Taschenbuch für den Maschinenbau: In zwei Bänden Erster Band [8. Aufl.] 978-3-662-40542-0;978-3-662-41021-9

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XIV
Tafeln (H. Baer, Ch. Bouché, H. Dubbel, Bruno Eck, K. Gottwein, W. Gruhl et al.)....Pages 1-33
Arithmetik und Algebra (W. Meyer zur Capellen)....Pages 34-56
Die Kreis= und Hyperbelfunktionen (W. Meyer zur Capellen)....Pages 56-64
Differential= und Integralrechnung (W. Meyer zur Capellen)....Pages 64-90
Analytische Geometrie und Kurvenlehre (W. Meyer zur Capellen)....Pages 90-128
Einführung in die Rechnung mit Vektoren (W. Meyer zur Capellen)....Pages 128-130
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf die Fehler=, Ausgleichs= und Großzahlrechnung (W. Meyer zur Capellen)....Pages 130-139
Die Fourierschen Reihen. (Harmonische Analyse periodischer Funktionen.) (W. Meyer zur Capellen)....Pages 139-144
Einführung in die Nomographie (V. Happach)....Pages 144-155
Zeichnerische und rechnerische Verfahren der praktischen Mathematik (W. Meyer zur Capellen)....Pages 155-160
Flächen- und Körperberechnung (H. Dubbel)....Pages 160-164
Statik starrer Körper (Rich. Hänchen)....Pages 165-203
Dynamik (W. Meyer zur Capellen)....Pages 203-243
Statik flüssiger und gasförmiger Körper (Bruno Eck)....Pages 243-246
Strömungslehre (Bruno Eck)....Pages 247-288
Wärmelehre (H. Dubbel)....Pages 288-318
Die Brennstoffe und ihre technische Verwendung (W. Gumz)....Pages 319-344
Festigkeitslehre (W. Meyer zur Capellen)....Pages 345-416
Werkstoffkunde (A. Thum, H. Holdt)....Pages 417-482
Schweißkonstruktionen (R. Hänchen)....Pages 483-491
Maschinenteile (Ch. Bouché, H. Dubbel, K. Wolters)....Pages 492-644
Die Dampferzeugungsanlagen (E. Schulz, H. Dubbel)....Pages 645-675
Die Kraft- und Arbeitsmaschinen mit Kolbenbewegung (H. Dubbel., F. Wettstädt, Ch. Bouché)....Pages 677-752
Schwungräder, Massenausgleich, Schwingungen und Regler (H. Dubbel)....Pages 753-869
Die Kondensation (H. Dubbel)....Pages 870-887
Die umlaufenden Kraft- und Arbeitsmaschinen (Fr. Oesterlen, E. Sörensen, H. Baer)....Pages 888-899
Abwärmeverwertung (W. Pauer)....Pages 900-1011
Rohrleitungen (H. Dubbel)....Pages 1012-1034
Hebe- und Fördermittel (R. Hänchen)....Pages 1035-1040
Werkzeugmaschinen (K. Gottwein, W. Reichel)....Pages 1041-1152
Kraftwagen (F. Wettstädt)....Pages 1153-1308
Flugtechnik (A. Pröll)....Pages 1309-1338
Bau-Elemente des Flugzeugs (H. Dubbel)....Pages 1339-1377
Elektrotechnik (W. Gruhl)....Pages 1378-1395
Back Matter ....Pages 1502-1544

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Taschenbuch für den

Maschinenbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. H. Ba er- Bres!au, Dipl.-Ing. C h. B o u c h e- Berlin, Prof. H. Dubbel-Berlin, Dr.-Ing. Bruno Eck-Köln, Prof. K. GottweinBreslau, Dipl.-Ing. W. Gruhl-Berlin, Dr.-lng. W. Gumz-Essen, Dipl.-lng. R. Hänchen-Berlin, Dr. V. Happach-Stettin, Dr.-Ing. H. HoldtMannheim, Dr.-Ing. W. Meyer zur Capellen-Aachen, Prof. Dr.-lng. Fr. 0 es terl e n- Hannover, Prof. Dr.-Ing. W. Pa u er- Dresden, Prof. Dr.-lng. A. Pröll-Hannover, Dr.-lng. W. Reichel-Rheydt, Dipl.-Ing. E. Sch ulz- Berlin, Prof. Dr.-Ing. E. S örens en -Augsburg, Prof. Dr.A. Th um· Darmstadt, Dr.-lng. F. Wettstädt-Berlin, Dr.-Ing. K. Wolterst-Berlin Herausgegeben von

Prof. H. Dubbel Ingenieur, Berlin

Achte, verbesserte Auflage Mit etwa

3000

Textfiguren

In zwei Bänden

Erster Band

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

1941

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Copyritht 1941 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg Ursprünglich erschienen bei Julius Springer, Berlin 1941. Softcover reprint of the bardeover 8th edition 1941 ISBN 978-3-662-40542-0 ISBN 978-3-662-41021-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-41021-9

Vorwort zur siebenten Auflage. Bei der Bearbeitung dieses Taschenbuches waren für Herausgeber und Mitarbeiter aller Auflagen die folgenden Erwägungen ausschlaggebend: Mathematik und Mechanik, diese beiden wichtigsten Grundlagen der wissenschaftlichen lngenieurausbildung, sind in eingehender, besonders die Elemente berücksichtigender Form dargestellt. Diese Behandlung entspricht den Bedürfnissen der Praxis, die meist nur eine allerdings gründliche Beherrschung der Elemente erfordert. Eine Beschränkung erschien auch deshalb angebracht, weil bei Lösung schwierigerer Aufgaben nicht die knappen Angaben eines Taschenbuches, sondern größere Sonderwerke zu Rate gezogen werden. Da Gewißheit über· ·den Geltungsbereich nur bei solchen Formeln vorhanden ist, deren Entstehung man kennt, so ist auf Ableitung der Hauptsätze großer Wert gelegt. Die zahlreichen Beispiele dienen nicht nur als Übungsstoff, sondern behandeln auch wichtige Fragen aus dem Gebiete des Maschinenbaus, so das Trägheitsmoment von Dampfturbinenschaufeln, die Berechnung mehrfach gelagerter Wellen, die statische Berechnung der Kranträger, die Berechnung umlaufender Scheiben und die Darstellung der Biege- und Drehschwingungen. Nomographie und Einführung in die Vektorenrechnung sind kurz behandelt. Der praktische Teil wurde ausschließlich mit Rücksicht auf die Bedürfnisse des Maschineningenieurs bearbeitet. Für die Darstellung der einzelnen Kapitel war die Tatsache maßgebend, daß der Spezialist auf seinem Fachgebiet Taschenbücher selten oder nie zu Rate zieht, da ihm hier eigene Erfahrungs-. werte und Konstruktionsvorlagen sowie die Fachliteratur zur Verfügung stehen, die das Erforderliche in aller Ausführlichkeit enthalten. Aus diesem Grunde sind die einzelnen Kapitel in der Weise behandelt, daß sie jedem Maschineningenieur einen raschen Überblick auch auf ihm fernerliegende Fachgebiete ermöglichen und ihn mit den wichtigsten Methoden und Zahlenwerten bekannt machen. So bringt das Taschenbuch den engen Zusammenhang zwischen den verschiedenen Zweigen des gesamten Maschinenbaus zum Ausdruck und gibt gleichzeitig durch Wiedergabe der neuesten Bauarten und besonders der Elemente ein Bild des heutigen Standes der wichtigsten Gebiete der Maschinentechnik. Im einzelnen sei bemerkt: Als neue Mitarbeiter wurden gewonnen: Dr.-lng. Bruno Eck- Köln (für die Bearbeitung der Abschnitte Statik flüssiger und gasförmiger Körper und Strömungslehre), Dr.-Ing. W. Gumz-Essen (Die Brennstoffe und ihre technische Verwendung), Dr.-Ing. W. Meyer zur Capellen-Aachen (Mathematik, Dynamik, Festigkeitslehre), Prof. Dr.-Ing. A. Pröll-Hannover (Flugtechnik), Prof. Dr.-Ing. E. Sörensen-Dresden (Kreiselpumpen). Außer den vorstehend aufgeführten Abschnitten Strömungslehre, Flugtechnik sind neu aufgenommen worden: Schweißkonstruktionen (bearbeitet von Dipl.lng. Rieb. Hänchen) und Bau-Elemente des Flugzeugs (bearbeitet vom Herausgeber). Trotz der Aufnahme dieser Abschnitte und der Erweiterung des Abschnittes: Werkstoffkunde, ist es gelungen, den Umfang des Taschenbuches

IV

Vorwort zur achten Auflage.

zu verringern. Sämtliche Abschnitte sind durchgreifend geändert und dem neuesten Stande der Technik in Wort und Bild angepaßt worden, wobei keine Kosten gescheut wurden, um dieses Ziel zu erreichen. Vielfachen Wünschen entsprechend, wurde in den Tafeln der Kreisfunktionen (Bd. I, S. 24 bis 27) die Zehnteilung der Grade eingeführt. Die 100°-Teilung des Quadranten, Neugradtei!ung, ist in Zahlentafel S. 673 berücksichtigt. Besonderen Dank schuldet der Herausgeber: Herrn Dr. E. Justi für die Überlassung der neuestenWerte der mittleren spezifischen Wärme, der Verlagsbuchhandlung Julius Springer, die allen Wünschen und namentlich den hochgespannten Anforderungen der Mitarbeiter in bezug auf die Ausführung der Figuren ohne Einschränkung entsprochen hat. Berlin-Frohnau, im August 1939.

H. Dubbel.

Vorwort zur achten Auflage. Infolge des unerwartet raschen Absatzes der siebenten Auflage erübrigte sich eine durchgreifende Neubearbeitung. Diese erstreckte sich lediglich auf einige Berichtigungen im einzelnen und auf einige Anderungen des Abschnittes Maschinen teile. Berlin-Frohnau, im August 1941.

H. Dubbel.

Inhaltsverzeichnis. Erster Band. I. Tafeln.

Mathematik.

Tafeln der Potenzen, Wurzeln, nattlrlichen Logarithmen, Kreisumfllnge und ·Inhalte - Briggsehe Logarithmen - Tafel der Kreisfunktionen - Bogenlangen, BogenhOhen, Sehnenllngen und Kreisabschnitte für den Halbmesser = 1 - Tafel der Hyperbelfunktionen - I" und 1- z ·für a:- 0 bis a:- 7 - Wich· tige Zahlenwerte • . . • • • . • . . • • • . • • • • • • • • • • • • • •

Seite

2

II. Arithmetik und Algebra. Bearbeitet von Dr.-Ing. W. Meyer zur Capellen, Aachen. Die Potenz-, Wurzel· und Logarithmenrechnung - Zahlensysteme nationslehre - Determinanten - Gleichungen - Reihen •

III. Die Kreis· und Hyperbelfunktionen. W. Meyer zur Capellen, Aachen.

Bearbeitet von

Kombi-

34

Dr.-Ing.

Die trigonometrischen Funktionen - Dreiecksberechnung - Die Arcusfunktionen - Die Hyperbelfunktionen • • • . • • • • • • • . . . . • • . . . . •

IV. Differential- und Integralrechnung. Bearbeitet vonDr.-Ing. W.Meyer zur Capellen, Aachen. Die Differentialrechnung (Grenzwert, Differentialquotient, Differential Beispiele für die Ableitung der elementaren Funktionen - Differentialformeln - Allgemeine Regeln - Anwendung der Differentialformeln - Ableitungen hOherer Ordnung, Differentialkurven - Ma:rima und Minima). Die In· tegralrechnung (Unbestimmtes und bestimmtes Integral, Flächeninhalt und mehrfache Integrale - Grundintegrale - Allgemeine Regeln - Integralformeln - Bogenlänge von Kurven - OberflAche und Inhalt von UmdrehungskOrpern Integralkurven - Gewöhnliche Differentialgleichungen) • • • • • • • • • • •

56

64

V. Analytische Geometrie und Kurvenlehre. Bearbeitet von Dr.-Ing. W. Meyer zur Capellen, Aachen. Punkt und gerade Linie ln der Ebene - Krumme Linien in der Ebene - Punkt, gerade Linie und Ebene im Raume - Flächen und Raumkurven • • • • • • •

90

VI. Einführung in die Rechnung mit Vektoren. Bearbeitet von Dr.-Ing. W. Meyer zur Ca pellen, Aachen . . . . . . . . . . . . . . • • • t28 VII. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf die Feh· ler-, Ausgleichs- und Großzahlrechnung. Bearbeitet von Dr.-Ing. W. Meyer zur Capellen, Aachen. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung - Auswertung von Beobachtungen - Verteilungskurve und Großzahlforschung : • • • • • • • • • • • •

t 30

VIII. Die Fouriersehen Reihen. Bearbeitet von Dr.-Ing. W. Meyer zur Capellen, Aachen . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . • • • • • 139 IX. Einführung in die Nomographie. Bearbeitet von Dr. V. Happach, Stettin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • 144 X. Zeichnerische und rechnerische Verfahren der praktischen Mathematik. Bearbeitet von Dr.-Ing. W. Meyer zur Capellen, Aachen t55 XI. Flächen- und Körperberechnung. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin. Umfänge und Inhalte ebener Figuren - Oberflächen und Rauminhalte von Körpern • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

t6o

VI

Inhaltsverzeichnis,

Mechanik.

Seite

I. Statik starrer Körper. Bearbeitet von Dipl.-Ing. Rieb. Hänchen, Berlin.

Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften. Gleichgewichtsbedingungen Schwerpunkt - Reibung - Tragwerke - Fachwerke , , • , , , , • • • •

165

II. Dynamik starrer Körper. Bearbeitet von Dr.·Ing. W. Meyer zur Capellen, Aachen. Bewegungslehre (Kinematik) -

Kinetik • • • • • • • • • • • • •

203

III. Statik flüssiger und gasförmiger Körper. Bearbeitet von Dr.-Ing. Bruno Eck, Köln. Besondere Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen - Hauptgesetze ruhen· der Flüssigkeiten und Gase - Statik und Eigenschaften der Atmosphäre • • 24 3

IV. Strömungslehre. Bearbeitet von Dr.-Ing. Bruno Eck, Köln. Hauptgesetze - Besondere Merkmale der reibungsfreien Strömung - Einige wichtige Begriffe der Strömungslehre - Hydraulisches Messen - Widerstände in Rohrleitungen und Armaturen - Eigenschaften eines freien Strahles - Widerstand von Körpern - Eigenschaften des Windes- Der Tragflügel- Propeller 247

V. Wärmelehre. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin. Alleemeine Eigenschaften - Wärmeübergang durch Leitung, Berührung und Strah· lung - Thermodynamik (Erster Hauptsatz - Die Mechanik der vollkommenen Gase - Camotscher KrelsprozeB - Zweiter Hauptsatz - Die MP.Cbanlk der Dämpfe -Mischung von Gasen und Dämpfen) -Die Entropie und die Wärmedia· cramme • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 288

Die Brennstoffe und ihre technische Verwendung. Bearbeitet von Dr.-lng. W. Gumz, Essen. Eigenschaften der Brennstoffe - Verwertung und Veredelung der Brennstoffe Die Verbrennung - Der Verbrennungsvorgang. • • • • • • • • . • • • . • 319

Festigkeitslehre. Bearbeitet von Dr.-lng. W. Meyer zur Capellen, Aachen. Allgemeines (Spannung und Formänderung; Arten der Festigkeit; Zulässige Span· nung und Sicherheit gegen Bruch; Festigkeitshypothesen; Die venchiedenen Belastungsfälle; Anstrengungsverhältnis; Prüfverfahren von Metallen - Zug und Druck - Biegung des geraden Stabes ( Querkraft und Blegungsmoment; Biegung&• Spannungen und Formänderungen; Trägheits-, Widerstands- und Flieh- (Zentri· fugal-) Momente ebener Flächen; Tafel für Träger mit gleichbleibendem Querschnitt; Mehrfach gelagerte Träger) - Biegung des gekrümmten Stabes - Knickung Schuh (Abscheren; Schubspannungen; Formänderung) - Drehung (Kreisförmiger, unveränderlicher Querschnitt; Veränderlicher, krelsfOrmiger Querschnitt; Beliebiger, nicht kreisförmiger Querschnitt) - Formänderungsarbeit - Zu· BIIIIIDll'llgestzte Festigkeit (Beanspruchung durch Normalspannungen; Bean· sprurhung durch Schubspannungen; Beanspruchungen durch Normal- und Schubspannungen) - Festigkeit der Fedem - Festigkeit von Gefäßen, umlaufenden Scheiben, Platten • . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 34 5

Werkstoffkunde. Bearbeitet von Prof. Dr. A. Thum, Darmstadt, und Dr.-Ing.H. Holdt, Mannheim. Die werkstofftechnischen Grundlagen der Konstruktion (Bruchvorgang bei zügiger und wechselnder Beanspruchung; Festigkeit bei zügiger Beanspruchung; Festigkeit bei wechselnder Beanspruchung; Korrosion und Festigkeit; Werkstofftechnische Anforderungen an die Konstruktion) - PrQfung der Werkstoffe (Prüfverfahren und Probeentnahme; Zugversuch; Druckversuch; Biegeversuch; Härteprüfung; Kerbschlagversuch; Dauerversuche; Technologische Versuche; Chemische Prüfungen und Gefügeuntersuchungen; Zerstörungsfreie Prüfverfahren) - Die Werkstoffe, ihre Eigensrhaften und Verwendung (Stahl und Eisen; Nichteisenmetalle; Nichtmetallische Werkstoffe; Schutzüberzügel • • • • • • • 4t 7

Inhaltsverzeichnis.

VII

Schweißkonstruktionen. Bearbeitet von Dipl.-lng. R. Hänchen, Berlin.

Seite

Schweißverfahren - Die Nahtformen - Festigkeit der Schweißnähte Berechnnngsgrundlagen - Gestaltungselemente . . . • . . . • . . . . . . • • 483

Maschinen teile. Bearbeitet von Dipl.-lng. Ch.Bouche, Berlin, Prof. H. Dubbel, Berlin, und Dr.-Ing. K. Wolters t. Passungen, Normnngszahlen • • • • • • • • • • • • • • •

492

I. Vemietungen. Allgemeines -

Berechnung der Vemietungen. . . .

497

II. Schrumpfringe und ·platten. . . . . . . . 111. Keilverbindungen.

501

Querkeile • • • • . • . • • • .

503

Ungskeilo -

IV. Schrauben. Allgemeines - Gebrlucbllche Gewinde - Berechnung der Schrauben - Muttern - Köpfe - Ausfilbrungsbeispiele - Die Durchmesser der gebohrten nnd gegossenen Schraubenlöcher - Unterlegscheiben - Schraubensichernngen •

V. Bolzen und Stifte • • • • • • • • • . . • VI. Zapfen. Tragzapfen -

StOtuapfen -

Kammzapfen •

507 519

520

VII. Wellen und Achsen. Normale Triebwerkwellen - Biegsame Wellen - Achsen (Kurbelwelle; Gekröpfte Welle einer stehenden Maschine). • • • • . . . . • . • • • • • • 524

VIII. Kupplungen.

Feste Kupplungen - Bewegliche Kupplnngen - AusrOckbare Kupplungen Sicherheitskupplungen- Kraftmaschlnenkupplnngen - Flüssigkeitskupplungen 531

IX. Schmierung und Schmiervorrichtungen.

Starrschmierung - Olschmiernng • • • • • • • • • • • • • • • • •

538

Gleitlager - WäWager - Befestignngsteile - Schneidenlager • • • •

544

X. Lager.

XI. Zahnräder. Bearbeitet von Dipl.·lng. Ch. Bouch6, Berlin. Grundbegriffe nnd Bezeichnnngen; Zykloldenverzabnung; Evolventenverzahnung für Geradzabn·Stirnr.ider; Sonderverzahnung; Triebstockverzahnung; Schrägzabnstimräder; Schraubeurädergetriebe; Kegelräder mit Geradzähnen; Kegelräder mit Schräg- und Bogenzähnen; Schneckengetriebe; Berechnung der Zähne; Ausfahrung der Zahnräder. • • . . • • • • • • • • • . • . • 562

XII. Reibungsräder und -Getriebe • . . . . . . . • . . . . . • • • 588 XIII. Kettenräder • • . • • • . . . • • . . . . . . . . • . • . . . • 589 XIV. Planeten· und Differentialgetriebe. Bearbeitet von Dipl.· Ing. Ch. Bouche, Berlin. Planeten- oder Umlaufgetriebe; Eigentliche Differentialgetriebe •

XV. Riementrieb • • • . • • • . • . . • . • . . . • . . . . . . XVI. Kurbeltrieb. Bewegungs· nnd KraftverhAltnisse -

stangen -

Schubstangen -

590

594

Kurbeln - Exzenter nnd ExzenterKreuzkOpfe - Kolbenstangen - Kolben.

604

Zubebllrteile • • • • • • • • • • • • • • • . •

620

XVII. Rohrleitungen. Rohre und FormstOcke -

XVIII. Absperrvorrichtungen. Absperrventile und -scbieber - Sicherheits-, Minder· und Rohrbruchventile Stoptbücbsen . . . . . . . .

Zahlentafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . Sachverzeichnis des ersten Bandes . . . . .

632

645 676

Zweiter Band. Die Dampferzeugungsanlagen. Bearbeitet von Dipl.-Ing. E. Schulz, Berlin. Seite I. Die Leistungsfähigkeit einer Kesselanlage. 3 GrOße der Leistung - Güte deJ: Leistung • • • . . . • . . • 6 li. Die Leistungsfähigkeit der Brennstoffe . 6 III. Die Wärmeverluste • • • . . . • . . . 8 IV. Bericht über einen Verdampfversuch . . V. Feuerungen. Lage der Feuerung zum Kessel - Die Rostfläche - Der Feuerraum - Fest· stehende Roste - Mechanische Roste - Kohlenstaubfeuerungen - Ölfeuerungen - Gasfeuerungen - Beheizung durch Abhitze und elektrischen 9 Strom . . . . . . . . . . . . 27 VI. Die Feuerzüge - Zugkanäle . 28 VII. Das Mauerwerk • . 31 VIII. Die Zugerzeugung . 32 IX. Der Schornstein • • X. Die Dampfkessel. Gemeinsames - Die gebräuchlichsten Kesselhauarten - Erzeugung von Höchstdruckdampf. • . • . . . . . . . . . . . . . . . XI. Die Überhitzer. Berechnung der Überhitzer - Ausführung der Überhitzer XII. Die Speisewasservorwärmer. Rauchgasvorwärmer - Dampfbeheizte Oberflächenvorwärmer . • . . . . . XIII. Die Abgasluftvorwärmer. ROhrenluftvorwärmer - Taschen- oder Plattenluftvorwärmer - Berechnung des Luftvorwärmers - Regenerativluftvorwärmer . . . . . . . . • • • • XIV. Die Wärmespeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV. Reinigung und Aufbereitung des Speisewassers. Dampfumformer XVI. Einzelheiten aus dem Kesselbau und Festigkeitsrechnungen XVII. Die Kesselausrüstung • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 49

53 57 62 63 66

72

Die Kraft• und Arbeitsmaschinen mit Kolbenbewegung. I. Die Dampfmaschinen. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin. Das Dampfdiagramm - Die Steuerungen - Die Mittel zur Verringerung 79 der Eintrittskondensation - Wirkungsgrade und Wärmeverbrauch . . . . • II. Die Brennkraftmaschinen. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin, und Dr.-Ing. F. Wettstädt, Berlin. Theorie - Die Ottomaschinen - Die Zweitaktgasmaschinen - Die Ölmaschinen - Kohlenstaubmaschinen (Rupamotor) - Angaben für die Berechnung - Die Kraftgaserzeuger - Die Leichtmotoren . . . . • • . • • 108 III. Die Kolbenverdichter. Bearbeitet von Dipl.-Ing. Ch. Bouch~, Berlin. Ansaugemenge, Liefermenge und Hauptabmessungen - Leistungen und Wirkungsgrade - Mehrstufige Verdichtung - Vakuumpumpen - Ventile - Antrieb und Regelung - Anordnung und Ausfübrung • . . . _ . . . • • . 169

IX

Inhalts Verzeichnis. IV. Die Kolben pumpen. Bearbeitet von Dipl.-Ing. C h. B o uehe, Berlin.

Seite

Saugwirkung - Pumpenarten - Berechnung der Ventile - Wirkungsgrade, Kraftbedatf - Ausführung der Pumpen . • . • . . . . . . . . . . • . . 180

V. Pumpen und Kompressoren verschiedener Bauart. Bearbeitet von Dipl.-Ing. Ch. Bouche, Berlin. Strahler -

Druckluftförderar (Mammutpumpen) -

Kapselwerke • • • . . 191

Schwungräder, Massenausgleich, Schwingungen und Regler. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin. Schwungradberechnung (Die Wirkungen der Massen; Das Tangentialdruck· diagrarnrn; Berücksichtigung der Resonanz bei Wechselstrornmaschinen; Widerstand unmittelbar an der Kolbenstange; Ruhe des Ganges) • • • • • . • . Massenausgleich (Einzylindermaschinen; Mehrzylinderrnaschinen) . . . . . • Schwingungen (Drehschwingungen, Biegeschwingungen) . • . • . . . . . . Regler (Die Muffenregler; Die Flachregler; Die Leistungsregler: Die indirekt wirkenden Regler) • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • •

196 200 204 205

Die Kondensation. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin. Mischkondensation - Oberflächenkondensation - Die Luftpumpen - Strahler· und Schleuderluftpumpen - Entölung - Rückkühlung • • • • . • , • •

214

Die umlaufenden Kraft· und Arbeitsmaschinen. I. Wasserturbinen. Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Fr. Oesterlen, Han-

nover.

Hauptgleichungen - Unterscheidung der Turbinen - Oberdruckturbinen (Berechnung und Entwurl - Bau von Leit· und Laufrad von Fraucisturbinen - Aufbau und Anordnung der Fraucisturbinen - Axialschub - Verhalten der Fraucisturbinen im Betrieb - Propeller- und Kaplanturbinen) - Freistrahl· turbinen (Berechnung und Entwurl - Bau von Laufrad und Düse - Aufbau der Becherturbinen, ihre spez. Drehzahlen und Wirkungsgrade) • . • • . . . 226

II. Die Kreiselpumpen. Augsburg.

Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. E. Sörensen,

Leistung, Aufbau - Verluste, Wirkungsgrad - Berechnung - Leitapparat Betriebsverhalten - Gestaltung - Anwendungsgebiete • • • . • . . • • • 27 3

III. Die Dampfturbinen. Bearbeitet von Prof. Dr.-lng. H. Ba er, Breslau. Grundlagen der Berechnung - Die Gleichdruckturbine - Die Überdruckturbine - Geschwlndigkeitsstufung - Die Kennzahl - Berechnung der Düsenhöhen und Schaufellängen - Strahlablenkung - Stopfbüchsen und Stopfbüchsen· verluste - Dampfreibung und Ventilationsarbeit - Ausführung der Düsen und Schaufeln - Aufbau der Dampfturbine - Wirkungsgrade und Dampfverbrauch - Sonstige Konstruktionseinzelheiten - Die Regelung - Berechnungsbeispiele 291

IV. Turbokompressoren und Gebläse. H. Baer, Breslau

Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing.

Die eingeleitete mechanische Arbeit und die Zustandsänderung - Grundlagen der Berechnung - Stufenzahl - Spaltverluste - Querschnitte - Schaufelform -Ausführung und Einzelheiten - Charakteristik - Das Pumpen - Berechnungsbeispiel einP.s Gebläses • • • • . • • . . . • . . . . • . . . • . . . 328

Abwärmeverwertung. Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. W. Pauer, Dresden. Abwärmequellen (Abwärme von Wärmekraftmaschinen - Abwärme von Kälte· maschinen - Abwärme aus Wärmeprozessen) - Abwärmeverwertung bei Dampf· kraftaniagen (Thermische Grundlagen - Berechnung der Verbrauchszahlen und Maschinenabmessungen - Wahl des Maschinensystems - Bauliche Ausführungen - Die Verbindung der Raumheizung mit Dampfkraftanlagen - Speisewasser· vorwärmung mit Anzapfdampf) - Abhitzeverwertung (Großgasmaschinen Dieselmaschinen - Gasgeneratoren - Industrielle Öfen) - Bauliche Ausführung von Abhitzekesseln • . . . . . . . . • • • • • • • . . . . . . . • • . . 338

X

Inhalts Verzeichnis.

Rohrleitungen. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin. Dampfleitungen - Luftleitungen für Kompressoren - Leitungen der Brennkraft· mascbinen - Wasserleitungen • • . . . . . . . . . . . . . . . . . • • .

Seite 361

Hebe· und Fördermittel. Bearbeitet von Dipl.-lng. R. Hänchen, Berlin. I. Aussetzend arbeitende Förderer. Mittel für waagerechte und schwach geneigte Förderung (Hängebahnen [Handbängebabnen - Elektrobängebabnen]) • . • • • • . • • • • • 367 Mittel für senkrechte Förderung (Kleinhubige Hebemittel [Zahnstangen· winden - Schraubenwinden - Druckwasserhebeböcke]) - Flaschenzüge; Ort· feste Winden (Handwinden, Motorische Winden, Greiferwinden, Winden für Seilverscbiebeanlagen) • . • • , • . • • • , • , • , • . • • • • • • • • , 368 Mittel für waagerechte und senkrechte, sowie stark geneigte Förde· rung (Laufwinden und Krane [Einzelteile der Winden und Krane - Las tauirrahmemittel - Elektrische Ausrüstung - Laufkatzen und Laufwinden - Krane] 378

II. Stetig arbeitende Förderer oder Dauerförderer.

Mittel für waagerechte und schwach geneigte Förderung (Kratzerförderet; Förderrinnen [Scbubrinnen - Schwingeförderrinnen]; Förderschnecken; Förderrohre; Bandförderer [Förderer mit biegsamem Band - Gliederbandförderer]) • • . • • . • • • . • . • • . • . . • . . . . . • • . • . • • • 468 Mittel für senkrechte und stark geneigte Förderung (Senkrecht· und Schrägbecherwerke [Elevatoren für Scbüttgutförderung]; Elevatoren für Stück· güter • • • • • . • • • • . . . • . . . • . • . . • • • . • • • • • • , 473 Mittel für waagerechte, senkrechte und geneigte Förderung, sowie Förderung in ebenen oder in Raumkurven (Pendel- oder Schaukelbecherwerke; Raumbewegliebe Becherwerke; Scbaukelförderer; Schwerkraft· förderer; Luftförderer [Pneumatische Förderer]) . . . . . . . . . • • • 474

VVerkzeugmaschinen. Bearbeitet von Prof. K.Gottwein, Breslau, und Dr.·lng. W. Reichel, Rheydt. I. Wechselwirkung zwischen Werkzeug und Werkstoff. Werkzeugform - Spanbildung - Werkzeug und Werkstoff - Schneidenform der Werkzeuge - Schnittdruck - Schnittgeschwindigkeit - Schnittleistung und Ausnutzung - Die Kühlung und Schmierung von Werkzeugen • . • . . • . 479

II. Gemeinschaftliche Anforderungen an Werkzeugmaschinen.

Drehzahlstufung - Antriebarten - Antrieborgane - Wirkungsgrad - Genauigkeit - Starrheit 511

III. Führungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 IV. Drehbänke. Drehwerkzeuge - Spitzendrehbänke - Plandrehbänke - Karusselldrehbänke Vielstahldrehbänke - Revolverbänke - Automaten - Beanspruchung und Formgebung von Bett, Führungen und Spindelstock . . . . . . 54 7

V. Hobel- und Stoßmaschinen.

Hobel- und Stoßvorgang - Bauarten, allgemeine Gesichtspunkte - Antriebsmöglichkeiten, Umsteuerung - Ausgeführte Konstruktionen 580

VI. Bohrmaschinen.

Spiralbohrer, Bohrvorgang - Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

VII. Fräsmaschinen.

Fräswerkzeuge, Fräsvorgang - Bauarten, allgemeine Gesichtspunkte, Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

VIII. Schleifmaschinen. Schleifvorgang und Schleifwerkzeug - Schleifmaschinenbauarten und allgemeine Gesichtspunkte- Antriebleistung der Schleifmaschinen - Antriebverhältnisse Bauliebe Einzelheiten an ausgeführten Konstruktionen • . . . . . . . . . 611

IX. Räummaschinen.

Allgemeines - Werkzeuge - Arbeitsverhältnisse Antriebverhältnisse . . . • . . . . . . . . . . .

Bauliche Ausführung -

627

Inhaltsverzeichnis.

XI

Kraftwagen. Bearbeitet von Dr.·Ing. F. Wettstädt, Berlin. Einteilung und Bauformen der Kraftfahrzeuge - Fahrleistungen und Fahreigenschaften - Kraftwagenmotoren - Kupplung - Wechselgetriebe - Achsgetriebe- Wellengelenke - Rahmen - Achsen - Lenkung - Federung Räder und Bereifung - Bremsen - Elektrische Anlagen . . • • . . . • ,

Seite

635

Flugtechnik. Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. A. Pröll, Hannover. Bezeichnungen und Grundbegriffe; Ableitung grundlegender Formeln - Flugmechanische Grundlagen - Die Auftriebverteilung - Die Wahl des Flügelprofils - Berechnung der Flugzeugabmessungen - Flugleistungen - Abflug und Landen des Flugzeugs - Flugeigenschaften - Allgemeines über Leitwerke - Seiten- und Querstabilität - Seitensteuerung - Die Flugzeugstatik - Kräfte und Kräfteverteilung - Statik der Flugzeugteile - Motorloser Flug (Segelflug) Sonderbauarten • , • • • • • • • • • • . , • • . • • • . . . . . . •

665

Bau•Elemente des Flugzeugs. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin. Bezeichnungen, Leichtmetallbauweisen, Leichtmetalle, Nietung - Rumpf Tragflügel - Verbindung von Flügel und Rumpf .:... Steuerung und Leitwerk Fahrgestell und Sporn - Die Luftschraube - Besondere Einrichtungen .

704

Elektrotechnik. Bearbeitet von Dipl.-Ing. W. Gruhl, Berlin. I. Physikalische Grundgesetze. Elektrotechnische Maßeinheiten - Elektrostatik - Der elektrische Strom, seine Gesetze und Wirkungen - Magnetismus - Induktion - Wechselströme, ihre Darstellung, Gesetze und Wirkungen • • . • . . • . • • • • • . . . . 722

II. Elektrotechnische Meßkunde. Konstruktion, Wirkungsweise und Anwendung der gebräuchlichen Meßinstrumente - Meßmethoden • • • • • • . . • . • • • . • . • • • • . • • • •

745

III. Die Erzeugung des elektrischen Stromes. Galvanische Elemente, Thermoelemente, Akkumulatoren -Dynamomaschinen (Gleichstrommaschinen, Wechselstromgeneratoren) • . . . . • . . . • . . • 758

IV. Elektromotoren.

Motoren .für Gleichstrom - Synchronmotoren - Asynchrone Motoren (Induktionsmotoren; Kommutator-Motoren) - Wahl der Motoren • . . . . . . 776

V. Umformung des elektrischen Stromes.

Motorgeneratoren - Einankerumformer - Transformatoren Quecksilberdampf-Gleichrichter • • • • • • . • . . . . • • • . . . . . .

796

VI. Elektrische Beleuchtung. Grundbegriffe -

Uchtquellen -

Notwendige Beleuchtungsstärken,

807

VII. Anlagen für Stromlieferung (Zentralen).

Schaltungen bei Gleichstrom - Schaltungen bei Drehstrom - Regelung und Parallelschaltung von Gleichstrommaschinen - Parallelschalten von Wechsel· Strommaschinen - Leitungen • . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . • 811

VIII. Wahl der Stromart und der Spannung. Gleichstrom -

Wechselstrom

• •

Sachverzeichnis des zweiten Bandes

827 828

Taschenbuch für den

Maschinenbau Bearbeitet von Prof. Dr.- Ing. H. Ba er- Breslau, Dip!.- Ing. C h. B o u c he- Berlin, Prof. H. Dubbel-Berlin, Dr.-Ing. Bruno Eck-Köln, Prof. K. GottweinBreslau, Dipl.-Ing. W. G ruh 1- Ber!in, Dr.-Ing. W. G um z- Essen, Dipl.-Ing. R. Hänchen-Berlin, Dr. V. Happach-Stettin, Dr.-Ing. H. Hold tMannheim, Dr.-Ing. W. Meyer zur Capellen-Aachen, Prof. Dr.-Ing. Fr. Oester!en-Hannover, Prof. Dr.-Ing. W. Pauer-Dresden, Prof. Dr.-Ing. A. Pröll-Hannover, Dr.-Ing. W. Reichel-Rheydt, Dipl.-Ing. E. Sch ulz- Ber!in, Prof. Dr.-Ing. E. S ören se n -Augsburg, Prof.Dr. A. Th umDarmstadt, Dr.-Ing. F. Wettstädt-Berlin, Dr.-Ing. K. Wolterst-Berlin. Herausgegeben von

Pro( H. Dubbel Ingenieur, Berlin

Achte, verbesserte Auflage Mit etwa

3000

Textfiguren

In zwei Bänden

Zweiter Band

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

I94I

Inhaltsverzeichnis des zweiten Bandes. Ausführliches Inhaltsverzeichnis s. Bd. I, S. V U.

Seite

Die Dampferzeugungsanlagen. Bearbeitet von Dipl.-Ing. E. Schul z, Berlin Die Kraft- und Arbeitsmaschinen mit Kolbenbewegung. I. Die Dampfmaschinen. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin . . 11. Die Brennkraftmaschinen. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin, und Dr.-Ing. F. Wettstädt, Berlin . . . . . . . . . . . . . . III. Die Kolbenverdichter. Bearbeitet von Dipl.-lng. Ch. Bauche, Berlin IV. Die Kolbenpumpen. Bearbeitet von Dipl.-Ing. Ch. Bauche, Berlin. V. Pumpen und Verdichter verschiedener Bauart. Bearbeitet von Dipl.Ing. Ch. Bauche, Berlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwungräder, Massenausgleich, Schwingungen und Regler. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin . . . . . . . . . . . . Die Kondensation. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin . . . . . Die umlaufenden Kraft- und Arbeitsmaschinen. I. Wasserturbinen. Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Fr. Oesterlen, Hannover . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... II. Die Kreiselpumpen. Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. E. Sörensen, Dresden . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 111. Die Dampfturbinen. Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. H. B aer, Breslau IV. Turbokompressoren und Gebläse. Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. H. Ba er, Breslau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abwärmeverwertung. Bearbeitet von Prof. Dr.-lng. W. Pauer, Dresden Rohrleitungen. Bearbeitet von Prof. H. Du b b el, Berlin . . . . . . . Hebe- und Fördermittel. Bearbeitet von Dipl.-Ing. R. Hänchen, Berlin Werkzeugmaschinen. Bearbeitet von Prof. K. Gottwein, Breslau, und Dr.-Ing. W. Reichel, Rheydt . . . . . . . . . . . . . . Kraftwagen. Bearbeitet von Dr.-Ing. F. Wettstädt, Berlin . . Flugtechnik. Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. A. Pröll, Hannover . Bau-Elemente des Flugzeugs. Bearbeitet von Prof. H. Dubbel, Berlin Elektrotechnik. Bearbeitet von Dipl.-Ing. W. Gruhl, Berlin Sachverzeichnis des zweiten Bandes . . . . . . . . . . . .

Alle Rechte, insbesondere das der 'Obersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Copyritht 1941 by Springer-Verlag Berlin Heide1berg Ursprünglich erschienen bei Julius Springer, Berlin 1941. Softcover reprint of the bardeover 8th edition 1941 ISBN 978-3-662-40542-0 ISBN 978-3-662-41021-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-41021-9

3 79 108 169 180 191 196 214 226 273 291 328 338 361 367 479 635 665 704 722 828

Mathematik. I. Tafeln.

Taschenbuch für den Maschinenbau. 8. Aufl. 1,

I

A. Tafel der Potenzen, Wurzeln, natürlichen Logarithmen, Kreisumfänge und ·inhaJte.

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I 1,0000 I,oooo I 8 1,4142 1,2599 4 27 1,7321 1,4422 9 16 64 2,0000 1,5874 4 125 2,2361 I,JIOO 25 5 6 :u6 2,4495 1,8171 36 49 7 343 2,6458 1,9129 8 64 5i2 2,8284 2,0000 Sr 729 3,oooo 2,o8or 9 -I 00 3,1623 2,1544 10 - 1I 000 - 11 -I 21 331 3,3166 2,2240 12 144 1 728 3.4641 2,2894 2 197 3,6o56 2,3513 13 I 69 14 I 96 2 744 3.7417 2,4101 15 2 25 3 375 3,8730 2,4662 16 2 56 4096 4,0000 2,5198 17 289 4 913 4,1231 2,5713 18 324 5 832 4t2426 2,6207 19 3 61 6 859 4.3589 2,6684 8ooo 4.4721 2,7144 20 400 9 261 4.5826 2,7589 21 441 10 648 4,6go4 2,8020 22 484 12 167 4.7958 2,8439 Z3 5 29 76 13 824 4,8990 2,8845 24 15 625 5,0000 2,9240 25 6 25 20 6 76 17 576 5.0990 2,9625 27 7 29 19 683 5,1962 3,0000 28 7 84 21 952 5,2915 3,0366 29 8 41 24 389 5,3852 3,0723 27000 5.4772 3,1072 00 900 ---31 961 29 791 -5.5678 3,1414 32 768 5,6569 3,1748 32 10 24 35 937 5.7446 3,2075 33 10 89 39 304 5,8310 3,2396 34 II 56 42 875 5,9161 3,2711 35 12 25 466 56 6,oooo 3.3019 36 I2 96 50653 6,o828 3.3322 37 13 6g 38 1444 54 872 6,1644 3,3620 59 319 6,2450 3.3912 39 15 21 r6oo 64000 6,3246 3,4200 40 -41 16 Sr 68 921 6,4031 3.4482 42 17 64 74088 6,4807 3.4760 79 507 6,5574 3.5°34 43 r8 49 85 184 6,6332 3.5303 44 19 36 91 125 6,7082 3.5569 45 2025 46 21 16 97 336 6,7823 3,5830 47 2209 103 8z3 6,8557 3,6o88 48 2304 110 59Z 6,9282 3,634:0: 49 2401 117 649 7,0000 3,6593 50 2500 125 000 7.0711 3,6840 ln 10± 1 = ±2,3026, ln 10± 2 = ln 10± 4 = ±9,2103, ln 1o±• = ln 1Q±7 = ±16,1181,

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o,oooo rooo,ooo 3,142 0,7854 I 0,6931 6,283 3,1416 2 1,0986 333.333 9,425 7,oo86 3 1,3863 250,000 12,566 12,5664 4 1,6094 200,000 15,708 19,6350 5 I,J9I8 166,667 18,85o 28,2743 6 1.9459 142,857 21,991 38,4845 7 2,0794 125,000 25,133 50,2655 8 2,1972 I I I , I I I 28,274 63,6173 9 2,3026 roo,ooo 31,416 18,5398 10 2,3979 90.9091 34.558 95,0332 II 2,4849 83,3333 37,699 113,097 I2 2,5649 76,9231 40,841 132,732 13 2,6391 71,4286 43.982 153.938 14 2,7081 66,6667 47,124 176,715 15 2,7726 62,5ooo 50,265 201,062 16 2,8332 58,8235 53.407 226,980 17 2,8904 55,5556 56,549 254,469 18 2,9444 52,6316 59,690 283,529_ 19 2,9957 50,0000 62,832 314,159 20 3·0445 47,6190 65,973 346,361 21 3.0910 45.4545 69,115 380,133 22 3,1355 43.4783 72,257 415,476 23 3·1781 41,6667 75,398 452,389 24 3,2189 40,0000 78,540 490,874 25 3.2581 38,4615 81,681 530,929 26 3.2958 37,0370 84,823 572,555 27 3.3322 35.7143 87,965 615,752 28 3.3673 34.4828 91,106 660,520 29 3.4012 33.3333 94,248 7o6,s 58 80 3·4340 32,2581 97.389 754.768 31 3·4657 31,2500 100,531 804,248 32 3.4965 30,3030 103,673 855,299 33 3.5264 29,4118 1o6,814 907,920 34 3.5553 28,5714 109,956 962,1 I 3 35 3.5835 27,7778 113,097 1017,88 36 3,6109 27,0270 I 16,239 107 5,21 37 3.6376 26,3158 119,381 II34,Il 38 3,6636 25,6410 122,522 Il94,59 39 3.688g 25,0000 125,66 ~256,64 40 3,7136 24,3902 128,81 13201 25 41 3.7377 23,8095 131,95 1385,44 42 3.7612 23,2558 135,09 1452,20 43 3·7842 22,7273 138,23 1520,53 44 3,8067 22,2222 141,37 1590,43 45 3,8286 Zio7391 144,51 1661,90 46 3.8501 21,2766 147,65 1734.94 47 3,8712 :0:0,8333 15o,8o 1809.56 48 3,8918 20,4082 153.94 1885,74 49 3,91:0:0 20,0000 157,08 1963,50 50 ± 4,6052, In 1o± 3 = ± 6,907S, ±11,5129, In 10± 6 = ±13,8155, ln 1Q± 8 = +18.4201.

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A. Tatel der Potenzen, Wurze.tn, naturllchen L.ogar1th.WeJl usw.

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2500 125 000 - 7,0711 J,6840 3,9120 2601 132 651 7,I414 J,7084 . 3.9318 52 2704 140 6o8 7,21 II 3.7325 3.9512 53 2809 I48 877 7,280I 3.7563 3·9703 54 29 16 157464 7.3485 3·1798 3,9890 55 3025 I66 375 7,4162 3,8030 4,0073 56 31 36 I75 616 7,4833 3,8:z59 4,0254 57 3249 185 I93 7,5498 3,8485 4·0431 58 33 64 195 I I2 7,6158 3,8709 4,0604 59 348I 205 379 7,68I I 3,8930 4·0775 00 3600 2'l6ooo 7,746o 3o9I49 ~4L 61 37 21 226 g81 7,8I02 3.9365 4,I109 62 3844 238 328 7.8740 3.9579 4,127I 63 39 6g 250047 7.9373 3.9791 4·1431 64 4096 262 I44 8,oooo 4t0000 4·1589 6S 4225 274625 8,0623 4t0207 4·1744 66 4356 287 496 8,1240 4,04I2 4,1897 67 4489 300 763 8,1854 4,0615 4,2047 68 4624 314432 8,2462 4,0817 4,2195 6g 47 61 328 509 8,3066 4,1016 4,234I 4900 343 000 8,3666 4· 1213 4·2485 7I 504I 357 9I I 8,4261 4,1408 4,2627 72 SI 84 373248 8,4853 4,1602 4.2767 73 53 29 389 OI7 8,5440 4ti 793 4,2905 74 54 76 405 224 8,6023 4,1983 4,3041 75 56 25 421 875 8,6603 4,2172 4,3175 76 57 76 438 976 8,7I78 4,2358 4·3307 77 59 29 456 533 8,7750 4t2543 4.3438 78 6084 474 552 8,83I8 4,2727 4.3567 79 624I 493 039 8,8882 4,2go8 4.3694 80 6400 5I2 000 8,9443 4,3089 4·3820 8x 65 61 53I 441 g,oooo 4,3267 ---'-"-4·3944 82 67 24 551 368 9,0554 4,3445 4.4067 83 68 8g 57I 787 9,1 I04 4,362I 4·4188 84 70 56 592 704 9,1652 4.3795 4·4308 85 72 25 614 125 9,2I95 4,3968 4.4427 86 73 g6 636 056 9,2736 4o4I40 4·4543 87 75 6g 6s8 503 9·3274 4t43IO 4.4659 88 7744 681 472 9,)808 4.4480 4.4773 89 79 2I 704969 9,4340 4,4647 4.4886 00 8I 00 729000 9,4868 4,4814 4.4998 91 82 81 753 571 9.5394 4o4979 4,5109 92 8464 778 688 9,5917 4,5144 4.5218 93 8649 8o4357 g,6437 4t5307 4·5326 94 88 36 830 584 9.6954 4t5468 4·5433 95 9025 857 375 9.7468 4.5629 4·5539 96 9216 884 736 9,7980 4.5789 4.5643 97 9409 912673 9,8489 4.5947 4.5747 98 9604 941 192 9,8995 4,6104 4.5850 99 9801 970 299 9o9499 4,6261 4.5951 100 J 0000 I 000000 10,0000 4,6416 . 4,6052 1. Betsp1el: In 66 377 = t

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1~ 20,0000 19,6o78 I9,2308 18,8679 I8,5I85 I8,18I~

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157,08 I60,22 163,36 I66,5o 16g,65 I72,79 175,93 179,07 182,2I 185,35 I88,5o Igi,64 I94.78 197.92 201,o6 204,20 20 7.35 210,49 213,63 216,77 219,9I 223,05 226,Ig 229,34 232;48 235,62 238,76 24I,90 245,04 248,I9 25 I 0 33 254.47 257,6I 260,75 263,89 267,04 270,18 273.32 276,46 279,60 282,74 285,88 289,03 292,I7 295.31 298.45 30I,59 304,73 307,88 311,02 314t16

11: n2 --"4

n

1963,50 50 2042,82 51 2I23,72 52 2206,18 53 2290,22 54 2375,83 55 2463,01 56 255I,76 57 2642,08 SB 2733.97 59 2827,43 00 2922,47 ~ 3019,07 62 3II7125 63 3216199 64 33I8,31 65 3421,19 66 3525,65 67 68 3631,6~ 3739,28 6g 3848,45 3959,19 7I 4071,50 72 4185,39 73 4300,84 74 4417,86 75 4536,46 76 4656,63 77 4778,36 78 490I,67 79 5026,55 5I53,00 8I 528I,02 82 54I0,6I 83 5541,77 84 5674,50 85 58o8,8o 86 5944,68 87 6o82,12 88 622I,14 8g 636I,73 00 6503,88 91 6647,61 92 6792,91 93 6939.78 94 7088,22 95 7238,23 96 7389,81 97 7542,96 98 7697,69 99 7853.98 100

In 66377 =In (663,77 • 100) =ln 663,77 + 1n 100= 6,4980+ 4,11052 = 11,103J. z. Beispiel: ln0,003745=t 0,003745=374,5 •10-6 lo o.oo3 745 = 5,9256 -11,5129= -5,587a.

ro

so

4 n

-100 101

Mathematik.

n2

l

na

10000 1000000 10201 1030301 102 10404 1061208 103 10609 1092727 104 10816 II"24864 105 11025 II57625 106 11236 II91016 107 11449 1225043 108 11664 1259712 109 11881 1295029 110 .12100 1331000 --111 12321 1367631 112 12544 1404928 113 12769 1442897 114 12996 1481544 115 13225 1520875 116 13456 1560896 117 13689 1601613 118 13924 1643032 119 14161 1685159 120 14400 1728000 -121 14641 1771561 122 14884 1815848 123 15129 186o867 124 15376 IC~o6624 125 15625 1953125 126 15876 2000376 127 16129 2048383 128 16384 2097152 129 16641 2146689 130 16900 2197000 -131 17161 2248091 132 17424 2299968 133 17689 2352637 134 17956 2406104 135 18225 2460375 136 18496 2515456 137 18769 2571353 138 19044 2628072 139 19321 2685619 140 196oo 2744000 141 19881 2803221 142 20164 2863288 143 20449 2924207 144. 20736 2985984 145 21025 3048625 146 21316 3112136 147 21609 3176523 148 21904 3241792 149 22201 33079~ 150 22500 3375000

fn

lvn I

10,0000 10,0499 10,0995 10,1489 101 1980 10,2470 10,2956 1013441 1013923 10,4403 10,4881 10,5357 10,5830 1016301 10,6771 10,7238 10,7703 1018167 10,8628 1019087 10,9545

u,oooo

II,0454 11 10905 11,1355 11,1803 I 112250 11,2694 I l 13137 I 1,3578 11,4018 11,4455 I 1,4891 I 115326 11,5758 11 16190 11 16619 11,7047 II,7473 11,7898 I 118322 u,8743 11,9164 I 1,9583 12,0000 12,0416 12 10830 12,1244 12,1655 12,2066 12,2474

lnn

1000 n

I I nn

n4n21 n

4,6416 4,6052 10,0000 314,16 7853.98 100 4,6570 4,6151 9,9010 317,30 8ou,85 101 4,6723 4,6250 9,8039 320,44 8171,28 102 4,6875 4.6347 9.7087 323,58 8332,29 103 4,7027 4.6444 9,6154 326,73 8494.87 104 4,7177 4.6540 9.5238 329,87 8659,01 105 4.7326 4,6634 9.4340 333101 8824,73 106 4.7475 4.6728 9.3458 336,15 8992,02 107 4,7622 4.6821 9.2593 339,29 916o,88 108 4,7769 4.6913 9,1743 342,43 9331,32 109 4.7914 4·7005 9,0909 -345.58 9503,32 110 4,8059 4·7095 9,0090 348,72 9676,89 I l i 4,8203 4·7185 8,9286 351,86 9852,03 112 4,8346 4.7274 8,8496 355,00 10028,7 113 4,8488 4.7362 8,7719 358,14 10207,0 114 4,8629 4.7449 8,6957 361,28 10386,9 115 4,8770 4·7536 8,6207 364,42 10568,3 u6 4,8910 4.7622 8,5470 367>57 10751,3 117 4·9049 4.7707 8.4746 370,71 10935.9 II8 4·9187 4·7791 8,4034 373,85 I I 122 10 ~ 11309,7 120 4.9324 4.7875 8,3333 376,99 -4,9461 4·7985 8,2645 380,13 11499,0 121 8,1967 4,8040 383,27 II689,9 122 4,9597 4>9732 4,8122 8,1301 386,42 1188213 123 4,9866 4.8203 8,0645 389, 56 12076,3 124 s,oooo 4,8283 8,0000 392,70 12271,8 125 5,0133 4.8363 7.9365 395,84 12469,0 126 5,0265 4·8442 7·8740 398,98 12667,7 127 5,0397 4.8520 7,8125 402,12 12868,o 128 5,0528 4,8598 7·7519 405,27 13069,8 129 5,0658 4.8675 7.6923 408,41 13273,2 100 5.0788 4.8752 7.6336 411,55 13478,2 131 5,0916 4.8828 7·5758 414,69 13684,8 132 5,1045 4.8903 7,5r88 417,83 1389219 133 5,1172 4.8978 7·4627 420,97 14102,6 134 5·1299 4,9053 7·4074 424,12 14313,9 135 5,1426 4,9127 7·3529 427,26 14526,7 136 5,1551 4.9200 7.2993 430,40 14741,1 13 7 5,1676 4,9273 7·2464 433.54 14957,1 138 5,1801 4.9345 7.1942 436,68 15174.7 139 ----14 5,1925 4.9416 7·1429 439,82 15393,8 0 5,2048 4.9488 7·0922 442,96 15614,5 141 5,2171 4.9558 7·0423 446,11 15836,8 142 5,2293 4.9628 6,9930 449,25 16o6o,6 143 5,2415 4.9698 6,9444 452,39 16286,o I 44 5,2536 4.9767 6,8966 455.53 1651310 14 5,2656 4.9836 6,8493 458,67 16741,5 146 5t2776 4.9904 6,802~ 461,81 16971,7 147 s,28g6 4.9972 6,756 464,96 17203,4 148 5,3015 5,0039 6,7114 468,10 17436,6 149 1 5,3133 5,0106 6,6667 471,24 17671,5 00

--

s

5

A. Tafel der Potenzen, Wurzeln, natürlichen Logarithmen usw.

nl

n2

I

ns

I vn lvn

lnn

1000 -n

nn

I

n

n21

~

n

1oo :212500 3375000 12,2474 5,3133 5,0106 6,6667 471,24 17671,5 1 22801 23104 23409 23716 24025 24336 24649 24964 252SI 160 25600 161 25921 162 26244 163 26569 164 26896 165 27225 166 27556 167 27889 168 28224 169 28561 170 2S9oo 171 29241 172 295S4 173 29929 174 30276 175 3o625 176 30976 177 31329 178 31684 179 32041 180 32400 Jsi 32761 182 33124 183 33489 184 33856 ISS 34225 186 34596 187 34969 ISS 35344 189 35721 100 36100 191 36481 192 36864 193 37249 194 37636 195 38025 196 38416 197 38809 198 39204 199 39001 !öO 40000 151 152 153 154 155 I 56 157 158 159

3442951 3511808 35815.77 3652264 3723.S7s 3796416 3S69893 3944312 4019679 4096000 4173281 4251528 4330747 4410944 4492125 4574296 4657463 4741632 4826809 4913000 50002II 508S448 5177717 526S024 5359375 5451776 5545233 5639752 5735339 5832000 5929741 6o28568 6128487 6229504 6331625 6434856 6539203 6644672 6751269 6S59000 6967871 70778S8 7189057 73013S4 7414S75 7529536 7645373 7762392 7880599 8oooooo

12,2882 12,3288 12,3693 12,4097 12,4499 12,4900 12,5300 12,5698 12,6095 12,6491 12,6S86 12,7279 12,7671 12,8062 12,S452 12,8841 12,9228 1219615 13,0000 13,0384 13,0767 13,1149 13,1529 13,1909 13,22S8 13,2665 13,3041 13,341 i 13,3791 13,4164 13,4536 13,4907 13,5277 13,5647 1376015 13,63S2 13,674S 13,7113 13,7477 13,7840 13,8203 13,S564 13,S924 13,9284 13,9642 14,0000 14,0357 14,0712 14,1067 14,1421

5,3251 5,0173 6,6225 474.38 17907,9 5,3368 5,0239 6,5790 477.52 18145,8 5,3485 5·0304 6,5360 480166 18385,4 5,3601 5.0370 6,4935 483,81 18626,5 5.3717 5.0434 6,4516 4S6,95 18S69,2 5.3S32 5.0499 6,4103 490,09 19113,4 5.3947 5.0562 6,3694 493,23 19359,3 5,4061 5,0626 6,3291 496,37 19606,7 5.o6S9 6,2893 499.51 19855.7 5,417 5 ----5,4288 5.0752 6,2500 502,65 20106,2 5,4401 5,0814 6,2112 so5,8o 20J58,3 5,4514 5,0876 6,1728 508,94 20612,0 5,4626 5.0938 6,1350 512,08 20867,2 5.4737 5,0999 6,0976 515,22 21124,1 5,4848 5,1059 6,o6o6 518,36 21382,5 5t4959 5,1120 6,0241 521,50 21642,4 5tS069 5,II8o 5.9S8o 524,65 21904,0 5,5178 5,1240 5.9524 527,79 22167,1 5, 52s8 5,1299 5.9172 53°.93 22431,S ,882 4 534,07 2269S,o 5.1358 5.5397 -- 5 -- --5.5505 5.1417 5 ,8 4 8o 537,21 22965,8 5,8140 540,35 23235,2 5,5613 5·1475 5.5721 5.1533 5.7804 543.50 23506,2 5,5S2S 5.1591 5·747 1 546,64 23778,7 5.5934 5,1648 5.7143 549.78 24052,8 5,6041 5.1705 5 ,6818 552,92 24328,5 5,6147 5.1761 5.6497 556,o6 24605,7 5,6252 5,1818 5,6180 559,20 248S4,6 5,6357 5,1874 5,5866 562,35 25164,9 5,6462 5.1930 5.5550 565,49 25446,9 5,6567 5,1985 5.5249 568,63 25730,4 5,6671 5,2040 5.4945 57 1t77 26015,5 5,6774 5,2095 5.4645 574.91 26302,2 s,6877 5,2149 5.4348 578,o5 26590.4 5,6980 5,2204 5.4054 581,19 26880,3 5,7os3 5,2257 5.3763 5S4,34 27171,6 5,71S5 5.2311 5.3476 587t4S 27464,6 5,72S7 5.2364 5.3192 590,62 27759,1 5,738S 5.2417 5,2910 593.76 2S055,2 5.7489 5.2470 5,2632 596,90 28352,9 5,7590 5.2523 5.2356 600,04 28652,1 5,7690 5.2575 5,2083 603,19 28952,9 5,7790 5,2627 5,1814 6o6,33 29255,3 5,7890 5,2679 5.1546 6o9,47 29559,2 5.79S9 5.2730 5,1282 612,61 29864,8 5,8o88 5,2781 5,1020 615,75 30171,9 5,8186 5,2832 5,0761 618 189 30480,5 5,8z85 5,2883 5.0505 622,04 30790,7 5,8383 5.2933 5,0251 625,18 31102,6 s,S4So 5.2983 5,0000 6;8,~2 31415,9

15 15 2 15 3 I5 4 15 5 15 6 15 7 15 8 15 9

1 00

161 16 2 163 164 16 5 166 167 168 169

017

171 17 2 17 3 174 175 176 177 17 8 179

180 181 'IS 2 183 184 18 5 IS 6 IS 7 IS 8 IS 9 l 00 191 19 2 19 3 194 195 196 197 198 199

!00

6

n/

Mathematik.

nB

I I fn lvn n•

lnn

200 40000 8oooooo 14,1421 5,8480 5.2983

201 40401 81206ol 14.1774 5,8578 5.3033 202 401!04 8242408 14,2127 5,8675 5.3083 203 41209 8365427 14.:1478 5,8771 5.3132 204 41616 8489664 14,2829 5,8868 5 ,3 181 205 42025 8615125 14,3178 5,8964 5.3230 2o6 42436 8741816 14,3527 5.9059 5.3279 207 42849 8869743 14,3875 5,9155 5.3327 208 43264 8998912 14,4222 5,9250 5.3375 209 43681 9129329 14.4568 5.9345 5.3423 210 44100 9261000 14.4914 5.9439 5.3471 211 44521 9393931 14,5258 5,9533 5.3519 212 44944 9528128 14,56o2 5,9627 5.3566 :ZI3 45369 9663597 14,5945 5,9721 5.3613 214 45796 98oo344 14,6287 5,9814 5.366o 215 46225 9938375 14,6629 5,9907 5.3706 216 46656 10077696 14,6969 6,oooo 5.3753 217 47089 10218313 14,7309 6,0092 5·3~99 218 47524 1036o232 14,7648 6,0185 5.3 45 219 47961 10503459 14,7986 6,0277 5.3891 48400 10648ooo 14,8324 6,0368 5.3936 221 48841 10793861 14,8661 6,0459 5.3982 222 49284 10941048 14,8997 6,o55o 5.4027 223 49729 II089567 14,9332 6,o641 5.4072 224 50176 11239424 14,9666 6,0732 5,4II6 225 50625 II390625 15,0000 6,o822 5.4161 226 51076 11543176 15,0333 6,0912 5.4205 227 51529 II697o83 15,0665 6,1002 5.4250 228 51984 11852352 15,0997 6,1091 5.4293 229 52441 12008989 15,1327 6,n8o 5.4337 280 52900 12167000 15,1658 6,126g 5.4381 231 53361 12326391 15,1987 6,1358 5.4424 232 53824 12487168 15,2315 6,1446 5.4467 233 54289 12649337 15,2643 6,1534 5·45 10 234 5475b 12812904 15,2971 6,1622 5·4553 235 55225 12977875 15,3297 6,1710 5.4596 236 55696 13144256 15, 362 3 6,1797 5·4638 237 56169 13312053 15,3948 6,1885 5.4681 238 56644 13481272 15,4272 6,1972 5·4723 239 57121 13651919 15,4596 6,2o58 5·4765 240 S76oo 13824000 15,4919 6,2145 5.4806 241 s8o81 13997521 15,5242 6,2231 5.4848 242 58564 14172488 15,5563 6,2317 5.4889 243 59049 14348907 15,5885 6,2403 5·4931 244 59536 14526714 15,6205 6,2488 5·4972 245 60025 147o6125 15,6525 6,2573 5.5013 246 6o516 14886936 15,6844 6,2658 5.5053 247 61009 15o6g223 15,7162 6,2743 5.5094 248 61504 15252992 15,748o 6,2828 5·5134 249 62001 15438249 15,7797 6,2912 5.5175 62500 1$625000 15,8114 6 21)96 5SZI5

-

-

1000 -n

nn

I In n n 4

1

5,0000 628,32 31415,9 200 4.9751 631,46 31730,9 201 4·9505 634,6o 32047.4 202 4.9261 637.74 32365,5 203 4.9020 64o,88 32685,1 204 4·8781 644,03 33006,4 205 4.8544 647,17 33329,2 206 4.8309 650,31 33653.5 207 4,8077 653,45 33979.5 208 4.7847 656,59 34307,0 209 4·7619 659.73 34636,1 210 4·7393 662,88 34966,7 211 4·7170 666,02 35298,9 212 4.6948 669,16 35632,7 213 4·6729 672,30 35968,1 214 4.6512 675.44 363o5,o 215 4,6296 678,58 36643.5 216 4,6083 681,73 36983,6 217 4.5872 684,87 37325,3 218 4.5662 688,01 37668,5 219 4·5455 691,15 38013,3 220 4·5249 694,29 38359,6 221 4·5°45 697.43 38707,6 222 4·4843 7oo,58 39057,1 223 4·4643 703,72 39408,1 224 4·4444 706,86 3976o,8 225 4·4248 710,00 40115,0 226 4·4053 713,14 40470,8 227 4.3860 716,28 40828,1 228 4.3668 719,42 41I87,1 229 4·3478 722,57 41547,6 230 4.3290 725,71 41909,6 231 4·3103 728,85 42273.3 232 4·2919 731,99 42638,5 233 4·2735 735,13 43005t3 234 4.2553 738,27 43373,6 235 4·2373 741,42 43743.5 236 4,2194 744.56 44II5,0 237 4,2017 747.70 44488,1 238 4,1841 750,84 44862,7 239 4,1667 753.98 45238,9 2(8 4·1494 757,12 45616,7 241 4·1322 760,27 45996,1 242 4·Il52 763,41 46377,0 243 4.0984 766,55 46759.5 244 4,0816 769,69 47143t5 245 4,0650 772;83 47529,2 246 4·0486 775.97 47916,4 247 4·0323 779,JJ 48305,1 248 4,0161 782,26 48695,5 249 4,0000 785..10 49o87.4 260

A. Tafel der Potenzen, Wurzeln, natürlichen Logarithmen usw,

n

l I ns

n•

fit

vn

lnn

2liO 62500 15625000 15,8114 6,2996 5,5215 251 252 253 254 255 256 257 258 259

200 261 262 263 264 265 266 267 268 269

270 271 272 273 274 275 276 277 278 279

280 281 282 283 284 285 286 287 288 289

200 291 292 293 294 295 296 297 298

299

mro

63001 63504 64009 64516 65025 65536 66o49 66564 67o81 676oo 68121 68644 6gl69 69696 70225 70756 71289 71824 72361 72900 73441 73984 74529 75076 75625 76176 76729 77284 77841 78400 78961 79524 8oo8g 8o656 81225 81796 82369 82944 83521 84100 84681 85264 85849 86436 87025 87616 88209 888o4 89401 90000

15813251 15,8430 16003oo8 15,8745 16194277 15,906o 16387064 15,9374 16581375 15,9687 16777216 16,0000 16974593 16,0312 17173512 16,o624 17373979 16,0935 17576ooo 16,1245 17779581 16,1555 17984728 16,1864 18191447 161:1173 18399744 1612481 186o9625 1612788 18821096 16,3095 19034163 1613401 19248832 1613707 19465109 16,4012 19683000 16,4317 19902511 16,4621 20123648 16,4924 20346417 16,5227 2057o824 16,5529 20796875 16,5831 21024576 1616132 21253933 16,6433 21484952 16,6733 21717639 r6,7033 21952000 16,7332 22188o41 16,7631 22425768 16,7929 22665187 16,8226 22906304 16,8523 23149125 1618819 23393656 ~6,9115 23639903 16,9411 23887872 16,9706 24137569 17,0000 24389000 17,0294 24642171 17,o587 24897o88 17,o88o 25153757 17,1172 25412184 17,1464 25672375 17,1756 25934336 17,2047 26198o73 17,2337 26463592 17,2627 26730895 17,2916 27000000 17,3205

6,3o8o 6,3164 6,3247 6,3330 6,3413 6,3496 6,3579 6,3661 6,3743 6,3825 6,3907 6,3988 6,4070 6,4151 6,4232 6,4312 6,4393 6,4473 6,4553 6,4633 6,4713 6,4792 6,4872 6,4951 6,5o3o 6,51o8 6,5187 6,5265 6,5343 6,5421 6,5499 6,5577 6,5654 6,5731 6,58o8 6,5885 6,5962 6,6039 6,6115 6,6191 6,6267 6,6343 6,6419 6,6494 6,6569

6,6644

6,6719 6,6794 6,6869 6,6943

1000 -n

7t:n

7

n In I --:rn1

4,0000 785,40 49087,4 250 5.5255 3.9841 788,54 4948o,9 251 5.5294 3.9683 791,68 49875,9 252 5.5334 3.9526 794,82 50272,6 253 5·5373 3·9370 797.96 5067o,7 254 5.5413 3.9216 8o1,11 51070,5 2SS 5.5452 3.9063 8o4,25 51471,9 2.56 5·5491 3,89n 8o7,39 51874,8 257 5.5530 3.876o 81o,53 52279,2 258 5·5568 3,86ro 81J,67 52685,3 259 --5,5607 3.8462 816,81 53092,9 !00 5.5645 3,831! 819,96 53502,1 261 5.5683 3,816 823 0 10 53912,9 262 5·5722 3,8023 826,24 54325,2 263 5.5759 3.7879 829,38 54739,1 264 5.5797 3.7736 832,52 55154,6 265 5,5835 3.7594 8 35,66 55571,6 266 5,5872 3.7453 838,81 55990,2 267 5.5910 3.7313 841,95 56410,4 268 5.5947 3.7175 845.09 56832,~ 269 5.5984 3.7037 848,23 57255.5 270 5,6021 3,6900 851,37 5768o.4 271 5,6o58 3.6765 854.51 581o6,9 272 5,6095 3,6630 857,65 58534.9 273 5,6131 3.6496 86o,8o 58964,6 274 5,6r68 3.6364 86J,94 59395.7 275 5 ,62o4 3,6232 867,o8 59828, 5 276 5,62 4o 3,6101 870,22 60262,8 277 5,6276 3.5971 87J,36 6o698,7 278 5 ,63 12 3.5842 876,5o 61136,2 279 5.6348- 3·5714 879,65 61575,2 280 5.6384 3.5587 882,79 62015,8 281 5.6419 3·5461 885,93 62458,o 282 5,6454 3.5336 889,07 62901,8 283 5,6490 3,52I1 892,21 63347,1 284 5.6525 3,5o88 895,35 63794,0 285 5,656o 3.4965 898,5o 64242.4 286 5.6595 3.4843 901,64 64692,5 287 5,6630 3·4722 904,78 65144.1 288 5,6664 3.4602 907,92 65597,2 289 5,6699 3.4483 911,o6 66o52,o 200 5·6733 3.4364 914,20 665o8,3 291 s,6~6s 3·4247 917,35 66966,2 292 5 ,6 o2 3·4130 920,49 67425,6 293 5,6836 3.401! 923,63 67886,7 294 5,6870 3.389 926,77 68349.3 295 5,6904 3·3784 929,91 6881314 296 5,6937 3.3670 933,05 69279,2 297 5.6971 3.3557 936,19 69746,5 298 5·7004 3·3445 939.34 70215.4 299 5,7038 3·3333 942,48 7o685,8 llöö

8

Mathematik.

1000 n

300 90000 27000000 17,3205 6,6943 5,7038 I 3,3333 942,48 7o685,s 300

-30I

90601 27270901 17,3494 6,7o1S 5,7071 91204 275436o8 17,3781 6,7092 5,7104 918o9 27818127 17,4069 6t7J66 5,7137 92416 28094464 I 7,4356 6,7240 5·7170 93025 28372625 ( 7,4642 6,7313 5,7203 93636 28652616 ( 7,4929 6,7387 5,7236 94249 28934443 17,5214 6,7460 5·7268 94864 29218112 17.5499 6,7 533 5·7301 95481 29503629 17,5784 6,7606 5.7333 310 96100 29791000 17,6068 6,7679 5.7366 311 96721 30080231 17,6352 6,7752 5.7398 312 97344 30371328 17,6635 6,7824 5.7430 313 97969 30664297 17,6918 6,7897 5.7462 314 98 596 30959144 17,7200 6,7969 5>7494 315 99225 31255875 17,7482 6,8041 5.7526 316 99856 31554496 17,7764 6,8113 5.7557 317 100489 31855013 17,8045 6,8185 5.7589 318 IOII24 32157432 17,8326 6,8256 5.7621 319 101761 32461759 17,86o6 6,8328 5,7652 320 102400 32768ooo 17,8885 6,8399 5,7683 321 103041 33076161 17,9165 6,8470 5,7714 322 103684 33386248 17,9444 6,8541 5.7746 323 104329 33698267 17,9722 6,8612 5>7777 324 104976 34012224 18,oooo 6,8683 5,7807 325 105625 34328125 18,0278 6,8753 5,7838 326 106276 34645976 18,0555 6,8824 5,7869 327 106929 34965783 1810831 6,8894 5.7900 328 107584 35287552 181 uo8 6,8964 5.7930 329 108241 35611289 18,1384 6,9034 5.7961 300 108900 35937000 18,1659 6,9104 5.7991 331 109561 36264691 18,1934 6,9174 5,8021 332 110224 36594368 18,2209 6,9244 5,8051 333 no889 36926o37 18,2483 6,9313 5,8o81 334 111556 37259704 18,27 57 6,9382 5 ,81II 335 Il2225 37595375 18,3030 6,9451 5,8141 336 112896 37933056 18,3303 6,9521 5,8171 337 113569 38272753 18,3576 6,9589 5,8201 338 114244 381h4472 18,3848 6,9658 5,8230 339 II4921 38958219 18,4120 6,9727 5,8260 ;wo 115600 39304000 18,4391 6,9795 5,8289 341 II6281 39651821 18,4662 6,9864 5,8319 342 II6964 40001688 18,4932 6,9932 5.8348 343 II7649 40353607 18,5203 7,0000 5.8377 344 118336 40707584 18,5472 7,0068 5.8406 345 119025 41063625 18,5742 7,0136 5.8435 346 119716 41421736 18,6011 7,0203 5.8464 347 120409 41781923 18,6279 7,0271 5,8493 348 121104 42144192 18,6548 7t0338 5,8522 349 1218o1 425o8549 18,6815 7,04o6 5,8551 350 122~00 4287 sooo J8,7o83 7.o473 5,8579

302 303 304 305 306 307 308 3°9

3,3223 3,3II3 3,3003 3,2895 3,2787 3,2680

945,62 71157.9 301 948,76 71631,5 302 951,90 721o6,6 303 955,04 72583,4 304 958,19 73061,7 305 961.33 73541,5 306 3,2573 964,47 74023,0 3°7 3,2468 967,61 74506,o 308 3,2363 970,75 74990,6 3°9 3,2258 973,89 75476,8 310 3,2154 977,04 75964,5 3II 3,2051 980,18 76453,8 3IZ 3,1949 983,32 76944,7 313 3,1847 986,46 77437,1 314 3,1746 989,60 77931,1 315 3,1646 992,74 78426,7 316 3,1546 995,88 78923,9 317 3,1447 999,03 79422,6 318 3,1348 1002,2 79922,9 319 3,1250 1005,3 80424,8 320 3,II53 1008,5 80928,2 321 3,1056 10II 16 81433,2 322 3,0960 1014,7 81939,8 323 3,0864 1017,9 82448,0 324 1021,0 82957.7 325 3,0J69 3,0675 1024,2 83469,0 326 3,0581 1027,3 83981,8 327 3,0488 1030,4 84496,3 328 3,0395 1033,6 85012,3 329 3,0303 1036,7 85529,9 330 3,0212 1039,9 86049,0 331 3,0121 1043,0 86569,7 332 3,0030 1046,2 87092,0 333 2,9940 1049·3 87615,9 334 2,9851 1052,4 88141,3 335 2,9762 1055,6 88668,3 336 2,9674 1058,7 89196,9 337 2,9586 1061,9 89727,0 338 2,9499 1065,0 90258,7 339 2,9412 1068,1 90792,0 Wl 2,9326 1071,3 91326,9 341 2,9240 1074,4 91863,3 342 2,9155 1077,6 92401,3 343 2,9070 1080,7 92940,9 344 z,8g86 I08J,8 93482,0 345 2,8902 1087,0 94024,7 346 2,8818 1090,1 94569,0 347 2,8736 1093,3 95114,9 348 2,8653 1096,4 95662,3 349 z,s57x 109916 962II,3 350

A. Tafel der Potenzen, Wurzeln, natürlichen Logarithmen usw.

nl n2

I

ns

I fn lj0t

850 I2Z500 4Z87SOOO -35I 123201 4324355I

123904 43614208 124609 43986977 I253I6 4436I864 126025 44738875 126736 45ll8016 127449 45499293 I28164 458827I2 128881 46268279 860 I296oo 46656oÖO 36I I3032I 4704588I 362 13I044 47437928 363 I3I769 47832147 364 I32496 48228544 365 133225 48627I25 366 I33956 49027896 367 134689 49430863 368 135424 49836032 369 I36I6J 50243409 370 I369oo 50653000 371 I3764I 5I064811 372 I38384 5I478848 373 139129 51895117 374 I39876 523I3624 375 140625 52734375 376 I4I376 53157376 377 I42I29 53582633 378 I42884 540IOI52 379 I43641 54439939 380 I4440o 54872000 I45I6I 5530634I 382 145924 55742968 383 I46689 56I8I887 384 147456 56623I04 385 I48225 57066625 386 148996 575I2456 387 I49769 57960603 388 150544 584I I072 389 I51321 5886 386 9 300 I52IOO 59319000 39I I5288I 5977647I 392 153664 60236288 393 154449 60698457 394 155236 61I62984 395 156025 6!629875 396 IS6816 62099136 397 I57609 62570773 398 158404 63044792 3~9 159201 6352II99 400- I60000 64000000 352 353 354 355 356 357 358 359

381

I8,7083 I8,7J50 18,76I7 18,7883 I8,8I49 I8,8414 18,8680 18,8944 18,9209 I8,9473 I8,9737 19,0000 19,0263 19,0526 I9,0788 I9,1050 I9,I3II 19,1572 I9,I833 I9,2094 I9,2354 I9,26I4 19,2873 19,3I32 I9,339I 19,3649 19,3907 I9,4I65 I9,4422 I9,4679 I9,4936 I9,5I92 19,5448 I9,5704 I9,5959 Ig,62I4 19,6469 I9,6723 I9,6977 I9,723I 19,7484 19,7737 19,7990 I9,8242 19,8494 I9,8746 I9,8997 19,9249 19,9499 I9,97 so 20,0000

7,0473 7,0540 7,0607 7,0674 7,0740 7,0807 7,0873 7.0940 7,Ioo6 7,I072 7,1138 7,I204 7,I269 7,1335 7,1400 7ti466 7,I53I 7,I596 7,I66I 7,I726 7,179I 7,I855 7,1920 7ti984 7,2048 7,2ll2 7,2177 7,2240 7,2304 7,2368 7,2432 7,2495 7,2558 7,2622 7,2685 7,2748 7,28ll 7,2874 7,2936 7.2999 7,3061 7,3124 7,3186 7,3248 7,3310 7.3372 7,3434 7.3496 7.3558 7,36I9 7,3681

lnn

1000 -n

5,857912,8571 5.86o8 2,8490 5,8636 2,8409 5 ,866 5 2,8329 5,8693 2,8249 s.872r 2,8169 5,8749 2,8090 5,8777 2,8on 5,8805 2,7932 5,8833 _2,7855 _____:__::_::__ s,-s86r 2,7778 5,8889 2,7701 5,8916 2,7624 5,8944 2,7548 5,8972 2,7473 5,8999 2,7397 5,9026 2,7322 5.9054 5,908! 5.9I08 5.9 1 35 5,9162 5,9189 5,9216 5,9243 5.9269 5,9296 5.9322 5.9349 5.9375 5.9402 5.9428 5·9454 5·9480 5.9506 5.9532 5·9558 5.9584 5 ,9610 5.9636 5,9661 5.9687 5.9713 5.9738 5.9764 5.9789 5.9814 5.9839 5,9865 5,9890 5.9915

2,7248 2,7174 2,7100 2,7027 2,6954 2,6882 2,68ro 2,67J8 2,6667 2,6596 2,6525 2,6455 2,6385 2,6316 2,6247 2,6178 2,6110 2,6042 2,5974 2,5907 2,5840 2,5773 2,5707 2,5641 2,5575 2,5510 2,5445 2,5381 2,5317 2,5253 2,5189 2,5126 2,5063 2,5000

nn 1099,6 1102,7 1105,8 II09,o 1112,1 1115,3 II18,4 n21,5 I I24,7 1127,8 Il3I,O 1134,I I I37,3 I 140,4 1 I43.5 1146,7 I I49,8 1153,0 1156,I II59,2 1162,4 1165,5 u68,7 II7I,8 1175,0 II78,1 118I ,2 I184,4 II87,5 I I90,7 I 193,8 1196,9 1200,1 1203,2 1206,4 I209,5 1212,7 1215,8 I2I8,9 I222,I 1225,2 1228,4 I231,5 I2J4,6 1237,8 I240,9 I244,I 1247,2 1250.4 1253,5 1256,6

9

I 4 In nn2

96211,3 9676I,8 973I4,0 97867,7 98423,0 98979,8 99538,2 100098 Ioo66o 101223 IOI788 102354 102922 103491 104062 I04635 105209 105785 I06J62 10694I I0752I Io8I03 I08687 109272 109858 110447 I 11036 I II628 II222I 1128I5 11341I 114009 114608 Il5209 II5812 116416 117021 II7628 118237 u8847 119459 120072 120687 121304 121922 1225.~2

850 351 352 353 354 355 356 357 358 359

860 361 362 363 364 365 366 367 368 369

870 371 372 373 374 375 376 377 378 379

380

381

382 383 384 385 386 387 388 389

390 391 392 393 394 395 396 397 398 399

123I63 123786 1244IO I25036 125664 400

Mathematik.

10

n

-400 401

I n2

na

I Vn lvn

lnn

16oooo 64000000 20,0000 7,3681 5.9915 16o8o1 64481201 20,0250 7t3742 5.9940 402 lbl604 64964808 20,0499 7.3803 5.9965 403 162409 65450827 20,0749 7.3864 5.9989 404 163216 65939264 20,0998 7t3925 6,0014 405 164025 66430125 20,1246 7t3986 6,0039 406 164836 66923416 20,1494 7.4°47 6,oo64 407 165649 67419143 20,1742 7,4108 6,oo88 408 166464 67917312 20,1990 7,4169 6,0II3 409 167281 68417929 20,2237 7,4229 6,0137 410 168100 68g21000 20,2485 7,4290 6,0162 411 168921 69426531 20,2731 7t4350 6,0186 412 169744 69934528 20,2978 7,4410 6,0210 413 170569 70444997 20,3224 7.4470 6,0234 414 171396 70957914 20,3470 7.4530 6,0259 415 172225 71473375 20,3715 7.4590 6,0283 416 173056 71991296 20,3961 7,4650 6,0307 417 173889 72511713 20,4206 7.4710 6,0331 418 174724 73034632 20,4450 7.4770 6,0355 419 175561 7356oo59 20,4695 7.4829 ~_79 420 176400 74o88ooo 20,4939 7."4889 6,0403 421 177241 74618461 20,5183 7t4948 6,0426 422 178084 75151448 20,5426 7.5007 6,0450 423 I 78929 75686967 20,5670 7,5067 6,0474 424 179776 76225024 20,5913 7,5126 6,0497 425 x8o625 76765625 20,6155 7,5185 6,0521 426 181476 77308776 20,6398 7,5244 6,0544 427 182329 77854483 2o,664o 7,5302 6,o568 428 183184 78402752 20,6882 7.5361 6,0591 429 184041 78953589 20,7123 7.5420 6,0615 430 184900 79507000 20,7364 7.5478 6,0638 431 185761 8oo62991 20,76o5 7.5537 6,o661 432 !86624 80621568 20,7846 7.5595 6,o684 433 187489 81182737 20,8087 7.5654 6,0707 434 188356 81746504 20,8327 7.5712 6,0730 435 189225 82312875 20,8567 7.5770 6,0753 436 190096 82881856 2o,88o6 7,5828 6,0J76 437 190969 83453453 20,9045 7.5886 6,0799 438 191844 84027672 20,9284 7.5944 6,0822 439 192721 84604519 20,9523 7,6ool 6,o845 440 193600 85184ooo 20,976~ 7,6°59 6,o868 441 194481 85766121 21,0000 7,6117 6,0890 442 195364 8635o888 21 10238 7,6174 6,0913 443 196249 86938307 21,0476 7,6232 6,0936 444 197136 87528384 21,0713 7,6289 6,0958 445 198025 88121125 21,0950 7,6346 6,0981 446 198916 88716536 21,1187 7,6403 6,1003 447 199809 89314623 21,1424 7,646o 6,1026 448 200704 89915392 21,1660 7,6517 6,1048 449 201601 90518849 21,1896 7,6574 6,1070 4öO ~:zsoo 91125000 21 12132 716631 6,1092

1000 -n 2,5000 2,4938 2,4876 2,4814 2,4753 2,4691 2,4631 2,4570 2,4510 2,4450 2,4390 2,4331 2,4272 2,4213 2,4155 2,4096 2,4039 2,3981 2,3923 2,3866 2,3810 2,3753 2,3697 2,36.p

----~---

2,3585 2,3529 2,3474 2,3419 2,3365 2,33102,3256 2,J202 2,3148 2,3095 2,3042 2,2989 2,2936 2,2883 2,2831 2,2779 2,2727 2,2676 2,2624 2,2573 2,2523 2,2472 2,2422 2,2371 2,2J21 2,2272 2,2222

nn

I 4 In

us6,6 1259,8 1262,9 1266,1 1269,2 1272,3 127 5.5 1278,6 1281,8 1284,9 1288,1 1291,2 1294.3 1297,5 1300,6 1303,8 1306,9 131010 131312 1316,3 1319,5 1322,6 1325,8 132819 133210 1335·2 133813 1341tS 1344,6 1347.7 1350,9 1354,0 1357,2 136013 136 3, 5 1366,6 1369,7 1372,9 1376,o 1379,2 138213 1385,4 1388,6 1391,7 1394,9 139810 1401,2 1404,3 1407,4 1410,6 1413,7

n n2

125664 126293 126923 127556 128190 128825 129462 130100 130741 131382 132025 132670 133317 133965 134614 135265 135918 136572 137228 137885 138544 139205 139867 140531 14II96 141863 142531 143201 143872 144545 145220 145896 146574 147254 147934 148617 149301 149987 150674 151363 152053 152745 153439 154134 154830 155528 156228 156930 157633 158337 159043

400 401 402 403 404 405 406 407 408 409

410 411 412 413 414 415 416 417 418 419

420

421 422 423 424 425 426 427 428 429

430 431 432 433 434 435 436 437 438 439

4!0

441 442 443 444 445 446 447 448 449

400

A. Tafel der Potenzen, Wurzeln, natürlichen Logarithmen usw.

n/

n2

I

ns

I fn !vn

lnn

I

400 202500 9II25000 21,2132 7,6631 6,1092

203401 91733851 21,2368 7,6688 204304 92345408 21,2603 7,6744 205209 92959677 21,2838 7,6801 206116 93576664 21,3073 7,6857 207025 94196375 21,3307 7,6914 207936 94818816 21,3542 7.6970 208849 95443993 21,3776 7.7026 209764 96071912 21,4009 7,7082 2!0081 96702579 21,4243 7,7138 460 2II600 97336000 21,4476 7,7194 461 212521 97972181 21,4709 7.7250 462 213444 9861 JI28 21,4942 7.7300 463 214369 99252847 21,5174 7.7362 464 215296 99897344 21,5407 7.7418 465 216225 100544625 21,5639 7.7473 466 217156 101194696 21,5870 7.7529 467 218o89 101847563 21,6102 7.7584 468 219024 102503232 21,6333 7,7639 469 219961 103161709 21,6564 7,7695 4/tO 220900 103823000 21,6795 7.7750 471 221841 1044871 II 21,7025 7,7805 472 222784 105154048 21,7256 7,786o 473 223729 105823817 21,7486 7.7915 474 224676 106496424 21,7715 7.7970 475 225625 107171875 21,7945 7,8025 476 226576 107850176 21,8174 7,8079 477 227529 1o8531333 21,8403 7,8134 478 228484 109215352 21,8632 7,8188 479 229441 109902239 21,8861 7,8243 480 230400 110592000 21,9089 7,8297 481 231361 111284641 21,9317 7,8352 482 232324 111980168 21,9545 7,8406 483 233289 112678587 21,9773 7,846o 484 234256 113379904 22,0000 7,8514 485 235225 II4084125 22,0227 7,8 568 486 236196 114791256 22,0454 7,8622 487 237169 II5501303 22,0681 7,8676 488 238144 116214272 22,0907 7,8730 489 239121 116930169 22,1133 7,8784 490 240100 117649000 22,1359 7,8837 491 241081 II8370771 22,1585 7,8891 492 242064 119095488 22,1811 7,8944 493 243049 119823157 22,2036 7,8998 494 244036 120553784 22,2261 7,9051 495 245025 121287375 22,2486 7,9105 496 246o16 122023936 22,2711 7,9158 497 247009 122763473 22,2935 7,9211 498 248004 123505992 22,3159 7,9264 499 249001 1242~1499 22,3383 7.9317 500 250000 125000000 22,JÖ07 '7,9370 451 452 453 454 455 456 457 458 459

6,II 15 6,II37 6,II59

6,II81 6,1203 6,1225 6,1247 6,!269 6,1291 6,1312 6,1334 6,1356 6,1377 6,1399 6,1420 6,J442 6,1463 6,1485 6,1506 6,1527 6,1549 6,1570 6,1591 6,1612 6,!633 6,1654 6,!675 6,1696 6,1717 6,1738 6,1759 6,1779 6,1800 6,1821 6,1841 6,1862 6,r883 6,1903 6,1924 6,1944 6,1964 6,1985 6,2005 6,2025 6,2046 6,2066 6,2086 6,2106 6,2126 6,2146

1000 -n

I2,2222 2,2173 2,2124 2,2075 2,2026 2,1978 2,1930 2,!882 2,1834 2,1787 2,1739 2,1692 2,1645 2,1598

2,1552 2,1505 2,1459 2,1413 2,1368 2,1322 2,1277 2,1231 2,II86 2,1142 2,1097 2,1053 2,1oo8 2,0964 2,0921 2,0877 2,0833 2,0790 2 •0 747 2,0704 2,0661 2,0619 2,0576 2,0534 2,0492 2,0450 2,0408 2,0367 2,0325 2,0284 2,0243 2,0202

2,0161 2,0121

2,oo8o 2,0040 2,0000

11

nn I nt In 1413,7 1416,9 1420,0 1423,1 1426,3 1429,4 1432,6 1435.7 1438,8 1442,0 1445,1 1448.3 1451,4 1454,6 1457.7 146o,8 1464,0 1467,1 1470.3 1473.4 1476,5 1479.7 1482,8 1486,o 1489,1 1492,3 1495.4 1498,5 1501,7 1504,8 1508,o 1511,1 1514.2 1517,4 1520,5 1523,7 1$26,8 1530,0 1533,1

~6,2

1539.4 1542,5 1545,7 1548,8 1551,9 1555,1 1558,2 1561,4 1564,5 1567,7 I 1570,8

159043 (50 159751 451 160460 452 161171 453 161883 454 162597 455 163313 456 164030 457 164748 458 165468 459 166190 400 166914 461 167639 462 168365 463 169093 464 169823 465 170554 466 171287 467 172021 468 172757 469 173494 470 174234 471 174974 472 175716 473 17646o 474 177205 475 177952 476 178701 477 179451 478 180203 479 180956 ~ 181711 481 182467 482 183225 483 183984 484 184745 485 185508 486 186272 487 187038 488 187805 489 188574 490 189345 491 190117 492 190890 493 191665 494 192442 495 193221 496 194000 497 194782 498 195565 499 196350 500

Mathematik.

12

lnn 500

22,J6o7 2$1001 125751501 22,3830 252004 1265o6oo8 22,4054 253009 1:17263527 22,4277 254016 128024064 22,4499 255025 128787625 22,4722 256036 129554216 22,4944 257049 130323843 22,5167 258o64 131096512 22,5389 259081 131872229 22,5610 510 26o100 132651000 22,5832 5ll 261121 133432831 22,6053 512 262144 134217728 22,6274 513 263169 135005697 22,6495 514 264196 135796744 22,6716 515 265225 136590875 22,6936 516 266256 137388096 22,7156 517 267289 138188413 22,7376 518 268324 138991832 22,7596 519 269361 139798359 22,7816 1)20 270400 140608000 22,8035 52!271441 141420761 22,8254 522 272484 142236648 22,8473 523 273529 143055667 22,8692 524 274576 143877824 22,8910 525 275625 144703125 22,9129 526 276676 145531576 22,9347 527 277729 146363183 22,9565 528 278784 147197952 22,9783 529 279841 148035889 2J,OOOO 530 28ogoo 148877000 23,0217 281961 149721291 23,0434 532 283024 150568768 23,0651 533 284089 151419437 23,0868 534 285156 152273304 23,1084 535 286225 153130375 23,1301 536 287296 153990656 23,1517 537 288369 154854153 23,1733 538 289444 15572o872 231 1948 539 2905:u 156590819 23,2164 MO 291600 157464000 23,2379 541 292681 158340421 23,2594 542 293764 159220088 23,2809 543 294849 16o103007 23,3024 544 295936 100g89184 23,3238 545 297025 161878625 2313452 546 298116 162771336 23,3666 547 299209 I6J667J23 23,388o 548 300304 164566592 23 14094 549 JOI 0, 2 zusammenfallende reelle LI= o, 2 konjugiert komplexe LI< o.

Ist a = 0, so liegt eine rein quadratische Gleichung vor: x 1 , 2 = ±JI-b. Ist b=O, so ist x 1 =0 und x 2 =-a, denn es ist x 2 +ax=O oder x(x+a) =0, d. h. xt = 0 oder (x a) = 0, d. h. x 2 = -a.

+

1)

Vgl. C. Runge: Graphische Methoden. S. 171. Leipzig 1928.

43

Gleichungen. Bei spiele: 2.

z'- 10 z + 25

=

o 3. z' + 6 z + 10 = o 4.z'-10z=O

(z- 5)'=0

z= -3±V9-10

x1 ::3-3-i.

Y13 + z + l'13

z(z-10) =0

zs=10.

- z = 6,

13 + z + 13 - z

+ 2 · Y!Ji -

z' = 36 .

Y169- z' = 5, 169- z' = 25 , z• = 144, z, = + 12 z, = -12. Beziehungen zwischen den Wurzeln: Durch Multiplikation und Addition der beiden Wurzeln x1 und x 2 findet man: x 1 • x 2 = b (von x freies oder absolutes Glied), x1 x 2 = -a (negativer Beiwert von x). Damit kann eine quadratische Gleichung auch geschrieben werden x2 ax b := (x- x 1) (x- x 2) = 0, die, wie unmittelbar einzusehen ist, für x = x 1 und x = x 2 erfüllt ist. Die Wurzeln haben gleiches Vorzeichen, wenn b> 0, ! ' entgegengesetztes, wenn b< o. I K 10I 9I 8I 7I sI ~ 4I Lösungmit dem Rechenschieber: ~ 3

+

+ +

I

!

~1 Stellt man b auf der Grundteilung des Schiebers ein und dividiert durch einen G 2 4 5 6 7,;8 9 10 b 3 angenommenen Wert :r." so folgt nach vorstehendem z, = b/z1 • Die Wurzeln sind Fig. 2. richtig, wenn gleichzeitig z 1 + z 1 =- a ist. Bei Benutzung der Kehr- (Reziprok-) Teilung K, die man auch durch Umdrehen der Zunge erhalten kann, folgt, Fig. 2: Die 10 oder I der Kehrteilung K Ober b der Grundteilung G einstellen. Der Strich des Glasläufers Ober z 1 der Kehrteilung K liefert auf G den Wert z,=b/z1 • Es muß dann wie oben z, +z.=-a sein. Ist b negativ, so ist eine Wurzel negativ. Beispiel: z'+4,3z- 27,3=0 (Fig. 2); z,z,=-27,3, :t: 1 + :t:1 = - 4 = - 4,3. Einstellen von :t:1 c: 3,5 liefert z, = -27,3/3,5 = -7,8; 3,5- 7,8 = -4,3, d. h. die Wurzeln sind richtig.

2. Zeichnerische Veranschaulichung. Trägt man die Kurve y = x2 ax b (Parabel, S. 100) als Funktion von x auf, so sind die Abszissen ihrer Schnittpunkte mit der x-Achse die gesuchten Wurzeln, Fig. 3- f]e nach dem Wert von LI (s. 1.) schneidet die Parabel die x-Achse (LI> 0), berührt sie diese (LI = 0) oder schneidet sie nicht (LI< 0).

+

+

Im Beispiel, Flg. 3, sind benutzt z' - 4z + 3 = o, .1 o; z' - 4z + 4 = o, .1 = o; z 1 -4z+S=O, J

-1

s 3. Zeichnerische Lösung.~) Schnittverfahren für reelle Wurzeln: Die Schnittpunkte der Kurve Fig. 3. y=x2+ax+b mit der x-Achse sind die Wurzeln. y= f(x) stellt aber die verschobene Einheitsparabel dar: Sie geht durch den Punkt B der y-Achse mit der Ordinate y = b (Fig. 3), ihre Achse ist parallel der y-Achse und ihr Scheitel hat die Koordinaten x 0 = -a/2, y 0 =I (-a/2) =-LI (s.1). ·1

44

Mathematik. - Arithmetik und Algebra.

Legt man die Einheitsparabel y = :r;1 (Schablone, Kurve auf durchsichtigem Papier o. ä.} derart in das Koordinatensystem, daß ihre Achse parallel der y-Achse ist, daß sie durch den Punkt B (0; b) der y-Achse geht und daß ihr Scheitel auf der y-Parallelen :t0 =-a/2 (Parabelachse} liegt, so trifft sie die :t-Achse in :t1 und z., Fig. 3.

ß)

Aufspaltung (für reelle Wurzeln):

Schreibt man

die Gleichung

x2 +ax+b=O in der Form x 2 =-ax-b und setzt y1 =/1 (x)=x2, y2 =/2 (x) =-ax-b, so sind die Wurzeln die Abszissen der Schnittpunkte der Kurve y1 mit der Kurve y2 , da nur im Schnittpunkt y1 = y2 , also x2 =-ax-b ist, Fig. 4. y1 ist die für alle Gleichungen festliegende Einheitsparabel, y2 ist eine Gerade, deren Lage durch a und b bestimmt ist.

Liegen die Schnittpunkte sehr weit auseinander, so müssen für :r; und y verschiedene Maßstäbe gewählt werden.

/

/

I

/

I

I

p

0

Fig. 4.

Fig. 5.

]e nach der Größe von L1 (s. o. 1) schneidet die Gerade die Parabel (Ll berührt sie (Ll = 0) oder schneidet sie nicht (Ll < 0) . Beispiele: Fig. 4. 1.:t1 -1,1:t-1,26=0 z 1 =1,8, :t,=-0,7

> 0),

12.:t'-1,6z+0,64=0 13. :t1 -:t+1,25=0 :t1 =z1 =0,8 komplexeWurzeln.

y) Verfahren von Lill: Man trägt, Fig. 5, waagerecht die Strecke b auf, positiv nach rechts, negativ nach links; dazu senkrecht die Strecke a, positiv nach oben, negativ nach unten; daran waagerecht nach links die Strecke "Eins". Der Halbkreis über OE schneidet auf a (oder der Verlängerung) vom Endpunkt D aus gemessen die Wurzeln x1 und x 2 aus, nach oben positiv, nach unten negativ. Beweis: Setzt man DB=-:t (da nach unten gerichtet}, so folgt nach Fig. 5, daß tg« =DB: 1 =OA: AB oder daß -z: 1 =b: [a-(- :t}] oder b=-:t(a+z} oder z'+az+b =C ist; d. h. die Gleichung ist erfüllt. Das gleiche gilt für C, ebenso für andere Vorzeichen von a und b. Beispiel: In Fig. 5 ist b=4 (+}, a=5 (+);daher z 1 und:t1 vonD aus gemessen negativ:

:tl=-1, ::Z:a=-4 •

.5) Die nornegraphische Lösung bei reellen Wurzeln zeigt für beliebige Werte a und b das aus einer gekrümmten und zwei parallelen, geraden und linear geteilten Leitern bestehende Nomogramm Fig. 6: Die durch a und b gelegte Weisergerade schneidet auf der gekrümmten Leiter die Wurzeln x 1 und x 2 aus. Die Flucht 2a in Fig.6 schneidet jedochnur einmal; es gilt dann allgemein für das Vorzeichen die Regel: x hat das obere(+) oder das untere(-) Vorzeichen, je nachdem das Vorzeichen für den Wert a der betreffenden Gleichung oben oder unten steht. Ist überhaupt kein Schnittpunkt vorhanden (Beispiel 4, s. u.), so liegen komplexe Wurzeln vor, die rechnerisch bestimmt werden müssen oder auch aus einem Sondernomogramm1) abgelesen werden können. 1}

Heck, 0., u. A. Walther: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930} S. 211.

45

Gleichungen.

Beispiele: 1. x•- 3,7x+3=0; a negativ, Gerade t, Punkte A und B, x 1 = +t,2, x1 =+2,5. 2. x' + 3,5x- 7,5 = o; a positiv; Gerade 2a, Punkt C, ergibt x 1 = + 1,5; Gerade 2b, Punkt D, ergibt x,=-5, da das Vorzeichen von a (+)unten steht. 3. x'+7,7x+t,5=0; a positiv, Gerade 3, PunkteE und F, x 1 =-0,2, x,=-7,5, da das Vorzeichen von a ( +) unten steht. 4. x' + x + 4 = 0; Gerade 4 a bzw. 4 b liefert keinen Schnittpunkt; daher komplexe Wurzeln.

a

/j

'!:ß

6'

t:s

fi

!; !,!

J

!J

2 .!

'!:1

0

0

+1

-1

i'Z

-z

i'J

-J

,;

-{l

i'fi

-5

+6'

-6

"'

Entwurf des Nomogramms: Für alle durch den Punkt P (Fig. 7) mit den Koordinaten u und v gehenden Geraden folgt nach Fig. 7 mit den Abschnitten a und b auf den Leitern I und I I v-a b-v

-c--u =e+u;

ausmultipliziert und geordnet: -2 vc +a(c-u)+b(c+u)=O oder c- u 2vc

-c+u+ac+u+b=O.

-7

i'B

-8

i'10

-10

711

-11

-9

Fig. 7.

Vergleicht man diese Form mit der quadratischen Gleichung~x' + ax + b = o, so müssen, wenn für einen bestimmten Wert x = x 0 die Gleichungen für jeden Wert a und b übereinstimmen sollen, auch die Beiwerte übereinstimmen, d. h. es muß sein c- u = x0 • - ~~ = x~ und

c+u

c+u

Daraus berechnen sich die Koordinaten u, v des Punktes P zu

u=-c·~4!_-:___! und v=---~ x,+t x,+t Die Folge dieser Punkte P liefert die gekrümmte Leiter (Hyperbel), die hiernach für glatte Werte x, gezeichnet und mit diesen glatten Werten x = x, beziffert werden kann. Die Fluchtgerade für ein Wertepaar a und b trifft dann die Kurve in den Wurzeln x 1 und x, der quadratischen Gleichung x' + ax + b = 0. Für negative Wurzeln kann man x durch (- x) ersetzen und erhält dann die oben angegebene Regel für das Vorzeichen.

d) Oleichungen 2. Grades mit mehreren Unbekannten. I. n Gleichungen mit n Unbekannten werden in der auf S. 40 für lineare Gleichungen angegebenen Weise durch allmähliches Wegschaffen der einzelnen Unbekannten bis auf eine Gleichung mit einer Unbekannten aufgelöst. Im allgemeinen sind hierzu die dort angegebenen Methoden anwendbar, doch wird häufig die Einführung neuer Unbekannter u. ä. die Rechnung wesentlich vereinfachen. Beispiele: x' + y' = 20,5; x-y=4;

1.

Yt

=

+0,5;

x=4+y;

= -4,5; x' = -o,s.

:Y 1

". + 8y + t6 + y' = 20,5; = 2,25; y' + 4y y = -2 ± y 4 + 2,25; :Y- -2 ± 2,5;

46

Mathematik. - Arithmetik und Algebra. 2. :~:'-2zy + 3Y'- 3 · (z-:v) ,.3, 2z1 + xy- y'- 9 • (z- y) • 1 , 3x'-6zy +

9Y 1

-2:~:'

x = 5 y in die erste Gleichung eingesetzt, ergibt 25Y 1 - 10y1 + 3y 1 = 12y, 18y1 - 12y = 0 oder 6y(3:Y- 2) = 0, d. h. y1 =0 und~5y 1 =~ oder 3:Y-2=0,

+ zy-y',

z'-7z:v+1oy•~o,

also

(-H-7·~+10=0. !2_=}___ ± J/49-40 =}___ ±

:v

V

2

2

4

l.

y'- y = 0 oder y(y- 1)=0, d. h. y1 = 0 = y, und "'• = 0 = :~: 1 oder y- 1-=-ö." also y, = I und ~ 2y, = .!_:

2'

(~).=2.

(~).= 5.

y1 ='/ 1 und :!:!...::..5:Y1 = 3'/,.

x = 2 y eingesetzt, ergibt 4y1 - 4y' + 3Y' = 3y,

2. Ist eine der beiden Gleichungen linear, so erhält man 2 Wurzelpaare (Beispiel 1); sind aber im allgemeinsten Falle beide Gleichungen quadratisch (Kegelschnitte), so erhält man 4 Wurzelpaare (Beispiel2, wo 2 Paare zusammenfallen). Man kann nun in beiden Fällen auch zeichnerisch vorgehen: Jede Gleichung stellt eine Kurve (Gerade oder Kegelschnitt mit Kreis als Sonderfall) dar. Die Koordinaten der Schnittpunkte der !I Kurven sind dann die gesuchten Wurzelpaare. I. (:~:+ 3,5)1 + (y- 2,7)' =21. II. (z+7,2) • (:Y+1,3)=2. Gleichung I, Fig. 8, stellt einen Kreis um P 0 (x0 =- 3,5, y 0 = +2,7) mit dem Radius Y21 = 4,6 dar. Gleichung II stellt eine gleichseitige Hyperbel dar, deren Asymptoten die Parallelen zu den Achsen im Abstande -I ,3 und -7,2 sind. Kreis und Hyperbel schneiden sich in den belden re---!ö-'