C j > 3 k, so ist das System statisch unbestimmt, d. h., wenn i C j D 3 k C n, ist es n-fach statisch unbestimmt. Ist i C j < 3 k, so ist das System statisch unterbestimmt und auf jeden Fall labil. Für das stabile System nach Abb. 12.21 ist i C j D 7 C 5 D 12 und 3 k D 3  4 D 12, d. h., das System ist statisch bestimmt. Bei statisch bestimmten Systemen werden die Auflagerreaktionen und Reaktionen in den Verbindungselementen ermittelt, indem die Gleichgewichtsbedingungen für die freigemachten Einzelkörper erfüllt werden.

Dreigelenkrahmen oder Dreigelenkbogen (Abb. 12.22a). Rechnerische Lösung: Nach Freimachen der beiden Einzelkörper (Abb. 12.22b) Gleichgewichtsbedingungen für Körper I:

Abb. 12.21 System aus starren Körpern

Abb. 12.22 Dreigelenkrahmen. a System; b Freimachung

X

Fix D 0 ergibt

FAx D FCx  F1x I X

(12.18a)

Fiy D 0 ergibt

FAy D F1y C F2  FCy I X Mi A D 0

(12.18b)

D FCx H C FCy a  F1x y1  F1y x1  F2 x2 I

(12.18c)

und für Körper II: X

Fix D 0 ergibt

FBx D FCx  F3x I X

X

(12.18d)

Fiy D 0 ergibt

FBy D FCy C F3y I

(12.18e)

Mi B D 0 D FCx h C FCy b C F3x Œy3  .H  h/ C F3y .l  x3 / :

(12.18f)

Aus den Gln. (12.18c) und (12.18f) ergeben sich die Gelenkkräfte FCx und FCy , eingesetzt in die Gln. (12.18a), (12.18b), (12.18d) und (12.18e) dann die Auflagerkräfte FAx , FAy , FBx , FBy . Zur Kontrolle verwendet man P Mi C D 0 am Gesamtsystem. J

12 Statik starrer Körper

245

12.8 Fachwerke 12.8.1 Ebene Fachwerke Fachwerke bestehen aus Stäben, die in den Knotenpunkten als gelenkig miteinander verbunden angesehen werden. Die Gelenke werden als reibungsfrei angenommen, d. h., es werden nur Kräfte in Stabrichtung übertragen. Die in Wirklichkeit in den Knotenpunkten vorhandenen Reibungsmomente und biegesteifen Anschlüsse führen zu Nebenspannungen, die in der Regel vernachlässigbar sind. Die äußeren Kräfte greifen in den Knotenpunkten an oder werden nach dem Hebelgesetz am Stab auf diese verteilt. Hat ein Fachwerk n Knoten und s Stäbe und ist es äußerlich statisch bestimmt mit drei Auflagerkräften gelagert, so gilt, da es für jeden Knoten zwei Gleichgewichtsbedingungen gibt, für ein statisch bestimmtes und stabiles Fachwerk (Abb. 12.23a) 2n D s C 3, s D 2n  3, d. h., aus den 2n3 Gleichgewichtsbedingungen sind s unbekannte Stabkräfte berechenbar. Ein Fachwerk mit s < 2n  3 Stäben ist statisch unterbestimmt und kinematisch instabil (Abb. 12.23b), ein Fachwerk mit s > 2n  3 Stäben ist innerlich statisch unbestimmt (Abb. 12.23c). Für die Bildung statisch bestimmter und stabiler Fachwerke gelten folgende Bildungsgesetze:

Abb. 12.24 Fachwerke. a bis d zum 1. bis 4. Bildungsgesetz

statisch bestimmtes und stabiles umgebildet werden, wenn der Tauschstab zwischen zwei Punkte eingebaut wird, die sich nach seiner Entfernung gegeneinander bewegen könnten (Abb. 12.24c).  Aus mehreren stabilen Fachwerken können nach den Regeln der Starrkörpersysteme gemäß Abschn. 12.7 neue stabile Fachwerksysteme gebildet werden (Abb. 12.24d).

Ermittlung der Stabkräfte

 Ausgehend von einem stabilen Grunddreieck werden nacheinander neue Knotenpunkte mit zwei Stäben angeschlossen (Abb. 12.24a).  Aus zwei statisch bestimmten Fachwerken wird ein neues gebildet durch drei Verbindungsstäbe, deren Wirkungslinien keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben (Abb. 12.24b). Dabei können zwei Stäbe durch einen den beiden Fachwerken gemeinsamen Knoten ersetzt werden (Abb. 12.24b, rechts).  Durch Stabvertauschung kann jedes nach diesen Regeln gebildete Fachwerk in ein anderes

Knotenschnittverfahren. Allgemein ergeben sich die s Stabkräfte und die drei Auflagerkräfte für ein statisch bestimmtes Fachwerk nachPAufstellen derPGleichgewichtsbedingunFiy D 0 an allen durch gen Fix D 0 und Rundschnitt freigemachten n Knoten. Man erhält 2n lineare Gleichungen. Ist die Nennerdeterminante des Gleichungssystems ungleich null, so ist das Fachwerk stabil, ist sie gleich null, so ist es instabil (verschieblich) [1]. Häufig gibt es (z. B. nachdem man vorher die Auflagerkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem ermittelt) einen Ausgangsknoten mit nur zwei unbekannten Stabkräften, dem sich weitere Knoten mit nur jeweils zwei Unbekannten anschließen, so dass sie nacheinander aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können, ohne ein Gleichungssystem lösen zu müssen.

Abb. 12.23 Fachwerk. a Statisch bestimmt; b statisch unterbestimmt; c statisch unbestimmt

Ritter’sches Schnittverfahren. Ein analytisches Verfahren, bei dem durch Schnitt dreier Stäbe ein ganzer Fachwerkteil freigemacht wird und nach Ansatz der drei Gleichgewichtsbedingungen für diesen Teil die drei unbekannten Stabkräfte

12

246

J. Villwock und A. Hanau

berechnet werden (s. Beispiel auf der nächsten Seite).

Einflusslinien infolge von Wanderlasten Die Berechnung einer Stabkraft FSi als Funktion von x infolge einer Wanderlast F D 1 liefert die Einflussfunktion (x); ihre graphische Darstellung heißt Einflusslinie. Die Auswertung für mehrere P Einzellasten Fj liefert die Stabkraft FSi D Fj .xj / (s. Beispiel).

Für Knoten C gilt: X X

Fix D 0 ergibt FS4 D FS1 D C15;00 kN (Zug) I Fiy D 0 ergibt FS3 D F3 D 20;00 kN (Druck) :

Für Knoten D gilt: X

Beispiel

Fachwerkausleger (Abb. 12.25a). Gegeben: F1 D 5 kN, F2 D 10 kN, F3 D 20 kN, a D 2 m, b D 3 m, h D 2 m, ˛ D 45ı , ˇ D 33;69ı . Gesucht: Stabkräfte. Knotenschnittverfahren. Die unbekannten Stabkräfte FSi werden als Zugkräfte positiv angesetzt (Abb. 12.25b). Für Knoten E gilt: X

FS5 D .FS2 sin ˛ C FS3 /= sin ˇ X

Für Knoten B gilt: X X

D 14;14 kN; also Druck ; Fix D 0 ergibt D C15;00 kN; also Zug :

Fix D 0 ergibt D 55;00 kN (Druck) :

Fiy D 0 ergibt

FS1 D F1  FS2 cos ˛

D C54;08 kN (Zug) I FS6 D FS2 cos ˛  FS5 cos ˇ

FS2 D F2 = sin ˛ X

Fiy D 0 ergibt

Fiy D 0 ergibt FS7 D 0 I Fix D 0 ergibt FB D FS6 D 55;00 kN :

Für Knoten A gilt: X

Fix D 0 ergibt

FAx D FS4 C FS5 cos ˇ D 60;00 kN I X Fiy D 0 ergibt FAy D FS5 sin ˇ C FS7 D 30;00 kN :

Abb. 12.25 Fachwerkausleger. a System; b Knotenschnitte; c Ritter’scher Schnitt; d Wanderlast; e Einflusslinie

12 Statik starrer Körper

Diese Auflagerkräfte folgen auch aus den Gleichgewichtsbedingungen am (ungeschnittenen) Gesamtsystem. Ritter’scher Schnitt. Die Stabkräfte FS4 ; FS5 und FS6 werden durch einen Ritter’schen Schnitt (Abb. 12.25c) ermittelt. X X

MiD D 0 ergibt FS4 D .F2 a C F1 h/= h D C15;00 kN Mi A D 0 ergibt FS6 D ŒF2 .a C b/ C F3 b= h

X

D 55;00 kN Fiy D 0 ergibt FS5 D .F2 C F3 /= sin ˇ D C54;08 kN

247

12.9 Seile und Ketten Seile und Ketten werden als biegeweich angesehen, d. h., sie können nur Zugkräfte übertragen. Vernachlässigt man die Längsdehnungen der einzelnen Elemente (Theorie 1. Ordnung), so folgt für das ebene Problem infolge vertikaler Streckenlast aus den Gleichgewichtsbedingungen am Seilelement (Abb. 12.26a) bei P gegebener Belastung q(s):P Fiy D 0, d. h. Fix D 0, d. h. dFH D 0, FV D q.s/ ds; also FH D const und dFV =ds D q.s/. Gemäß Abb. 12.26a gilt ferner tan ' D y 0 D FV =FH ; d. h. FV D FH y 0 bzw. FV0 D 00 dFV =dx D Fp Hy . Mit ds D 1 C y 0 2 dx wird hieraus

dFV =ds D .dFV =dx/.dx=ds/ Einflusslinie für Stabkraft FS6 . Untersucht p wird der Einfluss einer vertikalen Wanderlast D FH y 00 = 1 C y 0 2 D q.s/ : Fy (in beliebiger Stellung x auf dem Obergurt) auf die Stabkraft FS6 (Abb. 12.25d). Aus Folglich ist X p Mi A D 0 D Fy .a C b  x/ C FS6 h y 00 D Œq.s/=FH  1 C y 0 2 I (12.19) folgt mit Fy D 1 .x/ D 1  .a C b  x/= h D 5=2 C x=.2 m/ also eine Gerade (Abb. 12.25e). Ihre Auswertung für die gegebenen LastenPliefert, da F 1 keinen Einfluss auf FS6 hat (s. Mi A D 0), FS6 D F2 .x D 0/ C F3 .x D a/ D 10 kN.5=2/ C 20 kN.3=2/ D 55 kN : J

12.8.2 Räumliche Fachwerke Da im Raum pro Knoten drei Gleichgewichtsbedingungen bestehen und sechs Lagerkräfte zur stabilen, statisch bestimmten Lagerung des Gesamtfachwerks erforderlich sind, gilt das Abzählkriterium 3n D s C 6 bzw. s D 3n  6. Im Übrigen gelten den ebenen Fachwerken analoge Abb. 12.26 Seil. a Element; b Seil unter Eigengewicht; Methoden für die Stabkraftberechnung usw. [2]. c Seil unter Einzellast

12

248

J. Villwock und A. Hanau

bei gegebener Belastung q(x): gemäß Aus der letzten (transzendenten) Gleichung kann a, anschließend können x0 und y0 berechnet Abb. 12.26a gilt q.s/ ds D q.x/ dx, d. h. werden. Der maximale Durchhang f gegenüber q.s/ D q.x/ dx=ds der Sehne folgt an der Stelle xm D x0 C p 0 2 a arsinh.y2 =x2 / zu f D y2 xm =x2  y.xm /. Für D q.x/ cos ' D q.x/= 1 C y die Kräfte gilt und damit nach Gl. (12.19) FH D aq D const; FV .x/ D FH y 0 .x/ ; y 00 D q.x/=FH : (12.20) (12.22) q

FS .x/ D FH2 C FV2 .x/ : Die Lösungen dieser Differentialgleichungen ergeben die Seilkurve y(x). Die dabei auftretenden Die größte Seilkraft tritt an der Stelle auf, wo y 0 zwei Integrationskonstanten sowie der unbekannzum Maximum wird, d. h. in einem der Befestite (konstante) Horizontalzug FH folgen aus den gungspunkte. Randbedingungen y.x D x1 / D y1 und y.x D x2 / D R y2 sowie R p aus der gegebenen Seillänge Beispiel 1 C y 02 dx. L D ds D

12.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) Für ein Seil konstanten Querschnitts folgt mit q.s/ D const D q aus Gl. (12.19) mit a D FH =q nach Trennung der Variablen und Integration arsinh y 0 D .x  x0R/=a bzw. y 0 .x/ D sinhŒ.x  x0 /=a mit y.x/ D sinhŒ.x x0 /=adx Cy0 die Kettenlinie y.x/ D y0 C a coshŒ.x  x0 /=a :

(12.21)

Der Extremwert von y(x) folgt aus y 0 D 0 an der Stelle x D x0 zu ymin D y0 Ca. Die unbekannten Konstanten x0 ; y0 und a D FH =q ergeben sich aus den drei Bedingungen (Abb. 12.26b) y.x1 D 0/ D 0 D y0 C a cosh.x0 =a/ ; y.x D x2 / D y2 D y0 C a coshŒ.x2  x0 /=a ; Zx2 q LD 1 C sinh2 Œ.x  x0 /=a dx xD0

D a sinhŒ.x2  x0 /=a C a sinh.x0 =a/ : Hieraus ergeben sich y0 D a cosh.x0 =a/; x0 D x2 =2  a artanh.y2 =L/ und q sinh.x2 =2a/ D L2  y22 =.2a/ :

Kettenlinie. Befestigungspunkte P1 (0; 0) und P2 (300 m; 50 m). Seillänge L D 340 m, Belastung q.s/ D 30 N=m. – Aus der transzendenten Gleichung ergibt sich nach iterativer Rechnung a D 179;2 m und damit x0 D 176;5 m und y0 D 273;4 m, womit nach Gl. (12.21) die Kettenlinie bestimmt ist. Der maximale Durchhang gegenüber der Sehne tritt an der Stelle xm D 146;8 m auf und hat die Größe f D 67;3 m. Der Horizontalzug beträgt FH D aq D 5;375 kN D const. Die größte Seilkraft tritt im Punkt P1 auf: FV .x D 0/ D FH  jy 0 .x D 0/j D 6;192 kN und somit FS; max D FS .x D 0/ D 8;20 kN. J

12.9.2

Seil unter konstanter Streckenlast

Hierunter fallen neben Seilen mit angehängter konstanter Streckenlast q.x/ D const auch solche mit flachem Durchhang unter Eigengewicht, p da bei q.s/ D q0 D const wegen q.s/ 1 C y 02 D q0 = cos ' D q.x/ mit cos '

cos ˛ D const auch q.x/ D const D q wird. Zweimalige Integration der Gl. (12.20) liefert y.x/ D .q=FH /x 2 =2 C C1 x C C2 ; Randbedingungen mit gegebenem Durchhang f in der Mitte: y.x1 D 0/ D 0, y.x D x2 / D y2 , y.x D x2 =2/ D y2 =2  f:

12 Statik starrer Körper

249

Hieraus C2 D 0, C1 D .y2  4f /=x2 , FH D qx22 =.8f / und damit y.x/ D .y2 =x2 /x  .4f =x22 /.x2 x  x 2 / D .y2 =x2 /x  f .x/, wobei f (x) der Durchhang gegenüber der Sehne ist 0 (Abb. 12.26b). q Ferner gilt FV .x/ D FH y .x/ und

dass die Näherungslösung von den exakten Werten (Abschn. 12.9.1) nicht erheblich abweicht, obwohl der „flache“ Durchhang hier nur in geringem Maße zutrifft. J

FS .x/ D FH2 C FV2 .x/; FS; max an der Stelle der 12.9.3 Seil mit Einzellast maximalen Steigung. p Länge L des Seils folgt aus L D R x2Die Betrachtet wird nur das Seil mit flachen Durch1 C y 02 dx mit a D FH =q zu xD0 hängen gegenüber den Sehnen (Abb. 12.26c, " links). Sind x2 , y2 , x3 , y3 gegeben, so gelten mit p 2 F HI D FHII D FH die Beziehungen L D .a=2/ .C1 C x2 =a/ 1 C .C1 C x2 =a/  p C ln C1 C x2 =a C 1 C .C1 C x2 =a/2  # q q 2 2  C1 1 C C1  ln C1 C 1 C C1 :

Für Seile mit flachem q Durchhang gilt mit der Sehnenlänge l D x22 C y22 die Näherungsformel

L l 1 C 8x22 f 2 =.3l 4 / : Beispiel

qI D q0 = cos ˛I ; fI D

qII D q0 = cos ˛II ;

fII D qII xN 22 =.8FH / ;   y.x/ D .y2 =x2 /x  .qI =2FH / x2 x  x 2 ;   y. N x/ N D .yN2 =xN 2 /xN  .qII =2FH / xN 2 xN  xN 2 ; qI x22 =.8FH /

;

y 0 .x/ D .y2 =x2 /  .qI =2FH /.x2  2x/ ; yN 0 .x/ N D .yN2 =xN 2 /  .qII =2FH /.xN 2  2x/ N :

P Aus der Gleichgewichtsbedingung Fiy D 0 D (12.23) FVl CF FVr am Knoten P2 (Abb. 12.26c, rechts) folgt mit FV D FH  jy 0 j unter Beachtung, dass yN 0 negativ ist und somit jy 0 j D y 0 ,

Seil mit flachem Durchhang. Das Beispiel FH y2 =x2 C qI x2 =2 C F aus Abschn. 12.9.1 werde näherungsweise C FH yN2 =xN 2 C qII xN 2 =2 D 0 ; d: h: als flach durchhängendes Seil berechnet. GeqI x2  qII xN 2  2F geben: P1 (0; 0), P2 (300 m; 50 m), f D : FH D 2.y2 =x2 C yN2 =xN 2 / 67;3 m, q0 D 30 N=m. – Aus tan ˛ D 50=300 folgt ˛ D 9;46ı Hiermit können fI und fII , wie angegeben, FV .x/ und cos ˛ D 0;9864, so dass q q0 = cos ˛ D und FS .x/ nach Gl. (12.22) sowie LI und LII 30;41 N=m wird. Es folgen C1 D 1;064 und nach Gl. (12.23) berechnet werden. FH D 5;083 kN. Somit ist die Seillinie y.x/ D  0;1667  x  0;003 m1 .300 m  x  x 2 / D  1;064  x C 0;003 m1  x 2 : 0 D jy 0 .0/j D An der Stelle x D 0 wird ymax 0 1;064, also FV; max D FH ymax D 5;408 kN und somit FS; max D 7;42 kN. Die Näherungsformel Gl. (12.23) für die Seillänge liefert dann mit l D 304;1 m den Wert L 342;7m. Die Ergebnisse zeigen,

12.10

Schwerpunkt (Massenmittelpunkt)

An einem Körper der Masse m wirken an den Massenelementen dm die Gewichtskräfte dF G D dmg, die alle zueinander parallel sind. Den R Angriffspunkt ihrer Resultierenden F G D dF G nennt man den Schwerpunkt (Abb. 12.27a). Seine Lage ist festgelegt durch die Bedingung, dass das Moment der Resultierenden gleich dem der

12

250

J. Villwock und A. Hanau

Bestehen die Gebilde aus endlich vielen Teilen mit bekannten Teilschwerpunkten, so gilt in Komponenten z. B. für den Flächenschwerpunkt X xS D .1=A/ xi Ai I X yS D .1=A/ yi Ai I X zS D .1=A/ zi Ai : (12.26)

Abb. 12.27 Schwerpunkt eines Körpers (a) und eines Trägerquerschnitts (b)

Einzelkräfte sein muss, d. h. Z r S  F G D r  dF G bzw. mit dF G D dFG e   Z r S FG  r dFG  e D 0 ; d: h: Z  r dFG =FG bzw. in Komponenten rS D Z xS D .1=FG / x dFG ; Z yS D .1=FG / y dFG ; Z zS D .1=FG / z dFG : (12.24) Analog gilt bei konstanter Fallbeschleunigung g für den Massenmittelpunkt, bei konstanter Dichte % für den Volumenschwerpunkt sowie für den Flächen- und Linienschwerpunkt in vektorieller Form Z r S D .1=m/ r dm I Z r S D .1=V / r dV I Z r S D .1=A/ r dA und Z (12.25) r S D .1=s/ r ds :

R P Die Größen x dA bzw. xi Ai usw. bezeichnet man als statische Momente. Sind sie null, so folgt auch xS D 0 usw., d. h., das statische Moment bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt (Schwerlinie) ist stets gleich null. Alle Symmetrieachsen erfüllen diese Bedingung, d. h., sie sind stets Schwerlinien. Die durch Integration ermittelten Schwerpunkte von homogenen Körpern sowie von Flächen und Linien sind in den Tab. 12.1–12.3 angegeben. Beispiel

Schwerpunkt eines Trägerquerschnitts. Für den zusammengesetzten Trägerquerschnitt ist der Flächenschwerpunkt zu ermitteln (Abb. 12.27b). – Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Ermittlung von yS tabellarisch, wobei die Bohrung als negative Fläche angesetzt wird. Fläche 1) U 300 2) 2L 100 × 14 3) 400 × 20 4) 2L 150 × 100 × 14 5) Bohrung ¿25

Ai cm2 58,8 2 × 26,2 80,0

yi cm 38,30 37,02 20,00

yi Ai cm3 2252,0 1939,8 1600,0

2 × 33,2

4,97

330,0

12,0

7,50

90,0

P

245;6

P

6031;8

yS D 6031;8 cm3 =245;6 cm2 D 24;56 cm J

12.11 Haftung und Reibung Haftung. Bleibt ein Körper unter Einwirkung einer resultierenden Kraft F, die ihn gegen eine Unterlage presst, in Ruhe, so liegt Haftung

12 Statik starrer Körper

251

Tab. 12.1 Schwerpunkte von homogenen Körpern Prisma, Zylinder (gerade oder schief)

abgeschrägter Kreiszylinder

Kegel, Pyramide (gerade oder schief)

zs D h=2

xs D r 2 tan ˛= .4h/ zs D h=2 C r 2 tan2 ˛= .8h/

zs D h=4

Keilstumpf

Zylinderhuf

Keil

Pyramiden- bzw. Kegelstumpf

p h A1 C 2 A1 A2 C 3A2 p  4 A1 C A1 A2 C A2 h  bzw. zs D 4 2 2 r1 C 2r1 r2 C 3r2 r12 C r1 r2 C r22 zs D

Kugelabschnitt

h xs D 3 r=16  zs D 3h=32 2 a1 b1 C a1 b2 C a2 b1 C 3a2 b2 2a1 b1 C a1 b2 C a2 b1 C 2a2 b2

zs D

Halbkugel

Kugelausschnitt

Rotationsparaboloid

Ellipsoid

zs D 3r=8 halbe Hohlkugel: r 4  ri4 zs D 38  a3 ra  ri3

zs D 3r .1 C cos ˛/ =8 D 3 .2r  h/ =8

zs D h=3

zs D 3h=8

zs D

h a1 C a2  2 2a1 C a2

zs

D

3 4



.2rh/2 .3rh/

12 vor (Abb. 12.28). Die Verteilung der Flächenpressung zwischen Körper und Unterlage ist meist unbekannt und wird durch die Reaktionskraft Fn ersetzt. Aus Gleichgewichtsgründen ist Fn D Fs D F cos ˛ und Fr D Ft D F sin ˛, d. h. Fr D Fn tan ˛. Der Körper bleibt so lange in Ruhe, bis die Reaktionskraft Fr den Grenzwert Fr0 D Fn tan %0 D Fn 0 erreicht, d. h. solange F – räumlich betrachtet – innerhalb des sogenannten Reibungskegels mit dem Öffnungswinkel 2%0 liegt. Für die Reaktionskraft Fr gilt die Ungleichung Fr 5 Fn tan %0 D Fn 0 :

Die Haftzahl 0 hängt ab von den aneinander gepressten Werkstoffen, deren Oberflächenbeschaffenheit, von einer Fremdschicht (Schmierschicht), von Temperatur und Feuchtigkeit, von der Flächenpressung und von der Größe der Normalkraft; 0 schwankt daher zwischen bestimmten Grenzen und ist gegebenenfalls experimentell zu bestimmen [3]. Insofern können die Werte für 0 (s. Tab. 12.4) nur als Anhaltswerte dienen.

Gleitreibung (Reibung der Bewegung). Wird die Haftung überwunden, und setzt sich der Kör(12.27) per in Bewegung, so gilt für die Reibkraft das

252

J. Villwock und A. Hanau

Tab. 12.2 Schwerpunkte von Flächen ebene Flächen Dreieck

ys D h=3

Parallelogramm

Trapez

ys D h=2

ys D Kreisabschnitt

r sin3 ˛ ˛  sin ˛ cos ˛ Halbkreisfläche: ys D 4r= .3 / ys D

2 3



Ellipsenabschnitt

ys D

2 3



b sin3 ˛ ˛  sin ˛ cos ˛

Kreisausschnitt

Kreisringstück

 ys D

2 3



 ra3  ri3 sin ˛   ra2  ri2 ˛

räumliche Oberflächen Kugelzone bzw. -haube

zs D .r=2/.cos ˛1 C cos ˛2 / D h0 C h=2bzw. zs D .r=2/.1 C cos ˛2 / D .h0 C r/=2

ys D 2r sin ˛= .3˛/ D 2rl= .3b/ Halbkreisfläche: ys D 4r= .3/ Parabelabschnitt

h a C 2b  3 aCb

Parabelflächen

ys D 2h=5 xs1 D 3a=8 ys1 D 2h=5 xs2 D 3a=4 ys2 D 3h=10 Mantel von Pyramide und Kegel

Mantel von Kreiskegelstumpf

zs D h=3

zs D

h 3



r1 C 2r2 r1 C r2

Tab. 12.3 Schwerpunkte von Linien Dreieckumfang

Kreisbogen

beliebiger flacher Bogen

ys 2h=3 ys D

h bCc  2 aCbCc

r sin ˛ r l D ˛ b Halbkreisbogen: ys D 2r=

ys D

Coulomb’sche Gleitreibungsgesetz (Abb. 12.29)

schiebungsvektor entgegengesetzt gerichtet ist. Der Gleitreibungskoeffizient  (bzw. GleitFr =Fn D const D tan % D  bzw. reibungswinkel %) hängt neben den unter Fr D Fn : (12.28) Haftung beschriebenen Einflüssen vornehmlich von den Schmierungsverhältnissen (TrockenDie Gleitreibungskraft ist eine eingeprägte reibung, Mischreibung, Flüssigkeitsreibung; s. Kraft, die dem Geschwindigkeits- bzw. Ver- Abschn. 33.1) ab, zum Teil aber auch von der

12 Statik starrer Körper

253

Tab. 12.4 Haft- und Gleitreibungswerte Stoffpaar Eisen-Eisen Kupfer-Kupfer Stahl-Stahl Chrom-Chrom Nickel-Nickel AluminiumlegierungAluminiumlegierung S 235 poliert Stahl-Grauguss Stahl-Weißmetall Stahl-Blei Stahl-Zinn Stahl-Kupfer Bremsbelag-Stahl Lederdichtung-Metall Stahl-Polyetrafluoräthylen (PTFE) Stahl-Polyamid Holz-Metall Holz-Holz Stahl-Eis

Haftzahl 0 trocken

geschmiert

0,45. . . 0,80

0,10

0,18. . . 0,24

0,10

0,60

0,20

0,50. . . 0,65 0,40. . . 0,65 0,027

0,10 0,10. . . 0,20

Abb. 12.28 Haftung

Gleitreibungszahl  trocken geschmiert 1,0 0,60. . . 1,0 0,40. . . 0,70 0,10 0,41 0,39. . . 0,70 0,15. . . 0,60 0,15 0,17. . . 0,24 0,21 0,50 0,60 0,23. . . 0,29 0,50. . . 0,60 0,20. . . 0,25 0,04. . . 0,22 0,32. . . 0,45 0,20. . . 0,50 0,20. . . 0,40 0,014

0,02. . . 0,21

0,20. . . 0,50 0,12 0,10 0,02. . . 0,10 0,04. . . 0,16

Abb. 12.30 F2 sin.90ı C %3 / D ; FQ sinŒ90ı  .˛ C %2 C %3 / sin.˛ C %1 C %2 / F D I F2 sin.90ı  %1 / hieraus

tan.˛ C %2 / C tan %1 : Entsprechend 1  tan.˛ C %2 / tan %3 tan.˛  %2 /  tan %1 F D FQ 1 C tan.˛  %2 / tan %3 (12.29) für das Senken der Last. Wird F 0, so tritt Gleitgeschwindigkeit [4, 5]. Anhaltswerte für  Selbsthemmung auf; dann ist s. Tab. 12.4. tan.˛  % / 5 tan % bzw. ˛ 5 % C % : Abb. 12.29 Gleitreibung

F D FQ

2

12.11.1 Anwendungen zur Haftung und Gleitreibung Reibung am Keil. Gesucht wird die Kraft F, die zum Heben und Senken einer Last mit konstanter Geschwindigkeit erforderlich ist. Die Lösung folgt am einfachsten aus dem Sinussatz am Krafteck, z. B. für das Heben der Last nach

1

1

2

Der Keil muss dann herausgezogen bzw. von der anderen Seite hinausgedrückt werden. Der Wirkungsgrad des Keilgetriebes beim Heben der Last ist  D F0 =F ; hierbei ist F0 D FQ  tan ˛ die erforderliche Kraft ohne Reibung. Für %1 D %2 D %3 D % gilt F D FQ tan.˛ ˙ 2%/; Selbsthemmung für a 2 %, Wirkungsgrad  D tan ˛= tan.˛C2%/. Bei Selbsthemmung wird  D tan 2%= tan 4% D 0;5  0;5 tan2 2% < 0;5.

12

254

J. Villwock und A. Hanau

stelle von  D tan % die Reibzahl 0 D tan %0 D = cos.ˇ=2/, d. h. anstelle von % der Reibwinkel %0 D arctanŒ= cos.ˇ=2/ eingesetzt wird. Beweis gemäß Abb. 12.31b, da anstelle von dFn die Kraft dFn0 D dFn = cos.ˇ=2/ und anstelle von dFr D  dFn die Kraft dFr0 D  dFn0 D Œ= cos.ˇ=2/dFn D 0 dFn tritt. Hierbei ist ˇ Abb. 12.30 Reibung am Keil der Flankenwinkel des Gewindes. Bemerkung: Schraube (Bewegungsschraube) Rechteckge- Für Befestigungsschrauben ist Selbsthemmung, winde (flachgängige Schraube). (Abb. 12.31a) d. h. ˛ 5 %00 , erforderlich. Gesucht ist das Drehmoment M zum gleichförmigen Heben und Senken der Last. Seilreibung (Haftung zwischen Seil und SeilZ X rolle) (Abb. 12.32). Gleitreibung tritt auf bei Fiz D 0 D dF cos.˛ C %/  FQ ; relativer Bewegung zwischen Seil und Scheibe (Bandbremse, Schiffspoller bei laufendem Seil). F D FQ = cos.˛ C %/; Z Bei Haftung zwischen Seil und Scheibe (RiemenX trieb, Bandbremse als Haltebremse, Schiffspoller Miz D 0 D M  dF sin.˛ C %/rm ; bei ruhendem Seil) tritt Gleichgewicht in NorM D FQ rm tan.˛ C %/ mal- und Tangentialrichtung am Seilelement auf. Damit ergibt sich dFn D FS d', dFS D dFr ; Wirkungsgrad beim Heben  D M0 =M D mit dFr D 0 dFn folgt dFS D 0 FS d'. tan ˛= tan.˛ C %/; M 0 erforderliches Mo- Nach Integration über den Umschlingungswinment ohne Reibung. Beim Senken tritt kel ˛ folgt die Euler’sche Seilreibungsformel: % an Stelle von %; M D FQ rm tan.˛  %/. FS2 D FS1 e 0 a bzw. FS2 =FS1 D e 0 a . Die HaftSelbsthemmung für M 5 0, d. h. tan.˛  %/ 5 kraft ergibt sich aus Fr D FS2  FS1 und das 0; also ˛ 5 %. Dann ist zum Senken der Last Haftmoment aus Mr D Fr r. Bei nicht vernachläsein negatives Moment erforderlich. Für ˛ D sigbarer Geschwindigkeit des Seiles (z. B. beim % folgt  D tan %= tan 2% D 0;5  0;5 tan2 % < Riementrieb) treten Fliehkräfte qF D m 2 =r 0;5. (m: Masse pro Längeneinheit des Seiles) am Seil auf. Dann ist FS durch FS  m 2 zu ersetTrapez- und Dreieckgewinde (scharfgängige zen. Beim Schiffspoller (Abb. 12.32c) mit ˛ D Schraube). (Abb. 12.31b). Es gelten dieselben 2 und 0 D 0; 1 ergibt sich ein Verhältnis Gleichungen wie für Rechteckgewinde, wenn an- FS2 =FS1 1;87.

Abb. 12.31 Reibung an a flachgängiger und b scharfgängiger Schraube

Abb. 12.32 Seilreibung. a Kräfte; b Element; c Schiffspoller

12 Statik starrer Körper

255

12.11.2 Rollwiderstand

12.11.3 Widerstand an Seilrollen

Rollt ein zylindrischer o.ä. Körper auf einer Unterlage (Abb. 12.33a), so ergibt sich wegen der Verformung der Unterlage und des Körpers eine schräg gerichtete Resultierende, deren Horizontalkomponente die Widerstandskraft Fw ist. Ihr muss bei gleichförmiger Bewegung die Antriebskraft Fa das Gleichgewicht halten. Mit Fn D FQ und f  r, d. h. tan ˛ sin ˛ D f =r, folgt

Infolge Biegesteifigkeit der Seile erfolgt an der Auflaufstelle ein „Abheben“ um a2 (s. Abb. 12.33c) und an der Ablaufstelle ein „Anschmiegen“ um a1 . Unter gleichzeitiger Berücksichtigung der Lagerreibung folgt bei gleichmäßiger Geschwindigkeit für die Feste Rolle (Abb. 12.33c): Beim Heben X

Fw D FQ f =r D FQ r

MA D 0 D F .r  a1 /  FQ .r C a2 /

 .F C FQ /rz ; d: h: und als sog. Moment der rollenden Reibung F D FQ .r C a2 C rz /=.r  a1  rz / Mw D Fw r D r FQ r D FQ f , wobei r D f =r der Koeffizient der Rollreibung ist. Der HebelD FQ = : arm f der Rollreibung ist empirisch zu ermitteln. Für Stahlräder auf Schienen ist f 0;05 cm, für  ist der Wirkungsgrad der festen Rolle beim HeWälzlager f 0;0005 : : : 0;001 cm. ben ( 0;95). Beim Senken ist  durch 1= zu Als Fahrwiderstand (Abb. 12.33b) bezeichnet ersetzen. (r Radius der Zapfenreibung.) z man die Summe aus Rollwiderstand und Lagerreibungswiderstand, Lose Rolle. (Abb. 12.33d): Beim Heben Fw; ges D .FQ C FG /f =r C FQ z r1 =r

X

MA D 0 D F .2r Ca2 a1 /FQ .r Ca2 Crz /

FG Gewichtskraft des Rads, z Zapfenreibungsd. h. zahl. F D .FQ =2/.r C a2 C rz /=.r C a2 =2  a1 =2/ D .FQ =2/= :

12  D Nutzarbeit=zugeführte Arbeit D .FQ s=2/=.F s/. Näherungsweise wird ebenfalls  0;95 gesetzt. Beim Senken ist  durch 1= zu ersetzen. Rollenzug. (Abb. 12.33e): Mit den Ergebnissen für die feste und die lose Rolle ist F1 D F , F2 D F1 D 2 F usw. Gleichgewicht für die freigemachte untere Flasche führt zu X

Fy D 0 D F1 C F2 C F3 C F4  FQ ,

F . C  C  C  / D FQ . Mit 2

Abb. 12.33 Widerstände. a Rollwiderstand; b Fahrwiderstand; c feste und d lose Seilrolle; e Flaschenzug

3

4

1 C  C 2 C 3 D .1  4 /=.1  / F D FQ =Œ.1  4 /=.1  / :

folgt

d. h.

256

J. Villwock und A. Hanau

Bei n tragenden Seilsträngen werden die Kraft Literatur und der Gesamtwirkungsgrad für das Heben Spezielle Literatur 1. Föppl, A.: Vorlesungen über technische Mechanik, F D FQ =Œ.1  n /=.1  / und ges D Wn =Wz D .FQ s=n/=.F s/ D .1  n /=Œ.1  /n :

2. 3.

Beim Senken ist  wieder durch 1= zu ersetzen. 4. 5.

Bd. I, 14. Aufl., Bd. II, 10. Aufl. R. Oldenbourg, München, Berlin (1948, 1949) Schlink, W.: Technische Statik, 4. u. 5. Aufl. Springer, Berlin (1948) Drescher, H.: Die Mechanik der Reibung zwischen festen Körpern. VDI-Z. 101, 697–707 (1959) Krause, H., Poll, G.: Mechanik der Festkörperreibung. VDI, Düsseldorf (1982) Kragelski, Dobyˇcin, Kombalov: Grundlagen der Berechnung von Reibung und Verschleiß. Hanser, München (1986)

13

Kinematik Joachim Villwock und Andreas Hanau

Die Kinematik ist die Lehre von der geometrischen und analytischen Beschreibung der Bewegungszustände von Punkten und Körpern. Sie berücksichtigt nicht die Kräfte und Momente als Ursachen der Bewegung.

13.1 Bewegung eines Punkts 13.1.1 Allgemeines

Abb. 13.1 Punktbewegung. a Bahnkurve, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor; b Differentiation des Tangenteneinheitsvektors

Bahnkurve. Ein Punkt bewegt sich in Abhängigkeit von der Zeit im Raum längs einer Bahnkurve. Die Ortskoordinate des Punkts ist durch Geschwindigkeit. Der Geschwindigkeitsvektor ergibt sich durch Ableitung des Ortsvektors nach den Ortsvektor (Abb. 13.1a) der Zeit: r.t/ D x.t/e x C y.t/e y C z.t/e z D .x.t/I y.t/I z.t//

(13.1)

zum Beispiel in kartesischen Koordinaten festgelegt. Ein Punkt hat im Raum drei Freiheitsgrade, bei geführter Bewegung längs einer Fläche zwei und längs einer Linie einen Freiheitsgrad.

J. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

.t/ D dr=dt D r.t/ P D x.t/e P P P .t/e z x C y.t/e y Cz D .x.t/I P y.t/I P zP .t// D .x I y I z / :

(13.2)

Der Geschwindigkeitsvektor tangiert stets die Bahnkurve, da in natürlichen Koordinaten t, n, b (begleitendes Dreibein, wobei t die Tangentenrichtung in der sog. Schmiegungsebene, n die Normalenrichtung in der Schmiegungsebene und b die Binormalenrichtung senkrecht zu t und n ist; s. Abb. 13.1a) .t/ D

dr ds dr.t/ D D e t dt ds dt

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_13

(13.3)

257

258

J. Villwock und A. Hanau

gilt (e t Tangenteneinheitsvektor). Der Betrag der Gleichförmige Bewegung liegt vor, wenn .t/ D sP .t/ D 0 D const ist. Durch Integration Geschwindigkeit ist folgt q Z jj D  D ds=dt D sP D x2 C y2 C z2 s.t/ D sP .t/ dt D 0 t C C1 p D xP 2 C yP 2 C zP 2 : (13.4) bzw. mit der Anfangsbedingung s.t D t1 / D s1 hieraus C1 D s1  0 t1 und somit Beschleunigung. Der Beschleunigungsvektor s.t/ D 0 .t  t1 / C s1 : ergibt sich durch Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit: Graphische Darstellungen von .t/ und s(t) liefern das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und d2 r d das Weg-Zeit-Diagramm (Abb. 13.2). Aus s(t) R D 2 D r.t/ a.t/ D dt dt folgt umgekehrt durch Differentiation .t/. D x.t/e R R R x C y.t/e y C z.t/e z D .x.t/I R y.t/I R z.t// R D .ax I ay I az / (13.5) Gleichmäßig beschleunigte (und verzögerte) Bewegung (Abb. 13.3) liegt vor, wenn bzw. in natürlichen Koordinaten a.t/ D

P D sR .t/ D at 0 D const ; at .t/ D .t/ .t/ D at 0 t C C1

d de t d .e t / D et C   : dt dt dt

t t ds D de Mit de dt ds dt (s. Abb. 13.1b) folgt

D

d'e n  ds

D

a.t/ D e P t C . 2 =R/e n D at C an ;

d: h:

und

s.t/ D at 0 t =2 C C1 t C C2 : 2

1 e  R n

Hieraus folgen mit den Anfangsbedingungen .t D t1 / D 1 und s.t D t1 / D s1 die Konstanten

(13.6) C1 D 1  at t1 0

und C2 D s1  1 t1 C at0 t12 =2

d. h., der Beschleunigungsvektor liegt stets in und somit der Schmiegungsebene (Abb. 13.1a). Seine Kom- a .t/ D a D const; .t/ D a .t  t / C  ; t t0 t0 1 1 ponenten in Tangential- und Normalenrichtung 2 s.t/ D at0 .t  t1 / =2 C 1 .t  t1 / C s1 : heißen Tangential- und Normalbeschleunigung at D d=dt D .t/ P D sR .t/

Nach Elimination von .t  t1 / ergeben sich die (13.7) Beziehungen t  t1 D .  1 / =at0 ;   at0 D  2  12 =Œ2.s  s1 / ; q  D 12 C 2at0 .s  s1 / ;   s D  2  12 =.2at0 / C s1 :

und an D  2 =R ;

(13.8)

wobei R der Krümmungsradius der Bahnkurve ist. Die Normalbeschleunigung ist stets zum Krümmungsmittelpunkt M gerichtet, also immer eine Zentripetalbeschleunigung. Für die Größe des (resultierenden) Beschleunigungsvektors gilt q a D jaj D ax2 C ay2 C az2 q D at2 C an2 :

Abb. 13.2 Gleichförmige Bewegung, Bewegungsdia-

(13.9) gramme

13

Kinematik

259

Abb. 13.3 Bewegungsdiagramme. a gleichmäßig beschleunigte, b ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

Für den Sonderfall t1 D 0, 1 D 0, s1 D 0 folgen (Abb. 13.3b). Integration führt zu s.t/ D at0 t 2 =2; t D =at0 ; p at0 D  2 =.2s/;  D 2at0 s;

.t/ D at0 t;

s D  2 =.2at0 / : Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich zu Zt2 m D

.t/dt=.t2  t1 /

Z .t/ D

at .t/dt Z

D Z s.t/ D

f1 .t/dt D f2 .t/ C C1 und Z .t/dt D Œf2 .t/ C C1 dt

D f3 .t/ C C1 t C C2 :

t1

D .s2  s1 /=.t2  t1 / D .1 C 2 /=2 : In allen Gleichungen kann at positiv oder negativ sein: Positives at bedeutet Beschleunigung bei Bewegung eines Punkts in positiver s-Richtung, aber Verzögerung bei Bewegung in negativer s-Richtung; negatives at bedeutet Verzögerung bei Bewegung in positiver s-Richtung, aber Beschleunigung bei Bewegung in negativer s-Richtung. Ist s(t) gegeben, so erhält man durch Differentiation .t/ und at .t/. Ungleichmäßig beschleunigte (und verzögerte) Bewegung liegt vor, wenn at .t/ D f1 .t/ ist

Die Konstanten werden aus den Anfangsbedingungen .t D t1 / D 1 und s.t D t1 / D s1 oder äquivalenten Bedingungen ermittelt. Aus .t/ P D at .t/ folgt, dass dort, wo .t/ einen Extremwert annimmt (wo P D 0 wird), im at ; t-Diagramm die Funktion at .t/ durch Null geht. Analog folgt aus sP .t/ D .t/, dass s(t) dort ein Extremum hat, wo .t/ im ; t-Diagramm durch Null geht. Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich zu m D .s2  s1 /=.t2  t1 /. Entsprechend der anschaulichen Deutung des Integrals als Flächeninhalt lassen sich bei gegebenem at .t/ die Größen .t/ und s(t) auch mit den Methoden der graphischen oder numerischen Integration bestimmen.

13

260

J. Villwock und A. Hanau

13.1.2 Ebene Bewegung Bahnkurve (Weg), Geschwindigkeit, Beschleunigung. Es gelten die Formeln von Abschn. 13.1.1, reduziert auf die beiden Komponenten x und y (Abb. 13.4a): r.t/ D x.t/e x C y.t/e y D .x.t/I y.t// ;

q und somit a.t/ D at2 C an2 D p 2 4 2 2A 1 C 4A t =r .pFür die Kreisbahn ergibt sich mit y 0 D x= r 2  x 2 die Bogenlänge zu

s.x/ D

.t/ D x.t/e P P P y.t// P x C y.t/e y D .x.t/I

Zr p

1 C y 02 dx

xDx Zr

D .x I y / ;

p r 2 =.r 2  x 2 / dx

D

a.t/ D x.t/e R R R y.t// R x C y.t/e y D .x.t/I

x

D .ax I ay /

D r arccos.x=r/ ;

bzw. in natürlichen Koordinaten t und n: 2 P  2 =R/ a.t/ D .t/e P t C . =R/e n D ..t/I

D .at I an / :

s.x/ D s.t/ D At 2 p t.x/ D r arccos.x=r/=A bzw.

Ist die Bahnkurve mit y(x) und die Lage des Punkts mit s(t) gegeben, so ergibt sich ein ZusammenhangR zwischen t und x über die Bogenlänge p 1 C y 02 dx aus s.x/ D s.t/. Hieraus s.x/ D ist t(x) bzw. x(t) nur in einfachen Fällen explizit berechenbar (s. nächstes Beispiel). Beispiel

Bewegung auf einer Bahnkurve y(x) (Abb. 13.4b). Untersucht wird die Bewegung eines p Punkts auf der Kreisbahn r 2  x 2 gemäß dem Weg-Zeity.x/ D Gesetz s.t/ D At 2 . – Nach den Gln. (13.4), (13.7) und (13.8) ergeben sich .t/ D sP .t/ D 2At; at .t/ D .t/ P D sR .t/ D 2A und an .t/ D  =R D 4A t =r 2

woraus mit

2 2

x.t/ D r cos.At 2 =r/ folgt. Damit wird s.x/ D r arccos.x=r/ ; p .x/ D 2 Ar arccos.x=r/ ; at .x/ D 2A ; an .x/ D 4A arccos.x=r/ ; p a.x/ D 2A 1 C 4Œarccos.x=r/2 : Lösung dieser Aufgabe in Parameterdarstellung: x.t/ D r cos.At 2 =r/ ; p y.t/ D r 2  x 2 D r sin.At 2 =r/ ; P D 2At sin.At 2 =r/ ; x .t/ D x.t/ P D 2At cos.At 2 =r/ ; y .t/ D y.t/

Abb. 13.4 Ebene Bewegung. a Allgemein; b Kreis

13

Kinematik

somit ist .t/ D

261

q

x2 C y2 q D 2At sin2 .At 2 =r/ C cos2 .At 2 =r/

D 2At ; R ax .t/ D P x .t/ D x.t/

Abb. 13.5 Schiefer Wurf, Wurfbahn

D 2AŒsin.At 2 =r/ C .2t 2 A=r/ cos.At 2 =r/ ; ay .t/ D P y .t/ D y.t/ R D 2AŒcos.At 2 =r/  .2t 2 A=r/ sin.At 2 =r/ ; woraus a.t/ D

q p ax2 C ay2 D 2A 1 C .2t 2 A=r/2

Elimination von t ergibt Bahnkurve y D f .x/:   y.x/ D x tan ˇ  x 2 g= 2v12 cos2 ˇ (Wurfparabel) : Geschwindigkeit P D 1 cos ˇ ; x .t/ D x.t/ y .t/ D y.t/ P D 1 sin ˇ  gt ; p .t/ D .1 cos ˇ/2 C .1 sin ˇ  gt/2 :

folgt. J Beispiel

Der schiefe Wurf (Abb. 13.5). Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung. Abwurfgeschwindigkeit 1 unter Abwurfwinkel ˇ. – Unter Vernachlässigung des Luftwiderstands ist die Schwerkraft die einzige wirkende Kraft. Deshalb wird ax .t/ D 0 und ay .t/ D g D const. Integration liefert x .t/ D C1 ;

x.t/ D C1 t C C2

Beschleunigung R D 0; ay .t/ D y.t/ R D g ; ax .t/ D x.t/ p a.t/ D 0 C g 2 D g D const. Aus y =x D tan '.t/ erhält man die Steigung der Bahnkurve und damit die natürlichen Komponenten der Beschleunigung (s. Abb. 13.5): an .t/ D g cos '.t/

und

at .t/ D g sin '.t/ ¤ const!

sowie y .t/ D gt C C3 ; y.t/ D gt 2 =2 C C3 t C C4 : Anfangsbedingungen x.0/ D 0 ;

Steigzeit und Wurfhöhe aus y .t2 / D 0: t2 D 1 sin ˇ=g; y.t2 / D 12 sin2 ˇ=.2g/ :

y.0/ D 0 ;

x .0/ D 1 cos ˇ; y .0/ D 1 sin ˇ ergeben C2 D 0, C4 D 0, C1 D 1 cos ˇ, C3 D 1 sin ˇ und somit x.t/ D 1 t cos ˇ; y.t/ D 1 t sin ˇ  gt 2 =2 (Bahnkurve in Parameterdarstellung):

Wurfdauer und Wurfweite aus y.t3 / D 0: t3 D 2v1 sin ˇ=g D 2t2 ; x.t3 / D 12 sin 2ˇ=g : Wegen sin.180ı  2ˇ/ D sin 2ˇ ergibt sich dieselbe Wurfweite für die Abwurfwinkel ˇ und .90ı  ˇ/. Die größte Wurfweite bei gegebenem 1 wird mit dem Abwurfwinkel ˇ D 45ı erzielt. J

13

262

J. Villwock und A. Hanau

Ebene Bewegung in Polarkoordinaten. Bahn und Lage eines Punkts werden durch r(t) und '(t) festgelegt. Mit den begleitenden Einheitsvektoren e r und e ' (Abb. 13.6a) gilt r.t/ D r.t/e r :

(13.10)

Hieraus folgt durch Ableitung der Geschwindigkeitsvektor

.t/ D r.t/ P D .Pr cos '  r 'P sin '/e x C .Pr sin ' C r 'P cos '/e y D x e x C y e y ; a.t/ D .t/ P D .Rr cos '  2Pr 'P sin '  r 'P 2 cos '  r 'R sin '/e x C .Rr sin ' C 2Pr 'P cos '  r 'P 2 sin '

Pr .t/ D r.t/ P D r.t/e P r C r.t/e D rP e r C 're P ' D r C ' ;

(13.14)

C r 'R cos '/e y (13.11)

D ax e x C ay e y :

(13.15) da gemäß Abb. 13.6c eP r D de r =dt D 1  d'  Zusammenhang zwischen Komponenten in r, 'P ' ist. Hierbei ist 'P D d'=dt die und x, y-Richtung (Abb. 13.6b): e ' =dt D 'e Drehgeschwindigkeit des Radiusvektors r, genannt Winkelgeschwindigkeit !. r D x cos ' C y sin '; Die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors ' D x sin ' C y cos ' ; ergibt die Beschleunigung (Abb. 13.6b): x D r cos '  ' sin '; a.t/ D .t/ P D r.t/ R  D  sin ' C  cos ' : R r C 'r P eP ' C .'P rP C 'r/e R D rP eP r C re '

y

r

'

D .Rr  'P 2 r/e r C .'r R C 2Pr '/e P '

Analoge Gleichungen gelten für die Beschleunigung a. D ar C a' Resultierende Geschwindigkeit und Beschleu(13.12) nigung: P r gemit eP ' D de ' =dt D 1  d'  e r =dt D 'e q q mäß Abb. 13.6c. Hierbei ist 'R D !P die Änderung  D r2 C '2 D x2 C y2 ; der Winkelgeschwindigkeit des Radiusvektors r q q mit der Zeit, genannt Winkelbeschleunigung ˛. 2 C a2 D a D a ax2 C ay2 : r ' Ebene Bewegung in kartesischen Koordinaten (Abb. 13.6a,b): Der Beschleunigungsvektor a lässt sich auch in r.t/ D r cos 'e x C r sin 'e y die natürlichen Komponenten at und an zerlegen, D x.t/e x C y.t/e y ; (13.13) da die Richtung t durch den Geschwindigkeitsvektor und die Richtung n als Senkrechte dazu gegeben sind (Abb. 13.6b). Ebene Kreisbewegung (Abb. 13.4b). Aus der Darstellung in Polarkoordinaten folgen mit r D const, also mit rP D rR D 0 und, da jetzt die e ' und e r -Richtung mit der e t - und der negativen e n -Richtung zusammenfallen, .t/ D 're P t D !re t Abb. 13.6 Polarkoordinaten. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen; c Differentiation der Einheitsvektoren

und

R ' D ! 2 re n C r˛e t : a.t/ D 'P re r C r 'e (13.16)  D !r ; (13.17) 2

13

Kinematik

263

at D 'r R D !r P D ˛r ; an D 'P 2 r D ! 2 r ; a D jaj D

(13.18) winkel (13.19)

q p at2 C an2 D r ˛ 2 C ! 4 : (13.20)

13.1.3 Räumliche Bewegung

ˇ D arctanŒh=.2 r0 / q .t/ D jj D r2 C '2 C z2 p D r0 'P 1 C h2 =.2 r0 /2 D r0 '= P cos ˇ I s.t/ D r0 '= cos ˇ ; q a.t/ D jaj D ar2 C a'2 C az2 p D r0 'P 4 C 'R 2 Œ1 C h2 =.2 r0 /2  p R cos ˇ/2 : D r0 'P 4 C .'=

Es gelten die Gleichungen von Abschn. 13.1.1. Als Anwendung wird die Bewegung auf einer zylindrischen Schraubenlinie behanNatürliche Komponenten der Beschleunigung: delt (Abb. 13.7a; s. hierzu auch Beispiel in Für die Komponente senkrecht zur Steigung der Abschn. 14.2.4). Lösung in ZylinderkoordinaSchraubenlinie (Abb. 13.7b) gilt ten: r0 .t/; '.t/; z.t/. Mit r0 .t/ D r0 D const, einer beliebigen  a' sin ˇ C az cos ˇ Funktion '(t) sowie z.t/ D '.t/h=2  wird D 'r R 0 sin ˇ C .'h=2 / R cos ˇ r.t/ D r0 e r C z.t/e z . Hieraus folgt analog D 'r R 0 sin ˇ C 'r R 0 tan ˇ cos ˇ D 0 : Gl. (13.11) bzw. (13.12) mit rP0 D 0, rR0 D 0 .t/ D r C ' C z D 'r P 0 e ' C zP e z D 'r P 0 e ' C .'h=2 /e P z bzw. a.t/ D ar C a' C az D 'P 2 r0 e r C 'r R 0 e ' C zR e z D 'P r0 e r C 'r R 0 e ' C .'h=2 /e R z : 2

In dieser Richtung liegt demnach die Binormale e b , in der es gemäß Abschn. 13.1.1 keine Beschleunigung gibt. Also muss e n D e r und damit an D ar D r0 'P 2 sein. Ferner wird (s. Abb. 13.7b) at D a' cos ˇ C az sin ˇ D 'r R 0 cos ˇ C 'r R 0 tan ˇ sin ˇ p R cos ˇ D r0 'R 1 C h2 =.2 r0 /2 : D r0 '=

Für die Größen von Geschwindigkeit, Weg und Lösung in kartesischen Koordinaten: Beschleunigung ergibt sich mit dem Steigungsr.t/ D x.t/e x C y.t/e y C z.t/e z D r0 cos 'e x C r0 sin 'e y C .'h=2 /e z : Analog den Gln. (13.14) und (13.15) gilt .t/ D x e x C y e y C z e z D r0 'P sin 'e x C r0 'P cos 'e y C .'h=2 /e P z ; a.t/ D ax e x C ay e y C az e z   D  r0 'P 2 cos ' C r0 'R sin ' e x   C r0 'R cos '  r0 'P 2 sin ' e y Abb. 13.7 Massenpunkt auf Schraubenlinie

C .'h=2 /e R z ;

13

264

J. Villwock und A. Hanau

woraus wieder q  D jj D x2 C y2 C z2 p D r0 'P 1 C h2 =.2 r0 /2 und q a D jaj D ax2 C ay2 C az2 p D r0 'P 4 C 'R 2 Œ1 C h2 =.2 r0 /2  folgen.

13.2 Bewegung starrer Körper 13.2.1 Translation (Parallelverschiebung, Schiebung)

Vektorielle Darstellung. Wird der Winkelgeschwindigkeit der Vektor ! D !e zugeordnet, d. h., dreht sich die Ebene OPO 0 mit !, so beschreiben der Punkt P und somit alle Punkte Kreisbahnen. Der Vektor der Umfangsgeschwindigkeit  ergibt sich aus dem Vektorprodukt  D rP P D !e  r P

mit

jj D  D !rP sin ˇ D !r I

(13.21)

 ist ein im Sinne einer Rechtsschraube auf e und r P senkrecht stehender Vektor. Mit r P D r 0 C r folgt  D !e  .r 0 C r/ D !e  r 0 C !e  r :

Alle Punkte beschreiben kongruente Bahnen Da e und r zueinander parallel sind, gilt e  0 (Abb. 13.8a), d. h., der Körper führt keinerlei r D 0, d. h.  D !e  r mit jj D  D 0 Drehung aus. Die Gesetze und Gleichungen der !r sin 90ı D !r. Damit ist Punktbewegung nach Abschn. 13.1 gelten auch für die Translation, da die Bewegung eines Kör D !re t : (13.22) perpunkts zur Beschreibung ausreicht.

13.2.2 Rotation (Drehbewegung, Drehung) Unter Rotation versteht man die Drehung eines starren Körpers um eine raumfeste Achse (Abb. 13.8b).

In kartesischen Koordinaten ist ˇ ˇex ˇ ˇ  D !e  r P D !  r P D ˇ!x ˇ ˇx

ey !y y

ˇ e z ˇˇ ˇ !z ˇ ˇ zˇ

D .!y z  !z y/e x C .!z x  !x z/e y C .!x y  !y x/e z D x e x C y e y C z e z : (13.23) Beschleunigung von Punkt P: a D P D rR P D .!e  rP P / C .!e P  r P/ D .!e  / C .!e P  rP/ : (13.24a) Mit !P D ˛ (Winkelbeschleunigung) ist in natürlichen Koordinaten a D !e r C ˛rP sin ˇe t D ! 2 re r C ˛re t

Abb. 13.8 Bewegung starrer Körper. a Translation; b Rotation im Raum; c Rotation in der Ebene

D an e r C at e t : (13.24b)

13

Kinematik

265

In kartesischen Koordinaten ergibt sich aus Drehzahl n gerechnet; dann ist ! D 2 n und Gl. (13.23) durch Differentiation  D 2 rn. Für die Umlaufzeit bei ! D const gilt T D 2 =!. Für die gleichförmige und unh 2 2 gleichförmige Rotation gelten die Gesetze der a D .!y C !z /x C .!x !y  ˛z /y Punktbewegung und die zugehörigen Diagramme i C .!x !z C ˛y /z e x gemäß Abschn. 13.1.1, wenn dort at durch ˛,  h durch ! und s durch ' ersetzt werden. C .!x !y C ˛z /x  .!x2 C !z2 /y i C .!y !z  ˛x /z e y 13.2.3 Allgemeine Bewegung h des starren Körpers C .!x !z  ˛y /x C .!y !z C ˛x /y i Räumliche Bewegung. Ein Körper hat im  .!x2 C !y2 /z e z (13.25a) Raum sechs Freiheitsgrade: drei der Translation (Verschiebung in x-, y- und z-Richtung) bzw. bei alleiniger Drehung um die z-Achse und drei der Rotation (Drehung um die x-,     y- und z-Achse). Die beliebige Bewegung jea D !z2 x  ˛z y e x C ˛z x  !z2 y e y : (13.25b) des Körperpunkts lässt sich daher aus TransDa bei Rotation alle Punkte Kreisbahnen in Ebe- lation und Rotation zusammensetzen (zusamnen senkrecht zur Drehachse beschreiben, genügt mengesetzte Bewegung). Für die Translation genügt die Kenntnis der Bahnkurve eines eindie zigen körperfesten Punkts, z. B. des SchwerEbene Darstellung (Abb. 13.8c). Hierbei geht punkts (s. Abschn. 13.2.1) zur ausreichenden die Drehachse senkrecht zur Zeichenebene durch Beschreibung, d. h. die Kenntnis des Ortsvektors r 0 .t/. Für die Rotation genügt die Beschreiden Punkt O. Es gilt bung der Drehung durch den Winkelgeschwindigkeitsvektor ! um den körperfesten Punkt s.t/ D r'.t/I .t/ D r '.t/ P D r!.t/ I (s. Abschn. 13.2.2), d. h., ! ist ein freier Vektor. R D r !.t/ P D r˛.t/ I at .t/ D r '.t/ Es gelten (Abb. 13.9a) 2 2 an .t/ D r 'P .t/ D r! .t/ ; (13.27) (13.26) r P .t/ D r 0 .t/ C r 1 .t/ ; d. h., alle Größen nehmen linear mit r zu, so .t/ D rP P .t/ D rP 0 C rP 1 D rP 0 C !.t/e  r 1 dass zur Beschreibung der Drehbewegung (Rotation) eines starren Körpers der Drehwinkel '(t), D 0 .t/ C !re ' D 0 .t/ C 1 .t/ : die Winkelgeschwindigkeit !.t/ D '.t/ P und die (13.28) Winkelbeschleunigung ˛.t/ D !.t/ P D '.t/ R aus- Hierbei ist 0 der aus der Translation herrühreichen. In den Anwendungen wird häufig mit der rende, 1 der aus der Rotation herrührende AnAbb. 13.9 Räumliche Bewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

13

266

J. Villwock und A. Hanau

teil (Euler’sche Geschwindigkeitsformel). Aus Abb. 13.10 Sphärische Bewegung Gl. (13.28) folgt nach Multiplikation mit dt dr P D dr 0 Cd'e r 1 D dr 0 Cr d'e ' : (13.29) Diese Gleichung (Euler’sche Formel) besagt, dass eine sehr kleine Lageänderung eines Punkts sich aus einer Verschiebung dr 0 und aus einer mit dem Betrag ds D r d' (entstehend aus Drehung um die !-Achse) zusammensetzen lässt. Für die Beschleunigung des Punkts P des Körpers folgt Ebene Bewegung. Ein Körper hat bei der ebeaus Gl. (13.28) 9 nen Bewegung drei Freiheitsgrade: zwei der > Translation (Verschiebung in x- und y-Richtung) a.t/ D .t/ P D rR P .t/ > > > > und einen der Rotation (Drehung um die z-Achse > D rR 0 .t/ C !.t/e  rP 1 > > > senkrecht zur Zeichenebene). Wie bei der räum> > C .!e P C ! e/ P  r1 > > lichen Bewegung erhält man die beliebige ebene > > D a0 .t/ C !e  .!e  r 1 / C !e P  r 1> > = Bewegung durch Überlagerung von Translation C ! eP  r 1 und Rotation. Da bei der ebenen Bewegung der > > Vektor e stets senkrecht zur Zeichenebene steht > D a0 .t/ C !e  !re ' C !re P ' > > > > und seine Richtung nicht ändert, folgt aus den > C ! eP  r 1 > > > Gln. (13.27) bis (13.30) mit eP D 0 und den Be> > > D a0  ! 2 re r C ˛re ' C ! eP  r 1 > > > zeichnungen gemäß Abb. 13.11 D a0 C aPA;n C aPA;t C .! eP  r 1 / ; ; (13.31) r B .t/ D r A .t/ C r AB .t/ ; (13.30) d. h., die Gesamtbeschleunigung setzt sich zusammen aus dem Translationsanteil a0 , dem Normalbeschleunigungsanteil aPA;n bei Drehung um O, dem Tangentialbeschleunigungsanteil aPA;t bei Drehung um O und dem Anteil aus der Richtungsänderung der Drehachse (Abb. 13.9b). Drehung um einen Punkt (sphärische Bewegung). In diesem Fall hat der Körper nur drei Rotationsfreiheitsgrade, d. h., in den Gln. (13.27) bis (13.30) entfallen r 0 , 0 und a0 , wenn man den Punkt O in Abb. 13.9 als Bezugspunkt wählt. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist jetzt ein linienflüchtiger Vektor, d. h. nur in seiner Wirkungslinie verschiebbar. Die augenblickliche Drehachse (Momentanachse OM ) beschreibt bei der Bewegung des Körpers bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems den Rastpolkegel (Spurkegel) und bezüglich des körperfesten Koordinatensystems den Gangpolkegel (Rollkegel), der auf dem Rastpolkegel abrollt. Für die Winkelgeschwindigkeit bezüglich der Momentanachse gilt ! D !1 C !2 (Abb. 13.10).

B D rP B D rP A C !e z  r AB D A C !rAB e t D A C BA ;

(13.32)

aB D rR B D aA  ! rAB e r C ˛rAB e t 2

D aA C aBA;n C aBA;t :

(13.33)

Die Gln. (13.32) und (13.33) sind der Euler’sche Geschwindigkeitssatz und der Euler’sche Beschleunigungssatz. Danach ergibt sich die Geschwindigkeit der Punkte einer eben bewegten Scheibe gemäß Gl. (13.32), wenn man die Geschwindigkeit eines Punkts A und die Winkelgeschwindigkeit ! der Scheibe kennt, und die Beschleunigung gemäß Gl. (13.33), wenn die Beschleunigung eines Punkts A sowie die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung ˛ der Scheibe bekannt sind. Die Vektoren B und aB werden häufig graphisch bestimmt, da die rechnerische Lösung kompliziert ist. Beispiel

Kurbeltrieb (Abb. 13.12). Der Kolben A des Kurbeltriebs (l D 500 mm; r D 100 mm)

13

Kinematik

267

Abb. 13.11 Allgemeine ebene Bewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

hat in der skizzierten Lage (' D 35ı ) die Geschwindigkeit A D 1;2 m=s und die Beschleunigung aA D 20 m=s2 . Für diese Stellung sind zu ermitteln: der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor des Kurbelzapfens B, die Winkelgeschwindigkeiten und -beschleunigungen von Kurbel K und Schubstange S sowie der Geschwindigkeitsund Beschleunigungsvektor eines beliebigen Punkts C der Schubstange. – Geschwindigkeiten (13.12a): Von den Vektoren der Gl. (13.32) sind A nach Größe und Richtung, B und BA der Richtung nach .B ? r, BA ? l/ bekannt. Aus dem Geschwindigkeits-Eck folgen B D 1;4 m=s, BA D 1;2 m=s und hieraus !K D B =r D 14 s1 , !S D BA = l D 2;4 s1 . Die Geschwindigkeit des Punkts C wird dann gemäß Gl. (13.32) zu C D A C CA , wobei CA D !S  AC D BA  AC = l ist und sich geometrisch aus dem Strahlensatz ergibt. Beschleunigungen (Abb. 13.12b): Der Euler’sche Beschleunigungssatz Gl. (13.33) nimmt, da sich B auf einer Kreisbahn bewegt, die Form aB;n C aB;t D aA C aBA;n C aBA;t an. Davon sind bekannt aB;n nach Größe (aB;n D r!K2 D 19;6 m=s2 ) und Richtung (in Richtung von r), von aB;t die Richtung .? r/; aA nach Größe und Richtung (aA D 20 m=s2 gegeben), aBA;n nach Größe (aBA;n D l!S2 D 2;88 m=s2 ) und Richtung (in Richtung von l), von aBA;t die Richtung (?l). Aus dem BeschleunigungsEck erhält man aB;t D 5;3 m=s2 , aBA;t D 6;5 m=s2 und damit ˛K D aB;t =r D 53 s2 , ˛S D aBA;t = l D 13 s2 . Die Beschleunigung des Punkts C ist aC D aA C aCA;n C aCA;t , wobei aCA;n D !S2  AC und aCA;t D ˛S  AC jeweils linear mit AC wachsen, so dass auch aCA D aCA;n C aCA;t linear mit AC zu-

Abb. 13.12 Kurbeltrieb. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

nimmt und parallel zum Vektor aBA sein muss. Nach dem Strahlensatz erhält man aCA , und die geometrische Zusammensetzung mit aA ergibt aC . J

Momentanzentrum. Es gibt stets einen Punkt, um den die ebene Bewegung momentan als reine Drehung aufgefasst werden kann (Momentanzentrum oder Geschwindigkeitspol), d. h. einen Punkt, der momentan in Ruhe ist. Man erhält ihn als Schnittpunkt der Normalen zweier Geschwindigkeitsrichtungen (Abb. 13.13a). Ist neben den zwei Geschwindigkeitsrichtungen die Größe einer Geschwindigkeit gegeben (z. B. A ), so ist die momentane Winkelgeschwindigkeit ! D A =rMA , ferner B D !rMB D A rMB =rMA

und

C D !rMC D A rMC =rMA usw. Graphisch erhält man die Größe der Geschwindigkeiten mit der Methode der „gedrehten“ Geschwindigkeiten, d. h., man dreht A um 90ı in Richtung rMA und zieht die Parallele zur Strecke AB. Die auf den Radien rMB und rMC abgeschnittenen Strecken BB 0 und C C 0 liefern die Größen der Geschwindigkeiten B und C (Strahlensatz).

13

268

J. Villwock und A. Hanau Abb. 13.14 Beschleunigungspol

Relativbewegung. Bewegt sich ein Punkt P mit der Relativgeschwindigkeit r bzw. Relativbeschleunigung ar auf gegebener Bahn relativ zu einem Körper, dessen räumliche Bewegung durch Translation des körperfesten Punkts O und die Rotation um diesen Punkt (s. räumliche BeweAbb. 13.13 Momentanzentrum. a „Gedrehte“ Geschwin- gung, Abb. 13.9) festgelegt ist, so unterscheidet digkeiten; b Kurbeltrieb; c Polkurven sich das Problem von dem der Körperbewegung dadurch, dass jetzt der Vektor r 1 .t/ nicht nur inAls Anwendung werden die Geschwindigkeiten des Bei- folge Fahrzeugdrehung seine Richtung, sondern spiels Kurbeltrieb untersucht: Aus Abb. 13.13b erhält man zusätzlich infolge Relativbewegung seine Richbei gegebenen Richtungen von A und B das Momentantung und Größe ändert. Entsprechend der Darstelzentrum M zu rMA D 495 mm, damit !S D A =rMA D 1 .1;2 m=s/=0;495 m D 2;42 s und mit rMB D 580 mm lung für die räumliche Körperbewegung gemäß dann B D !S rMB D 1;40 m=s. Die graphische Kon- den Gln. (13.27) bis (13.30) gilt hier (13.15a) struktion mittels der gedrehten Geschwindigkeiten liefert dieselben Ergebnisse.

Das Momentanzentrum beschreibt bei der Bewegung bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems die Rastpolkurve (Spurkurve, Polhodie) und bezüglich eines körperfesten Koordinatensystems die Gangpolkurve (Rollkurve, Herpolhodie). Bei der Bewegung rollt die Gangpolkurve auf der Rastpolkurve ab. Abb. 13.13c zeigt einen abrutschenden Stab. Im raumfesten Koordinatensystem lautet die Gleichung der Rastpolkurve (R) x 2 Cy 2 D l 2 und im körperfesten , -System die der Gangpolkurve (G) 2 C 2 D .l=2/2 , d. h., die beiden Polbahnen sind Kreise.

r P .t/ D r 0 .t/ C r 1 .t/ ;

(13.34)

.t/ D rP P .t/ D rP 0 .t/ C rP 1 .t/ D rP 0 .t/ C !.t/e  r 1 C dr r 1 =dt D F C r :

(13.35)

Hierbei ist dr r 1 =dt D r die Relativgeschwindigkeit des Punkts gegenüber dem Fahrzeug und rP 0 C !e  r 1 D F die Führungs- oder Fahrzeuggeschwindigkeit. Gleichung (13.35) enthält die Regel: Die Ableitung rP 1 einen Vektors im körperfesten System nach der Zeit enthält den Anteil !e  r 1 von der Drehung des Systems und die

Beschleunigungspol. Es ist der Punkt P, der momentan keine Beschleunigung hat. Dann gilt für andere Punkte A und B (Abb. 13.14) aA D aAP;t CaAP;n mit aAP;t D ˛rPA und aAP;n D ! 2 rPA sowie aAP;t =aAP;n D ˛=! 2 D tan ˇ, ferner aB D aBP;t CaBP;n mit aBP;t D ˛rPB und aBP;n D ! 2 rPB sowie aBP;t =aBP;n D ˛=! 2 D tan ˇ. Der Beschleunigungspol ist also der Schnittpunkt zweier Radien, die unter dem Winkel ˇ zu zwei gegebe- Abb. 13.15 Relativbewegung. a Geschwindigkeiten; nen Beschleunigungsvektoren stehen. b Beschleunigungen

13

Kinematik

269

sogenannte relative Ableitung im System selbst. Entsprechend ergibt sich für die Beschleunigung (Abb. 13.15b) a.t/ D .t/ P D P F C P r d d D rR 0 C .!e  r 1 / C r dt dt D rR 0 C Œ.!e P C ! e/ P  r 1  C !e  rP 1 C P r : Mit rP 1 aus Gl. (13.35) und P r D !e  r C dr r =dt D !e  r C dr2 r 1 =dt 2 D !e  r C ar folgt P C ! e/ P  r 1 a.t/ D rR 0 C Œ.!e C !e  .!e  r 1 / C dr2 r 1 =dt 2 C 2!e  r D aF C ar C aC :

(13.36)

Die ersten drei Glieder dieser Gleichung stimmen mit denen der räumlichen Bewegung des starren Körpers gemäß Gl. (13.30) überein, stellen also die Führungs- oder Fahrzeugbeschleunigung aF dar. Das vierte Glied ist die Relativbeschleunigung ar , und das letzte Glied ist die sogenannte Coriolisbeschleunigung aC , die sich infolge Relativbewegung zusätzlich ergibt. Sie wird zu null, wenn ! D 0 ist (d. h., wenn das Fahrzeug eine reine Translation ausführt) oder e und r parallel zueinander sind (Relativgeschwindigkeit in Richtung der momentanen Drehachse) oder wenn r D 0 ist. Sie hat die Größe aC D 2!r sin ˇ, wobei ˇ der Winkel zwischen ! und r ist, und sie steht im Sinne einer Rechtsschraube senkrecht zu den Vektoren e und r . Bei der ebenen Bewegung (Bewegung eines Punkts auf einer ebenen Scheibe) stehen die Vektoren e und r senkrecht zueinander, d. h., sin ˇ D 1 und somit aC D 2!r . Im Übrigen gelten auch hier  D F Cr

und a D aF Car CaC ; (13.37)

wobei dann alle Vektoren in der Scheibenebene liegen. Beispiel

Bewegung im rotierenden Rohr (Abb. 13.16). In einem Rohr, das sich nach dem (belie-

Abb. 13.16 Bewegung im rotierenden Rohr

big) vorgegebenen '(t)-Gesetz dreht, bewegt sich relativ ein Massenpunkt nach dem ebenfalls gegebenen Weg-Zeit-Gesetz sr .t/ nach außen. Für einen beliebigen Zeitpunkt t sind Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung des Massenpunkts zu ermitteln. – Aus sr .t/ erhält man für Relativgeschwindigkeit und -beschleunigung r .t/ D sPr und ar .t/ D sRr , während die Führungsbewegung mit F .t/ D sr .t/!.t/ sowie aFt .t/ D sr .t/˛.t/, aFn .t/ D sr .t/! 2 .t/ mit !.t/ D 'P und ˛.t/ D 'R beschrieben wird. Die Coriolisbeschleunigung wird dann aC D 2!.t/r .t/ mit der Richtung senkrecht r . Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung werden gemäß Gl. (13.37) durch geometrische Zusammensetzung erhalten (Abb. 13.16). J Beispiel

Umlaufgetriebe (Abb. 13.17). Die mit der Winkelgeschwindigkeit !1 rotierende Kurbel führt das Planetenrad, das sich mit !2;1 gegenüber der Kurbel dreht, auf dem feststehenden Sonnenrad. – Nach Gl. (13.37) wird P D F C r mit der Größe P D !1 .l C r/ C !2;1 r und entsprechend P0 D !1 .l  r/  !2;1 r. Da das Sonnenrad feststeht, ist P0 D 0, woraus !2;1 D !1 .l  r/=r

und

P D !1 .l C r/ C !1 .l  r/ D 2!1 l folgen. Die Bewegung des Planetenrads lässt sich deuten als eine Drehung mit !2 D !1 C !2;1 D !1 l=r um sein Momentanzentrum P 0 (Berührungspunkt von Planeten- mit Sonnenrad), woraus ebenfalls P D !2 2r D 2!1 l folgt. Hieraus ergibt sich allgemein, dass die Resultierende zweier Winkelgeschwindigkeiten !1 und !2 um parallele Achsen im Abstand L so wie bei zwei Kräften (Hebelgesetz)

13

270

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 13.17 Umlaufgetriebe

gefunden wird, nämlich zu !res D !1 C !2 im Abstand l1 D L!2 =.!1 C !2 / von der Achse von !1 . J Beispiel

Rotation zweier Scheiben um parallele Achsen (Abb. 13.18). Ein um das feste Lager B Abb. 13.18 Rotation zweier Scheiben. a Geschwindigkeirotierender Stab hat die Winkelgeschwindig- ten; b Beschleunigungen keit !1 und die Winkelbeschleunigung ˛1 . In der beiden Winkelgeschwindigkeiten anzusetseinem Punkt O ist eine Scheibe gelagert, die zen ist und ihre Achse außerhalb der beiden sich im selben Moment ihm gegenüber mit gegebenen Achsen liegt. Sind beide Winkelge!2;1 > !1 und ˛2;1 dreht. Gesucht sind die moschwindigkeiten entgegengesetzt gleich groß, mentanen Geschwindigkeits- und Beschleuniwird !res D 0, die Scheibe führt eine reine gungsvektoren eines beliebigen Punkts P. – Translation (hier mit 0 ) aus. Für den belieFür Punkt A ist nach Gl. (13.37) bigen Punkt P gilt nach Gl. (13.37) P D P; F C P;r , wobei gemäß Gl. (13.35) A D A; F C A;r mit A;r D !2;1  OA und A; F D !1  BA D !1  BO C !1  OA D 0 C !1  OA ; so dass A D A; F  A;r D 0  .!2;1  !1 /  OA wird. Mit !2;1 !1 D !2 sowie 0 =!2 D l2 D OM wird A D !2 .OM  OA/ D !2 MA ; d. h. eine reine Drehgeschwindigkeit um das Momentanzentrum M (Abb. 13.18a). Da 0 D r0 !1 und somit l2 D r0 !1 =.!2;1  !1 / gilt, ist das eine Bestätigung des Satzes über die Zusammensetzung von Winkelgeschwindigkeiten für parallele Achsen, wobei im Fall gegenläufiger Drehungen für !res die Differenz

P; F D rP 0 C !1  r 1 D 0 C ! 1  r 1

bzw. auch

P; F D !  .r 0 C r 1 / D !  r P

und

P;r D dr r 1 =dt D !2;1  r 1 sind. Dieses Ergebnis ergibt sich auch aus der reinen Drehung um M zu jP j D !2  MP , wobei P ? MP ist (Abb. 13.18a). Die Beschleunigung von Punkt P folgt aus Gln. (13.37) bzw. (13.36) aP D aP; F C aP;r C aP; C . Dabei ist aP; F D aP; Fn C aP; Ft mit aP; Fn D !12 rP und aP; Ft D ˛1 rP , aP;r D 2 r1 und aP; rt D aP; rn C aP; rt mit aP; rn D !2;1 ˛2;1 r1 sowie aP; C D 2!1  P;r mit dem Betrag aP; C D 2!1 vP;r D 2!1 !2;1 r1 . Die geometrische Zusammensetzung liefert dann aP (Abb. 13.18b). J

13

Kinematik

271

Beispiel

Drehung um zwei einander schneidende Achsen (Abb. 13.19). Eine abgewinkelte Achse rotiert mit !1 und führt ein Kegelrad, das sich mit !2;1 relativ zu dieser Achse dreht und auf einem festen Kegel abrollt. Nach Gl. (13.35) ist dann P D F C r D .0 C !1  r 1 / C !2;1  r 1 D .!1  r 0 C !1  r 1 / C !2;1  r 1 mit dem Betrag P D !1 r0 sin ˇ C !1 r1 sin.90ı  ˇ/ C !2;1 r1 D !1 r0 sin ˇ C !1 r1 cos ˇ C !2;1 r1 und entsprechend P0 D !1 r0 sin ˇ  !1 r1 cos ˇ  !2;1 r1 : Aus P0 D 0 folgt mit cot D r0 =r1 der Zusammenhang zwischen den Winkelgeschwindigkeiten (Zwanglauf) !2;1 D !1 .cot sin ˇ  cos ˇ/ D !1 sin.ˇ  /= sin : Das bedeutet, dass man die Winkelgeschwindigkeiten !1 und !2;1 zu einer Resultierenden !2 gemäß !2 D !1 C !2;1 zusammensetzen darf (Abb. 13.19), denn der Sinussatz für das Vektoreneck liefert das vorstehende Ergebnis.

Abb. 13.19 Kegelrad

Die Bewegung des Kegelrads kann also als reine Drehung mit !2 um die Berührungslinie als Momentanachse beschrieben werden. Zwei Winkelgeschwindigkeiten !1 und !2 um zwei einander schneidende Achsen ergeben allgemein eine Resultierende !res D !1 C !2 . J Beispiel

Umlaufende Kurbelschleife (Abb. 13.20). Die Kurbel (r D 150 mm) dreht sich mit !K D 4 s1 D const. Für die Stellung ' D 75ı sind Winkelgeschwindigkeit !S und -beschleunigung ˛S der Schleife zu ermitteln. – Der Kulissenstein P führt gegenüber der Schleife eine Relativbewegung aus. Seine Absolutbewegung ist durch die Kurbelbewegung gegeben:  D !K r D 0;60 m=s, a D an D !K2 r D 2;40 m=s2 , da wegen !K D const, also ˛K D 0, at D ˛K r D 0 ist. Da die Relativbewegung geradlinig ist, haben Relativgeschwindigkeit r und -beschleunigung ar die Richtung der Relativbahn, also die der Schleife. Gemäß Gl. (13.37)  D F C r folgt mit bekanntem Vektor  und den bekannten Richtungen von F (? Schleife) und r (// Schleife) aus dem Geschwindigkeits-Eck (Abb. 13.20) r D 0;29 m=s und F D 0;52 m=s. Mit l.' D 75ı / 460 mm wird die Winkelgeschwindigkeit der Schleife !S D F = l D 1;13 s1 und somit aFn D l!S2 D 0;59 m=s2 (Richtung k Schleife). Die Coriolisbeschleunigung aC D 2!S r D 0;66 m=s2 steht senkrecht auf der Schleife, so dass bei bekanntem Vektor a und den bekannten Richtungen von aFt (? Schlei-

Abb. 13.20 Umlaufende Kurbelschleife

13

272

J. Villwock und A. Hanau

fe) und ar (k Schleife) gemäß Gl. (13.37) a D aFn C aFt C ar C aC aus dem Beschleunigungs-Eck (Abb. 13.20) ar D 1;45 m=s2 und aFt D 0;50 m=s2 zu erhalten ist, woraus dann ˛S D aFt = l D 1;09 s2 folgt. J

14

Kinetik Joachim Villwock und Andreas Hanau

Die Kinetik untersucht die Bewegung von Massenpunkten, Massenpunktsystemen, Körpern und Körpersystemen als Folge der auf sie wirkenden Kräfte und Momente unter Berücksichtigung der Gesetze der Kinematik.

14.1 Energetische Grundbegriffe – Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Arbeit. Das Arbeitsdifferential ist definiert als Skalarprodukt aus Kraftvektor und Vektor des Wegelements (Abb. 14.1a). dW D F dr D F ds cos ˇ D Ft ds. Demnach verrichtet nur die Tangentialkomponente einer Kraft Arbeit. Die Gesamtarbeit ergibt sich mit dW D Fx dx C Fy dy C Fz dz zu Zs2 s1

Für F D F0 D const folgt W D F0 .s2  s1 /. Haben Kräfte ein Potential, d. h., ist

F D  grad U D 

@U @U @U ex  ey  ez ; @x @y @z

so folgt

Zs2 F .s/dr D

W D

Abb. 14.1 a Arbeit einer Kraft; b Tangentialkraft-WegDiagramm

Ft .s/ds Z.P2 /

s1

Z.P2 / D .Fx dx C Fy dy C Fz dz/ :

W D (14.1)

.P1 /

Sie ist gleich dem Inhalt des TangentialkraftWeg-Diagramms (Abb. 14.1b). J. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

@U @U @U dx C dy C dz @x @y @z



.P1 /

Z.P2 / dU D U1  U2 : D .P1 /

(14.2) Die Arbeit ist dann vom Integrationsweg unabhängig und gleich der Differenz der Potentiale zwischen Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 . Insbesondere verschwindet in diesem Fall die Arbeit längs eines geschlossenen Weges. Kräfte mit Potential sind Schwerkräfte und Federkräfte (elastische Formänderungskräfte).

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_14

273

274

J. Villwock und A. Hanau

Für Fr D const D Fr0 wird Wr D Fr0 .s2  s1 /. a) Schwerkraft. Potential (potentielle Energie) d) Drehmoment. U D FG z,

14.1.1 Spezielle Arbeiten (Abb. 14.2a–d)

Z'2

Arbeit WG D U1  U2 D FG .z1  z2 / :

(14.3)

Arbeit WM D

M .'/d' '1

Z'2

b) Federkraft. Potential (potentielle Federenergie) U D cs 2 =2, Federkraft F c D  grad U D  @U @s e D cse bzw. jF c j D F D cs (c Federrate),

D '1

Z'2 D

Zs2 Arbeit Wc D

M.'/ cos d'

Mt .'/d' ;

(14.6)

'1

csds s1

  D c s22  s12 =2 :

(14.4)

c) Reibungskraft. Kein Potential, da Reibungsarbeit in Form von Wärme verlorengeht.

WM D M0 cos .'2  '1 / D Mt 0 .'2  '1 / :

Zs2 Arbeit Wr D

d. h., nur die zur Drehachse parallele Momentkomponente Mt verrichtet Arbeit. Für M D const D M0 gilt

F r .s/dr s1

Zs2 D

Gesamtarbeit. Wirken an einem Körper Kräfte und Momente, so gilt

Fr .s/ cos 180ı ds

s1

Zs2 D

Fr .s/ds :

(14.5)

W D

Zs2 X



F i dr i C

s1

s1

Z'2 X

M i d'i

'1

Zs2 D

X

Fi cos ˇi dsi

s1

C

Z'2 X

Mi cos i d'i

'1

Zs2 D

X



Ft i dsi C

s1

Z'2 X

Mt i d'i

'1

(14.7) bzw. für Fi D const D Fi 0 und Mi D const D Mi 0

Arbeit Abb. 14.2 Arbeiten. a Schwerkraft; b Federkraft; c Reibungskraft; d Drehmoment

W D

X

ŒFi 0 .si 2  si1 / X C ŒMi 0 .'i 2  'i1 / :

14 Kinetik

275

Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit. X X P .t/ D dW=dt D F i i C M i !i X X D Ft i i C Mt i ! i X  D Fxi xi C Fyi yi C Fzi zi X  C Mxi !xi C Myi !yi C Mzi !zi : (14.8) Also ist für eine Kraft P D Ft  und für ein Moment P D M!. Integration über die Zeit ergibt die Arbeit

per) eine Anzahl äußerer Kräfte, so ist die resultierende Kraft F R gleich der zeitlichen Änderung des Impulsvektors p D m bzw., wenn die Masse m konstant ist, gleich dem Produkt aus Masse m und Beschleunigungsvektor a (Abb. 14.3a): .a/

.a/

.a/

FR

D

X

X

d .m/ ; dt

(14.12)

F i D ma D md=dt :

(14.13)

F Res D F R D

Fi D

Die Komponenten in natürlichen bzw. kartesischen Koordinaten (Abb. 14.3b,c) sind Zt2 Zt2 9 X .a/ W D dW D P .t/dt D Pm .t2  t1 / : > Fi t D mat ; FRt D > > > > X t1 t1 > .a/ > FRn D Fi n D man bzw.> > > = X Mittlere Leistung: .a/ FRx D Fix D max ; > > X Zt2 > .a/ > > F D F D ma ; > iy y Ry Pm D P .t/dt=.t2 t1 / D W=.t2 t1 /: (14.9) > > > X > .a/ ; t1 FRz D Fiz D maz : (14.14) Wirkungsgrad ist das Verhältnis von Nutzarbeit Bei der Lösung von Aufgaben mit dem Newzu zugeführter Arbeit, wobei letztere aus Nutzton’schen Grundgesetz muss der Massenpunkt und Verlustarbeit besteht: bzw. translatorisch bewegte Körper freigemacht (14.10) werden, d. h., alle eingeprägten Kräfte und alle m D Wn =Wz D Wn =.Wn C Wv / Reaktionskräfte sind als äußere Kräfte anzubrinm mittlerer Wirkungsgrad (Arbeit ist mit der gen. Zeit veränderlich). Augenblicklicher Wirkungsgrad  dWz dWn dWn D D D Pn =Pz dWz dt dt D Pn =.Pn C Pv / : (14.11)

Sind mehrere Teile am Prozess beteiligt, so gilt  D 1 2 3 : : :

14

14.2 Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Körpers 14.2.1 Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newton’sches Axiom) Abb. 14.3 Dynamisches Grundgesetz. a Vektoriell; b in

Wirken auf einen freigemachten Massenpunkt natürlichen Koordinaten; c in kartesischen Koordinaten; (Massenelement, translatorisch bewegten Kör- d Massenpunkt auf schiefer Ebene

276

J. Villwock und A. Hanau

Energiesatz

Beispiel

Massenpunkt auf schiefer Ebene (Abb. 14.3d). Die Masse m D 2;5 kg wird aus der Ruhelage 1 von der Kraft F1 D 50 N . D 15ı / die schiefe Ebene (ˇ D 25ı ) hinaufbewegt (Gleitreibungszahl  D 0;3). Zu bestimmen sind Beschleunigung, Zeit und Geschwindigkeit beim Erreichen der Lage 2 (s2 D 4 m). – Da die Bewegung geradlinig ist, muss P an D 0 .a/ sein. Nach Gl. (14.14) gilt FRn D Fi n D 0, also

U1 C E1 D U2 C E2 D const. Beispiel

Massenpunkt auf schiefer Ebene (Abb. 14.3d). Für das Beispiel in Abschn. 14.2.1 ist die Geschwindigkeit 2 nach dem Arbeitssatz zu ermitteln. – Mit 1 D 0, d. h. E1 D 0, wird m22 =2 D W1; 2 D F1 cos.ˇ C /s2  Fr s2  FG h D 46;51 Nm :

Fn D m g cos ˇ C F1 sin.ˇ C / D 54;37 N

Somit ist 2 D

sowie .a/

mat D FRt D

(14.16)

X

p 2  46;51 Nm=2;5 kg

D 6;10 m=s : J

Fi t

D F1 cos.ˇ C /  FG sin ˇ  Fr ;

14.2.3

Impulssatz

woraus mit Fr D Fn D 16;31 N dann mat D Aus Gl. (14.13) folgt nach Multiplikation mit dt 11;63 N und at D 4;65 m=s2 folgen. Mit den Gesetzen der gleichmäßig be- und Integration für konstante Masse m schleunigten Bewegung aus der Ruhelage Zt2 Z2 (s. Abschn. 13.1.1) ergeben sich p1;2 D F R dt D md p t1 1 t2 D 2s2 =at D 1;31 s und p (14.17) D m2  m1 D p 2  p 1 : 2 D 2at s2 D 6;10 m=s : J

14.2.2

Arbeits- und Energiesatz

Aus Gl. (14.13) folgt nach Multiplikation mit dr und Integration der Arbeitssatz

W1; 2

Z.r2 / Z.r2 / Z2 d D F R dr D m dr D md dt .r1 /

.r1 /

1

m 2 m 2    D E2  E1 ; D 2 2 2 1

(14.15) d. h., die Arbeit ist gleich der Differenz der kinetischen Energien. Haben alle am Vorgang beteiligten Kräfte ein Potential, verläuft der Vorgang also ohne Energieverluste, so gilt W1; 2 D U1 U2 (s. Abschn. 14.1), und aus Gl. (14.15) folgt der

Das Zeitintegral der Kraft, der sog. Antrieb, ist also gleich der Differenz der Impulse.

14.2.4

Prinzip von d’Alembert und geführte Bewegungen

Aus dem Newton’schen Grundgesetz folgt für den Massenpunkt F R  ma D 0, d. h., äußere Kräfte und Trägheitskraft (negative Massenbeschleunigung, d’Alembert’sche Hilfskraft) bilden einen „Gleichgewichtszustand“. Im Fall der geführten Bewegung setzt sich die Resultierende F R aus den eingeprägten Kräften F e , den Zwangskräften F z und den Reibungskräften F r zusammen: F e C F z C F r  ma D 0 :

(14.18)

14 Kinetik

277

Mit F e D F G D mge z sowie R 0 e ' C '.h=2 /e R a.t/ D 'P 2 r0 e r C 'r z gemäß Abschn. 13.1.3 wird nach Gl. (14.19)

Abb. 14.4 Zum Prinzip von d’Alembert

•W D .F e  ma/•r Wird auf dieses „Gleichgewichtssystem“ das Prinzip der virtuellen Arbeiten (s. Abschn. 12.4.3) angewendet, so folgt (Abb. 14.4) •W D .F e C F z C F r  ma/•r D 0. Hierbei ist •r eine mit der Führung geometrisch verträgliche Verrückung tangential zur Bahn. Da die Führungskräfte F z normal zur Bahn stehen und somit keine Arbeit verrichten, gilt •W D .F e C F r  ma/•r D 0

(14.19)

bzw. in kartesischen Koordinaten •W D .Fex C Frx  max /•x C .Fey C Fry  may /•y C .Fez C Frz  maz /•z D 0

(14.20)

bzw. in natürlichen Koordinaten •W D .Fet  Fr  mat /•s D 0

(14.21)

R  m'.h=2 /•z R D mg•z  mr02 '•' D0 und mit •z D .h=2 /•'

m•' gh=2  C r02 'R C h2 =.2 /2  'R D 0 ; gh=.2 r 2 /

woraus 'R D  1Ch2 =.2 r0 /2 D const D 0 A folgt. Die Integration ergibt '.t/ P D At C C1 und '.t/ D At 2 =2 C C1 t C C2 , wobei die Integrationskonstanten aus Anfangsbedingungen zu ermitteln sind. Die Gln. in Abschn. 13.1.3 liefern dann mit ˇ D arctanŒh=.2 r0 / die Bewegungsgesetze des Massenpunkts:   s.t/ D r0 At 2 =2 C C1 t C C2 = cos ˇ ; .t/ D r0 .At C C1 /= cos ˇ ; an .t/ D r0 .At C C1 /2 ;

(entsprechend in Zylinderkoordinaten usw.; at .t/ D r0 A= cos ˇ D const ; s. folgendes Beispiel). Die Gln. (14.19) bis (14.21) stellen das d’Alembert’sche Prinzip in also eine gleichmäßig beschleunigte (rückläuder Lagrange’schen Fassung dar. Das Prinzip fige) Bewegung. J eignet sich besonders für Aufgaben ohne Reibung, da es die Berechnung der Zwangskräfte erspart. 14.2.5 Impulsmomenten- (Flächen-) Beispiel

und Drehimpulssatz

Massenpunkt auf Schraubenlinie Nach vektorieller Multiplikation mit einem Radi(s. Abb. 13.7). Die Masse m bewege sich usvektor r folgt aus Gl. (14.13) r F R D M R D reibungsfrei infolge ihrer Gewichtskraft ei- r  ma. Wegen   m D 0 gilt ne zylindrische Schraubenlinie hinunter, die d dD durch Zylinderkoordinaten (14.22) M R D .r  m/ D dt dt r0 .t/ D r0 D const.; '.t/ und Impulsmomentensatz: Die zeitliche Änderung z.t/ D .h=2 /'.t/ des Impulsmoments D D r  m (auch Drehimpuls oder Drall genannt) ist gleich dem resulbeschrieben ist (s. Abschn. 13.1.3). – Aus tierenden Moment. r.t/ D r0 e r C 0  e ' C z.t/e z folgt Nun ist r  m D m.r  dr=dt/ und r  •r D r0 •'e ' C •ze z : dr D 2dA ein Vektor, dessen Betrag gleich dem

14

278

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 14.5 Impulsmomentensatz (Flächensatz)

doppelten Flächeninhalt der vom Vektor r überstrichenen Fläche ist (Abb. 14.5). Damit nimmt Gl. (14.22) die Form an MR D

d dt

  dA d2 A 2m D 2m 2 dt dt

(14.23)

Flächensatz: Das resultierende Moment ist gleich dem Produkt aus doppelter Masse und der Ableitung der Flächengeschwindigkeit dA=dt. Ist F R eine Zentralkraft, d. h. stets in Richtung von r gerichtet, so wird M R D r  F R D 0 und damit nach Gl. (14.23) dA=dt D const, d. h., Abb. 14.6 Massenpunktsystem. a Allgemein; b zwei die Flächengeschwindigkeit ist konstant, der Ra- Massen diusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche 14.3.1 Schwerpunktsatz Flächen (2. Kepler’sches Gesetz). Aus Gl. (14.22) folgt Das Newton’sche Grundgesetz für freigemachte Zt2 Zt2 Zt2 Massenpunkte und die Summation über den gesamten Verband liefert M R dt D d.r  m/ D dD t1

t1

t1

D D2  D1

(14.24)

n X i D1

.a/

F Ri C

n X i; kD1

.i/

F ik D

n X

mi a i :

(14.25)

i D1

Drehimpulssatz: Das Zeitintegral über das Moment ist gleich der Differenz der Drehimpulse. Ist Da für die inneren Kräfte P F .i/ D 0 und nach ik P M R D 0, so gilt D 1 D D 2 D const. mi rR i ist, Abschn. 12.10 Gl. (14.25) rR S m D folgt n X .a/ F Ri D maS (14.26) 14.3 Kinetik des

Massenpunktsystems Ein Massenpunktsystem ist ein aufgrund innerer Kräfte (z. B. Massenanziehung, Federkräfte, Stabkräfte) zusammengehaltener Verband von n Massenpunkten (Abb. 14.6a). Für die inneren Kräfte gilt das 3. Newton’sche Axiom von .i/ .i/ actio D reactio, d. h. Fi k D Fki .

i D1

Schwerpunktsatz: Der Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) eines Massenpunktsystems bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt wäre und alle äußeren Kräfte an ihm angreifen würden.

14 Kinetik

279

14.3.2 Arbeits- und Energiesatz Aus Gl. (14.25) folgt nach Multiplikation mit dr i (differentiell kleiner Verschiebungsvektor des i-ten Massenpunkts) und nach Integration zwischen zwei Zeitpunkten 1 und 2 XZ

.2/

XZ

C

.i/

F i k dr i

 1 .FG1 cos ˇ1  F sin ˇ1 /  FG2 sin ˇ2  2 FG2 cos ˇ2 =.m1 C m2 / : J

XZ

mi i di

.1/

C

14.3.3 Impulssatz

.1/ .2/

.a/ W1;2

12 D 2s1 ŒF cos ˇ1 C FG1 sin ˇ1

.2/

.a/ F Ri dr i

.1/

D

s2 sin ˇ2 ist dann

.i/ W1;2

D

X

bzw.

Aus Gl. (14.25) folgt nach Multiplikation mit dt und Integration XZ

t2

  2 .mi =2/ i22  i1 (14.27)

XZ

t2

.a/ F Ri dt

C

t1

.i/

F i k dt

t1

t2 Arbeitssatz: Die Arbeit der äußeren und inneXZ di ren Kräfte am Massenpunktsystem (wobei die der mi dt D dt Zwangskräfte wieder null ist) ist gleich der Diffet1 X renz der kinetischen Energien. Die inneren Kräfte D mi .i 2  i1 / D p 2  p1 : verrichten bei starren Verbindungen der Massenpunkte keine Arbeit. t2 Haben alle beteiligten Kräfte ein Potential, so Da P R F .i/ dt D 0 und nach Gl. (12.25) m D S ik gilt der Energiesatz Gl. (14.16). t1 P mi i ist, ergibt sich

Beispiel

t2

Punktmassen auf schiefen Ebenen (Abb. 14.6b). Die beiden über ein nichtdehnbares Seil verbundenen Massen werden aus der Ruhelage von der Kraft F die schiefen Ebenen entlang gezogen. Gesucht sind ihre Geschwindigkeiten nach Zurücklegen einer Strecke s1 . – Nach dem Freimachen ergeben sich die Normaldruckkräfte (Zwangskräfte) zu Fn2 D FG2 cos ˇ2 und Fn1 D FG1 cos ˇ1  F sin ˇ1 , wobei als Voraussetzung des Nichtabhebens F 5 FG1 cotˇ1 sein muss. Damit sind die Reibungskräfte Fr2 D 2 Fn2 und Fr1 D 1 Fn1 . Der Arbeitssatz Gl. (14.27) liefert

p2  p1 D D

C FS s2  FG2 h2  Fr2 s2 D

m2 22 =2 ;

und mit s2 D s1 , 2 D 1 (nichtdehnbares Seil!) sowie mit h1 D s1 sin ˇ1 und h2 D

X

.a/

F Ri dt

t1

mi .i 2  i1 /

D m.S2  S1 /

(14.28)

Impulssatz: Das Zeitintegral über die äußeren Kräfte des Systems ist gleich der Differenz aller Impulse bzw. gleich der Differenz der Schwerpunktimpulse. – Sind keine äußeren Kräfte vorhanden, so folgt aus Gl. (14.28) X

mi i1 D

X

mi i 2 D const bzw.

mS1 D mS2 D const ; (14.29)

F cos ˇ1 s1 C FG1 h1  Fr1 s1  FS s1 m1 12 =2 C

XZ

d. h., der Gesamtimpuls bleibt erhalten. Beispiel

Massenpunktsystem und Impulssatz (Abb. 14.7). Eine Feder (Federrate c), die um den

14

280

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 14.7 Zum Impuls- und Energiesatz

Betrag s1 vorgespannt war, schleudert die Massen m1 und m2 auseinander. Zu ermitteln sind deren Geschwindigkeiten. – Unter Vernachlässigung von Reibungskräften während des Entspannungsvorgangs der Feder wirken am System keine äußeren Kräfte in Bewegungsrichtung, so dass mit 11 D 0 und 21 D 0 aus Gl. (14.29) m1 12  m2 22 D 0, also m1 12 D m2 22 , folgt. Hiermit liefert der En2 =2 C ergiesatz, Gl. (14.16), cs12 =2 D Cm1 12 2 m2 22 =2 dann   cs12 = m1 C m21 =m2 und q   D cs12 = m2 C m22 =m1 : J

12 D 22

q

14.3.4 Prinzip von d’Alembert und geführte Bewegungen P .a/ P Aus Gl. (14.25) folgt F Ri C . mi ai / D P .i/ P .i/  F i k . Wegen F i k D 0 sind die verlorenen Kräfte, das ist die Gesamtheit der äußeren Kräfte zuzüglich der Trägheitskräfte (negative Massenbeschleunigungen), am Massenpunktsystem im Gleichgewicht: X .a/  X (14.30) mi a i D 0 : F Ri C 

erteilt, dann aus Gl. (14.30) i X h .e/ .z/ .r/ F Ri C F Ri C F Ri C .mi ai / •r i D 0 : Da die Zwangskräfte bei Verrückungen keine Arbeit verrichten, folgt das d’Alembert’sche Prinzip in Lagrange’scher Fassung: i X h .e/ .r/ F Ri C F Ri C .mi ai / •r i D 0 : (14.31) In kartesischen bzw. natürlichen Koordinaten lautet Gl. (14.31) entsprechend den Gln. (14.20) und (14.21) für den Massenpunkt. Dieses Prinzip ist besonders zur Berechnung des Beschleunigungszustands von geführten Bewegungen ohne Reibung geeignet, da es die Berechnung der Zwangskräfte erspart. Beispiel

Physikalisches Pendel (Abb. 14.8). – Für das aus zwei punktförmigen Massen m1 und m2 an „masselosen“ Stangen (gegeben r1 ; r2 ; h und somit ˇ D arcsin.h=r2 /) bestehende Pendel wird die Schwingungsdifferentialgleichung aufgestellt. Bei fehlenden Reibungskräften nimmt das d’Alembert’sche Prinzip in Lagrange’scher Fassung in natürlichen Koordinaten analog Gl. (14.21) die Form X  .e/ Ft i  mi at i •si D 0 •W D an; damit wird •W D .FG1 sin '  m1 at1 /•s1

C .FG2 sin.ˇ C '/  m2 at 2 /•s2 Das Prinzip eignet sich in dieser Fassung besonD0: ders zur Berechnung der Schnittlasten dynamisch beanspruchter Systeme, wobei man die Schnittlasten als äußere Kräfte einführt. Im Fall ge- Abb. 14.8 Physikalisches führter Bewegungen setzt sich die Resultierende Pendel der äußeren Kräfte an den einzelnen Massen.e/ punkten aus den eingeprägten Kräften F i , den .z/ Führungs- oder Zwangskräften F i und den Rei.r/ bungskräften F i zusammen. Für starre Systeme erhält man mit dem Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Arbeiten (s. Abschn. 12.4.3), indem man jedem Massenpunkt eine mit den geometrischen Bindungen verträgliche Verrückung •r i

14 Kinetik

Mit •s1 D r1 •', •s2 D r2 •' sowie at1 D r1 ', R R C at 2 D r2 'R erhält man Œm1 .gr1 sin ' C r12 '/ R D 0, woraus m2 .gr2 sin.ˇ C '/ C r22 '/•' die nichtlineare Differentialgleichung dieser Pendelschwingung folgt: '.m R 1 r12 C m2 r22 / C m1 gr1 sin ' Cm2 gr2 sin.' Cˇ/ D 0. Für kleine Auslenkungen ' nimmt sie wegen sin '

' und sin.' C ˇ/ ' cos ˇ C sin ˇ die Form '.m R 1 r12 Cm2 r22 /C'.m1 gr1 Cm2 gr2 cos ˇ/ D m2 gr2 sin ˇ an, deren Lösung in Kap. 15 beschrieben wird. J

281

bestehen häufig zwischen einigen Koordinaten aufgrund mechanischer Bindungen Abhängigkeiten, wodurch die Zahl der Freiheitsgrade auf m (im Grenzfall bis auf m D 1) reduziert wird. Handelt es sich um holonome Systeme, bei denen die Beziehungen zwischen den Koordinaten in endlicher Form und nicht in Differentialform darstellbar sind, dann gelten die Lagrange’schen Gleichungen (2. Art): d dt



@E @qPk

 

@E D Qk @qk

.k D 1; 2; : : : ; m/ :

(14.33) Hierbei ist E die gesamte kinetische Energie des 14.3.5 Impulsmomenten- und Systems, qk sind die generalisierten KoordinaDrehimpulssatz ten der m Freiheitsgrade, Qk die generalisierten .a/ Kräfte. Ist qk eine Länge, so ist das zugehörige Aus dem Newton’schen Grundgesetz F Ri C .i/ eine Kraft; ist qk ein Winkel, so ist das dazu Q k F i k D mi ai folgt nach vektorieller Multiplikagehörige Qk ein Moment. tion mit einem Radiusvektor r i und Summation Die Lagrange’sche Kraft Qk erhält man aus über das gesamte Massenpunktsystem X X .a/ .i/ ri  F ik r i  F Ri C X D .r i  mi ai / : Hieraus folgt analog der Ableitung von Gl. (14.22) X .a/ .a/ r i  F Ri MR D d X dD D .r i  mi i / D (14.32) dt dt

Qk •qk D

X

.a/

F i •si bzw. X .a/ Qk D F i •si =•qk ;

(14.34)

wobei •si Verschiebungen des Systems infolge alleiniger Änderung (Variation) der Koordinate qk sind (•qi D 0; i ¤ k). Haben die beteiligten Kräfte ein Potential, so @U und @@U D 0. Damit folgt aus gilt Qk D  @q qP k k Gl. (14.33)   @U d @E @E D bzw.  dt @qPk @qk @qk   d @L @L D0; (14.35)  dt @qPk @qk

Impulsmomenten- oder Drallsatz: Die zeitliche P Änderung des Dralls (Drehimpulses) D D .r i  mi i / ist gleich dem resultierenden Moment der äußeren Kräfte am Massenpunktsystem. Gleichung (14.32) gilt bezüglich eines raumfesten Punkts oder bezüglich des beliebig be- wobei L D E  U D L.q : : : q I qP : : : qP / die 1 m 1 m wegten Schwerpunkts. Aus ihr folgt nach Inte- Lagrange’sche Funktion ist. gration über die Zeit der Drehimpulssatz analog Gl. (14.24). Beispiel

14.3.6 Lagrange’sche Gleichungen Sie liefern durch Differentiationsprozesse über die kinetische Energie die Bewegungsgleichungen des Systems. Ein System mit n Massenpunkten kann zwar 3n Freiheitsgrade haben, jedoch

Schwinger mit einem Freiheitsgrad (Abb. 14.9). Die Schwingung wird für kleine Auslenkungen ', d. h. für x D l1 ' und y D l2 ', und unter Vernachlässigung der Stangenund Federmassen untersucht. – Es gilt E D m1 xP 2 =2 C m2 yP 2 =2 D m1 l12 'P 2 =2 C m2 l22 'P 2 =2, @E 2 2 P d. h. also @E @' D 0 und @'P D .m1 l1 C m2 l2 /',

14

282

J. Villwock und A. Hanau

14.3.8 Systeme mit veränderlicher Masse

Abb. 14.9 Schwinger

Grundgleichung des Raketenantriebs: Infolge des ausgestoßenen Massenstroms .t/ P mit der Relativgeschwindigkeit r .t/ (Relativbewegung) ist die Raketenmasse m(t) veränderlich. Aus dem dynamischen Grundgesetz, Gl. (14.12), folgt .a/ P C dann F R D dtd Œm.t/.t/ D m.t/.t/  d @E 2 2 m.t/ .t/. P D .m1 l1 C m2 l2 /'. R Ferner ist U D dt @'P Nun ist m.t/.t/ P D .t/ P r .t/ (die Masm1 g.l1 C l2 / C m2 gl2 .1  cos '/ C c.l2 '/2 =2, .a/ D m.t/a.t/  se nimmt ab) und somit F R D m2 gl2 sin ' C cl22 '. Mit sin ' ' d. h. @U .a/ @' P .t/ P r .t/ bzw. m.t/a.t/ D F R C .t/ r .t/. 2 wird @U @' D .m2 gl2 C cl2 /'. Aus Gl. (14.35) Wirken keine äußeren Kräfte .F .a/ D 0/, so gilt R folgt dann mit qk D '     'R m1 l12 C m2 l22 C ' m2 gl2 C cl22 D 0

m.t/a.t/ D .t/ P r .t/ D F S .t/ ;

(14.36)

d. h., a ist parallel zu r , und F S .t/ ist der Schub der Rakete. Ist ferner P D P 0 D const; r D r0 D const und r parallel zu , so wird die Bahn eine Gerade. Dann gilt m.t/at .t/ D P 0 r0 D FS0 . Die 14.3.7 Prinzip von Hamilton verlorene Masse bis zur Zeit t ist .t/ D P 0 t und somit m.t/ D m0  P 0 t. Mit at D d=dt wird Während die Lagrange’schen Gleichungen ein dann Differentialprinzip darstellen, handelt es sich hier um ein Integralprinzip (aus dem sich auch die LaP 0 r0 P 0 r0 d D D : grange’schen Gleichungen herleiten lassen). Es dt m0  P 0 t m0 Œ1  .P 0 =m0 /t lautet Die Integration mit den Anfangsbedingungen Zt2 .e/ .t D 0/ D 0 und s.t D 0/ D 0 liefert .•W C •E/ dt D 0 : (Lösung s. Kap. 15). J

t1

Haben die eingeprägten Kräfte ein Potential, ist also •W .e/ D •U ein totales Differential, so wird daraus Zt2

Zt2 .•E  •U / dt D •

t1

.E  U / dt

  P 0 .t/ D r0 ln 1  t und m0 "    m0 r0 P 0 P 0 s.t/ D t ln 1  t 1 P 0 m0 m0 # P 0 C t : m0

t1

Zt2 Ldt D 0 ;

D•

14.4 Kinetik starrer Körper

t1

Ein starrer Körper ist ein kontinuierliches Masd. h., die Variation des Zeitintegrals über die La- senpunktsystem mit unendlich vielen starr mitgrange’sche Funktion wird null, das Zeitintegral einander verbundenen Massenelementen. Die kinematischen Grundlagen sind in Abschn. 13.2 nimmt einen Extremwert an.

14 Kinetik

283

beschrieben. Ein starrer Körper kann eine Drallsatz Translation, eine Rotation oder eine allgemei.a/ .e/ .z/ MR D MR C MR ne ebene bzw. räumliche Bewegung ausfühZ d dD ren. D .r  /dm D : dt dt

14.4.1 Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse Entsprechend Gl. (14.26) für das Massenpunktsystem gilt hier bei Integration über den ganzen Körper der Schwerpunktsatz .a/

.e/

.z/

X

(14.39)

Gemäß Gl. (13.23) gilt in kartesischen Koordinaten (bei Drehung um die z-Achse, d. h. mit !x D !y D 0) x D .!y z  !z y/ D !z y ; y D .!z x  !x z/ D !z x ; z D .!x y  !y x/ D 0 :

(14.40)

.a/

D maS (14.37) Aus Gl. (14.39) wird hiermit ˇ ˇ Z ˇˇe x e y e z ˇˇ bzw. in Komponenten (bei Drehung um die d ˇ ˇ .e/ .z/ MR C MR D ˇ x y z ˇ dm z-Achse, Abb. 14.10a) ˇ ˇ dt ˇx y 0 ˇ X .e/ Z Z 9 .e/ .z/ d Fix C FAx C FBx > FRx C FRx D > D xzdme C !z yzdme y ! z x > > dt > > D maSx ;  > Z > = X .e/ 2 2 .e/ .z/ C ! .x C y /dme z z Fiy C FAy C FBy FRy C FRy D > > > > d D maSy ; > > D Œ!z Jxz e x  !z Jyz e y C !z Jz e z  I > X > ; dt .e/ .z/ .e/ FRz C FRz D Fiz C FAz D 0 (14.41) R R (14.38a–c) Jxz D xz dm, Jyz D yz dm DeviatiR mit aSx D !z2 xS ˛z yS und aSy D ˛z xS !z2 yS ons- oder Zentrifugalmomente, Jz D .x 2 C R [s. Gl. (13.25b)]. y 2 / dm D rz2 dm axiales MassenträgheitsmoDiese Gleichungen gelten sowohl für ein ment. In Komponenten raumfestes als auch für ein mitdrehendes (körper9 X .e/ .e/ .z/ MRx C MRx D Mix C FAy l1  FBy l2 > festes) System mit Nullpunkt auf der Drehachse. > > > > Ferner gilt analog dem Massenpunktsystem der > > D d.!z Jxz /=dt > > > > 2 > > D Jxz ˛z C !z Jyz ; > > X > > .e/ .z/ .e/ M CM D M C FBx l2  FAx l1 = F R D F R CF R D

Fi

Ry

Ry

iy

D d.!z Jyz /=dt .e/

MRz

D Jyz ˛z  !z2 Jxz ; X .e/ D Miz D d.!z Jz /=dt D Jz ˛z :

> > > > > > > > > > > > > > > > > ;

(14.42a–c) Diese Gleichungen gelten sowohl für ein raumfestes als auch für ein mitdrehendes Koordinatensystem x, y, z mit Nullpunkt auf der DrehAbb. 14.10 Kinetische Lagerdrücke. a Allgemein; b Wel- achse. Im ersten Fall sind Jxz und Jyz zeitle mit schiefsitzender Scheibe lich veränderlich, im zweiten Fall konstant. Die

14

284

J. Villwock und A. Hanau

Gln. (14.38a–c) und (14.42a,b) liefern die unbekannten fünf Auflagerreaktionen, wobei ˛z und !z aus Gl. (14.42c) folgen. Dabei ergeben die .e/ .e/ eingeprägten Kräfte F i und Momente Mix .e/ und Miy die rein statischen Auflagerreaktionen, während die kinetischen Auflagerreaktionen sich .e/ .e/ .e/ mit F i D 0, Mix D Miy D 0 aus .k/

.k/

.k/

.k/

FAx C FBx D maSx ; .k/

FAy C FBy D maSy ; .k/

.k/

.k/

.k/

FAz D 0 ;

(14.43)

FAy l1  FBy l2 D Jxz ˛z C !z2 Jyz ; FBx l2  FAx l1 D Jyz ˛z  !z2 Jxz

(14.44)

berechnen lassen. Nach diesen Gleichungen verschwinden sie, wenn aS D 0 wird, also die Drehachse durch den Schwerpunkt geht und wenn sie eine Hauptträgheitsachse ist, d. h., die Zentrifugalmomente Jxz und Jyz null werden. Die Drehachse heißt dann freie Achse. Für sie gehen die Gln. (14.38a–c) sowie (14.42a,b) in die bekannten Gleichgewichtsbedingungen über, während das dynamische Grundgesetz für die Drehbewegung nach Gl. (14.42c) lautet X .e/ .e/ Mi D J ˛ (14.45) MR D R J D r 2 dm, wobei r der Abstand senkrecht zur Drehachse ist. Arbeits- und Drehimpulssatz: Aus Gl. (14.45) folgen Z'2

Z'2 .e/

W1;2 D

MR d' D '1

J

DJ

(14.46)

!1

Zt2 .e/ MR dt

D2  D1 D t1

D

J

d! dt dt

t1

Z!2 d! D J.!2  !1 / : (14.47)

DJ !1

Jyz D J1 cos ˛2 cos ˛3  J2 cos ˇ2 cos ˇ3  J3 cos 2 cos 3 D J2 cos

sin

C J3 sin

cos

und entsprechend Jxz D 0. Nach Tab. 14.1 ist J2 D J D m.3r 2 C h2 /=12, J3 D J D mr 2 =2 und somit Jyz D Œm.3r 2  h2 /=24 sin 2 , so dass sich die Auflagerkräfte FAx D FBx D 0;

 sin 2

 J  2 ! d! D !2  !12 ; 2

Zt2

Welle mit schiefsitzender Scheibe (Abb. 14.10b). Auf einer mit !z D const D !0 rotierenden Welle ist eine vollzylindrische Scheibe (Radius r, Dicke h, Masse m) unter dem Winkel geneigt aufgekeilt. Zu ermitteln sind die Auflagerkräfte. – Als einzige eingeprägte Kraft erzeugt die zentrische Gewichtskraft FG D m g keine Momente, so dass die Gln. (14.38a–c) und (14.42a,b) mit aSx D aSy D 0 und (wegen !z D const) ˛z D 0 FAx C FBx D 0; FAy C FBy D 0, FG C FAz D 0, FAy l1  FBy l2 D !02 Jyz , FBx l2  FAx l1 D !02 Jxz ergeben. Mit den Richtungswinkeln der x-Achse gegenüber den Hauptachsen , , (s. Abschn. 14.4.2) ˛1 D 0, ˇ1 D 90ı , 1 D 90ı , mit denen der y-Achse und ˛2 D 90ı , ˇ2 D ; 2 D 90ı C denen der z-Achse ˛3 D 90ı , ˇ3 D 90ı  , 3 D erhält man gemäß Gl. (14.52)

FAz D FG ;

FAy D FBy ˚ ı  D !02 m.3r 2  h2 / Œ24.l1 C l2 /

d! d' dt

'1

Z!2

Beispiel

ergeben. J

14 Kinetik

285

Tab. 14.1 Massenträgheitsmomente homogener Körper Kreiszylinder

Hohlzylinder

Kugel

m D  r 2 h 2 Jx D mr2

  m D  ra2  ri2 h   2 2 m ra Cri Jx D Jy D Jz D 2  

m D  43  r 3 Jx D Jy D Jz D 25 mr 2 Kugelschale Wanddicke ı  r: m D 4 r 2 ı Jx D Jy D Jz D 23 mr 2

Jy D Jz D m.3r12Ch / Zylinderschale Wanddicke ı  r: m D 2 rhı Jx D mr 2 Jy D Jz D 2

2

m ra2 Cri2 Ch2 =3 4

Kreiskegel

m D  r 2 h=3 3 Jx D 10 mr 2 Jy D Jz D 3m.4r 2 Ch2 / 80

Kegelschale Wanddicke ı  r: m D  rsı 2 Jx D mr2

m.6r 2 Ch2 / 12

Quader

m D abc 2 2 Jx D m.b12Cc / Jy D

Dünner Stab

Hohlkugel

m D Al Jy D Jz D

  m D  43  ra3  ri3

ml 2 12

Jx D Jy D Jz D

m.a2 Cc 2 / 12 2 2 Jz D m.a12Cb /

Rechteck-Pyramide

m D abh=3   m a2 Cb 2 Jx D Jy D   20 m

b 2 C 34 h2 20

Jz D



m a2 C 34 h2 20

14.4.2

Kreistorus

Halbkugel

m D 2 2 r 2 R 2 2 Jx D Jy D m.4R 8C5r /

m D  23  r 3 Jx D Jy D 2 mr 2 5

Jz D

Kreiskegelstumpf

m.4R2 C3r 2 / 4

r 5 r 5 2 m ra3 ri3 5 a i

  m D  13 h r22 C r2 r1 C r12 Jx D

r 5 r 5 3 m r23 r13 10 2 1

Beliebiger Rotationskörper

83 mr 2 Jz 320

D

m D 

Rx2 x1

Jx D 12 

f 2 .x/dx Rx2

f 4 .x/dx

x1



Allgemeines über Massenträgheitsmomente (Abb. 14.11)

Polares Trägheitsmoment sowie Deviations- oder Zentrifugalmomente: Z Z Jp D r 2 dm D .x 2 C y 2 C z 2 / dm

Axiale Trägheitsmomente: Z

Z

9 > Jx D .y C z / dm D dm ; > > > > > Z Z = 2 2 2 Jy D .x C z / dm D ry dm ; > > > Z Z > > 2 2 2 ; Jz D .x C y / dm D rz dm :> 2

2

rx2

Jxy Jyz

D .Jx C Jy C Jz /=2 I Z Z D xy dm; Jxz D xz dm; Z D yz dm :

(14.49)

Die Trägheitsmomente lassen sich mit Jx D Jxx , (14.48) Jy D Jyy und Jz D Jzz zum Trägheitstensor,

14

286

J. Villwock und A. Hanau

Trägheitsmomente bezüglich gedrehter Achsen. Für eine unter den Winkeln ˛, ˇ, gegen x, y, z geneigte Achse xN folgt mit e xN D .cos ˛; cos ˇ; cos / aus JxN D e xN J e TxN sowie mit Jxy D Jyx usw. JxN D Jx cos2 ˛ C Jy cos2 ˇ C Jz cos2  2Jxy cos ˛ cos ˇ  2Jyz cos ˇ cos Abb. 14.11 Massenträgheitsmomente

 2Jxz cos ˛ cos :

(14.50) einem symmetrischen Tensor 2. Stufe, zusamSind dagegen ˛1 , ˇ1 , 1 die Richtungswinkel der menfassen. In Matrixschreibweise gilt x-Achse gegenüber den Hauptachsen , , , so 1 0 gilt für das axiale Trägheitsmoment Jxx Jxy Jxz C B J D @Jyx Jyy Jyz A : Jx D J1 cos2 ˛1 C J2 cos2 ˇ1 C J3 cos2 1 I (14.51) Jzx Jzy Jzz Jy ; Jz entsprechend mit den Richtungswinkeln ˛2 , ˇ2 , 2 bzw. ˛3 , ˇ3 , 3 der y- bzw. z-Achse Hauptachsen. Wird J  D J D J D 0, gegenüber den Hauptachsen. Die zugehörigen so liegen Hauptträgheitsachsen , , vor. Die Deviationsmomente sind (für Jxz und Jyz entzugehörigen axialen Hauptträgheitsmomente J 1 , sprechend) J 2 , J 3 verhalten sich so, dass eins das absolute Maximum und ein anderes das absolute MiniJxy D  J1 cos ˛1 cos ˛2  J2 cos ˇ1 cos ˇ2 mum aller Trägheitsmomente des Körpers ist.  J3 cos 1 cos 2 : Hat ein Körper eine Symmetrieebene, so ist jede (14.52) dazu senkrechte Achse eine Hauptachse. AllgeSatz von Steiner. Für parallele Achsen gilt mein erhält man die Hauptträgheitsmomente als Extremalwerte der Gl. (14.50) mit der Nebenbe  Jx D JxN C yS2 C zS2 m ; dingung h D cos2 ˛ C cos2 ˇ C cos2  1 D 0.   Jy D JyN C zS2 C xS2 m ; Mit den Abkürzungen cos ˛ D , cos ˇ D ,  2  2 cos D  folgen mit J D Jx 2 C Jy 2 C D J C x C y m; J z z N S S Jz  2  2Jxy   2Jyz   2Jxz  und f D Jxy D JxN yN C xS yS m ; J  ch aus ıf =ı D 0 usw. drei homogene liJxz D JxN zN C xS zS m ; neare Gleichungen für , , , die nur dann eine nichttriviale Lösung haben, wenn ihre KoeffiziJyz D JyN zN C yS zS m I (14.53) entendeterminante null wird. Daraus erhält man die kubische Gleichung für c mit den Lösungen x, N y, N zN sind zu x, y, z parallele Achsen durch den c1 D J1 , c2 D J2 und c3 D J3 . Schwerpunkt. Trägheitsellipsoid. Trägt man inpRichtung pder J , 1= Jy , Achsen x, y, z die Größen 1= x p dem 1= Jz ab, so liegen die Endpunkte auf p Trägheitsellipsoid mit den Hauptachsen 1= J1 usw. und der Gleichung J1 2 C J2 2 C J3 2 D 1. Liegt hierbei der Koordinatenanfangspunkt im Schwerpunkt, spricht man vom Zentralellipsoid; die zugehörigen Hauptachsen sind dann freie Achsen.

Trägheitsradius. Wird die Gesamtmasse in Entfernung i von der Drehachse (bei gegebenem J und m) vereinigt, so gilt J D i 2 m bzw. i D p J =m. Reduzierte Masse. Denkt man sich die Masse mred in beliebiger Entfernung d von der Drehachse angebracht (bei gegebenem J), so gilt J D d 2 mred bzw. mred D J =d 2 .

14 Kinetik

287

Berechnung der Massenträgheitsmomente. Für Einzelkörper mittels dreifacher Integrale Z rx2 dm D

%.y 2 C z 2 / dx dy dz :

Je nach Körperform verwendet man auch Zylinder- oder Kugelkoordinaten. Zum Beispiel wird für den vollen Kreiszylinder (s. Tab. 14.1) Zra Z2 

Ch=2 Z

Jx D

9 > > > > > X > .a/ .a/ > > Fiy D maSy ; FRy D > > > X > > .a/ .a/ > Fiz D 0 ; FRz D > > > > Z > 2 Z > d d > .a/ > MRx D  z yP dm D  2 zy dm> > > dt dt > = 2 d Jyz ; D > > dt 2 > > Z Z > 2 > > d d .a/ > MRy D z xP dm D 2 zx dm > > > dt dt > > > > 2 > d Jxz > > ; D > > > dtZ2 > > > d > .a/ > ; .x yP  xy/ P dm MRz D dt (14.56) bzw. mit Gl. (14.40) und !z D ! .a/

FRx D

Z Z Z

Jx D

In kartesischen Koordinaten

%r 2 .r d' dr dz/ rD0 'D0 zDh=2

  D % ra4 =4 2 h D mra2 =2 : Für zusammengesetzte Körper gilt mit dem Satz P 2 2 C zSi /mi  usw. von Steiner Jx D ŒJxi C .ySi (s. Abschn. 20.4.5 Flächenmomente 2. Ordnung).

.a/

X

.a/

Fix D maSx ;

Z Z d d !.x 2 C y 2 / dm D !rz2 dm dt dt d D .!Jz / : dt

MRz D

14.4.3 Allgemeine ebene Bewegung starrer Körper Ebene Bewegung bedeutet z D const bzw. z D !x D !y D 0 und az D ˛x D ˛y D 0. Wie beim Massenpunktsystem gelten Schwerpunktsatz und Drallsatz (Momentensatz) .a/

FR D

.a/ MR

D

X

X

.a/

Fi

.a/ Mi

ˇ Z ˇˇe x d ˇ D ˇx ˇ dt ˇ xP

D maS ;

d D dt ey y yP

.a/

.a/

MRx und MRy sind die zur Erzwingung der ebenen Bewegung nötigen äußeren Momente, wenn z keine Hauptträgheitsachse ist. Ist z eine Hauptträgheitsachse (Jyz D Jxz D 0), so folgen .a/ .a/ .a/ MRx D 0, MRy D 0, MRz D dtd .!Jz / bzw. be(14.54) züglich des körperfesten Schwerpunkts mit JS D const

Z .r  /dm ˇ e z ˇˇ dD ˇ : z ˇ dm D ˇ dt ˇ 0

.a/

MRS D

X

.a/

Mi S D J S ˛ :

(14.57)

14

Arbeitssatz: Z W1;2 D

Z .a/ F R dr

C

.a/

M RS d' (14.55)     m 2 m 2 JS 2 JS 2 (Der Momentensatz gilt bezüglich eines raumfesD  C !2   C !1 2 S2 2 2 S1 2 ten Punkts oder des beliebig bewegten SchwerD E2  E1 punkts.) (14.58) Haben die äußeren Kräfte und Momente ein Potential, so gilt der Energiesatz U1 C E1 D U2 C E2 D const.

288

J. Villwock und A. Hanau

Impuls- und Drehimpulssatz: Zt2 .a/

p2  p 1 D

F R dt D m.S2  S1 / (14.59) t1

Abb. 14.12 Rollbewegung auf schiefer Ebene

Zt2 D2  D1 D

.a/

M RS dt D JS .!2  !1 / (14.60) t1

liefert mit !2 D S2 =r wiederum S2

D’Alembert’sches Prinzip. Die verlorenen Kräfte, d. h. die Summe aus eingeprägten Kräften und Trägheitskräften, halten sich am Gesamtkörper das Gleichgewicht. Mit dem Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Verrückungen gilt dann in Lagrange’scher Fassung 

 .e/   .e/ F R  maS •r S C M RS  JS ˛ •' D 0 : (14.61)

Beispiel

Rollbewegung auf schiefer Ebene (Abb. 14.12). Aus der Ruhelage soll ein zylindrischer Körper (r; m; JS ) von der Kraft F die schiefe Ebene (Neigungswinkel ˇ) hinaufgerollt werden ohne zu gleiten. Zu ermitteln sind seine Schwerpunktbeschleunigung sowie Zeit und Geschwindigkeit bei Erreichen der Lage 2 nach Zurücklegen des Wegs s2 . – Da der Schwerpunkt eine geradlinige Bewegung ausführt, fällt sein Beschleunigungsvektor in die Bewegungsrichtung. Schwerpunktsatz, Gl. (14.54), und Momentensatz, Gl. (14.57), liefern (14.12a) maS D F cos ˇ  FG sin ˇ  Fr und JS ˛ D Fr r, woraus mit ˛ D aS =r wegen des reinen Rollens aS D .F cos ˇ  FG sin ˇ/=.m C JS =r 2 /

D

q ı  2.F cos ˇ  FG sin ˇ/s2 m C JS =r 2 :

Impulssatz und Drehimpulssatz, (14.59) und (14.60), .F cos ˇ  FG sin ˇ  Fr /t2 D mS2

Gln. und

Fr rt2 D JS !2 ergeben ebenfalls  ı t2 D S2 m C JS =r 2 .F cos ˇ  FG sin ˇ/ D S2 =aS : Das d’Alembert’sche Prinzip in der Lagrange’schen Fassung nach Gl. (14.61) führt zu (Abb. 14.12b) .F cos ˇ  FG sin ˇ  maS / ıs C .0  JS ˛/ı' D 0 I mit ˛ D aS =r, •' D •s=r folgt

•s F cos ˇ  FG sin ˇ  maS  JS aS =r 2 D0; also wieder aS D F cos ˇ  FG sin ˇ  ı m C JS =r 2 : J

folgt. Mit den Gesetzen der gleichmäßig Ebene Starrkörpersysteme. Die Bewegung beschleunigten Bewegung aus der Ruhela- lässt sich auf verschiedene Weise berechnen: ge p (s. Abschn. 13.1.1) ergeben sich S2 D 2aS s2 und t2 D S2 =aS . Der Arbeitssatz,  Freimachen jedes Einzelkörpers und Ansatz Gl. (14.58), von Schwerpunktsatz, Gl. (14.54), und Momentensatz, Gl. (14.57), wenn z Hauptträg.F cos ˇ  FG sin ˇ/s2 D mS22 =2 C JS !22 =2 heitsachse ist,

14 Kinetik

289

 Anwenden des d’Alembert’schen Prinzips, Gl. (14.61), auf das aus n Körpern bestehende System X

.e/

wird •' .FG1  Fr1 /ra  m1 ra2 ˛2  J2 ˛2  FG3 ri sin ˇ  m3 ri2 ˛2  J3S .ri =r3 /2 ˛2



F Ri  mi ai S •r i S X  .e/  C M Ri  Ji S ˛i •'i D 0 ;

D0: (14.62)

 Anwenden der Lagrange’schen Bewegungsgleichungen Gln. (14.33)–(14.35).

Die Winkelbeschleunigung der Seilscheibe ist also .FG1  Fr1 /ra  FG3 ri sin ˇ ; m1 ra2 C J2 C m3 ri2 C J3S .ri =r3 /2

˛2 D

Beispiel

womit auch a1 D ra ˛2 , a3S D ri ˛2 und ˛3 D Beschleunigungen eines Starrkörpersystems ˛2 ri =r3 bestimmt sind. J (Abb. 14.13). Das System bewege sich in den angedeuteten Richtungen, wobei in der Führung von m1 die Reibkraft Fr1 wirkt und die 14.4.4 Allgemeine räumliche Walze eine reine Rollbewegung ausführt. – Bewegung Das d’Alembert’sche Prinzip in der Lagrange’schen Fassung, Gl. (14.62), liefert Bewegungsgleichungen sind mit dem Schwerpunktsatz und dem Drall- oder Momentensatz gegeben: .FG1  Fr1  m1 a1 / •z  J2 ˛2 •'  .FG3 sin ˇ C m3 a3S / •s  J3S ˛3 •

Mit

D0:

.a/

X

.a/

X

FR D

•

•s D ri •'

und

D •s=r3 D •'ri =r3

bzw. a1 D zR D ra 'R D ra ˛2 ; a3S D sR D ri 'R D ri ˛2 und ˛3 D R D sR =r3 D ˛2 ri =r3

(14.63)

(14.64)

(Erläuterungen s. Gln. (14.26) und (14.32)). Der Momentensatz gilt bezüglich eines raumfesten Punkts oder des beliebig bewegten Schwerpunkts. In kartesischen Koordinaten mit  gemäß Gl. (13.23) wird

.a/

MR

ˇ Z ˇˇe x d ˇ D ˇx ˇ dt ˇx D

Abb. 14.13 Starrkörpersystem

D maS

dD .a/ Mi D dt Z d .r  / dm D dt

MR D •z D ra •';

.a/

Fi

ey y y

ˇ e z ˇˇ ˇ z ˇ dm ˇ z ˇ

d Œ.!x Jx  !y Jxy  !z Jxz /e x dt C .!y Jy  !x Jxy  !z Jyz /e y

C .!z Jz  !x Jxz  !y Jyz /e z  : (14.65) Diese Gleichung bezieht sich auf ein raumfestes Koordinatensystem x, y, z (Abb. 14.14), dessen Koordinatenanfangspunkt auch im Schwerpunkt

14

290

J. Villwock und A. Hanau

Euler’schen Winkel ', , # erforderlich [1]. Die Lage des Schwerpunkts eines im Raum frei bewegten Körpers ist aus dem Schwerpunktsatz, Gl. (14.63), wie für einen Massenpunkt (s. Abschn. 14.2) berechenbar. Zt2 Drehimpulssatz: Abb. 14.14 Allgemeine räumliche Bewegung

liegen kann, d. h., die Größen Jx , Jxy usw. sind zeitabhängig, da sich die Lage des Körpers ändert. Wird nach Euler ein körperfestes, mitbewegtes Koordinatensystem , , eingeführt (der Einfachheit halber in Richtung der Hauptträgheitsachsen des Körpers) und der Winkelgeschwindigkeitsvektor in diesem Koordinatensystem in seine Komponenten ! D !1 e 1 C !2 e 2 C !3 e 3 zerlegt, so nimmt Gl. (14.65) die Form d Œ!1 J1 e 1 C !2 J2 e 2 C !3 J3 e 3  dt (14.66) an, wobei jetzt J 1 , J 2 , J 3 konstant und !1 J1 usw. die Komponenten des Drallvektors D im bewegten Koordinatensystem sind. Mit der Regel für die Ableitung eines Vektors im bewegten Koordinatensystem (s. Gl. (13.35)) wird dD=dt D dr D=dt C !  D, wobei dr D=dt die Ableitung des Vektors D relativ zum mitbewegten Koordinatensystem ist. Aus Gl. (14.66) folgt in Komponenten .a/

MR D

9 .a/ MR D Œ!P 1 J1 C !2 !3 .J3  J2 / ;> = .a/

MR D Œ!P 2 J2 C !1 !3 .J1  J3 / ; > ; .a/ MR D Œ!P 3 J3 C !1 !2 .J2  J1 / : (14.67) Das sind die Euler’schen Bewegungsgleichungen eines Körpers im Raum bezüglich der Hauptachsen mit einem raumfesten Punkt oder dem beliebig bewegten Schwerpunkt als Ursprung. Aus den drei gekoppelten Differentialgleichungen ergeben sich jedoch nur die Winkelgeschwindigkeiten !1 .t/, !2 .t/, !3 .t/ bezüglich des mitbewegten Koordinatensystems, nicht aber die Lage des Körpers gegenüber den raumfesten Richtungen x, y, z. Hierzu ist die Einführung der

Zt2 .a/ M R dt

t1

D

dD D D 2 D 1 t1

.a/

Für M R D 0 wird D 2 D D 1 , d. h., ohne Einwirkung äußerer Momente behält der Drallvektor seine Richtung im Raum bei. Energiesatz: Haben die einwirkenden Kräfte ein Potential, so gilt U1 C E1 D U2 C E2 D const.  Kinetische Energie E D mS2 =2 C J1 !12 C  J2 !22 C J3 !32 =2 Kreiselbewegung (Abb. 14.15). Hierunter versteht man die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. Es gelten die Euler’schen Bewegungsgleichungen, Gl. (14.67). Kräftefreier Kreisel. Sind alle Momente der äußeren Kräfte null, d. h. Lagerung im Schwerpunkt (Abb. 14.15a), und wirken sonst keine Kräfte und Momente, so ist die Bewegung kräftefrei; der Drallvektor behält seine Richtung und Größe im Raum bei. Dabei ergeben sich die möglichen Bewegungsformen des Kreisels aus J1 !P 1 D .J2  J3 /!2 !3 ; J2 !P 2 D .J3  J1 /!1 !3 ; J3 !P 3 D .J1  J2 /!1 !2 I also entweder !1 D const ;

!2 D !3 D 0 oder

!2 D const ;

!1 D !3 D 0 oder

!3 D const ;

!1 D !2 D 0 ;

d. h. jeweils Drehung um eine Hauptträgheitsachse (Bewegung stabil, falls Drehung um die Achse des größten oder kleinsten Trägheitsmoments).

14 Kinetik

291

Abb. 14.15 Kreisel. a Kräftefreier; b schwerer; c geführter

Für den symmetrischen Kreisel folgen mit ist die Winkelgeschwindigkeit der Präzession des J1 D J2 die Gleichungen, s. [2, 3], Kreisels. Wegen !P fällt der Drallvektor nicht genau in die Figurenachse, daher überlagert sich der !3 D const ; !R 1 C 2 !1 D 0 und Präzession noch die Nutation [2, 3]. !R 2 C 2 !2 D 0 mit den Lösungen !1 D c sin.t  ˛/

und !2 D c cos.t  ˛/ ;

wobei  D .J3 =J1  1/!3 . Mit !12 C !22 D c 2 D const folgt, dass der Winkelgeschwindigkeitsvektor ! D !1 e C !2 e  C !3 e (die momentane Drehachse) einen Kreiskegel im körperfesten System, den Gangpolkegel, beschreibt, der auf dem Rastpolkegel, dessen Achse der feste Drallvektor ist, abrollt (Abb. 14.15a). Die Figurenachse beschreibt dabei den Präzessionskegel (reguläre Präzession). Schwerer Kreisel. Hier sei speziell der schnell umlaufende symmetrische Kreisel unter Eigengewicht betrachtet (Abb. 14.15b). Beim schnellen Kreisel ist D !3 J3 e , d. h., Drallvektor und Figurenachse fallen näherungsweise zusammen. .a/ Aus dem Drallsatz folgt dD D M R dt D .r  F G / dt, d. h., der Kreisel trachtet, seine Figurenachse parallel und gleichsinnig zu dem auf ihn wirkenden Moment einzustellen (Satz von Poinsot). Nach Abb. 14.15b gilt M D FG r sin #, dD D D sin #  d'. Aus dD D M dt folgt !P D d'=dt D FG r=D FG r=.J3 !3 /. !P

Geführter Kreisel. Er ist ein umlaufender, in der Regel rotationssymmetrischer Körper, dem Führungskräfte eine Änderung des Drallvektors aufzwingen, wodurch das Moment der Kreiselwirkung und damit verbunden zum Teil erhebliche Auflagerkräfte entstehen (Kollergang, Schwenken von Radsätzen und Schiffswellen usw.). Für ein Fahrzeug in der Kurve liefert die Kreiselwirkung der Räder ein zusätzliches Kippmoment. Umgekehrt finden geführte Kreisel als Stabilisierungselemente für Schiffe, Einschienenbahnen usw. Verwendung. Beim horizontal schwimmend angeordneten Kreiselkompass wird die Drallachse durch die Erddrehung in NordSüd-Richtung gezwungen. Für den in (Abb. 14.15c) dargestellten und mit !F geführten Rotationskörper gilt

M .a/

ˇ ˇ e ˇ dD ˇ D D !F  D D ˇ 0 ˇ dt ˇ!1 J1

e 0 0

ˇ e ˇˇ ˇ !F ˇ ˇ !F J3 ˇ

D !F !1 J1 e  .k/

.k/

bzw. M .a/ D FA l D !F !1 J1 , d. h. FA D !F !1 J1 = l. Das Moment der Kreiselwirkung er.k/ zeugt in den Lagern die zu FA entgegengesetzten Auflagerdrücke.

14

292

J. Villwock und A. Hanau

14.5 Kinetik der Relativbewegung

14.6 Stoß

Bei einer geführten Relativbewegung gilt für die Beim Stoß zweier Körper gegeneinander werden Beschleunigung nach Abschn. 13.2 Gl. (13.36) in kurzer Zeit relativ große Kräfte wirksam, denen gegenüber andere Kräfte wie Gewichtskraft und damit für das Newton’sche Grundgesetz und Reibung vernachlässigbar sind. Die Nor.a/ F R D maF C mar C maC : (14.68) male der Berührungsflächen heißt Stoßnormale. Geht sie durch die Schwerpunkte beider Körper, so nennt man den Stoß zentrisch, sonst exzenFür einen auf dem Fahrzeug befindlichen Beobtrisch. Liegen die Geschwindigkeiten in Richtung achter ist nur die Relativbeschleunigung wahrder Stoßnormalen, so ist es ein gerader, sonst nehmbar ein schiefer Stoß. Über die während des Stoßes in der Berührungsfläche übertragene Kraft .a/ mar D F R  maF  maC und die Stoßdauer liegen nur wenige Ergebnis.a/ D FR CFF CFC ; (14.69) se vor [4, 5]. Der Stoßvorgang wird unterteilt in die Kompressionsperiode K, während der die d. h., den äußeren Kräften sind die Führungskraft Stoßkraft zunimmt, bis beide Körper die gemeinsame Geschwindigkeit u erreicht haben, und und die Corioliskraft hinzuzufügen. in die Restitutionsperiode R, in der die Stoßkraft abnimmt und die Körper ihre unterschiedBeispiel lichen Endgeschwindigkeiten c1 und c2 erreichen Bewegung in rotierendem Rohr (Abb. 14.16). (Abb. 14.17). Stoßimpulse oder Kraftstöße in der In einem Rohr, das um eine vertikale Achse Kompressionsperiode und in der Restitutionspemit ˛F .t/ und !F .t/ rotiert, wird mittels eines riode ergeben sich zu: Fadens die Masse m mit der RelativbeschleuZt2 Zt3 nigung ar .t/ und der Relativgeschwindigkeit pK D FK .t/dt; pR D FR .t/dt (14.70) r .t/ reibungsfrei nach innen gezogen. Für t1 t2 eine beliebige Lage r(t) sind die Fadenkraft sowie die Normalkraft zwischen Masse und Rohr zu bestimmen. – Mit aF D aFn C aFt pK und pR werden mittels der Newton’schen (aFn D r!F2 ; aFt D r˛F ) und aC D 2!F r Stoßhypothese zueinander in Beziehung gesetzt: erhält man an der freigemachten Masse nach pR D kpK ; (14.71) Gl. (14.68)   FS D m.ar C aFn / D m ar C r!F2

und

Fn D m.aC  aFt / D m.2!F r  r˛F / : J

Abb. 14.16 Relativbewegung

wobei k 5 1 die Stoßziffer ist. Vollelastischer Stoß: k D 1, teilelastischer Stoß: k < 1, unelastischer oder plastischer Stoß: k D 0. Mittlere Stoßkraft Fm D .pK C pR /=t.

Abb. 14.17 Kraftverlauf beim Stoß

14 Kinetik

293

14.6.1 Gerader zentraler Stoß

G Schubmodul,  Querdehnzahl. Ferner für p die Stoßdauer T D k2 = 5  mit k2 D 2=5  Mit 1 und 2 als Geschwindigkeiten beider Kör- 2;943 5 m1 m2 . 4c1 m1 Cm2 per vor dem Stoß (Abb. 14.17), u und c1 bzw. c2 wie erläutert, folgt aus den Gln. (14.70) und (14.71)

14.6.2

u D .m1 1 C m2 2 /=.m1 C m2 / ; m1 1 C m2 2  km2 .1  2 / c1 D ; m1 C m2 m1 1 C m2 2 C km1 .1  2 / c2 D ; m1 C m2 k D pR =pK D .c2  c1 /=.1  2 / : Energieverlust beim Stoß m1 m2 E D .1  2 /2 .1  k 2 / : 2.m1 C m2 / Sonderfälle: m1 D m2 ; k D 1W u D .1 C 2 /=2; c1 D 2 ; c2 D 1 I m1 D m2 ; k D 0W u D c1 D c2 D .1 C 2 /=2 I m2 ! 1; 2 D 0; k D 1W u D 0; c1 D 1 ; c2 D 0 I m2 ! 1; 2 D 0; k D 0W u D 0; c1 D 0; c2 D 0 :

Schiefer zentraler Stoß

Mit den Bezeichnungen nach Abb. 14.18a gelten die Gleichungen 1 sin ˛ D c1 sin ˛ 0 ;

2 sin ˇ D c2 sin ˇ 0 ;

c1 cos ˛ 0 D 1 cos ˛  Œ.1 cos ˛  2 cos ˇ/.1 C k/= .1 C m1 =m2 / ; 0

c2 cos ˇ D 2 cos ˇ  Œ.2 cos ˇ  1 cos ˛/.1 C k/= .1 C m2 =m1 / ; aus denen man ˛ 0 , ˇ 0 , c1 und c2 erhält. Beispiel

Stoß einer Kugel gegen eine Wand (Abb. 14.18b). – Mit 2 D c2 D 0 und m2 ! 1 folgt aus den vorstehenden Gleichungen c1 cos ˛ 0 D k1 cos ˛ ;  tan ˛ 0 D tan ˛ 00 D .tan ˛/=k

Ermittlung der Stoßziffer: Bei freiem Fall gegen unendlich große p Masse m2 gilt k D .c2  c1 /=.1  2 / D h2 = h1 ; h1 Fallhöhe vor dem Stoß, h2 Steighöhe nach dem Stoß. k abhängig von Auftreffgeschwindigkeit, bei  2;8 m=s für Elfenbein k D 8=9, Stahl k D 5=9, Glas k D 15=16, Holz k D 1=2.

14

Stoßkraft und Stoßdauer. Für den rein elastischen Stoß zweier Kugeln mit den Radien r1 und r2 hat Hertz [4] max F D k1 v 6=5 abgeleitet, wobei  die relative Geschwindigkeit und 2=5 k1 D Œ1;25  m1 m2 =.m1 C m2 /3=5 c1 ist, mit p c1 D .16=3/=Œ 1=r1 C 1=r2 .#1 C #2 / I # D .2=G/.1  / ;

Abb. 14.18 Stoß. a Schiefer zentraler Stoß; b Reflexionsgesetz; c exzentrischer Stoß; d Drehstoß

294

J. Villwock und A. Hanau

lr oder rSr geben die Lage des Stoßmittelpunkts an, der beim Stoß kraftfrei bleibt bzw. um den c1 D k1 cos ˛= cos ˛ 0 sich (Momentanzentrum) ein freier angestoßep 2 2 ner Körper dreht. lr ist gleichzeitig die reduzierte D 1 cos ˛ k C tan ˛ : Pendellänge bei Ersatz durch ein mathematisches 0 00 Für k D 1 wird ˛ D    ˛ bzw. ˛ D Fadenpendel. ˛ und c1 D 1 , d. h. Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel (Reflexionsgesetz) bei gleich14.6.4 Drehstoß bleibender Geschwindigkeit. J sowie

Für zwei rotierende zusammenstoßende Körper (Abb. 14.18d) setzt man m1 D J1 = l12 , m2 D J2 = l22 , 1 D !1 l1 , 2 D !2 l2 usw. und Stößt eine Masse m1 gegen einen pendelnd führt damit das Problem auf den geraden zenaufgehängten Körper (Abb. 14.18c) mit dem tralen Stoß zurück. Dann gelten die Formeln in Trägheitsmoment J 0 um den Drehpunkt 0, so Abschn. 14.6.1. gelten alle Formeln für den geraden zentralen Stoß, wenn dort m2 durch die reduzierte Masse m2red D J0 = l 2 ersetzt wird. Ferner gelten Literatur die kinematischen Beziehungen 2 D !2 l usw. Für den Kraftstoß auf den Aufhängepunkt gilt Spezielle Literatur 1. Sommerfeld, A.: Mechanik, Bd. I, 8. Aufl. Akad. Ver(wenn !2 D 0) lagsges. Geest u. Portig, Leipzig (1994), Nachdruck

14.6.3 Exzentrischer Stoß

p0 D .1 C k/m1 1 .J0  m2 lrS /=.J0 C m1 l 2 / : Dieser Impuls wird null für l D lr D J0 =.m2 rS / bzw. rS D rSr D JS =.m2 b/ :

der 8. Aufl. (1978) 2. Klein, I., Sommerfeld, A.: Theorie des Kreisels (4 Bde.). Teubner, Leipzig (1897–1910) 3. Grammel, R.: Der Kreisel (2 Bde.), 2. Aufl. Springer, Berlin (1950) 4. Hertz, H.: Über die Berührung fester elastischer Körper. J. f. reine u. angew. Math. 92 (1881) 5. Berger, F.: Das Gesetz des Kraftverlaufs beim Stoß. Vieweg, Braunschweig (1924)

Schwingungslehre

15

Joachim Villwock und Andreas Hanau

15.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad Sie ergibt sich auch aus dem Energiesatz U C E D const bzw. aus Beispiele hierfür sind das Feder-Masse-System, d m i d h c das physikalische Pendel, ein durch Bindungen .U C E/ D mg.h  sN / C sN 2 C sPN 2 dt dt 2 2 auf einen Freiheitsgrad reduziertes StarrkörperD 0 ; system (Abb. 15.1). Zunächst werden nur lineare Systeme untersucht; bei ihnen sind die Differentialgleichungen selbst und die Koeffizienten linear. d. h. mg sPN C c sN sPN C msPN sRN D 0, also Voraussetzung dafür ist eine lineare FederkennlisRN C .c=m/Ns D g : (15.1) nie Fc D cs (Abb. 15.2b). Die Lösung ist sN .t/ D C1 cos !1 t C C2 sin !1 t C mg=c. Die partikuläre Lösung mg=c entspricht 15.1.1 Freie ungedämpfte der statischen Auslenkung sNst D FG =c; die Schwingungen Schwingung findet also um die statische RuheFeder-Masse-System (Abb. 15.1a). Aus dem lage statt: dynamischen Grundgesetz folgt mit der Auslenkung sN aus der Nulllage und der Federrate c die s.t/ D sN .t/  sNst .t/ D C1 cos !1 t C C2 sin !1 t Differentialgleichung D A sin.!1 t C ˇ/ : (15.2) FG  c sN D msRN bzw. Dabei ist die Amplitude der Schwingung A D q 2 2 2 2 sNR C !1 sN D g mit !1 D c=m : C1 C C2 und die Phasenverschiebung ˇ D

J. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

arctan.C1 =C2 /. C1 und C2 bzw. A und ˇ sind aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen; z. B. s.t D 0/ D s1 und sP .t D 0/ D 0 liefern C2 D 0 und C1 D s1 bzw. A D s1 und ˇ D  =2. Die Schwingung ist eine harmonische Bewegung mit der Eigen- bzw. Kreisfrequenz (Anzahl p der Schwingungen in 2  Sekunden) !1 D c=m .mit c D Federrate; m D Einzelmasse/ bzw. der Hertz’schen Frequenz 1 D !1 =2  und der Schwingungsdauer T D 1=1 D 2 =!1 (Abb. 15.2c).

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_15

295

296

Abb. 15.1 Schwinger mit einem Freiheitsgrad. a FederMasse-System; b physikalisches Pendel; c Starrkörpersystem; d schwingende Wassersäule; e einseitig eingespann-

J. Villwock und A. Hanau

ter, f gelenkig gelagerter und g beidseitig eingespannter Balken mit Einzelmasse; h Drehschwinger

Abb. 15.3 Federn. a, b Parallelschaltung; c Reihenschaltung

Schaltungen von (Abb. 15.3a,b): Abb. 15.2 Harmonische Schwingung. a Schwinger; b Federkennlinie; c Weg-Zeit-Funktion

Federn. Parallelschaltung

c D c1 C c2 C c3 C : : : D

X

ci ;

(15.3)

Reihenoder Hintereinanderschaltung Größtwerte: Geschwindigkeit  D A!1 , Be- (Abb. 15.3c): schleunigung a D A!12 , Federkraft Fc D cA. X 1=ci : (15.4) 1=c D 1=c1 C 1=c2 C : : : D Für die Eigenkreisfrequenz gilt mit der statischen Auslenkung p sNst D FG =c, d. h. c D mg=Nsst , auch !1 D g=Nsst (mit Fg D Gewichtskraft, Berücksichtigung der Federmasse. Unter der g D Erdbeschleunigung). Annahme, dass die Verschiebungen denen bei statischer Auslenkung gleich sind, d. h. u.x/ D Bestimmung der Federrate. Jedes elastische .s= l/x (Abb. 15.2a), folgt mit dm D .mF = l/dx System stellt eine Feder dar. Die Federrate ist durch Gleichsetzen der kinetischen Energien c D F=f , wenn f die Auslenkung der MasZ Zl se infolge der Kraft F ist. Für die Federn nach 3 2 2 Abb. 15.1e–g ist c D F=.F l =3EIy / D .x 2 = l 3 /mF dx .1=2/ uP dm D .1=2/Ps 3 3 3 3EIy = l , c D 48EIy = l und c D 192EIy = l xD0 (mit c D Federrate, l D Balkenlänge, D .Ps 2 =2/.mF =3/ D mF sP 2 =2 Iy D Flächenmoment 2. Ordnung, E D also  D 1=3; d. h., ein Drittel der Federmasse Elastizitätsmodul) (s. Tab. 20.4, Tab. 20.5). ist der schwingenden Masse m zuzuschlagen. Für die Federn nach Abb. 15.1e und f ist  D 33=140 und  D 17=35.

15 Schwingungslehre

297

Pendelschwingung. Für das physikalische Pendel (Abb. 15.1b) liefert das dynamische Grundgesetz der Drehbewegung bezüglich des Nullpunkts J0 'R D FG rS sin '

ϕ(t)

bzw.

A

'R C .mgrS =J0 / sin ' D 0 :

R

B

r

D

x 1 (t)

Für kleine Ausschläge ist sin ' ', d. h. 'R C !12 ' D 0 mit !12 D g= lr und lr D J0 =.mrS / (lr reduzierte Pendellänge). Für das mathematische Fadenpendel mit der Masse m am Ende wird rS D l, J0 D ml 2 und !12 D g= l.

c F1 E m2

m1 x 2 (t)

cF2

Drehschwingung. Für die Scheibe gemäß Abb. 15.4 Starrkörpersystem Abb. 15.1h liefert Kap. 14 Gl. (14.45) JS 'R D D .GIt = l/' bzw. 'R C !12 ' D 0 mit Mt p !1 D GIt =.lJS /. Hierbei ist It das Torsionsflä- und chenmoment des Torsionsstabs. Die Drehträgheit 1 2 1 2 1 2 2 2 der Torsionsfeder wird mit einem Zuschlag von EN max D '  C ' m1 r C ' m2 fr C Rg 2 2 2 JF =3 zu JS der Scheibe berücksichtigt. s 4cF 1 r 2 C cF 2 fr C Rg2 _ ! D Starrkörpersysteme (z. B. Abb. 15.1c, 15.4).  C m1 r 2 C m2 fr C Rg2 E C U D mPs 2 =2 C JS 'P 2 =2 C cs 2 =2 C mg.h  s/ D const ;

15.1.2

Freie gedämpfte Schwingungen

d.E C U /=dt D mPs sR C JS 'P 'R C cs sP  mg sP Dämpfung durch konstante Reibungskraft (Coulomb’sche Reibkraft). Für das FederHieraus ergibt sich mit ' D s=r, 'P D sP =r und Masse-System gilt 'R D sR =r sR C !12 s D Fr =m : ı  sR C !12 s D mg m C JS =r 2 ; (Minus bei Hingang und Plus bei Rückgang.) Die Lösung für den ersten Rückgang mit den Anı  wobei !12 D c m C JS =r 2 ist. fangsbedingungen s.t0 D 0/ D s0 ; sP .t0 D 0/ D Für das skizzierte System starrer Körper ist die 0 lautet s.t/ D .s  F =c/ cos ! t C F =c. Ers0 r 1 r _ Dreheigenkreisfrequenz ! mit der folgenden Be- te Umkehr für !1 t1 D   an der Stelle s1 D ziehung zu ermitteln: (s. Formel (15.24), dort für .s0  2Fr =c/, entsprechend folgen s2 D C.s0  schwingende Kontinua) 4Fr =c/ und jsn j D s0  n  2Fr =c. Die Schwingung bleibt erhalten, solange cjsn j = Fr ist, d. h. Umax _2 für n 5 .cs0  Fr /=.2Fr /. Die Schwingungs'P 2 D ! D EN max amplituden nehmen linear mit der Zeit ab, also An  An1 D 2Fr =c D const; die Amplituden Mit den kinematischen Beziehungen x1 D r', bilden eine arithmetische Reihe. P x2 D fr C Rg ', xP 2 D .r C R/ 'P und xP 1 D r ', den „nichtdehnbaren“ Seilen wird: Geschwindigkeitsproportionale Dämpfung. In Schwingungsdämpfern (Gas- oder Flüssig1 1 Umax D 4' 2 cF 1 r 2 C ' 2 cF 2 fr C Rg2 keitsdämpfern) tritt eine Reibungskraft Fr D 2 2 D0:

15

298

J. Villwock und A. Hanau

kv D k sP auf. Für das Feder-Masse-System gilt Berührungspunkte bei tn0 D Œ.2n C 1/ =2  (Abb. 15.5a) ˇ=, tn0  tn D const D Œarctan.ı=/= :

sR C .k=m/Ps C .c=m/s D 0 bzw. sR C 2ı sP C !12 s D 0

(15.5) Verhältnis der Amplituden

jsn1 j=jsn j D const D e ı = D e ıT =2 D q : k Dämpfungskonstante, ı D k=.2m/ Abklingkonstante. Lösung für schwache Dämpfung, also für Logarithmisches Dekrement # D ln q D ıT =2 2 D !12 ı 2 > 0: s.t/ D Ae ıt sin.t Cˇ/, d. h. liefert ı D 2=T bzw. k D 2mı aus Messung der eine Schwingung mit gemäß e ıt abklingender Schwingungsdauer. Bei starker Dämpfung, also 2 D ı 2  !12 = Amplitude und der Eigenkreisfrequenz des geq 0, stellt sich eine aperiodische Bewegung ein mit dämpften Systems  D !12  ı 2 (Abb. 15.5b). den Lösungen Die Eigenkreisfrequenz wird mit zunehmender Dämpfung kleiner, die Schwingungsdauer T D s.t/ D e ıt .C1 e t C C2 e t / für 2 > 0 und 2 = entsprechend größer. s.t/ D e ıt .C1 C C2 t/ für 2 D 0 : Nullstellen von s(t) bei t D .n   ˇ/=, Extremwerte bei tn D Œarctan.=ı/ C n   Gemäß den jeweiligen Anfangsbedingungen (s0 , ˇ=, 0 ) ergeben sich unterschiedliche Bewegungsabläufe (Abb. 15.5c).

15.1.3

Ungedämpfte erzwungene Schwingungen

Erzwungene Schwingungen haben ihre Ursache in kinematischer Fremderregung (z. B. Bewegung des Aufhängepunkts) oder dynamischer Fremderregung (Unwuchtkräfte an der Masse). Bei kinematischer Erregung (z. B. nach Abb. 15.6a) gilt mRs C c.s  r sin !t/ D 0 ; sR C

!12 s

D

bei dynamischer Abb. 15.6b)

!12 r

d: h:

sin !t ;

Erregung

(15.6) (z. B.

.m C 2m1/Rs C cs D 2m1 e! 2 sin !t; sR C

!12 s

nach

d: h:

D ! R sin !t ; 2

(15.7) D c=.m C 2m1 /; R D 2m1 e=.m C 2m1 /. mit Die beiden Gleichungen unterscheiden sich nur durch den Faktor auf der rechten Seite. Für beliebige periodische Erregungen f (t) gilt !12

Abb. 15.5 Gedämpfte freie Schwingung. a Schwinger; b schwache und c starke Dämpfung; d Verhältnis Eigenkreisfrequenz gedämpft zu ungedämpft

sR C !12 s D f .t/ ;

(15.8)

15 Schwingungslehre

299

Für die Anfangsbedingungen s.t D 0/ D 0 und sP .t D 0/ D 0 ergibt sich ı  s.t/ D b !12  ! 2 Œsin !t  .!=!1 / sin !1 t ; d. h. die Überlagerung der harmonischen Eigenschwingung mit der harmonischen Erregerschwingung. Für ! !1 stellt der Verlauf von s(t) eine Schwebung (Abb. 15.6c) dar. Diese Lösung versagt im Resonanzfall ! D !1 . Sie lautet dann s.t/ D A sin.!t C ˇ/  .b=!/t cos !t bzw. für s.t D 0/ D 0 und sP .t D 0/ D 0 s.t/ D .b=! 2 /.sin !t  !t cos !t/ I

Abb. 15.6 Erzwungene Schwingung. a Kinematische und b dynamische Erregung; c Schwebung; d Resonanzverhalten; e Einschwingvorgang

d. h., die Ausschläge gehen im Resonanzfall mit der Zeit gegen unendlich (Abb. 15.6d). Wirkt die Erregerfunktion gemäß Gl. (15.9), so tritt auch Resonanz ein für !1 D 2!; 3! : : :

wobei f (t) durch eine Fourierreihe (harmonische Entwicklung) darstellbar ist: 15.1.4 X f .t/ D .aj cos j!t C bj sin j!t/; ! D 2 =T ; mit den Fourierkoeffizienten ZT aj D .2=T /

(15.9) Bei geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung und harmonischer Erregung (s. Abschn. 15.1.3) gilt

f .t/ cos j!t dt ; 0

f .t/ sin j!t dt : 0

Ist sj .t/ eine Lösung der Differentialgleichung sRj C !12 sj D aj cos j!t P C bj sin j!t, so ist die Gesamtlösung s.t/ D sj .t/. Die Untersuchung des Grundfalls sR C !12 s D b sin !t zeigt, dass sich die Lösung aus einem homogenen und einem partikulären Anteil zusammensetzt, s.t/ D sh .t/ C sp .t/

sR C 2ı sP C !12 s D b sin !t

ı  D A sin.!1 t C ˇ/ C b !12  ! 2 sin !t :

bzw.

ıt

sin.t C ˇ/ C C sin.!t  / : (15.10) Der erste Teil, die gedämpfte Eigenschwingung, klingt mit der Zeit ab (Einschwingvorgang). Danach hat die erzwungene Schwingung dieselbe Frequenz wie die Erregung (Abb. 15.6e). Faktor C und Phasenverschiebung im zweiten Teil (erregte Schwingung bzw. partikuläre Lösung) ergeben sich nach Einsetzen in die Differentialgleichung und Koeffizientenvergleich zu s.t/ D Ae

ZT bj D .2=T /

Gedämpfte erzwungene Schwingungen

q  2 2 !1  ! 2 C 4ı 2 ! 2  ı D arctan 2ı! !12  ! 2 :

C D b=

und (15.11)

15

300

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 15.7 Gedämpfte erzwungene Schwingung. a Vergrößerungsfaktor bei kinematischer und b dynamischer Erregung; c Phasenwinkel

Mit b D !12 r bei kinematischer und b D ! 2 R eigenschaft der Lager vernachlässigt wirdp[1, 2]). bei dynamischer Erregung ergeben sich die Ver- Für die Biegeeigenfrequenz gilt !1 D c=m1 (bei Vernachlässigung der Wellenmasse) mit c D größerungsfaktoren (Abb. 15.7a,b) 2 2 3EI y l=.a b / (s. Abschn. 15.1.1 und Tab. 20.4). q ı 2 2 ı 2 2  Ist e die Exzentrizität der Scheibe und w1 die und Vk D 1= 1  ! 2 !1 C 2ı! !1 elastische Verformung infolge der Fliehkräfte, Vd D Vk .!=!1 /2 : so folgt aus dem Gleichgewicht zwischen elastischer Rückstell- und Fliehkraft Aus dVk =d! D 0 folgt für die Resonanzstel  cw1 D m1 ! 2 .e C w1 / ; len q ! bei kinematischer Erregung ! =!1 D

.!=!1 /2 1  2ı 2 =!12 bzw. bei dynamischer Erregung w1 D e : (15.12) q 1  .!=!1 /2 !  =!1 D 1= 1  2ı 2 =!12 . Die Resonanzpunkte liegen also bei kinematischer Erregung im Für ! D !1 folgt w1 ! 1, also Resonanz unterkritischen, bei dynamischer Erregung im (Abb. 15.8b). Dagegen stellt sich für !=!1 ! 1 überkritischen Bereich (Abb. 15.7a,b). q Die Reso-

nanzamplitude ist C  D .b=2ı/= !12  ı 2 . Für den Phasenwinkel nach Gl. (15.11) gilt für beide Erregungsarten Abb. 15.7c. Für ! < !1 ist <  =2, für ! > !1 ist >  =2. Ohne Reibung (ı D 0) sind für ! < !1 Erregung und Ausschlag in Phase, für ! > !1 sind sie entgegengesetzt gerichtet.

15.1.5 Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle Kritische Drehzahl und (Hertz’sche) Biegeeigenfrequenz sind identisch (wenn die Kreiselwirkung bei nicht in der Mitte der Stützweite sitAbb. 15.8 Kritische Drehzahl. a Einfach besetzte Welle; zender Scheibe (Abb. 15.8a) und die Federungs- b Resonanzbild

15 Schwingungslehre

301

der Wert w1 D e ein, d. h., die Welle zentriert sich oberhalb !1 selbst, der Schwerpunkt liegt für ! ! 1 genau auf der Verbindungslinie der Auflager. Für e D 0 folgt aus Gl. (15.12) 2 w p1 .c  m1 ! / D 0, d. h. w1 ¤ 0 für ! D c=m1 D !1 , also kritische Drehzahl n D !=.2 / D !1 =.2 / D 1 . Für andere Lagerungsarten ist ein entsprechendes c einzusetzen (s. Abschn. 15.1.1). Die Dämpfung ist in der Regel für umlaufende Wellen sehr gering und hat kaum Einfluss auf die kritische Drehzahl.

15.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen) In Abb. 15.9a–c sind zwei Zwei-Massensysteme mit zwei Freiheitsgraden dargestellt, die elastisch usw. verbunden bzw. gekoppelt sind. Ein System mit n Freiheitsgraden hat n Eigenfrequenzen. Die Herleitung der n gekoppelten Differentialgleichungen erfolgt bei mehreren Freiheitsgraden Abb. 15.9 Koppelschwingungen. a Grundsystem, b analoges System; c Resonanzkurven bei zwei Freiheitsgraden zweckmäßig mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen (s. Abschn. 14.3.6). Dieses lineare homogene Gleichungssystem für A und B hat nur dann von null verschiedene Lösungen, wenn die Nennerdeterminante verschwindet, 15.2.1 Freie Schwingungen mit zwei d. h. und mehr Freiheitsgraden   m1 m2 ! 4  .m1 c2 C m2 c/! 2 C cc2  c22 D 0 Für ein ungedämpftes System nach Abb. 15.9a wird. Die beiden Lösungen !1 und !2 dieser chagilt rakteristischen Gleichung sind die Eigenkreisfrem1 sR1 D c1 s1 C c2 .s2  s1 / ; quenzen des Systems. Da die Differentialgleichungen linear sind, gilt das Superpositionsgem2 sR2 D c2 .s2  s1 / bzw. setz, und die Gesamtlösung lautet m sR C .c C c /s  c s D 0 ; 1 1

1

2

1

2 2

m2 sR2 C c2 s2  c2 s1 D 0 I

(15.13)

s1 D A1 sin.!1 t C ˇ1 / C A2 sin.!2 t C ˇ2 / ;

s2 D B1 sin.!1 t C ˇ1 / C B2 sin.!2 t C ˇ2 / : s1 ; s2 Auslenkungen aus der statischen Ruhelage. (15.16a,b) Der Lösungsansatz (s. Abschn. 15.1.1) Nach Gl. (15.15a) gilt A1 =B1 D c2 .c  m1 !12 / D s1 D A sin.!t C ˇ/ und 1=1 bzw. A2 =B2 D c2 =.c  m1 !22 / D 1=2 und s2 D B sin.!t C ˇ/ (15.14) damit aus Gl. (15.16b) liefert mit c D c1 C c2   A m1 ! 2  c C Bc2 D 0 und   Ac2 C B m2 ! 2  c2 D 0 :

s2 D 1 A1 sin.!1 t C ˇ1 / C 2 A2 sin.!2 t C ˇ2 / : (15.16c) Die Gln. (15.16a) und (15.16c) enthalten vier (15.15a,b) Konstanten A1 , A2 , ˇ1 , ˇ2 zur Anpassung an die

15

302

J. Villwock und A. Hanau

vier Anfangsbedingungen. Der Schwingungsvor- mit dem Ansatz gang ist nur dann periodisch, wenn !1 und !2 in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen. s1 D C1 sin.!t  1 /; Wenn !1 !2 ist, treten Schwebungen auf. s2 D C2 sin.!t  2 / (15.18) Bei mehr als zwei Freiheitsgraden ist für jeden ein Ansatz gemäß Gl. (15.14) zu machen. Aus der gleich Null gesetzten Koeffizientendetermi- durch Einsetzen in Gl. (15.17) und Koeffizientennante ergibt sich eine charakteristische Gleichung vergleich 1 D 0, 2 D 0 sowie mit c1 C c2 D c n-ten Grads, aus der die n Eigenkreisfrequenzen   C1 m1 ! 2  c C C2 c2 D b1 ; folgen.   Für die gedämpfte Schwingung lauten die Dif(15.19) C1 c2 C C2 m2 ! 2  c2 D 0 : ferentialgleichungen bei zwei Freiheitsgraden für das System nach Abb. 15.9a Hieraus C1 D Z1 =N und C2 D Z2 =N , wobei die Nennerdeterminante N D m1 m2 ! 4  m1 sR1 C k1 sP1 C .c1 C c2 /s1  c2 s2 D 0 ; .m1 c2 C m2 c/! 2 C .cc2  c22 / mit der in der m2 sR2 C k2 sP2 C c2 s2  c2 s1 D 0 : charakteristischen Gleichung in Abschn. 15.2.1 übereinstimmt. Resonanz tritt auf, wenn N D 0 N t und s2 D Be N t er- wird, d. h. für Eigenkreisfrequenzen !1 und !2 Mit dem Ansatz s1 D Ae gibt sich wieder eine Gleichung vierten Grads mit des freien Schwingers. Die Zählerdeterminanten paarweise konjugiert komplexen Wurzeln 1 D sind Z1 D b1 .c2  m2 ! 2 /, Z2 D b1 c2 . Für kine%1 C i!1 usw. und damit die endgültige Lösung matische Erregung (b1 D !12 r) sind in Abb. 15.9c die Amplituden C1 undpC2 als Funktion von ! c2 =m2 wird C1 D 0 dargestellt. Für ! D s1 .t/ D e %1 t A1 sin.!1 t C ˇ1 / %2 t relativ klein, d. h., die Masse m1 ist in und C 2 Ce A2 sin.!2 t C ˇ2 / ; wirkt als Schwingungstilger). Ruhe (Masse m 2 s2 .t/ D e %1 t B1 sin.!1 t C ˇ1 / Bei n Massen treten Resonanzen bei den n EiC e %2 t B2 sin.!2 t C ˇ2 / : genfrequenzen auf. Dabei müssen die Ausschläge nicht immer gegen unendlich gehen, einige könZwischen A1 und B1 bzw. A2 und B2 besteht nen auch endlich bleiben (Scheinresonanz [1]). wieder ein linearer Zusammenhang analog zur Für die gedämpfte erzwungene Schwingung ungedämpften Schwingung. nimmt z. B. die Gl. (15.17) die Form m1 sR1 C k sP1 C cs1  c2 s2 D b1 sin !t ;

15.2.2

Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden

Für ein ungedämpftes System nach Abb. 15.9a mit kinematischer oder dynamischer Erregung b1 sin !t der Masse m1 gilt m1 sR1 C .c1 C c2 /s1  c2 s2 D b1 sin !t ; m2 sR2 C c2 s2  c2 s1 D 0 : (15.17) Da der homogene Lösungsanteil infolge der stets vorhandenen schwachen Dämpfung während des Einschwingvorgangs abklingt, genügt die Betrachtung der partikulären Lösung. Hierfür folgen

m2 sR2 C k2 sP2 C c2 s2  c2 s1 D 0 (15.20) an (c D c1 C c2 ). Ohne den Einschwingvorgang, d. h. den homogenen Lösungsteil, und mit dem erzwungenen (partikulären) Teil der Lösung nach Gl. (15.18) folgen nach Einsetzen in Gl. (15.20) und Koeffizientenvergleich die Werte für die Amplituden C1 , C2 und die Phasenwinkel 1 , 2 . Resonanz ist vorhanden, wenn C1  C2 D Extr:, d. h. !1 und !2 folgen aus d.C1  C2 /=dt D 0. Bei einem System von n Massen wird der Rechenaufwand sehr groß. Daher begnügt man sich bei schwacher Dämpfung mit der Ermittlung der Eigenfrequenzen für das ungedämpfte System.

15 Schwingungslehre

15.2.3 Eigenfrequenzen ungedämpfter Systeme

303

Näherungswerte mit dem Rayleigh’schen Quotienten. Aus Umax D Emax D ! 2 EN max folgt der Rayleigh’sche Quotient

Biegeschwingungen und kritische Drehzah(15.24) R D ! 2 D Umax =EN max : len mehrfach besetzter Wellen. Hertz’sche Frequenzen der Biegeeigenschwingungen und Z kritische Drehzahlen (ohne Kreiselwirkung) Umax D .1=2/ M 2 .x/ dx=.EIy / ; b sind identisch. Mit si D wi sin !t folgt Z X unter Berücksichtigung der Trägheitskräfte EN D .1=2/ w 2 .x/ dm C .1=2/ mi wi2 : max mi sRi D mi ! 2 wi sin !t für die Biegeschwingung (Abb. 15.9b) w(x) und Mb .x/ D EIy w 00 .x/ sind Biegelinie und Biegemomentenlinie bei Schwingung. Für s1 D ˛11 m1 sR1  ˛12 m2 sR2 ; die wirkliche Biegelinie (Eigenfunktion) wird R s2 D ˛21 m1 sR1  ˛22 m2 sR2 (15.21) zum Minimum. Für eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (z. B. Biegelibzw. nie und Biegemomentenlinie infolge Eigengewichts) ergeben sich gute Näherungen für R1 w1 D ˛11 m1 ! 2 w1 C ˛12 m2 ! 2 w2 ; bzw. !1 (erste Eigenkreisfrequenz). Der Nähew2 D ˛21 m1 ! 2 w1 C ˛22 m2 ! 2 w2 : (15.22) rungswert ist stets größer als der wirkliche Wert. Durch einen Ritzschen Ansatz mehrerer FunktioP Gleichung (15.22) entsteht auch für die umlau- nen w.x/ D ck k .x/ folgen aus 2 fende Welle mit den Zentrifugalkräften mi ! wi . Die ˛ik sind Einflusszahlen; sie sind gleich der I D Umax  ! 2 EN max Z Durchbiegung wi infolge einer Kraft Fk D 1. D .1=2/ ŒEIy w 002 .x/  ! 2 w 2 .x/%Adx Ihre Berechnung erfolgt zweckmäßig mit dem X Prinzip der virtuellen Verrückungen für elastiR  .1=2/! 2 mi wi2 sche Körper aus ˛i k D Mi Mk dx=EIy oder nach dem Mohr’schen Verfahren oder andeD Extr: ; ren Methoden (Tabellenwerte, Integration usw.; s. Abschn. 20.4.8). Es gilt ˛i k D ˛ki (Satz von d. h. @I =@cj D 0 (j D 1; 2; : : : ; n), n homoMaxwell). Aus Gl. (15.22) folgt gene lineare Gleichungen und durch Nullsetzen der Determinante eine Gleichung n-ten Grades   w1 ˛11 m1  1=! 2 C w2 ˛12 m2 D 0 ; für die n Eigenkreisfrequenzen als Näherung.   2 Möglich ist auch, die Eigenfunktion für jeden höw1 ˛21 m1 C w2 ˛22 m2  1=! D 0 : (15.23) heren Eigenwert für sich zu schätzen, ihn aus Sie haben nur nichttriviale Lösungen, wenn die Gl. (15.24) direkt zu ermitteln und gegebenenDeterminante null wird, d. h. (mit 1=! 2 D ˝), falls schrittweise zu verbessern [1–3]. wenn Drehschwingungen der mehrfach besetzten ˝ 2  .m1 ˛11 C m2 ˛22 /˝ Welle. Verfügbar sind ähnliche Verfahren wie bei Biegeschwingungen (s. Abschn. 46.7). C .˛11 ˛22  ˛12 ˛21 /m1 m2 D 0 ist. Hieraus folgen zwei Lösungen ˝1;2 bzw. !1;2 für die Eigenkreisfrequenzen. Für das Verhältnis der Amplituden ergibt sich aus Gl. (15.23) w2 =w1 D .1=! 2  ˛11 m1 /=.˛12 m2 /. Für die n-fach besetzte Welle erhält man analog n Eigenfrequenzen aus einer Gleichung n-ten Grades.

15.2.4

Schwingungen der Kontinua

Ein massebehaftetes Kontinuum hat unendlich viele Eigenkreisfrequenzen. Als Bewegungsgleichungen erhält man aus den dynami-

15

304

J. Villwock und A. Hanau

schen Grundgesetzen partielle Differentialgleichungen. Die Befriedigung der Randbedingungen liefert transzendente Eigenwertgleichungen. Für Näherungslösungen geht man vom Rayleigh’schen Quotienten und vom Ritzschen Verfahren (Abschn. 15.2.3) aus. Biegeschwingungen von Stäben. Die Diffe2 rentialgleichung lautet %A @@tw2 D p.x; t/  h i 2 @2 EIy @@xw2 bzw. für freie Schwingung und @x 2 konstanten Querschnitt @2 w=@t 2 D c 2 @4 w=@x 4 ; c 2 D EIy =.%A/ :

(15.25)

7;855 usw. Für die Stäbe nach Abb. 15.10b–d ergeben sich die ersten drei Eigenwerte zu 1 D  ; 3;927; 4;730; 2 D 2 ; 7;069; 7;853; 3 D 3 ; 10;210; 10;996. Für Stäbe mit zusätzlichen Einzelmassen z. B. nach Abb. 15.11 mit Einzelmasse in der Balkenmitte ist die Lösung Gl. (15.26) für jeden Abschnitt anzusetzen. Nach Erfüllen der Übergangsbedingungen usw. erhält man die Frequenzgleichung. Da der Aufwand groß ist, wird die Näherung mit dem Rayleigh’schen Quotienten und dem Ritz’schen Verfahren (s. Abschn. 15.2.3 und folgendes Beispiel) verwendet. Formel (15.24) nach ! 2 aufgelöst, ergibt ! 2 D Umax . Unter Berücksichtigung der Symmetrie zu EN max

Der Produktansatz von Bernoulli w.x; t/ D X.x/T .t/

xD

l 2

folgt:

EN max

1 D 2A 2

0

eingesetzt in Gl. (15.25) liefert

   1 l 2 C mE f x D 2 2

X TR D c 2 X .4/ T bzw. TR =T D c 2 X .4/ =X D ! 2 ; d. h. TR C ! 2 T D 0 und X .4/  .! 2 =c 2 /X D 0. Mit 4 D .! 2 =c 2 /l 4 lautet die Lösung w.x; t/ D A sin.!t C ˇ/ŒC1 cos.x= l/ C C2 sin.x= l/ C C3 cosh.x= l/ C C4 sinh.x= l/ :

Zl=2 Œf .x/2 dx

Umax

1 D 2EIy 2

Zl=2

2 f 00 .x/ x.

0

h    3 i 2 F l3 3 xl  4 xl Ansatz: w .x/ D 48EIy (s. Tab. 20.5, Belastungsfall 6) Damit lautet die Ansatzfunktion für den Rayleighquotienten:

(15.26)    x 3  Für den Stab nach Abb. 15.10a lauten die Randx 2 4 f .x/ D 3 bedingungen X.0/ D 0, X 0 .0/ D 0, X 00 .l/ D 0, l l 000 X .l/ D 0. Damit folgt aus Gl. (15.26) die Eigenwertgleichung cosh  cos  D 1 mit den Dann ergibt sich die erste Biegeeigenkreisfrer Eigenwerten 1 D 1;875; 2 D 4;694; 3 D EIy  13 m192Cm mit mB D quenz zu: ! D l3 35

B

E

Balkenmasse, mE DEinzelmasse. Würde man die Masse des Balkens mB D Al konzentriert an l/2

l/2 ρ, A

x

Abb. 15.10 Biegeschwingung von Stäben. a Einseitig eingespannt; b gelenkig gelagert; c gelenkig gelagert und eingespannt; d beidseitig eingespannt

z

mE

Abb. 15.11 Balken als Kontinuum mit Einzelmasse mE

15 Schwingungslehre

305

der Stelle x D l=2 anbringen und den Balken nur wenn f (x) eine die Randbedingungen erfüllende als Feder ausführen, ergäbe sich für die Biegeei- Vergleichsfunktion ist (s. auch Abschn. 15.2.3). genkreisfrequenz: Torsionsschwingungen von Stäben. Hier gilt s r EIy cz 192   !D  D @2 ' @' @ l 3 mB C mE mB C mE J 2 D GIt @t @x @x Hinweis: Die Wahl der Ansatzfunktion ist beliebig, gefordert werden nur die geometrischen bzw. für It D const Randbedingungen. Zum Beispiel gilt mit dem @2 '=@t 2 D c 2 @2 '=@x 2 ; Ansatz für den Fall mE D 0: (15.29) c 2 D .GIt /=.J = l/ :   

2 x 1 W f .x/ D cos l Lösung und Eigenwerte wie bei Längsschwins gungen. Bei zusätzlich mit Drehmassen besetzten EIy .2/4 Stäben gelten entsprechende Bemerkungen wie  : !D l3 3mB bei Biegeschwingungen. Der Rayleigh’sche Quo-

2 Längsschwingungen von Stäben. Die Diffe- tient ist R D ! D Umax =EN max mit @2 u @ @u Z rentialgleichung lautet %A @t 2 D @x EA @x bzw. für A D const Umax D .1=2/ GIt f 02 .x/ dx ; Z @2 u=@t 2 D c 2 @2 u=@x 2 ; N E D .1=2/ .J = l/f 2 .x/ dx : (15.27) c 2 D .EA/=.% A/ D E=% ;

mit der Lösung u.x; t/ D A sin.!t C ˇ/ŒC1 cos.!x=c/ C C2 sin.!x=c/ :

Schwingungen von Saiten (straff gespannte Seile). Hier gilt @2 w=@t 2 D c 2 @2 w=@x 2 ;

c 2 D S= (15.30)

(15.28) (S Spannkraft,  Masse pro Längeneinheit). LöNach Erfüllen der Randbedingungen ergeben sung von Gl. (15.30) s. Gl. (15.28). Eigenfresich folgende Eigenkreisfrequenzen: quenzen !k D k c= l (k D 1; 2; : : :), l Sai2 tenlänge. Rayleigh’scher Quotient R Stab an einem Ende fest, am anderen frei: R D02 ! D Umax =EN max mit URmax D .1=2/S f .x/ dx, !k D .k  1=2/ c= l .k D 1; 2; : : :/ I EN max D .1=2/ f 2 .x/dx. f (x) ist eine die Stab an beiden Enden fest: Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (s. auch Abschn. 15.2.3). !k D k c= l .k D 1; 2; : : :/ I Stab an beiden Enden frei: !k D k c= l

.k D 1; 2; : : :/ :

Schwingungen von Membranen. Für Rechteckmembran gilt

die

Bei zusätzlich mit Einzelmassen besetztem Stab S.@2 w=@x 2 C @2 w=@y 2 / D @2 w=@t 2 (15.31) gelten die für Biegeschwingungen gemachten Bemerkungen entsprechend. Der Rayleigh’sche (S Spannkraft je Längeneinheit,  Masse je FläQuotient ist cheneinheit) mit der Lösung 2 N R D ! D Umax =Emax mit Z w.x; y; t/ Umax D .1=2/ EAf 02 .x/ dx; D A sin.!t C ˇ/ŒC1 cos x C C2 sin x Z  ŒD1 cos y C D2 sin y : EN D .1=2/ %Af 2 .x/ dx ; (15.32)

15

306

J. Villwock und A. Hanau

Mit a und b als Seitenlängen gilt für Eigenwer- N D Eh3 =Œ12.1   2 / für die Rechteckplatte te j D j  =a, k D k =b (j; k D 1; 2; : : :). Eigenkreisfrequenzen: @2 w N D  w p @t 2 %h   !j k D   .S=/Œj 2=a2 C k 2 =b 2  @4 w @4 w N @4 w C2 2 2 C D : .j; k D 1;2; : : :/ : %h @x 4 @x @y @y 4 (15.35) Rayleigh’scher Quotient: R D ! 2 D Umax =EN max Mit a und b als Seitenlängen gilt für die gelenkig mit gelagerte Platte " # “  2  2 @f @f w.x; y; t/ D A sin.!t C ˇ/ sin.j  x=a/ Umax D .S=2/ C dx dy ; @x @y  sin.k y=b/ : “ (15.36) 2 f .x; y/dx dy : EN max D .=2/ Eigenwerte: f (x, y) ist eine die Randbedingungen erfüllende Vergleichsfunktion (s. auch Abschn. 15.2.3). Für die Kreismembran gilt in Polarkoordinaten mit c 2 D S= @2 w D c2 @t 2



@2 w 1 @w 1 @2 w C C @r 2 r @r r 2 @' 2

 (15.33)

p !j k D .j 2 =a2 C k 2 =b 2 / 2 N=.%h/ .j; k D 1; 2; : : :/ : Rayleigh’scher Quotient: R D ! 2 D Umax =EN max mit Umax

mit der Lösung

D .N=2/

w.r; '; t/ D A sin.!t C ˇ/  .C cos n' C D sin n'/  Jn .!r=c/

.n D 0; 1; 2; : : :/ : (15.34) Jn .!r=c/ sind Bessel’sche Funktionen erster Art [4]. (Für rotationssymmetrische Schwingungen ist n D 0.) Eigenwerte !nj D .c=a/xnj (a Radius der Membran, xnj Nullstellen der Bessel’schen Funktionen): x01 D 2;405; x02 D 5;520; x11 D 3;832; x12 D 7;016; x21 D 5;135 usw. Rayleigh’scher Quotient: R D ! 2 D Umax =EN max . Für rotationssymmetrische Schwingungen ist Z  Umax D .S=2/ EN max D .=2/

Z

df dr

“ "

2 2 r dr

und

f 2 .r/2 r dr :

Biegeschwingungen von Platten. Die Differentialgleichung lautet mit der Plattensteifigkeit

 2.1  / und EN max D .%h=2/

2 @2 f @2 f C @x 2 @y 2  2 2 !# @2 f @2 f @ f  dx dy 2 2 @x @y @x@y

“ f 2 .x; y/ dx dy :

f (x, y) ist eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (s. Abschn. 15.2.3). Für die Kreisplatte ist bei rotationssymmetrischer Schwingung w D w.r; t/ D f .r/ sin.!t C ˇ/ und somit nach Gl. (15.35) .! 2 %h=N /f .r/ D 4 f .r/ D f .r/, d. h. f  4 f D 0 bzw. . C 2 /.  2 /Œf  D 0. Hieraus folgen die Differentialgleichungen f C 2 f D 0 und f  2 f D 0 bzw : (15.37) d2 f =dr 2 C .1=r/ df =dr C 2 f D 0 und d2 f =dr 2 C .1=r/ df =dr  2 f D 0 :

15 Schwingungslehre

307

Superponierte Lösungen der Bessel’schen Diffe- 15.3.1 rentialgln. (15.37) sind

Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder Rückstellkraft

f .r/ D C1 J0 .r/ C C2 N0 .r/

(15.38) Es gilt mRs D F .s/ (Abb. 15.12a), näherungsweise F .s/ D cs.1 C "s 2 / (N 0 Neumann’sche Funktion, I 0 und K 0 modifizierte Bessel’sche Funktionen [8]). (" > 0 überlineare, " < 0 unterlineare KennliFür die gelenkig gelagerte Platte mit Radius a nie). folgt aus Gl. (15.38) die Eigenwertgleichung C C3 I0 .r/ C C4 K0 .r/

  I1 .a/ J0 .a/ I0 .a/  .1  / a   J1 .a/ C I0 .a/ J0 .a/  .1  / D0 a (15.39) mit den Lösungen 1 a D 2;221; 2 a D 5;452; 3 a p D 8;611 für ( D 0;3). Hieraus ! D 2 N=.%h/. Für die eingespannte Kreisplatte folgt aus Gl. (15.38) die Eigenwertgleichung J0 .a/I1 .a/ C I0 .a/J1 .a/ D 0 mit den 2 a D 6;306; Lösungen 1 a D 3;190; p 2 3 a D 9;425. Hieraus ! D  N=.%h/. Rayleigh’scher Quotient R D ! 2 D Umax =EN max . Für rotationssymmetrische Schwingung ist Z "

sR C !12 s.1 C "s 2 / D 0 bzw. sR C !12 s C !12 "s 3 D 0 :

(15.40)

Multiplikation mit sP liefert sP sR C !12 sPs C !12 "Ps s 3 D 0 und hieraus nach Integration mit den Anfangsbedingungen s.t D 0/ D s0 , sP .t D 0/ D 0 und Trennen der Variablen   sP 2 C !12 .s 2 C " s 4 =2/ D 02 C !12 s02 C " s04 =2 D C2 ; Zs t.s/ D

2

df 1 df C dr 2 r dr  1 df d2 f 2.1  / 2 r dr r dr dr 2 Z D .%h=2/ f 2 .r/2 r dr :

Umax D .N=2/

EN max

2

Freie ungedämpfte Schwingungen. Die Differentialgleichung lautet

(15.41) q ds= C 2  !12 s 2  !12 "s 4 =2 :

s0

und

15.3 Nichtlineare Schwingungen Schwingungsprobleme dieser Art führen auf nichtlineare Differentialgleichungen. Nichtlineare Schwingungen entstehen z. B. durch nichtlineare Federkennlinien oder Rückstellkräfte (physikalisches Pendel mit großen Ausschlägen) oder durch nicht nur vom Ausschlag, sondern auch von der Zeit abhängige Rückstellkräfte (z. B. Pendel mit bewegtem Aufhängepunkt).

(15.42) Das Integral ergibt nach Umformung [5, 6] ein elliptisches Integral 1. Gattung [7]. Schwingungsdauer und Frequenz werden abhängig vom Größtausschlag. Für kleine Ausschläge ergibt sich durch schrittweise Näherung [1] für die Freq

!12 .1 C 0;75"A2 /; A Amplitude quenz ! D des Schwingungsausschlags. Das physikalische Pendel lässt sich mit der reduzierten Pendellänge l D J0 =.mrS / (s. Abschn. 14.6.3) auf ein mathematisches mit 'R C .g= l/ sin ' D 0 zurückführen. Die Lösung führt wieder auf ein elliptisches Integral 1. p Gattung mit der Schwingungsdauer T D l=gF . =2; / für das hin- und herschwingende Pendel . 2 D !12 l=.4g/ < 1/. Für kleinere Ausschläge p ergibt sich die Näherungslösung [1] T D 2  l=g.1 C A2 =16/.

15

308

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 15.12 Nichtlineare Schwingungen. a Federkennlinien; b Resonanzdiagramme; c Strutt’sche Karte (schraffierte Lösungsgebiete sind stabil)

Erzwungene Schwingungen. Die Differential- Œ C ˚.t/s D 0. Diese Gleichung heißt gleichung lautet Hill’sche Differentialgleichung, wenn ˚(t) periodisch ist [8]. Eine Sonderform dieser GleisR C2ı sP C!12 .1C"s 2 /s D a0 cos.!t Cˇ/ (15.43) chung ist die Mathieu’sche Differentialgleifür geschwindigkeitsproportionale Dämpfung chung [1, 5, 8] und periodische Erregerkraft. Mit s D A cos !t folgt aus Gl. (15.43) nach Koeffizientenvergleich 2

 2 !1  ! 2 C 0;75!12 "A2 C 4ı 2 ! 2 A2 D a02 : (15.44) Abb. 15.12b zeigt Amplituden als Funktion der Erregerfrequenz ! (Resonanzkurven) für " > 0 und " < 0. In bestimmten Bereichen gibt es mehrdeutige Lösungen. Der mittlere gestrichelte Ast ist nicht stabil und wird nicht durchlaufen. Je nachdem, ob ! größer oder kleiner wird, tritt in den Punkten P, Q, R, S ein Sprung in der Amplitude (Kippung) ein [5].

sR C .  2h cos 2t/s D 0 :

(Sie gilt z. B. für Pendelschwingungen mit periodisch bewegtem Aufhängepunkt oder für Biegeschwingungen eines Stabs unter pulsierender Axiallast.) Lösungen mit Mathieu’schen Funktionen usw. s. [8]. s(t) zeigt als Funktion von  und h Gebiete stabilen und instabilen Verhaltens, d. h., ob Ausschläge kleiner oder größer werden. Stabile und instabile Gebiete wurden von Strutt ermittelt und in der nach ihm benannten Strutt’schen Karte dargestellt (Abb. 15.12c).

15.3.2 Schwingungen mit periodischen Literatur Koeffizienten (rheolineare Spezielle Literatur Schwingungen) Hier ist die Rückstellkraft nicht nur vom Ausschlag abhängig, sondern auch von einem veränderlichen Koeffizienten c D c.t/ (z. B. Pendel mit bewegter Aufhängung, Lokomotivstangenschwingung [1]). Für die ungedämpfte Schwingung gilt mRs C Œc  f .t/s D 0 bzw. sR C

(15.45)

1. Söchting, F.: Berechnung mechanischer Schwingungen. Springer, Wien (1951) 2. Biezeno, Grammel: Technische Dynamik, Bd. II, 2. Aufl. Springer, Berlin (1953) 3. Collatz, L.: Eigenwertaufgaben. Leipzig: Akad. Verlagsges. Geest u. Portig (1963) 4. Hayashi, K.: Tafeln für die Differenzenrechnung sowie für die Hyperbel-, Bessel’schen, elliptischen und anderen Funktionen. Springer, Berlin (1933)

15 Schwingungslehre

309

5. Magnus, K.; Popp, K.; Sextro, W.: Schwingungen, 8. Aufl. Teubner, Stuttgart (2008) 6. Klotter, K.: Technische Schwingungslehre, Bd. 1, Teil B, 3. Aufl. Springer, Berlin (1980) 7. Jahnke, E.; Emde, F., Lösch, F.: Tafeln höherer Funktionen, 7. Aufl. Teubner, Stuttgart (1984) 8. Rothe, Szabó: Höhere Mathematik, Teil VI, 2. Aufl. Teubner, Stuttgart (1958)

15

Hydrostatik (Statik der Flüssigkeiten)

16

Joachim Villwock und Andreas Hanau

Flüssigkeiten und Gase unterscheiden sich im Wesentlichen durch ihre geringe bzw. starke Kompressibilität. Sie haben viele gemeinsame Eigenschaften und werden einheitlich als Fluide bezeichnet. Sie sind leicht verschieblich und nehmen jede äußere Form ohne wesentlichen Widerstand an; meist können sie als homogenes Kontinuum angesehen werden.

105 N=cm2 , für Quecksilber 2;9  106 N=cm2 (dagegen für Stahl 2;1  107 N=cm2 ). Für die meisten Probleme können Flüssigkeiten als inkompressibel angesehen werden. Gase sind kompressibel, d. h., die Dichte ändert sich gemäß % D p=.RT / (s. Abschn. 40.1.1).

xy D .@x =@y C @y =@x/

Druckverteilung in der Flüssigkeit. Wegen des Gleichgewichts für ein Element (Abb. 16.1a) gilt

Kapillarität und Oberflächenspannung. Flüssigkeiten steigen oder sinken in Kapillaren als Druck. p D dF=dA ist in ruhenden Flüs- Folge der Molekularkräfte zwischen Flüssigkeit sigkeiten richtungsunabhängig, d. h. eine skalare und Wand bzw. zwischen Flüssigkeit und Luft. Ortsfunktion, da aus dem Newton’schen Schub- Molekularkräfte erzeugen Oberflächenspannunspannungsansatz gen  .

für x D y D 0 sich xy D 0 und entsprechend xz D yz D 0 ergibt. Damit folgt aus den p dA C % g dA dz  .p C dp/ dA D 0 ; Gleichgewichtsbedingungen px D py D pz D dp=dz D % g p.x; y; z/. An den Begrenzungsflächen steht p wegen  D 0 senkrecht zur Fläche. bzw. nach Integration Dichte. % D dm=dV . Flüssigkeiten sind geringfügig kompressibel; es gilt dV =V D dp=E bzw. % D %0 =.1  p=E/. Elastizitätsmodul E bei 0: für Wasser 2;1  105 N=cm2 , für Benzol 1;2  J. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

d: h:

p D p.x; y; z/ D % gz C C : Mit p.z D 0/ D p0 folgt p D p.z/ D p0 C % g z ;

(16.1)

d. h., der Druck hängt linear von der Tiefe z ab und ist von x und y unabhängig. Für % g D 0, d. h. ohne Berücksichtigung des Gewichts, folgt aus Gl. (16.1) p.x; y; z/ D p0 , d. h., der Pressdruck p0 pflanzt sich nach allen Orten hin gleich groß fort (Gesetz von Pascal).

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_16

311

312

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 16.1 Hydrostatischer Druck. a Verteilung; b auf geneigte und c auf vertikale Wände

Druck auf ebene Wände. Für einen Behälter mit Überdruck pü (Abb. 16.1b) berechnet man zunächst die Ersatzspiegelhöhe hü D pü =.% g/. Von ihr werden die Koordinaten z und  gezählt .z D  sin ˇ/. Die resultierende Druckkraft Z F D

% gz dA D % gAzS

(16.2)

greift im Druckmittelpunkt M an. Die Lage des Druckmittelpunkts ist gegeben durch eyN D IxN =.AS /;

exN D IxN yN =.AS / I

(16.3)

Beispiel

Behälter mit Ablassklappe. Gegeben: pü D 0;5 bar; H D 2 m, ˇ D 60ı . Zu berechnen ist die Größe und Lage der resultierenden Druckkraft auf eine kreisförmige Klappe vom Durchmesser d D 500 mm. – Mit hü D pü =.% g/ 0;5  105 N=m2 1000 kg=m3  9;81 m=s2 D 5;097 m

D

wird zS D H C hü D 7;097 m, nach Gl. (16.2) F D % g. d 2 =4/zS D 13;67 kN und gemäß Gl. (16.3) eyN D . d 4 =64/=Œ. d 2 =4/zS = sin ˇ D 1;9 mm. J

IxN axiales Flächenmoment 2. Ordnung, IxN yN zentrifugales oder gemischtes Flächenmoment 2. Ordnung, xN und yN Achsen durch den Flächenschwerpunkt. Für symmetrische Flächen ist Druck auf gekrümmte Wände (Abb. 16.2a). IxN yN D 0. Für Fälle nach Abb. 16.1c gilt mit Die Kraftkomponenten sind ˇ D 90ı Z Fx D % g z dAx D % gzSx Ax ; Z  Wand: Fy D % g z dAy D % gzSy Ay ; 3 2 Z Z IxN D bh =12; F D % gbh =2; eyN D h=6 I Fz D % g z dAz D % g dV D % gV :  Rechteckklappe: IxN D bh3 =12; F D % gbhzS ; eyN D h2 =.12zS / I  Kreisklappe: IxN D  d 4 =64; F D % gzS  d 2 =4; eyN D d 2 =.16zS / :

(16.4) Hierbei sind Ax und Ay die Projektionsflächen der gekrümmten Fläche auf die y, z- bzw. x, z-Ebene. Fz ist die Gewichtskraft, die im Volumenschwerpunkt angreift. Die drei Kräfte gehen bei beliebigen Flächen nicht durch einen Punkt. Bei Kugel- oder Zylinderflächen genügt die Projektion auf die y, z-Ebene. Fx und Fz liegen dann in einerpEbene und haben die Resultierende FR D Fx2 C Fz2 (Abb. 16.2b). Gemäß

16 Hydrostatik (Statik der Flüssigkeiten)

313

Abb. 16.3 a Auftrieb; b Schwimmstabilität Abb. 16.2 Druck auf gekrümmte Wände. a Allgemein; b Zylinder- und Kugelflächen

Diese Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Sie greift im Volumenschwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit an (und Gl. (16.4) ist die horizontale Druckkraft auf eine nicht im Körperschwerpunkt; bei homogenen gekrümmte Fläche in beliebiger Richtung so groß Körpern fallen beide Schwerpunkte zusammen). wie auf eine senkrecht zur Kraftrichtung stehende projizierte ebene Fläche. Der Angriffspunkt Stabilität schwimmender Körper (Abb. 16.3b). der Druckkräfte ergibt sich gemäß Gl. (16.3) zu Ein eingetauchter Körper schwimmt, wenn FG D exN und eyN , wenn xN und yN die Achsen durch FA ist. Er schwimmt stabil, wenn das Metazenden Schwerpunkt der jeweiligen Projektionsflätrum M über dem Körperschwerpunkt SK liegt, che sind. Bei Kugel- und Kreiszylinderflächen labil, wenn es darunter liegt, und indifferent, geht die Resultierende FR stets durch den Krümwenn beide zusammenfallen. Hierbei bezeichnet mungsmittelpunkt. das Metazentrum den Schnittpunkt der Auftriebsvektoren, die zu zwei benachbarten Winkellagen Auftrieb (Abb. 16.3a). Für einen ganz (oder gehören. Für die metazentrische Höhe gilt teilweise) eingetauchten Körper wirkt auf ein oben liegendes Flächenelement die Kraft dF D hM D .Ix =V /  e : po dAx e x C po dAy e y C po dAz e z . Da sich die Komponenten dFx und dFy am geschlossenen Körper das Gleichgewicht halten, d. h. Fx D Ix ist das Flächenmoment 2. Ordnung der 0 und Fy D 0 ist, bleibt nur eine Kraft in Schwimmfläche (Wasserlinienquerschnitt) um die Längsachse, V das verdrängte Volumen z-Richtung: und e der Abstand zwischen Körper- und VoZ Z lumenschwerpunkt. Bei schwebenden Körpern FA D Fz D dFz D .pu  po /dAz (U-Boot) ist Ix D 0 und hM D e. Wird e negaZ tiv, d. h., liegt der Körperschwerpunkt unter dem D % g.zu  zo /dAz D % gV : Volumenschwerpunkt, so folgt hM > 0, und der (16.5) schwebende Körper schwimmt stabil.

16

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

17

Joachim Villwock und Andreas Hanau

Aufgabe der Strömungslehre ist die Untersuchung der Größen Geschwindigkeit, Druck und Dichte eines Fluids als Funktion der Ortskoordinaten x, y, z bzw. bei eindimensionalen Problemen (z. B. Rohrströmungen) als Funktion der Bogenlänge s. Bei vielen Strömungsvorgängen ist die Kompression auch bei gasförmigen Fluiden vernachlässigbar (z. B., wenn Körper von Luft normaler Temperatur und weniger als 0,5facher Schallgeschwindigkeit umströmt werden). Dann gelten auch dafür die Gesetze inkompressibler Medien (Strömungen mit Änderung des Volumens s. Abschn. 41.2).

Abb. 17.1 Schubspannung in einer Flüssigkeit

keit vor (z. B. Wasser, Luft und Öl). Hierbei ist  die absolute oder dynamische Zähigkeit. Nicht-Newton’sche Flüssigkeiten mit nichtlinearem Fließgesetz sind z. B. Suspensionen, Pasten Ideale und nichtideale Flüssigkeit. Eine idea- und thixotrope Flüssigkeiten mit zeitabhängingen le Flüssigkeit ist inkompressibel und reibungs- Fließeigenschaften. frei, d. h., es treten keine Schubspannungen auf .xy D 0/. Der Druck an einem Element ist Stationäre und nichtstationäre Strömung. Bei nach allen Richtungen gleich groß (s. Kap. 16). stationärer Strömung hängen die Größen GeBei nichtidealer oder zäher Flüssigkeit treten vom schwindigkeit , Druck p und Dichte % nur von Geschwindigkeitsgefälle abhängige Schubspan- den Ortskoordinaten ab, d. h., es ist  D (x, y, nungen auf, und die Drücke px , py , pz sind z) usw. Bei instationärer Strömung ändert sich die unterschiedlich. Hängen die Schubspannungen li- Strömung an einem Ort auch mit der Zeit, d. h., es near vom Geschwindigkeitsgefälle senkrecht zur ist  D (x, y, z, t) usw. Strömungsrichtung ab (Abb. 17.1), gilt also  D .d=dz/, so liegt eine Newton’sche Flüssig- Stromlinie, Stromröhre, Stromfaden. Die J. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

Stromlinie ist die Linie, die in einem bestimmten Augenblick an jeder Stelle von den Geschwindigkeitsvektoren tangiert wird (Abb. 17.2); es gilt x W y W z D dx W dy W dz. Bei stationären Strömungen ist die Stromlinie eine ortsfeste Raumkurve; sie ist außerdem mit der Bahnkurve des einzelnen Teilchens identisch. Bei instationären Strömungen ändern die Strom-

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_17

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316

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 17.2 Stromröhre und Stromfaden

linien ihre Lage im Raum mit der Zeit; sie sind nicht mit den Bahnkurven der Teilchen identisch. Ein Bündel von Stromlinien, das von einer geschlossenen Kurve umschlungen wird, heißt Stromröhre (Abb. 17.2). Teile der Stromröhre mit Querschnitt dA, über die p und  als konstant anzusehen sind, bilden einen Stromfaden. Bei Rohrströmungen idealer Flüssigkeiten sind p und  über den Gesamtquerschnitt A näherungsweise konstant, d. h., der gesamte Rohrinhalt bildet einen Stromfaden.

Abb. 17.3 Stromfaden. a Element; b Bernoulli’sche Höhen

bzw. bei Vernachlässigung des Eigengewichts @p=@n D % 2 =r. Der Druck nimmt also von der konkaven zur konvexen Seite des Stromfadens zu.

17.1 Eindimensionale Strömungen idealer Flüssigkeiten

Bernoulli’sche Gleichung für den Stromfaden. Aus Gl. (17.1) längs des Stromfadens folgt für die Euler’sche Gleichung für den Stromfaden. instationäre Strömung Für ein Element dm längs der in Abb. 17.3a Z skizzierten Stromlinie lautet die Euler’sche Be- % 2 =2Cp C%gz C% @ ds D const (17.2a) @t wegungsgleichung (in Tangentialrichtung) d @ @ ds @z 1 @p bzw. D C D g  dt @t @s dt @s % @s ds %12 =2 C p1 C % gz1 bzw. mit D W dt Zs2   @ 2 @ p @ D %2 =2 C p2 C % gz2 C % ds :  2 C C gz C D0: @t @s % @t s1 (17.1) (17.2b) Für den stationären Fall (@=@t D 0) gilt Im Fall stationärer Strömung ist @=@t D 0. Für die Normalenrichtung gilt %12 =2 C p1 C % gz1 D %22 =2 C p2 C % gz2 at D

an D

2 1 @p @z D g r % @n @n

oder @p 2 @z D % %g @n r @n

D const. (17.3) Danach bleibt die Gesamtenergie, bestehend aus kinetischer, Druck- und potentieller Energie, für die Masseneinheit längs des Stromfadens bzw. der Stromlinie erhalten. Aus Gl. (17.3) ergibt sich

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

317

nach Division durch % g 12 =.2g/ C p1 =.% g/ C z1 D 22 =.2g/ C p2 =.% g/ C z2 D const D H ; (17.4) d. h., die gesamte Energiehöhe H, bestehend aus Geschwindigkeits-, Druck- und Ortshöhe, bleibt konstant (Bernoulli’sche Gleichung; Abb. 17.3b). Abb. 17.4 Staudruck. a Staupunkt; b Pitotrohr für Flüs-

Kontinuitätsgleichung. Für einen Stromfaden sigkeiten und c Gase muss die durch jeden Querschnitt strömende Masse pro Zeiteinheit (Massenstrom) konstant Pitotrohr. Zur Messung der Strömungsgesein: schwindigkeit in offenen Gerinnen eignet sich dm P D % dA D %1 1 dA1 D %2 2 dA2 D const. das Pitotrohr (Abb. 17.4b). Für Punkt 1 gilt (17.5) gemäß Gl. (16.1) p1 D pL C %gz1 . Für die 2 Bei inkompressiblen Medien .% D const/ muss Stromlinie 1–2 gilt p1 C %1 =2 D p2 , also p2 D 2 pL C % gz1 C %1 =2. Der hydrostatische Druck der Volumenstrom konstant sein: im Pitotrohr ist p2 D pL C p%g.z1 C h/ und so ist dVP D  dA D 1 dA1 D 2 dA2 D const. %12 =2 D %gh oder 1 D 2gh. Die Steighöhe h (17.6) ist ein Maß für die Strömungsgeschwindigkeit. Bei Stromröhren mit über dem Querschnitt A Für die Messung der Luftgeschwindigkeit ist konstanter mittlerer Geschwindigkeit  folgt aus die Anordnung auf Abb. 17.4c geeignet. Ist %M Gln. (17.5) und (17.6) die Dichte der Manometerflüssigkeit, so gilt 2 für Punkt p 2 pdyn D %1 =2 D %M gh, also m P D %A D const bzw. VP D A D const. 1 D 2.%M =%/gh. Venturirohr. Es dient zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit in Rohrleitungen (Abb. 17.5). Die Bernoulli’sche Gl. (17.7) zwischen den Stellen 1 und 2 lautet %12 =2 C p1 D 2 Staudruck. Beim Auftreffen einer Strömung %2 =2 C p2 und die Kontinuitätsgleichung auf ein festes Hindernis entsteht der Staudruck 1 A1 D 2 A2 . Hieraus ergibt sich (Abb. 17.4a). Die Bernoulli’sche Gl. (17.3) hat 

ı  p D p2  p1 D %12 2 .A1 =A2 /2  1 ohne Höhenglied die Form

17.1.1 Anwendungen der Bernoulli’schen Gleichung für den stationären Fall

%12 =2 C p1 D %22 =2 C p2 :

(17.7) bzw. mit p D .%M  %/gh

Hieraus folgt mit 2 D 0 p2 D p1 C %12 =2. In einem Staupunkt setzt sich der Druck zusammen aus dem statischen Druck pst D p1 und dem (dynamischen) Staudruck pdyn D %12 =2.

1 D

q ı

2gh.%M =%  1/ .A1 =A2 /2  1 :

Abb. 17.5 Venturirohr

Beispiel

Staudruck bei Wind gegen eine Wand. – Bei der Windgeschwindigkeit  D 100 km=h D 27;8 m=s ergibt sich mit %Luft D 1;2 kg=m3 der Staudruck pdyn D % 2 =2 D 464 N=m2 . J

17

318

J. Villwock und A. Hanau

In Wirklichkeit ist zwischen den Stellen 1 und 17.2 2 noch der Druckverlust infolge Reibung zu berücksichtigen (s. Abschn. 17.2).

Eindimensionale Strömungen zäher Newton’scher Flüssigkeiten (Rohrhydraulik)

Bei laminarer Strömung bewegen sich die Teilchen in parallelen Bahnen (Schichten), bei turbulenter Strömung überlagern sich der Hauptströmung zusätzliche Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung (Wirbelbewegung). Untersucht wird der Ausfluss aus einem Behälter Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung bei abnehmender Spiegelhöhe unter Vernachläs- tritt ein, wenn die Reynolds’sche Zahl Re D sigung der Reibung (Abb. 17.6). Lösung: Aus den d=v den kritischen Wert erreicht (z. B. Rek D Gln. (17.2a), (17.2b) und (17.6) folgt 2320 für Rohre mit Kreisquerschnitt). Bei laminarer Strömung gilt für die Schubv Z u 1 s2 @ u spannung zwischen den Teilchen der Newds u z t g s1 @t ton’sche Ansatz : 1 D 2g .A1 =A2 /2  1  D .d=dz/ (17.8)

17.1.2

Anwendung der Bernoulli’schen Gleichung für den instationären Fall

Mit 1 D dz=dt, A1 =A2 D ˛ und Vernachlässigung des Integrals (klein im Vergleich zu p z) folgt aus Gl. (17.2b) 1 D dz=dt D 2gz=.˛ 2  1/ und hieraus nach Integration t D p 2  2.˛ p  1/z=g C C . Für z.t D 0/ D H wird C D 2.˛ 2  1/H=g und somit p  p 2.˛ 2  1/H=g oder t D 1  z=H n o2 p z D H 1  t g=Œ2H.˛ 2  1/ : Hieraus folgen für z D 0 die Ausflusszeit p T D 2.˛ 2  1/H=g ; die Geschwindigkeit n o p 1 D dz=dt D 1  t g=Œ2H.˛ 2  1/ p  2gH=.˛ 2  1/

(Abb. 17.1). Hierbei ist  die dynamische Zähigkeit oder Viskosität. Sie ist temperaturabhängig, bei Gasen auch druckabhängig (was jedoch vernachlässigbar ist, solange nicht größere Dichteänderungen auftreten). Bei turbulenter Strömung gilt nach Prandtl und v. Kármán [1, 11, 12] angenähert der Schubspannungsansatz  D  d=dz C %l 2 .d=dz/2 . l ist dabei die freie Weglänge eines Teilchens. Infolge der Schubspannungen treten Druckverluste (Energieverluste) längs des Stromfadens auf. Kinematische Zähigkeit. Sie ist  D =%. Für Wasser von 20ı C ist  D 103 Ns=m2 und  D 106 m2 =s (weitere Werte s. Tab. 44.2 und Abb. 33.6 und 33.7).

Bernoulli’sche Gleichung mit Verlustglied. und die Ausflussgeschwindigkeit 2 D 1 A1 =A2 . Findet zwischen zwei Punkten 1 und 2 keiDie Geschwindigkeiten nehmen linear mit der ne Energiezufuhr oder -abfuhr statt (z. B. durch Pumpe oder Turbine), so lautet die Bernoulli’sche Zeit ab. Gleichung Abb. 17.6 Instationärer Ausfluss

%12 =2 C p1 C % gz1 Zs2 D

%22 =2 C

p2 C % gz2 C pV C %

@ ds : @t

s1

(17.9)

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

Für den stationären Fall ist @=@ t D 0, und das letzte Glied entfällt. Hierbei ist pV der Druckverlust zwischen den Stellen 1 und 2 infolge von Rohrreibung, Einbauwiderständen usw. Dividiert man Gl. (17.9) durch % g, so ergibt sich 12 =.2g/ C p1 =.% g/ C z1 D 22 =.2g/ C p2 =.% g/

319

(Gesetz von Stokes). Für die Schubspannungen ergibt sich .r/ D  d=dr D pV r=.2l/ I sie nehmen also linear nach außen zu. Für den Volumenstrom gilt Zd=2 VP D .r/2 r dr D pV  d 4 =.128l/

rD0 C z2 C hV : (17.10) (Formel von Hagen-Poiseuille) und damit für Darin bedeuten die einzelnen Glieder Energiehödie mittlere Geschwindigkeit und den Druckhen und hV D pV =.% g/ die Verlusthöhe. verlust m D  D VP =A D pV d 2 =.32l/ und pV D m 32l=d 2 . Der Druckverlust Druckverlust und Verlusthöhe (Abb. 17.6). und somit auch die Schubspannungen nehmen Zwischen zwei Stellen 1 und 2 sei der Rohrdurchalso linear mit der Geschwindigkeit zu. Mit messer d konstant. Dann gilt der Reynolds’schen Zahl Re D d= erX gibt sich pV D .64=Re/.l=d /.% 2 =2/ und

% 2 =2 bzw. pV D .l=d /% 2 =2 C hV D .64=Re/.l=d /. 2 =2g/. Demnach ist nach X 2 2 Gl. (17.11a,b) die Rohrreibungszahl  D 64=Re, hV D .l=d / =.2g/ C

 =.2g/ I (17.11a,b) d. h. bei laminarer Strömung unabhängig von der  Rohrreibungszahl, Widerstandsbeiwerte für Rauigkeit der Rohrwand. Einbauten. Für kompressible Fluide, die sich infolge Druckabnahme von 1 nach 2 ausdehnen, folgt aus 17.2.2 Stationäre turbulente Strömung in Rohren mit Kreisquerschnitt der Kontinuitätsgleichung (17.5) sowie aus dem 2 Ansatz dp D .=d / dx % =2 für den isothermen Fall, p1 =%1 D p=% D const, p12  p22 D Bei Re > 2320 erfolgt Übergang in turbulen12 %1 p1 l=d , d. h. für den Druckverlust aufgrund te Strömung. Die Rohrreibungszahl  hängt von der Rohrrauigkeit k (Wanderhebungen in mm, von Rohrreibung s. Tab. 17.1) und von Re ab. Das Geschwindigkeitsprofil ist wesentlich flacher (Abb. 17.7b) als pV D p1  p2   q bei laminarer Strömung. Es besteht im RandbeD p1 1  1  12 %1 l=.p1 d / : reich aus einer laminaren Grenzschicht der Dicke 0;875 (nach Prandtl). Die Ge(17.12) ı D 34;2d=.0;5Re/ schwindigkeitsverteilung hängt ebenfalls von Re Bei geringen Druckverlusten ist die Expansion vernachlässigbar, und man kann Gl. (17.11a) auch für kompressible Fluide verwenden. Der dabei auftretende Fehler ist f 0;5  pV =p1 [6].

17.2.1

Stationäre laminare Strömung in Rohren mit Kreisquerschnitt

P Gemäß Abb. 17.7a folgt aus Fix D 0 D .p1  p2 / r 2    2 rl mit  D  d=dr und der Haftungsbedingung .r D d=2/ D 0 nach Integration .r/ D pV .d 2 =4  r 2 /=.4l/ : Die Geschwindigkeitsverteilung ist also parabolisch Abb. 17.7 Rohrströmung. a Laminar; b turbulent

17

320

J. Villwock und A. Hanau

und k ab; sie ist nach Nikuradse mittels .r/ D max .1  2r=d /n darstellbar (z. B. n D 1=7 für Re D 105 ). Exponent n nimmt mit der Rohrrauigkeit zu. Das Verhältnis =max D 2=Œ.1 C n/  .2 C n/ ist im Mittel etwa 0,84.

Ermittlung der Rohrreibungszahl Hydraulisch glatte Rohre liegen vor, wenn die Grenzschichtdicke größer als die Wanderhebung ist, d. h. für ı=k = 1 bzw. Re < 65d=k. Formel von Blasius (gültig für 2320 < Re < 105 /: p 4  D 0;3164= Re : Formel von Nikuradse (gültig für 105 < Re < 108 /:  D 0;0032 C 0;221=Re 0;237 : Formel von Prandtl und v. Kármán (gültig für den gesamten turbulenten Bereich, aber wegen impliziter Form umständlich):  D p 1=Œ2 lg.Re =2;51/2 . An ihrer Stelle kann die Näherungsformel  D 0;309=Œlg.Re=7/2 verwendet werden. Hydraulisch raue Rohre liegen vor, wenn die Wanderhebungen größer als die Grenzschichtdicke sind, d. h. für ı=k < 1 bzw. Re > 1300 d=k. Die Rohrreibungszahl  ist nur abhängig von der relativen Rauigkeit d=k, und es gilt die Formel von Nikuradse  D 1=Œ2 lg.3;71d=k/2 für den oberhalb der Grenzkurve liegenden Bereich (Abb. 17.8). Die Grenzkurve ist mittels  D Œ.200d=k/=Re2 festgelegt. Rohre im Übergangsgebiet liegen vor, wenn 65d=k < Re < 1300 d=k, d. h. in dem auf Abb. 17.8 unter der Grenzkurve liegenden Bereich. Die Rohrreibungszahl  ist von Re und d=k abhängig. Als gute Näherung gilt ,   0;27 2 2;51 p C D1 2 lg d=k Re  (Formel von Colebrook). Sie bezieht sich auf Rohre mit technischer Rauigkeit. Für Rohre

mit aufgeklebten Sandkörnern gleicher Körnung wurden von Nikuradse die in Abb. 17.8 gestrichelt eingetragenen Kurven gemessen. Diagramm von Colebrook-Nikuradse. Die vorstehenden Formeln sind graphisch in Abb. 17.8 dargestellt, sodass  als Funktion von Re und d=k abgelesen und bei Bedarf nachgerechnet bzw. verbessert werden kann (weitere Verfeinerungen s. [1, 3]). Ist  bekannt, berechnet man den Druckverlust bzw. die Verlusthöhe nach Gl. (17.11a,b) bzw. (17.12) und anschließend den zu untersuchenden Rohrleitungsabschnitt mit der Bernoulli’schen Gleichung mit Verlustglied gemäß Gl. (17.9) oder (17.10). Beispiel

Durch ein Stahlrohr (gebraucht, k D 0;15 mm) vom Durchmesser d D 150 mm und der Länge l D 1400 m werden VP D 400 m3 =h Pressluft gefördert. Druck und Dichte im Kessel: p1 D 6 bar, %1 D 6;75 kg=m3 . Zu ermitteln ist der Druckverlust am Ende der Leitung. – Mit der Fördergeschwindigkeit  D VP =A D VP =. d 2 =4/ D 6;29 m=s und  D =% D .2  105 Ns=m2 /=.6;75 kg=m3/ D 2;963  106 m2 =s wird Re D d= D 318 427. Mit d=k D 150=0;15 D 1000 ergibt sich aus Abb. 17.8 bzw. der Formel von Colebrook  D 0;0205. Aus Gl. (17.12) folgt für den Druckverlust am Ende der Leitung h i p pV D p1 1  1   2 %1 l=.p1 d / D 0;261 bar : Bei Vernachlässigung der Expansion infolge der Druckabnahme ergibt Gl. (17.11a) pV D .l=d /% 2 =2 D 25 550 N=m2 D 0;256 bar, d. h. einen Fehler f D .0;261  0;256/=0;261 D 1;92 %, der auch mit der Abschätzformel f D 0;5  pV =p1 D 2;13 % gut übereinstimmt. Die Dichteänderung der Pressluft hat also kaum Einfluss. J

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

321

Tab. 17.1 Anhaltswerte für Wandrauigkeiten [2] Werkstoff und Rohrart neu gezogene u. gepresste Rohre aus Cu, Ms, Bronze, Al, sonstigen Leichtmetallen, Glas, Kunststoff neuer Gummidruckschlauch Rohre aus Gusseisen

neue nahtlose Stahlrohre, gewalzt oder gezogen

neue längsgeschweißte Stahlrohre neue Stahlrohre mit Überzug

gebrauchte Stahlrohre

Asbest-Zementrohre Betonrohre neu

Betonrohre nach mehrjährigem Betrieb m. Wasser Holzverkleidung rau roher Stein Mittelwert für Rohrstrecken ohne Stöße Mittelwert für Rohrstrecken mit Stößen

Zustand der Rohre technisch glatt

k in mm 0,001. . . 0,0015

technisch glatt neu, handelsüblich angerostet verkrustet mit Walzhaut gebeizt bei engen Rohren mit Walzhaut Metallspritzüberzug tauchverzinkt handelsüblich verzinkt bitumiert zementiert galvanisiert gleichmäßige Rostnarben leichte Verkrustung mittlere Verkrustung starke Verkrustung neu, handelsüblich handelsüblicher Glattstrich handelsüblich mittelglatt handelsüblich rau

ca. 0,0016 0,25. . . 0,5 1,0. . . 1,5 1,5. . . 5,0 0,02. . . 0,06 0,03. . . 0,04 bis 0,1 0,04. . . 0,1 0,08. . . 0,09 0,07. . . 0,1 0,1. . . 0,16 ca. 0,05 ca. 0,18 ca. 0,008 ca. 0,15 0,15. . . 0,4 ca. 1,5 2,0. . . 4,0 0,03. . . 0,1 0,03. . . 0,8 1,0. . . 2,0 2,0. . . 3,0 0,2. . . 0,3 1,0. . . 2,5 8. . . 15 0,2 2,0

Abb. 17.8 Rohrreibungszahl  nach Colebrook und (gestrichelt) nach Nikuradse

17

322

J. Villwock und A. Hanau

17.2.3 Strömung in Leitungen mit nicht vollkreisförmigen Querschnitten Nach Einführen des hydraulischen Durchmessers dh D 4A=U (A Querschnittsfläche, U benetzter Umfang) wird wie in Abschn. 17.2.1 und Abschn. 17.2.2 gerechnet. Allerdings ist bei laminarer Strömung  D '  64=Re zu setzen [5]. Für Kreisring- und Rechteckquerschnitt gilt da =di  Recht- h=b eck ' Kreisring

1 1,50 0 1,50

5 1,45 0,1 1,34

10 1,40 0,3 1,10

20 1,35 0,5 0,97

50 1,28 0,8 0,90

100 1,25 1,0 0,88

Abb. 17.9 Krümmer

c) Graugusskrümmer 90ı

17.2.4

NW

Strömungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten

50 1,3

100 1,5

200 1,8

300 2,1

400 2,2

500 2,2

d) Faltrohrkrümmer: D 0;4 e) Krümmer mit Umlenkschaufeln:

D Zusätzlich zu den Wandreibungsverlusten der 0;15 : : : 0;20 [1] Rohrleitungselemente gilt für den Druckverlust f) Doppelkrümmer: D 2 ı 90 bzw. die Verlusthöhe g) Raumkrümmer: D 3 90ı h) Etagenkrümmer: D 4 90ı pV D % 2 =2 bzw. hV D  2 =.2g/ : i) Krümmer mit Rechteckquerschnitt: Für h=b < 1 istp D 0 h=b; für h=b > 1 Widerstandsbeiwerte  für Krümmer ist D 0 h=b : 0 wie für Krümmer (Abb. 17.9) [5] mit Kreisquerschnitt, wenn für d der Wert dh D 2bh=.b C h/ eingesetzt wird. a) Kreiskrümmer: ' D 90ı Kniestücke [5] (ı Abknickwinkel): mit Kreisquerschnitt: R=d 1 2 4 6 10

90ı

glatt rau

0,21 0,51

0,14 0,30

0,11 0,23

0,09 0,18

0,11 0,20

ı

' ¤ 90ı W D k 90ı ' k

30° 0,4

60° 0,7

120° 1,25

150° 1,5

180° 1,7

glatt rau

22,5° 0,07 0,11

30° 0,11 0,17

45° 0,24 0,32

60° 0,47 0,68

90° 1,13 1,27

mit Rechteckquerschnitt: ı

30° 0,15

45° 0,52

60° 1,08

75° 1,48

90° 1,60

b) Segmentkrümmer: ' Anzahl der Nähte

30° 2 0,10

45° 3 0,15

60° 3 0,20

90° 3 0,25

Rohrverzweigungen und -vereinigungen [6] VP Gesamtstrom, VPa ab- bzw. zufließender Strom,

d Widerstand im Hauptrohr, a Widerstand im

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

323

Abb. 17.12 Rohreinläufe

Abb. 17.10 Rohrverzweigungen und -vereinigungen

Abb. 17.11 Dehnungsausgleicher

Abzweigrohr. Minuszeichen bedeutet Druckgewinn.

VPa =VP 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Trennung Abb. 17.10a

a

d 0,95 0,04 0,88 0,08 0,89 0,05 0,95 0,07 1,10 0,21 1,28 0,35

Abb. 17.10b

a

d 0,90 0,04 0,68 0,06 0,50 0,04 0,38 0,07 0,35 0,20 0,48 0,33

VPa =VP 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Vereinigung Abb. 17.10c

a

d 1,2 0,04 0,4 0,17 0,08 0,30 0,47 0,41 0,72 0,51 0,91 0,60

Abb. 17.10d

a

a 0,92 0,04 0,38 0,17 0,00 0,19 0,22 0,09 0,37 0,17 0,37 0,54

Dehnungsausgleicher (Abb. 17.11) [5]

Abb. 17.13 Querschnittsänderungen

c) Lyrabogen: Glattrohrbogen D 0;7; Faltrohrbogen D 1;4.

Rohreinläufe (Abb. 17.12a–e) a) scharfkantig D 0;5; gebrochen D 0;25. b) und c) scharfkantig D 3;0; gebrochen D 0;6 : : : 1;0. d) je nach Wandrauigkeit D 0;01 : : : 0;05 : e) .d=de /2

1 0,5

1,25 1,17

2 5,45

5 54

10 245

a) Wellrohrkompensator: D 0;20 pro Welle (kann bei Einbau eines Leitrohrs fast zu Null gemacht werden). Querschnittsänderung von A 1 auf A 2 b) U-Bogen: (Abb. 17.13) a=d

0 0,33

2 0,21

5 0,21

10 0,21

a) Unstetige Erweiterung. Der Verlustbeiwert lässt sich aus der Bernoulli’schen Gleichung

17

324

J. Villwock und A. Hanau

und dem Impulssatz (s. Abschn. 17.4) herleiten: D .A2 =A1  1/2 : b) Stetige Erweiterung (Diffusor). Der Verlustbeiwert für durchschnittlich raue Rohre kann dem Diagramm Abb. 17.13b entnommen werden [5]. c) Unstetige Verengung. Aus der Bernoul- Abb. 17.14 a Rundstabgitter; b Sieb li’schen Gleichung und dem Impulssatz folgt

D .A2 =A0  1/2 . Da der eingeschnürte Abb. 17.15 Festkörperschüttung Querschnitt A0 unbekannt ist, entnimmt man

dem Diagramm Abb. 17.13c für das Verhältnis A2 =A1 bei scharfkantigem Anschluss [5]. d) Stetige Verengung (Konfusor, Düse). Die Energieverluste aus Reibung sind gering. Im Saugkörbe: für handelsübliche Saugkörbe mit Mittel D 0;05. Fußventil am Anfang einer Rohrleitung D 4 : : : 5. Absperr- und Regelorgane Schieber, offen, ohne Leitrohr: D 0;2 : : : 0;3; Festkörperschüttungen [5]. Für die Durchströmit Leitrohr: 0;1. Schieber bei verschiedemung der Schüttung gemäß Abb. 17.15 gilt D nen Öffnungsverhältnissen s. [5]. F lk =dk : Bis zu Rek D dk = D 10 ( mittlere Ventile: Die Widerstandsbeiwerte schwanken Geschwindigkeit im leeren Rohr) liegt laminare je nach Ventilbauart zwischen D 0;6 (FreiflussStrömung vor, und es ist F D 2000=Rek : Für ventil) und D 4;8 (DIN-Ventil). Die Angaben Rek > 10 (turbulente Strömung) hängt F nur in der Literatur sind unterschiedlich [1, 2, 4–6]. noch von d=dk ab: Bei teilweise geöffneten Ventilen sind die Widerstandsbeiwerte größer. d=dk 25 17 8 3,5 Rückschlagklappen, Drosselklappen, Hähne: F 50 40 30 15 Der Widerstandsbeiwert von Rückschlagklappen beträgt nach [5] D 0;8 bei NW 200 und D 1;4 bei NW 50. Bei Drosselklappen treten WerBeispiel te von D 0;5 in fast voll geöffnetem Zustand ı ı (' D 10 ) und von D 4;0 bei ' D 30 auf. Rohrleitung mit speziellen Widerständen Bei Hähnen ist D 0;3 (' D 10ı ) und D 5;5 (Abb. 17.16). Durch eine Rohrleitung sol(' D 30ı ) [5]. len VP D 8 l=s Wasser gefördert werden. Zu Drosselgeräte dienen zur Messung von Geermitteln ist der erforderliche Druck p0 im schwindigkeit und Volumenstrom und sind als Druckbehälter. Gegeben: h1 D 7 m, h2 D 5 m, Normblende, Normdüse und Normventuridüse l1 D 35 m, l2 D 25 m, l3 D 13 m, l4 D 25 m, genormt (DIN 1952). Widerstandsziffern s. [2]. d1 D d6 D 80 mm, d2 D 60 mm, Wandrauigkeit k D 0;04 mm (neues, längsgeschweißtes Stahlrohr). Widerstandsbeiwerte: Rohreinlauf Rundstabgitter, Siebe und Saugkörbe [5] 0;8s=t D 0;5; Konfusor 2 D 0;05; Kniestü

1 Rundstabgitter gemäß Abb. 17.14a: D .1s=t /2 ı / 3 D 4 D 0;11; Diffusor cke .ı D 22;5 Siebe gemäß Abb. 17.14b:

5 D 0;3. Kinematische Zähigkeit bei 20ı C:  D 106 m2 =s. Luftdruck: pL D 1 bar. – s 2 2 2,5 3,1 mm Aus der Kontinuitätsgleichung (17.6) folgt t 20 25 25 25 mm für die Strömungsgeschwindigkeiten 1 D

0,34 0,27 0,32 0,39 6 D VP =A1 D VP =. d12 =4/ D 1;59 m=s und

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

325

Abb. 17.16 Rohrleitung

2 D VP =A2 D VP =. d22 =4/ D 2;83 m=s. Mit den Reynolds’schen Zahlen Re1 D 1 d1 =v D 127 200, Re2 D 2 d2 =v D 169 800 und den relativen Rauigkeiten d1 =k D 2000, d2 =k D 1500 folgen aus der Formel bzw. dem Diagramm von Colebrook (Abb. 17.8) die Rohrreibungszahlen 1 D 0;0197 und 2 D 0;0200. Hiermit ergeben sich nach Gl. (17.11b) die Verlusthöhen hV1 D 1 12 =.2 g/ D 0;06 m I

Mit den Geschwindigkeitshöhen 12 =.2 g/ D 62 =.2 g/ D 0;13 m; 22 =.2 g/ D 0;41 m und den Druckhöhen p0 =.% g/ D 18;21 m, pL =.% g/ D 10;19 m lassen sich dann die Bernoulli’schen Höhen zeichnen (Abb. 17.16). J

17.2.5

hV2 D hV1 C .1 l1 =d1 /12 =.2 g/ C 2 22 =.2 g/

Stationärer Ausfluss aus Behältern

D .0;06 C 1;11 C 0;02/ m D 1;19 m I

Aus der Bernoulli’schen Gl. (17.10) zwischen den Punkten 1 und 2 (Abb. 17.17) folgt mit Gl. (17.11b) für die Ausflussgeschwindigkeit D .1;19 C 3;40 C 0;04/ m D 4;63 m I p Œ2gh C 2.p1  p2 /=%=.1 C /. Bei Be D hV4 D hV3 C .2 l3 =d2 /22 =.2 g/ C 4 22 =.2 g/ hältern ist die Schreibweise D .4;63 C 1;77 C 0;04/ m D 6;44 m I p  D ' 2gh C 2.p1  p2 /=% (17.13) hV5 D hV4 C .2 l4 =d2 /22 =.2 g/ p D .6;44 C 3;40/ m D 9;84 m I üblich, wobei ' D 1=.1 C / die Geschwindigkeitsziffer ist. Für den Volumenstrom VP ist hV6 D hV5 C 5 62 =.2 g/ noch die Strahleinschnürung zu berücksichtigen. D .9;84 C 0;04/ m D 9;88 m : Mit der Kontraktionszahl ˛ D Ae =Aa ergibt sich p Die Bernoulli’sche Gl. (17.10) zwischen den VP D ˛'Aa 2gh C 2.p1  p2 /=% Punkten 0 und 6 ergibt dann mit 0 0 (wep D Aa 2gh C 2.p1  p2 /=% : (17.14) gen A0  A6 / hV3 D hV2 C .2 l2 =d2 /22 =.2 g/ C 3 22 =.2 g/

p0 =.% g/ C h1 D 62 =.2 g/ C pL =.% g/ C h2 C hV6 ;

 D ˛' ist die Ausflusszahl. Für ', ˛ und  gelten folgende Werte (Abb. 17.18): Abb. 17.17 Ausfluss der Behälter

also p0 D pL C %62 =2 C % g.h2 C hV6  h1/ D pL C 1264 N=m C 77 303 N=m 2

D 1;786 bar :

2

17

326

J. Villwock und A. Hanau

Ist hierbei dh der hydraulische Durchmesser gemäß Abschn. 17.2.3, so gelten die Formeln der Rohrströmung gemäß Abschn. 17.2.1 bis 17.2.4  ist die mittlere Geschwindigkeit, d. h., es gilt VP D A bzw.  D VP =A. Sind VP bzw.  bekannt, so folgt aus Gl. (17.15) das erforderliche Gefälle bzw. bei bekanntem Gefälle die Strömungsgeschwindigkeit  (Anhaltswerte für k s. Tab. 17.1).

Abb. 17.18 Mündungsformen

a) scharfkantige Mündung: ' D 0;97 I

˛ D 0;61 : : : 0;64 I

 D 0;59 : : : 0;62 I

17.2.7

Instationäre Strömung zäher Newton’scher Flüssigkeiten

b) abgerundete Mündung: ' D 0;97 : : : 0;99I

˛ D 1I

 D 0;97 : : : 0;99 I c) zylindrisches Ansatzrohr: l=d D 2 : : : 3: ' D 0;82 I

˛ D 1I

 D 0;82 I

d) konisches Ansatzrohr: ' D 0;95 : : : 0;97: .d2 =d1 /2 0,1 ˛ 0,83

0,2 0,84

0,4 0,87

Die für diesen Fall gültigen Gleichungen sind mit der Bernoulli’schen Gleichung in Form von Gl. (17.9) unter Beachtung von Gl. (17.11a) und der Kontinuitätsgleichung in Form von Gl. (17.5) oder (17.6) gegeben.

0,6 0,90

0,8 0,94

1,0 1,0

Die Gln. (17.13) und (17.14) gelten für kleine Ausflussquerschnitte, bei denen  über den Querschnitt konstant ist. Bei großen Öffnungen ist für einen Stromfaden in der Tiefe z (ohne p Überdruck) R z2  Dp 2gz, der Volumenstrom ist VP D  z1 b.z/ 2gz dz, z. B. für eine Rechtp 3=2 3=2 ecköffnung VP D 2b 2g.z2  z1 /=3. Die Ausflussziffer liegt bei  D 0;60 für scharfkantige und bei  D 0;75 für abgerundete Öffnungen.

17.2.8

Freier Strahl

Strömt ein Strahl mit konstantem Geschwindigkeitsprofil aus einer Öffnung in ein umgebendes, ruhendes Fluid gleicher Art aus (Abb. 17.19), so werden an den Rändern Teilchen der Umgebung aufgrund der Reibung mitgerissen. Mit der Strahllänge nimmt also der Volumenstrom zu und die Geschwindigkeit ab. Dabei tritt eine Strahlausbreitung ein. Der Druck im Inneren des Strahls ist gleich dem Umgebungsdruck, d. h., der Impuls ist in jedem Strahlquerschnitt konstant: ZC1 % 2 dA D const. I D 1

17.2.6

Stationäre Strömung durch offene Gerinne

Der kegelförmige Strahlkern, in dem  D const ist, löst sich längs des Wegs x0 auf. Danach

Bei stationärer Strömung sind Spiegel- und Sohlengefälle parallel. Aus der Bernoulli’schen Gl. (17.10) folgt z1  z2 D hV

bzw.

.z1  z2 /= l D sin ˛

D .=dh / =.2g/ : 2

(17.15) Abb. 17.19 Freier Strahl

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

sind die Geschwindigkeitsprofile zueinander affin. Ergebnisse für den runden Strahl [1]: Kernlänge x0 D d=m mit m D 0;1 für laminaren und m D 0;3 für vollständig turbulenten Strahl .0;1 < m < 0;3/. Mittengeschwindigkeit m D 0 x0 =x. Energieabnahme E D 0;667E0 x0 =x (E0 kinetische Energie am Austritt). Strahlausbreitung p ra D m 0;5 ln 2  x D 0;5887mx ;

327

der Formel von Prandtl-Eyring erfassen: P D d=dz D c sinh.=a/, wobei c und a stoffabhängige Konstanten sind. Strukturviskose Flüssigkeiten. Die Zähigkeit nimmt mit wachsender Schergeschwindigkeit ab (z. B. Silikone, Spinnlösungen, Staufferfett). Es gelten die vorstehenden Gesetze, aber mit m > 1 sowie entsprechenden Konstanten c und a.

wobei am Ausbreitungsrand x D 0;5m ist. Bingham-Medium. Das Material beginnt erst Strahlausbreitungswinkel bei Überschreiten der Fließgrenze F zu fließen. h i Unterhalb von F verhält es sich wie ein elasp ıa D arctan 0;707m ln.m =x / ; tischer Körper, darüber wie eine Newton’sche Flüssigkeit (z. B. Zahnpasta, Abwasserschlamm, d. h., für x =m D 0;5 und m D 0;3 ergibt körnige Suspensionen). P D d=dz D k.  F / sich ıa D 10ı . Der Volumenstrom ist VP D (Gesetz von Bingham). 2mVP0 x=d [1, 3]. Elastoviskose Stoffe (Maxwell-Medium). Sie haben sowohl die Eigenschaften zäher Flüssig17.3 Eindimensionale Strömung keiten als auch elastischer Körper (z. B. Teig, Nicht-Newton’scher Polyethylen-Harze). Die Schubspannung ist zeitFlüssigkeiten abhängig, also auch dann noch vorhanden, wenn P bereits Null ist. P D d=dz D .=/ C Bei Nicht-Newton’schen Flüssigkeiten ist kein .1=G/.d=dt/ (Gesetz von Maxwell). linearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung  und der Schergeschwindigkeit d=dz Thixotrope und rheopexe Flüssigkeiten. Auch gemäß Gl. (17.8) gegeben [9]. Für diese rheolo- hier sind die Schubspannungen zeitabhängig, augischen Stoffe unterscheidet man folgende Fließ- ßerdem verändert sich das Fließverhalten mit der gesetze (Abb. 17.20): mechanischen Beanspruchung. Bei thixotropen Flüssigkeiten steigt das Fließvermögen mit der Dilatante Flüssigkeiten. Die Zähigkeit nimmt Dauer (z. B. beim Rühren oder Streichen), bei mit steigender Schergeschwindigkeit P zu (z. B. rheopexen Flüssigkeiten verringert es sich mit der Anstrichfarben, Glasurmassen). P D d=dz D Größe der mechanischen Beanspruchung (z. B. k m , m < 1 (Formel von Ostwald-de Waele [7]). Gipsbrei). Fließgesetze sind bisher nicht bekannt. k ist der Fluiditätsfaktor und m der Fließbeiwert. Dilatante Flüssigkeiten lassen sich auch mit

17.3.1

Berechnung von Rohrströmungen

Für dilatante und strukturviskose Flüssigkeiten lässt sich der Druckabfall gemäß Gl. (17.11a) nach Metzner [7] wie für Newton’sche Flüssigkeiten mit der verallgemeinerten Reynoldsschen Zahl berechnen: Abb. 17.20 Fließkurven. a Dilatante, b Newton’sche und c strukturviskose Flüssigkeit, d Bingham-Medium

Re  D  .2m1/=m d 1=m %= I  D 8.1m/=m .1=k m /Œ.3 C m/=41=m :

17

328

J. Villwock und A. Hanau

Im laminaren Bereich .Re  < 2300/ gilt  D Für den gesamten Kontrollraum zwischen 1 und 64=Re  , im turbulenten Bereich .Re  > 3000/ 2 folgt nach Integration F 1;2 D %VP .2  1 / :

 D 0;0056 C 0;5=.Re  /0;32 :

(17.16)

Für Bingham-Medien ergibt sich der Druckabfall Hierbei ist F 1;2 die auf die im Kontrollraum eingeschlossene Flüssigkeit wirksame Kraft. Sie aus Gl. (17.11a) mit der Rohrreibungszahl [7] setzt sich zusammen aus den Anteilen gemäß  4 Abb. 17.21b, wobei die Resultierende des Luft4096 1 H e 32 H e 64  ; C D drucks Null ist. Mit F W1;2 als Resultierender Re 3 Re 2 3 3 Re 2 des Überdrucks pü .s/ gilt F 1;2 D F W1;2 C wobei der Einfluss der Fließgrenze in der F G1;2 C p1ü A1 e 1  p2ü A2 e 2 . Daraus folgt für Hedströmzahl He zum Ausdruck kommt: H e D die von der Flüssigkeit auf die „Wand“ ausgeübte Kraft mit Gl. (17.16)  %d 2 =2 D  d 2 =.% 2 /. F

F

17.4 Kraftwirkungen strömender inkompressibler Flüssigkeiten

F W1;2 D F G1;2 C .p1ü A1 e 1  p2ü A2 e 2 / C .%VP 1 e 1  %VP 2 e 2 / D F G1;2 C .F p1 C F p2 / C .F v1 C F v2 / D F G1;2 C F p1;2 C F v1;2 :

17.4.1 Impulssatz

(17.17) Die Wandkraft setzt sich aus Gewichtsanteil Aus dem Newton’schen Grundgesetz folgt für das F G1;2 , Druckanteil F p1;2 und GeschwindigkeitsMassenelement dm D %A ds der Stromröhre aus anteil F v1;2 zusammen (Abb. 17.21c und 17.21d). Abb. 17.21a dF D

d d.dm/ d .dm/ D  C dm : dt dt dt

17.4.2

Anwendungen (Abb. 17.22)

Für inkompressible Flüssigkeiten ist a) Strahlstoßkraft gegen Wände. Unter Vernachlässigung des Eigengewichts und unter Bed.dm/=dt D 0, und mit  D .s; t/ gilt für achtung, dass im Innern des Strahls der Druck die instationäre Strömung überall gleich dem Luftdruck ist (also pü D 0,   s. Abschn. 17.2.8), folgt aus Gl. (17.17) für @ @ ds C dF D dm die x-Richtung und den Kontrollraum 1-2-3 @t @s dt bzw. für die stationäre Strömung mit @=@t D 0 dF D dm

@  D %A d D %VP d : @s

Abb. 17.21 Kraftwirkung einer strömenden Flüssigkeit

FWx D .%VP 1 e 1  %VP2 2 e 2  %VP3 3 e 3 /e x D %VP 1 cos ˇ :

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

329

Abb. 17.22 Anwendungen zur Kraftwirkung

Für die y-Richtung folgt aus Gl. (17.17)

p1ü D p2ü D pü F W1;2

FWy D 0

D .pü A C %VP /e 1  .pü A C %VP /e 2

D .%VP 1 e 1  %VP2 2 e 2  %VP3 3 e 3 /e y ; d. h. VP 1 sin ˇ  VP2 2 C VP3 3 D 0. Mit 1 D 2 D 3 aus der Bernoulli’schen Gleichung und VP D VP2 C VP3 aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich VP2 =VP3 D .1 C sin ˇ/=.1  sin ˇ/ : Für ˇ D 0 (Stoß gegen senkrechte Wand) gilt FWx D %VP 1 D %A1 12

und VP2 =VP3 D 1 :

und jF W1;2 j D FW1;2 D Fx D 2.pü A C %VP / cos.ˇ=2/ : Als Reaktionskräfte wirken Zugkräfte in den Flanschverschraubungen. c) Kraft auf Düse. Mit p2ü D 0 sowie 2 D 1 A1 =A2 D 1 ˛ und p1ü D %.22  12 /=2 folgt aus Gl. (17.17) F W1;2 D .%=2/12 A1 .˛  1/2 e x :

Als Reaktionskräfte wirken Zugkräfte in der Flanschverschraubung. d) Kraft bei plötzlicher Rohrerweiterung. Nach Carnot wird die Wandkraft dadurch festgeFWx D %VP .1  u/ D %A1 1 .1  u/ : legt, dass der Druck p über den Querschnitt 1 konstant gleich p1 (wie im engeren QuerFür die gewölbte Platte lässt sich entspreschnitt) gesetzt wird: F W D p1 .A2 A1 /e x . P chend FWx D %V 1 .1 C cos ˇ/ ableiten. Dann gilt für den Kontrollbereich 1–2 entBewegt sich die gewölbte Platte mit der Gesprechend Gl. (17.17) schwindigkeit u (Freistrahlturbine), so gilt FWx D %VP .1  u/.1 C cos ˇ/ : F W1;2 D p1 .A2  A1 /e x b) Kraft auf Rohrkrümmer. Aus Gl. (17.17) folgt   D p1 A1 C %12 A1  p2 A2  %22 A2 bei Vernachlässigung des Eigengewichts und  ex : mit A1 D A2 D A bzw. 1 D 2 D  bzw. Bewegt sich die senkrechte Wand mit der Geschwindigkeit u in x-Richtung, so wird

17

330

J. Villwock und A. Hanau

Mit 1 D 2 A2 =A1 D 2 ˛ folgt hieraus p1 D %22 ˛ C p2 C %22 . Aus Gl. (17.9) ergibt sich für den stationären Fall mit z1 D z2 und pV D % 2 =2 für den Verlustbeiwert D .˛  1/2 (Borda-Carnotsche Gleichung). e) Raketenschubkraft. Mit den Relativgeschwindigkeiten r1 D 0 und r2 D r folgt aus Gl. (17.17) für die Schubkraft F W D %VP .0  r2 / D %VP r e x D %A2 r2 e x . f) Propellerschubkraft. Bei Drehung eines Propellers oder einer Schraube wird das Fluid angesaugt und beschleunigt. Die Stromröhre wird so gewählt, dass 1 A1 D 3 A3 D 5 A5 wird. 1 ist die Fahrzeuggeschwindigkeit und damit die Zuströmgeschwindigkeit des Fluids. Aus dem Impulssatz (17.17) ergibt sich die Schubkraft

.XI Y I Z/ zu dx @x @x @x @x D C x C y C z dt @t @x @y @z 1 @p DX : % @x (17.18) Die Geschwindigkeitsänderung @x =@t mit der Zeit an einem festen Ort heißt lokal, diejenige .x @x =@x C y @x =@y C z @x =@z/ zu einer bestimmten Zeit bei Ortsänderung konvektiv. Vektoriell gilt @ 1 d D C .r/ D F  grad p ; (17.19) dt @t %

wobei mit dem Nablaoperator r und rot  D r .r/ D grad  2 =2rot  ist. Dabei ist .1=2/ rot  D w die Winkelgeschwindigkeit, mit der einzelne Flüssigkeitsteilchen rotieren (wirFS D %VP .5  1 / D %A3 3 .5  1 / : beln). Ist eine Strömung rotorfrei, d. h. rot  D 0, so liegt eine Potentialströmung vor. Linien, die Aus der Bernoulli’schen Gleichung für die von rot  tangiert werden, heißen Wirbellinien, Bereiche 1-2 und 4-5 folgt mit p1 D mehrere dieser Linien bilden die Wirbelröhre. p5 (Freistrahl) der Druckunterschied p4  p2 D %.52 12 /=2 und damit FS D %A3 .52  Zirkulation einer Strömung. Sie ist das Li12 /=2. Gleichsetzen der Ausdrücke für FS nienintegral über das Skalarprodukt  dr längs führt zu 3 D .1 C 5 /=2 und damit zu einer geschlossenen Kurve: FS D cS %12 A3 =2 ; wobei cS D .5 =1 /2  1 I I der Schubbelastungsgrad ist. Ist die zugeführ D  dr D .x dx C y dy C z dz/ : te Leistung Pz D FS 3 und die Nutzleistung .C/ .C/ Pn D FS 1 , so ist der theoretische Wirkungsgrad des Propellers  D Pn =Pz D 1 =3 . Diese Gleichung lässt sich mit dem Satz von StoFerner gilt mit k D 2Pz =.%13 A3 / die Glei- kes auch chung k D 4.1  /=3 sowie  D 2=.1 C “ I p 1 C cS /. Hieraus ergeben sich bei gegeberot  da (17.20)  D  dr D nem Pz und 1 die Größen k, , FS usw. .C/

17.5 Mehrdimensionale Strömung idealer Flüssigkeiten

.A/

schreiben, wobei A eine über C aufgespannte Fläche ist. Bei Potentialströmungen ist rot  D 0, d. h.  D 0.

Helmholtz’sche Wirbelsätze. Wird Gl. (17.20) auf Wirbelröhren umschließende Kurven angeEuler’sche Bewegungsgleichungen. Sie fol- wendet, so folgt I I gen aus dem Newton’schen Grundgesetz in D  dr D  D  dr D const.  x-Richtung (analog für y- und z-Richtung) mit der 1 2 auf das Element bezogenen Massenkraft F D .C1 / .C2 /

17.5.1

Allgemeine Grundgleichungen

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

331

1. Helmholtz’scher Satz: Die Zirkulation hat für keitspotential ˚(x, y, z) hat, d. h., wenn jede eine Wirbelröhre umschließende Kurve den@˚ @˚ @˚ selben Wert, d. h., Wirbelröhren können im In D grad ˚ D ex C ey C ez nern eines Flüssigkeitsbereichs weder beginnen @x @y @z noch enden (sie bilden also entweder geschlossene Röhren – sogenannte Ringwirbel – oder gehen ist und F ebenfalls ein Potential hat, also bis ans Ende des Flüssigkeitsbereichs). @U @U @U Für F D  grad U und barotrope Flüssigkeit F D  grad U D  ex  ey  ez % D %(p) folgt aus den Gln. (17.19) und (17.20) @x @y @z d D dt

I

d dr D dt

“ rot

d da D 0 : dt

2. Helmholtzscher Satz: Die Zirkulation hat einen zeitlich unveränderlichen Wert, wenn die Massenkräfte ein Potential haben und das Fluid barotrop ist (d. h., z. B. Potentialströmungen bleiben stets Potentialströmungen).

ist. Somit folgt für die Potentialströmung rot  D rot grad ˚ D r  r˚ D 0 und aus Gl. (17.19) nach Integration  @˚ 2 p C C C U D 0 und grad @t 2 % 2 p @˚ C C C U D C.t/ @t 2 % 

Kontinuitätsgleichung. Die in ein Element dx dy dz einströmende Masse muss gleich der bzw. für die stationäre Strömung lokalen Dichteänderung zuzüglich der ausströmenden Masse sein:  2 =2 C p=% C U D C D const. @.%y / @.%x / @.%z / @% C C C D0 @t @x @y @z bzw. in vektorieller Form @% @% C r.%/ D C div.%/ D 0 : @t @t Für inkompressible Flüssigkeiten .% D const/ folgt @y @z @x C C D div  D 0 : @x @y @z

Das ist die verallgemeinerte Bernoulli’sche Gleichung für die Potentialströmung, die für das gesamte Strömungsfeld dieselbe Konstante C hat. Aus der Kontinuitätsgleichung (17.21) folgt div  D div grad ˚ D rr˚ D ˚ D

@2 ˚ @2 ˚ @2 ˚ C C D0 @x 2 @y 2 @z 2

(17.23)

(17.21)

Die Gln. (17.19) und (17.21) bilden vier gekoppelte partielle Differentialgleichungen zur Berechnung der vier Unbekannten x , y , z und p einer Strömung. Lösungen lassen sich i. Allg. nur für Potentialströmungen angeben, d. h., wenn rot  D 0 ist.

17.5.2

(17.22)

Potentialströmungen

Die Euler’schen Gleichungen lassen sich integrieren, wenn der Vektor  ein Geschwindig-

(Laplace’sche Potentialgleichung). Die Gln. (17.22) und (17.23) dienen zur Berechnung von p und . Letztere hat unendlich viele Lösungen; daher werden bekannte Lösungen untersucht und als Strömungen interpretiert. Zum Beispiel p ist ˚.x; y; z/ D C =r D C = x 2 C y 2 C z 2 eine D Lösung. p p Hieraus erhält man x D @˚=@x 3 3 C x= r , y D @˚=@y D p Cy= r und D @˚=@z D C z= r 3 sowie  D  z q x2 C y2 C z2 D C =r. Es handelt sich um eine radial zum Mittelpunkt gerichtete Strömung, also eine Senke (bzw. Quelle, wenn man C durch C ersetzt).

17

332

J. Villwock und A. Hanau

Ebene Potentialströmung. Hier bilden alle Abb. 17.23 Potential- und Stromlianalytischen (komplexen) Funktionen Lösungen, nien denn w D f .z/ D f .x C iy/ D ˚.x; y/ C i .x; y/ (17.24) genügen als analytische Funktionen den Cauchy- a) Parallelströmung. Aus dem GeschwindigkeitRiemannschen Differentialgleichungen spontential w D 0 z D 0 x Ci0 y D ˚ Ci folgen die Potentiallinien zu ˚ D 0 x D @˚=@x D @=@y und @˚=@y D @=@x const, d. h. x D const; die Potentiallinien sind (17.25) also Geraden parallel zur y-Achse. Die Stromund somit auch den Potentialgleichungen linien sind wegen  D 0 y D const, d. h. y D const, Geraden parallel zur x-Achse. Fer@2 ˚ @2  @2  @2 ˚ ner gilt x D @˚=@x D 0 und y D @˚= C D 0 und C D0: @x 2 @y 2 @x 2 @y 2 @y D 0. (17.26) b) Wirbellinienströmung (Potentialwirbel). C sei ˚.x; y/ D const sind die Potentiallinien, auf dereell. w D iC log z D C arctan.y=x/ C nen der Geschwindigkeitsvektor senkrecht steht, i.C =2/ ln.x 2 C y 2 / D ˚ C i bzw. ˚ D und  .x; y/ D const die Stromlinien, die vom C arctan.y=x/ D const ergibt y D cx; Geschwindigkeitsvektor tangiert werden, d. h., die Potentiallinien sind also Geraden.  D beide Kurvenscharen stehen senkrecht zueinan.1=2/C ln.x 2 Cy 2 / D const liefert x 2 Cy 2 D der. Aus den Gln. (17.24) und (17.25) folgt c; die Stromlinien sind also Kreise. dw @˚ @ D Ci dz @x @x D x  i 3upsilony D N d: h: (17.27a)  D f 0 .z/ D @˚=@x  i @=@x D x C i y : (17.27b) Der Querstrich oben bedeutet den konjugiert komplexen Wert. w D f .z/ wird komplexes Geschwindigkeitspotential genannt. Wenn s und n Koordinaten tangential und senkrecht zur Potentiallinie ˚ sind (Abb. 17.23), ist der Volumenstrom 20 .z/ D

VP D

Z.2/ Z.2/ @˚ n ds D ds @n .1/

Z.2/ D .1/

.1/

@ ds D 2  1 I @s

iC iC iC.x  iy/ D D z x C iy x2 C y2 y x DC 2 C iC 2 2 x Cy x C y2 Cy Cx D 2 C i 2 D x  i y ; r r

f 0 .z/ D

d. h., x ist im ersten Quadranten positiv und y negativ. Die Strömung läuft also im Uhrzeigersinn um. q  D jj D x2 C y2 p D C 2 .x 2 C y 2 /=r 4 D C =r : Trotz des vorhandenen Potentials existiert eine Zirkulation I I  D dr D  ds cos ˇ

D .C =r/2 r D 2 C : er ist also gleich der Differenz der Stromlinienwerte. Die Geschwindigkeit ist umgekehrt proc) Dipolströmung portional dem Abstand der Stromlinien. Einige Beispiele für komplexe Geschwindigkeitsponteny x  Ci 2 D ˚ C i : wD D 2 tiale zeigt Abb. 17.24: z x C y2 x C y2

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

333

Abb. 17.24 Potentialströmungen

bei Umströmung durch eine ideale Flüssig˚ D x=.x 2 C y 2 / D const ergibt x 2 C keit in Strömungsrichtung wirkende Kraft ist y 2 D cx bzw. .x  c=2/2 C y 2 D .c=2/2 ; gleich Null (d’Alembert’sches hydrodynamidie Potentiallinien sind also Kreise mit Mitsches Paradoxon). Strömungskräfte entstehen telpunkt auf der x-Achse.  D y=.x 2 C nur durch die Reibung der Flüssigkeiten. y 2 / D const ergibt x 2 C y 2 D cy bzw. x 2 C .y  c=2/2 D .c=2/2 ; die Stromlini- e) Unsymmetrische Umströmung eines Kreiszylinders. Überlagert man der Umströmung geen sind also Kreise mit Mittelpunkt auf der mäß d) den Potentialwirbel gemäß b), so ery-Achse. Alle Kreise gehen durch den Nullhält man punkt. Der Betrag der Geschwindigkeit  D jw 0 .z/j D =z 2 D =.x 2 C y 2 / D =r 2 w D f .z/ D 0 .z C a2 =z/ C iC log z ; nimmt nach außen mit 1=r 2 ab.   d) Parallelanströmung eines Kreiszylinders. Bei a2 C  D 0 y 1  2 C ln.x 2 C y 2 / ; Überlagerung der Parallel- und Dipolströx C y2 2   mung ergibt sich für den Zylinder mit Radius 2 a ˚ D 0 x 1 C 2  C arctan.y=x/ : a w D f .z/ D 0 .z C a2 =z/. Für z ! ˙1 x C y2 ergibt sich die Parallelströmung. Weiter gilt Die Stromfunkion  ist symmetrisch zur   0 a2 x y-Achse, nicht aber zur x-Achse, d. h., durch ˚ C i D 0 x C 2 x C y2 Integration des Drucks längs des Umrisses   0 a2 y ergibt sich eine Kraft in y-Richtung. Diese C i 0 y  2 : 2 „Auftriebskraft“ lässt sich berechnen zu x Cy Für  D 0 wird 0 yŒ1  a2 =.x 2 C y 2 / D 0, d. h., y D 0 (x-Achse) und x 2 C y 2 D a2 (Berandung des Zylinders) bilden eine Stromlinie. Die Geschwindigkeit der Strömung folgt aus f 0 .z/ D 0 .1  a2 =z 2 / D x  i y zu  D jf 0 .z/j D j0 .1  a2 =z 2 /j : Für z D ˙a wird  D 0 (Staupunkte) und für z D ˙ ia wird  D 20 (Scheitelpunkte); die Geschwindigkeit ist also zur Vertikalachse symmetrisch. Dann folgt aus Gl. (17.22) auch eine zur Vertikalachse symmetrische Druckverteilung, d. h., die auf den Körper

FA D %0  D %0 2 C (Satz von Kutta-Joukowski); sie ist nur abhängig von der Anströmgeschwindigkeit und der Zirkulation, nicht aber von der Kontur des Zylinders. Konforme Abbildung des Kreises. Mit der Methode der konformen Abbildung kann man den Kreis auf beliebige andere, einfach zusammenhängende Konturen abbilden und umgekehrt und damit, da die beliebige Strömung um den Kreis bekannt ist, die Strömung um diese Konturen ermitteln [3].

17

334

J. Villwock und A. Hanau

17.6 Mehrdimensionale Strömung zäher Flüssigkeiten 17.6.1 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes Bei räumlicher Strömung Newton’scher Flüssigkeiten gelten für die infolge Reibung auftretenden Zusatzspannungen als Verallgemeinerung des Newton’schen Schubspannungsansatzes die Gleichungen (mit der zusätzlichen Zähigkeitskonstante  [3])

d @ D C .r/ dt @t  1 D F  grad p C   : % %

(17.31)

Dabei ist p der mittlere Druck, denn aus div D 0 folgt x C y C z D 0, d. h., die Summe der Zusatzspannungen x , y , z zum mittleren Druck p ist Null. Die Gln. (17.28a) bis (17.31) gelten für laminare Strömung; für den turbulenten Fall ist als weiteres Glied die Turbulenzkraft einzuführen [3]. Lösungen der Navier-Stokes’schen Gleichungen liegen nur für wenige Spezialfälle (s. Abschn. 17.6.2) für kleine Reynolds’sche Zahlen vor. Bei großen Reynolds’schen Zahlen, (17.28a) also kleinen Zähigkeiten, werden viele Probleme mit der „Grenzschichttheorie“ gelöst, deren Ursprung auf Prandtl zurückgeht. Dabei wird die stets am Körper der Haftbedingung unterworfene, strömende zähe Flüssigkeit nur in einer dünnen Grenzschicht als reibungsbehaftet, sonst aber als ideal angesehen. (17.28b)

@x C  div ; @x @y C  div  ; y D 2 @y @z z D 2 C  div  ; @z   @y @x xy D  C ; @y @x   @x @z xz D  C ; @z @x   @y @z yz D  C : @z @y Das Newton’sche Grundgesetz für ein Flüssigkeitselement lautet für die x-Richtung x D 2

bzw. in vektorieller Form

17.6.2

Einige Lösungen für kleine

@x @x @x @x dx Reynolds’sche Zahlen (laminare D C x C y C z dt @t @x @y @z Strömung) Abb. 17.25a–c [10] 1 @p DX % @x a) Couette-Strömung. Um einen ruhenden Kern   @xy 1 @x @xz dreht sich ein äußerer Zylinder gleichförmig, C C C : angetrieben durch ein äußeres Drehmoment % @x @y @z (17.29) M. Die Navier-Stokes’sche Gl. (17.31) nimmt Aus den Gln. (17.28a), (17.28b) und (17.29) folin hier zweckmäßigen Polarkoordinaten in gen für inkompressible Flüssigkeiten .div  D r- und '-Richtung (mit r D 0, ' D 0/ die Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes .r/, p D p.r/ aus Symmetriegründen und 2 (für die y- und z-Richtung gelten analoge Gleiund F D 0) die Form  r D  %1 @p @r 

chungen):  d2   d 1 d 1 d  C r dr  r 2 D % dr r dr .r/ D 0 % dr 2 an. 1 @p dx DX Hieraus ergibt sich nach Integration  D dt % @x  2  C1 r=2 C C2=r. Die Konstanten C1 und C2 er2 2 @ x @ x  @ x C C C hält man aus .ri / D 0 und .ra / D !ra zu % @x 2 @y 2 @z 2 C2 D C1 ri2 =2 und C1 D 2!ra2 =.ra2  ri2 /;  1 @p r2 !r 2 (17.30) C  x DX damit ist  D r 2 ra 2 r  ri . % @x % a i

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

335

R @p Aus VP D  dy D const folgt @x D 6  .h  h0 / mit @p/@x D 0 für h D h0 . h3 0 Für die Schubspannung bei y D 0 gilt  D 0 .3h0  4h/= h2 . c) Stokes’sche Widerstandsformel für die Kugel. Bei kleiner Reynolds’scher Zahl .Re 5 1/, d. h. schleichender Strömung, werde eine Kugel umströmt. Die Widerstandskraft ergibt sich nach Stokes zu FW D 3  d 0 :

Abb. 17.25 Strömungen zäher Flüssigkeiten

Diese Formel wurde von Oseen unter Berücksichtigung der Beschleunigungsanteile verbessert zu

Für die Schubspannungen gilt Gl. (17.28a), (17.28b) analog in Polarkoordinaten: 

 @' ' 1 @r  D C  r @' @r r   d  2!ra2 ri2 D ;  D 2 dr r ra  ri2 r 2 ı  .r D ra / D 2!ri2 ra2  ri2 :

(17.32)

FW D 3  d 0 Œ1 C .3=8/Re : Beispiel

Viskositätsbestimmung. – Fällt eine Kugel mit  D const durch eine zähe Flüssigkeit, so gilt FG  FW  FA D 0, d. h. %K g d 3 =6  3  d   %F g d 3 =6 D 0 und hieraus  D gd 2 .%K  %F /=.18/ : J

Für das am Zylinder erforderliche äußere Moment M D   2 ra lra folgt M D 4 !lra2ri2 =.ra2  ri2 /. Durch Messung von M lässt sich hieraus die Viskosität  bestimmen (Couette-Viskosimeter). b) Schmiermittelreibung. Bewegt sich eine schwach gekrümmte (oder ebene) Platte bei kleinem Zwischenraum parallel zu einer anderen, so entsteht ein Strömungsdruck, der eine Berührung der beiden Flächen und deren Reibung aufeinander verhindert. Mit y 0, @y =@y 0, x D  folgt aus der Kontinuitätsgleichung (17.21) @=@x D @y =@y D 0, d. h. @2 =@x 2 D 0. Wegen @x =@t D 0 ergibt sich aus Gln. (17.29) und (17.30) @p=@x D  @2 =@y 2 mit der Lösung @p y 2 CC1 yCC2 . Mit C1 und C2 aus .y/ D 1 @x 2 der Bedingung, dass die Flüssigkeit an den Platten haftet, ergibt sich .y/ D

 y 1 @p y .y  h/ C 0 1  :  @x 2 h

17.6.3

Grenzschichttheorie

Umströmt ein Stoff kleiner Zähigkeit (Luft, Wasser) einen Körper, so bildet sich aufgrund des Haftens des Fluids an der Körperoberfläche eine Grenzschicht von der Dicke ı(x), in der ein starkes Geschwindigkeitsgefälle und somit große Schubspannungen vorhanden sind. Außerhalb dieser Schicht ist das Geschwindigkeitsgefälle klein, somit sind bei kleinem  die Schubspannungen vernachlässigbar, d. h. die Flüssigkeit als ideal anzusehen. In der Regel ist der Anfangsbereich der Grenzschicht laminar und geht dann im Umschlagpunkt in turbulente Strömung mit erhöhten Schubspannungen über. Näherungsweise liegt der Umschlagpunkt an der Stelle des Druckminimums der Außenströmung [8]. Aus der Navier-Stokes’schen Gl. (17.31) folgt für den ebenen Fall, bei stationärer Strömung und ohne Massenkräfte mit der Kontinuitätsgleichung (17.21)

17

336

Abb. 17.26 Grenzschicht

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 17.27 Strömungswiderstände

und den Vereinfachungen y  x ; @y =@x  der Reibungswiderstand mit Hilfe der Grenz@y =@y; @x =@x  @x =@y; @p/@y 0 schichttheorie weitgehend berechenbar ist, muss der theoretisch schwierig erfassbare Druckwider@x dp @2 x (17.33) stand im Wesentlichen experimentell bestimmt D C 2 : %x @x dx @y werden. Je nach Körperform überwiegt der Reibungs- oder der Druckwiderstand. Für die Körper Bei einem schwach gekrümmten Profil auf Abb. 17.27 beträgt deren Verhältnis a) 100 : 0, (Abb. 17.26) folgt für die Wand y D 0 mit b) 90 : 10, c) 10 : 90 bzw. d) 0 : 100 in Prozent. x D 0 (Haftung) aus Gl. (17.33)  2  @ x dp : (17.34) Reibungswiderstand. Bei sehr schlanken und D dx @y 2 yD0 stromlinienförmigen Körpern umhüllt die Grenzschicht den ganzen Körper, d. h., es gibt keine Ist dp=dx < 0 (Anfangsbereich Abb. 17.26), Wirbel und keinen Druckwiderstand, sondern nur so folgt aus Gl. (17.34) @2 x =@y 2 < 0; einen Reibungswiderstand. das Geschwindigkeitsprofil ist also konvex. Für   dp=dx D 0 wird @2 x =@y 2 D 0; das GeFr D cr %02 =2 A0 schwindigkeitsprofil hat also keine Krümmung. Für dp=dx > 0 wird @2 x =@y 2 > 0; das Profil ist also konkav gekrümmt, und es wird eine Stelle (A0 Oberfläche des umströmten Körpers). Für den erreicht, wo @x =@y D 0 ist. Anschließend wird Reibungsbeiwert cr gelten ähnliche Abhängigx negativ, d. h., es setzt eine rückläufige Strö- keiten wie bei durchströmten Rohren. Zugrunde mung ein, die in Einzelwirbel übergeht. Wegen gelegt werden die Ergebnisse für die umströmder Wirbel entsteht hinter dem Körper ein Unter- te dünne Platte der Länge l (Abb. 17.27a): Der druck, der zusammen mit den Schubspannungen Übergang von laminarer zu turbulenter Strö5 längs der Grenzschicht den Gesamtströmungswi- mung tritt bei Rek D 5  10 ein. Hierbei ist Re D 0 l=. Der Umschlagpunkt von laminaderstand des Körpers ergibt [3, 8, 10]. rer in turbulente Strömung auf der Platte liegt also bei xu D Rek =0 . Die Dickepder laminaren Grenzschicht beträgt ı D 5  x= 17.6.4 Strömungswiderstand 0 , die p 5 von Körpern der turbulenten Grenzschicht ı Dp 0;37 x 4 =0 . Reibungsbeiwerte cr D 1;327=p Re für lamiDer aus den Schubspannungen längs der Grenz- nare Strömung, cr D 0;074= 5 Re für turbuschicht entstehende Widerstand wird Reibungs- lente Strömung-glatte Platte, cr D 0;418=Œ2 C widerstand, der infolge des durch Strömungsab- lg.l=k/2;53 für turbulente Strömung-raue Platte lösung und Wirbelbildung hinter dem Körper ver- (k D 0;001 mm für polierte Oberfläche, k D ursachten Unterdrucks entstehende Widerstand 0;05 mm für gegossene Oberfläche). Für k 5 wird Druckwiderstand genannt. Beide zusam- 100l=Re ist die Platte als hydraulisch glatt anmen ergeben den Gesamtwiderstand. Während zusehen Diagramm s. [3].

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

337

Druckwiderstand (Formwiderstand). Er ergibt sich durch Integration über die Druckkomponenten in Strömungsrichtung vor und hinter dem Körper. Man fasst ihn zusammen zu

Reibungswiderstand an rotierenden Scheiben. Bewegt sich eine rotierende dünne Scheibe mit der Winkelgeschwindigkeit ! in einer Flüssigkeit, so bildet sich eine Grenzschicht aus, deren Teilchen an der Oberfläche der Scheibe haften.  2  Die an beiden Seiten auftretenden Reibungskräfte Fd D cd %0 =2 Ap erzeugen ein der Bewegung entgegengesetzt wir(Ap Projektionsfläche des Körpers, auch Schat- kendes Drehmoment (Abb. 17.29): tenfläche genannt). cd ist durch Messung der Z Z Druckverteilung bestimmbar. In der Regel führen % 2 D 2 rcF dA M D 2 r dF r die Messungen jedoch sofort zum Gesamtwider2 stand. Zd=2 D rcF %! 2 r 2 2 r dr Gesamtwiderstand. Er setzt sich aus Reibungs0 und Druckwiderstand zusammen:    5   d %! 2 d 5 4 cF %! 2 D c : D M   5 2 2 2 2 (17.35) FW D cw %02 =2 Ap : Für Körper mit rascher Strahlablösung (prak- Für den Drehmomentenbeiwert cM gilt in Abtisch reiner Druckwiderstand) hängt cw nur von hängigkeit von der Reynolds’schen Zahl Re D 2 der Körperform, für alle anderen Körper von !d =.2/ nach [1] bei: ausgedehnten ruhenden Flüssigkeiten der Reynolds’schen Zahl ab. Für einige Körper können die Widerstandszahlen cw Tab. 17.2 entnommen werden. für Re < 5  105 (laminare Strömung) p cM D 5;2= Re ; Winddruck auf Bauwerke. Die maßgebenden für Re > 5  105 (turbulente Strömung) Windgeschwindigkeiten sowie Beiwerte cw sind p 5 DIN 1055 Blatt 4 zu entnehmen. cM D 0;168= Re ; Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen. Der Flüssigkeiten in Gehäusen (hier ist s der Abstand Widerstand wird aus Gl. (17.35) berechnet, wobei zwischen Scheibe und Gehäusewand) die Widerstandszahlen cw Tabellen zu entnehmen sind (s. Bd. 3, Abschn. 53.2). für Re < 3  104 Schwebegeschwindigkeit von Teilchen. Wird ein fallendes Teilchen von unten nach oben mit Luft der Geschwindigkeit  angeblasen, so tritt Schweben ein (Abb. 17.28), wenn FG D FA C %K Vg D %VgCcw .%F  2 =2/Ap und hierFW , d. h. p aus  D 4d.%K  %F /g=.3cw %F / ist.

cM D 2 d=.sRe/ ; für 3  104 < Re < 6  105 p cM D 3;78= Re ; für Re > 6  105

p 5 cM D 0;0714= Re :

Abb. 17.28 Schwebezustand Abb. 17.29 Radscheibenreibung

17

l=a D 2;5W

Kreisringplatte

d=D D 0; 5W

cw D 1;11

cw D 1; 22

cw D 0;81

cw D 1;33 1;17

cw D 0;05 : : : 0;1

Kreisplatte

cw D 0;91 0;85 0;87 0;99

l=d D 1W 2W 4W 7W

ohne BodenW mit BodenW

Prisma

cw D 0;34 0;40

Halbkugel

Kreiszylinder

ohne BodenW mit BodenW

Halbkugel

Re > 105 W

cw D 0;6 0;21

Re < 5  105 W Re > 5  105 W

103 < Re < 2  105 W Re D 4  105 W Re D 106 W

cw D 0;47 0;09 0;13

Rotationsellipsoid

Kugel

Tab. 17.2 Widerstandszahlen cw angeströmter Körper

cw D 0;34 0;51

cw D 0; 63 0;68 0;74 0;82 0;98 1;20 0;35

l=d D 1W 1;5W 2W 3W

cw D 0;93 0;78 1;04 1;52

l=a D 5W cw D 1;56 1W 2;03 5W 0;92 ˛ D 45ı W 1W 1;54 2 Kreisplatten hintereinander

˛ D 90ı W

Prisma

˛ D 30ı W 60ı W

l=d D 1W 2W 5W 10W 40W 1W 1W Re > 5  105 W Kegel (ohne Boden)

Re < 9  104 W

Kreiszylinder

t =d D 2W 3W 5W 10W 20W

a=b D 1W 2W 4W 10W 18W 1W

cw D 1;10 1;15 1;19 1;29 1;40 2;01

Rechteckplatte

cw D 0;86

cw D 2;04

I-Profil-Stab

cw D 0;58

Kegel (schlank)

Re > 105 W

Profilstab

cw D 0;2 0;1 0;06 0;083 0;094

338 J. Villwock und A. Hanau

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

17.6.5 Tragflügel und Schaufeln Ein unter dem Anstellwinkel ˛ mit 0 angeströmter Tragflügel erfährt eine Auftriebskraft FA senkrecht zur Anströmrichtung und eine Widerstandskraft FW parallel zur Strömungsrichtung (Abb. 17.30a,b):   FA D ca %02 =2 A;

  FW D cw %02 =2 A : (17.36a,b) Hierbei ist ca der Auftriebsbeiwert und A die senkrecht auf die Sehne l projizierte Flügelfläche. Angestrebt wird eine möglichst günstige Gleitzahl q " D cw =ca . Aus der Resultierenden FR D FA2 C FW2 sowie ˇ D arctan.FW =FA / folgen die Kräfte normal und tangential zur Sehne (Abb. 17.30c): Fn D FR cos.ˇ  ˛/;

Ft D FR sin.ˇ  ˛/ :

Die Lage des Angriffspunkts der Resultierenden auf der Sehne (Druckpunkt D) wird durch die Entfernung s vom Anfangspunkt der Sehne bzw. durch den Momentenbeiwert cm festgelegt: Fn s D Fn0 l D cm .%02 =2/Al (Fn0 ist eine gedachte, an der Hinterkante wirksame Kraft). Mit Fn

FA D ca .%02 =2/A ergibt sich s D .cm =ca /l. Auftrieb. Allein maßgebend für den Auftrieb ist nach dem Satz von Kutta-Joukowski (s. Abschn. 17.5.2) die Zirkulation  :   FA D %0  D %0 2 C D ca %02 =2 A : (17.37)

339

Die Konstante C wird so bestimmt, dass die Strömung an der Hinterkante glatt abfließt (Kutta’sche Abflussbedingung; die Hinterkante wird nicht umströmt). Infolge der Zirkulation wird die Strömung auf der Oberseite (Saugseite) schneller und auf der Unterseite (Druckseite) langsamer, d. h., entsprechend der Bernoulli’schen Gleichung % 2 =2 C p D const wird der Druck oben kleiner und unten größer. Unterdruck p1 und Überdruck p2 sind in Abb. 17.30d längs des Profilumfangs aufgetragen. Der Auftrieb lässt sich über die Zirkulation nach Gl. (17.37) oder durch Integration über den Druck p mit demselben Ergebnis ermitteln. Die Berechnung über die Zirkulation kann für einen unendlich langen Tragflügel auf zweierlei Art geschehen: entweder durch konforme Abbildung des Profils auf einen Kreis, da für ihn die Potentialströmung mit Zirkulation bekannt ist (s. Abschn. 17.5.2), oder nach der Singularitätenmethode (Näherungsverfahren), wobei das umströmte Profil durch eine Reihe von Wirbeln, Quellen, Senken und Dipolen angenähert wird [3]. Mit diesen Methoden ergibt sich für ein Kreisbogenprofil der Wölbung f (Abb. 17.30e) der Auftriebsbeiwert ca D 2  sin.˛ C ˇ=2/

2 .˛ C 2f = l/ und für ein beliebig gekrümmtes Profil mit den Endwinkeln und ' (Abb. 17.30f) ca D 2  sin.˛ C =8 C 3'=8/. Das Ergebnis für das Kreisbogenprofil kann als gute Näherung für alle Profile verwendet werden, wenn der Anstellwinkel nicht zu groß ist. Der Auftrieb wächst also linear mit dem Anstellwinkel und der rela-

17 Abb. 17.30 Tragflügel. a Gewölbtes Profil; b Tropfenprofil; c Kraftzerlegung; d Druckverteilung; e und f dünnwandige Profile

340

J. Villwock und A. Hanau

liptischer Auftriebsverteilung nach Prandtl cwi D ca2 =  ;

(17.38)

Abb. 17.31 Querströmung am Tragflügel

tiven Wölbung f = l. Für ˛0 D 2f = l wird der Auftrieb Null. Bei Tragflügeln endlicher Länge erzwingt der Druckunterschied zwischen Unter- und Oberseite eine Strömung zu den Flügelenden hin, da dort der Druckunterschied Null sein muss (Abb. 17.31), d. h., es liegt eine räumliche Strömung vor, die nicht mehr mit den Methoden der ebenen Potentialtheorie erfassbar ist. Dabei nimmt der Auftrieb (und damit die Zirkulation) von der Mitte zu den Enden hin stetig auf Null ab und zwar angenähert ellipsenförmig. Am Flügelende entsteht dabei dauernd eine Zirkulation, die in Form freier Wirbel abschwimmt und aufgrund ihres Energieverbrauchs den „induzierten Widerstand“ hervorruft. Widerstandskraft. Der Gesamtwiderstand nach Gl. (17.36b) setzt sich aus dem Reibungs- und Druckwiderstand (s. Abschn. 17.6.4) sowie dem induzierten Widerstand infolge Wirbelbildung an den Flügelenden zusammen: FW D FWo C FWi , cw D cwo C cwi . Für den Beiwert des induzierten Widerstands gilt bei el-

wobei  D A=b 2 das sogenannte Seitenverhältnis und b die Spannweite des Flügels ist. Der induzierte Widerstand nimmt also quadratisch mit dem Auftrieb bzw. linear mit dem Seitenverhältnis zu. Der Profilwiderstandsbeiwert cwo ist unabhängig von  und ändert sich nur geringfügig mit ca bzw. ˛. Polardiagramm. Die errechneten oder gemessenen Werte ca , cw und cm werden im Polardiagramm aufgetragen, in Abb. 17.32a z. B. für das Göttinger Profil 593 mit  D 1 W 5. Hierbei bilden die Koeffizienten cw und cm die Abszisse und der Koeffizient ca die Ordinate. Die zu den einzelnen Werten gehörenden Anstellwinkel ˛ sind ebenfalls eingetragen. Strichpunktiert ist die Parabel des induzierten Widerstands nach Gl. (17.38) dargestellt. Die Gerade g zu einem Punkt der cw -Kurve hat die Steigung tan D cw =ca D ". Der Winkel kann als Gleitwinkel eines antriebslosen Flugzeugs (Abb. 17.32b) gedeutet werden. Abb. 17.32c zeigt für dasselbe Profil die Werte ca und cw als Funktion des Anstellwinkels ˛. Bis etwa 13° nimmt der Auftrieb linear mit dem Anstellwinkel zu, er erreicht bei 15° seinen Höhepunkt und nimmt dann wieder

Abb. 17.32 Tragflügel-Theorie. a Polardiagramm; b Gleitwinkel; c Auftriebs- und Widerstandsbeiwert

17

Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

ab. Die Ursache für diese Abnahme ist im Abreißen der Strömung auf der Oberseite des Profils zu finden, das einer Verkleinerung des Anstellwinkels gleichzusetzen ist. Der Widerstandskoeffizient cw ist für den Anstellwinkel ˛ D 4ı minimal; er nimmt nach beiden Seiten quadratisch zu.

341

Ablösungsverluste auf. In beiden Fällen wird der Wirkungsgrad verschlechtert. Die günstigste Schaufelteilung wird nach den Ergebnissen von Zweifel [1] ermittelt. Nachfolgend werden Gitter ohne Reibungsverluste betrachtet:

a) ruhendes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl. Aus der Kontinuitätsgleichung folgt m D Allgemeine Ergebnisse. Vergleicht man geo1 cos ˛1 D 2 cos ˛2 D const, und aus dem Impulssatz und der Bernoulli’schen Gleimetrisch ähnliche Profile, so gelten für ca , cw und ˛ chung folgen ca2 D ca1 D ca ; Fy D bt%m .1u  2u / ;     2  cw2 D cw1 C ca2 =  A2 =b22  A1 =b12 ; 2  2u =2 (17.40) Fx D bt% 1u   ˛2 D ˛1 C .ca = / A2 =b22  A1 =b12 : (17.39) (b Gittertiefe senkrecht zur Zeichenebene). Der Auftrieb, aber auch der Profilwiderstand, Ferner gilt nehmen bei gleichem Skelett mit wachsender tan ˛1 D Fx =Fy Profildicke zu. Bei gleicher Dicke wird der Auf  trieb mit zunehmender Wölbung größer. Unter1u C 2u D m ; halb Re D l= D 60 000 : : : 80 000 (un2 q terkritischer Bereich) sind Profile wesentlich unD Fx2 C Fy2 : (17.41) F A günstiger als Schaufeln. Der Auftrieb nimmt bis maximal ca D 0;3 : : : 0;4 ab, je nach Dicke der Profile, während der Widerstand stark zunimmt. b) bewegtes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl. Bewegt sich das Gitter mit der GeschwindigIm überkritischen Bereich wird der Auftrieb mit keit u, so gelten die Gln. (17.40) und (17.41), Re bei mäßig gewölbten Profilen größer, bei stark wenn man dort die Absolutgeschwindigkeiten gewölbten Profilen kleiner. Klappen am hinteren  durch die Relativgeschwindigkeiten w erEnde und Vorflügel vergrößern den Auftrieb ersetzt. Die Kraft Fy erbringt die Leistung heblich, ebenso Absaugen der Luft oder Ausblasen von Gasstrahlen am Flügelende. Bei großen P D Fy u D bt%wm u.w1u  w2u / : Re-Zahlen ist der laminare Reibungswiderstand wesentlich kleiner als der turbulente. Bei geeigneter Formgebung wird der Umschlagpunkt c) Gitter mit endlicher Schaufelzahl. Die Ablenkung von ˛1 nach ˛2 ist nur möglich, wenn möglichst weit ans Ende des Profils verlegt (Ladie Schaufelenden aufgewinkelt oder so ausminarflügel), z. B. indem die dickste Stelle des gebildet werden, dass ˛1 < ˛10 und ˛2 > ˛20 . Profils nach hinten verschoben und die GrenzDie Gln. (17.40) und (17.41) gelten für die schicht abgesaugt wird. Hierdurch lässt sich der ausgeglichene Strömung, d. h. für die Ersatzcw -Wert um 50 % und mehr vermindern. gitterbreite a0 . Die auf eine Schaufel wirkende Kraft FA steht auf ˛1 senkrecht und kann nach der Profiltheorie aus 17.6.6 Schaufeln und Profile im  2  Gitterverband =2 bl und FA D ca %1 q Im Gitterverband (Abb. 17.33a–c) spielen die 1 D m2 C Œ.1u C 2u /=22 Reibungsverluste eine entscheidende Rolle. Bei berechnet werden. Entsprechend gilt für die zu enger Schaufelteilung wird die Flächenrei2 =2/bl. Für Widerstandskraft FW D cw .%1 bung zu groß, und bei zu weiter Teilung treten

17

342

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 17.33 Schaufelgitter

das bewegte Gitter, welches Arbeit aufnimmt (Turbine) oder Arbeit abgibt (Pumpe), gilt mit p D .p2 C %22 =2/  .p1 C %12 =2/ ca D 2t p=.uw1 %l/. Für die optimale Schaufelteilung sind die Untersuchungen von Zweifel [1] maßgebend: Mit FA D A .%w22 =2/l und A D .2 sin2 ˛2 = sin ˛1 /.cot ˛2  cot ˛1 /t= l ergibt sich die günstigste Schaufelteilung und ein optimaler Wirkungsgrad für 0;9 < A < 1;0. Für Fy gilt entsprechend Fy D T .%w22 =2/a mit T D 2 sin2 ˛2 .cot ˛2  cot ˛1 /t=a. Für optimale Schaufelteilung gilt 0;9 < T < 1;0.

Literatur Spezielle Literatur 1. Eck, B.: Technische Strömungslehre, Bd. 1, 9. Aufl. Springer, Berlin (1988) 2. Kalide, W.: Einführung in die technische Strömungslehre, 7. Aufl. Hanser, München (1990)

3. Truckenbrodt, E.: Fluidmechanik, 4. Aufl. Springer, Berlin (1996) 4. Jogwich, A., Jogwich, M.: Technische Strömungslehre für Studium und Praxis, 2. Aufl. DIV Deutscher Industrieverlag, München (2010) 5. Bohl, W., Elmendorf, W.: Technische Strömungslehre, 14. Aufl. Vogel, Würzburg (2008) 6. Herning, F.: Stoffströme in Rohrleitungen, 4. Aufl. VDI-Verlag, Düsseldorf (1966) 7. Ullrich, H.: Mechanische Verfahrenstechnik. Springer, Berlin (1967) 8. Schlichting, H.: Grenzschicht-Theorie, 10. Aufl. Braun, Karlsruhe (2006) 9. Brauer, H.: Grundlagen der Einphasen- und Mehrphasenströmungen. Sauerländer, Aarau und Frankfurt am Main (1971) 10. Szabó, I.: Höhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Springer, Berlin (2001) 11. Sigloch, H.: Technische Fluidmechanik, 5. Aufl. Springer, Berlin (2004) 12. Prandtl, Oswatitsch, Wieghardt: Führer durch die Strömungslehre, 11. Aufl. Vieweg, Braunschweig (2002)

Ähnlichkeitsmechanik

18

Joachim Villwock und Andreas Hanau

18.1 Allgemeines Die Ähnlichkeitsmechanik hat die Aufgabe, Gesetze aufzustellen, nach denen am (in der Regel verkleinerten) Modell gewonnene Versuchsergebnisse auf die wirkliche Ausführung (Hauptausführung) übertragen werden können. Modellversuche sind erforderlich, wenn eine exakte mathematisch-physikalische Lösung eines technischen Problems nicht möglich ist, oder wenn es gilt, theoretische Grundlagen und Arbeitshypothesen in Versuchen zu bestätigen. Die Modellgesetze der Ähnlichkeitsmechanik bilden somit die Grundlage für das umfangreiche Versuchswesen in der Statik, Festigkeitslehre, Schwingungslehre, Strömungslehre, dem Schiffs- und Schiffsmaschinenbau, Flugzeugbau, Wasser- und Wasserturbinenbau, für wärmetechnische Probleme usw.

kalischen Prozess beteiligten Größen wie Wege, Zeiten, Kräfte, Spannungen, Geschwindigkeiten, Drücke, Arbeiten usw. entsprechend den physikalischen Gesetzen ähnlich übertragen werden. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht möglich, da zur Übertragung nur die SI-Basiseinheiten m, kg, s und K bzw. deren Maßstabsfaktoren zur Verfügung stehen, ergänzt durch Stoffparameter wie Dichte %, Elastizitätsmodul E usw. Daraus folgt, dass nur eine beschränkte Anzahl physikalischer Grundgleichungen ähnlich übertragbar ist, d. h., nur unvollkommene Ähnlichkeit ist in der Regel realisierbar. Maßstabsfaktoren. Für die Grundgrößen Länge l, Zeit t, Kraft F und Temperatur T besteht zwischen der wirklichen Ausführung (H) und dem Modell (M) geometrische, zeitliche, dynamische oder thermische Ähnlichkeit, wenn

lM = lH D lV ; tM =tH D tV ; Physikalische Ähnlichkeit [1]. Voraussetzung FM =FH D FV oder TM =TH D TV ist die geometrisch ähnliche, d. h. winkeltreue (formtreue) Ausführung des Modells (Winkel ha- für alle Punkte des Systems eingehalten wird ben keine Einheit, daher ist ihr Übertragungs- (l ; t ; F und T sind Verhältniszahlen, die sog. V V V V maßstab stets gleich 1). Vollkommene mechani- Maßstabsfaktoren). sche Ähnlichkeit liegt vor, wenn alle am physiJ. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

Einheiten. Hat eine physikalische Größe B D F n1 l n2 t n3 T n4 die Einheit Nn1 mn2 sn3 Kn4 , so folgt der Übertragungsmaßstab BV D BM =BH direkt aus der Einheit zu BV D FVn1 lVn2 tVn3 TVn4 . Zum Beispiel ergibt sich das Übertragungsgesetz für die mechanische Arbeit W direkt aus der Einheit Nm zu WM =WH D FV lV anstelle der umständlicheren Form WM =WH D .FM lM /=.FH lH / D FV lV .

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_18

343

344

J. Villwock und A. Hanau

Kennzahlen. Die an einem Vorgang maßgeblich beteiligten, mit Einheiten behafteten Einflussgrößen lassen sich in Form von Potenzprodukten zu Kennzahlen zusammenfassen, die keine Einheit haben (z. B. Froude’sche Kennzahl, Reynolds’sche Kennzahl). Dadurch wird die Zahl der Veränderlichen reduziert, und jede maßgebliche, einen Vorgang bestimmende Gleichung bzw. Differentialgleichung lässt sich in eine Funktion der einheitenlosen Kennzahlen umformen. Dabei gilt nach [1]: Das Verhältnis zweier Größen beliebiger Art lässt sich ersetzen durch das Verhältnis beliebiger anderer Größen, sofern die neuen Größen auf dieselben Einheiten führen wie die ersten.

werden, welches die Eigengewichtskräfte mechanisch ähnlich wiedergibt. In welchem Verhältnis stehen dann die Eigengewichtskräfte bzw. müssen sonstige eingeprägte Kräfte stehen? In welchem Verhältnis werden die Spannungen und (Hooke’schen) Formänderungen übertragen (EH D 210 kN=mm2 , EM D 70 kN=mm2 )? – Nach Gl. (18.1) wird FV1 D .2;70=7;85/=103 D 1=2907 D FM =FH , d. h., die Kräfte am Modell sind 2907mal kleiner. Für die Spannungen folgt M =H D FV = lV2 D 100=2907 D 1=29 D V . Für die Formänderungen ergibt sich aus l D l=E das Verhältnis

lM =lH D lV D lV V EH =EM Erweiterte Ähnlichkeit. Häufig lässt sich strenD .1=10/.1=29/210=70 ge Ähnlichkeit wegen der großen Zahl der EinD 1=96;7 : J flussgrößen nicht erzielen. Man beschränkt sich dann (auch aus Ersparnisgründen) auf die Ähnlichkeit der bei einem Vorgang dominierenden Maßstabsfaktor für gleiche Dehnungen (für sog. elastische Kräfte). Sollen die elastischen Größen und verfügt über die restlichen frei. (Hooke’schen) Dehnungen am Modell und an der Hauptausführung gleich sein, folgt für die Kräfte aus der Bedingung

18.2 Ähnlichkeitsgesetze (Modellgesetze)

"M D FM =.EM AM / D "H D FH =.EH AH / FM =FH D EM AM =.EH AH /;

18.2.1 Statische Ähnlichkeit

FV2 D

.EM =EH /lV2

d: h:

:

(18.2) Maßstabsfaktor für Gewichtskräfte. Für Gewichtskräfte FM D %M VM gM am Modell und FH D %H VH gH an der Hauptausführung (V Vo- Hooke’sches Modellgesetz: Zwei Körper sind lumen, g Erdbeschleunigung) folgt das Übertra- bezüglich der elastischen Dehnungen mechanisch ähnlich, wenn die Hooke’schen Kennzahlen gungsgesetz Ho übereinstimmen: FM =FH D %M VM gM =.%H VH gH / ; FV1 D

.%M =%H /lV3

d. h. (18.1)

(da auf der Erde gM D gH ist). Bei freier Wahl von %M ; %H und lV legt diese Gleichung also den Kräftemaßstab fest. Beispiel

Von der wirklichen Ausführung einer Stahlkonstruktion (%H D 7850 kg=m3) soll ein Modell aus Aluminium (%M D 2700 kg=m3) im Maßstab lV D lM = lH D 1 W 10 hergestellt

2 / D FH =.EH lH2 / : Ho D FM =.EM lM

(18.3)

Beispiel

Von einem Knickstab aus Stahl wird ein maßstabgetreues Modell im Verhältnis lV D 1 W 8 aus Aluminium hergestellt (EH D 210 kN=mm2 , EM D 70 kN=mm2 ) und am Modell eine Knickkraft von 1;2 kN gemessen. Wie groß ist die Knickkraft FK der wirklichen Ausführung, und in welchem Verhältnis stehen die Spannungen sowie Deformationen zueinander? – FV D .70=210/=64 D 1=192;

18 Ähnlichkeitsmechanik

345

FK D 192  1;2 kN D 230;4 kN; V D Bei alleiniger Wirkung der Trägheitskräfte sowie M =H D FV = lV2 D 1=3;0; lM =lH D freier Wahl von %M , %H , lV und tV legt Gl. (18.5) lV V EH =EM D 1=8;0. J den Kräftemaßstab fest. Daraus folgt

2 Gleichzeitige Berücksichtigung von GewichtsFM = %M .lM =tM /2 lM D FH = %H .lH =tH /2 lH2 und elastischen Kräften. Sollen gleichzeitig Gewichtskräfte und elastische Dehnungen me- und mit lM =tM D M und lH =tH D H chanisch ähnlich übertragen werden, so müssen     2 2 2 2 die Kräftemaßstäbe nach Gl. (18.1) und Gl. (18.2) Ne D FM = %M M lM D FH = %H H lH : (18.6) gleich sein. Aus FV1 D FV2 folgt Newton’sches Ähnlichkeitsgesetz: Zwei Vorgän3 2 ge sind bezüglich der Trägheitskräfte ähnlich, .%M =%H /lV D .EM =EH /lV ; d: h: wenn die Newton’schen Kennzahlen Ne übereinlV D .EM =EH /.%H =%M / : (18.4) stimmen. Der Längenmaßstab ist nicht mehr frei wählbar; er hängt nur noch von den Stoffparametern ab. Beispiel

Für das erste Beispiel in Abschn. 18.2.1 wird für mechanische Ähnlichkeit von Gewichtskräften und Dehnungen der Maßstabsfaktor gesucht. – lV D .70=210/.7850=2700/ D 1 W 1;03, d. h., eine gleichzeitige Berücksichtigung von Gewichtskräften und Dehnungen ist nur an der wirklichen Ausführung möglich. Deshalb beschränkt man sich auf die erweiterte Ähnlichkeit, indem für den Maßstab 1 : 10 die Ähnlichkeit der elastischen Kräfte erfüllt wird. Dann ergibt sich nach Gl. (18.2) FV D .70=210/=100 D 1=300 D FM =FH , während die Gewichtskräfte wie im ersten Beispiel im Verhältnis 1=2907 übertragen werden. Die Differenz der Gewichtskräfte .1=300/–.1=2907/  FGH lässt sich als äußere Zusatzlast am Modell anbringen. J

Beispiel

Für einen auf horizontaler Bahn bewegten Wagen aus Stahl (%H D 7850 kg=m3, VH D 1 m3 , FH D 10 kN) soll ein Modell aus Holz .%M D 600 kg=m3/ im Maßstab 1 : 20 hergestellt werden. Welche Kräfte müssen am Modell angreifen, wenn der Zeitmaßstab tV D tM =tH D 1 W 100 sein soll? In welchem Verhältnis werden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen übersetzt? – FV3 D .600=7850/.1002=204 / D 1=209;3; FM D FH FV3 D 47;8 N; M =H D lV =tV D 100=20 D 5; aM =aH D lV =tV2 D 1002 =20 D 500. J Ähnlichkeitsgesetz von Cauchy. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trägheitskräfte und elastische Kräfte maßgeblich beteiligt, so folgt aus FV3 D FV2 nach den Gln. (18.5) und (18.2) p (18.7) tV D lV .EH =EM /.%M =%H / I

d. h., nur der Längenmaßstab (oder der Zeitmaßstab) ist noch frei wählbar. Mit tV D tM =tH und lV D lM = lH folgt daraus M =H D Ähnlichkeitsgesetz von Newton-Bertrand. p.E =E /.% =% / bzw. M H H M Beschleunigte Bewegungsvorgänge genügen p p dem Newton’schen Grundgesetz F D ma. C a D M = EM =%M D H = EH =%H : (18.8) Daraus folgt für den Kräftemaßstab bei mechanischer Ähnlichkeit der Trägheitskräfte an Modell Cauchys Ähnlichkeitsgesetz: Zwei Vorgänge, die und Hauptausführung mit aV D lV =tV2 überwiegend unter Einfluss von Trägheits- und elastischen Kräften stehen, sind mechanisch ähnFM =FH D %M VM aM =.%H VH aH / ; d: h: lich, wenn ihre Cauchy’schen Kennzahlen Ca (18.5) übereinstimmen. FV3 D .%M =%H /.lV4 =tV2 / :

18.2.2 Dynamische Ähnlichkeit

18

346

J. Villwock und A. Hanau

Ähnlichkeitsgesetz von Froude. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trägheitskräfte und Gewichtskräfte überwiegend beteiligt, so folgt aus FV1 D FV3 nach den Gln. (18.1) und (18.5) tV D

p

lV I

 absolute,  D =% kinematische Zähigkeit. Nur der Längenmaßstab ist noch frei wählbar und im Rahmen der zur Verfügung stehenden Medien der Stoffparameter M . Aus Gl. (18.12) folgt 2 = lH2 , d. h. tM =tH D .H =M /lM

(18.9)

(18.13) Re D M lM =M D H lH =H : d. h., nur der Längenmaßstab (oder der Zeitmaß2 =tH2 D Reynolds’sches Ähnlichkeitsgesetz: Zwei Ströstab) ist noch frei wählbar. Daraus folgt tM 2 2 2 2 mungen zäher Newton’scher Flüssigkeiten sind lM = lH bzw. lM =.lM tM / D lH =.lH tH / und somit unter überwiegendem Einfluss der Trägheits- und 2 F r D M =.lM gM / D H2 =.lH gH / : (18.10) Reibungskräfte mechanisch ähnlich, wenn die Reynolds’schen Zahlen Re übereinstimmen. Froude’sches Modellgesetz: Zwei Vorgänge sind hinsichtlich der Trägheitskräfte und der GeBeispiel wichtskräfte mechanisch ähnlich, wenn die FrouDer Strömungswiderstand eines Einbauteils de’schen Kennzahlen Fr übereinstimmen. in einer Ölleitung soll im Modellversuch im Maßstab 1 : 10 mittels Messung des DruckBeispiel abfalls bestimmt werden, wobei Wasser als Von einem physikalischen Pendel aus Stahl Modellmedium vorgesehen ist. Wie verhal(%H D 7850 kg=m3) soll ein Modell aus ten sich die Strömungsgeschwindigkeiten und Holz (%M D 600 kg=m3) im Maßstab 1 : 4 die Kräfte bzw. der Druckabfall (M D hergestellt werden. Wie groß ist der Über106 m2 =s; H D 1;1  104 m2 =s; M D tragungsmaßstab tV , wie verhalten sich Kräf103 Ns=m2 ; H D 101 Ns=m2 /? – lV D te, Spannungen, Frequenzen, GeschwindiglM = lH D 1=10; V D M =H D keiten und p Beschleunigungen zueinander? – .M =H /= lV D .106 =1;1  104 /=.1=10/ D 1=4 D 1=2; FV D FM =FH D tV D 1=11; FV D FM =FH D .M =H /lV2 =tV D .600=7850/=64 D 1=837; M =H D .M =H /V lV D .103 =101 /.1=11/.1=10/ D FV = lV2 D 1=52; !M =!H D tH =tM D 1=tV D 1=11 000; pM =pH D .FM =FH /= lV2 D 2;0; M =H D lV =tV D 2=4 D 1=2I aM =aH D 100=11000 D 1=110. J lV =tV2 D 4=4 D 1;0. J Ähnlichkeitsgesetz von Reynolds. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trägheitskräfte und Reibungskräfte Newton’scher Flüssigkeiten überwiegend beteiligt, so folgt für letztere mit F D .d=dz/A nach Gl. (16.1) der Kräftemaßstab M dM =dzM FM D  FH H dH =dzH M  FV4 D H und damit aus FV4 D FV3 und (18.5) tV D



AM ; AH

lV2 tV

Ähnlichkeitsgesetz von Weber. Sind an einem Vorgang neben den Trägheitskräften die Oberflächenspannungen  , d. h. die Oberflächenkräfte F D  l, überwiegend beteiligt (wobei  als Materialkonstante aufzufassen ist), so folgt als Übertragungsmaßstab für die Oberflächenkräfte F M =F H D M lM =.H lH /;

d: h:

FV5 D .M =H /lV

(18.14)

(18.11)

und damit aus FV5 D nach den Gln. (18.11) Gln. (18.14) und (18.5)

.%M =%H /.H =M /lV2

d: h:

FV3 gemäß den

3 2 =tM D .%H =H /lH3 =tH2 .%M =M /lM

D

I (18.12)

.H =M /lV2

We D

2 lM =M %M M

D

%H H2 lH =H

bzw. : (18.15)

18 Ähnlichkeitsmechanik

347

Weber’sches Ähnlichkeitsgesetz: Vorgänge unter überwiegendem Einfluss von Trägheits- und Oberflächenkräften sind mechanisch ähnlich, wenn die Weber’schen Kennzahlen We übereinstimmen.

Weitere Ähnlichkeitsgesetze für Strömungsprobleme. Euler’sche Kennzahl: Bei Strömungsproblemen, bei denen die Reibung vernachlässigt werden kann, d. h. bei denen Druck- und Trägheitskräfte überwiegen (z. B. bei der Messung des Staudrucks p), liegt mechanische Ähnlichkeit vor, wenn die Euler’schen Kennzahlen Eu gleich sind:     2 D pH = %H H2 : (18.16) Eu D pM = %M M Mach’sche Kennzahl: Bei gasförmigen Fluiden, deren Strömungsgeschwindigkeit nahe der Schallgeschwindigkeit c liegt, herrscht mechanische Ähnlichkeit, wenn die Machschen Kennzahlen Ma gleich sind: Ma D M =cM D H =cH :

(18.17)

18.2.3 Thermische Ähnlichkeit Ähnlichkeitsgesetz von Fourier. Für den instationären Wärmeleitungsvorgang gilt die Fourier’sche Differentialgleichung  2  @ T @T @2 T @2 T C C 2 I Db @t @x 2 @y 2 @z

Beispiel

Für ein Modell im Maßstab 1 : 10 folgt bei gleichem Material .bM D bH / : tM D .lM = lH /2 tH D .1=100/tH, d. h., die Temperaturverteilung im Modell ist bei 1=100 der Zeit in der Hauptausführung erreicht. J Ähnlichkeitsgesetz von Péclet. Sollen zwei Strömungsvorgänge hinsichtlich der Wärmeleitung thermisch übereinstimmen, so müssen die Péclet’schen Kennzahlen Pe gleich sein: P e D M lM =bM D H lH =bH :

(18.21)

Ähnlichkeitsgesetz von Prandtl. Sollen zwei Strömungsvorgänge hinsichtlich der Wärmeleitung und Wärmekonvektion übereinstimmen, so müssen die Reynolds’schen und die Péclet’schen Kennzahlen übereinstimmen. Daraus ergibt sich eine Gleichheit der Prandtl’schen Kennzahlen Pr: P r D P e=Re D M =bM D H =bH :

(18.22)

Ähnlichkeitsgesetz von Nußelt. Für den Wärmeübergang zwischen zwei Stoffen besteht Ähnlichkeit, wenn die Nußelt’schen Kennzahlen Nu übereinstimmen: N u D ˛M lM =M D ˛H lH =H I

(18.23)

˛ Wärmeübergangskoeffizient,  Wärmeleitfä(18.18) higkeit.

b D .c%/ Temperaturleitfähigkeit,  Wärmeleitfähigkeit, c spezifische Wärmekapazität, % 18.2.4 Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) Dichte. Nach der Regel über die Einheiten folgt und ˘ -Theorem   2 TV =tV D .bM =bH / TV = lV bzw. (18.19) Sind die mit Einheiten behafteten Einflussgrößen tV D .bH =bM /lV2 eines Vorgangs bekannt, so lassen sich aus ihnen Potenzprodukte in Form einheitenloser Kennzahund hieraus len bilden. Die zur Darstellung eines Problems 2 2 F o D tM bM = lM D tH bH = lH : (18.20) erforderlichen Kennzahlen bilden einen vollständigen Satz. Jede physikalisch richtige GrößenFourier’sches Ähnlichkeitsgesetz: Zwei Wärme- gleichung lässt sich als Funktion der Kennzahlen leitungsvorgänge sind ähnlich, wenn die Fou- eines vollständigen Satzes darstellen (˘ -Theorier’schen Kennzahlen Fo übereinstimmen. rem von Buckingham).

18

348

J. Villwock und A. Hanau

Zum Beispiel kann man die Bernoulli’sche Gleichung für die reibungsfreie Strömung % 2 =2 C p C %gz D const bzw. 1=2 C p=.% 2 / C gz= 2 D const auch schreiben als 1=2 C Eu C 1=F r D const, d. h., die Euler’sche und die Froude’sche Kennzahl bilden für die reibungsfreie und temperaturunabhängige Strömung einen vollständigen Satz. Die fünf Einflussgrößen %, , p, g, z lassen sich also durch zwei einheitenlose Kennzahlen ersetzen, die zur vollständigen Beschreibung des Problems ausreichen. Eine Methode zur Ermittlung des vollständigen Satzes von Kennzahlen eines Problems – auch in Fällen, wo die physikalischen Grundgleichungen nicht bekannt sind – ist die Analyse der Einheiten unter Zugrundelegung des Buckingham-Theorems [2]. Es besagt: Gilt für n einheitenbehaftete Einflussgrößen xi die Beziehung f .x1 ; x2 ; : : : ; xn / D 0, so lässt sie sich stets in der Form f  .˘1 ; ˘2 ; : : : ; ˘m / D 0 schreiben, wobei ˘j die m einheitenlosen Kennzahlen sind und m D nq ist. Hierbei ist q die Anzahl der beteiligten Basiseinheiten. Für m, kg, s wird q D 3 bei mechanischen, und für m, kg, s, K gilt q D 4 bei thermischen Problemen. Mit einem Produktansatz (18.24) ˘ D x1a x2b x3c x4d : : : und nach Einsetzen der Einheiten für xi muss die Summe der Exponenten der Basiseinheiten m, kg, s und K jeweils null werden, da wegen der linken Seite auch die rechte einheitenlos sein muss. Zum Beispiel sind an der vorstehend zitierten reibungsfreien Strömung die Größen %, , z, g, p beteiligt. Dann gilt ˘ D .kg=m3 /a .m=s/b .m/c .m=s2 /d .kg=m s2 /e : (18.25) Für die Exponenten von kg, m, s folgt dann a C e D 0;

3a C b C c C d  e D 0 ; b  2d  2e D 0 : (18.26)

Zwei Exponenten können frei gewählt werden. Zum Beispiel sollen p und g Leitgrößen, d und e frei wählbar sein. Dann folgt aus Gl. (18.26) a D e, b D 2d  2e und c D d und somit ˘ D %a  b z c g d p e D %e  2d 2e z d g d p e D .zg= 2 /d .p=% 2 /e bzw. mit d D 1d und e D 1 ˘ D .1=F r/Eu; ˘1 D F r;

d. h.

˘2 D Eu :

(18.27)

Also ist das Problem der reibungsfreien Strömung mit m D n  q D 5  3 D 2 Kennzahlen beschreibbar, nämlich mit der Froude’schen und der Euler’schen Kennzahl. Ein funktionaler Zusammenhang in Form der Bernoulli’schen Gleichung lässt sich mit diesem Verfahren natürlich nicht herleiten (weitere Ausführungen s. [1–5]).

Literatur Spezielle Literatur 1. Weber, M.: Das allgemeine Ähnlichkeitsprinzip in der Physik und sein Zusammenhang mit der Dimensionslehre und der Modellwissenschaft. Jahrb. Schiffbautech. Ges., S. 274–354 (1930) 2. Katanek, S., Gröger, R., Bode, C.: Ähnlichkeitstheorie. Leipzig: VEB Deutscher Verlag f. Grundstoffindustrie (1967) 3. Fink, K., Rohrbach, C. Feucht: Handbuch der Spannungs- und Dehnungsmessung, VDI Verlag, Düsseldorf (1958) 4. Zierep, J.: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre, 3. Aufl. Braun, Karlsruhe (1992) 5. Görtler, H.: Dimensionsanalyse. Springer, Berlin (1975)

Literatur zu Teil II Mechanik

Balke, H.: Einführung in die Technische Mechanik, Statik, 3. Aufl. Springer, Heidelberg (2010) Balke, H.: Einführung in die Technische Mechanik, Kinetik, 3. Aufl. Springer, Heidelberg (2011) Brandt, Dahmen: Mechanik, 4. Aufl. Springer, Berlin (2005) Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1, 14. Aufl. Springer, Heidelberg (2019) Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 2, 13. Aufl. Springer, Heidelberg (2017) Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 3, 14. Aufl. Springer, Heidelberg (2019) Gross, Hauger, Wriggers: Technische Mechanik 4, 10. Aufl. Springer, Heidelberg (2018) Hutter, K.: Fluid- und Thermodynamik, 2. Aufl. Springer, Berlin (2003) Szabo, I.: Einführung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Springer, Berlin (2003)

Szabo, I.: Höhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Springer, Berlin (2001) Truckenbrodt: Fluidmechanik, 4. Aufl. Springer, Berlin (2008) (Nachdruck)

Normen und Richtlinien DIN 1305: Masse, Wägewert, Kraft, Gewichtskraft, Gewicht, Last; Begriffe DIN 1311: Schwingungen und schwingungsfähige Systeme DIN 1342-2 Viskosität – Teil 2: Newtonsche Flüssigkeiten DIN 1304-5: Formelzeichen für die Strömungsmechanik DIN 13317: Mechanik starrer Körper; Begriffe, Größen, Formelzeichen

349

Teil III Festigkeitslehre

Mit Hilfe der Festigkeitslehre wird ein Zusammenhang zwischen den von außen auf einen Körper wirkenden Belastungen und den daraus resultierenden inneren Beanspruchungen hergestellt. Unter Berücksichtigung der aus der Werkstofftechnik ermittelbaren Beanspruchbarkeiten der Materialien wird der Konstrukteur und die Konstrukteurin somit in die Lage versetzt, Bauteile beanspruchungsgerecht zu dimensionieren. Hierbei spielen bei der Beurteilung eines Bauteils nicht nur die Spannungen an kritischen Stellen einer Konstruktion, sondern auch die Verformungen eine Rolle. Der grundlegende Aufbau des Kapitels basiert auf den Ausführungen von G. Rumpel und H. D. Sondershausen (bis zur 18. Auflage). Der Inhalt der Festigkeitslehre umfasst eine Darstellung der allgemeinen Grundlagen, also der Definition der Spannungs- und Verzerrungsmaße. Hierbei wird – um den Rahmen des Abschnitts nicht zu sprengen – auf die Darstellung geometrisch linearer Maße beschränkt. Probleme, bei denen große Verformungen oder Verzerrungen eine Rolle spielen, sind in der Regel nur mit Hilfe numerischer Verfahren zu lösen. Die zur Festigkeitsberechnung wichtigen Werkstoffkenngrößen (siehe Kapitel E) werden erläutert und gängige Festigkeitshypothesen dargestellt. Der Konstrukteur und die Konstrukteurin sind bei der Festigkeitsbewertung vor die Aufgabe gestellt, geeignete Vereinfachungen zu treffen, die es ihm oder ihr ermöglichen, die Konstruktion einer Berechnung zugänglich zu machen. Ist eine Konstruktion aus stabförmigen oder flächenartigen Bauteilen zusammengesetzt, so können diese u. U. auf der Basis von Näherungstheorien, die auf Verformungsannahmen beruhen, relativ einfach berechnet werden. Bei der Berechnung komplexer volumenartiger Bauteilstrukturen bleibt dem Anwender in der Regel nur die Berechnung mittels numerischer Näherungsverfahren. Dementsprechend werden die Grundbeanspruchungen stabförmiger Bauteile dargestellt. Bei der Biegebeanspruchung wird auf die Betrachtung des schubstarren sog. Euler-Bernoulli-Balkens beschränkt. Es wird also vorausgesetzt, dass der Balken schlank und somit seine Länge wesentlich größer als die Querschnittsabmessungen ist und die Biegeverformungen klein im Vergleich zur Länge des Balkens bleiben. Des Weiteren gilt die Annahme isotropen Materials, für das das Hookesche Gesetz gilt. Die Berechnung der

352

Verformungen wird erläutert und durch eine umfangreiche Biegelinientabelle ergänzt. Für die Grundbeanspruchung Torsion wird auf die St.-Venantsche Torsion beschränkt. Müssen Normalspannungen infolge behinderter Verwölbung der Querschnitte berücksichtigt werden, sei auf die Spezialliteratur zur Wölbkrafttorsion verwiesen. Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie werden für den allgemeinen dreidimensionalen und in Spezialisierung für den rotationssymmetrischen und ebenen Spannungszustand dargestellt, sowie eine Lösung mittels Spannungsfunktionen nach Airy, die zur Lösung von Scheibenproblemen und von Krafteinleitungsproblemen Anwendung finden, erläutert. Die Hertzschen Formeln, die zum Beispiel bei der Berechnung der Flächenpressung zwischen Zahnrädern Anwendung finden, werden aufgelistet. Um dem Konstrukteur und der Konstrukteurin Berechnungshilfen für flächenartige Bauteile an die Hand zu geben, werden insbesondere die Grundgleichungen der schubstarren (dünnen) Platte und deren Lösung für ausgewählte Fälle dargestellt. Ergänzt wird die Betrachtung durch Scheibenund Schalenprobleme unter besonderer Berücksichtigung der dynamischen Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte. Druckbeanspruchte Systeme können nicht nur dadurch versagen, dass sie reißen oder fließen, vielmehr existiert beim Erreichen einer kritischen Last eine ausgebogene Gleichgewichtslage, die zum Versagen des Systems führt. Diese Stabilitätsprobleme werden dargestellt. Neben den sog. Eulerfälle für das Biegeknicken werden auch die Fälle Biegedrillknicken und Kippen, sowie das Beulen von Platten und Schalen erläutert. Numerische Berechnungsverfahren sind heutzutage aus der Anwendungspraxis des berechnenden Ingenieurs und der berechnenden Ingenieurin nicht mehr wegzudenken. Dementsprechend werden die Finiten Berechnungsverfahren: Finite Elemente Methode (FEM), Randelemente und Finite Differenzen Methode dargestellt. Hierbei ist die FEM die meist verbreitete Methode, deren grundsätzliche Vorgehensweise auf der Basis der Energiemethoden an einfachen Beispielen erläutert wird. Eine kurze Darstellung der Plastizitätstheorie mit Anwendungen auf die Biegung eines Rechteckbalkens und einem geschlossenen dickwandigen Rohr unter Innendruck sollen dem Anwender einen Eindruck über die im System bei zähen Materialien vorhandenen Sicherheitsreserven geben. Den Abschluss des Kapitels bildet eine Darstellung des Festigkeitsnachweises und der Berechnungs- und Bewertungskonzepte sowie dem Nennspannungs- und Kerbgrundkonzept.

19

Allgemeine Grundlagen Joachim Villwock und Andreas Hanau

Die Festigkeitslehre soll Spannungen und Verformungen in einem Bauteil ermitteln und nachweisen, dass sie mit ausreichender Sicherheit gegen Versagen des Bauteils aufgenommen werden. Ein Versagen kann in unzulässig großen Verformungen oder Dehnungen, im Auftreten eines Bruchs oder im Instabilwerden (z. B. Knicken oder Beulen) des Bauteils bestehen. Die hierfür maßgebenden Werkstoffkennwerte sind abhängig vom Spannungszustand (ein-, zwei- oder dreiachsig), von den Spannungsarten (Zug-, Druck-, Schubspannungen), vom Belastungszustand (statisch oder dynamisch), von der Betriebstemperatur sowie von der Größe und der Oberflächenbeschaffenheit des Bauteils.

19.1 Spannungen und Verformungen 19.1.1 Spannungen Den äußeren Kräften und Momenten an einem Körper (sowie den Trägheitskräften bzw. den negativen Massenbeschleunigungen bei beschleunigter Bewegung) halten im Innern eines Körpers entsprechende Reaktionskräfte das Gleichgewicht. Bei homogen angenommener MassenJ. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

verteilung des Körpers treten die inneren Reaktionskräfte flächenhaft verteilt auf. Durch jeden Punkt eines Körpers lassen sich unter unendlich vielen Richtungen elementare ebene Schnittflächen dA legen, deren Richtung durch den Normalenvektor n gekennzeichnet wird (Abb. 19.1a). Der Spannungsvektor s D dF =dA lässt sich in eine Normalspannung  D dFn =dA und in eine Tangential- oder Schubspannung  D dFt =dA zerlegen. In kartesischen Koordinaten (Abb. 19.1b) ergeben sich eine Normalspannung z D dFn =dA und zwei Schubspannungen zx D dFtx =dA bzw. zy D dFty =dA. Die Beschreibung des vollständigen Spannungszustands in einem Punkt erfordert drei Ebenen bzw. ein quaderförmiges Element (Abb. 19.1c) mit drei Spannungsvektoren bzw. dem Spannungstensor sx D x e x C xy e y C xz e z ; sy D yx e x C y e y C yz e z ; sz D zx e x C zy e y C z e z I 1 0 x xy xz C B S D @yx y yz A ; zx zy z mit s D nT S , also z. B. 0 x xy B sx D f1 0 0g  @yx y zx zy

(19.1)

1 8 9 xz ˆ < x > = C yz A D xy : ˆ : > ; z xz

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_19

353

354

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 19.2 Einachsiger Spannungszustand. a Spannungen am Element; b Mohr’scher Spannungskreis; c, d Trajektorien der Hauptnormal- und Hauptschubspannungen Abb. 19.1 Spannungen. a, b Definition; c Tensor

Aus den Momentengleichgewichtsbedingungen um die Koordinatenachsen für das Element nach Abb. 19.1c folgt xy D yx , xz D zx , yz D zy (Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen), d. h., zur vollständigen Beschreibung des Spannungszustands in einem Punkt sind drei Normalspannungen und drei Schubspannungen erforderlich. Der einachsige Spannungszustand. Erliegt vor, wenn am quaderförmigen Element (Abb. 19.2a) eine Normalspannung angreift, z. B. x D dF=dA, y D z D 0, xy D xz D yz D 0. Für ein unter dem Winkel ' liegendes Flächenelement folgen die zugehörigen Spannungen  und  aus den Gleichgewichtsbedingungen in n- und t-Richtung zu  D .x =2/  .1 C cos 2'/ und  D .x =2/ sin 2'. Hieraus folgt .  x =2/2 C  2 D .x =2/2 , die Gleichung des Mohr’schen Spannungskreises (Abb. 19.2b). Für 2' D 90ı bzw. ' D 45ı ergibt sich die größte Schubspannung zu  D x =2, die zugehörige Normalspannung ebenfalls zu  D x =2. Die größte und kleinste Normalspannung (hier 1 D x und 2 D 0) und die größte Schubspannung (hier 1 D x =2) werden Hauptnormal- und Hauptschubspannung genannt. Linien, die überall von den Hauptnormal- bzw. Hauptschubspannungen tangiert werden, heißen Hauptnormalspannungs- bzw. Hauptschubspannungstrajektorien (Abb. 19.2c,d).

Der zweiachsige (ebene) Spannungszustand. Treten lediglich in einer Ebene (z. B. der x, y-Ebene) Spannungen auf, so liegt ein ebener Spannungszustand vor (Abb. 19.3a). Für die in der unter dem Winkel ' geneigten Schnittfläche liegenden Spannungen  und  folgen aus den Gleichgewichtsbedingungen in n- und t-Richtung mit xy D yx 9  D x cos2 ' C y sin2 ' C 2xy sin ' cos ' > > > > > D 12 .x C y / C 12 .x  y / cos 2' > > > > = C xy sin 2' ; >  D .y  x / sin ' cos ' > > > > 2 2 > C xy .cos '  sin '/ > > > ; 1 D  2 .x  y / sin 2' C xy cos 2' : (19.2) Hieraus folgt nach Quadrieren und Addieren die Gleichung des Mohr’schen Spannungskreises (Abb. 19.3b) mit dem Radius r: 9   > x C y 2 > 2 >  C > > 2 > > >  2 = x  y 2 (19.3) D C xy ; > 2 > > > r > > > x  y 2 > 2 C xy :; rD 2 Der Kreismittelpunkt liegt an der Stelle .x C y /=2. Die Hauptnormalspannungen ergeben sich mit  D 0 aus Gl. (19.2) unter den Winkeln '01 und '02 D '01 C 90ı , die aus tan 2'0 D

2xy x  y

(19.4)

19 Allgemeine Grundlagen

355

Abb. 19.3 Ebener Spannungszustand. a Spannungen am Element; b Mohr’scher Spannungskreis; c Hauptspannungen

19

folgen, zu 1;2

x C y D ˙ 2

r x  y 2 2 : (19.5) C xy 2

Die größten Schubspannungen in der x,y-Ebene folgen gemäß Gl. (19.2) aus d=d' D 0 unter den Winkeln '11 und '12 D '11 C 90ı , die sich aus

Die Schubspannungen nach Gl. (19.7) sind die größten am Punkt herrschenden Spannungen, sofern 1 , und 2 unterschiedliches Vorzeichen besitzen. Haben 1 , und 2 gleiches Vorzeichen, ist der Betrag der maximalen Schubspannung jj D j1 =2j mit 1 als betragsmäßig größter Hauptnormalspannung, wie aus Abb. 19.1b mit 3 D 0 folgt.

y  x 2xy

Der dreiachsige (räumliche) Spannungszu(19.6) stand. Treten in drei senkrecht zueinander liegenden Ebenen Spannungen auf, so besteht ein ı ergeben, wobei '11 D '01 C 45 und '12 D räumlicher Spannungszustand (Abb. 19.1c). Er '02 C 45ı ist (Abb. 19.3c). Die Größe dieser wird von den sechs Spannungskomponenten x , Hauptschubspannungen entspricht dem Radius y , z , xy D yx , xz D zx und yz D zy bestimmt. Für eine beliebige Tetraederschnittfläche, des Mohr’schen Spannungskreises, d. h. deren Stellung mit dem Normalenvektor r x  y 2 2 : C xy (19.7) 1;2 D ˙ n D cos ˛ e x C cos ˇ e y C cos e z 2 D nx e x C ny e y C nz e z Die zugehörigen Normalspannungen sind für beide Winkel gleich groß, nämlich M D .x C festgelegt ist (Abb. 19.4), ergibt sich der Spannungsvektor s D sx e x C sy e y C sz e z bzw. seine y /=2. Die Richtung der Hauptnormalspannungstra- Komponenten aus den Gleichgewichtsbedingungen in x-, y-, z-Richtung zu jektorien folgt aus Gl. (19.4) tan 2'1 D

2xy 2 tan '0 2y 0 D D 2 2 0 1  tan '0 x  y 1y s 2 y  x y  x D ˙ C1; 2xy 2xy

tan 2'0 D 0 zu y1;2

die Richtung der dazu um 45° gedrehten Hauptschubspannungstrajektorien aus Gl. (19.6) y  x 2 tan '1 2y 0 D D 1  tan2 '1 2xy 1  y02 s 2 2xy 2xy D ˙ C1: x  y x  y

tan 2'1 D zu

0 y3;4

sx D nx x C ny yx C nz zx ; sy D nx xy C ny y C nz zy ; sz D nx xz C ny yz C nz z I q s D sx2 C sy2 C sz2 :

(19.8)

Die zur Tetraederschnittfläche senkrecht stehende Normalspannung ist  D sn D sx nx C sy ny C sz nz D n2x x C n2y y C n2z z C 2.nx ny xy C nx nz xz C ny nz yz / :

356 Abb. 19.4 Räumlicher Spannungszustand

J. Villwock und A. Hanau

mit J1 D x C y C z ; 2 2 2  xz  yz ; J2 D x y C x z C y z  xy 2 2 2  y zx  z xy J3 D x y z  x yz

C 2xy yz zx : J 1 , J 2 , J 3 sind Invariante des Spannungstensors, da sie für alle Bezugssysteme denselben Wert annehmen, d. h., für die Hauptrichtungen gilt J1 D 1 C 2 C 3 , J2 D 1 2 C 1 3 C 2 3 , J3 D 1 2 3 . Sind aus Gl. (19.11) die i .i D 1; 2; 3/ ermittelt, so folgen aus Gl. (19.10) nach Einsetzen der i .i D 1; 2; 3/ jeweils drei lineare 1 0 Gleichungen für die Komponenten nix ; niy ; niz 1 0 0 C B einer Hauptnormalenrichtung. Da jeweils zwei S D @ 0 2 0 A ; der drei Gleichungen linear voneinander abhän0 0 3 gig sind, muss die stets gültige Beziehung n2ix C n2iy C n2iz D 1 mitbenutzt werden. und für die Spannungsvektoren gilt si D Sind hieraus die Hauptnormalenvektoren ni i .i D 1; 2; 3/, d. h. ni .i D 1; 2; 3/ bestimmt, so sind Größe und Richtung der Hauptnormalspannungen bekannt. six D nix i ; siy D niy i ; siz D niz i : Für das Spannungshauptachsensystem , ,

(19.9) (Richtungen i D 1; 2; 3; Abb. 19.5a) ergibt Die Gln. (19.8) und (19.9) gleichgesetzt ergibt sich mit 3 D 0 ein ebener Spannungszustand mit den Hauptspannungen 1 und 2 und der .x  i /nix C yx niy C zx niz D0; Gleichung für den Mohr’schen Spannungskreis xy nix C .y  i /niy C zy niz D 0 ; analog Gl. (19.3) xz nix C yz niy C .z  i / niz D 0 :     (19.10) 1 C 2 1  2 2 2 C D  : Dieses lineare homogene Gleichungssystem 2 2 für die Komponenten nix ; niy und niz der Hauptnormalenvektoren hat nur dann eine nichttriviale Entsprechende Kreise ergeben sich für 2 D 0 Lösung, wenn die Koeffizientendeterminante null bzw. 1 D 0 (Abb. 19.5b). wird. Daraus folgt eine kubische Gleichung für i Die Komponenten  und  des Spannungsvekder Form tors s für ein durch n D .cos ˛I cos ˇI cos / gegebenes beliebiges Flächenelement (Abb. 19.5a) (19.11) folgen aus den Mohr’schen Kreisen (Abb. 19.5b), i3  J1 i2 C J2 i  J3 D 0 Für die resultierende Schubspannung p (Abb. 19.4) gilt  D s 2   2 . Die Hauptnormalspannungen treten in den drei zueinander senkrecht stehenden Flächen auf, in denen  zu Null wird. Der Spannungstensor hat dann die Form

Abb. 19.5 Räumlicher Spannungszustand. a Spannungshauptachsen; b Mohr’sche Spannungskreise; c Hauptschubspannung

19 Allgemeine Grundlagen

357

indem von 1 der Winkel ˛ und von 3 der Winkel abgetragen wird und durch die Schnittpunkte A und B auf dem Hauptkreis zu den Nebenkreisen konzentrische Kreise eingezeichnet werden. Der Schnittpunkt C liefert die zugehörige Größe von  und  [1–5]. Die Spannungen für beliebige Normalenwinkel liegen stets in dem in Abb. 19.5b schraffierten Bereich. Die größte Hauptschubspannung beträgt 2 D .1  3 /=2. Sie liegt in der , -Ebene Abb. 19.6 Verzerrungszustand in einem Flächenelement, dessen Normale unter 45° zur - und -Achse steht (Abb. 19.5c). EntMit sprechend sind 1 D .2  3 /=2 und 3 D   1 @ @u .1 2 /=2. Die Ebenen der Hauptschubspannun"xy D C ; 2 @x @y gen stehen nicht aufeinander senkrecht, sondern   1 @w @u bilden die Seitenflächen eines regulären Dodeka"xz D C ; eders [4]. 2 @x @z   1 @w @ "yz D C 2 @y @z

19.1.2 Verformungen Jeder Körper erfährt unter Einwirkung äußerer Kräfte und Momente Verformungen. Der Eckpunkt P eines quaderförmigen Elements mit den Kantenlängen dx; dy; dz (auf Abb. 19.6 ist nur die x,y-Ebene dargestellt) erfährt eine Verschiebung f D ue x C e y C we z mit den Komponenten u, , w. Gleichzeitig wird das Element gedehnt, d. h., die Kantenlängen vergrößern (oder verkleinern) sich auf dx 0 , dy 0 , dz 0 , und es wird zu einem Parallelepiped verformt, wobei die Gleitwinkel 1 , 2 usw. auftreten. Bei kleinen Verformungen (Abb. 19.6) gilt für Dehnungen " und Gleitungen 0

@u @x

dx dx  dx @u D D ; dx dx @x @ @w ; "z D ; "y D @y @z

"x D

xy D 1 C 2 D D

@ @u C ; @x @y

xz D

@w @u C ; @x @z

@ @x

dx C

yz

19

lässt sich der Verzerrungszustand mit dem Verzerrungstensor 0

"x B V D @"yx "zx

"xy "y "zy

1 "xz C "yz A "z

beschreiben, für den ähnliche Eigenschaften und Berechnungsmethoden gelten wie für den Spannungstensor, Gl. (19.8). Für die Hauptdehnungen "1 , "2 , "3 ergibt sich aus ."x  "i / nix C "xy niy

C "xz niz

D0;

"xy nix

C ."y  "i /niy C "yz niz

D0;

"xz nix

C "yz niy

C ."z  "i / niz D 0 (19.14)

durch Nullsetzen der Koeffizientendeterminante die charakteristische Gleichung 3. Grades (19.12) "3i  J4 "2i C J5 "i  J6 D 0 ; @u @y

dy

(19.15)

wobei J4 D "x C "y C "z , J5 D "x "y C "y "z C "z "x  "2xy  "2yz  "2zx und J6 D "x "y "z  "x "2yz  "y "2zx  "z "2xy C 2 "xy "yz "zx wieder Invarianten sind. Hat man die "i aus Gl. (19.15) berechnet, so erhält man aus Gl. (19.14) (von denen wieder zwei linear abhängig sind) mit n2ix Cn2iy Cn2iz D 1 @w @ D C : (19.13) die Komponenten nix , niy , niz (i D 1; 2; 3) der @y @z

dx @u @x

dx

C

dy C

@ @y

dy

358

J. Villwock und A. Hanau

Als Folge aller Normal- und Schubspannundrei Hauptdehnungsrichtungen, d. h. der Richtungen, für die es nur Dehnungen, aber keine gen entsteht also nach Integration über den ganGleitungen gibt, und für die der Verformungsten- zen Körper die Formänderungsarbeit sor die Form 2 Z Z"x Z"y Z"z 1 0 "1 0 0 4 W D x d"x C y d"y C z d"z C B V D @ 0 "2 0 A 0 0 0 .V / 0 0 "3 Zxy Z xz C xy d xy C xz d xz annimmt. Die Invarianten lauten 0 0 3 yz Z J 4 D "1 C "2 C "3 ; J 5 D "1 "2 C "2 "3 C "1 "3 ; C yz d yz 5 dV : J 6 D "1 "2 "3 : 0

(19.17) Für den räumlichen und ebenen Fall lassen Für die Hauptachsen 1, 2, 3 ist sich wie bei den Spannungen (Mohr’sche) Verzerrungskreise für die Dehnungen und Gleitun2 3 Z"2 Z"3 Z Z"1 gen als Funktion der Winkel ˛, ˇ, entwi4 1 d"1 C 2 d"2 C 3 d"3 5 dV : ckeln. Für homogenes isotropes Material, das W D im Folgenden stets vorausgesetzt wird, fallen 0 0 0 .V / (19.18) Hauptspannungs- und Hauptdehnungsrichtungen Im Fall Hooke’schen Materials, d. h. bei Prozusammen. portionalität zwischen Spannungen  bzw.  und Unter Volumendehnung versteht man Dehnungen " bzw. Gleitungen , gilt dV 0  dV Z "D  1 dV x "x C y "y C z "z C xy xy W D 0 0 0 dx dy dz 2 D 1 .V / dx dy dz  C xz xz C yz yz dV .1 C "x / dx.1 C "y / dy.1 C "z / dz D 1 (19.19) dx dy dz bzw. D "x C "y C "z C "x "y C "x "z C "y "z Z   C "x "y "z 1 1 "1 C 2 "2 C 3 "3 dV : (19.20) W D 2 bzw. bei Vernachlässigung der kleinen Größen .V / höherer Ordnung " D "x C "y C "z :

19.1.3 Formänderungsarbeit

(19.16)

19.2 Festigkeitsverhalten der Werkstoffe

Erläuterungen zu den Werkstoffkenngrößen wie Proportionalitätsgrenze, Streck- oder FließgrenAn einem Volumenelement dx dy dz mit den ze und Bruchgrenze, die der Spannungs-DehDehnungen "x D @u=@x usw. verrichtet z. B. die nungs-Linie eines Werkstoffs entnehmbar sind, s. Spannung x die Arbeit Abschn. 30.2.   Z"x Z @u dW D x dy dz d dx D x d"x dV : Hooke’sches Gesetz. Für die Normalspannun@x gen gilt im Proportionalitätsbereich der Span0

19 Allgemeine Grundlagen

359 Abb. 19.8 Spannungsverteilung. a gleichmäßig; b ungleichmäßig; c teilplastisch; d vollplastisch

19 Abb. 19.7 Hooke’sches Gesetz. a für Dehnung; b für Gleitung

nungs-Dehnungs-Linie für einen einaxial gezo- Gleichmäßige Spannungsverteilung. Sind die genen Stab (Abb. 19.7a) das Gesetz Spannungen gleichmäßig über den Querschnitt verteilt (Abb. 19.8a), so ist bei zähen Werkstof D E" : (19.21) fen K D Re und bei spröden K D Rm bzw. dB zu setzen. Als Sicherheit gegen Verformen wird Hierbei ist  D F=A0 die Spannung, " D SF D 1;2 : : : 2;0 gegen Bruch SB D 2;0 : : : 4;0 l= l0 die Dehnung (l Verlängerung des Stabs) und gegen Instabilität SK D 1;5 : : : 4;0 angenomund E der Elastizitätsmodul. Bei Verlängerung men. erfährt der Stab eine Verringerung des Durchmessers um d D d  d0 . Dann ist "q D d=d0 die Querdehnung. Zwischen der Längsund Querdehnung besteht die Beziehung "q D ", wobei  die Querdehnungs- bzw. Poissonzahl nach (DIN 1304) ist .Stahl 0;30/. In der neueren Literatur wird der Reziprokwert m D 1= als Poisson’sche Zahl bezeichnet. Für die Schubspannungen lautet das äquivalente Hooke’sche Gesetz (Abb. 19.7b)  D G ;

(19.22)

wobei D du=dy die Gleitung und G der Gleit-(Schub-)modul ist. Es besteht die Beziehung G D E=Œ2.1 C /. Werte für E, G und  (s. Tab. 31.1), erweiterte Hooke’sche Gesetze für beliebige Spannungszustände s. Kap. 21. Sicherheit und zulässige Spannung bei ruhender Beanspruchung. Versagt eine Konstruktion aufgrund unzulässig großer Verformungen (bei Werkstoffen mit Streckgrenze), Bruch (bei sprödem Material) oder Instabilwerden (infolge Knickung, Kippung, Beulung) und tritt das Versagen bei einer Spannung  D K (K Werkstoffkennwert) ein, so ergibt sich die vorhandene Sicherheit bzw. die zulässige Spannung aus SD

K ; vorh

zul D

K : S

(19.23)

Ungleichmäßige Spannungsverteilung. Über den Querschnitt ungleichmäßig verteilte Spannungen entstehen einerseits durch den Grundbeanspruchungszustand bei Biegung und Torsion und andererseits durch Kerben in der Konstruktion. Für die Festigkeitsbewertung ist die Fähigkeit des Werkstoffs zur Umlagerung der Spannungen entscheidend. Der Einfluss der Gestalt des Bauteils (z.B. durch Kerben) wird in Abschn. 29.4 und 29.5 behandelt. Bei spröden Werkstoffen ist im Falle der Biegung in Gl. (19.23) K D db (Biegebruchsicherheit) zu setzen, im Fall der Torsionsbeanspruchung gilt K Rm . Bei zusammengesetzten Beanspruchungen ist K aus den Formeln für Vergleichsspannungen (s. Abschn. 19.3) zu ermitteln. Bei zähen Werkstoffen kann im Fall der reinen Biegung – auf die im Folgenden beschränkt werden soll – in Gl. (19.23) K D Re gesetzt werden; man sieht also in erster Näherung die Verformungen bereits als unzulässig an, wenn die Faser mit der größten Spannung zu fließen beginnt. Da jedoch alle anderen Fasern noch im elastischen Bereich liegen, wird die Außenfaser aufgrund der Stützwirkung der Innenfasern am ausgeprägten Fließen gehindert, d. h., es treten noch keine unzulässig großen Verformungen auf. Man lässt daher zur besseren Ausnutzung des Querschnitts eine weitere Ausbreitung der Fließspannungen über den Querschnitt zu, bis die Randfaser ei-

360

J. Villwock und A. Hanau

ne bleibende Dehnung von 0,2 % erreicht hat (Abb. 19.8c; Formdehngrenzenverfahren [6–10]). Erst bei Ausdehnung der Fließspannungen über den gesamten Querschnitt setzen wirklich unzulässig große Verformungen ein (Abb. 19.8d). Zum Beispiel beträgt das gerade noch elastisch aufnehmbare Biegemoment nach Abb. 19.8b bei Rechteckquerschnitt Mb1 D F bh2 =6, während das Tragmoment im vollplastischen Zustand nach Abb. 19.8b Mb3 D F bh2 =4 ist, d. h. Mb3 D 1;5  Mb1 . In Wirklichkeit ist das übertragbare Moment bis zum Bruch infolge des Verfestigungsbereichs noch größer – allerdings bei unzulässig großen Verformungen. Das Verhältnis von nvpl D Mb3 =Mb1 wird vollplastische Stützziffer genannt und ist Grundlage des Traglastverfahrens im Stahlbau.

Abb. 19.9 Formdehngrenze. a Idealisiertes SpannungsDehnungs-Diagramm; b Dehnungen; c Spannungen

Nach dem Formdehngrenzenverfahren kann  setman in Gl. (19.23) den Wert K D K0;2 zen. Dabei ist der Formdehngrenzwert K D  eine fiktive Ersatzspannung nach der ElasK0;2 tizitätstheorie, die (z. B. im Fall von Biegung) dasselbe Tragmoment liefert wie die wirklichen Spannungen bei einer bleibenden Dehnung der Randfaser von 0,2 %. Hierbei wird das Ebenblei-

Tab. 19.1 Dehngrenzenverhältnisse ı0;2 Konstruktionsteil

Querschnittsform

gerade Stäbe bei Biegung

ı0;2

1,40 1,55 1,75 1,15

1,30 1,40 1,55 1,10

zylindrische Hohlstäbe bei Verdrehung

ri =ra 0 0,4 0,8

1,30 1,25 1,10

1,20 1,17 1,07

rotierende Scheibe mit Bohrung

ri =ra 0,2 0,4 0,6 0,8

2,00 1,46 1,26 1,10

1,70 1,60 1,35 1,15

Hohlzylinder unter Innendruck

ra =ri 1,5 2,0 2,5 3,0

1,45 1,80 1,95 2,05

1,35 1,55 1,65 1,75

gelochter Flachstab unter Zug/Druck

b=d 1,0 2,0 4,0 9,0

2,05 2,25 2,55 2,70

1,80 2,00 2,20 2,35

19 Allgemeine Grundlagen

ben der Querschnitte auch im plastischen Bereich vorausgesetzt. Für den Rechteckquerschnitt folgt z. B. bei einer ideal-elastisch-plastischen Spannungs-Dehnungs-Linie nach Abb. 19.9a mit F D 210 N=mm2 , d. h. "el D 210=210 000 D 0;1%, bei "pl D 0;2 % eine Gesamtdehnung " D "el C "pl D 0;3%. Damit liegt die Dehnung der Fasern unterhalb der Höhe h=6 im elastischen, darüber im plastischen Bereich (Abb. 19.9b), womit sich die Spannungsverteilung nach Abb. 19.9c ergibt. Das Tragmoment ist

361

tigen die Art der Ursache des Versagens infolge unterschiedlichen Werkstoffverhaltens.

19.3.1 Normalspannungshypothese

Sie ist anzuwenden, wenn mit einem Trennbruch senkrecht zur Hauptzugspannung zu rechnen ist, d. h. bei spröden Werkstoffen (z. B. Grauguss, aber auch bei Schweißnähten), oder wenn der Spannungszustand die Verformungsmöglichkeit des Werkstoffs einschränkt (z. B. bei drei2 bh achsigem Zug oder stoßartiger Beanspruchung).  I Mb; el D K0;2 Für den dreiachsigen (räumlichen) Spannungszu6 stand gilt v D 1 (Bestimmung von 1 nach bh 2 bh 2 h C F h Mb; pl D Mb2 D F Abschn. 19.1.1) und für den zweiachsigen (ebe3 3 12 9 nen) Spannungszustand (s. Abschn. 19.1.1) 13 bh2 bh2 D F D 1;44 F :   q 9 6 6 1 v D 1 D x C y C .x  y /2 C 4 2 :  2 D 1;44  Aus Mb; pl D Mb; el folgt K0;2  F . Die Formdehngrenzspannung K0;2 ist von der Höhe der Fließgrenze und von der Form der Spannungs-Dehnungs-Linie abhängig. Das 19.3.2 Schubspannungshypothese  =F bzw. Dehngrenzenverhältnis ı0;2 D K0;2  =Rp 0;2 , auch Stützziffer n0;2 [5] ge- Führt Gleitbruch zum Versagen (z. B. bei statiı0;2 D K0;2 nannt, ist dagegen weitgehend von der Größe scher Zug- und Druckbeanspruchung verformder Streck- bzw. Fließgrenze unabhängig und nur barer Werkstoffe und bei Druckbeanspruchung noch von der Form der Spannungs-Dehnungs- spröder Werkstoffe), so können nach Tresca daLinie abhängig. In Tab. 19.1 sind die Stützzif- für die Hauptschubspannungen als maßgebend fern ı0;2 für verschiedene Querschnitte und für angesehen werden. Die Vergleichsspannung v zwei typische Spannungs-Dehnungs-Linien an- ist dann für den dreiachsigen (räumlichen) Spangegeben (nach [9]). Für den Festigkeitswert K nungszustand  D ı0;2 F D in Gl. (19.23) gilt dann K D K0;2 v D 2max D 3  1 ı0;2 Rp 0;2 . (wobei 1 > 2 > 3 , s. Abb. 19.5b; Bestimmung Sicherheit und zulässige Spannung bei dyna- von 1 und 3 nach Abschn. 19.1.1). mischer Beanspruchung (s. u. a. Abschn. 29.5, 30.2)

19.3.3 Gestaltänderungsenergiehypothese

19.3 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Bei mehrachsigen Spannungszuständen ist die Zurückführung auf eine einachsige Vergleichsspannung v erforderlich, da Werkstoffkennwerte für mehrachsige Zustände i. Allg. nicht vorliegen. Die folgenden Festigkeitshypothesen berücksich-

Die GE-Hypothese, auch v. Mises-Hypothese genannt, vergleicht die zur Gestaltänderung (nicht Volumenänderung!) aufgrund von Gleitungen zu Beginn des Fließens erforderlichen Arbeiten beim mehrachsigen und einachsigen Spannungszustand und liefert daraus die Vergleichsspannung v . Sie gilt für verformbare Werkstoffe, die

19

362

J. Villwock und A. Hanau

19.3.4 Anstrengungsverhältnis nach Bach Da  und  häufig verschiedenen Belastungsfällen (s. Abschn. 29.1) unterliegen, wird  auf den Belastungsfall von  umgerechnet. Dazu wird  durch ˛0  ersetzt. Das Anstrengungsverhältnis ist ˛0 D Grenz =.'Grenz /. Der Faktor ' ergibt sich für die jeweilige Festigkeitshypothese, wenn  D 0 gesetzt wird, d. h. aus v D 

zu ' D 1

für die Normalspannungshypothese, Abb. 19.10 Fließgrenzen nach Tresca und Gestaltänderungsenergiehypothese

bei Auftreten plastischer Deformation versagen, aber auch bei schwingender Beanspruchung mit Versagen durch Dauerbruch. Für den dreiachsigen (räumlichen) Spannungszustand gilt v

q 1 Dp .1  2 /2 C .2  3 /2 C .3  1 /2 2 v   u 2 ux C y2 C z2  x y C y z C x z u  Dt 2 2 2 C 3 xy C yz C xz

v D 2

zu ' D 2

für die Schubspannungshypothese, p v D 3 zu ' D 1; 73 für die GE-Hypothese. Für den wichtigen Beanspruchungsfall der gleichzeitigen Biegung und Torsion eines Stabs folgt für das Anstrengungsverhältnis aus den Grenzspannungen des Werkstoffs Stahl angenähert

 bei Biegung wechselnd, Torsion ruhend ˛0

0;7,  bei Biegung wechselnd, Torsion wechselnd ˛0 D 1;0,  bei Biegung ruhend, Torsion wechselnd ˛0

(Bestimmung von 1 ; 2 ; 3 gemäß Abschn. 1;5, 19.1.1) und für den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand während die Vergleichsspannungen die Form q   q 1 v D 12 C 22  1 2 b C b2 C 4.˛0 t /2 ; v D q 2 D x2 C y2  x y C 3 2 : .Normalspannungshypothese/ q Für einen reinen Schubspannungszustand mit v D b2 C 4.˛0 t /2 ; (19.24)  D 1 D 2 liefert p die Gestaltsänderungs.Schubspannungshypothese/ hypothese also v D 3 . Für die Schubspanq nungshypothese nach Tresca ergibt sich v D v D b2 C 4.˛0 t /2 2 , wonach das Bauteil früher versagen würde. Die Anwendung der Schubspannungshypo.GE-Hypothese/ these ist über den gesamten Bereich konservativ annehmen. (Abb. 19.10).

19 Allgemeine Grundlagen

Literatur Spezielle Literatur 1. Leipholz, H.: Einführung in die Elastizitätstheorie. Braun, Karlsruhe (1968) 2. Biezeno, C., Grammel, R.: Technische Dynamik, 2. Aufl. Springer, Berlin (1971) 3. Müller, W.: Theorie der elastischen Verformung. Leipzig: Akad. Verlagsgesell. Geest u. Portig (1959) 4. Neuber, H.: Technische Mechanik, Teil II. Springer, Berlin (1971) 5. Betten, J.: Elastizitäts- und Plastizitätstheorie, 2. Aufl. Vieweg, Braunschweig (1986)

363 6. Siebel, E.: Neue Wege der Festigkeitsrechnung. VDI – Z. 90, 135–139 (1948) 7. Siebel, E., Rühl, K.: Formdehngrenzen für die Festigkeitsberechnung. Die Technik 3, 218–223 (1948) 8. Siebel, E., Schwaigerer, S.: Das Rechnen mit Formdehngrenzen. VDI-Z 90, 335–341 (1948) 9. Schwaigerer, S.: Werkstoffkennwert und Sicherheit bei der Festigkeitsberechnung. Konstruktion 3, 233– 239 (1951) 10. Wellinger, K., Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung, 3. Aufl. Kröner, Stuttgart (1976)

19

Beanspruchung stabförmiger Bauteile

20

Joachim Villwock und Andreas Hanau

20.1 Zug- und Druckbeanspruchung 20.1.1 Stäbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Längskraft

Querschnitt A D const folgt FN .x/ D %gV D %gA.l  x/;  .x/ D %g.l  x/ ; Z Z u.x/ D du D ".x/ dx Z   1 D %g.l  x/ dx E %g lx  x 2 CC I D E 2

Im Bereich konstanter Längs- oder Normalkraft FN D F gilt für Spannung, Dehnung und Verschiebung (Abb. 20.1a)  D FN =A; " D du=dx D l= l D =E; u .x/ D .=E/ x; u.l/ D l D "l D .=E/l. Das Hooke’sche Gesetz wird hier und im Folgenden immer als gültig vorausgesetzt. Nach Abschn. 19.1.3 ist die Form- C D 0 aus u(x = 0), d. h. l D u.l/ D %gl 2 =.2E/; Formänderungsarbeit änderungsarbeit Z  2 Al F 2l 1  " dV D D N : W D Z Zl 2 2 2E 2EA F 2l  1 1 W D  " dV D A dx D G : 2 2 E 6 EA Diese Gleichungen gelten für Zug- und DruckxD0 kräfte. Bei Druckkräften ist der Nachweis gegen Knicken zusätzlich erforderlich (s. Kap. 25).

20.1.2 Stäbe mit veränderlicher Längskraft

20.1.3 Stäbe mit veränderlichem Querschnitt

Die Längskraft FN D Veränderliche Längskraft FN tritt z. B. infolge (Abb. 20.1b). Eigengewicht (Dichte %) auf (Abb. 20.1a). Für F  .x/ D ; J. Villwock () A.x/ Beuth Hochschule für Technik Z Z Berlin, Deutschland u.x/ D ".x/ dx D E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

F

sei konstant

F dx I EA.x/ Z Zl F2 1 1 W D  " dV D dx : 2 2 EA.x/ xD0

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_20

365

366

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 20.1 Stab mit a konstantem Querschnitt; b veränderlichem Querschnitt

20.1.4 Stäbe mit Kerben Hier gelten zunächst die prinzipiellen Ausführungen über Gestaltfestigkeit und Kerbwirkung (s. Abschn. 29.5). Nennspannung n D F=An , max. Spannung max D ˛k n (Werte ˛k s. [8]). Bei dynamischer Belastung ist die wirksame Spannung max; wirks: D ˇk n . (Werte ˇk oder Berechnung mit bezogenem Spannungsgefälle s. Abschn. 29.4, 29.5). In der neueren Literatur (z. B. in [8]) finden sich auch die Bezeichnungen K t (anstatt ˛ k ) und K f (anstatt ˇ k ).

20.1.5 Stäbe unter Temperatureinfluss Das Hooke’sche Gesetz nimmt die FormR ".x/ D  .x/=E C ˛t t an. Hieraus u.x/ D ".x/dx bzw. für  D const: u.l/ D l D .=E C ˛t t/l I ˛t Temperaturausdehnungskoeffizient: (Stahl 1;2  105 , Gusseisen 1;05  105 , Aluminium 2;4  105 , Kupfer 1;65  105 K1 /. Wird die Längsausdehnung behindert (z. B. bei Einspannung zwischen starren Wänden, Festhalten durch den Unterbau einer unendlich langen Eisenbahnschiene), so ergibt sich aus u(l)=0 die zugehörige Spannung. Ist A D const und damit auch  D const längs des Stabs, so folgt aus l D 0 die Wärmespannung  D E˛t t : Zum Beispiel wird die Fließgrenze für S 235 mit F D 240 N=mm2 , E D 2;1105 N=mm2 und ˛t D 1;2 105 K1 erreicht bei t D F =.E˛t / D 95;2 K.

Schweißnähten usw. (Abb. 20.2a–d). Dabei sind im Fall von Presspassungen bei Niet-, Stiftund sonstigen Verbindungen die im Niet, Stift usw. auftretenden Biegemomente vernachlässigbar klein, da das umgebende Material die Krümmung der Verbindungselemente verhindert. Es stellt sich ein schwer berechenbarer räumlicher Spannungszustand ein. Bei Bolzen oder Schrauben, die mit Spiel eingebaut werden, ist ein zusätzlicher Nachweis auf Biegung erforderlich. Der Nachweis auf Abscheren erfolgt unter Annahme einer gleichmäßigen Verteilung der Schubspannungen (die bei Erreichen des vollplastischen Zustands bei zähen Werkstoffen auch vorhanden ist; 20.2e): a D

F nmA

n D 1; 2 ; 3 : : : ein-, zwei- oder mehrschnittige Verbindung, m D 1; 2; 3 : : : Anzahl der Niete, Schrauben usw. Ausgehend von der Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie, Spezialfall x und , q   1 V D p x2 C 4 2 C 12 x2 C 12 x2 C 4 2 2 q D x2 C 3 2

20.2 Abscherbeanspruchung Scherbeanspruchung entsteht aufgrund zweier gleich großer, wenig gegeneinander versetzter Kräfte in Bolzen, Stiften, Schrauben, Nieten, Abb. 20.2 Abscherbeanspruchungen

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

367

kann fürpden reinen Schubspannungsfall  mit und wegen F1 =Fn D sin ˇ= sin.˛ C ˇ/ somit p 3, bzw.  D V = 3 die zulässige V D Fn sin ˛ sin ˇ Fn Scherspannung im Maschinenbau für zähe Werkp1 D D A sin.˛ C ˇ/ A.cot ˛ C cot ˇ/ stoffe ermittelt werden zu: Fn Fn V D I D mit fa g D  ; fa gzul D p A C A A 1 proj 2 proj proj 3S mit S 1;5 bei statischer, S 2;0 bei schwel- entsprechend gilt auch p2 D F2 =A2 D Fn =Aproj . lender und wechselnder Beanspruchung. Die zulässige Flächenpressung ist stark vom Belastungsfall (statisch, schwellend, wechselnd) abhängig. Maßgebend ist die Festigkeit des 20.3 Flächenpressung und schwächeren Teils. Anhaltswerte für p; zul : für Lochleibung zähe Werkstoffe p; zul dF =1;2 bei ruhender und p; zul dF =2;0 bei schwellender BeanspruZwei gegeneinander gedrückte und einander flä- chung, für spröde Werkstoffe p; zul dB =2;0 chenhaft berührende Teile stehen unter Flächen- bei ruhender und p; zul dB =3;0 bei schwelpressung (punktförmige Berührung s. Kap. 22). lender Beanspruchung. Im Übrigen ist p; zul von Betriebsbedingungen wie Gleitgeschwindigkeit und Temperatur abhängig (s. Bd. 2, Abschn. 20.3.1 Ebene Flächen 8.5.2). Die Verteilung der Pressung hängt von der Steifigkeit der einander berührenden Körper ab. Näherungsweise wird mit dem Mittelwert (Abb. 20.3a) Fn Fn bzw. p D p D A Aproj gerechnet. Aproj ist die auf die Senkrechte zur Kraftrichtung projizierte Fläche. So gilt für den Keil nach Abb. 20.3a F1 F1 p1 D D A1 A= sin ˛

20.3.2

Gewölbte Flächen

Wellenzapfen. Die über den Umfang veränderliche Pressung wird rechnerisch ersetzt durch die mittlere Pressung auf die Projektionsfläche (Abb. 20.3b): p D

F F D Aproj dl

p; zul je nach Betriebsbedingungen (z. B. 2 bis 30 N=mm2 für große Diesel- bzw. kleine OttoMotoren, vgl. Bd. 2, Kap. 12). Bolzen, Stifte, Niete, Schrauben. Flächenpressung wird bei Nieten und Schrauben auch als Lochleibung bezeichnet. Es gilt (Abb. 20.2b,c,e), wiederum bezogen auf die Projektionsfläche, p D 1 D

Abb. 20.3 Flächenpressung. a Ebene Flächen; b Wellenzapfen

F F D A ds

F auf die Übertragungsfläche A entfallender Kraftanteil, s Dicke des Materials. Im Maschinenbau p; zul wie bei ebenen Flächen.

20

368

J. Villwock und A. Hanau

20.4 Biegebeanspruchung 20.4.1 Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment Stabförmige Körper, wie Balken oder Träger mit gerader, gekrümmter oder abgewinkelter Achse, die von Auflagerreaktionen im Gleichgewicht gehalten werden (s. Abschn. 12.6), tragen die äußere Belastungen (Einzelkräfte, Streckenlasten, Einzelmomente) durch innere Normal- und Schubspannungen zu den Auflagern hin ab (in Abb. 20.5a,b für den ebenen Fall). Die Resultierenden dieser Spannungen ergeben in der Ebene die drei Schnittlasten Mb , FQ , FN , d. h. ein Biegemoment, dessen Momentenvektor in y-Richtung N gerichtet ist, eine Querkraft senkrecht und eine Normal- oder Längskraft tangential zur Balkenachse. Querkräfte und Biegemomente sind positiv, wenn am linken Schnittufer ihre Vektoren entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen yN und zN gerichtet sind; Normalkraft (und Torsionsmoment), wenn ihre Vektoren in positiver Koordinatenrichtung xN gerichtet sind (s. Abb. 20.4 für den räumlichen Fall und Abb. 20.5 für den ebenen Fall). Für das linke (positive) Schnittufer zeigt die äußere Flächennormale in positive Koordinatenrichtung. Das rechte (negative) Schnittufer ist dementsprechend dadurch gekennzeichnet, dass die äußere Flächennormale in negative Koordinatenrichtung weist. Es sei darauf hingewiesen, dass in der aktuellen Literatur auch andere Vorzeichenkonventio-

Abb. 20.5 Schnittlasten

nen gebräuchlich sind, für die sämtliche Schnittgrößen - also auch Biegemomente und Querkräfte - am linken Schnittufer positiv definiert sind, wenn sie in positive Koordinatenrichtung weisen. In diesem Fall müssen dann entsprechend geänderte Vorzeichen bei den Bestimmungsgleichungen für die Spannungen beachtet werden (z. B. Gl. (20.6)) Nach dem Newton’sches Axiom von „actio D reactio“ sind die positiven Schnittlasten am rechten Schnittufer entgegengesetzt zu denen am linken Schnittufer anzusetzen (Abb. 20.5b). In der Ebene werden die drei Schnittlasten aus den drei Gleichgewichtsbedingungen am freigemachten Teilträger berechnet: X

Fi xN D 0 ;

X

Fi zN D 0 ;

X

Mi D 0 : (20.1) P In der Regel wird hierbei Mi D 0 bezüglich der Schnittstelle gebildet, damit die Unbekannten FQ und FN nicht in diese Gleichung eingehen. Im Raum stehen sechs Gleichgewichtsbedingungen für sechs Schnittlasten zur Verfügung (s. Abschn. 20.4.4). Voraussetzung für die einfache Berechnung ist die statische Bestimmtheit der Systeme (s. Abschn. 12.7). In diesem Fall sind die Schnittlasten also unabhängig von den Materialeigenschaften.

z y

20.4.2

x

FN

FQy

Schnittlasten am geraden Träger in der Ebene

Mt FQz

M by

Abb. 20.4 Vorzeichenkonverktion nach [1]

Beispiel M bz

Für die Kettenradwelle (Abb. 20.6a) ist die QuerkraftP und Momentenlinie zu ermitteln. – Aus Mi B D 0 folgt zunächst FAz D

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

369

man in jedem Abschnitt einen Schnitt, so folgt z. B. für Abschnitt II (Abb. 20.7a) aus X

Zx Fiz D 0 D 

q. /d C FAz  FQII .x/ 0

FQII .x/ D FAz  f .x/ und hieraus wegen Mb0 .x/ D FQ .x/

(20.2)

Z MbII .x/ D Abb. 20.6 Kettenradwelle, Schnittlasten

P

17 250 N und aus Mi A D 0 die Auflagerkraft FB D 27750 N. Ein Schnitt im Bereich II P (Abb. 20.6b) liefert aus Fiz D 0 D FAz  F1 FQ die Querkraft FQ D 12750 N. Durch entsprechende Schnitte folgt im Bereich I der Wert FQ D 17 250 N und im Bereich III der Wert FQ D 27 750 N. Querkraftlinie FQ .x/ („Treppenkurve“) s. Abb. 20.6c. Biegemomente an den Stellen 1 und 2 erhält P man durch Schnitt in diesen Stellen aus Mi1 D 0 D FAz  0;5 m C Mb1 zu Mb1 D 8625 Nm P und aus Mi 2 D 0 D FAz  0;85 m C F1  0;35 m C Mb2 zu Mb2 D 4162;5 Nm. Die geradlinigen Verbindungen dieser Werte untereinander und mit den Nullstellen an den Auflagern ergeben die Biegemomentenlinie Mb .x/ (Abb. 20.6d). J

FQII .x/dx Z D FAz x  f .x/dx C C :

(20.3)

Die Konstante C folgt aus MbII .x D a/ D MbA , wobei MbA aus Berechnung des Abschnitts I bekannt ist. Das Biegemoment ist gleich dem Inhalt der Querkraftfläche zuzüglich dem Anfangswert MbA . Aus Gl. (20.2) folgt durch Differentiation und anschließende Integration dFQ D FQ0 .x/ D Mb00 .x/ D q.x/ ; dx Z

FQ .x/ D Mb0 .x/ D  q.x/dx D f .x/ C C1 ; Z Mb .x/ D FQ .x/dx D g.x/ C C1 x C C2 :

(20.4) Gleichung (20.4) erlaubt anstelle der Gln. (20.2) und (20.3) die Querkraft FQ .x/ und das Biegemoment Mb .x/ zu berechnen. Die KonTräger mit Streckenlasten (Abb. 20.7). Wie stanten C1 und C2 folgen aus beim Träger mit Einzellasten ist – abgesehen vom FQII .x D a/ D FQI .x D a/ C FAz und Einfeldträger mit durchgehender Streckenlast – MbII .x D a/ D MbI .x D a/ ; die Einteilung in Abschnitte erforderlich. Legt

Abb. 20.7 Träger mit Streckenlasten. a beliebig; b linear

wobei FQI .x D a/ und MbI .x D a/ aus der Berechnung des Abschnitts I bekannt sind. Sind die Streckenlasten konstante oder linear steigende Geraden (Abb. 20.7b), so gilt z. B. für Abschnitt II q2  q1 x; q.x/ D q1 C .a C b/ q2  q1 x 2 FQII .x/ D FAz  q1 x  ; .a C b/ 2 x2 q2  q1 x 3 MbII .x/ D FAz .x  a/  q1  : 2 .a C b/ 6

20

370

J. Villwock und A. Hanau

Bei linear zunehmender bzw. konstanter Stre- 20.4.4 Schnittlasten an räumlichen ckenlast sind die Biegemomentenlinien Parabeln Trägern 3. bzw. 2. Grades. Bei statischer Bestimmtheit stehen im Raum sechs Gleichgewichtsbedingungen zur Verfü20.4.3 Schnittlasten an gekrümmten gung. Daraus ergeben sich die sechs Schnittlasten ebenen Trägern FN , FQyN , FQzN , MbyN , MbNz , Mt . Gekrümmte ebene Träger. Beim geschlitzten Kreisringträger (Kolbenring) unter konstanter 20.4.5 Biegespannungen in geraden Radialbelastung q (Abb. 20.8a) liefert ein Schnitt Balken unter dem Winkel ' im mitlaufenden Koordinatensystem x, N y, N zN gemäß Abb. 20.8b. Einfache Biegung. Hierunter versteht man die ' Wirkung aller Lasten parallel zu einer QuerZ X schnittsachse, die gleichzeitig Hauptachse – Fi xN D 0 D qr sin.'  /d C FN .'/ ; s. Gl. (20.15) – ist. Handelt es sich um die 0 z-Achse, so gibt es infolge der Lasten in FN .'/ D qr.1  cos '/ I z-Richtung nur Biegemomente Mby (Abb. 20.9a). ' Z Unter den Voraussetzungen, dass die LastX Fi zN D 0 D  qr cos.'  /d  FQ .'/ ; ebene durch den Schubmittelpunkt M geht (s. Abschn. 20.4.6), das Hooke’sche Gesetz  D 0 E" gilt und die Querschnitte eben bleiben, d. h. FQ .'/ D qr sin ' I die Verwölbungen der Querschnitte infolge der Z' X Schubspannungen vernachlässigbar klein sind 2 Mi D 0 D qr sin.'  /d C Mb .'/ ; (Bernoulli’sche Hypothese), folgt 0

Mb .'/ D qr 2 .1  cos '/ : Grafische Darstellung s. Abb. 20.8c.

der

 D E" D mz Schnittlasten

und damit aus den Gleichgewichtsbedingungen X

Z Fix D 0 D Z

Z  dA D

z dA D 0 ;

Abb. 20.8 Kolbenring, Schnittlasten

(20.5)

Abb. 20.9 Biegespannungen

mz dA ;

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

371

d. h., die Spannungsnulllinie geht durch den Schwerpunkt, und X

Z Z Miz D 0 D y dA D myz dA ; Z yz dA D Iyz D 0 ;

20

d. h., das biaxiale Flächenmoment Iyz muss Null, bzw. y und z müssen Hauptachsen sein. Ferner gilt Z Z Mby D Mb D   z dA D  mz 2 dA Z D m z 2 dA D mIy I

Abb. 20.10 Flächenmomente für a parallele Achsen; b gedrehte Achsen; c Rechteckquerschnitt

chenmomente 2. Grades benötigt (Abb. 20.10a): Z Z Iy axiales Flächenmoment 2. Grades. Mit m D Iy D z 2 dA; Iz D y 2 dAI Mb =Iy folgt aus Gl. (20.5) Z I D yz dA I yz Mb  D z: (20.6) Z Z  2  Iy 2 y C z 2 dA D Iy C Iz : Ip D r dA D Die Biegespannungen nehmen also linear mit (20.10) dem Abstand von der Nulllinie zu. Die Extremalspannungen ergeben sich für z D e1 und z D e2 Die axialen Flächenmomente Iy , Iz und (Abb. 20.8b) zu das polare Flächenmoment Ip sind stets positiv, das biaxiale Flächenmoment (Zentrifugalmoment) Iyz kann positiv, negativ oder Null sein. Mb Mb und 2 D C : (20.7) 1 D  Wy1 Wy2 Trägheitsradien: r r r Iy Iy Iy Ip Iz und Wy2 D Wb2 D Wy1 D Wb1 D iy D ; iz D ; ip D : e1 e2 A A A (20.8) (20.11) sind die (axialen) Widerstandsmomente gegen Biegung (s. Tab. 20.1). Die absolut größte Bie- Sätze von Steiner: Für zueinander parallele gespannung folgt für Wymin zu Achsensysteme y, z und y; N zN (Abb. 20.10a) gilt max D

jMb j : Wy min

Z (20.9)

Bei zur y-Achse symmetrischen Querschnitten ist e1 D e2 und Wy1 D Wy2 D Wy .

Iy D

Z z 2 dA D

.Nz C a/2 dA Z Z Z 2 2 D zN dA C 2a zN dA C a dA D IzN C 2aSyN C a2 A :

(20.12)

Wenn die Achsen yN und zN durch den SchwerFlächenmomente 2. Grades. In der allgemei- punkt gehen, wird das statische Moment SyN (und nen Balkenbiegungstheorie werden folgende Flä- ebenso SzN ) zu Null, und es folgen (für die anderen

372

J. Villwock und A. Hanau

Tab. 20.1 Axiale Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente bh3 12 3 Iz D hb 12 2 Wy D bh6 hb 2 Wz D 6

Iy D

Wy D W z D WyN D p

p 5 3 3 R 16

bh3 36 hb 3 Iz D 48 2 Wy D bh 24 2 Wz D hb 24

D 0; 5413 R3

Iy D

D 0; 118 a3 p 4 Iy D Iz D .1 C 2 2/ R6 D 0; 638 R4 Wy D Wz D 0; 6906 R3 p 4 IyN D IzN D .1 C 2 2/ R6 D 0; 638 R4 WyN D WzN D 0; 638 R3 h3 b1 C4 b1 b2 Cb2 36 b1 Cb2 2 b 2 C4 b b Cb 2 Wy D h12 1 2 b11Cb22 2 Cb2 für e D h3 2bb11Cb 2 2

Iy D für e D 23 h 4

Iy D Iz D 64 3 Wy D Wz D 32

a3 6

a4 12p WzN D 122 a3

IyN D IzN D

Iy D Iz D 5163 R4 D 0; 5413 R4 Wy D 58 R3 D 0; 625 R3 Wz D

a4 12

Iy D Iz D

2

4

Iy D Iz D

d 4/

64

4 d 4/ 32 D

Wy D Wz D

bei geringer Wanddicke 3 ms

Iy D Iz D

Iy D Iz D Wy D Wz D

3b

4

3a

Iy D

4

8

a13 b1

a13 b1

Iy D

8 r 4 D 0; 1098 r 4 Iy D 8 Wy D Iy =e D 0; 1908 r 2 4 für e D 1 r D 0; 5756 r

2 .aC3

2 ms

4

a23 b2 /

4

2a

1:

a23 b2

4

2b

2

; W y D Wz D

. Wy D 4 a1 bei geringer Wanddicke:

4

s dm

b/s

4

; Wy D

C3 b/s 4

R r Iy D 0; 1098.R4 r 4 / 0; 283R2 r 2 RCr Wy1;2 D Iy =e1;2 2 2 für e1 D 4 R CRrCr bzw. e2 D R e1 RCr

B.H 3 h3 /Cb.h3 h31 / 12 B.H 3 h3 /Cb.h3 h31 / Wy D 6H

Iy D

BH 3 Cbh3 12 3 Cbh3 Wy D BH6H

Iy D

mit B D B1 C B2 b D b1 C b2 BH 3 bh3 12 3 3 Wy D BH6Hbh

Iy D

mit b D b1 C b2

Iy D

BH 3 Cbh3 3

.BH C bh/ e12

mit B D B1 C B2 ; b D b1 C b2 Wy1;2 D Iy =e1;2 für e1 D

1 BH 2 Cbh2 2 BH Cbh

bzw. e2 D H

e1

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

373

Flächenmomente analog) die Steiner’schen Sätze aus Iy D IyN C a2 A ;

Iz D IzN C b 2 A ;

Iyz D IyN zN C abA ; Ip D IpN C c 2 A : (20.13) Für a D b D c D 0 gehen die Achsen y und z durch den Schwerpunkt, und die axialen und polaren Flächenmomente 2. Grades werden zu einem Minimum. Diese Gleichungen dienen zur Berechnung der Flächenmomente zusammengesetzter Querschnitte mit bekannten Einzelflächenmomenten. Drehung des Koordinatensystems. Für ein gedrehtes Koordinatensystem , (Abb. 20.10b) gilt  D y cos ' C z sin ' ;

D z cos '  y sin ' ; Z I D 2 dA D I D

  q 1 2 Iy C Iz ˙ .Iy  Iz /2 C 4Iyz : 2 (20.16) I 1 und I 2 sind das größte und kleinste Flächenmoment 2. Grades eines Querschnitts. Jede Symmetrieachse eines Querschnitts und alle zu ihr senkrechten Achsen sind stets Hauptachsen. Bei Drehung eines Hauptachsensystems um den Winkel ˇ gilt nach Gl. (20.14) I1;2 D

Iy C Iz Iy  Iz C cos 2'  Iyz sin 2' ; 2 2 Z 2 dA

Iy C Iz Iy  Iz  cos 2' C Iyz sin 2' ; 2 Z 2 Iy  Iz sin 2' C Iyz cos 2' : I D  dA D 2 (20.14) Diese Gleichungen lassen sich in Form des Mohr’schen Trägheitskreises grafisch darstellen [1]. Hieraus folgen ferner die von ' unabhängigen invarianten Beziehungen I CI D Iy CIz , 2 2 D Iy Iz  Iyz . I I  I

D

I1 C I2 I1  I2 C cos 2ˇ ; 2 2 I1 C I2 I1  I2  cos 2ˇ ; I D 2 2 I1  I2 sin 2ˇ : I D 2 I D

9 > > > > > = > > > > > ;

(20.17)

Ist für einen Querschnitt I1 D I2 , so folgt aus Gl. (20.17) I D 0 unabhängig von ˇ, d. h., sämtliche Achsen durch den Bezugspunkt sind Hauptachsen, wobei I D I D I1 D I2 D const. Die Änderung von I und I gemäß Gl. (20.17) lässt sich grafisch durch die Trägheitsellipse darstellen [1]. Berechnung der Flächenmomente. Für einfache Flächen, deren Berandung mathematisch erfassbar ist, erfolgt die Berechnung durch Integration. Zum Beispiel gilt für den Rechteckquerschnitt nach Abb. 20.10c 

Ch=2 Z

Iy D

bz 2 dz D zDh=2

bz 3 3

Ch=2 D h=2

bh3 : 12

Tab. 20.1 enthält die Flächenmomente 2. GraHauptachsen und Hauptflächenmomente 2. des wichtiger Querschnitte (s. Tab. 20.8 bis Grades. Achsen, für die das biaxiale Moment 20.14). I zu Null wird, heißen Hauptachsen 1 und 2. Für zusammengesetzte Querschnitte (Abb. Ihr Stellungswinkel '0 ergibt sich für I D 0 ge20.10) folgt mit den Steiner’schen Sätzen nach mäß Gl. (20.14) aus Gl. (20.10) tan 2'0 D 2

Iyz : Iz  Iy

(20.15)

Die zugehörigen Hauptflächenmomente I 1 und I 2 folgen mit '0 aus Gl. (20.14) oder direkt

X  2 Iyi N C ai Ai ; X  2 Iz D Izi N C bi Ai ; X  IyN z;i Iyz D N C ai bi Ai : Iy D

(20.18)

20

374

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 20.11 Zusammengesetzte Querschnitte

Hohlräume in Flächen (z. B. Fläche A4 in Abb. 20.11a) sind durch negatives I und negatives A zu berücksichtigen. 1. Beispiel

Für den Querschnitt nach Abb. 20.11b, bestehend aus Profilen U 240 und I 200 (mit Bohrung d D 30 mm) berechne man die Schwerpunkthöhe zs und das Flächenmoment 2. Grades Iy . – Aus Profiltabellen entnimmt man die Flächen A1 D 4230 mm2 und A2 D 3340 mm2 , sowie das Maß e1 D 22;3 mm. Dann ergibt sich für die Schwerpunkthöhe gemäß Abschn. 12.10 zs D

X

zi Ai =A

D .4230  222;3 C 3340  100  7;5  30  70/ mm3 =7345 mm2

womit aus Gl. (20.18) folgt Iy D 248  104 C 50;92  4230 C 2140  104 C 71;42  3340  7;5  303 =12

 101;42  .7;5  30/ mm4 D 4954  104 mm4 : J

2. Beispiel

Für den Winkelquerschnitt nach Abb. 20.11c sind Iy , Iz , Iyz , I 1 , I 2 , '0 , i1 , i2 zu berechnen. – Aufteilung in zwei Flächen A1 D 10  100 mm2 D 1000 mm2 und A2 D 50  20 mm2 D 1000 mm2 mit a1 D 30 mm, b1 D 10 mm, a2 D 30 mm, b2 D 10 mm ergibt nach Gl. (20.20) mit IyN D bh3 =12 nach Tab. 20.1 für den Rechteckquerschnitt

D 171;4 mm : Damit ergeben sich die Abstände ai zu a1 D .222;3  171;4/ mm D 50;9 mm ; a2 D .100  171;4/ mm D 71;4 mm ; a3 D .70  171;4/ mm D 101;4 mm : Nach den Profiltabellen (s. Tab. 20.14 und 20.8) ist 4 4 Iy1 N D 248  10 mm

und

Iy2 N D 2140  10 mm ; 4

4

Iy D .10  1003 =12 C 302  1000 C 50  203 =12 C 302  1000/ mm4 D 266;7  104 mm4 ; Iz D .100  103 =12 C 102  1000 C 20  503 =12 C 102  1000/ mm4 D 41;7  104 mm4 : Für die Einzelrechtecke ist IyN zN D 0, da für sie yN und zN Hauptachsen sind. Damit ist nach

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

375

Gl. (20.18) Iyz D

X

ai bi Ai

D 30  .10/  1000

C .30/  10  1000 mm4

D 60  104 mm4 :

20

Hauptflächenmomente nach Gl. (20.16) "   I1;2 D 0;5  266;7 C 41;7  104 v # u  u 266;7  41;7 2  108 t ˙ mm4 2 8 C 4  60  10   D 154;2  104 ˙ 127;5  104 mm4 I I1 D 281;7  10 mm I 4

4

I2 D 26;7  104 mm4 : Stellungswinkel der Hauptachsen nach Gl. (20.15) 2  60  104 mm4  '0 D 0;5  arctan  41;7  266;7  104 mm4

Abb. 20.12 Schiefe Biegung

Unter Voraussetzung linearen Hooke’schen Materialgesetzes  D E" und Ebenbleiben der Querschnitte gilt für die Spannungen der Ansatz einer linearen Verteilung  D a C b und damit für die Biegemomente Z Mb D 

D 14;04ı : Trägheitsradien nach Gl. (20.11) p i1 D 281;7  104 =2000 mm D 37;5 mmI p i2 D 26;7  104 =2000 mm D 11;6 mm : J Schiefe Biegung. Liegt die Lastebene nicht parallel zu einer Hauptachse, bzw. wirken Lasten in Richtung beider Hauptachsen (Abb. 20.12a,b), so spricht man von schiefer Biegung. Aus der Belastung je Lastebene ergeben sich Biegemomente, deren zugeordnete Vektoren im Sinne einer Rechtsschraube senkrecht zur Lastebene stehen. Sie sind positiv, wenn sie am linken Schnittufer entgegengesetzt zur positiven Koordinatenrichtung gerichtet sind (Abb. 20.12c,d). Bei nichtsymmetrischen Querschnitten ist die Ermittlung der Biegemomentenvektoren in Richtung der Hauptachsen , erforderlich. Sind Mby und Mbz bekannt, so gilt (Abb. 20.13) Mb D Mby cos '0 C Mbz sin '0 ;

Mb

Z  dA D 

  a C b 2 dA

D bI ; Z Z  2  D C   dA D C a C b dA D aI

und somit für die Spannungen

 D

Mb

Mb

C : I I

(20.20)

Abb. 20.13 Momentenvektoren in Hauptachsenrichtun-

Mb D Mby sin '0 C Mbz cos '0 : (20.19) gen

376

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 20.14 Spannungen bei a schiefer Biegung; b doppelter Biegung

Für die Spannungs-Nulllinie (neutrale Faser) bzw. ihre Steigung folgt aus  D 0 Mb I : Mb I

(20.21) Die maximale Spannung ergibt sich in jedem Punkt P, der den größten Abstand von der Nulllinie hat (Abb. 20.14a). y und z sind dabei mit den Hauptachsen  und identisch. Doppelte Biegung liegt vor für den Sonderfall des kreisförmigen Querschnitts. Da beim Kreis jede Achse Hauptachse ist, fällt Mb; res D p 2 2 Mby C Mbz stets in Richtung einer Hauptachse (Abb. 20.14b). Für die Spannungen und ihre Nulllinie gilt dann

D

Mb I  Mb I

bzw.

tan ˛ D

Abb. 20.15 Welle mit doppelter Biegung

und extr . – Die Momente ergeben sich zu F l=4 D 562;5 Nm. AlMby D Mbz D p so wird Mb; res D 562;52 C 562;52 Nm D 795;4 Nm, ˛ D arctan.562;5=562;5/ D 45ı und mit W D  d 3 =32 D 12 272 mm3 dann extr D .795 400=12 272/ N=mm2 D 64;8 N=mm2 . J

20.4.6

Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Träger

Schubspannungen. Bei Querkraftbiegung eines Trägers treten in jedem Querschnitt Schubspannungen auf. Ihre Resultierende ist die Querkraft FQ (Abb. 20.16). Die Schubspannungen verlauMbz Mb; res

; tan ˛ D : (20.22) fen am Rand tangential zur Berandung, da wegen  D I Mby x n D nx (Satz von den zugeordneten Schubspannungen) bei schubbelastungsfreier OberfläDie extremalen Biegespannungen ergeben che nx D x n D 0 gilt. Unter der Annahme, dass sich für D ˙R zu alle Schubspannungen einer Höhe z durch denselben Punkt P gehen und die Komponenten xz I Mb; res mit W D : (20.23) über die Breite b(z) konstant sind (Abb. 20.16), extr D W R folgt aus der Gleichgewichtsbedingung für ein

Träger mit gleicher Biegebeanspruchung. Mit dem Ziel, Gewicht zu sparen, erhalten Träger eine Abb. 20.16 Schubspannungen bei Querkraftbiegung Form, bei der an jeder Stelle in den Randfasern die zulässige Biegebeanspruchung vorhanden ist. Tab. 20.2 zeigt einige Belastungsfälle. Beispiel

Für die Seilrollenachse nach Abb. 20.15 mit F D 7500 N, l D 300 mm und d D 50 mm berechne man Mby , Mbz , Mb; res , ˛

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

377

Tab. 20.2 Träger gleicher Biegebeanspruchung Belastungsfall

Querschnitte

1a

1b

Querschnittsverlauf, Durchbiegung f des Kraftangriffspunkts b.x/ D b0 D const p h.x/ D h0 x= l (quadratische Parabel) q l h0 D b6F 0 zul  3 l f D b8F h0 0E

h.x/ D h0 D const b.x/ D b0 x= l (Gerade) l b0 D h6F 2 0 zul  3 l f D b6F h0 0E p d.x/ D d0 3 x= l (kubische Parabel) q 32F l d0 D 3  zul  3 192 F l f D 5 d0 E d0

2

3

Die Fälle 1 bis 3 gelten auch für beidseitig gelenkig gelagerte Träger der Länge l 0 D 2 l unter mittiger Einzelkraft F 0 D 2 F (s. a. Abb. 20.20) b.x/ D b0 p D const h.x/ D h0 x=a1 p h.x/ N D h0 x=a N 2 (quadratische Parabeln) q 6F a1 a2 h0 D b0 lzul

4

5

Trägerelement der Länge dx wegen zx D xz (Abb. 20.17) Ze1 X @ Fix D 0 D xz b.z/ dx C dx dA @x

y-Achse. Die größte Schubspannung am Rand (Abb. 20.16) ist dann jeweils xr D xz = cos . In Wirklichkeit sind allerdings die Schubspannungen xz über die Breite b infolge der Querdehnung usw. nicht konstant [1, 2]. Im Folgenden z werden die Schubspannungsverteilungen für verund mit  D .Mb =Iy / nach Gl. (20.6) sowie schiedene Querschnitte ermittelt. dMb =dx D FQ , wenn Iy D const ist, xz

FQ D Iy b.z/

Ze1

dA D

FQ Sy .z/ Iy b.z/

mit

Dz

Ze1 Sy .z/ D

Ze1

dA D

z

b. / d : z

(20.24) Sy ist hierbei das statische Moment der abgeschnitten gedachten Teilfläche in Bezug auf die Abb. 20.17 Spannungen am Trägerelement

20

378

J. Villwock und A. Hanau

(Abb. 20.18b). Mit Sy .z/ D RKreisquerschnitt r

b. / d , b. / D 2r cos ', D r sin ', z d D r cos ' d' folgen Z =2 Sy .z/ D 2r 3 sin ' cos2 ' d' h i =2 D  23 r 3 cos3 ' D 23 r 3 cos3 ;

xr

Abb. 20.18 Schubspannungsverteilung bei a Rechteckquerschnitt; b Kreisquerschnitt

Rechteckquerschnitt (Abb. 20.18a).   Zh=2 b h2

b d D  z2 Sy .z/ D 2 4 z "   # z 2 bh2 D 1 I 8 h=2 "  #  z 2 3 FQ 1 ; xz D 2 bh h=2

FQ 4 r =4/ 2r

2 3 r cos3 .  cos 3   z 2  4 FQ 4FQ cos2 D D 1  ; 3  r 2 3   r2 r xz 4FQ D cos D cos 3  r 2 r  z 2 4FQ 1  : D 3  r 2 r

xz D

xz verläuft nach einer Parabel über die Höhe, xr nach einer Ellipse längs des Rands (Abb. 20.18b). Für z D 0 folgt max xz D

4 FQ 4 FQ 4 D D m : 3   r2 3 A 3

Kreisringquerschnitt. Mit Innen- bzw. Außenradius ri und ra gilt

3 FQ max  D xz .z D 0/ D ;  2 bh  h D0: xz z D ˙ 2

max xz D xz .z D 0/ D k

FQ A

mit 4 ri2 C ri ra C ra2 Die Schubspannungen verteilen sich parabo: kD 3 ri2 C ra2 lisch über die Höhe, die maximale Schubspannung ist max  D .3=2/ FQ =A D .3=2/ m , d. h. Für dünnwandige Querschnitte wird mit ri

50 % größer als bei gleichförmiger Verteilung.

r Eine genauere Theorie ergibt eine Zunahme der a r der Wert k D 2;0. Schubspannungen am Rand und eine Abnahme in der Mitte. Die maximale Randschubspannung I-Querschnitt, Œ-Querschnitt und ähnliche F für z D 0 folgt aus max xz .z D 0/ D 32 f AQ mit dünnwandige Profile (Abb. 20.19). Mit A1 D f gemäß b1 t1 , A2 D b2 t2 und A D 2A1 C A2 wird b=h f

0,5 1,03

1 1,13

2 1,40

4 1,99

Iy D

2b1 t13 C 2A1 12



b2 t1 C 2 2

2 C

t2 b23 : 12

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

379

Abb. 20.20 Zusammengesetzte Profile

Abb. 20.19 Schubspannungen in dünnwandigen Profilen

FQ Sy1 b2 C t1 I ; xz1 D 2 Iy b1 b2 C t1 Sy2 D A1 D Sy1 ; 2 FQ Sy1 b1 D xz1 I xz2 D Iy t2 t2 A2 b2 Sy3 D Sy1 C ; 8 FQ Sy3 D max xz : xz3 D Iy t2 Sy1 D A1

oder Niete bzw. Schrauben miteinander zu verbinden (Abb. 20.20). Für den Schubfluss T 0 .x/ je Längeneinheit gilt nach Gl. (20.26): T 0 .x/ D .x/ b.z1 / D

FQ Sy .z1 / : Iy

Hierbei ist Sy .z1 / das statische Moment des über der Trennfläche liegenden Querschnittsteils bezüglich der Schwerachse des Gesamtquerschnitts und Iy das axiale Flächenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitts. Die Scherspannungen betragen in den Schweißnähten der Dicke a bzw. in Nieten oder Schrauben mit der Teilung e und der ScherfläVerlauf der Schubspannungen xz s. Abb. che A. 20.19. Während xz in den Flanschen sehr klein T0 T 0e bzw. a D : (20.25) a D ist, erreicht xy dort beachtliche Größenordnun2a 2A gen. Für Schnitt 4  4 gilt Sy4 D

b2 C t1 b1 t1 ; 2y 2

xy4 D

FQ Sy4 : Iy t1

xy erreicht sein Maximum für y D 0: Sy1 b2 C t1 b2 C t1 D A1 D ; 4 4 2 FQ Sy1 t2 =t1 xz2 D D xz2

: 2Iy t1 2 2

max Sy4 D b1 t1 max xy

Schubmittelpunkt. Voraussetzung für eine drillungsfreie Querkraftbiegung ist, dass die Lastebene durch den Angriffspunkt der Resultierenden der Schubspannung, d. h. durch den Schubmittelpunkt M, geht (z. B. für Belastung in Richtung der Hauptachse z durch den Punkt im Abstand yM gemäß Abb. 20.21). Berechnung der Koordinaten yM und zM des Schubmittelpunkts: Da das Moment der Schubflusskräfte gleich dem der Querkraft FQz um den

Beim [-Profil wird entsprechend max xy D xz2 .t2 =t1 / xz2 , wenn t2 t1 ist. In der Pra- Abb. 20.21 Schubmittelpunkt xis genügt meist der Nachweis der maximalen Schubspannungen im Steg nach der Näherungsformel max xz D FQ =ASteg . Schubspannungen in Verbindungsmitteln bei zusammengesetzten Trägern. Sollen Profile mittels Gurtplatten oder anderen Profilen verstärkt werden, so sind sie durch Schweißnähte

20

380

J. Villwock und A. Hanau

Schwerpunkt sein muss, gilt Zl FQz yM D

T 0 .s/h.s/ ds

0

Zl D



T 0 .s/z cos ' ds CT 0 .s/y sin ' ds ;

0

FQz Sy .s/ ; Iy Zs Zs Sy .s/ D z dA D zt ds ; T 0 .s/ D

0

yM D

0

1 Iy

Zl Sy .s/h.s/ ds

Abb. 20.22 Schubmittelpunkt schnitte

Sy .s2 / D 379;5 cm3 C 2 cm  s2 .11;5 cm  s2 =2/ D 379;5 cm3

Zl Sy .s/.y sin ' C z cos '/ ds :

Zl Sz .s/ h.s/ ds 0

D

1 Iz

2 yM D Iy

" 11 Z cm 34;5 cm2  s1  11;5 cm  ds1 0

Sz .s/ .y sin ' C z cos '/ ds; 0

yt ds: 0

11;5 Z cm

 379;5 cm3 C23 cm2  s2 1 cms22

C 0

Zs y dA D

0

Der Querschnitt ist zur y-Achse symmetrisch, d. h., für die untere Hälfte ergeben sich analoge Werte. Somit wird

Zl

Zs Sz .s/ D

C 23 cm2  s2  1 cm  s22 I Sy .s2 D 11;5 cm/ D 511;75 cm3 :

0

Hierbei ist Sy .s/ das statische Moment des abgeschnitten gedachten Querschnittsteils. Entsprechend ergibt sich bei Kraftwirkung in Richtung der Hauptachse y 1 zM D  Iz

Quer-

Iy D 10 909 cm4 . Für den oberen Flansch gilt Sy .s1 / D 3 cm  11;5 cm  s1 D 34;5 cm2  s1 ; Sy .s1 D 11 cm/ D 379;5 cm3 ; für den Steg bis zur Mitte gilt

0

1 D Iy

dünnwandiger

#

 3;214 cm  ds2

2  41 289 cm5 Hat ein Querschnitt eine Symmetrieachse, D 7;57 cm : J D 10 909 cm4 so liegt der Schubmittelpunkt auf dieser Achse, hat er zwei Symmetrieachsen, so fällt der Schubmittelpunkt in den Symmetriepunkt, d. h. 20.4.7 Biegespannungen in stark in den Schwerpunkt. Bei aus zwei Rechtgekrümmten Trägern ecken zusammengesetzten Querschnitten liegt er im Schnittpunkt der Mittellinien der Rechtecke Während für schwach gekrümmte Stäbe, d. h. (Abb. 20.22). für R > d , die Formeln der Biegespannungen des geraden Stabs (Gln. (20.6) bis (20.9)) Beispiel gelten, ist für stark gekrümmte Stäbe, d. h. für [-Profil nach Abb. 20.22. – Lage des Schwer- R d , die unterschiedliche Länge der Außenpunkts folgt zu e D 4;214 cm und damit und Innenfasern zu berücksichtigen. Dies führt

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

381

R zu einer hyperbolischen Spannungsverteilung für Mit z=.R  z/ dA D A und  ; die Spannungen werden gegenüber der linea Z  Z Rz z2 ren Spannungsverteilung außen kleiner und innen dA D  z dA Rz Rz größer. Z Bei Einwirkung einer Normalkraft FN und eiz DR dA D RA nes Biegemoments Mb gilt (Abb. 20.23) unter der Rz Voraussetzung des Ebenbleibens der Querschnitfolgt aus Gl. (20.28) bzw. (20.27) te ds  zd' ds1 D ds1 .R  z/d'   z d' D "0 C "0  : d' Rz

".z/ D

Hierbei ist "0 D ds=ds D ds=.R d'/ die Dehnung in der Schwerachse. Weiter gilt

d' Mb D bzw. d' ERA   FN d' FN Mb "0 D  "0  D C EA d' EA ERA "0 

und damit aus Gl. (20.26)   FN Mb 1 z  .z/ D C 1 : (20.29) A RA  Rz

 .z/ D E".z/ Die Spannungen in den Randfasern folgen     z d' hieraus für z D ei und z D ea . Die Spannungs; D E "0 C "0  nulllinie folgt aus  .z/ D 0 zu d' Rz (20.26) FN RCMb R d. h., Dehnungen und Biegespannungen vertei- z0 D : D M RCM 1 F b N b len sich nach einem hyperbolischen Gesetz C C R R 1CFN R=Mb (Abb. 20.23). "0 und d'=d' folgen aus Für Mb D FN R wird z0 D 0, d. h., die neutrale Faser liegt in der Schwerachse, wenn FN D  .z/dA die Einzelkraft F D FN im Krümmungsmittel Z z punkt wirkt. Für reine Biegung .FN D 0/ folgt d' D "0 EA C E "0  dA ; z0 D R=.1 C / < R, und für reine Normald' Rz (20.27) kraft .Mb D 0/ ist z0 D R, d. h., die Nulllinie Z liegt im Krümmungsmittelpunkt. Formbeiwert  für verschiedene Querschnitte: Mb D  .z/z dA Rechteck: Mit D e=R D h=.2R/ gilt  Z z2 d' D E "0  dA : 2 4 6 1C 1 d' Rz (20.28)  D 1 C 2 ln 1  3 C 5 C 7 : Z

Kreis, Ellipse: Mit D e=R (e Halbachse in Krümmungsebene) gilt 

Abb. 20.23 Biegung des stark gekrümmten Trägers

2

4

C

4

8

C

5 6 : 64

Dreieck (gleichschenklig): Mit D ei =R D h=.3R/ gilt    2 0;33 1C2  D 1 C 0;67C ln 1 : 3 1

20

382

J. Villwock und A. Hanau

Tab. 20.3 Formziffern ˛ki D ei =R Kreis, Ellipse Rechteck gleichschenkliges Dreieck

0,1 1,05 1,07 –

0,2 1,17 1,14 –

0,3 1,29 1,25 –

0,4 1,43 1,37 1,43

0,5 1,61 1,53 1,64

0,6 1,89 1,74 1,95

0,7 2,28 2,26 2,24

0,8 3,0 2,59 2,88

0,9 5,0 3,94 4,5

Die Maximalspannung aus dem Biegemoment tritt stets an der Innenseite des gekrümmten Stabs auf. Der Vergleich mit der Nennspannung n D Mb =Wyi bei geradliniger Spannungsverteilung liefert i D max b D ˛ki n :

(20.30)

Die Formziffer ˛ki D i =n ist von Querschnittsform und Krümmung abhängig Abb. 20.24 Durchbiegung eines geraden Trägers (Tab. 20.3). Da die Formziffer von der Querschnittsform nur wenig abhängt, sind diese Werte auch für anFür kleine Durchbiegungen, d. h. w 02 .x/  dere Querschnittsformen äquivalent zu verwen1, folgt hieraus die linearisierte Differentialgleiden. chung der technischen Balkenbiegungslehre

20.4.8 Durchbiegung von Trägern

w 00 .x/ D 

Mb .x/ : EIy .x/

(20.32)

Elastische Linie des geraden Trägers. Unter der Annahme des Ebenbleibens der Querschnitte Für den Sonderfall konstanten axialen Flä(Vernachlässigung der Schubspannung) gilt ge- chenmoments 2. Grades, Iy .x/ D I0 , folgt dann durch Integration mäß Abb. 20.24 "D

ds1  ds .%  z/ d˛  % d˛ z D D ds % d˛ %

und hieraus mit dem Hooke’schen Gesetz " D =E sowie der Gl. (20.6) kD

Mb .x/ 1 D ; % EIy .x/

(20.31)

d. h., die Krümmung ist proportional dem Biegemoment Mb .x/ und umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit EIy .x/. Mit der Krümmungsformel einer Kurve,

Z 1 Mb .x/ dx EI0 1 D f .x/ C C1 ; EI0 (20.33a)  Z  1 f .x/ C C1 dx w.x/ D  EI0 1 g.x/ C C1 x C C2 : (20.33b) D EI0 w 0 .x/ ˛.x/ D 

Die Konstanten C1 und C2 werden aus den Randbedingungen bestimmt (Abb. 20.25a,b): für d˛ w .x/ kD D ˙ den beidseitig gelenkig gelagerten Träger w.x D  3=2 ds 1 C w 0 2 .x/ 0/ D 0 und w.x D l/ D 0, sowie für den einfolgt aus Gl. (20.31) die Differentialgleichung der seitig eingespannten Träger w.x D 0/ D 0 und 0 Biegelinie der Balkenachse (Euler’sche Elastika) w .x D 0/ D 0 (bzw. w.x D l/ D 0 und w 0 .x D l/ D 0 bei rechtsseitiger Einspannung). 00 Mb .x/ w .x/ Nach dieser Methode wurden die Standardfälle : 3=2 D   2 0 EI y .x/ (Tab. 20.4 und 20.5) berechnet. 1 C w .x/ 00

Belastungsfall

i

M l2 6EIy

i 3



.lx/ abl

h  2  3 i 2 xl  3 xl C xl

lx l



x l

C l x l

C

 x 3 i

a 5 x 5 lW h     2 2 l2 wII .x/ D M 3 al  2 C 3 al 6EIy  2  3 i 3 xl  xl

0 5 x 5 aW h 2 M l2 2  6 al C 3 al 2 wI .x/ D 6EI y

l=2 5 x 5 lW wII .x/h D  2  3 i M l2 3 C 11 xl  12 xl C 4 xl 24EIy

0 5 x 5 l=2W h  x 3 i M l2 x  C 4 wI .x/ D 24EI l l y

w.x/ D

a 5 x 5 lW h  a2 b wII .x/ D F6EI 1 C al y

F a2 b 2 3EIy l Fb

.l 2 b 2 /3

p



pl 3

F l 2 16Ely

Ml 3EIy Ml 6EIy

Ml 24EIy

F ab.lCb/ 6EIy l F ab.lCa/ 6EIy l

˛A D ˛B D

˛B D

˛A D

˛B D

˛A D

˛A D ˛B D

Neigungswinkel

l

q   2  2 Ml 2  6 al C 3 al a > b in xm D l 2a  23  al ˛A D  6EI l y    3  2 2 M l2 6a Ml xm  xlm fm D 6EI  2l  3a ˛B D 6EI 1  3 al l2 l3 y y   q  2 a < bW in xm D l 1  13  al h     2 xm  2 2 M l2 3 al  2 C 3 al fm D 6EI C3 xlm  l y i  xm 3

1 p 2 3

bzw.

M l2 p 72 3EIy

in xmII D l 1 

in xmI D l p 2 3

fmI D fmII D

l

F a .l 2 a2 /3 p p 9 3EIy l .l 2  a2 /=3

M l2 in x D 2l 16EIy 2 M l fm D 9p3EI in xm D y

f D

in xm D l 

a < bW fm D

a > bW fm D 9p3EI l y p in xm D .l 2 p b 2 /=3

f D

x3 abl

0 5 x 5 aW h   ab 2 1 C bl wI .x/ D F6EI y x l

fm D

F l3 48Ely

Durchbiegung

0 5 x 5 l=2; h  x 3 i F l3 x 3  4 w.x/ D 48EI l l y

Gleichung der Biegelinie

Tab. 20.4 Biegelinien von statisch bestimmt gelagerten Trägern mit konstantem Querschnitt

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile 383

20

Belastungsfall

Tab. 20.4 (Fortsetzung)

l

C

f D

h  2 i 1  2 xl C xl

M l2 2EIy

F l3 3EIy

4

5 ql 4 384 EIy

q2 l fm D 153;3EI y in xm D 0;519 l

M l2 2EIy

l

 x 5 i

w.x/ D

C3

fm D

f D

l

l

 x 4 i

 x 3

 x 3

7 xl  10

2

h  3 i 2  3 xl C xl

h

x l

F l3 6EIy

q2 l 4 360EIy

w.x/ D

h

˛D

Ml EIy

F l2 2EIy

8 q2 l 3 360 EIy

˛B D

˛D

7 q2 l 3 360 EIy

ql 3 24EIy

˛A D

˛A D ˛B D

˛B D

˛A D

M l2 f D 16EI in x D 2l y 2 l fm D 9pM3EI in xm D p13 y Ml 6EIy Ml 3EIy

Neigungswinkel

Durchbiegung

w.x/ D

ql 4 24EIy

w.x/ D

Gleichung der Biegelinie h  x 3 i M l2 x w.x/ D 6EI  l l y

384 J. Villwock und A. Hanau

Belastungsfall

Tab. 20.4 (Fortsetzung)

0 5 xN 5 aW h  xN 2  xN 3  xN 4 i qa4 l xN w.x/ N D 24EI  4 C 6  4 C a a a a a y

0 5 x 5 lW h  3 i qa2 l 2 x w.x/ D  12EI  xl l y

0 5 xN 5 aW h  2  3 i F a3 w.x/ N D 6EI 2 al xaN C 3 xaN  xaN y

11 q1 l 4 120 EIy

in xm D

f D

qa3 .4lC3a/ 24EIy 2l2 p fm D 18qa in 3EIy

f D

F a2 .lCa/ 3EIy al 2 fm D 9pF3EI y

f D

h  4  5 i 11  15 xl C 5 xl  xl

q1 l 4 120EIy

w.x/ D

0 5 x 5 lW h  3 i F al 2 x w.x/ D  6EI  xl l y

f D

h  5 i 4  5 xl C xl

q2 l 4 120EIy

q2 l 4 30EIy

pl 3

xm D

pl 3

q1 l 3 8EIy

qa2 .lCa/ 6EIy qa2 l ˛A D 12EI y qa2 l ˛B D 6EI y

˛D

F a.2lC3a/ 6EIy F al ˛A D 6EI y F al ˛B D 3EI y

˛D

˛D

˛D

q2 l 3 24EIy

ql 3 6EIy

˛D

Neigungswinkel

ql 4 8EIy

f D

Durchbiegung

w.x/ D

Gleichung der Biegelinie h  4 i ql 4 3  4 xl C xl w.x/ D 24EI y

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile 385

20

Belastungsfall

 b 2   1 C 2la  al 2  FB D F l 1 C 2lb C   ab MB D F l 1  2lb  2  MF D F ab 1 C 2la l2 x l



w.x/ D

1 4 FA D 10 q2 l; FB D 10 q2 l 1 2 MB D  15 q2 l MF D 0;0298q2 l 2 in x0 D pl 5 D 0;447l

q2 l 4 120EIy

ql 4 48EIy

x l

x l

h

h

1C 2l

2

l

C

l

 x 4 i



l

 x 5 i

C2

l

 x 3

l

 x 3

l2

l

  x 3 i a

  a2 xN 2

3

 2

3

0 5 xN 5 b: h  F l2a 1 w.x/ N D 4EI y   xN 3 i a2 1  3l 2 l

w.x/ D

2 a

0 5 x 5 a: h F lb 2 a w.x/ D 4EI l y

FA D 38 ql; FB D 58 ql MB D  18 ql 2 9 MF D 128 ql 2 3 in x0 D 8 l

FA D F  3 b

0 5 x 5 l=2: h  3 i F l 3 3 xl  5 xl w.x/ D 96EI y

0 5 xN 5 l=2: h  xN 2  xN 3 i F l 3 w.x/ N D 96EI 9  11 l l y

Gleichung der Biegelinie

5 FA D 16 F; FB D 3 Fl MB D  16 5 MF D 32 F l 11 F 16

Auflagerkräfte Biegemomente

Tab. 20.5 Biegemomente und Biegelinien von statisch unbestimmt gelagerten Trägern mit konstantem Querschnitt

in

q2 l 4 419EIy xm D pl 5 D

fm D

4

a=2l 1Ca=2l

0;447l

ql fm D 185EI y in xm D 0;4215l

in xm D l

  F a2 b 3 a f D 4EI 2 1 C 3l yl für a 5 0;414l W fm D w.xN m / b.1Cl=a/ in xN m D 1C3b=2aCb=2l für a = 0;414l q W fm D w.xm /

f D

7 F l 3 768 EIy F l 3 fm D 48p 5EIy in xm D pl 5

Durchbiegung

˛A D

˛A D

˛A D

˛A D

q2 l 3 120EIy

ql 3 48EIy

F ab 2 4EIy l

F l 2 32EIy

Neigungswinkel

386 J. Villwock und A. Hanau

Belastungsfall

Tab. 20.5 (Fortsetzung)

 b 2   1 C 2 al  al 2   FB D F l 1 C 2 bl  b 2 MA D F a l  2 MB D F b al  a 2  b 2 MF D 2F l l l

FA D FB D 12 ql 1 ql 2 MA D MB D  12 1 2 MF D 24 ql

FA D F

ql w.x/ D 24EI  y h     x 4 i x 2 x 3 2 l C l l

4

0 5 x 5 b: F la2  w.x/ N D 6EI y h      xN 3 i b xN 2 2b 3l l  1C l l

0 5 x 5 a: F lb 2 w.x/ D 6EI  y h      x 3 i a x 2 2a 3l l  1C l l

0 5 x 5 l=2 h  2  3 i F l 3 3 xl  4 xl w.x/ D 48EI y

FA D FB D 12 F MA D MB D  18 F l MF D 18 F l

MF D 0;0423q1 l 2 in x0 D 0;329l

D 9 q l 40 1

Gleichung der Biegelinie h  3 q1 l 4 3 xl  11 xl C w.x/ D 240EI y  4  5 i 10 xl  2 xl

FA D 11 q l; FB 40 1 7 q1 l 2 MB D  120

Auflagerkräfte Biegemomente

f D

ql 4 384EIy

1 in xm D l 1Cl=2b

1 in xm D l 1Cl=2a a < b:  2 2 3 1 fm D 23 FEIay bl 2 1C2b= l

3 3

F l 3 192EIy

Fa b f D 3EI 3 yl a > b:  2 3 2 1 fm D 23 FEIay bl 2 1C2a= l

fm D

fm D in xm D 0;4025l

q1 l 4 328EIy

Durchbiegung

–

–

–

˛A D

q1 l 3 80EIy

Neigungswinkel

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile 387

20

Belastungsfall

Tab. 20.5 (Fortsetzung)

FA D 0; FB D F MA D 12 F l MB D  12 F l

3 FA D 20 q2 l 7 q2 l FB D 20 1 q2 l 2 MA D  30 1 MB D  20 q2 l 2 MF D 0; 0214q2 l 2 in q 3 x0 D l 10 D 0;548l

Auflagerkräfte Biegemomente

w.x/ N D

F l 3 12EIy

h    3 i 2  3 xlN  2 xlN

q2 l w.x/ D 120EI  y h      5 i 2 3 2 xl  3 xl C xl

4

Gleichung der Biegelinie

f D

F l 3 12EIy

4

q2 l fm D 764EI y in xm D 0;525l

Durchbiegung

–

–

Neigungswinkel

388 J. Villwock und A. Hanau

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

389

mit mehreren Einzellasten sowie Momenten undPStreckenlasten die Verformungen aus w D P wi D w1 C w2 C w3 C : : : bzw. ˛ D ˛i D ˛1 C ˛2 C ˛3 C : : :, wobei der Index i jeweils einem in Tab. 20.4 und 20.5 niedergelegten Fall entspricht.

Abb. 20.25 Randbedingungen

Erweiterte Differentialgleichung. Es gilt dMb =dx D FQ .x/ und dFQ =dx D q.x/. Damit folgt aus Gl. (20.32)

dMb d EIy .x/w 00 .x/ D  D FQ .x/; dx dx

d2 d 2 Mb dFQ 00 .x/w .x/ D D EI y dx 2 dx 2 dx D q.x/ : Für Iy D I0 D const wird EI0 w 0000 .x/ D q.x/ :

(20.34)

Beispiel

Träger mit Kragarm (Abb. 20.26). Gegeben sei I1 D 30 cm4 , I2 D 12 cm4 , E D 2;1  105 N=mm2 , l D 600 mm, a D 300 mm und F D 2 kN, gesucht die Durchbiegung des Kragarms. – Nach 20.26b gilt f1 D a tan ˛B1 a ˛B1 D aM l=.3EI1/ gemäß Tab. 20.4, Fall 3 d. Die Durchbiegung f 2 infolge Kragarmkrümmung (Abb. 20.26c) folgt aus Tab. 20.4, Fall 6, zu f2 D F a3 =.3EI2 /. Somit ist f D f1 C f2 D F a2 l=.3EI1 / C F a3 =.3EI2 / D .0;057 C 0;071/ cm D 0;128 cm. J

Durch viermalige Integration ergibt sich hieraus Z 9 Durchbiegung bei schiefer Biegung. Sind > 000 Mb .x/ und Mb .x/ die Biegemomente um die > EI0 w .x/ D FQ .x/ D q.x/ dx > > > Hauptachsen  und (s. Abschn. 20.4.5), so er> > > > D f1 .x/ C C1 ; geben sich die Durchbiegungen .x/ und w(x) in > > > Z > > Richtung  und nach einem der angegebenen > > EI0 w 00 .x/ D Mb .x/ D  FQ .x/ dx > Verfahren. Die resultierende Verschiebung folgt > > > = aus f .x/ D p 2 C w 2 und stellt eine RaumD f2 .x/ C C1 x C C2 ; Z kurve dar. f (x) steht an jeder Stelle senkrecht zur > > > entsprechenden neutralen Faser [1]. EI0 w 0 .x/ EI0 ˛.x/ D  Mb .x/ dx > > > > > > > > D f3 .x/ C C1 x 2 =2 C C2 x C C3 ; > > Einfluss der Schubverformungen auf die Bie> > > 3 2 > gelinie. Infolge der Querkräfte FQ ergeben sich EI0 w.x/ D f4 .x/ C C1 x =6 C C2 x =2 > > > ; die über die Höhe eines Trägers veränderliC C3 x C C4 : (20.35) chen Schubspannungen  nach Gl. (20.24). Aus C1 : : : C4 werden aus den Randbedingungen dem Hooke’schen Gesetz (s. Gl. (19.22)) und gemäß Abb. 20.25a,b bestimmt. Greift am freien Ende des Trägers nach 20.25b ein Moment M bzw. eine Kraft F an, so lautet die entsprechende Randbedingung EI0 w 00 .x D l/ D ˙M

bzw.

000

EI0 w .x D l/ D ˙F : Superpositionsmethode. Durch geeignete Überlagerung der in Tab. 20.4 und 20.5 niedergelegten Ergebnisse erhält man für Träger Abb. 20.26 Superpositionsmethode

20

390

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 20.27 Schubdurchsenkung

Abb. 20.28 Mohr’sches Verfahren, rechnerisch

Abb. 20.27a folgt für die Gleitungen D 1 C 2 D =G. Sie sind ebenfalls über die Höhe veränderlich, d. h., die Querschnitte verwölben sich. Als Näherung dient eine gemittelte Schubspannung N D ˛FQ =A, für die der Faktor ˛ aus der Gleichheit der Formänderungsarbeiten am wirklichen und am gemittelten Spannungszustand folgt: Z 1 1 FQ dwS D  2 dV ; also 2 2G  Z  FQ Sy 2 1 1 dA dx ; d: h: FQ N dx D 2 2G Iy b  Z  2 FQ2 Sy 2 N 1 1 FQ dA FQ D ˛D 2 G 2 AG 2G Iy b

Für h= l D 1=5 wird wS 0;04  w, d. h., die Schubverformungen für niedrige Träger sind gegenüber den Biegeverformungen vernachlässigbar.

R und somit ˛ D A ŒSy =.Iy b/2 dA. Für einen Rechteckquerschnitt ergibt sich ˛ D 1; 2, für einen Kreisquerschnitt ˛ D 10=9 1;1. Für die Größe der Schubdurchsenkung gilt dann (Abb. 20.27b) N ˛FQ dwS D N D D bzw. dx G GA Z ˛ ˛ FQ .x/ dx D Mb .x/ C C : wS .x/ D GA GA Zum Beispiel gilt für einen einseitig (rechts) eingespannten Stab mit einer Einzelkraft am (linken) freien Ende Mb .x/ D F x und damit wS .x/ D .˛=GA/F x C C . Aus wS .x D l/ D 0 folgt C D .˛=GA/F l und somit wS .x/ D .˛=GA/F .lx/ bzw. wS .x D 0/ D .˛=GA/F l. Der entsprechende Wert aus Biegung ist w.x D 0/ D F l 3 =.3EIy /. Für einen Rechteckquerschnitt ergibt sich wS =w D .0;3  E=G/.h= l/2 . Nun ist 0;3  E=G 1 und somit wS =w

.h= l/2 .

Durchbiegung schwach gekrümmter Träger. Entsprechend dem Ergebnis beim geraden Träger, s. Gl. (20.31), wird hier die Änderung der Krümmung (Abb. 20.28a) 1 Mb 1 :  D % R EIy Hieraus folgt für die Radialverschiebung w eines ursprünglich kreisförmigen Trägers [3, 4] die Differentialgleichung d2 w R2 C w D Mb .'/ : d '2 EIy

(20.36)

Die Tangentialverschiebung u folgt zu Z u.'/ D w.'/ d' : Beispiel

Für den Viertelkreisträger (Abb. 20.29b) berechne man die Verschiebungen des Kraftangriffspunkts. – Mit Mb .'/ D FR cos ' erhält man die Differentialgleichung w 00 .'/ C w.'/ D 

FR3 cos ' EIy

mit der Lösung w.'/ D C1 sin ' C C2 cos ' 

FR3 ' sin ' : 2EIy

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

391

angebracht und nach Durchführung der Rechnung wieder gleich Null gesetzt; entsprechend bei Drehwinkel und Momenten.) Beispiel Abb. 20.29 Satz von Castigliano. a Allgemein; b Viertelkreisträger

Aus den Randbedingungen w.0/ D 0 und w 0 .0/ D 0 folgen C1 D C2 D 0 und damit w.'/ D .FR3 =2EIy /' sin ' mit w. =2/ D  FR3 =.4EIy /. Mit u.0/ D 0 wird dann FR3 u.'/ D 2EIy D und u

Z

Für den Viertelkreisträger nach Abb. 20.29b ist die Horizontalverschiebung u des Kraftangriffspunkts zu berechnen. – Mit der Hilfskraft FN in Horizontalrichtung (Abb. 20.29b) gilt für das Biegemoment Mb .'/ D FR cos '  FN R.1  sin '/ sowie für die Formänderungsarbeit und die Verschiebung

1 W D 2EIy

' sin ' d'

2

uD D

FR3 : J 2EIy

(20.37)

2  FN R.1  sin '/ R d' ;

@W @FN

1 D EIy

20.4.9 Formänderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen Formänderungsarbeit Z Z Mb2 1 1 Wb D ds : Mb d' D 2 2 EIy

FR cos '

0

FR3 .sin '  ' cos '/ 2EIy

 

Z =2

Z =2 0

FR cos '

 FN R.1  sin '/  .1  sin '/R2 d'

bzw. mit FN D 0 1 uDC EIy

Z =2 FR cos '.1  sin '/R2 d' 0

 =2  FR 1 D sin '  sin2 ' EIy 2 0 3

Satz von Castigliano. Für Systeme aus Hooke’schem Material gilt (Abb. 20.29a) wF D

@W ; @F

˛M D

@W : @M

D (20.38)

Die Ableitung der Formänderungsarbeit nach einer Einzelkraft gibt die Verschiebung in Richtung der Einzelkraft, die Ableitung nach einem Moment ergibt den Drehwinkel an der Stelle des Angriffspunkts. (Sind Verschiebungen an Stellen oder in Richtungen gesucht, an denen keine Einzelkraft wirkt, so wird eine Hilfskraft FN

FR3 : J 2EIy

Beispiel

Abgesetzte Welle (Abb. 20.30). Gesucht ist die Durchbiegung an der Stelle der Krafteinleitung. Gegeben: F D 2000 N, ESt D 2; 1  5 10 N=mm2 , ` D 100 mm, D1 D 20 mm, D2 D 30 mm, D3 D 40 mm.

20

392

J. Villwock und A. Hanau

Es folgt mit: 1 F` D k I 2 1 .2/W ` D `; i1 D k1 D F ` ; k2 D i2 I 2 5 ` .3/W ` D ; i1 D k1 D F `; i2 k2 D F `W 2 4     1 5 7 61 1 1 F `3 w xD ` D C C 2 6 E Iy1 Iy2 8 Iy3 .1/W ` D `; i D

Abb. 20.30 Abgesetzte Welle und Biegemomentverlauf

0;578 mm : Die Formänderungsarbeit Gl. (20.37):

1 W D 2

Z5`

lautet

nach Wenn Iy1 D Iy2 D Iy3 D Iy , ist w.x D .5=2/ `/ D .125=48/  .F `3 /=.EIy / (entspricht Lastfall 1 in Tab. 20.4). J

Mb2 dx : EIy

Prinzip der virtuellen Arbeiten. Wird einem elastischen System eine beliebige (virtuelle), d. h. mit den geometrischen Gegebenheiten verträgliBerücksichtigt man die Symmetrieachse, che Verrückung erteilt, so ist im Gleichgewichtsfolgt: fall die Summe aus äußerer und innerer virtueller Arbeit gleich Null:   1 5 Wges D 2W D F w x D ` •W .a/ C •W .i/ D 0 : 2 2   5 4W Wählt man als äußere Kraft lediglich eine vir)w xD ` D ; 2 F tuelle Hilfskraft F D 1 und als Verrückung die 0 Z` Z` wirklichen Verschiebungen (Prinzip der virtuel1 @ 1 1 .1/2 dx C .2/2 dx Wges D 2 len Kräfte) (Abb. 20.31a), so folgt aus 2E Iy1 Iy2 0

0

0

C

1 Iy3

1 1=2` Z .3/2 dx A : 0

•W .a/ D •W .i/ Fw D 1  w D

Z

Z M b d' D

M b Mb ds : EIy (20.39)

Die Auswertung der Integrale mit Tab. 20.6 ergibt:    1 1 1 lik E Iy1 3    1 ` C 2i1 k1 C i1 k2 C i2 k1 C 2i2 k2 Iy2 6    1 ` C : 2i1 k1 C i1 k2 C i2 k1 C 2i2 k2 Iy3 6

Wges D

Abb. 20.31 Prinzip der virtuellen Arbeiten

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile Tab. 20.6 Werte für

R

393

M M ds M 1

2

3

a

li k

1 li k 2

1 li k 2

b

1 li k 2

1 li k 3

1 li k 6

c

1 li.k1 2

d

1 li k 2

1 l.1 6

M 4

5

6

quadratische Parabel

MN

MN

C k2 /

1 li.k1 6

C 2k2 /

C ˛/i k

20

1 li.2k1 6 1 l.1 6

C k2 /

C ˇ/i k

a

1 l.i1 2

C i2 /k

2 li k 3

quadratische Parabel 2 li k 3

b

1 l.i1 6

C 2i2 /k

1 li k 3

5 li k 12

c

1 l 6

d

1 lk Œ.1 6

Œi1 .2k1 C k2 / C i2 .k1 C 2k2 / C ˇ/i1 C .1 C ˛/i2 

1 li.k1 3 1 l.1 3

C k2 /

C ˛ˇ/i k

1 li.3k1 12 1 l.5 12

C 5k2 /

 ˇ  ˇ 2 /i k

M 7

8

9

a

quadratische Parabel 2 li k 3

quadratische Parabel 1 li k 3

quadratische Parabel 1 li k 3

b

1 li k 4

1 li k 4

1 li k 12

c

1 li.5k1 12

d

1 l.5 12

MN

C 3k2 /

 ˛  ˛ 2 /i k

Hieraus folgt die Verschiebung w in Richtung der Hilfskraft F D 1. Dabei sind M b die Biegemomente infolge dieser Hilfskraft und Mb die Biegemomente infolge der wirklichen Belastung. Werden als äußere Last ein virtuelles Hilfsmoment M D 1 und als Verrückung wiederum die wirklichen Verschiebungen gewählt, so gilt (Abb. 20.31b) Z Z M b Mb ds : MN ˛ D 1  ˛ D M b d' D EIy (20.40)

1 li.k1 12 1 l.1 12

C 3k2 /

C ˛ C ˛ 2 /i k

1 li.3k1 12 1 l.1 12

C k2 /

C ˇ C ˇ 2 /i k

Hieraus folgt der Drehwinkel an der Angriffsstelle des Hilfsmoments. Die Integrale in den Gln. (20.39) und (20.40) sind für Träger mit EIy D const nur für das Produkt M b Mb zu bilden und für die wichtigsten Grundfälle in Tab. 20.6 zusammengestellt. Beispiel

Kragträger mit Streckenlast (Abb. 20.32). Gesucht sind die Durchbiegung und der Nei-

394

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 20.32 Verformungen eines Kragträgers

gungswinkel am freien Ende. – Für die Durchbiegung folgt nach Tab. 20.6, Spalte 8, Zeile b mit i D q l 2 =2 und k D l Zl 1f D

und für den Neigungswinkel nach Zeile a mit i D ql 2 =2 und k D 1 Zl M b Mb

dx 1 1 D  lik EIy EIy 3

0

D

ql 3 6EIy

(vgl. Tab. 20.4, Fall 8). J Prinzip der virtuellen Verrückungen für schubstarre Biegebalken. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen ist äquivalent einer Gleichgewichtsaussage. Dazu wird die Biegedifferentialgleichung des Balkens mit einer virtuellen Verschiebung ıw multipliziert und über die Balkenlänge integriert. ˇ ` ˇZ ˇ 00  M D p ˇˇ ıw dx ˇ 0

Z` )

00

Z`

M ıw dx D



ıWa D



ˇ` pıw dx C Qıw C M ıˇ ˇ0 D ıWi

Z` D

M ıw dx : 0

ql 4 8EIy

1˛ D

Z` 0

dx 1 1 M b Mb D  lik EIy EIy 4

0

D

Dabei müssen die virtuellen Verrückungen ıw geometrisch verträglich sein, d. h. den Verformungsaussagen ıˇ D ıw 0 , ı D ıw 00 genügen. Beachtet man weiter, dass auch die wirklichen Zustandsgrößen statisch verträglich sein müssen M 0 D Q, dann kann geschrieben werden:

p ıw dx ;

0

In Worten: Wenn die virtuellen Verrückungen ıw geometrisch verträglich sind, oder mit anderen Worten, die verformungsgeometrischen Aussagen erfüllen, besagt die vorstehende Gleichung, dass die Arbeit der wirklichen äußeren Kräfte (einschließlich der Randkräfte und Momente) an den virtuellen Verrückungen gleich der Arbeit der wirklichen Momente an den virtuellen Krümmungen ist. Mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen lassen sich Zwangskräfte Fz (Federkräfte, Auflagereaktionen) infolge bekannter Verformungszustände berechnen. Dazu wird eine virtuelle Verrückung ıw D 1 an der gewünschten Stelle aufgebracht. Die entstehende äußere Arbeit R ist dann ıWa D F z 1 C p ıw dx und damit die gesuchte Zwangskraft Fz und die Arbeit der äußeren Lasten. Wenn man in der zugehörigen R M ı dx das Elastiziinneren Arbeit ıWi D tätsgesetz M D EI einsetzt, ergibt sich aus der Forderung, äußere gleich R innere Arbeit, R der Zusammenhang: F z D EI  ı dx  p ıw dx. Wenn die gesuchte Größe ein Moment ist, muss an der betreffenden Stelle analog zu ıw D 1 ein Winkel ı' D 1 aufgezwungen werden. Es ergibt sich dann das Zwangsmoment plus die äußere Arbeit der Lasten.

0

ˇˇ`  M ıw  M ıw ˇ

0

0

Beispiel

0

Z`  0

M ıw 00 dx D

Z` p ıw dx : 0

Für den in Abb. 20.33 skizzierten Balken ist die Auflagerkraft Az zu berechnen. Es gilt ıWA D ıWi . J

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

395

punkt muss gleich dem Torsionsmoment sein: Zd=2 Zd=2 G' G' Mt D  r dA D r 2 dA D Ip ; l l 0

0

(20.42) Zd=2 Zd=2  d 4 Ip D r 2 dA D r 2 2  r dr D : 32 0

0

(20.43) Ip ist das polare Flächenmoment 2. Grades des Kreisquerschnitts. Aus den Gln. (20.42) und (20.41) folgt für die Torsionsspannungen und mit dem polaren Widerstandsmoment Wp D Abb. 20.33 Biegebalken, Krümmungsverlauf infolge F Ip =.d=2/ D   d 3 =16 des Kreisquerschnitts

und ıw

20.5 Torsionsbeanspruchung 20.5.1 Stäbe mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser

Mt r bzw. Ip Mt d Mt D : D Ip 2 Wp

.r/ D max

(20.44)

Für den Verdrehungswinkel und die DrilBei der Torsion von Stäben mit Kreisquer- lung (Verdrehung pro Längeneinheit) gilt nach schnitt tritt keine Verwölbung ein, d. h., die Quer- Gl. (20.42) schnitte bleiben eben. Ferner bleiben die Radien Mt l ' Mt der Kreisquerschnitte geradlinig, d. h., die Quer'D und # D D : (20.45) schnitte verdrehen sich als starres Ganzes. GeradGIp l GIp linige Mantellinien auf der Oberfläche werden zu Die Formänderungsarbeit ist Schraubenlinien, die aber wegen der kleinen Verformungen (Abb. 20.34) als geradlinig aufgefasst 1 1 Mt2 l werden können. W D Mt ' D : (20.46) Mit l D ' r und dem Hooke’schen Gesetz 2 2 GIp D =G ergibt sich Wirken am Stab kontinuierlich Rverteilte DrehG' r; (20.41) momente md .x/, so gilt Mt .x/ D md .x/ dx, D l d. h., die Torsionsspannungen  nehmen linear #.x/ D d' D Mt .x/ ; dx GIp mit dem Radius r zu (Abb. 20.34). Das Moment Z 1 aller Torsionsspannungen um den Kreismittel'.x/ D Mt .x/ dx ; GIp Z Z 1 1 W D Mt .x/ d' D Mt2 .x/ dx : 2 2 GIp

Abb. 20.34 Torsion eines Stabs mit Kreisquerschnitt

Die Gleichungen gelten auch für kreisförmige Hohlquerschnitte mit Ip D  .da4  di4 /=32 und Wp D Ip =.da =2/ (s. Tab. 20.7).

20

396

J. Villwock und A. Hanau

Tab. 20.7 Torsionsflächenmomente It und -widerstandsmomente Wt Querschnitt

It

Wt

Bemerkungen

1

d 4 32

d 3 16

2

 .da4 di4 / 32

D Ip Für geringe Wanddicken,  2 d. h. dtm  1:

D Wp Für geringe Wanddicken,  2 d. h. dtm  1:

dm3 t =4

dm2 t =2

3

d 4 32

Wp 

4

a3 b 3 a2 Cb 2

5

 n3 .b14 b24 / n2 C1

 n.b14 b24 / 2b1

6

b4 46;19

b3 20

7

0;133b 2 A D 0;115b 4

0;217bA D 0;188b 3

max in der Mitte der Seiten (P)

8

0;130b 2 A D 0;108b 4

0;223bA D 0;185b 3

max in der Mitte der Seiten (P)

9

0;141b 4

0;208b 3

max in der Mitte der Seiten (P1 ) in den Ecken (P2 ): 2 D 0

10

c1 hb 3 D c1 nb 4

c2 hb 2 D c2 nb 3

Voraussetzung: h=b D n  1 max in P1 In P2 W 2 D c3 max In P3 W 3 D 0

D Ip

D Ip

D



 n3 b 4 n2 C1

h4 26

n D h=b c1 c1 c2 c2 c3 c3

1 0;141 0;208 1;000

1;5 0;196 0;231 0;858

D Wp

max am Umfang

 .da4 di4 / 16da

3

max am Umfang

D d 16 2  D 12 2 C.16=3/ 3 Für kleine W  2

max am Kerbgrund (in P) %

D d=2

ab 2 2

Voraussetzung: a=b D n  1 max in P1 in P2 W 2 D max =n



D

 nb 3 2

Voraussetzung: a1 =b1 D a2 =b2 D n  1 max in P1 in P2 W 2 D max =n

h3 13

2 0;229 0;246 0;796

max in Mitte der Seiten (P1 ) in den Ecken (P2 ): 2 D 0

3 0;263 0;267 0;753

4 0;281 0;282 0;745

6 0;298 0;299 0;743

8 0;307 0;307 0;743

10 0;312 0;312 0;743

1 0;333 0;333 0;743

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

397

Tab. 20.7 (Fortsetzung)

11

Querschnitt

It

dünnwandige Profile

 3

Wt

P

hi ti3 Profil  0;99

Bemerkungen

It =tmax 1;12

1;12

1;31

PB 1;29

1;17

Voraussetzung: hi =ti  1 max in Mitte der Längsseite des Rechtecks mit tmax

20 12

dünnwandige Hohlquerschnitte

4A2m

H 2Am tmin Am : von Mittellinie eingeds=t.s/ Für konstante Wanddicke t: Für konstante Wanddicke t: schlossene Fläche, U: Umfang der Mittellinie, 2Am t 4A2m t =U max an Stelle, wo t D tmin . Es gilt:  .s/  t .s/ D Mt =2Am D const

12a

4.bh/2 2.b=t1 Ch=t2 /

2bhtmin

12b

dm3 t =4

dm2 t =2

Beispiel

Für die Welle nach Abb. 20.35a mit G D 81 kN=mm2 ; zul D 12 N=mm2 und Drehzahl n D 1000 1=min sind gesucht: a) das eingeleitete bzw. die abgegebenen Drehmomente, b) die Torsionsmomentenlinie, c) die je Abschnitt erforderlichen Durchmesser, d) Drillung und Drehwinkel je Abschnitt sowie Gesamtdrehwinkel.

max dort, wo t D tmin

p 3 16Mt1;2 =. zu1 / D 26;1 mm (gewählt 27 mm) und d2 D 22;8 mm (gewählt 23 mm). d) Drillung #1;2 D Mt1;2 =.GIp1 / D Mt1;2 =.G d14 =32/ D 0;99  105 1=mm, Verdrehwinkel '1;2 D #1;2 l1;2 D ı , entsprechend #2;3 D 0;00495D0;284 O 5 1;2610 1=mm, '2;3 D 1;26105 250 D 0;00315 D O 0;180ı . Der Gesamtdrehwinkel (Abb. 20.35c) ist dann '1;3 D '1;2 C'2;3 D 0;284ı C 0;180ı D 0;464ı . J

a) Das eingeleitete Drehmoment Md1 ergibt sich mit der übertragenen Leistung P1 D 4;4 kW aus P D Md ! mit ! D 2  n D 2   16;67 1=s D 104;7 1=s zu Md1 D P1 =! D .4400 Nm=s/=.104;7 1=s/ D 42;0 Nm, die abgenommenen Drehmomente zu Md2 D .1470 W/=.104;7 1=s/ D 14;0 Nm und Md3 D .2930 W/=.104;7 1=s/ D 28;0 Nm. b) Die Torsionsmomente werden damit Mt1;2 D Md1 D 42;0 Nm bzw. Mt2;3 D Md1  Md2 D Md3 D 28;0 Nm (Abb. 20.35b). c) Die Durchmesser folgen aus Wp; erf D D Mt =zul zu d1 D Abb. 20.35 Torsion einer Welle   d 3 =16

398

J. Villwock und A. Hanau

20.5.2

Stäbe mit Kreisquerschnitt und veränderlichem Durchmesser

Für den Verdrehungswinkel gilt 'D

Mit Ip .x/ D  d 4 .x/=32 gilt für die Drillung und den Drehwinkel näherungsweise Mt .x/ #.x/ D ; GIp .x/

Z '.x/ D

Mt .x/ dx : GIp .x/

Die Spannungen werden wieder aus .r/ D .Mt =Ip /r bzw. max D Mt =Wp berechnet. Bei abgesetzten Wellen treten Spannungsspitzen (Kerbspannungen) auf, die mit der Formzahl ˛k gemäß  D ˛k Mt =Wp berücksichtigt werden (s. Abschn. 20.1.4).

20.5.3 Dünnwandige Hohlquerschnitte (Bredt’sche Formeln) Unter der Annahme, dass die Torsionsspannung  über die Wanddicke t konstant ist, ergibt sich aus dem Gleichgewicht am Element in x-Richtung  t dx C  t dx C @=@s. t dx/ ds D 0, also  t D T D const, d. h., der Schubfluss T ist längs des Umfangs konstant (Abb. 20.36). Der Zusammenhang zwischen Torsionsspannung und H Torsionsmoment folgt aus Mt D  t h ds D H  t h ds D  t  2Am und liefert D

Mt 2Am t

(1. Bredt’sche Formel) :

Mt l GIt

mit

It D I

4A2m : ds t .s/

It ist das Torsionsflächenmoment (2. Bredt’sche Formel). Bei der Verdrehung bleibt der Querschnitt nicht eben, sondern es tritt eine Verwölbung in x-Richtung (Längsrichtung) auf. Die Bredt’schen Formeln gelten nur für unbehinderte Verwölbung, bei der die Drehachse mit dem Schubmittelpunkt (s. Abschn. 20.4.6) zusammenfällt. Bei behinderter Verwölbung treten zusätzlich Normalspannungen  und damit veränderte Schubspannungen und Drehwinkel auf.

20.5.4

Stäbe mit beliebigem Querschnitt

Hier treten bei Verdrehung grundsätzlich Verwölbungen des Querschnitts auf. Im Fall unbehinderter Verwölbung gilt die Theorie von de Saint-Vénant [4]. Die Lösung des Problems wird auf eine Verwölbungsfunktion (y, z) oder eine Spannungsfunktion  (y, z) zurückgeführt, wobei (y, z) die Potentialgleichung  D 0 bzw.  (y, z) die Poisson’sche Gleichung  D 1 befriedigen muss. Exakte Lösungen liegen nur für wenige Querschnitte (z. B. Ellipse, Dreieck, Rechteck) vor. Für Verdrehungswinkel und maximale Schubspannung gilt 'D

Am ist hierbei die von der Mittellinie eingeschlossene Fläche des Hohlquerschnitts.

Mt l ; GIt

max D

Mt : Wt

(20.47)

Hierbei ist It das Torsionsflächenmoment. Es ist  Z  @ @ y2 C z2 C y z dA @z @y Z D 4  .y; z/ dA ;

It D

Abb. 20.36 Torsion eines Stabs mit dünnwandigem Hohlquerschnitt

d. h., It ist proportional dem Volumen des über dem Querschnitt aufgewölbten Spannungshügels. Wt ist das Torsionswiderstandsmoment. Es

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

399

Abb. 20.37 Beliebiger Querschnitt. a Torsionsfunktion; b Seifenhautgleichnis; c Strömungsgleichnis

20 gilt

    @ Wt D It 2 ; @n max

wobei .@=@n/max das größte vorhandene Gefälle des Spannungshügels ist. Senkrecht auf der dazugehörigen Schnittebene durch den Spannungshügel steht dann die entsprechende Schubspannung (Abb. 20.37a). Ergebnisse für It und Wt s. Tab. 20.7. Die Abschätzung der Lage der größten Schubspannungen bzw. die experimentelle Ermittlung der Schubspannungen erlauben folgende Gleichnisse:

20.6

20.6.1

Zusammengesetzte Beanspruchung Biegung und Längskraft

In Abb. 20.38a ist ein abgewinkelter Träger dargestellt, dessen vertikaler Teil durch Längs-(Normal-)kräfte und Biegemomente beansprucht wird, wie der Verlauf der Schnittlasten nach Abb. 20.38b–d zeigt. Bei Biegung um eine Querschnittshauptachse gilt für die Normalspannung bzw. für die extremalen Spannungen in den Randfasern (20.38a)

FN Mb z Prandtl’sches Seifenhautgleichnis. Da die Difbzw.   D N C M D ferentialgleichungen für die Spannungsfunktion A Iy und eine unter Überdruck stehende Seifenhaut FN Mb : (20.48) äquivalent sind und auch die Randbedingungen 1;2 D A W y1;2 mit  D 0 bzw. w D 0 übereinstimmen, entspricht das Gefälle der über einem Querschnitt gespannten Seifenhaut bzw. die Dichte der HöDie Lage der Nulllinie folgt aus dieser Gleihenlinien der Größe der Schubspannungen, de- chung mit  D 0 zu z0 D FN Iy =.Mb A/. ren zugeordnete Richtung senkrecht zum Gefälle Im Fall schiefer Biegung, d. h. Belastung in beiden Hauptachsenebenen, gilt mit Gl. (20.20) steht (Abb. 20.37b). Strömungsgleichnis. Aufgrund der Analogien der Differentialgleichungen entspricht der Stromlinienverlauf einer Potentialströmung konstanter Zirkulation in einem Gefäß gleichen Querschnitts wie dem des tordierten Stabs der Richtung der resultierenden Schubspannung. Die Dichte der Stromlinien ist dabei ein Maß für die Größe der Schubspannungen (Abb. 20.37c).

Abb. 20.38 Biegung und Längskraft

400

J. Villwock und A. Hanau

für Spannung und Nulllinie 9 FN Mby Mbz zC y; >  > = A Iy Iz Mby Iz FN Iz > ; z yD : > Mbz Iy Mbz A

D

(20.49)

Die extremalen Spannungen treten in den senkrecht zur Nulllinie an weitest entfernt liegenden Punkten mit den Koordinaten .y1 ; z1 / und .y2 ; z2 / auf, diese werden am einfachsten grafisch-rechnerisch ermittelt.

20.6.2 Biegung und Schub Biegung und Schub treten in der Regel in den meisten Querschnitten von Trägern, Wellen, Achsen usw. gleichzeitig auf (ebener Spannungszustand). Da die Biegenormalspannungen  am Rand extremal, dort aber die Schubspannungen  null sind (Abb. 20.39a), muss die Vergleichsspannung V in verschiedenen Höhen nach einer der Formeln gemäß Abschn. 19.3 ermittelt werden.  und  ergeben sich aus den Gln. (20.6) und (20.24). Zum Beispiel sei für einen I-Querschnitt V am oberen Rand, am Übergang zwischen Flansch und Steg sowie in der Mitte zu berechnen: Nach der GE-Hypothese (s. Abschn. 19.3.3) ergibt sich dann V D Rand bzw. V D p 2 ü C 3ü2 bzw. V D 1;73 Mitte , und es muss max V 5 zul sein. Meist ist die genaue Ermittlung von V jedoch entbehrlich, und es werden Normal- und Schubspannungen getrennt ermittelt und mit zul bzw. zul verglichen. Bei langen Trägern .l = 4 : : : 5h/ sind nur noch die Normalspannungen, bei kurzen Trägern (l h) nur noch die Schubspannungen maßgebend.

Abb. 20.39 Zusammengesetzte Beanspruchung. a Biegung und Schub; b Biegung und Torsion; c Längskraft und Torsion; d Schub und Torsion

und (20.44) bzw. (20.47) berechnet. Man ermittelt damit die Vergleichsspannung V nach einer der Hypothesen gemäß Abschn. 19.3. Beispiel

Die Welle nach Abb. 20.34a bzw. zugehörigem Beispiel habe im Bereich 1 . . . 2 ein größtes Biegemoment Mb D 75 Nm zu übertragen. Man berechne V . – Mit  D Mb =Wy und  D Mt =Wp sowie Wy D   d 3 =32 und Wp D 2Wy D   d 3 =16 folgt aus Gl. (19.24) für V nach der GE-Hypothese q V D Mb2 C 0;75˛02 Mt2 =Wy D MV =Wy :

20.6.3 Biegung und Torsion Bei gleichzeitiger Wirkung von Biegenormalspannungen  und Torsionsspannungen  (Abb. 20.39b) liegt ein ebener Spannungszustand vor. Die Extremalwerte von  und  treten in der Randfaser auf. Sie werden nach den Gln. (20.7)

(20.50)

Bei wechselnder Belastung für Biegung und schwellender für Torsion ist ˛0 0;85. Für d D 27 mm wird Wy D   d 3 =32 D 1932 mm3 und p 75 0002 C 0;75  0;852  42 0002 Nmm V D 1932 mm3 2 D 42 N=mm : J

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

401

20.6.4 Längskraft und Torsion Diese z. B. bei Dehnschrauben und Spindeln vorkommende Beanspruchung durch  und  entspricht einem ebenen Spannungszustand (Abb. 20.39c). Die Extremalspannungen treten in der Randfaser auf, und dort wird die Vergleichsspannung V nach einer der Hypothesen gemäß Abschn. 19.3 berechnet.

20 Abb. 20.40 Geschlossener Rahmen. a eben; b räumlich

20.6.5 Schub und Torsion Diese z. B. am kurzen Wellenzapfen auftretende Beanspruchung (Abb. 20.39d) liefert lediglich eine resultierende maximale Schubspannung mit Q nach Gl. (20.24) und t nach den Gln. (20.44) bzw. (20.47): im Punkt A

res D t ;

im Punkt B

res D Q  t ;

im Punkt C

res D Q C t :

Die Umrechnung z. B. nach der GE-Hypothese auf V ergibt V D 1;73  ˛0 res .

20.6.6 Biegung mit Längskraft sowie Schub und Torsion In diesem Fall ergibt sich für die Punkte A, B, C nach Abb. 20.39d A D N C M , A D t ; B D N , B D Q  t ; C D N , C D Q C t . Dabei bilden A , A usw. jeweils einen ebenen Spannungszustand und sind nach Abschn. 19.3 zur Vergleichsspannung V zusammenzufassen.

20.7 Statisch unbestimmte Systeme Man unterscheidet äußerlich und innerlich statisch unbestimmte Systeme, wobei ein System auch gleichzeitig äußerlich und innerlich unbestimmt sein kann. Äußerlich statisch unbestimmt sind Systeme, die in der Ebene durch mehr als drei bzw. im Raum durch mehr als sechs Auflagerreaktionen abgestützt werden. Ein n-fach

abgestütztes System ist in der Ebene m D .n  3/-fach, im Raum m D .n  6/-fach äußerlich statisch unbestimmt. Ein geschlossener Rahmen ist als ebenes System (Abb. 20.40a) 3fach innerlich, als räumliches System (Abb. 20.40b) 6fach innerlich statisch unbestimmt. Die wichtigste Methode zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme ist das Kraftgrößenverfahren. Das System wird durch Entfernen von Auflagerreaktionen (Kräften oder Momenten) oder durch Schnittführung z. B. nach Abb. 20.41 auf ein statisch bestimmtes Grundsystem zurückgeführt (zu jedem unbestimmten System gibt es mehrere mögliche Grundsysteme, von denen eines auszuwählen ist). Die entfernten Größen bezeichnet man als statisch Unbestimmte X1 ; X2 : : : Xm . Der Lösung liegt folgendes Superpositionsverfahren zugrunde: 1. Berechnung der Verformungsdifferenzen ı10 ; ı20 ; ı30 : : : zwischen beiden Schnittufern am Grundsystem in Richtung von X1 ; X2 ; X3 : : : durch die äußere Belastung (0). (Die Verformungen sind in Richtung der statisch unbestimmten Größen positiv.) 2. Berechnung der Verformungsdifferenzen ıi k (i; k D 1; 2; 3 : : :) am Grundsystem, wobei i die Richtung von X1 ; X2 ; X3 : : : und k D 1; 2; 3 : : : die Belastung X1 D 1, X2 D 1, X3 D 1 : : : kennzeichnet. 3. Am wirklichen System müssen die Verformungsdifferenzen null sein, d. h., bei z. B. drei Unbekannten gilt 9 X1 ı11 C X2 ı12 C X3 ı13 C ı10 D 0 ; > = X1 ı21 C X2 ı22 C X3 ı23 C ı20 D 0 ; > ; X1 ı31 C X2 ı32 C X3 ı33 C ı30 D 0 : (20.51)

402

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 20.41 Kraftgrößenmethode

Aus diesem linearen Gleichungssystem berechnet man die drei Unbekannten X1 ; X2 ; X3 (beim m-fach unbestimmten System die Unbekannten X1 ; : : : ; Xm ). 4. Nach Überlagerung der äußeren Lasten und der statisch Unbestimmten am Grundsystem berechnet man die endgültigen Auflagerreaktionen, Biegemomente usw. Zu bemerken ist noch, dass stets ıi k D ıki gilt, wenn i ¤ k (Satz von Maxwell), wodurch die Anzahl der zu berechnenden ıi k erheblich reduziert wird. Die Verformungsgrößen werden nach einem der in Abschn. 20.4.8 und 20.4.9 angegebenen Verfahren berechnet. In einfachen, anschaulichen Fällen verwendet man die Ergebnisse nach Tab. 20.4, bei komplizierten, unanschaulichen Fällen die Methoden nach Abschn. 20.4.9. Letztere haben den Vorteil, dass sie automatisch auch die richtigen Vorzeichen der ıi k -Glieder liefern.

Beispiel

Berechnung der beiden statisch Unbestimmten am beidseitig eingespannten Träger (Abb. 20.42a). – Als statisch bestimmtes Grundsystem wird der einseitig eingespannte Träger gewählt (Abb. 20.42b). Die Ermittlung der Verformungsgrößen ıi k soll auf zwei Wegen, nämlich anschaulich nach Tab. 20.4 und allgemein mit dem Prinzip der virtuellen Arbeiten nach Abschn. 20.4.9 erfolgen. Nach

Tab. 20.4 wird (Abb. 20.42c–e) ı10 D f10 D ql 4 =.8 EIy / ; ı20 D ˛20 D q l 3 =.6 EIy / ; ı11 D f11 D l 3 =.3 EIy / ; ı21 D ˛21 D l 2 =.2 EIy / D ı12 ; ı22 D ˛22 D l=.EIy / : Mit dem Prinzip der virtuellen Kräfte gemäß den Gln. (20.39) und (20.40) sowie Tab. 20.6 folgen Z ı10 D

M1 M0 dx=.EIy / D lik=.4EIy /

ı20

D ql 4 =.8EIy / ; Z D M2 M0 dx=.EIy / D lik=.3EIy /

ı11

D ql 3 =.6EIy / ; Z D M1 M1 dx=.EIy / D lik=.3EIy /

ı21

D l 3 =.3EIy / ; Z D ı12 D M1 M2 dx=.EIy /

ı22

D lik=.2EIy / D l 2 =.2EIy / ; Z D M2 M2 dx=.EIy / D lik=.EIy / D l=.EIy / :

Beide Verfahren ergeben also die gleichen Verformungen. Aus den zwei linearen Gleichungen, entsprechend Gl. (20.51), folgen 2 / X1 D .ı10 ı22 C ı20 ı12 /=.ı11 ı22  ı12

D ql=2 ; 2 / X2 D .ı11 ı20 C ı21 ı10 /=.ı11 ı22  ı12

Abb. 20.42 Beidseitig eingespannter Träger

D ql 2 =12 :

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

Anschließend werden am Grundsystem in- Anhang folge äußerer Last sowie infolge X 1 und X 2 die endgültigen Auflagerreaktionen zu FA D ql  X1 D ql=2 D FB , MEA D ql 2 =2 C X1 l C X2 D ql 2 =12 D MEB und das maximale Feldmoment zu MF D Mb .l=2/ D ql 2 =24 berechnet. J Die Ergebnisse für einfache statisch unbestimmte Träger sind in Tab. 20.5 zusammengefasst.

403

20

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 425 450 475 500

I

Kurzzeichen

h mm 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 425 450 475 500

Maße für

b mm 42 50 58 66 74 82 90 98 106 113 119 125 131 137 143 149 155 163 170 178 185

s mm 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 7,5 8,1 8,7 9,4 10,1 10,8 11,5 12,2 13,0 13,7 14,4 15,3 16,2 17,1 18,0

t mm 5,9 6,8 7,7 8,6 9,5 10,4 11,3 12,2 13,1 14,1 15,2 16,2 17,3 18,3 19,5 20,5 21,6 23,0 24,3 25,6 27,0

r1 mm 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 7,5 8,1 8,7 9,4 10,1 10,8 11,5 12,2 13,0 13,7 14,4 15,3 16,2 17,1 18,0

r2 mm 2,3 2,7 3,1 3,4 3,8 4,1 4,5 4,9 5,2 5,6 6,1 6,5 6,9 7,3 7,8 8,2 8,6 9,2 9,7 10,3 10,8 cm2 7,57 10,6 14,2 18,2 22,8 27,9 33,4 39,5 46,1 53,3 61,0 69,0 77,7 86,7 97,0 107 118 132 147 163 179

Querschnitt A

I Flächenmoment 2. Grades, W Widerstandsmoment, i Trägheitsradius, Sx Flächenmoment 1. Grades des halben Querschnitts, sx D Ix =Sx Abstand Druck- und Zugmittelpunkt.

kg/m 5,94 8,34 11,1 14,3 17,9 21,9 26,2 31,1 36,2 41,9 47,9 54,2 61,0 68,0 76,1 84,0 92,4 104 115 128 141

Gewicht G Ix cm4 77,8 171 328 573 935 1450 2140 3060 4250 5740 7590 9800 12510 15700 19610 24010 29210 36970 45850 56480 68740

Wx cm3 19,5 34,2 54,7 81,9 117 161 214 278 354 442 542 653 782 923 1090 1260 1460 1740 2040 2380 2750

Für die Biegeachse xx

Tab. 20.8 Warmgewalzte I-Träger, schmale I-Träger, I-Reihe nach DIN 1025 Blatt 1 (Auszug)

ix cm 3,20 4,01 4,81 5,61 6,40 7,20 8,00 8,80 9,59 10,4 11,1 11,9 12,7 13,5 14,2 15,0 15,7 16,7 17,7 18,6 19,6

Iy cm4 6,29 12,2 21,5 35,2 54,7 81,3 117 162 221 288 364 451 555 674 818 975 1160 1440 1730 2090 2480

yy Wy cm3 3,00 4,88 7,41 10,7 14,8 19,8 26,0 33,1 41,7 51,0 61,2 72,2 84,7 98,4 114 131 149 176 203 235 268

iy cm 0,91 1,07 1,23 1,40 1,55 1,71 1,87 2,02 2,20 2,32 2,45 2,56 2,67 2,80 2,90 3,02 3,13 3,30 3,43 3,60 3,72

cm3 11,4 19,9 31,8 47,7 68,0 93,4 125 162 206 257 316 381 457 540 638 741 857 1020 1200 1400 1620

Sx

cm 6,84 8,57 10,3 12,0 13,7 15,5 17,2 18,9 20,6 22,3 24,0 25,7 27,4 29,1 30,7 32,4 34,1 36,2 38,3 40,4 42,4

sx

404 J. Villwock und A. Hanau

IPB 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 400 450 500

Kurzzeichen

h mm 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 400 450 500

Maße für

b mm 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 300 300 300 300 300 300

s mm 6 6,5 7 8 8,5 9 9,5 10 10 10,5 11 11,5 12 12,5 13,5 14 14,5

t mm 10 11 12 13 14 15 16 17 17,5 18 19 20,5 21,5 22,5 24 26 28

r1 mm 12 12 12 15 15 18 18 21 24 24 27 27 27 27 27 27 27 cm2 26,0 34,0 43,0 54,3 65,3 78,1 91,0 106 118 131 149 161 171 181 198 218 239

Querschnitt A

I Flächenmoment 2. Grades, W Widerstandsmoment, i Trägheitsradius, Sx Flächenmoment 1. Grades des halben Querschnitts, sx D Ix =Sx Abstand Druck- und Zugmittelpunkt.

kg/m 20,4 26,7 33,7 42,6 51,2 61,3 71,5 83,2 93,0 103 117 127 134 142 155 171 187

Gewicht G

Für die Biegeachse xx Ix Wx cm4 cm3 450 89,9 864 144 1510 216 2490 311 3830 426 5700 570 8090 736 11260 938 14920 1150 19270 1380 25170 1680 30820 1930 36660 2160 43190 2400 57680 2880 79890 3550 107200 4290

Tab. 20.9 Warmgewalzte I-Träger, schmale I-Träger, I-Reihe nach DIN 1025 Blatt 1 (Auszug)

ix cm 4,16 5,04 5,93 6,78 7,66 8,54 9,43 10,3 11,2 12,1 13,0 13,8 14,6 15,5 17,1 19,1 21,2

yy Iy cm4 167 318 550 889 1360 2000 2840 3920 5130 6590 8560 9240 9690 10140 10820 11720 12620

Wy cm3 33,5 52,9 78,5 111 151 200 258 327 395 471 571 616 646 676 721 781 842

iy cm 2,53 3,06 3,58 4,05 4,57 5,07 5,59 6,08 6,58 7,09 7,58 7,57 7,53 7,49 7,40 7,33 7,27

sx

cm 8,63 10,5 12,3 14,1 15,9 17,7 19,6 21,4 23,3 25,1 26,9 28,7 30,4 32,2 35,7 40,1 44,5

Sx

cm3 52,1 82,6 123 177 241 321 414 527 641 767 934 1070 1200 1340 1620 1990 2410

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile 405

20

T 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120 140

Kurzzeichen

h mm 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120 140

Maße für

b mm

s D t D r1 mm 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 7 8 9 10 11 13 15 r3 mm 1 1 1 1 1 1,5 1,5 2 2 2 2,5 3 3 4 cm2 1,12 1,64 2,26 2,97 3,77 4,67 5,66 7,94 10,6 13,6 17,1 20,9 29,6 39,9

Querschnitt A

I Flächenmoment 2. Grades, W Widerstandsmoment, i Trägheitsradius,

kg/m 0,88 1,29 1,77 2,33 2,96 3,67 4,44 6,23 8,32 10,7 13,4 16,4 23,2 31,3

Gewicht G ex cm 0,58 0,73 0,85 0,99 1,12 1,26 1,39 1,66 1,94 2,22 2,48 2,74 3,28 3,80

Tab. 20.10 Warmgewalzter rundkantiger, hochstegiger T-Stahl nach DIN 1024 (Auszug)

Für die Biegeachse xx Ix Wx cm4 cm3 0,38 0,27 0,87 0,49 1,72 0,80 3,10 1,23 5,28 1,84 8,13 2,51 12,1 3,36 23,8 5,48 44,5 8,79 73,7 12,8 119 18,2 179 24,6 366 42,0 660 64,7 ix cm 0,58 0,73 0,87 1,04 1,18 1,32 1,46 1,73 2,05 2,33 2,64 2,92 3,51 4,07

y y Iy cm4 0,20 0,43 0,87 1,57 2,58 4,01 6,06 12,2 22,1 37,0 58,5 88,3 178 330

Wy cm3 0,20 0,34 0,58 0,90 1,29 1,78 2,42 4,07 6,32 9,25 13,0 177 29,7 47,2

iy cm 0,42 0,51 0,62 0,73 0,83 0,93 1,03 1,24 1,44 1,65 1,85 2,05 2,45 2,88

406 J. Villwock und A. Hanau

L 20 × 3 25 × 3 30 × 3 35 × 4 40 × 4 45 × 5 50 × 5 60 × 6 70 × 7 80 × 8 90 × 9 100 × 10 110 × 10 120 × 12 150 × 15 180 × 18 200 × 20

Kurzzeichen

a mm 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 110 120 150 180 200

s mm 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 10 10 12 15 18 20

Maße für

r1 mm 3,5 3,5 5 5 6 7 7 8 9 10 11 12 12 13 16 18 18

r2 mm 2 2 2,5 2,5 3 3,5 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6 6,5 8 9 9

cm2 1,12 1,42 1,74 2,67 3,08 4,3 4,8 6,91 9,4 12,3 15,5 19,2 21,2 27,5 43 61,9 76,4

Querschnitt kg/m 0,88 1,12 1,36 2,1 2,42 3,38 3,77 5,42 7,38 9,66 12,2 15,1 16,6 21,6 33,8 48,6 59,9

m2 /m 0,077 0,097 0,116 0,136 0,155 0,174 0,194 0,233 0,272 0,311 0,351 0,390 0,430 0,469 0,586 0,705 0,785

e cm 0,60 0,73 0,84 1,00 1,12 1,28 1,40 1,69 1,97 2,26 2,54 2,82 3,07 3,40 4,25 5,10 5,68

w cm 1,41 1,77 2,12 2,47 2,83 3,18 3,54 4,24 4,95 5,66 6,36 7,07 7,78 8,49 10,6 12,7 14,1

v1 cm 0,85 1,03 1,18 1,41 1,58 1,81 1,98 2,39 2,79 3,20 3,59 3,99 4,34 4,80 6,01 7,22 8,04

Gewicht Mantel- Abstände der Achsen fläche

I Flächenmoment 2. Grades, W Widerstandsmoment, i Trägheitsradius, Tabelle enthält nur die genormten Vorzugswerte.

v2 cm 0,70 0,87 1,04 1,24 1,40 1,58 1,76 2,11 2,47 2,82 3,18 3,54 3,89 4,26 5,33 6,41 7,15

Tab. 20.11 Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach DIN 1028 (Auszug)

Statische Werte für die Biegeachse xx Dy y x Ix Wx ix I cm4 cm3 cm cm4 0,39 0,28 0,59 0,62 0,79 0,45 0,75 1,27 1,41 0,65 0,90 2,24 2,96 1,18 1,05 4,68 4,48 1,55 1,21 7,09 7,83 2,43 1,35 12,4 11,0 3,05 1,51 17,4 22,8 5,29 1,82 36,1 42,4 8,43 2,12 67,1 72,3 12,6 2,42 115 116 18,0 2,74 184 177 24,7 3,04 280 239 30,1 3,36 379 368 42,7 3,65 584 898 83,5 4,57 1430 1870 145 5,49 2970 2850 199 6,11 4540

i cm 0,74 0,95 1,14 1,33 1,52 1,70 1,90 2,29 2,67 3,06 3,45 3,82 4,23 4,60 5,76 6,93 7,72

h I cm4 0,15 0,31 0,57 1,24 1,86 3,25 4,59 9,43 17,6 29,6 47,8 73,3 98,6 152 370 757 1160

W cm3 0,18 0,30 0,48 0,88 1,18 1,80 2,32 3,95 6,31 9,25 13,3 18,4 22,7 31,6 61,6 105 144

i cm 0,37 0,47 0,57 0,68 0,78 0,87 0,98 1,17 1,37 1,55 1,76 1,95 2,16 2,35 2,93 3,49 3,89

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile 407

20

mm 4 4,5 5 5 6 6,5 7 8 8,5 9,5 10

mm 30 40 50 60 80 100 120 140 160 180 200

30 40 50 60 80 100 120 140 160 180 200

mm 38 40 43 45 50 55 60 65 70 75 80

s

Maße für h b

Kurzzeichen mm 4,5 5 5,5 6 7 8 9 10 11 12 13

t mm 4,5 5 5,5 6 7 8 9 10 11 12 13

r1 mm 2,5 2,5 3 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

r2

I Flächenmoment 2. Grades, W Widerstandsmoment, i Trägheitsradius,

Tab. 20.12 Warmgewalzter rundkantiger Z-Stahl nach DIN 1027 (Auszug)

Gewicht G kg/m 3,39 4,26 5,31 6,21 8,71 11,4 14,3 18,0 21,6 26,1 30,4

Querschnitt A cm2 4,32 5,43 6,77 7,91 11,1 14,5 18,2 22,9 27,5 33,3 38,7 tan ˛ 1,655 1,181 0,939 0,779 0,558 0,492 0,433 0,385 0,357 0,329 0,313 cm 3,86 4,17 4,60 4,98 5,83 6,77 7,75 8,72 9,74 10,7 11,8

cm 0,58 0,91 1,24 1,51 2,02 2,43 2,80 3,18 3,51 3,86 4,17

cm 0,61 1,12 1,65 2,21 3,30 4,34 5,37 6,39 7,39 8,40 9,39

cm 1,39 1,67 1,89 2,04 2,29 2,50 2,70 2,89 3,09 3,27 3,47

Lage der Abstände der Achsen – und  –  Achse o o e e –

cm 3,54 3,82 4,21 4,56 5,35 6,24 7,16 8,08 9,04 9,99 11,0

a

cm 0,87 1,19 1,49 1,76 2,25 2,65 3,02 3,39 3,72 4,08 4,39

a

408 J. Villwock und A. Hanau

30 40 50 60 80 100 120 140 160 180 200

Kurzzeichen

cm4 13,7 17,6 23,8 30,1 47,4 72,5 106 148 204 270 357

cm3 3,97 6,75 10,5 14,9 27,3 44,4 67,0 96,6 132 178 230

cm4 5,96 13,5 26,3 44,7 109 222 402 676 1060 1600 2300

cm 1,17 1,58 1,97 2,38 3,13 3,91 4,70 5,43 6,20 6,92 7,71

Iy

Wx

Ix

ix

y–y

x–x

Statische Werte für die Biegeachse

Tab. 20.12 (Fortsetzung)

cm3 3,80 4,66 5,88 7,09 10,1 14,0 18,8 24,3 31,0 38,4 47,6

Wy cm 1,78 1,80 1,88 1,95 2,07 2,24 2,42 2,54 2,72 2,84 3,04

iy cm4 18,1 28,0 44,9 67,2 142 270 470 768 1180 1760 2510

I

x–

cm3 4,69 6,72 9,76 13,5 24,4 39,8 60,6 88,0 121 164 213

W cm 2,04 2,27 2,57 2,81 3,58 4,31 5,08 5,79 6,57 7,26 8,06

i cm4 1,54 3,05 5,23 7,60 14,7 24,6 37,7 56,4 79,5 110 147

I

–

cm3 1,11 1,83 2,76 3,73 6,44 9,26 12,5 16,6 21,4 27,0 33,4

W cm 0,60 0,75 0,88 0,98 1,15 1,30 1,44 1,57 1,70 1,82 1,95

i

cm4 7,35 12,2 19,6 28,8 55,6 97,2 158 239 349 490 674

cm3 3,97 6,75 10,5 14,9 27,3 44,4 67,0 96,6 132 178 230

1,227 0,913 0,752 0,647 0,509 0,438 0,392 0,353 0,330 0,307 0,293

cm3 1,26 2,26 3,64 5,24 10,1 16,8 25,6 38,0 52,9 72,4 94,1

Zentri- Bei lotrechter Belastung V fugalund bei moment Verhinderung seit- freier licher Ausbiegung Ausbiedurch H gung H I xy Wx tan zur V Seite W

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile 409

20

30 × 20 × 3 30 × 20 × 4 40 × 20 × 3 40 × 20 × 4 45 × 30 × 4 45 × 30 × 5 50 × 30 × 4 50 × 30 × 5 50 × 40 × 5 60 × 30 × 5 60 × 40 × 5 60 × 40 × 6 65 × 50 × 5 70 × 50 × 6 75 × 50 × 7 75 × 55 × 5 75 × 55 × 7 80 × 40 × 6 80 × 40 × 8 80 × 60 × 7 80 × 65 × 8 90 × 60 × 6 90 × 60 × 8

80 80 90

75 80

60 65 70 75

50 60

50

45

40

a mm 30

L kg/m 1,11 1,45 1,35 1,77 2,25 2,77 2,41 2,96 3,35 3,37 3,76 4,46 4,35 5,40 6,51 4,95 6,80 5,41 7,07 7,36 8,66 6,82 8,96 0,274 0,283 0,294

0,254 0,234

0,195 0,224 0,235 0,244

0,177 0,175

0,156

0,146

0,117

m2 /m 0,097

ex cm 0,99 1,03 1,43 1,47 1,48 1,52 1,68 1,73 1,56 2,15 1,96 2,00 1,99 2,24 2,48 2,31 2,40 2,85 2,94 2,51 2,47 2,89 2,97

ey cm 0,50 0,54 0,44 0,48 0,74 0,78 0,70 0,74 1,07 0,68 0,97 1,01 1,25 1,25 1,25 1,33 1,41 0,88 0,95 1,52 1,73 1,41 1,49

w1 cm 2,04 2,02 2,61 2,57 3,07 3,05 3,36 3,33 3,49 3,90 4,08 4,06 4,52 4,82 5,10 5,19 5,16 5,21 5,15 5,55 5,59 6,14 6,11

w2 cm 1,51 1,52 1,77 1,80 2,26 2,27 2,35 2,38 2,88 2,67 3,01 3,02 3,61 3,68 3,77 4,00 4,02 3,53 3,57 4,42 4,65 4,50 4,54

Quer- Gewicht Mantel- Abstände der Achsen schnitt fläche

b s r1 r2 mm mm mm mm cm2 20 3 3,5 2 1,42 4 1,85 20 3 3,5 2 1,72 4 2,25 30 4 4,5 2 2,87 5 3,53 30 4 4,5 2 3,07 5 3,78 40 5 4 2 4,27 30 5 6 3 4,29 5 4,79 40 6 6 3 5,68 50 5 6 3 5,54 50 6 6 3 6,88 50 7 8,30 5 6,30 55 7 7 3,5 8,66 40 6 7 3,5 6,89 8 9,01 60 7 8 4 9,38 65 8 8 4 11,0 60 6 7 3,5 8,69 8 11,4

Maße für

Kurzzeichen

I Flächenmoment 2. Grades, W Widerstandsmoment, i Trägheitsradius, Tabelle enthält nur die genormten Vorzugswerte.

v1 cm 0,86 0,91 0,79 0,83 1,27 1,32 1,24 1,28 1,73 1,20 1,68 1,72 2,08 2,20 2,13 2,27 2,37 1,55 1,65 2,70 2,79 2,46 2,56

v2 cm 1,04 1,03 1,19 1,18 1,58 1,58 1,67 1,66 1,84 1,77 2,09 2,08 2,38 2,52 2,63 2,71 2,70 2,42 2,38 2,92 2,94 3,16 3,15

v3 cm 0,56 0,58 0,46 0,50 0,83 0,85 0,78 0,80 1,27 0,72 1,10 1,12 1,50 1,42 1,38 1,58 1,62 0,89 1,04 1,68 2,05 1,60 1,69

Tab. 20.13 Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach DIN 1029 (Auszug)

ix cm 0,94 0,93 1,27 1,26 1,42 1,41 1,59 1,58 1,56 1,90 1,89 1,88 2,04 2,21 2,36 2,37 2,35 2,55 2,53 2,51 2,49 2,87 2,85

Iy Wy cm4 cm3 0,44 0,29 0,55 0,38 0,47 0,30 0,60 0,39 2,05 0,91 2,47 1,11 2,09 0,91 2,54 1,12 5,89 2,01 2,60 1,12 6,11 2,02 7,12 2,38 11,9 3,18 14,3 3,81 16,5 4,39 16,2 3,89 21,8 5,52 7,59 2,44 9,68 3,18 28,4 6,34 40,1 8,41 25,8 5,61 33,0 7,31

Wx cm3 0,62 0,81 1,08 1,42 1,91 2,35 2,33 2,88 3,02 4,04 4,25 5,03 5,11 7,04 9,24 6,84 9,39 8,73 11,4 10,7 12,3 11,7 15,4

– tan x 0,431 0,423 0,259 0,252 0,436 0,430 0,356 0,353 0,625 0,256 0,437 0,433 0,583 0,497 0,433 0,530 0,525 0,259 0,253 0,546 0,645 0,442 0,437 Ix cm4 1,25 1,59 2,79 3,59 5,78 6,99 7,71 9,41 10,4 15,6 17,2 20,1 23,1 33,5 46,4 35,5 47,9 44,9 57,6 59,0 68,1 71,7 92,5

y–y

Lage Für die Biegeachse der x–x Achse

iy cm 0,56 0,55 0,52 0,52 0,85 0,84 0,82 0,82 1,18 0,78 1,13 1,12 1,47 1,44 1,41 1,60 1,59 1,05 1,04 1,74 1,91 1,72 1,70

I cm4 1,43 1,81 2,96 3,79 6,65 8,02 8,53 10,4 13,3 16,5 19,8 23,1 28,8 39,9 53,3 43,1 57,9 47,6 60,9 72,0 88,0 82,8 107

x– i cm 1,00 0,99 1,31 1,30 1,52 1,51 1,67 1,66 1,76 1,96 2,03 2,02 2,28 2,41 2,53 2,61 2,59 2,63 2,60 2,77 2,82 3,09 3,06

I cm4 0,25 0,33 0,30 0,39 1,18 1,44 1,27 1,56 3,02 1,69 3,50 4,12 6,21 7,94 9,56 8,68 11,8 4,90 6,41 15,4 20,3 14,6 19,0

– i cm 0,42 0,42 0,42 0,42 0,64 0,64 0,64 0,64 0,84 0,63 0,86 0,85 1,06 1,07 1,07 1,17 1,17 0,84 0,84 1,28 1,36 1,30 1,29

410 J. Villwock und A. Hanau

100 × 50 × 6 100 × 50 × 8 100 × 50 × 10 100 × 65 × 7 100 × 65 × 9 100 × 75 × 9 120 × 80 × 8 120 × 80 × 10 120 × 80 × 12 130 × 65 × 8 130 × 65 × 10

130

120

100 100

100

a mm

L

b s mm mm 6 50 8 10 7 65 9 75 9 8 80 10 12 8 65 10

Maße für

Kurzzeichen

Tab. 20.13 (Fortsetzung)

11

11

10 10

9

r1 mm

r2 mm cm2 8,73 4,5 11,5 14,1 11,2 5 14,2 5 15,1 15,5 5,5 19,1 22,7 15,1 5,5 18,6 kg/m 6,85 8,99 11,1 8,77 11,1 11,8 12,2 15,0 17,8 11,9 14,6 0,381

0,391

0,321 0,341

0,292

m2 /m

ex cm 3,49 3,59 3,67 3,23 3,32 3,15 3,83 3,92 4,00 4,56 4,65

ey cm 1,04 1,13 1,20 1,51 1,59 1,91 1,87 1,95 2,03 1,37 1,45

w1 cm 6,50 6,48 6,43 6,83 6,78 6,91 8,23 8,18 8,14 8,50 8,43

w2 cm 4,39 4,44 4,49 4,91 4,94 5,45 5,99 6,03 6,06 5,71 5,76

Quer- Gewicht Mantel- Abstände der Achsen schnitt fläche v1 cm 1,91 2,00 2,08 2,66 2,76 3,22 3,27 3,37 3,46 2,49 2,58

v2 cm 2,98 2,95 2,91 3,48 3,46 3,63 4,20 4,19 4,18 3,86 3,82

v3 cm 1,15 1,18 1,22 1,73 1,78 2,22 2,16 2,19 2,25 1,47 1,54

ix cm 3,20 3,18 3,16 3,17 3,15 3,13 3,82 3,80 3,77 4,17 4,15

Iy cm4 15,3 19,5 23,4 37,6 46,7 71,0 80,8 98,1 114 44,8 54,2

Wx cm3 13,8 18,0 22,2 16,6 21,0 21,5 27,6 34,1 40,4 31,1 38,4

– tan x 0,263 0,258 0,252 0,419 0,415 0,549 0,441 0,438 0,433 0,263 0,259 Ix cm4 89,7 116 141 113 141 148 226 276 323 263 321

yy

Lage Für die Biegeachse der xx Achse Wy cm3 3,86 5,04 6,17 7,54 9,52 12,7 13,2 16,2 19,1 8,72 10,7

iy cm 1,32 1,31 1,29 1,84 1,82 2,17 2,29 2,27 2,25 1,72 1,71

I cm4 9,78 12,6 15,5 21,6 27,2 37,8 45,8 56,1 66,1 28,6 35,0

I cm4 95,2 123 149 128 160 181 261 318 371 280 340

i cm 3,30 3,28 3,25 3,39 3,36 3,47 4,10 4,07 4,04 4,31 4,27



x

i cm 1,06 1,05 1,04 1,39 1,39 1,59 1,72 1,71 1,71 1,38 1,37

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile 411

20

30 × 15 30 40 × 20 40 50 × 25 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400

h mm 30 30 40 40 50 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400

U

b mm 15 33 20 35 25 38 30 42 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 102 110

Maße für

Kurzzeichen

s mm 4 5 5 5 5 5 6 5,5 6 6 7 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10 10 14 14 13,5 14

t mm 4,5 7 5,5 7 6 7 6 7,5 8 8,5 9 10 10,5 11 11,5 12,5 13 14 15 16 17,5 16 16 18

r1 mm 4,5 7 5 7 6 7 6 7,5 8 8,5 9 10 10,5 11 11,5 12,5 13 14 15 16 17,5 16 16 18

r2 mm 2 3,5 2,5 3,5 3 3,5 3 4 4 4,5 4,5 5 5,5 5,5 6 6,5 6,5 7 7,5 8 8,75 8 8 9 cm2 2,21 5,44 3,66 6,21 4,92 7,12 6,46 9,03 11,0 13,5 17,0 20,4 24,0 28,0 32,2 37,4 42,3 48,3 53,3 58,8 75,8 77,3 80,4 91,5

Querschnitt A

kg/m 1,74 4,27 2,87 4,87 3,86 5,59 5,07 7,09 8,64 10,6 13,4 16,0 18,8 22,0 25,3 29,4 33,2 37,9 41,8 46,2 59,5 60,6 63,1 71,8

Gewicht G

I Flächenmoment 2. Grades, W Widerstandsmoment, i Trägheitsradius, Sx Flächenmoment 1. Grades des halben Querschnitts, sx D Ix =Sx Abstand Druck- und Zugmittelpunkt.

Tab. 20.14 Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl nach DIN 1026 (Auszug)

2,53 6,39 7,58 14,1 16,8 26,4 31,6 57,5 106 206 364 605 925 1350 1910 2690 3600 4820 6280 8030 10870 12840 15760 20350

Ix cm4

Wx cm3 1,69 4,26 3,79 7,05 6,73 10,6 10,5 17,7 26,5 41,2 60,7 86,4 116 150 191 245 300 371 448 535 679 734 829 1020

Für die Biegeachse x–x

ix cm 1,07 1,08 1,44 1,50 1,85 1,92 2,21 2,52 3,10 3,91 4,62 5,45 6,21 6,95 7,70 8,48 9,22 9,99 10,9 11,7 12,1 12,9 14,0 14,9

Iy cm4 0,38 5,33 1,14 6,68 2,49 9,12 4,51 14,1 19,4 29,3 43,2 62,7 85,3 114 148 197 248 317 399 495 597 570 615 846

y–y

Wy cm3 0,39 2,68 0,86 3,08 1,48 3,75 2,16 5,07 6,36 8,49 11,1 14,8 18,3 22,4 27,0 33,6 39,6 47,7 57,2 67,8 80,6 75,0 78,7 102

iy cm 0,42 0,99 0,56 1,04 0,71 1,13 0,84 1,25 1,33 1,47 1,59 1,75 1,89 2,02 2,14 2,30 2,42 2,56 2,74 2,90 2,81 2,72 2,77 3,04

cm3 – – – – – – – – 15,9 24,5 36,3 51,4 68,8 89,6 114 146 179 221 266 316 413 459 507 618

Sx

cm – – – – – – – – 6,65 8,42 10,0 11,8 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,8 23,6 25,4 26,3 28,6 31,1 32,9

sx

ey cm 0,52 1,31 0,67 1,33 0,81 1,37 0,91 1,42 1,45 1,55 1,60 1,75 1,84 1,92 2,01 2,14 2,23 2,36 2,53 2,70 2,60 2,40 2,38 2,65

Abstand der Achse y–y

cm 0,74 2,22 1,01 2,32 1,34 2,47 1,50 2,60 2,67 2,93 3,03 3,37 3,56 3,75 3,94 4,20 4,39 4,66 5,02 5,41 4,82 4,45 4,58 5,11

xM

412 J. Villwock und A. Hanau

20 Beanspruchung stabförmiger Bauteile

Literatur Spezielle Literatur 1. Szabó, I.: Einführung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Springer, Berlin (1975), Nachdruck (2003) 2. Weber, C.: Biegung und Schub in geraden Balken. Z. angew. Math. u. Mech. 4, 334–348 (1924) 3. Schultz-Grunow, F.: Einführung in die Festigkeitslehre. Werner, Düsseldorf (1949) 4. Szabó, I.: Höhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Springer, Berlin (2001)

413 5. Neuber, H.: Technische Mechanik, Teil II. Springer, Berlin (1971) 6. Leipholz, H.: Festigkeitslehre für den Konstrukteur. Springer, Berlin (1969) 7. Young, W. C., Budynas, R. G.: Roark’s Formulas for Stress and Strain, 7th ed. McGraw-Hill, Singapore (2002) 8. Forschungskuratorium Maschinenbau e.V., Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile 6. Auflage, VDMA-Verlag, Frankfurt (2012)

20

Elastizitätstheorie

21

Joachim Villwock und Andreas Hanau

21.1 Allgemeines

X, Y, Z.

9 @yx @x zx Aufgabe der Elastizitätstheorie ist es, den Span> C C CX D0; > > > @x @y @z nungs- und Verformungszustand eines Körpers > > = @xy @y @zy unter Beachtung der gegebenen Randbedingun(21.1) C C CY D0; > gen zu berechnen, d. h. die Größen x , y , z , @x @y @z > > > > xy , xz , yz , "x , "y , "z , xy , xz , yz , u, , w > @yz @xz @z C C CZ D0; ; zu ermitteln. Für diese 15 Unbekannten stehen @x @ @z zunächst die Gln. (19.12) und (19.13) zur Verfügung. Hinzu kommen drei Gleichgewichtsbedin- sowie für isotrope Körper die sechs verallgemeigungen (Abb. 21.1) mit den Volumenkraftdichten nerten Hooke’schen Gesetze 9 x  .y C z / > "x D ; > > > E > > > > y  .x C z / > = ; "y D E > z  .x C y / > > ; "z D > > > E > > xy yz > xz xy D ; xz D ; yz D : ; G G G (21.2) bzw. in ihrer spannungsexpliziten Form Abb. 21.1 Gleichgewicht am Element

9  > E    "x C "x C "y C "z ; > > > > 1C 1  2 > >  >  E   > "y C "x C "y C "z ; = y D 1C 1  2 >  > E    > "z C "x C "y C "z ; > z D > > > 1C 1  2 > > xy D G xy ; xz D G xz ; yz D G yz : ; (21.2a) Damit stehen 15 Gleichungen für 15 Unbekannte zur Verfügung. Eliminiert man aus ihnen alle Spannungen, so erhält man drei partielle Differentialgleichungen für die unbekannten x D

J. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_21

415

416

J. Villwock und A. Hanau

Verschiebungen:  1 G u C 1  2  1 G  C 1  2  1 G w C 1  2

 @" CX D0; @x  @" CY D0; @y  @" CZ D0 @z

9 > > > > > > > = > > > > > > > ;

(21.3)

mit u D @2 u=@x 2 C @2 u=@y 2 C @2 u=@z 2 usw. und " D "x C"y C"z D @u=@xC@=@yC@w=@z. Abb. 21.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand Die Navier’schen Gln. (21.3) eignen sich zur Lösung von Problemen, bei denen als Randbedingungen in r- und z-Richtung lauten dingungen Verschiebungen vorgegeben sind. Eli9 miniert man aus den zitierten 15 Gleichungen @ @ > > / C C rR D 0 ; .r .r /   r t alle Verschiebungen und deren Ableitungen, so = @r @z bleiben sechs Gleichungen für die unbekannten > @ @ > ; Spannungen: .r / C .rz / C rZ D 0 : @r @z (21.5) 1 @2  @X C2 x C 1 C  @x 2 @x Die Hooke’schen Gesetze haben die Form   @X  @Y @Z 9 C C C D 0 (21.4a) @u r  .t C z / 1   @x @y @z > > "r D D ; > > @r E > > > > (entsprechend für die y- und z-Richtung) und > u t  .r C z / > > > ; "t D D = r E 2 1 @ @X @Y > xy C C C D 0 (21.4b) @w z  .r C t / > > 1 C  @x @y @y @x > D ; "z D > > @z E > > > > @u @w  2.1 C /  > (entsprechend für die y- und z-Richtung). > C D D : ; rz D Hierbei ist  D x C y C z . Die Bel@z @r G E (21.6) trami’schen Gln. (21.4a) und (21.4b) eignen sich Ihre Auflösung nach den Spannungen liefert zur Lösung von Problemen, bei denen als Randbedingungen Spannungen vorgegeben sind. Bei gemischten Randbedingungen sind beide Gleichungssysteme zu benutzen. Lösungen der Differentialgleichungen (21.3) und (21.4a), (21.4b) liegen im Wesentlichen für rotationssymmetrische und ebene Probleme vor.

21.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand Setzt man Symmetrie zur z-Achse voraus, so treten lediglich die Spannungen r ; t ; z ; rz D zr D  auf (Abb. 21.2). Die Gleichgewichtsbe-



 @u  C " ; @r 12   u  C " ; t D 2G r 1  2   @w  C " ; z D 2G @z 12   @u @w  DG C ; @z @r r D 2G

9 > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > ;

(21.7)

wobei " D "r C "t C "z D

@u u @w C C : @r r @z

(21.8)

21 Elastizitätstheorie

417

Wird die Love’sche Verschiebungsfunktion ˚ eingeführt, so muss sie der Bipotentialgleichung 

2

2

@ @ 1 @ C 2C 2 @z @r r @r D ˚ D 0



2

2

@ ˚ @ ˚ 1 @˚ C 2C @z 2 @r r @r



(21.9) genügen. Lösungen der Bipotentialgleichung sind pz. B. ˚ D r 2 , ln r, r 2 ln r, z, z 2 und r 2 C z 2 sowie Linearkombinationen hiervon [1, 3]. Die Verschiebungen und Spannungen folgen dann aus @2 ˚ 1 ; uD 1  2 @r @z wD r D z D t D D

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > =

1 @2 ˚ 2.1  / ; ˚  12 1  2 @z 2   2 G @ 1 @2 ˚ ˚  ; 1  2  @z  @r 2   > 2.2  / G @ 1 @2 ˚ > ˚  ; > > > 2 > 1  2  @z 2   @z > > >   > > 2 G @ 1 1 @˚ > > ˚  ; > > > 1  2  @z  r @r > > >   > 2 > > 2.1  / G @ 1 @ ˚ > ; ˚  : 2 1  2  @r 1   @z (21.10)

Beispiel

Einzelkraft auf Halbraum (Formeln von Boussinesq) Abb. 21.3. – Die Randbedingungen lauten z .z D 0; r ¤ 0/ D 0; .z D 0; r ¤ 0/ D 0 : Mit dem Ansatz p˚ D C1 R C C2 z ln.z C R/, wobei R D r 2 C z 2 ist, folgt aus den Abb. 21.3 Einzelkraft auf Halbraum

Gln. (21.10) "

 z 2 z D 2G C1  C2 1  2 R3 # 3 z3 C .C1 C C2 / 5 1  2 R und

"

 D 2G C

2 C1  C2 1  2



3 rz 2 .C1 C C2 / 5 1  2 R

r R3 # :

Während die erste Randbedingung automatisch befriedigt ist, folgt aus der zweiten C2 D .1  2/=.2/ C1 und damit z D 3 5 C R 11.3G/=.Œ1  2/  .z =R /. Aus F D  rD0 z 2   r dr ergibt sich dann C1 D F .1  2 /=.2   G/ und damit aus den Gln. (21.10)   9 rz r F >  .1  2 / ;> > > 4   G R3 R.z C R/ > > >   > 2 > > 1 z F > > 2.1  / C 3 ; wD > > 4 G R R > > > > 3 > 3F z > > = z D  ; 5 2  R   > F 1 zr 2 > r D .1  2/ 3 5 ; > > > > 2  R.z C R/ R > >   > > z F 1 > > >  .1  2 / ; t D > 3 > 2  R R.z C R/ > > > > 2 > 3F r z > ; :  D 2   R5 (21.11) Wegen z = D z=r lassenpsich z und  zum Spannungsvektor sR D z2 C  2 D 3F z 2 =.2 R4 / zusammenfassen, der stets in Richtung R zeigt. Für r ergeben sich gemäß r D 0 Nullstellen aus sin2 ˇ cos ˇ.1 C cos ˇ/ D .1  2/=3 im Fall  D 0;3 zu ˇ1 D 15;4ı und ˇ2 D 83ı . Zwischen den durch 2ˇ1 D 30;8ı und 2ˇ2 D 166ı bestimmten Kreiskegeln wird r negativ (Druckspannung), außerhalb ist sie positiv (Zugspannung). Aus t D 0 folgt cos2 ˇCcos ˇ D 1, d. h. ˇ D 52ı , uD

21

418

J. Villwock und A. Hanau

für ˇ < 52ı wird t positiv (Zugspannung), ist, so folgt aus Gl. (21.16) für F(x, y) für ˇ > 52ı negativ (Druckspannung). J @4 F @4 F @4 F C2 C D F D 0; (21.18) @x 4 @x 2 @y 2 @y 4

21.3 Ebener Spannungszustand Er liegt vor, wenn z D 0; Z D 0, xz D yz D 0, d. h., wenn Spannungen nur in der x, y-Ebene auftreten. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten für konstante Volumenkräfte @y @xy C C Y0 D 0 : @y @x (21.12) Die Hooke’schen Gesetze haben die Form

@x @yx C C X0 D 0; @x @y

"x D

x  y ; E xy D

"y D xy ; G

y  x ; E (21.13)

und für die Formänderungen gilt @u @ C D xy : @y @x (21.14) Dies sind acht Gleichungen für acht Unbekannte. Aus Gl. (21.14) folgt die Kompatibilitätsbedingung @u D "x ; @x

@ D "y ; @y

@ 2 "y @2 xy @ 2 "x C D ; 2 2 @y @x @x @y



@2 y @2 y @2 x @2 x  2 C  2 2 2 @y @y @x @x 2 1 @ xy D : G @x @y (21.16) Werden nun die Gleichgewichtsbedingungen (21.12) durch Einführung der Airy’schen Spannungsfunktion F D F .x; y/ derart befriedigt, dass 1 E

@2 F @2 F ; y D ; x D 2 @y @x 2 @2 F xy D   X0 y  Y0 x @x @y

Beispiel

Halbebene unter Einzelkraft. – Zur Lösung werden Polarkoordinaten verwendet (Abb. 21.4a). Dann gilt für die Airy’sche Spannungsfunktion 

 @2 1 @ 1 @2 C C @r 2 r @r r 2 @' 2  2  @ F 1 @F 1 @2 F  C C 2 @r 2 r @r r @' 2 D0

F D

(21.15)

und durch Einsetzen von Gln. (21.13) in (21.15) ergibt sich 

d. h., die Airy’sche Spannungsfunktion muss der Bipotentialgleichung genügen. Die Bipotentialgleichung hat unendlich viele Lösungen, z. B. F D x, x 2 , x 3 , y, y 2 , y 3 , xy, x 2 y, x 3 y, xy 2 , xy 3 , cos x  cosh y, x cos x  cosh y usw., ferner biharmonische Polynome [2] sowie die Realund Imaginärteile von analytischen Funktionen f .z/ D f .x ˙ iy/ usw. [1]. Mit dem Ansatz geeigneter Linearkombinationen dieser Lösungen versucht man die gegebenen Randbedingungen zu befriedigen und damit das ebene Problem zu lösen.

und für die Spannungen (mit X D Y D 0) r D

1 @F @2 F 1 @2 F ;  D ; C 2 t r @r r @' 2 @r 2   @ 1 @F rt D  : @r r @'

Die Randbedingungen lauten t .r; ' D 0/ D 0; t .r; ' D  / D 0 ; rt .r; ' D 0/ D 0; rt .r; ' D  / D 0 : Mit dem Ansatz F .r; '/ D C r' cos ' folgt F D 0 ;

(21.17)

t D 0 ;

2 sin ' ; r rt D 0 :

r D C

21 Elastizitätstheorie

419

t Hauptnormalspannungen, d. h., die zugehörigen Trajektorien sind Geraden durch den Nullpunkt bzw. die dazu senkrechten Kreise um den Nullpunkt (Abb. 21.4b). Die Hauptschubspannungstrajektorien liegen dazu unter 45° (s. Abschn. 19.1.1). Der Verlauf der Spannungen r ergibt sich für r D R D const zu r D 2F0 =.  hR/  sin ' bzw. für ' D  =2 zu r D Œ2F0 =.  h/=r (Abb. 21.4c). J

21 Abb. 21.4 Halbebene unter Einzelkraft

Literatur Spezielle Literatur

Die Lösung erfüllt die Randbedingungen. 1. Szabó, I.: Höhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Springer, Berlin (2001) Mit der Scheibendicke h folgt die Konstante P 2. Girkmann, K.: Flächentragwerke, 5. Aufl. Springer, C ausRder Gleichgewichtsbedingung Fiy D Wien (1959)   0 D 0 r sin '  hr d' C F0 D 0 zu C D 3. Timoshenko, S., Goodier, J. N.: Theory of Elasticity, 3rd ed. McGraw-Hill, Singapore (1987) F0 =. h/. Wegen rt D 0 sind die r und

Beanspruchung bei Berührung zweier Körper (Hertz’sche Formeln)

22

Joachim Villwock und Andreas Hanau

Berühren zwei Körper einander punkt- oder linienförmig, so ergeben sich unter Einfluss von Druckkräften Verformungen und Spannungen nach der Theorie von Hertz [1, 2]. Ausgangspunkt für die Lösungen von Hertz sind die Boussinesq’schen Formeln (21.11). Vorausgesetzt wird dabei homogenes, isotropes Material und Gültigkeit des Hooke’schen Gesetzes, ferner alleinige Wirkung von Normalspannungen in der

Berührungsfläche. Außerdem muss die Deformation, d. h. das Maß w0 der Annäherung (auch Abplattung genannt), beider Körper (Abb. 22.1a) im Verhältnis zu den Körperabmessungen klein sein. Bei unterschiedlichem Material der berührenden Körper gilt E D 2E1 E2 = .E1 C E2 /. Für die Querkontraktionszahl wird einheitlich  D 0;3 angesetzt.

22.1

Kugel

Gegen Kugel (Abb. 22.1b). Mit 1=r D 1=r1 C 1=r2 gilt s 1 3 1;5  FE 2 max z D 0 D  ;   r 2 .1   2 /2 s 2 3 2;25  .1   2 / F 2 : w0 D E 2r

Abb. 22.1 Hertz’sche Formeln J. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

Die Druckspannung verteilt sich halbkugelförmig über der Druckfläche. Die Projektion der Druckfläche ist ein Kreis vom Radius a D p 3 1;5  .1   2 / F r=E. Die Spannungen r und t am mittleren Volumenelement der Druckfläche sind in der Mitte r D t D 0 .1 C 2/ =2 D 0;8  0 und am Rand r D t D 0;133  0 . Umschließt die größere Kugel (als Hohlkugel) die kleinere, so ist r2 negativ einzusetzen. Gegen Ebene. Mit r2 ! 1, d. h. r D r1 , gelten diese Ergebnisse ebenfalls. Der Spannungsverlauf in z-Richtung [3] liefert die größte Schubspannung für z D 0;47a zu max  D 0;31  0

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_22

421

422

J. Villwock und A. Hanau

und die zugehörigen Werte z D 0;8  0 , r D t D 0;18  0 . Wie Föppl [3] gezeigt hat, entwickeln sich Fließlinien von der Stelle der max  aus. Man begnügt sich jedoch üblicherweise mit dem Nachweis von max z D 0 .

22.2

Zylinder

Gegen Zylinder (Abb. 22.1b). Die Projektion der Druckfläche ist ein Rechteck von der Breite 2 a und der Zylinderlänge l. Die Druckspannungen verteilen sich über die Breite 2 a halbkreisförmig. Mit 1=r D 1=r1 C 1=r2 gilt

22.3

Beliebig gewölbte Fläche

Gegen Ebene (Abb. 22.1c). Sind die Hauptkrümmungsradien im Berührungspunkt r und r 0 , so bildet sich als Projektion der Druckfläche eine Ellipse mit den Halbachsen a und b in Richtung der Hauptkrümmungsebenen aus. Die Druckspannungen verteilen sich nach einem Ellipsoid. Es gilt F ; max z D 0 D 1; 5   ab s aD

r aD

FE ; 2   r l .1   2 /

8 F r .1   2 / :  El

Hierbei wird vorausgesetzt, dass sich q D F= l als Linienlast gleichförmig über die Länge verteilt. Die Abplattung wurde von Hertz nicht berechnet, da die begrenzte Länge des Zylinders die Problemlösung erschwert. Die Spannungen x und y an einem Element der Druckfläche (x in Längsrichtung, y in Querrichtung) sind in Zylindermitte x D 2  z D 0;6  0 , y D z D 0 . Der Spannungsverlauf in z-Richtung [3] liefert die größte Schubspannung in der Tiefe z D 0;78  a zu max  D 0;30  0 . Am mittleren Volumenelement der Berührungsfläche ist in der Mitte des Zylinders max  D 0;5 .1  3 / D 0;5 .0  0;6  0 / D 0;2  0

3 3 .1   2 /

s

s max z D 0 D 

3

bD

3

3 3 .1   2 /

w0 D 1; 5 

F ; E.1=r C 1=r 0 / F ; E .1=r C 1=r 0/

  1   2 F=E a :

Die Werte , , Hilfswinkel # D arccos

sind abhängig von dem 

1=r 0  1=r 1=r 0 C 1=r

 ;

s. Tab. 22.1. Gegen beliebig gewölbte Fläche (Abb. 22.1d). Gegeben: Hauptkrümmungsradien r1 und r10 ,r2 und r20 ferner Winkel ' zwischen den Ebenen von r1 und r2 [4]. Zurückführung auf den vorstehenden Fall unter Voraussetzung von r1 > r10 und r2 > r20 durch Einführung von 1 1 1 1 1 1 C D 0 C C 0 C ; 0 r r r1 r1 r2 r2

(22.1)

1 1  D 0 r v r u 2  2 u 1 (22.2) u r 0  r11 C r10  r12 2 u 1 :   t 1 C 2 r10  r11  r12 cos 2' r0

und am Zylinderende max  D 0;5  0 . Dabei liegt max  in Flächenelementen schräg zur Oberfläche, da voraussetzungsgemäß in den Oberflächenelementen selbst und damit nach dem Satz 1 2 von den zugeordneten Schubspannungen auch in Projektion der Druckfläche ist wiederum ElFlächenelementen senkrecht dazu  D 0 ist, lipse mit den Halbachsen a und b. Achse a liegt d. h. die Oberflächenspannungen Hauptspannunzwischen den Ebenen von r1 und r2 . Winkel ' 0 gen sind. aus     1 1 1 1 Gegen Ebene. Mit r2 ! 1 gelten die entspre0 C D  sin 2' sin 2' : chenden Ergebnisse. r0 r r10 r1

22 Beanspruchung bei Berührung zweier Körper (Hertz’sche Formeln) Tab. 22.1 ,  und in Abhängigkeit von #

#



90° 1 1 1

80° 1,128 0,893 1,12

70° 1,284 0,802 1,25

60° 1,486 0,717 1,39

50° 1,754 0,641 1,55

423 40° 2,136 0,567 1,74

30° 2,731 0,493 1,98

20° 3,778 0,408 2,30

10° 6,612 0,319 2,80

0° 1 0 1

Umschließt ein größerer Körper (Hohlprofil) Literatur den kleineren, so sind entsprechende Radien negativ einzuführen. Wert nach Gl. (22.2) darf dabei Spezielle Literatur 1. Hertz, H.: Über die Berührung fester elastischer Körnicht größer werden als Wert nach Gl. (22.1). per. Ges. Werke, Bd. I. Barth, Leipzig (1895) 2. Szabó, I.: Höhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Springer, Berlin (2001) 3. Föppl, L.: Der Spannungszustand und die Anstrengung der Werkstoffe bei der Berührung zweier Körper. Forsch. Ing.-Wes. 7, 209–221 (1936) 4. Timoshenko, S., Goodier, J. N.: Theory of elasticity, 3rd ed. McGraw-Hill, Singapore (1987)

22

23

Flächentragwerke Andreas Hanau und Joachim Villwock

23.1 Platten

Die Extremalspannungen an Plattenober- oder -unterseite ergeben sich aus

Unter der Voraussetzung, dass die Plattendicke h My Mxy Mx klein zur Flächenabmessung und die Durchbiex D ; y D ; D ; (23.3) W W W gung w ebenfalls klein ist, ergibt sich mit der Flächenbelastung p(x, y) und der Plattensteifigkeit N D Eh3 =Œ12.1   2 / für die Durchbiegungen wobei das Widerstandsmoment W D h2 =6 ist. w.x; y/ die Bipotentialgleichung Bei rotationssymmetrisch belasteten Kreisplatten wird w D w.r/, und Gl. (23.1) geht in die ge@4 w @4 w @4 w wöhnliche Euler’sche Differentialgleichung w D C2 2 2 C @x 4 @x @y @y 4 p.x; y/ 2 1 1 D : (23.1) w 0000 .r/ C w 000 .r/  2 w 00 .r/ C 3 w 0 .r/ N r r r p.r/ Die Biegemomente Mx und My sowie das D N Torsionsmoment Mxy folgen aus (23.4) über. Ferner gilt  2  @ w @2 w Mx D N C  ;  @x 2 @y 2  0 00  2  D N w C w ; M 2 r @ w @ w r C  ; My D N   @y 2 @x 2 1 0 00 D N  w C M w ; (23.5) t r @2 w : (23.2) Mxy D .1  / N @x @y

A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] J. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

r D

Mr ; W

t D

Mt W

mit

Torsionsmomente treten onssymmetrie nicht auf. Im wichtigsten Ergebnisse für tentypen zusammengestellt  D 0;3).

W D

h2 : (23.6) 6

wegen der RotatiFolgenden sind die verschiedene Plat(Querdehnungszahl

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_23

425

426

A. Hanau und J. Villwock a

23.1.1 Rechteckplatten Gleichmäßig belastete Platte (Abb. 23.1) Ringsum gelenkig gelagerter Rand [1–3]. Die maximalen Spannungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf: x D c1

p b2 ; h2

y D c2

f D c3

p b4 : Eh3

x y

p(x,y)

z

b

p b2 ; h2 (23.7)

In den Ecken ergeben sich abhebende Einzelkräfte F D c4 p b 2 , die zu verankern sind (Beiwerte ci s. Tab. 23.1).

Abb. 23.2 Gelenkig gelagerte Rechteckplatte

in Gl. (23.1) eingesetzt und über Koeffizientenvergleich die Fourierkoeffizienten wmn bestimmt: wmn D N



pmn  n 2 2 ;  m 2 C a b

m; n D 1; 2; 3; : : : Für eine allgemeine Belastung p(x,y) (Abb. 23.2) existieren Näherungslösungen für die ringsum gelenkig gelagerte Rechteckplat- Für die quadratische Platte (Kantenlänge a) mit te (Kantenlängen a und b). Hierzu wird für die Einzellast in der Mitte gilt [8] Durchbiegung und die äußere Flächenlast jeweils  m  n 4F eine Fouriersche Doppelreihe angesetzt: sin ; pmn D 2 sin a 2 2 1 X 1 m; n D 1; 2; 3; : : :  mx  ny X sin wmn sin w.x; y/ D a b mD1 nD1 Dabei ist für kleine Belastungsflächen und insbesondere bei Angriff von Einzellasten darauf (erfüllt die Randbedingungen) bzw. zu achten, dass das Konvergenzverhalten, inbe1 1 sondere für die aus der Durchbiegung w(x,y)   XX ny mx sin pmn sin p.x; y/ D abgeleiteten Reihen der Querkräfte und Momena b mD1 nD1 te, schlecht ist. So findet sich für die Einzelkraft keine konvergente Lösung für die Schnittlasten. mit Ringsum eingespannter Rand. Neben den Spannungen und Durchbiegungen in Plattenmitte Za Zb  nach Gl. (23.7) treten maximale Biegespannun4 mx pmn D p.x; y/ sin gen in der Mitte des langen Rands auf (ci -Werte ab a xD0 yD0

 sin m; n D 1; 2; 3; : : : Abb. 23.1 Rechteckplatte

 ny b

dy dx;

Tab. 23.1 Faktoren c1 –c5 in Abhängigkeit von a=b Gelenkig gelagerte Platte a=b c1 c2 c3 c4 1,0 1,15 1,15 0,71 0,26 1,5 1,20 1,95 1,35 0,34 2,0 1,11 2,44 1,77 0,37 3,0 0,97 2,85 2,14 0,37 4,0 0,92 2,96 2,24 0,38 1 0,90 3,00 2,28 0,38

Ringsum eingespannte Platte c1 c2 c3 c5 0,53 0,53 0,225 1,24 0,48 0,88 0,394 1,82 0,31 0,94 0,431 1,92 – – – – – – – – 0,30 1,00 0,455 2,00

23 Flächentragwerke

427

Abb. 23.3 Platte auf Einzelstützen

s. Tab. 23.1): y D c5

p b2 ; h2

Abb. 23.4 Flächenlast (a) und Einzellast (b)

zugehörig x D 0;3 y :

Platte mit Einzellast (Abb. 23.4b) Für eine Kraft F D  b 2 p in der Mitte, die Abhebende Auflagerkräfte in den Ecken in gleichmäßig auf einer Kreisfläche vom Radius b Form von Einzelkräften treten nicht auf. Ausführ- verteilt ist, gilt bei: liche Darstellung aller Schnittlasten und Auflagerreaktionen in [4, 7]. Gelenkig gelagertem Rand: Maximale Spannungen und Durchbiegung treten in der Mitte auf Gleichmäßig belastete, unendlich ausgedehnte Platte auf Einzelstützen (Abb. 23.3). Mit der r D t  2 Stützkraft F D 4a2 p sowie 2b  h ergibt sich b D 1;95 für Spannungen und Durchbiegungen R "  2  # 2 pa b b pR2 xA D yA D 0;861 2 ;  0;77  0;135  ln ; h R R h2 F Œln.a=b/  0;12  2 ; xB D yB D 0;62 b h2 f D 0;682 p a4 p a4 R fA D 0;092 ; fC D 0;069 : "  2   # N N b b pR4  2;54 I 1;52ln R R Eh3 Eingespanntem Rand: In der Mitte

23.1.2 Kreisplatten

r D t

Gleichmäßig belastete Platte Gelenkig gelagerter Rand (Abb. 23.4a). Die maximalen Spannungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf: r D t D 1;24  p R2 = h2 ; f D 0;696  p R4 =.E h3 / :

Eingespannter Rand. In der Mitte r D t D 0;488

p R2 ; h2

f D 0;171

p R4 I E h3

t D  r D 0;225

p R2 : h2

am Rand r D 0;75

p R2 ; h2

 2 b D 1;95 R "  2  # b b pR2  0;25  ln ; R R h2  2 b f D 0;682 R "  2   # b b pR4  1 I 0;75  ln R R Eh3

am Rand  2 "  2 # b b pR2 r D 0;75 ; 2 R R h2 t D r :

23

428

A. Hanau und J. Villwock

Weitere ausführliche Ergebnisse für Kreis- Abb. 23.5 Dreieckplatte und Kreisringplatten unter verschiedenen Belastungen in [5].

23.1.3 Elliptische Platten Gleichmäßig mit p belastet Halbachsen a > b (a in x-, b in y-Richtung).

23.1.5 Temperaturspannungen in Platten

Gelenkig gelagerter Rand: Maximale Biege- Bei einer Temperaturdifferenz t zwischen spannung in der Mitte Ober- und Unterseite ergeben sich bei Platten mit allseits freien Rändern keine Spannungen, bei   2 b p b2 allseits gelenkig gelagerten Platten nach der Plat: y 3;24  a h2 tentheorie [6]. Bei allseits eingespannten Platten wird Eingespannter Rand: Mit c1 D 8= 3 C

2.b=a/2 C 3.b=a/4 gilt in der Mitte ˛t t E D r D t : x D y D 2.1  / 2 .b=a/ C 0;3 x D 3c1 p b 2 ; 8 h2 1 C 0;3 .b=a/2 23.2 Scheiben y D 3c1 p b 2 ; 8 h2 p b4 Hierbei handelt es sich um ebene Flächentragf D 0;171 c1 I E h3 werke, die in ihrer Ebene belastet sind. Zur theoretischen Ermittlung der Spannungen mit der am Ende der kleinen Achse Airy’schen Spannungsfunktion s. Abschn. 21.3. 2 Im Folgenden werden für einige technisch wichpb min  D y D 0;75 c1 2 ; x D  y I tige Fälle die Spannungen angegeben. Die Dicke h der Scheiben sei h. am Ende der großen Achse x D 0;75 c1

p b4 ; a2 h2

y D  x :

23.1.4 Gleichseitige Dreieckplatte

23.2.1

Kreisscheibe

Radiale gleichmäßige (Abb. 23.6). r D t D 

Gleichmäßig mit p belastet

Ringsum gelenkig gelagert (Abb. 23.5): Für den Plattenschwerpunkt S gilt mit der PlattensteifigAbb. 23.6 Kreisscheibe keit N D Eh3 =Œ12.1   2 / x D y D 0;145

p a2 ; h2

f D 0;00103

p a4 : N

Die Maximalspannung tritt bei x D 0;129a und y D 0 auf und ist y D 0;155  p a2 = h2 .

q ; h

Streckenlast

rt D 0 :

q

23 Flächentragwerke

429

Gleichmäßige Erwärmung t. Bei einer Abb. 23.8 Scheibe mit Bohrung Scheibe mit verschieblichem Rand ergeben sich nur Radialverschiebungen u.r/ D ˛t t r, aber keine Spannungen. Bei unverschieblichem Rand (u D 0) gilt r D t D 

E ˛t t ; 1

rt D 0 :

Ringförmige Schublast (Abb. 23.7b). Sind i und a D i ri2 =ra2 die einwirkenden Schubspannungen, so gilt i ri2 ; r2 r D t D 0 :

23.2.2 Ringförmige Scheibe Radiale Streckenlast innen und außen (Abb. 23.7a).   2 r qi r 2 r D   2 i 2  a2  1 r h ra  ri   2 qa ra ri2  1 2 ;   2 r h ra  ri2   2 2 r qi r t D C  2 i 2  a2 C 1 r h ra  ri   2 qa ra ri2  1C 2 ;   2 r h ra  ri2

rt D

23.2.3 Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung (Abb. 23.8) Infolge Innendrucks p D q= h entstehen die Spannungen p ri2 ; r2 p r2 t D C 2i ; r rt D 0 : r D 

rt D 0 : Gleichmäßige Erwärmung t. Bei einer Scheibe mit verschieblichen Rändern ergeben sich nur Radialverschiebungen u.r/ D ˛t t r, 23.2.4 aber keine Spannungen. Bei unverschieblichem äußeren Rand (u D 0) gilt   ra2 ri2 1 ; r2 .1/ra2 C.1C/ri2   ra2 ri2 1C ; t D E˛t t r2 .1/ra2 C.1C/ri2

r D E˛t t

rt D 0 :

Keilförmige Scheibe unter Einzelkräften (Abb. 23.9)

Für die Spannungen gilt r D 

2F1 cos ' 2F2 sin ' C ; rh.2ˇ C sin 2ˇ/ rh.2ˇ  sin 2ˇ/

t D 0; rt D 0 :

Abb. 23.9 Keilförmige Scheibe

Abb. 23.7 Kreisringscheibe

23

430

23.3 Schalen Hierbei handelt es sich um räumlich gekrümmte Bauteile, welche die Belastungen im Wesentlichen durch Normalspannungen x und y sowie Schubspannungen xy (bzw. bei Rotationsschalen durch ' und # sowie '# ), die alle in der Schalenfläche liegen, abtragen. Diese Lastabtragung wird Membranspannungszustand genannt, da Membranen (Seifenblasen, Luftballons, dünne Metallfolien usw.), d. h. biegeschlaffe Schalen, nur auf diese Weise Belastungen aufnehmen können (Abb. 23.10a,b). Dünnwandige Metallkonstruktionen genügen in der Regel in weiten Bereichen dem Membranspannungszustand. Bei gewissen Schalenformen, an Störstellen (z. B. Übergang von der Wand zum Boden) und in allen dickwandigen Schalen treten zusätzlich Biegemomente und Querkräfte auf, d. h. Biegenormalund Querkraftschubspannungen (wie bei Platten), die zu berücksichtigen sind. Dann handelt es sich um biegesteife Schalen und den Biegespannungszustand. Dieser, d. h. die Störung des Membranspannungszustands, klingt in der Regel sehr rasch mit der Entfernung von der Störstelle ab.

A. Hanau und J. Villwock

tung liefern ' # p C D ; R1 R2 h

# D

Hierbei ist # die Spannung in Meridianrichtung, ' die in Breitenkreisrichtung und h die Schalendicke. F ist die resultierende äußere Kraft in Vertikalrichtung, d. h. Z# F D

p.#/ R2 .#/ 2  R1 .#/ sin # cos # d# : #D0

Bei konstantem Innendruck ist F gleich der Kraft auf die Projektionsfläche, d. h. F D p   r 2 D p  .R1 sin #/2 .

Kreiszylinderschale unter konstantem Innendruck. ' D

pr pd D ; h 2h

Die Gleichgewichtsbedingungen am Element (Abb. 23.10a) in Richtung der Normalen und am Schalenabschnitt (Abb. 23.10b) in Vertikalrich-

# D x D 0 :

Kugelschale unter konstantem Innendruck. ' D # D

23.3.1 Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie für Innendruck

F : 2   R1 h sin2 #

pr pd D : 2h 4h

Zylinderschale mit Halbkugelböden unter konstantem Innendruck (Abb. 23.11). Im Zylinder ' D

pr pd D ; h 2h

x D

pr pd D ; 2h 4h

in der Kugelschale ' D # D

Abb. 23.11 Geschlossene Zylinderschale

Abb. 23.10 Membranspannungszustand

pr pd D : 2h 4h

23 Flächentragwerke

431

Abb. 23.12 Elliptischer Hohlzylinder

Tab. 23.2 Faktoren c1 und c2 in Abhängigkeit von a=b a=b c1 c2

0,5 3,7 5,1

0,6 2,3 2,9

0,7 1,4 1,7

0,8 0,7 0,8

0,9 0,3 0,3

1,0 0 0

23.3.2 Biegesteife Schalen Elliptischer Hohlzylinder unter Innendruck (Abb. 23.12). Überlagert man den Membranspannungen die Biegespannungen, so ergibt sich für die Punkte A und B A D

p a2 pa C c1 2 ; h h

B D

p a2 pb C c2 2 h h

(s. Tab. 23.2).

Abb. 23.14 Rohrbogen

Rohrbogen unter Innendruck (Abb. 23.14). In Längsrichtung des Bogens ergeben sich die Spannungen x D p r=.2h/ D p d=.4 h/, d. h. dieselben Spannungen wie beim abgeschlossenen geraden Rohr. In Umfangsrichtung gilt ' D

pd R=d C 0;25 sin '  : 2h R=d C 0;5 sin '

23

Für Bogenober- und Bogenunterseite (' D 0 bzw. 180°) folgt ' .0/ D pd=.2h/, d. h. Spannung wie beim kreiszylindrischen Rohr. Für Bogenaußen- bzw. Bogeninnenseite ist p d R=d C 0;25  bzw. 2 h R=d C 0;50 p d R=d  0;25 ' .90ı / D  ; 2 h R=d  0;50 ' .90ı / D

Umschnürter Hohlzylinder (Abb. 23.13). Infolge Schneidenlast q entstehen Umfangsspannungen d. h., ' .90ı / ist kleiner, ' .90ı / größer als ' .0/. x qr   x=L e sin C ; ' .x/ D  p L 4 2Lh Gewölbter Boden unter Innendruck qr (Abb. 23.15). Für die Spannungen in der ku' .x D 0/ D  2Lh geligen Wölbung gilt (wie bei der Kugelschale) ' D # D p rB =.2h/. Für die (maximalen) mit Meridianspannungen in der Krempe gilt s 2 h2 r LD 4 p rZ p dZ # D c1 3.1   2 / D c1 ; 2h 4h und Biegespannungen in x-Richtung x 3 q L x=L   x .x/ D p e cos C ; L 4 2 h2 qL x .x D 0/ D max x D 1;5 2 : h Abb. 23.13 Umschnürter Hohlzylinder

s. Tab. 23.3. Abb. 23.15 Gewölbter Boden

Tab. 23.3 Faktor c1 in Abhängigkeit von hB =rz hB =rz c1

0,2 6,7

0,4 3,8

0,6 2,0

0,8 1,3

1,0 1,0

432

A. Hanau und J. Villwock

zustand vor mit den Spannungen ' D #

 ra3 1C 3 2r   3 r r3  pa 3 a 3 1 C i 3 ; 2r ra  ri   ra3 ri3 1 r D pi 3 ra  ri3 r 3   r3 r3  pa 3 a 3 1  i3 : r ra  ri r3 D pi 3 i 3 ra  ri

Abb. 23.16 Dickwandiger Kreiszylinder



Dickwandiger Kreiszylinder unter Innen- und Außendruck (Abb. 23.16). Es liegt ein räumlicher Spannungszustand vor mit den Spannungen Die Maximalspannung ergibt sich aus (im mittleren Zylinderbereich) ' .r D ri /. 2 2 r r x D pi 2 i 2  pa 2 a 2 ; ra  ri ra  ri Literatur   2 ra ri2 ' D pi 2 C1 Spezielle Literatur ra  ri2 r 2 1. Girkmann, K.: Flächentragwerke, 6. Aufl., Nachdruck   ri2 ra2 der 5. Aufl. Springer, Wien (1963)  pa 2 1C 2 ; 2. Nádai, A.: Die elastischen Platten. Springer, Berlin r ra  ri2 (1925) (Nachdruck 1968)   2 3. Wolmir, A. S.: Biegsame Platten und Schalen. Berlin: ra ri2 r D pi 2 1 VEB Verlag f. Bauwesen (1962) ra  ri2 r 2 4. Czerny, F.: Tafeln für vierseitig und dreiseitig gela  gerte Rechteckplatten. Betonkal. 1984, Bd. I. Ernst, ra2 ri2  pa 2 1 2 : Berlin (1990) 2 r ra  ri 5. Beyer, K.: Die Statik im Stahlbetonbau. 2. Aufl. Springer, Berlin (1956)

Bei alleinigem Innen- oder Außendruck tritt 6. Worch, G.: Elastische Platten. Betonkal 1960, Bd. II. Ernst, Berlin (1960) die größte Spannung an der Innenseite als ' .r D 7. Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S.: Theory of ri / auf. Die Biegeeinspannung des Zylinders in plates and shells, 2nd ed. McGraw-Hill, Kogakusha (1990) den Boden ist hierbei nicht berücksichtigt. Dickwandige Hohlkugel unter Innen- und Außendruck. Es liegt ein räumlicher Spannungs-

8. Altenbach H., Altenbach J., Naumenko K.: Ebene Flächentragwerke: Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten. 2. Aufl. Springer, Berlin (2016)

Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte

24

Andreas Hanau und Joachim Villwock

Spannungen und Verformungen mit der Winkel24.1 Umlaufender Stab (Abb. 24.1) geschwindigkeit ! umlaufender Bauteile lassen sich nach den Regeln der Statik und FestigMit dem Stabquerschnitt A und dem Elastizitätskeitslehre ermitteln, wenn man im Sinne des modul E gelten d’Alembert’schen Prinzips die Fliehkräfte (Trägheitskräfte, negative Massenbeschleunigungen) l2  r2 m1 ! 2 l1 ! 2 r dm D ! 2 r% dA dr (% Dichte) als äußer .r/ D % ! 2 C ; 2 A re Kräfte an den Massenelementen ansetzt. Im Folgenden werden lediglich die Ergebnisse für l2 m1 ! 2 l1 max r D r .r D 0/ D % ! 2 C ; die Spannungen (bei Scheiben für die Querdeh2 A nungszahl  D 0;3) und für Radialverschiebun3 l 2r  r 3 m1 ! 2 l1 r u.r/ D % ! 2 C ; gen angegeben. 6E AE Abb. 24.1 Umlaufender Stab

u.r D l/ D % ! 2

24.2

l3 m1 ! 2 l1 l C : 3E AE

Umlaufender dünnwandiger Ring oder Hohlzylinder (Abb. 24.2) t D % ! 2 R 2 ;

A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

uD

% ! 2 R3 : E

Abb. 24.2 Umlaufender Ring

J. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_24

433

434

A. Hanau und J. Villwock

24.3

Umlaufende Scheiben

Abb. 24.4 Umlaufende Ringscheibe

24.3.1 Vollscheibe konstanter Dicke (Abb. 24.3) r .r/ D c1 % ! 2 R2

  r2 1 2 ; R

max r D r .r D 0/ D c1 % ! 2 R2 ;   c3 r 2 2 2 t .r/ D c1 % ! R 1  ; R2 max t D t .r D 0/ D c1 % ! 2 R2 ;

r t .r/  r .r/ u.r/ D ; E 1 u.r D R/ D % ! 2 R3 ; 4E wobei c1 D

3C 8

und c3 D

1C3 3C .

24.3.2 Ringförmige Scheibe konstanter Dicke (Abb. 24.4)

Für ri ! 0, d. h. bei sehr kleiner Bohrung, wird max t D 0;825 %! 2R2 doppelt so groß wie bei der Vollscheibe! u.r/ D r

2c1 ra2 C.c1  c2 /ri2 ; E 2c1 ri2 C.c1  c2 /ra2 ua D u.r D ra / D %! 2 ra ; E ui D u.r D ri / D %! 2 ri

, c2 D 1C3 , c3 D 1C3 und wobei c1 D 3C 8 8 3C 1 c4 D 3C . Für beliebige Randbedingungen i und a wird

Für die Randbedingungen i D a D 0 ist

r .r D ri / D r .r D ra / D 0 ;   wobei r2 r2 r2 t .r/ D c1 %! 2 ra2 1 C i2 C i2  c3 2 ; ra r ra

Abb. 24.3 Umlaufende Vollscheibe

A2  c1 % ! 2 r 2 ; r2 A2 t .r/ D A1  2  c2 % ! 2 r 2 ; r

r .r/ D A1 C

  ri2 ri2 r 2 2 2 r .r/ D c1 %! ra 1 C 2  2  2 ; ra r ra

max t D t .r D ri /   r2 D 2c1 %! 2 ra2 1 C c4 i2 : ra

t .r/  r .r/ ; E

A1 D

 2  a ra2  i ri2 2 2 C c % ! C r r ; 1 a i 2 ra2  ri

A2 D 

.a  i / ra2 ri2  c1 % ! 2 ra2 ri2 I ra2  ri2

Verschiebungen u.r/ sowie c1 und c2 wie vorher. Bei Scheiben mit Kranz und Nabe sind i und a statisch unbestimmte Größen, die aus den Bedingungen gleicher Verschiebung an den Stellen r D ri und r D ra bestimmt werden können [1].

24 Umlaufender Stab

435

24.3.4 Scheiben veränderlicher Dicke Für Scheiben mit hyperbolischen oder konischen Profilen findet man Lösungen in [1]. Dort sind auch Näherungsverfahren für beliebige Profile dargestellt. Abb. 24.5 Scheibe gleicher Festigkeit

24.3.3 Scheiben gleicher Festigkeit (Abb. 24.5) Aus den Differentialgleichungen der rotierenden Scheiben [1] folgt für den Fall, dass r D t D  überall gleich ist, die Scheibendicke h.r/ D 2 h0 e%.!r/ =.2 / (de Laval’sche Scheibe gleicher Festigkeit, ohne Mittelbohrung). h0 ist die Scheibendicke bei r D 0.pDie Profilkurve hat einen Wendepunkt für r D =.%! 2 /. Die radiale Verschiebung ist u.r/ D .1  / r=E ; u.r D ra / D .1  / ra =E : Die Scheibendicke h.r D ra / D ha ergibt sich aus dem Einfluss der Schaufeln (Gesamtmasse mS ) und des Kranzes (Querschnitt AK ), an dem die Schaufeln befestigt sind, zu [1] ( !2 1  mS rS C %rK2 AK ha D ra 2    ) ra  AK  C .1  / rK und damit wird h0 D ha e%.!ra /

2 =.2 /

24.3.5 Umlaufender dickwandiger Hohlzylinder Neben den Spannungen r und t in Radialund Tangentialrichtung treten zusätzlich infolge der behinderten Querdehnung Spannungen x in Längsrichtung auf (räumlicher Spannungszustand): r .r/ D %! 2 ra2

  r2 r2 r2 3  2 1 C i2  i2  2 ; 8.1  / ra r ra

3  2 t .r/ D %! 2 ra2 8.1  /   r 2 .1 C 2/r 2 r2  1 C i2 C i2  ; ra r .3  2/ra2   2 r2 r2 1 C i2  2 2 : x .r/ D %! 2 ra2 8.1  / ra ra

Literatur Spezielle Literatur

.

1. Biezeno, C., Grammel, R.: Technische Dynamik, 3. Aufl. Springer, Berlin (1990)

24

25

Stabilitätsprobleme Joachim Villwock und Andreas Hanau

25.1

Knickung

Schlanke Stäbe oder Stabsysteme gehen unter Druckbeanspruchung bei Erreichen der kritischen Spannung oder Last aus der nicht ausgebo- Abb. 25.1 Knickung eines Stabs genen (instabilen) Gleichgewichtslage in eine benachbarte gebogene (stabile) Lage über. Weicht und der Lösung der Stab in Richtung einer Symmetrieachse aus, (25.2) w.x/ D C1 sin ˛x C C2 cos ˛x : so liegt (Biege-)knicken vor, andernfalls handelt es sich um Biegedrillknicken (s. Abschn. 25.1.6). Aus den Randbedingungen w.x D 0/ D 0 und w.x D l/ D 0 folgen C2 D 0 und sin ˛l D 0 (Eigenwertgleichung) mit den Eigenwerten ˛K D 25.1.1 Knicken im elastischen n =`; n D 1; 2; 3; : : : . Somit ist nach den (Euler-)Bereich Gln. (25.1) und (25.2) Betrachtet man die verformte Gleichgewichtslage n2  2 EIy des Stabs nach Abb. 25.1, so lautet die Differen; FK D ˛K2 EIy D l2 tialgleichung für Knickung um die Querschnitts(25.3)  n x hauptachse y (mit Iy als kleinerem Flächenmo: w.x/ D C1 sin l ment 2. Grades) im Fall kleiner Auslenkungen   Iy D Imin 00 EIy w .x/ D Mb .x/ D F w.x/ bzw. s F Die kleinste (Euler’sche) Knicklast ergibt sich w 00 .x/ C ˛ 2 w.x/ D 0 mit ˛ D EIy für n D 1 zu FK D  2 EIy = l 2 . Für andere (25.1) Lagerungsfälle ergeben sich entsprechende EiJ. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

genwerte, die sich jedoch alle mit der reduzierten oder wirksamen Knicklänge lK (Abb. 25.2) auf die Form ˛K D n = lK zurückführen lassen. Dann gilt allgemein für die Euler’sche Knicklast FK D

 2 EIy : lK2

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_25

(25.4)

437

438

J. Villwock und A. Hanau

Zum Beispiel wird für S 235 mit Re 240 N=mm2 ;

P 0;8Re 192 N=mm2

und E D 2;1  105 N=mm2 die Grenzschlankheit 0 104. Weitere Grenzschlankheiten s. Tab. 25.1. Knicksicherheit

Abb. 25.2 Die vier Euler’schen Knickfälle

p Mit dem Trägheitsradius iy D Iy =A und der Schlankheit  D lK =iy folgt als Knickspannung

SK D

FK Fvorh

bzw. SK D

K vorh:

(25.7)

Im allgemeinen Maschinenbau ist im elasti(25.5) schen Bereich SK 5 : : : 10, im unelastischen Bereich SK 3 : : : 8. Die Funktion K ./ stellt die Euler-Hyperbel dar (Linie 1 auf Abb. 25.3). Ausbiegung beim Knicken. Die Lösung der liDiese Gleichungen gelten nur im linearen, nearisierten Differentialgleichung (1) liefert zwar elastischen Werkstoffbereich, also solange die Form der Biegelinie, Gl. (25.3), aber nicht die s Größe der Auslenkung (Biegepfeil). Setzt man  2 E  2 E in Gl. (25.1) an Stelle von w 00 den wirklichen ist. K D 2 5 P bzw.  = l P Ausdruck für die Krümmung ein, so erhält man K D

FK  2 E D 2 : A 

eine nichtlineare Differentialgleichung. Ihre NäDer Übergang aus dem elastischen in den un- herungslösung liefert als Biegepfeil den Wert [1] elastischen (plastischen) Bereich findet statt bei s der Grenzschlankheit s F l 2   2 EIy 2  E f D 8 ; : (25.6) 0 D  2 F P d. h. f .F D FK / D 0 und f .F D 1;01  FK /

0;09 l; 1 % Überschreitung der Knicklast liefert also bereits 9 % der Stablänge als Auslenkung!

25.1.2

Abb. 25.3 Knickspannungsdiagramm für S 235. 1 EulerHyperbel, 2 Tetmajer-Gerade, 3 Engesser-v. Kármán-Kurve, 4 v. Kármán-Geraden, 5 Traglast-Kurve nach Jäger Tab. 25.1 Werte a und b nach Tetmajer

Werkstoff S235 E335 5%-Ni-Stahl Grauguss Nadelholz

E N/mm2 2;1  105 2;1  105 2;1  105 1;0  105 1;0  104

Knicken im unelastischen (Tetmajer-)Bereich

Der Einfluss der Form (Krümmung) der Spannungs-Dehnungs-Linie in diesem Bereich wird nach der Theorie von Engesser und v. Kármán 0 104 89 86 80 100

a b N/mm2 N/mm2 310 1,14 335 0,62 470 2,30 K D 776  12 C 0;0532 29,3 0,194

25 Stabilitätsprobleme

439

mit der Einführung des Knickmoduls TK < E berücksichtigt: K D

 2 TK ; 2

4TE TK D  p p 2 T C E

96  103 N  8  20002 mm2  2  2;1  105 N=mm2 D 148;2  104 mm4 D

(25.8)

T D T . / D d=d" ist der Tangentenmodul und entspricht dem Anstieg der SpannungsDehnungs-Linie. TK gilt für Rechteckquerschnitte, kann aber mit geringem Fehler auch für andere Querschnitte verwendet werden. Vorzugehen ist in der Weise, dass T für verschiedene  aus der Spannungs-Dehnungs-Linie p bestimmt  2 TK =K und damit TK . / und .K / D gemäß Gl. (25.8) berechnet werden. Die Umkehrfunktion K ./ ist dann die Knickspannungslinie 3 nach Engesser-v. Kármán auf Abb. 25.3. Th. v. Kármán ersetzte die Linie durch zwei tangierende Geraden, von denen die Horizontale durch die Streckgrenze geht (Linie 4 auf Abb. 25.3). Shanley [2] hat gezeigt, dass bereits erste Auslenkungen für den Wert K D  2 T =2 (1. Engesser-Formel) bei weiterer Laststeigerung möglich sind. Dieser Wert stellt somit die unterste, der Wert nach Gl. (25.8) die oberste Grenze der Knickspannungen im unelastischen Bereich dar. Praktische Berechnung nach Tetmajer: Aufgrund von Versuchen erfasste Tetmajer die Knickspannungen durch eine Gerade, die auch heute noch im Maschinenbau Verwendung findet (Linie 2 auf Abb. 25.3): K D a  b :

Gln. (25.4) und (25.7) im Fall a)   erf Iy D F SK lK2 =  2 E

und mit Iy D  d 4 =64 dann erf d D p 4 64  148;2 p 104 mm4 =  D 74 mm. Mit iy D Iy =A D d=4 D 18;5 mm wird die Schlankheit  D lK =iy D 2000 mm=18;5 mm D 108 > 104 D 0 ; so dass die Annahme von elastischer Knickung berechtigt war. Im Fall b) wird unter dieser Annahme   erf Iy D F SK lK2 =  2 E D 289;5  104 mm4 erf d D 88 mm ; also  D lK =iy D 91 < 0 , d. h. Knickung im unelastischen Bereich. Nach Tetmajer, Gl. (25.9), wird für diese Schlankheit gemäß Tab. 25.1 K D .310  1;14  91/ N=mm2 D 206 N=mm2 und mit vorh D F=A

  D 300  103 N=    882 =4 mm2 D 49;3 N=mm2

(25.9)

Die Werte a, b für verschiedene Werkstoffe sind Tab. 25.1 zu entnehmen. Beispiel

Dimensionierung einer Schubstange. Man bestimme den erforderlichen Durchmesser einer Schubstange aus S 235 der Länge l D 2000 mm a) für die Druckkraft F D 96 kN bei einer Knicksicherheit SK D 8, b) für F D 300 kN bei SK D 5. – Ist die Schubstange beidseitig gelenkig angeschlossen, so liegt der 2. Euler-Fall vor, d. h. lK D l D 2000 mm. Bei Annahme elastischer Knickung folgt aus den

und

die Knicksicherheit SK D K =vorh D 206=49;3 D 4;2 < 5. Für d D 95 mm wird  D lK =iy D 84 und K D a  b D 214 N=mm2 , und mit vorh D F=. d 2 =4/ D 42;3 N=mm2 ist dann SK D K =vorh D 5;06 5. J

25.1.3

Näherungsverfahren zur Knicklastberechnung

Energiemethode: Da im Fall des Ausknickens der Stab eine stabile benachbarte Gleichgewichtslage annimmt, muss die äußere Arbeit gleich

25

440

J. Villwock und A. Hanau

Gl. (25.11) wird daher nach Ritz eine die geometrischen Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion w.x/ eingesetzt. Für FK ergibt sich ein Näherungswert, der stets größer ist als die exakte Knicklast, da für die exakte Eigenfunktion die Formänderungsarbeit zum Minimum, für die Vergleichsfunktion also stets etwas Abb. 25.4 Knickung. a Energiemethode; b Kreisringträ- zu groß wird. Als Vergleichsfunktionen kommen ger; c Rahmen u. a. die Biegelinien des zugehörigen Trägers bei beliebiger Belastung in Betracht. der Formänderungsarbeit sein (Abb. 25.4a). Mit Weitere und verbesserte Näherungsverfahren (20.37) und (20.32) folgen s. [1–5].

W

1 D FK  D W D 2

.a/

Zl Mb2 0

1 D 2

Zl

Beispiel

dx EIy

EIy w 002 dx

0

und Zl .ds  dx/ D

D 0



Z l p

1 C w 02  1 dx

0

1 2

Zl

w 02 dx :

(25.10)

Vergleichsberechnung der Knicklast für einen Stab konstanten Querschnitts und Lagerung nach Eulerfall 2 mit der Energiemethode. – Als Vergleichsfunktion wird die Biegelinie unter Einzellast gemäß Tab. 20.4, Fall 1, gewählt: w.x/ D c1 .3l 2 x  4x 3 / für 0 x l=2. Mit w 0 .x/ D c1 .3l 2  12x 2 / und w 00 .x/ D 24c1 x folgt nach Integration gemäß Gl. (25.11) 2W D c12  48EIy l 3 , 2v D c12 l 5  4;8 und daraus FK D 10;0EIy = l 2 . Dieser Wert ist um 1,3 % größer als das exakte Ergebnis  2 EIy = l 2 . J

0

Somit wird der Rayleigh’sche Quotient FK D

2W D 2

Rl 0

EIy .x/ w 002 .x/ dx : (25.11) Rl 02 0 w .x/ dx

Mit der exakten Biegelinie w(x) folgt aus dieser Gleichung die exakte Knickkraft für den elastischen Bereich. Bei Stäben mit veränderlichem Querschnitt ergibt der Vergleich mit der Knickkraft FK D  2 EIy0 = lK2 des entsprechenden Eulerfalls eines Stabs mit konstantem Querschnitt das Ersatzflächenmoment Iy0 D

FK lK2 :  2 E

Dieses gilt dann näherungsweise auch für den Knicknachweis im unelastischen Bereich. In Wirklichkeit ist die exakte Biegelinie (Eigenfunktion) des Knickvorgangs unbekannt. In

25.1.4

Stäbe bei Änderung des Querschnitts bzw. der Längskraft

Ihre Berechnung kann nach Abschn. 25.1.3 vorgenommen werden. In DIN 4114 Blatt 2 sind in Tafel 4 die Ersatzflächenmomente Im für I-Querschnitte, in Tafel 5 die Ersatzknicklängen für linear und parabolisch veränderliche Längskraft angegeben. Weitere Fälle s. [4].

25.1.5

Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen

Geschlossener Kreisringträger unter Außenbelastung q D const (Abb. 25.4b). Für Knicken in der Belastungsebene gilt [4], wenn die Last stets senkrecht zur Stabachse steht, qK D

25 Stabilitätsprobleme

441

3EIy =R3 , und, wenn die Last ihre ursprüngliche und es gelten die drei Differentialgleichungen Richtung beibehält, qK D 4EIy =R3 . Ausknicken 9 EIy w 0000 C F w 00 D 0 ; > senkrecht zur Trägerebene erfolgt für > = EIz  0000 C F  00 D 0 ; (25.12)  > 9EIz GIt > 0000 2 00 ; : qK D 3 ECM ' C F ip  GIt ' D 0 : R .4GIt C EIz / Die ersten beiden liefern die bekannten EuGeschlossener Rahmen (Abb. 25.4c). Für das ler’schen Knicklasten; die dritte besagt, dass reiAusknicken in der Rahmenebene ergibt sich die nes Drillknicken (ohne Durchbiegungen) mög2 kritische Last FK D ˛ EI1 aus der Eigenwertlich ist und liefert für beidseitig gelenkige Lagegleichung [4] für ˛: rung aus '.x/ D C sin. x= l/, d. h. bei ' D 0 an   den Enden, die Knicklast l1 ˛ 2 l22 I12  36I22 ˛l1 D0:  tan.˛l1 / 12l2 I1 I2 GIt C  2 ECM = l 2 : (25.13) FKt D ip2 Weitere Ergebnisse, auch für Stabsysteme, s. [2, 4]. CM ist der Wölbwiderstand infolge behinderter Verwölbung [2], z. B. für einen IPB-Querschnitt ist CM D Iz h2 =4 (h Abstand der Flanschmitten). 25.1.6 Biegedrillknicken Für Vollquerschnitte ist CM 0. Nur für kleine Knicklängen l kann FKt maßgebend werden. Neben dem reinen Biegeknicken kann beim Stab Für I-Normalprofile ist stets Iz , d. h. Knicken in unter Belastung von Längskraft (und Torsions- y-Richtung, und nicht Drillknicken maßgebend. moment) eine räumlich gekrümmte und tordierte Gleichgewichtslage, das Biegedrillknicken, ein- Einfach symmetrische Querschnitte treten. Auch alleiniges Drillknicken (ohne Aus- (Abb. 25.5). Ist z die Symmetrieachse, so trebiegungen) infolge Längskraft ist möglich. ten hier die zweite und dritte der Gln. (25.12) in gekoppelter Form auf [2, 5], d. h., BiegedrillkniStäbe mit Kreisquerschnitt (Wellen) cken ist möglich. Für Knicken um die y-Achse (in Dem Problem zugeordnete Differentialgleichun- z-Richtung) gilt die normale Euler’sche Knicklast gen s. [3]. Biegedrillknicken infolge Torsions- FKy D  2 EIy = l 2 . Die beiden anderen kritischen moments tritt ein für MtK1 D 2 EIy = l: Es ist Lasten folgen für Gabellagerung an den Enden nur von Bedeutung für sehr schlanke Wellen und aus Drähte. Wirken Längskraft F und Torsionsmo1 ment Mt gemeinsam, so gilt für den beidseitig FK gelenkig gelagerten Stab 2 1 1 1 ! D 4 C  2 EIy Mt2 2 FKz FKt 1 2 ; FK D l2 MtK1 3 s  2  2 s 1 z 1 4 M 5I ˙  C F l2 : MtK D MtK1 1  2 FKz FKt FKz FKt iM   EIy

Stäbe mit beliebigem Querschnitt unter Längskraft Doppelt symmetrische Querschnitte. Schubmittelpunkt und Schwerpunkt fallen zusammen,

Abb. 25.5 Biegedrillknicken

25

442

J. Villwock und A. Hanau

FKt nach Gl. (25.13), FKz D  2 EIz = l 2 , iM polarer Trägheitsradius bezüglich Schubmittelpunkt, zM Abstand des Schubmittelpunkts vom Schwerpunkt.

25.2 Kippen Schmale hohe Träger nehmen bei Erreichen der kritischen Last eine durch Biegung und Verdrehung gekennzeichnete benachbarte Gleichgewichtslage ein (Abb. 25.6a). Die zugehörige Differentialgleichung lautet für doppeltsymmetrische Querschnitte  ECM ' 0000  GIt ' 00  My2 =EIz  My00 zF ' D 0 I (25.14) ' Torsionswinkel, zF Höhenlage des Kraftangriffspunkts über dem Schubmittelpunkt (hier Schwerpunkt), CM Wölbwiderstand. Die nichtlineare Differentialgleichung ist i. Allg. nicht geschlossen lösbar. Näherungslösungen s. [1, 4, 5]. Für Vollquerschnitte ist CM 0.

25.2.1

Träger mit Rechteckquerschnitt

a) Gabellagerung und Angriff zweier gleich großer Momente MK an den Enden (Abb. 25.6b). Hier geht Gl. (25.14) über in ' 00 .x/ C ŒMK2 =.EIz GIt / '.x/ D 0. Mit der die Randbedingungen befriedigenden Lösung '.x/ D C sin. x= l/ folgt für das kritische Kippmoment MK D

 p   EIz GIt D K : l l

Abb. 25.6 Kippung eines Trägers. a Eingespannt; b mit Gabellagerung

Abb. 25.6a

s EIz GIt

4;013 zF K 1 FK D 2 l l

25.2.2

! :

Träger mit I-Querschnitt

Zu berücksichtigen ist der Wölbwiderstand CM Iz h2 =4 : Mit der Abkürzung  D .EIz /=.GIt / Œh=.2l/2 gilt für die in Abschn. 25.2.1 angeführten Fälle analog (h Abstand der Flanschmitten) p a) MK D  l Kˇ1 ; ˇ1 D 1 C  2  : b) Bei Lastangriff in Schwerpunkthöhe .zF D 0/ FK D

16;93 Kˇ1 ; l2

ˇ1 D

p

1 C 10;2  I

bei Lastangriff am oberen oder unteren Flansch q 16;93 FK D Kˇ 1 C 3;24=ˇ12 1 l2 ! q 2 1;80 =ˇ1 :

Bei Berücksichtigung der Verformungen des c) Bei Lastangriff in Schwerpunkthöhe .zF D 0/ Grundzustands [4] ergibt sich genauer K D  p  p 1 C 1;61  2 4;013 EIz GIt .Iy  Iz /=Iy : FK D Kˇ1 ; ˇ1 D : p l2 1 C 0;32  b) Gabellagerung und Einzelkraft FK in Trägermitte (Lastangriffspunkt in Höhe zF ) s ! 25.3 Beulung 16;93 3;48 EIz K 1  zF  FK D : 2 l l GIt Platten und Schalen gehen bei Erreichen der c) Kragträger mit Einzelkraft FK am En- kritischen Belastung in eine benachbarte (ausgede (Lastangriffspunkt in Höhe zF ) gemäß beulte) stabile Gleichgewichtslage über.

25 Stabilitätsprobleme

443

Abb. 25.7 Beulung einer Rechteckplatte

25.3.1 Beulen von Platten

b) Allseits gelenkig gelagerte Platte unter Längsspannungen x und y . Mit dem Ansatz Rechteckplatten (Abb. 25.7a–c). Mit der Platwie unter a) folgt tendicke h und der Plattensteifigkeit N D 2  Eh3 =Œ12.1   2 / lautet unter Voraussetzung der  2 N m2 b 2 =a2 C n2 : x D 2 Gültigkeit des Hooke’schen Gesetzes die Diffeb h m2 b 2 =a2 C n2 y =x rentialgleichung des Problems   Die (ganzzahligen) Werte m und n sind bei @2 w @2 w @2 w gegebenem Seitenverhältnis b=a und SpanD 0: NwCh x 2 C y 2 C  @x @y @x@y nungsverhältnis y =x so zu wählen, dass x (25.15) zum Minimum xK wird. Für den Sonderfall allseitig gleichen Drucks a) Allseits gelenkig gelagerte Platte unter x D y D  folgt Längsspannungen x . Mit dem die Randbedingungen befriedigenden Produktansatz  n y  m x sin w.x; y/ D cmn sin a b folgt durch Einsetzen in die Differentialgleichung (25.15) 2 m2 m2 n2   N C D h x a2 b2 a2   2  2 N b n2 a x D 2 : m C b h a mb

 m

2b

2

a2

 Cn

2

mit dem Minimum für m D n D 1 K D



2

 2 N D 2 b h

 2 N b2h



b2 C1 a2

 :

bzw.

c) Allseitig gelenkig gelagerte Platte unter Schubspannungen. Eine exakte Lösung liegt nicht vor. Mit einem 5gliedrigen Ritz-Ansatz erhält man über die Energiemethode, d. h. aus Hieraus folgen die (minimalen) kritischen ˘ D W  W .a/ D Min, die NäherungsforBeulspannungen: meln (s. [4, 6]): Für a < b; m D n D 1W    2 N b a 2 : C xK D 2 b h a b Für a D b; m D n D 1W xK D

4 2 N : b2h

Für a > b: Bei ganzzahligem Seitenverhältnis a=b teilt sich die Platte durch Knotenlinien in einzelne Quadrate, und es gilt wiederum xK D 4 2 N=.b 2 h/. Dieser Wert wird auch für nicht ganzzahlige Seitenverhältnisse verwendet, da die wahren Werte nur geringfügig darüber liegen.

   2 N b2 4;00 C 5;34 I b2h a2    2 N b2 5;34 C 4;00 2 : für a  bW K D 2 b h a

Für a bW K D

d) Unendlich langer, gelenkig gelagerter Plattenstreifen unter Einzellasten (Abb. 25.8). FK D

8b  2 N 8 N D 2   b b

Weitere Ergebnisse für Rechteckplatten s. [4].

25

444

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 25.8 Beulen des Plattenstreifens

Tab. 25.2 Beiwerte c1 und c2 für  D 0;3 ri =ra D 0 c1 4,2 c2 14,7

0,2 3,6 13,4

0,4 2,7 18,1

0,6 1,5

40

0,8 2,0 –

führen auf die Eigenwertgleichungen

Kreisplatten (Abb. 25.9a–c) a) Kreisplatte mit konstantem Radialdruck  . Dieses Problem lässt sich relativ einfach exakt lösen [1]. Für den Scheibenspannungszustand gilt nach Abschn. 23.2.1 r D t D  und rt D 0. Damit nimmt die Differentialgleichung (25.15) die Form Nw C hw D 0 bzw. h . C ˛ 2 /w D 0; ˛ 2 D N

˛RJ0 .˛R/  .1  /J1 .˛R/ D 0 (gelenkig gelagerte Platte) und J1 .˛R/ D 0 (eingespannte Platte) : Hieraus ergeben sich die Beulspannungen K D

an. Sie wird erfüllt, wenn . C ˛ 2 / w D 0 und w D 0 bzw. wegen  D d2 =dr 2 C .1=r/ d=dr, wenn

.gelenkig gelagerte Platte,  D 0;3/

und K D

2

dw 1 dw C C ˛ 2 w D 0 und dr 2 r dr d2 w 1 dw C D0: 2 dr r dr

4;20 N R2 h

14;67 N R2 h

(eingespannte Platte) :

b) Kreisringplatte mit konstantem Radialdruck. Die mathematische Lösung ist komplizierter als unter a) (s. [3]). Es ergeben sich bei freiem Innenrand

Die Lösung dieser Gleichungen lautet w.r/ D C1 J0 .˛r/CC2 N0 .˛r/CC3 CC4 ln r

c1 N .gelenkig gelagerte Platte/ ra2 h c2 N K D 2 .eingespannte Platte/ ra h K D

und

(J 0 und N 0 sind die Bessel’sche und die Neumann’sche Funktion nullter Ordnung). Die Erfüllung der Randbedingungen w.R/ D 0 (Tab. 25.2). und Mr .R/ D 0 (für die gelenkig gelagerte c) Kreisringplatte mit Schubbeanspruchungen. Platte) bzw. w.R/ D 0 und w 0 .R/ D 0 (für Sind a und i D a ra2 =ri2 die einwirkenden die eingespannte Platte) sowie der ZusatzbeSchubspannungen, so gilt für eingespannte dingungen w 0 .0/ D 0 und endliches w.0/ Ränder c3 N aK D 2 : ra h

Abb. 25.9 Beulung von Kreis- und Kreisringplatte

Für  D 0;3 und ri =ra D 0;1I 0;2I 0;3I 0;4 ist c3 17;8I 37;0I 61;0I 109;0. Weitere Ergebnisse für Kreis- und Kreisringplatten s. [4].

25 Stabilitätsprobleme

25.3.2

445

p Dies ist der Fall, wenn l = 1;73 hR (für Stoffe mit  D 0;3). Bei geringeren Längen ist die Schale als am Umfang gelagerter Schalenstreifen auffassbar (Lösung s. unten). Außerdem ist bei Zylinderschalen auch das Durchschlagproblem zu beachten, das zu kleineren Beulspannungen führt. Nach [9] gilt hierfür die Näherungsformel

Beulen von Schalen

Kugelschale unter konstantem Außendruck p. Die komplizierten Differentialgleichungen findet man u. a. in [7] und [8]. Der kleinste kritische Beuldruck (nach dieser Theorie als Verzweigungsproblem) ergibt sich zu pK D

2Eh2 : p R2 3.1   2 /

K D

Schalen können jedoch auch durchschlagen, d. h. bei endlich großen Formänderungen benachbarte stabile Gleichgewichtslagen annehmen. Nach [9] gilt dann c) pK D 0;365

Eh2 ; R2

d. h. diese Beullast ist nur rund ein Drittel der des Verzweigungsproblems!

0;605 C 0;000369R= h Eh  : 1 C 0;00622R= h R

Ausknicken der Schale als Ganzes, d. h. wie ein Stab großer Länge, tritt ein für K D  2 ER2 =.2l 2 / : Unter Torsionsschubspannungen . Nach [9] D gilt für die  Beulspannung K p 3=2 : Dieser Wert 0;747 Eh2 = l 2  l= Rh ist zur Berücksichtigung von Vorbeulen mit dem Faktor 0,7 zu multiplizieren.

Zylindrische Schalenstreifen (Abb. 25.11a,b)

Kreiszylinderschalen (Abb. 25.10a–c) a) Unter konstantem radialen Außendruck p. Für a) Unter Längsspannung  bei gelenkig gelagerdie unendlich lange Schale ergibt sich ten Längsrändern. Eh3 : pK D 0;25 3 b R .1   2 / 5 3;456W Für p Rh Ergebnisse für kurze Schalen s. [4].  2 Eh2 Eb 2 D C I  K 2 2 b) Unter axialer Längsspannung  . Herleitung 3.1   /b 4 2 R2 der exakten Differentialgleichungen s. [8] h b 2E für p = 3;456W K D p : und [9]. Näherungsweise gilt für die kleinste Rh 12.1   2 / R kritische Längsspannung [9] b) Unter Schubspannung  bei gelenkig gelagerEh ten Längsrändern. Die kritischen Schubspan; K D p nungen ergeben sich aus R 3.1   2 /  2 r h b4 4 wenn sich eine genügende Anzahl von BieE 1 C 0;0146 2 2 : K D 4;82 b R h gewellen in Längsrichtung einstellen kann.

Abb. 25.10 Beulung der Kreiszylinderschale

Abb. 25.11 Beulung des Schalenstreifens

25

446

25.3.3 Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich

J. Villwock und A. Hanau

Literatur Spezielle Literatur

Die unter Abschn. 25.3.1 und 25.3.2 angegebenen Formeln liefern Beulspannungen unter der Voraussetzung elastischen Materialverhaltens. Sie können näherungsweise auch für den unelastischen Bereich zugrunde gelegt werden, wenn man sie im selben Verhältnis mindert, wie es sich für Knickspannungen von Stäben aus der Eulerkurve und der Engesser-v. Kármánkurve (näherungsweise Tetmajer-Gerade) ergibt. Für S 235 s. hierzu DIN 4114 Blatt 1, Tafel 7.

1. Szabó, I.: Höhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Springer, Berlin (2001) 2. Kollbrunner, C. F., Meister, M.: Knicken, Biegedrillknicken, Kippen, 2. Aufl. Springer, Berlin (1961) 3. Biezeno, C., Grammel, R.: Technische Dynamik, 3. Aufl. Springer, Berlin (1990) 4. Pflüger, A.: Stabilitätsprobleme der Elastostatik, 2 Aufl. Springer, Berlin (1964) 5. Bürgermeister, G., Steup, H.: Stabilitätstheorie. Akademie-Verlag, Berlin (1963) 6. Timoshenko, S.: Theory of elastic stability. McGrawHill, New York (1961) 7. Wolmir, A. S.: Biegsame Platten und Schalen. Berlin: VEB Verlag f. Bauwesen (1962) 8. Flügge, W.: Statik und Dynamik der Schalen, 3. Aufl. Berlin (1962), Reprint (1981) 9. Schapitz, E.: Festigkeitslehre für den Leichtbau, 2. Aufl. VDI-Verlag, Düsseldorf (1963)

Finite Berechnungsverfahren

26

Joachim Villwock und Andreas Hanau

Die Theorien zur Formulierung physikalischer Sachverhalte führen in der Regel auf mehrdimensionale Randwert- bzw. Anfangswertaufgaben, die durch ein System von Differentialgleichungen bzw. Integralgleichungen beschrieben werden [10]. Finite Berechnungsverfahren sind Verfahren, mit denen diese Differential- bzw. Integralgleichungen numerisch gelöst werden können. Zum Einsatz kommen drei finite Berechnungsverfahren: Finite Element Methode (FEM), Finite Differenzen Methode (FDM), Boundary Element Methode (BEM).

26.1

Finite Elemente Methode

Die Finite Elemente Methode ist ein Gebietsverfahren. Die zu untersuchende Struktur (Bauteil) wird in finite Elemente zerlegt (z. B. Kolben in Abb. 26.1). Ein Stab, Balken wird in 1D-Elemente, eine Scheibe, Platte oder Schale in 2D-Elemente, ein Volumen in 3D-Elemente unterteilt (Abb. 26.2). Für das einzelne Element wird der mechanische Sachverhalt formuliert, über die Knoten wird die Kopplung zu den angrenzenden Elementen durchgeführt. Pro Element baut sich J. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

Abb. 26.1 Kolben. a CAD-Modell; b FE-Netz

somit eine Gleichungszeile des Gleichungssystems auf, welches je nach Problemstellung den Rand- bzw. Anfangsbedingungen anzupassen ist. Bei der Verschiebungsmethode werden die Knotenverschiebungen, bei der Kraftgrößenmethode die Spannungen als Unbekannte eingeführt. Für jedes Element ergibt sich infolge der Einheitsverschiebungen seiner Knoten unter Beachtung des maßgeblichen Materialgesetzes (z. B. Hooke’sches Gesetz) die Steifigkeitsmatrix (verallgemeinerter Federkennwert), mit der aus den Gleichgewichtsbedingungen für alle Knoten das Gleichungssystem für die unbekannten Verschiebungen folgt [1–4]. Verschiebungen sind in erster Näherung linear für die Elementränder und das Elementinnere. Für die Einheitsverschiebung u1 D 1 ist dann die Verschiebungsfunktion (Abb. 26.3) 1 x.y3  y2 / C y.x2  x3 / 2A

C x3 y2  x2 y3 ; (26.1) A Flächeninhalt des Elements. Dieselbe Funktion entsteht für 1 D 1. Entsprechende Funktiof1 .x; y/ D

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_26

447

448

J. Villwock und A. Hanau

Abb. 26.3 Ebenes Dreieckelement mit Verschiebungszustand u1 D 1

u und  bilden den Verschiebungsvektor . In Matrizenschreibweise 0

u1

1

B C B C ! B u2 C C f1 f2 f3 0 0 0 B u B u3 C D B C (26.3) C 0 0 0 f1 f2 f3 B  B 1 C B C @ 2A 3 !

bzw. in abgekürzter Form Abb. 26.2 Standardelemente. a 3D-; b Schalen-; c Scheiben-; d Platten-; e Axialsymmetrisches; f Stab-; g Balkenelement [16]; (Freiheitsgrade: Translation ; Rotation )

.x; y/ D f k

.k D 1; 2; 3/ :

(26.4)

Gl. (26.4) beschreibt den Element-Verschiebungsansatz des 3 Knoten Scheibenelementes in nen f2 .x; y/ und f3 .x; y/ folgen für u2 D 1 und kartesischen Koordinaten. I. d. R. werden im 2 D 1 bzw. u3 D 1 und 3 D 1: weiteren Vorgehen natürliche Koordinaten eingeführt, so das jeweils eine dieser Koordinaten auf 1 x.y1  y3 / C y.x3  x1 / f2 .x; y/ D den Dreieckskanten verschwindet. Da dadurch 2A

aber der mathematische Aufwand steigt, wird im C x1 y3  x3 y1 ; Folgenden auf die Betrachtung kartesischer Ko1 ordinaten beschränkt. f3 .x; y/ D x.y2  y1 / C y.x1  x2 / 2A In der Praxis werden auch höherwertige An C x2 y1  x1 y2 : sätze für die Verschiebungen im Element verwendet, die mit Hilfe weiterer Knotenfreiheitsgrade Für die Gesamtverschiebung im Elementin- eingeführt werden (s. z. B. [6]). nern (und auf dem Rand) infolge der Einheitsverschiebungen gilt dann Dehnungen und Gleitungen. Aus Gl. (26.2) 9 folgt für die elementweise konstanten Dehnunu.x; y/ D f1 .x; y/u1 C f2 .x; y/u2 > = gen und Gleitungen "x ; "y ; xy (s. Gl. (19.12), C f3 .x; y/u3 ; (26.2) > ; .x; y/ D f1 1 C f2 2 C f3 3 :

26 Finite Berechnungsverfahren

449

Knotenkräfte ergeben sich als Funktion der Verschiebungen k über das Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Arbeiten (s. Abschn. 20.4.9) in Matrizenschreibweise [1–7] Z Z  ı"T h dx dy : (26.8) F ıTk D

(19.13)) @u @x 1 .y3  y2 /u1 C .y1  y3 /u2 D 2A

C .y2  y1 /u3

"x D

.A/

D g1 u1 C g2 u2 C g3 u3 ; @ "y D @y 1 D .x2  x3 /1 C .x3  x1 /2 2A

C .x1  x2 /3

xy

Hierbei ist F D F k D fFkx ; Fky g der Vektor der Knotenkräfte eines Elements, T die transponierte Matrix und h die Elementdicke. Mit den Gln. (26.5) und (26.6) folgt dann Z Z E gk g T ıTk h dx dy F ıTk D

D g4 1 C g5 2 C g6 3 ; @u @ D C @y @x D g4 u1 C g5 u2 C g6 u3 C g1 1

.A/

bzw., da k und ık unabhängig von x und y sind und ebenso E , g und g T elementweise konstant sind, ergibt sich

C g2 2 C g3 3

F D E gg T hAk D k k :

bzw. in Matrizenschreibweise 0

1

(26.9)

A ist der Flächeninhalt des Elements. Mit k ist die Steifigkeitsmatrix des Elements gefunden. Hieran schließt sich das Zusammensetzen der Elemente zur Gesamtstruktur unter Herstellung des Gleichgewichts an jedem Knoten. Dies geschieht entweder nach der direkten Methode durch Überlagern der Elementsteifigkeitsmatrizen, die einen Knoten betreffen, oder mathematisch durch Transformation über eine Boole’sche in abgekürzter Form Matrix [5]. Mit F .a/ als Vektor der äußeren Kräf" D g k : (26.5) te folgt (26.10) F .a/ D K  ; Spannungen. Mit einem Materialgesetz (Abeine Matrizengleichung für n vorhandene Knohängigkeit zwischen Dehnungen und Spantenpunkte mit 2 n Verschiebungen, wobei K die nungen), z. B. dem Hooke’schen Gesetz (s. Systemsteifigkeitsmatrix ist. Unter BerücksichGl. (21.13)), gilt in Matrizenform und mit tigung von m vorhandenen VerschiebungsrandGl. (26.5) bedingungen stellt Gl. (26.10) ein System von 2n  m linearen Gleichungen für die Verschie(26.6)  D E " D E g k : bungen der Knoten dar. Sind diese berechnet, so folgen aus Gl. (26.7) die zugehörigen SpannunHierbei ist mit der Querdehnungszahl  gen in den Knotenpunkten. Werden dynamische 0 1 Prozesse betrachtet muss neben der Ortsfunkti1  0 on auch die Zeitfunktion diskretisiert werden. Bei E B C : (26.7) ED  1 0 @ A expliziten Verfahren werden zur Diskretisierung 1  2 0 0 1 der Zeitfunktion nur Werte herangezogen, die vor 2 u1

B C 1 Bu 2 l C 0 0 1 B C g1 g2 g3 0 0 0 "x B C 1 B C B u3 C B C @ 0 0 0 g4 g5 g6 A B C ; @ "y A D B 1 C 2A C xy g4 g5 g6 g1 g2 g3 B B C @ 2A 3

26

450

J. Villwock und A. Hanau

dem Berechnungsschritt liegen, während bei der impliziten Zeitintegration auch Werte des aktuellen Berechnungsschritts herangezogen werden. Explizite Verfahren werden insbesondere im Bereich von Crash-Simulationen und beim Vorhandensein hoher Nichtlinearitäten eingesetzt und sind nur bedingt stabil, während implizite Verfahren im Bereich von Langzeitsimulationen Einsatz Abb. 26.5 Scheibe mit Loch. a Struktur und Belastung; finden (s. z. B. [6]). b Viertelscheibe; c FE-Struktur Für die Durchführung der umfangreichen Berechnungen stehen für viele Computer Progeben: l D 100 mm, d D 20 mm, grammsysteme zur Verfügung. Einige einführenScheibendicke h D 1 mm, Zugbeansprude Beispiele s. [3, 4, 7], theoretische Weiterentchung  D 80 N=mm2 . Durch Ausnutzen wicklungen der FEM s. [5, 6]. der Symmetrieeigenschaften ergibt sich die Anwendungen in (Abb. 26.5b) dargestellte Struktur. Diese 1. Balkenelemente (Abb. 26.4): wurde mit 40 Scheibenelementen (quadratischer Ansatz) aufgebaut (Abb. 26.5c). Die Gesucht: Maximale Durchbiegung an der Stelle x D 0. FE-Berechnung lieferte den DeformationsGegeben: F D 100 N, ` D 120 mm, B D und Spannungszustand der Scheibe. Die größ10 mm, H D 20 mm. te Verschiebung ergibt sich am Rand x D l=2 zu ux 0;021 mm. Die aus den VerschiebunN gen berechneten Spannungen aller Elemente ; Mit E D 2;1  105 mm2 haben ihren Größtwert in dem Knotenpunkt BH 3 38 mit x D 240;7 N=mm2 , während in dem 4 Iy D

6666;7 mm 12 Knoten 28 die Spannung x D 77;2 N=mm2 3 F` ist. und w.x D 0/ D

0;0412 mm Mit der Nennspannung n D   l=.l  d / D 3EIy 100 N=mm2 folgt somit nach der FEM die (s. Tab. 20.4, Fall 6). Formzahl ˛k D x =n D 240;7=100 D 2;41, Die Finite-Element-Rechnung ergibt bei während sich aus dem herkömmlichen Form5 Elementen mit linearer Approximation: zahl-Diagramm nach Wellinger-Dietmann [8] w.x D 0/ 0; 0411 mm. Die bei der für d= l D 20=100 D 0;2 der Wert ˛k D 2;53 FE-Rechnung ermittelten Reaktionskräfergibt. Die Verlängerung des Stabs nach dem te (Momente) werden zur Berechnung der Hooke’schen Gesetz beträgt l D l  =E D maximalen Spannung an der Einspannstelle 100 mm  80 N=mm2 = .2;1  105 N=mm2 / D herangezogen. 0; 038 mm, wobei der Unterschied zum FEM2. Scheibenelemente: Scheibe mit Loch unter Ergebnis den Einfluss der Bohrung wiedereinachsiger Zugbelastung (Abb. 26.5a). Gegibt. Rechnet man näherungsweise längs der Bohrung mit dem Nennquerschnitt, so ergibt sich u D .l d /=E Cd n =E D 0; 04 mm. Diese Näherung liefert gegenüber dem sicherlich genaueren FEM-Resultat nur noch eine Abweichung von 4,8 %. 3. Plattenelemente: Eingespannte Deckplatte mit Einfüllöffnung (Kreisringplatte) (Abb. 26.6a). Gegeben: d1 D 2400 mm, d2 D 600 mm, h D 10 mm, Flächenlast Abb. 26.4 Biegebalken und FE-Struktur

26 Finite Berechnungsverfahren

451

Abb. 26.6 Kreisringplatte. a Aufbau und Belastung; b FE-Struktur

p D 5 kN=m2 . Nach Aufteilung der Struktur in 216 Plattenelemente mit 240 Knoten (Abb. 26.6b) lieferte das Rechnerprogramm aus 1296 Gleichungen die Verschiebungen (Durchbiegungen) aller Knotenpunkte und daraus die Spannungen an allen Elementen. Danach ergibt sich am freien Innenrand (Knoten 1) die maximale Durchbiegung zu f D 8;02 mm sowie die größte Tangentialspannung zu t D 40; 7 N=mm2 und an der Einspannung (Knoten 10) die größte Radialspannung r D 54; 2 N=mm2 . Die Plattentheorie (s. [19]) liefert für die Durchbiegung des Innenrands denselben Wert 8,02 mm und für die Spannungen am freien Rand t D 40;9 N=mm2 sowie am eingespannten Rand r D 51;1 N=mm2 , sodass für letztere die Abweichung des FEM-Ergebnisses von dem der Plattentheorie 6,1 % beträgt. 4. Axial- und 3D-Elemente: Dickwandiges Rohr unter Innen- und Außendruck (Abb. 26.7a). Gegeben: Innendurchmesser di D 40 mm, Außendurchmesser da D 120 mm, Innendruck pi D 6 bar, Außendruck pa D 1 bar, gewählte Breite b D 20 mm. Zu berechnen sind die Tangential- bzw. Radialspannungen t , r . Da es sich um einen rotationssymmetrischen Spannungszustand handelt, ist t D t .r/, r D r .r/. Die analytische Rechnung (Formeln s. Abschn. 23.3.2) ergibt am Innenrand t D 0;525 N=mm2 und r D 0;6 N=mm2 , am Außenrand t D 0;025 N=mm2 und r D 0;1 N=mm2 .

Abb. 26.7 Dickwandiges Rohr („unendlich lang“). a Bauteil mit Belastung; b Struktur (Axialsymmetrische Elemente); c Struktur (3D Elemente)

Die numerischen Ergebnisse, gerechnet mit quadratischen Ansatzfunktionen für die Elemente, sind in Tab. 26.1 dem analytischen Ergebnis gegenübergestellt. Weitere Beispiele und Berechnungen zur Rohrleitungsstatik in [9]. Heutzutage können durch den rasanten Fortschritt in der Entwicklung immer leistungsfähigerer Hardware Problemstellungen behandelt werden, an die vor einem Jahrzehnt nicht zu denken war. Besonders hervorgehoben werden soll hierbei die Fluid-Struktur Interaktion (FSI), deren Behandlung in gängigen Software-Paketen heutzutage standardmäßig implementiert ist. Hierbei kommen zum Einen netzlose Verfahren wie zum Beispiel die „Smoothed Particle Method“ (SPH, Tab. 26.1 Vergleich der Tangential- und Radialspannung, analytisch und numerisch

Innenrand Analyt. Netz b.) Netz c.) Außenrand Analyt. Netz b.) Netz c.)

t N/mm2

r N/mm2

0,525 0,518 0,525

0,600 0,593 0,594

0,025 0,025 0,025

0,1 0,1 0,1

26

452

J. Villwock und A. Hanau

s. z. B. [17]) als auch Verfahren zum Einsatz, wie die in den 1970er Jahren entwickelte „Arbitary Lagrandian Eulerian Finite Element Technique“ (ALE, s. z. B. [18]), das ein, den Bedürfnissen der Analyse angepasstes, während der Berechnung wechselndes Netz erlaubt.

26.2 Randelemente

Abb. 26.8 Einfeldträger: a mit Streckenlast; b mit Wanderlast

Die Randelementmethode (REM) bzw. Boundary-Element-Method (BEM) ist eine Integralgleichungsmethode, die in ihrem Ursprung auf die Tatsache zurückgeht, dass man die Lösung einer Differentialgleichung auf eine Integralgleichung über die Green’sche Funktion und die Belastungsfunktion zurückführen kann. Die Green’sche Funktion (Einflussfunktion) ist eine die Randbedingungen und die Differentialgleichung befriedigende Funktion infolge einer Einzellast F D 1. Träger. Für den bekannten Fall der Balkenbiegung (s. Abschn. 20.4.8) lautet die Differentialgleichung für die Durchbiegungen w 0000 .x/ D q.x/=EIy . Im Falle eines an den Enden gelenkig gelagerten Trägers mit den Randbedingungen w.x D 0/ D w 00 .x D 0/ D w.x D l/ D w 00 .x D l/ D 0 (Abb. 26.8a) gilt die Lösung für die Durchbiegungen in Integralgleichungsform: Zl w.x/ D

G0 .x; /q  . / d

0

Zl D 0

0 .x; /q  . / d

(26.11)

3. Grades, die aber auch die Randbedingungen erfüllen muss. Eine solche Funktion ist bereits nach Tab. 20.4, Fall 2 bekannt, wenn man dort a D x, b D .l  x/ und x D y, sowie F D 1 setzt. Sie lautet 1 G0 .x; y/ D 0 .x; y/ D 6EIy l 8 ˆ x.l  x/.2l  x/y ˆ ˆ ˆ <  .l  x/y 3 für 0 5 y 5 x ;  2 2 ˆ x.l  x /.l  y/ ˆ ˆ ˆ : C x.l  y/3 für x 5 y 5 l : (26.12) Einsetzen der Einflussfunktion (26.12) in Gl. (26.11) liefert die Biegelinie w.x/ für jede Lastfunktion q.x/. Ferner erhält man aus der Green’schen Funktion (26.12) durch einmalige Differentiation nach der Aufpunktkoordinate x die Einflusslinie für die Biegewinkel ˛ .x; y/ D @0 =@x, durch zweimalige Differentiation nach x die Einflusslinie für die Biegemomente M .x; y/ D EIy @2 0 =@x 2 und durch dreimalige Differentiation nach x die Einflusslinie für die Querkräfte Q .x; y/ D EIy @2 0 =@x 2 . Andererseits erhält man für festen Lastort y D x durch Ableitung nach der Laufvariablen y aus Gl. (26.12) nach der ersten Ableitung die Neigungswinkellinie ˛.y; x/, nach der zweiten Ableitung die Biegemomentenlinie Mb .y/ D EIy @2 0 =@y 2 und nach der dritten Ableitung nach y die Querkraftlinie FQ .y/.

mit q  .x/ D q.x/=EIy , wobei G(x, ) die Green’sche Funktion (Einflussfunktion) für die Durchbiegung an der Stelle x infolge einer Wanderlast F D 1 an der Stelle ist (Abb. 26.8b). An Stelle des griechischen Buchstaben wird in der modernen Literatur für die Laufvariable y verwendet, so auch nachfolgend. Da für F D 1 die Zusammenfassung Kennt man für DifferentiDgl. w 0000 .x/ D 0 gilt, folgt durch viermalige Inte- algleichungsprobleme die Green’sche Funktion, gration für die Green’sche Funktion eine Parabel d. h. eine die Randbedingungen befriedigende

26 Finite Berechnungsverfahren

453

Lösung infolge einer Wanderlast F D 1, die auch die Differentialgleichung erfüllt, so ist nach Gl. (26.11) die Lösung des Problems für jede beliebige Lastfunktion gegeben. Scheiben, Platten und Schalen. Hier sind nur in den seltensten Fällen die Green’schen Funktionen, d. h. die Lösung z. B. für eine Platte mit einer Einzellast an beliebiger Stelle .y1 ; y2 / für jeden Ort .x1 ; x2 /, welche die Randbedingungen erfüllt, bekannt. Dagegen sind stets sogenannte Grund- oder Fundamentallösungen für w.x1 ; x2 ; y1 ; y2 / infolge einer Einzelkraft F D 1 in .y1 ; y2 / für Scheiben, Platten und Schalen bekannt [11], die als Lösung für eine unendlich ausgedehnte Scheibe, Platte oder Schale angesehen werden können. Hier setzt zur Lösung des wirklichen Randwertproblems die Randelementmethode REM bzw. Boundary Element Method BEM wie folgt ein: Man denkt sich z. B. die wirkliche Platte aus dem unendlichen Gebiet ˝ herausgeschnitten, bringt einmal die wirkliche Belastung q.y1 ; y2 / und das andere Mal die Einzelkraft FO .x1 ; x2 / D 1 sowie jeweils alle Randschnittgrößen und Randverformungen auf (Abb. 26.9a,b) und verwendet den Satz von Betti: Für 2 Gleichgewichtszustände eines Systems (F, M) und (FO ; MO / mit den zugehörigen Verformungen .w; ˛/ und .w; O ˛/ O gilt für die Arbeiten: X

FO w C

X

MO ˛ D

X

F wO C

X

W2;1



FOe we D C Z Z  Vn wO C Mn ˛O n ds D p wO d˝ C C

X



X

C Fe wO e Z  VOn w C MO n ˛n ds  

X

FOe we (26.13b)

bzw.

Z  VOn w C MO n ˛n ds D 1  w.x1 ; x2 / C

˝

˝

M ˛; O

Wendet man den Satz von Betti für die Platten nach Abb. 26.9a,b an, so folgt:

X

und damit folgt für die gesuchte Durchbiegung (Einflussfunktion): Z Z  Vn wO C MO n ˛O n ds w.x1 ; x2 / D p wO d˝ C



d. h. W1;2 D W2;1 :

W1;2

Abb. 26.9 Rechteckplatte: a unter Flächenlast; b unter der Hilfskraft FO D 1; c Randelemente mit Dachfunktion

Z

w.x1 ; x2 / D

p wO d˝ ˝

C WRand 2;1  WRand 1;2 : (26.13c) Hierbei bedeutet das Integral über ˝ ein Gebietsintegral und die Integrale über  sind Randintegrale. Dabei ist n die Richtung der Normalen am Rand und Vn bzw. Mn die Kirchhoff’sche Randscherkraft (Ersatzquerkraft) und das Biegemoment in einer zu n senkrechten Randfläche.



Fe wO e

Unendlich ausgedehnte Platte. Da die Gebiets(26.13a) lösung infolge FO D 1 im Punkt .x1 ; x2 / für

26

454

J. Villwock und A. Hanau

die Durchbiegung w.x1 ; x2 ; y1 ; y2 / bekannt ist mit Elementfunktionen ˛ni .s/ D ˛ni '.s/ bzw. und nach [11, 12] lautet (sog. Grund- oder Fun- Vni .s/ D Vni .s/ verknüpft, wofür in der Regel lineare „Dachfunktionen“ nach Abb. 26.9c ausdamentallösung): reichen (für Platten mit freien Elementrändern 1 2  r ln r ; (26.14) sind für wi Hermitesche Polynome erforderlich, wO 0 .r/ D gO 0 .r/ D 8 N s. [12, 13, 14]). Sind alle Integrationen durchp geführt, hat man 2 m Gleichungen für die 2 m wobei r D .y1  x1 /2 C .y2  x2 /2 den AbUnbekannten. stand des Lastpunktes .x1 ; x2 / z. B. von eiNach Lösung (unter Zusatzbetrachtungen für nem Randpunkt .y1 ; y2 / bedeutet und N D die Eckkräfte) und Einsetzen in Gl. (26.13b) Eh3 =12.1   2 / die sog. Plattensteifigkeit ist erhält man die Durchbiegungen w.x1 ; x2 / für be(s. Abschn. 23.1), sind durch entsprechende Difliebige Punkte .x1 ; x2 / und durch Differentiation ferentiationen auch alle Neigungswinkel, Biegedie Neigungswinkel und Schnittlasten. Einzelheimomente und Querkräfte, d. h. auch alle in Gl. ten der Durchführung s. [12, 13, 14]. (26.13a–26.13c) mit einem „Dach“ versehenen Randgrößen bekannt, wie wO 0 ; ˛O 0 n ; MO 0 n und Beispiel VO0 n . Wirkliche Platte. Unbekannt sind hier von den 4 Randfunktionen w, ˛n , Mn , Vn jeweils 2, während 2 durch die Randbedingungen der Platte vorgegeben sind. Z. B. sind im Falle einer allseits gelenkig gelagerten Platte die Werte ˛n und Vn unbekannt, während w D 0 und Mn D 0 längs des Randes vorgegeben sind. Die unbekannten Funktionen ˛n und Vn werden nun nach der Randelementmethode numerisch für m diskrete Randknoten, die durch m Randelemente verbunden sind, ermittelt, in dem man in jedem Knoten selbst, d. h. m-mal die Einzelkraft Fi D 1 anbringt und m-mal den Satz von Betti anschreibt entsprechend Gl. (13 b) und dadurch m lineare Gleichungen für die 2m Unbekannten ˛ni und Vni bekommt .i D 1 : : : m/. Weitere m Gleichungen erhält man dadurch, dass man in jedem Knoten ein Randmoment MO D 1 anbringt, zu dem die Grundlösung gehört: @ gO 0 .r/ @r @r 1 r.1 C 2 ln r/ : D 8 N @n

Für eine gelenkig gelagerte quadratische Stahlplatte von 10 mm Dicke .E D 2;1  108 kN=m2 ) mit konstanter Flächenlast p D 10 kN=m2 und den Kantenlängen 2a D 2b D 1;0 m sollen die Durchbiegung und die Biegemomente bzw. Biegespannungen in Plattenmitte nach der REM (BEM) ermittelt werden (Abb. 26.10a). Lösung: Die Ränder werden in m D 8 Randelemente mit m D 8 Knoten unterteilt und die Berechnung mit einem BEM-Programm durchgeführt. Als Ergebnis erhält man für die Plattenmitte M (Abb. 26.10b) die Durchbiegung w D 2;19 mm und die Biegemomente mx1 D mx2 D 0;48 kNm/m und aus Letzterem die Biegespannungen  D 28;8 N/mm2 . Zum Vergleich werden die Formeln nach Abschn. 23.1.1 herangezogen: w D f D c3 pb 4 =Eh3 und  D c1 pb 2 = h2 , woraus mit den Koeffizienten c3 D 0;71 und c1 D 1;15 nach Tab. 23.1 die Werte

gO 1 .r/ D

(26.15)

womit wiederum die Randgrößen wO 1 , ˛O 1n , MO 1n , VO1n bekannt sind, und dass man auch dafür m-mal den Satz von Betti anschreibt. Um über den Rand numerisch integrieren zu Abb. 26.10 Allseits gelenkig gelagerte Stahlplatte a mit können, werden die Unbekannten ˛ni und Vni konst. Flächenlast; b Randelemente mit 8 Knoten

26 Finite Berechnungsverfahren

455

w D 2;11 mm und  D 28;8 N/mm2 folgen, Abb. 26.12 v. V. ıw D 1 d. h. das Ergebnis nach REM weicht für w um 3,8 % und für  um 0 % von den Tafelwerten ab und stellt somit trotz der groben Randeinteilung ein sehr gutes Ergebnis dar. J Die gesamte Arbeit lautet:

26.3

Finite Differenzen Methode ıW˛ D 1

Die FD-Methode ist wie die FE-Methode ein Gebietsverfahren. Die finiten Gleichungen werden für einen Zentralpunkt aufgestellt. Um den mechanischen Bezug zum Problem zu gewährleisten, werden die finiten Ausdrücke mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit aufgebaut. Dieses Vorgehen wird für einen Biegebalken mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen (s. Abschn. 20.4.9) gezeigt. Dazu wird die Gleichgewichtsaussage des Biegebalkens M 00 D p mit einer virtuellen Verrückung ıw D 1 multipliziert R und 00zweimal partiell integriert. Das ergibt: M ıw dx C R p ıw dx D 0. In diesem Fall arbeiten die Momente wie äußere Kräfte an der virtuellen Verrückung ıw. Die äußere Arbeit ist (s. a. Abb. 26.11): Z M C pıw dx D 0 : ıW˛ D 1  2 1 h Das Integral wird berechnet unter der Annahme, dass p(x) parabolisch verläuft (Abb. 26.12). Mit Tab. 20.6 ergibt sich: Z Z Z pıw dx D .1/.5/ dx C .2/.5/ dx Z Z C .3/.6/ dx C .4/.6/ dx D 1 10 1

1 ph 12

 2 1 M C 1 10 1

D0 Man kommt zum gleichen Ergebnis, wenn der R Ausdruck M ıw 00 dx als innere Arbeit gedeutet wird. An Stelle der Gelenke sind konzentrierte Krümmungen (im Sinne einer Dirac-Funktion) aufzugeben. Beispiel

Biegebalken mit Streckenlast (Abb. 26.13). Gesucht sind die Schnittlastmomente in den Punkten 1 und 2. Die Gleichung für den Innenpunkt lautet: 1

 2 1 M C 1 10 1

h2 p D0: 12

Es entsteht ein Gleichungsystem mit 2 Unbekannten i D 1W M0  2M1 C M2 C .p0 C 10p1 C p2 /

h2 D0 12

i D 2W M1  2M2 C M3 h2 D0 12 Es ist M0 D M3 D 0I p0 D p1 D p2 D p3 D p Lösung: M1 D M2 D ph2 . Das Verfahren zum Aufstellen der finiten Gleichungen lässt sich problemlos auf Scheiben, Platten und Schalen übertragen [15]. J C .p1 C 10p2 C p3 /

Abb. 26.13 Virtuelle Verrückung ıw D 1

Abb. 26.11 Eigenkraftgruppe

h2 p 12

26

456

Literatur Spezielle Literatur 1. Zienkiewicz, O. C.: Methoden der Finiten Elemente, 2. Aufl. Hanser, München (1992) 2. Gallagher, R. H.: Finite-Element-Analysis. Springer, Berlin (1976) 3. Schwarz, H. R.: Methode der finiten Elemente, 3. Aufl. Teubner, Stuttgart (1991) 4. Link, M.: Finite Elemente in der Statik und Dynamik, 4. Aufl. Springer Vieweg, Wiesbaden (2014) 5. Argyris, J., Mlejnek, H.-P.: Die Methode der finiten Elemente. Bd. I–III. Vieweg, Braunschweig (1986– 1988) 6. Bathe, K.-J.: Finite-Element-Methoden, 2. Aufl. Springer, Berlin (2002) 7. Oldenburg, W.: Die Finite-Elemente-Methode auf dem PC. Vieweg, Braunschweig (1989) 8. Wellinger, K., Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung, Grundlagen und technische Anwendung, 3. Aufl. Kröner, Stuttgart (1976) 9. Hampel, H.: Rohrleitungsstatik, Grundlagen, Gebrauchsformeln, Beispiele. Springer, Berlin (1972)

J. Villwock und A. Hanau 10. Collatz, L.: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen, 2. Aufl. Springer, Berlin (1955) 11. Girkmann, K.: Flächentragwerke, 6. Aufl. Nachdruck der 5. Aufl. Springer, Wien (1963) 12. Hartmann, F.: Methode der Randelemente. Springer, Berlin (1987) 13. Brebbia, C. A., Telles, J. C. F., Wrobel, L. C.: Springer, Boundary Element Techniques, Berlin (1987) 14. Zotemantel, R.: Berechnung von Platten nach der Methode der Randelemente, Dissertation 1985: Universität Dortmund 15. Giencke, E, Petersen, J.: Ein finites Verfahren zur Berechnung schubweicher orthotroper Platten. Der Stahlbau 6/1970 16. Müller, G., Rehfeld, J., Katheder, W.: FEM für Praktiker, 2. Aufl. expert verlag, Grafenau (1995) 17. Monaghan, J. J.: Smoothed Particle Hydrodynamics, Annual Review of Astronomy and Astrophysics. Vol. 30 (1992) 18. Hirt, C. W., Amsden, A. A., Cook, J. L.: An Arbitrary Langrandian-Eulerian Computing Method for all Flow Speeds. J. Comp. Phys., Vol. 14 (1974) 19. Beyer, K.: Die Statik im Stahlbetonbau. 2. Aufl. Springer, Berlin (1956)

27

Plastizitätstheorie Andreas Hanau und Joachim Villwock

27.1

Allgemeines

Wird bei der Beanspruchung eines Werkstoffs die Elastizitätsgrenze überschritten und treten nach Entlastung bleibende Dehnungen "b (Abb. 27.1a) auf, so handelt es sich um Beanspruchungen im plastischen (unelastischen) Bereich. Bei erneuter Belastung verhält sich der Werkstoff elastisch, die Spannungs-Dehnungs-Linie besteht aus der zur Hooke’schen Geraden OP Parallelen AP1 , d. h., als Folge der Kaltreckung wird die Streckgrenze erhöht. Weitere Belastung bis zur Spannung P2 erhöht die Streckgrenze auf diesen Wert. Damit verbunden ist eine Versprödung des Materials, also eine Verringerung der Dehnbarkeit bis zum Eintreten des Bruchs. Unterwirft man einen Versuchsstab anschließend einer Druckbeanspruchung, so ergibt sich im Druckbereich eine erhebliche Herabsetzung der Fließgrenze, d. h., die Krümmung der Spannungs-Dehnungs-Linie setzt sehr früh ein, und bei anschließender Wiederbelastung bildet sich die Hysteresis-Schleife (Abb. 27.1b). Ihr Flächeninhalt stellt die bei einem Zyklus verlorengehende Formänderungsarbeit dar. Wird er mehrmals durchlaufen, so wird jedes Mal diese A. Hanau BSH Hausgeräte GmbH Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] J. Villwock () Beuth Hochschule für Technik Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

Abb. 27.1 a Spannungs-Dehnungs-Linien im plastischen Bereich; b Hysteresis-Schleife bei Beanspruchung im plastischen Bereich

Arbeit verrichtet. Derartige dynamische Vorgänge führen häufig zum baldigen Bruch des Bauteils (Bauschinger-Effekt) und gehören zur Zeitfestigkeit. Die Plastizitätstheorie behandelt vorwiegend das Verhalten unter statischer Belastung. Nur sie ist im Folgenden zugrunde gelegt. Unterschieden wird: ideal-elastisch-plastisches Material (unlegierte Konstruktionsstähle), Kurve 1 auf Abb. 27.1a, hierfür gilt  D E" für  "F 5 " 5 "F ;  D F

für " = "F I

elastisch verfestigendes Material (vergütete Stähle), Kurve 2 auf Abb. 27.1a, hierfür gilt für  "F 5 " 5 "F ;

 D E"  D Aj"j

k

für " = "F

oder näherungsweise bei Ersatz der Kurve 2 durch eine Gerade 3 mit dem Verfestigungsmo-

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_27

457

458

A. Hanau und J. Villwock

dul E2 D tan ˛2  D F C E2 ."  "F / :

27.2 27.2.1

Anwendungen Biegung des Rechteckbalkens

Unter der Annahme ideal-plastischen MateriWeitere Materialgesetze s. [2, 3], für Kunstals (die Ergebnisse für verfestigendes Material stoffe [4]. Bei Entlastung des Werkstoffs gilt stets weichen im plastischen Anfangsdehnungsbereich das lineare (Hooke’sche) Gesetz nur unwesentlich ab) gilt nach Abb. 27.2a bei Voraussetzung, dass die Querschnitte auch im  D E."  "b / D P1  E."P1  "/ : plastischen Bereich eben bleiben (Bernoulli’sche Hypothese), mit der Höhe h und der Breite b des Weitere Informationen siehe [6–8] Balkens Zh=2 F z Kriechen. Oberhalb der KristallerholungstemMbF D 2  .z/ zb dz mit  .z/ D a peratur, bei der die Verfestigung infolge Kaltver0 formung aufgehoben wird (für Stahl bei TK = 400 ı C), tritt unter konstanter Last eine mit der für 0 z a und  .z/ D F für a z h=2, Zeit zunehmende Verformung, das Kriechen, ein d. h. (bei Kunststoffen schon bei normalen TemperaZa Zh=2 turen). Als Festigkeitswerte sind dann die Zeitz2 MbF D 2 F b dz C 2 F zb dz standfestigkeit Rm=t=T und die Zeitdehngrenze a RP1=t=T , die zum Bruch bzw. zur Dehnung von a 0 "  # 1 % nach t D 100 000 h bei der Temperatur 2 h 2 ba 2 a C F b D 2F T führen, zu ermitteln (s. u. a. Abschn. 29.5, 3 2 30.2).   bh2 3 a2 D F 2 2 6 2 h Relaxation. Wird bei Stahl unter hohen Tem 2 3 a peraturen .T = 400 K/ die Dehnung konstant D F Wb 2 2 2 h gehalten, so werden vorhandene Zwangsspannungen mit der Zeit (durch Kriechen) abgebaut D MbE npl : (bei Kunststoffen schon bei UmgebungstemperaMbE ist das Tragmoment des Rechteckquertur). schnitts bei Verlassen des elastischen Bereichs, npl die Stützziffer, die angibt, in welchem VerUmformtechnik. Hierbei handelt es sich um die hältnis sich das Tragmoment als Funktion des Vorgänge bei der spanlosen Formgebung (Wal- plastischen Ausdehnungsbereichs vergrößert. Für zen, Pressen, Schmieden). Die plastischen Verformungen sind hier so groß, dass die elastischen in der Theorie [3] nicht berücksichtigt werden (s. Bd. 2, Kap. 40). Viskoelastizitätstheorie. Sie befasst sich mit dem elastisch-plastischen Verhalten der Kunststoffe unter besonderer Beachtung der Zeitabhängigkeit von Deformationen und Spannungen Abb. 27.2 Biegespannungen im plastischen Bereich. (Kriechen und Relaxation). Grundlagen sind die a Teilplastischer Querschnitt; b Spannungsüberlagerung Materialgesetze von Maxwell und Kelvin [4]. bei Entlastung; c Restspannungen nach Entlastung

27 Plastizitätstheorie

459

a D 0 (vollplastischer Querschnitt) wird npl D 1;5, d. h., die Tragfähigkeit ist um 50 % größer als beim Verlassen des elastischen Bereichs. Für die Dehnung gilt

wirkenden Moments MbF (Abb. 27.2b). Da der Werkstoff bei Entlastung der Hooke’schen Geraden AP1 (Abb. 27.1a) folgt, entstehen Spannungen e .z/ D MbF z=Iy mit linearer Verteilung und dem Maximalwert e; max D MbF =Wb . F h "F F z Die Überlagerung mit den Spannungen  (z) nach ".z/ D zD ; "max D I Abb. 27.2a ergibt die Restspannungen r .z/ D a Ea 2Ea  .z/e .z/ nach Abb. 27.2c, die bei ungleichförd. h., für a D 0 (vollplastischer Querschnitt) migen Spannungszuständen nach jeder Dehnung wird "max unendlich, die volle Ausschöpfung der über die Fließgrenze hinaus und anschließender Tragfähigkeit setzt also sehr große Deformatio- Entlastung übrig bleiben. nen voraus (an der Stelle des größten Moments bildet sich ein sog. plastisches Gelenk). Deshalb wird in der Praxis die Dehnung "p auf 0,2 % begrenzt. Für S 235 mit F D 240 N=mm2 und E D 27.2.2 Räumlicher und ebener 2;1  105 N=mm2 wird "F D F =E D 0;114 %, Spannungszustand also "max D "p C "F D 0;314 % und damit a D F h=.2"max E/ D 0; 182h. Hiermit folgt für Fließbedingungen. Für ideal-elastisch-plastidie Stützziffer npl D 1; 5  2.a= h/2 D 1; 43. Für sches Material gilt nach Tresca diesen Fall, also für "p D 0;2 %, wird npl F D  , also gleich dem Formdehngrenzwert nach K0;2



.1  2 /2  F2 .2  3 /2  F2 Abschn. 19.2. Ergebnisse für verschiedene ande re Querschnitte und Grundbeanspruchungsarten  .3  1 /2  F2 D 0 : s. [1, 2]. Hiernach setzt Fließen ein, wenn die größRestspannung. Wird das am Querschnitt wir- te Hauptspannungsdifferenz den Wert  erF kende Moment MbF entfernt, so ist dies gleich- reicht. Sind  und  die größte und kleinste 1 3 wertig mit dem Aufbringen eines entgegengesetzt Hauptspannung, so folgt    D 2 1 3 max D F . Wird v D F als einachsige Vergleichsspannung angesehen, so ist das Tresca-Gesetz identisch mit der Schubspannungshypothese (s. Abschn. 19.3.2). Für v. Mises setzt man .1  2 /2 C .2  3 /2 C .3  1 /2 D 2 F2 : Hiernach setzt Fließen ein für V

1 p Dp .1  2 /2 C .2  3 /2 C .3  1 /2 2 D F :

Abb. 27.3 Spannungen im Rohr mit ra =ri D 2;0

Dieses Gesetz ist identisch mit der Gestaltungsänderungsenergiehypothese (s. Abschn. 19.3.3).

27

460

A. Hanau und J. Villwock

Spannungs-Deformations-Gesetze

Voll elastischer Zustand. Aus Gl. (21.5) folgt mit rz D zr D  D 0 und R D 0 die GleichgeGesetz von Prandtl-Reuß. Es hat die infinite wichtsbedingung (differentielle) Form dr d .r r /  t D r C r  t D 0 : (27.1) dr dr dS D C S D d dV D D dV D; e C dV D; p D Hieraus ergeben sich die Spannungen zu 2G bzw. nach Einführung der Verzerrungsgeschwindigkeiten SP D C S D  P VP D D : 2G Hierbei ist V D der sog. Deviator des Verzerrungstensors V (s. Abschn. 19.1.2), d. h., es gilt V D D V  e  I, wobei e D ."x C "y C "z /=3 und I den Einheitskugeltensor darstellt. Der Verzerrungsdeviator gibt die Gestaltänderung bei gleichbleibendem Volumen wieder. S D ist der Deviator des Spannungstensors [5]. G ist der Schubmodul und d bzw. P ist ein skalarer Proportionalitätsfaktor, der sich durch Gleichsetzung der Gestaltänderungsenergien des räumlichen und des einachsigen Vergleichszustandes zu d D .3=2/ dv=ŒTp .v / v  ergibt, wobei Tp D dv =d"vp der plastische Tangentenmodul (Anstieg der v  "vp -Linie) ist. Gesetz von Hencky. Dieses hat die finite Form  V D D V D; e C V D; p D

1 1 C 2G 2Gp

 SD :

Gp ist der variable Plastizitätsmodul, der sich durch Anwendung des Gesetzes auf den einachsigen Vergleichszustand aus "vp D 1=.2Gp /  v =3 zu Gp ."vp / D .1=3/ v ="vp , d. h. aus der entsprechenden Spannungs-Dehnungs-Linie ergibt.

 9  2 ri2 ra >  1 ;> > > ra2  ri2 r 2 > > > >   = 2 2 ri ra C 1 ; t D p  2 > ra  ri2 r 2 > > > > 2 > ri > > ; : z D p  2 2 ra  ri r D p 

(27.2)

Teilweise plastischer Zustand. Für ideal elastisch-plastisches Material folgt aus der v. MisesFließbedingung mit 1 D r ;

2 D t ;

3 D z D

1 2

.r C t /

die Fließbedingung 2F t  r D p : 3

(27.3)

Für einen bis zum Radius rp plastifizierten Zylinder lauten die Spannungsformeln für den elastischen Bereich .r = rp / gemäß Gl. (27.2)  2  F rp ra2 r D  p 2 1 ; 3 ra r 2  2  F rp ra2 t D p 2 C 1 ; 3 ra r 2 F rp2 z D p 2 : 3 ra

(27.4)

Für den plastischen Bereich .r 5 rp / folgt aus Gl. (27.1) mit Gl. (27.3) die Gleichgewichtsbedingung Geschlossenes dickwandiges Rohr unter Indr 2 F (27.5)  p D0 r nendruck. Es wird der Spannungszustand im dr 3 Rohr bei Beginn der Plastifizierung an der Innenfaser (d. h. Rohr gerade noch im elastischen und hieraus die Spannungen ! Bereich), bei Plastifizierung bis zur Wandmitte 2 r r  p p F und bei voller Plastifizierung der Wand unterr D  p 1  2 C 2 ln ; (27.6a) ra r sucht. 3

27 Plastizitätstheorie

rp2 rp F t D p 1 C 2  2 ln ra r 3 ! rp F rp2 z D p  2 ln : 2 r r 3 a

461

!

In Abb. 27.3 ist der Verlauf der Spannungen für ein Rohr mit ra =ri D 2;0 und gerade noch elastischem Spannungszustand (d. h. rp D ri , p D p1 D 0;43 F ) bzw. mit halber Plastifi(27.6b) zierung .rp D 1;5 ri , p D 0;72 F / bzw. mit voller Plastifizierung .rp D ra , p D p2 D Für den Innendruck folgt mit r .ri / D p aus 0;80 F / dargestellt. Man erkennt die starken Gln. (27.6a), (27.6b) Spannungsumlagerungen zwischen dem elasti! schen und plastischen Zustand für t und z , rp2 rp F dagegen nur geringe für r . p D p 1  2 C 2 ln : (27.7) ra ri 3 ;

Hieraus kann der Plastifizierungsradius rp als Funktion des Innendrucks ermittelt werden und umgekehrt. Bei Beginn der Plastifizierung am Innenrand des Zylinders, d. h. für rp D ri , folgt aus Gl. (27.7) der zugehörige Innendruck zu   r2 F p1 D p 1  i2 : ra 3 Für die volle Plastifizierung folgt mit rp D ra der Innendruck zu ra 2F p2 D p ln : ri 3 Damit folgt als Steigerung der Tragfähigkeit vom elastischen zum vollplastischen Zustand für ein Rohr mit ra =ri D 2 p2 2 ln 2 D D 1;85 : p1 0;75

Literatur Spezielle Literatur 1. Wellinger, K., Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung. Grundlagen und technische Anwendung, 3. Aufl. Kröner, Stuttgart (1976) 2. Reckling, K. A.: Plastizitätstheorie und ihre Anwendung auf Festigkeitsprobleme. Springer, Berlin (1967) 3. Lippmann, H., Mahrenholtz, O.: Plastomechanik der Umformung metallischer Werkstoffe. Springer, Berlin (1967) 4. Schreyer, G.: Konstruieren mit Kunststoffen. Hanser, München (1972) 5. Szabó, I.: Höhere Technische Mechanik. 6. Aufl. Springer, Berlin (2001) 6. Ismar, H., Mahrenholtz, O.: Vieweg, Technische Plastomechanik, Braunschweig (1979) 7. Kreißig, R., Drey, K.-D., Naumann, J.: Methoden der Plastizität. Hanser, München (1980) 8. Lippmann, H.: Mechanik des plastischen Fließens. Springer, Berlin (1981)

27

Festigkeitsnachweis

28

Heinz Mertens und Robert Liebich

Der Festigkeitsnachweis hat im Rahmen des Produktentstehungsprozesses die Aufgabe, alle möglichen Versagensarten eines Bauteils während der Produktlebensdauer auszuschließen. Grundsätzlich kann dieser Nachweis durch umfassende Bauteilversuche mit anwendungsspezifischen Belastungen an fertigen Bauteilen auf statistischer Grundlage erbracht werden. Der zeitliche und finanzielle Aufwand für solche betriebsnahen Versuche ist nicht unerheblich, andererseits aus Gründen der Produkthaftung nicht immer zu vermeiden. Zur Verringerung des Aufwandes können rechnerische Festigkeitsnachweise dienen, wenn die zugehörigen Berechnungen und Bewertungen alle relevanten Einflussgrößen in angemessener Weise berücksichtigen und Unsicherheiten durch problemangepasste Sicherheitsabstände ausgeglichen werden.

28.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte Grundlegend für jeden aussagefähigen Festigkeitsnachweis sind Kenntnisse bzw. begründete Annahmen über die während der Produktlebensdauer auftretenden Bauteilbelastungen, wobei H. Mertens Technische Universität Berlin Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] R. Liebich () Technische Universität Berlin Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

neben den planmäßig zu erwartenden Betriebsbelastungen auch solche aus denkbaren Sonderereignissen zu beachten sind. Auch die auf das jeweilige Bauteil einwirkenden, eventuell zeitlich veränderlichen Umgebungseinflüsse (Temperatur, Korrosionsmedien, energiereiche Strahlen), die zum Bauteilversagen beitragen können, sind für eine Bewertung unerlässlich. Das Bauteil selbst wird vor allem durch seine Gestalt (Bauteilgeometrie) und die verwendeten Werkstoffe gekennzeichnet. In bestimmten Fällen sind aber auch die Oberflächenstruktur (Rauigkeit, Verfestigungen und Eigenspannungen aus dem Fertigungsprozess, siehe Abschn. 29.4) und Fertigmaßtoleranzen (Imperfektionen bei Stabilitätsproblemen, Kap. 25) versagensrelevant. Mit diesen Informationen lässt sich ein Festigkeitsnachweis nach Abb. 28.1 aufbauen, wenn zur Bewertung geeignete, miteinander verknüpfbare Wissensbasen zum Verhalten ähnlicher Bauteile mit vergleichbaren Belastungsarten und Umwelteinflüssen vorliegen. Durch die Wissensbasen werden das anzuwendende Berechnungsmodell und das zugehörige Bewertungsmodell festgelegt. Der Festigkeitsnachweis vergleicht die rechnerischen mit den zulässigen Bauteilbeanspruchungen. Auf gleiche Weise lassen sich auch Bauteilverzerrungen (Dehnungen, Gleitungen) bewerten. Durch wissensbasierte Berechnungs- und Bewertungsmodelle soll eine ausreichend genaue Beurteilung der in einem Maschinen- oder Anlagenteil ablaufenden schädigenden Vorgänge unter Beachtung der Wechselwirkungen mit der Umgebung ermöglicht werden. Werden mit dem

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_28

463

464

H. Mertens und R. Liebich

rechnungen nach Kap. 25 sind hier einzuordnen. Charakteristische Rechenvorschriften haben die Schreibweise Mt Wt (28.1) mit der Zugnennspannung zn (neuerdings auch Sz ), der Biegenennspannung bn (auch Sb ), der Torsionsnennspannung tn (auch Tt ), dem Nennquerschnitt An , dem Biegewiderstandsmoment Wb sowie dem Torsionswiderstandsmoment Wt (siehe Abschn. 20.1.4, 20.4.5, 20.5.4). Die Bewertung erfolgt bei einachsiger Belastung beispielsweise mit den Festigkeitsbedingungen zn D

Abb. 28.1 Konzept eines Festigkeitsnachweises

Berechnungsmodell zur Kennzeichnung der Beanspruchungen Nennspannungen ermittelt und mit dem Festigkeitsnachweis bewertet, so spricht man von einem Festigkeitsnachweis nach dem Nennspannungskonzept; werden Kerbgrundspannungen und/oder Kerbgrundverzerrungen beurteilt, so wird der Nachweis nach einem Kerbgrundkonzept geführt [1]. Darüber hinaus werden zunehmend Bruchmechanikkonzepte angewendet, wenn Bauteilungänzen (z. B. ausgeschmiedete kleine Lunker) in die Bewertung einzubeziehen sind [9].

28.2 Nennspannungskonzepte Berechnungsmodelle zur Nennspannungsbestimmung beruhen meist auf stark vereinfachenden Annahmen zur Spannungsermittlung, wobei Spannungskonzentrationen an Bauteilkerben, Fügestellen und Einspannungen bewusst nicht beachtet werden. Deshalb müssen die Einflüsse dieser jedoch schadensrelevanten Spannungskonzentrationen in den zulässigen Nennspannungen berücksichtigt werden. Die Berechnungen werden damit einfach, die Bewertungssicherheit hängt von den zum Vergleich verfügbaren Versuchsergebnissen ab. Zur Berechnung werden vorwiegend Stab- und Balkenmodelle nach Kap. 20 oder Flächentragwerke nach Kap. 23 benutzt; auch die üblichen Stabilitätsbe-

F An

oder bn D

Mb Wb

oder tn D

zn zn; zul

oder

bn bn; zul

oder tn tn; zul

(28.2)

und den zulässigen Werten der Zugnennspannung zn; zul , der Biegenennspannung bn; zul oder Torsionsnennspannungen tn; zul aus Versuchen an weitgehend ähnlichen Bauteilen sowie Belastungen und Sicherheitszuschlägen aus Betriebserfahrungen. Bei mehrachsiger Belastung kommen zweckmäßigerweise Interaktionsformeln zur Anwendung; beispielsweise beim Festigkeitsnachweis von Wellen und Achsen nach DIN 743 

zn zn; zul

C

bn bn; zul



2 C

tn tn; zul

2 1 : (28.3)

Alternativ hierzu bewertet man Vergleichsnennspannungen mit s vn D

 2   zn;zul 2 2 zn;zul bn C  tn zn C bn;zul tn;zul

zn;zul : (28.4) Gl. (28.4) entspricht formal der Schubspannungshypothese nach Abschn. 19.3.2 für .zn; zul =tn; zul /2 D 4 oder der v. MISES-Hypothese nach Abschn. 19.3.3, wenn lediglich Zugspannungen x und Schubspannungen  wirken. Die „Ellipsengleichung“ (28.3) kann im Einzelfall von den tatsächlichen Versuchsergebnissen abweichen. Zur Anpassung verwendet man dann

28 Festigkeitsnachweis

465

beispielsweise statt Gl. (28.4) Interaktionsfor- Abb. 8.21 und 8.22. Dieser Ermüdungsfestigmeln mit den Exponenten s, t und Kombinations- keitsnachweis – auch Betriebsfestigkeitsnachweis faktoren k , k genannt – schließt mit dem Spannungskollektiv S 3 (mit konstanter Beanspruchungsamplitude) ˇ ˇs ˇ ˇt ˇ zn ˇ ˇ ˇ   und dem Spannungsspielbereich N 4 (mit über bn ˇ tn ˇ k ˇˇ C C k ˇˇ 1: ˇ ˇ 2  106 Lastwechseln) den Dauerfestigkeitsnachzn; zul bn; zul tn; zul (28.5) weis mit ein. Die Berücksichtigung von MittelDie „Geradengleichung“ mit k D k D s D (Nenn-)Spannungen erfolgt mit dem Dauerfest D 1 wurde teilweise bei Reibkorrosionsproble- tigkeitsschaubild (Smith-Diagramm) nach Bd. 2, men [2, 3] und bei starken Frequenzunterschie- Abb. 8.21. Der Nachweis für vorwiegend statiden zwischen Normal- und Schubspannungen [5– sche Beanspruchungen (bis 104 Schwingspiele) – 7] beobachtet. Sofern weitere mehrachsige Nenn- der statische Festigkeitsnachweis – wird getrennt spannungen in einer Bauteilzone berechnet wer- geführt. den können, wie beispielsweise in SchweißnähHinweise zu Anwendungsnormen und Richtten, sind die Interaktionsformeln oder Vergleichs- linien weiterer Bauteilverbindungen siehe Bd. 2, nennspannungs-Formeln zu erweitern; siehe hier- Kap. 8. Die FKM-Richtlinie zum Festigkeitszu Bd. 2, Abschn. 8.1.5; allerdings kann dann nachweis für Maschinenbauteile, in die umfangdie formale Ähnlichkeit zu den Festigkeitshypo- reiches Wissen aus früheren TGL-Standards einthesen nach Abschn. 19.3 nicht mehr in vollem geflossen ist, wurde inzwischen auch auf Bauteile Umfang gewahrt werden! aus Al-Legierungen erweitert [8]. Auch die Dimensionierung von Zahnradgetrieben nach Bd. 2, Anwendungsnormen und -richtlinien. Da Kap. 15 erfolgt teilweise nach einem NennspanNennspannungskonzepte im Grunde Versuchs- nungskonzept. umrechnungskonzepte sind, müssen bei ihrer Anwendung die bei der Versuchsauswertung Kerbwirkungszahl. Die vielfältigen Einflüsse und Dokumentation angewandten Strategien dem auf die Bauteilfestigkeit erschweren eine einAnwender in praxistauglicher Form vermittelt fache Übertragbarkeit der zulässigen bzw. erwerden. Ein anschauliches Beispiel bietet die tragbaren Beanspruchungen von Prüfkörpern auf Berechnung von Schweißnähten für die verschie- andersartig gestaltete, gefertigte und belastete denen Anwendungsgebiete mit den zugehörigen Bauteile. Eine erfolgreiche Übertragung von VerNormen und Vorschriften nach Bd. 2, Tab. 8.20. suchsergebnissen auf Bauteile kann nur erwartet Einen Einblick in die Struktur dieser Nenn- werden, wenn die dominanten Schädigungsmespannungskonzepte bringt Bd. 2, Abschn. chanismen, die zum Versagen des Prüfkörpers 8.1.5. Aus den Belastungen werden statische führten, in vergleichbarer Weise auch bei dem zu und dynamische Nennbeanspruchungen in den beurteilenden Bauteilverhalten wirksam werden. kritischen Bauteilquerschnitten berechnet. Für Die sicherste Übertragbarkeit wird dann erreicht, den Maschinenbau ist dabei die Beschreibung wenn Prüfkörper und Bauteil derselben Bauteilder dynamischen Beanspruchungen durch Be- gruppe angehören; deshalb können beispielsweianspruchungsgruppen B 1 bis B 6 nach der DIN se errechnete Beanspruchungen in Zahnrädern 15 018, die durch Spannungs-(Lastspiel-)berei- mit Versuchen an Standard-Referenz-Prüfrädern che N 1 bis N 4 und Spannungskollektive S0 unter Standard-Prüfbedingungen mit hoher Ausbis S3 bestimmt sind, sehr hilfreich. Die An- sagesicherheit beurteilt werden. Weichen Prüfgabe der zulässigen Spannungen erfolgt dann körper und Bauteil stärker voneinander ab oder hinreichend genau in Abhängigkeit von die- sind die Belastungs- oder Umgebungseinwirkunsen Beanspruchungsgruppen durch Bezug auf gen nicht gleichartig, dann werden die rechnecharakteristische Naht- und Anordnungsformen rischen Vorhersagen stärker von dem späteren (Kerbfälle) K 1 bis K 4; Überblick in Bd. 2, realen Bauteilverhalten abweichen. Die in der Abschn. 8.1.5 mit Bd. 2, Tab. 8.5 und 8.6 und Praxis häufig verwendeten Kerbwirkungszahlen

28

466

H. Mertens und R. Liebich

ˇk (auch Kf ), die das Verhältnis von ertragbaren Nennbeanspruchungen an glatten, ungekerbten Werkstoffproben (beispielsweise der Dauerfestigkeit D ) zu ertragbaren Nennspannungen an gekerbten Proben (beispielsweise der Bauteildauerfestigkeit Dk ) angeben, ˇk D

D ; Dk

(28.6)

können folglich nur dann zur sicheren Übertragung von Versuchsergebnissen genutzt werden, wenn ein ausreichend genaues Umrechnungsverfahren für Kerbwirkungszahlen auf der Grundlage der wirksamen Schädigungsmechanismen vorliegt. Einen Ansatz für solche Umrechnungsverfahren bieten bei Bauteilen mit kräftefreien Oberflächen die Kerbgrundkonzepte, bei reibund kraftschlüssigen Bauteilverbindungen müssen auch tribologische Kenngrößen in die Bewertung einfließen (siehe Kap. 33).

Grundlagen dieses Konzepts mit örtlichen, elastischen Spannungen bilden die Bausteine für die gängigen erweiterten Konzepte mit Stützwirkung. Elastische Formzahl (Spannungsformzahl). Durch das Verhältnis der errechneten, höchsten elastischen Kerbgrundspannung O bzw. O zu einer einfach zu ermittelnden Nennspannung n bzw. n , werden elastische Formzahlen ˛k definiert, die für die praktische Berechnung wegen ihrer Nähe zur Kerbwirkungszahl ˇk (nach Gl. (28.6)) äußerst nützlich sind. Oft gilt ˛k D

O n

bzw. ˛k D

O n

(28.7)

mit einer Nennspannung, die auf den engsten Bauteilquerschnitt bezogen wird; beispielsweise Tab. 29.13. Abweichend hierzu kann bei durchbohrten Stäben auch die Definition ˛k D O =n o. ä. notwendig werden, wenn die schadensrelevante Zugspannung am Bohrungsrand durch eine Torsionsnennbelastung hervorgerufen wird! Ver28.3 Kerbgrundkonzepte einzelt werden auch Vergleichsspannungen nach der MISES-Hypothese auf Nennspannungen beKerbgrundkonzepte für Bauteile mit kräftefreien zogen, die Formzahlen sollten dann mit einem Oberflächen erfordern die Kenntnis der BeanIndex gekennzeichnet werden (˛kv statt ˛k ). spruchungen (Spannungen, Dehnungen, Gleitungen) im Bereich der anrissgefährdeten BauteilMikrostützwirkung. Das Verhältnis n der stellen. Diese Beanspruchungen können grundFormzahl ˛k zur Kerbwirkungszahl ˇk bei Dausätzlich bei Kenntnis der statischen und zyerfestigkeit wird neben dem Werkstoff vor allem klischen Werkstoffgesetze nach Kap. 29 (z. B. vom Kerbradius % beeinflusst. In Abb. 29.34, Abb. 29.22) mit nichtlinearen Berechnungen wird dieser Zusammenhang verdeutlicht. Bei nach der Methode der Finiten Elemente (FEM) kleineren Kerbradien, die stets zu einer Formentsprechend Kap. 26 einschließlich einer geeigzahlerhöhung führen, ist danach die Stützwirneten Plastizitätstheorie nach Kap. 27 berechnet kung größer als bei größeren Radien. In der werden. Da die Rechenzeiten für solche BerechPraxis des Maschinenbaus sind alternativ vernungen mit derzeitigen Rechnern immens hoch schiedene Umrechnungsverfahren zur Bestimsind, wird man sich im Allgemeinen auf lineare mung der relevanten Stützzahlen FEM-Berechnungen beschränken und den Einfluss der Nichtlinearitäten durch erfahrungsge˛k ˛k bzw. n D (28.8) n D stützte Konzepte für Mikro- und Makrostützwirˇk ˇk kung berücksichtigen. Werden die durch Spannungsumlagerungen bedingten Stützwirkungen bei Normalspannungen bzw. Schubspannungen nicht in die Beurteilung einbezogen, erhält man üblich. Grundlage dieser Verfahren ist meist das bei sonst gleichen Annahmen Aussagen mit er- Spannungsgefälle G in Richtung der Oberflähöhter Sicherheit; das zugehörige Konzept wird chennormalen n .G D d =d n bzw. G D als elastisches Kerbgrundkonzept bezeichnet. Die d =d n) an der höchstbeanspruchten Stelle der

28 Festigkeitsnachweis

betrachteten Bauteilkerbe (s. Abb. 29.32). Die Stützwirkung bei Dauerfestigkeit wird dann über das auf die Spannungsamplituden O a bzw. Oa bezogene Spannungsgefälle G  D G =O a bzw. G  D G =Oa unter Beachtung einer Mikrostützlänge % bzw. % berechnet. Häufig werden die Stützzahlen nach q n D 1 C %N   G  bzw. q n D 1 C %N   G  (28.9) bestimmt. In erster Näherung gilt bei Zug-Druck und Biegung G  D 2=% und bei Schub G  D 1=% mit dem Kerbradius % sowie bei Wellenstählen s G 55 N=mm2 (28.10) n n D 1 C Rp 0;2 Œmm1  mit der Dehngrenze Rp 0;2 [2]. Genauere Schätzformeln siehe FKM-Richtlinie [8] oder DIN 743. Die Berechnung der Stützzahlen aus n und n ermöglicht rückwirkend die Vorhersage der zu erwartenden Kerbwirkungszahlen und damit nach Gl. (28.8) und dann nach Gl. (28.6) die Berechnung der dauernd ertragbaren Nennspannungsamplituden in Bauteilen mit kräftefreien Oberflächen bei Kenntnis der Werkstoff-Dauerfestigkeiten – zunächst für den Fall reiner Wechselbeanspruchungen. Unter Beachtung der erforderlichen Sicherheiten folgen die zulässigen Nennspannungsamplituden, die in Gl. (28.3) oder Gl. (28.4) benötigt werden. Treten zusätzlich zu den Wechselbeanspruchungen Mittelspannungen auf oder sollen Zeitfestigkeitsberechnungen durchgeführt werden, so ist es nützlich, neben der mindestens erreichbaren Mikrostützwirkung auch die über größere Bauteilbereiche wirkende Makrostützwirkung durch plastische Umlagerung der Spannungen und Dehnungen zu berücksichtigen. Makrostützwirkung. Der Einfluss der Mittelspannungen (Mittelspannungsempfindlichkeit s. Abb. 29.21) wird in der Werkstofftechnik durch Dauerfestigkeitsschaubilder nach Smith oder Haigh nach Abb. 29.20 oder Abb. 29.36

467

und 29.37, dokumentiert, die sich oft auf Probendurchmesser 7,5 mm beziehen. Für die praktische Anwendung benötigt man dann Größeneinflussfaktoren zur Umrechnung der ertragbaren Beanspruchungen auf andere Durchmesser. Größeneinflussfaktoren sind im Wesentlichen von der durchmesserabhängigen Werkstoffzugfestigkeit Rm und/oder der Dehngrenze Rp 0;2 abhängig. Umrechnungsverfahren finden sich u. a. in der FKM-Richtlinie [8] oder der DIN 743. Die tatsächlichen wirksamen Zug-Mittelspannungen sind vor allem bei fließfähigen Bauteilen erheblich niedriger als die mit linearen FEM-Berechnungen oder elastischen Formzahlen ˛k errechenbaren Zug-Mittelspannungen, da sich durch Fließen und zyklisches Kriechen die höchstbeanspruchten Stellen des gefährdeten Bauteilbereichs zu Lasten der Nachbarbezirke entlasten. Dieser Sachverhalt erklärt, warum bei verformungsfähigen Werkstoffen und bei Vermeidung von extremer Mehrachsigkeit des Spannungszustands häufig lediglich die Nenn-Mittelspannungen berücksichtigt werden; vergleiche hierzu Schweißnahtberechnungen nach DIN 15 018 u. ä. Die Makrostützwirkung lässt sich formal mit der Makrostützzahl m in den Festigkeitsnachweis einbeziehen. Bei einachsiger Beanspruchung gilt für die wirksame Mittelspannung m D

O m n  m

bzw.  m D

Om : (28.11) n  m

Bei O m D ˛k  mn und verformungsfähigem Bauteilquerschnitt kann die Makrostützzahl m D ˛k =n betragen, sodass  m D mn folgt; analoges gilt für Schubspannungen. Da Eigenspannungen wie Mittelspannungen wirken und sofern „Nenneigenspannungen“ der Wert Null zugewiesen werden kann, beispielsweise in statisch bestimmten Bauteilen, relaxieren Eigenspannung bei Vermeidung von Spannungsversprödung im Kerbgrund tendenziell gegen Null. Ist die Verformbarkeit des Werkstoffs eingeschränkt, dann gelten diese einfachen Regeln nicht. Methoden zur Berechnung der Makrostützzahl finden sich in [5, 7, 8]. Bei mehrachsiger Beanspruchung und Verformungsfähigkeit

28

468

H. Mertens und R. Liebich

gilt für Wellen und Achsen (DIN 743) als Ver- Formel für die Nennspannungsamplituden gleichs-Nennmittelspannung ˇˇ ˇ ˇ     ya 2 ˇˇ xa ˇˇ ˇˇ ya ˇˇ xa 2 C ˇ q xa;zul ya;zul xa;zul ˇ ˇ ya;zul ˇ (28.12) vm D .zm C bm /2 C 3 m2   ta 2 1;0 C ta;zul entsprechend der v. MISES-Hypothese, wobei (28.13) keinesfalls alle Reserven – besonders bei Drucknicht sachgerecht. Notwendig ist wegen der vorspannungen – genutzt werden. Verbesserte Gleiliegenden Einachsigkeit der Kerbgrundbeanspruchungen für proportionale (synchrone) und nichtchungen und der Phasenverschiebung der zeitlich proportionale Beanspruchungen siehe [5–7,10]. veränderlichen Nennspannungen – getrennt für Dort können auch Zeitfestigkeitsberechnungen die Außenkerben und die Bohrung – je eine Infür nahezu beliebige Beanspruchungsverläufe geteraktionsformel entsprechend funden werden. ˇ ˇ Realitätsnahe Zeitfestigkeitsberechnungen mit ˇ ya ˇˇ xa ˇ hoher Aussagegüte erfordern auch für Span 1; 0 (28.14) C ky ˇ kx  ya; zul ˇ xa; zul nungsamplituden die Anwendung von Makrostützzahlen ma . mit von der Phasenverschiebung der Nennspannungen abhängigen Kombinationsfaktoren kx Hinweis: Bei mehrachsiger Zugbelastung, bei- und ky (ähnlich Gl. (28.5)). Deshalb ist bei spielsweise nach Abb. 28.2, können an den Bauteilen mit mehreren nichtsynchronen BelasKerbstellen einachsige Beanspruchungsverhält- tungsgruppen der Einsatz von Interaktionsfornisse entstehen. Dieses ist bei der Aufstellung meln möglichst experimentell abzusichern oder von Interaktionsformeln für solche Anwendungs- eine Bewertung mit einem vom Koordinatensysfälle zu beachten. Die formale Übertragung von tem unabhängigen, örtlichen BerechnungsverfahVergleichsspannungshypothesen als Leitidee zur ren [10,11] durchzuführen. Formulierung von Interaktionsformeln – wie in der FKM-Richtlinie [8] – kann bei nicht sachgerechter Vorgehensweise zu Fehlinterpretationen Literatur führen. Im vorliegenden Beispiel wäre die an die Interaktionsformel der DIN 15 018 anknüpfende Spezielle Literatur

Abb. 28.2 Knotenblech mit Bohrung sowie zeitlich veränderlichen Nennbeanspruchungen

1. Mertens, H.: Kerbgrund- und Nennspannungskonzept zur Dauerfestigkeitsberechnung – Weiterentwicklung des Konzepts der Richtlinie VDI 2226. In VDI-Berichte 661: Dauerfestigkeit und Zeitfestigkeit – Zeitgemäße Berechnungskonzepte. Tagung Bad Soden, 1988. VDI-Verlag, Düsseldorf (1988) 2. Gerber, H.W.: Statisch überbestimmte Flanschverbindungen mit Reib- und Formschlusselementen unter Torsions-, Biege- und Querkraftbelastung. Forschungsheft 356 der Forschungsvereinigung Antriebstechnik e. V., Frankfurt (1992) 3. Paysan, G.: Ein Wirkzonenkonzept zur Simulation des Verschleiß- und Tragverhaltens reibkorrosionsgefährdeter Maschinenelemente. Dissertation TUBerlin (2000) 4. Hahn, M.: Festigkeitsberechnung und Lebensdauerabschätzung für Bauteile unter mehrachsig schwingender Beanspruchung. Dissertation TU Berlin 1995. Berlin: Wissenschaft und Technik Verlag Dr. Jürgen Groß (1995)

28 Festigkeitsnachweis 5. Mertens, H., Hahn, M.: Vergleichsspannungshypothese und Schwingfestigkeit bei zweiachsiger Beanspruchung ohne und mit Phasenverschiebung. Konstruktion 45, 192–202 (1993) 6. Mertens, H., Hahn, M.: Vorhersage von Bauteilwöhlerlinien für Nennspannungskonzepte. Konstruktion 49, 31–37 (1997) 7. FKM-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile. 6. Aufl. Forschungskuratorium Maschinenbau e.V., VDMA-Verlag Frankfurt am Main (2012) 8. FKM-Richtlinie: Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile. 4. Aufl. For-

469 schungskuratorium Maschinenbau e.V., VDMA-Verlag Frankfurt am Main (2018) 9. Mertens, Kamieth, Liebich: Schädigungsberechnung für instationäre mehrachsige Schwingungsbeanspruchungen auf Basis der Modifizierten Mohr-MisesHypothese, Konstruktion 10, 73–82 (2019) 10. Haibach, E.: Betriebsfestigkeit. Springer Verlag 2006

Normen und Richtlinien DIN 743: Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen. – DIN 15018, Teil 1–3: Krane, Stahltragwerke, Berechnung und Ausführung

28

Literatur zu Teil III Festigkeitslehre

Bücher Balke, H.: Einführung in die Technische Mechanik, Statik, 3. Aufl. Springer, Berlin (2010) Balke, H. Einführung in die Technische Mechanik, Festigkeitslehre, 3. Aufl. Springer, Berlin (2014) Balke, H.: Einführung in die Technische Mechanik, Kinetik, 4. Aufl. Springer, Berlin (2020) Brandt, Dahmen: Mechanik, 4. Aufl. Springer, Berlin (2005) Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1, 14. Aufl. Springer, Berlin (2019) Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 2, 13. Aufl. Springer, Berlin (2017) Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 3, 14. Aufl. Springer, Berlin (2019) Gross, Hauger, Wriggers: Technische Mechanik 4, 10. Aufl. Springer, Berlin (2018) Hutter, K.: Fluid- und Thermodynamik, 2. Aufl., Springer, Berlin (2003) Szabo, I.: Einführung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Springer, Berlin (1975), Nachdruck (2003) Szabo, I.: Höhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Springer, Berlin (2001)

Issler, Ruoß, Häfele: Festigkeitslehre Grundlagen, 2. Aufl. Springer, Berlin (1997), Nachdruck (2003) Assmann, Selke: Technische Mechanik, Bd. 1, 19. Aufl., De Gruyter, Berlin (2012) Assmann, Selke: Technische Mechanik, Bd. 2, 18. Aufl. De Gruyter, Berlin (2013) Assmann, Selke: Technische Mechanik, Bd. 3, 15. Aufl., De Gruyter, Berlin (2011) Riemer, Seemann, Wauer, Wedig: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik, 3. Aufl., Springer, Berlin (2019) Gasch, Knothe, Liebich: Strukturdynamik: Diskrete Systeme und Kontinua, 3. Aufl., Springer, Berlin (2021) Wiedemann, J.: Leichtbau – Elemente und Konstruktion, 3. Aufl. Springer, Berlin (2007) Flügge: Statik und Dynamik der Schalen, 3. Aufl. Springer, Berlin (1981), Nachdruck (1981) Nasitta, Hagel: Finite Elemente, 1. Aufl. Springer, Berlin (1992) Knothe, Wessels: Finite Elemente, 5. Aufl. Springer, Berlin (2017)

471

Teil IV Werkstofftechnik

Durch Werkstoffe werden Ideen und Konstruktionen im Maschinen- und Anlagenbau in Produkte umgesetzt. Einsatzgerechte Bauteileigenschaften können nur erzielt werden, wenn bei der Bauteilkonstruktion, -gestaltung und -herstellung sowohl die technischen als auch die ökologischen und ökonomischen Faktoren ganzheitlich und in ihren Wechselwirkungen untereinander berücksichtigt sind. Die Kenntnis der Werkstoffeigenschaften, ihres Verhaltens während der Fertigung und unter Betriebsbeanspruchung sowie ihrer Wechselwirkung mit der Umwelt sind essentiell für die Funktionalität, Zuverlässigkeit und Lebensdauer der daraus gefertigten Produkte. Im Sinne der Nachhaltigkeit und eines verantwortungsvollen Umgangs mit Ressourcen müssen die Verfügbarkeit der Werkstoffe, die Energieeffizienz bei der Gewinnung und Verarbeitung, die Rezyklierfähigkeit sowie der Umwelt- und Arbeitsschutz während der Herstellung, des Einsatzes oder am Lebensdauerende bei der Werkstoffauswahl im Sinne der Nachhaltigkeit berücksichtigt sein. Werkstoffe stellen in vielen Bereichen des Maschinen- und Anlagenbaus eine Schlüsseltechnologie dar. So ermöglichen neue, hochfeste Stähle und Aluminiumlegierungen sowie Faserverbundwerkstoffe oder Metallschäume insbesondere im Fahrzeug- bzw. Flugzeugbau, die gesteckten Leichtbauziele zu erreichen. Neue metallische Werkstoffe mit verbesserten Hochtemperatureigenschaften oder keramische Beschichtungen als Wärmedämmschichten erlauben es, Wirkungsgrade von Gasturbinen für den Energiesektor oder von Flugtriebwerken zu verbessern. Nicht zuletzt ziehen Kunststoffe aufgrund ihres Vermögens, die Eigenschaften in einem breiten Spektrum den Bedürfnissen anzupassen, vermehrt in den Maschinen- und Anlagenbau als Konstruktionswerkstoff ein. Durch Beschichtungen (z. B. metallische Überzüge) lassen sich außerdem lokale Schutzschichten erzeugen, die in vielen Anwendungsbereichen die Bauteile vor Verschleiß- und/oder Korrosion schützen und somit zur Verlängerung der Lebensdauer und zur Schonung der Ressourcen beitragen. In dem Teil zur Werkstofftechnik sind relevante Aspekte zum Aufbau, zur Herstellung, zu den Eigenschaften und zur Verwendung relevanter Werkstoffe für den Maschinen- und Anlagenbau zusammengefasst. Der Teil E behandelt in Kap. 29 zunächst die Grundlagen zu Werkstoff- und Bau-

474

teileigenschaften. Prinzipien des Festigkeitsnachweises sowie die für die Bauteilauslegung in der Praxis häufig verwendeten Kennwerte werden vorgestellt. Ferner werden relevante Einflüsse auf diese Werkstoffeigenschaften behandelt. Kap. 30 befasst sich mit den Grundlagen und wichtigen Verfahren zur Ermittlung von Werkstoffeigenschaften. Kap. 31 behandelt die Eigenschaften, und Verwendungsbereiche der für den Maschinen- und Anlagenbau relevanten Werkstoffklassen der Stähle und Gusseisen, der Nichteisenmetalle und der Keramiken sowie Überzüge und Beschichtungen auf Metallen. Kap. 32 widmet sich den Kunststoffen. Die Grundlagen im Bezug auf Aufbau und Eigenschaften werden ebenso vorgestellt wie typische Vertreter und Verarbeitungsverfahren. Der Abschnitt wurde mit der aktuellen Auflage um die zunehmend an Bedeutung gewinnenden Faser-Kunststoff-Verbunde erweitert. Kap. 33 befasst sich mit dem tribologischen Verhalten von Werkstoffen und Werkstoffsystemen. Aspekte der Reibung, des Verschleißes sowie der Schmierung werden behandelt. Kap. 34 stellt die Grundlagen und Ausprägungsformen der Korrosion vor. Der Teil soll somit all den Personen, die sich während der Entwicklung und Bewertung von Komponenten des Maschinenund Anlagebaus mit Fragen zum Einsatz und zur Auswahl von Werkstoffen und Werkstoffsystemen oder mit ihrer Verarbeitung und Verwendung befassen, einen schnellen aber fundierten Überblick in die Werkstofftechnik geben. Für Anregungen zur Verbesserung des Kapitels sei bereits jetzt den Leserinnen und Lesern gedankt. Mein Dank gilt auch all denjenigen, die an vergangenen Auflagen und insbesondere an der Überarbeitung der aktuellen Auflage mitwirkten.

Werkstoff- und Bauteileigenschaften

29

Matthias Oechsner, Christina Berger und Karl-Heinz Kloos

Eine funktionsgerechte Werkstoffauswahl basiert beeinflussen Werkstoff- und Beanspruchungszuauf einer umfassenden rechnerischen und experi- stand die Versagensart des Bauteiles. mentellen Belastungs- und Beanspruchungsanalyse des Bauteils (s. Teil III) und einem Vergleich der Beanspruchung mit geeigneten Werkstoff- 29.1.1 Beanspruchungsfälle kennwerten. Grundlastfälle Typische Grundlastfälle sind in Abb. 29.1 dar29.1 Beanspruchungs- und gestellt. Solange linear elastisches SpannungsVersagensarten Dehnungsverhalten vorausgesetzt werden kann, entsprechen die in Abb. 29.1 dargestellten BeIn der Praxis treten mechanische, thermische, chemische und tribologische Betriebsbelastungen auf. Diese können entweder einzeln oder kombiniert auf das Bauteil einwirken (Komplexbelastung). Im Folgenden werden zunächst nur mechanische und mechanisch-thermische Betriebsbelastungen berücksichtigt. Die dabei im Werkstoff hervorgerufenen Reaktionen werden als Beanspruchungen bezeichnet. Es lassen sich verschiedene charakteristische Belastungsfälle, d. h. zeitliche Verläufe von Belastungen, unterscheiden. Die daraus resultierenden Beanspruchungsverläufe sind vom Werkstoff und der Temperatur abhängig. Im Versagensfall M. Oechsner () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] C. Berger Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K.-H. Kloos Darmstadt, Deutschland

Abb. 29.1 Grundlastfälle und daraus resultierende Beanspruchungs-Zeit-Funktionen. a dynamische (stoßartige) Belastung; b statische Belastung; c zyklische Belastung mit konstanter Mittellast und Amplitude; d zyklische Belastung mit konstanter Mittellast und variabler Amplitude; e zyklische Belastung mit variabler Mittellast und Amplitude

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_29

475

476

M. Oechsner et al.

denen Oberflächen ruhend oder gleitend belastet werden [1] (Hertz’sche Pressung s. Kap. 22, Coulomb’sche Reibung s. Abschn. 12.11, Pressverbände s. Bd. 2, Abschn. 8.4.2).

Abb. 29.2 Grundlastfälle bei zeitabhängigem Materialverhalten. a Kraftgesteuerte, statische Belastung; b weggesteuerte, statische Belastung; c kraftgesteuerte, zyklische Belastung; d weggesteuerte, zyklische Belastung

lastungs-Zeit-Verläufe auch den Spannungs- sowie Dehnungs-Zeit-Verläufen (s. Kap. 19). Sowohl bei Raumtemperatur als auch insbesondere bei höheren Temperaturen können jedoch Beanspruchungszustände auftreten, bei denen der linear elastische Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen nicht mehr vorliegt und sich das Material plastisch verformt. Diese bleibenden Verformungen können zeitunabhängig aber auch zeitabhängig auftreten. Unter statischer oder zyklischer Belastung ergeben sich Spannungs- bzw. Dehnungs-Zeit-Funktionen gemäß Abb. 29.2. Diese gelten jeweils für konstante Temperaturen.

Belastungszustände mit Eigenspannung In zahlreichen Bauteilen treten Eigenspannungen auf, d. h. Spannungen, die bereits ohne das Wirken äußerer Kräfte, Momente oder aufgrund von thermischen Dehnungen vorhanden sind. Sie überlagern sich mit den durch äußere Belastungen hervorgerufenen Spannungen. Eigenspannungen können Eigenschaftsänderungen insbesondere im oberflächennahen Bereich bewirken. Sie sind grundsätzlich statisch wirkende mehrachsige Spannungen. Die Entstehung von Eigenspannungen erfolgt werkstoff-, fertigungs- oder beanspruchungsbedingt [2]. So werden beispielsweise bei der Eindiffusion von Atomen in das Grundgitter, z. B. beim Nitrieren und Einsatzhärten, sowie bei Umwandlungsvorgängen mit einem veränderten spezifischen Volumen, z. B. beim Randschichthärten Eigenspannungen ausgebildet. Eigenspannungen entstehen auch durch eine plastische Verformung von lokalen Bauteilbereichen, wie sie in der Umformtechnik auftreten können. Im polykristallinen Gefüge werden Eigenspannungen I., II. und III. Ordnung unterschieden, Abb. 29.3. Da Lastspannungen aus kontinuumsmechanischen Berechnungen ermittelt werden, können diesen auch nur die über mehrere Körner gemittelten Eigenspannungen I. Ordnung überlagert werden. Eigenspannungsmessungen liefern i. d. R. Eigenspannungen I. Ordnung.

y

Polykristallines Gefüge Korn

Korngrenzen

Belastung an kraftgebundenen Oberflächen Die Grundlastfälle, Abb. 29.1 und 29.2, beziehen σ σ’’’ sich auf Belastungsarten, bei denen sich über die σ’’ Oberfläche der betrachteten Querschnitte keine σ’ σ’’ unmittelbare Krafteinleitung vollzieht. In zahlx reichen Anwendungsfällen unterliegen gepaarte Oberflächen jedoch einer kombinierten Druck- Abb. 29.3 Überlagerung von Eigenspannungen I., II. und Schub-Belastung, je nachdem ob die kraftgebun- III. Ordnung im heterogenen Metallgefüge [3]

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

477

29.1.2 Versagen durch mechanische Beanspruchung Durch mechanische Beanspruchungen verursachtes Bauteilversagen liegt vor bei Erreichen der Traglast (plastischer Kollaps), bei Bruchvorgängen sowie Stabilitätsproblemen, wie z. B. Knicken und Beulen. Bei auftretenden Brüchen wird je nach Werkstoffzustand und Beanspruchungsart zwischen verformungsreichem Zähbruch und verformungsarmem Sprödbruch bei statischer Beanspruchung sowie Ermüdungsbruch bei zyklischer Beanspruchung (Schwingbeanspruchung) unterschieden. Der Zäh- oder Verformungsbruch setzt (lokales) plastisches Fließen voraus.

Versagen durch statische Beanspruchung Aufgrund ihres kristallinen Aufbaus besitzen technisch bedeutende Metalle und Metalllegierungen eine ausgeprägte Elastizität mit überwiegend linear elastischem Spannungs-Dehnungsverhalten bis zur Fließgrenze. Während die elastische Verformung auf reversiblen Gitterdehnungen und -verzerrungen beruht, vollzieht sich beim Fließbeginn ein irreversibles Abgleiten ganzer Gitterbereiche in bevorzugten Gleitebenen, die bei homogenen, isotropen Werkstoffen mit der Richtung maximaler Schubspannungen übereinstimmen. Durch die Existenz eindimensionaler Gitterdefekte (Versetzungen) setzt der Beginn des Abgleitens bei wesentlich niedrigeren Schubspannungen ein, als aus der rechnerischen Abschätzung bei idealem Gitteraufbau erwartet wird. Bei entsprechender Vervielfachung der atomaren Abgleitvorgänge setzt eine makroskopische Fließfigurenbildung in Richtung der größten Schubspannung ein (s. Kap. 19). Für einen dreiachsigen Spannungszustand gilt somit die Fließbedingung 1  3 D 2max D ReH bzw. Rp0;2 : Nach Überschreiten der Fließgrenze zeigen verformungsfähige Werkstoffe ein vom jeweiligen Spannungszustand abhängiges Formänderungsvermögen bis zum Bruch, wobei unter mehrachsigen Druckspannungszuständen ein größeres

Abb. 29.4 Einfluss des Spannungszustands auf die Schubfließgrenze F und den Verlauf der Schubfestigkeit B

Formänderungsvermögen erreicht wird als unter Zugspannungszuständen. Mehrachsige Zugspannungszustände können verformungslose Sprödbrüche auslösen. Abb. 29.4 zeigt den Einfluss ein- und mehrachsiger Zug- und Druckspannungszustände auf den Verlauf der Schubfließgrenze F und Schubfestigkeit B sowie entsprechende Mohr’sche Spannungskreise für den Fließbeginn. Der jeweilige Abstand zwischen F und B stellt ein unmittelbares Vergleichsmaß für das plastische Formänderungsvermögen dar. Rechts des Schnittpunktes beider Kenngrößen ist im Bereich mehrachsiger Zugspannungen mit Sprödbruchgefahr zu rechnen.

Versagen durch Schwingbeanspruchung Werkstoffermüdung infolge von Schwingbeanspruchung gehört zu den häufigsten Schadensursachen. Den Schädigungsablauf einstufig schwingbeanspruchter Proben bis zum auch als Ermüdungsbruch bezeichneten Schwingbruch zeigt Abb. 29.5. Werkstoffermüdung ist dabei vor allem durch das Auftreten zyklischer plastischer Verformungen gekennzeichnet. Bei zyklischen Beanspruchungen unterhalb der Streckgrenze entstehen im Zeitfestigkeitsbereich ungekerbter und gekerbter Proben lokal Mikrogleitungen, die vorzugsweise im oberflächennahen Bereich zu Anrissen submikroskopischer Größe führen. Nach der Schädigungsphase der Rissvereinigung wird schließlich ein technischer Anriss gebildet, der oft senkrecht zur größten Hauptnormalspannung verläuft. Die Bruchschwingspielzahl NB kann in eine Anrissschwingspielzahl NA (definierte technische Anrisslänge 0,1 bis 1 mm)

29

M. Oechsner et al.

Anrissbildung

Rissfortschritt

h Bruc nriss n. A tech ung inig vere riss Riss . An skop ikro n subm nge eitu elgl

hs Wec

Wechselspannung σ

478

techn. Dauerfestigkeit

σW

Grenzwechselfestigkeit NA 10

102

103

104

105

NB 106

107

N

Abb. 29.5 Schematische Darstellung des Schädigungsablaufes bei Schwingbeanspruchung

und eine Schwingspielzahl der Rissausbreitung NR aufgeteilt werden. Bei ungekerbten Bauteilen und geringen Beanspruchungsamplituden dominiert die Phase der Rissbildung. Bei hohen Beanspruchungsamplituden entfallen wesentliche Lebensdaueranteile auf die Rissausbreitungsphase. Bei gekerbten Bauteilen kommt der Rissausbreitungsphase ebenfalls eine große Bedeutung zu.

29.1.3 Versagen durch komplexe Beanspruchungen

Abb. 29.6 Beispiel zeitunabhängiger und zeitabhängiger Bemessungskennwerte im Bereich erhöhter und hoher Temperaturen, Tü -Übergangstemperatur [4]

der (temperaturabhängigen) Warmstreckgrenze mit der (temperaturabhängigen) Zeitstandfestigkeit. Eine Bemessung von Bauteilen erfolgt im Bereich erhöhter Temperatur typischerweise lediglich mit der temperaturabhängigen Warmstreckgrenze Rp0;2=T , die im kurzzeitigen Warmzugversuch bestimmt wird, Abb. 29.6. In dem sich oberhalb der Übergangstemperatur anschließenden Bereich hoher Temperaturen wird Kriechen als zeitabhängige Verformung maßgeblich. Hier wird mit zeitabhängigen Festigkeitskennwerten, z. B. einer Zeitstandfestigkeit Ru =t =T oder einer Zeitdehngrenze R" =t =T für eine vorgegebene Beanspruchungsdauer t, Temperatur T und zu erreichende plastische Dehnung "p ausgelegt, Abb. 29.7 [4]. Bei hoch beanspruchten Werkstoffen können jedoch auch schon im Bereich erhöhter Temperatur (T < T ü ) Kriecheffekte

Ein derartiges Versagen kennzeichnet das Zusammenwirken mehrerer Beanspruchungsarten. Das kann das Zusammenwirken mehrerer gleichzeitiger Betriebsbeanspruchungen (z. B. mechanische, thermische, chemische oder elektrochemische) oder auch die Kombination aus Betriebs- und Umgebungseinflüssen bedeuten. Dabei können höhere Temperaturen, feste, flüssige oder gasförmige Korrosionsmedien oder auch Verschleißvorgänge entweder die Festigkeits- und Zähigkeitseigenschaften des Grundwerkstoffs zeitabhängig verändern oder zu einer Zerstörung des Werkstoffgefüges führen [1, 4–8]. Einer quantitativen Beanspruchungsanalye sind insbesondere mechanisch-thermische Beanspruchungen gut zugänglich, wenn hierbei die zeit- und temperaturabhängigen Festigkeits- und Zähigkeitseigenschaften berücksichtigt werden. Bei mechanisch-thermischer Beanspruchung sind Werkstoffkennwerte bis zu einer werkstoffspezifischen Übergangstemperatur Tü , zeitunabhängig, darüber zeitabhängig. Die Übergangstem- Abb. 29.7 Zur Definition der 100 000 h-Zeitstandfestigkeit und der 100 000 h-Zeitdehngrenze für 1 % plastische peratur ergibt sich dabei aus dem Vergleich Dehnung [4]

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

Kriechen führt bei hohen Temperaturen und unter konstanter Zugspannung zu einer von der Zeit t abhängigen, plastischen Dehnung "p , Abb. 29.8. Beim Durchlaufen von drei typischen Kriechbereichen kommt es zu zeit- und temperaturabhängigen Änderungen der Mikrostruktur (Versetzungsbewegungen und Ausscheidungen), ausgehend von Porenbildung zum Wachstum von Mikrorissen und schließlich zum Versagen durch Rissbildung oder Bruch. Zur Abschätzung der Kriechverformung an kritischen Stellen von Bauteilen kann häufig vereinfacht eine Beschreibung der minimalen Kriechgeschwindigkeit verwendet werden, die für die vorliegende Temperatur und Spannung von der Festigkeit und Mikrostruktur abhängt. Als Näherungsregel im Bereich praxisnaher, niederer Spannungen kann dabei ein einfaches Potenzgesetz nach Norton "Pcreep D A  n (Norton-Exponent n und Werkstoffkonstaneq te A) zur Anwendung kommen [4]. Zunehmende plastische Dehnungen führen zu Volumenänderungen und können die Bauteillebensdauer begrenzen, wenn eine kritische Grenze, z. B. 1 % plastische Dehnung, überschritten wird. Sie können aber auch örtlich zur Anrissbildung, zu zeitabhängigem Rissfortschritt und schließlich zum Bruch führen. Anrissbildung und Rissfortschritt können von Spannungskonzentrationsstellen ausgehen und die Lebensdauer von Bauteilen vermindern. Wesentliche Beispiele für Spannungskonzentrationsstellen sind konstruktiv bedingte Kerben, nicht vermeidbare herstellungsbedingte Werkstoffinhomogenitäten (z. B. Einschlüsse, Lunker) und beanspruchungsbedingte Poren und Risse. Kriechen, Kriechrisseinleitung und Kriechrisswachstumsverhalten sind zeit- und beanspruchungsabhängig und hängen von der Festigkeit und Mikrostruktur ab. Zur Beschreibung des Kriechrissverhaltens werden hauptsächlich die Bruchmechanikparameter wie KI und C  herangezogen [4, 6, 7]. Der Spannungsintensitätsfaktor KI wird bevorzugt, wenn sich ein angerissenes Bauteil überwiegend elastisch verhält und nur

σ, T = const. Plastische Dehnung εp

signifikant werden, z. B. bei der Relaxation hochfester Schraubenverbindungen [5].

479 Versetzung

Poren

Aussheidung

I.

II.

Technischer Kriechbreich

III.

Versetzungsreaktion Ausscheidungsreaktion Porenbildung Mikrorisswachstum Forminstabilität

t

Abb. 29.8 Schema einer linearen Zeitdehnkurve mit Hinweisen auf kennzeichnende Vorgänge im Werkstoff [4]

vor der Rissspitze eine vergleichsweise kleine Kriechzone bildet. Der in Analogie zum J-Integral entwickelte Parameter C  wird bevorzugt, wenn ein Bauteil quasi-stationär kriecht. Für den jeweiligen Fall lässt sich die Rissgeschwindigkeit da=dt mit Potenzansätzen beschreiben da da ˇ D ˛1  KI 1 bzw. D ˛2  C  ˇ2 dt dt mit den experimentell ermittelten Werkstoffkonstanten ˛1 ; ˛2 ; ˇ1 und ˇ2 [7]. Beim An- oder Abfahren bzw. bei der Änderung der Leistung von Maschinen oder Bauteilen kommt es zu einer niederfrequenten Wechselbeanspruchung als Überlagerung von Kriechen und Ermüden. Diese als LCF (Low Cycle Fatigue) bezeichnete Beanspruchungsart reduziert durch die Bildung von Rissen die Lebensdauer von Bauteilen. Hierbei handelt es sich meist um eine formschlüssige Beanspruchung infolge von Belastungs- und/oder Temperaturänderungen. Die Bauteilbemessung erfolgt hauptsächlich über die Anrisswechselzahl NA . Die thermische Ermüdung befasst sich mit der betriebsnahen Simulation der Beanspruchung kritischer Bauteilstellen, die entweder einer Verformungsbehinderung (thermomechanische Ermüdung, TMF – thermo mechanical fatigue) unterliegen oder bei der sich thermisch bedingte Eigenspannungen ohne zusätzlich wirkende, äußere Kräfte ausbilden (Wärmespannungsermüdung, TSF – thermal stress fatigue). Die bei hohen Temperaturen wirkende chemische Korrosion vermindert mit zunehmenden Dauern konstanter Beanspruchung (= Haltezeiten) die ertragbare Anrisswechselzahl. Hieraus

29

480

M. Oechsner et al.

erwachsen hohe Anforderungen an die GenauSobald die Beanspruchung die jeweilige Beigkeit der Modellierung des Verformungs- und anspruchbarkeit des Werkstoffs erreicht, ist mit Anrissverhaltens insbesondere bei Bauteilen mit einem Versagen des Bauteils zu rechnen. Im Schutzschichten z. B. gegen Heißgaskorrosion. Unterschied zur Versagensbedingung v = Werkstoffkennwert K wird in der FestigkeitsbedinKorrosionsvorgänge. An dieser Stelle soll nur gung v zul D K=S durch Angabe eines kurz auf dieses Problem eingegangen werden: ei- Sicherheitsbeiwerts S > 1 sichergestellt, dass die ne ausführliche Darstellung findet sich in Kap. 34 zulässige Beanspruchung einen jeweils zu defi„Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen“. nierenden Abstand von der Versagens-GrenzbeDie Eigenschaften von Bauteilen aus Metal- anspruchung hat. len können durch Reaktionen der Materialien mit umgebenden Medien sehr stark verändert werden. Dies kann zu erheblicher Beeinträchtigung 29.2.1 Festigkeitshypothesen der Funktionalität, der Betriebssicherheit und der Lebensdauer von Geräten, Maschinen und Anla- Durch Festigkeitshypothesen soll eine Vergleichgen führen. Zudem ergibt sich – z. B. bei ungeeig- barkeit zwischen einer mehrachsigen Bauteilbeneter Werkstoffauswahl – das Problem hoher In- anspruchung und den unter einachsigen Beanstandhaltungskosten. Einen generellen Überblick spruchungsbedingungen ermittelten Festigkeitsüber die Beeinflussung des Werkstoffverhaltens kennwerten eines Werkstoffs ermöglicht werdurch Korrosion sowie über spezifische Erschei- den. In Abhängigkeit vom verwendeten Beanspruchungsparameter werden Spannungs-, Dehnungsformen gibt [8]. nungs- und Energiehypothesen unterschieden Verschleißvorgänge. Abweichend von den bis- (s. Abschn. 19.3). In zahlreichen Versuchen wurde nachgewieher erläuterten Versagensarten unterscheiden sich tribologische Beanspruchungen dadurch, dass sen, dass je nach Werkstoffzustand auch bei nicht der einzelne Reibpartner, sondern die Reib- Schwingbeanspruchungen die Berechnung der paarung unter Berücksichtigung der jeweiligen Vergleichsspannungen nach den für statische BeZwischenmedien betrachtet werden muss. Im anspruchung aufgestellten Hypothesen erfolgen Unterschied zu Werkstoff- oder Bauteileigen- kann, wobei die Hauptnormalspannungshypotheschaften können die verschiedenen Verschleiß- se für spröde Werkstoffe bzw. -zustände und die mechanismen gleitreibungsbeanspruchter Ober- Schubspannungs- und Gestaltänderungsenergieflächen als Systemeigenschaft bezeichnet werden hypothese für duktile Werkstoffe bzw. -zustände angewandt werden. Bei mehrachsigen Schwing[1] (s. Abschn. 33.4 u. Bd. 2, Abschn. 12.1.2). beanspruchungen ist das Versagenskriterium der Ermüdungs- oder Schwingbruch, der im Regel29.2 Grundlegende Konzepte fall von der Oberfläche ausgeht. Der aus Mitfür den Festigkeitsnachweis telspannung und Amplitude zusammengesetzte, dreiachsige Spannungszustand ergibt sich zu Der Festigkeitsnachweis eines Maschinenbau- 1;2;3 D m1;2;3 ˙ a1;2;3 . In ähnlicher Weise teils beinhaltet den Vergleich einer aus den kann auch die Vergleichsspannung zerlegt werBelastungen berechneten Beanspruchungsgrö- den: v D m;v ˙ m;a . Für nichtproportionale, mehrachsige ße mit einer die Beanspruchbarkeit des Bauteils charakterisierenden Größe. In Abhängig- Schwingbeanspruchungen – das sind Beansprukeit von der vorliegenden Beanspruchung (sta- chungen, bei denen das Verhältnis der Zeitfunktisch/zyklisch/dynamisch), des Fehlerzustandes tionen der einzelnen Spannungskomponenten (fehlerfrei/fehlerbehaftet) sowie des Werkstoff- und damit auch die Hauptspannungsrichtungen zustandes werden unterschiedliche Berechnungs- veränderlich sind – versagen die konventionellen konzepte angewendet. Abb. 29.9 zeigt das Grund- Festigkeitshypothesen. Für solche Beanspruchungsfälle wurden Hypothesen der kritischen schema einer Festigkeitsberechnung.

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

481

Abb. 29.9 Grundschema einer Festigkeitsberechnung

Schnittebene (Critical Plane Approach) und Hypothesen der integralen Anstrengung (Integral Approach) formuliert [9]. Für die Berechnung der Betriebsfestigkeit bei mehrachsiger, nichtproportionaler Beanspruchung steht heute noch kein allgemeingültiges Berechnungsverfahren zur Verfügung. Die wenigen bisher systematisch durchgeführten experimentellen Untersuchungen lassen jedoch eine qualitative Abschätzung des Einflusses der Phasenverschiebung, von nichtkorrelierten Abläufen und von Mittelspannungen zu [10].

29.2.2

Nenn-, Struktur- und Kerbspannungskonzept

Im Nennspannungskonzept (Abschn. 28.2) wird die Beanspruchung über sogenannte Nennspannungen festgelegt, wobei inhomogene Beanspruchungszustände, z. B. infolge von Kerben und lokaler Bauteilgeometrie, unberücksichtigt bleiben. Nennspannungen berechnen sich nach der elementaren Festigkeitslehre z. B. für Stäbe ( D F=A) und Balken ( D Mb =Wb bzw.  D Mt =Wt ) Nennspannungen oder auch -dehnungen können ohne Beachtung der Defektgröße auch zur Bewertung und Beschreibung der Bruchgefahr durch Fehlstellen benutzt werden, wenn deren Größe und Verteilung mit denen in Werkstoffproben übereinstimmen oder wenn es sich um Bauteile mit Mikrodefekten handelt. Beim Vorhandensein von scharfen Kerben und Rissen

oder großen plastischen Verformungen versagt das Nennspannungskonzept jedoch. Bei komplexen Bauteilen können häufig keine Nennspannungen definiert werden. Das Strukturspannungskonzept wird vielfach für die Bewertung von zyklisch beanspruchten Schweißkonstruktionen eingesetzt. Dabei wird zur Ermittlung der Strukturspannung die Spannungsüberhöhung aus der Bauteilgeometrie, nicht aber die aus der Kerbwirkung berücksichtigt. Zu beachten ist, dass die Beanspruchbarkeit des Werkstoffs dann auch ein spezieller Strukturkennwert vorliegen muss [11]. Das Kerbspannungskonzept basiert auf der Annahme linear-elastischen Werkstoffverhaltens. Beim Kerbspannungskonzept wird auch die lokale Kerbgeometrie mit erfasst. So werden mittels häufig numerischer Untersuchungen der detaillierten Bauteilstruktur örtliche Kerbspannungen berechnet und für den Festigkeitsnachweis verwendet.

29.2.3

Örtliches Konzept

Im Gegensatz zu den zuvor beschriebenen spannungsbasierten Nachweiskonzepten wurden auch zahlreiche Konzepte entwickelt, bei denen die Dehnungen bzw. der lokale Spannungs-Dehnungszustand betrachtet werden. Für den Festigkeits- bzw. Lebensdauernachweis schwingend beanspruchter Bauteile hat sich das örtliche Konzept [12] etabliert, das auch als

29

482

M. Oechsner et al.

Kerbgrund- und Kerbdehnungskonzept bezeichnet wird (Abschn. 28.3). Bei diesem Nachweiskonzept werden die, z. B. in einer FEM-Analyse, mit elastisch-plastischem Materialgesetz berechneten örtlichen Spannungs- und Dehnungshysteresen an der versagenskritischen Stelle des Bauteils hinsichtlich ihres Schädigungsbeitrages mit den zyklischen Lebensdauerwerten des homogen beanspruchten Werkstoffs bewertet. Da der Schädigungsbeitrag eines Schwingspiels nicht allein durch die plastische Dehnungsamplitude, sondern auch durch die Lage der Hysterese-Schleife im Spannungsraum (Mittelspannung) bestimmt Abb. 29.10 Stadien des Bruchvorganges wird, erfolgt der Festigkeitsnachweis zumeist 29.2.5 Bruchmechanikkonzepte über einen Schädigungsparameter.

29.2.4

Plastisches Grenzlastkonzept

Treten in einem Bauteilquerschnitt größere plastische Verformungen auf, kann Versagen durch plastischen Kollaps und nicht durch ablaufende Bruchvorgänge auftreten. Der höchstbeanspruchte Querschnitt ist vollplastifiziert und die Tragfähigkeit ist erreicht. Besonders bei Werkstoffzuständen im Bereich der Hochlage der Zähigkeit (Abschn. 29.3.3) ist mit einem solchen Bauteilverhalten zu rechnen. Die zur Beschreibung zu verwendende Beanspruchungskenngröße ist die plastische Grenzlast Fe oder die plastische Kollapslast FL . Die plastische Grenzlast Fe ist dabei die höchste ertragbare Last für ein Bauteil bei Annahme eines idealplastischen Werkstoffverhaltens. Die plastische Kollapslast FL wird mit den gleichen Formeln wie die plastische Grenzlast, jedoch unter Berücksichtigung der Verfestigung durch eine höhere Fließspannung, berechnet. In vielen Fällen wird angenommen FL D

Rp0;2 C Rm : 2Rp0;2  Fe

Ausgewählte Lösungen für bestimmte Anwendungsfälle finden sich z. B. in [13–16]. Das plastische Grenzlastkonzept findet vor allem im Failure Assessment Diagramm (FAD)-Verfahren [13–16] beim bruchmechanischen Festigkeitsnachweis Anwendung (Abschn. 29.5.4).

Bruchmechanikkonzepte werden für die Beschreibung riss- oder fehlerbehafteter Bauteile verwendet. Die Rissbildungsphase kann damit nicht beurteilt werden, Abb. 29.10. Herstellungsbedingte Fehler können dabei z. B. Lunker, Poren, Einschlüsse, Härterisse, Warmrisse oder Schweißrisse sein, die sich während der Betriebsbeanspruchung stabil oder instabil vergrößern können. Im Betrieb entstehende Risse sind abhängig von den Betriebsbedingungen, d. h. den äußeren Belastungen, dem Eigenspannungszustand und den Umgebungsbedingungen. Sie treten als Überlast-, Ermüdungs-, Kriech- und Korrosionsrisse auf. Nach der Art der Beanspruchung und den sich daraus ergebenden Komponenten der Rissuferverschiebungen im Rissfrontkoordinatensystem werden drei Modi unterschieden. Der Rissöffnungsmodus I kennzeichnet das Abheben der Rissufer unter Zugbeanspruchung, Modus II das Abgleiten bei ebener Schubbeanspruchung und Modus III das Verschieben der Rissufer quer zur Rissrichtung bei nichtebener Schubbeanspruchung, Abb. 29.11. Zur Bewertung sind im Folgenden zwei wesentliche Bruchmechanikkonzepte vorgestellt.

Linear elastische Bruchmechanik (LEBM) Ist die plastische Zone vor der Rissspitze klein gegenüber den Riss- und Bauteilabmessungen, dann wird der Beanspruchungszustand in der plastischen Zone durch das elastische Span-

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften Mode I F

483 Mode III

Mode II

F F F

F Rissöffnung durch Zugbelastung

F Rissöffnung durch Längsbelastung

Rissöffnung durch Querscherung

Abb. 29.11 Rissöffnungsmoden

nungsfeld außerhalb der plastisch verformten Gebiete bestimmt. Der Bauteilbruch erfolgt spröd, d. h. ohne größere plastische Verformungen. Der Spannungszustand in der Umgebung der Rissspitze eines Risses der Länge 2a in einer unendlich ausgedehnten Scheibe unter Zugbeanspruchung kann bei linear elastischem Materialgesetz näherungsweise wie folgt angegeben werden: 8 9 ˆ p = < x > 1  a y D p ˆ 2 r ; : > xy 8 9 ' ' 3 ˆ < cos 2 .1  sin 2  sin 2 '/ > =  cos '2 .1 C sin '2  sin 32 '/ ˆ > : ; cos '2  sin '2  sin 32 '

Abb. 29.12 Spannungszustand an der Rissspitze bei einer einachsig belasteten unendlichen Scheibe unter Annahme eines linear elastischen Materialgesetzes

σn

a

σn

Abb. 29.13 Unendliche Scheibe mit Innenriss unter Zugbeanspruchung

σn

yz D xz D 0 Beim Vorliegen eines ebenen Dehnungszustandes gilt: z D .x C y / Die Spannung 1 ist die durch äußere Belastung hervorgerufene Spannung im ungerissenen Bauteil, r und ' sind die Koordinaten im Polarkoordinatensystem mit Ursprung an der Rissspitze. Abb. 29.12 zeigt den Verlauf der Spannung y vor der Rissspitze. Für endliche Bauteilabmessungen ändert sich die prinzipielle Abhängigkeit der Spannungs- und Verformungskomponente von den Koordinaten r und ' nicht. Der Spannungsintensitätsfaktor K (stress intensity factor) wird als Beanspruchungskenngröße eingeführt. Es gilt p KI fij .'/ mit KI D 1  a  Y ij D p 2 r

29

a

σn

Abb. 29.14 Halbunendliche Scheibe mit Außenriss unter Zugbeanspruchung

In der Geometriefunktion Y finden Rissform und -art sowie die Bauteilgeometrie Berücksichtigung. Ausgewählte Lösungen für Spannungsintensitätsfaktoren für verschiedene Struktur- und Rissmodelle sowie Beanspruchungen finden sich in den Kompendien [13, 17–21]. Zwei einfache Beispiele seien im Folgenden genannt (Abb. 29.13 und 29.14).

484

M. Oechsner et al.

Das LEBM-Konzept hat breite Anwendung Für =Rp0;2 < 0;6 gilt die Näherung ı D  2 a ERp0;2 bei der Beurteilung von Werkstoffen mit Fehlern, und im Gültigkeitsbereich der LEBM bei Annahbei der Auslegung und bei der Lebensdauerab- me eines ebenen Spannungszustandes schätzung von Bauteilen sowie bei der Schadens4 KI2 beurteilung gefunden (Druckbehälter, FlugzeugıD  E  Rp0;2 bauteile, Maschinenbauteile, chemische Apparatebauteile). Aus einer Energiebetrachtung am wachsenden Makroriss in Rissrichtung folgt die Definition des Elastisch plastische Bruchmechanik J -Integrals (EPBM)  Z  @ui Treten vor der Rissspitze ausgedehnte Fließbeds J D W d y  Ti reiche auf und ist somit die plastische Zone vor @x der Rissspitze nicht mehr klein im Verhältnis dessen Wert auch bei nichtlinearem Materialgezur Risslänge und den Bauteil- oder Probensetz vom Integrationsweg um die Rissspitze unter abmessungen, kann der Beanspruchungszustand bestimmten Bedingungen unabhängig ist. Hierbei im rissspitzennahen Bereich nicht mehr ausreiist W die spezifische Formänderungsarbeit, ui chend durch das elastische Beanspruchungsfeld der Verschiebungsvektor, Ti der Spannungsvekaußerhalb der plastischen Zone beschrieben wertor und ds das Weginkrement auf dem Integratiden. Der Bruch erfolgt duktil, die linear-elasonsweg um die Rissspitze. Das J -Integral kann tische Bruchmechanik ist nicht mehr anwendauch aus bar. Es können jedoch wiederum Parameter bei 1 dU J D der Beschreibung des Beanspruchungsfeldes vor B da der Rissspitze abgespalten werden, die die Ab- ermittelt werden, wobei B die Probendicke und hängigkeit der Beanspruchungskomponenten von dU die Änderung der potentiellen Energie bei den Koordinaten r und ' nicht berühren und Risswachstum um da sind. Einige Näherungslödie somit zur Charakterisierung des Beanspru- sungen sind in [16] angegeben. Da dieses Verfahchungszustandes geeignet sind. Im Wesentlichen ren zur Fehlerbewertung noch relativ aufwändig werden die Rissöffnungsverschiebung ı (CTOD ist, findet es derzeit nur bei speziellen Sicher– Crack Tip Opening Displacement) und das J- heitsnachweisen Anwendung. Integral verwendet. Im Gültigkeitsbereich der LEBM lassen Das CTOD-Konzept geht davon aus, dass sich J und K wie folgt ineinander umrechnen: Risswachstum dann einsetzt, wenn die plastischen Verformungen an der Rissspitze einen kriK2 J D I0 tischen Wert erreichen. Die Aufweitung an der E Rissspitze wird dabei als Rissöffnungsverschiebung ı bezeichnet. Das CTOD-Konzept wird vor mit E 0 = E bei Annahme eines ebenen SpanE allem bei der Werkstoffauswahl und Qualitäts- nungszustandes (ESZ) bzw. E 0 D 1 2 bei überwachung sowie bei der Fehlerbewertung von Annahme eines ebenen Verzerrungszustandes Schweißnähten an Baustählen angewandt. Die (EVZ). Ermittlung der Rissöffnungsverschiebung von Fehlern in Bauteilen ist sehr schwierig und oft nur mit aufwändigen Finite-Elemente Rechnun- 29.3 Werkstoffkennwerte für die Bauteildimensionierung gen möglich [22]. Aus dem Dugdale-Rissmodell [23] ergibt sich Für die Bauteildimensionierung bzw. den Fesbei ebenem Spannungszustand tigkeitsnachweis müssen geeignete Beanspruch  barkeitswerte zur Verfügung gestellt werden, die 8  Rp0;2  a   den jeweils vorliegenden Werkstoffzustand cha ln sec  ıD  E 2 Rp0;2 rakterisieren. Zeit- und temperaturabhängige Ver-

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

änderungen der Werkstoffeigenschaften sind zu berücksichtigen. Die Ermittlung von Werkstoffkennwerten erfolgt i. d. R. mit Standardprüfmethoden (Kap. 30). Einige Kennwerte sind im Anhang angegeben.

29.3.1 Statische Festigkeit Die Ermittlung der statischen Festigkeitswerte, 0,2 % Dehngrenze Rp0;2 oder Streckgrenze Re und Zugfestigkeit Rm erfolgt im Zugversuch (Abschn. 30.2.1). Wichtige Werkstoffkennwerte zur Berechnung von Spannungen und Verformungen im linearelastischen Bereich sind weiterhin der Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl . Der E-Modul, der definitionsgemäß als eine unmittelbare Vergleichsgröße für die Steifigkeit eines Bauteils aufgefasst werden kann, zeigt analog zu den Festigkeitswerten gemäß Tab. 29.1 eine Werkstoff- und Temperaturabhängigkeit. Diese muss bei Verbundkonstruktionen aus verschiedenen Werkstoffen sowie beim Festigkeitsnachweis unter erhöhten Temperaturen beachtet werden muss. Bei bestimmten Legierungen mit ausgeprägter Anisotropie ist auch die Richtungsabhängigkeit des E-Moduls zu berücksichtigen. Für Festigkeitsberechnungen bei Raumtemperatur und höheren Temperaturen werden Werkstoffkennwerte benötigt, die unter Berücksichtigung der jeweiligen Beanspruchungsart auf die Versagensfälle des Fließens und des Bruchs bezogen werden. Tab. 29.2 zeigt eine Übersicht über die gebräuchlichen Werkstoff-Festigkeitswerte unter verschiedenen Grundbelastungen. Im Unterschied zur einachsigen, homogenen Zugbelastung tritt bei Biegebelastung je nach Probendicke eine 20- bis 30%ige Steigerung der Fließlastgrenze ein, wenn auf die gleiche plastische Randdehnung bezogen wird. Dieser Effekt wird als Stützwirkung bezeichnet und führt auf eine Biegefließgrenze b0;2 bzw. bF . Die Verdrehfließgrenze F kann unter Verwendung der Gestaltänderungsenergiehypothese aus der Streckgrenze Re abgeschätzt werden: p v D Re D 3  1 p D F  3 mit F 0;577  Re

485

29.3.2

Schwingfestigkeit

Zur Untersuchung zyklisch beanspruchter Werkstoffe dienen kraftgesteuerte bzw. spannungskontrollierte Versuche oder weggesteuerte bzw. dehnungskontrollierte Versuche an ungekerbten Proben. Die Ergebnisse werden als Wöhlerlinien (a .N /) bzw. Coffin-Manson-Linien ("a .N /) dargestellt. Es werden die unterschiedlich ausgeprägten Bereiche der Kurzzeitfestigkeit, der Zeitfestigkeit und Dauerfestigkeit oder die Bereiche niederzyklischer Ermüdung (LCF – Low Cycle Fatigue) und hochzyklischer Ermüdung (HCF – High Cycle Fatigue) unterschieden. In neueren Untersuchungen bei sehr hohen Schwingspielzahlen (N  107 ) [24] wird ein VHCF (Very High Cycle Fatigue) Bereich eingeführt.

Spannungskontrollierte Schwingbeanspruchung (kraftgesteuert) Im Zeitfestigkeitsbereich kann die Wöhlerlinie bei doppeltlogarithmischer Auftragung näherungsweise durch eine Gerade N D ND  .a =D /k abgebildet werden. Hierbei sind a die Spannungsamplitude, D die sog. Dauerfestigkeit (Spannungsamplitude am Abknickpunkt ND der Wöhlerlinie) und k der Neigungsexponent. Oberhalb von Schwingspielzahlen von ca. 2  106 bis 2  107 zeigen Metalle und Legierungen mit raumzentrierter Gitterstruktur (bspw. ferritische oder martensitische Stähle, Ti-Legierungen) bei Raumtemperatur ein deutlich ausgeprägtes Abknicken der Wöhlerlinie. Das Vorhandensein einer wirklichen Dauerfestigkeit, d. h. einer Beanspruchung, die unendlich oft ertragen werden kann, ist umstritten, auch weil häufig korrosive Umgebungsbedingungen an Bauteiloberflächen vorhanden sind und mikrostrukturelle Inhomogenitäten vorliegen, die versagensauslösende Fehlstellen bei sehr hohen Schwingspielzahlen darstellen können. Bei Werkstoffen mit kubisch-flächenzentriertem Gitter (z. B. austenitische Stähle, Al- und Cu-Legierungen) ist von einem weiteren Abfall der Schwingfestigkeit im VHCF-Bereich auszugehen. Bei Werkstoffen mit (kubisch-)raumzentriertem Gitter wird insbeson-

29

486

M. Oechsner et al. σ

Abb. 29.36 und in Abb. 29.37 dargestellt. Die Dauerfestigkeitswerte der einzelnen Stähle werden vor allem von ihrer Zugfestigkeit und weniger von ihrer Legierungszusammensetzung bestimmt.

Rm

σm

σo

Rp0,2

σSch

σW

σu

σA1

Rp0,2

σA1

0

Rm σm

45°

-σW σdF

Abb. 29.15 Dauerfestigkeitsschaubilder nach Smith

dere bei hoch und höchstfesten Werkzuständen ebenfalls davon ausgegangen. Der Umfang dieser Schwingfestigkeitsreduzierung sowie die begünstigenden Einflussfaktoren sind noch nicht umfassend geklärt. Wöhlerlinien werden in Abhängigkeit der Mittelspannung m bzw. des Spannungsverhältnisses RD

u o

angegeben, das sich aus unterer und oberer Beanspruchung in einem Schwingspiel ergibt. Grundlegende Schwingfestigkeitswerte sind die Wechselfestigkeit W .R D 1/ und die Schwellfestigkeit Schw .R D 0/. In Abhängigkeit von der Beanspruchungsart weisen metallische Werkstoffe eine unterschiedliche Mittelspannungsempfindlichkeit M D

ajRD1  ajRD0 mjRD0

auf, die aus den Dauerfestigkeitsschaubildern nach Smith und nach Haigh bestimmt werden kann, Abb. 29.15. Die zulässige Oberspannung o wird durch die Fließgrenze Rp0;2 begrenzt. Tab. 29.3 enthält eine Zusammenstellung statischer und zyklischer Festigkeitskennwerte von Maschinenbauwerkstoffen nach [16]. Werte für Aluminiumwerkstoffe sind ebenfalls in [16] angegeben. Dauerfestigkeitsschaubilder (Smith-Diagramme) für verschiedene Vergütungsstähle sind in

Dehnungskontrollierte Schwingbeanspruchung (weggesteuert) Sowohl im niedrigen Schwingspielzahlbereich (N < 104 / als auch bei höheren Temperaturen ist der linear-elastische Spannungs-Dehnungsverlauf bei zyklischer Belastung häufig nicht mehr gegeben, so dass unter elastisch-plastischer Wechselverformung geschlossene Spannungs-Dehnungs-Hysteresen entstehen. Unter dehnungskontrollierten Beanspruchungen können Werkstoffe verfestigen oder entfestigen, was eine Zunahme oder Abnahme der Spannungsamplitude a zur Folge hat. Je nach Werkstoffzustand und Temperatur stabilisiert sich das Materialverhalten jedoch nach etwa 10 bis 20 % der Anrissschwingspielzahl, so dass bis zum Makroanriss dehnwechselbeanspruchter Proben annähernd stabilisierte Hystereseschleifen entstehen. Abb. 29.16 zeigt die Änderung des elastischplastischen Dehnungsanteils eines Werkstoffs mit Entfestigung in Abhängigkeit von der Schwingspielzahl. Der spontane Abfall des Spannungsausschlags während der Zugphase ist auf Makrorissbildung zurückzuführen. Als Anrissschwingspielzahl NA wird üblicherweise der Schnittpunkt zwischen dem tatsächlichen Verlauf des Spannungsausschlags und einem um 5 % erniedrigten Spannungswert der stabilisierten Kurve definiert. Die ermittelte zyklische Spannungs-DehnungsKurve wird häufig mit der Ramberg-Osgood-Beziehung a  a 1=n0 C "a D E k0 beschrieben, wobei k 0 der zyklische Verfestigungskoeffizient und n0 der zyklische Verfestigungsexponent sind. Dehnungswöhlerlinien können nach Manson, Coffin, Morrow für N < ND mit "a D "a;e C "a;pl D

f0 E

.2N /b C "0f .2N /C

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

487

Abb. 29.16 Elastisch-plastische Wechseldehnung und zyklische  –"-Kurve eines Werkstoffs mit Entfestigung

beschrieben werden, wobei f0 , "0f , b und C Fitparameter sind. Eine umfangreiche Werkstoffdatensammlung findet sich in [25]. Die Werkstoffkennwerte werden im örtlichen Konzept zur Vorhersage der Ausrisslebensdauer verwendet [11] (vgl. Abschn. 29.2.3, 29.5.3).

29.3.3 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei statischer Beanspruchung Bruchmechanische Kenngrößen zur Charakterisierung des Werkstoffwiderstandes bei statischer Beanspruchung werden als Risszähigkeit bezeichnet [17] und beschreiben Rissinitiierung (Beginn der Risserweiterung), stabile Risserweiterung und Bruch. Sie werden im Maß des Spannungsintensitätsfaktors K, der Rissöffnungsverschiebung ı oder des J -Integrals angegeben und sind mit Einschränkungen ineinander umrechenbar. Die Kennwerte werden in speziellen Bruchmechanik-Versuchen (Abschn. 30.2.6) ermittelt. Bei sprödem Werkstoffverhalten ist die Bruchzähigkeit KIc die maßgebende Werkstoffkenngröße. Der Rissinitiierung folgt unmittelbar die Rissinstabilität. Die Bruchzähigkeit KIc ist der kritische Wert des Spannungsintensitätsfaktors im für praktische Belange wichtigsten Rissöffnungsmode I (Zug senkrecht zum Riss). Für andere Rissöffnungsmodi werden analog formal die Bruchzähigkeitskenngrößen KIIc und KIIIc definiert, Abb. 29.11. Bei zäh-sprödem Werkstoffverhalten erfolgt instabile Risserweiterung, d. h. Bruch, nach einer plastischen Verformung und begrenzter stabiler

Risserweiterung. Risszähigkeitskenngrößen, die den Widerstand gegenüber Bruch charakterisieren, sind ıc und Jc . Bei zähem Werkstoffverhalten folgt nach der Rissinitiierung eine stabile Risserweiterung. Zähbruch ist nur bei zunehmender Beanspruchung möglich, wenn bei einer inkrementellen Risserweiterung da die Änderung des Rissantriebs größer als die Änderung des Werkstoffbruchwiderstandes ist. Der Bereich stabiler Risserweiterung liefert eine Sicherheitsreserve, die bei sprödem Werkstoffverhalten nicht vorhanden ist. Die Rissinitiierung, d. h. der Übergang von einem ruhenden zu einem wachsenden Riss, wird durch die Kenngrößen der werkstoffphysikalisch wahren Initiierungsrisszähigkeit ıi und Ji charakterisiert, Abb. 29.17. Diese Werte sind quantitativ auf das Bauteil übertragbare, aber unter Umständen sehr konservative, Werkstoffkennwerte. Der technisch relevante Beginn stabiler Risserweiterung wird durch die Kenngrößen der technischen Initiierungsrisszähigkeit ı0;2 , J0;2 , ı0;2BL oder J0;2BL beschrieben, die bei a D 0;2 mm bzw. aus dem Schnittpunkt mit der 0,2-Parallelen zu einer Rissabstumpfungsgeraden ermittelt werden, Abb. 29.17. Diese Größen sind im Allgemeinen abhängig von der Geometrie und dem Grad der Mehrachsigkeit. Der Bereich stabiler Risserweiterung wird durch die Risswiderstandskurven (Crack Resistance Curves, R-Kurven) ı.a/ oder J .a/ beschrieben, Abb. 29.17. Die analytische Beschreibung kann mit ı .oder J / D A C C.a C B/D

29

488

Abb. 29.17 Risswiderstandskurve ı.a/ bzw. J.a/ mit Kenngrößen der Initiierungsrisszähigkeit und ımax , amax – Gültigkeitsgrenzen nach Prüfstandard

M. Oechsner et al.

Abb. 29.18 Risszähigkeits-Temperatur-Verhalten und mögliche Einflussgrößen für ferritische, martensitische und bainitische Stähle

von der Probengröße, der Belastungsgeschwindigkeit, bei Neutronenbestrahlung und bei Alterungsprozessen. Die Temperaturabhängigkeit der Risszähigkeit KJ c wird im Sprödbruch- und zähsprödem Übergangsbereich mit einer mittleren Risszähigkeits-Übergangskurve (Pf D 50%), der Master-Kurve, mit p KJ c D 30C70 exp Œ0;019.T  T0 / in MPa m

erfolgen, wobei für die Konstanten A; C  0 und 0 D 1 gilt. Andere Ansätze sind möglich. Versagen tritt nach Erreichen einer geometrie- und werkstoffabhängigen Maximallast oder nach stabiler Risserweiterung bei vollständigem Durchriss des Bauteils auf. Die Angabe eines Werkstoffkennwertes ist nicht möglich. Die Risszähigkeitskennwerte hängen allge- für eine bestimmte Probengröße (Probendicke 25 mm) beschrieben. Dabei wird KJ c durch eimein von verschiedenen Einflussfaktoren ab. ne elastisch-plastische Auswertung als Kennwert Werkstoffeinfluss für das Einsetzen von Sprödbruch ermittelt. Die Die Risszähigkeit nimmt mit zunehmender Qua- Lage der Master-Kurve wird durch die Refep lität (Reinheit, Homogenität) zu. Sie ist i. Allg. renztemperatur T0 , bei der KJ c = 100 MPa m orientierungsabhängig. Inhomogene Werkstoff- ist, charakterisiert. Aufgrund der großen Streuzustände sind im Vergleich zu homogenen Werk- ung der Risszähigkeit im Übergangsbereich, bei stoffzuständen bei gleicher Temperatur eher jeweils einer Temperatur, ist eine statistische Besprödbruchgefährdet. Mit zunehmender Festig- trachtung notwendig. Ergebnis ist die Angabe keit eines Werkstoffes nimmt dessen Risszähig- eines Risszähigkeitswertes mit einer bestimmkeit in der Regel ab. Insbesondere bei großen und ten Versagenswahrscheinlichkeit Pf . Die sich dickwandigen Bauteilen kann die Risszähigkeit bei einer Versagenswahrscheinlichkeit von 5 % (bei 25 mm Probendicke) ergebende Risszähigvon außen nach innen abnehmen. keits-Temperatur-Kurve gilt als untere GrenzkurTemperatureinfluss ve (lower bound). Für austenitische Stähle und Die Risszähigkeit ist temperaturabhängig. Sie Aluminiumlegierungen (kubischflächenzentrierte nimmt in der Regel mit steigender Temperatur Gitterstruktur) sowie für Magnesiumlegierungen zu. Für ferritische, martensitische und bainiti- (hexagonale Gitterstruktur) steigt die Risszähigsche Stähle (raumzentrierte Gitterstruktur) lässt keit mehr oder weniger deutlich mit der Temperasich der Risszähigkeits-Temperatur-Verlauf in die tur an. Ein Übergangsverhalten der Risszähigkeit Bereiche Tieflage (sprödes Werkstoffverhalten), in Abhängigkeit der Temperatur wird nicht beobÜbergangsbereich (zäh-sprödes Werkstoffverhal- achtet, Abb. 29.18. Austenitische Stähle weisen ten) und Hochlage (zähes Werkstoffverhalten) in der Regel auch bei tiefen Temperaturen gute einteilen, Abb. 29.18. Der Risszähigkeits-Tem- Zähigkeitseigenschaften und eine hohe Sprödperatur-Verlauf verschiebt sich in Abhängigkeit bruchsicherheit auf.

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

Einfluss der Belastungsbedingungen Die Risszähigkeit nimmt im Bereich der Tieflage und im Übergangsgebiet mit steigender Belastungsgeschwindigkeit ab, im Bereich der Hochlage dagegen zu. Die Übergangstemperatur verschiebt sich zu höheren Werten, Abb. 29.18. Ist im Betrieb mit hohen Belastungsgeschwindigkeiten zu rechnen (stoßartige Belastungen), so ist die dynamische Bruchzähigkeit KId die maßgebende Kenngröße. Es gilt KId < KIc .

29.3.4 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung Bruchmechanische Kenngrößen für zyklische Beanspruchung beschreiben die Nichtausbreitungsfähigkeit von Rissen (Schwellenwert) und den stabilen Rissfortschritt (z. B. Parameter der Paris-Gleichung). Der Beginn instabilen Rissfortschritts wird mit bruchmechanischen Kenngrößen für statische Beanspruchung beschrieben. Die Kennwerte werden in speziellen Bruchmechanik-Versuchen (Abschn. 30.2.6) ermittelt. Abb. 29.19 zeigt das prinzipielle Fortschrittsverhalten eines Makrorisses in Abhängigkeit der Schwingbreite des Spannungsintensitätsfaktors p K.K D Kmax  Kmin D   a  Y / im Rahmen der LEBM, welches sich in drei Bereiche einteilen lässt.

489

Im Bereich I nähert sich die Kurve einem Schwellenwert Kt h , unterhalb dem kein Rissfortschritt messbar ist. Dieser Wert charakterisiert die Dauerfestigkeit eines Bauteils mit Makroriss. Der Schwellenwert Kt h ist u. a. abhängig vom Spannungsintensitätsverhältnis RK D Kmin =Kmax , der Temperatur, der Mikrostruktur des Werkstoffes und dem Umgebungsmedium. In der Regel wird der Schwellenwert bei einer Rissfortschrittsrate von ca. 107 mm/Lastzyklus gemessen. Der Bereich II kann, bei konstantem RK -Wert, empirisch mit der Rissfortschrittsgleichung vor nach Paris/Erdogan [26] da D C  .K/m dN mit Kt h < K < Kc beschrieben werden, wobei die Konstanten C und m insbesondere von Werkstoff, RK -Wert und den Umgebungsbedingungen abhängen. Instabiler Rissfortschritt, d. h. Bruch, tritt bei einem Wert Kc im Bereich III auf, der durch das Erreichen eines kritischen Spannungsintensitätsfaktors Kmax D Kc in einem Lastzyklus bzw. bei Kc D .1  RK /  Kmax bestimmt ist. Eine Annahme Kmax D KIc ist möglich. Weitere Ansätze zur Rissfortschrittsbeschreibung liegen z. B. mit einer bilinearen Beschreibung, der Rissfortschrittsgleichung vor [27–30]. Schwellenwert und Rissfortschrittsrate hängen allgemein von verschiedenen Einflussfaktoren ab.

Werkstoffeinfluss Für feinkörnige Werkstoffzustände wird i. Allg. ein kleinerer Schwellenwert Kt h als bei grobkörnigem Zustand ermittelt. Je kleiner der Elastizitätsmodul, desto kleiner ist in der Regel der Schwellenwert Kt h . Mit steigendem Elastizitätsmodul nimmt die Rissfortschrittsrate ab. Durch verschiedene Wärmebehandlungen eines Werkstoffes werden die Bereiche I (Kt h ) und III (Kc ) des Rissfortschritts weAbb. 29.19 Makrorissfortschritt bei zyklischer Bean- sentlich beeinflusst, Bereich II verändert sich kaum. spruchung

29

490

Temperatureinfluss Mit steigender Temperatur nimmt der Schwellenwert Kt h und die Rissfortschrittsrate zu. Die Rissfortschrittskurve im schwellenwertnahen Bereich liegt damit zunächst unterhalb der für tiefere Temperaturen, mit zunehmenden K-Werten jedoch oberhalb. Bei hohen Temperaturen können Korrosions-, Oxidations- und Diffusionsvorgänge aktiviert werden.

M. Oechsner et al.

Bruchmechanische Kennwerte sind bisher selten Gegenstand der Werkstoffnorm. Datensammlungen liegen u. a. in [17, 26, 28] vor, einige Kennwerte und Empfehlungen aus Regelwerken sind in Tab. 29.17 und 29.18 und in den Bildern Abb. 29.39 bis 29.41 sowie in Abb. 29.43 angegeben.

29.4 Umgebungseinfluss Unter der Wirkung korrosiver Medien wird der Ermüdungsrissfortschritt ungünstig beeinflusst. Die Wirkung der Korrosion hängt von der Art des Umgebungsmediums, der mechanischen Beanspruchung (Beanspruchungshöhe und -zyklenform, Haltezeiten, Mehrachsigkeit) und der Temperatur ab. Mit zunehmendem Korrosionseinfluss nimmt der Schwellenwert Kt h ab und die Rissfortschrittsrate zu. Bei höheren Frequenzen ist der Korrosionseinfluss geringer. Vakuumbedingungen wirken sich günstig auf den Ermüdungsrissfortschritt aus. Die Rissfortschrittsrate ist geringer als in Luft und der Schwellenwert größer. Einfluss der Belastungsbedingungen Der Schwellenwert Kt h ist abhängig vom Spannungsintensitätsverhältnis RK . Mit zunehmendem RK -Wert nimmt zunächst der Schwellenwert Kt h ab, bleibt dann aber konstant. Hohe Belastungsgeschwindigkeiten können zu Temperaturerhöhungen im Bauteil führen, die eine Änderung des Bruchmechanismus bewirken können, Abb. 29.18. Die Reihenfolge der Belastungszyklen beeinflusst den Rissfortschritt. Beim Übergang von einer hohen auf eine niedrige Belastung und nach Zugüberlasten kann es durch Druckeigenspannungen im Rissspitzenbereich, Rissabstumpfungen und Rissschließeffekte zu einer Rissfortschrittsverzögerung kommen. Beim Übergang von einer niedrigen auf eine hohe Belastung und nach Drucküberlasten tritt eine Rissfortschrittsbeschleunigung auf. Dieses Verhalten kann im Rahmen der LEBM durch geeignete Berechnungsmodelle berücksichtigt werden [17].

Einflüsse auf die Werkstoffeigenschaften

Die Festigkeits- und Zähigkeitseigenschaften eines Werkstoffs werden von einer Vielzahl von Faktoren beeinflusst, die bei der Werkstoffauswahl für statisch oder zyklisch beanspruchte Bauteile zu berücksichtigen sind. Im Folgenden werden metallurgische, technologische, Oberflächen- und Umgebungseinflüsse und ihre Auswirkungen erläutert. Bei der Festigkeitsberechnung ist zu beachten, dass an Bauteilen oft konstruktive Kerben (z. B. an Querschnittsübergänge, Querbohrungen, Schrumpfsitzen, Schraubenverbindungen, Schweißverbindungen) auftreten, die zu inhomogenen mehrachsigen Spannungszuständen führen. Die Festigkeitshypothesen gelten jedoch nur für homogene mehrachsige Spannungszustände. Stimmen Bauteil- und Probengröße, an welcher der einachsige Werkstoffkennwert ermittelt wurde, nicht überein, so ist eine Übertragung der Kennwerte nicht möglich. Nachfolgend wird gezeigt, wie diese Einflüsse berücksichtigt werden können.

29.4.1

Werkstoffphysikalische Grundlagen der Festigkeit und Zähigkeit metallischer Werkstoffe

Die Zähigkeitseigenschaften reiner Metalle hängen von der Zahl der Gleitsysteme (Gleitrichtungen, Gleitebenen) ihres Kristallgitters ab, wobei gemäß Abb. 29.20 insbesondere kubische Gitter (z. B. ˛-Fe, -Fe, Al) im Unterschied zu hexagonalen Gittern (z. B. Ti, Zn, Mg) wesentlich mehr Gleitmöglichkeiten und somit besse-

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

491

29.4.2

Abb. 29.20 Einfluss des Gittertyps auf die Gleitmöglichkeiten und das Formänderungsvermögen reiner Metalle

re Zähigkeitseigenschaften besitzen. Homogene Gefügezustände (Einlagerungs- oder Substitutionsmischkristalle) weisen ebenfalls bessere Zähigkeitseigenschaften als heterogene Gefügezustände auf. Die Festigkeitseigenschaften metallischer Werkstoffe hängen in erster Linie von den mikrostrukturellen Voraussetzungen einer Legierung zur Behinderung einer Versetzungsbewegung (Fließbeginn) ab. Grundmechanismen zur Festigkeitssteigerung sind in Abb. 29.21 angegeben. Während für die statischen Festigkeitseigenschaften der Werkstoff- und Gefügezustand des gesamten Querschnitts maßgebend ist, ist für die Schwingfestigkeit in erster Linie der Werkstoffzustand der Oberfläche und des randnahen Bereichs von Bedeutung. Abb. 29.21 Grundmechanismen zur Steigerung der Festigkeit metallischer Werkstoffe

Metallurgische Einflüsse

Bei der Stahlherstellung verbleiben unterschiedliche Mengenanteile an oxidischen, sulfidischen und silikatischen Einschlüssen im Werkstoff, deren Größe, Form und Verteilung die Festigkeits- und Zähigkeitseigenschaften nachhaltig beeinflussen. Je nach Schmelzpunkt bzw. Erweichungspunkt der Einschlüsse können bei der Warmumformung die nichtmetallischen Einschlüsse ihre ursprüngliche Erstarrungsform verändern und je nach Umformgrad einen ausgeprägten Richtungscharakter annehmen (s. Bd. 2, Kap. 40). Die mikrogeometrische Gestalt der Einschlüsse und ihre Lage zur äußeren Beanspruchungsrichtung hat eine innere Kerbwirkung mit unterschiedlichen Spannungsüberhöhungen zur Folge. Die Höhe der Spannungsspitze hängt nicht nur von der Geometrie des Einschlusses und seiner Lage in Bezug auf das Lastspannungssystem, sondern auch von der Fließgrenze des Werkstoffs ab. Die Beurteilung der Größe, Art und Verteilung der nichtmetallischen Einschlüsse wird in DIN EN 10 247 beschrieben. Neben den Spannungsüberhöhungen durch Lastspannungen können sich noch Eigenspannungseinflüsse überlagern, die z. B. auf unterschiedliche Wärmeausdehnungskoeffizienten der Einschlüsse im Vergleich zum Grundwerkstoff zurückzuführen sind.

29

492

Durch nichtmetallische Einschlüsse werden wegen innerer Kerbwirkung die Schwingfestigkeitseigenschaften verschlechtert. Vergütungsstähle höherer Reinheit, wie sie z. B. durch Vergießen im Vakuum oder durch ElektroschlackeUmschmelzen erzeugt werden, können um bis zu 30 bis 40 % bessere Schwingfestigkeiten erreichen [31]. Bei sehr hohen Schwingspielzahlen (VHCF-Bereich) tritt insbesondere bei hoch- und höchstfesten Werkstoffen Versagen durch Einschlüsse auf, wobei bei geringer äußerer Kerbwirkung die Bruchausgänge auch unterhalb der Oberfläche liegen können [32]. Auch durch legierungstechnische Maßnahmen können die negativen Auswirkungen nichtmetallischer Einschlüsse gemildert werden. So werden beispielsweise durch Kalzium- und CerZusätze die sulfidischen Einschlüsse feiner verteilt und globular ausgebildet, wodurch die innere Kerbwirkung abnimmt. Inhomogenität des Gefüges, wie sie verstärkt bei Gusswerkstoffen und in Schweißnähten auftritt, hat negative Auswirkungen auf statische Festigkeitseigenschaften, Schwingfestigkeitseigenschaften und Korrosionsverhalten. Zu derartigen Inhomogenitäten zählen Entmischungen und Seigerungen, die durch Diffusions- oder Normalglühen gemindert werden können. Ausscheidungen können insbesondere bei hochlegierten Stählen zu stark erhöhter Korrosionsanfälligkeit führen.

29.4.3 Technologische Einflüsse Kaltumformung Durch die mit einer Kaltumformung verbundene Steigerung der Versetzungsdichte wird eine Kaltverfestigung bewirkt, die häufig auch mit einer Schwingfestigkeitssteigerung verbunden ist. Das Ausmaß der Schwingfestigkeitserhöhung hängt davon ab, ob eine homogene oder partielle Kaltumformung durchgeführt wurde und ob der Richtungssinn der Umformung mit der Bauteil-Beanspruchungsrichtung übereinstimmt. Partielle Kaltumformungen sind stets mit der Erzeugung von Eigenspannungszuständen verbunden. Mechanische Oberflächen-Verfestigungsverfahren, wie Kugelstrahlen und Fest-

M. Oechsner et al.

walzen, nutzen die Kombination aus Kaltverfestigung und Eigenspannungswirkung gezielt zur Schwingfestigkeitssteigerung [33].

Wärmebehandlung Durch eine Vergütungsbehandlung können sowohl die statischen Festigkeits- und Zähigkeitseigenschaften als auch die Schwingfestigkeitseigenschaften von Stählen in weiten Grenzen beeinflusst werden. Während zum Erzielen hoher statischer Festigkeitswerte eine große Tiefenwirkung der Vergütungsbehandlung bis hin zur Durchvergütung angestrebt wird, spielen für die Schwingfestigkeitseigenschaften von Bauteilen mit inhomogener Spannungsverteilung vor allem die Festigkeitseigenschaften des Randbereichs eine maßgebende Rolle. Bei der Martensithärtung von Bauteilen aus CStählen mit unterschiedlichem Querschnitt stellen sich bei gleichem Werkstoff und gleichem Abschreckmedium mit zunehmendem Durchmesser eine abnehmende Randhärte und eine geringere Einhärtungstiefe ein, die auf probengrößenabhängige unterschiedliche Abkühlungsgeschwindigkeiten zurückzuführen sind. Das unterschiedliche Verhältnis von Oberfläche zu Probenvolumen ist auch für eine unterschiedliche Eigenspannungsausbildung (Wärme- und Umwandlungseigenspannungen) verantwortlich. Die Legierungselemente Mn, Cr, Cr+Mo, Cr+Ni+Mo, Cr+V steigern in der angegebenen Reihenfolge die Durchhärtbarkeit im Unterschied zu CStählen und gewährleisten somit auch höhere Schwingfestigkeitssteigerungen bei größeren Abmessungen. Im Unterschied zu einer konventionellen Vergütungsbehandlung können durch Umwandlungen in der Bainit-Stufe (Zwischenstufenvergütung) bessere Zähigkeits- und Schwingfestigkeitseigenschaften erreicht werden.

29.4.4

Oberflächeneinflüsse

Die mechanischen Eigenschaften eines Bauteils bei statischen und zyklischen Beanspruchungen werden durch die Oberflächeneigenschaften, d. h. die Oberflächenfeingestalt, die Randfestig-

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

493

Abb. 29.22 Rauheitsfaktor KF für Walzstahl

keit und die Randeigenspannungen unterschiedlich beeinflusst. Die Oberflächeneigenschaften spielen bei statischer Beanspruchung nur eine untergeordnete Rolle, da die Tiefenwirkung der durch Trennen oder Kaltumformung hergestellten Oberflächen im Vergleich zum Gesamtquerschnitt gering ist. Bei Schwingungsbeanspruchungen kommt den Eigenschaften des randnahen Bereichs eine große Bedeutung zu, da die Risseinleitungsphase überwiegend von den Oberflächeneigenschaften abhängt. Entscheidend für den Einfluss der Oberfläche auf die Verminderung der Schwingfestigkeit sind vor allem Eigenspannungen und Verfestigung als Folge der Fertigung [34]. Der Einfluss der Rauheit wird traditionell mit dem Rauheitsfaktor:

Abb. 29.23 Steigerung der Rissfortschrittslebensdauer durch Druckeigenspannungen

nichtverfestigten Werkstoffzustandes, aber unterhalb der anrissbehafteten Bruchdauerfestigkeit des festgewalzten, eigenspannungsbehafteten Zustandes, bleiben die sich unter der zyklischen Beanspruchung bildenden Anrisse stehen (Rissstopp-Phänomen). Bei Belastungen, die vollständig oder teilweise (variable Amplituden) oberhalb der Bruchdauerfestigkeit liegen, erfolgt über die Verzögerung des Rissfortschritts durch Druckeigenspannungen eine Verlängerung der Lebensdauer. D; Rz KF D Dem gegenüber gibt es aber auch eine Reihe D; Rz ˛k;Biegung > ˛k;Torsion . Aus rechnerischen Ansätzen (z. B. Finite-Element-Methode) sowie aus experimentellen Untersuchungen sind für verschiedene Kerbfälle der Konstruktionspraxis die Formzahlen ˛k bekannt. In Tab. 29.19 sind einige für abgesetzte Flachund Rundstäbe angegeben. Weitere finden sich in [16]. Würde unter Verwendung eines duktilen Werkstoffs bei zügiger Beanspruchung ein Kerbstab nur bis zur Randfließgrenze Re =˛K belastet, so ergäbe sich eine nur unvollständige Werkstoffausnutzung. Die Belastung kann beträchtlich über den Fließbeginn im Kerbgrund gesteigert

495

werden, wobei ohne wesentliche Steigerung der Randfließspannung die plastische Zone eine größere Tiefenwirkung erreicht, bis sich im vollplastischen Zustand die Grenztragfähigkeit einstellt. Dies gilt zunächst für ideal elastisch-plastischen Werkstoff ohne Verfestigung, Abb. 29.25. Als geeignete Kenngröße einer gesteigerten Tragfähigkeit erweist sich der Quotient aus der Laststeigerung nach Beginn des Fließens Fpl und der Belastungsgrenze bei Fließbeginn FF der auch als Stützzahl pl bezeichnet wird: pl D Fpl FF > 1. Für spröde Stoffzustände gelten diese Überlegungen keineswegs. In diesem Fall ergibt sich keine Fließ-, sondern eine Bruchbedingung zu Rmk D 1n D 1max =˛k . Als geeignetes Kriterium zur Beurteilung des zähen oder spröden Bauteilverhaltens unter Kerbspannungszuständen erweist sich die bezogene Kerbzugfestigkeit k D Rmk =Rm als Funktion von ˛k . Duktile Werkstoffe zeigen mit größer werdender Formzahl bezogene Kerbzugfestigkeitswerte k > 1 während spröde Stoffzustände bezogene Kerbzugfestigkeitswerte k < 1 ergeben.

Größeneinfluss Zur Übertragung der an Proben ermittelten Werkstoffkennwerte auf Bauteile muss der Größeneinfluss berücksichtigt werden. Unter der Annahme elastomechanischer Ähnlichkeit wurde an geometrisch ähnlich gekerbten Probestäben nachgewiesen, dass Fließgrenze und Fließkurve von Kerbstäben verschiedener Durchmesser für geringe plastische Verformungen einen vernachlässigbaren geometrischen Größeneinfluss aufweisen [39]. Dagegen wurde in Kerbzugversuchen im Durchmesserbereich von 6 bis 180 mm nachgewiesen, dass Kerbproben (˛k D 3;85) aus C60 unterhalb 80 mm Außendurchmesser ein Kerbzugfestigkeitsverhältnis k > 1, oberhalb 80 mm Außendurchmesser ein Kerbzugfestigkeitsverhältnis k < 1 aufweisen. Dies deutet darauf hin, dass Kerbzugfestigkeitseigenschaften einen eindeutigen Größeneinfluss zeigen, und somit auch bei quasistatischer Beanspruchung ein Übergang vom zähen zum spröden BauteilverhalAbb. 29.25 Stützwirkung in Kerbstäben bei teilplastiten bei bestimmten Grenzdurchmessern erfolgen scher Verformung kann.

29

496

M. Oechsner et al.

29.4.7 Gestalteinfluss auf Schwingfestigkeitseigenschaften Kerbeinfluss Unter der Annahme linear-elastischen Werkstoffverhaltens im Dauerfestigkeitsbereich kann erwartet werden, dass bei Kerbstäben und somit auch bei gekerbten Bauteilen die Wechselspannungsamplitude im Kerbgrund um den ˛k -fachen Wert der Nennspannung erhöht wird und somit die Dauerfestigkeit Dk gekerbter Proben oder Bauteile auf den elastizitätstheoretischen Kleinstwert der Nennspannung Dk D D =˛k abgesenkt werden kann. In vielen Untersuchungen wurde nachgewiesen, dass die Verminderung der Dauerfestigkeit gekerbter Proben gegenüber ungekerbten Proben jedoch kleiner ist. Je nach Kerbschärfe und Größe des Kerbgrunddurchmessers werden infolge Stützwirkung erheblich höhere Schwingfestigkeitswerte erzielt. Dieses Verhalten wird mit der Kerbwirkungszahl ˇk D Dk =D

mit 1 ˇk ˛k

Abb. 29.27 Entstehungsursachen und Mechanismen des Größeneinflusses

erfasst. Die Kerbwirkungszahl ˇk kann experimentell ermittelt oder nach [16, 40] abgeschätzt werden. Häufig angewendet wird die Beziehung  D ˛k =ˇk , wobei sich ein Wert für die Stützzahl  über das bezogene Spannungsgefäl1  gemäß Abb. 29.26 ermitteln lässt le  D max d (s. Abschn. 28.3).

Größeneinfluss Um die aus Einstufenversuchen ermittelten Schwingfestigkeitseigenschaften ungekerbter und gekerbter Proben auf einstufenbeanspruchte Bauteile übertragen zu können, müssen alle maßgebenden Größeneinflussparameter bekannt sein, die in folgende Einzelmechanismen unterteilt werden können [41]: Technologischer Größeneinfluss, spannungsmechanischer Größeneinfluss, statistischer Größeneinfluss [42] Abb. 29.26 Stützzahl n für unterschiedliche Werkstoff- sowie oberflächentechnischer Größeneinfluss gruppen [48] (Abb. 29.27).

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

29.5

497

Festigkeitsnachweis von Bauteilen

ren Größen auf einen Konstruktionsfaktor führen. Die ertragbaren Nennwerte der statischen Bauteilfestigkeit ergeben sich aus der Zugfestigkeit, Jeder Festigkeitsnachweis besteht aus einem Ver- dividiert durch den jeweiligen Konstruktionsfakgleich der Beanspruchung eines Bauteils und tor. Der Nachweis wird mittels des Auslastungsseiner Beanspruchbarkeit unter Berücksichtigung grades a durchgeführt, der höchstens den Wert 1 von Sicherheitsfaktoren. annehmen darf. Dieser ergibt sich zu Den Konstrukteurs- und Berechnungsfachleuv ten im Maschinenbau und in verwandten BeaD zul reichen der Industrie stehen insbesondere die FKM-Richtlinien [16] und [17] zur Verfügung. Bei mehreren Spannungskomponenten wird ein Die FKM-Richtlinie Rechnerischer Festigkeits- Gesamtauslastungsgrad ermittelt, der die Duktinachweis für Maschinenbauteile [16] enthält den lität des Werkstoffes berücksichtigt. Die Bauteilstatischen Festigkeitsnachweis und den Ermü- tragfähigkeit kann zusätzlich durch mehrachsidungsfestigkeitsnachweis unter Anwendung der ge Eigenspannungszustände beeinflusst werden. klassischen Methoden der Festigkeitslehre. Je nach Tiefenwirkung der EigenspannungsquelWerden an Bauteilen während Herstellung le bewirken mehrachsige Zugeigenspannungen oder Betrieb jedoch Fehler, wie z. B. Risse, eine Anhebung der Bauteilfließgrenze, wobei durch zerstörungsfreie Prüfverfahren entdeckt mit zunehmender teilplastischer Verformung der oder muss mit deren Auftreten in einem Inspekti- Eigenspannungszustand wieder abgebaut wird. onszeitraum gerechnet werden, so verlangt dies Im Grenzfall können dreiachsige hydrostatische eine Anwendung bruchmechanischer Methoden Zugeigenspannungszustände eine Trennbruchgeund somit der FKM-Richtlinie Bruchmechani- fahr auslösen, die unter Anwendung der Normalscher Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile spannungshypothese wie folgt abgeschätzt wer[17]. den kann: Im Folgenden sollen nur einige Schwerpunkte aus diesen Nachweisen näher erläutert werden. 1;max D 1;Last C 1;Eigensp: : Die Superposition von Last- und Eigenspannungen setzt voraus, dass der dreiachsige Eigenspannungszustand nach Größe und Richtung des Hauptachsensystems bekannt ist. Einen SonderBei einachsiger oder mehrachsiger homogener fall des Versagens bei statischer Bauteilbelastung Belastung wird die Festigkeitsberechnung jeweils stellt die mögliche Instabilität infolge des Knifür den höchstbeanspruchten Querschnitt durch- ckens dar, die in [16] jedoch nicht berücksichtigt geführt. Der Nachweis kann sowohl mit Nenn- wird (s. Kap. 25). spannungen als auch mit örtlichen elastischen Spannungen geführt werden. Werkstofffestigkeitskennwerte sind Zugfestig- 29.5.2 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung keit und Fließgrenze (Streckgrenze bzw. 0,2 %mit konstanter Amplitude Dehngrenze) unter Beachtung des technologischen Größeneinflusses, der Anisotropie, der Beanspruchungsart (Zug, Druck, Schub) und der Analog zum Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung kann der Nachweis hier soTemperatur [16]. Konstruktionskennwerte sind vor allem die wohl mit Nennspannungen als auch mit örtplastischen Stützzahlen, mit denen eine er- lichen elastischen Spannungen geführt werden fahrungsgemäß zulässige Teilplastifizierung des [16]. Die Bauteileigenschaften unter SchwingbeBauteils berücksichtigt wird und die mit ande- anspruchung werden durch werkstoffliche, ferti-

29.5.1

Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung

29

498

gungstechnische und konstruktive Faktoren beeinflusst. Durch Anwendung mechanischer (z. B. Kugelstrahlen, Festwalzen), thermischer (z. B. Induktionshärten) und thermochemischer Randschichtverfestigungsverfahren (z. B. Einsatzhärten, Nitrieren) kann dabei eine wirkungsvolle Steigerung der Schwingfestigkeit erreicht werden. Ausgehend z. B. von der Wechselfestigkeit des Werkstoffes W lässt sich die Bauteil-Wechselfestigkeit WK nach folgendem Ansatz abschätzen: W : WK D KWK Der Konstruktionsfaktor KWK berücksichtigt die Stützzahl, die Kerbwirkungszahl, Faktoren für Rauheit, Rand- und Schutzschichteffekte sowie einen Faktor für Gusswerkstoffe. Durch eine additive Verknüpfung von Kerbwirkungszahl ˇK und Rauheitsfaktor KR wird eine geringere Rauheitsempfindlichkeit des gekerbten Bauteils im Vergleich mit dem nichtgekerbten Bauteil in Rechnung gestellt. Die Wirkungen von Randschichtverfestigungsverfahren, Temperaturen unter 40 °C oder über 100 °C, sowie Beanspruchungsfrequenzen über 100 Hz können durch weitere Multiplikatoren rechnerisch berücksichtigt werden. Aus der Bauteil-Wechselfestigkeit unter Einstufen-Schwingbelastung folgt die Bauteil-Dauerfestigkeit für eine gegebene Mittelspannung über die Mittelspannungsempfindlichkeit M .

M. Oechsner et al.

gelassen werden, deren Spannungsamplituden im Zeitfestigungsbereich liegen, wodurch Teilschädigungen durch Wechselverformungen (Spannungs-Dehnungs-Hysteresen) im Zeitfestigkeitsgebiet entstehen können. Zur quantitativen Beurteilung der Teilschädigungen (Schadensakkumulation) sind Klassierverfahren erforderlich, die unregelmäßige Belastungsabläufe auf eine Folge von Schwingspielen bestimmter Größe und Häufigkeit zurückführen. Unter Anwendung verschiedener ein- und mehrparametriger Klassierverfahren, z. B. des Rainflow-Klassierverfahrens, können Häufigkeitsverteilungen sowie die Summenhäufigkeit der Betriebslasten bzw. der Nennspannungen aufgestellt werden. Durch eine derartige Kollektivbildung gehen allerdings Informationen realer BeanspruchungsZeit-Verläufe teilweise verloren, weshalb in der Praxis für den experimentellen oder rechnerischen Lebensdauernachweis auch vielfach reale Lastfolgen verwendet werden. In Abb. 29.28 sind drei unterschiedliche Spannungs-Zeit-Verläufe sowie die zugehörigen Spannungskollektive dargestellt. Zur eindeutigen Kennzeichnung eines Beanspruchungskollektivs

29.5.3 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit variabler Amplitude (Betriebsfestigkeitsnachweis) Bauteile unterliegen unter Betriebsbedingungen meist regellosen Belastungsverläufen mit statistisch verteilten Schwingamplituden bei konstanten oder variablen Mittellasten, so dass die aus Einstufenversuchen gewonnenen BauteilSchwingfestigkeitseigenschaften nur begrenzt für die Dimensionierung herangezogen werden können. In zahlreichen Anwendungsfällen des Maschinen- und Stahlbaus sowie insbesondere im Leichtbau müssen Schwingbeanspruchungen zu-

Abb. 29.28 Einfluss verschiedener Spannungs-ZeitFunktionen auf das Spannungskollektiv. a konstante Amplitude und Mittelspannung; b veränderliche Amplitude und konstante Mittelspannung; c veränderliche Amplitude und veränderliche Mittelspannung

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

499

ren Schädigungszuwachs mit der Anzahl ni der Schwingspiele aus, wobei je Lastspiel eine Teilschädigung von 1=Ni auftritt, wenn Ni die Bruchlastspielzahl für den jeweiligen Spannungsausschlag ai ist. Wird das Belastungskollektiv gemäß Abb. 29.30 durch eine mehrstufige Belastung ersetzt, so summieren sich die einzelnen Schädigungsanteile ni =Ni bei m Laststufen zu folgender Schadenssumme X ni n2 n3 n1 C C C::: D N1 N2 N3 Ni i D1 m

Abb. 29.29 p-Wert-Kollektive und Aufteilungsmöglichkeit für Blockprogramm-Versuche

sind die Summenhäufigkeit H die Kollektivform nach einem bestimmten statistischen Verteilungsgesetz, die Größtwerte der Ober- und Unterspannungen Q o , Q u bzw. die größte Spannungsamplitude Q a sowie die zugehörige Mittelspannung Q m erforderlich. Für Spannungs-Zeit-Funktionen können – ausgehend vom stationären Zufallsprozess mit Normalverteilung (Abb. 29.29) – die oberhalb der Normalverteilung liegenden Mischkollektive durch Normalkollektive zu einem bestimmten Lastbereich angenähert werden. Die Kollektivbeiwerte p stellen das Verhältnis von minimaler und maximaler Amplitude im Kollektiv dar und liegen gemäß Abb. 29.29 in den Grenzen 0 p 1. Die Lebensdauervorhersage von Bauteilen unter zufallsbedingten Last-Zeit-Funktionen kann durch Anwendung rechnerischer Verfahren sowie durch versuchstechnische Verfahren in Form von Programmversuchen oder Randomversuchen erfolgen.

Rechnerische Lebensdauerabschätzung (Nenn-, Struktur- und Kerbspannungskonzept) Eine rechnerische Lebensdauerabschätzung kann bei bekanntem Belastungskollektiv und experimentell ermittelter Nenn-, Struktur- oder Kerbspannungswöhlerlinie im Zeit- und Dauerfestigkeitsgebiet unter Anwendung einer geeigneten Schadensakkumulationshypothese durchgeführt werden. Die von Palmgren und Miner aufgestellte Hypothese geht von einem linea-

SD

Nach der Hypothese tritt Ermüdungsbruch ein, wenn die Schadenssumme S D 1 ist. Das Belastungskollektiv kann in eine Anzahl von Teilfolgen zerlegt werden, deren Schadenssumme je Stufe und Teilfolge Si D hi =Ni beträgt, wobei hi die Zahl der Schwingspiele (Teilschädigungen) je Laststufe einer Teilfolge angibt. Die Schadenssumme bei Bruch ergibt sich mit Z = Anzahl der Teilfolgen zu SD

X hi X ni DZ Ni Ni

Wie eine umfassende Auswertung sowie Lebensdauernachrechnungen von Betriebsfestigkeitsversuchen zeigen, treten systematische Abweichungen von der theoretischen Schadenssumme S = 1 und beachtliche Streuspannen auf. So wird zum Beispiel für Berechnungen nach [16] für Stahl eine Schadenssumme S D 0;3 empfohlen. Zur Schadensakkumulation werden verschiedene Modifikationen der Miner-Regel verwendet, wobei unterschiedliche Wöhlerlinienverläufe nach dem Abknickpunkt angenommen werden. Die Miner-Regel in ihrer originalen Form unterstellt eine Dauerfestigkeit. Die Miner-Regel in ihrer elementaren Form weist Beanspruchungen unterhalb und oberhalb des Abknickpunktes der Wöhlerlinie den gleichen Schädigungswert zu. Bei der häufig verwendeten Modifikation nach Haibach [25] wird die Zeitfestigkeitsgerade mit einem Neigungswert k  D .2k  1/ in den Dauerfestigkeitsbereich verlängert, Abb. 29.30.

29

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Abb. 29.30 Berechnung der Schadenssumme nach Palmgren-Miner (8-Stufen-Versuch)

Rechnerische Lebensdauerabschätzung (örtliches Konzept) Bei Lebensdauervorhersage nach dem örtlichen Konzept erfolgt die Schadensakkumulation in gleicher Weise wie zuvor dargestellt, wobei jedoch die einzelnen Schwingspiele nicht durch Spannungen sondern durch einen Schädigungsparameter charakterisiert werden. Im Abb. 29.31 sind die für die Berechnung der Anrisslebensdauer notwendigen Daten- und Berechnungsmodule für den Fall einer einachsigen Beanspruchung und eines homogenen und eigenspannungsfreien Werkstoffzustandes dargestellt. Eingabedaten auf der Seite der Beanspruchbarkeit sind die in Schwingversuchen an homogen beanspruchten Proben ermittelte zyklische Fließkurve und die Dehnungswöhlerlinie (Abschn. 29.3.2). Auf der Seite der Beanspruchung sind die Bauteilgeometrie einschließlich der Lastkonfiguration sowie der Last-Zeit-Verlauf einzugeben. In einem ersten Rechenschritt wird über elastisch-plastische Näherungsgleichungen (Kerbbeanspruchungsbeziehungen) die Bauteilfließkurve (Last-Dehnungs-Beziehung) bestimmt. Für teilplastische Beanspruchung wird hierbei vielfach die von Neuber [43] abgeleitete Beziehung   " D ˛k2 

n2 E

genutzt. Aus der Bauteilfließkurve und der Lastfolge kann schließlich unter Berücksichtigung des Masing- und Memoryverhaltens des Werkstoffs der Spannungs-Dehnungspfad als Folge geschlossener Hystereseschleifen an der versagenskritischen Stelle berechnet werden. Die Berechnung

des Schädigungsbeitrages der einzelnen Hystereseschleifen aus der Dehnungswöhlerlinie des Werkstoffs erfolgt über einen Schädigungsparameter. Am gebräuchlichsten ist hier der Ansatz von Smith, Watson und Topper [44] PS W T D

p .a C m /  "a  E

Die einzelnen Teilschädigungen akkumulieren sich letztlich zur Gesamtschädigung, für die die Schadenssumme 1 mit dem Anrissversagen des Bauteils gleichgesetzt wird. Das hier aufgezeigte Berechnungskonzept hat zahlreiche Modifikationen erfahren, so in der Berücksichtigung inhomogener Werkstoffzustände (z. B. Randschichtverfestigung) und der Erweiterung für mehrachsige Beanspruchungszustände [45]. Durch die Einbeziehung bruchmechanischer Ansätze wurde auch die Berechnung der Bruchlebensdauer möglich.

Experimentelle Lebensdauerbestimmung In der Vergangenheit wurden vielfach Blockprogrammversuche durchgeführt. Heute dominieren Randomversuche, bei denen eine weitgehende Nachahmung der tatsächlichen Beanspruchungs-Zeit-Funktion angestrebt wird. Für zahlreiche Anwendungsfälle (z. B. Fahrzeuge, Flugzeuge, Walzgerüste) existieren standardisierte Lastfolgen, die die jeweils baugruppenspezifischen stochastischen und deterministischen Beanspruchungsvorgänge abbilden. Häufig verwendet werden Kollektive, der eine Gaußverteilung der Amplituden zugrunde liegt. Die Ergebnisse experimenteller Untersuchungen bei variabler Amplitude werden ähnlich der Wöhlerlinie als Lebensdauer- oder Gaßnerlinie dargestellt, wobei

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

501

Abb. 29.31 Daten- und Berechnungsmodule für eine Lebensdauervorhersage nach dem Örtlichen Konzept [12]

der Amplitude des Kollektivhöchstwertes die er- ben und ist mit einer Risswiderstandskurve des mittelte Schwingspielzahl zugewiesen wird. Werkstoffs zu vergleichen, Abb. 29.17. Die Bewertung von Bauteilen mit Fehlern unter statischer Beanspruchung kann mit Hilfe von 29.5.4 Bruchmechanischer Rissantriebs- (Crack Driving Force, CDF) oder Festigkeitsnachweis unter Versagensbewertungs- (Failure Assessment, FA) statischer Beanspruchung Diagrammen geführt werden. Das VersagensBewertungsdiagramm FAD, enthält eine durch Erreicht oder überschreitet der Beanspruchungs- die Parameter Kr und Lr definierte Grenzkurve parameter (K;J ;ı) im rissbehafteten Bauteil bei Kr D f .Lr /, Abb. 29.32. Sie grenzt den „sistatischer Beanspruchung einen kritischen Wert cheren“ Bereich ein, in dem kein Versagen des (Werkstoffbruchwiderstand), kommt es zu einer Bauteils mit Riss möglich ist. Kr ist dabei der auf Rissinitiierung, die beim zähen Werkstoffver- die Risszähigkeit KMat bezogene linear-elastische halten stabile Risserweiterung und beim sprö- Spannungsintensitätsfaktor KW den Werkstoffverhalten instabiles Versagen einKr D K=KMat leitet. Der kritische Wert des Beanspruchungsparameters wird als Risszähigkeit KMat bezeichnet, Abschn. 29.3.3. Bei sprödem Werkstoffverhalten tritt Versagen ein, wenn gilt KI ; Bauteil D KMat D KIc . Der Bruch kann durch Erreichen einer kritischen Risslänge oder einer kritischen Beanspruchung ausgelöst werden. Bei zähem Werkstoffverhalten in der Hochlage ist der Werkstoffbruchwiderstand eine Funktion der Risserweiterung. Der Rissantrieb wird dann durch einen elastischplastischen Beanspruchungsparameter beschrie-

und der Plastifizierungsgrad Lr die auf die plastische Grenzlast Fe des Bauteils mit Riss bezogene Belastung F : Lr D F=Fe Für gegebene Geometrie- und Beanspruchungsbedingungen des Bauteils mit Riss sowie für relevante Werkstoffkennwerte werden die Koordinaten [Kr Lr ] eines Zustandspunktes (wenn die Rissinitiierung als der Grenzzustand betrachtet wird) bzw. einer Reihe von

29

502

M. Oechsner et al. unsicher durch Spannungs- und Dehnungskonzentration an der Rissfront

eine Quantifizierung dieser Aussage durch Reservefaktoren. Weiterhin ist es notwendig, die Empfindlichkeit des Ergebnisses zur anzunehmenden Variation einzelner Eingabedaten in SenZustandspunkt unsicher sitivitätsanalysen zu prüfen und die Eingabedaten durch plastischen Kollaps sicher für die Berechnung von zulässigen BedingunBelastungszunahme gen, wenn erforderlich, mit geeigneten partiellen Sicherheitsfaktoren zu modifizieren. Alternativ 0 können partielle Sicherheitsfaktoren auf der BaL rmax Lr 0 1 sis einer zulässigen Versagenswahrscheinlichkeit Abb. 29.32 Versagensbewertungs-Diagramm (FAD), festgelegt werden. Grenzkurve

Kr

1

prinzipiell

Zustandspunkten (für das Versagen nach stabiler, duktiler Risserweiterung) berechnet und mit der Grenzkurve verglichen. Das FAD-Verfahren enthält als Grenzfälle den Sprödbruchnachweis, wenn der Zustandspunkt auf der y-Achse liegt, und den Nachweis von plastischem Kollaps, wenn der Zustandspunkt auf der x-Achse liegt. In [16] werden verschiedene Grenzkurven u. a. auch für Schweißverbindungen in Abhängigkeit der zur Verfügung stehenden Eingabedaten, dem Auswertungsaufwand und der Konservativität der Ergebnisse angegeben. Besitzt der untersuchte Werkstoff beispielsweise eine ausgeprägte Streckgrenze (ReL ;ReH ) so kann folgende Grenzkurve verwendet werden:   12 L2r f .Lr / D 1 C 2   1 1 2 f .1/ D  C 2

für Lr < 1W für Lr D 1W

29.5.5

Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter zyklischer Beanspruchung

In vielen praxistypischen Fällen sind die Bedingungen zur Anwendung der linear-elastischen Bruchmechanik erfüllt und der dort auftretende Zusammenhang zwischen Rissfortschrittsrate und Schwingbreite des Spannungsintensitätsfaktors, Abb. 29.19, kann zur Bewertung herangezogen werden. Da die Messergebnisse der Rissfortschrittsrate streuen, sind für eine konservative Berechnung die obere Grenze des Streubandes und für eine realistische Berechnung, z. B. bei der Analyse von Schadensfällen, mittlere Werte zu verwenden. Bruchmechanische Dauerfestigkeit, d. h. keine Rissausbreitung, liegt vor bei K < Kt h

Diese Bedingung ist bei einer hohen geforderten Anzahl von Lastzyklen anzuwenden. Ist diese für 1 Lr < f .Lr / D f .1/  Lr Bedingung nicht erfüllt, muss eine Berechnung des Rissfortschritts, i. d. R. durch numerische Inmit tegration der Rissfortschrittsrate, erfolgen. Dabei E  " ist eine Auflösung nach der Lastzyklenzahl oder D1C ; ReL nach der End- bzw. Anfangsrissgröße möglich.   ReL Berechnungen der Rissausbreitung können für " D 0;0375 1  ; 1000 konstante oder variable Beanspruchung durch   ReL geführt werden. Eigenspannungen sind zu beN D 0;3 1  und rücksichtigen. Beanspruchungsänderungen könRm   nen zu Reihenfolgeeffekten (Verzögerung bzw. 1 ReL C Rm D Lmax r Beschleunigung des Rissfortschritts nach Belas2 ReL tungsabsenkung bzw. -zunahme) führen, wobei Die Bewertung ergibt nicht nur eine qualitati- bei stochastischen Beanspruchungen die Verzöve Aussage „sicher“/„unsicher“, sondern auch gerungen überwiegen. Lmax r W

N 1 2N

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

29.5.6

503

Festigkeitsnachweis unter Zeitstand und Kriechermüdungsbeanspruchung

Zeitstandbeanspruchung Zur Auslegung von Bauteilen [4] unter statischer Beanspruchung, wie sie idealisiert bei konstanten Betriebsbedingungen auftritt, werden gemäß Abschn. 29.1.3, Abb. 29.6, im Bereich erhöhter Temperatur zeitunabhängige Festigkeitskennwerte und im Bereich hoher Temperatur zeitabhängige Festigkeitskennwerte, z. B. Zeitstandfestigkeit Ru;t;T oder Zeitdehngrenze Rp©;t;T herangezogen. Im Bereich hoher Temperaturen werden langzeitige Festigkeitskennwerte benötigt, die bis zu den längsten Betriebszeiten abgesichert sein sollen, z. B. bei Kraftwerken bis zu 200 000 h. Wegen der Streuung dieser Festigkeitskennwerte wird oft von der Streubanduntergrenze ausgegangen. Eine konventionelle Auslegung oder Nachrechnung ist dann möglich, wenn von einer idealisierten Geometrie und Belastung ausgegangen werden kann und die errechneten Spannungen direkt mit Festigkeitskennwerten verglichen werden können. Bei Bauteilen mit komplexer Gestalt und Belastung kann durch örtliche Spannungskonzentrationen eine Kriechbeschleunigung auftreten, was die Einleitung und das Wachstum von Rissen begünstigt. Zur Berechnung der Spannungsumverteilung in derartigen Bauteilen mit der inelastischen Finite-Element-Methode sind Werkstoffmodelle und Kriechgleichungen verfügbar. Zeitstandfestigkeitskennwerte werden in der Regel logarithmisch dargestellt (Abb. 29.33). Bei einer Extrapolation ist Vorsicht geboten (DIN EN ISO 204), zu Extrapolationsverfahren siehe Abschn. 30.2.11. Regelwerke, die Kennwerte für Zeitstandfestigkeit und Zeitdehngrenzen enthalten, sind nach Werkstoffgruppen geordnet, z. B.:

Abb. 29.33 Zeitbruchkurven des Stahles 10CrMo910

 warmfester ferritischer Stahlguss (DIN EN 10 213),  hochwarmfeste austenitische Stähle für Bleche und Schmiedestücke (DIN EN 10 222). Im Unterschied zu den Dimensionierungsansätzen bei Raumtemperatur und erhöhter Temperatur sind für die Festigkeitsberechnung von Bauteilen im Bereich hoher Temperatur zeit- und temperaturabhängige Werkstoffkennwerte erforderlich. Mit Sicherheitsbeiwerten SF gegen unzulässige plastische Verformung und SB gegen Zeitstandbruch ergeben sich zulässige Spannungen zul D Rp©;t;T =SF und zul D Ru;t;T =SB von denen der kleinere Wert heranzuziehen ist. Der Beiwert SB wird oft größer gewählt als der Beiwert SF . Hinweise sind z. B. für Dampfkessel in TRD301 [46] enthalten. Abb. 29.34 zeigt ein Beispiel für eine konventionelle Auslegung mit dem Sicherheitsbeiwert SF D 1;5 gegen

 warmfeste Stähle für Rohre und Bleche (DIN EN 10 216),  Stähle für größere Schmiedestücke für Bauteile von Turbinen  und Generatoren (SEW 555),  warmfeste und hochwarmfeste Werkstoffe für Abb. 29.34 Konventionelle Auslegung mit zeitabhängiSchrauben gen Festigkeitskennwerten für idealisierte Bedingungen  und Muttern (DIN EN 10 269), [4]

29

504

M. Oechsner et al.

unzulässige plastische Verformung und dem Sicherheitsbeiwert SB D 2 gegen Bruch. Bei einer konservativen Auslegung gegen eine Streubanduntergrenze wird in der Regel ein Abschlag von 20 % in Spannungsrichtung gegen eine mittlere Zeitstandfestigkeit gewählt. Im Bereich der Übergangstemperatur (Abb. 29.6 in Abschn. 29.1.3) kann zusätzlich eine Absicherung gegen die Warmstreckgrenze mit zul D Rp0;2;t;T =SF notwendig sein.

Zeitlich veränderliche Beanspruchung Neben der statischen Beanspruchung können die Bauteile zusätzlich zeitlich veränderlichen Beanspruchungen unterliegen. Eine Auslegung gegen zyklische Zeitstandbeanspruchung kann durch die modifizierte Lebensdaueranteilregel [47] erfolgen, bei der Beanspruchungsintervalle ti bei quasikonstanter Spannung und Temperatur auf die zugehörige Bruchzeit tui bezogen und zu einer relativen Zeitstandlebensdauer Lt akkumuliert werden. Die Bruchzeit unter veränderlicher Zeitstandbeanspruchung errechnet sich damit zu tui D

P i

ti

für

P i

ti =tui D Lt

Beim Erwärmen und Abkühlen von Bauteilen kann durch behinderte Wärmedehnungen eine Ermüdungsbeanspruchung auftreten. Eine Auslegung gegen Ermüdungsanriss kann durch die Miner-Regel erfolgen, bei der Wechselzahlen Nj unter konstanter Beanspruchungsschwingbreite auf die zugehörige Anrisswechselzahl NAj bezogen und zu einer relative Ermüdungslebensdauer LA akkumuliert werden. Die Anrisswechselzahl errechnet sich zu NA D

P j

Nj

für

P j

Nj =NAj D LA

Bei überlagerter Kriechbeanspruchung im Bereich hoher Temperaturen kann die Miner-Regel additiv mit der modifizierten Lebensdaueranteilregel kombiniert werden zu einer relativen Kriechermüdungslebensdauer L D Lt C LA . Die Werte Lt , LA und L können unter 1 liegen [4]. Die Miner-Regel wird beispielsweise für die Nachrechnung von Bauteilen im Dampfkesselbau

nach TRD301 [46] genutzt, die einer Wechselbeanspruchung durch schwellenden Innendruck bzw. durch kombinierte Innendruck- und Temperaturänderungen unterliegen. Für Bauteile, die im Kriechermüdungsbereich beansprucht werden, wird nach TRD508 [49] die Kombination der Miner-Regel und der Lebensdaueranteilregel herangezogen.

Kriech- und Kriechermüdungsrissbeanspruchung Neben Rissen, die durch die Betriebsbeanspruchung entstehen können, enthalten Bauteile oft Ungänzen und Werkstofffehler, die durch die Herstellung und Verarbeitung eingebracht worden sind. Zur Absicherung der Bauteile muss eine auf die Möglichkeiten der zerstörungsfreien Prüfung abgestimmte Anfangsfehlergröße innerhalb der vorgesehenen Betriebs- oder Inspektionszeit unterhalb einer um einen Sicherheitsfaktor verminderten kritischen Fehlergröße für spontanes Versagen bleiben. Einen wichtigen Beitrag zur Beurteilung der Fehler liefert hier die Kriechbruchmechanik, bei der an Proben mit künstlicher Rissstartfront bei Betriebstemperatur unter statischer (Kriech-) bzw. schwellender (Kriechermüdungs-)Belastung die Dauer ta zur Einleitung eines Kriechrisses und die Kriechrissgeschwindigkeit da=dt gemessen werden. Diese Ergebnisse können im Falle einer sich nur örtlich vor der Rissspitze bildenden plastischen Zone durch eine linearelastisch errechnete Spannungsintensität KI beschrieben werden. Bei großen plastischen Dehnungen im weiteren Umfeld der Rissspitze, d. h. im Kriechbereich ist der Parameter C  zutreffender [6]. Zu seiner Bestimmung sind im allgemeinen Fall Finite-Element Berechnungen erforderlich. Beim komplizierten Vorgang des Kriechrisswachstums können dabei Streuungen relativ groß sein. Generell legen sie die Anwendung von Untergrenzen für die Risseinleitungsdauer sowie Obergrenzen für die Risswachstumsgeschwindigkeit bei der kriechbruchmechanischen Beurteilung von Fehlern in Bauteilen nahe. Auf diesem Wege wird beispielsweise eine Absicherung möglich, dass innerhalb eines definierten Zeitintervalls kein Wachstum ei-

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

505

und der Grenzlinie „Anriss/kein Anriss“ lassen sich Risseinleitung und Versagensart für eine vorliegende Geometrie und Belastung abschätzen. Weiterentwicklungen dieses ZweikriterienDiagramms betreffen das Kriechermüdungsrissverhalten [50].

Anhang

Abb. 29.35 Zweikriteriendiagramm für Kriechrisseinleitung

nes Risses bis zu einer für spontanes Versagen kritischen Größe erfolgt. Zur Abschätzung der Kriechrisseinleitungsdauer für technischen Anriss in Bauteilen wurde auch ein relativ einfaches, auf ein Zweikriterien-Diagramm gestütztes Verfahren mit überwiegend elastischen Parametern, aber auch zeitabhängigen Größen, entwickelt [6]. Es beruht auf einem Diagramm (Abb. 29.35), in dem die Nennspannung im Ligament n;pl auf die Zeitstandfestigkeit Ru;t ;T bezogen als Nennspannungsfaktor R über einem Rissspitzenparameter RK D KI ;id / KI ;A aufgetragen wird. Dieser bezieht die Spannungsintensität an der Rissspitze KI ;id auf einen entsprechenden Wert KI ;A für Kriechrisseinleitung ermittelt aus Kriechrissexperimenten an CT25-Proben. Mit Hilfe der im Zweikriterien-Diagramm angegebenen Bereiche:  Ligamentschädigung (R =RK  2),  Rissspitzenschädigung (R =RK 0;5),  Mischschädigung

Abb. 29.36 Dauerfestigkeitsschaubild (SmithDiagramm) für Zug-Druck-Beanspruchung [51]. Vergütungsstähle nach DIN 17 200 (zurückgezogen) bzw. DIN EN 10 083: 1 30 CrNiMo 8; 2 42CrMo 4; 36CrNiMo 4; 50CrMo 4, 51CrV 4; 34CrNiMo 6; 3 34Cr 4; 41Cr 4; 4 28Mn 6 u. ä. 5 C 60; 6 C 45; 7 C 35; 8 C 22

29

506

M. Oechsner et al.

Abb. 29.37 Dauerfestigkeitsschaubild (Smith-Diagramm) für Torsionsbeanspruchung [52]. 1 42CrMo 4; 2 34Cr 4; 3 16MnCr 5; 4 C 45, Ck 45; 5 C 22, Ck 22; 6 St 60; 7 St 37

Tab. 29.1 Statisch bestimmter Elastizitätsmodul und Querkontraktionszahl verschiedener Werkstoffe Werkstoffe ferritische Stähle Stähle mit ca. 12 % Cr austenitische Stähle NiCr20TiAl Gusseisen EN-GJL-200 EN-GJL-300 EN-GJS-400-18 EN-GJS-800-2 Aluminiumlegierungen Titanlegierungen

Elastizitätsmodul E in 103 N=mm2 20 °C 200 °C 400 °C 211 196 177 216 200 179 196 186 174 216 208 196 88. . . 113 108. . . 137 169 176 60. . . 80 54. . . 72 112. . . 130 99. . . 113 88. . . 93

600 °C 127 127 157 179

77. . . 80

Querkontraktionszahl v bei 20 °C

0;3

0;3

0;3 0,25. . . 0,26 0,24. . . 0,26 0,24. . . 0,26 0,24. . . 0,26

0;33 0,32. . . 0,38

Tab. 29.2 Übersicht über Werkstoffkennwerte bei verschiedenen Temperaturen

a

Temperatur T [°C]

Beanspruchungsart

Raumtemperatur

Zuga

erhöhte Temperatur hohe Temperatur

Druck Biegung Verdrehung Zuga T < tÜ b Zuga T > TÜ b

Werkstoffkennwert Fließen Zeichen Bezeichnung Rp0:2 0,2%-Dehngrenze ReH Streckgrenze  dF Druck-Fließgrenze  bF ,b0:2 Biege-Fließgrenze tF ; 0:4 Verdreh-Fließgrenze   Rp0:2=T 0:2=T Warmstreckgrenze   Rp0:2=t=T 0:2=t=T Zeitdehngrenze

Bruch Zeichen Rm .B /

Bezeichnung Zugfestigkeit

 dB  bB B   Rm=T B=T   Rm=t=T B=t=T

Druckfestigkeit Biegefestigkeit Verdrehfestigkeit Warmfestigkeit Zeitstandfestigkeit

Die in diesen Spalten angegebenen Kennzeichnungen entsprechen den Empfehlungen der „Internationalen Organisation for Standardisation“ (ISO) sowie der von der Europäischen Gemeinschaft für Kohle und Stahl (EGKS) herausgegebenen Euronorm. Die früheren Kennzeichen wurden in Klammern angegeben. b T Ü : Übergangstemperatur

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

507

Tab. 29.3 Festigkeits- und Schwingfestigkeitswerte in N=mm2 nach [53]. Die Schwingfestigkeitswerte entsprechen einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,5 %. Festigkeitskennwerte in N=mm2 für unlegierte Baustähle nach DIN EN 10 025a Sorte S185 S235JR S275JR S355J0 E295 E335 E360

Sorte nach DIN 17 100 St 33 St 37-2 St 44-2 St 52-3 U St 50-2 St 60-2 St 70-2

Werkstoff Nr.

Rm,N

Re,N b

 Sch,zd,N

 W,b,N

 W,s,N

 W,t,N

1.0035 1.0037 1.0044 1.0553 1.0050 1.0060 1.0070

310 360 430 510 490 590 690

185 235 275 355 295 335 360

140 160 195 230 220 265 310

138 158 185 215 205 240 270

155 180 215 255 245 290 340

80 95 110 130 125 155 180

90 105 125 150 145 170 200

W:zd:N : Zug-Druck-Wechselfestigkeit, Sch:zd:N : Zug-Druck-Schwellfestigkeit, W:b:N : Biegewechselfestigkeit, W:s:N : Schubwechselfestigkeit, W:s:N : Torsionswechselfestigkeit. a gleichwertige Durchmesser deff, N = 40 mm. b Re, N /Rm, N < 0,75 für alle Sorten.

Tab. 29.4 Festigkeits- und Schwingfestigkeitswerte in N=mm2 nach [53]. Die Schwingfestigkeitswerte entsprechen einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,5 %. Festigkeitskennwerte in N=mm2 für Vergütungsstähle nach DIN EN 10 083a Sorte nach Sorte nach DIN EN 10083 DIN 17102 Vergüteter Zustand C40Ec Ck40 C50Ec Ck50 C60Ec Ck60 28Mn6 28Mn6 38Cr2 38Cr2 46Cr2 46Cr2 34Cr4 34Cr4 25CrMo4 25CrMo4 42CrMo4 42CrMo4 50CrMo4 50CrMo4 30CrNiMo8 30CrNiMo8 51CrV4 50CrV4 Normalgeglühter Zustand C40Ec Ck40 C50c Ck50 C60c Ck60 28Mn6 28Mn6

Werkstoff Nr.

Rm,N

Re,N b

 W,zd,N

 Sch,zd,N  W,b,N

 W,s,N

 W,t,N

1.1186 1.1206 1.1221 1.1170 1.7003 1.7006 1.7033 1.7218 1.7225 1.7228 1.6580 1.8159

650 750 850 800 800 900 900 900 1100 1100 1250 1100

460 520 580 590 550 650 700 700 900 900 1050 900

295 340 385 360 360 405 405 405 495 495 565 495

260 290 320 305 305 335 335 335 385 385 420 385

320 365 415 390 390 435 435 435 525 525 595 525

170 195 220 210 210 235 235 235 285 285 325 285

190 215 245 230 230 260 260 260 315 315 355 315

1.1186 1.1206 1.1221 1.1170

580 650 710 630

320 355 380 345

260 295 320 285

235 260 280 250

285 320 350 310

150 170 185 165

170 190 205 185

W:zd:N : Zug-Druck-Wechselfestigkeit, Sch:zd:N : Zug-Druck-Schwellfestigkeit, W:b:N : Biegewechselfestigkeit, W:s:N : Schubwechselfestigkeit, W:s:N : Torsionswechselfestigkeit. a gleichwertiger Durchmesser deff, N = 16 mm, für 30CrNiMo8 deff, N = 40 mm. b vergüteter Zustand bis einschließlich 46Cr2 Re, N /Rm, N < 0,75 dann Re, N /Rm, N > 0,75, normalgeglühter Zustand Re, N /Rm, N < 0,75 für alle Sorten. c Werte unabhängig davon, ob Qualitäts- oder Edelstähle nach DIN EN 10083 vorliegen.

29

508

M. Oechsner et al.

Tab. 29.5 Festigkeits- und Schwingfestigkeitswerte in N=mm2 nach [53]. Die Schwingfestigkeitswerte entsprechen einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,5 %. Festigkeitskennwerte in N=mm2 für Einsatzstähle im blindgehärteten Zustand nach DIN EN 10 084a,b Sorte C10E C15E 17Cr3 16MnCr5 18CrMo4 22CrMoS3-5 20MoCr3 16NiCr4 17CrNi6-6 15NiCr13 17NiCrMo6-4 18CrNiMo7-6

Werkstoff Nr. 1.1121 1.1141 1.7016 1.7131 1.7243 1.7333 1.7320 1.5714 1.5918 1.5752 1.6566 1.6587

Rm,N 500 800 800 1000 1100 1100 900 1000 1200 1000 1200 1200

Re,N c 310 545 545 695 775 775 620 695 850 695 850 850

 W,zd,N 200 320 320 400 440 440 360 400 480 400 480 480

 Sch,zd,N 185 270 270 320 340 340 295 320 365 320 365 365

 W,b,N 220 345 345 430 470 470 385 430 510 430 510 510

 W,s,N 115 185 185 230 255 255 210 230 280 230 280 280

 W,t,N 130 205 205 255 280 280 230 255 305 255 305 305

W:zd:N : Zug-Druck-Wechselfestigkeit, Sch:zd:N : Zug-Druck-Schwellfestigkeit, W:b:N : Biegewechselfestigkeit, W:s:N : Schubwechselfestigkeit, W:s:N : Torsionswechselfestigkeit. a Anhang E, Werte nur zur Information. Hier heißt es „Zugfestigkeit nach Härten und Anlassen bei 200 °C“. b gleichwertige Durchmesser deff, N = 16 mm. c Re, N /Rm, N < 0,75 für alle Sorten. Re, N nach DIN 17 210 angepasst.

Tab. 29.6 Festigkeits- und Schwingfestigkeitswerte in N=mm2 nach [53]. Die Schwingfestigkeitswerte entsprechen einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,5 %. Festigkeitskennwerte in N=mm2 für Nitrierstähle im vergüteten Zustand nach DIN EN 10 085a Sorte 31CrMo12 31CrMoV5 34CrAlNi7-10 34CrAlMo5-10

Werkstoff Nr. 1.8515 1.8519 1.8550 1.8507

Rm,N 1030 1100 900 800

Re,N b 835 900 680 600

 W,zd,N 465 495 405 360

 Sch,zd,N 370 385 335 305

 W,b,N 495 525 435 390

 W,s,N 270 285 235 210

 W,t,N 295 315 260 230

W:zd:N : Zug-Druck-Wechselfestigkeit, Sch:zd:N : Zug-Druck-Schwellfestigkeit, W:b:N : Biegewechselfestigkeit, W:s:N : Schubwechselfestigkeit, W:s:N : Torsionswechselfestigkeit. a gleichwertige Durchmesser deff, N = 40 mm. b Re, N /Rm, N  0,75 für alle Sorten.

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

509

Tab. 29.7 Festigkeits- und Schwingfestigkeitswerte in N=mm2 nach [53]. Die Schwingfestigkeitswerte entsprechen einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,5 %. Festigkeitskennwerte in N=mm2 für nichtrostenden Stahl nach DIN EN 10 088, Standardgütena Sorte

Sorte, Bezeichnung Werk- Erzeugnach DIN/SEW stoff Nr. nisform Ferritische Stähle im geglühten Zustand X2CrNi12 – 1.4003 P(25) X6CrAl13 X6CrAl13 1.4002 P(25) X6Cr17 X6Cr17 1.4016 P(25) X6CrMo17-1 X6CrMo17-l 1.4113 H(12) Martensitische Stähle im wärmebehandelten Zustand X20Cr13 X20Cr13 1.4021 QT650 X4CrNiMo16-5-1 – 1.4418 QT840 Austenitische Stähle im lösungsgeglühten Zustand X10CrNi18-8 X12CrNi 17 7 1.4310 C(6) X2CrNiN18-10 X2CrNi 18 10 1.4311 P(75) X5CrNi18-10 X5CrNi 18 10 1.4301 P(75) X6CrNiMoTi18-10 X6CrNi 18 10 1.4541 P(75) X6CrNiMoTi17-12-2 X6CrNiMoTi1722 1.4571 P(75) X2CrNiMoN17-13-5 X2CrNiMoN17135 1.4439 P(75) Austenitisch-ferritische Stähle im lösungsgeglühten Zustand X2CrNiN23-4 – 1.4362 P(75)

Rm,N

Re,N

 W,zd,N  Sch,zd,N  W,b,N  W,s,N  W,t,N

450 400 430 450

250 210 240 260

180 160 170 180

170 155 165 170

205 180 195 205

105 90 100 105

120 110 115 120

650 840

450 660

260 335

230 280

290 410

150 195

170 220

600 550 520 500 520 580

250 270 220 200 220 270

240 220 230 200 210 230

215 200 190 185 190 210

270 245 235 225 235 260

140 125 120 115 120 135

160 145 140 135 140 155

630

400

250

225

280

145

165

W:zd:N : Zug-Druck-Wechselfestigkeit, Sch:zd:N : Zug-Druck-Schwellfestigkeit, W:b:N : Biegewechselfestigkeit, W:s:N : Schubwechselfestigkeit, W:s:N : Torsionswechselfestigkeit. a Die Ermüdungsfestigkeitswerte sind vorläufige Werte. Tab. 29.8 Festigkeits- und Schwingfestigkeitswerte in N=mm2 nach [53]. Die Schwingfestigkeitswerte entsprechen einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,5 %. Festigkeitskennwerte in N=mm2 für Stahl für größere Schmiedestücke nach SEW 550a,b Sorte Werkstoff Nr. Vergüteter Zustand Ck22 1.1151 Ck35 1.1181 Ck50 1.1206 Ck60 1.1221 28 Mn6 1.1170 22 NiMoCr 4 7 1.6755 24 CrMo 5 1.7258 42 CrMo 4 1.7225 50 CrMo 4 1.7228 34 CrNiMo 6 1.6582 28 NiCrMoV 8 5 1.6932 Normalgeglühter Zustand Ck22 1.1151 Ck35 1.1181 Ck50 1.1206 Ck60 1.1221

Rm,N

Re,N

 W,zd,N

 Sch,zd,N

 W,b,N

 W,s,N

 W,t,N

410 490 630 690 590 560 640 740 780 780 780

225 295 365 390 390 400 410 510 590 590 635

165 195 250 275 235 225 255 295 310 310 265

155 185 280 240 215 205 230 255 265 265 225

185 215 275 300 260 245 280 320 340 340 290

95 115 145 160 135 130 150 170 180 180 155

105 130 165 180 155 145 165 190 200 200 170

410 490 620 680

225 275 345 375

165 195 250 270

155 180 220 220

185 215 270 295

95 115 145 155

105 130 160 175

W:zd:N : Zug-Druck-Wechselfestigkeit, Sch:zd:N : Zug-Druck-Schwellfestigkeit, W:b:N : Biegewechselfestigkeit, W:s:N : Schubwechselfestigkeit, W:s:N : Torsionswechselfestigkeit. a Gleichwertiger Durchmesser deff, N = 500 mm für 28NiCrMoV 8 5, für alle anderen deff, N = 250 mm. b Die Ermüdungsfestigkeitswerte sind vorläufige Werte.

29

510

M. Oechsner et al.

Tab. 29.9 Festigkeits- und Schwingfestigkeitswerte in N=mm2 nach [53]. Die Schwingfestigkeitswerte entsprechen einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,5 %. Festigkeitskennwerte in N=mm2 für Stahlguss für allgemeine Verwendungszwecke nach DIN 10293a Sorte GE200 (GS-38) GE240 (GS-45) GE300 (GS-60)

Werkstoff Nr. 1.0420 1.0446 1.0558

Rm,N 380 450 520

Re,N b 200 240 300

 W,zd,N 130 150 205

 Sch,zd,N 125 130 160

 W,b,N 150 180 235

 W,s,N 75 90 120

 W,t,N 90 105 140

W:zd:N : Zug-Druck-Wechselfestigkeit, Sch:zd:N : Zug-Druck-Schwellfestigkeit, W:b:N : Biegewechselfestigkeit, W:s:N : Schubwechselfestigkeit, W:s:N : Torsionswechselfestigkeit. a gleichwertiger Rohgussdurchmesser deff, N = 100 mm. b Re, N /Rm, N < 0,75 für alle Sorten.

Tab. 29.10 Festigkeits- und Schwingfestigkeitswerte in N=mm2 nach [53]. Die Schwingfestigkeitswerte entsprechen einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,5 %. Festigkeitskennwerte in N=mm2 für Gusseisen mit Kugelgraphit nach DIN EN 1563 bzw. nach DIN 1693 (Bezeichnung in Klammern) a Sorte EN-GJS-500-7 (GGG-50) EN-GJS-600-3 (GGG-60) EN-GJS-700-2 (GGG-70) EN-GJS-800-2 (GGG-80) EN-GJS-900-2

Werkstoff Nr. EN-JS1050 (0.7050) EN-JS1060 (0.7060) EN-JS1070 (0.7070) EN-JS1080 (0.7080) EN-JS1090

Rm,N 500 600 700 800 900

Rp0,2,N b 320 370 420 480 600

A5 c 7 3 2 2 2

 W,zd,N 170 205 240 270 305

 Sch,zd,N 135 160 180 200 220

 W,b,N 225 265 305 340 380

 W,s,N 110 135 155 175 200

 W,t,N 150 180 205 235 260

W:zd:N : Zug-Druck-Wechselfestigkeit, Sch:zd:N : Zug-Druck-Schwellfestigkeit, W:b:N : Biegewechselfestigkeit, W:s:N : Schubwechselfestigkeit, W:s:N : Torsionswechselfestigkeit. a gleichwertiger Rohgussdurchmesser deff, N = 60 mm. b Rp0,2, N /Rm, N < 0,75 für alle Sorten. c Bruchdehnung in Prozent. Tab. 29.11 Festigkeits- und Schwingfestigkeitswerte in N=mm2 nach [53]. Die Schwingfestigkeitswerte entsprechen einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,5 %. Festigkeitskennwerte in N=mm2 für Gusseisen mit Lamellengraphit (Grauguss) nach DIN EN 1561 bzw. nach DIN 1691 (Bezeichnung in Klammern) a Sorte EN-GJL-100 (GG-10) EN-GJL-150 (GG-15) EN-GJL-200 (GG-20) EN-GJL-250 (GG-25) EN-GJL-300 (GG-30) EN-GJL-350 (GG-35)

Werkstoff Nr. EN-JL1010 (0.6010) EN-JL1020 (0.6015) EN-JL1030 (0.6020) EN-JL1040 (0.6025) EN-JL1050 (0.6030) EN-JL1060 (0.6035)

Rm,N 100 150 200 250 300 350

Rp0,l,N – 100 130 165 195 230

 W,zd,N 30 45 60 75 90 105

 Sch,zd,N 20 30 40 50 60 70

 W,b,N 45 70 90 110 130 150

 W,s,N 25 40 50 65 75 90

 W,t,N 40 60 75 95 115 130

W:zd:N : Zug-Druck-Wechselfestigkeit, Sch:zd:N : Zug-Druck-Schwellfestigkeit, W:b:N : Biegewechselfestigkeit, W:s:N : Schubwechselfestigkeit, W:s:N : Torsionswechselfestigkeit. a gleichwertiger Rohgussdurchmesser deff, N = 20 mm.

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

511

Tab. 29.12 Festigkeits- und Schwingfestigkeitswerte in N=mm2 nach [53]. Die Schwingfestigkeitswerte entsprechen einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,5 %. Festigkeitskennwerte in N=mm2 für Temperguss nach DIN EN 1562 bzw. nach DIN 1692 (Bezeichnung in Klammern), nicht entkohlend geglühter Zustanda Sorte EN-GJMB-300-6 (–) EN-GJMB-450-6 (GTS-45-06) EN-GJMB-500-5 (–) EN-GJMB-600-3 (–) EN-GJMB-700-2 (GTS-70-02) EN-GJMB-800-1 (–)

Werkstoff Nr. EN-JM1110 (–) EN-JM1140 (0.8145) EN-JM1150 (–) EN-JM1170 (–) EN-JM1190 (0.8170) EN-JM1200 (–)

Rm,N 300 450 500 600 700 800

Rp0,1,N b – 270 300 390 530 600

A5 c 6 6 5 3 2 1

 W,zd,N  Sch,zd,N  W,b,N 90 75 130 135 105 190 150 115 210 180 135 250 210 155 285 240 170 320

 W,s,N 70 100 115 135 160 180

 W,t,N 100 145 160 190 220 250

W:zd:N : Zug-Druck-Wechselfestigkeit, Sch:zd:N : Zug-Druck-Schwellfestigkeit, W:b:N : Biegewechselfestigkeit, W:s:N : Schubwechselfestigkeit, W:s:N : Torsionswechselfestigkeit. a gleichwertiger Rohgussdurchmesser deff, N = 15 mm. b Rp0,2, N /Rm, N < 0,75, nur für GTS-70-02 gilt Rp0,2, N /Rm, N > 0,75. c Bruchdehnung in Prozent.

Tab. 29.13 Bruchzähigkeit einiger Stähle bei Raumtemperatur nach [54, 55] Werkstoff St37-3 StE47 St52-3 StE70 Ck22 Ck45 50 Mn 7 34 CrMo 4 40 CrMo 4 51 CrMo 4 30 CrNiMo 8 34 CrNiMo 6 38 NiCrMo V 7 3 40 NiCrMo 6 20 MnMoNi 4 5 30 CrMoNiV 5 11 41 SiNiCrMoV 7 6 X 38 CrMoV 5 1 X 44 CrMoV 5 1

Re [Nmm2 ] 230 430 310 690

540 1100 480. . . 1330 960 1280. . . 1550 1050. . . 1800 1200. . . 1650 650 1450. . . 1800 1100. . . 1900 1430. . . 1590

K Ic [Nmm3/2 ] 3000 3000 4000 3500 1600 650. . . 700 2100 3500 1900. . . 3800 3500 5900. . . 3200 2620. . . 1250 4900. . . 1000 3600. . . 1400 5900. . . 5420 1920 3200. . . 1050 4000. . . 800 1700. . . 830

29

414 556 530 520 534 666 547 519 536 542 814 846 1054 1046

S235J2G3 1.0116 S355J2G3 1.0570

262 397 377 380 395 491 415 414 427 448 741 792 1001* 993*

ReL [MPa] 30 30 30 30 30 30 30 25 30 80 30 15 30 15

d [mm] n n nw n nw n m m m m qt qt qt qt

Lieferz. 160 75 186 260 321 175 – – 250 – 108 – 164 –

KV (RT) [J]

Ti [°C] 70 37 43 58 54 26 50 85 58 35 38 55 19 15

T 27 J [°C] 41 38 100 94 113 54 85 100 36 90 60 55 94 90

d – Blechdicke n – normalgeglüht, nw – normalisierend gewalzt, m – thermomechanisch gewalzt, qt – wasservergütet a mit Gleichstrompotentialmethode b nach ASTM E 813-89 c wieb , J in N=mm,  a in mm

S890Q 1.8940

S690Q 1.8931

S460M 1.8827

S460N 1.8901 S355M 1.8823

S355N 1.0545

Rm [MPa]

Stahlsorte, Werkstoff Nr.

Tab. 29.14 Bruchmechanische Kennwerte bei statischer Beanspruchung von Baustählen nach [56, 57]

145 65 230 365 352 185 146 233 225 349 90 121 175 –

Ji a ŒN=mm – 119 255 – 432 266 – – 421 – 118 – 210 –

J Ic b ŒN=mm 0,24 0,07 0,26 0,42 0,38 0,18 0,18 0,27 0,23 0,36 0,06 0,09 0,1 0,06

ıi a [mm]

J D AaB c A B – – 171,9 0,45 545,9 0,6 812,8 0,47 947,1 0,65 405,3 0,44 568 0,45 1146 0,59 867,5 0,56 1492 0,762 150,4 0,21 641 0,437 489,5 0,48 378 0,34

512 M. Oechsner et al.

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

513

Tab. 29.15 Bruchmechanische Kennwerte bei statischer Beanspruchung Gusseisen mit Kugelgraphit [58] Werkstoff EN-GJS-400-15 EN-GJS-600-3 EN-GJS-1000-5 (S) EN-GJS-1000-5 (SA) Werkstoff EN-GJS-400-15 EN-GJS-1000-5 (S) EN-GJS-1000-5 (SA) a b

Rp0,2 [MPa] 264 400 800 820

Rm [MPa] 413 677 1062 1132

E [GPa] 176 168 166 165

J iB1 [N/mm] 21 – 8 9

J – Integral [N/mm] J D A.a C B/C A B C 96 0,01 0,4 38 0,02 0,36 35 0,03 0,39

b

J 0,2 [N/mm] 51 15a 20 22

K Ji BLp ŒMPa m 60 – 37 40

ıi=B1 [µm] 37 – 6 11

ıŒmı D A0 .a C B/C b A0 B0 174 0,01 37 0,1 30 0,09

ı0;2 [µm] 92 21a 6 11 C0 0,41 0,5 0,58

J c - bzw. ı c -Werte mit a Œmm

Tab. 29.16 Bruchzähigkeiten verschiedener Magnesiumlegierungen nach [59] Werkstoff Sandguss AZ91C T6 EQ21A T6 QE22A T6 WE54A T6 QH21A T6 ZE41A T5 ZE63A T6 Knetlegierungen AZ31B F AZ61A F AZ80A F AZ80A T5 ZK60A T5 Blech AZ31B-H24 HK31A-O HK31A-H24 HM21A-T8 ZE10-O ZE10A-H24

T [°C]

Rm [MPa]

K Ic p ŒMPa m

RT RT RT RT RT RT RT

– – – – – – –

11,4 16,3 13,2 11,4 18,6 15,5 20,9

RT RT RT RT RT

– – – 345 352

28,0 29,9 28,9 16,2 34,4

RT RT RT RT RT RT

283 214 269 248 228 262

28,5 32,9 25,2 25,2 23,0 30,7

29

514

M. Oechsner et al.

Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung, Empfehlung aus [60] Im British Standard 7910 [60] werden folgende Kennwerte für die Fehlerbewertung in metallischen geschweißten sowie nicht geschweißten Bauteilen angegeben. Alle Angaben p erfolgen mit K in MPa m und da/dN in mm=LZ. Die Parameter C und m sind die Konstanten der Paris-Erdogan-Gleichung, Abschn. 29.3.4. Schwellenwert (Schweißverbindungen, RK -Einfluss konservativ berücksichtigt) p MPa m

Rissfortschrittsrate Mittelwertkurven und obere Grenzwertkurven (Mittelwert + zweifache Standardabweichung) für 97,7 % Überlebenswahrscheinlichkeit sind für  Stähle (außer austenitische) mit Re 700 MPa in Luft oder anderen nicht aggressiven Medien bei T 100 ı C,  Stähle (außer austenitische) mit Re 600 MPa in Meerwasserumgebung bei T 20 ı C

in aus Tab. 29.15 zu entnehmen. Die angegebenen Parameter entsprechen einer bilinearen Rissfortschrittsbeschreibung. Eine einfachere Abschätzung ist wie folgt möglich:

 Stähle (auch austenitische) in Luft, T 100 ı C Kth D 2,  Stähle (ohne austenitische) mit kathodischem  Stähle (auch austenitische) mit Re 600 MPa in Luft oder anderen nicht aggressiven Medien Schutz in Meerwasserumgebung, T 20 ı C Kth D 2, bei T 100 ı C  Stähle in Meerwasserumgebung, ungeschützt m D 3, C D 1;65  108 sowie bei erhöhten Temperaturen bis 600 °C Kth D 0,  Aluminiumlegierungen in Luft, T 20 ı C m D 3, C D 1;65  108 .ERT =ET /3 ; Kth D 0;7. (ERT und ET sind die E-Modul-Werte bei Raum- bzw. erhöhter Temperatur), Schwellenwert (nicht geschweißte Bauteile) in  Stähle (ohne austenitische) in Meerwasserump MPa m gebung mit oder ohne kathodischem Schutz bei T 20 °C  Stähle (ohne austenitische) in Luft und mit kam D 3, C D 7;27  108 , thodischem Schutz in Meerwasserumgebung,  metallische, eisenfreie Werkstoffe, Abschätzung aus den Kennwerten für Stähle T 20 ı C Kth D 5;38 für RK < 0, m D 3, C D 1;65108 .EStahl =E/3 und damit Kth D 5;38  6;77RK für 0 RK < 0;5, für Kth D 2 für RK > 0;5,  Aluminiumlegierungen  metallische, eisenfreie Werkstoffe, Abschätm D 3, C D 4;45  107 . zung aus dem Schwellenwert Kth, Stahl und dem E-Modul EStahl für Stähle Kth D Kth, Stahl .E=EStahl / und damit für  Aluminiumlegierungen Kth D 1;8 für RK < 0, Kth D 1;8–2;3RK für 0 RK < 0;5, Kth D 0;7 für RK  0;5. Bei der Bewertung von Oberflächenrissen mit einer Tiefe von a < 1 mm, soll der anzuwendenp de Schwellenwert maximal Kth D 2 MPa m betragen.

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

515

Tab. 29.17 Empfohlene Rissfortschrittskennwerte für Stähle nach [60] für Überlebenswahrscheinlichkeiten PÜ D 50% und PÜ D 97;7 % (Werte für RK  0;5 für die Bewertung von Schweißverbindungen empfohlen) p K0 ŒMPa m Kth < K < K0 K0 K < .1  RK /KC PÜ 50 % 97,7 % 50 % 97,7 % 50 % 97,7 % RK C m C m C m C m Stahl an Luft < 0;5 11,48 9,96 2;10  1014 8,16 7;59  1014 8,16 8;32  109 2,88 1;41  108 2,88  0;5 6,20 4,55 2;14  1010 5,1 9;38  1010 5,1 1;22  108 2,88 2;70  108 2,88 Stahl in Meerwasserumgebung, ungeschützt < 0;5 42,25 31,40 4;05  109 3,42 1;15  108 3,42 1;13  105 1,3 1;72  105 1,3 9 8 5  0;5 34,72 23,65 7;24  10 3,42 2;32  10 3,42 2;62  10 1,11 3;46  105 1,11 Stahl in Meerwasserumgebung, kathodisch geschützt mit 850 mV (Ag/AgCl) < 0;5 14,61 13,72 2;10  1014 8,16 7;59  1014 8,16 5;22  108 2,67 1;34  107 2,67 10 10 8  0;5 10,21 9,17 2;14  10 5,1 9;38  10 5,1 6;07  10 2,67 2;04  107 2,67 Stahl in Meerwasserumgebung, kathodisch geschützt mit 1100 mV (Ag/AgCl) < 0;5 18,21 16,25 2;10  1014 8,16 7;59  1014 8,16 6;94  106 1,4 1;16  105 1,4  0;5 16,35 13,12 2;14  1010 5,1 9;38  1010 5,1 6;61  106 1,4 1;28  105 1,4

Tab. 29.18 Bruchmechanische Kennwerte bei statischer und zyklischer Beanspruchung für verschiedene Aluminiumlegierungen, Rissfortschritt nach Forman [61] und Schwellenwerte nach [62] C1 .K/m1 da D .1R dN K /Kc K Kth D .1  RK /K pth;0 und Kth;0 D 2;75 p MPa m [BW1] K in MPa m und da/dN in mm=LZ, Werte in Luft, kein Einfluss von Orientierung und Probendicke, Mittelwerte Werkstoff 2014-T6 2024-T3 2024-T4 2024-T6 2024-T8 2124-T851 2219-T851 2618-T6 6061-T6 7010-T73651 7050-T73651 7075-T6 7075-T7351 7175-T736 7178-T651 7178-T7651 7475-T7351 7475-T76 A357-T6 (Guss)

T [°C] RT RT 50 RT 50 RT RT RT RT RT RT RT RT RT 50 RT RT RT RT RT RT 50 RT

RK 0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5 s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o. s. o.

C1 1,00E05 7,13E06 3,71E09 8,57E06 1,94E09 2,00E05 1,33E05 7,72E06 4,84E05 8,56E06 2,27E04 2,06E05 4,11E06 1,37E05 1,63E06 6,27E06 2,61E06 3,74E05 3,16E05 3,24E05 2,97E06 6,54E05 2,19E06

m1 2,87 2,70 5,36 2,60 5,10 2,62 2,65 2,78 2,16 2,58 1,66 2,46 2,98 3,02 3,18 2,78 2,91 2,06 1,87 2,32 2,98 2,18 2,94

KC 59,9 71,3 67,7 58,1 74,8 69,8 65,3 61,4 57,5 45,6 60,1 46,0 55,0 63,9 47,1 55,8 35,0 30,7 30,0 78,2 82,6 79,9 41,5

29

516

Abb. 29.39 Rissfortschrittsverhalten einiger Bau- und Feinkornbaustähle nach [54]

M. Oechsner et al.

Abb. 29.40 Rissfortschrittsverhalten einiger Einsatz-, Vergütungs- und Druckbehälterstähle nach [54, 63]

Abb. 29.41 Rissfortschrittskurven verschiedener Aluminiumlegierungen nach [62], RK D 0

Abb. 29.42 Risszähigkeit und 0,2 %-Dehngrenze von Aluminiumlegierungen [64] Abb. 29.43 Rissfortschrittsverhalten einiger Aluminiumknetlegierungen [65]

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

517

Tab. 29.19 Formzahlen symmetrischer Kerbstähle Flachstab gekerbt

A B C k l m z: Zug

z 0,10 0,7 0,13 1,00 2,00 1,25

Rundstab gekerbt

abgesetzt

b 0,08 2,2 0,20 0,66 2,25 1,33

z 0,55 1,1 0,20 0,80 2,20 1,33

b 0,40 3,8 0,20 0,66 2,25 1,33

b 0,12 4,0 0,10 0,45 2,66 1,20

t 0,40 15,0 0,10 0,35 2,75 1,50

z 0,44 2,0 0,30 0,60 2,20 1,60

b 0,40 6,0 0,80 0,40 2,75 1,50

t 0,40 25,0 0,20 0,45 2,25 2,00

b: Biegung

˛k D 1 C v u u A t  k t %

t: Torsion 1  a 1 1C C B a p%a C C  a

z 0,10 1,6 0,11 0,55 2,50 1,50

abgesetzt

%

%

t %C%

a %

 m t %

Literatur Spezielle Literatur 1. Czichos, H., Habig, K.-H.: Tribologie Handbuch: Reibung und Verschleiß. Vieweg Teubner, Wiesbaden (2003) 2. Scholtes, B.: Eigenspannungen in mechanisch randschichtverformten Werkstoffzuständen Ursachen, Ermittlung und Bewertung. DGM Informationsgesellschaft mbH, Frankfurt (1990) 3. Macherauch, E., Wohlfahrt, H., Wolfstieg, U.: Zur zweckmäßigen Definition von Eigenspannungen. Härterei Techn Mitt 28, 200–211 (1973) 4. Granacher, J.: Zur Übertragung von Hochtemperaturkennwerten auf Bauteile. VDI-Berichte Nr. 852. VDI-Verlag, Düsseldorf, S. 325–352 (1991) 5. Riedel, H.: Fractureat high temperatures, materials research and engineering. Springer, Berlin (1987) 6. Granacher, J., Tscheuschner, R., Maile, K., Eckert, W.: Langzeitiges Kriechrissverhalten kennzeichnender Kraftwerkstähle. Mat Wiss Werkstofftech 24, 367–377 (1993) 7. Das Verhalten mechanischer Werkstoffe und Bauteile unter Korrosionseinwirkung. VDI-Berichte Nr. 235. VDI-Verlag, Düsseldorf (1975) 8. Wendler-Kalsch, E., Gräfen, H.: Korrosionsschadenskunde. Springer, Berlin (2010) 9. Radaj, D., Vormwald, M.: Ermüdungsfestigkeit. Springer, Berlin (2007) 10. Zenner, H.: Berechnung bei mehrachsiger Beanspruchung. VDI-Berichte Nr. 1227. VDI-Verlag, Düsseldorf, S. 219–236 (1995) 11. Hobbacher, A. (Hrsg.): Recommendations for fatigue design of welded joints and components. IIW do-

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20. 21.

22.

cument No. IIW-1823-07. International Institute of Welding, Paris (2008) Kumar, V., German, M.D., Shih, C.F.: An engineering approach for elastic-plastic fracture analysis. EPRI-Report NP-1931. Palo Alto (1981), https://doi. org/10.2172/6068291 SINTAP: Structural integrity assessment procedures for European industry. British Steel, draft report BE95-1426. (1999) British Energy Generation Ltd: Assessment of the integrity of structures containing defects. R6-Rev. 4. (2001) British Standard 7910: Guide to methods for assessing the acceptability of flaws in metallic structures. British Standard Institution (2005) FKM-Richtlinie Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile. VDMA-Verlag, Frankfurt/Main (2012) Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile. ForschungskuratoriumMaschinenbau e. V. VDMA-Verlag, Frankfurt/Main (2009) Tada, H., Paris, P.C., Irwin, G.R.: The stress analysis of cracks handbook. Del Research Corporation, Hellertown (1973) Sih, G.C.: Handbook of stress intensity factors for engineers. Institute of Fracture and Solid Mechanics, Lehigh (1973) Rooke, P.D., Cartwright, D.J.: Compendium of stress intensity factors. HMSO, London (1976) Murakami Y.Y., Keer L.M.: Stress Intensity Factors Handbook, Vol. 3. ASME. J. Appl. Mech. 60(4):1063 (1993) https://doi.org/10.1115/1.2900983 ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section XI (1983)

29

518 23. Dugdale, D.S.: J Mech Phys Solids 8(2), 100 (1960) 24. Fatigue Life in Gigacycle Regime: Fatigue & fracture. Eng Mat Struct 22, 545–641 (1999) 25. Haibach, E.: Betriebsfestigkeit. Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung. Springer, Berlin, Heidelberg (2008) 26. Paris, P.C., Erdogan, F.: A critical analysis of crack propagation laws. J Basic Eng 85, 528–534 (1960) 27. Forman, R.G., Kearney, V.E., Engle, R.M.: Numerical analysis of crack propagation in cyclic loaded structures. J Basic Eng Trans ASME 89, 459–463 (1967) 28. Erdogan, F., Ratwani, M.: Fatigue and fracture of cylindrical shells containing a circumferential crack. Int J Fract Mech 6, 379–392 (1970) 29. Fatigue Crack Growth Computer Program „NASGRO“ Version 3.0 – Reference Manual, National Aeronautics and Space Administration (NASA), JSC-22267B (2000) 30. Handbuch, Luftfahrttechnisches. „Handbuch Struktur Berechnung (HSB).“ Industrie-Ausschufl Struktur Berechnungsunterlagen, Ausgabe C (1978) 31. Randak, A., Stanz, A., Verderber, W.: Eigenschaften von nach Sonderschmelzverfahren hergestellten Werkzeug- und Wälzlagerstählen. Stahl Eisen 92, 891–893 (1972) 32. Berger, C., Pyttel, B., Schwerdt, D., Beyond, H.C.F.: Is there a fatigue limit. Mat Wiss Werkstofftech 36(10), 769–776 (2008) 33. Jaccard, R.: Fatigue crack propagation in aluminium, IIW Document XIII-1377 (1990) 34. Böhm, H.: Bedeutung des Bestrahlungsverhaltens für die Auswahl und Entwicklung warmfester Legierungen im Reaktorbau. Arch Eisenhüttenwes 45, 821– 830 (1974) 35. Broszeit, E., Steindorf, H.: Mechanische Oberflächenbehandlung, Festwalzen, Kugelstrahlen, Sonderverfahren. DGM Informationsgesellschaft Verlag, Frankfurt (1989) 36. Sigwart, A., Fessenmeyer, W.: Oberfläche und Randschicht. VDI Berichte Nr. 1227., S. 125–141 (1995) 37. Jung, U.: FEMSimulation und experimentelle Optimierung des Festwalzens. Shaker, Aachen (1996) 38. Wiegand, H., Fürstenberg, U.: Hartverchromung, Eigenschaften und Auswirkungen auf den Grundwerkstoff. Maschinenbau-Verlag, Frankfurt (1968) 39. Hempel, M.: Zug-Druck-Wechselfestigkeit ungekerbter und gekerbter Proben warmfester Werkstoffe im Temperaturbereich von 500 bis 700 °C. Arch Eisenhüttenwes 43, 479–488 (1972) 40. Rainer, G.: Kerbwirkung an gekerbten und abgesetzten Flach- und Rundstäben. Diss. TH Darmstadt (1978) 41. Wellinger, K., Pröger, M.: Der Größeneffekt beim Kerbzugversuch mit Stahl. Materialprüfung 10, 401– 406 (1968) 42. Kloos, K.H.: Einfluss des Oberflächenzustandes und der Probengröße auf die Schwingfestigkeitseigenschaften. VDI Berichte Nr. 268., S. 63–76 (1976)

M. Oechsner et al. 43. Neuber, H.: Theory of stress concentrations for shear-strained prismatical bodies with arbitrary nonlinear stress-strain law. J Appl Mech 12, 544–550 (1961) 44. Smith, K.N., Watson, P., Topper, T.H.: A stress-strain function for the fatigue of materials. Int J Mater 5(4), 767–778 (1970) 45. Kotte, K.L., Eulitz, K.-G.: Überprüfung der Festlegungen zur Abschätzung von Wöhlerlinien und zur Schadensakkumulations-Rechnung anhand einer Datensammlung gesicherter Versuchsergebnisse. VDIBerichte 1227. (1995) 46. TRD-301, Anlage1: Technische Regeln für Dampfkessel, Berechnung auf Wechselbeanspruchung durch schwellenden Innendruck bzw. durch kombinierte Innendruck- und Temperaturänderungen. Ausgabe April 1975, Berlin: Beuth Verlag 47. Vormwald, M.: Anrisslebensdauervorhersage auf der Basis der Schwingbruchmechanik für kurze Risse, Dissertation TU Darmstadt (1989) 48. VDI-Richtlinie 2226: Empfehlung für die Festigkeitsberechnung metallischer Bauteile. Beuth-Verlag, Berlin (1965) 49. TRD-508, Anlage 1: Technische Regeln für Dampfkessel, Zusätzliche Prüfung an Bauteilen, Verfahren zur Berechnung von Bauteilen mit zeitabhängigen Festigkeitskennwerten. Ausgabe Juli 1986, Beuth Verlag Berlin 50. Ewald, J.: Beurteilung von Rißeinleitung und Rißwachstum im Kriechbereich mit Hilfe eines Rißspitzen-Fernfeld-Konzeptes. Mat Wiss Werkstofftech 20, 195–206 (1989) 51. Heckel, H., Köhler, G.: Experimentelle Untersuchung des statistischen Größeneinflusses im Dauerschwingversuch an ungekerbten Stahlproben. Z. für Werkstofftech. 6, 52–54 (1975) 52. Hänchen, R., Decker, K.H.: Neue Festigkeitsberechnungen für den Maschinenbau. Hanser, München (1967) 53. Erdogan, F., Ratwani, M.: Fatigue and fracture of cylindrical shells containing a circumferential crack. Int J Fract Mech 6, TS10, 379–392 (1970) 54. Huth, H.: Berechnungsunterlagen zur Rissfortschritts- und Restfestigkeitsvorhersage rissbehafteter Großbauteile. ARGE Betriebsfestigkeit im VdEh, Bericht Nr. ABF06, Düsseldorf (1979) 55. Broichhausen, J.: Schadenskunde und -forschung in der Werkstofftechnik. Vorlesung an der RWTH Aachen (1977) 56. Hubo, R.: Bruchmechanische Untersuchungen zum Einsatz von Stählen unterschiedlicher Festigkeit und Zähigkeit, VDI-Fortschrittsberichte Reihe 18 Nr. 80, Dissertation TH Aachen (1990) 57. Rainer, G.: Kerbwirkung an gekerbten und abgesetzten Flach- und Rundstäben, Dissertation TH Darmstadt (1978) 58. Pusch, G.; Liesenberg, O.; Hübner, P.; Brecht, T.; Krodel, L.: Mechanische und bruchmechanische

29 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

59. 60.

61.

62.

63.

64. 65.

Kennwerte für Gusseisen mit Kugelgraphit, konstruieren + gießen 24, Nr. 2 (1999) Fatigue Data Book: Light Structural Alloys, ASM International (1995) British Standard 7910: Guide to methods for assessing the acceptability of flaws in metallic structures. British Standard Institution (2005) Forman, R.G., Kearney, V.E., Engle, R.M.: Numerical analysis of crack propagation in cyclic loaded structures. J Basic Eng Trans ASME 89, 459–463 (1967) Schwarmann, L.: Material Data of High-Strength Aluminium Alloys for Durability Evaluation of Structures, Aluminium Verlag Düsseldorf (1988) Huth, H.; Schütz, D.: Zuverlässigkeit bruchmechanischer Vorhersagen. 3. Sitzg. des AK Betriebsfestigkeit am 14.10.1977 in Berlin, Vortragsband des DVM: Anwendung bruchmechanischer Verfahren auf Fragen der Betriebsfestigkeit, 7–17 Jaccard, R.: Fatigue crack propagation in aluminium, IIW Document XIII-1377-90 Ostermann, F.: Anwendungstechnologie Aluminium, Springer Verlag (2014)

Weiterführende Literatur Askeland, D.R.: Materialwissenschaften. Spektrum Akad. Verlag, Heidelberg (1996) Bargel, H.J., Schulze, G. (Hrsg.): Werkstoffkunde. Springer, Berlin (2013) Bergmann, W.: Werkstofftechnik 1, 2. Hanser, München (2013)

519 Blumenauer, H., Pusch, G.: Technische Bruchmechanik. Wiley-VCH, Weinheim (2003) Dahl, W. (Hrsg.): Eigenschaften und Anwendung von Stählen. Verlag der Augustinus-Buchhandlung, Aachen (1998) Erscheinungsformen von Rissen und Brüchen metallischer Werkstoffe. Verlag Stahleisen, Düsseldorf (1996) Gross, D., Seelig, T.: Bruchmechanik. Mit einer Einführung in die Mikromechanik. Springer, Berlin (2016) Gudehus, H., Zenner, H.: Leitfaden für eine Betriebsfestigkeitsrechnung. Verlag Stahleisen, Düsseldorf (1999) Haibach, E.: Betriebsfestigkeit: Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung. Springer, Berlin (2006) Hornbogen, E.: Werkstoffe. Springer, Berlin (2012) Ilschner, B., Singer, R.F.: Werkstoffwissenschaften und Fertigungstechnik. Springer, Berlin (2016) Issler, L., Ruoß, H., Häfele, P.: Festigkeitslehre Grundlagen. Springer, Berlin (2005) Neuber, H.: Kerbspannungslehre: Theorie der Spannungskonzentration. Genaue Berechnung der Festigkeit, 3. Aufl. Springer, Berlin (2000) Radaj, D., Vormwald, M.: Ermüdungsfestigkeit. Springer, Berlin (2009) Roos, E., Maile, K.: Werkstoffkunde für Ingenieure. Springer, Berlin (2017) Stahlbau Handbuch. Stahlbau-Verlagsges., Köln (1996). – Werkstoffkunde Stahl. Bd. 1 und 2. Springer, Berlin (1984)

29

Werkstoffprüfung

30

Matthias Oechsner, Christina Berger und Karl-Heinz Kloos

Die Werkstoffprüfung dient der Ermittlung von Eigenschaften und Kennwerten unter mechanischen, thermischen oder chemischen Beanspruchungsbedingungen an Proben und Bauteilen. Ihr Anwendungsbereich umfasst die Werkstoff- und Verfahrensentwicklung, die Bereitstellung von Kennwerten für Berechnung und Konstruktion, die Fertigung von der Eingangsprüfung bis zur Abnahmeprüfung, das fertige Produkt während seiner Lebensdauer sowie die Aufklärung von Schadensfällen.

Luftfahrt, Reaktortechnik) erfolgen auch nach der Inbetriebnahme regelmäßige Prüfungen im Rahmen von Inspektionen oder kontinuierliche Prüfungen im Betrieb durch Sensorüberwachung an potentiellen Versagensorten. Bei den zerstörenden Prüfverfahren wird zwischen mechanischen, technologischen und chemischen Prüfverfahren unterschieden. Mit ihnen werden charakteristische Beanspruchungen nachgeahmt, wobei die am Bauteil im Betrieb auftretenden Beanspruchungsbedingungen vielfach idealisiert werden.

30.1 Grundlagen Die Prüfverfahren werden in zerstörungsfreie und zerstörende Prüfverfahren unterteilt. Die zerstörungsfreien Prüfverfahren werden vornehmlich im Rahmen der Qualitätssicherung in der Produktion als Eingangs-, Fertigungs- und Abnahmeprüfung angewendet. Je nach Sicherheitsanforderungen erfolgt die Prüfung als Stichprobenprüfung oder als 100 %-Prüfung. Bei Bauteilen mit hohen sicherheitstechnischen Anforderungen (z. B. M. Oechsner () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] C. Berger Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K.-H. Kloos Darmstadt, Deutschland

30.1.1 Probenentnahme Aufgrund von Erstarrung und Verformung können Stähle eine ausgeprägte Anisotropie in den Eigenschaften besitzen, so dass die Lage der Proben im Bauteil in Längs-, Quer- und Dickenrichtung anzugeben ist. In Großbauteilen können durch die Erstarrungsbedingungen größere Unterschiede zwischen den Kern- und Randfestigkeits- und Zähigkeitseigenschaften auftreten. Abb. 30.1 zeigt dies am Beispiel einer Welle. Bei hohen Drehzahlen treten die höchsten Beanspruchungen im Bereich der Wellenmitte auf, wo auch die ungünstigsten Werkstoffeigenschaften zu erwarten sind. (Ursache dafür können die infolge der chemischen Zusammensetzung bedingte mangelnde Durchvergütbarkeit und/oder Wärmebehandlung aber auch Lunker und Seigerungen sein.) Durch Versuchsbauteile bzw. vergleichende Untersuchungen ist sicherzustellen,

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_30

521

522

M. Oechsner et al.

Abb. 30.1 Festlegung von Prüfvolumina

dass die in den hochbeanspruchten Bereichen geforderten Werkstoffeigenschaften, d. h. insbesondere Festigkeit und Zähigkeit, erreicht werden. Besondere Anforderungen an die Probenentnahme sind bei der Gütesicherung gegossener Bauteile zu stellen. Die mechanischen Eigenschaften angegossener Proben können nur dann mit den Werkstoffeigenschaften des Gussteiles übereinstimmen, wenn die Abkühlbedingungen in beiden Fällen gleich sind. Dies gilt insbesondere für Eisengraphit-Werkstoffe, deren mechanische Eigenschaften in starkem Maße von Graphitform und -verteilung abhängen.

30.1.2 Versuchsauswertung Bei der Bestimmung von Werkstoffeigenschaften ist neben dem Kennwert auch der Streubereich von Bedeutung, der durch Unterschiede in der chemischen Zusammensetzung der Proben sowie durch fertigungs- und prüftechnische Einflüsse bedingt ist. Bei der Festlegung von Sicherheitszahlen für die Festigkeitsberechnung ist es häufig erforderlich, Werkstoffkennwerte einzusetzen, die nach statistischen Grundsätzen bestimmt wurden.

Auswertungsverfahren für statische Werkstoffkennwerte Die Mehrzahl der statischen Werkstoffkennwerte wird durch Mittelwertbildung (50 % Überlebenswahrscheinlichkeit) bestimmt. Zusätzlich kann ein Minimalwert angegeben werden, der von kei-

ner Probe unterschritten wird. Die in [1] bzw. im Tab. 29.3 angegebenen Werte gelten für eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 97,5 %.

Auswertungsverfahren für Schwingfestigkeitskennwerte Infolge der großen Zahl von Schwingfestigkeits-Einflussfaktoren sollten alle maßgeblichen Dauerfestigkeitskennwerte mit der Angabe einer bestimmten Überlebens- oder Bruchwahrscheinlichkeit gekoppelt werden, wozu eine größere Probenzahl erforderlich ist. Bei nur wenigen Proben pro Lasthorizont und geringer Probenzahl pro Wöhlerkurve ist eine Verbesserung des Auswerteverfahrens dadurch möglich, dass aufgrund des beobachteten Verteilungsbilds der Versuchswerte zutreffende Verteilungsgesetze mit genügender Genauigkeit formuliert werden können. Die bekanntesten Verteilungsgesetze sind die Normalverteilung nach Gauß, die Extremverteilung nach Gumbel (die Weibull-Verteilung stellt hierin einen Sonderfall p dar) sowie die arcsin p-Transformation. Unter der Voraussetzung einer Normalverteilung werden derzeit zwei Auswerteverfahren zur Bestimmung der Dauerfestigkeit bzw. der Schwingfestigkeit bei einer vorgegebenen Grenzschwingspielzahl angewandt [2]. Treppenstufenverfahren. Hier wird eine größere Probenzahl (15 bis 20) nacheinander auf mehreren Laststufen geprüft, wobei die Beanspruchungshöhe davon abhängt, ob die vorher untersuchte Probe zu Bruch ging oder die Grenz-

30 Werkstoffprüfung

schwingspielzahl als sog. Durchläufer erreicht hat. Im Falle eines Bruchs wird die Last um einen Stufensprung erniedrigt, ansonsten erhöht. Die Auswertung der anfallenden Versuchsergebnisse geschieht rechnerisch und liefert Mittelwert und Standardabweichung der ertragbaren Spannung und die zugehörigen Vertrauensgrenzen [2]. Abgrenzungsverfahren. Hier wird ebenfalls zunächst eine Probe in Höhe der erwarteten Dauerfestigkeit beansprucht. Bricht die Probe, so wird die Laststufe so lange erniedrigt, bis der erste Durchläufer auftritt. Beginnt die Versuchsreihe mit einem Durchläufer, wird die Last so lange gesteigert, bis der erste Bruch eintritt. Auf dem Lasthorizont des ersten Durchläufers oder Bruchs werden anschließend mindestens acht Proben geprüft. Mit der Anzahl der Brüche r und der Gesamtzahl der Proben n kann dann der zweite Lasthorizont a2 berechnet werden. Auf diesem wird nach Möglichkeit die gleiche Probenzahl geprüft wie auf dem ersten. Die Bruchwahrscheinlichkeitswerte

523

versuch; statische Langzeitprüfverfahren: Zeitstandversuch (Kriechversuch), Entspannungsversuch (Relaxationsversuch); dynamische Kurzzeitprüfverfahren: (instrumentierter) Kerbschlagbiegeversuch, Schlagzerreißversuch; zyklische bzw. Ermüdungs-Langzeitprüfverfahren: Dehnungswechselversuch, Einstufen-, Mehrstufenund Betriebsfestigkeitsversuch.

30.2.1 Zugversuch Zweck. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften unter homogenen, einachsigen Zugspannungen.

Probengeometrie. Die Kennwerte werden an Proben mit kreisförmigem, quadratischem oder rechteckigem Querschnitt ermittelt. Um die Bruchdehnungswerte vergleichen zu können, müssen bestimmte Messlängenverhältnisse eingehalten werden. Im Allgemeinen werden zylindrische Proportionalstäbe (Durchmesser D0 ) angewandt, bei 3r  1 r oder PB D PB D denen die Messlänge L0 D 5  D0 (kurzer 3r C 1 nC1 Proportionalstab) oder L0 D 10  D0 (langer Prowerden für beide Lasthorizonte errechnet und portionalstab) festgelegt wird. in einem Wahrscheinlichkeitsnetz (z. B. Normalverteilung oder Extremwertverteilung) auf dem Kennwerte gewählten Lasthorizont eingetragen. Die durch beide Punkte gelegte Gerade erlaubt die Bestim- Festigkeit. Bei stetigem Übergang vom elasmung der Lasthorizonte für Bruchwahrschein- tischen in den plastischen Bereich wird die lichkeitswerte von 10, 50 und 90 %. 0,2 %-Dehngrenze Rp0;2 bestimmt. Bei unstetiNormen: DIN 50 100: Dauerschwingversuch. gem Übergang wird die Streckgrenze Re bestimmt, die in untere und obere Streckgrenze (ReL , ReH ) unterteilt werden kann (Abb. 30.2). 30.2 Prüfverfahren Die Zugfestigkeit Rm D Fmax =S0 ist die Spannung, die sich aus der auf den Anfangsquerschnitt Innerhalb der Gruppe mechanischer Prüfver- S0 bezogenen Höchstkraft ergibt. fahren nehmen die Festigkeits- und Zähigkeitsprüfungen sowie Ermüdungsversuche ei- Verformung. Die Bruchdehnung A ist die auf ne zentrale Stellung ein. Die Mehrzahl der die Anfangsmesslänge L0 bezogene bleibende Festigkeitsprüfungen kann aus verschiedenen Längenänderung nach dem Bruch der Probe: Grundlastfällen wie folgt zusammengesetzt werden: Statische Kurzzeitprüfverfahren: ZugverLu  L0 AD  100 % such, Druckversuch, Biegeversuch, VerdrehL0

30

524

M. Oechsner et al.

und Brucheinschnürung. Warmdehngrenze und Warmzugfestigkeit hängen außer von der Temperatur auch von der Versuchszeit ab. Zur Reproduzierbarkeit der Kennwerte ist es erforderlich, Grenzwerte für die Spannungszunahme- und Dehngeschwindigkeit einzuhalten.

Abb. 30.2 Festigkeits- und Verformungskennwerte im Zugversuch. a mit ausgeprägter Streckgrenze; b mit 0,2 Dehngrenze

Die Bruchdehnung setzt sich aus Gleichmaßdehnung und Einschnürdehnung zusammen. Sie hängt vom Werkstoff und der Länge der Bezugsstrecke L0 ab. Da die Einschnürdehnung bei einer Messlänge L0 D 5  D0 im Vergleich zur Gleichmaßdehnung prozentual stärker ins Gewicht fällt, sind die A5 -Werte größer als die A10 -Werte. Die Brucheinschnürung Z ergibt sich aus dem Anfangsquerschnitt S0 und dem Endquerschnitt der Probe nach dem Bruch Su . ZD

S0  Su  100 % S0

Sie stellt ein unmittelbares Vergleichsmaß für das Kaltumformvermögen eines Werkstoffs dar.

Schlagversuch. Er dient zur Ermittlung der Sprödbruchanfälligkeit glatter oder gekerbter Zugproben bei Schlaggeschwindigkeiten zwischen 5 und 15 m/s, in Ausnahmefällen bis zu 100 m/s (Hochgeschwindigkeitsumformung). Zur Ermittlung der Schlagzähigkeit wird die Brucheinschnürung der Probe bestimmt. Die Bestimmung der Schlagzugfestigkeit oder Schlagdehngrenze setzt eine dynamische Kraft- und Verformungsmessung voraus. Normen (Auswahl): DIN EN ISO 6892: Metallische Werkstoffe – Zugversuch. – DIN 50 125: Prüfung metallischer Werkstoffe – Zugproben. – DIN EN ISO 527: Kunststoffe, Bestimmung der Zugeigenschaften. – DIN EN 895: Zerstörende Prüfung von Schweißverbindungen an metallischen Werkstoffen, Querzugversuch. – DIN EN 1561: Gießereiwesen – Gusseisen mit Lamellengraphit, Zugversuch. – DIN EN 1562: Temperguss, Zugversuch. – DIN 52 188: Prüfung von Holz, Zugversuch. – DIN 53 504: Prüfung von Kautschuk und Elastomeren, Zugversuch.

E-Modul. Nach dem Hooke’schen Gesetz lässt sich der E-Modul im linear-elastischen Bereich des Spannungs-Dehnungsschaubilds wie folgt 30.2.2 bestimmen: ED

 D .F=S0 /=.L=L0 / "

Bei Werkstoffen mit nichtlinearem Spannungs-Dehnungsverlauf (z. B. Eisen-GraphitWerkstoffe) kann der Tangentenmodul als Steigungsmaß der Spannungs-Dehnungs-Kurve im Punkt  D 0 angegeben werden: E0 D jd=d "j.

Sonderprüfverfahren Warmzugversuch. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften bei erhöhten Temperaturen. Bestimmt werden Warmdehngrenze, Warmzugfestigkeit, Bruchdehnung

Druckversuch

Zweck. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften unter homogenen, einachsigen Druckspannungen und wird an metallischen und insbesondere mineralischen Werkstoffen angewandt. Weiterhin kann der Druckversuch zur Bestimmung der Fließkurve duktiler Werkstoffe herangezogen werden. Probengeometrie. Die Prüfung wird an runden oder prismatischen Körpern zwischen zwei planparallelen Platten durchgeführt. Im Normalfall ist die Probenlänge gleich der Probendicke. Bei der Anwendung der Feindehnungsmessung ist eine größere Probenlänge erforderlich. Diese sollte

30 Werkstoffprüfung

525

Prüfung metallischer Werkstoffe, Druckversuch. – DIN 52 185: Prüfung von Holz, Bestimmung der Druckfestigkeit parallel zur Faser. – DIN EN ISO 7500: Druckprüfmaschinen.

30.2.3 Biegeversuch Zweck. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften an Stahl, Gusswerkstoffen, Holz, Beton und Bauelementen unter inhomogenen, einachsigen Biegespannungen. Bei aber aufgrund der Knickgefahr nicht größer als duktilen Werkstoffen wird er zur Bestimmung die 2,5- bis 3fache Probendicke sein. der Biege-Fließgrenze und des größtmöglichen Biegewinkels, bei spröden Werkstoffen zur BeKennwerte stimmung der Biegefestigkeit angewendet. Abb. 30.3 Spannungs-Dehnungs-Schaubild eines duktilen Stahls und eines Eisen-Graphit-Werkstoffs im Druckversuch

Spröde Werkstoffe. Die Druckfestigkeit ist die auf den Anfangsquerschnitt bezogene Höchstlast, bei der der Bruch eintritt: dB D FB =S0 . Bei geometrisch ähnlichen Proben ist deren Druckfestigkeit vergleichbar. Bei gleichem Prüfdurchmesser nimmt die Druckfestigkeit mit der Probenhöhe ab infolge unterschiedlicher Stützwirkung der „Druckkegel“.

Probengeometrie. Die Prüfung wird typischerweise an balkenförmigen Probekörpern oder Bauteilen mit Rechteckquerschnitt durchgeführt. Die Probe wird auf zwei Auflagen positioniert und in der Mitte mit einem Prüfstempel belastet (3-Punkt-Biegeversuch). Beim 4-Punkt-Biegeversuch wird die Prüfprobe ebenfalls auf zwei Auflagen positioniert und in der Mitte mit einem Prüfstempel mit zwei Druckpunkten belasDuktile Werkstoffe. Der Beginn des plastitet. Hieraus ergibt sich innerhalb der inneren schen Fließens wird durch die Quetschgrenze Auflager ein konstantes Biegemoment. dF charakterisiert, die das Äquivalent zur Fließgrenze im Zugversuch darstellt. Infolge Reibung an den Krafteinleitungsflächen entsteht in Kennwerte der Mitte der Proben eine Ausbauchung. Totaler Probenbruch tritt nicht ein, es entstehen Spröde Werkstoffe. Die Biegefestigkeit bB lediglich Trennrisse infolge Querzugspannungen, kann aus dem größten Biegemoment Mb;max und dem Widerstandsmoment des ProbenkörAbb. 30.3. pers berechnet werden. Sie wird vorzugsweiSonderprüfverfahren. Zur Bestimmung der se an Werkzeugstählen, Schnellarbeitsstählen, Fließspannung kf (frühere Bezeichnung: Hartmetallen und oxidkeramischen Stoffen als Formänderungsfestigkeit) wird der Zylinder- Werkstoffkennwert ermittelt. Die Biegefestigkeit Stauchversuch angewandt. Um eine einachsige von Eisen-Graphit-Werkstoffen mit nichtlinearer Druckformänderung sicherzustellen, muss die Spannungs-Dehnungs-Charakteristik wird nach Reibung klein gehalten werden. Die kf-Werte der gleichen Beziehung berechnet, wobei je nach ermöglichen die Berechnung des ideellen Kraft- Probenquerschnitt die Biegefestigkeit größer ist und Arbeitsbedarfs bei Warm- und Kaltumform- als die Zugfestigkeit. vorgängen. Normen: DIN 1048: Prüfverfahren für Beton. Duktile Werkstoffe. Der Beginn des plastischen – DIN EN 1926: Prüfverfahren von Naturstein, Fließens wird durch die Biegefließgrenze bF beBestimmung der Druckfestigkeit. – DIN 50 106: stimmt, Abb. 30.4.

30

526

M. Oechsner et al.

Kennwerte Härteprüfung nach Brinell. Die Brinellhärte wird aus dem Quotienten von Prüfkraft F (in N) und Oberfläche des bleibenden Kugeleindrucks (Hartmetallkugel) errechnet. Sie ergibt sich aus 0;102  2F 0;102  2F p D A D.D  .D 2  d 2 //

Abb. 30.4 Spannungs-Dehnungs-Schaubild eines spröden und duktilen Stahls im Biegeversuch

HBW D

Sonderprüfverfahren. Kerbschlagbiegeversuch, s. Abschn. 30.2.5. Technologische Prüfungen, s. Abschn. 30.2.9. Normen (Auswahl): DIN 1048: Prüfverfahren für Beton. – DIN 52 186: Prüfung von Holz, Biegeversuch. – DIN EN ISO 178: Kunststoffe, Bestimmung der Biegeeigenschaften. – DIN 51 230: Dynstat-Gerät zur Bestimmung von Biegefestigkeit und Schlagzähigkeit an kleinen Proben.

mit dem Kugeldurchmesser D und mittlerem Durchmesser des Eindrucks d (in mm). Das Kurzzeichen für die Brinell-Härte setzt sich zusammen aus dem Härtewert HBW, dem Kugeldurchmesser in mm, dem mit 0,102 multiplizierten Zahlenwert der Prüfkraft F in N und der Einwirkdauer der Prüfkraft in s, falls diese von der vorgegebenen Dauer abweicht. Beispiel: 350 HBW 5/750/30 (ohne Dimensionsangabe) = Brinellhärte 350, bestimmt mit einer Kugel von 5 mm Durchmesser, einer Prüfkraft von 7,355 kN und einer Einwirkzeit von 30 s. Vor 2006 wurde neben der heute in der Normung ausschließlich zugelassenen Hartmetallkugel auch eine gehärtete Stahlkugel zugelassen. Um die ermittelten Brinell-Härtewerte den jeweils verwendeten Eindringkörper unterscheiden zu können, wurde bei der Angaben der Brinell-Härte in HBW (bei Verwendung einer Hartmetallkugel) bzw. HBS (bei Verwendung einer Stahlkugel) unterschieden.

30.2.4 Härteprüfverfahren

Zweck. Sie können unter Berücksichtigung einiger Einschränkungen als zerstörungsfreie Prüfverfahren bezeichnet werden. Die verfahrensabhängigen Härtewerte stellen ein direktes Vergleichsmaß für den abrasiven Verschleißwiderstand eines Werkstoffs dar. Bei einzelnen Verfahren bestehen angenäherte Beziehungen zwischen den Härtewerten und der Zugfestigkeit. Darüber hinaus sind die Makro- und Mikrohärteprüfverfahren zur tendenziellen Bewertung der Zähig- Härteprüfung nach Vickers. Die Vickershärte keitseigenschaften in kleinen Volumenbereichen wird aus dem Quotienten von Prüfkraft F (in N) und Oberfläche des bleibenden Pyramideneingeeignet. drucks (Spitzenwinkel 136°) errechnet. Sie ergibt Verfahrensarten. Die statischen Härteprüfver- sich aus fahren können als Eindringverfahren bezeichnet werden, bei denen der Eindringwiderstand definierter Körper (Kugel, Pyramide, Kegel) in eine Werkstoffoberfläche bestimmt wird. Je nach Prüfverfahren wird der Eindringwiderstand entweder als Verhältnis der Prüfkraft zur Oberfläche des Eindrucks (Brinellhärte, Vickershärte) oder als bleibende Eindringtiefe eines Eindringkörpers bestimmt (Rockwellhärte).

HB D

F 0;102  F D 0;190 2 A d

mit der gemittelten Diagonalenlänge des Eindrucks d. Gebräuchliche Lasten sind 98 und 294 N (10 bzw. 30 kp). Infolge der geometrischen Ähnlichkeit der Eindrücke ist das Vickersverfahren oberhalb 100 N lastunabhängig.

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30 Werkstoffprüfung

Das Kurzzeichen der Vickershärte setzt sich zusammen aus dem Härtewert HV, dem mit 0,102 multiplizierten Zahlenwert der Prüfkraft F in N und der Einwirkzeit der Prüfkraft, z. B. 640 HV 30/10. Die Anwendung von Prüflasten zwischen 2 und 50 N (Kleinlastbereich) ermöglicht die Härtemessung an dünnen Schichten. Durch Prüflasten unter 2 N ist die Härtemessung an einzelnen Gefügebestandteilen möglich (Mikrohärteprüfung). Härteprüfung nach Rockwell. Bei diesem Verfahren wird der Eindringkörper (Diamantkegel oder Stahlkugel) in zwei Laststufen in die Probe gedrückt und die bleibende Eindringtiefe h gemessen. Die Rockwellhärte ergibt sich aus der Differenz zwischen einem Festwert N und der Eindringtiefe h, bezogen auf eine Härteeinheit S. Sie ergibt sich aus: Rockwellhärte = N  h=S. Die Werte für N (100 oder 130) und S (0,001 oder 0,002) sind für verschiedene Rockwell-Prüfverfahren festgelegt. Die Verfahren unterscheiden sich in der Art des Eindringkörpers, der Prüfkraft und in ihrem Anwendungsbereich. Die beiden wichtigsten sind das Rockwell-B-Verfahren (Eindringkörper Stahlkugel; HRB D 130  h=0;002) und das Rockwell-C-Verfahren (Eindringkörper Diamantkegel; HRC D 100  h=0;002). Beispiel

529

Normen (Auswahl): DIN EN ISO 6506: Metallische Werkstoffe, Härteprüfung nach Brinell. – DIN EN ISO 6507: Metallische Werkstoffe, Härteprüfung nach Vickers. – DIN EN ISO 6508: Metallische Werkstoffe, Härteprüfung nach Rockwell.

30.2.5 Kerbschlagbiegeversuch Zweck. Er dient zur Beurteilung der Zähigkeitseigenschaften metallischer Werkstoffe unter besonderen Prüfbedingungen. Durch hohe Beanspruchungsgeschwindigkeit und mehrachsige Zugspannungszustände kann der Übergang vom Zähbruch zum Sprödbruch bei bestimmten Temperaturen ermittelt werden, wobei die Höhe der Kerbschlagarbeit und die Lage der Übergangstemperatur als Vergleichsmaß für die Werkstoffzähigkeit gelten. Durch den instrumentierten Kerbschlagbiegeversuch, bei dem ein zur Schlagkraftmessung mit Dehnungsmessstreifen versehenes Pendelschlagwerk benutzt wird, kann der Aussagegehalt der Prüfung erhöht werden. Während des Schlagvorganges wird die Kraft an der Schlagfinne über der Zeit oder über den Pendelweg aufgezeichnet. Dadurch kann nicht nur die für die Rissbildung nötige Energie bestimmt, sondern auch weitere Bruchkriterien (Bruchkraft, Bruchverformung, Brucharbeit, Rissstoppverhalten) ermittelt werden. Messungen bei verschiedenen Probentemperaturen lassen sich einfach durchführen.

60 HRC = Rockwellhärte 60, gemessen in der Skala C (Diamantkegel, 1,471 kN Prüfgesamtkraft, Anwendungsbereich 20 bis Probengeometrie. Die Kennwerte werden über70 HRC). J wiegend an Proben mit quadratischem Prüfquerschnitt (10 × 10 × 55 mm3 ) ermittelt, die auf der Eine direkte Umrechnungsmöglichkeit der Zugseite Kerben mit definierter U- oder V-GeoRockwellhärte in Vickershärte oder Brinellhär- metrie aufweisen. Das Ähnlichkeitsprinzip gilt te besteht nicht. Durch Härtevergleichstabellen nicht; daher ist bei allen Kerbschlagversuchen die können die einzelnen Härtewerte nach allen drei Angabe der Probengeometrie unbedingt erforderPrüfverfahren angegeben werden. lich.

Sonderprüfverfahren Dynamische Härteprüfverfahren (Fallhärteprüfung, Rücksprunghärteprüfung). – Härteprüfung bei höheren Temperaturen (Warmhärteprüfung).

Kennwerte. Es wird die in einem Pendelschlagwerk mit einer Schlaggeschwindigkeit von 5 m/s zum Durchbruch der Proben durch die Widerlager notwendige Kerbschlagarbeit in Nm oder J

30

530

M. Oechsner et al.

Normen (Auswahl): DIN EN 10 045: Metallische Werkstoffe – Kerbschlagbiegeversuch nach Charpy. – DIN 50 115: Besondere Probenform und Auswerteverfahren. – DIN EN ISO 179: Kunststoffe – Bestimmung der Charpy-Schlagzähigkeit. – DIN EN 875: Zerstörende Prüfung von Schweißverbindungen an metallischenWerkstoffen.

Abb. 30.5 Kerbschlagarbeits-Temperatur-Verhalten und Einflussgrößen

ermittelt, z. B. KV = 80 J bei Verwendung von Proben mit V-Kerbe. Mit zunehmender Temperatur steigt bei Stählen mit krz-Gitter die Kerbschlagarbeit an und die Größe des Zähbruchbereiches auf der Bruchfläche der Probe nimmt zu. Bei 100 % Zähbruch erreicht die Kerbschlagarbeit die Hochlage. Die Kerbschlagarbeit ist von vielen Einflussgrößen abhängig, Abb. 30.5, und kann insbesondere durch höhere Werkstoffreinheit (geringe Gehalte an S, P, Si, Al, Sn, Sb, As), gute Homogenität (geringe Seigerungen) und besonderen Wärmebehandlungsverfahren (Feinkorn, feine Gefügestruktur) verbessert werden. Der Übergang vom zähen zum spröden Verhalten in der Tieflage (100 % Sprödbruch) wird durch Übergangstemperaturen gekennzeichnet (z. B. bei 50 % Zähbruchanteil = FATT (Fracture Appearance Transition Temperature), T27 J = Temperatur bei KV = 27 J). Beim Vergleich von Stählen mit verschiedenen Übergangstemperaturen erweist sich der Werkstoff mit der höchsten Übergangstemperatur als der sprödbruchgefährdetste. Beim instrumentierten Kerbschlagbiegeversuch ergibt sich die Schlagarbeit durch die Bestimmung der Fläche unter der Kraft-Weg-Kurve. Aus dem Verlauf der Kraft-Weg-Kurve kann insbesondere eine Aussage über das Rissstoppverhalten bei der entsprechenden Prüftemperatur gewonnen werden. Instabiles Risswachstum zeigt sich durch einen plötzlichen Lastabfall. Ein Lastabfall auf Null bedeutet, dass der Riss nicht aufgefangen wird.

30.2.6 Bruchmechanische Prüfungen Zweck. Sie dienen zur Ermittlung bruchmechanischer Kennwerte, die bei quasistatischer Beanspruchung die Rissinitiierung (Beginn der Risserweiterung), stabile Risserweiterung und Bruch beschreiben. Bei zyklischer Beanspruchung werden die Nichtausbreitungsfähigkeit und der stabile Rissfortschritt von Makrorissen beschrieben. Die Kennwertermittlung erfolgt lediglich für den Rissöffnungsmodus I. Probengeometrie. Die Prüfung erfolgt mit genormten Proben, z. B. Biegeproben (SE(B)), Kompaktzug(C(T))-Proben oder Rund-Kompaktzug-(DC(T))-Proben, Abb. 30.6.

Versuchsführung und Kennwerte Statische Belastung. Ausgehend von einer spanend erzeugten Makrokerbe als Rissstarter an der Zugseite der Probe wird in Zug-Schwellversuchen zunächst ein Ermüdungsanriss definierter

Abb. 30.6 Biege- und Kompaktzugprobe sowie KraftRissaufweitungs-Diagramm im Bruchmechanikversuch

30 Werkstoffprüfung

531

Form und Länge erzeugt. Die hierfür erforderlichen Prüfkräfte sind festgelegt, um an der Rissspitze nur geringe plastische Wechselverformungen auszulösen (Kmax 0;6 KQ ). Die Risslänge kann z. B. aus Nachgiebigkeits- oder Potenzialmessungen bestimmt werden. Es werden Kraft-Rissaufweitungs-Kurven bei kontinuierlicher Belastung ermittelt, Abb. 30.6, aus denen die Kennwerte bestimmt werden. Für die Ermittlung der Bruchzähigkeit KIc bei sprödem Werkstoffverhalten wird die Gültigkeit der linear elastischen Bruchmechanik (LEBM) gefordert. Die Bedingung des Kleinbereichsfließens ist nur erfüllt, wenn bestimmte Abmessungen für die Probendicke B und die Anfangsrisslänge a eingehalten werden: (KIc -Bruchzähigkeit in N=mm3=2 und Rp0;2 in N=mm2 ) 

KIc B; a  2;5 Rp0;2

2

Eine Abschätzung der Bruchzähigkeit vor dem Versuch ist daher zur Ermittlung der Probengröße notwendig. Bei zähem Werkstoffverhalten sind Rissinitiierung und stabile Risserweiterung voneinander abzugrenzen. Ein- oder Mehrprobenverfahren sind möglich. Bei der Einprobenmethode wird eine einzige Versuchsprobe verwendet. Die Rissverlängerung kann bei zunehmender Belastung mit der elektrischen Potenzialmethode gemessen werden. Eine andere Möglichkeit ist das Teilentlastungsverfahren, bei dem während des Versuchs die Probe wiederholt teilentlastet (max. 0;1–0;2 F ) und danach wieder belastet wird. Während des Ent- und Belastens wird aus der Steigung der Ent- bzw. Belastungsgeraden die Nachgiebigkeit (Compliance) der Probe und darüber die Risslänge bestimmt. Beim Mehrprobenverfahren werden mehrere Proben mit nahezu identischer Anfangsrisslänge unterschiedlich hoch belastet. Dabei kommt es zu verschiedenen Risserweiterungen. Der Betrag der stabilen Risserweiterung ˛ kann nach Markieren der Rissfront und anschließendem Aufbrechen der Probe auf der Bruchfläche ausgemessen werden. Die Rissinitiierung, d. h. der Übergang von einem ruhenden zu einem wachsenden Riss, wird

durch die werkstoffphysikalisch wahren Rissinitiierungswerte ıi und Ji charakterisiert. Sie werden aus der sich an der Rissspitze bildenden Stretchzonenbreite auf der Bruchfläche rasterelektronenmikroskopisch bestimmt. Der Beginn stabiler Risserweiterung, d. h. Rissvergrößerung, wird durch die technischen Rissinitierungswerte ı0;2 ; J0;2 ; ı0;2BL oder J0;2BL beschrieben. Sowohl bei der Mehr- als auch der Einprobenmethode können die Werte für J bzw. ı für eine bestimmte Risserweiterung ˛ ermittelt werden. Mit diesen Wertepaaren J – ˛ bzw. ı – ˛ werden Risswiderstandskurven konstruiert, Abb. 29.17. In die Auswertung der JR - bzw. ıR -Kurven werden nur Punkte einbezogen, die in einem bestimmten Gültigkeitsbereich liegen. Zyklische Belastung. Schwellenwert- und Rissfortschrittsmessungen sind Gegenstand zyklischer bruchmechanischer Prüfungen. Die Rissausbreitungskurve, Abb. 29.19, wird bei konstanter Belastung (Mittellast und Amplitude) ermittelt, wobei die Risslänge a und die dazugehörige Schwingspielzahl N gemessen werden. Unter Verwendung der Sekanten- oder Polynommethode wird daraus die Rissfortschrittsrate da=dN berechnet. Die Ermittlung des Schwellenwertes Kt h erfolgt durch stufenweises oder kontinuierliches Absenken der zyklischen Belastung bei konstantem Lastverhältnis R bis zu einer Rissfortschrittsrate da=dN 107 mm=LS Dieser Wert kennzeichnet die Nichtausbreitungsfähigkeit von Rissen. Sonderprüfverfahren. Mit BruchmechanikProben können KISCC -Werte für rissbehaftete Proben in Spannungsrisskorrosion auslösenden Medien ermittelt werden, bei denen unter dem Einfluss eines Elektrolyten stabiles Risswachstum einsetzt [3]. Die Ermittlung des Kriechrisswachstumsverhaltens erfolgt i. Allg. ebenfalls mit diesen Bruchmechanikproben bei hohen Temperaturen. Die Rissverlängerung wird über Potenzialverfahren oder Kerbaufweitungsmessung ermittelt.

30

532

Normen (Auswahl): ISO 12 135: Metallische Werkstoffe, Vereinheitlichtes Prüfverfahren zur Bestimmung der quasistatischen Bruchzähigkeit. – ISO 12 737: Metallische Werkstoffe – Bestimmung der Bruchzähigkeit (ebener Dehnungszustand). – ASTM E 647: Standard Test Method for Measurement of Fatigue Crack Growth Rates. – ASTM E 1820: Standard Test Method for Measurement of Fracture Toughness. – ASTM E 1921: Standard Test Method for Determination of Reference Temperature To for Ferritic Steels in the Transition Range.

30.2.7 Chemische und physikalische Analysemethoden Zweck. Zur Identifizierung metallischer Werkstoffe wird deren Zusammensetzung qualitativ oder quantitativ mit chemischen und physikalischen Analysemethoden ermittelt. Bei der Analyse von metallischen sowie nichtmetallischen Legierungs- und Begleitelementen gewinnen Verfahren zur Bestimmung von Gasgehalten zunehmend an Bedeutung. Neben der Ermittlung des Legierungsaufbaus des Grundwerkstoffs ist zur Beurteilung von Korrosions- oder Verschleißvorgängen die Identifizierung von Oberflächenschichten, die durch Wechselwirkung mit der Atmosphäre, korrosiven Medien oder Schmierstoffen gebildet worden sind, erforderlich.

M. Oechsner et al.

rer durchschnittlichen Konzentration enthalten sind. Je nach der Einwaage bzw. dem analytisch erfassten Probenvolumen spricht man von makro-, halbmikro- und mikroanalytischen Verfahren. Unter Spurenanalyse versteht man die Bestimmung sehr kleiner Gehalte (< 0,01 bis 0,001 %). Abb. 30.7 zeigt eine Gegenüberstellung von Analysenmethoden und den kleinsten erfassbaren Mengen bzw. Bereichen.

Analyseverfahren Nasschemische Verfahren. Maßanalyse (Titration). Der gesuchte Stoff wird in einer Lösung durch eine Reaktion mit einem geeigneten Reagenz bestimmt. Aus der zur vollständigen Umsetzung verbrauchten Menge an Reagenzlösung lässt sich die Konzentration des Elements berechnen. Das Ende der Umsetzung wird meist visuell als Farbumschlag oder apparativ z. B. durch Leitfähigkeitsänderung erkannt.

Spektralanalyse. Bei der Emissionsspektralanalyse wird die Zusammensetzung aus den für die Elemente charakteristischen Wellenlängen im optischen Spektrum und deren Intensitäten bestimmt. Zur Anregung benutzt man Funkenentladungen, Lichtbogen oder auch Laser; für den Nachweis spaltet man das Licht durch Gitter oder Prismen in seine Komponenten auf. Zu entsprechenden Analyseverfahren lässt sich auch die Absorption charakteristischer Spektrallinien verProbenentnahme. Die Probengröße für chemi- wenden. sche Analysen ist hinsichtlich der Menge so zu wählen, dass die Elemente entsprechend ih- Röntgenfluoreszenzanalyse. Die Röntgenfluoreszenzanalyse arbeitet mit Wellenlängen im Bereich der Röntgenstrahlung, die durch Sekundäranregung beim Auftreffen harter Röntgenstrahlung von einer Probe emittiert wird. Die Zerlegung der Spektren erfolgt durch Beugung an geeigneten Einkristallen (wellenlängendispersiv) oder elektronisch mittels spezieller Halbleiterdetektoren (energiedispersiv).

Abb. 30.7 Kleinster erfassbarer Probenbereich für chemische und physikalische Analysenverfahren

Elektronenstrahl-Mikroanalyse (ESMA). Dünne Oberflächenschichten werden beim Auftreffen hoch beschleunigter Elektronen zur Emission von

30 Werkstoffprüfung

Röntgenspektren veranlasst. Durch Fokussierung der Elektronen in einen feinen Strahl lässt sich erreichen, dass nur ein äußerst kleiner Bereich (1 µm3 ) erfasst wird. Nachzuweisen sind Elemente mit Ordnungszahlen ab 5 (B). Die Anwendung des Elektronenstrahl-Mikroanalyseverfahrens erlaubt eine Punkt-, Linien- oder rasterförmige Flächenanalyse. Für die Elektronenstrahl-Mikroanalyse wird in der Regel ein Rasterelektronenmikroskop (REM, siehe Abschn. 30.2.8) genutzt, so dass gleichzeitig eine Zuordnung der Analyseergebnisse zu den materialographischen Befunden möglich ist. Die Elektronen-Mikroanalyse kann energiedispersiv (EDX: energiedispersive Röntgenstrahl-Mikroanalyse) oder wellenlängendispersiv (WDX: wellenlängendispersive RöntgenstrahlMikroanalyse) erfolgen. Rückstreu-Elektronenbeugung (EBDS: Electron Backscatter Diffraction). Der im Rasterelektronenmikroskop erzeugte fein fokussierte Primärelektronenstrahl wird an den Netzebenen der kristallinen Probe gebeugt. Das entstehende Beugungsbild (Electron Backscatter Pattern, EBSP, auch Kikuchi-Pattern) beinhaltet alle Winkelbeziehungen im Kristall und somit auch die Kristallsymmetrie. Die hohe laterale Auflösung des Rasterelektronenmikroskops erlaubt die Aufnahme von Kristallorientierungsverteilungsbildern, z. B. zur Bestimmung von Textur, Orientierungsbeziehungen zwischen Körnern, Rekristallisation, Groß- und Kleinwinkelkorngrenzen. Mit Hilfe hochauflösender Detektoren ist auch eine kristallographische Phasenanalyse möglich. Die sehr geringe Informationstiefe der Methode (< 30 nm) erfordert eine absolut verformungsfreie Oberflächenpräparation.

533

dreidimensional periodischen Charakters kristalliner Materie kommt es so nur bei bestimmten Winkeln zur konstruktiven Interferenz. Diese Winkel lassen sich mittels Bragg-Gleichung in Beziehung zu dem Abstand bestimmter Netzebenen des Kristalls setzen. Bei der Röntgenbeugung handelt es sich um ein Standardverfahren zur Strukturaufklärung von Festkörpern. Neben der qualitativen Phasenanalyse findet die Röntgenbeugung auch in der qualitativen Phasenanalyse (z. B. Restaustenit: Anteil Austenit in ferritischer Matrix) der Eigenspannungsbestimmung Anwendung.

30.2.8 Materialographische Untersuchungen Zweck. Ziel materialographischer Untersuchungen ist, die makroskopische und mikroskopische Gefügestruktur einer Probe sichtbar zu machen, zu beschreiben und zur Deutung der Eigenschaften im weitesten Sinne heranzuziehen. Oft lassen sich nach dem Befund Voraussagen über das Verhalten einer Legierung unter bestimmten Beanspruchungsbedingungen oder bei bestimmten Verarbeitungsprozessen machen. Die Materialographie ist eine metallkundliche Untersuchungsmethode, der bei der Auswahl des für Anwendung und Fertigung günstigsten Gefüges, zur Kontrolle, zur Ermittlung von Verarbeitungsfehlern sowie bei der Aufklärung von Schadensfällen besondere Bedeutung zukommt.

30 Probenentnahme und Vorbereitung

Makrogefüge-Untersuchung. Probenoberflächen für fraktographische Beurteilungen sowie Röntgenbeugung (XRD: X-Ray Diffraction). Querschliffe können ohne besondere VorarbeiBei der Röntgenbeugung wird die einfallende ten makroskopisch (Vergrößerung bis zu 50fach) Röntgenstrahlung am Kristallgitter der Probe ge- betrachtet werden. beugt. Die Wellenlänge der Röntgenstrahlung liegt im Bereich der Atomabstände im Kristall- Mikrogefüge-Untersuchung. Die Probenentgitter, so dass dieses als dreidimensionales Beu- nahme erfolgt spanend, durch Trennschleifen gungsgitter dient. Bei der Röntgenbeugung wird oder Funkenerosion, wobei die zu untersuchender Bestrahlungswinkel variiert. Aufgrund des den Flächen möglichst eben herzustellen sind.

534

Erwärmung der Proben ist unbedingt zu vermeiden. Zur besseren Handhabung und zur automatischen Präparation werden die Schliffproben in Einbettmassen eingebettet. Durch Schleifen und anschließendes Polieren wird eine spiegelblanke Metalloberfläche erzeugt. Zur Entwicklung des Mikrogefüges kommen unterschiedliche Ätzverfahren (chemisch, elektrolytisch, Aufdampfen) zum Einsatz.

M. Oechsner et al.

Elektronenmikroskopie. Je nach Art der zur Bilderzeugung genutzten Wechselwirkung zwischen Elektronenstrahlen und Untersuchungsobjekt wird unterschieden zwischen Transmissions-, Rückstreu- und Sekundär-Elektronenmikroskopie. Während bei den beiden erstgenannten Verfahren die Elektronenstrahlung von außen auf das Objekt einfällt, wird bei der Sekundär-Elektronenmikroskopie die Strahlung im Objekt selbst gebildet. Die untere Grenze des Auflösungsvermögens liegt im Nanometerbereich. Hauptanwendungsgebiete der Transmissions-Elektronenmikroskopie sind der Nachweis von Versetzungsstrukturen, submikroskopischen Ausscheidungen sowie von Phasengrenzen. Durch Anwendung der Ausziehabdruckverfahren können Einschlüsse freigelegt werden, die durch Elektronenbeugung in ihren Kristallstrukturen identifiziert werden können.

Transmissions-Elektronenmikroskopie. Neben durchstrahlbaren Folien, die man auch aus Metallen nach verschiedenen Methoden herstellen kann, werden Oberflächenabdrücke untersucht, die man mit Lackabdruckverfahren, Aufdampfschichtverfahren, Oxidverfahren sowie Ausziehabdruckverfahren (Extraktionsabdruckverfahren) gewinnt. Ähnliche Verfahren werden als Replica-Techniken bei der sog. ambulanten Metallographie eingesetzt, wenn aus dem zu untersuchenden Rasterelektronenmikroskopie (REM). Beim Bauteil aus betrieblichen Gründen keine Proben rasterförmigen Abtasten von Oberflächen mit entnommen werden können. feingebündelten Elektronenstrahlen werden Rückstreu- und Sekundärelektronen erzeugt, die Untersuchungsverfahren zu einem Szintillationszähler abgesaugt werden. Die rastersynchron eingelesenen Signale werMakrogefüge. Nachweis von Rissen, Poren, den zur Helligkeitsmodulation des Bildes benutzt Dopplungen zur Qualitätsprüfung von Schweiß- und ergeben ein topographisches Bild der Obernähten und kaltumgeformten Produkten, sowie fläche. Wegen der großen Tiefenschärfe eignet Anwendung der Makro-Fraktographie zur Be- sich das Rasterelektronenmikroskop besonders stimmung verschiedener Bruchtypen. zur Untersuchung der Morphologie technischer Das Mikrogefüge wird in der Regel durch Oberflächen und deren Veränderung durch Korchemisches Ätzen entwickelt, wobei entweder rosions- oder Verschleißvorgänge sowie zur frakdie Korngrenzen (Korngrenzenätzung) oder die tographischen Analyse von Bruchflächen (Beeinzelnen Kristallite (Kornflächenätzung) sicht- stimmung z. B. von Waben- und Spaltbruchanteibar gemacht werden. Die Mikrogefügeuntersu- len oder Schwingstreifen). Es können Auflösunchung erfolgt mit dem Auflichtmikroskop (Ver- gen bis 1,5 nm erzielt werden. Vielfach wird das größerung bis zu 1000fach), ergibt Hinweise auf Rasterelektronenmikroskop durch ein energiediZusammensetzung, Herstellungsart (Gussgefüge, spersives Röntgenspektrometer zur Mikroanalyse Knetgefüge) sowie Wärme- und Oberflächenbe- ergänzt (siehe Abschn. 30.2.7). handlung und erlaubt die Bestimmung örtlicher Umformgrade in kaltumgeformten Halbzeugen und Bauteilen. Quantitative Untersuchungen er- Sonderprüfverfahren möglichen die Klassifizierung von Korngrößen, nichtmetallischen Einschlüssen und Verunreini- Thermoanalyse. Durch Unstetigkeiten im Temgungen sowie die Bestimmung von Phasenantei- peratur-Zeitverlauf beim Erhitzen oder Abkühlen von Metallproben können Schmelz- und Erstarlen.

30 Werkstoffprüfung

535

rungsvorgänge sowie Umwandlungen im festen von Einzelteilen und erlaubt damit eine höhere Aussagesicherheit als eine Stichprobenprüfung. Zustand (Umgitterung) nachgewiesen werden. Dilatometermessungen. Zuordnung des Län- Verfahrensarten genausdehnungsverhaltens von Metallen zu Umwandlungen im festen Zustand (z. B. Bestim- Röntgen- und Gammastrahlenprüfung (DIN EN 12 681, DIN EN 25 580). Sie beruht auf dem mung der Härtetemperatur). Durchdringungsvermögen energiereicher Strahlung, das mit der Strahlungsenergie bis zu be30.2.9 Technologische Prüfungen stimmten Grenzen anwächst. Bildgebende Kontraste entstehen durch unterschiedliche SchwäZweck. Als technologisch bezeichnet man Prü- chungen beim Durchgang. In Hohlräumen (Risfungen, bei denen das Verhalten von Werkstoffen se, Lunker, Gasblasen etc.) ist die Schwächung oder Bauteilen ohne Kraftmessung unter Bean- geringer, so dass an solchen Stellen höhere Strahspruchungen beobachtet wird, wie sie vorzugs- lungsintensität durchtritt. Zum sicheren Nachweise bei der Weiterverarbeitung oder im Betrieb weis von Werkstofffehlern müssen diese eine auftreten. Von besonderer Bedeutung ist die Be- ausreichende Ausdehnung in Strahlrichtung aufstimmung der Kalt- oder Warmverformungsfä- weisen. Streu- und Sekundärstrahlung, die mit higkeit von Werkstoffen und Halbzeugprodukten. zunehmender Probendicke anwachsen, verschleiern das Bild. Als Strahlungsquellen werden RöntNormen. Technologischer Biegeversuch (Falt- genröhren mit Beschleunigungsspannungen bis versuch): DIN EN ISO 7438: Metallische Werk- zu 400 kV, Betatron-Geräte (Elektronenschleustoffe, Biegeversuch. – DIN EN ISO 8492: Metal- der) oder radioaktive Präparate, die Gammalische Werkstoffe, Rohr-Ringfaltversuch. – DIN strahlen aussenden, verwendet. Zur SichtbarmaEN ISO 8493: Rohr-Aufweitversuch. – DIN chung des Bildes werden fotografische Verfahren EN ISO 8494: Rohr-Bördelversuch. – DIN EN sowie Röntgenbildverstärker und elektronische ISO 8495: Rohr-Ringaufdornversuch. – DIN EN Bildaufzeichnung eingesetzt. Die Bildgüte kann ISO 8496: Rohr-Ringzugversuch. – DIN EN durch Mitaufnahme eines auf das Werkstück aufISO 20 482: Metallische Werkstoffe, Bleche gelegten Drahtrasters überwacht werden (DIN und Bänder, Tiefungsversuch nach Erichsen. – EN 462). DIN 50 104: Innendruckversuch für Hohlkörper. – DIN ISO 7801: Hin- und Herbiegeversuch an Ultraschallprüfung (DIN EN 583, DIN EN Drähten. – DIN ISO 7800: Verwindeversuch an 1330-4). Ultraschallwellen im Frequenzbereich Drähten. von 100 kHz bis 25 MHz breiten sich in Festkörpern geradlinig aus und werden an Grenzflächen reflektiert. Fehlstellen (Risse, Lunker, 30.2.10 Zerstörungsfreie Einschlüsse) sind daher am besten zu orten, Werkstoffprüfung wenn ihre Hauptausdehnung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Ultraschallwellen verläuft. Zweck. Die zerstörungsfreie Werkstoffprüfung Beim Durchschallungsverfahren wird das Prüfdient dem Nachweis von Fehlstellen (z. B. Ris- stück zwischen Schallsender und -empfänger anse, Lunker, Poren, Einschlüsse, Tab. 30.1), der geordnet. Die durch das Werkstück hindurchDickenbestimmung von Beschichtungen, Über- tretenden Schallwellen werden vom Empfänger zügen und Wandungen sowie der Kontrolle vor- wieder in elektrische Schwingungen umgewangegebener Materialeigenschaften, ohne die Ver- delt (Piezo-Effekt) und zur Anzeige gebracht. Eiwendbarkeit des Bauteils zu beeinträchtigen. ne Tiefenbestimmung des Fehlers ist hierbei nicht Dies ermöglicht die vollständige Stückprüfung möglich. Beim Impuls-Echo-Verfahren wird der

30

536

M. Oechsner et al.

Tab. 30.1 Anhaltswerte der Risserkennbarkeit der ZfP, Bemerkungen und Anwendungsgrenzen Prüfverfahren Sichtprüfung

Rissbreite Risslänge 2c [mm] [mm] 0,1 2

Farbeindringprüfung

0,01

1

magnetische Rissprüfung

0,001

1

Wirbelstromprüfung

0,01

1

Potentialsonden- 0,01 prüfung

2

Ultraschallprüfung

0,001

1

Röntgen- und Gammastrahlenprüfung

0,1

1

Risstiefe a, 2a Bemerkung [mm] – bei sauberer Oberfläche und optischen Hilfsmitteln 0,5 werkstoffunabhängiger Einsatz

Anwendungsgrenzen komplizierte Geometrie, mangelnder Kontrast

poröse Werkstoffe, verstopfte Risse, Öffnungen zur Oberfläche notwendig, raue Oberfläche 0,1 bei feinen Rissen an der nur Ferromagnetika, Oberfläche und dicht abhängig von Magnedarunter tisierung, Rautiefe, Beleuchtung 0,1 hohe Prüfgeschwindignur elektrische Leiter, keiten realisierbar begrenzte Eindringtiefe, lokale Anwendung 0,2 Risstiefenmessung, ohne nur elektrische Leiter, Einfluss der Rissbreite, kein elektrischer Kontakt gemittelte Rissgrößen der Rissflanken 1 für Innen- und OberErgebnis abhängig von flächenfehler, beliebige akustischen WerkBauteildicke stoffeigenschaften, komplizierte Bauteilund Fehlergeometrie 2 % der Wand- für Innen- und begrenzte Bauteildicke, dicke Oberflächenfehler, beStrahlenschutz beachten rührungslose Prüfung

Schallkopf als Sender und Empfänger verwendet, indem kurze Schallimpulse in das Werkstück eingesendet werden und nach vollständiger oder teilweiser Reflexion von dem gleichen Schallkopf in einen Empfängerimpuls zurückverwandelt werden. Sendeimpuls, Rückwandecho und Fehlerecho werden elektronisch registriert, wobei über die jeweilige Laufzeit eine Tiefenbestimmung möglich ist. Durch die Anwendung von Winkelprüfköpfen mit Einschallwinkeln zwischen 35 und 80° können insbesondere Schweißnähte geprüft werden, da die Ankoppelung außerhalb der rauhen Nahtoberfläche erfolgen kann und somit eine Ortung von Schweißfehlern möglich ist. Schallemissionsanalyse. Sie beruht auf Empfang und Analyse von Schallimpulsen, die durch hochfrequente Werkstückschwingungen erzeugt und durch piezoelektrische Empfänger in elektrische Signale umgewandelt werden. Derartige Schallemissionen können durch plastische Verformung, Rissentstehung und Rissfortschritt

ausgelöst werden. Schallemissionsanalyse-Verfahren werden insbesondere zur Abnahme geschweißter Druckbehälter angewandt. Sowohl aus der Amplitudenform als auch aus dem Frequenzspektrum werden wichtige Hinweise über plastische Verformungen an makroskopischen und mikroskopischen Spannungs-Störstellen gewonnen. Durch Anordnung mehrerer Empfänger kann aus Laufzeitunterschieden der Schallimpulse eine Ortung der Schallemission erreicht werden. Magnetische Rissprüfung. Fehlstellen an oder dicht unter der Oberfläche ferromagnetischer Werkstoffe äußern sich in Störungen im Magnetfeldaufbau, die durch geeignete Verfahren nachgewiesen werden können. Das bekannteste Verfahren stellt die Magnetpulverprüfung (DIN EN ISO 9934-1) dar, bei der ferromagnetisches Eisenoxidpulver zur Anzeige benutzt wird. Bei kräftiger Magnetisierung kann eine äußere Zone bis zu etwa 8 mm Tiefe überprüft werden. Wäh-

30 Werkstoffprüfung

rend durch eine Polmagnetisierung Oberflächenrisse nachgewiesen werden können, die quer zur Prüfkörperachse verlaufen, können durch eine Stromdurchflutung infolge des induzierten ringförmigen Magnetfelds Längsrisse nachgewiesen werden. Bei Querschnittsübergängen kann infolge Übermagnetisierung eine Scheinfehleranzeige ausgelöst werden. Ein Feldlinienaustritt kann auch bei einer sprunghaften Änderung der ferromagnetischen Eigenschaften erfolgen (z. B. Übergang von ferritischen zu austenitischen Gefügebereichen in Schweißnähten).

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30.2.11 Dauerversuche

Zweck. Dauerversuche werden alle Langzeitversuche unter mechanischen, mechanisch-thermischen und mechanisch-chemischen Beanspruchungen genannt, bei denen der Beanspruchungszeit oder der Spannungs- oder Dehnungsschwingspielzahl für die Werkstoff- oder Bauteileigenschaften eine maßgebende Bedeutung zukommt. Dauerversuche sind immer dann erforderlich, wenn in Kurzzeitversuchen eine Veränderung im Schädigungsmechanismus eintritt und keine Korrelation zwischen Kurzzeit- und Wirbelstromprüfung (DIN EN ISO 15549). In Langzeitbeanspruchung möglich ist. Dies gilt elektrisch leitenden Werkstoffen werden durch insbesondere für zeit-, temperatur- oder beanmagnetische Wechselfelder elektrische Ströme spruchungsabhängige Veränderungen der Werkinduziert, die als Wirbelströme bezeichnet wer- stoffeigenschaften. den. Zur Erzeugung des magnetischen Wechselfeldes wird eine wechselstromdurchflossene Spu- Untersuchungsverfahren le verwendet. Eine zweite Spule, die auch mit der Erregerspule zusammen als Testspulensystem Zeitstandversuch. Er dient zur Ermittlung der aufgebaut sein kann, detektiert das resultierende Werkstoff- und Bauteileigenschaften bei ruhenmagnetische Feld. Wirbelstromprüfungen wer- der Zugbeanspruchung im Bereich hoher Temden zum Nachweis von Werkstoffinhomogenitä- peraturen, bei denen Kriechen auftritt, und kann ten (z. B. Rissen), zur Dickenbestimmung und unter konstanter Temperatur bis zu einer bezur Kontrolle von Werkstoffeigenschaften (Ver- stimmten Verformung oder bis zum Bruch der Probe durchgeführt werden (DIN EN ISO 204). gleichsprüfung) eingesetzt. Die Zeitdehngrenze Rp"=t =T bei bestimmter Farbeindringverfahren (DIN EN ISO 3452-1). Prüftemperatur T ist die Prüfspannung, die nach Zum Nachweis von zur Oberfläche hin offenen einer bestimmten Beanspruchungsdauer t zu eiRissen und Poren wird ein flüssiges Eindring- ner festgelegten plastischen Gesamtdehnung "p mittel auf das Bauteil aufgetragen, das in die führt. Die Zeitstandfestigkeit Ru=t =T bei bestimmter Fehlstellen eindringt. Nach dem Entfernen überschüssiger Flüssigkeit wird durch Aufbringen ei- Prüftemperatur T ist die Prüfspannung, die nach ner saugfähigen Entwicklersubstanz das in den einer bestimmten Beanspruchungsdauer t zum Fehlstellen infolge Kapillarwirkung verbliebene Bruch der Probe führt. Die Auswertung erfolgt Eindringmittel sichtbar gemacht. Zur besseren im Zeit-Dehnungs-Schaubild und im ZeitstandErkennbarkeit ist das Eindringmittel eingefärbt, Schaubild jeweils in logarithmischer Teilung. Zur Abkürzung der Versuchszeiten können um guten Kontrast zum üblicherweise weißen Extrapolationsverfahren angewandt werden, bei Entwickler hervorzurufen. denen der Festigkeitskennwert über einem ZeitPotentialsondenverfahren. Zur Bestimmung Temperatur-Parameter aufgetragen wird. Häufig der Tiefe von Rissen, die an der Oberfläche elek- erfolgt auch eine graphische Verlängerung der trisch leitender Bauteile erkennbar sind, wird ein Zeitbruchkurve und der Zeitdehngrenzkurven im Strom senkrecht zum Rissverlauf eingeleitet. Der Zeitstandschaubild. Bei einer Extrapolation bis Spannungsabfall über der Fehlstelle wird gemes- unter die kleinste Versuchsspannung oder um einen Zeitfaktor von über 3 ist Vorsicht geboten. sen und in Risstiefe umgewertet.

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Entspannungsversuch (Relaxationsversuch). In ihm wird der formschlüssig eingespannten Probe (DIN EN 10319-1) oder dem Bauteil (z. B. Schraubenverbindung) bei konstanter Temperatur eine konstante Verformung aufgezwungen, unter der Kriechen und damit eine zeitabhängige Abnahme der Spannung beobachtet wird. Die Relaxationsfestigkeit RR=t =T ist die Restspannung, die nach einer Beanspruchungsdauer t unter der Temperatur T gemessen wird. Dauerschwingversuch. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoff- oder Bauteilkennwerte unter schwellender oder wechselnder Zug-, Biege- oder Torsionsbeanspruchung (DIN 50 100, DIN 50 113). Es werden glatte und gekerbte Proben oder Bauteile gleicher Herstellungsart hochfrequenten Beanspruchungen bei unterschiedlichen Spannungsausschlägen und gleicher Mittelspannung ausgesetzt, wobei entweder Brüche oder Durchläufer auftreten. Analog zu den Dauerschwingversuchen zur Ermittlung der Wöhlerlinie können, jedoch mit verschiedenen Beanspruchungskollektiven, Lebensdauer- oder Gaßnerlinien für Bauteile oder Proben ermittelt werden.

M. Oechsner et al.

konstanter Gesamtdehnungsschwingbreite "t aber vereinzelt auch unter konstanter plastischer Dehnungsschwingbreite "p mit Frequenzen in der Größenordnung von 0,1 bis 106 Hz bis zu Wechselzahlen von maximal 105 durchgeführt. Die Anrisswechselzahl NA ist das kennzeichnende Versuchsergebnis. Sollen thermische An- und Abfahrvorgänge nachgebildet werden, kann der Versuch mit Haltezeiten bei den Ausschlagsdehnungen durchgeführt werden. Im Kriechbereich erfolgt dabei eine zyklische Relaxation. Die dadurch auftretende Kriechermüdung reduziert die ertragbare Anrisswechselzahl. Zur genaueren Nachbildung dieser Beanspruchung werden auch Dehnwechselversuche mit gleitender Temperatur, sogenannte thermomechanische Versuche durchgeführt.

Literatur Spezielle Literatur 1. FKM-Richtlinie Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile. VDMA-Verlag, Frankfurt/ Main (2012) 2. Haibach, E.: Betriebsfestigkeit. Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung. Springer, Berlin (2002) 3. Dietzel, W., Schwalbe, K.-H.: GKSS-Bericht 87/E/46

Dehnwechselversuch. Im Bereich niederer Wechselzahlen tritt der Dehnwechselversuch Weiterführende Literatur an die Stelle des Spannungswechselversuches, Blumenauer, H.: Werkstoffprüfung. Wiley-VCH, Weinheim (1994) wenn eine formschlüssige Beanspruchung infol- Schwalbe, K.H.: Bruchmechanik metallischer Werkstoffe. ge von Belastungs- und Temperaturänderungen Hanser, München (1998) abzubilden ist. Der Versuch wird meist unter

Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

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Matthias Oechsner, Christina Berger und Karl-Heinz Kloos

31.1 Eisenwerkstoffe Als Eisenwerkstoffe werden die für Bauteile und Werkzeuge anwendbaren Metalllegierungen bezeichnet, bei denen der mittlere Gewichtsanteil an Eisen höher als der jedes anderen Legierungselements ist. Sie werden in die Gruppe der Stähle und Gusseisenwerkstoffe aufgegliedert. Beide Gruppen unterscheiden sich vor allem im Kohlenstoffgehalt und weisen teilweise sehr unterschiedliche Eigenschaften auf. Während die Stähle Eisenwerkstoffe darstellen, die sich i. Allg. für die Warmumformung eignen, erfolgt die Formgebung der Gusseisenwerkstoffe durch Urformen (s. Bd. 2, Kap. 39). Abgesehen von einigen Cr-reichen Stählen liegt der C-Gehalt der Stähle unter rd. 2 %, der C-Gehalt der Gusseisenwerkstoffe über 2 %. Während bei Stählen der Kohlenstoff im Eisengitter gelöst oder in chemisch gebundener Form als Karbid vorliegt, tritt er im Gusseisen teilweise als Graphit auf. Stahlguss, dessen Formgebung ebenfalls durch Urformen erfolgt, wird zur Gruppe der Stähle gerechnet. M. Oechsner () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] C. Berger Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K.-H. Kloos Darmstadt, Deutschland

31.1.1 Das Zustandsschaubild EisenKohlenstoff Im stabilen Eisen-Kohlenstoff-System tritt Kohlenstoff als Graphit in hexagonaler Gitterstruktur auf. Diese Gleichgewichtsphase stellt sich nur bei extrem langen Glühzeiten ein. Bei den üblichen Wärmebehandlungen der Stähle liegt Kohlenstoff in chemisch gebundener Form als Eisenkarbid Fe3 C (Zementit) vor. Für technische Zwecke wird daher in der Regel statt des Systems Eisen-Kohlenstoff das metastabile System Eisen-Zementit betrachtet, wenn auch im Bereich des Gusseisens (C > rd: 2 %) eine teilweise Graphitbildung erfolgt, der reale Werkstoffzustand also zwischen dem des stabilen und des metastabilen Systems liegt. Bei Temperaturen oberhalb der Liquiduslinie ACD des metastabilen Systems (Abb. 31.1) liegt eine Eisen-Kohlenstofflösung in schmelzflüssigem Zustand vor. Diese Lösung erstarrt nicht wie reine Metalle bei einer bestimmten Temperatur, sondern in einem Temperaturbereich, der zwischen der Liquiduslinie ACD und der Soliduslinie AECF liegt. Mit abnehmender Temperatur nimmt in diesem Bereich der Anteil der ausgeschiedenen Kristalle in der Schmelze zu, bis bei Erreichen der Soliduslinie die Schmelze vollständig erstarrt ist. Feste Erstarrungspunkte treten nur in den Berührungspunkten von Liquidusund Soliduslinie (A und C) auf. In Punkt A (1563 °C) liegt der Schmelzpunkt des reinen Eisens (C = 0 %), in Punkt C wird mit 1147 °C der niedrigste Schmelzpunkt des Systems Eisen-

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_31

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M. Oechsner et al.

Abb. 31.1 Metastabiles Zustandsschaubild Eisen-Kohlenstoff

Kohlenstoff bei C = 4,3 % erreicht. Das hier bei der Erstarrung entstehende Gefüge ist ein Eutektikum, das mit Ledeburit bezeichnet wird. Im übereutektischen Bereich (C > 4,3 %) scheiden sich aus der Schmelze reine Eisenkarbidkristalle Fe3 C (Primärzementit), im untereutektischen Bereich (C < 4,3 %) als feste Lösung -Mischkristalle (Austenit: kubisch flächenzentrierte Eisenkristalle mit hohem Lösungsvermögen für Kohlenstoff) aus. Ledeburit besteht aus einem geordneten Gemenge aus beiden Phasen. Im Zustandsfeld IESG liegt ein Gefüge vor, das ausschließlich aus Austenit besteht. Bei einem C-Gehalt von rd. 0,8 % wandelt sich der

Austenit bei Unterschreiten der Umwandlungstemperatur im Punkt S (723 °C) in das Eutektoid Perlit um, das aus einem feinen Gemenge aus Ferrit (˛-Mischkristalle) und Zementit besteht. Bei C > 0,8 % (übereutektoide Stähle) scheidet sich entlang der Linie SE Sekundärzementit aus, bei C < 0,8 % (untereutektoide Stähle) längs der Linie GOS Ferrit. Das Lösungsvermögen des Ferrits für Kohlenstoff ist sehr beschränkt (0,02 % bei 723 °C, rd. 105 % bei Raumtemperatur), wie der schmale Bereich GPQ erkennen lässt. Die Linie GOSE wird als obere Umwandlungslinie bezeichnet, die auf ihr ablesbaren Um-

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

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wandlungstemperaturen als A3-Punkte. Bei UnSchmelze (Steigung der Reaktionsgeschwinterschreiten der unteren Umwandlungslinie PSK digkeit) wird Inertgas (Argon oder Stickstoff) (A1-Punkt) verfallen die restlichen -Mischkrisam Boden des Konverters eingeblasen. Bei talle der Zweiphasengebiete unterhalb der Linien der Oxidation entsteht Wärme, die das Bad GOS und SE in Perlit, sodass untereutektoider flüssig hält oder sogar erwärmt. Im letzteStahl bei Raumtemperatur nach langsamer Abren Fall kann durch Zugabe von Schrott die kühlung aus Ferrit und Perlit, übereutektoider Temperatur gehalten werden. Wird ein höheStahl aus Perlit und Sekundärzementit besteht. rer Schrottzusatz aus wirtschaftlichen GrünOberhalb des A2-Punkts (769 °C), bei Erreichen den gewünscht, muss ggf. zusätzlich beheizt der sog. Curie Temperatur, verliert Stahl seine werden. Der Einsatz rechnergestützter Proferromagnetischen Eigenschaften. Die Umwandzesskontrolle und moderner Analyseverfahren lungspunkte A1, A2 und A3 können bei Erwärermöglicht die Herstellung sehr reinen Rohmung oder Abkühlung je nach der Geschwinstahls in gleichbleibend hoher Qualität. digkeit der Temperaturänderung zu höheren oder 2. Einschmelzen von Stahlschrott zu Rohstahl niedrigeren Temperaturen verschoben werden. im Elektro-Lichtbogenofen. Im HochleisBeim Erwärmen wird statt A die Bezeichnung tungs-Lichtbogenofen können rd. 100 t = h Ac, bei Abkühlung die Bezeichnung Ar verwenSchrott eingeschmolzen werden. Leistungsdet. steigernd wirken sich hier z. B. Rechnereinsatz zur Prozesssteuerung sowie zusätzliches Einblasen von Sauerstoff, Brennstoffen und Gas durch den Boden (Verbesse31.1.2 Stahlerzeugung rung der Durchmischung) aus. Die wesentIn Zusammenarbeit mit H.-J. Wieland, Düsseldorf lichen Maßnahmen der Sekundärmetallurgie sind Vermeiden des Schlackenmitlaufens, MiStahl-Erschmelzungsverfahren schen und Homogenisieren in der gespülten Weltweit werden heute zwei wesentliche VerfahPfanne, Desoxidation, Legieren und Mikrolerenslinien zur Stahlerzeugung eingesetzt: gieren im ppm-Bereich in der Pfanne, Aufheizen in Pfannenöfen, Vakuumbehandlung und 1. Roheisenerzeugung durch Reduktion von Erz Gießstrahlabschirmung. mit Kohlenstoff im Hochofen und Weiterverarbeitung zu Rohstahl im Sauerstoffblaskon- Sonderverfahren verter. Das Roheisen enthält zu viel Koh- Zur Verbesserung der Stahleigenschaften (insbelenstoff und zu große Anteile von schädli- sondere des Reinheitsgrads) werden zunehmend chen Begleitelementen wie Schwefel, Phos- Vakuum- und Umschmelzverfahren eingesetzt. phor und Silizium. Es wird in flüssiger Form zum Konverter transportiert, wobei durch Zugabe von Kalzium oder Magnesium der Vakuum-Vergießen. Durch dieses Verfahren Schwefel gebunden wird. Auch die Gehalte wird ein erneuter Luftzutritt in den flüssigen an Phosphor und Silizium lassen sich bereits Stahl zwischen Gießpfanne und Kokille verhinhier verringern. Im Sauerstoffblaskonverter dert. Der Stahl wird unter Vakuum erschmolzen wird Sauerstoff auf die Schmelze aufgebla- und abgegossen. sen, der den darin enthaltenen Kohlenstoff zu CO-Gas oxidiert, das aus der Schmelze ent- Elektroschlackeumschmelzverfahren (ESU). weicht und dabei eine Rührwirkung erzeugt. Ein zuvor konventionell hergestellter StahlDie Oxide der anderen Begleitelemente stei- block wird als selbstverzehrende Elektrode in gen in die Schlacke auf, die in flüssiger Form einem Schlackebad abgeschmolzen. Bei diesem die Schmelze bedeckt, und werden in die- Umschmelzen reagieren die entstehenden Stahlser gelöst. Zur intensiveren Bewegung der tröpfchen intensiv mit der Schlacke.

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Kernzonenumschmelzverfahren. Für die Herstellung möglichst fehlerfreier Rohlinge für große Schmiedestücke wird die Kernzone eines im Blockguss erzeugten Blocks durch Lochen entfernt und der hohle Block nach dem ESU-Verfahren umgeschmolzen.

Vergießen des Stahls Das Vergießen kann auf zwei verschiedene Wege erfolgen (Urformtechnik): 1. Vergießen zu Vorformen (Blockguss oder Strangguss). Bereits 1987 wurden bei der Stahlerzeugung rd. 89 % des Stahls als Strangguss hergestellt. Blockgießen wird im Wesentlichen nur noch zur Herstellung großer Schmiedestücke angewandt. 2. Vergießen zu fertigen Formstücken.

M. Oechsner et al.

Spritzgießen geformt. Das Sintern der Formteile erfolgt dicht unterhalb der Schmelztemperatur (Festphasensintern) oder bei der Schmelztemperatur der niedrigstschmelzenden Komponente (Flüssigphasensintern) und bewirkt ein Zusammenwachsen der Pulverteilchen im Sinne einer Reduktion der freien Oberfläche. Falls erforderlich, können die Teile anschließend nochmals gepresst und gesintert werden (Zweifachsintern) oder in Form geschmiedet werden (Kalibrieren, Pulverschmieden). Eine besonders aufwändige Nachbehandlung stellt das Heiß-Isostatische Pressen (HIP, „hippen“) dar, bei dem die Teile in eine dicht anliegende, gasdichte Kapsel eingeschlossen und unter äußerem isostatischem Gasdruck zur weitgehenden Beseitigung der Mikroporosität nachgesintert werden. Die Anwendung der Pulvermetallurgie bietet Vorteile bei der

 wirtschaftlichen Fertigung endkonturnaher Plastische Formgebung oder einbaufertiger Bauteile hoher FormkomMan unterscheidet bei der Umformung von Meplexität und kleinerer Abmessungen bei hohen tallen zwischen Warm-, Halbwarm- und KaltumStückzahlen. formung. Die Temperaturgrenze zwischen Kalt Erzeugung von Zusammensetzungen, die und Warmumformung ist durch die Rekristallischmelzmetallurgisch nicht oder nur schwiesationstemperatur gegeben und beträgt etwa die rig herstellbar sind (hochschmelzende MetalHälfte der absoluten Schmelztemperatur. le, dispersionsgehärtete Werkstoffe),  Fertigung poröser Bauteile (Filter, selbstTendenzen schmierende Gleitlager), Verkürzung der Prozesskette bzw. Annäherung der Strangquerschnitte an endabmessungsnahe  Herstellung großer Teile mit hoher Homogenität und Isotropie sowie geringen Gehalten Halbzeugprodukte. Anwendung von Gießmaan Verunreinigungen (Ausgangsmaterial für schinen zur Anpassung an variable Querschnittsgroße Schmiedeteile, z. B. Scheiben für Gasformen (z. B. Herstellung von Dünnbrammen, turbinen). die in Kaltwalzgerüsten weiterverarbeitet werden können). Festigkeits- und Zähigkeitseigenschaften pulvermetallurgisch erzeugter Werkstoffe können Pulvermetallurgie durchaus diejenigen konventioneller Guss- oder Als Ausgangsbasis für die Herstellung von WerkKnetwerkstoffe erreichen und übertreffen. stoffen und Bauteilen dienen hier pulverförmige Stoffe, die rein oder gemischt (mechanisches Legieren) verarbeitet werden. Zur Herstellung von Metallpulvern existiert eine weite Palette von Verfahren, die von Direktreduktion über Wasserverdüsung, Vakuum-Inertgaszerstäubung bis zum Elektronenstrahlschmelzen mit Rotationszerstäubung reicht. Nach dem Mischen wird die Pulvermasse, der meist noch thermisch zersetzbares Gleitmittel zugesetzt wird, durch Pressen oder

Sprühkompaktieren In Zusammenarbeit mit A. Schulz, Bremen

Beim Sprühkompaktieren wird die erschmolzene Ausgangslegierung, die aus einem trichterförmigen Verteiler ausfließt, mit einer Ringdüse unter Verwendung von Stickstoff oder Argon zerstäubt. Der Sprühkegel, in dem der Schmelze

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

bereits ein großer Anteil der Enthalpie entzogen wird, besteht dann aus einem Gemisch aus flüssigen, teilerstarrten und erstarrten Tröpfchen mit mittleren Durchmessern kleiner 100 µm, der auf einen bewegten Träger (Substrat) trifft. Dort bildet sich eine dünne teilflüssige Schicht (Kompaktierschicht), die dem Sprühkegel entgegen wächst und dabei in Richtung der aufwachsenden Form erstarrt. Durch diese Kombination von Zerstäubung und Kompaktierung entfallen die bei der Pulvermetallurgie oft aufwändigen Schritte der Pulveraufbereitung und Grünkörperformung bzw. Kapselung und die dabei vorhandene Gefahr der Kontaminierung mit Sauerstoff oder Fremdstoffen wird massiv reduziert. Diesem Vorteil einer in einem Schritt von der Schmelze zur seigerungsfreien Urform verlaufenden Prozesskette steht ein sehr enges Prozessfenster (Gas/Schmelze-Verhältnis, Trägerbewegung) bei der Kompaktierung gegenüber, das einzuhalten ist, um ein feines Erstarrungsgefüge bei hoher Dichte zu erreichen. Es werden meist hochlegierte Stähle und stark zu Seigerungen neigende Aluminium- und Kupferlegierungen sprühkompaktiert, die anschließend zu Halbzeug geschmiedet, stranggepresst oder warmgewalzt werden. Durch geeignete Träger und deren definierte Bewegungen können neben zylindrischen Blöcken Ringe, Rohre und Bleche sprühkompaktiert werden. Es ist weiterhin möglich, durch das Sprühen in keramische Substrate (komplexe Formennegative) bspw. Spritzgusswerkzeuge aus Stahl (Rapid Tooling), direkt zu erzeugen. Ferner lassen sich Partikel in den Sprühkegel einblasen, die zusammen mit den Tröpfchen fein dispergiert zu Metall-Matrix-Verbundwerkstoffen kompaktieren.

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mechanischen oder thermochemischen Behandlungen ausgesetzt. Für zahlreiche Stähle ist das temperaturabhängige Auftreten von ˛- und Mischkristallen (Ferrit und Austenit) (Abb. 31.1) mit einem unterschiedlichen Lösungsvermögen für Kohlenstoff die Grundlage für ihre in weiten Grenzen veränderbaren Eigenschaften. Die Kinetik der Umwandlung des Austenits in andere Phasen geht aus dem isothermen Zeit-Temperatur-Umwandlungsschaubild (ZTUSchaubild) hervor. Abb. 31.2 zeigt am Beispiel des Stahls C45E Beginn und Ende der Umwandlung nach rascher Abkühlung des Austenits auf eine bestimmte Temperatur bei anschließendem isothermem Halten. Oberhalb der MS -Linie setzt die Umwandlung mit einer zeitlichen Verzögerung ein, die ein Minimum bei rd. 550 °C aufweist. Letzteres beruht darauf, dass mit zunehmender Unterkühlung des Austenits einerseits dessen Umwandlungsbestreben wächst, andererseits die Abnahme der Diffusionsgeschwindigkeit die Platzwechselvorgänge der Atome bei der Neubildung des Kristallgitters behindert. Während bei Temperaturen oberhalb dieser „Nase“ die Ferrit-Perlit-Umwandlung erfolgt, erhält man im Bereich unterhalb der Nase das Gefüge Bainit, das aus nadeligen Ferritkristallen mit eingelagerten Karbiden besteht. Bei rascher Unterkühlung auf Temperaturen unterhalb der MS-Linie erfolgt ohne zeitliche Verzögerung ein diffusionsloses Umklappen des Austenit-Gitters in das Gitter des Martensits, wobei der Anteil des gebildeten Martensits mit abnehmender Haltetemperatur

31.1.3 Wärmebehandlung In Zusammenarbeit mit H.-J. Wieland, Düsseldorf

Ziel einer Wärmebehandlung ist es, einem Werkstoff für Anwendung oder Weiterverarbeitung erwünschte Eigenschaften zu verleihen. Dabei wird der Werkstoff bestimmten Temperatur-Zeit- Abb. 31.2 Isothermes Zeit-Temperatur-Umwandlungsschaubild für den Stahl C45E. A Austenit, F Ferrit, P PerFolgen und gegebenenfalls zusätzlichen thermo- lit, B Bainit, M Martensit

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ansteigt. Der Verlauf der Umwandlungslinie im ZTU-Schaubild wird durch die Höhe der Austenitisiertemperatur und die chemische Zusammensetzung des Stahls bestimmt.

Härten Die Martensitbildung bewirkt eine erhebliche Härtesteigerung des Stahls. Daher bezeichnet man die Wärmebehandlung, die in mehr oder weniger großen Bereichen des Querschnitts eines Werkstücks nach Austenitisieren und Abkühlen zur Martensitbildung führt, mit Härten und die Temperatur, von der das Werkstück abgekühlt wird, als Härtetemperatur. Die Härtetemperatur liegt für untereutektoide Stähle oberhalb der Linie GOS des Fe-C-Schaubilds im Gebiet reiner Mischkristalle, für übereutektoide Stähle jedoch oberhalb der Linie SK im Bereich der -Mischkristalle und des Sekundärzementits. Eine Auflösung des naturharten Sekundärzementits ist nicht notwendig, sofern er feinverteilt und nicht netzförmig als Korngrenzenzementit vorliegt. Die hohe Härte des Martensits beruht auf der gegenüber dem -Gitter geringen Lösungsfähigkeit des ˛Gitters des Eisens für Kohlenstoffatome. Die bei Härtetemperatur gelösten C-Atome können bei schneller Abkühlung nicht aus dem sich umwandelnden -Mischkristall ausdiffundieren und führen, da sie zwangsgelöst bleiben, zu einer Verspannung des entstehenden Martensitkristalls, die sich in hoher Härte äußert. Die Verspannung wächst mit der Anzahl der zwangsgelösten CAtome; daher nimmt die Aufhärtbarkeit eines Stahls mit dem C-Gehalt zu. Allerdings wird eine deutliche Härtesteigerung nur erreicht, wenn der C-Gehalt mindestens 0,3 % beträgt. Um auch im Inneren eines Werkstücks eine zur Martensitbildung ausreichende hohe Abkühlgeschwindigkeit zu erhalten, muss eine möglichst schnelle Wärmeabfuhr erfolgen. Dies wird durch Abschreckmittel wie Öl, Wasser, Eiswasser oder Salzlösungen erreicht, doch ist oberhalb bestimmter Querschnitte keine Durchhärtung mehr möglich. Gegenüber unlegierten Stählen ist bei legierten Stählen die kritische Abkühlgeschwindigkeit infolge der Behinderung der Kohlenstoffdiffusion durch die im Mischkristall eingelagerten Atome

M. Oechsner et al.

der Legierungselemente vermindert. Daher sind bei legierten Stählen größere Querschnitte durchhärtbar oder mildere Abschreckmittel verwendbar, z. B. Luft statt Öl oder Öl statt Wasser. Hohe Temperaturunterschiede zwischen Kern und Rand eines Werkstücks führen zu hohen Wärmeeigenspannungen, die zusammen mit den Umwandlungseigenspannungen aufgrund der Volumenvergrößerung bei der Martensitbildung Verzug und Härterisse bewirken können. Die Gefahr von Verzug und Härterissen beim Abschrecken kann z. B. durch Warmbadhärten vermindert werden, wobei zunächst ein Temperaturausgleich im Werkstück bei Temperaturen knapp oberhalb der MS -Temperatur herbeigeführt wird, bevor die Martensitbildung bei Abkühlung auf Raumtemperatur einsetzt. Die wichtigsten Legierungselemente zur Erhöhung der Durchhärtbarkeit von Stählen sind Mn, Cr, Mo und Ni mit Gehalten von rd. 1 bis 3 %. Die Prüfung des Durchhärteverhaltens eines Werkstoffs kann mit dem Stirnabschreckversuch nach DIN EN ISO 642 vorgenommen werden. Für bestimmte Stahlfamilien kann das Durchhärtevermögen auf der Basis der chemischen Zusammensetzung auch gemäß den Formelsätzen des Stahl-Eisen-Prüfblatt (SEP) 1664 berechnet werden.

Anlassen und Vergüten Das beim Härten entstehende Martensitgefüge ist sehr spröde. Daher wird ein Werkstück in der Regel nach dem Härten angelassen, d. h. auf Temperaturen zwischen Raumtemperatur und AC1 erwärmt. Im unteren Anlasstemperaturbereich (bis rd. 300 °C) wird durch Diffusion der Kohlenstoffatome die hohe Verspannung des Martensits gemildert; die Sprödigkeit wird verringert, ohne dass die Härte sich wesentlich ändert. Es erfolgt die Ausscheidung des verglichen mit Zementit kohlenstoffreicheren "-Karbids; der im Härtungsgefüge noch verbliebene Restaustenit zerfällt. Bei Anlasstemperaturen über 300 °C nimmt die Zähigkeit (Bruchdehnung, Brucheinschnürung, Kerbschlagzähigkeit) sehr stark zu, während Festigkeit und Härte abnehmen (Abb. 31.3). Diese Veränderungen beruhen auf dem Zerfall des Martensits zu Ferrit und der Bildung von feinverteiltem Zementit aus dem bei niedrige-

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wird angewandt, um die grobkörnige Struktur in Stahlgussteilen und teilweise im Schweißnahtbereich (Widmannstättensches Gefüge) zu beseitigen. Auch die Wirkung einer vorangegangenen Wärmebehandlung oder Kaltumformung wird durch Normalglühen aufgehoben. Wird die Austenitisiertemperatur zu hoch gewählt, tritt ein Wachstum der -Mischkristalle ein, das auch nach der Umwandlung zu grobkörnigem Gefüge führt (Feinkornbaustähle neigen weniger zur Kornvergröberung). Ebenso verursacht eine zu Abb. 31.3 Vergütungsschaubild für den Werkstoff langsame Abkühlung ein grobes Ferritkorn. 42CrMo4 rer Temperatur gebildeten "-Karbid. Im Bereich von Anlasstemperaturen zwischen 450 °C und AC1 erhält man ein feinkörniges Gefüge guter Zähigkeit und hoher Festigkeit, wie es für Konstruktionsteile erwünscht ist. Den Vorgang des Härtens und Anlassens in diesem Temperaturbereich nennt man Vergüten. Die Vergütungsfestigkeit hängt entsprechend der Durchhärtbarkeit von der chemischen Zusammensetzung des Stahls und dem Querschnitt des Werkstücks ab. Legierte Stähle mit vor allem Mo, W und V als Legierungselemente zeigen bei Anlasstemperaturen zwischen rd. 450 und 600 °C eine deutliche Härte- und Festigkeitssteigerung infolge Aushärtung (Sekundärhärtung). Dabei bilden sich aus den nach dem Austenitisieren (Lösungsglühen) und raschen Abkühlen entstandenen übersättigten Mischkristallen infolge Entmischung fein verteilte Ausscheidungen (meist Sonderkarbide oder intermetallische Phasen), die gleitblockierend wirken. Dieser Vorgang wird bei Werkzeugstählen, warmfesten und martensitaushärtenden Stählen zur Festigkeitssteigerung ausgenutzt.

Glühbehandlungen Unter Glühen versteht man eine Behandlung eines Werkstücks bei einer bestimmten Temperatur mit einer bestimmten Haltedauer und nachfolgendem Abkühlen, um bestimmte Werkstoffeigenschaften zu erreichen. Normalglühen. Es erfolgt bei einer Temperatur wenig oberhalb AC 3 (bei übereutektoiden Stählen oberhalb AC1 ) mit anschließendem Abkühlen in ruhender Atmosphäre. Diese Glühbehandlung

Grobkornglühen. Bei spanender Bearbeitung weicher Stähle kann ein grobkörniges Gefüge erwünscht sein, das einen kurzbrüchigen Scherspan ergibt. Man erhält dieses Gefüge durch Glühen weit oberhalb AC 3 . Die durch Kornwachstum erhaltenen groben -Mischkristalle wandeln sich bei langsamer Abkühlung in ein ebenfalls grobkörniges Ferrit-Perlit-Gefüge um. Diffusionsglühen. Es dient zur Beseitigung von Seigerungszonen in Blöcken und Strängen sowie innerhalb der Kristallite (Kristallseigerung). Die Glühbehandlung erfolgt dicht unter der Solidustemperatur mit langzeitigem Halten auf dieser Temperatur, um einen Konzentrationsausgleich durch Diffusion zu erreichen. Wird keine Warmumformung nach dem Diffusionsglühen vorgenommen, muss zur Beseitigung des groben Korns normalgeglüht werden. Weichglühen. Um C-Stähle in ihrem Formänderungsvermögen zu verbessern, wird bei Temperaturen im Bereich um AC1 weichgeglüht. Bei diesen Temperaturen formen sich die im streifigen Perlit vorliegenden Zementitlamellen zu kugeliger Form um (sphäroidisierendes Glühen). Danach wird langsam abgekühlt, um einen möglichst spannungsarmen Zustand zu erzielen. Die Einformung der Zementitlamellen und bei übereutektoiden Stählen auch des Zementitnetzwerks wird erleichtert durch mehrmaliges kurzzeitiges Überschreiten von AC1 (Pendelglühen). Die kugelige Form des Zementits kann auch dadurch erreicht werden, dass austenitisiert und geregelt abgekühlt wird.

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Spannungsarmglühen. In Werkstücken können durch ungleichmäßige Erwärmung oder Abkühlung, durch Gefügeumwandlung oder Kaltverformung Eigenspannungen auftreten, die sich den Lastspannungen überlagern. Zum Abbau dieser Eigenspannungen, z. B. nach dem Richten, Schweißen, oder zum Abbau von Eigenspannungen in Gussteilen wird ein Spannungsarmglühen durchgeführt. Die Glühtemperatur liegt meist unter 650 °C, bei vergüteten Stählen jedoch unterhalb der Anlasstemperatur, um die Vergütungsfestigkeit des Werkstücks nicht herabzusetzen. Beim Glühen werden die inneren Spannungen im Werkstück durch plastische Verformung auf das Maß der Warmstreckgrenze reduziert.

M. Oechsner et al.

um die Bildung versprödender intermetallischer Phasen bei langsamer Abkühlung zu vermeiden. Bei umwandelnden Stählen, die neben der Martensithärtung eine Ausscheidungshärtung erhalten (legierte Werkzeugstähle, warmfeste und martensitaushärtende Stähle), ist mit dem Austenitisieren gleichzeitig eine Lösungsglühen verbunden, das nach dem Abschrecken zu einer übersättigten Lösung führt, deren Entmischung durch die Bildung von Ausscheidungen während des Auslagerns erfolgt. Mit der Lösungsglühtemperatur und der Dauer des Lösungsglühens steigt die Menge der gelösten Bestandteile an. Damit wird die Ausscheidungsfähigkeit des Gefüges beim Auslagern erhöht, sodass auch die erreichbare Festigkeit anRekristallisationsglühen. Das Ausmaß einer steigt. Kaltumformung wird begrenzt durch die Zunahme der Verfestigung und die Abnahme der Ver- Randschichthärten formungsfähigkeit eines Werkstoffs mit dem Um- Für viele Werkstücke, für die eine harte und formgrad. Durch Rekristallisationsglühen im An- verschleißarme Oberfläche notwendig ist, ist eischluss an eine Kaltumformung wird eine Neu- ne auf die Randschichten beschränkte Härtung bildung des Gefüges bei Temperaturen oberhalb ausreichend. Man unterscheidet bei den Randder Rekristallisationstemperatur erreicht mit me- schichthärteverfahren Flammhärten, Induktionschanischen Eigenschaften, wie sie etwa vor der härten und Laseroberflächenhärten. Verformung vorlagen, sodass im Wechsel mit einem Rekristallisationsglühen beliebig viele Um- Flammhärten. Bei diesem Verfahren wird eiformgänge vorgenommen werden können. Die ne Werkstückoberfläche mittels einer Gas-SauerGefahr einer Grobkornbildung im rekristallisier- stoff-Flamme auf Austenitisiertemperatur erten Gefüge besteht bei niedrigen Verformungs- wärmt und anschließend mit Wasser abgegraden, vor allem bei Stählen geringen C-Gehalts schreckt (Wasserbrause), bevor die Erwärmung (< 0,2 %), bei hoher Glühtemperatur und langer in das Werkstückinnere vorgedrungen ist. DaGlühdauer. Die Rekristallisationstemperatur der bei tritt nur im austenitisierten Randbereich eine Stähle nimmt mit dem Umformgrad ab, da die im Martensithärtung auf. Die Tiefe der gehärteten Gitter gespeicherte Umformenergie die Kornneu- Randschicht wird bestimmt von der Flammtembildung begünstigt. Das Rekristallisationsglühen peratur, der Anwärmdauer und der Wärmeleitfäwird angewendet bei kaltgewalzten Bändern und higkeit des Stahls. Feinblechen, kaltgezogenem Draht und Tiefziehteilen. Zum Schutz gegen Verzunderung glüht Induktionshärten. Bei diesem Verfahren wird man unter Luftabschluss in geschlossenen Behäl- die Randschicht in einer Hochfrequenzspule durch induzierte Ströme erhitzt und nach Erreitern (Blankglühen). chen der Austenitisiertemperatur mit einer WasLösungsglühen. Es dient dem Lösen ausge- serbrause oder in einem Bad abgeschreckt. Mit schiedener Bestandteile in Mischkristallen. Aus- zunehmender Frequenz wird infolge des Skintenitische und ferritische Stähle, die keine ˛  - Effekts die Tiefe der erwärmten Randschicht geUmwandlung erfahren, werden zur Erzielung ei- ringer, sodass Einhärtetiefen von nur wenigen nes homogenen Gefüges bei rd. 950 bis 1150 °C Zehntel-Millimetern zu erreichen sind. Für beilösungsgeglüht und anschließend abgeschreckt, de Härteverfahren können Vergütungsstähle mit

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0,35 bis 0,55 % C verwendet werden. Bei niedrigeren C-Gehalten ist die Aufhärtung zu gering, bei höheren C-Gehalten steigen Verzugs- und Härterissgefahr, zumal höhere Austenitisiertemperaturen zu wählen sind als bei normalem Härten. Nach dem Randschichthärten wird i. Allg. bei 150 bis 180 °C angelassen. Laseroberflächenhärten. Durch kontinuierlich strahlende CO2 -Laser können einzelne Funktionsflächen von Bauteilen einer gezielten Randschichthärtung unterzogen werden. Das Laserhärten gehört zur Gruppe der Kurzzeithärteverfahren. Das Härten erfolgt durch Selbstabschreckung und kann auf dünne Randschichten beschränkt werden. Bei richtiger Wahl der Bestrahlungsparameter ist neben einer Oberflächenhärtung auch eine Dauerfestigkeitssteigerung möglich [1]. Wie beim Induktionshärten können für dieses Verfahren Vergütungsstähle mit 0,35 bis 0,55 % C oder Werkzeugstähle verwendet werden.

Thermochemische Behandlungen Thermochemische Behandlungen sind Wärmebehandlungen, bei denen die chemische Zusammensetzung eines Werkstoffs durch Ein- oder Ausdiffundieren eines odermehrerer Elemente absichtlich geändert wird. Meist sollen der Randschicht eines Werkstücks bestimmte Eigenschaften wie Zunderbeständigkeit, Korrosionsbeständigkeit oder erhöhter Verschleißwiderstand verliehen werden. Da hierbei die Werkstücke längerzeitig einer hohen Temperatur ausgesetzt sind, ist auf die Veränderung der Kerneigenschaften zu achten. Gegenüber galvanischen Oberflächenbehandlungsverfahren besteht der Vorteil der Diffusionsverfahren in einer gleichmäßigen Schichtdichte über die Werkstückoberfläche, auch an Kanten, in Rillen und Bohrungen. Einsatzhärten. Eine hohe Randschichthärte bei Teilen aus Stählen mit C-Gehalten von rd. 0,1 bis 0,25 % kann durch Härten nach den thermochemischen Behandlungen Aufkohlen oder Carbonitrieren erreicht werden. Beim Aufkohlen wird die Randschicht des Werkstücks durch Glühen bei 850 bis 950 °C (oberhalb der GOS-Linie) in

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kohlenstoffabgebenden Mitteln mit Kohlenstoff angereichert. Nach Art des Aufkohlungsmittels wird zwischen Pulver-, Gas-, Salzbad- und Pastenaufkohlung unterschieden. Der C-Gehalt der Randschicht nach dem Aufkohlen soll nicht höher sein als rd. 0,8 bis 0,9 %, um eine zu starke Zementitbildung zu vermeiden, die die Eigenschaften der Randschicht verschlechtern kann. Nach dem Aufkohlen ist die Randschicht eines Werkstücks härtbar. Wegen des höheren C-Gehalts besitzt das Gefüge der Randschicht eine niedrigere Umwandlungstemperatur als das des Kerns. Stellt man die Härtetemperatur auf den C-Gehalt der Randschicht ein, wandelt der Kern nicht vollständig um, sodass bei Stählen, die zum Kornwachstum neigen, ein infolge der langen Aufkohlungsdauer grobkörniges Gefüge im Kern zurückbleibt (Einfachhärtung). Eine Kernrückfeinung wird bei der Doppelhärtung erreicht. Hierbei wird zunächst von einer dem C-Gehalt des Kerns entsprechenden hohen Temperatur abgekühlt, wobei eine Umkristallisation des Kerns erfolgt; anschließend wird die Randschicht gehärtet. Damit erhält man eine hohe Oberflächenhärte bei gleichzeitig höchster Zähigkeit des Kerns. Durch das mehrmalige Erwärmen und Abkühlen wird allerdings die Gefahr des Verzugs des Werkstücks vergrößert. Ihr kann durch Abschrecken im Warmbad begegnet werden. Das Härten der aufgekohlten Randschicht kann auch unmittelbar von Aufkohlungstemperatur erfolgen (Direkthärten), wobei gegebenenfalls das Werkstück zuvor auf eine dem C-Gehalt der Randschicht entsprechende Härtetemperatur abgekühlt wird. Dieses Verfahren wird vorzugsweise bei Massenteilen oder bei Stählen mit geringer Neigung zum Kornwachstum (Feinkornstählen) angewendet. Höherlegierte Einsatzstähle, wie z. B. der Werkstoff 20NiCrMo6-3 wurden speziell für die Direkthärtung entwickelt, um verbesserte Festigkeits- und Zähigkeitseigenschaften zu erzielen. Beim Carbonitrieren wird die Randschicht eines Werkstücks gleichzeitig mit Kohlenstoff und Stickstoff angereichert. Diese Behandlung erfolgt z. B. in speziellen Cyansalzbädern bei 800 bis 830 °C. Nach dem Carbonitrieren erfolgt meistens ein Abschrecken, um die durch Nitridbil-

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dung erreichte Härte durch eine MartensitumLegierungselemente, die eine besonders howandlung weiter zu erhöhen. he Affinität zu Stickstoff aufweisen, wie Chrom, Nach dem Einsatzhärten wird bei Temperatu- Molybdän, Aluminium, Titan oder Vanadin erren von 150 bis 250 °C angelassen. geben besonders harte Randschichten mit hohem Verschleißwiderstand gegen Gleitreibung Nitrieren. Es erfolgt eine Diffusionssättigung (Nitrierstähle). Bei vergüteten Stählen niedriger der Randschicht eines Werkstücks mit Stick- Anlassbeständigkeit ist darauf zu achten, dass die stoff, um Härte, Verschleißwiderstand, Dauerfes- langzeitige Nitrierbehandlung keine Festigkeitstigkeit oder Korrosionsbeständigkeit zu erhöhen. abnahme im Kern verursacht. Durch LegierungsIm Vergleich zum Einsatzhärten ist mit der Ni- elemente wie Chrom und Molybdän wird die trierung bei Anwesenheit sondernitridbildender Anlassbeständigkeit erhöht, sodass mit niedrigleElemente eine höhere Randhärte erzielbar; der gierten CrMo-Stählen neben hoher RandschichtHärteabfall ins Innere des Werkstücks ist wegen härte auch hohe Kernfestigkeit erzielt werden der geringen Diffusionstiefe jedoch steiler. Die kann. Randschicht besteht nach dem Nitrieren aus einer äußeren Nitridschicht (Verbindungsschicht) und Aluminieren. Hierunter wird allgemein die Hereiner anschließenden Schicht aus stickstoffange- stellung von Al-Überzügen verstanden. Unter den reicherten Mischkristallen und ausgeschiedenen Diffusionsverfahren haben sich das Kalorisieren Nitriden (Diffusionsschicht). Man unterscheidet und das Alitieren bewährt. zwischen Gasnitrieren im Ammoniakgasstrom Beim Kalorisieren werden die Werkstücke bei 500 bis 550 °C, Salzbadnitrieren in Cyansalz- (meist kleinere Teile) in einer rotierenden Rebädern bei 520 bis 580 °C und Plasmanitrieren aktionstrommel bei 450 °C in Al-Pulver mit bebei 450 bis 550 °C. stimmten Zusätzen geglüht. Danach erfolgt ein Das Gasnitrieren erfordert lange Nitrierzeiten kurzzeitiges Glühen bei 700 bis 800 °C außer(z. B. 100 h für eine Nitriertiefe von rd. 0,6 mm). halb der Trommel zur Verstärkung der Diffusion. Durch zusätzliche Maßnahmen wie Sauerstoff- Es entsteht eine spröde, festhaftende Fe-Al-Lezugabe oder Ionisation des Stickstoffs durch gierungsschicht (Al > 10 %) unter einer harten Glimmentladung (Plasmanitrieren) können die Schicht von Al2 O3 , die eine gute ZunderbestänNitrierzeiten verkürzt werden. Eine weitere Ver- digkeit aufweist. Eine weniger spröde Schutzschicht mit beskürzung der Nitrierzeiten wird durch Salzbadnitrieren erreicht, doch führen die verwendeten serer Verformbarkeit bei gleicher ZunderbestänCyansalzbäder immer auch zu einer Aufkohlung digkeit wird durch das Alitieren erzeugt. Hierbei der Randschicht, die aber bei den hier verwen- wird die Glühung in einem Pulver aus einer Fedeten niedrigen Badtemperaturen gering ist. Die Al-Legierung bei 800 bis 1200 °C vorgenommen. Beide Verfahren sind auch bei anderen meniedrigen Badtemperaturen und die langsame Abkühlung (kein Abschrecken) führen zu sehr tallischen Werkstoffen als Stahl anwendbar, z. B. geringem Verzug der Werkstücke (Messwerkzeu- Kalorisieren bei Kupfer und Messing. Alitieren bei Nickellegierungen für Gasturbinenschaufeln. ge). Beim Nitrocarburieren enthält das Behandlungsmittel außer Stickstoff auch kohlenstoffab- Silizieren. Eine zwar spröde, aber sehr zundergebende Bestandteile. Es kann im Pulver, Salz- beständige Oberfläche wird bei kohlenstoffarbad, Gas oder Plasma nitrocarburiert werden. Die mem Stahl durch Behandlung mit heißem SiCl4 Gasnitrocarburierverfahren, die mit dem Sam- Dampf erzielt. Der Si-Gehalt der Schicht beträgt melbegriff Kurzzeitgasnitrieren bezeichnet wer- bis zu 20 %. den, benötigen gegenüber dem üblichen Gasnitrieren erheblich kürzere Behandlungsdauern. Sherardisieren. Dieses Verfahren wird ähnlich Diese liegen bei Prozesstemperaturen von 570 bis dem Kalorisieren durchgeführt. Nach dem Bei590 °C in der Größenordnung des Salzbadnitrie- zen oder Sandstrahlen werden die Werkstücke bei 370 bis 400 °C in mit bestimmten Zusätzen rens.

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versehenem Zinkstaub geglüht. Neben erhöhtem Martensitaushärtung. In kohlenstoffarmen FeKorrosionsschutz wird ein guter Haftgrund für Ni-Legierungen mit mehr als 6 bis 7 % Nickel erfolgt die Umwandlung des -Mischkristalls auch Anstriche erreicht. bei langsamer Abkühlung aus dem AustenitgeBorieren. Durch Borieren werden harte und ver- biet (820 bis 850 °C) nicht mehr durch Diffusion schleißarme Randschichten erzeugt. Es kann in in Ferrit, sondern durch diffusionslose Schiebung Pulver (950 bis 1050 °C), Gas und Salzbädern in Nickelmartensit, einem mit Nickel (statt Kohlenstoff) übersättigten, metastabilen Mischkris(550 °C) boriert werden. tall. Legierungselemente wie Ti, Nb, Al und vor Chromieren (Inchromieren). Das Verfahren allem Mo führen beim anschließenden Warmauswird bei rd. 1000 bis 1200 °C mit chromabgeben- lagern unterhalb der Reaustenitisiertemperatur den Stoffen in der Gasphase oder in der Schmelze (450 bis 500 °C) durch Ausscheiden feinverteildurchgeführt. Die Randschicht des Werkstücks ter intermetallischer Phasen und die Einstellung reichert sich dabei bis auf 35 % Cr an. Sie wird von gleitbehindernden Ordnungsphasen zu einer damit zunderbeständig bis zu Temperaturen über erheblichen Steigerung der Festigkeit bei gleich800 °C. Wegen der Korrosionsbeständigkeit der zeitig guter Zähigkeit. Schicht kann mit dieser Behandlung der Einsatz korrosionsbeständigen Vollmaterials umgangen Thermomechanische Behandlungen Thermomechanische Behandlungen sind eine werden. Verbindung von Umformvorgängen mit WärSonderverfahren der Wärmebehandlung mebehandlungen, um bestimmte Werkstoffeigenschaften zu erzielen. Isothermisches Umwandeln in der Bainitstufe. Bei diesem früher als Zwischenstufenvergüten Austenitformhärten. Hierbei wird ein Stahl bezeichneten Verfahren wird ein Werkstück nach nach dem Abkühlen von Austenitisiertemperatur dem Austenitisieren rasch auf eine Temperatur vor oder während der Austenitumwandlung umabgekühlt, bei der sich während des Haltens auf geformt. Damit können Festigkeitssteigerungen dieser Temperatur die Bainitumwandlung voll- bei gleichzeitig verbesserter Zähigkeit infolge eizieht. Die für einen bestimmten Werkstoff geeig- nes verfeinerten Bainit- und Martensitgefüges nete Temperatur ist aus dem isothermen ZTU- erzielt werden. Schaubild zu ersehen. Beste Festigkeits- und Zähigkeitseigenschaften ergeben sich bei Umwand- Temperaturgeregelte Warmumformung. lung im unteren Temperaturbereich der Bainitstu- Durch geregelte Temperaturführung in den fe. Neben den guten mechanischen Eigenschaf- letzten, mit ausreichendem Umformgrad vorgeten bietet das Verfahren wirtschaftliche Vorteile nommenen Schritten einer Warmumformung und gegenüber dem Vergüten, da ein zweimaliges beim anschließenden Abkühlen wird ein Gefüge Aufheizen entfällt. Vor allem Kleinteile aus Bau- angestrebt, wie es beim Normalglühen entsteht. stählen werden nach diesem Verfahren behandelt. Warm-Kalt-Verfestigen. Eine Umformung bei Patentieren. Hierunter versteht man eine Wär- erhöhter Temperatur unterhalb der Rekristallisamebehandlung von Draht und Band, bei der nach tionsschwelle führt bei gegenüber Raumtemperadem Austenitisieren schnell auf eine Tempera- tur verminderten Umformkräften zur Festigkeitstur oberhalb MS abgekühlt wird, um ein für das steigerung. Dieses Verfahren eignet sich besonnachfolgende Kaltumformen günstiges Gefüge ders für austenitische Werkstoffe. zu erzielen. Üblicherweise wird bei der DrahtherDie für isotherme Umwandlung erläuterten stellung im Warmbad abgekühlt bei Temperatu- Vorgänge spielen sich in ähnlicher Weise auch bei ren, die zu einem dichtstreifigen Perlit führen, da kontinuierlicher Abkühlung von der Austenitisiedieses Gefüge sich besonders zum Ziehen eignet. rungstemperatur ab, die bei zahlreichen techni-

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schen Wärmebehandlungsverfahren auftritt. Bei langsamer Abkühlung entsteht im Falle des Stahls C45E ein ferritisch-perlitisches Gefüge, wie aus dem Eisen-Kohlenstoff-Schaubild zu ersehen ist. Mit zunehmender Abkühlgeschwindigkeit wachsen die Anteile von Bainit und Martensit im Gefüge bis bei Überschreiten einer oberen kritischen Abkühlgeschwindigkeit nur noch Martensit gebildet wird.

31.1.4 Stähle In Zusammenarbeit mit H.-J. Wieland, Düsseldorf und J. Klöwer, Werdohl

Einteilung von Stählen nach DIN EN 10 020 DIN EN 10 020 definiert Stähle als Werkstoffe, deren Massenanteil an Eisen größer ist als der jedes anderen Elements und deren Gehalt an Kohlenstoff i. Allg. kleiner ist als 2 %. Übersteigt der Kohlenstoffanteil diesen Grenzwert, spricht man von Gusseisen (s. Abschn. 31.1.5). Darüber hinaus teilt DIN EN 10 020 die Stähle in unlegierte Stähle, legierte Stähle und nichtrostende Stähle ein. Die Grenze zwischen unlegierten und legierten Stählen geht aus Tab. 31.1 hervor. Ein Stahl gilt als legiert, wenn der spezifizierte Mindestwert nur eines Elementes die angegebenen Grenzwerte überschreitet. Falls für ein Element nur der zulässige Höchstwert spezifiziert ist, darf dieser das 1,3fache des Grenzwertes nach Tab. 31.1 betragen. Von dieser so genannten 70 %-Regel ist Mangan ausgenommen. Die nichtrostenden Stähle werden als Stähle mit mindestens 10,5 % Cr und höchstens 1,2 % C definiert. Zu ihnen gehören nicht nur korrosionsbeständige, sondern auch hitzebeständige und warmfeste Stahlsorten. Sie sind im Grunde ein Sonderfall der legierten Stähle. Zusätzlich unterscheidet DIN EN 10 020 bei den unlegierten und legierten Stählen zwischen Qualitäts- und Edelstählen. Die Edelstähle zeichnen sich insbesondere durch geringere Anteile nichtmetallischer Einschlüsse und meist auch durch engere Vorgaben für die chemische Zusammensetzung aus. Sie sind deshalb geeignet, höhere Qualitätsansprüche zu erfüllen. So z. B.

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sind Edelstähle zum Vergüten und Oberflächenhärten besser geeignet als Qualitätsstähle, deren Eigenschaften stärker streuen. DIN EN 10 020 hat erhebliche Bedeutung für den Stahlhandel, insbesondere für die Zollnomenklatur. Für die technische Anwendung der Stähle ist die Bedeutung dieser Norm gering.

Systematische Bezeichnung von Stählen nach DIN EN 10 027 Stähle werden gemäß DIN EN 10 027-1 entweder mit Kurznamen oder gemäß DIN EN 10 0272 mit Werkstoffnummern eindeutig gekennzeichnet. Kurzname und Werkstoffnummer sind austauschbar. Die Kurznamen bestehen aus Symbolen in Form von Buchstaben und Zahlen. Ausgangspunkt für den systematischen Aufbau der Kurznamen ist die Einteilung der Stahlsorten in die 15 Gruppen gemäß Tab. 31.2. Bei den Gruppen 1 bis 11 geben die Kurznamen Hinweise auf das Hauptanwendungsgebiet und auf die für die Hauptanwendung wichtigste mechanische oder physikalische Eigenschaft. Bei den Gruppen 12 bis 15 kennzeichnen die Kurznamen die chemische Zusammensetzung. Jeder Gruppe sind ein oder zwei Buchstaben als Hauptsymbol zugeordnet. Dieses Symbol steht i. Allg. an der ersten Stelle des Kurznamens. Ausnahmen sind die Stahlgusssorten, die an erster Stelle den Buchstaben G führen. Auch bei pulvermetallurgisch hergestellten Werkzeugstählen der Gruppe 14 ist es zulässig, dem ersten Hauptsymbol X ein anderes Symbol, nämlich die Buchstabenkombination PM, voranzustellen. Auf das für die Gruppe kennzeichnende erste Hauptsymbol folgen weitere Symbole, die Informationen über wichtige Merkmale zur eindeutigen Beschreibung individueller Stahlsorten enthalten (s. Tab. 31.2). Die Vielfalt der hierfür notwendigen Kennbuchstaben und -zahlen wird in DIN EN 10 027-1 festgelegt. Die verwendeten Zeichen können in jeder der 15 Gruppen eine andere Bedeutung haben. Der Schlüssel zum richtigen Verständnis eines Kurznamens liegt immer in dem Symbol an der ersten Stelle, gegebenenfalls hinter G oder PM.

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

Unterschiedliche Zustände oder Ausführungsformen der gleichen Stahlsorte können, falls erforderlich, durch Anhängen von Zusatzsymbolen mit einem Pluszeichen an den Kurznamen bzw. an die Werkstoffnummer bezeichnet werden. Beispiele sind in DIN EN 10 027-1 enthalten. Grundsätzlich werden zwischen den Ziffern und Buchstaben keine Leerstellen zur Trennung der Zeichen eingefügt. Die einzelne Elemente kennzeichnenden Ziffern werden mit einem Bindestrich verbunden. Alternativ zum Kurznamen können die Werkstoffnummern nach DIN EN 10 027-2 verwendet werden. Im Allgemeinen bestehen die Werkstoffnummern aus fünf Ziffern mit einem Punkt zwischen der ersten und der zweiten Ziffer. Die erste Ziffer ist für Stähle und Stahlguss immer eine 1, z. B. 1.1301 für die Stahlsorte 19MnVS6 nach DIN EN 10 267. Ein vollständiges Verzeichnis der für Stähle und Stahlguss in deutschen und europäischen Normen festgelegten Werkstoffnummern ist in StahlDat SX bzw. StahlDat SX Prof (www.stahldaten.de) enthalten.

Legierungselemente Im Eisen lösliche Legierungselemente wirken sich auf die Größe des Austenit . /-Gebiets im Eisen-Kohlenstoffschaubild aus. Dies äußert sich in Verschiebungen der Umwandlungstemperaturen. Dadurch ändert sich das Verhalten der Stähle bei der Abkühlung von der Warmumformtemperatur oder bei der Wärmebehandlung. Je nach Art und Menge des gelösten Legierungselementes können die Werte der kritischen Abkühlgeschwindigkeit sehr verschieden sein. Manche Legierungselemente haben zu den unvermeidbaren Begleitelementen des Eisens, z. B. Kohlenstoff, Stickstoff, Sauerstoff, Schwefel, eine höhere Affinität als Eisen. Sie bilden bei unterschiedlichen Temperaturen mit den Begleitelementen Verbindungen, die in unterschiedlicher Menge, Form und Verteilung im Stahl auftreten können. Einige Legierungselemente können sowohl im Eisen gelöst sein, wie auch stabile Verbindungen mit den Begleitelementen bilden. Die Vielfalt der möglichen Reaktionen, deren Ablauf bis zu einem gewissen Grad durch den Herstellungsprozess der Stähle gesteuert werden kann, erklärt

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den vielfältigen Einfluss der Legierungselemente auf die mechanischen und technologischen Eigenschaften der Stähle. Bei der nachfolgenden Erläuterung einiger wichtiger Stahlgruppen werden auch die für die jeweilige Stahlgruppe kennzeichnenden Wirkungen der Legierungselemente angesprochen.

Walz- und Schmiedestähle Baustähle (s. Tab. 31.4) Baustähle müssen schweißgeeignet sein und sind nicht für eine Wärmehandlung bei der Weiterverarbeitung bestimmt. Amweitesten verbreitet sind unlegierte Baustähle, häufig als allgemeine Baustähle bezeichnet, mit Nennwerten der Streckgrenze bis 460 MPa für den Stahlhochbau, Tiefbau, Brückenbau, Wasserbau, Behälterbau oder Fahrzeugund Maschinenbau. Ihre chemische Zusammensetzung wird im Wesentlichen nur hinsichtlich der Gehalte an C, Si, Mn, P, S und N spezifiziert. Für vollberuhigte Stahlsorten wird ein ausreichender Gehalt an Stickstoff abbindenden Elementen verlangt, z. B. mindestens 0,020 % Al, wobei jedoch Al auch durch andere starke Nitridbildner wie Ti oder Nb ersetzt werden darf. Der übliche Richtwert ist ein Verhältnis Mindestwert des Al-Gehaltes zu Stickstoff von 2:1, wenn keine anderen Nitridbildner vorhanden sind. Die Bewertung der Schweißeignung anhand der IIWFormel (International Institute for Welding) für das Kohlenstoffäquivalent Cr C Mo C V Mn C 6 5 Ni C Cu in % C 15

CEV D C C

und die Festlegung von Höchstwerten des Kohlenstoffäquivalents bedeuten eine wirksame Einschränkung der zulässigen Gehalte an nicht ausdrücklich spezifizierten Begleitelementen. Niedrigere Werte des Kohlenstoffäquivalents gelten als Merkmal besserer Schweißeignung. Kupfergehalte von 0,25 bis 0,40 % sind gelegentlich zur Verbesserung der Wetterfestigkeit erwünscht, können jedoch die Schweißeignung und die Warmumformbarkeit (Neigung zu Lötbruch) beeinträchtigen. Falls die unlegierten Baustähle

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zum Feuerverzinken geeignet sein sollen, ist eine Einschränkung des Siliziumgehaltes erforderlich. Maßgebend für die Auswahl der Stahlsorten sind in erster Linie die Mindestwerte der Streckgrenze und der Zugfestigkeit, in vielen Fällen aber auch die nach Gütegruppen gestaffelten Mindestwerte der Kerbschlagarbeit. Für die unlegierten Baustähle sind Gütegruppen nach Tab. 31.3 genormt. Regeln für die Auswahl der Gütegruppe sind enthalten z. B. für den Stahlbau in der Richtlinie des Deutschen Ausschusses für Stahlbau DASt 009 oder für den Tankbau in DIN EN 14 015. Falls bei geschweißten Bauteilen nennenswerte Beanspruchungen in Dickenrichtung erwartet werden, können als vorbeugende Maßnahme gegen das Auftreten von Kaltrissen so genannte Z-Güten verwendet werden, für die Mindestwerte der Brucheinschnürung von Zugproben senkrecht zur Walzoberfläche festgelegt sind. Hohe Werte der Brucheinschnürung solcher Proben können nur bei niedrigen Schwefelgehalten erreicht werden. Im Allgemeinen werden die Erzeugnisse aus unlegierten Baustählen im Walzzustand oder im normalgeglühten Zustand oder im normalisierend gewalzten Zustand geliefert. Nur bei Erzeugnissen im normalgeglühten oder normalisierend gewalzten Zustand darf erwartet werden, dass die spezifizierten Mindestwerte der Festigkeit und Zähigkeit auch nach sachgemäßem Warmumformen oder erneutem Normalglühen während der Weiterverarbeitung eingehalten werden. Normalisierend gewalzte Erzeugnisse zeichnen sich durch eine Oberflächenbeschaffenheit aus, die gleichmäßiger ist als bei ofengeglühten Erzeugnissen und für die Wirtschaftlichkeit der Weiterverarbeitung entscheidend sein kann. Hochfeste schweißgeeignete Feinkornbaustähle erreichen Mindestwerte der Streckgrenze bis rund 1100 MPa, demnächst auch 1300 MPa. Sie erweitern die Anwendungsgebiete der unlegierten Baustähle zu höheren Beanspruchungen und zu tieferen Temperaturen. In den Lieferzuständen normalgeglüht oder normalisierend gewalzt oder thermomechanisch gewalzt weisen die hochfesten schweißgeeigneten Feinkornbaustähle standardmäßig Mindest-

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werte der Streckgrenze im Bereich zwischen 275 und 460 MPa auf. In Abhängigkeit von der Gütegruppe eignen sie sich für den Einsatz bei Temperaturen bis etwa 50 °C. Sie unterscheiden sich von den unlegierten Baustählen durch kleine Anteile von Nb, Ti oder V, die bei Temperaturen der Warmumformung fein verteilte, stabile Nitride und Carbonitride bilden. Im Verlauf der Abkühlung von Warmumformtemperatur führen diese Ausscheidungen bei Unterschreitung der Umwandlungstemperatur zu einem besonders feinkörnigen Gefüge. Die Feinkornbildung erlaubt, trotz Verringerung des Kohlenstoffgehaltes die Werte der Streckgrenze zu steigern und das Zähigkeitsverhalten zu verbessern, ohne die Schweißeignung zu beeinträchtigen. Kleine Anteile an Legierungselementen, z. B. Cr, Mo und Ni, tragen zur Erhöhung der Streckgrenze bei. Der Ausdruck normalisierend gewalzt bedeutet, dass das Erzeugnis durch Warmumformung und anschließende kontrollierte Abkühlung in einen Zustand gebracht wurde, der hinsichtlich des Gefüges und der mechanisch-technologischen Eigenschaften des Erzeugnisses dem Zustand eines im Ofen normalgeglühten Erzeugnisses gleichwertig ist. Thermomechanisches Walzen besteht darin, dass die durch Ausscheidungen verursachte Feinkornbildung durch geeignete Maßnahmen während der Umformung verstärkt wird, sodass ein Gefüge mit noch kleineren Körnern entsteht. Dadurch wird es möglich, Stähle zu erzeugen, die bei gleicher Streckgrenze wie ein normalgeglühter Stahl weniger Kohlenstoff enthalten und deshalb hinsichtlich ihrer Schweißeignung noch günstigere Eigenschaften aufweisen. Das thermomechanisch eingestellte Gefüge kann jedoch bei Einwirkung hoher Temperaturen geschädigt werden und lässt sich durch eine Wärmebehandlung nicht wiederherstellen. Erzeugnisse im thermomechanisch gewalzten Zustand sind deshalb nicht für eine Warmumformung vorgesehen und bedürfen auch bei vorsichtigem Flammrichten einer strengen Temperaturüberwachung. Hochfeste schweißgeeignete Feinkornbaustähle mit angehobenen Gehalten an Cr, Mo, Ni und V, werden im wasservergüteten Zustand mit Mindestwerten der Streckgrenze bis rund 1100 MPa (1300 MPa in der Erprobung) geliefert.

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

Sie ermöglichen u. a. die wirtschaftliche Ausführung von Stahlbauwerken und Fahrzeugen in Leichtbauweise. Ein bevorzugtes Anwendungsgebiet der Sorten mit besonders hohen Mindestwerten der Streckgrenze ist der Mobilkranbau. Zur Bewertung der Schweißeignung der hochfesten Feinkornbaustähle anhand des Kohlenstoffäquivalents liefert die CET-Formel CET D C C

Cr C Cu Ni Mn C Mo C C in % 10 20 40

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oder andere Bauteile mit untergeordneter mechanischer Beanspruchung verwechselt werden. Bei der Verarbeitung und Anwendung der wetterfesten Baustähle empfiehlt sich, die Richtlinie des Deutschen Ausschusses für Stahlbau DASt 007 zu beachten. Die Bewehrungsstähle für den Stahlbeton(Betonstähle) und Spannbetonbau (Spannstähle) zählen nicht zu den Baustählen im üblichen Sinn, sind für das Bauwesen aber ebenfalls unverzichtbar.

nach Stahl-Eisen-Werkstoffblatt 088 Vergleichszahlen, die den Einfluss der Legierungselemente zutreffender beschreiben als die IIW-Formel. Spezielle wasservergütete Feinkornbaustähle mit Kohlenstoffgehalten bis 0,38 % erreichen Härtewerte bis 630 HB und werden für Bauteile verwendet, bei denen es auf einen hohen Widerstand gegen Verschleiß ankommt, z. B. Muldenkipper, Steinbrechanlagen, Betonmischer. Bis zu einer Härte von rund 500 HB sind auch diese Stähle kaltumformbar, wobei jedoch der hohe Kraftbedarf und die von der Streckgrenze abhängige Rückfederung zu beachten sind. Zum Schweißen bei Vorwärmtemperaturen bis rund 200 °C eignet sich das MAG-Verfahren.

Betonstähle werden standardmäßig mit Nennwerten der Streckgrenze von 420 oder 500 MPa und Nennwerten der Bruchdehnung von 10 oder 8 % in der Form von Stäben oder als Drähte zur Herstellung von Betonstahlmatten geliefert. Nennwerte sind die aus statistischen Auswertungen abgeleiteten Werte des 5%-Quantils, die also von 5 % der Einzelwerte unterschritten werden dürfen. Die Stähle müssen schweißgeeignet und kaltumformbar sein. Sie sind unlegiert mit nur geringen Anteilen von Nb und/oder V zur Einstellung eines feinkörnigen Gefüges. Die geforderten Werte der Streckgrenze werden durch geregelte Temperaturführung aus der Walzhitze und/oder Kaltverfestigung erreicht. Die Haftung im Verbund mit dem Beton wird durch ausreichende Die wetterfesten Baustähle enthalten üblicher- Profilierung der Stäbe und Drähte sichergestellt. weise 0,2 bis 0,6 % Cu und 0,35 bis 0,85 % Cr. Zur Vermeidung von Lötbruch dürfen bis zu Spannstähle müssen geeignet sein, in Spannbe0,7 % Ni zulegiert werden. Cu und Cr bilden tonbauteile Druckvorspannungen einzubringen, unter atmosphärischer Korrosion Deckschichten, die langzeitig erhalten bleiben. Für diese Stähdie den normalen Rostvorgang stark hemmen, so- le wird deshalb eine hohe Relaxationsfestigkeit dass die Stähle u. U. auch ohne Schutzanstriche verlangt, die wiederum sehr hohe Werte der Elasder Witterung ausgesetzt werden dürfen. Ver- tizitätsgrenze, ermittelt als Werte der 0,01%suche, aus der chemischen Zusammensetzung Dehngrenze, voraussetzt. Charakteristische WerKennzahlen für die Witterungsbeständigkeit zu te der im Mittel um rund 20 % höheren Wererrechnen, sind von umstrittenem Wert, da klima- te der 0,2%-Dehngrenze der üblichen Spanntische Unterschiede, die Zusammensetzung der stahlsorten liegen im Bereich zwischen 835 und Luft, z. B. in Küstennähe oder in einer Indus- 1570 MPa bei Werten der Zugfestigkeit zwischen triegegend, und andere Einflussgrößen die Ent- 1030 und 1770 MPa und Nennwerten der Bruchstehung und Schutzwirkung der Deckschichten dehnung von 6 und 7 %. Die üblichen Erzeugerheblich beeinflussen. Die wetterfesten Baustäh- nisformen sind glatte oder gerippte Stäbe oder le werden für tragende Konstruktionen einge- Drähte. Für die verwendeten Stähle sind hosetzt. Sie dürfen nicht mit den im Bauwesen he Kohlenstoffgehalte kennzeichnend. Unlegierte aus architektonischen Gründen oft verwendeten Stähle für kaltgezogene Drähte im Abmessungsnichtrostenden Stählen für Verkleidungsbleche bereich 5 bis 12 mm enthalten rund 0,8 % C.

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Stähle für vergütete Drähte bis 16 mm Durchmesser enthalten rund 0,5 % C und 0,4 % Cr. Für Stabstahl im Abmessungsbereich 15 bis 36 mm Durchmesser, dessen Festigkeitswerte an der unteren Grenze des obengenannten Bereiches liegen, werden Stähle mit rund 0,7 % C und 1,5 % Mn eingesetzt, denen noch rund 0,3 % V zulegiert wird, wenn Mindestwerte der Streckgrenze über 1000 MPa erreicht werden sollen. Die Stäbe werden im warmgewalzten, gereckten und angelassenen Zustand geliefert. Zur Verbesserung des Widerstandes gegen Spannungsrisskorrosion haben sich bei vergüteten Drähten Zusätze von Si bis fast 2 % bewährt. Sowohl für Betonstähle wie für Spannstähle gelten Forderungen an die Dauerschwingfestigkeit. Bei gerippten Stäben aus Spannstählen mit den genannten hohen Werten der 0,2 %-Dehngrenze müssen die Querschnittsübergänge der Rippen so beschaffen sein, dass kritische Spannungskonzentrationen vermieden werden. Tab. 31.4 zeigt eine Auswahl an Normen für Baustahlformen und deren Verwendung. Stähle zum Kaltumformen (s. Tab. 31.5) In großer Vielfalt werden Fertigteile durch Kaltumformen von Flacherzeugnissen hergestellt, z. B. Gehäuse, Behälter, Kümpelteile, Kraftfahrzeugteile, Profile, geschweißte Rohre und Hohlprofile. Hierfür stehen warm- oder kaltgewalzte Flacherzeugnisse einer großen Zahl von Stählen zur Verfügung. Allen gemeinsam ist die besondere Eignung zur Kaltumformung, u. a. gekennzeichnet durch hohe Werte des Verfestigungsexponenten n für die Zunahme der Streckgrenzenwerte in Abhängigkeit vom Umformgrad und der senkrechten Anisotropie r für das Verhältnis von Breiten- zu Dickenformänderung. Vorteilhaft für die Kaltumformbarkeit ist auch ein niedriges Verhältnis der Werte von Streckgrenze und Zugfestigkeit. Maßgebend für die Eignung zum Kaltumformen ist der Gefügezustand der Stähle. Die weiche Ferritphase lässt sich gut umformen, während zunehmende Anteile des harten Perlits das Umformverhalten verschlechtern. Wichtig ist immer ein hoher oxidischer Reinheitsgrad. Von den Werkstoffeigenschaften sowie von der Wanddicke der Fertigteile und den Forderungen an

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die Oberflächenbeschaffenheit hängt es ab, ob zur Herstellung der Fertigteile warm- oder kaltgewalzte Flacherzeugnisse in Betracht kommen. Hohe Forderungen an die Oberflächenqualität der Fertigteile, z. B. festgelegte enge Spannen der Mittenrauheit Ra , können nur mit kaltgewalzten Flacherzeugnissen erfüllt werden. Unter den zum Kaltumformen bestimmten Stählen spielen die unlegierten weichen Stahlsorten eine besondere Rolle. Sie weisen bei niedrigen Gehalten an Kohlenstoff und Mangan ein gleichmäßiges perlitarmes Gefüge auf. Der für die Kaltumformbarkeit ungünstige Perlitanteil kann bei gleichem Kohlenstoffgehalt noch weiter vermindert werden, wenn der Kohlenstoff durch Karbidbildner, z. B. Ti oder Nb, gebunden wird (IF-Stähle: „interstitial free“ – frei von N und C auf Zwischengitterplätzen). Die unlegierten weichen Stahlsorten haben im Ausgangszustand niedrige Werte der Streckgrenze. Zu ihrer Umformung ist ein verhältnismäßig geringer Kraftbedarf erforderlich. Mit zunehmendem Umformgrad steigen die Werte der Streckgrenze an. Durch Kaltwalzen mit Dickenabnahmen zwischen 55 und 75 % können Festigkeitszunahmen von 500 MPa erreicht werden. Insbesondere beim Tiefziehen weicher Stähle können als Folge der Lüdersdehnung im Bereich der Streckgrenze störende Fließfiguren auftreten. Durch Nachwalzen mit bis zu 2 % Dickenabnahme lassen sich diese Erscheinungen bei kaltgewalzten Flacherzeugnissen unterdrücken. Bei einigen Stahlsorten ist die Wirkung des Nachwalzens jedoch nur von beschränkter Dauer. Kaltgewalzte Flacherzeugnisse dieser Stahlsorten sollten nicht beliebig lange gelagert, sondern möglichst schnell verarbeitet werden. Ein Sonderfall der weichen Stähle sind die kaltgewalzten Flacherzeugnisse zum Emaillieren. Durch Einschränkungen der chemischen Zusammensetzung der Stahlsorten wird dafür gesorgt, dass die beim Einbrennen der Emailschichten an der Stahloberfläche ablaufenden Reaktionen zu einer guten Haftung der Überzüge führen. Außer unberuhigten Stählen sind auch vakuumentkohlte Stähle geeignet, die mit Aluminium beruhigt und mit Titan mikrolegiert sind.

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

Falls vom Fertigteil höhere Festigkeitswerte verlangt werden, als mit einem unlegierten weichen Stahl unter den vom Bauteil abhängigen Umformbedingungen erreichbar sind, besteht die Möglichkeit, Stähle höherer Festigkeit zu verwenden, u. a. solche, bei denen die Mischkristallverfestigung, z. B. durch Si und Mn oder auch P, stärker zur Festigkeitssteigerung beiträgt. Phosphorlegierte Stähle (P-Stähle) mit bis zu 0,1 % P erreichen Streckgrenzenwerte bis 340 MPa. Das für die Umformung günstigste Gefüge wird durch spezielle Maßnahmen bei der Stahlherstellung eingestellt. Der für die Umformung erforderliche Kraftbedarf ist dennoch erheblich größer als bei den weichen Stählen. Eine andere Möglichkeit besteht darin, perlitarme mikrolegierte Stähle mit weniger als 0,1 % C einzusetzen, bei denen unter Verzicht auf Mischkristallverfestigung die Wirkungen von Kornfeinung und Ausscheidungshärtung, z. B. durch Ausscheidung von Nitriden und Carbonitriden, zur Steigerung der Festigkeit genutzt werden, sodass sich Mindestwerte der Streckgrenze von mehr als 500 MPa erreichen lassen. Die Eignung zum Kaltumformen bleibt wegen des niedrigen Perlitanteils erhalten, das Verhältnis von Streckgrenze zu Zugfestigkeit steigt jedoch auf Werte weit über 0,7 (Abb. 31.4). Bei den BakeHardening-Stählen (BH-Stähle) kann die Wir-

Abb. 31.4 Streckgrenze und Zugfestigkeit verschiedener Arten von Stählen zum Kaltumformen. (Nach [1])

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kung der Ausscheidungsverfestigung durch eine künstliche Alterung im Bereich um 180 °C verstärkt werden. Von dieser Möglichkeit wird z. B. beim Einbrennlackieren Gebrauch gemacht. Besonders hohe Forderungen an Kaltumformbarkeit und Festigkeit werden an Karosseriebleche gestellt. Einerseits sind die daraus herzustellenden Teile meist recht kompliziert geformt, andererseits sollen sie möglichst dünn, aber doch noch ausreichend steif sein. In diesem Anwendungsbereich werden perlitfreie Multiphasenstähle eingesetzt, zu deren Herstellung besondere Maßnahmen bei der Legierung sowie beim Walzen und Glühen notwendig sind. Kennzeichnende Vertreter dieser Stahlgruppe werden als kontinuierlich schmelztauchveredeltes und elektrolytisch veredeltes Band und Blech angeboten. Die Dualphasenstähle (DP-Stähle) bestehen im Wesentlichen aus Ferrit mit bis etwa 20 % inselartig eingelagertem Martensit, der bei schneller Abkühlung aus dem Teilaustenitgebiet (˛ C ) entsteht. Die ferritische Grundmasse sorgt für gute Umformbarkeit; der Martensit erhöht die Festigkeit. Bei noch verhältnismäßig niedrigen Werten des Streckgrenzenverhältnisses im Bereich um 0,6 sind Werte der Zugfestigkeit weit über 600 MPa erreichbar. Bei den ferritischbainitischen TRIPStählen (transformation induced plasticity) werden Restaustenitanteile während der Umformung in festigkeitssteigernden Martensit umgewandelt. Infolge der Zunahme der Zugfestigkeit während des Umformens erhöht sich der zulässige Umformgrad. Die Werte der Bruchdehnung dieser Stähle sind im Vergleich zu Dualphasenstählen gleicher Festigkeit etwas höher (Abb. 31.5). Die Complexphasenstähle (CPStähle), die ein sehr feines Mischgefüge harter und weicher Bestandteile aufweisen, erreichen Zugfestigkeitswerte über 800 MPa. Die PM-Stähle (partiell martensitisch) mit deutlich mehr als 20 % Martensit zeichnen sich durch noch höhere Werte der Zugfestigkeit bei allerdings niedrigeren Werten der Bruchdehnung aus. Gegenwärtig werden Martensitphasenstähle mit Zugfestigkeitswerten bis ca. 1400 MPa entwickelt. In Tab. 31.5 ist eine Liste von Normen für Stähle zum Kaltumformen aufgeführt.

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Abb. 31.5 Bruchdehnung und Zugfestigkeit verschiedener Arten von Stählen zum Kaltumformen. (Nach [1])

Für eine Wärmebehandlung bestimmte Stähle Vergütungsstähle. Vergütungsstähle sind unlegierte und legierte Stähle, die aufgrund ihrer chemischen Zusammensetzung, besonders ihres Kohlenstoffgehaltes, zum Härten geeignet sind und deren Gebrauchseigenschaften durch Vergütung, d. h. durch eine geeignete Kombination von Härten und Anlassen, den jeweiligen Erfordernissen in weiten Grenzen angepasst werden können. Sie werden in allen Bereichen des Maschinenbaus für kleine und große Bauteile unterschiedlichster Art eingesetzt. Je nach Verwendungszweck werden hohe Festigkeit bei statischer, dynamischer, schwingender oder schlagartiger Beanspruchung, gutes Zähigkeitsverhalten vor allem im Hinblick auf Kerbunempfindlichkeit oder hohe Härte als Grundlage eines erhöhten Verschleißwiderstandes gefordert. Fast immer ist eine gute Zerspanbarkeit wichtig. Gelegentlich wird die Eignung zum Schweißen verlangt. Zweckmäßige Kombinationen der Wärmebehandlungsparameter Härtetemperatur, Abkühlgeschwindigkeit, Anlasstemperatur und Anlassdauer ermöglichen, die Vielfalt der geforderten Eigenschaftsprofile im Rahmen der Prozessgenauigkeit nahezu stufenlos einzustellen, wobei zu beachten ist, dass sich Festigkeit bzw. Härte und Zähigkeit gegenläufig verhalten (vgl. auch Abb. 31.5), wenn nicht auch die Korngröße ver-

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ändert wird. Bei gegebener Festigkeit wird das beste Zähigkeitsverhalten erreicht, wenn durch ein Normalglühen vor dem Vergüten ein gleichmäßig feinkörniges Gefüge eingestellt wird und beim Härten die Umwandlung vollständig in der Martensitstufe abläuft. Einen wesentlichen Einfluss hat auch die Kombination der Legierungselemente. Mitunter kommt der vorteilhafte Einfluss bestimmter Legierungszusätze erst unter Betriebsbeanspruchung zur Geltung. Niedrige Anteile an nichtmetallischen Einschlüssen kommen sowohl dem Zähigkeitsverhalten allgemein wie auch besonders der Schwingfestigkeit zugute. Zum besseren Verständnis des Zusammenwirkens der Vielzahl der Einflussgrößen muss auf das Fachschrifttum verwiesen werden. Für die Auswahl des für einen bestimmten Anwendungsfall am besten geeigneten Vergütungsstahles ist neben der Härtbarkeit, die im Stirnabschreckversuch bewertet wird, oft die Betriebserfahrung entscheidend. Aus wirtschaftlichen Gründen haben die unlegierten Vergütungsstähle weite Verbreitung gefunden. NickelChrom-Molybdän-Stähle haben sich bei höchsten Anforderungen gut bewährt. Gute Zerspanbarkeit kann durch spezifizierte Schwefelgehalte von rund 0,03 % unter Verlust an Zähigkeit und Schwingfestigkeit erreicht werden. Schweißeignung ist gegeben bei niedrigen Kohlenstoffgehalten und Anwendung von Schweißverfahren mit niedrigem Wärmeeinbringen. Für das KaltMassivumformen werden Vergütungsstähle im weichgeglühten Zustand mit niedriger Ausgangsfestigkeit bevorzugt. Die Vergütung wird erst nach dem Umformen vorgenommen. Eine besondere Rolle spielt hier die Gruppe der borlegierten Vergütungsstähle mit verbesserter Härtbarkeit. Die martensitaushärtenden Stähle, z. B. X2NiCoMo18-8-5, sind hochfeste Vergütungsstähle mit ungefähr 18 % Ni und extrem niedrigen Gehalten an C, Si und Mn. Sie erhalten ihre hohe Festigkeit durch Überlagerung der Verfestigungsmechanismen Martensitbildung und Mischkristallhärtung mit einer Ausscheidungshärtung. Im lösungsgeglühten Anlieferungszustand besitzen die martensitaushärtenden Stähle ein Gefüge aus nahezu

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

kohlenstofffreiem Nickelmartensit (Zugfestigkeit etwa 1000 MPa). Wegen des niedrigen Kohlenstoffgehaltes können sie in diesem Zustand auch geschweißt werden. Durch Warmauslagern bei knapp 500 °C lassen sie sich durch Ausscheiden intermetallischer Verbindungen wie Ni3(Ti, Al) und Fe2Mo aus dem Martensit auf Werte der Zugfestigkeit um 2200 MPa bei ausreichender Zähigkeit aushärten. Die Stähle sind empfindlich gegenüber Wasserstoffversprödung und Spannungsrisskorrosion. Stähle für das Randschichthärten sind Vergütungsstähle, die sich zur Herstellung von Bauteilen mit harter Randschicht und zähem Kern eignen. Solche Bauteile zeichnen sich durch einen hohen Verschleißwiderstand an der Oberfläche und eine verbesserte Dauerfestigkeit aus. Der Kohlenstoffgehalt muss der gewünschten Härte und Einhärtetiefe angepasst sein. Der Legierungsgehalt bestimmt die Unempfindlichkeit gegen Kornvergröberung durch Überhitzen, die notwendige Abkühlgeschwindigkeit von der Härtetemperatur und die Höhe der zulässigen Entspannungstemperatur zum Abbau von Spannungsspitzen. Die wichtigsten Verfahren der Randschichthärtung sind in Abschn. 31.1.3 beschrieben.

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sich zum Direkthärten. Einzelheiten der Verfahren der Einsatzhärtung werden in Abschn. 31.1.3 beschrieben. Automatenstähle. Automatenstähle sind durch gute Zerspanbarkeit (kurzbrechende Späne mit geringem Volumen) bei hoher Schnittgeschwindigkeit und geringem Werkzeugverschleiß sowie durch eine hohe Qualität der bearbeiteten Oberflächen gekennzeichnet. Sie erhalten diese Eigenschaften im Wesentlichen durch erhöhte Schwefelgehalte bis zu 0,4 %, die zu einem vermehrten Anteil sulfidischer Einschlüsse führen. Gegebenenfalls wird zusätzlich oder alternativ zum Schwefel 0,15 bis 0,3 % Blei zugegeben, das im Gefüge der Stähle als fein verteilte metallische Phase auftritt. Erhöhte Phosphorgehalte tragen zur Verbesserung der Zerspanbarkeit bei, indem sie die für den Zerspanungsvorgang nachteilige Zähigkeit der ferritischen Grundmasse der Stähle mindern. Wenn die Sulfide in der Form lang gestreckter Zeilen vorliegen, wird das Zähigkeitsverhalten bei Beanspruchungen senkrecht zu den Sulfidzeilen stark beeinträchtigt. Eine begrenzt wirksame Abhilfe ist möglich durch eine Beeinflussung der Sulfidform oder durch Ersatz des Schwefels, z. B. durch Blei. Wenn große Bauteilserien in automatisierten Arbeitsabläufen spanabhebend bearbeitet werden, leisten Automatenstähle einen wesentlichen Beitrag zur Wirtschaftlichkeit der Fertigung. Mit Ausnahme der nichtrostenden Sorten sind Automatenstähle überwiegend unlegiert. Unterschieden wird zwischen

Nitrierstähle, z. B. 34CrAlNi7-10, enthalten in erster Linie starke Nitridbildner wie Chrom, Aluminium und Vanadium. Weitere Legierungselemente dienen der Steigerung von Festigkeit und Zähigkeit des Kernbereichs unterhalb der verhältnismäßig dünnen Nitrierschicht. Die wichtigsten Nitrierverfahren sind in Abschn. 31.1.3 beschrieben.  Automatenstählen, die nicht für eine Wärmebehandlung bestimmt sind und zur VerbesseEinsatzstähle, z. B. C15E, 16MnCr5, sind Quarung der Festigkeitseigenschaften bis zu 1,5 % litäts- oder Edelstähle mit einem verhältnismäßig Mn enthalten (z. B. 11SMnPb30), niedrigen Kohlenstoffgehalt. Sie werden im Be-  Automaten-Einsatzstählen (z. B. 10SPb20) reich der Randzone aufgekohlt, gegebenenfalls und gleichzeitig aufgestickt (carbonitriert) und an-  Automaten-Vergütungsstählen (z. B. 35S20, schließend gehärtet. Die Stähle haben nach dem 46SPb20). Härten in der Randschicht hohe Härte und guten Verschleißwiderstand, während im Kernbereich Die Stähle werden als Stabstahl in den Zuvor allem bei den mit Cr, Mo und Ni legierten ständen unbehandelt, d. h. warmgewalzt, oder Sorten eine hohe Zähigkeit erhalten bleibt. Ins- normalgeglüht geliefert und sind üblicherweise besondere die Molybdän-Chrom-Stähle eignen geschält oder kaltgezogen.

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Nichtrostende Stähle. Nichtrostende Stähle zeichnen sich durch besondere Beständigkeit gegenüber chemisch angreifenden Stoffen aus. Der kennzeichnende Korrosionswiderstand setzt einen Massenanteil an Chrom voraus, der nach der Definition in DIN EN 10 020 den Wert 10,5 % nicht unterschreiten darf. In Abhängigkeit von den weiteren Legierungselementen werden die nichtrostenden Stähle nach ihren wesentlichen Gefügebestandteilen eingeteilt in ferritische, martensitische, ausscheidungshärtende martensitische, austenitische und ferritisch-austenitische Stähle. Die Gefügezusammensetzung schweißgeeigneter nichtrostender Stähle mit nicht mehr als rund 0,25 % C kann mit Hilfe von Abb. 31.6 und den zusätzlich genannten Gleichungen für die Errechnung der Äquivalentgehalte an Chrom und Nickel aus der chemischen Zusammensetzung abgeschätzt werden. Das Bild wurde für die Abschätzung der Gefügezusammensetzung von Schweißgut entwickelt und gilt deshalb nur für den Zustand nach Abkühlung von hoher Temperatur. In dem vorliegenden Bild gilt für die Äquivalentgehalte: Cräq D Cr C 1;4  Mo C 0;5  Nb C 1;5  Si C 2  Ti .in %/ und

Niäq D Ni C 30  C C 0;5  Mn C 30  N .in %/:

Das Korrosionsverhalten der verschiedenen Arten nichtrostender Stähle lässt sich nach heutigem Wissensstand nur auf der Grundlage von Erfahrungen zuverlässig beurteilen. Scheinbar geringfügige Unterschiede zwischen den angreifenden Medien können das Korrosionsverhalten der Stähle erheblich beeinflussen. Häufig ist auch die gleichzeitig wirksame mechanische Beanspruchung von entscheidender Bedeutung. Laborversuche unter definierten Bedingungen liefern wertvolle Hinweise und ermöglichen qualitative Vergleiche. Ferritische und martensitische Stähle mit rund 13 % Cr haben sich gut bewährt unter verhältnismäßig milden Korrosionsbeanspruchungen, z. B. unter atmosphärischen Bedingungen. Mit steigendem Chromgehalt wird die Korrosionsbeständigkeit besser.

Abb. 31.6 Gefügeschaubild der schweißgeeigneten nichtrostenden Stähle (C 0;25 %) nach Schaeffler für Abkühlung von sehr hohen Temperaturen. (Nach [2])

Ferritische Chromstähle mit fast 30 % Cr und nur sehr niedrigen Kohlenstoffgehalten von rund 0,01 % C, auch Superferrite bezeichnet, finden Anwendung in besonders aggressiven Medien bei angehobenen Temperaturen. Austenitische Cr-Ni-Stähle sind vielseitig einsetzbar auch bei stärkerer Korrosionsbeanspruchung. Unabhängig von der Gefügezusammensetzung wird der Korrosionswiderstand nichtrostender Stähle geschwächt, wenn der Grundmasse bei Erwärmung auf höhere Temperaturen durch Ausscheidung chromreicher Karbide so viel Chrom entzogen wird, dass der in Lösung verbleibende Anteil des Chroms unter den für eine wirksame Passivierung (vgl. Abschn. 34.2) erforderlichen Schwellenwert abfällt. Werden die chromreichen Karbide bevorzugt auf den Korngrenzen ausgeschieden und kann sich in der Grundmasse mangels ausreichend hoher Diffusionsgeschwindigkeit nicht schnell genug ein Ausgleich der Konzentration des Chroms einstellen, werden die Stähle anfällig gegen interkristalline Korrosion (s. Abschn. 34.3). Besonders gefährdet sind die Wärmeeinflusszonen der Schweißnähte. Wirksame Gegenmaßnahmen bestehen in der Verwendung von Stahlsorten mit weniger als ungefähr 0,03 % C oder in der Verwendung sogenannter stabilisierter Stahlsorten, bei denen der Kohlenstoff durch starke Karbidbildner gebunden ist. Als Karbidbildner kommen i. Allg. Ti oder Nb in Betracht.

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

Ferritische nichtrostende Stähle sind durch niedrige Kohlenstoffgehalte bis höchstens 0,08 % gekennzeichnet und enthalten zwischen 12 und 30 % Cr. Mit zunehmendem Chromgehalt neigen sie bei Temperaturen zwischen rund 500 und 900 °C zur Ausscheidung der Sigmaphase, die eine deutliche Minderung der Zähigkeit bewirkt. Zufriedenstellende Zähigkeitswerte sind durch Glühen bei Temperaturen oberhalb des Ausscheidungsbereiches der Sigmaphase mit anschließender rascher Abkühlung an Luft erreichbar. Sie werden deshalb in Erzeugnisdicken nur bis rund 25 mm geliefert. Bei Erwärmung über 950 °C neigen sie zu Grobkornbildung mit entsprechender Minderung der Zähigkeit. Zur Begrenzung dieses Effektes beim Schweißen muss das Wärmeeinbringen möglichst klein gehalten werden. Stabilisierte Stähle sind weniger anfällig. Die martensitischen nichtrostenden Stähle enthalten i. Allg. 0,08 bis 1 % C. Sie werden wie Vergütungsstähle wärmebehandelt. Anlasstemperaturen im Bereich zwischen 400 und 600 °C müssen jedoch vermieden werden, da in diesem Temperaturbereich Karbide mit besonders hohem Anteil an Chrom entstehen. Die dadurch verursachte Chromverarmung des Mischkristalls mindert den Korrosionswiderstand. Die nicht schweißgeeigneten Sorten mit mehr als rund 0,25 % C werden verwendet, wenn es auf hohe Werte der Festigkeit und vor allem der Härte ankommt. Sie werden bei Temperaturen im Bereich zwischen 200 und 350 °C angelassen und weisen in diesem Zustand die optimale Korrosionsbeständigkeit auf. Ein vorangehendes Abkühlen auf tiefe Temperaturen, z. B. in Eiswasser, kann zur Umwandlung von Restaustenit in Martensit und höheren Werten der Härte nach dem Anlassen führen. Nickelmartensitische Stähle haben einen besonders niedrigen Kohlenstoffgehalt von höchstens 0,06 %, jedoch 3,5 bis 6 % Ni (z. B. X4CrNi13-4 oder X4CrNiMo16-5). Beim Anlassen zwischen 500 und 600 °C bildet sich ein weichmartensitisches Gefüge mit hoher Festigkeit und Zähigkeit. Auf Grund des guten Zähigkeitsverhaltens haben sich diese Stahlsorten bei wechselnden mechanischen Beanspruchungen gut bewährt. Sie sind schweißgeeignet und

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eignen sich zur Herstellung auch sehr dickwandiger Bauteile. Nickelmartensitische nichtrostende Stähle lassen sich bei 400 bis 600 °C durch intermetallische Phasen aushärten (z. B. X8CrNiMoAl15-72). Standardmäßig genutzt wird die Aushärtung mit Aluminium und Kupfer. Nach einer mehrstufigen Wärmebehandlung können Mindestwerte der 0,2%-Dehngrenze bis rund 1200 MPa bei Mindestwerten der Bruchdehnung von rund 10 % erreicht werden. Den mengenmäßig größten Anteil am Verbrauch nichtrostender Stähle haben die austenitischen Chrom-Nickel- und Chrom-Nickel-Molybdän-Stähle, deren chemische Zusammensetzung den jeweils erwarteten Korrosionsbedingungen in weiten Grenzen angepasst werden kann. Sie sind im lösungsgeglühten und abgeschreckten Zustand bis zu großen Erzeugnisdicken lieferbar. Mehr als 2 % Mo tragen wesentlich zur Verbesserung der Korrosionsbeständigkeit, insbesondere des Widerstandes gegen selektive Korrosionsarten, bei. Die festigkeitssteigernde Wirkung des Molybdäns hat demgegenüber nur geringe Bedeutung. Kennzeichnende Mindestwerte der 0,2%-Dehngrenze der nichtrostenden austenitischen Stähle liegen im Bereich knapp über 200 MPa, bei kaltgewalztem Band in Dicken bis 6 mm 20 MPa höher. Bis rund 5 % Mo sind die Stähle gut schweißgeeignet. Zur Vermeidung der beim Schweißen entstehenden Warmrisse im Schweißgut sind geringe Deltaferritgehalte vorteilhaft, die sich allerdings in manchen Medien ungünstig auf die Korrosionsbeständigkeit auswirken. Wenn zur Unterdrückung der Anfälligkeit gegen interkristalline Korrosion der Kohlenstoffgehalt abgesenkt wird, muss durch höhere Nickelgehalte eine ausreichende Stabilität des austenitischen Gefüges sichergestellt werden. Alternativ kann der Kohlenstoff durch Stickstoff ersetzt werden. Stickstoff bewirkt nicht nur eine Verringerung der Deltaferritgehalte und eine größere Stabilität des austenitischen Gefüges. Er steigert auch die Werte der 0,2%-Dehngrenze im Mittel um rund 50 MPa. Nichtrostende ferritisch-austenitische Stähle (z. B. X2CrNi-MoN22-5-3) sind durch ein Gefü-

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ge gekennzeichnet, das aus annähernd gleichen Anteilen von Ferrit und Austenit besteht. Sie haben ungefähr doppelt so hohe Werte der 0,2%Dehngrenze wie die ferritischen und austenitischen nichtrostenden Stahlsorten. Im lösungsgeglühten und abgeschreckten Zustand weisen sie gute Zähigkeitseigenschaften auf. Ein Zusatz von Stickstoff verzögert die Mechanismen, die zur Ausscheidung der Sigmaphase führen, und ermöglicht dadurch die Erzeugung auch dickerer Querschnitte. Molybdän, insbesondere in Verbindung mit höheren Chromgehalten, erhöht die Beständigkeit gegen Lochkorrosion und andere selektive Korrosionsarten. Unter Bedingungen der Spannungsrisskorrosion in chloridhaltigen Medien, z. B. in Meerwasser, oder organischen Säuren haben sich die ferritisch-austenitischen Stähle bewährt. Außerdem besitzen sie eine gute Verschleißbeständigkeit bei korrosivem Angriff. Die hohe Löslichkeit des Kohlenstoffs im austenitischen Gefügeanteil verhindert bei schneller Abkühlung die Ausscheidung von Chromkarbiden an den Korngrenzen. Die Anfälligkeit für interkristalline Korrosion ist deshalb gering. Mit Rücksicht auf andere Ausscheidungsvorgänge muss beim Schweißen dennoch auf ein möglichst geringes Wärmeeinbringen geachtet werden. Nichtrostende Stähle sind i. Allg. schwer zerspanbar. Der für Automatenstähle kennzeichnende hohe Schwefelgehalt von 0,15 bis 0,35 % verschlechtert jedoch den Korrosionswiderstand. In den maßgeblichen Normen für nichtrostende Stähle wird deshalb für spanend zu bearbeitende Erzeugnisse aus einer großen Zahl nichtrostender Stähle ein kontrollierter Schwefelgehalt von 0,015 bis 0,030 % empfohlen und zugelassen. Neuere Untersuchungen zeigen aber auch, dass sich nichtrostende Stähle mit niedrigem Schwefelgehalt durchaus wirtschaftlich und effektiv zerspanen lassen, wenn die notwendigen Zerspanparameter insbesondere Werkzeuggestaltung und Vorschub dem jeweiligen zu zerspanenden Werkstoff angepasst werden. Kaltzähe Stähle. Als kaltzäh werden Stähle bezeichnet, die zur Herstellung von Bauteilen für Betriebstemperaturen im Bereich zwischen 0 °C und etwa 270 °C geeignet sind. Das Haupt-

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anwendungsgebiet ist die Kältetechnik zur Herstellung und Lagerung sowie für den Transport flüssiger Gase. In den meisten Fällen sind die Bauteile einer Beanspruchung durch Innendruck ausgesetzt. Die in Betracht kommenden Stähle müssen deshalb als Druckbehälterstähle qualifiziert sein oder, soweit der Tankbau betroffen ist, zur Verwendung im Tankbau zugelassen sein. Neben zufrieden stellenden Festigkeitskennwerten und guter Schweißeignung wird von den kaltzähen Stählen vor allem ein gutes Zähigkeitsverhalten auch noch bei der tiefsten Betriebstemperatur verlangt. Da bei schlagartiger Beanspruchung mit Spannungsspitzen oberhalb der Streckgrenze die Gefahr des Versagens durch verformungsarme Brüche besonders groß ist, wird üblicherweise die Kerbschlagarbeit als Merkmal des Zähigkeitsverhaltens gewählt. Im Allgemeinen wird verlangt, dass die Kerbschlagarbeit bei der tiefsten Betriebstemperatur des Bauteils den Wert 27 J nicht unterschreitet. Gelegentlich werden in den einschlägigen Regelwerken für die Bauausführung in Abhängigkeit vom Risikopotenzial höhere Forderungen gestellt. Maßgebendes Kriterium für die Stahlauswahl ist die tiefste zulässige Anwendungstemperatur, die sich für die einzelnen Stähle aus der Abhängigkeit der Mindestwerte der Kerbschlagarbeit von der Prüftemperatur ergibt. Abb. 31.7 veranschaulicht die Reichweite der Anwendungstemperaturbereiche in der Kältetechnik auf der Grundlage des Mindestwertes der Kerbschlagarbeit 27 J. Der Anwendungsbereich der ferritischen Stähle reicht bis 196 °C. Bei noch tieferen Temperaturen werden nur noch austenitische Stähle eingesetzt. Die kaltzähen ferritischen Stähle zeichnen sich durch besonders niedrige Höchstgehalte an Phosphor und Schwefel aus, sind überwiegend mit Nickel legiert und enthalten geringe Anteile von Karbildnern zur Förderung der Ausbildung eines gleichmäßig feinkörnigen Gefüges. Bei den normalgeglühten Stählen dominiert die Wirkung von Reinheitsgrad und Feinkörnigkeit. Bei den vergütbaren Stählen fördern Nickelgehalte von rund 1,5 bis 9 % die Bildung von Fe-Ni-Mischkristallen, die den Steilabfall des Zähigkeitsver-

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Abb. 31.7 Anwendungsbereiche einiger kaltzäher Stahlsorten in der Kältetechnik bei einem für die Bauteilsicherheit geforderten Mindestwert der Kerbschlagarbeit (ISO-V Querproben) von 27 J bei der niedrigsten Bauteiltemperatur

haltens mildern und zu tieferen Temperaturen verschieben. Bei Stählen mit austenitischem Gefüge wird i. Allg. bis rund 200 °C keine wesentliche Änderung des Zähigkeitsverhaltens beobachtet. Für 196 °C ist in den einschlägigen Normen der gleiche Mindestwert der Kerbschlagarbeit festgelegt wie für Raumtemperatur. Wird der Mindestwert von 60 J bei 196 °C an ISO-V-Querproben nachgewiesen, wird erwartet, dass der im Hinblick auf die Bauteilsicherheit für erforderlich gehaltene Mindestwert von 27 J auch bei noch tieferen Temperaturen bis zu Siedetemperatur des flüssigen Heliums nicht unterschritten wird. Alle kaltzähen Stahlsorten sind gut schweißgeeignet. Kritisch kann die Wahl des Schweißzusatzes sein, da das Schweißgut hinsichtlich Streckgrenze bzw. 0,2%-Dehngrenze und Kerbschlagarbeit den gleichen Forderungen unterliegt wie der Grundwerkstoff.

Stähle und Legierungen für den Einsatz bei erhöhten und hohen Temperaturen Warmfeste und hochwarmfeste Stähle und Legierungen. Warmfeste und hochwarmfeste Stähle und Legierungen werden für Bauteile gebraucht, die gleichzeitig hohen mechanischen und thermischen Beanspruchungen standhalten müssen. Sie werden vor allem in der Energietechnik und für Reaktoren der chemischen Industrie eingesetzt.

Kesselrohre, Wärmetauscher, Turbinenschaufeln in Dampf- und Gasturbinen sowie Turbinenwellen und Schrauben sind Beispiele für die Vielfalt der Bauteile, die in sehr unterschiedlichen Wanddicken vorkommen. Ebenso vielfältig sind die Forderungen, die an solche Stähle gestellt werden. An erster Stelle der Forderungen stehen hohe Werte der Warmfestigkeit. In dem in Abb. 29.6 definierten Bereich der erhöhten Temperaturen sind die im Warmzugversuch ermittelten Kennwerte Rm oder Rp0;2 maßgebend. Im Kriechbereich, d. h. im Bereich „hoher“ Temperaturen, sind die im Zeitstandversuch ermittelten Festigkeitskennwerte entscheidend, z. B. die 100 000h-Zeitstandfestigkeit. Bei den Schraubenstählen steht der Widerstand gegen Relaxation im Vordergrund. Fast immer besteht bei warmgehenden Anlagen ein erhöhtes Sicherheitsrisiko. Deshalb müssen sich die Stähle im gesamten durchfahrenen Temperaturbereich von Raumtemperatur bis zur höchsten Betriebstemperatur ausreichend zäh verhalten, damit unvorhergesehene, örtlich auftretende Spannungsspitzen durch Spannungsumlagerung abgebaut werden können. Um bei Temperaturwechseln thermisch bedingte Zusatzspannungen vor allem in dickwandigen Komponenten niedrig zu halten, werden niedrige Werte des Wärmeausdehnungskoeffizienten und hohe Werte der Wärmeleitfähigkeit verlangt. Stähle für den Behälter- und Kesselbau müssen schweiß-

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geeignet sein. In vielen Fällen ist ausreichender Widerstand gegen Verzunderung und Korrosion notwendig, sofern nicht andere Schutzmaßnahmen möglich sind. Ferritische warmfeste Stähle. Unlegierte warmfeste Stähle, auch solche mit Mangangehalten bis 1,5 %, haben so niedrige Werte der Zeitstandfestigkeit, dass sich ihre Verwendung nur in dem Temperaturbereich lohnt, in dem die Mindestwerte der 0,2%-Dehngrenze als Berechnungskennwert benutzt werden, also nur bis rund 400 °C. Sie haben dennoch breite Anwendung gefunden für einfache Dampfkessel, z. B. zur Heißdampfversorgung von Gewerbebetrieben. Hinsichtlich Verarbeitbarkeit, Zähigkeit und Schweißeignung bieten sie gegenüber anderen warmfesten Stählen erhebliche Vorteile. Für höhere mechanische Beanspruchungen im gleichen Temperaturbereich stehen spezielle warmfeste Feinkornbaustähle zur Verfügung, die überwiegend mit Mo und Ni legiert sind. Besonders bekannt geworden ist der Stahl 15NiCuMoNb56-4, der auf Grund seiner hohen Streckgrenzenwerte bis rund 400 °C auch für bestimmte Komponenten von Hochleistungsdampfkesseln eingesetzt wird. Der Nickelgehalt verleiht diesem Stahl eine gute Zähigkeit, während Cu, Mo und Nb zur Aushärtung beitragen. Um höhere Werte der Zeitstandfestigkeit zu erreichen, werden legierungstechnische Maßnahmen zur Mischkristallverfestigung und Aushärtung angewendet. Die stärkste Wirkung hat Molybdän schon in Gehalten bis 0,5 %. Chrom für sich allein bewirkt wenig, verstärkt jedoch die Wirkung des Molybdäns. Die Legierungszusammensetzung und eine dem Ausscheidungsverhalten angepasste Wärmebehandlung sind entscheidend für Art, Menge und Verteilung der entstehenden Karbide. Günstig sind die kohlenstoffreicheren Karbide, während die kohlenstoffärmeren Karbide bei langzeitiger thermischer Beanspruchung zur Koagulation neigen und dadurch ihre festigkeitssteigernde Wirkung verlieren. Vorteilhaft ist die Verbesserung der Zunderbeständigkeit durch Chrom. Oberhalb rund 550 °C können chromarme Stähle aufgrund der schnell zunehmenden Verzunderungsgeschwindigkeit in

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oxidierender Atmosphäre nicht mehr verwendet werden. Niob und Vanadium führen zur Ausscheidung fein verteilter, thermisch besonders stabiler Karbide und können die Zeitstandfestigkeit erheblich steigern. Sie werden jedoch nur in Verbindung mit anderen Legierungselementen verwendet, da sonst schon bei Überschreiten sehr niedriger Grenzgehalte mit einer empfindlichen Abnahme des Zähigkeitsverhaltens insbesondere der Wärmeeinflusszone von Schweißnähten gerechnet werden muss. Molybdänstähle (16Mo3) und CrMo-Stähle (13CrMo4-5 oder 10CrMo9-10) haben sich vor allem im Kesselbau bewährt. Vanadiumlegierte CrMoV-Stähle mit 1 % Cr werden bevorzugt für Schmiedestücke (30CrMoNiV5-11) und Schrauben (21CrMoV47) des Turbinenbaus eingesetzt, bei denen die Schweißeignung von untergeordneter Bedeutung ist. Der Nickelgehalt der Schmiedestähle fördert die Durchhärtbarkeit und Zähigkeit. Erhöhte Nickelgehalte bis rund 4 %, z. B. für Rotorwellen sehr großer Durchmesser (26NiCrMoV14-5), setzen jedoch die Zeitstandfestigkeit deutlich herab. Die höchsten Werte der Zeitstandfestigkeit ferritischer Stähle im Bereich um 600 °C werden mit martensitischen Chrom-Molybdän-Vanadin-Stählen erreicht. Langjährig bewährt haben sich Stähle vom Typ X20CrMoV12-1 sowohl für Kesselrohre wie auch für schwere Schmiedestücke. Moderne martensitische Stähle vom Typ X10CrMoVNb9-1, gelegentlich auch mit Wolfram und weiteren Elementen legiert, erreichen bei 600 °C Werte der 100 000-h-Zeitstandfestigkeit von rund 100 MPa (Abb. 31.8). Aufgrund der niedrigeren Gehalte an Kohlenstoff und Chrom wird ihre Schweißeignung günstiger beurteilt. Je nach Legierungsgehalt und Wärmebehandlungsdurchmesser werden Erzeugnisse aus warmfesten ferritischen Stählen im normalgeglühten, normalgeglühten und angelassenen, im luftvergüteten oder im flüssigkeitsvergüteten Zustand geliefert. Austenitische warmfeste Stähle. Bei Temperaturen oberhalb rund 570 °C beginnt der Anwendungsbereich der austenitischen Stähle. Entscheidend für die hohe Zeitstandfestigkeit dieser Stähle ist der Kriechwiderstand des austeniti-

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Abb. 31.8 Vergleich einiger hochwarmfester ferritischer und austenitischer Stähle anhand der Werte der 0,2 %-Dehngrenze und der 100 000-h-Zeitstandfestigkeit. (Nach Angaben in DIN EN-Normen)

schen Gefüges. Anders als bei den nichtrostenden austenitischen Stählen, bei denen das wichtigste Ziel ein hoher Korrosionswiderstand ist, muss die chemische Zusammensetzung der warmfesten austenitischen Stähle vorrangig darauf ausgerichtet sein, dem austenitischen Gefüge eine hohe thermische Stabilität zu geben. Kennzeichnend für die warmfesten Sorten, z. B. X8CrNiNb1613, sind die im Vergleich zu den äquivalenten nichtrostenden Sorten, z. B. X6CrNiNb1810, höheren Gehalte an Kohlenstoff und Nickel sowie der niedrigere Chromgehalt. Durch diese Maßnahme wird ein Verlust an Zähigkeit infolge der Bildung von Sigmaphase im Laufe der Betriebsdauer bei hohen Temperaturen verzögert und eingeschränkt. Zur Verbesserung der Beständigkeit gegen interkristalline Korrosion kann ein Teil des Kohlenstoffs durch Stickstoff ersetzt werden. Ebenso wie bei den ferritischen Stählen wird auch bei den austenitischen Stählen die Aushärtung zur Steigerung der Zeitstandfestigkeit genutzt. Die zur Aushärtung führenden Reaktionen sind jedoch von anderer Art. Bei den warmfesten austenitischen Stählen wird die Aushärtung bewirkt durch die Ausscheidung intermetallischer Phasen, an denen Molybdän und Wolfram beteiligt sind, sowie durch die Ausscheidung thermisch stabiler NiobKarbide oder Niob-Vanadium-Carbonitride. Borzusätze tragen zur Verfestigung bei, indem sie die Bildung von Ausscheidungen im Bereich der Korngrenzen behindern und der Neigung zur Zeitstandkerbempfindlichkeit entgegenwirken. Bei sehr hohen Ge-

halten an Nickel, z. B. X8NiCrAlTi32-21, sowie bei Nickellegierungen wird bei ausreichenden Gehalten an Titan und Aluminium eine auch noch bei hohen Temperaturen wirksame Aushärtung durch die 0 -Phase Ni3(Al,Ti) erreicht. Cobalt erhöht die Rekristallisationstemperatur und das Lösungsvermögen des Austenits für Kohlenstoff bei Lösungsglühtemperatur. Der höhere Kohlenstoffgehalt des lösungsgeglühten Austenits kobalthaltiger Stähle verstärkt die Langzeitwirkung der Karbidausscheidung bei Betriebstemperatur und führt zu hohen Werten der Zeitstandfestigkeit bis rund 800 °C, z. B. X40CrNiCoNb17-13 für Gasturbinenscheiben und X12CrNiCo21-20 für hochbeanspruchte Auslassventile von Verbrennungskraftmaschinen. Die warmfesten austenitischen Stähle werden üblicherweise im lösungsgeglühten und abgeschreckten Zustand verwendet. Nur bei wenigen Sorten wird die Aushärtung vor der Inbetriebnahme herbeigeführt. Eine besondere Maßnahme ist das Warmkaltumformen unterhalb der Rekristallisationstemperatur, das bei einigen Stahlsorten, z. B. X8CrNiMoB16-16CHC, sehr wirkungsvoll zur Steigerung der Zeitstandfestigkeit bis rund 700 °C genutzt wird. Warmfeste Nickel- und Kobaltlegierungen. Bei Temperaturen von 700 °C und mehr werden hochwarmfeste Nickel- oder Kobaltlegierungen eingesetzt. Durch Zulegieren der Elemente Mo, Cr, W, Co entsteht die Gruppe der mischkristall- und karbidverfestigten Nickelle-

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gierungen. Werkstoffe dieser Gruppe sind in der Regel in allen Halbzeugformen verfügbar, sie sind gut schweißbar und vergleichsweise gut kalt- und warmumformbar. Anwendungsbereiche sind der Industrieofenbau (NiCr15Fe, NiCr23Fe, NiCr25FeAlY), die chemische und petrochemische Prozessindustrie sowie Brennkammern der Industriegasturbine. Die maximalen Einsatztemperaturen liegen bei 1000 °C und darüber. Gehalte von 15 bis 20 % Chrom sichern in den meisten Fällen eine ausreichende Beständigkeit gegenüber Oxidation und Heißgaskorrosion (Tab. 31.9). Die wirksamste Steigerung der Warmfestigkeit wird durch eine Ausscheidungshärtung erreicht. Im Temperaturbereich etwa zwischen 550 und 850 °C bilden sich in aluminium-, titan- oder niobhaltigen Nickellegierungen Ausscheidungen intermetallischer Phasen vom Typ Ni(Co,Fe)3 Al( 0) bzw. Ni3 (Nb,Al,Ti)( 00). Mit zunehmendem Anteil der ausscheidungsbildenden Elemente Aluminium, Titan und Niob steigt die Warmfestigkeit erheblich. Werkstoffe aus der Gruppe der ausscheidungshärtenden Legierungen (der sogenannten „Superlegierungen“) sind schmiedbar, aber mit den im Anlagenbau üblichen Schweißverfahren nicht oder nur schwierig schweißbar. Ein typischer Vertreter dieser Gruppe, ist die Legierung NiCr19Fe19NbMo (Alloy 718), die für Scheiben und Ringe im Flugzeugtriebwerk eingesetzt wird (Tab. 31.6). Ein Sonderfall unter den Superlegierungen stellt die Legierung C263 (2.4650) dar. Dieser Werkstoff, ursprünglich für die Brennkammer von Flugzeugtriebwerken entwickelt, ist gut verarbeitbar und schweißbar, zeichnet sich aber bei mittleren Temperaturen wie alle ausscheidungsgehärteten Legierungen gegenüber den karbidgehärteten Legierungen durch eine höhere Zeitstandfestigkeit aus. Gut schweißbar ist auch der Ni-Cr22Mo9Nb (Alloy 625). Die höchsten Warmfestigkeiten werden in Legierungen mit Al + Ti > 6 % erreicht. Diese Werkstoffe sind jedoch nur als Gusslegierungen darstellbar. Oberhalb von etwa 950 °C lösen sich die festigkeitssteigernden 0 und 00 -Phasen beschleunigt auf. Das bedeutet, dass bei sehr hohen Tem-

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Abb. 31.9 Verlauf der Zeitstandfestigkeit Ru=T=1000 h einiger hochwarmfester Nickel- und Cobaltlegierungen über die Temperatur. (Nach [3])

peraturen die karbidgehärteten Legierungen den ausscheidungsgehärteten Legierungen vorzuziehen sind. In Kobaltlegierungen hat die bei den Nickellegierungen dominierende Wirkung der kohärenten Ausscheidung von 0 -Phase geringere Bedeutung. Die Werte der Zeitstandfestigkeit liegen zwar bis rund 800 °C unterhalb derjenigen von Nickellegierungen, sind aber weniger stark temperaturabhängig und werden oberhalb 850 °C nur noch von Nickellegierungen mit mehr als 18 % Co übertroffen (Abb. 31.9). Wichtig ist die Einstellung der Legierungsgehalte in engen Grenzen. Um einen möglichst hohen Reinheitsgrad und eine möglichst gleichmäßige Verteilung der Legierungselemente im Erzeugnis zu erreichen, werden die Nickel- und Kobaltlegierungen meist unter Vakuum erschmolzen und häufig noch umgeschmolzen. Die Wärmbehandlung besteht in der Regel aus Lösungsglühen (und Aushärtung im Falle der aushärtbaren Legierungen). Hitzebeständige Eisen- und Nickellegierungen. Gegenüber den (hoch)warmfesten Stählen und Legierungen besteht die Hauptanforderung an hitzebeständige Stähle nicht in besonders hoher Warmfestigkeit, sondern in einem ausreichenden Widerstand gegen Heißgaskorrosion im Temperaturbereich über 550 °C. Die höchste Gebrauchstemperatur eines hitzebeständigen

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

Stahls ist abhängig von den jeweiligen Betriebsbedingungen. Die Zunderbeständigkeit der hitzebeständigen Stähle beruht auf der Bildung dichter, gut haftender Oberflächenschichten aus Oxiden der Legierungselemente Cr, Si und Al. Die Schutzwirkung setzt bereits bei Cr-Gehalten unter 10 % ein, doch können Cr-Gehalte bis 30 % zulegiert werden (siehe Nichtrostende Stähle in diesem Abschnitt). Die Schutzwirkung der Schichten wird eingeschränkt durch den Angriff niedrigschmelzender Eutektika sowie chlor- und schwefelhaltiger Gase. In kohlenstoffhaltigen, sauerstoffarmen Gasen kommt es zu Aufkohlung. Hier sollten aluminiumhaltige Legierungen wie NiCr25FeAlY eingesetzt werden. Ferritische hitzebeständige Stähle bieten im Vergleich zu austenitischen Stählen eine höhere Beständigkeit gegen reduzierende schwefelhaltige Gase. Verwendet werden die hitzebeständigen Stähle im Chemie- und Industrieofenbau, z. B. für Rohre von Äthenanlagen und Trag- und Förderteile von Durchlauföfen. Die ferritischen Stähle können bei Cr-Gehalten von über 12 % bei Temperaturen um 475 °C eine Versprödung erfahren; daher ist längeres Halten in diesem Temperaturbereich bei der Wärmebehandlung und im Betrieb zu vermeiden. Auch die Ausscheidung von Sigmaphase im Temperaturbereich 600 bis 850 °C bei höheren Chromgehalten und die Neigung zur Grobkornbildung bei hohen Glühtemperaturen können das Zähigkeitsverhalten beeinträchtigen. In diesem Zusammenhang sollen auch die Heizleiterlegierungen erwähnt werden, deren chemische Zusammensetzung auf Ni-Cr-, Ni-CrFe- oder Fe-Cr-Al-Basis beruht (z. B. NiCr80-20, NiCr60-15, CrNi25-20, CrAl25-5). Ventilwerkstoffe zur Verwendung für Ventile von Verbrennungsmotoren, insbesondere für Auslassventile, unterliegen neben hohen mechanischen Beanspruchungen bei hohen Temperaturen auch der Korrosionseinwirkung vor allem durch Pb, S, V und Verbrennungsrückstände in den heißen Verbrennungsgasen. Ventilwerkstoffe müssen daher beständig sein gegen Hitze, Temperaturwechsel, Dauerschwing-, Stoß-, Verschleiß- und Korrosionsbeanspruchung; weiter-

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hin müssen sie für die Warmumformung geeignet sein. Erwünscht sind auch hohe Wärmeleitfähigkeit und geringe Wärmeausdehnung, damit Temperaturunterschiede und die mit ihnen verbundenen Wärmespannungen möglichst gering bleiben. Heute werden für Ventile von Verbrennungsmotoren überwiegend die drei Werkstoffe X45CrSi9-3, X60CrMnMoVNbN21-10 und NiCr20TiAl verwendet. Druckwasserstoffbeständige Stähle. In Anlagen der chemischen Industrie wie Erdöldestillieranlagen, Hydrieranlagen und Synthesebehältern sind Stähle bei hohen Temperaturen häufig gleichzeitig hohen Wasserstoffpartialdrücken ausgesetzt. Dabei diffundiert Wasserstoff in den Stahl ein und entkohlt ihn unter Bildung von Kohlenwasserstoffverbindungen wie Methan (CH4 ). Es kommt zur Auflösung der Karbide, zu Rissen an den Korngrenzen und zur Versprödung des Werkstoffs. Durch Legieren des Stahls mit Elementen, zu denen der Kohlenstoff bei Betriebstemperatur eine größere Affinität hat als zu Wasserstoff, lässt sich die Anfälligkeit gegen Druckwasserstoff stark vermindern, wie im Nelson-Diagramm (Abb. 31.10) dargestellt. Die wichtigsten Legierungselemente dieser Stähle sind Chrom und Molybdän. Mitunter wird auch Vanadium zur Erhöhung der Warmfestigkeit zulegiert. Beispiele sind 25CrMo4, 10CrMo9-10, X12CrMo9-10 und X20CrMoV12-1. Höherfeste Varianten des Stahles 10CrMo9-10 sind mit Ti, V und B legiert. Ebenfalls zur Verwendung geeignet sind warmfeste austenitische Stähle, die auf Grund ihres Gefüges wenig anfällig gegen Wasserstoffversprödung sind.

Stähle für Schrauben und Muttern Die Stähle für Schrauben und Muttern müssen eine Reihe von Forderungen erfüllen, die sich aus der speziellen Form und Beanspruchung dieser Bauteile ergeben. Diese Forderungen sind in den technischen Lieferbedingungen für mechanische Verbindungselemente festgelegt und müssen bei der Stahlauswahl berücksichtigt werden. Für manche Anwendungsfälle werden bestimmte Stahlsorten ausdrücklich vorgegeben. Die zur Herstellung von Schrauben und Muttern in Fra-

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Abb. 31.10 Einfluss von Chrom und Molybdän auf die Grenzen der Beständigkeit warmfester Stähle in Druckwasserstoff: Nelson-Diagramm. (Nach [4])

ge kommenden Stähle, die überwiegend kaltumformbar sein müssen, sind in den für den jeweiligen Anwendungsfall zutreffenden Werkstoffnormen aufgeführt. Die nachfolgend aufgeführten Normen beschreiben die mechanischen Eigenschaften, die von Verbindungselementen erfüllt werden müssen:  mechanische Eigenschaften von Verbindungselementen aus Kohlenstoffstahl und legiertem Stahl: DIN EN ISO 898-1 für Schrauben; DIN EN 20 898-2 für Muttern,  mechanische Eigenschaften von Verbindungselementen aus nichtrostenden Stählen: DIN EN ISO 3506-1 für Schrauben; DIN EN ISO 3506-2 für Muttern,  mechanische Eigenschaften von Verbindungselementen; Schrauben und Muttern aus Nichteisenmetallen: DIN EN 28 839.

Werkzeugstähle Werkzeugstähle gehören zu den ältesten Stahlsorten der Welt, denn Äxte, Messer, Bohrer und Sägen aus Eisen sind schon seit Jahrtausenden Utensilien des täglichen Lebens. Heutzutage nehmen Werkzeugstähle mengenmäßig nur noch einen geringen Anteil an der Stahlerzeugung ein. Trotzdem haben sie eine hohe technische Bedeutung, da fast jeder industrielle Fertigungsprozess auf Werkzeuge angewiesen ist und Bauteile aus vielen zum Stahl in Konkurrenz stehenden Werkstoffen gar nicht oder nur schwer herstellbar wären. Werkzeugstähle müssen je nach Ein-

satzbereich ein breites Feld von Anforderungen erfüllen. Typische Legierungselemente oder Eigenschaften, die allen Werkzeugstählen gemeinsam wären, gibt es nicht. Daher werden die Werkzeugstähle in die vier Gruppen Kaltarbeitsstähle, Warmarbeitsstähle, Kunststofformenstähle und Schnellarbeitstähle unterteilt. Kaltarbeitsstähle werden im Allgemeinen bei Verschleißbeanspruchungen eingesetzt und können unlegiert oder legiert sein. Warmarbeitsstähle sind legierte Stähle mit Anwendungstemperaturen in Bereich von 200 bis 600 °C. Kunststoffformenstähle sind ebenfalls legierte Stähle, bei denen in der Regel das Legierungskonzept auf die korrosiven Belastungen ausgerichtet ist. Schnellarbeitsstähle sind legierte Stähle und werden als Zerspan- und Umformwerkzeuge eingesetzt. Die den Gruppen zugrunde liegenden Legierungskonzepte sind im Tab. 31.7 zusammengefasst. Je nach Anwendungsgebiet – sei es z. B. Spanen, Schneiden, Schmieden, Walzen, Blechumformen, Strangpressen, Kunststoffspritzen oder Druckgießen – sind durchaus unterschiedliche Werkstoffeigenschaften gefragt. Eine ausreichende Härte, Druckfestigkeit, Belastbarkeit bei schlag- und stoßartiger Beanspruchung, Zähigkeit, Verschleißbeständigkeit oder Korrosionsbeständigkeit – und das bei normalen oder auch hohen Arbeitstemperaturen – sind nur einige Beispiele dafür. Entsprechend groß ist die Anzahl der Sorten in dieser Werkstoffgruppe. Neue Herstellungstechnologien und Weiterverarbeitungsmöglichkeiten haben die Verarbei-

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

tungs- und Gebrauchseigenschaften der Werkzeugstähle entscheidend verbessert. Durch moderne Wärmebehandlungs- und Oberflächenveredelungsverfahren lassen sich die Eigenschaften dieser Stähle weiter optimieren. Die Zuordnung von Stählen in die Gruppe der Werkzeugstähle wird überwiegend durch die Anwendung bestimmt. Tab. 31.8 listet einige Anwendungsgebiete für Werkzeugstähle auf und kennzeichnet die besonderen Anforderungen.

Federstähle Federstähle zur Herstellung von federnden Bauteilen zeichnen sich generell durch besonders hohe Werte der Elastizitätsgrenze aus. Typisch für Federstähle sind Kohlenstoffgehalte zwischen etwa 0,5 und 1,0 %, als Legierungselemente werden insbesondere Si, Mn, Cr, Mo und V verwendet. Je nach Erzeugnisform und Größe unterscheidet man Stähle für kaltgeformte und warmgeformte Federelemente. Für kaltgeformte Federn, bei denen meist keine Schlussvergütung der Feder mehr vorgenommen wird, stehen hochfeste Stahldrähte nach DIN EN 10 270-1 (patentiert-gezogener unlegierter Federstahldraht), -2 (ölschlussvergüteter Federstahldraht) und -3 (nichtrostender Federstahldraht) zur Verfügung. Größere Federn werden aus Federstahl nach DIN EN 10 089 oder 10 092 hergestellt und nach der Warmformgebung vergütet. Viele Federelemente unterliegen im Betrieb einer hohen zyklischen Beanspruchung. Zur Erzielung entsprechender Schwingfestigkeitseigenschaften sollen Federstähle für solche Federn einen sehr guten Reinheitsgrad und eine hohe Randfestigkeit (möglichst keine Randabkohlung) aufweisen und möglichst frei von Oberflächenfehlern sein. Wälzlagerstähle Wälzlagerstähle für Kugeln, Rollen, Nadeln, Ringe und Scheiben von Wälzlagern sind i. Allg. hohen örtlichen Zug-Druck-Wechselbeanspruchungen und Verschleißeinflüssen ausgesetzt. Die verwendeten Stähle müssen deshalb einen besonders hohen Reinheitsgrad aufweisen. Sie müssen gut warm- oder kaltumformbar und gut zerspanbar

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sein. Weiterhin sind wichtig eine hohe Härteannahme und die Maßbeständigkeit der Erzeugnisse bei längerem Lagern. Zur Verwendung in Wälzlagern kommen entweder die in Deutschland bevorzugten durchhärtbaren Stähle, z. B. 100Cr6, oder Einsatzstähle, z. B. 17MnCr5 oder 16CrNiMo6, in Betracht. Die durchhärtbaren Stähle werden auf hohe Werte der Oberflächenhärte vergütet. Die Einsatzstähle erfordern als zusätzlichen Arbeitsgang eine Randaufkohlung, bieten jedoch den Vorteil besserer Zähigkeitseigenschaften im Kern. Für Wälzkörper mit größeren Durchmessern werden Vergütungsstähle, z. B. 42CrMo4, im vergüteten und oberflächengehärteten Zustand eingesetzt. Für nichtrostende Lager werden martensitische Chromstähle, z. B. X45Cr13 oder X89CrMoV18-1, verwendet, deren Korrosionswiderstand jedoch wegen des hohen Kohlenstoffgehaltes geringer ist als bei den üblichen nichtrostenden Stählen mit vergleichbarem Chromgehalt. Die erreichbaren Höchstwerte der Oberflächenhärte sind niedriger als bei den durchhärtbaren Stählen mit ca. 1 % Kohlenstoffgehalt. Durch besonders hohe Korrosionsbeständigkeit zeichnen sich die mit 0,15– 0,30 % Stickstoff legierten Stähle z. B. für Luftfahrtlager aus.

Stähle für besondere Anforderungen Bei den Stählen für den Elektromaschinenbau spielen insbesondere die magnetischen Eigenschaften eine entscheidende Rolle. Für Elektrobleche und -bänder werden Forderungen nach möglichst geringen Ummagnetisierungsverlusten und hoher magnetischer Induktion gestellt. Optimale Eigenschaften erhält man bei kornorientierten Erzeugnissen aus ferritischen Stählen, zu deren Herstellung spezielle Umform- und Glühbedingungen angewendet werden. Neben Weicheisen werden Siliziumhaltige Stähle verwendet; die chemische Zusammensetzung ist jedoch nicht standardmäßig spezifiziert. Die Bleche und Bänder werden geglüht geliefert und dürfen bei der Verarbeitung nicht durch Hämmern, Biegen oder Richten kaltverformt werden, da sich sonst ihre magnetischen Eigenschaften verschlechtern.

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Zu den Dauermagnetwerkstoffen (Hartmagneten) zählen als Hauptgruppen die Dauermagnetstähle und die Oxidmagnete. Dauermagnetstähle umfassen verschiedene Legierungstypen, die nach Magnetisierung eine hohe magnetische und technisch nutzbare Energie behalten. Sie bestehen hauptsächlich aus Al-Ni-Co-Legierungen (benannt nach den Legierungselementen, die sie neben dem Hauptbestandteil Eisen enthalten). Sie werden sowohl durch Gießen als auch durch Pulversintern hergestellt. Die Oxidmagnete (Hartferrite, besonders Bariumferrit) sind gesinterte Verbindungen von Eisenoxid und Bariumoxid, also keramische Werkstoffe. Ihren Werkstoffnummern nach sind sie aber bei den Eisenwerkstoffen mit besonderen physikalischen Eigenschaften eingestuft (z. B. Hartferrit 7/21:W-Nr. 1.3641). Sie sind leichter zu formen und preisgünstiger herzustellen. Außer in der Nachrichtentechnik und Messtechnik finden Dauermagnetwerkstoffe vor allem im Maschinenbau und in der Fertigungstechnik Anwendung – als Haftmagnete, Entstapler, Spannplatten, Transporträder, Greiferstäbe. Neben Werkstoffen mit guten magnetischen Eigenschaften werden im Elektromaschinenbau auch Werkstoffe benötigt, die nicht magnetisierbar sind. Es handelt sich hierbei um Stähle mit austenitischem Gefüge. Die magnetische Permeabilität, die aus der Induktion B bei einem Feld von 100 Oersted (1 Oe = 79,58 A/m) ermittelt wird, darf nach SEW 390 (nicht magnetisierbare Stähle) den Höchstwert 1,08 G/Oe = 1,08.T/Oe nicht überschreiten. Bei Stählen mit nicht ausreichend stabilem austenitischem Gefüge kann die Permeabilität durch Kaltumformung, z. B. auch beim Zerspanen, ansteigen. Beispiele für nicht magnetisierbare Stähle sind X120Mn13 und X40MnCr18. Stähle für die Luft- und Raumfahrt unterliegen speziellen nationalen oder internationalen Normen. Sie stammen aus den Gruppen der Baustähle und der nichtrostenden Stähle und werden unter eigenen Werkstoffnummern und teilweise auch eigenen Kurznamen geführt, z. B. 15CrMoV6-9 (Werkstoff-Nr. 1.7734), abstammend vom 14CrMoV6-9 (Werkstoff-Nr. 1.7735). Solche Stähle sind häufig Elektro-Schlacke- oder

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Elektronen-Strahl-umgeschmolzene Stähle mit extrem hohem Reinheitsgrad und geringer Seigerungsinhomogenität.

Stahlguss In Zusammenarbeit mit I. Steller, Düsseldorf

Sollen komplexe Bauteile endabmessungsnah hergestellt werden, kann der flüssige Stahl in eine Form gegossen werden. Für Formguss wird üblicherweise eine verlorene Sandform verwendet. Schleuderguss wird in eine metallische Dauerform gegossen. Erschmelzen und Legieren von Stahlguss entsprechen dem von Walz- und Schmiedestahl, der in Kokillen gegossen wird, wobei die Zusammensetzung auf optimale Gießarbeit abgestimmt ist (ggf. leicht erhöhter CGehalt). Während bei Schmiedestahl erhebliche Unterschiede der mechanischen Eigenschaften, besonders der Zähigkeit, längs und quer zur Verformungsrichtung auftreten können, sind bei Stahlguss die Festigkeitseigenschaften weitgehend richtungsunabhängig (isotrop). Stahlguss wird zur Vermeidung von Gasblasen stets beruhigt vergossen. Bei einer Erstarrung aus dem schmelzflüssigen Zustand entsteht ein grobes, inhomogenes Gefüge, dessen Zähigkeit gering ist. Durch Normalglühen oder Vergüten (teilweise nach Diffusionsglühen) wird ein Gefügeaufbau wie bei Schmiedestählen mit entsprechenden Eigenschaften erreicht. Nach Schweißen oder mechanischer Bearbeitung werden Stahlgussteile häufig spannungsarm geglüht. Verglichen mit Gusseisen sind bei Stahlguss infolge seiner höheren Schmelztemperatur und der stärkeren Schwindung (rd. 2 %) die Gießbarkeit schlechter und seine Lunkerneigung stärker, doch weist Stahlguss teilweise höhere Festigkeitskennwerte bei gleichzeitig hoher Zähigkeit auf. Die einfache Formgebung von Stahlguss ermöglicht für zahlreiche Konstruktionsteile Kostenvorteile. Verwendung findet er außerdem bei Legierungen, deren Warm- oder Kaltumformung auf Schwierigkeiten stößt (z. B. Dauermagnetguss, Manganhartstahlguss).

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

Die allgemeinen Angaben zu den Walz- und Schmiedestählen treffen auch für die entsprechenden Stahlgussarten zu. Stahlguss für allgemeine Verwendungszwecke nach DIN EN 10 293. Als unlegierter oder niedriglegierter Stahlguss umfasst der Stahlguss für allgemeine Verwendungszwecke mit rd. 75 % den weitaus größten Anteil der Stahlgusserzeugung. Seine Festigkeit reicht je nach C-Gehalt von 370 bis 690 MPa bei gleichzeitig hoher Zähigkeit. Besonders bei niedrigen C-Gehalten (unterhalb 0,23 %) ist er gut schweißgeeignet. Die Sorteneinteilung beruht auf den mechanischen Eigenschaften bei Raumtemperatur. Stahlguss für allgemeine Verwendung hat einen weiten Anwendungsbereich für hochbeanspruchte Bauteile. Als Wärmebehandlung kommt überwiegend Normalglühen in Frage. Vergütungsstahlguss. Werden für ein Stahlgussteil hohe Festigkeit und Streckgrenze, gute Zähigkeit und gute Durchvergütbarkeit gefordert, so wird Vergütungsstahlguss verwendet. Warmfester Stahlguss nach DIN EN 10 2132 wird für Gehäuse, Ventile und Flansche von Dampf- und Gasturbinenanlagen sowie für Bauteile in Hochtemperaturanlagen der Chemie verwendet. In Chemieanlagen kann je nach Beanspruchungsbedingungen hitzebeständiger oder druckwasserstoffbeständiger Stahlguss dem warmfesten Stahlguss überlegen sein. Hitzebeständiger Stahlguss nach DIN EN 10 295 findet wie hitzebeständiger Walz- und Schmiedestahl Anwendung im Industrieofenbau, in der Zementindustrie, der Erzaufbereitung, der Schmelz- und Gießtechnik und der chemischen Industrie. Stahlguss für Erdöl- und Erdgasanlagen (vorm. SEW 595) muss eine gute Beständigkeit gegen Druckwasserstoff, Aufkohlung und aggressive Medien (Öl, Säuren, Laugen, Schwefelverbindungen) haben. Für diesen Einsatzbereich eignet sich zum Teil auch warmfester ferritischer Stahlguss nach DIN EN 10 213. Besonders

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zu erwähnen sind Schleudergussrohre aus dem häufig verwendeten Stahl GX40CrNiSi25-20 für Reformeröfen und Ethylenanlagen. Für höchste Beanspruchungen werden Nickel-Basis-Legierungen eingesetzt. In diesem Bereich werden die Übergänge zu den hochwarmfesten Stählen und Legierungen fließend. Kaltzäher Stahlguss nach SEW 685 muss auch bei tiefen Temperaturen eine ausreichend hohe Zähigkeit aufweisen. Bei der unteren Gebrauchstemperatur einer Stahlsorte soll ein Grenzwert der Kerbschlagarbeit von 27 J (ISO-V-Probe) nicht unterschritten werden. Nichtrostender bzw. korrosionsbeständiger Stahlguss nach DIN EN 10 283 bzw. SEW 410. Für Laufräder von Wasserturbinen, Ventile und Armaturen sowie für säurebeständige Teile in der chemischen Industrie wird nichtrostender Stahlguss verwendet, dessen Cr-Gehalt in der Regel höher liegt als 12 %. Man unterscheidet im Wesentlichen zwischen perlitisch-martensitischem Stahlguss mit 13–17 % Cr und 0,1–0,25 % C und dem häufig verwendeten austenitischen CrNiStahlguss, der eine höhere Zähigkeit hat. Verschleißbeständiger Stahlguss wird für Bauteile von Zerkleinerungsanlagen, abriebfeste Teile von Baumaschinen und Fördermaschinen sowie Werkzeuge für Kaltarbeit (Holz- und Kunststoffbearbeitung) und Warmarbeit (Walzen, Ziehringe) verwendet. Man unterscheidet austenitischen Manganhartstahlguss nach ISO 13 521 (1,2–1,5 % C, 12–17 % Mn), vergüteten gehärteten Stahlgusses (rd. 0,6 % C, 2–3 % Cr) und martensitisch-karbidischen Stahlguss (1,0–2,0 % C, 12–25 % Cr, für Warmarbeit Zusätze von W und V), wobei die erstgenannte Gruppe am bedeutsamsten ist. Stahlguss für Elektromaschinenbau und Schiffbau. Hierzu zählt vor allem nichtmagnetisierbarer Stahlguss nach SEW 395 mit stabil austenitischem Gefüge durch Mn oder Ni, teilweise mit festigkeitssteigernden oder korrosionshemmenden Legierungszusätzen wie Cr, Mo und V.

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31.1.5 Gusseisenwerkstoffe In Zusammenarbeit mit I. Steller, Düsseldorf

Sollen kompliziert geformte Bauteile mit hoher Festigkeit endabmessungsnah hergestellt werden, bieten sich die Gusseisenwerkstoffe an. Die Gusseisenschmelze ist besonders gut fließfähig und eignet sich ideal für das Urformen. Die Werkstoffe bieten eine große Bandbreite mechanisch-technologischer Eigenschaften für viele Anwendungen und sind dabei kostengünstig. Unter Gusseisen versteht man alle EisenGusswerkstoffe mit mehr als 2 Gew.-% C, der maximale Kohlenstoffgehalt liegt jedoch selten höher als 4 Gew.-%. Die Erschmelzung erfolgt entweder im Kupolofen mit Koks als Energieund Kohlenstofflieferant oder im Elektroofen durch Einsatz von Roheisen, Stahlschrott, Kreislaufmaterial und Ferrolegierungen. Bei schneller Abkühlung erstarrt Gusseisen nach dem metastabilen Fe-C-System, d. h., der Kohlenstoff ist in Form von Karbiden (Fe3 C = Zementit) an das Eisen gebunden. Aufgrund des hellen Aussehens der Bruchfläche spricht man auch von weißem Gusseisen. Es ist sehr hart und spröde und nur bedingt verwendbar. Mit abnehmender Abkühlungsgeschwindigkeit oder nach einer Schmelzebehandlung („Impfen“) wird Kohlenstoff in zunehmendem Maße elementar in Form von freiem Graphit ausgeschieden. Das Bruchbild erscheint hier dunkel, daher spricht man von grauem Gusseisen. Neben der Abkühlungsgeschwindigkeit (abhängig von der Wanddicke) beeinflussen C-, Siund Mn-Gehalt die Graphitausscheidung und das Grundgefüge. Mit zunehmendem C und Si-Gehalt wird die Graphitbildung begünstigt. Zunehmender Mn-Gehalt fördert die Fe3 C-Ausscheidung auf Kosten des Graphitanteils. Andere Legierungselemente wirken in ähnlicher Weise und werden zur Einstellung eines perlitischen Grundgefüges zugegeben. Der hohe Kohlenstoffgehalt bewirkt eine starke Absenkung der Liquidustemperatur, verglichen mit Stahl. Die schon aufgrund der geringeren Schmelztemperatur geringere Schwindung bei der Erstarrung der Gusseisenschmelze wird

M. Oechsner et al.

durch die Volumenzunahme bei der Ausscheidung des freien Graphits kompensiert, sodass das Gefüge dicht gespeist wird. Die Gusseisenwerkstoffe haben aufgrund ihrer sehr unterschiedlichen Grundgefüge und Graphitmorphologien sehr unterschiedliche mechanische Eigenschaften. Während Gusseisen mit Lamellengraphit eine deutlich geringere Zähigkeit und Verformbarkeit als Stahl aufweist, gibt es höherfestes Gusseisen mit Vermiculargraphit oder mit Kugelgraphit und hochfeste Werkstoffe (ausferritisches Gusseisen mit Kugelgraphit DADI), deren Eigenschaften denen von Vergütungsstählen nahe kommen. Der freie Graphit im Gefüge bewirkt ein hohes Dämpfungsvermögen und eine gute Wärmeleitfähigkeit. Eine Übersicht über die genormten Werkstoffsorten und ihre Eigenschaften gibt Tab. 31.10. Die Bezeichnung der verschiedenen Gusseisensorten erfolgt nach DIN EN 1560 entweder durch Kurzzeichen oder Werkstoffnummern. Den Aufbau des europäischen Bezeichnungssystems zeigt Tab. 31.11. Einige Gusseisenwerkstoffe werden auch nach ihrer chemischen Zusammensetzung bezeichnet. Dies trifft für die austenitischen und verschleißbeständigen Gusseisenwerkstoffe zu. Jede Werkstoffsorte hat auch eine Werkstoffnummer. Beispiel

EN-GJS-400-18-LT-U; Werkstoffnummer: EN-JS1049 (DIN: 0.7043). J

Gusseisen mit Lamellengraphit (EN-GJL) nach DIN EN 1561 EN-GJL („Grauguss“) ist die am häufigsten verwendete Gusseisen-Werkstoffgruppe. Der freie Graphit ist räumlich rosettenartig ausgebildet und erscheint im Schliff weit gehend lamellenförmig (Abb. 31.11). Die Graphitlamellen beteiligen sich nicht an der Kraftübertragung; an ihren Rändern treten Spannungskonzentrationen auf. Verformungsfähigkeit und Schlagzähigkeit dieses Gusseisens sind daher sehr gering. Seine Festigkeit ist um so höher, je geringer der Anteil des Graphits (C-Gehalt) ist und je regelmäßiger verteilt und feiner ausgebildet die

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

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den. Die Eigenschaften des Gusseisens können durch Wärmebehandlung (z. B. Härten, Vergüten) und Legierungszusätze auf bestimmte Einsatzbereiche abgestimmt werden. Festigkeitserhöhend wirken z. B. Cr, Ni, Mo und Cu in niedrig legiertem Gusseisen. Gusseisen mit Lamellengraphit kann nach der Mindestzugfestigkeit oder alternativ nach der Brinellhärte (HBW) bestellt werden. Abb. 31.11 Schliffbild von Gusseisen mit Lamellengrafit (GJL), Vergrößerung: 100fach

Graphitlamellen sind (A-Graphit); die Graphitlamellen werden mit zunehmender Erstarrungsgeschwindigkeit feiner. Die Festigkeit wird durch ein perlitisches Grundgefüge erhöht; dies wird durch Legieren gezielt eingestellt. Wegen des engen Zusammenhangs zwischen Abkühlungsgeschwindigkeit und Festigkeit ist bei kleineren Wanddicken mit höherer Festigkeit zu rechnen und umgekehrt. Eine Richtanalyse der chemischen Zusammensetzung wird für EN-GJL nicht angegeben. Die Gehalte an Si, P, S und Mn sind so einzustellen, dass die gewünschten Eigenschaften im Gussteil erreicht werden. Die mechanischen und physikalischen Eigenschaften von ENGJL (werden) durch die Graphitform und das Grundgefüge bestimmt. Infolge des besonderen Gefügeaufbaus ist der E-Modul von EN-GJL wesentlich niedriger als der von Stahl. Bei ferritischen Sorten beträgt er etwa 78 000 bis 103 000 MPa und bei perlitischen Sorten 123 000 bis 143 000 MPa. Er nimmt mit zunehmender Spannung ab, d. h., es besteht kein linearer Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung. Die Druckfestigkeit ist etwa viermal so hoch wie die Zugfestigkeit, die Biegefestigkeit etwa doppelt so hoch. EN-GJL hat ein hohes Dämpfungsvermögen und günstige Gleiteigenschaften, insbesondere Notlaufeigenschaften. Daher wird es z. B. für Maschinenbetten, Zylinderlaufbuchsen, Zylinderkurbelgehäuse von Verbrennungsmotoren und Bremsscheiben verwendet. EN-GJL ist vergleichsweise einfach zu bearbeiten. Bei innendruckbeanspruchten Teilen muss eine Prüfung auf Druckdichtigkeit vorgenommen wer-

Beispiel

EN-GJL-250 Gusseisen mit Lamellengraphit mit einer Zugfestigkeit von mindestens 250 MPa (Werkstoffnummer: EN-JL1040). J

Gusseisen mit Kugelgraphit (EN-GJS) nach DIN EN 1563 EN-GJS („Sphäroguss“) ist der zweitwichtigste Gusseisenwerkstoff. Die Ausbildung des freien Graphits in kugeliger (sphärolithischer) Form (Abb. 31.12) führt gegenüber Gusseisen mit Lamellengraphit zu einer bedeutenden Erhöhung der Festigkeit und der Zähigkeit. Die kugelige Ausbildung des Graphits wird durch Zusatz von geringen Mengen an Magnesium (0,005 bis 0,07 %) in Form von Vorlegierungen erreicht. Die Eigenschaften von EN-GJS liegen zwischen denen von EN-GJL und hochfester Stähle, wobei auch EN-GJS hochfeste Werkstoffsorten bietet. Der E-Modul liegt bei rd. 175 000 MPa. Das Dämpfungsvermögen ist gegenüber EN-GJL geringer, die Zerspanbarkeit ist gut. Durch eine Wärmebehandlung lassen sich die Eigenschaften dieser Gusseisenart in stärkerem Maß verbessern als bei EN-GJL. So werden zur Erzielung

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Abb. 31.12 Schliffbild von Gusseisen mit Kugelgrafit (GJS), Vergrößerung: 200-fach

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höchster Schlagzähigkeit in der Regel Wärmebehandlungen vorgenommen, mit denen ein ferritisches Grundgefüge eingestellt wird. Gusseisen mit Kugelgraphit wird für Teile mit höheren Schwingbeanspruchungen angewendet wie z. B. Fahrwerkteile. Durch Legieren lassen sich die Eigenschaften des Grundgefüges in ähnlicher Weise verändern wie bei EN-GJL. Auch größte Teile mit Stückgewichten bis zu 240 t wurden schon aus Gusseisen mit Kugelgraphit gefertigt. Gusseisen mit Kugelgraphit kann nach der Mindestzugfestigkeit oder alternativ nach der Brinellhärte (HBW) bestellt werden. Beispiel

EN-GJS-400-18-LT-U Gusseisen mit Kugelgraphit mit einer Zugfestigkeit von mindestens 400 MPa und einer Bruchdehnung A D 18 % mit garantierter Kerbschlagarbeit bei 20 °C von 10–12 J (Werkstoffnummer ENJS1049). J

Gusseisen mit Vermiculargraphit (GJV) nach DIN EN 16 079 GJV wird zunehmend für höherfeste Anwendungen eingesetzt. Der freie Graphit hat eine räumlich korallenartige, im Schliff wurmartige Form. Vermiculargraphit ähnelt kleinen abgerundeten Graphitlamellen und stellt eine Zwischenform von Lamellengraphit und Kugelgraphit dar (Abb. 31.13); er wird über eine gezielte Magnesium-Unterbehandlung erzeugt. Im Gefüge darf auch Kugelgraphit (bis 20 %) auftreten. Auch die Festigkeitskennwerte für GJV liegen zwischen

Abb. 31.13 Schliffbild von Gusseisen mit Vermiculargrafit (GJV), Vergrößerung: 100-fach

denen für EN-GJL und EN-GJS. Da GJV eine ähnlich gute Wärmeleitfähigkeit wie EN-GJL hat, wird es häufig für temperaturwechselbeanspruchte Gussteile wie z. B. Zylinderköpfe und Zylinderkurbelgehäuse verwendet. Beispiel

GJV-400 Gusseisen mit Vermiculargraphit mit einer Zugfestigkeit von mindestens 400 MPa (keine Werkstoffnummer). J

Temperguss (EN-GJM) nach DIN EN 1562 Temperguss hat sich zu einem Spezialwerkstoff entwickelt. Konstruktionsteile mit hohen Anforderungen an Festigkeit und Zähigkeit, die ggf. umgeformt oder geschweißt werden müssen, werden aus Temperguss hergestellt. Dabei geht man zunächst von einem Gusseisen aus, bei dem Kohlenstoff- und Siliciumgehalt so eingestellt sind, dass das Gussstück Graphitfrei erstarrt und somit der gesamte Kohlenstoff an das Eisenkarbid (Fe3 C-Zementit) gebunden ist. Bei einer anschließenden Glühbehandlung zerfällt der Zementit in flocken- bis kugelförmigen, freien Graphit (Temperkohle) und ein ferritisches oder perlitisches Grundgefüge. Durch eine zusätzliche Wärmebehandlung lässt sich Temperguss in bestimmten Grenzen vergüten. Man unterscheidet zwei Arten von Temperguss: Weißer (entkohlend geglühter) Temperguss (EN-GJMW). Weißer Temperguss entsteht durch 50 bis 80 h langes Glühen bei rd. 1050 °C in entkohlender Atmosphäre (CO, CO2 , H2 , H2 O). Durch den Kohlenstoffentzug verbleibt nach dem Abkühlen ein Graphitfreies, rein ferritisches Gefüge am Rand des Gussstücks und bei geringen Wanddicken auch durchgängig; dickwandige Bereiche enthalten im Kern Temperkohle. Die Werkstoffsorte EN-GJMW-360-12 ist besonders gut schweißbar. Schwarzer (nicht entkohlend geglühter) Temperguss (EN-GJMB). Schwarzer Temperguss wird durch Glühen in neutraler Atmosphäre erzeugt, zunächst rd. 30 h bei 950 °C. Dabei zerfällt der Zementit des Ledeburits in Austenit und

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

freien Graphit (Temperkohle). In einer zweiten Glühung wandelt sich der Austenit bei langsamer Abkühlung von 800 auf 700 °C in Ferrit und Temperkohle um. Das Gefüge von schwarzem Temperguss besteht nach dem Abkühlen aus einem ferritischperlitischen Grundgefüge mit eingelagerter Temperkohle, wobei der Perlitanteil durch schnellere Abkühlung erhöht werden kann. Damit steigen Festigkeit- und Verschleißbeständigkeit. Die gegenüber EN-GJL erhöhte Zugfestigkeit und Zähigkeit beruht auf der flocken- bzw. kugelförmigen Ausbildung des freien Graphits und dem teilweise zäheren Grundgefüge. Beispiel

EN-GJMW-350-4 Weißer Temperguss mit einer Zugfestigkeit von mindestens 350 MPa und einer Bruchdehnung A D 4 % (Werkstoffnummer: EN-JM1010) J

Sondergusseisen

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niedrig legierte (max. 2 % Cr) Gusseisensorten, Chrom-Nickel-Gusseisensorten (1,5 bis 10 % Cr) und hoch legierte Chromgusseisensorten (11 bis 28 % Cr). Die hoch legierten Werkstoffsorten haben eine Vickershärte bis HV 600 und eignen sich für besonders auf Verschleiß beanspruchte Bauteile. Beispiel

EN-GJN-HV600(XCr23) Verschleißbeständiges (Chrom-)Gusseisen mit einer Härte von mindestens 600HV (Werkstoffnummer: ENJN3049). J Ausferritisches Gusseisen mit Kugelgraphit (EN-GJS) nach DINEN1564. Ausferritisches Gusseisen mit Kugelgraphit zeigt ein feines austenitisch-ferritisches Grundgefüge mit kugelförmigem freiem Graphit. Die alte Bezeichnung „bainitisches Gusseisen“ ist metallkundlich gesehen falsch, da sich – anders als bei Stählen – die charakteristischen feinsten Karbidausscheidungen (Fe3 C) im Gefüge nicht nachweisen lassen. Das sog. Zwischenstufengefüge wird durch Glühen und anschließendes Abschrecken in einem Salzbad eingestellt. Dadurch resultieren im Vergleich zu Gusseisen mit KugelGraphit deutlich höhere Festigkeits- und Zähigkeitskennwerte. Die Zugfestigkeiten reichen von 800 MPa (bei bis zu 10 % Dehnung) bis zu 1400 MPa (bei 1 % Dehnung).

Hartguss. Weiß erstarrtes Gusseisen bezeichnet man als Hartguss. Man unterscheidet zwischen Vollhartguss, bei dem der gesamte Querschnitt eines Gussstücks weiß erstarrt und Schalenhartguss, bei dem nur die Randschicht (z. B. mit Hilfe von Abschreckplatten) Graphitfrei bleibt. Im Gussstück nimmt der Anteil des grau erstarrten Gefüges zum Kern hin zu; Schalenhartguss ist im Kern vollständig erstarrt. Die Härtetiefe, d. h. Beispiel die Dicke der weiß erstarrten Schicht, hängt von der Abkühlungsgeschwindigkeit und den LegieEN-GJS-1000-5 Ausferritisches Gusseisen rungselementen (Mn, Cr, Si) ab. mit Kugelgraphit mit einer Zugfestigkeit von Hartguss ist zwar sehr schlagempfindlich, hat mindestens 1000 MPa und einer Bruchdehaber eine hohe Verschleißbeständigkeit. Die Annung A D 5 %. J wendung erfolgt daher bei stark verschleißbeanspruchten Teilen wie Walzen, Nockenwellen und Austenitisches Gusseisen (EN-GJLA, ENTiefziehwerkzeugen. GJSA) nach DIN EN13 835. Die austenitischen Gusseisensorten haben aufgrund hoher GeVerschleißbeständiges Gusseisen (EN-GJN) halte von Legierungselementen (besonders Ni nach DIN EN 12 513. Ähnlich wie Hartguss hat und Cr) ein austenitisches Grundgefüge, in dem auch verschleißbeständiges Gusseisen ein weiß der freie Kohlenstoff in Form von Lamellengraerstarrtes (karbidisches) Gefüge – der Buchsta- phit (EN-GJLA) oder Kugelgraphit (EN-GJSA) be N in GJN steht für „No graphite“, also ein ausgeschieden ist. Austenitisches Gusseisen erGraphitfrei erstarrtes Gefüge. Man unterscheidet füllt vielfältige Anforderungen, z. B. Korrosions-

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beständigkeit, Hitzebeständigkeit, Verschleißbeständigkeit oder amagnetisches Verhalten, im Falle von EN-GJSA auch Kaltzähigkeit. Die Werkstoffe werden z. B. für Pumpenteile, Abgasleitungen, Ofenteile und andere Anwendungen eingesetzt.

31.2 Nichteisenmetalle (Physikalische Eigenschaften von Metallen und ihren Legierungen: Tab. 31.12 und Abb. 31.15 und 31.16)

Beispiel

31.2.1 Kupfer und seine Legierungen

EN-GJSA-XNiSiCr30-5-5 Austenitisches Gusseisen mit Kugelgraphit (Sondersorte mit besonders hoher Korrosionsbeständigkeit) mit 28–32 % Ni, 5–6 % Si, 4,5–5,5 % Cr (Werkstoffnummer: EN-JS3091). J

In Zusammenarbeit mit L. Tikana, Düsseldorf

SiMo-Gusseisen. Diese Gusseisensorten haben ein ferritisches Gefüge; der freie Kohlenstoff ist – je nach Anforderung – entweder in Form von Kugelgraphit oder Vermiculargraphit ausgebildet. SiMo-Gusseisenwerkstoffe sind üblicherweise mit 2–6 % Si und 0,5–2 % Mo legiert, wodurch sich eine sehr gute Warmfestigkeit und Zunderbeständigkeit ergibt. SiMo-Gusseisenwerkstoffe sind nicht genormt. Sie werden für temperaturwechselbeständige Bauteile wie Auslasskrümmer, aber auch für große Turbinengehäuse verwendet. Siliziumsonderguss. Er enthält bis zu 18 % Si. Dadurch wird die Graphitbildung begünstigt, sodass bei den hier üblichen C-Gehalten von nur rd. 0,8 % bereits Graphitbildung auftritt. Die Werkstoffe haben eine hohe Zunderbeständigkeit und eine gute chemische Beständigkeit (gegen heiße konzentrierte Salpetersäure und Schwefelsäure). Aluminiumsonderguss. Mit Aluminiumgehalten von rd. 7 % weist Aluminiumsonderguss eine gute Zunderbeständigkeit und Korrosionsbeständigkeit auf.

Kupfer ist wegen seiner ausgezeichneten elektrischen Leitfähigkeit und seiner Wärmeleitfähigkeit, seiner plastischen Verformbarkeit und seiner Widerstandsfähigkeit gegen Luftfeuchtigkeit, Trink- und Brauchwasser, nicht oxidierenden Säuren oder alkalischen Lösungen neben Eisen und Aluminium das drittwichtigste Metall. Die niedrige Festigkeit von reinem Kupfer kann durch Kaltverformen erheblich gesteigert werden. Bei tiefen Temperaturen zeigen die mechanischen Eigenschaften des Kupfers keine Verschlechterung (keine Tieftemperaturversprödung). Verunreinigungen und Zusätze vermindern die elektrische Leitfähigkeit. Das durch die Behandlung im Flammofen und Konverter gewonnene Rohkupfer hat ebenso wie das nassmetallurgisch gewonnene Zementkupfer einen Reinheitsgrad von etwa 99 %. Beide Kupfersorten werden pyrometallurgisch weiter verhüttet und als Anode durch Elektrolyse zu Kathodenkupfer (Cu-CATH1 und Cu-CATH2 nach EN 1978) umgewandelt. Ebenso können gleichwertige SX-EW-Kathoden nassmetallurgisch gewonnen werden. Bei der Bestellung von Halbzeugen (z. B. Bänder und Bleche) aus Kupfer und seinen Legierungen können unterschiedliche Merkmale zur Charakterisierung der Eigenschaften eines Lieferzustands festgelegt werden. Die EN-Normen bieten hierzu folgende Möglichkeiten:

Chromsonderguss (Cr bis 35 %) ist ein zunderund säurebeständiges Gusseisen, das zusätzlich  Bestellung mit R-, Y-, A-Zahl. Prüfmerkmale: Zugfestigkeit, 0,2 %-Dehngrenze und Bruchnoch Ni, Cu und Al enthalten kann. Anwendundehnung. gen sind z. B. Roste für die Müllverbrennung  Bestellung mit H-Zahl. Prüfmerkmal: Härte. oder die Zementproduktion.

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

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 Bestellung mit G-Zahl. Prüfmerkmal: Korn- barkeit) zeichnet sich durch gute Verformbarkeit größe (nur bei einigen Halbzeugen, z. B. Ble- und Korrosionsbeständigkeit aus. Die Kurzbezeichnungen der Kupferlegierungen enthalten die chen und Bändern). wichtigsten Legierungselemente in % (bei fehlender Angabe ist der Legierungsanteil i. Allg. Reinkupfer Das flüssige Kupfer kann beachtliche Mengen < 1 %). Der Rest ist der Cu-Anteil; z. B. CuZn37: Sauerstoff aufnehmen, der nach dem Erstarren 37 % Zn, ~ 63 % Cu. fast vollständig in Form von KupferoxideinMan unterscheidet drei Gefügegruppen: schlüssen (Cu2 O) im Metall zurückbleibt. Damit ist das sauerstoffhaltige Kupfer empfindlich  ˛-Messing mit einem Zn-Gehalt < 37,5 %, gegen eine Erhitzung in reduzierender Atmo-  (˛ + ˇ)-Messing mit einem Zn-Gehalt von sphäre (Schweißen, Hartlöten). Der Wasserstoff 37,5 bis 46 % und diffundiert in das Metall und reduziert das Kup-  ˇ-Messing mit 46 bis 50 % Zn. feroxid. Der sich bildende Wasserdampf steht unter hohem Druck und sprengt das Gefüge ˛-Messing lässt sich gut kaltumformen, schwie(Wasserstoffkrankheit). Lässt sich die Berührung riger warmumformen und schlecht zerspanen. ˇmit reduzierenden Gasen nicht vermeiden, so Messing ist schwierig kaltverformbar, gut warmsind sauerstofffreie Kupfersorten zu verwenden verformbar und gut spanabhebend zu verarwie z. B. Cu-DHP und weitere Werkstoffe (DIN beiten. Die technisch wichtigsten Legierungen CEN/TS 13 388). Kupfer lässt sich gut löten. sind CuZn30, CuZn37 (˛-Messing), CuZn40, Schweißen ist mit allen Verfahren möglich. Be- CuZn39Pb3 und CuZn40Pb2 (˛ + ˇ-Messing, sonders geeignet sind Verfahren unter Anwen- letztere die bedeutenden Automatenmessinge). dung von Schutzgas (WIG; MIG). Legierungen mit reinem ˇ-Gefüge (Zn > 45 %) Normen: DIN CEN/TS 13 388: Kupfer und haben nur geringe technische Bedeutung. KupKupferlegierungen – Europäische Werkstoffe – fer-Zink-Legierungen sind nicht aushärtbar. HoÜbersicht über Zusammensetzung und Produk- he Härte- und Festigkeitswerte sind nur durch te. – EN 1173: Kupfer und Kupferlegierungen Kaltumformung erreichbar. – Zustandsbezeichnungen. – EN 1412: Kupfer Auswahl und Anwendungshinweise: und Kupferlegierungen – Europäisches Werk- Tab. 31.13. stoffnummernsystem. – EN 1976: Kupfer und Beim Gießvorgang muss mit einem SchwindKupferlegierungen – Gegossene Rohformen aus maß von 1,5 % (zinkreiches Messing) bis 2 % Kupfer. – EN 1978: Kupfer und Kupferlegierun- (kupferreiches Messing) gerechnet werden. gen – Kupfer-Kathoden. – EN 13 599: Kupfer und Kupferlegierungen – Platten, Bleche und Verarbeitung. Tiefziehen, Drücken, Biegen, Bänder aus Kupfer für die Anwendung in der Pressen, Prägen, Zerspanen, Schmieden, Gießen. Elektrotechnik. – EN 13 600: Kupfer und Kupferlegierungen – Nahtlose Rohre aus Kupfer für die Wärmebehandlung. Weichglühen 450 bis Anwendung in der Elektrotechnik. – EN 13 601: 600 °C, Entspannen 200 bis 300 °C, Glühen auf Kupfer und Kupferlegierungen – Stangen und bestimmte Härte 300 bis 450 °C. Drähte aus Kupfer für die allgemeine Anwendung in der Elektrotechnik. – EN 13 602: Kupfer Schweißen und Löten. Messing lässt sich gut und Kupferlegierungen – Gezogener Runddraht weich- und hartlöten. Bei der Gas- und Schmelzaus Kupfer zur Herstellung elektrischer Leiter. schweißung ist auf Sauerstoffüberschuss zu achten. Lichtbogenschweißung führt zu starker ZinkKupfer-Zink-Legierungen (Messing) ausdampfung. Deshalb sind zinkfreie Elektroden Diese in der Technik am häufigsten angewen- zu verwenden. Für das Schweißen unter Schutzdete Kupferlegierung mit bis zu 45 % Zink und gas kommt ausschließlich das WIG-Verfahren bis zu 3 % Blei (zur Verbesserung der Zerspan- (besonders für dünne Bleche geeignet) in Be-

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tracht. Die elektrische Widerstandsschweißung setzt gut regelbare Maschinen ausreichender Leistungsfähigkeit voraus. Für Legierungen mit einem Zinkgehalt < 20 % müssen die Schweißparameter und Elektroden angepasst werden. Korrosion. Besonders bei ˇ-haltigem Messing kann unter bestimmten Korrosionsbedingungen eine örtliche „Entzinkung“ auftreten, die zu einer pfropfenförmigen Herauslösung des verbleibenden roten Kupfers führt. Neben der Verwendung von ˇ-freiem Messing vermindern geringe Zusätze von Arsen und Phosphor durch Inhibierung der ˛-Phase diese Erscheinung (z. B. CuZn36Pb2As). Im Zusammenwirken von Zugeigenspannungen und/oder Zuglastspannungen kann bei gleichzeitiger Einwirkung bestimmter aggressiver Stoffe (Quecksilber, Quecksilbersalze, Ammoniak) ein verformungsloser Bruch mit interoder transkristallinem Verlauf auftreten. Kupferarme Legierungen sind hinsichtlich einer solchen Schädigungsform am empfindlichsten. Diese Spannungsrisskorrosion lässt sich durch sorgfältige Entspannung der Fertigteile weitgehend vermeiden.

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bessern die Zerspanbarkeit. Eisen wirkt kornverfeinernd und verbessert die Gleiteigenschaften (bei Korrosionsbeanspruchung Fe < 0,5 %). Phosphor und/oder Arsen verhindern die Entzinkung. Große Widerstandsfähigkeit gegenüber Seewasser besitzt z. B. CuZn20Al2As. Zum Hartlöten benutzt man aluminium- und siliziumfreie Sondermessinge. Aluminiumfreie Sondermessinge lassen sich schmelzschweißen. Bei Aluminiumgehalten bis 2,3 % ist ein befriedigendes Schweißergebnis bei Anwendung von Schutzgas mit hochfrequenzüberlagertem Wechselstrom zu erzielen. Die mechanischen Festigkeitskennwerte einiger Sondermessinglegierungen sowie Angaben über Eigenschaften und Anwendungen sind Tab. 31.14 zu entnehmen. Guss-Messing und Guss-Sondermessing. Diese Legierungen besitzen hohe Korrosionsbeständigkeit und gegenüber den Knetlegierungen etwas niedrigerer Festigkeit und Härte sowie eine für Gusswerkstoffe hohe Zähigkeit, Tab. 31.15. In den Kurzzeichen bedeuten -C Guss allgemein, -GS Sandguss, -GM Kokillenguss, -GP Druckguss, -GC Strangguss und -GZ Schleuderguss.

Mechanische Festigkeitseigenschaften. Gebräuchliche Kennwerte für wichtige Kupfer- Kupfer-Zinn-Legierungen (Zinnbronze). LeZink-Legierungen sind Tab. 31.13 zu entnehmen. gierungen des Kupfers mit Zinn als Hauptlegierungselement werden seit jeher als Bronzen Gießen. Kupfer-Zink-Legierungen können im bezeichnet. Sie verbinden hohe Härte und DuktiSandguss (trocken und nass), Kokillenguss, lität mit sehr guter Korrosionsbeständigkeit. Für Strangguss, Schleuderguss und Druckguss ver- Knetlegierungen kommen Zinngehalte bis 9 %, für Guss-Zinnbronze bis zu 20 % in Betracht. gossen werden. Zinnbronzen sind nicht aushärtbar. Die VerfestiKupfer-Zink-Legierungen mit weiteren Le- gung erfolgt durch Kaltverformung. Ein bedeugierungselementen (Sondermessing). Ein Zu- tender Teil der Kupfer-Zinn-Legierungen wird in satz von Nickel erhöht gegenüber reinen Kup- Form von Bändern bspw. für Federn verwendet, fer-Zink-Legierungen Festigkeit, Härte, Dicht- ein anderer bedeutender Teil wird durch Gießen heit, Korrosionsbeständigkeit und Feinkörnig- verarbeitet. Wegen der hervorragenden Gleit- und keit. Aluminium wirkt ähnlich wie Nickel, er- Verschleißeigenschaften werden hieraus hochbehöht jedoch zusätzlich die Zunderbeständigkeit. anspruchte Gleitlager und Schneckenräder hergeMangan und Zinn steigern die Warmfestig- stellt. keit und Seewasserbeständigkeit. Silizium erhöht die Elastizität und Verschleißfestigkeit (Federn, Verarbeitung. Zinnbronzen sind gut kaltumGleitlager). Gleichzeitig nimmt der Formände- formbar, jedoch schlecht warmumformbar. Sparungswiderstand jedoch stark zu. Bleizusätze ver- nende Bearbeitung ist möglich.

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

Wärmebehandlung. Homogenisierungsglühen 700 ıC = 3 h, Weichglühen 500–700 °C; 0,5–3 h. Schweißen und Löten. Kupfer-Zinn-Legierungen sind nur bedingt schweißbar. Gasschweißen mit neutraler Flamme unter Verwendung von Zusatzdraht aus Sondermessing ist möglich. Zum Hart- und Weichlöten sind sie i. Allg. gut geeignet. Gießen. Das Vergießen von Kupfer-Zinn-Legierungen (Sn_10 %) erfolgt mittels Sand-, Kokillen-, Strang- oder Schleuderguss. Das Schwindmaß beträgt 0,75 bis 1,5 %. Durch langsames Abkühlen kann Blockseigerung weitgehend vermieden werden. Korrosion. Kupfer-Zinn-Legierungen besitzen gute Korrosions- und Kavitationsbeständigkeit. Kupfer-Zinn-Gusslegierungen sind seewasserbeständig. Mechanische Eigenschaften und Anwendungshinweise: Tab. 31.16 und 31.17.

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auch als Neusilber bezeichnet. Die technisch gebräuchlichen Legierungen können 45 bis 62 % Kupfer enthalten und die Nickelgehalte variieren von 7 bis 26 %. Ähnlich wie bei Messing wird den dreh- und bohrfähigen Qualitäten bis zu 2,5 % Blei als Spanbrecher zugesetzt. Neusilber weist verglichen mit Messing höhere Festigkeits- und bessere Korrosionseigenschaften auf und besitzt u. a. in Bandform überwiegend für Kontaktfedern, die in elektrischen Relais eingesetzt werden, technische Bedeutung. Kupfer-Aluminium-Legierungen. Als Knetund Gusswerkstoffe zeichnen sich diese Legierungen mit bis zu 11 % Aluminium durch hohe Warmfestigkeit, Zunderbeständigkeit und gute Korrosionsbeständigkeit aus, da sie bei Oxidation eine festhaftende Al2 O3 -Schicht ausbilden. Mechanische Schwingungen werden gut gedämpft. Nickelhaltige Kupfer-Aluminium-Legierungen sind aushärtbar und können Zugfestigkeitswerte von 1000 MPa bei einer Streckgrenze von etwa 700 MPa erreichen. Während die Warmumformung durch Schmieden oder Pressen i. Allg. keine Probleme bereitet, ist die Kaltumformung schwierig. Auch die Zerspanbarkeit ist schwierig. Löten und Gas-Schweißen werden durch die Aluminiumoxidschicht erschwert. Bei geeigneten Flussmitteln bzw. Elektrodenumhüllungen sind Kupfer-Aluminium-Legierungen autogen und elektrisch schweißbar. Schutzgas-Schmelzschweiß-Verfahren (MIG, WIG) haben sich bestens bewährt. Die Schweißbarkeit nimmt mit zunehmendem Al-Gehalt ab. Das Vergießen erfolgt üblicherweise als Sand-, Strang-, Kokillen- oder Schleuderguss bei Temperaturen von ca. 1150 bis 1200 °C. Eine Übersicht über die mechanischen Eigenschaften und Hinweise für die Anwendung gibt Tab. 31.19.

Kupfer-Blei-Zinn-Gusslegierungen. Diese Legierungen enthalten mindestens 60 % Kupfer. Hauptlegierungszusatz ist Blei in Gehalten bis zu 35 %. Daneben werden Zinn, Nickel oder Zink zulegiert. Infolge der Unterschiede im spezifischen Gewicht der Legierungselemente besteht die Neigung zur Schwerkraftseigerung. Da Blei im Kupfer unlöslich ist, ergeben die in rundlicher Form eingelagerten Bleianteile gute Schmierund Notlaufeigenschaften. Reine CuPb-Legierungen werden wegen ihrer geringen Festigkeit nur zum Ausgießen von Stahlstützschalen benutzt. Dünne Laufschichten sind dabei besonders widerstandsfähig gegen Stoß- und Schlagbeanspruchung. Unter Zusatz von Zinn werden auch Lagerbuchsen, Gleitringe usw. aus diesen LegieKupfer-Nickel-Legierungen. Diese Legierunrungen gefertigt, Tab. 31.18. gen mit bis zu 44 % Ni besitzen eine hohe Kupfer-Nickel-Zink-Legierungen (Neusilber). Warmfestigkeit, gute Kavitations- und ErosionsMit diesem Begriff werden Kupferlegierungen beständigkeit sowie hohe Seewasserbeständigkeit beschrieben, die Nickel und Zink als Haupt- (Kondensator- und Kühlerrohre auf Schiffen, Anlegierungselemente enthalten. Diese Legierun- lagen der chemischen Industrie). Legierungen gen werden wegen ihrer silberähnlichen Farbe mit 30 bis 45 % Ni und 3 % Mn dienen zur

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Herstellung von elektrischem Widerstandsdraht. Weitere Legierungen. Kupfer-Mangan-LegieDie Legierungen CuNi10Fe, CuNi20Fe und Cu- rungen mit bis zu 15 % Mn dienen als WiderNi30Fe sind gut schweißbar. standswerkstoffe in der Elektrotechnik. In der Zusammensetzung 45 bis 60 % Cu, 25 bis 30 % Niedriglegierte Kupferlegierungen. In dieser Mn und 25 % Sn sind sie stark ferromagnetisch. Legierungsgruppe sind Kupferlegierungen zuNormen: EN 1652: Kupfer und Kupferlesammengefasst, bei denen durch geringe Zusätze gierungen – Platten, Bleche, Bänder, Streifen verschiedener Legierungselemente, maximal bis und Ronden zur allgemeinen Verwendung. – EN 5 % (EN), die Eigenschaften des reinen Kupfers, 1982: Kupfer und Kupferlegierungen – Blockz. B. Festigkeit, Entfestigungstemperatur, Span- metalle und Gussstücke. – EN 12 163: Kupfer barkeit verbessert werden, wobei ein Absinken und Kupferlegierungen – Stangen zur allgemeieiniger Eigenschaften, z. B. der Leitfähigkeit in nen Verwendung – EN 12 164: Kupfer und Kauf genommen werden muss. Dabei ist zwi- Kupferlegierungen – Stangen für die spanende schen nicht aushärtbaren (Verfestigung nur durch Bearbeitung – EN 12 166: Kupfer und KupferleKaltumformung) und aushärtbaren Legierungen gierungen – Drähte zur allgemeinen Verwendung (Verfestigung auch durch Wärmebehandlung) zu – EN 12 167: Kupfer und Kupferlegierungen unterscheiden. – Profile und Rechteckstangen zur allgemeinen Bei den nicht aushärtbaren Legierungen die- Verwendung – EN 12 420: Kupfer und Kupnen z. B. Zusätze von Silber, Eisen, Magnesium ferlegierungen – Schmiedestücke – EN 12 449: dazu, die Festigkeit und besonders die Entfes- Kupfer und Kupferlegierungen – Nahtlose Rundtigungstemperatur und damit die Anlassbestän- rohre zur allgemeinen Verwendung. digkeit zu erhöhen. Wird von einer nicht aushärtbaren Kupfer-Knetlegierung hohe Festigkeit und hohe Leitfähigkeit gefordert, so kommen als 31.2.2 Aluminium und seine Legierungselemente besonders Silber, Eisen und Legierungen Magnesium infrage. Die Spanbarkeit lässt sich durch Zusätze von Schwefel, Blei oder Tellur als In Zusammenarbeit mit F. Ostermann, Meckenheim Spanbrecher erhöhen. Durch Zusätze von Beryllium, Nickel und Si- Rohstoffe für die Herstellung von Aluminium lizium, Zirkonium oder Chrom und Zirkonium in und Aluminiumlegierungen sind einerseits reiGehalten von 1 bis 3 % erhält man aushärtbare nes Aluminiumoxid, das aus Bauxit gewonLegierungen, die nach einer Wärmebehandlung nen und mit Hilfe der Schmelzflusselektrolyse hohe Festigkeit und hohe Leitfähigkeit aufwei- zu sog. Primäraluminium reduziert wird, sowie andererseits Produktions- und Altschrotte, die sen. Hauptsächlich werden die niedriglegierten durch Recyclingprozesse und schmelzmetallurKupferlegierungen für elektrotechnische Zwecke gische Aufbereitung dem Werkstoffkreislauf als eingesetzt. Zu erwähnen sind dabei Kommuta- sog. Sekundärlegierungen (auch: Umschmelzletorlamellen, Kontaktträger und Halbleiterträger gierungen) wieder zugeführt werden. Das Recy(lead frames). Bewährt haben sich auch Federn cling von Aluminiumprodukten ist wirtschaftlich aus den aushärtbaren Legierungen in Sicherheits- und energetisch günstig; es werden nur etwa einrichtungen von Automobilen, da z. B. Federn 5 % der für die Primäraluminiumerzeugung eraus Kupfer-Beryllium eine hohe Lebensdauer ha- forderlichen Energiemenge benötigt. Der Bedarf an Aluminiumwerkstoffen wird heute zu gut 1/3 ben und völlig wartungsfrei sind. Die Verarbeitung von niedriglegierten Kup- durch Sekundäraluminium gedeckt, das vorwieferwerkstoffen erfolgt durch Walzen, Pressen, gend für die Herstellung von Gusslegierungen Ziehen oder Gießen. Weichlöten ist nach der Aus- eingesetzt wird. Anwendungsvorteile von Aluminium liegen in härtung, Hartlöten und Schweißen sind vor der dem geringen spezifischen Gewicht (QAi = 1/3 Wärmebehandlung möglich.

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

QSt), guter Beständigkeit gegenüber Witterungseinflüssen und schwach alkalischen und sauren Lösungen, in hohen Festigkeitseigenschaften (bis 700 MPa), sehr guter Wärmeleitfähigkeit und hoher elektrischer Leitfähigkeit sowie in den guten Formgebungsmöglichkeiten durch Gießen, Warm- und Kaltumformung (Walzen, Strangpressen, Schmieden, Kaltfließpressen, Ziehen, Tiefund Streckziehen) sowie durch Zerspanung. Aluminium und seine Legierungen verspröden nicht bei tiefen Temperaturen und hohen Beanspruchungsgeschwindigkeiten (Crash). Der gegenüber Stahl um 2/3 geringere EModul erfordert bei gleicher Tragfähigkeit und Steifigkeit ein entsprechend größeres Flächenträgheitsmoment, d. h. ein größeres Bauvolumen und größere Wanddicken. Dadurch wird die Gewichtseinsparung gegenüber Stahl in der Regel auf etwa 40 bis 50 % begrenzt. Gleichzeitig werden dadurch die Festigkeitsanforderungen an den Grundwerkstoff vermindert, was mit Vorteil für günstigere Umform- und Verbindungseigenschaften genutzt werden kann. Für tragende Leichtbaukonstruktionen werden (abgesehen vom Flugzeugbau) daher vorzugsweise mittelfeste Legierungen verwendet, die zudem sehr gut stranggepresst werden können. Die Technik des Strangpressens von Aluminium erlaubt die wirtschaftliche Herstellung komplizierter Profilquerschnitte mit kleinsten Wanddicken bis zu 1,5 mm und darunter (abhängig von Legierung und Profilgröße). Durch geschickte Integration von Funktionen in den Profilquerschnitt lassen sich weitere Fertigungsschritte bei der Verarbeitung einsparen. Häufig kann auf einen Oberflächenschutz verzichtet werden. Physikalische und mechanische Eigenschaften, Schweißbarkeit und Korrosionsbeständigkeit s. Tab. 31.11, 31.20, 31.24, Abb. 31.17 und 31.18. Mittel- bis hochfeste Aluminiumknetlegierungen sind mit hohen und höchsten Schnittgeschwindigkeiten hervorragend spangebend zu bearbeiten, sofern geeignete Werkzeuge und Schneidparameter gewählt werden. Bei sog. Bohr- und Drehqualitäten wird die Kurzspanbildung durch Sn- und Bi- (früher auch durch Pb-) Legierungszusätze begünstigt. Weiche, niedrigfeste Legierungen neigen zu Aufbauschneiden

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und mangelnder Oberflächengüte. Anders als bei den Knetlegierungen setzen die in den üblichen Aluminiumgusslegierungen vorhandenen harten Primär-Siliziumpartikel den Werkzeugverschleiß herauf. Für das Fügen von Aluminiumteilen steht eine große Zahl von Verbindungsmethoden zur Verfügung: Schmelzschweißen (MIG-, WIG-, Plasma-, Laserstrahl-, Elektronenstrahl- und Bolzenschweißen), Widerstandspunkt- und Rollennahtschweißen, Reib- und Rührreibschweißen („Friction Stir Welding“), Hartlöten, Diffusionsschweißen, Kleben, mechanisches Fügen mit und ohne Verbindungselemente sowie Klemmverbindungen. Weichlöten ist mit Pb-freien Zinnloten bei vorheriger (z. B. mechanischer) Entfernung der Oxidschicht möglich, autogenes Gasschmelzschweißen wird nur noch bei handwerklichen Reparaturarbeiten verwendet. Bei Verbindungen mit anderen Metallen ist bei aggressiven Umgebungsbedingungen die Gefahr von Kontaktkorrosion zu beachten, sofern die Teile elektrisch leitend verbunden sind und gegenüber Aluminium ein deutlich positiveres (> 100 mV) elektrochemisches Potenzial aufweisen (Abhilfe durch elektrisch isolierende Maßnahmen). Als Kontaktpartner weitgehend unbedenklich sind Zink und Magnesium, die kathodische Schutzwirkung ausüben, aber auch rostfreier CrNi-Stahl, sofern dessen Passivschicht erhalten bleibt. Kritische Kontaktpartner sind Kupfer und Kupferlegierungen und auch graphithaltige Schaumstoffe.

Aluminiumwerkstoffe Mit dem Oberbegriff „Aluminium“ werden im üblichen Sprachgebrauch alle unlegierten und legierten Werkstoffe auf Basis Aluminium bezeichnet. Man unterscheidet aufgrund der Zusammensetzung und des Verwendungszweckes Reinaluminium, Knet- und Gusslegierungen. Während Gusslegierungen ausschließlich für die Herstellung von Formgussteilen geeignet sind, werden Knetlegierungen durch Stranggießen zu Barren und anschließend durch Warm- und Kaltwalzen, Strangpressen oder Schmieden zu Halbfabrikaten verarbeitet. Mit gegenüber Strangguss eingeschränkter Legierungsauswahl wird auch Bandguss erzeugt, der direkt durch Kaltwalzen

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weiterverarbeitet werden kann. Stranggepresste Stangen und Rohre, auch nahtlose Rohre, werden durch Ziehen auf geringere Abmessungen und zu engeren Toleranzen verarbeitet. HF-geschweißte Rohre werden aus rollgeformten Walzbändern hergestellt.

Reinaluminium Reinaluminium ist unlegiertes Aluminium mit einem Reinheitsgrad von 99,0 bis 99,9 %. Überwiegend wird Al 99,5 verwendet, für dekorative oder physikalisch/chemische Zwecke wegen des mit dem Reinheitsgrad zunehmenden Glanzgrades und der zunehmenden Korrosionsbeständigkeit häufig Al 99,8. Speziell für elektronische Bauelemente wird Reinstaluminium mit Reinheitsgraden von mindestens 99,99 % eingesetzt, das mit besonderen Raffinationsverfahren aus Primäraluminium erzeugt wird. Al 99,5 wird als Knetwerkstoff in allen Halbzeugarten gehandelt. Aluminium-Knetlegierungen Bezeichnungsweise und chemische Zusammensetzung der Knetlegierungen sind in DIN EN 573/1-4 genormt. Man unterscheidet aushärtbare und nichtaushärtbare („naturharte“) Legierungen. Werkstoffzustände und Zustandsbezeichnungen sind in DIN EN 515 genormt (Tab. 31.25). Die mechanischen Eigenschaften sind abhängig von der Halbzeugart, von der Materialdicke und vom Wärmebehandlungszustand. Typische Eigenschaften und gewährleistete Mindestwerte von ausgewählten Knetlegierungen enthält Tab. 31.20. Je nach Halbzeugart werden bestimmte Legierungsgruppen bevorzugt verwendet. Für einige wichtige Anwendungsgebiete wurden spezielle Legierungen entwickelt:  Wärmetauscher, s. DIN EN 683/1-3;  Dosenband, s. DIN EN 541;  Karosserieblech: EN AW-6016, EN AW6181A, EN AW-5182. Zahlreiche Varianten. Walzhalbzeuge können mit einer Plattierschicht aus Reinaluminium, z. B. zur Verbesserung der Witterungsbeständigkeit, oder speziellen Legierungen, z. B. Hartlot, versehen werden.

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Weiterverarbeitungshinweise: Kaltumformung ist zweckmäßigerweise im Zustand „O“ (weich geglüht) vorzunehmen. Bei naturharten Legierungen kann eine begrenzte Kaltumformung auch im Zustand H2X (rückgeglüht) erfolgen, z. B. H24 (halbhart, rückgeglüht). Aushärtbare Halbzeuge können in den Zuständen „frisch abgeschreckt“, T1 und T4 kalt umgeformt und durch nachfolgende Warmaushärtung in den vorgeschriebenen Festigkeitszustand (z. B. T6, T7) gebracht werden. Je nach Legierungsart lassen sich auch kurzzeitige Rückbildungsglühungen in den Verarbeitungsprozess integrieren. Wichtige Werkstoffzustandsbezeichnungen enthält Tab. 31.25.

Aluminium-Gusslegierungen Die Bezeichnungsweise erfolgt nach DIN EN 1780/1-3, s. Tab. 31.23. Chemische Zusammensetzung und mechanische Eigenschaften von Gussstücken sind in DIN EN 1706 genormt, s. Tab. 31.23 u. 31.24. Hauptlegierungselemente sind Si, Mg und Cu. Die Si-reichen Al-Si und AlSi-Mg-Legierungen haben ausgezeichnete Gießeigenschaften, weisen gute Warmrissbeständigkeit bei der Erstarrung auf und werden bevorzugt für hoch beanspruchte Gussteile (z. B. PKW: Räder und Fahrwerksteile) angewendet. AlSiMgund AlCuTi-Legierungen sind aushärtbare Legierungen mit hohen und höchsten Festigkeiten und gleichzeitig günstigen Bruchdehnungswerten. Al-Cu-Ti(-Mg)-Legierungen werden vorzugsweise im Flugzeugbau eingesetzt. Al-Si-CuLegierungen sind überwiegend Umschmelzlegierungen (Sekundäraluminium) und werden dort verwendet, wo Duktilität eine untergeordnete Rolle spielt (z. B. Zylinderköpfe, Motorblöcke, Getriebegehäuse). Al-Si-Cu-Ni-Mg-Legierungen besitzen hohe Warmfestigkeit und werden bevorzugt als Kolbenlegierungen verwendet. Al-MgGusslegierungen verwendet man für dekorative Zwecke und wegen sehr guter Meerwasserbeständigkeit, z. B. im Schiffbau. Durch Veredelungszusätze (Na, Sb, Sr, P) erreicht man eine günstige Morphologie der primär ausgeschiedenen Siliziumlamellen, wodurch Duktilität und Zähigkeit verbessert werden. Die mechanischen Gussteileigenschaften hängen entscheidend von

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

den Gießbedingungen, dem Gießverfahren, der Schmelzebehandlung und von der Gussteilgestaltung ab. Niedrige Fe-Gehalte und hohe Erstarrungsgeschwindigkeiten erzeugen ein feindendritisches, duktiles Gefüge. Geringes Porenvolumen und geringe Porengröße sind Voraussetzung für gute Schwingfestigkeitseigenschaften. Sandguss eignet sich für Prototypen, Kleinserien und für Großserien nach verschiedenen Verfahrensvarianten (z. B. Disamatic, CPS, Vollformgießen im binderlosen Sand – „Lost Foam“ Verf.). Qualitativ hochwertige Formgussteile werden auch mit Schwerkraftkokillenguss sowie mit Verfahrensvarianten, wie Niederdruckkokillenguss und Rotacast, hergestellt. Standarddruckgussteile haben verfahrensbedingt einen erhöhten Gasgehalt, der beim Schweißen und bei Wärmebehandlung Porosität erzeugt. Mit zahlreichen Verfahrensvarianten (z. B. Vakuumdruckguss, Squeeze casting, Thixocasting) kann man jedoch porenarme schweiß- und wärmebehandelbare Formgussteile mit sehr guten Festigkeitsund Duktilitätseigenschaften herstellen. Eigenschaften ausgewählter Gusslegierungen enthält Tab. 31.24.

Aluminiumsonderwerkstoffe Zahlreiche Sonderwerkstoffe wurden für spezielle Anwendungszwecke mit besonderen Eigenschaften ausgestattet. Hierzu zählen:  Pulvermetallurgische (PM) Aluminiumwerkstoffe,  SiC-partikelverstärkte Aluminiumgusslegierungen,  Faserverstärkte Aluminiumgusslegierungen,  Aluminium-Sandwich bzw. Laminate,  Aluminiumschaum.

31.2.3 Magnesiumlegierungen In der Technik wird Magnesium primär in Form von Legierungen eingesetzt. Reinmagnesium als Konstruktionswerkstoff wird in beschränktem Maße für Leitungsschienen verwendet. Die Beimengung bestimmter Legierungszusätze zielt im Wesentlichen auf eine Verbesserung des mecha-

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nischen Eigenschaftsprofils ab – wobei in diesem Zusammenhang streng genommen der Legierungseinteilung nach Guss- und Knetwerkstoffen Rechnung zu tragen ist. Die wichtigsten derzeit technisch eingesetzten Legierungssysteme bilden für Gusswerkstoffe die Systeme MgAlZn (nach ASTM-Kennzeichnung: AZ), MgAlMn (AM), MgAlSi (AS), sowie in jüngster Zeit für einen höheren Temperaturbereich MgAlSr (AJ), sowie MgAlCa in unterschiedlichen Varianten. Bei Knetwerkstoffen dominieren die Systeme MgAlZn (AZ) und MgZnZr (ZK). Allgemein gesprochen erhöhen die Legierungszusätze Mangan die Korrosionsbeständigkeit durch Bindung von Eisenverunreinigungen, sowie die Schweißeignung, Zink die Festigkeit und Gießbarkeit und Aluminium die Festigkeit, Aushärtbarkeit und Gießbarkeit. Geringe Zusätze von seltenen Erden wie Cer wirken kornverfeinernd und verbessern die Warmfestigkeit. Durch Zulegieren von Silizium kann eine Verbesserung der Kriechbeständigkeit bei nachteiliger Auswirkung auf das Korrosionsverhalten und die Duktilität erreicht werden. Yttrium wird zur Kornfeinung und Verbesserung der Warmfestigkeit eingesetzt. Eine Kombination mit Aluminium ist nicht möglich. Durch den hexagonalen Gitteraufbau sind Kaltumformungen bei Raumtemperatur schwierig auszuführen. Die Umformung von Mg-Knetlegierungen erfolgt üblicherweise durch Strangpressen, Warmpressen, Schmieden, Walzen oder Ziehen oberhalb 210 °C. Bei der technischen Anwendung dominiert mengenmäßig die Verarbeitung des Magnesiums in diversen Gießverfahren, insbesondere im Druckguss. Hier werden vielfach hervorragend gießbare aluminiumhaltige Legierungen der AZ- und AM-Reihen eingesetzt. Die hohe Oxidationsneigung des geschmolzenen Magnesiums erfordert jedoch besondere Maßnahmen beim Gießen und Schweißen. Im Vergleich zu den Al-Legierungen erreichen die Mg-Legierungen bei Raumtemperatur und erhöhter Temperatur nur geringere Festigkeitswerte, Tab. 31.26. An ungekerbten Bauteilen kann vielfach ein Einfluss fertigungsimmanent vorhandener Werkstoffinhomogenitäten, z. B. Lunkern und Poren, auf die Schwingfestigkeit beobachtet werden.

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Die Schwingfestigkeit ist hierbei keine klassische Werkstoffkenngröße, sondern ist an den fertigungsfolgeabhängigen Werkstoffzustand gekoppelt. Schwache konstruktive Kerben (Formzahl Kt < 2) wirken sich an gegossenen Bauteilen daher vielfach nur im geringen Maße mindernd auf die Beanspruchbarkeit aus. Der niedrige Elastizitätsmodul macht die MgLegierungen unempfindlicher gegen Schlag- und Stoßbeanspruchung und gibt ihnen verbesserte Geräuschdämpfungseigenschaften (Getriebegehäuse). Sämtliche Magnesiumlegierungen besitzen eine ausgezeichnete Spanbarkeit, jedoch ist darauf zu achten, dass nur gröbere Späne anfallen. Feine Späne und Staub neigen zu Bränden und Staubexplosionen (Löschen durch Überschütten mit Graugussspänen oder Sand, keinesfalls mit Wasser!). Zum Kühlen und Nassschleifen dürfen keine wasserhaltigen Kühlmittel verwendet werden. Magnesiumlegierungen sind im Regelfall (außer ZK-Typ) gut schweißbar. Gut bewährt hat sich die WIG-Schweißung, doch sind auch das Laser-, Plasma- und Elektronenstrahlschweißen möglich. Das Löten ist von keiner technischen Bedeutung. Das sehr negative (unedle) elektrochemische Potenzial von Mg und seinen Legierungen macht in einer Vielzahl von Anwendungen (z. B. Sichtflächen) einen Korrosionsschutz gegen Feuchtigkeit und Witterungseinflüsse erforderlich. Kritische Verunreinigungen im Werkstoff (z. B. Fe, Ni und Cu) sind in „high purity – hp“ Legierungen vermindert. Besonders ist darauf zu achten, dass bei Berührung mit anderen Werkstoffen Kontaktkorrosion vermieden wird. Bei der Verwendung von Stahlschrauben müssen geeignete Beschichtungen des Mg-Bauteils oder der Schraube (z. B. Verzinkung einer Stahlschraube oder Einsatz von Al-Schrauben) sowie konstruktive Maßnahmen (anodisierte Unterlegscheiben, Berücksichtigung des korrosionsschutzgerechten Konstruierens) geprüft werden.

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bundwerkstoffe, sog. MMCs (metal matrix composites), im Automobilbereich und in der Luftund Raumfahrt eingesetzt. Zur Verbesserung des Werkstoffverhaltens gegossener Bauteile bei hohen Temperaturen werden bei am Markt neu eingeführten aluminiumhaltigen Legierungen Kalzium sowie auch Strontium zugegeben.

31.2.4

Titanlegierungen

Titan kommt als vierthäufigstes Element in der Erdrinde, vor allem in den Mineralien Rutil, Anatas und Ilmenit, vor. Die Darstellung von ReinTitan erfolgt hauptsächlich durch den Kroll-Prozess durch Umwandlung von TiO2 in TiCl4 und anschließende Reduktion mit Na oder Mg zu Rein-Titan. Hochreines Titan wird mit dem Van Arkel-De Boer-Verfahren erzeugt. Titanwerkstoffe zeichnen sich durch ihre hohe spezifische Festigkeit, ihr hohes elastisches Energieaufnahmevermögen, ihre Biokompatibilität und durch die sehr gute Korrosionsbeständigkeit aus. Die Festigkeitseigenschaften der TiLegierungen (Tab. 31.27) sind mit den Festigkeitseigenschaften von hochvergüteten Stählen vergleichbar. Die entsprechenden Kennwerte von Ti-Legierungen sinken bis zu Temperaturen von 300 °C nur unwesentlich ab. Für die Praxis interessant sind Einsatztemperaturen bis 500 °C. Reintitan kommt aufgrund seiner guten Biokompatibilität als Implantatwerkstoff zum Einsatz, wird aufgrund seiner hervorrragenden Korrosionsbeständigkeit auch in Wärmetauschern, Rohrleitungssystemen, Reaktoren etc. für die chemische und petrochemische Industrie eingesetzt. Auf Reintitan entfällt etwa 20–30 % der Gesamtproduktion. Von den heute über 100 Titanlegierungen werden etwa 20 bis 30 kommerziell eingesetzt, davon entfällt auf die Legierung TiAl6V4 ein Anteil von über 50 % an der Gesamtproduktion. Titanlegierungen werden in ˛-, (˛ + ˇ) und ˇLegierungen unterteilt. Al, O, N und C stabilisieren die hexagonale ˛-Phase und Mo, V, Ta Neue Werkstoffentwicklungen und Nb stabilisieren die kubisch raumzentrierte Magnesiumlegierungen werden durch Fasern und ˇ-Phase. ˛-Legierungen werden aufgrund ihrer Partikel (meist SiC bzw. Al2 O3 ) verstärkt als Ver- hohen Korrosionsbeständigkeit vor allem in der

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

chemischen Industrie und in der Verfahrenstechnik eingesetzt; auch sind sie in der Regel korrosionsbeständiger als ˇ-Legierungen. ˇ-Legierungen haben i. d. R. eine höhere Dichte als ˛-Legierungen und weisen eine attraktive Kombination von Festigkeit, Zähigkeit und Ermüdungsfestigkeit, insbesondere für große Bauteilquerschnitte auf. (˛ + ˇ)-Legierungen kommen zum Einsatz bei hohen Betriebstemperaturen und hohen Spannungsbeanspruchungen, z. B. im Gasturbinenbau. Bekanntester Vertreter der (˛ + ˇ)-Legierungen ist TiAl6V4. Einige Legierungen sind warmaushärtbar. Die Warmumformung erfolgt durch Schmieden, Pressen, Ziehen oder Walzen bei 700 bis 1000 °C. Kaltumformung ist bei Reintitan gut, bei den Ti-Legierungen beschränkt möglich (Weichglühen bei 500 bis 600 °C). Weichlöten ist durchführbar, nachdem die Oberfläche unter Edelgas (Argon) versilbert, verkupfert oder verzinnt wurde. Hartlöten geschieht im Vakuum oder unter Edelgas mit geeigneten Flussmitteln. Schweißen wird zweckmäßigerweise mit dem MIG- oder WIG-Verfahren (auch Elektronenstrahlschweißen) durchgeführt. Verbindungen mit anderen Metallen sind wegen der Bildung spröder intermetallischer Verbindungen problematisch. Die Punktschweißung ist ohne Schutzgas möglich. Beim Zerspanen sind wegen der schlechten Wärmeleitung und der Neigung zum Fressen geringe Schnittgeschwindigkeiten bei großem Vorschub zweckmäßig (Hartmetallwerkzeug). Ti und TiLegierungen sind korrosionsbeständig, insbesondere gegen Salpetersäure, Königswasser, Chloridlösungen, organische Säuren und Meerwasser.

Neue Entwicklungen So genannte intermetallische Werkstoffe vom Typ Titanaluminide (TiAl oder Ti3 Al) sind Gegenstand aktueller Forschungen, da sie eine geringere Dichte als herkömmliche Ti-Legierungen aufweisen und gleichzeitig bezüglich Hochtemperaturfestigkeit überlegen sind. Der Schwachpunkt liegt jedoch in der hohen Sprödigkeit, insbesondere bei niedrigen Temperaturen. Mögliche Einsatzgebiete sind Turbinenschaufeln und Motorventile.

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31.2.5 Nickel und seine Legierungen In Zusammenarbeit mit J. Klöwer, Werdohl

Der Anteil von Nickel in der Erdrinde beträgt etwa 75 ppm. Reines Nickel wird aus sulfidischen CuNi-Erzen elektrolytisch oder mit dem Carbonylverfahren gewonnen. Weitere Verfahren sind die Elektrolyse (Elektrolytnickel) und die Reduktion technischer Nickel-Oxide (Würfelnickel). Der größte Teil des Reinnickels (ca. 65 %) wird zur Herstellung rostfreier Stähle verwendet, ca. 20 % gehen in Legierungen, ca. 9 % finden Verwendung in der Galvanotechnik; die restlichen 6 % finden Anwendung in Münzen, Batterien und elektrotechnischen Anwendungen. Nickel-Legierungen mit Kupfer, Chrom, Eisen, Kobalt und Molybdän haben wegen ihrer besonderen physikalischen Eigenschaften, ihrer Korrosionsbeständigkeit und Widerstandsfähigkeit gegen Hitze technische Bedeutung. Weiterhin dient Nickel als Elektrodenmaterial, zur Herstellung von Ni-Cd-Batterien und zur Beschichtung von Bändern aus unlegierten und niedriglegierten Stählen. Weitere Einsatzgebiete sind Federkontakte, Magnetköpfe, Dehnungsmessstreifen und Reed-Relais-Kontakte. Nickeloxide werden für elektronische Speichersysteme und wegen ihrer Halbleitereigenschaften auch in der Elektrotechnik eingesetzt. Ni(II)-oxid gilt allerdings als krebserzeugend. Bei vielen Nickel-Verbindungen ist ein toxisches, allergenes und/oder mutagenes Potenzial nachgewiesen worden; Nickeltetracarbonyl ist die giftigste aller bekannten Nickelverbindungen. Nickel kann sensibilisierend wirken und bei empfindlichen Personen Dermatitis auslösen. Nickel besitzt eine kfz-Gitterstruktur. Es ist kaltzäh, sehr gut kaltumformbar und gut zerspanbar, allerdings lässt die hohe Zähigkeit nur geringe Schnittgeschwindigkeiten zu, daher ist die Zerspanung im kaltverfestigten Zustand günstiger. Bei weichem Rein-Nickel liegt Rp0;2 bei 120. . . 200 MPa, Rm bei 400. . . 500 MPa und die Bruchdehnung A5 bei 35. . . 50 % (dagegen im kaltverfestigten Zustand: Rp0;2 750. . . 850 MPa; Rm 700. . . 800 MPa, A5 2. . . 4 %). Bis zu ca. 500 °C fällt die Streckgrenze

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nur wenig ab. Reinnickel wird wegen seiner hohen Korrosionsbeständigkeit, insbesondere wegen seiner hohen Beständigkeit gegen Laugen, in der chemischen Industrie massiv und als nickelplattiertes Stahlblech eingesetzt. Aufgrund der chemischen Beständigkeit des Werkstoffs werden in der chemischen Industrie sehr häufig nickelplattierte Stahlbleche eingesetzt. Nickel ist auch der Träger der Korrosionsbeständigkeit galvanisch verchromter Eisenteile. Rein-Nickel wird in Reinheitsgraden von 98,5. . . 99,98 % geliefert. Kleine Beimengungen an Fe, Cu und Si haben außer bei den elektrischen Eigenschaften kaum Einfluss. Mn erhöht die Zugfestigkeit und die Streckgrenze ohne Einbuße an Zähigkeit. Durch Berylliumzusätze bis 3 % wird Nickel aushärtbar. Bis 500 °C sinkt die Festigkeit kaum ab; erst ab 800 °C zundert die Oberfläche stärker. Im Bereich tiefer Temperaturen bleibt Nickel zäh. Ni ist mit Cu in jedem Verhältnis legierbar und durch Gießen, spanlose und spanabhebende Formgebung sowie durch Löten und Schweißen verarbeitbar. Nickel ist ferromagnetisch, der Curie-Punkt liegt oberhalb 356 °C. Nickel-Legierungen gehören zu den weichmagnestischen Ferromagnetika und zeichnen sich durch ihre leichte Magnetisierbarkeit und geringe Hystereseverluste, ihre hohe Sättigungsinduktion und geringe Koerzitivfeldstärke sowie durch ihre hohe Permeabilität aus. Die Ni-Fe-Legierungen dienen speziellen Anwendungszwecken: Mit 25 % Ni wird ein Stahl unmagnetisch, mit 30 % Ni verschwindet der Temperaturbeiwert des Elastizitätsmoduls (Unruhefedern für Uhren), mit 36 % Ni wird der Wärmeausdehnungskoeffizient zwischen 20. . . 200 °C nahezu Null (Messgeräte), mit 45 bis 55 % Ni erreicht er denselben Wert wie für Glas (Einschmelzdrähte für Glühlampen), und mit 78 % Ni entsteht eine Legierung mit höchster Permeabilität. Hochpermeable Nickellegierungen (Permalloys) werden für Magnetverstärker, Relais, Abschirmungen, Drosseln, Übertrager und Messgeräte eingesetzt. Ni-Fe-Legierungen mit etwa 50 % Ni zeigen mit 1,5 T die bei Ni-Fe-Legierungen maximal erreichbare Sättigungsinduktion (Nifemax) und werden vorwiegend in Übertragern, magnetischen Sonden, ma-

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gnetostriktiven Schwingern, Telefonmembranen, Spannungswandlern und Strommessern eingesetzt. Ni-Fe Legierungen mit etwa 30 % Ni zeigen sehr niedrige Curie-Temperaturen, die sich durch geringe Änderung des Ni-Gehaltes zwischen 35 und 85 °C variieren lassen. Diese Werkstoffe werden zur Temperaturkompensation in Dauermagnetsystemen eingesetzt (Messinstrumente, Tachometer, Stromzähler, Schalter und Relais).

Korrosionsbeständige Nickellegierungen: Ni-Legierungen mit 65 bis 67 % Ni, 30–33 % Cu und 1 % Mn (Monel-Metall) werden wegen ihrer Beständigkeit gegenüber Säuren, Laugen, Salzlösungen und überhitztem Dampf zur Herstellung von chemischen Apparaten, Beizgefäßen, Dampfturbinenschaufeln und Ventilen bis zu einer Einsatztemperatur von ca. 500 °C eingesetzt. Eine noch höhere Korrosionsbeständigkeit in chloridhaltigen Wässern und Säuren weisen Nickellegierungen mit ca. 23 % Chrom und 16 % Molybdän auf (z. B. NiCr23Mo16Al, W-Nr. 2.4605). Werkstoffe dieses Typs werden in der chemischen Prozessindustrie und in Rauchgasentschwefelungsanlagen in chloridhaltiger Schwefelsäure eingesetzt, Tab. 31.28. In stark reduzierenden Säuren (Salzsäure) kommen auch sogenannte B-Legierungen, binäre Ni-MoLegierungen (NiMo28, 2.4617) zum Einsatz. Hitzebeständige und Hochwarmfeste Nickellegierungen: Ni-Cr Ni-Cr-Legierungen zeichnen sich durch hohe Korrosionsbeständigkeit (nicht bei S-haltigen Gasen), hohe Hitzebeständigkeit (bis 1200 °C) und durch ihren hohen spezifischen elektrischen Widerstand aus. Einsatzbereiche sind Widerstände, Heizleiter und Ofenbauteile. Hitzebeständige und Hochwarmfeste NiCr-Legierungen: siehe auch Abschn. 31.1.4, Abschnitt „warmfeste und hochwarmfeste Stähle (Legierungen)“.

31.2.6

Zink und seine Legierungen

Zink kristallisiert in hexagonal dichtester Kugelpackung (hdp) und lässt sich gut gießen, warmund kaltumformen. Ansonsten ist Zn eine wichti-

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

ge Komponente von Cu-Legierungen (Messing). Wegen der chemischen Reaktivität darf Zn nicht mit Lebensmitteln in Kontakt kommen. Zn wird häufig als Material für Opferanoden beim kathodischen Schutz verwendet. Unter dem Einfluss der Luftatmosphäre bilden sich festhaftende Deckschichten, die mit Ausnahme von stark saurer Atmosphäre die Oberfläche vor weiterem Angriff schützen. Im gewalzten Zustand hat Zink eine Zugfestigkeit von etwa 200 MPa bei einer Bruchdehnung von etwa 20 %; doch neigt Zn bereits bei Raumtemperatur zum Kriechen (in Querrichtung weniger stark ausgeprägt). Zink lässt sich mit Zinn- und Cadmiumloten leicht löten. Schweißverbindungen sind nach allen Verfahren, außer mit dem Lichtbogen, möglich. Etwa 30 % der Zinkproduktion wird für Bleche (Dacheindeckungen, Dachrinnen, Regenrohre, Ätzplatten, Trockenelemente) verwendet, etwa 40 % für die Feuerverzinkung von Stahl. Zn-Druckgussstücke, meistens aus Legierungen von Zn mit Al und Cu (Feinzink-Gusslegierungen, Tab. 31.29), sind von hoher Maßgenauigkeit, jedoch empfindlicher gegen Korrosion als Reinzink. Hauptlegierungselemente werden im Kurzzeichen in % angegeben, der Rest ergibt den Zinkanteil.

31.2.7 Blei Reinblei (Weichblei, kristallisiert kubisch flächenzentriert, kfz) mit Reinheitsgraden von 99,94 bis 99,99 % wird wegen seiner guten Korrosionsbeständigkeit (insbesondere gegen Schwefelsäure) häufig in der chemischen Industrie eingesetzt. Wegen der geringen Zugfestigkeit (ca. 20 MPa) ist keine Zugumformung möglich. Die Rekristallisationstemperatur liegt mit ca. 0. . . 3 °C sehr niedrig. Etwa 50 % des Bleiverbrauchs wird heute für Starterbatterien verwendet. Als chemisches Element ist es auch wichtig für Farbpigmente (Bleiweiß) und für die Glasherstellung (Bleigläser). Bleiverbindungen sind z. T. sehr giftig, daher gibt es heute keine Bleiverwendung mehr im Haushaltsbereich. Wegen seiner hohen Ordnungszahl (82) im periodischen System ist Pb ein sehr wirksamer Schutz gegen Röntgen- und Gammastrahlung. Blei in Verbindung mit Anti-

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mon (Hartblei) dient zur Herstellung von Kabelmänteln, Rohren und Auskleidungen sowie zur Feuerverbleiung. Die Letternmetalle enthalten neben Antimon (bis 19 %) auch Zinn (bis 31 %). Blei-Druckgussteile sind von hoher Maßgenauigkeit. Blei und Bleilegierungen: Tab. 31.30. Im Kurzzeichen wird der Bleianteil in % angegeben; weitere Legierungselemente werden ohne %-Angabe genannt.

31.2.8 Zinn Zinn mit Reinheitsgraden von 98 bis 99,90 % wird wegen seines guten Korrosionsschutzes zur Herstellung von Metallüberzügen (Feuerverzinnen, galvanisches Verzinnen) auf Kupfer und Stahl (Weißblech) sowie zur Herstellung von Loten verwandt. Zinnfolie (Stanniol) ist heute weitgehend von der Aluminiumfolie verdrängt worden. Aufgrund seiner Ungiftigkeit ist ein Einsatz im Lebensmittelbereich möglich (Verpackungen). Zinn ist nur gering mechanisch beanspruchbar (Zugfestigkeit ca. 25 MPa). Sn ist wichtiger Werkstoff für kunstgewerbliche Gegenstände (leichtes Gießen, Drücken, Treiben). Sn-Druckgussteile besitzen eine besonders hohe Maßgenauigkeit. Bauteile aus reinem Zinn können bei Temperaturen um den Nullpunkt zu Pulver zerfallen (Zinnpest). Zinn und Zinnlegierungen: Tab. 31.31. Im Kurzzeichen wird der Zinnanteil in % angegeben; weitere Legierungselemente werden ohne %-Angabe genannt.

31.2.9

Überzüge auf Metallen

Die Überzüge auf Metallen werden in metallische, anorganische und organische Überzüge eingeteilt. Sie dienen zur langzeitigen Aufrechterhaltung der Funktionalität von Bauteilen, z. B. für den Korrosions- und Verschleißschutz, oder zur Erzeugung oder Verbesserung funktioneller Eigenschaften, wie beispielsweise der Verbesserung der Gleiteigenschaften, der elektrischen Leitfähigkeit, des Reflexionsvermögens oder des dekorativen Aussehens.

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Prinzipiell ist zu berücksichtigen, dass die Eigenschaften der Überzüge nicht nur durch die Wahl des Überzugswerkstoffs, sondern auch durch die jeweiligen Prozessparameter bei der Beschichtung in weiten Grenzen variiert und für hochwertige Anwendungen auch auf den hierfür wesentlichen Bereichen angepasst werden sollten. Einen verfahrensspezifischen Einfluss auf das Beschichtungsergebnis übt auch der Zustand der zu veredelnden Oberfläche (Zusammensetzung, Reinheit, Feingestalt) aus. Bei der Mehrzahl der nachfolgend genannten Verfahren sind ggf. auch konstruktive Anpassungen vorzunehmen, z. B. zur Gewährleistung der Zugänglichkeit der Oberflächen für das Beschichtungsgut oder zur Vermeidung von Sammelstellen. Zur Sicherstellung einer effizienten Produktentwicklung und Vermeidung von Schäden sollte daher eine frühzeitige Kommunikation zwischen Konstrukteur und Beschichter erfolgen.

Metallische Überzüge Metallische Überzüge werden z. B. durch Schmelztauchen, Metallspritzen, Plattieren, Reduktion aus ionischen Lösungen, Diffusion sowie durch Gasphasenabscheidung hergestellt. Elektrolytisch abgeschiedene Überzüge. Sie werden durch Elektrolyse in geeigneten Bädern (zumeist wässrigen Lösungen) der betreffenden Metallsalze erzeugt. Wird hierzu eine Gleichstromquelle eingesetzt, spricht man von galvanischen Überzügen. Aufgrund der niedrigen Badtemperaturen können neben Metallen auch einige Kunststoffe (ABS, PC, PA) galvanisiert werden, z. B. für dekorativ beschichtete Gebrauchsgegenstände oder Reflektoren. Die Dicke des Überzugs hängt insbesondere von der Expositionszeit und den vom Beschichter zu wählenden Prozessparametern, wie z. B. der Temperatur oder Stromdichte, ab. Je nach Art (z. B. Korrosionsund/oder Verschleißschutz) und Grad der funktionellen Anforderungen kann die Dicke in weiten Grenzen (wenige µm bis mm) angepasst werden. Voraussetzung für gutes Haften des Überzugs ist eine fett- und oxidfreie Oberfläche (Entfetten, Beizen). Wichtig für den Korrosionsschutz ist die

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Stellung von Grund- und Überzugsmaterial in der sog. Normalspannungsreihe, die die Metalle nach ihrem Lösungspotenzial, gemessen gegen Wasserstoff, ordnet. Elektronegative Metalle gelten als unedel, elektropositive als edel. In Anwesenheit eines Elektrolyten wird immer das unedlere der beiden Metalle vermehrt angegriffen. Bei edleren Überzugswerkstoffen sollten die Überzüge demzufolge fehlerfrei abgeschieden werden. Auf galvanischem Wege werden Bauteile z. B. verzinnt, verkupfert, vergoldet, verzinkt, vernickelt oder verchromt. Bei simultan starker Anforderung an den Korrosions- und Verschleißschutz (z. B. im Bergbau) sowie bei dekorativen Anwendungen, ist zudem ein mehrschichtiger Aufbau mit unterschiedlichen Überzugsmetallen gängig. Außer den reinen Metallen werden zudem Legierungen (z. B. Messing, Bronze, Zink-Nickeloder Nickel-Kobalt-Legierungen) abgeschieden. Des Weiteren wird auch in größerem Umfang stromlos vernickelt. Hierbei werden ohne Verwendung externer Gleichrichter vorrangig Nickelphosphorlegierungsüberzüge mit sehr gleichmäßiger Schichtdickenverteilung abgeschieden. Deren Eigenschaften (Härte, Korrosionsbeständigkeit) können durch Variation des Phosphorgehalts, typischerweise zwischen 6 bis 15 %, und der Möglichkeit einer Ausscheidungshärtung in weiten Grenzen variiert werden kann. Prinzipiell sind bei der elektrolytischen Abscheidung die Möglichkeit zur Einbettung von Feststoffpartikeln, z. B. Hartstoffen (Karbide, Diamant) oder PTFE-Partikeln zu Verschleiß- und Reibungsminimierung, als sogenannte Dispersionsbeschichtung gegeben. Ein weiterer Sonderfall stellt die Abformung von Bauteiloberflächen mittels Galvanoformung da, bei der sehr komplizierte Bauteile oder feine eigenstabile Oberflächenabbilder durch von der zu reproduzierenden Vorlage erzeugt werden. Schmelztauchüberzüge. Durch Tauchen in flüssige Metallschmelzen (Feuerverzinnen, Feuerverzinken, Feuerverbleien, Feueraluminieren) werden (mit Ausnahme des Verbleiens) infolge von Diffusionsvorgängen zwischen den Metallatomen des flüssigen Überzugsmetalls und den Atomen des Grundmetalls entsprechende Legie-

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

rungsschichten gebildet. Beim Herausziehen der Teile aus dem Bad befindet sich darüber eine Schicht aus reinem Überzugsmetall. Im Vergleich zu galvanischen Zn-Überzügen ist bei Schmelztauchüberzügen die Überzugsdicke und damit die Korrosionsschutzdauer größer (Überzugsdicke beim Feuerverzinken 25 bis 100 µm, beim Feueraluminieren 25 bis 50 µm). Ein Vorteil der Schmelztauchüberzüge liegt darin, dass die Schmelze auch in Hohlräume und an schwer zugängliche Stellen gelangt. Auf Breitbandblech werden heute Zn- und Al-Überzüge in kontinuierlich arbeitenden Verfahren (SendzimirVerfahren) aufgebracht. Al-Überzüge verleihen dem Stahlblech gute Hitze- und Zunderbeständigkeit bei im Vergleich zu reinem Al besseren mechanischen Eigenschaften. Sowohl Zn- als auch Al-Schichten lassen sich durch Diffusionsglühen in FeZn- bzw. FeAl-Legierungsschichten überführen (Galvanealing-Verfahren, Kalorisieren). Metall-Spritzüberzüge. Beim thermischen Spritzen wird das Metall in Draht- oder Pulverform durch ein Brenngasgemisch, in einem Plasma oder durch einen Lichtbogen erschmolzen und in Form feiner Tröpfchen durch ein Trägergas auf das zu behandelnde Werkstück geschleudert. Die Haftung auf der Oberfläche ist hauptsächlich mechanisch und adhäsiv, weshalb diese durch Strahlen in mittlerer Rauigkeit aufgeraut sein sollte. Es werden Schichtdicken von einigen Zehntelmillimetern bis zu 2 mm hergestellt. Das Verfahren eignet sich für Metalle mit einem Schmelzpunkt bis zu 1600 °C. Zum Ausgleich der fertigungsbedingten Porosität der thermischen Spritzüberzüge können diese mit Lösungen von Kunstharzen getränkt und evtl. durch Walzen oder Pressen verdichtet werden. Typische Anwendungsgebiete sind: Korrosionsschutz (Spritzverzinken), Verschleißschutz (NiCrBSi-Legierungen), Reparatur von Verschleißstellen, Gleiteigenschaften (Molybdän, Bronze), dekorative Anwendungen.

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ein Metall mit einem chemisch beständigeren Überzug zu schützen. Für dickere Schutzschichten (einige mm) eignen sich das Auftragschweißen (Fe-, Co- und Ni-Basis-Legierungen mit oder ohne zusätzliche Hartstoffe (z. B. WC)) und das Sprengplattieren (z. B. Titan, Tantal, Molybdän). Bei dünnen Metallfolien kommt das Walzplattieren zum Einsatz. Dabei werden entweder Grund- und Plattiermaterialien in dünne Kopfbleche eingehüllt, erwärmt, ausgewalzt und die Kopfbleche durch Beizen entfernt, oder die Platine wird mit dem Plattierungsmaterial umwickelt, erwärmt und unter hohem Walzdruck ausgewalzt. Üblich ist das Plattieren von Al-Legierungen mit Reinaluminium oder von Stahl mit nichtrostendem Stahl, Kupfer, Nickel, Monel-Metall oder Aluminium. Diffusionsüberzüge. Sie entstehen durch Glühen der Werkstücke in Metallpulver des Überzugsmetalls (z. B. Zn, Cr, Al, W, Mn, Mo, Si) in sauerstofffreier Atmosphäre, evtl. unter Zugabe von Chloriden bei Temperaturen unterhalb des Schmelzpunkts (400 °C für Zinküberzüge beim „Sherardisieren“, 1000 °C für Aluminium beim „Alitieren“, 1200 °C für Chrom beim „Inchromieren“). Zinklamellenüberzüge. Ein Bindeglied zu den anorganischen Überzügen stellen Zinklamellenüberzüge dar, welche durch Applikation von dünnen Zink- und Aluminium-Plättchen (Flakes) in einer anorganischen Suspension mit aus der Lackiertechnik gängigen Applikationstechniken (Spritzen, Tauchen) aufgebracht und anschließend thermisch (220–300 °C) vernetzt werden. Durch den Kontakt der Lamellen untereinander sowie mit dem Grundwerkstoff bieten diese einen kathodischen Korrosionsschutz für Stahlwerkstoffe und werden bei Schichtdicke zwischen 4–10 µm z. B. als Alternativen zu galvanischen Zinküberzügen eingesetzt.

Anorganische Überzüge

Plattieren. Es erfolgt nach der Methode des Gasphasenabscheidung dünner Schichten Auftragschweißens, der Walzschweißplattierung (CVD/PVD-Schichten). Zur Verbesserung des oder der Sprengschweißplattierung. Ziel ist es, Verschleiß- und/oder Korrosionsschutzes von

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Werkzeugen und Bauteilen können durch CVD(chemical vapor deposition) oder PVD-Verfahren (physical vapor deposition) Metalle, Karbide, Nitride, Boride sowie Oxide aus der Gasphase auf Werkzeug- oder Bauteiloberflächen mit einer Schichtdicke von wenigen nm bis 150 µm abgeschieden werden. Das CVD-Verfahren beruht auf der Feststoffabscheidung durch chemische Gasphasenreaktionen im Temperaturbereich zwischen 800 und 1100 °C. Von technischer Bedeutung ist vor allem die Abscheidung von TiC- und TiN-Schichten sowie DLC-Schichten (diamond like carbon) als Verschleißschutzschichten. Wegen der hohen Abscheidetemperaturen beim CVD-Verfahren werden bei den Schneidstoffen vorzugsweise Hartmetalle, bei den Kaltarbeitsstählen überwiegend ledeburitische Chromstähle (z. B. X210CrW12) beschichtet. Im Unterschied hierzu können bei plasmagestützten Vakuumbeschichtungstechnologien der PVD-Verfahren Abscheidetemperaturen unter 300 °C eingehalten werden, sodass beispielsweise Schnellarbeitsstähle oder Vergütungsstähle als Substratwerkstoffe eingesetzt werden können. Als Ersatz für galvanisch abgeschiedenen Hartchromschichten lassen sich mit der PVDTechnik Cr-, CrN- und Cr2 N-Schichten mit guter Verschleißbeständigkeit abscheiden, die Eingang in die Anwendung in der Umformtechnik, im Fahrzeug- und Maschinenbau finden. Oxidische Überzüge. Oxidschichten bei einer metallischen Oberfläche, eigentlich das Resultat eines Korrosionsvorgangs, können als Passivschichten einen Korrosionsschutz darstellen, wenn die Schichten ausreichend dicht sind und sich bei Verletzungen neu aufbauen (Oxidschichtbildung bei Al, Al-haltigen Cu-Legierungen, Titan, nichtrostendem Stahl). Auch auf Stahl können durch Erhitzen und Eintauchen in Öl (Schwarzbrennen) oder in oxidierenden Beizen (Brünieren) Oxidschichten von zeitweiligem Schutzwert erreicht werden. Die bei Al sehr dünne natürliche Oxidschicht (0,01 µm) kann durch chemische Oxidation auf 1 bis 2 µm verstärkt werden (guter Anstrichhaftgrund). Beim anodischen Oxidieren (z. B. in Schwefelsäure) wer-

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den die Teile an den Pluspol einer Gleichstromquelle angeschlossen. Die bei diesem Verfahren gebildete Anodisierschicht kann infolge ihrer Porosität beliebig eingefärbt werden und ist elektrisch nichtleitend. Durch Nachverdichten in heißem Wasser werden die Poren geschlossen, sodass Schichten mit hoher Korrosions- und Verschleißbeständigkeit entstehen. Verschleißarme Harteloxalschichten besitzen bei Schichtdicken bis zu 50 µm eine Vickershärte von etwa 500 HV. Keramische Überzüge. Das Aufbringen keramischer Überzüge kann durch atmosphärisches Plasmaspritzen (APS), Hochgeschwindigkeitsflammspritzen (HVOF), aber auch durch PVDVerfahren erfolgen. Solche Überzüge werden in zunehmendem Maße für thermisch hochbelastete Gasturbinenschaufeln und Flugturbinenschaufeln als keramische Wärmedämmschichten eingesetzt. Als Schichtwerkstoff wird in der Regel Zirkonoxid verwendet; typische Schichtdicken bis 800 µm. Zur Anbindung der Keramikschicht und zum Schutz des Grundwerkstoffes gegen Heißgaskorrosion kommen Haftvermittlerschichten (Bond-Schichten) vom Typ MCrAlY zum Einsatz. Durch Plasmaspritzen lassen sich auch hochschmelzende Stoffe, wie z. B. Al2 O3 , Cr2 N3 mit hoher Verschleißfestigkeit (z. B. für die Druckereiindustrie) auftragen. Phosphatieren. Durch Eintauchen von Stahloder Aluminiumteilen sowie verzinkte Oberflächen in Phosphorsäurelösungen (zumeist mit Zusätzen von Alkaliphosphaten) entstehen durch Umwandlung der zunächst durch Korrosion freigesetzten Metalle in unlösliche Metallphosphate anorganische Deckschichten mit bis zu 15 µm Dicke. Eine Besonderheit stellt die geometrisch vielgestaltige kristalline Struktur der Überzüge dar, an die Öle zum temporären Korrosionsschutz oder zur Reibungsminderung gut anhaften können. Durch die Adsorptionsfähigkeit der Schicht und der zusätzlich elektrisch isolierenden Wirkung wird sie auch als Haftgrund für Lackierungen benutzt. Phosphatschichten dienen in der Umformtechnik als Schmierstoffträgerschichten und sind für das Fließpressen unverzichtbar. Manganphosphate in dünnen Schichten

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

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verhindern das Fressen gleitender Teile (Zahnrä- Film umgewandelt. Lackierungen und Anstriche dienen außer dem Korrosionsschutz oder zur Reider, Zylinderlaufbuchsen). bungsminderung auch dekorativen Zwecken. Speziell die Unterteilung von Lacken kann Chromatierung. Vergleichbar der Phosphatierung werden in einer chromathaltigen Lösung vorgenommen werden nach der Art des Bindedurch Konversion des Zinks (vorrangig gal- mittels (z. B. Polyesterlacke), der Art des Lövanisch erzeugten Zn-Überzügen), Aluminiums semittels (z. B. Wasserlacke), der Trocknungsoder Magnesiums schwer lösliche und damit in weise (z. B. Einbrennlacke) oder den Anwenwässriger Lösung korrosionsschützende anorga- dungsbereichen (z. B. Autolack). Lacke bestehen nische Chromate mit geringer Dicke (in der Regel aus Bindemitteln (Kunstharze, unterschieden in < 1 µm) abgeschieden. Die erzeugten Überzüge Polykondensations-, Polymerisations- und Posind in Abhängigkeit der Zusammensetzung und lyadditionsharze, und Naturstoffen und deren Dicke transparent oder weisen eine blaue bis Modifikationen, wie z. B. Leinöl, Nitrozellulose, gelblich-grün irisierende bis hin zur Schwarz- Chlorkautschuk), dem Pigment (z. B. Ruß, Titanfärbung auf. Neben der erheblichen Verbesse- oxid, Bleiweiß, Eisenoxid, Glimmer, Zinkweiß, rung der Korrosionsbeständigkeit dieser Werk- Chromverbindungen, Al-Pulver), dem Lösungsstoffe werden sie daher nebengeordnet auch für mittel (z. B. Wasser, Terpentin, Benzin, Benzol, dekorative Zwecke eingesetzt. Aufgrund neuer Alkohol) und gegebenenfalls Zusätzen zum Ergesetzlicher Regelungen der EU zur Verwertung zielen bestimmter Eigenschaften und Füllstoffen. Eine begriffliche Unterteilung erfolgt durch von Altfahrzeugen und Verminderung von umwelt- und gesundheitsgefährdenden Stoffen in die Möglichkeit zur unmittelbaren Verarbeitung. Elektro- und Elektronikgeräten, dürfen Chroma- 1K Lacke sind fertig gemischt und können ditierungen mit Anteilen an sechswertigen Chrom- rekt verarbeitet werden. 2K Lacke müssen vor der Verbindung in diesen Branchen möglichst nicht Verarbeitung erst noch gemischt werden. Pulvermehr eingesetzt werden. Zulässige Cr(VI)-freie lacke enthalten kein flüssiges Lösungsmittel und Varianten werden zur Abgrenzung auch als Pas- werden nach der Applikation durch elektrostatisches Spritzen oder Einbringung als vorgewärmsivierung bezeichnet. tes Bauteil in ein durch Lufteinblasen fluidisiertes Emaillieren. Dieses Verfahren beschränkt sich Pulver (Wirbelsintern) thermisch verflüssigt und auf Stahl- und Graugussteile. Die Basis der vernetzt. Bei Pulverlacken ist eine Rückführung Emails sind natürliche, anorganische Rohstoffe. der nicht auf das Bauteil applizierten LackpartiAls Grundmaterialien zur Emailherstellung wer- kel (Overspray) möglich. Nach sorgfältiger Reinigung der Oberfläche den überwiegend Quarz, Feldspat, Borax, Soda, Pottasche und Metalloxide verwendet. Die be- (Strahlen, Bürsten, Beizen, Entfetten) erfolgt stehende Grundemailmasse wird durch Tauchen, der Beschichtungsaufbau in ein- oder mehrlaAngießen oder Spritzen aufgebracht und bei et- gigen Grund- und Deckanstrichen durch Spritwa 550–900 °C eingebrannt. Das Deckemail wird zen, Tauchen, Streichen oder Rollen. Die therin Pulverform auf die erhitzten Teile aufgepudert misch aktivierte Filmbildung bei Kunstharzen und glattgeschmolzen. Der glasartige Überzug ist (harzspezifisch bei 140–240 °C Objekttemperagegen viele Chemikalien sowie gegen Tempera- tur für mehrere Minuten) wird als Einbrennen bezeichnet. Die Prozesstemperatur beim Einbrenturwechsel und Stoßbeanspruchung beständig. nen wird im Fahrzeugbau zur FestigkeitssteiOrganische Beschichtung gerung der eingesetzten Bakehardening-Stähle Organische Beschichtungsstoffe werden flüssig oder warmaushärtbaren Aluminiumlegierungen oder auch pulverförmiger auf Gegenstände auf- genutzt. Bei einigen Harzen kann eine Strahlengetragen und durch chemische (z. B. Polymerisa- härtung durch UV- oder Mirkowellenstrahlung tion) oder physikalische Vorgänge (zum Beispiel erfolgen, z. B. zur Vernetzung von UrethanacryVerdampfen des Lösemittels) zu einem festen laten. Der wenige Sekunden andauernde Vernet-

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zungsprozess wird durch einen Strahlungsimpuls ausgelöst. Die Zusammensetzung der Beschichtungsstoffe orientiert sich an den zu erfüllenden funktionellen Anforderungen der Oberfläche. Bei aggressiver Atmosphäre haben sich Chlorkautschuklacke, bei zusätzlicher mechanischer Beanspruchung, Ein- oder Zweikomponentenlacke auf Epoxid- oder Polyurethanbasis sehr gut bewährt. Für Stahl bietet das Duplexsystem (Feuerverzinken+Anstrich) große Vorteile, da ein Unterrosten bei rissigem Anstrich vermieden wird. In komplexen Anwendungen, z. B. im Automobil- und Flugzeugbau, werden vielfach mehrlagige Aufbauten gewählt. Einzellagen übernehmen Teilaufgaben der zu erfüllenden Gesamtfunktion, z. B. als Haftgrund (Primer und KTL-Lacke), Füller zum Abdecken der Rauheit und zum Steinschlags- und Korrosionsschutz (z. B. auf Epoxidharzbasis), UV-beständige farbige Basislacke (z. B. auf Polyesterbasis) sowie Klarlacke zur Gewährleistung des Glanzes, der Chemikalien- und Kratzbeständigkeit.

31.3 Nichtmetallische anorganische Werkstoffe – Keramische Werkstoffe In Zusammenarbeit mit P. Hof, Darmstadt

Unter dieser Gruppe fasst man alle nichtmetallisch-anorganischen Sinterwerkstoffe zusammen. Man unterscheidet zwischen silikatkeramischen, oxidischen und nichtoxidischen Werkstoffen, die vielfältige Anwendung in der Technik, im Bauwesen, in der Medizin (Endoprothesen) und im täglichen privaten Bedarf (z. B. Geschirr) gefunden haben. Kennzeichnende Eigenschaften aller keramischen Werkstoffe gemeinsam sind  hohe Härte und Wärmehärte,  hohe Beständigkeit in Laugen, Säuren und wässrigen Medien,  hohe Oxidations- und Heißgaskorrosionsbeständigkeit,  günstige Verschleißeigenschaften,

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 niedrige elektrische Leitfähigkeit (Isolatoren, nur Ionenleitung, Ausnahme: Supraleiter),  niedrige Wärmeleitfähigkeit (mit Ausnahmen, vgl. Berylliumoxid, BeO, oder Aluminiumnitrid, AlN),  niedrige Dichte (Ausnahme: Kernbrennstoffe UO2 u. ThO2 sowie einige Schwermetalloxide),  mittlere bis geringe Wärmedehnung,  mittlere bis hohe E-Moduli (bis 480 GPa bei Siliziumkarbid, SiC),  linear-elastisches Spannungs-Dehnungsverhalten bis zum Erweichen evtl. vorhandener Glasphase bzw. Korngrenzphasen,  niedrige Bruchzähigkeit (KIc ~ 0,5– p p 10 MPa m, verstärkt bis ca. 30 MPa m),  hohe Erweichungs-, Schmelz- oder Zersetzungstemperaturen. Keramische Werkstoffe werden aus natürlichen oder synthetischen Rohstoffen nach speziellen Verfahren zu Grünlingen geformt und zum fertigen Bauteil gebrannt. Beim Brand zwischen etwa 800 und 1800 °C laufen Diffusionsvorgänge zwischen den einzelnen Rohstoffpartikeln in fester und teilweise auch flüssiger Phase ab, wodurch das anfänglich durch schwache Adhäsions- oder van-der-Waals-Kräfte zusammengehaltene Pulverhaufwerk im Grünling zu einem festen polykristallinen Kornverband (Oxid- und Nichtoxidkeramik) oder in einer Glasphasenmatrix eingebettete kristalline Phasen umgewandelt wird. Abhängig von Sintereigenschaften und der Brenntemperatur wird die hohe Porosität im grünen Formkörper bis auf wenige Prozent reduziert. Sonderverfahren sind Heißpressen und heißisostatisches Pressen (HIP), wobei Formgebung und Sinterung in einem Verfahrensschritt erfolgen. Die mechanischen Werkstoffeigenschaften hängen zum einen vom Werkstoff an sich, zum anderen aber in hohem Maße von Reinheit, Gefügeaufbau und Fehlerzustand des Scherbens ab. Da nach dem Brand eine formgebende Bearbeitung nur durch Schneiden und Schleifen mit Diamantwerkzeugen möglich ist, bedeutet Werkstoffherstellung gleich Bauteilherstellung bzw. Werkstoffeigenschaften gleich Bauteileigenschaften. Geringe Risszähigkeit

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

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und Fehlerzustand bewirken eine breite Streu- Eigenschaften (Anhaltswerte) 40–80 MPa (unglasiert), ung der Festigkeitseigenschaften, die meist als Biegefestigkeit 60–100 MPa (glasiert) Vierpunkt-Biegefestigkeiten gemessen und angeLängenausdehnungs40–10 106 K1 geben werden. Damit wird eine probabilistische koeffizient ˛ (20–600 °C) Bewertung von Festigkeit und Ausfallwahr- Wärmeleitfähigkeit  1,2–2,6 W m1 K1 scheinlichkeit nach Weibull erforderlich. Um (20–100 °C) vorzeitiges Versagen von Bauteilen für An- Spez. El. Widerstand 1011 cm (20 °C), 104 cm (600 °C) wendungen im hochtechnischen Bereich zu p Bruchzähigkeit K 1 MPa m lc vermeiden, sind Bauteilprüfungen unter definierten Mindestbelastungen, sog. Proof-Tests, erforderlich. Steinzeug. Es wird aus kieselsäure- und alkalioxidhaltigem fettem Steinzeugton gebrannt, dem Silikatkeramische Werkstoffe für hochwertige Apparateteile noch Flussmittel Dies sind Erzeugnisse auf der Basis von Verbin- wie Feldspat, Quarz oder Pegmatit und auch Pordungen der Kieselsäure, SiO2 . Rohstoffe sind die zellan, Steinzeug oder auch Tonschamottekörner natürlich vorkommenden Tone, Lehm sowie an- zugesetzt werden. Der Scherben besteht aus 45– dere „silikatische“ Rohstoffe wie z. B. Quarzit 60 Masse-% Glasphase. Kristalline Bestandteile (SiO2 ), Feldspat, Magnesiumsilikate und Magne- sind neben Mullit, Quarz und ggf. Korund (Korsiumaluminiumsilikate. undsteinzeug) auch Cordierit (2MgO_2Al2 O3 Zu den „tonkeramischen“ Erzeugnissen zäh- _5SiO2 ) sowie Aluminium-Silikate. len beispielsweise: Ziegel (porös), Klinker, Steinzeug wird als Baumaterial in Form von Spaltplatten, säurefeste Steine und Baukeramik Fliesen, Spaltplatten oder Sanitärkeramik gelie(dicht), Schamottsteine (porös), Steingut (porös), fert. Für die chemische Industrie werden HohlSteinzeug und Porzellan (dicht). Sonstige silikat- körper aus Steinzeug für säurefeste Apparate keramische Erzeugnisse (nicht auf Tonbasis) sind und Maschinenteile (Kolben und Kreiselpumpen, z. B. Silika- und Forsteritsteine (porös), schmelz- Ventilatoren, Rührwerke, Mischmaschinen) hergegossene feuerfeste Steine (dicht) sowie die in gestellt. Elektrotechnik und Elektronik interessanten tonerdereichen Isolierstoffe Cordierit (2MgO Al2 O3 Eigenschaften (Anhaltswerte) für Steinzeug 5SiO2 ) und Steatit sowie Lithium-Aluminiumsi- Biegefestigkeit 30–90 MPa likate mit Null-Wärmedehnung (auch als „Glas- Druckfestigkeit 100–500 MPa Zugfestigkeit 10–35 MPa keramik“ hergestellt). Längenausdehnungskoeffizient ˛ 4,5–5 106 K1 Porzellan (Hart-, Weichporzellan). Herstelp lung aus reinen, natürlichen Rohstoffen Kao- (20–600 °C) Bruchzähigkeit Klc 1 MPa m lin, Quarz und Feldspat, ggf. Korund (Al2 O3 ). Der Scherben besteht aus einer Glasphasenmatrix (60–75 Masse-% Alkali-Aluminiumsilikatglas), Feuerfeste Steine. Zum Ausmauern von HochQuarz oder Cristobalit (SiO2 ), Mullit (3Al2 O3 öfen, Schmelzöfen, Glühöfen, Drehrohröfen, De2SiO2 ) und ggf. Korund (Al2 O3 ). Korund er- stillationsöfen, Röstöfen, Feuerungen für Dampfhöht die mechanische Festigkeit (Elektroporzel- kraft- und Müllverbrennungsanlagen usw. benölan), Mullit die Temperaturwechselbeständigkeit. tigt man Steine, die auf Grund ihrer ZusammenTechnische Anwendung findet Porzellan in der setzung (z. B. Kieselsäure und Tonerde) einen Elektrotechnik als Isolatoren (z. B. Hänge- oder sehr hohen Schmelzpunkt haben (> 1500 °C). Stützisolatoren) sowie als Laborhilfsmittel und in der chem. Industrie (chem.-technisches Por- Arten: Schamotte (~ 60 % SiO2 , ~ 40 % Al2 O3 ), zellan). Es wird meist mit glasierter Oberfläche Silica (~ 95% SiO2 , (~ 2% Al2 O3 ), Sillimanit (~ 90% Al2 O3 ); Magnesit ~ 88% MgO; ~ 5% eingesetzt.

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SiO2 ), Carborundum (45 bis 80 % SiC, 10 bis 25 % SiO2 ), Kohlenstoff (~ 90 % C). Von feuerfesten Steinen verlangt man außerdem eine hohe Druckfeuerbeständigkeit (DFB, das ist die Temperatur, bei der ein guter Stein unter Belastung zu erweichen beginnt) und eine gute Temperaturwechselbeständigkeit (TWB). Schließlich dürfen die Steine in Schmelzöfen durch die je nach der Schmelzführung sauren oder basischen Schlacken nicht angegriffen werden. Ein hochfeuerfester Werkstoff von zugleich höchster Säurebeständigkeit ist Quarz als Silikastein oder geschmolzen als Quarzglas (durchsichtig) oder Quarzgut (durchscheinend). Wegen des sehr geringen Wärmeausdehnungskoeffizienten von 0,5 106 K1 sind Quarzglas und Quarzgut äußerst thermoschockbeständig. Ziegeleierzeugnisse. Sie werden aus Lehm und Ton oder tonigen Massen, oft mit Zusatzstoffen, geformt und gebrannt. Durch Brennen bei den höheren Temperaturen entstehen die hochdichten Klinker mit höheren Festigkeiten. Vollziegel Mz 4 bis Mz 28 (Druckfestigkeitsklasse 4 bis 28: Mittelwert der Druckfestigkeit 5 bis 35 MPa), Vollklinker KMz 36 bis KMz 60 (60 MPa). Anwendung im Hochbau und als Kanalklinker im Tiefbau (Stadtentwässerung). Zur besseren Wärmedämmung sind Hochlochziegel senkrecht, Langlochziegel parallel zur Lagerfläche mit durchgehenden Löchern versehen. Des Weiteren werden Leichthochlochziegel mit einer Rohdichte von höchstens 1,0 g/cm3 hergestellt. Dachziegel (Biberschwänze, Falzziegel, Dachpfannen) müssen hinsichtlich Tragfähigkeit, Wasserundurchlässigkeit und Frostbeständigkeit bestimmten Anforderungen genügen.

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bel bei etwa 1100 °C von monoklin martensitisch nach tetragonal um, wobei eine Volumenkontraktion von 5–8 % erfolgt. Oberhalb 2300 °C ist eine kubische Hochtemperaturmodifikation stabil. Die kubische Phase lässt sich durch Zugabe von anderen Oxiden wie Yttriumoxid (Y2 O3 ), Ceroxid (CeO), Magnesiumoxid (MgO) oder Kalziumoxid (CaO) bis zu Raumtemperatur stabilisieren. Technisch bedeutsam sind jedoch teilstabilisierte ZrO2 -Werkstoffe (PSZ, Partially Stabilised Zirconia), z. B. mit 8 mol-% Y2 O3 , oder bis unterhalb Raumtemperatur meta-stabilisiertes tetragonales ZrO2 (TZP, Tetragonal Zirconia Polycrystal), das durch eine Verschiebung der Umwandlungstemperatur über eine geringfügige Teilstabilisierung (z. B. 1,5–3,5 mol-% Y2 O3 ) und eine äußerst feine Korngröße zwischen 0,1 und 1 µm erhalten wird. So gelingt es durch optimale Gestaltung von Gefüge und Teilstabilisierung das Umwandlungsverhalten so zu steuern, dass Zonen mit Mikrorissen oder Druckspannungen entstehen, die zu Rissverzweigung oder -ablenkung führen, oder aber dazu, dass tetragonale Zonen vorhanden sind, die durch die eingebrachte Energie an der Spitze eines ankommenden Risses zur Umwandlung kommen, was infolge des Volumeneffektes zu lokalen Druckspannungen und damit zur Reduktion der Spannungskonzentration an einer Rissspitze führt. Alle drei Effekte führen zu einer Erhöhung der Bruchzähigkeit und der Festigkeit. Anwendungen (Beispiele) Aluminiumoxid. Fadenführer und Friktionsscheiben in der Textilindustrie, Panzerungen in der Papierindustrie, Laborhilfsmittel (Tiegel, Rohre), als Beschichtung gegen Verschleiß oder zur Verbesserung der Gleiteigenschaften, Bandführungen in der Tontechnik, Endoprothesen, Plunger von Hochdruckpumpen, Dichtscheiben, Kugellager, Gleitringe, Wellenschutzhülsen, Wendeschneidplatten, Ziehdüsen, Gehäuse von Halbleiter-Bauelementen, Ofenbauteile.

Oxidkeramische Werkstoffe Die technisch wichtigsten Vertreter dieser Werkstoffgruppe sind Aluminiumoxid Al2 O3 und Zirkonoxid ZrO2 . Dichtgesintertes Aluminiumoxid zeichnet sich durch hohe Festigkeit und Härte sowie durch Temperatur- und Korrosionsbeständigkeit aus. Reines Zirkonoxid ist wegen seiner Polymor- Zirkonoxid. Kalt- und Warmumformwerkzeuge, phie technisch nicht nutzbar. Es wandelt reversi- Ziehdüsen, Umlenkrollen beim Drahtzug, Band-

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

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führungen, Ventilsitze, -kegel, Kolben, Plunger, 31.4 Werkstoffauswahl Beschichtungen zur Wärmedämmung heißer gekühlter Bauteile in Gasturbinen (z. B. Schaufeln, Jede Werkstoffauswahl hat sich an den folgenden Hitzeschilde), Feststoffelektrolyt von Sauerstoff- Zielen zu orientieren: sonden, Beschichtungen von Druckwalzen.  Realisierung des Anforderungsprofils technisch notwendiger Werkstoffeigenschaften, Nichtoxidkeramische Werkstoffe  Erreichung wirtschaftlicher Lösungen durch Hierzu gehören Carbide, Nitride, Boride und SiKombination preiswerter Werkstoffe und koslicide, die auch als Hartstoffe bezeichnet wertengünstiger Fertigungsmethoden, den. Das Eigenschaftsprofil dieser Stoffgruppe  Anwendung solcher Werkstoffe und Gestalist gekennzeichnet durch einen hohen E-Modul, tungsprinzipien, die nach der Nutzung der hohe Temperaturfestigkeit und Härte sowie gute Komponenten eine einfache Demontage und Wärmeleitfähigkeit und hohen Korrosionswiderdie umweltfreundliche Rezyklierung bzw. Abstand. Technische Bedeutung haben verschiedene fallbeseitigung ermöglichen. Varianten von Si3 N4 und SiC gewonnen, insbesondere durch Gefügeoptimierung (Nutzung Infolge des extrem breiten Spektrums technivon Stängelkristalliten zur Rissablenkung und scher Anwendungsbereiche und der großen VielBrüchebildung) sind erhebliche Steigerungen der falt verfügbarer Werkstoffe muss die Auswahl Bruchzähigkeit erzielt worden (Tab. 31.32). den unterschiedlichsten Erfordernissen gerecht Eine Gesamtübersicht der wichtigsten Anwenwerden. Nach den in technischen Anwendundungsmöglichkeiten von Oxid- und Nichtoxidkegen primär erforderlichen Werkstoffeigenschaframik zeigt Tab. 31.33. ten wird unterschieden zwischen Konstruktionsoder Strukturwerkstoffen für mechanisch beKeramikfaserverstärkte Keramik anspruchte Bauteile und Funktionswerkstoffen Die Entwicklung von verstärkten Werkstoffen mit speziellen funktionellen Eigenschaften, z. B. mit Keramiken hat zum Ziel, die hohe Festig- elektronischer, magnetischer oder optischer Art. keit der Keramiken mit einer stark verbesserten Die hauptsächlichen Anforderungen an StrukturBruchzähigkeit zu kombinieren. Dazu werden werkstoffe betreffen neben der statischen und in eine Matrix, die aus Keramik oder Metallen der Ermüdungsfestigkeit und Steifigkeit eine ausbestehen kann, keramische Fasern mit Durchmes- reichende Beständigkeit gegenüber thermischen, sern im µm-Bereich und Längen ab ca. 50 µm korrosiven und tribologischen Beanspruchungen. eingelagert. Die Bedeutung der Fasern liegt auch Da bei zahlreichen technischen Anwendungen darin, dass sich ihre Eigenfestigkeit mit ab- neben mechanischen auch noch andere Beansprunehmendem Faserdurchmesser stark erhöht (vgl. chungsarten auftreten, müssen die vielfältigen Glasfasern). Dadurch werden auch bei Faserge- Einflussfaktoren in systematischer Weise berückhalten um ca. 40 % hohe makroskopische Fes- sichtigt werden. Ein allgemeines Schema für eine tigkeiten erreicht und ein Sprödbruch durch ein systematische Materialauswahl ist in Abb. 31.14 Pull-out noch tragender Fasern vermieden. Als angegeben. Whisker bezeichnet man einkristalline Fasern mit Die systemtechnische Auswahlmethodik umLängen bis etwa 100 µm, z. B. aus SiC. Sie sind fasst die folgenden hauptsächlichen Schritte: allerdings kanzerogen und deshalb nur unter bestimmten Vorsichtsmaßnahmen einsetzbar. An- a) Systemanalyse des Werkstoffproblems: Unwendungen dieser hochkomplizierten Werkstoffe tersuchung und Zusammenstellung der kennliegen bei speziellen hochtemperaturbeanspruchzeichnenden Parameter des Bauteils, für das ten Einsätzen, wie z. B. in der Kernfusion oder in der Werkstoff gesucht wird, aus den Bereider Raumfahrt (Hitzeschilde). chen Funktion, Systemstruktur und Beanspru-

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Anhang

Abb. 31.14 Systemmethodik zur Werkstoffauswahl

chungen in möglichst vollständiger und eindeutiger Form. b) Formulierung des Anforderungsprofils: Zusammenstellung der systemspezifischen und der allgemeinen Anforderungen, wie Verfügbarkeit, Gebrauchsdauer, Fertigungserfordernisse, usw. in Form eines „Pflichtenhefts“, Abb. 31.14. c) Auswahl: Vergleich und Bewertung der Parameter des Anforderungsprofils mit den Kenn- Abb. 31.15 Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigdaten vorhandener Werkstoffe unter Verwen- keit von NE-Metallen und Stahl dung von Materialprüfdaten, Werkstofftabellen, Handbüchern, Datenbanken usw. Wenn die Anforderungen mit den Kenndaten verfügbarer Werkstoffe erfüllt werden können, dürften wegen der systemanalytischen Vorgehensweise die wichtigsten Einflussparameter berücksichtigt sein. Im anderen Fall muss nötigenfalls der Systementwurf überdacht oder eine geeignete Werkstoffentwicklung veranlasst werden. Hierfür sind wegen des häufig sehr hohen Investitions- und Zeitaufwandes möglichst genaue Kosten-Nutzen-Analysen durchzuführen.

Abb. 31.16 Temperaturabhängigkeit des linearen Wärmeausdehnungskoeffizienten

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

595 Tab. 31.1 Grenzwerte der chemischen Zusammensetzung nach der Schmelzenanalyse zur Abgrenzung der unlegierten von den legierten Stählen (gemäß DIN EN 10 020) Festgelegtes Element

Abb. 31.17 Einfluss der Temperatur auf den Elastizitätsmodul von Aluminiumlegierungen

Al Aluminium B Bor Bi Wismut Co Cobalt Cr Chrom Cu Kupfer La Lanthanide (einzeln gewertet) Mn Mangan Mo Molybdän Nb Niob Ni Nickel Pb Blei Se Selen Si Silicium Te Tellur V Vanadium W Wolfram Zr Zirconium sonstige (mit Ausnahme von Kohlenstoff, Phosphor, Schwefel und Stickstoff) jeweils

Grenzwert Massenanteil in % 0,30 0,0008 0,10 0,30 0,30 0,40 0,10 1,65 0,08 0,06 0,30 0,40 0,10 0,60 0,10 0,10 0,30 0,05 0,10

Abb. 31.18 Kurzwarmfestigkeit von Aluminiumlegierungen

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Tab. 31.2 Einteilung der Stähle und erste Hauptsymbole sowie Hinweise auf Merkmale, die für die Anwendung der jeweiligen Stahlgruppe wichtig sind und zum Zweck der systematischen Bildung eindeutiger Kurznamen anhand weiterer Symbole nach DIN EN 10 027-1 verschlüsselt werden können Stahl- Bezeichnung der Stahl- Erstes Weitere Hauptsymbole gruppe gruppe Hauptsymbola Kennzeichnung nach Hauptanwendungsgebiet und wichtigster Eigenschaft 1 Stähle für den Stahlbau S kennzeichnender Wert der Streckgrenze für den kleinsten spezifizierten Dickenbereich 2 Stähle für Druckbehälter P

z. B. Kerbschlagarbeit, Wärmebehandlung, Verwendung z. B. Wärmebehandlung, Verwendung Wärmebehandlung, Anforderungsklasse besondere Merkmale, Eignung zum Kaltziehen Duktilitätsklasse Erzeugnisform und Herstellungsverfahren besondere Legierungselemente und Wärmebehandlung besondere Merkmale

3

Stähle für Leitungsrohre

L

4

Maschinenbaustähle

E

5 6

Betonstähle Spannstähle

B Y

Nennwert der Zugfestigkeit

7

Stähle für oder in Form von Schienen

R

Mindestwert der Härte (HBw)

8

kaltgewalzte Erzeugnisse aus höherfesten Stählen zum Kaltumformen Flacherzeugnisse zum Kaltumformen, ausgenommen höherfeste Stähle Verpackungsbleche und Band Elektroblech und -band

H

Mindestwert der Streckgrenze oder der Zugfestigkeit (verbunden mit dem Symbol T) Walzverfahren z. B. für Eignung zur Beschichtung

9

10 11

a

Zusatzsymbole für die Stahlsorte

D

T M

Nennwert der Streckgrenze und Glühverfahren höchster zulässiger Ummagnetisisie- Hinweise auf besondere rungsverlust und Blechdicke Merkmale

Bei Stahlgusssorten wird dem ersten Hauptsymbol der Buchstabe G vorangestellt. Bei pulvermetallurgisch hergestellten Werkzeugstählen dieser Gruppe können, wenn erforderlich, dem Hauptsymbol X die Buchstaben PM vorangestellt werden. c Wenn erforderlich, kann bei pulvermetallurgisch hergestellten Schnellarbeitsstählen das Hauptsymbol HS durch die Buchstaben PM ersetzt werden. b

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Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

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Tab. 31.2 (Fortsetzung) Stahl- Bezeichnung der StahlErstes Weitere Hauptsymbole gruppe gruppe Hauptsymbola Kennzeichnung nach der chemischen Zusammensetzung 12 unlegierte Stähle mit mitt- C mittlerer Kohlenstoffgehalt in %  100 lerem Mn-Gehalt < 1%, ausgenommen Automatenstähle 13 unlegierte Stähle mit mittlerer Legierungselemente und deren mittmittlerem Mn-Gehalt Kohlenstoff- lere spezifizierte Massenanteile in %,  1 %, unlegierte gehalt in multipliziert mit folgenden Faktoren Automatenstähle und %  100 Element Faktor legierte Stähle, Cr, Co, Mn, Ni, Si, W 4 ausgenommen SchnellAl, Be, Cu, Mo, Nb, Pb, 10 arbeitsstähle, sofern der Ta, Ti, V, Zr mittlere Gehalt der Ce, N, P, S 100 einzelnen Legierungselemente < 5% ist. B 1000 14 legierte Stähle, ausgenom- Xb Legierungselemente und deren mittlere men Schnellarbeitsstähle, spezifizierte Massenanteile in % sofern der mittlere Gehalt mindestens eines Elements  5 % beträgt. 15 Schnellarbeitsstähle HSc mittlere spezifizierte Massenanteile der Elemente W, Mo, V und Co in dieser Reihenfolge

Zusatzsymbole für die Stahlsorte z. B. für Verarbeitbarkeit oder Anwendung wichtige Elemente in kleinen Massenanteilen

Kennzeichnung der Abweichung bei ähnlichen Stählen

a

Bei Stahlgusssorten wird dem ersten Hauptsymbol der Buchstabe G vorangestellt. Bei pulvermetallurgisch hergestellten Werkzeugstählen dieser Gruppe können, wenn erforderlich, dem Hauptsymbol X die Buchstaben PM vorangestellt werden. c Wenn erforderlich, kann bei pulvermetallurgisch hergestellten Schnellarbeitsstählen das Hauptsymbol HS durch die Buchstaben PM ersetzt werden. b

Tab. 31.3 Gütegruppen für unlegierte Baustähle nach DIN EN 10 025-2 Bezeichnung der Mindestwert Prüftemperatur für Gütegruppe im der Kerbden Nachweis des Kurznamen der schlagarbeit Mindestwertes der Stahlsorte Kerbschlagarbeit JR 27 J 20 °C J0 27 J 0 °C J2 27 J 20 °C K2 40 J 20 °C

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M. Oechsner et al.

Tab. 31.4 Eine Auswahl häufig angewendeter technischer Lieferbedingungen für unterschiedliche Erzeugnisformen aus Baustählen für unterschiedliche Anwendungsfälle Norm DIN EN 10080 DIN EN 10025-2 DIN EN 10025-3 DIN EN 10025-4 DIN EN 10025-6 DIN EN 10152 DIN EN 10025-5 DIN EN 10210 DIN EN 10219-1 DIN EN 10225 DIN EN 10240 DIN EN 10248-1 DIN EN 10249-1 DIN EN 10250-2 DIN EN 10268 DIN EN 10277-2 DIN EN 10138 ISO 5002

Titel Stahl für die Bewehrung von Beton Warmgewalzte Erzeugnisse aus unlegierten Baustählen Warmgewalzte Erzeugnisse aus schweißgeeigneten Feinkornbaustählen; normalgeglühte Stähle Warmgewalzte Erzeugnisse aus schweißgeeigneten Feinkornbaustählen; thermomechanisch gewalzte Stähle Blech und Breitflachstahl aus Baustählen mit höherer Streckgrenze im vergüteten Zustand Elektrolytisch verzinkte kaltgewalzte Flacherzeugnisse aus Stahl Wetterfeste Baustähle Warmgefertigte Hohlprofile für den Stahlbau Kaltgefertigte geschweißte Hohlprofile für den Stahlbau Schweißgeeignete Baustähle für feststehende Offshore-Konstruktionen Innere und äußere Schutzüberzüge für Stahlrohre Warmgewalzte Spundbohlen aus unlegierten Stählen Kaltgeformte Spundbohlen aus unlegierten Stählen Freiformschmiedestücke aus Stahl für allgemeine Verwendung; Unlegierte Qualitäts- und Edelstahle Kaltgewalzte Flacherzeugnisse mit hoher Streckgrenze zum Kaltumformen aus schweißgeeigneten mikrolegierten Stählen Blankstahlerzeugnisse; Stähle für allgemeine Verwendung Spannstähle; Teil 2: Draht; Teil 3: Litze; Teil 4: Stäbe Elektrolytisch verzinktes warmgewalztes und kaltgewalztes Stahlblech in Handels- und Tiefziehgüten

Tab. 31.5 Auswahl häufig angewendeter technischer Lieferbedingungen für Stähle zum Kaltumformen Norm DIN EN 10130 + A1 DIN EN 10149

DIN EN 10209 DIN EN 10268 DIN EN 10346

Titel Kaltgewalzte Flacherzeugnisse aus weichen Stählen zum Kaltumformen Warmgewalzte Flacherzeugnisse aus Stählen mit hoher Streckgrenze zum Kaltumformen; Teil 2: Thermomechanisch gewalzte Stähle Teil 3: Normalgeglühte/normalisierend gewalzte Stähle Kaltgewalzte Flacherzeugnisse aus weichen Stählen zum Emaillieren Kaltgewalzte Flacherzeugnisse mit hoher Streckgrenze zum Kaltumformen aus mikrolegierten Stählen Kontinuierlich schmelztauchveredelte Flacherzeugnisse aus Stahl zum Kaltumformen

Mechanische Eigenschaften bei Raumtemperatur T D 20 ı C Rm [MPa] bei T Rm [MPa] Rp0,2 [MPa] A5 [%] Rp0,2 [MPa] bei T 700 750 800 NiCr22FeMo 343 785 40 216 157 118 l D 5d 157 108 74 NiCr22Mo9Nb 363 853 59 343 226 137 245 167 98 NiCr20TiAl 736 1177 20 402 284 177 l D 5d 284 186 98 NiCr20MoNb 589 706 10 353 265 196 l D 3;5 d 294 206 147 NiFe27Cr15MoWTi 1001 1403 – 432 314 206 334 226 147 NiCr19Fe19NbMo 961–1187 1275–1432 30–21 520 324 206 373 206 –

Bezeichnung

Tab. 31.6 Mechanische Eigenschaften von Nickellegierungen

850 88 49 84 59 108 78 147 108 137 93 – –

900 59 29 52 39 49 29 108 78 – – – –

950 38 24 – – – – 78 59 – – – –

1000 29 19 – – – – – – – – – –

1050 – – – – – – – – – – – –

× ×

× ×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

× ×

×

×

×

×

×

×

×

Wärmebehandlung Lieferform Glühen Aus- keine Guss Stangen Bleche & Ablagern schrecken

31 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe 599

31

600

M. Oechsner et al.

Tab. 31.7 Legierungskonzepte für Werkzeugstähle Massenanteile [%] Kaltarbeitsstahl Warmarbeitsstahl Kunststoffformenstahl Schnellarbeitsstahl

Kohlenstoff 0,5–2,0 0,3–0,6 0,3–0,6 0,55–2,5

Chrom 1,0–12,0 1,0–12,0 1,0–16,0 4,0–4,5

Molybdän 0,5–1,5 < 5; 0 < 1; 0 2,0–5,0

Nickel

Vanadium 0,1–15,0 < 2; 0

Wolfram 0,5–3,0 < 9; 0

Kobalt

3,0–5,0

5,0–11,0

5,0–9,0

< 4; 50

< 4; 0

a

nicht gefordert;

–

–

– –

–

–

– –

– –

–

– –

von hoher Bedeutung

– –

– – – –

– – – – –

– – – – –

–

–

–

Walzen

–

–

zum Umformen kalt Prägen FließStanzen pressen

von mittlerer Bedeutung;

–

–

–

Anwendung der Werkzeuge zum Urformen kalt warm Kunststoff- Druck- Glasformen gießen formen

von geringer Bedeutung;

Warmhärte Härtbarkeit Anlassbeständigkeit Druckfestigkeit Dauerschwingfestigkeit Zähigkeit Warmzähigkeit Verschleißwiderstand Warmverschleißwiderstand Schneidhaltigkeit Wärmeleitfähigkeit Temperaturwechselbeständigkeit Korrosionsbeständigkeit Maßänderungskonstanz Warmumformbarkeit Kaltumformbarkeit Zerspanbarkeit Schleifbarkeit Polierbarkeit

Härte

In Betracht kommende Gebrauchseigenschaftena

Tab. 31.8 Anforderungen an Werkzeugstähle je nach Verwendung, nach [5]

– –

–

– – –

–

–

warm Schmieden Hammer Presse

–

– –

–

–

Strangpressen

–

– –

–

–

Fließpressen

–

– –

– –

–

–

zum Trennen kalt warm ZerSchneispanen den

–

– – – – – – – –

–

–

–

Handwerkzeuge

zu sonstigen Zwecken

31 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe 601

31

NiCr15Fe NiCr23Fe NiCr22Fe18Mo NiCr25FeAlY NiCr23Co12Mo NiCr22Mo9Nb NiCo20Cr20MoTi NiCr19Fe19NbMo NiCr20TiAl

600 H 601 H X 602 CA 617 625 C-263 718 80A

Alloy

2.4816 2.4851 2.4665 2.4633 2.4663 2.4856 2.4650 2.4668 2.4952

Werkstoffnummer

Mechanische Werte bei RT Rp0;2 Rm A5 [%] [MPa] [MPa]  180  500  35  240  600  30  310  725  30  270  680  30  300  700  35  415 820–1050  30 400 540  20  1030  1230  12  590  980  12 490 506 435

97 156 186 – 190 ca. 200 132 165

42 55 97 100 95

ca. 68 12 62

17,1 16,7 38 20 43

ca. 17 – 13

7 3,7 14 9,7 16

– – –

– – 3,2 4,5 4,5

–

– – – 2,1 –

Zeitstandfestigkeit Rm 100 000 h bei T = Temperatur, [°C]a 600 700 800 900 1000 1100

a Die mechanischen Werte gelten für die karbid- und mischkristallverfestigten Legierungen im lösungsgeglühten Zustand, für die auscheidungsgehärteten Legierungen im ausgehärteten Zustand.

Ausscheidungsgehärtete Werkstoffe („Superalloys“)

Karbid- und mischkristallverfestigte Legierungen

Bezeichnung

Tab. 31.9 Mechanische Eigenschaften warmfester Nickellegierungen

602 M. Oechsner et al.

31

Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

603

Tab. 31.10 Übersicht über die mechanischen Kennwerte verschiedener Gusseisenwerkstoffe

a

Werkstoff

Werkstoffkurzzeichen

Gusseisen mit Lamellengrafit Gusseisen mit Vermiculargrafit Gusseisen mit Kugelgrafit Ausferritisches Gusseisen mit Kugelgrafit Temperguss, weiß Temperguss, schwarz Austenitisches Gusseisen

EN-GJL-100 bis EN-GJL-350 GJV-300 bis GJV-500 EN-GJS-350-22 bis EN-GJS-900-1 EN-GJS-800-8 bis EN-GJS-1400-1 EN-GJMW-350-4 bis 550-4 EN-GJMB-300-6 bis 800-1 EN-GJLA EN-GJSA

Zugfestigkeit Rm [N=mm2 ] min. 100 bis 350

Streckgrenze Rp0,2 [N=mm2 ] min. 30 bis 285a

Bruchdehnung A5 [%] min. 0,8 bis 0,3

300 bis 500

240 bis 340

1,5 bis 0,5

350 bis 900

220 bis 600

22 bis 2

800 bis 1400

500 bis 1100

8 bis 10

350 bis 550

190 bis 340

12 bis 4

300 bis 800

200 bis 600

10 bis 1

140 bis 220 370 bis 500

170 bis 310

4 bis 1 45 bis 1

Normen

DIN EN 1561 ISO 185 VDG W 50 ISO 16112 DIN EN 1563 ISO 1083 DIN EN 1564 ISO 17804 DIN EN 1562 ISO 5922

EN 13835 ISO 2892

Rp0,1

Tab. 31.11 Europaweit einheitliches Bezeichnungssystem für Gusseisenwerkstoffe (DIN EN 1560) Position Zeichen 1 EN für Europäische Norm (kann entfallen, wenn in der Zeichnung die Nummer der Werkstoffnorm – EN 1563 – angegeben wird) 2 G für Gussstück (aus dem Deutschen) J für Eisen (engl.: iron; „I“ könnte mit der „1“ verwechselt werden) 3 Grafitstruktur L = Lamellengrafit (engl.: lamellar) S = Kugelgrafit (engl.: spheroidal) M = Temperkohle (engl.: malleable) 4 Mikro- bzw. Makrostruktur B = schwarz (engl.: black) (Temperguss) W = weiß (engl.: white) (Temperguss) 5 Klassifizierung durch mechanische Eigenschaften (Zugfestigkeit [N=mm2 ] und Bruchdehnung [%] oder alternativ durch die Härte) oder Klassifizierung durch chemische Zusammensetzung (Angabe der Elementsymbole + Gehalt [%] (gerundet) 6 zusätzliche Anforderungen LT = garantierte Kerbschlagarbeit bei tiefer Temperatur RT = garantierte Kerbschlagarbeit bei Raumtemperatur noch 6 Art des Probestücks S = getrennt gegossen (engl.: separately cast) U = angegossen (engl.: cast-on = „united“) C = aus dem Gußstück entnommen (engl.: casting)

Beispiel EN GJ S

–

400-18 – LT

31 U

Aluminium (Al99,99-O) AlCuMg (AlCu4Mg1-T4) AlMgSi (AlSi1MgMn-T6) AlMg (AlMg3-O) AlSi12 (AlSi12-F) Blei Kupfer Kupfer-Zink-Legierung Kupfer-Zinn-Legierung Kupfer-Beryllium-Legierung Kupfer-Aluminium-Legierung Konstantan 54 Cu, 45 Ni, 1 Mn Magnesium MgMn2 MgAl6Zn GD-MgAl6Znl Nickel 67 Ni, 32 Cu, 1 Mn (Monel) 84 Ni, 9 Si, 4 Cu, 1 Cr Titan Titanlegierungen Zink GD-ZnAl4 GD-Zn Al4Cu Zinn

Werkstoff

2,70 2,79 2,71 2,68 2,65 11,34 8,93 8,3 8,8 8,9 7,73 8,9 1,74 1,8 1,8 1,8 8,86 8,9 7,8 4,5 4,45. . . 4,6 7,14 6,6 6,7 7,29

g/cm3

Dichte

660,2 500. . . 640 600. . . 640 595. . . 645 570. . . 600 327 1083 895. . . 1025 910. . . 1040 950 1030. . . 1080 1250 650 645. . . 650 430. . . 600 400. . . 600 1453 1300. . . 1350 1100. . . 1120 1668 1668 419,5 380. . . 386 380. . . 386 231,9

Schmelzpunkt bzw. Erstarrungsbereich °C 1,85 1,2 1,1 1,2 1,1 –

%

1,9 1,4 1,4

200. . . 260

1,3 1,3

870. . . 1150 2,0 2,0 700. . . 1000

250. . . 450 280. . . 320 –

1,5 2,0 2,0 2,0 850. . . 1100 –

480. . . 500 380. . . 460 450. . . 500 380. . . 420 – – 800. . . 950 700. . . 850 600. . . 900 600. . . 900

°C 66,6 73,0 70,0 70,5 75,0 16,0 125 104 116 120 123 – 45,15 45 44 44 197 200 205 105,2 105 94 130 130 55

kN/mm2

Warmform- Lineares ElastigebungsSchwind- zitätstemperatur maß modul E

Tab. 31.12 Physikalische Eigenschaften der Nichteisenmetalle und ihrer Legierungen

29 27 27 21,4

0,33 0,25

38,7 37,9

20,6

75

24,7 27,4 26,4 26,5 28,8 5,7 46,4 40 43 45 47 – 17,7

0,33

0,33 0,3 0,3 0,3 0,31

0,35 0,33 0,33 0,33 0,30 0,44 0,35 0,37 0,35 0,38

kN/mm2 

Linearer Wärmeausdehnungsbeiwert 20. . . 100 °C 106 /K 23,6 23,1 23,1 23,7 20 29,1 16,86 19,2 17 17,5 17,9 15,2 26,0 26,0 26,0 26,5 13,3 14 11 8,35

GleitQuermodul G dehnzahl

0,41 0,42 0,42 0,222

0,102 0,105 0,105 0,105 0,444 0,42 0,45 0,616

0,45

20. . . 100 °C J/(gK) 0,896 0,874 0,894 0,897 0,90 0,125 0,385 0,39 0,37

Spezifische Wärmekapazität

1,11 1,13 1,09 0,64

bei 20 °C J/(cmsK) 2,35 1,21 1,72 1,32 1,59 0,347 3,85 1,17 0,71 0,84 0,71 0,21 1,575 1,42 0,84 0,84 0,92 0,25 0,21 0,15

Wärmeleitfähigkeit

0,061 0,06 0,06 0,115

bei 20 °C   mm2 =m 0,026 0,050 0,035 0,043 0,048 0,2 0,017 0,07 0,11 0,07 0,114 0,50 0,045 0,06 0,14 0,15 0,069 0,44 0,11 0,42

Spezifischer elektrischer Widerstand

604 M. Oechsner et al.

CW608N

CW603N

CW604N

CW507L

CW505L

CuZn30 R280 R370 R460 CuZn36 R300 R350 R410 R480 R550 CuZn37Pb0,5 R290 R370 R440 R540 CuZn36Pb3 R360 R400 R480 CuZn38Pb2 R340 R400 R470 R540

nach Vereinb. 4. . . 80 4. . . 40 4. . . 10 nach Vereinb. 0,2. . . 5 0,2. . . 5 0,2. . . 5 0,2. . . 2 0,2. . . 2 nach Vereinb. 0,3. . . 5 0,3. . . 5 0,3. . . 5 0,3. . . 2 nach Vereinb. 6. . . 40 2. . . 25 2. . . 12 nach Vereinb. 0,3. . . 10 0,3. . . 10 0,3. . . 5 0,3. . . 2

Werkstoff- Dicke nummer [mm]

Kurzzeichen

×

×

Z: gut U: gut warmumformbar, gut kaltumformbar V: Biegen, Nieten, Stauchen, Legierung für alle spanenden Bearbeitungsverfahren

×

×

×

Z: gut U: gut kaltumformbar V: Legierung für alle spanenden Bearbeitungsverfahren; geeignet für Automaten

×

×

×

×

×

Z: noch ausreichend U: sehr gut kaltumformbar V: Tiefziehen, Drücken

×

×

Bleche ×

Bänder

Hauptlegierung für Kaltumformen durch Tiefziehen, Drücken, Stauchen, Walzen, Gewinderollen, Prägen und Biegen; gut löt- und schweißbar; Metall- und Holzschrauben, Druckwalzen, Kühlerbänder, Reißverschlüsse, Blattfedern, Hohlwaren, Kugelschreiberminen

Rohre ×

Stangen

sehr gut kaltumformbar durch Tiefziehen, Drücken, Nieten, Bördeln; sehr gut lötbar; gut auf Stahl plattierbar. Instrumente, Hülsen aller Art

Rp0.2 A A11,3 Hinweise auf Eigenschaften und Verwendung [N/mm2 ] [%] min. [%] min.

ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 280

250 45 40 370

230 16 14 460

310 9 7 ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 300. . . 370 180 48 38 350. . . 440  170 28 19 410. . . 490  300 12 8 480. . . 560  430 – 3 550 500 – – ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 290. . . 370 200 50 40 370. . . 440  200 28 19 440. . . 540  370 12 5  540  490 – – ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte  360 180 20 15  400  250 12 8  480  350 8 5 ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 340. . . 420 240 43 33 400. . . 480  200 23 14 470. . . 550  390 12 5  540  490 – –

Rm [N/mm2 ]

Tab. 31.13 Kupfer-Zink-Knetlegierungen. Festigkeitseigenschaften. Auszug aus DIN CEN/TS 13 388; EN 12 449, 12 163, 12 164 und EN 1652

Drähte ×

×

×

Schmied. ×

×

×

×

Profile

31 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe 605

31

Bleche

×

×

×

×

gut warm- und kaltumformbar (Schmiedemessing, Muntzmetall); geeignet zum Biegen, Nieten, Stauchen und Bördeln sowie im weichen Zustand zum Prägen und auch zum Tiefziehen

×

Bänder

×

×

Rohre

Z: sehr gut U: gut warmumformbar, begrenzt kaltumformbar V: Legierung für alle spanenden Bearbeitungsverfahren; Uhrenmessing für Räder und Platinen

Z: ausreichend U: gut warmumformbar gut kaltumformbar V: Biegen, Nieten, Stauchen, Bördeln

Rp0.2 A A11,3 Hinweise auf Eigenschaften und Verwendung [N/mm2 ] [%] min. [%] min.

ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 340. . . 420 240 43 33 400. . . 480  200 23 14 470. . . 550  390 12 5  540  490 – – ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte  360 250 25 –  430  250 12 –  500  370 8 – ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte  340 240 43 33  400  200 23 15  470  390 12 6

Rm [N/mm2 ]

Z: Zerspanbarkeit, U: Umformbarkeit, V: Verwendung

nach Vereinb. 0,3. . . 10 0.3. . . 10 0,3. . . 5 0,3. . . 2 nach Vereinb. . . . 10 . . . 10 ...5 nach Vereinb. 0,3. . . 10 0,3. . . 10 0,3. . . 5

Werkstoff- Dicke nummer [mm]

CuZn39Pb0,5 CW610N R340 R400 R470 R540 CuZn40Pb2 CW617N R360 R430 R500 CuZn40 CW509L R340 R400 R470

Kurzzeichen

Tab. 31.13 (Fortsetzung) Stangen ×

×

×

Drähte ×

×

Schmied. ×

×

×

Profile ×

×

×

606 M. Oechsner et al.

CW720R

CW713R

CW710R

CW708R

CW702R

CuZn20Al2As R330 R390 CuZn31Si1 R460 R530 CuZn 35Ni3Mn2AlPb R490 CuZn37Mn3Al2PbSi R540 R590 CuZn40Mn1Pb1 R440 R500

nach Vereinb. 3. . . 15 3. . . 15 nach Vereinb. 5. . . 40 5. . . 14 nach Vereinb. 5. . . 40 nach Vereinb. 5. . . 80 6. . . 50 nach Vereinb. 40. . . 80 5. . . 40

Werkstoff- Dicke nummer [mm]

Kurzzeichen

Rm Rp0,2 A5 HV un[N/mm2 ] [N/mm2 ] [%] gefährer min. min. min. Mittelwert ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 330 90 30 85 390 240 25 100 ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 460 240 22 135 530 350 12 145 ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 490 290 18 135 ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 540 280 15 150 590 370 10 160 ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 440 180 20 130 500 270 12 150

Bleche

× ×

×

gute Beständigkeit gegen Witterungseinflüsse. Für erhöhte Anforderungen an gleitende Beanspruchung Konstruktionswerkstoff mittlerer Festigkeit; aluminiumfrei, lötbar; witterungsbeständig. Apparatebau, Architektur

×

Konstruktionswerkstoff mittlerer bis hoher Festigkeit. Apparatebau, Schiffbau

×

Bänder

×

×

Rohre

für gleitende Beanspruchung auch bei hohen Belastungen. Lagerbüchsen, Führungen und sonstige Gleitelemente

Rohre und Rohrböden für Kondensatoren und Wärmeübertrager

Hinweise auf Eigenschaften und Verwendung

×

×

×

×

Stangen

Tab. 31.14 Kupfer-Zink-Legierungen mit weiteren Legierungselementen (Sondermessing). Auszug aus CEN/TS 13 388, EN 12 449, 12 163, 12 164 und EN 1652 Schmied. ×

×

×

×

×

Profile

Drähte

31 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe 607

31

Werkstoffnummer

CC760S

CC750S

CC754S

CC767S

CC764S

CC761S

Kurzzeichen

CuZn15As-C

CuZn33Pb2-C

CuZn39Pb1Al-C

CuZn38Al-C

CuZn34Mn3A12Fe1-C

CuZn16Si4-C

Sandguss Schleuderguss Kokillenguss Sandguss Druckguss Kokillenguss Schleuderguss

Druckguss Kokillenguss Sandguss Schleuderguss Kokillenguss

Sandguss Schleuderguss

Sandguss

Lieferform

250 260 260 230 340 300 300

250 120 80 120 130

70 70

600 620 600 400 500 500 500

350 280 220 280 380

180 180

15 14 10 10 5 8 8

3 10 15 10 30

12 12

140 150 140 100 190 130 130

110 70 65 70 75

45 50

Werkstoffeigenschaften im Probestab Rp 0.2 Rm A5 HB min. [N=mm2 ] [N=mm2 ] [%] min. min. min. 70 160 20 45

Tab. 31.15 Guss-Messing und Gusssondermessing nach EN 1982 (Auszug)

statisch belastbare Konstruktionsteile, Ventil- und Steuerungsteile, Sitze, Kegel

für verwickelte Konstruktionsteile jeglicher Art, vorwiegend in der Elektroindustrie und im Maschinenbau

Beschlag- und Konstruktionsteile allgemeiner Art, Sanitär- und Stapelarmaturen; Druckgussteile für Maschinenbau, Elektrotechnik, Feinmechanik, Optik usw.

für zu lötende Teile, z. B. Flanschen und andere Bauteile für Schiffbau, Maschinenbau, Elektrotechnik, Feinmechanik, Optik usw. Gehäuse für Gas- und Wasserarmaturen, Konstruktions- und Beschlagteile für Maschinenbau, Elektrotechnik, Feinmechanik, Optik usw.

Hinweise auf die Verwendung

Konstruktionswerkstoff; gute Korrosions- Hochbeanspruchte, dünnwandige und Meerwasserbeständigkeit; sehr gut verwickelte Konstruktionsteile für gießbar Maschinen- und Schiffbau, Elektroindustrie, Feinmechanik usw.

Konstruktionswerkstoff; gut gießbar, kaltzäh; korrosionsbeständig gegenüber der Atmosphäre; Elektrische Leitfähigkeit etwa 12 m=.  mm2 / Konstruktionswerkstoff mit hoher statischer Festigkeit und Härte

Konstruktionswerkstoff; gute Meerwasserbeständigkeit; sehr gut weich- und hartlötbar; elektrische Leitfähigkeit etwa 15 m=.  mm2 / Konstruktionswerkstoff; korrosionsbeständig gegenüber Gebrauchswässern bis etwa 90 °C; elektrische Leitfähigkeit etwa 10 bis 14 m=.  mm2 / Konstruktionswerkstoff; gut spanend bearbeitbar

Bemerkungen

608 M. Oechsner et al.

31

Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

609

Tab. 31.16 Kupfer-Zinn-Legierungen (Zinnbronze) nach EN 1652 Kurzzeichen

Werkstoffnummer

CuSn4 R290 R390 R480 R540 R610 CuSn6 R350 R420 R500 R560 R640 R720 CuSn8 R370 R450 R540 R600 R660 R740

CW450K

Dicke [mm] bzw. Lieferform

Rm [N=mm2 ]

Rp0,2 A5 [N=mm2 ] [%] min.

A10 [%] min.

0,1. . . 5 0,1. . . 5 0,1. . . 5

290. . . 390 390. . . 490 480. . . 570 540. . . 630 610. . .

190  210  420  490  540

50 13 5 3 –

40 11 4 – –

0,1. . . 5 0,1. . . 5 0,1. . . 5 0,1. . . 2 0,1. . . 2 0,1. . . 2

350. . . 420 420. . . 520 500. . . 590 560. . . 650 640. . . 730 720. . .

300  260  450  500  600  690

55 20 10 – – –

45 17 8 5 3 –

CW452K

CW453K 0,1. . . 5 0,1. . . 5 0,1. . . 5 0,1. . . 5 0,1. . . 2 0,1. . . 2

370. . . 450 450. . . 550 540. . . 630 600. . . 690 660. . . 740  740

300  280  460  530  620  700

60 23 15 7 – –

50 20 13 5 3 2

Hinweise auf Eigenschaften und Verwendung Bänder für Metallschläuche, Rohre, stromleitende Federn

Federn aller Art, besonders für die Elektroindustrie. Fenster-und Türdichtungen, Rohre und Hülsen für Federungskörper, Schlauchrohre und Federrohre für Druckmessgeräte, Membranen und Siebdrähte, Gongstäbe, Dämpferstäbe, Teile für chemische Industrie Gleitelemente, besonders für dünnwandige Gleitlagerbuchsen und Gleitleisten. Holländermesser; gegenüber CuSn6 erhöhte Abriebfestigkeit und Korrosionsbeständigkeit

31

a

Werkstoff- Dicke [mm] nummer bzw. Lieferform CC483K Sandguss Strang-/Schleudergussa Kokillenguss CC484K Sandguss Schleuderguss Strangguss CC482K Sandguss Schleuderguss Strangguss CC480K Sandguss Kokillenguss Strang-/Schleudergussa CC493K Sandguss Kokillenguss Strang-/Schleudergussa CC492K Sandguss Kokillenguss Strang-/Schleudergussa CC491K Sandguss Kokillenguss Strang-/Schleudergussa CC490K Sandguss Strang-/Schleudergussa

Rm [N/mm2 ] 260 300 270 280 300 300 240 280 280 250 270 280 230 230 260 230 230 270 200 220 250 180 220

Werte von Schleuderguss identisch mit Werten von Strangguss

CuSn3Zn8Pb5-C

CuSn5Zn5Pb5-C

CuSn7Zn2Pb3-C

CuSn7Zn4Pb7-C

CuSn10-C

CuSn12Pb2-C

CuSn12Ni2-C

CuSn12-C

Kurzzeichen

Tab. 31.17 Guss-Zinnbronze und Rotguss nach EN 1982 Rp0,2 [N/mm2 ] 140 150 150 160 180 180 130 150 150 130 160 170 120 120 120 130 130 130 90 110 110 85 100

A5 [%] min. 7 5–6 5 12 8 10 5 5 5 18 10 10 15 12 12 14 12 12 13 6 13 15 12

HB min. 80 90 80 85 95 95 80 90 90 70 80 80 60 60 70 65 70 70 60 65 65 60 70

für dünnwandige Armaturen bis 225 °C. Gut gießbar, Gebrauchswässer auch bei erhöhter Temperatur

Wasser- und Dampfarmaturen bis 225 °C, dünnwandige verwickelte Gussstücke. Gut gießbar, weich lötbar, bedingt hart lötbar, meerwasserbeständig

Armaturen, Pumpengehäuse, druckdichte Gussstücke. Gut gießbar, meerwasserbeständig

Achslagerschalen, Gleitlager, Kolbenbolzen-Buchsen, Friktionsringe, Gleit- und Stell-Leisten. Mittelharter Gleitlagerwerkstoff, meerwasserbeständig

Armaturen, Pumpengehäuse, Leit- und Schaufelräder. Hohe Dehnung, korrosions- und meerwasserbeständig

Gleitlager mit hohen Lastspitzen, Kolbenbolzenbuchsen, Spindelmuttern. Gute Notlaufeigenschaften und Verschleißfestigkeit. Korrosions- und meerwasserbeständig

wie Werkstoffnr. CC483K jedoch für höhere Festigkeit, Verschleißfestigkeit und bessere Notlaufeigenschaften. Korrosions- und meerwasserbeständig; widerstandsfähig gegen Kavitationsbeanspruchung

Kuppelsteine, Spindelmuttern, Schnecken und Schraubenräder, hochbelastete Stell- und Gleitleisten. Gute Verschleißfestigkeit; korrosions- und meerwasserbeständig

Hinweise auf Eigenschaften und Verwendung

610 M. Oechsner et al.

31

Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

611

Tab. 31.18 Kupfer-Blei-Zinn-Gusslegierungen nach EN 1982 Kurzzeichen

CuSn10Pb10-C Sandguss Kokillenguss Strang-/ Schleudergussa CuSn7Pbl5-C Sandguss Strang-/ Schleudergussa CuSn5Pb20-C Sandguss Strang-/ Schleudergussa a

Werkstoff- Rp0,2 nummer [N/mm2 ] min. CC495K 80 110 110

Rm A5 [N/mm2 ] [%] min. min.

HB min.

180 220 220

8 3 6–8

60 65 70

80 90

170 200

8 7–8

60 65

70 90

150 180

5 6–7

45 50

CC496K

CC497K

Eigenschaften und Verwendung

Gleitlager mit hohen Flächendrücken, Verbundlager in Verbrennungsmotoren .Pmax D 10 000 N=cm2 /

Lager mit hohen Flächendrücken .Pmax D 5000 N=cm2 / Verbundlager für Verbrennungsmotoren .Pmax D 7000 N=cm2 / Gleitlager für hohe Gleitgeschwindigkeiten; beständig gegen Schwefelsäure; Verbundlager, Armaturen

Werte von Schleuderguss identisch mit Werten von Strangguss

31

a

680 750 750

600 650 650

500 600 550

500 600 550

320 380 380

250 280 280

180 250 220

180 250 200

5 5 5

13 7 13

18 20 20

18 20 15–18

Rm Rp0,2 A5 [N/mm2 ] [N/mm2 ] [%] min. min. min.

Teile höchster Festigkeit, Lager, Ventile

Kondensatorböden, Steuerteile für Hydraulik

Kondensatorböden, Bleche; kaltumformbar

hohe Festigkeit auch bei erhöhten Temperaturen; hohe Dauerwechselfestigkeit, auch bei Korrosionsbeanspruchung; gute Korrosionsbeständigkeit gegenüber neutralen und sauren wässrigen Medien sowie Meerwasser; gute Beständigkeit gegen Verzundern, Erosion und Kavitation

Eigenschaften und Verwendung

170 185 185

140 150 150

100 130 120

100 130 130

wie vorher, jedoch für erhöhte Anforderungen an Kavitations- u./oder Verschleißfestigkeit; Turbinen- und Pumpenlaufräder

Hochbeanspruchte Teile, Schiffspropeller, Stevenrohre, Umkehrböden, Laufräder, Pumpengehäuse; gute Dauerschwingfestigkeit

Armaturen, Verstellpropeller, Steventeile, Beizkörbe; sehr gut schweißbar; beständig gegen Meerwasser u. nichtoxid. Säuren

Hebel, Gehäuse, Beschläge, Ritzel, Kegelräder, nur geringe Temperaturabhängigkeit zwischen 200 und +200 °C

HB Mittel- Eigenschaften und Verwendung wert

Rm Rp0,2 A5 HB ungefährer [N/mm2 ] [N/mm2 ] [%] Mittelwert min. min. min. ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 480 210 30 110 ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 680 320 10 190 740 400 8 min. 200 ohne vorgeschriebene Festigkeitswerte 740 420 5 210 830 550 – min. 240

Werte von Schleuderguss identisch mit Werten von Strangguss

CC334G

CC333G

CC332G

CC331G

CuAl10Fe2-C Sandguss Kokillenguss Strang-/Schleudergussa CuAl10Ni3Fe2-C Sandguss Kokillenguss Strang-/Schleudergussa CuAl10Fe5Ni5-C Sandguss Kokillenguss Strang-/Schleudergussa CuAl11Fe6Ni6-C Sandguss Kokillenguss Schleuderguss

CW308G

CW307G

CW303G

Werkstoffnummer

Werkstoffnummer

R740 R830

R680 R740

R480

Festigkeit

Kurzzeichen

CuAl11Fe6Ni6

CuAl10Ni5Fe4

CuAl8Fe3

Kurzzeichen

Tab. 31.19 Kupfer-Aluminium-Legierungen nach EN 1652, EN 12 163, EN 1982

612 M. Oechsner et al.

EN AW-2024

EN AW-3003

EN AW-5005

EN AW-5049

EN AW-5052

EN AW-5086

2024

3003

5005

5049

5052

5086

EN AW-AlMg4

EN AW-AlMg2,5

EN AW-AlMg2Mn0,8

EN AW-AlMg1(B)

EN AW-AlMn1Cu

EN AW-AlCu4Mg1

EN AW-1050A EN AW-Al99,5

1050A

Int. Reg. Bezeichnung nach DIN EN 573-3 Record numerisch chemische Symbole O H12/H22 H14/H24 H18/H28 O T3/T351 T4 T8/T851 O H12/H22 H14/H24 H18/H28 O H12/H22 H14/H24 H18/H28 O H12/H22 H14/H24 H18/H28 O H12/H22 H14/H24 H18/H28 O H12/H22 H14/H24 H18

Zustand (DIN EN 515)

typische Wertea Rp0,2 Rm [MPa] [MPa] 35 80 85 100 105 115 140 150 75 185 340 475 330 460 450 485 50 110 120 140 145 160 185 205 45 120 125 140 145 160 185 200 95 215 185 245 215 265 275 315 90 195 175 225 200 250 250 290 115 275 220 305 250 330 305 360 A50 [%] 38 12d 9 5 20 18 20 6 25 11 9 6 26 13 12 7 24d 10d 7d 4d 24 14 12 8 23 15 13 8

Mindestwerteb Rp0,2 Rm [MPa] [MPa] 20 65 65/50 85 85/75 105 120/110 135/140 < 140 < 220 290 435 275 425 400 460 35 95 90/80 120 125/115 145 170/160 190 35 100 95/80 125 120/110 145 165/160 185 80 190 170/130 220 190/160 240 250/230 290 65 170 160/130 210 180/150 230 240/210 270 100 240 200/185 275 240/220 300 290 345

Tab. 31.20 Mechanische Eigenschaften von gewalzten Aluminiumknetwerkstoffen (Auswahl)

A50 [%] 20 5/6 4/5 2/3 12 14 14 6 15 5/8 3/5 2 15 4/6 3/5 2/3 12 6/10 4/7 2/4 12 6/7 4/6 2/4 13 5/7 3/6 1 20 30/27 34/33 42/41 55 123 120 138 28 38/37 46/45 60/59 29 39/38 48/47 58 52 66/63 72/70 88/87 47 63/61 69/67 83/81 65 81/80 90/88 104

HBW 69 000 69 000 69 000 69 000 73 000 73 000 73 000 73 000 69 500 69 500 69 500 69 500 69 500 69 500 69 500 69 500 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 71 000 71 000 71 000 71 000

E-Modul [MPa] – – – – – 130 130 140 – – – – – – – – 35 65 70 85 50 65 70 80 70 85 90 105

W, zd c [MPa] B B B B E E E E B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

B B B B E E E E B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

Schweiß- Korros. bestänbarkeitf MIG/WIG digkeite f

31 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe 613

31

EN AW-5754

EN AW-6016

EN AW-6061

EN AW-6082

EN AW-6181A EN AW-AlSi1Mg0,8(A)

EN AW-7075

5754

6016

6061

6082

6181A

7075

EN AW-AlZn5,5MgCu

EN AW-AlSi1MgMn

EN AW-AlMg1SiCu

EN AW-AlSi1,2Mg0,4

EN AW-AlMg3

typische Wertea Rp0,2 Rm [MPa] [MPa] 140 280 110 235 205 265 235 290 100 215 185 245 215 270 270 315 100 210 220 280 55 125 140 235 270 310 60 130 180 270 280 340 125 235 250 300 105 225 495 570 450 515 A50 [%] 28d 24 14 12 24 14 12 8 25d 13 26 21 12 26 20 11 23 10 17 8 8 < 145 470 425

< 275 540 500

Mindestwerteb Rp0,2 Rm [MPa] [MPa] 110 255 85 215 190/180 250 220/200 270 80 190 170/130 220 190/160 240 250/230 290 140/80 250/170 260/180 300/260 < 85 < 150 110 205 240 290 < 85 < 150 110 205 240 310

10 7 7

A50 [%] 13 12 5/7 3/6 16 6/10 4/7 2/4 24 10 16 14 7 16 14 7

55 161 149

69 58 75/74 81/80 52 66/63 72/70 88/87 55 80 40 58 88 40 58 94

HBW 71 000 70 500 70 500 70 500 70 500 70 500 70 500 70 500 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 72 000 72 000 72 000

E-Modul [MPa]

b

Typische Werte für übliche Dicken. Quelle: F. Ostermann, in „Anwendungstechnologie Aluminium“, Springer 2014, S. 762ff. Mindestwerte nach DIN EN 485-2. Gültig für übliche Materialdicken bis ca. 3 mm; Werte bei größeren Dicken siehe Norm. c Wechselfestigkeit, Quelle: FKM Richtlinie W, zd 0,30  Rm d Bruchdehnung A5 e allgemeine Korrosionsbeständigkeit f Wertungskriterien der Eigenschaften A = ausgezeichnet; B = sehr gut; C = gut; D = annehmbar; E = nicht empfehlenswert; F = ungeeignet.

a

O O H12/H22 H14/H24 O H12/H22 H14/H24 H18/H28 T4 T6 O T4 T6 O T4 T6 T4 T6 O T6 T76

EN AW-5182 EN AW-5454

5182 5454

EN AW-AlMg4,5Mn0,4 EN AW-AlMg3Mn

Zustand (DIN EN 515)

Int. Reg. Bezeichnung nach DIN EN 573-3 Record numerisch chemische Symbole

Tab. 31.20 (Fortsetzung)

– 65 75 80 55 65 70 85 – – – – – – 60 95 – – – 160 140

W, zd c [MPa] B B B B B B B B B B B B B B B B B B E E E

B B B B B B B B C C C C C C C C C C E E E

Schweiß- Korros. bestänbarkeitf MIG/WIG digkeite f

614 M. Oechsner et al.

T6 T6 T6

Zustand (DIN EN 515)

typische Wertea Rp0,2 Rm [MPa] [MPa] 270 310 280 340 315 375 A50 [%] 12 11 14

Mindestwerteb Rp0,2 Rm A50 [MPa] [MPa] [%] 240 290 10 260 310 8 280 350 8 88 94 104

HB 70 000 70 000 71 500

E-Modul [MPa]

EN AW-6082 EN AW-7075

6082 7075

T6 H112 T6 T6

EN AW-AlCu4SiMg EN AW-AlMg4,5Mn0,7

EN AW-AlSi1MgMn EN AW-AlZn5,5MgCu

Zustand (DIN EN 515) L L T L L

Prüfrichtunga

280 495

340 570

typische Werteb Rp0,2 Rm [MPa] [MPa] 425 485 145 300

11 8

A50 [%] 12 20

Mindestwertec Rp0,2 Rm [MPa] [MPa] 390 450 115 270 110 260 240 295 460 530

b

L = Richtung parallel zur Faserrichtung; T = Richtung quer zur Faserrichtung Typische Werte für übliche Dicken. Quelle: F. Ostermann, in „Anwendungstechnologie Aluminium“, Springer 2014, S 762ff. c Mindestwerte nach DIN EN 586-2. Gültig für übliche Materialdicken bis ca. 50 mm; Werte bei größeren Dicken siehe Norm. d Wechselfestigkeit, Quelle: FKM Richtlinie. W;zd 0;30  Rm

a

EN AW-2014 EN AW-5083

2014 5083

Int. Reg. Bezeichnung nach DIN EN 573-3 Record numerisch chemische Symbole

Tab. 31.22 Mechanische Eigenschaften von geschmiedeten Aluminiumknetwerkstoffen (Auswahl)

b

A50 [%] 5 10 10 8 5

typische Werte für übliche Dicken. Quelle: F. Ostermann in „Anwendungstechnologie Aluminium“, Springer 2014, S 762ff. Mindestwerte nach DIN EN 485-2. Gültig für übliche Materialdicken bis ca. 5 mm; Werte bei größeren Dicken siehe Norm. c Wechselfestigkeit, Quelle: FKM Richtlinie W, zd 0,30  Rm d Bruchdehnung A5 e allgemeine Korrosionsbeständigkeit f Wertungskriterien der Eigenschaften A = ausgezeichnet; B = sehr gut; C = gut; D = annehmbar; E = nicht empfehlenswert; F = ungeeignet.

a

EN AW-6061 EN AW-6082 EN AW-7020

6061 6082 7020

EN AW-AlMg1SiCu EN AW-AlSi1MgMn EN AW-AlZn4,5Mg1

Bezeichnung nach DIN EN 573-3 numerisch chemische Symbole

Int. Reg. Record

Tab. 31.21 Mechanische Eigenschaften von stranggepressten Aluminiumknetwerkstoffen (Auswahl)

94 158

135 73

HB

80 95 105

W, zd c [MPa] B B B

73 000 70 300 71 000 70 000 72 000

E-Modul [MPa]

130 80 80 95 155

 W,zd d [MPa]

C C D

Schweiß- Korros. bestänbarkeitf MIG/WIG digkeite f

31 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe 615

31

616

M. Oechsner et al.

Tab. 31.23 Zustandsbezeichnungen für Aluminiumgussstücke nach DIN EN 1706 F O T1 T4 T5 T6 T64 T7

– Gusszustand (Herstellungszustand) – Weich geglüht – Kontrollierte Abkühlung nach dem Guss und kaltausgelagert – Lösungsgeglüht und kaltausgelagert (wo anwendbar) – Kontrollierte Abkühlung nach dem Guss und warm ausgelagert oder überaltert – Lösungsgeglüht und vollständig warmausgelagert – Lösungsgeglüht und nicht vollständig warmausgelagert – Lösungsgeglüht und überhärtet (stabilisierter Zustand)

Beispiel: DIN EN 1706 AC-42000KT6

AlCu4TiMg AlCu4TiMg AlCu4Ti

AlCu4Ti

AlSi7Mg0,3 AlSi7Mg0,3

AlSi10Mg(a) AlSi10Mg(a)

AlSi10Mg(Cu) AlSi10Mg(Cu) AlSi9Mg AlSi9Mg

AlSi10Mg(Fe) AlSi11 AlSi11 AlSi12(a) AlSi12(a) AlSi12(Fe) AlSi6Cu4 AlSi6Cu4 AlSi9Cu3(Fe) AlSi8Cu3 AlSi8Cu3

EN AC-21000S EN AC-21000K EN AC-21100S

EN AC-21100K

EN AC-42100S EN AC-42100K

EN AC-43000S EN AC-43000K

EN AC-43200S EN AC-43200K EN AC-43300S EN AC-43300K

EN AC-43400D EN AC-44000S EN AC-44000K EN AC-44200S EN AC-44200K EN AC-44300D EN AC-45000S EN AC-45000K EN AC-46000D EN AC-46200S EN AC-46200K

Bezeichnung nach DIN EN 1780/1-3 numerisch chemische Symbole

Mindestwertea nach DIN EN 1706 Zustand Rm Rp0,2 A50 HB [MPa] [MPa] [%] T4 300 200 5 90 T4 320 200 8 95 T6 300 200 3 95 T64 280 180 5 85 T6 330 220 7 95 T64 320 180 8 90 T6 230 190 2 75 T6 290 210 4 90 T64 250 180 8 80 T6 220 180 1 75 T6 260 220 1 90 T64 240 200 2 80 T6 220 180 1 75 T6 240 200 1 80 T6 230 190 2 75 T6 290 210 4 90 T64 250 180 6 80 F 240 140 1 70 F 150 70 6 45 F 170 80 7 45 F 150 70 5 50 F 170 80 6 55 F 240 130 1 60 F 150 90 1 60 F 170 100 1 75 F 240 140 27 200 > 24

31 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe 621

31

Mechanische Eigenschaften bei Raumtemperatur T D 20ı C Rm [MPa] bei T Rm [MPa] Rp0,2 [MPa] A5 [%] Rp0,2 [MPa] bei T 700 750 800 NiCr22FeMo 343 785 40 216 157 118 l D 5d 157 108 74 NiCr22Mo9Nb 363 853 59 343 226 137 245 167 98 NiCr20TiAl 736 1177 20 402 284 177 l D 5d 284 186 98 NiCr20MoNb 589 706 10 353 265 196 l D 3;5d 294 206 147 NiFe27Crl5MoWTi 1001 1403 – 432 314 206 334 226 147 NiCrl9Fel9NbMo 961–1187 1275–1432 30–21 520 324 206 373 206 –

Bezeichnung

Tab. 31.28 Nickellegierungen

850 88 49 84 59 108 78 147 108 137 93 – –

900 59 29 52 39 49 29 108 78 – – – –

950 38 24 – – – – 78 59 – – – –

1000 29 19 – – – – – – – – – –

1050 – – – – – – – – – – – –

× ×

× ×

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×

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Wärmebehandlung Lieferform Glühen Aus- keine Guss Stangen Bleche & ablagern schrecken

622 M. Oechsner et al.

31

Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

623

Tab. 31.29 Feinzink-Gusslegierungen nach DIN EN 1774 Kurzzeichen/ Bezeichnung ZP3/GD-ZnAl4 ZP5/GD-ZnAl4Cu1 ZL2/G-ZnAl4Cu3 ZL2/GK-ZnAl4Cu3 ZL6/G-ZnAl6Cu1 ZP6/GK-ZnAl6Cu1

Rp0,2 [N/mm2 ] 200. . . 230 220. . . 250 170. . . 200 200. . . 230 150. . . 180 170. . . 200

Rm [N/mm2 ] 250. . . 300 280. . . 350 220. . . 260 240. . . 280 180. . . 230 220. . . 260

A5 [%] 3–6 2–5 0,5–2 1–3 1–3 1,5–3

HB 30-10 70–90 85–105 90–100 100–110 80–90 80–90

Biegewechselfestigkeit bei N D 20  106 [N/mm2 ] 6. . . 8 7. . . 10 – – – –

Tab. 31.30 Blei und Bleilegierungen nach DIN EN 12 659 und DIN EN 17 640–1 Kurzzeichen Rm A5 HB 2,5/31,25 etwa [N/mm2 ] [%] GD-Pb95Sb 50 15 10 GD-Pb87Sb 60 10 14 GD-Pb85SbSn 70 8 18 GD-Pb80SbSn 74 8 18

Tab. 31.31 Zinn und Zinnlegierungen DIN EN 611–1 und DIN EN 611–2 Kurzzeichen Rm A5 [N/mm2 ] [%] GD-Sn80Sb 115 2,5 GD-Sn60SbPb 90 1,7 GD-Sn50SbPb 80 1,9

nach DIN EN 610, HB 2,5/31,25 30 28 26

31

624

M. Oechsner et al.

Tab. 31.32 Mechanische und physikalische Eigenschaften oxid- und nicht oxidkeramischer Werkstoffe (Anhaltswerte) Eigenschaft

Dichte Biegefestigkeit (4 Punkt) E-Modul Bruchwiderstand KIC Wärmeausdehnung Wärmeleitfähigkeit Schmelz- bzw. Zersetzungstemp. [°C] a b

Dimension Temperatur Oxidkeramische [°C] Werkstoffe Al2 O3 Al2 TiO5 g/cm3 20 3,85 3,2 N/mm2 20 300–500 40 1000 200–300 50 GN/mm2 20 300–400 18–20 MN/m3/2 20 3–5 – 106 /K 20. . . 1000 8,0 1,0 W/(mK) 20 28 2,0 1000 15 1,5 2050

ZrO2 a 5,95 600–900 (1500)b 400 200 5–16 10 2,5 1,8 2680

Nichtoxidkeramische Werkstoffe SSiC SiSiC SSN 3,15 3,05 3,25 410 380 750 400 350 450 410 350 280 3,3 3,3 7,0 4,7 4,5 3,2 110 140 35 45 50 17 2300 1900

PSZ, TZP Spitzenwerte

Tab. 31.33 Anwendungen von Hochleistungskeramik Einsatzgebiete Allgemeiner Maschinenbau Motorenbau

Bauteile Gleitringe, Dichtscheiben, Wälzkörper, Hülsen, Führungselemente, Plunger und Kolben, Kugellager Turboladerrotoren

Turbinenbau

Ventile Portliner Katalysatorträger Abgassensoren Zündkerzenisolatoren Wärmedämmschichten

Verfahrenstechnik, Fertigungstechnik

Düsen und Führungen für Drahtzug Schneidwerkzeuge

Strahldüsen

Schleifscheiben Fadenführer Messerklingen Druckwalzen Panzerungen Hochtemperaturtechnik Brenner, Schweißdüsen Tiegel, Auskleidungen Medizintechnik Implantate (Hüftgelenke, Dentalbereich)

Werkstoffe Aluminiumoxid, Al2 O3 teilstabilisiertes Zirkondioxid, ZrO2 Siliziumnitrid, Si3 N4 Siliziumkarbid, SiC Siliziumnitrid Aluminiumtitanat, Al2 TiO5 Zirkondioxid Aluminiumoxid teilstabilisiertes (Y2 O3 , CeO) Zirkondioxid Aluminiumoxid Zirkondioxid Aluminiumoxid Siliziumnitrid kubisches Bornitrid, CBN polykrist. Diamant, PKD Siliziumkarbid Borkarbid, B4 C Aluminiumoxid Aluminiumoxid Silziumkarbid Aluminiumoxid Aluminiumoxid Zirkondioxid Zirkondioxidschichten Aluminiumoxid Aluminiumoxid Aluminiumoxid

31

Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

Literatur Spezielle Literatur 1. Mitteilungen der Thyssen-Krupp AG, Duisburg 2. Schaeffler, A.L.: Selection of austenitic electrodes for welding dissimilar metals. Weld J (AWS) 26(10), 601– 620 (1947) 3. Materials and processing databook. Metal Progr. 122, Mid-June, Nr. 1, S. 46 (1982); 124, Mid-June, Nr. 1, S. 60 (1983); 126, Nr. 1, S. 82 (1984) 4. Nelson, G.A.: Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs. 73, S. 205/19 (1959); Werkst. u. Korrosion 14, S. 65/69 (1963). American Petroleum Institut (API), Division of Refining, Publication 941. Washington (1983) 5. Verein Deutscher Eisenhüttenleute (Hrsg.): Anwendung. Werkstoffkunde Stahl, Bd. 2. Springer, Berlin (1985)

Weiterführende Literatur Aluminium Taschenbuch. Bd. 1: Grundlagen und Werkstoffe, 16. Aufl. Aluminium-Verlag, Düsseldorf (2002) Aluminium Taschenbuch. Bd. 2: Umformen, Gießen, Oberflächenbehandlung, Recycling und Ökologie, 15. Aufl. Aluminium-Verlag, Düsseldorf (1996) Aluminium Taschenbuch. Bd. 3: Weiterverarbeitung und Anwendung, 16. Aufl. Aluminium-Verlag, Düsseldorf (2003) Bürgel, R.: Handbuch der Hochtemperatur-Werkstofftechnik. Vieweg, Wiesbaden (1998) Dettner, H.W.: Lexikon für Metalloberflächenveredelung. Leuze, Saulgau (1989) Eckstein, H.J.: Technologie der Wärmebehandlung von Stahl. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig (1987) Gräfen, H. (Hrsg.): Lexikon Werkstofftechnik. Springer, Berlin (2005) Grübl, P.: Beton, Arten, Herstellung und Eigenschaften, 2. Aufl. Ernst & Sohn, Berlin (2001) Kollmann, F.: Technologie des Holzes und der Holzwerkstoffe. Springer, Berlin (1982) Ostermann, F.: Anwendungstechnologie Aluminium. Springer, Berlin (1998) Roesch, K., Zeuner, H., Zimmermann, K.: Stahlguss. Verlag Stahleisen, Düsseldorf (1982)

625 Scholze, H., Salmang, H.: Keramik. Springer, Berlin (1982) Tietz, H.D. (Hrsg.): Technische Keramik. VDI-Verlag, Düsseldorf (1994) Werkstoffkunde Stahl. Bd. 2: Anwendung. Springer, Berlin (1985) DKI-Informationsdrucke, Deutsches Kupferinstitut, Düsseldorf. www.kupferinstitut.de – Kupfer – Vorkommen, Gewinnung, Eigenschaften, Verarbeitung, Verwendung, Nr. i. 4. – Kupfer-Zink-Legierungen – Messing und Sondermessing, Nr. i. 5. – Kupfer-ZinnKnetlegierungen (Zinnbronzen), Nr. i. 15. – KupferZinn- und Kupfer-Zinn-Zink-Gusslegierungen (Zinnbronzen), Nr. i. 25. – Kupfer-Nickel-Zink-Legierungen – Neusilber, Nr. i. 13. – Kupfer-Aluminium-Legierungen – Eigenschaften, Herstellung, Verarbeitung, Verwendung, Nr. i. 6. Kupfer-Nickel-Legierungen – Eigenschaften, Bearbeitung, Anwendung, Nr. i. 14. – Niedriglegierte Kupferwerkstoffe – Eigenschaften, Verarbeitung, Verwendung, Nr. i. 8 Ostermann, F.: Anwendungstechnologie Aluminium, Springer, Berlin 2007 GDA (Hrg.): Der Werkstoff Aluminium. Techn. Merkbl. W1, 6. Aufl., GDA Gesamtverband der Aluminiumindustrie, Düsseldorf, 2004. Aluminium-Taschenbuch, Bd. 1: Grundlagen und Werkstoffe, 16. Aufl., Aluminium-Verlag, Düsseldorf, 2009 – AluminiumTaschenbuch, Bd. 2: Umformen, Gießen, Oberflächenbehandlung, Recycling und Ökologie, 16. Aufl., Aluminium-Verlag, Düsseldorf, 2009 – AluminiumTaschenbuch, Bd. 3: Weiterverarbeitung und Anwendung, 16. Aufl., Aluminium-Verlag, Düsseldorf, 2003 – Aluminium-Werkstoff-Datenblätter, 5. Aufl., Aluminium-Verlag, Düsseldorf, 2007 – Aluminium Schlüssel, 8. Aufl., Aluminium-Verlag, Düsseldorf, 2008 FKM Richtlinie Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Bauteile aus Aluminium. Forschungsheft 241. Forschungskuratorium Maschinenbau e. V. (FKM), Frankfurt, 1999. Kammer, C. et al.: Magnesiumtaschenbuch, Aluminium-Verlag, Aluminium-Zentrale Düsseldorf, 2000. – ASM Specialty Handbook: Magnesium and Magnsium Alloys, ASM International, Materials Park Ohio, 1999.

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32

Kunststoffe Michael Kübler, Andreas Müller und Helmut Schürmann

32.1 Einführung Kunststoffe sind organische, hochmolekulare Werkstoffe, die überwiegend synthetisch hergestellt werden. Sie werden als Polymere (deshalb auch Polymerwerkstoffe genannt) aus Monomeren hergestellt durch Polymerisation, Polykondensation oder Polyaddition. Monomere sind Substanzen, die Kohlenstoff C, Wasserstoff H, Sauerstoff O sowie Stickstoff N, Chlor Cl, Schwefel S und Fluor F enthalten. Je nach Art der entstehenden Polymere unterscheidet sich dann das Verhalten: Lineare Polymere sind Thermoplaste; vernetzte Polymere sind Duroplaste und mehr oder weniger weitmaschig vernetzte Polymere sind elastische Kunststoffe, auch Elastomere genannt. Biopolymere werden teilweise oder vollständig aus nachwachsenden Rohstoffen hergestellt. Kunststoffe die biologisch abbaubar sind, werden häufig ebenfalls als Biopolymere bezeichnet, unabhänig davon ob diese aus petrochemischen oder nachwachsenden Rohstoffen hergestellt wurden. Variationsmöglichkeiten bei der Herstellung der Kunststoffe ergeben eine große Vielfalt: M. Kübler Untergruppenbach, Deutschland A. Müller () Nordheim, Deutschland H. Schürmann Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected]

Kunststoffe sind Werkstoffe nach Maß. Bei Homopolymerisaten beeinflusst die Kettenlänge (Polymerisationsgrad) die Eigenschaften. Weitere Änderungen sind möglich durch Copolymerisation oder der Herstellung von Polymermischungen (Blends, Alloys, Polymerlegierungen). Durch die Vielfalt bei der Herstellung bringen Kunststoffe zum Teil völlig neue Eigenschaften mit, die die Verwirklichung bestimmter technischer Probleme erst ermöglichen wie beispielsweise: Schnappverbindungen, Filmscharniere, Gleitelemente, Strukturschäume, schmierungsfreie Lager und die integrale Fertigung sehr komplizierter Formteile. Normung und Kennzeichnung von Kunststoffen: In DIN EN ISO 1043-1 sind Kennbuchstaben und Kurzzeichen für Basispolymere und Rezyklate (REC) und ihre besonderen Eigenschaften festgelegt; in DIN EN ISO 1043-2 und DIN 55625-4 erfolgen Angaben über Füll- und Verstärkungsstoffe. In DIN EN ISO 1043-3 werden Angaben zu Weichmachern und DIN EN ISO 1043-4 zu Flammschutzmitteln gemacht. Thermoplast-Formmassen werden nach ISO bzw. DIN EN ISO (z. T. auch noch nach DIN) gekennzeichnet; es handelt sich um ein einheitliches Ordnungssystem, das eine Beschreibung der Formmassen erlaubt. Verwendet wird dabei ein Blocksystem mit bis zu 5 Merkmaldatenblöcken, die Angaben enthalten über den chemischen Aufbau mit Kurzzeichen, ggf. das Polymerisationsverfahren, Verarbeitungsmöglichkeiten und Zusätze, (verschlüsselte) qualitative Eigenschafts-

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_32

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werte (z. B. Dichte, Viskositätszahl, Elastizitätsmodul, Festigkeitskennwerte usw.), Angaben über Art, Form und Menge von Füll- und Verstärkungsstoffen. Duroplast-Formmassen werden gekennzeichnet nach DIN EN ISO 14526 (PF), DIN EN ISO 14527 (UF), DIN EN ISO 14528 (MF), DIN EN ISO 14529 (MP), DIN EN ISO 14530 (UP), DIN EN ISO 15252 (EP). Kautschuke und Latices werden nach DIN ISO 1629 gekennzeichnet, thermoplastische Elastomere nach DIN EN ISO 18064. Formmassen sind ungeformte Ausgangsprodukte, die in technischen Verarbeitungsverfahren (s. Abschn. 32.10) zu Formstoffen (Halbzeuge, Formteile) verarbeitet werden.

32.2 Aufbau und Verhalten von Kunststoffen Thermoplaste bestehen im Allgemeinen aus linearen Makromolekülen mit bis zu 106 Atomen bei einer Länge von ca. 106 bis 103 mm. Die generellen Eigenschaften (mechanisch, rheologisch, thermisch, etc.) sind abhängig vom chemischen Aufbau der Makromoleküle, deren Molmasse sowie der Art der sich ausbildenden intermolekularen Kräfte (Dipolbindungen, Wasserstoffbrückenbindungen, Dispersionskräfte, etc.). Innerhalb der Gruppe der Thermoplaste wird in amorphe und teilkristalline Polymere unterschieden. Im erstarrten Zustand liegt bei amorphen Thermoplasten eine regellose Anordnung der linearen Makromoleküle vor. Im Vergleich hierzu bilden sich während des Erstarrens von teilkristallinen Thermoplasten durch zwischenmolekulare Kräfte örtlich begrenzte, geordnete Bereiche der linearen Makromoleküle (sogenannte „Faltungskristalle“). Teilweise ordnen sich diese geordneten Bereiche wiederum zu größeren Überstrukturen (sogenannte „Sphärolithe“) an. Das Verhältnis von geordneten Bereichen zu ungeordneten Bereichen eines erstarrten teilkristallinen thermoplastischen Kunststoffs wird als Kristallisationsgrad bezeichnet. Der erreichbare Kristallisationsgrad hängt von der Art des

M. Kübler et al.

teilkristallinen Thermoplasts und den Verarbeitungsbedingungen (insbesondere der Abkühlgeschwindigkeit) ab. Durch Verarbeitungsprozesse wie Extrudieren, Spritzgießen oder ein gezieltes mechanisches Verstrecken können die linearen Makromoleküle ausgerichtet werden, was zu einer Anisotropie der mechanischen Eigenschaften führt. In der Gruppe der chemisch quervernetzenden Polymere wird zwischen Elastomeren und Duroplasten unterschieden. Gegenüber Thermoplasten lassen sich diese nach der Formgebung und Vernetzung nur noch spanend bearbeiten. Ein erneutes Um-/Urformen oder Schweißen ist daher nicht möglich. Bei Elastomeren ist die Anzahl der Vernetzungspunkte maßgebend für das elastische Verhalten: „Weichelastisch“ bei wenigen Vernetzungspunkten, „hartelastisch“ mit vielen Vernetzungspunkten. Im Vergleich hierzu ist die Anzahl der Vernetzungspunkten von Duroplasten nochmals um ein vielfaches höher, was zu einem sehr steifen, in der Regel eher spröden mechanischen Verhalten führt. Abb. 32.1 zeigt die Zustandsbereiche von Kunststoffen und die Verarbeitungsmöglichkeiten. Bei amorphen Thermoplasten liegt die obe-

Abb. 32.1 Zustandsbereiche für Kunststoffe (schematisch). a Amorphe Thermoplaste; b teilkristalline Thermoplaste; c Duroplaste; T g Glasübergangstemperatur, T m Kristallitschmelztemperatur, ZT Zersetzungstemperatur

32 Kunststoffe

re Gebrauchstemperatur unterhalb T g (Glasübergangstemperatur). Bei teilkristallinen Thermoplasten liegt die obere Gebrauchstemperatur unterhalb T m (Kristallitschmelztemperatur), T g kann in Abhängigkeit der Art des teilkristallinen Thermoplasts unter oder innerhalb der Gebrauchstemperaturgrenzen liegen.

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anzutreffen. Vereinzelt werden auch Verstärkungsstoffe aus den Bereichen Kohlenstoff-, Aramid- und Naturfasern eingesetzt. Füllstoffe wie Holz- und Gesteinsmehle (beispielsweise Talkum), Glaskugeln werden aus verschiedenen Gründen wie beispielsweise der Minimierung der Verzugsneigung eingesetzt. Tab. 32.3 gibt für wichtige Kunststoffgruppen Anhaltswerte über Eigenschaften.

32.3 Eigenschaften Durch den molekularen Aufbau ergeben sich bei Kunststoffen gegenüber Metallen mit atomarem Aufbau andere Eigenschaften: geringere Festigkeit, geringere Steifigkeit, ausgeprägte Zeitabhängigkeit der mechanischen Eigenschaften (statisch: Kriechen und Relaxation, dynamisch: Dehnratenabhängigkeit), starke Temperaturabhängigkeit der mechanischen Eigenschaften in vergleichsweise kleinem Temperaturbereich, sowie hohe Wärmeausdehnung und geringere Wärmeleitfähigkeit. Günstig sind gute elektrische Isoliereigenschaften, teilweise gute Medienbeständigkeit, teilweise physiologische Unbedenklichkeit und zum Teil ausgezeichnete Gleiteigenschaften, auch ohne Schmierung. Die Eigenschaften von Kunststoffen und insbesondere von Thermoplasten können auf vielfältige Weise beeinflusst werden. Bereits bei der Herstellung der Basispolymere im Polymerisationprozess können durch gezielte Kombination von Monomeren sogenannte Copolymerisate erzeugt werden. Weiterhin kann durch eine physikalische Mischung des Basispolymers mit verschiedenen Additiven und/oder Füll- und Verstärkungsstoffen eine zusätzliche Anpassung der Materialeigenschaften erfolgen. Im Bereich der technischen Thermoplaste erfolgt dieser Schritt vorzugsweise mithilfe von Mehrschneckenextrudern im sogenannten Compoundierprozess. Demzufolge werden Thermoplastformmassen auch als Compounds bezeichnet. Häufig zum Einsatz kommende Additive sind beispielsweise Entformhilfsmittel, Farbstoffe, Wärme- und Hitzestabilisatoren, Flammschutzmittel und UV-Stabilisatoren. Bei den Verstärkungsstoffen sind im Bereich der Thermoplastcompounds Kurzglasfasern am häufigsten

32.4 Wichtige Thermoplaste Formmassen werden nach (DIN EN) ISO gekennzeichnet. Neben den nachstehend aufgeführten „Grundkunststoffen“ gibt es eine Vielzahl von Modifikationen (Blends, Copolymerisate) mit gezielt einstellbarem Eigenschaftsbild. Polyamide PA nach DIN EN ISO 16396 (Akulon, Bergamid, Durethan, Grilamid, Grilon, Minlon, Rilsan, Stanyl, Technyl, Ultramid, Vestamid, Zytel). Eingesetzt werden meist die teilkristallinen PA46, PA6, PA66, PA610, PA11, PA12 und amorphes PA NDT/INDT. Starke Neigung zu Wasseraufnahme und damit Beeinflussung der Eigenschaften; mit zunehmendem Wassergehalt nehmen Zähigkeit zu und Festigkeit ab. Polyamide sind verstreckbar. Wasseraufnahme abnehmend von PA6 bis PA12. Elektrische Isoliereigenschaften abhängig von Feuchtegehalt. Einsatztemperaturen von 40 bis 120 °C (hitzestabilisierte Typen bis 220 °C). Beständig gegen viele Lösemittel, Kraftstoffe und Öle. Nicht beständig gegen Säuren und Laugen. Formteile als Konstruktionsteile bei Anforderungen an Festigkeit, Zähigkeit und Gleiteigenschaften z. B. Motoranbauteilen (Ansaugmodule, Ölwannen, . . . ), Strukturbauteile (KFZ-Frontends, . . . ), Lüfterräder, Dübel, Führungen. Halbzeuge als Tafeln, Rohre, Profile, Stangen, Folien und Filamente (Seile und Taue, Kleidung, . . . ). Polyacetalharze POM nach DIN EN ISO 29988 (Delrin, Hostaform, Tenac, Ultraform). Teilkristalline Kunststoffe mit weißlicher Eigenfarbe. Praktisch keine Wasseraufnahme. Günstige

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M. Kübler et al.

Steifigkeit und Festigkeit bei ausreichender Zähigkeit und guten „Federungseigenschaften“. Sehr günstiges Gleit- und Verschleißverhalten. Gute elektrische Isoliereigenschaften. Einsatztemperaturen von 40 bis 100 °C. Sehr gute Chemikalienbeständigkeit.

guter Zähigkeit. Sehr gute elektrische Isoliereigenschaften. Einsatztemperaturen von 100 bis 130 °C (PC-HT bis 200 °C). Beständig gegen Fette und Öle; nicht beständig gegen Benzol und Laugen. Spannungsrissempfindlich bei bestimmten Lösemitteln. Auf der Basis von PC werden eine Vielzahl von Blends hergestellt, z. B. Formteile als Konstruktionsteile mit hohen PC+ABS, PC+ASA, PC+PBT. Anforderungen an Maßgenauigkeit, Festigkeit, Steifigkeit sowie gutem Federungs- und Formteile vor allem in der Elektrotechnik als Gleitverhalten z. B. als Gleitlager, Zahnräder, Abdeckungen für Leuchten, Sicherungskästen, Transportketten, Lagerbuchsen, Steuerscheiben, Spulenkörper, Steckverbinder, optische DatenträSchnapp- und Federelemente, Gehäuse, Pumpen- ger. Gehäuse für feinwerktechnische und optiteile, Scharniere, Beschläge, Griffe. Halbzeuge sche Geräte, Geschirr, Schutzhelme und -schilde, Sicherheitsverglasungen, Helmvisiere. Halbzeuals Tafeln, Profile, Stangen, Rohre. ge als Rohre, Profile, Stangen, Tafeln, Folien. Thermoplastische Polyester TP (Polyalkylenterephthalate PET/PBT/PEN) nach DIN EN ISO 20028 (Arnite, Crastin, Pocan, Rynite, Ultradur, Valox, Vandar, Vestodur). Teilkristalline Thermoplaste mit unterschiedlicher Kristallinität (PET zum Teil transparent, PBT milchigweiß). Günstige mechanische Eigenschaften, auch bei tiefen und hohen Temperaturen bis 180 °C. Günstiges Langzeitverhalten und geringer Abrieb bei guten Gleiteigenschaften. Sehr geringe Feuchteaufnahme. Kleine Wärmedehnung. Sehr gute elektrische Isoliereigenschaften. Nicht beständig gegen Aceton sowie starke Säuren und Laugen. Unmodifiziert nicht beständig gegen heißes Wasser und Dampf (hydrolytischer Abbau). Insbesondere PBT Formmassen werden zunehmend hydrolysestabilisiert angeboten und eignen sich für Anwendungen unter feucht warmen Bedingungen. Formteile als Konstruktionsteile mit hoher Maßhaltigkeit bei guten Lauf- und Gleiteigenschaften in der Elektrotechnik, Maschinenbau, Fahrzeugbau (Steckergehäuse, Verzahnungselemente, Gehäuse). Halbzeuge als Tafeln, Profile, Rohre, Folien (Kondensatoren, Isolierfolien), Filamente (Kleidung, Teppiche, Seile). Polycarbonat PC nach DIN EN ISO 21305 (Apec, Lexan, Makrolon, Xantar). Amorphe, glasklare Thermoplaste mit hoher Festigkeit und

Modifizierte Polyphenylether PPE nach DIN EN ISO 20557 (Luranyl, Noryl, Vestoran) meist mit PS oder PA modifizierte amorphe Thermoplaste mit beiger Eigenfarbe. Sehr geringe Wasseraufnahme. Hohe Festigkeit und Steifigkeit bei guter Schlagzähigkeit. Geringe Kriechneigung und gute Temperaturbeanspruchbarkeit bis 120 °C. Sehr gute elektrische Isoliereigenschaften, fast unabhängig von der Frequenz. Nicht beständig gegen aromatische, polare und chlorhaltige Kohlenwasserstoffe. Formteile als Gehäuse in der Elektronik und Elektrotechnik bei höherer thermischer Beanspruchung; Steckverbinder, Präzisionsteile der Büromaschinen- und Feinwerktechnik. Halbzeuge als Profile, Rohre, Stangen, Tafeln. Polyacrylate PMMA nach DIN EN ISO 8257 (Altuglas, Lucite, Plexiglas, Paraglas), MABS nach DIN EN ISO 19066. Amorphe Thermoplaste, glasklar mit sehr guten optischen Eigenschaften („organisches Glas“). Hart und spröde bei hoher Festigkeit. Gute elektrische Isoliereigenschaften. Einsatztemperaturen bis 70 °C. Gut licht-, alterungs- und witterungsbeständig; nicht beständig gegen konz. Säuren, halogenierte Kohlenwasserstoffe, Benzol, Spiritus. Gut klebbar. Als niedermolekulare Typen thermoplastisch verarbeitbar, als hochmolekulare Typen nur als Halbzeug lieferbar.

32 Kunststoffe

Formteile vor allem für optische Anwendungen wie z. B. Brillen, Lupen, Linsen, Prismen, Rückleuchten; Verglasungen, Schaugläser, Lichtbänder. Haushaltsgeräte; Schreib- und Zeichengeräte. Dachverglasungen, Werbe- und Hinweisschilder; Badewannen, Sanitärgegenstände. Halbzeuge als Blöcke, Tafeln, Profile, Rohre, Lichtleitfasern.

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Formteile mit hoher Steifigkeit und Dimensionsstabilität, gegebenenfalls mit Durchsichtigkeit z. B. Skalenscheiben, Schaugläser, Gehäuseteile, Verpackungen, Warndreiecke. Acrylnitril-Butadien-Styrol-Polymerisate ABS nach DIN EN ISO 19062 (Cycolac, Lustran, Magnum, Novodur, Sinkral, Terluran). Amorphe, meist nicht mehr durchsichtige Thermoplaste als Polymerisatgemische oder Copolymerisate. Gute mechanische Festigkeitseigenschaften bei günstiger Schlagzähigkeit. Gute elektrische Isoliereigenschaften bei sehr geringer elektrostatischer Aufladung. Einsatztemperaturen von 45 bis 110 °C.

Polystyrol PS nach DIN EN ISO 1622 (Edistir, Empera, Styron, Styrolution). Amorphe, glasklare Thermoplaste. Steif, hart und sehr spröde. Sehr gute elektrische Isoliereigenschaften; starke elektrostatische Aufladung. Keine hohe Temperaturbeanspruchbarkeit. Neigung zu Spannungsrissbildung bereits an Luft. Geringe Beständigkeit Formteile besonders für Gehäuse aller Art in gegen organische Lösemittel. Haushalt, Fernseh- und Videotechnik, Büromaschinen. Möbelteile aller Art, Koffer, AbsätFormteile Glasklare Verpackungen, Haushaltge- ze, Schutzhelme; Sanitärinstallationsteile; Spielräte, Schubladeneinsätze, Ordnungskästen, Spu- zeugbausteine. Halbzeug in Form von Tafeln, vor lenkörper, Bauteile der Elektrotechnik, Einweg- allem zur Warmumformung, auch zu technischen geschirr und -besteck. Formteilen. Styrol-Butadien SB (PS-I) nach DIN EN ISO 2897 (Empera, K-Resin, Styrolux). Amorphe, meist aber nicht mehr durchsichtige Thermoplaste (Ausnahme z. B. Styrolux). Verbesserte Schlagzähigkeit. Gute elektrische Isoliereigenschaften, jedoch im Allgemeinen starke elektrostatische Aufladung. Einsatztemperaturen bis 75 °C.

Schlagzähe ASA-Polymerisate ASA (AES, ACS) nach DIN EN ISO 19065 (Centrex, Geloy, Luran S). Dieses sind amorphe Thermoplaste ähnlich wie ABS, jedoch bei erhöhter Temperatur- und Witterungsbeständigkeit, daher besonders eingesetzt für Außenanwendungen.

Celluloseabkömmlinge CA, CP und CAB (Cellidor, Tenite). Amorphe, durchsichtige Thermoplaste, die durch Veresterung von Cellulose Formteile bei erhöhter Schlagbeanspruchung als mit Säuren entstehen; meist mit Weichmacher Toilettenartikel, Stapelkästen, Schuhleisten, Ab- versetzt; zum Teil höhere Wasseraufnahme. Gute sätze, Gehäuseteile. Halbzeuge vorwiegend als mechanische Eigenschaften bei hoher Zähigkeit. Folien für die Warmumformung. Einsatztemperaturen bis 100 °C. Gute chemische Beständigkeit. Styrol-Acrylnitril-Copolymerisat SAN nach DIN EN ISO 19064 (Kostil, Luran, Lustran, Formteile mit geforderter guter Zähigkeit, und Tyril). Amorphe, glasklare Thermoplaste für metallische Einlegeteile, z. B. Werkzeuggrifmit hohem Oberflächenglanz. Gute mecha- fe, Hammerköpfe, Schreib- und Zeichengeräte; nische Festigkeiten, höhere Schlagzähigkeit Brillengestelle, Bürstengriffe, Spielzeug. Halbals PS, höchster E-Modul aller Styrol-Poly- zeuge in Form von Blöcken, Profilen, Tafeln. mere. Gute elektrische Isoliereigenschaften. Einsatztemperaturen bis 95 °C; gute Tempera- Polysulfone PSU/PES nach DIN EN ISO 25137 turwechselbeständigkeit. (Radel, Udel, Ultrason). Amorphe Thermoplas-

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te mit leichter Eigenfarbe. Gute Festigkeit und Steifigkeit; geringe Kriechneigung bis zu 180 °C, Einsatztemperaturen von 100 bis 180 °C. Wasseraufnahme ähnlich PA. Gute elektrische Isoliereigenschaften.

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250 °C, kurzfristig bis 310 °C. Gute physiologische Verträglichkeit. Formteile für höchste Temperaturanforderung, gute Gleiteigenschaften, Einsatz im Bereich von Humanimplantaten. Halbzeuge als Platten, Stangen und Folien.

Formteile für hohe mechanische, thermische Polyphtalamide PPA (Amodel, Grivory, Zytel und elektrische Beanspruchungen. HTN) sind teilaromatische Polyamide, die in der Polyphenylensulfid PPS nach DIN EN ISO Regel nur verstärkt eingesetzt werden und die Lü20558 (Fortron, Primef, Ryton, Tedur). Teilkris- cke zwischen den technischen Kunststoffen und talline Thermoplaste mit hohem Glasanteil. Hohe den Hochleistungskunststoffen schließen. Hohe Festigkeit und Steifigkeit bei geringer Zähigkeit; Wärmeformbeständigkeit, gute Chemikalienbegeringe Kriechneigung und gute Gleiteigenschaf- ständigkeit im Vergleich zu Polyamiden geringeten. Einsatztemperaturen bis 240 °C. Sehr hohe re Wasseraufnahme. Formteile mit hohen Anforderungen an die DiBeständigkeit gegen Chemikalien. mensionsstabilität und chemische Beständigkeit (Ventilblöcke, Wasserpumpengehäuse, etc.). Formteile für hohe mechanische, thermische, elektrische und chemische Beanspruchungen, Flüssigkristalline Polymere LCP (Vectra, Xyz. B. in Feinwerktechnik und Elektronik wie dar, Zenite) zeichnen sich durch gute DimensiSteckverbinder, Kohlebürstenhalter, Gehäuse, onsstabilität bei hoher Steifigkeit und TemperaFassungen, Dichtelemente, Kondensatorfolien, turbeständigkeit aus und sind inhärent flammwidflexible Leiterbahnen; Ummantelungen für Halbrig, ggf. metallisierbar und elektrisch leitfähig. leiterbauelemente; Griffleisten für Herde. Allerdings zeigen sie starke Anisotropie der Eigenschaften. Polyimide PI (Kapton, Torlon, Ultem, Vespel). Je nach Aufbau duroplastisch vernetzt oder line- Polyethylen PE nach DIN EN ISO 17855ar amorph. Hohe Festigkeit und Steifigkeit bei 1 (Dowlex, Eltex, Hostalen, Lacqtene, Ladegeringer Zähigkeit; sehr gutes Zeitstandverhal- ne, Lupolen, Marlex, Sclair, Stamylan, Vestoten. Günstiges Abrieb- und Verschleißverhalten. len). Teilkristalline Thermoplaste, je nach AufSehr hohe elektrische Isolationswirkung. Sehr bau unterschiedliche Eigenschaften; lineares PEgeringe Wärmeausdehnung. Großer Einsatztem- HD (PE hoher Dichte) mit höherer Festigkeit peraturbereich, bei PI von 240 bis 260 °C. Sehr als verzweigtes PE-LD (PE niedriger Dichte). gut chemisch beständig, auch gegen energierei- Geringe Festigkeit bei hoher Zähigkeit (PEche Strahlung. LD). Gute elektrische Isolierfähigkeit. Chemisch Formteile für hohe mechanische, thermische und elektrische Beanspruchungen und gleitender Reibung ohne Schmierung, z. B. in Raumfahrt, Datenverarbeitung, Kernanlagen und Hochvakuumtechnik. Isolierfolien mit hoher Isolationswirkung. Polyaryletherketone PAEK, PEK, PEEK (Avaspire, Ketaspire, Tecapeek, Vestakeep, Victrex) sind sehr steife und hochfeste Thermoplaste für hohe Einsatztemperaturen, langfristig bis

sehr widerstandsfähig. Einsatztemperaturbereiche 50 bis 80 °C (PE-HD bis 100 °C). Ultrahochmolekulares PE (PE-UHMW nach DIN EN ISO 11542) mit sehr guten mechanischen und Gleiteigenschaften kann nur noch spanend bearbeitet werden. Formteile als Griffe, Dichtungen, Verschlussstopfen, Fittinge, Flaschen, Behälter, Heizöltanks, Mülltonnen; Flaschenkästen, Kabelummantelungen, Skigleitbeläge. Halbzeuge in Form von Folien, Schläuchen, Rohren, Tafeln.

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Neuere Entwicklungen sind CycloolefinCopolymere COC mit verbessertem Eigenschaftsbild. Ethylen-Vinylacetat-Formmassen EVAC nach DIN EN ISO 21301 (Elvax, Lupolen V) können je nach VAC-Gehalt von flexibel bis kautschukähnlich eingestellt werden. Ionomere (Surlyn) werden als Folien im Verpackungssektor eingesetzt.

Weichmacherhaltiges PVC (PVC-P oder Weich-PVC). Amorphe, polare Thermoplaste mit unterschiedlicher Flexibilität, je nach Weichmachergehalt. Geringe thermische Beanspruchbarkeit. Weniger chemisch beständig als PVC-U. Wegen Weichmacher („Weichmacherwanderung“) im Allgemeinen nicht für Lebensmittelzwecke.

Polypropylen PP nach DIN EN ISO 19069 (Appryl, Daplen, Eltex P, Metocene, Moplen, Stamylan P, Vestolen P). Teilkristalline Thermoplaste mit günstigeren mechanischen und thermischen Eigenschaften gegenüber PE. Einsatztemperaturbereich bis 110 °C.

Formteile als Kabelummantelungen, Fußbodenbeläge, Taschen, Regenschuhe und -bekleidung, Schutzhandschuhe, Bucheinbände. Halbzeuge als Folien, Schläuche, Profile, Dichtungen, Fußbodenbeläge, Dichtungsbänder.

Formteile als Transportkästen, Behälter, Koffer, Formteile mit Filmscharnieren, Batteriekästen, Drahtummantelungen, Pumpengehäuse, Seile. Halbzeuge in Form von Folien, Monofilen, Stangen, Rohren, Profilen, Tafeln.

Biopolymere werden unterteilt in abbaubare, petrobasierte Biopolymere, abbaubare (überwiegend) biobasierte Biopolymere und nicht abbaubare, biobasierte Biopolymere (siehe Endres/Sieber-Raths). Biopolymere werden eingesetzt als abbaubare (Verpackungs-) Kunststoffe und als technische Kunststoffe.

PP-Elastomerblends mit EPM- bzw. EPDMKautschuken ergeben Formmassen mit erhöhter Schlag- und Witterungsbeständigkeit für Großteile im Automobilbau, wo ebenso mit Naturfasern 32.5 Fluorhaltige Kunststoffe und Glasmatten verstärktes PP (GMT) eingesetzt Polytetrafluorethylen PTFE nach DIN EN wird. ISO 13000 (PTFE-Halbzeuge), DIN EN Polyvinylchlorid PVC (Homo- und Copolyme- ISO 20568 (Fluorpolymerdispersionen und re) nach DIN EN ISO 1060, DIN EN ISO 21306, Formmassen), Formmassen: Algoflon, Dyneon, DIN EN ISO 2898 (Evipol, Induvil, Lacovyl, Sol- Teflon, (spritzgießbares) Moldflon. Teilkristalliner Thermoelast (nicht schmelzbar, aber vin, Vestolit, Vinidur, Vinnolit). erweichend). Aufwändige Herstellung, z. B. Weichmacherfreies PVC (PVC-U oder Hart- durch Presssintern aus Pulver zu Halbzeugen und PVC). Amorphe, polare Thermoplaste mit guter so nur noch spanend bearbeitbar. Geringe FestigFestigkeit und Steifigkeit. Einsatztemperaturen keit, flexibel, starkes Kriechen („Kalter Fluss“). nur bis etwa 60 °C. Schwer entflammbar, gute Stark antiadhäsiv, niedriger Gleit- und HaftreiUV Beständigkeit. Wegen Polarität hohe dielek- bungskoeffizient, daher kein „Stick-slip“. Sehr trische Verluste, daher gut hochfrequenzschweiß- gute elektrische Isoliereigenschaften. Großer Temperatureinsatzbereich von 200 bis 270 °C. bar. Gute chemische Widerstandsfähigkeit. Höchste chemische Widerstandsfähigkeit. Teuer Formteile als Behälter in Fotoindustrie, Chemie in der Verarbeitung. und Galvanik; Rohrleitungselemente, säurefeste Gehäuse und Apparateteile, Schallplatten, diffusionsdichte Einwegflaschen. Halbzeuge in Form von Profilen, Tafeln, Folien, Blöcken, Stangen, Rohren, Schweißzusatzstäben.

Halbzeuge in Form von Tafeln, Stangen, Rohren, Schläuchen werden durch Spanen weiterverarbeitet zu Formteilen für höchste thermische und chemische Beanspruchung wie Laborgeräte,

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Pumpenteile, Wellrohrkompensatoren, Kolben- der Polykondensation entstehendes Wasser beringe, Gleitlager, Isolatoren. Antihaftbeschich- einflusst zum Teil die elektrischen Eigenschaften. tungen. Verwendung erfolgt praktisch nur gefüllt, deshalb sind Eigenschaften sehr stark von Art und Fluorhaltige Thermoplaste FEP, PFA, ETFE, Menge des Füll- und Verstärkungsstoffs abhänECTFE, PVDF, PVF (Dyflor, Hylar, Kynar, gig. Meist relativ spröde bei hoher Festigkeit und Neoflon, Solef, Tedlar, Tefzel). Im Vergleich zu Steifigkeit. Gebrauchstemperaturen bis 150 °C. PTFE ist die thermische und chemische Bestän- Gute chemische Beständigkeit; nicht für Lebensdigkeit dieser Werkstoffe etwas geringer. Al- mittelzwecke zugelassen. lerdings können diese Werkstoffe preisgünstiger durch Spritzgießen verarbeitet werden. Formteile als Gehäuse, Griffe, elektrische Installationsteile, zum Teil mit eingepressten MeFormteile wie bei PTFE, bei teilweise etwas ein- tallteilen. Halbzeuge als Schichtpressstofftafeln, geschränkten Eigenschaften. Profile zur spanenden Weiterverarbeitung. Harze als Lackharze, Klebstoffe, Bindemittel für Schleifmittel und Reibbeläge und Formsande.

32.6 Duroplaste

Aminoplaste MF-, UF-, UF/MF-, MF-, MPDuroplaste werden in Form von Gießharzen, PMC (rieselfähig) nach DIN EN ISO 14527, Formmassen oder vorimprägnierten Prepregs DIN EN ISO 14528, DIN EN ISO 14529 (Baverarbeitet. kelite, Melopas). Vernetzte, polare Duroplaste; praktisch farblos, deshalb auch hellfarbig einGießharze dienen zum Herstellen von gefärbbar. Verwendung erfolgt praktisch nur gegossenen Formteilen oder werden mit Glas-, füllt, deshalb sind Eigenschaften sehr stark von Kohlenstoff-, Natur- oder Aramidfasern zu HarzArt und Menge des Füllstoffs abhängig. Meist Faser-Verbundwerkstoffen (Laminaten) verarbeirelativ spröde bei hoher Festigkeit und Steifigtet (GFK, CFK, NFK, AFK). keit. Einsatztemperatur bei MF bis 130 °C. Gute elektrische Isoliereigenschaften. Gute chemische Formmassen, d. h. mit Füll- und VerstärkungsBeständigkeit; z. T. für Lebensmittelzwecke zustoffen versehene Harzvorprodukte, werden gelassen. durch Pressen oder Spritzgießen zu Formteilen verarbeitet. Bulk Moulding Compounds (BMC) als rieselfähige oder teigige Formmassen wer- Formteile für hellfarbige Gehäuse, Installationsden durch Pressen oder Spritzgießen verarbeitet, teile, Elektroisolierteile, Schalter, Steckdosen, Sheet Moulding Compounds (SMC) als flächige Griffe, Essgeschirr. Dekorative SchichtstoffplatPrepregs werden meist durch Pressen zu großflä- ten (HPL) im Möbelbau und als Fassadenplatten. chigen Formteilen verarbeitet. Ungesättigte Polyesterharze UP nach DIN EN Schichtpressstoffe werden durch Verpressen ISO 3672 (Harze UP-R: Palatal, Polylite); nach von mit Harz getränkten flächenförmigen Ge- DIN EN ISO 14530 (Formmassen als UPbilden (Papier, Gewebe, Holzfurniere usw.) PMC: Ampal, Bakelite, Keripol, Palapreg, Ralhergestellt, nach DIN EN 438 z. B. dekorative upol); nach DIN EN 14598 als Harzmatten Schichtpressstoffplatten (HPL). Diese Materiali- (SMC) und faserverstärkte (Feucht-)Pressmassen (BMC). Vernetzte Duroplaste von Reaktionsharen können spanend bearbeitet werden. zen, die meist mit Verstärkungsstoffen verarbeitet Phenolharze PF-PMC (rieselfähig) nach DIN werden. Bei Laminaten sind gezielte VerstärEN ISO 14526 (Bakelite, Resinol). Vernetzte, po- kungen möglich. Eigenschaften abhängig vom lare Duroplaste mit gelblicher Eigenfarbe. Bei Aufbau des Polyesters, vom Vernetzungsgrad,

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von der Art und Menge des Verstärkungsmaterials und vom Verarbeitungsverfahren. Hohe Festigkeiten (in Höhe von unlegierten Stählen) bei allerdings noch niedrigem E-Modul. Günstige elektrische Isoliereigenschaften. Einsatztemperaturen bis 100 °C, zum Teil bis 180 °C. Chemische Beständigkeit gut, auch bei Außenanwendungen; je nach Harz-Härter-System auch für Lebensmittelzwecke zugelassen. Formteile als Laminate für großflächige Konstruktionsteile wie Fahrzeugbauteile, Boots- und Segelflugzeugrümpfe, Behälter, Heizöltanks, Container, Angelruten, Sportgeräte, Sitzmöbel, Verkehrsschilder. Formteile als Press- und Spritzgussteile für technische Formteile mit hohen Anforderungen an mechanische und thermische Eigenschaften bei guten elektrischen Eigenschaften wie Zündverteiler, Spulenkörper, Steckverbinder, Schalterteile. Epoxidharze EP nach DIN EN ISO 3673 (Harze EP-R: Araldite, Rütapox); nach DIN EN ISO 15252 (Formmassen als EP-PMC). Vernetzte Duroplaste von Reaktionsharzen, die meist mit sehr hochwertigen Verstärkungsstoffen (Kohlenstoff- und Aramidfasern) verarbeitet werden. Bei Laminaten sind gezielte Verstärkungen möglich. Eigenschaften abhängig vom Aufbau des Epoxidharzes, vom Vernetzungsgrad, von der Art und Menge des Verstärkungsstoffs und vom Verarbeitungsverfahren. Sehr hohe Festigkeiten und Steifigkeiten, vor allem bei Kohlenstoff-Fasern (CFK); wenig schlagempfindlich. Beste elektrische Isoliereigenschaften in weitem Temperaturbereich, auch bei Freiluftanwendungen. Einsatztemperaturbereiche abhängig von Verarbeitung; kaltgehärtete Systeme bis 80 °C, warmgehärtete bis 130 °C, zum Teil bis 200 °C. Gut chemisch beständig, auch für Außenanwendungen. Formteile als Laminate für hochfeste und steife Bauteile im Flugzeug- und Raumfahrzeugbau (Leitwerke, Tragflächen, Hubschrauberrotorblätter), Kopierwerkzeuge, Gießereimodelle. Formteile als Press- und Spritzgussteile für Konstruktionsteile mit hoher Maßhaltigkeit, vor allem in der Elektrotechnik, auch für Ummantelungen,

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Präzisionsteile in der Feinwerktechnik und im Gerätebau. Hochleistungssportgeräte. Zweikomponenten-Klebstoffe für Festigkeitsklebungen.

32.7

Kunststoffschäume

Die Eigenschaften geschäumter Kunststoffe (s. a. Abschn. 32.10) sind von dem verwendeten Kunststoff, von der Zellstruktur und von der Rohdichte abhängig. Schaumstoffe mit kompakter Außenhaut (Struktur- oder Integralschäume) weisen günstige Steifigkeit bei geringem Gewicht auf. Mechanische Belastbarkeit und Wärmeisolierfähigkeit hängen wesentlich von der Porosität (Rohdichte) ab. Grundsätzlich sind alle Kunststoffe schäumbar, besondere Bedeutung haben jedoch Thermoplastschäume TSG auf der Basis SB, ABS, PE, PP, PC, PPE modifiziert und PVC sowie Reaktionsschäume RSG auf der Basis PUR. Die Zellenstruktur wird durch Einmischen von Gasen, Freiwerden von zugemischten Treibmitteln sowie Freiwerden von Treibmitteln bei der chemischen Reaktion der Ausgangsprodukte erreicht. Expandierbares Polystyrol PS-E (Styropor) mit Rohdichten zwischen 13 und 80 kg=m3 wird in Form von Platten, Blöcken, Folien und Formteilen für Wärme- und Trittschalldämmung eingesetzt, sowie in der Verpackungstechnik und für Auftriebskörper (ähnliche Anwendung auch PEE u. PP-E). Thermoplastschaumguss TSG. Er wird als Strukturschaum meist für großflächige Formteile im Möbelbau, für Büromaschinen-, Fernseh- und Datenverarbeitungsgeräte, Transportbehälter und Sportgeräte eingesetzt. Harter Reaktionsschaumguss RSG auf Basis PUR. Mit Rohdichten zwischen 200 und 800 kg=m3 haben sie gute mechanische Steifigkeit bei geringem Gewicht. Anwendungen im Möbelbau für Büromaschinen- und Fernsehgeräte, Fensterprofile, Karosserieteile, Sportgeräte.

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Weiche RSG-Schäume auf Basis PUR haben sehr gute stoßdämpfende Eigenschaften und werden z. B. für Formpolster, Lenkradumkleidungen, Stoßfängersysteme und Schuhsohlen eingesetzt.

Bei größeren Mengen erhöht sich die Stoßelastizität; Härte und mechanische Festigkeit werden herabgesetzt. Aktivatoren wie Zinkoxid verbessern die Vulkanisation. Beschleuniger erhöhen die Reaktionsgeschwindigkeit bei reduziertem Schwefelgehalt und verbessern außerdem die Wärmebeanspruchbarkeit. Alterungsschutzmittel 32.8 Elastomere schützen die Gummiwerkstoffe gegen Alterung Elastomere sind polymere Werkstoffe mit hoher durch Wärme, Sauerstoff und Ozon und gegen Elastizität. Die Elastizitätsmoduln solcher Elasto- Sonnenlicht. Farbstoffe können rußfreien Gummere liegen zwischen 1 und 500 MPa. Wegen der mimischungen zugegeben werden. weitmaschigen, chemischen Vernetzung ist ein Warmumformen und Schweißen nach der Form- Naturkautschuke NR (zum Teil auch Polyisogebung durch Vulkanisation nicht mehr möglich. pren IR als „synthetischer“ Naturkautschuk). Sie Eine Sondergruppe von Elastomeren stellen besitzen hohe dynamische Festigkeit und Elasdie thermoplastisch verarbeitbare Elastomere tizität sowie guten Abriebwiderstand. Schlecht TPE (DIN EN ISO 18064) dar, die nach al- witterungsbeständig und Quellung in Minerallen Verfahren der Thermoplastverarbeitung ver- ölen, Schmierfetten und Benzin. Einsatztempeund bearbeitet werden können. Das elastische raturen 60 bis 80 °C. Anwendungen z. B. für Verhalten wird bei diesen Werkstoffen durch phy- Lkw-Reifen, Gummifedern, Gummilager, Membranen, Scheibenwischerblätter. sikalische Vernetzungen erreicht. Gummi. Es wird aus natürlichem oder synthetischem Kautschuk und vielen Zusatzstoffen hergestellt. Die mehr oder weniger weitmaschige Vernetzung erfolgt durch eine Vulkanisation mit Vernetzungsmitteln bei Temperaturen über 140 °C unter hohem Pressdruck. Der verwendete Kautschuk bestimmt die mechanischen Eigenschaften und die chemische Widerstandsfähigkeit. Vulkanisiermittel sind Schwefel oder schwefelabgebende Stoffe (unter 3 %), bei Sonderkautschuken Peroxide. Durch Schwefelbrücken erfolgt die Vernetzung der linearen Kautschukmoleküle. Die Menge des Vulkanisationsmittels bestimmt den Vernetzungsgrad und dadurch die mechanischen Eigenschaften (Hartgummi – Weichgummi). Aktive (verstärkende) Füllstoffe sind bei schwarzen Gummisorten Gasruß, bei hellen Kieselsäure, Magnesiumcarbonat und Kaolin. Füllstoffe verbessern Festigkeit und Abriebwiderstand der Vulkanisate. Inaktive Füllstoffe sind Kreide, Kieselgur und Talkum; sie verbilligen die Endprodukte und erhöhen zum Teil die elektrische Isolation und die Härte. Als Weichmacher kommen beispielsweise Mineralöle, Stearinsäure oder Teer zum Einsatz. Diese verbessern teilweise die Verarbeitbarkeit.

Styrol-Butadien-Kautschuke SBR (Buna). Sie haben gegenüber NR verbesserte Abriebfestigkeit und höhere Alterungsbeständigkeit bei ungünstigerer Elastizität und schlechteren Verarbeitungseigenschaften. Quellung ähnlich NR. Einsatztemperaturen 50 bis 100 °C. Anwendungen z. B. für Pkw-Reifen, Faltenbälge, Schläuche, Förderbänder. Polychloroprenkautschuke CR (Baypren, Hycar, Neoprene). Sie besitzen gegenüber NR sehr gute Witterungs- und Ozonbeständigkeit bei geringerer Elastizität und Kältebeständigkeit. Ausreichend beständig gegen Schmieröle und Fette, aber nicht gegen heißes Wasser und Treibstoffe. Einsatztemperaturen 30 bis 100 °C. Anwendungen z. B. für Bautendichtungen, Manschetten, Kabelisolationen, Bergwerksförderbänder, Brückenlager. Acrylnitril-Butadien-Kautschuke NBR (Europrene, Perbunan N). Auch als Nitrilkautschuk bekannt; besonders beständig gegen Öle und aliphatische Kohlenwasserstoffe, jedoch unbeständig gegen aromatische und chlorierte Kohlenwasserstoffe, sowie Bremsflüssigkeiten.

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Gute Abriebfestigkeit und gute Alterungsbeständigkeit. Elastizität und Kältebeständigkeit ungünstiger als NR. Einsatztemperaturen 40 bis 100 °C. Anwendungen z. B. für Wellendichtringe, O-Ringe, Membranen, Dichtungen, Benzinschläuche.

physiologisch unbedenklich, unbeständig gegen Treibstoffe und Wasserdampf. Antiadhäsiv. Einsatztemperaturen 100 bis 200 °C. Anwendungen z. B. für Dichtungen im Automobil-, Flugzeug- und Maschinenbau, für Herde und Trockenschränke, Kabelisolationen, Förderbänder für heiße Substanzen, medizinische Geräte und Acrylatkautschuke ACM (Vamac). Sie besit- Schläuche. zen gegenüber NR höhere Wärme- und chemische Beständigkeit, verhalten sich jedoch Fluorkautschuke FKM (Fluorel, Tecnoflon, Vischlechter in der Kälte und sind schwieriger zu ton). Sie haben ausgezeichnete Temperatur-, Ölverarbeiten. Beständig gegen Mineralöle und Fet- und Treibstoffbeständigkeit, jedoch nur geringe te, jedoch nicht gegen heißes Wasser, Dampf Kältebeständigkeit. Einsatztemperaturen 25 bis und aromatische Lösemittel. Einsatztemperatu- 200 °C, zum Teil bis 250 °C. Anwendungen z. B. ren 25 bis 150 °C. Anwendungen z. B. für wär- für Dichtungen aller Art bei hohen Temperaturen mebeständige O-Ringe, Wellendichtringe und mit hohen Härten. Dichtungen allgemein. Press- und gießbare Polyurethanelastomere Butylkautschuke IIR (Hycar). Sie haben sehr PUR (Adiprene, Elastopal, Urepan, Vulkollan). geringe Gasdurchlässigkeit und gute elektri- Sie besitzen hohe mechanische Festigkeit und sche Isoliereigenschaften, Heißdampffestigkeit, sehr hohe Verschleißfestigkeit bei sehr hoWitterungs- und Alterungsbeständigkeit, jedoch hem Elastizitätsmodul gegenüber den Gumminiedrige Elastizität bei hoher innerer Dämp- werkstoffen; starke Dämpfung. Beständig gegen fung. Unbeständig gegen Mineralöle, Fette Treibstoffe, unlegierte Fette und Öle; unbestänund Treibstoffe. Einsatztemperaturen 40 bis dig gegen heißes Wasser und Wasserdampf; Ver100 °C. Anwendungen für Luftschläuche für Rei- sprödung durch UV-Strahlung. Einsatztemperafen, Dachabdeckungen, Heißwasserschläuche, turen 25 bis 80 °C. Anwendungen z. B. LaufrolDämpfungselemente. len, Dichtungen, Kupplungselemente, Lagerelemente, Zahnriemen, Verschleißbeläge, SchneidEthylen-Propylen-Kautschuke EPM, EPDM unterlagen, Dämpfungselemente. (Buna EP, Keltan, Nordel) mit guter Witterungsund Ozonbeständigkeit bei guten elektrischen Thermoplastisch verarbeitbare Elastomere Isoliereigenschaften. EPDM wird durch Peroxide TPE. Sie haben den Vorteil, dass sie thermovernetzt und ist schwierig zu verarbeiten. Bestän- plastisch verarbeitet werden können und liegen digkeit ähnlich NR, sehr gut gegen heiße Wasch- vor als Polyurethane TPU (Desmopan, Elastollaugen. Einsatztemperaturen 50 bis 120 °C. An- lan), Polyetheramide TPA (Pebax), Polyesterelaswendungen z. B. Wasch- und Geschirrspülma- tomer TPC-ET (Arnitel, Hytrel, Pibiflex, Riteschinendichtungen, Kfz-Fensterdichtungen, Kfz- flex) Styrolcopolymere TPS (Styroflex, Thermolast) und Elastomeren auf Polyolefinbasis TPO Kühlwasserschläuche. (Evatane, Multiflex, Nordel, Santoprene). Sie Silikonkautschuke VMQ (Silastic) Flüssig-Si- werden ähnlich eingesetzt wie die Gummisorlikonkautschuke LSR für Spritzgießverarbeitung ten, haben sehr unterschiedliche Eigenschaften (Elastosil) und kaltaushärtende Silikonkautschu- je nach Aufbau und Zusammensetzung, besonke RTV. Sie haben ausgezeichnete Wärme-, ders bei EVA durch den variierbaren VinylaceKälte-, Licht- und Ozonbeständigkeit, gerin- tatgehalt. Einsatztemperaturen 60 bis 120 °C je ge Gasdurchlässigkeit und sehr gute elektri- nach Typen. Anwendungen z. B. für Zahnräder, sche Isoliereigenschaften, aber geringen Ein- Kupplungs- und Dämpfungselemente, Rollenbereißwiderstand. Beständig gegen Fette und Öle, läge, Puffer, Dichtungen, Kabelummantelungen,

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Faltenbeläge, Skischuhe, Schuhsohlen, auch für Wegen des Temperatur- und Klimaeinflusses Hart-Weich-Kombinationen. wird unter Normalklima DIN EN ISO 291 geprüft, d. h. bei 23 °C und 50 % rel. Luftfeuchte.

32.9 Prüfung von Kunststoffen Die Eigenschaften von Kunststoff-Formteilen sind sehr stark abhängig von den Herstellungsbedingungen. Deshalb sind Kennwerte, die an getrennt hergestellten Probekörpern ermittelt werden, nicht ohne weiteres auf das Verhalten von Kunststoff-Formteilen zu übertragen. Bei der Kunststoffprüfung werden daher unterschieden: Prüfung von getrennt hergestellten Probekörpern, Prüfung von Probekörpern, die aus Formteilen entnommen werden und Prüfung der gesamten Formteile.

32.9.1 Kennwertermittlung an Probekörpern Werkstoffkennwerte von Kunststoffen werden nach denselben Verfahren wie bei den Metallen (s. Kap. 30) ermittelt, jedoch ist besonders der Einfluss von Zeit und Temperatur zu beachten, so dass Langzeitversuche bei Raumtemperatur und erhöhter Temperatur wichtiger sind als bei Metallen. Bei Kunststoffen haben neben den Verarbeitungsbedingungen (Masse-, Werkzeugtemperatur, Drücke, etc.) außerdem noch Umgebungseinflüsse (Temperatur, Feuchte, Medien), Gestalteinflüsse (Wanddickenverteilung, Angusslage und -art), sowie Zusatzstoffe großen Einfluss auf die Eigenschaften. Probekörper (z. B. Vielzweckprobekörper nach DIN EN ISO 3167) müssen nach einheitlichen, genormten Richtlinien hergestellt (DIN EN ISO 294, 293, 295 und 10724) und geprüft werden (vgl. DIN EN ISO 10350, DIN EN ISO 11403 und Datenbank CAMPUS von M-Base), damit die Prüfergebnisse vergleichbar sind. Die Probekörper werden getrennt hergestellt durch Spritzgießen oder Pressen bzw. werden aus Halbzeugen oder Formteilen spanend entnommen. Es handelt sich meist um flache Probekörper.

Mechanische Eigenschaften Die mechanischen Werkstoffkennwerte werden durch Grenzspannungen oder Grenzverformungen gekennzeichnet. Es handelt sich überwiegend um statische Kurz- oder Langzeitversuche oder um dynamische Schlag- oder Dauerversuche. Die meisten Prüfungen erfolgen nach DIN EN ISO-Normen, nachfolgend werden nur noch die Kennwerte nach DIN EN ISO aufgeführt. Im Zugversuch DIN EN ISO 527 werden Kennwerte unter einachsiger, quasistatischer Zugbeanspruchung ermittelt. Aussagekräftig ist das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Wird die Kraft F auf den Ausgangsquerschnitt A0 bezogen, erhält man sogenannte technische Spannungen  . Für die Ermittlung von Dehnungen im Zugversuch wird in der Regel eine definierte Anfangsmesslänge l0 in Zugrichtung am unbelasteten Probekörper definiert. Deren Veränderung l bezogen auf die Anfangsmesslänge l0 bezeichnet man als technische Dehnung ". Abb. 32.2 zeigt einige charakteristische Spannungs-Dehnungs-Diagramme mit den ermittelten Kennwerten (Spannungen in MPa, Dehnungen in %): y M B x "y "M "B

Streckspannung Zugfestigkeit Bruchspannung (Reißfestigkeit) Spannung bei x % Dehnung Streckdehnung Dehnung bei der Zugfestigkeit Bruchdehnung (Reißdehnung)

Man erkennt, dass bei spröden Kunststoffen M D B ist, bei verformungsfähigen Kunststoffen dagegen kann M D y > B sein oder M D y < B . Im Druckversuch DIN EN ISO 604 werden Kennwerte unter einachsiger, quasistatischer Druckbeanspruchung ermittelt. Probekörper sind so zu wählen, dass keine Knickung auftritt.

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Kennwerte (Spannungen in MPa, Dehnungen in %):  (c)y  (c)M  (c)B  (x) "cy "cM  cB

Druckfließspannung Druckfestigkeit Druckspannung bei Bruch Druckspannung bei x % Stauchung Fließstauchung Stauchung bei Druckfestigkeit nominelle Stauchung bei Bruch

Anmerkung In DIN EN ISO 604 ist bei den Festigkeitskennwerten kein Index „c“ vorgesehen, im Gegensatz zu den Dehnungskennwerten; um Verwechslungen mit Kennwerten aus dem Zugversuch zu vermeiden, wird hier das Index „c“ in Klammern gesetzt. Abb.

32.2

Zugspannungs-Dehnungs-Diagramme.

Im Biegeversuch DIN EN ISO 178 werden die 1 spröde Kunststoffe, z. B. PS, SAN, Duroplaste Kennwerte bei Dreipunktbiegebeanspruchung er- (M D B ), 2 zähe Kunststoffe, z. B. PC, ABS (M D y < B oder M D y ), 3 verstreckbare mittelt. Kennwerte (Spannungen in MPa, Dehnungen in %):  fM Biegefestigkeit  fB Biegespannung bei Bruch  fc Biegespannung bei konventioneller Durchbiegung sc "fM Biegedehnung bei Biegefestigkeit "fb Biegedehnung beim Bruch konventionelle Durchbiegung sc = 1,5 h sc (entspricht 3,5 % Randfaserdehnung) Die Bestimmung des Elastizitätsmoduls Et erfolgt im Zugversuch nach DIN EN ISO 527, Ec im Druckversuch nach DIN EN ISO 604 und Ef im Biegeversuch nach DIN EN ISO 178. Der Elastizitätsmodul wird als Sekantenmodul für die Dehnungen "1 D 0;05 % und "2 D 0;25 % ermittelt; entsprechend Abb. 32.2 gilt dann für den Zugversuch: Et D .2  1 /=."2  "1 /. Die Härte von Kunststoffen wird im Kugeldruckversuch DIN EN ISO 2039-1 oder bei weichgemachten Kunststoffen und Elastomeren nach Shore A oder D in DIN EN ISO 868 bestimmt, der internationale Gummihärtegrad IRHD nach DIN EN ISO 7619. Die Rockwellhärte an Kunststoffen wird nach DIN EN ISO 2039-

Kunststoffe, z. B. PA, PE, PP (M D y > B ), 4 weichgemachte Kunststoffe, z. B. PVC-P (M D B ; y nicht vorhanden), 5 dehnbarer Kunststoff mit "B > 50 %; Bestimmung von 50

2 bestimmt. Kennwerte: Kugeldruckhärte H in N=mm2 nach 30 s Prüfzeit, Shore A- oder Shore D-Härte nach 3 s Prüfzeit; Rockwellhärte 15 s nach Wegnahme der Prüflast je nach Härteskala (R, L, M oder E). In Schlag- bzw. Kerbschlagbiegeversuchen DIN EN ISO 179-1, DIN EN ISO 180 oder im Schlagzugversuch DIN EN ISO 8256 erhält man, vor allem durch Prüfung bei unterschiedlichen Temperaturen, eine Aussage über das Zäh-/Spröd-Verhalten bzw. über Zäh-SprödÜbergänge. Die Kerbform (einfache V-Kerbe, Doppel-V-Kerbe) sowie die Art der Beanspruchung (beidseitige Auflage bei Charpyversuchen, bzw. einseitige Einspannung bei Izod-Versuchen) beeinflussen die Kennwerte sehr stark. Bei Charpy-Schlagversuchen nach DIN EN ISO 179 wird noch unterschieden zwischen schmalseitigem Schlag (Index „e“: edgewise) und breitseitigem Schlag (Index „f“: flatwise); es gibt 3 Kerbformen A (Kerbradius rN D 0;25 mm), B .rN D 1 mm/ oder C .rN D 0;1 mm/ und damit unterschiedlicher Kerbschärfe, aber gleichem Flankenwinkel von 45°; Kerbtiefe 2 mm. DIN EN

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ISO 179–2 beschreibt die instrumentierte Schlag- "t zähigkeitsprüfung. "t Kennwerte in kJ=m2 : B;t acU Charpy-Schlagzähigkeit ungekerbt DIN ISO 179-1 acN Charpy-Schlagzähigkeit gekerbt DIN ISO 179-1 aiU Izod-Schlagzähigkeit ungekerbt DIN ISO 180 aiN Izod-Schlagzähigkeit gekerbt DIN ISO 180 Anmerkung „N“ entspricht der Kerbform A, B oder C.

EN EN Etc.t /

Kriechdehnung Kriechdehnspannung (z. B. bedeutet  2/1000 die Spannung  , die nach 1000 h zu einer Dehnung " = 2 % führt) Zeitstandfestigkeit (z. B. bedeutet  B/10.000 die Spannung  , die nach t = 10.000 h zum Bruch führt) Kriechmodul

EN

Die Kriechmoduln sind abhängig von der Spannung, der Zeit, und selbstverständlich der EN Temperatur. Heute werden die Kriechmoduln meist für Spannungen ermittelt, die zu Dehnungen " 0;5 % führen.

Elektrische Eigenschaften Brechen Probekörper in Schlagbiegeversu- Elektrische Spannungs- und Widerstandswerte chen auch mit schärfster Kerbe nicht, dann wer- werden hauptsächlich nach DIN EN 62631 und den Schlagzugversuche nach DIN EN ISO 8256 DIN EN 60243 ermittelt: durchgeführt. Im Zeitschwingversuch werden in Anlehnung U D Durchschlagspannung in V an die metallischen Werkstoffe nach (DIN 50100) EB Durchschlagfestigkeit in kV/mm Widerstandswerte in  (Durchgangs-, Kennwerte bei dynamischer Beanspruchung er- R Oberflächenwiderstand) mittelt. Aus Wöhlerkurven für unterschiedliche spezifischer Durchgangswiderstand in Beanspruchungsverhältnisse (s. Abschn. 30.2) % m erhält man ein Zeitschwingfestigkeits-Schaubild  spezifischer Oberflächenwiderstand in  nach Smith. Da Kunststoffe i. Allg. keine Dauerschwingfestigkeit aufweisen, wird meistens die Zeitschwingfestigkeit für 107 Lastwechsel ermit- Thermische Eigenschaften telt. Außerdem darf wegen der Erwärmung die Kunststoffe als organische Werkstoffe sind sehr Prüffrequenz höchstens 10 Hz betragen. stark temperaturabhängig. Außerdem haben sie im Vergleich zu Metallen geringere WärmeleitfäKennwerte (in MPa): higkeit  und größere thermische Längenausdehnungskoeffizienten ˛. Als Kennwerte, die aber W.107 / Zeitwechselfestigkeit für 107 Last- keine Aussage über die tatsächlichen Temperawechsel turbeanspruchbarkeit machen und i. Allg. nur als Sch.107 / Zeitschwellfestigkeit für 107 Last- Vergleichswerte dienen, werden ermittelt: wechsel Wärmeformbeständigkeitstemperatur (HDT) nach DIN EN ISO 75, Vicat-ErweichungstempeIm Zeitstandversuch DIN EN ISO 899 werden ratur (VST) nach DIN EN ISO 306, Verfahren A bei konstanter Belastung Zeitdehnlinien " D f .t/ (B). aufgenommen. Daraus ermittelt man das ZeitIn Tabellenwerken werden oft Gebrauchsstandschaubild  D f .t/ und erhält dann iso- temperaturbereiche angegeben, die aber meist chrone Spannungs-Dehnungs-Diagramme  D nur für geringe Belastungen gelten. Eine weitef ."/. Aus dem isochronen Spannungs-Deh- re Charakterisierungsmöglichkeit von Kunststofnungs-Diagramm (Abb. 32.3) werden die Kenn- fen bietet die Ermittlung dynamisch mechaniwerte ermittelt (in MPa): scher Eigenschaften wie beispielsweise Biege-,

32 Kunststoffe

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Abb. 32.3 Versuchsergebnisse aus Zeitstandversuchen. a Kriechkurven " D f .t /, Parameter Spannung  ; b Zeitstandschaubild  D f .t /, Parameter Dehnung "; c isochrone SpannungsDehnungs-Diagramme  D f ."/, Parameter Zeit t, 1 Kurzzeitversuch

Schub- oder Zugmodul-Temperatur-Kurven mit- Schmelze-Volumenfließrate (Volumenfließindex) tels DMA (Dynamisch-mechanische Analyse) MVR (cm3 =10 min) nach DIN EN ISO 1133 bestimmt. Außerdem ist die Viskositätszahl VN DIN EN ISO 6721. (oder VZ bzw. J) für die Lösungen thermoplasChemische Eigenschaften tischer Kunststoffe (z. B. nach DIN EN ISO 307 Die chemische Beständigkeit der Kunststoffe für Polyamide) eine verarbeitungstechnische hängt von ihrem Aufbau ab. Duroplaste sind we- Kenngröße. Schädigungen der Kunststoffe beim gen der chemischen Vernetzung weitgehend be- Verarbeiten zeigen sich in der Änderung dieser ständig gegen chemischen Angriff. Bei Thermo- Eigenschaften. plasten sollte für jeden Kunststoff geprüft werBei duroplastischen Formmassen gibt die Beden, ob er gegenüber den wirkenden Chemikalien cherschließzeit nach DIN 53465 (ersatzlos zubeständig ist. Die Rohstoffhersteller liefern Ta- rückgezogen) Aussagen über das Fließverhalten bellen, in denen das Verhalten der Kunststoffe und DIN 53764 (ersatzlos zurückgezogen) über gegen Chemikalien auch bei unterschiedlichen das Fließ-Härtungsverhalten; DIN EN ISO 12114 Temperaturen enthalten ist. und DIN EN ISO 12115 für faserverstärkte FormEine Besonderheit bei Kunststoffen ist die massen. Spannungsrissbildung bei gleichzeitigem EinwirBeim Entwurf von Kunststoff-Formteilen und ken von Eigen-, Montage- oder Betriebsspan- den notwendigen Werkzeugen ist das Schwinnungen und spannungsrißauslösende Medien. Es dungsverhalten der Kunststoffe von Bedeuzeigen sich dabei mehr oder weniger gut erkenn- tung. Die Schwindung wirkt sich auf die Abbare Risse, die sich über ausgeprägte Rissbildung messungen und Toleranzen der Formteile aus. bis zum totalen Bruch weiterentwickeln können. Die Verarbeitungsschwindung SM (früher: VS) Spannungsrissuntersuchungen können im Kugel- ist fertigungsbedingt und wird nach DIN EN eindruckverfahren (DIN EN ISO 22088-4), Bie- ISO 294-4 ermittelt; sie hängt vom Kunstgestreifenverfahren (DIN EN ISO 22088-3) oder stoff (amorph, teilkristallin, gefüllt) ab und Zeitstandzugversuch (DIN EN ISO 22088-2) er- von den Verarbeitungsparametern (Drücke, Temperaturen), sowie der Gestalt der Formteile. folgen. Durch Nachkristallisationen bei teilkristallinen Verarbeitungstechnische Eigenschaften Kunststoffen, den Abbau innerer Spannungen Zur Beurteilung des Fließverhaltens von Ther- und Nachhärtungseffekte bei Duroplasten tritt moplasten wird die Schmelze-Massefließrate im Laufe der Zeit eine Nachschwindung SP (Schmelzindex) MFR (g=10 min) oder die auf, die hauptsächlich werkstoff-, verarbeitungs-

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und umweltbedingt ist. Bei höheren Temperaturen kann die Nachschwindung beschleunigt, d. h. vorweggenommen werden. Die Gesamtschwindung ST setzt sich aus der Verarbeitungsschwindung SM und der Nachschwindung SP zusammen, sie ist richtungsabhängig. Als Materialeingangprüfungen für Kunststoffrohstoffe spielen weiterhin Schüttdichte DIN EN ISO 60, Stopfdichte DIN EN ISO 61 sowie Rieselfähigkeit DIN EN ISO 6186 eine Rolle, außerdem Feuchtegehalt, Flüchte und Wassergehalt (DIN EN ISO 15512, ISO 760).

Sonstige Prüfungen Für Kunststoffe ist das Brandverhalten häufig von großer Bedeutung. Es gibt eine Vielzahl von Prüfverfahren; die wichtigsten sind nachstehend aufgeführt. Das Brandverhalten fester elektrotechnischer Isolierstoffe wird nach DIN EN IEC 60695 ermittelt; es handelt sich um Prüfverfahren zur Beurteilung der Brandgefahr bei unterschiedlicher Anordnung von Probestab und Zündquelle (Verfahren BH, FH oder FV). Sehr große Bedeutung haben die Brennbarkeitsprüfungen nach ULVorschrift 94. Die Kunststoffe werden dabei in Klassen eingeteilt, z. B. bei vertikaler Probenanordnung in Klasse 94 V-0 bis 94 V-2 sowie 5 VA und 5 VB. Die Farbbeurteilung nach unterschiedlichen Verfahren ist wichtig z. B. für die Farbabmusterung und um mit Hilfe von bestimmten Lichtquellen A, C, D65 eine objektive Farbbeurteilung zu ermöglichen. Es gibt RAL-Farbkarten; das gebräuchlichste Farbbeschreibungssystem ist das CIE-Lab-System. In Bewitterungsversuchen ISO 188, DIN ISO 1431, DIN EN ISO 4892, DIN EN ISO 846, DIN EN ISO 877 werden Abbauvorgänge bei Kunststoffen durch Witterungseinflüsse wie Sonnenstrahlung, Temperaturen, Niederschlägen, Mikroorganismen und Luftsauerstoff oder durch künstliches Bewittern untersucht. Solche Einflüsse können zu einer starken (negativen) Beeinflussung der Gebrauchseigenschaften von Kunststoff-Formteilen führen (z. B. Verspröden).

M. Kübler et al.

32.9.2

Prüfung von Fertigteilen

Können aus Kunststoff-Fertigteilen entsprechende Probekörper entnommen werden, so sind Prüfungen nach den in Abschn. 32.9.1 aufgeführten Verfahren möglich. Man spricht dann von der Prüfung des Formstoffs im Formteil. Die Prüfergebnisse sind allerdings i. Allg. nur bedingt mit den an genormten Probekörpern ermittelten Kennwerten zu vergleichen. Interessanter ist es, das Fertigteil als komplettes Formteil zu prüfen (z. B. DIN 53760, ersatzlos zurückgezogen). Zerstörungsfreie Prüfverfahren sind: Sichtkontrolle, Prüfung des Formteilgewichts, Maßprüfungen, spannungsoptische Untersuchungen (nur an durchsichtigen Formteilen), Ultraschall- und Röntgenprüfungen. Zerstörende Prüfungen sind: Warmlagerungsversuche (DIN 53497), Beurteilung des Spannungsrissverhaltens DIN EN ISO 22088, lichtmikroskopische Gefügeuntersuchungen an Dünnschnitten oder Dünnschliffen bei teilkristallinen Kunststoffen, Ermittlung von Füllstofforientierungen durch Auflichtbetrachtung von Schliffen, Beständigkeitsprüfungen, Stoß- und Fallversuche DIN EN ISO 6603 oder aktive Fallversuche. Thermische Analyseverfahren (DSC, TGA, TMA) eignen sich zur Kunststofferkennung und ermöglichen teilweise eine Aussage über dessen Verarbeitung (thermische Vorgeschichte). Mittels DSC lassen sich Glasübergangstemperaturen Tg, Kristallitschmelztemperatur Tm und Schmelzenthalpie bestimmen. Das thermische Zersetzungsverhalten sowie der Glührückstand können mittels TGA bestimmt werden. Weitere Analyseverfahren zur Kunststoffcharakterisierung sind beispielsweise Infrarot-Spektroskopie (FT-IR) und die Gel-PermeationsChromatographie (GPC). Bei den zerstörenden Prüfungen sind höchstens Stichprobenprüfungen möglich, die dann nach den Regeln der Statistik ausgewertet werden. Durch Bauteilprüfungen gesamter Formteile bzw. Baugruppen wird das Verhalten unter Be-

32 Kunststoffe

triebsbedingungen ermittelt. Zur Zeitraffung können einzelne Prüfparameter gezielt erhöht werden, wobei allerdings zu beachten ist, dass die Versagensart bei der beschleunigten Prüfung der im praktischen Einsatz entspricht. Die entsprechenden Prüfverfahren mit den Bedingungen sind zu vereinbaren. Heute wird angestrebt, die Fertigung so zu überwachen und zu regeln (Prozessüberwachung), dass keine Prüfungen der Fertigteile mehr notwendig sind, wenn die vorgeschriebenen Prozessparameter eingehalten werden (s. Abschn. 32.10).

32.10 Verarbeiten von Kunststoffen Die wichtigsten Verarbeitungsverfahren für Kunststoffe und ihre Modifikationen werden nachstehend kurz beschrieben. Gegenüber metallischen Werkstoffen werden Kunststoffe bei niedrigeren Temperaturen und damit energiesparender verarbeitet. Der Einsatz von Kunststoffen hat sich in vielen Bereichen in den letzten Jahrzehnten durchgesetzt. Vorteile bieten beispielsweise werkstoff- als auch verarbeitungsbedingte Integrationsmöglichkeiten verschiedener Funktionen (Schnappverbindungen, Federelemente, Sandwichelemente, etc.) bei gleichzeitig geringerem Gewicht und ggf. elektrischer Isolation. So können z. B. Formteile mit hoher Wirtschaftlichkeit bei deutlich geringeren Arbeitsschritten und hohem Rationalisierungseffekt hergestellt werden. Nahezu alle Verarbeitungsverfahren lassen sich sehr gut automatisieren und Formteile können in hohen Stückzahlen in reproduzierbarer Qualität gefertigt werden. Ein besonderer Vorteil liegt bei den Kunststoffen darin, dass sie in ihren Eigenschaften gezielt für ein bestimmtes Anwendungsgebiet eingestellt werden können (Kunststoffe sind Werkstoffe nach Maß). Außer von der Charakteristik des einzelnen Kunststoffs hängt das Eigenschaftsbild u. a. noch wesentlich von den Verarbeitungsbedingungen ab. Für technische Kunststoffe gibt es heute einen vernünftigen Werkstoff-Kreislauf (Recyclingtechniken).

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Im Wesentlichen lassen sich die Verarbeitungsverfahren von Kunststoffen in Urformen und Umformen einteilen.

32.10.1 Urformen von Kunststoffen Unter Urformen versteht man die direkte Herstellung (Formgebung) von Fertigteilen und Halbzeugen aus dem Rohstoff, der z. B. als Formmasse (Granulat, Pulver, Schnitzel, etc.) oder als flüssiges Vorprodukt vorliegen kann. Spritzgießen. Das Spritzgießverfahren ist eine taktweise Fertigung, bei der Formteile überwiegend aus Formmassen (s. Abschn. 32.1) hergestellt werden. Die Formmassen werden im Plastifizierzylinder aufgeschmolzen und homogenisiert. Die Schmelze wird in der Regel durch die Vorwärtsbewegung der Schnecke unter hohem Druck in das Formnest einer geteilten Stahlform eingespritzt. Thermoplastische Kunststoffe erstarren im Formnest durch Abkühlung. Duroplaste und Elastomere werden dagegen formstabil durch exotherme Vernetzungsreaktionen im Formnest. Sowohl komplizierte Kleinstteile (Federelemente, Zahnräder) als auch großflächige Formteile (z. B. Stoßfänger für Pkw) lassen sich in hohen Stückzahlen in einem Arbeitsgang ohne bzw. mit geringer Nacharbeit wirtschaftlich herstellen. Besonders hervorzuheben ist die Möglichkeit, mehrere Funktionen in einem Formteil integrieren zu können (Multifunktionalität, z. B. Schnappverbindungen und Filmscharniere, Einlegeteile, Insert- bzw. Outserttechnik, Inmouldlabeling). Die mechanischen Eigenschaften und die Fertigungsgenauigkeit spritzgegossener Formteile sind nicht nur vom jeweilig gewählten Kunststoff und dessen Chargenkonstanz abhängig, sondern auch von der Formteilgestalt, Auslegung und Herstellungsqualität des Werkzeugs sowie vom Verarbeitungsprozess. Die einzelnen Phasen beim Spritzgießen lassen sich anschaulich anhand des angussnahen Druckverlaufs im Formnest synchron mit dem Hydraulikdruckverlauf darstellen, Abb. 32.4.

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Abb. 32.4 Synchrone Aufzeichnung von Werkzeuginnendruck (angussnah) und Hydraulikdruck, Nw Maß für Nachdruckwirkung

Duroplastische Formmassen verarbeitet man meist auf den gleichen Spritzgießmaschinen wie thermoplastische Formmassen; angepasst werden müssen die Plastifiziereinheit und das Spritzgießwerkzeug. Eine nennenswerte Vernetzung der Formmasse im Zylinder ist zu vermeiden, um die Fließfähigkeit zu erhalten. Durch die verhältnismäßig niedrige Viskosität der Schmelze beim Einspritzvorgang weisen duroplastische und elastomere Formteile teilweise höhere Gratbildung auf, die durch Nacharbeit beseitigt werden muss. In der Spritzgießverfahrenstechnik gibt es eine Vielzahl Sonderverfahren zur Herstellung spezieller Formteile. Die wichtigsten sind: Gasinjektionstechnik (GIT) und Wasserinjektionstechnik (WIT) zur Herstellung von Formteilen mit großen Querschnittsunterschieden, die im Innern Hohlräume enthalten (Griffe, Konsolen, Pedale). Beim Mehrkomponentenspritzgießen können z. B. Thermoplaste mit thermoplastisch verarbeitbaren Elastomeren TPE in speziellen Werkzeugen verarbeitet werden (Hart-Weich-Kombinationen wie Dichtelemente, Ventile, „griffige“ Schaltelemente, Haptikeffekt). Bei der Hinterspritztechnik werden z. B. textile Oberflächen auf Spritzgussteile beim Spritzgießen aufgebracht (Türverkleidungen im Automobilbau). Das Spritzprägen ermöglicht die Herstellung optischer Formteile (Linsen, Verscheibungen) mit sehr präziser Oberfläche und Datenträger (CD, DVD). Formteile mit sonst nicht entformbaren, komplexen Innenkonturen werden mit Hilfe der Schmelzkerntechnik hergestellt.

Pressen und Spritzpressen. Bedeutung besitzt das Pressen bei Duroplasten und Elastomeren sowie bei der Herstellung von Schichtpressstoffen. Die Pressmasse (BMC) wird bei diesem Verfahren unter Druck- und Wärmeeinwirkung plastisch und dabei der Werkzeughohlraum ausgefüllt. Duroplastische pulverförmige Pressmassen werden meist tablettiert und mittels Hochfrequenz vorgewärmt. Demnach legt man die Tablette in das beheizte Werkzeug und füllt den Werkzeughohlraum durch den Pressdruck. Eventuell auftretende Gase entweichen durch eine Werkzeug-Entlüftungsbewegung. Nach weitgehender Vernetzung der Formmasse lässt sich das nun stabile heiße Formteil entnehmen. Während beim Formpressen die Formmasse direkt in den Hohlraum des Werkzeugs zwischen Stempel und Gesenk eingegeben wird, wird beim Spritzpressen die Masse zunächst in einem Füllraum erwärmt. Nach dem plastischen Erweichen presst man die Masse durch Spritzkanäle in die Hohlräume der zuvor geschlossenen Form. Das Spritzpressen eignet sich besonders für Mehrfachwerkzeuge. Beim Pressen von glasfaserverstärkten Gießharzen werden die beiden Komponenten Glasfaserverstärkung und Harz/Härter-Gemisch als Prepregs (vorgetränkte Glasfaserprodukte) oder einzeln in die Pressform gebracht. Für großflächige Teile, z. B. Karosserieteile im Fahrzeugbau werden Polyester-Harzmatten (sog. UP-SMC-Prepregs) verwendet (SMC: Sheet Moulding Compound). Die Herstellung der

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Großteile erfolgt auf Unterdruck-Kurzhubpressen mit hydrostatisch gelagerter Aufspannplatte. Diese Pressen ermöglichen eine hohe Positioniergenauigkeit der Werkzeugteile. Kalandrieren. Unter Kalandrieren wird in der Kunststoff- und Kautschukverarbeitung das Ausformen bei der Verarbeitungstemperatur hochviskoser Mischungszubereitungen im Spalt zwischen zwei oder mehreren Walzen zur endlosen Bahn verstanden. Besondere Bedeutung hat das Kalandrieren bei der Herstellung von Folien und Platten aus Hart- und Weich-PVC (PVC-U, PVCP). In der Kautschukverarbeitung werden Dachbelagsfolien, Bauisolierfolien, Fußbodenbeläge, Profile, Triebriemen, Transportbänder und die Belegung von Reifencord nach dem Kalandrierverfahren hergestellt. Extrudieren und Blasformen. Beim Extrudieren wird unter ständiger Rotation der Schnecke z. B. granulat- oder pulverförmige Formmasse aus dem Fülltrichter eingezogen und plastifiziert. Durch den aufgebauten Förderdruck drückt man die hochviskose Masse durch ein formgebendes Werkzeug. Vor dem Erstarren der Strangmasse wird noch kalibriert. Rohre, Profile, Schläuche, Bänder, Tafeln, Folien und Drahtummantelungen lassen sich nach dem Extrusionsverfahren kontinuierlich herstellen. Zu einer Extrusionsstraße gehören im Wesentlichen Plastifizieranlage (Extruder), Profilwerkzeug, Kalibrierwerkzeug, Kühlvorrichtung, Abzug und Stapelvorrichtung. Mit speziellen Reckprozessen nach dem Extrudieren können insbesondere hochfeste Fasern, Folien und Bänder hergestellt werden. Folien werden hauptsächlich durch Folienblasen hergestellt. Extrudierte Profile werden häufig in einer mit dem Extruder zusammengefassten zweiten Anlage weiterverarbeitet. Beim Extrusionsblasformen wird ein extrudierter Schlauch von einem Blaswerkzeug abgequetscht und mittels eines Blasdorns aufgeblasen, Abb. 32.5. Diese Formteile weisen eine sichtbare Quetschnaht im Bodenbereich auf. Flaschen, Kanister, Heizöltanks sind Beispiele, die nach diesem Verfahren produziert werden. Weite-

Abb. 32.5 Extrusionsblasen (schematisch). 1 Extruder, 2 Trennmesser, 3 Werkzeug, 4 Luftzufuhr (Blasdorn)

re häufig angewendete Verfahrenstechniken sind das Spritz- und Streckblasen zur Herstellung von Verpackungsteilen und PET-Flaschen. Herstellen von faserverstärkten Formteilen. Glasfasern, Kohlenstoff-Fasern, Naturfasern (Hanf u. a.) und synthetische Fasern, wie z. B. Aramid- und Polyethylenfasern, werden meist in eine duroplastische Matrix (Polyester-, Epoxidoder Phenolharz) eingebettet. Neben Endlosfasern (Rovings) verwendet man auch flächige Halbzeuge wie Gewebe, Matten und Gelege. Beim Handlaminieren werden Matten bzw. Gewebe in eine Form, z. B. aus Holz, eingelegt. Die Tränkung der Fasermatten wird mit einem Pinsel vorgenommen und anschließend die Matte mit einer Laminierrolle verdichtet. Eine glatte Oberfläche erreicht man durch Aufbringen einer unverstärkten, gefüllten Reinharzschicht (Gelcoat). Das Verfahren eignet sich zur Herstellung von Großteilen und Einzelstücken. Für kleine bis mittlere Serien eignet sich das auch als automatisiertes Handlaminieren angesehene Faserspritzverfahren. Mit einer Faserspritzpistole werden Harz, Härter, Beschleuniger und Kurzfasern mittels Druckluft auf die Form aufgebracht. Aus zugeführten Endlosfasern lassen sich mit einem rotierenden Schneidwerk kontinuierlich Kurzfasern erzeugen. Anwendung finden hier ausschließlich Polyesterharze. Typische Bauteile sind Badewannen, Schwimmbäder, Behälter und Dachelemente. Hohlkörper aus faserverstärkten Kunststoffen werden in einem weitgehend automatisierten Wickelverfahren hergestellt. Dabei werden die Verstärkungsfasern über einen Kern gewickelt. Im Tränkbad werden die von der Schlichte verklebten Rovings aufgefächert, mit Harz benetzt und

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in einer sog. Walkstrecke gut durchtränkt. Um Bauteile maximaler Festigkeit bei minimalem Eigengewicht herzustellen, müssen die Fasern möglichst exakt in der späteren Hauptbelastungsrichtung liegen und der Kern möglichst gleichmäßig bedeckt werden. Der Roving wird auf der sog. geodätischen Linie abgelegt (kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer gekrümmten Oberfläche). Für die automatisierte Herstellung endosfaserverstärkter Bauteile eignet sich das RTM-Verfahren (Resin-Transfer-Moulding). Hierbei werden zunächst Fasermatten bzw. Gewebe in ein formgebendes Werkzeug eingelegt, welches anschließend mit einem im unvernetzten Zustand flüssig vorliegenden Polymer (häufig Epoxide) gefüllt wird. Eine vollständige Imprägnierung der Fasern ist zur Erreichung guter mechanischer Kennwerte zwingend notwendig. Ein neuer Trend ist der Einsatz von plattenförmigen endlosfaserverstärkten Thermoplast-Halbzeugen (Tepex, Organoblech). Diese werden zunächst thermoplastisch umgeformt und in einem weiteren Schritt in einem formgebenden Spritzgießwerkzeug durch das Anspritzen von Rippen und Funktionselementen aus kurzfaserverstärkten Thermoplasten (in der Regel Polyamide) zu hoch integrierten Strukturbauteilen verarbeitet. Schäumverfahren. Im plastischen oder thermisch erweichten Zustand können Polymerwerkstoffe geschäumt werden. Der Schäumvorgang wird durch chemisch abgespaltene Gase, verdampfende Flüssigkeiten oder Gaszusatz (chemische bzw. physikalische Treibmittel) unter Druck bewirkt. Prinzipiell lassen sich alle Kunststoffe schäumen. Wichtige Kunststoffe sind expandierbares Polystyrol PS-E (z. B. Styropor) für Verpackungs- und Isolationszwecke und Polyurethanschäume als Hart- und Weichschäume für leichte und steife Konstruktionen und Polsterzwecke. Geschäumtes Polypropylen PP-E wird ebenfalls in der Verpackungstechnik eingesetzt. Der E-Modul geschäumter Erzeugnisse nimmt annähernd proportional mit dem Feststoffgehalt ab, die Steifigkeit eines Werkstücks aber mit der dritten Potenz der Wanddicke zu; Bauteile mit poriger Struktur sind daher mehrfach stei-

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Abb. 32.6 Anwendungsgebiete für Schäume mit unterschiedlichen Raumgewichten

fer als massive Teile gleichen Gewichts. Sogenannte Struktur- oder Integralschäume besitzen eine inhomogene Dichteverteilung derart, dass der Schaumstoffkern kontinuierlich in eine dichte Außenhaut übergeht. In Abb. 32.6 sind einige Anwendungsgebiete für Schäume mit unterschiedlichen Raumgewichten aufgeführt. Beim Thermoplastschaumguss (TSG) wird eine Formmasse mit geringen Mengen chemischer Treibmittel (z. B. Azodicarbonamid) im Spritzgussverfahren verarbeitet. Die mit Gas beladene Thermoplastschmelze schäumt im nicht vollständig gefüllten Formnest auf. Die Außenhaut ist dabei weitgehend kompakt. Neben dem chemischen Schäumen hat sich das physikalische Schäumen mit Stickstoff oder Kohlenstoffdioxid (MuCellVerfahren nach Trexel) oder eine Kombination beider Verfahren etabliert. Einsatzgebiete sind die Gewichtsreduzierung von Bauteilen sowie eine Verbesserung der Fließfähigkeit in Verbindung mit reduzierter Verzugsneigung bei der Verarbeitung thermoplastischer Formmassen. Reaktionsschaumguss (RSG) als Varinate des RIM (Reaction-Injection-Moulding) bezeichnet die Verabeitung von im unvernetzten Zustand flüssig vorliegenden Polymeren zu geschäumten Bauteilen und beinhaltet folgende Verfahrensschritte: Dosieren der Reaktionspartner, Mischen,

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Einspritzen in die mit Trennmittel versehene Werkzeugkavität, Reaktion in der Kavität unter Bildung des geschäumten Formteils, Formteilentnahme. Ausgangsstoffe für die Polyurethan-Schaumstoffe (PUR) sind Diisocyanate und Polyhydroxylverbindungen (Polyole). Verstärkte PUR-Strukturschaumstoff-Erzeugnisse werden im RRIM-(Reinforced ReactionInjection-Moulding-)Verfahren gefertigt. Auch SMC-Harzmatten und BMC-Formmassen lassen sich durch mikroverkapselte physikalische TreibAbb. 32.7 Vakuumformen. a Negativverfahren (Einsaumittel aufschäumen. gen in die Formhöhlung), 1 Saugkanäle, 2 Vakuum; b Positivverfahren (mit Vakuum und mechanischem Vorstrecken)

32.10.2 Umformen von Kunststoffen Für meist kleine und leichtgewichtige Teile Unter Umformen versteht man die spanlose wird die hautenge Skinverpackungsart eingesetzt. Formgebung von thermoplastischen Halbzeugen Hierbei wird das zu verpackende Gut auf heißin Form von Folien, Platten und Rohren. siegelfähigem Karton der erwärmten Folie zugeführt und diese mit Vakuum hauteng dem Gut anWarmformen (Thermoformen) von Thermo- geformt. Bei der Blister-Packung wird das Packplasten. Zum Warmformen wird thermoplasti- gut in durchsichtige vorgeformte Schalen gelegt sches Halbzeug rasch und gleichmäßig auf die und mit einer Kartongegenlage durch HeißsieTemperatur optimalen thermoelastischen Verhal- geln verbunden. Vorzugsweise werden die amortens aufgeheizt und mittels Vakuum, Druckluft phen Thermoplaste PVC, PS, ABS, SB, SAN, bzw. mechanischer Kräfte umgeformt und durch PMMA, PC und die teilkristallinen Werkstoffe Abkühlung fixiert. Abgesehen von dem hand- PP und PE aber auch Verbundfolien eingesetzt. werklichen Warmformverfahren (Biegen, Ziehformen) arbeitet man meist mit automatisierten Thermoformmaschinen. Das Erwärmen des in 32.10.3 Fügen von Kunststoffen einem Spannrahmen fest fixierten Halbzeugs erfolgt in der Regel mit Infrarot-Flächenstrahlern Schweißen. Werkstücke aus gleichen oder ähnlichen thermoplastischen Kunststoffen werden (Keramik- oder Quarzstrahler). Beim Warmformen unterscheidet man grund- dadurch verschweißt, dass man im Schweißbesätzlich zwischen Negativ- und Positivverfahren, reich die Kunststoffe auf die Temperatur des Abb. 32.7. Bei der Negativformung wird das viskosen Fließens erwärmt, zusammendrückt und erwärmte Halbzeug in den konkaven Formhohl- die Verbindung unter Druck erkalten lässt. Eine raum gesaugt oder gedrückt, beim Positivformen einwandfreie Verbindung setzt meist artgleiche auf ein Konvex-Modell (Positiv-Formkern) ge- Kunststoffe voraus, da eine vergleichbare Viskosaugt. Die am Werkzeug anliegende Seite wird sität der Schweißpartner erforderlich ist. glatter und maßgenauer. Die Spanne der so hergestellten Teile reicht Warmgasschweißen W. Grund- und Zusatzvon Verpackungsbehältern bis hin zu Großform- werkstoff werden durch Warmgas in den plasteilen wie Badewannen. Aus Tafeln werden meist tischen Zustand überführt und unter Druck vergroßflächige Teile, wie z. B. Fassadenelemen- schweißt, Abb. 32.8a. Anwendung findet dieses te, Sanitärzellen, Container, Kühlgerätegehäuse, Verfahren bei der Musterfertigung, Einzelstückfertigung und bei großen Teilen. Apparatebauteiwirtschaftlich warmgeformt.

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Ultraschallschweißen US. Ein piezoelektrischer oder magnetostriktiver Schwingungswandler setzt die hochfrequente Wechselspannung (20 bis 50 kHz) in mechanische Schwingungen um. Durch die Sonotrode wird die Amplitude dem Werkstück angepasst und leitet die Schwingung ein, Abb. 32.8e. Das US-Verfahren kann vollautomatisiert in Taktstraßen eingebaut werden und eignet sich wegen der kurzen Schweißzeiten besonders für Massenartikel in der Kfz-, Elektround Verpackungsindustrie (amorphe Kunststoffe bis ca. 350 mm, teilkristalline Kunststoffe bis ca. 150 mm Durchmesser). Metallteile (Inserts) Abb. 32.8 Schweißverfahren für Thermoplaste. a Warm- lassen sich durch Ultraschall in vorgespritzte gasschweißen, 1 Zusatzstab, 2 Warmgas; b Heizelement- Bohrungen nachträglich kostengünstig einsetzen. schweißen, 1 Heizelement; c Reibschweißen, 1 Druckgeber, 2 Mitnehmer, 3 rotierendes Teil, 4 stehendes Teil; d Vibrationsschweißen; e Ultraschallschweißen, 1 Sonotrode, 2 Amboss; f Hochfrequenzschweißen

Hochfrequenzschweißen HF. Polare Kunststoffe, wie z. B. PVC, CA, mit hohen dielektrischen Verlusten lassen sich durch ein elektrisches le aus PE, PP und PVC sind oftmals mit einer V-, Hochfrequenzfeld schnell erwärmen. Die übliche X- oder Kehl-Naht gefügt. Schweißfrequenz ist 27 MHz, Abb. 32.8f. Hauptanwendungsgebiete sind flächige Formschweißungen von Weich-PVC-Folien, Hüllen, BuchHeizelementschweißen H. Man erwärmt die einbände, Regenbekleidung, Sitzgarnituren, TürStoßflächen durch Andrücken an beschichtete verkleidungen. metallische Heizelemente. Danach werden die plastifizierten Stoßflächen zusammengepresst, Beim Laserschweißen wird oftmals je ein BauAbb. 32.8b. Dieses Verfahren eignet sich besonteil aus einem lasertransparenten sowie einem ders für Polyolefine (PE, PP). Temperaturemplaserabsorbierend modifizierten (beispielsweise findliche Werkstoffe wie z. B. PVC und POM durch Zugabe von Ruß) Werkstoff miteinander sind wegen der langen Erwärmzeit bei relativ hoverschweißt. Hierbei wird die Schweißnaht durch hen Temperaturen weniger geeignet. ein Aufschmelzen des laserabsorbierenden Fügepartners gebildet. Neben der geometrischen Reibschweißen FR. Bei rotationssymmetri- Gestaltung der Schweißnaht, ist die abnehmende schen Teilen (bis ca. 100 mm Durchmesser) Lasertransparenz des zu durchstrahlenden Fügewird einer der Partner in Drehung versetzt und partners mit zunehmender Bauteilwanddicke zu durch die Relativbewegung unter Druck ein Auf- berücksichtigen. schmelzen an den Schweißflächen erreicht. Nach plötzlichem Abbremsen erkalten die Schweißflä- Kleben. Durch Kleben lassen sich auch unchen unter Beibehaltung eines Schweißdrucks, terschiedliche Materialien (artfremde) verbinden Abb. 32.8c. (z. B. Glas/Kunststoff, Keramik/Metall). ManchBeim Vibrationsschweißen werden in schall- mal ist es das einzig mögliche Verfahren der gekapselten Maschinen zusammengespannte Verbindungstechnik (s. Bd. 2, Abschn. 8.3). Formteile durch elektromagnetische Schwinger Beim Kleben von Kunststoffen wie von Metalmit einer Frequenz von 100 bis 240 Hz linear len müssen eine klebgerechte Fügeteilgestaltung, oder biaxial aneinander gerieben. Abb. 32.8d. eine Vorbehandlung der Fügeteiloberflächen, eiEingesetzt wird diese Schweißtechnik u. a. bei ne Auswahl der Klebstoffe und eine geeignete Kraftstofftanks, Autostoßfängern und Gehäusen. Auftragungstechnik erfolgen.

32 Kunststoffe

651

Von besonderer Bedeutung bei Kunststoffen ist die Vorbehandlung der Fügeteiloberflächen. Jede Vorbehandlung dient dazu, die Oberfläche so zu aktivieren, dass sie benetzbar und somit auch klebbar wird. Es werden verschiedene mechanische (schleifen, strahlen), chemische (entfetten, beizen) und physikalische (Bestrahlung, Wärmebehandlung) Verfahren vorgeschlagen. Eine Reinigung bzw. Entfettung der Oberfläche kann mit Lösemitteln oder Spülmitteln im Dampf-, Tauch- oder Ultraschall-Bad erfolgen. Bei bestimmten Kunststoffen (z. B. PP) hat sich das Vorbehandlungsverfahren „Koronaentladung“ in der Fertigung bewährt. Hierbei wird ein Luftstrom zwischen zwei Elektroden (Spannung 7 kV) durchgeblasen und trifft als Strahl ionisierter Moleküle auf die Kunststoffoberfläche. Neben der „Koronaentladung“ hat sich mittlerweile die Aktivierung von Oberflächen durch den Einsatz eines Sauerstoffplasmas (sowohl Niederdruckverfahren im Vakuum als auch Atmosphärendruck-Plasmaprozess) etabliert. Eine chemische Verankerung wird durch Haftvermittler erreicht (Silan-Haftvermittler).

32.11 Gestalten und Fertigungsgenauigkeit von Kunststoff-Formteilen Werkstoff- und fertigungsgerechtes Konstruieren von Formteilen ist unabdingbare Voraussetzung für qualitativ hochwertige funktionssichere Bauteile. Gestaltungsrichtlinien. Einfallstellen und Lunker (Vakuolen) im Formteil entstehen durch Massenanhäufungen am Bauteil, die außerdem zur ungleichmäßigen Abkühlung führen und die Verzugsneigung erhöhen (Ursache: Schwindungsdifferenzen). Zur Verringerung der Kerbwirkung sind Ausrundungsradien vorzusehen. Anschnittgeometrie und Anschnittlage haben Einfluss auf die Vorzugsorientierungen von Makromolekülen und faserartigen Zusatzstoffen und auf die Lage von Bindenähten, Zusammenflusslinien und Lufteinschlüssen im Formteil. Eine konstruktiv ungünstig ausgelegte Werkzeugtemperierung

Abb. 32.9 Versteifung von Formteilen. a Rippen- und Sickenkonstruktion, x 0;5 für amorphe Thermoplaste, x 0;35 für PA unverstärkt, x 0;25 für PAGF30; b Durchbiegung und Werkstoffeinsatz verschiedener Profilformen, 1 Werkstoffeinsatz, 2 Durchbiegung; c verschiedene Randgestaltung zur Erhöhung der Eigensteifigkeit großflächiger Formteile

kann zu unterschiedlichen Abkühlungsgradienten im Bauteil führen und durch die auftretenden Schwindungsdifferenzen erheblichen Verzug am Teil verursachen. Formteilverzug kann oftmals durch verschiedene Versteifungsgeometrien minimiert werden, Abb. 32.9. Toleranzen und zulässige Abweichungen für Maße von Spritzguss-, Spritzpress- und Pressteilen sind in DIN 20457 enthalten. Form-, Lage- und Profilabweichungen sind in dieser Norm nicht enthalten. Für die Festlegung einhaltbarer

32

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Tab. 32.1 GPS-Grundnormen Toleranzarten Maßtoleranzen

Längenmaße Winkelmaße Form- und Lagetoleranzen Rauheitstoleranzen

Zugeordnete Formelemente Maß Richtung Form, Richtung, Ort Oberfläche

Toleranzen unterscheidet man nach werkzeuggebundenen Maßen (Maß nur in einer Werkzeughälfte) und nicht werkzeuggebundenen Maßen (z. B. in Werkzeugöffnungsrichtung bzw. beweglichen Schiebern). Werkzeuggebundene Maße sind enger tolerierbar. Es werden neun verschiedene Toleranzgruppen (TG1 „sehr fein toleriert“ bis TG9 „sehr grob toleriert“) mit vom jeweils vorliegenden Nennmaßbereich abhängigen Toleranzbreiten definiert. Inwieweit diese Toleranzgruppen erreichbar sind, hängt unter anderem vom Schwindungsverhalten und der Steifigkeit des eingesetzten Kunststoffs, als auch dem eingesetzten Fertigungsverfahren ab. Es gilt dabei der Tolerierungsgrundsatz: So genau wie erforderlich, so ungenau wie möglich. Die Toleranzfestlegungen bedarf zwingend den Vergleich von funktional erforderlicher und fertigungstechnisch möglicher Toleranz: Erforderliche Fertigungstoleranz  mögliche Fertigungstoleranz. Neben den in DIN 20457 im Speziellen für Kunststoff Formteile genannten Toleranzen und Abnahmebedingungen sind weitere allgemeine geometrische Produktionsspezifikationen (GPS), beziehungsweise „Grundnormen“ verfügbar (siehe Tab. 32.1).

32.12 Nachbehandlungen Meist sind Formteile nach der Formgebung ohne weitere Bearbeitung einsatzfähig. Aus technischen oder dekorativen Gründen kann aber eine Nachbehandlung notwendig werden. Konditionieren. Formteile aus Polyamiden nehmen je nach Aufbau mehr oder weniger Feuchtigkeit auf und verändern damit insbe-

GPS-Grundnorm DIN EN ISO 286-1 DIN EN ISO 1101 DIN EN ISO 4287

sondere die mechanischen Eigenschaften (z. B. Schlagzähigkeit). In Abhängigkeit etwaig nachfolgender Bearbeitungs- und Montageschritte (beispielsweise Einpressen von Metallinserts, etc.) werden Formteile aus Polyamiden in Wasser, Dampf oder Konditionierzellen auf einen bestimmten Feuchtegehalt eingestellt. Tempern. Zum Abbau von Eigenspannungen und zur Nachkristallisation bei teilkristallinen Kunststoffen werden die Formteile nach dem Spritzgießen in Wärmeschränken oder Temperierflüssigkeiten (Paraffin- oder Siliconöle) bei kunststoffspezifischen Temperaturen getempert. Bei Polyamiden beträgt die Tempertemperatur ca. 150 °C, bei POM-Formteilen liegt sie etwas niedriger. Die Temperzeit beträgt 2 bis 4 h. Oberflächenbehandlungen. Zur gezielten Veränderung der Oberflächen oder Oberflächenstruktur kann nachfolgend noch Lackieren, Bedrucken, Heißprägen, Laserbeschriften, Galvanisieren, Bedampfen und Beflocken durchgeführt werden. Spanabhebende Bearbeitung. Kunststoffe können nach den für Metallen bekannten Verfahren (s. Bd. 2, Kap. 41) spanend nachbearbeitet werden, jedoch sind besondere Werkzeuggeometrien und andere Schnittgeschwindigkeiten zu beachten. Für chemisch quervernetzte Kunststoffe (Duromere und Elastomere) ist die spanende Bearbeitung die einzige Möglichkeit einer Formänderung nach der Herstellung. Bei Thermoplasten sind Rückfederungseffekte und Aufschmelzvorgänge zu beachten. Weitere Bearbeitungsmöglichkeiten sind Wasserstrahl- und Laserschneiden.

32 Kunststoffe

32.13 Faser-Kunststoff-Verbunde 32.13.1 Charakterisierung und Einsatzgebiete Faser-Kunststoff-Verbunde (FKV) besitzen die Charakteristika eines idealen Leichtbauwerkstoffs, nämlich eine hohe spezifische Steifigkeit E/ und Festigkeit R/. Daher haben sie insbesondere im Flugzeug- und Hubschrauberbau Eingang gefunden. Die Ermüdungsfestigkeit ist hoch. Hierzu tragen zum einen die hochfesten Fasern bei; zum anderen hemmt die Aufteilung des Querschnitts in eine Vielzahl von Fasern den Rissfortschritt. Risse werden immer wieder an Einzelfasern gestoppt, können also nicht zügig durch eine FKV-Struktur wachsen. Sowohl die Fasern als auch die Kunststoffe sind ausgezeichnet korrosionsbeständig. FKV-Bauteile sind daher weitgehend wartungsarm. Diese Eigenschaft – in Kombination mit den hohen Festigkeiten – werden im Rohrleitungs- und Behälterbau, aber auch im Bootsbau genutzt. Ihre elektrischen Eigenschaften sind zwischen leitfähig – bei Einsatz von Kohlenstofffasern – und isolierend – bei Einsatz von Glasfasern – einstellbar. In der Elektrotechnik nutzt man überwiegend die sehr gute Isolationswirkung. FKV kommen hier immer dann zur Anwendung, wenn isolierende Komponenten gleichzeitig auch hoch mechanisch beansprucht werden. Aus dem Sportwagenbau bekannt geworden ist das hohe spezifische Aufnahmevermögen von Schlagenergie. Vorteilhaft sind die freie Formgebung und die Möglichkeit, auch mit einfachen handwerklichen Mitteln höchstbelastbare Prototypen und Kleinserien anzufertigen. Als Nachteil sind die im Vergleich zu Stahl und Aluminium höheren Werkstoffkosten zu nennen.

32.13.2 Fasern, Matrix-Kunststoffe und Halbzeuge Faser-Kunststoff-Verbunde sind weniger als Werkstoffe, sondern als Konstruktionen zu betrachten. Ihnen liegt das Konstruktionsprinzip der Aufgabenteilung zugrunde. Die Fasern nehmen

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die Lasten auf. Die Matrix (Bettungsmasse) aus Kunststoff verklebt sowohl die Fasern innerhalb einer Schicht als auch die Schichten miteinander und fixiert so den Verbund in der gewünschten Anordnung. Sie leitet die Kräfte von Faser zu Faser und übernimmt unmittelbar auch Kräfte bei Beanspruchungen quer zur Faserrichtung. Sie wirkt als Rissstopper und schützt die Fasern vor Beschädigungen und aggressiven Medien. Die gleichberechtigten Funktionen von Faser und Matrix schlagen sich in der Bezeichnung nieder; nach VDI-Richtlinie 2014 [1] lautet sie: Faser-Kunststoff-Verbund. Andere Bezeichnungen sollten vermieden werden. Die VDI-Schreibweise lässt sich gut präzisieren: KohlenstofffaserEpoxid-Verbund und auch einfach abkürzen: CFEP. Fasern. Überwiegend kommen zwei Fasertypen zum Einsatz: Glas- und Kohlenstofffasern; in Sonderfällen auch Basaltfasern sowie Polymerfasern wie Aramid- und hochmolekulare Polyäthylenfasern. Glasfasern haben den Vorteil, dass sie besonders preisgünstig sind. Sie isolieren sehr gut, und zwar sowohl thermisch als auch elektrisch. Sie sind elektromagnetisch transparent: Aus Glasfaser-Laminaten werden Abdeckungen für Radarund Sendeanlagen gefertigt; Antennen lassen sich direkt in die Laminatschichten integrieren. Glasfasern sind unbrennbar und weisen eine sehr gute chemische und mikrobiologische Beständigkeit auf. Da ihr Brechungsindex demjenigen von transparenten Kunststoffen entspricht, lassen sich durchsichtige Laminate fertigen. Entsprechend ist auch die Tränkung der Fasern sehr gut kontrollier- und qualitätssicherbar. Als häufigster Nachteil der Glasfasern macht sich ihre für viele Strukturanwendungen zu niedrige Steifigkeit bemerkbar. Günstigstenfalls – bei ausschließlicher unidirektionaler Faseranordnung – lässt sich im Verbund mit 65 % Faservolumenanteil ein LängsElastizitätsmodul von Ek D 50 000 N=mm2 einstellen. Dies ist jedoch nicht immer von Nachteil, da es Bauteile gibt, für die eine niedrige Steifigkeit wünschenswert ist, z. B. Blattfedern, Federlenker und Biegegelenke. Aufgrund der hohen Bruchdehnung, kombiniert mit der sehr hohen

32

654

Ermüdungsfestigkeit, eignet sich der GlasfaserKunststoff-Verbund vorzüglich als Federwerkstoff [2–4]. Kohlenstofffasern (auch Carbon- oder C-Fasern) sind unter den Verstärkungsfasern diejenigen mit den herausragendsten Eigenschaften. Sie verfügen über extrem hohe Steifigkeiten und Festigkeiten. Beide mechanischen Größen sind in weitem Bereich bei der Herstellung einstellbar, so dass der Konstrukteur passend zur jeweiligen Anwendung einen C-Fasertyp wählen kann. Die C-Faser verfügt über ausgezeichnete Ermüdungsfestigkeiten. Die Faser ist anisotrop, d. h. die hohen Steifigkeiten und Festigkeiten liegen nur in Faserlängsrichtung vor; in Querrichtung sind die Werte weitaus niedriger. Das anisotrope Verhalten findet sich auch bei den thermischen Dehnungen wieder: In Faserlängsrichtung ist der thermische Längenausdehnungskoeffizient leicht negativ, quer zur Faserichtung stark positiv. CFasern sind hoch thermisch belastbar, beständig gegen die meisten Säuren und Alkalien und zeigen eine sehr gute Verträglichkeit mit organischem Gewebe („Biokompatibilität“). Nachteilig ist insbesondere der vergleichsweise hohe Preis. Er steigt mit dem E-Modul der Fasern und der Feinheit des C-Fasergarns. Aramid- und Polyethylenfasern besitzen die niedrigsten Dichten der genannten Verstärkungsfasern; bei der PE-Faser liegt die Dichte sogar unter eins. Beide zeigen hohe Steifigkeiten – etwas oberhalb der Glasfaser – und sehr hohe Zugfestigkeiten. Die Längsdruckfestigkeit liegt deutlich unterhalb der Zugfestigkeit, so dass diese Fasern primär auf Zug beansprucht werden sollten. Herausragend ist ihre Zähigkeit, so dass sie weit verbreitet in Schutzwesten und Schutzhelmen eingesetzt werden. Auch die Chemikalienbeständigkeit ist außerordentlich gut. Limitiert ist bei diesen Polymerfasern die maximale Einsatztemperatur. Als weitere Nachteile sind die niedrige Haftfestigkeit zur Matrix zu nennen sowie die aufgrund der hohen Zähigkeit schwierige Schneidbarkeit. Als nachwachsende Rohstoffe verwendet man – insbesondere in Verkleidungsbauteilen – auch Naturfasern, meist Flachs-, Hanf- oder Jutefasern. Für Hochtemperaturanwendungen – dann

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allerdings nicht mit Kunststoff-, sondern mit Metall- oder Keramikmatrices – sind Aluminiumoxid- und Siliciumcarbidfasern erhältlich. Blitzschutzgewebe bestehen aus Kupfer- oder Aluminiumfasern. Die Entscheidung für einen bestimmten Fasertyp ist recht einfach. Reicht die Steifigkeit von Glasfasern aus, so ist sie als kostengünstigste Faser erste Wahl. Immer wenn hohe Steifigkeiten, hohe Eigenfrequenzen und kleine Verformungen verlangt werden, sind C-Fasern unumgänglich. Aramid- und hochmolekulare Polyethylenfasern werden gewählt, um die Schlagzähigkeit von Laminaten zu erhöhen. Dazu mischt man bspw. CFasern mit Aramidfasern ab. Zum Schutz der Fasern und um die Haftung zur Matrix zu verbessern, werden Fasern mit einer so genannten Schlichte überzogen. Sie ist auf den jeweiligen Matrixtyp abzustimmen. Fasern werden als Faserbündel (Rovings) oder mit wenigen Einzelfasern als Garne auf Spulen aufgewickelt geliefert. Faserhalbzeuge. Laminate werden flächig aus Einzelschichten gestapelt. Da man Garne nur schwerlich definiert in der Fläche verlegen kann, verwendet man zur einfacheren Handhabbarkeit textile Halbzeuge. Dies sind in erster Linie Gewebe, Multiaxialgelege, Matten, Flechtschläuche usw. (Abb. 32.10). Für Krafteinleitungsbereiche können die idealen Faserrichtungen durch Sticken fixiert werden. Die Bindung der Garne, z. B. zu Geweben, bedingt Faserwelligkeiten, die die Steifigkeits- und Festigkeitswerte im Vergleich zur straffen, unidirektionalen Ausrichtung der Fasern etwas erniedrigen. Dies ist zumindest bzgl. der Längs-Druckfestigkeit experimentell zu quantifizieren. Matrixsysteme [5–7]. Die wichtigsten Kriterien für die Auswahl der Kunststoffmatrix sind eine ausreichend hohe Bruchdehnung, die Temperatureinsatzgrenzen und als Verarbeitungsparameter die Viskosität. Um die maximale Festigkeit der Fasern nutzen zu können, sollte die Bruchdehnung der Matrix mindestens doppelt so hoch wie die der Fasern sein. Damit die Fasern bei Längsdruck ausreichend gestützt wer-

32 Kunststoffe

655

a

b

y

x

–45°

90°

+45°

90°

Schichten vernäht 0°

+45°

Vlies

c

d

e

Abb. 32.10 Faserhalbzeuge. a Köpergewebe; b Atlasgewebe; c vernähtes Multiaxialgelege; d Flechtschlauch; e Fasern einer Krafteinleitung durch Sticken fixiert

den, ist ein Matrix-E-Modul von E 2000 – 4000 N/mm2 notwendig. Während zu niedrigen Temperaturen hin die Steifigkeit der Kunststoffe ansteigt, nimmt sie zu hohen Temperaturen hin ab. Ab einer bestimmten Temperaturhöhe fällt sie dann innerhalb eines kleinen Temperaturintervalls – dem sogenannten Glasübergangsbereich – auf einen sehr niedrigen Wert, der nicht mehr ausreicht, die Faser zu stützen. Der

Beginn des Steifigkeitsabfalls markiert die maximale Einsatztemperatur. Feuchte, die von nahezu allen Kunststoffen aufgenommen wird, wirkt als Weichmacher und senkt die max. Einsatztemperatur. Daher ist der Nachweis ausreichender Temperaturbelastbarkeit an Laminaten durchzuführen, die bei 80 % rel. Luftfeuchte aufgefeuchtet wurden. Die Viskosität bestimmt die Tränkbarkeit der Fasern durch den Kunststoff. Sie sollte bei handwerklicher Verarbeitung etwa 

500 mPas betragen. Sie lässt sich in maschinellen Prozessen durch Temperaturanhebung absenken, bspw. bei Injektionsverfahren auf  20 mPas. Sowohl duroplastische als auch thermoplastische Kunststoffe kommen als Matrixsysteme zum Einsatz. Aufgrund der niedrigeren Viskosität und der somit deutlich besseren Tränkbarkeit überwiegen derzeit die Duroplaste. Sie werden als Reaktionsharze verarbeitet, d. h. sie bestehen aus mehreren Komponenten – meist Harz und Härter –, die nach dem Vermischen chemisch reagieren und zu einem festen Formstoff aushärten. Die Fasern werden mit dem Duroplasten getränkt. Die Aushärtung startet mit dem Vermischungsvorgang und macht sich durch einen anfangs kontinuierlichen, später beschleunigten Anstieg der Viskosität bemerkbar. Der Aushärtevorgang ist beendet, wenn praktisch alle reaktionsfähigen Bindungen im Harz-Härtergemisch vernetzt sind. Üblicherweise beschleunigt man den Aushärteprozess durch Lagern des getränkten Laminats bei erhöhter Temperatur. Am weitesten verbreitet sind Ungesättigte Polyesterharze (UP) und Epoxidharze (EP). UP-Harze sind besonders kostengünstig, die EP-Harze verfügen über etwas höhere Festigkeiten und werden insbesondere im Flugzeugbau eingesetzt. Besonders chemikalienbeständig – und daher für den Rohr- und Apparatebau prädestiniert – sind Vinylesterharze (VE). Für Hochtemperaturanwendungen empfehlen sich bei Dauertemperaturen bis 150 °C Bismaleinimidharze (BMI) und bis 170 °C Polyetherimidharze (PEI). Diese können kurzfristig Temperaturen bis 250 °C ausgesetzt werden. Aufgrund der außerordentlich hohen Zähigkeit, des günstigen Brandverhaltens und der sehr guten chemischen Beständigkeit kommt als Thermoplast für höchstbeanspruchte Bautei-

32

656

le Polyetheretherketon (PEEK) zur Anwendung. Polyamid (PA) ist ebenfalls ein geeigneter Matrixwerkstoff. Für niedrig beanspruchte Verkleidungsbauteile hat sich Polypropylen (PP) durchgesetzt. Faser-Thermoplaste-Verbunde lassen sich mittels Schweißen fügen. Sie bieten zudem die besondere Möglichkeit, dass Verstärkungsrippen, Einschraubaugen usw. an eine Laminatstruktur angespritzt werden können. Zudem lässt sich diese Werkstoffklasse vollständig rezyklieren. Faser-Matrix-Halbzeuge [6, 8]. Um von einer handwerklichen Laminatherstellung abzukommen, die Fertigung zu rationalisieren und bessere Qualitäten zu erzielen, wurden Halbzeuge entwickelt, bei denen die Fasern maschinell mit der Matrix vorimprägniert werden. Derartige Halbzeuge gibt es sowohl mit duroplastischer als auch mit thermoplastischer Matrix. Eine weitere Unterteilung ergibt sich aus der Faserlänge. Zugunsten eines großserientauglichen Fertigungsprozesses werden in einigen Halbzeugen kurze Fasern von 25–50 mm Länge eingesetzt, also ein Steifigkeits- und Festigkeitsverlust gegenüber endlos langen Fasern hingenommen. Diese Halbzeuge liegen bahnförmig oder als „Sauerkrautmasse“ vor und lassen sich presstechnisch mit kurzen Taktzeiten verarbeiten. Im Fall von duroplastischen Harzen wird die Bahnware als Sheet Moulding Compound (SMC), die „Sauerkrautmasse“ als Bulk Moulding Compound (BMC) bezeichnet. Aus den SMC-Bahnen geschnittene Pakete legt man automatisiert in beheizte Presswerkzeuge ein. Durch den Pressdruck und weil nur kurze Faserlängen vorliegen, fließt die Masse auch in entfernte Werkzeugbereiche und härtet dort aus. Da die Fasern sich wirr orientieren, existiert keine Vorzugsrichtung, man erhält isotrope Eigenschaften. SMC-Bauteile besitzen sehr gute Oberflächen und lassen sich ausgezeichnet lackieren. Einsatzbeispiele sind Lkw-Fahrerhäuser, Schaltschränke usw. Wird als Matrix ein Thermoplast, bspw. Polypropylen verwendet, so müssen die glasfaserverstärkten Matten (GMT) vor dem Einlegen über die Schmelztemperatur der Matrix erhitzt werden. Im gekühlten Presswerkzeug erstarrt der geschmolzene Kunststoff nach der Umformung zum fertigen Bauteil.

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Die bestmöglichen Festigkeiten innerhalb der Faserverbundtechnik erzielt man mit Prepregs. Hierbei handelt es sich um vorimprägnierte, endlose, unidirektionale Faser- oder Gewebebahnen, meist aus C-Fasern mit speziellen, zähmodifizierten Epoxidharzen. Sie müssen sorgfältig mit der gewünschten Faserorientierung von Hand oder mit Verlegemaschinen in die Werkzeuge eingelegt werden. Anwendungsgebiete sind Flugzeuge und Hubschrauber sowie der Renn- und Yachtsport. Relativer Faservolumenanteil. Da die Lasten fast ausschließlich von den Fasern getragen werden, müssten bei einer Dimensionierung eigentlich die Fasermengen, d. h. die Anzahl der Faserbündel oder Gewebeschichten festgelegt werden. Man hat jedoch die im Ingenieurswesen gängige Praxis übernommen, Wanddicken zu dimensionieren; demzufolge muss sichergestellt sein, dass sich innerhalb der Wanddicke auch die benötigte Fasermenge befindet. Daher ist immer der relative, d. h. der auf das Gesamtvolumen bezogene Faservolumenanteil ' unbedingt zu bestimmen und anzugeben. Bezüglich des Faservolumenteils stellen sich dem konstruierenden Ingenieur zwei Aufgaben: Zum einen ist der Faservolumenteil für den Konstruktions- und Fertigungsprozess vorab festzulegen, zum anderen ist zu kontrollieren, ob die erforderliche Fasermenge sich im fertigen Laminat befindet. Als „Standard“ hat sich ein Gehalt von ' = 55–60 % etabliert. Obwohl höhere Faservolumenanteile die Leichtbaugüte erhöhen, vermeidet man ' > 65 %, da dann schon lokaler Matrixmangel zu mangelhafter Verklebung zwischen Fasern und Matrix führt. Am ausgehärteten Laminat lässt der Faservolumenanteil sich durch Trennung von Faserund Matrixanteilen und anschließendes Verwiegen der Reste bestimmen. Zur Trennung wird entweder die Matrix verbrannt (vornehmlich bei Glasfasern) oder durch Säuren weggeätzt (bei CFasern). Die Dichte eines Zweistoffsystems Faser-Matrix errechnet sich aus den Dichten von Faser f und Matrix m anhand der Mischungsregel: Verbund D '  f C .1  '/  m

(32.1)

32 Kunststoffe

32.13.3 Spannungsanalyse von Laminaten

657 Abb. 32.12 a Die unidirektionale Schicht im natürlichen 1,2,3-Koordinatensystem als orthotroper Werkstoff mit drei zueinander senkrechten Symmetrieebenen. Die Spannungen entsprechen folgenden Bean^ ^ spruchungen: 1 ; D k I 2 D ^ ^ ^ ? I 3 D ? I 21 D ?k I 31 D ^ ?k I 23 D ?? . b Da eine Ebene auf allen Schnitten isotrope Eigenschaften aufweist, lässt sich die UD-Schicht präzisierend als transversal isotrop bezeichnen

3 τ 31

σ3 τ 23 σ2

Leichtbaustrukturen sind typischerweise dünnσ 2 wandig und flächig ausgebildet. Schnittkräfte τ 1 werden überwiegend in der Ebene wirksam. Da a diese Kräfte sowohl in unterschiedlichen RichSchnittebenen 3 tungen, als auch in unterschiedlichen Beträgen auftreten, ordnet der Faserverbund-Konstrukteur die lasttragenden Fasern in den passenden Richtungen an. Da dies nur getrennt durch Stapeln 2 mehrerer Einzelschichten mit unterschiedlicher 1 isotrope Ebene Faserrichtung geschehen kann, entsteht ein sob genannter Mehrschichtenverbund (MSV), meist Laminat genannt. Generell ist ein MSV also bungsdifferenzen an der Faser-Matrix-Grenzaus Einzelschichten aufgebaut; bei Faser-Kunstfläche auf. stoff-Verbunden sind dies meist unidirektionale Schichten (UD-Schicht). Sie stellen damit das Grundelement eines klassischen MSV dar Auch Gewebe und andere Halbzeuge lassen (Abb. 32.11). sich stückweise – z. B. mittels Finite-ElementeDie UD-Schicht wird für die Spannungsanaly- Methode – als UD-Schicht modellieren. Das lise idealisiert: neare, ideal elastische Werkstoffgesetz einer UDSchicht als Scheibenelement in ihrem natürli die Fasern verlaufen parallel in einer Richtung chen Koordinatensystem einschließlich thermi die Fasern sind gleichmäßig über den Quer- scher und Quelldehnung lautet: schnitt verteilt; die geometrische Anordnung 3 8 9 2 1 8 9 -k? wird als Faserpackung bezeichnet 0 > ˆ > ˆ " E E 1 ? k = <  die Fasern sind ideal gerade und verlaufen oh7 < 1= 6 -?k 1 7 6 0 D  " 2 ne Unterbrechung E? 5 ˆ 2 > 4 Ek ˆ ; : ; : > 1  Matrix und Fasern haften ideal aneinander; 21 21 0 0 G?jj d. h. es treten bei Belastung keinerlei Verschie9 8 9 8 ˆ = ˆ = < ˛M k  M > < ˛T k  T > C ˛T ?  T C ˛M ?  M > > ˆ ; ˆ ; : : 0 0 (32.2) a Im ebenen Spannungsfall werden vier Grundelastizitätsgrößen zur Aufstellung des Werkstoffgesetzes benötigt – Ek , E? , G?k ,  k? – für den dreidimensionalen Fall kommt noch die Querkontraktionszahl  ?? hinzu (Abb. 32.12). Bei Sicherheitsbauteilen und großen Serien sollte man b diese Daten unbedingt experimentell ermitteln, üblicherweise zusammen mit den dazugehörigen Festigkeitswerten. Dies ist sinnvoll, da sie sich Abb. 32.11 a Unidirektionale Schicht, mit idealisierend mit der Spannungshöhe verändern, also nichtangenommener quadratischer oder hexagonaler Faserpa- linear sind. Für die Vorauslegung genügt es, ckung b Einzelne unidirektionale Schichten mit unterschiedlicher Faserausrichtung werden zu einem Mehr- die Grundelastizitätsgrößen rechnerisch auf Basis der Mikromechanik an einem repräsentativen schichtenverbund gestapelt 1

21

32

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Tab. 32.2 Werkstoffdaten einer unidirektionalen Schicht. Epoxidharzsystem, rel. Faservolumenanteil ' = 0,6; Prüftemperatur 23 °C, Mittelwerte; Dichte  in g/cm3 , Elastizitätsmoduln E und Festigkeiten R in N/mm2 , thermische Ausdehnungskoeffizienten ˛ T in mm/mm 1/K RkC

Rk

E?

C R? G?k

R?k ?k

45 160

1300

1320

14 700

55

5300

74

0,3

7  106

1,55

125 000

2650

1470

7800

65

4400

98

0,34

0,4  106 36,1  106

1,62

245 000

2200

1030

6900

45

3900

59

0,3

Fasertyp



Standard E-Glasfaser Standard-C-Faser (T700) HochmodulC-Faser (M46)

2,0

Ek

Grundelement – bestehend aus Faser und Matrix – zu ermitteln. Formeln hierzu finden sich in [6]. Die thermischen Ausdehnungskoeffizienten ˛ Tk , ˛ T? lassen sich experimentell mittels Dilatometer oder aber mikromechanisch bestimmen (Tab. 32.2). Die Quelldehnungskoeffizienten ˛ Mk , ˛ M? ergeben sich experimentell aus Längenmessungen oder rechnerisch aus mikromechanischen Gleichungen. Das Werkstoffgesetz des Laminats oder Mehrschichtenverbunds (MSV) wird rechnerisch aus den Elastizitätsgesetzen der Einzelschichten zusammengesetzt. Ist das Werkstoffgesetz des MSV bekannt, so lassen sich anschließend die Verzerrungen des Laminats sowie die Spannungszustände in den einzelnen Schichten bestimmen. Hierzu wurde die Klassische Laminattheorie (CLT) entwickelt; ein Programm namens alfalam ist unter www.klub.tu-darmstadt.de hinterlegt. Selbstverständlich lässt sich ein MSV auch mittels Finite-Elemente-Methode modellieren und analysieren. Dies empfiehlt sich immer bei komplexeren Strukturen. Meist wird die CLT verwendet, verschiedene Laminatkonfigurationen miteinander zu vergleichen, um das Leichtbauoptimum zu finden. Dem Werkstoffgesetz der UD-Schicht ist zu entnehmen, dass die Einflüsse von Temperatur und Feuchte berücksichtigt werden müssen. Zum einen ändern sich in Abhängigkeit von Temperatur und Feuchte die Grundelastizitätsgrößen; sie sind also korrekterweise bei den interessierenden Temperaturen und Feuchtegehalten zu bestimmen. Zum anderen entstehen aufgrund unterschiedlicher thermischer Dehnung und Feuchtequellung von Faser und Matrix Eigenspannungen. Sie treten mikromechanisch unmittelbar

˛Tk

˛T? 30  106

0,7  106 36,5  106

zwischen Faser und Matrix auf und werden bei der Festigkeitsanalyse automatisch mit berücksichtigt. Die makromechanischen Eigenspannungen zwischen den einzelnen Schichten lassen sich mittels CLT berechnen. Meist stellt die Abkühlung von der Härtetemperatur bei der Laminatfertigung die größte Temperaturdifferenz dar. Da sie genau bekannt ist, lassen sich auch die Abkühlspannungen gut ermitteln. Sie überlagern sich den mechanischen Spannungen, so dass infolge der thermischen Eigenspannungen die mechanische Belastbarkeit des Laminats meist vermindert wird. Vertieft zu untersuchen sind weiterhin die thermischen Spannungen in Krafteinleitungen, die aus der Paarung FKV-Metall entstehen. Dies betrifft insbesondere auch die Vorspannverluste in Schraubverbindungen.

32.13.4 Laminattypen Steifigkeiten und Festigkeiten eines Laminats lassen sich gezielt konstruieren. Im Gegensatz zu Konstruktionswerkstoffen wie Stahl und Aluminium ist dabei jedoch nicht nur die Wanddicke zu dimensionieren. Der Konstrukteur hat zusätzlich festzulegen:  den Faservolumenanteil in den Einzelschichten,  die Faserrichtung der einzelnen Schichten,  die Dicke der Einzelschichten,  die Schichtreihenfolge. Aus dieser Parametervielzahl ergibt sich eine unendliche Anzahl von Möglichkeiten. Zwar könnte man einen einzigen Laminataufbau für alle Lastfälle verwenden, allerdings würde dies

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659

Abb. 32.13 Scheibenlastfälle und darauf abgestimmte klassische Laminattypen. UD Unidirektionale Schicht, AWV Ausgeglichener Winkelverbund, KV Kreuzverbund, SL Schublaminat, TL Triax-Laminat, FBL Flugzeugbau-

laminat, QIL Quasiisotropes Laminat. n Kraftfluss, d. h. Schnittkraft/Breite; ^ der Kraftfluss ist nicht auf eine Einzelschicht, sondern auf das gesamte Laminat bezogen

meist zu einer schlechten Leichtbaugüte führen. In der Faserverbundtechnik haben sich daher einige Laminattypen herauskristallisiert, die die Auswahl sinnvoll einschränken. Alle diese Laminattypen haben einige zentrale Eigenschaften gemeinsam:

Unidirektionale Schicht (UD). Mit der UDSchicht lassen sich Vorteile der Faser-KunststoffVerbunde am vollkommensten umsetzen. Gegenüber metallischen Werkstoffen lässt sich nicht nur der Dichtevorteil, sondern auch die überlegenen, extrem hohen Faserfestigkeiten nutzen. Leider ist dieser Laminattyp nur für einachsige Zug- oder Druckbelastung geeignet; quer zur Faserrichtung ist die Belastbarkeit sehr gering. Anwendungsbeispiele sind Umfangsbandagen bei auf Fliehkraft- oder Innendruck beanspruchten Strukturen, Blattfedern, die Gurte in Biegeträgern und Schlaufenanschlüsse.

 Sie sind auf eine spezielle Belastung abgestimmt. Auf den jeweiligen Lastfall angepasst vermeiden sie, dass zu hohe Spannungen über die Matrix laufen. Sie verkörpern das zentrale Konstruktionsziel der Faserverbundtechnik, die Spannungen in den Fasern zu konzentrieren.  Diese Laminate bringen die Symmetrien mit, die notwendig sind, um das Laminat orthotrop zu halten und damit unerwünschte Koppelungen zu vermeiden.  Diese Laminate sind besonders einfach herstellbar; es gibt teilweise sogar spezielle Halbzeuge.

Kreuzverbund (KV). Der Kreuzverbund besteht aus den senkrecht zueinander orientierten Faserrichtungen ˛ = 0° und 90°. Die Abstimmung auf den herrschenden Spannungszustand ist recht einfach: Die Fasern werden in Richtung der Hauptspannungen ausgerichtet. Die Anteile der 0° und der 90°-Schicht sind entsprechend der Höhe der Hauptspannung zu wählen. Jedoch darf Folgende Laminattypen sind zu nennen sich der Hauptspannungszustand im Betrieb nur (Abb. 32.13): wenig ändern, da dann ansonsten zu viele Kräfte

32

660

über die Matrix laufen. Der KV wird üblicherweise mit einer Gewebeschicht, bei der Kette und Schuss senkrecht zueinander orientiert sind, oder aber durch Stapeln einzelner, um 90° zueinander verdrehter UD-Schichten erzeugt. Eine typische Anwendung sind innendruckbelastete Rohre, bei denen man die Fasern entsprechend der Hauptnormalenrichtung in Umfangs- und Längsrichtung orientiert. Ausgeglichener Winkelverbund (AWV). Kennzeichen des AWV ist, dass UD-Schichten paarweise mit gleichem Winkel, jedoch entgegen gesetztem Vorzeichen geschichtet sind. Damit werden zwei senkrecht zueinander orientierte Symmetrieebenen erzeugt. Das Laminat zeigt dadurch orthotropes Verhalten. Im Gegensatz zur UD-Schicht ist der AWV in der Lage, einen zweiachsigen Spannungszustand überwiegend durch Faserkräfte aufzunehmen. Damit die Kräfte hauptsächlich in den Fasern konzentriert sind und die Spannungen quer zur Faserrichtung klein bleiben, muss die Faserrichtung auf den herrschenden Hauptspannungszustand abgestimmt werden. Ändert sich dieser, so verlaufen die Kräfte auch vermehrt über die Matrix. Ein AWV empfiehlt sich somit nur, wenn sich der Hauptspannungszustand im Betrieb nur wenig ändert. Typische Anwendungen sind innendruckbelastete Rohre und Behälter mit ˛ = ˙54,7° oder Antriebswellen mit ˛ = ˙15°. Triax-Laminat (TL). Während bei den obigen Laminattypen dem ebenen Spannungszustand mit nur zwei Faserrichtungen begegnet wurde – dies ist allerdings mit dem Manko behaftet, dass sich der Hauptspannungszustand nur geringfügig ändern darf – ist ein Laminat mit drei und mehr Faserrichtungen in der Lage, jeden ebenen Spannungszustand überwiegend durch Kräfte in den Fasern aufzunehmen. Derartige Laminate empfehlen sich immer dann, wenn sich die Kräfte und die Kraftrichtungen im Betrieb stark ändern. Prinzipiell können die 3 Faserwinkel beliebig gewählt werden. Sinnvoll ist es, das Laminat orthotrop zu gestalten, indem Symmetrien konstruiert werden: Üblicherweise kombiniert man eine UDSchicht mit einem AWV.

M. Kübler et al.

Flugzeugbau-Laminat (FBL). Weit verbreitet – insbesondere im Flugzeugbau – ist das 0°/˙45°/90°-Laminat. Die 0°- und die 90°Schicht nehmen dabei primär die Normalspannungen eines ebenen Spannungszustands auf, die ˙45°-Schichten überwiegend die Schubspannungen. Demzufolge wird mit diesem Laminataufbau jeder ebene Spannungszustand vornehmlich durch die Fasern aufgenommen. Die Anpassung, bzw. Optimierung ist einfach. Da die Faserrichtungen festliegen, muss der Konstrukteur nur die Schichtdicken der vier Faserrichtungen festlegen. Fertigungstechnisch lässt sich das Laminat aus Geweben aufbauen, die um 45° zueinander verdreht gestapelt sind. Günstig ist, dass das FBL sich besonders gut für Nietverbindungen eignet. Es liegen alle notwendigen Faserorientierungen vor, um alle spezifischen Nietbelastungen primär durch Faserkräfte aufzunehmen. Darüber hinaus lässt sich mit dem FBL ein Sonderfall konstruieren. Führt man alle Schichten des Flugzeugbaulaminats mit gleichen Schichtdicken aus, so verhält sich es sich in der Laminatebene isotrop. Schublaminat (SL). Einer Schubbelastung sind bei FKV besondere Aufmerksamkeit zu widmen. Fast immer sind hierzu besondere Faserorientierungen vorzusehen. Bei überwiegender Schubbeanspruchung – bei Torsion eines Rohrs oder Querkraftschub in einem Balken – verwendet man Schublaminate. Ersetzt man den Schubspannungszustand durch den äquivalenten Hauptspannungszustand, so leuchten die passenden Faserwinkel eines SL unmittelbar ein: Man orientiert die Fasern in Richtung der Hauptspannungen. In das x,y-Laminat-KOS transformiert entspricht dies einem (˙45)-Laminat. Einige Faserverbund-Konstrukteure glauben, dass bei ausschließlichem Schub nur das (˙45)-Laminat in Frage kommt. Nach Netztheorie sind jedoch alle AWV als SL geeignet. Von dem üblichen (˙45)-SL sollte man insbesondere abweichen, wenn zusätzlich zur Schubbelastung hohe Längskräfte auftreten. Ein gutes Beispiel hierfür sind die Schubstege von Querkraft-belasteten Biegeträgern. Schublaminate finden sich in Torsionsrohren, Drehstabfedern, Torsionsnasen von Tragflügeln und Stegen von Biegeträgern.

32 Kunststoffe

661

Quasiisotropes Laminat (QIL). Als weiterer Laminattyp sind Quasiisotrope Laminate zu nenσ+|| nen. Senkrecht zur Laminatebene liegen unendlich viele Symmetrieebenen vor. Man erhält daa mit gleichsam die Eigenschaften eines isotropen „Blechs“. Diese Laminate besitzen – gleichen Fasertyp und gleich große Schichtdicken vorausσ–|| gesetzt – unter allen Schnittrichtungen in der b x,y-Ebene isotrope Eigenschaften. Damit eignen sie sich insbesondere für stark ändernde Lastrichtungen. Es ist einleuchtend, dass Isotropie nur erzielbar ist, wenn die Winkeldifferenzen σ+⊥ zwischen den Faserrichtungen gleich groß sind; c bspw. lässt sich ein QIL mit Winkeldifferenzen von 60° (= 360° : 6), 45° (= 360° : 8) oder 36° (= 360° : 10) usw. konstruieren. Der Konstrukteur τ⊥|| muss keine Laminatoptimierung durchführen; er passt lediglich die Wanddicke an die Belastung d an. QIL sind meist nicht leichtbauoptimal; man setzt sie eher bei niedrig beanspruchten Struktu- Abb. 32.14 a Faserbruch durch Zerreißen von Faserbündeln bei faserparalleler Zugbeanspruchung. b Versagen ren ein, bspw. bei Verkleidungen.

32.13.5 Festigkeitsanalyse von Laminaten Die Komponenten Faser und Matrix weisen unterschiedliche Versagensarten auf. Grundsätzlich sind Faserbruch (Fb) und Zwischenfaserbruch (Zfb) zu unterscheiden (Abb. 32.14). Faserbruch wird praktisch ausschließlich durch eine faserparallele Beanspruchung erzeugt; die Festigkeiten sind sehr hoch. Zwischenfaserbruch erstreckt sich zwischen den Fasern, entweder durch die Matrix oder es versagt die Faser-Matrix-Verklebung in der Grenzfläche. Der Riss verläuft parallel zur Faserlängserstreckung und durchtrennt die betreffende UD-Schicht meist vollständig. In einem Laminat wird er an Nachbarschichten gestoppt, wenn diese eine deutlich abweichende Faserorientierung von der versagenden Schicht haben. Zfb liegt im Vergleich zu Fb deutlich niedriger und ist daher meist die dimensionierende Festigkeitsgrenze. Zfb kann manchmal toleriert werden. Faser- und Zwischenfaserbruch können derzeit noch nicht zuverlässig vorherberechnet wer-

bei faserparalleler Druckbeanspruchung tritt in Form von Schubknicken auf; c Zwischenfaserbruch bei Querzugbeanspruchung; d Zfb bei Quer-Längs-Schubbeanspruchung

den; sie sind experimentell zu ermitteln. Aufgrund der Orthotropie der UD-Schicht sind nicht nur 5 Grundelastizitätsgrößen, sondern auch 6 Festigkeiten zu bestimmen; bei den Normalspannungen sowohl Zug- als auch Druckfestigkeiten. Faserbruch. Faserbruch tritt in zweierlei Ausprägungen auf: Bei Längszug werden die Fasern zerrissen, d. h. ihre Kohäsivfestigkeit wird überschritten. Bei Längsdruck tritt Schubknicken auf. Diese Stabilitätsversagensform wird als Längsdruckfestigkeit gedeutet. Von dominierendem Einfluss auf die Längsdruckfestigkeit ist, ob die Fasern perfekt gerade, d. h. ondulationsfrei vorliegen. Tendenziell erreicht die Längszugfestigkeit höhere Werte als die Längsdruckfestigkeit. Faserbruch unter Ermüdungsbelastung entwickelt sich sehr komplex und wird stark von der Matrix beeinflusst. Als Bruchkriterium ist das Maximalspannungskriterium anwendbar: Bruch tritt ein, sobald die maximale Zug- oder Druckspannung die zugehörige Festigkeit überschreitet.

32

662

M. Kübler et al.

Abb. 32.15 Zfb-Master-Bruchkörper für den 3D-Spannungszustand der unidirektionalen Schicht (ohne Längsspannungen). Die Spannungsachsen des Bruchkörpers entsprechen folgenden Beanspru^ ^ ^ chungen: n D ? , n1 D ?k , nt D ?? . Alle Spannungskombinationen auf der Oberfläche des Bruchkörpers führen zum Zfb

Abb. 32.16 Versagenskurve für Zfb im Falle eines ebenen Spannungszustands einer UD-Schicht. Für den Zfb ^ ^ sind die Spannungen 2 D? ; 21 D?k verantwortlich; daher wird die Versagenskurve üblicherweise ohne Längsspannungen an der Position  1 = 0 gezeichnet. Je nach

Spannungskombination treten drei verschiedene Bruchmodi auf, die nach Puck mit A, B, C gekennzeichnet werden. Die Kurve ist – da Schubversagen Vorzeichenunabhängig ist – zur  2 -Achse symmetrisch

Zwischenfaserbruch. Zwischenfaserbruch wird von einer der drei Beanspruchungen Querzug ?C , Quer-Längsschub ?k , Quer-Querschub ?? oder aber einer Kombination dieser Spannungen initiiert. Während bei Faserbruch die Interaktion der Spannungen in erster Näherung vernachlässigt werden kann, sind sie bei Zfb unbedingt zu berücksichtigen. Es gibt eine Fülle von Zfb-Bruchkriterien. Besonders empfehlenswert ist das Puck’sche Wirkebenenkriterium. Es ist physikalisch begründet, gilt für dreidimensionale Spannungszustände und liefert zusätzlich den Bruchwinkel der UD-Schicht. Es lässt sich anhand des sogenannten Master-Bruchkörpers visualisieren (Abb. 32.15). Die mathematische Formulierung des Bruchkörpers findet sich in [6, 9, 10]. Im meist vorliegenden Fall eines ebenen Spannungszustands entfällt die Beanspruchung

?? ; das Puck’sche Wirkebenenkriterium für Zfb lässt sich als ebene Versagenskurve darstellen (Abb. 32.16). Bei genauer Betrachtung wird deutlich, dass der Zwischenfaserbruch in einer UD-Schicht nicht allein von den Spannungen  2 und  21 abhängt, sondern dass auch Längsspannungen  1 , die eigentlich für Faserbruch ausschlaggebend sind, auf den Zfb rückwirken. Diese erweiterte Interaktion lässt sich ebenfalls visualisieren (Abb. 32.17). Das „Knie“ im Spannungs-Verzerrungs-Diagramm eines Laminats. Zwischenfaserbrüche einer Einzelschicht machen sich im Verhalten eines Laminats durch einen Steifigkeitsverlust bemerkbar. Besonders deutlich wird der Zfb bei Querzug, bspw. im Spannungs-Dehnungs-Diagramm eines (0/90)-Laminats (Abb. 32.18). Im

32 Kunststoffe

663

Bruchfläche für Zwischenfaserbruch Bruchfläche für Faserbruch

Abb. 32.17 Erweiterung von Abb. 32.16 um die Längsspannungen: Zfb-Bruchkörper für den ebenen Spannungs^ ^ ^ zustand (1 D k ; 2 D ? ; 21 D ?k ) einer UDSchicht. Obschon ein zweidimensionaler Spannungszustand wirkt, wird ein 3-D-Bruchkörper dargestellt. Dies ermöglicht es, die Interaktion faserparalleler Spannungen

Kurvenverlauf äußert sich der erste Zfb als Knick, als sogenanntes „Knie“. Dieser Punkt wird auch, da die Rissbildung deutlich hörbar ist, Knistergrenze genannt und kann durch eine Schallemissionsanalyse (SEA) genau detektiert werden. Durchscheinende GFK-Laminate trüben sich ab dem Knie kontinuierlich ein. An den vielen kleinen Rissen ändert sich die Brechung im Übergang zu Luft und Laminate werden milchig trübe. Bei Belastungssteigerung entstehen weitere Risse. Die Rissdichte nimmt solange zu, bis in den Bereichen zwischen den Rissen keine ausreichend hohen Spannungen zur neuerlichen Überschreitung der Bruchgrenze mehr aufgebaut werden können. Dies ist der Fall, wenn der Rissabstand zu klein geworden ist. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm verläuft ab dem Knie durch die Riss-bedingte Steifigkeitsabnahme ein Stück degressiv, bis Risssättigung erreicht ist. Das Totalversagen des Laminats erfolgt schließlich durch Faserbruch.

auf das Zfb-Geschehen mit zu erfassen. Zusätzlich eingetragen ist das Bruchkriterium für Fb: Es wird durch die beiden Flächen repräsentiert, die den Bruchkörper an den Enden „kappen“. Auf diese Weise gelingt es, für den ebenen Spannungszustand alle Grenzspannungszustände in einem einzigen Bruchkörper abzubilden Fb in 0°-Schicht

500

Zfb in 0°-Schicht wegen Behinderung der Querkontraktion

400

300

Betriebsbereich

200 kontinuierliche Querrissbildung in der 90°-Schicht

100 „Knie“ = 1. Zfb in der 90°-Schicht

0 0

0,01

0,02

Abb. 32.18 „Knie“ und fortschreitende Degradation im Spannungs-Dehnungs-Diagramm eines GF-EP-Kreuzverbunds infolge Zwischenfaserbruch

Laminatebene wirkende Normalspannungen als auch Schubspannungen auftreten. Delaminationen zählen zu den Zwischenfaserbrüchen. Bei transparenten Glasfaser-Laminaten sind Delaminationen durch großflächige Trübungen visuell gut zu erkennen. Bei nicht transparenten Kohlenstofffaser-Laminaten lassen sie sich durch zerstörungsfreie Prüfmethoden, basierend auf Ultraschall oder Thermografie detektieren. Delaminationen können verschiedene Ursachen haben; die zwei folgenden Lastfälle gehören zu den häufigsten Verursachern (Abb. 32.19):

Schichtentrennung oder Delamination. Eine besondere, eigentlich nur bei Schichtaufbauten auftretende Versagensart ist der flächige Trennungsbruch in Laminatebene, die sogenannte Delamination. Sie wird durch interlaminare Spannungen hervorgerufen, die nicht innerhalb einer Schicht, sondern zwischen den Schichten auf der Grenzfläche wirken. Als interlami-  Bei Schlagbelastung einer Laminatplatte sind die eng begrenzten lokalen Beanspruchungen nare Spannungen können sowohl senkrecht zur

32

664

M. Kübler et al.

kriteriums werden auch die Rissorientierungen angegeben.

F

a Delamination

b

Mb

Aufziehspannungen σ r

Degradationsanalyse. Da ein Laminat beim Auftreten erster Risse nicht vollständig versagt, sondern die nicht mehr ertragbaren Spannungen in intakte Nachbarschichten umlagert (Abb. 32.18), wird der Umlagerungsprozess in einer sogenannten Degradationsanalyse beschrieben. Die fortschreitende Degradation infolge kontinuierlicher Rissbildung wird durch Reduktion der Steifigkeiten erfasst.

Mb

Abb. 32.19 a Eine Schlagbelastung, d. h. eine hohe, lokale Querkraftbiegung, führt zu Zwischenfaserbrüchen, die an den schwer durchtrennbaren Nachbarschichten zu Delaminationen umgelenkt werden; b An einem gekrümmten Laminat haben Biegespannungen eine radiale Komponente, die beim Aufbiegen als Aufziehspannung wirksam wird und Delaminationen auslöst

so groß, dass sowohl Faserbrüche, Zwischenfaserbrüche als auch Delaminationen auftreten.  Eine Belastung, die zu erheblichen Aufziehspannungen und damit zu Delaminationen führt, ist das Aufbiegen gekrümmter Laminate entgegengesetzt zur Krümmung. Gefährlich sind Delaminationen insbesondere bei Bauteilen, die beulgefährdet sind. Aufgrund der Schichtentrennung hat sich die Biegesteifigkeit des Laminats drastisch reduziert, so dass frühzeitiges Beulen des Laminats mit abschließendem katastrophalem Kollaps die Folge ist. Um das Ausmaß der Schädigung bei der gefürchteten Schlagbeanspruchung beurteilen zu können, wird ein spezieller Test „Druckbelastung nach Schlagbeanspruchung“ (compression after impact, CAI-Test) durchgeführt. Laminattheorie und Bruchanalyse. CLT-Programme wurden auf die Festigkeitsanalyse erweitert. Dabei wird der errechnete Spannungszustand jeder einzelnen Schicht anhand der Bruchkriterien auf Faser- und Zwischenfaserbruch bewertet und im Falle des Puck’schen Wirkebenen-

32.13.6 Fügetechniken Klebung. Naheliegend und für FKV besonders gut geeignet sind Klebverbindungen. Ein Problem bei Klebverbindungen sind die hohen Schubund Schälspannungsspitzen, die bei Überlappungsklebungen an den Enden der Fügeteile auftreten. Insbesondere die Schälspannungen lassen sich bei FKV sehr stark mindern, indem man den schichtenweisen Aufbau des Laminats nutzt und die Einzelschichten im Übergang abstuft. Ebenso bietet der Schichtenaufbau die Chance, zu schachteln und so sehr viele Klebflächen zu generieren; damit sinken für die einzelne Klebung die auftretenden Spannungsspitzen und es gelingt zusätzlich, ein Zusatzmoment zu vermeiden (Abb. 32.20). Nietverbindung. Faser-Kunststoff-Verbunde lassen sich vorzüglich mittels Niete fügen. Besonders geeignet sind die Faserorientierungen des Flugzeugbaulaminats (0/˙45/90). Ausgelegt wird auf Lochleibungsversagen, da diese Versagensform sehr gutmütig ist; es tritt lediglich eine Lochaufweitung, meist kombiniert mit geringfügigem Lochleibungs-Druckversagen auf, jedoch keine vollständige Fügeteiltrennung. Alle anderen Versagensformen wie Flankenzug-, Scher- und Spaltbruch müssen vermieden werden (Abb. 32.21). Hierzu sollten die 0°- und die beiden ˙45°-Schichten des Flugzeugbaulaminats etwa gleich dick sein, während die 90°-Schicht nur zirka 10 % von der gesamten Laminatdicke

32 Kunststoffe

665

Fx

a

Hebelarm

= 0 zunehmende Dehnung z x

Überlappungslänge

Fx

b

a

Fx

c

Abb. 32.20 a Schubverformung des Klebstoffs in einer Überlappungsklebung (überzeichnete Klebschichtdicke) mit Schub- und Schälspannungsspitzen ( xz ;  z ) an den Enden (qualitativ, Klebstoff linear elastisch); b Bei größeren Fügeteildicken sollten die Fügeteile gestuft werden; dies reduziert vor allem die Schälspannungen; c Schachtelung einzelner Laminatschichten, um größtmögliche Klebschichtflächen zu generieren und um die lokalen Störungen zu verteilen

ausmachen sollte. Gleichzeitig müssen die Mindestabstände des Niets vom Rand eingehalten werden. Wird ein Laminat mit C-Fasern, das in feuchter Umgebung eingesetzt wird, genietet, so sollten die Niete aus rostfreiem Stahl oder einer Titanlegierung bestehen. Da die C-Fasern in der elektrolytischen Spannungsreihe als edel eingestuft sind, besteht zu einem Al-Niet eine große Potentialdifferenz. Ist ein Elektrolyt vorhanden, so löst sich der Al-Niet als Anode auf. Zu vermeiden ist ein lockerer Sitz der Niete, da der Niet sich schräg stellt und die hohe Kantenbelastung zu lokaler Rissbildung an den Rändern der Bohrung führt. Auslegungsbeziehungen finden sich in [6, 11]. Schraubverbindungen, die ja über Reibung tragen, weisen zwei Probleme auf: Da in Laminatdickenrichtung meist keine Verstärkungsfasern vorliegen, ertragen Laminate zum einen keine hohen Vorspannkräfte und zum anderen ist mit starkem Relaxieren der Vorspannkräfte zu rechnen. Ohne spezielle Maßnahmen sollten Schraubverbindungen daher auf Lochleibung dimensioniert werden. Schlaufenanschluss. Die höchste Belastbarkeit bei minimalem Gewicht bieten unidirektionale Faserstränge, wenn sie ausschließlich in Faserrichtung belastet werden. Da derartige Stränge den Charakter von Seilen haben, liegt es nahe,

b

c

Abb. 32.21 Die Lochleibungsspannungen des Bolzens O L induzieren unterschiedliche Versagensformen; jede Versagensform benötigt eine angepasste Faserausrichtung. a 0°-Fasern gegen zu starke Lochaufweitung, für hohe Lochleibungsfestigkeiten und gegen Flankenzugbruch, b ˙45°-Faserorientierung gegen Scherbruch, c ˙45°oder 90°-Fasern gegen Spaltbruch. In Summe sind alle genannten Faserorientierungen zu überlagern. Der Randabstand beträgt e = 3d

FKV-Krafteinleitungen durch Umschlingen eines Bolzens, als sogenannten Schlaufenanschluss zu konstruieren. Der Schlaufenanschluss ist dann von Vorteil – und man sollte ihn auch nur dann realisieren – wenn hohe Kräfte punktuell eingeleitet werden müssen. Nachteilig ist seine aufwändige Herstellung. Höchste Festigkeiten lassen sich erzielen, wenn die Stränge absolut ondulationsfrei abgelegt werden. Ausgeführt wird der Schlaufenanschluss überwiegend als Parallelschlaufe. Bei der Variante der Augenschlaufe treten zusätzlich Aufziehspannungen auf, die durch eine Bandagierung mit Fasern in Umfangsrichtung aufgenommen werden müssen (Abb. 32.22). Die höchsten Spannungen in der Schlaufe finden

32

666

M. Kübler et al. Bandagierung F/2

F

F/2

a

Aufziehspannungen F/2

F Flanke

Schaft

F/2

b z

Stützflansch Bolzen

c

Abb. 32.22 Schlaufenschluss. a prinzipielle Ausführungen (Augenschlaufe, Parallelschlaufe) und höchstbelasteter Bereich, b notwendige seitliche Stützung der Schlaufe durch Flansche

sich an der Bolzenflanke: Durch das Abziehen des Strangs vom Bolzen überlagern sich der Zugbelastung Biegespannungen [6, 11]. Diese Kombination führt auf dem Schlaufeninnenradius zum Faserbruch. Schlaufen müssen seitlich gestützt werden, da ansonsten der radiale Druck der äußeren Schichten frühzeitig Zwischenfaserbruch verursacht. Um Biegemomente einzuleiten verwendet man Doppelschlaufen.

32.13.7 Fertigungsverfahren Handlaminieren. Vielfach werden FKV-Strukturen noch handwerklich als Handlaminate hergestellt. Vorteilhaft ist, dass praktisch jedes Bauteil auf diese Weise gefertigt werden kann. Für Prototypen, Kleinserien und für sehr große Bauteile, die nicht in Maschinen passen, ist dies die sinnvollste Vorgehensweise. Die Faserhalbzeuge, z. B. Gewebe, werden dabei Schicht um Schicht in oder über eine vorab mit Trennmittel behandelte Form drapiert und mittels Pinsel und Rolle mit dem flüssigen Reaktionsharz getränkt. Hierbei ist insbesondere auf minimale Faserwelligkeit zu

achten. Eine deutliche Qualitätssteigerung lässt sich erreichen, wenn man das Laminat nach dem Tränkprozess unter Vakuum setzt, bspw. indem man es in einen Foliensack einbringt, in dem mittels Vakuumpumpe Unterdruck erzeugt wird („Vakuumsackverfahren“). Das Laminat wird dadurch kompaktiert, überschüssiges Harz und insbesondere Luftblasen werden entfernt. Kalthärtende Matrixharze härten nach gewisser Zeit bei Umgebungstemperaturen um 20 °C aus. Um jedoch optimale Festigkeiten und Beständigkeiten zu erreichen, muss das Bauteil fast immer im Umluftofen bei erhöhten Temperaturen nachgehärtet werden. Nach Entnahme und Erkalten wird das Bauteil entformt und nachbearbeitet, d. h. die Kanten besäumt, Bohrungen gesetzt usw. Wickeltechnik [12, 13]. Für Rohre, Behälter, Antriebswellen – kurzum alle rotationssymmetrischen Strukturen – ist die Wickeltechnik das ideale Fertigungsverfahren. Die dazu benötigten Wickelmaschinen ähneln Drehmaschinen (Abb. 32.23 ). Die Fasern werden auf einem Wickelkern numerisch gesteuert, präzise und wellenfrei abgelegt. Die Fertigungsqualität ist ausgezeichnet und das Verfahren lässt sich problemlos automatisieren. Bei Serienproduktionsanlagen bewickelt man mehrere Wickelkerne gleichzeitig. Sehr kurze Wickelzeiten erreicht man mit so genannten Ringfadenaugen, die es ermöglichen, etwa 30–100 Faserrovings gleichzeitig auf dem Wickelkern abzulegen. Vorteilhaft ist, dass keine Halbzeug-Zwischenstufen benötigt, sondern die preisgünstigsten Ausgangsmaterialien, Rovings und Harz verarbeitet werden. Die Tränkung erfolgt in der Anlage, indem die Rovings unmittelbar vor dem Ablegen auf dem Wickelkern durch ein Tränkbad gezogen werden. Nach dem Bewickeln entnimmt man den Kern der Wickelmaschine und härtet das Laminat rotierend in einem Umluftofen. Anschließend zieht man den Kern aus dem fertigen Rohr. Injektionsverfahren [12, 13]. Von dieser Technologie gibt es viele Varianten. Allen ist gemein, dass die Faserhalbzeuge in der gewünschten Reihenfolge und Orientierung trocken, d. h. ohne Harz, in eine Form eingelegt werden. Nachdem

32 Kunststoffe

667

CNC-Steuerung

a

Faserspulen

Zuhaltekräfte

umlaufender Harz-Angusskanal

Wickelkern

Tränkbad mit Tränkwalze

Wickelkern

zentrale Absaugung

Faserhalbzeug Werkzeughälfte

b StahlDruckbehälter Heizung

c

pi Vakuumleitung

Laminat eingepackt in Vakuumsack

Abb. 32.23 a Wickeln eines Rohres, b Injektionstechnik, c Autoklavfertigung

tet. Vorteile des Verfahrens sind, dass aufgrund der geschlossenen Form eine hohe Arbeitshygiene eingehalten und eine reproduzierbare Qualität gefertigt werden kann. Das Verfahren eignet sich insbesondere für mittlere Serienumfänge. Prepregtechnologie [12, 13]. Mit dieser Technologie lassen sich die besten FKV-Qualitäten erzielen. Auf Prepregmaschinen – meist Walzenkalandern – werden die Faserhalbzeuge mit dem Matrixharz getränkt. Die maschinelle Tränkung hat die Vorteile, dass eine luftblasenfreie, gleichbleibende Tränkqualität erzielbar ist, und auch besonders risszähe, ermüdungsfeste, dafür aber hochviskose Harze verarbeitet werden können. Die Prepregbahnen werden beim Bauteilhersteller CNC-gesteuert zugeschnitten und nach festgelegter Reihenfolge entweder per Hand – unterstützt durch den Positionierstrahl eines Laserprojektors – oder aber per Legeroboter in der Bauteilform gestapelt. Anschließend wird das Laminat mit Folie abgedeckt, unter der Folie Vakuum gezogen und im Ofen ausgehärtet (Abb. 32.23). Bei höchsten Anforderungen – bspw. Bauteilen der Luft- und Raumfahrttechnik – wird im Autoklaven gehärtet; d. h., das Laminat wird zusätzlich mit etwa 7 bar Überdruck kompaktiert. Kleinere Bauteile können auch auf Pressen gefertigt werden. Nachteilig ist, dass die exzellenten Bauteileigenschaften, die die Prepregtechnologie bietet, mit hohen Investitionen und einem aufwändigen Fertigungsprozess erkauft werden müssen.

die Form geschlossen und abgedichtet ist, wird das Matrixharz – häufig unterstützt durch ein an der Form angelegtes Vakuum – an definierten Stellen in die Form injiziert (Abb. 32.23). Die Unterschiede in den Verfahren beziehen sich meist auf die Art des Angusses und der Strömungsführung. Sobald das textile Halbzeug vollständig getränkt ist, wird der Injektionsvorgang beendet und das Laminat durch Temperaturerhöhung der Form beschleunigt ausgehär- Anhang

32

POM

Polyacetalharze

PC

PPE

PMMA PS SB SAN

ABS

ASA

Polycarbonat

Polyphenylether

Polyacrylat Polystyrol Styrol-Butadien Styrol-Acrylnitril

AcrylnitrilButadien-Styrol

SAN mit Acrylester

PBT

thermoplastische PET Polyester

PA NDT/INDT

PA12

PA11

PA66

PA6

Festigkeitskennwerte [MPa]

1,31. . . 1,37 1,5 . . . 1,8 1,29. . . 1,3 1,5 . . . 1,6 1,2 . . . 1,23 1,27. . . 1,45 1,04. . . 1,11 . . . 1,38 1,7. . . 1,2 1,05 1,04. . . 1,05 1,08 1,2 . . . 1,4 1,06. . . 1,08 1,09. . . 1,5 1,07

. . . 1,6 

50. . . 75 y 120. . . 180 .M /   50. . . 60 y 110. . . 160  .M / 55. . . 70 y 70. . . 150 .M /   36. . . 70 y 70. . . 140 .B / 60. . . 90 .M / 45. . . 65 .M/ 15. . . 50 y 70. . . 80 .M / . . . 140 .M /   30. . . 55 y . . . 70 .M / 45. . . 60 .M /



90. . . 140 .M /

  1,12. . . 1,14 60. . . 90 tr y   35. . . 70 f. y . . . 1,4 150. . . 220 tr .M / 120. . . 170 f. .M /   1,13. . . 1,15 70. . . 90 tr y   55. . . 75 f. y . . . 1,4 180. . . 230 tr .M / 130. . . 180 f. .M /   1,03. . . 1,05 40. . . 60 y . . . 1,26 60. . . 150 .M /   1,01. . . 1,02 35. . . 50 y . . . 1,25 50. . . 120 .M/ 1,04. . . 1,12 70. . . 110 y . . . 1,4 149. . . 160 .M /   1,4 . . . 1,45 60. . . 80 y

Kurzzeichen Dichte DIN EN [g=cm3 ] ISO 1043-1

Polyamid amorph

Polyamide

Kunststoff

  3. . . 4 "y 2. . . 3 ."M /   3. . . 4 "y 2. . . 3 ."M/ 5. . . 7 "y 2. . . 5 ."M /   3. . . 8 "y 1. . . 3 ."M / 2. . . 10 ."M / 2. . . 4 ."M/ 2. . . 3 "y 5 ."M / 3 ."M /   2. . . 3 "y   1 "y 10. . . 20 ."B /

2. . . 6 ."M /

  8. . . 26 "y 3. . . 8 ("M ) 6. . . 10 ("y )   3 "y   8. . . 15 "y

  9. . . 22 "y

  6. . . 12 tr "y   10. . . 20 f. "y 2. . . 5 tr ."M /

  6. . . 12 tr "y   10. . . 20 f. "y 4. . . 6 ."M /

Dehnungswerte [%]

2500. . . 3200 6500. . . 12000 2600. . . 2900 6500. . . 11000 2000. . . 2500 3500. . . 9500 2000. . . 2500 3500. . . 9000 2400. . . 4500 3000. . . 3600 1500. . . 3000 3600 5000. . . 10000 1500. . . 2900 4500. . . 6000 2500. . . 2800

5000. . . 12000

180. . . 280

18. . . 22 50. . . NB

100. . . NB 30. . . 75 NB 35. . . 45 50. . . NB 30. . . 40 18. . . 25 8. . . 18 50. . . 150

20. . . 40

Schlagzähigkeit DIN EN ISO 179 (1 eU) [kJ=m]2 1500. . . 3200 tr NB tr 600. . . 1600 f. NB f. 10000. . . 18000 tr 50. . . 110 tr 5000. . . 10000 f. 70. . . 140 f. 2000. . . 3500 tr NB tr 1200. . . 2100 f. NB f. 9000. . . 17000 tr 40. . . 100 tr 6000. . . 10000 f. 60. . . 120 f. 800. . . 1400 3000. . . 4000 1200. . . 1600 NB 4000. . . 5000 50. . . 80 2800. . . 3000 9000. . . 10000 2500. . . 3500 100. . . NB

Elastizitätsmodul [MPa]

11. . . 26

12. . . 25

5. . . 10 2. . . 4

10. . . 16 9. . . 60 6. . . 12

8 6. . . 13

3. . . 5

4. . . 7

5. . . 28

7. . . 12 tr 12. . . 20 f.

10. . . 18 tr 16. . . 25 f.

Kerbschlagzähigkeit DIN EN ISO 179 (1 eA) [kJ=m]2

12. . . 15 55 18 40 18 35 15. . . 20 18. . . 20 12 15. . . 25 60 9. . . 15 30. . . 40 12

26

12. . . 18

12

5 12 4. . . 5

6 tr 4 f. 40. . . 50 tr 30. . . 40 f. 7 tr 6 f. 50. . . 60 tr

Zeitdehnspannung 1=1000 [MPa]

0,17

0,15. . . 0,17

0,24. . . 0,29 0,33. . . 0,34 0,21 0,23. . . 0,26 0,21. . . 0,23 0,23. . . 0,25 0,17. . . 0,22 0,22. . . 0,28 0,18. . . 0,19 0,15. . . 0,17 0,16. . . 0,17 0,15. . . 0,17

0,40

0,29. . . 0,36

0,27

0,28

0,28. . . 0,30

0,27. . . 0,28

0,30. . . 0,32

0,27. . . 0,30

Wärmeleitfähigkeit [J/(mK)]

8. . . 11 3. . . 4 10. . . 11

7 2. . . 3 3. . . 7 3. . . 4 6. . . 7 2. . . 5 5. . . 10 3. . . 5 7. . . 9 7. . . 8 8. . . 10 6. . . 8

2. . . 4

11. . . 13

9. . . 13 2. . . 4 12. . . 15 3. . . 5 6. . . 8

1. . . 5 tr

6. . . 10 tr

2. . . 5 tr

7. . . 11 tr

Thermisch. Längen-Ausdehnungskoeffizient [105 1=K]

0,4. . . 0,8 0,1. . . 0,4 0,4. . . 0,7

1,3. . . 2,0 0,3. . . 0,8 1,3. . . 2,0 0,3. . . 0,8 0,7. . . 0,8 0,2. . . 0,5 0,5. . . 0,7 0,1. . . 0,5 0,3. . . 0,8 0,4. . . 0,7 0,4. . . 0,7 0,4. . . 0,6

0,4. . . 1,0

1,6. . . 2,8

0,4. . . 0,7

0,5. . . 1,5 0,4. . . 1,0 0,5. . . 1,5

0,2. . . 0,8 tr

0,8. . . 2,2 tr

0,2. . . 1,0 tr

0,8. . . 2,0 tr

220. . . 225

175 (Homo-Polym.) 165. . . 168 (Co-Polym.) 255. . . 258

175. . . 185

180. . . 190

250. . . 265

215. . . 225

VerKristallitarbeitungs- schmelzpunkt schwindung [°C] [%]

Tab. 32.3 Eigenschaften wichtiger Kunststoffgruppen (Auswahl). tr trocken, f feucht, NB: kein Bruch (non-break), o. Br: ohne Bruch (alt), kursiv: Kennwerte für gefüllte bzw. verstärkte Kunststoffe

668 M. Kübler et al.

250. . . 350 ."B / 150. . . 200 ."B / 20. . . 25 ."B / . . . 1 ."B /

  19. . . 22 y   27 y   50 y 15. . . 40 .M /

2,1 . . . 2,17 1,7 1,77 1,4 . . . 1,9

PTFE

FEP ETFE PVDF PF

7,8 2,7

8,9

EP

Fe Al

Cu

Epoxidharze

Stahl Aluminium (-Legierungen) Kupfer (-Legierungen)

1,5 . . . 1,9

UF/MF UP

1,5 . . . 2,0 1,5 . . . 2,0

250. . . 500 ."B / 450. . . 750

  9. . . 12 y

2,1 . . . 2,2

PVC-P

5000. . . 20000

210000 70000

2. . . 5 ."B /

2. . . 30 (A) 2. . . 40 (A) 2. . . 60 (A)

200. . . 1200 (Rm )

100000

5000. . . 9000 3000. . . 19000

. . . 1 ."B / . . . 1 ."B /

15. . . 30 .M / 20. . . 200 .M / Laminate .M / . . . 1000 60. . . 200 .M / Laminate .M / . . . 1000 300. . . 1500 (Rm ) 50. . . 500 (Rm )

350. . . 600 800. . . 1400 1000. . . 2000 6000. . . 10000

450. . . 600

50. . . 300 ."B /

15. . . 30 .B /

1,2 . . . 1,35

PVC-U

Aminoplaste ungesättigte Polyester

PhenolFormaldehyd

Polyvinylchlorid ohne Weichmacher Polyvinylchlorid mit Weichmacher Fluorhaltige Kunststoffe Fluorhaltige Thermoplaste

Polypropylen

PE-HD PE-LD PP

Polyethylen

2000. . . 3600 1000. . . 2500 800. . . 2200 2100. . . 2500 2500. . . 3100 3500 12000. . . 16000 3000. . . 3500 6000. . . 30000 400. . . 1500 150. . . 600 650. . . 1400 2500. . . 6000 2900. . . 3600

1. . . 6 ."B /   12. . . 20 "y   8. . . 14 "y  10. . . 20 "y 7. . . 70 ."B /   3. . . 7 "y

PI

Polyimide

Polyphenylensulfid

Polysulfone

  3. . . 5 "y   3. . . 5 "y   3. . . 5 "y   5. . . 6 "y   5. . . 6 "y 3 ."M / 1. . . 2 ."M /

Elastizitätsmodul [MPa]

  30. . . 65 y   18. . . 28 y   16. . . 25 y   70. . . 100 y   85. . . 95 y 70. . . 80 .M / 80. . . 150 .M / 70. . . 100 .M / 100. . . 200 .M /   20. . . 35 y   8. . . 20 y  18. . . 38 y 40. . . 75 .M / 50. . . 80 .M /

CA CP CAB PSU PES PPS

Celluloseester

Dehnungswerte [%]

Festigkeitskennwerte [MPa]

1,22. . . 1,35 1,19. . . 1,24 1,15. . . 1,24 1,24 1,38 1,35 . . . 2,06 1,4 . . . 1,5 . . . 1,9 0,94. . . 0,96 0,92. . . 0,94 0,9 . . . 1,32 1,32. . . 1,45

Kurzzeichen Dichte DIN EN [g=cm3 ] ISO 1043-1

Kunststoff

Tab. 32.3 (Fortsetzung)

5. . . 15

5. . . 12 6. . . 10

3. . . 15

NB

NB NB NB 12. . . 50

18. . . 35

NB NB

Schlagzähigkeit DIN EN ISO 179 (1 eU) [kJ=m]2

80. . . NB 3. . . 12

15. . . 50

6. . . 12

Kerbschlagzähigkeit DIN EN ISO 179 (1 eA) [kJ=m]2

Laminate 100. . . 150

Laminate 50. . . 150

6 tr

1. . . 2

20 30 (PEI) 60 (PEI-GF) 2. . . 5 1. . . 3 5. . . 6 6. . . 20 20. . . 25

5. . . 10 5. . . 10 5. . . 10 18 23

Zeitdehnspannung 1=1000 [MPa]

390

75 230

0,40. . . 0,80

0,20. . . 0,23 0,24 0,14. . . 0,15 0,27. . . 0,30 0,30. . . 0,7 0,35. . . 0,70 0,50. . . 0,70

0,25

0,12. . . 0,15

. . . 0,51 0,29. . . 0,40 0,20. . . 0,22 0,25. . . 0,51 0,14. . . 0,17

0,25 0,22 (PEI)

0,20. . . 0,22 0,20. . . 0,22 0,20. . . 0,22 0,26. . . 0,28 0,18

Wärmeleitfähigkeit [J/(mK)]

1,65

1,2 2,35

2. . . 6

7. . . 11 tr 1. . . 5 2. . . 6 2. . . 10

8. . . 10 9

12. . . 16

18. . . 21

9. . . 12 12. . . 15 12. . . 15 5. . . 6 5. . . 6 6 4 5. . . 6 2. . . 3 13. . . 20 18. . . 24 10. . . 18 6. . . 10 7. . . 8

Thermisch. Längen-Ausdehnungskoeffizient [105 1=K]

0,0. . . 0,5

2,0. . . 2,5 0,8. . . 2,0 tr 0,2. . . 0,8 0,2. . . 1,2 0,3. . . 0,8

3,0. . . 4,0

1,0. . . 3,0

0,5. . . 1,0

0,1. . . 0,5 2,0. . . 5,0 1,5. . . 3,0 1,0. . . 2,5

0,2

0,4. . . 0,7 0,4. . . 0,7 0,4. . . 0,7 0,7. . . 0,8 0,5. . . 0,7

285. . . 295 270 171 215. . . 225

327

125. . . 140 105. . . 115 158. . . 168

280. . . 288

VerKristallitarbeitungs- schmelzpunkt schwindung [°C] [%]

32 Kunststoffe 669

32

670

Literatur 1. VDI-Richtlinie 2014 Blatt 3: Entwicklung von Bauteilen aus Faser-Kunststoff-Verbund. Berechnungen. VDI-Verlag, Düsseldorf (2006) 2. Götte, T.: Zur Gestaltung und Dimensionierung von Lkw-Blattfedern aus Glasfaser-Kunststoff. VDI Fortschritt-Berichte, Reihe 1, Nr. 174, Düsseldorf (1989) 3. Puck, A.: GFK-Drehrohrfedern sollen höchstbeanspruchte Stahlfedern substituieren. Kunststoffe 80, 1380–1383 (1990) 4. Franke, O., Schürmann, H.: Federlenker für Hochgeschwindigkeitszüge. Materialprüfung 10, 428–437 (2003) 5. Flemming, M., Ziegmann, G., Roth, S.: Faserverbundbauweisen, Fasern und Matrices. Springer, Berlin (1995) 6. Schürmann, H.: Konstruieren mit Faser-KunststoffVerbunden, 2. Aufl. Springer, Berlin (2007) 7. VDI-Richtlinie 2010: Faserverstärkte Reaktionsharzformstoffe. VDI-Verlag, Düsseldorf (1989) 8. Flemming, M., Ziegmann, G., Roth, S.: Faserverbundbauweisen, Halbzeuge und Bauweisen. Springer, Berlin (1996) 9. Puck, A.: Festigkeitsanalyse von Faser-Matrix-Laminaten: Modelle für die Praxis. Hanser, München (1996) 10. Knops, M.: Analysis of Failure in Fiber Polymer Laminates. The Theory of Alfred Puck. Springer, Berlin (2008) 11. Stellbrink, K.: Dimensionierung von Krafteinleitungen in FVW-Strukturen: Kleben, Nieten, Schlaufen. DLR-Mitteilung 93–12. Institut für Bauweisen- und Konstruktionsforschung, Stuttgart (1993) 12. Neitzel, M., Mitschang, P., Breuer, U.: Handbuch Verbundwerkstoffe: Werkstoffe, Verarbeitung, Anwendung, 2. Aufl. Hanser, München (2014) 13. AVK-Industrievereinigung Verstärkte Kunststoffe e.V.: AVK-Handbuch Faserverbundkunststoffe/Composites, 4. Aufl. AVK-Industrievereinigung Verstärkte Kunststoffe e.V., Frankfurt am Main (2013) 15. Alhaus, O.E.: Verpacken mit Kunststoffen. Hanser, München (1997) 16. Becker, B., Bottenbruch, L.: Kunststoffhandbuch. Hanser, München (1998). 11 Bde 17. Branderup, J., Bittner, M., Michaeli Menges, W.: Die Wiederverwertung von Kunststoffen. Hanser, München (1995) 18. Charrier, J.M.: Polymeric materials und processing. Hanser, München (1995) 19. Domininghaus, H., et al.: Die Kunststoffe und ihre Eigenschaften. Springer, Heidelberg (2005) 20. Ehrenstein: Kunststoff-Schadensanalyse. Hanser, München (1992) 21. Ehrenstein: Handbuch Kunststoff-Verbindungstechnik. Hanser, München (2004) 22. Ehrenstein, Riedel, Trawiel: Praxis der thermischen Analyse von Kunststoffen. Hanser, München (2003)

M. Kübler et al. 23. Ehrig: Plastics recycling. Hanser, München (1992) 24. Endres, Siebert-Raths: Technische Biopolymere. Hanser, München (2009) 25. Erhard, G.: Konstruieren mit Kunststoffen. Hanser, München (2004) 26. Frank, A.: Kunststoff-Kompendium. Vogel, Würzburg (2000) 27. Frick, Stern: Praktische Kunststoffprüfung. Hanser, München (2010) 28. Gastrow: Spritzgießwerkzeugbau in 130 Beispielen. Hanser, München (1998) 29. Gebhardt, A.: Rapid prototyping. Hanser, München (2000) 30. Gohl, W., et al.: Elastomere, Dicht- und Konstruktionswerkstoffe. Lexika, Grafenau (2003) 31. Greif, Fathmann, Seibel, Limper: Technologie der Extrusion. Hanser, München (2004) 32. Grellmann, Seidler: Kunststoffprüfung. Hanser, München (2005) 33. Habenicht, G.: Kleben. Springer, Heidelberg (2003) 34. Hellerich, Harsch, Baur: Werkstoff-Führer Kunststoffe. Hanser, München (2010) 35. Illig, A.: Thermoformen in der Praxis. Hanser, München (1997) 36. Johannaber, Michaeli: Handbuch Spritzgießen. Hanser, München (2004) 37. Johannaber, F.: Kunststoff-Maschinenführer. Hanser, München (2003) 38. Kaiser, W.: Kunststoffchemie für Ingenieure. Hanser, München (2005) 39. Krebs, Avondet, Leu: Langzeitverhalten von Thermoplasten – Alterungsverhalten und Chemikalienbeständigkeit. Hanser, München (1998) 40. Menges, G., et al.: Werkstoffkunde Kunststoffe. Hanser, München (2002) 41. Menges, Michaeli, Mohren: Anleitung zum Bau von Spritzgießwerkzeugen. Hanser, München (1999) 42. Menges, Michaeli, Bittner: Recycling von Kunststoffen. Hanser, München (1992) 43. Michaeli, W.: Einführung in die Kunststoffverarbeitung. Hanser, München (1999) 44. Michaeli, Brinkmann, Lessenich-Henkys: Kunststoff-Bauteile werkstoffgerecht konstruieren. Hanser, München (1995) 45. Nagdi, K.: Rubber as an engineering material. Hanser, München (1992) 46. Potente, H.: Fügen von Kunststoffen. Hanser, München (2004) 47. Röthemeyer, Sommer: Kautschuk-Technologie. Hanser, München (2001) 48. Saechtling, H.J., et al.: Kunststoff-Taschenbuch. Hanser, München (2004) 49. Schwarz, O., et al.: Kunststoffkunde. Vogel, Würzburg (2002) 50. Schwarz, O., Ebeling, F., et al.: Kunststoffverarbeitung. Vogel, Würzburg (2002) 51. Stitz, Keller: Spritzgießtechnik. Hanser, München (2004) 52. Stoeckhert: Kunststoff-Lexikon. Hanser, München (1998)

32 Kunststoffe 53. Throne, Beine: Thermoformen. Hanser, München (1999) 54. Tomanek, A.: Silicone und Technik. Hanser, München (1990) 55. Troitsch, J.: Plastics flammability handbook. Hanser, München (2004) 56. Uhlig, K.: Polyurethan-Taschenbuch. Hanser, München (2001)

671 57. VDI: VDI-Bericht 906: Recycling, eine Herausforderung für den Konstrukteur. VDI, Düsseldorf (1991) 58. Zweifel, H.: Plastics additives handbook. Hanser, München (2000) 59. CAMPUS: Kunststoff-Datenbank von Rohstoffherstellern. M-Base GmbH, Aachen 60. POLYMAT: Kunststoffdatenbank des DKI Darmstadt

32

33

Tribologie Karl-Heinz Habig und Mathias Woydt

Tribologie ist die Wissenschaft und Technik von aufeinander einwirkenden Oberflächen in Relativbewegung (DIN 50323, Teil 1). Diese Definition ist aus der englischen Originalfassung abgeleitet: Tribology – Science and technology of interacting surfaces in relative motion and practices related thereto [1]. Im heutigen Verständnis lässt sich „interacting surfaces in relative motion“ gut mit „Wirkflächen in Relativbewegung“ übersetzen. Die Tribologie umfasst die Teilgebiete Reibung, Verschleiß und Schmierung. Sie steht in enger Beziehung zu den Werkstoffen der beteiligten Körper. deshalb ihre Behandlung in Teil IV. Die Bedeutung der Reibung für die CO2 -Emissionen erreichte bislang nicht die politische Diskussion. Der Anteil der Reibungsverluste am globalen Primärenergieverbrauch beträgt 20–23 % [2], wobei das realistische und langfristige Minderungspotential des globalen Primärenergieverbrauchs durch Reibungsverluste bei 40 % liegt. Folglich könnten von den in 2017 emittierten ca. 32 500 Millionen Tonnen (Mt) an globalem CO2 -Emissionen rechnerische >2.600 Millionen Tonnen CO2 durch Reibungsminderungen eingespart werden.

33.1 Reibung

K.-H. Habig Bundesanstalt für Materialforschung und -prüfung (BAM) Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected]

Rollreibung. Idealisierte Bewegungsreibung zwischen sich punkt- oder linienförmig berührenden Körpern, deren Geschwindigkeiten in der Berührungsfläche nach Betrag und Richtung gleich sind und bei der mindestens ein Körper eine Drehbewegung um eine momentane, in der Berührungsfläche liegende Drehachse vollführt.

M. Woydt () MATRILUB Material Tribology Lubrication Berlin, Deutschland

Reibung ist eine Wechselwirkung zwischen sich berührenden Stoffbereichen von Körpern. Sie wirkt einer Relativbewegung entgegen und subsummiert Einflussfaktoren, wie Deformation, Adhäsion, etc . . . Bei äußerer Reibung sind die sich berührenden Stoffbereiche verschiedenen Körpern, bei innerer Reibung ein und demselben Körper zugehörig. Die Reibung tritt als Reibungskraft oder Reibungsenergie in Erscheinung. Das Verhältnis der Reibungskraft F r zur wirkenden Normalkraft F n wird als Reibungszahl f bezeichnet (s. Bd. 2, Abschn. 11.5 und Bd. 2, Abschn. 12.2). In Abhängigkeit von der Bewegungsart der Reibpartner unterscheidet man zwischen verschiedenen Reibungsarten (Abb. 33.1; s. Abschn. 12.11): Gleitreibung. Bewegungsreibung zwischen Körpern, deren Geschwindigkeiten in der Berührungsfläche nach Betrag und/oder Richtung verschieden sind. Wälzreibung. Rollreibung, der eine Gleitkomponente (Schlupf) überlagert ist.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_33

673

674

K.-H. Habig und M. Woydt

Abb. 33.1 Bewegungsarten zwischen Reibpartnern. a Gleiten; b rollen, wälzen; c bohren, Fn Normalkraft, v GIeitgeschwindigkeit, ! Winkelgeschwindigkeit

a

b

c

Bohrreibung. Reibung zwischen sich punktförmig (idealisiert) berührenden Körpern, deren Geschwindigkeiten in der Berührungsfläche nach Betrag und/oder Richtung verschieden sind und bei der mindestens ein Körper eine Drehbewegung um eine senkrecht im Zentrum der Berührungsfläche stehende Achse ausführt. Der Verschleißbetrag kann nach dem GfTArbeitsblatt Nr. 7 (www.gft-ev.de, vormals DIN 50321) als Längen-, Querschnitts-, Volumen- oder Masseverlust angeben und auf die Beanspruchungsdauer oder -weg, einem Durchsatz oder andere Größen des Beanspruchungskollektivs bezogenen werden. In Abhängigkeit vom Aggregatzustand der beteiligten Stoffbereiche treten unterschiedliche Reibungszustände auf, die in der sog. STRIBECK-Kurve wieder zu finden sind:

Tab. 33.1 Typische Reibungszahlen bei unterschiedlichen Reibungsarten und -zuständen

Festkörperreibung. Reibung zwischen Stoffbereichen mit Festkörpereigenschaften in unmittelbarem Kontakt. Anmerkung: Findet die Reibung zwischen festen Grenzschichten mit modifizierten Eigenschaften, z. B. Reaktionsschichten statt, so nennt man dies Grenzschichtreibung. Handelt es sich bei der Grenzschicht um einen vom Schmierstoff stammenden molekularen Film, so nennt man dies auch Grenzreibung.

Mischreibung. Jede Mischform der Reibungszustände, primär der Festkörper- und Flüssigkeitsreibung. In Tab. 33.1 sind Bereiche von Reibungszahlen bei unterschiedlichen Reibungsarten und -zuständen wiedergegeben. Generell ist aber anzumerken, dass die Reibungszahl kein konstanter Kennwert eines Werkstoffs oder einer Werkstoffpaarung ist, sondern von den Beanspruchungsbedingungen, den Struktureigenschaften des Tribosystems einschließlich der Eigenschaften aller am Reibungsvorgang beteiligten, stofflichen Elemente abhängt. Welchen Einfluss Flächenpressung, Gleitgeschwindigkeit und Temperatur bei Festkörpergleitreibung haben können, ist in Abb. 33.2 am Beispiel der Festkörperreibung der Gleitpaarung PTFE/Stahl ersichtlich [3].

Flüssigkeitsreibung. Reibung im Stoffbereich mit Flüssigkeitseigenschaften (Innere Reibung bzw. Scherung des flüssigen Filmes). Dieser Reibungszustand ist auch für eine die Festkörper vollständig trennende flüssige Schmierstoffschicht (Vollfilmschmierung) zutreffend.

Reibungsart Gleitreibung

Rollreibung

Reibungszustand Festkörperreibung Grenzreibung Mischreibung Flüssigkeitsreibung Gasreibung (Fettschmierung)

Reibungszahl 0,1. . . 1 0,1. . . 0,2 0,01. . . 0,1 0,001. . . 0,01 0,0001 0,001. . . 0,005

Gasreibung. Reibung im Stoffbereich mit Gaseigenschaften (innere Reibung). Dieser Reibungszustand ist auch für eine die Festkörper vollständig trennende gasförmige Schmierstoffschicht zutreffend (s. Luftlager oder aerodynamische Lager).

33 Tribologie

675

Abb. 33.2 Reibungszahl µdyn einer PTFEStahl-Gleitpaarung. p Flächenpressung, v Gleitgeschwindigkeit, Stahl: Rz = 0,03 µm. Umgebungsmedium: synth. Luft. 1 T a = 23 °C, 2 T a = 70 °C

33.2 Verschleiß Reicht die Schmierfilmdicke nicht aus, um zwei Gleit- oder Wälzpartner vollständig voneinander zu trennen, so tritt Verschleiß auf. Tribosyteme, die von vornherein ohne Schmierung betrieben werden (oder können), wie z. B. Trockengleitlager, Reibungsbremsen, Transportanlagen für mineralische Stoffe u. a. unterliegen einem allmählichen Verschleiß. Im GfT-Arbeitsblatt Nr. 7 ist der Verschleiß definiert: „Verschleiß ist der fortschreitende Materialverlust aus der Oberfläche eines festen Körpers, hervorgerufen durch mechanische Ursachen, d. h. Kontakt und Relativbewegung eines festen, flüssigen oder gasförmigen Gegenkörpers.“ Es folgen drei Hinweise:

 Verschleiß äußert sich im Auftreten von aus der Oberfläche losgelösten kleinen Teilchen (Verschleißpartikel) sowie in Stoff- und Formänderungen der tribologisch beanspruchten Oberflächenschicht.  In der Technik ist Verschleiß normalerweise unerwünscht, d. h. wertmindernd. In Ausnahmefällen, wie z. B. bei Einlaufvorgängen, können Verschleißvorgänge jedoch auch technisch erwünscht sein. Bearbeitungsvorgänge, als wertbildende, technologische Vorgänge, gelten in Bezug auf das herzustellende Werkstück nicht als Verschleiß, obwohl im Grenzflächenbereich zwischen Werkzeug und Werkstück tribologische Prozesse, wie beim Verschleiß ablaufen.

In dem GfT-Arbeitsblatt Nr. 7 sind außerdem folgende, für den Verschleiß wichtige Grundbe Die Beanspruchung eines festen Körpers griffe enthalten: durch Kontakt und Relativbewegung eines festen, flüssigen oder gasförmigen Gegenkörpers Verschleißarten. Unterscheidung der Verwird auch als tribologische Beanspruchung schleißvorgänge nach Art der tribologischen bezeichnet. Beanspruchung und der beteiligten Stoffe.

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Verschleißerscheinungsformen. Die sich durch 33.3 Systemanalyse von Reibungsund Verschleißvorgängen Verschleiß ergebenden Veränderungen der Oberflächenschicht eines Körpers sowie Art und Form Reibung und Verschleiß hängen von einer Fülder anfallenden Verschleißpartikel. le von Einflussgrößen ab, die sich am besVerschleiß-Messgrößen. Die Verschleiß-Mess- ten mit der Methodik der Systemanalyse ordgrößen kennzeichnen direkt oder indirekt die nen lassen (Abb. 33.3; [5]). Danach sind ReiÄnderung der Gestalt oder Masse eines Körpers bung und Verschleiß als Verlustgrößen eines durch irreversiblen Materialverlust (Verschleiß). Tribosystems anzusehen, in dem bestimmte EinVerschleiß wird letztlich durch das Wirken der gangsgrößen, die für das Beanspruchungskollektiv maßgebend sind, über die Struktur des Verschleißmechanismen hervorgerufen. Tribosystems in Nutzgrößen transformiert werVerschleißmechanismen. Beim Verschleißvor- den. Die Funktions-Transformation im Tribogang ablaufende physikalische und chemische system realisieren die Wirkflächen. Mit der triProzesse. Vier Verschleißmechanismen wer- bologischen Analyse lassen sich reibungs- und den als besonders wichtig angesehen ([4]; verschleißbestimmende Einflußssfaktoren ermitteln, welche die Werkstoffliche Ausgestaltung s. Abschn. 29.2.3): bestimmen, und auch die bei der Werkstoffauswahl zu erwarteten Verschleißkenngrößen festleAdhäsion. Bildung und Trennung von atomagen. ren Bindungen zwischen Grund- und Gegenkörper (Verschweißungen zwischen den Rauheitshügeln).

33.3.1 Funktion von Tribosystemen

Tribochemische Reaktion. Chemische Reaktion von Grund- und/oder Gegenkörper mit Bestandteilen des Schmierstoffs oder Umgebungsmediums (Tribooxidation) infolge einer reibbedingten, chemischen Aktivierung der beanspruchten Oberflächenbereiche. Abrasion. Ritzung und Mikrozerspanung des Grundkörpers durch harte Rauheitshügel des Gegenkörpers oder durch harte Partikel des Zwischenstoffs (Mineralien oder Verschleißpartikel). Oberfächenzerrüttung. Rissbildung, Risswachstum mit Umschließen eines Volumenelementes der Oberfläche und nachfolgender Abtrennung als Partikeln infolge wechselnder Beanspruchungen (mechanisch und/oder thermisch) in den Oberflächenbereichen von Grundund Gegenkörper. Die Verschleißmechanismen können einzeln, nacheinander oder sich überlagernd auftreten.

Tribosysteme werden zur Verwirklichung unterschiedlicher Funktionen eingesetzt. Ein Gleitoder Wälzlager hat z. B. Kräfte aufzunehmen und dabei eine Bewegung zu ermöglichen. Mit Reibungsbremsen sollen dagegen Bewegungen gehemmt werden. Getriebe dienen zur Übertragung von Drehmomenten oder zur Veränderung von Drehzahlen; mit Steuergetrieben können lnformationen weitergegeben werden. Zu den möglichen Funktionen gehören auch die Gewinnung, der Transport und die Verarbeitung von Rohstoffen. Die Angabe über die Funktion von Tribosystemen ist deshalb nützlich, weil sie schon gewisse Vorstellungen über die Art der Bauteile und die verwendeten Werkstoffe vermittelt. Besteht die Funktion eines Tribosystems z. B. darin, einen elektrischen Stromkreis zu öffnen und zu schließen, so werden dazu häufig Schaltkontakte benötigt die aus besonderen Kontaktwerkstoffen hergestellt werden.

33 Tribologie

33.3.2 Beanspruchungskollektiv

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Für den Verschleißschutz ist häufig eine Unterscheidung zwischen offenen und geschlossenen Tribosystemen sinnvoll. Bei offenen Tribosystemen kommt z. B. die Oberfläche eines Werkstücks (Gegenkörper) nur einmal in den Kontakt mit dem Werkzeug (Grundkörper). Der Verschleiß des Werkstücks interessiert, abgesehen von Fragen zur Oberflächenqualität, nicht. Bei geschlossenen Tribosystemen, z. B. einer Kolbenring-Zylinderlaufbahnpaarung, kommen dagegen die Oberflächenbereiche beider Partner periodisch zum Eingriff und der Verschleiß von Grund- und Gegenkörper ist für die technische Funktion wichtig. Die Elemente sind durch ihre funktionalen Eigenschaften zu charakterisieren, wobei man zwischen Stoff- und Formeigenschaften sowie zwischen Volumen- und Oberflächeneigenschaften unterscheiden muss. Reibung und Verschleiß sind letztlich durch die Wechselwirkungen zwischen den Elementen bedingt, die durch den Reibungszustand (vgl. Abschn. 33.1) und die Verschleißmechanismen (vgl. Abschn. 33.2) gekennzeichnet sind.

Die wichtigsten Größen des Beanspruchungskollektivs können Abb. 33.3 entnommen werden. Bei den Bewegungsarten kann man analog zu den Reibungsarten zwischen „Gleiten, Rollen, Wälzen, Bohren“ unterscheiden. Es kommen aber noch andere Arten der Bewegung, wie „Stoßen, Prallen oder Strömen“ hinzu. Der Bewegungsablauf kann kontinuierlich, intermetierend, oszillierend oder reversierend sein. Aus der Normalkraft lässt sich bei Kenntnis der Abmessungen der Bauteile, der Elastizitätsmoduli der verwendeten Werkstoffe und der Reibungszahlen die Werkstoffanstrengung ermitteln. Als Geschwindigkeit ist einerseits die Relativgeschwindigkeit zwischen Grund- und Gegenkörper von Bedeutung oder ob nur ein Körper bewegt wird; während die Abfuhr der Reibungswärme von der Diffusivität von Grund- und Gegenkörper und/oder von der volumetrischen Wärmekapazität vom Schmierstoff bestimmt wird. Neben der Beanspruchungsdauer (oder Beanspruchungsweg) sind auch die Stillstandszeiten zu beachten, in denen sich die Eigenschaften der Oberflächenbereiche z. B. durch Korrosion verändern können oder die Werkstoffe sich „erholen“ bzw. abküh- 33.3.4 Tribologische Kenngrößen len. Die tribologischen Kenngrößen dienen zur quantitativen und qualitativen Kennzeichnung von 33.3.3 Struktur tribologischer Systeme Reibungs- und Verschleißvorgängen sowie zur Prognose der Lebensdauer. Die Reibung wird Innerhalb der Struktur von Tribosystemen kön- durch die Reibungskraft F R bzw. die Reibungsnen i. Allg. vier Bauteile oder Stoffe unterschie- zahl f charakterisiert. Die Reibungskraft F R hängt den werden, die als Elemente bezeichnet werden von den Größen des Beanspruchungskollektivs B und der Systemstruktur S ab. Es gilt daher (Abb. 33.3). Grund- und Gegenkörper sind in jedem TriFR D f .B; S/: bosystem vorhanden, während der Zwischenstoff oder das Umgebungsmedium u. U. entfällt. Eine ähnliche Beziehung kann man für den Zur Reibungs- und Verschleißminderung wird Verschleißbetrag W aufstellen als Zwischenstoff in zahlreichen praktischen Anwendungen ein Schmierstoff (Öle = flüssig; FetW D f .B; S/: te = konsistent) verwendet. Der Zwischenstoff kann aber auch aus harten Partikeln bestehen, Stellt man den Verschleißbetrag über der Bez. B. aus Erz, das in einer Kugelmühle zermahlen anspruchungsdauer dar, so ergeben sich häuwird. fig zwei unterschiedliche Kurvenverläufe. In der

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1 2

Abb. 33.3 Schematische Darstellung eines tribologischen Systems

Einlaufphase kann ein erhöhter Einlaufverschleiß auftreten, der allmählich abklingt und in einen lang andauernden Beharrungszustand mit einem konstanten Anstieg des Verschleißbetrags (konstante Verschleißrate) übergeht, ehe ein progressiver Anstieg den Ausfall ankündigt, Abb. 33.4a. Ist primär die Oberflächenzerrüttung als Verschleißmechanismus wirksam, so tritt ein messbarer Verschleiß häufig erst nach einer lnkubationsperiode auf, in der mikrostrukturelle Veränderungen, Rissbildung und Risswachstum erfolgen, ehe Verschleißpartikel abgetrennt werden (Abb. 33.4b), so dass der Verschleißkoeffizient nicht angewandt werden kann, wie auch bei adhäsiven Verschleißerscheinungen. Um den Verschleiß von Werkstoffen bei Gleitbeanspruchungen vergleichend zu beurteilen, wird international vielfach der volumterische Verschleißkoeffizient kv (engl.: wear rate oder wear coefficient; frz.: taux oder coefficient d’usure) benutzt Wv kv D FN s mit dem Verschleißvolumen W v , dem Gleitweg s und der Normalkraft F N . Dabei interessiert nur die Größenordnung von kv , der zumeist in 106 mm3 / (N  m) angegeben wird. Der volumetrische Verschleißkoeffizient kv gibt als makroskopische Kenngröße den bei einer

a

b

Abb. 33.4 Verschleißbetrag in Abhängigkeit von der Beanspruchungsdauer

konstanten Last nach einem bestimmten Gleitweg (nicht Roll- oder Wälzweg!) eingetretenen, irreversiblen Volumenverlust des Elementes eines Tribosystems an bzw. setzt eine proportionale Abhängigkeit des Verschleißvolumens von diesen Größen voraus, was im stationären Verschleißzustand zumeist gegeben ist. Der Verschleißkoeffizient beinhaltet keine Aussagen zum Verschleißmechanismus und stellt keine Werkstoffkonstante dar, sondern ist eine der möglichen Verlustgrößen eines Tribosystems. Weiterhin wendet man ihn vorteilhaf-

33 Tribologie

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Tab. 33.2 Volumetrische Verschleißkoeffizienten kv in technischen Systemen

lichen“ Pressungs-, Last- und Temperaturbereichen sowie Reibungszuständen ermittelt wurden. Da der Verschleiß immer eine Folge des Wirkens der Verschleißmechanismen ist, sollte neben der Angabe des Verschleißbetrages oder der Verschleißrate auch die Verschleißerscheinungsform in Form von licht- oder rasterelektronenmikroskopischen Aufnahmen dargestellt werden, aus denen man die Konstellation der Verschleißmechanismen entnehmen kann. Nur so ist es möglich, die Ergebnisse einer Verschleißprüfung für andere, ähnliche Fälle nutzbar zu machen.

kV [mm3 / N  m] 105 ! 104 25 %, während die mit der Euromargerite (2018/1702/EU) ausgezeichneten Schmierstoffe keinen Anteil an nachwachsenden Rohstoffen mehr enthalten, obwohl in der vorangegangen Direktive 2011/381/EU mind. >50 % gefordert waren. Ein mit dem Umweltzeichen der Euromargerite gemäß der europäischen Richtlinie (2018/1702/EU) ausgezeichnete Schmierstoff-Formulierung ist automatisch auch ein Bio-Öl. „Biolubes“ und die „Euromargerite“ sind in Europa freiwillig. Auch

33 Tribologie

wenn die USA sehr spät zu den umweltverträglichen Schmierstoffe aufschließen, sind dagegen bei „water-sea interfaces“ EALs („environmental friendly lubricants“) durch die 2. Novelle (2nd issuance) der Vessel General Permit zwingend seit dem 19.12.2013 vorgeschrieben. Die 2. VGP bleibt über den 18.12.2018 in Kraft, bis die Kriterien vom zukünftigen „Vessel Incidental Discharge Act“ (VIDA) feststehen. Technische Anforderungen an Bio-Öle sind für verschiedene lndustriebereiche genormt: Hydrauliköle (ISO 15380), Turbinenöle für Kraftwerke (ISO 8086) oder lndustriegetriebeöle (ISO 12925). Das Harmonized Offshore Chemical Notification Format (HOCNF) in Rahmen der OSPAR Konvention (Oslo-Paris treaty) stützt sich nicht vollständig auf der europäische CLPDirective ab, da neben anderen Grenzwerten auch abweichende Prüfmethoden verwendet werden, wie z. B. die OECD 306 „Biologische Abbaubarkeit in Salzwasser“. OSPAR unterscheidet sechs ökotoxikologische Gefährdungsstufen A-F, während es bei der CLP-Direktive nur zwei sind (mit oder ohne Kennzeichnung mit dem Piktogramm des Symbol „GHS 09“). Damit die Schmieröle ihre komplexen Aufgaben erfüllen können, müssen sie eine Reihe physikalischer und chemischer Eigenschaften besitzen [11, 12].

Eigenschaften von Schmierölen Viskosität. Für die Erzielung eines hydrodynamischen oder elastohydrodynamischen Schmierungszustandes ist die Viskosität die beschreibende Eigenschaft, neben der Druckviskosität, und ist ein Maß für die innere Reibung des Schmieröls. Entsprechend Abschn. 17.2 gilt für die  £ D d D dz   Kinematische Viskosität  D .   Dynamische Viskosität  D 

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Einheit der dynamischen Viskosität : 1 Pa  s (= 10 Poise) und Einheit der kinematischen Viskosität : m2 /s (= 104 Stokes). Die Viskosität ist keine reine Stoffkonstante, sondern i. Allg. von verschiedenen Parametern wie z. B. dem Geschwindigkeits- bzw. Schergefälle D, der Zeil t, der Temperatur T und dem Druck p abhängig. Besteht keine Abhängigkeit der Viskosität vom Schergefälle, so spricht man von Newton’schen Flüssigkeiten bzw. Newton’schen Schmierölen. Hierzu gehören zumeist unadditivierte Öle, wie reine Mineralöle sowie synthetische Öle (Polyglykole) vergleichbarer Molekularmassen. Schmieröle, deren Viskosität vom Schergefälle abhängt, bezeichnet man als Nichtnewton’sche Öle. Nimmt die Viskosität mit steigendem Schergefälle ab, so handelt es sich um strukturviskoses Öle. Der Zusatz von Additiven zu Newton’schen Grundölen kann Strukturviskosität hervorrufen, z. B. der Zusatz von Polymeren zu Motoren- oder Industrieölen zur Verbesserung des sog. Viskositätsindexes oder auch dispersants. Ist die Viskosität von der Zeit t abhängig, so ist zu unterscheiden zwischen: Thixotropie. Abnahme der Viskosität infolge andauernder Scherbeanspruchung und Wiederzunahme nach Aufhören der Beanspruchung. Rheopexie. Zunahme der Viskosität infolge andauernder Scherung und Wiederabnahme nach Aufhören der Beanspruchung. Die Viskosität von Schmierölen nimmt mit steigender Temperatur ab, sodass bei jeder Viskositätsmessung die Temperatur angegeben werden muss: Die Temperaturabhängigkeit der Viskosität kann durch verschiedene Näherungsformeln angegeben werden. Für Schmieröle wird häufig die Transformation nach Ubbelohde-Walther benutzt: lg lg. C C/ D K  m lg T:

Hierbei bedeuten  die kinematische Viskosität. C eine Konstante (für Mineralöle: 0,6 bis 0,9), K eine Konstante, m die Steigung der Geraden Hierin sind  Schubspannung, die bei Sche- bei einer Darstellung in entsprechend skalierrung unter einer laminaren Strömung entsteht, ten Viskositäts-Temperaturblättern, die bis in die D = d / dz Scher- bzw. Geschwindigkeitsgefälle. siebziger Jahre anstelle vom Viskositätsindex be Dichte des Öls. nutzt worden war, und T die absolute Temperatur

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in K. Zur Beschreibung der Druckabhängigkeit Cloud und PourPoint. Die Fließfähigkeit von der Viskosität wurde von Barus (1890) die fol- Schmierölen nimmt mit sinkender Temperatur gende Beziehung vorgeschlagen: ab, weil die intermolekularen Anziehungskräfte stärker überwiegen, insbesondere bei polaren p D 0 e ˛p ; Molekülen, wie Ester oder Polyglykolen. Der Cloud Point gibt die Temperatur an, bei der sich wobei 0 die Viskosität bei 1 bar, ˛ den sog. ein Öl unter festgelegten Prüfbedingungen nach Viskositätsdruckkoeffizienten und p den Druck ISO 3015 zu trüben beginnt. Der Pour Point darstellen. Die Viskosität nimmt demnach sehr (Fließpunkt) stellt die Temperatur dar, bei der das stark (exponentiell) mit steigendem Druck zu. Öl gerade noch fließt (ISO 3016). Die PumpfäFür Drücke oberhalb von 1000 bar gibt es ande- higkeit des Motorenöles bei tiefen Temperature Formeln (nach Roelands, Chu/Cameron, etc.). ren ist essentiell und wir gemessen nach ASTM Tab. 33.4. D5293 (cold cranking simulator (CCS); „Kaltstartfähigkeit“; s. auch DIN 51377) und nach Dichte. Sie wird für die Umrechnung der dyna- ASTM D4684 (mini rotary viscosimeter (MRV)) mischen in die kinematische Viskosität benötigt. (s. Tab. 33.5). Verschiedene Methoden zu ihrer Bestimmung sind in DIN 51757 angegeben. Die Dichte ist Neutralisationsvermögen. Schmieröle können temperatur- und druckabhängig (s. Kap. 16). alkalische und saure Bestandteile enthalten. Saure Komponenten in Frischölen können von der Viskositätsindex. Er ist nach DIN ISO 2909 Raffination oder von Schmierstoffadditiven stameine Maßzahl zur Charakterisierung der Tempe- men, aber auch unreagierte Adukte aus der Synraturabhängigkeit der Viskosität. Er wurde 1928 these sein. Alkalisch wirkende Zusätze werden mit einer Skala zwischen 0 und 100 eingeführt insbesondere Motorölen zugegeben, um saure wobei das Öl mit der damals bekannten stärks- Verbindungen zu neutralisieren, die durch Verten Temperaturabhängigkeit der Viskosität einen brennungsvorgänge oder Oxidation im Motor Viskositätsindex VI = 0 und das Öl mit der ge- entstehen. ringsten Viskositätstemperaturabhängigkeit den Viskositätsindex 100 (Pennsylvania crude) hatte. Neutralisationszahl NZ. Menge an KaliumhySilikonöle, Ester und Polygkyole verfügen über droxid in mg, die notwendig ist, um die in 1 g einen rechnerischen VI, der 250–300 erreichen Öl vorhandenen Säuren zu neutralisieren. Dazu kann. wird nach DIN 51 558, Teil 1, eine 0,1 M KOHLösung langsam zu einer Lösung des Öls gegeScherstabilität. Durch den Zusatz von öllösli- ben (Titration), bis der Umschlag des Indikators chen, polymeren Viskositätsindexverbessern und p-Naphtholbenzoin die Neutralisation anzeigt. Dispergantien kommt es zum reversiblen Viskositätsabfall unter starker Scherung (105 –107 s1 ), Gesamtbasenzahl, Total base number TBN. da sich die Makromoleküle laminar ausrichten. Säuremenge, die notwendig ist, um die basiZusätzlich werden die Makromoleküle im Reib- schen Anteile des Öls zu neutralisieren. Sie wird kontakt durch die Scherung „zerstört“, was ei- angegeben in der äquivalenten Menge Kaliumhynen irreversiblen Viskositätsabfall bedingt. New- droxid, die der Säuremenge von 1 g Öl entspricht. ton’sche Fluide, zumeist unadditivierte Grundöle Die Bestimmung der TBN erfolgt nach ISO 3771 oder Polyglykole mit natürlichen, hohen VI zei- durch elektrometrische Titration. gen keinen Scherverlust. Es werden verschiedene Laborprüfverfahren für den reversiblen (High- Flammpunkt. Der Flammpunkt ist die niedrigstemperature-high-shear viscosity (HTHS)) und te Temperatur, bei der sich aus der zu prüfenden irreversiblen Viskositätsabfall (DIN 51350-6 (4- Ölprobe unter festgelegten Bedingungen DämpKugel), DIN EN ISO 20844) eingesetzt. fe in solcher Menge entwickeln, dass sie mit

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der über dem Flüssigkeitsspiegel liegenden Luft ein entflammbares Gemisch bilden. Liegt der Flammpunkt über 79 °C, so kann zu seiner Bestimmung die in DIN ISO 2592 genormte Methode nach Cleveland (open cup) angewandt werden, bei der das Öl in einem offenen Tiegel erhitzt wird. Öle mit niedrigeren Flammpunkten werden im geschlossenen Tiegel nach Abel-Pensky (DIN 51755, Flammpunkt 5 bis 65 °C) untersucht. Der Flammpunkt ist für das Schmierungsverhalten ohne Bedeutung, aber für Sicherheitsaspekte im Betrieb, z. B. bei Dampfturbinenölen.

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Bauteilen entstehen kann. Die Bestimmung des Luftabscheidevermögens (Aeroemulsion) kann nach DIN ISO 9120 erfolgen.

Wasser im Schmieröl. Schmieröle sollten grundsätzlich wasserfrei sein, da Wasser die Ölalterung und die Korrosion der Werkstoffe beschleunigt sowie die Schmierfilmbildung beeinträchtigt, wobei genügend Anwendungen nie eine Öltemperatur von >100 °C übersteigen. Wasser im Öl fördert die Hydrolyse von Additiven und Estern. Die Bestimmung des Wassergehalts kann nach DlN ISO 3733 oder DIN 51777 erfolWärmekapazität C und Wärmeleitfähigkeit . gen. Diese gehen in die Berechnung des Wärmehaushaltes für und -abtransports an Bauteilen ein, Feste Fremdstoffe im Schmieröl. Feste Fremdda Schmierstoffe auch als Kühlmittel eingesetzte stoffe haben je nach ihrer Härte, Größe und Menwerden, wie z. B. bei Kolben in Verbrennungs- ge eine negative Wirkung, weil sie Ölbohrungen motoren. Da sich die Bestimmung dieser Stoff- und Filter verstopfen können sowie Verschleiß größen auf der Erde an Flüssigkeiten in Folge von durch Abrasion hervorrufen. Metallische FremdKonvektion schwierig gestaltet, gibt es noch kei- partikel, insbesondere bivalente Metalle, wie Eine oder wenige genormten Verfahren (s. ASTM sen und Kupfer, beschleunigen die Öloxidation D2717; Abb. 33.6 und Abb. 33.7). und sind zumeist kaltverfestigt, was deren abrasiven Angriff verstärkt. Die Bestimmung des Luft im Schmieröl. Schmieröle können teilwei- Gehalts an Fremdstoffen erfolgt i. Allg. mit eise beträchtliche Mengen Luft lösen, die spontan nem Zentrifugierverfahren nach DIN 51 365 oder als Kavitationsblasen im Schmierspalt freigesetzt einem Membranfilterverfahren. wird. Die Löslichkeit ist schwach temperaturund stark druckabhängig. Das gelöste Luftvolu- Schmierstoffadditive. Diese sind Zusatzstoffe, men kann nach dem Henry-Dalton’schen Gesetz die das Grundöl funktionalisieren und das Geermittelt werden brauchsverhalten von Schmierölen verbessern. Sie können von ihrer Funktion her in zwei GrupK VÖl p2 VLuft D pen eingeteilt werden: Zusätze, die die tribolop1 gisch relevanten Eigenschaften der Schmierstoffe Der Bunsenkoeffizient K liegt für Mineralöle unter Grenz- oder Mischreibungsbedingungen, zwischen 0,07 und 0,09, für Silikonöle zwischen wie Reibungsverminderer, Verschleißschutz- und 0,15 und 0,25. Hochdruckadditive, und das rheologische ViskoNeben gelöster Luft können Schmieröle im sitäts-Temperatur-Verhalten verbessern, und ZuBetrieb auch Luft in Form fein verteilter Gasbläs- sätze, die andere wichtige Gebrauchseigenschafchen vorhanden sein (Aeroemulsion, Luftemulsi- ten beeinflussen, wie z. B. Oxidationsinhibitoren, on oder Kugelschaum). Im Gegensalz zu gelöster Detergentien, Schaumverhinderungsmittel u. a. Luft verschlechtern Aeroemulsionen das triboloAdditive können sich in ihrer Wirkung gegische Verhalten, da Viskosität und Wärmeleitfä- genseitig unterstützen und synergistisch wirken higkeit vermindert und Oxidationsprozesse sowie oder sich beeinträchtigen und somit antagonisKavitationserscheinungen verstärkt. In Ölkreis- tisch wirken. Moderne Additive weisen häufig läufen werden z. B. Luftabscheider eingesetzt. mehrere Funktionalitäten auf, wodurch die GeBesonders nachteilig wirkt sich ein stabiler fahr gegenseitiger Störungen ihrer WirkungsweiOberflächenschaum aus, der durch Planschen von sen vermindert wird.

33

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 Abgabe einer hinreichenden Menge von flüssiEinteilung der Schmieröle gem Schmierstoff durch langsame Separation, Nach ihrer Anwendung können die Schmieröle um Reibung und Verschleiß über weite Temfolgendermaßen unterteilt werden: peraturbereiche und lange Zeiträume zu verhindern,  Maschinenschmieröle,  Abdichtung gegen Wasser und Fremdpartikel.  Zylinderöle,  Turbinenöle (s. Bd. 3, Abschn. 13.5.3),  Motorenöle. Die meisten Schmierfette bestehen aus ei Getriebeöle (s. Bd. 2, Abschn. 15.3). ner Seife (Alkali- oder Erdalkaliseife, Bento Kompressorenöle. nit, Polyharnstoff) mit 4 bis 20 Massenprozent,  Umlauföle, dem Schmieröl mit 75 bis 95 Massenprozent  Hydrauliköle (s. Bd. 2, Abb. 17.4), und Additiven mit 0 bis 5 Massenprozent. Bei  Metallbearbeitungsöle, Kühlschmierstoffe längerer Zeit unter hoher Scherbeanspruchung (s. Bd. 2, Abschn. 41.3.1), gibt das Fett Öl ab (sog. „Ausbluten“). Diese  Textil- und Textilmaschinenöle. Walkstabilität kann nach DIN ISO 2137 bzw.  Lebensmittelöle. DIN EN 14865-2 oder als Ölabscheidung nach DIN 51817 geprüft werden. Die größte Schmierstoffgruppe stellen die Motorenöle dar, mit Abstand gefolgt von GetriebeKonsistenzklassen. Nach ihrer Verformbarkeit &Hydraulikölen, die nach ihrer Viskosität klas(Walkpenetration) werden die Schmierfette in unsifiziert werden. Die Klassifizierung erfolgt von terschiedliche NLGI- Konsistenzklassen eingeder Society of Automotive Engineers (SAE) mit teilt (NLGI: National Lubrication Grease Instider SAE J300 in Zusammenarbeit mit der Sotute), Tab. 33.6 nach DIN 51818, die sich wähciety for Testing and Materials (ASTM) und rend dem Betrieb nicht ändern soll. wurde von der ehemaligen DIN 51511 übernomDie Konsistenz wird nach ISO 2137 durch men, Tab. 33.5. Mehrbereichsöle ergeben sich, das Eindringen (Penetration) eines Standardkowenn zwei verschiedene Viskostätsklassen ernus in eine Schmierfettprobe unter definierten füllt werden, die infolge ihres verbesserten VisPrüfbedingungen ermittelt, indem die Eindringkositäts-Temperaturverhaltens mehrere Viskositiefe nach einer bestimmten Eindringdauer getätsklassen überdecken und damit einen Winmessen wird. ter- und Sommerbetrieb ermöglichen. Sie werden als SAE xxW-yy angegeben. Zur Erfüllung anFließverhalten von spruchsvoller Vorgaben zum Kraftstoffverbrauch Fließverhalten. Das Schmierfetten kann durch die Konsistenzklassen wurde die SAE J300 kontinuierlich unterhalb von SAE 20 zu dünnviskosen Ölen hin erweitert nur unzureichend beschrieben werden. Bei den Schmierfetten handelt es sich um Stoffe mit nicht (SAE 16, 12, 8). newtonschem Fließverhalten, das von der Temperatur, dem Schergefälle, der Scherzeit und der Vorgeschichte abhängt. Im Allgemeinen nimmt 33.5.2 Schmierfette die Viskosität von Schmierfetten mit steigendem Schmierfette sind feste oder halbflüssige Pro- Schergefälle und zunehmender Scherzeit ab. dukte einer Dispersion aus einem eindickenden Stoff (fungiert als „Schwamm“) und einem flüs- Anwendungen. Schmierfette werden im Temsigen Schmierstoff. Sie sollen „dauerhaft“ in der peraturbereich von 70 °C bis ca. max. 350 °C Reibstelle verwielen. In der Schmierungstechnik zur Schmierung von Maschinenelementen, wie erfüllen sie vor allem folgende Aufgaben: Wälz- und Gleitlagern, Gleitbahnen, Gelenken,

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Förderbändern, Getrieben u. a. eingesetzt, wobei Besondere Bedeutung kommt den Festsie gleichzeitig zum Abdichten dienen. schmierstoffen zu, die vollständig oder teilweise aus Graphit oder Molybdändisulfid bestehen. Bei der Anwendung von Graphit ist darauf zu ach33.5.3 Festschmierstoffe ten, dass es nur dann eine niedrige Reibung aufweist, wenn in seinem Gitter WassermoleküFestschmierstoffe liegen in festem Aggregatzu- le, Gase oder Alkalien interkaliert sind, welche stand vor. Sie werden zur Schmierung unter ex- die Scherfestigkeit der hexagonalen Basisflächen tremen Bedingungen wie z. B. bei sehr hohen herabsetzen. Im Vakuum ist Graphit daher als oder sehr tiefen Temperaturen, in aggressiven Festschmierstoff nicht geeignet, Abb. 33.5. DaMedien, im Vakuum u. a. benötigt. Festschmier- gegen besitzt Molybdändisulfid im Vakuum bestoffe bestehen aus folgenden Gruppen von Stof- sonders niedrige Reibungszahlen, während es in fen: Sauerstoff oder in feuchter Luft höhere Reibungszahlen hat, das es leicht zu MoO3 oxidiert, und  Verbindungen mit Schichtgitterstruktur. Da- sich vor allem bei höheren Temperaturen zersetzt zu gehören: Graphit, Molybdändisulfid, Dich- [12]. alcogenide, Metallhalogenide, Graphitfluorid, Bei der Anwendung von PTFE ist darauf zu hexagonales Bornitrid, achten, dass die Reibungszahl mit steigender  oxidische und fluoridische Verbindungen der Gleitgeschwindigkeit stark zunimmt, Abb. 33.2, Übergangs- und Erdalkalimetalle. Dazu gehö- das PTFE die Reibungswärme nur schlecht abren: Borsäure, Bleioxid, Cobaltoxid, Molyb- führen kann. dänoxid, Wolframoxid, Zinkoxid, CadmiumFür ausführlichere Informationen sei auf die oxid, Kupferoxid, Tin O2n1 u. a. Calciumfluo- Monographien „Lubricants in Operation“ von rid, Bariumfluorid, Cerfluorid, Strontiumfluo- U. Möller und U. Boor [12] sowie Fuels and Lubrid, Lithiumfluorid, Natriumfluorid, ricants Handbook von G.E. Totten, S.R. West weiche Metalle, wie Blei, Indium, Silber, Zinn brook und R.J. Shah [15], und die „Encyclopedia u. a., of Lubricants and Lubrication“ von T. Mang [16]  Polymere, insbesondere Polytetrafluorethylen verwiesen. (PTFE). Im heutigen Verständnis zur Tribo-oxidation bestimmen unterstöchiometrische Oxide, sog. „Lubricious Oxides“ oder „triboaktive Phasen“ das Reibungs- und Verschleißverhalten von Metallen, Keramiken und Hardmetallen [17]. Die Unterstöchiometrie wird hier als planarer Sauerstoffdefekt, sog. Magnéli-Phasen (Tin O2n1 , Tin2 Cr2 O2n1 ), abgebildet. Molybdenum und Wolfram bilden ebenfalls planare Sauerstoffdefekte aus, allerdings einer anderen homologen Serie Men O3n1 . Die Unterstöchiometrie kann auch als sog. Blockstrukturen (Nb3n+1 O8n2 ) akkommodiert werden. Bildhaft entsprechen bei Blockstrukturen die Ziegeln das Abb. 33.5 Reibungszahl von Graphit und Molybdändi- stöchiometrische Oxid und die Fugen sind die Bereiche mit einem Sauserstoffdefizit. sulfid [13]

33

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Anhang Abb. 33.6 Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit von flüssigen Schmierstoffen

Wärmeleitfähigkeit neuer Schmierstoffe 0,155 Kohlenwasserstoff-Ester 100% Ester Kohlenwasserstoff Kohlenwasserstoff 100% Ester Kohlenwasserstoff-Ester

Wärmeleitfähigkeit in W/(mK)

0,15

0,145

0,14

0,135

0,13

0,125 20

70

120

Temperatur in °C

Volumetric heat capacity cp · ρ

Abb. 33.7 Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität von flüssigen Schmierstoffen

Volumetric heat capacity in J/(cm3K)

2,50

2,30

2,10

1,90

1,70 Kohlenwasserstoff-Ester Kohlenwasserstoff-Ester Polyalkylenglykol Kohlenwasserstoff

1,50 20

40

60

80

100

Temperatur in °C

100% Ester Polypropylenglykol Polyethylenglykol Kohlenwasserstoff

120

140

33 Tribologie

687

Tab. 33.4 Viskositätsdruckkoeffizienten ˛ von Schmierölen und Viskositätssteigerungen durch Druck [18] 2000 bar 2000 bar Öltyp ˛ 25 °C 103 bar1 bei 25 °C (ca.) bei 80 °C (ca.) 1bar 1bar Paraffinbasische Mineralöle 1,5. . . 2,4 15. . . 100 10. . . 30 Naphthenbasische Mineralöle 2,5. . . 3,5 150. . . 800 40. . . 70 Aromatische Solvent-Extrakte 4 ...8 1000. . . 200 000 100. . . 1000 Polyolefine 1,3. . . 2,0 10. . . 50 8. . . 20 Esteröle (Diester, verzweigt) 1,5. . . 2,0 20. . . 50 12. . . 20 Polyätheröle (aliph.) 1,1. . . 1,7 9. . . 30 7. . . 13 Siliconöle (aliph. Subst.) 1,2. . . 1,4 9. . . 16 7. . . 9 Siliconöle (arom. Subst.) 2 . . . 2,7 300 – Chlorparaffine (je nach Halogenierungsgrad) 0,7. . . 5 5. . . 20 000 –

Tab. 33.5 Viskositätsklassen von Motorenschmierölena nach SAE J300 (Jan. 2015) SAE Viskositätsklasse

Tieftemperaturviskositäten Scheinbare Viskositätb Grenzpumpviskositätc [mPa  s] [mPa  s] max. bei T [°C] max. bei T [°C]

0W 5W 10W 15W 20W 25W 8 12 16 20 30 40 40 50 60

6200 bei 35 6600 bei 30 7000 bei 25 7000 bei 20 9500 bei 15 13 000 bei 10 – – – – – – – – –

60 000 bei 40 60 000 bei 35 60 000 bei 30 60 000 bei 25 60 000 bei 20 60 000 bei 15 – – – – – – – – –

Hochtemperaturviskositäten Kinematische HTHSe Viskosität Viskositätd [mm2 /s] [mPa  s] bei 150 °C und 106 s1 bei 100°C Min. Max. Min. 3,8 – – 3,8 – – 4,1 – – 5,6 – – 5,6 – – 9,3 – – 4,0 < 6,1 1,7 5,0 < 7,1 2,0 6,1 < 8,2 2,3 5,6 < 9,3 2,6 9,3 < 12,5 2,9 12,5 < 16,3 2,9f 12,5 < 16,3 3,7g 16,3 < 21,9 3,7 21,9 < 26,1 3,7

a

Die ursprüngliche deutsche Fassung DIN 51511 ist zurückgezogen ASTM D5293 (cold cranking simulator (CCS); „Kaltstartfähigkeit“; Siehe auch DIN 51377) c ASTM D4684 (mini rotary viscosimeter (MRV)) d ASTM D445 (Siehe auch ISO 3104 bzw. DIN 51562-2 „Ubbelohde“-Viskosimeter) e ASTM D4683, CEC L-36-A-90 (ASTM D 4741) oder ASTM DS481; HTHS = High-shear High-temperature = Viskosität unter hohen Temperaturen und Schergefällen f 3,5 mPas für 0W-40, 5W-40 & 10W-40 g 3,7 mPas für 15W-40, 20W-40, 25W-40 & 40 b

33

688

K.-H. Habig und M. Woydt

Tab. 33.6 Konsistenzklassen von Schmierfetten nach DIN 51 818 und Anwendungen [19] NLGIKlasse 000 00 0

Penetration [mm=10] 445. . . 475 400. . . 430 355. . . 385

1 2 3 4 5 6

310. . . 340 265. . . 295 220. . . 250 175. . . 205 130. . . 160 85. . . 115

Konsistenz

Gleitlager

fast flüssig halbflüssig außerordentlich weich sehr weich weich × mittel × ziemlich weich fest sehr fest und steif

Wälzlager

Zentralschmieranlagen × × ×

Getriebeschmierung × × ×

×

×

× × ×

Literatur Spezielle Literatur 1. Jost, P.: Lubrication (Tribology): education and research: a report on the present position and industry’s needs. Her Majesty’s Stationary Office, London (1966) 2. Woydt, M., Gradt, T., Hosenfeldt, T., Luther, R., Rienäcker, A., Wetzel, F.-J., Wincierz, Chr.: Tribologie in Deutschland – Querschnittstechnologie zur Minderung von CO2 -Emissionen und zur Ressourcenschonung. Herausgeber: Gesellschaft für Tribologie e.V., www.gft-ev.de, Adolf-Fischer-Str. 34, D-52428 Jülich, September 2019, https://www.gft-ev.de/de/ tribologie-studie/ 3. Mittmann, H.-U., Czichos, H.: Reibungsmessungen und Oberflächenuntersuchungen an KunststoffMetall-Gleitpaarungen. Materialprüfung 17, 366– 372 (1975) 4. Czichos, H., Habig, K.-H.: Tribologie-Handbuch Reibung und Verschleiß, 4. Aufl. Springer, Wiesbaden (2015). ISBN 978-3834818102 5. Czichos, H.: Tribology – a systems approach to the science and technology of friction, lubrication and wear. Tribology Series 1. Elsevier, Amsterdam (1978) 6. Dowson, D., Higginson, G.R.: A new roller bearing lubrication formula. Engineering 19, 158–159 (1961) 7. Dowson, D., Higginson, G.R.: Elastohydrodynamic lubrication – the fundamentals of roller and gear lubrication, 2. Aufl. Pergamon Press, Oxford (1977) 8. Hamrock, B.J., Dowson, D.: Isothermal elastohydrodynamic lubrication of point contacts, Part III: fully flooded results. Trans Asme J Lubr Eng 99, 264–275 (1977) 9. Schmidt, H., Bodschwinna, H., Schneider, U.: Mikro-EHD: Einfluss der Oberflächenrauheit auf der Schmierfilmbildung in realen EHD-Wälzkontakten. Teil I: Grundlagen. Antriebstechnik 26(11), 55–60 (1987). Teil II: Ergebnisse und rechnerische Auslegung eines realen EHD-Wälzkontaktes. Antriebstechnik 26 (1987) H.12, 55–60

Wasserpumpen

Blockfette

× × × 10. Winer, W.O., Cheng, H.S.: Film thickness, contact stress and surface temperatures. In: Peterson, M.B., Winer, W.O. (Hrsg.) Wear control handbook. The American Society of Mechanical Engineers, New York (1980) 11. Klamann, D.: Schmierstoffe und verwandte Produkte – Herstellung, Eigenschaften, Anwendung. Verlag Chemie, Weinheim (1982) 12. Möller, U.J.: Schmierstoffe im Betrieb, 2. Aufl. Springer, Berlin Heidelberg (2002) 13. Buckley, D.H.: Surface effects in adhesion, friction, wear, and lubrication. Tribology Series 5. Elsevier, Amsterdam (1981) 14. Mang, T., Dresel, W.: Lubricants and lubrication, 2. Aufl. Wiley-VCH, Weinheim (2007) 15. Totten, G.E., Forrester, D.R., Shah, R.J.: Fuels and Lubricants Handbook. ASTM International. (2019). ISBN 978-0-803-17089-6 16. Mang, T.: Encyclopedia of lubricants and lubrication Bd. 1–3. Springer, Berlin Heidelberg (2014). ISBN 978-3642226465 17. Woydt, M.: Sub-stoichiometric Oxides for Wear Resistance, WEAR Vol. 440–441 (2019) 203104 https:// doi.org/10.1016/j.wear.2019.203104 18. Klamann, D.: Schmierstoffe und verwandte Produkte – Herstellung, Eigenschaften, Anwendung. Verlag Chemie, Weinheim (1982) 19. Möller, U. J.: Schmierstoffe im Betrieb. Berlin Heidelberg: Springer 2. Aufl. (2002)

Normen und Richtlinien 20. OECD Guidelines for the Testing of Chemicals. Section 2: Effects on Biotic Systems Test No. 203: Fish, Acute Toxicity Test 21. ISO 7346-1: Water quality – Determination of the acute lethal toxicity of substances to a freshwater fish [Brachydanio rerio Hamilton-Buchanan (Teleostei, Cyprinidae)] – Part 1: Static method 22. OECD Guidelines for the Testing of Chemicals, Section 2: Effects on Biotic Systems Test No. 202: Daphnia sp. Acute Immobilisation Test

33 Tribologie 23. ISO 6341 Water quality – Determination of the inhibition of the mobility of Daphnia magna Straus (Cladocera, Crustacea)-Acute toxicity lest 24. OECD Guidelines for the Testing of Chemicals, Section 2: Effects on Biotic Systems Test No. 201: Freshwater Alga and Cyanobacteria, Growth Inhibition Test 25. ISO 8692 Water quality – Freshwater algal growth inhibition test with unicellular green algae 26. OECD Guidelines for the Testing of Chemicals/Section 3: Degradation and Accumulation Test No. 306: Biodegradability in Seawater 27. 1272/2008/EU „Verordnung (EG) Nr. 1272/2008 des Europäischen Parlaments und des Rates vom 16. Dezember 2008 über die Einstufung, Kennzeichnung und Verpackung von Stoffen und Gemischen“ 28. ISO 15380: „Schmierstoffe, Industrieöle und verwandte Produkte (Klasse L). Familie H (Hydraulische Systeme). Anforderungen für die Kategorien HETG, HEPG, HEES und HEPR“ 29. Beschluss (EU) 2018/1702 der Kommission vom 8. November 2018 zur Festlegung der Umweltkriterien für die Vergabe des EU-Umweltzeichens für Schmierstoffe 30. EN 16807 „Flüssige Mineralölerzeugnisse – BioSchmierstoffe – Kriterien und Anforderungen für Bio-Schmierstoffe und biobasierte Schmierstoffe“ 31. ISO 8068 „Lubricants, industrial oils and related products (class L) – Family T (Turbines) – Specification for lubricating oils for turbines“ 32. ISO 12925 „Lubricants, industrial oils and related products (class L) – Family C (Gears) – Part 1: Specifications for lubricants for enclosed gear systems“ 33. HOCNF Harmonized Offshore Chemical Notification Format http://www.cefos.defra.gov.uk/ 34. OSPAR Convention for the Protection of the Marine Environment of the North-East Atlantic (the „OSPAR Convention“), www.ospar.org 35. DIN ISO 9120, 2005–08:Mineralölerzeugnisse und verwandte Produkte – Bestimmung des Luftabscheidevermögens von Dampfturbinen- und anderen Ölen – lmpinger-Verfahren

689 36. DIN 51365: Prüfung von Schmierstoffen; Bestimmung der Gesamtverschmutzung von gebrauchten Motorenschmierölen; Zentifugierverfahren 37. DIN ISO 9120: Mineralölerzeugnisse und verwandte Produkte – Bestimmung des Luftabscheidevermögens von Dampfturbinen- und anderen Ölen – Impinger-Verfahren 38. EN ISO 20844: Bestimmung der Scherstabilität von polymerhaltigen Ölen mit Hilfe einer Diesel-Einspritzdüse 39. DIN 51558 Teil 1: Prüfung von Mineralölen; Bestimmung der Neutralisationszahl. Farbindikator-Titration 40. DIN 51755: Prüfung von Mineralölen und anderen brennbaren Flüssigkeiten; Bestimmung des Flammpunktes im geschlossenen Tiegel nach Abel-Pensky 41. DIN 51777 Teil 1: Prüfung von Mineralöl-Kohlenwasserstoffen und Lösemitteln: Bestimmung des Wassergehaltes nach Karl-Fischer; Direktes Verfahren – DlN 51818: Schmierstoffe; Konsistenz-Einteilung für Schmierfette; NLGI-Klassen 42. DlN EN ISO 2592: Mineralölerzeugnisse; Bestimmung des Flamm- und Brennpunktes – Verfahren im offenen Tiegel nach Cleveland 43. DIN ISO 2909: Mineralölerzeugnisse; Berechnung des Viskositätsindex aus der kinematischen Viskosität 44. DIN ISO 3733: Mineralölerzeugnisse und bituminöse Bindemittel; Bestimmung des Wassergehaltes, Destillationsverfahren 45. ISO 3015: Mineralölerzeugnisse; Bestimmung des Cloudpoint 46. ISO 3016: Mineralölerzeugnisse; Bestimmung des Pourpoint 47. ISO 3771: Mineralölerzeugnisse: Basenzahl – Potentiometrische Titration mit Perchlorsäure 48. SAEJ300: Engine Oil Viscosity Classification 49. ISO 2137: Mineralölerzeugnisse – Schmierfett und Petrolatum – Bestimmung der Konuspenetration 50. GfT-Arbeitsblatt Nr. 7: Tribologie. Gesellschaft für Tribologie (GfT), Aachen, www.gft-ev.de

33

Korrosion und Korrosionsschutz

34

Thomas Böllinghaus, Michael Rhode und Thora Falkenreck

34.1 Einleitung

ist die funktionsgerechte Wechselwirkung dieser drei Faktoren beeinträchtigt und es kann ein Korrosionsschaden eintreten. Ein Korrosionsschaden (Damage) liegt also nicht notwendigerweise bei Korrosion an sich, sondern nur dann vor, wenn die Funktionsfähigkeit einer bestimmten Komponente in einem technischen System beeinträchtigt ist. Darüber hinaus muss ein Korrosionsschaden an einer Komponente nicht notwendigerweise zu einem Versagen (Failure) bzw. Ausfall, d. h. dem totalen Verlust der Funktionsfähigkeit des jeweiligen gesamten technischen Systems führen. Der Begriff Korrosion bezieht sich überwiegend auf metallische Werkstoffe. Aber bei Gläsern und Keramiken wird von Korrosion gesprochen und auch an organischen nichtmetallischen (Polymerund Komposit-) Werkstoffen gibt es korrosionsartige Erscheinungen. Hierauf wird jedoch in diesem Abschnitt nicht eingegangen. Grundsätzlich wird hinsichtlich der Korrosion von Metallen unterschieden:

Korrosion der Metalle ist die physikochemische Wechselwirkung zwischen einem Metall und seiner Umgebung, die zu Veränderungen der Eigenschaften des Metalls führt und die zu erheblichen Beeinträchtigungen der Funktion des Metalls, der Umgebung oder des technischen Systems, von dem diese einen Teil bilden, führen kann [1]. Die Beständigkeit gegen Korrosion ist daher eine Eigenschaft eines Bauteiles oder einer Komponente in einem technischen System. Korrosionsbeständigkeit bezeichnet die Fähigkeit des Werkstoffes unter dem jeweils vorliegenden Bauteildesign, einer Korrosionsbeanspruchung zu widerstehen und so die Funktionsfähigkeit des Bauteiles zu erhalten (Abb. 34.1). Die Korrosionsbeanspruchung ergibt sich aus den Umgebungsbedingungen seitens des Mediums und seitens des jeweiligen konstruktiven Designs. Übersteigt die Korrosionsbeanspruchung eines Werkstoffes einer technischen Komponente dessen Beanspruchbarkeit, d. h. seinen Korrosionswiderstand, dann a) Elektrochemische Korrosion (bspw. die atmosphärische Korrosion der Stähle, die vielfach T. Böllinghaus () mit Rosten gleichgesetzt wird) Bundesanstalt für Materialforschung und -prüfung b) Chemische Korrosion (bspw. die Hochtempe(BAM) Berlin, Deutschland raturkorrosion von Metallen, bei Stählen auch E-Mail: [email protected] oft als Zunder bekannt) M. Rhode Bundesanstalt für Materialforschung und -prüfung (BAM) Berlin, Deutschland E-Mail: [email protected] T. Falkenreck Berlin, Deutschland

Im Gegensatz zu vielen anderen Bereichen der Technik ist es bezüglich Korrosion oft nicht möglich, das Verhalten von Bauteilen und Anlagen in Formeln, Tabellen oder Regelwerken anzugeben. Die Ursache dafür liegt darin, dass die

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_34

691

692 Abb. 34.1 Korrosionsbeständigkeit als Bauteileigenschaft

T. Böllinghaus et al. Legierungsanteile, Lokales Gefüge, Phasen, Ausscheidungen, (Re-)Passivierbarkeit, Wärmebehandlung, ...

Umgebungsbedingungen–Medien: Zusammensetzung, Phasen und -anteile, CI-Ionen, CO2, H2S, O2, Druck, Temperatur, Potential, pH-Wert, ...

Werkstoff

Korrosionsbeständigkeit

Beanspruchung

Design

Umgebungsbedingungen–Design: Multiaxiale Dehnungen, Spannungszustände, Dehnraten, Drücke, Strömungsbedingungen, Entmischungen, ...

Korrosionsexponierte Teile Spalten, Kerben, Umlenkungen, Dimensionen, Schweißnähte, ...

Medium

Phasengrenze

Werkstoff

allgemeine Umgebungseinflüsse (schädigende Reaktionen, Kontaminationen, etc.)

externe und galvanische Ströme

gekoppelte Beanspruchugen (mechanisch, thermisch etc.)

Ionen-/Stofftransport (Diffusion, Konvektion, Migration)

Anodische Teilreaktion, Kathodische Teilreaktion, Chemische Reaktion

Metallurgische Mechanismen

Absorption

Abb. 34.2 Korrosionsprozesse am Übergang zwischen Medium und Werkstoff

Die Korrosionsbeanspruchung kann zudem von einer weiteren Beanspruchungsart zeitgleich in den drei Wirkzonen überlagert sein. Unter einer solchen Koppelung einer korrosiven mit einer mechanischen Beanspruchung tritt beispielsweise Risskorrosion auf. Der Vorgang, bei dem eine Reib- und eine Korrosionsbeanspruchung gleichzeitig wirken, wird dann als Verschleißkorrosion bezeichnet. Entsprechend ist unter Erosionskorrosion die zeitgleiche lokale Einwirkung von Erosion und Korrosion zu verstehen [2]. Aufgrund der örtlichen und zeitlichen Variation der sehr diversen Einflüsse sind die Ursachen

Adsorption und Desorption

Korrosionsbeständigkeit nicht nur von den drei oben dargestellten werkstofftechnischen, konstruktiven und beanspruchungsbedingten Einflüssen abhängt. Darüber hinaus laufen in den drei lokalen Wirkzonen Werkstoff, Medium und der dazwischenliegenden Phasengrenze sehr unterschiedliche physikalische Prozesse und chemische Reaktionen ab, die zusammen genommen die eigentliche Korrosionsbeanspruchung darstellen (Abb. 34.2). Da diese Vorgänge zudem zeitabhängig sind, hat die Korrosionsbeanspruchung immer eine thermodynamische und eine kinetische Komponente.

Masseverlust Vor- und Nachreaktionen

Masseverlust Flüssigmetallreaktionen

Risswachstum

34 Korrosion und Korrosionsschutz

693

eines Korrosionsschadens oft sehr unterschiedlich, auch wenn sich die Schadensbilder häufig gleichen. Um die Ursachen der Korrosion im Einzelfall zu verstehen und beurteilen zu können, sowie um entsprechende Präventivmaßnahmen zu ergreifen, ist es wichtig, sich mit den drei verschiedenen Einflussfaktoren (Abb. 34.1) und den lokalen physikalischen Prozessen und chemischen Reaktionen (Abb. 34.2) vertraut zu machen.

34.2 Elektrochemische Korrosion In den meisten Fällen besteht die Wechselwirkung zwischen dem Metall und seiner Umgebung aus elektrochemischen Reaktionen und entsprechenden physikalischen Prozessen, bspw. Diffusionsvorgängen [1]. Die thermodynamische Triebkraft der elektrochemischen Reaktionen ist grundsätzlich durch das Bestreben der Elemente gekennzeichnet, den energetisch niedrigeren Zustand anzunehmen. Elektrochemische Korrosion kann also als das Streben eines metallischen Werkstoffes nach einem energetisch günstigeren Zustand angesehen werden, der meist durch eine Elektronenabgabe (Oxidation) gekennzeichnet ist. In einer elektrisch leitenden Umgebung (Elektrolyt), ist die Elektronenabgabe meist mit der Auflösung eines Metalls verbunden. Kommt bspw. eine blanke metallische Oberfläche mit einem wässrigen Elektrolyt in Berührung, setzt augenblicklich dieser Metallauflösungsprozess ein, bei dem ein Metallatom als Ion (Mez+ ) durch die Phasengrenze in den Elektrolyt übertritt, d. h. in Lösung geht. Je nach Wertigkeit bzw. Ladungszahl (z) lässt jedes dieser Metallionen ein oder mehrere freie Valenzelektronen (z  e ) im Metall zurück. Der Ort, an dem dieser Prozess stattfindet, wird definitionsgemäß Anode genannt. Der Metallauflösungsprozess heißt demnach anodische Teilreaktion und wird durch Gl. (34.1) beschrieben: Me ! MezC C z  e

(34.1)

Der Auflösungsprozess kann mit dem Faraday’schen Gesetz beschrieben werden: m D

M I t Œg zF

(34.2)

Darin sind m der Masseverlust, M die Molmasse, I der Elektronenfluss in Form der Stromstärke infolge der Metallauflösung, t die Zeit, z die Wertigkeit und F = 96 485 C  mol1 die FaradayKonstante. Insgesamt wird infolge dieses Vorganges das ursprünglich neutrale Metall durch die zurückbleibenden Elektronen negativer. Werden die Elektronen nicht verbraucht, führt die Ladungstrennung sehr schnell zur Zunahme elektrostatischer Kräfte, was die weitere Metallauflösung zum Erliegen bringt. Es stellt sich ein thermodynamisches Gleichgewicht ein, d. h., wenn Metallionen in Lösung gehen, wird die gleiche Anzahl wieder in die Metallmatrix, also in den metallischen Bindungszustand, überführt. Dies gilt aber nur für ein homogenes reines Metall im Kontakt mit einem Elektrolyt. Metallische Werkstoffe hingegen sind inhomogen, denn sie haben unterschiedliche Mikrostrukturen und Legierungselemente, weisen Anisotropie und Gitterbaufehler auf, beinhalten Einschlüsse und Verunreinigungen oder haben verschiedene Verformungsgrade und Wärmebehandlungszustände. Dadurch entstehen im Kontakt mit einem Elektrolyt Orte unterschiedlicher Energie. An solchen Fehlstellen des Metallatomgitters ist das Bestreben, den energetisch niedrigeren Zustand durch Metallauflösung zu erreichen, besonders groß und zudem ist das Gleichgewicht der elektrostatischen Kräfte zwischen den freien Elektronen und den Metallionen auf der Werkstoffoberfläche häufig gestört. Da Elektronenneutralität sowohl für den Elektrolyt als auch für den metallischen Werkstoff herrschen muss, werden an einer anderen Stelle der inhomogenen Metalloberfläche Elektronen verbraucht, das heißt von einem Reaktionspartner aus dem Elektrolyt aufgenommen. Nur durch diesen Prozess der Elektronenaufnahme, der Reduktion genannt wird und an der so genannten

34

694 Abb. 34.3 Schematische Darstellung der Korrosion an einer Korngrenze

T. Böllinghaus et al. + + + + + + + + ++ + ++ + + ++ + + + ++ + + + + + + + + + + +++ + + H2 + + + +++ + + + + + + + + + ++ + ++ + + H2O + + + + + + + + + H 2O ++ + + + + + + Z+ + + +++ + + + + + Me + H+ + + + + + ++ H+ + + + ++ ++ ++ 2 H+ + 2e– Æ 2 H Æ H2 e–e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– + ++++++++++ e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– e– ++ +++++++ ++ + ++ + + ++++++++ Me Æ MeZ+ + Ze– e– ++++ ++++ + ++ ++ + +++

+

+

+

+

Kathode stattfindet, wird die weitere Auflösung 3. Entladung edlerer Metallionen (Korrosion bei Mischbauweise, wenn bspw. Kupferionen bei des Metalls an der Anode ermöglicht. Für die kader Korrosion eines Kupferrohres in den Elekthodische Teilreaktion kommen nur vier Arten in trolyten gelangt sind und anschließend auf ein Betracht, die verschiedene Korrosionsarten nach verzinktes Rohr treffen) sich ziehen: 1. Reduktion des Wassers in sauerstofffreien Cu2C C 2e ! Cu (34.5) bzw. sauerstoffarmen neutralen und basischen Elektrolyten 4. Fremdstrom (z. B. Korrosion durch vagabundierende Fremdströme im Erdreich, in der (34.3a) 2H2 O C 2e ! H2 C 2OH Nähe von Straßenbahnschienen). und in sauerstofffreien bzw. sauerstoffarmen Als eine solche örtliche Inhomogenität, an der sauren Elektrolyten (bspw. bei der Lokalkor- in unmittelbarer Nachbarschaft eine Metallaufrosion, Korrosion in Säure) lösung und ein elektronenverbrauchender Prozess ablaufen kann, ist in Abb. 34.3 an einer (34.3b) Korngrenze die Auflösung eines polykristallinen 2HC C 2e ! H2 metallischen Werkstoffes in Säure schematisch (exakter: 2H3 OC C 2e ! 2H2 O C H2 [2]) dargestellt. Wenn Anoden und Kathoden nur ei2. Reduktion des im Wasser gelösten Sauerstoffs ne geringe Ausdehnung haben und gleichmäßig in neutralen und basischen Elektrolyten, die auf der Metalloberfläche verteilt sind, stellt diese der Umgebungsluft ausgesetzt sind (bspw. bei eine Mischelektrode dar. Dies trifft beispielsweider gleichmäßigen atmosphärischen Korrosi- se auf korrodierende Oberflächen von Stählen mit niedrigem Legierungsgehalt in wässrigen Elekon): trolyten zu. Aufgrund ihrer schnellen Beweglich(34.4a) keit in der Elektronenhülle des Metalls, ist der O2 C 2H2 O C 4e ! 4OH elektronenverbrauchende Prozess keineswegs an und in sauren Elektrolyten mit Kontakt zur den Ort der Metallauflösung gebunden, sondern Umgebungsluft (Korrosion in Säure): kann auch weit davon entfernt erfolgen. So findet der Elektronenübergang, hier die eigentliche O2 C 4HC C 4e ! 2H2 O Reaktion der Säure, an der Kornfläche und nicht C  an der Stelle der Metallauflösung statt. Die örtli.exakter O2 C 4H3 O C 4e ! 6H2 O/ (34.4b) che Trennung zwischen dem Auflösungsprozess

34 Korrosion und Korrosionsschutz

695

an der Anode und dem elektronenverbrauchenden Prozess an der Kathode kann relativ groß werden. Dies kann zum Beispiel in wässerigen Elektrolyten auftreten, wenn Werkstoffe mit Phasen unterschiedlichen Legierungsgehaltes, wie beispielsweise in austenitisch-ferritischen Duplexstählen, vorliegen oder Bauteile aus unterschiedlichen Materialien elektronenleitend miteinander verbunden sind, wie es beispielsweise auf die galvanische Korrosion oder Kontaktkorrosion von zwei verschieden hoch legierten Metallen in Schweißverbindungen zutrifft. Elektrochemisch gesehen bilden bei der Korrosion die Kathode und die Anode zusammen mit dem Elektrolyt eine Mischzelle. Korrosionsreaktionen laufen also dann spontan ab, wenn die Metallatome einen energetisch niederwertigen Zustand annehmen können, d. h. wenn mit der Mischzelle, wie bei einer Batterie, elektrische Arbeit W el = E  Q verrichtet werden kann. Dazu muss die freie Enthalpie (engl.: Gibbs Free Energy) G einen negativen Wert annehmen. Sie kennzeichnet den freigesetzten Energiebetrag, der als überschüssiger Wärmeinhalt für die Verrichtung einer Arbeit zur Verfügung steht. Für ein Mol Stoffumsatz beträgt der Ladungsumsatz Q = z  F, also beträgt die freigesetzte Energie G D z  F  E

(34.6)

In dieser Gleichung stellt E die elektromotorische Kraft EMK dar. Sie kann als Spannung U angesehen und wie bei einer Batterie gemessen werden. G ergibt sich nach dem Massenwirkungsgesetz aus den Aktivitäten bzw. näherungsweise der Konzentrationen C der Reaktionspartner an der Kathode und der Anode, also der Elemente, die reduziert werden (Elektronen aufnehmen), und die oxidiert werden (Elektronen abgeben). G D G 0 C R  T  ln.K/ CRed D R  T  ln COx CRed D R  T  2;303 lg COx

(34.7)

Zusammenführen der Gln. (34.7) und (34.8) ergibt die für die Beurteilung korrosionstechnischer

Zusammenhänge wichtige Nernst-Gleichung: RT CRed  2;303 lg zF COx R  T COx D E 0 C  2;303 lg zF CRed

E D E 0 

(34.8)

Bei der elektrochemischen Korrosion metallischer Werkstoffe laufen jedoch die anodischen und kathodischen Teilreaktionen kaum so definiert ab, wie bei einer Batterie. Um dennoch ein thermodynamisches Maß für die Heftigkeit einer elektrochemischen Korrosionsreaktion zu haben, werden als Standardbedingungen die Raumtemperatur 298 K, der Normaldruck 0,1 MPa und als Konzentration der Reaktionspartner 1 mol  l1 definiert. Da sich außerdem die anodischen und kathodischen Einzelreaktionen aufgrund der Neutralität der gesamten Mischzelle messtechnisch nicht erfassen messen lassen, wird ersatzweise eine Gesamtreaktion in Form der Gln. (34.1) und (34.3b) zur Definition der Standard-EMK E0 herangezogen z z  H3 OC C M ! MzC C z  H2 O C  H2 (34.9) 2 und deren EMK als Standardpotential der Einzelreaktion der Metallauflösung erklärt. Damit ist aber auch das Standardpotential der Wasserstoffabscheidung gleich Null, was umgekehrt auch der hohen Bindungsenergie des Wasserstoffmoleküls H2 (ca. 436 kJ  mol1 ) bei Korrosionsreaktionen Rechnung trägt. Die Tab. 34.1 enthält die Einzelreaktionen und die Standardpotentiale der wichtigsten Legierungsmetalle technischer Werkstoffe im Vergleich zur Normalwasserstoffelektrode, anhand derer sich ihr Bestreben zur Auflösung in wässerigen Elektrolyten allgemein abschätzen lässt. Metalle und Werkstoffe, die in der Spannungsreihe gegenüber der Normalwasserstoffelektrode negativer liegen, werden im Vergleich untereinander als unedler, welche die zu höheren Potentialen verschoben sind, als edler bezeichnet. Die Auflistung der Standardpotentiale wird auch als elektrochemische Spannungsreihe bezeichnet. Nachteilig ist hier aber, dass diese Standardpotentiale meist nicht den technischen Anwen-

34

696

T. Böllinghaus et al.

Tab. 34.1 Standardpotentiale (elektrochemische Spannungsreihe) und freie Korrosionspotentiale in Meerwasser (praktische Spannungsreihe) im Vergleich zur Normalwasserstoffelektrode Element/Werkstoff !Teilreaktion Standardpotential E0 (V) H2 ! 2 H+ + 2 e 0,00 (Referenz) Mg ! Mg2+ + 2 e 2,36 Al ! Al3+ + 3 e 1,66 Ti ! Ti2+ + 2 e 1,77 Zn ! Zn2+ + 2 e 0,76 Cr ! Cr3+ + 3 e 0,71 Fe ! Fe2+ + 2 e 0,44 Sn ! Sn2+ + 2 e Cu ! Cu2+ + 2 e Ag ! Ag+ + e Pt ! Pt2+ + 2 e

0,14 +0,34 +0,80 +1,20

dungsfall widerspiegeln. Zusätzlich zu den Standardpotentialen enthält Tab. 34.1 eine Liste so genannter Ruhestrompotentiale (oder auch freie Korrosionspotentiale). Diese sind immer von einem Medium abhängig, hier z. B. für künstliches Meerwasser (luftgesättigt, pH = 7,5) [4]. Eine solche Auflistung wird als praktische Spannungsreihe bezeichnet. Die oben beschriebene Thermodynamik elektrochemischer Korrosionsreaktionen wird von kinetischen Einflüssen überlagert. Diese werden insbesondere vom Widerstand und der Inhomogenität im Elektrolyt und auf der Metalloberfläche bedingt. Inhomogene Elektrolyte entstehen durch Verarmungsprozesse (bspw. örtlich starker Verbrauch von Sauerstoff), Anreicherungsprozesse (Alkalisierung durch Bildung von OH Ionen) und Diffusionsprozesse (An- und Abtransportvorgänge an der Oberfläche und im Umgebungselektrolyt). Insbesondere ist im Elektrolyt die Mobilität der Reaktionspartner und Ionen deutlich niedriger, als die im Metall hochmobilen und an einer Metalloberfläche bereitgestellten Elektronen. Wenn sich in wässerigen Elektrolyten zum Beispiel Natriumchlorid und somit Cl-Ionen befinden, steigt nicht nur die Leitfähigkeit gegenüber reinem Wasser um Größenordnungen an und der Elektronenaustausch kann schneller erfolgen, sondern es wird auch die Löslichkeit der Metallionen im Wasser erhöht, wodurch die Metallauflösung beschleunigt wird. Insbesonde-

Freies Korrosionspotential in künstlichem Meerwasser (V) [4] k. A. 1,40 0,67 (Al99,5) 0,11 0,80 (Zinküberzug auf Stahl) 0,29 0,35 (Vergütungsstahl), 0,05 (X5CrNi18.8) 0,19 +0,01 +0,15 k. A.

re dort, wo positiv geladene Ionen im Elektrolyt (Kationen) durch Elektronen neutralisiert werden, hängt der Ladungsaustausch stark von ihrer Diffusionsgeschwindigkeit in Richtung der Metalloberfläche ab. Dies führt quasi zu einem Elektronenstau an der Metalloberfläche und einer entsprechend negativeren Polarisierung. In gleicher Weise weisen die Stellen, an denen die Metallatome in Lösung gehen, ein höheres anodisches Potential auf. Insbesondere an der Kathode können solche Diffusionsgrenzschichten den Ladungsaustausch erheblich behindern. Sie sind bspw. die Erklärung dafür, warum bei bestimmten sehr hohen Salzkonzentrationen die Kationen sich gegenseitig behindern, so die Ionenmobilität im Elektrolyt sinkt, und eine Korrosionsreaktion auf einer Metalloberfläche langsamer ablaufen kann, als bei niedrigeren Salzkonzentrationen. Wird an der Kathode Wasserstoff neutralisiert (34.3b) und ist dort die Wasserstofflöslichkeit des Metalls vergleichsweise gering, dann entsteht eine sogenannte Wasserstoffüberspannung und der entstehende molekulare gasförmige Wasserstoff bedeckt die Kathode und behindert die weitere kathodische Reaktion, sodass gleichermaßen auch die anodische Teilreaktion der Metallauflösung blockiert sein kann. In Abb. 34.4 sind diese Einflüsse am Beispiel der Wasserfilmdicke auf die Korrosion unter atmosphärischen Bedingungen dargestellt. Daran zeigt sich, dass mit zunehmendem Wasserangebot der Elektronenverbrauch zunächst schnel-

34 Korrosion und Korrosionsschutz

Abb. 34.4 Qualitative Abhängigkeit der Korrosionsrate von der Wasserfilmdicke [3, 4]

ler verläuft und das Metall leichter in Lösung geht. Jedoch geht ab einer bestimmten Filmdicke (100 µm) die Korrosionsgeschwindigkeit wieder zurück, weil jetzt der aus der Atmosphäre stammende Sauerstoff einen größeren Diffusionsweg zurücklegen muss und demzufolge nicht mehr so viele Elektronen verbraucht werden können. Für die Praxis bedeutet das zum Beispiel, dass dünne Filme Cl-haltiger Kondensate bzw. Tau auf Metalloberflächen korrosionswirksamer sind große flüssige Elektrolytmengen bzw. Regen. Inhomogene Metalloberflächen werden durch erschwerte Ladungsübergänge durch Adsorptionsschichten und sekundäre Korrosionsprodukte (Rost) hervorgerufen. Einen besonders großen kinetischen Einfluss haben Oxidschichten auf der Oberfläche technischer Werkstoffe, so genannte Passivschichten. Dies sind im jeweiligen Elektrolyt sehr schwer lösliche Deckschichten mit sehr großen elektrischen Widerständen. Die Kinetik der anodischen Reaktion der Metallauflösung wird vor allem dadurch beeinflusst, wie sich diese Passivschichten nach einer Zerstörung neu bilden, die Werkstoffoberfläche also repassivieren kann. Sie beeinflussen jedoch auch die Kinetik der kathodischen Wasserstoffreaktion, denn sie haben eine im Vergleich zum darunterliegenden Metall ein sehr niedriges Diffusionsvermögen für Wasserstoffatome bzw. -protonen. Dadurch wird ebenfalls die Wasserstoffabsorption (Aufnahme) an der Kathode extrem herabgesetzt, mehr molekularer Wasserstoff an der Metalloberfläche ge-

697

bildet und die Adsorption (Anlagerung) weiterer Wasserstoffprotonen behindert. Metalle wie Chrom, Aluminium und Titan bilden solche Oxid- bzw. Passivschichten. Aufgrund dieser kinetischen Vorgänge stellt sich an realen Metalloberflächen gegenüber einer Referenzelektrode wie bspw. der Standardwasserstoffelektrode nur sehr selten ein freies Korrosionspotential, auch Ruhepotential genannt, ein, das der EMK der Metallauflösung (Tab. 34.1) entspricht. Anhand von praktischen Spannungsreihen in realistischen Elektrolyten (Tab. 34.1) lässt sich daher das Korrosionsverhalten von Werkstoffpaarungen vor allem bezüglich Kontaktkorrosion deutlich besser abschätzen. Während sich die wissenschaftliche Betrachtung der Korrosion wesentlich auf die Erforschung der elektrochemischen Reaktionen und die Kinetik stützt, eignet sich für die technische Betrachtungsweise eine Klassifizierung nach der Korrosionsart. Von den in der Begriffsnorm [1] aufgeführten 56 Korrosionsarten sind die für den Maschinenbau wichtigsten im Abb. 34.5 dargestellt und werden in den folgenden Abschnitten eingehender behandelt.

34.2.1

Gleichmäßige Flächenkorrosion

Die allgemeine Korrosion (Abb. 34.5) verläuft überwiegend homogen auf der gesamten Metalloberfläche und wird dann als gleichmäßige Flächenkorrosion (Uniform Corrosion) bezeichnet [1]. Sie lässt sich am besten anhand der Korrosion von niedriglegierten Stählen in feuchter Atmosphäre oder neutralem Wasser beschreiben. Dabei ist Sauerstoff und Wasser zur Oxidation des Eisens notwendig, sodass die gesamte Korrosion als Summe der Teilreaktionen (34.1) und (34.4a) abläuft. 2Fe C O2 C 2H2 O ! 2Fe.OH/2

(34.10)

Sauerstoff steht aus der Atmosphäre ausreichend zur Verfügung. Wasser kondensiert meist aus der Umgebungsluft als Elektrolytfilm unter atmosphärischen Bedingungen auf der Stahloberfläche, bevorzugt an Partikeln. Unterhalb einer rel.

34

698

T. Böllinghaus et al. Gruppe 1

Gruppe 2

Korrosion Gleichmäßiger Korrosionsangriff

Korrosion mit zusätzlicher Beanspruchung Galvanische Bimetallkorrosion

Erosionskorrosion Strömung

Galvanische Bimetallkorrosion

Ursprüngliche Oberfläche Grundwerkstoff Selektive Korrosion Herauslösen von Legierungselementen flächig lokal

Lochkorrosion (Pittingbildung)

Edleres Metall

Ausbildung von Kaviationen Reibkorrosion

Interkristalline Korrosion

Verzunderung/ Hochtemperaturkorrosion

Risskorrosion

Spaltkorrosion Spannungsrisskorrosion statische, quasi-statische Beanspruchung

Schwingungsrisskorrosion dynamische Beanspruchung

Abb. 34.5 Korrosionsarten metallischer Werkstoffe

Feuchtigkeit von 70 %, tritt praktisch keine nennenswerte Korrosion auf. In sehr sauberer Luft findet selbst bei 100 % relativer Feuchtigkeit keine merkliche Korrosion statt. Bei der gleichmäßigen Flächenkorrosion wird die gesamte Werkstoffoberfläche abgetragen, indem sich anodische und kathodische Teilbereiche abwechseln. Diese lokalen Reaktionen lassen sich vereinfacht anhand der Korrosion von Eisen unter einem Wassertropfen darstellen Abb. 34.6 Korrosion unter einem Wassertropfen (Belüftungsmodell) [5]

(Abb. 34.6). Am Tropfenrand ist der Diffusionsweg für den Sauerstoff am kürzesten. Hier findet der kathodische und elektronenverbrauchende Prozess unter Bildung von OH Ionen statt. In der Tropfenmitte herrscht die anodische Teilreaktion der Eisenauflösung vor. Es entsteht zunächst Eisen(II)-hydroxid, dass jedoch noch kein Rost im eigentlichen Sinne ist und bei Anwesenheit von gelöstem Sauerstoff im Weiteren zeitlichen Verlauf infolge verschiedener (in

34 Korrosion und Korrosionsschutz

699

Abb. 34.7 Abhängigkeit der Korrosion von der Strömungsgeschwindigkeit in Trinkwasserleitungen [6]

den Gln. (34.11)–(34.15) vereinfacht dargestell- Tab. 34.2 Zulässige Strömungsgeschwindigkeiten nach ter) Sekundärreaktionen zu einem Gemenge un- Mörbe et al. [6] vmin [m/s] vmax [m/s] terschiedlichster Rostmineralien umwandelt. Cl- Werkstoff Unlegierter Stahl 0,5 2,0 Ionen unterstützen vor allem die Eisenauflösung Feuerverzinkter Stahl 0,5 2,0 infolge der Erhöhung der Löslichkeit im Wasser Polymerbeschichteter Stahl 0,5 6,0 sowie der Bildung instabiler Hydroxyl-Komplexe Chrom-Nickel-Stahl 0,5 5,0 und halten damit die anodische Metallauflösung Kupfer DR-Cu 99,7 0,7 1,2 in Gang (Abb. 34.6). Messing CuZn30 Sondermessing CuZn20Al2

2Fe2C C 2Cl C H2 O ! Fe.OH/Cl C HC C Cl ; Fe.OH/Cl C O2 C H2 O ! 2Fe.OH/2 C HC C Cl 2Fe.OH/2 C 12 O2 C H2 O ! 2Fe.OH/3 Fe.OH/3 ! FeO.OH/ C H2 O 2FeO.OH/ C O2 ! Fe2 O3 C H2 O

1,0 1,0

2,0 2,5

(34.11) die Oberfläche gelangt. Bei mittlerer Geschwindigkeit erfolgt eine Ablagerung von Korrosionsprodukten, die dann bei höheren Geschwindig(34.12) keiten wieder abgetragen werden (Abb. 34.7). Zulässige Strömungsgeschwindigkeiten werden (34.13) bspw. von Mörbe et al. [6] angegeben und sind in der Tab. 34.2 zusammengefasst. (34.14) (34.15)

Das Volumen des Rostes ist, je nach Zusammensetzung, sechs- bis achtmal größer als die fehlende (korrodierte) Eisenmenge. Die Umwandlung der Rostprodukte hängt sehr stark von den klimatischen Bedingungen und den damit verbundenen Bewitterungszyklen ab. Sie bilden keine zusammenhängende Deckschicht, können aber die Korrosionsgeschwindigkeit erheblich herabsetzen, so dass sich je nach chemischer Zusammensetzung des Stahles und des Umgebungsmediums Korrosionsraten zwischen 0,01 und 0,1 mm/a ergeben. Dabei ist auch die Strömungsgeschwindigkeit des Umgebungsmediums, wie beispielsweise in Trinkwasserleitungen von Bedeutung. Mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit nimmt die Korrosion zunächst zu, weil mehr Sauerstoff an

34.2.2

Galvanische und Kontaktkorrosion

Ein galvanisches Element liegt vor, wenn in einer Elektrolytlösung zwei sich elektrochemisch unterschiedlich verhaltende Werkstoffe oder Werkstoffbereiche elektronenleitend miteinander verbunden sind. Der Begriff galvanische Korrosion oder Kontaktkorrosion beschreibt, dass infolge dieses leitenden Kontakts die Metallauflösung an dem unedleren Werkstoff (Anode) beschleunigt und der elektronenverbrauchende Prozess bevorzugt auf dem edleren Bereich (Kathode) abläuft. Handelt es sich bei beiden Werkstoffen um Metalle, wird dieser Vorgang als Bimetallkorrosion bezeichnet. In Abhängigkeit der Kontaktgeometrie ist die Bimetallkorrosion als ungleichmäßige,

34

700

häufig grabenförmige Auflösung des unedleren Werkstoffs im unmittelbaren Kontaktbereich bei gleichzeitig verminderter Korrosion des edleren Partners zu erkennen. Die Kontaktkorrosion kann neben einem Festigkeitsverlust der verbundenen Werkstoffe oder deren Perforation auch eine rasche Bildung von Korrosionsprodukten und Veränderung der optischen Erscheinung nach sich ziehen. Die Bewertung von Werkstoffpaarungen hinsichtlich ihrer Kontaktkorrosionsbeständigkeit ist jedoch nur schwer anhand der Standardpotentialdifferenzen beider Metalle (Tab. 34.1) möglich. Aus der praktischen Erfahrung heraus können Werkstoffe in Gruppen zusammengefasst werden, bei denen innerhalb einer Gruppe ein vermindertes Risiko für eine ausgeprägte galvanische Korrosion vorliegen sollte:

T. Böllinghaus et al.

tik der Teilstromdichte-Potentialkurven. Das gemeinsame Potential der elektrisch kurzgeschlossenen Elemente unterscheidet sich vom Gleichgewichtszustand eines einzelnen Werkstoffs unter Eigenkorrosion, dem freien Korrosionspotential. Für den unedleren Partner folgt, dass dieser zusätzlich zur Eigenkorrosion einen erhöhten anodischen Korrosionsstrom aufbringt und dadurch einer verstärkten Metallauflösung unterliegt, während die kathodische Teilreaktion anteilig zum edleren Partner verlagert wird. Diese Wirkung ist häufig in saurer Lösung von einer vermehrten von Wasserstoffgas an dem als Kathode fungierenden edleren Metall begleitet, als dies bei vereinzeltem Eintauchen in die Lösung der Fall wäre. Wenn in einem solchen Fall zusätzliche mechanische Beanspruchungen vorliegen, kann es ausgehend von einer Kontaktkorrosion zu einer wasserstoffunterstützten Rissbildung des edleren Metalls kommen. Diese Gefahr besteht vor allem dann, wenn im Elektrolyt Promotoren vorliegen. Dies sind Substanzen, die die Rekombination zu molekularem Wasserstoff verhindern (Rekombinationsgifte), wie bspw. H2 S, Cyanund Arsenverbindungen. Größere Aufmerksamkeit ist generell dem Flächenverhältnis zwischen Anode und Kathode zu widmen. Gemäß der Bedingung, dass der Betrag der anodischen und kathodischen Teilströme im Gleichgewichtszustand gleich groß sein muss,

Gruppe 1: Sehr elektronegative, unedle Metalle: Magnesium und dessen Legierungen Gruppe 2: Unedle Metalle: Aluminium, Cadmium, Zink und deren Legierungen Gruppe 3: Moderat unedle Metalle: Blei, Zinn, Eisen und deren Legierungen (mit Ausnahme hochlegierter Chrom- und Chrom-Nickel-Stähle) Gruppe 4: Edelmetalle: Kupfer, Silber, Gold, Platin und deren Legierungen Gruppe 5: Stark passivierende Metalle: Titan, Chrom, Nickel, Kobalt und deren Legierungen sowie hochlegierte Chrom(34.16) IA D jIK jC ŒA und Chrom-Nickel-Stähle Gruppe 6: Nichtmetallische Kathoden: Graphit, gilt unter der Berücksichtigung der Flächen (F) CFK, gut leitfähige Karbide, Oxide der unedleren Anode sowie der edleren Kathode, und Boride dass die auf die Fläche bezogene Auflösungsstromdichte (i = I/F) an der Anode proportional Ein sicherer Ausschluss eines Schadens durch zum Flächenverhältnis F A / F K zunimmt. galvanische Korrosion ist bei einer solchen ver  FK einfachten Betrachtung zwar nicht möglich, zuiA D (34.17)  jiK jC ŒA  mm2  mindest aber sollte bei der Überschreitung von eiFA ner oder gar mehrerer Gruppengrenzen das Korrosionsverhalten einer Werkstoffpaarung über- Zur Vermeidung einer stark lokalisierten Korrosion der Anode (iA  iK ) ist daher empfehlensprüft werden. Wesentlich für das Gesamtkorrosionsverhal- wert, dass die unedlere Anode möglichst groß ten sind vielmehr die Kinetik der zu grundle- und die Kathode möglichst klein ist. So wergenden anodischen und kathodischen Teilreakti- den zum Beispiel in der Praxis Aluminiumbleon an beiden Werkstoffen und die Charakteris- che (große Anode) mit Nieten aus Monel (et-

34 Korrosion und Korrosionsschutz

wa 70 % Ni und 30 % Cu) verbunden, um die Bimetallkorrosion möglichst zu homogenisieren. Bei Schweißverbindungen hochlegierter Chromund Chrom-Nickel-Stähle wird ein höherlegierter Zusatzwerkstoff für die flächenmäßig kleinere, dann als Kathode wirkende Schweißnaht verwendet. In der Praxis hängt also die Ausbildung in Kontakt befindlichen Werkstoffe als Kathode oder Anode weniger von der Spannungsreihe der Elemente, sondern von der Fähigkeit zur Repassivierung und damit einen Einfluss auf die Kinetik der anodischen und kathodischen Teilreaktionen auszuüben sowie von den elektrischen Übergangswiderständen zwischen den verbundenen Metallen sowie von der Leitfähigkeit der Elektrolytlösung ab. Zur Vermeidung von Kontaktkorrosion resultieren hieraus unmittelbar Konsequenzen für das konstruktive Design von Bauteilen, insbesondere bei Multi-Material-Anwendungen unter Leichtbauaspekten:  Werkstoffe, die in einer Lösung durchaus als korrosionsbeständig gelten, können sich bei leitender Verbindung in der praktischen Anwendung als inkompatibel erweisen, z. B. durch die erhebliche Beschleunigung der Korrosion des unedleren Werkstoffs.  Die Kombination von vermeintlich bewährten Standardbaugruppen in komplexen Systemen ist zu hinterfragen, z. B. die Verbindung von Kupferohren mit Al-Wärmetauschern in Kühlkreisläufen. Auch Spuren inkompatibler Metalle (wie Abscheidung gelöster Cu-Ionen auf Aluminium) oder leitfähiger Werkstoffe (Graphit, z. B. in Schmierstoffen) können durch Verschleppung galvanische Elemente ausbilden.  Passiv- und Deckschichten können durch Hemmung der geschwindigkeitsbestimmenden Teilreaktionen den praktischen Einsatz zunächst inkompatibel erscheinender Paarungen möglich machen, wie bspw. der Kontakt von Aluminium- und Cr-Ni-Stahlteilen unter milden atmosphärischen Bedingungen oder dichte karbonathaltige Beläge auf Wasserrohren aus Kupfer.

701

 Eine Erhöhung der Übergangswiderstände zwischen den Werkstoffen bis hin zur Isolation vermindert bzw. unterbindet die Bimetallkorrosion.  Die Ausdehnung des galvanischen Elementes ist direkt proportional zur Leitfähigkeit der Lösung, eine verminderte Leitfähigkeit, z. B. auch bei Ausbildung dünner adsorbierter Filme bei atmosphärischer Korrosion, beschränkt die Schädigung häufig auf den unmittelbaren Kontaktbereich. Daneben gibt es Anwendungen im Maschinenbau, in denen bewusst Bimetallkorrosion erzeugt wird, um die Lebensdauer von Bauteilen und Systemen zu verlängern. Dies geschieht durch Anbringen eines unedleren Kontaktpartners, z. B. mittels Verzinkung unlegierter Karosseriestähle im Automobilbau oder mittels so genannter Opferanoden aus Aluminium oder Magnesium in der maritimen Technik. Prinzipiell ist jedoch diese Form des kathodischen Schutzes von höherfesteren niedriglegierten Stählen gegenüber dem Gefährdungspotenzial einer Wasserstoffabsorption insbesondere in leicht sauren Elektrolyten abzuwägen. Bei unedlerer Beschichtung sind allerdings durch Auflösung der an Defekten angrenzenden unedleren Bereiche eine so genannte Fernschutzwirkung und damit eine größere Robustheit bei Beschädigung des Überzugs gegeben. Beschichtungen von niedriglegierten Stählen mit edleren Metallen z. B. beim Vernickeln oder Verchromen sind hingegen möglichst fehlerfrei herzustellen, um eine galvanische Korrosion des Grundwerkstoffes zu verhindern.

34.2.3 Selektive und interkristalline Korrosion Selektive Korrosion liegt im Gegensatz zur galvanischen Korrosion bei Werkstoffpaarungen vor, die artgleich oder zumindest artähnlich sind und bei denen nur bestimmte Teile des Gefüges, Korngrenzen-nahe Bereiche oder Legierungsbestandteile bevorzugt korrodieren [4, 5, 7]. Die bevorzugte Korrosion bestimmter Teile der Mikrostruktur setzt eine heterogene Ausbildung des

34

702

T. Böllinghaus et al.

Abb. 34.8 Selektive Korrosionsarten in Schweißverbindungen [5]. a Selektive Korrosion des Schweißgutes, b Selektive Korrosion der WEZ, c Interkristalline Korrosion, d Messerlinienkorrosion

Schweißgut WEZ

a

b

c

d

Werkstoffgefüges voraus. Die unedlere Phase bildet sich bei dieser Korrosionsform die Anode, die edlere wird zur Kathode, so dass sich mikroskopische Kontaktelemente ausbilden. Damit sind vor allem Schweißverbindungen bevorzugte Angriffsstellen, da sich dort fast immer das Schweißgut und die Wärmeeinflusszone in ihrer Mikrostruktur und häufig auch in der Legierungszusammensetzung vom Grundwerkstoff unterscheiden. Gründe hierfür sind zum Beispiel ein Abbrand von Legierungselementen während des Schweißens, Entmischungen oder Ausscheidungen. Je nachdem, welche Schweißnahtzone unedler ist, wird zwischen einer selektiven Korrosion des Schweißgutes und der Wärmeeinflusszone unterschieden. Eine häufig in Schweißverbindungen auftretende Form der selektiven Korrosion ist die interkristalline Korrosion und ihre besondere Form, die Messerlinienkorrosion (Abb. 34.8). Interkristalline Korrosion findet dann statt, wenn in metallischen Werkstoffen weniger korrosionsbeständige Phasen an den Korngrenzen ausgeschieden werden und diese ein zusammenhängendes Netz ausbilden. Dies kann zu einer bevorzugten Auflösung an den Korngrenzen und zum völligen Zerfall des Werkstoffs in einzelne Kristallite (Kornzerfall) führen. Dies kann unter anderem in Aluminium-Magnesium-Legierungen infolge der Al3 Mg2 -Phase und bei Messing infolge der ˇ-Phase vorkommen. Beim Schweißen und der Wärmebehandlung von hochlegierten Chrom- und Chrom-NickelStählen sind vor allem Ausscheidungen von Chromkarbiden (Cr23 C6 ) auf den Korngrenzen eine bedeutende Ursache für interkristalline Korrosion. Durch die Bildung und das Wachstum

dieser Phase mit bis zu 85 % Chrom bei Temperaturen zwischen 425 und 815 °C je nach Legierung und Mikrostruktur kann es in der unmittelbaren Umgebung zu einer Chromverarmung kommen (Abb. 34.9). Dieser Vorgang wird Sensibilisierung genannt und sehr häufig durch unsachgemäße Wärmebehandlungen, Betriebstemperaturen oder Temperaturführungen beim Schweißen verursacht. Sinkt der Chromgehalt unter eine kritische Grenze von 10,5 % Cr, kommt es unter ungünstigen Medienbedingungen dazu, dass sich hier keine stabile Passivschicht mehr ausbilden kann und die Auflösungsgeschwindigkeit extrem hoch wird. Entlang solcher ausscheidungsreichen Korngrenzen kann daher eine 106 -

% Cr 70–85

18

10,5

Cr-verarmte Bereiche

Cr23C6

Abb. 34.9 Schematische Darstellung der Chromverteilung an der Korngrenze eines sensibilisierten ChromNickel-Stahls mit 18 % Chrom

34 Korrosion und Korrosionsschutz

703

Abb. 34.10 AFM-Aufnahme eines hochlegierten Chrom-Nickel-Stahls während interkristalliner Korrosion, Chromkarbide (helle herausstehende Partikel) bleiben zurück [8]

Kornfläche 502,34 nm 251,17 nm 0 nm

10,47 μm Karbid

5,24 μm 10,47 μm 5,24 μm 0 μm

fach höhere Korrosionsrate auftreten als auf der Kornfläche, wie es im Abb. 34.10 anhand einer rasterkraftmikroskopischen (engl.: Atomic Force Microscopy – AFM) Aufnahme zu sehen ist. Wichtig ist, dass die Ausscheidung von Chromkarbiden und damit ihre Präsenz an sich nicht, sondern erst ihr Wachstum zur Sensibilisierung und nachfolgenden interkristallinen Korrosion führt (Abb. 34.11). Auch das Gefüge des Werkstoffes im Zusammenhang mit dem Chrom- und Kohlenstoffgehalt ist für die Beurteilung der Anfälligkeit für Sensibilisierung und interkristalline Korrosion von Bedeutung. So sind zum Beispiel hochlegierte ferritische Chromstähle bei gleichen Chrom- und Kohlenstoffgehalten aufgrund ihres geringeren Lösungsvermögens für Kohlenstoff deutlich anfälliger für interkristalline Korrosion als austenitische Chrom-NickelStähle. Abb. 34.11 Schematische Darstellung des Zusammenhanges zwischen ZTA-Schaubild und Kornzerfallsdiagramm

0 μm

Beide Werkstoffgruppen sind aber allein schon deshalb anfällig für interkristalline, weil sie Chromkarbide nur auf den Korngrenzen und nicht im Korninnern ausscheiden. Hochlegierte martensitische Stähle mit ca. 13 % Chrom können hingegen mit mehr als vierfach höheren Kohlenstoffgehalten (>0,2 %) legiert sein, ohne dass sich eine erhöhte Anfälligkeit für interkristalline Korrosion infolge Schweißens oder einer Wärmebehandlung einstellt. Der Grund ist, dass speziell diese Werkstoffe überwiegend Chromkarbide auch innerhalb der ehemaligen Austenitkörner entlang der Martensitplatten ausscheiden und damit eine Chromverarmung, wenn überhaupt, eher flächendeckend und nicht bevorzugt entlang der ehemaligen Austenitkorngrenzen erfolgt. Zur groben Abschätzung der Anfälligkeit eines Werkstoffes für interkristalline Korrosion dienen Zeit-TemperaturAusscheidungs(ZTA)-Schaubilder (Abb. 34.11), Lösungsglühtemperatur

Glühtemperatur T (°C)

Karbidauflösung Ausscheidung chromreicher Carbide

Transsensibler Bereich

Interkristalline Korrosion, nachgewiesen in aggressiveren Medien

Interkristalline Korrosion, z.B. Strauss Test als Nachweis Glühdauer log t (h)

34

704

T. Böllinghaus et al.

Abb. 34.12 Kornzerfallsschaubild für sensibilisierte hochlegierte ferritische Cr-Stähle und austenitische Cr-Ni-Stähle nach Bäumel [5]

1000 Ferritscher Stahl

Temperatur (°C)

800

600

M23C6

Austenitischer Stahl M23C6 Interkristalline Korrosion

Interkristalline Korrosion

400

200

die aber nur den Bereich der Chromkarbidausscheidung kennzeichnen, während so genannte Kornzerfallsdiagramme die wirkliche Sensibilisierung, meist nachgewiesen durch den sogenannten Strauss-Test, zeigen (Abb. 34.12). Ein wirklich quantitativer Nachweis einer Sensibilisierung infolge Chromverarmung entlang der Korngrenzen gelingt allerdings nur mittels analytischer Verfahren, wie beispielsweise der energiedispersiven Röntgenspektroskopie (EDX). Da die Ausbildung einer Passivschicht sehr stark vom Korrosionspotential mitbestimmt wird und der pH-Wert einen großen Einfluss auf das Potential hat, kommt es bei passivierbaren Stählen zu einem scheinbar paradoxen Verhalten. So kann an einem sensibilisierten Stahl in einem schwach sauren Gebrauchsmedium (z. B. Bier, Wein, Haarwaschmittel) starke interkristalline Korrosion auftreten und in einem wesentlich saureren Medium durch Verschiebung des Potentials in positive Richtung keine Korrosionserscheinungen auftreten. In oxidierenden Säuren, mit noch positiverem Potential, kann es sogar zur Auflösung der Chromkarbide kommen und somit ebenfalls zu interkristallinen Korrosion. Insbesondere hochlegierte austenitische Chrom-Nickel-Stähle können durch Legieren mit Titan gegen interkristalline Korrosion stabilisiert werden, wobei statt einer Ausscheidung von Chromkarbid mit entsprechender Chromverarmung an den Korngrenzen aufgrund der höheren Affinität Titankarbide gebildet werden. Beim Schweißen dieser stabilisierten hochlegierten austenitischen Chrom-Nickel-Stähle kann es allerdings zur Messerlinienkorrosion als besondere Form der interkristallinen Korrosion

0,6

6

60 Zeit (h)

600

6000

kommen. Hierbei werden in einem sehr schmalen Bereich der WEZ meist parallel zur Schmelzlinie die stabilisierenden (Titan-)Karbide aufgelöst. Der Grund ist die sehr hohe Temperatur in diesem Bereich der WEZ, die nur leicht unterhalb der Schmelztemperatur des Stahles liegt. Infolge schroffer Abkühlung wird dann die Neubildung der Karbide unterdrückt. Durch die Wärmeeinbringung beim Schweißen der Folgelagen werden dann in dieser schmalen Zone, sowohl Titan- als auch Chromkarbide ausgeschieden. Aufgrund dieser Sensibilisierung des Grundwerkstoffes kann dann interkristalline Korrosion in einem sehr engen Bereich neben der Schmelzlinie stattfinden.

34.2.4

Passivierung, Loch- und Spaltkorrosion

Reaktionsfreudige Metalle, bspw. Aluminium, Titan, Zirkonium, Zink, Chrom, Tantal, Kobalt und Nickel, bilden auf der Werkstoffoberfläche mit Sauerstoff eine oxidähnliche Schicht, die so genannte Passivschicht. Passivschichten sind natürlich gewachsen, haben keinen einheitlichen strukturchemischen Aufbau und darum nicht die Eigenschaften einer technischen Beschichtung oder eines Überzuges. Sie ist wesentlich kleiner als die Wellenlänge des sichtbaren Lichts und deshalb mit herkömmlichen Mitteln nicht erkennbar. In der Schicht liegen meistens hohe mechanische Spannungen sowie hohe Potentialgradienten (ca. 1 MV/cm) vor. Um Eisen- und Nickellegierungen mit einer schützenden Passivschicht zu versehen, werden sie vor allem mit Chrom legiert.

34 Korrosion und Korrosionsschutz

705

Abb. 34.13 Stromrauschen bzw. einzelner Stromtransient eines passiven hochlegierten Stahls X5CrNi18-10 in Cl-Ionenhaltiger Umgebung, in Anlehnung an [9]

Oberhalb von 10,5 % Chrom bilden diese Werkstoffe eine stabile Passivschicht in der Größenordnung von 10 nm (etwa 50 Atomlagen, bei reinem Chrom nur 5 Atomlagen) mit einer metallseitig mehr amorphen und zum Medium hin einer mehr kristallinen Struktur. Diese überwiegend aus Chromoxid bestehenden Schichten haben in der Regel eine deutlich geringere Dehnungsfähigkeit (Duktilität) als der darunterliegende eigentliche Werkstoff, d. h. sie reißen bei mechanischer Beanspruchung schneller auf. Durch die Ausbildung solcher halbleitenden, teilweise sogar isolierenden Passivschichten wird die Thermodynamik der elektrochemischen Korrosionsreaktionen von kinetischen Einflüssen überlagert. Von größtem praktischem Nutzen ist die kinetische Eigenschaft der Selbstheilung der Passivschichten nach Zerstörung bzw. Aufreißen, bspw. infolge mechanischer oder tribologischer Beanspruchung. Diese Eigenschaft unterscheidet Passivschichten signifikant von technischen Beschichtungen, die nach einer Freilegung des Grundwerkstoffes keine ausreichende Barrierewirkung mehr sicherstellen können. Die Passivschicht ist keine starre Deckschicht, sondern ein dynamisches System. Im submikroskopischen Bereich laufen zu jeder Zeit auf der Oberfläche statistisch verteilt Aktivierungs- und Repassivierungsprozesse ab, die unter bestimmten Voraussetzungen als kleine Potential- und Stromimpulse messbar sind. Diese Impulse werden als elektrochemisches Rauschen bezeichnet. Sie hängen von der Art des Metalls und seinem jeweiligen Zu-

stand, von der Temperatur, vom pH-Wert und von der Art und Konzentration der im Medium gelösten Ionen ab und stellen eine wertvolle Informationsquelle über den Zustand der Passivschicht und damit über mögliche ablaufende Korrosionsprozesse dar. In Abb. 34.13 ist ein typischer Stromimpuls dargestellt, wie er durch spontane Metallauflösung in einer örtlich begrenzt zerstörten Passivschicht auftritt. An dieser kleinen aktiven Stelle bildet sich innerhalb sehr kurzer Zeit eine neue Passivschicht. Dieser Vorgang wird Repassivierung genannt. Frische Metalloberflächen, an denen sich die Passivschicht gerade bildet, haben anfangs vergleichsweise große Transienten. Mit der Zeit werden diese Ereignisse immer seltener und die Amplituden verringern sich. Signifikant ist auch das Rauschverhalten in einer Lösung, in der sich Chlorid-Ionen befinden (Abb. 34.14). In diesem Fall stellen sich wesentlich mehr große Stromimpulse ein, die auch nach längeren Zeiten nur wenig abklingen. Dabei ist zu beachten, dass die Wirkung der Chlorid-Ionen nicht etwa in der Initiierung solcher lokalen Defekte besteht, sondern dass sie den Prozess der Repassivierung stören, in dem sie die Löslichkeit der Metallionen im lokalen Elektrolyt signifikant erhöhen. Bei größeren Chloridmengen und unterstützt durch Materialverunreinigungen, kann die Repassivierung so stark beeinträchtigt sein, dass sich die elektrochemisch aktiven Stellen dann so weit vergrößern und stabilisieren, dass sie zu einem Ausgangspunkt für eine sichtbare Lokalkorrosion werden.

34

706

T. Böllinghaus et al.

Abb. 34.14 Stromrauschen eines X5CrNi18-10 / SS304L in Elektrolytlösungen mit unterschiedlicher NaCl-Konzentration, in Anlehnung an [9]

Für die Praxis bedeutet dies zum Beispiel, dass Behälter aus hochlegierten Chrom-Nickel-Stählen erst dann mit chloridhaltigen Medien befüllt werden sollten, wenn die Passivschicht voll aufgebaut ist bzw. die natürlichen Aktivitäten der Passivschicht weitgehend abgeklungen sind. Das kann je nach dem Gefüge und dem Legierungsgehalt des Werkstoffes sowie den Umgebungsbedingungen Stunden oder Tage dauern. Insgesamt ist zu beachten, dass Chlorid-Ionen in sehr vielen an sich neutralen Elektrolyten in geringen Konzentrationen vorhanden sind und sich häufig aufkonzentrieren können, wie beispielsweise bei Verdunstungsprozessen auf der Werkstoffoberfläche. Für die Herstellung, Verarbeitung und den Betrieb technischer Systeme aus Passivschicht-bildenden Werkstoffen bedeutet dies generell, dass die guten Korrosionseigenschaften eben auf einer äußerst sensiblen Oberfläche basieren. Die Passivschicht auf der Oberfläche ist nur dann wirksam, wenn die Bedingungen für eine stete Neubildung gegeben sind. Alle Ablagerungen und Verunreinigungen auf der Oberfläche, ob sichtbar oder unsichtbar (z. B. bei hochlegierten Stählen Handschweiß, Staub, Werkzeugabrieb, feinste Rostpartikel usw.) erschweren oder verhindern die Ausbildung der Passivschicht und stellen Keime für eine später mit dem bloßen Auge sichtbare lokale Korrosion dar. Aber auch eine Veränderung des Metalls selbst, durch starken Wärmeeintrag, örtliche Kaltverfestigung, Zugspannungen usw. hat Einfluss auf die Ausbildung der Pas-

sivschicht und somit auf die Lokalkorrosion, bei der im Wesentlichen Loch- und Spaltkorrosion unterschieden werden. Häufig wird aber auch eine bewusste kontrollierte Korrosion zur Ausbildung einer möglichst homogenen Passivschicht und das Entfernen von Verunreinigungen herbeigeführt, wie beispielsweise beim Beizen hochlegierter Chrom-Nickel-Stähle in Salpetersäure, wodurch die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten lokaler Korrosionsarten vermindert wird. Speziell beim Schweißen von hochlegierten korrosionsbeständigen Stählen ist darauf zu achten, dass die unvermeidbaren Anlauffarben mechanisch oder durch chemisches Beizen entfernt werden, da im angelaufenen Bereich die lokale chemische Zusammensetzung der Oberfläche verändert, sprich die Passivschicht heterogen ausgebildet ist.

Lochkorrosion (Pitting Corrosion) Lochkorrosion kann an allen technischen Systemen entstehen, die aus passivschichtbildenden Werkstoffen, insbesondere aus hochlegierten Chrom-Nickel-Stählen, Titan- und Aluminiumlegierungen sowie Nickelbasislegierungen, hergestellt wurden. Lochkorrosion entsteht im Wesentlichen in den folgenden Schritten: 1. Lokale Zerstörung der schützenden Passivschicht, bspw. durch eine mechanische, abrasive, erosive oder tribologische Beanspruchung.

34 Korrosion und Korrosionsschutz

707

Umgebungselektrolyt

O2 O2

H2O

0H– + Fe3+ Na+

Cr(OH)3

Diffusion H2O

)3 OH Fe(

Cr(OH)3 + 3H+

–

0H

+

3H2O

Cl–

+

FeOH + H Passivschicht Fe2+

Cr2O3

Cr3+

Fe 2e–

Cr

t

ktroly

3H+ad

le Loche

3H+ab 3e–

Metallischer Werkstoff

Abb. 34.15 Vereinfachte Darstellung der Einzelreaktionen und Trennung der kathodischen Teilreaktionen bei der Lochkorrosion von hochlegierten chromhaltigen Stählen

2. Ausbildung eines Lochkeimes: Die chemische Zusammensetzung des Umgebungsmediums setzt die Geschwindigkeit zur Ausheilung dieser Stellen herab, indem vor allem eine erhöhte Halogenidionenkonzentration (besonders Chloride und Bromide) oder Schwefelkonzentration die Löslichkeit der Metalle in wässrigen Lösungen erheblich vergrößert (Lochkeimbildung) 3. Metastabile Lochbildung durch Fortsetzung der Metallauflösung in die Tiefe: Unter gleichzeitiger Ausbildung einer porösen Schicht an der Lochöffnung wird der Elektrolyt im Loch vom Umgebungsmedium abgeschlossen. Dies führt im Loch schon ab einer Tiefe von ca. 100 µm unterhalb der porösen Schicht zur Sauerstoffarmut und die Zusammensetzung im Lochelektrolyt unterscheidet sich zunehmend vom Umgebungsmedium 4. Stabiles Lochwachstum und Wasserstoffabsorption infolge lokaler Ansäuerung: ChloridIonen haben durch die poröse Schicht weiterhin Zugang zum Lochelektrolyt, verursachen eine erhöhte Löslichkeit der Metallionen im Lochelektrolyt und stören so bei bestehender Sauerstoffarmut zunehmend die Repassivierung im Loch. Die Oxidation und Passivschichtbildung wird durch Hydrolyse der Metalle ersetzt, wobei die Reaktionsfreudig-

keit des Chroms verstärkend wirkt. Hierdurch wird der Lochelektrolyt so stark angesäuert (pH < 1), dass die Repassivierung vollkommen zum Erliegen kommt und sich die Lochkorrosion beschleunigt in die Tiefe des Werkstoffes fortsetzen kann Insbesondere werden durch die Hydrolyse der Metalle im Lochelektrolyt lokal große Mengen an Wasserstoff-Ionen freigesetzt. Nur ein kleiner Teil des Wasserstoffs rekombiniert zu molekularem Wasserstoff, der jedoch durch die poröse Schicht kaum nach außen ausgast. Größere Mengen Gas würden die Metalloberfläche so bedecken, dass auch die anodische Teilreaktion der Metallauflösung im Lochgrund zum Erliegen käme. Auch aus diesem Grund ist davon auszugehen, dass der größte Teil der im Lochgrund durch Hydrolyse entstehenden Wasserstoffionen direkt lokal vom Werkstoff absorbiert werden (Abb. 34.15). Bei der Lochkorrosion bilden sich, wie auch bei der Spaltkorrosion, also zwei getrennte kathodische Teilreaktionen aus. Neben der kathodischen Wasserstoffteilreaktion wird die anodische Teilreaktion im Lochelektrolyt zusätzlich durch den Elektronenverbrauch der kathodischen Sauerstoffreaktion (34.4a) selbst in einem neutralen Umgebungselektrolyt beschleunigt. Lochkorrosion breitet sich besonders dann schnell in grö-

34

708

T. Böllinghaus et al.

Abb. 34.16 Vereinfachte Darstellung der Einzelreaktionen und Trennung der kathodischen Teilreaktionen bei der Spaltkorrosion von hochlegierten chromhaltigen Stählen

H+ab

Cl– Cr2O3

Fe(OH)2 Fe(OH)3 FeO(OH) Fe2O3

H+ad Fe2+ + 2H2O Æ Fe(OH)2 + 2H+ Cr3+ + 3H2O Æ Cr(OH)3+ 3H+

Cr(OH)3 Cl–

2e– H+ad Fe2+

+ H+ad H ad H+ad

Passivschicht Cr2O3 –

2H2O + O2 + 4e 4(OH)–

ßere Werkstofftiefen aus, wenn sich, wie in gut passivierbaren Werkstoffen, nur wenige Lochkeime im Vergleich zur Gesamtfläche ausbilden oder die Kathodenfläche vergleichsweise groß ist. Die Fähigkeit eines Werkstoffes zu repassivieren und damit sein Widerstand gegen Lochkorrosion wird vor allem durch seine Legierungselemente bestimmt. Außer Chrom ist besonders das Element Molybdän von Bedeutung. Zur Beurteilung des Einflusses werden die Konzentrationen der Legierungselemente mit Faktoren versehen und summiert, was zur so genannten Wirksumme führt. Hierfür wurden zum Beispiel verschiedene so genannte Pitting Resistance Equivalent Numbers (PREN) eingeführt. Hierfür gibt es allerdings verschiedene Ansätze, die in unterschiedlicher Wichtung neben den Hauptlegierungselementen wie Chrom, Nickel und Molybdän, vielfach auch die Wirkung von Stickstoff erfassen. Häufig wird als einfach zu ermittelnder Parameter auch die kritische Lochkorrosionstemperatur (engl.: CPT – Critical Pitting Temperature) angegeben, die üblicherweise in einer 10 %-igen FeCl3 -Lösung bestimmt wird, in dem die Temperatur alle 24 h um 2,5 °C gesteigert wird, bis schließlich Lochkorrosion sichtbar wird. Wesentlich schneller, in ca. 30 min, kann die CPT über das elektrochemische Rauschen ermittelt werden. Es ist allerdings bedeutsamer, das Repassivierungsverhalten zu quantifizieren. Dies erfolgt anhand des sogenannten Repassivierungspotentials oder der Repassivierungstemperatur.

e–

H+ab

H+ab H+ab H+ab

Cr 2+ 3e–

gierten Stählen lassen sich insgesamt die folgenden vier Stadien der Spaltkorrosion unterscheiden, die in ähnlicher Weise auch in Risselektrolyten stattfinden (Abb. 34.16):

1. Sauerstoffverbrauch im Spalt: Zunächst findet im Spalt eine gleichmäßige allgemeine Korrosion unter Bildung von Metallhydroxid statt. Auf der Oberfläche hochlegierter Stähle und Nickellegierungen wird die typische Passivschicht gebildet. Die anodische Metallauflösung und die kathodische Sauerstoffreduktion laufen zunächst innerhalb und außerhalb des Spaltes parallel ab. Infolge der Passivschichtbildung wird jedoch im Spalt zunehmend Sauerstoff verbraucht. Abhängig von der Spaltweite kann schon ab einer Tiefe von 100 µm kein Sauerstoff mehr aus dem Umgebungselektrolyten nachdiffundieren. Die Zeit bis zum Verbrauch des Sauerstoffs im Spalt lässt sich nach dem Faraday’schen Gesetz berechnen und in Kombination mit dem ersten Fick’schen Gesetz lässt sich die kritische Spalttiefe bestimmen, innerhalb derer noch eine ausreichende Sauerstoffzufuhr gegeben ist und keine Spaltkorrosion auftritt. 2. Hydrolyse und Abfall des pH-Wertes sowie des elektrochemischen Potentiales: Infolge der Sauerstoffarmut findet vor allem eine Hydrolyse des Chroms statt, das als Cr(OH)3 ausfällt, das häufig die Spaltöffnung mit einer porösen Schicht verschließt und die Spaltkorrosion weitere Zufuhr relativ großer SauerstoffmoAnfänglich läuft die Spaltkorrosion ähnlich wie leküle verhindert. Gründe für die bevorzugte die Lochkorrosion ab. An Bauteilen aus hochleHydrolyse des Chroms sind seine Reaktions-

34 Korrosion und Korrosionsschutz

freudigkeit, die Zunahme der Löslichkeit für Chrom durch eindiffundierende Chlorid-Ionen, aber auch die höhere Löslichkeit anderer Hydroxide. Durch die Hydrolyse werden in hohem Maße Wasserstoffionen freigesetzt, sodass der pH-Wert mit der Geschwindigkeit der Hydrolyse abfällt, gleichzeitig auch das elektrochemische Potential. Dabei verhalten sich Risse in Metallen sehr ähnlich wie Spalte [4] und der pH-Wert an der Spitze eines fortschreitenden Risses ist deutlich niedriger als in stationären Rissen. In maritimen Umgebungen mit hohen Cl-Konzentrationen liegt der pH-Wert in Spalten und Rissen hochlegierter Stähle typischerweise zwischen 0 pH 3. Dabei nimmt sogar die Tendenz zur Spaltkorrosion von Werkstoffen mit steigendem Chromgehalt über 15 % Chrom zu, weil mit fallendem pH-Wert die anodische Stromdichte und damit auch die Cr-Konzentration im Spalt zunimmt. 3. Zerstörung der Passivschicht und beschleunigte Korrosion: Mit Zunahme der Wasserstoffionen im Spalt diffundieren Chlorid-Ionen von außen durch die poröse Schicht in den Spalt, um den Ladungsausgleich wiederherzustellen [1, 2], wodurch wiederum die Löslichkeit von Chrom im Spalt unter Bildung von Hydroxyl-Komplexen weiter zunimmt. Die Hydrolyse des Chroms kommt zum Erliegen, es kann keine weitere Passivschicht mehr gebildet werden und es findet eine Aktivierung des Spaltes mit einem Anstieg der anodischen Stromdichte statt. Diese Aktivierung des Spaltes lässt sich als Abfall des freien Korrosionspotentials registrieren. 4. Repassivierung und Wasserstoffabsorption: In natürlichen und künstlichen Spalten und Rissen wird der größte Teil des durch die Metallhydrolyse gebildeten Wasserstoffes an den nicht passivierten Spalt- oder Rissenden absorbiert. Nur ein geringerer Teil rekombiniert zu molekularem Wasserstoff, der insbesondere bei tiefen Spalten kaum ausgasen kann. Würde mehr gasförmiger Wasserstoff im Spalt produziert werden, würde dieser also die Metalloberfläche im Spalt bedecken

709

und die Spaltkorrosion käme zum Erliegen. Der absorbierte Wasserstoff wiederum führt zu einer entsprechenden Werkstoffdegradation insbesondere vor einem Spaltende oder einer Rissspitze. Wenn zusätzlich eine mechanische Beanspruchung senkrecht zum Spalt oder Riss vorliegt, kann also Spalt- als auch Lochkorrosion Ausgangserscheinung für eine wasserstoffunterstützte Risskorrosion sein. Wenn dabei am Spaltende oder an einer Rissspitze frische Metalloberflächen zur Verfügung gestellt werden und gleichzeitig eine Spalt- oder Rissöffnung stattfindet, ist der weitere Verlauf abhängig vom Sauerstoffmangel, der Spalttiefe oder Risslänge sowie vom Repassivierungsverhalten des Werkstoffes. Spaltkorrosion und Folgeerscheinungen können vermieden werden durch:  werkstoffseitig durch hohe Reinheitsgrade und Anpassung der Legierungsgehalte,  beanspruchungsseitig durch geringe senkrechte mechanische Beanspruchung  und vor allem konstruktionsseitig durch Vermeidung von Spalten und des Zutritts ClIonen-haltiger wässriger Elektrolyte in das Spaltinnere.

34.2.5 Risskorrosion Kennzeichnend für alle Rissphänomene im Zusammenhang mit Korrosion ist es, dass sich der eigentlichen Korrosionsbeanspruchung durch ein aggressives Umgebungsmedium eine mechanische Beanspruchung, meist senkrecht zur Rissausbreitungsrichtung überlagert (Abb. 34.17). Als ursächlich für die Rissbildung ist also die mechanische Beanspruchung zu sehen, bei der die Korrosionsreaktionen infolge des Umgebungsmediums eher unterstützend wirken, wie es bspw. durch den engl. Begriff Environmentally Assisted Cracking (EAC) beschrieben wird. Häufig wirken sich die Umgebungsbedingungen aber auch auf beide Beanspruchungsarten aus: Vor allem die Umgebungstemperatur, aber auch der Umgebungsdruck, beanspruchen den vorliegenden

34

710 Abb. 34.17 Prinzipdarstellung gekoppelter Beanspruchung bei Risskorrosion unter Berücksichtigung, dass Wasserstoff die mechanischen Eigenschaften technischer Werkstoffe erheblich herabsetzen kann

T. Böllinghaus et al. Lokale Erhöhung (Kerbwirkung, Spannungskonzentration, lokale Dehnrate) Risskorrosionsbeanspruchung

≤

=

Lokale Zuhname (keine Passivierung, pH-Wert-, O2Potential-Abfall)

Mechanische Beanspruchung

+

Betriebsbedingungen

Korrosionseigenschaften

Gefügeeigenschaften

H?

?

Risskorrosionsbeständigkeit

Korrosive Beanspruchung

=

Werkstoff nicht nur mechanisch, sondern beeinflussen signifikant auch die gleichzeitig ablaufenden Korrosionsreaktionen. Die Risseinleitung erfolgt oft an Stellen der Oberfläche, die bereits durch eine Korrosionserscheinung geschwächt sind. Phänomenologisch ist also zwischen einer reinen Risskorrosion und einer Risskorrosion mit vorhergehender Lokalkorrosion bspw. in Form von Loch- oder Spaltkorrosion zu unterscheiden. Grundsätzlich tritt Risskorrosion unter Wechselwirkung dreier Einflussbereiche auf, dies sind der Werkstoff, der meistens eine dafür besonders kritische Mikrostruktur aufweist, die gekoppelte (zeitgleich in einer Zone vorliegende) mechanische und korrosive Beanspruchung und das konstruktive Design, bspw. in Form designbedingter Spalten und ungünstig zur Richtung der mechanischen Beanspruchungsrichtung angeordneten Querschnitten. Bei überlagerter, statischer, mechanischer Beanspruchung wird allgemein von Spannungsrisskorrosion (engl.: Stress Corrosion Cracking – SCC) gesprochen, wobei aber auch gerade die Dehnung des metallischen Werkstoffes als Folge von statischen Zugspannungen ursächlich sein kann. Bei einer zyklischen mechanischen Beanspruchung handelt es sich um Schwingungsrisskorrosion (engl.: Corrosion Fatigue – CF).

Spannungsrisskorrosion bei freien Korrosionspotentialen Bei freien Korrosionspotentialen startet die Spannungsrisskorrosion in den meisten Fällen von einer bereits vorliegenden anderen Korrosionsart, evtl. auch von anderen Fehlstellen der Werk-

Mechanische Eigenschaften

+

stoffoberfläche. Besonders bei vorheriger Lochoder Spaltkorrosion kann sich am Lochgrund bzw. Spaltende infolge der Sauerstoffreduktion sowie des pH-Wert und Potentialabfalles (Abschn. 34.2.4) bereits in sehr geringen Tiefen ab ca. 100 µm ein sehr aggressives Medium ausbilden. Die Rissinitiierung findet dann nicht nur aufgrund der damit verbundenen anodischen Metallauflösung statt. Vielmehr ist zu beachten, dass infolge der Trennung der kathodischen Teilreaktionen lokal erhebliche Mengen Wasserstoff vom Werkstoff absorbiert werden können. Dieser lokal akkumulierte Wasserstoff kann zu einer erheblichen Degradation der mechanischen Eigenschaften des Werkstoffes führen, insbesondere in Form einer erheblichen Duktilitätsminderung (Abb. 34.18), und unterstützt so die Initiierung von Rissen infolge der zusätzlich anliegenden hohen Dehnungen bzw. Spannungen am nicht mehr passivierbaren Lochgrund bzw. Spaltende. Bauteile aus Werkstoffen mit Passiv- oder Deckschichten, in denen sich Lokalkorrosion ausbilden kann, sind daher prinzipiell hinsichtlich eines Versagens durch Spannungsrisskorrosion gefährdet. Spalten, Einbrandkerben, Bindefehler und Anlauffarben an geschweißten Bauteilen aus passivierenden Werkstoffen sind daher häufig Ausgangsstellen für Spannungsrisskorrosion. Wenn eine Rissinitiierung stattgefunden hat, kann die Rissgeschwindigkeit unter der gekoppelten mechanischen und korrosiven Beanspruchung extrem zunehmen. Aufgrund der vor allem zur Spaltkorrosion analogen Korrosionsreaktionen in einem Risselektrolyt (Abschn. 34.2.4) liegen ebenfalls zwei getrennte kathodische Teil-

34 Korrosion und Korrosionsschutz A0 – A1 A0 A1 anodische Spannungsrisskorrosion< überholt. Eine Spannungsrisskorrosion wird bei freien Korrosionspotentialen in wässerigen, insbesondere Cl-Ionen-haltigen, Elektrolyten grundsätzlich von einer Wasserstoffabsorption infolge der lokalen kathodischen Teilreaktion begleitet. Diese läuft nahezu unbeeinflusst vom pH-Wert, dem Sauerstoffanteil und der Zusammensetzung im Umgebungselektrolyt ab. Die Höhe der lokal absorbierten und akkumulierten Wasserstoffkonzentration im Vergleich zu den wasserstoffabhängigen Materialeigenschaften entscheidet darüber, ob und wie schnell sich diese Form der Spannungsrisskorrosion ausbildet. Sie wird daher als wasserstoffunterstützte Spannungsrisskorrosion (engl.: Hydrogen Assisted Stress Corrosion Cracking – HASCC) bezeichnet. Unter bestimmten Umgebungsbedingungen kann eine Spannungsrisskorrosion bei freiem Korrosionspotential auch ohne vorherige sichtbare Loch- oder Spaltkorrosion starten. Wenn in den wässrigen Medien bspw. zusätzlich größere Mengen an Promotoren der Wasserstoffaufnahme, auch Rekombinationsgifte genannt, gelöst sind kann eine Risseinleitung auch unmittelbar an der Metalloberfläche stattfinden. Diese Substanzen unterdrücken nicht nur die kathodische Sauerstoffreaktion, sondern als Rekombinationsgifte insbesondere die kathodische Wasserstoffrekombination an der Metalloberfläche. Der Einsatz hochlegierter Werkstoffe in an sich neutralen Cl-haltigen Medien, die gleichzeitig den pH-Wert verringernden H2 S enthalten können, wird international Sour Service genannt. Im Sour Service können vom Werkstoff ungehindert Wasserstoffprotonen in hohen Konzentrationen meist großflächig absorbiert werden. Infolge der damit einhergehenden erheblichen Duktilitätsminderung können so initiierte Risse sehr schnell wachsen und zum plötzlichen Versagen eines Bauteils ohne eine zuvor äußerlich deutlich sichtbare Veränderung der Metalloberfläche führen (Abb. 34.19). Einer Vermeidung dieser Sequenz der Risskorrosion ist daher besondere Beachtung zu schenken. In den internationalen Normen für den Anlagenbau in der Öl- und Gasindustrie besteht deshalb eine besondere Verpflichtung für

34

712

T. Böllinghaus et al.

Abb. 34.19 Time-Strain-Fracture (TSF) Diagramm eines nickel- und molybdänlegierten martensitischen 13 Cr-Stahles in 10 % H2 S-gesättigter NaCl-Lösung

0,3

5 ε· = 1,0 · 10–4

ε· = 2,5 · 10–4

0,25

4

0,2 3

Dehnung

ε· = 5,6 · 10–6 0,15 ε· = 5,6 · 10–6

2 0,1

ε· = 5,0 · 10–7 1

0,05

0 100

Wasserstoffkonzentration (ml/100g)

ε· = 1,7 · 10–5

1000

10000

100000

0

Zeit in s

den Betreiber etwaige Sour Service Bedingungen entsprechenden Anlagenherstellern gegenüber offen zu legen und zu kommunizieren. Unter sauerstofffreien Bedingungen sowie erhöhten Temperaturen und Drücken kann Wasserstoff auch durch die so genannte SchikorrReaktion gebildet werden [4], und zwar in Hochtemperaturwasser oder Dampf. Technisch wird diese Reaktion gezielt in thermischen Kraftwerken eingesetzt. Nach der vorgelagerten Korrosion einer Eisenoberfläche mit Entstehung von Fe(OH)2 (nach Gl. (34.10)) folgt die SchikorrReaktion, die das Eisen(II)-Hydroxid zu Magnetit (Fe3 O4 ) und Wasser bzw. Wasserstoff umsetzt: 3Fe.OH/2 ! Fe3 O4 C H2 O C 2HC

(34.18)

Ziel ist es dabei, dass sich in Rohren aus warmfesten Stählen z. B. Im Bereich von Dampfkesseln eine stabile Magnetit-Schicht ausbildet, die den darunterliegenden Werkstoff vor weiterer Korrosion schützt. Zur Vermeidung einer Risskorrosion ist darauf zu achten, dass der dabei entstehende Wasserstoff möglichst vollständig rekombiniert und nicht vom Werkstoff absorbiert wird.

Spannungsrisskorrosion bei festen Korrosionspotentialen Ein Bauteil oder auch nur ein Gefügeabschnitt, bspw. in einer Schweißnaht, kann bei einer galva-

nischen oder der selektiven Korrosion ausschließlich einer kathodischen Teilreaktion ausgesetzt sein (Abschn. 34.2.2 und 34.2.3). Gleiches gilt beim beabsichtigten kathodischen Schutz mittels Opferanoden oder einer Fremdstromquelle. Im ungünstigen Fall liegt dann das kathodische Potential im Bereich der kathodischen Wasserstoffreaktion und es kann zur Wasserstoffabsorption und einer sehr schnell fortschreitenden wasserstoffunterstützten Rissbildung kommen, insbesondere dann, wenn zusätzlich Promotoren im Elektrolyt vorliegen. Diese Fälle werden dann üblicherweise als kathodische Spannungsrisskorrosion bezeichnet. Liegt umgekehrt ein festes positives bzw. anodisches Potential an dem Bauteil oder dem Gefügeabschnitt an, dann ist zu unterscheiden, ob es sich um einen passivierbaren Werkstoff handelt oder nicht. Nicht passivierbare Werkstoffe werden dann bei gleichzeitig anliegender mechanischer Beanspruchung eher infolge einer Querschnittsminderung aufgrund anderer stark materialabtragender Korrosionsformen, wie beispielsweise Mulden- oder Grabenkorrosion versagen, d. h. nicht unter der Kopplung von mechanischer und korrosiver Beanspruchung. Sollte im selteneren Fall ein passivierbarer Werkstoff einem anodischen Umgebungspotential ausgesetzt sein, bildet sich ebenfalls die oben dargestellte Loch- bzw. Spaltkorrosion im Riss mit entsprechend getrennter kathodischer Teilreaktion aus.

34 Korrosion und Korrosionsschutz Abb. 34.20 Schematische Darstellung zum HELP-Mechanismus nach Birnbaum und Sofronis [12] – Die Wirkung von Wasserstoff auf interagierende Versetzungen wird dabei als Änderung der Schubspannungen d H aufgefasst (dS bezeichnet den betrachteten Bereich im Werkstoff an den Koordinaten r,', die Koordinaten l,! bezeichnen die Lage zweier Versetzungen zueinander)

713

Äußere Grenze des wasserstoffhaltigen Bereichs dS

dS x2

Versetzung 2 I

r

ω Φ

Wasserstoffakkumulation im Bereich zweier Versetzungen

dτH R

Die Geschwindigkeit der Risseinleitung wie auch des Rissfortschrittes hängt dann gleichermaßen von der lokalen Dehngeschwindigkeit, der Wasserstoffabsorptionsrate, dem Diffusionsvermögen sowie von der Repassivierungsgeschwindigkeit ab.

Rissmechanismen Die mechanischen Eigenschaften der meisten metallischen Werkstoffe können durch Wasserstoff herabgesetzt werden. Das betrifft insbesondere die Beeinträchtigung des Verformungsvermögens und weniger die Festigkeit. Eine etwas überholte Bezeichnung hierfür ist Wasserstoffversprödung (engl.: Hydrogen Embrittlement – HE), deshalb wird hier nachfolgend der Begriff der Degradation (der Werkstoffeigenschaften) durch Wasserstoff verwendet. Um den metallurgischen Prozess der wasserstoffunterstützten Rissbildung (engl.: Hydrogen Assisted Cracking – HAC) mikroskopisch zu beschreiben, wird von der Synergie insbesondere zweier metallurgischer Mechanismen ausgegangen [10–13]. Dies ist einerseits die Wechselwirkung von Wasserstoff mit Versetzungen, wobei die Wirkung vor allem darin besteht, dass absorbierter Wasserstoff lokal Versetzungen emittiert, die dann zu wandern beginnen (engl.: Hydrogen Enhanced Localized Plasticity – HELP) (Abb. 34.20) [13].

Versetzung 2 x2

Schubspannungsänderung

Dabei können dann durchaus auch duktilitätsmindernde Effekte infolge des an Versetzungen getrappten Wasserstoffs in Form von Blockaden, Stapelfehlern, Aufstau an Korngrenzen etc. eintreten. Andererseits setzt auf den Zwischengitterplätzen gelöster Wasserstoff allgemein die Kohäsion des Metallgitters herab (engl.: Hydrogen Enhanced DEcohesion – HEDE) (Abb. 34.21) [13]. Hierbei ist zu beachten, dass üblicherweise nicht nur der im Gitter gelöste, sondern auch der an Fehlstellen, wie beispielsweise an Versetzungen oder anderweitig reversibel gebundene Wasserstoff wirksam ist. Primär für die Rissbildung (= Werkstofftrennung) ist das Wirken der mechanischen Beanspruchung in Form einer Dehnung bzw. Spannung. Daher wird auch von wasserstoffunterstützter Rissbildung (HAC) und statt von kathodischer von wasserstoffunterstützter Spannungsrisskorrosion (HASCC) gesprochen. Eine Rissbildung tritt dann auf, wenn in dem durch eine bestimmte Konzentration an Wasserstoff in seinen Eigenschaften degradierten Werkstoff die mechanische Beanspruchung in Form der Verformung das erträgliche Maß, also seine von der Wasserstoffkonzentration abhängige Verformbarkeit, überschreitet. Für das Auftreten von HASCC ist es also von entscheidender Bedeutung, wieviel Wasserstoff an einer Riss-

34

714

T. Böllinghaus et al. U, σ a = a0 + εHel a0 H

σ0Kohäsion H a0 ael σ Kohäsion

UHKohäsion

r

H

H

H H

H

H

H

H

H H r H

a = a0 + εHel a0 U0Kohäsion

Abb. 34.21 Schematische Darstellung des HEDE-Mechanismus zur wasserstoffunterstützten Rissbildung nach Birnbaum et al. [13] – Die Wirkung von Wasserstoff wird dabei als Herabsetzung der Kohäsionsenergie U 0 Kohäsion

bzw. der Kohäsionsspannung  0 Kohäsion auf U H Kohäsion bzw.  H Kohäsion verstanden, "H el ist die durch H hervorgerufene elastische Dehnung und a0 ist die Gitterkonstante

spitze absorbiert, wieviel davon im Dehnungsfeld absorbiert wird und in welcher Konzentration Wasserstoff dort degradierend wirkt, also die Verformungsfähigkeit herabsetzt. Diese Kriterien finden zunehmend Eingang in numerische Modelle mit dem Ziel, Bauteile und Anlagen so auszulegen, dass sie möglichst während der Lebensdauer keinem Versagen durch wasserstoffunterstützte Spannungsrisskorrosion unterliegen [10].

infolge der Trennung der kathodischen Teilreaktionen lokal erhebliche Mengen Wasserstoff vom Werkstoff absorbiert werden können, der infolge der Degradation der mechanischen Eigenschaften des Werkstoffes das Risswachstum und den Verlauf entscheidend mit beeinflusst. Rissstart und Risswachstum werden also auch bei der Schwingungsrisskorrosion nicht allein von der anodischen Teilreaktion beeinflusst, weder bei freien, noch bei festen Korrosionspotentialen im Umgebungselektrolyt. Ähnlich wie die Dehnrate bei der Spannungsrisskorrosion, haben bei der Schwingungsrisskorrosion vor allem die Frequenz und die Amplitude der Lastwechsel einen großen Einfluss auf Rissstart, Rissverlauf und Risswachstumsgeschwindigkeit. Infolge der wechselnden mechanischen Beanspruchung können Pumpeffekte im Risselektrolyt entstehen, die einen Sauerstoffaustausch mit dem Umgebungselektrolyten bewirken, pH-Wert und Potential sowie die Zusammensetzung des Risselektrolyt und damit das Repassivierungsverhalten im Riss ständig verändern. Damit wird die Wechselwirkung der anodischen und der kathodischen Teilreaktion im Riss deutlich mehr beeinflusst, als bei der Spannungsrisskorrosion. Generell gilt: Ist die Lastwechselfrequenz sehr hoch, überwiegt in ihrer Wirkung die mechanische Beanspruchung. Während der einzelnen Lastwechsel besteht nicht genügend Zeit für die Ausbildung entsprechender Korrosionsreaktionen an den frisch aufgerissenen Metalloberflächen, der Rissfortschritt erfolgt rein mechanisch ohne sichtbare Korrosionserscheinungen auf der Oberfläche.

Schwingungsrisskorrosion Wie bei der Spannungsrisskorrosion kann auch bei gekoppelter korrosiver und zyklischer mechanischer Beanspruchung ein plötzliches Bauteilversagen eintreten. In ähnlicher Weise wird daher auch bei dieser Risskorrosionserscheinung zwischen einer Inkubations-, Risswachstums- und Gewaltbruchphase unterschieden. Die Risseinleitung kann an einer bereits durch andere Lokalkorrosionsformen vorgeschädigten Stelle, beispielsweise in einem Lochgrund, an einem Spaltende oder an einer Korngrenze erfolgen. Ein Riss kann auch rein mechanisch infolge einer Schwingbelastung initiiert werden. Beispielsweise können an Gleitstufen, die im Zuge der plastischen Verformung aus der Oberfläche austreten, durch Korrosion Gitterbausteine herausgelöst werden, die dann als Keime für eine Lochkorrosion wirken. Bei freien Korrosionspotentialen wird daher wie bei der Spannungsrisskorrosion auch die Rissinitiierung und das Risswachstum bei der Schwingungsrisskorrosion sehr stark vom Sauerstoffverbrauch sowie vom damit verbundenen pH-Wert- und Potentialabfall beeinflusst. Auch hierbei ist zu berücksichtigen, dass

34 Korrosion und Korrosionsschutz

715

X2 CrNiMoN 22 5 3 Corrosion Fatigue

450

1

Cycles to failure Cycles to failure Pr = 50 %

400

2

3

350 Air Stress in MPa

300 250

SEM MAG: 150 × WD: 35.00 mm

2

k = 4.7, R = 0.90 200

150 4 3×10

Det: SE Date(m/d/y): 12/10/14 200 μm

VEGA3 TESCAN

X2 CrNiMoN 2253 R = –1, f = 33Hz, αk = 1 North German Basin T = 96 °C 5

10

10

6

Cycles

7

10

100

800

10

8

Test Duration in h 0.25

1

10

a

1 b

2 20 μm

3 20 μm

20 μm

Abb. 34.22 Schwingungsrisskorrosion am Beispiel eines austenitisch-ferrititschen Duplexstahles in 96 °C heißer Salzlösung, a Abnahme der zulässigen Spannungsampli-

tude (Wöhlerkurve) im Vergleich zum Verhalten an Luft, b Lochkorrosion mit einsetzender Schwingungsrisskorrosion an der Oberfläche [14]

Ist die Lastwechselfrequenz sehr niedrig, überwiegt die Wirkung der Korrosionsbeanspruchung, der Rissverlauf ist durch entsprechende Korrosionserscheinungen gekennzeichnet, typische Merkmale eines Schwingrisses, wie Streifenbildung etc. sind nicht mehr sofort erkennbar, zumal die Bruchoberfläche dann häufig die Merkmale typischer inter- und transkristalliner wasserstoffunterstützter Risse aufweise. Nur in einem bestimmten Bereich der Lastwechselfrequenz findet also eine eigentliche Schwingungsrisskorrosion statt, die sich dann auch in einem erheblich schnelleren Risswachstum bemerkbar macht. Prüfungen zur Schwingungsrisskorrosion sollten daher immer auch unter Variation der Lastwechselfrequenz durchgeführt werden. Die gekoppelte Wirkung von zyklischer mechanischer und Korrosionsbeanspruchung lässt sich sehr gut anhand von Wöhlerkurven veranschaulichen, wie es im Abb. 34.22 dargestellt ist.

passivierbarer Werkstoffe kann eine hohe Strömungsgeschwindigkeit aber zur Erosion der sehr dünnen Passiv- bzw. Oxidfilme führen, den darunterliegenden Werkstoff dem aggressiven Medium aussetzen und zu dessen Aktivierung führen. In vielen wasser- oder dampfführenden Anlagen kann Erosionskorrosion eintreten, wenn in dem Medium nicht nur hohe Strömungsgeschwindigkeiten auftreten, sondern auch Festkörperteilchen enthalten sind, die durch das Aufprallen die Metalloberfläche zusätzlich beanspruchen. Dabei kann der relative Anteil der mechanischen und der elektrochemischen Komponente unterschiedlich sein. Erosionskorrosion erstreckt sich somit von der rein erosionsartigen bis zur rein korrosiven Beanspruchung. Die Erscheinungsformen der Erosionskorrosion ist typischerweise strömungsgerichtet und insbesondere abhängig von der Deckschichtbildung der Werkstoffe. Zum Beispiel können sich auf Kupferwerkstoffen leichte und lockere Schichten bilden, die dann lokal leicht zerstört und abgetragen werden können. Erosionskorrosion tritt in der Praxis häufig in Wärmetauschern auf [5]. Kavitation ist die Bildung und der darauffolgende Zusammenbruch von dampf- und gasgefüllten Blasen in Flüssigkeiten, wenn der statische Druck vorübergehend unter den Dampfdruck gesunken ist. Dies kann durch Strömungsvorgänge (Strömungskavitation) oder Unterdruckwellen (Schwingungskavitation) ausgelöst werden. Infolge der Implosion der Blasen

34.2.6 Erosions- und Kavitationskorrosion Die Kombination einer korrosiven Flüssigkeit mit hohen Strömungsgeschwindigkeiten kann zur Erosionskorrosion führen [2]. Oft tritt in denselben Medien im ruhenden oder langsam fließenden Zustand eine andere Art oder gar keine Korrosion auf. Vor allem auf der Oberfläche

34

716

kann die Werkstoffoberfläche lokal zerstört werden. Die durch Kavitation vorgeschädigte Oberfläche zeichnet sich durch eine lokal erhöhte Reaktivität aus. Wenn sich also einer solchen Erscheinung eine Korrosionsreaktion überlagert, handelt es sich um Kavitationskorrosion. Durch die sich an derselben Stelle wiederholenden Blasenimplosionen kann der Werkstoff keine Deckschicht mehr bilden oder die vorhandene Deckschicht wird zerstört und es entstehen kraterförmige Korrosionsstellen. Die Blasenimplosion erhöht lokal die Temperatur, wodurch die Korrosionsreaktion lokal an Geschwindigkeit zunimmt. Aufgrund der meist notwendigen hohen notwendigen Relativgeschwindigkeit der Werkstückoberfläche zum umgebenden Medium entsteht Kavitationskorrosion beispielsweise an Kreiselpumpen, Turbinen, Propellern oder Rührwerken. Kavitationskorrosion lässt sich unter anderem seitens des Mediums durch Veränderung der Strömungsgeometrie, Druckerhöhung im Medium und Verringerung der Strömungsgeschwindigkeit sowie werkstoffseitig durch Wahl härterer Werkstoffe oder Aufbringen von Beschichtungen vermeiden [5].

34.2.7 Reibkorrosion

T. Böllinghaus et al.

Reibkorrosion also die Bildung metallischer Verschleißpartikel ursächlich, die sofort mit dem umgebenden Medium reagieren gleichzeitig infolge der tribologischen Beanspruchung weiter gemahlen, gesintert, chemisch verändert oder verdichtet werden. Dabei können vor allem Schmiermittel an den Reaktionen mit den frisch abgelösten Reibpartikeln beteiligt sein. Der dabei ablaufenden Grübchen-Bildung ist häufig zusätzlich eine schwingende mechanische Beanspruchung überlagert, so dass auch die Reibkorrosion auslösend für eine nachfolgende Schwingungsrisskorrosion wirken kann.

34.2.8

Mikrobiologisch beeinflusste Korrosion

Unter dem Begriff „Mikrobiologisch Induzierte Korrosion“ (Microbiologically Induced Corrosion – MIC) werden alle Korrosionsarten, die durch mikrobielle Aktivitäten eingeleitet, aufrechterhalten oder verstärkt werden, zusammengefasst [5, 15]. Mikrobiologisch induzierte Korrosion setzt sich aus einer Vielzahl von Teilreaktionen zusammen (Abb. 34.23) und ist heute noch nicht vollständig erforscht. Sie kann allerdings an nahezu allen Werk- und Baustoffen auftreten und nach Schätzungen sind mindestens 20 % aller Korrosionsschäden mikrobiell beeinflusst [1]. Zu den Mikroorganismen, die diese Korrosionserscheinungen auslösen, gehören vor allem ein weites Spektrum von Bakterien, aber auch Pilze, Algen und Flechten, die die Werkstoffoberflächen in jeglicher Art und Umgebung besiedeln können. Solche Biofilme entstehen grundsätzlich im Zusammenwirken von flüssigen Umgebungsmedien, festem Werkstoff und Mikroorganismen in drei Stadien:

Reibkorrosion (engl.: Fretting) kann als besondere Form der Erosionskorrosion in gasförmigen Medien angesehen werden [2]. Grundsätzlich ist darunter jedoch unabhängig vom Umgebungsmedium die Kopplung einer tribologischen Beanspruchung in Form von Reibung, oft verursacht durch Vibration, und Verschleiß und einer korrosiven Beanspruchung des Werkstoffes zu verstehen. Hierbei befindet sich der Werkstoff in Kontakt und in Relativbewegung mit einem anderen Festkörper. Die kleinen Relativbewegungen, 1. Induktionsphase: Primäradhäsion des Biowie Schlupf oder Schwingungen, an den Kontaktfilms, für die Betriebsphase technischer Proflächen oft auch kraftschlüssiger Verbindungen dukte meist noch ohne Auswirkungen führen vor allem zur Abrasion von Oxidfilmen, 2. Irreversible Absorption von Makromolekülen so dass die aktive blanke Metalloberfläche ei(Polysaccharide, Lipopolysaccharide, Humner verstärkten anodischen Metallauflösung uninstoffe, Proteine etc.): Wachstum der Primärterworfen wird. Primär ist für die Entstehung der besiedler auf der Oberfläche

34 Korrosion und Korrosionsschutz

717

Abb. 34.23 Reaktionen bei mikrobiologisch beeinflusster Korrosion, vereinfacht in Anlehnung an Enning und Garrelfs [15]

3. Plateau-Phase: Biofilmdicke ist abhängig von dustrie gewidmet, wobei H2 S in erhöhtem Maße der Wachstumsrate und steht im biodynami- entsteht, vor allem infolge der Spülung unterirschen Gleichgewicht. discher Öl- und Gasreservoirs mit Seewasser zur Erhöhung der Fördermenge, wodurch es zu einer In solchen Biofilmen bilden sich von außen starken Anreichung von Mikroorganismen und nach innen Milieus mit abnehmendem Sauer- Sauerstoffabschluss kommt. stoffpartialdruck aus (so genannte anaerobe Bedingungen). Im äußeren Bereich erfolgt die Oxidation organischer Substanzen mit Sauerstoff zu 34.3 Chemische Korrosion und Hochtemperaturkorrosion Abbauprodukten, die in das Umgebungsmedium abgegeben werden. Dazwischen befindet sich eine Schicht anaerober Bakterien, die Abbaupro- Bei der chemischen Korrosion reagieren Werkdukte in Form von Wasserstoff und organischen stoff und Medium unmittelbar und die dabei Säuren über Gärungsprozesse entstehen lassen. entstehenden Reaktionsprodukte bestimmen den Schließlich wirken dann direkt auf der Werkstoff- Verlauf der weiteren Korrosion. Auch hier ist oberfläche anaerobe sulfatreduzierende Bakteri- die Ausbildung von Deckschichten erwünscht, en, die Wasserstoff und organische Säuren sowie die die Diffusionsvorgänge stark behindern und SO4 2- -Reste zu Sulfiden und Wasser umwandeln damit weitere Reaktionen unterbinden bzw. ver(Abb. 34.23). langsamen. Im Gegensatz zur elektrochemischen Dadurch entsteht vor allem H2 S, der als Pro- Korrosion finden jedoch keine entkoppelten Teilmotor zu einer Wasserstoffabsorption im dar- reaktionen an verschiedenen Stellen der Werkunterliegenden Werkstoffes führt, so dass bei stoffoberfläche statt, sondern an der gleichen logleichzeitig vorliegender mechanischer Bean- kalen Stelle. Das Ausmaß der Korrosion lässt sich spruchung eine wasserstoffunterstützte Span- gravimetrisch und metallographisch bestimmen. nungsrisskorrosion entstehen kann. Weitere KorErfolgt die unmittelbare chemische Reaktion rosionserscheinungen auf der Werkstoffoberflä- eines Werkstoffs mit der ihn umgebenden Atmoche als typische Folge von fest anhaftenden Bio- sphäre bei hohen Temperaturen (meist begleitet filmen sind Loch- und Spaltkorrosion. Besondere von erhöhten Drücken) und ohne Einwirkung Aufmerksamkeit wird der mikrobiellen Korrosi- eines wässrigen Elektrolyten, wird dieser Voron im petrochemischen Bereich der Offshore-In- gang als Hochtemperaturkorrosion bezeichnet.

34

718

Die hohen Temperaturen bedingen, dass an der Grenzschicht zwischen Atmosphäre und Festkörper eine Reaktionsschicht entsteht. Die Ad- und anschließende Absorption der Moleküle aus der Gas- oder Flüssigphase (unter hohem Druck) an der Oberfläche und die Diffusion der absorbierten Moleküle (oder Ionen) durch die Reaktionsschicht, sowie die Diffusion von Elementen aus dem Werkstoff an die Oberfläche, bestimmen die Reaktionskinetik. Kommt es im Verlauf dieser Reaktionen zu einem Prozess, bei dem sich der Werkstoff unaufhörlich zersetzt oder auflöst, liegt katastrophale Korrosion vor.

34.3.1 Hochtemperaturkorrosion ohne mechanische Beanspruchung Es gibt unterschiedliche Arten der Hochtemperaturkorrosion (Abb. 34.24), die in technischen Anwendungen auch in Kombination auftreten können [16]. Das Reaktionsprodukt mit Gasen auf der Werkstoffoberfläche wird als Zunder bezeichnet, wobei dieser Begriff in der Regel nur für Korrosionsvorgänge in oxidierender sauerstoff- oder reduzierender schwefelhaltiger Atmosphäre verwendet wird. Als eine besondere Form der Hochtemperaturkorrosion ist die Heißgaskorrosion anzusehen, die unter Beteiligung von Salzschmelzen abläuft. Dadurch können die Hochtemperaturkorrosionserscheinungen Aufschwefelung, Aufstickung oder Oxidation (Abb. 34.24) wesentlich beschleunigt werden. Abb. 34.24 Hochtemperaturkorrosionsarten

T. Böllinghaus et al.

Bei einigen technischen Anwendungen, z. B. der Glasherstellung, können Salzschmelzen direkt vorliegen und die Heißgaskorrosion hervorrufen. Bei den meisten technischen Anwendungen kondensieren jedoch die korrosionsfördernden Salzschmelzen aus der Umgebung auf der heißen Bauteiloberfläche, z. B. bei der Verbrennung fossiler Energieträger (Kohle, Öl, Erdgas). Erschwerend kommt hinzu, dass sich bei der Heißgaskorrosion meist poröse und nicht schützende Schichten ausbilden, die den Werkstoff nicht vor dem weiteren Zutritt der korrosiven Medien schützen. Anfällige Werkstoffe sind beispielsweise bestimmte Ni- und Co-Basislegierungen und höherlegierte ferritische Stähle. Eine einfache Beurteilung der Resistenz von Metallen gegen Gase kann durch das Ellingham-Richardson-Diagramm erfolgen, die die Stabilität der Schichtbildner darstellen und Ausdruck über den notwendigen Partialdruck des korrosiven Gases geben, bei dem eine Reaktion mit dem Grundmaterial beobachtet werden kann [17]. Die Kinetik der Reaktion kann über das Schichtwachstum oder gravimetrisch anhand des Masseverlustes m bestimmt werden. So kann das Schichtwachstum (Massezunahme) bzw. ein möglicher Masseverlust (bei Abplatzen oder Abdampfen der Korrosionsschichten) je nach Werkstoff, Temperatur, Partialdruck des Gases, Dissoziationskinetik des Gases an der Deckschicht und anderen Parametern variieren. D. h., je nach den äußeren Bedingungen bspw. bei Oxidation, folgt das Schichtwachstum einem parabolischen,

Oxiddeckschicht Äußere Oxidation Innere Oxidation Oxidation

Innere Karbidbildung Metal Dusting Aufkohlung

Entkohlung Innere Methanbildung Druckwasserstoff

CHEMISCHE KORROSION (HOCHTEMPERATURKORROSION)

Innere Nitridbildung Nitriddeckschichtbildung Aufstickung

Aufschwefelung

Halogenierung

Sulfiddeckschicht (Äußere Sulfidbildung) rein sulfidierenden Bedingungen

Bildung von flüchtigen Metallhalogeniden (z.B. Metallchloride)

34 Korrosion und Korrosionsschutz

719

Abb. 34.25 Verlauf der Massenänderung bei Hochtemperaturkorrosion: Annahme linearer oder parabolischer Zunahme bzw. linearer Masseverlust (bei katastrophaler Oxidation) nach Schütze [18]

linearen oder logarithmischen Wachstumsgesetz und ist dabei stets auf die Probenoberfläche A bezogen (Abb. 34.25). Die Proportionalitätskonstante kp beschreibt dabei den Korrosionswiderstand verschiedener Werkstoffe im Fall parabolischen Schichtwachstums. Diese Gesetzmäßigkeit stellt den Normalfall für die meisten technischen Werkstoffe dar. Die typische Größenordnung von kp beträgt für einen Stahl mit 12 bis 14 % Chrom an Luft zwischen 108 bis 109 kg2 m4 s1 . Es gibt aber auch den gegenteiligen Effekt der Massenabnahme durch Abplatzen der Oxidschicht oder bei sehr hohen Temperaturen durch gasförmige Reaktionsprodukte oder auch eine katastrophale Oxidation mit linearer Massenabnahme. Um Hochtemperaturkorrosion zu vermeiden bzw. zu verringern, kommt es wie bei der elektrochemischen Korrosion darauf an, möglichst schützende Deckschichten zu bilden, beispielsweise stabile Oxide wie Cr2 O3 oder Al2 O3 . Legierungen, die eine dieser beiden Deckschichten bei hohen Temperaturen bilden, werden deshalb Chrom- oder Aluminiumoxidbildner genannt.

Aluminiumoxidbildner können bis zu Temperaturen von 1300 °C eingesetzt werden. Die Temperaturgrenze für einen technischen Einsatz hängt allerdings auch von einer möglichen gleichzeitigen mechanischen Beanspruchung ab. Dichte Oxiddeckschichten wirken auch schützend gegen Aufkohlung, Nitrierung und Sulfidierung.

Oxidation Als Hochtemperaturkorrosion in Form reiner Oxidation ist die Verzunderung von Stählen anzusehen. Auf Eisenlegierungen entsteht bei Temperaturen über 570 °C in sauerstoffhaltigen Gasen ein Zunder mit der Schichtfolge Fe – FeO – Fe3 O4 – Fe2 O3 – O2 . Dabei beträgt der Anteil des Wüstits (FeO) fast 90 %, während auf dem Magnetit (Fe3 O4 ) 7 bis 10 % und auf die Hämatitschicht (Fe2 O3 ) nur 1 bis 3 % entfallen. Bei langsamer Abkühlung unter 570 °C zerfällt Wüstit in Eisen und Magnetit. Wegen der unterschiedlichen Dichte und der im Vergleich zu Wüstit geringeren Verformungsfähigkeit des Magnetits sind die so entstandenen Schichten spröde und enthalten Mi-

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krorisse. Durch rasche Abkühlung, wie sie z. B. beim Warmwalzen von Blechen vorliegt, kann die Umwandlung jedoch unterdrückt werden und Zunder haften bleiben (Klebzunder). Die Oxidationsgeschwindigkeit von Stählen kann durch das Zulegieren von Chrom, Aluminium und Silizium verringert werden. Typischerweise sind warmfeste, niedriglegierte Stähle bis ca. 550 °C ausreichend zunderbeständig. Darüber hinaus kommen besondere hochlegierte zunderbeständige Stähle zum Einsatz. Diese können rein ferritisch, martensitisch oder ferritisch-martensitische Gefüge haben und werden typischerweise in Dampfkesseln- und -leitungen sowie Industrieöfen eingesetzt. Austenitische zunderbeständige Stähle kommen vorwiegend in Abgasanlagen oder in Bauteilen der Chemie und Erdölindustrie zum Einsatz [19]. Je nach Al, Si und Cr-Gehalt kann die Zunderbeständigkeit bei 800 °C (z. B. X10CrAl7 und X6CrNiTi1810) oder auch bei 1200 °C (X10CrAl24 und X15CrNiSi25-20) liegen. Alternativ können für niedriglegierte Stähle auch Beschichtungen als Zunderschutz dienen. Beispielsweise werden im Automotive-Sektor Al-Si oder Al-Zn-Beschichtungen serienmäßig als Zunderschutz für pressgehärtete Bauteile aus hochfesten Stählen (z. B. 22MnB5) eingesetzt, da diese beim Umformen im Gesenk auf Austenitisierungstemperatur gebracht werden und dabei stark verzundern könnten. Dies würde die aufgrund der geringen elektrochemischen Korrosionsbeständigkeit des 22MnB5 notwendige spätere Nachbearbeitung der Bleche im Karosseriebau (Grundieren + Lackieren) massiv erschweren [20].

Aufkohlung (Metal Dusting) Zu den Aufkohlungsprozessen zählt u. a. die Karbidbildung, die bei korrosionsbeständigen Chrom-Nickel-Legierungen in einer kohlenstoffabgebenden Gasatmosphäre auftritt und die ins Innere des Werkstoffs fortschreitet. Die innere Karbidbildung infolge der Aufkohlung kann bei solchen Werkstoffen bei 800 bis 1200 °C erfolgen (Ausbildung von Cr-, Ni- oder Fe-haltigen Karbiden des Typs M23 C6 , welche wiederum in Karbide des Typs M7 C3 zerfallen). Diese Art der Korrosionsreaktion verschlechtert dabei die me-

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chanischen Eigenschaften (Duktilität und insbesondere die Zähigkeit bei tiefen Temperaturen), die thermischen Eigenschaften (Wärmeleitfähigkeit) sowie die Oxidationsbeständigkeit und vor allem die Schweißbarkeit (wesentliche Erhöhung des Kohlenstoffäquivalents!). Eine besonders katastrophale Aufkohlung können Stähle auch im moderaten Temperaturbereich (400 bis 800 °C) erfahren, die als Metal Dusting bezeichnet wird [21]. Wobei dieser Temperaturbereich nach unten und oben abweichen kann, je nach Werkstoff und Einsatzumgebung, beispielsweise auch bei 350 bis 900 °C [22]. Dabei wandelt der Werkstoff letztlich in ein feines Pulver um, bestehend aus Metall und reinem Kohlenstoff. Im Gegensatz zur klassischen Aufkohlung, bedingt das Metal Dusting eine mit Kohlenstoff übersättigte Gasatmosphäre. Der Vorgang beginnt mit schneller Übersättigung des Werkstoffs mit Kohlenstoff in den oberflächennahen Bereichen und an den Korngrenzen, gefolgt von der Bildung des instabilen Karbids Me3 C (Me = Fe, Ni) sowie dessen nachfolgender Zersetzung in die metallische Phase und in reinen Kohlenstoff. Me3 C ! 3Me C C

(34.19)

Die dabei entstehenden feinen Metallpartikel beschleunigen die weitere Kohlenstoffaufnahme aufgrund des katalytischen Effekts der vergrößerten Oberfläche. Die Folge sind voluminöse Kohlenstoffablagerungen auf der Metalloberfläche. Werden diese losen Ablagerungen infolge strömender Medien (typischerweise heiße Gase) mitgerissen, sind lochkorrosionsähnliche Vertiefungen zu beobachten.

Druckwasserstoffangriff – High Temperature Hydrogen Attack Gegenüber des Effektes der Aufkohlung, können an Stahlbauteilen bspw. in Synthesegasanlagen (beispielsweise in der chemischen oder petrochemischen Industrie) Schäden infolge von Entkohlung unter Wasserstoffeinfluss auftreten. Diese wird auch als Druckwasserstoffangriff (engl.: High Temperature Hydrogen Attack – HTHA) bezeichnet. Dies ist meistens durch hohe Temperaturen >200 °C und Drücke >200 bar der Fall,

34 Korrosion und Korrosionsschutz

721

Abb. 34.26 Schematische Darstellung des Druckwasserstoffangriffes in niedriglegierten Stählen

da sich atomarer Wasserstoff aus dem Medium (Druckwasserstoff, Synthesegas) durch thermische Dissoziation aus der Gasphase bilden kann. Die Schädigung tritt dann auf, wenn die Anlagen mit Druckwasserstoff (z. B. Ammoniaksynthese, Hydrocracker) oder wasserstoffhaltigen Medien betrieben werden. Der Kohlenstoffgehalt des eingesetzten Stahles wird dabei als Folge der Umgebungsbedingungen reduziert. Der gebildete Wasserstoff wird an der Stahloberfläche adsorbiert und zwangsgelöst. Dabei reagiert der eingedrungene Wasserstoff mit dem Eisenkarbid des Stahls und bildet gasförmiges Methan und elementares Eisen 4H.Fe/ C Fe3 C ! CH4 C 3Fe:

(34.20)

Aufgrund der Molekülgröße des Methans, kann dieses im Gegensatz zum atomaren Wasserstoff nicht durch den Stahl diffundieren und somit entweichen. Die Folge ist die Ansammlung von unter hohem Druck stehenden Regionen von Gasmolekülen im Metallinneren. Zusätzlich zur Gasbildung im Werkstoff selbst, tritt der Effekt, dass die Auflösung der Eisenkarbide, die mechanischen Eigenschaften des Stahls vermindert. Ausgehend von bereits vorhandenen Werkstofftrennungen an Einschlüssen, bevorzugt entlang

der Korngrenzen, können sich dann Sprödbrüche ausbilden, die zum plötzlichen Bauteilversagen führen können. Der Mechanismus der Eigenschaftsdegradation infolge des Druckwasserstoffangriffs ist schematisch in Abb. 34.26 dargestellt. Am empfindlichsten sind hier unlegierte C-Stähle denen gegenüber niedriglegierte Cr-Mo-Stähle beständiger sind. Aber auch bei Hochtemperaturkorrosion, ist die Beständigkeit der Werkstoffe wesentlich von den eingesetzten Medien und Betriebsbedingungen abhängig. Zur Vermeidung dieser kritischen Entkohlung können die Betriebsbedingungen (Druck, Temperatur) auf unterkritischem Maß gehalten werden. Anwendungsgrenzen für Betriebsbedingungen für niedriglegierte Stähle mit Druckwasserstoffbeaufschlagung finden sich zum Beispiel im Nelson-Diagramm. Grundlagen zur Anwendung des Nelson Diagrammes finden sich dabei in der aktuellsten Ausgabe der API RP (American Petroleum Institute Recommended Practice) 941 (2018). Zusätzlich können metallurgisch optimierte Stähle eingesetzt werden, die karbidstabilisierende Elemente wie V, Nb oder Ti enthalten. Speziell in der chemischen bzw. petrochemischen Industrie kommen vielfach Komponenten zum Einsatz, die bei erhöhten Tempera-

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turen und Drücken mit reinem Druckwasserstoff oder wasserstoffhaltigen Medien zur Ammoniakerzeugung arbeiten. Typischerweise wurden hier früher niedriglegierte 2,25 % Cr–1 % MoStähle eingesetzt. Diese Stähle weisen jedoch nur eine begrenzte Beständigkeit gegen Entkohlung unter wasserstoffhaltigem Betrieb bei weiter steigenden Temperaturen und Drücken auf. Deswegen werden diese Stähle mit 0,25 % Vanadium stabilisiert. Das Zulegieren von Vanadium sorgt für die bevorzugte Ausbildung von sehr kleinen und feinstverteilten Karbiden (beispielsweise VC, V4 C, V4 C3 ) im Stahlgefüge. Diese Ausscheidungen haben dabei zwei positive Effekte. Zum einen verbessern sie die Hochtemperatureigenschaften dieser Stähle (wie die Kriechfestigkeit) erheblich. Zum anderen wird die Beständigkeit der Stähle gegenüber dem Wasserstoffangriff wesentlich verbessert. Auch bei Vanadium-legierten Stählen wird Wasserstoff aufgenommen, jedoch kann dieser dann nicht mit dem Kohlenstoff zu Methan reagieren, da die Affinität des Vanadiums zum Kohlenstoff auch bei erhöhten Temperaturen größer ist als die des Wasserstoffs.

Aufschwefelung Die Schwefelkorrosion führt zur Bildung von weichen oder spröden Metallsulfiden (MeX S2 , MeX S3 , MeX S4 ) oder Metallsulfaten (MeX SO4 ) an der Stahloberfläche. Diese können bei erhöhten Temperaturen auch schmelzflüssig sein. Typischerweise ist die Hauptursache für ihre Bildung in der Zusammensetzung von Verbrennungsabgasen zu suchen, also in der Verbrennung schwefelreicher Brennstoffe wie Kohle oder Schwerölen. Das Problem der Schwefelkorrosion tritt aber auch bei komplexen schwefelhaltigen Mischabgasen wie in Müllverbrennungsanlagen oder Biomassekraftwerken auf. Sie wird dann als katastrophal bezeichnet, wenn sich niedrig schmelzende Sulfide wie NiS (TS = 995 °C) oder niedrig schmelzende Eutektika wie Ni / Ni3 S2 (TS = 637 °C) bilden. Beispielsweise führt in Verbrennungsgasen Schwefel zusammen mit Alkalimetallen (Elemente der 1. Hauptgruppe wie Na, K), Chlor und Sauerstoff zur Bildung korrosiver Salzschmelzen. Die Reaktionen aus der Verbrennungsatmosphäre mit den Legierungselementen Ni-

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ckel, Kobalt und Eisen zu niedrig schmelzenden Komplexsalzen, wie Na3 Fe(SO4 )3 (TS = 620 °C), Na3 Fe(SO4 )3 / K3 Fe(SO4 )3 (TS = 555 °C) sowie CoSO4 (TS = 565 °C) und NiSO4 (TS = 671 °C) führt dann zu einer besonders raschen Korrosionsreaktion, die sehr schnell zum völligen Versagen eines Bauteiles führen kann. Im Gegensatz zur Aufkohlung ist die Aufschwefelung eines Werkstoffes gefährlicher. Der Grund ist die wesentlich erhöhte Geschwindigkeit der Werkstoffschädigung. In sauerstoffreichen Atmosphären kann beispielsweise ein zu hoher Gehalt an SO2 die Aufschwefelung der Werkstoffe und deren fortschreitende Korrosion fördern.

Aufstickung Die Aufstickung kann als unerwünschter Effekt beim Betrieb von Komponenten in N2 -haltigen Atmosphären bei hohen Temperaturen auftreten. Beispielsweise sind Werkstoffe in stickstoffhaltigen Rauchgasen oder bei der Ammoniaksynthese (Haber-Bosch-Verfahren) anfällig für die Aufstickung. Dabei wird Stickstoff über die Adsorption an der Werkstoffoberfläche angelagert. Bei hochchromhaltigen Stählen können sich bereits bei Temperaturen von 300 °C Deckschichten aus Chromnitriden bilden, welche bei mechanischer oder thermischer Belastung leicht abplatzen. Deswegen bilden sich ständig neue Schichten aus, verbunden mit einem starken Materialabtrag. Weiterverbreitet als die Nitrid-Deckschichten ist die innere Nitrierung, bei der durch die Diffusion des Stickstoffs in den Werkstoff Gefügeveränderungen hervorgerufen werden. Meistens äußert sich dieser Effekt in der Bildung von Phasen (Me2 N oder Me3 N), die die Härte des Metalls erhöhen. Technisch gezielt genutzt wird dieser Effekt beim Nitrieren von Randschichten (Härten) von Bauteilen, um z. B. die Verschleißfestigkeit zu erhöhen. Jedoch kann aber auch hier bei hochlegierten Chromstählen die Korrosionsbeständigkeit herabgesetzt werden durch die Diffusion von Cr aus dem Bauteil in die nitrierte Schicht während des Randschichthärtens. Halogenierung Neben Sauerstoff, Kohlenstoff, Schwefel und Stickstoff können weitere trockene Angriffsmedien (im Gegensatz zur wässrigen elektrochemi-

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schen Korrosion) wie Halogenide zur Hochtemperaturkorrosion bei entsprechenden Einsatzbedingungen führen. Die wichtigsten HalogenidBildner sind dabei Chlor, Fluor oder Brom. In solchen Atmosphären kann es durch Halogenwasserstoffe (HF, HCl oder HBr) bzw. deren Säuren zu starker Korrosion kommen. Beispielsweise kann Chlorwasserstoff mit Sauerstoff zu reinem Chlor unter Wasserabgabe reagieren. Dieses reine Chlor kann sich dann mit Chromoxiden verbinden (z. B. aus der Passivschicht von korrosionsbeständigen Stählen) und bildet Metallchloride, 2Cr3 O3 C 6Cl2 ! 4CrCl3 C 3O2

(34.21)

Diese können dann die Schutzwirkung der Oxidationsschutzschicht negativ beeinflussen. Erschwerend kommt hinzu, dass diese Metallchloride bei höheren Temperaturen hohe Dampfdrücke aufweisen. Das freilegende Material „dampft“ quasi ab und die resultierenden Korrosionsraten sind dementsprechend erhöht. Besondere Berücksichtigung von Halogenen ist bei der immer weiteren Verbreitung von Biomassekraftwerken zu berücksichtigen aber auch in Müllverbrennungsanlagen (Einsatz von korrosionsbeständigen Cr-Ni-Stählen). So können beispielsweise Abfallprodukte Halogene enthalten (z. B. Chlor aus Kunststoffen wie PVC oder Fluor aus halogenierten Kohlenwasserstoffen wie Teflon). Technisch werden Halogenidatmosphären aber auch gezielt bei Beschichtungsprozessen wie CVD eingesetzt, um Cr, Al oder Si abzuscheiden.

34.3.2 Hochtemperaturkorrosion mit mechanischer Beanspruchung Kommt es bei der Hochtemperaturkorrosion überlagernd zur mechanischen Beanspruchung eines Bauteiles, so wirken beide Beanspruchungen kombinatorisch auf Bauteile ein und führen zur wesentlichen Verkürzung der Bauteil- bzw. Komponentenlebensdauer. Einerseits ist zu beachten, dass die mechanische Integrität von Bauteilen und Komponenten infolge der überwiegend oxidationsbedingten Reduzierung der tragenden Querschnitte bereits erheblich beeinträchtigt sein

kann. Durch die während der Hochtemperaturkorrosion ablaufenden Reaktionen kann darüber hinaus die chemische Zusammensetzung und die Mikrostruktur des Werkstoffes auch in tieferen Bereichen so verändert worden sein, dass seine Festigkeits- und Verformungseigenschaften erheblich von denen im Anlieferungszustand abweichen. Andererseits weisen die schützenden Oxidschichten häufig ein geringeres Verformungsvermögen als der übrige Werkstoff auf und können daher infolge von mechanischen Beanspruchungen in Form von Dehnungen schnell aufreißen oder sich ablösen („Abplatzen“). Beispielsweise sind Schichten aus Chromnitriden infolge des ungewollten Aufstickens in Ammoniakatmosphäre sehr spröde. Auch thermisch verursachte Spannungen und Verformungen oder Temperaturdifferenzen zwischen dem Werkstoff und der Deckschicht sowie interne Wachstumsspannungen in der Deckschicht können zu deren früheren Versagen führen, alles mit der Konsequenz eines erheblich beschleunigten weiteren Korrosionsangriffes. Ein Beispiel aus der Praxis für alternierende Betriebsbedingungen, sind die häufigeren notwendigen Lastwechselvorgänge in fossil befeuerten Kraftwerken aufgrund der immer häufiger verfügbaren Tagesspitzen an elektrischem Strom durch moderne Energiegewinnung (Wind, Wasser). Die erhöhte Stromproduktion muss dann durch ein Absenken der Spitzenlast in Kohlekraftwerken kompensiert werden. Die dadurch erhöhte Anzahl von Ab- und Anfahrzyklen, mit dementsprechenden Temperatur- und Druckänderungen, bedingt hohe thermomechanische Spannungsgradienten (z. B. in den Dampfleitungen) die die innere schützende MagnetitSchicht schwächt. Eine zusätzliche Kriechbeanspruchung und/oder insbesondere eine wechselnde mechanische Beanspruchung führen immer zu stark beschleunigtem Rissstart und -fortschritt [16]. Dementsprechend ist ein spezielles Monitoring von Hochtemperatur-belasteten Komponenten unabdingbar, beispielsweise im Rahmen der Zustandsüberwachung/Revision von Anlagen in der chemischen Industrie oder Energieerzeugung aus fossilen Trägern, Biomasse oder der thermischen Verwertung von Abfällen.

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34.4 Korrosionsprüfung

verschiedener Korrosionsprüfverfahren, die sich entsprechend Abb. 34.27 hinsichtlich des AbsUm die Korrosionsbeständigkeit eines Bauteiles traktionsgrades vom realen Korrosionssystem unzu prüfen, ist das Verhalten des Werkstoffes unter terteilen lassen: den konstruktiven vorgegebenen Besonderheiten unter einer bestimmten, meist gekoppelten, Be-  Online Monitoring und Feldversuche am realen Korrosionssystem anspruchung und zu prüfen. Somit gibt es keinen universellen Korrosionstest. Um möglichst realis-  Full Scale Tests unter realistischer Nachbiltisch zu prüfen, ist ein Korrosionstest möglichst dung des gesamten Korrosionssystems zur kontrollierten Identifikation von Art, Ort und nahe an den in Wirklichkeit vorliegenden BeanZeitpunkt möglicher Korrosionserscheinunspruchungen zu orientieren. Um den experimengen tellen Zeit- und Kostenaufwand zu begrenzen, sind die Ziele der Korrosionsprüfung festzulegen,  Produktorientierte Prüfung an bauteilähnlichen Proben unter vorheriger Identifikation wie z. B.: der relevanten Beanspruchungsgrade, -orte und -richtungen  Bestimmung des besten geeigneten Werkstof Korrosionsprüfung an Kleinproben unter gefes (Fitness for Purpose) normten und standardisierten Beanspruchun Bestimmung der Betriebs-/Lebensdauer eines gen technischen Produktes  Erprobung einer neuen Legierung oder eines  Basisprüfungen zur Identifikation und Untersuchung von Korrosionsmechanismen und neuen technischen Prozesses Verlaufserscheinungen unter Laborbedingun Entwicklung eines neuen Werkstoffes mit vergen. bessertem Korrosionswiderstand  Untersuchung der Wirkung verschiedener Moderne Korrosionsprüfverfahren werden Umgebungsmedien (Inhibierung)  Ermittlung der ökonomischsten Variante für heute mit entsprechenden Modellierungs- und Simulationstechniken über alle Größenskalen den Korrosionsschutz  Studie und Aufklärung von Korrosionsmecha- begleitet. Die Auswahl der verschiedenen auf ein bestimmtes Ziel ausgerichteten und auf nismen. ein bestimmtes Korrosionssystem abgestimmUm diese Ziele zu erreichen und wie bei jeder ten Korrosionsprüfungen erfordert oftmals sehr produktorientierten Prüfung, gibt es wiederum ei- viel Erfahrung und sollte möglichst mit dafür ne ganze Reihe von geeigneten Kombinationen ausgewiesenen Experten durchgeführt werden. Abb. 34.27 Kombination verschiedener Korrosionsprüfverfahren

Modelierung und Simulation Untersuchung des realen Produktes

Full Scale Test an einem Vergleichsprodukt Modelierung und Simulation

Modelierung und Simulation Produktorientierte Prüfung

Prüfung mit Kleinproben Modelierung und Simulation

Basisversuche

34 Korrosion und Korrosionsschutz

Literatur 1. DIN EN ISO 8044 (2015): Korrosion von Metallen – Grundbegriffe, Beuth, Berlin, (2015) 2. Jones, D.A.: Principles and prevention of corrosion, 2. Aufl. Prentice Hall, Upper Saddle River (1996) 3. van Oeteren, K.A.: Korrosionsschutz durch Beschichtungswerkstoffe. Hanser, München (1980) 4. Kaesche, H.: Die Korrosion der Metalle, 3. Aufl. Springer, Berlin (1991) 5. Wendler-Kalsch, E., Gräfen, H.: Korrosionsschadenkunde. Springer, Berlin (1998) 6. Mörbe, K., Morenz, W., Pohlmann, H.-W., Werner, H.: Korrosionsschutz wasserführender Anlagen. Springer, Berlin (1998) 7. Revie, R.W.: Uhlig’s corrosion handbook, 2. Aufl. John Wiley & Sons, New York (2000) 8. Eick, K., Kahlen, O., Regener, D., Göllner, J.: In situ Beobachtung lokaler Korrosionserscheinungen mit Hilfe von elektrochemischen AFM-Untersuchungen. Mater Corros 51(8), 557–563 (2000) 9. Bihade, M.S., Patil, A.P., Khobragade, N.K.: Analysis of electrochemical current noise from metastable pitting of SS304L in NaCl Solutions. Trans. Indian. Inst. Met., 66(2), 155–161 (2013) 10. Böllinghaus, H., Mente, M., Wongpanya, P., Viyanit, E., Steppan, E.: Numerical modelling of hydrogen assisted cracking in steel welds. In: Böllinghaus T., Lippold, J.C., Cross, C.E (Hrsg.): Cracking phenomena in welds IV. Springer, Cham (2016) 11. Hirth, J.P.: Effects of hydrogen on the properties of iron and steel. Metall Trans A 11(6), 861–890 (1980) 12. Birnbaum, H.K., Robertson, I.M., Sofronis, P., Teter, D.: Mechanisms of Hydrogen related fracture – a review. 2nd Intern. Conf. on Corrosion-Deformation Interactions, EFC, The Institute of Materials, London., S. 172–195 (1997)

725 13. Robertson, I.M., Sofronis, P., Nagao, A., Martin, M.L., Wang, S., Gross, D.W., Nygren, K.E.: Hydrogen embrittlement understood. Metall Mater Trans B 46, 1085–1103 (2015) 14. Wolf, M., Afanasiev, R., Böllinghaus, T., Pfennig, A.: Investigation of corrosion fatigue of duplex steel X2crNiMoN22-5 3 exposed to a geothermal environment under different electrochemical conditions and load types. 1 3th International Conference on Greenhouse Gas Control Technologies, GHGT – 13, Lausanne, 14.–18. November 2016. (2017). Energy Procedia 114 (2017) 5337–5375 15. Enning, D., Garrelfs, J.: Corrosion of iron by sulfatereducing bacteria: new views of an old problem. Appl Environ Microbiol 80, 1226–1236 (2014) 16. Schütze, M.: Protective scales and their breakdown. Wiley, New York (1997) 17. Pawlek, F.: Metallhüttenkunde. De Gruyter, Berlin New York (1983) 18. Schütze, M.: High-temperature corrosion. In: Corrosion mechanisms in theory and practice, 3. Aufl. CRC Press, Boca Raton (2011) 19. Schatt, W., Simmchen, E., Zouhar, G.: Konstruktionswerkstoffe des Maschinen- und Anlagenbaues. Wiley, New York (2009) 20. Allely, C., Dostat, L., Clauzeau, O., Ogle, K., Volovitch, P.: Anticorrosion mechanisms of aluminized steel for hot stamping. Surf Coat Technol 238, 188– 196 (2014) 21. Grabke, H., Schütze, M.: Corrosion by Carbon and Nitrogen, Metal Dusting, Carburisation and Nitridation. Woodhead Publishing, Cambridge, United Kingdom (2007) 22. Gegner, J.: Komplexe Diffusionsprozesse in Metallen. Expert, Renningen, Deutschland (2005)

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Teil V Thermodynamik

Die Thermodynamik ist als Teilgebiet der Physik eine allgemeine Energielehre. Sie befasst sich mit den verschiedenen Erscheinungsformen der Energie und deren Umwandlung ineinander. Sie stellt die allgemeinen Gesetze bereit, die jeder Energieumwandlung zugrunde liegen. Dies sind insbesondere der erste Hauptsatz (die Energiebilanz), der zweite Hauptsatz (die Entropiebilanz) sowie die thermischen und kalorischen Zustandsgleichungen der Stoffe. Auf dieser Basis werden zunächst Zustandsänderungen reiner Stoffe beschrieben, die für technische Anwendungen relevant sind, sowie die thermodynamischen Prozesse für Wärmekraftanlagen, Kältemaschinen und Wärmepumpen, die reine Stoffe als Arbeitsmedium im Kreislauf führen. Die grundlegenden thermodynamischen Gesetze werden anschließend erweitert für die Beschreibung von Stoffgemischen und angewandt auf Zustandsänderungen feuchter Luft für die Klimatechnik sowie auf die Stoff- und Energieumwandlung für Verbrennungsprozesse. Ergänzend wird im vorliegenden Teil eine Einführung in die Grundlagen der Wärmeübertragung gegeben, da Wärmeübertragungsvorgänge und thermodynamische Prozesse in den technischen Anwendungen meist unmittelbar miteinander verknüpft sind.

Thermodynamik. Grundbegriffe

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Peter Stephan und Karl Stephan

35.1 Systeme, Systemgrenzen, Umgebung Unter einem thermodynamischen System, kurz auch System genannt, versteht man dasjenige materielle Gebilde oder Gebiet, das Gegenstand der thermodynamischen Untersuchung sein soll. Beispiele für Systeme sind eine Gasmenge, eine Flüssigkeit und ihr Dampf, ein Gemisch mehrerer Flüssigkeiten, ein Kristall oder eine energietechnische Anlage. Das System wird durch eine materielle oder gedachte Systemgrenze von seiner Umwelt, der sog. Umgebung getrennt. Eine Systemgrenze darf sich während des zu untersuchenden Vorgangs verschieben, beispielsweise wenn sich eine Gasmenge ausdehnt, und sie darf außerdem für Energie und Materie durchlässig sein. Energie kann über eine Systemgrenze mit einer ein- oder austretenden Materie sowie in Form von Wärme (Abschn. 37.2.3) und Arbeit (Abschn. 37.2.1) transportiert werden. Das System mit seiner Systemgrenze dient bei der Betrachtung und Berechnung von Energieumwandlungsprozessen als Bilanzraum mit seiner Bilanzgrenze. Stellt man z. B. eine Energiebilanz (Kap. 37 Erster Hauptsatz) für das System auf, P. Stephan () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K. Stephan Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland E-Mail: [email protected]

so werden die über die Systemgrenze ein- und austretenden Energien und die Energieänderungen und Eigenschaften im System in Form einer Bilanzgleichung miteinander verknüpft. Ein System heißt geschlossen, wenn die Systemgrenze für Materie undurchlässig und offen, wenn sie für Materie durchlässig ist. Während die Masse eines geschlossenen Systems unveränderlich ist, ändert sich die Masse eines offenen Systems, wenn die während einer bestimmten Zeit in das System einströmende Masse von der ausströmenden verschieden ist. Sind einströmende und ausströmende Masse gleich, so bleibt auch die Masse des offenen Systems konstant. Beispiele für geschlossene Systeme sind feste Körper oder Massenelemente in der Mechanik, Beispiele für offene Systeme sind Turbinen, Strahltriebwerke, strömende Fluide (Gase oder Flüssigkeiten) in Kanälen. Ist ein System gegenüber seiner Umgebung vollkommen thermisch isoliert, kann also keine Wärme über die Systemgrenze transportiert werden, so spricht man von einem adiabaten System. Abgeschlossen nennt man ein System, das von allen Einwirkungen seiner Umgebung isoliert ist, sodass weder Energie in Form von Wärme oder Arbeit noch Materie mit der Umgebung ausgetauscht werden. Die Unterscheidung zwischen geschlossenem und offenem System entspricht der Unterscheidung zwischen Lagrangeschem und Eulerschem Bezugssystem in der Strömungsmechanik. Im Lagrangeschen Bezugssystem, das dem geschlossenen System entspricht, untersucht man die Bewegung eines Fluids, indem man dieses in klei-

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P. Stephan und K. Stephan

ne Elemente von unveränderlicher Masse zerlegt und deren Bewegungsgleichung ableitet. Im Eulerschen Bezugssystem, das dem offenen System entspricht, denkt man sich im Raum ein festes Volumenelement aufgespannt und untersucht die Strömung des Fluids durch das Volumenelement hindurch. Beide Arten der Beschreibung sind einander äquivalent, und es ist oft nur eine Frage der Zweckmäßigkeit, ob man ein geschlossenes oder offenes System der Betrachtung zugrunde legt.

Temperatur. Der mathematische Zusammenhang zwischen diesen Zustandsgrößen ist eine solche Zustandsgleichung. J Zustandsgrößen unterteilt man in drei Klassen: Intensive Zustandsgrößen sind unabhängig von der Größe des Systems und behalten somit bei einer Teilung des Systems in Untersysteme ihre Werte bei. Beispiel

35.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse

Unterteilt man einen mit Gas von einheitlicher Temperatur gefüllten Raum in kleinere Räume, so bleibt die Temperatur unverändert. Sie ist eine intensive Zustandsgröße. J

Ein System wird durch bestimmte physikalische Zustandsgrößen, die proportional zur Masse Größen charakterisiert, die man messen kann, des Systems sind, heißen extensive Zustandsgröbeispielsweise Druck, Temperatur, Dichte, elekßen. trische Leitfähigkeit, Brechungsindex und andere. Der Zustand eines Systems ist dadurch beBeispiel stimmt, dass alle diese physikalischen Größen, die sog. Zustandsgrößen, feste Werte annehmen. Das Volumen, die Energie oder die Masse Den Übergang eines Systems von einem Zustand selbst. J in einen anderen nennt man Zustandsänderung. Dividiert man eine extensive Zustandsgröße X durch die Masse m des Systems, so erhält man Ein Ballon ist mit Gas gefüllt. Thermody- eine spezifische Zustandsgröße x D X=m. namisches System sei das Gas. Die Masse Beispiel des Gases ist, wie die Messung zeigt, durch Volumen, Druck und Temperatur bestimmt. Extensive Zustandsgröße sei das Volumen eiZustandsgrößen des Systems sind also Volunes Gases, spezifische Zustandsgröße ist dann men, Druck und Temperatur, und der Zustand das spezifische Volumen  D V =m, wenn m des Systems (Gases) ist durch ein festes Werdie Masse des Gases ist. SI-Einheit des spez. tetripel von Volumen, Druck und Temperatur Volumens ist m3 =kg. J gekennzeichnet. Den Übergang zu einem anderen festen Wertetripel, beispielsweise wenn Zustandsänderungen kommen durch Wechseleine gewisse Gasmasse ausströmt, nennt man wirkungen mit der Umgebung des Systems zuZustandsänderung. J stande, beispielsweise dadurch, dass Energie über die Systemgrenze zu- oder abgeführt wird. Zur Den mathematischen Zusammenhang zwiBeschreibung einer Zustandsänderung genügt es, schen Zustandsgrößen nennt man Zustandsgleiallein den zeitlichen Verlauf der Zustandsgrößen chung. anzugeben. Die Beschreibung eines Prozesses erfordert zusätzlich Angaben über Größe und Art Beispiel der Wechselwirkungen mit der Umgebung. Unter Das Volumen des Gases in einem Ballon er- einem Prozess versteht man somit die durch beweist sich als eine Funktion von Druck und stimmte äußere Einwirkungen hervorgerufenen Beispiel

35 Thermodynamik. Grundbegriffe

Zustandsänderungen. Der Begriff Prozess ist also weiter gefasst als der Begriff Zustandsänderung. So kann z. B. ein und dieselbe Zustandsänderung durch verschiedene Prozesse hervorgerufen werden.

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Temperaturen. Gleichgewichte

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Peter Stephan und Karl Stephan

36.1 Thermisches Gleichgewicht

Transport von Wärme jedoch zulässt, nennt man diatherm. Eine diatherme Wand ist „thermisch“ Häufig sprechen wir von „heißen“ oder „kalten“ leitend. Eine thermisch vollkommen isolierende Körpern, ohne solche Zustände zunächst genau Wand, nennt man adiabat. durch eine Zustandsgröße zu quantifizieren. Bringt man nun ein solches geschlossenes heißes System A mit einem geschlossenen kalten 36.2 Nullter Hauptsatz und System B in Kontakt, so wird über die Konempirische Temperatur taktfläche Energie in Form von Wärme transportiert. Dabei ändern sich die Zustandsgrößen Herrscht thermisches Gleichgewicht zwischen beider Systeme mit der Zeit bis sich nach hinrei- den Systemen A und C und den Systemen B und chend langer Zeit neue feste Werte einstellen und C, dann befinden sich erfahrungsgemäß auch die der Energietransport zum Stillstand kommt. In Systeme A und B im thermischen Gleichgewicht, diesem Endzustand herrscht thermisches Gleich- wenn man sie über eine diatherme Wand miteingewicht zwischen den Systemen. ander in Kontakt bringt. Diesen Erfahrungssatz Die Geschwindigkeit, mit der die Systeme die- bezeichnet man als „nullten Hauptsatz der Thersen Gleichgewichtszustand erreichen, hängt von modynamik“. Er lautet: Zwei Systeme im thermider Art des Kontakts der Systeme sowie ihrer schen Gleichgewicht mit einem dritten befinden thermischen Eigenschaften ab. Sind die Systeme sich auch untereinander im thermischen Gleichz. B. nur durch eine dünne Metallwand vonein- gewicht. ander getrennt, so wird sich das Gleichgewicht Um festzustellen, ob sich zwei Systeme A und schneller einstellen, als wenn sie durch eine di- B im thermischen Gleichgewicht befinden, bringt cke Wand aus Polystyrolschaum getrennt sind. man sie nacheinander in Kontakt mit einem SysEine Trennwand, die lediglich jeden Stoffaus- tem C, dessen Masse klein sei im Vergleich zu tausch und auch jede mechanische, magnetische derjenigen der Systeme A und B, damit Zustandsoder elektrische Wechselwirkung verhindert, den änderungen in den Systemen A und B während P. Stephan () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K. Stephan Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland E-Mail: [email protected]

der Gleichgewichtseinstellung vernachlässigbar sind. Bringt man C erst mit A in Kontakt, so ändern sich bestimmte Zustandsgrößen von C, beispielsweise sein elektrischer Widerstand. Diese Zustandsgrößen bleiben beim anschließenden Kontakt zwischen B und C unverändert, wenn zuvor thermisches Gleichgewicht zwischen A und B herrschte. Mit C kann man so prüfen, ob

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P. Stephan und K. Stephan

zwischen A und B thermisches Gleichgewicht herrscht. Den Zustandsgrößen von C nach Einstellung des Gleichgewichts kann man beliebige feste Zahlen zuordnen. Diese nennt man empirische Temperaturen, das Messgerät selbst ist ein Thermometer.

die empirische Temperatur T berechnen. Dem zur Festlegung der empirischen Temperaturskala benötigten „Fixpunkt“ hat die 10. Generalkonferenz für Maße und Gewichte in Paris 1954 den Tripelpunkt des Wassers mit der Temperatur Ttr D 273;16 Kelvin (abgekürzt 273,16 K) zugeordnet. Am Tripelpunkt des Wassers stehen Dampf, flüssiges Wasser und Eis miteinander im 36.3 Temperaturskalen Gleichgewicht bei einem Druck von (611;657 ˙ 0;010) Pa. Die so eingeführte Temperaturskala Zur Konstruktion und Definition der empiri- bezeichnet man als Kelvin-Skala. Sie ist identisch schen Temperaturskalen dient das Gasthermome- mit der thermodynamischen Temperaturskala. Es ter (Abb. 36.1), mit dem man den Druck p misst, ist der vom Gasvolumen V ausgeübt wird. Das Gas(36.1a) T D Ttr A=Atr ; thermometer wird nun mit Systemen in Kontakt wenn Atr der mit einem Gasthermometer am Trigebracht, deren thermischer Zustand konstant ist, pelpunkt des Wassers gemessene Wert der Größe z. B. ein Gemisch aus Eis und Wasser bei festgeA ist. legtem Druck. Nach hinreichend langer Zeit wird Auf der Celsius-Skala, deren Temperatur t das Gasthermometer im thermischen Gleichgeman in °C angibt, wurde der Eispunkt des Waswicht mit dem in Kontakt befindlichen System sers beim Druck von 0,101325 MPa mit t0 D 0 ı C sein. Das Gasvolumen V wird dabei durch Veränund der Siedepunkt beim gleichen Druck mit tl D dern der Höhe z der Quecksilbersäule konstant 100 ı C festgelegt. In absoluten Temperaturen entgehalten. Der durch die Quecksilbersäule und spricht dies recht genau T0 D 273;15 K bzw. die Umgebung ausgeübte Druck p wird gemesTl D 373;15 K. Die Temperatur Ttr D 273;16 K sen und das Produkt pV gebildet. Messungen bei am Tripelpunkt des Wassers liegt um rund 0,01 K verschiedenen hinreichend geringen Drücken erhöher als die Temperatur am Eispunkt. Die Umgeben durch Extrapolation einen Grenzwert rechnung der Temperaturen erfolgt entsprechend der Zahlenwertgleichung lim pV D A : p!0

T D t C 273;15 (36.2) Diesem aus den Messungen ermittelten Wert A ordnet man eine empirische Temperatur zu durch mit t in °C und T in K. Im Angelsächsischen ist noch die Fahrenheitden linearen Ansatz Skala üblich mit der Temperatur am Eispunkt des T D const  A : (36.1) Wassers bei 32 °F und der am Siedepunkt bei 212 °F (Druck jeweils 0,101325 MPa). Zur UmNach Festlegung der Konstanten „const“ braucht rechnung einer in °F angegebenen Temperatur tF man nur jeweils den Wert A aus den Messun- in die Celsius-Temperatur t in °C gilt gen zu ermitteln und kann dann aus Gl. (36.1) 5 t D .tF  32/ : (36.3) 9 Abb. 36.1 Gasthermometer mit Gasvolumen V im Kolben bis zur Quecksilbersäule

Die vom absoluten Nullpunkt in °F gezählte Skala bezeichnet man als Rankine-Skala (°R). Es ist TR D

9 T ; 5

(36.4)

TR in °R, T in K. Der Eispunkt des Wassers liegt bei 491,67 °R.

36 Temperaturen. Gleichgewichte

735

36.3.1 Die Internationale Praktische Temperaturskala

Druck der physikalischen Normalatmosphäre, d. h. per definitionem bei 0,101325 MPa. 4. Zwischen den Fixpunkttemperaturen wird mit Da die genaue Messung von Temperaturen mit Hilfe von Formeln interpoliert, die ebenfalls Hilfe des Gasthermometers schwierig und zeitdurch internationale Vereinbarungen festgeraubend ist, hat man die Internationale Praktilegt sind. Dadurch werden Anzeigen der sog. sche Temperaturskala durch Gesetz eingeführt. Normalgeräte, mit denen die Temperaturen zu Sie wird vom internationalen Komitee für Maß messen sind, Zahlenwerte der Internationalen und Gewicht so festgelegt, dass die TemperaPraktischen Temperatur zugeordnet. tur in ihr möglichst genau die thermodynamische Zur Erleichterung von Temperaturmessungen Temperatur bestimmter Stoffe annähert. Die Inhat man eine Reihe weiterer thermometrischer ternationale Praktische Temperaturskala ist durch Festpunkte von leicht genügend rein herstelldie Schmelz- und Siedepunkte dieser Stoffe festgelegt, die so genau wie möglich mit Hilfe baren Stoffen so genau wie möglich an die des Gasthermometers in den wissenschaftlichen gesetzliche Temperaturskala angeschlossen. Die Staatsinstituten der verschiedenen Länder be- wichtigsten sind im Tab. 36.2 zusammengestimmt wurden. Zwischen diesen Festpunkten stellt. Als Normalgerät wird zwischen dem wird durch Widerstandsthermometer, Thermo- Tripelpunkt von 13,8033 K (= –259,3467 °C) elemente und Strahlungsmessgeräte interpoliert, des Gleichgewichtswasserstoffs und dem Erwobei bestimmte Vorschriften für die Beziehun- starrungspunkt des Silbers bei 1234,93 K gen zwischen den unmittelbar gemessenen Grö- (= 961,78 °C) das Platinwiderstandsthermometer verwendet. Zwischen dem Erstarrungspunkt ßen und der Temperatur gegeben werden. Die wesentlichen, in allen Staaten gleichen des Silbers und dem Erstarrungspunkt des Bestimmungen über die Internationale Tempera- Goldes von 1337,33 K (= 1064,18 °C) benutzt man als Normalgerät ein Platinrhodium (10 % turskala lauten: Rhodium)/Platin-Thermopaar. Oberhalb des Er1. In der Internationalen Temperaturskala von starrungspunkts von Gold wird die Internationale 1948 werden die Temperaturen mit „°C“ oder Praktische Temperatur durch das Plancksche „°C (Int. 1948)“ bezeichnet und durch das Strahlungsgesetz i h Formelzeichen t dargestellt. c2 exp .tAu CT0 /  1 Jt 2. Die Skala beruht einerseits auf einer Anzahl i h D (36.5) JAu 2 fester und stets wieder herstellbarer Gleich 1 exp .t cCT / 0 gewichtstemperaturen (Fixpunkte), denen bestimmte Zahlenwerte zugeordnet werden, an- definiert; Jt und JAu bedeuten die Strahlungsdererseits auf genau festgelegten Formeln, die energien, die ein schwarzer Körper bei der Weldie Beziehungen zwischen der Temperatur lenlänge  je Fläche, Zeit und Wellenlängeninund den Anzeigen von Messinstrumenten, die tervall bei der Temperatur t und beim Goldpunkt bei diesen Fixpunkten kalibriert werden, her- tAu aussendet; c2 ist der als 0,014388 Meterkelvin festgesetzte Wert der Konstante c2 I T0 D stellen. 3. Die Fixpunkte und die ihnen zugeordneten 273;15 K ist der Zahlenwert der Temperatur des Zahlenwerte sind in Tabellen (s. Tab. 36.1) Eisschmelzpunkts;  ist der Zahlenwert einer zusammengestellt. Mit Ausnahme der Tripel- Wellenlänge des sichtbaren Spektralgebiets in m. Praktische Temperaturmessung s. Bd. 2, punkte entsprechen die zugeordneten Temperaturen Gleichgewichtszuständen bei dem Abschn. 31.7 und [1].

36

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P. Stephan und K. Stephan

Tab. 36.1 Fixpunkte der Internationalen Temperaturskala von 1990 (IPTS-90) Gleichgewichtszustand Dampfdruck des Heliums Tripelpunkt des Gleichgewichtswasserstoffs Dampfdruck des Gleichgewichtswasserstoffs Tripelpunkt des Neons Tripelpunkt des Sauerstoffs Tripelpunkt des Argons Tripelpunkt des Quecksilbers Tripelpunkt des Wassers Schmelzpunkt des Galliums Erstarrungspunkt des Indiums Erstarrungspunkt des Zinns Erstarrungspunkt des Zinks Erstarrungspunkt des Aluminiums Erstarrungspunkt des Silbers Erstarrungspunkt des Goldes Erstarrungspunkt des Kupfers

Zugeordnete Werte der Internationalen Praktischen Temperatur T90 [K] t90 [°C] 3 bis 5 270;15 bis 268;15 13;8033 259;3467

17

256;15

20;3

252;85 24;5561 248;5939 54;3584 218;7916 83;8058 189;3442 234;3156 38;8344 273;16 0;01 302;9146 29;7646 429;7485 156;5985 505;078 231;928 692;677 419;527 933;473 660;323 1234,93 961;78 1337,33 1064;18 1357,77 1084;62

Alle Stoffe außer Helium sollen die natürliche Isotopenzusammensetzung haben. Wasserstoff besteht aus Ortho- und Parawasserstoff bei Gleichgewichtszusammensetzung. Tab. 36.2 Einige thermometrische Festpunkte E: Erstarrungspunkt und Sd: Siedepunkt beim Druck 101,325 kPa, Tr: Tripelpunkt Normalwasserstoff Normalwasserstoff Stickstoff Kohlendioxid Brombenzol Wasser (luftgesättigt) Benzoesäure Indium Wismut Cadmium Blei Quecksilber Schwefel Antimon Palladium Platin Rhodium Iridium Wolfram

Tr Sd Sd Tr Tr E Tr Tr E E E Sd Sd E E E E E E

°C 259;198 252;762 195;798 56;559 30;726 0 122;34 156;593 271;346 320;995 327;387 356;619 444;613 630;63 1555 1768 1962 2446 3418

Aus: Pavese, F.; Molinar, G.F.: Modern gas-based temperature and pressure measurements. New York: Plenum Publ. 1992.

Literatur Spezielle Literatur 1. VDE/VDI-Richtlinie 3511, Technische Temperaturmessungen, Juni 2015

37

Erster Hauptsatz Peter Stephan und Karl Stephan

37.1 Allgemeine Formulierung

Jedes System besitzt eine extensive Zustandsgröße Energie. Sie ist in einem abgeschlossenen Der erste Hauptsatz ist ein Erfahrungssatz. Er System konstant. kann nicht bewiesen werden und gilt nur deshalb, weil alle Schlussfolgerungen, die man aus ihm zieht, mit der Erfahrung in Einklang stehen. 37.2 Die verschiedenen Energieformen Er besagt allgemein, dass Energie nicht verloren geht und nicht aus dem Nichts entsteht. Energie ist also eine Erhaltungsgröße. Das bedeutet, dass Um den ersten Hauptsatz mathematisch formuliedie Energie eines Systems E nur durch Austausch ren zu können, muss man zwischen den verschievon Energie mit der Umgebung geändert werden denen Energieformen unterscheiden und diese kann, wobei man vereinbart, dass eine dem Sys- definieren. tem zugeführte Energie positiv, eine abgeführte negativ ist. Der Austausch von Energie mit der Umgebung 37.2.1 Arbeit kann prinzipiell auf drei Arten erfolgen: durch Transport von Wärme Q, von Arbeit W oder In der Thermodynamik übernimmt man den Bevon Masse über die Systemgrenze, wobei die griff der Arbeit aus der Mechanik und definiert: Greift an einem System eine Kraft an, so ist an Massetransport gebundene Energie Em sei. In differentieller Schreibweise lautet die allgemeine die an dem System verrichtete Arbeit gleich dem Produkt aus der Kraft und der Verschiebung des Formulierung des ersten Hauptsatzes somit Angriffspunkts der Kraft. Es ist die längs eines Wegs z zwischen den (37.1) dE D dQ C dW C dEm : Punkten 1 und 2 von der Kraft F verrichtete ArEine grundlegende Formulierung des ersten beit Z2 Hauptsatzes lautet: (37.2) W12 D F  dz : P. Stephan () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K. Stephan Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland E-Mail: [email protected]

1

Unter mechanischer Arbeit Wm12 versteht man die Arbeit der Kräfte, die ein geschlossenes System der Masse m von der Geschwindigkeit w1 auf w2 beschleunigen und es im Schwerefeld gegen die Fallbeschleunigung g von der Höhe z1 auf z2 anheben. Das heißt, die kinetische Energie

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mw 2 =2 und die potentielle Energie des Systems Die stets positive Dissipationsarbeit erhöht die Energie des Systems und bewirkt einen anderen mgz werden verändert. Es gilt Zustandsverlauf p(V) als im reversiblen Fall. Vo 2  raussetzung für die Berechnung des Integrals in w2 w12 Wm12 D m  C mg .z2  z1 / : Gl. (37.6) ist, dass p eine eindeutige Funktion von 2 2 (37.3) V ist. Die Gl. (37.6) gilt also beispielsweise nicht Gl. (37.3) ist bekannt als der Energiesatz der Me- mehr in einem Systembereich, durch den eine chanik. Volumenarbeit ist die Arbeit, die man Schallwelle läuft. verrichten muss, um das Volumen eines Systems Allgemein lässt sich Arbeit als Produkt aus zu ändern. In einem System vom Volumen V, das einer generalisierten Kraft Fk und einer generaden veränderlichen Druck p besitzt, verschiebt lisierten Verschiebung dXk herleiten. Hinzuzufüsich dabei ein Element dA der Oberfläche um die gen ist bei wirklichen Prozessen die dissipierte Strecke dz. Die verrichtete Arbeit ist Arbeit X Z dW D Fk dXk C dWdiss : (37.7) (37.4) dWv D p dA  dz D pdV ; A

und es ist

Z2 Wv 12 D 

pdV :

(37.5)

1

Das Minuszeichen kommt dadurch zustande, dass eine zugeführte Arbeit vereinbarungsgemäß positiv ist und zu einer Volumenverkleinerung führt. Gl. (37.5) gilt nur, wenn der Druck p im Inneren des Systems in jedem Augenblick der Zustandsänderung eine eindeutige Funktion des Volumens und gleich dem von der Umgebung ausgeübten Druck ist. Ein kleiner Über- oder Unterdruck der Umgebung bewirkt dann entweder eine Volumenabnahme oder -zunahme des Systems. Man bezeichnet solche Zustandsänderungen, bei denen ein beliebig kleines „Übergewicht“ genügt, um sie in der einen oder anderen Richtung ablaufen zu lassen, als reversibel. Gl. (37.5) ist daher die Volumenarbeit bei reversibler Zustandsänderung. In wirklichen Prozessen bedarf es zur Überwindung der Reibung im Inneren des Systems eines endlichen Überdrucks der Umgebung. Solche Zustandsänderungen sind irreversibel. Die zugeführte Arbeit ist um den dissipierten Anteil .Wdiss /12 größer. Die Volumenarbeit bei irreversibler Zustandsänderung ist Z2 Wv 12 D 

pdV C .Wdiss /12 : 1

Man erkennt: In irreversiblen Prozessen, Wdiss > 0, ist mehr Arbeit aufzuwenden, oder es wird weniger Arbeit gewonnen als in reversiblen, Wdiss D 0. In Tab. 37.1 sind verschiedene Formen der Arbeit aufgeführt. Unter technischer Arbeit versteht man die von einer Maschine – Verdichter, Turbine, Strahltriebwerk u. a. – an einem Stoffstrom verrichtete Arbeit. Erfährt eine Masse m längs eines Wegs dz durch eine Maschine eine Druckerhöhung dp, so ist die technische Arbeit dWt D mdp C dWdiss : Werden außerdem kinetische und potentielle Energie des Stoffstroms geändert, so wird noch eine mechanische Arbeit verrichtet. Die längs des Wegs 1–2 verrichtete technische Arbeit ist Z2 Wt12 D

V dp C .Wdiss /12 C Wm12 ;

(37.8)

1

mit Wm12 nach Gl. (37.3).

37.2.2

Innere Energie und Systemenergie

Außer der kinetischen und potentiellen Energie (37.6) besitzt jedes System noch in seinem Inneren gespeicherte Energie in Form von Translations-,

37

Erster Hauptsatz

739

Tab. 37.1 Verschiedene Formen der Arbeit. Einheiten im Internationalen Einheitensystem sind in Klammern angegeben Art der Arbeit lineare elastische Verschiebung Drehung eines starren Körpers Volumenarbeit Oberflächenvergrößerung elektrische Arbeit

magnetische Arbeit, im Vakuum Magnetisierung elektrische Polarisation

Generalisierte Kraft Kraft F ŒN Drehmoment Md ŒNm Druck p ŒN=m2  Oberflächenspannung  0 ŒN=m Spannung Ue ŒV

Generalisierte Verschiebung Verschiebung dz Œm Drehwinkel d˛ Œ– Volumen dV Œm3  Fläche A Œm2  Ladung Qe ŒC

Verrichtete Arbeit dW D F dz D  d"V ŒNm

magnetische Feldstärke H0 ŒA=m magnetische Feldstärke H ŒA=m elektrische Feldstärke E ŒV=m

magnetische Induktion dB0 D 0 H0 ŒVs=m2  magnetische Induktion dW v D H  dB ŒWs=m3  dB D d.0 H CM /ŒVs=m2  dielektrische Verschiebung dW v D E  dD ŒWs=m3  dD D d."0 E C P / ŒAs=m2 

dW D Md d˛ ŒNm dWv D pdV ŒNm

37

dW D  0 dA ŒNm dW D Ue dQe ŒWs in einem linearen Leiter vom Widerstand R dW D Ue I dt D RI 2 dt   D U 2 =R dt ŒWs v dW D 0 H 0  dH 0 ŒWs=m3 

Rotations- und Schwingungsenergie der Elemen- überführt wird. Vereinbarungsgemäß ist eine zutarteilchen. Man nennt diese die innere Energie U geführte Wärme positiv, eine abgeführte negativ. des Systems. Sie ist eine extensive Zustandsgröße. Die gesamte Systemenergie E eines Systems der Masse m besteht aus innerer Energie, kinetischer Energie Ekin und potentieller Energie Epot 37.3 Anwendung auf geschlossene

Systeme

E D U C Ekin C Epot :

(37.9)

37.2.3 Wärme Die innere Energie eines Systems kann man ändern, indem man an ihm Arbeit verrichtet oder Materie zu- oder abführt. Man kann sie aber auch ändern, indem man das System mit seiner Umgebung, die eine andere Temperatur aufweist, in Kontakt bringt. Als Folge wird Energie über die Systemgrenze transportiert, um dem thermischen Gleichgewicht zwischen System und Umgebung zuzustreben. Diese Energie nennt man Wärme. Wärme lässt sich demnach allgemein als diejenige Energie definieren, die ein System mit seiner Umgebung austauscht und die nicht als Arbeit oder mit Materie die Systemgrenze überschreitet. Man schreibt hierfür Q12 , wenn das System durch Wärme vom Zustand 1 in den Zustand 2

Für ein geschlossenes System folgt aus der allgemeinen Formulierung des ersten Hauptsatzes nach Gl. (37.1) dE D dQ C dW : Die einem geschlossenen System während einer Zustandsänderung von 1 nach 2 zugeführte Wärme Q12 und Arbeit W12 bewirken eine Änderung der Energie E des Systems um E2  E1 D Q12 C W12 :

(37.10)

W12 umfasst alle am System verrichteten Arbeiten. Wird keine mechanische Arbeit verrichtet, so wird nur die innere Energie geändert, nach Gl. (37.9) ist dann E D U . Setzt man weiter voraus, dass am System nur Volumenarbeit ver-

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P. Stephan und K. Stephan

richtet wird, so lautet Gl. (37.10) Z2 U2  U1 D Q12 

pdV C .Wdiss /12 : (37.11) 1

37.4 Anwendung auf offene Systeme 37.4.1 Stationäre Prozesse In der Technik wird meistens von einem stetig durch eine Maschine fließenden Stoffstrom Arbeit verrichtet. Ist die zeitlich verrichtete Arbeit konstant, so bezeichnet man den Prozess als stationären Fließprozess. Ein typisches Beispiel zeigt Abb. 37.1: Ein Stoffstrom eines Fluids (Gas oder Flüssigkeit) vom Druck p1 und der Temperatur T 1 ströme mit der Geschwindigkeit w1 in das System  ein. In einer Maschine wird Arbeit verrichtet, die als technische Arbeit Wt12 an der Welle zugeführt wird. Das Fluid durchströmt einen Wärmeübertrager, in dem mit der Umgebung eine Wärme Q12 ausgetauscht wird, und verlässt dann das System  bei einem Druck p2 , der Temperatur T 2 und der Geschwindigkeit w2 . Verfolgt man den Weg einer konstanten Masse m durch das System  , so würde ein mitbewegter Beobachter die Masse m als geschlossenes System ansehen. Dies entspricht der Lagrangeschen Betrachtungsweise in der Strömungslehre. Entsprechend gilt hierfür der erste Hauptsatz, Gl. (37.10) für geschlossene Systeme. Die an m verrichtete Arbeit setzt sich zusammen aus m p1 1 , um m aus der Umgebung über die Systemgrenze zu schieben, aus der technischen Arbeit Wt12 und der Arbeit – m p2 2 , um m über die System-

grenze wieder in die Umgebung zu bringen. Es ist somit die am geschlossenen System verrichtete Arbeit W12 D Wt12 C m.p1 1  p2 2 / :

(37.12)

Den Term m.p1 1 p2 2 / nennt man Verschiebearbeit. Um sie unterscheidet sich die technische Arbeit Wt12 von der Arbeit am geschlossenen System. Der erste Hauptsatz für das geschlossene System, Gl. (37.10) lautet damit E2  E1 D Q12 C Wt12 C m.p1 1  p2 2 / (37.13) mit E nach Gl. (37.9). Man definiert die Zustandsgröße Enthalpie H durch H D U C pV

bzw. h D u C p

(37.14)

und kann damit Gl. (37.13) schreiben   w12 C gz1 0 D Q12 C Wt12 C m h1 C 2   w22  m h2 C C gz2 : 2 (37.15) In dieser Form verwendet man den ersten Hauptsatz für stationäre Fließprozesse offener Systeme. Man erkennt aus Gl. (37.15), dass die Summe der über die Systemgrenze  (Abb. 37.1) transportierten Energien gleich null ist, da es sich um einen stationären Prozess handelt. Diese Energien sind die Wärme Q12 , die technische Arbeit W12 sowie die mit dem Massenelement m zugeführte Energie   w2 m h1 C 1 C gz1 2 und die mit ihm abgeführte Energie   w22 m h2 C C gz2 : 2

Abb. 37.1 Arbeit am offenen System

In differenzieller Form kann man Gl. (37.15) wie folgt schreiben   w2 0 D dQ C dWt C dm h1 C 1 C gz1 2   w2  dm h2 C 2 C gz2 : 2

37

Erster Hauptsatz

Diese Form folgt aus der allgemeinen Formulierung des ersten Hautpsatzes Gl. (37.1) mit dE D 0 und den Definitionen für technische Arbeit (Gl. (37.12)) und Enthalpie (Gl. (37.14)):

741

vor und nach der Drosselstelle. Bei der Drosselung bleibt die Enthalpie konstant. Man beachte, dass die Änderung der kinetischen und der potentiellen Energie vernachlässigt wurde.

O D dQ C dW C dEm : Betrachtet man einen kontinuierlich ablaufenden 37.4.2 Instationäre Prozesse Prozess, so wählt man anstatt Gl. (37.15) besser Ist im System nach Abb. 37.1 die während eifolgende Form der Bilanzgleichung ner bestimmten Zeit zugeführte Materie m1 von   2 der während der gleichen Zeit abgeführten Matew 0 D QP C P C m P h1 C 1 C gz1 rie m 2 verschieden, so wird Materie im Inneren 2   des Systems gespeichert, was zu einer zeitlichen w2 m P h2 C 2 C gz2 ; Änderung von dessen innerer Energie und u. U. 2 auch der kinetischen und potentiellen Energie führt. Die Energie des Systems ändert sich wähwobei QP D dQ=d der Wärmestrom, P D rend einer Zustandsänderung 1–2 um E2  E1 , P der MasdWt =d die technische Leistung und m sodass an Stelle von Gl. (37.15) folgende Form senstrom sind. Häufig sind Änderungen von kinedes ersten Hauptsatzes tritt tischer und potentieller Energie vernachlässigbar. Dann vereinfacht sich Gl. (37.15) zu E2  E1 D Q12 C Wt12   w12 (37.16) 0 D Q12 C Wt12 C H1  H2 : C m1 h1 C C gz1 2   w22 Sonderfälle hiervon sind:  m2 h2 C C gz2 : 2 (37.19) a) Adiabate Zustandsänderungen, wie sie in VerSind die Fluidzustände 1 beim Einströmen und dichtern, Turbinen und Triebwerken nähe2 beim Ausströmen zeitlich veränderlich, so rungsweise auftreten geht man zweckmäßigerweise zur differentiellen Schreibweise über: (37.17) 0 D Wt12 C H1  H2 :   w12 C gz1 dE D dQ C dWt C dm1 h1 C b) Die Drosselung einer Strömung in einer adia2   baten Rohrleitung durch eingebaute Hinderw22 nisse, Abb. 37.2. Diese bewirken eine Druck dm2 h2 C C gz2 ; 2 absenkung. Es ist (37.20) die der allgemeinen Formulierung des ersten (37.18) Hauptsatzes nach Gl. (37.1) H1 D H2 dE D dQ C dW C dEm

Abb. 37.2 Adiabate Drosselung

entspricht. Um das Füllen oder Entleeren von Behältern zu untersuchen, kann man meistens die Änderungen von kinetischer und potentieller Energie vernachlässigen, außerdem wird oft keine technische Arbeit verrichtet, sodass sich Gl. (37.20)

37

742

P. Stephan und K. Stephan

ist dm2 D 0, wird nur Materie abgeführt, so ist dm1 D 0. (37.21) Untersucht man einen kontinuierlich ablaudU D dQ C h1 dm1  h2 dm2 fenden Prozess, so wählt man anstatt Gl. (37.19) mit der (zeitlich veränderlichen) inneren Ener- besser folgende Form der Bilanzgleichung gie U D um des im Behälter eingeschlosse  w2 nen Stoffs. Vereinbarungsgemäß ist hierin dm1 dE=d D QP C P C m P 1 h1 C 1 C gz1 die dem System zugeführte, dm2 die abgeführ2   2 te Stoffmenge; wird nur Materie zugeführt, so m P 2 h2 C w 2 C gz2 : (37.22) verkürzt zu

2

Zweiter Hauptsatz

38

Peter Stephan und Karl Stephan

38.1 Das Prinzip der Irreversibilität

man eine Kraft, z. B. durch einen Überdruck der Umgebung, auf die Systemgrenze ausübt. Wird diese Kraft sehr langsam erhöht, so wird das Volumen des Gases ab- und seine Temperatur zunehmen, wobei sich das Gas zu jeder Zeit in einem Gleichgewichtszustand befindet. Reduziert man die Kraft langsam wieder auf null, so gelangt das Gas wieder in seinen Ausgangszustand. Dieser Vorgang ist also reversibel oder umkehrbar. Reversible Prozesse sind idealisierte Grenzfälle der wirklichen Prozesse und kommen in der Natur nicht vor. Alle natürlichen Prozesse sind irreversibel, weil es einer endlichen „Kraft“ bedarf, um einen Prozess auszulösen, beispielsweise einer endlichen Kraft, um einen Körper bei Reibung zu verschieben oder einer endlichen Temperaturdifferenz, um ihm Wärme zuzuführen. Sie laufen, bedingt durch die endliche Kraft, in einer bestimmten Richtung ab. Diese Erfahrungstatsache führt zu folgenden Formulierungen des zweiten Hauptsatzes:

Bringt man zwei Systeme A und B miteinander in Kontakt, so laufen Austauschvorgänge ab, und es stellt sich nach hinreichend langer Zeit ein neuer Gleichgewichtszustand ein. Als Beispiel sei ein System A mit einem System B verschiedener Temperatur in Kontakt gebracht. Im Endzustand besitzen die Systeme gleiche Temperatur. Es hat sich thermisches Gleichgewicht eingestellt. Bis zum Erreichen des Gleichgewichts werden in kontinuierlicher Folge Nichtgleichgewichtszustände durchlaufen. Unsere Erfahrung lehrt uns, dass dieser Prozess nicht von selbst, d. h. ohne Austausch mit der Umgebung, in umgekehrter Richtung abläuft. Solche Prozesse nennt man irreversibel oder nicht umkehrbar. Austauschprozesse, bei denen Nichtgleichgewichtszustände durchlaufen werden, sind grundsätzlich irreversibel. Ein Prozess aus einer kontinuierlichen Folge von Gleichgewichtszuständen  Alle natürlichen Prozesse sind irreversibel. ist hingegen reversibel oder umkehrbar. Beispielhaft sei die reibungsfreie adiabate  Alle Prozesse mit Reibung sind irreversibel. Kompression eines Gases genannt. Dem System  Wärme kann nie von selbst von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur Gas kann man Volumenarbeit zuführen, indem übergehen. P. Stephan () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K. Stephan Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland E-Mail: [email protected]

„Von selbst“ bedeutet hierbei, dass man den genannten Vorgang nicht ausführen kann, ohne dass Änderungen in der Natur zurückbleiben. Neben den oben genannten gibt es noch viele für andere spezielle Prozesse gültige Formulierungen.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_38

743

744

P. Stephan und K. Stephan

38.2 Allgemeine Formulierung Die mathematische Formulierung des zweiten Hauptsatzes gelingt mit dem Begriff der Entropie als weiterer Zustandsgröße eines Systems. Dass es zweckmäßig ist, eine solche Zustandsgröße einzuführen, kann man sich am Beispiel der Wärmeübertragung zwischen einem System und seiner Umgebung verständlich machen. Nach dem ersten Hauptsatz kann ein System mit seiner Umgebung Arbeit und Wärme austauschen. Die Zufuhr von Arbeit bewirkt eine Änderung der inneren Energie dadurch, dass beispielsweise das Volumen des Systems auf Kosten des Volumens der Umgebung geändert wird. Somit ist U D U .V; : : :/. Das Volumen ist eine Austauschvariable: Es ist eine extensive Zustandsgröße, die zwischen System und Umgebung „ausgetauscht“ wird. Auch die Wärmezufuhr zwischen einem System und seiner Umgebung kann man sich so vorstellen, dass eine extensive Zustandsgröße zwischen System und Umgebung ausgetauscht wird. Damit wird lediglich die Existenz einer solchen Zustandsgröße postuliert, deren Einführung allein dadurch gerechtfertigt ist, dass alle Aussagen, die man mit dieser Größe gewinnt, mit der Erfahrung in Einklang stehen. Man nennt die neue extensive Zustandsgröße Entropie und bezeichnet sie mit S. Somit ist U D U .V; S; : : :/. Wenn nur Volumenarbeit verrichtet und Wärme zugeführt wird, ist U D U .V; S/. Durch Differenziation folgt hieraus die Gibbssche Fundamentalgleichung dU D T dS  pdV mit der thermodynamischen Temperatur T D .@U=@S/V

Man kann zeigen, dass die thermodynamische Temperatur identisch ist mit der mit dem Gasthermometer (s. Abschn. 36.3) gemessenen Temperatur. Das Studium der Eigenschaften der Entropie ergibt, dass in einem abgeschlossenen System, das sich zunächst im inneren Ungleichgewicht befindet (beispielsweise durch eine inhomogene Temperaturverteilung) und dann dem Gleichgewichtszustand zustrebt, die Entropie stets zunimmt. Im Grenzfall des Gleichgewichts wird ein Maximum der Entropie erreicht. Die Entropiezunahme im Innern bezeichnen wir als dSi . Für den betrachteten Fall des abgeschlossenen Systems gilt dann dS D dSi ; mit dSi > 0. In einem nicht abgeschlossenen System ändert sich die Systementropie auch durch Wärmeaustausch mit der Umgebung um dSQ und mit Materieaustausch mit der Umgebung um dSm . Die Systementropie ändert sich jedoch nicht durch den Austausch von Arbeit mit der Umgebung. Es gilt also allgemein dS D dSQ C dSm C dSi :

(38.5)

Betrachtet man die zeitliche Änderung der Systementropie SP D dS=d SP D SPQ C SPm C SPi ;

(38.1)

wobei SPi die zeitliche Entropieerzeugung durch irreversible Vorgänge im Innern ist. SPQ C SPm bezeichnet man als Entropieströmung. Man fasst (38.2) diese über die Systemgrenze ausgetauschten Größen auch zusammen zu

und dem Druck p D  .@U=@V /S :

(38.3)

SPa D SPQ C SPm :

(38.7)

Eine der Gl. (38.1) äquivalente Beziehung ergibt Die zeitliche Änderung der Systemtropie S setzt P sich, wenn man U eliminiert und durch die En- sich also aus Entropieströmung Sa und EntropieP erzeugung Si zusammen, thalpie H D U C pV ersetzt dH D T dS C V dp :

(38.4)

SP D SPa C SPi :

(38.8)

38 Zweiter Hauptsatz

Für die Entropieerzeugung gilt: SPi D 0 für reversible Prozesse ; SPi > 0 für irreversible Prozesse ; SPi < 0 nicht möglich :

38.3 Spezielle Formulierungen

745

Man nennt 12 die während einer Zustandsänderung 1–2 dissipierte Energie. Es gilt: Die dissipierte Energie ist stets positiv. Diese Aussage gilt nicht nur für adiabate Systeme, sondern ganz allgemein, da die En(38.9) tropieerzeugung definitionsgemäß der Anteil der Entropieänderung ist, der auftritt, wenn das System adiabat und geschlossen ist, also SPa D 0 gilt.

38.3.1 Adiabate, geschlossene Systeme 38.3.2 Systeme mit Wärmezufuhr Für adiabate Systeme ist SPQ D 0, für geschlossene Systeme ist SPm D 0, und daher folgt SP D SPi . Es gilt also: In adiabaten, geschlossenen Systemen kann die Entropie niemals abnehmen, sie kann nur zunehmen bei irreversiblen oder konstant bleiben bei reversiblen Prozessen. Setzt sich ein adiabates, geschlossenes System aus ˛ Untersystemen zusammen, so gilt für die Summe der Entropieänderungen S .˛/ der Untersysteme X S .˛/  0 : (38.10)

Für geschlossene Systeme mit Wärmezufuhr kann man Gl. (38.1) schreiben dU D T dSQ C T dSi  pdV D T dSQ C dWdiss  pdV :

(38.12)

Ein Vergleich mit dem ersten Hauptsatz, Gl. (37.11), ergibt dQ D T dSQ :

(38.13)

Wärme ist demnach Energie, die mit Entropie über die Systemgrenze strömt, während Arbeit In einem adiabaten, geschlossenen System ist ohne Entropieaustausch übertragen wird. nach Gl. (38.1) mit dS D dSi Addiert man in Gl. (38.13) auf der rechten Seite den stets positiven Term T dSi , so folgt die dU D T dSi  pdV : Clausiussche Ungleichung ˛

Andererseits folgt aus dem ersten Hauptsatz nach Gl. (37.11) dU D dWdiss  pdV und daher dWdiss D T dSi D d oder .Wdiss /12 D T .Si /12 D 12 :

Z2 dQ T dS

oder S 

dQ : T

(38.14)

1

In irreversiblen Prozessen ist die Entropieänderung größer als das Integral über alle dQ=T , nur bei reversiblen gilt das Gleichheitszeichen. (38.11) Für offene Systeme mit Wärmezufuhr hat man in Gl. (38.12) dSQ durch dSa D dSQ C dSm zu ersetzen.

38

39

Exergie und Anergie Peter Stephan und Karl Stephan

Nach dem ersten Hauptsatz bleibt die Energie in einem abgeschlossenen System konstant. Da man jedes nicht abgeschlossene System durch Hinzunahme der Umgebung in ein abgeschlossenes verwandeln kann, ist es stets möglich, ein System zu bilden, in dem während eines thermodynamischen Prozesses die Energie konstant bleibt. Ein Energieverlust ist daher nicht möglich. In einem thermodynamischen Prozess wird lediglich Energie umgewandelt. Wie viel von der in einem System gespeicherten Energie umgewandelt wird, hängt vom Zustand der Umgebung ab. Befindet sich diese im Gleichgewicht mit dem System, so wird keine Energie umgewandelt; je stärker die Abweichung vom Gleichgewicht ist, desto mehr Energie des Systems kann umgewandelt werden. Viele thermodynamische Prozesse laufen in der irdischen Atmosphäre ab, die somit die Umgebung der meisten thermodynamischen Systeme darstellt. Die irdische Atmosphäre kann man im Vergleich zu den sehr viel kleineren thermodynamischen Systemen als ein unendlich großes System ansehen, dessen intensive Zustandsgrößen Druck, Temperatur und Zusammensetzung sich während eines Prozesses nicht ändern, wenn P. Stephan () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K. Stephan Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland E-Mail: [email protected]

man die täglich und jahreszeitlich bedingten Schwankungen der intensiven Zustandsgrößen außer Acht lässt. In vielen technischen Prozessen wird Arbeit gewonnen, indem man ein System von gegebenem Anfangszustand mit der Umgebung ins Gleichgewicht bringt. Das Maximum an Arbeit wird dann gewonnen, wenn alle Zustandsänderungen reversibel sind. Man bezeichnet die bei Einstellung des Gleichgewichts mit der Umgebung maximal gewinnbare Arbeit als Exergie Wex .

39.1 Exergie eines geschlossenen Systems Um die Exergie eines geschlossenen Systems, das sich im Zustand 1 befindet, zu berechnen, betrachtet man einen Prozess, bei dem das System reversibel mit seiner Umgebung ins thermische und mechanische Gleichgewicht gebracht wird. Gleichgewicht liegt vor, wenn die Temperatur des Systems im Endzustand 2 gleich der Temperatur der Umgebung, T2 D Tu , und der Druck des Systems im Zustand 2 gleich dem Druck der Umgebung, p2 D pu , sind. Unter Vernachlässigung der kinetischen und potentiellen Energie des Systems gilt nach dem ersten Hauptsatz, Gl. (37.10), U2  U1 D Q12 C W12 :

(39.1)

Damit der Prozess reversibel verläuft, muss das System zunächst reversibel adiabat auf Umge-

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_39

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748

P. Stephan und K. Stephan

bungstemperatur gebracht und dann Wärme re- 39.2 Exergie eines offenen Systems versibel bei der konstanten Temperatur Tu übertragen werden. Für den Wärmetransport folgt aus Die maximale technische Arbeit oder die Exergie dem zweiten Hauptsatz, Gl. (38.13), eines Stoffstroms erhält man dadurch, dass der Stoffstrom auf reversiblem Weg durch Verrichten (39.2) von Arbeit und durch Wärmezu- oder -abfuhr mit Q12 D Tu .S2  S1 / : der Umgebung ins Gleichgewicht gebracht wird. Aus dem ersten Hauptsatz für stationäre Prozesse Die Arbeit W12 , die am System verrichtet wird, offener Systeme, unter Vernachlässigung der Änsetzt sich zusammen aus der maximalen Arbeit, derung von kinetischer und potentieller Energie, die man nutzbar machen kann und der VoluGl. (37.16), folgt dann menarbeit pu .V2  V1 /, die zur Überwindung des Druckes der Umgebung aufgewendet werden  Wex D H1  Hu  Tu .S1  Su / : (39.6) muss. Die maximal nutzbare Arbeit ist die ExerVon der Enthalpie H 1 wird somit nur der um gie Wex . Es folgt Hu C Tu .S1  Su / verminderte Anteil in technische Arbeit umgewandelt. Wird einem Stoff(39.3) W12 D Wex  pu .V2  V1 / : strom Wärme aus der Umgebung zugeführt, so ist Tu .S1  Su / negativ und die Exergie um den Setzt man Gl. (39.3) und (39.2) in Gl. (39.1) ein, Anteil dieser zugeführten Wärme größer als die so ergibt sich Änderung der Enthalpie. U2  U1 D Tu .S2  S1 / C Wex  pu .V2  V1 / : (39.4) Im Zustand 2 ist das System im Gleichgewicht mit der Umgebung, gekennzeichnet durch den Index u. Die Exergie des geschlossenen Systems ist somit

39.3 Exergie einer Wärme

Einer Maschine soll Wärme Q12 aus einem Energiespeicher der Temperatur T zugeführt und in Arbeit W12 verwandelt werden, Abb. 39.1. Die nicht in Arbeit umwandelbare Wärme .Qu /12 wird an die Umgebung abgeführt. Das Maximum Wex D U1  Uu  Tu .S1  Su / an Arbeit gewinnt man, wenn alle ZustandsändeC pu .V1  Vu / : (39.5) rungen reversibel ablaufen. Dieses Maximum an Arbeit ist gleich der Exergie der Wärme. Alle ZuHat das System starre Wände, so ist V1 D Vu und standsänderungen sind reversibel, wenn der letzte Term entfällt. Z2 Z2 Ist das System bereits im Ausgangszustand im dQ dQu D0 C Gleichgewicht mit der Umgebung, Zustand 1 D T Tu Zustand u, so kann nach Gl. (39.5) keine Arbeit 1 1 gewonnen werden. Es gilt also: mit dQ C dQu C dWex D 0 nach dem ersten Die innere Energie der Umgebung kann nicht Hauptsatz. Daraus ergibt sich die Exergie der den in Exergie umgewandelt werden. Maschinen und Apparaten zugeführten Wärmen Die gewaltigen in der uns umgebenden At Z2  mosphäre gespeicherten Energien können somit Tu nicht zum Antrieb von Fahrzeugen genützt werdQ (39.7)  Wex D 1 T den. 1

39 Exergie und Anergie

749

 eine Wärme nach Gl. (39.8) mit dE D dQ Z2 BD

Tu dQ : T

(39.12)

1

39.5 Exergieverluste Abb. 39.1 Zur Umwandlung von Wärme in Arbeit

oder in differenzieller Schreibweise   Tu  dWex D 1  dQ : T

(39.8)

Die in einem Prozess dissipierte Energie ist nicht vollständig verloren. Sie erhöht die Entropie und damit wegen U(S,V) auch die innere Energie eines Systems. Die dissipierte Energie kann man sich auch in einem reversiblen Ersatzprozess als Wärme vorstellen, die von außen zugeführt wird (d D dQ) und die gleiche Entropieerhöhung bewirkt wie in dem irreversiblen Prozess. Da man die zugeführte Wärme dQ, Gl. (39.8), zum Teil in Arbeit umwandeln kann, ist auch der Anteil   Tu d (39.13)  dWex D 1  T

In einem reversiblen Prozess ist nur der mit dem sog. Carnot-Faktor 1.Tu =T / multiplizierte Anteil der zugeführten Wärme dQ in Arbeit umwandelbar. Der Anteil dQu D Tu .dQ=T / wird wieder an die Umgebung abgegeben und kann nicht als Arbeit gewonnen werden. Man erkennt außerdem: Wärme, die bei Um- der dissipierten Energie d als Arbeit (Exergie) gebungstemperatur zur Verfügung steht, kann gewinnbar. Der restliche Anteil T d=T der zuu nicht in Exergie umgewandelt werden. geführten Dissipationsenergie muss als Wärme an die Umgebung abgeführt werden und ist nicht in Arbeit umwandelbar. Man bezeichnet ihn als 39.4 Anergie Exergieverlust: Dieser ist gleich der Anergie der Dissipationsenergie und nach Gl. (39.12) gegeAls Anergie B bezeichnet man diejenige Energie, ben durch die sich nicht in Exergie Wex umwandeln lässt. Z2 Z2 Jede Energie setzt sich aus Exergie Wex und Tu d D Tu dSi : (39.14) .WVerlust /12 D Anergie B zusammen, d. h. T 1

E D Wex C B :

1

(39.9) Für einen geschlossenen, adiabaten Prozess ist wegen dSi D dS

Somit gilt für  ein geschlossenes System nach Gl. (39.5) mit E D U1

Z2 .WVerlust /12 D

Tu dS D Tu .S2  S1 / : (39.15) 1

Für die Exergie gilt im Gegensatz zur Energie B D Uu CTu .S1 Su /pu .V1 Vu /; (39.10) kein Erhaltungssatz. Die einem System zugeführten Exergien sind gleich den abgeführten und  ein offenes System nach Gl. (39.6) mit E D den Exergieverlusten. Verluste durch Nichtumkehrbarkeiten wirken sich thermodynamisch um H1 so ungünstiger aus je tiefer die Temperatur T ist, B D Hu C Tu .S1  Su / ; (39.11) bei der ein Prozess abläuft, vgl. Gl. (39.14).

39

40

Stoffthermodynamik Peter Stephan und Karl Stephan

40.1.1

Ideale Gase

Um mit den allgemeinen für beliebige Stoffe gültigen Hauptsätzen der Thermodynamik umgehen und um Exergien und Anergien berechnen zu können, muss man Zahlenwerte für die Zustandsgrößen U, H, S, p, V, T ermitteln. Hiervon bezeichnet man die Größen U, H, S als kalorische und p, V, T als thermische Zustandsgrößen. Die Zusammenhänge zwischen ihnen sind stoffspezifisch. Gleichungen, die Zusammenhänge zwischen Zustandsgrößen angeben, bezeichnet man als Zustandsgleichungen.

mit: p absoluter Druck, V Volumen,  spezifisches Volumen, R individuelle Gaskonstante, T thermodynamische Temperatur. Gase verhalten sich nur dann näherungsweise ideal, wenn ihr Druck hinreichend klein ist, p ! 0.

40.1

40.1.2

Thermische Zustandsgrößen von Gasen und Dämpfen

Von besonders einfacher Art ist die thermische Zustandsgleichung idealer Gase pV D mRT

oder p D RT ;

(40.2)

Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro

Eine thermische Zustandsgleichung reiner Stoffe Als Einheit der Stoffmenge definiert man das Mol ist von der Form mit dem Einheitensymbol mol. Die Zahl der Teilchen (Moleküle, Atome, EleF .p; ; T / D 0 (40.1) mentarteilchen) eines Stoffs nennt man dann 1 Mol, wenn dieser Stoff aus ebenso vielen unoder p D p.; T /;  D .p; T / und T D ter sich gleichen Teilchen besteht wie in genau T .p; /. Für technische Berechnungen bevor- 12 g reinen atomaren Kohlenstoffs des Nuklids zugt man Zustandsgleichungen der Form  D 12 C enthalten sind. .p; T /, da Druck und Temperatur meistens als Man bezeichnet die in einem Mol enthalteunabhängige Variablen vorgegeben sind. ne Anzahl von unter sich gleichen Teilchen als Avogadro-Konstante (in der deutschsprachigen Literatur oftmals als Loschmidt-Zahl). Sie ist eine P. Stephan () Technische Universität Darmstadt universelle Naturkonstante und hat den ZahlenDarmstadt, Deutschland wert E-Mail: [email protected] K. Stephan Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland E-Mail: [email protected]

NA D .6;02214078 ˙ 3;0  108 / 1026 =kmol : Die Masse eines Mols, also von NA unter sich gleichen Teilchen, ist eine stoffspezifische Größe

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_40

751

752

P. Stephan und K. Stephan

und wird Molmasse genannt (Werte s. Tab. 40.1): als Grenzgesetz bei unendlich kleinen Drücken. Die Abweichung des Verhaltens des gasförmigen M D m=n (40.3) Wassers von der Zustandsgleichung der idealen Gase zeigt Abb. 40.1 , in dem p/RT über t für (SI-Einheit kg=kmol, m Masse in kg, n Molmen- verschiedene Drücke dargestellt ist. Der Realgasge in kmol). Nach Avogadro (1831) gilt: Ideale faktor Z D p=RT ist für ideale Gase gleich Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher eins, weicht aber für reale Gase hiervon ab. Bei Temperatur in gleichen Räumen gleich viel Mo- Luft zwischen 0 und 200 °C und für Wasserstoff leküle. von –15 bis 200 °C erreichen die Abweichungen Daraus folgt nach Einführen der Molmasse in Z bei Drücken von 20 bar etwa 1 % vom Wert in die thermische Zustandsgleichung des idealen eins. Bei atmosphärischen Drücken sind bei fast Gases, Gl. (40.2), dass pV =nT D MR eine für allen Gasen die Abweichungen vom Gesetz des alle Gase feste Größe ist idealen Gases zu vernachlässigen. Zur Beschreibung des Zustandsverhaltens realer Gase haben MR D R : (40.4) sich verschiedene Arten von ZustandsgleichunMan nennt R die universelle Gaskonstante. Sie gen bewährt. Eine davon besteht darin, dass man den Realgasfaktor Z in Form einer Reihe darstellt ist eine Naturkonstante. Es ist und additiv an den Wert 1 für das ideale Gas Kor5 rekturglieder anfügt R D 8;314472 ˙ 1;5  10 kJ=.kmol K/ : Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases lautet mit ihr pV D nRT :

(40.5)

Beispiel

In einer Stahlflasche von V1 D 200 l Inhalt befindet sich Wasserstoff von p1 D 120 bar und t1 D 10 ı C. Welchen Raum nimmt der Wasserstoff bei p2 D 1 bar und t2 D 0 ı C ein, wenn man die geringen Abweichungen des Wasserstoffs vom Verhalten des idealen Gases vernachlässigt? Nach Gl. (40.5) ist p1 V1 D nRT1 ; p2 V2 D nRT2 und somit V2 D

D.T / B.T / C.T / p C : D1C C RT  2 3 (40.6) Man nennt B den zweiten, C den dritten und D den vierten Virialkoeffizienten. Eine Zusammenstellung von zweiten Virialkoeffizienten vieler Gase findet man in Tabellenwerken [1, 2]. Die Virialgleichung mit zwei oder drei Virialkoeffizienten ist nur im Bereich mäßiger Drücke gültig. Zur Beschreibung des Zustandsverhaltens dichter Gase stellt die Zustandsgleichung von Benedict-Webb-Rubin [3] einen ausgewogenen Kompromiss zwischen rechnerischem Aufwand ZD

p1 T2 120 bar  273;15 K V1 D 0;2 m3 p2 T1 1 bar  283;15 K D 23;15 m3 : J

40.1.3 Reale Gase Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases gilt für wirkliche Gase und Dämpfe nur Abb. 40.1 Realgasfaktor von Wasserdampf

40 Stoffthermodynamik

753

und erzielbarer Genauigkeit dar. Sie lautet a˛ C.T / B.T / C 5 C 2     RT  c 1 C exp  2 ; C 3  RT 2 2  (40.7)

Z D1C

mit B.T / D B0 

A0 C0  RT RT 3

und C.T / D b 

a : RT

Die Gleichung enthält die acht Konstanten A0 , B0 , C0 , a, b, c, ˛, , die für viele Stoffe vertafelt sind [3]. Hochgenaue Zustandsgleichungen benötigt man für die in Wärmekraft- und Kälteanlagen verwendeten Arbeitsstoffe Wasser [4], Luft [5] und die Kältemittel [6]. Die Gleichungen für diese Stoffe sind aufwändiger, enthalten mehr Konstanten und sind nur mit einer elektronischen Rechenanlage auszuwerten.

40.1.4 Dämpfe Dämpfe sind Gase in der Nähe ihrer Verflüssigung. Man nennt einen Dampf gesättigt, wenn schon eine beliebig kleine Temperatursenkung ihn verflüssigt, er heißt überhitzt, wenn es dazu einer endlichen Temperatursenkung bedarf. Führt man einer Flüssigkeit bei konstantem Druck Wärme zu, so beginnt sich von einer bestimmten Abb. 40.2 Dampfdruckkurven einiger Stoffe

Temperatur an Dampf von gleicher Temperatur zu bilden. Dampf und Flüssigkeit befinden sich im Gleichgewicht. Man nennt diesen Zustand Sättigungszustand; er ist durch zueinander gehörende Werte von Sättigungstemperatur und Sättigungsdruck gekennzeichnet, deren Abhängigkeit voneinander durch die Dampfdruckkurve dargestellt wird, Abb. 40.2. Sie beginnt am Tripelpunkt und endet am kritischen Punkt K eines Stoffs. Darunter versteht man den Zustandspunkt pk ; Tk oberhalb dessen Dampf und Flüssigkeit nicht mehr durch eine deutlich wahrnehmbare Grenze getrennt sind, sondern kontinuierlich ineinander übergehen (s. Tab. 40.1). Der kritische Punkt ist ebenso wie der Tripelpunkt, an dem Dampf, Flüssigkeit und feste Phase eines Stoffs miteinander im Gleichgewicht stehen, ein für jeden Stoff charakteristischer Punkt. Den Dampfdruck vieler Stoffe kann man vom Tripelpunkt bis zum Siedepunkt bei Atmosphärendruck durch die Antoine-Gleichung darstellen ln p D A  B=.C C T / ;

(40.8)

in der die Größen A, B, C stoffabhängige Konstanten sind (s. Tab. 40.2). Verdichtet man überhitzten Dampf bei konstanter Temperatur durch Verkleinern des Volumens, so nimmt der Druck ähnlich wie bei einem idealen Gas nahezu nach einer Hyperbel zu, s. z. B. die Isotherme 300 °C in Abb. 40.3. Die Kondensation beginnt, sobald der Sättigungsdruck erreicht ist, und das Volumen verkleinert sich ohne Steigen des Drucks so lange, bis aller

40

754

P. Stephan und K. Stephan

Abb. 40.3 p,-Diagramm des Wassers

0;002 m3 =kg. Mit Gl. (40.9) folgt Dampf verflüssigt ist. Bei weiterer Volumenverkleinerung steigt der Druck stark an. Die Kurx D .   0 /=. 00   0 / venschar von Abb. 40.3 ist als graphische Dar0;002  0;001530 stellung einer Zustandsgleichung für viele Stoffe D charakteristisch. Verbindet man die spezifischen 0;01410  0;001530 Volumina der Flüssigkeit bei SättigungstemperaD 0;03739 D m00 =m ; turen vor der Verdampfung und des gesättigten also Dampfes,  0 und  00 , so erhält man zwei Kurven a und b, die linke und die rechte Grenzkurve m00 D 1000  0;03739 kg genannt, die sich im kritischen Punkt K treffen. D 37;39 kg Ist x der Dampfgehalt, definiert als Masse des 00 0 gesättigten Dampfes m bezogen auf die Gesamtm D 1000  37;39 kg D 962;61 kg : J masse von gesättigtem Dampf m00 und siedender Man kann die Zustandsgleichung auch als eine Flüssigkeit m0 ;  0 das spezifische Volumen von siedender Flüssigkeit und  00 das von Sattdampf, Fläche im Raum mit den Koordinaten p, , t darstellen, Abb. 40.4. Die Projektion der Grenzkurve so gilt für Nassdampf  D x  00 C .1  x/  0 :

(40.9)

Linien x D const zeigt Abb. 40.3.

Beispiel

In einem Kessel von 2 m3 =kg Inhalt befinden sich 1000 kg Wasser und Dampf von 121 bar im Sättigungszustand. Welches spez. Volumen hat der Dampf? Aus der Dampftafel (Tab. 40.5) findet man durch Interpolieren bei 121 bar das spez. Volumen des Dampfes  00 D 0;01410 m3=kg, das der Flüssigkeit  0 D 0;001530 m3. Das mittlere spez. Vo- Abb. 40.4 Zustandsfläche des Wassers in perspektivilumen  = V/m ist  D 2 m3 =1000 kg D scher Darstellung

40 Stoffthermodynamik

755

in die p, T-Ebene ergibt die Dampfdruckkurve, Aus Gln. (40.10) und (40.11) folgen für die Ändie Projektion der Fläche in die p, -Ebene lie- derungen von innerer Energie und Enthalpie fert die Darstellung nach Abb. 40.3. u2  u1 D Œcv tt21 .t2  t1 / (40.14) D Œcv t02 t2  Œcv t01 t1

40.2 Kalorische Zustandsgrößen von Gasen und Dämpfen

und h2  h1 D Œcp tt21 .t2  t1 /

40.2.1 Ideale Gase

D Œcp t02 t2  Œcp t01 t1 :

Die innere Energie idealer Gase hängt nur von der Temperatur ab, u D u .T /, infolgedessen ist auch die Enthalpie h D u C p D u C RT eine reine Temperaturfunktion h D h .T /. Die Ableitungen von u und h nach der Temperatur nennt man spezifische Wärmekapazitäten. Sie steigen mit der Temperatur (s. Tab. 40.3 mit Werten für Luft). Es ist (40.10) du=dT D cv

(40.15)

Zahlenwerte von Œcv t0 und Œcp t0 ermittelt man aus den im Tab. 40.4 angegebenen mittleren Molwärmen. Die spezifische Entropie ergibt sich aus Gl. (38.1) unter Beachtung von Gl. (40.10) und Gl. (40.2) ds D

dT d du C p d D cv CR T T 

die spez. Wärmekapazität bei konstantem Volu- durch Integration mit cv D const zu men und T2 2 s2  s1 D cv ln C R ln : (40.16) (40.11) dh=dT D cp T1 1 die spez. Wärmekapazität bei konstantem Druck. Einen äquivalenten Ausdruck erhält man durch Die Ableitung von h  u D RT ergibt Integration von Gl. (38.4) mit cp D const (40.12) cp  cv D R : T2 p2  R ln : (40.17) s2  s1 D cp ln T1 p1 Die Differenz der molaren Wärmekapazitäten oder Molwärmen CN p D Mcp ; CN v D Mcv ist gleich der universellen Gaskonstanten

40.2.2

CN p  CN v D R :

Reale Gase und Dämpfe

Die kalorischen Zustandsgrößen realer Gase und Dämpfe werden i. Allg. aus Messungen bestimmt, können aber bis auf einen Anfangswert auch aus der thermischen Zustandsgleichung abgeleitet werden. Sie werden in Tabellen oder Diagrammen in folgender Weise dargestellt u D u .; T /, h D h .p; T /, s D s .p; T /, cv D cv .; T /, cp D cp .p; T /. Häufig erfordert die Auswertung von Zustandsgleichungen einen Computer. Für Dämpfe gilt: Die Enthalpie h00 des gesättigten Dampfes unterscheidet sich von der En0 (40.13) thalpie h der Flüssigkeit im Sättigungszustand bei p; T D const um die Verdampfungsenthalpie

Das Verhältnis  D cp =cv spielt bei reversiblen adiabaten Zustandsänderungen eine wichtige Rolle und wird daher Adiabatenexponent oder Isentropenexponent genannt. Für einatomige Gase ist recht genau  D 1;66, für zweiatomige  D 1;40 und für dreiatomige  D 1;30. Die mittlere spezifische Wärmekapazität ist der integrale Mittelwert definiert durch Œcp tt21

Œcv tt21

1 D t2  t1 1 D t2  t1

Zt2 cp dt I t1

Zt2 cv dt : t1

r D h00  h0 ;

(40.18)

40

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P. Stephan und K. Stephan

Abb. 40.5 t, s-Diagramm des Wassers mit Kurven p D const (ausgezogen),  D const (gestrichelt) und Kurven gleicher Enthalpie (strichpunktiert)

die mit steigender Temperatur abnimmt und am zwei der drei Größen r;  00   0 und dp=dT die kritischen Punkt, wo h00 D h0 ist, zu null wird. dritte zu berechnen. Die Enthalpie von Nassdampf ist Wenn nicht häufig Zustandsgrößen zu berechnen sind oder keine leistungsfähigen Rechner zu (40.19) Verfügung stehen, verwendet man für praktische h D .1  x/h0 C xh00 D h0 C xr : Rechnungen Dampftafeln, in denen die ErgebEntsprechend ist die innere Energie nisse theoretischer und experimenteller Untersuchungen der Zustandsgrößen zusammengefasst u D .1  x/u0 C xu00 D u0 C x.u00  u0 / (40.20) sind. Für die in der Technik wichtigen Arbeitsstoffe findet man Dampftafeln in Tab. 40.5 bis und die Entropie 40.9. Zur Ermittlung von Anhaltswerten und zur Darstellung von Zustandsänderungen sind Dias D .1  x/s 0 C xs 00 D s 0 C xr=T ; (40.21) gramme vorteilhaft, z. B. ein t, s-Diagramm wie Abb. 40.5. Am häufigsten verwendet man in der da Verdampfungsenthalpie und Verdampfungsen- Praxis Mollier-Diagramme. Das sind solche Diatropie s 00  s 0 zusammenhängen durch gramme, welche die Enthalpie als eine der Koordinaten enthalten, Abb. 40.6. (40.22) r D T .s 00  s 0 / : D Die spezifische Wärmekapazität cp .@h=@T /p eines Dampfes hängt außer von der Nach Clausius-Clapeyron ist die VerdampfungsTemperatur in erheblichem Maße vom Druck enthalpie mit der Steigung dp=dT der Dampfab, ebenso hängt cv D .@u=@T /v außer von der druckkurve p(T) verknüpft durch Temperatur noch vom spez. Volumen ab. Bei Annäherung an die Grenzkurve wächst cp des dp ; (40.23) überhitzten Dampfes mit abnehmender Temperar D T . 00   0 / dT tur stark an und wird im kritischen Punkt sogar wenn T die Siedetemperatur beim Druck p ist. unendlich. Bei Dämpfen ist cp  cv keine konMan kann diese Beziehung verwenden, um aus stante Größe mehr wie bei idealen Gasen.

40 Stoffthermodynamik

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Abb. 40.6 h, s-Diagramm des Wassers mit Kurven p D const (ausgezogen), t D const (gestrichelt) und x D const (strichpunktiert). Der für die Zwecke der Dampftechnik

interessante Bereich ist durch die schraffierte Umrandung abgegrenzt

40.3

Temperatur aus und schrumpfen bei Temperaturabnahme, ausgenommen Wasser, das bei 4 °C seine größte Dichte hat und sich sowohl bei höheren als auch bei geringeren Temperaturen als 4 °C ausdehnt. Entwickelt man die Zustandsgleichung in eine Taylorreihe nach der Temperatur und bricht nach dem linearen Glied ab, so erhält man die Volumendehnung mit dem kubischen Volumendehnungskoeffizienten v (SI-Einheit 1=K)

Inkompressible Fluide

Ein inkompressibles Fluid ist ein Fluid, dessen spez. Volumen  weder von der Temperatur noch vom Druck abhängt. Die thermische Zustandsgleichung lautet  D const. Flüssigkeiten und Feststoffe können im Allgemeinen in guter Näherung als inkompressibel betrachtet werden. Die spez. Wärmekapazitäten cp und cv unterscheiden sich bei inkompressiblen Fluiden nicht V D V0 Œ1 C v .t  t0 / : voneinander, cp D cv D c. Daher gelten die kalorischen Zustandsglei- Entsprechend ist die Flächendehnung chungen A D A0 Œ1 C A .t  t0 / du D cdT (40.24) und die Längendehnung

und dh D cdT C dp sowie ds D c

dT : T

40.4 Feste Stoffe

(40.25) (40.26)

l D l0 Œ1 C L .t  t0 / : Es ist A D .2=3/ v und L D .1=3/ v . Mittelwerte für L im Temperaturintervall zwischen 0 °C und t °C findet man für einige Feststoffe aus den Werten im Tab. 40.10, indem man die dort angegebene Längenänderung .l l0 /= l0 noch durch das Temperaturintervall .t  0/ ı C dividiert.

40.4.1 Wärmedehnung In der Zustandsgleichung V D V .p; T / fes- 40.4.2 Schmelz- und ter Stoffe ist der Einfluss des Drucks auf das Sublimationsdruckkurve Volumen ebenso wie bei Flüssigkeiten meistens vernachlässigbar gering. Fast alle Feststoffe deh- Innerhalb gewisser Grenzen gibt es zu jedem nen sich wie die Flüssigkeiten mit zunehmender Druck einer Flüssigkeit eine Temperatur, bei

40

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P. Stephan und K. Stephan

40.4.3 Kalorische Zustandsgrößen Beim Gefrieren einer Flüssigkeit wird die Schmelzenthalpie hE (E = Erstarren) abgeführt (Tab. 40.11). Dabei erfährt die Flüssigkeit eine Entropieabnahme sE D hE =TE , wenn TE die Schmelz- oder Erstarrungstemperatur ist. Nach der Dulong-Petitschen Regel hat oberhalb der Umgebungstemperatur die molare Wärmekapazität geteilt durch die Anzahl der Atome Abb. 40.7 p, T-Diagramm mit den drei Grenzkurven der im Molekül ungefähr den Wert 25,9 kJ=(kmol K). Phasen. (Die Steigung der Schmelzdruckkurve von Was- Bei Annäherung an den absoluten Nullpunkt gilt ser ist negativ, gestrichelte Kurve.) diese grobe Regel nicht mehr. Dort ist die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen für alle der sie mit ihrem Feststoff im Gleichgewicht festen Stoffe steht. Dieser Zusammenhang p(T) wird durch CN D a.T =/3 ; für T = < 0;1 ; die Schmelzdruckkurve (Abb. 40.7) festgelegt, während die Sublimationsdruckkurve das Gleichgewicht zwischen Gas und Feststoff wiedergibt. worin a D 1;944  103 J=.mol K/ und  die DeIn Abb. 40.7 ist außerdem noch die Dampfdruck- bye-Temperatur ist (Tab. 40.12). kurve eingezeichnet. Alle drei Kurven treffen sich im Tripelpunkt, in dem die feste, die flüssige und die gasförmige Phase eines Stoffs miteinander im Gleichgewicht stehen. Der Tripelpunkt des Wassers liegt definitionsgemäß bei 273,16 K, der Druck beträgt am Tripelpunkt 611,657 Pa.

40 Stoffthermodynamik

759

Tabellen zu Kap. 40 Tab. 40.1 Kritische Daten einiger Stoffe, geordnet nach den kritischen Temperaturena Zeichen Quecksilber Anilin Wasser Benzol Ethylalkohol Diethylether Ethylchlorid Schwefeldioxid Methylchlorid Ammoniak Chlorwasserstoff Distickstoffmonoxid Acetylen Ethan Kohlendioxid Ethylen Methan Stickstoffmonoxid Sauerstoff Argon Kohlenmonoxid Luft Stickstoff Wasserstoff Helium-4 a

Hg C6 H7 N H2 O C6 H6 C2 H5 OH C4 H10 O C2 H5 Cl SO2 CH3 Cl NH3 HCI N2 O C2 H2 C2 H6 CO2 C2 H4 CH4 NO O2 Ar CO  N2 H2 He

M [kg/kmol] 200,59 93,1283 18,0153 78,1136 46,0690 74,1228 64,5147 64,0588 50,4878 17,0305 36,4609 44,0128 26,0379 30,0696 44,0098 28,0528 16,0428 30,0061 31,999 39,948 28,0104 28,953 28,0134 2,0159 4,0026

pk [bar] 1490 53,1 220,64 48,98 61,48 36,42 52,7 78,84 66,79 113,5 83,1 72,4 61,39 48,72 73,77 50,39 45,95 65 50,43 48,65 34,98 37,66 33,9 12,97 2,27

Tk [K] 1765 698,7 647,1 562,1 513,9 466,7 460,4 430,7 416,3 405,5 324,7 309,6 308,3 305,3 304,1 282,3 190,6 180 154,6 150,7 132,9 132,5 126,2 33,2 5,19

vk [dm3 =kg] 0,213 2,941 3,11 3,311 3,623 3,774 2,994 1,901 2,755 4,444 2,222 2,212 4,329 4,850 2,139 4,651 6,148 1,901 2,294 1,873 3,322 2,919 3,192 32,26 14,29

Zusamengestellt nach: – Rathmann, D.; Bauer, J.; Thompson, Ph.A.: A table of miscellaneous thermodynamic properties for various substances, with emphasis on the critical properties. Max-Planck-Inst. f. Strömungsforschung, Göttingen. Bericht 6/1978. – Atomic weight of elements 1981. Pure Appl. Chem. 55 (1983) 1102–1118. – Ambrose, D.: Vapour-liquid critical properties. Nat. Phys. Lab., Teddington 1980. – Lemmon, E. W. ; Huber, M. L.; Linden, M. O.: Reference Fluid thermodynamic and transport properties, REFPROP, NiST Standard reference database23, version 8,0 (2007).

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Tab. 40.2 Antoine-Gleichung. Konstanten einiger Stoffea log10 p D A  Stoff Methan Ethan Propan Butan Isobutan Pentan Isopentan Neopentan Hexan Heptan Oktan Cyclopentan Methylcyclopentan Cyclohexan Methylcyclohexan Ethylen Propylen Buten-(1) Buten-(2) cis Buten-(2) trans Isobuten Penten-(1) Hexen-(1) Propadien Butadien-(1,3) Isopren Benzol Toluol Ethylbenzol m-Xylol p-Xylol Isoprophylbenzol Wasser (90–100 °C)

A 6,82051 6,95942 6,92888 6,93386 7,03538 7,00122 6,95805 6,72917 6,99514 7,01875 7,03430 7,01166 6,98773 6,96620 6,94790 6,87246 6,94450 6,96780 6,99416 6,99442 6,96624 6,97140 6,99063 5,8386 6,97489 7,01054 7,03055 7,07954 7,08209 7,13398 7,11542 7,06156 8,0732991

B C Ct

. p in hPa, t in °C

B 405,42 663,70 803,81 935,86 946,35 1075,78 1040,73 883,42 1168,72 1264,37 1349,82 1124,162 1186,059 1201,531 1270,763 585,00 785,00 926,10 960,100 960,80 923,200 1044,895 1152,971 458,06 930,546 1071,578 1211,033 1344,800 1424,255 1462,266 1453,430 1460,793 1656,390

C 267,777 256,470 246,99 238,73 246,68 233,205 235,445 227,780 224,210 216,636 209,385 231,361 226,042 222,647 221,416 255,00 247,00 240,00 237,000 240,00 240,000 233,516 225,849 196,07 238,854 233,513 220,790 219,482 213,206 215,105 215,307 207,777 226,86

a Aus: Wilhoit, R.C.; Zwolinski, B.J.: Handbook of vapor pressures and heats of vaporization of hydrocarbons and related compounds. Publication 101. Thermodynamics Research Center, Dept. of Chemistry, Texas A&M University, 1971 (American Petroleum Institute Research Project 44).

Tab. 40.3 Spezifische Wärmekapazität der Luft bei verschiedenen Drücken berechnet mit der Zustandsgleichung von Baehr und Schwier [5] pD t D 0ı C t D 50 ı C t D 100 ı C

1 cp D 1,0065 cp D 1,0080 cp D 1,0117

25 1,0579 1,0395 1,0330

50 1,1116 1,0720 1,0549

100 1,2156 1,1335 1,0959

150 1,3022 1,1866 1,1316

200 1,3612 1,2288 1,1614

300 1,4087 1,2816 1,2045

[bar] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)]

40 Stoffthermodynamik

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Tab. 40.4 Mittlere Molwärme ŒCN p t0 von idealen Gasen in kJ/(kmol K) zwischen 0 °C und t ı C. Die mittlere molare Wärmekapazität ŒCN v t0 erhält man durch Verkleinern der Zahlen der Tabelle um den Wert der universellen Gaskonstanten 8,3143 kJ/(kmol K). Zur Umrechnung auf 1 kg sind die Zahlen durch die in der letzten Zeile angegebenen Molmassen zu dividieren t t [°C] CN p 0 [kJ/(kmol K)] 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 M [kg/kmol]

H2 28,6202 28,9427 29,0717 29,1362 29,1886 29,2470 29,3176 29,4083 29,5171 29,6461 29,7892 29,9485 30,1158 30,2891 30,4705 30,6540 30,8394 31,0248 31,2103 31,3937 31,5751 2,01588

N2 29,0899 29,1151 29,1992 29,3504 29,5632 29,8209 30,1066 30,4006 30,6947 30,9804 31,2548 31,5181 31,7673 31,9998 32,2182 32,4255 32,6187 32,7979 32,9688 33,1284 33,2797 28,01340

O2 29,2642 29,5266 29,9232 30,3871 30,8669 31,3244 31,7499 32,1401 32,4920 32,8151 33,1094 33,3781 33,6245 33,8548 34,0723 34,2771 34,4690 34,6513 34,8305 35,0000 35,1664 31,999

CO 29,1063 29,1595 29,2882 29,4982 29,7697 30,0805 30,4080 30,7256 31,0519 31,3571 31,6454 31,9198 32,1717 32,4097 32,6308 32,8380 33,0312 33,2103 33,3811 33,5379 33,6890 28,01040

H2 O 33,4708 33,7121 34,0831 34,5388 35,0485 35,5888 36,1544 36,7415 37,3413 37,9482 38,5570 39,1621 39,7583 40,3418 40,9127 41,4675 42,0042 42,5229 43,0254 43,5081 43,9745 18,01528

CO2 35,9176 38,1699 40,1275 41,8299 43,3299 44,6584 45,8462 46,9063 47,8609 48,7231 49,5017 50,2055 50,8522 51,4373 51,9783 52,4710 52,9285 53,3508 53,7423 54,1030 54,4418 44,00980

Luft 29,0825 29,1547 29,3033 29,5207 29,7914 30,0927 30,4065 30,7203 31,0265 31,3205 31,5999 31,8638 32,1123 32,3458 32,5651 32,7713 32,96353 33,1482 33,3209 33,4843 33,6392 28,953

NH3 34,99 36,37 38,13 40,02 41,98 44,04 46,09 48,01 49,85 51,53 53,08 54,50 55,84 57,06 58,14 59,19 60,20 61,12 61,95 62,75 63,46 17,03052

40

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P. Stephan und K. Stephan

Tab. 40.5 Wasserdampftafel. Sättigungszustand (Temperaturtafel) a t [°C] 0,01 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

p [bar] 0,006117 0,007060 0,008135 0,009354 0,010730 0,012282 0,014028 0,015989 0,018188 0,020647 0,023392 0,026452 0,029856 0,033637 0,037828 0,042467 0,047593 0,053247 0,059475 0,066324 0,073844 0,082090 0,091118 0,10099 0,11176 0,12351 0,13631 0,15022 0,16532 0,18171 0,19946 0,21866 0,23942 0,26183 0,28599 0,31201 0,34000 0,37009 0,40239 0,43703 0,47415 0,51387 0,55636 0,60174 0,65017 0,70182 0,75685 0,81542 0,87771 0,94390

v0 [m3 =kg] 0,001000 0,001000 0,001000 0,001000 0,001000 0,001000 0,001001 0,001001 0,001001 0,001001 0,001002 0,001002 0,001003 0,001003 0,001004 0,001004 0,001005 0,001006 0,001006 0,001007 0,001008 0,001009 0,001009 0,001010 0,001011 0,001012 0,001013 0,001014 0,001015 0,001016 0,001017 0,001018 0,001019 0,001020 0,001022 0,001023 0,001024 0,001025 0,001026 0,001028 0,001029 0,001030 0,001032 0,001033 0,001035 0,001036 0,001037 0,001039 0,001040 0,001042

v 00 [m3 =kg] 205,998 179,764 157,121 137,638 120,834 106,309 93,724 82,798 73,292 65,003 57,762 51,422 45,863 40,977 36,675 32,882 29,529 26,562 23,932 21,595 19,517 17,665 16,013 14,535 13,213 12,028 10,964 10,007 9,145 8,369 7,668 7,034 6,460 5,940 5,468 5,040 4,650 4,295 3,971 3,675 3,405 3,158 2,932 2,724 2,534 2,359 2,198 2,050 1,914 1,788

h0 [kJ=kg] 0,00 8,39 16,81 25,22 33,63 42,02 50,41 58,79 67,17 75,55 83,92 92,29 100,66 109,02 117,38 125,75 134,11 142,47 150,82 159,18 167,54 175,90 184,26 192,62 200,98 209,34 217,70 226,06 234,42 242,79 251,15 259,52 267,89 276,27 284,64 293,02 301,40 309,78 318,17 326,56 334,95 343,34 351,74 360,15 368,56 376,97 385,38 393,81 402,23 410,66

h00 2500,91 2504,57 2508,24 2511,91 2515,57 2519,23 2522,89 2526,54 2530,19 2533,83 2537,47 2541,10 2544,73 2548,35 2551,97 2555,58 2559,19 2562,79 2566,38 2569,96 2573,54 2577,11 2580,67 2584,23 2587,77 2591,31 2594,84 2598,35 2601,86 2605,36 2608,85 2612,32 2615,78 2619,23 2622,67 2626,10 2629,51 2632,91 2636,29 2639,66 2643,01 2646,35 2649,67 2652,98 2656,26 2659,53 2662,78 2666,01 2669,22 2672,40

r [kJ=kg] 2500,91 2496,17 2491,42 2486,68 2481,94 2477,21 2472,48 2467,75 2463,01 2458,28 2453,55 2448,81 2444,08 2439,33 2434,59 2429,84 2425,08 2420,32 2415,56 2410,78 2406,00 2401,21 2396,42 2391,61 2386,80 2381,97 2377,14 2372,30 2367,44 2362,57 2357,69 2352,80 2347,89 2342,97 2338,03 2333,08 2328,11 2323,13 2318,13 2313,11 2308,07 2303,01 2297,93 2292,83 2287,70 2282,56 2277,39 2272,20 2266,98 2261,74

s0 [kJ=(kg K)] 0,0000 0,0306 0,0611 0,0913 0,1213 0,1511 0,1806 0,2099 0,2390 0,2678 0,2965 0,3250 0,3532 0,3813 0,4091 0,4368 0,4643 0,4916 0,5187 0,5457 0,5724 0,5990 0,6255 0,6517 0,6778 0,7038 0,7296 0,7552 0,7807 0,8060 0,8312 0,8563 0,8811 0,9059 0,9305 0,9550 0,9793 1,0035 1,0276 1,0516 1,0754 1,0991 1,1227 1,1461 1,1694 1,1927 1,2158 1,2387 1,2616 1,2844

s 00 9,1555 9,1027 9,0506 8,9994 8,9492 8,8998 8,8514 8,8038 8,7571 8,7112 8,6661 8,6218 8,5783 8,5355 8,4934 8,4521 8,4115 8,3715 8,3323 8,2936 8,2557 8,2183 8,1816 8,1454 8,1099 8,0749 8,0405 8,0066 7,9733 7,9405 7,9082 7,8764 7,8451 7,8142 7,7839 7,7540 7,7245 7,6955 7,6669 7,6388 7,6110 7,5837 7,5567 7,5301 7,5039 7,4781 7,4526 7,4275 7,4027 7,3782

40 Stoffthermodynamik

763

Tab. 40.5 (Fortsetzung) t [°C] 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345

p [bar] 1,0142 1,2090 1,4338 1,6918 1,9867 2,3222 2,7026 3,1320 3,6150 4,1564 4,7610 5,4342 6,1814 7,0082 7,9205 8,9245 10,026 11,233 12,550 13,986 15,547 17,240 19,074 21,056 23,193 25,494 27,968 30,622 33,467 36,509 39,759 43,227 46,921 50,851 55,028 59,463 64,165 69,145 74,416 79,990 85,877 92,092 98,647 105,56 112,84 120,51 128,58 137,07 146,00 155,40

v0 [m3 =kg] 0,001043 0,001047 0,001052 0,001056 0,001060 0,001065 0,001070 0,001075 0,001080 0,001085 0,001091 0,001096 0,001102 0,001108 0,001114 0,001121 0,001127 0,001134 0,001141 0,001149 0,001157 0,001164 0,001173 0,001181 0,001190 0,001199 0,001209 0,001219 0,001229 0,001240 0,001252 0,001264 0,001276 0,001289 0,001303 0,001318 0,001333 0,001349 0,001366 0,001385 0,001404 0,001425 0,001448 0,001472 0,001499 0,001528 0,001561 0,001597 0,001638 0,001685

v 00 [m3 =kg] 1,672 1,418 1,209 1,036 0,8913 0,7701 0,6681 0,5818 0,5085 0,4460 0,3925 0,3465 0,3068 0,2725 0,2426 0,2166 0,1939 0,1739 0,1564 0,1409 0,1272 0,1151 0,1043 0,09469 0,08610 0,07841 0,07151 0,06530 0,05971 0,05466 0,05009 0,04594 0,04218 0,03875 0,03562 0,03277 0,03015 0,02776 0,02556 0,02353 0,02166 0,01994 0,01834 0,01686 0,01548 0,01419 0,01298 0,01185 0,01078 0,009770

h0 [kJ=kg] 419,10 440,21 461,36 482,55 503,78 525,06 546,39 567,77 589,20 610,69 632,25 653,88 675,57 697,35 719,21 741,15 763,19 785,32 807,57 829,92 852,39 874,99 897,73 920,61 943,64 966,84 990,21 1013,77 1037,52 1061,49 1085,69 1110,13 1134,83 1159,81 1185,09 1210,70 1236,67 1263,02 1289,80 1317,03 1344,77 1373,07 1402,00 1431,63 1462,05 1493,37 1525,74 1559,34 1594,45 1631,44

h00 2675,57 2683,39 2691,07 2698,58 2705,93 2713,11 2720,09 2726,87 2733,44 2739,80 2745,92 2751,80 2757,43 2762,80 2767,89 2772,70 2777,22 2781,43 2785,31 2788,86 2792,06 2794,90 2797,35 2799,41 2801,05 2802,26 2803,01 2803,28 2803,06 2802,31 2801,01 2799,13 2796,64 2793,51 2789,69 2785,14 2779,82 2773,67 2766,63 2758,63 2749,57 2739,38 2727,92 2715,08 2700,67 2684,48 2666,25 2645,60 2622,07 2595,01

r [kJ=kg] 2256,47 2243,18 2229,70 2216,03 2202,15 2188,04 2173,70 2159,10 2144,24 2129,10 2113,67 2097,92 2081,86 2065,45 2048,69 2031,55 2014,03 1996,10 1977,75 1958,94 1939,67 1919,90 1899,62 1878,80 1857,41 1835,42 1812,80 1789,52 1765,54 1740,82 1715,33 1689,01 1661,82 1633,70 1604,60 1574,44 1543,15 1510,65 1476,84 1441,60 1404,80 1366,30 1325,92 1283,45 1238,62 1191,11 1140,51 1086,26 1027,62 963,57

s0 [kJ=(kg K)] 1,3070 1,3632 1,4187 1,4735 1,5278 1,5815 1,6346 1,6872 1,7393 1,7909 1,8420 1,8926 1,9428 1,9926 2,0419 2,0909 2,1395 2,1878 2,2358 2,2834 2,3308 2,3779 2,4248 2,4714 2,5178 2,5641 2,6102 2,6561 2,7019 2,7477 2,7934 2,8391 2,8847 2,9304 2,9762 3,0221 3,0681 3,1143 3,1608 3,2076 3,2547 3,3024 3,3506 3,3994 3,4491 3,4997 3,5516 3,6048 3,6599 3,7175

s 00 7,3541 7,2951 7,2380 7,1827 7,1291 7,0770 7,0264 6,9772 6,9293 6,8826 6,8370 6,7926 6,7491 6,7066 6,6649 6,6241 6,5841 6,5447 6,5060 6,4679 6,4303 6,3932 6,3565 6,3202 6,2842 6,2485 6,2131 6,1777 6,1425 6,1074 6,0722 6,0370 6,0017 5,9662 5,9304 5,8943 5,8578 5,8208 5,7832 5,7449 5,7058 5,6656 5,6243 5,5816 5,5373 5,4911 5,4425 5,3910 5,3359 5,2763

40

764

P. Stephan und K. Stephan

Tab. 40.5 (Fortsetzung) t [°C] 350 355 360 365 370 373,946

p [bar] 165,29 175,70 186,66 198,22 210,43 220,64

v0 [m3 =kg] 0,001740 0,001808 0,001895 0,002016 0,002222 0,003106

v 00 [m3 =kg] 0,008801 0,007866 0,006945 0,006004 0,004946 0,003106

h0 [kJ=kg] 1670,86 1713,71 1761,49 1817,59 1892,64 2087,55

h00 2563,59 2526,45 2480,99 2422,00 2333,50 2087,55

r [kJ=kg] 892,73 812,74 719,50 604,41 440,86 0,00

s0 [kJ=(kg K)] 3,7783 3,8438 3,9164 4,0010 4,1142 4,4120

s 00 5,2109 5,1377 5,0527 4,9482 4,7996 4,4120

a Auszug aus: Wagner, W., Kruse, A.: Properties of water and steam. Zustandsgrößen von Wasser und Wasserdampf. Berlin: Springer 1998

p ! 1 bar ts D 99;61 ı C v 00 h00 1,69402 2674,9 t v h [°C] [m3 =kg] [kJ=kg] 0 0,001000 0,06 10 0,001000 42,12 20 0,001002 84,01 40 0,001008 167,62 60 0,001017 251,22 80 0,001029 334,99 100 1,695959 2675,77 120 1,793238 2716,61 140 1,889133 2756,70 160 1,984139 2796,42 180 2,078533 2835,97 200 2,172495 2875,48 220 2,266142 2915,02 240 2,359555 2954,66 260 2,452789 2994,45 280 2,545883 3034,40 300 2,638868 3074,54 320 2,731763 3114,89 340 2,824585 3155,45 360 2,917346 3196,24 380 3,010056 3237,27 400 3,102722 3278,54

5 bar ts D 151;884 ı C s v 00 h00 s 00 7,3588 0,37480 2748,1 6,8206 s v h s [kJ=(kg K)] [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 0,0001 0,001000 0,47 0,0001 0,1511 0,001000 42,51 0,1510 0,2965 0,001002 84,39 0,2964 0,5724 0,001008 167,98 0,5722 0,8312 0,001017 251,56 0,8310 1,0754 0,001029 335,31 1,0751 7,3610 0,001043 419,40 1,3067 7,4676 0,001060 504,00 1,5275 7,5671 0,001080 589,29 1,7391 7,6610 0,383660 2767,38 6,8655 7,7503 0,404655 2812,45 6,9672 7,8356 0,425034 2855,90 7,0611 7,9174 0,445001 2898,40 7,1491 7,9962 0,464676 2940,31 7,2324 8,0723 0,484135 2981,88 7,3119 8,1458 0,503432 3023,28 7,3881 8,2171 0,522603 3064,60 7,4614 8,2863 0,541675 3105,93 7,5323 8,3536 0,560667 3147,32 7,6010 8,4190 0,579594 3188,83 7,6676 8,4828 0,598467 3230,48 7,7323 8,5451 0,617294 3272,29 7,7954

00

10 bar ts D 179;89 ı C v 00 h00 s 00 0,19435 2777,1 6,5850 v h s [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 0,001000 0,98 0,0001 0,001000 42,99 0,1510 0,001001 84,86 0,2963 0,001007 168,42 0,5720 0,001017 251,98 0,8307 0,001029 335,71 1,0748 0,001043 419,77 1,3063 0,001060 504,35 1,5271 0,001079 589,61 1,7386 0,001102 675,80 1,9423 0,194418 2777,43 6,5857 0,206004 2828,27 6,6955 0,216966 2875,55 6,7934 0,227551 2920,98 6,8837 0,237871 2965,23 6,9683 0,247998 3008,71 7,0484 0,257979 3051,70 7,1247 0,267848 3094,40 7,1979 0,277629 3136,93 7,2685 0,287339 3179,39 7,3366 0,296991 3221,86 7,4026 0,306595 3264,39 7,4668

15 bar ts D 198;330 ı C v 00 h00 s 00 0,13170 2791,0 6,4431 v h s [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 0,000999 1,48 0,0001 0,001000 43,48 0,1510 0,001001 85,33 0,2962 0,001007 168,86 0,5719 0,001016 252,40 0,8304 0,001028 336,10 1,0744 0,001043 420,15 1,3059 0,001060 504,70 1,5266 0,001079 589,94 1,7381 0,001101 676,09 1,9417 0,001127 763,44 2,1389 0,132441 2796,02 6,4537 0,140630 2850,19 6,5658 0,148295 2900,00 6,6649 0,155637 2947,45 6,7556 0,162752 2993,37 6,8402 0,169699 3038,27 6,9199 0,176521 3082,48 6,9957 0,183245 3126,25 7,0683 0,189893 3169,75 7,1381 0,196478 3213,09 7,2055 0,203012 3256,37 7,2708

20 bar ts D 212;38 ı C v 00 h00 s 00 0,09958 2798,4 6,3392 v h s [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 0,000999 1,99 0,0000 0,000999 43,97 0,1509 0,001001 85,80 0,2961 0,001007 169,31 0,5717 0,001016 252,82 0,8302 0,001028 336,50 1,0741 0,001042 420,53 1,3055 0,001059 505,05 1,5262 0,001079 590,26 1,7376 0,001101 676,38 1,9411 0,001127 763,69 2,1382 0,001156 852,57 2,3301 0,102167 2821,67 6,3868 0,108488 2877,21 6,4972 0,114400 2928,47 6,5952 0,120046 2977,21 6,6850 0,125501 3024,25 6,7685 0,130816 3070,16 6,8472 0,136023 3115,28 6,9221 0,141147 3159,89 6,9937 0,146205 3204,16 7,0625 0,151208 3248,23 7,1290

Tab. 40.6 Zustandsgrößen von Wasser und überhitztem Wasserdampf (Auszug aus: Wagner, W., Kruse, A.: Properties of water and steam. Zustandsgrößen von Wasser und Wasserdampf. Berlin: Springer 1998)

40 Stoffthermodynamik 765

40

p ! 1 bar ts D 99;61 ı C v 00 h00 1,69402 2674,9 t v h [°C] [m3 =kg] [kJ=kg] 420 3,195351 3320,06 440 3,287948 3361,83 460 3,380516 3403,86 480 3,473061 3446,15 500 3,565583 3488,71 520 3,658087 3531,53 540 3,750573 3574,63 560 3,843045 3618,00 580 3,935503 3661,65 600 4,027949 3705,57 620 4,120384 3749,77 640 4,212810 3794,26 660 4,305227 3839,02 680 4,397636 3884,06 700 4,490037 3929,38 720 4,582433 3974,99 740 4,674822 4020,87 760 4,767206 4067,04 780 4,859585 4113,48 800 4,951960 4160,21

Tab. 40.6 (Fortsetzung)

s 00 7,3588 s [kJ=(kg K)] 8,6059 8,6653 8,7234 8,7803 8,8361 8,8907 8,9444 8,9971 9,0489 9,0998 9,1498 9,1991 9,2476 9,2953 9,3424 9,3888 9,4345 9,4796 9,5241 9,5681

5 bar ts D 151;884 ı C v 00 h00 s 00 0,37480 2748,1 6,8206 v h s [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 0,636083 3314,29 7,8569 0,654838 3356,49 7,9169 0,673565 3398,90 7,9756 0,692267 3441,54 8,0329 0,710947 3484,41 8,0891 0,729607 3527,52 8,1442 0,748250 3570,87 8,1981 0,766878 3614,48 8,2511 0,785493 3658,34 8,3031 0,804095 3702,46 8,3543 0,822687 3746,84 8,4045 0,841269 3791,49 8,4539 0,859842 3836,41 8,5026 0,878406 3881,59 8,5505 0,896964 3927,05 8,5977 0,915516 3972,77 8,6442 0,934061 4018,77 8,6901 0,952601 4065,04 8,7353 0,971136 4111,58 8,7799 0,989667 4158,40 8,8240

10 bar ts D 179;89 ı C v 00 h00 s 00 0,19435 2777,1 6,5850 v h s [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 0,316158 3307,01 7,5292 0,325687 3349,76 7,5900 0,335186 3392,66 7,6493 0,344659 3435,74 7,7073 0,354110 3479,00 7,7640 0,363541 3522,47 7,8195 0,372955 3566,15 7,8739 0,382354 3610,05 7,9272 0,391738 3654,19 7,9795 0,401111 3698,56 8,0309 0,410472 3743,17 8,0815 0,419824 3788,03 8,1311 0,429167 3833,14 8,1800 0,438502 3878,50 8,2281 0,447829 3924,12 8,2755 0,457150 3970,00 8,3221 0,466465 4016,14 8,3681 0,475775 4062,54 8,4135 0,485080 4109,21 8,4582 0,494380 4156,14 8,5024

15 bar ts D 198;330 ı C v 00 h00 s 00 0,13170 2791,0 6,4431 v h s [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 0,209504 3299,64 7,3341 0,215960 3342,96 7,3957 0,222385 3386,37 7,4558 0,228784 3429,90 7,5143 0,235160 3473,57 7,5716 0,241515 3517,40 7,6275 0,247854 3561,41 7,6823 0,254176 3605,61 7,7360 0,260485 3650,02 7,7887 0,266781 3694,64 7,8404 0,273066 3739,48 7,8912 0,279341 3784,55 7,9411 0,285608 3829,86 7,9902 0,291866 3875,40 8,0384 0,298117 3921,18 8,0860 0,304361 3967,22 8,1328 0,310600 4013,50 8,1789 0,316833 4060,03 8,2244 0,323061 4106,82 8,2693 0,329284 4153,87 8,3135

20 bar ts D 212;38 ı C v 00 h00 s 00 0,09958 2798,4 6,3392 v h s [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 0,156167 3292,18 7,1933 0,161088 3336,09 7,2558 0,165978 3380,02 7,3165 0,170841 3424,01 7,3757 0,175680 3468,09 7,4335 0,180499 3512,30 7,4899 0,185300 3556,64 7,5451 0,190085 3601,15 7,5992 0,194856 3645,84 7,6522 0,199614 3690,71 7,7042 0,204362 3735,78 7,7552 0,209099 3781,07 7,8054 0,213827 3826,57 7,8547 0,218547 3872,29 7,9032 0,223260 3918,24 7,9509 0,227966 3964,43 7,9978 0,232667 4010,86 8,0441 0,237361 4057,52 8,0897 0,242051 4104,43 8,1347 0,246737 4151,59 8,1791

766 P. Stephan und K. Stephan

p ! 25 bar ts D 223;96 ı C v 00 h00 s 00 0,07995 2802,2 6,2560 t v h s [°C] [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 0 0,000999 2,50 0,0000 10 0,000999 44,45 0,1509 20 0,001001 86,27 0,2960 40 0,001007 169,75 0,5715 60 0,001016 253,24 0,8299 80 0,001028 336,90 1,0738 100 0,001042 420,90 1,3051 120 0,001059 505,40 1,5257 140 0,001078 590,59 1,7371 160 0,001101 676,67 1,9405 180 0,001126 763,94 2,1375 200 0,001156 852,77 2,3293 220 0,001190 943,69 2,5175 240 0,084437 2852,28 6,3555 260 0,089553 2908,19 6,4624 280 0,094351 2960,16 6,5581 300 0,098932 3009,63 6,6460 320 0,103357 3057,40 6,7279 340 0,107664 3104,01 6,8052 360 0,111881 3149,81 6,8787 380 0,116026 3195,07 6,9491

Tab. 40.6 (Fortsetzung)

50 bar ts D 263;94 ı C v 00 h00 s 00 0,03945 2794,2 5,9737 v h s [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 0,000998 5,03 0,0001 0,000998 46,88 0,1506 0,001000 88,61 0,2955 0,001006 171,96 0,5705 0,001015 255,33 0,8286 0,001027 338,89 1,0721 0,001041 422,78 1,3032 0,001058 507,17 1,5235 0,001077 592,22 1,7345 0,001099 678,14 1,9376 0,001124 765,22 2,1341 0,001153 853,80 2,3254 0,001187 944,38 2,5129 0,001227 1037,68 2,6983 0,001275 1134,77 2,8839 0,042275 2858,08 6,0909 0,045347 2925,64 6,2109 0,048130 2986,18 6,3148 0,050726 3042,36 6,4080 0,053188 3095,62 6,4934 0,055552 3146,83 6,5731 100 bar ts v 00 0,01803 v [m3 =kg] 0,000995 0,000996 0,000997 0,001004 0,001013 0,001024 0,001039 0,001055 0,001074 0,001095 0,001120 0,001148 0,001181 0,001219 0,001265 0,001323 0,001398 0,019272 0,021490 0,023327 0,024952

D 311;0 ı C h00 s 00 2725,5 5,6159 h s [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 10,07 0,0003 51,72 0,1501 93,29 0,2944 176,37 0,5685 259,53 0,8259 342,87 1,0689 426,55 1,2994 510,70 1,5190 595,49 1,7294 681,11 1,9318 767,81 2,1274 855,92 2,3177 945,87 2,5039 1038,30 2,6876 1134,13 2,8708 1234,82 3,0561 1343,10 3,2484 2782,66 5,7131 2882,06 5,8780 2962,61 6,0073 3033,11 6,1170 150 bar ts v 00 0,01034 v [m3 =kg] 0,000993 0,000993 0,000995 0,001001 0,001011 0,001022 0,001036 0,001052 0,001071 0,001092 0,001116 0,001144 0,001175 0,001212 0,001256 0,001310 0,001378 0,001473 0,001631 0,012582 0,014289

D 342;16 ı C h00 s 00 2610,9 5,3108 h s [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 15,07 0,0004 56,52 0,1495 97,94 0,2932 180,78 0,5666 263,71 0,8233 346,85 1,0657 430,32 1,2956 514,25 1,5147 598,79 1,7244 684,12 1,9261 770,46 2,1209 858,12 2,3102 947,49 2,4952 1039,13 2,6774 1133,83 2,8584 1232,79 3,0406 1338,06 3,2275 1453,85 3,4260 1592,27 3,6553 2769,56 5,5654 2884,61 5,7445 200 bar ts v 00 0,00586 v [m3 =kg] 0,000990 0,000991 0,000993 0,000999 0,001008 0,001020 0,001034 0,001050 0,001068 0,001089 0,001112 0,001139 0,001170 0,001205 0,001247 0,001298 0,001361 0,001445 0,001569 0,001825 0,008258

D 365;765 ı C h00 s 00 2411,4 4,9299 h s [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 20,03 0,0005 61,30 0,1489 102,57 0,2921 185,17 0,5646 267,89 0,8207 350,83 1,0625 434,10 1,2918 517,81 1,5104 602,11 1,7195 687,15 1,9205 773,16 2,1146 860,39 2,3030 949,22 2,4868 1040,14 2,6675 1133,83 2,8466 1231,29 3,0261 1334,14 3,2087 1445,30 3,3993 1571,52 3,6085 1740,13 3,8787 2659,19 5,3144

40 Stoffthermodynamik 767

40

p ! 25 bar ts D 223;96 ı C v 00 h00 s 00 0,07995 2802,2 6,2560 t v h s [°C] [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 400 0,120115 3239,96 7,0168 420 0,124156 3284,63 7,0822 440 0,128159 3329,15 7,1455 460 0,132129 3373,62 7,2070 480 0,136072 3418,08 7,2668 500 0,139990 3462,59 7,3251 520 0,143887 3507,17 7,3821 540 0,147766 3551,85 7,4377 560 0,151629 3596,67 7,4922 580 0,155477 3641,64 7,5455 600 0,159313 3686,76 7,5978 620 0,163138 3732,07 7,6491 640 0,166953 3777,57 7,6995 660 0,170758 3823,27 7,7490 680 0,174556 3869,17 7,7976 700 0,178346 3915,30 7,8455 720 0,182129 3961,64 7,8927 740 0,185907 4008,21 7,9391 760 0,189679 4055,01 7,9848 780 0,193446 4102,04 8,0299 800 0,197208 4149,32 8,0744

Tab. 40.6 (Fortsetzung)

50 bar ts D 263;94 ı C v 00 h00 s 00 0,03945 2794,2 5,9737 v h s [m3 =kg] [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 0,057840 3196,59 6,6481 0,060068 3245,31 6,7194 0,062249 3293,27 6,7877 0,064391 3340,68 6,8532 0,066501 3387,71 6,9165 0,068583 3434,48 6,9778 0,070642 3481,06 7,0373 0,072681 3527,54 7,0952 0,074703 3573,96 7,1516 0,076710 3620,38 7,2066 0,078703 3666,83 7,2604 0,080684 3713,34 7,3131 0,082655 3759,94 7,3647 0,084616 3806,65 7,4153 0,086569 3853,48 7,4650 0,088515 3900,45 7,5137 0,090453 3947,58 7,5617 0,092385 3994,88 7,6088 0,094312 4042,35 7,6552 0,096234 4090,02 7,7009 0,098151 4137,87 7,7459 100 bar ts v 00 0,01803 v [m3 =kg] 0,026439 0,027829 0,029148 0,030410 0,031629 0,032813 0,033968 0,035098 0,036208 0,037300 0,038377 0,039442 0,040494 0,041536 0,042569 0,043594 0,044612 0,045623 0,046629 0,047629 0,048624

D 311;0 ı C h00 s 00 2725,5 5,6159 h s [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 3097,38 6,2139 3157,45 6,3019 3214,57 6,3831 3269,53 6,4591 3322,89 6,5310 3375,06 6,5993 3426,31 6,6648 3476,87 6,7277 3526,90 6,7885 3576,52 6,8474 3625,84 6,9045 3674,95 6,9601 3723,89 7,0143 3772,73 7,0672 3821,51 7,1189 3870,27 7,1696 3919,04 7,2192 3967,85 7,2678 4016,72 7,3156 4065,68 7,3625 4114,73 7,4087 150 bar ts v 00 0,01034 v [m3 =kg] 0,015671 0,016875 0,017965 0,018974 0,019924 0,020828 0,021696 0,022535 0,023350 0,024144 0,024921 0,025683 0,026432 0,027171 0,027899 0,028619 0,029332 0,030037 0,030736 0,031430 0,032118

D 342;16 ı C h00 s 00 2610,9 5,3108 h s [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 2975,55 5,8817 3053,94 5,9965 3124,58 6,0970 3190,02 6,1875 3251,76 6,2706 3310,79 6,3479 3367,79 6,4207 3423,22 6,4897 3477,46 6,5556 3530,75 6,6188 3583,31 6,6797 3635,28 6,7386 3686,79 6,7956 3737,95 6,8510 3788,82 6,9050 3839,48 6,9576 3889,99 7,0090 3940,39 7,0592 3990,72 7,1084 4041,03 7,1566 4091,33 7,2039 200 bar ts v 00 0,00586 v [m3 =kg] 0,009950 0,011199 0,012246 0,013170 0,014011 0,014793 0,015530 0,016231 0,016904 0,017554 0,018184 0,018799 0,019399 0,019987 0,020564 0,021133 0,021693 0,022246 0,022792 0,023333 0,023869

D 365;765 ı C h00 s 00 2411,4 4,9299 h s [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 2816,84 5,5525 2928,51 5,7160 3020,26 5,8466 3100,57 5,9577 3173,45 6,0558 3241,19 6,1445 3305,21 6,2263 3366,45 6,3026 3425,57 6,3744 3483,05 6,4426 3539,23 6,5077 3594,37 6,5701 3648,69 6,6303 3702,35 6,6884 3755,46 6,7447 3808,15 6,7994 3860,50 6,8527 3912,57 6,9046 3964,43 6,9553 4016,13 7,0048 4067,73 7,0534

768 P. Stephan und K. Stephan

p! t [°C] 0 10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380

250 bar v [m3 =kg] 0,000988 0,000989 0,000991 0,000997 0,001006 0,001018 0,001031 0,001047 0,001065 0,001085 0,001108 0,001135 0,001164 0,001199 0,001239 0,001287 0,001346 0,001421 0,001526 0,001697 0,002218

h [kJ=kg] 24,96 66,06 107,18 189,54 272,07 354,82 437,88 521,38 605,45 690,22 775,90 862,73 951,06 1041,31 1134,08 1230,24 1331,06 1438,72 1557,48 1698,63 1935,67

Tab. 40.6 (Fortsetzung)

s [kJ=(kg K)] 0,0004 0,1482 0,2909 0,5627 0,8181 1,0593 1,2881 1,5061 1,7147 1,9150 2,1084 2,2959 2,4787 2,6581 2,8355 3,0125 3,1915 3,3761 3,5729 3,7993 4,1670

300 bar v [m3 =kg] 0,000986 0,000987 0,000989 0,000995 0,001004 0,001016 0,001029 0,001045 0,001062 0,001082 0,001105 0,001130 0,001159 0,001193 0,001231 0,001277 0,001332 0,001401 0,001493 0,001628 0,001873 h [kJ=kg] 29,86 70,79 111,78 193,91 276,24 358,80 441,67 524,97 608,80 693,31 778,68 865,14 952,99 1042,62 1134,57 1229,56 1328,66 1433,51 1547,07 1675,57 1838,26

s [kJ=(kg K)] 0,0003 0,1474 0,2897 0,5607 0,8156 1,0562 1,2845 1,5019 1,7099 1,9097 2,1023 2,2890 2,4709 2,6490 2,8248 2,9997 3,1756 3,3554 3,5437 3,7498 4,0026

350 bar v [m3 =kg] 0,000983 0,000984 0,000987 0,000993 0,001002 0,001013 0,001027 0,001042 0,001060 0,001079 0,001101 0,001126 0,001155 0,001187 0,001224 0,001268 0,001320 0,001384 0,001466 0,001579 0,001755 h [kJ=kg] 34,72 75,49 116,35 198,27 280,40 362,78 445,47 528,56 612,18 696,44 781,51 867,60 955,00 1044,06 1135,25 1229,20 1326,81 1429,36 1538,97 1659,61 1800,51

s [kJ=(kg K)] 0,0001 0,1466 0,2884 0,5588 0,8130 1,0531 1,2809 1,4978 1,7052 1,9044 2,0964 2,2823 2,4632 2,6402 2,8145 2,9875 3,1608 3,3367 3,5184 3,7119 3,9309

400 bar v [m3 =kg] 0,000981 0,000982 0,000985 0,000991 0,001000 0,001011 0,001024 0,001040 0,001057 0,001076 0,001098 0,001122 0,001150 0,001181 0,001217 0,001259 0,001308 0,001368 0,001443 0,001542 0,001682 h s [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 39,56 0,0002 80,17 0,1458 120,90 0,2872 202,61 0,5568 284,56 0,8105 366,76 1,0501 449,26 1,2773 532,17 1,4937 615,57 1,7006 699,59 1,8992 784,37 2,0906 870,12 2,2758 957,10 2,4558 1045,62 2,6317 1136,11 2,8047 1229,13 2,9760 1325,41 3,1469 1426,02 3,3195 1532,52 3,4960 1647,62 3,6807 1776,72 3,8814

500 bar v [m3 =kg] 0,000977 0,000978 0,000980 0,000987 0,000996 0,001007 0,001020 0,001035 0,001052 0,001070 0,001091 0,001115 0,001141 0,001171 0,001204 0,001243 0,001288 0,001341 0,001405 0,001485 0,001588

h s [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 49,13 0,0010 89,46 0,1440 129,96 0,2845 211,27 0,5528 292,86 0,8054 374,71 1,0440 456,87 1,2703 539,41 1,4858 622,40 1,6917 705,95 1,8891 790,20 2,0793 875,31 2,2631 961,50 2,4415 1049,05 2,6155 1138,29 2,7861 1229,67 2,9543 1323,74 3,1214 1421,22 3,2885 1523,05 3,4574 1630,63 3,6300 1746,51 3,8101

40 Stoffthermodynamik 769

40

p! t [°C] 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700 720 740 760 780 800

250 bar v [m3 =kg] 0,006005 0,007579 0,008697 0,009617 0,010418 0,011142 0,011810 0,012435 0,013028 0,013595 0,014140 0,014667 0,015179 0,015678 0,016165 0,016643 0,017113 0,017575 0,018030 0,018479 0,018922

h [kJ=kg] 2578,59 2769,45 2897,06 2999,20 3087,11 3165,92 3238,48 3306,55 3371,29 3433,49 3493,69 3552,32 3609,69 3666,03 3721,54 3776,37 3830,64 3884,47 3937,92 3991,08 4044,00

Tab. 40.6 (Fortsetzung)

s [kJ=(kg K)] 5,1399 5,4196 5,6013 5,7426 5,8609 5,9642 6,0569 6,1416 6,2203 6,2941 6,3638 6,4302 6,4937 6,5548 6,6136 6,6706 6,7258 6,7794 6,8317 6,8826 6,9324

300 bar v [m3 =kg] 0,002796 0,004921 0,006228 0,007193 0,007992 0,008690 0,009320 0,009899 0,010442 0,010955 0,011444 0,011914 0,012368 0,012808 0,013236 0,013654 0,014063 0,014464 0,014858 0,015246 0,015629 h [kJ=kg] 2152,37 2552,87 2748,86 2883,84 2991,99 3084,79 3167,67 3243,71 3314,82 3382,25 3446,87 3509,28 3569,91 3629,12 3687,16 3744,24 3800,53 3856,17 3911,27 3965,93 4020,23

s [kJ=(kg K)] 4,4750 5,0625 5,3416 5,5284 5,6740 5,7956 5,9015 5,9962 6,0826 6,1626 6,2374 6,3081 6,3752 6,4394 6,5009 6,5602 6,6175 6,6729 6,7268 6,7792 6,8303

350 bar v [m3 =kg] 0,002106 0,003082 0,004413 0,005436 0,006246 0,006933 0,007540 0,008089 0,008597 0,009073 0,009523 0,009953 0,010365 0,010763 0,011149 0,011524 0,011889 0,012247 0,012598 0,012942 0,013280 h [kJ=kg] 1988,43 2291,32 2571,64 2753,55 2888,06 2998,02 3093,08 3178,24 3256,46 3329,64 3399,02 3465,45 3529,55 3591,77 3652,46 3711,88 3770,27 3827,78 3884,58 3940,78 3996,48

s [kJ=(kg K)] 4,2140 4,6570 5,0561 5,3079 5,4890 5,6331 5,7546 5,8606 5,9557 6,0425 6,1229 6,1981 6,2691 6,3365 6,4008 6,4625 6,5219 6,5793 6,6348 6,6887 6,7411

400 bar v [m3 =kg] 0,001911 0,002361 0,003210 0,004149 0,004950 0,005625 0,006213 0,006740 0,007221 0,007669 0,008089 0,008488 0,008869 0,009235 0,009589 0,009931 0,010264 0,010589 0,010906 0,011217 0,011523 h s [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 1931,13 4,1141 2136,30 4,4142 2394,03 4,7807 2613,32 5,0842 2777,18 5,3048 2906,69 5,4746 3015,42 5,6135 3110,69 5,7322 3196,67 5,8366 3276,01 5,9308 3350,43 6,0170 3421,10 6,0970 3488,82 6,1720 3554,17 6,2428 3617,59 6,3100 3679,42 6,3743 3739,95 6,4358 3799,38 6,4951 3857,91 6,5523 3915,68 6,6077 3972,81 6,6614

500 bar v [m3 =kg] 0,001731 0,001940 0,002266 0,002745 0,003319 0,003889 0,004417 0,004896 0,005332 0,005734 0,006109 0,006461 0,006796 0,007115 0,007422 0,007718 0,008004 0,008281 0,008552 0,008816 0,009074

h s [kJ=kg] [kJ=(kg K)] 1874,31 4,0028 2020,07 4,2161 2190,53 4,4585 2380,52 4,7212 2563,86 4,9680 2722,52 5,1759 2857,36 5,3482 2973,16 5,4924 3075,37 5,6166 3167,66 5,7261 3252,61 5,8245 3332,05 5,9145 3407,21 5,9977 3478,99 6,0755 3548,00 6,1487 3614,76 6,2180 3679,64 6,2840 3742,97 6,3471 3804,99 6,4078 3865,93 6,4662 3925,96 6,5226

770 P. Stephan und K. Stephan

40 Stoffthermodynamik

771

Tab. 40.7 Zustandsgrößen von Ammoniak, NH3 , bei Sättigunga Tempe- Druck ratur p t [°C] 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

[bar] 0,10941 0,21893 0,40836 0,71692 1,1943 1,9008 2,9071 4,2938 6,1505 8,5748 11,672 15,554 20,340 26,156 33,135 41,420 51,167 62,553 75,783 91,125 108,98

Spez. Volumen Flüssigkeit Dampf v0 v 00 3 [dm =kg] [dm3 =kg] 1,3798 9007,9 1,4013 4705,7 1,4243 2627,8 1,4490 1553,3 1,4753 963,96 1,5035 623,73 1,5336 418,3 1,5660 289,3 1,6009 205,43 1,6388 149,2 1,6802 110,46 1,7258 83,101 1,7766 63,350 1,8340 48,797 1,9000 37,868 1,9776 29,509 2,0714 22,997 2,1899 17,820 2,3496 13,596 2,5941 9,9932 3,2021 6,3790

Enthalpie Flüssigkeit h0 [kJ=kg] 110,81 68,062 24,727 19,170 63,603 108,55 154,01 200,00 246,57 293,78 341,76 390,64 440,62 491,97 545,04 600,34 658,61 821,00 789,68 869,92 992,02

Dampf h00 [kJ=kg] 1355,6 1373,7 1391,2 1407,8 1423,3 1437,7 1450,7 1462,2 1472,1 1480,2 1486,2 1489,9 1491,1 1489,3 1483,9 1474,3 1459,2 1436,6 1403,1 1350,2 1239,3

Verdampfungsenthalpie r D h00  h0 [kJ=kg] 1466,4 1441,8 1415,9 1388,6 1359,7 1329,1 1296,7 1262,2 1225,5 1186,4 1144,4 1099,3 1050,5 997,3 938,9 873,97 800,58 715,63 613,39 480,31 247,30

Entropie Flüssigkeit s0 [kJ=(kg K)] 0,30939 0,10405 0,09450 0,28673 0,47303 0,65376 0,82928 1,0000 1,1664 1,3289 14881 1,6446 1,7990 1,9523 2,1054 2,2596 2,4168 2,5797 2,7533 2,9502 3,2437

Dampf s 00 [kJ=(kg K)] 6,9088 6,6602 6,4396 6,2425 6,0651 5,9041 5,7569 5,6210 5,4946 5,3759 5,2631 5,1549 5,0497 4,9458 4,8415 4,7344 4,6213 4,4975 4,3543 4,1719 3,8571

a Nach Tillner-Roth, R.; Harms-Watzenberg, F.; Baehr, H.D.: Eine neue Fundamentalgleichung für Ammoniak. DKVTagungsbericht (20), Nürnberg 1993, Band II/1, S. 167–181. Am Bezugszustand # D 0 ı C auf der Siedelinie nimmt die spezifische Enthalpie den Wert h0 D 200;0 kJ=kg und die spezifische Entropie den Wert s 0 D 1;0 kJ=.kg K/ an.

40

772

P. Stephan und K. Stephan

Tab. 40.8 Zustandsgrößen von Kohlendioxid, CO2 bei Sättigunga Tempe- Druck ratur p t [°C] 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 30

[bar] 5,540 6,824 8,319 10,05 12,02 14,28 16,83 19,70 22,91 26,49 30,46 34,85 39,69 45,02 50,87 57,29 64,34 72,14

Spez. Volumen Flüssigkeit Dampf v0 v 00 3 [dm =kg] [dm3 =kg] 0,8526 68,15 0,8661 55,78 0,8804 46,04 0,8957 38,28 0,9120 32,03 0,9296 26,95 0,9486 22,79 0,9693 19,34 0,9921 16,47 1,017 14,05 1,046 12,00 1,078 10,24 1,116 8,724 1,161 7,399 1,218 6,222 1,293 5,150 1,408 4,121 1,686 2,896

Enthalpie Flüssigkeit h0 [kJ=kg] 83,02 92,93 102,9 112,9 123,1 133,4 143,8 154,5 165,4 176,5 188,0 200,0 212,5 225,7 240,0 255,8 274,8 304,6

Dampf h00 [kJ=kg] 431,0 432,7 434,1 435,3 436,2 436,8 437,0 436,9 436,3 435,1 433,4 430,9 427,5 422,9 416,6 407,9 394,5 365,0

Verdampfungsenthalpie r D h00  h0 [kJ=kg] 348,0 339,8 331,2 322,4 313,1 303,4 293,2 282,4 270,9 258,6 245,3 230,9 215,0 197,1 176,7 152,0 119,7 60,50

Entropie Flüssigkeit s0 [kJ=(kg K)] 0,5349 0,5793 0,6229 0,6658 0,7081 0,7500 0,7915 0,8329 0,8743 0,9157 0,9576 1,000 1,043 1,088 1,136 1,188 1,249 1,343

Dampf s 00 [kJ=(kg K)] 2,130 2,102 2,075 2,048 2,023 1,998 1,973 1,949 1,924 1,898 1,872 1,845 1,816 1,785 1,749 1,706 1,650 1,543

a Nach Span, R.; Wagner, W.: A new equation of state for carbon dioxid covering the fluid region from the Triple-Point Temperature to 1100 K at pressures up to 800 MPa. J. Phys. Chem. Ref. Data 25 (1996), S. 1509–1596. Bezugspunkte siehe Fußnote 1 in Tab. 40.7.

40 Stoffthermodynamik

773

Tab. 40.9 Zustandsgrößen von Tetrafluorethan C2 H2 F4 (R134a) bei Sättigunga Tempe- Druck ratur p t [°C] 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Spez. Volumen Flüssigkeit Dampf v0 v 00 [bar] [dm3 =kg] [dm3 =kg] 0,0055940 0,63195 25 193 0,0093899 0,63729 15 435 0,015241 0,64274 9769,8 0,023990 0,64831 6370,7 0,036719 0,65401 4268,2 0,054777 0,65985 2931,2 0,079814 0,66583 2059,0 0,11380 0,67197 1476,5 0,15906 0,67827 1079,0 0,21828 0,68475 802,36 0,29451 0,069142 606,20 0,39117 0,69828 464,73 0,51209 0,70537 361,08 0,66144 0,71268 284,02 0,84378 0,72025 225,94 1,0640 0,72809 181,62 1,3273 0,73623 147,39 1,6394 0,74469 120,67 2,0060 0,75351 99,590 2,4334 0,76271 82,801 2,9280 0,77233 69,309 3,4966 0,78243 58,374 4,1461 0,79305 49,442 4,8837 0,80425 42,090 5,7171 0,81610 35,997 6,6538 0,82870 30,912 7,7020 0,84213 26,642 8,8698 0,85653 23,033 10,166 0,87204 19,966 11,599 0,88885 17,344 13,179 0,90719 15,089 14,915 0,92737 13,140 16,818 0,94979 11,444 18,898 0,97500 9,9604 21,168 1,0038 8,6527 23,641 1,0372 7,4910 26,332 1,0773 6,4483 29,258 1,1272 5,4990 32,442 1,1936 4,6134 35,912 1,2942 3,7434 39,724 1,5357 2,6809

Enthalpie Flüssigkeit h0 [kJ=kg] 75,362 81,288 87,226 93,182 99,161 105,17 111,20 117,26 123,36 129,50 135,67 141,89 148,14 154,44 160,79 167,19 173,64 180,14 186,70 193,32 200,00 206,75 213,58 220,48 227,47 234,55 241,72 249,01 256,41 263,94 271,62 279,47 287,50 295,76 304,28 313,13 322,39 332,22 342,93 355,25 373,30

Dampf h00 [kJ=kg] 336,85 339,78 342,76 345,77 348,83 351,91 355,02 358,16 361,31 364,48 367,65 370,83 374,00 377,17 380,32 383,45 386,55 389,63 392,66 395,66 398,60 401,49 404,32 407,07 409,75 412,33 414,82 417,19 419,43 421,52 423,44 425,15 426,63 427,82 428,65 429,03 428,81 427,76 425,42 420,67 407,68

Verdampfungsenthalpie r D h00  h0 [kJ=kg] 261,49 258,50 255,53 252,59 249,67 246,74 243,82 240,89 237,95 234,98 231,98 228,94 225,86 222,72 219,53 216,26 212,92 209,49 205,97 202,34 198,60 194,74 190,74 186,59 182,28 177,79 173,10 168,18 163,02 157,58 151,81 145,68 139,12 132,06 124,37 115,90 106,42 95,536 82,487 65,423 34,385

Entropie Flüssigkeit s0 [kJ=(kg K)] 0,43540 0,46913 0,50201 0,53409 0,56544 0,59613 0,62619 0,65568 0,68462 0,71305 0,74101 0,76852 0,79561 0,82230 0,84863 0,87460 0,90025 0,92559 0,95065 0,97544 1,0000 1,0243 1,0485 1,0724 1,0962 1,1199 1,1435 1,1670 1,1905 1,2139 1,2375 1,2611 1,2848 1,3088 1,3332 1,3580 1,3836 1,4104 1,4390 1,4715 1,5188

Dampf s 00 [kJ=(kg K)] 1,9456 1,9201 1,8972 1,8766 1,8580 1,8414 1,8264 1,8130 1,8010 1,7902 1,7806 1,7720 1,7643 1,7575 1,7515 1,7461 1,7413 1,7371 1,7334 1,7300 1,7271 1,7245 1,7221 1,7200 1,7180 1,7162 1,7145 1,7128 1,7111 1,7092 1,7072 1,7050 1,7024 1,6993 1,6956 1,6909 1,6850 1,6771 1,6662 1,6492 1,6109

a Nach Tillner-Roth, R.: Die thermodynamischen Eigenschaften von R134a, R152a und ihren Gemischen – Messungen und Fundamentalgleichungen – Forsch.-Ber. DKV (1993), und Tillner-Roth, R.; Baehr, H.D.: An international standard formulation for the thermodynamic properties of 1,1,1,2-tetrafluoroethane (HFC-134a) for temperatures from 170 K to 455 K and pressures up to 70 MPa. J. Phys. Chem. Ref. Data 23 (1994) 5, 657–729. Bezugspunkte siehe Fußnote 1 in Tab. 40.7.

40

Stoff Aluminium Blei Al-Cu-Mg [0,95 Al; 0,04 Cu + Mg, Mn, St., Fe] Eisen-Nickel-Leg. [0,64 Fe; 0,36 Ni] Eisen-Nickel-Leg. [0,77 Fe; 0,23 Ni] Glas: Jenaer 16 III Glas: Jenaer 1565 III Gold Grauguss Konstantan [0,60 Cu; 0,40 Ni] Kupfer Magnesia gesintert Magnesium Manganbronze [0,85 Cu; 0,09 Mn; 0,06 Sn] Manganin [0,84 Cu; 0,12 Mn; 0,04 Ni] Messing [0,62 Cu; 0,38 Zn] Molybdän Nickel Palladium Platin Platin-Iridium-Leg. [0,80 Pt; 0,20 Ir] Quarzglas Silber Sinterkorund Stahl, weich Stahl, hart Zink Zinn Wolfram 3,65

2,60 1,75 1,75

4,01 2,84

1,84 0,52 1,30 1,19 0,90 0,83 0,05 1,95 1,20 1,17 1,65 2,67 0,45

3,11

0,79 1,89 1,93 1,51 1,43

+0,03 3,22

1,67 1,64 1,85 4,24 0,73

0,19 6,08 2,00 3,92 3,83

1,40

0,90

1,64 4,30 3,70 2,78 2,59

6,03

5,60

5,15 3,60 8,36 5,50

2,60 1,12 4,44 3,49 4,81

1,90

0,25 8,23 2,75 5,44 5,31

2,24 5,95 5,02 3,76 3,51

8,39

7,55

7,07 4,90 11,53 7,51

3,59 1,56 6,01 4,90 6,57

4,00

2,80

2,25

0,31 10,43 3,60 7,06 6,91

7,60 6,38 4,77 4,45

9,70

9,04 6,30 14,88 9,61

4,63 2,02 7,62 6,44 8,41

5,25

4,70

13,65

10,70 3,10

0. . . 500 13,70

0. . . 400 10,60

1,60

0. . . 300 7,65 9,33 7,80

0,12 4,00 1,30 2,51 2,45

1,07 2,75 2,42 1,83 1,70

3,85

3,38 2,45 5,41 3,58

1,65

2,65

2,48 1,59 2,26

1,67 0,72 2,92 2,21 3,12

0,81 0,345 1,42 1,04 1,52

0,75

0. . . 200 4,90 5,93 4,90

1,13

0,15

0. . . 190 0. . . 100 3,43 2,38 5,08 2,90 2,35

2,70

0,36 12,70 4,45 8,79 8,60

9,27 7,79 5,80 5,43

11,90

11,09 7,75

9,35 8,09

6,50

6,50

0. . . 600 17,00

3,15

0,40 15,15 5,30 10,63 10,40

11,05 9,24 6,86 6,43

14,3

9,30

11,15 9,87

7,80

8,5

0. . . 700

3,60

0,45 17,65 6,25

12,89 10,74 7,94 7,47

16,80

10,80

13,00 11,76

9,25

10,5

0. . . 800

4,60

8,15

7,15

4,05

0,54

16,80 13,86 10,19 9,62

13,90

11,85

0. . . 1000

0,50

14,80 12,27 9,05 8,53

12,35

14,90

10,50

12,55

0. . . 900

Tab. 40.10 Thermische Längenausdehnung .l  l0 /= l0 einiger fester Körper in mm=m im Temperaturintervall zwischen 0 °C und t °C; l0 ist die Länge bei 0 °C

774 P. Stephan und K. Stephan

40 Stoffthermodynamik

775

Tab. 40.11 Wärmetechnische Werte: Dichte %, spezifische Wärmekapazität cp für 0 bis 100 °C, Schmelztemperatur tE , Schmelzenthalpie hE , Siedetemperatur ts und Verdampfungsenthalpie r  cp tE [kg=dm3 ] [kJ=(kg K)] [°C] Feste Stoffe (Metalle und Schwefel) bei 1,0132 bar Aluminium 2,70 0,921 660 Antimon 6,69 0,209 630,5 Blei 11,34 0,130 327,3 Chrom 7,19 0,506 1890 Eisen (rein) 7,87 0,465 1530 Gold 19,32 0,130 1063 Iridium 22,42 0,134 2454 Kupfer 8,96 0,385 1083 Magnesium 1,74 1,034 650 Mangan 7,3 0,507 1250 Molybdän 10,2 0,271 2625 Nickel 8,90 0,444 1455 Platin 21,45 0,134 1773 Quecksilber 13,55 0,138 38,9 Silber 10,45 0,234 960,8 Titan 4,54 0,471 1800 Wismut 9,80 0,126 271 Wolfram 19,3 0,134 3380 Zink 7,14 0,385 419,4 Zinn 7,28 0,226 231,9 Schwefel (rhombisch) 2,07 0,720 112,8 Flüssigkeiten bei 1,0132 bar Ethylalkohol 0,79 2,470 114,5 Ethylether 0,71 2,328 116,3 Aceton 0,79 2,160 94,3 Benzol 0,88 1,738 5,5 Glycerina 1,26 2,428 18,0 Kochsalzlösung (gesätt.) 1,19 3,266 18,0 Meerwasser (3,5 % Salzgehalt) 1,03 — 2,0 Methylalkohol 0,79 2,470 98,0 n-Heptan 0,68 2,219 90,6 n-Hexan 0,66 1,884 95,3 Terpentinöl 0,87 1,800 10,0 Wasser 1,00 4,183 0,0

hE [kJ=kg]

ts [°C]

355,9 167,5 23,9 293,1 272,1 67,0 117,2 209,3 209,3 251,2  293,1 113,0 11,7 104,7  54,4 251,2 112,2 58,6 39,4

2270 1635 1730 2642 2500 2700 2454 2330 1100 2100 3560 3000 3804 357 1950 3000 1560 6000 907 2300 444,6

104,7 100,5 96,3 127,3 200,5   100,5 141,5 146,5 116,0 333,5

78,3 34,5 56,1 80,1 290,0 108,0 100,5 64,5 98,4 68,7 160,0 100,0

r [kJ=kg] 11 723 1256 921 6155 6364 1758 3894 4647 5652 4187 7118 6197 2512 301 2177  837 4815 1800 2596 293 841,6 360,1 523,4 395,7 854,1   1101,1 318,2 330,8 293,1 2257,1

40

776

P. Stephan und K. Stephan

Tab. 40.11 (Fortsetzung)  [kg=m3 ] Gase bei 1,0132 bar und 0 °C Ammoniak Argon Ethylen Helium Kohlendioxid Kohlenoxid Luft Methan Sauerstoff Schwefeldioxid Stickstoff Wasserstoff a b

0,771 1,784 1,261 0,178 1,977 1,250 1,293 0,717 1,429 2,926 1,250 0,09

cp tE [kJ=(kg K)] [°C] 2,060 0,523 1,465 5,234 0,825 1,051 1,001 2,177 0,913 0,632 1,043 14,235

77,7 189,4 169,5  56,6 205,1  182,5 218,8 75,5 210,0 259,2

hE [kJ=kg] 332,0 29,3 104,3 37,7 180,9 30,1  58,6 13,8 115,6 25,5 58,2

ts [°C] 33,4 185,9 103,9 268,9 78,5b 191,5 194,0 161,5 183,0 10,2 195,8 252,8

r [kJ=kg] 1371 163 523 21 574 216 197 548 214 390 198 454

Erstarrungspunkt bei 0 °C. Schmelz- und Gefrierpunkt fallen nicht immer zusammen. CO2 siedet nicht, sondern sublimiert bei 1,0132 bar.

Tab. 40.12 Debye-Temperaturen einiger Stoffe Stoffgruppe Metall

Andere Stoffe

Stoff Pb Hg Cd Na Ag Ca Zn Cu Al Fe KBr KCI NaCI C

=K 95 71,9 209 158 215 230 200 343,5 428 470 177 230 321 2230

Literatur Spezielle Literatur 1. Dymond, J.H., Marsh, K.N., Wilhoit, R.C., Wong, K.C.: Landolt-Börnstein: Virial Coefficients of Pure Gases and Mixtures. Virial Coefficients of Pure Gases, New Series IV/21A, Springer-Verlag (2002) 2. Dymond, J.R., Smith, E.B.: The virial coefficients of pure gases and mixtures. Clarendon, Oxford (1980) 3. Reid, R.C., Prausnitz, J.M., Poling, B.E.: The properties of gases and liquids. 4th ed. McGraw-Hill, New York (1986) 4. Wagner, W., Kretzschmar, H.J.: IAPWS industrial formulation 1997 for the thermodynamic properties of water and steam. International Steam Tables: Properties of Water and Steam Based on the Industrial Formulation IAPWS-IF97 (2008), 7–150 5. Baehr, H.D., Schwier, K.: Die thermodynamischen Eigenschaften der Luft im Temperaturbereich zwischen 210°C und +1250°C bis zu Drücken von 4500 bar. Springer-Verlag (2013) 6. Span, R., Wagner, W.: Equations of state for technical applications. III. Results for polar fluids. Int. J. Thermophysics 24 (2003), 111–162

Zustandsänderungen von Gasen und Dämpfen

41

Peter Stephan und Karl Stephan

41.1 Zustandsänderungen ruhender Gase und Dämpfe Das geschlossene thermodynamische System habe die Masse m, die als Ganzes nicht bewegt wird. Man unterscheidet folgende Zustandsänderungen als idealisierte Grenzfälle der wirklichen Zustandsänderungen. Zustandsänderungen bei konstantem Volumen oder isochore Zustandsänderungen. Hierbei bleibt das Gasvolumen unverändert; z. B. wenn sich ein Gasvolumen in einem Behälter mit starren Wänden befindet. Es wird keine Arbeit verrichtet. Die zugeführte Wärme dient zur Änderung der inneren Energie. Zustandsänderungen bei konstantem Druck oder isobare Zustandsänderungen. Um den Druck konstant zu halten, muss ein Gas bei Wärmezufuhr sein Volumen ausreichend vergrößern. Die zugeführte Wärme bewirkt bei reversibler Zustandsänderung eine Erhöhung der Enthalpie. Zustandsänderungen bei konstanter Temperatur oder isotherme Zustandsänderungen. Damit bei der Expansion eines Gases die Temperatur konstant bleibt, muss man Wärme zuführen, bei der Kompression Wärme abführen (von einigen P. Stephan () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K. Stephan Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland E-Mail: [email protected]

wenigen Ausnahmen abgesehen). Im Fall des idealen Gases ist U.T / D const, und daher nach dem ersten Hauptsatz .dQ C dW D 0/ die zugeführte Wärme gleich der abgegebenen Arbeit. Die Isotherme des idealen Gases .pV D mRT D const/ stellt sich im p, V-Diagramm als Hyperbel dar. Adiabate Zustandsänderungen sind gekennzeichnet durch wärmedichten Abschluss des Systems von seiner Umgebung. Sie werden näherungsweise in Verdichtern und Entspannungsmaschinen verwirklicht, weil dort Verdichtung und Entspannung der Gase so rasch ablaufen, dass während einer Zustandsänderung wenig Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Nach dem zweiten Hauptsatz (s. Abschn. 38.3.1) wird die gesamte Entropieänderung durch Irreversibilitäten im Inneren des Systems bewirkt, SP D SPi . Eine reversible Adiabate verläuft bei konstanter Entropie SP D 0. Man nennt eine solche Zustandsänderung isentrop. Eine reversible Adiabate ist daher gleichzeitig Isentrope. Die Isentrope braucht aber keine Adiabate zu sein (da SP D SPQ C SPi D 0 nicht auch SPQ D 0 zur Folge hat). In Abb. 41.1 sind die verschiedenen Zustandsänderungen im p, V- und T, S-Diagramm dargestellt und die wichtigsten Zusammenhänge für Zustandsgrößen idealer Gase angegeben. Polytrope Zustandsänderungen. Während die isotherme Zustandsänderung vollkommenen Wärmeaustausch voraussetzt, ist bei der adiabaten Zustandsänderung jeder Wärmeaustausch mit der Umgebung unterbunden. In Wirklichkeit

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_41

777

778

P. Stephan und K. Stephan

Abb. 41.2 Polytropen mit verschiedenen Exponenten

Die ausgetauschte Wärme ist Q12 D mcv .n  /.T2  T1 /=.n  1/ : (41.4)

Beispiel

Abb. 41.1 Zustandsänderungen idealer Gase. Der Zusatz (rev) zeigt an, dass die Zustandsänderung reversibel sein soll

lässt sich beides nicht völlig erreichen. Man führt daher eine polytrope Zustandsänderung ein durch die Gleichung pV n D const ;

(41.1)

Eine Druckluftanlage soll stündlich 1000 m3 n Druckluft von 15 bar liefern (Anmerkung: 1 m3 n D 1 Normkubikmeter ist das Gasvolumen umgerechnet auf 0 °C und 1,01325 bar), die bei einem Druck von p1 D 1 bar und einer Temperatur von t1 D 20 ı C angesaugt wird. Für Luft ist  D 1;4. Welche Leistung ist erforderlich, wenn die Verdichtung polytrop mit n D 1;3 erfolgt? Welcher Wärmestrom muss dabei abgeführt werden? Der angesaugte Luftvolumenstrom beträgt nach Aufgabenstellung 1000 m3 bei 0 °C und 1,01325 bar, p0 T1 P VP1 D V0 p1 T0 1;01325  293;15 m3 D 1000 1  273;15 h m3 D 1087;44 : h

wobei n in praktischen Fällen meist zwischen 1 und  liegt. Isochore, Isobare, Isotherme und reversible Adiabate sind Sonderfälle der Polytrope mit folgenden Exponenten (Abb. 41.2): Isochore: n D 1, Isobare: n D 0, Isotherme: n D 1, reversible Adiabate: n D . Es gilt weiter 2 =1 D .p1 =p2 /1=n D .T1 =T2 /1=.n1/ ; (41.2) W12 D mR.T2  T1 /=.n  1/ D .p2 V2  p1 V1 /=.n  1/ h i D p1 V1 .p2 =p1 /.n1/=n  1 = .n  1/

Bei polytroper Zustandsänderung ist nach Gln. (41.3) und (41.2) np1 VP1 P D WP t D n1

Wt12 D nW12 :

(41.3)

p2 p1

 n1 n

# 1

3 i 1;3  105 mN2 1087;44 mh h 1;31 15 1;3  1 1;3  1 D 113;6 kW :

D

und

"

41 Zustandsänderungen von Gasen und Dämpfen

A;  D const folgt aus Gl. (41.5) w D const und somit aus Gl. (41.7) für die adiabate Drossel h1 D h2 D const. Der Druckabbau in einer adiabaten Drossel ist mit einer Entropiezunahme verbunden, der Vorgang ist irreversibel. Nach Gl. (38.4) wird bei der reversibel adiabaten Strömung die Enthalpieänderung durch eine Druckänderung hervorgerufen, dh D  dp.

Nach Gln. (41.4) und (41.3) ist QP Q12 n D D cv Wt12 P nR oder da R D cp  cv und  D cp =cv W QP 1 n D : P n 1 Somit ist QP D 21;85 kW. J

1 1;3



1;31;4 1;41

779

113;6 kW D

41.2.1

Strömung idealer Gase

Anwendung von Gl. (41.7) auf ein ideales Gas, das aus einem Behälter ausströmt (Abb. 41.3), in dem das Gas den konstanten Zustand p0 ; 0 ; T0 41.2 Zustandsänderungen hat und w0 D 0 ist, ergibt wegen he  h0 D strömender Gase und Dämpfe cp .Te  T0 / und w0 D 0:   we2 Te Zur Kennzeichnung der Strömung einer FluidD cp .T0  Te / D cp T0 1  : masse m braucht man neben den thermodyna2 T0 mischen Zustandsgrößen noch Größe und Richtung der Geschwindigkeit an jeder Stelle des Bei reversibel adiabater Zustandsänderung ist Felds. Wir beschränken uns hier auf stationäre nach Gl. (41.2) Te =T0 D .pe =p0 /.1/= , außerStrömungen in Kanälen, deren Querschnitt kon- dem gilt T0 D p0 0 =R nach Gl. (40.2) und stant, erweitert oder verjüngt sein kann. cp =R D =.  1/ nach Gl. (40.12). Die AusNeben dem ersten und dem zweiten Haupt- trittsgeschwindigkeit ist somit satz gilt zusätzlich der Satz von der Erhaltung der v " u  .1/= # Masse u  pe t p0 v0 1  : we D 2 m P D Aw% D const. (41.5) 1 p0 In einer Strömung, die keine Arbeit an die Umge(41.8) bung abgibt, Wt12 D 0, geht der erste Hauptsatz Der ausströmende Mengenstrom m P D Gl. (37.15) über in Ae we =e folgt unter Beachtung von p0 0 D pe e zu  2  p w2 w12 (41.9) m P D A 2p0 =0 m.h2  h1 / C m  2 2 (41.6) mit der Ausflussfunktion C mg.z2  z1 / D Q12 ; s r  2=  .C1/= p p  gleichgültig, ob es sich um reversible oder D  :   1 p p 0 0 irreversible Strömungsvorgänge handelt. Lässt (41.10) man die meist vernachlässigbare Hubarbeit weg, so gilt für eine adiabate Strömung h2  h1 C

w22 w12  D0: 2 2

(41.7)

Eine Zunahme der kinetischen Energie ist gleich der Abnahme der Enthalpie des Fluids. In einer adiabaten Drossel und unter der Voraussetzung Abb. 41.3 Ausströmen aus einem Druckbehälter

41

780

P. Stephan und K. Stephan

Abb. 41.4 Ausflussfunktion 

Sie ist eine Funktion des Adiabatenexponenten  und des Druckverhältnisses p=p0 (Abb. 41.4) und besitzt ein Maximum max , das man aus d=d.p=p0 / D 0 erhält. Das Maximum liegt bei einem bestimmten Druckverhältnis, das man Laval-Druckverhältnis nennt =.1/  pS 2 D : (41.11) p0  C1 Bei diesem Druckverhältnis ist  1=.1/ r 2  max D : C1  C1

(41.12)

Zum Druckverhältnis pS =p0 gehört nach Gl. (41.8) mit pe =p0 D pS =p0 eine Geschwindigkeit we D wS . Es ist r p  p wS D 2 p0 v0 D pS S D RTS : C1 (41.13) Diese ist gleich der Schallgeschwindigkeit im Zustand pS ; S . Allgemein ist die Schallgeschwindigkeit diejenige Geschwindigkeit, mit der sich Druck und Dichteschwankungen fortpflanzen, und bei reversibler adiabater Zustandsänderung gegeben durch p wS D .@p=@%/S ; p woraus für ideale Gase wS D RT folgt. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgröße.

als ideales Gas ( D 1;3) behandeln; wie groß muss der freie Querschnitt des Sicherheitsventils mindestens sein? Das Sicherheitsventil muss den ganzen Massenstrom des erzeugten Dampfes abführen können. Da beim Ausströmen m P in jedem Querschnitt konstant ist, ist nach Gl. (41.9) auch A D const. Da sich die Strömung einschnürt, A also abnimmt, nimmt  zu. Es kann höchstens den Wert max erreichen. Dann ist der Gegendruck kleiner oder gleich dem Lavaldruck. Im vorliegenden Fall ist der Gegendruck der Atmosphäre von p D 1 bar kleiner als der Lavaldruck, den man nach Gl. (41.11) zu 8,186 bar errechnet. Damit ergibt sich der notwendige Querschnitt aus Gl. (41.9), wenn man dort  D max D 0;472 nach Gl. (41.12) einsetzt. 1 kg=s D Man erhält mit m P D 10  103 3600 00 2;7778 kg=s und 0 D  D 0;1317 m3 =kg (nach Tab. 40.5 bei p0 D 15 bar) aus Gl. (41.9) A D 12;33 cm2 . Wegen der Strahleinschnürung, deren Größe von der Formgebung des Ventils abhängt, muss man hierauf noch einen Zuschlag machen. J

41.2.2

Düsen- und Diffusorströmung

Nach Abb. 41.4 gehört bei vorgegebenem Adiabatenexponenten  zu einem bestimmten Druckverhältnis p=p0 ein bestimmter Wert der Ausflussfunktion  . Da der Massenstrom m P in jedem Querschnitt konstant ist, gilt nach Gl. (41.9) auch A D const. Jedem Druckverhältnis kann man somit einen bestimmten Querschnitt A zuordnen, Abb. 41.5. Es sind zwei Fälle zu unterscheiden: a) Der Druck sinkt in Strömungsrichtung. Die Kurven  , A, w werden in Abb. 41.5 von rechts nach links durchlaufen. Der Querschnitt A nimmt zunächst ab, dann wieder zu. Die Geschwindigkeit steigt von Unterschall auf Überschall. Die kinetische Energie der Strömung nimmt zu. Man bezeichnet einen solchen Apparat als Düse. In eiBeispiel ner Düse, die nur im Unterschallbereich arbeitet, Ein Dampfkessel erzeugt stündlich 10 t Satt- nimmt der Querschnitt stets ab, im Überschallbedampf von p0 D 15 bar. Den Dampf kann man reich nimmt er stetig zu.

41 Zustandsänderungen von Gasen und Dämpfen

Abb. 41.5 Düsen- und Diffusorströmung

In einer in Richtung der Strömung verjüngten Düse kann der Druck im Austrittsquerschnitt nicht unter den Lavaldruck sinken, auch wenn man den Druck im Außenraum beliebig klein macht. Dies folgt aus A D const. Da A in Strömungsrichtung abnimmt, kann  nur zunehmen. Es kann höchstens den Wert max erreichen, wozu das Lavaldruckverhältnis gehört. Senkt man den Druck am Austrittsquerschnitt einer Düse unter den zum Austrittsquerschnitt

781

gehörenden Wert des Drucks, so expandiert der Strahl nach Verlassen der Düse. Erhöht man den Gegendruck über den richtigen Wert, so läuft die Druckerhöhung stromaufwärts falls das Gas mit Unterschallgeschwindigkeit ausströmt. Strömt das Gas mit Schallgeschwindigkeit oder in einer erweiterten Düse mit Überschallgeschwindigkeit aus, so entsteht an der Mündung der Düse ein Verdichtungsstoß, in dem der Druck auf den Wert der Umgebung springt. b) Der Druck nimmt in Strömungsrichtung zu. Die Kurven  , A, w werden in Abb. 41.4 von links nach rechts durchlaufen. Der Querschnitt nimmt ebenfalls zunächst ab, dann wieder zu. Die Geschwindigkeit sinkt von Überschall auf Unterschall. Die kinetische Energie nimmt ab und der Druck zu. Man bezeichnet einen solchen Apparat als Diffusor. In einem Diffusor, der nur im Unterschallbereich arbeitet, nimmt der Querschnitt stetig zu, im Überschallbereich nimmt er stetig ab.

41

Thermodynamische Prozesse

42

Peter Stephan und Karl Stephan

42.1

Energiewandlung mittels Kreisprozessen

Ein Prozess, der ein System wieder in seinen Ausgangszustand zurückbringt, heißt Kreisprozess. Nachdem er durchlaufen ist, nehmen alle Zustandsgrößen des Systems wie Druck, Temperatur, Volumen, innere Energie und Enthalpie die Werte an, die sie im Ausgangszustand hatten. Nach dem ersten Hauptsatz, Gl. (37.10), ist nach Durchlaufen des Prozesses die Energie des Systems wieder gleich der Energie im Ausgangszustand und daher X X Wi k D 0 : (42.1) Qi k C Die gesamte verrichtete Arbeit ist W D P P Qi k . Maschinen, in denen ein  Wi k D Fluid einen Kreisprozess durchläuft, dienen der Umwandlung von Wärme in Arbeit oder umgekehrt der Umwandlung von Arbeit in Wärme. Nach dem zweiten Hauptsatz kann die zugeführte Wärme nicht vollständig in Arbeit verwandelt werden. Ist die zugeführte Wärme größer als die abgegebene, so arbeitet der Prozess als Wärmekraftanlage oder Wärmekraftmaschine, deren Zweck

darin besteht, Arbeit zu liefern. Ist die abgeführte Wärme größer als die zugeführte, so muss man Arbeit zuführen. Mit einem derartigen Prozess kann man einem Stoff bei tiefer Temperatur Wärme entziehen und sie bei höherer Temperatur, z. B. der Umgebungstemperatur, zusammen mit der zugeführten Arbeit wieder abgeben. Ein solcher Prozess arbeitet als Kälteprozess. In einem Wärmepumpenprozess wird die Wärme der Umgebung entzogen und zusammen mit der zugeführten Arbeit bei höherer Temperatur abgegeben.

42.2

Carnot-Prozess

In der historischen Entwicklung, wenn auch nicht für die Praxis, hat der 1824 von Carnot eingeführte Kreisprozess eine entscheidende Rolle gespielt, Abb. 42.1 und Abb. 42.2. Er besteht aus folgenden Zustandsänderungen (hier rechtsläufiger Prozess für eine Wärmekraftmaschine):

P. Stephan () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K. Stephan Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland E-Mail: [email protected]

Abb. 42.1 Schaltschema einer nach dem Carnot-Prozess arbeitenden Wärmekraftmaschine

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_42

783

784

P. Stephan und K. Stephan

Abb. 42.2 Carnot-Prozess der Wärmekraftmaschine im p,V- und im T,S-Diagramm

1–2: Isotherme Expansion bei der Temperatur T unter Zufuhr der Wärme Q. 2–3: Reversibel adiabate Expansion vom Druck p2 auf den Druck p3 . 3–4: Isotherme Kompression bei der Temperatur T 0 unter Abfuhr der Wärme jQ0 j. 4–1: Reversibel adiabate Kompression vom Druck p4 auf den Druck p1 .

und die abgeführte Wärme jQ0 j D m RT0 ln V3 =V4

42.3

Wärmekraftanlagen

In Wärmekraftanlagen wird dem Arbeitsstoff von einem heißen Medium Energie als Wärme zugeführt. Der Arbeitsstoff durchläuft einen Kreisprozess, der, wie im Folgenden dargestellt wird, auf unterschiedliche Weise gestaltet sein kann.

42.3.1

Die zugeführte Wärme ist Q D m RT ln V2 =V1 D T .S2  S1 /

Gut die Wärme Q0 bei der tiefen Temperatur T 0 zu entziehen, also als Kältemaschine zu arbeiten, und die Wärme jQj D Wt C Q0 bei höherer Temperatur T wieder an die Umgebung abzugeben. Besteht der Zweck des Prozesses darin, die Wärme jQj bei der höheren Temperatur T zu Heizzwecken abzugeben, so arbeitet der Prozess als Wärmepumpe. Die Wärme Q0 wird dann von der Umgebung bei der niederen Temperatur T 0 aufgenommen. Carnotprozesse haben keine praktische Bedeutung erlangt, weil ihre Leistung bezogen auf das Bauvolumen sehr gering ist. Als idealer, weil reversibler, Prozess wird der Carnot-Prozess jedoch häufig zu Vergleichszwecken für die Beurteilung anderer Kreisprozesse herangezogen.

Ackeret-Keller-Prozess

(42.2) Der Ackeret-Keller-Prozess besteht aus folgenden Zustandsänderungen, die im p, - und T, s-Diagramm dargestellt sind; Abb. 42.3:

1–2: Isotherme Kompression bei der Temperatur T 0 vom Druck p0 auf den Druck p. 2–3: Isobare Wärmezufuhr beim Druck p. Die verrichtete technische Arbeit ist Wt D Q  3–4: Isotherme Expansion bei der Temperatur T vom Druck p auf den Druck p0 . jQ0 j und der thermische Wirkungsgrad 4–1: Isobare Wärmeabfuhr beim Druck p0 . (42.4)  D jWt j =Q D 1  .T0 =T / : Der Prozess geht auf einen Vorschlag des Bei umgekehrter Reihenfolge 4–3–2–1 der Zu- schwedischen Ingenieurs J. Ericson (1803–1899) standsänderungen wird unter Zufuhr von tech- zurück und wird daher auch als Ericsson-Prozess nischer Arbeit Wt einem Körper der niedrigen bezeichnet. Er wurde jedoch zuerst von Ackeret Temperatur T 0 die Wärme Q0 entzogen und bei und Keller 1941 als Vergleichsprozess für Gashöherer Temperatur T die Wärme Q abgegeben. turbinenanlagen verwendet. Ein solcher linksläufig ausgeführter CarnotproDie zur isobaren Erwärmung 2–3 des verzess kann zum Zweck haben, einem zu kühlenden dichteten Arbeitsstoffs erforderliche Wärme wird D T0 .S3  S4 / D T0 .S2  S1 / :

(42.3)

42 Thermodynamische Prozesse

785

Abb. 42.4 Gasturbinenprozess mit geschlossenem Kreislauf. a Generator, b Turbine, c Verdichter, d Kühler, e Wärmeübertrager, f Gaserhitzer

Abb. 42.3 Ackeret-Keller-Prozess im p,- und im T,s-Diagramm

durch isobare Abkühlung 4–1 des entspannten Arbeitsstoffs bereitgestellt, Q23 D jQ41 j. Der thermische Wirkungsgrad stimmt mit dem des Carnot-Prozesses überein, denn es ist  Wt D Q34  jQ21 j

(42.5)

T0 jQ21 j D1 : Q34 T

(42.6)

und D1

anschließenden Kühler wieder auf die Anfangstemperatur gekühlt, worauf das Gas erneut vom Verdichter angesaugt wird. Als Arbeitsstoffe kommen Luft, aber auch andere Gase wie Helium oder Stickstoff infrage. Die geschlossene Gasturbinenanlage ist gut regelbar, und eine Verschmutzung der Turbinenschaufeln kann durch Verwendung geeigneter Gase vermieden werden. Von Nachteil sind die im Vergleich zu offenen Anlagen höheren Energiekosten, da ein Kühler benötigt wird und für den Erhitzer hochwertige Stähle erforderlich sind. Abb. 42.5 zeigt den Prozess im p, - und T, s-Diagramm.Der aus zwei Isobaren und zwei Isentropen bestehende reversible Kreisprozess wird Joule-Prozess genannt (Zustandspunkte 1, 2, 3, 4). Der zugeführte Wärmestrom ist

Die technische Realisierung des Prozesses ist jedoch schwierig, weil isotherme Verdichtung und Entspannung kaum zu verwirklichen sind, da man diese nur durch mehrstufige adiabaQP D mc P p .T3  T2 / ; te Verdichtung mit Zwischenkühlung annähern kann. Der Ackeret-Keller-Prozess dient vor allem der abgeführte als Vergleichsprozess für den Gasturbinenprozess ˇ ˇ ˇQP 0 ˇ D mc mit mehrstufiger Verdichtung und Entspannung. P p .T4  T1 / :

(42.7)

(42.8)

Die verrichtete Leistung beträgt

42.3.2 Geschlossene Gasturbinenanlage

ˇ ˇ P D mw P t D QP  ˇQP 0 ˇ   T4  T1 D mc P p .T3  T2 / 1  T3  T2

In einer geschlossenen Gasturbinenanlage (Abb. 42.4) wird ein Gas im Verdichter komprimiert, im Wärmeübertrager und Gaserhitzer und der thermische Wirkungsgrad auf eine hohe Temperatur erwärmt, dann in   T4  T1 jP j einer Turbine unter Verrichtung von Arbeit entD 1 : D spannt und im Wärmeübertrager und dem sich T3  T2 QP

(42.9)

(42.10)

42

786

P. Stephan und K. Stephan

der niedrigsten Temperatur T 1 ein Maximum erreicht. Dieses optimale Druckverhältnis folgt durch Differentiation aus Gl. (42.13) zu 

p p0

.1/= D

p

.T3 =T1 / ;

(42.14)

opt

was wegen Gl. (42.11) gleichbedeutend mit T4 D T2 ist. Unter Berücksichtigung des Wirkungsgrads T für die Turbine, V des Verdichters und des mechanischen Wirkungsgrads m für die Energieübertragung zwischen Turbine und Verdichter ergibt sich das optimale Druckverhältnis zu 

Abb. 42.5 Gasturbinenprozess im p,- und T, s-Diagramm. Das p, -Diagramm zeigt nur den reversiblen Prozess (Joule-Prozess) 1, 2, 3, 4

Wegen der Isentropengleichung 

p0 p

.1/=

T1 T4 D ist T2 T3   .1/  p0 T1 T4  T1 D D T3  T2 T2 p

p p0

.1/= D

p m T V .T3 =T1 / :

(42.15)

opt

Mehr als die Hälfte der Turbinenleistung einer Gasturbinenanlage wird zum Antrieb des Verdichters benötigt. Die insgesamt installierte Leistung ist daher das Vier- bis Sechsfache der Nutzleistung.

D

42.3.3 Dampfkraftanlage (42.11)

ist der thermische Wirkungsgrad jP j D1 D QP



p0 p

.1/= (42.12)

nur vom Druckverhältnis p=p0 oder dem Temperaturverhältnis T2 =T1 der Verdichtung abhängig. Die Verdichterleistung wächst rascher mit dem Druckverhältnis als die Turbinenleistung, sodass die gewonnene Nutzleistung nach Gl. (42.9) unter Beachtung von Gl. (42.11) !   .1/  p T3  P D mc P p T1 T1 p0 !   .1/ p0   1 p

Dampfkraftanlagen werden mit einem Arbeitsstoff – meistens Wasser – betrieben, der während des Prozesses verdampft und wieder kondensiert wird. Mit ihnen wird der weitaus größte Teil der elektrischen Energie unserer Stromnetze erzeugt. Der Arbeitsprozess in seiner einfachsten Form (Abb. 42.6) ist folgender: Im Kessel a wird der Arbeitsstoff bei hohem Druck isobar bis zum Siedepunkt erwärmt, verdampft und anschließend im Überhitzer b noch überhitzt. Der

(42.13)

bei einem bestimmten Druckverhältnis für vorge- Abb. 42.6 Dampfkraftanlage. a Kessel, b Überhitzer, gebene Werte der höchsten Temperatur T 3 und c Turbine, d Kondensator, e Speisewasserpumpe

42 Thermodynamische Prozesse

787

Dampf wird dann in der Turbine c unter Verrichtung von Arbeit adiabat entspannt und im Kondensator d unter Wärmeabgabe verflüssigt. Die Flüssigkeit wird von der Speisewasserpumpe e auf Kesseldruck gebracht und wieder in den Kessel gefördert. Der reversible Kreisprozess 010 230 0 (Abb. 42.7), bestehend aus zwei Isobaren und zwei Isentropen, wird Clausius-Rankine-Prozess genannt. Der wirkliche Kreisprozess folgt den Zustandsänderungen 01230 in Abb. 42.7. Die Wärmeaufnahme im Dampferzeuger ist P 2  h1 / ; QP zu D m.h

P t23 j D m.h P 2  h3 / jPT j D jmw (42.17)

mit dem isentropen Turbinenwirkungsgrad T . Der im Kondensator abgeführte Wärmestrom ist P 3  h0 / :  QP ab D m.h

(42.18)

Die Nutzleistung des Kreisprozesses ist  P D mw P t D PT  PP ;

P 1  h0 / D m P PP D m.h

(42.19)

1 .h10  h0 / ; (42.20) V

worin V der Wirkungsgrad der Speisewasserpumpe ist. Die Nutzleistung unterscheidet sich nur geringfügig von der Leistung der Turbine. Der thermische Wirkungsgrad ist D

(42.16)

die Leistung der adiabaten Turbine D m P T .h2  h03 /

mit der Pumpenleistung

mw P t .h2  h3 /  .h1  h0 / D : (42.21) h2  h1 QP zu

Thermische Wirkungsgrade erreichen bei einem Gegendruck p0 D 0; 05 bar, einem Frischdampfdruck von 150 bar und einer Dampftemperatur von 500 °C Werte von  0,42. Deutlich größere thermische Wirkungsgrade von derzeit bis zu  0;58 erreicht man in kombinierten GasDampfkraftwerken, so genannten GuD-Kraftwerken (s. Bd. 3, Abschn. 11.2.1). In ihnen wird das Verbrennungsgas zuerst in einer Gasturbine unter Arbeitsleistung entspannt und anschließend zur Dampferzeugung einem Dampfkraftwerk zugeführt.

42.4

Verbrennungskraftanlagen

In der Verbrennungskraftanlage dient das Brenngas als Arbeitsstoff. Er durchläuft keinen in sich geschlossenen Prozess, sondern wird als Abgas an die Umgebung abgeführt, nachdem er in einer Turbine oder einem Kolbenmotor Arbeit verrichtet hat. Zu den Verbrennungskraftanlagen gehören die offenen Gasturbinenanlagen und die Verbrennungsmotoren (Otto- und Dieselmotor) sowie Brennstoffzellen. Zur Kennzeichnung der Effektivität der Energieumwandlung dient der energetische Gesamtwirkungsgrad  D P =.m P B hu / : P ist die Nutzleistung der Anlage, m P B der Massenstrom des zugeführten Brennstoffs, hu desAbb. 42.7 Zustandsänderung des Wassers beim Kreisprozess der einfachen Dampfkraftanlage im T, s- und im sen Heizwert (s. Kap. 43). Der exergetische Gesamtwirkungsgrad D P =.m P B .wex /B / gibt an, h, s-Diagramm

42

788

P. Stephan und K. Stephan

welcher Teil des mit dem Brennstoff zugeführten Exergiestroms in Nutzleistung umgewandelt wird. wex ist i. Allg. nur wenig größer als der Heizwert (s. Kap. 43), sodass sich  und zahlenmäßig kaum unterscheiden. Für Großmotoren (Diesel) ist der Gesamtwirkungsgrad etwa 42 %, für Kraftfahrzeugmotoren etwa 25 % und für offene Gasturbinen 20 bis 30 %.

42.4.1 Offene Gasturbinenanlage In der offenen Gasturbinenanlage (s. Bd. 3, Kap. 13) wird die angesaugte Luft in einem Verdichter auf hohen Druck gebracht, vorgewärmt und in einer Brennkammer durch Verbrennen des eingespritzten Brennstoffs erhitzt. Die Brenngase werden in einer Turbine unter Arbeitsleistung entspannt, geben in einem Wärmeübertrager einen Teil ihrer Restwärme zur Luftvorwärmung ab und treten ins Freie aus. Verdichter und Turbine sind auf einer Welle angeordnet. In einem an die Welle angeschlossenen Generator wird die Nutzarbeit in elektrische Energie verwandelt (s. Bd. 3, Abb. 13.1a). Der zugrunde liegende Kreisprozess kann analog zu dem geschlossenen Prozess (s. Abschn. 42.3.2) beschrieben werden.

Abb. 42.8 Theoretischer Prozess des Ottomotors im p,Vund T,S-Diagramm

und dass die bei der Verbrennung freiwerdende Wärme Q23 D Q von außen zugeführt ist. Beim Zurückgehen des Kolbens expandiert das Gas längs der Adiabaten 3 4 400 40 . Der in 4 beginnende Auspuff ist durch Entzug einer Wärme jQ0 j bei konstantem Volumen ersetzt, wobei der Druck von Punkt 4 nach Punkt 1 sinkt. In Punkt 1 müssen die Verbrennungsgase durch neues Gemisch ersetzt werden, wozu beim 4-Takt-Ottomo42.4.2 Ottomotor tor ein nicht dargestellter Doppelhub erforderlich ist. Im Ottomotor (s. Bd. 3, Abschn. 4.2) befindet Die zugeführte Wärme ist sich der Zylinder am Ende des Saughubs im Zustandspunkt 1 (Abb. 42.8); er ist mit dem (42.22) Q D Q23 D mcv .T3  T2 / ; brennbaren Gemisch von Umgebungstemperatur und Atmosphärendruck gefüllt. Das Gemisch wird längs der Adiabaten 1 2 vom Anfangsvolu- die abgeführte men Vk C Vh auf das Kompressionsvolumen Vk verdichtet. Vh ist das Hubvolumen. Am oberen (42.23) jQ0 j D jQ41 j D mcv .T4  T1 / ; Totpunkt 2 erfolgt durch elektrische Zündung die Verbrennung, wodurch der Druck von Punkt 2 auf Punkt 3 ansteigt. Dieser Vorgang läuft so die verrichtete Arbeit schnell ab, dass er als isochor angenommen wer(42.24) den kann. Im Abb. 42.8 ist dabei vereinfachend jWt j D Q  jQ0 j angenommen, dass das Gas unverändert bleibt

42 Thermodynamische Prozesse

789

und der thermische Wirkungsgrad D

jWt j Q

T4  T1 T1 D1 T3  T2 T2  .1/= p1 1 D1 D 1  1 : p2 "

D1

(42.25)

Das Verdichtungsverhältnis " D V1 =V2 D .VK C Vh /=VK gibt den Grad der Verdichtung bei der adiabaten Kompression des Gemisches an. Der thermische Wirkungsgrad hängt also außer vom Adiabatenexponenten  nur vom Druckverhältnis p2 =p1 bzw. dem Verdichtungsverhältnis " und nicht von der Größe der Wärmezufuhr ab. Je höher man verdichtet, desto besser ist die Wärme ausgenutzt. Das Verdichtungsverhältnis wird durch die Selbstzündungstemperaturen des Abb. 42.9 Theoretischer Prozess des Dieselmotors im Brennstoff-Luftgemisches begrenzt. p,V- und im T,S-Diagramm und der thermische Wirkungsgrad

42.4.3 Dieselmotor Die Beschränkung auf moderate Verdichtungsverhältnisse und Drücke entfällt beim Dieselmotor (s. Bd. 3, Abschn. 4.2), in dem die Verbrennungsluft durch hohe Verdichtung über die Selbstzündungstemperatur des Brennstoffs erhitzt, und dieser in die heiße Luft eingespritzt wird. Den vereinfachten Prozess des Dieselmotors zeigt Abb. 42.9. Er besteht aus adiabater Verdichtung 1 2 der Verbrennungsluft, isobarer Verbrennung 2 30 nach Einspritzen des Brennstoffs in die heiße, verdichtete Verbrennungsluft, adiabater Entspannung 30 4 und Auspuffen 4 1, das durch eine Isochore mit Wärmeabfuhr jQ0 j in Abb. 42.9 ersetzt ist. Die zugeführte Wärme ist 0 D Q D mcp .T30  T2 / ; Q23

D

D1

die verrichtete Arbeit jWt j D Q  jQ0 j

1 

T4 T3 T3 T2 T 30 T2



T1 T2

1

:

(42.28)

Mit dem Verdichtungsverhältnis " D V1 =V2 D .Vk C Vh /=Vk und dem Einspritzverhältnis ' D .Vk C Ve /=Vk folgt für den thermischen Wirkungsgrad D1

1 '  1 : "1 '  1

(42.29)

Der thermische Wirkungsgrad des Dieselprozesses hängt außer vom Adiabatenexponenten  nur vom Verdichtungsverhältnis " und vom Einspritzverhältnis ' ab, das sich mit steigender Belastung (42.26) vergrößert.

die längs der Isochore 4 1 abgeführt gedachte Auspuffwärme ist 42.4.4 jQ41 j D jQ0 j D mcv .T4  T1 / ;

1 T4  T1 jWt j D1 Q  T30  T2

(42.27)

Brennstoffzellen

In der Brennstoffzelle reagiert Wasserstoff mit Sauerstoff elektrochemisch zu Wasser: H2 C 12 O2

!

H2 O :

42

790

P. Stephan und K. Stephan

Brennstoffzelle definiert zu BZ D

P : nP H2  Hmu

(42.31)

Er beträgt i. Allg. etwa 50 %.

42.5 Abb. 42.10 Schema einer Brennstoffzelle mit protonenleitenden Elektrolyten

Bei dieser so genannten kalten Verbrennung wird die chemische Bindungsenergie direkt in elektrische Energie umgewandelt. Abb. 42.10 zeigt beispielhaft eine Brennstoffzelle mit protonenleitendem Elektrolyten. Wasserstoff H2 wird an der Anodenseite zugeführt. Mit Hilfe eines Katalysators spaltet er sich dort in zwei Protonen (HC ) und zwei Elektronen (e ). Die Elektronen wandern über eine Last, z. B. einen Motor, zur Kathode. Die Protonen wandern durch den Elektrolyten zur Kathode, wo sie unterstützt durch einen Katalysator mit dem zugeführten Sauerstoff O2 und den Elektronen zu Wasser H2 O reagieren. Zwischen Anode und Kathode besteht eine Spannung U, und es fließt ein elektrischer Strom I D F nP El mit nP El D 2 nP H2 . F ist die Faraday Konstante F D 96 485; 3 As=mol, nP El der Stoffmengenstrom der Elektronen (SIEinheit mol/s) und nP H2 der Stoffmengenstrom des zugeführten Wasserstoffs (SI-Einheit mol/s). Verluste durch Energiedissipation in der Zelle führen dazu, dass die wirkliche Klemmenspannung geringer ist als die reversible Klemmenspannung. Die elektrische Leistung P der Brennstoffzelle errechnet sich aus QP C P D nP H2  HHR2

42.5.1

Kälteanlagen und Wärmepumpen Kompressionskälteanlage

In Kältemaschinen verwendet man ebenso wie in den Wärmekraftanlagen Gase oder Dämpfe als Arbeitsstoffe. Man bezeichnet sie als Kältemittel. Zweck einer Kältemaschine ist es, einem Kühlgut Wärme zu entziehen. Dazu muss eine Arbeit verrichtet werden, die in Form von Wärme zusammen mit der dem Kühlgut entzogenen Wärme an die Umgebung abgegeben wird. Zur Kälteerzeugung bei Temperaturen bis etwa 100 °C dienen vorwiegend Kompressionskältemaschinen. Das Schaltbild einer Kompressionskältemaschine zeigt Abb. 42.11. Der Verdichter a, der für kleine Leistungen meist als Kolben-, für große Leistungen als Turboverdichter ausgebildet ist, saugt Dampf aus dem Verdampfer b beim Druck p0 und der zugehörigen Sättigungstemperatur T 0 an und verdichtet ihn längs der Adiabaten 1 2 (Abb. 42.12) auf den Druck p. Der Dampf wird dann im Kondensator c beim Druck p verflüssigt. Das flüssige Kältemittel wird im Drosselventil d entspannt und gelangt dann wieder

(42.30)

mit nP H2 dem Mengenstrom des zugeführten Wasserstoffs und HHR2 seiner molaren Reaktionsenthalpie (SI-Einheit J=mol). Sie ist gleich dem negativen molaren Heizwert Hmu D MH2 hu , s. Abschn. 44.2. In Analogie zu anderen Ver- Abb. 42.11 Schaltbild einer Kaltdampfmaschine. a Verbrennungskraftanlagen ist der Wirkungsgrad der dichter, b Verdampfer, c Kondensator, d Drosselventil

42 Thermodynamische Prozesse

791

worin V sein isentroper Wirkungsgrad ist. Der vom Kondensator abgeführte Wärmestrom ist ˇ ˇ ˇQP ˇ D m P jqj D m.h P 2  h3 /   Dm P h2  h0 .p/ :

(42.34)

Die Leistungszahl einer Kältemaschine ist definiert als das Verhältnis von Kälteleistung QP 0 zur Leistungsaufnahme P des Verdichters QP 0 q0 D PV wt12 h00 .p0 /  h0 .p/ D V : h20  h00 .p0 /

"KM D

(42.35)

Sie hängt außer vom isentropen Verdichtungswirkungsgrad nur noch von den beiden Drücken p und p0 ab. Abb. 42.12 Kreisprozess des Kältemittels einer Kaltdampfmaschine im T, s- und im Mollier-p, h-Diagramm

in den Verdampfer, wo ihm Wärme zugeführt wird. Die Kältemaschine entzieht dem Kühlgut eine Wärme Q0 , die dem Verdampfer b zugeführt wird. Im Kondensator c gibt sie die Wärme jQj D Q0 C Wt an die Umgebung ab. Da Wasser bei 0 °C gefriert und Wasserdampf ein unbequem großes spezifisches Volumen hat, verwendet man als Kältemittel andere Fluide wie Ammoniak NH3 , Kohlendioxid CO2 , Propan C3 H8 , Butan C4 H10 , Tetrafluorethan C2 H2 F4 , Difluormonochlormethan CHF2 Cl. Dampftafeln von Kältemitteln enthält Tab. 40.7 bis 40.9. Mit m P als dem Massenstrom des umlaufenden Kältemittels ist die Kälteleistung QP 0 D mq P 0 D m.h P 1  h4 /  00  Dm P h .p0 /  h0 .p/ ;

42.5.2

Kompressionswärmepumpe

Sie arbeitet nach dem gleichen Prozess wie die in Abb. 42.11 und Abb. 42.12 dargestellte Kompressionskälteanlage. Ihr Zweck besteht darin, einem Körper Wärme zuzuführen. Dazu wird der Umgebung Wärme Q0 (Anergie) entzogen und zusammen mit der verrichteten Arbeit Wt (Exergie) als Wärme dem zu erwärmenden Körper zugeführt jQj D Q0 C Wt . Die Leistungszahl einer Wärmepumpe ist definiert als Verhältnis der von ˇ ˇ der Wärmepumpe abgegebenen Heizleistung ˇQP ˇ zur Leistungsaufnahme P des Verdichters "WP D

ˇ ˇ ˇQP ˇ P

D

h2  h0 .p/ jqj D V : (42.36) wt h20  h00 .p0 /

(42.32) Wie das T, s-Diagramm (Abb. 42.12) zeigt, wird die Fläche wt bei hoher Umgebungstemperatur T0 und bei niedriger Heiztemperatur T  klei0 weil h4 D h3 D h .p/ ist. Die Antriebsleistung ner. Es wird weniger Antriebsleistung für den des Verdichters ist Verdichter benötigt. Die Leistungszahl wächst. Um Wärmepumpen zur Beheizung von WohnP t12 D m.h P 2  h1 / PV D mw räumen wirtschaftlich betreiben zu können, muss  man die Heiztemperatur niedrig halten, bei1  (42.33) h20  h00 .p0 / ; Dm P spielsweise durch eine Fußbodenheizung, bei der V

42

792

t  / 29 ı C ist. Die Wärmepumpe wird außerdem bei zu tiefen Umgebungstemperaturen unwirtschaftlich. Sinkt die Leistungszahl "WP unter Werte von rund 2,3, so spart man im Vergleich mit der konventionellen Heizung keine Primärenergie mehr ein, denn Wirkungsgrade der Umwandlung von Primärenergie PPr im Kraftwerk in elektrische Energie P zum Antrieb der Wärmepumpe el D P =PPr liegen in Deutschland im ˇ ˇMittel bei 0,4. Damit ist die Heizzahl D ˇQP ˇ =PPr mit 0,92 etwa gleich dem Wirkungsgrad einer konventionellen Heizung. Heutige elektrisch angetriebene Wärmepumpen erreichen im Jahresmittel selten Heizzahlen von 2,3, es sei denn man schaltet die Wärmepumpe bei zu tiefen Außentemperaturen unter rund 3 °C ab und heizt dann konventionell. Motorgetriebene Wärmepumpen mit Abwärmenutzung nutzen ebenso wie Sorptionswärmepumpen die Primärenergie besser als elektrisch angetriebene Wärmepumpen.

42.6 Kraft-Wärme-Kopplung

P. Stephan und K. Stephan

Abb. 42.13 Schema der Kraft-Wärme-Kopplung im Entnahme-Gegendruck-Betrieb. a Dampferzeuger, b Überhitzer, c Drossel, d Turbine, G Generator, e Kondensator (Wärmeerzeuger), f Wärmeverbraucher, g Pumpe, h Speicher

der Regel ein Fernheiznetz – gedeckt werden können. Gegenüber dem reinen Kraftwerksbetrieb büßt man durch die Dampfentnahme zwar Arbeit ein, der Primärenergieumsatz zur gleichzeitigen Erzeugung von Arbeit und Heizwärme ist aber geringer als zur getrennten Gewinnung der Arbeit im Kraftwerk und der Heizwärme im konventionellen Heizsystem. Eine vereinfachte Schaltung zeigt Abb. 42.13.ˇ Jeˇ nach Art der Schaltung sind Heizzahlen D ˇQP ˇ =PPr bis rund 2,2 erreichbar [1], wobei PPr der nur auf die Heizung entfallende Anteil der Primärenergie ist. Die Heizzahlen liegen deutlich über denen der meisten Wärmepumpen-Heizsysteme.

Die gleichzeitige Erzeugung von Heizwärme und elektrischer Energie in Heizkraftwerken bezeichnet man als Kraft-Wärme-Kopplung (s. Bd. 3, Abschn. 49.2). Dabei wird die ohnehin in großer Menge anfallende Kraftwerksabwärme zu Heizzwecken genutzt. Da die zur Heizung benötigte Wärme überwiegend und zwar zu mehr als 90 % aus Anergie besteht, wird weniger Primärenergie, die ja überwiegend aus Exergie besteht, Literatur als bei konventioneller Heizung in Heizwärme umgewandelt. Man führt aus der Dampfturbine Spezielle Literatur Niederdruckdampf ab, der neben Anergie noch 1. Baehr, H.D.: Zur Thermodynamik des Heizens. Brennst. Wärme Kraft 32 (1980) Teil I, S. 9–15, Teil soviel Exergie enthält, dass die Heizenergie und II, S. 47–57 die Exergieverluste in der Wärmeverteilung – in

43

Gemische Peter Stephan und Karl Stephan

43.1 Gemische idealer Gase

V des Gemisches einnehmen (Gesetz von Dalton). Die thermische Zustandsgleichung Gl. (43.1) Ein Gemisch von idealen Gasen, die miteinander nicht chemisch reagieren, verhält sich ebenfalls eines idealen Gasgemisches kann man auch wie ein ideales Gas. Es gilt die thermische Zu- schreiben pV D m RT ; (43.4) standsgleichung pV D n RT :

(43.1)

mit der Gaskonstante R des Gemisches X RD Ri mi =m :

(43.5) Jedes einzelne Gas, Komponente genannt, verteilt sich auf den gesamten Raum V so, als ob andere Spezifische, auf die Masse in kg bezogene kaGase nicht vorhanden wären. Für jede Kompo- lorische Zustandsgrößen eines Gemisches vom Druck p und der Temperatur T ergeben sich nente i gilt daher durch Addition der kalorischen Zustandsgrößen (43.2) bei gleichen Werten p, T der Einzelgase entsprepi V D ni RT ; chend ihrer Massenanteile. Es ist wobei pi der von jedem einzelnen Gas ausgeübte 1 X 1 X D c ; c D m mi cpi ; c v i vi p Druck ist, den man als Partialdruck bezeichm m X X net. Summiert man über alle Einzelgase, so folgt 1 1 P P P P uD mi u i ; h D mi hi : ni RT oder V pi D RT ni . pi V D m m (43.6) Der Vergleich mit Gl. (43.1) zeigt, dass Eine Ausnahme bildet die Entropie, da bei der X (43.3) Mischung von Einzelgasen vom Zustand p, T zu pD pi einem Gemisch vom gleichen Zustand, eine Engilt: Der Gesamtdruck p des Gasgemisches ist tropiezunahme auftritt. Es ist gleich der Summe der Partialdrücke der EinzelgaX ni 1 X ; (43.7) mi Ri ln mi si  sD se, wenn diese bei der Temperatur T das Volumen m n P. Stephan () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K. Stephan Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland E-Mail: [email protected]

wenn ni die Molmengen der Einzelgase und n die des Gemisches sind. Es sind ni D mi =Mi und P nD ni , mit der Masse mi und der Molmasse Mi der Einzelgase. Mischungen realer Gase und Flüssigkeiten weichen besonders bei höheren Drücken von vorstehenden Beziehungen ab.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_43

793

794

P. Stephan und K. Stephan

43.2 Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft

Die Wasserbeladung ist definiert zu mW mD C mFl C mE D mL mL D xD C xFl C xE ;

xD Mischungen von Gasen und leicht kondensierenden Dämpfen kommen in Physik und Technik häufig vor. Die atmosphärische Luft besteht im Wesentlichen aus trockener Luft und Wasserdampf. Trocknungs- und Klimatisierungsvorgänge werden durch die Anwendung der Gesetze der Dampf-Luftgemische bestimmt, ebenso die Bildung der Brennstoffdampf-Luftgemische im Verbrennungsmotor. Im Folgenden beschränken wir uns auf die Betrachtung atmosphärischer Luft. Trockene Luft besteht aus 78,04 Mol-% Stickstoff, 21,00 Mol-% Sauerstoff, 0,93 Mol-% Argon und 0,03 Mol-% Kohlendioxid. Die atmosphärische Luft kann man als Zweistoffgemisch betrachten, bestehend aus trockener Luft und Wasser, das in dampfförmiger, flüssiger oder fester Form vorliegen kann. Man bezeichnet das Gemisch auch als feuchte Luft. Die trockene Luft betrachtet man als einheitlichen Stoff. Da der Gesamtdruck bei Zustandsänderungen fast immer in der Nähe des Atmosphärendrucks liegt, kann man die feuchte Luft aus trockener Luft und Wasserdampf als ein Gemisch idealer Gase ansehen. Es ist dann für die trockene Luft bzw. für den Wasserdampf

wobei mD die Dampfmasse, mFl die Flüssigkeitsmasse und mE die Eismasse in der trockenen Luftmasse mL bedeuten. xD , xFl und xE sind die Dampf-, Flüssigkeits- und Eisbeladung. Die Wasserbeladung x kann zwischen 0 (trockene Luft) und 1 (reines Wasser) liegen. Ist feuchte Luft der Temperatur T mit Wasserdampf gesättigt, so wird der Partialdruck des Wasserdampfes gleich dem Sättigungsdruck pD D pDS bei der Temperatur T und die Dampfbeladung wird xS D

(43.11)

Man berechne die Dampfbeladung xS von gesättigter feuchter Luft bei einer Temperatur von 20 °C und einem Gesamtdruck von 1000 mbar. Es ist RL D 0;2872 kJ=.kg K/, RD D 0;4615 kJ=.kg K/. Aus der Wasserdampftafel Tab. 40.5 findet man den Dampfdruck pDS .20 ı C/ D 23;39 mbar. Damit wird g 0;2872  23;39  103 0;4615.1000  23;39/ kg D 14;905 g=kg :

bzw. pD V D mD RD T : (43.8) Mit p D pL C pD folgt aus den vorstehenden Gleichungen die Wasserdampfmasse, die 1 kg trockener Luft beigemischt ist. (43.9)

RL pDS : RD .p  pDS /

Beispiel

pL V D mL RL T

mD RL pD D : xD D mL RD .p  pD /

(43.10)

xS D

Weitere Werte xS in Tab. 43.1. J Feuchtegrad, relative Feuchte. Als relatives Maß für die Dampfbeladung definiert man den Feuchtegrad D xD =xS . In der Meteorologie wird dagegen meistens mit der relativen Feuchte ' D pD .t/=pDS .t/ gerechnet. Beide Werte weichen in der Nähe der Sättigung nur wenig voneinander ab, denn es ist

Man bezeichnet die Größe xD D mD =mL als Wasserdampfbeladung der feuchten Luft, im Folgenden kurz Dampfbeladung genannt und nicht zu verwechseln mit dem Dampfgehalt von Gemischen aus dampfförmigen und flüssigen Wasser. Ist Wasser in der Luft nicht nur in Form von Dampf, sondern auch in flüssiger oder fester oder Form vorhanden, so ist die Wasserbeladung x von der Dampfbeladung xD zu unterscheiden.

xD pD .p  pDS / D xS pDS .p  pD / D'

.p  pDS / : .p  pD /

43 Gemische

795

Bei Sättigung ist D ' D 1. Erhöht man den Druck oder senkt man die Temperatur gesättigter feuchter Luft, so kondensiert der überschüssige Wasserdampf. Der kondensierte Dampf fällt als Nebel oder Niederschlag (Regen) aus; bei Temperaturen unter 0 °C bilden sich Eiskristalle (Schnee). Die Wasserbeladung ist in diesem Fall größer als die Dampfbeladung x > xD D xS . Die relative Luftfeuchte kann mit direkt anzeigenden Geräten (z. B. Haarhygrometern) oder mit Hilfe des Aspirationspsychrometers nach Assmann bestimmt werden (s. Bd. 2, Abschn. 31.9).

die des Eises und hE D 333;5 kJ=kg die Schmelzenthalpie des Eises. In Tab. 43.1 sind die Sättigungsdrücke, die Dampfbeladungen und die Enthalpien gesättigter feuchter Luft bei Temperaturen zwischen –20 und +100 °C für einen Gesamtdruck von 1000 mbar angegeben. Bei t D 0 ı C kann Wasser gleichzeitig in allen drei Aggregatszuständen vorliegen. Für die Enthalpie h1Cx des Gemisches gilt dann

Enthalpie feuchter Luft. Da bei Zustandsänderungen feuchter Luft die beteiligte Luftmenge dieselbe bleibt und sich nur die zugemischte Wassermenge durch Tauen oder Verdunsten ändert, bezieht man alle Zustandsgrößen auf 1 kg trockene Luft. Diese enthält dann x D mW =mL kg Wasser wovon xD D mD =mL dampfförmig sind. Für die Enthalpie h1Cx des ungesättigten (x D xD < xS ) Gemisches aus 1 kg trockener Luft und x kg Dampf gilt

43.2.1

h1Cx D cpL t C xD .cpD t C r/ :

(43.12)

Es sind cpL D 1;005 kJ=.kg K/ die isobare spez. Wärmekapazität der Luft, cpD D 1;86 kJ=.kg K/ die des Wasserdampfes und r D 2 500;5 kJ=kg die Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 0 °C. In dem interessierenden Temperaturbereich von –60 bis +100 °C kann man konstante Werte cp annehmen. Bei Sättigung wird xD D xS und h1Cx D .h1Cx /S . Ist die Wasserbeladung x größer als die Sättigungsbeladung xS so fällt bei Temperaturen t > 0 ı C der Wasseranteil x  xS D xFl in Form von Nebel oder auch als Bodenkörper in dem Gemisch aus, und es wird h1Cx D .h1Cx /S C .x  xS /cW t :

(43.13)

Bei Temperaturen t < 0 ı C fällt der Wasseranteil x  xS D xE als Schnee oder Eis aus, und es ist h1Cx D .h1Cx /S .x xS /.hE cE t/: (43.14) Es ist cW D 4;19 kJ=.kg K/ die spez. Wärmekapazität des Wassers, cE D 2;04 kJ=.kg K/

h1Cx D xS  r  xE  hE :

(43.15)

Mollier-Diagramm der feuchten Luft

Für die graphische Darstellung von Zustandsänderungen feuchter Luft hat Mollier ein h1Cx , x-Diagramm angegeben, Abb. 43.1a. Darin ist die Enthalpie h1Cx von .1 C x/ kg) feuchter Luft in einem schiefwinkligen Koordinatensystem über der Wasserbeladung aufgetragen. Die Achse h D 0, entsprechend feuchter Luft von 0 °C ist schräg nach unten rechts gelegt, derart, dass die 0 °C Isotherme der feuchten ungesättigten Luft waagrecht verläuft. Abb. 43.1b zeigt die Konstruktion der Isothermen nach Gl. (43.12) und Gl. (43.13). Die Linien x D const sind senkrechte, die Linien h D const zur Achse h1Cx D 0 parallele Geraden. In Abb. 43.1a ist die Grenzkurve ' D 1 für den Gesamtdruck 1000 mbar eingezeichnet. Sie trennt das Gebiet der ungesättigten Gemische (oben) von dem Nebelgebiet (unten), in dem die Feuchtigkeit teils als Dampf, teils in flüssiger (Nebel, Niederschlag) oder fester Form (Eisnebel, Schnee) im Gemisch enthalten ist. Isothermen im ungesättigten Gebiet nach Gl. (43.12) sind nach rechts schwach ansteigende Geraden, die an der Grenzkurve nach unten abknicken und im Nebelgebiet den Geraden konstanter Enthalpie nahezu parallel verlaufen entsprechend Gl. (43.13). Für einen Punkt im Nebelgebiet mit der Temperatur t und der Wasserbeladung x findet man den dampfförmigen Anteil, indem man die Isotherme t bis zum Schnitt mit der Grenzkurve ' D 1 verfolgt. Der im Schnittpunkt abgelesene Anteil xS ist als Dampf und damit der Anteil x  xS

43

796

P. Stephan und K. Stephan

Abb. 43.1 h1Cx , x-Diagramm der feuchten Luft nach Mollier

als Flüssigkeit und/oder Eis im Gemisch enthalten. Die schrägen, strahlenartigen Geradenstücke h1Cx =x legen zusammen mit dem Nullpunkt die Richtung fest, in der man sich von einem beliebigen Diagrammpunkt aus bewegt, wenn man dem Gemisch Wasser oder Wasserdampf zusetzt, dessen Enthalpie in kJ=kg gleich den Zahlen an den Randstrahlen ist. Um die Richtung der Zustandsänderung zu finden, hat man durch den Zustandspunkt der feuchten Luft eine Parallele zur Geraden zu zeichnen, die durch den Nullpunkt (h D 0, x D 0) und den Randstrahl festgelegt ist.

43.2.2 Zustandsänderungen feuchter Luft

gleich der ausgetauschten Wärme bezogen auf 1 kg trockene Luft: Q12 D mL .cpL C cpD x/.t2  t1 / ;

(43.16)

mit cpL D 1;005 kJ=.kg K/ und cpD D 1;852 kJ=.kg K/. Bei Abkühlung feuchter Luft unter den Taupunkt des Wassers (1–2 in Abb. 43.2b) fällt ein Niederschlag aus. Die abgeführte Wärme ist Q12 D mL ..h1Cx /2  .h1Cx /1 / ;

(43.17)

worin .h1Cx /1 durch Gl. (43.12) und .h1Cx /2 durch Gl. (43.13) gegeben ist. Es fällt eine Wassermenge mW D mL .x1  x3 /

(43.18)

Erwärmung oder Abkühlung. Wird ein gegeaus. benes Gemisch erwärmt, so bewegt man sich auf einer Senkrechten nach oben (1–2 in Abb. 43.2a), Beispiel wird es abgekühlt, so bewegt man sich auf ei1000 kg feuchte Luft von t1 D 30 ı C, '1 D ner Senkrechten nach unten (2–1). Solange sich 0;6 und p D 1000 mbar werden auf 15 °C die Zustände 1 und 2 im ungesättigten Gebiet abgekühlt. Wie viel Kondensat entsteht? Die befinden, ist die senkrechte Entfernung zweier Dampfbeladung x1 erhält man aus Gl. (43.9) Zustandspunkte gemessen im Enthalpiemaßstab

43 Gemische

797

Sättigungsgehalt auf der Nebelisotherme durch den Mischungspunkt ist. Beispiel

Abb. 43.2 Zustandsänderungen feuchter Luft. a Erwärmung und Abkühlung; b Abkühlung unter den Taupunkt; c Mischung; d Zusatz von Wasser oder Wasserdampf

mit pD D '1 pDS . Nach Tab. 43.1 ist pDS .30 ı C/ D 42;46 mbar. Damit wird RL .'1 pDS / RD .p  '1 pDS / 0;2872  0;6  42;46 D 0;4615.1000  0;6  42;46/ D 16;25  103 kg=kg D 16;25 g=kg :

x1 D

Die 1000 kg feuchte Luft bestehen aus 1000=.1 C x1 / D 1000=1;01625 kg D 984;01 kg trockener Luft und 1000984;01 D 15;99 kg Wasserdampf. Die Wasserbeladung im Punkt 3, x3 D xS , folgt aus Tab. 43.1 bei t3 D 15 ı C zu x3 D 10;79 g=kg. Damit wird mFl D 984;01  .16;25  10;80/  103 kg D 5;36 kg. J Mischung zweier Luftmengen. Mischt man zwei Luftmengen vom Zustand 1 und 2 (Abb. 43.2c) und sorgt dafür, dass mit der Umgebung keine Wärme ausgetauscht wird, so liegt der Zustand m (Punkt 3 in Abb. 43.2c) nach der Mischung auf der Verbindungsgeraden 1–2. Den Punkt m erhält man durch Unterteilen der Geraden 1–2 im Verhältnis der Trockenluftmengen mL2 =mL1 . Es ist xm D .mL1 x1 C mL2 x2 /=.mL1 C mL2 / : (43.19) Mischen von gesättigten Luftmengen verschiedener Temperaturen liefert stets Nebel unter Ausscheiden der Wassermenge xm  xS , wobei xS der

1000 kg feuchte Luft von t1 D 30 ı C und '1 D 0;6 werden mit 1500 kg gesättigter feuchter Luft von t2 D 10 ı C bei 1000 mbar gemischt. Wie groß ist die Temperatur nach der Mischung? Wie im vorigen Beispiel schon berechnet, ist x1 D 16;25 g=kg. Aus Tab. 43.1 entnimmt man bei t2 D 10 ı C die Wasserbeladung x2s D 7;7377 g=kg. Die Trockenluftmengen sind mL1 D 1000=.1 C x1 / kg D 1000=.1 C 16;25  103 / kg D 984;01 kg und mL2 D 1500=.1 C x2s / kg D 1500=.1 C 7;7377  103 / kg D 1488;5 kg. Damit wird xm D .984;01  16;25 C 1488;5  7;7377/ =.984;01 C 1488;5/ g=kg D 11;12 g=kg : Die Enthalpie berechnet man nach Gl. (43.12). Es ist .h1Cx /1 D .1;005  30 C 16;25  103  .1;86  30 C 2500;5// kJ=kg D 71;69 kJ=kg; .h1Cx /2 D .1;005  10 C 7;7377  103  .1;86  10 C 2500;5// kJ=kg D 29;54 kJ=kg : Die Enthalpie des Gemisches ist .h1Cx /m D .mL1 .h1Cx /1 C mL2 .h1Cx /2 / =.mL1 C mL2 / D .984;01  71;69 C 1488;5  29;54/ =.984;01 C 1488;5/ kJ=kg D 46;31 kJ=kg : Andererseits ist nach Gl. (43.12) .h1Cx /m D .1;005 tm C 11;12  103 .1;86 tm C 2500;5// kJ=kg : Daraus folgt tm D 18 ı C. J

43

798

Zusatz von Wasser oder Wasserdampf. Mischt man Luft mit mW kg Wasser oder Wasserdampf, so beträgt der Wassergehalt nach der Mischung xm D .mL1 x1 C mW /=mL1 . Die Enthalpie ist .h1Cx /m D .mL1 .h1Cx /1 C mW hW / =mL1 : (43.20) Im Mollier-Diagramm für feuchte Luft (Abb. 43.2d) liegt der Endzustand nach der Mischung auf derjenigen Geraden durch den Anfangszustand 1 der feuchten Luft, die parallel zu der durch den Koordinatenursprung gehenden Geraden mit der Steigung hW verläuft, wobei hW D h1Cx =x durch die Geradenstücke des Randmaßstabs gegeben ist. Kühlgrenztemperatur. Streicht ungesättigte feuchte Luft vom Zustand t1 ; x1 über eine Wasser- oder Eisoberfläche, so verdunstet bzw. sublimiert Wasser und wird von der Luft aufgenommen, wodurch deren Wassergehalt zunimmt. Hierbei sinkt die Temperatur des Wassers bzw. des Eises und erreicht nach hinreichend langer Zeit einen stationären Endwert, den man Kühlgrenztemperatur nennt. Man findet die Kühlgrenztemperatur tg mit Hilfe des MollierDiagramms, indem man diejenige Nebelisotherme tg sucht, deren Verlängerung durch den Zustandspunkt 1 geht.

P. Stephan und K. Stephan

Tabellen zu Kap. 43 Tab. 43.1 Teildruck pWS , Dampfbeladung xs und Enthalpie h1Cxs gesättigter feuchter Luft der Temperatur t, bezogen auf 1 kg trockene Luft bei einem Gesamtdruck von 1000 mbar (unter 0 °C über Eis) t [°C] 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

pws [mbar] 1,032 1,236 1,249 1,372 1,506 1,652 1,811 1,984 2,172 2,377 2,598 2,838 3,099 3,381 3,686 4,017 4,374 4,760 5,177 5,626 6,117 6,572 7,061 7,581 8,136 8,726 9,354 10,021 10,730 11,483 12,281 13,129 14,027 14,979 15,988 17,056 18,185 19,380 20,644 21,979 23,388

xs [g=kg] 0,64290 0,70776 0,77825 0,85499 0,93862 1,02977 1,12906 1,23713 1,35462 1,48277 1,62099 1,77117 1,93456 2,11120 2,30235 2,50993 2,73398 2,97640 3,23851 3,52097 3,8303 4,1167 4,4251 4,7540 5,1046 5,4781 5,8759 6,2993 6,7497 7,2288 7,7377 8,2791 8,8534 9,4635 10,111 10,798 11,526 12,299 13,118 13,985 14,903

h1Cxs [kJ=kg] 18,5164 17,3503 16,1700 14,9741 13,7609 12,5288 11,2762 10,0015 8,7030 7,3777 6,0269 4,6459 3,2314 1,7834 0,2987 1,2277 2,7960 4,4109 6,0758 7,7926 9,5778 11,3064 13,0915 14,9290 16,8222 18,7741 20,7884 22,8684 25,0181 27,2416 29,5421 31,9263 34,3956 36,9572 39,6166 42,3778 45,2449 48,2272 51,3306 54,5595 57,9202

43 Gemische

799

Tab. 43.1 (Fortsetzung) t [°C] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

pws [mbar] 24,877 26,447 28,104 29,850 31,691 33,629 35,670 37,818 40,078 42,455 44,953 47,578 50,335 53,229 56,267 59,454 62,795 66,298 69,969 73,814 77,840 82,054 86,464 91,076 95,898 100,94 106,21 111,71 117,45 123,44 129,70 136,23 143,03 150,12 157,52 165,22 173,24 181,59 190,28 199,32

Tab. 43.1 (Fortsetzung) xs [g=kg] 15,876 16,906 17,995 19,148 20,367 21,656 23,019 24,460 25,983 27,592 29,292 31,88 32,985 34,988 37,104 39,338 41,697 44,188 46,819 49,597 52,530 55,628 58,901 62,358 66,009 69,868 73,947 78,259 82,817 87,637 92,743 98,149 103,87 109,92 116,36 123,17 130,40 138,08 146,24 154,92

h1Cxs [kJ=kg] 61,4240 65,0741 68,8823 72,8537 77,0006 81,3286 85,8505 90,5757 95,5160 100,683 106,088 111,745 117,668 123,869 130,368 137,179 144,317 151,805 159,662 167,907 176,563 185,654 195,208 205,248 215,806 226,912 238,603 250,913 263,878 277,536 291,958 307,175 323,221 340,176 358,126 377,094 397,178 418,457 441,020 464,964

t [°C] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

pws [mbar] 208,73 218,51 228,68 239,25 250,22 261,63 273,47 285,76 298,32 311,76 325,49 339,72 358,00 369,78 385,63 402,05 419,05 436,65 454,87 473,73 493,24 513,42 534,28 555,85 578,15 601,19 624,99 649,58 674,96 701,17 728,23 756,14 784,95 814,65 845,29 876,88 909,45 943,01 977,59 1013,20

xs [g=kg] 164,16 174,00 184,50 195,71 207,68 220,51 234,24 248,98 264,83 281,90 300,30 320,19 347,02 365,14 390,62 418,43 448,89 482,36 519,28 560,19 605,71 656,65 713,93 778,83 852,89 938,12 1037,15 1153,60 1292,27 1460,20 1667,55 1929,63 2271,51 2735,21 3400,16 4432,25 6250,33 10 297,46 27 147,34 

h1Cxs [kJ=kg] 490,418 517,474 546,288 577,001 609,745 644,782 682,254 722,413 765,546 811,941 861,924 915,870 988,219 1037,670 1106,609 1181,826 1264,123 1354,501 1454,151 1564,509 1687,252 1824,503 1978,817 2153,558 2352,928 2582,259 2848,667 3161,844 3534,691 3986,110 4543,419 5247,698 6166,305 7412,089 9198,391 11 970,735 16 854,112 27 724,303 72 980,326 

43

44

Verbrennung Peter Stephan und Karl Stephan

Wärme in technischen Prozessen wird heute noch größtenteils durch Verbrennung gewonnen. Verbrennung ist die chemische Reaktion eines Stoffs, i. Allg. Kohlenstoff, Wasserstoff und Kohlenwasserstoffe, mit Sauerstoff, die stark exotherm, also unter Wärmefreisetzung abläuft. Die Brennstoffe können fest, flüssig oder gasförmig sein, und als Sauerstoffträger dient meistens die atmosphärische Luft. Zur Einleitung der Verbrennung muss der Brennstoff erst auf Zündtemperatur gebracht werden, die von der Art des Brennstoffs abhängt. Hauptbestandteil aller technisch wichtigen Brennstoffe sind Kohlenstoff C und Wasserstoff H, daneben ist häufig auch noch Sauerstoff O und, mit Ausnahme von Erdgas, noch eine gewisse Menge Schwefel S vorhanden, aus dem bei Verbrennung das unerwünschte Schwefeldioxid SO2 entsteht.

bedarf und die Stoffmenge im Rauchgas. Es gilt für die Verbrennung von Kohlenstoff C D CO2 C C O2 1 kmol C C 1 kmol O2 D 1 kmol CO2 12 kg C C 32 kg O2 D 44 kg CO2 : Daraus folgen der Mindestsauerstoffbedarf, den man zur vollständigen Verbrennung benötigt, zu omin D .1=12/ kmol=kg C oder

ON min D 1 kmol=kmol C :

Der Mindestluftbedarf ergibt sich aus dem Sauerstoffanteil von 21 Mol-% in der Luft zu lmin D .omin =0;21/ kmol Luft=kg C oder

44.1

Reaktionsgleichungen

LN min D .ON min =0;21/ kmol Luft=kmol C

Die in den Brennstoffen vorkommenden Elemenund die CO2 -Menge im Rauchgas zu (1/12) te H, C und S werden bei vollständiger Verbrenkmol/kg C. Entsprechend gelten die folgenden nung zu CO2 , H2 O und SO2 verbrannt. Aus den Reaktionsgleichungen für die Verbrennung von Reaktionsgleichungen erhält man den SauerstoffWasserstoff H2 und Schwefel S: P. Stephan () Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] K. Stephan Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland E-Mail: [email protected]

H2 C 12 O2 D H2 O 1 1 kmol H2 C 2 kmol O2 D 1 kmol H2 O 2 kg H2 C16 kg O2 D 18 kg H2 O S C O2 D SO2 1 kmol S C 1 kmol O2 D 1 kmol SO2 32 kg S C 32 kg O2 D 64 kg SO2 :

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_44

801

802

P. Stephan und K. Stephan

Bezeichnen c, h, s, o die Kohlenstoff-, Wasserstoff-, Schwefel- und Sauerstoffgehalte in kg je kg Brennstoff, so ist der Mindestsauerstoffbedarf entsprechend der obigen Rechnung  omin D

c h s o C C  12 4 32 32

 kmol=kg : (44.1)

Man schreibt abkürzend omin D

1 12

c kmol=kg ;

(44.2)

worin  eine Kennzahl des Brennstoffs ist .O2 -Bedarf in kmol bezogen auf die kmol C im Brennstoff). Der tatsächliche Luftbedarf (bezogen auf 1 kg Brennstoff) ist l D lmin D .omin =0;21/ kmol Luft=kg ; (44.3)  ist die Luftüberschusszahl. In den Rauchgasen treten außer den Verbrennungsprodukten CO2 , H2 O, SO2 noch der Wassergehalt w/18 (SI-Einheit kmol je kg Brennstoff) und die zugeführte Verbrennungsluft l abzüglich der verbrauchten Sauerstoffmenge omin auf. Hierbei wird angenommen, dass die zugeführte Verbrennungsluft trocken oder deren Wasserdampfgehalt vernachlässigbar gering ist. Es entstehen folgende auf 1 kg Brennstoff bezogene Abgasmengen c h s w I nH2 O D C I nSO2 D nCO2 D 12 2 18 32 nO2 D .  1/ omin I nN2 D 0;79  l :

Beispiel

In einer Feuerung werden stündlich 500 kg Kohle von der Zusammensetzung c D 0;78, h D 0;05, o D 0;08, s D 0;01, w D 0;02 und einem Aschegehalt a D 0;06 mit einem Luftüberschuss  D 1;4 vollkommen verbrannt. Wie viel Luft muss der Feuerung zugeführt werden, wie viel Rauchgas entsteht und wie ist seine Zusammensetzung? Der Mindestsauerstoffbedarf ist D 0;78=12 C nach Gl. (44.1) omin 0;05=4 C 0;01=32  0;08=32 kmol=kg D 0;0753 kmol=kg. Der Mindestluftbedarf ist lmin D omin =0;21 D 0;3586 kmol=kg, die zuzuführende Luftmenge l D lmin D 1;4  0;3586 D 0;502 kmol=kg, also 0;502 kmol=kg  500 kg=h D 251 kmol=h. Das ergibt mit der Molmasse M D 28;953 kg=kmol der Luft einen Luftbedarf von 0;502  28;953 kg=kg D 14;54 kg=kg, also 14;54 kg=kg  500 kg=h D 7270 kg=h. Die Rauchgasmenge ist nach Gl. (44.4) 1 .3  0;05 C 38  0;08 C nR D 0;502 C 12 2 3  0;02/ kmol=kg D 0;518 kmol=kg, also 0;518 kmol=kg  500 kg=h D 259 kmol=h mit 0,065 kmol CO2 =kg, 0,0261 kmol H2 O=kg, 0,0003 kmol SO2 =kg, 0,3966 kmol N2 =kg und 0,0301 kmol O2 =kg. J

44.2

Heizwert und Brennwert

Der Heizwert ist die bei der Verbrennung frei werdende Wärme, wenn die Verbrennungsgase bis auf die Temperatur abgekühlt werden, mit der Die Summe ergibt die gesamte Rauchgasmenge Brennstoff und Luft zugeführt werden. Das Wasser ist in den Rauchgasen als Gas enthalten. Wird der Wasserdampf kondensiert, so bezeichnet man c h w s nR D C C C C .  1/ omin die frei werdende Wärme als Brennwert. Nach 12 2 18 32 DIN 51 900 gelten Heiz- und BrennwertangaC 0;79  l kmol=kg : ben für die Verbrennung bei Atmosphärendruck, Dies lässt sich mit den Gln. (44.1) und (44.3) ver- wenn die beteiligten Stoffe vor und nach der Verbrennung eine Temperatur von 25 °C haben. einfachen zu Heiz- und Brennwert (s. Tab. 44.1 bis 44.4) sind   unabhängig von dem Luftüberschuss und nur ei1 3 2 3h C o C w kmol=kg : nR D l C ne Eigenschaft des Brennstoffs. Der Brennwert 12 8 3 (44.4) h0 ist um die Verdampfungsenthalpie r des

44 Verbrennung

803

im Rauchgas enthaltenen Wassers größer als der werdende Wärme dient der Erhöhung der inneren Energie und damit der Temperatur der Gase Heizwert hu , sowie zur Verrichtung der Verschiebearbeit. Die theoretische Verbrennungstemperatur berechnet h0 D hu C .8;937 h C w/ r : sich aus der Bedingung, dass die Enthalpie alDa das Wasser technische Feuerungen meis- ler dem Brennraum zugeführten Stoffe gleich der tens als Dampf verlässt, kann häufig nur der Enthalpie des abgeführten Rauchgases sein muss. Heizwert nutzbar gemacht werden. Der Heizwert hu C ŒcB t25B ı C  .tB  25 ı C/ von Heizölen lässt sich erfahrungsgemäß [1] gut

t C l CN pL 25L ı C  .tL  25 ı C/ (44.6) wiedergeben durch die Zahlenwertgleichung

t D nR CN pR 25 ı C  .t  25 ı C/ : hu D 54;0413;29%29;31s MJ=kg; (44.5) Es bedeuten tB die Temperatur des Brennstoffs, in der % die Dichte des Heizöls in kg=dm3 tL die der Luft, und t die theoretische VerbrentB spez. bei 15 °C und s der Schwefelgehalt in kg=kg nungstemperatur, Œc25 ı C ist die mittlere

tL N Wärmekapazität des Brennstoffs, C sind. Eine Näherungsgleichung zur Bestimmung pL 25 ı C die mittlere molare Wärmekapazität der Luft und des Heizwertes fester Brennstoffe bei gegebe-

t N ner Elementarzusammensetzung, die sogenannte CpR 25 ı C die des Rauchgases. Diese setzt sich Verbandsformel, ist in Bd. 3, Abschn. 48.2.4 an- aus den mittleren molaren Wärmekapazitäten der gegeben. Gleichungen zur Berechnung des Heiz- einzelnen Bestandteile zusammen:

t

t wertes und Brennwertes für gasförmige Brennc N CpCO2 25 ı C nR CN pR 25 ı C D stoffe sind Bd. 3, Abschn. 48.4.3 zu entnehmen. 12 

t h w N C C CpH2 O 25 ı C Beispiel 2 18

t s N C CpSO2 25 ı C Wie groß ist der Heizwert eines leichten Heiz32 öls der Dichte % D 0;86 kg=dm3, dessen

t C .  1/omin CN pO2 25 ı C Schwefelgehalt s D 0;8 Gew.-% beträgt?

t Nach Gl. (44.5) ist C 0;79  l CN pN2 25 ı C (44.7) hu D 54;04  13;29  0;86 Die theoretische Verbrennungstemperatur 2 muss man iterativ aus Gln. (44.6) und (44.7)  29;31  0;8  10 ermitteln. D 42;38 MJ=kg : J Die wirkliche Verbrennungstemperatur ist auch bei vollkommener Verbrennung des Brennstoffs niedriger als die theoretische wegen der 44.3 Verbrennungstemperatur Wärmeabgabe an die Umgebung, hauptsächlich durch Strahlung, dem über 1500 °C beginnenden Die theoretische Verbrennungstemperatur ist die Zerfall der Moleküle und der ab 2000 °C merkliTemperatur des Rauchgases bei vollkommener chen Dissoziation. Die Dissoziationswärme wird isobar-adiabater Verbrennung, wenn keine Dis- bei Unterschreiten der Dissoziationstemperatur soziation auftritt. Die bei der Verbrennung frei wieder frei.

44

804

P. Stephan und K. Stephan

Tabellen zu Kap. 44 Tab. 44.1 Heizwerte der einfachsten Brennstoffe bei 25 °C und 1,01325 bar Heizwert [kJ] je kmol je kg

C 393 510 32 762

CO 282 989 10 103

H2 (Brennwert) 285 840 141 800

H2 (Heizwert) 241 840 119 972

S 296 900 9260

Tab. 44.2 Zusammensetzung und Heizwert fester Brennstoffe Brennstoff

Holz, lufttrocken Torf, lufttrocken Rohbraunkohle Braunkohlenbrikett Steinkohle Antrazit Zechenkoks

Asche Wasser Zusammensetzung der aschefreien TrockensubGew.-% Gew.-% stanz in Gew.-% C H S O N

Brennwert

Heizwert

in MJ=kg im Verwendungszustand 15,91. . . 18,0 14,65. . . 16,75

< 0;5

10. . . 20 50

< 15

15. . . 35 50. . . 60 4,5. . . 6

0,3. . . 2,5 30. . . 40 1. . . 4

13,82. . . 16,33 11,72. . . 15,07

2. . . 8

50. . . 60 65. . . 75 5. . . 8

0,5. . . 4

10,47. . . 12,98

3. . . 10

12. . . 18

3. . . 12 2. . . 6 8. . . 10

6

0,0

43,9

0,1

15. . . 26 0,5. . . 2

8,37. . . 11,30

20,93. . . 21,35 19,68. . . 20,10

0. . . 10 80. . . 90 4. . . 9 0,7. . . 1,4 4. . . 12 0. . . 5 90. . . 94 3. . . 4 0,7. . . 1 0,5. . . 4 1. . . 7 97 0,4. . . 0,7 0,6. . . 1 0,5. . . 1

0,6. . . 2 1. . . 1,5 1. . . 1,5

29,31. . . 35,17 27,31. . . 34,12 33,49. . . 34,75 32,66. . . 33,91 28,05. . . 30,56 27,84. . . 30,35

Tab. 44.3 Verbrennung flüssiger Brenn- und Kraftstoffe

a b

Brennstoff

Molmasse [kg=kmol]

Kennzahl  1,50 1,50 1,50 1,50 1,25 1,285 1,313 1,26 1,30 1,20

Brennwert [kJ=kg]

Heizwert [kJ=kg]

46,069    78,113 92,146 106,167   128,19

Gehalt in Gew.-% C H 52 13       92,2 7,8 91,2 8,8 90,5 9,5 92,1 7,9 91,6 8,4 93,7 6,3

Ethanol C2 H5 OH Spiritus 95 % 90 % 5% Benzol (rein) C6 H6 Toluol (rein) C7 H8 Xylol (rein) C8 H10 Handelsbenzol I (90er Benzol)a Handelsbenzol II (50er Benzol)b Naphthalin (rein) C10 H8 (Schmelztemp. 80 °C) Tetralin (rein) C10 H12 Pentan C5 H12 Hexan C6 H14 Heptan C7 H16 Oktan C8 H18 Benzin (Mittelwerte)

29 730 28 220 26 750 25 250 41 870 42 750 43 000 41 870 42 290 40 360

26 960 25 290 23 860 22 360 40 150 40 820 40 780 40 190 40 400 38 940

132,21 72,150 86,177 100,103 114,230 

90,8 83,2 83,6 83,9 84,1 85

1,30 1,60 1,584 1,571 1,562 1,53

42 870 49 190 48 360 47 980 48 150 46 050

40 820 45 430 44 670 44 380 44 590 42 700

0,84 Benzol, 0,13 Toluol, 0,03 Xylol (Massenbrüche) 0,43 Benzol, 0,46 Toluol, 0,11 Xylol (Massenbrüche)

9,2 16,8 16,4 16,1 15,9 15

44 Verbrennung

805

Tab. 44.4 Verbrennung einiger einfacher Gase bei 25 °C und 1,013256 bar Gasart Wasserstoff H2 Kohlenoxid CO Methan CH4 Ethan C2 H6 Propan C3 H8 Butan C4 H10 Ethylen C2 H4 Propylen C3 H6 Butylen C4 H8 Acetylen C2 H2 a

Molmassea [kg/kmol] 2,0158 28,0104 16,043 30,069 44,09 58,123 28,054 42,086 56,107 26,038

Dichte [kg=m]3 0,082 1,14 0,656 1,24 1,80 2,37 1,15 1,72 2,90 1,07

Kennzahl 

0,50 2,00 1,75 1,67 1,625 1,50 1,50 1,50 1,25

Brennwerta [MJ=kg] 141,80 10,10 55,50 51,88 50,35 49,55 50,28 48,92 48,43 49,91

Heizwerta [MJ=kg] 119,97 10,10 50,01 47,49 46,35 45,72 47,15 45,78 45,29 48,22

Nach DIN 51850: Brennwerte und Heizwerte gasförmiger Brennstoffe, April 1980.

Literatur Spezielle Literatur 1. Brandt, F.: Brennstoffe und Verbrennungsrechnung, 3. Aufl. Vulkan, Essen (1999)

44

45

Wärmeübertragung Peter Stephan und Karl Stephan

Bestehen zwischen verschiedenen, nicht voneinander isolierten Körpern oder innerhalb verschiedener Bereiche eines Körpers Temperaturunterschiede, so fließt Wärme so lange von der höheren zur tieferen Temperatur, bis sich die verschiedenen Temperaturen angeglichen haben. Man bezeichnet diesen Vorgang als Wärmeübertragung. Es sind drei Fälle der Wärmeübertragung zu unterscheiden:  Die Wärmeübertragung durch Leitung in festen oder in unbewegten flüssigen und gasförmigen Körpern. Dabei wird kinetische Energie von einem Molekül oder von Elementarteilchen auf seine Nachbarn übertragen.  Die Wärmeübertragung durch Mitführung oder Konvektion in bewegten flüssigen oder gasförmigen Körpern.  Die Wärmeübertragung durch Strahlung, die sich ohne materiellen Träger mit Hilfe der elektromagnetischen Wellen vollzieht.

45.1

Stationäre Wärmeleitung

Stationäre Wärmeleitung durch eine ebene Wand. Werden die beiden Oberflächen einer ebenen Wand der Dicke ı auf verschiedenen Temperaturen T 1 und T 2 gehalten, so strömt durch die Fläche A in der Zeit  nach dem Fourierschen Gesetz die Wärme Q D A

T1  T2 : ı

Darin ist  ein Stoffwert (SI-Einheit W/(Km)), den man Wärmeleitfähigkeit nennt (s. Tab. 45.6). Man bezeichnet Q= D QP als Wärmestrom (SIEinheit W) und Q=.A/ D qP (SI-Einheit W=m2 ) als Wärmestromdichte. Es ist

T1  T2 : ı (45.1) Ähnlich wie bei der Elektrizitätsleitung ein Strom In der Technik wirken oft alle drei Arten der I nur fließt, wenn man eine Spannung U anWärmeübertragung zusammen. legt, um den Widerstand R zu überwinden (I D U=R), fließt ein Wärmestrom QP nur dann, wenn eine Temperaturdifferenz T D T1  T2 vorhanden ist: A QP D T : ı P. Stephan () Technische Universität Darmstadt In Analogie zum Ohmschen Gesetz nennt man Darmstadt, Deutschland RW D ı=.A/ einen Wärmeleitwiderstand (SIE-Mail: [email protected] Einheit K=W). K. Stephan Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland E-Mail: [email protected]

T1  T2 QP D A ı

und qP D 

Fouriersches Gesetz. Betrachtet man statt der Wand der endlichen Dicke ı eine aus ihr

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_45

807

808

P. Stephan und K. Stephan

Aa Ai senkrecht zum Wärmestrom herausgeschnittene mit ı D ra  ri und Am D ln.A schreiben, a =Ai / Scheibe der Dicke dx, so erhält man das Fourier- wenn Aa D 2 ra l die äußere und Ai D 2 ri l die sche Gesetz in der Form innere Oberfläche des Rohrs ist. Am ist das logarithmische Mittel zwischen äußerer und innerer dT dT und qP D  ; (45.2) Rohroberfläche. QP D A dx dx Der „Wärmeleitwiderstand“ des Rohrs RW D wobei das negative Vorzeichen ausdrückt, dass ı=.Am / (SI-Einheit K=W) muss durch eine die Wärme in Richtung abnehmender Temperatur Temperaturdifferenz überwunden werden, damit strömt. QP ist hierbei der Wärmestrom in Rich- ein Wärmestrom fließen kann. tung der x-Achse, Entsprechendes gilt für q. P Der Wärmestrom in Richtung der drei Koordinaten x, y, z ist ein Vektor 45.2 Wärmeübergang und   Wärmedurchgang @T @T @T ex C ey C ez (45.3) qP D  @x @y @z Geht von einem Fluid Wärme an eine Wand mit den Einheitsvektoren ex ; e y ; e z . Glei- über, wird darin fortgeleitet und auf der andechung (45.3) ist zugleich die allgemeine Form des ren Seite an ein zweites Fluid übertragen, so Fourierschen Gesetzes. Es gilt in dieser Form für spricht man von Wärmedurchgang. Dabei sind isotrope Körper, d. h. solche, deren Wärmeleitfä- zwei Wärmeübergänge und ein Wärmeleitvorhigkeit in Richtung der drei Koordinatenachsen gang hintereinander geschaltet. Die Temperatur fällt in einer Schicht unmittelbar an der Wand gleich groß ist. steil ab (Abb. 45.1), während sich die TempeStationäre Wärmeleitung durch eine Rohr- raturen in einiger Entfernung von der Wand nur wand. Nach dem Fourierschen Gesetz wird wenig unterscheiden. Man kann vereinfachend durch eine Zylinderfläche vom Radius r und der annehmen, dass an der Wand eine dünne ruhenLänge l ein Wärmestrom QP D 2 rl.dT =dr/ de Fluidgrenzschicht von der Filmdicke ıi bzw. ıa übertragen. Bei stationärer Wärmeleitung ist der haftet, während das Fluid außerhalb TemperaturWärmestrom für alle Radien gleich, QP D const, unterschiede ausgleicht. In dem dünnen Fluidfilm sodass man die Veränderlichen T und r trennen wird Wärme durch Leitung übertragen, und es und von der inneren Oberfläche bei r D ri des gilt nach Fourier für den an die linke Wandseite Zylinders mit der Temperatur Ti bis zu einer be- übertragenen Wärmestrom liebigen Stelle r mit der Temperatur T integrieren Ti  T1 kann. Man erhält als Temperaturverlauf in einer ; QP D A ıi Rohrschale der Dicke r  ri :

Ti  T D

QP r ln : 2 l ri

Mit der Temperatur Ta der äußeren Oberfläche vom Radius ra erhält man den Wärmestrom in einem Rohr der Dicke ra  ri und der Länge l: Ti  Ta QP D 2 l : ln ra =ri

worin  die Wärmeleitfähigkeit des Fluids ist. Die Filmdicke ıi hängt von vielen Größen ab, wie Geschwindigkeit des Fluids entlang der Wand,

(45.4)

Um formale Übereinstimmung mit Gl. (45.1) zu erreichen, kann man auch Ti  Ta QP D Am ı

(45.5) Abb. 45.1 Wärmedurchgang durch eine ebene Wand

45 Wärmeübertragung

809

Tab. 45.1 Wärmeübergangskoeffizienten ˛ in W=(m2 K) ˛ freie Konvektion in: Gasen Wasser siedendem Wasser erzwungene Konvektion in: Gasen Flüssigkeiten Wasser kondensierendem Dampf

3. . . 20 100. . . 600 1000. . . 20000 10. . . 50. . . 500. . . 1000. . .

100 500 10000 100000

Abb. 45.2 Wärmedurchgang durch eine ebene, mehrschichtige Wand

sammensetzt: 1 1 ı 1 D C C : kA ˛i A A ˛a A

Form und Oberflächenbeschaffenheit der Wand. Es hat sich als zweckmäßig erwiesen, statt mit der Filmdicke ıi mit dem Quotienten =ıi D ˛ zu rechnen. Man kommt zu dem Newtonschen Ansatz für den Wärmeübergang eines Fluids an einer festen Oberfläche QP D ˛A.Tf  T0 / ;

Die durch Gl. (45.7) definierte Größe k nennt man den Wärmedurchgangskoeffizienten (SI-Einheit W=(m2 K)). Besteht die Wand aus mehreren homogenen Schichten (Abb. 45.2) mit den Dicken ı1 ; ı2 ; : : : und den Wärmeleitfähigkeiten 1 ; 2 ; : : :, so gilt ebenfalls Gl. (45.7), jedoch ist (45.6) jetzt der gesamte Wärmewiderstand

in dem allgemein Tf die Fluidtemperatur und T 0 die Oberflächentemperatur bedeuten. Die Größe ˛ nennt man Wärmeübergangskoeffizient (SIEinheit W/(m2 K)). Größenordnungen von Wärmeübergangskoeffizienten gibt Tab. 45.1. Grundlagen zur Berechnung von ˛ findet man in Abschn. 45.4. In Anlehnung an das Ohmsche Gesetz I D .1=R/U nennt man 1=.˛A/ D RW den Wärmeübergangswiderstand (SI-Einheit K=W). Er muss durch die Temperaturdifferenz T D Tf  T0 überwunden werden, damit der Wärmestrom QP fließen kann. In Abb. 45.1 sind vom Wärmestrom drei hintereinanderliegende Einzelwiderstände zu überwinden. Diese summieren sich zum Gesamtwiderstand. Wärmedurchgang durch ebene Wände. Der durch eine ebene Wand (Abb. 45.1) durchtretende Wärmestrom ist QP D kA.Ti  Ta /

(45.8)

X ıj 1 1 1 D C C : kA ˛i A j A ˛a A

(45.9)

Beispiel

Die Wand eines Kühlhauses besteht aus einer 5 cm dicken inneren Betonschicht . D 1 W=.Km//, einer 10 cm dicken Korksteinisolierung . D 0;04 W=.Km// und einer 50 cm dicken äußeren Ziegelmauer . D 0;75 W=.Km//. Der Wärmeübergangskoeffizient auf der Innenseite ist ˛i D 7 W=.m2 K/, der auf der Außenseite ˛a D 20 W=.m2 K/. Wie viel Wärme strömt durch 1 m2 Wand bei einer Innentemperatur von 5 °C und einer Außentemperatur von 25 °C? Nach Gl. (45.9) ist der Wärmedurchgangswiderstand  1 1 0;05 0;1 D C C kA 71 11 0;04  1  K 0;5 1 C C 0;75  1 20  1 W D 3;41 K=W :

(45.7) Der Wärmestrom ist

mit dem gesamten Wärmewiderstand 1=.kA/, der sich additiv aus den Einzelwiderständen zu-

QP D

1 .5  25/W; 3;41

P D 8;8 W: J jQj

45

810

P. Stephan und K. Stephan

Wärmedurchgang durch Rohre. Es gilt wiederum die Gl. (45.7) für den Wärmedurchgang durch ein Rohr. Der Wärmewiderstand setzt sich additiv aus den Einzelwiderständen zusammen 1 D ˛i1Ai C Aı m C ˛a1Aa . kA Es ist üblich, den Wärmedurchgangskoeffizienten k auf die meist leicht zu ermittelnde äußere Rohroberfläche A D Aa zu beziehen, sodass der gesamte Wärmewiderstand gegeben ist durch 1 1 ı 1 D C C kAa ˛i Ai Am ˛a Aa

(45.10)

mit Am D .Aa  Ai /= ln.Aa =Ai /. Besteht das Rohr aus mehreren homogenen Einzelrohren mit der Dicke ı1 ; ı2 ; : : : und den Wärmeleitfähigkeiten 1 ; 2 ; : : :, so gilt wieder Gl. (45.7), jedoch ist jetzt der gesamte Wärmewiderstand X ıj 1 1 1 D C C ; (45.11) kAa ˛i Ai j Amj ˛a Aa wobei die Summe über alle Einzelrohre zu bilden ist und Amj die mittlere logarithmische Fläche des Einzelrohrs j Amj D .Aaj  Aij /= ln.Aaj =Aij / ist.

Beide Gleichungen setzen in dieser Form konstante Wärmeleitfähigkeit  voraus (Isotropie). Die Größe a=/(%c) ist die Temperaturleitfähigkeit (SI-Einheit m2 /s), Zahlenwerte Tab. 45.7. Zur Lösung der Fourierschen Wärmeleitgleichung ist es zweckmäßig, wie bei anderen Problemen der Wärmeübertragung dimensionslose Größen einführen, weil sich dadurch die Zahl der Variablen verringern lässt. Um das Grundsätzliche zu zeigen, wird Gl. (45.12) betrachtet. Gesetzt wird  D .T  Tc /=.T0  Tc /, worin Tc eine charakteristische konstante Temperatur, T 0 eine Bezugstemperatur ist. Zum Beispiel kann Tc bei der Abkühlung einer Platte von anfänglich konstanter Temperatur T 0 in einer kalten Umgebung die Umgebungstemperatur Tc D Tu bedeuten. Alle Längen bezieht man auf eine charakteristische Länge X, z. B. die halbe Plattendicke. Es ist weiter zweckmäßig, durch Fo D a=X 2 eine dimensionslose Zeit einzuführen, die man die Fourier-Zahl nennt. Lösungen der Wärmeleitgleichung sind dann von der Form  D f .x=X; Fo/ :

In vielen Problemen wird die durch Leitung an die Oberfläche eines Körpers gelangende Wärme 45.3 Nichtstationäre Wärmeleitung durch Konvektion an das umgebende Fluid der Bei nichtstationärer Wärmeleitung ändern sich Temperatur Tu abgegeben. Es gilt dann die Enerdie Temperaturen zeitabhängig. In einer ebenen giebilanz an der Oberfläche (Index w = Wand)   Wand mit fest vorgegebenen Oberflächentem@T peraturen ist der Temperaturverlauf nicht mehr D ˛.Tw  Tu /  @x w geradlinig, da die in eine Scheibe einströmende Wärme von der ausströmenden verschieden ist. oder   Der Unterschied zwischen ein- und austretendem @ ˛X 1 D Wärmestrom erhöht (oder erniedrigt) die innere w @ w  Energie in der Scheibe und damit deren Temperatur als Funktion der Zeit. Für ebene Wände mit mit D x=X,  D .T  Tu /=.T0  Tu / und einem Wärmestrom in Richtung der x-Achse gilt w D .Tw  Tu /=.T0  Tu /. Die Lösung ist auch eine Funktion der dimensionslosen Größe ˛X=: die Fouriersche Wärmeleitgleichung Man nennt ˛X= die Biot-Zahl Bi, in ihr ist  die @2 T @T als konstant vorausgesetzte Wärmeleitfähigkeit (45.12) Da 2 : des Körpers und ˛ der Wärmeübergangskoef@ @x fizient an das umgebende Fluid. Lösungen der Bei mehrdimensionaler Wärmeleitung ist Gl. (45.12) sind von der Form  2 2 2  @ T @T @ T @ T C C 2 : (45.13) Da  D f .x=X; Fo; Bi/ : (45.14) @ @x 2 @y 2 @z

45 Wärmeübertragung

811 Tab. 45.2 Wärmeeindringkoeffizienten b D 1 Ws 2 =.m2 K/

Abb. 45.3 Halbunendlicher Körper

Kupfer Eisen Beton Wasser

36 000 15 000 1600 1400

Sand Holz Schaumstoffe Gase

p

%c in

1200 400 40 6

ein Maß für die Größe des Wärmestroms ist, der zu einer bestimmten Zeit in den Körper ein45.3.1 Der halbunendliche Körper gedrungen ist, wenn die Oberflächentemperatur plötzlich um einen bestimmten Betrag Tu T0 geDie Temperaturänderungen sollen sich in einer genüber der Anfangstemperatur T 0 erhöht wurde. im Vergleich zur Größe des Körpers dünnen Randzone abspielen. Man nennt einen solchen Körper halbunendlich. Betrachtet wird eine halbBeispiel unendliche ebene Wand (Abb. 45.3) der konstanBei einem plötzlichen Wetterwechsel fällt die ten Anfangstemperatur T 0 . Die OberflächentemTemperatur an der Erdoberfläche von +5 auf peratur der Wand werde zur Zeit  D 0 auf 5 °C. Wie tief sinkt die Temperatur in 1 m T .x D 0/ D Tu abgesenkt und bleibe anTiefe nach 20 Tagen? Die Temperaturleitfäschließend konstant. Man erhält für verschiedene higkeit des Erdreichs beträgt a D 6;94  Zeiten 1 ; 2 ; : : : Temperaturprofile. Sie sind ge107 m2 =s. Nach Gl. (45.15) ist geben durch T  Tu Df T0  Tu



x p 2 a

 (45.15)

mit der Gaußschen Fehlerfunktion p f .x=.2 a//, Abb. 45.4. Die Wärmestromdichte an der Oberfläche erhält man durch Differentiation qP D .@T =@x/xD0 zu b qP D p .Tu  T0 /  

(45.16)

T  .5/ 5  .5/ Df

!

1 1

2.6;94  107  20  24  3600/ 2

D f .0;456/ :

45

In Abb. 45.4 liest man ab f .0;456/ D 0;48. Damit wird T D 0;2 ı C. J

mit dem Wärmeeindringkoeffizienten b D Endlicher Wärmeübergang an der Oberfläp 1 %c (SI-Einheit Ws 2 =.m2 K/) (Tab. 45.2), der che. Wird an der Oberfläche des Körpers nach Abb. 45.3 Wärme durch Konvektion an die Umgebung übertragen, sodass an der Oberfläche qP D .@T =@x/ D ˛.Tw  Tu / gilt, wobei Tu die Umgebungstemperatur und Tw D T .x D 0/ die zeitlich veränderliche Wandtemperatur ist, so gilt Gl. (45.15) nicht mehr, sondern es ist b qP D p .Tu  T0 / ˚.z/   Abb. 45.4 Temperaturverlauf in einem halbunendlichen Körper

(45.17)

mit ˚.z/ D 1  2z12 C 213 2 4  ::: C p z n1 13:::.2n3/ .1/ ; worin z D ˛ a= ist. 2n1 z 2n2

812

P. Stephan und K. Stephan

Abb. 45.5 Kontakttemperatur Tm zwischen zwei halbunendlichen Körpern

45.3.2 Zwei halbunendliche Körper in thermischem Kontakt

Abb. 45.6 Abkühlung einer ebenen Platte

Zwei halbunendliche Körper verschiedener, aber mit einem Fehler in der Temperatur unter 1 % ananfänglich konstanter Temperatur T 1 und T 2 genähert werden durch mit den thermischen Eigenschaften 1 ; a1 und  x  a T  Tu 2 ; a2 werden zur Zeit  D 0 plötzlich in KonD C exp ı 2 2 cos ı : takt gebracht, Abb. 45.5. Nach sehr kurzer Zeit T0  Tu X X (45.18) stellt sich zu beiden Seiten der Kontaktfläche eiDie Konstanten C und ı hängen gemäß Tab. 45.3 ne Temperatur Tm ein, die konstant bleibt. Es ist von der Biot-Zahl Bi D ˛X= ab. Die Oberflächentemperatur der Wand Tw erTm  T1 b2 D : hält man aus Gl. (45.18), indem man x D T2  T1 b1 C b2 X setzt. Der Wärmestrom folgt aus QP D Die Kontakttemperatur Tm liegt näher bei der A.@T =@x/xDX . Temperatur des Körpers mit dem größeren Wärmeeindringkoeffizienten b. Durch Messen von Zylinder. Anstelle der Ortskoordinate x in Tm kann man einen der Werte b ermitteln, wenn Abb. 45.6 tritt die radiale Koordinate r. Der Radider andere bekannt ist. us des Zylinders ist R. Das Temperaturprofil wird

45.3.3 Temperaturausgleich in einfachen Körpern Ein einfacher Körper, worunter man eine Platte, einen Zylinder oder eine Kugel versteht, befinde sich zur Zeit  D 0 auf einer einheitlichen Temperatur T 0 und werde anschließend für  > 0 durch Wärmeübertragung an ein den Körper umgebendes Fluid von der Temperatur Tu gemäß der Randbedingung .@T =@n/w D ˛.Tw  Tu / abgekühlt oder erwärmt (n sei die Koordinate normal zur Oberfläche des Körpers).

wieder durch eine unendliche Reihe beschrieben, die sich für a=R2  0;21 mit einem Fehler unter 1 % annähern lässt durch  a  r T  Tu : (45.19) D C exp ı 2 2 I0 ı T0  Tu R R

I 0 ist eine Besselfunktion nullter Ordnung, deren Werte man in Tabellenwerken findet, z. B. [1]. Die Konstanten C und ı hängen gemäß Tab. 45.4 von der Biot-Zahl ab. Die Oberflächentemperatur der Wand ergibt sich aus Gl. (45.19), wenn man r D R setzt und der Wärmestrom aus QP D A.@T =@r/rDR . Dabei tritt die Ableitung der Besselfunktion I00 D Ebene Platte. Es gelten die Bezeichnungen in I1 auf. Die Besselfunktion erster Ordnung I 1 ist Abb. 45.6, in das auch ein Temperaturprofil ein- ebenfalls vertafelt [1]. gezeichnet ist. Das Temperaturprofil wird durch eine unend- Kugel. Die Abkühlung oder Erwärmung einer liche Reihe beschrieben, kann aber für a=X 2 = Kugel vom Radius R wird ebenfalls durch eine 0;24 (a D =.%c) ist die Temperaturleitfähigkeit) unendliche Reihe beschrieben. Sie lässt sich für

45 Wärmeübertragung

813

Tab. 45.3 Konstanten C und ı in Gl. (45.18) Bi C ı

1 1,2732 1,5708

10 1,2620 1,4289

5 1,2402 1,3138

2 1,1784 1,0769

1 1,1191 0,8603

0,5 1,0701 0,6533

0,2 1,0311 0,4328

0,1 1,0161 0,3111

0,01 1,0017 0,0998

2 1,386 1,5994

1 1,2068 1,2558

0,5 1,1141 0,9408

0,2 1,0482 0,6170

0,1 1,0245 0,4417

0,01 1,0025 0,1412

2 1,4793 2,0288

1 1,2732 1,5708

0,5 1,1441 1,1656

0,2 1,0592 0,7593

0,1 1,0298 0,5423

0,01 1,0030 0,1730

Tab. 45.4 Konstanten C und ı in Gl. (45.19) Bi C ı

1 1,6020 2,4048

10 1,5678 2,1795

5 1,5029 1,9898

Tab. 45.5 Konstanten C und ı in Gl. (45.20) Bi C ı

1 2,0000 3,1416

10 1,9249 2,8363

5 1,7870 2,5704

a=R2  0;18 mit einem Fehler unter 2 % annä- dimensionslose Kennzahlen von Bedeutung: hern durch Nußelt-Zahl:   Nu D ˛l= sin.ır=R/ at T  Tu D C exp ı 2 2 : Reynolds-Zahl: T0  Tu R ır=R (45.20) Re D wl= Die Konstanten C und ı hängen gemäß Tab. 45.5 Prandtl-Zahl: von der Biot-Zahl ab. Pr D =a

45.4

Wärmeübergang durch Konvektion

Péclet-Zahl: Pe D wl=a D Re Pr Grashof-Zahl: Gr D l 3 gˇT = 2

Stanton-Zahl: Bei der Wärmeübertragung in strömenden FluSt D ˛=.%wcp / D Nu=.Re Pr/ iden tritt zur (molekularen) Wärmeleitung noch der Energietransport durch Konvektion hinzu. Jegeometrische Kenngrößen: des Volumenelement des Fluids ist Träger von ln = lI n D 1; 2; : : : innerer Energie, die es durch Strömung weitertransportiert und im vorliegenden Fall des WärEs bedeuten:  Wärmeleitfähigkeit des Flumeübergangs durch Konvektion als Wärme an ids, l eine charakteristische Abmessung des Ströeinen festen Körper überträgt. mungsraums l1 ; l2 ; : : : ;  die kinematische Viskosität des Fluids, % seine Dichte, a D =.%cp / Dimensionslose Kenngrößen. Grundlagen für seine Temperaturleitfähigkeit, cp die spez. Wärdie Darstellung von Vorgängen des konvekti- mekapazität des Fluids bei konstantem Druck, ven Übergangs bildet die Ähnlichkeitsmechanik g die Fallbeschleunigung, T D Tw  Tf die (s. Kap. 18). Sie erlaubt es, die Zahl der Ein- Differenz zwischen Wandtemperatur Tw eines geflussgrössen deutlich zu mindern, und man kann kühlten oder erwärmten Körpers und Tf der mittWärmeübergangsgesetze allgemein für geome- leren Temperatur des an ihm entlang strömenden trisch ähnliche Körper und die verschiedensten Fluids, ˇ der thermische AusdehnungskoeffiziStoffe einheitlich formulieren. Es sind folgende ent bei Wandtemperatur, mit ˇ D 1=Tw bei

45

814

P. Stephan und K. Stephan

idealen Gasen. Die Prandtl-Zahl ist ein Stoffwert (s. Tab. 45.7). Man unterscheidet erzwungene und freie Konvektion. Bei der erzwungenen Konvektion wird die Strömung des Fluids durch äußere Kräfte hervorgerufen, z. B. durch eine Druckerhöhung in einer Pumpe. Bei der freien Konvektion wird die Strömung des Fluids durch Dichteunterschiede in einem Schwerefeld hervorgerufen, die im Allgemeinen durch Temperaturunterschiede, seltener durch Druckunterschiede, entstehen. Bei Gemischen werden Dichteunterschiede auch durch Konzentrationsunterschiede hervorgerufen. Der Wärmeübergang bei erzwungener Konvektion wird durch Gleichungen der Form

Tw ist die Wandtemperatur, T1 die Temperatur in großer Entfernung von der Wand. Längsangeströmte ebene Platte bei turbulenter Strömung. Etwa von Re D 5  105 an wird die Grenzschicht turbulent. Die mittlere NußeltZahl einer Platte der Länge l ist Nu D

0;037 Re0;8 Pr 1 C 2;443 Re0;1 .Pr 2=3  1/

(45.24)

mit Nu D ˛l=, Re D wl=, 5  105 < Re < 107 und 0;6 Pr 2000. Die Stoffwerte sind bei mittlerer Fluidtemperatur Tm D .Tw C T1 /=2 zu bilden. Tw ist die Wandtemperatur, T1 die Temperatur in großer Entfernung von der Wand.

Nu D f1 .Re; Pr; ln = l/

(45.21) Wärmeübergang bei der Strömung durch Rohre (Allgemeines). Unterhalb einer Reyund der bei freier Konvektion durch nolds-Zahl Re D 2300 (Re D wd=; w ist die (45.22) mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt, Nu D f2 .Gr; Pr; ln = l/ d der Rohrdurchmesser) ist die Strömung stets beschrieben. Den gesuchten Wärmeübergangsko- laminar, oberhalb von Re D 104 ist sie turbueffizienten erhält man aus der Nußelt-Zahl zu lent. Im Bereich 2300 < Re < 104 hängt es ˛ D Nu= l. Die Funktionen f 1 und f 2 kann von der Rauigkeit, der Art der Zuströmung und man nur in seltenen Fällen theoretisch ermitteln, der Form des Rohreinlaufs ab, ob die Strömung sie müssen i. Allg. durch Experimente bestimmt laminar oder turbulent ist. Der mittlere Wärmewerden und hängen von der Form der Heiz- und übergangskoeffizient ˛ über die Rohrlänge l ist Kühlfläche (eben oder gewölbt; glatt, rau oder be- definiert durch qP D ˛ #, mit der mittleren lorippt), der Strömungsführung und, in wenn auch garithmischen Temperaturdifferenz meistens geringem Umfang, von der Richtung des Wärmestroms (Erwärmung oder Kühlung des .Tw  TE /  .Tw  TA / : (45.25) # D strömenden Fluids) ab. ln Tw TE Tw TA

45.4.1

Tw ist die Wandtemperatur, TE die Temperatur im Eintritts- und TA die im Austrittsquerschnitt.

Wärmeübergang ohne Phasenumwandlung

Erzwungene Konvektion Längsangeströmte ebene Platte bei Laminarströmung. Für die mittlere Nußelt-Zahl einer Platte der Länge l gilt nach Pohlhausen Nu D 0;664 Re1=2 Pr 1=3

(45.23)

mit Nu D ˛l=, Re D wl= < 105 und 0;6 Pr 2000. Die Stoffwerte sind bei mittlerer Fluidtemperatur Tm D .Tw C T1 /=2 einzusetzen.

Wärmeübergang bei laminarer Strömung durch Rohre. Eine Strömung heißt hydrodynamisch ausgebildet, wenn sich das Geschwindigkeitsprofil mit dem Strömungsweg nicht mehr ändert. In der Laminarströmung eines Fluids hoher Viskosität stellt sich schon nach kurzem Strömungsweg als Geschwindigkeitsprofil eine Poiseuillesche Parabel ein. Die mittlere Nußelt-Zahl bei konstanter Wandtemperatur lässt sich exakt durch eine unendliche Reihe berechnen (GraetzLösung), die jedoch schlecht konvergiert. Als

45 Wärmeübertragung

815

Näherungslösung für die hydrodynamisch ausge- die von Gnielinski modifizierte Gleichung von Petukhov bildete Laminarströmung gilt nach Stephan Nu0 D

3;657 tanh.2;264 X 1=3 C 1;7 X 2=3 / 0;0499 C tanh X : (45.26) X

Mit Nu0 D ˛0 d=, X D l=.d RePr/ ; Re D wd=, Pr D =a : Die Gleichung gilt für laminare Strömung Re 2300 im gesamten Bereich 0 X 1; die größte Abweichung von den exakten Werten der Nußelt-Zahl beträgt 1 %. Die Stoffwerte sind bei der mittleren Fluidtemperatur Tm D .Tw C TB /=2 einzusetzen mit TB D .TE C TA /=2. Tritt ein Fluid mit annähernd konstanter Geschwindigkeit in ein Rohr ein, so ändert sich das Geschwindigkeitsprofil mit dem Strömungsweg, bis es nach einer Lauflänge von l=.d Re/ D 5;75  102 in die Poiseuillesche Parabel übergeht. Für diesen Fall einer hydrodynamisch nicht ausgebildeten Laminarströmung gilt nach Stephan im Bereich 0;1 Pr 1: Nu 1 D Nu0 tanh.2;43Pr1=6 X 1=6 /

(45.27)

mit Nu D ˛d= und den oben bereits definierten Größen. Der Fehler beträgt für 1 Pr 1 weniger als 5 % und für 0;1 Pr < 1 bis zu 10 %. Die Stoffwerte sind bei der mittleren Fluidtemperatur Tm D .Tw C TB /=2 mit TB D .TE C TA /=2 einzusetzen.

Nu D

Re Pr =8 p 1 C 12;7 =8.Pr2=3  1/  2=3 ! d  1C l

(45.29)

mit dem Widerstandsbeiwert D .0;79 ln Re  1;64/2 . Es ist Nu D ˛d=; Re D wd= : Die Stoffwerte sind bei der mittleren Temperatur Tm D .TE C TA /=2 zu bilden. In Rohrkrümmern sind unter sonst gleichen Bedingungen Wärmeübergangskoeffizienten größer als in geraden Rohren von gleichem Strömungsquerschnitt. Für einen Rohrbogen mit dem Krümmungsdurchmesser D gilt nach Hausen bei turbulenter Strömung   ˛ D ˛gerade .1 C 21=Re0;14 .d=D// : (45.30) Wärmeübergang an ein quer angeströmtes Einzelrohr. Für ein quer angeströmtes Einzelrohr erhält man mittlere Wärmeübergangskoeffizienten aus der Gleichung von Gnielinski 1=2  Nu D 0;3 C Nu2l C Nu2t

(45.31)

mit der Nußelt-Zahl Nul der laminaren Plattenströmung nach Gl. (45.23) und Nut der turbulenten Plattenströmung nach Gl. (45.24). Es ist Nu D ˛l=, 1 < Re D wl= < 107 und 0;6 < Pr < 1000. Als Länge l hat man die überströmte Länge l D d =2 einzusetzen. Die Stoffwerte sind bei der Mitteltemperatur Tm D .TE C TA /=2 Wärmeübergang bei turbulenter Strömung zu bilden. Die Gleichung gilt für einen bei techdurch Rohre. Für eine hydrodynamisch ausge- nischen Anwendungen zu erwartenden mittleren bildete Strömung l=d  60 gilt im Bereich 104 Turbulenzgrad der Anströmung von 6 bis 10 %. Re 105 und 0;5 < Pr < 100 die Gleichung von McAdams Wärmeübergang an eine quer angeströmte Rohrreihe. Für eine quer angeströmte einzelne (45.28) Rohrreihe (Abb. 45.7) gilt wiederum Gl. (45.31). Nu D 0;024 Re0;8 Pr1=3 : Die Reynolds-Zahl ist jedoch mit der mittleren Die Stoffwerte sind bei der mittleren Tempera- Geschwindigkeit wm in der quer angeströmten tur Tm D .Tw C TB /=2 mit TB D .TE C TA /=2 Rohrreihe zu bilden. Es ist jetzt Re D wm l= einzusetzen. Für die hydrodynamisch nicht aus- mit wm D w= , worin w die AnströmgeschwinD 1   =4a der gebildete und die ausgebildete Strömung gilt im digkeit der Rohrreihe und Bereich 104 Re 106 und 0;6 Pr 1000 Hohlraumanteil ist mit a D s1 =d (Abb. 45.7).

45

816

P. Stephan und K. Stephan

Die Wärmestromdichte ist qP D ˛# mit # nach Gl. (45.25). Die Gln. (45.33) und (45.34) gelten für Rohrbündel aus 10 und mehr Rohrreihen. In Austauschern mit weniger Rohrreihen ist der Wärmeübergangskoeffizient (Gl. (45.32)) noch mit einem Faktor .1 C .n  1/ fA / =n zu multiplizieren, wobei n die Anzahl der RohrreiWärmeübergang an ein Rohrbündel. Bei hen bedeutet. fluchtender Anordnung liegen die Achsen aller Rohre in Strömungsrichtung hintereinander, Freie Konvektion bei versetzter Anordnung sind die Achsen ei- Der Wärmeübergangskoeffizient an einer senkner Rohrreihe gegenüber der davorliegenden Rei- rechten Wand berechnet sich aus der Gleichung he verschoben, Abb. 45.8. Der Wärmeübergang von Churchill und Chu zu hängt zusätzlich von Quer- und Längsteilung der  ı Rohre a D s1 =d und b D s2 =d ab. Zur ErNu D 0;825 C 0;387Ra1=6 mittlung des Wärmeübergangskoeffizienten be 8=27 2 rechnet man zunächst die Nußelt-Zahl am quer 9=16 1 C .0;492=Pr/ ; (45.35) angeströmten Einzelrohr nach Gl. (45.31), in der die Reynolds-Zahl mit der mittleren Geschwindigkeit wm im quer angeströmten Rohrbündel zu in der die mittlere Nußelt-Zahl Nu D ˛l= mit bilden ist, Re D wm l= mit wm D w= , wor- der Plattenhöhe l gebildet ist und die Rayleighin w die Anströmgeschwindigkeit der Rohrreihe Zahl definiert ist durch Ra D GrPr mit der und der Hohlraumanteil D 1   =.4 a/ für Grashof-Zahl b > 1 und D 1   =.4 ab/ für b < 1 ist. Die so berechnete Nußelt-Zahl Nu hat man mit einem gl 3 %1  %w Gr D Anordnungsfaktor fA zu multiplizieren. Man er2 %w hält dann die Nußelt-Zahl NuB D ˛B l= (mit l D d =2) des Bündels und der Prandtl-Zahl Pr D =a. Wird die freie Konvektion nur durch Tempe(45.32) raturunterschiede hervorgerufen, so lässt sich die NuB D fA Nu : Grashof-Zahl schreiben Bei fluchtender Anordnung ist gl 3 Gr D 2 ˇ.Tw  T1 / ; 3=2 2 .b=a C 0;7/ / fA D 1 C 0;7.b=a  0;3/=.  (45.33) ˇ ist der thermische Ausdehnungskoeffizient. Er und bei versetzter Anordnung ist bei idealen Gasen ˇ D 1=Tw : Die Gl. (45.35) gilt im Bereich 0 < Pr < 1 (45.34) fA D 1 C 2=.3 b/ : und 0 < Ra < 1012 . Die Stoffwerte sind mit der Mitteltemperatur Tm D .Tw C T1 /=2 zu bilden. Eine ähnliche Gleichung gilt nach VDIWärmeatlas auch für die freie Konvektion um waagrechte Zylinder Abb. 45.7 Querangeströmte Rohrreihe

 Nu D 0;60 C 0;387 Ra1=6 Abb. 45.8 Anordnung von Rohren in Rohrbündeln. a fluchtende Rohranordnung; b versetzte Rohranordnung

ı

 8=27 2 1 C .0;559=Pr/9=16 : (45.36)

45 Wärmeübertragung

817

Die Gleichungen setzen voraus, dass vom Dampf keine merkliche Schubspannung auf den Kondensatfilm ausgeübt wird. Bei Reynolds-Zahlen Reı D wm ı= (wm mittlere Geschwindigkeit des Kondensats, ı Filmdicke,  kinematische Viskosität) zwischen 75 und 1200 erfolgt allmählich der Übergang zu turbulenter Strömung im Kondensatfilm. Im Über(45.37) gangsgebiet ist

Es gelten die Definitionen wie zu Gl. (45.35), die charakteristische Länge ist l D d und der Gültigkeitsbereich ist 0 < Pr < 1 und 106 Ra 1012 . Für waagrechte Rechteckplatten gilt für 0 < Pr < 1 Nu D 0;766  .Ra  f2 /1=5 falls und

Ra  f2 < 7  104

˛ D 0;22=. 2 =g/1=3 ;

Nu D 0;15.Ra  f2 /1=3 falls

(45.41)

Ra  f2 > 7  104

(45.38) während bei turbulenter Filmströmung Reı > 1200 nach Grigull folgende Beziehung gilt mit f2 D Œ1 C .0;322=Pr/11=20 20=11 , wobei Nu D ˛l=, wenn l die kürzere Rechteckseite 1=2  3  g.TS  Tw / ist. : (45.42) l ˛ D 0;003 % 3 r

45.4.2

Wärmeübergang beim Kondensieren und beim Sieden

Kondensation. Ist die Temperatur einer Wandoberfläche niedriger als die Sättigungstemperatur von angrenzendem Dampf, so wird Dampf an der Wandoberfläche verflüssigt. Kondensat kann sich je nach Benetzungseigenschaften entweder in Form von Tropfen oder als geschlossener Flüssigkeitsfilm bilden. Bei Tropfenkondensation treten i. Allg. größere Wärmeübergangskoeffizienten auf als bei Filmkondensation. Tropfenkondensation lässt sich aber nur unter besonderen Vorkehrungen wie Anwendung von Entnetzungsmitteln über eine bestimmte Zeit aufrechterhalten und tritt daher nur selten auf. Filmkondensation. Läuft das Kondensat als laminarer Film an einer senkrechten Wand der Höhe l ab, so ist der mittlere Wärmeübergangskoeffizient ˛ gegeben durch  ˛ D 0;943

1 %gr3 .TS  Tw / l

1=4 :

(45.39)

Für die Kondensation an waagrechten Einzelrohren vom Außendurchmesser d gilt  ˛ D 0;728

%gr3 1 .TS  Tw / d

1=4 :

Die Gln. (45.41) und (45.42) gelten auch für senkrechte Rohre und Platten, nicht aber für waagrechte Rohre. Verdampfung. Erhitzt man eine Flüssigkeit in einem Gefäß, so setzt nach Überschreiten der Siedetemperatur TS Verdampfung ein. Bei kleinen Übertemperaturen Tw  TS der Wand verdampft die Flüssigkeit nur an ihrer freien Oberfläche (stilles Sieden). Wärme wird durch Auftriebsströmung von der Heizfläche an die Flüssigkeitsoberfläche transportiert. Bei größeren Übertemperaturen Tw  TS bilden sich an der Heizfläche Dampfblasen (Blasensieden) und steigen auf. Sie erhöhen die Flüssigkeitsbewegung und damit den Wärmeübergang. Mit zunehmender Übertemperatur schließen sich die Blasen immer mehr zu einem Dampffilm zusammen, wodurch der Wärmeübergang wieder vermindert wird (Übergangssieden), bei ausreichend großen Übertemperaturen steigt er wieder an (Filmsieden). Abb. 45.9 zeigt die verschiedenen Wärmeübergangsbereiche. Der Wärmeübergangskoeffizient ˛ ist definiert durch ˛ D q=.T P w  TS / ;

mit qP Wärmestromdichte in W=m2 . Technische Verdampfer arbeiten im Bereich (45.40) des stillen Siedens oder häufiger noch in dem

45

818

P. Stephan und K. Stephan

45.5

Abb. 45.9 Bereiche des Siedens für Wasser von 1 bar. A freie Konvektion (Stilles Sieden), B Blasensieden, C Übergangssieden, D Filmsieden

des Blasensiedens. Im Bereich des stillen Siedens gelten die Gesetze des Wärmeübergangs bei freier Konvektion, Gln. (45.35) und (45.36). Im Bereich des Blasensiedens ist ˛ D c qP n F .p/

mit 0;5 < n < 0;8 :

Für Wasser gilt bei Siededrücken zwischen 0,5 und 20 bar nach Fritz ˛ D 1;95qP 0;72 p 0;24 ;

(45.43)

mit ˛ in W/(m2 K), qP in W=m2 und p in bar. Für beliebige Flüssigkeiten gilt bei Blasenverdampfung in der Nähe des Umgebungsdrucks nach Stephan und Preußer 

0;674  00 0;156 qd P % Nu D 0;0871 0 TS %0  2 0;371  02 0 0;350 rd a %  .Pr0 /0;162 02 a d (45.44) Nu D ˛d=0 ist der Abreißdurchmesser der Dampfblasen, d D 0;0149 ˇ0 Œ2=g.%0  %00 /1=2 mit dem Randwinkel ˇ0 D 45ı für Wasser, 1ı für tiefsiedende und 35ı für andere Flüssigkeiten, zu bilden. Mit 0 bezeichnete Größen beziehen sich auf siedende Flüssigkeit, mit 00 bezeichnete auf gesättigten Dampf. Die vorstehenden Gleichungen gelten nicht mehr beim Sieden in erzwungener Strömung.

Wärmeübertragung durch Strahlung

Außer durch direkten Kontakt kann Wärme auch durch Strahlung übertragen werden. Die thermische Strahlung (Wärmestrahlung) besteht aus einem Spektrum elektromagnetischer Wellen im Wellenlängenbereich zwischen 0,76 und 360 µm und unterscheidet sich vom sichtbaren Licht, dessen Wellenlängenbereich zwischen 0,36 und 0,78 µm liegt, durch ihre größere Wellenlänge. Trifft ein Wärmestrom QP durch Strahlung auf einen Körper, so wird ein Bruchteil r QP reflektiert, ein anderer Teil aQP absorbiert und ein Teil d QP hindurchgelassen, wobei r C d C a D 1 ist. Einen Körper, der alle Strahlung reflektiert (r D 1, d D a D 0) nennt man einen idealen Spiegel, ein Körper, der alle auftreffende Strahlung absorbiert (a D 1, r D d D 0) heißt schwarzer Körper. Ein Körper heißt diatherman (d D 1, r D a D 0), wenn er alle Strahlung durchlässt. Beispiele dafür sind Gase wie O2 , N2 und andere.

45.5.1

Gesetz von Stefan-Boltzmann

Jeder Körper sendet entsprechend seiner Temperatur Strahlung aus. Den möglichen Höchstbetrag an Strahlung emittiert ein schwarzer Körper. Man kann ihn versuchstechnisch annähern durch eine geschwärzte, z. B. berußte Oberfläche oder durch einen Hohlraum, dessen Wände überall gleiche Temperatur haben, und in dem man eine kleine Öffnung zum Austritt der Strahlung anbringt. Die von einem schwarzen Körper je Flächeneinheit emittierte Gesamtstrahlung ist gegeben durch ePS D T 4 :

(45.45)

ePS nennt man Emission (W/m2 ) des schwarzen Strahlers,  D 5;67  108 W=.m2 K4 / ist der Strahlungskoeffizient, auch Stefan-Boltzmann-Konstante genannt. Die Emission ePS ist eine Energiestromdichte und damit gleich der Wärmestromdichte qP S D P dQ=dA, die ein schwarzer Strahler emittiert.

45 Wärmeübertragung

Ist ePn die Emission in Normalrichtung, eP' die in der Richtung ' gegen die Normale, so gilt für schwarze Strahler das Lambertsche Cosinusgesetz eP' D ePn cos '. Die Strahlung wirklicher Körper weicht häufig hiervon ab.

45.5.2

Kirchhoffsches Gesetz

819

45.5.3

Wärmeaustausch durch Strahlung

Zwischen zwei parallelen im Vergleich zu ihrem Abstand sehr großen schwarzen Flächen der Größe A und der Temperaturen T 1 und T 2 wird durch Strahlung ein Wärmestrom   QP 12 D A T14  T24 (45.48)

übertragen. Zwischen grauen Strahlern mit den Wirkliche Körper emittieren weniger als schwar- Emissionszahlen "1 und "2 wird ein Wärmestrom ze Strahler. Die von ihnen emittierte Energie ist   QP 12 D C12 A T14  T24 (45.49) eP D " ePS D "  T 4 ;

(45.46) mit der Strahlungsaustauschzahl   1 1 worin " 1 die i. Allg. von der Temperatur C 1 : (45.50) C12 D  "1 "2 abhängige Emissionszahl ist (s. Tab. 45.8). In begrenzten Temperaturbereichen lassen sich viele übertragen. technische Oberflächen (mit Ausnahme blanker Zwischen einem Innenrohr mit der äußeren Metallflächen) als graue Strahler ansehen. Bei Oberfläche A1 und einem Mantelrohr mit der inihnen ist die gestrahlte Energie in gleicher Weineren Oberfläche A2 , die beide graue Strahler se auf die Wellenlängen verteilt wie bei einem sind mit den Emissionszahlen "1 und "2 , fließt schwarzen Strahler, sie ist nur gegenüber dieebenfalls ein Wärmestrom nach Gl. (45.49), jesem um den Faktor " < 1 verkleinert. Streng doch ist jetzt genommen ist für graue Strahler " D ".T /, in    kleinen Temperaturbereichen darf man jedoch " 1 A1 1 C 1 : (45.51) C12 D  konstant setzen. Trifft die von der Flächeneinheit "1 A2 "2 eines Strahlungssenders der Temperatur T emittierte Energie mit einer Energiestromdichte eP auf Wenn A1  A2 ist, z. B. bei einer Rohrleitung in einen Körper der Temperatur T 0 und der Ober- einem großen Raum, ist C12 D  "1 . Zwischen zwei beliebig im Raum angeordnefläche dA, so wird von diesem der Energie- bzw. ten Flächen mit den Temperaturen T1 ; T2 und den Wärmestrom Emissionszahlen "1 ; "2 wird ein Wärmestrom dQP D aedA P (45.47) "1 "2 '12 QP 12 D absorbiert. Die durch diese Gleichung definier1  .1  "1 /.1  "2 /'12 '21   te Absorptionszahl ist von der Temperatur T des  A1 T14  T24 (45.52) 0 Strahlungssenders und der Temperatur T des Strahlungsempfängers abhängig. Für schwarze übertragen, wobei '12 und '21 die von der geomeKörper ist a=1, da sie alle auftreffende Strah- trischen Anordnung der Flächen abhängigen Einlung absorbieren, für nicht schwarze Oberflächen strahlzahlen (auch Sichtfaktoren genannt) sind. ist a < 1. Für graue Strahler ist a D ". Werte hierzu in [2]. Nach dem Kirchhoffschen Gesetz ist für jede Oberfläche, die mit ihrer Umgebung im thermischen Gleichgewicht steht, sodass die Tempe- 45.5.4 Gasstrahlung ratur der Oberfläche sich zeitlich nicht ändert, die Emissionszahl gleich der Absorptionszahl, Die meisten Gase sind für thermische Strahlung durchlässig, sie emittieren und absorbieren " D a.

45

820

P. Stephan und K. Stephan

keine Strahlung. Ausnahmen sind einige Gase wie Kohlendioxid, Kohlenmonoxid, Kohlenwasserstoffe, Wasserdampf, Schwefeldioxid, Ammoniak, Salzsäure und Alkohole. Sie emittieren und absorbieren Strahlung nur in bestimmten Wellenlängenbereichen. Emissions- und Absorptionszahl dieser Gase hängen nicht nur von der Temperatur, sondern auch von der geometrischen Gestalt des Gaskörpers ab.

Tabellen zu Kap. 45

Tab. 45.6 Wärmeleitfähigkeiten  in W/(Km) Feste Körper bei 20 °C Silber Kupfer, rein Kupfer, Handelsware Gold, rein Aluminium (99,5 %) Magnesium Messing Platin, rein Nickel Eisen Grauguss Stahl 0,2 % C Stahl 0,6 % C Konstantan, 55 % Cu, 45 % Ni V2A, 18 % Cr, 8 % Ni Monelmetall 67 % Ni, 28 % Cu, 5 % Fe+Mn+Si+C Manganin Graphit, mit Dichte und Reinheit steigend Steinkohle, natürlich Gesteine, verschiedene Quarzglas Beton, Stahlbeton Feuerfeste Steine Glas (2500)a Eis, bei 0 °C Erdreich, lehmig feucht Erdreich, trocken Quarzsand, trocken Ziegelmauerwerk, trocken Ziegelmauerwerk, feucht

458 393 350. . . 370 314 221 171 80. . . 120 71 58,5 67 42. . . 63 50 46 40 21 25 22,5 12. . . 175 0,25. . . 0,28 1. . . 5 1,4. . . 1,9 0,3. . . 1,5 0,5. . . 1,7 0,81 2,2 2,33 0,53 0,3 0,25. . . 0,55 0,4. . . 1,6

45 Wärmeübertragung

821

Tab. 45.6 (Fortsetzung) Isolierstoffe bei 20 °C Alfol Asbest Asbestplatten Glaswolle Korkplatten (150)a Kieselgursteine, gebrannt Schlackenwolle, Steinwollmatten (120)a Schlackenwolle, gestopft (250)a Kunstharz – Schaumstoffe (15)a Seide (100)a Torfplatten, lufttrocken Wolle Flüssigkeiten Wasserb von 1 bar bei 0 °C 20 °C 50 °C 80 °C Sättigungszustand: 99,606 °C Kohlendioxid 0 °C 20 °C Schmieröle Gase bei 1 bar und bei der Temperatur # in °C Wasserstoff Luft Kohlendioxid a b

0,03 0,08 0,12. . . 0,16 0,04 0,05 0,08. . . 0,13 0,035 0,045 0,035 0,055 0,04. . . 0,09 0,04 0,562 0,5996 0,6405 0,6668 0,6776 0,111 0,087 0,12. . . 0,18  D 0; 171.1 C 0; 0034#/  D 0; 0245.1 C 0; 00225#/  D 0; 01464.1 C 0; 005#/

100 °C 5 # 5 1000 °C 0 °C 5 # 5 1000 °C 0 °C 5 # 5 1000 °C

In Klammern Dichte in kg=m3 Nach Schmidt, E.: Properties of water and steam in SI-units. 3. Aufl. Grigull, U. (Hrsg.) Berlin: Springer 1982.

45

822

P. Stephan und K. Stephan

Tab. 45.7 Stoffwerte von Flüssigkeiten, Gasen und Feststoffen # % cp [°C] [kg=m3 ] [J=(kg K)] Flüssigkeiten und Gase bei einem Druck von 1 bar Quecksilber 20 13 600 139 Natrium 100 927 1390 Blei 400 10 600 147 Wasser 0 999,8 4217 5 1000 4202 20 998,3 4183 99,3 958,4 4215 Thermalöl S 20 887 1000 80 835 2100 150 822 2160 Luft 20 1,3765 1006 0 1,2754 1006 20 1,1881 1007 100 0,9329 1012 200 0,7356 1026 300 0,6072 1046 400 0,5170 1069 Wasserdampf 100 0,5895 2077 300 0,379 2011 500 0,2805 2134 Feststoffe Aluminium 99,99 % 20 2700 945 verg. V2A-Stahl 20 8000 477 Blei 20 11 340 131 Chrom 20 6900 457 Gold (rein) 20 19 290 128 UO2 600 1100 313 UO2 1000 10 960 326 UO2 1400 1090 339 Kiesbeton 20 2200 879 Verputz 20 1690 800 Tanne, radial 20 410 2700 Korkplatten 30 190 1880 Glaswolle 0 200 660 Erdreich 20 2040 1840 Quarz 20 2300 780 Marmor 20 2600 810 Schamotte 20 1850 840 Wolle 20 100 1720 Steinkohle 20 1350 1260 Schnee (fest) 0 560 2100 Eis 0 917 2040 Zucker 0 1600 1250 Graphit 20 2250 610

 [W=(Km)]

a  106 [m2 =s]

  106 [Pa  s]

Pr

8000 8600 15 100 0,562 0,572 0,5996 0,6773 0,133 0,128 0,126 0,02301 0,02454 0,02603 0,03181 0,03891 0,04591 0,05257 0,02478 0,04349 0,06698

4,2 67 9,7 0,133 0,136 0,144 0,168 0,0833 0,073 0,071 16,6 19,0 21,8 33,7 51,6 69,9 90,9 20,7 57,1 111,9

1550 710 2100 1791,8 519,6 1002,6 283,3 426 26,7 18,08 16,15 17,2 17,98 21,6 25,7 29,8 32,55 12,28 20,29 28,58

0,027 0,0114 0,02 13,44 11,16 6,99 1,76 576 43,9 31 0,71 0,7 0,7 0,69 0,68 0,70 0,70 1,01 0,938 0,911

238 15 35,3 69,1 295 4,18 3,05 2,3 1,28 0,79 0,14 0,041 0,037 0,59 1,4 2,8 0,85 0,036 0,26 0,46 2,25 0,58 155

93,4 3,93 23,8 21,9 119 1,21 0,854 0,622 0,662 0,58 0,13 0,11 0,28 0,16 0,78 1,35 0,52 0,21 0,16 0,39 1,2 0,29 1,14

45 Wärmeübertragung

823

Tab. 45.8 Emissionszahl " bei der Temperatur t "

 gehobelt schneeweiß glatt rau, weiß hellgrau, poliert glasiert glatt glasiert schwarz, glänzend rot, rau senkrechte Strahlung in dicker Schicht  roh poliert poliert abgedreht flüssig poliert poliert gewalzt poliert poliert matt poliert poliert poliert poliert verz. Eisenblech poliert blank verzinntes Blech

t [°C] 21 21 24 22 21. . . 83 22 22  1000 25 22    26 20 130 22 1330 630 23  19 300 56. . . 338 230 380 230  28 230 24

rot angerostet ganz verrostet glatte oder raue Gusshaut schwarz oxidiert oxidiert oxidiert matt ox.

20 20 23 25 600 330 1330 26. . . 356

0,61 0,69 0,81 0,78 0,56. . . 0,7 0,40 0,74 0,96

Stoff

Oberfläche

Dachpappe Eichenholz Emaillelack Glas Kalkmörtel Marmor Porzellan Ruß Schamottsteine Spirituslack Ziegelsteine Wasser Öl Ölanstrich Aluminium Aluminium Blei Grauguss Grauguss Gold Kupfer Kupfer Messing Messing Messing Nickel Nickel Silber Stahl Zink Zink Zinn Oxidierte Metalle Eisen Eisen Eisen Kupfer Kupfer Nickel Nickel Stahl

0,91 0,89 0,91 0,94 0,93 0,93 0,92 0,93 0,75 0,82 0,93. . . 0,95 0,96 0,82 0,78 0,071. . . 0,087 0,045 0,057 0,44 0,28 0,035 0,049 0,16 0,05 0,031 0,22 0,071 0,087 0,021 0,29 0,23 0,045 0,057. . . 0,087

45

824

Literatur Spezielle Literatur 1. Bronstein, I.N., Hromkovic, J., Luderer, B., Schwarz, H.R., Blath, J., Schied, A., Dempe, S., Wanka, G., Gottwald, S.: Taschenbuch der Mathematik. E. Zeidler, W. Hackbusch (Eds.). Springer-Verlag (2012) 2. VDI-Wärmeatlas. 12. Aufl. Springer Vieweg (2019)

P. Stephan und K. Stephan

Literatur zu Teil V Thermodynamik

Bücher Baehr, H. D.: Mollier-i, x-Diagramm für feuchte Luft in den Einheiten des Internationalen Einheitensystems. Springer, Berlin (1961) Baehr, H. D., Kabelac, St.: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen, 16. Aufl. Springer, Berlin (2016) Baehr, H. D., Stephan, K.: Wärme- und Stoffübertragung, 9. Aufl. Springer, Berlin (2016) Bošnjakovi´c, F., Knoche, K.F.: Technische Thermodynamik, Teil 1, 8. Aufl. (1998) – Teil 2, 6. Aufl., Springer, Berlin (1997) Brandt, F.: Brennstoffe und Verbrennungsrechnung. Fachverband Dampfkessel-Behälter- und Rohrleitungsbau. Fachbuchreihe, Bd. 1, 3. Aufl. Vulkan, Essen (1999) Brandt, F.: Wärmeübertragung in Dampferzeugern und Wärmetauschern. Fachverband Dampfkessel-Behälter- und Rohrleitungsbau. Fachbuchreihe, Bd. 2, 2. Aufl. Vulkan, Essen (1995) Cammerer, J. S.: Der Wärme- und Kälteschutz in der Industrie. 5. Aufl. Springer, Berlin (1995) Cerbe, G., Hoffmann, H.-J.: Einführung in die Thermodynamik, 15. Aufl. Hanser, München (2008)

Hausen, H.: Wärmeübertragung im Gegenstrom, Gleichstrom und Kreuzstrom, 2. Aufl. Springer, Berlin (1976) Langeheinecke, K., Kaufmann, A., Langeheinecke, K., Thielke, G.: Thermodynamik für Ingenieure, 10. Aufl. Springer Vieweg, Wiesbaden (2017) Lucas, K.: Thermodynamik, 8. Aufl. Springer, Berlin (2015) Merker, G. P., Baumgarten, C.: Fluid- und Wärmetransport, Strömungslehre. Teubner, Stuttgart (2000) Stephan, K.: Wärmeübergang beim Kondensieren und beim Sieden. Springer, Berlin (1988) Stephan, P., Schaber, K. H., Stephan, K., Mayinger, F.: Thermodynamik, Bd. 2: Mehrstoffsysteme und chemische Reaktionen, 16. Aufl. Springer, Berlin (2017) Stephan, P., Schaber, K., Stephan, K.; Mayinger, F.: Thermodynamik, Bd. 1: Einstoffsysteme, 19. Aufl. Springer, Berlin (2013) Wagner, W., Kretzschmar, H.-J.: International Steam Tables. Properties of Water and Steam Based on the Industrial Formualtion IAPWS-IF97. Springer, Berlin (2008) Weigand, B., Köhler, J., von Wolfersdorf, J.: Thermodynamik kompakt. 4. Aufl., Springer Vieweg (2016)

825

Teil VI Maschinendynamik

Maschinendynamik verbindet heutzutage im weitesten Sinne unterschiedliche Gebiete des theoretischen und des praktischen Wissens. Betrachtet als Lehre basiert die Maschinendynamik zum größten Teil auf den Kenntnissen aus der Mechanik, vor allem Dynamik und Schwingungslehre, wobei ein tiefes Verständnis der physikalischen Phänomene und der Abläufe in Maschinen im Zusammenspiel mit Nutzung der Werkzeuge der Mathematik und Physik bei der Lösung von praktischen Problemen unverzichtbar ist. Die Entwicklung der Maschinendynamik folgt dem Fortschritt und der Erweiterung des Horizonts sowohl in der Wissenschaft als auch in den ingenieurtechnischen Anwendungen. Eine der wichtigsten Aufgaben der Maschinendynamik lässt sich als Anwendung der Verfahren der Dynamik auf Problemstellungen bei Abläufen im Maschinenwesen formulieren. Da die ingenieurtechnischen Anwendungen sich in den letzten Jahrzehnten rapide entwickelt haben, hat sich der Anwendungsbereich der Maschinendynamik auch stark erweitert (z. B. Fahrzeugbau, Luftfahrt, Robotik usw.) Dabei wächst auch die Zahl der Gebiete, mit denen die Maschinendynamik verbunden ist: Elektrotechnik, Regelungstechnik Elektronik, Numerik, Messtechnik, Software- und Internettechnologien usw. In diesem Kapitel sind die wesentlichen Fragestellungen der Maschinendynamik erfasst. Wegen der sehr breiten Aufstellung des Gebiets ist es nicht möglich, alle Aspekte der Maschinendynamik zu erläutern oder zu nennen. Da das Verständnis der theoretischen Grundlagen der Dynamik im Zusammenhang mit Schwingungen eine sehr wichtige Rolle spielt, sind in diesem Teil die Grundlagen der Schwingungen in Kap. 46 erläutert. Hier wird die Problematik der Maschinenschwingungen eingeführt und die grundlegenden Fragestellungen zu der theoretischen Herangehensweise bei der Lösung dieser Probleme erläutert (u. a. Entstehen und Quellen der Schwingungen, Ersatzmodelle, Lösung, sowie repräsentative Beispiele). Kap. 47 befasst sich mit Schwingungen eines Kurbeltriebs unter Berücksichtigung der vom Medium an Kolben der Zylindermaschinen und von den Massen der Triebwerksteile erzeugten Kräfte und Momente. Im Fahrzeugbau sind diese Fragestellungen von besonderer Bedeutung.

828

Im engen Zusammenhang mit der Entstehung von Schwingungen steht die Erzeugung von technischen Geräuschen, was eine häufige unerwünschte Nebenerscheinung ist. Die Problematik der Maschinenakustik wird in Kap. 48 unter Einbeziehung der wichtigsten Grundbegriffe, der Erläuterung der Geräuschentstehung und einiger Beispiele aus der Praxis betrachtet.

46

Schwingungen

Holger Hanselka, Sven Herold, Rainer Nordmann und Tamara Nestorović

Überarbeitet durch T. Nestorovi´c.

46.1

Problematik der Maschinenschwingungen

In der Maschinendynamik untersucht man allgemein die Wechselwirkungen zwischen Kräften und Bewegungen an Maschinen. Dabei gibt es neben einer geforderten Dynamik, die für die Maschinenfunktion verlangt wird, auch eine unerwünschte Dynamik. Maschinen und Maschinenbauteile sind nämlich schwingungsfähige Systeme. Wenn zeitveränderliche Kräfte und/oder aufgezwungene Bewegungen angreifen, stellen sich Maschinenschwingungen ein. Im Vergleich zu den geforderten Bewegungen handelt es sich dabei zwar im Allgemeinen um kleine Bewegungen, die aber unter bestimmten Bedingungen recht gefährlich sein können. Besonders gefürchtet sind die sog. Resonanzerscheinungen, bei denen eine Frequenz der Anregung mit einer Eigenfrequenz der Maschinenstruktur übereinstimmt und damit zu einer Verstärkung der Schwingungsamplituden führt. H. Hanselka Karlsruhe, Deutschland S. Herold Groß-Umstadt, Deutschland R. Nordmann Darmstadt, Deutschland T. Nestorovi´c () Ruhr-Universität Bochum Bochum, Deutschland E-Mail: [email protected]

Problematisch sind Maschinenschwingungen immer dann, wenn zu hohe Materialbeanspruchungen erreicht werden. Falls zulässige Spannungswerte der Werkstoffe überschritten werden, kann es zu Werkstoffschädigungen kommen. Um die Funktionsfähigkeit von Maschinen zu gewährleisten, müssen oft auch Verformungsgrenzen eingehalten werden. So dürfen bei Turbinen und Elektromotoren die Rotorschwingungen nicht so groß werden, dass es zu Überbrückungen des Spiels zwischen Rotor und Gehäuse kommt. Schwingungen stellen auch eine Belästigung für die Umwelt dar. Dies gilt nicht nur für die oft als unangenehm empfundenen Schwingbewegungen, sondern vor allem für den durch Schwingungen verursachten Lärm (Körperschall). Schließlich wirken sich Schwingungen bei Fertigungsprozessen ungünstig auf die Bearbeitungsqualität der Werkstücke aus. Bei Werkzeugmaschinen strebt man daher an, die Relativbewegungen zwischen Werkzeug und Werkstück möglichst klein zu halten. Der Motor eines Kraftfahrzeugs ist ein typisches Beispiel für Maschinenschwingungen. Besonders geht es beim Kurbeltrieb um die Frage, wie sich die einzelnen Kolben und die Kurbelwelle unter der Wirkung der angreifenden Gasdruckkräfte bewegen (s. Bd. 3, Kap. 1). Die Kurbelwelle selbst stellt ein schwingungsfähiges System dar, das durch die über die Schubstange eingeleiteten Gas- und Massenkräfte insbesondere zu Dreh- und Biegeschwingungen angeregt wird (s. Kap. 47). Dabei können sich Resonanzeffekte einstellen, wenn eine der Erregerfrequenzen mit

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_46

829

830

H. Hanselka et al.

einer Eigenfrequenz der Kurbelwelle zusammenfällt. Um gefährliche Schwingungszustände zu vermeiden, ist es daher wichtig, sowohl die verursachenden Erregerkräfte hinsichtlich Amplituden und Frequenzen als auch die dynamischen Eigenschaften der Kurbelwelle (Eigenfrequenzen, Dämpfungen, Eigenvektoren) zu kennen. Die Charakterisierung von Maschinenschwingungen durch ihre Messung und Berechnung ist eine wichtige Ingenieuraufgabe, die sowohl die Entwicklung und Konstruktion als auch die Erprobung und späteren Betrieb von Maschinen begleiten muss.

46.2 Grundbegriffe der Schwingungsanalyse 46.2.1 Mechanisches Ersatzsystem Bestimmte Modellvorstellungen eignen sich sehr gut als Ausgangspunkt für die Untersuchung der Maschinenschwingungen. Durch geeignete Vernachlässigungen und Idealisierungen sollen für reale Systeme entsprechende mechanische Ersatzsysteme gefunden werden (s. Abschn. 46.6), die mechanische Eigenschaften hinreichend genau beschreiben und mathematisch hinreichend einfach zu behandeln sind – z. B. Schwingungsmodelle, die aus einfachen mechanischen Elementen, wie Massen, Dämpfer, Feder, Stäbe, Balken usw., aufgebaut sind.

46.2.2

Bewegungsgleichungen, Systemmatrizen

Die mathematische Beschreibung des mechanischen Ersatzsystems anhand mechanischer Grundgleichungen (Newton, d’Alembert, Prinzip der virtuellen Arbeit, s. Kap. 14 bzw. Abschn. 20.4.9) erfolgt in Form von Bewegungsgleichungen, die den Zusammenhang zwischen den zeitveränderlichen Eingangsgrößen F(t) und den Ausgangsgrößen x(t) ausdrücken. Diese Gleichungen können linear oder nichtlinear sein. Für die Behandlung nichtlinearer Systeme s. Abschn. 15.3 und [1–4]. Bei vielen prakti-

schen Aufgaben lassen sich schwingende Systeme hinreichend genau mit linearen Modellen beschreiben. Daher beschränken wir uns hier auf die Darstellung linearer, zeitinvarianter Schwingungssysteme mit N Freiheitsgraden mittels eines Systems von linearen, zeitinvarianten Bewegungsgleichungen zweiter Ordnung: M x.t/ R C D x.t/ P C Kx.t/ D F .t/

(46.1)

M

quadratische N × N Massenmatrix. M enthält die Trägheitskoffizienten des Systems. Sie ist symmetrisch. D quadratische N × N Dämpfungsmatrix. D enthält die Dämpfungskoeffizienten des Systems. D kann auch nichtsymmetrisch sein (gyroskopische Effekte, Gleitlagerund Dichtspaltkräfte in Turbomaschinen). K quadratische N × N Steifigkeitsmatrix. K enthält die Steifigkeitskoeffizienten des Systems. K kann auch nichtsymmetrisch sein (zirkulatorische Kräfte, Gleitlagerund Dichtspaltkräfte). F .t/ N × 1 Vektor der zeitabhängigen Erregerkräfte. Weg- oder Beschleunigungserregungen am Fußpunkt des Schwingers können in Krafterregungen überführt werden. x.t/ N × 1 Vektor der zeitabhängigen Verschiebungen und Winkel. xP und xR sind die zugeordneten Geschwindigkeiten bzw. Beschleunigungen. Die Bewegungsgleichungen (46.1) drücken das Kräfte- bzw. Momentengleichgewicht unter Berücksichtigung der Trägheitskräfte aus. Sie sind im Rahmen der genannten Voraussetzungen (Linearität, zeitinvariante Matrizen M, D, und K) gültig und können sowohl für unterschiedliche Maschinentypen als auch für unterschiedliche Schwingungsarten (Biegeschwingungen, Torsionsschwingungen) angewendet werden. Es ist naheliegend, eine grafische Darstellung für das Schwingungssystem zu verwenden. Dies kann mit Hilfe des Blockschaltbilds geschehen, durch das Eingangs- und Ausgangsgrößen miteinander verknüpft werden, Abb. 46.1. In das System gehen bestimmte Eingangsgrößen enthalten im Eingangsvektor F(t) als

46 Schwingungen

831

Abb. 46.1 Blockschaltbild für ein Schwingungssystem

F (t ) Vektor der N Eingangsgrößen

generalisierte Krafterregungen (z. B. Unwuchtkräfte, Prozesskräfte, Stöße) oder als Fußpunkterregungen (Bodenstörungen) ein. Das System verarbeitet diese Eingänge entsprechend seinem Übertragungsverhalten und antwortet mit den Ausgangsgrößen x(t). Das Übertragungsverhalten wird durch die Systemstruktur, d. h. durch die beschreibenden physikalischen Gesetze, und durch die in diese eingehenden Systemparameter M, D und K bestimmt. Sind M, D und K sowie der Vektor der Erregung F(t) bekannt, dann können zunächst die Eigenschwingungsgrößen und dann die Antwortgrößen x(t) (s. auch Abschn. 46.7) rechnerisch bestimmt werden.

46.2.3 Modale Parameter – Eigenfrequenzen, modale Dämpfungen, Eigenvektoren Eigenschwingungen Jedes lineare Schwingungssystem hat ein bestimmtes Eigenschwingungsverhalten, das durch seine Eigenfrequenzen, seine Abklingfaktoren und seine Eigenvektoren (Schwingungsformen) bestimmt ist. Bringt man z. B. an dem in Abb. 46.2 dargestellten Ventilatorläufer kurzzeitig eine Störung in Form eines Kraftstoßes FK .t/ auf, dann führt das Schwingungssystem Eigenschwingungen aus, die sich aus mehreren Teilschwingungen zusammensetzen .n D 1; : : : ; N /: x .t/ D

N X

˚ An e ˛n t 'Re n cos .!n t C

nD1

'Im n sin .!n t C

Schwingungssystem Struktur: linear, zeitinvariant, N Freiheitsgrade Physikalische oder modale Parameter

x (t ) Vektor der N Ausgangsgrößen

Zur n-ten gehören !

n Eigenkreis Teillösung Im frequenz s1 , ˛n Abklingfaktor s1 , 'Re n ; 'n Realteil und Imaginärteil des Eigenvektors 'n , die Konstanten An ; n werden über Anfangsbedingungen angepasst. Durch Messung der Stoßantwort (Impulsantwort) xl .t/ oder der Beschleunigung xR l .t/ beim Freiheitsgrad l lassen sich nach einer Signalanalyse die Eigenschwingungsgrößen !n , ˛n und bei Aufnahme weiterer Signale an anderen StelIm len auch die Eigenvektorkomponenten 'Re n ; 'n ermitteln. Man bezeichnet sie auch als modale Parameter. Die Kenntnis dieser Größen ist außerordentlich wichtig, da sie die dynamischen Eigenschaften eines schwingungsfähigen Systems charakterisieren. Damit lässt sich u. a. beurteilen, bei

a

46 b

c

n/



n/

:

(46.2) d

Jede Teilschwingung besteht aus einer Exponentialfunktion, die das Abklingen oder Aufklingen (im Fall instabiler Systeme) beschreibt, und harmonischen Sinus- und Kosinusfunktionen, die das Schwingungsverhalten bestimmen.

Abb. 46.2 Eigenschwingungsgrößen eines Ventilatorläufers. a prinzipieller Aufbau des Ventilatorläufers, 1 Kraftstoßerreger, 2 Schwingungsaufnehmer; b zeitabhängiger Verlauf der Kraft; c zeitabhängiges Abklingen der Schwingungen; d Verlauf der Eigenvektoren

832

H. Hanselka et al.

In der Praxis arbeitet man häufig mit den folwelchen Frequenzen Resonanzeffekte zu erwarten sind und wie hoch die Resonanzamplitu- genden Größen: den sind (Dämpfungsvermögen). Der Eigenvekfn D !n =2 Eigenfrequenz ŒHz; (46.8) tor gibt an, welche Form der Verformung auftritt, wenn das System mit der zugehörigen Eigenfre#n D ˛n =!n modale Dämpfung Œ; (46.9) quenz schwingt. 'n reeller Eigenvektor. (46.10) Eigenwertanalyse Rein rechnerisch erhält man die modalen Kenngrößen, wenn man in Gl. (46.1) Einige Zahlenwerte für modale Dämpfungen # in die rechte Seite F .t/ D 0 setzt (homogene Glei- %: chungen) und mit dem Ansatz x .t/ D ' e

t

  2  M C D C K ' D 0

(46.3) (46.4)

aufstellt. Dieses hat bei oszillatorischem Verhalten die Lösungen .n D 1; : : : ; N / n D ˛n C i!n I n D ˛n  i!n 'n D 'n D

'Re n 'Re n

C i'Im n I Im  i'n

Eigenwerte;

Eigenvektoren:

(46.5)

(46.6)

In vielen praktischen Fällen ist es schwierig, eine Dämpfungsmatrix aufzubauen. Bei schwach gedämpften Strukturen, die im Maschinenbau häufig vorkommen (torsions- und biegeelastische Rotoren in Wälzlagern, Turbinenschaufeln, Stahlfundamente), hilft man sich mit der Annahme von „modalen Dämpfungen“. Man geht so vor, dass man zuerst das Eigenwertproblem für das ungedämpfte System .D D 0/ in der rein reellen Form 

 K  ! 2M ' D 0

(46.7)

löst und damit die Eigenkreisfrequenzen !n und die zugehörigen reellen Eigenvektoren 'n bestimmt. Die Dämpfungen, die bei dieser Berechnung nicht anfallen, schätzt man ab oder ermittelt sie aus einem Versuch. Jeder Eigenkreisfrequenz !n wird dann ein Abklingfaktor ˛n oder ein modaler Dämpfungswert (Dämpfungsgrad) #n D ˛n =!n zugeordnet.

Werkstoff/Bauteile Stahl Gusseisen Gummi (Naturkautschuk) Stahlkonstruktionen Stahlbetonkonstruktionen Turbinen-Stahlfundamente ohne Baugrunddämpfung Turbinen-Stahlfundamente mit Baugrunddämpfung

# in % 0,1 1,8 . . . 2,0 2 ... 8 0,2 . . . 1,5 4 0,5 . . . 1,5 1,5 . . . 3,0

Die Kenntnis der modalen Dämpfung ist besonders wichtig, wenn es darum geht, die Amplituden der durch Krafterregung F .t/ erzwungenen Schwingungen in den Resonanzen zu bestimmen. Abb. 46.2 zeigt für den wälzgelagerten Ventilatorläufer im Stillstand die beiden ersten Eigenvektoren '1 und '2 mit den zugeordneten Eigenkreisfrequenzen !1 und !2 . Die erste Eigenschwingungsform gleicht im Aussehen der statischen Biegelinie, die zweite Schwingungsform mit einem Schwingungsknoten bezeichnet man als S-Schlag. Im Gegensatz zu komplexen Eigenvektoren, die bei Berücksichtigung von Dämpfung auftreten, gilt bei reellen Eigenvektoren, dass das Verhältnis der Eigenvektorkomponenten stets eine konstante Verformungsfigur anzeigt. Die gezeigte einfache Vorgehensweise ist nicht zulässig, wenn es sich um stark gedämpfte oder selbsterregungsfähige Schwingungssysteme handelt, wie es z. B. bei rotierenden Maschinen mit Gleitlagern und Dichtspalten (Pumpen, Turbinen, Kompressoren) der Fall ist. Hier muss man das Eigenwertproblem Gl. (46.4) lösen und das

46 Schwingungen

833

Stabilitätsverhalten mit den erhaltenen Eigenwerten beurteilen.

46.2.4 Modale Analyse Die Beziehungen zwischen den Eingangsgrößen F .t/ und den Ausgangsgrößen x .t/ lassen sich auch mit Hilfe der modalen Parameter angeben. Bei Kenntnis aller Eigenfrequenzen !n , Eigenvektoren 'n und der Abklingfaktoren ˛n oder der modalen Dämpfungen #n ist damit die Berechnung der erzwungenen Schwingungen möglich. Bei selbsterregungsfähigen Systemen ist dazu noch der Satz der Links-Eigenvektoren erforderlich [1, 2]. Diese rechnerische Vorgehensweise wird auch als „Modale Analyse“ bezeichnet, da die Eigenvektoren (engl.: modes) in die Berechnung einfließen. Ein Vorteil dieser Methode ist, dass die ursprünglich gekoppelten Bewegungsgleichungen (46.1) unter Ausnutzung bestimmter Orthogonalitätseigenschaften der Eigenvektoren entkoppelt werden können. Der Begriff „Modale Analyse“ wird heute auch für ein Verfahren zur Ermittlung der modalen Parameter aus Messungen verwendet. Grundlage des Verfahrens ist die Darstellung von Systemantworten in Abhängigkeit von den modalen Größen und der Erregerfrequenz, Abb. 46.3. Bei der Anpassung analytischer Systemantwortfunktionen (Frequenzgänge des Modells) an gemessene Systemantwortfunktionen (Frequenzgänge der Messung) werden die modalen Parameter so lange variiert, bis die Übereinstimmung zwischen Modell und Messung gut ist (Parameteridentifikation). Als Ergebnis erhält man die gesuchten modalen Größen. Bei der Messprozedur werden i. Allg. Testkräfte (Stoß, Sinus, Rauschen) in das System eingeleitet und die Schwingungsantworten an den einzelnen Messpunkten aufgenommen. Aus den Zeitsignalen berechnet man nach einer FourierTransformation in den Frequenzbereich (schnelle Fourier-Transformation – FFT (s. Gl. (46.31) und Abschn. 46.4.2)) die gemessenen Frequenzgänge, die dann für den Anpassungsprozess zur

Abb. 46.3 Harmonische Schwingungssystems

Erregung

eines

linearen

Berechnung der modalen Parameter zur Verfügung stehen [5].

46.2.5 Frequenzgangfunktionen mechanischer Systeme, Amplituden- und Phasengang Definition Wird ein lineares Schwingungssystem, das durch die Bewegungsgleichungen (46.1) beschrieben wird, am Freiheitsgrad k mit einer harmonischen Erregerkraft Fk D FOk sin ˝t;

(46.11)

FOk konstante Kraftamplitude, ˝ Erregerkreisfrequenz, erregt (alle anderen Kräfte sollen dabei Null sein), so antwortet das System im eingeschwungenen Zustand mit Bewegungen, die ebenfalls harmonisch verlaufen, Abb. 46.3. Man kann alle Antwortgrößen im Vektor x .t/ zusam-

46

834

H. Hanselka et al.

menfassen 1 0 1 xO 1  sin.˝t C "1k / x1 .t/ C B C B B x2 .t/ C B xO 2  sin.˝t C "2k / C C B C B :: C B :: C B C B : C B : CDB C x.t/ D B B x .t/ C B xO  sin.˝t C " / C : B l C B l lk C C B : C B :: C B : C B : A @ : A @ xN .t/ xO N  sin.˝t C "N k / (46.12) Die Antwort ist für jeden Freiheitsgrad durch eine Amplitude und einen Phasenwinkel gegenüber der Erregung gekennzeichnet, z. B. für den Freiheitsgrad l 0

schwache Amplitudenüberhöhung). Im Bereich der Resonanzfrequenz ändert sich der Phasenwinkel "lk relativ stark. Berechnung von Frequenzgängen sowie harmonischer und periodischer Systemantworten Sind die Bewegungsgleichungen (46.1) mit den Matrizen M, D, K bekannt, so kann die komplexe Übertragungsfunktion HN lk .˝/ mit einem komplexen Ansatz rechnerisch bestimmt werden. Dazu führt man für die harmonische Erregerfunktion Fk .t/ D FOk sin ˝t formal die komplexe Kraftfunktion ein

Fk .t/ D FOk e i˝t D FOk .cos ˝t C i sin ˝t/ ; (46.17) (46.13) wobei für die Einpunkterregung im Kraftvektor xl .t/ D xO l sin .˝t C "lk / : nur die k-te Komponente besetzt ist Sowohl xO l als auch "lk ("lk ist negativ) sind von der Erregerfrequenz abhängig. Man nennt deshalb F .t/ D FO e i˝t I n o FO D 0; 0; : : : ; FOk ; 0; : : : 0 : (46.18) Amplituden-Frequenzgang xO l .˝/ =FOk ; .zwischen l und k/ Gl. (46.18) in Gl. (46.1) eingesetzt, ergibt (46.14) Phasen-Frequenzgang (46.19) M xR C D xP C Kx D FOk e i˝t : : (46.15) "lk .˝/ .zwischen l und k/ Mit dem komplexen Ansatz und seinen zeitlichen In der praktischen Anwendung fasst man oft bei- Ableitungen de Funktionen zum komplexen Frequenzgang x D xe NO i˝t  ˇ ˇ i" i " lk lk ˇ ˇ HN lk .˝/ D xO l =FOk e D HN lk e xP D i˝ xe NO i˝t (46.16) ON i˝t xR D ˝ 2 xe (46.20) zusammen. Da es sich beim Quotienten der O Beträge xO l =Fk um eine Nachgiebigkeitsgröße folgt das komplexe Gleichungssystem (Weg/Kraft) handelt, bezeichnet man HN lk .˝/   auch als komplexen Nachgiebigkeits-Frequenz(46.21) K  ˝ 2 M C i˝D xON D FO ; gang. Abb. ˇ46.3 ˇzeigt qualitativ den Verlauf der Amplitude ˇHN lk ˇ D xO l =FOk (Amplitudengang) aus dem man bei bekannten Matrizen M, D, und der Phase "lk (Phasengang) in Abhängigkeit K und dem Kraftvektor FO zu jeder vorgegebenen von der Erregerfrequenz ˝. Die Bedeutung von Erregerfrequenz ˝ durch Lösen des komplexen Frequenzgangfunktionen wird besonders deut- linearen Gleichungssystems (46.21) den Vektor lich, wenn man den Verlauf des Amplitudengangs der komplexen Systemantworten xON bestimmen verfolgt. Wenn die Erregerkreisfrequenz ˝ in der kann. Die Komponenten von xON haben die Form Nähe einer Eigenkreisfrequenz .!1 ; !2 : : : !N / liegt (Resonanzfall), erreicht die AntwortamplixON l D xO l e i "lk (46.22) tude xO l ein Maximum, dessen Höhe u. a. von der jeweils zugehörigen Dämpfung .˛1 ; ˛2 : : : ˛N und enthalten neben der Amplitude xO l auch oder #1 ; #2 : : : #N / abhängt (große Dämpfung, die Phase "lk . Wiederholt man die Berechnung

46 Schwingungen

für andere Frequenzen ˝, gewinnt man weitere Funktionswerte des Frequenzgangs HN lk .˝/. Bei einem System mit N mechanischen Freiheitsgraden (Verschiebungen und Winkel), gibt es insgesamt N  N Frequenzgänge, denn man kann an N Freiheitsgraden erregen und die Antwort jeweils an N Freiheitsgraden aufnehmen. Die GesamtN .˝/ aller Frequenzgangfunktionen matrix H N Hlk .˝/ .l D 1; : : : ; N I k D 1; : : : ; N / ergibt sich durch Inversion der komplexen (dynamiN .˝/ D K  ˝ 2 M C schen) Steifigkeitsmatrix K i˝D:   N .˝/ D K  ˝ 2 M C i˝D 1 H 0

1 HN 11 HN 12 : : : HN 1k : : : HN 1N C N .˝/ D B H @ HN 21 HN 22 : : : HN 2k : : : HN 2N A : HN N1 HN N 2 : : : HN N k : : : HN N N (46.23) Der Fall der harmonischen Erregungen und damit der harmonischen Schwingungen spielt in der Maschinendynamik eine bedeutende Rolle. Bei Kenntnis der Frequenzgangfunktionen eines Systems kann man beurteilen, bei welchen Erregerfrequenzen besonders große Antwortamplituden auftreten. Eine wichtige Anwendung gibt es bei rotierenden Maschinen, bei denen harmonische Erregerkräfte mit der Winkelgeschwindigkeit ˝ (Drehfrequenz) durch Unwuchten hervorgerufen werden. Durch Einsetzen des Unwucht-Kraftvektors (Unwuchtkräfte sind proportional ˝ 2 , s. Abschn. 46.5) in Gl. (46.1) und Berücksichtigung der Drehzahleinflüsse in den Systemmatrizen erhält man aus der Berechnung spezielle Frequenzgangfunktionen, die die Antwortamplituden der Biegeschwingungen für die rotierende Welle in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz beschreiben (s. Abschn. 46.7.3). Da die Erregerfrequenz gleich der Drehfrequenz ist, spricht man von „kritischen Drehfrequenzen“, wenn die Drehfrequenz mit einer Systemeigenfrequenz zusammenfällt. Sind in den anregenden Kräften eines linearen Systems mehrere Erregerfrequenzen gleichzeitig enthalten, wie es z. B. bei periodischen Funktionen der Fall ist, so lassen sich die

835

aus den Frequenzgängen bei den einzelnen Erregerfrequenzen abgelesenen Antwortamplituden phasengerecht zur Gesamtantwort überlagern.

46.3

Grundaufgaben der Maschinendynamik

Bei der Behandlung von Schwingungsproblemen an Maschinen gibt es viele Fragestellungen. Im folgenden Überblick soll kurz gezeigt werden, dass sich die bei verschiedenen Maschinentypen auftretenden Probleme auf einige wenige Aufgabenstellungen zurückführen lassen. Zur Erklärung werden das Blockschaltbild für ein Schwingungssystem (Abb. 46.1) und die zugehörigen Bewegungsgleichungen (46.1) genutzt.

46.3.1 Direktes Problem Das direkte Problem ist die in der Praxis häufigste Aufgabenstellung, die üblicherweise in der Konstruktionsphase einer Neuentwicklung ansteht. Dabei ist das zu untersuchende System gegeben und liegt meist in Form einer Konstruktionszeichnung vor, Abb. 46.4a. Die zu lösende Grundaufgabe besteht darin, aus bekannten kritischen Zeitverläufen der Kräfte F (t )

Schwingungssystem

x (t )

46

Parameter: M, D, K

a F (t )

Schwingungssystem

x (t )

Parameter: M, D, K

b F (t )

reales Schwingungssystem Struktur = ? Parameter = ?

x (t )

F (t )

gewünschtes Schwingungssystem Struktur = ? Parameter = ?

x (t )

c

d

Abb. 46.4 Grundaufgaben der Maschinendynamik. a direktes Problem; b Eingangsproblem; c Identifikationsproblem; d Entwurfsproblem

836

F .t/ und den ebenfalls als gegeben zu betrachtenden Systemeigenschaften in Form der Matrizen M, D, K den Zeitverlauf der Systemantworten x .t/ rechnerisch zu ermitteln. Nach [2] wird für diese wichtige maschinendynamische Analyse folgender Ablauf empfohlen: 1. Auflisten der Lastfälle (Erregerkräfte). Lastfälle des Normalbetriebs; Lasten aus Störfällen. 2. Idealisierung der Struktur. Erstellen eines mechanischen Ersatzsystems, das das dynamische Verhalten für die verschiedenen Lastfälle hinreichend genau wiedergibt. 3. Generierung der Bewegungsgleichungen. Bei diskreten Systemen (Mehrkörpersysteme, Finite Elemente) mit linearen Systemeigenschaften erhält man das bereits in Gl. (46.1) angegebene lineare System von Differentialgleichungen. 4. Lösung der Bewegungsgleichungen. Von den linearen Bewegungsgleichungen wird zuerst die homogene Lösung ermittelt, die Auskunft über die Eigenschwingungsgrößen und die Stabilität des Systems gibt. Dann sind die partikulären Lösungen für die einzelnen Lastfälle zu berechnen, durch die die erzwungenen Schwingungen beschrieben werden. 5. Grafische Darstellung der Ergebnisse. Um die oft riesigen Datenmengen der Ergebnisse überschaubar zu halten, werden die zeitlichen Verläufe von Verschiebungen, Beschleunigungen oder Schnittlasten und die Amplituden über der Frequenz (Frequenzgänge) vom Rechner grafisch dargestellt. 6. Auswertung und Interpretation der Ergebnisse. Anhand der Ergebnisse sind verschiedene Fragen zu beantworten, z. B.: Ist die Struktur den auftretenden Belastungen in allen Lastfällen gewachsen? Ist das System stabil? Liegt Resonanznähe vor?

H. Hanselka et al.

ner Messung) gegeben ist und bei ebenfalls bekannten Systemeigenschaften M, D, K nach dem Verlauf der Erregungsgrößen F .t/ gefragt wird, Abb. 46.4b. Ein weit verbreitetes Anwendungsbeispiel für diese Aufgabenstellung ist das Auswuchten von Rotoren.

46.3.3 Identifikationsproblem

Beim Identifikationsproblem geht es um die Ermittlung der das Systemverhalten beschreibenden Gleichungen (Struktur) einschließlich der Systemparameter aus gemessenen Eingangs- und Ausgangssignalen, Abb. 46.4c. Da man oft Anhaltspunkte über die Struktur der Gleichungen besitzt (z. B. Linearität, Zeitinvarianz, Anzahl der Freiheitsgrade) oder Annahmen darüber trifft, reduziert sich die Aufgabe auf die sogenannte Parameteridentifikation. Dabei werden in das zu untersuchende Schwingungssystem Testkräfte F .t/ (Impulskräfte, Kraftsprünge, harmonische oder zufällige Erregerkräfte) eingeleitet und gemessen und die sich ergebenden Systemantworten x .t/ aufgenommen. Mit Hilfe der gemessenen Eingangsgrößen F .t/ und Ausgangsgrößen x .t/ lassen sich unter Berücksichtigung von bekannten Eingangs-Ausgangs-Beziehungen (Struktur) die gesuchten Systemparameter mit Schätzverfahren bestimmen. Dabei kommen sowohl Verfahren im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich zur Anwendung. Besonders bei größeren Schwingungssystemen ist es problematisch, die Systemmatrizen M, D, K komplett durch Parameteridentifikation zu bestimmen. Da man die Parameter für einfache mechanische Elemente (Stäbe, Balken, Platten) im Allgemeinen recht gut über eine Berechnung erhalten kann, beschränkt man sich bei der experimentellen Parameterermittlung auf Systemkomponenten mit schwer zu bestimmen46.3.2 Eingangsproblem den Kraft-Bewegungs-Gesetzen, die meist nur wenige Freiheitsgrade besitzen. Im MaschinenHier ist die Fragestellung gegenüber dem direk- bau sind solche Komponenten z. B. Gleitlager, ten Problem insofern umgekehrt, als jetzt der Spaltdichtungen, Kupplungen, die das SchwinVerlauf der Systemantworten x .t/ (z. B. aus ei- gungsverhalten des Gesamtsystems oft wesent-

Crane Automation Technology Systems GmbH & Co. KG

.

46 Schwingungen

839

lich beeinflussen und für die deshalb Feder-, Systemmodifikationen werden je nach AufgabenDämpfungs- und Trägheitskoeffizienten benötigt stellung die Verringerung der Erregerkräfte, Verwerden. stimmung des Systems, Tilgung, Dämpfung oder Isolation (Quellen- oder Empfängerisolation) betrachtet. Bei den Systemmodifikationen kommen 46.3.4 Entwurfsproblem sowohl Lösungen mit passiven als auch mit aktiven Elementen in Frage. Beim Entwurfsproblem soll ein System so verwirklicht werden, dass zu vorgegebenen Erregungsgrößen F .t/ gewünschte Ausgangsgrößen 46.4 Darstellung von Schwingungen x .t/ erreicht werden, Abb. 46.4d. Es stellt sich im Zeit- und Frequenzbereich also die Aufgabe, ein optimales dynamisches System zu entwerfen.

46.4.1

46.3.5 Verbesserung des Schwingungszustands einer Maschine Hier handelt es sich um eine Aufgabe, die beim praktischen Betrieb von Maschinen sehr häufig vorkommt. Dabei sind einige der zuvor beschriebenen Teilaufgaben zu lösen. Maschinenschwingungen sind unerwünschte Erscheinungen, die bestimmte Grenzwerte nicht übersteigen sollen. Bei zu großen Bewegungen x .t/ muss der dynamische Zustand der Maschine verbessert werden, was in vier Teilschritten erfolgen kann. Zunächst werden die Ausgangssignale x .t/ gemessen und im Zeit- und Frequenzbereich analysiert. Zu große Schwingungen können entweder durch zu große Erregungen F .t/ oder ungünstige Systemeigenschaften .!n ; ˛n ; 'n / hervorgerufen werden. Daher werden in einem zweiten Schritt die dynamischen Eigenschaften des Systems systematisch untersucht. Mit Hilfe geeigneter Testsignale F .t/ und der gemessenen zugehörigen Ausgangssignale x .t/ lassen sich die Systemeigenschaften identifizieren (Identifikationsproblem). Mit diesen Ergebnissen kann ein Rechenmodell angepasst werden, das die dynamischen Eigenschaften der untersuchten Maschine hinreichend genau wiedergibt. Der letzte Schritt besteht nun darin, durch Simulationsrechnungen diejenigen Systemmodifikationen herauszufinden, die am effektivsten zur Schwingungsreduzierung führen. Als mögliche

Darstellung von Schwingungen im Zeitbereich

Maschinenschwingungen äußern sich durch zeitlich veränderliche Bewegungen einzelner Maschinenpunkte, die sich entweder regelmäßig wiederholen, in einem einmaligen Vorgang abklingen (Eigenschwingungen mit begrenzter Dauer) oder aufklingen oder aber regellos (stochastisch) verlaufen. Mit der Zeitabhängigkeit von Schwingungsvorgängen beschäftigt sich das Gebiet der Kinematik (s. Kap. 13). Dabei geht es vor allem um den zeitlichen Verlauf einzelner Komponenten von x .t/ (s. Gl. (46.1)). Da aber auch die Erregerkräfte F .t/ zeitabhängig sind, schließen wir sie in die Betrachtungen mit ein. Klassifizierung In Abb. 46.5 ist eine Klassifizierung von wichtigen Schwingungssignalen vorgenommen, wobei die „schwingende“ Größe hier allgemein x .t/ genannt wird. Man kann in deterministische und stochastische Signale unterteilen, wobei die deterministischen Signale hier im Vordergrund stehen. Diese werden nochmals untergliedert in periodische und nichtperiodische Verläufe. Zu den periodischen Signalen gehören als elementare Signale die harmonischen Sinusund Kosinusfunktionen. Allgemein periodische Signale bauen sich aus Sinus- und Kosinuskomponenten auf, deren Frequenzen Vielfache einer Grundfrequenz ˝0 sind. Zu den nichtperiodischen Signalen gehören z. B. die Sprungfunktion, die Stoßfunktion und die abklingende Schwingung (Eigenschwingung).

46

840

H. Hanselka et al.

Abb. 46.5 Klassifizierung von Schwingungssignalen

Allen in Abb. 46.5 gezeigten Signalen ist gemeinsam, dass sie über der Zeit dargestellt sind. Während alle deterministischen Signale durch mathematische Funktionen beschrieben werden können, sind die zufälligen Signale nicht eindeutig bestimmt. Es hat sich als nützlich erwiesen, zur Charakterisierung der verschiedenen Signalverläufe Mittelwerte einzuführen [1].

46.4.2

Darstellung von Schwingungen im Frequenzbereich

Um die Eingangsgrößen F .t/ und die Ausgangsgrößen x .t/ eines Schwingungssystems besser interpretieren zu können, stellt man sie auch im Frequenzbereich als F .˝/ und x .˝/ dar. Dabei ist ˝ D 2f eine Kreisfrequenz in s1 und f die Frequenz in Hz. Die Darstellung im Mittelwerte Der zeitliche lineare Mittelwert Frequenzbereich ist oft aussagekräftiger, da man von x .t/ heißt Gleichwert die Frequenzanteile einer Schwingung sehr gut erkennen kann und Verbindungen mit den dynaT Z 1 x .t/ dt (46.24) mischen Eigenschaften eines Systems findet. xN .t/ D T Mit Hilfe der Fourier-Analyse (s. Teil I) ist es 0 möglich, aus dem Zeitbereich in den FrequenzDabei ist T die Beobachtungszeit, bei periodi- bereich zu transformieren. Am einfachen Beischen Signalen die Periodendauer. Der quadrati- spiel der harmonischen Sinusschwingung wird sche Mittelwert ist die Darstellung in beiden Bereichen deutlich, Abb. 46.6. Die Sinusschwingung ZT 1 2 2 x .t/ dt; (46.25) xN .t/ D T x .t/ D xO sin .˝t C "/ (46.27) 0 aus dem sich der sogenannte Effektivwert (RMS value, root mean square value) aus der Wurzel des quadratischen Mittelwerts ergibt v u u ZT p u1 2 x 2 .t/ dt: (46.26) xeff D xN .t/ D t T 0

Für das in der Praxis häufig vorkommende harmonische Signal ist der Mittelwert xN .t/ D 0 und der Effektivwert p beträgt etwa 70 % des Spitzen- Abb. 46.6 Darstellung der Sinusschwingung im ZeitO wertes: xeff D 2=2  x. und Frequenzbereich. a Zeitbereich; b Frequenzbereich

46 Schwingungen

841

wird bestimmt durch die Amplitude x, O die Kreisfrequenz ˝ und den Nullphasenwinkel ". Im Frequenzbereich trägt man daher bei der Kreisfrequenz ˝ den Wert von xO in das Amplitudendiagramm und den Wert von " in das Phasendiagramm ein. Fourier-Analyse periodischer Schwingungen Nach dem Satz von Fourier lässt sich jede periodische Funktion x .t/ mit der Periodendauer T D 2=˝0 unter bestimmten Voraussetzungen eindeutig durch eine Summe von Sinusund Kosinusfunktionen mit den Kreisfrequenzen ˝0 ; 2˝ 0 ; 3˝ 0 ; : : : darstellen (s. Teil I). x .t/ D x0 C

1 X

fsn sin .n˝0 t/

nD1

Ccn cos .n˝0 t/g D x0 C

1 X

fxO n sin .n˝0 t C "n /g (46.28)

nD1

mit x0 D

1 T

RT

x .t/ dt

0

arithmetischer Mittelwert sn D

2 T

RT

x .t/ sin .n˝0 t/ dtI

0

RT cn D T2 0 x .t/ cos .n˝0 t/ dt Fourierkoeffizienten.n D 1; 2; : : : ; 1/; ˝0 D 2=T Grundfrequenz (Kreisfrequenz); p xO n D sn2 C cn2 Werte des Fourier-Amplituden-Spektrums; "n D arctan .cn =sn / Werte des Fourier-Phasen-Spektrums:

Abb. 46.7 Periodische Funktion mit zwei Sinusfunktionen (xO 1 D 20 m; xO 2 D 10 mI "1 D 0I "2 D 0). a Zeitbereich; b Frequenzbereich

˝0 mit der Drehfrequenz übereinstimmt (Unwuchtschwingung) und die doppelte Drehfrequenz 2˝ 0 z. B. durch Unrundheiten der Welle (Generatorläufer, Welle mit Riss) verursacht wird. Zahlenwerte: x0 D 0I x1 D s1 D 20 mI x2 D s2 D 10 mI c1 D c2 D 0. J Fourier-Analyse nichtperiodischer Vorgänge Einen Übergang von periodischen zu nichtperiodischen Vorgängen findet man durch eine Grenzwertbetrachtung für unendlich große Periodendauern T. Dies führt zu einem kontinuierlichen Spektrum. Die Zeitfunktion kann nun durch das Fourier-Integral ausgedrückt werden. Z1 x .t/ D

x .˝/ e i˝t d˝ 1

Hierin ist die komplexe Spektralfunktion x .˝/ die Fouriertransformierte des Zeitsignals x .t/ Z1 x .˝/ D

Beispiel

Abb. 46.7 zeigt als Beispiel eine einfache periodische Funktion mit zwei Sinuskomponenten im Zeit- und im Frequenzbereich. Ein solches Schwingungssignal kann bei rotierenden Maschinen auftreten, wobei die Grundfrequenz

(46.29)

x .t/ e i˝t dt

(46.30)

0

Beispiel

Abb. 46.8 stellt qualitativ die Beträge der Fouriertransformierten jx .˝/j für drei nichtperiodische Signale dar. Die beiden ersten werden

46

842

H. Hanselka et al.

numerische Berechnung der Fourier-Transformation ist ein zeitdiskretes Signal, das durch Diskretisierung eines entsprechenden kontinuierlichen Signals x(t) erhalten wird. Das kontinuierliche Signal wird mittels eines Sensors währen der Zeit T erfasst und in einem analog-digital (AD) Wandler in eine Reihe x Œn D x .n  t/, n = 0,1, . . . ,N  1 von N Abtastwerten umgewandelt. Intervall zwischen zwei nacheinander folgenden Abtastungen ist der Abtastintervall t. Die DFT transformiert das diskrete Signal x[n] in eine Reihe der Spektralkoeffizienten: Abb. 46.8 Spektralfunktionen jx .˝/j für drei nichtperiodische Funktionen. a Stoßfunktion; b Sprungfunktion; c Impuls-Antwortfunktion

oft als Testsignale zur künstlichen Erregung von Schwingungssystemen verwendet. Man erkennt, dass die Werte der Spektralfunktion jx .˝/j der Stoßfunktion (Abb. 46.8a) in einem weiten Bereich nahezu konstant bleiben. Die Lage des Nulldurchgangs jx .˝/j D 0 hängt von der Stoßdauer (harter oder weicher Stoß) ab. Bei der Sprungfunktion (Abb. 46.8b) ist der größte Teil der Energie bei niedrigen Frequenzen zu finden. Damit werden Systeme mit niedrigen Eigenfrequenzen gut angeregt. Ein interessantes Ergebnis zeigt sich beim dritten Signal (Abb. 46.8c). Es handelt sich hierbei um die sog. Impuls-Antwortfunktion (Gewichtsfunktion) eines Schwingers, also die System-Eigenschwingung nach einem kurzen Stoß. Transformiert man diese Funktion in den Frequenzbereich, dann erhält man die bereits in Abschn. 46.2.5 definierte zugehörige Frequenzgangfunktion. J Praktische Anwendung der Fourier-Analyse Numerische Berechnung der Fourier-Transformation spielt bei praktischen Anwendungen eine besondere Rolle. Die erfolgt nach dem Algorithmus der diskreten Fourier-Transformation (DFT – discrete Fourier transform), bzw. der schnellen Fourier-Transformation (FFT – fast Fourier transform). Der Ausgangspunkt für die

XŒk D

N 1 X

k

xŒne j 2 N n

(46.31)

nD0

wobei X Œk D X .k  f / k = 0,1,. . . ,N  1 mit einer Auflösung f des resultierenden diskreten Spektrums. Die FFT ist ein Algorithmus [6] zur Berechnung der DFT, der eine starke Einsparung von Rechenoperationen gegenüber der DFT Berechnung nach Gl. (46.31) bietet. Die Anzahl der Abtastpunkte N soll dabei üblicherweise als eine Zweierpotenz gewählt werden. Z. B. für N D 210 D 1024 ist der FFT Algorithmus mehr als hundertmal schneller als die DFT und daher für die Echtzeitanwendung gut geeignet.

46.5

Entstehung von Maschinenschwingungen, Erregerkräfte F(t)

Maschinenschwingungen können ganz unterschiedliche Ursachen haben. In [7] wird eine Einteilung nach dem Entstehungsmechanismus vorgenommen. Danach unterscheidet man zwischen freien, selbsterregten, parametererregten und erzwungenen Schwingungen. Die einzelnen Fälle lassen sich am besten anhand der Bewegungsgleichungen (46.1) und mit Hilfe des Blockschaltbilds (Abb. 46.1) erklären. In Abb. 46.9 sind die einzelnen Ursachen für Schwingbewegungen x .t/ anschaulich zusammengestellt.

46 Schwingungen

843 einmaliger Anstoß Ursache der Eigenschwingungen

F (t )

Schwingungssystem Struktur Systemparameter

äußere Störungen Ursache der erzwungenen Schwingungen Energie

x (t )

Kräfte), denen die dämpfenden Kräfte in der DMatrix gegenüber stehen. Im Maschinenbau findet man Beispiele für selbsterregte Schwingungen u. a. bei rotierenden Wellen mit Gleitlagern und Dichtspalten oder auch in Regelkreisen aktiver Systeme.

Schwingungen

zeitveränderliche Systemparameter Ursache parametererregter Schwingungen

vom System gesteuerte Energiezufuhr Ursache der selbsterregten Schwingungen

Abb. 46.9 Entstehung von Maschinenschwingungen

46.5.1 Freie Schwingungen (Eigenschwingungen) Freie Schwingungen treten auf, wenn ein System nach einem Anstoß sich selbst überlassen wird und keinen Einwirkungen von außen mehr ausgesetzt ist (s. Abschn. 15.1). In den Bewegungsgleichungen sind die rechten Seiten der Erregungen gleich Null (F .t/ D 0, homogenes Gleichungssystem). Die Schwingfrequenzen werden durch die Systemeigenschaften (M, D, K) bestimmt. Im idealisierten dämpfungsfreien Fall findet ein Austausch zwischen kinetischer und potenzieller Energie statt (Dauerschwingung). Im Realfall klingen die Schwingungen bei echter Dämpfung immer ab (s. Abb. 46.2, Abb. 46.5 und Abb. 46.8).

46.5.3

Das Kennzeichen der parametererregten Schwingungen ist, dass das Schwingungssystem zeitabhängige, meist periodische Parameter besitzt. Die Voraussetzung der zeitinvarianten Bewegungsgleichungen ist dann nicht mehr erfüllt und die Matrizen sind i. Allg. zeitabhängig: M .t/, D .t/, K .t/. Als Folge können sowohl gedämpfte, ungedämpfte als auch angefachte Schwingungen auftreten. Rotoren von elektrischen Maschinen (s. Bd. 2, Kap. 24) haben z. B. oft Querschnittsformen mit stark unterschiedlichen Biegesteifigkeiten in zwei zueinander senkrechten Richtungen (z. B. zweipolige Läufer von Synchronmaschinen). Bei Drehung der Welle ändert sich in einem raumfesten Koordinatensystem z. B. die vertikale Wellensteifigkeit periodisch mit der Zeit. Die Steifigkeitsmatrix K des Rotors ist deshalb zeitvariant.

46.5.4 46.5.2

Selbsterregte Schwingungen

Hierbei handelt es sich um Eigenschwingungen besonderer Art. In den Bewegungsgleichungen sind wie bei den freien Schwingungen keine äußeren Erregungen vorhanden (F .t/ D 0). Dem Schwinger wird jedoch im Takt der Eigenschwingung Energie aus einer Energiequelle zugeführt. Durch diese Energieaufnahme kann es zu aufklingenden (selbsterregten) Schwingungen kommen, wenn nicht entgegengesetzt wirkende Dämpfungskräfte dies verhindern. Die Neigung eines Schwingungssystems zur Selbsterregung erkennt man an den schiefsymmetrischen Anteilen in der Steifigkeitsmatrix K (zirkulatorische

Parametererregte Schwingungen

Erzwungene Schwingungen

Erzwungene Schwingungen (s. Abschn. 15.1) werden durch äußere Störungen verursacht und in ihrem Zeitverhalten bestimmt. Diese Störungen sind als Erregerkräfte (-momente) im Vektor F .t/ auf der rechten Seite der Bewegungsgleichungen enthalten. Sie sind nur von der Zeit t und nicht von den Bewegungen x .t/ des Schwingungssystems selbst abhängig. Bei den Erregerfunktionen interessieren in der Schwingungspraxis in besonderem Maße die periodischen Funktionen und als Sonderfall hiervon die harmonischen Funktionen. Daneben haben auch Impulsfunktionen (Störungen durch Stöße), die Sprungfunktionen (Einschaltvorgänge) und die Zufallsfunktionen eine große Bedeutung.

46

844

Störungen werden entweder als Kräfte (Momente) oder als Fußpunktbewegungen oder -beschleunigungen in das System eingeleitet. Beachtliche Erregerkräfte können z. B. als Trägheitskräfte durch translatorisch oder rotatorisch bewegte Massen in Maschinen auftreten. Andere wichtige Erregungen kommen durch die Kopplung mechanischer Systeme mit angrenzenden Arbeitsmedien (Gas, Dampf) oder mit elektrischen Systemen (Motoren, Generatoren) zustande, wobei man oft die strenge Kopplung näherungsweise durch reine zeitabhängige Störfunktionen ersetzen darf. Störungen in der Umgebung von Maschinen (Gebäudedecken, Baugrund) wirken sich als Fußpunkterregungen am Schwingungssystem aus. In erdbebengefährdeten Gebieten muss beispielsweise sichergestellt werden, dass wichtige Maschinen und Aggregate (z. B. Kühlmittelpumpen in Kernkraftwerken) auch bei starken äußeren Einwirkungen funktionstüchtig bleiben. Erregung durch harmonische Unwuchtkräfte Im Turbomaschinenbau werden die Biegeschwingungen von rotierenden Wellen in den meisten Fällen durch Unwuchtkräfte hervorgerufen. Eine Erklärung der Unwuchterregung lässt sich anschaulich am Beispiel eines Laufrads geben, das in Abb. 46.10 als Scheibe idealisiert ist. Bedingt durch Fertigungsungenauigkeiten und ungleichmäßige Beschaufelung fallen der Scheibenschwerpunkt S und der Wellendurchstoßpunkt W i. Allg. nicht zusammen. Die beiden Punkte haben den festen Abstand e voneinander, der als Massenexzentrizität bezeichnet wird und eine zum Laufraddurchmesser relativ kleine Größe darstellt. Während des Betriebs einer Maschine kann sich die Massenexzentrizität durch Ablagerungen und Abtragungen (Erosion) oder durch Schaufelbruch verändern. Das Produkt aus Laufradmasse m und Massenexzentrizität e nennt man Unwucht U D me. Durch die Wellenrotation wird die Fliehkraft

H. Hanselka et al.

Abb. 46.10 Unwuchtkräfte an einer rotierenden Scheibe. e Massenexzentrizität, ˝ Winkelgeschwindigkeit, m Masse, 1 Nullachse für Winkel ˝t

Verbindungslinie WS (Fliehkraftbeschleunigung) wirkt und mit der Winkelgeschwindigkeit ˝ umläuft. Die Größe der Kraft wächst quadratisch mit ˝ an. Ein Beobachter in einem raumfesten Koordinatensystem sieht die beiden Komponenten der Fliehkraft als periodische oder genauer als harmonische Funktionen Fhor D me˝ 2 cos .˝t/ ; Fvert D me˝ 2 sin .˝t/ :

(46.33)

Bei Läufern mit verteilter Masse hat die Unwucht entlang der Wellenachse einen kontinuierlichen Verlauf, wobei neben den Kraftamplituden auch relative Winkellagen zueinander zu berücksichtigen sind. Da die wirkliche Unwuchtverteilung nie genau bekannt ist, nimmt man bei Schwingungsberechnungen bestimmte Musterverteilungen an (z. B. Verteilung nach Eigenformen). Durch die Unwuchtbelastungen werden sowohl die Welle als auch die Lagerböcke, das Fundament und das Gehäuse zu harmonischen Schwingungen mit der Wellenkreisfrequenz ˝ angeregt. In der Praxis wird man immer bestrebt sein, die Unwucht-Erregerkräfte möglichst klein zu halten. Dies erreicht man durch den Vorgang des Auswuchtens, bei dem geeignete Ausgleichsgewichte am Läufer angesetzt werden. Beim Aus(46.32) wuchten ist zu prüfen, ob der zu wuchtende F D me˝ 2 Läufer als starr oder elastisch einzustufen ist. geweckt, die entsprechend der Drehung von S Nähere Einzelheiten zur Praxis des Auswuchtens um den Wellenmittelpunkt W in Richtung der und zur Auswuchtgüte findet man in [8–10].

46 Schwingungen

845

Erregung durch Massen- und Gaskräfte in Kolbenmaschinen In den Triebwerken von Kolbenmaschinen (Viertaktmotoren, Zweitaktmotoren, Kolbenverdichter) treten neben den Unwuchtkräften durch rotierende Bauteile (Kurbelwelle) insbesondere Massenkräfte (s. Abschn. 47.2) durch translatorisch bewegte Bauteile (Kolben, Anteile der Schubstange usw.) und Gaskräfte am Kolben auf, die zu einer beachtlichen Schwingungserregung einzelner Komponenten oder des gesamten Motors führen können ([11, 12]; s. Bd. 3, Kap. 4). In den meisten Fällen verlaufen die Kräfte periodisch mit der Drehzahl der Maschine (Grundfrequenz ˝0 D Drehfrequenz), lediglich die Gaskräfte von Viertaktmotoren weisen eine Periode von zwei Umdrehungen auf, da im Zylinder eines Viertaktmotors nur bei jeder zweiten Umdrehung eine Verbrennung stattfindet. Die Grundfrequenz entspricht also hier der halben Drehfrequenz. Von den verschiedenen Schwingungserscheinungen an Kolbenmaschinen sind die Schwingungen der Kurbelwelle besonders zu untersuchen, damit die Beanspruchungen nicht zu einem Dauerbruch der Kurbelwelle führen. Für eine Kurbelwellen-Schwingungsberechnung benötigt der Ingenieur die an der Kurbelwelle angreifenden zeitveränderlichen Erregerkräfte, die sich aus den oben genannten Massen- und Gaskräften ergeben. Die folgenden Angaben gelten für den stationären Zustand (konstante Drehzahl). Die wesentlichen Beziehungen lassen sich am besten am Einzylindertriebwerk (Viertaktmotor) erklären. Die an einem Kolben wirkende resultierende Kraft FK .t/ setzt sich aus der Gasdruckkraft FG .t/ und der Massenkraft FM .t/ zusammen (Abb. 46.11; s. Bd. 3, Abschn. 1.3.3) FK .t/ D FG .t/ C FM .t/ :

(46.34)

Abb. 46.11 Kräfteverhältnisse beim Kurbeltrieb. Kurbelwinkel, r Kurbelradius, ˇ Schwenkwinkel, l Schubstangenlänge

Dreh- und Biegeschwingungen führen. Man kann sie wieder aufteilen in die Anteile der Gasdruckkräfte und die Anteile der Massenkräfte FT .t/ DFTG .t/ C FTM .t/ ; FR .t/ DFRG .t/ C FRM .t/ :

(46.35)

Zu ihrer Ermittlung braucht man zunächst einmal die für beide Kraftarten (Gaskräfte, Massenkräfte) gültigen Kräfteverhältnisse FT =FK und FR =FK . Dies sind periodische Funktionen, die die Geometrie des Kurbeltriebs ausdrücken FT sin . C ˇ/ D FK cos ˇ D B1 sin C B2 sin 2

C B4 sin 4

C::: (46.36)

mit B1 D 1; B2 D =2 C 3 =8 C : : : ; B4 D 3 =16  35 =64  : : :

Die Kolbenkraft FK .t/ kann geometrisch in die Normalkraft FN .t/ und die Schubstangen- und kraft FS .t/ zerlegt werden, wovon sich die StanFR cos . C ˇ/ genkraft am Kurbelzapfen nochmals in die tanD FK cos ˇ gentiale Komponente FT .t/ und die radiale KomD A0 C A1 cos C A2 cos 2 ponente FR .t/ aufteilt. FT .t/ und FR .t/ sind C A4 cos 4 C : : : die erregenden Kräfte für die Kurbelwelle, die zu

(46.37)

46

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H. Hanselka et al.

mit

mit A0 D =2  33 =16  : : : ;

T1 D =4 C 3 =16 C 155 =512 C : : : ;

A1 D 1;

T2 D 1=2  4 =32  6 =32  : : : ;

A2 D =2 C 3 =4 C : : : ;

T3 D 3=4  93 =32  815 =512  : : : ;

A4 D  =16  : : : : 3

T4 D 2 =4  4 =8  6 =16  : : : ;

( D ˝0 t Kurbelwinkel, ˝0 Winkelgeschwindigkeit der Kurbelwelle, ˇ Schwenkwinkel,  D r= l Pleuelstangenverhältnis). Die vier Einzelanteile aus Gl. (46.35) können nun wie folgt angegeben werden:

T5 D 53 =32 C 755 =512 C : : : : " FRM D

mosz r˝02

R0 C

1 X

# Rk cos .k / ;

kD1

(46.42) mit

FTG .t/ D FG .t/  .FT =FK / ; FTM .t/ D FM .t/  .FT =FK / ;

(46.38)

R0 D 1=2  2 =4  34 =16  56 =32  : : : ; R1 D =4  3 =16  155 =512  : : : ;

FRG .t/ D FG .t/  .FR =FK / ; FRM .t/ D FM .t/  .FR =FK / :

(46.39)

R2 D 1=2 C 2 =2 C 134 =32 C 116 =32 C : : : ;

Sowohl die Massenkraft FM .t/ als auch die Gasdruckkraft FG .t/ sind im stationären Betrieb aber ebenfalls periodische Funktionen. Die Massenkraft FM .t/ ergibt sich z. B. aus dem Produkt der oszillierenden Masse mosz (Kolbenmasse, Massenanteil der Pleuelstange) mit der Kolbenbeschleunigung xR k .t/ und kann durch die folgende Fourierreihe ausgedrückt werden FM .t/ D mosz xR k D mosz r˝02 .C1 cos CC4 cos 4

C C2 cos 2

C C6 cos 6

C :::/; (46.40)

mit C1 D 1; C2 D  C 3 =4 C 155 =128; C4 D 3 =4  35 =16  : : : ; C6 D 95 =128 C : : : : Aus Gln. (46.38) und (46.39) folgen unter Berücksichtigung von Gln. (46.36), (46.37) und (46.40) die Massentangentialkraft und die Massenradialkraft FTM D mosz r˝02

1 X kD1

Tk sin .k / ;

(46.41)

R3 D 3=4  33 =32  95 =512  : : : ; R4 D 2 =4  54 =16  56 =16  : : : : Zur Bestimmung der Kräfte FTG und FRG , die sich aus den Gasdruckkräften am Kolben ergeben, verfährt man entsprechend. Liegen z. B. diskrete Werte der Kraft FG .t/ über eine Periode vor, so multipliziert man diese gemäß Gln. 46.38 und 46.39 und führt anschließend harmonische Analysen für die gefundenen Kraftkomponenten FTG und FRG durch. Dabei sind die unterschiedlichen Grundfrequenzen beim Zweitaktmotor (˝0 ) und beim Viertaktmotor (˝0 =2) zu berücksichtigen. Abb. 46.12 zeigt die Ergebnisse der harmonischen Analysen für die Radialkraft FRG .t/ und die Tangentialkraft FTG .t/ bei einem Viertaktmotor. Die dargestellten Werte sind jeweils auf die Kolbenfläche Ak bezogen. Beim Mehrzylindertriebwerk nimmt man i. Allg. an, dass alle Zylinder gleich sind und gleich arbeiten und damit auch die Kräfte bei allen Zylindern gleich sind. Die Kräfte verschiedener Zylinder sind jedoch zeitlich phasenverschoben, da die Zündzeitpunkte nicht zusammenfallen. Diese Phasenverschiebung ergibt für verschiedene Zylinder unterschiedliche harmonische Koeffizienten der Erregerkräfte [11, 12], die sich aus

46 Schwingungen

847

Abb. 46.13 Luftspaltmoment M e .t / in einem Generator

sind die Drehmomente der antreibenden Turbinen und des bremsenden Generators miteinander im Gleichgewicht. Durch elektrische Störungen im Netz oder am Generator, Schalt- und Synchronisierungsvorgänge kann dieses Gleichgewicht empfindlich gestört werden. Das Generatormoment enthält dann zusätzliche konstante und oszillierende Komponenten. Die Erfahrung zeigt, dass die größten Belastungen der Welle beim Klemmenkurzschluss und bei Fehlsynchronisierung mit einem Fehlwinkel von 120° auftreten. Deshalb werden in den einschlägigen Normen und Vorschriften insbesondere diese Fälle für die Auslegung zugrunde gelegt. Abb. 46.12 Harmonische Analysen für die Tangential- In Abb. 46.13 sind der auf das Nennmoment M 0 kraft FTG und die Radialkraft FRG für einen Zylinder eines bezogene zeitliche Verlauf des Luftspaltmoments Viertaktmotors M e .t/ im Generator für einen nicht abklingenden zweiphasigen Klemmenkurzschluss und für den angegebenen Werten für das Einzylinder- eine 120°-Fehlsynchronisation dargestellt. Die triebwerk ableiten lassen. Zeitverläufe lassen sich aus den folgenden Gleichungen ermitteln [13]. Erregung durch elektrische Störmomente In elektrischen Maschinen (Motoren, Generatoren) Zweiphasiger Klemmenkurzschluss: können beachtliche elektrische Störmomente auftreten, die den ganzen Wellenstrang zu TorsiM0 1 onsschwingungen anregen (s. Bd. 2, Abschn. Me .t/ D M0 C  00 cos ' xd C xTR 26.1.5). Stellvertretend werden hier Störungen an einer Turbogruppe für die Energieerzeugung vorgestellt. Im stationären Betrieb des Turbosatzes

 fsin ˝ .t  t0 /  0; 5  sin 2˝ .t  t0 /g (46.43)

46

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H. Hanselka et al.

120°-Fehlsynchronisation: Me .t/ D

M0 1  cos ' xd00 C xTR C xN  f0; 866  0; 866  cos ˝t C 1; 5  sin ˝tg

(46.44)

mit xd00 subtransiente Reaktanz des Generators, xTR Traforeaktanz, xN Netzreaktanz jeweils bezogen auf die Generatorimpedanz, cos ' Leistungsfaktor, M 0 Nennmoment, ˝ Netzkreisfrequenz. Man erkennt deutlich den Gleichanteil mit dem stationären Nenndrehmoment M 0 und die dreh- und doppeldrehfrequenten Wechselanteile. Die angegebenen Erregermomente sind über die Generatorlänge verteilt an passender Stelle in den Erregervektor F .t/ der Bewegungsgleichungen für einen Wellenstrang einzusetzen. Besondere Bedeutung haben mehr und mehr die Drehmomente von elektrisch drehzahlgeregelten Antrieben. Hier können pulsierende Erregermomente als Folge der Speisung über Umformer (Umrichter) auftreten, weil dabei Oberwellen in Strom und Spannung vorkommen. In [14] sind für die Antriebsarten Schleifringmotor mit untersynchroner Kaskade, StromrichterSynchronmotor-Antrieb die Erregerfrequenzen in Abhängigkeit von der Drehzahl angegeben.

46.6 Mechanische Ersatzsysteme, Bewegungsgleichungen Zur Ermittlung rechnerischer Lösungen oder zur Deutung von Beobachtungen am Realsystem braucht man mechanische Ersatzsysteme, die das wirkliche dynamische Verhalten hinreichend genau wiedergeben. Die Vorgehensweise bei der Modellbildung ist in Abb. 46.14 dargestellt. Ausgangspunkt ist eine Darstellung des realen Systems (z. B. in Form eines CAD-Modells), wobei u. a. festgelegt werden muss, wo die Systemgrenzen zu ziehen sind. Nach Abgrenzung und Formulierung der Aufgabe kann das mechanische Ersatzsystem erstellt werden. Das mechanische Modell sollte so einfach wie möglich sein, aber

Abb. 46.14 Vorgehensweise bei der Modellbildung

alle für die formulierte Aufgabe wesentlichen Eigenschaften des Realsystems widerspiegeln. Zum mechanischen Ersatzsystem wird unter Berücksichtigung der physikalischen Grundgesetze das zugehörige mathematische Modell gesucht, das bei Schwingungssystemen häufig auf ein System linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten führt (s. Gl. (46.1)). Bei der Bildung eines mechanischen Ersatzsystems legt man zuerst die Systemstruktur fest und bestimmt dann die zugehörigen Systemparameter (Abb. 46.1).

46.6.1

Strukturfestlegung

Mit der Festlegung der Struktur eines Ersatzsystems sind verschiedene Fragestellungen verknüpft. Zunächst muss geklärt werden, ob ein kontinuierliches System mit verteilter Masse und Steifigkeit oder ein diskretes System verwendet werden soll. Dies führt im ersten Fall zu partiellen, im zweiten Fall zu gewöhnlichen Differentialgleichungen. Wichtig ist auch die Überlegung, ob lineare oder nichtlineare Beziehungen Gültigkeit haben. Weiterhin stellen sich die Fragen, wie viele Freiheitsgrade notwendig sind, aus welchen Elementen (Federn, Massen, Dämpfer, Stäbe, Balken, Platten usw.) ein System bestehen soll und welche Randbedingungen gelten. Für die Modellbildung (Abb. 46.15) bieten sich grundsätzlich folgende Möglichkeiten an: Modellierung als kontinuierliches System, näherungsweise Darstellung als diskrete Schwin-

46 Schwingungen

849

drehungen in den Knotenpunkten beschrieben. Interpolation zwischen den Knoten erfolgt mittels Ansatzfunktionen. Die Elementeigenschaften fasst man dann in Massen-, Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrizen zusammen. Dies drückt deutlich aus, dass in einem finiten Element die Eigenschaften Trägheit, Dämpfung und Steifigkeit zusammen berücksichtigt werden. Schließlich werden die Elemente unter Einhaltung aller Randund Übergangsbedingungen an den Knotenpunkten miteinander verbunden und zur Gesamtstruktur aufgebaut. Dadurch erhält man das Modell der Gesamtstruktur.

Abb. 46.15 Möglichkeiten der Modellbildung am Beispiel einer Maschinenwelle mit Laufrad. a Realsystem; Modellierung als: b kontinuierliches Modell; c Finite-Elemente-Modell

ger und Modellierung mittels Finite-ElementeMethode. Das kontinuierliche System mit seinen unendlich vielen Freiheitsgraden stellt eine realitätsnahe Abbildung dar, da Massen und Steifigkeiten mit ihrem kontinuierlichen Verlauf berücksichtigt werden. Jedoch kann die exakte analytische Lösung der Bewegungsgleichungen kontinuierlicher Systeme nur in wenigen Fällen, d. h. bei relativ einfachen Systemen, gefunden werden. Gute Näherungslösungen lassen sich mit diskreten Systemen gewinnen. Bei der klassischen ingenieurmäßigen Diskretisierung fasst man die kontinuierlich verlaufenden Massen zu Punktmassen oder starren Körpern zusammen und verbindet diese mit masselosen Federn und Dämpfern (Feder-Masse-Dämpfer-Systeme, lumped mass models). Als elastische Verbindungselemente werden z. B. Federn, masselose Drehstäbe (Torsion), Biegebalken u. a. verwendet. Bei der Finite-Elemente-Methode wird die zu untersuchende Struktur (System) in eine finite Zahl der Elemente zerlegt (s. Abb. 46.19b und Kap. 26). Es wird jedes Element zunächst für sich behandelt und das dynamische Verhalten in Form von Kraft-Bewegungsbeziehungen mit Kräften und Momenten sowie Verschiebungen bzw. Ver-

46.6.2

Parameterermittlung

Steht die Struktur des Schwingungssystems und damit auch die Form der mathematischen Gleichungen fest, so müssen im nächsten Schritt die Werte für die Systemparameter und die Elemente der Matrizen M, D, K bestimmt werden. Bei der Parameterermittlung entnimmt man wichtige Informationen den Konstruktionszeichnungen (Abmessungen, Werkstoffkennwerte, Massen) und wendet Gesetze der Mechanik an (Massenträgheitsmomente, Biegesteifigkeiten, Drehsteifigkeiten usw.). Bei manchen Maschinenelementen oder Mechanismen (Gleitlager, Dichtungen, Kupplungen) fehlen aber heute oft noch zufriedenstellende theoretische Modelle über die dynamischen Vorgänge. In solchen Fällen ist eine experimentelle Vorgehensweise oft unerlässlich, und man versucht, die unbekannten Parameter einzelner Systemkomponenten mit Hilfe von (Parameter-) Identifikationsverfahren zu bestimmen [5, 15].

46.7

Anwendungsbeispiele für Maschinenschwingungen

An einigen Beispielen können die Lösungen der Bewegungsgleichungen (Eigenschwingungen, erzwungene Schwingungen) diskutiert werden. Dabei werden Effekte deutlich, die in der Maschinendynamik häufig vorkommen.

46

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46.7.1 Drehschwinger mit zwei Drehmassen

so ergeben sich die Bewegungsgleichungen (hier ohne Dämpfung). # " # " # " # " # " x1 J1 0 xR 1 k k M1 Ein einfaches Beispiel für das dynamische Ver  C D halten von Maschinen stellt ein elektrisch angek k 0 J2 xR 2 x2 M2 triebener Verdichter dar. Hier werden die TorsiM  xR C K  x D F onsschwingungen der Maschine betrachtet. Die (46.45) Berechnung erfolgt an einem Modell mit konzentrierten Parametern. Eigenschwingungen und modale Größen Für Mechanisches Ersatzsystem Das Drehschwingverhalten von Maschinenanlagen kann in vielen Fällen mit guter Näherung durch ein lineares mechanisches Ersatzsystem mit zwei Drehmassen sowie einer Drehfeder und einer Drehdämpfung zwischen den beiden Massen beschrieben werden, Abb. 46.16. J1 und J2 sind die Trägheitsmomente der beiden Maschinen um die Drehachse. Die Drehfedersteifigkeit und die Drehdämpfungskonstante der Verbindungswelle oder einer dazwischen liegenden drehelastischen Kupplung werden durch k bzw. d angegeben. Das Massenträgheitsmoment eines beliebigen Körpers R für die Drehung um eine feste Achse ist J D r 2 dm und die Drehfedersteifigkeit eines zylindrischen Stabs k D GIT = l(G Gleitmodul, IT Torsionsträgheitsmoment, l Stablänge). Angaben über die Steifigkeits- und Dämpfungseigenschaften von Kupplungen erhält man i. Allg. von den Herstellern (Nichtlinearitäten in Kupplungen beachten). Bezeichnet man mit x1 ; x2 die beiden Drehfreiheitsgrade und mit M 1 .t/ ; M 2 .t/ die an den Drehmassen angreifenden Erregermomente,

das ungedämpfte Torsionsmodell mit zwei Drehmassen (Abb. 46.16) wurde die Bewegungsgleichung (46.45) in Matrizenform angegeben. Wenn keine äußeren Anregungen vorliegen, werden die Schwingungen des Systems durch die homogenen Bewegungsgleichungen beschrieben M  xR C K  x D 0:

(46.46)

Die Lösung erhält man mit dem Ansatz x D . Sie besteht aus Eigenfrequenzen !n und 'e Eigenvektoren 'n , die sich aus dem Eigenwertproblem ergeben " # " # k k  ! 2 J1 '1  D 0; 2 k k  ! J2 '2   K  ! 2M  ' D 0: (46.47) Die charakteristische Gleichung erhält man in Form von  ˚ det K  ! 2 M D 0;   ! 2 k .J1 C J2 / C ! 2 J1 J2 D 0: (46.48) i!t

Hieraus berechnen sich die Eigenfrequenzen zu !1;2 D 0

s

k .J1 C J2 / D˙ J1 J2

s

k k C : J1 J2 (46.49) Setzt man diese Ergebnisse in das Eigenwertproblem ein, erhält man die zugehörigen Eigenvektoren ! ! Abb. 46.16 Ungefesselter Drehschwinger mit zwei 1 1 Drehmassen. a Maschinenanlage, 1 Elektromotor, 2 VerI '3;4 D : (46.50) '1;2 D 1 J1 =J2 dichter; b Ersatzsystem !3;4 D ˙

46 Schwingungen

851

Abb. 46.18 Drehschwingungsamplituden eines Torsionsschwingers mit zwei Freiheitsgraden über der bezogenen Erregerfrequenz Abb. 46.17 Schwingungsformen für den Drehschwinger mit zwei Freiheitsgraden

der inhomogenen Bewegungsgleichung durch einen Ansatz nach Art der rechten Seite. Für Die Diskussion der Ergebnisse liefert einige in- einen harmonischen Kraftverlauf mit F .t/ D teressante Erkenntnisse. Da das System für die FO sin .˝t/ erhält man x part D xO sin .˝t/ mit Torsionsfreiheitsgrade keinen Bindungen unter!1 worfen ist, ergeben sich Eigenfrequenzen mit k  ˝ 2 J1 k FO xO D dem Wert Null (!1;2 D 0). Die zugeordneten k k  ˝ 2 J2 Bewegungen sind sog. Starrkörperbewegungen, 1 wie die zugehörigen Eigenvektoren anzeigen. Die  xO D 2  2 ˝ J J  k.J C J / ˝ 1 2 1 2 beiden anderen Lösungen stellen elastische Ei" # genbewegungen dar. Ihre Eigenfrequenzen und k k  ˝ 2 J2 FO : (46.52)  Eigenformen sind abhängig von den beiden Drehk k  ˝ 2 J1 trägheiten J1 und J2 und der Steifigkeit k. In Abb. 46.17 sind die Schwingungsformen Für bestimmte Erregerfrequenzen vergrößern dargestellt. Für den Sonderfall J1 D J2 han- sich die Auslenkungen stark, so bei ˝ D !1;2 D delt es sich um ein symmetrisches System, die 0, was auf die fehlende Fesselung des SchwinEigenfrequenz entspricht dabei der eines Einmas- gers zurückzuführen ist, und bei Übereinstimsenschwingers mit der Federsteifigkeit 2k. Wird mung der Erregerfrequenz ˝ mit den nächsten eine der Massen sehr groß im Verhältnis zur Eigenfrequenzen ˝ D !3;4 , dem Resonanzfall. anderen, bleibt diese in Ruhe, und die Eigenfre- Weiterhin können die Auslenkungen an der Stelquenz entspricht der bei einer festen Einspannung le der Erregung zu null werden, wenn z. B. die an dieser Stelle. Masse J1 mit der Frequenz ˝ 2 D k=J2 angeregt wird oder umgekehrt. Abb. 46.18 zeigt einen Erzwungene Schwingungen Bei Einwirkung Verlauf der Drehschwingungsamplituden xO 1 ; xO 2 ; äußerer Kräfte (Momente) ergibt sich eine inho- über der Anregungsfrequenz ˝. mogene Differentialgleichung für den Torsionsschwinger mit zwei Massen. Zur Vereinfachung 46.7.2 Torsionsschwingungen einer bleibt die Dämpfung unberücksichtigt

Turbogruppe M  xR C K  x D F :

(46.51)

Bei Anregung mit F .t/ setzt sich die Lösung aus einem homogenen Anteil x hom und einem partikulären Anteil x part zusammen. Der erzwungene Lösungsanteil x part ergibt sich als Lösung

Ein wesentlich komplexeres Beispiel ist der Wellenstrang einer Turbogruppe. Neben den Biegeschwingungen werden hierbei insbesondere die Torsionsschwingungen zu einem entscheidenden Kriterium für die Zuverlässigkeit der Anlage. Die

46

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Berechnung erfolgt mit dem Werkzeug der FiniAbb. 46.19 zeigt neben dem Realsystem eines te-Elemente-Methode. Turbogenerators mit den Turbinen und dem Generator das zugeordnete FE-Modell mit N  1 Mechanisches Ersatzsystem – Finite-Elemen- zylindrischen Torsionselementen. Zu einem bete-Modell eines Turbogenerators Bei Turbo- liebigen finiten Element e mit konstantem Quergehören die folgenden konstanten Größen gruppen zur Erzeugung elektrischen Stroms sind schnitt e GITe TorsionssteifigGrenzleistungen von 1200 MW keine Seltenheit  Drehmassenbelegung, e mehr. Die Welle eines solchen Turbosatzes ist keit, l Elementlänge. Mit lokalen Ansatzfunktionen, die man in Arungefähr 35 m lang und dreht 50 mal in eibeitsintegrale (Prinzip der virtuellen Arbeit) einner Sekunde, um Elektrizität mit Netzfrequenz setzt, lassen sich für jedes Element eine Elementzu erzeugen. Die stärksten Drehbeanspruchungen Steifigkeitsmatrix für den Rotor werden durch Torsionsschwingun! gen bei elektrischen Störungen am Generator e GI 1 1 (s. Abschn. 46.5.4) oder im Netz hervorgerufen. (46.53) K .e/ D eT l 1 1 Der Konstrukteur muss bei der Auslegung der Maschine für diese Fälle die resultierenden Beanspruchungen in den Wellenquerschnitten möglichst gut vorausberechnen. Da das Rotorsystem einer Turbinen-Generatoreinheit ein komplexes mechanisches System mit mehreren Wellen darstellt, ist für eine genaue rechnerische Vorhersage eine feine Modellierung erforderlich. Bei einer Unterteilung der Welle in viele Elemente (ca. 200 bis 300), bietet sich als mechanisches Ersatzsystem ein Finite-Elemente-Modell an [2, 13]. Abb. 46.19 Abbildung des Realsystems Turbogenerator in ein Finite-Elemente-Modell. a Anordnung (Aufbau), 1 Generator, HD Hochdruck, MD Mitteldruck, ND Niederdruck, SR Schleifring; b mechanisches Modell; c Torsionselement

und eine Element-Massenmatrix M

.e/

D l

e e

! 1=3 1=6 1=6 1=3

(46.54)

aufbauen, die wegen der zwei lokalen Freiheitsgrade (je Elementknoten ein Drehwinkel) die Ordnung 2 haben. Die Drehschwingungen des Gesamtsystems werden global durch die Drehwinkel xi beschrie-

46 Schwingungen

853

ben, die jeweils an den Knotenpunkten (Schnittstelle zwischen zwei Elementen) eingeführt werden. Bei einem System mit (N  1) Elementen gibt es N globale Freiheitsgrade, die im Vektor x zusammengefasst sind. Der Aufbau der Gesamtmatrizen M und K erfolgt durch Überlagerung der Elementmatrizen. Eigenschwingungen und modale Größen Der Ausgangspunkt für die Schwingungsanalyse ist das Eigenwertproblem für das ungedämpfte System, Gl. (46.7). Aus der Lösung des Eigenwertproblems erhält man N Eigenfrequenzen und N Eigenformen entsprechend dem Freiheitsgrad, bzw. der Ordnung (N × N) der Matrizen M, K. Beispiel

Es werden die modalen Größen einer 600MW-Turbogruppe betrachtet, deren Torsionsstrang in 250 Torsionselemente unterteilt ist. Da Torsionsschwingungen oft sehr schwach gedämpft sind, genügt die Betrachtung des ungedämpften Systems. Abb. 46.20 zeigt die untersten fünf Eigenfrequenzen fn D !n =2 und normierten Eigenvektoren der Turbogruppe. Die Starrkörpereigenform zur Eigenfrequenz null ist nicht dargestellt. In der ersten Eigenform schwingen HD-, MD- und ND1Turbine mit 18,19 Hz gegen ND2-Turbine und Generator. Die Eigenform hat im Kupplungsbereich einen Nulldurchgang (Schwingungsknoten). Mit jeder weiteren Eigenform kommt ein Knoten dazu. Die niedrigen Eigenformen erfassen den ganzen Wellenstrang, während bei den höheren Frequenzen nur einzelne Teilrotoren schwingen. J Erzwungene Schwingungen Aufgrund der vielen Freiheitsgrade ist die Lösung der Bewegungsgleichung für erzwungene Schwingungen, die nicht auf harmonische Erregungen zurückzuführen sind, sehr zeitraubend und oft numerisch ungenau. Durch eine Koordinatentransformation gelingt es, die Gleichungen zu entkoppeln, wobei die Anzahl der Gleichungen in der Regel auch stark reduziert werden kann (modale Analyse, s. Abschn. 46.2.4). Hat man die entkoppelten Gleichungen gelöst, transformiert man

Abb. 46.20 Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen für die Turbogruppe

wieder zurück und erhält damit die gesuchten Ergebnisse. Die Entkopplung geschieht mit der sog. Modal-Matrix ˚, die aus den berechneten Eigenvektoren aufgebaut wird. Hierdurch kommt man zu einfachen generalisierten Gleichungen, die sehr effektiv gelöst werden können. Weiterhin kann anhand der rechten Seite einer „modalen“ Gleichung erkannt werden, wie stark diese Eigenschwingungsform angeregt wird. Bei der modalen Berechnung der erzwungenen Schwingungen wird die Dämpfung ebenfalls in modaler Form berücksichtigt. Beispiel

Es wird die Antwort des vorgestellten 600MW-Turbosatzes im Kurzschlussfall betrachtet. Der Drehwinkel an jedem Freiheitsgrad überlagert sich aus den Teillösungen der modalen Einmassenschwinger. Mit Hilfe der Elementmatrizen können aus den berechneten Verdrehungen auch die Schnittmomente bestimmt werden, die für die Auslegung des Wellenstrangs entscheidend sind. In Abb. 46.21 sind die Anteile dieser Momente aus den einzelnen Eigenschwingungsformen aufgetragen (s. auch Abb. 46.14). Aus ihrer Summe ergibt sich eine maximale Belastung der Kupplung am Generator mit dem 4fachen Nennmoment. J

46

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den i. Allg. sowohl die biegekritischen Drehzahlen (Biegeeigenfrequenzen und Schwingungsformen) als auch die durch Unwucht erzwungenen Schwingungen berechnet. Als Beispiel untersuchen wir hier die Maschinenwelle mit Laufrad (Ventilator), die wir bereits in Abschn. 46.2.3 und 46.2.5 (s. Abb. 46.2 und 46.3) eingeführt haben. Nach Erläuterungen zum mechanischen Ersatzsystem und den zugehörigen Bewegungsgleichungen werden im Weiteren die biegekritischen Drehzahlen und die durch Unwucht erzwungenen Schwingungen berechnet und diskutiert. Mechanisches Ersatzsystem Bei der hier untersuchten Maschinenwelle mit Laufrad haben wir im Unterschied zum dargestellten Modell in Abb. 46.15a angenommen, dass die Welle einen konstanten Durchmesser besitzt. Abb. 46.22 zeigt das für die Berechnungen angenommene mechanische Ersatzsystem. Die Maschinenwelle mit einer Länge von 1000 mm und einem Durchmesser von 50 mm (Vollwelle) läuft in zwei sehr steif angenommenen Lagern. Das Material der Welle ist Stahl mit einem E-Modul von E D 210 000 N=mm2 und die Dichte beträgt  D 7850 kg=m3 . Seitlich, um 100 mm aus der Mitte versetzt, ist das Ventilator-Laufrad angeordnet, das als starrer scheibenförmiger Körper mit der Masse m D 55; 5 kg und den Trägheitsmomenten Jp D 0; 624 kg m2 (polar) und Jä D 0; 358kg m2 (äquatorial) angenommen wird. Als Ersatzmodell verwenden wir die in Abschn. 46.6.1 beschriebene einfache ingenieurmäßige Diskretisierung, wobei das Laufrad als Abb. 46.21 Schnittmomente in der Welle eines Turbosatzes in Folge eines Kurzschlusses

46.7.3 Maschinenwelle mit einem Laufrad (Ventilator) In der Maschinendynamik stellt sich oft die Aufgabe, die Biegeschwingungen von Maschinenwellen zu analysieren. Dies trifft für eine Vielzahl von Maschinen unterschiedlicher Größe zu. Beispiele sind Pumpen, Ventilatoren, Kompressoren, Turbinen, Motoren und Generatoren. Abb. 46.22 Mechanisches Ersatzsystem einer MaschiBei der maschinendynamischen Analyse wer- nenwelle mit Laufrad

46 Schwingungen

855

starrer Körper mit den oben angegebenen Daten m, Jp ; Jä abgebildet wird und die Balkenelemente der Maschinenwelle als elastische, masselose Verbindungselemente mit diskreten Steifigkeiten berücksichtigt werden. Gegebenenfalls kann man die dabei vernachlässigten Massen der Welle anteilig dem Laufrad zuschlagen. Die wesentlichen Freiheitsgrade lassen sich somit im Schwerpunkt der Laufradmasse konzentrieren (Abb. 46.22). Es sind die beiden Freiheitsgrade der Translation des Laufrades x1 und x3 (horizontal und vertikal) ergänzt um die Biegeverdrehungen x2 und x4 , die den Trägheitsmomenten des Laufrades zugeordnet sind. Entsprechend ist auch die Steifigkeitsmatrix für die genannten vier Freiheitsgrade aufzubauen. Die Elemente der Matrix lassen sich z. B. durch die Vorgabe von Einheitsverformungen für die vier Freiheitsgrade und Bestimmung der erforderlichen Kräfte berechnen (Einflusszahlen-Methode). Bei der Aufstellung der Bewegungsgleichungen müssen bei rotierender Welle außer den Trägheits- und Steifigkeitstermen auch die gyroskopischen Glieder (Kreiselwirkung) berücksichtigt werden, die sich aufgrund des Drallsatzes ergeben. Die gesamte Bewegungsgleichung hat dann folgendes Aussehen: 2

2 0 6 60 C6 60 4 0 2 k11 6 6k21 C6 60 4 0

m 0 6 6 0 Jä 6 60 0 4 0 0 0 0 0 ˝Jp k12 k22 0 0

0 0 0 0 0 0 k11 k 21

3 2 3 xR 1 0 0 7 6 7 6 7 0 07 7  6xR 2 7 7 7 m 05 6 4xR 3 5 0 Jä xR 4 3 2 3 xP 1 0 7 6 7 6 7 ˝Jp 7 7  6xP 2 7 7 7 0 5 6 4xP 3 5 0 xP 4 3 2 3 2 3 0 x1 F1 7 6 7 6 7 6 7 6 7 0 7 7  6x2 7 D 6F2 7 7 7 6 7 k12 5 6 4x3 5 4F3 5 k22 x4 F4

dem polaren Trägheitsmoment Jp sind. Die Trägheitsmatrix M ist diagonal mit den Massen m und den äquatorialen Trägheitsmomenten Jä besetzt. Genauere Hinweise zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen, auch für die Elemente der Steifigkeitsmatrix, findet man u. a. in [16]. Auf die Elemente im Kraftvektor kommen wir bei der Berechnung der erzwungenen Schwingungen zurück. Eigenschwingungen und modale Größen – kritische Drehzahlen Wir ermitteln die Eigenwerte und Eigenvektoren (modale Größen) der Maschinenwelle, indem wir in den Bewegungsgleichungen (46.55) den Kraftvektor F .t/ Null setzen und einen passenden Ansatz für den Vektor x wählen. Da in Gl. (46.55) nicht nur M und K, sondern wegen der Kreiselwirkung auch die D-Matrix vorkommt, scheint der Ansatz entsprechend Gl. (46.4) geeignet, der auf das Eigenwertproblem Gl. (46.4) 

 2 M C D C K ' D 0

(46.56)

führt. Wir vernachlässigen bei der Eigenwertanalyse wieder die Dämpfung. Die D-Matrix enthält dann nur noch die Trägheitsterme der Kreiselwirkung, wie in Gl. (46.55) zu erkennen ist. Wegen fehlender „echter Dämpfung“ enthalten die Eigenwerte Gl. (46.5) keine Realteile mehr. Daher konzentriert sich die Eigenwertanalyse auf die Bestimmung der Eigenfrequenzen und der zugehörigen Eigenvektoren n D Ci!n I

n D i!n

'n D Ci'Im n I

'n D i'Im n

n D 1; 2 : : : N mit N D 4 :

(46.57)

(46.58)

Führt man den reduzierten Ansatz x .t/ D 'e t D 'e i!t

(46.59)

in die Bewegungsgleichungen ein, so ergibt sich (46.55) ein homogenes lineares Gleichungssystem, das In der Matrix D sind die Kreiselwirkungen ausge- nichttriviale Lösungen nur dann besitzt, wenn die drückt, die proportional der Drehfrequenz ˝ und Koeffizienten-Determinante verschwindet [16].

46

856

H. Hanselka et al.

Wenn man die Koeffizienten-Determinante aus- der rotatorischen Trägheit Jä bleibt jedoch erhalrechnet und zu Null setzt, erhält man die charak- ten. teristische Gleichung. Sie hat für unser Beispiel Zusätzliche Hinweise über den Verlauf der die folgende Form: Kurven gewinnt man auch durch Asymptoten für hohe Drehzahlen. Dabei ist besonders die Asymptote Jp =Jä  ˝ interessant, deren Steigung mJä !n4  mJp ˝!n3  .k22 m C k11 Jä / !n2 proportional zum Verhältnis der Trägheitsmo  2 D0 C k11 Jp ˝!n C k11 k22  k12 mente Jp =Jä ist. Die Drehzahlabhängigkeit der (46.60) Eigenfrequenzen infolge der Kreiselwirkung ist Die Auflösung der Gleichung führt auf vier Ei- eine wesentliche Erkenntnis die man dem Diagenfrequenzen !n .n D 1; : : : 4/. Setzt man diese gramm (Abb. 46.23) entnehmen kann. Dabei ist Lösungen in das homogene lineare Gleichungs- der Kreiseleffekt besonders wirksam bei hohen system ein, so können auch die zugehörigen Drehzahlen, bei großen Trägheitsmomenten Jp Eigenvektoren 'n berechnet werden. Sie stel- und bei großen Biegewinkeln am Laufrad. Aus len die Eigenschwingungsformen dar. Wie aus dem Diagramm lässt sich auch eine wertvolle InGl. (46.60) hervorgeht, hängen die Eigenfrequen- formation über kritische Drehzahlen gewinnen. zen von den Trägheitsparametern m; Jä ; Jp ;den Es ist bekannt, dass Maschinenwellen bei UnSteifigkeitskoeffizienten der Welle ki k und der wuchterregung mit der Drehfrequenz ˝ angeregt Wellendrehgeschwindigkeit ˝ ab. werden. Der Resonanzfall liegt dann vor, wenn Bei der Darstellung der Eigenfrequenzen für die anregende Drehfrequenz ˝ mit einer Eigendie angegebene Maschinenwelle mit Laufrad be- frequenz !n übereinstimmt. Schnittpunkte der schränken wir uns auf ein Diagramm, das die Drehfrequenzgeraden ˝ mit einer der EigenfreEigenfrequenzen !n über der Winkelgeschwin- quenzen zeigen also die Lage von Resonanzen digkeit ˝ zeigt. an. Im Diagramm (Abb. 46.23) finden wir einen Aus den Kurven in Abb. 46.23 erkennt man, solchen Schnittpunkt bei ˝ D 279; 33 s1 . Auf dass für jede Drehzahl zwei positive .!1 ; !2 / diese kritische Drehzahl kommen wir nochmals und zwei negative .!3 ; !4 / Eigenfrequenzen bei den erzwungenen Schwingungen zurück. existieren. Die positiven (negativen) EigenfreJeder Eigenfrequenz lässt sich auch immer ein quenzen nennt man auch Eigenfrequenzen des Eigenvektor 'n (Schwingungsform) zuordnen. Gleichlaufs (Gegenlaufs), weil die EigenschwinIn Abb. 46.24 sind zwei Eigenvektoren dargegungsbahnen (Orbits) die gleiche (entgegen- stellt, die bei einer Winkelgeschwindigkeit von gesetzte) Richtung besitzen wie die Drehge- ˝ D 250 s1 bestimmt wurden. Bei der niedschwindigkeit. Auch für die nichtrotierende Wel- rigeren Frequenz !1 D 279; 30 s1 erkennen le .˝ D 0/ findet man vier Eigenfrequenzen. wir die erste Biegeschwingungsform. Bei dieser Hier fällt der Kreiseleffekt weg, der Einfluss Schwingungsform ist die Auslenkung am Lauf-

Abb. 46.23 Eigenfrequenzen in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit ˝

Abb. 46.24 Schwingformen bei einer Wellendrehzahl von ˝ D 250s1

46 Schwingungen

857

rad dominant. Die Biegedrehung ist nur schwach ausgeprägt, deshalb macht sich die Kreiselwirkung auch nicht so stark bemerkbar. Bei der zweiten Eigenfrequenz !2 D 1967; 4 s1 ist das Verhalten anders. Die Biegedrehung ist hier viel stärker. Das zeigt sich auch bei der Kreiselwirkung. Unwucht – Erzwungene Schwingungen In Abschn. 46.5 hatten wir bereits festgestellt, dass Biegeschwingungen von rotierenden Wellen in den meisten Fällen durch Unwuchtkräfte hervorgerufen werden. Dort wurde auch bereits die Kraftwirkung der Unwucht an einer rotierenden Scheibe dargestellt, die wir auf den Fall eines Ventilator-Laufrades direkt übertragen können. Auch alle weiteren Aussagen zum Thema „Erregung durch harmonische Unwuchtkräfte“ können aus Abschn. 46.5 übernommen werden. Danach führen wir im Kraftvektor in Gl. (46.55) die folgenden Ausdrücke ein F1 .t/ D me˝ 2 cos .˝t/ ; F3 .t/ D me˝ 2 sin .˝t/ :

(46.61)

Bei schrägem Sitz des Laufrades auf der Welle könnten im Kraftvektor F .t/ auch Erregermomente F2 .t/ und F4 .t/ auftreten [16]. Diesen Fall wollen wir bei der nachfolgenden Untersuchung aber vernachlässigen. Zur Lösung der Bewegungsgleichungen (46.55) mit harmonischer Unwuchtanregung Gl. (46.61) führt man einen ebenfalls harmonischen Lösungsansatz für den Vektor x .t/ D xO sin .˝t C "/ ein. Dies führt auf ein lineares algebraisches Gleichungssystem zur Berechnung der gesuchten Schwingungsamplituden xO 1 ; xO 2 ; xO 3 ; xO 4 und der zugehörigen Phasenwinkel. Da die Frequenz der anregenden harmonischen Unwuchtkräfte der Drehfrequenz ˝ der rotierenden Welle entspricht, sind auch die harmonischen Schwingungsantworten durch die Drehfrequenz ˝ bestimmt. Außerdem werden die Schwingungsantworten auch durch alle Systemparameter m; Jä ; Jp ; ki k ; e beeinflusst. Überlagert man die beiden harmonischen Schwingungsantworten x1 .t/ und x3 .t/ zu einer ebenen Bewegungsbahn (Orbit), so stellt sich

Abb. 46.25 Radius der Wellenauslenkung über der Winkelgeschwindigkeit ˝

im vorliegenden Fall der isotropen Lagerung eine Kreisbahn mit dem Radius R .˝/ ein (bei anisotroper Lagerung würde man Ellipsenbahnen erhalten). Der Radius R ist in Abb. 46.25 über der Drehfrequenz ˝ dargestellt (Hochlauf- oder Ablaufkurve). Bei kleinen Drehfrequenzen sind sowohl die Unwuchtkräfte als auch die Schwingungsantworten klein. Es folgt ein Drehzahlbereich, in dem die Systemantwort R .˝/ in etwa quadratisch der Erregerkraft folgt. Je mehr sich die Drehfrequenz dann der ersten Biegeeigenfrequenz !1 D 279; 33 s1 der Maschinenwelle nähert, wachsen die Amplituden immer stärker an, bis sie im Resonanzfall (Drehfrequenz = 1. Biegeeigenfrequenz) ein Maximum erreichen. Bei fehlender Dämpfung, die in Gl. (46.55) zunächst zu Null angesetzt wurde, würden die Schwingungen in der Resonanz unendlich groß werden. Man spricht daher auch von der kritischen Drehzahl. Die im praktischen Fall stets vorhandene – wenn auch oft kleine – Dämpfung begrenzt die Amplituden. Im vorliegenden Fall wurde bei der Berechnung eine steifigkeitsproportionale Dämpfung von D D D ˇK mit ˇ D 103 angenommen und zu der durch Kreiselwirkung entstehenden D-Matrix addiert. Nach Durchfahren der Resonanz werden die Amplituden wieder kleiner und nehmen bei höheren Drehzahlen den Wert der Massenexzentrizität e D 15 m an. Vergleicht man die beiden Abb. 46.23 und Abb. 46.25, so erkennt man in Abb. 46.23, dass die Resonanzdrehzahl durch den Schnittpunkt der Drehfrequenzgeraden mit der Kurve der 1. Biegeeigenfrequenz bei ˝ D 279; 33s1

46

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H. Hanselka et al.

vorhergesagt wird. Dies deckt sich gut mit dem Amplitudenmaximum in der Hochlaufkurve (Abb. 46.25). Einen weiteren Schnittpunkt gibt es im vorliegenden Beispiel nicht, weshalb auch keine weitere Resonanzstelle erscheint.

46.7.4

Tragstruktur (Balken) mit aufgesetzter Maschine

Die Aufstellung einer Maschine auf einer elastischen Struktur ist eine weitere wichtige Aufgabenstellung der Maschinendynamik. Hierdurch sollen die auf die Struktur im Betrieb wirkenden dynamischen Kräfte verringert werden. Dabei ist neben dem dynamischen Verhalten der Maschine auch die die Dynamik der Struktur z. B. eines Gebäudes zu betrachten. Prinzipiell können zwei Fälle unterschieden werden: 1. Die Struktur und die Lagerung werden speziell auf die Dynamik der Maschine ausgelegt und 2. Bei bereits bestehender Struktur kann nur eine Anpassung der Lagerung erfolgen; ggf. sind strukturdynamische Zusatzmaßnahmen notwendig, um die Maschine auf der Struktur sicher betreiben zu können. In unserem Beispiel nehmen wir an, dass eine Maschine auf einer Geschossdecke in einem bereits bestehenden Gebäude installiert werden soll (Abb. 46.26a). Hieran werden wir den Einfluss der Maschinenschwingungen auf die angrenzende Struktur mit vorgegebener Dynamik und Möglichkeiten der Schwingungsminderung diskutieren. Die Berechnung erfolgt mit Hilfe der FEM sowie mit numerischen Simulationen. Mechanisches Ersatzsystem Reale Systeme können bezüglich ihrer Dynamik häufig sehr komplexe Zusammenhänge aufweisen. Jedoch lässt sich bereits am Beispiel einer als Balken (Struktur) abstrahierten Geschossdecke und einer Masse (Maschine mit Unwuchtanregung) das Prinzip der Schwingungsisolation sehr gut darstellen (Abb. 46.26). Das Produkt aus E-Modul E und Flächenträgheitsmoment I bestimmt die Steifigkeit, während  die Massenbelegung des Balkens bezeichnet. Die Maschine mit der Masse m wird durch

Abb. 46.26 Mechanisches Ersatzsystem der Aufstellung einer Maschine auf einer elastischen Struktur. a Maschine im Gebäude, b starre Lagerung, c elastische Lagerung, d elastische Lagerung mit zusätzlicher Tilgung, 1 Aufstellort der Maschine, 2 Ort der Schwingungsbeurteilung

die mit der Drehfrequenz ˝ um den Radius r rotierende Unwuchtmasse mu angeregt. Die resultierende Unwuchtkraft F .t/ D mu r˝ 2 sin .˝t/ wirkt sich nun je nach Aufstellung der Maschine unterschiedlich auf die Schwingungen des Balkens aus. Für den Fall der starr aufgestellten Maschine (Abb. 46.26b) sind die Maschinenauslenkung xm und die Balkenauslenkung x1 identisch. Die richtige Wahl der Parameter Steifigkeit kI und Dämpfung dI ist für eine effektive Schwingungsisolation (Abb. 46.26c) ausschlaggebend. Um die Schwingungspegel insbesondere in Resonanzbereichen der Struktur weiter zu senken, können zusätzlich zur Schwingungsisolation weitere Maßnahmen angewandt werden. In Abb. 46.26d ist zum Beispiel am Ort der Schwingungsbeurteilung ein gedämpfter Tilger installiert. Die Auslegung und die Auswirkungen der Schwingungsisolation und Tilgung auf das Systemverhalten sollen im folgenden Abschnitt genauer betrachtet werden.

46 Schwingungen

Eigenschwingungen und modale Größen – Modellreduktion, Simulationsmodell, Auslegung von Schwingungsisolation und Tilgung Zunächst ist zur Beurteilung der Aufstellbedingungen eine Analyse des Eigenverhaltens der Struktur notwendig. Dies kann entweder durch Messung oder Berechnung erfolgen. Letzterer Weg soll in unserem Beispiel exemplarisch gezeigt werden. Die Methode der Finiten Elemente [17] soll für die Berechnung der modalen Parameter eingesetzt werden. Die Geometrie der Struktur .l D 4; 0 mI b D 1; 0 mI h D 0; 25 m/ wird mit dreidimensionalen finiten Volumenelementen abgebildet. Als Material wird Beton mit einem E-Modul von E D 35 000 N=mm2 , einer Querkontraktionszahl von  D 0; 2 und einer Dichte von  D 2400 kg=m3 gewählt. Als Randbedingungen werden an den kurzen Seiten jeweils gelenkige Auflagerungen angegeben. Unter der Annahme, dass die Dämpfung klein ist, wird diese in der anschließenden Eigenwertanalyse vernachlässigt. Nun können die Eigenfrequenzen und Eigenvektoren auf numerischem Weg bestimmt werden. Für die nachfolgenden Simulationsrechnungen wollen wir uns auf die Betrachtung des eindimensionalen Falles (vertikale Schwingung) nach Abb. 46.26 beschränken. Das Modell wird hierzu einer Ordnungsreduktion (modales Abschneiden) unterzogen. Außerdem sind für den eindimensionalen Fall nur die Biegemoden der Struktur interessant (Abb. 46.27). So kann aus einem System mit sehr vielen Freiheitsgraden ein reduziertes System mit wenigen Freiheitsgraden abgeleitet werden, das die wesentlichen dynamischen Eigenschaften im zu betrachtenden Frequenzbereich (hier 0  120 Hz) genügend genau abbildet und gleichzeitig eine zeiteffiziente Simulation erlaubt. In unserem Fall soll das Simulationsmodell der Struktur aus den ersten vier Biegemoden an den Punkten 1 und 2 (Abb. 46.26) aufgebaut werden. Als unterste Biegeeigenfrequenzen für die Struktur ergeben sich aus der Finite-Elemente-Analyse !1 D 169; 1 s1 , !2 D 665; 6 s1 , !3 D 1458 s1 und !4 D 2504 s1 . Das Model der Struktur soll für Simulationen im Zeitbereich verwendet werden. Hier bie-

859

Mode 1

Mode 2

Mode 3

Mode 4

Abb. 46.27 Mit der FEM bestimmte Eigenschwingformen

tet sich die State-Space-Darstellung [18] an, die auch in modalen Koordinaten q formuliert werden kann: " # "  # qR .t/ diag .2#!/ diag !2 D I 0 qP .t/ " # " # qP .t/ ˚T  C F .t/ q .t/ 0 " # h i qP .t/ xP .t/ D ˚ 0 : q .t/ (46.62) Wie in Gl. (46.62) zu erkennen ist, werden der Vektor der Eigenkreisfrequenzen !, die Modalmatrix ˚ sowie der Vektor der modalen Dämpfungen # für die Beschreibung der Systemeigenschaften benötigt. Die modale Dämpfung wird in unserem Beispiel zu #n D 0; 02 .n D 1 : : : 4/ für alle Moden des Modells angenommen. Wie bereits erwähnt soll das Modell an den Punkten 1 und 2 sowohl Eingänge als auch Ausgänge besitzen und 4 Moden berücksichtigen. Dies führt auf ein State-Space-System mit 8 Zuständen. Die Systembeschreibung kann nun in die Simulationsumgebung überführt werden. Für die Ankopplung weiterer dynamischer Systeme in der Simulation hat es sich als sinnvoll erwiesen, Systeme mit eigenen Freiheitsgraden (Massen, Strukturen, etc.) in der Admittanzformulierung (Potenzialgrößen als Eingang und Flussgrößen als Ausgang) zu beschreiben. Elemente ohne eigene Freiheitsgrade (Federn, Dämpfer, etc.) werden in der Impedanzformulierung (Flussgrößen als Eingang und Potenzialgrößen als Ausgang) abgebildet. Durch abwechselnde Admittanz- und Impedanzformulierungen können vielfältige dynamische Systeme auch do-

46

860

H. Hanselka et al.

mänenübergreifend aufgebaut werden [19]. Dies ist z. B. bei der Modellbildung für aktive Systeme wichtig. Das in Abb. 46.26d dargestellte System ist in Abb. 46.28 als Simulationsmodell abgebildet (Struktur mit elastisch aufgestellter Maschine mit Unwuchtanregung und Tilger). Mit diesem Modell sollen im Folgenden die Fälle b–d in Abb. 46.26 analysiert werden. Zunächst ist es jedoch notwendig, Steifigkeit kI und Dämpfung dI des Isolationselementes sowie die Parameter des Tilgers (kT ; dT und mT / festzulegen. Die Steifigkeit kI des Isolationselementes muss in Verbindung mit der Maschinenmasse m so dimensioniert werden, dass bei der niedrigsten Betriebsdrehzahl nu D 30 ! u = der Maschine sich diese bereits im Isolationsbereich befindet. Dafür muss folgende Bedingung erfüllt werden !u > !I :

(46.63)

Die Isolationsfrequenz !I lässt sich aus der Eigenkreisfrequenz des Schwingers aus Steifigkeit kI und Maschinenmasse m unter der Annahme, dass kI  k11 (Steifigkeit der Struktur am Aufstellort) näherungsweise bestimmen !I2

2k I : m

(46.64)

Nehmen wir an, dass die unterste Maschinendrehzahl bei nu D 800 min1 liegt und die Maschine eine Masse von m D 1000 kg besitzt,

Abb. 46.28 Simulationsmodell – Struktur mit elastisch aufgestellter Maschine mit Unwuchtanregung und Tilger

so bedeutet dies für unser Beispiel, dass kI < 3; 5  106 N=m sein muss (gewählter Wert kI D Die erste Eigenkreisfrequenz der 3; 0  106 N=m).p Maschine ! D kI =m ergibt sich damit zu ! D 54; 8 s1 . Die Dämpfung dI des Isolationselementes ist zum einen wichtig für die Begrenzung der Schwingungsausschläge in der Fundamentalresonanz der Maschine. Dies ist wichtig beim Durchfahren der Resonanz während des Maschinenhochlaufs. Zum anderen führt eine zu hohe Dämpfung zu einer Verringerung der Wirkung der Isolation. Im Beispiel wurde eine geringe Dämpfung von dI D 300 kg=s (entspricht einer modalen Dämpfung von #I D 0; 27 %) gewählt, um eine gute Isolationswirkung sicherzustellen. In Abb. 46.29 ist das Übertragungsverhalten des Gesamtsystems für die verschiedenen Fälle dargestellt. Im Fall der starr aufgestellten Maschine fällt, bedingt durch ihre Masse, die erste Eigenfrequenz der Struktur merklich ab. Gegenüber der starr aufgestellten weist die elastisch aufgestellte Maschine, wie beabsichtigt, eine deutlich geringere Schwingungsübertragung auf. Jedoch tritt hier im Betriebsbereich wieder die erste Strukturresonanz bei ! 170 s1 auf. Eine Möglichkeit, die Schwingungen in dieser Resonanz zu minimieren, ist der Einsatz eines gedämpften Tilgers. Um eine ausreichende Tilgungswirkung zu erreichen, ist eine gewisse Masse des Tilgers notwendig. Als Faustregel kann hier für die Tilgermasse angenommen werden, dass zwischen 5 % und 20 % der effektiv schwingenden Strukturmasse notwendig sind [20]. Im Beispiel wurde ein Til-

Abb. 46.29 Übertragungsverhalten des Systems für verschiedene Fälle

46 Schwingungen

861

ger an Stelle 2 mit einer Masse von mT D 120 kg angenommen. Die Tilgerparameter Steifigkeit kT und Dämpfung dT wurden mit Hilfe der Simulation ausgelegt und optimiert. Die Werte kT D 3;16  106 N=m und dT D 8117 kg=s (entspricht einer modalen Dämpfung von #T D 20 %) konnten so bestimmt werden. Wie in Abb. 46.29 zu sehen ist, wird für den Fall der elastisch aufgestellten Maschine mit Tilger die Übertragung der Schwingungen im Resonanzbereich bei ˝

170 s1 noch einmal deutlich reduziert.

tion sind in Abb. 46.30 dargestellt. Auch hier ist zu beobachten, dass bereits durch die elastische Aufstellung eine gute Reduktion der Amplituden der Schwinggeschwindigkeit möglich ist. Durch die zusätzliche Anwendung des gedämpften Tilgers verbessert sich die Situation insbesondere im Resonanzbereich der Struktur weiter. Das Einbringen einer zusätzlichen niederfrequenten Resonanz durch die elastische Aufstellung wirkt sich hier nicht kritisch aus. Es können sich keine großen Schwingungsamplituden in diesem Bereich (unterhalb des Betriebsbereiches) aufbauen. Erzwungene Schwingungen Im vorhergehen- Wichtig hierbei ist, dass diese Resonanz genüden Abschnitt haben wir gezeigt, dass sich die gend schnell durchfahren wird. Übertragung von Schwingungen mit strukturdynamischen Maßnahmen (Isolation und Tilgung) wirksam reduzieren lässt. Nun ist noch die Be- Literatur trachtung der im Betrieb der Maschine auftretenden Schwingungen notwendig (erzwungenen Spezielle Literatur Schwingungen). Hierbei kann zwischen zwei Zu- 1. Krämer, E.: Maschinendynamik. Springer, Berlin (1984) ständen, die das System ertragen muss, unter- 2. Gasch, R., Knothe, K., Liebich, R.: Strukturdynamik schieden werden: 1. Hochlauf der Maschine und – Diskrete Systeme und Kontinua, 2. Aufl. Springer, Berlin (2012) 2. Betrieb der Maschine. Während beim Hoch3. Dresig, H., Holzweißig, F.: Maschinendynamik, lauf nur eine kurze Einwirkzeit der Schwingun10. Aufl. Springer, Berlin (2011) gen in der jeweilig gerade aktuellen Frequenz 4. Schiehlen, W., Eberhardt, P.: Technische Dynamik, auftritt, ist das System im Betrieb den Schwin4. Aufl. Springer, Wiesbaden (2014) gungen bei der entsprechenden Drehzahl längere 5. Ewins, D.J.: Modal Testing: Theory, Practice and Application, 2. Aufl. Research Studies Press, BalZeit ausgesetzt. dock, Hertfordshire, England (2000) Im Beispiel soll exemplarisch ein langsa- 6. Cooley, J.W., Tukey, J.W.: An algorithm for the mamer Maschinenhochlauf betrachtet werden. Dachine calculation of complex Fourier series. Math Comput 19(90), 279–301 (1965) für wird im Simulationsmodell (Abb. 46.28) ei7. Magnus, K., Popp, K., Sextro, W.: Schwingungen, ne Zeit von t D 60 s für einen Hochlauf von 10. Aufl. Springer, Wiesbaden (2016) 1 n D 0  4000 min mit linear veränderlicher 8. Kellenberger, W.: Elastisches Wuchten. Springer, Drehzahl festgelegt. Die Ergebnisse der SimulaBerlin (1987)

Abb. 46.30 Schwinggeschwindigkeiten des Balkens bei langsamem Maschinenhochlauf

9. Federn, K.: Allgemeine Grundlagen, Meßverfahren und Richtlinien, 2. Aufl. Auswuchttechnik, Bd. 1. Springer, Berlin (2011) 10. Schneider, H.: Auswuchttechnik, 8. Aufl. Springer, Berlin (2013) 11. Maass, H., Klier, H.: Kräfte, Momente und deren Ausgleich in der Verbrennungskraftmaschine. In: List, H. (Hrsg.) Die Verbrennungskraftmaschine, Bd. 2, Springer, Wien (1981) 12. Kuhlmann, P.: Schwingungen in Kolbenmaschinen. VDI Bildungswerk, Schwingungen beim Betrieb von Maschinen BW32.11.07. VDI-Gesellschaft Konstruktion und Entwicklung, Düsseldorf (1980) 13. Schwibinger, P.: Torsionsschwingungen von Turbogruppen und ihre Kopplung mit den Biegeschwingungen bei Getriebemaschinen. Fortschrittber. VDI, Düsseldorf (1987)

46

862 14. Grgic, A.: Torsionsschwingungsberechnungen für Antriebe mit elektrisch drehzahlgeregelten Wechselstrom-Motoren. VDI-Ber. 603 (1986) 15. Natke, H.G.: Einführung in die Theorie und Praxis der Zeitreihen und Modalanalyse, 3. Aufl. Vieweg, Braunschweig (1992) 16. Gasch, R., Nordmann, R., Pfützner, H.: Rotordynamik, 2. Aufl. Springer, Berlin (2006) 17. Zienkiewicz, O.C.: The finite element method. Elsevier, Oxford (2006) 18. Unbehauen, H.: Regelungstechnik I, 15. Aufl. Vieweg + Teubner, Wiesbaden (2008) 19. Herold, S., Jungblut, T., Kraus, R., Melz, T.: Modellbasierte Entwicklung aktiver strukturdynamischer Systeme am Beispiel eines aktiven Lagerungssystems, Proc. VDI Mechatronik, Dresden (2011) 20. Den Hartog, J.P.: Mechanical vibrations. Dover Publications, Düsseldorf (1985)

H. Hanselka et al.

Weiterführende Literatur Biezeno, C.B., Grammel, R.: Technische Dynamik, 2. Aufl. Bd. 2. Springer, Berlin (1953). Reprint (1971) Bishop, R.E.D.: Schwingungen in Natur und Technik. B. G. Teubner, Stuttgart (1985) Fischer, U., Stephan, W.: Mechanische Schwingungen. Hanser, München (1993) Hagedorn, P., Hochlehnert, D.: Technische Schwingungslehre/ Schwingungen linearer diskreter mechanischer Systeme, 2. Aufl. Europa-Lehrmittel. (2015) Klotter, K.: Technische Schwingungslehre, 3. Aufl. Bd. 1. Springer, Berlin (1981). Bd. 2, 2. Aufl, (1960) Waller, H., Schmidt, R.: Schwingungslehre für Ingenieure: Theorie, Simulation, Anwendungen. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim (1989) Dresig, H., Fidlin, A.: Schwingungen mechanischer Antriebssysteme, 3. Aufl. Springer, Berlin (2014)

Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung

47

Rainer Nordmann und Tamara Nestorović

Überarbeitet durch T. Nestorovi´c.

Gl. (1.21))

x

D Die vom Medium am Kolben und von den Masr sen der Triebwerksteile erzeugten Kräfte und  3 D 1  cos ' C sin2 ' C sin4 ' C    Momente dienen zur Berechnung der Maschi2 8 (47.1) ne einschließlich Triebwerk, der Gleichförmigder Umrechnung des Kolbenwegs x in den Kurkeit ihres Gangs, der Drehschwingungen [1] der belwinkel ' D !t, wofür meist die ersten drei Kurbelwelle (s. Kap. 46), der Massenwirkungen Glieder genügen. in der Umgebung und von Resonanzerscheinungen [2]. Drehmoment Die Kolbenkraft FK.'/ setzt sich aus der Gasdruckkraft F s und der Massenkraft 47.1 Drehkraftdiagramm von F o zusammen (nach Bd. 3, Abschn. 1.3.3). Sie Mehrzylindermaschinen bestimmt zusammen mit der Kinematik des Kurbeltriebs das Drehmoment eines Triebwerks Einfluss hierauf haben die Bauart der Maschine, der Versatz ihrer Kurbeln, die oszillierenden Md D FT .'/r ! Triebwerksmassen und der Druck des Mediums  sin 2' D FK .'/  r  sin ' C p im Zylinder sowie die Zündfolge [3] bei Moto2 1  2 sin2 ' ren. Druckverlauf Der Druckverlauf wird als p D f .'/ als Funktion des Kurbelwinkels ' (Bd. 3, Abb. 4.6) oder als p D f .x/ dem Indikatordiagramm (Bd. 3, Abb. 1.2) entnommen [4]. Hierbei dient der dimensionslose Wert (s. Bd. 3,

R. Nordmann Darmstadt, Deutschland T. Nestorovi´c () Ruhr-Universität Bochum Bochum, Deutschland E-Mail: [email protected]

(47.2) mit der Periode 'A D 360ı aT (aT D 2 beim Viertaktmotor, sonst aT D 1), FT Tangentialkraft und den Nullstellen nach Bd. 3, Abschn. 1.3.3. Bei steigender Drehzahl entlasten die Massenkräfte zunächst die Gaskräfte, um sie dann später zu übersteigen, was sich auch auf die Drehmomentenschwankungen auswirkt (s. Bd. 3, Abb. 1.10). Gesamtmoment Das Gesamtmoment für eine Maschine mit mehreren Zylindern (Anzahl z) ergibt sich durch phasengerechte Überlagerung der Drehmomente der Einzeltriebwerke (Gl. (47.2)).

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_47

863

864

Abb. 47.1 Drehmomentendiagramme. a Einstufiger WVerdichter F D 60ı ; b Viertaktmotor M mit einstufigen Kolbenverdichter V mit je zwei Zylindern in Reihe, MdmM D MdmV , 'PM D 'PV ; c Zweitakt-

R. Nordmann und T. Nestorović

motor beim Leerlauf; d harmonische Analyse des Moments eines zweistufigen Verdichters mit Spektrum der q Momentenamplituden und ihrer Phasenwinkel Mk D

2 2 Mka C Mkb bzw. tan 'k D Mak =Mbk

Dabei ist zu berücksichtigen, welche Bauart (Rei- schwankungen mit zunehmender Zylinderzahl henmaschine, V-Maschine) vorliegt, wie der Kur- ab. belversatz ist und ob alle Kolben gleich sind. Abb. 47.1 zeigt Drehmomentendiagramme für Bei Reihenmaschinen beträgt es verschiedene Verdichter und Motoren. Beim einstufigen W-Verdichter erkennt man deutlich die X Überlagerung der drei Einzelmomente Md1, Md2, Md Œ' C .K  1/'p : (47.3) Md ges D Md3 zum Gesamtmoment Md ges (Abb. 47.1a). Dargestellt ist auch das mittlere Drehmoment Bei einer Periode 'p D 'A =z, also dem Win- Mdm . Bei der Kupplung von Kraft- und Arbeitskel zwischen zwei Kurbeln, wiederholt sich das maschinen sind beide Drehmomente zu berückGesamtmoment. Dabei nehmen die Momenten- sichtigen (Abb. 47.1b). Für Schwingungsuntersu-

47 Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung

865

chungen ist eine harmonische Analyse des Dreh- Tab. 47.1 Anhaltswerte für Ungleichförmigkeitsgrade momentenverlaufs vorzunehmen (Abb. 47.1d). Schiffspropeller 1/30 Hier bedeuten die M ak bzw. die M bk die cos- Pumpen und Gebläse 1/30 . . . 1/50 bzw. sin-Glieder der Fourierreihe (s. Teil I und Werkzeugmaschinen 1/50 Kolbenverdichter 1/50 . . . 1/100 Abschn. 46.5.4). Fahrzeugmotoren Generatoren: – Drehstrom – Gleichstrom

Mittleres Moment Es beträgt Mdm D

1 'P

Z'P Md ges d '

1/150 . . . 1/300 1/125 . . . 1/300 1/100 . . . 1/200

(47.4)

0

Dabei treten die 'k und 'kC1 an den Stellen auf, wo Md D Mdm ist. und wird durch Integration von M d ges über eine Periode ermittelt. Im Beharrungszustand ist es dem Mittelwert der angekuppelten Maschine Trägheitsmoment Aus dem Energiesatz folgt 2 2 gleich und von den Massenkräften unabhängig. mit Ws max D J.!max  !min /=2, dem Mittelwert !m D .!max C !min /=2 und dem UngleichSchwungrad Ein Schwungrad hat die Aufga- förmigkeitsgrad ı D .!max  !min /=!m nach be, Abweichungen des Moments (M d M dm ) so Tab. 47.1 aufzunehmen, dass die Ungleichförmigkeit der Ws max Ws max Drehbewegung möglichst gering bleibt. Die ausD (47.6) J D ı !m2 4  2 ı n2 getauschte Energie im Winkelbereich 'k bis 'kC1 ist (Abb. 47.2) mit Ws max kinetischer Energie und n Drehfre' ZkC1 quenz. Es umfasst auch die Anteile der ange.Md  Mdm / d ' : (47.5) kuppelten Maschine und der Triebwerke und ist Ws D 'k vom Schwungrad aufzubringen, das ebenfalls der Regelung dient [5]. Anhaltswerte für Viertaktmotoren [6] folgen mit der indizierten Leistung Pi und der Konstanten k nach Tab. 47.2 aus J Dk

Pi : ı.n=100/3

(47.7)

Bei gleicher Leistung nimmt also das Trägheitsmoment mit der dritten Potenz der Drehzahl, der Zylinderzahl und dem Ungleichförmigkeitsgrad ab. Auslegung Das Schwungrad (Abb. 47.3) besteht aus k Scheiben mit der Breite bk , dem Außenbzw. Innendurchmesser Dk und dk und hat die Dichte %. Seine Masse bzw. sein TrägheitsmoTab. 47.2 Konstante k in kg m2 /(KW min3 ) für Viertaktmotoren

Abb. 47.2 Ermittlung des Arbeitsvermögens. a Drehmoment; b Energieverlauf

Zylinderzahl 1 2 Dieselmotor 17,5 7,2 Ottomotor 6,0 2,5

3 4,3 1,3

4 5 6 7 0,92 1,63 0,54 0,7 0,5 0,24 0,12 –

47

866

R. Nordmann und T. Nestorović

Abb. 47.3 Scheibenschwungrad

ment beträgt also   X 2 % Dk  dk2 bk 4   1X J D mk Dk2 C dk2 8   X 4 D % D k  d 4k bk ; 32

ms D

(47.8)

wobei DkC1 D dk ist. Hiernach hat der äußere Kranz den größten Einfluss und nimmt etwa 90 % des Trägheitsmoments bei Scheiben- und 95 % bei Speichenschwungrädern [7, 8] auf. Zur besseren Materialausnutzung soll der äußere Durchmesser so groß sein, wie es die Fliehkraftspannungen zulassen. Die Grenzen liegen bei den Umfangsgeschwindigkeiten u D 50 m=s bei Grauguss- und u D 75 m=s bei Stahlgussrädern.

47.2 Massenkräfte und Momente Bei den Massenkräften eines Triebwerks unterscheiden wir Kräfte, die sich aus Drehbewegungen ergeben, und Kräfte, die aus translatorischen Bewegungen resultieren. Es sind dies die rotierenden Kräfte Fr D mr r ! 2 bzw. die in der Zylinderachse wirkenden Kräfte I. und II. Ordnung FI D mo r ! 2 cos ' D PI cos ' und FII D  PI cos 2 ' nach Bd. 3, Gl. (1.36), wobei die höheren Harmonischen vernachlässigt wurden. Bei Mehrzylindermaschinen müssen die resultierenden Kräfte und Momente durch vektorielle Addition gebildet werden. Die Addition erfolgt gemäß der Stellung der Kurbeln und der Lage der Mittellinien. Bei Motoren sind die Massen mr und mo der Triebwerke nach Bd. 3,

Abb. 47.4 7-Zylinder-Reihenmotor. a Kurbelschema mit Stern I. und II. Ordnung; b vektorielle Ermittlung des resultierenden rotierenden Moments

Kap. 1, die Zylinderabstände a und die Differenz  ˛k des Kurbelversatzes konstant und ihre Schwerelinie SS liegt in der Kurbelwellenmitte, Abb. 47.4. Die Kräfte und Momente verursachen Schwingungen in Triebwerk und Maschine [9], insbesondere Torsionsschwingungen der Kurbelwelle [10].

47.2.1

Analytische Verfahren

Reihenmaschinen Der Abstand hk und der Versatz ˛k der k-Kurbel von z Zylindern beträgt mit der Taktzahl aT (Abb. 47.4a) ˛k D .n  1/360ı aT =z; hk D Œ0;5.z C 1/  ka D k a ;

(47.9)

wobei k D 0;5 .z C 1/  k und a Zylinderabstand. Zähler k D 1 bis z bezeichnet die Triebwerke längs der Kurbelwelle von der Kupplung ab, und der Zähler n = 1 bis z bestimmt den Winkel ˛k und rechnet in der Drehrichtung.

47 Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung

867

Rotierende Momente Zur Ermittlung der Mo- für den Momentanwert der Momente bzw. ihr mente M rx , M ry werden die Komponenten Maximum mit Fr sin.' C ˛k /, Fr cos.' C ˛k / der rotierenden q Kräfte mit dem jeweiligen Hebelarm hk multiplicm D cm2 1 C cm2 2 ; ziert und aufaddiert Mm res D Pm a.cm1 cos m '  cm2 sin m '/; X Mm max D Pm a cm : hk sin.' C ˛k / Mrx D Fr X (47.17) Mry D Fr (47.10) Sie treten auf bei dem Kurbelwinkel hk cos.' C ˛k / Mit den dimensionslosen Konstanten cr1 D

X

k cos ˛k

und cr2 D

' D arctan.cm2 =cm1 /=m:

X

(47.18)

k sin ˛k Hierbei ist cI1 D cr1 und cI2 D cr2 . (47.11) folgt daraus für die Resultierende und ihren LaKräfte Für sie gilt in Gln. (47.9) und (47.16) gewinkel hk D a k D 1. Damit folgt für ihre Konstanten q X X Mr res D Mrx2 C Mry2 ; cos m ak und km2 D sin m ak : km1 D tan  D Mrx =Mry D cr2 =cr1 (47.12) (47.19) und mit cr D

q cr21 C cr22

Mr res D Fr a cr

und ˛L D 90ı C ' C  : (47.13)

Momente m-ter Ordnung. Mit den Kraftamplituden Pmk D Fmk = cos.m '/ nach Bd. 3, Gl. (1. 35), die in den Zylindermittellinien wirken, gilt analog zum obigen Ansatz Mm res D

X

Pmk hk cos m.' C ˛k /:

Günstige Kurbelfolgen Die Kräfte verschwinden, wenn die Kurbelsterne m-ter Ordnung mit den Winkeln m˛k (Abb. 47.4a) symmetrisch sind. Zweitaktmaschinen (Abb. 47.5) haben die kleinsten Momente, wenn ihr Kurbelstern I. Ordnung in der Reihenfolge 1, z, 2, z  1, n, n(z  n + 1) durchlaufen wird [11, 12]. In Viertaktmaschinen heben sich die Momente auf, wenn bei je zwei Kurbeln der Winkel ˛k und der Betrag ihrer Hebelarme hk gleich sind.

(47.14)

V-Maschinen Beim Zweizylinder-Motor bilden die um eine Schubstangenbreite versetzten MitDas Maximum folgt hieraus mit dMm res =d' D 0 tellinien der Triebwerke A und B den GabelX winkel D 'A C 'B , Abb. 47.6. Die vertikatan m ' D  Pm hk sin m ˛k len bzw. horizontalen Komponenten der Kraft I. X = Pm hk cos m ˛k ; (47.15) Ordnung betragen dann, da 'A D =2 C 'k und 'B D =2  'k ist, mit FI A D PI A cos 'A und wobei der Winkel ' für seine Berechnung und Richtung maßgebend ist. Sind die Kolben, also die Kräfte Pmk gleich, so ergibt sich mit den Konstanten cm1 D cm2 D

X X

k cos m ˛k k sin m ˛k

und Abb. 47.5 Günstige Kurbelfolgen für Zweitaktmotoren

(47.16) mit gerader und ungerader Zylinderzahl

47

868

R. Nordmann und T. Nestorović Tab. 47.3 Extremwerte der Massenkräfte von V-Maschinen PI D mo r ! 2 und PII D  PI in ° 30 45 60 75 90 120 180

FIa /PI 1,867 1,707 1,50 1,259 1,0 0,5 0,0

FIb /PI 0,134 0,293 0,50 0,741 1,0 1,50 2,0

FIIa /PII 1,673 1,307 0,866 0,411 0 0,5 0

FIIb /PII 0,259 0,541 0,866 1,176 1,414 1,50 0

FII A D PII A cos 2'A und FII B D PII B cos 2'B FII x D .FII A  FII B / sin. =2/

Abb. 47.6 V-Maschine. a Anordnung der Triebwerke; b Ermittlung der Kraft I. Ordnung aus den Komponenten; c vektorielle Ermittlung der Kraft II. Ordnung

(47.24)

mit

den Resultierenden und Lagewinkel q FII D FII2 x C FII2 y bzw. tan ˛II D FII x =FII y . Bei gleichen Kolbenmassen gilt

FI B D PI B cos 'B FIx D .FIA  FIB / sin. =2/ FIy D .FIA C FIB / cos. =2/:

FII y D .FII A C FII B / cos. =2/

(47.20)

FII x D 2 PII sin. =2/ sin sin 2 'k Ihre Resultierende und deren Lagewinkel sind daFII y D 2 PII cos. =2/ cos cos 2 'k : (47.25) mit q Ihre Extremwerte, die bei cos 2 'k D 1 bzw. 0 FI D FIx2 C FIy2 bzw. tan ˛I D FIx =FIy : auftreten, sind (47.21) Für gleiche Kolbenmassen wird dann mit FII a D 2PII cos. =2/ cos PIA D PIB D PI FII b D 2PII sin. =2/ sin : (47.26) FIx D 2PI sin2 . =2/ sin 'k

Hierbei ist FII a das Maximum und FII b das Mi(47.22) nimum, wenn < 60ı ist (s. Tab. 47.3). Die rotierenden Kräfte folgen aus Bd. 3, Bei D 90ı folgt aus Gln. (47.21) und (47.22) Kap. 1 FI D PI und ˛I D '. Die Kräfte I. Ordnung sind durch Gegengewichte an den Wangen ausgleichFr D mrV r! 2 mit mrV D mrKW C 2 mrSt : bar. Ihre Extremwerte treten bei cos ' D 1 bzw. 0 (47.27) auf, stellen die Halbachsen der Ellipsen nach Gl. (47.22) dar und betragen hiernach V-Reihenmaschinen, Abb. 47.7 Bei glei2 chen Kolbenmassen betragen die Komponenten FI a D 2 PI cos . =2/ und der Momente I. Ordnung nach Gln. (47.17) 2 (47.23) FI b D 2 PI sin . =2/: und (47.23) mit cI1 D cr1 und cI2 D cr2 FIy D 2PI cos2 . =2/ cos 'k :

Sie liegen vertikal bzw. horizontal und für < 90ı ist FI a das Maximum und FI b das Minimum (s. Tab. 47.3). Für die Kräfte II. Ordnung gilt dann mit den Komponenten

MIx D 2 PI a sin2 . =2/.cr1 sin ' C cr2 cos '/; MIy D 2 PI a cos2 . =2/.cr1 cos '  cr2 sin '/: (47.28)

47 Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung

869

Beispiel

Massenkräfte und Momente eines Motors mit der Kurbelfolge 1, 6, 3, 4, 5, 2, 7 in einfacher bzw. in V-Reihenbauart mit 60° bzw. 90° Gabelwinkel. J Reihenmotor Der Kurbelversatz und die Hebelarme betragen bei z D 7 Zylindern nach Gl. (47.9) und Abb. 47.4 ˛k D .n  1/51;43ı

und k D hk =a D 4  k:

Der Kurbelwinkel ist ' D 51;43ı =2 D 25;72ı . Aus der mit diesen Werten ermittelten Tab. 47.5 folgt mit Gln. (47.11) und (47.21) cr1 D 0;1160 Abb. 47.7 V-Reihenmaschinen. a Schematischer Aufbau und c D 0;2407 bzw. c D 0;2672 und r2 r und Momente I. Ordnung; b Kurbelstern II. Ordnung mit kr1 D kr2 D 0. Damit gilt für das resultierende Momenten bzw. das maximale Moment I. Ordnung Für die Momente II. Ordnung gilt dann mit Gl. (47.17) mit m D II Mr res =.Fr a/ D MI res =.PI a/ D 0;2672: MII x D 2 PII a sin sin. =2/  .cII 1 sin 2 ' C cII 2 cos 2 '/; MII y D 2 PII a cos cos. =2/  .cII 1 cos 2 '  cII 2 sin 2 '/: (47.29) Resultierende und Lagewinkel ergeben sich aus Gl. (47.12). Die Extremwerte der Momente I. q Ordnung folgen mit cr D

2 2 cr1 C cr2

MI a D 2 PI acr cos2 . =2/ und MI b D 2PI acr sin2 . =2/ :

(47.30)

Für die Momente II. Ordnung gilt dann mit cII 1 q und cII 2 nach Gl. (47.19) und mit cII D cII2 1 C cII2 2 MII a D 2 PII a cII cos cos =2 MII b D 2 PII a cII sin sin. =2/ :

(47.31)

Die rotierenden Momente werden wie bei der Reihenmaschine berechnet. Tab. 47.4 zeigt die Massenkräfte und Momente der wichtigsten Motorenbauarten.

Der Vektor des rotierenden Moments hat nach Gl. (47.13) mit arctan .0; 2407=0; 116/ D 64; 28ı den Lagewinkel ˛L D 90ı C 25;72ı C 64;28ı D 180ı : Das maximale Moment I. Ordnung tritt beim Kurbelwinkel ' D 64;26ı bzw. 115,75° also bei der Drehung der Kurbel 1 um 90° auf. Das Moment ist Null bei ' D 64;28ı bzw. 154,28°. Für das Moment II. Ordnung wird die Tab. 47.5 für 2 ˛k neu berechnet. Nach Gl. (47.16) folgt hieraus cII 1 D 0;7862 und cII 2 D 0;6270, also cII D 1;006 und kII 1 D kII 2 D 0. Das Maximum des Moments II. Ordnung ist MII res max = . PI a/ D 1;006. Es tritt mit arctan.cII 2 =cII 1 / D 38;57ı bei ' D .90  38;57/ı D 25;71ı d. h. in der gezeichneten Lage auf. Aus einer grafischen Lösung folgt Mr D 2Fr a.3 cos 64;28ı C cos 38;57ı  2 cos 12;86ı / D 0; 2672Fr a:

47

Aufbau der Kurbelwelle Zündabstände Freie Kräfte (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Momente (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Kräfte höherer Ordnung Freie Momente höherer Ordnung Gegengewichte: übliche Anzahl Größe Aufwand Drehschwingungen, kritische Drehschwingverhalten Allg. dynamisches Verhalten Beurteilung

Kurbelstern I. Ordnung Schemaskizze der Kurbelwelle

Bezeichnung

2 Kröpfungen 360°–360° 2PI 2PII 0 0 2(PIV +PVI + . . . ) 0 2 Fr + 0,5PI groß 1; 2; 3; . . . gut Brauchbar Brauchbar

0 2PII

a  PI 0 2(PIV +PVI + . . . ) 0 2 < .Fr C 0;5PI / groß 0,5; 1,5; 2; 2,5; . . . gut Brauchbar Brauchbar

2 Zylinder Reihe

2 Zylinder Reihe

2 Kröpfungen 180°–540°

1,2,3

1,2,3

b  PI b  PII 0 b  (PIV + PVI + . . . ) 2 < .Fr C 0;5PI / groß 1; 2; 3; . . . gut Brauchbar Brauchbar

0 0

2 Kröpfungen 360°–360°

2 Zylinder Boxer

1,2,3

b  FI b p FII 3PIV p b  PIV ; b  ½ 3PVI 2 ½(Fr + . . . PI ) groß s. [10, 13]. Mäßig Mäßig

Mäßig Mäßig

v.1,5PI ; h. 0,5PI v. und h. 0,865 PII

1 Kröpfung 420°–300°

2 Zylinder 60° V

1 * ,2,3,4

b  FI b  FII 0,765PIV ; 0,765 PVI 0,765b PIV ;0,765b PVI 2 ½(Fr + . . . PI ) groß s. [10, 13].

v.1,707PI ; h. 0,293PI v.1,31PII ; h. 0,34PII

1 Kröpfung 405°–315°

2 Zylinder 45° V

1 * ,2,3,4

Tab. 47.4 Freie Massenkräfte und -momente verschiedener Zylinderanordnungen. (Zusammengestellt nach [3, 6, 9, 10, 13])

Brauchbar Brauchbar

b  FI b p FII p 2Pp 2PVI p IV ; b  ½ 2PIV ;b  ½ 2PVI 2 ½(Fr + . . . PI ) groß s. [10, 13].

v. und h. 1,0PI v.0PII ; h. 1,414PII

1 Kröpfung 450°–270°

2 Zylinder 90° V

1 * ,2,3,4

870 R. Nordmann und T. Nestorović

Aufbau der Kurbelwelle Zündabstände Freie Kräfte (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Momente (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Kräfte höherer Ordnung Freie Momente höherer Ordnung Gegengewichte: übliche Anzahl Größe Aufwand Drehschwingungen, kritische Drehschwingverhalten Allg. dynamisches Verhalten Beurteilung

Kurbelstern I. Ordnung Schemaskizze der Kurbelwelle

Bezeichnung

Tab. 47.4 (Fortsetzung)

1,5; 3; 4,5; . . . gut Mittel Mittel

p p3  a  PI 3  a  PII 3P p VI 3  a  PIV 4 < .Fr C 0;5PI / 0 0 4(PIV +PVI + . . . ) 0 4  .Fr C 0;5PI / mäßig 2; 4; 6; . . . mäßig Gut Mittel

0 0

0 4PII

0 0

2 × 2 um 90° versetzte Kr. 2 Kröpfungen Z. T. 90°–90°–90°–90° 180°–180°–180°–180°

4 Kröpfungen 180°–180°–180°–180°

p 2  a  PI 4  a  PII 4PIV 4  a  PVI 4 Fr + 0,5PI groß 4; 6; 8; . . . gut Mäßig Mäßig

a  FI 2b  FII 0 2b  FIV ; 2b  FVI 4 ½Fr + . . . ½PI mäßig 2; 4; 6; . . . [10, 13] mäßig Schlecht Schlecht

0 0

4 Zylinder 2 × 180° V

3 × 120° Kröpfungen 240°–240°

4 Zylinder Reihe

4 Zylinder Reihe

1 * ,2,3,4

3 Zylinder Reihe

1,2

1,2,3

1,2,3,5

0 2b  PII 0 2b  PIV ; 2b  PVI 4  .Fr C 0;5PI / klein 2; 4; 6; . . . gut Gut Gut

0 0

4 Kröpfungen 180°–180°–180°–180°

4 Zylinder Boxer

1,2,3

47 Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung 871

47

4 Zylinder 2 × 90° V

4 Zylinder 2 × 90° V

2FI 2FII b  FI 0 2Fp IV ; 2F VI p b  FIV ; b FVI 4 ½Fr + ½PI klein 1; 3; 4; 5; . . . [10, 13] gut

90°–180°–270°–180°

0 p v. 0PII ; h.2 2PII

a  FI 2b  FII 0 2b  FIV ; 2b  FVI 4 ½(Fr + PI ) mäßig 0,5; 1,5; 2,5; . . . [10, 13] gut

Mäßig Mäßig

Zündabstände Freie Kräfte (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Momente (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Kräfte höherer Ordnung Freie Momente höherer Ordnung Gegengewichte: übliche Anzahl Größe Aufwand Drehschwingungen, kritische Drehschwingverhalten

Allg. dynamisches Verhalten Beurteilung

Mäßig Mäßig

90°–270°–90°–270°

2 Kröpfungen

2 Kröpfungen

1 * ,3,4,6

1 * ,4,6

Aufbau der Kurbelwelle

Kurbelstern I. Ordnung Schemaskizze der Kurbelwelle

Bezeichnung

Tab. 47.4 (Fortsetzung)

p p a / 2 2FI ; b / 2 2FI 2a  FII 2Fp IV ; 2F VI p b  FIV ;b  FVI 4 ½Fr + ½PI klein 0,5; 1; 1,5; 2,5; . . . [10, 13] gut Mäßig Mäßig

Mäßig Mäßig

a  PI bp  PII 2 3(PIV + PVI ) b(PIV + PVI ) 4 Fr + ½PI klein 2; 4; 6; . . . mäßig

Mäßig Mäßig

0,449  a  PI 4,98  a  PII 0 0,449  a  PIV ; 0,449  a  PVI 5 Fr + ½PI mittel 1; 1,5; 2,5; 3,5; 4; . . . mäßig

0 0

0p 2 3PII

p 2FI 0

5 Zylinder Reihe

1,2,3

2 × 120° Kröpfg., 60° ver-5 × 72° Kröpfungen setzt 180°–180°–180°–180° 5 × 144°

4 Zylinder 60° V

1,3,7

2 Kröpfungen, 90° versetzt 180°–90°–270°–180°

4 Zylinder 2 × 90° V

1 * ,3,4,6

872 R. Nordmann und T. Nestorović

3 × 180° Kröpfg., 120° versetzt 6 × 120° 0 0

6 × 120° Kröpfungen 6 × 60° Kröpfungen 6 × 120° 0 0

6 × 120° 0 0 0 0 6PVI 0 6  .Fr C 0;5PI / klein 3; 6; 9; . . . gut Gut Gut

120°–120°–180°–120°–120°–60°

0 0

0p 2 3  a  FII 6PVI 0 6 Fr + ½PI mittel 1,5; 3; 4,5; 6; . . . mäßig Mäßig Mäßig

Zündabstände Freie Kräfte (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Momente (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Kräfte höherer Ordnung Freie Momente höherer Ordnung Gegengewichte: übliche Anzahl Größe Aufwand Drehschwingungen, kritische Drehschwingverhalten Allg. dynamisches Verhalten Beurteilung 0 3p / 2  a  FII 3 3FVI 3 / 2  a  FIV ; 3 / 2  b  FVI 6 Fr + ½PI groß 3; 6; 9; . . . mäßig Mäßig Mäßig

0 3p / 2  a  FII 3 3FVI 3 / 2  b  FVI 6 ½Fr + ½PI mittel 3; 6; 9; . . . brauchbar Brauchbar Brauchbar

6 Zylinder 60° V

6 × 60° Kröpfungen

1 * 2,3

Aufbau der Kurbelwelle

Kurbelstern I. Ordnung Schemaskizze der Kurbelwelle

6 Zylinder 60° V

6 Zylinder Reihe

1 * ,2,3

1,2,3,5

6 Zylinder Reihe

Bezeichnung

1,2,3

Tab. 47.4 (Fortsetzung)

0 0 0 3  b  PVI 6 < .0;5Fr C 0;5PI / klein 3; 6; 9; . . . gut Gut Gut

0 0

6 × 180° Kröpfg., 120° versetzt 6 × 120°

6 Zylinder Boxer

1,2,3

47 Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung 873

47

Gegengewichte: übliche Anzahl Größe Aufwand Drehschwingungen, kritische Drehschwingverhalten Allg. dynamisches Verhalten Beurteilung

Freie Kräfte (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Momente (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Kräfte höherer Ordnung Freie Momente höherer Ordnung

Zündabstände

Aufbau der Kurbelwelle

Kurbelstern I. Ordnung Schemaskizze der Kurbelwelle

Bezeichnung

Tab. 47.4 (Fortsetzung)

0 0 p 1,5p3  a  FI 1,5 3  a  FII 3FVIp 3 / 2 p3  a  FIV ; 3 = 2 3  b  FVI 6 ½Fr + ½PI mittel 3; 6; 9; . . . gut Brauchbar Schlecht

0 0

p p3  a  FI p6  a  FII 3 p 2 FVI 6 p a  FIV ; 3 = 2 2  b  FVI 6 ½Fr + ½PI mittel 1,5; 3; 4,5; . . . gut Gut Mäßig

3 Kröpfungen, 120° versetzt 6 × 120°

6 Zylinder 3 × 120° V

6 Zylinder 3 × 90° V

3 Kröpfungen, 120° versetzt 150°–90°–150°–90°– 150°–90°

1 * ,2,3

1 * 2,3,6

6 < . 12 Fr C 12 PI / gut 0,5;1,5;2,5;3,5;4,5; . . . mäßig Brauchbar Brauchbar

p 2 3  a  FI 0 0 3  b  FVI

0 0

3 Kröpfungen, 120° versetzt 120°–120°–60°–120°– 120°–180°

6 Zylinder 3 × 180° V

1 * ,3,6

0,267  a  PI 1,006  a  PII 0 9,845  a  PIV ; 0,263  a  PIV 7 Fr + ½PI groß 1; 2,5;3,5 : 4,5;6;7;8; mäßig Brauchbar Brauchbar

0 0

7 × 102,86°

7 × 51,43° Kröpfungen

7 Zylinder Reihe

1,2,3

8 (Fr + ½PI ) groß 2;2,5;3,5;4;4,5; . . . mäßig Brauchbar Brauchbar

0,448  a  PI 0 0 16  a  PIV

0 0

8 × 90° Kröpfg., 1 × 45° versetzt 90°–90°–90°–90°– 45°–90°–90°–135°, Zweitakt: 8 × 45°

8 Zylinder Reihe

1,2,3

874 R. Nordmann und T. Nestorović

Zündabstände Freie Kräfte (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Momente (ohne Ausgleich) I. Ordnung II. Ordnung Freie Kräfte höherer Ordnung Freie Momente höherer Ordnung Gegengewichte: übliche Anzahl Größe Aufwand Drehschwingungen, kritische Drehschwingverhalten Allg. dynamisches Verhalten Beurteilung

Aufbau der Kurbelwelle

Kurbelstern I.Ordnung Schemaskizze der Kurbelwelle

Bezeichnung

Tab. 47.4 (Fortsetzung)

0 0 0 4  b  FII 0 4  b  FIV ; 4  b  FVI 4 < .Fr C 12 PI / klein 2; 4; 6; . . . mittel Mäßig Brauchbar

0 0 p 10  a  FI 0p 4p2FIV 2 2  b  FIV 8 Fr + ½PI mittel 4; 8; 12; . . . mittel Gut Gut

0 0 8PIV 0 8 (Fr + ½PI ) groß 4; 8;12; . . . mäßig Brauchbar Brauchbar

0 0

4 Kröpfungen, 180° versetzt 4 × 180° Doppelzündung

4 Kröpfungen, 90° versetzt 8 × 90°

4 × 180°Kröpfg., 2 × 90° vers. 8 × 90°

8 Zylinder 4 × 180° V

8 Zylinder 4 × 90° V

8 Zylinder Reihe

1 * ,3,4

1 * ,3,4,6

1,2,3

0 0 0 4  b  PIV ; 4  b  PVI 8 Fr + ½PI mäßig 4; 8; 12; . . . brauchbar Gut Gut

0 0

4 × 180° Kröpfg., 90° versetzt 8 × 90°

8 Zylinder Boxer

1,2,3

(3,054 ˙ 0,818) a  PI 0p 4 3 PIV 2  b  PIV 8 Fr + ½PI mittel 4; 8; 12; . . . brauchbar Brauchbar Brauchbar

0 0

4 × 30° Kröpfg., 90° versetzt 8 × 90°

8 Zylinder 60° V

1,2,3

47 Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung 875

47

876

R. Nordmann und T. Nestorović

Tab. 47.5 Zur Berechnung der Massenkräfte und Momente eines Reihenmotors (s. Beispiel) n 1 2 3 4 5 6 7

k 1 6 3 4 5 2 1

˛ k in ° 0,0 51,43 102,86 154,29 205,72 257,15 308,58

cos ˛ k 1,0 0,6235 0,2225 0,9010 0,9010 0,2225 0,6235 0 D k 1

sin ˛ k 0 0,7818 0,9750 0,4339 0,4339 0,9750 0,7818 0 D k 2

vk 3 2 1 0 1 2 3

vk cos ˛ k 3,0 1,2470 0,2225 0,0 0,9010 0,4450 1,8705 0;1166 D c 1

vk sin ˛ k 0,0 1,5636 0,9750 0,0 0,4339 1,9500 2,3454 0;2407 D c 2

Rotierende Massen Ihre Kräfte und Momente werden durch Gegengewichte (Bd. 3, Abb. 1. 7) an einer oder allen Kurbeln ausgeglichen. Sind die Kräfte Null, genügen für die Momente Gegengewichte an den äußeren Kurbelwangen, V-Reihenmaschinen Beim Gabelwinkel D wobei allerdings innere Momente in der Welle 60° betragen die Extremwerte der Momente I. verbleiben [6]. Ordnung nach Gl. (47.30) Oszillierende Massen Sie werden durch gegen2 ı läufige mit der gegebenen oder der doppelten MI a =.PI a/ D 2  0;2672 cos 30 D 0;4008 Drehzahl rotierende Gewichte (Abb. 47.8a) ausgeglichen. Ihre zueinander senkrechten Kompound nenten kompensieren die Massen und die freien 2 Fliehkräfte. Sie werden von der Kurbelwelle aus MI b =.PI a/ D 2  0;2672 sin 30 D 0;1336 angetrieben und liegen darunter in der Schwereebene, damit keine zusätzlichen Momente entund der Momente II. Ordnung nach Gl. (47.31) stehen. Zum Momentenausgleich liegen diese Gewichte vor bzw. hinter der Kurbelwelle. Ihr M =.P a/ D M =.P a/ Dabei ist der Vektor M res noch um 90° im Uhrzeigersinn zu drehen. Kräfte treten keine auf, da kr1 D kr2 D kII 1 D kII 2 D 0 bzw. die Kurbelsterne symmetrisch sind.

II a

I

II b

I

D 2  1;006 cos 30ı cos 60ı D 0;8712: Für den Gabelwinkel D 90ı gilt entsprechend MI a =.PI a/ D MI b =.PI a/ D 0;2672 ; MII a =. PI a/ D 0;

47.2.2

MII b =. PI a/ D

p

2:

Ausgleich der Kräfte und Momente

Massenkräfte und -momente können gefährliche Resonanzerscheinungen in der Umgebung hervorrufen. Daher sind sie an der Maschine auszuAbb. 47.8 Ausgleich oszillierender Kräfte. a Gegenläugleichen oder durch Abstimmung der Fundamen- figes Getriebe für Kräfte I. Ordnung; b Lancaster-Antrieb te zu vermeiden [14, 15]. für Kräfte II. Ordnung

47 Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung

7.

8. 9.

10. Abb. 47.9 Ausgleich von Massenwirkungen durch Gegengewichte. 1 an den Kurbelwangen für rotierende Momente, 2 an den Wellenenden für Momente I. Ordnung, 3 in der Schwerebene für Kräfte II. Ordnung

11. 12.

Antrieb erfolgt mit einem Zahnrad vom Wel- 13. lenzapfen aus mit Hilfswellen, Abb. 47.9. Beim Lancasterantrieb (Abb. 47.8b) wird hierzu ein 14. Zahnkeilriemen benutzt. 15.

877

List, H. (Hrsg.) Die Verbrennungskraftmaschine, Bd. 2, Springer, Wien (1981) Hasselgruber, H.: Maßnahmen zur Verbesserung der Laufruhe von Verbrennungskraftmaschinen insbesondere von Schleppermotoren. Landtechnik 15(1), 2 (1965) Schmidt, F.: Schwungräder für Großdieselmotoren. VDI-Z. 74, 230 (1930) Hafner, K.E., Maass, H.: Theorie der Triebwerkschwingungen in der Verbrennungskraftmaschine Bd. 3. Springer, Wien (1984) Hafner, K.E., Maass, H.: Torsionsschwingungen in der Verbrennungskraftmaschine. In: List, H. (Hrsg.) Die Verbrennungskraftmaschine, Bd. 4, Springer, Wien (1985) Sass, F.: Bau und Betrieb von Dieselmaschinen Bd. 2. Springer, Berlin (1957) Krämer, O., Jungbluth, G.: Bau und Berechnung von Verbrennungsmotoren, 5. Aufl. Springer, Berlin (1983) Schrön, H.: Die Dynamik der Verbrennungskraftmaschine, 2. Aufl. Springer, Wien (1947) Waas, H.: Federnde Lagerung von Kolbenmaschinen. VDI-Z. 74, 230 (1937) Lang, G.: Zur elastischen Lagerung von Maschinen durch Gummifederelemente. MTZ 24(17), 416 (1963)

Literatur Weiterführende Literatur Spezielle Literatur 1. Haug, K.: Die Drehschwingungen in Kolbenmaschinen. Springer, Berlin (1952) 2. Krämer, E.: Maschinendynamik. Springer, Berlin (1984) 3. Maass, H.: Gestaltung und Hauptabmessungen der Verbrennungskraftmaschine. In: List, H. (Hrsg.) Die Verbrennungskraftmaschine, Bd. 1, Springer, Wien (1979) 4. Woschni, G.: Thermodynamische Auswertung von Indikatordiagrammen elektronisch gerechnet. MTZ 25(7), 284–289 (1964) 5. Küttner, K.H.: Kolbenmaschinen, 6. Aufl. Teubner, Stuttgart (1993) 6. Maass, H., Klier, H.: Kräfte, Momente und deren Ausgleich in der Verbrennungskraftmaschine. In:

Hafner, K.E., Maass, H.: Theorie der Triebwerksschwingungen in der Verbrennungskraftmaschine. In: List, H. (Hrsg.) Die Verbrennungskraftmaschine, Bd. 3, Springer, Wien (1984) Dresig, H., Holzweißig, F.: Maschinendynamik, 10. Aufl. Springer, Berlin (2011) Lang, O.R.: Triebwerke schnellaufender Verbrennungsmotoren, Konstruktionsbücher Bd. 22. Springer, Berlin (1966) Maass, H., Klier, H.: Kräfte, Momente und deren Ausgleich in der Verbrennungskraftmaschine, Bd. 2, Springer, Wien Ziegler, G., Selke, P.: Maschinendynamik, 4. Aufl. Westarp Wissenschaften, Hohenwarsleben (2009)

47

Maschinenakustik

48

Holger Hanselka, Joachim Bös und Tamara Nestorović

Überarbeitet durch T. Nestorovi´c.

Die Maschinenakustik ist ein Teilgebiet der Technischen Akustik. Sie befasst sich mit der Analyse der physikalischen Entstehungsmechanismen von technischen Geräuschen und mit der Konzeption und Umsetzung von technischen Maßnahmen zur Lärmminderungund gezielten Geräuschbeeinflussung.

48.1

Grundbegriffe

Da die Akustik insgesamt ein sehr breites Themenfeld ist, können hier nur diejenigen Größen und Begriffe erläutert werden, die insbesondere für die Maschinenakustik von Bedeutung sind.

48.1.1 Schall, Frequenz, Hörbereich, Schalldruck, Schalldruckpegel, Lautstärke Als Schall werden hörbare Schwingungen bezeichnet. Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde, die Frequenz f , wird in der Einheit Hertz H. Hanselka Karlsruhe, Deutschland J. Bös Darmstadt, Deutschland T. Nestorovi´c () Ruhr-Universität Bochum Bochum, Deutschland E-Mail: [email protected]

(Hz) angegeben. Der Kehrwert der Frequenz heißt Periodendauer T. Weist ein Schallereignis nur eine einzige Frequenz auf, so spricht man von einem Ton. Überlagern sich einzelne Töne unterschiedlicher Frequenz, so wird dies als Klang bezeichnet. Unter einem Geräusch versteht man ein Gemisch sehr vieler Töne verschiedener Frequenzen und Amplituden, oft mit Rauschen. Ein Schallereignis wird Lärm genannt, wenn es (unabhängig von seiner Lautstärke) subjektiv als unangenehm und störend empfunden wird – Lärm ist nicht objektiv physikalisch messbar. Ein junges, gesundes menschliches Ohr kann Frequenzen zwischen ca. 20 Hz und ca. 20 kHz (sog. Hörbereich) wahrnehmen. Der Frequenzbereich unterhalb der unteren Hörgrenze(20 Hz) wird Infraschall, derjenige oberhalb der oberen Hörgrenze (20 kHz) Ultraschall genannt. Erfolgt die Schallübertragung in Luft oder anderen Gasen, so wird dies als Luftschall bezeichnet. Analog wird bei Schallübertragung in Festkörpern (Metall, Holz, Beton, Gestein, Erde) von Körperschall und bei Schallübertragung in Flüssigkeiten (Wasser, Öl) von Flüssigkeitsschall gesprochen. Breitet sich Luftschall aus, so wird dem statischen Luftdruck pstat (ca. 1 bar D 105 PaI 1 Pa D 1 N=m2 ) ein dynamischer Wechseldruck p überlagert, der als Schalldruck bezeichnet wird und um einige Größenordnungen (Faktor 109 bis 105 ) kleiner als pstat ist. Der Schalldruck ist eine skalare, d. h. ungerichtete Größe. Das gesunde menschliche Ohr kann bei einer Frequenz von 1 kHz Schalldrücke von ca. 2  105 Pa

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_48

879

880

gerade noch wahrnehmen (Hörschwelle). Schalldrücke von etwa 200 Pa werden hingegen als Schmerz empfunden (Schmerzschwelle). Der gesamte Dynamikumfang des menschlichen Gehöres beträgt somit ca. 107 , was z. B. den Umgang mit Messgrößen und deren Darstellung erheblich erschwert. Daher wird der große Zahlenwertebereich durch Logarithmieren komprimiert, wobei man gleichzeitig im unteren Wertebereich beträchtlich an Auflösung (Unterscheidungsschärfe) gewinnt. Aus dem Schalldruck p wird so der SchalldruckpegelLp mit der Einheit Dezibel (dB), der wie folgt definiert ist   (48.1) Lp D 10  lg pQ 2 =p02 dB :

H. Hanselka et al.

Abb. 48.1 Normalkurven (Nach [3])

gleicher

Lautstärkepegel.

von ca. 200 Hz bis ca. 5 kHz, dem Bereich der menschlichen Sprache, ist das menschliche Ohr am empfindlichsten.

Der EffektivwertpQ (auch als prms oder peff bezeichnet) wird für periodische Größen aus dem quadratischen Mittelwert des Schalldruckes be48.1.2 Schnelle, Schnellepegel, rechnet v Kennimpedanz u u ZT u1 pQ D t p 2 .t/dt : (48.2) Die Geschwindigkeit, mit der sich die Partikel eiT 0 nes schwingenden Mediums um ihre Ruhelage Der nach [1] normierte Bezugswert p0 für die bewegen, wird als Schnelle v, in Luft auch als Berechnung des Schalldruckpegels Lp in Luft Schallschnelle v bezeichnet. Sie liegt für Luftentspricht näherungsweise dem Schalldruck an schall (je nach Schalldruck) bei ca. 108 bis der Hörschwelle bei 1 kHz, d. h. p0 D 2  105 Pa 102 m=s und darf nicht mit der bekannten (in anderen Medien: p0 D 1  106 Pa [2]). Ein Schallausbreitungsgeschwindigkeit c verwechselt gerade eben wahrnehmbares Schallereignis hat werden (z. B. c 340 m=s in Luft unter Normaldaher einen Schalldruckpegel von 0 dB, während bedingungen). Im Gegensatz zum Schalldruck ist die Schmerzschwelle bei etwa 120 bis 130 dB die Schnelle eine gerichtete Größe (Vektor). Ist liegt. dies in den folgenden Gleichungen nicht durch Die Empfindlichkeit des menschlichen Oh- einen Pfeil gekennzeichnet, so ist stets die Schallres hängt sowohl vom Schalldruckpegel als auch schnelle v in Ausbreitungsrichtung gemeint. Bei von der Frequenz ab. Dieser in aufwändigen Körperschall wird die Schwinggeschwindigkeit Hörversuchen [3] ermittelte Zusammenhang wird senkrecht zur Oberfläche eines Bauteils ebenfalls in sog. Normalkurven gleicher Lautstärkepegel als Schnelle bezeichnet. Nur diese Körperschalldargestellt (Abb. 48.1). Der objektiv messba- schnellen, die überwiegend von Biegewellen herre Schalldruckpegel Lp bei der Frequenz 1 kHz vorgerufen werden, leisten einen nennenswerten entspricht definitionsgemäß dem subjektiv emp- Beitrag zur Schallabstrahlung von Maschinenfundenen Lautstärkepegel LS in der Einheit Phon. oberflächen und sind daher in der MaschinenBei anderen Frequenzen hingegen werden Töne akustik von besonderer Bedeutung. Der Schnelals gleich laut empfunden, obwohl die zugehöri- lepegel Lv wird wie folgt berechnet gen Schalldruckpegel unter Umständen deutlich   (48.3) Lv D 10  lg vQ 2 =v02 dB : über oder unter demjenigen bei 1 kHz liegen. Insbesondere bei sehr tiefen und bei sehr hohen Frequenzen wird das menschliche Ohr zu- Als Bezugswert v0 ist in [1] v0 D 109 m=s nehmend unempfindlicher. Im Frequenzbereich festgelegt, in der Praxis wird aber häufig noch

48 Maschinenakustik

881

der früher gebräuchliche Wert v0 D 5  108 m=s nach [4] verwendet, der nach [1] ebenfalls zulässig und somit normkonform ist. Der Quotient aus Schalldruck p und Schallschnelle v wird als spezifische Schallimpedanz 0 des Mediums, oder Schallkennimpedanz ZMedium in dem die Schallausbreitung stattfindet, bezeichnet. Sie ist nur abhängig von der Dichte  und der Schallausbreitungsgeschwindigkeit c des Mediums. Für das Medium Luft lautet der Zusammenhang

Hüllfläche (Messfläche) S gemessenen Schallintensität I über die Messfläche Z Z P D I dS D pQ  vQ dS: (48.7) S

S

Der zugehörige Schallleistungspegel LW wird nach der Vorschrift LW D 10  lg .P =P0 / dB

(48.8)

mit dem Bezugswert P0 D 1012 W [1, 2] gep 0 D D Luft  cLuft D .  c/Luft : (48.4) bildet. Ist die Schallintensität I über die MessZLuft v fläche S gleichmäßig verteilt, so gilt P D I  S. Mit den Regeln der Logarithmusrechnung ergibt sich daraus LW D LI C LS mit dem Schallin48.1.3 Schallintensität, tensitätspegel LI nach Gl. (48.6) und dem sog. Messflächenmaß LS Schallintensitätspegel Das Produkt aus dem Schalldruck p und der Schallschnelle v ist die Schallintensität I. Sie ist eine vektorielle Größe mit der gleichen Richtung wie die Schallschnelle v und gibt für eine ebene, fortschreitende Welle an, welche Schallleistung P durch eine senkrecht zur Schallausbreitungsrichtung stehende Fläche S tritt

LS D 10  lg .S=S0 / dB;

(48.9)

wobei der Bezugswert S0 D 1 m2 verwendet wird [2]. Im Gegensatz zum Schalldruck hängt die Schallleistung ausschließlich von der konstruktiven Gestaltung und von der akustischen Qualität der Schallquelle, nicht aber von den akustischen Eigenschaften der Umgebung und den Messbedingungen (z. B. Entfernung von der P D pQ  vQ : (48.5) Schallquelle) ab. Daher wird zur Kennzeichnung I D S der Schallemission einer Maschine die Angabe 2 Ihre Einheit ist somit W=m . Der zugehörige des Schallleistungspegels empfohlen, in vielen Fällen (z. B. Rasenmäher, Waschmaschinen) soSchallintensitätspegel LI ergibt sich aus gar vorgeschrieben. LI D 10  lg .I =I0 / dB

(48.6)

mit dem Bezugswert I0 D 1012 W=m2 [1, 2].

48.1.5 Fourierspektrum, Spektrogramm, Geräuschanalyse

48.1.4 Schallleistung, Schallleistungspegel

Nicht nur die Empfindlichkeit des menschlichen Ohres, sondern auch die akustischen Eigenschaften von Maschinen sind frequenzabhängig. Daher ist es für Geräuschanalysen sinnvoll, oft sogar notwendig, die akustischen Kenngrößen nicht in ihrem zeitlichen Verlauf (im Zeitbereich), sondern bezüglich ihrer Frequenzzusammensetzung (im Frequenzbereich) zu betrachten. Jeden zeitlichen Verlauf einer Messgröße kann

Maßgebende Beurteilungsgröße für die Schallabstrahlung ist die Schallleistung P. Sie ist ein Maß für die Schallenergie, die je Zeiteinheit durch eine Hüllfläche S, welche die Schallquelle vollständig umschließt, strömt. Man erhält die Schallleistung P durch Integration der auf einer gedachten

48

882

H. Hanselka et al.

48.1.6

Abb. 48.2 Transformation eines Zeitsignals F .t / in ein Fourierspektrum F .f /

Frequenzbewertung, A-, C- und Z-Bewertung

Um Schallmessungen oder -berechnungen, die das menschliche Gehörempfinden in den unterschiedlichen Lautstärkebereichen (siehe Abb. 48.1) annähernd objektiv berücksichtigen, durchführen zu können, wurden verschiedene Frequenzbewertungen entwickelt, die als A-, Cund Z-Bewertung bezeichnet werden [5]. Mit Hilfe dieser Bewertungen werden die physikalischen, objektiv gemessenen oder berechneten Spektren nachträglich frequenzabhängig korrigiert, so dass das Ergebnis näherungsweise die Berücksichtigung des menschlichen Gehörempfindens widerspiegelt. Je nachdem, welche der Bewertungskurven A, C oder Z angewendet wird, erhalten die Pegelangaben einen entsprechenden Buchstabenzusatz, z. B. dB(A) oder dBA. Die Bewertungskurven (Abb. 48.3) orientieren sich in ihrem Verlauf näherungsweise an ausgewählten spiegelbildlich (invers) dargestellten Kurven gleicher Lautstärke (vgl. Abb. 48.1) und geben an, um welchen Betrag ein Pegel einer akustischen Messgröße bei einer bestimmten Frequenz des unbewerteten Spektrums reduziert oder erhöht werden muss:

man sich als eine Überlagerung von harmonischen Schwingungen (Sinus- oder Kosinusfunktionen) unterschiedlicher Frequenz und Amplitude vorstellen, die man mittels der Fourieranalyse (s. Abschn. 46.4.2 bzw. Teil I) ermitteln kann. Das Ergebnis einer solchen Analyse wird als Fourierspektrum, Frequenzspektrum oder kurz Spektrum bezeichnet. Abb. 48.2 veranschaulicht das Ergebnis einer solchen Fourieranalyse: Die breite Linie links stellt den zeitlichen Verlauf der Amplitude einer Funktion F .t/ über der Zeit dar. Die dünnen Linien repräsentieren die einzelnen Sinusschwingungen, aus denen die Funktion F .t/ zusammengesetzt ist. Entlang der Frequenzachse Lbewertet .f / D Lunbewertet .f / C LBewertung .f / : ist bei jeder Frequenz f 0 , f 1 usw., bei der eine Si(48.10) nusschwingung einen Beitrag zur Funktion F .t/ .f / ist in [5] soDie Pegelkorrektur L Bewertung liefert, die zugehörige Amplitude als senkrechwohl als Gleichung in Abhängigkeit von der ter Balken aufgetragen (Fourierspektrum F .f /). Die tiefste auftretende Frequenz f 0 wird Grundfrequenz genannt. Ein spezielles numerisches Verfahren, die sog. FFT (fast Fourier transform), ermöglicht die Durchführung der Fourieranalyse in Echtzeit, so dass man bei modernen akustischen Messgeräten das Frequenzspektrum während einer Messung unmittelbar in der Anzeige verfolgen kann. Wird der zeitliche Verlauf eines Fourierspektrums grafisch dargestellt (insbesondere bei rotierenden Maschinen), so spricht man von einem Spektrogramm oder Sonagramm (auch Campbell-Diagramm). Abb. 48.3 Bewertungskurven A, C, Z. (Nach [5])

48 Maschinenakustik

Frequenz f als auch in Form einer Tabelle angegeben. Die A-Bewertung galt ursprünglich nur für Lautstärken bis 60 dB, mittlerweile wird sie aber für alle Lautstärken verwendet. Die C-Bewertungwird eigentlich nur für die Messung des Höchstwertes („Peak“) sowie zur Einschätzung des Anteils sehr tiefer Frequenzen verwendet. Sie entspricht einer weitgehend linearen Gewichtung im Bereich zwischen 100 Hz und 5 kHz. Die ZBewertungentspricht der unbewerteten Pegeldarstellung, also LBewertung .f / D 0 dB für alle f .

48.1.7 Bezugswerte, Pegelarithmetik Um aus einer gemessenen oder berechneten Größe mittels Logarithmieren einen Pegel bilden zu können, muss das Argument des Logarithmus durch Division der Messgröße durch einen geeigneten dimensionsbehafteten Bezugswert dimensionslos gemacht werden (siehe z. B. Gl. (48.1)). Ferner gibt ein Pegel an, um welchen Faktor sich eine physikalische Größe im Vergleich zu einer Ausgangs- oder Vergleichsgröße unterscheidet [1]. nennt bevorzugte Bezugswertefür akustische Pegel (Tab. 48.1). Zu den in Tab. 48.1 genannten bevorzugten Bezugswerten nach [1] ist anzumerken, dass sie (im Gegensatz zu den Bezugswerten nach der alten DIN 45 630-1 [4]) nicht in einer physikalisch richtigen Weise miteinander zusammen-

883

hängen. So wird dort z. B. v0 D 1  109 m=s angegeben. Das führt mit p0 D 2  105 N=m2 auf I0 D p0  v0 D 2  1014 W=m2 , was aber nicht mit dem ebenfalls in [1] genannten Wert I0 D 1012 W=m2 übereinstimmt. Das hat zur Folge, dass beim Rechnen mit physikalischen Größen in Pegelschreibweise ggf. physikalisch sinnlose Korrekturterme eingeführt werden müssen. Wichtig ist daher, dass bei der Angabe eines Pegels grundsätzlich auch der bei der Pegelbildung verwendete Bezugswert mit angegeben wird, und zwar entweder durch Angabe der verwendeten Norm oder durch Angabe des verwendeten Bezugswertes selbst. Dies kann z. B. durch den Zusatz „re 20 µPa“ oder „re 1 pW“ geschehen. Eine Pegelangabe ohne Nennung des Bezugswertes ist sinnlos, da sich die Pegelwerte je nach verwendetem Bezugswert drastisch unterscheiden können. Eine Berechnung nach Gl. (48.10) ist ein Beispiel für eine Pegelsumme oder eine Pegeldifferenz. Dabei werden die Pegelwerte addiert oder subtrahiert. Damit sind Aussagen wie „Der Schalldruckpegel der Maschine A (87,5 dBA) ist um 3,2 dB höher als der von Maschine B (84,3 dBA).“ möglich. Möchte man hingegen wissen, welchen Schalldruckpegel die beiden Maschinen zusammen erzeugen, so muss man aus den Einzelpegeln Li den sog. Summenpegel Lges berechnen ! X 2 2 Lges D 10  lg pQi =p0 dB i

D 10  lg Tab. 48.1 Bevorzugte Bezugswerte. (Nach [1]) Größe Schalldruck p in Luft

Bezugswert p0 D 20 Pa D 2  105 N=m2 Schallleistung P in Luft P0 D 1 pW D 1012 W Schallintensität I in Luft I0 D 1 pW=m2 D 1012 W=m2 Schwingweg s s0 D 1 pm D 1012 m Schwingschnelle v v0 D 1 nm=s D 109 m=s Schwingbeschleunigung a a0 D 1 m=s2 D 106 m=s2 Kraft F F0 D 1 N D 106 N

X

! 10

Li 10 dB

dB :

(48.11)

i

Entsprechendes gilt für den Differenzpegel. Der Schalldrucksummenpegel der beiden Maschinen aus dem obigen Beispiel beträgt also ungefähr 89,2 dBA. Pegelunterschiede zwischen beiden Schallquellen von mehr als 10 dB können vernachlässigt werden, d. h. die leisere Maschine trägt dann zum Summenpegel nur unwesentlich bei. Weisen die beiden Maschinen den gleichen Pegel auf, so liegt der Summenpegel um 3 dB über diesem Pegel. Der Mittelungspegel LM von n Maschinen mit den Pegeln L1 , L2 usw. lautet LM D Lges  10  lg .n/ dB

(48.12)

48

884

mit Lges nach Gl. (48.11). Im obigen Beispiel beträgt der Mittelungspegel ungefähr 86,2 dBA. Da die Messgenauigkeitin der Regel nicht besser als ˙1 dB, teilweise sogar deutlich schlechter ist, sollte man bei Pegeln nicht mehr als eine Dezimalstelle angeben.

H. Hanselka et al. Direkte Geräuschentstehung

Indirekte Geräuschentstehung Krafterregung

Geschwindigkeitserregung

Arbeitsprozess, Anregungsquelle Strömungsvorgang

Dynamische Kräfte

Kraftfluss durch Maschinenstruktur

48.2 Geräuschentstehung Körperschall

Es gibt verschiedene Mechanismen der Geräuschentstehung. Im Rahmen der Maschinenakustik werden vornehmlich die indirekten Entstehungsmechanismen betrachtet. Daraus leiten sich die sog. maschinenakustische Grundgleichung und Ansätze zur Geräuschminderung ab.

Maschinenteil außerhalb des Kraftflusses Körperschall

Luftdruckschwingungen

Maschinenoberfläche

Oberfläche des Maschinenteils

Luftschall, Geräusch

Abb. 48.4 Direkte und indirekte Geräuschentstehung

48.2.1 Direkte und indirekte Geräuschentstehung

digkeitserregung hingegen liegen die angeregten Maschinenteile außerhalb des Kraftflusses (Beispiel Verbrennungsmotor: Der Körperschall des Prinzipiell unterscheidet man zwischen direk- Motorgehäuses erzeugt Schwingungen der Ölter und indirekter Geräuschentstehung ([6]; wanne, die Luftschall abstrahlt, obwohl sie selbst Abb. 48.4). Bei der direkten Geräuschentste- nicht im Kraftfluss liegt.). hung ruft ein instationärer physikalischer Anregungsmechanismus in der umgebenden Luft unmittelbar Luftdruckschwingungen hervor. Die- 48.2.2 Maschinenakustische se breiten sich mit Schallgeschwindigkeit aus Grundgleichung und werden im Hörbereich als Luftschall wahrgenommen. Beispiele hierfür sind Ventilatoren, An- Die wesentlichen physikalischen Mechanismen saug- und Auspufföffnungen, Dampf-/Gasstrah- der indirekten Geräuschentstehung bei krafterlen, Brennergeräusche oder Sirenen. regten Maschinenstrukturen lassen sich anhand Bei der indirekten Geräuschentstehung hin- der sog. maschinenakustischen Grundgleichung gegen wird eine Maschinenstruktur durch zeit- [6] beschreiben lich veränderliche Betriebskräfte zu elastischen T 2 .f / Schwingungen angeregt, die im Hörbereich als 0 :  S   .f /  ZMedium P .f / D FQ 2 .f /  v2 Körperschall bezeichnet werden. Erst diese KörZE .f / (48.13) perschallschwingungen regen die Maschinenoberflächen zur Abstrahlung des – indirekt Hierin bezeichnen P die abgestrahlte Schallleiserzeugten – Luftschalls an. Beispiele hierfür tung, FQ die anregende Kraft, Tv die sog. Körsind Zahnradgetriebe oder hydraulische Maschi- perschalltransferfunktion, Z E die Eingangsimpenen. Indirekt erzeugte Geräusche können durch danz, S den Flächeninhalt der Schall abstrahlenKraft- oder Geschwindigkeitserregung entstehen den Oberfläche,  den dimensionslosen Abstrahl0 die Schallkennimpedanz des (Abb. 48.4): Bei Krafterregung befinden sich die grad und ZMedium Komponenten im Kraftfluss (Beispiel Zahnradge- umgebenden Mediums (Gl. 48.4). Der Ausdruck triebe: Im Kraftfluss liegen Verzahnung, Radkör- Tv2 .f / =ZE2 .f / D vQ 2 .f /=FQ 2 .f / D h2T .f / per, Welle, Lager und Gehäuse, von dem schließ- wird mittlere quadratische Transfer- oder Überlich Luftschall abgestrahlt wird.), bei Geschwin- tragungsadmittanzgenannt, wobei vQ 2 .f / das

48 Maschinenakustik

885

über die Schall abstrahlende Oberfläche gemittelte Quadrat der effektiven Schnelle ist Z 1 2 vQ .f / D vQ 2 .f / dS : (48.14) S S

Durch Multiplikation der mittleren quadratischen Übertragungsadmittanz mit der biegeschwingenden (und letztlich auch Schall abstrahlenden) Strukturoberfläche S erhält man die sog. Körperschallfunktion   h2T .f /  S D Tv2 .f /=ZE2 .f /  S D Sh2T .f / ; (48.15) die früher Körperschallgradgenannt wurde. Der Pegel der Körperschallfunktion   Lh .f / D 10  lg Sh2T .f /=S0 h2T0 dB (48.16) mit S0 D 1 m2 und h2T0 D v02 =F02 D 106 m2 =N2 s2 wurde früher als Körperschallmaßbezeichnet. Die Pegelschreibweise der maschinenakustischen Grundgleichung lautet LW .f / D LF .f / C Lh .f / C L .f / (48.17) mit dem Schallleistungspegel LW (re 1 pW), dem Kraftpegel LF (re 1 N), dem Pegel der Körperschallfunktion Lh (re 106 m4 =N2 s2 ) und dem Abstrahlmaß L (re 1). Hierbei gilt in Luft LZ 0 Luft D 0 dB, da der Bezugswert Z00 für die Bildung des Schallkennimpedanzpegels LZ 0 gerade 0 ist. Die Summe aus Lh und L heißt Z00 D ZLuft Pegel der akustischen Transferfunktion LT . Die maschinenakustische Grundgleichung lässt sich auch in Form eines Blockschaltbildesdarstellen (Abb. 48.5). Bei der maschinenakustischen Grundgleichung (48.13) handelt es sich um eine sehr vereinfachende Modellvorstellung: Sie basiert auf der Annahme, dass nur eine einzige Erregerkraft auf die Struktur einwirkt, was in der Praxis Anregung Kraft F(f )

Anregung von Körperschall (Körperschallfunktion)

Schnelle v(f )

Abstrahlung von Luftschall (Abstrahlgrad)

Luftschall Schallleistung P(f )

Abb. 48.5 Blockschaltbild der maschinenakustischen Grundgleichung

selten der Fall ist; die in der Regel recht komplexe Schnelleverteilung auf der Strukturoberfläche wird nur durch eine flächenhafte Mittelung nach Gl. (48.14) abgebildet; und der Abstrahlgrad wird oft vereinfachend durch den Abstrahlgrad des sog. Kugelstrahlers nullter Ordnung (Monopolstrahler, siehe Abschn. 48.2.5; [6]) abgeschätzt. Trotzdem ist die maschinenakustische Grundgleichung wichtig für das allgemeine Verständnis der Wirkungskette der einzelnen physikalischen Mechanismen (Anregung, Körperschall, Abstrahlung), die zur indirekten Geräuschentstehung führen. Das Blockschaltbild der maschinenakustischen Grundgleichung (Abb. 48.5) veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Eingangsgröße (Kraftanregung) und Ausgangsgröße (abgestrahlte Schallleistung), wobei das Körperschall- sowie das Abstrahlverhalten wie Filterfunktionen zu betrachten sind, die das Anregungssignal auf seinem Weg durch die Maschinenstruktur beeinflussen. Daraus wird erkennbar, durch welche Maßnahmen man die Geräuschentstehung reduzieren kann: durch eine Reduktion der Anregungskräfte, durch eine Reduktion der Körperschallanregung oder durch eine Reduktion der Luftschallabstrahlung. Körperschallverhalten und Abstrahlgrad müssen stets gemeinsam betrachtet werden, da sich konstruktive Maßnahmen zur Beeinflussung der einen Größe auch auf die andere auswirken. Maßnahmen zur Beeinflussung der Anregungskräfte beeinflussen diese beiden Größen hingegen im Allgemeinen nicht. Im Folgenden werden die Bestandteile der Schallentstehungskette (Anregung, Körperschall, Abstrahlung) näher betrachtet.

48.2.3

Anregungskräfte

Anregungskräfte, aus denen schließlich durch Abstrahlung Schall entsteht, gehen meist aus den Betriebskräften hervor. Betriebskräfte sind jene Kräfte, die für die Funktion einer Maschine maßgebend sind und nach denen eine Maschine ausgelegt und konstruiert wird. Die Betriebskräfte bestimmen die Größe des Gehäuses, Wandstärken, Wellendurchmesser, Materialwahl usw. Aus den (meist niederfrequenten) Betriebskräften ent-

48

886

H. Hanselka et al.

stehen die maschinenakustisch relevanten dynamischen Anregungskräfte. Diese sind gewöhnlich die höheren Ordnungen (Harmonischen, Oberwellen), die sich aus der Signalform der periodischen Betriebskräfte ergeben und sich in den akustischen Hörbereich erstrecken. Das Anregungskraftspektrum F .f / und damit auch der Kraftpegel LF (erster Term in den Gln. (48.13) bzw. (48.17)) lassen sich durch Fourieranalyse aus den zeitlichen Betriebskräften F(t) ermitteln.

48.2.4 Körperschallfunktion Der zweite und dritte Term der maschinenakustischen Grundgleichung (48.13) beschreiben das akustische Transferverhaltender Struktur. Diese Körperschallfunktion ist ein Maß für die Schwingfreudigkeiteiner Struktur unter dynamischer Kraftanregung. Für reale Maschinenstrukturen wie Motor-, Getriebe- oder Pumpengehäuse muss zu ihrer Bestimmung die mittlere Schnelleverteilung auf der Schall abstrahlenden Gehäuseoberfläche nach Gl. (48.14) als Folge einer Anregungskraft messtechnisch oder durch numerische Simulationen ermittelt werden. Dabei ist auf ein hinreichend dichtes Mess- bzw. Berechnungsnetz zu achten, um alle wesentlichen Oberflächenschwingungen zu erfassen und einen physikalisch sinnvollen Mittelwert berechnen zu können. Für rechteckige dünne Plattengibt es stark vereinfachende Abschätzverfahren zur Bestimmung der Körperschallfunktion [6]. Ein Beispiel für ein Berechnungsergebnis aus solchen Abschätzverfahren zeigt Abb. 48.6. Diese Abschätzverfahren wurden in den 1970er und 1980er-Jahren entwickelt, als die numerischen Berechnungsverfahren noch nicht ausgereift waren und die Rechenleistung damaliger Computer noch zu gering war, um die mittlere Schnelleverteilung nach Gl. (48.14) berechnen zu können. Mit Hilfe der Abschätzverfahren kann man die Auswirkungen von konstruktiven Änderungen (z. B. Veränderung der Wandstärke, Wahl eines anderen Werkstoffes) auf die Körperschallfunktion von Rechteckplatten überschlägig ermitteln. Oft kann man sich reale Maschinen-

Abb. 48.6 Körperschallfunktion einer Rechteckplatte (exemplarisch): realer Verlauf (durchgezogene Linie) und Auswertung der Abschätzverfahren (gestrichelte Linie). (Nach [6], wobei in [6] andere Bezugswerte als die in Tab. 48.1 angegebenen verwendet wurden, was zu einer Parallelverschiebung entlang der Ordinatenachse führt)

strukturen als aus Platten zusammengesetzt vorstellen und so mit Hilfe der Abschätzverfahren Parametervariationen vornehmen und deren Auswirkungen bestimmen. In heutiger Zeit mit kommerziell verfügbarer leistungsfähiger Simulationssoftware und Computern mit hoher Rechenleistung haben die Abschätzverfahren jedoch weitgehend an Bedeutung verloren.

48.2.5 Luftschallabstrahlung Der vorletzte Term der maschinenakustischen Grundgleichung [13] ist der Abstrahlgrad  .f /. Er ist anschaulich ein Maß dafür, welcher Anteil der auf der Strukturoberfläche vorhandenen Körperschallenergie in Form von hörbarem Luftschall abgestrahlt wird. Die maximal mögliche Umsetzung von Körperschall in Luftschall erreicht ein Monopolstrahler (Kugelstrahler nullter Ordnung, „atmende Kugel“), weshalb dieser oft für überschlägige Abschätzungen des Abstrahlgrades herangezogen wird („worst case“Szenario). Charakteristische Größe eines Monopolstrahlers ist die Kugelstrahlereckfrequenz f0 cLuft ; f0 D p  S

(48.18)

wobei cLuft die (frequenzunabhängige) Schallausbreitungsgeschwindigkeit in Luft (ca. 340 m=s) und S der Flächeninhalt der Schall abstrahlenden

48 Maschinenakustik

Oberfläche sind. Für Frequenzen f > f0 liegt volle Abstrahlung ( D 1; L D 0 dB) vor, bei Frequenzen f < f0 verringert sich das Abstrahlmaß um 20 dB/Frequenzdekade. Abb. 48.7 zeigt exemplarisch den Verlauf des Abstrahlmaßes eines Monopolstrahlers (gestrichelte Linie) und die Lage der Kugelstrahlereckfrequenz f0 . Da die meisten technischen Schallquellen im maschinenakustischen Sinn relativ dickwandig und kompakt sind (d. h. es können sich kaum gegenphasig schwingende Oberflächenbereiche ausbilden), können sie in guter Näherung als Monopolstrahler betrachtet werden. Abb. 48.8 zeigt exemplarisch unten den gemessenen Verlauf des Abstrahlmaßes eines Pkw-Getriebegehäuses (Punkte), der sich eng an dem eines flächengleichen Monopolstrahlers (Linie stellt die Asymptoten dar) orientiert. Die Kugelstrahlereckfrequenz ergibt sich nach Gl. (48.18) mit der Oberfläche des Getriebes S 0; 5 m2 zu f0 275 Hz. Nur bei großflächigen, dünnwandigen Bauteilen (z. B. Karosseriebleche) ist der sog. akustische Kurzschluss zu berücksichtigen. Dieser ist aufgrund lokaler Druckausgleichsvorgänge an der Strukturoberfläche durch eine deutlich reduzierte Luftschallabstrahlung im Vergleich zum Monopolstrahler gekennzeichnet (Abb. 48.7) und tritt nur bei Frequenzen unterhalb der sog. (Koinzidenz-) Grenzfrequenz fg auf, bei der die Luftschallwellenlänge Luft D cLuft =f gleich der

887

Abb. 48.8 Gemessenes Abstrahlmaß eines Pkw-Getriebegehäuses (Punkte) und eines flächengleichen Monopolstrahlers (durchgezogene Linie)

Biegewellenlänge B s B D

s 2 f

4

B0 h

(48.19)

der betrachteten Plattenstruktur ist, d. h. c2 fg D Luft 2

Abb. 48.7 Abstrahlmaß einer Rechteckplatte (durchgezogene Linie, exemplarisch) und eines flächengleichen Monopolstrahlers (gestrichelte Linie)

r

h : B0

(48.20)

Hierbei Dichte und  3 sind    2 die 0 B D Eh = 12 1   die bezogene Biegesteifigkeit der Plattenstruktur mit dem Elastizitätsmodul E, der Wandstärke h und der Querkontraktionszahl . Im Gegensatz zur Schallausbreitungsgeschwindigkeit in Luft cLuft ist die Biegewellenausbreitungsgeschwindigkeit p p in Festkörpern cB D 2f 4 B 0 =h frequenzabhängig, d. h. Schwingungen mit hohen

48

888

H. Hanselka et al.

Frequenzen breiten sich schneller aus als sol- Tab. 48.2 Unterschiedliche Ansätze für technische Geche mit tiefen Frequenzen (Dispersion). Im räuschminderungsmaßnahmen Frequenzbereich oberhalb der Grenzfrequenz Primäre MaßnahSekundäre Maßnahmen men fg liegt volle Abstrahlung vor, wobei nahe der Grenzfrequenz fg das Abstrahlmaß auch Werte Passive Verrippung, Verstei- Kapselung, Maßnah- fung, Bedämpfung, Schalldämmung, bis zu C7 dB annehmen kann (Abb. 48.7). Unter men Entkopplung, TilSchalldämpfung, bestimmten Umständen (z. B. bei großflächigen, gung, Erhöhung der Akustikdecke, Eingangsimpedanz Lärmschutzwand, dünnwandigen Bauteilen) muss man die Effekte persönlicher Schalldes akustischen Kurzschlusses berücksichtigen, schutz da dieser zu einer Verminderung der abgestrahlAktive Active vibration Active noise control ten Schallleistung führt – eine Modellierung der Maßnah- control (AVC), (ANC) Schallquelle als Monopolstrahler würde in sol- men active structural acoustic control chen Fällen zu einer zu hohen Abschätzung der (ASAC) abgestrahlten Schallleistung und somit zu unnötig hohem Aufwand für die Geräuschminderung nahmen zur Lärm- und Schwingungsminderung führen. werden in Abschn. 48.4 näher beschrieben. Im Folgenden werden zunächst Möglichkeiten zur 48.3 Möglichkeiten zur passiven Geräuschminderung dargestellt.

Geräuschminderung Für die Minderung von Maschinengeräuschen gibt es unterschiedliche technische Ansätze. Prinzipiell unterscheidet man zwischen primären Maßnahmen und sekundären Maßnahmen. Primäre Maßnahmen zielen auf eine Verhinderung oder Verminderung der Anregung, Entstehung, Ausbreitung und Abstrahlung von Körperschall ab. Dies geschieht möglichst nah an der eigentlichen Schwingungs- oder Geräuschquelle und ist besonders effizient, da sonstige Maßnahmen zur Minderung des abgestrahlten Luftschalls entfallen oder reduziert werden können. Unter sekundären Maßnahmen versteht man Methoden zur nachträglichen Beeinflussung und Verringerung bereits entstandenen und abgestrahlten Luftschalls. Sowohl bei der primären als auch bei der sekundären Geräuschminderung wird ferner zwischen passiven und aktiven Maßnahmen unterschieden: Während passive Maßnahmen in der Einsatz- und Nutzungsphase ohne zusätzlichen Energieeintrag auskommen, ist zum Betrieb aktiver Systeme zusätzliche Energie (meist elektrisch) erforderlich. Tab. 48.2 gibt eine Übersicht über die genannten Ansätze und nennt exemplarisch einige Anwendungsbeispiele. Aktive Maß-

48.3.1 Verminderung der Kraftanregung Da gemäß der maschinenakustischen Grundgleichung (48.13) die abgestrahlte Schallleistung direkt proportional zum Quadrat der Anregungskraft FQ ist, ist zum Zwecke der technischen Lärmminderung eine Reduzierung der Anregungskräfte prinzipiell am effizientesten. Oft ist eine Verminderung der Anregungskräfte jedoch gar nicht oder nur sehr schwierig möglich, weil für die Funktion der Maschine und für den gewünschten Arbeitsprozess (z. B. Gesenkschmieden, Stanzen) gerade die verursachenden Betriebskräfte benötigt werden. Häufig gelingt es jedoch, den Vorgang der Krafteinleitung zeitlich zu strecken, also über einen etwas längeren Zeitraum stattfinden zu lassen (z. B. ziehender Schnitt statt Einsatz einer Schlagschere). Dies reduziert die Impulsartigkeit der Kraftanregung und damit die Anregung hoher Frequenzen, was insgesamt zu einer Geräuschminderung führt (Abb. 48.9). Generell gilt: Langsame Vorgänge verursachen keine oder nur wenig Geräusche, stoß- oder impulsartige Kraftstöße erzeugen starke Geräusche.

48 Maschinenakustik

889

und Geschwindigkeiten begrenzen oder zeitlich dehnen (Abb. 48.9)  bei gleitenden oder sich abwälzenden Maschinenteilen hohe Oberflächengüte mit geringer Rauheit anstreben  auf hohe Fertigungspräzision achten (geringe Maß- und Formtoleranzen).

48.3.2

Abb. 48.9 Zeitverläufe zweier Kraftimpulse mit unterschiedlicher Impulsdauer t1 und t2 , aber gleicher Impulsfläche A1 D A2 (oben), zugehörige Kraftpegelspektren (unten). (Nach [6])

Maßnahmen, Regeln [6–8]:

Verminderung der Körperschallfunktion

Maßnahmen, die auf eine Verminderung der Körperschallfunktion abzielen, führen oft zu einer Erhöhung des Abstrahlgrades, weshalb man diese beiden Größen eigentlich stets gemeinsam betrachten muss (Pegel der akustischen Transferfunktion LT D Lh C L , siehe Gl. (48.17)). Allerdings fällt in den meisten Fällen die Reduktion der Körperschallfunktion deutlich größer aus als das Anwachsen des Abstrahlgrades, so dass sie eine effiziente Maßnahme zur Geräuschminderung darstellt. Ferner lässt sich die Körperschallfunktion durch konstruktive Maßnahmen wesentlich einfacher beeinflussen als der Abstrahlgrad. Da die Biegeschwingungen an einer Maschinenoberfläche die dominierende Ursache für die Geräuschentstehung sind, ist bei gegebener Erregerkraft eine Vermeidung oder zumindest Verminderung dieser Körperschallamplituden anzustreben. Man sollte daher versuchen, den Kraftfluss durch konstruktive Maßnahmen auf einen kleinen, massiv und steif gestalteten Bereich der Maschine zu beschränken und ihn nicht über abstrahlende Außenflächen zu führen.

 stetigen Anstieg und Abfall des zeitlichen Kraftverlaufs mit geringen Gradienten und möglichst hohen stetigen Zeitableitungen anstreben (z. B. Nocken mit stetigem Verlauf der Krümmung im Erhebungsgesetz; Zahnflankenkorrekturen Breitenballigkeit und Kopfrücknahme für eine stetige Momentenübertragung bei Zahnradgetrieben; Ausgleichsschlitze und -bohrungen bei Hydraulikmaschinen zur Reduktion der Druckpulsationen)  hochtourig laufende Maschinen präzise aus- Maßnahmen, Regeln [6–8]: wuchten  Spiel zwischen bewegten Teilen durch Vor-  Kräfte auf möglichst kompakten, geradwandigen Strukturen übertragen (nicht „spazierenspannung vermeiden (falls nicht vermeidbar: führen“) elastische Zwischenschicht vorsehen oder die  Prinzip der Funktionstrennung: Kräfte im Inbewegten Teile nachgiebiger gestalten) neren der Maschine aufnehmen, Schall ab „Prinzip der Schrägung“ anwenden (z. B. strahlende Außenwände als schlechte SchallZahnräder mit Schrägverzahnung; Stanzwerkstrahler (biegeweich) ausführen und von den zeuge mit Schräg- oder Dachschliff) tragenden Strukturen bzgl. des Körperschalls  stoßartig verlaufende Kräfte vermeiden entkoppeln  Stoßimpulse bei aufeinander prallenden Maschinenteilen durch möglichst geringe Massen

48

890

H. Hanselka et al.

ren (Oberfläche S geht linear in Gl. (48.13) ein).

48.3.3 Verminderung der Luftschallabstrahlung Wie bereits erwähnt ist eine Minderung des Abstrahlgrades  durch konstruktive Maßnahmen in Abb. 48.10 Beispiel für ein sehr ungleichmäßig verrippder Regel aufwändiger und weniger effizient als tes Pkw-Getriebegehäuse eine Minderung der Körperschallfunktion. Trotz Impedanzen an den Krafteinleitungsstellen dem kann sie in bestimmten Fällen als ergänzen(Eingangsimpedanzen) erhöhen (z. B. mög- des Instrument sinnvoll sein, weshalb auch hierzu lichst viele Versteifungsrippen an die Kraft- einige Maßnahmen und Regeln vorgestellt wereinleitungsstellen heranführen; Rippen an den. den Gehäusekanten abstützen; Rippen eher hoch als breit ausführen; Oberfläche mög- Maßnahmen, Regeln [6–8]: lichst ungleichmäßig durch Rippen unterteilen (Abb. 48.10); für breitbandige Wirkung sog.  Maschine möglichst kompakt konstruieren (gute Näherung durch einen Monopolstrahler; Vorschalt- oder Sperrmassenan den KrafteinKugelstrahlereckfrequenz nach Gl. (48.18) leitungsstellen vorsehen (Abb. 48.11); Befestisteigt an; Abstrahlgrad im tieffrequenten Begungspunkte eines Maschinengehäuses wegen reich sinkt) der lokal höheren Steifigkeit möglichst an die  bei Strukturen mit plattenförmigen Wänden Gehäuseecken legen) geringe Wandstärke vorziehen (Ausnutzen des  einen anderen Werkstoff mit höherer Dichakustischen Kurzschlusses mit verminderter te und/oder höherem Elastizitätsmodul wähSchallabstrahlung, aber im Allgemeinen Anlen und/oder die Wandstärke erhöhen (widerstieg der Körperschallfunktion) spricht aber u. U. dem Leichtbauprinzip)  Fugendämpfung einbringen oder erhöhen  für Deckel und Verkleidungen, die einen Raum nicht dicht abschließen müssen und (z. B. sog. Scheuerleisten auf der Gehäusedurch die kein nennenswerter Luftschalloberfläche anbringen; geteilte Gehäuse verdurchgang aus dem Maschineninneren stattwenden) findet (z. B. Berührschutz), Lochbleche mit  Maschinenoberflächen möglichst klein und einem Lochflächenanteil von möglichst 30 % Maschinen somit möglichst kompakt ausfühoder mehr vorsehen (sehr guter Druckausgleich zwischen Vorder- und Rückseite, daher verminderte Schallabstrahlung). Vorschaltmassen

Generell ist zu beachten, dass Geräuschminderungsmaßnahmen grundsätzlich zuerst bei den lautesten Einzelschallquellen einer Maschine ansetzen müssen. Maßnahmen an Einzelschallquellen von untergeordneter Bedeutung wirken sich Abb. 48.11 Massekonzentration an der Krafteinleitungs- nur geringfügig auf den Gesamtschallleistungsstelle (Erhöhung der Eingangsimpedanz durch Vorschaltpegel aus, können aber u. U. das Frequenzspekmassen)

48 Maschinenakustik

891

trum und damit den Charakter des Geräusches – Minderung des abgestrahlten Luftschalls) unbeeinflussen. terschieden [9, 10, 12–18]. Prinzipbedingt ist ANC aufgrund von Interferenzerscheinungen mit vertretbarem Aufwand (Anzahl der Mikrofone und Lautsprecher, 48.4 Aktive Maßnahmenzur LärmKomplexität der Regelung) nur in räumlich und Schwingungsminderung eng begrenzten Bereichen anwendbar (z. B. in Strömungskanälen von Klimaanlagen, in Aktive Systeme zur Lärm- und Schwingungsmin- Kopfhörermuscheln oder im unmittelbaren derung [9–20] zeichnen sich dadurch aus, dass Kopfbereich von Personen). Eine globale Gezu ihrem Einsatz in der Regel ein Energieeintrag räuschreduktion in einem größeren Raum ist (meist in Form elektrischer Energie) erforderlich so nicht möglich. AVC- und ASAC-Systeist. Sensoren (z. B. Mikrofone, Beschleunigungs- me hingegen beeinflussen und reduzieren die aufnehmer) messen die vorhandenen Schwingun- Schwingungen Schall abstrahlender Strukturen, gen oder Schallemissionen und führen die Mess- was zu einer Verminderung der abgestrahlten signale einer Regelungselektronik zu. Ein Regel- Schallleistung führt, die global in der gesamten algorithmus berechnet ein Signal, das geeignet Umgebung der Struktur wahrnehmbar ist. ist, der ursprünglichen Schwingung oder SchallAVC- und ASAC-Systeme können diskret (an abstrahlung entgegenzuwirken und sie zu redu- einzelnen Lagerpunkten) oder flächig ausgeführt zieren. Dieses Signal wird über einen Verstärker sein. Diskrete Systemeleiten an geeigneten Steleiner Aktorik (z. B. Lautsprecher, Piezoaktoren, len (Maschinenfüße, Verbindungselemente, zu Schwingerreger) zugeführt, die die Schwingung beruhigende Oberflächen) in Frequenz, Phase oder Schallabstrahlung so beeinflussen kann, und Amplitude angepasste Kräfte derart in die dass sie vermindert wird. Abb. 48.12 zeigt sche- Struktur ein, dass sie die störenden Schwinmatisch den Aufbau eines solchen Systems. gungen destruktiv überlagern und somit eine Man unterscheidet zwischen Systemen zur ak- Schwingungsreduktion erzielt wird. Daneben betiven Beeinflussung bereits abgestrahlter Schall- steht die Möglichkeit, durch aktive Beeinflussung felder mittels Lautsprechern (active noise con- Steifigkeits-, Dämpfungs- oder Masseneffekte trol, ANC) [11, 12] und solchen zur aktiven Be- abzubilden und so die mechanischen Struktureieinflussung von Strukturschwingungen. Bei letz- genschaften künstlich zu verändern, so dass diese teren wird, je nach primärem Ziel der Regelung, sich selbstständig veränderten Umgebungsbedinzwischen aktiver Schwingungsminderung (active gungen (z. B. Temperaturänderungen) anpassen vibration control, AVC – Minderung von Struk- können. In diesem Fall spricht man auch von adturschwingungen) und aktiver Körperschallmin- aptiven Systemen oder Adaptronik [14]. derung (active structural acoustic control, ASAC Bei diskreten aktiven Systemen werden häufig vier grundsätzliche Wirkprinzipien angewandt: 4

1. adaptiver Tilger (nicht lasttragend; Beeinflussung der Systemdynamik im Resonanzbe5 reich bei Änderung von Systemparametern; 2 Anpassung der Tilgereigenfrequenz und/oder 1 3 der Dämpfung; schmalbandig, variable Frequenz; Abb. 48.13) Verstärker Regler 2. adaptiver Neutralisator (nicht lasttragend; Beeinflussung einer erregerinduzierten StöAbb. 48.12 Schematische Darstellung eines aktiven Sysrung bei Änderung der Erregerfrequenz; tems zur Geräusch- und Schwingungsminderung. ① AnAnpassung der Neutralisatoreigenfrequenz regungskraft, ② Beschleunigungssensor, ③ piezokeramiund/oder der Dämpfung; schmalbandig, varischer Patchaktor, ④ Mikrofon, ⑤ abgestrahlter Luftschall able Frequenz)

48

892

H. Hanselka et al.

Abb. 48.13 Ausführungsbeispiel eines adaptiven Tilgers (L  B  H : 140 mm  80 mm  40 mm)

3. Inertialmassenerreger (nicht lasttragend; breitbandige Beeinflussung oberhalb der Abstimmungsfrequenz; Einleiten von Kräften zur Beeinflussung der Strukturdynamik oder zur Kompensation von Erregerkräften; breitbandig; Abb. 48.13) 4. aktives Lager (lasttragend; Systementkopplung oder breitbandige Beeinflussung der Strukturdynamik; Variation der Entkopplungsfrequenz und/oder Erhöhung der Dämpfung; breitbandig; Abb. 48.15). Ein Beispiel für einen adaptiven Tilger, der im höheren Frequenzbereich auch Eigenschaften eines Inertialmassenerregers aufweist, ist in Abb. 48.13 dargestellt. An den Enden zweier Biegebalken befinden sich zwei Massen. Dieses schwingfähige Feder-Masse-System hat eine Gesamtmasse von 1,7 kg und ist konstruktiv auf eine passive Eigenfrequenz von 50 Hz abgestimmt. Auf den Biegebalken sind piezokeramische Patchaktoren appliziert, an die über eine Regelungselektronik und einen Verstärker eine elektrische Spannung angelegt wird. Die angelegte Spannung ist dabei proportional zur Beschleunigung der Massen an den Enden der Biegebalken, die mittels eines Beschleunigungssensors gemessen wird. Dies bewirkt eine virtuelle Veränderung der Tilgermasse, was wiederum zu einer Verschiebung der Tilgereigenfrequenz führt. Auf diese Weise kann die Eigenfrequenz des passiven Tilgers durch aktiven Eingriff in gewissen Grenzen zu höheren (bis zu 53 Hz) oder tieferen Frequenzen (bis zu 38 Hz) verschoben werden. Zusätzlich kann die am Tilgerfuß gemessene Beschleunigung als Eingangsgröße für ein weiteres Regelungssystem verwendet werden, so dass der Tilger bei höheren Frequenzen (bis ca. 200 Hz) als Inertialmassenerreger wirkt.

Beschleunigungspegel in dB (re 10–6 m/s2)

130 ungeregelt geregelt

120 110 100 90 80 70 60

0

50

100 Frequenz in Hz

150

200

Abb. 48.14 Deutliche Senkung der Beschleunigungspegel am Tilgerfuß bei 48 Hz und anderen Frequenzen

Hierbei wird die Trägheit der Massen am Ende der Biegebalken genutzt, um eine dynamische Kraft (bis zu 11 N) am Tilgerfuß zu generieren, was zu einer Schwingungsentkopplung führt. Die Wirkung des adaptiven Tilgers wird anhand des Spektrums des Beschleunigungspegels am Tilgerfuß deutlich (Abb. 48.14). Bei 48 Hz wird die Beschleunigung um 15 dB reduziert, wobei die Eigenfrequenz des passiven Tilgers (eigentlich 50 Hz) adaptiv exakt auf die Frequenz der höchsten Schwingungsamplitude der Störquelle eingestellt wurde. Zum anderen wirkt der Tilger im gezeigten Beispiel bei den exemplarisch gewählten Frequenzen 120 und 190 Hz wie ein Inertialmassenerreger und senkt so die Schwingungsamplituden um jeweils 10 dB. In Abb. 48.15 ist links eine Schnittzeichnung eines aktiven Lagers für einen Schiffsmotor zu sehen. Mehrere piezokeramische Stapelaktoren ① sorgen für eine weitgehende Entkopplung der Motorschwingungen vom Schiffsfundament in

3 4

2

6

1 5

Abb. 48.15 CAD-Darstellung eines aktiven Motorlagers (links; ① piezokeramischer Stapelaktor, ② Elastomerelemente, ③ Motoranschluss, ④/⑤ Überlastanschläge, ⑥ Fixierschrauben) und reale Ausführung (rechts) (Durchmesser: 170 mm, Höhe: 100 mm)

48 Maschinenakustik

einem Frequenzbereich von ca. 20 bis 200 Hz. Aus Sicherheitsgründen wurde das ursprünglich vorhandene passive Elastomerlager ② in das aktive Lager integriert. Ferner sind die aktiven Lager so ausgelegt, dass der ca. 700 kg schwere Schiffsmotor nicht nur auf den Lagern stehen, sondern auch kopfüber an ihnen hängen kann. Eine reale Ausführung dieses aktiven Motorlagers ist in Abb. 48.15 rechts zu sehen. Neben den bisher geschilderten diskreten aktiven Systemen gibt es auch flächige Systeme. Hierbei werden flächige Elemente (sog. Patches) aus piezoelektrischer Keramik oder flexible Module mit piezokeramischen Fasern oder Geweben auf flächige Strukturen aufgeklebt. Legt man eine elektrische Spannung an, so dehnen sich die Piezoaktoren in der Fläche aus und induzieren aufgrund der Verklebung eine Biegung in die Grundstruktur. Bei Anlegen einer Wechselspannung entstehen Biegeschwingungen, die den Geräusch verursachenden Störschwingungen entgegenwirken können. Abb. 48.16 zeigt zwei solcher Piezomodule, die auf eine Glasscheibe aufgeklebt sind, um die Schalltransmission durch ein Fenster zu reduzieren [18]. Mit dieser Anordnung kann der transmittierte Schalldruckpegel schmalbandig um bis zu 11,5 dB und der Schallleistungssummenpegel im Frequenzbereich von 0 bis 500 Hz um 3,5 dB reduziert werden. Die Wirksamkeit solcher Maßnahmen ist u. a. abhängig von einer sinnvollen Platzierung der flächigen Aktoren in die Bereiche größter Oberflächendehnungen und von der verwendeten Regelstrategie. Ein weiteres Beispiel eines flächig ausgeführten ASAC-Systems ist eine aktive akustische Box. Eine Seite der Holzbox ist offen. Gegenüber der offenen Seite befindet sich eine Aluminiumplatte, deren innere Fläche (Abb. 48.17)

Abb. 48.16 Beispiel für ein flächiges aktives System: zwei Piezomodule auf einer Glasscheibe

893

Piezoaktoren

Shaker

Mikrofon

Abb. 48.17 Innere Fläche der Aluminium Platte einer akustischen Box mit Piezoaktoren und -sensoren für ASAC [19]

mit Piezoaktoren und -sensoren bestückt ist (vgl. Abb. 48.15). Das Mikrofon im Inneren der akustischen Box wird zur Messung des Schalldruckpegels benutzt. Aktive Regelung, optimaler LQRegler mit zusätzlicher Dynamik [19], beeinflusst mittels eines Hardware-in-the-Loop Systems mit integrierten AD und DA-Wandlern die elektrische Spannung der Piezoaktoren. Die Verformung der Piezoaktoren beeinflusst die Struktur (Aluminiumplatte) in der Form, dass die durch den Shaker hervorgerufene Schwingung gemindert wird und dadurch auch die Schallabstrahlung der schwingenden Platte. Das gemessene Mikrofonsignal mit und ohne aktive Regelung ist im Abb. 48.18 dargestellt. Die Anregung dabei ist ein random-signal. Schwingungsminderung einer trichterförmigen Struktur (Einlass eines Kernspintomographen, Abb. 48.19) mittels AVC mit Piezoaktoren und -sensoren ist ein weiteres Beispiel der aktiven Systeme mit flächig ausgeführten aktiven Elementen [20]. Das Ziel der Schwingungsminderung durch AVC dabei ist es, die für Patienten unangenehme Gesamtschallabstrahlung des Kernspintomographen indirekt zu beeinflussen. Die Wirkung der AVC auf die Minderung des Spannungssignals eines Piezosensors ist im Abb. 48.20 dargestellt. Zwischen 1,5 und 6,5 s ist der optimale LQ-Regler ausgeschaltet, worauf deutlich größere Schwingungsamplituden aufweisen. Eine weitere Variante der aktiven Systeme sind semi-aktive Systeme. Hierbei geschieht der eigentliche Geräusch- oder Schwingungsminde-

48

894

H. Hanselka et al. 0.04

Abb. 48.18 Ungeregeltes (bis 2,5 s) und geregeltes (zwischen 2,5 und 5 s) Mirkofonsignal gemessen im Inneren der akustischen Box (Anregung am Shaker ist ein random-signal)

ohne Regler

Mikrofonsignal [V]

0.03 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02

mit Regler (ASAC)

-0.03 -0.04

0

0.5

1

1.5

2

2.5 3 Zeit [s]

3.5

4

4.5

5

Aktorgruppe

Sensor

Abb. 48.19 Trichterförmiger Einlass eines Kernspintomographen mit Piezoaktoren und -sensoren für AVC. (Quelle: Siemens [20])

0.02

Sensor [V]

Abb. 48.20 Sensorsignal an einem Piezopatch des trichterförmigen Einlas eines Kernspintomographen mit und ohne Regelung (harmonische Anregung mit erster Resonanzfrequenz)

ohne Regler

0.01 0 -0.01 -0.02 0

2

4

6

8

10 12 Zeit [s]

14

16

18

20

48 Maschinenakustik

895

rungsvorgang ohne zusätzlichen Energieeintrag (also passiv), jedoch können die Systemeigenschaften durch Energieeintrag verändert werden. Beispiele hierfür sind Dämpfer mit einstellbarer Kennlinie, positionsgeregelte Luftfedern oder der Betrieb einer Gyratorschaltung (synthetische Induktivität) für einen aus einem piezokeramischen Aktor (kapazitive Eigenschaften), einem ohmschen Widerstand und einer Induktivität gebildeten elektrischen Schwingkreis, der wie ein mechanischer Tilger wirkt und so schmalbandig Schwingungen und Geräusche reduzieren kann.

auf eine ausreichend feine Diskretisierung (Vernetzung) von Struktur und Oberfläche zu achten, um auch die kleinsten auftretenden Biegewellenoder Luftschallwellenlängen erfassen zu können. Üblicherweise werden mindestens sechs Elemente pro Wellenlänge empfohlen. Aus Abb. 48.6 kann man erkennen, dass die Eigenfrequenzdichte von Maschinenstrukturen mit steigender Frequenz zunimmt. Bei hohen Frequenzen wird eine genaue Berechnung des akustischen Verhaltens mittels der deterministischen Verfahren FEM und BEM sehr aufwendig, weshalb bei hoher Eigenfrequenzdichte statistische Verfahren wie die SEA [22] zum Einsatz 48.5 Numerische Verfahren zur kommen. Statt mit diskreten Eigenfrequenzen Simulation von Luft- und und Schwingformen wird dabei mit mittleren Körperschall Modendichten gerechnet, statt Schnellen werden Energieverteilungen und mittlere Energieflüsse Analytische Lösungen für Körperschall- und bestimmt, aus denen sich wiederum mittlere Luftschallprobleme gibt es nur für sehr einfache Schnellen, Schalldrücke, Intensitäten und SchallStrukturen und wenige, ganz spezielle Sonder- leistungen ergeben. fälle. Früher gebräuchliche Abschätzverfahren sind ebenfalls nur auf vereinfachte Modellstrukturen anwendbar und liefern zudem nur sehr 48.6 Strukturintensität und grobe Anhaltswerte für die tatsächliche Lösung. Körperschallfluss Zur Berechnung von Schwingungen und Schallabstrahlung werden daher zunehmend numeri- In Analogie zur Luftschallintensität nach sche Simulationsverfahren eingesetzt. Dadurch Gl. (48.5) lässt sich auch eine Körperschallkann der Aufwand für experimentelle Untersu- intensität (Strukturintensität) als Produkt aus chungen reduziert werden. Andererseits dienen dem mechanischen Spannungstensor S und dem Messergebnisse dazu, die numerischen Model- Schnellevektor v angeben [23–26]. Für harle zu verbessern und an die Realität anzupassen monische Körperschallfelder ergibt sich die (model updating). In der technischen Akustik Strukturintensität I .f / im Frequenzbereich aus S kommen hauptsächlich die Finite-Elemente-Me- der (z. B. über eine Periode) zeitlich gemittelten thode (FEM), die Boundary-Elemente-Methode Strukturintensität I .t/ in komplexer SchreibS (BEM) [21] und die Statistische Energieanaly- weise zu se (SEA) sowie Varianten und Kombinationen dieser Verfahren zum Einsatz. Die FEM wird zur 1 (48.21) I S .f / D  S .f /  v .f / ; Berechnung der Strukturschwingungen (Eigen2 frequenzen und -formen, Betriebsschwingformen unter Kraftanregung) sowie für Innenraumpro- wobei die Unterstreichung komplexe Größen und bleme (Luftschall in einem geschlossenen Vo- das Sternchen konjugiert komplexe Größen belumen) eingesetzt. Die BEM dient der Berech- zeichnen [23]. In Analogie zur elektrischen Wirknung der Luftschallabstrahlung von schwingen- und Blindleistung lässt sich die Strukturintensi  den Strukturen in den Außenraum, wobei die tät in einen aktiven Anteil I a .f / D Re I S .f / Strukturschwingungen zunächst mittels der FEM und einen reaktiven Anteil I r .f / D Im I S .f / berechnet werden (FEM-BEM-Kopplung). So- aufteilen. Die aktive Strukturintensität Ia bewohl bei der FEM als auch bei der BEM ist schreibt dabei den Energiefluss von der Quelle

48

896

zur Senke (Wanderwelle), welcher sich im zeitlichen Mittel einstellt. Die reaktive Strukturintensität Ir hingegen bezeichnet die Energiemenge, die ständig in einer Struktur oszilliert (stehende Welle), und lässt Rückschlüsse auf die Amplitudenverteilung der Eigenschwingform (Elementarstrahler) zu. Abb. 48.21 verdeutlicht diese Zusammenhänge am Beispiel einer Rechteckplatte. Da nur der aktive Anteil den Körperschallenergiefluss beschreibt, wird oft vereinfachend nur dieser als Strukturintensität bezeichnet. Aufgrund der Frequenzabhängigkeit der Strukturintensität bei harmonischen Körperschallfeldern ergeben sich unterschiedliche Energieflüsse für unterschiedliche Frequenzen. Unter bestimmten Umständen kommt es zu einer Wirbelbildung in der aktiven Strukturintensität. Dies kann bei höheren Frequenzen zu komplexen Verwirbelungen und somit zu feinen Verästelungen im Energiefluss führen [24]. Bei dünnwandigen Strukturen kann man davon ausgehen, dass der Energietransport über die Plattendicke vernachlässigbar ist (I z 0). Somit ist es möglich, die über die Plattendicke

T integrierte Strukturintensität I 0 D I x I y in Abhängigkeit von den Schnittkräften und -momenten anzugeben und daher leicht aus FEM-

Abb. 48.21 Schwingform der 3-2-Mode einer Rechteckplatte (oben), reaktive Strukturintensität (Mitte) und aktive Strukturintensität (unten)

H. Hanselka et al.

Simulationen bestimmen zu können [23] 1 I 0 .f / D  2 "

  N x v x C N xy v y C Qx v z C M x P y  M xy P x    N y v y C N xy v x C Q v z  M y P C M xy P y

x

# :

y

(48.22) Hierbei sind N, Q und M die aus der Technischen Mechanik bekannten Schnittgrößen, und v und P sind die translatorischen bzw. Winkelgeschwindigkeiten in Richtung der bzw. um die Koordinatenachsen. Die akustisch relevanten Biegewellenanteile der Strukturintensität lassen sich für dünnwandige Strukturen in guter Näherung messtechnisch nach der Gleichung Ix0 .!/

p 2 B 0 h D ja1 .!/j ja2 .!/j sin .1  2 / ! 2d (48.23) bestimmen [25]. Hierbei sind ! D 2f die Kreisfrequenz, B 0 ,  und h die Biegesteifigkeit, Dichte bzw. Dicke der Platte (siehe Gln. (48.19) und (48.20)), a1 und a2 die unmittelbar rechts und links neben dem eigentlichen Messpunkt gemessenen Beschleunigungen senkrecht zur Oberfläche, d der Abstand zwischen diesen beiden Beschleunigungsmessstellen und 1  2 die Phasendifferenz zwischen a1 und a2 . Während man früher die Biegewellenanteile der Strukturintensität nur sehr umständlich und zeitaufwendig mittels vieler Beschleunigungsaufnehmer messen konnte, kann man sie heute relativ einfach mit einem Scanning-Laservibrometer bestimmen. Die messtechnische Erfassung der Longitudinalwellen ist jedoch nach wie vor aufwendig. Daher werden die Beiträge der Longitudinalwellen zur Strukturintensität bei Messungen bislang vernachlässigt. Abb. 48.22 zeigt die gute qualitative Übereinstimmung zwischen der analytischen Berechnung der aktiven Strukturintensität für die 23-Mode einer Platte (links) und dem zugehörigen Messergebnis (rechts).

48 Maschinenakustik

897 dynamische Anregungskraft

Punktmassen als Zusatzmasse

Abb. 48.22 Aktive Strukturintensität für die 2-3-Mode einer Platte: analytische Lösung (links), Messergebnis (rechts); der Punkt markiert die Kraftanregungsstelle [25]

Neuere Untersuchungen [26] zeigen jedoch, dass auch die Strukturintensitätsanteile in der Ebene der Struktur (Longitudinalwellen) einen erheblichen, teilweise den dominierenden Beitrag zum Körperschallenergietransport in der Struktur liefern, auch wenn sie selbst nicht direkt zu einer Luftschallabstrahlung führen. Mit Hilfe der Strukturintensitätsanalyse kann man die Körperschallenergieflüsse in Strukturen untersuchen und daraus Maßnahmen zur gezielten Beeinflussung und Lenkung des Körperschalls mit dem Ziel der Geräuschminderung ableiten. Dies wird im Folgenden am Beispiel einer Pkw-Ölwanne mit einer Masse von ca. 5,5 kg und einer dynamischen Kraftanregung verdeutlicht [26]. Abb. 48.23 zeigt das FEM-Modell dieser Ölwanne. Eine geringe Zusatzmasse von insgesamt 100 g wird gezielt an einer Stelle platziert, durch die bei der untersuchten zweiten Eigenschwingform der Ölwanne ein Großteil der Körperschallenergie hindurchfließt (siehe Abb. 48.24 oben). Diese Zusatzmasse bildet eine lokale Impedanzerhöhung, weshalb durch diese Maßnahme die Strukturintensität und in der Folge auch die Oberflächenschnellen auf der Ölwanne deutlich reduziert werden. In Abb. 48.24 sind Ergebnisse von FEM-Simulationen der Strukturintensität für die zweite Eigenschwingform in der Draufsicht auf die Ölwanne zu sehen, wobei alle Vektorpfeile auf die gleiche Länge normiert sind und lediglich eine Richtungsinformation liefern; der Betrag der Strukturintensität ist mit Graustufen hinterlegt. Die obere Abbildung zeigt den Strukturintensi-

Abb. 48.23 FEM-Modell einer Pkw-Ölwanne mit Kraftanregung (Punkt) und aufgebrachter Zusatzmasse (Kreis) [26]

tätsverlauf auf der Ölwanne ohne Zusatzmasse. Man erkennt, dass sich die Körperschallenergie, ausgehend von der Anregungsstelle, entlang der schrägen Gehäusekante ausbreitet. Platziert man genau in diesen Ausbreitungpfad, wie oben geschildert, eine geringe Zusatzmasse von 100 g, so wird der Betrag der Strukturintensität um mehr als eine Größenordnung reduziert (Abb. 48.24 unten). Als Folge dieser Reduktion der Strukturintensität sinkt auch die Oberflächenschnelle auf der Ölwanne um etwa eine Größenordnung. Abb. 48.25 zeigt oben die Schnelleverteilung in der zweiten Eigenschwingform ohne und unten mit Zusatzmasse. Dieser Effekt tritt nicht nur

48

Abb. 48.24 Verlauf der Strukturintensität (Einheit: W/m) auf der Ölwanne in der zweiten Eigenschwingform ohne (oben) und mit Zusatzmasse (unten) [26]

898

H. Hanselka et al.

Literatur Spezielle Literatur

Abb. 48.25 Verlauf der Oberflächenschnellen (Einheit: m/s) auf der Ölwanne in der zweiten Eigenschwingform ohne (oben) und mit Zusatzmasse (unten) [26]

in numerischen Simulationen auf, sondern kann auch im Experiment nachgewiesen werden. In Abb. 48.26 sind die Ergebnisse von Schwinggeschwindigkeitsmessungen mit einem ScanningLaservibrometer an einer realen Ölwanne dargestellt. Im Vergleich zum Ausgangszustand ohne Zusatzmasse (Abb. 48.26 links) sinkt die Schnelle auf der Ölwanne mit Zusatzmasse (Abb. 48.26 rechts) auch im Experiment um etwa eine Größenordnung. Schlussbemerkung Das Themengebiet der Technischen Akustik und Geräuschminderung ist sehr umfangreich. Deshalb kann an dieser Stelle nur ein knapper Überblick gegeben werden. Weitere Informationen und Hinweise, insbesondere auch zur akustischen Messtechnik oder zur Fahrzeugakustik, finden sich in der einschlägigen Fachliteratur (s. Allgemeine Literatur).

0 mm/s

7 mm/s

0 mm/s

0,25 mm/s

Abb. 48.26 Gemessene Schnelleverteilung auf der Ölwanne ohne (links) und mit Zusatzmasse (rechts) [26]

1. DIN 1320:2009: Akustik: Begriffe 2. DIN EN ISO 1683:2015: Akustik: Bevorzugte Bezugswerte für Pegel in der Akustik und Schwingungstechnik 3. DIN ISO 226:2006: Akustik: Normalkurven gleicher Lautstärkepegel 4. DIN 45630-1:1971: Grundlagen der Schallmessung: Physikalische und subjektive Größen von Schall 5. DIN EN 61672-1:2014: Elektroakustik: Schallpegelmesser, Teil 1: Anforderungen 6. Kollmann, F.G., Schösser, T., Angert, R.: Praktische Maschinenakustik. Springer, Berlin, Heidelberg (2006) 7. DIN EN ISO 11688-1:2009: Akustik: Richtlinien für die Konstruktion lärmarmer Maschinen und Geräte, Teil 1: Planung 8. VDI 3720:2014 Blatt 1 Konstruktion lärmarmer Maschinen und Anlagen 9. VDI 2064:2010: Aktive Schwingungsisolierung 10. Fuller, C.R., Elliott, S.J., Nelson, P.A.: Active control of vibration. Academic Press, London (1997) 11. Nelson, P.A., Elliott, S.J.: Active control of sound. Academic Press, London (1993) 12. Tokhi, M.O., Veres, S. (Hrsg.): Active sound and vibration control. Institution for Electrical Engineers, London (2002) 13. Preumont, A., Seto, K.: Active Control of Structures. John Wiley & Sons, Hoboken (2008) 14. Hanselka, H., et al.: Mechatronik/ Adaptronik. In: Hering, E., Modler, K.-H. (Hrsg.) Grundwissen des Ingenieurs, 13. Aufl. Fachbuchverlag Leipzig, Hanser, Leipzig, München (2002) 15. Herold, S., Mayer, D., Hanselka, H.: Transient simulation of adaptive structures. J Intell Mater Syst Struct 15(3), 215–224 (2004) 16. Herold, S., Mayer, D., Hanselka, H.: Decoupling of mechanical structures with piezoceramic stacks. Tech Mech 22(3), 193–204 (2002) 17. Bein, T., Bös, J., Herold, S., Mayer, D., Melz, T., Thomaier, M.: Smart interfaces and semi-active vibration absorber for noise reduction in vehicle structures. Aerosp Sci Technol 12(1), 62–73 (2008). Special Issue „Aircraft Noise Reduction“ 18. Kurtze, L., Doll, T., Bös, J., Hanselka, H.: Aktive Fassaden – Reduktion von Lärm in Gebäuden durch aktive Abschirmung von Geräuschquellen. Z Lärmbekämpfung 53(2), 55–61 (2006) 19. Gabbert, U., Lefèvre, J., Laugwitz, F., Nestorovi´c, T.: Modelling and analysis of piezoelectric smart structures for vibration and noise control. Int J Appl Electrom 31(1), 29–39 (2009) 20. Nestorovi´c-Trajkov, T., Köppe, H., Gabbert, U.: Active vibration control using optimal LQ tracking system with additional dynamics. Int J Control 78(15), 1182–1197 (2005)

48 Maschinenakustik 21. Marburg, S., Nolte, B. (Hrsg.): Computational acoustics of noise propagation in fluids: finite and boundary elements methods. Springer, Berlin, Heidelberg (2008) 22. Lyon, R.H., DeJong, R.G.: Theory and application of statistical energy analysis, 2. Aufl. Butterworth-Heinemann, (1995) 23. Gavri´c, L., Pavi´c, G.: A finite element method for computation of structural intensity by the normal mode approach. J Sound Vib 164(1), 29–43 (1993) 24. Tanaka, N., Snyder, S.D., Kikushima, Y., Kuroda, M.: Vortex structural power flow in a thin plate and the influence on the acoustic field. J Acoust Soc Am 96(3), 1563–1574 (1994) 25. Kuhl, S.: Gezielte Leitung von Körperschall unter Zuhilfenahme der Strukturintensitätsrechnung. Dissertation, Fachgebiet Systemzuverlässigkeit und Maschinenakustik SzM, TU Darmstadt (2010) 26. Hering, T.: Strukturintensitätsanalyse als Werkzeug der Maschinenakustik. Dissertation, Fachgebiet Systemzuverlässigkeit und Maschinenakustik SzM, TU Darmstadt (2012)

Allgemeine Literatur 27. Lerch, R., Sessler, G., Wolf, D.: Technische Akustik. Springer, Berlin, Heidelberg (2009) 28. Möser, M.: Technische Akustik, 10. Aufl. Springer, Berlin, Heidelberg (2015) 29. Müller, G., Möser, M. (Hrsg.): Taschenbuch der Technischen Akustik, 3. Aufl. Springer, Berlin, Heidelberg (2004) 30. Veit, I.: Technische Akustik, 7. Aufl. Vogel Buchverlag, Würzburg (2012) 31. Möser, M. (Hrsg.): Messtechnik der Akustik. Springer, Berlin, Heidelberg (2009) 32. Zollner, M., Zwicker, E.: Elektroakustik, 3. Aufl. Springer, Berlin, Heidelberg (2003) 33. Möser, M., Kropp, W.: Körperschall, 3. Aufl. Springer, Berlin, Heidelberg (2009) 34. Schirmer, W. (Hrsg.): Technischer Lärmschutz, 2. Aufl. Springer, Berlin, Heidelberg (2006)

899 35. Sinambari, G.R., Sentpali, S.: Ingenieurakustik – Physikalische Grundlagen und Anwendungsbeispiele, 5. Aufl. Springer, Berlin, Heidelberg (2014) 36. Maute, D.: Technische Akustik und Lärmschutz. Hanser, München (2006) 37. Günther, B., Hansen, K., Veit, I.: Technische Akustik. Ausgewählte Kapitel – Grundlagen, aktuelle Probleme und Messtechnik, 8. Aufl. Expert Verlag, Renningen (2008) 38. Fuchs, H.V.: Schallabsorber und Schalldämpfer, 4. Aufl. Springer, Berlin, Heidelberg (2017) 39. Pflüger, M., Brandl, F., Bernhard, U., Feitzelmayer, K.: Fahrzeugakustik. Springer, Berlin, Heidelberg (2010) 40. Zeller, P.: Handbuch Fahrzeugakustik, 3. Aufl. Springer Vieweg, Wiesbaden (2018)

Normen und Richtlinien 41. DEGA-Empfehlung 101: Akustische Wellen und Felder. Deutsche Gesellschaft für Akustik e.V., Berlin (2006) 42. DIN 1320: Akustik: Begriffe 43. DIN EN ISO 11688: Akustik: Richtlinien für die Konstruktion lärmarmer Maschinen und Geräte 44. VDI 3720: Lärmarm Konstruieren 45. DIN Taschenbuch 315: Akustik, Lärmminderung und Schwingungstechnik 3: Messung der Geräuschemission von Maschinen 46. DIN EN ISO 4871: Akustik: Angabe und Nachprüfung von Geräuschemissionswerten von Maschinen und Geräten 47. DIN EN ISO 3741 und 3743 bis 3747: Akustik: Bestimmung der Schallleistungspegel von Geräuschquellen aus Schalldruckmessungen 48. DIN EN ISO 9614: Akustik: Bestimmung der Schallleistungspegel von Geräuschquellen aus Schallintensitätsmessungen 49. VDI 2064: Aktive Schwingungsisolierung

48

Teil VII Allgemeine Tabellen

49

Allgemeine Tabellen Karl-Heinrich Grote

Die folgenden Webseiten enthalten, wie auch Tab. 49.1 Basiseinheiten des SI-Systems, siehe auch weitere nicht angeführte Webseiten, Informatio- Bd. 2, Abschn. 31.1 und DIN 1301 T1 SI-BasisSymbol Physikalische bzw. technische nen zu diesem Kapitel: www.bipm.org/en/si/ (Erläuterungen zu SI-Einheiten) www.chemie.fu-berlin.de/chemistry/general (Allgemeine Chemie; Physikalische Größen; Konstanten; Einheiten)

einheit Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin

m kg s A K

Mol Candela

mol cd

Größe Länge Masse Zeit elektrische Stromstärke thermodynamische Temperatur, Temperaturdifferenz Stoffmenge Lichtstärke

www.processassociates.com/process/tools.htm (Berechnungen von Größen etc.) www.cleavebooks.co.uk/dictunit/index.htm (Einheiten-Wörterbuch mit Umrechnungen) www.martindalecenter.com/Calculators.html (Berechnungen zu PKW, LKW, KRAD) www.ptb.de/cms/themenrundgaenge.html

K.-H. Grote () Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Magdeburg, Deutschland E-Mail: [email protected] © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8_49

903

904

K.-H. Grote

Tab. 49.2 Abgeleitete Einheiten des SI-Systems, siehe auch DIN 1301 T1. Durch Kombination (Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren) von Basiseinheiten entstehende SI-Einheiten Abgeleitete SI-Einheit Charakterisierung (kombinierte) Einheit ohne eigene Bezeichnung

(kombinierte) Einheit mit eigener Bezeichnung (kombinierte) Einheit mit gemischter Bezeichnung

Tab. 49.3 Vorsätze für Einheiten Zehnerpotenz Vorsatz 1018 Exa 1015 Peta 1012 Tera 109 Giga 106 Mega 103 Kilo 102 Hekto 10 Deka 101 Dezi 102 Zenti 103 Milli 106 Mikro 109 Nano 1012 Piko 1015 Femto 1018 Atto

Bildung der Bezeichnung für die abgeleitete SIEinheit Beschreibung die Bezeichnung wird aus den Bezeichnungen der Basiseinheiten und der Bezeichnung für die Art der Kombination gebildet; z. B. mal, (und), je, Quadrat-, Kubik-

die Bezeichnung wird aus kombinierten Einheiten mit eigener Bezeichnung und der von Basiseinheiten gebildet, ggf. unter Verwendung der Bezeichnung für die Art der Kombination

Vorsatzzeichen E P T G M k h da d c m m n p f a

Tab. 49.4 Einheiten außerhalb des SI-Systems, siehe auch DIN 1301 T1 Charakterisierung der Einheit Beispiele allgemein anwendbare Einheiten Liter, Stunde, Grad Einheiten mit beschränktem Anwen- Elektronenvolt dungsbereich

Beispiele

m2 , m=s

Newton, Pascal, Joule, Watt, Ohm Newtonmeter, Pascalsekunde

Tab. 49.5 Überschlagswerte zur Umrechnung von m kp s- in das SI-System 1 kp 1 da N 1 at 1 bar 1 kp m 1 da J 1 kp=cm 1 N=mm 1 PS 0,75 kW 1 mm WS 0,1 mbar 1 kcal 4,2 kJ

Tab. 49.6 Namen und Abkürzungen englischer Einheiten atm atmosphere bbl barrel btu British termal unit bu bushel cal calorie cwt hundredweight deg F degree Fahrenheit ft foot gal gallon hp horsepower in inch lb pound lbf pound force ln tn long ton m mile pdl poundel sh tn short ton yd yard UK United Kingdom US United States of America in=s inch per second in2 square inch in3 cubic inch f p s-system foot pound second-system

49 Allgemeine Tabellen

905

Tab. 49.7 Umrechnung der wichtigsten Einheiten des f p s- in das SI-System (englische Namen s. Tab. 49.6) Länge

fps Length/Distance 1 ft D 13 yd D 12 in

Fläche Volumen

Area Volume

1 ft2 D 144 in2 1 ft3 D 1728 in3 D 6;22882 gal (UK) 1 gal (US) D 0;83268 gal (UK)

Geschwindigkeit

Velocity

Beschleunigung Masse

Acceleration Weight/Mass

Kraft

Force

Arbeit

Work/Energy

Druck

Pressure

Dichte

Density

Temperatur

Temperature

Leistung

Power

spezif. Wärmekapazität Wärmeleitfähigkeit Wärmeübergangs(durchgangs-) koeffizient kinematische Viskosität dynamische Viskosität

Specific heat capacity Thermal conductivity Heat transfer coefficient

1 ft=s 1 knot D 1;150785 mile=h D 1;6877 ft=s 1 ft=s2 1 lb D cwt=112I 1 sh tn D 2000 lb 1 slug D 32;174 lbI 1 ln tn D 2240 lb 1 lbf 1 pdl D 0;031081 lbf 1 lbf.ft D 0;32383 I.T.cal 1 btu D 251;995 I.T.cal D 778;17 lbf.ft 1 lbf=ft2 D 6;9444  103 lbf=in2 1 lbf=in2 D 0;068046 atm 1 atm D 29;92 in Hg D 33;90 ft water 1 lb=ft3 D 5;78704  104 lb=in3 1 lb=gal (UK) D 6;22889 lb=ft3 tF D .1;8 tc C 32 ı C/ ı F= ı C; 32 ı F D 0 ı CI 212 ı F D 100 ı C 1 ftlbf=s D 1;8182  103 hp(550 lbf.ft=s) D 1;28592  103 btu=s 1 btu=(lb deg F)

Kinematic viscosity Dynamic viscosity

1 btu=(ft h deg F) 1 btu=(ft2 h deg F)

SI (m kg s) 1 ft D 0;3048 m 1 mi D 1609;34 m 1 ft2 D 0;092903 m2 1 ft3 D 0;0283169 m3 1 bu (US) D 35;23931 1 bbl (US) D 115;6271 1 ft=s D 0;3048 m=s 1 ft=s2 D 0;3048 m=s2 1 lb D 0;453592 kg 1 slug D 14;5939 kg 1 lbf D 4;44822 N 1 pdl D 0;138255 N 1 lbf.ft D 1;35582 J 1 btu D 1;05506 kJ 1 lbf=ft2 D 47;88 N=m2 1 lbf=in2 D 6894;76 N=m2 1 atm D 1;01325 bar 1 lb=ft3 D 16;0185 kg=m3 1 lb=gal (UK) D 99;7633 kg=m3 tc D 5=9.tF  32 ı F/ ı C=ı FI 1 ı F D 17;222 ı C 1 ftlbf=s D 1;35582 W 1 btu=.lb deg F/ D 4;1868 kJ=.kg  K/ 1 btu=.ft h deg F/ D 1;7306 W=.m  K/ 1 btu=.ft2 h deg F/ D 5;6778 W=.m2  K/

1 ft2 =s

1 ft2 =s D 0;092903 m2 =s

1 lb=(ft s)

1 lb=.ft s/ D 1;48816 kg=.m  s/

Vergleich auf Webseiten: www.umrechnungen.de (Einheiten-Umrechner); www.onlineconversion.com (Einheiten und Rechner); http://dict.tu-chemnitz.de/calc.html (Umrechnung von Einheiten)

49

906

K.-H. Grote

Tab. 49.8 Römisches Zahlensystem ID O 1, V D O 5, X D O 10, L D O 50, C D O 100, DD O 500, M D O 1000 1I 10 X 100 C 2 II 20 XX 200 CC 3 III 30 XXX 300 CCC 4 IV 40 XL 400 CD 5V 50 L 500 D 6 VI 60 LX 600 DC 7 VII 70 LXX 700 DCC 8 VIII 80 LXXX 800 DCCC 9 IX 90 XC 900 CM Schreibweise von links beginnend, die Zahlen werden addiert. Steht eine kleinere Zahl vor einer größeren, so wird diese hiervon subtrahiert. V, L und D werden nur einmal geschrieben. I, X und C können bis zu dreimal vorkommen. Beispiele 1496 MCDXCVI 1891 MDCCCXCI

1673 MDCLXXIII 2011 MMXI

Tab. 49.9 Große Zahlenwerte Million 106 Milliarde 109 Billion 1012 Billiarde 1015 Trillion 1018 Quadrillion 1024 Quadrilliarde 1027 In den USA: Quadrillion 1015 ; Trillion 1012 ; Billion 109

49 Allgemeine Tabellen

907

Tab. 49.10 Raum und Zeit, siehe auch DIN 1304 T1, DIN 1301 T1

a

Einheita

Symbol

Meter Sekunde Quadratmeter Kubikmeter Meter je Sekunde Meter je Quadratsekunde Kubikmeter je Sekunde

Beschreibung durch Basiseinheiten

m s m2 m3 m=s m=s2 m3 =s

Physikalische bzw. technische Größe Länge Zeit Fläche Volumen Geschwindigkeit Beschleunigung Volumenstrom

Radiant

rad

ebener Winkel

1 rad D

Steradiant

sr

Raumwinkel

Hertz Radiant je Sekunde Radiant je Quadratsekunde Liter Grad Minute

Hz rad=s rad=s2 l

Frequenz Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Volumen ebener Winkel ebener Winkel

Sekunde

00

ebener Winkel

Minute Stunde Eine (Umdrehungen) je Sekunde Eine (Umdrehungen) je Minute

min h 1=s (U=s) 1=min (U=min)

Zeit (Zeitdauer) Zeit (Zeitdauer) Drehzahl Drehzahl

o 0

1 m arc 1 m Radius 1 m2 Volumenoberfläche 1 sr D 1 m2 Volumenradius 1 Hz D 1=s

1 l D 1  103 m3 10 D =.180  60/ rad, 10 D .1=60/ı 100 D =.180  60  60/ rad, 100 D .1=60/0 1 min D 60 s 1 h D 60 min D 3600 s 1=min D 1=60 s

SI-Einheit und auch Einheit außerhalb des SI-Systems, aber allgemein anwendbare Einheit

Tab. 49.11 Mechanik, siehe auch DIN 1304 T1, DIN 1301 T1

a

Einheita

Symbol

Kilogramm Kilogramm je Sekunde Kilogramm mal Quadratmeter Kilogramm je Kubikmeter Kubikmeter je Kilogramm Quadratmeter je Sekunde Newton Pascal Joule Watt Newtonmeter Newton je Quadratmeter Pascalsekunde Joule je Kubikmeter Tonne Gramm

kg kg=s kgm2 kg=m3 m3 =kg m2 =s N Pa J W Nm N=m2 Pa  s J=m3 t g

s. Fußnote zu Tab. 49.10.

Physikalische bzw. technische Größe Masse Massestrom Massenmoment 2. Grades Dichte spezifisches Volumen kinematische Viskosität Kraft Druck Arbeit, Energie Leistung Kraftmoment/Drehmoment Spannung dynamische Viskosität Energiedichte Masse Masse

Beschreibung durch Basiseinheiten

1 N D 1 kg  m=s2 1 Pa D 1 kg=.m  s2 / 1 J D 1 kg  m2 =s2 1 W D 1 kg  m2 =s3 1 N  m D 1 kg  m2 =s2 1 N=m2 D 1 kg=.m  s2 / 1 Pa  s D 1 kg=.m  s/ 1 J=m3 D 1 kg=.m  s2 / 1 t D 1  103 kg 1 g D 1  103 kg

49

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K.-H. Grote

Tab. 49.12 Wärme, siehe auch Teil V und DIN 1304 T1

a

Einheita

Symbol

Kelvin

K

Quadratmeter je Sekunde Joule Watt Joule je Kilogramm Joule je Kelvin Joule je Kilogramm und Kelvin Watt je Quadratmeter Watt je Quadratmeter und Kelvin Watt je Meter und Kelvin Kelvin je Watt Grad Celsius

m2 =s J W J=kg J=K J=(kg  K) W=m2 W=(m2  K) W=(m  K) K=W °C

Physikalische bzw. technische Größe thermodynamische Temperatur, Temperaturdifferenz Temperaturleitfähigkeit Wärmemenge Wärmestrom spezifische innere Energie Wärmekapazität spezifische Wärmekapazität Wärmestromdichte Wärmeübergangskoeffizient Wärmeleitfähigkeit Wärmewiderstand Celsius-Temperatur

Beschreibung durch Basiseinheiten

1 J D 1 kg  m2 =s2 1 W D 1 kg  m2 =s3 1 J=kg D 1 m2 =s2 1 J=K D 1 kg  m2 =.s2  K/ 1 J=.kg  K/ D 1 m2 =.s2  K/ 1 W=m2 D 1 kg=s3 1 W=.m2  K/ D 1 kg=.s3  K/ 1 W=.m  K/ D 1 kg  m=.s3  K/ 1 K=W D 1 K  s3 =.kg  m2 / 1 ı CD273 O K100 ı CD373 O K

s. Fußnote zu Tab. 49.10.

Tab. 49.13 Elektrizität, siehe auch Bd. 2, Kap. 22 und DIN 1304 T1 Einheita

Symbol Physikalische bzw. technische Größe Ampere A elektrische Stromstärke Ampere je Quadratmeter A=m2 elektrische Stromdichte Ampere je Meter A=m elektrischer Strombelag Coulomb C elektrische Ladung Watt W (elektrische) Leistung Volt V elektrische Spannung Farad F elektrische Kapazität Ohm  elektrischer Widerstand Siemens S elektrischer Leitwert Coulomb je Quadratmeter C=m2 elektrische Flussdichte, Verschiebungsdichte Volt je Meter V=m elektrische Feldstärke Farad je Meter F=m Dielektrizitätskonstante, elektrische Feldkonstante Ohmmeter m spezifischer elektrischer Widerstand Siemens je Meter S=m elektrische Leitfähigkeit a

Beschreibung durch Basiseinheiten

1C D 1A  s 1 W D 1 kg  m2 =s3 1 V D 1 kg  m2 =.A  s3 / 1 F D 1 A2  s4 =.kg  m2 / 1  D 1 kg  m2 =.A2  s3 / 1 S D 1 A2  s3 =.kg  m2 / 1 C=m2 D 1 A  s=m2 1 V=m D 1 kg  m=.A  s3 / 1 F=m D 1 A2  s4 =.kg  m3 / 1   m D 1 kg  m3 =.A2  s3 / 1 S=m D 1 A2  s3 =.kg  m3 /

s. Fußnote zu Tab. 49.10.

Tab. 49.14 Magnetismus, siehe auch Bd. 2, Kap. 22 und DIN 1304 T1

a

Einheita

Symbol

Ampere Ampere je Meter Weber Tesla Henry Henry je Meter 1 je Henry

A A=m Wb T H H=m 1=H

s. Fußnote zu Tab. 49.10.

Physikalische bzw. technische Größe magnetische Spannung magnetische Feldstärke, Magnetisierung magnetischer Fluss magnetische Induktion, magnetische Flussdichte Induktivität, magnetischer Leitwert Permeabilität, magnetische Feldkonstante magnetischer Widerstand

Beschreibung durch Basiseinheiten

1 Wb D 1 kg  m2 =.A  s2 / 1 T D 1 kg=.A  s2 / 1 H D 1 kg  m2 =.A2  s2 / 1 H=m D 1 kg  m=.A2  s2 / 1 1=H D 1 A2  s2 =.kg  m2 /

49 Allgemeine Tabellen

909

Tab. 49.15 Lichtstrahlung, siehe auch DIN 1304 T1 Einheita Candela Candela je Quadratmeter Lumen Lux Lumensekunde Luxsekunde a

Symbol cd cd=m2 lm lx lm  s lx  s

Physikalische bzw. technische Größe Lichtstärke Leuchtdichte Lichtstrom Beleuchtungsstärke Lichtmenge Belichtung

Beschreibung durch Basiseinheiten

1 lm D 1 cd  sr 1 lx D 1 cd  sr=m2 1 lm  s D 1 cd  sr  s 1 lx  s D 1 cd  sr  s=m2

s. Fußnote zu Tab. 49.10.

Tab. 49.16 Physikalische Konstanten (siehe auch http://physics.nist.gov/cuu/Constants/ (Wissensspeicher Mathe, Physik, Astronomie) und Tab. 49.17) Gravitationskonstante Normfallbeschleunigung Planck-Wirkungsquantum Gaskonstante Wellenwiderstand des Vakuums molares Normvolumen Stefan-Boltzmann-Strahlungskonstante Loschmidt-Konstante Planck-Strahlungskonstanten Boltzmann-Konstante Wien-Konstante elektrische Feldkonstante Rydberg-Konstante magnetische Feldkonstante Elektronenradius Faraday-Konstante atomare Masseneinheit

G D 6;6720  1011 N  m2 =kg2 gn D 9;80665 m=s2 h D 6;626  1034 J s R D 8314;41 J=.kmol  K/  D 376;731 Vm D 22;414 m3 =kmol bei 1,01325 bar 0 °C  D 5;6703  108 W=.m2  K4 / NL D 2;6868  1025 m3 c1 D 3;741  1016 W  m2 , c2 D 1;438  102 m  K k D 1;3807  1023 J=K K D 2;8978  103 m  K "0 D 8;8542  1012 F=m R D 1;09737  107 m1 0 D 1;2566  106 H=m re D 2;8178  1015 m F D 9;6485  107 C=kmol u D 1;6606  1027 kg

49

N D

m NA M

Maß der Intensität einer radioaktiven StrahBecquerel lung;Anzahl der Zerfallsakte pro Zeiteinheit 1 Bq D 1=s Maß für die Ausbeute bei Kernreaktiom2 nen;Gedachter Querschnitt der bestrahlten Atome

Gray 1 Gy D 1 J=kg Sievert 1 Sv D 1 J=kg



A

H D DQF

D D W =m

1  .c=c0 /2

m0

Gesetz u D mC12 =MC12 D 1=NA

E 1;6022  1019 J D D 1;782  1033 g 2 c0 .2;998  108 m=s/2

Kernreaktionen; Spaltung (fission)  f ; Einfang (absorption)  a Streuung (scattering)  s

Röntgen-, ˇ-, 01 e, 0+1 e-Strahlen Qualitätsfaktor QF thermische Neutronen 3; Alpha-Strahlen 10 Schwere-Rückstoßkerne 30; zulässige Wertea

mD O

N D

103 kg  6;0221  1026 1=kmol 226 kg=kmol D 2;665  1021 238 9 92 U T1=2 D 4;5  10 a - und ˛-Strahlung 1 H T D 2;3 a ˇ-Strahlung 1=2 3 s. Kernspaltung des Urans

Bemerkungen Atomzahl für 1 g 226 88 Ra

23

13

MeV1;602210 Ws=MeV m Energie aus 1 g Uran: Q D M NA W D 1 g6;022110 1=mol200 D 22 810 kWh 235 g=mol3600 s=h Isotope sind verschiedene Nuklide des gleichen chemischen Elements. Ihre Kerne enthalten also die gleiche Protonenzahl, unterscheiden sich aber durch die Massenzahl, z. B. 12 13 14 234 235 238 6 C; 6 C; 6 C und 92 U; 92 U; 92 U. Ein Nuklid ist ein Kern mit bestimmter Protonen- und Neutronenzahl. Arten der Strahlung: ˛-Teilchen: 42 ˛ Kerne des Heliumatoms; ˇ-Teilchen: Elektronen bzw. Positronen; -Strahlen: Kurzwellige, energiereiche, durchdringende elektromagnetische Strahlung, bei der sich weder die Kernladungs- noch die Massenzahl des strahlenden Kerns ändert Neutronen 10 n; Positronen +10 e; Elektronen 10 e

a

Dosisgrenzwerte lt. Strahlenschutzverordnung StrlSchV. vom 1.4.1977 für eine Person: allgemeine Bevölkerung 30 mrem=a D 0;3 mSv=a, berufliches Personal 5 rem=a D 50 mSv=a. Erläuterungen zur Tabelle: AZ Ke mit Ke: Kern, Z: Kernladungs- bzw. Protonenzahl, A: Massenzahl, N .D A  Z/: Neutronenzahl, >M D Molmasse,  D Zerfallskonstante 1 89 144 1 Kernspaltung des Urans: 235 92 U C0 n ! 36 Kr C 56 Ba C 30 n C 200 MeV

Wirkungsquerschnitt

Aktivität

Einheit u D 1;6605  1027 kg

Zeit für den Zerfall der Hälfte der ursprünglich s, min, d, a T1=2 D ln 2= vorhandenen Atome als Einheit gilt die Energie, die ein Elektron beim Elektronenvolt W DeU Durchlaufen der Spannung 1 V aufnimmt 1 eV D 1;6022  1019 J E aus der Äquivalenz von Energie und Masse nach 1 MeVD1;782 O  1033 g m D 2 D q c 0 Einstein

Energiedosis pro Masseneinheit des durchstrahlten Stoffes absorbierte Energie Äquivalent- Maß der biologischen Strahleinwirkung; die von dosis einer -Strahlung von 102 Sv im menschlichen Körper absorbierte Energie

Elektronenmasse

Halbwertszeit atomare Energie

Atomzahl

Bezeichnung Definition atomare als Einheit gilt die relative Masse des Nuklids Masse C12

Tab. 49.17 Grundbegriffe und Grundgrößen der Kernphysik Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: c0 D 2;998  108 m=s, Avogadro’sche Zahl: NA D 6; 0221  1026 1=kmol, Elementarladung des Elektrons: NA D 6; 0221  1026 1=kmol Ruhemassen: Elektron: me0 D 9;119  1031 kg, Proton: mp0 D 1;67262  1027 kg, Neutron: mn0 D 1;675  1027 kg

910 K.-H. Grote

lm=W

lm  s

Lichtstrom pro Einheit der elektrischen Leistung

Produkt aus Lichtstrom und der Zeitdauer der Strahlung

Lichtausbeute

Lichtmenge

Sonnenlicht Sommer Wohnräume Vollmondnacht mondlose Nacht Vollmond Kerze Glühlampe Sonne Leuchtröhre Lampe 1000 W Lampe 40 W

E D =A D I!=A D I=r 2

QD

R

dt

 D =P

Stearinkerze Glühlampe 40 W

105 lx 10 : : : 150 lx 0,2 lx 3  104 lx 2500 cd=m2 7500 cd=m2 2  107 cd=m2 2;2  109 cd=m2 44 lm=W 19 lm=W 11 lm=W

1 cd 35 cd

Bemerkungen, Anhaltswerte Lichtmenge pro Zeiteinheit

I D d=d˝

Gesetz  D dQ=dt

Die Einheit Steradiant (sr) gilt für den Raumwinkel, bei dem das Verhältnis der Fläche einer Kugelkappe zum Quadrat ihres Radius gleich 1 ist. Diese Einheit darf durch 2 1 esetzt werden. Ist ˛ der Öffnungswinkel des Kegels der Kugelkappe mit der Oberfläche p A D 2 rh, so folgt mit ihrer Höhe h D rŒ1  cos.˛=2/ D 2r sin .˛=4/ für den Raumwinkel ! D A=r 2 D 4 sin2 .˛=4/. Speziell gilt ! D 1 sr bei ˛ D 4 arcsin.0;5= / D 65;54ı , Kugel ˛ D 360ı und ! D 4 sr, für ˛ D 120ı ist ! D  sr.

a

cd=m2

Lichtstärke pro Einheit der leuchtenden Fläche

Einheit Lumen lm Intensität der Lichtstrahlung innerhalb des elementaren Raumwinkelsa Candela 1 cd ist die Strahlung eines schwarzen Körpers senkrecht zu seiner Oberfläche cd D lm=sr SI-Grund-Einheit .1=.6  106 / m2 / bei 2042,5 K (erstarrendes Platin) und 1,0133 bar Verhältnis des senkrecht auf der Fläche auftreffenden Lichtstromes zu dieser Lux Fläche lx D lm=m2

Definition von einer Lichtquelle nach allen Richtungen ausgestrahlte Energie

Leuchtdichte

Beleuchtungsstärke

Lichtstärke

Größe Lichtstrom

Tab. 49.18 Grundgrößen der Lichttechnik

49 Allgemeine Tabellen 911

49

Feststoffe: Longitudinalwellen in großen Körpern

Schallgeschwindigkeit

2G.1  v/ %.1  2v/ p cT D G=% p cD D E=%

Maß der subjektiven Empfindung der Schallintensität für s. Abb. 46.1 das Ohr bei 1000 Hz  D 10 lg.I=I0 /

Lautstärke

phon

Bel B, dB

L D 10 lg.P =P0 / D 10 lg.I=I0 / D 20 lg.p=p0 /

logarithmisches Maß für den Schalldruck

Schallpegel

W=m2

I D P =A D p 2 =.cp/

Schallleistung pro Flächeneinheit

Schallintensität, Schallstärke

W

Schallenergie pro Zeiteinheit, die durch eine bestimmte Fläche geht

Schallleistung

m=s N=m2 µbar

m=s

Einheit

p

Wechselgeschwindigkeit der schwingenden Teilchen statischer und dynamischer Druck bei elastischen Medien

u D a0 ! D 2a0 f p

p c D =% p c D ~RT

cL D

Gesetzs

Schallschnelle Schalldruck

Flüssigkeiten Gase

Feststoffe: Transversalwellen in großen Körpern Feststoffe: Dehnwellen in Stäben

Definition

Größe

Tab. 49.19 Die wichtigsten Größen der Schalltechnik

Hörschwelle Unterhaltung Schmerzgrenze

P0 D 1012 W P0 D 2  105 N=m2

Hörschwelle

Hörschwelle Stimme Sirene

Hörschwelle Klavier Sirene

Gummi Stahl Wasser Luft (1 bar, 0 °C) Wasserstoff (1 bar, 0 °C)

Bereiche, Anhaltswerte

0. . . 130 phon 0 phon 50 phon 130 phon

500. . . 3500 m=s 50 m=s 5000 m=s 1485 m=s 331 m=s 1280 m=s 5  108 . . . 1 m=s 102 . . . 102 N=m2 2105 N=m2 0,2 N=m2 35 N=m2 12 10 . . . 105 W D 1012 W  103 W  103 W 1011 . . . 103 W=m2 1012 W=m2 0. . . 140 dB I0 D 1012 W=m2

1000. . . 5000 m=s

912 K.-H. Grote

Einheit 1

dB 1

Gesetz ˛ D .Pa  Pr /=Pr D .pa2  pr2 /=pr2

R D 10 lg.I1 =I2 /  D Paku =Pmech

Definition Maß für die Umwandlung der Schallenergie in Wärme durch Reibung; Index a und r auftreffend und reflektierend

logarithmisches Maß für die Luftschalldämmung einer Wand; Index 1 davor, Index 2 dahinter Verhältnis der akustischen zur mechanischen Leistung s. Tab. 49.20

Bereiche, Anhaltswerte für 500 Hz Beton Glas Schlackenwolle Stahlblech 1 mm

0,01 0,03 0,36 29 dB

a0 : Amplitude; f : Frequenz; A: Fläche; E: Elastizitätsmodul; G: Gleitmodul; P: Leistung; R: Gaskonstante; T: abs. Temperatur; ~: Isentropenexponent; : Poisson-Zahl; %: Dichte; : Kompressibilität

Akustischer Wirkungsgrad

Schalldämmmaß

Größe Schallabsorptionsgrad

Tab. 49.19 (Fortsetzung)

49 Allgemeine Tabellen 913

49

914

K.-H. Grote

Tab. 49.20 Angenäherte akustische Wirkungsgrade Sirene

mit Anpassungstrichter ohne Anpassungstrichter rotierende Scheibe mit Überschallgeschwindigkeit Schmidt-Rohr Ventilator Optimalpunkt p < 2;5 mbar, wenn Pressung unter 25 mm WS p > 2;5 mbar, wenn Pressung über 25 mm WS Ausströmgeräusche Ma < 0;3 0;4 < Ma < 1;0 Ma > 2;0 Propellerflugzeug 2700 kW im Stand Motorrad 250 cm3 ohne Schalldämpfer Kleingasturbine Ansauggeräusch Schalldämpfergeräusch Gehäusegeräusch Dieselmotor Motorblock bei 800 min1 Motorblock bei 3000 min1 Schalldämpfer mit Abgasturbine bei 1500 min1 Getriebe Sonderklasse geräuscharm normal schlecht Elektromotor geräuscharm normal Elektrodynamischer Lautsprecher Menschliche Stimme Schiffsschraube, Wasserschall nicht kavitierend kavitierend Orgel p: Pressung; Paku : akustische Leistung; Pmech : mechanische Leistung; Ma: Machzahl

 D Paku =Pmech .3 : : :/101 1,0102 2,5101 2,0102 1,0106 4,0108 8(106 . . . 105 )(Ma)3 1,0104 (Ma)5 2,0103 5,0103 1,0103 1,0104 1,0105 1,0106 4;0  107 5,0106 1,0104 3,0108 2,0107 1,0106 3,0106 2,0108 2,0107 5,0102 5,0104 109 . . . 108 1,0  107 103 . . . 102

Tab. 49.21 Das Periodensystem der Elemente – [] Atommasse des stabilsten Isotops; H und N: Haupt- und Nebengruppe; * Lanthaniden; ** Aktiniden

49 Allgemeine Tabellen 915

49

Aceton Ammoniak R717c Benzol Bleitetraethyl Chlorbenzol Chlorpikrin Chlorwasserstoff Dichloridfluormethan R12c Dichlorfluormethan R21c Ethanol Ethylenglykol Fluorwasserstoff Formaldehyd Kohlenmonoxid Kohlendioxid Nikotin Propan Quecksilber Schwefelkohlenstoff Schwefelwasserstoff Stickstoffdioxid Trichlorfluormethan R11c

C3 H6 O NH3 C6 H6 C8 H20 Pb C6 H5 Cl CCl3 NO2 HCl CCl2 F2 CHFCI2 C2 H6 O C2 H6 O2 HF H2 CO CO CO2 C10 H14 N2 C3 H8 Hg CS2 H2 S NO2 CCl3 F

Chem. Formel 500 50 canc 0,01 50 0,1 5,0 1000 10 1000 10 3,0 0,5 30 5000 0,07 1000 0,01 10 10 5 1000

MAKWert [ppm] 2,01 0,59 2,7 11,2 3,89 5,68 1,26 4,18 3,56 1,59 2,14 0,69 1,04 0,97 1,52 5,6 1,52 6,93 2,63 1,18 1,59 4,75

Relative Dichte Luft D 1 6,5 33,4 80,1 198,9 131,7 111,9 85,0 29,8 8,92 78,3 197,4 19,54 21 191,5 8,5 125 44,5 356,7 46,4 60,4 21,1 24,9

Siedepunkt [°C]

– 58,4 0,53 8,5 0,00163 400 18,3 960 889

233 8,7 101 0,2 11,7 25,3 43,4 5,3 1,6 59,0 0,1 1,1

Dampfdrucka [mbar]

< 20

12,0 111

11 80 28

< 20

Flammpunkt

4,0 9,5

0,7 2,1

60 45,5

73 77,0

7,3 11,0

1,0 4,3

15,0

3,5 3,2

Explosionsgrenzenb untere obere [Vol%] 2,5 13,0 15,4 33,6 1,2 8,0 1,8 1,3 11,1

Tab. 49.22 Die wichtigsten Schadstoffe und ihre Kennwerte (www.umweltanalytik.com/lexikon/ing1.htm)

102 270

240 470

605

425 410

540 630 555 – 590

Zündtemp. [°C]

H

H

S

H H

H.SWerte

265

336

23

20

33 268 33 663 30 – 286 20 20 33

T, R (Körper) F T F, T F, T T

F, T

Xn F

F T F, T, R39 T, R (Körper) Xn T, R (Körper) C, R (Körper)

Kemler- Gefahrenbez. zahl

916 K.-H. Grote

H2 O2

Chem. Formel 1,0

MAKWert [ppm] 1,17

Relative Dichte Luft D 1 150,2

Siedepunkt [°C] 1,86

Dampfdrucka [mbar]

Flammpunkt

Explosionsgrenzenb untere obere [Vol%] Zündtemp. [°C]

H.SWerte

Kemler- Gefahrenbez. zahl

b

bei 20 °C. bei 1,0133 bar 20 °C. c R11, R12, R21 und R717 sind Bezeichnungen für Kältemittel nach DIN 8960. Erläuterungen zur Tabelle: Besondere Wirkungsfaktoren. Siehe Mitteilung XXV der Senatskommission zur Prüfung gesundheitsschädlicher Arbeitsstoffe vom 16.6.1989. H: Hautresorption, schnelles Durchdringen der Haut, Vergiftungsgefahr größer als beim Einatmen. S: Auslösung allergischer Reaktionen (Entzündungen) individuell sehr verschieden. Gefahrbezeichnungen. Nach der Gefahrstoffverordnung (GefStoffV) vom 26.10.1993. E: explosionsgefährlich; O: brandfördernd; F: leicht entzündlich; T: giftig (toxisch); ; C: ätzend; Xn mindergiftig; Xi reizend Besondere Hinweise: R 39 ernste Gefahr eines irreversiblen Schadens. R 40 Möglichkeit eines irreversiblen Schadens. R (Körper) umfasst Hautschäden: Reizung, Giftigkeit und Verätzung. R 24, R 27, R 34, R 35 und R 38. Kemler-Zahl. Sie befindet sich auf der orangen Warntafel der Transportgefäße. Die erste Ziffer bezeichnet die Hauptgefahr, die zweite und dritte Ziffer zusätzliche Gefahren. Erste Ziffer 2 Gas; 3 entzündbare Flüssigkeit; 4 entzündbarer fester Stoff; 5 entzündend wirkender Stoff bzw. organisches Peroxid; 6 giftiger Stoff; 7 ätzender Stoff; 0 ohne Bedeutung Zweite und dritte Ziffer 1 Explosion; 2 Entweichen von Gas; 3 Entzündbarkeit; 5 oxidierende Eigenschaften; 6 Giftigkeit; 8 Ätzbarkeit; 9 Gefahr einer heftigen Reaktion durch Selbstzersetzung oder Polymerisation; 0 ohne Bedeutung

a

Wasserstoffperoxid

Tab. 49.22 (Fortsetzung)

49 Allgemeine Tabellen 917

49

918

K.-H. Grote

MAK-Wert. Die maximale Arbeitsplatzkonzentration (MAK) eines Stoffes in der Luft (Index L) beeinträchtigt nach den derzeitigen Erkenntnissen bei einer Einwirkung von acht Stunden die menschliche Gesundheit nicht. Die Konzentration wird als xm in ppm oder ml=m3 oder als C in mg=m3 beim Zustand 1,0133 bar und 20 °C angegeben. Dann folgt C D xm %L D xm

MpL D xm M=Vm .MR/ TL

mit dem Molvolumen .MR/ TL pL Nm 293 K 8315 kmolK D D 24;04 m3 =kmol : 5 1;0133  10 N=m2

Vm D

TRK-Wert. Technische Richtkonzentration (TRK) für karzinogene (krebserregende) Stoffe, z. B. Benzol C6 H6

2;5 ppm ;

Arsensäure H3 AsO4

0;1 mg=m3 ;

Asbeststaub

2;0 mg=m3 ;

Hydrazin N2 H4

0;1 ppm ;

Beryllium Be

0;005 mg=m3 ;

Venylchlorid C2 H3 Cl

2 ppm :

BAT-Wert. Biologische Arbeitsstofftoleranz (BAT) für die zulässige Quantität eines Arbeitsstoffes im Menschen (z. B. im Blut) für Aluminium

200 g=dl ;

Kohlenmonoxid CO

5 %;

Blei Pb

300 bis 700 ˙Ig=l ;

Methanol CH3 OH

30 mg=l ;

Fluorwasserstoff

7 mg=g; g=l ;

Styrol Quecksilber Hg

2 g=l ; 50 ˙Ig=l ;

Toluol CH5 CH3

1;7 ˙Ig=dl:

Benzin, Produkte der Pyrolyse (Zersetzung durch Hitze), Auspuffgase, gebrauchte Motorenöle und Kühlschmieröle. Mineralöl 5 mg=m3 und Terpentinöl: MAK D 100 ml=m3 als Anhalt. Stäube. Sie sind disperse (feine) Verteilungen fester Stoffe in Gasen, die durch mechanische Prozesse (z. B. Schleifen) oder durch Aufwirbelung entstehen und durch die Atmung in den Körper eindringen. Hier gelangen sie je nach Teilchengröße in den Nasenrachenraum, in die Bronchien bzw. in die Alveolen (Lungenbläschen). Funktionsbestimmende Kenngröße ist der aerodynamische Durchmesser (aD). Für ein beliebiges Teilchen ist er der Durchmesser einer Kugel der Dichte 1 g=cm3 mit der gleichen Sinkgeschwindigkeit in ruhender bzw. laminar strömender Luft. Gesamtstaub ist der Anteil des Staubes, der eingeatmet werden kann. Er wird bei einer Ansauggeschwindigkeit von 1,25 m=s gemessen und ist der Bezug für den MAK-Wert. Feinstaub dringt bis in die Alveolen ein. Der Durchlassgrad des Vorabscheiders beträgt für Feinstaubteilchen mit dem aerodynamischen Durchmesser 1,5 µm 95 %, 3,5 µm 75 %, 5 µm 50 % und 7,1 µm 0 %. Fibrogene Stäube verursachen Staublungenerkrankungen wie Asbestose und Silikose. So beträgt der MAK-Wert für Quarz 0,15 mg=m3 , bei Feinstaub für Asbest ist der TRK-Wert 0,05 mg=m3 . Inerte Stäube wirken weder toxisch noch fibrogen. Zum Schutz der Atemwege beträgt ihr MAK-Wert 6,0 mg=m3 für Feinstaub. Sättigungskonzentration. Sie ist die Masse eines Stoffes, die eine Volumeneinheit der Luft (Index L) bei dessen Sättigungszustand, also beim Verdampfungsdruck pS und der Temperatur TS aufnimmt. CS D M%S D

MpS MpS TL D : .MR/ TS Vm pL TS

Relative Dichte. Sie ist das Verhältnis der Dichte Besondere Arbeitsstoffe. Hierfür können wegen eines Stoffes zur Luftdichte. der stark schwankenden chemischen Zusammenı D %=%L D M=ML : setzung oft keine Richtwerte erstellt werden z. B.

49 Allgemeine Tabellen

Für die Luft gilt ML D 28;96 g=mol und %L D 1;205 kg=m3 bei 1,0133 bar und 20 °C. Beispiel

Chlorbenzol C6 H5 Cl. Nach Tab. 49.22 ist der Dampfdruck pS D 11;7 mbar bei 20 °C und MAK 50 ppm. Molmasse: Nach Tab. 49.21 ist   5 M D 6  12;01 C 2;016 C 35;45 g=mol 2 D 112;5 g=mol : Dichte: Mp .MR/T 112;5 g=mol  1;0133  105 N=m2 D 8;315 N  m=.mol  K/  293 K D 4679 g=m3 :

919

und BAT-Werte, 1993, Mitteilung 29 der Senatskommission zur Prüfung gesundheitsschädlicher Arbeitsstoffe. EWG-Richtlinie 67/548. Auer-Technikum 9 (1979). EN 149: Filtrierende Halbmasken zum Schutz gegen Partikeln (2001); s. a. www.auer.de (Hersteller für Schutzkleidung), www.umweltbundesamt. de und www.bmu.de und www.europa.eu.int (! Tätigkeitsbereiche, ! Umwelt). Hommel, G. (Hrsg.): Hommel Interaktiv – Handbuch der gefährlichen Güter, CD-ROM. Springer, Berlin (2003) Hommel, G. (Hrsg.): Merkblätter. Springer, Berlin (2002/2003) J

%D

MAK-Wert: C D Xm % D 50  106 m3 =m3  4679 g=m3  103 mg=g D 234 mg=m3 : Sättigungskonzentration: MpS .MR/TS 112;5 g=mol  11;7  102 N  m2 D 8;315 Nm=.mol  K/  293 K D 54;03 g=m3 :

CS D

Beispiel

Druck- und Leistungsverhältnis für L D 92;5 dB. Es gilt L D 20 dB lgp=p0 D 10 dB lgp 2 =p02 D 92;5 dB. Das Druckverhältnis ist danach p=p0 D 1092;5 dB=20 dB D 1090=20  102=20  100;5=20 . Hiernach folgt aus der Tab. 49.23 für 90; 2 und 0,5 dB der Wert p=p0 D 31 620  1;259  1;06 D 4;216  104 . Für das Leistungsverhältnis gilt P =P0 D p 2 =p02 D 1092;5 dB=10 dB D 1090=10  102=10  100;5=10 . Nach der Tab. 49.23 ergibt sich entsprechend: p 2 =p02 D 109 1;585 1;122 D 1;78  109 . „Pegeladdition“ Lges D 10 lg

X

10Li =10 dB dB : J

Beispiel

Relative Dichte: ı D M=ML D %=%L D

112;5 g=mol 4;679 kg=m3 D 3;88 : D 28;96 g=mol 1;205 kg=m3

Quellen und Gesetze zur Tab. 49.22: Bundes-Immisionschutzgesetz BImSchG vom 15.3.1974. Gefahrenstoffverordnung vom 26.10.1993. Technische Regeln für gefährliche Arbeitsstoffe TRgA vom 2.83. BDeutsche Forschungsgemeinschaft: MAK-

Addition der Pegel L D 93; 90; 88; 88; 85 und 82 dB! Nach der oben aufgeführten Gleichung ist: Lges D 10 lg.109;3 C 109;0 C 108;8 C 108;8 C 108;5 C 108;2 / dB D 10 lgŒ108 .20 C 10 C 2  6;3 C 3;1 C 1;6/ dB D 10 lg.47;3  108 / dB D 96;7 dB :

49

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K.-H. Grote

Tab. 49.23 Umrechnung von dB in Druckverhältnisse oder Verhältnisse von Druckquadraten dB 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

p=po 1,000 1,012 1,023 1,035 1,047 1,059 1,072 1,084 1,096 1,109 1,122

p 2 =p02 1,000 1,023 1,047 1,072 1,096 1,122 1,148 1,175 1,202 1,230 1,259

dB 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p=po 1,000 1,122 1,259 1,413 1,585 1,778 1,995 2,239 2,512 2,818 3,162

p 2 =p02 1,000 1,259 1,585 1,995 2,512 3,162 3,981 5,012 6,310 7,943 10,000

dB 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

p=po 1,000 3,162 10,00 31,62 100,0 316,2 1000 3162 10 000 31 620 100 000

p 2 =p02 1,000 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

Pegelerhöhung um 6 dB bewirkt doppelten  DGQ-Publikationen (Deutsche Gesellschaft Schalldruck bzw. vierfache Schallleistung. für Qualität), www.dgq.de Quelle zu den Tab. 49.19, 49.20 und 49.23:  RKW-Schriftenreihen (Rationalisierungskuratorium, bzw. Rationalisierungs- und Innovationszentrum der Deutschen Wirtschaft), Heckl, M.; Müller, H. A. (Hrsg.): Taschenbuch der Technischen Akustik. Springer, Berlin (1975) www.rkw.de  DVS-Schriftenreihen (Deutscher Verband für Schweißen und verwandte Verfahren), www. Siehe auch: Müller, G.; Möser, M. (Hrsg.): Taschenbuch der Technischen Akustik. Springer, Berlin dvs-ev.de (2004) J  DVGW-Publikationen (Deutsche Vereinigung des Gas- und Wasserfaches), www.dvgw.de Technische Regelwerke, die in den Textteilen  DSTV-Publikationen (Deutscher Stahlund in den Anhängen auszugsweise als Hinbau-Verband bzw. Stahl-Zentrum), www. weise enthalten sind, können entweder über stahl-online.de die genannten Verlage oder direkt von den  Stahl-Eisen-Prüfblätter (SEP) (Verein Deutbearbeitenden Institutionen, Verbänden bzw. scher Eisenhüttenleute VDEh), www.stahlVereinen bezogen werden. online.de  DIN-Normen und -Publikationen (Deutsches  Stahl-Eisen-Werkstoffblätter (SEW) (VerInstitut für Normung), www.din.de; z. B. über: ein Deutscher Eisenhüttenleute VDEh), Beuth-Verlag GmbH, Burggrafenstr. 6, 10787 www.stahleisen.de (Verlag Stahleisen Berlin, www.neu.beuth.de – hier auch NachGmbH/Montanund Wirtschaftsverlag weis für in Deutschland zu beachtende techniGmbH) sche Regeln  VDG-Merkblätter (Verein Deutscher Gie LN-Normen (Luft- und Raumfahrt-Normen; ßereifachleute) VDG-DOK, www.vdg.de Deutsches Institut für Normung)  RAL-Publikationen (Deutsches Institut für  VDI-Richtlinien und -Handbücher (Verein Gütesicherung und Kennzeichnung), www.ral. Deutscher Ingenieure), www.vdi.de de  VDMA-Einheitsblätter (Verband Deutscher  GfT-Arbeitsblätter (Gesellschaft für TriboMaschinen- und Anlagenbau bzw. Verband logie, Ernststraße 12, 47443 Moers; Tel. der Investitionsgüterindustrie), www.vdma.de 02841-54213, Fax 02841-59478)  REFA-Publikationen (Verband für Arbeitsge-  VDA-Blätter (Verband der Automobilindusstaltung, Betriebsorganisation und Unternehtrie), www.vda.de mensentwicklung), www.refaly.de  Arbeitsstättenrichtlinien (Bundesminister für  AWF-Publikationen (Ausschuss für wirtWirtschaft und Technologie), www.bmwi.de schaftliche Fertigung)

49 Allgemeine Tabellen

921

 Sicherheitstechnische Regeln des KTA Tab. 49.24 Griechisches Alphabet (Kerntechnischer Ausschuss), www.bmu.de Name Zeichen groß Zeichen klein  Technische Regeln für gefährliche Arbeits- Alpha A ˛ stoffe (Bundesanstalt für Arbeitsschutz und Beta B ˇ;° Gamma  Arbeitsmedizin), www.baua.de ı  Technische Regeln für brennbare Flüssigkei- Delta Epsilon E $ ten (TRbF) (Bundesminister für Wirtschaft Zeta Z

und Arbeit), www.bmwi.de und www.bmu.de Eta H   VBG-Vorschriften des Hauptverbandes der Theta  &; # gewerblichen Berufsgenossenschaften, www. Jota I ( vbg.de Kappa K ; ~  NCG-Empfehlungen: NC-Gesellschaft – An- Lambda   wendung neuer Technolgien, ULM, www.ncg. My M  Ny N  de VdTÜV-Merkblätter und Informationen: Verband der Technischen Überwachungs-Vereine e.V. (VdTÜV), Postfach 10 38 34, 45038 Essen, www.vdtuev.de:

Xi Omikron Pi Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

) O ˘ P ˙ T Y ˚ X  ˝

o ; $ ; %  (am Wortende: & )  y ; ' 

 AD-Merkblätter (Arbeitsgemeinschaft Druckbehälter im VdTÜV)  Technische Regeln Druckgase (VdTÜV) !  TRD-Technische Regeln für Dampfkessel (Deutscher Dampfkessel- und Druckgefäßaus ASME: American Society of Mechanical Enschuss DDA im VdTÜV) gineers; www.asme.org  Technische Regeln Druckbehälter (VdTÜV)  ASTM: American Society for Testing and Ma Technische Regeln für Aufzüge (VdTÜV) terials; www.astm.org  Technische Regeln für Gashochdruckleitun API: American Petroleum Institute; www.api. gen (VdTÜV) org VDE-Verlag GmbH, Bismarckstr. 33, 10625  BSI: British Standard Institution  CEN: Comité Européen de Normalisation Berlin, www.vde.de:  CENELEC: Comité Européen de Normalisation Electrotechniques  VDE-Bestimmungen (Verband Deutscher  GOST: USSR-Standards Elektrotechniker)  IEC: International Electrotechnical Commission Die wichtigsten ausländischen Normen und  ISO: International Organization for Standardisation; www.iso.org ihre Bezugsquellen Auslandsabteilung des Beuth-Verlages, Burggrafenstr. 4–10, 10787 Ber-  NF: Normes Françaises  NEN: Niederländische Normen; www.nen.nl lin:  ÖNORM: Österreichische Normen  AGMA: American Gear Manufacturers Asso-  SAE: Society of Automotive Engineers; www. sae.org ciation, 1500 King Street, Suite 201, Alexan SME: American Society of Manufacturing dria, VA 22314-2730, USA; www.agma.org Engineers; www.sme.org  ANSI: American National Standard Institution; www.ansi.org

49

922

K.-H. Grote

 SNV: Schweizerischer Normenverband; www. Lieferanten für technische Erzeugnisse: Wer snv.ch liefert was?: www.wer-liefert-was.de  UNI: Unificazione Nazionale Italiana Wer baut Maschinen in Deutschland: Herausgeber Verband Deutscher Maschinenund Anlagenbau e.V. (VDMA). Darmstadt: HopAnmerkung: DIN ISO bzw. DIN IEC sind penstedt, www.hoppenstedt.de Deutsche Normen, in denen Normen bzw. EmpWeitere Webseiten ermöglichen die Sufehlungen der ISO bzw. der IEC übernommen che nach Maschinenbauprodukten, z. B. www. wurden. maschinenbau.de oder in den USA www. DIN EN ist eine Europäische Norm, deren thomasregister.com. deutsche Fassung den Status einer Deutschen Norm erhalten hat.

Fachausdrücke

Deutsch-Englisch Abdichten des Arbeitsraumes Sealing of the working chamber Abfallbrennstoffe Fuel from waste material Abgasemission Exhaust emissions Abgasturbolader Exhaust-gas turbocharger Abgasverhalten Exhaust fume behavior Ablauf technischer Fermentationen Course of technical fermentation Abschaltbare Thyristoren Gate turn off thyristors Abschätzverfahren zur Bestimmung des Schallleistungspegels Valuation method of determine the noise power level Abscheiden von Feststoffpartikeln aus Flüssigkeiten Separation of solid particles out of fluids Abscheiden von Partikeln aus Gasen Separation of particles out of gases Abscherbeanspruchung Transverse shear stresses Absolute und relative Strömung Absolute and relative flow Absorbieren, Rektifizieren, Flüssig-flüssig-Extrahieren Absorption, rectification, liquidliquid-extraction Absorptionskälteanlage Absorption refrigeration plant Absorptions-Kaltwassersatz Absorbtion of cold water Absorptionswärmepumpen Absorption heat pumps Absperr- und Regelorgane Shut-off and control valves Abstrahieren zum Erkennen der Funktionen Abstracting to identify the functions

Abtragen Erosion Achsenkreuze Axis systems Achsgetriebe Axis gearing Achsschubausgleich Axial thrust balancing Ackeret-Keller-Prozess Ackeret-keller-process Adaptive Regelung Adaptive control Adiabate, geschlossene Systeme Adiabatic, closed systems Adsorbieren, Trocknen, Fest-flüssig-Extrahieren Adsorption, drying, solid-liquid-extraction Aerodynamik Aero dynamics Agglomerationstechnik Agglomeration technology Agglomerieren Agglomeration Ähnlichkeitsbeziehungen Similarity laws Ähnlichkeitsbeziehungen und Beanspruchung Similarity conditions and loading Ähnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) Similarity laws Ähnlichkeitskennfelder Turbomachinery characteristics Ähnlichkeitsmechanik Similarity mechanics Aktive Maßnahmen zur Lärm- und Schwingungsminderung Actice steps toward noise and vibration reduction Aktive Sicherheitstechnik/Bremse, Bremsbauarten Active safety/brakes, types of brakes Aktoren Actuators Aktuatoren Actuators Akustische Messtechnik Acoustic measurement Algen Algae Algorithmen Algorithms Allgemeine Anforderungen General requirements Allgemeine Arbeitsmethodik General working method

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 B. Bender und D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59711-8

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Allgemeine Auswahlkriterien General Selection criteria Allgemeine Bewegung des starren Körpers General motion of a rigid body Allgemeine ebene Bewegung starrer Körper General plane motion of a rigid body Allgemeine Formulierung General formulation Allgemeine Grundgleichungen Fundamentals Allgemeine Grundlagen General fundamentals Allgemeine Grundlagen der Kolbenmaschinen Basic principles of reciprocating engines Allgemeine Korrosion General Corrosion Allgemeine räumliche Bewegung General motion in space Allgemeine Tabellen General Tables Allgemeine Verzahnungsgrößen General relationships for all tooth profiles Allgemeiner Lösungsprozess General problemsolving Allgemeiner Zusammenhang zwischen thermischen und kalorischen Zustandsgrößen General relations between thermal and caloric properties of state Allgemeines General Allgemeines Feuerungszubehör General furnace accessories Allgemeines über Massenträgheitsmomente Moment of inertia Allgemeines und Bauweise General and configurations Allgemeingültigkeit der Berechnungsgleichungen Generalization of calculations Alternative Antriebsformen Alternative Power train systems Aluminium und seine Legierungen Aluminium and aluminium alloys Analog-Digital-Umsetzer Analog-digital converter Analoge elektrische Messtechnik Analog electrical measurement Analoge Messwerterfassung Analog data logging Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und ˘ -Theorem Dimensional analysis and ˘ -theorem Analytische Verfahren Methods of coordinate geometry Anbackungen Start of baking process

Fachausdrücke

Anergie Anergy Anfahren Start-up period Anfahren und Betrieb Start up and operation Anforderungen an Bauformen Requirements, types of design Angaben zum System System parameters Anisotropie Anisotropy Anlagencharakteristik Plant performance characteristics Anorganisch-chemische Analytik Inorganic chemical analysis Anregungskräfte Initial forces, start-up forces Anschluss an Motor und Arbeitsmaschine Connection to engine and working machine Anstrengungsverhältnis nach Bach Bach’s correction factor Antrieb Driver Antrieb und Bremsen Driver and brakes Antriebe Drives Antriebe der Fördermaschinen Drive systems for materials handling equipment Antriebe mit Drehstromsteller Drives with three-phase current controllers Antriebs- und Steuerungssystem Motion and control System Antriebsmotoren und Steuerungen Drive systems and controllers Antriebsschlupfregelung ASR Drive slip control Antriebsstrang Drive train Anwenden von Exponentengleichungen Use of exponent-equations Anwendung Application Anwendung und Vorgang Application and procedures Anwendung, Ausführungsbeispiele Applications, Examples Anwendungen und Bauarten Applications and types Anwendungsgebiete und Auswahl von Industrierobotern Applications and selection of industrial robots Arbeit Work Arbeitgebundene Pressmaschine Press, working process related Arbeits- und Energiesatz Energy equation Arbeitsaufnahmefähigkeit, Nutzungsgrad, Dämpfungsvermögen, Dämpfungsfaktor

Fachausdrücke

Energy storage, energy storage efficiency factor, damping capacity, damping factor Arbeitsfluid Working fluid Arbeitsplanung Production planning Arbeitssicherheit Safety Arbeitssteuerung Production planning and control Arbeitsverfahren bei Verbrennungsmotoren Type of engine, type of combustion process Arbeitsverfahren und Arbeitsprozesse Engine types and working cycles Arbeitsvorbereitung Job planning Arbeitsweise Functioning Arbeitswissenschaftliche Grundlagen Basic ergonomics Arbeitszyklus Working cycle Arbeitszyklus, Liefergrade und Druckverluste Work cycle, volumetric efficiencies and pressure losses Armaturen Valves and fittings Asynchron-Kleinmotoren Asynchronos small motor Asynchronlinearmotoren Asynchronos linear motor Asynchronmaschinen Asynchronous machines Aufbau Body Aufbau, Eigenschaften, Anwendung Design, characteristic and use Aufbauorganisation von Steuerungen Organisation of control systems Aufgabe Task, Definition Aufgabe und Einordnung Task and Classification Aufgabe, Einteilung und Anwendungen Function, classification and application Aufgaben Applications Aufgaben der Montage und Demontage Tasks of assembly and disassembly Aufgaben des Qualitätsmanagements Scope of quality management Aufgaben, Eigenschaften, Kenngrößen Applications, characteristics, properties Aufladung von Motoren Supercharging Auflagerreaktionen an Körpern Support reactions Aufwölbung und Bewegungen im Schmelzgut Bulging of the surface and melt circulation in induction furnaces

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Aufzüge Elevators Aufzüge und Schachtförderanlagen Elevators and hoisting plants Ausarbeiten Detail design Ausführung und Auslegung von Hydrogetrieben Configuration and Layout of hydrostatic transmissions Ausführungen Types Ausführungen von Halbleiterventilen Types of semi-conductor valves Ausgeführte Dampferzeuger Types of steam generator Ausgeführte Motorkonstruktionen Design of typical internal combustion (IC) engines Ausgeführte Pumpen Pump constructions Ausgleich der Kräfte und Momente Compensation of forces and moments Ausgleichsvorgänge Transient phenomena Auslegung Basic design principles Auslegung einer reibschlüssigen Schaltkupplung Layout design of friction clutches Auslegung einfacher Planetengetriebe Design of simple planetary trains Auslegung und Dauerfestigkeitsberechnung von Schraubenverbindungen Static and fatigue strength of bolted connections Auslegung und Hauptabmessungen Basic design and dimensions Auslegung von Hydrokreisen Design of hydraulic circuits Auslegung von Industrieturbinen Design of industrial turbines Auslegung von Klimadaten Interpretation of climate data Auslegung von Wärmeübertragern Layout design of heat exchangers Auslegungsgesichtspunkte, Schwingungsverhalten Layout design principles, vibration characteristics Ausschnitte Cutouts Äußere Kühllast External cooling load Ausstattungen Equipment Auswahl einer Kupplungsgröße Size selection of friction clutches Auswahlgesichtspunkte Type selection Auswertung von Messungen Analysis of measurements Automatisierte Montage Automated assembly

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Automatisierung in der Materialflusstechnik Automation in materials handling Automatisierung von Handhabungsfunktionen Automation of material handling functions Automobil und Umwelt Automobile and environment Axiale Repetierstufe einer Turbine Axial repeating stage of multistage turbine Axiale Repetierstufe eines vielstufigen Verdichters Axial repeating stage of multistage compressor Axiale Sicherungselemente Axial locking devices Axiale Temperatur- und Massenstromprofile Axial temperature and mass flow profile Axiale Temperaturverläufe Axial temperature profile Axialtransport Axial transport Axialverdichter Axial compressors Bagger Excavators Bakterien Bacteria Bandsäge- und Bandfeilmaschinen Bandsawing and filing machines Bandsäge- und Bandfeilmaschinen Hubsägeund Hubfeilmaschinen Schleifmaschinen Band sawing and band filing machines, hack sawing and hack filing machines, grinding machines Bandschleifmaschinen Belt grinding machines Basisdisziplinen Basic disciplines Basismethoden Fundamental methods Batterien Batteries Bauarten Types Bauarten der Wälzlager Rolling bearing types Bauarten und Anwendungsgebiete Types and applications Bauarten und Prozesse Construction types and processes Bauarten und Zubehör Types and accessories Bauarten von Kernreaktoren Types of nuclear reactors Bauarten von Wärmeübertragern Types of heat exchangers Bauarten, Anwendungen Types, applications Bauarten, Beispiele Types, examples Bauarten, Eigenschaften, Anwendung Characteristics and use

Fachausdrücke

Bauausführungen Types of construction Bauelemente Pneumatic components Bauelemente hydrostatischer Getriebe Components of hydrostatic transmissions Bauformen und Achshöhen Types of construction and shaft heights Bauformen und Baugruppen Types and components Baugruppen Assemblies Baugruppen und konstruktive Gestaltung Components and design Baugruppen zur Ein- und Auslasssteuerung Inlet and outlet gear components Baukasten Modular system Baumaschinen Construction machinery Baureihen- und Baukastenentwicklung Fundamentals of development of series and modular design Bauteile Components Bauteile des Reaktors und Reaktorgebäude Components of reactors und reactor building Bauteilverbindungen Connections Bauzusammenhang Construction interrelationship Beanspruchung bei Berührung zweier Körper (Hertzsche Formeln) Hertzian contact stresses (Formulas of Hertz) Beanspruchung der Schaufeln durch Fliehkräfte Centrifugal stresses in blades Beanspruchung der Schaufeln durch stationäre Strömungskräfte Steady flow forces acting on blades Beanspruchung stabförmiger Bauteile Stresses in bars and beams Beanspruchung und Festigkeit der wichtigsten Bauteile Stresses and strength of main components Beanspruchungen Stresses Beanspruchungen und Werkstoffe Loading and materials Beanspruchungs- und Versagensarten Loading and failure types Beanspruchungskollektiv Operating variables Bearbeitungszentren Machining Centers Becherwerke (Becherförderer) Bucket elevators (bucket conveyors) Bedeutung von Kraftfahrzeugen Importance of motor vehicles

Fachausdrücke

Begriff Definition Begriffsbestimmung Definition of the term Begriffsbestimmungen und Übersicht Terminology definitions and overview Behagliches Raumklima in Aufenthalts- und Arbeitsräumen Comfortable climate in living and working rooms Beheizung Heating system Beispiel einer Radialverdichterauslegung nach vereinfachtem Verfahren Example: approximate centrifugal compressor sizing Beispiele für mechanische Ersatzsysteme: Feder-Masse-Dämpfer-Modelle Examples for mechanical models: Spring-mass-dampermodels Beispiele für mechanische Ersatzsysteme: Finite-Elemente-Modelle Examples for mechanical models: Finite-Elemente models Beispiele mechatronischer Systeme Examples of mechatronic systems Belastbarkeit und Lebensdauer der Wälzlager Load rating and fatigue life of rolling bearings Belastungs- und Beanspruchungsfälle Loading and stress conditions Belegungs- und Bedienstrategien Load and operating strategies Beliebig gewölbte Fläche Arbitrarily curved surfaces Bemessung, Förderstrom, Steuerung Rating, flow rate, control Benennungen Terminology, classification Berechnung Design calculations Berechnung des stationären Betriebsverhaltens Calculation of static performance Berechnung hydrodynamischer Gleitlager Calculation of hydrodynamic bearings Berechnung hydrostatischer Gleitlager Calculation of hydrostatic bearings Berechnung und Auswahl Calculation and selection Berechnung und Optimierung Calculation and optimization Berechnung von Rohrströmungen Calculation of pipe flows Berechnungs- und Bemessungsgrundlagen der Heiz- und Raumlufttechnik Calculation and sizing principles of heating and air handling engineering

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Berechnungs- und Bewertungskonzepte Design calculation and integrity assessment Berechnungsgrundlagen Basic design calculations Berechnungsverfahren Design calculations Bereiche der Produktion Fields of production Bernoullischen Gleichung für den instationären Fall Bernoulli’s equation for unsteady flow problems Bernoullischen Gleichung für den stationären Fall Bernoulli’s equation for steady flow problems Berührungsdichtungen an gleitenden Flächen Dynamic contact seals Berührungsdichtungen an ruhenden Flächen Static contact seals Berührungsschutz Protection against electric shock Beschaufelung Blading Beschaufelung, Ein- und Austrittsgehäuse Blading, inlet and exhaust casing Beschichten Surface coating Acceleration Beschleunigungsmesstechnik measurement Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse Description of the state of a system. Thermodynamic processes Beschreibung von Chargenöfen Description of batch furnaces Besondere Eigenschaften Special characteristics Besondere Eigenschaften bei Leitern Special properties of conductors Beton Concrete Betonmischanlagen Mixing installations for concrete Betonpumpen Concrete pumps Betrieb von Lagersystemen Operation of storage systems Betriebliche Kostenrechnung Operational costing Betriebsarten Duty cycles Betriebsbedingungen (vorgegeben) Operating conditions Betriebsfestigkeit Operational stability Betriebskennlinien Operating characteristics Betriebssysteme Operating systems

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Betriebsverhalten Operating characteristics Betriebsverhalten der verlustfreien Verdrängerpumpe Action of ideal positive displacement pumps Betriebsverhalten und Kenngrößen Operating conditions and performance characteristics Betriebsverhalten und Regelmöglichkeiten Operational behaviour and control Betriebsweise Operational mode Bettfräsmaschinen Bed-type milling machines Betttiefenprofil Depth profile Beulen von Platten Buckling of plates Beulen von Schalen Buckling of shells Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich Inelastic (plastic) buckling Beulung Buckling of plates and shells Beurteilen von Lösungen Evaluations of solutions Bewegung eines Punkts The motion of a particle Bewegung starrer Körper Motion of rigid bodies Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes Navier Stokes’ equations Bewegungsgleichungen, Systemmatrizen Equations of motion, system matrices Bewegungssteuerungen Motion controls Bewegungswiderstand und Referenzdrehzahlen der Wälzlager Friction and reference speeds of rolling bearings Bewertungskriterien Evaluation Criteria Bezeichnungen für Wälzlager Designation of standard rolling bearings Bezugswerte, Pegelarithmetik Reference values, level arithmetic Biegebeanspruchung Bending Biegedrillknicken Torsional buckling Biegen Bending Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie für Innendruck Shells under internal pressure, membrane stress theory Biegeschwingungen einer mehrstufigen Kreiselpumpe Vibrations of a multistage centrifugal pump Biegespannungen in geraden Balken Bending stresses in straight beams Biegespannungen in stark gekrümmten Trägern Bending stresses in highly curved beams Biegesteife Schalen Bending rigid shells

Fachausdrücke

Biegeversuch Bending test Biegung des Rechteckbalkens Bending of rectangular beams Biegung mit Längskraft sowie Schub und Torsion Combined bending, axial load, shear and torsion Biegung und Längskraft Bending and axial load Biegung und Schub Bending and shear Biegung und Torsion Bending and torsion Bindemechanismen, Agglomeratfestigkeit Binding mechanisms, agglomerate strength Biogas Biogas Bio-Industrie-Design: Herausforderungen und Visionen Organic industrial design: challenges and visions Biomasse Biomass Bioreaktoren Bioreactors Bioverfahrenstechnik Biochemical Engineering Bipolartransistoren Bipolar transistors Blechbearbeitungszentren Centers for sheet metal working Blei Lead Blindleistungskompensation Reactive power compensation Bohrbewegung Rolling with spin Bohren Drilling and boring Bohrmaschinen Drilling and boring machines Bolzenverbindungen Clevis joints and pivots Bremsanlagen für Nkw Brakes for trucks Bremsen Brakes Bremsenbauarten Types of brakes Bremsregelung Control of brakes Brenner Burners Brennerbauarten Burner types Brennkammer Combustion chamber (burner) Brennstoffe Fuels Brennstoffkreislauf Fuel cycle Brennstoffzelle Fuel cell Brennstoffzellen Fuel Cells Bruchmechanikkonzepte Fracture mechanics concepts Bruchmechanische Prüfungen Fracture mechanics tests Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei statischer Beanspruchung Characteristic fracture mechanics properties for static loading

Fachausdrücke

Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung Characteristic fracture mechanics properties for cyclic loading Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter statischer Beanspruchung Fracture mechanics proof of strength for static loading Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter zyklischer Beanspruchung Fracture mechanics proof of strength for cyclic loading Bruchphysik; Zerkleinerungstechnische Stoffeigenschaften Fracture physics; comminution properties of solid materials Brücken- und Portalkrane Bridge and gantry cranes Brutprozess Breeding process Bunkern Storage in silos Bypass-Regelung Bypass regulation CAA-Systeme CAA systems CAD/CAM-Einsatz Use of CAD/CAM CAD-Systeme CAD systems CAE-Systeme CAE systems CAI-Systeme CAI systems CAM-Systeme CAM systems CAPP-Systeme CAPP systems CAP-Systeme CAP systems CAQ-Systeme CAQ-systems Carnot-Prozess Carnot cycle CAR-Systeme CAR systems CAS-Systeme CAS systems CAT-Systeme CAT systems Charakterisierung Characterization Checkliste zur Erfassung der wichtigsten tribologisch relevanten Größen Checklist for tribological characteristics Chemische Korrosion und Hochtemperaturkorrosion Chemical corrosion and high temperature corrosion Chemische Thermodynamik Chemical thermodynamics Chemische und physikalische Analysemethoden Chemical and physical analysis methods Chemische Verfahrenstechnik Chemical Process Engineering Chemisches Abtragen Chemical machining Client-/Serverarchitekturen Client-/Server architecture

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Dachaufsatzlüftung Ventilation by roof ventilators Dämpfe Vapours Dampferzeuger Steam generators Dampferzeuger für Kernreaktoren Nuclear reactor boilers Dampferzeugersysteme Steam generator systems Dampfkraftanlage Steam power plant Dampfspeicherung Steam storage Dampfturbinen Steam turbines Dämpfung Shockabsorption Darstellung der Schweißnähte Graphical symbols for welds Darstellung von Schwingungen im Frequenzbereich Presentation of vibrations in the frequency domain Darstellung von Schwingungen im Zeit- und Frequenzbereich Presentation of vibrations in the time and frequency domain Darstellung von Schwingungen im Zeitbereich Presentation of vibrations in the time domain Das Prinzip der Irreversibilität The principle of irreversibility Datenschnittstellen Data interfaces Datenstrukturen und Datentypen Data structures and data types Dauer-Bremsanlagen Permanent brakes Dauerformverfahren Permanent molding process Dauerversuche Longtime tests Definition Definitions Definition und allgemeine Anforderungen Definitions and general requirements Definition und Einteilung der Kolbenmaschinen Definition and classification Definition und Kriterien Definition and criteria Definition von Kraftfahrzeugen Definition of motor cycles Definition von Wirkungsgraden Definition of efficiencies Definitionen Definitions Dehnungsausgleicher Expansion compensators Dehnungsmesstechnik Strain measurement Demontage Disassembly Demontageprozess Disassembling process Dériazturbinen Dériaz turbines

930

Dezentrale Klimaanlage Decentralized air conditioning system Dezentralisierung durch den Einsatz industrieller Kommunikationssysteme Decentralisation using industrial communication tools Dezimalgeometrische Normzahlreihen Geometric series of preferred numbers (Renard series) D-Glied Derivative element Diagnosetechnik Diagnosis devices Dichtungen Bearing seals Dielektrische Erwärmung Dielectric heating Dieselmotor Diesel engine Differentialgleichung und Übertragungsfunktion Differential equation and transfer function Digitale elektrische Messtechnik Digital electrical measurements Digitale Messsignaldarstellung Digital signal representation Digitale Messwerterfassung Digital data logging Digitalrechnertechnologie Digital computing Digitalvoltmeter, Digitalmultimeter Digital voltmeters, multimeters Dimensionierung von Bunkern Design of silos Dimensionierung von Silos Dimensioning of silos Dimensionierung, Anhaltswerte Dimensioning, First assumtion data Dioden Diodes Diodenkennlinien und Daten Diode characteristics and data Direkte Beheizung Direct heating Direkte Benzin-Einspritzung Gasoline direct injection Direkte und indirekte Geräuschentstehung Direct and indirect noise development Direkter Wärmeübergang Direct heat transfer Direktes Problem Direct problem Direktumrichter Direct converters Direktverdampfer-Anlagen Direct expansion plants Direktverdampfer-Anlagen für EDV-Klimageräte Computer-air-conditioners with direct expansion units DMU-Systeme DMU systems Drahtziehen Wire drawing

Fachausdrücke

Drehautomaten Automatic lathes Drehen Turning Drehfelder in Drehstrommaschinen Rotating fields in three-phase machines Drehführungen Swivel guides Drehführungen, Lagerungen Rotary guides, bearings Drehkraftdiagramm von Mehrzylindermaschinen Graph of torque fluctuations in multicylinder reciprocating machines Drehkrane Slewing cranes Drehmaschinen Lathes Drehmomente, Leistungen, Wirkungsgrade Torques, powers, efficiencies Drehmomentgeschaltete Kupplungen Torquesensitive clutches (slip clutches) Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen Permanent rotary-flexible couplings Drehrohrmantel Rotary cube casing Drehrohröfen Rotary kiln Drehschwinger mit zwei Drehmassen Torsional vibrator with two masses Drehschwingungen Torsional vibrations Drehstabfedern (gerade, drehbeanspruchte Federn) Torsion bar springs Drehstarre Ausgleichskupplungen Torsionally stiff self-aligning couplings Drehstarre, nicht schaltbare Kupplungen Permanent torsionally stiff couplings Drehstoß Rotary impact Drehstrom Three-phase-current Drehstromantriebe Three-phase drives Drehstromtransformatoren Three phase transformers Drehwerke Slewing mechanis Drehzahlgeschaltete Kupplungen Speed-sensitive clutches (centrifugal clutches) Drehzahlregelung Speed control Drehzahlverstellung Speed control Druckbeanspruchte Querschnittsflächen Ap Pressurized cross sectional area Ap Drücke Pressures Drucker Printers Druckmesstechnik Pressure measurement Druckventile Pressure control valves Druckverlust Pressure drop Druckverlustberechnung Pressure drop design Druckverluste Pressure losses

Fachausdrücke

Druckversuch Compression test Druckzustände Pressure conditions Dünnwandige Hohlquerschnitte (Bredtsche Formeln) Thin-walled tubes (Bredt-Batho theory) Durchbiegung von Trägern Deflection of beams Durchbiegung, kritische Drehzahlen von Rotoren Deflection, critical speeds of rotors Durchdrücken Extrusion Durchführung der Montage und Demontage Realization of assembly and disassembly Durchgängige Erstellung von Dokumenten Consistent preparation of documents Durchlauföfen Continuous kilns Durchsatz Throughput Duroplaste Thermosets Düsen- und Diffusorströmung Jet and diffusion flow Dynamische Ähnlichkeit Dynamic similarity Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte Centrifugal stresses in rotating components Dynamische Kräfte Dynamic forces Dynamische Übertragungseigenschaften von Messgliedern Dynamic transient behaviour of measuring components Dynamisches Betriebsverhalten Dynamic performance Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newtonsches Axiom) Newton’s law of motion Dynamisches Modell Dynamic model Dynamisches Verhalten linearer zeitinvarianter Übertragungsglieder Dynamic response of linear time-invariant transfer elements Ebene Bewegung Plane motion Ebene Böden Flat end closures Ebene Fachwerke Plane frames Ebene Flächen Plane surfaces Ebene Getriebe, Arten Types of planar mechanisms Ebene Kräftegruppe Systems of coplanar forces Ebener Spannungszustand Plane stresses Effektive Organisationsformen Effective types of organisation Eigenfrequenzen ungedämpfter Systeme Natural frequency of undamped systems Eigenschaften Characteristics

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Eigenschaften Properties Eigenschaften des Gesamtfahrzeugs Characteristics of the complete vehicle Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe Properties and Application of Materials Ein- und Auslasssteuerung Inlet and outlet gear Eindimensionale Strömung Nicht-Newtonscher Flüssigkeiten One-dimensional flow of non-Newtonian fluids Eindimensionale Strömungen idealer Flüssigkeiten One-dimensional flow of ideal fluids Eindimensionale Strömungen zäher Newtonscher Flüssigkeiten (Rohrhydraulik) Onedimensional flow of viscous Newtonian fluids Einfache und geschichtete Blattfedern (gerade oder schwachgekrümmte, biegebeanspruchte Federn) Leaf springs and laminated leaf springs Einfluss der Stromverdrängung Current displacement Einfluss von Temperatur, pH-Wert, Inhibitoren und Aktivatoren Influence of temperature, pH, inhibiting and activating compounds Einflussgröße Influencing variables Einflüsse auf die Werkstoffeigenschaften Influences on material properties Einführung Introduction Eingangsproblem Input problem Einheitensystem und Gliederung der Messgrößen der Technik System and classification of measuring quantities Einige Grundbegriffe Fundamentals Einleitung Introduction Einleitung und Definitionen Introduction and definitions Einordnung der Fördertechnik Classification of materials handling Einordnung des Urformens in die Fertigungsverfahren Placement of primary shaping in the manufacturing processes Einordnung und Konstruktionsgruppen von Luftfahrzeugen Classification and structural components of aircrafts Einordnung von Luftfahrzeugen nach Vorschriften Classification of aircraft according to regulations Einphasenmotoren Single-phase motors Einphasenströmung Single phase fluid flow

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Einphasentransformatoren Single phase transformers Einrichtungen zur freien Lüftung Installations for natural ventilation Einrichtungen zur Gemischbildung und Zündung bei Dieselmotoren Compression-ignition engine auxiliary equipment Einrichtungen zur Geschwindigkeitserfassung bei NC-Maschinen Equipment for speed logging at NC-machines Einrichtungen zur Positionsmessung bei NCMaschinen Equipment for position measurement at NC-machines Einsatzgebiete Operational area Einsatzgebiete Fields of application Einscheiben-Läppmaschinen Single wheel lapping machines Einspritz-(Misch-)Kondensatoren Injection (direct contact) condensers Einspritzdüse Injection nozzle Einspritzsysteme Fuel injection system Einstellregeln für Regelkreise Rules for control loop optimization Einteilung der Stromrichter Definition of converters Einteilung nach Geschwindigkeits- und Druckänderung Classification according to their effect on velocity and pressure Einteilung und Begriffe Classification and definitions Einteilung und Einsatzbereiche Classification and rating ranges Einteilung und Verwendung Classification and configurations Einteilung von Fertigungsystemen Classification of manufacturing systems Einteilung von Handhabungseinrichtungen Systematic of handling systems Eintrittsleitschaufelregelung Adjustable inlet guide vane regulation Einwellenverdichter Single shaft compressor Einzelhebezeuge Custom hoists Einzelheizgeräte für größere Räume und Hallen Individual heaters for larger rooms and halls Einzelheizgeräte für Wohnräume Individual heaters for living rooms Einzelheizung Individual heating

Fachausdrücke

Einzieh- und Wippwerke Compensating mechanism Eisenwerkstoffe Iron Base Materials Eisspeichersysteme Ice storage systems Elastische, nicht schaltbare Kupplungen Permanent elastic couplings Elastizitätstheorie Theory of elasticity Elastomere Elastomers Elektrische Antriebstechnik Electric drives Elektrische Bremsung Electric braking Elektrische Energie aus erneuerbaren Quellen Electric energy from renewable sources Elektrische Infrastruktur Electric infrastructure Elektrische Maschinen Rotating electrical machines Elektrische Speicher Electric storages Elektrische Steuerungen Electrical control Elektrische Stromkreise Electric circuits Elektrische Verbundnetze Combined electricity nets Elektrische/Elektronische Ausrüstung/Diagnose Electrical/Electronical Equipment/Diagnosis Elektrizitätswirtschaft Economic of electric energy Elektrobeheizung Electric heating Elektrochemische Korrosion Electrochemically corrosion Elektrochemisches Abtragen Electro chemical machining (ECM) Elektrohängebahn Electric suspension track Elektrolyte Electrolytic charge transfer Elektromagnetische Ausnutzung Electromagnetic utilization Elektromagnetische Verträglichkeit Electromagnetic compatibility Elektronenstrahlverfahren Electron beam processing Elektronisch kommutierte Motoren Electronically commutated motors Elektronische Bauelemente Electronic components Elektronische Datenerfassung und -übertragung durch RFID Electronic data collection and transmission by RFID Elektronische Datenverarbeitung Electronic data processing

Fachausdrücke

Elektronische Schaltungen, Aufbau Assembly of electronic circuits Elektrostatisches Feld Electrostatic field Elektrotechnik Electrical Engineering Elektrowärme Electric heating Elemente der Kolbenmaschine Components of crank mechanism Elemente der Werkzeugmaschinen Machine tool components Elliptische Platten Elliptical plates Emissionen Emissions Endlagerung radioaktiver Abfälle Permanent disposal of nuclear waste Endtemperatur, spezifische polytrope Arbeit Discharge temperature, polytropic head Energetische Grundbegriffe: Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Basic terms of energy: work, power, efficiency Energie-, Stoff- und Signalumsatz Energy, material and signal transformation Energiebilanz und Wirkungsgrad Energy balance, efficiency Energiespeicher Energy storage methods Energiespeicherung Energy storage Energietechnik und Wirtschaft Energy systems and economy Energietransport Energy transport Energieübertragung durch Flüssigkeiten Hydraulic power transmission Energieübertragung durch Gase Pneumatic power transmission Energieverteilung Electric power distribution Energiewandlung Energy conversion Energiewandlung mittels Kreisprozessen Energy conversion by cyclic processes Entsorgung der Kraftwerksnebenprodukte Deposition of by-products in the power process Entstehung von Maschinengeräuschen Generation of machinery noise Entstehung von Maschinenschwingungen, Erregerkräfte F(t) Origin of machine vibrations, excitation forces Entwerfen Embodiment design Entwicklungsmethodik Development methodology Entwicklungsprozesse und -methoden Development processes and methods

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Entwicklungstendenzen Development trends Entwurfsberechnung Calculation Entwurfsproblem Design problem Erdbaumaschinen Earth moving machinery Erdgastransporte Natural gas transport Ergänzungen zur Höheren Mathematik Complements to advanced mathematics Ergänzungen zur Mathematik für Ingenieure Complements for engineering mathematics Ergebnisdarstellung und Dokumentation Representation and documentation of results Ermittlung der Heizfläche Calculation of heating surface area Erosionskorrosion Corrosion erosion ERP-Systeme ERP systems Ersatzschaltbild und Kreisdiagramm Equivalent circuit diagram and circle diagram Erstellung von Dokumenten Technical product documentation Erster Hauptsatz First law Erträgliches Raumklima in Arbeitsräumen und Industriebetrieben Optimum indoor climate in working spaces and factories Erwärmung und Kühlung Heating and cooling Erweiterte Schubspannungshypothese Mohr’s criterion Erzeugung elektrischer Energie Generation of electric energy Erzeugung von Diffusionsschichten Production of diffusion layers Erzwungene Schwingungen Forced vibrations Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden Forced vibrations with two and multi-DOFs Evolventenverzahnung Involute teeth Excellence-Modelle Excellence models Exergie einer Wärme Exergy and heat Exergie eines geschlossenen Systems Exergy of a closed system Exergie eines offenen Systems Exergy of an open system Exergie und Anergie Exergy and anergy Exergieverluste Exergy losses Experimentelle Spannungsanalyse Experimental stress analysis Extreme Betriebsverhältnisse Extreme operational ranges Exzentrischer Stoß Eccentric impact

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Fachwerke Pin-jointed frames Fahrantrieb Propulsion system Fahrdynamik Driving dynamics Fahrdynamikregelsysteme Control system for driving dynamics Fahrerassistenzsysteme Advanced driver assistant systems Fahrerlose Transportsysteme (FTS) Automatically guided vehicles (AGV) Fahrgastwechselzeiten Duration of passenger exchange Fahrgastzelle Occupant cell Fahrkomfort Driving comfort Fahrwerk Under-carriage Fahrwerke Carriages Fahrwerkskonstruktionen Running gear Fahrwiderstand Train driving resistance Fahrwiderstand und Antrieb Driving resistance and powertrain Fahrzeugabgase Vehicle emissions Fahrzeuganlagen Vehicle airconditioning Fahrzeugarten Vehicle principles Fahrzeugarten, Aufbau Body types, vehicle types, design Fahrzeugbegrenzungsprofil Vehicle gauge Fahrzeugelektrik, -elektronik Vehicle electric and electronic Fahrzeugkrane Mobile cranes Fahrzeugsicherheit Vehicle safety Fahrzeugtechnik Transportation technology Faser-Kunststoff-Verbunde Fibre reinforced plastics, composite materials Faserseile Fibre ropes Featuretechnologie Feature modeling Fed-Batch-Kultivierung Fed-batch cultivation Feder- und Dämpfungsverhalten Elastic and damping characteristics Federkennlinie, Federsteifigkeit, Federnachgiebigkeit Load-deformation diagrams, spring rate (stiffness), deformation rate (flexibility) Federn Springs Federn aus Faser-Kunststoff-Verbunden Fibre composite springs Federnde Verbindungen (Federn) Elastic connections (springs) Federung und Dämpfung Suspension and dampening

Fachausdrücke

Feinbohrmaschinen Precision drilling machines Feldbusse Field busses Feldeffekttransistoren Field effect transistors Feldgrößen und -gleichungen Field quantities and equations Fenster Windows Fensterlüftung Ventilation by windows Fernwärmetransporte Remote heat transport Fernwärmewirtschaft Economics of remote heating Fertigungs- und Fabrikbetrieb Production and works management Fertigungsmittel Manufacturing systems Fertigungssysteme Manufacturing systems Fertigungsverfahren Manufacturing processes Fertigungsverfahren der Feinwerk- und Mikrotechnik Manufacturing in precision engineering and microtechnology Feste Brennstoffe Solid fuels Feste Stoffe Solid materials Festigkeit von Schweißverbindungen Strength calculations for welded joints Festigkeitsberechnung Strength calculations Festigkeitshypothesen Strength theories Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Failure criteria, equivalent stresses Festigkeitslehre Strength of materials Festigkeitsnachweis Structural integrity assessment Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit konstanter Amplitude Proof of strength for constant cyclic loading Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit variabler Amplitude (Betriebsfestigkeitsnachweis) Proof of structural durability Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung Proof of strength for static loading Festigkeitsnachweis unter Zeitstand- und Kriechermüdungsbeanspruchung Loading capacity under creep conditions and creepfatigue conditions Festigkeitsnachweis von Bauteilen Proof of strength for components Festigkeitsverhalten der Werkstoffe Strength of materials Fest-Loslager-Anordnung Arrangements with a locating and a non-locating bearing

Fachausdrücke

Festschmierstoffe Solid lubricants Feststoff/Fluidströmung Solids/fluid flow Feststoffschmierung Solid lubricants Fettschmierung Grease lubrication Feuerfestmaterialien Refractories Feuerungen Furnaces Feuerungen für feste Brennstoffe Solid fuel furnaces Feuerungen für flüssige Brennstoffe Liquid fuel furnaces Feuerungen für gasförmige Brennstoffe Gasfueled furnaces Filamentöses Wachstum Filamentous growth Filmströmung Film flow Filter Filters Finite Berechnungsverfahren Finite analysis methods Finite Differenzen Methode Finite difference method Finite Elemente Methode Finite element method Flächenpressung und Lochleibung Contact stresses and bearing pressure Flächentragwerke Plates and shells Flächenverbrauch Use of space Flachriemengetriebe Flat belt drives Flankenlinien und Formen der Verzahnung Tooth traces and tooth profiles Flansche Flanges Flanschverbindungen Flange joints Flexible Drehbearbeitungszentren Flexible turning centers Flexible Fertigungssysteme Flexible manufacturing systems Fließkriterien Flow criteria Fließkurve Flow curve Fließprozess Flow process Fließspannung Flow stress Fließverhalten von Schüttgütern Flow properties of bulk solids Flügelzellenpumpen Vanetype pumps Fluggeschwindigkeiten Airspeeds Flugleistungen Aircraft performance Flugstabilitäten Flight stability Flugsteuerung Flight controls Flugzeugpolare Aircraft polar Fluid Fluid

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Fluidische Antriebe Hydraulic and pneumatic power transmission Fluidische Steuerungen Fluidics Fluorhaltige Kunststoffe Plastics with fluorine Flurförderzeuge Industrial trucks Flüssigkeitsringverdichter Liquid ring compressors Flüssigkeitsstand Liquid level Foliengießen Casting of foils Förderer mit Schnecken Screw conveyors Fördergüter und Fördermaschinen Material to be conveyed; materials handling equipment Fördergüter und Fördermaschinen, Kenngrößen des Fördervorgangs Conveyed materials and materials handling, parameters of the conveying process Förderhöhen, Geschwindigkeiten und Drücke Heads, speeds and pressures Förderleistung, Antriebsleistung, Gesamtwirkungsgrad Power output, power input, overall efficiency Fördertechnik Materials handling and conveying Formänderungsarbeit Strain energy Formänderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen Bending strain energy, energy methods for deflection analysis Formänderungsgrößen Characteristics of material flow Formänderungsvermögen Formability Formen der Organisation Organisational types Formen, Anwendungen Types, applications Formgebung bei Kunststoffen Forming of plastics Formgebung bei metallischen und keramischen Werkstoffen durch Sintern (Pulvermetallurgie) Forming of metals and ceramics by powder metallurgy Formgebung bei metallischen Werkstoffen durch Gießen Shaping of metals by casting Formpressen Press moulding Formschlüssige Antriebe Positive locked drives Formschlüssige Schaltkupplungen Positive (interlocking) clutches (dog clutches) Formschlussverbindungen Positive connections

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Formverfahren und -ausrüstungen Forming process and equipment Föttinger-Getriebe Hydrodynamic drives and torque convertors Föttinger-Kupplungen Fluid couplings Föttinger-Wandler Torque convertors Fourierspektrum, Spektrogramm, Geräuschanalyse Fourier spectrum, spectrogram, noise analysis Francisturbinen Francis turbines Fräsen Milling Fräsmaschinen Milling machines Fräsmaschinen mit Parallelkinematiken Milling machines with parallel kinematics Fräsmaschinen mit Parallelkinematiken Sonderfräsmaschinen Milling machines with parallel kinematics, special milling machines Freie gedämpfte Schwingungen Free damped vibrations Freie Kühlung Free cooling Freie Kühlung durch Außenluft Free cooling with external air Freie Kühlung durch Kältemittel-PumpenSystem Free cooling with refrigerant pump system Freie Kühlung durch Rückkühlwerk Free cooling with recooling plant Freie Kühlung durch Solekreislauf Free cooling with brine cycle Freie Lüftung, verstärkt durch Ventilatoren Fan assisted natural ventilation Freie Schwingungen (Eigenschwingungen) Free vibrations Freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden Free vibrations with two and multi-DOFs Freie ungedämpfte Schwingungen Free undamped vibrations Freier Strahl Free jet Fremdgeschaltete Kupplungen Clutches Frequenzbewertung, A-, C- und Z-Bewertung Frequency weighting, A-, C- and Z-weighting Frequenzgang und Ortskurve Frequency response and frequency response locus Frequenzgangfunktionen mechanischer Systeme, Amplituden- und Phasengang Frequency response functions of mechanical systems, amplitude- and phase characteristic

Fachausdrücke

Frontdrehmaschinen Front turning machines Fügen von Kunststoffen Joining Führerräume Driver’s cab Führungen Linear and rotary guides and bearings Führungs- und Störungsverhalten des Regelkreises Reference and disturbance reaction of the control loop Führungsverhalten des Regelkreises Reference reaction of the control loop Funkenerosion und elektrochemisches Abtragen Spark erosion and electrochemical erosion Funkenerosion, Elysieren, Metallätzen Electric discharge machining, electrochemical machining, metaletching Funktion der Hydrogetriebe Operation of hydrostatic transmissions Funktion und Subsysteme Function and subsystems Funktion von Tribosystemen Function of tribosystems Funktionsbausteine Functional components Funktionsbedingungen für Kernreaktoren Function conditions for nuclear reactors Funktionsblöcke des Regelkreises Functional blocks of the monovariable control loop Funktionsgliederung Function structure Funktionsweise des Industrie-Stoßdämpfers Principle of operation Funktionszusammenhang Functional interrelationship Fused Deposition Modelling (FDM) Fused Deposition Modeling (FDM) Gabelhochhubwagen Pallet-stacking truck Galvanische Korrosion Galvanic corrosion Gas- und Dampf-Anlagen Combined-cycle power plants Gas-/Flüssigkeitsströmung Gas/liquid flow Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft Mixtures of gas and vapour. Humid air Gasdaten Gas data Gasfedern Gas springs Gasförmige Brennstoffe oder Brenngase Gaseous fuels Gasgekühlte thermische Reaktoren Gas cooled thermal reactors

Fachausdrücke

Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro Gas constant and the law of Avogadro Gasstrahlung Gas radiation Gasturbine für Verkehrsfahrzeuge Gas-turbine propulsion systems Gasturbine im Kraftwerk Gas turbines in power plants Gasturbinen Gas turbines Gaswirtschaft Economics of gas energy Gebläse Fans Gebräuchliche Werkstoffpaarungen Typical combinations of materials Gedämpfte erzwungene Schwingungen Forced damped vibrations Gegengewichtstapler Counterbalanced lift truck Gehäuse Casings Gelenkwellen Drive shafts Gemeinsame Grundlagen Common fundamentals Gemischbildung und Verbrennung im Dieselmotor Mixture formation and combustion in compression-ignition engines Gemischbildung und Verbrennung im Ottomotor Mixture formation and combustion in spark ignition engines Gemischbildung, Anforderungen an Requirements of gas mixture Gemische Mixtures Gemische idealer Gase Ideal gas mixtures Genauigkeit, Kenngrößen, Kalibrierung Characteristics, accuracy, calibration Generelle Anforderungen General requirements Generelle Zielsetzung und Bedingungen General objectives and constraints Geometrisch ähnliche Baureihe Geometrically similar series Geometrische Beschreibung des Luftfahrzeuges Geometry of an aircraft Geometrische Beziehungen Geometrical relations Geometrische Messgrößen Geometric quantities Geometrische Modellierung Geometric modeling Geothermische Energie Geothermal energy Gerader zentraler Stoß Normal impact Geradzahn-Kegelräder Straight bevel gears

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Geräusch Noise Geräuschentstehung Noise development Geregelte Feder-/Dämpfersysteme im Fahrwerk Controlled spring/damper systems for chassis Gesamtanlage Complete plant Gesamtmechanismus Whole mechanism Gesamtwiderstand Total driving resistance Geschlossene Gasturbinenanlage Closed gas turbine Geschlossene Systeme, Anwendung Application to closed systems Geschlossener Kreislauf Closed circuit Geschlossenes 2D-Laufrad Shrouded 2 D-impeller Geschlossenes 3D-Laufrad Shrouded 3 D-impeller Geschwindigkeiten, Beanspruchungskennwerte Velocities, loading parameters Geschwindigkeits- und Drehzahlmesstechnik Velocity and speed measurement Gestaltänderungsenergiehypothese Maximum shear strain energy criterion Gestalteinfluss auf Schwingfestigkeitseigenschaften Design and fatigue strength properties Gestalteinfluss auf statische Festigkeitseigenschaften Design and static strength properties Gestalten und Bemaßen der Zahnräder Detail design and measures of gears Gestalten und Fertigungsgenauigkeit von Kunststoff-Formteilen Design and tolerances of formed parts Gestaltung Fundamentals of embodiment design Gestaltung der Gestellbauteile Embodiment design of structural components (frames) Gestaltung, Werkstoffe, Lagerung, Genauigkeit, Schmierung, Montage Embodiment design, materials, bearings, accuracy, lubrication, assembly Gestaltungshinweise Design hints Gestaltungsprinzipien Principles of embodiment design Gestaltungsrichtlinien Guidelines for embodiment design Gestelle Frames Getriebe Transmission units

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Getriebe mit Verstelleinheiten Transmission with variable displacement units Getriebeanalyse Analysis of mechanisms Getriebetechnik Mechanism-engineering, kinematics Gewichte Weight Gewinde- und Zahnradmesstechnik Thread and gear measurement Gewindearten Types of thread Gewindebohren Tapping Gewindedrehen Single point thread turning Gewindedrücken Thread pressing Gewindeerodieren Electrical Discharge Machining of threads Gewindefertigung Thread production Gewindefräsen Thread milling Gewindefurchen Thread forming Gewindeschleifen Thread grinding Gewindeschneiden Thread cutting with dies Gewindestrehlen Thread chasing Gewindewalzen Thread rolling Gewölbte Böden Domed end closures Gewölbte Flächen Curved surfaces Gitterauslegung Cascade design Glas Glass Gleichdruckturbinen Impulse turbines Gleiche Kapazitätsströme (Gegenstrom) Equal capacitive currents (countercurrent) Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen Conditions of equilibrium Gleichgewicht, Arten Types of equilibrium Gleichseitige Dreieckplatte Triangular plate Gleichstromantriebe Direct-current machine drives Gleichstromantriebe mit netzgeführten Stromrichtern Drives with line-commutated converters Gleichstrom-Kleinmotoren Direct current small-power motor Gleichstromkreise Direct-current (d. c.) circuits Gleichstromlinearmotoren Direct current linear motor Gleichstrommaschinen Direct-current machines Gleichstromsteller Chopper controllers Gleit- und Rollbewegung Sliding and rolling motion Gleitlagerungen Plain bearings

Fachausdrücke

Gliederbandförderer Apron conveyor Gliederung Survey Gliederung der Messgrößen Classification of measuring quantities Granulieren Granulation Grenzformänderungsdiagramm Forming limit diagram (FLD) Grenzschichttheorie Boundary layer theory Großdrehmaschinen Heavy duty lathes Größen des Regelkreises Variables of the control loop Großwasserraumkessel Shell type steam generators Grubenkühlanlagen Airconditioning and climate control for mining Grundaufgaben der Maschinendynamik Basic problems in machine dynamics Grundbegriffe Basic concepts Grundbegriffe der Kondensation Principles of condensation Grundbegriffe der Reaktortheorie Basic concepts of reactor theory Grundbegriffe der Spurführungstechnik Basics of guiding technology Grundgesetze Basic laws Grundlagen Basic considerations Grundlagen der Berechnung Basic principles of calculation Grundlagen der betrieblichen Kostenrechnung Fundamentals of operational costing Grundlagen der Flugphysik Fundamentals of flight physics Grundlagen der fluidischen Energieübertragung Fundamentals of fluid power transmission Grundlagen der Konstruktionstechnik Fundamentals of engineering design Grundlagen der Tragwerksberechnung Basic principles of calculating structures Grundlagen der Umformtechnik Fundamentals of metal forming Grundlagen der Verfahrenstechnik Fundamentals of process engineering Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens Fundamentals of technical systems and systematic approach Grundlagen und Bauelemente Fundamentals and components

Fachausdrücke

Grundlagen und Begriffe Fundamentals and terms Grundlagen und Vergleichsprozesse Fundamentals and ideal cycles Grundlegende Konzepte für den Festigkeitsnachweis Fundamental concepts for structural integrity assessment Grundnormen Basic standards Grundregeln Basic rules of embodiment design Grundsätze der Energieversorgung Principles of energy supply Grundstrukturen des Wirkungsplans Basic structures of the action diagram Gummifederelemente Basic types of rubber spring Gummifedern Rubber springs and anti-vibration mountings Gurtförderer Conveyors Gusseisenwerkstoffe Cast Iron materials Güte der Regelung Control loop performance Haftung und Gleitreibung Static and sliding friction Haftung und Reibung Friction Hähne (Drehschieber) Cocks Halbähnliche Baureihen Semi-similar series Halboffener Kreislauf Semi-closed circuits Halbunendlicher Körper Semi-infinite body Hämmer Hammers Handbetriebene Flurförderzeuge Hand trucks Handgabelhubwagen Hand lift trucks Hardwarearchitekturen Hardware architecture Hardwarekomponenten Hardware Härteprüfverfahren Hardness test methods Hartlöten und Schweißlöten (Fugenlöten) Hard soldering and brazing Hebezeuge und Krane Lifting equipment and cranes Hefen Yeasts Heizlast Heating load Heiztechnische Verfahren Heating processes Heizung und Klimatisierung Heating and air conditioning Heizwert und Brennwert Net calorific value and gros calorific value Heizzentrale Heating centres Herstellen planarer Strukturen Production of plane surface structures

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Herstellen von Schichten Coating processes Herstellung von Formteilen (Gussteilen) Manufacturing of cast parts Herstellung von Halbzeugen Manufacturing of half-finished parts Hilfsmaschinen Auxiliary equipment Hinweise für Anwendung und Betrieb Application and operation Hinweise zur Konstruktion von Kegelrädern Design hints for bevel gears Historische Entwicklung Historical development Hitzesterilisation Sterilization with heat Hobel- und Stoßmaschinen Planing, shaping and slotting machines Hobelmaschinen Planing machines Hochbaumaschinen Building construction machinery Hochgeschwindigkeitsfräsmaschinen Highspeed milling machines Hochspannungsschaltgeräte High voltage switchgear Hochtemperaturkorrosion mit mechanischer Beanspruchung High temperature corrosion with mechanical load Hochtemperaturkorrosion ohne mechanische Beanspruchung High temperature corrosion without mechanical load Hochtemperaturlöten High-temperature brazing Holz Wood Honen Honing Honmaschinen Honing machines Hubantrieb, Antrieb der Nebenfunktionen Lift drive, auxiliary function driv Hubantrieb, Antrieb der Nebenfunktionen Handbetriebene Flurförderzeuge Lift drive, auxiliary function drive, manually operated industrial trucks Hubbalkenofen Walking beam furnace Hubgerüst Lift mast Hubkolbenmaschinen Piston engines Hubkolbenverdichter Piston compressors Hubsäge- und Hubfeilmaschinen Machines for power hack sawing and filing Hubwerke Hoisting mechamism Hubwerksausführungen Hoist design

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Hybride Verfahren für Gemischbildung und Verbrennung Hybride process for mixture formation and combustion Hydraulikaufzüge Hydraulic elevators Hydraulikflüssigkeiten Hydraulic fluids Hydraulikzubehör Hydraulic equipment Hydraulische Förderer Hydraulic conveyors Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide) Hydrodynamics and aerodynamics (dynamics of fluids) Hydrogetriebe, Aufbau und Funktion der Arrangement and function of hydrostatic transmissions Hydrokreise Hydraulic Circuits Hydromotoren in Hubverdränger-(Kolben-) bauart Pistontype motors Hydromotoren in Umlaufverdrängerbauart Gear- and vanetype motors Hydrostatik (Statik der Flüssigkeiten) Hydrostatics Hydrostatische Anfahrhilfen Hydrodynamic bearings with hydrostatic jacking systems Hydrostatische Axialgleitlager Hydrostatic thrust bearings Hydrostatische Radialgleitlager Hydrostatic journal bearings Hydroventile Valves Hygienische Grundlagen Hygienic fundamentals, physiological principles I-Anteil, I-Regler Integral controller Ideale Flüssigkeit Perfect liquid Ideale Gase Ideal gases Ideale isotherme Reaktoren Ideal isothermal reactors Idealisierte Kreisprozesse Theoretical gas-turbine cycles Identifikation durch Personen und Geräte Identification through persons and devices Identifikationsproblem Identification Problem Identifikationssysteme Identification systems IGB-Transistoren Insulated gate bipolar transistors I-Glied Integral element Impulsmomenten- (Flächen-) und Drehimpulssatz Angular momentum equation Impulssatz Equation of momentum Indirekte Beheizung Indirect heating

Fachausdrücke

Indirekte Luftkühlung und Rückkühlanlagen Indirect air cooling and cooling towers Induktionsgesetz Faraday’s law Induktive Erwärmung Induction heating Induktivitäten Inductances Industrieöfen Industrial furnaces Industrieroboter Industrial robot Industrie-Stoßdämpfer Shock absorber Industrieturbinen Industrial turbines Informationsdarstellung Information layout Informationstechnologie Information technology Inkompressible Fluide Incompressible fluids Innengeräusch Interior noise Innenraumgestaltung Interior lay out Innere Energie und Systemenergie Internal energy and systemenergy Innere Kühllast Internal cooling load Instabiler Betriebsbereich bei Verdichtern Unstable operation of compressors Instationäre Prozesse Unsteady state processes Instationäre Strömung Nonsteady flow Instationäre Strömung zäher Newtonscher Flüssigkeiten Non-steady flow of viscous Newtonian fluids Instationäres Betriebsverhalten Transient operating characteristics Integrationstechnologien Integration technologies Interkristalline Korrosion Intergranular corrosion Internationale Praktische Temperaturskala International practical temperature scale Internationale Standardatmosphäre (ISA) International standard atmosphere Internationales Einheitensystem International system of units Internet Internet Interpolation, Integration Interpolation, Integration Kabel und Leitungen Cables and lines Kalandrieren Calendering Kalkulation Cost accounting Kalorimetrie Calorimetry Kalorische Zustandsgrößen Caloric properties Kaltdampf-Kompressionskälteanlage Compression refrigeration plant

Fachausdrücke

Kaltdampfkompressions-Wärmepumpen größerer Leistung Compression heat pumps with high performance Kälte-, Klima- und Heizungstechnik Refrigeration and air-conditioning technology and heating engineering Kälteanlagen und Wärmepumpen Refrigeration plants and heat pumps Kältemaschinen-Öle Refrigeration oil Kältemittel Refrigerant Kältemittel, Kältemaschinen-Öle und Kühlsolen Refrigerants, refrigeration oils and brines Kältemittelkreisläufe Refrigerant circuits Kältemittelverdichter Refrigerant-compressor Kältespeicherung in Binäreis Cooling storage Kältespeicherung in eutektischer Lösung Cooling storage in eutectic solution Kältetechnik Refrigeration technology Kältetechnische Verfahren Refrigeration processes Kaltwassersatz mit Kolbenverdichter Reciprocating water chillers Kaltwassersatz mit Schraubenverdichter Screw compressor water chillers Kaltwassersatz mit Turboverdichter Centrifugal water chillers Kaltwassersätze Packaged water chiller Kaltwasserverteilsysteme für RLT-Anlagen Chilled water systems for air-conditioning plants Kanalnetz Duct systems Kapazitäten Capacitances Kapazitätsdioden Varactors Kaplanturbinen Kaplan turbines Karosserie Bodywork Karren, Handwagen und Rollwagen Barrows, Hand trolleys, Dollies Kaskadenregelung Cascade control Katalytische Wirkung der Enzyme Catalytic effects of enzymes Kathodischer Schutz Cathodic protection Kavitation Cavitation Kavitationskorrosion Cavitation corrosion Kegelräder Bevel gears Kegelräder mit Schräg- oder Bogenverzahnung Helical and spiral bevel gears Kegelrad-Geometrie Bevel gear geometry

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Keilförmige Scheibe unter Einzelkräften Wedge-shaped plate under point load Keilriemen V-belts Keilverbindungen Cottered joints Kenngrößen Characteristics Kenngrößen der Leitungen Characteristics of lines Kenngrößen der Schraubenbewegung Characteristics of screw motion Kenngrößen des Fördervorgangs Parameters of the conveying process Kenngrößen des Ladungswechsels Charging parameters Kenngrößen von Messgliedern Characteristics of measuring components Kenngrößen von Pressmaschinen Characteristics of presses and hammers Kenngrößen-Bereiche für Turbinenstufen Performance parameter range of turbine stages Kenngrößen-Bereiche für Verdichterstufen Performance parameter range of compressor stages Kennlinien Characteristic curves Kennliniendarstellungen Performance characteristics Kennungswandler Torque converter Kennzahlen Characteristics Kennzeichen Characteristics Kennzeichen und Eigenschaften der Wälzlager Characteristics of rolling bearings Keramische Werkstoffe Ceramics Kerbgrundkonzepte Local stress or strain approach Kerbschlagbiegeversuch Notched bar impact bending test Kernbrennstoffe Nuclear fuels Kernfusion Nuclear fusion Kernkraftwerke Nuclear power stations Kernreaktoren Nuclear reactors Ketten und Kettentriebe Chains and chain drives Kettengetriebe Chain drives Kinematik Kinematics Kinematik des Kurbeltriebs Kinematics of crank mechanism Kinematik, Leistung, Wirkungsgrad Kinematics, power, efficiency

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Kinematische Analyse ebener Getriebe Kinematic analysis of planar mechanisms Kinematische Analyse räumlicher Getriebe Kinematic analysis of spatial mechanisms Kinematische Grundlagen, Bezeichnungen Kinematic fundamentals, terminology Kinematische und schwingungstechnische Messgrößen Kinematic and vibration quantities Kinematisches Modell Kinematic model Kinematisches und dynamisches Modell Kinematic and dynamic model Kinetik Dynamics Kinetik chemischer Reaktionen Kinetics of chemical reactions Kinetik der Relativbewegung Dynamics of relative motion Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Körpers Particle dynamics, straight line motion of rigid bodies Kinetik des Massenpunktsystems Dynamics of systems of particles Kinetik des mikrobiellen Wachstums Kinetic of microbial growth Kinetik enzymatischer Reaktionen Kinetic of enzyme reactions Kinetik starrer Körper Dynamics of rigid bodies Kinetik und Kinematik Dynamics and kinematics Kinetostatische Analyse ebener Getriebe Kinetostatic analysis of planar mechanisms Kippen Lateral buckling of beams Kippschalensorter Tilt tray sorter Kirchhoffsches Gesetz Kirchhoff’s Law Klappen Flap valves Klären der Aufgabenstellung Defining the requirements Klassieren in Gasen Classifying in gases Klassifizierung raumlufttechnischer Systeme Airconditioning systems Kleben Adhesive bonding Klebstoffe Adhesives Klemmverbindungen Clamp joints Klimaanlage Air conditioning Klimamesstechnik Climatic measurement Klimaprüfschränke und -kammern Climate controlled boxes and rooms for testing

Fachausdrücke

Knicken im elastischen (Euler-)Bereich Elastic (Euler) buckling Knicken im unelastischen (Tetmajer-)Bereich Inelastic buckling (Tetmajer’s method) Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen Buckling of rings, frames and systems of bars Knickung Buckling of bars Kohlendioxidabscheidung Carbon capture Kohlenstaubfeuerung Pulverized fuel furnaces Kolbenmaschinen Reciprocating engines Kolbenpumpen Piston pumps Kombi-Kraftwerke Combi power stations Komfortbewertung Comfort evaluation Kommissionierung Picking Kompensatoren und Messbrücken Compensators and bridges Komponenten des Roboters Components of robot Komponenten des Roboters Kinematisches und dynamisches Modell Components of the robot kinematics and dynamic model Komponenten des thermischen Apparatebaus Components of thermal apparatus Komponenten mechatronischer Systeme Components of mechatronic systems Komponenten von Lüftungs- und Klimaanlagen Components of ventilation and air-conditioning systems Kompressionskälteanlage Compression refrigeration plant Kompressions-Kaltwassersätze Compressiontype water chillers Kompressionswärmepumpe Compression heat pump Kompressoren Compressors Kondensation bei Dämpfen Condensation of vapors Kondensation und Rückkühlung Condensers and cooling systems Kondensatoren Condensers Kondensatoren in Dampfkraftanlagen Condensers in steam power plants Kondensatoren in der chemischen Industrie Condensers in the chemical industry Konsolfräsmaschinen Knee-type milling machines

Fachausdrücke

Konstante Wandtemperatur Constant wall temperature Konstante Wärmestromdichte Constant heat flux density Konstruktion und Schmierspaltausbildung Influence of the design on the form of the lubricated gap between bearing and shaft Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke Geometric construction for path of contact and conjugate tooth profile Konstruktion von Motoren Internal combustion (IC) engine design Konstruktionen Designs Konstruktionsarten Types of engineering design Konstruktionselemente Components Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen Components of apparatus and pipe lines Konstruktionsphilosophien und -prinzipien Design Philosophies and Principles Konstruktionsprozess The design process Konstruktive Ausführung von Lagerungen. Bearing arrangements Konstruktive Gesichtspunkte Basic design layout Konstruktive Gestaltung Design of plain bearings Konstruktive Hinweise Hints for design Konstruktive Merkmale Constructive characteristics Konvektion Convection Konzipieren Conceptual design Kooperative Produktentwicklung Cooperative product development Koordinatenbohrmaschinen Jig boring machines Körper im Raum Body in space Körper in der Ebene Plane problems Körperschallfunktion Structure-borne noise function Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen Corrosion and Corrosion Protection of Metals Korrosion nichtmetallischer Werkstoffe Corrosion of nonmetallic material Korrosion und Korrosionsschutz Corrosion and corrosion protection

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Korrosion unter Verschleißbeanspruchung Corrosion under wear stress Korrosion von anorganischen nichtmetallischen Werkstoffen Corrosion of inorganic nonmetallic materials Korrosionsartige Schädigung von organischen Werkstoffen Corrosion-like damage of organic materials Korrosionserscheinungen („Korrosionsarten“) Manifestation of corrosion Korrosionsprüfung Corrosion tests Korrosionsschutz Corrosion protection Korrosionsschutz durch Inhibitoren Corrosion protection by inhibitors Korrosionsschutzgerechte Fertigung Corrosion prevention by manufacturing Korrosionsschutzgerechte Konstruktion Corrosion prevention by design Korrosionsverschleiß Wear initiated corrosion Kostenartenrechnung Types of cost Kostenstellenrechnung und Betriebsabrechnungsbögen Cost location accounting Kraft-(Reib-)schlüssige Schaltkupplungen Friction clutches Kräfte am Flachriemengetriebe Forces in flat belt transmissions Kräfte am Kurbeltrieb Forces in crank mechanism Kräfte im Raum Forces in space Kräfte in der Ebene Coplanar forces Kräfte und Arbeiten Forces and energies Kräfte und Verformungen beim Anziehen von Schraubenverbindungen Forces and deformations in joints due to preload Kräfte und Winkel im Flug Forces and angles in flight Kräftesystem im Raum System of forces in space Kräftesystem in der Ebene Systems of coplanar forces Kraftfahrzeuge Vehicle vehicles Kraftfahrzeugtechnik Automotive engineering Kraftmesstechnik Force measurement Krafträder Motorcycles Kraftschlüssige Antriebe Actuated drives Kraftstoffverbrauch Fuel consumption Kraft-Wärme-Kopplung Combined power and heat generation (co-generation)

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Kraftwerkstechnik Power plant technology Kraftwerksturbinen Power Plant Turbines Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld Forces in electromagnetic field Kranarten Crane types Kratzerförderer Scraper conveyors Kreiselpumpe an den Leistungsbedarf, Anpassung Matching of centrifugal pump and system characteristics Kreiselpumpen Centrifugal Pumps Kreisförderer Circular conveyors Kreisplatten Circular plates Kreisscheibe Circular discs Kreisstruktur Closed loop structure Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle Critical speed of shafts, whirling Kugel Spheres Kugelläppmaschinen Spherical lapping machines Kühllast Cooling load Kühlsolen Cooling brines Kühlung Cooling Kühlwasser- und Kondensatpumpen Condensate and circulating water pumps Kultivierungsbedingungen Conditions of cell cultivation Künstliche Brenngase Synthetic fuels Künstliche feste Brennstoffe Synthetic solid fuels Künstliche flüssige Brennstoffe Synthetic liquid fuels Kunststoffe Plastics Kunststoffe, Aufbau und Verhalten von Structure and characteristics of plastics Kunststoffschäume Plastic foams (Cellular plastics) Kupfer und seine Legierungen Copper and copper alloys Kupplung und Kennungswandler Clutching and torque converter Kupplungen und Bremsen Couplings, clutches and brakes Kurbeltrieb Crank mechanism Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung Crank mechanism, forces and moments of inertia, flywheel calculation

Fachausdrücke

Kurvengetriebe Cam mechanisms Kurzhubhonmaschinen Short stroke honing machines Kurzschlussschutz Short-circuit protection Kurzschlussströme Short-circuit currents Kurzschlussverhalten Short-circuit characteristics Ladungswechsel Cylinder charging Ladungswechsel des Viertaktmotors Charging of four-stroke engines Ladungswechsel des Zweitaktmotors Scavenging of two-stroke engines Lageeinstellung Position adjustment Lager Bearings Lager- und Systemtechnik Warehouse technology and material handling system technology Lagereinrichtung und Lagerbedienung Storage equipment and operation Lagerkräfte Bearing loads Lagerkühlung Bearing cooling Lagerluft Rolling bearing clearance Lagern Store Lagerschmierung Lubricant supply Lagersitze, axiale und radiale Festlegung der Lagerringe Bearing seats, axial and radial positioning Lagerung und Antrieb Bearing and drive Lagerung und Schmierung Bearing and lubrication Lagerungsarten, Freimachungsprinzip Types of support, the „free body“ Lagerwerkstoffe Bearing materials Lagrangesche Gleichungen Lagrange’s equations Laminated Object Manufacturing (LOM) Laminated Object Manufacturing (LOM) Längenmesstechnik Length measurement Langhubhonmaschinen Long stroke honing machines Längskraft und Torsion Axial load and torsion Läppmaschinen Lapping machines Laserstrahl-Schweiß- und Löteinrichtungen Laser welding and soldering equipment Laserstrahlverfahren Laser beam processing Lasertrennen Laser cutting Lastaufnahmemittel für Schüttgüter Load carrying equipment for bulk materials

Fachausdrücke

Lastaufnahmemittel für Stückgüter Load carrying equipment for individual items Lastaufnahmevorrichtung Load-carrying device Lasten und Lastkombinationen Loads and load combinations Lasten, Lastannahmen Loads, Load Assumptions Lasthaken Lifting hook Läufer-Dreheinrichtung Turning gear Laufgüte der Getriebe Running quality of mechanisms Laufrad Impeller Laufrad und Schiene (Schienenfahrwerke) Impeller and rail (rail-mounted carriage) Laufradfestigkeit Impeller stress analysis Laufradfestigkeit und Strukturdynamik Impeller strength and structural dynamics Laufwasser- und Speicherkraftwerke Run-ofriver and storage power stations Laufwasser- und Speicherkraftwerke Water wheels and pumped-storage plants Lebenslaufkostenrechung Life Cycle Costing Lebenszykluskosten LCC Lifecyclecosts Leerlauf und Kurzschluss No-load and short circuit Legierungstechnische Maßnahmen Alloying effects Leichtbau Lightweight structures Leichtwasserreaktoren (LWR) Light water reactors Leistung, Drehmoment und Verbrauch Power, torque and fuel consumption Leistungsdioden Power diodes Leistungselektrik Power electronics Leistungsmerkmale der Ventile Power characteristics of valves Leit- und Laufgitter Stationary and rotating cascades Leiter, Halbleiter, Isolatoren Conductors, semiconductors, insulators Leitungen Ducts and piping Leitungsnachbildung Line model Lenkung Steering Licht und Beleuchtung Light and lighting Licht- und Farbmesstechnik Photometry, colorimetry Lichtbogenerwärmung Electric arc-heating

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Lichtbogenofen Arc furnaces Lichtbogenschweißen Arc-welding Liefergrade Volumetric efficiencies Lineare Grundglieder Linear basic elements Lineare Kennlinie Linear characteristic curve Lineare Regler, Arten Types of linear controllers Lineare Übertragungsglieder Linear transfer elements Linearer Regelkreis Linear control loop Linearführungen Linear guides Linearmotoren Linear motors Linearwälzlager Linear motion rolling bearings Lokalkorrosion und Passivität Localized corrosion and passivity Löten Soldering and brazing Lückengrad Voidage Luftbedarf Air supply Luftbefeuchter Humidifiers Luftdurchlässe Air passages Luftentfeuchter Dehumidifiers Lufterhitzer, -kühler Heating and cooling coils Luftfahrzeuge Aircrafts Luftfeuchte Outdoor air humidity Luftführung Air duct Luftheizung Air heating Luftkühlung Air cooling Luftschallabstrahlung Airborne noise emission Luftspeicher-Kraftwerk Air-storage gas-turbine power plant Luftspeicherwerke Compressed air storage plant Lufttemperatur Outdoor air temperature Lüftung Ventilation Luftverkehr Air traffic Luftverteilung Air flow control and mixing Luftvorwärmer (Luvo) Air preheater Luft-Wasser-Anlagen Air-water conditioning systems Magnesiumlegierungen Magnesium alloys Magnetische Datenübertragung Magnetic data transmission Magnetische Materialien Magnetic materials Management der Produktion Production management Maschine Machine Maschinen zum Scheren Shearing machines

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Maschinen zum Scheren und Schneiden Shearing and blanking machines Maschinen zum Schneiden Blanking machines Maschinenakustik Acoustics in mechanical engineering Maschinenakustische Berechnungen mit der Finite-Elemente-Methode/BoundaryElemente-Methode Machine acoustic calculations by Finite-Element-Method/BoundaryElement-Method Maschinenakustische Berechnungen mit der Statistischen Energieanalyse (SEA) Machine acoustic calculations by Statistical Energy Analysis (SEA) Maschinenakustische Grundgleichung Machine acoustic base equation Maschinenarten Machine types Maschinendynamik Dynamics of machines Maschinenkenngrößen Overall machine performance parameters Maschinenschwingungen Machine vibrations Maschinenstundensatzrechnung Calculation of machine hourly rate Massenkräfte und Momente Forces and moments of inertia Materialeinsatz Use of material Materialflusssteuerungen Material flow controls Materialographische Untersuchungen Materiallographic analyses Materialtransport Materials handling Mathematik Mathematics Mechanik Mechanics Mechanische Beanspruchungen Mechanical action Mechanische Datenübertragung Mechanical data transmission Mechanische Elemente der Antriebe Mechanical brakes Mechanische Ersatzsysteme, Bewegungsgleichungen Mechanical models, equations of motion Mechanische Konstruktionselemente Mechanical machine components Mechanische Lüftungsanlagen Mechanical ventilation facilities Mechanische Speicher und Steuerungen Mechanical memories and control systems

Fachausdrücke

Mechanische Verfahrenstechnik Mechanical process engineering Mechanische Verluste Mechanical losses Mechanische Vorschub-Übertragungselemente Mechanical feed drive components Mechanisches Ersatzsystem Mechanical model Mechanisches Verhalten Mechanical behaviour Mechanisch-hydraulische Verluste Hydraulicmechanical losses Mechanisiertes Hartlöten Mechanized hard soldering Mechanismen der Korrosion Mechanisms of corrosion Mechatronik Mechatronics Mehrdimensionale Strömung idealer Flüssigkeiten Multidimensional flow of ideal fluids Mehrdimensionale Strömung zäher Flüssigkeiten Multidimensional flow of viscous fluids Mehrgitterverfahren Multigrid method Mehrgleitflächenlager Multi-lobed and tilting pad journal bearings Mehrmaschinensysteme Multi-machine Systems Mehrphasenströmungen Multiphase fluid flow Mehrschleifige Regelung Multi-loop control Mehrspindelbohrmaschinen Multi-spindle drilling machines Mehrstufige Verdichtung Multistage compression Mehrwegestapler Four-way reach truck Mehrwellen-Getriebeverdichter Integrally geared compressor Membrantrennverfahren Membrane separation processes Membranverdichter Diaphragm compressors Mess- und Regelungstechnik Measurement and control Messgrößen und Messverfahren Measuring quantities and methods Messkette Measuring chain Messort und Messwertabnahme Measuring spot and data sensoring Messsignalverarbeitung Measurement signal processing Messtechnik Metrology Messtechnik und Sensorik Measurement technique and sensors

Fachausdrücke

Messverstärker Amplifiers Messwandler Instrument transformers Messwerke Moving coil instruments Messwertanzeige Indicating instruments Messwertausgabe Output of measured quantities Messwertregistrierung Registrating instruments Messwertspeicherung Storage Metallfedern Metal springs Metallographische Untersuchungen Metallographic investigation methods Metallurgische Einflüsse Metallurgical effects Meteorologische Grundlagen Meteorological fundamentals Methoden Methods Methodisches Vorgehen Systematic approach Michaelis-Menten-Kinetik Michaelis-MentenKinetic Mikrobiologisch beeinflusste Korrosion Microbiological influenced corrosion Mikroorganismen mit technischer Bedeutung Microorganisms of technical importance Mineralische Bestandteile Mineral components Mineralöltransporte Oil transport Mischen von Feststoffen Mixing of solid materials Mittlere Verweilzeit Mean retention time Modale Analyse Modal analysis Modale Parameter: Eigenfrequenzen, modale Dämpfungen, Eigenvektoren Modal parameters: Natural frequencies, modal damping, eigenvectors Modellbildung und Entwurf Modeling and design method Modelle Models Möglichkeiten zur Geräuschminderung Possibilities for noise reduction Möglichkeiten zur Verminderung von Maschinengeräuschen Methods of reducing machinery noise Mollier-Diagramm der feuchten Luft Mollierdiagram of humid air Montage und Demontage Assembly and disassembly Montageplanung Assembly planning Montageprozess Assembly process Montagesysteme Assembly systems Motorbauteile Engine components

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Motoren Motors Motoren-Kraftstoffe Internal combustion (IC) engine fuels Motorisch betriebene Flurförderzeuge Powerdriven lift trucks Motorkraftwerke Internal combustion (IC) engines Mustererkennung und Bildverarbeitung Pattern recognition and image processing Nachbehandlungen Secondary treatments Nachformfräsmaschinen Copy milling machines Näherungsverfahren zur Knicklastberechnung Approximate methods for estimating critical loads Naturumlaufkessel für fossile Brennstoffe Natural circulation fossil fuelled boilers Neigetechnik Body-tilting technique Nenn-, Struktur- und Kerbspannungskonzept Nominal, structural and notch tension concept Nennspannungskonzept Nominal stress approach Netzgeführte Gleich- und Wechselrichter Line-commutated rectifiers and inverters Netzgeführte Stromrichter Line-commutated converters Netzrückwirkungen Line interaction Netzwerkberechnung Network analysis Netzwerke Networks Nichteisenmetalle Nonferrous metals Nichtlineare Schwingungen Non-linear vibrations Nichtlinearitäten Nonlinear transfer elements Nichtmetallische anorganische Werkstoffe Nonmetallic inorganic materials Nichtstationäre Wärmeleitung Transient heat conduction Nickel und seine Legierungen Nickel and nickel alloys Niederhubwagen Pallet truck Niederspannungsschaltgeräte Low voltage switchgear Nietverbindungen Riveted joints Normalspannungshypothese Maximum principal stress criterion Normen- und Zeichnungswesen Fundamentals of standardisation and engineering drawing Normenwerk Standardisation

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Nullter Hauptsatz und empirische Temperatur Zeroth law and empirical temperature Numerisch-analytische Lösung Numerical-analytical solutions Numerische Berechnungsverfahren Numerical methods Numerische Grundfunktionen Numerical basic functions Numerische Methoden Numerical methods Numerische Steuerungen Numerical control (NC) Numerische Verfahren zur Simulation von Luft- und Körperschall Numerical processes to simulate airborne and structureborne noise Nur-Luft-Anlagen Air-only systems Nutzliefergrad und Gesamtwirkungsgrad Delivery rate and overall efficiency Oberflächenanalytik Surface analysis Oberflächeneinflüsse Surface effects Oberflächenerwärmung High-frequency induction surface heating Oberflächenkondensatoren Surface condensers Oberflächenkultivierung Surface fermentations Oberflächenmesstechnik Surface measurement Objektorientierte Programmierung Object oriented programming Ofenköpfe Furnace heads Offene Gasturbinenanlage Open gas turbine cycle Offene und geschlossene Regelkreise Open and Closed loop Offenes Laufrad Semi-open impeller Offener Kreislauf Open circuit Offline-Programmiersysteme Off-line programming systems Ölschmierung Oil lubrication Operationsverstärker Operational amplifiers Optimierung von Regelkreisen Control loop optimization Optimierungsprobleme Optimization problems Optische Datenerfassung und -übertragung Optical data collection and transmission Optische Messgrößen Optical quantities Optoelektronische Empfänger Opto-electronic receivers Optoelektronische Komponenten Optoelectronic components

Fachausdrücke

Optoelektronische Sender Opto-electronic emitters Optokoppler Optocouplers Organisation der Produktion Structure of production Organisationsformen der Montage Organizational forms of assembly Organisch-chemische Analytik Organic chemical analysis Ossbergerturbinen Ossberger (Banki) turbines Oszillierende Verdrängerpumpen Oscillating positive displacement pumps Oszilloskope Oscilloscopes Ottomotor Otto engine P-Anteil, P-Regler Proportional controller Parameterermittlung Parameter definition Parametererregte Schwingungen Parameterexcited vibrations Parametrik Parametric modeling Parametrik und Zwangsbedingungen Parametrics and holonomic constraint Pass- und Scheibenfeder-Verbindungen Parallel keys and woodruff keys Passive Komponenten Passive components Passive Sicherheit Passive safety PD-Regler Proportional plus derivative controller Peltonturbinen Pelton turbines Pflanzliche und tierische Zellen (Gewebe) Plant and animal tissues Pflichtenheft Checklist P-Glied Proportional element Physikalische Grundlagen Law of physics PID-Regler Proportional plus integral plus derivative controller Pilze Funghi PI-Regler Proportional plus integral controller Planiermaschinen Dozers and graders Planschleifmaschinen Surface grinding machines Planung und Investitionen Planning and investments Planung von Messungen Planning of measurements Plastisches Grenzlastkonzept Plastic limit load concept Plastizitätstheorie Theory of plasticity Platten Plates

Fachausdrücke

Plattenbandförderer Slat conveyors Pneumatische Antriebe Pneumatic drives Pneumatische Förderer Pneumatic conveyors Polarimetrie Polarimetry Polygonwellenverbindungen Joints with polygonprofile Polytroper und isentroper Wirkungsgrad Polytropic and isentropic efficiency Portalstapler, Portalhubwagen Straddle carrier, Van carrier Positionswerterfassung, Arten Types of position data registration Potentialströmungen Potential flows PPS-Systeme PPC systems Pressmaschinen Press Pressverbände Interference fits Primärenergien Primary energies Prinzip der virtuellen Arbeiten Principle of virtual work Prinzip und Bauformen Principle and types Prinzip von d’Alembert und geführte Bewegungen D’Alembert’s principle Prinzip von Hamilton Hamilton’s principle Probenentnahme Sampling Produktdatenmanagement Product data management Produktentstehungsprozess Product creation process Profilschleifmaschinen Profil grinding machines Profilverluste Profile losses Programmiermethoden Programming methods Programmiersprachen Programming languages Programmierverfahren Programming procedures Programmsteuerung und Funktionssteuerung Program control and function control Propeller Propellers Proportionalventile Proportional valves Prozessdatenverarbeitung und Bussysteme Process data processing and bussystems Prozesse und Funktionsweisen Processes and functional principles Prozesskostenrechnung/-kalkulation Activitybased accounting/-calculation Prüfverfahren Test methods P-Strecke 0. Ordnung (P–T0 ) Proportional controlled system

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P-Strecke 1. Ordnung (P–T1 ) Proportional controlled system with first order delay P-Strecke 2. und höherer Ordnung (P–Tn ) Proportional controlled system with second or higher order delay P-Strecke mit Totzeit (P–Tt ) Proportional controlled system with dead time Pulsationsdämpfung Pulsation dumping Pumpspeicherwerke Pump storage stations Qualitätsmanagement (QM) Quality management Quasistationäres elektromagnetisches Feld Quasistationary electromagnetic field Querbewegung Translational motion Querdynamik und Fahrverhalten Lateral dynamics and driving behavior Quereinblasung Vertical injection Quergurtsorter Cross belt sorter Querstapler Side-loading truck Quertransport Cross transfer Radaufhängung und Radführung Wheel suspension Radbauarten Wheel types Räder Wheels Radiale Laufradbauarten Centrifugal impeller types Radiale Turbinenstufe Radial turbine stage Radialgleitlager im instationären Betrieb Dynamically loaded plain journal bearings Radialverdichter Centrifugal compressors Radsatz Wheel set Rad-Schiene-Kontakt Wheel-rail-contact Randelemente Boundary elements Rauchgasentschwefelung Flue-gas desulphurisation Rauchgasentstaubung Flue-gas dust separating Rauchgasentstickung Flue-gas NOx reduction Raum-Heizkörper, -Heizflächen Radiators, convectors and panel heating Raumklima Indoor climate Räumlicher und ebener Spannungszustand Three-dimensional and plane stresses Raumluftfeuchte (interior) air humidity Raumluftgeschwindigkeit (interior) air velocity Räummaschinen Broaching machines Raumtemperatur Room temperature Reaktionsgleichungen Equations of reactions

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Reaktorkern mit Reflektor Reactor core with reflector Reale Gase und Dämpfe Real gases and vapours Reale Gasturbinenprozesse Real gas-turbine cycles Reale Maschine Real engine Reale Reaktoren Real reactors Reale Strömung durch Gitter True flow through cascades Reales Fluid Real fluid Rechnergestützter Regler Computer based controller Rechnernetze Computer networks Rechteckplatten Rectangular plates Refraktometrie Refractometry Regelstrecken Controlled systems Regelstrecken mit Ausgleich (P-Strecken) Controlled systems with self-regulation Regelstrecken ohne Ausgleich (I-Strecken) Controlled systems without self-regulation Regelung Regulating device Regelung in der Antriebstechnik Drive control Regelung mit Störgrößenaufschaltung Feedforward control loop Regelung und Betriebsverhalten Regulating device and operating characteristics Regelung und Steuerung Control Regelung von Drehstromantrieben Control of three-phase drives Regelung von Turbinen Control of turbines Regelung von Verdichtern Control of compressors Regelungsarten Regulation methods Regelungstechnik Automatic control Regenerative Energien Regenerative energies Regenerativer Wärmeübergang Regenerative heat transfer Regler Controllers Reibkorrosion (Schwingverschleiß) Fretting corrosion Reibradgetriebe Traction drives Reibschlussverbindungen Connections with force transmission by friction Reibung Friction Reibungszahl, Wirkungsgrad Coefficient of friction, efficiency Reibungszustände Friction regimes Reifen und Felgen Tires and Rims

Fachausdrücke

Reihenstruktur Chain structure Revolverbohrmaschinen Turret drilling machines Richtungsgeschaltete Kupplungen (Freiläufe) Directional (one-way) clutches, overrun clutches Riemenlauf und Vorspannung Coming action of flat belts, tensioning Rissphänomene Cracking phenomena Rohbau Body work Rohrleitungen Pipework Rohrnetz Piping system Rohrverbindungen Pipe fittings Rollen- und Kugelbahnen Roller conveyors Rollwiderstand Rolling friction Roots-Gebläse Roots blowers Rostfeuerungen Stokers and grates Rotation (Drehbewegung, Drehung) Rotation Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse Rigid body rotation about a fixed axis Rotationssymmetrischer Spannungszustand Axisymmetric stresses Rotationsverdichter Vane compressors Rückkühlsysteme Recooling systems Rückkühlwerke Cooling towers Rumpf Fuselage Rundfräsmaschinen Machines for circular milling Rundschleifmaschinen Cylindrical grinding machines Rutschen und Fallrohre Chutes and down pipes Sachnummernsysteme Numbering systems Säge- und Feilmaschinen Sawing and filing machines Saugdrosselregelung Suction throttling Saugrohr-Benzin-Einspritzung Port fuel injection Säulenbohrmaschinen Free-standing pillar machines Schacht-, Kupol- und Hochöfen Shaft, cupola and blast furnace Schachtförderanlagen Hoisting plants Schachtlüftung Ventilation by wells Schadstoffgehalt Pollutant content Schalen Shells Schall, Frequenz, Hörbereich, Schalldruck, Schalldruckpegel, Lautstärke Sound, fre-

Fachausdrücke

quency, acoustic range, sound pressure, sound pressure level, sound pressure level Schalldämpfer Sound absorber Schallintensität, Schallintensitätspegel Sound intensity, sound intensity level Schallleistung, Schallleistungspegel Sound power, sound power level Schaltanlagen Switching stations Schaltgeräte Switchgear Schaltung Circuit Schaltung und Regelung Switching and control Schaufelanordnung für Pumpen und Verdichter Blade arrangement in pumps and compressors Schaufelanordnung für Pumpen und Verdichter Schaufelanordnung für Turbinen Blade arrangement for pumps and compressors blade arrangement for turbines Schaufelanordnung für Turbinen Blade arrangement in turbines Schaufelgitter Blade rows (cascades) Schaufelgitter, Stufe, Maschine, Anlage Blade row, stage, machine and plant Schaufellader Shovel loaders Schaufeln im Gitter, Anordnung Arrangement of blades in a cascade Schaufelschwingungen Vibration of blades Schäumen Expanding Schaumzerstörung Foam destruction Scheiben Discs Scheren und Schneiden Shearing and blanking Schichtpressen Film pressing Schieber Gate valves Schiebeschuhsorter Sliding shoe sorter Schiefer zentraler Stoß Oblique impact Schienenfahrzeuge Rail vehicles Schifffahrt Marine application Schiffspropeller Ship propellers Schleifmaschinen Grinding machines Schlepper Industrial tractor Schlupf Ratio of slip Schmalgangstapler Stacking truck Schmelz- und Sublimationsdruckkurve Melting and sublimation curve Schmieden Forging Schmierfette Lubricating greases Schmieröle Lubricating oils

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Schmierstoff und Schmierungsart Lubricant and kind of lubrication Schmierstoffe Lubricants Schmierung Lubrication Schmierung und Kühlung Lubrication and cooling Schneckengetriebe Worm gears Schneidstoffe Cutting materials Schnelle Brutreaktoren (SNR) Fast breeder reactors Schnittlasten am geraden Träger in der Ebene Forces and moments in straight beams Schnittlasten an gekrümmten ebenen Trägern Forces and moments in plane curved beams Schnittlasten an räumlichen Trägern Forces and moments at beams of space Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment Axial force, shear force, bending moment Schnittstellen Interfaces Schornstein Stack Schottky-Dioden Schottky-Diodes Schraube (Bewegungsschraube) Screw (driving screw) Schrauben Bolts Schrauben- und Mutterarten Types of bolt and nut Schraubenverbindungen Bolted connections Schraubenverdichter Screw compressors Schraubflächenschleifmaschinen Screw thread grinding machines Schreiber Recorders Schrittmotoren Stepping motors Schub und Torsion Shear and torsion Schubplattformförderer Push sorter Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Träger Shear stresses and shear centre in straight beams Schubspannungshypothese Maximum shear stress (Tresca) criterion Schubstapler Reach truck Schuppenförderer Shingling conveyor Schüttgutlager Bulk material storage Schüttgut-Systemtechnik Bulk material handling technology Schutzarten Degrees of protection Schutzschalter Protection switches

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Schweiß- und Lötmaschinen Welding and soldering (brazing) machines Schweißverfahren Welding processes Schwenkbohrmaschinen Radial drilling machines Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) Center of gravity Schwerpunktsatz Motion of the centroid Schwerwasserreaktoren Heavy water reactors Schwimmende oder Stütz-Traglagerung und angestellte Lagerung Axially floating bearing arrangements and clearance adjusted bearing pairs Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder Rückstellkraft Systems with non-linear spring characteristics Schwingfestigkeit Fatigue strength Schwingförderer Vibrating conveyors Schwingkreise und Filter Oscillating circuits and filters Schwingungen Vibrations Schwingungen der Kontinua Vibration of continuous systems Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen) Vibration of systems with periodically varying parameters (Parametrically excited vibrations) Schwingungsrisskorrosion Corrosion fatigue Segregation Segregation Seil mit Einzellast Cable with point load Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) The catenary Seil unter konstanter Streckenlast Cable with uniform load over the span Seilaufzüge Cable elevator Seile und Ketten Cables and chains Seile und Seiltriebe Ropes and rope drives Selbsterregte Schwingungen Self-excited vibrations Selbstgeführte Stromrichter Self-commutated converters Selbstgeführte Wechselrichter und Umrichter Self-commutated inverters and converters Selbsthemmung und Teilhemmung Selflocking and partial locking Selbsttätig schaltende Kupplungen Automatic clutches

Fachausdrücke

Selbsttätige Ventile, Konstruktion Design of self acting valves Selektiver Netzschutz Selective network protection Selektives Lasersintern (SLS) Selective laser sintering (SLS) Sensoren Sensors Sensoren und Aktoren Sensors and actuators Sensorik Sensor technology Serienhebezeuge Standard hoists Servoventile Servo valve Sicherheit Safety Sicherheitsbestimmungen Safety requirements Sicherheitstechnik Safety devices Sicherheitstechnik von Kernreaktoren Reactor safety Sicherung von Schraubenverbindungen Thread locking devices Signalarten Types of signals Signalbildung Signal forming Signaleingabe und -ausgabe Input and output of signals Signalverarbeitung Signal processing Simulationsmethoden Simulation methods Softwareentwicklung Software engineering Solarenergie Solar energy Sonderbauarten Special-purpose design Sonderbohrmaschinen Special purpose drilling machines Sonderdrehmaschinen Special purpose lathes Sonderfälle Special cases Sonderfräsmaschinen Special purpose milling machines Sondergetriebe Special gears Sonderklima- und Kühlanlagen Special air conditioning and cooling plants Sonderschneidverfahren Special blanking processes Sonderverfahren Special technologies Sonnenenergie, Anlagen zur Nutzung Sun power stations Sonnenstrahlung Solar radiation Sortiersystem – Sortieranlage – Sorter Sorting system – sorting plant – sorter Spanen mit geometrisch bestimmten Schneiden Cutting with geometrically well-defined tool edges

Fachausdrücke

Spanen mit geometrisch unbestimmter Schneide Cutting with geometrically nondefined tool angles Spanende Werkzeugmaschinen Metal cutting machine tools Spannungen Stresses Spannungen und Verformungen Stresses and strains Spannungsbeanspruchte Querschnitte Strained cross sectional area Spannungsinduktion Voltage induction Spannungsrisskorrosion Stress corrosion cracking Spannungswandler Voltage transformers Speicherkraftwerke Storage power stations Speicherprogrammierbare Steuerungen Programmable logic controller (PLC) Speichersysteme Storage systems Speisewasseraufbereitung Feed water treatment Speisewasservorwärmer (Eco) Feed water heaters (economizers) Sperrventile Shuttle Valves Spezifische Sicherheitseinrichtungen Specific safety devices Spezifischer Energieverbrauch Specific power consumption Spindelpressen Screw presses Spiralfedern (ebene gewundene, biegebeanspruchte Federn) und Schenkelfedern (biegebeanspruchte Schraubenfedern) Spiral springs and helical torsion springs Spreizenstapler Straddle truck Spritzgießverfahren Injection moulding Spritzpressen Injection pressing Sprungantwort und Übergangsfunktion Step response and unit step response Stäbe mit beliebigem Querschnitt Bars of arbitrary cross section Stäbe mit Kerben Bars with notches Stäbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Längskraft Uniform bars under constant axial load Stäbe mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser Bars of circular cross section and constant diameter Stäbe mit Kreisquerschnitt und veränderlichem Durchmesser Bars of circular cross section and variable diameter

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Stäbe mit veränderlichem Querschnitt Bars of variable cross section Stäbe mit veränderlicher Längskraft Bars with variable axial loads Stäbe unter Temperatureinfluss Bars with variation of temperature Stabilität des Regelkreises Control loop stability Stabilitätsprobleme Stability problems Stähle Steels Stahlerzeugung Steelmaking Standardaufgabe der linearen Algebra Standard problem of linear algebra Standardaufgaben der linearen Algebra Standard problems of linear algebra Ständerbohrmaschinen Column-type drilling machines Standsicherheit Stability Starre Kupplungen Rigid couplings Start- und Zündhilfen Starting aids Statik starrer Körper Statics of rigid bodies Stationär belastete Axialgleitlager Plain thrust bearings under steady state conditions Stationär belastete Radialgleitlager Plain journal bearings under steady-state conditions Stationäre laminare Strömung in Rohren mit Kreisquerschnitt Steady laminar flow in pipes of circular cross-section Stationäre Prozesse Steady state processes Stationäre Strömung durch offene Gerinne Steady flow in open channels Stationäre turbulente Strömung in Rohren mit Kreisquerschnitt Steady turbulent flow in pipes of circular cross-section Stationäre Wärmeleitung Steady state heat conduction Stationärer Betrieb Steady-state operation Statisch unbestimmte Systeme Statically indeterminate systems Statische Ähnlichkeit Static similarity Statische bzw. dynamische Tragfähigkeit und Lebensdauerberechnung Static and dynamic capacity and computation of fatigue life Statische Festigkeit Static strength Statischer Wirkungsgrad Static efficiency Statisches Verhalten Steady-state response Stauchen Upsetting

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Stauchen rechteckiger Körper Upsetting of square parts Stauchen zylindrischer Körper Upsetting of cylindrical parts Stell- und Störverhalten der Strecke Manipulation and disturbance reaction of the controlled system Stereolithografie (SL) Stereolithography (SL) Steriler Betrieb Sterile operation Sterilfiltration Sterile filtration Sterilisation Sterilization Stetigförderer Continuous conveyors Steuerdatenverarbeitung Control data processing Steuerkennlinien Control characteristics Steuerorgane für den Ladungswechsel Valve gear Steuerung automatischer Lagersysteme Control of automatic storage systems Steuerungen Control systems Steuerungssystem eines Industrieroboters Industrial robot control systems Steuerungssystem eines Industrieroboters Programmierung Control system of a industrial robot programming Steuerungssysteme, Aufbau Design of control systems Stiftverbindungen Pinned and taper-pinned joints Stirnräder – Verzahnungsgeometrie Spur and helical gears – gear tooth geometry Stirnschraubräder Crossed helical gears Stöchiometrie Stoichiometry Stoffe im elektrischen Feld Materials in electric field Stoffe im Magnetfeld Materials in magnetic field Stoffmessgrößen Quantities of substances and matter Stoffthermodynamik Thermodynamics of substances Stofftrennung Material separation Störungsverhalten des Regelkreises Disturbance reaction of the control loop Stoß Impact Stoß- und Nahtarten Types of weld and joint Stoßmaschinen Shaping and slotting machines Stoßofen Pusher furnace

Fachausdrücke

Strahlung in Industrieöfen Radiation in industrial furnaces Strahlungsmesstechnik Radiation measurement Strangpressen (Extrudieren) Extrusion Straßenfahrzeuge Road vehicles Streckziehen Stretch-forming Strom-, Spannungs- und Widerstandsmesstechnik Measurement of current, voltage and resistance Stromrichterkaskaden Static Kraemer system Stromrichtermotor Load-commutated inverter motor Stromteilgetriebe Throttle controlled drives Strömung Flow Strömung idealer Gase Flow of ideal gases Strömungsförderer Fluid conveyor Strömungsform Flow pattern Strömungsgesetze Laws of fluid dynamics Strömungsmaschinen Fluid flow machines (Turbomachinery) Strömungstechnik Fluid dynamics Strömungstechnische Messgrößen Fluid flow quantities Strömungsverluste Flow losses Strömungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten Loss factors for pipe fittings and bends Strömungswiderstand von Körpern Drag of solid bodies Strömungswiderstände Flow resistance Stromventile Flow control valves Stromverdrängung, Eindringtiefe Skin effect, depth of penetration Stromversorgung Electric power supply Stromwandler Current transformers Struktur tribologischer Systeme Structure of tribological systems Struktur und Größen des Regelkreises Structure and variables of the control loop Struktur von Verarbeitungsmaschinen Structure of Processing Machines Strukturen der Messtechnik Structures of metrology Strukturfestlegung Structure definition Strukturintensität und Körperschallfluss Structure intensity and structure-borne noise flow Strukturmodellierung Structure representation

Fachausdrücke

Stückgut-Systemtechnik Piece good handling technology Stufen Stage design Stufenkenngrößen Dimensionless stage parameters Submerskultivierung Submerse fermentations Substratlimitiertes Wachstum Substrate limitation of growth Suche nach Lösungsprinzipien Search for solution principles Superplastisches Umformen von Blechen Superplastic forming of sheet Synchronlinearmotoren Synchronous linear motor Synchronmaschinen Synchronous machines Systematik Systematic Systematik der Verteilförderer Systematics of distribution conveyors Systeme der rechnerunterstützten Produktentstehung Application systems for product creation Systeme für den Insassenschutz Systems for occupant protection Systeme für ganzjährigen Kühlbetrieb Chilled water systems for year-round operation Systeme für gleichzeitigen Kühl- und Heizbetrieb Systems for simultaneous cooling- and heating-operation Systeme mit einem Freiheitsgrad Systems with one degree of freedom (DOF) Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen) Multi-degree-of-freedom systems (coupled vibrations) Systeme mit veränderlicher Masse Systems with variable mass Systeme mit Wärmezufuhr Systems with heat addition Systeme starrer Körper Systems of rigid bodies Systeme und Bauteile der Heizungstechnik Heating systems and components Systeme, Systemgrenzen, Umgebung Systems, boundaries of systems, surroundings Systemzusammenhang System interrelationship T1 -Glied First order delay element T2 =n-Glied Second or higher order delay element Tt -Glied Dead time element TDM-/PDM-Systeme TDM/PDM systems

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Technische Ausführung der Regler Controlling system equipment Technische Systeme Fundamentals of technical systems Technologie Technology Technologische Einflüsse Technological effects Teillastbetrieb Part-load operation Tellerfedern (scheibenförmige, biegebeanspruchte Federn) Conical disk (Belleville) springs Temperaturausgleich in einfachen Körpern Temperature equalization in simple bodies Temperaturen Temperatures Temperaturen. Gleichgewichte Temperatures. Equilibria Temperaturskalen Temperature scales Temperaturverläufe Temperature profile Thermische Ähnlichkeit Thermal similarity Thermische Beanspruchung Thermal stresses Thermische Behandlungsprozesse Thermal treatments Thermische Messgrößen Thermal quantities Thermische Verfahrenstechnik Thermal process engineering Thermische Zustandsgrößen von Gasen und Dämpfen Thermal properties of gases and vapours Thermischer Apparatebau und Industrieöfen Thermal apparatus engineering and industrial furnaces Thermischer Überstromschutz Thermic overload protection Thermisches Abtragen Removal by thermal operations Thermisches Abtragen mit Funken (Funkenerosives Abtragen) Electro discharge machining (EDM) Thermisches Gleichgewicht Thermal equilibrium Thermodynamik Thermodynamics Thermodynamische Gesetze Thermodynamic laws Thyristoren Thyristors Thyristorkennlinien und Daten Thyristor characteristics and data Tiefbohrmaschinen Deep hole drilling machines Tiefziehen Deep drawing

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Tischbohrmaschinen Bench drilling machines Titanlegierungen Titanium alloys Torquemotoren Torque motors Torsionsbeanspruchung Torsion Totaler Wirkungsgrad Total efficiency Tragfähigkeit Load capacity Tragflügel Wing Tragflügel und Schaufeln Aerofoils and blades Tragmittel und Lastaufnahmemittel Load carrying equipment Tragwerke Steel structures Tragwerksgestaltung Design of steel structures Transferstraßen und automatische Fertigungslinien Transfer lines and automated production lines Transformationen der Michaelis-MentenGleichung Transformation of MichaelisMenten-equation Transformatoren und Wandler Transformers Transistoren Transistors Translation (Parallelverschiebung, Schiebung) Translation Transportbetonmischer Truck mixers Transporteinheiten (TE) und Transporthilfsmittel (THM) Transport units (TU) and transport aids (TA) Transportfahrzeuge Dumpers Trennen Cutting Tribologie Tribology Tribologische Kenngrößen Tribological characteristics Tribotechnische Werkstoffe Tribotechnic materials Trockenluftpumpen Air ejectors Trogkettenförderer Troughed chain conveyors Tunnelwagenofen Tunnel furnace Turbine Turbine Turboverdichter Turbocompressors Türen Doors Turmdrehkrane Tower cranes Typen und Bauarten Types and Sizes Typgenehmigung Type approval Überblick, Aufgaben Introduction, function Überdruckturbinen Reaction turbines Überhitzer und Zwischenüberhitzer Superheater und Reheater

Fachausdrücke

Überlagerung von Korrosion und mechanischer Beanspruchung Corrosion under additional mechanical stress Überlagerung von Vorspannkraft und Betriebslast Superposition of preload and working loads Übersetzung, Zähnezahlverhältnis, Momentenverhältnis Transmission ratio, gear ratio, torque ratio Übersicht Overview Überzüge auf Metallen Coatings on metals Ultraschallverfahren Ultrasonic processing Umformen Forming Umgebungseinflüsse Environmental effects Umkehrstromrichter Reversing converters Umlaufgetriebe Epicyclic gear systems Umlauf-S-Förderer Rotating S-conveyor Umrichterantriebe mit selbstgeführtem Wechselrichter A. c. drives with self-commutated inverters Umwälzpumpen Circulating pumps Umweltmessgrößen Environmental quantities Umweltschutztechnologien Environmental control technology Umweltverhalten Environmental pollution Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung Infinite plate with a hole Ungedämpfte erzwungene Schwingungen Forced undamped vibrations Ungleiche Kapazitätsstromverhältnisse Unequal capacitive currents Universaldrehmaschinen Universal lathes Universalmotoren Universal motor Universal-Werkzeugfräsmaschinen Universal milling machines Unstetigförderer Non-continuous conveyors Urformen Primary shaping Urformwerkzeuge Tools for primary forming Ventilator Fan Ventilauslegung Valve lay out Ventile und Klappen Valves Ventileinbau Valve location Verarbeitungsanlagen Processing Plants Verarbeitungssystem Processing System Verbrauch und CO2 -Emission Consumption and CO2 emission Verbrennung Combustion

Fachausdrücke

Verbrennung im Motor Internal combustion Verbrennung und Brennereinteilung Combustion and burner classification Verbrennungskraftanlagen Internal combustion engines Verbrennungsmotoren Internal combustion engines Verbrennungstemperatur Combustion temperature Verbrennungsvorgang Combustion Verdampfen und Kristallisieren Evaporation and crystallization Verdampfer Evaporator Verdichter Compressor Verdichtung feuchter Gase Compression of humid gases Verdichtung idealer und realer Gase Compression of ideal and real gases Verdrängerpumpen Positive displacement pumps Verdunstungskühlverfahren Evaporativ cooling process Verfahren der Mikrotechnik Manufacturing of microstructures Verfahrenstechnik Chemical engineering Verflüssiger Condenser Verflüssigersätze, Splitgeräte für Klimaanlagen Condensing units, air conditioners with split systems Verformungen Strains Vergaser Carburetor Verglasung, Scheibenwischer Glazing, windshield wiper Vergleichsprozesse für einstufige Verdichtung Ideal cycles for single stage compression Verluste an den Schaufelenden Losses at the blade tips Verluste und Wirkungsgrad Losses and efficiency Verlustteilung Division of energy losses Verminderung der Körperschallfunktion Reduction of the structure-borne noise function Verminderung der Kraftanregung Reduction of the force excitation Verminderung der Luftschallabstrahlung Reduction of the airborne noise emission Verminderung des Kraftpegels (Maßnahmen an der Krafterregung) Reduce of force level

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Verminderung von Körperschallmaß und Abstrahlmaß (Maßnahmen am Maschinengehäuse) Reduce of structure-borne-noise-factor and radiation coefficient Versagen durch komplexe Beanspruchungen Modes of failure under complex conditions Versagen durch mechanische Beanspruchung Failure under mechanical stress conditions Verschiedene Energieformen Different forms of energy Verschleiß Wear Verstärker mit Rückführung Amplifier with feedback element Verstellung und Regelung Regulating device Versuchsauswertung Evaluation of tests Verteilen und Speicherung von Nutzenergie Distribution und storage of energy Verteilermasten Distributor booms Vertikaldynamik Vertical dynamic Verzahnen Gear cutting Verzahnen von Kegelrädern Bevel gear cutting Verzahnen von Schneckenrädern Cutting of worm gears Verzahnen von Stirnrädern Cutting of cylindrical gears Verzahnungsabweichungen und -toleranzen, Flankenspiel Tooth errors and tolerances, backlash Verzahnungsgesetz Rule of the common normal Verzahnungsschleifmaschinen Gear grinding machines Viergelenkgetriebe Four-bar linkages Virtuelle Produktentstehung Virtual product creation Viskosimetrie Viscosimetry Volumen, Durchfluss, Strömungsgeschwindigkeit Volume, flow rate, fluid velocity Volumenstrom, Eintrittspunkt, Austrittspunkt Capacity, inlet point, outlet point Volumenstrom, Laufraddurchmesser, Drehzahl Volume flow, impeller diameter, speed Volumetrische Verluste Volumetric losses Vorbereitende und nachbehandelnde Arbeitsvorgänge Preparing and finishing steps Vorgang Procedure Vorgespannte Welle-Nabe-Verbindungen Prestressed shaft-hub connections Vorzeichenregeln Sign conventions

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VR-/AR-Systeme VR /AR systems Waagerecht-Bohr- und -Fräsmaschinen Horizontal boring and milling machines Wachstumshemmung Inhibition of growth Wagen Platform truck Wahl der Bauweise Selection of machine type Wälzgetriebe mit stufenlos einstellbarer Übersetzung Continuously variable traction drives Wälzlager Rolling bearings Wälzlagerdichtungen Rolling bearing seals Wälzlagerkäfige Bearing cages Wälzlagerschmierung Lubrication of rolling bearings Wälzlagerwerkstoffe Rolling bearing structural materials Wanddicke ebener Böden mit Ausschnitten Wall thickness Wanddicke verschraubter runder ebener Böden ohne Ausschnitt Wall thickness of round even plain heads with inserted nuts Wandlung regenerativer Energien Transformation of regenerative energies Wandlung von Primärenergie in Nutzenergie Transformation of primary energy into useful energy Wandlungsfähige Fertigungssysteme Versatile manufacturing systems Wärme Heat Wärme- und Stoffübertragung Heat and material transmission Wärme- und strömungstechnische Auslegung Thermodynamic and fluid dynamic design Wärmeaustausch durch Strahlung Heat exchange by radiation Wärmebedarf, Heizlast Heating load Wärmebehandlung Heat Treatment Wärmedehnung Thermal expansion Wärmeerzeugung Heat generation Wärmekraftanlagen Thermal power plants Wärmekraftwerke Heating power stations Wärmepumpen Heat pumps Wärmequellen Source of heat Wärmerückgewinnung Heat recovery Wärmerückgewinnung durch Luftvorwärmung Heat recovery through air preheating Wärmetauscher Heat exchangers Wärmetechnische Auslegung von Regeneratoren Thermodynamic design of regenerators

Fachausdrücke

Wärmetechnische Auslegung von Rekuperatoren Thermodynamic design of recuperators Wärmetechnische Berechnung Thermodynamic calculations Wärmeübergang Heat transfer Wärmeübergang beim Kondensieren und beim Sieden Heat transfer in condensation and in boiling Wärmeübergang durch Konvektion Heat transfer by convection Wärmeübergang ins Solid Heat transfer into solid Wärmeübergang ohne Phasenumwandlung Heat transfer without change of phase Wärmeübergang und Wärmedurchgang Heat transfer and heat transmission Wärmeübertrager Heat exchanger Wärmeübertragung Heat transfer Wärmeübertragung durch Strahlung Radiative heat transfer Wärmeübertragung Fluid–Fluid Fluid-fluid heat exchange Wärmeverbrauchsermittlung Determination of heat consumption Wartung und Instandhaltung Maintenance Wasserbehandlung Water treatment Wasserenergie Water power Wasserkraftanlagen Water power plant Wasserkraftwerke Hydroelectric power plants Wasserkreisläufe Water circuits Wasserstoffinduzierte Rissbildung Hydrogen induced cracking Wasserturbinen Water turbines Wasserwirtschaft Water management Wechselstrom- und Drehstromsteller Alternating- and three-phase-current controllers Wechselstromgrößen Alternating current quantities Wechselstromtechnik Alternating current (a. c.) engineering Wegeventile Directional control valves Weggebundene Pressmaschinen Mechanical presses Wegmesstechnik Motion measurement Weichlöten Soldering Wellendichtungen Shaft seals Werkstoff Material

Fachausdrücke

Werkstoff- und Bauteileigenschaften Properties of materials and structures Werkstoffauswahl Materials selection Werkstoffkennwerte für die Bauteildimensionierung Materials design values for dimensioning of components Werkstoffphysikalische Grundlagen der Festigkeit und Zähigkeit metallischer Werkstoffe Basics of physics for strength and toughness of metallic materials Werkstoffprüfung Materials testing Werkstoffreinheit Purity of material Werkstofftechnik Materials technology Werkstückeigenschaften Workpiece properties Werkzeuge Tools Werkzeuge und Methoden Tools and methods Werkzeugmaschinen zum Umformen Presses and hammers for metal forming Widerstände Resistors Widerstandserwärmung Resistance heating Widerstandsschweißmaschinen Resistance welding machines Wind Wind Windenergie Wind energy Windkraftanlagen Wind power stations Winkel Angles Wirbelschicht Fluidized bed Wirbelschichtfeuerung Fluidized bed combustion (FBC) Wirklicher Arbeitsprozess Real cycle Wirkungsgrade Efficiencies Wirkungsgrade, Exergieverluste Efficiencies, exergy losses Wirkungsweise Mode of operation Wirkungsweise und Ersatzschaltbilder Working principle and equivalent circuit diagram Wirkungsweise, Definitionen Mode of operation, definitions Wirkzusammenhang Working interrelationship Wissensbasierte Modellierung Knowledge based modeling Wölbkrafttorsion Torsion with warping constraints Zahlendarstellungen und arithmetische Operationen Number representation and arithmetic operations

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Zahn- und Keilwellenverbindungen Splined joints Zahnform Tooth profile Zahnkräfte, Lagerkräfte Tooth loads, bearing loads Zahnradgetriebe Gearing Zahnradpumpen und Zahnring-(Gerotor-) pumpen Geartype pumps Zahnringmaschine Zahnradpumpen und Zahnring-(Gerotor-)pumpen Gear ring machine, gear pump and gear ring (gerotor) pumps Zahnschäden und Abhilfen Types of tooth damage and remedies Z-Dioden Z-Diodes Zeichnungen und Stücklisten Engineering drawings and parts lists Zeigerdiagramm Phasor diagram Zelle, Struktur Airframe, Structural Design Zellerhaltung Maintenance of cells Zentrale Raumlufttechnische Anlagen Central air conditioning plant Zentralheizung Central heating Zerkleinern Size Reduction Zerkleinerungsmaschinen Size Reduction Equipment Zerstörungsfreie Bauteil- und Maschinendiagnostik Non-destructive diagnosis and machinery condition monitoring Zerstörungsfreie Werkstoffprüfung Non-destructive testing Zink und seine Legierungen Zinc and zinc alloys Zinn Tin Zug- und Druckbeanspruchung Tension and compression stress Zugkraftdiagramm Traction forces diagram Zugmittelgetriebe Belt and chain drives Zug-Stoßeinrichtungen Buffing and draw coupler Zugversuch Tension test Zündausrüstung Ignition equipment Zusammenarbeit von Maschine und Anlage Matching of machine and plant Zusammengesetzte Beanspruchung Combined stresses Zusammengesetzte Planetengetriebe Compound planetary trains

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Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften mit gemeinsamem Angriffspunkt Combination and resolution of concurrent forces Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften mit verschiedenen Angriffspunkten Combination and resolution of non-concurrent forces Zusammensetzen von Gittern zu Stufen Combination of cascades to stages Zusammensetzung Composition, combination Zustandsänderung Change of state Zustandsänderungen feuchter Luft Changes of state of humid air Zustandsänderungen von Gasen und Dämpfen Changes of state of gases and vapours Zustandsschaubild Eisen-Kohlenstoff Iron Carbon Constitutional Diagram Zuverlässigkeitsprüfung Reliability test Zwanglaufkessel für fossile Brennstoffe Forced circulation fossil fueled boilers Zweipunkt-Regelung Two-position control Zweiter Hauptsatz Second law Zylinder Cylinders Zylinderanordnung und -zahl Formation and number of cylinders Zylinderschnecken-Geometrie Cylindrical worm gear geometry Zylindrische Mäntel und Rohre unter innerem Überdruck Cylinders and tubes under internal pressure Zylindrische Mäntel unter äußerem Überdruck Cylinders under external pressure Zylindrische Schraubendruckfedern und Schraubenzugfedern Helical compression springs, helical tension springs

Englisch-Deutsch A. c. drives with self-commutated inverters Umrichterantriebe mit selbstgeführtem Wechselrichter Absolute and relative flow Absolute und relative Strömung Absorbtion of cold water Absorptions-Kaltwassersatz Absorption heat pumps Absorptionswärmepumpen

Fachausdrücke

Absorption refrigeration plant Absorptionskälteanlage Absorption, rectification, liquid-liquid-extraction Absorbieren, Rektifizieren, Flüssig-flüssig-Extrahieren Abstracting to identify the functions Abstrahieren zum Erkennen der Funktionen Acceleration measurement Beschleunigungsmesstechnik Ackeret-keller-process Ackeret-Keller-Prozess Acoustic measurement Akustische Messtechnik Acoustics in mechanical engineering Maschinenakustik Actice steps toward noise and vibration reduction Aktive Maßnahmen zur Lärm- und Schwingungsminderung Action of ideal positive displacement pumps Betriebsverhalten der verlustfreien Verdrängerpumpe Active safety/brakes, types of brakes Aktive Sicherheitstechnik/Bremse, Bremsbauarten Activity-based accounting/-calculation Prozesskostenrechnung/-kalkulation Actuated drives Kraftschlüssige Antriebe Actuators Aktoren Actuators Aktuatoren Adaptive control Adaptive Regelung Adhesive bonding Kleben Adhesives Klebstoffe Adiabatic, closed systems Adiabate, geschlossene Systeme Adjustable inlet guide vane regulation Eintrittsleitschaufelregelung Adsorption, drying, solid-liquid-extraction Adsorbieren, Trocknen, Fest-flüssig-Extrahieren Advanced driver assistant systems Fahrerassistenzsysteme Aero dynamics Aerodynamik Aerofoils and blades Tragflügel und Schaufeln Agglomeration Agglomerieren Agglomeration technology Agglomerationstechnik Air conditioning Klimaanlage Air cooling Luftkühlung Air duct Luftführung Air ejectors Trockenluftpumpen Air flow control and mixing Luftverteilung

Fachausdrücke

Air heating Luftheizung (interior) air humidity Raumluftfeuchte Air passages Luftdurchlässe Air preheater Luftvorwärmer (Luvo) Air supply Luftbedarf Air traffic Luftverkehr (interior) air velocity Raumluftgeschwindigkeit Airborne noise emission Luftschallabstrahlung Airconditioning and climate control for mining Grubenkühlanlagen Airconditioning systems Klassifizierung raumlufttechnischer Systeme Aircraft performance Flugleistungen Aircraft polar Flugzeugpolare Aircrafts Luftfahrzeuge Airframe, Structural Design Zelle, Struktur Air-only systems Nur-Luft-Anlagen Airspeeds Fluggeschwindigkeiten Air-storage gas-turbine power plant Luftspeicher-Kraftwerk Air-water conditioning systems Luft-WasserAnlagen Algae Algen Algorithms Algorithmen Alloying effects Legierungstechnische Maßnahmen Alternating- and three-phase-current controllers Wechselstrom- und Drehstromsteller Alternating current (a. c.) engineering Wechselstromtechnik Alternating current quantities Wechselstromgrößen Alternative Power train systems Alternative Antriebsformen Aluminium and aluminium alloys Aluminium und seine Legierungen Amplifier with feedback element Verstärker mit Rückführung Amplifiers Messverstärker Analog data logging Analoge Messwerterfassung Analog electrical measurement Analoge elektrische Messtechnik Analog-digital converter Analog-Digital-Umsetzer Analysis of measurements Auswertung von Messungen Analysis of mechanisms Getriebeanalyse

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Anergy Anergie Angles Winkel Anisotropy Anisotropie Application Anwendung Application and operation Hinweise für Anwendung und Betrieb Application and procedures Anwendung und Vorgang Application systems for product creation Systeme der rechnerunterstützten Produktentstehung Application to closed systems Geschlossene Systeme, Anwendung Applications Aufgaben Applications and selection of industrial robots Anwendungsgebiete und Auswahl von Industrierobotern Applications and types Anwendungen und Bauarten Applications, characteristics, properties Aufgaben, Eigenschaften, Kenngrößen Applications, Examples Anwendung, Ausführungsbeispiele Approximate methods for estimating critical loads Näherungsverfahren zur Knicklastberechnung Apron conveyor Gliederbandförderer Arbitrarily curved surfaces Beliebig gewölbte Fläche Arc furnaces Lichtbogenofen Arc-welding Lichtbogenschweißen Arrangement and function of hydrostatic transmissions Hydrogetriebe, Aufbau und Funktion der Arrangement of blades in a cascade Schaufeln im Gitter, Anordnung Arrangements with a locating and a non-locating bearing Fest-Loslager-Anordnung Assemblies Baugruppen Assembly and disassembly Montage und Demontage Assembly of electronic circuits Elektronische Schaltungen, Aufbau Assembly planning Montageplanung Assembly process Montageprozess Assembly systems Montagesysteme Asynchronos linear motor Asynchronlinearmotoren

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Asynchronos small motor Asynchron-Kleinmotoren Asynchronous machines Asynchronmaschinen Automated assembly Automatisierte Montage Automatic clutches Selbsttätig schaltende Kupplungen Automatic control Regelungstechnik Automatic lathes Drehautomaten Automatically guided vehicles (AGV) Fahrerlose Transportsysteme (FTS) Automation in materials handling Automatisierung in der Materialflusstechnik Automation of material handling functions Automatisierung von Handhabungsfunktionen Automobile and environment Automobil und Umwelt Automotive engineering Kraftfahrzeugtechnik Auxiliary equipment Hilfsmaschinen Axial compressors Axialverdichter Axial force, shear force, bending moment Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment Axial load and torsion Längskraft und Torsion Axial locking devices Axiale Sicherungselemente Axial repeating stage of multistage compressor Axiale Repetierstufe eines vielstufigen Verdichters Axial repeating stage of multistage turbine Axiale Repetierstufe einer Turbine Axial temperature and mass flow profile Axiale Temperatur- und Massenstromprofile Axial temperature profile Axiale Temperaturverläufe Axial thrust balancing Achsschubausgleich Axial transport Axialtransport Axially floating bearing arrangements and clearance adjusted bearing pairs Schwimmende oder Stütz-Traglagerung und angestellte Lagerung Axis gearing Achsgetriebe Axis systems Achsenkreuze Axisymmetric stresses Rotationssymmetrischer Spannungszustand Bach’s correction factor Anstrengungsverhältnis nach Bach Bacteria Bakterien

Fachausdrücke

Band sawing and band filing machines, hack sawing and hack filing machines, grinding machines Bandsäge- und Bandfeilmaschinen Hubsäge- und Hubfeilmaschinen Schleifmaschinen Bandsawing and filing machines Bandsägeund Bandfeilmaschinen Barrows, Hand trolleys, Dollies Karren, Handwagen und Rollwagen Bars of arbitrary cross section Stäbe mit beliebigem Querschnitt Bars of circular cross section and constant diameter Stäbe mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser Bars of circular cross section and variable diameter Stäbe mit Kreisquerschnitt und veränderlichem Durchmesser Bars of variable cross section Stäbe mit veränderlichem Querschnitt Bars with notches Stäbe mit Kerben Bars with variable axial loads Stäbe mit veränderlicher Längskraft Bars with variation of temperature Stäbe unter Temperatureinfluss Basic concepts Grundbegriffe Basic concepts of reactor theory Grundbegriffe der Reaktortheorie Basic considerations Grundlagen Basic design and dimensions Auslegung und Hauptabmessungen Basic design calculations Berechnungsgrundlagen Basic design layout Konstruktive Gesichtspunkte Basic design principles Auslegung Basic disciplines Basisdisziplinen Basic ergonomics Arbeitswissenschaftliche Grundlagen Basic laws Grundgesetze Basic principles of calculating structures Grundlagen der Tragwerksberechnung Basic principles of calculation Grundlagen der Berechnung Basic principles of reciprocating engines Allgemeine Grundlagen der Kolbenmaschinen Basic problems in machine dynamics Grundaufgaben der Maschinendynamik Basic rules of embodiment design Grundregeln

Fachausdrücke

Basic standards Grundnormen Basic structures of the action diagram Grundstrukturen des Wirkungsplans Basic terms of energy, work, power, efficiency Energetische Grundbegriffe – Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Basic types of rubber spring Gummifederelemente Basics of guiding technology Grundbegriffe der Spurführungstechnik Basics of physics for strength and toughness of metallic materials Werkstoffphysikalische Grundlagen der Festigkeit und Zähigkeit metallischer Werkstoffe Batteries Batterien Bearing and drive Lagerung und Antrieb Bearing and lubrication Lagerung und Schmierung Bearing arrangements Konstruktive Ausführung von Lagerungen. Bearing cages Wälzlagerkäfige Bearing cooling Lagerkühlung Bearing loads Lagerkräfte Bearing materials Lagerwerkstoffe Bearing seals Dichtungen Bearing seats, axial and radial positioning Lagersitze, axiale und radiale Festlegung der Lagerringe Bearings Lager Bed-type milling machines Bettfräsmaschinen Belt and chain drives Zugmittelgetriebe Belt grinding machines Bandschleifmaschinen Bench drilling machines Tischbohrmaschinen Bending Biegebeanspruchung Bending Biegen Bending and axial load Biegung und Längskraft Bending and shear Biegung und Schub Bending and torsion Biegung und Torsion Bending of rectangular beams Biegung des Rechteckbalkens Bending rigid shells Biegesteife Schalen Bending strain energy, energy methods for deflection analysis Formänderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen Bending stresses in highly curved beams Biegespannungen in stark gekrümmten Trägern

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Bending stresses in straight beams Biegespannungen in geraden Balken Bending test Biegeversuch Bernoulli’s equation for steady flow problems Bernoullischen Gleichung für den stationären Fall Bernoulli’s equation for unsteady flow problems Bernoullischen Gleichung für den instationären Fall Bevel gear cutting Verzahnen von Kegelrädern Bevel gear geometry Kegelrad-Geometrie Bevel gears Kegelräder Binding mechanisms, agglomerate strength Bindemechanismen, Agglomeratfestigkeit Biochemical Engineering Bioverfahrenstechnik Biogas Biogas Biomass Biomasse Bioreactors Bioreaktoren Bipolar transistors Bipolartransistoren Blade arrangement for pumps and compressors blade arrangement for turbines Schaufelanordnung für Pumpen und Verdichter Schaufelanordnung für Turbinen Blade arrangement in pumps and compressors Schaufelanordnung für Pumpen und Verdichter Blade arrangement in turbines Schaufelanordnung für Turbinen Blade row, stage, machine and plant Schaufelgitter, Stufe, Maschine, Anlage Blade rows (cascades) Schaufelgitter Blading Beschaufelung Blading, inlet and exhaust casing Beschaufelung, Ein- und Austrittsgehäuse Blanking machines Maschinen zum Schneiden Body Aufbau Body in space Körper im Raum Body types, vehicle types, design Fahrzeugarten, Aufbau Body work Rohbau Body-tilting technique Neigetechnik Bodywork Karosserie Bolted connections Schraubenverbindungen Bolts Schrauben Boundary elements Randelemente Boundary layer theory Grenzschichttheorie Brakes Bremsen Brakes for trucks Bremsanlagen für Nkw

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Breeding process Brutprozess Bridge and gantry cranes Brücken- und Portalkrane Broaching machines Räummaschinen Bucket elevators (bucket conveyors) Becherwerke (Becherförderer) Buckling of bars Knickung Buckling of plates Beulen von Platten Buckling of plates and shells Beulung Buckling of rings, frames and systems of bars Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen Buckling of shells Beulen von Schalen Buffing and draw coupler Zug-Stoßeinrichtungen Building construction machinery Hochbaumaschinen Bulging of the surface and melt circulation in induction furnaces Aufwölbung und Bewegungen im Schmelzgut Bulk material handling technology SchüttgutSystemtechnik Bulk material storage Schüttgutlager Burner types Brennerbauarten Burners Brenner Bypass regulation Bypass-Regelung CAA systems CAA-Systeme Cable elevator Seilaufzüge Cable with point load Seil mit Einzellast Cable with uniform load over the span Seil unter konstanter Streckenlast Cables and chains Seile und Ketten Cables and lines Kabel und Leitungen CAD systems CAD-Systeme CAE systems CAE-Systeme CAI systems CAI-Systeme Calculation Entwurfsberechnung Calculation and optimization Berechnung und Optimierung Calculation and selection Berechnung und Auswahl Calculation and sizing principles of heating and air handling engineering Berechnungsund Bemessungsgrundlagen der Heiz- und Raumlufttechnik Calculation of heating surface area Ermittlung der Heizfläche

Fachausdrücke

Calculation of hydrodynamic bearings Berechnung hydrodynamischer Gleitlager Calculation of hydrostatic bearings Berechnung hydrostatischer Gleitlager Calculation of machine hourly rate Maschinenstundensatzrechnung Calculation of pipe flows Berechnung von Rohrströmungen Calculation of static performance Berechnung des stationären Betriebsverhaltens Calendering Kalandrieren Caloric properties Kalorische Zustandsgrößen Calorimetry Kalorimetrie Cam mechanisms Kurvengetriebe CAM systems CAM-Systeme CAP systems CAP-Systeme Capacitances Kapazitäten Capacity, inlet point, outlet point Volumenstrom, Eintrittspunkt, Austrittspunkt CAPP systems CAPP-Systeme CAQ-systems CAQ-Systeme CAR systems CAR-Systeme Carbon capture Kohlendioxidabscheidung Carburetor Vergaser Carnot cycle Carnot-Prozess Carriages Fahrwerke CAS systems CAS-Systeme Cascade control Kaskadenregelung Cascade design Gitterauslegung Casings Gehäuse Cast Iron materials Gusseisenwerkstoffe Casting of foils Foliengießen CAT systems CAT-Systeme Catalytic effects of enzymes Katalytische Wirkung der Enzyme Cathodic protection Kathodischer Schutz Cavitation Kavitation Cavitation corrosion Kavitationskorrosion Center of gravity Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) Centers for sheet metal working Blechbearbeitungszentren Central air conditioning plant Zentrale Raumlufttechnische Anlagen Central heating Zentralheizung Centrifugal compressors Radialverdichter Centrifugal impeller types Radiale Laufradbauarten

Fachausdrücke

Centrifugal Pumps Kreiselpumpen Centrifugal stresses in blades Beanspruchung der Schaufeln durch Fliehkräfte Centrifugal stresses in rotating components Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte Centrifugal water chillers Kaltwassersatz mit Turboverdichter Ceramics Keramische Werkstoffe Chain drives Kettengetriebe Chain structure Reihenstruktur Chains and chain drives Ketten und Kettentriebe Change of state Zustandsänderung Changes of state of gases and vapours Zustandsänderungen von Gasen und Dämpfen Changes of state of humid air Zustandsänderungen feuchter Luft Characteristic curves Kennlinien Characteristic fracture mechanics properties for cyclic loading Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung Characteristic fracture mechanics properties for static loading Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei statischer Beanspruchung Characteristics Eigenschaften Characteristics Kenngrößen Characteristics Kennzahlen Characteristics Kennzeichen Characteristics and use Bauarten, Eigenschaften, Anwendung Characteristics of lines Kenngrößen der Leitungen Characteristics of material flow Formänderungsgrößen Characteristics of measuring components Kenngrößen von Messgliedern Characteristics of presses and hammers Kenngrößen von Pressmaschinen Characteristics of rolling bearings Kennzeichen und Eigenschaften der Wälzlager Characteristics of screw motion Kenngrößen der Schraubenbewegung Characteristics of the complete vehicle Eigenschaften des Gesamtfahrzeugs Characteristics, accuracy, calibration Genauigkeit, Kenngrößen, Kalibrierung Characterization Charakterisierung

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Charging of four-stroke engines Ladungswechsel des Viertaktmotors Charging parameters Kenngrößen des Ladungswechsels Checklist Pflichtenheft Checklist for tribological characteristics Checkliste zur Erfassung der wichtigsten tribologisch relevanten Größen Chemical and physical analysis methods Chemische und physikalische Analysemethoden Chemical corrosion and high temperature corrosion Chemische Korrosion und Hochtemperaturkorrosion Chemical engineering Verfahrenstechnik Chemical machining Chemisches Abtragen Chemical Process Engineering Chemische Verfahrenstechnik Chemical thermodynamics Chemische Thermodynamik Chilled water systems for air-conditioning plants Kaltwasserverteilsysteme für RLTAnlagen Chilled water systems for year-round operation Systeme für ganzjährigen Kühlbetrieb Chopper controllers Gleichstromsteller Chutes and down pipes Rutschen und Fallrohre Circuit Schaltung Circular conveyors Kreisförderer Circular discs Kreisscheibe Circular plates Kreisplatten Circulating pumps Umwälzpumpen Clamp joints Klemmverbindungen Classification according to their effect on velocity and pressure Einteilung nach Geschwindigkeits- und Druckänderung Classification and configurations Einteilung und Verwendung Classification and definitions Einteilung und Begriffe Classification and rating ranges Einteilung und Einsatzbereiche Classification and structural components of aircrafts Einordnung und Konstruktionsgruppen von Luftfahrzeugen Classification of aircraft according to regulations Einordnung von Luftfahrzeugen nach Vorschriften

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Classification of manufacturing systems Einteilung von Fertigungsystemen Classification of materials handling Einordnung der Fördertechnik Classification of measuring quantities Gliederung der Messgrößen Classifying in gases Klassieren in Gasen Clevis joints and pivots Bolzenverbindungen Client-/Server architecture Client-/Serverarchitekturen Climate controlled boxes and rooms for testing Klimaprüfschränke und -kammern Climatic measurement Klimamesstechnik Closed circuit Geschlossener Kreislauf Closed gas turbine Geschlossene Gasturbinenanlage Closed loop structure Kreisstruktur Clutches Fremdgeschaltete Kupplungen Clutching and torque converter Kupplung und Kennungswandler Coating processes Herstellen von Schichten Coatings on metals Überzüge auf Metallen Cocks Hähne (Drehschieber) Coefficient of friction, efficiency Reibungszahl, Wirkungsgrad Column-type drilling machines Ständerbohrmaschinen Combi power stations Kombi-Kraftwerke Combination Zusammensetzung Combination and resolution of concurrent forces Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften mit gemeinsamem Angriffspunkt Combination and resolution of non-concurrent forces Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften mit verschiedenen Angriffspunkten Combination of cascades to stages Zusammensetzen von Gittern zu Stufen Combined bending, axial load, shear and torsion Biegung mit Längskraft sowie Schub und Torsion Combined electricity nets Elektrische Verbundnetze Combined power and heat generation (cogeneration) Kraft-Wärme-Kopplung Combined stresses Zusammengesetzte Beanspruchung

Fachausdrücke

Combined-cycle power plants Gas- und DampfAnlagen Combustion Verbrennung Combustion Verbrennungsvorgang Combustion and burner classification Verbrennung und Brennereinteilung Combustion chamber (burner) Brennkammer Combustion temperature Verbrennungstemperatur Comfort evaluation Komfortbewertung Comfortable climate in living and working rooms Behagliches Raumklima in Aufenthalts- und Arbeitsräumen Coming action of flat belts, tensioning Riemenlauf und Vorspannung Common fundamentals Gemeinsame Grundlagen Compensating mechanism Einzieh- und Wippwerke Compensation of forces and moments Ausgleich der Kräfte und Momente Compensators and bridges Kompensatoren und Messbrücken Complements for engineering mathematics Ergänzungen zur Mathematik für Ingenieure Complements to advanced mathematics Ergänzungen zur Höheren Mathematik Complete plant Gesamtanlage Components Bauteile Components Konstruktionselemente Components and design Baugruppen und konstruktive Gestaltung Components of apparatus and pipe lines Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen Components of crank mechanism Elemente der Kolbenmaschine Components of hydrostatic transmissions Bauelemente hydrostatischer Getriebe Components of mechatronic systems Komponenten mechatronischer Systeme Components of reactors und reactor building Bauteile des Reaktors und Reaktorgebäude Components of robot Komponenten des Roboters Components of the robot kinematics and dynamic model Komponenten des Roboters Kinematisches und dynamisches Modell

Fachausdrücke

Components of thermal apparatus Komponenten des thermischen Apparatebaus Components of ventilation and air-conditioning systems Komponenten von Lüftungsund Klimaanlagen Composition Zusammensetzung Compound planetary trains Zusammengesetzte Planetengetriebe Compressed air storage plant Luftspeicherwerke Compression heat pump Kompressionswärmepumpe Compression heat pumps with high performance Kaltdampfkompressions-Wärmepumpen größerer Leistung Compression of humid gases Verdichtung feuchter Gase Compression of ideal and real gases Verdichtung idealer und realer Gase Compression refrigeration plant KaltdampfKompressionskälteanlage Compression refrigeration plant Kompressionskälteanlage Compression test Druckversuch Compression-ignition engine auxiliary equipment Einrichtungen zur Gemischbildung und Zündung bei Dieselmotoren Compression-type water chillers Kompressions-Kaltwassersätze Compressor Verdichter Compressors Kompressoren Computer based controller Rechnergestützter Regler Computer networks Rechnernetze Computer-air-conditioners with direct expansion units Direktverdampfer-Anlagen für EDV-Klimageräte Conceptual design Konzipieren Concrete Beton Concrete pumps Betonpumpen Condensate and circulating water pumps Kühlwasser- und Kondensatpumpen Condensation of vapors Kondensation bei Dämpfen Condenser Verflüssiger Condensers Kondensatoren Condensers and cooling systems Kondensation und Rückkühlung

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Condensers in steam power plants Kondensatoren in Dampfkraftanlagen Condensers in the chemical industry Kondensatoren in der chemischen Industrie Condensing units, air conditioners with split systems Verflüssigersätze, Splitgeräte für Klimaanlagen Conditions of cell cultivation Kultivierungsbedingungen Conditions of equilibrium Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen Conductors, semiconductors, insulators Leiter, Halbleiter, Isolatoren Configuration and Layout of hydrostatic transmissions Ausführung und Auslegung von Hydrogetrieben Conical disk (Belleville) springs Tellerfedern (scheibenförmige, biegebeanspruchte Federn) Connection to engine and working machine Anschluss an Motor und Arbeitsmaschine Connections Bauteilverbindungen Connections with force transmission by friction Reibschlussverbindungen Consistent preparation of documents Durchgängige Erstellung von Dokumenten Constant heat flux density Konstante Wärmestromdichte Constant wall temperature Konstante Wandtemperatur Construction interrelationship Bauzusammenhang Construction machinery Baumaschinen Construction types and processes Bauarten und Prozesse Constructive characteristics Konstruktive Merkmale Consumption and CO2 emission Verbrauch und CO2 -Emission Contact stresses and bearing pressure Flächenpressung und Lochleibung Continuous conveyors Stetigförderer Continuous kilns Durchlauföfen Continuously variable traction drives Wälzgetriebe mit stufenlos einstellbarer Übersetzung Control Regelung und Steuerung Control characteristics Steuerkennlinien Control data processing Steuerdatenverarbeitung

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Control loop optimization Optimierung von Regelkreisen Control loop performance Güte der Regelung Control loop stability Stabilität des Regelkreises Control of automatic storage systems Steuerung automatischer Lagersysteme Control of brakes Bremsregelung Control of compressors Regelung von Verdichtern Control of three-phase drives Regelung von Drehstromantrieben Control of turbines Regelung von Turbinen Control system for driving dynamics Fahrdynamikregelsysteme Control system of a industrial robot programming Steuerungssystem eines Industrieroboters Programmierung Control systems Steuerungen Controlled spring/damper systems for chassis Geregelte Feder-/Dämpfersysteme im Fahrwerk Controlled systems Regelstrecken Controlled systems with self-regulation Regelstrecken mit Ausgleich (P-Strecken) Controlled systems without self-regulation Regelstrecken ohne Ausgleich (I-Strecken) Controllers Regler Controlling system equipment Technische Ausführung der Regler Convection Konvektion Conveyed materials and materials handling, parameters of the conveying process Fördergüter und Fördermaschinen, Kenngrößen des Fördervorgangs Conveyors Gurtförderer Cooling Kühlung Cooling brines Kühlsolen Cooling load Kühllast Cooling storage Kältespeicherung in Binäreis Cooling storage in eutectic solution Kältespeicherung in eutektischer Lösung Cooling towers Rückkühlwerke Cooperative product development Kooperative Produktentwicklung Coplanar forces Kräfte in der Ebene Copper and copper alloys Kupfer und seine Legierungen

Fachausdrücke

Copy milling machines Nachformfräsmaschinen Corrosion and corrosion protection Korrosion und Korrosionsschutz Corrosion and Corrosion Protection of Metals Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen Corrosion erosion Erosionskorrosion Corrosion fatigue Schwingungsrisskorrosion Corrosion of inorganic nonmetallic materials Korrosion von anorganischen nichtmetallischen Werkstoffen Corrosion of nonmetallic material Korrosion nichtmetallischer Werkstoffe Corrosion prevention by design Korrosionsschutzgerechte Konstruktion Corrosion prevention by manufacturing Korrosionsschutzgerechte Fertigung Corrosion protection Korrosionsschutz Corrosion protection by inhibitors Korrosionsschutz durch Inhibitoren Corrosion tests Korrosionsprüfung Corrosion under additional mechanical stress Überlagerung von Korrosion und mechanischer Beanspruchung Corrosion under wear stress Korrosion unter Verschleißbeanspruchung Corrosion-like damage of organic materials Korrosionsartige Schädigung von organischen Werkstoffen Cost accounting Kalkulation Cost location accounting Kostenstellenrechnung und Betriebsabrechnungsbögen Cottered joints Keilverbindungen Counterbalanced lift truck Gegengewichtstapler Couplings, clutches and brakes Kupplungen und Bremsen Course of technical fermentation Ablauf technischer Fermentationen Cracking phenomena Rissphänomene Crane types Kranarten Crank mechanism Kurbeltrieb Crank mechanism, forces and moments of inertia, flywheel calculation Kurbeltrieb, Massenkräfte und -momente, Schwungradberechnung

Fachausdrücke

Critical speed of shafts, whirling Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle Cross belt sorter Quergurtsorter Cross transfer Quertransport Crossed helical gears Stirnschraubräder Current displacement Einfluss der Stromverdrängung Current transformers Stromwandler Curved surfaces Gewölbte Flächen Custom hoists Einzelhebezeuge Cutouts Ausschnitte Cutting Trennen Cutting materials Schneidstoffe Cutting of cylindrical gears Verzahnen von Stirnrädern Cutting of worm gears Verzahnen von Schneckenrädern Cutting with geometrically non-defined tool angles Spanen mit geometrisch unbestimmter Schneide Cutting with geometrically well-defined tool edges Spanen mit geometrisch bestimmten Schneiden Cylinder charging Ladungswechsel Cylinders Zylinder Cylinders and tubes under internal pressure Zylindrische Mäntel und Rohre unter innerem Überdruck Cylinders under external pressure Zylindrische Mäntel unter äußerem Überdruck Cylindrical grinding machines Rundschleifmaschinen Cylindrical worm gear geometry Zylinderschnecken-Geometrie D’Alembert’s principle Prinzip von d’Alembert und geführte Bewegungen Data interfaces Datenschnittstellen Data structures and data types Datenstrukturen und Datentypen Dead time element Tt -Glied Decentralisation using industrial communication tools Dezentralisierung durch den Einsatz industrieller Kommunikationssysteme Decentralized air conditioning system Dezentrale Klimaanlage Deep drawing Tiefziehen Deep hole drilling machines Tiefbohrmaschinen

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Defining the requirements Klären der Aufgabenstellung Definition Begriff Definition and classification Definition und Einteilung der Kolbenmaschinen Definition and criteria Definition und Kriterien Definition of converters Einteilung der Stromrichter Definition of efficiencies Definition von Wirkungsgraden Definition of motor cycles Definition von Kraftfahrzeugen Definition of the term Begriffsbestimmung Definitions Begriffe Definitions Definition Definitions Definitionen Definitions and general requirements Definition und allgemeine Anforderungen Deflection of beams Durchbiegung von Trägern Deflection, critical speeds of rotors Durchbiegung, kritische Drehzahlen von Rotoren Degrees of protection Schutzarten Dehumidifiers Luftentfeuchter Delivery rate and overall efficiency Nutzliefergrad und Gesamtwirkungsgrad Deposition of by-products in the power process Entsorgung der Kraftwerksnebenprodukte Depth profile Betttiefenprofil Dériaz turbines Dériazturbinen Derivative element D-Glied Description of batch furnaces Beschreibung von Chargenöfen Description of the state of a system. Thermodynamic processes Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse Design and fatigue strength properties Gestalteinfluss auf Schwingfestigkeitseigenschaften Design and static strength properties Gestalteinfluss auf statische Festigkeitseigenschaften Design and tolerances of formed parts Gestalten und Fertigungsgenauigkeit von Kunststoff-Formteilen Design calculation and integrity assessment Berechnungs- und Bewertungskonzepte Design calculations Berechnung Design calculations Berechnungsverfahren

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Design hints Gestaltungshinweise Design hints for bevel gears Hinweise zur Konstruktion von Kegelrädern Design of control systems Steuerungssysteme, Aufbau Design of hydraulic circuits Auslegung von Hydrokreisen Design of industrial turbines Auslegung von Industrieturbinen Design of plain bearings Konstruktive Gestaltung Design of self acting valves Selbsttätige Ventile, Konstruktion Design of silos Dimensionierung von Bunkern Design of simple planetary trains Auslegung einfacher Planetengetriebe Design of steel structures Tragwerksgestaltung Design of typical internal combustion (IC) engines Ausgeführte Motorkonstruktionen Design Philosophies and Principles Konstruktionsphilosophien und -prinzipien Design problem Entwurfsproblem Design, characteristic and use Aufbau, Eigenschaften, Anwendung Designation of standard rolling bearings Bezeichnungen für Wälzlager Designs Konstruktionen Detail design Ausarbeiten Detail design and measures of gears Gestalten und Bemaßen der Zahnräder Determination of heat consumption Wärmeverbrauchsermittlung Development methodology Entwicklungsmethodik Development processes and methods Entwicklungsprozesse und -methoden Development trends Entwicklungstendenzen Diagnosis devices Diagnosetechnik Diaphragm compressors Membranverdichter Dielectric heating Dielektrische Erwärmung Diesel engine Dieselmotor Different forms of energy Verschiedene Energieformen Differential equation and transfer function Differentialgleichung und Übertragungsfunktion Digital computing Digitalrechnertechnologie Digital data logging Digitale Messwerterfassung

Fachausdrücke

Digital electrical measurements Digitale elektrische Messtechnik Digital signal representation Digitale Messsignaldarstellung Digital voltmeters, multimeters Digitalvoltmeter, Digitalmultimeter Dimensional analysis and ˘ -theorem Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und ˘ -Theorem Dimensioning of silos Dimensionierung von Silos Dimensioning, First assumtion data Dimensionierung, Anhaltswerte Dimensionless stage parameters Stufenkenngrößen Diode characteristics and data Diodenkennlinien und Daten Diodes Dioden Direct and indirect noise development Direkte und indirekte Geräuschentstehung Direct converters Direktumrichter Direct current linear motor Gleichstromlinearmotoren Direct current small-power motor Gleichstrom-Kleinmotoren Direct expansion plants Direktverdampfer-Anlagen Direct heat transfer Direkter Wärmeübergang Direct heating Direkte Beheizung Direct problem Direktes Problem Direct-current (d. c.) circuits Gleichstromkreise Direct-current machine drives Gleichstromantriebe Direct-current machines Gleichstrommaschinen Directional (one-way) clutches, overrun clutches Richtungsgeschaltete Kupplungen (Freiläufe) Directional control valves Wegeventile Disassembling process Demontageprozess Disassembly Demontage Discharge temperature, polytropic head Endtemperatur, spezifische polytrope Arbeit Discs Scheiben Distribution und storage of energy Verteilen und Speicherung von Nutzenergie Distributor booms Verteilermasten

Fachausdrücke

Disturbance reaction of the control loop Störungsverhalten des Regelkreises Division of energy losses Verlustteilung DMU systems DMU-Systeme Domed end closures Gewölbte Böden Doors Türen Dozers and graders Planiermaschinen Drag of solid bodies Strömungswiderstand von Körpern Drilling and boring Bohren Drilling and boring machines Bohrmaschinen Drive control Regelung in der Antriebstechnik Drive shafts Gelenkwellen Drive slip control Antriebsschlupfregelung ASR Drive systems and controllers Antriebsmotoren und Steuerungen Drive systems for materials handling equipment Antriebe der Fördermaschinen Drive train Antriebsstrang Driver Antrieb Driver and brakes Antrieb und Bremsen Driver’s cab Führerräume Drives Antriebe Drives with line-commutated converters Gleichstromantriebe mit netzgeführten Stromrichtern Drives with three-phase current controllers Antriebe mit Drehstromsteller Driving comfort Fahrkomfort Driving dynamics Fahrdynamik Driving resistance and powertrain Fahrwiderstand und Antrieb Duct systems Kanalnetz Ducts and piping Leitungen Dumpers Transportfahrzeuge Duration of passenger exchange Fahrgastwechselzeiten Duty cycles Betriebsarten Dynamic contact seals Berührungsdichtungen an gleitenden Flächen Dynamic forces Dynamische Kräfte Dynamic model Dynamisches Modell Dynamic performance Dynamisches Betriebsverhalten Dynamic response of linear time-invariant transfer elements Dynamisches Verhalten linearer zeitinvarianter Übertragungsglieder Dynamic similarity Dynamische Ähnlichkeit

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Dynamic transient behaviour of measuring components Dynamische Übertragungseigenschaften von Messgliedern Dynamically loaded plain journal bearings Radialgleitlager im instationären Betrieb Dynamics Kinetik Dynamics and kinematics Kinetik und Kinematik Dynamics of machines Maschinendynamik Dynamics of relative motion Kinetik der Relativbewegung Dynamics of rigid bodies Kinetik starrer Körper Dynamics of systems of particles Kinetik des Massenpunktsystems Earth moving machinery Erdbaumaschinen Eccentric impact Exzentrischer Stoß Economic of electric energy Elektrizitätswirtschaft Economics of gas energy Gaswirtschaft Economics of remote heating Fernwärmewirtschaft Effective types of organisation Effektive Organisationsformen Efficiencies Wirkungsgrade Efficiencies, exergy losses Wirkungsgrade, Exergieverluste Elastic (Euler) buckling Knicken im elastischen (Euler-)Bereich Elastic and damping characteristics Feder- und Dämpfungsverhalten Elastic connections (springs) Federnde Verbindungen (Federn) Elastomers Elastomere Electric arc-heating Lichtbogenerwärmung Electric braking Elektrische Bremsung Electric circuits Elektrische Stromkreise Electric discharge machining, electrochemical machining, metaletching Funkenerosion, Elysieren, Metallätzen Electric drives Elektrische Antriebstechnik Electric energy from renewable sources Elektrische Energie aus erneuerbaren Quellen Electric heating Elektrobeheizung Electric heating Elektrowärme Electric infrastructure Elektrische Infrastruktur Electric power distribution Energieverteilung Electric power supply Stromversorgung Electric storages Elektrische Speicher

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Electric suspension track Elektrohängebahn Electrical control Elektrische Steuerungen Electrical Discharge Machining of threads Gewindeerodieren Electrical Engineering Elektrotechnik Electrical/Electronical Equipment/Diagnosis Elektrische/Elektronische Ausrüstung/Diagnose Electro chemical machining (ECM) Elektrochemisches Abtragen Electro discharge machining (EDM) Thermisches Abtragen mit Funken (Funkenerosives Abtragen) Electrochemically corrosion Elektrochemische Korrosion Electrolytic charge transfer Elektrolyte Electromagnetic compatibility Elektromagnetische Verträglichkeit Electromagnetic utilization Elektromagnetische Ausnutzung Electron beam processing Elektronenstrahlverfahren Electronic components Elektronische Bauelemente Electronic data collection and transmission by RFID Elektronische Datenerfassung und -übertragung durch RFID Electronic data processing Elektronische Datenverarbeitung Electronically commutated motors Elektronisch kommutierte Motoren Electrostatic field Elektrostatisches Feld Elevators Aufzüge Elevators and hoisting plants Aufzüge und Schachtförderanlagen Elliptical plates Elliptische Platten Embodiment design Entwerfen Embodiment design of structural components (frames) Gestaltung der Gestellbauteile Embodiment design, materials, bearings, accuracy, lubrication, assembly Gestaltung, Werkstoffe, Lagerung, Genauigkeit, Schmierung, Montage Emissions Emissionen Energy balance, efficiency Energiebilanz und Wirkungsgrad Energy conversion Energiewandlung

Fachausdrücke

Energy conversion by cyclic processes Energiewandlung mittels Kreisprozessen Energy equation Arbeits- und Energiesatz Energy storage Energiespeicherung Energy storage methods Energiespeicher Energy storage, energy storage efficiency factor, damping capacity, damping factor Arbeitsaufnahmefähigkeit, Nutzungsgrad, Dämpfungsvermögen, Dämpfungsfaktor Energy systems and economy Energietechnik und Wirtschaft Energy transport Energietransport Energy, material and signal transformation Energie-, Stoff- und Signalumsatz Engine components Motorbauteile Engine types and working cycles Arbeitsverfahren und Arbeitsprozesse Engineering drawings and parts lists Zeichnungen und Stücklisten Environmental control technology Umweltschutztechnologien Environmental effects Umgebungseinflüsse Environmental pollution Umweltverhalten Environmental quantities Umweltmessgrößen Epicyclic gear systems Umlaufgetriebe Equal capacitive currents (countercurrent) Gleiche Kapazitätsströme (Gegenstrom) Equation of momentum Impulssatz Equations of motion, system matrices Bewegungsgleichungen, Systemmatrizen Equations of reactions Reaktionsgleichungen Equipment Ausstattungen Equipment for position measurement at NCmachines Einrichtungen zur Positionsmessung bei NC-Maschinen Equipment for speed logging at NC-machines Einrichtungen zur Geschwindigkeitserfassung bei NC-Maschinen Equivalent circuit diagram and circle diagram Ersatzschaltbild und Kreisdiagramm Erosion Abtragen ERP systems ERP-Systeme Evaluation Criteria Bewertungskriterien Evaluation of tests Versuchsauswertung Evaluations of solutions Beurteilen von Lösungen Evaporation and crystallization Verdampfen und Kristallisieren

Fachausdrücke

Evaporativ cooling process Verdunstungskühlverfahren Evaporator Verdampfer Example: approximate centrifugal compressor sizing Beispiel einer Radialverdichterauslegung nach vereinfachtem Verfahren Examples for mechanical models: Finite-Elemente models Beispiele für mechanische Ersatzsysteme: Finite-Elemente-Modelle Examples for mechanical models: Springmass-damper-models Beispiele für mechanische Ersatzsysteme: Feder-Masse-DämpferModelle Examples of mechatronic systems Beispiele mechatronischer Systeme Excavators Bagger Excellence models Excellence-Modelle Exergy and anergy Exergie und Anergie Exergy and heat Exergie einer Wärme Exergy losses Exergieverluste Exergy of a closed system Exergie eines geschlossenen Systems Exergy of an open system Exergie eines offenen Systems Exhaust emissions Abgasemission Exhaust fume behavior Abgasverhalten Exhaust-gas turbocharger Abgasturbolader Expanding Schäumen Expansion compensators Dehnungsausgleicher Experimental stress analysis Experimentelle Spannungsanalyse External cooling load Äußere Kühllast Extreme operational ranges Extreme Betriebsverhältnisse Extrusion Durchdrücken Extrusion Strangpressen (Extrudieren) Failure criteria, equivalent stresses Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Failure under mechanical stress conditions Versagen durch mechanische Beanspruchung Fan Ventilator Fan assisted natural ventilation Freie Lüftung, verstärkt durch Ventilatoren Fans Gebläse Fans Ventilatoren Faraday’s law Induktionsgesetz Fast breeder reactors Schnelle Brutreaktoren (SNR)

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Fatigue strength Schwingfestigkeit Feature modeling Featuretechnologie Fed-batch cultivation Fed-Batch-Kultivierung Feed water heaters (economizers) Speisewasservorwärmer (Eco) Feed water treatment Speisewasseraufbereitung Feedforward control loop Regelung mit Störgrößenaufschaltung Fibre composite springs Federn aus FaserKunststoff-Verbunden Fibre reinforced plastics, composite materials Faser-Kunststoff-Verbunde Fibre ropes Faserseile Field busses Feldbusse Field effect transistors Feldeffekttransistoren Field quantities and equations Feldgrößen und -gleichungen Fields of application Einsatzgebiete Fields of production Bereiche der Produktion Filamentous growth Filamentöses Wachstum Film flow Filmströmung Film pressing Schichtpressen Filters Filter Finite analysis methods Finite Berechnungsverfahren Finite difference method Finite Differenzen Methode Finite element method Finite Elemente Methode First law Erster Hauptsatz First order delay element T1 -Glied Flange joints Flanschverbindungen Flanges Flansche Flap valves Klappen Flat belt drives Flachriemengetriebe Flat end closures Ebene Böden Flexible manufacturing systems Flexible Fertigungssysteme Flexible turning centers Flexible Drehbearbeitungszentren Flight controls Flugsteuerung Flight stability Flugstabilitäten Flow Strömung Flow control valves Stromventile Flow criteria Fliesskriterien Flow curve Fliesskurve Flow losses Strömungsverluste Flow of ideal gases Strömung idealer Gase

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Flow pattern Strömungsform Flow process Fließprozess Flow properties of bulk solids Fliessverhalten von Schüttgütern Flow resistance Strömungswiderstände Flow stress Fliessspannung Flue-gas desulphurisation Rauchgasentschwefelung Flue-gas dust separating Rauchgasentstaubung Flue-gas NOx reduction Rauchgasentstickung Fluid Fluid Fluid conveyor Strömungsförderer Fluid couplings Föttinger-Kupplungen Fluid dynamics Strömungstechnik Fluid flow machines (Turbomachinery) Strömungsmaschinen Fluid flow quantities Strömungstechnische Messgrößen Fluid-fluid heat exchange Wärmeübertragung Fluid–Fluid Fluidics Fluidische Steuerungen Fluidized bed Wirbelschicht Fluidized bed combustion (FBC) Wirbelschichtfeuerung Foam destruction Schaumzerstörung Force measurement Kraftmesstechnik Forced circulation fossil fueled boilers Zwanglaufkessel für fossile Brennstoffe Forced damped vibrations Gedämpfte erzwungene Schwingungen Forced undamped vibrations Ungedämpfte erzwungene Schwingungen Forced vibrations Erzwungene Schwingungen Forced vibrations with two and multi-DOFs Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden Forces and angles in flight Kräfte und Winkel im Flug Forces and deformations in joints due to preload Kräfte und Verformungen beim Anziehen von Schraubenverbindungen Forces and energies Kräfte und Arbeiten Forces and moments at beams of space Schnittlasten an räumlichen Trägern Forces and moments in plane curved beams Schnittlasten an gekrümmten ebenen Trägern Forces and moments in straight beams Schnittlasten am geraden Träger in der Ebene

Fachausdrücke

Forces and moments of inertia Massenkräfte und Momente Forces in crank mechanism Kräfte am Kurbeltrieb Forces in electromagnetic field Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld Forces in flat belt transmissions Kräfte am Flachriemengetriebe Forces in space Kräfte im Raum Forging Schmieden Formability Formänderungsvermögen Formation and number of cylinders Zylinderanordnung und -zahl Forming Umformen Forming limit diagram (FLD) Grenzformänderungsdiagramm Forming of metals and ceramics by powder metallurgy Formgebung bei metallischen und keramischen Werkstoffen durch Sintern (Pulvermetallurgie) Forming of plastics Formgebung bei Kunststoffen Forming process and equipment Formverfahren und -ausrüstungen Four-bar linkages Viergelenkgetriebe Fourier spectrum, spectrogram, noise analysis Fourierspektrum, Spektrogramm, Geräuschanalyse Four-way reach truck Mehrwegestapler Fracture mechanics concepts Bruchmechanikkonzepte Fracture mechanics proof of strength for cyclic loading Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter zyklischer Beanspruchung Fracture mechanics proof of strength for static loading Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter statischer Beanspruchung Fracture mechanics tests Bruchmechanische Prüfungen Fracture physics; comminution properties of solid materials Bruchphysik; Zerkleinerungstechnische Stoffeigenschaften Frames Gestelle Francis turbines Francisturbinen Free cooling Freie Kühlung Free cooling with brine cycle Freie Kühlung durch Solekreislauf

Fachausdrücke

Free cooling with external air Freie Kühlung durch Außenluft Free cooling with recooling plant Freie Kühlung durch Rückkühlwerk Free cooling with refrigerant pump system Freie Kühlung durch Kältemittel-PumpenSystem Free damped vibrations Freie gedämpfte Schwingungen Free jet Freier Strahl Free undamped vibrations Freie ungedämpfte Schwingungen Free vibrations Freie Schwingungen (Eigenschwingungen) Free vibrations with two and multi-DOFs Freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden Free-standing pillar machines Säulenbohrmaschinen Frequency response and frequency response locus Frequenzgang und Ortskurve Frequency response functions of mechanical systems, amplitude- and phase characteristic Frequenzgangfunktionen mechanischer Systeme, Amplituden- und Phasengang Frequency weighting, A-, C- and Z-weighting Frequenzbewertung, A-, C- und Z-Bewertung Fretting corrosion Reibkorrosion (Schwingverschleiß) Friction Haftung und Reibung Friction Reibung Friction and reference speeds of rolling bearings Bewegungswiderstand und Referenzdrehzahlen der Wälzlager Friction clutches Kraft-(Reib-)schlüssige Schaltkupplungen Friction regimes Reibungszustände Front turning machines Frontdrehmaschinen Fuel cell Brennstoffzelle Fuel Cells Brennstoffzellen Fuel consumption Kraftstoffverbrauch Fuel cycle Brennstoffkreislauf Fuel from waste material Abfallbrennstoffe Fuel injection system Einspritzsysteme Fuels Brennstoffe Function and subsystems Funktion und Subsysteme

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Function conditions for nuclear reactors Funktionsbedingungen für Kernreaktoren Function of tribosystems Funktion von Tribosystemen Function structure Funktionsgliederung Function, classification and application Aufgabe, Einteilung und Anwendungen Functional blocks of the monovariable control loop Funktionsblöcke des Regelkreises Functional components Funktionsbausteine Functional interrelationship Funktionszusammenhang Functioning Arbeitsweise Fundamental concepts for structural integrity assessment Grundlegende Konzepte für den Festigkeitsnachweis Fundamental methods Basismethoden Fundamentals Allgemeine Grundgleichungen Fundamentals Einige Grundbegriffe Fundamentals and components Grundlagen und Bauelemente Fundamentals and ideal cycles Grundlagen und Vergleichsprozesse Fundamentals and terms Grundlagen und Begriffe Fundamentals of development of series and modular design Baureihen- und Baukastenentwicklung Fundamentals of embodiment design Gestaltung Fundamentals of engineering design Grundlagen der Konstruktionstechnik Fundamentals of flight physics Grundlagen der Flugphysik Fundamentals of fluid power transmission Grundlagen der fluidischen Energieübertragung Fundamentals of metal forming Grundlagen der Umformtechnik Fundamentals of operational costing Grundlagen der betrieblichen Kostenrechnung Fundamentals of process engineering Grundlagen der Verfahrenstechnik Fundamentals of standardisation and engineering drawing Normen- und Zeichnungswesen Fundamentals of technical systems Technische Systeme

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Fundamentals of technical systems and systematic approach Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens Funghi Pilze Furnace heads Ofenköpfe Furnaces Feuerungen Fused Deposition Modeling (FDM) Fused Deposition Modelling (FDM) Fuselage Rumpf Galvanic corrosion Galvanische Korrosion Gas constant and the law of Avogadro Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro Gas cooled thermal reactors Gasgekühlte thermische Reaktoren Gas data Gasdaten Gas radiation Gasstrahlung Gas springs Gasfedern Gas turbines Gasturbinen Gas turbines in power plants Gasturbine im Kraftwerk Gas/liquid flow Gas-/Flüssigkeitsströmung Gaseous fuels Gasförmige Brennstoffe oder Brenngase Gas-fueled furnaces Feuerungen für gasförmige Brennstoffe Gasoline direct injection Direkte Benzin-Einspritzung Gas-turbine propulsion systems Gasturbine für Verkehrsfahrzeuge Gate turn off thyristors Abschaltbare Thyristoren Gate valves Schieber Gear- and vanetype motors Hydromotoren in Umlaufverdrängerbauart Gear cutting Verzahnen Gear grinding machines Verzahnungsschleifmaschinen Gear ring machine, gear pump and gear ring (gerotor) pumps Zahnringmaschine Zahnradpumpen und Zahnring-(Gerotor-)pumpen Gearing Zahnradgetriebe Geartype pumps Zahnradpumpen und Zahnring-(Gerotor-)pumpen General Allgemeines General and configurations Allgemeines und Bauweise General Corrosion Allgemeine Korrosion General formulation Allgemeine Formulierung

Fachausdrücke

General fundamentals Allgemeine Grundlagen General furnace accessories Allgemeines Feuerungszubehör General motion in space Allgemeine räumliche Bewegung General motion of a rigid body Allgemeine Bewegung des starren Körpers General objectives and constraints Generelle Zielsetzung und Bedingungen General plane motion of a rigid body Allgemeine ebene Bewegung starrer Körper General problem-solving Allgemeiner Lösungsprozess General relations between thermal and caloric properties of state Allgemeiner Zusammenhang zwischen thermischen und kalorischen Zustandsgrößen General relationships for all tooth profiles Allgemeine Verzahnungsgrößen General requirements Allgemeine Anforderungen General requirements Generelle Anforderungen General Selection criteria Allgemeine Auswahlkriterien General Tables Allgemeine Tabellen General working method Allgemeine Arbeitsmethodik Generalization of calculations Allgemeingültigkeit der Berechnungsgleichungen Generation of electric energy Erzeugung elektrischer Energie Generation of machinery noise Entstehung von Maschinengeräuschen Geometric construction for path of contact and conjugate tooth profile Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke Geometric modeling Geometrische Modellierung Geometric quantities Geometrische Messgrößen Geometric series of preferred numbers (Renard series) Dezimalgeometrische Normzahlreihen Geometrical relations Geometrische Beziehungen Geometrically similar series Geometrisch ähnliche Baureihe

Fachausdrücke

Geometry of an aircraft Geometrische Beschreibung des Luftfahrzeuges Geothermal energy Geothermische Energie Glass Glas Glazing, windshield wiper Verglasung, Scheibenwischer Granulation Granulieren Graph of torque fluctuations in multicylinder reciprocating machines Drehkraftdiagramm von Mehrzylindermaschinen Graphical symbols for welds Darstellung der Schweißnähte Grease lubrication Fettschmierung Grinding machines Schleifmaschinen Guidelines for embodiment design Gestaltungsrichtlinien Hamilton’s principle Prinzip von Hamilton Hammers Hämmer Hand lift trucks Handgabelhubwagen Hand trucks Handbetriebene Flurförderzeuge Hard soldering and brazing Hartlöten und Schweißlöten (Fugenlöten) Hardness test methods Härteprüfverfahren Hardware Hardwarekomponenten Hardware architecture Hardwarearchitekturen Heads, speeds and pressures Förderhöhen, Geschwindigkeiten und Drücke Heat Wärme Heat and material transmission Wärme- und Stoffübertragung Heat exchange by radiation Wärmeaustausch durch Strahlung Heat exchanger Wärmeübertrager Heat exchangers Wärmetauscher Heat generation Wärmeerzeugung Heat pumps Wärmepumpen Heat recovery Wärmerückgewinnung Heat recovery through air preheating Wärmerückgewinnung durch Luftvorwärmung Heat transfer Wärmeübergang Heat transfer Wärmeübertragung Heat transfer and heat transmission Wärmeübergang und Wärmedurchgang Heat transfer by convection Wärmeübergang durch Konvektion Heat transfer in condensation and in boiling Wärmeübergang beim Kondensieren und beim Sieden

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Heat transfer into solid Wärmeübergang ins Solid Heat transfer without change of phase Wärmeübergang ohne Phasenumwandlung Heat Treatment Wärmebehandlung Heating and air conditioning Heizung und Klimatisierung Heating and cooling Erwärmung und Kühlung Heating and cooling coils Lufterhitzer, -kühler Heating centres Heizzentrale Heating load Wärmebedarf, Heizlast Heating power stations Wärmekraftwerke Heating processes Heiztechnische Verfahren Heating system Beheizung Heating systems and components Systeme und Bauteile der Heizungstechnik Heavy duty lathes Großdrehmaschinen Heavy water reactors Schwerwasserreaktoren Helical and spiral bevel gears Kegelräder mit Schräg- oder Bogenverzahnung Helical compression springs, helical tension springs Zylindrische Schraubendruckfedern und Schraubenzugfedern Hertzian contact stresses (Formulas of Hertz) Beanspruchung bei Berührung zweier Körper (Hertzsche Formeln) High temperature corrosion with mechanical load Hochtemperaturkorrosion mit mechanischer Beanspruchung High temperature corrosion without mechanical load Hochtemperaturkorrosion ohne mechanische Beanspruchung High voltage switchgear Hochspannungsschaltgeräte High-frequency induction surface heating Oberflächenerwärmung High-speed milling machines Hochgeschwindigkeitsfräsmaschinen High-temperature brazing Hochtemperaturlöten Hints for design Konstruktive Hinweise Historical development Historische Entwicklung Hoist design Hubwerksausführungen Hoisting mechamism Hubwerke Hoisting plants Schachtförderanlagen Honing Honen Honing machines Honmaschinen

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Horizontal boring and milling machines Waagerecht-Bohr- und -Fräsmaschinen Humidifiers Luftbefeuchter Hybride process for mixture formation and combustion Hybride Verfahren für Gemischbildung und Verbrennung Hydraulic and pneumatic power transmission Fluidische Antriebe Hydraulic Circuits Hydrokreise Hydraulic conveyors Hydraulische Förderer Hydraulic elevators Hydraulikaufzüge Hydraulic equipment Hydraulikzubehör Hydraulic fluids Hydraulikflüssigkeiten Hydraulic power transmission Energieübertragung durch Flüssigkeiten Hydraulic-mechanical losses Mechanisch-hydraulische Verluste Hydrodynamic bearings with hydrostatic jacking systems Hydrostatische Anfahrhilfen Hydrodynamic drives and torque convertors Föttinger-Getriebe Hydrodynamics and aerodynamics (dynamics of fluids) Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide) Hydroelectric power plants Wasserkraftwerke Hydrogen induced cracking Wasserstoffinduzierte Rissbildung Hydrostatic journal bearings Hydrostatische Radialgleitlager Hydrostatic thrust bearings Hydrostatische Axialgleitlager Hydrostatics Hydrostatik (Statik der Flüssigkeiten) Hygienic fundamentals, physiological principles Hygienische Grundlagen Ice storage systems Eisspeichersysteme Ideal cycles for single stage compression Vergleichsprozesse für einstufige Verdichtung Ideal gas mixtures Gemische idealer Gase Ideal gases Ideale Gase Ideal isothermal reactors Ideale isotherme Reaktoren Identification Problem Identifikationsproblem Identification systems Identifikationssysteme Identification through persons and devices Identifikation durch Personen und Geräte Ignition equipment Zündausrüstung

Fachausdrücke

Impact Stoß Impeller Laufrad Impeller and rail (rail-mounted carriage) Laufrad und Schiene (Schienenfahrwerke) Impeller strength and structural dynamics Laufradfestigkeit und Strukturdynamik Impeller stress analysis Laufradfestigkeit Importance of motor vehicles Bedeutung von Kraftfahrzeugen Impulse turbines Gleichdruckturbinen Incompressible fluids Inkompressible Fluide Indicating instruments Messwertanzeige Indirect air cooling and cooling towers Indirekte Luftkühlung und Rückkühlanlagen Indirect heating Indirekte Beheizung Individual heaters for larger rooms and halls Einzelheizgeräte für größere Räume und Hallen Individual heaters for living rooms Einzelheizgeräte für Wohnräume Individual heating Einzelheizung Indoor climate Raumklima Inductances Induktivitäten Induction heating Induktive Erwärmung Industrial furnaces Industrieöfen Industrial robot Industrieroboter Industrial robot control systems Steuerungssystem eines Industrieroboters Industrial tractor Schlepper Industrial trucks Flurförderzeuge Industrial turbines Industrieturbinen Inelastic (plastic) buckling Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich Inelastic buckling (Tetmajer’s method) Knicken im unelastischen (Tetmajer-)Bereich Infinite plate with a hole Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung Influence of temperature, pH, inhibiting and activating compounds Einfluss von Temperatur, pH-Wert, Inhibitoren und Aktivatoren Influence of the design on the form of the lubricated gap between bearing and shaft Konstruktion und Schmierspaltausbildung Influences on material properties Einflüsse auf die Werkstoffeigenschaften Influencing variables Einflussgröße Information layout Informationsdarstellung

Fachausdrücke

Information technology Informationstechnologie Inhibition of growth Wachstumshemmung Initial forces, start-up forces Anregungskräfte Injection (direct contact) condensers Einspritz-(Misch-)Kondensatoren Injection moulding Spritzgießverfahren Injection nozzle Einspritzdüse Injection pressing Spritzpressen Inlet and outlet gear Ein- und Auslasssteuerung Inlet and outlet gear components Baugruppen zur Ein- und Auslasssteuerung Inorganic chemical analysis Anorganisch-chemische Analytik Input and output of signals Signaleingabe und -ausgabe Input problem Eingangsproblem Installations for natural ventilation Einrichtungen zur freien Lüftung Instrument transformers Messwandler Insulated gate bipolar transistors IGB-Transistoren Integral controller I-Anteil, I-Regler Integral element I-Glied Integrally geared compressor Mehrwellen-Getriebeverdichter Integration technologies Integrationstechnologien Interfaces Schnittstellen Interference fits Pressverbände Intergranular corrosion Interkristalline Korrosion Interior lay out Innenraumgestaltung Interior noise Innengeräusch Internal combustion Verbrennung im Motor Internal combustion (IC) engine design Konstruktion von Motoren Internal combustion (IC) engine fuels Motoren-Kraftstoffe Internal combustion (IC) engines Motorkraftwerke Internal combustion engines Verbrennungskraftanlagen Internal combustion engines Verbrennungsmotoren Internal cooling load Innere Kühllast Internal energy and systemenergy Innere Energie und Systemenergie

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International practical temperature scale Internationale Praktische Temperaturskala International standard atmosphere Internationale Standardatmosphäre (ISA) International system of units Internationales Einheitensystem Internet Internet Interpolation, Integration Interpolation, Integration Interpretation of climate data Auslegung von Klimadaten Introduction Einführung Introduction Einleitung Introduction and definitions Einleitung und Definitionen Introduction, function Überblick, Aufgaben Involute teeth Evolventenverzahnung Iron Base Materials Eisenwerkstoffe Iron Carbon Constitutional Diagram Zustandsschaubild Eisen-Kohlenstoff Jet and diffusion flow Düsen- und Diffusorströmung Jig boring machines Koordinatenbohrmaschinen Job planning Arbeitsvorbereitung Joining Fügen von Kunststoffen Joints with polygonprofile Polygonwellenverbindungen Kaplan turbines Kaplanturbinen Kinematic analysis of planar mechanisms Kinematische Analyse ebener Getriebe Kinematic analysis of spatial mechanisms Kinematische Analyse räumlicher Getriebe Kinematic and dynamic model Kinematisches und dynamisches Modell Kinematic and vibration quantities Kinematische und schwingungstechnische Messgrößen Kinematic fundamentals, terminology Kinematische Grundlagen, Bezeichnungen Kinematic model Kinematisches Modell Kinematics Kinematik Kinematics of crank mechanism Kinematik des Kurbeltriebs Kinematics, power, efficiency Kinematik, Leistung, Wirkungsgrad Kinetic of enzyme reactions Kinetik enzymatischer Reaktionen

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Kinetic of microbial growth Kinetik des mikrobiellen Wachstums Kinetics of chemical reactions Kinetik chemischer Reaktionen Kinetostatic analysis of planar mechanisms Kinetostatische Analyse ebener Getriebe Kirchhoff’s Law Kirchhoffsches Gesetz Knee-type milling machines Konsolfräsmaschinen Knowledge based modeling Wissensbasierte Modellierung Lagrange’s equations Lagrangesche Gleichungen Laminated Object Manufacturing (LOM) Laminated Object Manufacturing (LOM) Lapping machines Läppmaschinen Laser beam processing Laserstrahlverfahren Laser cutting Lasertrennen Laser welding and soldering equipment Laserstrahl-Schweiß- und Löteinrichtungen Lateral buckling of beams Kippen Lateral dynamics and driving behavior Querdynamik und Fahrverhalten Lathes Drehmaschinen Law of physics Physikalische Grundlagen Laws of fluid dynamics Strömungsgesetze Layout design of friction clutches Auslegung einer reibschlüssigen Schaltkupplung Layout design of heat exchangers Auslegung von Wärmeübertragern Layout design principles, vibration characteristics Auslegungsgesichtspunkte, Schwingungsverhalten Lead Blei Leaf springs and laminated leaf springs Einfache und geschichtete Blattfedern (gerade oder schwachgekrümmte, biegebeanspruchte Federn) Length measurement Längenmesstechnik Life Cycle Costing Lebenslaufkostenrechung Lifecyclecosts Lebenszykluskosten LCC Lift drive, auxiliary function driv Hubantrieb, Antrieb der Nebenfunktionen Lift drive, auxiliary function drive, manually operated industrial trucks Hubantrieb, Antrieb der Nebenfunktionen Handbetriebene Flurförderzeuge Lift mast Hubgerüst

Fachausdrücke

Lifting equipment and cranes Hebezeuge und Krane Lifting hook Lasthaken Light and lighting Licht und Beleuchtung Light water reactors Leichtwasserreaktoren (LWR) Lightweight structures Leichtbau Line interaction Netzrückwirkungen Line model Leitungsnachbildung Linear and rotary guides and bearings Führungen Linear basic elements Lineare Grundglieder Linear characteristic curve Lineare Kennlinie Linear control loop Linearer Regelkreis Linear guides Linearführungen Linear motion rolling bearings Linearwälzlager Linear motors Linearmotoren Linear transfer elements Lineare Übertragungsglieder Line-commutated converters Netzgeführte Stromrichter Line-commutated rectifiers and inverters Netzgeführte Gleich- und Wechselrichter Liquid fuel furnaces Feuerungen für flüssige Brennstoffe Liquid level Flüssigkeitsstand Liquid ring compressors Flüssigkeitsringverdichter Load and operating strategies Belegungs- und Bedienstrategien Load capacity Tragfähigkeit Load carrying equipment Tragmittel und Lastaufnahmemittel Load carrying equipment for bulk materials Lastaufnahmemittel für Schüttgüter Load carrying equipment for individual items Lastaufnahmemittel für Stückgüter Load rating and fatigue life of rolling bearings Belastbarkeit und Lebensdauer der Wälzlager Load-carrying device Lastaufnahmevorrichtung Load-commutated inverter motor Stromrichtermotor Load-deformation diagrams, spring rate (stiffness), deformation rate (flexibility) Federkennlinie, Federsteifigkeit, Federnachgiebigkeit

Fachausdrücke

Loading and failure types Beanspruchungs- und Versagensarten Loading and materials Beanspruchungen und Werkstoffe Loading and stress conditions Belastungs- und Beanspruchungsfälle Loading capacity under creep conditions and creep-fatigue conditions Festigkeitsnachweis unter Zeitstand- und Kriechermüdungsbeanspruchung Loads and load combinations Lasten und Lastkombinationen Loads, Load Assumptions Lasten, Lastannahmen Local stress or strain approach Kerbgrundkonzepte Localized corrosion and passivity Lokalkorrosion und Passivität Long stroke honing machines Langhubhonmaschinen Longtime tests Dauerversuche Loss factors for pipe fittings and bends Strömungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten Losses and efficiency Verluste und Wirkungsgrad Losses at the blade tips Verluste an den Schaufelenden Low voltage switchgear Niederspannungsschaltgeräte Lubricant and kind of lubrication Schmierstoff und Schmierungsart Lubricant supply Lagerschmierung Lubricants Schmierstoffe Lubricating greases Schmierfette Lubricating oils Schmieröle Lubrication Schmierung Lubrication and cooling Schmierung und Kühlung Lubrication of rolling bearings Wälzlagerschmierung Machine acoustic base equation Maschinenakustische Grundgleichung Machine acoustic calculations by Finite-Element-Method/Boundary-Element-Method Maschinenakustische Berechnungen mit der Finite-Elemente-Methode/Boundary-Elemente-Methode

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Machine acoustic calculations by Statistical Energy Analysis (SEA) Maschinenakustische Berechnungen mit der Statistischen Energieanalyse (SEA) Machine dynamics Maschinendynamik Machine tool components Elemente der Werkzeugmaschinen Machine types Maschinenarten Machine vibrations Maschinenschwingungen Machines for circular milling Rundfräsmaschinen Machines for power hack sawing and filing Hubsäge- und Hubfeilmaschinen Machining Centers Bearbeitungszentren Magnesium alloys Magnesiumlegierungen Magnetic data transmission Magnetische Datenübertragung Magnetic materials Magnetische Materialien Maintenance Wartung und Instandhaltung Maintenance of cells Zellerhaltung Manifestation of corrosion Korrosionserscheinungen („Korrosionsarten“) Manipulation and disturbance reaction of the controlled system Stell- und Störverhalten der Strecke Manufacturing in precision engineering and microtechnology Fertigungsverfahren der Feinwerk- und Mikrotechnik Manufacturing of cast parts Herstellung von Formteilen (Gussteilen) Manufacturing of half-finished parts Herstellung von Halbzeugen Manufacturing of microstructures Verfahren der Mikrotechnik Manufacturing processes Fertigungsverfahren Manufacturing systems Fertigungsmittel Manufacturing systems Fertigungssysteme Marine application Schifffahrt Matching of centrifugal pump and system characteristics Kreiselpumpe an den Leistungsbedarf, Anpassung Matching of machine and plant Zusammenarbeit von Maschine und Anlage Material Werkstoff Material flow controls Materialflusssteuerungen Material separation Stofftrennung Material to be conveyed; materials handling equipment Fördergüter und Fördermaschinen

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Materiallographic analyses Materialographische Untersuchungen Materials design values for dimensioning of components Werkstoffkennwerte für die Bauteildimensionierung Materials handling Materialtransport Materials handling and conveying Fördertechnik Materials in electric field Stoffe im elektrischen Feld Materials in magnetic field Stoffe im Magnetfeld Materials selection Werkstoffauswahl Materials technology Werkstofftechnik Materials testing Werkstoffprüfung Mathematics Mathematik Maximum principal stress criterion Normalspannungshypothese Maximum shear strain energy criterion Gestaltänderungsenergiehypothese Maximum shear stress (Tresca) criterion Schubspannungshypothese Mean retention time Mittlere Verweilzeit Measurement and control Mess- und Regelungstechnik Measurement of current, voltage and resistance Strom-, Spannungs- und Widerstandsmesstechnik Measurement signal processing Messsignalverarbeitung Measurement technique and sensors Messtechnik und Sensorik Measuring chain Messkette Measuring quantities and methods Messgrößen und Messverfahren Measuring spot and data sensoring Messort und Messwertabnahme Mechanical action Mechanische Beanspruchungen Mechanical behaviour Mechanisches Verhalten Mechanical brakes Mechanische Elemente der Antriebe Mechanical data transmission Mechanische Datenübertragung Mechanical feed drive components Mechanische Vorschub-Übertragungselemente Mechanical losses Mechanische Verluste

Fachausdrücke

Mechanical machine components Mechanische Konstruktionselemente Mechanical memories and control systems Mechanische Speicher und Steuerungen Mechanical model Mechanisches Ersatzsystem Mechanical models, equations of motion Mechanische Ersatzsysteme, Bewegungsgleichungen Mechanical presses Weggebundene Pressmaschinen Mechanical process engineering Mechanische Verfahrenstechnik Mechanical ventilation facilities Mechanische Lüftungsanlagen Mechanics Mechanik Mechanism-engineering, kinematics Getriebetechnik Mechanisms of corrosion Mechanismen der Korrosion Mechanized hard soldering Mechanisiertes Hartlöten Mechatronics Mechatronik Melting and sublimation curve Schmelz- und Sublimationsdruckkurve Membrane separation processes Membrantrennverfahren Metal cutting machine tools Spanende Werkzeugmaschinen Metal springs Metallfedern Metallographic investigation methods Metallographische Untersuchungen Metallurgical effects Metallurgische Einflüsse Meteorological fundamentals Meteorologische Grundlagen Methods Methoden Methods of coordinate geometry Analytische Verfahren Methods of reducing machinery noise Möglichkeiten zur Verminderung von Maschinengeräuschen Metrology Messtechnik Michaelis-Menten-Kinetic Michaelis-MentenKinetik Microbiological influenced corrosion Mikrobiologisch beeinflusste Korrosion Microorganisms of technical importance Mikroorganismen mit technischer Bedeutung Milling Fräsen

Fachausdrücke

Milling machines Fräsmaschinen Milling machines with parallel kinematics Fräsmaschinen mit Parallelkinematiken Milling machines with parallel kinematics, special milling machines Fräsmaschinen mit Parallelkinematiken Sonderfräsmaschinen Mineral components Mineralische Bestandteile Mixing installations for concrete Betonmischanlagen Mixing of solid materials Mischen von Feststoffen Mixture formation and combustion in compression-ignition engines Gemischbildung und Verbrennung im Dieselmotor Mixture formation and combustion in spark ignition engines Gemischbildung und Verbrennung im Ottomotor Mixtures Gemische Mixtures of gas and vapour. Humid air GasDampf-Gemische. Feuchte Luft Mobile cranes Fahrzeugkrane Modal analysis Modale Analyse Modal parameters: Natural frequencies, modal damping, eigenvectors Modale Parameter: Eigenfrequenzen, modale Dämpfungen, Eigenvektoren Mode of operation Wirkungsweise Mode of operation, definitions Wirkungsweise, Definitionen Modeling and design method Modellbildung und Entwurf Models Modelle Modes of failure under complex conditions Versagen durch komplexe Beanspruchungen Modular system Baukasten Mohr’s criterion Erweiterte Schubspannungshypothese Mollier-diagram of humid air Mollier-Diagramm der feuchten Luft Moment of inertia Allgemeines über Massenträgheitsmomente Motion and control System Antriebs- und Steuerungssystem Motion controls Bewegungssteuerungen Motion measurement Wegmesstechnik Motion of rigid bodies Bewegung starrer Körper Motion of the centroid Schwerpunktsatz Motorcycles Krafträder

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Motors Motoren Moving coil instruments Messwerke Multi-degree-of-freedom systems (coupled vibrations) Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen) Multidimensional flow of ideal fluids Mehrdimensionale Strömung idealer Flüssigkeiten Multidimensional flow of viscous fluids Mehrdimensionale Strömung zäher Flüssigkeiten Multigrid method Mehrgitterverfahren Multi-lobed and tilting pad journal bearings Mehrgleitflächenlager Multi-loop control Mehrschleifige Regelung Multi-machine Systems Mehrmaschinensysteme Multiphase fluid flow Mehrphasenströmungen Multi-spindle drilling machines Mehrspindelbohrmaschinen Multistage compression Mehrstufige Verdichtung Natural circulation fossil fuelled boilers Naturumlaufkessel für fossile Brennstoffe Natural frequency of undamped systems Eigenfrequenzen ungedämpfter Systeme Natural gas transport Erdgastransporte Navier Stokes’ equations Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes Net calorific value and gros calorific value Heizwert und Brennwert Network analysis Netzwerkberechnung Networks Netzwerke Newton’s law of motion Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newtonsches Axiom) Nickel and nickel alloys Nickel und seine Legierungen Noise Geräusch Noise development Geräuschentstehung No-load and short circuit Leerlauf und Kurzschluss Nominal stress approach Nennspannungskonzept Nominal, structural and notch tension concept Nenn-, Struktur- und Kerbspannungskonzept Non-destructive diagnosis and machinery condition monitoring Zerstörungsfreie Bauteilund Maschinendiagnostik Non-destructive testing Zerstörungsfreie Werkstoffprüfung

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Nonferrous metals Nichteisenmetalle Nonlinear transfer elements Nichtlinearitäten Non-linear vibrations Nichtlineare Schwingungen Nonmetallic inorganic materials Nichtmetallische anorganische Werkstoffe Nonsteady flow Instationäre Strömung Non-continuous conveyors Unstetigförderer Non-steady flow of viscous Newtonian fluids Instationäre Strömung zäher Newtonscher Flüssigkeiten Normal impact Gerader zentraler Stoß Notched bar impact bending test Kerbschlagbiegeversuch Nuclear fuels Kernbrennstoffe Nuclear fusion Kernfusion Nuclear power stations Kernkraftwerke Nuclear reactor boilers Dampferzeuger für Kernreaktoren Nuclear reactors Kernreaktoren Number representation and arithmetic operations Zahlendarstellungen und arithmetische Operationen Numbering systems Sachnummernsysteme Numerical basic functions Numerische Grundfunktionen Numerical control (NC) Numerische Steuerungen Numerical methods Numerische Berechnungsverfahren Numerical methods Numerische Methoden Numerical processes to simulate airborne and structure-borne noise Numerische Verfahren zur Simulation von Luft- und Körperschall Numerical-analytical solutions Numerisch-analytische Lösung Object oriented programming Objektorientierte Programmierung Oblique impact Schiefer zentraler Stoß Occupant cell Fahrgastzelle Off-line programming systems Offline-Programmiersysteme Oil lubrication Ölschmierung Oil transport Mineralöltransporte One-dimensional flow of ideal fluids Eindimensionale Strömungen idealer Flüssigkeiten

Fachausdrücke

One-dimensional flow of non-Newtonian fluids Eindimensionale Strömung Nicht-Newtonscher Flüssigkeiten One-dimensional flow of viscous Newtonian fluids Eindimensionale Strömungen zäher Newtonscher Flüssigkeiten (Rohrhydraulik) Open and Closed loop Offene und geschlossene Regelkreise Open circuit Offener Kreislauf Open gas turbine cycle Offene Gasturbinenanlage Operating characteristics Betriebskennlinien Operating characteristics Betriebsverhalten Operating conditions Betriebsbedingungen (vorgegeben) Operating conditions and performance characteristics Betriebsverhalten und Kenngrößen Operating systems Betriebssysteme Operating variables Beanspruchungskollektiv Operation of hydrostatic transmissions Funktion der Hydrogetriebe Operation of storage systems Betrieb von Lagersystemen Operational amplifiers Operationsverstärker Operational area Einsatzgebiete Operational behaviour and control Betriebsverhalten und Regelmöglichkeiten Operational costing Betriebliche Kostenrechnung Operational mode Betriebsweise Operational stability Betriebsfestigkeit Optical data collection and transmission Optische Datenerfassung und -übertragung Optical quantities Optische Messgrößen Optimization problems Optimierungsprobleme Optimum indoor climate in working spaces and factories Erträgliches Raumklima in Arbeitsräumen und Industriebetrieben Optocouplers Optokoppler Optoelectronic components Optoelektronische Komponenten Opto-electronic emitters Optoelektronische Sender Opto-electronic receivers Optoelektronische Empfänger Organic chemical analysis Organisch-chemische Analytik

Fachausdrücke

Organic industrial design: challenges and visions Bio-Industrie-Design: Herausforderungen und Visionen Organisation of control systems Aufbauorganisation von Steuerungen Organisational types Formen der Organisation Organizational forms of assembly Organisationsformen der Montage Origin of machine vibrations, excitation forces Entstehung von Maschinenschwingungen, Erregerkräfte F(t) Oscillating circuits and filters Schwingkreise und Filter Oscillating positive displacement pumps Oszillierende Verdrängerpumpen Oscilloscopes Oszilloskope Ossberger (Banki) turbines Ossbergerturbinen Otto engine Ottomotor Outdoor air humidity Luftfeuchte Outdoor air temperature Lufttemperatur Output of measured quantities Messwertausgabe Machine Maschine Overall machine performance parameters Maschinenkenngrößen Overview Übersicht Packaged water chiller Kaltwassersätze Pallet truck Niederhubwagen Pallet-stacking truck Gabelhochhubwagen Parallel keys and woodruff keys Pass- und Scheibenfeder-Verbindungen Parameter definition Parameterermittlung Parameter-excited vibrations Parametererregte Schwingungen Parameters of the conveying process Kenngrößen des Fördervorgangs Parametric modeling Parametrik Parametrics and holonomic constraint Parametrik und Zwangsbedingungen Particle dynamics, straight line motion of rigid bodies Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Körpers Part-load operation Teillastbetrieb Passive components Passive Komponenten Passive safety Passive Sicherheit Pattern recognition and image processing Mustererkennung und Bildverarbeitung Pelton turbines Peltonturbinen

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Perfect liquid Ideale Flüssigkeit Performance characteristics Kennliniendarstellungen Performance parameter range of compressor stages Kenngrößen-Bereiche für Verdichterstufen Performance parameter range of turbine stages Kenngrößen-Bereiche für Turbinenstufen Permanent brakes Dauer-Bremsanlagen Permanent disposal of nuclear waste Endlagerung radioaktiver Abfälle Permanent elastic couplings Elastische, nicht schaltbare Kupplungen Permanent molding process Dauerformverfahren Permanent rotary-flexible couplings Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen Permanent torsionally stiff couplings Drehstarre, nicht schaltbare Kupplungen Phasor diagram Zeigerdiagramm Photometry, colorimetry Licht- und Farbmesstechnik Picking Kommissionierung Piece good handling technology Stückgut-Systemtechnik Pin-jointed frames Fachwerke Pinned and taper-pinned joints Stiftverbindungen Pipe fittings Rohrverbindungen Pipework Rohrleitungen Piping system Rohrnetz Piston compressors Hubkolbenverdichter Piston engines Hubkolbenmaschinen Piston pumps Kolbenpumpen Pistontype motors Hydromotoren in Hubverdränger-(Kolben-)bauart Placement of primary shaping in the manufacturing processes Einordnung des Urformens in die Fertigungsverfahren Plain bearings Gleitlagerungen Plain journal bearings under steady-state conditions Stationär belastete Radialgleitlager Plain thrust bearings under steady state conditions Stationär belastete Axialgleitlager Plane frames Ebene Fachwerke Plane motion Ebene Bewegung Plane problems Körper in der Ebene Plane stresses Ebener Spannungszustand

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Plane surfaces Ebene Flächen Planing machines Hobelmaschinen Planing, shaping and slotting machines Hobelund Stoßmaschinen Planning and investments Planung und Investitionen Planning of measurements Planung von Messungen Plant and animal tissues Pflanzliche und tierische Zellen (Gewebe) Plant performance characteristics Anlagencharakteristik Plastic foams (Cellular plastics) Kunststoffschäume Plastic limit load concept Plastisches Grenzlastkonzept Plastics Kunststoffe Plastics with fluorine Fluorhaltige Kunststoffe Plates Platten Plates and shells Flächentragwerke Platform truck Wagen Pneumatic components Bauelemente Pneumatic conveyors Pneumatische Förderer Pneumatic drives Pneumatische Antriebe Pneumatic power transmission Energieübertragung durch Gase Polarimetry Polarimetrie Pollutant content Schadstoffgehalt Polytropic and isentropic efficiency Polytroper und isentroper Wirkungsgrad Port fuel injection Saugrohr-Benzin-Einspritzung Position adjustment Lageeinstellung Positive (interlocking) clutches (dog clutches) Formschlüssige Schaltkupplungen Positive connections Formschlussverbindungen Positive displacement pumps Verdrängerpumpen Positive locked drives Formschlüssige Antriebe Possibilities for noise reduction Möglichkeiten zur Geräuschminderung Potential flows Potentialströmungen Power characteristics of valves Leistungsmerkmale der Ventile Power diodes Leistungsdioden Power electronics Leistungselektrik

Fachausdrücke

Power output, power input, overall efficiency Förderleistung, Antriebsleistung, Gesamtwirkungsgrad Power plant technology Kraftwerkstechnik Power Plant Turbines Kraftwerksturbinen Power, torque and fuel consumption Leistung, Drehmoment und Verbrauch Power-driven lift trucks Motorisch betriebene Flurförderzeuge PPC systems PPS-Systeme Precision drilling machines Feinbohrmaschinen Preparing and finishing steps Vorbereitende und nachbehandelnde Arbeitsvorgänge Presentation of vibrations in the frequency domain Darstellung von Schwingungen im Frequenzbereich Presentation of vibrations in the time and frequency domain Darstellung von Schwingungen im Zeit- und Frequenzbereich Presentation of vibrations in the time domain Darstellung von Schwingungen im Zeitbereich Press moulding Formpressen Press Pressmaschinen Press, working process related Arbeitgebundene Pressmaschine Presses and hammers for metal forming Werkzeugmaschinen zum Umformen Pressure conditions Druckzustände Pressure control valves Druckventile Pressure drop Druckverlust Pressure drop design Druckverlustberechnung Pressure losses Druckverluste Pressure measurement Druckmesstechnik Pressures Drücke Pressurized cross sectional area Ap Druckbeanspruchte Querschnittsflächen Ap Prestressed shaft-hub connections Vorgespannte Welle-Nabe-Verbindungen Primary energies Primärenergien Principle and types Prinzip und Bauformen Principle of operation Funktionsweise des Industrie-Stoßdämpfers Principle of virtual work Prinzip der virtuellen Arbeiten Principles of condensation Grundbegriffe der Kondensation

Fachausdrücke

Principles of embodiment design Gestaltungsprinzipien Principles of energy supply Grundsätze der Energieversorgung Printers Drucker Procedure Vorgang Process data processing and bussystems Prozessdatenverarbeitung und Bussysteme Processes and functional principles Prozesse und Funktionsweisen Processing Plants Verarbeitungsanlagen Processing System Verarbeitungssystem Product creation process Produktentstehungsprozess Product data management Produktdatenmanagement Production and works management Fertigungs- und Fabrikbetrieb Production management Management der Produktion Production of diffusion layers Erzeugung von Diffusionsschichten Production of plane surface structures Herstellen planarer Strukturen Production planning Arbeitsplanung Production planning and control Arbeitssteuerung Profil grinding machines Profilschleifmaschinen Profile losses Profilverluste Program control and function control Programmsteuerung und Funktionssteuerung Programmable logic controller (PLC) Speicherprogrammierbare Steuerungen Programming languages Programmiersprachen Programming methods Programmiermethoden Programming procedures Programmierverfahren Proof of strength for components Festigkeitsnachweis von Bauteilen Proof of strength for constant cyclic loading Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit konstanter Amplitude Proof of strength for static loading Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung Proof of structural durability Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit variabler Amplitude (Betriebsfestigkeitsnachweis)

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Propellers Propeller Properties Eigenschaften Properties and Application of Materials Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe Properties of materials and structures Werkstoff- und Bauteileigenschaften Proportional controlled system P-Strecke 0. Ordnung (P–T0 ) Proportional controlled system with dead time P-Strecke mit Totzeit (P–Tt ) Proportional controlled system with first order delay P-Strecke 1. Ordnung (P–T1 ) Proportional controlled system with second or higher order delay P-Strecke 2. und höherer Ordnung (P–Tn ) Proportional controller P-Anteil, P-Regler Proportional element P-Glied Proportional plus derivative controller PDRegler Proportional plus integral controller PI-Regler Proportional plus integral plus derivative controller PID-Regler Proportional valves Proportionalventile Propulsion system Fahrantrieb Protection against electric shock Berührungsschutz Protection switches Schutzschalter Pulsation dumping Pulsationsdämpfung Pulverized fuel furnaces Kohlenstaubfeuerung Pump constructions Ausgeführte Pumpen Pump storage stations Pumpspeicherwerke Purity of material Werkstoffreinheit Push sorter Schubplattformförderer Pusher furnace Stoßofen Quality management (QM) Qualitätsmanagement Quantities of substances and matter Stoffmessgrößen Quasistationary electromagnetic field Quasistationäres elektromagnetisches Feld Radial drilling machines Schwenkbohrmaschinen Radial turbine stage Radiale Turbinenstufe Radiation in industrial furnaces Strahlung in Industrieöfen Radiation measurement Strahlungsmesstechnik Radiative heat transfer Wärmeübertragung durch Strahlung

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Radiators, convectors and panel heating Raum-Heizkörper, -Heizflächen Rail vehicles Schienenfahrzeuge Rating, flow rate, control Bemessung, Förderstrom, Steuerung Ratio of slip Schlupf Reach truck Schubstapler Reaction turbines Überdruckturbinen Reactive power compensation Blindleistungskompensation Reactor core with reflector Reaktorkern mit Reflektor Reactor safety Sicherheitstechnik von Kernreaktoren Real cycle Wirklicher Arbeitsprozess Real engine Reale Maschine Real fluid Reales Fluid Real gases and vapours Reale Gase und Dämpfe Real gas-turbine cycles Reale Gasturbinenprozesse Real reactors Reale Reaktoren Realization of assembly and disassembly Durchführung der Montage und Demontage Reciprocating engines Kolbenmaschinen Reciprocating water chillers Kaltwassersatz mit Kolbenverdichter Recooling systems Rückkühlsysteme Recorders Schreiber Rectangular plates Rechteckplatten Reduce of force level Verminderung des Kraftpegels (Maßnahmen an der Krafterregung) Reduce of structure-borne-noise-factor and radiation coefficient Verminderung von Körperschallmaß und Abstrahlmaß (Maßnahmen am Maschinengehäuse) Reduction of the airborne noise emission Verminderung der Luftschallabstrahlung Reduction of the force excitation Verminderung der Kraftanregung Reduction of the structure-borne noise function Verminderung der Körperschallfunktion Reference and disturbance reaction of the control loop Führungs- und Störungsverhalten des Regelkreises Reference reaction of the control loop Führungsverhalten des Regelkreises Reference values, level arithmetic Bezugswerte, Pegelarithmetik

Fachausdrücke

Refractometry Refraktometrie Refractories Feuerfestmaterialien Refrigerant Kältemittel Refrigerant circuits Kältemittelkreisläufe Refrigerant-compressor Kältemittelverdichter Refrigerants, refrigeration oils and brines Kältemittel, Kältemaschinen-Öle und Kühlsolen Refrigeration and air-conditioning technology and heating engineering Kälte-, Klima- und Heizungstechnik Refrigeration oil Kältemaschinen-Öle Refrigeration plants and heat pumps Kälteanlagen und Wärmepumpen Refrigeration processes Kältetechnische Verfahren Refrigeration technology Kältetechnik Regenerative energies Regenerative Energien Regenerative heat transfer Regenerativer Wärmeübergang Registrating instruments Messwertregistrierung Regulating device Regelung Regulating device Verstellung und Regelung Regulating device and operating characteristics Regelung und Betriebsverhalten Regulation methods Regelungsarten Reliability test Zuverlässigkeitsprüfung Remote heat transport Fernwärmetransporte Removal by thermal operations Thermisches Abtragen Representation and documentation of results Ergebnisdarstellung und Dokumentation Requirements of gas mixture Gemischbildung, Anforderungen an Requirements, types of design Anforderungen an Bauformen Resistance heating Widerstandserwärmung Resistance welding machine Widerstandsschweißmaschine Resistors Widerstände Reversing converters Umkehrstromrichter Rigid body rotation about a fixed axis Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse Rigid couplings Starre Kupplungen Riveted joints Nietverbindungen Road vehicles Straßenfahrzeuge Roller conveyors Rollen- und Kugelbahnen Rolling bearing clearance Lagerluft

Fachausdrücke

Rolling bearing seals Wälzlagerdichtungen Rolling bearing structural materials Wälzlagerwerkstoffe Rolling bearing types Bauarten der Wälzlager Rolling bearings Wälzlager Rolling friction Rollwiderstand Rolling with spin Bohrbewegung Room temperature Raumtemperatur Roots blowers Roots-Gebläse Ropes and rope drives Seile und Seiltriebe Rotary cube casing Drehrohrmantel Rotary guides, bearings Drehführungen, Lagerungen Rotary impact Drehstoß Rotary kiln Drehrohröfen Rotating electrical machines Elektrische Maschinen Rotating fields in three-phase machines Drehfelder in Drehstrommaschinen Rotating S-conveyor Umlauf-S-Förderer Rotation Rotation (Drehbewegung, Drehung) Rubber springs and anti-vibration mountings Gummifedern Rule of the common normal Verzahnungsgesetz Rules for control loop optimization Einstellregeln für Regelkreise Running gear Fahrwerkskonstruktionen Running quality of mechanisms Laufgüte der Getriebe Run-of-river and storage power stations Laufwasser- und Speicherkraftwerke Safety Arbeitssicherheit Safety Sicherheit Safety devices Sicherheitstechnik Safety requirements Sicherheitsbestimmungen Sampling Probenentnahme Sawing and filing machines Säge- und Feilmaschinen Scavenging of two-stroke engines Ladungswechsel des Zweitaktmotors Schottky-Diodes Schottky-Dioden Scope of quality management Aufgaben des Qualitätsmanagements Scraper conveyors Kratzerförderer Screw (driving screw) Schraube (Bewegungsschraube) Screw compressor water chillers Kaltwassersatz mit Schraubenverdichter

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Screw compressors Schraubenverdichter Screw conveyors Förderer mit Schnecken Screw presses Spindelpressen Screw thread grinding machines Schraubflächenschleifmaschinen Sealing of the working chamber Abdichten des Arbeitsraumes Search for solution principles Suche nach Lösungsprinzipien Second law Zweiter Hauptsatz Second or higher order delay element T2 =n-Glied Secondary treatments Nachbehandlungen Segregation Segregation Selection of machine type Wahl der Bauweise Selective laser sintering (SLS) Selektives Lasersintern (SLS) Selective network protection Selektiver Netzschutz Self-commutated converters Selbstgeführte Stromrichter Self-commutated inverters and converters Selbstgeführte Wechselrichter und Umrichter Self-excited vibrations Selbsterregte Schwingungen Selflocking and partial locking Selbsthemmung und Teilhemmung Semi-closed circuits Halboffener Kreislauf Semi-infinite body Halbunendlicher Körper Semi-open impeller Offenes Laufrad Semi-similar series Halbähnliche Baureihen Sensor technology Sensorik Sensors Sensoren Sensors and actuators Sensoren und Aktoren Separation of particles out of gases Abscheiden von Partikeln aus Gasen Separation of solid particles out of fluids Abscheiden von Feststoffpartikeln aus Flüssigkeiten Servo valve Servoventile Shaft seals Wellendichtungen Shaft, cupola and blast furnace Schacht-, Kupol- und Hochöfen Shaping and slotting machines Stoßmaschinen Shaping of metals by casting Formgebung bei metallischen Werkstoffen durch Gießen Shear and torsion Schub und Torsion

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Shear stresses and shear centre in straight beams Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Träger Shearing and blanking Scheren und Schneiden Shearing and blanking machines Maschinen zum Scheren und Schneiden Shearing machines Maschinen zum Scheren Shell type steam generators Großwasserraumkessel Shells Schalen Shells under internal pressure, membrane stress theory Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie für Innendruck Shingling conveyor Schuppenförderer Ship propellers Schiffspropeller Shock absorber Industrie-Stoßdämpfer Shockabsorption Dämpfung Short stroke honing machines Kurzhubhonmaschinen Short-circuit characteristics Kurzschlussverhalten Short-circuit currents Kurzschlussströme Short-circuit protection Kurzschlussschutz Shovel loaders Schaufellader Shrouded 2 D-impeller Geschlossenes 2DLaufrad Shrouded 3 D-impeller Geschlossenes 3DLaufrad Shut-off and control valves Absperr- und Regelorgane Shuttle Valves Sperrventile Side-loading truck Querstapler Sign conventions Vorzeichenregeln Signal forming Signalbildung Signal processing Signalverarbeitung Similarity conditions and loading Ähnlichkeitsbeziehungen und Beanspruchung Similarity laws Ähnlichkeitsbeziehungen Similarity laws Ähnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) Similarity mechanics Ähnlichkeitsmechanik Simulation methods Simulationsmethoden Single phase fluid flow Einphasenströmung Single phase transformers Einphasentransformatoren Single point thread turning Gewindedrehen Single shaft compressor Einwellenverdichter

Fachausdrücke

Single wheel lapping machines EinscheibenLäppmaschinen Single-phase motors Einphasenmotoren Size Reduction Zerkleinern Size Reduction Equipment Zerkleinerungsmaschinen Size selection of friction clutches Auswahl einer Kupplungsgröße Skin effect, depth of penetration Stromverdrängung, Eindringtiefe Slat conveyors Plattenbandförderer Slewing cranes Drehkrane Slewing mechanis Drehwerke Sliding and rolling motion Gleit- und Rollbewegung Sliding shoe sorter Schiebeschuhsorter Software engineering Softwareentwicklung Solar energy Solarenergie Solar radiation Sonnenstrahlung Soldering Weichlöten Soldering and brazing Löten Solid fuel furnaces Feuerungen für feste Brennstoffe Solid fuels Feste Brennstoffe Solid lubricants Festschmierstoffe Solid lubricants Feststoffschmierung Solid materials Feste Stoffe Solids/fluid flow Feststoff/Fluidströmung Sorting system – sorting plant – sorter Sortiersystem – Sortieranlage – Sorter Sound absorber Schalldämpfer Sound intensity, sound intensity level Schallintensität, Schallintensitätspegel Sound power, sound power level Schallleistung, Schallleistungspegel Sound, frequency, acoustic range, sound pressure, sound pressure level, sound pressure level Schall, Frequenz, Hörbereich, Schalldruck, Schalldruckpegel, Lautstärke Source of heat Wärmequellen Spark erosion and electrochemical erosion Funkenerosion und elektrochemisches Abtragen Special air conditioning and cooling plants Sonderklima- und Kühlanlagen Special blanking processes Sonderschneidverfahren

Fachausdrücke

Special cases Sonderfälle Special characteristics Besondere Eigenschaften Special gears Sondergetriebe Special properties of conductors Besondere Eigenschaften bei Leitern Special purpose drilling machines Sonderbohrmaschinen Special purpose lathes Sonderdrehmaschinen Special purpose milling machines Sonderfräsmaschinen Special technologies Sonderverfahren Special-purpose design Sonderbauarten Specific power consumption Spezifischer Energieverbrauch Specific safety devices Spezifische Sicherheitseinrichtungen Speed control Drehzahlregelung Speed control Drehzahlverstellung Speed-sensitive clutches (centrifugal clutches) Drehzahlgeschaltete Kupplungen Spheres Kugel Spherical lapping machines Kugelläppmaschinen Spiral springs and helical torsion springs Spiralfedern (ebene gewundene, biegebeanspruchte Federn) und Schenkelfedern (biegebeanspruchte Schraubenfedern) Splined joints Zahn- und Keilwellenverbindungen Springs Federn Spur and helical gears – gear tooth geometry Stirnräder – Verzahnungsgeometrie Stability Standsicherheit Stability problems Stabilitätsprobleme Stack Schornstein Stacking truck Schmalgangstapler Stage design Stufen Standard hoists Serienhebezeuge Standard problem of linear algebra Standardaufgabe der linearen Algebra Standard problems of linear algebra Standardaufgaben der linearen Algebra Standardisation Normenwerk Start-up period Anfahren Start of baking process Anbackungen Start up and operation Anfahren und Betrieb Starting aids Start- und Zündhilfen

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Static and dynamic capacity and computation of fatigue life Statische bzw. dynamische Tragfähigkeit und Lebensdauerberechnung Static and fatigue strength of bolted connections Auslegung und Dauerfestigkeitsberechnung von Schraubenverbindungen Static and sliding friction Haftung und Gleitreibung Static contact seals Berührungsdichtungen an ruhenden Flächen Static efficiency Statischer Wirkungsgrad Static Kraemer system Stromrichterkaskaden Static similarity Statische Ähnlichkeit Static strength Statische Festigkeit Statically indeterminate systems Statisch unbestimmte Systeme Statics of rigid bodies Statik starrer Körper Stationary and rotating cascades Leit- und Laufgitter Steady flow forces acting on blades Beanspruchung der Schaufeln durch stationäre Strömungskräfte Steady flow in open channels Stationäre Strömung durch offene Gerinne Steady laminar flow in pipes of circular crosssection Stationäre laminare Strömung in Rohren mit Kreisquerschnitt Steady state heat conduction Stationäre Wärmeleitung Steady state processes Stationäre Prozesse Steady turbulent flow in pipes of circular cross-section Stationäre turbulente Strömung in Rohren mit Kreisquerschnitt Steady-state operation Stationärer Betrieb Steady-state response Statisches Verhalten Steam generator systems Dampferzeugersysteme Steam generators Dampferzeuger Steam power plant Dampfkraftanlage Steam storage Dampfspeicherung Steam turbines Dampfturbinen Steel structures Tragwerke Steelmaking Stahlerzeugung Steels Stähle Steering Lenkung Step response and unit step response Sprungantwort und Übergangsfunktion Stepping motors Schrittmotoren

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Stereolithography (SL) Stereolithografie (SL) Sterile filtration Sterilfiltration Sterile operation Steriler Betrieb Sterilization Sterilisation Sterilization with heat Hitzesterilisation Stoichiometry Stöchiometrie Stokers and grates Rostfeuerungen Storage Messwertspeicherung Storage equipment and operation Lagereinrichtung und Lagerbedienung Storage in silos Bunkern Storage power stations Speicherkraftwerke Storage systems Speichersysteme Store Lagern Straddle carrier, Van carrier Portalstapler, Portalhubwagen Straddle truck Spreizenstapler Straight bevel gears Geradzahn-Kegelräder Strain energy Formänderungsarbeit Strain measurement Dehnungsmesstechnik Strained cross sectional area Spannungsbeanspruchte Querschnitte Strains Verformungen Strength calculations Festigkeitsberechnung Strength calculations for welded joints Festigkeit von Schweißverbindungen Strength of materials Festigkeitslehre Strength of materials Festigkeitsverhalten der Werkstoffe Strength theories Festigkeitshypothesen Stress corrosion cracking Spannungsrisskorrosion Stresses Beanspruchungen Stresses Spannungen Stresses and strains Spannungen und Verformungen Stresses and strength of main components Beanspruchung und Festigkeit der wichtigsten Bauteile Stresses in bars and beams Beanspruchung stabförmiger Bauteile Stretch-forming Streckziehen Structural integrity assessment Festigkeitsnachweis Structure and characteristics of plastics Kunststoffe, Aufbau und Verhalten von Structure and variables of the control loop Struktur und Größen des Regelkreises

Fachausdrücke

Structure definition Strukturfestlegung Structure intensity and structure-borne noise flow Strukturintensität und Körperschallfluss Structure of Processing Machines Struktur von Verarbeitungsmaschinen Structure of production Organisation der Produktion Structure of tribological systems Struktur tribologischer Systeme Structure representation Strukturmodellierung Structure-borne noise function Körperschallfunktion Structures of metrology Strukturen der Messtechnik Submerse fermentations Submerskultivierung Substrate limitation of growth Substratlimitiertes Wachstum Suction throttling Saugdrosselregelung Sun power stations Sonnenenergie, Anlagen zur Nutzung Supercharging Aufladung von Motoren Superheater und Reheater Überhitzer und Zwischenüberhitzer Superplastic forming of sheet Superplastisches Umformen von Blechen Superposition of preload and working loads Überlagerung von Vorspannkraft und Betriebslast Support reactions Auflagerreaktionen an Körpern Surface analysis Oberflächenanalytik Surface coating Beschichten Surface condensers Oberflächenkondensatoren Surface effects Oberflächeneinflüsse Surface fermentations Oberflächenkultivierung Surface grinding machines Planschleifmaschinen Surface measurement Oberflächenmesstechnik Survey Gliederung Suspension and dampening Federung und Dämpfung Switchgear Schaltgeräte Switching and control Schaltung und Regelung Switching stations Schaltanlagen Swivel guides Drehführungen Synchronous linear motor Synchronlinearmotoren Synchronous machines Synchronmaschinen

Fachausdrücke

Synthetic fuels Künstliche Brenngase Synthetic liquid fuels Künstliche flüssige Brennstoffe Synthetic solid fuels Künstliche feste Brennstoffe System and classification of measuring quantities Einheitensystem und Gliederung der Messgrößen der Technik System interrelationship Systemzusammenhang System of forces in space Kräftesystem im Raum System parameters Angaben zum System Systematic Systematik Systematic approach Methodisches Vorgehen Systematic of handling systems Einteilung von Handhabungseinrichtungen Systematics of distribution conveyors Systematik der Verteilförderer Systems and components of heating systems Systeme und Bauteile der Heizungstechnik Systems for occupant protection Systeme für den Insassenschutz Systems for simultaneous cooling- and heating-operation Systeme für gleichzeitigen Kühl- und Heizbetrieb Systems of coplanar forces Ebene Kräftegruppe Systems of coplanar forces Kräftesystem in der Ebene Systems of rigid bodies Systeme starrer Körper Systems with heat addition Systeme mit Wärmezufuhr Systems with non-linear spring characteristics Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder Rückstellkraft Systems with one degree of freedom (DOF) Systeme mit einem Freiheitsgrad Systems with variable mass Systeme mit veränderlicher Masse Systems, boundaries of systems, surroundings Systeme, Systemgrenzen, Umgebung Tapping Gewindebohren Task and Classification Aufgabe und Einordnung Task, Definition Aufgabe Tasks of assembly and disassembly Aufgaben der Montage und Demontage TDM/PDM systems TDM-/PDM-Systeme

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Technical product documentation Erstellung von Dokumenten Technological effects Technologische Einflüsse Technology Technologie Temperature equalization in simple bodies Temperaturausgleich in einfachen Körpern Temperature profile Temperaturverläufe Temperature scales Temperaturskalen Temperatures Temperaturen Temperatures. Equilibria Temperaturen. Gleichgewichte Tension and compression stress Zug- und Druckbeanspruchung Tension test Zugversuch Terminology definitions and overview Begriffsbestimmungen und Übersicht Terminology, classification Benennungen Test methods Prüfverfahren The catenary Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) The design process Konstruktionsprozess The motion of a particle Bewegung eines Punkts The principle of irreversibility Das Prinzip der Irreversibilität Theoretical gas-turbine cycles Idealisierte Kreisprozesse Theory of elasticity Elastizitätstheorie Theory of plasticity Plastizitätstheorie Thermal apparatus engineering and industrial furnaces Thermischer Apparatebau und Industrieöfen Thermal equilibrium Thermisches Gleichgewicht Thermal expansion Wärmedehnung Thermal power plants Wärmekraftanlagen Thermal process engineering Thermische Verfahrenstechnik Thermal properties of gases and vapours Thermische Zustandsgrößen von Gasen und Dämpfen Thermal quantities Thermische Messgrößen Thermal similarity Thermische Ähnlichkeit Thermal stresses Thermische Beanspruchung Thermal treatments Thermische Behandlungsprozesse Thermic overload protection Thermischer Überstromschutz

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Thermodynamic and fluid dynamic design Wärme- und strömungstechnische Auslegung Thermodynamic calculations Wärmetechnische Berechnung Thermodynamic design of recuperators Wärmetechnische Auslegung von Rekuperatoren Thermodynamic design of regenerators Wärmetechnische Auslegung von Regeneratoren Thermodynamic laws Thermodynamische Gesetze Thermodynamics Thermodynamik Thermodynamics of substances Stoffthermodynamik Thermosets Duroplaste Thin-walled tubes (Bredt-Batho theory) Dünnwandige Hohlquerschnitte (Bredtsche Formeln) Thread and gear measurement Gewinde- und Zahnradmesstechnik Thread chasing Gewindestrehlen Thread cutting with dies Gewindeschneiden Thread forming Gewindefurchen Thread grinding Gewindeschleifen Thread locking devices Sicherung von Schraubenverbindungen Thread milling Gewindefräsen Thread pressing Gewindedrücken Thread production Gewindefertigung Thread rolling Gewindewalzen Three phase transformers Drehstromtransformatoren Three-dimensional and plane stresses Räumlicher und ebener Spannungszustand Three-phase drives Drehstromantriebe Three-phase-current Drehstrom Throttle controlled drives Stromteilgetriebe Throughput Durchsatz Thyristor characteristics and data Thyristorkennlinien und Daten Thyristors Thyristoren Tilt tray sorter Kippschalensorter Tin Zinn Tires and Rims Reifen und Felgen Titanium alloys Titanlegierungen Tools Werkzeuge Tools and methods Werkzeuge und Methoden Tools for primary forming Urformwerkzeuge

Fachausdrücke

Tooth errors and tolerances, backlash Verzahnungsabweichungen und -toleranzen, Flankenspiel Tooth loads, bearing loads Zahnkräfte, Lagerkräfte Tooth profile Zahnform Tooth traces and tooth profiles Flankenlinien und Formen der Verzahnung Torque converter Kennungswandler Torque convertors Föttinger-Wandler Torque motors Torquemotoren Torques, powers, efficiencies Drehmomente, Leistungen, Wirkungsgrade Torque-sensitive clutches (slip clutches) Drehmomentgeschaltete Kupplungen Torsion Torsionsbeanspruchung Torsion bar springs Drehstabfedern (gerade, drehbeanspruchte Federn) Torsion with warping constraints Wölbkrafttorsion Torsional buckling Biegedrillknicken Torsional vibrations Drehschwingungen Torsional vibrator with two masses Drehschwinger mit zwei Drehmassen Torsionally stiff self-aligning couplings Drehstarre Ausgleichskupplungen Total driving resistance Gesamtwiderstand Total efficiency Totaler Wirkungsgrad Tower cranes Turmdrehkrane Traction drives Reibradgetriebe Traction forces diagram Zugkraftdiagramm Train driving resistance Fahrwiderstand Transfer lines and automated production lines Transferstraßen und automatische Fertigungslinien Transformation of Michaelis-Menten-equation Transformationen der Michaelis-MentenGleichung Transformation of primary energy into useful energy Wandlung von Primärenergie in Nutzenergie Transformation of regenerative energies Wandlung regenerativer Energien Transformers Transformatoren und Wandler Transient heat conduction Nichtstationäre Wärmeleitung Transient operating characteristics Instationäres Betriebsverhalten

Fachausdrücke

Transient phenomena Ausgleichsvorgänge Transistors Transistoren Translation Translation (Parallelverschiebung, Schiebung) Translational motion Querbewegung Transmission ratio, gear ratio, torque ratio Übersetzung, Zähnezahlverhältnis, Momentenverhältnis Transmission units Getriebe Transmission with variable displacement units Getriebe mit Verstelleinheiten Transport units (TU) and transport aids (TA) Transporteinheiten (TE) und Transporthilfsmittel (THM) Transportation technology Fahrzeugtechnik Transverse shear stresses Abscherbeanspruchung Triangular plate Gleichseitige Dreieckplatte Tribological characteristics Tribologische Kenngrößen Tribology Tribologie Tribotechnic materials Tribotechnische Werkstoffe Troughed chain conveyors Trogkettenförderer Truck mixers Transportbetonmischer True flow through cascades Reale Strömung durch Gitter Tunnel furnace Tunnelwagenofen Turbine Turbine Turbocompressors Turboverdichter Turbomachinery characteristics Ähnlichkeitskennfelder Turning Drehen Turning gear Läufer-Dreheinrichtung Turret drilling machines Revolverbohrmaschinen Two-position control Zweipunkt-Regelung Type of engine, type of combustion process Arbeitsverfahren bei Verbrennungsmotoren Type selection Auswahlgesichtspunkte Types Ausführungen Types Bauarten Types and accessories Bauarten und Zubehör Types and applications Bauarten und Anwendungsgebiete Types and components Bauformen und Baugruppen Types and Sizes Typen und Bauarten

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Types of bolt and nut Schrauben- und Mutterarten Types of brakes Bremsenbauarten Types of construction Bauausführungen Types of construction and shaft heights Bauformen und Achshöhen Types of cost Kostenartenrechnung Types of cranes Kranarten Types of engineering design Konstruktionsarten Types of equilibrium Gleichgewicht, Arten Types of heat exchangers Bauarten von Wärmeübertragern Types of linear controllers Lineare Regler, Arten Types of nuclear reactors Bauarten von Kernreaktoren Types of planar mechanisms Ebene Getriebe, Arten Types of position data registration Positionswerterfassung, Arten Types of semi-conductor valves Ausführungen von Halbleiterventilen Types of signals Signalarten Types of steam generator Ausgeführte Dampferzeuger Types of support, the „free body“ Lagerungsarten, Freimachungsprinzip Types of thread Gewindearten Types of tooth damage and remedies Zahnschäden und Abhilfen Types of weld and joint Stoß- und Nahtarten Types, applications Bauarten, Anwendungen Types, applications Formen, Anwendungen Types, examples Bauarten, Beispiele Typical combinations of materials Gebräuchliche Werkstoffpaarungen Ultrasonic processing Ultraschallverfahren Under-carriage Fahrwerk Unequal capacitive currents Ungleiche Kapazitätsstromverhältnisse Uniform bars under constant axial load Stäbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Längskraft Universal lathes Universaldrehmaschinen Universal milling machines Universal-Werkzeugfräsmaschinen Universal motor Universalmotoren

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Unstable operation of compressors Instabiler Betriebsbereich bei Verdichtern Unsteady state processes Instationäre Prozesse Upsetting Stauchen Upsetting of cylindrical parts Stauchen zylindrischer Körper Upsetting of square parts Stauchen rechteckiger Körper Use of CAD/CAM CAD/CAM-Einsatz Use of exponent-equations Anwenden von Exponentengleichungen Use of material Materialeinsatz Use of space Flächenverbrauch Valuation method of determine the noise power level Abschätzverfahren zur Bestimmung des Schallleistungspegels Valve gear Steuerorgane für den Ladungswechsel Valve lay out Ventilauslegung Valve location Ventileinbau Valves Hydroventile Valves Ventile und Klappen Valves and fittings Armaturen Vane compressors Rotationsverdichter Vanetype pumps Flügelzellenpumpen Vapours Dämpfe Varactors Kapazitätsdioden Variables of the control loop Größen des Regelkreises V-belts Keilriemen Vehicle airconditioning Fahrzeuganlagen Vehicle electric and electronic Fahrzeugelektrik, -elektronik Vehicle emissions Fahrzeugabgase Vehicle gauge Fahrzeugbegrenzungsprofil Vehicle principles Fahrzeugarten Vehicle safety Fahrzeugsicherheit Vehicle vehicles Kraftfahrzeuge Velocities, loading parameters Geschwindigkeiten, Beanspruchungskennwerte Velocity and speed measurement Geschwindigkeits- und Drehzahlmesstechnik Ventilation Lüftung Ventilation by roof ventilators Dachaufsatzlüftung Ventilation by wells Schachtlüftung Ventilation by windows Fensterlüftung

Fachausdrücke

Versatile manufacturing systems Wandlungsfähige Fertigungssysteme Vertical dynamic Vertikaldynamik Vertical injection Quereinblasung Vibrating conveyors Schwingförderer Vibration of blades Schaufelschwingungen Vibration of continuous systems Schwingungen der Kontinua Vibration of systems with periodically varying parameters (Parametrically excited vibrations) Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen) Vibrations Schwingungen Vibrations of a multistage centrifugal pump Biegeschwingungen einer mehrstufigen Kreiselpumpe Virtual product creation Virtuelle Produktentstehung Viscosimetry Viskosimetrie Voidage Lückengrad Voltage induction Spannungsinduktion Voltage transformers Spannungswandler Volume flow, impeller diameter, speed Volumenstrom, Laufraddurchmesser, Drehzahl Volume, flow rate, fluid velocity Volumen, Durchfluss, Strömungsgeschwindigkeit Volumetric efficiencies Liefergrade Volumetric losses Volumetrische Verluste VR /AR systems VR-/AR-Systeme Walking beam furnace Hubbalkenofen Wall thickness Wanddicke ebener Böden mit Ausschnitten Wall thickness of round even plain heads with inserted nuts Wanddicke verschraubter runder ebener Böden ohne Ausschnitt Warehouse technology and material handling system technology Lager- und Systemtechnik Water circuits Wasserkreisläufe Water management Wasserwirtschaft Water power Wasserenergie Water power plant Wasserkraftanlagen Water treatment Wasserbehandlung Water turbines Wasserturbinen Water wheels and pumped-storage plants Laufwasser- und Speicherkraftwerke Wear Verschleiß Wear initiated corrosion Korrosionsverschleiß

Fachausdrücke

Wedge-shaped plate under point load Keilförmige Scheibe unter Einzelkräften Weight Gewichte Welding and soldering (brazing) machines Schweiß- und Lötmaschinen Welding processes Schweißverfahren Wheel set Radsatz Wheel suspension Radaufhängung und Radführung Wheel types Radbauarten Wheel-rail-contact Rad-Schiene-Kontakt Wheels Räder Whole mechanism Gesamtmechanismus Wind Wind Wind energy Windenergie Wind power stations Windkraftanlagen Wing Tragflügel Wire drawing Drahtziehen

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Wood Holz Work Arbeit Work cycle, volumetric efficiencies and pressure losses Arbeitszyklus, Liefergrade und Druckverluste Working cycle Arbeitszyklus Working fluid Arbeitsfluid Working interrelationship Wirkzusammenhang Working principle and equivalent circuit diagram Wirkungsweise und Ersatzschaltbilder Workpiece properties Werkstückeigenschaften Worm gears Schneckengetriebe Yeasts Hefen Z-Diodes Z-Dioden Zeroth law and empirical temperature Nullter Hauptsatz und empirische Temperatur Zinc and zinc alloys Zink und seine Legierungen

Stichwortverzeichnis

A Abbe’sches Komparatorprinzip, Bd. 2 696 Abbe-Refraktometer, Bd. 2 721 Abbiegelicht, Bd. 3 1071 Abblendlicht, Bd. 3 1071 Abdichten des Arbeitsraumes, Bd. 3 17 Abfluggewicht, Bd. 3 1145 Abgas, Bd. 3 1039, Bd. 3 1058, Bd. 3 1083 Abgasanalysen, Bd. 2 726 Abgasemission, Bd. 3 111, Bd. 3 1082 Abgasnachbehandlungssystem, Bd. 3 1058 Abgasrückführung, Bd. 3 116 Abgasturbolader, Bd. 3 306 Abklingfaktor, 831, 833 Abkühlung einer ebenen Platte, 812 feuchter Luft, 796 Ablaufstelle, 255 Ablösebremsung, Bd. 3 1120 Abluftanlagen, Bd. 3 810 Abluftdurchlässe, Bd. 3 783 Abluftkanäle, Bd. 3 807 Abmaß, Bd. 2 52 Grundabmaß, Bd. 2 53 oberes, Bd. 2 53 unteres, Bd. 2 53 Abreißen der Strömung, 341 Abriebverschleiß, Bd. 2 405 Abrollgeräusch, Bd. 3 1047 ABS, Bd. 2 802, Bd. 3 1048, Bd. 3 1055 Abschätzverfahren (Akustik), 886 abscheiden aus Flüssigkeiten, Bd. 3 523 Auspressen, Bd. 3 524 Eindicken, Bd. 3 524 Filtrieren, Bd. 3 524 Sedimentieren, Bd. 3 523 Zentrifugen, Bd. 3 524 abscheiden aus Gasen, Bd. 3 523 elektrische Abscheider, Bd. 3 523 Filter, Bd. 3 523 Nassabscheider, Bd. 3 523 Abscherbeanspruchung, 366 Absicherung, Bd. 2 1077 Absorber, Bd. 3 529 Absorbieren, Bd. 3 529

Absorption, Bd. 3 531, Bd. 3 532, Bd. 3 534 Absorptionsgrad, Bd. 2 720 Absorptionskälteanlage, Bd. 3 725 Absorptionszahl, 819 Absperr- und Regelorgane, 324 Absperrvorrichtung, Bd. 3 808 Abstandssensor, Bd. 2 801, Bd. 2 802 Abstrahlgrad, 884 Abstrahlmaß, 885 Abtastfrequenz, Bd. 2 800 Abtragen, Bd. 2 879, Bd. 2 907 chemisches Abtragen, Bd. 2 912 elektrochemisches Abtragen, Bd. 2 912 funkenerosives Abtragen, Bd. 2 908 Abtragen durch Strahl, Bd. 2 187 ABV, Bd. 3 1056 Abwärme, Bd. 3 1060 Abwasserschlamm, 327 Abwurfgeschwindigkeit, 261 Abwurfwinkel, 261 Achse, Bd. 3 1049, Bd. 3 1067 Achskinematik, Bd. 3 1046 Achslast, Bd. 3 1038 Achslastverteilung, Bd. 3 1046 Achsschenkellenkung, Bd. 3 1051 Achsschubausgleich, Bd. 3 234 Anordnung von Laufrädern, Bd. 3 235 Axialkraft, Bd. 3 234, Bd. 3 235 Axiallager, Bd. 3 235 Doppelkolben, Bd. 3 235 Entlastungsbohrungen, Bd. 3 234, Bd. 3 235 Entlastungskolben, Bd. 3 235 Entlastungsscheibe, Bd. 3 234, Bd. 3 235 Rückenschaufeln, Bd. 3 234, Bd. 3 235 Ackeret-Keller-Prozess, 784, 785 Ackermann-Lenkwinkel, Bd. 3 1079 Acrylatkautschuke ACM, 639 Acrylnitril-Butadien-Kautschuke NBR, 638 Acrylnitril-Butadien-Styrol-Polymerisate ABS, 631 active noise control (ANC), 891 Active Rollover Protection, Bd. 3 1057 active structural acoustic control (ASAC), 891 active vibration control (AVC), 891 Ad- und Desorption, Bd. 3 538 adaptive Systeme, 891 999

1000 adaptiver Neutralisator, 891 adaptiver Tilger, 891 Adaptronik, 891 Adiabate, reversible, 777, 778 Adiabatenexponent, 755 adiabatische Kalorimeter, Bd. 2 719 Admittanz, Bd. 2 532 Adsorbens, Bd. 3 536 Makroporen, Bd. 3 536 Mikroporen, Bd. 3 536 Adsorbieren, Bd. 3 536 Adsorption, Bd. 3 529, Bd. 3 536, Bd. 3 537 Adsorptionswärme, Bd. 3 537 Adsorptiv, Bd. 3 536 Flüssigphasenadsorption, Bd. 3 536 Gasphasenadsorption, Bd. 3 536 Kondensationswärme, Bd. 3 537 Aeroakustik, Bd. 3 1042 Aerodynamik, Bd. 3 1042, Bd. 3 1045, Bd. 3 1081, Bd. 3 1156 äußere Verbrennung, Bd. 3 69 agglomerieren, Bd. 3 520 Agglomeratfestigkeit, Bd. 3 521 Aufbaugranulation, Bd. 3 522 Bindemechanismen, Bd. 3 521 Pressgranulation, Bd. 3 522 Ähnlichkeitsgesetz von Fourier, 347 Ähnlichkeitsgesetz von Froude, 346 Ähnlichkeitsgesetz von Newton-Bertrand, 345 Ähnlichkeitsgesetz von Nußelt, 347 Ähnlichkeitsgesetz von Péclet, 347 Ähnlichkeitsgesetz von Prandtl, 347 Ähnlichkeitsgesetz von Reynolds, 346 Ähnlichkeitsgesetz von Weber, 346 Ähnlichkeitsgesetze, 344 Airbag, Bd. 3 1069, Bd. 3 1084 air-hammer, Bd. 2 1091 Air-Impact-Verfahren, Bd. 2 826 Airy’sche Spannungsfunktion, 418 Akkumulator, Bd. 2 644, Bd. 3 1061 AKL, Bd. 3 467 aktive Sicherheit, Bd. 3 1039 aktive Strukturintensität, 895 aktive Systeme diskret, 891 flächig, 893 aktives Lager, 892 Aktivierungsanalyse, Bd. 2 723 Aktivität, Bd. 2 722 Aktivkohlefilter, Bd. 3 802 Aktivlenkung, Bd. 3 1072 Aktor, 892, 893, Bd. 2 694, Bd. 2 797 Energiesteller, Bd. 2 797 Energiewandlung, Bd. 2 798 akustische Messtechnik, Bd. 2 723 akustische Transferfunktion, Pegel der, 885 akustische Wirkungsgrade, 914 akustischer Kurzschluss, 887 akustisches Transferverhalten, 886

Stichwortverzeichnis Algen, Bd. 3 567 Alkoholwarner, Bd. 3 1072 allgemeine Bewegung des starren Körpers, 265 allgemeine ebene Bewegung starrer Körper, 287 allgemeine räumliche Bewegung, 289 Allgemeintoleranzen, Bd. 2 56 Allradantrieb, Bd. 3 1038 Allwetterreifen, Bd. 3 1048 alternative Kraftstoffe, Bd. 3 91 Aluminiumlegierungen, Bd. 3 1176 Aminoplaste MF-, UF-, UF/MF-, MF-, MP-PMC, 634 Ammoniak, 771 Amperemeter, Bd. 2 734 Amplitude, 295 Amplitudengang, 834 Amplituden- und Phasengang, 833 Amplituden-Frequenzgang, 834 Amputationsniveau, Bd. 3 880 analoge elektrische Messtechnik, Bd. 2 734 Analog-Digital-Umsetzer, Bd. 2 739 Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und ˘ -Theorem, 347 analytische Verfahren, 866 Kurbelfolgen, 867 Massenkräfte, 869, 870 Reihenmaschinen, 866 Reihenmotor, 869 V-Maschinen, 867 V-Reihenmaschinen, 868 Zylinderanordnungen, 870 Anästhesietechnik, Bd. 3 862 Anbaugeräte, Bd. 3 397 Anergie, 747, 749 Anfangsbedingungen, 295 Anforderungen, Bd. 2 1086 angreifende Belastungen, Bd. 2 176 Anhänger, Bd. 3 1038, Bd. 3 1081 Anlagen zur Nutzung der Sonnenenergie, Bd. 3 960 Photovoltaik, Bd. 3 960 Solarthermie, Bd. 3 962 solarthermische Kraftwerke, Bd. 3 963 Solarzellen, Bd. 3 961 Wärmepumpen, Bd. 3 965 Zellkennlinien, Bd. 3 962 Anordnungsfaktor, 816 anorganisch-chemische Analytik, Bd. 2 726 Anregungsdetektoren, Bd. 2 723 Anregungskraft, 886, 888 Ansaugdrosselung, Bd. 3 93 Anschlagmittel, Bd. 3 371 Anschnitt- und Speisersystem, Bd. 2 821 Anstellwinkel, 341 Anstrengungsverhältnis nach Bach, 362 Antialiasing-Filter, Bd. 2 740 Antiblockiersystem, Bd. 2 802 Antoine-Gleichung, 753 Konstanten, 760 Antrieb, Bd. 2 1054, Bd. 3 1037, Bd. 3 1041, Bd. 3 1116 Antriebs- und Steuerungssystem, Bd. 2 73

Stichwortverzeichnis Antriebsmaschine, Bd. 2 503 Elektromotor, Bd. 2 503 Verbrennungskraftmaschine, Bd. 2 503 Antriebsschlupfregelung, Bd. 3 1056 Antriebsstrang, Bd. 3 1038, Bd. 3 1061 Antriebsstruktur dezentrale, Bd. 2 73 zentrale, Bd. 2 73 Antriebssystem, Bd. 2 66, Bd. 2 73 Antriebstechnik, elektronische, Bd. 2 671 Antriebsverstärker, Bd. 2 1061 Antwortgrößen, 831 Anwendung der Bernoulli’schen Gleichung für den instationären Fall, 318 Anwendungen der Bernoulli’schen Gleichung für den stationären Fall, 317 Anwendungsgebiet, Bd. 3 877 Anziehdrehmoment, Bd. 2 218 Anziehverfahren, Bd. 2 219 Anzucht der Impfkultur, Bd. 3 574 Anzugsmoment, Bd. 2 566 Apparatebau, Konstruktionselemente, Bd. 3 673 Apparatewirkungsgrad, Bd. 3 607 Äquivalentdosis, Bd. 2 722 Äquivalente Geschwindigkeit, Bd. 3 1146 Arbeit, 273, 737 elektrische, 739 magnetische, 739 maximal gewinnbare, 747 maximale technische, 748 technische, 738 Arbeit des wirklichen Motors, Bd. 3 73 Arbeits- und Energiesatz, 276, 279 Arbeitsaufnahmefähigkeit, Bd. 2 246 Arbeitsdiagramm, Bd. 2 72, Bd. 2 73 Arbeits-Drehzahl, Bd. 2 1064 Arbeitsdruckbereich in der Hydraulik Hochdruck, Bd. 2 511 Mitteldruck, Bd. 2 511 Niederdruck, Bd. 2 511 arbeitsgebundene Presse, Bd. 2 1133 Arbeitsmaschinen, Bd. 3 6 Arbeitsorgan, Bd. 2 69 Arbeitsprozess, Bd. 3 70 Arbeitsprozesse vollkommener Maschinen, Bd. 3 4 Arbeitsraum, Bd. 2 1050, Bd. 2 1078, Bd. 3 4 Arbeitsspielfrequenz, Bd. 3 70 Arbeitsverfahren, Bd. 3 70 Arbeitsvolumen, Bd. 3 4 Arbeitszyklus, Bd. 3 46 Realprozeßrechnung, Bd. 3 46 Rückexpansionsexponent, Bd. 3 46 Armaturen Bauarten, Bd. 3 695 Druckverluste, Bd. 3 696 Hähne, Bd. 3 699 Hähne oder Drehschieber, Bd. 3 695 Klappen, Bd. 3 695, Bd. 3 700 Schieber, Bd. 3 695, Bd. 3 698

1001 Stellventile, Bd. 3 697 Stellventilkennlinien, Bd. 3 697 Ventile, Bd. 3 695, Bd. 3 697 Werkstoffe, Bd. 3 696 Widerstandszahl, Bd. 3 706 Armprothese, Bd. 3 882 aktive, Bd. 3 882 kosmetische, Bd. 3 882 ASA-Polymerisate ASA, schlagzähe, 631 ASCII-Code, Bd. 2 740 Aspirationspsychrometer, 795 ASR, Bd. 3 1055 Asynchronmaschinen Kurzschlussläufer, Bd. 2 565 Schleifringläufern, Bd. 2 565 Asynchron-Kleinmotoren, Bd. 2 575 Atomabsorptionsspektrometrie, Bd. 2 727 Atomic-Force-Mikroskope (AFM), Bd. 2 802 Ätzprozesse, Bd. 2 957 Aufbauschneiden, Bd. 2 881 Aufbauschwingung, Bd. 3 1050 Aufbereitung von Medizinprodukten, Bd. 3 893 Aufgaben der Montage und Demontage, Bd. 2 989 Aufheizungsgrad, Bd. 3 48 Aufladung von Motoren, Bd. 3 87 Abgasturboaufladung, Bd. 3 87 Abgasturboladerwirkungsgrad, Bd. 3 88 Aufladeverfahren, Bd. 3 87 Comprex-Verfahren, Bd. 3 87 Pumpgrenze, Bd. 3 89 Schwingsaugrohraufladung, Bd. 3 87 Stauaufladung, Bd. 3 88 Stoßaufladung, Bd. 3 87 Turbo-Compound, Bd. 3 91 Auflagerreaktionen, 241, 368 Auflaufstelle, 255 Aufmerksamkeitsassistent, Bd. 3 1072 Aufpunktkoordinate x, 452 Auftragschweißen, Bd. 2 155, Bd. 2 972 Auftreffgeschwindigkeit, 293 Auftrieb, 313, Bd. 3 1151, Bd. 3 1154, Bd. 3 1155 Auftriebsbeiwert, Bd. 3 1152 augenblicklicher Wirkungsgrad, 275 Auger-Elektronenspektroskopie, Bd. 2 728 Ausbiegung beim Knicken, 438 Ausdehnungskoeffizient thermischer, 816 Ausdehnungsthermometer, Bd. 2 717 Ausflussfunktion, 779 Ausgangsgröße, Bd. 2 756 Ausgangswiderstand, Bd. 2 668 ausgebogene Gleichgewichtslage, 437 ausgeführte Motorkonstruktionen, Bd. 3 130 Ausgleichskupplungen, Bd. 2 268 Auslenkwinkel, Bd. 2 270 Drehschwingungsverhalten, Bd. 2 268 Federlamellenkupplung, Bd. 2 271 Federlaschenkupplung, Bd. 2 270 Federscheibenkupplung, Bd. 2 271

1002 Federstegkupplung, Bd. 2 269 Gleichlaufgelenk, Bd. 2 270 Gleichlauf-Kugelgelenk, Bd. 2 270 Klauenkupplung, Bd. 2 268 Kreuzgelenk, Bd. 2 269 Kreuzgelenkwelle, Bd. 2 270 Kreuzschlitz-Kupplung, Bd. 2 269 Membrankupplung, Bd. 2 270 Metallbalgkupplung, Bd. 2 269 Parallelkurbelkupplung, Bd. 2 268 Polypodengelenk, Bd. 2 270 Ringspann-Ausgleichskupplung, Bd. 2 268 Tripodegelenk, Bd. 2 270 Wellenversatz, Bd. 2 270 Ausleger, Bd. 3 384 Abspannungen, Bd. 3 391 Gittermastausleger, Bd. 3 390 Gittermastspitze, Bd. 3 391 Teleskopausleger, Bd. 3 390 Teleskopauslegerverbolzung, Bd. 3 391 Teleskopiersysteme, Bd. 3 390 Auslegung, Bd. 3 31, Bd. 3 50 asymmetrische Profile, Bd. 3 52 Ein- und Auslasssteuerung, Bd. 3 55 Einzelringventil, Bd. 3 55 Flüssigkeitsringverdichter, Bd. 3 53 Hubkolbenverdichter, Bd. 3 50 konzentrische Ventile, Bd. 3 56 Öleinspritzkühlung, Bd. 3 52 Ringplattenventile, Bd. 3 55 Roots-Gebläse, Bd. 3 54 Rotationsverdichter, Bd. 3 53 Schraubenverdichter, Bd. 3 51 Trockenläufer, Bd. 3 52 Überverdichtung, Bd. 3 52 Unterverdichtung, Bd. 3 52 Ventilauslegung, Bd. 3 57 Ventile, Bd. 3 55 Wegsteuerung, Bd. 3 55 Auslegung von Industrieturbinen, Bd. 3 265 Auslegung von Radialverdichtern, Bd. 3 285 Auslösekennlinien, Bd. 2 642 Ausmauerung, Bd. 3 660 Ausnutzungsfaktor, Bd. 2 560 Ausreißerkontrolle, Bd. 2 689 Ausschlagmethoden, Bd. 2 683, Bd. 2 694 Außenhaut, Bd. 3 1042 Außenluftanlagen mit Umluftfunktio, Bd. 3 810 äußere Belastungen, 368 äußere Kräfte, 231 äußere Kühllast, Bd. 3 776 äußere virtuelle Arbeit, 392 äußere Wärmequelle, Bd. 2 1054 äußerlich, 401 Aussetzregelung, Bd. 3 59 Ausstattung, Bd. 3 1041 Austauschvariable, 744 Austauschvorgänge, 743 Auswahlkriterien, Bd. 2 286

Stichwortverzeichnis Einflächenkupplungen, Bd. 2 286 Einscheibenkupplungen, Bd. 2 286 Konuskupplung (Kegelkupplung), Bd. 2 286 Lamellenkupplungen, Bd. 2 286 Auswertung von Messungen, Bd. 2 688 Autogas, Bd. 3 1058 Autogentechnik, Bd. 2 185 Automatische Kleinteilelager, Bd. 3 467 automatisierte Montage, Bd. 2 993 autonome Führung, Bd. 3 405 A-Bewertung, 883 Avalanche-Effekt, Bd. 2 667 Avogadro, Gesetz von, 751 Avogadro-Konstante, 751 axialen Hauptträgheitsmomente, 286 I y axiales Flächenmoment 2. Grades, 371 axiales Flächenmoment 2. Ordnung, 312 axiales Massenträgheitsmoment, 283 Axialgleitlager, Bd. 2 338 hydrostatische, Bd. 2 347 Kippsegmentlager, Bd. 2 340 Segmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflächen, Bd. 2 340 Axialkolbenmaschine, Bd. 2 485, Bd. 2 488, Bd. 2 491 Axialkolbenmotor, Bd. 2 492 Axialkolbenpumpe, Bd. 2 491 Schrägachsenmotor, Bd. 2 492 Schrägachsenpumpe, Bd. 2 490 Schrägscheibenmotor, Bd. 2 492 Schrägscheibenpumpe, Bd. 2 490 Schwenkwinkel, Bd. 2 492 Ungleichförmigkeitsgrad, Bd. 2 490 Axialluft, Bd. 2 308 Axialrillenkugellager, Bd. 2 1095 Axial-Schrägkugellager, Bd. 2 1071, Bd. 2 1095 axialsymmetrisches Element, 448 Axialtransport, Bd. 3 618 Axialverdichter, Bd. 3 269 Axial-Zylinderrollenlager, Bd. 2 1095

B Bagger, Bd. 3 502 Drehdurchführung, Bd. 3 503 Drehverbindung, Bd. 3 503 Grabgefäß, Bd. 3 503 Hydraulikbagger, Bd. 3 502 Knickausleger, Bd. 3 503 Minibagger, Bd. 3 502 Mobilbagger, Bd. 3 502, Bd. 3 503 Monoblockausleger, Bd. 3 503 Pendelarm, Bd. 3 503 Raupenbagger, Bd. 3 503 Schleppschaufel, Bd. 3 502 Seilbagger, Bd. 3 502 Verstellausleger, Bd. 3 503 Bahnkurve, 257 Bahnlärm, Bd. 3 1090 Bakterien, Bd. 3 565

Stichwortverzeichnis Balgantrieb, Bd. 3 864 Balgkupplung, Bd. 2 1077 Balkenbiegungstheorie, 371 Balkenelement, 448 Ballenklammer, Bd. 3 397 Ballonkatheter, Bd. 3 876 Ballonpumpe, Bd. 3 872 Bandbremse, 254 Banddurchlauföfen, Bd. 3 606 Bandstruktur, 197 Barcode, Bd. 3 487 barotrope Flüssigkeit, 331 Basisstrom, Bd. 2 668 Batterie, Bd. 2 644, Bd. 3 102, Bd. 3 1037, Bd. 3 1060, Bd. 3 1062, Bd. 3 1073 Bleiakkumulatoren, Bd. 2 644 Blei-Gel-Akkumulatoren, Bd. 2 645 Nickel-Cadmiumbatterien, Bd. 2 645 Battery Electric Vehicle, Bd. 3 1061 Bauausführungen, Bd. 2 1200 Energiequellen für Rechteckwechselstrom, Bd. 2 1201 Impulsstromquellen, Bd. 2 1201 Primär getaktete Gleichstromquelle, Bd. 2 1200 Sekundär getaktete Gleichstromquelle, Bd. 2 1200 Bauformen, Bd. 3 62, Bd. 3 124 Baugruppen, Bd. 3 33, Bd. 3 62 Höchstdruck-Kolbenverdichter, Bd. 3 63, Bd. 3 65 Hubkolbenverdichter, Bd. 3 62 Kolbenstangen, Bd. 3 64 Kolbenstangendichtung, Bd. 3 63 Kreuzkopf, Bd. 3 64 Laufringprinzip, Bd. 3 66 Membranverdichter, Bd. 3 64, Bd. 3 65 öleinspritzgekühlter Schraubenverdichter, Bd. 3 64, Bd. 3 65 Öleinspritzkühlung, Bd. 3 67 Rotationsverdichter, Bd. 3 66 Schraubenverdichter, Bd. 3 64 trockenlaufender Rotationsverdichter, Bd. 3 67 trockenlaufender Schraubenverdichter, Bd. 3 64, Bd. 3 66 Baukasten (modularer), Bd. 2 39 Baumaschinen, Bd. 3 497 Bauraumleistung, Bd. 3 111 Baureihe, Bd. 2 39 Bauschinger-Effekt, 457 Bauteildicke, Bd. 2 166 Bauteilverbindungen, Bd. 2 155 Bauvorschriften, Bd. 3 1140 BCD-Code, Bd. 2 740 Beanspruchung, Bd. 3 122, Bd. 3 333 Beanspruchungsgrenzen, Bd. 3 333 Beanspruchungsgruppen, Bd. 3 338 Beanspruchungskollektiv, Bd. 3 338 Beanspruchungsmodelle, Bd. 3 333 bei Leistungssteigerung, Bd. 3 123 Bemessungsgrößen, Bd. 3 333 Flanschbiegung, Bd. 3 334

1003 geometrische Ähnlichkeit, Bd. 3 123 mechanische Ähnlichkeit, Bd. 3 123 mechanische Beanspruchung, Bd. 3 122 Mittelspannungsniveau, Bd. 3 338 Sekundärbiegung, Bd. 3 334 thermische Beanspruchung, Bd. 3 123 vorhandene Bauteilbeanspruchung, Bd. 3 332 zulässige Bauteilbeanspruchung, Bd. 3 332 Beanspruchung bei Berührung zweier Körper (Hertz’sche Formeln), 421 Beanspruchungsart Dehnwechselbeanspruchung, 476 Entspannungsbeanspruchung, 476 Spannungswechselbeanspruchung, 476 Zeitstandbeanspruchung, 476 Bearbeitungszentrum, Bd. 2 1049, Bd. 2 1170 Bauformen, Bd. 2 1171 Komplettbearbeitung, Bd. 2 1173 Werkstückwechselsysteme, Bd. 2 1176 Werkzeugsysteme, Bd. 2 1171 Beatmung, Bd. 3 861 druckkontrollierte, Bd. 3 861 volumenkontrollierte, Bd. 3 861 Becquerel, Bd. 2 722 Bedarfslüftung, Bd. 3 813 Bedienelement, Bd. 3 1068, Bd. 3 1076 Befestigungsschrauben, Bd. 2 213 begleitendes Dreibein, 257 Beharrungsbremsung, Bd. 3 1120 Beheizung, Bd. 3 640 behinderte Verwölbung, 398 Beinprothese, funktionelle, Bd. 3 880 Beiwerte, Bd. 3 1152 Belastungsfunktion, 452 Belastungskennlinien, Bd. 2 566 Beleuchtung, Bd. 3 771 Beleuchtungsstärke, Bd. 2 676, Bd. 2 720 beliebig gewölbte Fläche gegen Ebene, 422 Beltramische Gleichung, 416 Bemessungsgeschwindigkeiten, Bd. 3 1147 benetzter Umfang, 322 Benzin, Bd. 3 1058 Berechnung, Bd. 2 176, Bd. 2 1084 Berechnung der Flächenmomente, 373 Berechnung der Massenträgheitsmomente, 287 Berechnung von Rohrströmungen, 327 Berechnungs- und Bewertungskonzepte, 463 Berechnungsgrundlagen, Bd. 3 23 Antriebsleistung, Bd. 3 23 Blasenspeicher, Bd. 3 25, Bd. 3 26 Blenden, Bd. 3 25, Bd. 3 27 Förderhöhe der Anlage H A , Bd. 3 23 Förderhöhe einer Pumpe, Bd. 3 23 Förderhöhen, Geschwindigkeiten und Drücke, Bd. 3 23 Förderleistung Pu , Bd. 3 23 Gesamtwirkungsgrad, Bd. 3 23 instationäre Strömung, Bd. 3 24 Kavitation, Bd. 3 25

1004 Pulsationsdämpfer, Bd. 3 27 Pulsationsdämpfung, Bd. 3 25 Resonator, Bd. 3 26, Bd. 3 27 Windkessel, Bd. 3 25–Bd. 3 27 Berganfahrhilfe, Bd. 3 1057 Bernoulli’sche Gleichung für den Stromfaden, 316 Bernoulli’sche Gleichung mit Verlustglied, 318 Bernoulli’sche Höhen, 316 Bernoulli’sche Hypothese, 370 Berücksichtigung der Federmasse, 296 Berührungsspannung, Bd. 2 642 Beschichten, Bd. 2 971 Auftragschweißen, Bd. 2 972 CVD-Verfahren, Bd. 2 972 Ionenplattieren, Bd. 2 972 PVD-Verfahren, Bd. 2 971 Sputtern, Bd. 2 972 Beschichtungen, Bd. 2 897 Beschleunigung, 258 Beschleunigungsmesstechnik, Bd. 2 706 Beschleunigungsvektor, 258 Beschleunigungswiderstand, Bd. 3 1078 Bessel’sche Differentialgln., 307 Bessel’sche Funktion nullter Ordnung, 444 Bessel’sche Funktionen erster Art, 306 Bessel’sche Funktionen, modifizierte, 307 Betonkernaktivierung, Bd. 3 817 Betonmischanlagen, Bd. 3 497 Betonmischer, Bd. 3 498 Betonpumpen, Bd. 3 499 Förderleitungen, Bd. 3 500 Rotorbetonpumpen, Bd. 3 500 Zwei-Zylinder-Kolbenpumpe, Bd. 3 499 betriebliche Optimierung, Bd. 3 473 Betriebsarten, Bd. 2 561 Betriebsbremse, Bd. 3 1053 Betriebsbremsung, Bd. 3 1120 Betriebsfestigkeit, Bd. 3 1050, Bd. 3 1084 Betriebsfestigkeitsnachweis, 465 Betriebskraft, 885 Betriebslast, Bd. 2 221, Bd. 3 1042 Betriebsmittel, Bd. 3 478 aktive, Bd. 3 478 passive, Bd. 3 478 Betriebsstrategie, Bd. 3 1061 Betriebsverhalten, Bd. 2 504, Bd. 3 59, Bd. 3 62 dynamisches, Bd. 2 505 stationäres, Bd. 2 504 Bett, Bd. 2 1078 Bettfräsmaschine, Bd. 2 1078 Beulen, Bd. 3 1174 Beulen von Platten, 443 Beulen von Schalen, 445 Beulspannungen, 444 Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich, 446 Beulung, 359, 442 BEV, Bd. 3 1061 bewegtes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl, 341

Stichwortverzeichnis Bewegung eines Punkts, 257 Bewegung starrer Körper, 264 Bewegungen, 829 Bewegungsgleichungen, 289, 830 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes, 334 Bewegungsschraube, 254, Bd. 2 213 Bewegungsvorgang Bestehorn, Bd. 2 616 biharmonisch, Bd. 2 616 energieoptimal, Bd. 2 616 sinoide, Bd. 2 616 zeitoptimal, Bd. 2 616 Bewegungswiderstand, Bd. 3 421 Bewertung, 882 Bewertungskurven, 882 bezogene Biegesteifigkeit, 887 bezogenes Spannungsgefälle, 366 Bezugsflügeltiefe, Bd. 3 1149 Bezugssystem Euler, 729 Lagrange, 729 Bezugswert, bevorzugt, 883 BHKW, Bd. 3 952 biaxiales Flächenmoment I yz , 371 Biegebeanspruchung, 368 Biegedrillknicken, 437, 441, Bd. 3 1173 Biegeeigenfrequenz, 181, 300 Biegefedern, Bd. 2 251 Biegelinie, 303 Biegemoment, 368 Biegemomentenlinie, 303 Biegemomentenvektoren, 375 biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie für Innendruck, 430 biegeschlaffe Schalen, 430 Biegeschwingungen und kritische Drehzahlen mehrfach besetzter Wellen, 303 Biegeschwingungen von Platten, 306 Biegeschwingungen von Stäben, 304 Biegespannungen in geraden Balken, 370 Biegespannungen in stark gekrümmten Trägern, 380 biegesteife Schalen, 431 Biegesteifigkeit, 382, 887 Biegeumformung, Bd. 2 869 Biegewelle, 887 Biegewellenausbreitungsgeschwindigkeit, 887 Biegewellengeschwindigkeit, 887 Biegewellenlänge, 887 Biegung mit Längskraft sowie Schub und Torsion, 401 Biegung und Längskraft, 399 Biegung und Schub, 400 Biegung und Torsion, 400 Bilanz Produkt, Bd. 3 592 Substrat, Bd. 3 592 Zellmasse, Bd. 3 592 Bildaufnahmesensoren, Bd. 2 701 Bildgebung, Bd. 3 851 Bildschirm, berührungsempfindlicher, Bd. 3 1068

.

Stichwortverzeichnis Bildungsgesetz, 245 Bildverarbeitung, Bd. 2 701 Bimetallthermometer, Bd. 2 718 Binärcodierung, Bd. 2 739 Binäreis, Bd. 3 751 Binärsignale, Bd. 2 739 Bingham-Medium, 327 Binormale, 263 Binormalenrichtung, 257 Biodiesel, Bd. 3 1058 Biokompatibilität, Bd. 3 845, Bd. 3 872 Biomaterial, Bd. 3 845 Biopolymere, 627, 633 Bioreaktor, Bd. 3 574, Bd. 3 580 Biot-Zahl, 812, 813 Bioverfahrenstechnik, Bd. 3 565 Bipotentialgleichung, 417, 418 Black-Box-Modellierung, Bd. 2 767 Blasen, Bd. 2 826 Blasensäule, Bd. 3 582 Blasensieden, 817 Blattfeder, Bd. 2 248, Bd. 3 1050 geschichtete, Bd. 2 249 Rechteckfeder, Bd. 2 248 bleibende Dehnung, 360 Blei-Säure-Batterie, Bd. 3 1074 Blends, 627 Blindleistung, Bd. 2 532 Blindleistungsbedarf, Bd. 2 592 Blindleistungskompensation, Bd. 2 598 Blindniete, Bd. 2 212 Blindnietformen, Bd. 2 212 Blindstromrichter, Bd. 2 598 Blockgießen, Bd. 2 814 Blockschaltbild, 831 Blockschaltbild der maschinenakustischen Grundgleichung, 885 Blockzylinderkopf, Bd. 3 129 Bode-Diagramm, Bd. 2 768 Bodenkolonnen, Bd. 3 531–Bd. 3 533 Böden, Bd. 3 532 disperse Phase, Bd. 3 531 fluten, Bd. 3 531 kohärente Phase, Bd. 3 531 Trennstufen, Bd. 3 531 Volumenstromdichte, Bd. 3 531 Böenlastvielfache, Bd. 3 1172 Bohren, Bd. 2 887, Bd. 2 1050 Bohrmaschinen, Bd. 2 1157 Bohrwerke, Bd. 2 1159 Säulenbohrmaschinen, Bd. 2 1158 Schwenkbohrmaschinen, Bd. 2 1159 Ständerbohrmaschinen, Bd. 2 1159 Tiefbohrmaschine, Bd. 2 1160 Tischbohrmaschinen, Bd. 2 1158 Bohrungsdurchmesser, Bd. 3 123, Bd. 3 124 Bohrungskühlung, Bd. 3 123 Bolzendesachsierung, Bd. 3 11 Bolzenverbindung, Gelenk, Bd. 2 206

1007 Boost-Betrieb, Bd. 3 1063 Boundary-Elemente-Methode (BEM), 452, 895 Bourdonfeder, Bd. 2 713 Branche, Bd. 3 846 Brechungszahl, Bd. 2 721 Bredt’sche Formeln, 398 1. Bredt’sche Formel, 398 2. Bredt’sche Formel, 398 Breguet, Bd. 3 1163 Breitenkreisrichtung, 430 Breitkeilriemen, Bd. 2 368 Bremsanlage, Bd. 3 1053 Bremsassistent, Bd. 3 1055 Bremsbelag, Bd. 3 1053, Bd. 3 1057 Bremsbereitschaft, Bd. 3 1057 Bremsdruck, Bd. 3 1055, Bd. 3 1056 Bremse, Bd. 2 267, Bd. 2 286, Bd. 3 1053, Bd. 3 1120 Backenbremsen, Bd. 2 286 Bandbremse, Bd. 2 287 Haltebremsen, Bd. 2 286 Kupplungs-Brems-Kombination, Bd. 2 286 Leistungsbremsen, Bd. 2 286, Bd. 2 287 Magnetpulverbremse, Bd. 2 287 Regelbremsen, Bd. 2 286 Scheibenbremse, Bd. 2 287 Sperren (Richtungskupplung), Bd. 2 286 Bremsenergie, Bd. 3 1062 Bremsenergierückgewinnung, Bd. 3 1063, Bd. 3 1081, Bd. 3 1083 Bremsflüssigkeit, Bd. 3 1054 Bremsflüssigkeitsbehälter, Bd. 3 1054 Bremskraftverstärker, Bd. 3 1054 Bremskraftverstärkung, Bd. 3 1055 Bremskraftverteilung, Bd. 3 1056 Bremslicht, Bd. 3 1071 Bremspedal, Bd. 3 1054, Bd. 3 1055 Bremsrubbeln, Bd. 3 1054 Bremssattel, Bd. 3 1053 Bremsscheibe, Bd. 3 1049, Bd. 3 1054, Bd. 3 1057 Bremsschlupf, Bd. 3 1056 Bremsverhalten, Bd. 3 1045 Bremsweg, Bd. 3 1045 Brennbohren, Bd. 2 186 Brennflämmen, Bd. 2 185 Brennfugen, Bd. 2 185 Brennhärtung, Bd. 2 1089 Brennkammer, 788, Bd. 3 295 Brennräume von Ottomotoren, Bd. 3 94 Brennschneiden, Bd. 2 185 Brennstoffarten, Bd. 3 837 Brennstoffe, 801, 804 feste, 804 Brennstofflagerung, Bd. 3 837 Brennstoffzelle, 789, Bd. 3 1059 Elektrolyten, Bd. 3 952 Typen, Bd. 3 952 Brennverlauf, Bd. 3 77 Brennwert, 802 Bruchgrenze, 358

1008 Bruchzähigkeit, 511 Brückenschaltung, Bd. 2 526 Bulk-Mikromechanik, Bd. 2 958 Bürste, Bd. 2 1059 Bus, Bd. 3 1038, Bd. 3 1056 Bussystem, Bd. 2 742, Bd. 2 799, Bd. 2 800, Bd. 3 1075 CAN-Bus, Bd. 2 800 INTERBUS-S, Bd. 2 800 PROFIBUS, Bd. 2 800 Butanol, Bd. 3 1058 Butylkautschuke IIR, 639 Bypassregelung, Bd. 3 60

C Campbell-Diagramm, 882 CAMPUS-Datenbank, 640 CAN-Bus, Bd. 3 1074 Carnot-Faktor, 749 Carnot-Prozess, 783 Cascading, Bd. 3 616 Cateracting, Bd. 3 616 Celluloseabkömmlinge CA, CP und CAB, 631 Cetanzahl, Bd. 3 92 CFK, Bd. 3 1044 C-Gestell, Bd. 2 1080 Chassis, Bd. 3 1042 chemische Thermodynamik, Bd. 3 541 chemisches Abtragen, Bd. 2 912 chemisches Gleichgewicht, Bd. 3 544 Chemostat, Bd. 3 591 Choleskyzerlegung, 197 Chromatografie, Bd. 3 529 Clausius-Clapeyron, 756 Clausius-Rankine-Prozess, 787 Clausiussche Ungleichung, 745 Clinchen, Bd. 2 192 CMOS-Inverter, Bd. 2 670 CMOS-Schaltungstechnik, Bd. 2 670 CNG, Bd. 3 1059 COC, 633 Compressed Natural Gas, Bd. 3 1059 Computertomographie, Bd. 3 853 continuous dressing, Bd. 2 904 Coriolisbeschleunigung aC , 269 Coriolis-Massedurchflussmesser, Bd. 2 716 Cornering Brake Control, Bd. 3 1056 Couette-Strömung, 334 Couette-Viskosimeter, Bd. 2 717 Coulomb’sche Gleitreibungsgesetz, 252 Coulomb’sches Gesetz, Bd. 2 523 Coulometrie, Bd. 2 726 Crash, Bd. 3 1042 Crashbarriere, Bd. 3 1084 C-Bewertung, 883 CVD-Verfahren, Bd. 2 972 CVT-Getriebe, Bd. 2 371, Bd. 3 1067 Cyclo, Bd. 2 1075

Stichwortverzeichnis D Dachaufsatzlüftung, Bd. 3 810 Dachfunktionen, 454 d’Alembert’sche Hilfskraft, 276 d’Alembert’sches Prinzip, 288, 433 Dalton, 793 Damage-Tolerance-Philosophie, Bd. 3 1171 Dampfbeladung, 794, 798 Dampfdruck Gleichgewichtswasserstoff, 736 Helium, 736 Dampfdruckkurve, 753, 756, 758 Dämpfe, 753, 755 Dämpfer, Bd. 3 1045 aktiver, Bd. 3 1058 Dampfgehalt, 754 feuchter Luft, 795 Dampfkraftanlagen, 786 Dampfprozesse, Bd. 3 944, Bd. 3 950 CO2 -Abgaben, Bd. 3 944 Dampfzustände, Bd. 3 944 Frischwasserkühlung, Bd. 3 949 Kesselwirkungsgrad, Bd. 3 947 Kraftwerksblock, Bd. 3 945 Kühlwassertemperatur und -menge, Bd. 3 948 Nasskühltürme, Bd. 3 949 Säuretaupunkt, Bd. 3 947 Speisewasservorwärmung, Bd. 3 945, Bd. 3 948 Trockenkühltürme, Bd. 3 949 Zwischenüberhitzung, Bd. 3 945, Bd. 3 948 Dampftafeln, 756 Dampfturbinen Anzapf- und Entnahmeturbinen, Bd. 3 258 Arbeitsverfahren, Bd. 3 251 Axialturbinen, Bd. 3 251 Bauarten, Bd. 3 252 Beschaufelung, Bd. 3 262 Gegendruckturbinen, Bd. 3 251, Bd. 3 257 Hochdruckteile, Bd. 3 254 Kondensationsturbinen, Bd. 3 251, Bd. 3 258 Konstruktionselemente, Bd. 3 261 Lager, Bd. 3 264 Mitteldruckteile, Bd. 3 254 Niederdruckteile, Bd. 3 254 Radialturbinen, Bd. 3 251 Sattdampfturbinen, Bd. 3 251 Überdruckturbinen, Bd. 3 251 Ventile und Klappen, Bd. 3 261 Wellendichtungen, Bd. 3 264 Zweidruckturbinen, Bd. 3 260 Dämpfung, 830, Bd. 2 536, Bd. 3 1049, Bd. 3 1050 modale, 830, 832, 833 von Drehschwingungen im Antriebsstrang, Bd. 3 1064 Dämpfung durch konstante Reibungskraft, 297 Dämpfungsfaktor, Bd. 2 246 Dämpfungskonstante k, 298 Dämpfungskraft, Bd. 2 1052 Dämpfungsmatrix, 830

Stichwortverzeichnis Dämpfungsvermögen, Bd. 2 246 Darlington-Schaltung, Bd. 2 669 Darstellung der Schweißnähte, Bd. 2 173 Güte der Schweißverbindungen, Bd. 2 174 Schweißposition, Bd. 2 174 Datenaufbereitung, Bd. 2 1084 Datenbus, Bd. 3 1075 Datenlogger, Bd. 2 749 Dauerbremse, Bd. 3 1053 Dauerbruch, 362 Dauerfestigkeitsnachweis, 465, Bd. 2 182 Dauerfestigkeitsschaubilder, 505 Dauerformverfahren, Bd. 2 834 dB, 880 dB(A), 882 dBA, 882 DC/DC-Wandler, Bd. 3 1073, Bd. 3 1074 de Laval’sche Scheibe, 435 Debye-Temperatur, 758, 776 Defibrillator, Bd. 3 866 Dehnungen, 357, 358, 448 Dehnungsausgleicher, 323, Bd. 3 692 Berechnung, Bd. 3 691 Festpunktkräfte, Bd. 3 691 Kompensatoren, Bd. 3 692 Dehnungsmessstreifen, Bd. 2 709 Dehnungsmesstechnik, Bd. 2 708 Dehnwechselbeanspruchung, 476 Demontage, Bd. 2 990 Demontageprozess, Bd. 2 991 Dériazturbine, Bd. 3 220 Design, Bd. 3 1042 Designvariable, 223 Desorption, Bd. 3 529, Bd. 3 537, Bd. 3 538 destillieren, Bd. 3 529 Deviationsmomente, 283 dezentralem Klimasystem, Bd. 3 819 Dezibel, 880 Diagnosetechnik, Bd. 3 1119 v-n-Diagramm, Bd. 3 1172 Dialysator, Bd. 3 867 Dialyse, Bd. 3 529, Bd. 3 539, Bd. 3 867 Permeationskoeffizient, Bd. 3 539 diatherm, 733 Dichte, 311, 775, Bd. 2 475, Bd. 2 708 Dichtungen, Bd. 3 702 an ruhenden Flächen, Bd. 3 700 Ausführungsformen, Bd. 3 701 Berührungsdichtungen, Bd. 3 700 Flachdichtungen, Bd. 3 701 Gleitringdichtungen, Bd. 3 703 Hochdruckdichtungen, Bd. 3 701 Kennwerte, Bd. 3 704 Profildichtungen, Bd. 3 701 Rundschnurdichtungen, Bd. 3 701 Dickstoffpumpen, Bd. 3 36 dickwandige Hohlkugel unter Innen- und Außendruck, 432

1009 dickwandiger Kreiszylinder unter Innen- und Außendruck, 432 Dielektrizitätskonstante, Bd. 2 522, Bd. 2 665 Diesel, Bd. 3 1058 Dieselmotor, 789, Bd. 3 1058, Bd. 3 1061 Dieselmotor für schwere Nutzfahrzeuge, Bd. 3 134 Differentialbauweise, Bd. 3 1104, Bd. 3 1174 Differentialgetriebe, Bd. 3 1067 Differentialschutz, Bd. 2 642 Differentialsperre, Bd. 3 1067 elektronische, Bd. 3 1056 Differentialtransformator-Wegaufnehmer, Bd. 2 704 Differentiation der Einheitsvektoren, 262 Differenzpegel, 883 diffuse Luftführung, Bd. 3 779 Diffusionsschweißen, Bd. 2 156 Diffusor, 781 Diffusorströmung, 780 Digital Light Processing, Bd. 2 981 digitale Antriebstechnik, Bd. 2 1061 digitale Bildverarbeitung, Bd. 2 702 digitale elektrische Messtechnik, Bd. 2 739 digitale Messsignaldarstellung, Bd. 2 739 digitale Zahlendarstellung, Bd. 2 739 Digitalmultimeter, Bd. 2 746 Digitaltechnik, Bd. 2 1061 Digitalvoltmeter, Bd. 2 740, Bd. 2 746 dilatante Flüssigkeiten, 327 Diode, Bd. 2 666 Diodenkennlinie, Bd. 2 666 Leistungsdiode, Bd. 2 667 Schottky-Diode, Bd. 2 667 Z-Diode, Bd. 2 667 Dipolströmung, 332 Dirac-Funktion, 455 Direktantrieb, Bd. 2 616 direkte Benzin-Einspritzung, Bd. 3 100 Lambda=1-Konzept, Bd. 3 100 Magerkonzept mit Ladungsschichtung, Bd. 3 100 Mitsubishi-Verfahren, Bd. 3 101 VW-FSI-(Fuel Stratified Injection-)Motor, Bd. 3 101 direkte Einspritzung DE, Bd. 3 96 direkte Geräuschentstehung, 884 direkte Selbstregelung, Bd. 2 615 direkte Strukturierungsmethode, Bd. 2 962 direktes Problem, 835 Direktheizung, Bd. 3 990 Direktumrichter, Bd. 2 593 Direktverdampfer-Systeme, Bd. 3 736 Diskontinuierliches Profilschleifen, Bd. 2 947 Dispersion, 888 Dissipationsarbeit, 738 Dissipationsenergie, 749 Distanzschutz, Bd. 2 642 Di-Methyl-Ether, Bd. 3 1058 Doppelaufladung, Bd. 3 130 Doppelkupplungsgetriebe, Bd. 3 1066 Doppelschichtkondensator, Bd. 3 1061 Doppelspiel, Bd. 3 468

1010 doppelte Biegung, 376 doppeltspeisender Asynchrongenerator, Bd. 2 610 doppeltwirkende Presse, Bd. 2 1133 doppeltwirkender Zylinder, Bd. 2 1070 Doppler-Effekt, Bd. 2 696 Dornen, Bd. 3 400 Dosierpumpen, Bd. 3 35 Downsizing-Konzept, Bd. 3 131 Drain, Bd. 2 670 Drallachse, 291 Dralldurchlässen, Bd. 3 782 Drallprinzip, Bd. 3 780 Drallsatz, 281 Drallvektor, 291 Drallwinkel, Bd. 2 888 Drehbewegung, 264 Dreheisenmesswerk, Bd. 2 746 Drehen, Bd. 2 882, Bd. 2 1050 Drehfedersteifigkeit, 850 Drehfelder, Bd. 2 564 Drehführungen, Bd. 2 1093 Drehgestell, Bd. 3 1098 Drehherdofen, Bd. 3 605 Drehimpulse, 278 drehkolbenartige Umlaufkolbenmaschinen, Bd. 3 3 Drehkolbenmaschinen, Bd. 3 3 Drehkolbenpumpen, Bd. 3 32 Drehkraftdiagramm, 863 Arbeitsvermögen, 865 Drehmoment, 863 Drehmomentendiagramme, 864 Gesamtmoment, 863 mittleres Moment, 865 Trägheitsmoment, 865 Ungleichförmigkeitsgrade, 865 Drehmagnetmesswerk, Bd. 2 746 Drehmaschine, Bd. 2 1078, Bd. 2 1147 Drehautomaten, Bd. 2 1151 Drehbearbeitungszentren, Bd. 2 1155 Frontdrehmaschinen, Bd. 2 1151 Sonderdrehmaschinen, Bd. 2 1155 Universaldrehmaschinen, Bd. 2 1149 Vertikaldrehmaschinen, Bd. 2 1154 Drehmoment, 739, Bd. 3 121 Drehmomentkupplung, Bd. 2 1077 Drehmomentmesstechnik, Bd. 2 708 drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen, Bd. 2 276 hydrodynamische Kupplung, Bd. 2 276 Induktionskupplung, Bd. 2 277 Drehrohröfen, Bd. 3 611 Drehrohr- und Drehtrommelöfen, Bd. 3 605 Drehschwinger, 850 Drehschwingung, 297, Bd. 2 603 Drehschwingungen der mehrfach besetzten Welle, 303 Drehschwingungsdämpfer, Bd. 3 1066 Drehspulmesswerke, Bd. 2 745 Drehstabfedern, Bd. 2 253 drehstarre Ausgleichskupplungen

Stichwortverzeichnis Zahnkupplung, Bd. 2 270 Drehstoß, 293, 294 Drehstrom, Bd. 2 533 Drehstrommotor, Bd. 2 1054 Drehstromsteller, Bd. 2 589, Bd. 2 609 Drehstromtransformatoren, Bd. 2 550 Dreischenkeltransformator, Bd. 2 550 Einphasentransformator, Bd. 2 551 Schaltgruppen, Bd. 2 551 Drehstrom-Normmotoren, Bd. 2 563 Drehträgheit der Torsionsfeder, 297 Drehung, 264 Drehung um einen Punkt, 266 Dreh- und Biegeschwingungen, 829 Dreh-Drück-Steller, Bd. 3 1068 Drehwerk, Bd. 3 323, Bd. 3 384 Drehzahlbild, Bd. 2 1065 Drehzahldrückung, Bd. 3 120 Drehzahlen, kritische, 855 Drehzahlmesstechnik, Bd. 2 705 Drehzahlregelung, Bd. 2 606, Bd. 2 1055, Bd. 3 59 Drehzahlüberdeckung, Bd. 2 1066 Drehzahlverstellung, Bd. 2 601 dreiachsiger (räumlicher) Spannungszustand, 355 dreiachsiger Zug, 361 Dreibereichsverfahren, Bd. 2 720 Dreidrahtmethode, Bd. 2 698 Dreieckelement, 448 Dreieckschaltung, Bd. 2 533 Dreiecksfeder, Bd. 2 250 Dreigelenkrahmen, 244 Dreiphasenreaktionen, Bd. 3 552 Dreiphasen-Gleichstrom- und MittelfrequenzinverterSchweißeinrichtungen, Bd. 2 1202 Dreiseitenstapler, Bd. 3 401 Drei-Wege-Stromregelventil, Bd. 2 499 Drei-Wege-Stromregler, Bd. 2 499 Drill-/Biegedrillknicken, Bd. 3 1173 Drillknicken, Bd. 3 1173 Drillung, 395 drillungsfreie Querkraftbiegung, 379 Drive-by-Wire, Bd. 3 1052 Drossel, Bd. 2 532 Drosselgeräte, 324 Drosselgrad, Bd. 3 47 Drosselklappe, Bd. 3 834, Bd. 3 1056 Drosselung, adiabate, 741 Drosselventile, Bd. 2 499 Druck, 744 Druck auf ebene Wände, 312 Druck auf gekrümmte Wände, 312 Druckbegrenzungsventil, Bd. 2 510 Druckdifferenz, Bd. 2 479 Drucker, Bd. 2 748 druckgesteuerte Ventile, Bd. 3 33 Druckgießen, Bd. 2 837 Druckinfusionssystem, Bd. 3 870 Druckkabine, Bd. 3 1178 Druckluft, Bd. 2 481, Bd. 2 515

Stichwortverzeichnis Druckluftöler, Bd. 2 516 Druckregler, Bd. 2 516 Druckluftkettenzug, Bd. 3 377 Druckluftspeicher, Bd. 2 646 Druckmesstechnik, Bd. 2 712 Druckmittelpunkt M, 312 Druckpunkt, Bd. 3 1154 Drucksonden, Bd. 2 715 Druckumlaufschmierung, Bd. 3 19 Druckventil, Bd. 2 496 direkt gesteuertes Druckbegrenzungsventil, Bd. 2 496 Druckregelventil, Bd. 2 496 Druckschaltventil, Bd. 2 496 Senkbremsventil, Bd. 2 501 vorgesteuertes Druckbegrenzungsventil, Bd. 2 496 Druckverfahren, Bd. 2 967 Druckverhältnis des Joule-Prozesses, 786 optimales, 786 Druckverlust, 319, Bd. 2 481, Bd. 3 49, Bd. 3 558 Druckverlust und Verlusthöhe, 319 Druckverteilung in der Flüssigkeit, 311 Druckwaagen, Bd. 2 712 Druckwiderstand, 337 Druckwinkel, Bd. 2 1071 Dulong-Petitsche Regel, 758 Dummy, Bd. 3 1084 Dunkelstrom, Bd. 2 676 Dünnschichtchromatographie, Bd. 2 727 dünnwandige Hohlquerschnitte, 398 Durchbiegung bei schiefer Biegung, 389 Durchbiegung schwach gekrümmter Träger, 390 Durchbiegung von Trägern, 382 Durchbruchskurve, Bd. 3 537 Durchbruchszeit, Bd. 3 537 Adsorptionswärme, Bd. 3 537 Durchfluss, Bd. 2 715 Durchflussrate, Bd. 3 591 Durchflusszahlen für Normblenden, Bd. 2 729 Durchflusszahlen für Normdüsen, Bd. 2 730 Durchflutungsgesetz, Bd. 2 522 Durchlassgitter, Bd. 3 782 Durchlauf-Axialschubverfahren, Bd. 2 936 Durchsatz, Bd. 3 319, Bd. 3 531 fluten, Bd. 3 531 Gegenstrom, Bd. 3 531 Gleichstrom, Bd. 3 531 Durchschlagfestigkeit, Bd. 2 545 Durchschlagproblem, 445 Durchsetzfügen, Bd. 2 192 Duroplaste, 627, 634 BMC, 634 Harz-Faser-Verbundwerkstoffe, 634 SMC, 634 Düse, 781 Düsenhalter/Injektor, Bd. 3 108 Düsenleisten, Bd. 3 782 Düsenströmung, 780

1011 Dyname, 235 Dynamik, Bd. 2 1052, Bd. 2 1084 Dynamikfaktor, Bd. 2 259, Bd. 3 334 dynamische Ähnlichkeit, 345 dynamische Beanspruchung, 361 dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkräfte, 433 dynamische Fremderregung, 298 dynamische Kennlinie, Bd. 2 1200 dynamische Nachgiebigkeit, Bd. 2 1053 dynamische Stabilität, Bd. 3 1153 dynamische Steifigkeit, Bd. 2 1082 dynamische Zähigkeit, 315, 318 dynamischer Schüttwinkel, Bd. 3 616 dynamisches Grundgesetz von Newton, 275 dynamisches Leistungsvermögen, Bd. 2 617

E Eadie-Hofstee, Bd. 3 586 Earle-Viskosimeter, Bd. 2 717 ebene Bewegung, 260 ebene Bewegung in Polarkoordinaten, 262 ebene Flächen, 367 ebene Kreisbewegung, 262 ebene Starrkörpersysteme, 288 ebener Spannungszustand, 418 ebener Strahl, Bd. 3 779 Echtzeitfähigkeit, Bd. 2 799, Bd. 3 1049 Echtzeitsystemen, Bd. 2 799 Eckenwinkel, Bd. 2 883 EDX, Bd. 2 728 effektiver isentroper Kupplungswirkungsgrad, Bd. 3 44 Effektivwert, 880, Bd. 2 531, Bd. 2 734 Eigen- bzw. Kreisfrequenz, 295 Eigenfrequenz, 830, 833 globale, Bd. 3 1042 ungedämpfter Systeme, 303 Eigenfunktion, 303 Eigengewicht, 365 Eigenkraft, Bd. 3 882 eigenkraftgetriebene Prothese, Bd. 3 882 Eigenkreisfrequenz, 831 Eigenlenkgradient, Bd. 3 1080 Eigenlenkverhalten, Bd. 3 1052, Bd. 3 1080 Eigenschwingungen, 831, 853 Eigenschwingungsform, Bd. 2 1052 Eigenschwingungsgrößen, 831 Eigenspannung, Bd. 2 881, Bd. 2 901 Eigenvektor, 198, 830–833 Eigenwert, 198, 437 Eigenwertanalyse, 832 Eigenwertgleichung, 437 Eigenwertproblem, 197 Eilganggetriebe, Bd. 2 1069 einachsige Vergleichsspannung, 361 einachsiger Spannungszustand, 354 Einbauwiderstände, 319

1012 eindimensionale Strömung Nicht-Newton’scher Flüssigkeiten, 327 eindimensionale Strömungen idealer Flüssigkeiten, 316 eindimensionale Strömungen zäher Newton’scher Flüssigkeiten (Rohrhydraulik), 318 einfach symmetrische Querschnitte, 441 einfache Biegung, 370 einfachwirkende Presse, Bd. 2 1133 einfachwirkender Zylinder, Bd. 2 1070 Einfeldträger, 369 Einflankenwälzprüfung, Bd. 2 699 Einfluss der Schubverformungen auf die Biegelinie, 389 Einfluss des Ladungswechsels, Bd. 3 80 Einflussfunktion, 452 Eingangsimpedanz, 884, 890 Eingangsproblem, 836 Eingangswiderstand, Bd. 2 668 eingeprägte Kräfte, 231 eingespannte Kreisplatte, 307 Eingriffslinie, Bd. 2 391 Eingriffsstrecke, Bd. 2 393 Eingriffswinkel, Bd. 2 393 Einheiten, 343, 904 Abkürzungen, 904 Basis, 903 Elektrizität, 908 Lichtstrahlung, 909 Magnetismus, 908 Mechanik, 907 Namen, 904 Raum und Zeit, 907 SI-System, 903 Umrechnung, 904, 905 Vorsätze, 904 Wärme, 908 Einheitensystem, Bd. 2 693 Einheitsbohrung, Bd. 2 54 Einheitsvektoren er , 262 Einheitsvektoren e' , 262 Einheitsverschiebungen, 447 Einheitswelle, Bd. 2 55 Einmalaufwand, Bd. 3 1044 Einparkautomat, Bd. 3 1072 Einparkhilfe, Bd. 3 1072 Einphasenströmung, Bd. 3 553 laminare, Bd. 3 553 turbulente, Bd. 3 553 Einpresstiefe, Bd. 3 1048 einschnittig, 366 Einschwingvorgang, 299 Einspritzsystem Dieselmotor, Bd. 3 104 Common-Rail-Einspritzsystem (CRS), Bd. 3 107 direkte Benzin-Einspritzung, Bd. 3 100 Düsenhalter, Bd. 3 108 Einspritzdüse, Bd. 3 107 Einspritzpumpen, Bd. 3 105 Einzeleinspritzpumpe, Bd. 3 105 Hubschieber-Reiheneinspritzpumpe, Bd. 3 106 Pumpe-Düse-Einheit, Bd. 3 106

Stichwortverzeichnis Reiheneinspritzpumpe, Bd. 3 105 Vielstoffmotor, Bd. 3 97 Zapfendüsen, Bd. 3 108 Einspritzverlauf, Bd. 3 104 Einstechverfahren, Bd. 2 936 Einstellwinkel, Bd. 2 883 Einwellenverdichter horizontale Teilfuge, Bd. 3 275 Maximale Stufenzahl, Bd. 3 276 Schaltung der Laufräder, Bd. 3 276 Stufengeometrie, Bd. 3 278 vertikale Teilfuge, Bd. 3 275 Einzelfehlerprüfung, Bd. 2 698 Einzelkräfte, 368 Einzelmomente, 368 Einzelspiel, Bd. 3 468 Einzelteile, Bd. 2 813 Einzelventile, Bd. 3 56 Einzelzylinderkopf, Bd. 3 129 Eisnebel, 795 Eispunkt, 734 Eisspeichersysteme, Bd. 3 749 Eisspeicherung, Bd. 3 739 elastisch verfestigendes Material, 457 elastische Formänderungskräfte, 273 elastische Linie des geraden Trägers, 382 elastische Rückstell-Kräfte, 300 elastische, nicht schaltbare Kupplungen Anfahrstöße, Bd. 2 271 Auslegungsgesichtspunkte, Bd. 2 273 Dämpfung, Bd. 2 272 Drehmomentschwankungen, Bd. 2 271 Drehmomentstöße, Bd. 2 271 dynamische Eigenschaften, Bd. 2 271 Elastizität, Bd. 2 271 Elastomerkupplung, Bd. 2 275 Fluchtungsfehler, Bd. 2 271 Hysterese, Bd. 2 272 Klauenkupplung, Bd. 2 275 metallelastische Kupplungen, Bd. 2 275 Nenndrehmoment, Bd. 2 273 Resonanzfrequenzen im Antriebsstrang, Bd. 2 271 Rollen-Kupplung, Bd. 2 275 Rückstellkräfte, Bd. 2 274 Scheibenkupplung, Bd. 2 275 Schlangenfederkupplung, Bd. 2 275 Schwingungsverhalten, Bd. 2 273 Stoßanregung, Bd. 2 271 verhältnismäßige Dämpfung, Bd. 2 272 Wechseldrehmoment, Bd. 2 274 Wulstkupplung, Bd. 2 275 Elastizitätsmodul, 311, 359, 506 Kunststoffe, 640 Elastomere, 627, 638 thermoplastisch verarbeitbare, 639 Elastoviskose Stoffe, 327 elektrische Antriebstechnik, Bd. 2 599 elektrische Bremse, Bd. 3 1120 elektrische Bremsung, Bd. 2 603

Stichwortverzeichnis Gegenstrombremsen, Bd. 2 603 Nutzbremsen, Bd. 2 603 Widerstandsbremsen, Bd. 2 603 elektrische Fahrzeugantriebe Radnabenantrieb, Bd. 2 621 radnaher Antrieb, Bd. 2 621 Tandemantrieb, Bd. 2 621 Zentralantrieb, Bd. 2 621 elektrische Funktionen, Bd. 2 1202 elektrische Gasentladung, Bd. 2 186 elektrische Maschinen, Bd. 2 557 Achshöhen, Bd. 2 559 Bauformen, Bd. 2 559 Schutzarten, Bd. 2 559 elektrische Messtechnik, Bd. 2 734 elektrische Verbundnetze, Bd. 3 983 Blockausfälle, Bd. 3 984 Hochspannungs-Gleichstrom-Übertragung, Bd. 3 984 Höchstspannungsnetze, Bd. 3 983 Stromaustausch, Bd. 3 983 westeuropäisches Verbundnetz, Bd. 3 984 elektrische Verfahren, Bd. 2 711 Elektrizität, Einheiten, 908 Elektrizitätswirtschaft, Bd. 3 908 elektrochemische Verfahren, Bd. 2 726 elektrochemisches Abtragen, Bd. 2 912 Elektrode, Bd. 3 866 elektrodynamisches Messwerk, Bd. 2 746 Elektrohängebahn, Bd. 3 407 elektrohydraulischer Motor, Bd. 2 1061 Elektrokettenzug, Bd. 3 377 Elektroluftfilter, Bd. 3 802 Elektrolyse, Bd. 2 543 Elektrolytkondensator, Bd. 2 665 Elektromagnete, Bd. 2 798 elektromagnetische Verträglichkeit, Bd. 2 604 Elektromotor, Bd. 3 1059, Bd. 3 1061, Bd. 3 1063 Elektromotorantrieb Elektromotor, Bd. 3 228 frequenzgesteuerter Drehstromantrieb, Bd. 3 228 Spaltrohrmotor, Bd. 3 228 Unterwassermotor, Bd. 3 228 Elektronantrieb, Bd. 3 1037 Elektronenspektroskopie für die chemische Analyse, Bd. 2 728 Elektronenstrahl, Bd. 2 187 Elektronenstrahlmikroanalyse, Bd. 2 728 Elektronenstrahl-Oszilloskope, Bd. 2 747 Elektronik, Bd. 2 795 elektronische Königswellen, Bd. 2 1054 elektronische Zündanlage, Bd. 3 103 elektronischer Regler, Bd. 3 122 elektronisches Einspritzsystem, Bd. 3 740 elektronisches Fahrdynamik-Regelsystem, Bd. 3 1056 Elektroseilzug, Bd. 3 377 elektrostatisches Feld, Bd. 2 522 Elektrostrahler, Bd. 3 828 Elektrowärme

1013 Lichtbogenerwärmung, Bd. 2 657 Widerstandserwärmung, Bd. 2 657 3D-Element, 448 Elementfunktionen, 454 Elevatoröfen, Bd. 3 606 elliptischer Hohlzylinder unter Innendruck, 431 Emission, Bd. 2 722 Emissionszahl, 819, 823 Empfänger, optoelektronischer, Bd. 2 675 Empfindlichkeit, spektrale, Bd. 2 675 endoskelettale Bauweise, Bd. 3 880 Endoskop, Bd. 3 874 Endtrocknungsgeschwindigkeit, Bd. 3 538 energetische Grundbegriffe, 273 Energie dissipierte, 745, 749 gespeicherte, 738 innere, 738 kinetische, 738 potentielle, 738 Energiebilanz, Bd. 3 76, Bd. 3 549, Bd. 3 928 Energiedosis, Bd. 2 722 Energieformen, 737 Energiemanagement, Bd. 3 1074 Energiespeicherung, Bd. 3 985 Batteriespeicheranlagen, Bd. 3 988 Dampfspeicherung, Bd. 3 988 elektrische Heizung, Bd. 3 989 elektrische Speicher, Bd. 3 988 Energiedichte, Bd. 3 986 Gleichdruckspeicher, Bd. 3 988 Leistungsdichte, Bd. 3 986 Luftspeicherwerke, Bd. 3 987 Nutzungsgrad, Bd. 3 986 Pumpspeicherwerke, Bd. 3 986 Energietechnik, CO2 -Emissionen, Bd. 3 950 Energietransport, Bd. 3 981 Energieübertragung durch Fluide Fließgeschwindigkeit, Bd. 2 479 Energieumsatz, Bd. 3 5 Energieumsetzungsverluste, Bd. 3 71 Energieverlust beim Stoß, 293 Energieverluste, 276 Energiewandlungsprinzipien, Bd. 2 798 Engesser-v. Kármán-Kurve, 438 Entfernungsbestimmung, Bd. 2 696 Enthalpie, 740 feuchter Luft, 795 gesättigte feuchte Luft, 798 Entropie, 744 Entspannungsbeanspruchung, 476 Entwicklungsmethodik, Bd. 3 1126 Entwurfsproblem, 839 Enzyme, Bd. 3 584 anabolische, Bd. 3 585 heterotrop regulatorische, Bd. 3 588 homotrop regulatorische, Bd. 3 588 katalytisch aktive Zentrum, Bd. 3 585 regulatorische Zentrum, Bd. 3 585

1014 Enzymkinetik, Bd. 3 585 Epoxidharze, 637, Bd. 3 1176 Erdbaumaschinen, Bd. 3 502 Erdgas, Bd. 3 1058 Erdöl, Bd. 3 1058 Ergebnisauswertung, Bd. 2 1084 Ericsson-Prozess, 784, Bd. 3 291 Erosionskorrosion, Bd. 3 256 Erregerkraft, 830, Bd. 2 1052 Erregerkreisfrequenz, 833 Erregerstrom, Bd. 3 1062 Erregung, elektrische, Bd. 3 865 Erregungsbildungssystem, Bd. 3 865 Ersatzbrennverlauf, Bd. 3 77 Ersatzflächenmoment, 440 Ersatzschaltbilder, Bd. 2 547, Bd. 2 565 Ersatzspiegelhöhe, 312 Erstarrungspunkt, 736 Aluminium, 736 Gold, 736 Indium, 736 Kupfer, 736 Silber, 735, 736 Zink, 736 Zinn, 736 Erwärmung, Bd. 2 561 erweiterte Ähnlichkeit, 344 Erzeugung elektrischer Energie, Bd. 3 943 erzwungene Schwingungen, 308, 843, 853, 857 erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden, 302 ESP, Bd. 3 1052, Bd. 3 1055 Ethanol, Bd. 3 1058 Ethylen-Propylen-Kautschuke EPM, EPDM, 639 Euler-Hyperbel, 438 Euler’sche Beschleunigungssatz, 266 Euler’sche Geschwindigkeitsformel, 266 Euler’sche Gleichung für den Stromfaden, 316 Euler’sche Knicklast, 437 Europäische Artikelnumerierung, Bd. 2 702 eutektischer Lösung, Bd. 3 750 Evolventenverzahnung, Bd. 2 394 Exergie, 747, 748 Exergieverluste, 749 Exoprothese, Bd. 3 880 Exoprothetik, Bd. 3 880 Expansion, 319 Expansionsmaschine, Bd. 3 5 experimentelle Spannungsanalyse, Bd. 2 711 extrahieren, Bd. 3 529 Extraktion, Bd. 3 532 Extraktoren, Bd. 3 529 Extremalspannungen, 371 Extrudieren und Blasformen, 647 Exzenterpresse, Bd. 2 1080, Bd. 2 1137 Exzenterschneckenpumpen, Bd. 3 32, Bd. 3 37 exzentrisch, 292 exzentrischer Stoß, 294

Stichwortverzeichnis F Fachwerke, 245 FACTs, Bd. 2 637 Fading, Bd. 3 1054 Fahrantrieb, Bd. 3 396 Fahrdynamikregelsystem, Bd. 3 1054, Bd. 3 1080 elektronisches, Bd. 3 1056 Fahrenheit-Skala, 734 Fahrerassistenzsystem, Bd. 3 1071 Fahrerlaubnis, Bd. 3 1041 fahrerlose Transportsysteme, Bd. 3 405 Fahrernotbremse, Bd. 3 1120 Fahrgastnotbremse, Bd. 3 1120 Fahrgastwechselzeiten, Bd. 3 1091 Fahrgestell, Bd. 3 1042 Fahrkomfort, Bd. 3 1129 Fahrlicht, Bd. 3 1071 Fahrlichtsteuerung, Bd. 3 1072 Fahr- und Drehwerkantriebe, Bd. 3 331 Fahrverhalten, Bd. 3 1045 Fahrwerk, Bd. 3 320, Bd. 3 1041 Fahrwerkabstimmung, Bd. 3 1046 Fahrwerksregelsystem, Bd. 3 1049 Fahrwiderstand, 255, Bd. 3 1077, Bd. 3 1116 Fahrzeugantrieb, Bd. 3 120 Fahrzeugführung, Bd. 3 1080 Fahrzeuggeschwindigkeit, 268 Fahrzeugstabilisierung, Bd. 3 1080 Fahrzeugumgrenzungsprofil, Bd. 3 1092 Fahrzyklus, Bd. 3 1082 Fail-Safe, Bd. 3 1171 K v -Faktoren, Bd. 2 1060 Fallhöhe, 293 Fanggrad, Bd. 3 79 Farbmesstechnik, Bd. 2 719, Bd. 2 720 Farbmetrisches Grundgesetz, Bd. 2 720 Farbvalenz, Bd. 2 720 Faser-Kunststoff-Verbunde, Bd. 2 262 Fasermaterialien, Bd. 3 662 faseroptische Sensoren, Bd. 2 710 Faserspritzverfahren, 647 Faserverbundbauweise, Bd. 3 1176 Faserverbundwerkstoffe, Bd. 3 1175 Faserverstärkungen, Bd. 3 1176 Fassklammer, Bd. 3 397 fast Fourier transform (FFT), 882 Fatigue, Bd. 3 1170 FE-Berechnung, Bd. 2 1084 Feder, Bd. 3 1045 Federkennlinie, 295, Bd. 2 247 Federkörper-Kraftmesstechnik, Bd. 2 707 Federkraft, 273, Bd. 2 1052 Federmanometer, Bd. 2 712 Feder-Masse-System, 295 Federn, Bd. 2 245 Kenngrößen, Bd. 2 245 Federn aus Faser-Kunststoff-Verbunden, Bd. 2 262 Federnachgiebigkeit, Bd. 2 246 Federrate c, 295, 296

Stichwortverzeichnis Federspeicherbremse, Bd. 3 1120 Federsteifigkeit, Bd. 2 246 Federung, Bd. 3 1049, Bd. 3 1050 Fehler, Bd. 2 688 Fehlerstrom-(FI-)Schutzschaltung, Bd. 2 643 120°-Fehlsynchronisation, 848 Feinbearbeitung, Bd. 2 944 Feingießverfahren, Bd. 2 830 Feinschneiden, Bd. 2 921 Feinschneidpresse, Bd. 2 1128 Feinwerktechnik, Bd. 2 795 Feinzeiger, Bd. 2 697 Feldeffekttransistoren, Bd. 2 670 feldorientierte Regelung, Bd. 2 612, Bd. 2 1055 Feldorientierung, Bd. 2 612 Feldschwächbereich, Bd. 2 1055 Felge, Bd. 3 1046–Bd. 3 1048 Felgenbett, Bd. 3 1047 Felgenhorn, Bd. 3 1047, Bd. 3 1048 FEM, Bd. 3 1084 Fenster, Bd. 3 1106 Fensterlüftung, Bd. 3 809 Fermenter, Bd. 3 574 Fernheizung, Bd. 3 837 Fernlicht, Bd. 3 1071 Fernschutzwirkung, Bd. 2 191 Fernwärmetransporte, Bd. 3 985 Fernwärmewirtschaft Heizkraftwerke, Bd. 3 915 Heizwasser, Bd. 3 915 Heizwerke, Bd. 3 915 Kraft-Wärme-Kopplung, Bd. 3 915 Wärmemarkt, Bd. 3 915 Ferrit-Schalenkern, Bd. 2 666 Fertigen, Bd. 2 809 Fertigungsverfahren, Bd. 2 810 Fertigungsverfahren der Mikrotechnik, Bd. 2 955 Fertigwälzfräsen, Bd. 2 940 Festbetten, Bd. 3 536 Desorption, Bd. 3 536 Druckwechselverfahren, Bd. 3 536 Temperaturwechselverfahren, Bd. 3 536 Festbettreaktoren, Bd. 3 551 feste Brennstoffe, Bd. 3 917 feste Stoffe, 757 feste und fluide Partikel, Bd. 3 554 nicht-kugelige, Bd. 3 554 Sinkgeschwindigkeit, Bd. 3 554 Steiggeschwindigkeit, Bd. 3 554 Fest-flüssig-Extrahieren, Bd. 3 536 festbetten, Bd. 3 536 Gegenstromapparate, Bd. 3 536 Gleichstromapparate, Bd. 3 536 Wanderbetten, Bd. 3 536 Fest-flüssig-Extraktion, Bd. 3 539 Festigkeit von Schweißverbindungen, Bd. 2 175 Festigkeitshypothesen, 361 Festigkeitskennwerte von Kunststoffen, 640 Festigkeitslehre, 353

1015 Festigkeitsnachweis, statischer, 465 Festigkeitsverhalten der Werkstoffe, 358 Festpunkt, thermometrischer, 736 Festpunktmethode, Bd. 2 685 Festwiderstände, Bd. 2 664 Grenzwerte, Bd. 2 665 Konstanz des Widerstandswerts, Bd. 2 664 Präzisionswiderstände, Bd. 2 664 FETs, Bd. 2 670 feuchte Luft, 794 Zustandsänderungen, 796, 797 Feuchtegrad, 794 Feuerfestmaterialien, Bd. 3 659 Feuerfestprodukte, Bd. 3 660 Feuerleichtsteine, Bd. 3 660 Feuerungen für gasförmige Brennstoffe Abfallbeseitigungsgesetz, Bd. 3 977 Entschwefelungsgrad, Bd. 3 974 Entsorgung der Kraftwerksnebenprodukte, Bd. 3 977 Nassverfahren, Bd. 3 975 Rauchgasentstickung, Bd. 3 976 SCR-Verfahren, Bd. 3 976 Trockenverfahren, Bd. 3 974 Umweltschutztechnologien, Bd. 3 974 feuerungstechnischer Wirkungsgrad, Bd. 3 607 FFT (fast Fourier tranform), 882 FFV, Bd. 3 1059 FIFO, Bd. 3 469 Filmkondensation, 817 Filter, Bd. 2 502, Bd. 2 537, Bd. 3 525 Filterfeinheit, Bd. 2 500 Filtrationsrate, Bd. 2 502 Reinheitsklasse, Bd. 2 502 Fingerpumpe, Bd. 3 870 Finite Differenzen Methode, 455 Finite-Elemente-Methode (FEM), 447, 895, Bd. 2 1084 Finite-Elemente-Modell, 852 Fixpunkt, 734, 735 Flachbackenverfahren, Bd. 2 936 Flachbett, Bd. 2 1078 Flächendehnung, 757 Flächengeschwindigkeit, 278 Flächenmomente 2. Grades, 371 Flächennutzungsgrad, Bd. 3 474 Flächenpressung, 367 Flächensatz, 278 Flächenschwerpunkt, 250 Flächenwiderstand, Bd. 2 663 Flachflammenbrenner, Bd. 3 641 Flachführungen, Bd. 2 1087 Flachgewinde, Bd. 2 215 Bewegungsschrauben, Bd. 2 215 Flachkeil, Bd. 2 209 Flachkeilverbindung, Bd. 2 208 Flachriemen, Bd. 2 1067 Flachriemengetriebe, Bd. 2 360 Kräfte, Bd. 2 360 Flammenfrontgeschwindigkeit, Bd. 3 93

1016 Flammschutzmitteln, 627 Flammstrahlen, Bd. 2 186 Flanschverbindungen, Bd. 3 689 Flanschformen, Bd. 3 690 Flaschenzug, 255 Flattern, Bd. 3 1172 Flexible-Fuel-Fahrzeug, Bd. 3 1059 Flexicoilfedern, Bd. 3 1099 FlexRay, Bd. 3 1075 Flicker, Bd. 2 604 Fliehkraft, 300, 433, 844 Fliehkraftentleerung, Bd. 3 437 Fließbedingungen, 459 Fließbeiwert, 327 Fließgesetz, Bd. 2 854 Fließgrenze, 328, 358 Fließindex, Bd. 3 598 Fließkriterien, Bd. 2 853 Fließkurve, Bd. 2 854 Fließortkurve, Bd. 2 854 Fließpressen, Bd. 2 856 Fließprozess, 740 offener Systeme, 740 Fließspannung, 359, Bd. 2 852 Fließverhalten von Schüttgütern, Bd. 3 527 FLOX-Brenner, Bd. 3 640 Flugdauer, Bd. 3 1164 Flügelgrundriss, Bd. 3 1148 Flügelschränkung, Bd. 3 1149 Flügelzellenmaschine, Bd. 2 485, Bd. 2 488 Flügelzellenmotor, Bd. 2 491 Flügelzellenpumpe, Bd. 2 489 Fluggeschwindigkeiten, Bd. 3 1145 Fluggewicht, Bd. 3 1145 Flugmechanik, Bd. 3 1144, Bd. 3 1149 Flugphysik, Bd. 3 1154 Flugstabilitäten, Bd. 3 1153 Flugsteuerungsanlagen, Bd. 3 1153 Flugzeug, Bd. 3 1135 Flugzeugpolare, Bd. 3 1156, Bd. 3 1157 Flugzustandsgleichungen, Bd. 3 1158 Fluiditätsfaktor, 327 Fluidkräfte, Bd. 3 11 Fluorkautschuke FKM, 639 Flurförderer, Bd. 3 395 Flurfördermittel, Bd. 3 395 flüssige Brennstoffe, Bd. 3 921, Bd. 3 940 Abfallbrennstoffe, Bd. 3 923 Altöl, Bd. 3 923 Aromate, Bd. 3 921 Asphalte, Bd. 3 921 Flammpunkt, Bd. 3 923 fraktionierte Destillation, Bd. 3 922 Gefahrenklassen, Bd. 3 923 Heizölsorten, Bd. 3 923 Heiz- und Brennwert, Bd. 3 923 Naphtene, Bd. 3 921 natürliche flüssige Brennstoffe, Bd. 3 921 Olefine, Bd. 3 921

Stichwortverzeichnis Paraffine oder Aliphate, Bd. 3 921 Raffinieren, Bd. 3 922 Schwelöl, Bd. 3 922 Siedebereich, Bd. 3 923 Siedebereiche, Bd. 3 922 Steinkohlen-Teeröl, Bd. 3 922 Stockpunkt, Bd. 3 924 Viskosität, Bd. 3 924 Zellstoffablauge, Bd. 3 923 Zündtemperatur, Bd. 3 923 flüssige Kraftstoffe, Bd. 3 91 Flüssigkeiten, 311, 330 Flüssigkeitschromatographie, Bd. 2 727 flüssigkeitskristalline Polymere, 632 Flüssigkeitsmanometer, Bd. 2 712 Flüssigkeitsreibung, 252 Flüssigkeitsringverdichter, Bd. 3 53 Flüssigkeitsschall, 879, Bd. 2 723 Flüssigkeitsstandmessungen, Bd. 2 714 Flüssigpressen, Bd. 2 842 Flüssig-flüssig-Extraktion, Bd. 3 532, Bd. 3 533 Flutpunktdiagramm, Bd. 3 531 Folgereaktionen, Bd. 3 547 Fördergüter, Bd. 3 316 Fördermaschinen, Bd. 3 316 Fördermedien, Bd. 3 22 Fördermittel, Bd. 3 315 Förderstrom, Bd. 3 51 Fördertechnik, Bd. 3 315 Begriffsbestimmungen, Bd. 3 315 Formänderung, Bd. 2 852 Formänderungsarbeit, 391 Formänderungs-Zeit-Funktion, 476 Formbeiwert , 381 Formdehngrenzenverfahren, 360 Formdehngrenzspannung, 361 Formdehngrenzwert, 360 Formel von Hagen-Poiseuille, 319 Formeln von Boussinesq, 417 Formgießen, Bd. 2 814 formloser Stoff, Bd. 2 813 formschlüssige Antriebe, Bd. 3 327 formschlüssige Schaltkupplungen, Bd. 2 280 elektromagnetisch betätigte Zahnkupplung, Bd. 2 280 Klauenkupplung, Bd. 2 280 schaltbare Zahnkupplungen, Bd. 2 280 Formschlussverbindung, Bd. 2 205, Bd. 2 208, Bd. 2 209 Kerbverzahnung, Bd. 2 208 Formstoffaufbereitung, Bd. 2 817 Formverfahren, Bd. 2 938 Formwiderstand, 337 Formzahl, elastische, 466 Formziffer, 382 Fortpflanzungsgesetz für Messunsicherheiten, Bd. 2 690 Fotodioden, Bd. 2 676 Fotovoltaik, Bd. 2 543 Fotowiderstand, Bd. 2 676 Föttinger-Getriebe, Bd. 3 249

Stichwortverzeichnis Auslegung, Bd. 3 247 Drehmoment, Bd. 3 247 Drehmomentenzahl, Bd. 3 247 hydraulische Leistung, Bd. 3 247 hydrodynamische Bremse, Bd. 3 248 Leistung, Bd. 3 247 Leistungszahl, Bd. 3 247 Leitrad, Bd. 3 245 Pumpenlaufrad, Bd. 3 245 Reaktionsglied, Bd. 3 245 Retarder, Bd. 3 246, Bd. 3 248 Turbinenlaufrad, Bd. 3 245 Wandlerwirkungsgrad, Bd. 3 247 Föttinger-Kupplungen, Bd. 3 245, Bd. 3 247 Anfahrpunkt, Bd. 3 247, Bd. 3 248 Bauarten, Bd. 3 245 Dauerbetriebspunkt, Bd. 3 248 Füllungsgrad, Bd. 3 247, Bd. 3 249 Kennlinien, Bd. 3 249 Konstantfüllungskupplung, Bd. 3 247 Kupplungskennlinie, Bd. 3 248 Kupplungswirkungsgrad, Bd. 3 248 Nebenraum, Bd. 3 245 Schöpfrohr, Bd. 3 245, Bd. 3 248 Stauraum, Bd. 3 247 Stell- und Schaltkupplungen, Bd. 3 245 Stellkupplung, Bd. 3 248 Synchronpunkt, Bd. 3 248 Zahnradpumpe, Bd. 3 248 Föttinger-Wandler, Bd. 3 249 Ausrückturbine, Bd. 3 246 Bauarten, Bd. 3 246 Drehmomentwandlung, Bd. 3 246 Drehzahlanpassung, Bd. 3 246 einphasiger Wandler, Bd. 3 246 Freilauf, Bd. 3 246, Bd. 3 249 Leitrad, Bd. 3 249 Leitschaufelverstellung, Bd. 3 246 mehrphasiger Wandler, Bd. 3 246 Prinzip, Bd. 3 249 Pumpenrad, Bd. 3 249 Schaltwandler, Bd. 3 246 Stell- und Schaltwandler, Bd. 3 246 Stellwandler, Bd. 3 250 Trilokprinzip, Bd. 3 249 Turbinenrad, Bd. 3 249 Überbrückungskupplung, Bd. 3 249 Zentrifugalturbine, Bd. 3 246 Zentripetalturbine, Bd. 3 246 zweiphasiger Wandler, Bd. 3 249 Fourieranalyse, 882 Fouriersches Gesetz, 807 Fourierspektrum, 882 Fourier-Amplituden-Spektrum, 841 Fourier-Analyse, 841 Fourier-Transformation, 833 Fourier-Zahl, 810 Francisturbinen, Bd. 3 218 Aufbau, Bd. 3 219

1017 Kavitation, Bd. 3 219 Leitrad, Bd. 3 218 Leitschaufelverstellung, Bd. 3 218 Fräsen, Bd. 2 890, Bd. 2 1049, Bd. 2 1050 Fräsmaschinen, Bd. 2 1163 Bettfräsmaschinen, Bd. 2 1164 Fräsmaschinen mit Parallelkinematik, Bd. 2 1168 Hochgeschwindigkeitsfräsmaschinen, Bd. 2 1167 Hochleistungsfräsmaschinen, Bd. 2 1167 Konsolfräsmaschinen, Bd. 2 1163 Portalfräsmaschinen, Bd. 2 1165 Sonderfräsmaschinen, Bd. 2 1168 Universal-Werkzeugfräsmaschinen, Bd. 2 1166 Waagrecht-Bohr-Fräsmaschinen, Bd. 2 1166 freie gedämpfte Schwingungen, 297 freie Kühlung, Bd. 3 747 freie Lüftung, Bd. 3 808 freie Schwingungen, 843 freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden, 301 freie ungedämpfte Schwingungen, 295 freier Strahl, 326 Freileitungen, Bd. 2 638 Freisichthubgerüst, Bd. 3 397 Freistrahlturbine, 329 Freiwerdezeit, Bd. 2 673 Freiwinkel, Bd. 2 880, Bd. 2 883, Bd. 2 900 Fremdkraft, Bd. 3 882 Frequenz, 879, Bd. 2 531 Frequenzbereich, 881 Frequenzbewertungen, 882 Frequenzgang, Bd. 2 768 Frequenzgangfunktionen, 833 Frequenzkennlinien, Bd. 2 606 Frequenzspektrum, 882 Frischdampftemperatur, Bd. 3 252 Frontantrieb, Bd. 3 1038 Frontbett, Bd. 2 1078 Frontscheibe, Bd. 3 1062 Froudezahl, Bd. 3 616 Fügen, Bd. 2 1049, Bd. 3 1043 Fugenhobeln, Bd. 2 185 Führerräume, Bd. 3 1106 Führung, Bd. 2 1051, Bd. 2 1086 Führungsgeschwindigkeit, 268 Führungsgröße, Bd. 2 779 Full Hybrid, Bd. 3 1063 Füller, Bd. 3 1045 Füllstoffe, 629 Füllungsgrad, Bd. 3 47, Bd. 3 616 Füllungsverhältnis, Bd. 3 72 Füllungsverluste, Bd. 3 28 Fundamentalgleichung, Gibbssche, 744 Funkenerosion, Bd. 2 967 funkenerosives Abtragen, Bd. 2 908 Funkstörungen, Bd. 2 604 Funktionsbausteine, Bd. 2 738 Funktions- bzw. Zustandsüberwachung laufender Maschinenanlagen, Bd. 2 695

1018 Furanharz-Verfahren, Bd. 2 829 Fuß, Bd. 3 881 Fußpunkterregungen, 831 Fuzzy-Regelung, Bd. 2 792

G Gabelhochhubwagen, Bd. 3 399 Gabelträger, Bd. 3 397 Gabelzinken, Bd. 3 397 Gamma-Strahlen, Bd. 2 722 Gangpolkegel, 266 Gangwahl, Bd. 3 1056 Gantry, Bd. 2 1080 Gas, Bd. 3 828 Gas- und Dampf-Anlagen, Bd. 3 297 Gas- und Dampf-Kombiprozesse, Bd. 3 297 Gas-/Flüssigkeitsströmung, Bd. 3 562 Druckverlust, Bd. 3 562 Filmströmung, Bd. 3 563 Rieselfilmströmung, Bd. 3 563 Strömungsform, Bd. 3 562 Gaschromatographie, Bd. 2 726, Bd. 2 727 Gas-Dampf-Gemische, 794 Gas-Dampfkraftwerke, Bd. 3 254 Abhitzekessel, Bd. 3 254 Einwellenanordnungen, Bd. 3 254 Gasdurchsatz, Bd. 3 580 Gase, 311 ideale, 751, 755 reale, 752 Gasentladungslampe, Bd. 3 1070 Gasexplosionsformverfahren, Bd. 2 826 Gasfedern, Bd. 2 263 Gas-Flüssig-Reaktionen, Bd. 3 551 Gasinjektionstechnik, 646 Gaskonstante, 751, Bd. 3 41 Gemisch, 793 universelle, 752, 755 Gasmotor, Bd. 3 97 Gaspedal, Bd. 3 1055 Gaspedalstellung, Bd. 3 1056 Gasschmierung, Bd. 2 1091 Gasstrahlung, 819 Gasthermometer, 734 Gasturbine, Bd. 3 1061 Abgasemission, Bd. 3 309 Abhitzekessel, Bd. 3 297 Ähnlichkeitskennfelder, Bd. 3 307 Ausbrenngrad, Bd. 3 292 Baugruppen, Bd. 3 293 Beanspruchungen und Werkstoffe, Bd. 3 307 Betriebsverhalten, Bd. 3 307 Brennkammer, Bd. 3 295 Brennstoffe, Bd. 3 307 Druckverluste, Bd. 3 292 Einteilung und Verwendung, Bd. 3 289 Filmkühlung, Bd. 3 294 Heizleistung, Bd. 3 292

Stichwortverzeichnis idealisierte Kreisprozesse, Bd. 3 290 Konvektionskühlung, Bd. 3 294 Kupplungswirkungsgrad, Bd. 3 293 Leistung und Wirkungsgrad, Bd. 3 293 polytrope Kompression und Expansion, Bd. 3 292 reale Gasturbinenprozesse, Bd. 3 292 Schaufelkühlung, Bd. 3 294 Teillastbetrieb, Bd. 3 309 thermodynamische Grundlagen, Bd. 3 290 Transpirationskühlung, Bd. 3 294 Turbine, Bd. 3 294 Turbinenähnlichkeitskennfeld, Bd. 3 308 Verdichter, Bd. 3 293 Verdichterähnlichkeitskennfeld, Bd. 3 308 Gasturbine für Verkehrsfahrzeuge Schifffahrt, Bd. 3 306 Straßenfahrzeuge, Bd. 3 306 Gasturbine im Kraftwerk, Bd. 3 297 Gasturbinen für Verkehrsfahrzeuge, Bd. 3 298 Gasturbinen im Verkehr Flugtriebwerke, Bd. 3 298, Bd. 3 299, Bd. 3 302, Bd. 3 303 Gasturbinenanlage, 784 geschlossene, 785 offene, 788 Gasturbinenprozess, Bd. 3 289 einfache Prozesse, Bd. 3 289 geschlossener Prozess, Bd. 3 289 halboffener Prozess, Bd. 3 289 mit geschlossenem Kreislauf, 785 offener Prozess, Bd. 3 289 Prozess mit Abgaswärmetauscher, Bd. 3 290 Prozess mit Zwischenkühlung bzw. Zwischenerhitzung, Bd. 3 290 Gas-Flüssigphase-Reaktoren, Bd. 3 580 Gaswirtschaft, Bd. 3 913 Brennwert, Bd. 3 913, Bd. 3 940 CO2 -Emission, Bd. 3 914 Dispatching, Bd. 3 913 Erdgasförderung, Bd. 3 913 Ferngasleitungsnetz, Bd. 3 913 Gasspeicher, Bd. 3 914 Tageswerte, Bd. 3 914 trockenes Erdgas, Bd. 3 913 verflüssigtes Erdgas, Bd. 3 913 Zwischenverdichterstationen, Bd. 3 915 Gate, Bd. 2 672 Gate-Turn-Off-Thyristor, Bd. 2 674 gebaute Kolben, Bd. 3 127 Gebietsverfahren, 447 gebundenes Getriebe, Bd. 2 1065 gedämpfte erzwungene Schwingungen, 299 Gefahrbremsung, Bd. 3 1120 Gefäßprothese, Bd. 3 876 geführter Kreisel, 291 Gegendruckbremse, Bd. 3 1121 Gegengewicht, Bd. 3 400 Gegengewichtstapler, Bd. 3 400 Gegenschlaghammer, Bd. 2 1143

Stichwortverzeichnis Gehäuse, Bd. 2 669 Geiger-Müller-Zählrohr, Bd. 2 723 gekrümmte ebene Träger, 370 Gelenkbus, Bd. 3 1038 Gelenkfreiheitsgrad, Bd. 2 455 Bewegungsgrad, Bd. 2 455 Grübler’sche Laufbedingung, Bd. 2 455 identische Freiheiten, Bd. 2 455 gelenkig gelagerte Platte, 307 Gelpermeationschromatographie, Bd. 2 727 Gemischbildung, Bd. 3 92, Bd. 3 94, Bd. 3 98 Gemische, 793 Gemische idealer Gase, 793 Gemischheizwert, Bd. 3 71 gemittelte Schubspannung, 390 gemittelter Spannungszustand, 390 generalisierte Koordinaten, 281 generalisierte Kräfte, 281 Generator, Bd. 3 1062, Bd. 3 1073 Generatorbetrieb, Bd. 2 676, Bd. 3 120 Generatorregelung, intelligente, Bd. 3 1062 geometrisch verträglich, 394 geometrische Messgrößen, Bd. 2 695 gerader Stoß, 292 gerader zentraler Stoß, 293 geradlinige Mantellinien, 395 Geradschubkurbeln, Bd. 2 1068 Geräusch, 879, Bd. 2 563, Bd. 3 1039, Bd. 3 1083 Schalldruckpegel, Bd. 2 563 Schalleistungspegel, Bd. 2 563 Geräuschemission, Bd. 3 119 Geräuschentstehung, 884 direkt, 884 indirekt, 884 Geräuschentstehungsmechanismus, 884 Geräuschminderung, 879, 884, 888 aktive Maßnahmen, 888 passive Maßnahmen, 888 primäre Maßnahmen, 888 sekundäre Maßnahmen, 888 semi-aktive Maßnahmen, 893 Germaniumdiode, Bd. 2 666 Geruchsstoffquellen, Bd. 3 813 Gesamtarbeit, 274 Gesamtheizlast, Bd. 3 772 Gesamtstrahlungspyrometer, Bd. 2 718 Gesamtströmungswiderstand des Körpers, 336 Gesamtwiderstand, 337 geschlossener Kreislauf, Bd. 2 1069 geschlossener Kreisringträger unter Außenbelastung, 440 geschlossener Rahmen, 441 geschränkter Kurbeltrieb, Bd. 3 10 geschweißte Kastenträger, Bd. 3 331 Beulsteifen, Bd. 3 332 dünnwandige Querschnitte, Bd. 3 334 Gurtbleche, Bd. 3 332 Hauptträger, Bd. 3 380 lokale Unterflanschbiegung, Bd. 3 331

1019 Schottbleche, Bd. 3 332 Sekundärbiegung, Bd. 3 332 Sekundärträger, Bd. 3 380 Stegbleche, Bd. 3 332 Geschwindigkeit, Bd. 3 1145 Geschwindigkeitserregung, 884 Geschwindigkeitsgefälle, 315 Geschwindigkeitsmessung, Bd. 2 705 geschwindigkeitsproportionale Dämpfung, 297 Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, 258 Gesenkschmieden, Bd. 2 857 Gesetz von Hencky, 460 Gesetz von Prandtl-Reuß, 460 Gesetz von Stokes, 319 Gespann, Bd. 3 1038 Gespannstabilisierung, Bd. 3 1056 Gestaltabweichung, Bd. 2 700 Gestaltänderung, 361 Gestaltänderungsenergiehypothese, 361 Gestaltfestigkeit, 366 Gestell, Bd. 2 1051, Bd. 2 1078 Gestellteile, Bd. 2 1051 gestörte Verbrennung, Bd. 3 93 Gesundheitsversorgung, Bd. 3 846 Getriebe, Bd. 2 453, Bd. 2 1051, Bd. 2 1064, Bd. 3 1063, Bd. 3 1064 Drehgelenk, Bd. 2 454 Drehschubgelenk, Bd. 2 454 ebene, Bd. 2 453 Elementenpaar, Bd. 2 454 formschlüssige Gelenke, Bd. 2 454 Gelenk, Bd. 2 454 Gelenkfreiheiten, Bd. 2 454 Gestell, Bd. 2 453 höhere Elementenpaare, Bd. 2 454 kinematische Kette, Bd. 2 453 kraftschlüssige Gelenke, Bd. 2 454 Kugelgelenk, Bd. 2 454 Kurvengelenk, Bd. 2 454 Mechanismus, Bd. 2 453 niedere Elementenpaare, Bd. 2 454 Plattengelenk, Bd. 2 454 räumliche, Bd. 2 453 Schraubgelenk, Bd. 2 454 Schubgelenk, Bd. 2 454 sphärische, Bd. 2 453 Getriebeanalyse, Bd. 2 458 Drehschubstrecke, Bd. 2 459 Einbaulage, Bd. 2 459, Bd. 2 461 Geschlossenheitsbedingungen, Bd. 2 460 kinematische Analyse, Bd. 2 458 kinematische Versetzung, Bd. 2 458 Kollineationsachse, Bd. 2 459 Kollineationswinkel, Bd. 2 459 Kurbelschleife, Bd. 2 459 Modul-Methode, Bd. 2 461 Momentanpol, Bd. 2 459 Schleifen-Iterationsmethode, Bd. 2 460 Schubkurbel, Bd. 2 458, Bd. 2 459

1020 statische Versetzungen, Bd. 2 462 Übertragungsfunktion 2. Ordnung, Bd. 2 459 Übertragungsfunktion nullter Ordnung, Bd. 2 458 Übertragungsfunktionen 1. und 2.Ordnung, Bd. 2 459 Übertragungswinkel, Bd. 2 460 Vorschaltgetriebe, Bd. 2 460 Getriebe-Freiheitsgrad, Bd. 2 454 Getriebegehäuse, 887 Getriebe-Laufgrad, Bd. 2 454 Getriebeplan, Bd. 2 1066 Getriebesynthese, Bd. 2 465 Alt’sche Totlagenkonstruktion, Bd. 2 466 äußere Totlage, Bd. 2 465 Koppelkurve, Bd. 2 466 Punktlagenreduktionen, Bd. 2 467 Viergelenkgetriebe, Bd. 2 465 Getriebesystematik, Bd. 2 453 Getriebetechnik, Bd. 2 453 Getriebeübersetzung, Bd. 2 505, Bd. 2 616 Primärverstellung, Bd. 2 505 Sekundärregelung, Bd. 2 506 Sekundärverstellung, Bd. 2 506 Verbundverstellung, Bd. 2 506 Getriebeverdichter, Bd. 3 278 Gewinde, metrisches, Bd. 2 214 Gewindearten, Bd. 2 213 Gewindebohren, Bd. 2 932 Gewindedrehen, Bd. 2 930 Gewindedrücken, Bd. 2 937 Gewindeerodieren, Bd. 2 935 Gewindefertigung, Bd. 2 929 Gewindeformen, Bd. 2 937 Gewindefräsen, Bd. 2 933 Gewindefurchen, Bd. 2 937 Gewindemesstechnik, Bd. 2 698 Gewinderollen, Bd. 2 936 Gewindeschleifen, Bd. 2 934 Gewindeschneiden, Bd. 2 931 Gewindestrehlen, Bd. 2 931 Gewindewalzen, Bd. 2 936 gewöhnliche Euler’sche Differentialgleichung, 425 gewölbter Boden unter Innendruck, 431 GGR, Bd. 3 605 Gieren, Bd. 3 1046 Giermomentenregelung, Bd. 3 1056 Gierrate, Bd. 3 1056 GIS, Bd. 3 1071, Bd. 3 1072 Gitter mit endlicher Schaufelzahl, 341 Gitterrohrrahmen, Bd. 3 1042, Bd. 3 1044 Gitterverband, 341 Glas, Bd. 3 1068 Glasfasern, Bd. 3 1176 Glaswannen, Bd. 3 605 Gleichdruckprozess, Bd. 3 71 gleichförmige Bewegung, 258 Gleichgewicht, thermisches, 743 Gleichgewichtssystem, 277 Gleichgewichtstemperaturen, 735

Stichwortverzeichnis Gleichgewichtszustand, 743 gleichmäßig belastete Platte, 426, 427 gleichmäßig belastete, unendlich ausgedehnte Platte auf Einzelstützen, 427 gleichmäßig beschleunigte Bewegung, 258 gleichmäßig mit p belastet, 428 gleichmäßige Erwärmung, 429 gleichmäßige Spannungsverteilung, 359 Gleichmodulstrategie, Bd. 2 38 Gleichraumprozess, Bd. 3 71 Gleichrichtwert, Bd. 2 734 gleichseitige Dreieckplatte, 428 Gleichstrom, Bd. 2 524 Gleichstromantrieb, Bd. 2 607 Betragsoptimum, Bd. 2 608 Drehzahlregelung, Bd. 2 607 symmetrisches Optimum, Bd. 2 609 unterlagerte Stromregelung, Bd. 2 608 Gleichstrommaschinen, Bd. 2 573 Fremderregung, Bd. 2 573 Nebenschlusserregung, Bd. 2 573 Nebenschlussverhalten, Bd. 2 573 Reihenschlusserregung, Bd. 2 574 Gleichstrommotor, Bd. 2 1059 Gleichstromspülung, Bd. 3 86 Gleichstromsteller, Bd. 2 593 Gleichstrom- und Schrittmotoren mit Spindelantrieb, Bd. 2 798 Gleichstrom-Kleinmotoren, Bd. 2 578 Gleichzeitige Berücksichtigung von Gewichts- und elastischen Kräften, 345 Gleit-(Schub-)modul, 359 Gleitbruch, 361 Gleitfeder, Bd. 2 209 Gleitflug, Bd. 3 1158 Gleitführung, Bd. 2 1087 Gleitgeschwindigkeit, 367 Gleitlager, Bd. 2 295 Gleitlagerungen, Bd. 2 331 Berechnung, Bd. 2 345 Dichtungen, Bd. 2 348 Lagerbauformen, Bd. 2 352 Lagerkühlung, Bd. 2 350 Lagerschmierung, Bd. 2 349 Lagerwerkstoffe, Bd. 2 351 Reibungszustände, Bd. 2 332 Gleitpaarung, Bd. 3 878 Gleitreibung, 251, Bd. 3 1046 Gleitringdichtungen, Bd. 3 703 Gleitschicht, Bd. 3 611 Gleitungen, 357, 358, 448 Gleitverhältnis, Bd. 3 1159 Gleitzahl, Bd. 3 1159 Gleitziehen, Bd. 2 862 Gliedmaßenprothese, Bd. 3 880 Glühlampe, Bd. 3 1070 Goniometer, Bd. 2 712 GPS, Bd. 3 1071, Bd. 3 1072 Grashof-Zahl, 813, 816

Stichwortverzeichnis Grauflecken, Bd. 2 404 Graugusskrümmer, 322 Green’sche Funktion, 452 Greifer, Bd. 3 372, Bd. 3 400 Mehrschalenseilgreifer, Bd. 3 374 Motorgreifer, Bd. 3 374 Parallelgreifer, Bd. 3 372 Polypgreifer, Bd. 3 374 Scherengreifer, Bd. 3 374 Greiferregelung, Bd. 3 60 Greifkraftregelung, Bd. 3 883 Grenzformänderungsdiagramm, Bd. 2 865 Grenzfrequenz, 887 Grenzkurve, 754 Grenzmaße, Bd. 2 52 Grenzpunkteplan, Bd. 3 1077 Grenzschicht, 336, Bd. 3 1184 Grenzschichttheorie, 335 Grenzschlankheit, 438 Grenztemperaturen, Bd. 2 561 Grenzwerte, Bd. 3 111 Grenzwerte der Übertemperaturen, Bd. 2 561 Grenzzustände, Bd. 3 332 Beulen, Bd. 3 338 Bolzenverbindungen, Bd. 3 337 Bruch, Bd. 3 335 elastische Instabilität, Bd. 3 337 Ermüdung, Bd. 3 337 Fließen, Bd. 3 335, Bd. 3 337 Fließgrenze, Bd. 3 335 Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit, Bd. 3 334 Grenzzustände der Tragfähigkeit, Bd. 3 334 Knicken, Bd. 3 338 Korrosion, Bd. 3 337 Schraubenverbindungen, Bd. 3 337 Schweißverbindungen, Bd. 3 337 Starrkörperinstabilität, Bd. 3 337 Temperatur, Bd. 3 337 Versagenszustände, Bd. 3 332 Größen dimensionslos, 810 modale, 853 Größen der Elektrotechnik, Bd. 2 544 Großkipper, Bd. 3 1061 Grübchenbildung, Bd. 2 404 Grundfrequenz, 882 Grundfunktion, Bd. 2 1049 Grundgesamtheit, Bd. 2 689 Grundgleichung der Maschinenakustik, 884 Grundgleichung des Raketenantriebs, 282 Grundlagen und Vergleichsprozesse, Bd. 3 40 Druckverhältnis, Bd. 3 43 einstufige Verdichtung, Bd. 3 42 isentrope Verdichtung, Bd. 3 42, Bd. 3 43 isothermen Verdichtung, Bd. 3 42 Realgasfaktor, Bd. 3 41 Verdichtungsendtemperatur, Bd. 3 43 Verdichtungstemperatur T 2 , Bd. 3 42 Vergleichsprozesse, Bd. 3 42

1021 Volumenstrom, Bd. 3 40 grundlegende Zusammenhänge, Bd. 3 303 Grundnormen, Bd. 2 50 Grundsystem, 402 Grundtoleranz, Bd. 2 53 GTO-Thyristor, Bd. 2 586 Gummi, 638 Gummifederelemente, Bd. 2 259 Gummifedern, Bd. 2 258 Gummi-Metall-Federn, Bd. 2 261 Bauformen, Bd. 2 261 Berechnungsgrundlagen, Bd. 2 261 Gummipuffer, Bd. 2 261 Hülsenfeder, Bd. 2 261 Scheibenfeder, Bd. 2 261 Gurtaufroller, Bd. 3 1069 Gürtelreifen, Bd. 3 1047 Gurtförderer, Bd. 3 422 Antriebsstationen, Bd. 3 432 Fördergeschwindigkeit, Bd. 3 426 Fördergutstrom, Bd. 3 424 Füllquerschnitt, Bd. 3 425 Gurtarten, Bd. 3 422 Gurtlenkung, Bd. 3 431 Gurtzugkräfte, Bd. 3 427 Horizontalkurven, Bd. 3 429 Leistungsbedarf, Bd. 3 426 RopeCon, Bd. 3 435 Spannstationen, Bd. 3 433 Steilförderung, Bd. 3 434 Tragrollen, Bd. 3 430 Trommeln, Bd. 3 431 Gurtkraftbegrenzer, Bd. 3 1069 Gurtstraffer, Bd. 3 1069 Gusseinsatzkoeffizient, Bd. 2 816 Gusseisen, Bd. 3 1054 Gusswerkstoff, Bd. 2 1081 Gütegrad, Bd. 3 6, Bd. 3 75

H Hafenöfen, Bd. 3 605 Haftkraft, 254 Haftreibung, Bd. 3 1046 Haftung, 250 Haftzahl, 251 Hähne Kegelhähne, Bd. 3 699 Kugelhähne, Bd. 3 700 halbhermetischer Verdichter, Bd. 3 736 Halbhohlniete, Bd. 2 192 Halbleiter, Bd. 2 541 Halbraum, 417 Halbwertszeit, Bd. 2 722 Haldex-Kupplung, Bd. 3 1067 Halleffekt, Bd. 2 542 Haltebremsung, Bd. 3 1120 Haltestrom, Bd. 2 673 Hämodialysesystem, Bd. 3 868

1022 Handbremse, Bd. 3 1120 Handhaben, Bd. 2 1049 Handling, Bd. 3 1045 Handprothese, Bd. 3 882 Hanes-Woolf, Bd. 3 586 Hängebahnöfen, Bd. 3 606 Hardware-in-the-Loop, Bd. 3 1049 Harmonic Drive, Bd. 2 1075 harmonische Bewegung, 295 harmonische Schwingung, 296 HARMST, Bd. 2 960 Haubenöfen, Bd. 3 606 Hauptabmessungen, Bd. 3 31 Drehkolbenpumpen, Bd. 3 32 Exzenterschneckenpumpe, Bd. 3 32 Hubkolbenpumpen, Bd. 3 31 Membranpumpen, Bd. 3 31 oszillierende Verdrängerpumpen, Bd. 3 31 rotierende Verdrängerpumpen, Bd. 3 32 Hauptachsen, 286 Hauptachsen und Hauptflächenmomente 2. Grades, 373 Hauptanforderung, Bd. 3 877 Hauptausführung, 343 Hauptdehnungen, 357 Hauptdehnungsrichtungen, 358 Hauptkrümmungsebenen, 422 Hauptkrümmungsradien, 422 Hauptmotor, Bd. 2 1051 Hauptnormalspannung, 354 Hauptnormalspannungstrajektorien, 354 Hauptsatz erster, 737 nullter, 733 zweiter, 743 Hauptschubspannung, 354 Hauptschubspannungstrajektorien, 354 Hauptströmung, 318 Hauptuntersuchung, Bd. 3 1041 Hauptzugspannung, 361 Head-up-Display, Bd. 3 1068 Heben, Bd. 3 1045 Hedströmzahl He, 328 Hefen, Bd. 3 567 Heißleiter-Temperatursensoren, Bd. 2 718 Heizkörper, Bd. 3 829 Heizleiter, Bd. 3 644 Heizleitermaterialien, Bd. 3 644 Heizung, Bd. 3 1061 Heizwert, 802, 804, 805 von Heizölen, 803 Heizwicklungen, Bd. 3 644 Heizzahl, 792 Helmholtzsche Wirbelsätze, 330 Hemmung kompetitive, Bd. 3 587 nichtkompetitive, Bd. 3 587 Substratüberschusshemmung, Bd. 3 587 Substratüberschuss-, Bd. 3 593 unkompetitive, Bd. 3 587

Stichwortverzeichnis Herdwagenofen, Bd. 3 606 hermetische Verdichter, Bd. 3 736 Hermitesche Polynome, 454 Herschel-Bulkley-Beziehung, Bd. 3 598 Hertz, 879 Hertz’sche Frequenz, 295, 303 Herz, Bd. 3 865 Herzerkrankung, Bd. 3 866 Herzschrittmacher, Bd. 3 866 Herz-Lungen-Maschine, Bd. 3 872 High-Speed-Motor, Bd. 2 583 Hilfskraftbremsanlage, Bd. 3 1054 Hilfsrahmen, Bd. 3 1050 Hinterachse, Bd. 3 1053, Bd. 3 1061 Hinterradlenkung, Bd. 3 1052 Hinterspritztechnik, 646 Hitzdrahtanemometer, Bd. 2 715 Hitzesterilisation, Bd. 3 577 Absterbekinetik, Bd. 3 577 Sterilisation in feuchter Hitze, Bd. 3 578 Sterilisation in trockener Hitze, Bd. 3 579 Hobeln, Bd. 2 895 Hobel- und Stoßmaschinen, Bd. 2 1173 Hobelmaschinen, Bd. 2 1174 Nutenstoßmaschinen, Bd. 2 1175 Nutenziehmaschinen, Bd. 2 1175 Stoßmaschinen, Bd. 2 1174 Hochauftriebssysteme, Bd. 3 1183 Hochbaumaschinen, Bd. 3 497 Hochdruckpressen, Bd. 2 826 Hochdrucktank, Bd. 3 1058 Hochdruck-Klimaanlagen, Bd. 3 812 Hochgeschwindigkeitsbrenner, Bd. 3 640 Hochgeschwindigkeitszerspanung, Bd. 2 803 Hochleistungskondensator, Bd. 3 1061 Hochleistungs-Schneckenförderer, Bd. 3 445 Hochöfen, Bd. 3 605 Hochpräzisionsmaschinen, Bd. 2 1219 Antriebe, Bd. 2 1222 Führungen, Bd. 2 1221 Maschinengestell, Bd. 2 1220 Spannsysteme, Bd. 2 1221 Spindeln, Bd. 2 1221 Steuerung, Bd. 2 1222 Hochregalstapler, Bd. 3 401 Höchstdruck-Kolbenverdichter, Bd. 3 63 Höchstgeschwindigkeit, Bd. 3 1077 Höhenleitwerk, Bd. 3 1151 Höhenruder, Bd. 3 1152 Hohlkeil, Bd. 2 200 Hohlläufer, Bd. 2 1057 Hohlmantelspannhülse, Bd. 2 199 Hohlniete, Bd. 2 212 Hohlraumanteil, 816 Hohlraumversiegelung, Bd. 3 1045 Holm, Bd. 3 1183 holonome Systeme, 281 Holz, Bd. 3 1175, Bd. 3 1176 Honen, Bd. 2 904

Stichwortverzeichnis Honmaschinen, Bd. 2 1187 Kurzhubhonmaschinen, Bd. 2 1188 Langhubhonmaschinen, Bd. 2 1187 Sondermaschinen, Bd. 2 1190 Hooke’sches Gesetz, 358 Hooke’sches Material, 358 Hooke’sches Modellgesetz, 344 Hörbereich, 879 Hörgrenze obere, 879 untere, 879 Horizontalflug, Bd. 3 1163 Horizontalkommissionierer, Bd. 3 401 Hörschwelle, 880 Hubantrieb, Bd. 3 397 Hubarbeit, 779 Hubbalkenöfen, Bd. 3 606 Hubgerüst, Bd. 3 396 Hubkolbenmaschinen, Bd. 3 8 Hubkolbenmotor, Bd. 3 124 mit innerer Verbrennung, Bd. 3 1058 Hubkolbenpumpen, Bd. 3 31 Hubkolbenverdichter, Bd. 3 50, Bd. 3 62, Bd. 3 737 Hubmast, Bd. 3 396 Hubrahmen, Bd. 3 396 Hubraum, Bd. 3 4 Hubraumleistung, Bd. 3 110 Hubregion, Bd. 3 611 Hubschaufeln, Bd. 3 611 Hubschlitten, Bd. 3 396 Hub-Bohrungsverhältnis, Bd. 3 124 Hubwerkantriebe, Bd. 3 329 Hubwerke, Bd. 3 319, Bd. 3 374 redundante Hubwerke, Bd. 3 379 teilredundante Hubwerke, Bd. 3 379 Hüftendoprothese, Bd. 3 878 Hüftgelenk, Bd. 3 880 Hüftprothese, zementfreie, Bd. 3 878 Hump, Bd. 3 1047, Bd. 3 1048 Hybrid mit Leistungsverzweigung, Bd. 3 1062 mit zwei unabhängigen Antriebssystemen, Bd. 3 1061 paralleler, Bd. 3 1061 serieller, Bd. 3 1061 hybrid integriert, Bd. 2 797 Hybridantrieb, Bd. 3 396, Bd. 3 1061 seriell/parallel/leistungsverzweigt/MikroHybrid/Mild-Hybrid/Voll-Hybrid, Bd. 2 620 Hybridkinematik, Bd. 2 1080 Hybridmotor, Bd. 2 577, Bd. 3 97 Gasmotor, Bd. 3 97 Magermotor, Bd. 3 97 Schichtlademotor, Bd. 3 97 Vielstoffmotor, Bd. 3 97 Hybridprothese, Bd. 3 882 Hydraulikantriebe, Bd. 2 798 Hydraulikflüssigkeit, Bd. 2 501

1023 biologisch schnell abbaubare Hydraulikflüssigkeiten, Bd. 2 501 HLP-Öl, Bd. 2 501 HL-Öl, Bd. 2 501 Kompressionsmodul, Bd. 2 501 Lasttragevermögen, Bd. 2 501 Luftabgabevermögens, Bd. 2 501 Mineralöl, Bd. 2 501 Pflanzenöl, Bd. 2 501 Polyglykol, Bd. 2 501 Rapsöl, Bd. 2 501 schwer entflammbare Hydraulikflüssigkeit, Bd. 2 501 synthetisches Esteröl, Bd. 2 501 Viskosität, Bd. 2 501 Wasser, Bd. 2 501 Wassergefährdungsklasse, Bd. 2 501 Wasser-Öl-Emulsion, Bd. 2 501 Hydraulikmotor, Bd. 3 1061 hydraulisch glatte Rohre, 320 hydraulisch raue Rohre, 320 hydraulische Bremse, Bd. 3 1120 hydraulische Förderung, Bd. 3 559 Druckverlust, Bd. 3 559 Fördergeschwindigkeit, Bd. 3 560 hydraulischer Durchmesser, 322 hydraulischer Linearmotor, Bd. 2 1063 hydraulischer Ventilspielausgleich, Bd. 3 81 hydrodynamische Bremse, Bd. 3 1121 Bauarten, Bd. 3 246 Bremsenkennfeld, Bd. 3 248 Bremskennlinie, Bd. 3 249 Füllungsgrade, Bd. 3 249 Füllungssteuerung, Bd. 3 249 Konstantfüllung, Bd. 3 247 Konstantfüllungsbremsen, Bd. 3 247 Retarder, Bd. 3 246, Bd. 3 248 Retardergehäuse, Bd. 3 249 Stellbremsen, Bd. 3 247 Stellschaufeln, Bd. 3 247 hydrodynamische Gleitführungen, Bd. 2 1088 hydrodynamisches Paradoxon, 333 Hydrogetriebe, Bd. 2 504 Hydrokreislauf, Bd. 2 503 geschlossener, Bd. 2 503 halboffener, Bd. 2 503 offener, Bd. 2 503 hydromechanisches Tiefziehen, Bd. 2 873 Hydromotor, Bd. 2 1061 Hydrospeicher, Bd. 2 502 hydrostatische Anfahrhilfen, Bd. 2 345 hydrostatische Getriebe, Bd. 2 1068 hydrostatische Gleitführung, Bd. 2 1090 hydrostatische Gleitlagerungen, Bd. 2 1094 hydrostatische Schnecke, Bd. 2 1074 Hydroventil, Bd. 2 494, Bd. 2 499 2/2-Wege-Einbauventil, Bd. 2 495 Druckventil, Bd. 2 496 Durchflusswiderstand, Bd. 2 495

1024 Impulsventil, Bd. 2 495 Proportionalventil, Bd. 2 500 Schaltventil, Bd. 2 494 Schieberventil, Bd. 2 495 Servoventil, Bd. 2 500 Sitzventil, Bd. 2 494 Sperrventil, Bd. 2 496 Stromventil, Bd. 2 499 Überdeckung, Bd. 2 495 Umkehrspanne, Bd. 2 500 Vorsteuerventil, Bd. 2 494 Wegeventil, Bd. 2 494 hyperbolische Spannungsverteilung für  , 381 hyperbolisches Gesetz, 381 Hyphal Growth Unit, Bd. 3 596 Hyphen, Bd. 3 566 Länge, Bd. 3 596 Spitzen, Bd. 3 596 Verzweigung, Bd. 3 595 Hypoidradpaar, Bd. 2 389 Hysteresis-Schleife, 457

I ideale und nichtideale Flüssigkeit, 315 ideal-elastisch-plastische Spannungs-Dehnungs-Linie, 361 Identifikationsproblem, 836 Identifikationssysteme, Bd. 3 486 IGBT Transistor, Bd. 2 586 Immission, Bd. 2 722 Immobilisierung, Bd. 3 582, Bd. 3 594 Impedanz, Bd. 2 531 Implantat, Bd. 3 845, Bd. 3 877 Impulsantwort, 831 Impulsmoment, 277 Impulsmomenten- (Flächen-) und Drehimpulssatz, 277 Impulssatz, 276, 279 Impuls-Antwortfunktion, 842 indifferentes Gleichgewicht, 239 indirekte Einspritzung IDE, Bd. 3 95 indirekte Geräuschentstehung, 884 Indizierung, Bd. 3 74 Inducer, Bd. 3 230 Induktionsanlagen, Bd. 3 814 Induktionserwärmung, Bd. 2 661 Schwingkreiswechselrichter, Bd. 2 661 Induktionsgesetz, Bd. 2 522, Bd. 2 527, Bd. 2 548 induzierte Spannung, Bd. 2 548 Induktionshärtung, Bd. 2 1089 Induktionszähler, Bd. 2 746 induktive Abstandssensoren, Bd. 2 803 induktive Durchflussmesser, Bd. 2 716 induktive Erwärmung, Bd. 2 659 dielektrische Erwärmung, Bd. 2 661 Oberflächenerwärmung, Bd. 2 660 induktive Wegaufnehmer, Bd. 2 704 Induktivität, Bd. 2 528, Bd. 2 666 Induktivitäts-Messbrücke, Bd. 2 736

Stichwortverzeichnis Industrieroboter, Bd. 2 1205 Industrieturbinen, Bd. 3 257 induzierter Widerstand, 340 Inertgas, Bd. 3 668, Bd. 3 669 Inertialmassenerreger, 892 Informationssystem, geografisches, Bd. 3 1071, Bd. 3 1072 Infraschall, 879 Infusionspumpe, externe, Bd. 3 870 Infusionstherapie, Bd. 3 870 Inhalationsnarkose, Bd. 3 862 inkompressibel, 311 inkompressible Fluide, 757 inkompressible Medien, 317 Innendurchmesser, Bd. 2 906 Innendurchmesser-Trennschleifen, Bd. 2 906 Innenhochdruck-Umformung, Bd. 2 875 innere Arbeit, Bd. 3 73 innere Kräfte, 231 innere Kühllast, Bd. 3 775 innere Verbrennung, Bd. 3 69 innere virtuelle Arbeit, 392 innere Wärmequelle, Bd. 2 1054 innerer Wirkungsgrad, Bd. 3 75 innermaschinelle Verfahren, Bd. 2 72 Inokulum, Bd. 3 574 instabile Gleichgewichtslage, 437 instabiler Betriebspunkt, Bd. 3 121 instabiles Verhalten, 308 instationäre Strömung, Bd. 3 24 zäher Newton’scher Flüssigkeiten, 326 instationärer Ausfluss, 318 Instrument, Bd. 3 875 Instrumentenkombi, Bd. 3 1068 Insulated Gate Bipolar Transistor, Bd. 2 671 Integralbauweise, Bd. 3 1175 Integralgleichungen, 447 Integraltank, Bd. 3 1182 Interaktionsformeln, 464 Interferenzmikroskop, Bd. 2 700 Interferometer, Bd. 2 697 internationale Temperaturskala, 736 Intrusion, Bd. 3 1042 Invariante des Spannungstensors, 356 Invasivität, Bd. 3 849 Investitionsentscheidungen, Bd. 3 907 Ionenplattieren, Bd. 2 972 Ionenstrahlverfahren, Bd. 2 965 Ionisationsdetektoren, Bd. 2 723 ionisierende Strahlung, Bd. 2 722 Ionomere, 633 irreversibel, 738 Irreversibilität, Prinzip der, 743 irreversible Reaktionen, Bd. 3 547 Isentrope, 777 isentroper Leistungsbedarf, Bd. 3 44 Isobare, 778 Isochore, 778 Isolatoren, Bd. 2 541

Stichwortverzeichnis Isotherme, 778 Isothermenlinie, Bd. 2 1054 isothermer Kupplungswirkungsgrad, Bd. 3 44 Isothermverdichter, Bd. 3 271 isotrope Körper, 415 Istmaß, Bd. 2 52 I-Umrichter, Bd. 2 595, Bd. 2 612

J JFET, Bd. 2 670 Joule-Prozess, 785, Bd. 3 290 Joule-Prozess mit Abgaswärmetauscher, Bd. 3 291

K Kabel, Bd. 2 638 Kabelbaum, Bd. 3 1075 Kalibrierlaboratorium, Bd. 2 688 Kalorimetrie, Bd. 2 719 Kaltdampfmaschine, 790 Kaltdampf-Kompressionskälteanlage, Bd. 3 724 Kältedämmung, Bd. 3 741 Kälteerzeugung, 790 Kälteleistung, 791 Kältemaschinen, 790 Kältemittel, 790, 791, Bd. 3 728, Bd. 3 1069 Kältemitteltrockner, Bd. 3 742 Kälteprozess, 783 kältetechnische Verfahren, Bd. 3 724 Kälteverdichterventile, Bd. 3 56 Kaltfressen, Bd. 2 405 Kaltstart, Bd. 3 1060, Bd. 3 1062 Kalzination, Bd. 3 625 Kamm’scher Kreis, Bd. 3 1046 Kanalfahrzeuge, Bd. 3 469 Kanalformen, Bd. 3 807 Kapazität, Bd. 2 527, Bd. 2 665 Kapazitätsdioden, Bd. 2 667 Kapazitätsströme, Bd. 3 666 Kapazitäts-Messbrücke, Bd. 2 736 kapazitive Wegaufnehmer, Bd. 2 704 kapazitiver Abstandssensor, Bd. 2 801 Kapillardialysator, Bd. 3 868 Kapillare, 311 Kapillarität und Oberflächenspannung, 311 Kapillar-Rohrsysteme, Bd. 3 816 Kapillarviskosimeter, Bd. 2 717 Kaplanturbinen, Bd. 3 219 Aufbau, Bd. 3 219 Durchgangsdrehzahl, Bd. 3 219 Hydraulikservomotor, Bd. 3 219 Laufkraftwerke, Bd. 3 219 Laufradschaufel, Bd. 3 219 Leitradschaufel, Bd. 3 219 Regelung, Bd. 3 219 Schaufelstellung, Bd. 3 219 Kardiologie, interventionelle, Bd. 3 876 Karkasse, Bd. 3 1047

1025 Karosserie, Bd. 3 1038, Bd. 3 1041, Bd. 3 1050, Bd. 3 1068 selbsttragende, Bd. 3 1043 Karusselllager, Bd. 3 471 Kaskadenregelung, Bd. 2 606, Bd. 2 790 Kaskadenschicht, Bd. 3 617 katabolische Enzyme, Bd. 3 585 Katalysator, Bd. 3 116, Bd. 3 1059 Drei-Wege-Katalysator, Bd. 3 116 katalytische NOx-Reduktion, Bd. 3 117 NOx-Speicher-Katalysatoren, Bd. 3 118 Oxidations-Katalysatoren, Bd. 3 116 SCR-Verfahren, Bd. 3 117 katalytisch aktives Zentrum, Bd. 3 585 katalytische Brennkammer, Bd. 3 296 Kathode, Bd. 2 672 Katze, Bd. 3 379 Hauptkatze, Bd. 3 383 Untergurtlaufkatzen, Bd. 3 380 Winkellaufkatzen, Bd. 3 380 Zweischienenlaufkatze, Bd. 3 380 Zwischenkatze, Bd. 3 383 Kautschuk, 638 Kavitation, Bd. 3 25, Bd. 3 228 Kavitationserosion, Bd. 3 228 Kavitationskorrosion, Bd. 3 228 Kondensationsvorgänge, Bd. 3 228 Mikrowasserstrahlen, Bd. 3 228 Kegelpressverband, Bd. 2 200 Kegelrad, 271, Bd. 2 952 Kegelradpaar, Bd. 2 389 Kegelrollenlager, Bd. 2 1095 Kegelspannringe, Bd. 2 200 Kegelstifte, Bd. 2 205 Kehlnahtdicke, Bd. 2 172 keilförmige Scheibe unter Einzelkräften, 429 Keilriemen, Bd. 2 367, Bd. 2 1067 Bauarten, Bd. 2 368 Keilverbindung, Bd. 2 207 Keilwelle, Bd. 2 209 Keilwinkel, Bd. 2 883, Bd. 2 900 Kelvin-Skala, 734 Kennfelddarstellung, Bd. 3 110 Kenngrößen, Bd. 3 110 Kennkreisfrequenz, Bd. 2 535 Kennliniensteuerung, Bd. 2 611 Kennungswandler, Bd. 3 1061 Kennzahlen, 344 keramische Faserprodukte, Bd. 3 660 Kerben, Bd. 3 334 Kerbfälle, Bd. 3 338 Schweißnähte, Bd. 3 334 Kerbgrundkonzepte, 466 Kerbschlagbiegearbeit, Bd. 3 337 Mindestzähigkeit, Bd. 3 337 Kerbspannungen, 398 Kerbverzahnung, Bd. 2 208, Bd. 2 209 Kerbwirkung, 366 Kerbwirkungszahl, 465

1026 Kerbzahnprofil, Bd. 2 209 Kernbrennstoffe, Bd. 3 927 Abbrand, Bd. 3 928, Bd. 3 931 Brennelemente, Bd. 3 931 Brutprozess, Bd. 3 929 Druckwasserreaktoren, Bd. 3 928 Endlagerung radioaktiver Abfälle, Bd. 3 931 Feed, Bd. 3 928 gasgekühlte Reaktoren, Bd. 3 929 Kernfusion, Bd. 3 929 Kernreaktor, Bd. 3 927, Bd. 3 931 Kernspaltung, Bd. 3 927 Kernspaltungsvorgänge, Bd. 3 929 Kernverschmelzung, Bd. 3 929 Kühlung, Bd. 3 929 Leichtwasserreaktoren, Bd. 3 928 Moderation, Bd. 3 929 Moderator, Bd. 3 929 Reaktorkern, Bd. 3 929 schnelle Neutronen, Bd. 3 927 schneller Brüter, Bd. 3 929 Siedewasserreaktoren, Bd. 3 928 Spaltprodukten, Bd. 3 927 thermische Neutronen, Bd. 3 927 Uran, Bd. 3 927 Uranvorräte, Bd. 3 929 Kernformstoffaufbereitung, Bd. 2 817 Kernfusion, Bd. 3 929 Kernherstellung, Bd. 2 817 Kernmaterial, ferromagnetisches, Bd. 2 666 Kernphysik, Grundbegriffe, 910 Kernreaktoren biologischer Schild, Bd. 3 967 Brennelemente, Bd. 3 970, Bd. 3 971 Druckbehälter, Bd. 3 967 Druckwasserreaktor (DWR), Bd. 3 970 gasgekühlte thermische Reaktoren, Bd. 3 973 größter anzunehmender Unfall (GAU), Bd. 3 969 Leichtwasserreaktoren (LWR), Bd. 3 970 Reaktorgebäude, Bd. 3 968 Reaktorkern, Bd. 3 967 Reflektor, Bd. 3 967 schnelle Brutreaktoren (SNR), Bd. 3 973 Schwerwasserreaktoren, Bd. 3 972 Sicherheitstechnik, Bd. 3 968 thermischer Schild, Bd. 3 967 Ketten, 247 Kettengetriebe, Bd. 2 371, Bd. 2 1068 Buchsenkette, Bd. 2 371 Rollenkette, Bd. 2 371 stufenlos verstellbar, Bd. 2 371 Zahnkette, Bd. 2 371 kinematische Analyse räumlicher Getriebe, Bd. 2 463 dynamisches Laufkriterium, Bd. 2 464, Bd. 2 465 Gelenkführungsglied, Bd. 2 464 Geschlossenheitsbedingung, Bd. 2 464 Laufgüte, Bd. 2 464 Leistungsfluss, Bd. 2 464 Momentanpol, Bd. 2 465

Stichwortverzeichnis räumliches Getriebe, Bd. 2 463 Übertragungswinkel, Bd. 2 464 kinematische Messgrößen, Bd. 2 703 kinematische Zähigkeit, 318 kinematischer Fremderregung, 298 Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Körpers, 275 Kinetik des Massenpunktsystems, 278 Kinetik enzymatischer Reaktionen, Bd. 3 584 Kinetik starrer Körper, 282 kinetische Energien, 276 kinetische Lagerdrücke, 283 kinetostatische Analyse ebener Getriebe, Bd. 2 462 Drehgelenk, Bd. 2 462 Kurvengelenk, Bd. 2 462 Schubgelenk, Bd. 2 462 Kippen, 442 Kipphebel, Bd. 3 80 Kippkübel, Bd. 3 400 Kippmoment, Bd. 2 566 Kippschalensorter, Bd. 3 452 Kippung, 359 Kirchhoff’sche Randscherkraft (Ersatzquerkraft), 453 Kirchhoff’sches Gesetz, 819 Kirchhoff’sche Sätze, Bd. 2 525 Klammern, Bd. 3 400 Klang, 879 Klappen Absperrklappen, Bd. 3 700 Drosselklappen, Bd. 3 700 Rückschlagklappen, Bd. 3 700 Klassieren in Gasen, Bd. 3 525 Kleben, Bd. 2 193, Bd. 3 1043 Klebstoffe, Bd. 2 194 Tragfähigkeit, Bd. 2 195 Kleinbus, Bd. 3 1038 Kleinmotoren, Bd. 2 575 kleinste (Euler’sche) Knicklast, 437 kleinster kritischer Beuldruck, 445 Kleinturbinen, Bd. 3 260 Klemmenkurzschluss, zweiphasiger, 848 Klemmverbindung, Bd. 2 200, Bd. 2 203, Bd. 2 204 Entwurfsberechnung, Bd. 2 204 mit geteilter Nabe, Bd. 2 196 Klettervorrichtungen, Bd. 3 389 Klimaanlage, Bd. 3 1061, Bd. 3 1063, Bd. 3 1068, Bd. 3 1069, Bd. 3 1104 Klimamesstechnik, Bd. 2 726 Klima-Wind-Kanal, Bd. 3 1130 Klinikingenieurwesen, Bd. 3 845 Klirrfaktor, Bd. 2 531 Klopffestigkeit, Bd. 3 91 Knicken, 365 Knicken im elastischen (Euler-)Bereich, 437 Knicken im unelastischen (Tetmajer-)Bereich, 438 Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen, 440 Knicklenkung, Bd. 3 505, Bd. 3 508, Bd. 3 509 Grader, Bd. 3 508 Hundegang, Bd. 3 508

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Stichwortverzeichnis Radlader, Bd. 3 504 Knickpunktsfeuchte, Bd. 3 538 Knicksicherheit, 438 Knickspannung, 438 Knickspannungsdiagramm, 438 Knickung, 359, 437 Knieendoprothese, Bd. 3 878 Kniegelenk, Bd. 3 881 Kniehebelpresse, Bd. 2 1138 Knochenzement, Bd. 3 878 Knotenkräfte, 449 Knotenschnittverfahren, 245 Knotenverschiebungen, 447 Koeffizientenvergleich, 302 Kohlendioxidsensoren, Bd. 3 813 Kohlenmonoxid, Bd. 3 113 Kohlenstoffasern, Bd. 3 1176 Kohlenwasserstoffe, Bd. 3 91, Bd. 3 113 Koinzidenz-Grenzfrequenz, 887 Kokillengießverfahren, Bd. 2 834 Kokillenguss, Bd. 2 1089 Kolben, Bd. 3 15, Bd. 3 126 Kolben und Kolbenbolzen, Bd. 3 17 Kolbenantrieb, Bd. 3 864 Kolbenbeschleunigung, Bd. 3 10 Kolbenflächenleistung, Bd. 3 111 Kolbengeschwindigkeit, Bd. 3 9 Kolbenkraft, Bd. 2 1070, Bd. 3 12 Kolbenmanometer, Bd. 2 712 Kolbenmaschine, Bd. 3 3 Elemente, Bd. 3 14 Kolbenmotor, Bd. 3 1160 Kolbenringe, Bd. 3 18 Kolbenschieberventil, Bd. 2 509 Kolbensekundärbewegung, Bd. 3 11 Kolbenstange, Bd. 3 51 Kolbenweg, Bd. 3 9 Kollektor, Bd. 2 1059 Kollektorstrom, Bd. 2 668 Kollergang, 291 Kollisionskraftberechnung, Bd. 2 1077 Kolonne, Bd. 3 529, Bd. 3 532, Bd. 3 533 Aktivitätskoeffizient, Bd. 3 532 Bilanzlinien, Bd. 3 532 Böden, Bd. 3 529 Bodenabstand, Bd. 3 534 Bodenkolonne, Bd. 3 533 Durchsätze, Bd. 3 530 Fugazitätskoeffizienten, Bd. 3 532 Gegenstrom, Bd. 3 530 Gleichgewichtslinie, Bd. 3 532 Grenzfläche, Bd. 3 530 Kolonnenhöhe, Bd. 3 533 Packungen, Bd. 3 529 Partialdruck- oder Konzentrationsgefälle, Bd. 3 530 Phasengrenzfläche, Bd. 3 533 Sättigungsdampfdruck, Bd. 3 532 Stoffaustauschfläche, Bd. 3 533 Verstärkungsverhältnis, Bd. 3 533

1029 Volumenstromdichte, Bd. 3 534 Kombikessel, Bd. 3 837 Kombi-Kraftwerke, Bd. 3 950 Kesselfeuerung, Bd. 3 951 Wärmeschaltbild, Bd. 3 951 Wirkungsgradermittlung, Bd. 3 951 Wirkungsgradsteigerung, Bd. 3 950 Komfort, Bd. 3 1050 Kommissionier-Flurförderzeuge, Bd. 3 401 Kommissionierung, Bd. 3 474 Bereitstellung, Bd. 3 475 Entnahme, Bd. 3 475 kommutatorloser Gleichstrommotor, Bd. 2 578 Kommutierung, Bd. 2 588 Kompensationsmethoden, Bd. 2 683 Kompensatoren, Bd. 2 735 Komponente, Bd. 2 36, Bd. 3 880 kompressibel, 311 kompressible Fluide, 319 Kompressionskälteanlage, 790 Kompressionskältemaschine, 790 Kompressionsmodul K, Bd. 2 259 Kompressionsperiode, 292 Kompressionsvolumen, Bd. 3 4 Kompressionswärmepumpe, 791 Kompressor-/Speichereinheit Druckregler, Bd. 2 516 Filter, Bd. 2 516 Wartungseinheit, Bd. 2 516 Kompressoreinheit, Bd. 2 481 Ablaufsteuerung, Bd. 2 481 Druckregler, Bd. 2 481 Filter, Bd. 2 481 Leckverluststrom, Bd. 2 480 Wartungseinheit, Bd. 2 481 Kompressoren Anwendungsgebiete, Bd. 3 39 Bauart, Bd. 3 39, Bd. 3 40 Bauarten von Verdichtern, Bd. 3 39 Hauptanwendung, Bd. 3 40 Roots-Gebläse, Bd. 3 39 Wälzkolbenvakuumpumpe, Bd. 3 39 Kondensatableiter, Bd. 3 698 Kondensation an waagrechten Einzelrohren, 817 Kondensator, Bd. 2 527, Bd. 2 532, Bd. 2 665, Bd. 3 668 Drehkondensator, Bd. 2 665 Einspritz-Kondensatoren, Bd. 3 668 einstellbarer Kondensator, Bd. 2 665 Festkondensator, Bd. 2 665 Inertgase, Bd. 3 669 Konstruktion, Bd. 3 669 luftgekühlte, Bd. 3 670 nichtkondensierbare Gase, Bd. 3 668 Oberflächenkondensatoren, Bd. 3 668 parasitäre Kapazitäten, Bd. 2 665 Temperatureinfluss, Bd. 2 665 überhitzter Dampf, Bd. 3 669 Verluste, Bd. 2 665 Wärmedurchgangskoeffizient, Bd. 3 669

1030 Kondensatormotor, Bd. 2 576 Kondensatorverfahren, Bd. 2 701 Konditionieren, Bd. 2 903 Konfokalmikroskop, Bd. 2 701 konforme Abbildung des Kreises, 333 kongruente Bahnen, 264 Konservierung, Bd. 3 573 Konsistenzklassen von Schmierfetten, 688 Konsistenz-Faktor, Bd. 3 598 Konsole, Bd. 2 1078 Konsolständer, Bd. 2 1078 Konstantdrucknetz, Bd. 2 506 Konstanten, physikalische, 909 konstanter Durchmesser, 395 Konstant-Druck-Vergaser, Bd. 3 99 Konstant-Querschnitt-Vergaser, Bd. 3 98 Konstruktionsphilosophien, Bd. 3 1170 konstruktive Gestaltung, Bd. 2 349, Bd. 3 33 Baugruppen zur Ein- und Auslasssteuerung, Bd. 3 33 Dickstoffpumpen, Bd. 3 36 Dosierpumpen, Bd. 3 35, Bd. 3 36 druckgesteuerte Ventile, Bd. 3 33 Exzenterschneckenpumpe, Bd. 3 36, Bd. 3 37 Hubkolbenpumpen, Bd. 3 35 Kegelventile, Bd. 3 33 Kolbenpumpen, Bd. 3 35 Kugelventile, Bd. 3 33 Membrankolbenpumpen, Bd. 3 35 Membranpumpen, Bd. 3 35, Bd. 3 36 Prozessmembranpumpe, Bd. 3 36, Bd. 3 37 Rohrweichenpumpe, Bd. 3 37, Bd. 3 38 Tellerventile, Bd. 3 33 Ventilbauarten, Bd. 3 33 Verstellung und Regelung, Bd. 3 34 Wegsteuerung, Bd. 3 33, Bd. 3 34 Kontakttemperatur, 812 Konterschneiden, Bd. 2 923 kontinuierliches Wälzschleifen, Bd. 2 948 Kontinuitätsgleichung, 317 Konvektion, freie, 816 konvektiv, 330 konventioneller Ventiltrieb, Bd. 3 80 konventionelles Steuerdiagramm, Bd. 3 83 konzentrierte Krümmungen, 455 konzentrische Ventile, Bd. 3 56 Koordinatentransformation, Bd. 2 612 Kopfplatten, Bd. 2 1083 Kopfspiel, Bd. 2 393 körnige Suspensionen, 327 Körper diatherman, 818 halbunendliche, 811 schwarzer, 818 Körper im Raum, 243 Körperschall, 829, 879, Bd. 2 723, Bd. 3 1042 Körperschalldämmung, Bd. 3 805 Körperschallfunktion, 885, 889 Körperschallfunktion, Pegel der, 885

Stichwortverzeichnis Körperschallgrad, 885 Körperschallmaß, 885 Körperschalltransferfunktion, 884 Korrosion, Bd. 3 1044 Kraft auf Düse, 329 Kraft auf Rohrkrümmer, 329 Kraft bei plötzlicher Rohrerweiterung, 329 Kraft, generalisierte, 738 Kraftamplitude, 833 Kraftanregung, 888 Kraftdichte, Bd. 2 529, Bd. 2 582 Kräfte, 231, 829 Kräfte am Kurbeltrieb, Bd. 3 11 Kräfte am Triebwerk, Bd. 3 12 Kräfte und Momente Ausgleich, 876 oszillierende Massen, 876 rotierende Massen, 876 kräftefreier Kreisel, 290 Krafteinleitung, Bd. 2 222 exzentrische Verspannung und Belastung, Bd. 2 223 Kräftepaar, 231 Krafterregung, 884 Kraftfahrzeugtechnik, Bd. 3 1037 Kraftflussplan, Bd. 2 1066 kraftgebundene Presse, Bd. 2 1133 Kraftgrößenmethode, 447 Kraftgrößenverfahren, 401 Kraftmaschinen, Bd. 3 5 Kraftmessdosen, Bd. 2 709 Kraftmesstechnik, Bd. 2 707 Kraftomnibus, Bd. 3 1038 kraftschlussabhängige Bremse, Bd. 3 1120 Kraftschlussausnutzung, Bd. 3 1052 Kraftschlussbeanspruchung, Bd. 3 1056 Kraftschlussbeiwert, Bd. 3 1046 kraftschlüssige Antriebe, Bd. 3 327 Kraftschlusspotential, Bd. 3 1050 kraftschlussunabhängige Bremse, Bd. 3 1120 Kraftschluss-Schlupf-Funktion, Bd. 3 1097 Kraftschraube, 235 Kraftstoff, 804, Bd. 3 1058 Kraftstoffanlage, Bd. 3 1058 Kraftstoffsystem, bivalente Auslegung, Bd. 3 1059 Kraftstofftank, Bd. 3 1042, Bd. 3 1183 Kraftstoffverbrauch, Bd. 3 1039, Bd. 3 1048, Bd. 3 1082, Bd. 3 1161 kraft-(reib-)schlüssige Schaltkupplungen Einflächenkupplung, Bd. 2 281 elektromagnetisch betätigte Kupplungen, Bd. 2 282 hydraulisch betätigte Kupplungen, Bd. 2 281 Kupplungs-Brems-Kombinationen, Bd. 2 281 Lamellenkupplung, Bd. 2 281 Magnetpulverkupplung, Bd. 2 281 mechanische Betätigungseinrichtungen, Bd. 2 282 Mehrflächen-(Lamellen-)kupplung, Bd. 2 281 Nasslauf, Bd. 2 281 pneumatische Betätigung, Bd. 2 282 Reibungswärme, Bd. 2 281

Stichwortverzeichnis Reibwerkstoffe, Bd. 2 282 Trockenlauf, Bd. 2 281 Verschleiß, Bd. 2 281 Zweiflächen-(Einscheiben-)kupplung, Bd. 2 281 Zylinder- und Kegelkupplung, Bd. 2 281 Kraft-Wärme-Kopplung (KWK), 792, Bd. 3 943 Leistungsgrößen, Bd. 3 953 Schema der, 792 Kraftvektor, 273 Kraftwerksturbinen, Bd. 3 252 Kraftwirkungen strömender inkompressibler Flüssigkeiten, 328 Kraftzerlegung im Raum, 236 Kranausleger, Bd. 3 400 Krane, Bd. 3 379 AT-Krane, Bd. 3 390 Doppellenkerwippkran, Bd. 3 385 Drehkrane, Bd. 3 384 Einträgerbrückenkrane, Bd. 3 380 Fahrzeugkrane, Bd. 3 379, Bd. 3 390 Greiferschiffsentlader, Bd. 3 383 Hängebahnen, Bd. 3 391 Hängekrane, Bd. 3 391 Ladekrane, Bd. 3 392 Offshore-Krane, Bd. 3 392 Portaldrehkrane, Bd. 3 385 Portalkrane, Bd. 3 382 Säulendrehkrane, Bd. 3 389 Schwenkkrane, Bd. 3 384 schwimmende Krane, Bd. 3 392 Turmdrehkrane, Bd. 3 386 Verladebrücken, Bd. 3 382 Wandlaufkrane, Bd. 3 389 Wandschwenkkrane, Bd. 3 389 Zweiträgerbrückenkrane, Bd. 3 380 Krankenhausinformationssystem, Bd. 3 861 Kreiselbewegung, 290 Kreiselkompass, 291 Kreiselpumpe Abdrehen, Bd. 3 233 Anlagenkennlinie, Bd. 3 230–Bd. 3 233 Antrieb, Bd. 3 228 Ausdrehen, Bd. 3 233 axiale Rohrschachtpumpe, Bd. 3 237 Axialrad, Bd. 3 225 Bauarten, Bd. 3 225 Bestpunkt, Bd. 3 230 Betriebspunkt, Bd. 3 231 Betriebsverhalten, Bd. 3 228 Blockpumpe, Bd. 3 227 Bypass, Bd. 3 232 Chromnickelstähle, Bd. 3 228 Dampfturbine, Bd. 3 228 Dauerbetriebspunkt, Bd. 3 230, Bd. 3 231 Dieselmotorpumpe, Bd. 3 228 Drehzahländerung, Bd. 3 232 Drehzahlregelung, Bd. 3 233 Dreikanalrad, Bd. 3 226 Drosselkurve, Bd. 3 230–Bd. 3 233

1031 Drosselung, Bd. 3 232 Einkanalrad, Bd. 3 226 Einschaufelrad, Bd. 3 226 einstellbare Schaufeln, Bd. 3 233 Elektromotor, Bd. 3 228 Erosionsbeständigkeit, Bd. 3 227 Festigkeit, Bd. 3 227 Fluid, Bd. 3 227 Förderhöhenkurven, Bd. 3 230 Fördermedien, Bd. 3 225 Freistromrad, Bd. 3 238 frequenzgesteuerter Drehstromantrieb, Bd. 3 228 Gegendrall, Bd. 3 233 Gehäuse, Bd. 3 227 geschlossene Laufräder, Bd. 3 225 Gleichdrall, Bd. 3 233 Gliederbauweise, Bd. 3 235 Gliederform, Bd. 3 227 Halbaxialrad, Bd. 3 225 Kanalrad, Bd. 3 237 Kavitation, Bd. 3 231, Bd. 3 234 Kavitationsbeständigkeit, Bd. 3 227, Bd. 3 228 Kennlinien, Bd. 3 230 Kesselwasser-Umwälzpumpe, Bd. 3 235, Bd. 3 238 Korrosionsbeständigkeit, Bd. 3 227 Kraftwerkstechnik, Bd. 3 235 Laufrad, Bd. 3 225 Laufschaufelverstellung, Bd. 3 233 Leistungsbedarf, Bd. 3 233 Leistungskurven, Bd. 3 231 mehrströmige Bauart, Bd. 3 226 mehrstufige Bauart, Bd. 3 226 Modellgesetze, Bd. 3 232 Nassaufstellung, Bd. 3 227 Nennbetriebspunkt, Bd. 3 230 nichtstabil, Bd. 3 230 NPSH-Kurven, Bd. 3 231 NPSH-Wert der Anlage, Bd. 3 229, Bd. 3 231 Nullförderhöhe, Bd. 3 230 offene Laufräder, Bd. 3 225 Parallelschaltung, Bd. 3 226, Bd. 3 231 Peripheralpumpe, Bd. 3 227 Radialrad, Bd. 3 225 Reaktorkühlmittelpumpe, Bd. 3 235, Bd. 3 238 Reihenschaltung, Bd. 3 226, Bd. 3 231 Ringraumgehäusepumpe, Bd. 3 227 Rohrgehäusepumpe, Bd. 3 227 Rohrschachtpumpe, Bd. 3 227 Sattel, Bd. 3 230 Schaufelverstellung, Bd. 3 231 Seitenkanalpumpe, Bd. 3 227 Selbstregelung durch Kavitation, Bd. 3 234 Spaltrohrmotorpumpe, Bd. 3 236, Bd. 3 238 spezifische Drehzahl, Bd. 3 226 Spiralgehäuse, Bd. 3 227 Spiralgehäusepumpe, Bd. 3 227 Stufenförderhöhen, Bd. 3 226 Teillast, Bd. 3 231 Teillastgebiet, Bd. 3 230

1032 Teilung, Bd. 3 227 Topfbauweise, Bd. 3 235 Topfgehäuse, Bd. 3 227 Trockenaufstellung, Bd. 3 227 Überlast, Bd. 3 231 Umfangsgeschwindigkeit, Bd. 3 226 Umwälzpumpe, Bd. 3 236 Unterwassermotor, Bd. 3 228 Verändern der Schaufelaustrittskanten, Bd. 3 233 Verbrennungsmotorantrieb, Bd. 3 228 Verfahrenstechnik, Bd. 3 235 vierströmig, Bd. 3 226 Vorleitschaufelverstellung, Bd. 3 233 Wasserwirtschaft, Bd. 3 235 Welle, Bd. 3 227 Werkstoff, Bd. 3 227 Wirkungsgradkurven, Bd. 3 231 Zuschärfen, Bd. 3 233 Zweikanalrad, Bd. 3 226 zweiströmig, Bd. 3 226 zweiströmige Spiralgehäusepumpe, Bd. 3 235 Kreisflug, Bd. 3 1160 kreiskolbenartige Umlaufkolbenmaschinen, Bd. 3 3 Kreiskolbenmaschinen, Bd. 3 3 Kreiskrümmer, 322 Kreislaufunterstützung, mechanische, Bd. 3 872 Kreismembran, 306 Kreisplatten, 427, 444 Kreisscheibe, 428 Kreiszylinderschale, 445 Kreiszylinderschale unter konstantem Innendruck, 430 Kreuzbett, Bd. 2 1078 Kreuzkopf, Bd. 3 51, Bd. 3 127 Kreuzkopf-Triebwerke, Bd. 3 8 Kreuzkopfverdichter, Bd. 3 51 Kreuzspulmesswerke, Bd. 2 746 Kreuztisch, Bd. 2 1078 Kriechen, 458 Kristallisieren, Bd. 3 529 kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle, 300 kritische Spannung, 437 kritischen Wert, 318 Krümmung, 382 Krümmungsformel einer Kurve, 382 Krümmungsmittelpunkt, 258, 381 Krümmungsradius der Bahnkurve, 258 Kugel, 421 Kugelgewindetrieb, Bd. 2 1070 kugelige Wölbung, 431 Kugelmutter-Hydrolenkung, Bd. 3 1052 Kugelphotometer, Bd. 2 720 Kugelschale unter konstantem Außendruck, 445 Kugelschale unter konstantem Innendruck, 430 Kugelstrahler nullter Ordnung, 885 Kugelstrahlereckfrequenz, 886 Kugeltische, Bd. 3 449 Kugelverbindungen, Bd. 3 384 Kühlaufbau, Bd. 3 1038

Stichwortverzeichnis Kühlgrenztemperatur, 798 Kühllast, Bd. 3 775 Kühlmittel, Bd. 2 561 Kühlmodulen, Bd. 3 817 Kühlschmiermittel, Bd. 2 901, Bd. 2 1078 Kühlsegel, Bd. 3 817 Kühlsolen, Bd. 3 734 Kühlung, Bd. 3 20 Kühlung des Hydraulikmediums, Bd. 2 503 Kühlung des Kolbens, Bd. 3 126 Kulissenstein, 271 Kultivierung, Bd. 3 573 Kultivierungsbedingungen, Bd. 3 569 Nährstoffansprüche, Bd. 3 569 physikochemische Wachstumsansprüche, Bd. 3 569 Kultivierungsparameter, Bd. 3 584 Kultivierungstypen, Bd. 3 599 nach Gaden, Bd. 3 599 künstliche Brenngase, Bd. 3 926 Brenn- und Heizwert, Bd. 3 926 Druckvergasungsgas, Bd. 3 926 Generatorgas, Bd. 3 926 Raffineriegase, Bd. 3 926 Schwelgase, Bd. 3 926 kunststoffbeschichtete Führungen, Bd. 2 1088 Kunststoffe, Bd. 3 1045 Aufbau und Verhalten, 628 Bewitterungsversuche, 644 Blasformen, 647 chemische Eigenschaften, 643 Eigenschaften, 629, 668 elektrische Eigenschaften, 642 Extrudieren, 647 Farbbeurteilung, 644 faserverstärkte Formteile, 647 Fertigungsgenauigkeit, 651 fluorhaltige, 633 Fügen, 650 Gestalten, 651 Gestaltungsrichtlinien, 651 Heizelementschweißen, 650 Hochfrequenzschweißen, 650 Kennwertermittlung, 640 kleben, 650 Konditionieren, 652 Laserschneiden, 652 Laserschweißen, 650 mechanische Eigenschaften, 640 Nachbehandlungen, 652 Normung und Kennzeichnung, 627 Oberflächenbehandlungen, 652 Pressen, 646 Prüfung, 640 Prüfung von Fertigteilen, 644 Reibschweißen, 650 Röntgenprüfungen, 644 Schäumen, 648 Schweißen, 649 Schwindungsverhalten, 643

Stichwortverzeichnis spangebende Bearbeitung, 652 Spritzgießen, 645 Tempern, 652 thermische Eigenschaften, 642 Ultraschallprüfung, 644 Ultraschallschweißen, 650 Umformen, 649 Urformen, 645 Verarbeiten, 645 verarbeitungstechnische Eigenschaften, 643 Warmgasschweißen, 649 Wasserstrahlscheiden, 652 Zustandsbereiche, 628 Kunststoffschäume, 637 expandierbares Polystyrol PS-E, 637 Reaktionsschäume RSG, RIM, 637 Thermoplastschäume TSG, 637 Kupferlegierungen, Bd. 2 170 Kupolöfen, Bd. 3 605, Bd. 3 625 Kupplung, Bd. 2 267, Bd. 2 1076, Bd. 3 1063, Bd. 3 1064, Bd. 3 1116 drehmomentgeschaltete, Bd. 2 288 drehmomentgeschaltete, Brechbolzenkupplung, Bd. 2 288 drehmomentgeschaltete, Brechringkupplung, Bd. 2 288 drehmomentgeschaltete, Druckölverbindung, Bd. 2 288 drehmomentgeschaltete, Rutschkupplung, Bd. 2 288 drehmomentgeschaltete, Sperrkörperkupplungen, Bd. 2 288 drehmomentgeschaltete, Zugbolzenkupplung, Bd. 2 288 drehstarre, nicht schaltbare, Bd. 2 268 drehzahlgeschaltete, Bd. 2 288 elastische, Bd. 2 267 elastische, nicht schaltbare, Bd. 2 271 Fliehkraftkupplung, Bd. 2 289 fremdgeschaltete, Bd. 2 277 fremdgeschaltete, formschlüssige Schaltkupplungen, Bd. 2 280 fremdgeschaltete, kraftschlüssige Schaltkupplungen, Bd. 2 280 fremdgeschaltete, öffnende Kupplungen, Bd. 2 280 fremdgeschaltete, schließende Kupplungen, Bd. 2 280 richtungsgeschaltete, Bd. 2 289 richtungsgeschaltete, Klauen- oder Zahnfreilauf, Bd. 2 290 richtungsgeschaltete, Klemmfreiläuf, Bd. 2 289 richtungsgeschaltete, Klemmkörperfreilauf, Bd. 2 289 richtungsgeschaltete, Klemmrollenfreilauf, Bd. 2 289 selbsttätig schaltende, Bd. 2 287 starre, Bd. 2 268 Kurbelgetriebe, Bd. 2 1068 Kurbelpresse, Bd. 2 1080 Kurbelschleife, 271, Bd. 2 1068

1033 Kurbelschwingen, Bd. 2 1068 Kurbeltrieb, 266, 863, Bd. 3 9, Bd. 3 14 Kurbelwelle, Bd. 3 14, Bd. 3 128 Kurven gleicher Lautstärke, 880 Kurvengetriebe, Bd. 2 457, Bd. 2 467 Bewegungsgesetz, Bd. 2 467 Bewegungsplan, Bd. 2 467 Doppelschieber, Bd. 2 456 Doppelschleife, Bd. 2 456 Dreipolsatz, Bd. 2 457 Eingriffsglied, Bd. 2 457 Ersatzgetriebe, Bd. 2 458 Gleitkurvengetriebe, Bd. 2 457, Bd. 2 458 Hauptabmessungen, Bd. 2 457, Bd. 2 468 identische Freiheit, Bd. 2 457 Kurvengelenk, Bd. 2 457, Bd. 2 458 Kurvengelenkkette, Bd. 2 457 Kurvenglied, Bd. 2 457 Maschinenzyklogramm, Bd. 2 467 Momentanpol, Bd. 2 458 Oldham-Kupplung, Bd. 2 456 Polgerade, Bd. 2 457 Schubschleife, Bd. 2 456 Schwinggelenk, Bd. 2 458 Steg, Bd. 2 457, Bd. 2 467 Übertragungsfunktionen 1. und 2. Ordnung, Bd. 2 467 Übertragungswinkel, Bd. 2 468 Umlaufgelenk, Bd. 2 457 Wälzkurvengetriebe, Bd. 2 457, Bd. 2 458 Watt’sche Kette, Bd. 2 456 Kurvenlicht, Bd. 3 1071 Kurvenschere, Bd. 2 1125 Kurzgewindefräsen, Bd. 2 934 Kurzschlussbetrieb, Bd. 2 676 Kurzschlussfälle, Bd. 2 640 dreipoliger Kurzschluss, Bd. 2 640 zweipoliger Kurzschluss, Bd. 2 640 Kurzschlussläufer, Bd. 2 1054 Kurzschlussleistung, Bd. 2 635 Kurzunterbrechung, Bd. 2 642

L labiles Gleichgewicht, 239 Lack, Bd. 3 1045 Ladegerät, Bd. 2 554 Ladehilfsmittel, Bd. 3 459, Bd. 3 466 Ladeluft Druck, Bd. 3 88 Ladeluftkühlung, Bd. 3 89 Ladelufttemperatur, Bd. 3 89 Ladezustand, Bd. 3 1062 Ladungsdurchsatz, Bd. 3 84 Ladungsverstärker, Bd. 2 738 Ladungswechsel, Bd. 3 79, Bd. 3 83 Ladungswechsel des Viertaktmotors, Bd. 3 83 Ladungswechsel des Zweitaktmotors, Bd. 3 85 Spülluftdurchsatz, Bd. 3 86

1034 Spüllufterzeugung, Bd. 3 86, Bd. 3 87 Spülluftmenge, Bd. 3 84 Spülmodell, Bd. 3 85 Spülverfahren, Bd. 3 85 Ladungswechselrechnung, Bd. 3 84 Ladungswechselverluste, Bd. 3 7 Lager, Bd. 2 1051, Bd. 3 128, Bd. 3 480 aktiv, 892 Annahme, Bd. 3 480 Auslagerung, Bd. 3 481 Einlagerung, Bd. 3 480 Kommissionierung, Bd. 3 480 Versandbereich, Bd. 3 480 Lageranordnung, Bd. 2 1096 Lagerbestand, Bd. 3 473 Lagereinheiten, Bd. 3 466 Lagerfüllungsgrad, Bd. 3 473 Lagerkapazität, Bd. 3 473 Lagerkennzahlen, Bd. 3 473 Lagerlebensdauer, Bd. 2 316 Ausfallwahrscheinlichkeit, Bd. 2 316 dynamische Tragzahl, Bd. 2 316 dynamischer Härtefaktor, Bd. 2 317 Ermüdungslebensdauer, Bd. 2 316 erweiterte Lebensdauer, Bd. 2 317 Gebrauchsdauer, Bd. 2 316 modifizierte Lebensdauer, Bd. 2 316 nominelle Lebensdauer, Bd. 2 316 statischer Härtefaktor, Bd. 2 317 Temperaturfaktor, Bd. 2 317 Überlebenswahrscheinlichkeit, Bd. 2 317 Versagensmechanismen, Bd. 2 316 Lagern, Bd. 3 527 Lagerung, Bd. 2 1051 Lagrange’sche Funktion, 281 Lagrange’sche Gleichungen, 281 Lagrange’sche Kraft, 281 Lambertsches Cosinusgesetz, 819 Lamellenkette, Bd. 2 1068 Lamellenkupplung, steuerbare, Bd. 3 1067 laminarer Strömung, 318 Laminarflügel, 341 Landegewicht, Bd. 3 1145 Landestrecke, Bd. 3 1168 Landung, Bd. 3 1166 Längenausdehnung, thermische, 774 Längendehnung, 757 Längenmesstechnik, Bd. 2 696 Langgewindefräsen, Bd. 2 934 Langgut, Bd. 3 401 Langsamläufer, Bd. 2 1058 Längskraft und Torsion, 401 Längslenker, Bd. 3 1051 Längsrippen, Bd. 2 1082 Längsschwingungen von Stäben, 305 Längsteilanlage, Bd. 2 1126 Längs-Schraubschleifen, Bd. 2 935 Langtisch, Bd. 2 1080 Laplace-Transformation, Bd. 2 538, Bd. 2 760

Stichwortverzeichnis Läppen, Bd. 2 906 Läppmaschinen, Bd. 2 1191 Einscheiben-Läppmaschinen, Bd. 2 1192 Rundläppmaschinen, Bd. 2 1193 Zweischeiben-Läppmaschinen, Bd. 2 1192 Lärm, 879, Bd. 2 724 Lärmminderung, 879, 888 Lärmminderung, aktive Maßnahmen, 888, 891 Lärmminderung, passive Maßnahmen, 888 Lärmminderung, primäre Maßnahmen, 888 Lärmminderung, sekundäre Maßnahmen, 888 Lärmminderung, semi-aktive Maßnahmen, 893 Laserbearbeitungsmaschinen, Bd. 2 1226 Laserbrennschneiden, Bd. 2 187 Laserdiode, Bd. 2 677 Laserdrucker, Bd. 2 748 Laserschmelzschneiden, Bd. 2 187 Laserschweißen, Bd. 3 1043 Laserstrahl-Schweiß- und Löteinrichtungen, Bd. 2 1202 Laserstrahlverfahren, Bd. 2 962 Lasertrennen, Bd. 2 910 Laser-Doppler-Vibrometrie, Bd. 2 705 Laser-Sintern, Bd. 2 978 Lastannahmen, Bd. 3 1171 Lastaufnahmemittel, Bd. 3 371 Lastaufnahmevorrichtung, Bd. 3 397 Lastebene, 370 Lasten, Bd. 3 332 außergewöhnliche Lasten, Bd. 3 334 Einzellasten, Bd. 3 334 Grenzlasten, Bd. 3 334 Lastermittlung, Bd. 3 333 Lastfälle, Bd. 3 335 Lastkombinationen, Bd. 3 333, Bd. 3 334 Lastmodelle, Bd. 3 332 lokale Lasteinleitung, Bd. 3 334 nicht regelmäßige Lasten, Bd. 3 334 Prüflast, Bd. 3 379 Sonderlasten, Bd. 3 334 Zusatzlasten, Bd. 3 334 Lastfälle, 836 Lastflussberechnungen, Bd. 2 636 Lasthaken, Bd. 3 371 C-Haken, Bd. 3 372 Doppelhaken, Bd. 3 371 Einfachhaken, Bd. 3 371 Lamellenhaken, Bd. 3 372 Lasthebemagnet, Bd. 3 373 Lastschaltgetriebe, Bd. 2 1064 Lastschwankung, Bd. 3 1050 Lasttrum, Bd. 2 360 Lastvielfache, Bd. 3 1151, Bd. 3 1172 Lastwechsel, Bd. 3 1062 Lastzug, Bd. 3 1038 Latsch, Bd. 3 1046, Bd. 3 1047, Bd. 3 1049 Laufbuchse, Bd. 3 129 integrierte Buchse, Bd. 3 129 nasse Buchse, Bd. 3 130 trockene Buchse, Bd. 3 130

Stichwortverzeichnis Laufwasserkraftwerke, Bd. 3 222 Aggregatwirkungsgrad, Bd. 3 222 Lautstärkepegel, 880 Lavaldruck, 781 Laval-Druckverhältnis, 780 Lebenszykluskosten, Bd. 3 1039, Bd. 3 1091 Leckverluststrom, Bd. 2 480 LED, Bd. 2 676, Bd. 3 1070 Leerlauf, Bd. 3 1064 Leerlaufregelung, Bd. 3 61 Leertankgewicht, Bd. 3 1145 Leertrum, Bd. 2 360 Spannrolle, Bd. 2 364 Leichtbau, Bd. 3 1173 Leichtbaugüte, Bd. 3 1044 Leichtbaukonzepte, Bd. 2 192 Leichtmetalllegierungen, Bd. 3 1176 Leichtmetallwerkstoff, Bd. 2 1081 Leistung, 273, Bd. 3 7, Bd. 3 109 Leistung von Kühldecken, Bd. 3 816 Leistungsangaben, Bd. 3 109 Leistungseintrag, Bd. 3 580 Leistungselektrik, Bd. 3 1117 Leistungselektronik, Bd. 2 585 Leistungsfähigkeit eines Antriebs, Bd. 2 602 Leistungsflussdiagramm, Bd. 2 566 Leistungshalbleiter, abschaltbarer, Bd. 2 671 Leistungsqualität, Bd. 2 636 Leistungstransistor, Bd. 2 669 Leistungszahl, Bd. 3 725 einer Kältemaschine, 791 Leiterrahmen, Bd. 3 1042 Leitungssystem, Bd. 3 865 Leitwerk, Bd. 3 1150, Bd. 3 1151 Leitwerksbauformen, Bd. 3 1138 Lenker, Bd. 3 1049 Lenkrad, Bd. 3 1068, Bd. 3 1076 Lenkradwinkel, Bd. 3 1056 Lenkradwinkelgeschwindigkeit, Bd. 3 1056 Lenkstockhebel, Bd. 3 1052 Lenkübersetzung, Bd. 3 1051 Lenkung, Bd. 3 1045, Bd. 3 1051 aktive, Bd. 3 1056, Bd. 3 1058 Lenkunterstützung, elektromechanische, Bd. 3 1052 Lenkverhalten, Bd. 3 1045 Lenkwinkel, Bd. 3 1071, Bd. 3 1079 Leuchtdichte, Bd. 2 720 LHM, Bd. 3 466 Licht, Bd. 3 1061, Bd. 3 1068 markierendes, Bd. 3 1071, Bd. 3 1072 Lichtbogen-Druckluft-Fugen, Bd. 2 186 Lichtbogenöfen, Bd. 2 657 Lichtbogen-Sauerstoffschneiden, Bd. 2 186 Lichtbogenschweißen, Bd. 2 659 Lichtbogenschweißmaschinen, Bd. 2 1199 Lichtmaschine, Bd. 3 1073 Lichtmesstechnik, Bd. 2 719 lichtmikroskopische Verfahren, Bd. 2 699 Lichtschnittmikroskop, Bd. 2 700

1035 Lichtschranke, Bd. 2 675 Lichtstärke, Bd. 2 719 Lichtstrahlung, Einheiten, 909 Lichtstrom, Bd. 2 719 Lichttechnik, Grundgrößen, 911 Lichtwellenleiter, Bd. 2 675 LIDAR, Bd. 3 1055, Bd. 3 1072 Liefergrad, Bd. 3 46, Bd. 3 47, Bd. 3 79 Aufheizungsgrad, Bd. 3 47, Bd. 3 48 äußeres Druckverhältnis, Bd. 3 49 Dichtheitsgrad, Bd. 3 47, Bd. 3 48 Drosselgrad, Bd. 3 47, Bd. 3 48 Druckverluste, Bd. 3 49 Einflusszahl, Bd. 3 47 Füllungsgrad, Bd. 3 47, Bd. 3 48 indizierter Liefergrad, Bd. 3 47 inneres Druckverhältnis, Bd. 3 49 Nutzliefergrad, Bd. 3 47 Überverdichtung, Bd. 3 49 Unterverdichtung, Bd. 3 49 LIFO, Bd. 3 469 Lilienthal, Bd. 3 1135, Bd. 3 1157 Lilienthalpolare, Bd. 3 1157 Linearbetrieb, Bd. 2 669 Linear-Direktantrieb, Bd. 2 1059 Linearitätsabweichung, Bd. 2 685 Linearmotor, Bd. 2 580, Bd. 2 1059 Linearreibschweißen, Bd. 2 164 Lineweaver-Burk, Bd. 3 586 linienförmiges Fügen, Bd. 2 193 Linienschwerpunkt, 250 linkes Schnittufer, 368 Lithium-Ionen-Batterie, Bd. 2 645, Bd. 3 1061 Lithografie, Bd. 2 956 Lkw, Bd. 3 1056 Load-Sensing-Schaltung, Bd. 2 510 Loch- oder Schieberregelung, Bd. 3 61 Lochleibung, 367 Logistik, Bd. 3 316 Lokomotive, Bd. 3 1113 Löschkondensator, Bd. 2 674 Löschthyristor, Bd. 2 674 Lösungen für kleine Reynolds’sche Zahlen (laminare Strömung), 334 Löteinrichtungen, Bd. 2 1202 Löten Bindung, Bd. 2 187 Festigkeit der Hochtemperaturlötungen, Bd. 2 190 Festigkeit der Lötverbindung, Bd. 2 188 Hartlöten, Bd. 2 188 Hartlöten, Flussmittel, Bd. 2 188 Hartlöten, Lötzusätze, Bd. 2 188 Hochtemperaturlöten, Bd. 2 190 Laserlöten, Bd. 2 190 Lichtbogenlöten, Bd. 2 190 Lötbrüchigkeit, Bd. 2 187 Spaltbreite, Bd. 2 187 Weichlote, Bd. 2 188 Weichlöten, Bd. 2 187

1036 Weichlöten, Festigkeit der Lötverbindung, Bd. 2 190 Weichlöten, Flussmittel, Bd. 2 188 Zeitstandscherfestigkeit von Lötverbindungen, Bd. 2 188 Love’sche Verschiebungsfunktion ˚, 417 LPG, Bd. 3 1058, Bd. 3 1059 Lückengrad, Bd. 3 626 Luft spezifische Wärmekapazität, 760 trockene, 794 Luftaufwand, Bd. 3 79 Luftdruckbremse, Bd. 3 1054 Luftdurchlässe, Bd. 3 781 Luftfahrzeuge, Bd. 3 1135 Luftfeder, Bd. 3 1050, Bd. 3 1101 Luftführung, Bd. 3 777, Bd. 3 815 Luftführungsarten, Bd. 3 780 luftgekühlte Motoren, Bd. 3 130 luftgekühlte Verflüssiger, Bd. 3 740 Luftheizgeräte, Bd. 3 827 Luftheizung, Bd. 3 828, Bd. 3 830 Luftimpuls-Formverfahren, Bd. 2 825 Luftkühler, Bd. 3 739 Luftreifen, Bd. 3 400 Luftreinheit, Bd. 3 949 Luftschall, 879, Bd. 2 723, Bd. 3 1042 Luftschallabstrahlung, 890 Luftschallwellenlänge, 887 Luftspalt, Bd. 2 666 Luftspaltmoment, 847 Luftspeicher-Kraftwerk, Bd. 3 298 Luftspeicherwerke, Bd. 3 987 Luftüberschuss, 802 Luftüberschusszahl, 802 Lüftung, Bd. 3 816 Lüftungsanlage mit Kühldecke, Bd. 3 815 Lüftungswärmeverluste, Bd. 3 774 Luftverhältnis, Bd. 3 71 Luftverkehr, Bd. 3 1135 luftverteilter Kraftstoff, Bd. 3 96 Luftvorwärmung, 788 Luftwalze, Bd. 3 780, Bd. 3 815 Luft-Wasser-Anlagen, Bd. 3 814 Luftwiderstand, Bd. 3 1078, Bd. 3 1081 Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen, 337 Lumineszenzdiode, Bd. 2 676

M machinery condition monitoring, Bd. 2 695 Machzahl, Bd. 3 1147 Magerbetrieb, Bd. 3 115 Magermotor, Bd. 3 97 Magnesiasteine, Bd. 3 659 magnetische Wegaufnehmer, Bd. 2 704 magnetischer Widerstand, Bd. 2 528 Magnetisierungskennlinie, Bd. 2 529 Magnetismus, Einheiten, 908 Magnetlager, Bd. 2 803

Stichwortverzeichnis Magnetostriktion, Bd. 2 543 Magnetresonanztomographie, Bd. 3 857 Magnetschienenbremse, Bd. 3 1120 Magnetzünder, Bd. 3 102 Makrostützwirkung, 467 Manipulatoren, Bd. 3 400 Manöverlastvielfache, Bd. 3 1172 Marinekopf, Bd. 3 128 Maschinenakustik, 879 maschinenakustische Grundgleichung, 884 Maschinenbauform, Bd. 2 1049 Maschinendiagnostik, Bd. 2 694 Maschinengestelle, Bd. 2 76 Doppelwandgestell, Bd. 2 77 Einwandgestell, Bd. 2 77 Kastengestell, Bd. 2 76 Portal- oder Brückengestell, Bd. 2 76 Rahmengestell, Bd. 2 78 Maschinengrundsystem, Bd. 2 1049 Maschinenhochlauf, 861 Maschinenkonstruktion, Bd. 2 1060 Maschinenschwingungen, 829 Maschinenwelle, 854 Maskenformverfahren, Bd. 2 827 maskengebundene Fertigungsverfahren, Bd. 2 956 Maskensintern, Bd. 2 980 Massenkräfte, 863, Bd. 3 11 Massenkräfte und Momente, 866 Massenmatrix, 830 Massenmittelpunkt, 249 Massenmomente, 863 Massenpunktsystem, 283 Massenspektrometrie, Bd. 2 727 Massenstrom, Bd. 3 418 Massen- und Gaskräfte, 845 Masse-Feder-Dämpfungssysteme, Bd. 2 706 Maßstäbe, Bd. 2 57 Maßstabsfaktor, 343 Maßstabsfaktor für Gewichtskräfte, 344 Maßstabsfaktor für gleiche Dehnungen, 344 Maßtoleranz, Bd. 2 52 Maßverkörperungen, Bd. 2 696 Materialabscheidung, Bd. 2 957 Materialabtragung, Bd. 2 957 Materialausnutzungskoeffizient, Bd. 2 815 Materialdämpfung, Bd. 2 1053, Bd. 2 1081 Materialermüdung, Bd. 3 1170 Materialfluss, Bd. 3 315 Materialgesetze von Maxwell und Kelvin, 458 mathematische Fadenpendel, 297 Mathieu’sche Funktionen, 308 Matrixdrucker, Bd. 2 748 maximale Randschubspannung, 378 maximale Schubspannung, 378 Maximalstrom, Bd. 2 1059 Maximum, 240 Maxwell-Medium, 327 Maxwell’sche Gleichungen, Bd. 2 522 McPherson-Achse, Bd. 3 1049

Stichwortverzeichnis Mechanik, Einheiten, 907 mechanische Aufladung, Bd. 3 87 mechanische Beanspruchungen, Bd. 2 707 mechanische Funktionen, Bd. 2 1201 mechanische Spannungen, Bd. 2 707 mechanischer Wirkungsgrad, Bd. 3 6, Bd. 3 44, Bd. 3 75 mechanisches Ersatzsystem, 830 mechanisiertes Hartlöten, Bd. 2 1202 Mechatronik, Bd. 2 599 Modellbildung und Entwurf, Bd. 2 795 Medizinprodukt, Bd. 3 845 Medizintechnik, Bd. 3 845 Medizintechnikbranche, deutsche, Bd. 3 846 mehrdimensionale Strömung zäher Flüssigkeiten, 334 Mehrfachpumpe, Bd. 2 509 Mehrgleitflächenlager, Bd. 2 344 mehrgliedrige Gelenkgetriebe, Bd. 2 456 Stephenson’sche Kette, Bd. 2 456 Watt’sche Kette, Bd. 2 456 Mehrkomponentenspritzgießen, 646 Mehrkoordinatenmessgeräte, Bd. 2 697 Mehrlenkerachse, Bd. 3 1049 Mehrlochdüsen, Bd. 3 108 Mehrmaschinensysteme, Bd. 2 1193 flexible Fertigungssysteme, Bd. 2 1194 flexible Fertigungszellen, Bd. 2 1194 Transferstraßen, Bd. 2 1195 Mehrphasenreaktor, Bd. 3 582 Mehrphasenströmung, Bd. 3 531 Trennschwierigkeit, Bd. 3 531 Mehrschicht-Flachriemen, Bd. 2 361 Beanspruchungen, Bd. 2 361 mehrschnittig, 366 Mehrschraubenverbindungen, Bd. 2 226 Abstreiffestigkeit, Bd. 2 227 Dauerschwingbeanspruchung, Bd. 2 227 Einschraubenverbindung, Bd. 2 225 Kraftverhältnisse, Bd. 2 226 Richtlinien für die Gestaltung, Bd. 2 226 Schraubenbelastungen, Bd. 2 226 Vordimensionierung, Bd. 2 225 mehrstufige Verdichtung, Bd. 3 44 Stufendruckverhältnis, Bd. 3 44 Mehr-Körper-Simulation, Bd. 3 1046 Mehrwegestapler, Bd. 3 400 Membran, Bd. 3 539 Gelschicht, Bd. 3 540 Konzentrationspolarisation, Bd. 3 540 Membranverschmutzung, Bd. 3 540 permeierende Massenstromdichte, Bd. 3 539 Membrankupplung, Bd. 2 1077 Membranpumpen, Bd. 3 31 Membranreaktor, Bd. 3 583 Membranspannungszustand, 430 Membrantrennverfahren, Bd. 3 539 Diffusion, Bd. 3 539 Lösungs-Diffusionsmembran, Bd. 3 539 Sorption, Bd. 3 539 Membranverdichter, Bd. 3 64

1037 Mensch-Maschine-Schnittstelle, Bd. 3 1068 Meridianspannungen, 431 Messabweichung, Bd. 2 685, Bd. 2 688 Messbericht, Bd. 2 690 Messbrücken, Bd. 2 735 Messen, Bd. 2 683 Messergebnis, Bd. 2 688 Messflächenmaß, 881 Messgenauigkeit (Akustik), 884 Messgeräte, Bd. 2 683 Messglied-Empfindlichkeit, Bd. 2 684 Messglied-Koeffizient, Bd. 2 684 Messgröße, Bd. 2 683, Bd. 2 687 Messgrößen der Technik, Bd. 2 693 Messgrößen im Bioreaktor, Bd. 3 583 Messgrößenaufnahme, Bd. 2 684 Messgrößenumformer, Bd. 2 796 Messgrößenumformung, Bd. 2 694 Messkette, Bd. 2 683, Bd. 2 687 Messmethoden, Bd. 2 683 Messmikroskope, Bd. 2 697 Messpotentiometer, Bd. 2 703 Messprinzipien, Bd. 2 683 Messprotokoll, Bd. 2 690 Messrauschen, Bd. 2 783 Messschaltung für DMS, Bd. 2 709 Messschieber, Bd. 2 697, Bd. 2 699 Messschraube, Bd. 2 697 Messsignalverarbeitung, Bd. 2 684 Messtaster, Bd. 2 699 messtechnische Rückführung, Bd. 2 688 Messunsicherheit, Bd. 2 688 Messunsicherheitsbudget, Bd. 2 690 Messverfahren, Bd. 2 683 Messverstärker, Bd. 2 736 Messwandler, Bd. 2 550 Spannungswandler, Bd. 2 550 Stromwandler, Bd. 2 550 Messwerke, Bd. 2 745 Messwertanzeige, Bd. 2 745 Messwertausgabe, Bd. 2 684 Messwertregistrierung, Bd. 2 747 Messwertspeicherung, Bd. 2 748 Metallfedern, Bd. 2 247 Metallhydrid, Bd. 3 1059 metazentrische Höhe, 313 Metazentrum M, 313 Methanol, Bd. 3 1058 Methanzahl, Bd. 3 91 Michaelis-Menten-Kinetik, Bd. 3 585 Michelson-Interferometer, Bd. 2 697 Micro Hybrid, Bd. 3 1062, Bd. 3 1074 Mikrocontroller, Bd. 2 742, Bd. 2 800 Mikrofunkenerosionsmaschinen, Bd. 2 1224 Mikroorganismen, Bd. 3 565 Mikrorechner, Bd. 2 741 Mikrosonde, Bd. 2 728 Mikrostrukturierungsverfahren, Bd. 2 971 Mikrostützwirkung, 466

1038 Mikrosystemtechnik, Bd. 2 955 Mild Hybrid, Bd. 3 1062 Mindestluftbedarf, 801 Mindestsauerstoffbedarf, 802 Mindest-Luftvolumenstrom, Bd. 3 814 Minimalmengenschmierung, Bd. 2 1095 Minimum, 240 mischen, Bd. 3 526 Mischer mit bewegten Mischwerkzeugen, Bd. 3 526 pneumatische Mischer, Bd. 3 526 rotierende Mischer, Bd. 3 526 von gesättigten Luftmengen, 797 zweier Luftmengen, 797 Mischentleerung, Bd. 3 437 Mischgassensoren, Bd. 3 814 Mischreibung, 252 Mischstrom, Bd. 2 531 Mischungsspülung, Bd. 3 85 MISES-Hypothese, 466 Missbrauchslastfall, Bd. 3 1042 Mitteldruck, Bd. 3 75 Mittelfrequenztransformator, Bd. 2 552 Mittelpufferkupplung, Bd. 3 1112 mittelschnelllaufender Dieselmotor, Bd. 3 134 Mittelspannungen, 467 Mittelungspegel, 883 Mittelwert, 840, Bd. 2 689 mittlere Kolbengeschwindigkeit, Bd. 3 9 mittlere Stoßkraft, 292 mittlerer Wirkungsgrad, 275 modale Analyse, 833 modale Parameter, 830 Modal-Matrix, 853 Modell, mentales, Bd. 3 1055 Modellbildung, Bd. 2 1084 Modellierung, Bd. 2 763, Bd. 2 1084 Modellreduktion, 859 Modellreferenzverfahren, Bd. 2 606 Modellversuche, 343 Modul, Bd. 2 36 Modul m, Bd. 2 392 modulare Produktfamilie, Bd. 2 39 modulare Produktstruktur, Bd. 2 37 Modularisierung, Bd. 2 37 Modularität, Bd. 2 36 Modulbaukasten, Bd. 2 39 Modultreiber, Bd. 2 37 Mohr’scher Spannungskreis, 354 Moire-Verfahren, Bd. 2 712 Molekularkräfte, 311 Mollier-Diagramm, 756 der feuchten Luft, 795 Molmassen, 761 Molwärme mittlere, 755, 761 von idealen Gasen, 761 Moment, 231 Momentanachse OM , 266 Momentanverbrauchsanzeige, Bd. 3 1072

Stichwortverzeichnis Momentenbeiwert, Bd. 3 1152 Monoblock-Kolben, Bd. 3 127 Monocoque, Bd. 3 1043, Bd. 3 1044 monolithisch integriert, Bd. 2 797 Monomere, 627 Monopolstrahler, 885 Montage und Demontage, Bd. 2 987 Beseitigung, Bd. 2 988 Demontieren, Bd. 2 988 Fügen, Bd. 2 987 Handhaben, Bd. 2 987 Justieren, Bd. 2 987 Kontrollieren, Bd. 2 987 Montieren, Bd. 2 987 Sonderoperationen, Bd. 2 988 Trennen, Bd. 2 988 Verwendung, Bd. 2 988 Verwertung, Bd. 2 988 Montagebühne, Bd. 3 397 Montagekraft, Bd. 2 219 Nachgiebigkeit, Bd. 2 220 Verspannungsdreieck, Bd. 2 220 Montageplanung, Bd. 2 992 Montageprozess, Bd. 2 990 Montagesysteme, Bd. 2 992 Mooringdruckregler, Bd. 2 507 Morphologie, Bd. 3 595 MOSFET, Bd. 2 670 Motor, Bd. 2 515 Motorbelastung, Bd. 3 120 Motoren-Kraftstoffe, Bd. 3 91 Motorgehäuse, Bd. 3 128 motorinterne Maßnahmen, Bd. 3 119 Motorkennung, Bd. 3 109, Bd. 3 120 Motorkraft, Bd. 3 953 Blockheizkraftwerke (BHKW), Bd. 3 953 Schalldämpfung, Bd. 3 953 Motorkraftwerke Abgase, Bd. 3 954 Kühlwasser, Bd. 3 953 Motorrad, Bd. 3 1037 Motorschleppmomentregelung, Bd. 3 1056 Motorschutzschalter, Bd. 2 640 Motorsteuerung, Bd. 3 1059 Motor-Hauptgleichung, Bd. 3 80 Multiprozessorsysteme, Bd. 2 800 Multitasking, Bd. 2 799 Muscheldiagramm, Bd. 3 110 Mustererkennung, Bd. 2 701 Mutterarten, Bd. 2 215 Muttern, Bd. 2 216 Unterlegscheiben, Bd. 2 217 Mutternwerkstoffe, Bd. 2 217 M. A. N.-M-Verfahren, Bd. 3 97 M. A. N.-Umkehrspülung, Bd. 3 86 myoelektrische Prothese, Bd. 3 883 Myzel, Bd. 3 595

Stichwortverzeichnis N Nablaoperator r, 330 Nachbehandeln, Bd. 2 817 Nachbehandlungsgeräte, Bd. 3 818 Nachgiebigkeitsfrequenzgang, Bd. 2 1053 Nachtsichtgerät, Bd. 3 1072 Nachweise, Bd. 3 332 allgemeiner Spannungsnachweis, Bd. 3 337 Betriebsfestigkeitsnachweise, Bd. 3 335 Festigkeitsnachweise, Bd. 3 332 Lagesicherheitsnachweis, Bd. 3 338 Nachweismethodik, Bd. 3 379 Standsicherheitsnachweis, Bd. 3 338 Nadellager, Bd. 2 1071 Näherungsverfahren zur Knicklastberechnung, 439 Nahtdicke, Bd. 2 177 Nanopositioniertisch, Bd. 2 802 Narkosemitteldosierung, Bd. 3 863 Nasenkeil, Bd. 2 209 Nassgriff, Bd. 3 1047 Natrium-Nickel-Chloridbatterien, Bd. 2 645 Naturkautschuke NR, 638 natürliche Brenngase, Bd. 3 925 natürliche feste Brennstoffe, Bd. 3 917, Bd. 3 940 Abfallbrennstoffe, Bd. 3 918 Asche, Bd. 3 920 Braunkohle, Bd. 3 918 Brennwert, Bd. 3 919 Brikettieren, Bd. 3 918 Heizwert, Bd. 3 919 Inkohlungsgrad, Bd. 3 917 Müll, Bd. 3 918 pflanzliche Abfälle, Bd. 3 919 Schlackenviskosität, Bd. 3 920 Schmelzverhalten, Bd. 3 920 Schwelen, Bd. 3 918 Steinkohle, Bd. 3 918 Torf, Bd. 3 918 Verkoken, Bd. 3 918 Zündtemperaturen, Bd. 3 920 natürliche Koordinaten, 257 natürliche Leistung, Bd. 2 637 Navier’sche Gleichung, 416 Navigation, Bd. 3 1080 Navigationssystem, Bd. 3 877, Bd. 3 1068, Bd. 3 1072 NC-Programmierung, Bd. 2 1115 Nebel, 795 Nebelgebiet, 795 Nebenbedingung, 223 Nebenfunktionen, Bd. 3 397 Nebenschluss-Motor, Bd. 2 1059 Nebenverbraucher, Bd. 3 1058 NEFZ-Zyklus, Bd. 3 1059, Bd. 3 1061 negative Massenbeschleunigung, 276, 433 Neigetechnik, Bd. 3 1102 Nennmaß, Bd. 2 52 Nenn-Mittelspannungen, 467 Nennspannung, 366 Nennspannungen in den Schweißnähten, Bd. 2 177

1039 Nennspannungsamplituden, 468 Nennspannungskonzept, 464, Bd. 2 181, Bd. 3 333 mit zulässigen Spannungen, Bd. 2 176 Net Positive Suction Head, Bd. 3 228 netzgeführter Stromrichter, Bd. 2 590 Brückenschaltung, Bd. 2 590 Mittelpunktschaltung, Bd. 2 590 Netzrückwirkungen, Bd. 2 592 Netzwerk, Bd. 2 525, Bd. 2 538 Netzwerkberechnung, Bd. 2 540 Neumann’sche Funktion, 307 Neumann’sche Funktion nullter Ordnung, 444 neutrale Faser, 376 Neutralisator, adaptiv, 891 Neutralpunkt, Bd. 3 1154 Newton’sche Fluide, Bd. 3 598 Newton’sche Flüssigkeit, 315 Newton’sche Flüssigkeiten, Bd. 2 717 Newton’scher Schubspannungsansatz, 311 Newton’sches Axiom, 368 2. Newton’sches Axiom, 275 nichtelektrische Messgrößen, Bd. 2 694 Nichtgleichgewichtszustände, 743 nichtlineare Schwingungen, 307 nichtlineares Fließgesetz, 315 Nicht-Newton’sche Fluide, Bd. 3 598 Nicht-Newton’sche Flüssigkeiten, 315, Bd. 2 717 nichtoxidkeramische Materialien., Bd. 3 659 nichtsymmetrische Querschnitte, 375 Nickel und Nickellegierungen, Bd. 2 170 Nickel-Metallhydrid-Batterie, Bd. 2 645, Bd. 3 1061 Nicken, Bd. 3 1045 Niederdruckkokillengießen, Bd. 2 835 Niederhubwagen, Bd. 3 398 Niedertemperaturheizkessel, Bd. 3 836 Nierenersatztherapie, Bd. 3 867 Nietformen, Bd. 2 211 Nietverbindungen, Bd. 2 211 Nockenwelle Antrieb der Nockenwelle, Bd. 3 81 hydraulischer Ventilspielausgleich, Bd. 3 81 obenliegende, Bd. 3 81 untenliegende, Bd. 3 80 Ventilbewegung, Bd. 3 81 Ventilquerschnitt, Bd. 3 82 Normalbeschleunigung, 258 normale Verbrennung, Bd. 3 92 Normalenrichtung, 257 Normalkraft, 368, Bd. 3 8 Normalkurven gleicher Lautstärkepegel, 880 Normalprojektion, Bd. 2 57 Normalschachtöfen, Bd. 3 605 Normalspannung, 353 Normalspannungshypothese, 361 Normaußentemperaturen, Bd. 3 774 Normblenden, Bd. 2 715 Normdüsen, Bd. 2 715 Normen ausländische, 922

1040 Bezugsquellen, 922 Normfarbtafel, Bd. 2 721 Norminnentemperaturen, Bd. 3 774 Notbremsassistent, Bd. 3 1072 Notlauf, Bd. 3 1047 Notlaufeigenschaften, Bd. 3 1048 Notrad, Bd. 3 1048 Notruf, automatischer, Bd. 3 1072 NPSH-Wert, Bd. 3 228 Blasenlänge, Bd. 3 229 Förderhöhenabfall, Bd. 3 229 geodätische Saughöhe, Bd. 3 229 geodätische Zulaufhöhe, Bd. 3 229 Materialverschleiß, Bd. 3 229 Schalldruckpegel, Bd. 3 229 Vergleichmäßigung der Zuströmung, Bd. 3 230 Wirkungsgradabfall, Bd. 3 229 nukleare Kraftwerke, Bd. 3 255 Druckwasserreaktoren, Bd. 3 255 halbtourige Turbinen, Bd. 3 256 Siedewasserreaktoren, Bd. 3 255 Nullhubdruckregler, Bd. 2 506 Nullpunktabweichung, Bd. 2 685 Nullung, Bd. 2 643 Nullwiderstand, Bd. 3 1156 numerische Simulation, Bd. 3 783 Nur-Luft-Anlagen, Bd. 3 812 Nußelt-Zahl, 813 Nutzarbeit, 275, Bd. 3 3, Bd. 3 74 Nutzbremsung, Bd. 3 396 Nutzenergie, Bd. 3 6, Bd. 3 943 Dampfprozess, Bd. 3 944 Einwellenanordnung, Bd. 3 944 Gasturbinen, Bd. 3 944 Gas- und Dampfturbinenprozesse, Bd. 3 944 Kraftwerksblöcke, Bd. 3 943 Wärmekraftwerke, Bd. 3 943 Zweiwellenkonstruktionen, Bd. 3 944 Nutzlast-Reichweiten-Diagramm, Bd. 3 1168, Bd. 3 1170 Nutzleistung, 330, Bd. 3 109 Kreisprozess, 787 Nutzliefergrad, Bd. 3 47 Nutzsenken, Bd. 3 398 Nutzungsgrad, Bd. 2 246, Bd. 3 836 Nutzwirkungsgrad, Bd. 3 76

O Oberdruckhammer, Bd. 2 1143 Oberfläche, Bd. 3 1045 technische, Bd. 2 50 Oberflächenanalytik, Bd. 2 728 Oberflächenkondensatoren, Bd. 3 668 Oberflächenkultivierung, Bd. 3 580 Oberflächenmesstechnik, Bd. 2 699 Oberflächenschichtverfahren, Bd. 2 711 Oberflächen-Mikromechanik, Bd. 2 959 Oberflächenzündung, Bd. 3 94 Oberflasche, Bd. 3 378

Stichwortverzeichnis Oberschwingungen, Bd. 2 531 Grundschwingungsgehalt, Bd. 2 531 Oberwagen, Bd. 3 390 Ofenkopf, Bd. 3 616 Ofenlöten mit Weich- und Hartloten, Bd. 2 1203 Ofentypen, Bd. 3 604 offener Kreislauf, Bd. 2 1069 offener Verdichter, Bd. 3 736 O-Gestell, Bd. 2 1081 Ohm’sches Gesetz, Bd. 2 524 Oktanzahl, Bd. 3 91 Ölabstreifringe, Bd. 3 19 ölbefeuerte Warmlufterzeuger, Bd. 3 827 Öleinspritzschmierung, Bd. 2 1095 Ölkreislauf, Bd. 2 1069 Ölpressverband, Bd. 2 200 Operationsverfahren, minimal-invasives, Bd. 3 877 Operationsverstärker, Bd. 2 675, Bd. 2 736 Optimierung, Bd. 2 1084 Optimierungsproblem, 223 optische Messgrößen, Bd. 2 719 optoelektronische Komponenten, Bd. 2 675 optoelektronische Wegaufnehmer, Bd. 2 704 Optokoppler, Bd. 2 675, Bd. 2 677 Organisationsformen der Montage, Bd. 2 992 organisch-chemische Analytik, Bd. 2 727 Orientierung, Bd. 2 987 Ort der Anwendung, Bd. 3 849 Orthogonalitätseigenschaften, 833 Ortskoordinate, 257 Ortskurve, Bd. 2 535, Bd. 2 768, Bd. 2 1053 Ortsvektor, 265 Ossbergerturbinen, Bd. 3 218 Ostwald-de Waele-Modell, Bd. 3 598 oszillierende Massenkräfte, Bd. 3 11 oszillierende Verdrängerpumpen, Bd. 3 31 Oszilloskope, Bd. 2 747 Ottomotor, 788, Bd. 3 98, Bd. 3 1058, Bd. 3 1061 Ozongefährdungspotenzial, Bd. 3 728

P Package, Bd. 3 1045, Bd. 3 1061, Bd. 3 1070, Bd. 3 1076 Packungskolonne, Bd. 3 531–Bd. 3 534 Arbeitsdiagramm, Bd. 3 531, Bd. 3 532 Bilanzlinie, Bd. 3 531 Gleichgewichtslinie, Bd. 3 531, Bd. 3 533 Stoffbilanzen, Bd. 3 532 Stoffübergangskoeffizienten, Bd. 3 533, Bd. 3 534 Trennstufen, Bd. 3 531, Bd. 3 533 volumenbezogene Phasengrenzfläche, Bd. 3 534 Wärmeübertragungsvorgänge, Bd. 3 532 Zahl der Übergangseinheiten, Bd. 3 531, Bd. 3 533 Padé, 204 Palette, Bd. 3 445 Palmgren/Miner, Bd. 3 337 Parabelfeder, Bd. 2 248 Parallelanströmung eines Kreiszylinders, 333 parallele A/D-Umsetzer, Bd. 2 740

Stichwortverzeichnis parallele Achsen, 371 Parallelepiped, 357 Parallelkinematik, Bd. 2 1080 Parallelreaktionen, Bd. 3 547 Parallelrechnersysteme, Bd. 2 800 Parallelschaltung, 296 Parallelströmung, 332 Parallelverschiebung, 264 Parameter, modale, 830, 831 Parameterermittlung, 849 parametererregte Schwingungen, 843 Parkbremse, Bd. 3 1120 Partikel, Bd. 3 115 Partikelfilter, Bd. 3 118 Partikelmesstechnik, Bd. 3 517 partikuläre Lösung, 295 Pass- und Scheibenfeder-Verbindungen, Bd. 2 208 Passfeder, Bd. 2 208, Bd. 2 209 passive Sicherheit, Bd. 3 1039 Passivkraft, Bd. 2 884 Passungen, Bd. 2 52, Bd. 2 54 Passungssysteme, Bd. 2 54 Pasten, 315 Patch, 893 Patchaktor, 893 Paternosterregal, Bd. 3 470 Patientenmonitoring, Bd. 3 859 Péclet-Zahl, 813 Pedalerie, Bd. 3 1045, Bd. 3 1068, Bd. 3 1076 Pegel der akustischen Transferfunktion, 885 Pegel der Körperschallfunktion, 885 Pegeldifferenz, 883 Pegelsumme, 883 Pellet, Bd. 3 595 Wachstum, Bd. 3 597 Peltier-Effekt, Bd. 2 542 Peltonturbine, Bd. 3 217 Druckstoß, Bd. 3 218 Freistrahldüse, Bd. 3 217 innengesteuerte Düsen, Bd. 3 217 Leistungsregulierung, Bd. 3 217 Strahlablenker, Bd. 3 218 Strahlkreisdurchmesser, Bd. 3 217 PEM-Brennstoffzelle, Bd. 3 1060 Pendelbecherwerke, Bd. 3 439 Pendelmomente, Bd. 2 600 Pendelschwingung, 297 Pendelunterdrückung, Bd. 3 384 Periodendauer, 879 peripherer Antrieb, Bd. 2 74 Peristaltikpumpe, Bd. 3 870 Permanentmagnet, Bd. 2 529 Oberflächenmagnet/vergrabener Magnet, Bd. 2 570 Permeabilität, Bd. 2 524, Bd. 2 666 Pervaporation, Bd. 3 529 Pfeilung, Bd. 3 1148 Pfeilwinkel, Bd. 3 1148 Pflanzenöl, Bd. 3 1058 pflanzliche Zellen, Bd. 3 568

1041 Phasendurchsätze, Bd. 3 531 Phasenumwandlung, 814 Phasen-Frequenzgang, 834 Phasenverschiebung, 295 Phenolharze, 634, Bd. 3 1176 photochemische Verfahren, Bd. 2 726 Photometer, Bd. 2 720 photometrische Größen, Bd. 2 719 Photovoltaik (PV), Bd. 2 647 pH-Wert, Bd. 2 726 physikalische Ähnlichkeit, 343 physikalische Konstanten, 909 physikalische Pendel, 280, 295 PID-Regler, Bd. 2 781 Piezoaktor, Bd. 2 798, Bd. 2 801 piezoelektrisch, 892, 893 piezoelektrische Kraftmesstechnik, Bd. 2 708 Piezoelektrizität, Bd. 2 542 piezoelektrische Wandler, Bd. 2 542 Piezokeramik, 892, 893 Pilze, Bd. 3 566 Pitotrohr, Bd. 2 715 Pitotrohr für Flüssigkeiten, 317 PI-Regler, Bd. 3 121 Pkw-Dieselmotor, Bd. 3 133 Pkw-Ottomotor, Bd. 3 130 Plancksches Strahlungsgesetz, 735 Planetengetriebe, Bd. 2 1074, Bd. 3 1066 Planetenrad, 269 Planiermaschinen, Bd. 3 507 Brustschild, Bd. 3 507 Grader, Bd. 3 508 Heckaufreißer, Bd. 3 507 Planierraupe, Bd. 3 507 Raddozer, Bd. 3 507 Schwenkschild, Bd. 3 507 Straßenhobel, Bd. 3 508 Tiltzylinder, Bd. 3 507 Planung von Messungen, Bd. 2 687 Plasma-Schmelzschneiden, Bd. 2 186 Plastifizierungsradius, 461 plastische Deformation, 362 plastischer Ausdehnungsbereich, 458 plastischer Bereich, 457 plastischer Stoß, 292 Platin, Bd. 3 1059 Platinenschneidanlage, Bd. 2 1127 Platin-Widerstandsthermometer, Bd. 2 718 Platte, 425 Platte mit Einzellast, 427 Plattenbandförderer, Bd. 3 452 Plattenbauweise, Bd. 2 1081 Plattendicke, 425 Plattenelement, 448 Plattenmodule, Bd. 3 539 Plattensteifigkeit, 425 Plattform, Bd. 2 39 Plattformfahrzeug, Bd. 3 401 Plattformstrategie, Bd. 2 39

1042 Pleuelstange, Bd. 3 15, Bd. 3 16, Bd. 3 127 Pleuelversatz bei V-Motoren, Bd. 3 16 Plungerkolben, Bd. 3 16 pneumatische Bremse, Bd. 3 1120 pneumatische Förderung, Bd. 3 555 Feststoffgeschwindigkeiten, Bd. 3 556 pneumatische Getriebe, Bd. 2 1070 Pneumohydraulik, Bd. 2 481 Poisson’sche Gleichung, 398 Poissonzahl, 359 polares Flächenmoment I p , 371 polares Trägheitsmoment, 285 polares Widerstandsmoment, 395 Polarimetrie, Bd. 2 721 Polarographie, Bd. 2 726 Polradspannung, Bd. 2 572 Polyacetalharze POM, 629 Polyacrylate PMMA, 630 Polyamide PA, 629 Polyaryletherketone, 632 Polycarbonat PC, 630 Polychloroprenkautschuke CR, 638 Polyester TP, thermoplastische, 630 Polyesterharze UP, ungesättigte, 634 Polyethylen PE, 632 Polyethylen-Harze, 327 Polygonprofil, Bd. 2 209 Polygonwellenverbindungen, Bd. 2 210 Polyimide PI, 632 Polymere, 627 Polymerlegierungen, 627 Polymer-Elektrolyt-Membran, Bd. 3 1059 Polynommatrix, 199 Polyphenylensulfid PPS, 632 Polyphenylether PPE, modifizierte, 630 Polyphtalamide, 632 Polypropylen PP, 633 Polystyrol PS, 631 Polysulfone PSU/PES, 631 Polytetrafluorethylen PTFE, 633 Polytrope, 778 Polyurethanelastomere PUR, 639 Polyvinylchlorid PVC, 633 Porenmembran, Bd. 3 867 Portal, Bd. 2 1078, Bd. 2 1080 Position, Bd. 2 987 Postprocessing, Bd. 2 1084 Potential, 240, 273 Potentialgleichung, 398 Potentialströmung, 330, 399 Potentialwirbel, 332 Power- und Free-Förderer, Bd. 3 440 Prandtl’sches Seifenhautgleichnis, 399 Prandtlstaurohr, Bd. 2 715 Prandtl-Zahl, 813, 816 Präzessionskegel, 291 Präzision, Bd. 2 688 Preprocessing, Bd. 2 1084 Pressen, Bd. 2 822

Stichwortverzeichnis Presshärten, Bd. 2 876 Presspassungen, 366 Pressschweißen, Bd. 2 159 Pressschweißverbindungen, Bd. 2 185 Pressstumpf- und Abbrennstumpfschweißen, Bd. 2 185 Pressverband, Bd. 2 196, Bd. 2 199–Bd. 2 202 Dauerfestigkeit, Bd. 2 201 elastisch, Bd. 2 199 elastisch-plastisch, Bd. 2 201 Entwurfsberechnung, Bd. 2 199 Feingestaltung, Bd. 2 203 Grobgestaltung, Bd. 2 202 Kerbwirkungszahlen, Bd. 2 201, Bd. 2 202 Klemmverbindungen, Bd. 2 199 Primärenergien Barwertmethode, Bd. 3 908 Heiz- und Brennwert, Bd. 3 917 leistungsabhängige Kosten, Bd. 3 908 leitungsgebundene Energien, Bd. 3 907 maximaler CO2 -Gehalt, Bd. 3 917 Sekundärenergie, Bd. 3 907 Steinkohleneinheiten (SKE), Bd. 3 917 Umwandlungswirkungsgrad, Bd. 3 908 Zündtemperatur, Bd. 3 917 Primärmontage, Bd. 2 991 Primärstruktur, Bd. 3 1182 Primärteil, Bd. 2 1060 Prinzip virtueller Arbeiten, 239, 392 Prinzip virtueller Kräfte, 392 Prinzip virtueller Verrückungen, 239, 394 Prinzip von d’Alembert und geführte Bewegungen, 276 Prinzip von Hamilton, 282 Prismenführungen, Bd. 2 1088 Produktansatz von Bernoulli, 304 Produktarchitektur, Bd. 2 36 Produktaufarbeitung, Bd. 3 574 Produktbildung, Bd. 3 574 Produktbildungskinetik, Bd. 3 599 Luedeking und Piret, Bd. 3 599 Produktentstehungsprozess, Bd. 3 1046 Produktfamilie, Bd. 2 35 Produktion, kundenspezifische, Bd. 3 1039 Produktlinie, Bd. 2 35 Produktprogramm, Bd. 2 35 Produktstruktur, Bd. 2 36 Produktstrukturierung, Bd. 2 35 Produktvariante, Bd. 2 35 Profildicke, 341 Profile, Bd. 3 331 halbovale Profile, Bd. 3 332 Hohlprofile, Bd. 3 331 I-Profile, Bd. 3 331 I-Träger, Bd. 3 331 Kastenprofile, Bd. 3 331 ovale Profile, Bd. 3 332 Schweißprofile, Bd. 3 331 T-Profile, Bd. 3 332 Walzprofile, Bd. 3 331

Stichwortverzeichnis Profilfräsen, Bd. 2 943 Profilkurve, 435 Profilschleifen, Bd. 2 947 Profilverschiebung, Bd. 2 396, Bd. 2 398 Profilwiderstand, 341 Profilwölbung, Bd. 3 1184 Programmierung CLDATA, Bd. 2 1115 DIN 66 025, Bd. 2 1115 EXAPT, Bd. 2 1115 ISO 14 649, Bd. 2 1116 Propellercharakteristik, Bd. 3 120 Propellerprofile, Bd. 3 241 Propellerschubkraft, 330 Propellerturbine, Bd. 3 1160 Proportionalitätsgrenze, 358 Proportionalventil Proportional-Druckventil, Bd. 2 500 Proportional-Wegeventile, Bd. 2 500 Prothese fremdkraftgetriebene, Bd. 3 882 kosmetische, Bd. 3 880 Prothesenschaft, Bd. 3 880 Prozess, 730 instationärer, 741 mit Reibung, 743 reversibler, 743 stationärer, 740 Prozessdatenverarbeitung, Bd. 2 799 Prozesskraft, 831, Bd. 2 1078 Prozessmembranpumpen, Bd. 3 36 Prozessrechner, Bd. 2 799 digitale Signalprozessoren, Bd. 2 800 Echtzeitprogramm, Bd. 2 799 Mikrocontroller, Bd. 2 800 Multiprozessorsysteme, Bd. 2 800 Multitasking, Bd. 2 799 Parallelrechnersysteme, Bd. 2 800 Transputer, Bd. 2 800 Prüfen, Bd. 2 683 Puffer, Bd. 3 381, Bd. 3 1111 elastische Kunststoffpuffer, Bd. 3 381 hydraulischePuffer, Bd. 3 381 Pulsationsdämpfung, Bd. 3 25 pulsierende Axiallast, 308 Pulsverfahren, Bd. 2 595 Raumzeigermodulation, Bd. 2 596 Unterschwingungsverfahren, Bd. 2 595 pulverbasierte Verfahren, Bd. 2 977 Pumpe, 342, Bd. 3 870 Pumpe – Leitung – Düse, Bd. 3 105 Pumpenbauart, Bd. 3 21 Pumpenförderstrom, Bd. 2 480 Pumpenleistung, 787 Pumpspeicherkraftwerke, Bd. 3 215 Pumpspeicherwerk, Bd. 3 217, Bd. 3 223 Drei-Maschinen-Satz, Bd. 3 223 Energiebilanz, Bd. 3 223 Nachtstrom, Bd. 3 217

1043 Spitzenstrom, Bd. 3 217 Vier-Maschinen-Satz, Bd. 3 223 Zwei-Maschinen-Satz, Bd. 3 223 Punktschweißen, Bd. 3 1043 Putzkühldecke, Bd. 3 817 P-Regler, Bd. 3 121 PVD-Verfahren, Bd. 2 971 Pyrometer, Bd. 2 718

Q Quad, Bd. 3 1037 Quadricycle, Bd. 3 1037 Quantisierungsfehler, Bd. 2 739 Quellluftdurchlass, Bd. 3 781 Querbalken, Bd. 2 1078 Querbeschleunigung, Bd. 3 1056 Querdehnung, 359, 377 Quergurtsorter, Bd. 3 451 Querkontraktionszahl, 506 Querkraft, 368 Querkraftbiegung, 376 Querkraftfläche, 369 Querrippen, Bd. 2 1083 Querruder, Bd. 3 1152, Bd. 3 1183 Querschotten, Bd. 2 1083 Querstapler, Bd. 3 400, Bd. 3 401 Querstift, Bd. 2 209 Querstromspülung, Bd. 3 86 Querteilanlage, Bd. 2 1126 Quer-Schraubschleifen, Bd. 2 935

R R134a, 773 R152a, 773 Rachenlehren, Bd. 2 699 Rad, Bd. 3 1046 RADAR, Bd. 3 1055, Bd. 3 1072 Radar, Bd. 2 696 Radarme, Bd. 3 400 Radarmstapler, Bd. 3 400 Radaufhängung, Bd. 3 1049 Radaufstandsfläche, Bd. 3 400 Radbauarten, Bd. 3 1094 Radschallabsorber, Bd. 3 1095 Raddrehzahl, Bd. 3 1056 Radführung, Bd. 3 1045 Radialbelastung, 370 radiale gleichmäßige Streckenlast, 428 radiale Laufradbauarten, Bd. 3 272 geschlossenes 2D-Laufrad, Bd. 3 272 geschlossenes 3D-Laufrad, Bd. 3 273 Laufradfestigkeit, Bd. 3 275 Laufradherstellung, Bd. 3 274 Laufradverwendung, Bd. 3 273 offenes Laufrad, Bd. 3 273 radiale Streckenlast innen und außen, 429 radiale Verdichterbauarten, Bd. 3 275

1044 Einwellenverdichter, Bd. 3 275 Mehrwellen-Getriebeverdichter, Bd. 3 278 Radialgleitlager, instationär belastete, Bd. 2 338 Radialkolbenmaschine, Bd. 2 485 Radialkolbenmotor, Bd. 2 493 Radialkolbenpumpe, Bd. 2 492 Radnabenmotor, Bd. 2 493 Radialluft, Bd. 2 308 Radialreifen, Bd. 3 1047 Radialverdichter, Bd. 3 270, Bd. 3 865 Stufenzahlen, Bd. 3 270 Radialverschiebung w, 390 Radio Frequency Identification, Bd. 3 491 Radiophotolumineszenzdetektoren, Bd. 2 723 Radlader Knicklenkung, Bd. 3 504 Nickschwingungen, Bd. 3 505 Radlager, Bd. 3 1045, Bd. 3 1049 Radlast, Bd. 3 1046 Radlastschwankung, Bd. 3 1058 Radlastverhältnis, Bd. 3 1113 Radnabenmotor, Bd. 2 493 Radstand, Bd. 3 1046 Radträger, Bd. 3 1045, Bd. 3 1049 Rad-Schiene-Kräfte, Bd. 3 1129 Raketenmasse, 282 Raketenschubkraft, 330 Ramanspektrometrie, Bd. 2 727 Randbedingungen, 389 Randelemente, 452 Rankine-Skala, 734 Rapsöl-Methyl-Ester, Bd. 3 1058 Rasterelektronenmikroskop, Bd. 2 699 Rastersondenmikroskop, Bd. 2 700 Raster- und Grauwertkorrelationsverfahren, Bd. 2 711 Rastpolkegel, 266 Rattern, Bd. 2 1053 Rauchgrenze, Bd. 3 110 Rauheitsprofilkurven, Bd. 2 700 Rauhigkeit der Rohrwand, 319 Raum und Zeit Einheiten, 907 Räumen, Bd. 2 895 raumfeste Achse, 264 räumliche Bewegung, 263 räumliche Fachwerke, 247 räumlicher und ebener Spannungszustand, 459 raumlufttechnische Anlagen, Bd. 3 810 Räummaschinen, Bd. 2 1176 Innen- und Außenräummaschinen, Bd. 2 1176 Senkrecht-, Waagerecht- und HubtischRäummaschinen, Bd. 2 1176 Raumnutzungsgrad, Bd. 3 474 Räumschild, Bd. 3 397 Raumsystem Karussellbauweise, Bd. 2 76 Linienbauweise, Bd. 2 76 Tischbauweise, Bd. 2 76 Trommelbauweise, Bd. 2 76 Wandbauweise, Bd. 2 76

Stichwortverzeichnis Raumzeigermethode, Bd. 2 564 Rayleigh-Quotient, 223, 303 RBG, Bd. 3 467 Reaktionsenthalpie, Bd. 3 543 Bildungsenthalpie, Bd. 3 543 Reaktionsgeschwindigkeit, Bd. 3 545 Reaktionsharzbeton, Bd. 2 1081 Reaktionskinetik, Bd. 3 541 Reaktionskräfte, 231, 353 reaktive Strukturintensität, 896 reale Gase, 755 realer Arbeitsprozess, Bd. 3 76 Realgasfaktor, 752, Bd. 3 41 von Wasserdampf, 752 rechnerunterstützte Messsignalverarbeitung, Bd. 2 741 Rechteckgewinde, 254 Rechteckmembran, 305 Rechteckplatte, 426, 443, 886 rechtes Schnittufer, 368 Rechtsschraube, 231, 264, 375 Recycling, Bd. 3 1039 Reduktion, 235 reduzierte Knicklänge, 437 reduzierte Masse, 286 Referenzmaterialien, Bd. 2 726 Referenzspannungen, Bd. 2 667 Reflexionsgesetz, 293 Reflexionsgrad, Bd. 2 720 Reformer-Gas, Bd. 3 1059 Refraktometrie, Bd. 2 721 Regalbediengerät, Bd. 3 467 Regallägern, Bd. 3 399 Regel- und Stellsysteme, Bd. 2 506 automotive Steuerung, Bd. 2 507 Nullhubdruckregler, Bd. 2 506 pumpendrehzahlgesteuertes Verstellsystem, Bd. 2 506 Sekundärregelung, Bd. 2 506 Regelgröße, Bd. 2 779 Regelgrößen im Bioreaktor, Bd. 3 583 Regelgütekriterium, Bd. 2 607 Regelkreis, Bd. 2 779 Einstellregeln, Bd. 2 787 Führungsverhalten, Bd. 2 784 Rauschverhalten, Bd. 2 783 Signalskalierung, Bd. 2 788 Stabilität, Bd. 2 785 Störgrößenaufschaltung, Bd. 2 789 Störungsverhalten, Bd. 2 783 Übertragungsverhalten, Bd. 2 780 Regelorgane, Bd. 3 695 Regelstrecke, Bd. 2 774 Regeltransformator, Bd. 2 552 Regelung, 891, Bd. 2 759, Bd. 3 59, Bd. 3 121, Bd. 3 808 Aussetzregelung, Bd. 3 59 Bypassregelung, Bd. 3 60 Drehzahlregelung, Bd. 3 59 Leerlaufregelung mit Saugventilabhebung, Bd. 3 61 Regelung durch Saugventil-Abhebung, Bd. 3 60

Stichwortverzeichnis Saugdrosselregelung, Bd. 3 60 Schieberregelung, Bd. 3 61 Staudruckregelung, Bd. 3 61 Zuschaltraumregelung, Bd. 3 60 Regelungsarten, Bd. 3 281 Bypass-Regelung, Bd. 3 283 Drehzahlregelung, Bd. 3 282 Eintrittsleitschaufelregelung, Bd. 3 283 Saugdrosselregelung, Bd. 3 282 Regelungstechnik, Bd. 2 755 Regelventil, Bd. 3 834 regenerative Energien, Bd. 3 932 Biogas, Bd. 3 936 Biomasse, Bd. 3 936 geothermische Energie, Bd. 3 935 Mülldeponien, Bd. 3 936 Wasserenergie, Bd. 3 932 Windenergie, Bd. 3 933 Regenerativeffekt, Bd. 2 1053 regenerativer Wärmeübergangskoeffizient, Bd. 3 635 Regeneratorbrenner, Bd. 3 641 Regenerierung, Bd. 3 537 Regensensor, Bd. 3 1057, Bd. 3 1068 Regler, Bd. 3 121, Bd. 3 1080 reguläre Präzession, 291 Regulierbremsung, Bd. 3 1120 Reibarbeit, Bd. 3 74 Reibbelag, Bd. 3 1053 Reibgetriebe, Bd. 2 1068 Reibschlussverbindungen, Bd. 2 196, Bd. 2 200 Reibschweißen, Bd. 2 164 Rotationsreibschweißen, Bd. 2 164 Rührreibschweißen, Bd. 2 164 Reibung, 250 Reibung am Keil, 253 Reibungskegels, 251 Reibungskraft, 274 Reibungskupplungen, Bd. 2 267 Reibungsverhalten, Bd. 2 1089 Reibungswiderstand, 336 Reibungswiderstand an rotierenden Scheiben, 337 Reibwinkel, 254 Reichweite, Bd. 3 1163 Reifen, Bd. 3 1046, Bd. 3 1053 Reifendruck, Bd. 3 1048 Reifendrucküberwachung, Bd. 3 1057 Reifendrucküberwachungssystem, Bd. 3 1048 Reifenrollradius, dynamischer, Bd. 3 1048 Reifenumfangskraft, Bd. 3 1053 Reihenschaltung, 296 reine Räume, Bd. 3 778 reines Biegeknicken, 441 Reinigen, Bd. 2 879 Reinigung des Hydraulikmediums, Bd. 2 503 Reinraumbedingungen, Bd. 3 778 Reiseflug, Bd. 3 1161 Rekonstruktion, Bd. 3 854 Rektifikation, Bd. 3 531, Bd. 3 532, Bd. 3 534 Vielstoffgemische, Bd. 3 532

1045 Rektifikator, Bd. 3 529 rektifizieren, Bd. 3 529 Rekuperation von Bremsenergie, Bd. 3 1062, Bd. 3 1074 Rekuperatorbrenner, Bd. 3 641 Relativbeschleunigung ar , 268 Relativbewegung, 268 Relativgeschwindigkeit, 268 Relaxation, 458 Reluktanzmotor, synchrongeschaltet, Bd. 2 570 Resektionsschablone, Bd. 3 877 Reserverad, Bd. 3 1048 Resonanzbild, 300 Resonanzeffekte, 832 Resonanzerscheinungen, 829 Resonanzfall, 834 Resonanzstellen, 300 Resonanzverhalten, 299 Restfeuchte, Bd. 3 538 Restitutionsperiode R, 292 Restklemmkraft, Bd. 2 222 Restspannung, 459 Resultierende der Schubspannung, 379 resultierende Druckkraft, 312 resultierende Verschiebung, 389 reversibel, 738 reversible Reaktion, Bd. 3 547 Reynolds-Zahl, 318, 813 RFID, siehe Radio Frequency Identification Rheologie, Bd. 3 598 rheopexen Flüssigkeiten, 327 Rhythmusstörung bradykarde, Bd. 3 866 tachykarde, Bd. 3 866 Richtigkeit, Bd. 2 688 Richtung, Bd. 3 11 Ride, Bd. 3 1045 Riemenbauarten, Bd. 2 365 Entwurfsberechnung, Bd. 2 365 Riemengetriebe Bemessungsleistung, Bd. 2 363 gekreuztes, Bd. 2 362 geschränktes, Bd. 2 362 offenes, Bd. 2 361 Riemenlauf, Bd. 2 363 Riementrieb, 254, Bd. 2 1067, Bd. 3 1069, Bd. 3 1073, Bd. 3 1074 Riemenvorspannung, Bd. 2 363 Riemenwerkstoffe, Bd. 2 365 Ringfedern, Bd. 2 248 Ringfederspannsatz, Bd. 2 196 Ringschachtöfen, Bd. 3 605 Ringspule, Bd. 2 666 Ringträger, Bd. 3 126 Ringwirbel, 331 Rissfortschrittsverhalten, 516 Risswachstum, Bd. 3 1170 Ritter’sches Schnittverfahren, 245 Ritzel-Zahnstange-Trieb, Bd. 2 1073 RLT-Systeme, Bd. 3 811

1046 RME, Bd. 3 1058 Roboter Betriebsarten, Bd. 2 1213 Dynamisches Modell, Bd. 2 1209 Kalibrierung, Bd. 2 1210 Kaskadenregelung, Bd. 2 1211 Kinematisches Modell, Bd. 2 1208 Kraftregelung, Bd. 2 1213 Leistungskenngrößen, Bd. 2 1210 Mechatronischer Aufbau, Bd. 2 1208 Nachgiebigkeitsregelung, Bd. 2 1213 Offline-Verfahren, Bd. 2 1215 Online-Verfahren, Bd. 2 1214 Play-Back, Bd. 2 1214 Programmierung, Bd. 2 1214 Regelungsverfahren, Bd. 2 1211 Teach-In, Bd. 2 1214 Vorsteuerung, Bd. 2 1212 Robotersteuerung, Bd. 2 1211 Rohrbogen unter Innendruck, 431 Rohrbündel, 816 Rohre, Bd. 3 688 Arten, Bd. 3 688 aus Kunststoff, Bd. 3 689 aus NE, Bd. 3 689 Druckverluste, Bd. 3 705 Gusseisen, Bd. 3 689 Normen, Bd. 3 688 Stahl, Bd. 3 688 Verbindungen, Bd. 3 689 Werkstoffe, Bd. 3 688 Rohreinläufe, 323 Rohrkrümmern, 815 Rohrleitungen, Bd. 3 673, Bd. 3 687 Armaturen, Bd. 3 695 Geschwindigkeiten, Bd. 3 705 Halterungen, Bd. 3 692 Strömungsverluste, Bd. 3 688 wirtschaftlicher Rohrdurchmesser, Bd. 3 688 Rohrleitungselemente, 322 Rohrnetz, Bd. 3 831 Rohrnetzberechnung, Bd. 3 832 Rohrreibungszahl, 319 Rohrreihe, 816 Rohrverbindungen Kunststoffrohre, Bd. 3 691 Muffenverbindungen, Bd. 3 690 Schweißverbindungen, Bd. 3 690 Steckverbindungen, Bd. 3 690 Verschraubung, Bd. 3 690 Werkstoffe, Bd. 3 691 Rohrverzweigungen und -vereinigungen, 322 Röllchenbahn, Bd. 3 449 Rollenbahn angetrieben, Bd. 3 448 Rollendrehverbindungen, Bd. 3 384 Rollenkette, Bd. 2 1068 Rollenlager, Bd. 2 1071 Rollenöfen, Bd. 3 605 Rollenpumpe, Bd. 3 870

Stichwortverzeichnis Rollfügen, Bd. 2 193 Rolling, Bd. 3 616 Rollkegel, 266 Roll-Wende-Moment, Bd. 3 1152 Rollwiderstand, 255, Bd. 3 1047, Bd. 3 1048, Bd. 3 1078 Röntgendetektor, Bd. 3 852 röntgenographische Spannungsmessung, Bd. 2 712 Röntgenröhre, Bd. 3 852 Roots-Gebläse, Bd. 3 39, Bd. 3 54 Rotation, 264, 265 Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse, 283 Rotationsenergie, 739 Rotationsfreiheitsgrade, 266 Rotationskolbenmaschinen, Bd. 3 3 Rotationspumpe, Bd. 3 870, Bd. 3 872 Rotationsschalen, 430 Rotationssymmetrie, 425 rotationssymmetrischer Spannungszustand, 416 Rotationstauscher, Bd. 3 799 Rotationsverdichter, Bd. 3 53, Bd. 3 66 Rotationsviskosimeter, Bd. 2 717 rotierende Massenkräfte, Bd. 3 11 Rotor, Bd. 2 1055 rotorfrei, 330 Rotorschwingungen, 829 Ruck, Bd. 2 616 Rückfederung, Bd. 2 870 Ruckgleiten, Bd. 2 1089 Rückhaltesystem, Bd. 3 1069, Bd. 3 1083 Rückschlagklappen, Bd. 3 834 Rückwärtssperrspannung, Bd. 2 672 Rückwärtssperrstrom, Bd. 2 672 ruhendes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl, 341 Rührkesselreaktor, Bd. 3 547, Bd. 3 580 Rumpfstruktur, Bd. 3 1179 Rundheit, Bd. 2 802 Rundlauffehler, Bd. 2 802 Rundstabgitter, 324 Rußbildung, Bd. 3 95 Rutschen, Bd. 3 454 Rütteln, Bd. 2 822

S Sachmerkmale, Bd. 2 59 Sachnummernsysteme, Bd. 2 58 Identnummer, Bd. 2 58 Klassifikationsnummer, Bd. 2 58 Verbundnummer, Bd. 2 59 Safe-Life-Philosophie, Bd. 3 1170 Sägen, Bd. 2 896 Säge- und Feilmaschinen, Bd. 2 1178 Bandsäge- und Bandfeilmaschinen, Bd. 2 1179 Bügel-/Hubsäge- und Hubfeilmaschinen, Bd. 2 1178 Kreissägemaschinen, Bd. 2 1179 Sammelfehlerprüfung, Bd. 2 699 Sandwichbauweise, Bd. 3 1175 Sattelauflieger, Bd. 3 1038, Bd. 3 1081 Sattelkraftfahrzeug, Bd. 3 1038

Stichwortverzeichnis Sättigungsdruck, 753 Sättigungstemperatur, 753 Sättigungszustand, 753 Satz von Betti, 453 Satz von Castigliano, 391 Satz von den zugeordneten Schubspannungen, 376 Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen, 354 Satz von Kutta-Joukowski, 333 Satz von Maxwell, 402 Satz von Steiner, 286, 371 Satzräderverzahnung, Bd. 2 391 Saugkörbe, 324 Saugrohr-Benzin-Einspritzung, Bd. 3 99 diskontinuierliche Einspritzung, Bd. 3 99 Einzelsaugrohreinspritzung, Bd. 3 99 kontinuierliche Einspritzung, Bd. 3 99 Zentraleinspritzung, Bd. 3 99 Scanning-Probe-Mikroskope (SPM), Bd. 2 802 Scanning-Tunneling-Mikroskop (STM), Bd. 2 801 Schaben, Bd. 2 945 Schabschleifen, Bd. 2 948 Schachtlüftung, Bd. 3 809 Schachtöfen, Bd. 3 605, Bd. 3 625 Schadstoffkennwerte, 916 Schadstoffreduzierung, Bd. 3 115 Schadstofftransport, Bd. 3 816 Schalen, 430 Schalenbauweise, Bd. 3 1173 Schalendicke, 430 Schalenelement, 448 Schalenfläche, 430 Schalenkupplung, Bd. 2 268 Schall, 879 Flüssigkeitsschall, 879 Hörschwelle, 880 Körperschall, 879 Luftschall, 879 Schalldruck, 879 Schmerzschwelle, 880 Schallabstrahlung, 890 Schallausbreitungsgeschwindigkeit, 880 Schalldruck, 879, Bd. 2 723 Schalldruckpegel, 880 Schallemission, 881 Schallenergiegrößen, Bd. 2 723 Schallfeldgrößen, Bd. 2 723 Schallgeschwindigkeit, 780, 880, Bd. 3 1143 Schallimpedanz, 881 spezifische, 881 Schallintensität, 881, Bd. 2 724 Schallintensitätspegel, 881 Schallkennimpedanz, spezifische, 881 Schallleistung, 881, 920, Bd. 2 723 Schallleistungspegel, 881 Schallpegel, Bd. 2 724 Schallschnelle, 880, Bd. 2 723 Schallsensoren, Bd. 2 724 Schalltechnik, Größen, 912

1047 Schaltanlagen, Bd. 2 638 Schaltanzeige, Bd. 3 1072 Schaltbetrieb, Bd. 2 669 Schaltgeräte, Bd. 2 638 Schaltkupplungen kraft-(reib-)schlüssige, Bd. 2 280 reibschlüssige, Bd. 2 282 reibschlüssige, Ansprechverzug, Bd. 2 283 reibschlüssige, Anstiegszeit, Bd. 2 283 reibschlüssige, Auslegung, Bd. 2 284 reibschlüssige, Beschleunigungsmoment, Bd. 2 283 reibschlüssige, Drehmomentstöße, Bd. 2 284 reibschlüssige, dynamische Schaltarbeit, Bd. 2 283 reibschlüssige, einmalige Schaltung, Bd. 2 284 reibschlüssige, Kühlung und Wärmeabfuhr, Bd. 2 284 reibschlüssige, Lastmoment, Bd. 2 283 reibschlüssige, Leerlaufmoment, Bd. 2 283 reibschlüssige, mehrmaliges Schalten, Bd. 2 284 reibschlüssige, Reibflächenpressung, Bd. 2 284 reibschlüssige, Schalthäufigkeit, Bd. 2 284 reibschlüssige, Schaltmoment, Bd. 2 283 reibschlüssige, Schaltvorgang, Bd. 2 282 reibschlüssige, statische Schaltarbeit, Bd. 2 283 reibschlüssige, Synchronmoment, Bd. 2 283 reibschlüssige, Wärmekapazität, Bd. 2 284 Schaltsaugrohre, Bd. 3 87 Schaltung und Steuerung, Bd. 3 808 Schaltungen von Federn, 296 Schamottesteine, Bd. 3 659 Schattenbildverfahren, Bd. 2 698 Schattenfläche, 337 Schätzwerte, Bd. 2 688 Schaufellader, Bd. 3 504 Baggerlader, Bd. 3 506 Kompaktlader, Bd. 3 506 Parallelogramm-Kinematik, Bd. 3 504 Radlader, Bd. 3 504 Raupenlader, Bd. 3 506 Z-Kinematik, Bd. 3 504 Schaufeln, 341, Bd. 3 400 Schaufeln und Profile im Gitterverband, 341 Schäumverfahren Reaktionsschaumguss, 648 Thermoplastschaumguss, 648 Schaumzerstörung, Bd. 3 583 Scheibe, 266, 428, Bd. 3 1068 Scheiben gleicher Festigkeit, 435 Scheiben veränderlicher Dicke, 435 Scheibenbremse, Bd. 3 1053, Bd. 3 1054 Scheibenelement, 448 Scheibenfeder, Bd. 2 208, Bd. 2 209 Scheibenkolben, Bd. 3 15 Scheibenkupplung, Bd. 2 268 Scheibenläufer, Bd. 2 1057 Scheibenrührer, Bd. 3 581 Scheibenwischer, Bd. 3 1068 Scheinleistung, Bd. 2 532 Schenkelfedern, Bd. 2 250

1048 Scherbeanspruchung, 366 Scheren, Bd. 2 913 Scherrate, Bd. 3 598 Scherschneiden, Bd. 2 914 Scherwinkel, Bd. 2 880 Scherzone, Bd. 2 880 Schichtlademotor, Bd. 3 97 Schichtriemen, Bd. 2 365 Schieber, Bd. 3 83 Bauformen, Bd. 3 698, Bd. 3 699 Drehschieber, Bd. 3 699 Schieberadgetriebe, Bd. 2 1064 Schieberventil, Bd. 2 495 Drehschieberventil, Bd. 2 494 Längsschieberventil, Bd. 2 495 Schiebeschuhsorter, Bd. 3 452 Schiebung, 264 schiefe Biegung, 375 schiefer Stoß, 292 schiefer Wurf, 261 schiefer zentraler Stoß, 293 Schiene, Bd. 3 1093 Schienenfahrzeuge, Fahrzeugbegrenzungsprofil, Bd. 3 1090 Schiffspoller bei laufendem Seil, 254 Schiffspropeller, Bd. 3 241 Aktivruder, Bd. 3 242 Azimuthing Podded Drive, Bd. 3 242 Bugsierfahrzeug, Bd. 3 243 Flügelverstellung, Bd. 3 241 hydraulischer Servomotor, Bd. 3 241 Kort-Düse, Bd. 3 242 Querstrahlruder, Bd. 3 242 Schub, Bd. 3 243 Schubsteuerung, Bd. 3 243 schwenkbarer Düsenpropeller, Bd. 3 242 Strahlantriebe, Bd. 3 242 Verstellpropeller, Bd. 3 241 Voith-Schneider-Propeller, Bd. 3 242, Bd. 3 243 Zykloidenpropeller, Bd. 3 242 Schlankheit, 438 Schlaufenreaktor, Bd. 3 582 Schleifen Schleifen mit rotierendem Werkzeug, Bd. 2 902 Schleifmaschinen, Bd. 2 1180 Bandschleifmaschinen, Bd. 2 1185 Koordinatenschleifmaschinen, Bd. 2 1183 Kugelschleifmaschinen, Bd. 2 1184 Planschleifmaschinen, Bd. 2 1180 Profilschleifmaschinen, Bd. 2 1181 Rundschleifmaschinen, Bd. 2 1182 Schleifzentren, Bd. 2 1185 Schraubenschleif-/Gewindeschleifmaschinen, Bd. 2 1184 Sonderschleifmaschinen, Bd. 2 1185 Unrund- und Exzenterschleifmaschinen, Bd. 2 1183 Verzahnungsschleifmaschinen, Bd. 2 1183 Werkzeugschleifmaschinen, Bd. 2 1184 Schleifringläufer, Bd. 2 1055

Stichwortverzeichnis Schleifscheibe, Bd. 2 903 Schlepper, Bd. 3 403 Schlepphebel, Bd. 3 81 Schleppkreisförderer, Bd. 3 440 Schleudergießen, Bd. 2 841 Schlitzschienen, Bd. 3 783 Schlitzsteuerung, Bd. 3 83 Schlupf, Bd. 2 565, Bd. 2 803, Bd. 3 1046, Bd. 3 1079 Schmalführung, Bd. 2 1088 Schmalgangstapler, Bd. 3 401 Schmalkeilriemen, Bd. 2 368 Schmelzdruckkurve, 758 Schmelzenthalpie, 758, 775 Schmelzkerntechnik, 646 Schmelzöfen, Bd. 3 608 Schmelzpunkt Gallium, 736 Schmelztemperatur, 775 Schmerzschwelle, 880 Schmieden, Bd. 2 856 Schmiegungsebene, 257 Schmiermittelreibung, 335 Schmierölkreislauf, Bd. 3 19 Schmierung, Bd. 2 296, Bd. 2 1090, Bd. 3 19 Fettgebrauchsdauern, Bd. 2 296 Schnecke, Bd. 2 949 Schneckenförderer, Bd. 3 444 Schneckenräder, Bd. 2 935 Schneckenradsatz, Bd. 2 389 Schneckenrohrförderer, Bd. 3 446 Schneidbedingungen, Bd. 2 185 Schneiden, Bd. 2 913 Schneidspalt, Bd. 2 915, Bd. 2 925 Schneidstoffe, Bd. 2 897 Schnellbahnsystem TRANSRAPID, Bd. 2 581 Schnellbremsung, Bd. 3 1120 Schnelle, 880 Schnellepegel, 880 schnelllaufender Hochleistungsdieselmotor, Bd. 3 134 Schnittbewegung, Bd. 2 1050 Schnittgeschwindigkeit, Bd. 2 883, Bd. 2 895, Bd. 2 1051 optimale Schnittgeschwindigkeit, Bd. 2 886 Schnittgrat, Bd. 2 918 Schnittgrößen, Bd. 2 176 Schnittkraft, Bd. 2 884, Bd. 2 892 Schnittlasten, 368 Schnittlasten am geraden Träger in der Ebene, 368 Schnittlasten an abgewinkelten und gekrümmten ebenen Trägern, 370 Schnittlasten an räumlichen Trägern, 370 Schnittschlagdämpfung, Bd. 2 1128 Schnittstelleneigenschaften, Bd. 2 688 Schnürle-Umkehrspülung, Bd. 3 86 Schrägbett, Bd. 2 1078 Schrägkugellager, Bd. 2 1095 Schräglauf, Bd. 3 1047 Schräglaufkräfte, Bd. 3 381 Führungsmittel, Bd. 3 381

Stichwortverzeichnis Gleichlaufregelung, Bd. 3 383 Gleitpol, Bd. 3 381 Schräglaufwinkel, Bd. 3 382 Spurführungskraft, Bd. 3 381 Schräglaufwinkel, Bd. 3 1046, Bd. 3 1051, Bd. 3 1079 Schrägstirnräder, Bd. 2 392 Schränkung, Bd. 3 11, Bd. 3 1148 Schraube, 254 Dauerhaltbarkeit, Bd. 2 229 Schrauben, Bd. 2 229 Schraubenarten, Bd. 2 215 Gewindestifte, Bd. 2 216 Schraubenbewegung, Bd. 2 213 Schraubendruckfedern, Bd. 2 254, Bd. 2 258 Dauerfestigkeitsschaubild, Bd. 2 258 progressive, Bd. 2 256 Schraubenfeder, Bd. 3 1050 Schraubenkupplung, Bd. 3 1111 Schraubenlinien, 395 Schraubensicherungen formschlüssige, Bd. 2 230 reibschlüssige, Bd. 2 231 sperrende, Bd. 2 231 Schraubenverbindungen, Bd. 2 216, Bd. 2 229 Auslegung, Bd. 2 225 Betriebsbelastungen, Bd. 2 225 Dauerfestigkeitsberechnung, Bd. 2 225 Durchsteckschraube, Bd. 2 216 Kopfschraube, Bd. 2 216 Sicherung, Bd. 2 229 Sicherungselemente, Bd. 2 230 Stiftschraube, Bd. 2 216 Schraubenverdichter, Bd. 3 49, Bd. 3 51, Bd. 3 64, Bd. 3 738 Schraubenwerkstoffe, Bd. 2 217 Schraubenzugfedern, Bd. 2 258 Schraubenzusatzkraft, Bd. 2 221 Schraubradpaar, Bd. 2 389 Schreiber, Bd. 2 747 Schreitwerke, Bd. 3 320 Schrittmotor, Bd. 2 577, Bd. 2 1058 Schrumpfscheiben-Verbindung, Bd. 2 200 Schub der Rakete, 282 Schub und Torsion, 401 Schubbelastungsgrad, 330 Schubdurchsenkung, 390 Schubfeldschema, Bd. 3 1174 Schubfluss, 379, 398 Schubflusskräfte, 379 Schubgabelstapler, Bd. 3 400 Schubkraft, Bd. 2 580 Schubkurbelpresse, Bd. 2 1136 Schubmaststapler, Bd. 3 400 Schubmittelpunkt, 370, 379 Schubmodul G, Bd. 2 259 Schubplattformförderer, Bd. 3 452 Schubspannung, 353, Bd. 3 598 Schubspannungen in Verbindungsmitteln bei zusammengesetzten Trägern, 379

1049 Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Träger, 376 Schubspannungshypothese, 361 Schubspannungsverteilungen, 377 Schubstange, 267, Bd. 3 15 Schubstapler, Bd. 3 400 schubstarre Biegebalken, 394 Schubwinkel, Bd. 3 1180 Schuppenförderer, Bd. 3 453 Schüttgüter, Bd. 3 316 Schüttgutschaufel, Bd. 3 397 Schüttwinkel, Bd. 3 616 Schutzerdung, Bd. 2 643 Schutzgasschweißen, Bd. 3 1043 Schutzisolierung, Bd. 2 642 Schutzkleinspannung, Bd. 2 642 Schutztrennung, Bd. 2 642 schwache Dämpfung, 298 Schwachstellenanalyse, Bd. 2 1052 Schwalbenschwanzführungen, Bd. 2 1088 Schwebegeschwindigkeit von Teilchen, 337 Schwebstofffilter, Bd. 3 802 Schwebung, 299 Schwefelgehalt, Bd. 3 92 Schweißbarkeit, Bd. 2 156 Aluminiumdruckguss, Bd. 2 169 Aluminiumknetwerkstoffe, Bd. 2 169 Gusseisen, Bd. 2 169 Kupfer, Bd. 2 170 Nichteisenmetalle, Bd. 2 169 Temperguss, Bd. 2 169 Schweißeignung von Stahl, Bd. 2 165 werkstoffbedingte Bruchgefahren, Bd. 2 166 werkstoffbedingte Einflüsse, Bd. 2 165 Schweißen, Bd. 2 155 Schweißenergiequellen, Bd. 2 1200, Bd. 2 1201 Schweißsicherheit, Bd. 2 166 Aufhärtung, Bd. 2 167 Eigenspannungszustand, Bd. 2 167 Fertigungsbedingte, Bd. 2 167 Richten von Konstruktionsteilen, Bd. 2 167 Schrumpfung der Schweißnähte, Bd. 2 167 Schweißfolge, Bd. 2 168 Schweißpositionen, Bd. 2 168 Sprödbruchgefahr, Bd. 2 167 Schweißverfahren, Bd. 2 155 Gasschmelzschweißen (Autogenschweißen), Bd. 2 159 Lichtbogenschmelzschweißen, Bd. 2 159 Pressschweißen, Bd. 2 159 Schutzgasschweißen, Bd. 2 159 Strahlschweißen, Bd. 2 159 Verbindungsmöglichkeiten, Bd. 2 155 Verfahren, Bd. 2 156 Wärmequellen, Bd. 2 156 Widerstandspressschweißen, Bd. 2 159 Widerstandsschmelzschweißen, Bd. 2 159 schwellende Beanspruchung, 367 Schwenkschiebetür, Bd. 3 1106

1050 Schwenkschubgabel, Bd. 3 401 Schwerachse, 381 schwerer Kreisel, 291 Schwerkräfte, 273 Schwerkraftentleerung, Bd. 3 437 Schwerkraftförderer, Bd. 3 316 Schwerkraftinfusionssystem, Bd. 3 870 Schwerpunkt, 249, 371 Schwerpunktsatz, 278 Schwimmerregler, Bd. 3 741 Schwimmstabilität, 313 schwingende Beanspruchung, 362, Bd. 2 181 Strukturspannungskonzept, Bd. 2 183 schwingende Belastung, Bd. 2 175 Schwinger, 282 Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder Rückstellkraft, 307 Schwingfestigkeitsklassen, Bd. 2 182 Schwingförderer, Bd. 3 446 Maschinenkennziffer, Bd. 3 447 Schüttelrutsche, Bd. 3 446 Schwingrinne, Bd. 3 446 Wurfkennziffer, Bd. 3 446 Schwingfreudigkeit, 886 Schwingkreise, Bd. 2 535 Schwingung, 829, 879, Bd. 2 563, Bd. 2 893 erzwungene, 843, 853, 857, 861 freie, 843 parametererregte, 843 periodische, 841 selbsterregte, 843 Schwingungen der Kontinua, 303 Schwingungen im Frequenzbereich, 840 Schwingungen im Zeitbereich, 839 Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen), 308 Schwingungen von Membranen, 305 Schwingungen von Saiten, 305 Schwingungsdauer, 295 Schwingungsenergie, 739 Schwingungsisolation, 859 Schwingungsmesstechnik, Bd. 2 703 Schwingungsminderung, aktive Maßnahmen, 888, 891 Schwingungsminderung, passive Maßnahmen, 888 Schwingungsminderung, semi-aktive Maßnahmen, 893 Schwingungstilger, 302 Schwingungsvorgang, Bd. 3 1172 Schwungrad, Bd. 3 1061, Bd. 3 1063 Schwungradberechnung, 863 Schwungradspeicher, Bd. 2 645 Scrollverdichter, Bd. 3 737 Seat Belt Reminder, Bd. 3 1069 Secondary Crash Mitigation, Bd. 3 1057 Seebeck-Effekt, Bd. 2 542 Segmentkrümmer, 322 Segmentverfahren, Bd. 2 936 Seil, 247 Seil mit Einzellast, 249 Seil unter Eigengewicht, 248

Stichwortverzeichnis Seil unter konstanter Streckenlast, 248 Seiliger-Prozess, Bd. 3 71 Seilreibung, 254 seismische Aufnehmer, Bd. 2 706 Seitenleitwerk, Bd. 3 1151 Seitenruder, Bd. 3 1152 Seitenstapler, Bd. 3 401 Sekundärenergie, Bd. 3 908 Anschluss- und Versorgungspflicht, Bd. 3 910 Höchstspannungsnetz, Bd. 3 910 Sekundärionen-Massenspektrometrie, Bd. 2 728 Sekundärmontage, Bd. 2 991 Sekundärstrahlung, Bd. 3 651 Sekundärteil, Bd. 2 1060 selbsterregte Schwingungen, 843 selbstgeführte Wechselrichter, Bd. 2 594 Selbsthemmung, 253, 254 selbsttätige Ventile, Bd. 3 55 selektiver Netzschutz, Bd. 2 641 Sender, optoelektronischer, Bd. 2 676 Senkbremsventil, Bd. 2 503 Senkrechtdrehmaschine, Bd. 2 1078 Sensoren, Bd. 2 694, Bd. 2 796 SERCOS-Interface, Bd. 2 1061 serielle A/D-Umsetzer, Bd. 2 740 Serienhebezeuge, Bd. 3 377 Einzelhebezeuge, Bd. 3 378 Service, Bd. 3 1075 Servoantrieb, Bd. 2 616 Servolenkung, Bd. 3 1052, Bd. 3 1063 Servomotor, Bd. 2 1056 EC-Motor/PM-Synchronmotor/Asynchronmotor, Bd. 2 618 Servopresse, Bd. 2 1138 Servopumpe, Bd. 3 1052 Shannon’sches Abtasttheorem, Bd. 2 740 Sicherheit aktive, Bd. 3 1039 passive, Bd. 3 1039 Sicherheit und zulässige Spannung bei ruhender Beanspruchung, 359 Sicherheitsbeiwerte, Bd. 3 333 globale Sicherheitsbeiwerte, Bd. 3 333 Teilsicherheitsbeiwerte, Bd. 3 333 Sicherheitsfaktoren, Bd. 3 1171 Sicherheitsgurt, Bd. 3 1068, Bd. 3 1069, Bd. 3 1084 Sicherheitskonzepte, Bd. 3 333 Methode der Grenzzustände, Bd. 3 333 Methode der zulässigen Spannungen, Bd. 3 333 Sicherheitsniveau, Bd. 3 379 Sicherheitskupplung, Bd. 2 1077 Sicherheitstechnik, Bd. 3 1120 Sicherheitsvielfache, Bd. 3 1171 Sicherungselemente, Bd. 2 211 Achshalter, Bd. 2 211 axiale, Bd. 2 210 klebende, Bd. 2 231 Klemmringe, Bd. 2 211 Sicherungsringe, Bd. 2 211

Stichwortverzeichnis Splinte, Bd. 2 211 Stellringe, Bd. 2 211 Sick-Building-Syndrome (SBS), Bd. 3 813 Siedepunkt, 736 Siedetemperatur, 775 Sievert, Bd. 2 723 Signalarten, Bd. 2 733 Signalfunktionen, Bd. 2 733 Signalprozessoren, Bd. 2 800 Signalübertragungseigenschaften, Bd. 2 686 Silikasteine, Bd. 3 659 Silikone, 327 Silikonkautschuke VMQ, 639 Siliziumdiode, Bd. 2 667 Silo Brückenbildung, Bd. 3 527 Dimensionierung, Bd. 3 527 Kernfluss, Bd. 3 528 Massenfluss, Bd. 3 528 Schachtbildung, Bd. 3 527 Silobauweise, Bd. 3 468 Simulation, Bd. 2 1084 Simulationsmodell, 859 Sinkgeschwindigkeit, Bd. 3 1159 Sinnbilder für Messgeräte, Bd. 2 743 Sinusantwort, Bd. 2 686 Sitz, Bd. 3 1068, Bd. 3 1084 Slumping, Bd. 3 616 smart sensors, Bd. 2 797 Smith-Diagramm, 505 Soft Stop, Bd. 3 1057 Solarenergie, Bd. 2 646, Bd. 3 934 Solargeneratoren, Bd. 2 543 Solarzellen, Bd. 2 542 Fotostrom, Bd. 2 542 Sommerreifen, Bd. 3 1048 Sonagramm, 882 -Sonde, Bd. 3 116 Sondergetriebe, Bd. 2 468 Räderkurbelgetriebe, Bd. 2 468 Schrittgetriebe, Bd. 2 468 Sondervorschubgetriebe, Bd. 2 1075 Sonnenrad, 269 Sonnenschutzvorrichtungen, Bd. 3 776 Sonographie, Bd. 3 855 Sortieranlage, Bd. 3 450 Sortierleistungen, Bd. 3 450 Sortiersystem, Bd. 3 450 Source, Bd. 2 670 Spaceframe, Bd. 3 1042, Bd. 3 1044 Spaltdichtung, Bd. 3 17, Bd. 3 39 Spaltpolmotoren, Bd. 2 576 Spandicke, Bd. 2 880 Spanen Bohren, Bd. 2 887 Drehen, Bd. 2 882 Fräsen, Bd. 2 890 Hobeln, Bd. 2 895 Honen, Bd. 2 904

1051 Innendurchmesser-Trennschleifen, Bd. 2 906 Läppen, Bd. 2 906 Räumen, Bd. 2 895 Sägen, Bd. 2 896 Schneidstoffe, Bd. 2 897 Spanen mit geometrisch bestimmter Schneide, Bd. 2 879 Spanen mit geometrisch unbestimmter Schneide, Bd. 2 879, Bd. 2 899 Stoßen, Bd. 2 895 Spannkraft je Längeneinheit, 305 Spannsatz, Bd. 2 200 Spannstifte, Bd. 2 205 Spannungen, 449, Bd. 3 333 Spannungsamplituden, Bd. 3 338 Spannungsspiele, Bd. 3 337 Spannungen und Verformungen, 353 Spannungsamplituden, 468 Spannungsarmglühen, Bd. 2 167 Spannungs-Dehnungs-Linie, 358 Spannungsformzahl, 466 Spannungsfunktion  (y, z), 398 Spannungsgefälle, 467 Spannungshügel, 398 Spannungskompensation, Bd. 2 735 Spannungsmessung, Bd. 2 734 Spannungsnulllinie, 371 Spannungsoptik, Bd. 2 711 Spannungsspitzen, 398 Spannungssteilheit, Bd. 2 673 Spannungstensor, 353 Spannungs-Frequenzregelung, Bd. 2 611 Spannungs-Zeit-Funktion, 476 Spannungsvektor, 353 Spannungsverlaufsparameter, Bd. 3 338 Spannungsverstärker, Bd. 2 737 Spannungswechselbeanspruchung, 476 Spanraumzahl, Bd. 2 883 Spanstauchung, Bd. 2 880 Spante, Bd. 3 1180 Spanungsdicke, Bd. 2 885, Bd. 2 891, Bd. 2 892 Spanwinkel, Bd. 2 880, Bd. 2 883, Bd. 2 888, Bd. 2 900 Spartransformator, Bd. 2 549 Speckle-Interferometrie, Bd. 2 712 Speicher, hydrostatischer, Bd. 3 1061 Speicherkraftwerke, Bd. 2 643 Kavernenkraftwerk, Bd. 3 223 Speichern, Bd. 2 1049 Speicheroszilloskope, Bd. 2 747 Speicherprogrammierbare Steuerungen, Bd. 2 1111 IEC 61131-3, Bd. 2 1113 Zustandsgraphen, Bd. 2 1114 Speicherprogrammierbare Steuerungen Petrinetze, Bd. 2 1114 Speisepumpe, Bd. 2 503 Speisepumpen-Antriebsturbinen, Bd. 3 257 Speisewasservorwärmung, Bd. 3 253 Speisung, Bd. 2 1057 Spektralphotometrie, Bd. 2 726

1052 Spektralverfahren, Bd. 2 721 Spektrogramm, 882 Spektrometrie, Bd. 2 727 Spektrum, 882 Sperrbereich, Bd. 2 666 Sperrluftschleier, Bd. 3 633 Sperrmassen, 890 Sperrsättigungsstrom, Bd. 2 666 Sperrschichtkapazität, Bd. 2 667 Sperrschichttemperatur, Bd. 2 668 Sperrspannung, Bd. 2 667 spezifische Arbeit, Bd. 3 7, Bd. 3 75 spezifische effektive Arbeit, Bd. 3 75 spezifische indizierte Arbeit, Bd. 3 75 spezifische Reibarbeit, Bd. 3 75 spezifische Schnittkraft, Bd. 2 881, Bd. 2 885 spezifische Widerstände, Bd. 2 545 spezifischer Energieverbrauch, Bd. 3 607 sphärische Bewegung, 266 Spiegel, idealer, 818 spielfreie Vorschubantriebe mit Lageregelung, Bd. 2 1053 Spielfreiheit, Bd. 2 1071 Spielzeit, Bd. 3 473 Spindel-Lager-System, Bd. 2 1051, Bd. 2 1093 Spindellagerung, Bd. 2 1071 Spindelpresse, Bd. 2 1143 Spinnlösungen, 327 Spiralfedern, Bd. 2 250 Spitzenwert, Bd. 2 734 -Split, Bd. 3 1052, Bd. 3 1056 Spreader, Bd. 3 383, Bd. 3 397 Flipper, Bd. 3 383 Twistlocks, Bd. 3 383 Spreizenstapler, Bd. 3 400 Spritzenpumpe, Bd. 3 871 Spritzprägen, 646 Spritz- und Streckblasen, 647 Sprödbruch, Bd. 2 166, Bd. 2 167 spröde Werkstoffe, 359 Sprungantwort, Bd. 2 574, Bd. 2 686, Bd. 2 767 Sprungüberdeckung, Bd. 2 393 Spule mit einstellbarer Induktivität, Bd. 2 666 mit fester Induktivität, Bd. 2 666 Spulenzündanlage, Bd. 3 102 Spülgrad, Bd. 3 80 Spülventil, Bd. 2 504 Spurführungstechnik, Bd. 3 1092 Spurhaltewarnsystem, Bd. 3 1072 Spurkegel, 266 Spurstange, Bd. 3 1052 spurungebundene Führung, Bd. 3 405 Spurweite, Bd. 3 1046 Sputtern, Bd. 2 972 Stäbe bei Änderung des Querschnitts bzw. der Längskraft, 440 Stäbe mit beliebigem Querschnitt, 398 Stäbe mit beliebigem Querschnitt unter Längskraft, 441

Stichwortverzeichnis Stäbe mit Kerben, 366 Stäbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Längskraft, 365 Stäbe mit Kreisquerschnitt, 395 Stäbe mit Kreisquerschnitt (Wellen), 441 Stäbe mit Kreisquerschnitt und veränderlichem Durchmesser, 398 Stäbe mit veränderlichem Querschnitt, 365 Stäbe mit veränderlicher Längskraft, 365 Stäbe unter Temperatureinfluss, 366 Stabelement, 448 stabförmige Körper, 368 stabile Lage, 437 stabiler Betriebspunkt, Bd. 3 121 Stabilisator, Bd. 3 1046 Stabilisierungsspannung, Bd. 2 667 Stabilität schwimmender Körper, 313 Stabilitätsversagen, Bd. 3 1173 Stabläufer, Bd. 2 1057 Stahlblech, Bd. 2 1081, Bd. 3 1043 Stahlfeder, Bd. 3 1050 Stampfformverfahren, Bd. 2 820 Standardantrieb, Bd. 3 1038 Standardatmosphäre, Bd. 3 1142 Standardmessunsicherheit, Bd. 2 688 Ständer, Bd. 2 1078 Standfilter, Bd. 3 802 Standsicherheit, 240, Bd. 3 395 Standzeitkriterium, Bd. 2 886 Stanton-Zahl, 813 Stanznieten, Bd. 2 192 Stapelaktor, 892 starke Kompressibilität, 311 starker Dämpfung, 298 Starrachse, Bd. 3 1050 starre Körper, 231 Starrkörpersystem, 295 Start, Bd. 3 1166 Startstrecke, Bd. 3 1167 Start- und Zündhilfen, Bd. 3 108 mechanische Zündhilfe, Bd. 3 108 Starteinrichtungen, Bd. 3 108 thermische Zündhilfe, Bd. 3 108 Start-Stopp-Automatik, Bd. 3 1062 Statik, 231, Bd. 2 1052, Bd. 2 1084 Statik starrer Körper, 231 stationäre laminare Strömung in Rohren mit Kreisquerschnitt, 319 stationäre Strömung durch offene Gerinne, 326 stationäre turbulente Strömung in Rohren mit Kreisquerschnitt, 319 stationäre und nichtstationäre Strömung, 315 stationärer Ausfluss aus Behältern, 325 stationärer Steigflug, Bd. 3 1165 statisch, 401 statisch Unbestimmte, 401 statisch unbestimmte Systeme, 401 statisch verträglich, 394 statische Ähnlichkeit, 344

Stichwortverzeichnis statische Auslenkung, 295 statische Bestimmtheit, 368 statische Kennlinie, Bd. 2 1199 statische Nachgiebigkeit, Bd. 2 1053 statische Ruhelage, 295 statische Stabilität, Bd. 3 1153 statische Steifigkeit, Bd. 2 1052, Bd. 2 1082 statisches Moment, 377 Statistische Energieanalyse (SEA), 895 statistische Versuchsplanung, Bd. 2 688 Stator, Bd. 2 1055 Staudruck, 317 Staudruckregelung, Bd. 3 60, Bd. 3 62 Staufferfett, 327 Staupunkt, 317 Staurollenförderer, Bd. 3 448 Steckverbindung, Bd. 2 205 Stefan-Boltzmann-Gesetz, 818 Steifigkeit, 367, Bd. 2 1052 Steifigkeitsmatrix, 447, 830 Steigfähigkeit, Bd. 3 1077 Steighöhe, 293 Steigung, 376 Steigung der Schraubenlinie, 263 Steigungswiderstand, Bd. 3 422 Steigzeit, 261 Steilheit, Bd. 2 668 Steinmetzschaltung, Bd. 2 576 Stelle des „hot spot“, Bd. 2 183 Stellgröße, Bd. 2 756 Stellungswinkel, 373 Stent, Bd. 3 876 Stereolithografie, Bd. 2 982 steriler Betrieb, Bd. 3 584 Sterilfiltration, Bd. 3 579 Sterilisation, Bd. 3 577 Sternpunkterdung, Bd. 2 635 Sternschaltung, Bd. 2 533 Sternscheiben, Bd. 2 196, Bd. 2 200 Stetigförderer, Bd. 3 316 Steuerblock, Bd. 2 494 2-Wege-Einbauventil, Bd. 2 494 Steuerdiagramm, Bd. 3 85 Steuerelektrode, Bd. 2 668, Bd. 2 672 Steuerkennlinien, Bd. 2 590 Belastungskennlinien, Bd. 2 591 halbgesteuerte Schaltungen, Bd. 2 590 Umkehrstromrichter, Bd. 2 592 vollgesteuerte Schaltungen, Bd. 2 590 Wechselrichterbetrieb, Bd. 2 591 Steuerorgane, Bd. 3 80, Bd. 3 83 Steuerung, Bd. 2 1049 Feldbusse, Bd. 2 1105 Kommunikationsbusse, Bd. 2 1105 offene Steuerungssysteme, Bd. 2 1107 Personal Computer, Bd. 2 1105 Steuerungsarchitekturen, Bd. 2 1107 Systemplattform, Bd. 2 1108 Steuerzeiten, Bd. 3 83

1053 Stichprobe, Bd. 2 688 Stickoxide, Bd. 3 113 Stick-Slip-Effekt, Bd. 2 1089 Stiftverbindungen, Bd. 2 205, Bd. 2 207 Stifte, Bd. 2 205 stilles Sieden, 817 Stirnräder, Bd. 2 390 Eingriffslinie, Bd. 2 391 Eingriffsstrecke, Bd. 2 393 Eingriffswinkel, Bd. 2 393 Evolventenverzahnung, Bd. 2 394 Flankenlinien, Bd. 2 391 Gleit- und Rollbewegung, Bd. 2 394 Kopfspiel, Bd. 2 393 Modul m, Bd. 2 392 Profilüberdeckung, Bd. 2 393 Profilverschiebung, Bd. 2 396, Bd. 2 398 profilverschobene Verzahnung, Bd. 2 396 Satzräderverzahnung, Bd. 2 391 Schrägstirnräder, Bd. 2 392 Sprung, Bd. 2 393 Sprungüberdeckung, Bd. 2 393 Teilkreisdurchmesser, Bd. 2 392 Teilung, Bd. 2 392 Verzahnungsgeometrie, Bd. 2 390 Zähnezahlverhältnis, Bd. 2 390 Stirnzahnkupplung, Bd. 2 268 Stöchiometrie, Bd. 3 541 Stoffaustausch, Bd. 3 867 Stoffaustauschvorgang, Bd. 3 867 Stoffbilanz, Bd. 3 548 Stoffmessgrößen, Bd. 2 726 Stoffthermodynamik, 751 Stofftrennung, Bd. 3 531, Bd. 3 536 Gegenstromkolonnen, Bd. 3 531 Stoffübergangskoeffizienten, Bd. 3 580 Stoffwerte von Feststoffen, 822 von Flüssigkeiten, 822 von Gasen, 822 Stöhrgröße, Bd. 2 780 Stokes’sche Widerstandsformel für die Kugel, 335 Stopfbuchsen (Packungen), Bd. 3 702 Stoppbremsung, Bd. 3 1120 Stop-and-Go-Automat, Bd. 3 1072 Störgröße, Bd. 2 756 Störmomente, elektrische, 847 Stoß, 292, 831 Stoß- und Nahtarten, Bd. 2 170 Ausfugen der Wurzel, Bd. 2 171 Eckstoß, Bd. 2 173 Fugenvorbereitung, Bd. 2 171 Kreuzstoß, Bd. 2 172 Mehrfachstoß, Bd. 2 173 Parallelstoß, Bd. 2 172 Schrägstoß, Bd. 2 173 Stumpfstoß, Bd. 2 171 T-Stoß, Bd. 2 172 Überlappstoß, Bd. 2 171

1054 Stoß, zentrisch, 292 stoßartige Beanspruchung, 361 Stoßdämpfer, Bd. 3 1051, Bd. 3 1078 Stoßdauer, 292, 293 Stoßen, Bd. 2 895 Stoßfänger, Bd. 3 1076 Stoßhypothese, 292 Stoßkraft, 293 Stoßkurzschluss, Bd. 2 572 Stoßnormale, 292 Stoßöfen, Bd. 3 606 Stoßziffer, 293 Strahlausbreitung, 326 Strahler graue, 819 schwarze, 819 Strahlheizrohr, Bd. 3 643 Strahlkern, 326 Strahlquerschnitt, 326 Strahlstoßkraft gegen Wände, 328 Strahlung, 818 thermische, 818 Strahlungsaustauschzahl, 819 Strahlungskoeffizient, 818 Strahlungsmesstechnik, Bd. 2 722 Strahlungsschutzgröße, Bd. 2 722 Strangpressen, Bd. 2 859 Streckenlasten, 368 Streckgrenze, 358 Streckung, Bd. 3 1150 Streckziehen, Bd. 2 868 Streukoeffizient, Bd. 2 547 Streulichtverfahren, Bd. 2 701 Strichcodes, Bd. 2 702 QRC, Bd. 2 702 Strichmaßstäbe, Bd. 2 697 stroboskopische Messung, Bd. 2 706 Strombegrenzung, Bd. 2 1059 Strombelag, Bd. 2 560 Strombelastbarkeit, Bd. 2 654 Stromkompensation, Bd. 2 735 Stromkreise, Bd. 2 525 Stromlinie, Stromröhre, Stromfaden, 315 Stromlinien, 399 Stromlinienverlauf, 399 Strommessung, Bd. 2 734 Stromoberschwingungen, Bd. 2 592 Stromortskurve, Bd. 2 566, Bd. 2 571 Stromrichterkaskade, Bd. 2 610 Stromrichtermotor, Bd. 2 610 Stromrichterventile, Bd. 2 585 Stromstärke, Bd. 3 319 Stromsteilheit, Bd. 2 673 Strömung idealer Gase, 779 Strömung in Leitungen mit nicht vollkreisförmigen Querschnitten, 322 Strömungsgeschwindigkeit, Bd. 2 715 Strömungsgleichnis, 399 Strömungsrichtung, 315

Stichwortverzeichnis Strömungsrohr, Bd. 3 547 strömungstechnische Messgrößen, Bd. 2 714 Strömungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten, 322 Strömungswiderstand von Körpern, 336 Stromventil Drei-Wege-Stromregelventil, Bd. 2 499 Drosselventil, Bd. 2 499 Zwei-Wege-Stromregelventil, Bd. 2 499 Stromverdrängung, Bd. 2 568, Bd. 2 659 Stromverdrängungsläufer, Bd. 2 1054 Stromverstärker, Bd. 2 737 Stromverstärkung, Bd. 2 668 Strukturanalyse, Bd. 2 1084 Strukturdämpfung, Bd. 3 1172 Strukturfestlegung, 848 Strukturintensität aktiv, 895 reaktiv, 896 Strukturoptimierung, Bd. 2 1084 strukturviskose Flüssigkeit, 327 Strutt’sche Karte (schraffierte Lösungsgebiete sind stabil), 308 Stückgüter, Bd. 3 316 Stückgutstroms, Bd. 3 418 Stückliste Baukasten, Bd. 2 58 Mengenübersicht, Bd. 2 57 Struktur, Bd. 2 58 Studiengang, Bd. 3 846 Stufendruckverhältnis, Bd. 3 44 Stufenkolben, Bd. 3 15 stufenlose Fahrzeugantriebe (CVT), Bd. 2 380 Stützkernverbunde, Bd. 3 1175 Stützkonstruktion, Bd. 3 123 Stützkraft, 427 Stützziffer, 361 Styling, Bd. 3 1077 Styrol-Acrylnitril-Copolymerisat SAN, 631 Styrol-Butadien SB, 631 Styrol-Butadien-Kautschuke SBR, 638 Sublimationsdruckkurve, 757, 758 Submerskultivierung, Bd. 3 580 Substratlimitierungskonstante, Bd. 3 589 Substratvorbereitung, Bd. 3 573 Subtransientreaktanz, Bd. 2 641 Summenpegel, 883 Super Single, Bd. 3 1047 Superelastikreifen, Bd. 3 400 Superplastisches Umformen, Bd. 2 874 Superpositionsmethode, 389 Superpositionsverfahren, 401 supraleitende Energiespeicher (SMES), Bd. 2 645 Supraleitung, Bd. 2 541 Hochfeldsupraleiter, Bd. 2 541 Hochtemperatur-Supraleiter, Bd. 2 541 Sprungtemperatur, Bd. 2 541 Suspensionen, 315 symmetrische Komponenten, Bd. 2 533

Stichwortverzeichnis symmetrische Polare, Bd. 3 1157 symmetrische Querschnitte, 371 symmetrischer Kreisel, 291 Synchronmaschine, Bd. 2 568 Betriebsbereich, Bd. 2 572 Stabilitätsgrenze, Bd. 2 572 Synchronmotor, Bd. 2 1055 permanentmagnetisch, erregtelektrisch, erregtreluktanter, Vollpolläufer, Schenkelpolläufer, Bd. 2 569 Synchronriemen, Bd. 2 369 System, 729, Bd. 2 756 abgeschlossen, 729 aktives, 843, 860 blutführendes, Bd. 3 870 dialysatführendes, Bd. 3 868 geschlossen, 729 geschlossenes, Bd. 3 862 offen, 729 System mit einem Freiheitsgrad, 295 System mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen), 301 System mit veränderlicher Masse, 282 System starrer Körper, 244 Systemantworten harmonische, 834 periodische, 834 Systemantwortfunktionen, 833 systematische Messabweichung, Bd. 2 685, Bd. 2 688 Systemgrenze, 729 Systemmatrizen, 830 Systemsteifigkeitsmatrix, 449

T Tablare, Bd. 3 467 Tafelschere, Bd. 2 1125 Tailored Blank, Bd. 3 1043 Taktzahl, Bd. 3 7 Talgofahrwerk, Bd. 3 1100 Tandemhauptzylinder, Bd. 3 1054 Tangenteneinheitsvektor, 258 Tangentenmodul, 439 Tangentenrichtung, 257 Tangentialbeschleunigung, 258 tangentiales Luftführungssystem, Bd. 3 779 Tangentialkraft-Weg-Diagramm, 273 Tangentialspannung, 353 Tangentialverschiebung, 390 Tangentkeile, Bd. 2 209 Tank, Bd. 2 503 Tankvolumen, Bd. 2 503 Tassenstößel, Bd. 3 81 Tastschnittverfahren, Bd. 2 700 Tatzlagerantrieb, Bd. 3 1117 Tauchkolben, Bd. 3 15 Tauchkolben-Triebwerke, Bd. 3 8 Taupunkt des Wassers, 796 Taupunktunterschreitung, Bd. 3 816

1055 Taylor-Gerade, Bd. 2 886 Taylor’scher Grundsatz, Bd. 2 698 Technische Akustik, 879 Teig, 327 Teildruck, 798 teilelastischer Stoß, 292 Teilkreisdurchmesser, Bd. 2 392 teilplastisch, 359 Teilstrahlungspyrometer, Bd. 2 718 Teilung, Bd. 2 392 Telekommunikation, Bd. 3 1068 Teleskopgabel, Bd. 3 401 Tellerfedern, Bd. 2 251 Temperatur, 733 empirische, 733 internationale praktische, 736 thermodynamische, 744 Temperaturabhängigkeit Heißleiter, Bd. 2 664 Kaltleiter, Bd. 2 664 Widerstand, Bd. 2 664 Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit, 686 Temperaturausdehnungskoeffizient, 366 Temperaturleitfähigkeit, 810 Temperaturmesstechnik, Bd. 2 717 Temperaturskala, 734 internationale praktische, 735 thermodynamische, 734 Temperaturspannungen in Platten, 428 Temperaturwechselbeständigkeit, Bd. 3 662 Teppichdorn, Bd. 3 397 Terrassenbruch, Bd. 2 166 Tetraederschnittfläche, 355 Theodolit, Bd. 2 696 theoretische Wirkungsgrad, 330 Theorie von de Saint-Vénant, 398 Thermik, Bd. 2 1053, Bd. 2 1084 thermische Ähnlichkeit, 347 thermische Behaglichkeit, Bd. 3 766 thermische Kompensation, Bd. 2 1054 thermische Messgrößen, Bd. 2 717 thermische Verfahrenstechnik, Bd. 3 529 Flüssig-flüssig-Gegenstromkolonnen, Bd. 3 529 thermischer Auftrieb, Bd. 3 780 thermischer Überstromschutz, Bd. 2 640 thermischer Wirkungsgrad, Bd. 3 72 thermisches Abtragen, Bd. 2 185 thermisches Gleichgewicht, 733 Thermodynamik, 727 Aufgaben der, 727 Thermoelemente, Bd. 2 718 Thermographie, Bd. 2 719 Thermolumineszenzdetektoren, Bd. 2 723 Thermometer, 734 Thermoplaste, 627, 629 fluorhaltige, 634 thermostatische Einspritzventile, Bd. 3 740 thermosymmetrisch, Bd. 2 1054 THG, Bd. 3 1058

1056 thixotrope Flüssigkeiten, 315 thixotrope und rheopexe Flüssigkeiten, 327 Thyristor, Bd. 2 585, Bd. 2 672 abschaltbarer, Bd. 2 674 Kennlinie, Bd. 2 672 Tiefbett, Bd. 3 1048 Tieföfen, Bd. 3 606 Tiefziehen, Bd. 2 863, Bd. 3 1043 tierische Zellen, Bd. 3 568 Tilger, 860 Tilger, adaptiv, 891 Tilgung, 859 Tisch, Bd. 2 1078 Titration, Bd. 2 726 Toleranzbandmethode, Bd. 2 685 Toleranzen, Bd. 2 52 Toleranzfeld, Bd. 2 53 Ton (Akustik), 879 tonerdereiche Steine, Bd. 3 659 tordierte Gleichgewichtslage, 441 Toroidgetriebe, Bd. 2 380 Torque Vectoring, Bd. 3 1067 Torquemotor, Bd. 2 581, Bd. 2 1058 Torsen-Getriebe, Bd. 3 1067 Torsionsbeanspruchung, 395 Torsionsflächenmoment, 297, 398 Torsionskasten, Bd. 3 1182 Torsionsschwingungen, 851 Torsionsschwingungen von Stäben, 305 Torsionsträgheitsmoment, 850 Torsionswiderstandsmoment, 398 Totwinkelüberwachung, Bd. 3 1072 Totzeitsystem, 199 Traganteilkurve, Bd. 2 700 Träger mit I-Querschnitt, 442 Träger mit Rechteckquerschnitt, 442 Träger mit Streckenlasten, 369 Tragfähigkeit, Bd. 3 371 Tragfähigkeit von Schweißverbindungen, Bd. 2 175 Tragflügel, Bd. 3 1180 Tragflügel und Schaufeln, 339 Tragflügelprofil, Bd. 3 1147 Trägheitsellipse, 373 Trägheitsellipsoid, 286 Trägheitskraft, 276, 433, Bd. 2 1052 Trägheitsmoment, Bd. 3 1046 Trägheitsmomente bezüglich gedrehter Achsen, 286 Trägheitsradius, 286, 371, 438 Traglast-Kurve nach Jäger, 438 Traglastverfahren, 360 Tragmittel, Bd. 3 371, Bd. 3 418 Tragmoment, 360 Tragstruktur, 858 Tragwerke, Bd. 3 331 Fachwerkbauweise, Bd. 3 382 Gestaltung, Bd. 3 331 Kastenbauweise, Bd. 3 382 Pendelstütze, Bd. 3 382 Querschnitte, Bd. 3 331

Stichwortverzeichnis Transferadmittanz, 884 Transformationen der Michaelis-Menten-Gleichung, Bd. 3 586 Transformator, Bd. 2 547 Transientenrecorder, Bd. 2 749 Transistor, Bd. 2 585, Bd. 2 668 bipolarer, Bd. 2 668 IGB, Bd. 2 671 unipolarer, Bd. 2 668 Transistorkennlinie, Bd. 2 668 Transistorzündanlage, Bd. 3 103 Translation, 264, 265 Translationsenergie, 738 Transmissionsgrad, Bd. 2 720 Transmissionswärmeverluste, Bd. 3 773 Transponder, Bd. 3 492 transponierte Matrix, 449 Transportbetonmischer, Bd. 3 499 Transporteinheit, Bd. 3 459 Transportfahrzeuge, Bd. 3 508 Dreiseitenkipper, Bd. 3 508 Hinterkipper, Bd. 3 508 Knicklenkung, Bd. 3 509 Muldenkipper, Bd. 3 508 Transporthilfsmittel, Bd. 3 459 Transportieren, Bd. 2 1049 Transportkette, Bd. 3 315 Transportlimitierung, Bd. 3 591 Transportmittel, Bd. 3 606 Transputer, Bd. 2 800 transzendente Eigenwertgleichungen, 304 Trapezfeder, Bd. 2 248 Trapezgewindespindeln, Bd. 2 1070 Travelling-Salesman-Problem, Bd. 3 473 Treibhausgas, Bd. 3 1058 Treibhauspotenzial, Bd. 3 729 Trennen, Bd. 2 879, Bd. 2 1049, Bd. 3 522 Eindicker, Bd. 3 524 Elektrofilter, Bd. 3 523 Filter, Bd. 3 523 Fliehkraftabscheider, Bd. 3 523 Lasertrennen, Bd. 2 910 Nassabscheider, Bd. 3 523 Windsichten, Bd. 3 525 Zentrifugen, Bd. 3 524 Trennschleifen, Bd. 2 906 Tresca, 459 Tresca-Gesetz, 459 tribologische Betrachtung, Bd. 2 1089 Triebstockverzahnungen, Bd. 2 398 Triebwerksbauarten, Bd. 3 8 Triebwerkskomponenten, Bd. 3 303–Bd. 3 306 Triebwerkslager, Bd. 3 19 Trilok-Wandler, Bd. 3 1066 Trimmer, Bd. 2 665 Tripelpunkt, 736, 753 Argon, 736 des Wassers, 734 Gleichgewichtswasserstoff, 736

Stichwortverzeichnis Neon, 736 Quecksilber, 736 Sauerstoff, 736 Wasser, 736 Trockenbearbeitung, Bd. 2 1078 Trockenbremsen, Bd. 3 1057 Trockenreibung, 252 Trocknen, Bd. 3 529, Bd. 3 536, Bd. 3 537 Trocknungsabschnitt erster und zweiter, Bd. 3 539 Trocknungsgeschwindigkeit, Bd. 3 538 Trocknungsgut, Bd. 3 537 erster Trocknungsabschnitt, Bd. 3 537 Feuchtebeladung, Bd. 3 537 Kontakttrockner, Bd. 3 537 Konvektionstrockner, Bd. 3 537 Strahlungstrockner, Bd. 3 537 Trocknungsgeschwindigkeit, Bd. 3 537 Trocknungsverlaufskurven, Bd. 3 537 Verdampfungsenthalpie, Bd. 3 537 Wärmeübertragung, Bd. 3 537 Trocknungsspiegelmodell, Bd. 3 538 Trocknungszeit, Bd. 3 538, Bd. 3 539 Trommelbremse, Bd. 3 1053, Bd. 3 1054 Tropfenkondensation, 817 Tropfenprofil, 339 TSP, Bd. 3 473 Tunnelöfen, Bd. 3 605 Tunnelofenprozesse, Bd. 3 638 Tunnelstrom, Bd. 2 801 Tunnelwagenöfen, Bd. 3 605 Turbine, 342, Bd. 2 515 Turbinenwirkungsgrad, 787 Turbogeneratoren, Bd. 2 568 Turbogruppe, 851 Turboluftstrahltriebwerk, Bd. 3 1160 Turbomolekularpumpen, Bd. 2 803 Turboverdichter, Bd. 3 738 turbulente Mischlüftung, Bd. 3 779 turbulenter Strömung, 318 Turbulenzgrad, Bd. 3 778 Typgenehmigung, Bd. 3 1085

U Übergabestellen, Bd. 3 434 Übergangsfunktion, Bd. 2 767 Übergangssieden, 817 Übergangsvorgänge, Bd. 2 538 überhitzter Wasserdampf, 765 überkritischer Bereich, 300 Überlagerungslenkung, Bd. 3 1052 Überlastsicherungen, Bd. 3 386 überlineare Kennlinie, 307 Überschall, 780 Übersetzungsverhältnis, Bd. 2 547 Übertragungsadmittanz, 884 Übertragungselement, Bd. 2 1051, Bd. 2 1070 Übertragungsfunktion, Bd. 2 760 Übertragungsverhalten, Bd. 2 1071

1057 Übertragungswinkel, Bd. 2 454 Ulbricht’sche Kugel, Bd. 2 720 Ultrafiltration, Bd. 3 529, Bd. 3 539 Ultrapräzisionsmaschinen, Bd. 2 1222 Ultraschall, 879 Ultraschall-Strömungsmesser, Bd. 2 716 Umfangsgeschwindigkeit, 264 Umfangskraft, Bd. 3 1046 Umfangsspannungen, 431 Umformen, Bd. 2 1049 Thermoformen, 649 Warmformen, 649 Umformen, Kunststoffe, 649 Umformgrad, Bd. 2 852 Umformtechnische Fügeverfahren, Bd. 2 191 Umkehrantriebe, Bd. 2 605 Umkehrosmose, Bd. 3 529, Bd. 3 539 osmotischer Druck, Bd. 3 539 Permeatflussdichte, Bd. 3 539 transmembrane Druckdifferenz, Bd. 3 539 Umkehrspülung, Bd. 3 86 umlaufende Scheiben, 434 umlaufender dickwandiger Hohlzylinder, 435 umlaufender dünnwandiger Ring oder Hohlzylinder, 433 umlaufender Stab, 433 Umlaufgetriebe, 269 Umlauf-S-Förderer, Bd. 3 454 Umluftanlagen, Bd. 3 810 Umrichter, Bd. 2 594 Umschlagshäufigkeit, Bd. 3 473 umschnürter Hohlzylinder, 431 Umwälzpumpen, Bd. 3 834 Umweltmessgrößen, Bd. 2 722 unbehinderte Verwölbung, 398 unbestimmte Systeme, 401 unelastischer Bereich, 457 unelastischer Stoß, 292 unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung, 429 ungedämpfte erzwungene Schwingungen, 298 Ungleichförmigkeitsgrad, Bd. 3 13 ungleichmäßig beschleunigte (und verzögerte) Bewegung, 259 ungleichmäßige Spannungsverteilung, 359 Unified Modeling Language (UML), Bd. 2 114 Universalmotor, Bd. 2 579 Unstetigförderer, Bd. 3 316 unsymmetrische Polare, Bd. 3 1158 unsymmetrische Umströmung eines Kreiszylinders, 333 Unterflaschen, Bd. 3 371 Unterhaltungselektronik, Bd. 3 1068 unterkritischer Bereich, 300 unterlineare Kennlinie, 307 Unterwagen, Bd. 3 390 Unterzentralen, Bd. 3 812 UN-ECE, Bd. 3 1037 Unwucht, 857 Unwuchtkräfte, 298, 831, 844 Urformen, 647, Bd. 2 813 Kalandrieren, 647

1058 Kunststoffe, 645 Pressen und Spritzpressen, 646 SMC, 646 Spritzgießen, 645 Werkzeuginnendruck, 646 Urformwerkzeuge, Bd. 2 818 U-Umrichter, Bd. 2 595, Bd. 2 612 Blockumrichter, Bd. 2 612 Pulsumrichter, Bd. 2 612

V v. Kármán-Gerade, 438 v. Mises-Hypothese, 361, 468 Vakuumbremsen, Bd. 3 1121 Vakuum-Druckgießen, Bd. 2 840 Vakuumheber, Bd. 3 372 Vakuumpumpen, Bd. 3 39 variable Ausblasquerschnitte, Bd. 3 783 variable Steuerzeiten, Bd. 3 83 variabler Ventiltrieb, Bd. 3 82 elektrohydraulischer Ventiltrieb, Bd. 3 83 elektromechanischer Ventiltrieb, Bd. 3 82 mechanischer vollvariabler Ventiltrieb, Bd. 3 82 Variable-Volumenstrom-Systeme (VVS), Bd. 3 812 Vehicle-to-Grid, Bd. 3 1061 Vektor der Knotenkräfte, 449 Vektoriterationsverfahren, 198 Vektorprodukt, 264 Ventil, Bd. 2 516, Bd. 3 80 Bauelemente, Bd. 3 697 Bauformen, Bd. 3 697 Druckminderer, Bd. 3 698 Hochdruck-Regelventil, Bd. 3 697 Ventilatoren, Bd. 3 269 Ventilatorkonvektor, Bd. 3 818 Ventilatorleistung, Bd. 3 812 Ventilauslegung, Bd. 3 57 Ventilbewegung, Bd. 3 81 Ventilquerschnitt, Bd. 3 82 Ventilüberschneidung, Bd. 3 83 Venturidüsen, Bd. 2 731 Venturirohr, 317, Bd. 2 715 verallgemeinerte Hooke’sche Gesetze, 415 Verarbeitungsanlagen, Bd. 2 65, Bd. 2 78 Verarbeitungsgut, Bd. 2 67, Bd. 2 69 flüssiges Gut, Bd. 2 68 Gase oder Aerosole, Bd. 2 68 hochviskoses pastöses Gut, Bd. 2 68 Schüttgut, Bd. 2 67 Strang- und Fadenformgut, Bd. 2 67 Stückgut, Bd. 2 67 Verarbeitungsmaschinen, Bd. 2 65 Verarbeitungssystem, Bd. 2 66 Verbindung, 366 Verbindungsschweißen, Bd. 2 155 Verbrauch, Bd. 3 110 spezifischer Brennstoffverbrauch, Bd. 3 110 Verbrennung, Bd. 3 95

Stichwortverzeichnis im Dieselmotor, Bd. 3 94 im Ottomotor, Bd. 3 92 in Hybridmotoren, Bd. 3 97 isobar-adiabate, 803 vollständige, 801 Verbrennungskraftanlagen, 787 Verbrennungsmotor, Bd. 3 5 Einteilung, Bd. 3 69 mit äußerer Verbrennung, Bd. 3 69 mit innerer Verbrennung, Bd. 3 69 Verbrennungsmotorantrieb, Bd. 3 228 Verbrennungstemperatur, 803 theoretische, 803 wirkliche, 803 Verbundlenkerachse, Bd. 3 1049 Verdampfen, Bd. 3 535 Verdampfer, Bd. 3 534 Verdampfungsenthalpie, Bd. 3 535 Verdampfung, 817 Verdampfungsenthalpie, 755, 756, 775 Verdampfungsentropie, 756 Verdichter, Bd. 2 515, Bd. 3 39 Verdichterstationen, Bd. 3 982 Verdichtung feuchter Gase, Bd. 3 45 Adsorptionstrockner, Bd. 3 46 Kondensat, Bd. 3 46 Nachkühler, Bd. 3 45 Zwischenkühler, Bd. 3 45 Verdichtung idealer Gase, Bd. 3 41 Verdichtung realer Gase, Bd. 3 41 Verdichtungsformverfahren, Bd. 2 819 Verdichtungsstoß, 781 Verdichtungstemperatur, Bd. 3 42 Verdichtungsverhältnis ", Bd. 3 124 Verdichtungswirkungsgrad, 791 Verdrängerkompressor, Bd. 3 5, Bd. 3 39 Verdrängermaschine, Bd. 2 481 Anlaufverhalten, Bd. 2 487, Bd. 2 491 Flügelzellenmaschine, Bd. 2 488 Konstantmaschine, Bd. 2 485 Langsamläufermotor, Bd. 2 485 Leistungsgewicht, Bd. 2 487 Mehrfachpumpe, Bd. 2 488 Pulsation, Bd. 2 490 Radialkolbenmaschine, Bd. 2 491, Bd. 2 493 Schnellläufermotor, Bd. 2 492 Schrägachsenmaschine, Bd. 2 490, Bd. 2 491 Schrägscheibenmaschine, Bd. 2 490, Bd. 2 491 Schraubenpumpe, Bd. 2 486, Bd. 2 491 Verstellmaschine, Bd. 2 485 Zahnradmaschine, Bd. 2 485 Zahnringmaschine, Bd. 2 488 Zylinder, Bd. 2 494 Verdrängerpumpe, Bd. 3 5, Bd. 3 872 Anwendungsgebiete, Bd. 3 21 Bauarten, Bd. 3 21, Bd. 3 22 Einsatzgebiete, Bd. 3 22 Einsatzgrenzen, Bd. 3 22 mit pneumatischem Antrieb, Bd. 3 872

Stichwortverzeichnis Verdrängungslüftung, Bd. 3 778 Verdrängungsspülung, Bd. 3 85 Verdrehungswinkel, 395 Verfahren mit verlorenen Formen, Bd. 2 818 Verfahren zur Zahnradherstellung, Bd. 2 938 Verfestigungsformverfahren, Bd. 2 827 Verformungsdifferenzen, 401 verformungsgeometrische Aussagen, 394 Verformungsgrößen, 402 Vergaser, Bd. 3 98 Vergleichsfunktion w.x/, 440 Vergleichsnennspannungen, 464 Vergleichsprozess, Bd. 3 42, Bd. 3 70 Vergleichsprozess mit idealem Arbeitsgas, Bd. 3 71 Vergleichsprozess mit realem Arbeitsgas, Bd. 3 72 Vergleichsspannungen, 361, 466 Verkehr, kombinierter, Bd. 3 1038 Verkehrszeichenerkennung, Bd. 3 1072 verlorenen Kräfte, 288 Verlustarbeit, 275 Verlustfaktor, Bd. 2 545, Bd. 3 30 verlustfreie Verdrängerpumpe, Bd. 3 27 Verlustleistung, Bd. 2 561, Bd. 2 668 Verlustmoment, Bd. 3 29 Verlustteilung, Bd. 3 27 Betriebsverhalten, Bd. 3 27 Elastizitätsgrad, Bd. 3 28, Bd. 3 31 Füllungsgrad, Bd. 3 28 Gesamtwirkungsgrad, Bd. 3 28, Bd. 3 30, Bd. 3 31 Gütegrad, Bd. 3 28, Bd. 3 31 mechanisch-hydraulische Verluste, Bd. 3 29 mechanisch-hydraulischer Wirkungsgrad, Bd. 3 28, Bd. 3 30, Bd. 3 31 Membranpumpen, Bd. 3 31 mittlerer Nutzliefergrad, Bd. 3 30 Nutzliefergrad, Bd. 3 28, Bd. 3 30 volumetrische Verluste, Bd. 3 28 volumetrischer Wirkungsgrad, Bd. 3 28, Bd. 3 30, Bd. 3 31 Wirkungsgrad, Bd. 3 28, Bd. 3 30 Verlustwinkel, Bd. 2 665 Verrippung, Bd. 2 1082 Verrückung, 392 Versammlungsraum, Bd. 3 811 Verschiebearbeit, 740 Verschiebungen, 447, 830 Verschiebungsfunktion, 447 Verschiebungsmethode, 447 Verschiebungsvektor, 448 Verschleiß, Bd. 2 881, Bd. 2 1051 Versetzungsmoment, 232 Version, Bd. 2 36 Verspannungschaubilder, Bd. 2 221 Verspannungsdreieck, Bd. 2 220 Verspannungsschaubild, Bd. 2 222 Restklemmkraft, Bd. 2 222 Schraubenkraft, Bd. 2 222 Versprödung des Materials, 457 Verstärkung, Bd. 2 684

1059 Verstärkungsstoffe, 629 Verstellgetriebe, Bd. 2 363, Bd. 2 379 Stellgetriebe, Bd. 2 379 Verstell-(Alldrehzahl-)regler, Bd. 3 121 Verteilen und Speicherung von Nutzenergie, Bd. 3 981 Energietransport, Bd. 3 981 Erdgastransporte, Bd. 3 982 Erdgas-Transportleitungen, Bd. 3 983 Ferngasnetze, Bd. 3 983 Kompressibilität, Bd. 3 982 Mineralöltransporte, Bd. 3 981 Primärenergietransporte, Bd. 3 981 Pumpstationen, Bd. 3 981 Wobbezahl, Bd. 3 982 Verteilereinspritzpumpen, Bd. 3 106 Axialkolben-Verteilereinspritzpumpe, Bd. 3 106 Radialkolben-Verteilereinspritzpumpe, Bd. 3 106 Verteilermasten, Bd. 3 500 Verteilförderer, Bd. 3 451 Verteilung und Speicherung von Nutzenergie Pipelines, Bd. 3 981 Vertikalkommissionierer, Bd. 3 401 Vertrauensbereiche, Bd. 2 689 Verwölbung, 395 Verwölbungen der Querschnitte, 370 Verwölbungsfunktion , 398 Verzahnungsgesetz für Stirnräder, Bd. 2 390 Verzahnungsherstellung, Bd. 2 403 Verzahnungshonen, Bd. 2 948 Verzerrungstensor, 357 Verzerrungszustand, 357 verzögerte Bewegung, 258 Verzweigungsproblem, 445 V-Form, Bd. 3 1149 Vibe-Brennverlauf, Bd. 3 77 Videobildverarbeitung, Bd. 3 1072 Vielstoffmotoren, Bd. 3 97 Vielzellenverdichter, Bd. 3 53 viergliedrige Drehgelenkgetriebe, Bd. 2 455 Doppelschwinge, Bd. 2 455 Grashof-Bedingung, Bd. 2 455 Kurbelschwinge, Bd. 2 455 Parallelkurbelgetriebe, Bd. 2 455 Totalschwingen, Bd. 2 455 viergliedrige Schubgelenkgetriebe, Bd. 2 455 Diagonal-Schubgelenke, Bd. 2 455 kinematische Umkehrung, Bd. 2 455 Schleifenbewegungen, Bd. 2 455 Vierleiter-Induktionsgeräte, Bd. 3 814 Vierpole, Bd. 2 536 Viertaktmotor, Bd. 3 79 Viertaktverfahren, Bd. 3 70 Vierwegestapler, Bd. 3 401 Viren, Bd. 3 568 Virialgleichung, 752 Virialkoeffizient, 752 virtuelle Hilfskraft, 392 virtuelle Krümmungen, 394 virtuelle Verschiebung ıw, 394

1060 Viskoelastizitätstheorie, 458 Viskosimetrie, Bd. 2 716 Viskosität, 318 apparente, Bd. 3 598 Viskositätsbestimmung, 335 Vollbremsung, Bd. 3 1120 volle Abstrahlung, 887 vollelastischer Stoß, 292 vollelektronische Zündanlage, Bd. 3 103 Vollformgießverfahren, Bd. 2 832 Vollgummireifen, Bd. 3 400 vollkommene mechanische Ähnlichkeit, 343 Vollniete, Bd. 2 192, Bd. 2 212 vollplastisch, 359 vollplastische Stützziffer, 360 vollplastischer Querschnitt, 459 vollplastischer Zustand, 360, 366 Vollscheibe konstanter Dicke, 434 Voltametrie, Bd. 2 726 Voltmeter, Bd. 2 734 Volumenänderung, 361 Volumenarbeit, 738, 739 Volumendehnung, 358 Volumendehnungskoeffizient, 757 Volumennutzungsgrad, Bd. 2 247 Volumenschwerpunkt, 250 Volumenstrom, Bd. 2 479, Bd. 3 40, Bd. 3 417 Pumpenförderstrom, Bd. 2 480 Volumenzähler, Bd. 2 715 Vorderachse, Bd. 3 1051, Bd. 3 1061 Vorgänge nichtperiodische, 841 Vorgangsgruppe, Bd. 2 68 Dosieren, Bd. 2 68 Fördern, Bd. 2 68 Formen, Bd. 2 68 Fügen, Bd. 2 68 Ordnen, Bd. 2 68 Speichern, Bd. 2 68 Trennen, Bd. 2 68 Vorgelege, Bd. 2 1065 vorhandene Sicherheit, 359 Vorkammer-Verfahren, Bd. 3 96 Vormischbrenner, Bd. 3 296 Vorranggraph, Bd. 2 990 Vorsatzläufer, Bd. 3 230 Vorschaltmasse, 890 Vorschriften für die Zulassung, Bd. 3 1039 Vorschubachse, Bd. 2 1060 Vorschubantrieb, Bd. 2 1061 Vorschubbewegung, Bd. 2 1050 Vorschubgetriebe, Bd. 2 1074 Vorschubkraft, Bd. 2 884 Vorschubmotor, Bd. 2 1051 Vorschubübertragung, Bd. 2 1070 Vorspannkraft, Bd. 2 221 Vorspannung, Bd. 2 363, Bd. 2 1071 Vorspannungsklasse, Bd. 2 1092 Vorwärmen, Bd. 2 167

Stichwortverzeichnis Vorwärtssperrspannung, Bd. 2 672 Vorwärtssperrstrom, Bd. 2 672 vorwiegend ruhende Belastung, Bd. 2 175 V-Stellung, Bd. 3 1148, Bd. 3 1153 VVS-Systeme, Bd. 3 812

W Wachstum, Bd. 3 571 Ausbeutekoeffizient, Zellertragskoeffizient, Bd. 3 589 Batch-Kultivierung, Bd. 3 571, Bd. 3 589 Diauxie, Bd. 3 572 exponentielles Wachstum, Bd. 3 572, Bd. 3 588 Fed Batch-Kultivierung, Bd. 3 594 filamentöses Wachstum, Bd. 3 595 Hemmung, Bd. 3 590 kontinuierliche Kultivierung, Bd. 3 572, Bd. 3 591 lineares Wachstum, Bd. 3 591 makroskopisches Pelletwachstum, Bd. 3 597 mehrfach substratlimitiert, Bd. 3 589 mikroskopisches Hyphenwachstum, Bd. 3 595 substratlimiert, Bd. 3 588 unlimitiert, Bd. 3 588 Zellerhaltung, Bd. 3 594 Wachstumsbedingungen, Bd. 3 569 Nährstoffansprüche, Bd. 3 569 physikochemische Wachstumsansprüche, Bd. 3 570 Wachstumskinetik, Bd. 3 588 Fujimoto, Bd. 3 590 logistisch, Bd. 3 590 Monod, Bd. 3 589 Moser, Bd. 3 590 Pirt, Bd. 3 594 Wachstumsrate, spezifische, Bd. 3 588 Wägemesszellen, Bd. 2 709 Wagen, Bd. 3 402 Wägetechnik, Bd. 2 708 Walzen, Bd. 2 860 Wälzfräsen, Bd. 2 940 Wälzführung, Bd. 2 1087, Bd. 2 1092 Wälzgetriebe, Bd. 2 377 Bohr/Wälzverhältnis, Bd. 2 382 Bohrbewegung, Bd. 2 377 drehmomentensteif, Bd. 2 378 elastischer Formänderungsschlumpf, Bd. 2 383 Halbtoroidgetriebe, Bd. 2 380 Kegelringgetriebe, Bd. 2 380 Leistungsdaten, Bd. 2 383 Leistungsverluste, Bd. 2 384 Nutzreibwert, Bd. 2 377 Planeten-Stellkoppelgetriebe, Bd. 2 385 Reibradgetriebe mit festem Übersetzungsverhältnis, Bd. 2 385 Reibradwerkstoffe, Bd. 2 385 Stellverhältnis, Bd. 2 378 Stribeck’sche Wälzpressung, Bd. 2 377 Verstell-Reibradgetriebe, Bd. 2 385 Volltoroidgetriebe, Bd. 2 380

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Stichwortverzeichnis Wälzkörper, Bd. 2 1092 Wälzlager, Bd. 2 295, Bd. 2 1094 abgedichtete, Bd. 2 310 aktive Dichtelemente, Bd. 2 312 angestellte Lagerung, Bd. 2 306 Anstellen, Bd. 2 300 äquivalente dynamische Belastung, Bd. 2 315 äquivalente Lagerbelastungen, Bd. 2 315 äquivalente statische Belastung, Bd. 2 315 Ausfallwahrscheinlichkeit, Bd. 2 295 Außenring, Bd. 2 295 äußere Axialkraft, Bd. 2 300 Axialfaktoren, Bd. 2 316 Axialkegelrollenlager, Bd. 2 298 Axiallager, Bd. 2 297 Axialluft, Bd. 2 296 Axialnadellager, Bd. 2 298 Axialpendelrollenlager, Bd. 2 298 Axialrillenkugellager, Bd. 2 298 Axialschrägkugellager, Bd. 2 300 Axialzylinderrollenlager, Bd. 2 298 Basiszeichen, Bd. 2 302 berührende Dichtungen, Bd. 2 312 berührungsfreie Dichtungen, Bd. 2 312 Beschichtungen, Bd. 2 302 Betriebslagerluft, Bd. 2 308, Bd. 2 312 Bezugsviskosität, Bd. 2 309 Blechkäfige, Bd. 2 302 bleibende Formänderung, Bd. 2 302 Bohrschlupf, Bd. 2 297 Bolzenkäfige, Bd. 2 302 Borde, Bd. 2 296 bordgeführte Käfige, Bd. 2 302 Bordscheiben, Bd. 2 298 Breitenreihen, Bd. 2 305 Dauerwälzfestigkeit, Bd. 2 312 Deckscheiben, Bd. 2 313 Dichtscheiben, Bd. 2 313 Drucklinie, Bd. 2 297 Druckmittelpunkt, Bd. 2 297 Druckwinkel, Bd. 2 297 Dünnringlager, Bd. 2 295 durchhärtbare Wälzlagerstühle, Bd. 2 302 Durchmesserreihen, Bd. 2 305 dynamische Tragzahl, Bd. 2 315 dynamischer Härtefaktor, Bd. 2 315 Einbaulagerluft, Bd. 2 308, Bd. 2 315 einreihige Schrägkugellager, Bd. 2 299 einsatzhärtbare Wälzlagerstühle, Bd. 2 302 elastohydrodynamischer Schmierfilm, Bd. 2 295 elastohydrodynamischer Schmierung, Bd. 2 309 Ermüdungslebensdauer, Bd. 2 314 Ermüdungsprozess, Bd. 2 314 erweiterte Lebensdauer, Bd. 2 300 Federanstellung, Bd. 2 307 Fensterkäfige, Bd. 2 302 Fertigungslagerluft, Bd. 2 300 Festlager, Bd. 2 298, Bd. 2 305 Fest-Loslagerung, Bd. 2 305

1063 Festschmierstoffe, Bd. 2 308, Bd. 2 312 Festsitz, Bd. 2 307 Fette, Bd. 2 308 Fettgebrauchsdauer, Bd. 2 308 Fettmengenregler, Bd. 2 310 Fettschmierung, Bd. 2 295, Bd. 2 310 Fettwechsel, Bd. 2 310 Fettwechselfristen, Bd. 2 310 Filzringe, Bd. 2 313 Flachführungen, Bd. 2 301 Gebrauchsdauer, Bd. 2 301, Bd. 2 313 gedeckelte, Bd. 2 310 gepaarte Lager, Bd. 2 300 Gesamtminderungsfaktor, Bd. 2 300 Gleitringdichtungen, Bd. 2 313 Grübchenbildung, Bd. 2 314 Herstellagerluft, Bd. 2 314 Herstelllagerluft, Bd. 2 308 Hertz’sche Theorie, Bd. 2 314 Hybridlager, Bd. 2 302 hydrodynamischer Flüssigkeitsfilm, Bd. 2 309 Hystereseverluste, Bd. 2 318 Innenring, Bd. 2 295 innere Axialkraftkomponente, Bd. 2 299 Käfig, Bd. 2 295 Käfigstege, Bd. 2 302 Kegelrollenlager, Bd. 2 297, Bd. 2 299 korrosionsbeständige Stähle, Bd. 2 302 Kreuzkegelrollenlager, Bd. 2 299, Bd. 2 300 Kreuzzylinderrollenlager, Bd. 2 299, Bd. 2 300 Kugelführungen, Bd. 2 301 Kugellager, Bd. 2 296 Kugelumlaufbüchsen, Bd. 2 301 Kunststoffkäfige, Bd. 2 302 Kunststofflager, Bd. 2 302 Labyrinthdichtungen, Bd. 2 312 Lagerlebensdauer, Bd. 2 312 lastabhängiger Reibungsanteil, Bd. 2 319 Lastverteilung, Bd. 2 314 Laufbahnen, Bd. 2 295 Linienberührung, Bd. 2 296 lose Passungen, Bd. 2 307 Loslager, Bd. 2 305 Loslagerverschiebung, Bd. 2 306 Massivkäfige, Bd. 2 302 Maßreihe, Bd. 2 305 Minderungsfaktoren, Bd. 2 310 Mindestbelastung, Bd. 2 318 Mineralöle, Bd. 2 312 Minimalmengenschmierung, Bd. 2 310 mittlere äquivalente dynamische Belastung, Bd. 2 318 mittlere Drehzahl, Bd. 2 318 modifizierte Linienberührung, Bd. 2 296 Nachschmieren, Bd. 2 310 Nachschmierfristen, Bd. 2 310 Nachsetzzeichen, Bd. 2 302 Nadellager, Bd. 2 295, Bd. 2 297 naturharte Stähle, Bd. 2 302

1064 Neubefettung, Bd. 2 310 Nilosringe, Bd. 2 313 O-Anordnung, Bd. 2 300 Ölbadschmierung, Bd. 2 312 Öle, Bd. 2 308 Öleinspritzschmierung, Bd. 2 312 Öl-Luft-Schmierung, Bd. 2 312 Ölnebelschmierung, Bd. 2 312 Ölschmierung, Bd. 2 311 Öltauchschmierung, Bd. 2 312 Ölumlaufschmierung, Bd. 2 312 Passungsrostbildung, Bd. 2 305 Pendelkugellager, Bd. 2 298, Bd. 2 299 Pendelrollenlager, Bd. 2 297, Bd. 2 298 Pendelrollenlagern, Bd. 2 296 Punktberührung, Bd. 2 296 Punktlast, Bd. 2 306 Radialfaktoren, Bd. 2 316 Radiallager, Bd. 2 297 Radialluft, Bd. 2 316 Radialschrägkugellager, Bd. 2 300 Radialwellendichtringe, Bd. 2 313 Reaktionsschicht, Bd. 2 309 Referenzoberfläche, Bd. 2 319 Referenztemperatur, Bd. 2 319 Referenzumgebungstemperatur, Bd. 2 319 Referenzwärmeflussdichte, Bd. 2 319 Rillenkugellager, Bd. 2 296 Rollenlager, Bd. 2 296 Rollenumlaufschuhe, Bd. 2 301 Schälen, Bd. 2 314 Scherverluste, Bd. 2 318 Schmiegung, Bd. 2 300 Schmierfrist, Bd. 2 310 Schmierung, Bd. 2 310 Schrägkugellager, Bd. 2 299 Schräglager, Bd. 2 297 Schränken, Bd. 2 296 Schulterkugellager, Bd. 2 299 Schutzlippen, Bd. 2 313 schwimmende Lagerung, Bd. 2 306 Shakedown-Limit, Bd. 2 316 Silikonöle, Bd. 2 312 Spannführung, Bd. 2 297 starre Anstellung, Bd. 2 307 statische Tragzahl, Bd. 2 315 statischer Härtefaktor, Bd. 2 297 Stützlager, Bd. 2 298, Bd. 2 300 Stütz-Traglagerung, Bd. 2 306 synthetische Öle, Bd. 2 312 Tandem-Anordnung, Bd. 2 300 Temperaturfaktor, Bd. 2 300 thermische Referenzdrehzahl, Bd. 2 300 thermischeReferenzdrehzahl, Bd. 2 319 Toleranzklassen, Bd. 2 308 Tonnenlager, Bd. 2 296, Bd. 2 298 Toroidallager, Bd. 2 297, Bd. 2 298 Tropfölschmierung, Bd. 2 312 Übergangssitze, Bd. 2 307

Stichwortverzeichnis Überlebenswahrscheinlichkeit, Bd. 2 306 Umfangslast, Bd. 2 306 verminderte Schmierfrist, Bd. 2 298 Versagensmechanismen, Bd. 2 298 Vierpunktlager, Bd. 2 298 Viskositätsverhältnis, Bd. 2 309 vollrollige Zylinderrollenlager, Bd. 2 297 Vorsetzzeichen, Bd. 2 302 Wälzen, Bd. 2 295 Wälzkörper, Bd. 2 295 wälzkörpergeführt, Bd. 2 302 wälzkörpergeführte Käfige, Bd. 2 298 warmfeste Stähle, Bd. 2 302 Winkelringe, Bd. 2 298 X-Anordnung, Bd. 2 300 Y-Lager, Bd. 2 298 zerlegbar, Bd. 2 300 Z-Lamellen, Bd. 2 313 zweireihige Kegelrollenlager, Bd. 2 300 zweireihige Schrägkugellager, Bd. 2 300 Zylinderrollenlager, Bd. 2 296, Bd. 2 297 Wälzschälen, Bd. 2 942 Wälzstoßen, Bd. 2 941 Wandler, Bd. 2 796 hydrodynamischer, Bd. 3 1066 Wandlung regenerativer Energien, Bd. 3 958 Leistungsregelung, Bd. 3 960 Rotoren, Bd. 3 960 Windkraftanlagen, Bd. 3 958 Windkraftnutzung, Bd. 3 958 wandverteilter Kraftstoff, Bd. 3 97 Wandwärmeverlust, Bd. 3 77 Wärmeübergangskoeffizient, Bd. 3 77 Wankelmotor, Bd. 3 125 Wanken, Bd. 3 1045, Bd. 3 1046 Wärme, 739 Einheiten, 908 Wärmeabgabe der Menschen, Bd. 3 775 Wärmeausdehnung von Werkstoffen, Bd. 3 706 Wärmebedarfsberechnung, Bd. 3 772 Wärmebehandlungsprozesse, Bd. 3 631 Wärmebilanz, Bd. 3 20 Wärmedämmung, Bd. 3 807 Wärmedehnung, 757 Wärmedurchgang, 809 durch eine ebene Wand, 808 durch eine mehrschichtige Wand, 809 durch Rohre, 810 Wärmedurchgangskoeffizient, 809 Wärmeeindringkoeffizient, 811 Wärmeerzeugung, Bd. 3 827 Wärmekapazität eines Dampfes, 756 mittlere molare, 761 molare, 755 spezifische, 756, 775 Wärmekraftanlage, 783 Wärmekraftmaschine, 783 Wärmeleitfähigkeit, 807, 810

Stichwortverzeichnis Wärmeleitgleichung Fouriersche, 810 Wärmeleitung durch eine ebene Wand, 807 durch eine Rohrwand, 808 mehrdimensionale, 810 stationäre, 807, 808 Wärmeleitwiderstand, 807, 808, Bd. 3 771 Wärmeproduktion, Bd. 3 767 Wärmepumpen, Bd. 3 760, Bd. 3 828 Wärmepumpen-Heizsysteme, 792 Wärmepumpenprozess, 783 Wärmerückgewinnung, Bd. 3 608, Bd. 3 820 Wärmespannung, 366 Wärmestrahlung, 818 Wärmestrom, 807 Wärmestromdichte, 807 Wärmestrommessungen, Bd. 2 719 wärmetechnische Werte, 775 Wärmeübergang, 808, 814 bei erzwungener Konvektion, 814 bei freier Konvektion, 814 bei Strömung durch Rohre, 814 beim Kondensieren, 817 beim Sieden, 817 durch Konvektion, 813 laminare Strömung durch Rohre, 814 quer angeströmte Rohrreihe, 815 quer angeströmtes Einzelrohr, 815 Rohrbündel, 816 turbulente Strömung durch Rohre, 815 Wärmeübergangskoeffizient, 809 Wärmeübergangswiderstand, 809 Wärmeübertrager, Bd. 3 663 Wärmeübertragung, 807 durch Konvektion, 807 durch Leitung, 807 durch Strahlung, 807, 818 Wärmeverbrauchsmessung, Bd. 3 839 Wärmeverhältnis, Bd. 3 726 Wärmewert, Bd. 3 103 Wärmewiderstand, 809, Bd. 2 668 gesamter, 810 Wärmezufuhr, Bd. 3 71 Warmfressen, Bd. 2 405 Warmumformung, Bd. 2 876 Wartung, Bd. 3 1184 wartungsfreie Gleitlager, Bd. 2 348 Wasser Tripelpunkt, 758 Wasserdampfbeladung, 794 Wasserdampftafel Sättigungszustand, 762 wassergekühlte Verflüssiger, Bd. 3 740 Wasserheizungen, Bd. 3 828 Wasserinjektionstechnik, 646 Wasserkraftwerke, Bd. 3 216 Entnahmeanlage, Bd. 3 217 Hochdruckkraftwerk, Bd. 3 216

1065 Investitionskosten, Bd. 3 217 Kavernenkraftwerk, Bd. 3 217 Mitteldruckkraftwerke, Bd. 3 216 Niederdruckkraftwerke, Bd. 3 216 Pumpspeicheranlage, Bd. 3 217 Speicheranlage, Bd. 3 216 statische Fallhöhe, Bd. 3 216 Wasserschloss, Bd. 3 217 Wasserlinienquerschnitt, 313 Wasserstoff, Bd. 3 1058 kryogene Speicherung, Bd. 3 1058 Wasserstoffspeicherung kryogene, Bd. 3 1058 Wasserturbinen, Bd. 3 215 Arbeitsweise, Bd. 3 215 Dériazturbine, Bd. 3 216 Durchgangsdrehzahl, Bd. 3 221 Einheitsdiagramm, Bd. 3 221 Einheitsvolumenstrom, Bd. 3 221 Einsatzbereiche, Bd. 3 216 Fallhöhen, Bd. 3 215 Francisturbine, Bd. 3 216 Gleichdruckturbinen, Bd. 3 215, Bd. 3 217 Kaplanturbine, Bd. 3 216 Kennfelder, Bd. 3 221 Kennlinien, Bd. 3 220 Laufraddurchmesser, Bd. 3 215 Laufschaufelstellung, Bd. 3 220 Leistungsbereich, Bd. 3 215 Leitschaufelstellung, Bd. 3 220 maximales Drehmoment, Bd. 3 222 Nennfallhöhe, Bd. 3 216 Nennvolumenstrom, Bd. 3 216 Ossbergerturbine, Bd. 3 216 Peltonturbine, Bd. 3 216 spezifische Drehzahl, Bd. 3 216 Überdruckturbine, Bd. 3 215, Bd. 3 218 Unterwasserstand, Bd. 3 222 Werkstoff, Bd. 3 220 wechselnde Beanspruchung, 367 Wechselstrom, Bd. 2 531 Wechselstrommessbrücken, Bd. 2 735 Wechselstromsteller, Bd. 2 589 Wechselstromverbraucher, Bd. 2 746 Wegeventil, Bd. 2 494 weggebundene Presse, Bd. 2 1132 Wegmesstechnik, Bd. 2 703 Wegsteuerung, Bd. 3 34 Weg-Zeit-Diagramm, 258 Weg-Zeit-Funktion, 296 Weichlöteinrichtungen in der Elektronik, Bd. 2 1203 Weißlichtinterferometer, Bd. 2 701 weitere Ähnlichkeitsgesetze für Strömungsprobleme, 347 Welle-Nabe-Verbindungen, vorgespannt, Bd. 2 210 Wellenspannhülse, Bd. 2 196, Bd. 2 200 Wellenwiderstand, Bd. 2 637 Wende-Roll-Moment, Bd. 3 1152 Werkstatt-Mikroskope, Bd. 2 698

1066 Werkstoff, Bd. 3 845, Bd. 3 876 Werkstoff-Handbuch, Bd. 3 1177 Werkstoffkenngrößen, 358 Werkstoffkennwerte, Bd. 3 1177 Werkstoff-Leistungsblatt, Bd. 3 1177 Werkstoffpaarung, Bd. 2 1088 Werkstoffprüfung von Kunststoffen, 640 Werkstück, Bd. 2 1049 Werkstückflusssystem, Bd. 2 1049 Werkzeug, Bd. 2 1049 Werkzeugmaschine, Bd. 2 1049, Bd. 2 1082 Werkzeugträger, Bd. 2 1049 Wetter- und Vogelschutzgittern, Bd. 3 807 Wheatstone, Bd. 2 735 Wheatstonebrücke, Bd. 2 526 White-Box-Modellierung, Bd. 2 763 Wickelmodule, Bd. 3 539 Wickelverfahren, 647 Widerstand, Bd. 2 525, Bd. 2 663, Bd. 3 1151, Bd. 3 1154, Bd. 3 1156 einstellbar, Bd. 2 665 spezifischer, Bd. 2 525, Bd. 2 663 Temperaturkoeffizient, Bd. 2 525 Widerstand an Seilrollen, 255 Widerstandsanordnung, Bd. 2 509 Widerstandsbeiwert, 319, 815, Bd. 3 1152 Widerstandshilfsphasenmotor, Bd. 2 576 Widerstandskraft, 255, 340 Widerstandsmessung, Bd. 2 734 Widerstandsmomente (axiale), 371 Widerstandspolare, Bd. 3 1157 Widerstandspunkt- und Widerstandsnahtschweißen, Bd. 2 185 Widerstandsschmelzschweißen, Bd. 2 159 Widerstandsschweißmaschinen, Bd. 2 1201 Widerstandssteuerung, Bd. 2 509 Widerstandsthermometer, Bd. 2 718 Widerstandswerkstoffe, Bd. 2 664 Widerstandswert, Bd. 2 663 Wildhaber-Novikov-(W-N-)Verzahnung, Bd. 2 398 Winddruck auf Bauwerke, 337 Windenergie, Bd. 2 648 Windenergiekonverter, Bd. 2 648 drehzahlvariabler Betrieb, Bd. 2 648 Leistungsbeiwert, Bd. 2 648 Schnelllaufzahl, Bd. 2 648 Windkessel, Bd. 3 27 Windungszahl, Bd. 2 666 Winkelbeschleunigung, 262 Winkelgeschwindigkeit !, 262, 433, Bd. 2 705 Winterreifen, Bd. 3 1048 Wippwerk, Bd. 3 385 Wirbelbewegung, 318 Wirbelkammer-Verfahren, Bd. 3 95 Wirbellinien, 330 Wirbellinienströmung, 332 Wirbelröhre, 330 Wirbelschicht, Bd. 3 560 Druckverlust, Bd. 3 561

Stichwortverzeichnis Lockerungsgeschwindigkeit, Bd. 3 560 Strömungszustände, Bd. 3 561 Wirbelstrombremse, Bd. 3 1120 Wirbelstromläufer, Bd. 2 1054 Wirbelstromverluste, Bd. 2 666 Wirkdruckverfahren, Bd. 2 715 Wirkleistung, Bd. 2 532 wirkliche Verschiebungen, 392 wirkliche Zustandsgrößen, 394 wirklicher Arbeitsprozess, Bd. 3 73 wirklicher Spannungszustand, 390 Wirkpaarung, Bd. 2 69 Wirkrichtungswinkel, Bd. 2 879 wirksame Knicklänge, 437 wirksame Spannung, 366 Wirkstelle, Bd. 2 69 Wirkungsgrad, 254, 273, 275, Bd. 2 561, Bd. 3 6, Bd. 3 44, Bd. 3 73, Bd. 3 75 der Speisewasserpumpe, 787 der vollkommenen Kraftmaschine, Bd. 3 6 des Ackeret-Keller-Prozesses, 785 des Carnot-Prozesses, 784 des Clausius-Rankine-Prozesses, 787 des Dieselmotors, 789 des Joule-Prozesses, 786 des Ottomotors, 789 Gesamtwirkungsgrad, Bd. 2 481 hydraulischer, Bd. 2 481 hydraulisch-mechanischer, Bd. 2 481 isentroper, 791, Bd. 3 44 isotherme Kupplung, Bd. 3 44 isothermer, Bd. 3 44 Kupplungswirkungsgrad, Bd. 3 44 mechanischer, Bd. 3 44 thermischer, 784–787, 789 Wirkungsgradkette, Bd. 3 6 Wirkungsplan, Bd. 2 759, Bd. 2 773 Wöhlerlinie, Bd. 3 338 Bauteilwöhlerlinie, Bd. 3 338 Relativschädigung, Bd. 3 338 Wölbwiderstand, 441 Wulst, Bd. 3 1047 Wurfbahn, 261 Wurfdauer, 261 Wurfhöhe, 261 Wurfkennziffer, Bd. 3 446 Wurfweite, 261

Z zähe Werkstoffe, 359 Zahlensystem, 906 Zahn- und Keilwellenverbindungen, Bd. 2 209 Zähnezahlverhältnis, Bd. 2 390 Zahnflankenmodifikationen, Bd. 2 946 Zahnflankenspiel, Bd. 2 1074 Zahnkette, Bd. 2 1068 Zahnpasta, 327 Zahnradgetriebe, Bd. 2 389, Bd. 2 1064

Stichwortverzeichnis Abriebverschleiß, Bd. 2 405 Flankenspiel, Bd. 2 399 Grauflecken, Bd. 2 404 Grübchenbildung, Bd. 2 404 Haupttragfähigkeitsgrenzen, Bd. 2 404 Kaltfressen, Bd. 2 405 Räderpaarungen, Bd. 2 389 Schmierstoffzähigkeit, Bd. 2 401 Schmierung und Kühlung, Bd. 2 401 Tragfähigkeit, Bd. 2 404 Verzahnungsabweichungen, Bd. 2 399 Verzahnungsherstellung, Bd. 2 403 Verzahnungstoleranzen, Bd. 2 399 Wärmebehandlung, Bd. 2 403 Warmfressen, Bd. 2 405 Werkstoffe, Bd. 2 403 Zahnradpaarungen, Bd. 2 389 Zahnschäden, Bd. 2 404 Zahnradmaschine, Bd. 2 485 Außenzahnradmotor, Bd. 2 491 Außenzahnradpumpe, Bd. 2 488 Innenzahnradpumpe, Bd. 2 488 Zahnradmesstechnik, Bd. 2 698 Zahnriemen, Bd. 2 369, Bd. 2 1067 Zahnriementrieb, Bd. 2 1074 Zahnringmaschine, Bd. 2 488 Zahnringmotor, Bd. 2 491 Zahnringpumpe, Bd. 2 488 Zahnschäden, Bd. 2 404 Zahnstangenlenkung, Bd. 3 1052 Zapfendüsen, Bd. 3 108 Zeichnungsarten, Bd. 2 56 Zeigerdiagramm, Bd. 2 549 Zeitbereich, 881 Zeitfestigkeit, 457 Zeitfestigkeitberechnungen, 468 Zeitgesetze, Bd. 3 547 Zeitspanvolumen, Bd. 2 892 Zeitstandbeanspruchung, 476 Zeitstandzugfestigkeit von Hartlötverbindungen, Bd. 2 190 Zellenbauweise, Bd. 2 1081 Zellenverdichter, Bd. 3 737 Zellkulturreaktor, Bd. 3 583 Zellrückhaltung, Zellrückführung, Bd. 3 593 zementiert, Bd. 3 878 Zener-Effekt, Bd. 2 667 Zentralgeräte, Bd. 3 811 Zentralkraft, 278 Zentralpunkt, 455 zentrifugales oder gemischtes Flächenmoment 2. Ordnung, 312 Zentrifugalmoment, 283, 284, 371 Zentripetalbeschleunigung, 258 Zerkleinern, Bd. 3 518 Bruchphysik, Bd. 3 518 zerkleinerungstechnische Stoffeigenschaften, Bd. 3 518 Zerkleinerungsmaschine, Bd. 3 519

1067 Brecher, Bd. 3 519 Mühlen mit losen Mahlkörpern, Bd. 3 519 Prallmühlen, Bd. 3 520 Rührwerkskugelmühlen, Bd. 3 520 Strahlprallmühlen, Bd. 3 520 Wälzmühlen, Bd. 3 519 Zerlegen, Bd. 2 879 zerstörungsfreie Materialprüfung, Bd. 2 694 Zerteilen, Bd. 2 879 Zieheinrichtung, Bd. 2 1134 Zink-Luftbatterien, Bd. 2 645 Zirkulation, 331, 399 Zirkulation einer Strömung, 330 zonenweise Versorgung, Bd. 3 812 Zonung, Bd. 3 472 zufällige Messabweichung, Bd. 2 688 Zug- oder Druckfedern, Bd. 2 247 Zug- und Druckbeanspruchung, 365 Zuganker, Bd. 3 129 Zugbelästigungen, Bd. 3 809 zugeführter Arbeit, 275 Zugerscheinungen, Bd. 3 778, Bd. 3 782 Zugfahrzeug, Bd. 3 1056, Bd. 3 1081 Zugfeldträger, Bd. 3 1174 Zugkraft, Bd. 3 1064, Bd. 3 1078 Zugmaschine, Bd. 3 1038 Zugmittel, Bd. 3 418 Zugmittelgetriebe, Bd. 2 359 formschlüssige, Bd. 2 359 reibschlüssige, Bd. 2 359 Zug-Stoßeinrichtungen, Bd. 3 1109 zulässige Spannung, 359 Zulassungsstartstrecke, Bd. 3 1167 Zündanlagen, Bd. 3 102 Zündelektrode, Bd. 2 672 Zündgrenzen, Bd. 3 93 Zündkerze, Bd. 3 103 Zündstrom, Bd. 2 673 Zündtemperatur, 801 Zündung, Bd. 3 93, Bd. 3 1056 Zündungsklopfen, Bd. 3 93 Zündverzug, Bd. 3 95 Zündzeitpunkt, Bd. 3 1056 Zuordnung von Überstromschutzorganen, Bd. 2 654 zusammengesetzte Beanspruchung, 399 Zusatzwerkstoff, Bd. 2 169 Zuschaltraumregelung, Bd. 3 60 Zuspitzung, Bd. 3 1150 Zustand, 730 Zustandsänderung, 730 adiabate, 741 idealer Gase, 778 irreversible, 738 isobare, 777 isochore, 777 isotherme, 777 polytrope, 777 ruhender Gase und Dämpfe, 777 strömender Gase und Dämpfe, 779

1068 von Gasen und Dämpfen, 777 Zustandsfläche, 754 Zustandsgleichung, 730 fester Stoffe, 757 idealer Gase, 751 thermische, 751 von Benedict-Webb-Rubin, 752 Zustandsgröße, 751, Bd. 2 756 Ammoniak, 771 eines Gemisches, 793 extensive, 730, 744 intensive, 730 kalorische, 751, 758, 793 Kohlendioxid, 772 spezifische, 730 Tetrafluorethan (R134a), 773 thermische, 751 von Gasen und Dämpfen, kalorische, 755 Wasser, 765 Zustandsraumdarstellung, Bd. 2 765 Zustellbewegung, Bd. 2 1050 Zuverlässigkeit, Bd. 3 1137 Zuverlässigkeitsprüfung, Bd. 3 1130 Z-Bewertung, 883 Zwanglauf, 271, Bd. 2 455 Zwangsbremsung, Bd. 3 1120 Zwangskräfte, 394 Zwei, Bd. 2 510 zweiachsiger (ebener) Spannungszustand, 354 Zweiflankenwälzprüfung, Bd. 2 699 Zweipunkt-Regelung, Bd. 2 790 Zweirohranlage, Bd. 3 833 zweischnittig, 366 Zweispurfahrzeug, Bd. 3 1051 Zweitaktmotor, Bd. 3 79

Stichwortverzeichnis Zweitakt-Großmotor, Bd. 3 135 Zweitaktverfahren, Bd. 3 70 Zwei-Wege-Einbauventil, Bd. 2 509 Zwei-Wege-Stromregelventil, Bd. 2 499 Zwillingsbereifung, Bd. 3 1047 Zwischenkreisumrichter, Bd. 2 611 Zwischenüberhitzung, Bd. 3 252 Zykloidenverzahnung, Bd. 2 398 Zylinder, 422, Bd. 2 493 Differentialzylinder, Bd. 2 493, Bd. 2 510 Eilgang, Bd. 2 510 Endlagendämpfung, Bd. 2 493 Gleichgangzylinder, Bd. 2 493 Membranzylinder, Bd. 2 515 Schlagzylinder, Bd. 2 516 Tauchkolbenzylinder, Bd. 2 493 Zylinder gegen Ebene, 422 Zylinderanordnung, Bd. 3 18 Zylinderkoordinaten, 263 Zylinderkopf, Bd. 3 129 Zylinderrollenlager, Bd. 2 1095 Zylinderschale mit Halbkugelböden unter konstantem Innendruck, 430 Zylinderschmierung, Bd. 3 19 Zylinderstifte, Bd. 2 205 Zylinderverbindungen Richtlinien für die Gestaltung, Bd. 2 224 Zylinderzahl, Bd. 3 18, Bd. 3 124 zylindrische Führungen, Bd. 2 1088 zylindrische Mäntel äußerer Überdruck, Bd. 3 675 innerer Überdruck, Bd. 3 674 Wärmespannungen, Bd. 3 674 zylindrische Schalenstreifen, 445 zylindrischen Schraubenlinie, 263