Taschenbuch für den Maschinenbau [5. Aufl.] 978-3-662-40541-3;978-3-662-41020-2

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XII
Front Matter ....Pages 1-1
Tafeln (H. Baer, H. Dubbel, G. Glage, W. Gruhl, R. Hänchen, E. Heidebroek et al.)....Pages 1-34
Arithmetik und Algebra (G. Glage)....Pages 35-77
Die Kreis= und Hyperbelfunktionen (G. Glage)....Pages 77-88
Differential- und Integralrechnung (K. Lachmann)....Pages 89-128
Analytische Geometrie und Kurvenlehre (K. Lachmann)....Pages 128-177
Einführung in die Rechnung mit Vektoren. (K. Lachmann)....Pages 177-179
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf die Fehler-, Ausgleichs- und Großzahlrechnung (G. Glage)....Pages 180-194
Die Fourierschen Reihen (G. Glage)....Pages 194-199
Einführung in die Nomographie (H. Winkel)....Pages 200-207
Zeichnerische und rechnerische Verfahren der praktischen Mathematik. (K. Lachmann)....Pages 207-212
Flächen- und Körperberechnung (H. Baer)....Pages 213-218
Front Matter ....Pages 219-219
Statik starrer Körper (K. Lachmann)....Pages 219-270
Dynamik fester Körper (M. Krause)....Pages 270-326
Mechanik flüssiger Körper (K. Lachmann)....Pages 326-342
Wärmelehre. (M. Krause)....Pages 342-405
Festigkeitslehre (K. Lachmann)....Pages 405-501
Die Reinigung der technischen Gebrauchswässer. (O. Heinrich)....Pages 502-513
Die Brennstoffe und ihre technische Verwendung. (O. Heinrich)....Pages 514-550
Stoffkunde. (O. Heinrich)....Pages 551-604
Front Matter ....Pages 605-608
Vernietungen (K. Wolters)....Pages 608-620
Schrumpfringe und -platten (K. Wolters)....Pages 620-621
Keilverbindungen (K. Wolters)....Pages 621-628
Schrauben (K. Wolters)....Pages 628-645
Bolzen und Stifte (K. Wolters)....Pages 645-646
Zapfen (K. Wolters)....Pages 646-652
Wellen und Achsen (K. Wolters)....Pages 652-661
Kupplungen (K. Wolters)....Pages 661-675
Schmierung und Schmiervorrichtungen (K. Wolters)....Pages 676-681
Lager (K. Wolters)....Pages 681-703
Zahnräder. (A. Schiebel)....Pages 703-740
Reibungsräder. (K. Wolters)....Pages 741-742
Kettenräder (K. Wolters)....Pages 742-743
Planeten= und Differentialgetriebe. (E. h. E. Toussaint)....Pages 744-759
Riemen= und Seiltrieb. (K. Wolters)....Pages 759-785
Kurbeltrieb (K. Wolters)....Pages 786-816
Rohrleitungen (K. Wolters)....Pages 816-832
Absperrvorrichtungen (K. Wolters)....Pages 832-853
Die Dampferzeugungsanlagen (O. Heinrich, E. Schulz)....Pages 854-965
Die Kraft- und Arbeitsmaschinen mit Kolbenbewegung (H. Dubbel, Fr. Krauss)....Pages 966-1105
Schwungräder, Massenausgleich und Regler (H. Dubbel)....Pages 1106-1127
Die Kondensation (H Dubbel)....Pages 1128-1146
Die rotierenden Kraft- und Arbeitsmaschinen (Fr. Oesterlen, E. Heidebroek, H. Baer)....Pages 1147-1265
Abwärmeverwertung (W. Pauer)....Pages 1266-1284
Rohrleitungen (H. Dubbel)....Pages 1285-1290
Hebe- und Fördermittel (R. Hänchen)....Pages 1291-1471
Werkzeugmaschinen für Metallbearbeitung (M. Kurrein)....Pages 1472-1609
Elektrotechnik (W. Gruhl)....Pages 1610-1722
Back Matter ....Pages 1723-1767

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Taschen buch ftir den

Maschinenbau Bearbcitet von Prof. Dr.-Ing. H. Baer-BrcsIau, Prof. H. Dubbel-Berlin, Dr. G. GiageBerlin, Dipl.-Ing. W. GruhI-Berlin, Dipl.-Ing. R. Hănchen - Berlin, Prof. Dr.-Ing. E. Heidcbroek-Darmstadt, Ing. O. Heinrich-Berlin, Dr.-Ing. M. Krause-Berlin, Ballrat Fr. KrauB-Niimberg, Prof. Dr. techn. M. Kurrein-Berlin, Dr.-Ing. K. Lachmann-Berlin, Prof. Dr.-Ing. Fr. Oesterlen-Hannover, Prof. Dr.-Ing. W. Pauer-Dresden, Prof. Dr. A . Schiebel - Prag, Dipl.-Ing. E. Sch ulz-Berlin, Prof. Dr.-Ing. E. h . E . Toussaint-Berlin, Dipl.-Ing. H. Winkel t-Berlin , Dr.-Ing. F. Wettstaedt- Berlin, Dr.-Ing. K. Wolters-Berlin Herausgegeben von

Prof H. Dubbel Ingenieur, Berlin

Fiinfte, vollig umgearbeitete Auflage Mit

2800

Textfiguren

In zwei

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1. Band

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1929

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0,00000 46 0,8029 0,°795 °,781 5 0,°4176 0,00000 47 0, 82 °3 0,0829 °,7975 0,°4448 0,00001 48 0,8378 0,0865 0,81 35 0,°4731 0,000°3 49 0,855 2 0,°9°0 0,8294 0,05~i 0,00006 50 0,87 27 0,°937 0,845 2 °,°5331 0,00010 SI 0,8901 0,°974 0,8610 0,°5649 0,0001 5 52 0,9°76 0,1012 0,8767 0,°5978 0,0002 3 53 °,925° 0,1°51 0,89 24 0,06319 ~1569 0,00°32 54 °,9425 0, 1°9° °,9°80 0,066 73 0,003~ 0,1741- 0,00°44 55 °,9599 o, II 30 0,9 235 °,°7°39 0,0046 0,19 17 0,00°59 56 °,9774 0,117 1 °,9389 °,°7417 0,0055 0,2°91 0,0°°76 57 0,9948 0,1212 0,9543 0,°7808 0,0064 0, 2264 0,00097 58 1,012 3 0, 1254 °,9696 0,08213 59 1,0297 0, 1296 0,9848 0,0862 9 0,°°75 0,2437 0,00121 0,0086 0,2611 0,00149 -00 1,°472 0,134° 1,0000 0,°9°12. 0,°°97 0,2783 0,00181 61 1,0647 o,ij84 1,01 5 1 0,°95°2 O,OIJO 0,2956 0,0021 7 62 J,0821 0,1428 1,°3°1 °,°9958 0,012 3 0,3 129 0,00257 63 1,°996 0,1474 1,°45° 0,1°428 0,331~ o,o~ 0,33°1 0,003°2 64 1,117° 0,1520 1,°598 0, 10911 0,349 1 0,01 52 0,3473 0,0035 2 65 1,1345 0,1566 1,°746 0,11408 0,3665 0,0167 0,3645 0,0°4°8 66 1,1519 0,161 3 1,0893 0,119 19 0,3840 0,0184 0,3816 0,00468 67 1,1694 0,166J J,1039 0,12443 0,4°14 0,0201 °,398 7 0,00535 68 1,1868 0,1710 J, I184 0,12982 0,4189 0,021 9 0,4158 0,006°7 69 1,2°43 0,1759 1,1328 0,J3535 0,4363 0,0237 0,43 29 0,00686 70 1,221 7 0,1808 1,1472 0,14102 °,4538 0,0256 0,4499 0,0077 1 71 1,23l}2 0,1859 1,161 4 0,1468 3 0,47 12 0,0276 0,4669 0,00862 72 1,2566 0,1910 1,1756 0,15279 0,4887 0,0297 0,4838 0,0096J 73 1,2741 0,1961 1,1896 0,15889 °,5°6 1 0,°319 0,5°08 0,01067 74 1,2915 0, 201 4 1,2°36 0,16514 0,5 236 0,°341 0,5 1 76 0,oII80 75 1,3°9° 0,2066 1,21 75 0,17 154 0,541I 0,°364 0,5345 0,01 3°1 76 1,326 5 0,2120 1,2313 0,17808 0,55 8 5 °,°38 7 0,55 12 0,01429 77 1,3439 0, 2J 74 1,245° 0, 18477 0,5760 °,°412 0,5680 0,01 566 78 1,361 4 0,2229 1,2586 0,19 160 79 1,3788 0,2284 1,2722 0,19859 0,5934 °,°437 0,5847 0,017 II 0,6109 0,0463 0,601 4 0,01864 80 1,3963 0,234° 1,2856 0,2°573 0,6283 0,°489 0,6180 0,02027 SI 1,4137 0,2396 1,2989 0, 21 3°1 0,6458 0,°517 0,6346 0,021 98 82 1,4312 0,2453 1,3121 0,22°45 0,6632 0,°545 0,65 II 0,02378 83 1,4486 0,25 10 J,3252 0,228°4 0,68°7 °,°574 0,6676 0,02568 84 1,4661 0,2569 J,3383 0,23578 0,6981 0,06°3 0,6840 0,02767 85 1,4835 0,2627 1,3512 0,2436 7 0,7 156 0,0633 0,7°04 0,02976 86 1,5°10 0,2686 J,3 64° 0,25 J71 0,7330 0,0664 0,7 167 0,°3 195 87 1,5184 0, 274 6 J,3767 0,25990 0,75°5 0,0696 0,733° 0,°342 5 88 1,5359 0,28°7 1,3893 0,26825 °,7679 0,°728 0,7492 0,°3664 89 1,5533 0,2867 J,4018 0,27675 0,7854 0,°761 0,7654 0,°3915 00 1,57°8 0,2929 1.4J42 0, 28 54° Ist r der Kreishalbmesser und 'P der Centriwinkel in Grad, so ergibt sicli: 0,0175 0,°349 0,°524 0,0698 0,08 73 0,1°47 0,1222 0,1396 0,1571 0,1745 0,19 20 0,2°94 0,2269 0,2443 0,2618 0,2793 0,2967 0,3142

1) die Sehnenlănge: '=2rsin~;

'.!) die

Bogenhăhe: h=r(l-Cos

-f) = itg -t=2rSin' f;

und Kreisabschnitte fUr den Halbmesser

T

= 1.

29

~~] I ~~~~~-I BO,gen-\ s~hnen-IIK~~l~a~:sIH g\~~~~~-\ Bo,?en-I s~?nen-IIK~~na%:S ~'~,s arc'!' bobe lange scbnittes ~'~,S arc'!' bobe lange scbnittes 91 92 93 94 95 96 97 98 99

0,2991 1,4265 0,29420 136 2,3736 0,6254 1,8544 0,83949 0,3053 1,4387 °,3°316 137 2,3911 0,6335 1,8608 0,85455 0,3116 1,4507 0,31226 138 2,4°86 0,6416 1,8672 0,86971 0,3180 1,4627 0,32152 139 2,4 260 0,649~ ~8731 ~8497 0,3 244 1,4746 0,33093 140 2,4435 0,6580 1,8794 0,90034 0,33°9 1,4 86 3 0,34°5° 2,46°9 0,6662 1;8853 °,91580 0,3374 1,4979 0,35021 142 2,4784 0,6744 1,8910 0,93135 0,3439 1,5094 °,36008 143 2,4958 0,682 7 1,8966 0,94700 0,3506 1,5 208 ' °,37°°9 144 2,5133 0,6910 1,9021 °,96274 0,3572 1,5321 O,3~026 145 2,5307 0,6993 1,9074 0,97858 0,3639 1,5432 °,39°58 14 6 2,54 82 0,7°76 1,9 126 0,99449 °,37°7 1,5543 °,4°104 147 2,5656 0,7160 1,9176 1,0105° 0.3775 1,5652 °,41166 148 2,5831 0,7244 1,9225 1,02658 0,3843 1,5760 0,42242 149 2,6 0 °5 0,732~ 1,9271 ~4275 0,3912 1,5867 0,43333 150 2,6180 0,74 12 1,9319 1,05900 2,6354 0,7496 1,9363 1,°7532 °13982 1,5973 0,44439 °,4°52 1,6°77 0,455 60 15 2 2,65 29 0,75 81 1,9406 1,°9171 0,4122 1,6180 0,46695 153 2,67°4 0,7666 1,9447 1,10818 0,412l. ~82 ~,:t7814 154 2,6878 0,7750 1,9487 1,12472 °,4264 ~383 0,4900~ 155 2,7053 0,7836 1,9526 1,14132 °,4336 1,6483 0,5°187 15 6 2,7 22 7 0,79 21 1,95 63 1,15799 0,4408 1,6581 0,51379 157 2,7402 0,8006 1,9598 1,17472 0,4481 1,6678 0,52586 158 2,7576 0,8°92 1,9633 1,19151 0,4554 1,6773 0,538°7 159 2,775 1 0,817~ ~,966i -.:, 208 35 0,4627 1,6868 0,55°41 160 2,7925 0,8264 1,9696 1,22525 °,47°1 1,69 61 0,5 628 9 161 2,8100 0,8350 1,9726 1,24221 0,4775 1,7053 0,5755 1 162 2,8274 0,843 6 1,9754 1,25921 °,485° 1,7143 0,58827 163 2,8449 0,85 22 1,9780 1,27626 0,49 2 5 1,7 2 33 0,60116 164 2,8623 0,8608 1,98°5 1,29335 0,5000 1,7321 0,61418 165 2,8798 0, 8695 1,9829 1131049 0,5076 I,7407 0,62734 166 2,8972 0,87 81 1,9 8 5 1 11,3 2 766 0,5152 1,7492 0,64°63 167 2,9147 0,8868 1,9871 1,34487 °,5228 1,7576 0,654°4 168 2,9322 0,8955 1,989° 1,36212 0,5305 1,7659 0,66759 16 9 2,949 6 0,9 04=- 1,99°~ 1.3794° 0,5383 1,7740 0,68125 170 2,9671 0,9128 1,9924 1,39671 °,5460 1,7 820 0,69505 171 2,9845 0,9215 1,9938 1,4 1 4°4 0,5538 1,7899 0,7°897 172 3,0020 0,9302 1,9951 1,43140 °,5616 1,7976 0,723°1 173 3,°194 0,9390 1,9963 1,44878 °,5695 1, 8°5 2 0,737 16 174 3,0369 0,9 J,77 1,9973 1,4661 7 0,5774 1,8126 0,75144 175 3,0543 0,95 64 1,9981 1,48359 0,5853- 1,8199 0,76584 17 6 3,°7 18 0,9 6 51 1,99 88 1,5°101 0,5933 1,82 71 °,78°34 177 3,°89 2 °,9738 1,9993 1,5 1845 0,6013 1,8341 0,79497 178 3, 106 7 0,9 82 5 1,9997 1,535 89 0,6°93 1,8410 0,8°97° ~ ~~ 0,991~ 1,9999 1,553]±. ~562 0,6173 1,8478 0,82454 180 3,1416 1,0000 2,0000 1,57°80

1,5882 1,6057 1,62 32 1,64°6 1,6580 1,6755 1,6930 1,7 1°4 1,7 2 79 100 1,7453 101 1,7628 102 1,7802 103 1,7977 104 1,8151 105 1,8326 106 1,8500 107 1,8675 108 1,885° 109 1,9°24 110 1,9199 111 I 1,9373 II2 1,9548 II3 1,9722 II4 1,9897 II5 2,0°71 II6 2,0246 1I7 2,°420 I18 2,0595 ~ 2,°7 69 120 2,0944 I2l 2,11I8 122 2,1293 123 2,1468 124 2,1642 125 2,1817 126 2,1991 127 2,2166 128 2,2340 1 29 2,25 15 130 2,2689 2,2864 13 2 2,3°38 133 2,3213 134 2,3387

141

ISI

l3I

3) die

Bogenlănge:

l=nrrso =0,017453 rp= vs,+~-; (angenăhert);

4) der Inbalt des Kreisabscbnit!es =

5)..

..

"Kreisausscbnit!es =

~

(

Tso p - sin 'P) ;

iJij-n r' = 0,008 726 65 Pre_

30

Mathematik.

E. Tafel zur Umwandlung von OradmaB in BogenmaJl uod umgekehrt. Gradl

_0\ ~I 3i

4 i 5 !

ii

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

~I 21 22 23 24 25 26

~I

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

I

axe

0,00000 0,01745 0,03491 0,05236 0,06981 0,08 727 0,10472 0,12217 0,13963 0,15708 0,17453 0,19199 0,20944 0,22689 0,24435 0,26180 0,27925 0,29671 0,31416 0,33161 0,34907 0,36652 0,38397 0,40143 0,41888 0,43633 0,45379 0,47124 0,48869 0,50615 0,52360 0,54105 0,55851 0,57596 0,59341 0,61087 0,62832 0,64577 0,66323 0,68068 0,69813 0,71558 0,73304 0,75049 0,76794 0,78540 0,80285 0,82030 0,83776 0,85521 0,87266 0,89012 0,90757 0,92502 0,94248 0,95993 0,97737 0,99484 1,01229 1,02974

IGrad\

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 ,

arc

1,04720 1,06465 1,08210 1,09956 1,11701 1,13446 1,15192 1,16937 1,18682 1,20428 1,22173 1,23918 1,25664 1,27409 1,29154 1,30900 1,32645 1,34390 1,36136 1,37881 1,39626 1,41372 1,43117 1,44862 1,46608 1,48353 1,50098 1,51844 1,53589 1,55334 1,57080 1,58825 1,60570 1,62316 1,64061 1,65806 1,67552 1,69297 1,71042 1,72788

IGrad

I

1

arc

2,09440 120 121 I 2,11185 122 1 2,12930 123 2,14675 124 2,16421 125 2,18166 126 2,19911 127 2,21657 128 2,23402 129 2,25147 ----IlO 2,26893 131 2,28638 132 2,30383 2,32129 133 73 1 134 74 2,33874 75 135 2,35619 76 136 2,37365 2,39110 77 137 78 2,40855 138 2,4260i 139 79 80 140 2,44346 81 141 2,46091 82 142 2,47837 83 143 2,49582 84 144 2,51327 85 145 2,53073 86 I 146 2,54818 87 147 2,56563 88 148 2,58309 89 149 2,60054 90 150 2,61799 91 2,63545 151 I 92 152 2,65290 93 153 2,67035 94 154 I 2,68781 95 155 ! 2,70526 96 2,72271 97 157 2,74017 156 98 158 2,75762 99 159 1 2,77 507 100 ~,74_5~~_ 160 I 2,79253 101 1,76278 161-! 2,80998 102 1,78024 162 2,82743 103 1,79769 163 2,84489 104 1,81514 164 2,86234 105 1,83260 165 2,87979 106 1,85005 166 2,89725 107 1,86750 167 2,91470 108 1,88496 168 2,93215 109 1,90241 169 2,94961 110 1,91986 170 I 2,96706 111 1,93732 171 I 2,98451 112 1,95477 172 i 3,00197 113 1,97222 3,01942 173 114 1,98968 174 3,03687 115 2,00713 175 3,05433 116 2,02458 176 3,07178 2,04204 117 177 3,08923 118 2,05949 178 3,10669 119 2,07694 3,12414 179

MiU.[

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 221 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 .0 --41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

arc

0,00000 0,00029 0,00058 0,00087 0,00116 0,00145 0,00175 0,00204 0,00233 0,00262 0,00291 0,00320 0,00349 0,00378 0,00407 0,00436 0,00465 0,00495 0,00524 0,00553 0,00582 O,OO~ 0,00640 0,00669 0,00698 0,00727 0,00756 0,00785 0,00814 0,00844 0,00873 0,00902 0,00931 0,00960 0,00989 0,01018 0,01047 0,01076 0,01105 0,01134 0,01164 0,01193 0,01222 0,01251 0,01280 0,01309 0,01338 0,01367 0,01396 0,01425 0,01454 0,01484 0,01513 0,01542 0,01571 0,01600 0,01629 0,0\ 658 0,01687 0,01716

I

s'~J

01

~I

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

arc

0,00000 0,00000 0,00001 0,00001 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00004 0,00004 0,00005 0,00005 0,00006 0,00006 0,00007 0,00007 0,00008 0,00008 0,00009 0,00009 0,00010 0,00010 0,00011 0,00011 0,00012 0,00012 0,00013 0,00013 0,00014 0,00014 0,00015 0,00015 0,00016 0,00016 0,00016 0,00017 0,00017 0,00018 0,00018 0,00019 0,00019 0,00020 0,00020 0,00021 0,00021 0,00022 0,00022 0,00023 0,00023 0,00024 0,00024 0,00025 0,00025 0,00026 0,00026 0,00027 0,00027 0,00028 0,00028 0,00029

31

F. Tatel der Hyperbelfunktionen 1). Siufl' fUr fi' -= O bls fi' = 5,99. '1'1

0,°1

3

2

o

4

5

I

6

7

8

I

0400 0801 0200 0300 0500 0600 0701 101 0901 1810 1304 1405 1506 1607 1708 1911 -11203 02 2526 2629 2218 2320 2423 2733 2837 2941 104 3466 3678 3892 3360 3572 3785 4000 3255 108 4764 4434 4653 4875 4987 4325 4543 5098 113 6014 6131 5666 5438 5552 5782 5897 6248 119 6846 6968 7213 7336 7461 6605 6725 7090 125 8223 8353 8484 8615 8748 7838 7966 8094 133 9286 9561 9700 9840 9150 9423 9981 °0122 143 1t44 1294 1446 0700 0847 1598 154 0554 0995 T,O ~ 1907 2063- 2220 2379 I 2539 2700- 28"62"" ~ 3t9O 167 4382 4558 3863 4035 1,1 1,3357 3524 4914 t8t 3693 1,2 6019 6209 6400 6788 5831 6593 196 5460 5645 1,5095 5276 8198 7786 8406 8617 8829 214 1,6984 7182 7991 1,3 7381 7583 °0369 °0827 °0143 °\059 °0597 1,4 1,9043 9259 234 9697 9919 9477 2743 2993 3499 2,1293 1529 2008 2251 1,5 3245 257 1768 2496 4806 5346 5620 6175 4276 4540 5075 5896 281 1,6 2,3756 4015 8202 8806 7027 7317 7609 8503 2,6456 6741 7904 1,7 9t!3 309 2,9422 9734 °0049 °0367 °0689 °1013 °1340 °1671 °2005 ·2342 1,8 340 4792 3722 4075 4432 5156 5523 5894 3,2682 3372 1,9 375 7414 8196 8593 8993 9398 9806 413 3,6269 ~ 7028 7803 6647 3221 1480 2342 2779 3666 4,0219 0635 2,1 1056 1909 4117 454 2,2 4,4571 5030 6912 7880 8868 5962 6434 7394 B372 5494 502 2,3 4,9370 9876 °0387 °0903 °1425 ·1951 ·2483 °3020 ·3562 °4109 553 8097 2,4 5,4662 5221 7510 8689 610 6354 9288 9892 5785 6929 4293 6,0502 Ilt8 4946 5607 6274 2,5 1741 3004 2369 3645 673 2,6 6,6947 7628 744 8315 9709 °0417 ·1132 ·1854 °2583 °3319 9009 8683 7,4063 4814 7112 9480 °0285 °1098 821 2,7 6338 7894 5572 7021 7902 8791 2,8 8,1919 2749 6150 9689 3586 4432 5287 907 6231 7203 8185 4315 9,0596 15t:2 3371 5268 9177 1002 2437 ~ 10,0179 l19t ~ 3245 4287 6403 74'i7 8562 9658 1107 ~ 7641 8827 ·0026 °1236 1223 6406 3011 4151 5303 3,1 11,0765 1882 6201 8758 ·0056 °1367 ·2691 °4028 1351 4941 7473 3,2 12,2459 3694 8121 9513 ·0919 °2338 °3772 ·5221 ·6684 °8161 1493 3,3 13,5379 6743 15,116 15,268 15,422 15,577 15,734 15,893 16,053 16,214 16,378 165 3,4 14,965 16,709 16,877 17,047 17,219 17,392 17,567 17,744 17,923 18,103 182 3,5 16,543 18,470 18,655 18,843 19,033 19,224 19,418 19,613 19,811 20,010 201 3,6 18,285 20,415 20,620 20,828 21,037 21,249 21,463 21,679 21,897 22,117 222 3,7 20,211 22,564 22,791 23,020 23,252 23,486 23,722 23,961 24,202 24,445 246 3,8 22,339 24,691 24,939 25,190 25,444 25,958 26,219 26,483 26,749 27,018 272 ~ 28,404 28,690 28,979 29,270 29,564 29,862 300 4,1 27,290 27,564 27,842 28,122 I~ 30,465 30,772 31,081 I~ 31,709 32,028 32,350 32,675 33,004 4,1 30,162 33,671 34,009 34,351 34,697 35,046 35,398 35,754 36,113 36,476 367 4,2 33,336 37,214 37,588 37,966 38,347 38,733 39,122 39,515 39,913 40,314 405 4,3 36,843 4,4 40,719 41,129 41,542 41,960 42,382 42,808 43,238 43,673 44,112 44,555 448 45,455 45,912 46,374 46,840 47,311 47,787 48,267 48,752 49,242 495 4,5 45,003 4,6 49,737 50,237 50,742 51,252 51,767 52.288 52,813 53,344 53,880 54,422 547 4,7 54,969 55,522 56,080 56,643 57,213 57,788 58,369 58,955 59,548 60,147 604 61,362 61,979 62.601 63,231 63,866 64.508 65,157 65,812 66,473 668 4,8 60,751 67,816 68,498 69,186 4,9 67,141 70,584 71,293 72,010 72,734 73,465 738 74,203 74.949 75,702 76,463 ~ 78,008 78,792 79.584 80,384 81,192 816 82,832 83,665 84,506 ~ 5,1 82,008 85,355 86,213 87,079 87,955 88,839 89,732 90t 91,544 92,464 93,394 94,332 95,281 96,238 97205 98,182 99,169 997 5,2 90,633 5,3 100,166 101,173 102,189 103.217 104,254 105,302 106,360 107,429 108.509 100,S~ 1102 5,4 110,701 111,814 112,938 114,072 115,219 116,377 117.547 118,728 119,921 121,127 1217 5,5 122,344 123.574 124,816 126,070 127,337 128,617 129,910 131,215 132,534 133,866 1345 5,6 135,211 136,570 137,943 139,329 140,730 142,144 143,573 145,016 146,473 147,945 1487 5,7 149,432 150,934 152,451 153,983 155,531 157,094 158,673 160,267 161,878 163,505 1643 5,8 \65,148 166,808 168,485 170,178 171,888 173,616 \75.36\ 177,123 178,903 180,701 1816 5.9 182,517 184,352 186,205 188,076 189,966 191,875 193,804 195.752 197.719 199,706 1007 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,0000 0,1002 0,2013 0,3045 0,4108 0,5211 0,6367 0,7586 0,8881 1,0265

0100 1102 2115 3150 4216 5324 6485 7712 9015 0409

'420:8

ill6

te

5340

m

...

,) Ausftihrlichere Tabellen Slehe u. 8.: Ltgowskl: Taieln der Hyperbelfunkttonen usw. Berlin: W. Emst & Sohn 1890; Hayashi. Dr.-Ing.: Fiinfstellige Tafeln usw. Berlin: VereiD.. wiss, Verleger 1921.

32

Mathematik.

tioi

18.

19.

- - - = a =t= a b + b·. a±b a" - b" ~ = a"-l + a"-2. b

+

an - 3 • b 2 +

ali _ b5

----a=-b = ,,4 + ,,8h + a2 b2 + a.b a + b4 • aG _ b8

----a=-b = fi5 + ,,'o + ,,3 UIl + ,,2b l + ab + bl ţ

•

... + a. bA-O + b"-l.

Die Potenz-, Wurzel- und Logarithmenrechnung.

41

20.

ah-l-ah-l.b+aSn-3.b'-+ ..• _bh - 1 •

aB

b6

_

aS _ a 4 b+a'Jb2

~=

_

a 2 b3 + ab 4

-

b~.

21. Ausdriicke wie 0°, O"" , 00°, 100 sind unbestimmt (s. S. 103). Es ist z. B. Iim

x--+

CX>

(1 + ~)Z = x

e

=

2.718 .•• (nicht etwa =

1).

22. Umkehruogen des Potenzierens: Addition (a + b = b + a = e) und Multiplikation (a· b = b· a = e) be· sitzen nur je eine Umkehrung: die Subtraktion (a = c - b ader b = e - a) und dieDivision

(a= ~ ader b =~), weilSumme und Produkt beim Vertauschen

der Summanden bzw. Faktoren unverandert bleiben. Bei einer Potenz hingegen sind Basis und Exponent nich t vertauschbar. Infolgedessen hat die Potenzrech· nung 2 Umkehrungen: die Wurzel. und die Logarithmenrechnung. Besteht zwischen 3 Zahlen a, b und e die Gleichung: 23. aO = e, so kann aus 2 gegebenen Zahlen die dritte berechnet werden. 24. Potenzrechnung: Gegeben a und b. Gesucht e = a O • a = Basis, b = Exponent, e = Potenz. 0-

25. Wurzelrechnung: Gegeben b und e. Gesucht a = JI e . a = Wurzel. b = Wurzelexponent, e = Radikand. a

26. Logarithmenrechnung: Gegeben a und e. Gesucht b = loge. e = Numeros. a = Basis, b = Logarithmus.

b) Die Wurzelrechnung. t. 2.

3.

4.

Definition: Wenn aO = e, dann ist a = Aus dieser Definition folgt:

° o = aO = e. (re)

Ve =e.

o

Va

=0. Feroer ergibt sich fiir gerade und ungerade Wurzelexponenten: 2n

5·

Ba = +a 2n + 1 JI-a

±3 ;

=

(siehe S. 44).

1

2n+l

2n+l__

•JI+81

1

Y+a = ± a2""fi ; JI-a = imaginar

2n

6.

° (C.

3 ___ _ ;

JI +64 =

+4;

1

= _a 2n + 1

;

Fiir das Rechnen mit Wurzeln gelten fOlgende 5 Regeln:

7. 8.

=ya . .JIb; = Va. lYi. !b

m~

m

Jlb

'

Y3"'YI2=V36=±O V28 :--=Y4 V7

=

±2.

• (y=y)

Mathematik. -- Arithmetik uud Algebra.

42

(Vat = a = ;

"'Va" =

9·

Y16'

m

= ±4' = ±64 ;

Va"

=

a

10. 11.

~~

ln~

R.m

vVa=vVa= Va;

Anwendungen der Wurzelformeln: -m

m

Van = Y;;-=-. ;

12.

Ya

-2

Va

=v~a_=Va.= ±a a-l

l x·iz= /-3-

t3.

a·Vb=Yam.b;

14.

Va' l'a= Va m+"; Ya + Vb = Y'a-+-b-+-2-.-Y-=a=.=b;

15.

16.

m

n

m.n

va - VT = ± Va+ b -

2 •

3

YXi=VX'. 3

6

y;;. Yx = Y,",. 12 +YI8= Y2+18+12= V32; Y2 - V18 = - Y2+18 - 12 = - YS; YIS - Y2 = + Y2+ 18 - 12 = + YS.

V a:6 ;

Weitere Zahlenbeispiele:

3

2·3

3

3

Y-375 = y--=-t2W ~ -5, Y3;

1/2X'-12X'+18x V2y' -

2Oy' + 50y il

3

J!2x(x'-6x+9)

= V 2y(y' -

Y16x. Vi6-",2

3

=

tOy

Y16,--;-",3

_"'y-_3 5

+ 25)

= 4 "'.

3

V4;

r::l~ + ~. Y288 - V147 + ~ Y10S + Y~ Y2

3

2

Y3

.l/"'-y; r

3 • YI8

- Y2

= 5· V3 + 6.1"2 - 7 . V3 + 2·1"3 + 4 • V2 - 9' V2 - V-:i- = O ; V2 + l'8 _--"'----'--c'--'-'--_-,-(V2 + l'8)2 = 2 + 8+ 2· V16 = - 3 ; V2 -)ls (V 2 - V 8) (V 2 + v-a) 2 - 8

c) Die Logarithmenrechnung. a

Definition: Wenn ah = c, dana ist b = log c (siehe 26 auf S. 41). Die Logarithmen fiiI' die Basis a = 10 hei13en dekadisehe ader B r i g g s sehe (Briggs lebte um 1600). Sie werden fiiI' praktische Rechnungen deshalb be· vorzugt, weil bei einer Multiplikation bzw. Division des Numerus emit 10 der 1.

Logarithmus b um 2.

3·

19 1= 19 10 = 19 100 = 19 1000 =

0, 1, 2, 3,

1wachst bzw. abnimmt. Man schreibt stati l~g c klirzer Ig c. da da da da

10° = 1 10 ' = 10 2 10 = 100 10' = 1000

19 1 ,09~ = 0,Q3822 19 10.92 = 1,03822 19 109.2 = 2.03822

= - 1 , da 10- 1 =0,1 IgO,1 IgO.OI =-2, da 10- 2 =0,01 19O.OOI = - 3, da 10 - 3 = 0,001 19 0,1092 = 0,03822 - 1 19 0,01092 = 0,03822 - 2 19 0,001092 = 0,03822 - 3

Dic Potenz-, \Vurzel- und Logarithmenrechnnng.

43

Mall ncnnt die hinter dem Komma stehcnden Ziffern 03822 die "Mantissc" der Logarithmen. Dieselbe ist nur VOll den Ziffern des Numerus 1092, aber nicht von der Stellung des Kommas im Numerus abhăngig. Die von der Stellung des Kommas abhăngige ganze Zahl - 0,1,2 ... , -1, -2, -3 ... - wird Kennziffer genannt. In den Logarithmentafeln wird nur die Mantisse angegeben. da die Kennziffer nach den Gleichungen (2) bestimmt werden kann. In der h6heren Mathematik und in theoretischen Rechnungen benutzt man Logarithmen fUr die Basis e = 2,7182818284 ... , die sogenannten "natUrlichen Logarithmen". mit deren BUfe auch dic Briggsschen Logarithmentafeln berech. net sind (siehe Reihen S. 70 und 75). e

Man schreibt statt loge kiirzer In c (Iogarithmus naturalis). Es ist (siehe 10 auf S. 43) 4. lnx = 2,303 ·Igx genauer: 2.302585 1 19x = ~~ Inx = 0,4343' lux

0.434294.

2.303

~1__ = 0.4343 den Modul des Briggsschen Logarithmensystems. 2,303 Aus der Definition der Logarithmen folgt: 5. Ig1 =0; In1 =0; Man nennt

IgO

=

InO

-00

=-00

Igoo = 00 ; Inoo = 00 ; Ig10 = 1 ; Ine = 1 ; e = 2,718 . Die natiirlichen und B ri g g s schen Logarithmen negativer Zahlen sind imaginar. Fiir das Rechnen mit Logarithmen gelten folgende 4 Regeln,: 6. 19(a. b) = Iga Igb ; Ig508,3 = 2,70612

+

7·

(a) =

Ig b

Iga -

IgO,3417 = 0,53364 IgO,0028 = 0,44716 Ig(508,3' 0,3417·0,0028)- 0,68692 508,3 • 0,3417 • 0,0028 = 0,48632. 19b ; Ig2340,5 = 3,36931 IgO,03684 = 0,56632 I

1 3 1

2

(~4()'~)= 4' 80299 g 0,03684 2340,_~ _ 6 531 0,03684 - 3 •

8.

19(an )

=

9.

Ig~a

=

n . 19a ;

Ig17,326 = 1,23870 Ig (17,326')= 3.71610

17,326' = 5201,1 IgO,17326 = 0,23870 - 1

.!. . Iga ; n

3____

19Vo,17326 = 0,07957 -

o = 0,66667

-

1

'3-

oder

2.23870 - 3

oder

0,74623 - 1

~ 3

3

Ig V 0,17326 = 0,74624 - 1 3

Anwendungen der Logarithmenforme1n:

10.

VQ,17326 = 0,55750.

a;;;;: e1na

=

101g a ,

Ig{elna } = Ig{ 101,a} oder lna .Ige = Iga .lgtO, Iga = Ige·lna = 0,434294482 ·Ina. In {.lna} = In {tOl,a} oder In a ·In. = Iga dn 10, Ina = Inl0 .Iga = 2,302585093 .Iga, Ig.

= In -~--- = Modul. 10

44

lIIathematik. k -In v + In

folg! In (p • vk ) ~ konst. p ~ kODS!. P • vk ~ konst. (Adiaba!e) •

Aus

11.

ocler Aus

12.

Arithmetik und Algebra.

h

folgt

" = C • (In B - In b)

~

IJ

C -In h

odeI" b ~ B • e-

also

13.

O (Luftdruck

b in Uăhc h).

Weitere Zahlenbeispiele: 0,5431 0,3218 IgO,5431 ~ 0,73488 - 1 IgO,73488 ~ 0,86622 - 1 19 0,3218 ~ 0,50759 - 1 Ig (0,3218 • 0,73488) .~ o~3738J-=-1 0,3218 • 0,73488 ~ 0,23649 - 0,3218 19 X ~ 0,3218 • IgO,5431 - 0,91469 X ~ 0,82166

(1) X

~

(2) X

46,812. )1737,01.0,92314'

=

~----C;3c--

564,98. )10,86784 Ig 46,812 ~ 1,67036

~ .!g 737,01 ~ 2

1,43374

4 • Ig 0,92314 ~ 3,86108 - 4 -- - - - Ig (Zăhler) ~ 2,96518

Ig 0,86784

~

0,93844 - 1

1

1

3- • Ig 0,86784 ~ 0,31281 -

:3

O ~ 0,66667 -

33

• Ig 0,86784

~

0,97948 - 1

Ig 564,98 Ig (Nenner) Ig X

~ ~

X

~

2,75203 2,73151 0,23367 1,7127

~

D. Zahlensysteme. Zahlen 1

reelle 'Zahlcn

komplexe Zahlen 1

1

Rationalzahlen

Irrationalzahlen

_____:L_

,----_ _ 1 _ _ _ _ _

I

ganze Zahlen

Zahlen

imaginăre

Briiche

1

transzenden t irrational

alge braisch irrational

a) Reelle Zahlen. ganzen Zahlen, gewohnlichen Briiche, endlichen und unendlich periodischen Dezimalbriiche, bilden das System der ra tionalcn Zahlen. Alle iibrigen reellen Zahlen, deren ,,vert durch einen unendlichen, nieh t pcriodischen Dezimalbrueh ausgedriickt werden kann, nennt man irra tionale Zahlen. Die· jenigen irrationalen Zahlen, die Wurzeln einer Gleichung n ten Grades mit ratio· nalen Koeffizienten sind, z. B. alle Wurzeln, heiJ3en algebraische, die librigen transzendente Zahlen, z. B. ", e. Sămtliche

b) Imaginare und komplexe Zahlen. lm Gegensatz zur Gesamtheit aller reellen Zahlen stehen die sogenannten imaginăren Zahlen, d. h. solehe, die weder durch positive noch negative reelle

JI-

Zahlen dargestellt werdcn konnen, z. B. a2 • J ede imaginăre Zahl ist darstellbar als das Produkt aus einer reellen Zahl und der imaginăren Einheit i =

JI=1

z.

B.

V=9

=

± 3•i

.

45

Zahlensysteme. Fiir das Rechnen mit '1 2

imaginăren

=

Zahlen gelten folgende Beziehungen:

oder

-1

1 =

-'Î,

i 3 = -i, i 4 = +1.

Hieraus folgt:

i 4n + m = i m , i 4n +1 i, i 4n + 2 = -1 , i 4n +3 = -i,

=

i 4n +4

Femer ist

y' _a 2 • Ji=b2

=

P

= +1 .

-a . b (da i 2

y' _b2

=

-1)

a b

Zablen, die aus einer reelicn und imaginăren Gro6e zusammengesetzt sind, z. B. a + b· i, nennt man komplexe Zablen. Fiir da. Recbnen mit komplexen Zahlen gelten folgende Beziebungen: undb=d, Wenn a b •i = c d. i dann ist a = c

+

+

a+b.i=O, "a=O " b = O. f= b + d_ (a b • il (e d i) = e t . i,,, "e = a c Femer ist (a b • il . (a - b • i) = a 2 b2 (reeli). a + b • i uud a - b . i heiBen zueiuander konjugiert komplex. a heiBt der Realteil, b . i der Imagiuarteil.

+

+ + +

+

+

+

Die imaginăren und komplexen Zahlen, deren reale Bedeutung verhăltnismăBig spăt er' kannt ist - G a u 13 1830 - , haben erst die Entwick1ung der modemen Analysis ermoglicht nnd .ind in theoretisch·technischen Rech. A··~.5e der nungen bisweilen von groBerer Wichtig. ":.. '7,L1 keit als clie reellen Zahlen. Die elliptischen Imagmaren ",amen Funktionen hahen ihre groOe Bedeutung nur dadurch erlangt, dal3 sie im Gegeusatz zu den trigonometrischen Funktionen, die Dur ei ne Periode haben, Funktionea mit zwei Perioden, deren VerhaHnis stets eine kumplexe Grafle ist, ersch10ssen haben. Der Obergang zu den imaginaren Zahlen war schlieBlich kein anderex als

1

~~ f~~~er;:r~~~~a~~h;-:~n o~~~ ~~!iO~~~

ganzen Zahlen zu den Brtichen. Der Unterschied zwischen den reellen und komplexen Zanlen besteht darm, daB die reellen Zahlen nur samtlicbe Punkte ei ner Geraden, die komplexen hingegcn sămtliche Punkte eineI Ebene darstellru. Da il = -1, so ist i die mittlere geometrische

I

+i

Jlchse der

~~~p~r!:o~~~~:;:i~~~:~ ta~ ~-------~~6'~7~~~9$§'~;=;O;;=::t:::===:"J J,S

Fig. 11.

x

=

also

X,

also

x,=-7,8.

+

11,5

~

ZUf

273

-;i- =

Zahl

3.5 .

= 3,5,

3.5 -7,8~ -4,3,

Entsprechend ergeben sieh fOr x' -7 x

7.8 und

7,8 der Wert

-7,8-(-3.5)--4,3,

Es ist: und

E!_ =

Wert

ia

O oder x

+ ~~ =

tind x, = 2,64.

x

7 die Werte x, = 4,36

d) OIelchungen 2. (irades mit mehreren Unbekannten. n-Gleichungen mit n-Unbekannten werden in der auf S.48 ftir lineare Gleichungen angegebenen Weise durch allmăhliche Wegschaffung der einzelnen Unbekannten bis auf eine Gleichung mit einer Unbekannten aufgeli:ist. Im allgemeinen sind hierzu die dort angegebenen Methoden anwendbar, doch wird hăufig die Einfiihrung neuer Unbekannter und die Zerlegung in Faktoren die Rechnung wesentlich vereinfachen. Ist z. B. x + y bekannt. so wird man zunăchst x - y suchen und umgekehrt.

x=

Y=

(x

+ y) + (x -

y)

2 (x

+ y)

- (x - y) 2

Ist x 2 + y2 bekannt. so sucht man x· y und umgekehrt. Man kennt damit x + y und x-y. x y = x' y' 2 •x . y ,

+

Aus x

+y

x - y = und x· y

erhăIt

V + + Vx' + y' - 2· x· y.

man

x - y = V(x Aus x - Y und x· y x

erhăIt

+y =

+ y)2 -

4 •x •y ,

man

V(x - y)2

+4 •x •y .

') Neuendorff: Lehrbuch der Mathematik, S.49. Berlin: Springer 1919.

59

GleichullgCll. Beispiele: 1. X.:Y .....

a4 -

2a2b~

vx-. V-i = a'- b',

+ b4 ,

Vz+VY" =-"VX- - VY"

Vz VY"

x =

-~~. a-b

a+b a-b

(a'- b') = (a

+ b)',

r = _a ~_ b_. (a' _ b') = (a _ b)' • 2. Z'- x. y

+ r'=

131x- y), X· Y = 12.

a+b

x uod y unter gleichzeitigem Vertauschen der

\ Vorzeichen vertauschbar.

-----~

x' - 2·x, y + y'= (x - y)'= 13(x - y) - 12, X-"::::::I .8',

l' - 13' + 12 =

°,

VI2'T4-=-t2- ± V192= ± 13,86,

Ix

+ y),

-

Ix

+ y),

=

X, _

", =

-

x.

=

-

VI + 4· 12 = ± 7, 12 ± 213,~ = + 12,93 oder t2

± 13,86 2

~-2 2

=

+ 0,93 oder -12,93,

-=

+4

+ 3y' = + xy - y' = 6xy + 9y' =

2x'

3x' -

*

3· IX - y) \. 3, 9' (x - y) .1,

2x'

+ xy

- y';

*f =

7·

+ 10 =

±

25,,\2 - 10y\2

)', = O uod .., = O

V49 ~ 40 = f ± +.

(f).= S. (-i),=

-4.

ergibt:

+

3 y;J. = 12}'1 ,

18 Y1 2

O.

ode.

x, = 5y, in die erste Gleichuog eingesetzt

:t'-7xy+l0y'=O,

(~)' -

-3,

ode
±i.Sinq:» also:

r

--:=r,cosq:>

so folgt:

r' = _ ( ;

uud und

(sieheS.46),

V-(~r-(;r=r,sinq:>,

!>_

cosq:> = ____ 2

'1/. - (~r 3

.

61

Clciehungcn. Nach dcm Moivrcschcu Satze (siehe S. 46) ist =

yr.

=

2· V r·

3 ______ X

Man

erhălt

:r,

2 •

=

+ i· sin'!') + Vr. (COS,!, -1' siuO bedingt" - 1< n < O

Ix I
- P. +>- Pb' Die Beschleunigung des auf der Geraden AB liegenden Punktes C findet man nach Fig. 60. 2. Bewegung einer Ebene. Bewegt sich eine Ebene E (Fig. 61) so in einer ruhenden Ebene E" daB die Punkte A und B die Geschwindigkeiten ". und haben, so kann man den augen· blicklichen Bewegungszustand als eine Drehung um einen Pol P auffassen. der als Schnittpunkt der in A und B auf v. und Vb errichteten Lote bestimmt ist. Die El' Winkelgeschwindigkeit berechnet sich zu

"b

ro

= ~= ~= ". "b

tgtp.

v. und

Vb

sind also

nicht unabhăngig voneinander. Die Ge,chwin. E digkeit jedes anderen Punktes C der Ebene ist 7'b der GroBe nach v, = ",ro und ist senkrecht zu dem Strahl PC gerichtet. Verăudert die Ebene E ihre Lage, so wird auch im allgemeinen der augenblickliche Dreh· punkt ein anderer werden. Markiert man nun in jedem Augenblick die Stellung der Punkte A. B usw. auf der ruhenden Ebene E" so erhălt man eine entsprechende Anzahl von Fig. 61. Punktbahnen. So in Fig.62 die Punktbahnen IX und P der Punkte A und B; etwa in E enthaltene Kurven beschreiben Hiillbahnen. Markiert man die augenblick· lichen Drehpunkte auf beiden Ebenen, 50 erhălt man auf der bewegten

289

Bewegungslehre.

Ebene die Polkurve (Gangpolbahn) (Pu in Fig. 62) und auf der ruhenden die Polbahn (Rastpolbahn [P, in Fig. 62], Leitkurve). Bei der Be· !;' wegung rollt die Pol. kurve auf der Pol· bahu, ohne zu glei· ten. Es fallen also in \ Fig. 62 uacheinander \ PUt und P", Pu, und p" usw. auf. eiuander. Sind die auf· eiuanderfolgenden Lagen der Geradeu AB be· kannt, so erhălt man die p,.Punkte durch Errichteu von Loten auf der Punkt· bahu, die pu·Punkte durch Riickiibertragung der Drei· ecke auf die Anfangslage von A B. Also z. B. ist

6. A B Pg,

~

6. A.B'p".

ist es zweckmăJlig, den die Geschwindigkeit darstellenden Vek· tor uicht in Richtung, son· dern um 90° im Sinne des Uhrzeigers gedreht aufzutragen. Man nennt diesen Vektor se n k r e c h t e Geschwindigkeit. In Fig. 63 stellten A V,t und B V B die wahren Geschwindigkeiten van A uud B dar, A VA uud B Vj, die scnkrechten. tg {} ist die Winkelge· schwindigkeit, mit der sich die AB enthaltende Ebeue um P dreht. Die Endpunkte der senkrech· ten Geschwindigkeiten einer Geraden liegen auf ciner Zl\ ihr par ali elen Geradcn. Hăufig

Fig. 62' ).

A

Fig. 63 1 ).

Bcispiel. In Fig. 64 bewegc sich Punkt A in Richtung AO. B rotiere mit der bekannten Gesehwindigkeit V B um O im Sinne des Ubrzelgers. Fig. 64 1). Es sind die GeschwÎlldigkclten der Pllnkte A, E, D und C zu bestimmen. Da VB -.L Ba, liegt der momentane Drehpol in der Verlăngerung 'lOD OB, ferner liegt P auf der Senkrecbten in A aui .40. Triigt man auf PB die Strecke VB' (die senkrE'chte Geschwindigkeit von E) auf, so schneidet die dnrch den Endpunkt von V B zu AB gezogene Parallele aut den Strahlen PC, P D, PE und PA dic zugehorigen senkrechten GE'schwindigkeiten ah. Die wahre Geschwindigkeit z. B. von Punkt E findet mao durch Drehen der Strecke VE' im Sinne des Uhrzeigers. -m

c' 4 rn'

2.

Die Bewegung wird aperiodisch. Wirkt auBer der elastischen Kraft und der Dămpfung noch eine erregende iiuBere Kraft P, die nach dem Gesctz P = Po sin ro t veranderlich ist, so lautet die Bewegungsgleichung

d2 x m --;jj'J

dx

+ c 'Cit + k x

=

Po sinrot •

Die tatsachlich auflretenden Schwingungen lassen sich trennen in Eigen· schwingungen, die aber infolge der Dampfung im allge.meinen bald verschwinden, und in erzwungene Schwingungen. die sich liber die ersteren lagerrl. Letztere haben die Gleichung x = C sin (;) t - 9')' Die erzwnngene Schwingung hat dieselbe Frequenz wie die erregende Kraft, aber ihr gegenliber eine Phasen· verschie bung cp , und zwar ist

cro mro'

k-

tgcp =

t

fi"

Sialisdier

P

Al.Issff!!!!;J..L.._ _ _--:,~-+'/~w.c.I(:..::...I.I-·'r_C_-_O_-==;-,,;. C = ---.-----------

l'

w

Fig. 81.

Vf

liegt, relativ klein. Wk

= wp =

W,

=

>

Wiichst ro p •

y(~ro)2+(k-m-~2)2

Die Ausschlăge der erzwuogenen Schwingungen sind, weun ro p der erregen' den Kraft erheblich unter (0, der Rigenschwingung so werden die Ausschlage griiBer und bei

werden sic auBerordentlich -

bei c

=

O unendlich -

Wk' so nehmen die Amplitudcn rasch ab, und bei sehr groBem w p graB. Wird w p werden sie sogar kleiner als bei w p = O. In Fig. 81 zeigt die Kurve c = O die Veriinderung des A usschlages mit wachsendem O). bei dămpfungsfreier, die Kurve c = c bei gedămpfter Schwingung an. T Bei technischen Konstruktionen ist also die Resonanzbedingung w p = -zu vermeiden. m Bei Bestimmung der Eigenschwingungszahl elastischer Kiirper, die selbst G gewichtslos mit dem Gewicht G belastet sind, kann man k setzen, wenn

V

= ---I

t die Durchbiegung unter der Last G i8t.

--

Demnach wird v = ,

Schwingungen pra Sekunde.

~-l/I II 2", I

Beispiel: Rin an beiden Enden trei auflIegcncler 4 m langer I-Trager N P20 wird in cler Mitte mit 500 kg belastet. Es ist die Zahl der Eigenschwingungen zu bestimmell. Die Durcb-

biegung ist

1= E~~S48

• Da die Beziehungen nur fUr gewichtslose Federn gelten, muB

man das Ejgengewicht des Tragers in 3 Teile zerlegen, von denen der rnittIere zu dem Gewicht G zugcschlagen wird, die beiden ăuOeren aber in aen Auflagerstellen angreifend gedacht werden, also zur Durchbiegung nichts beitragen. VOD den 105 kg, die der Trager wiegt, werden 60 kg zur Belastung zugeschlagen, so dan nunmebr mit 560 kg zu rechnen ist. Die Durchbiegung unter . 560 • 64000000 I der Last lSt t = --~------~--- = 0,16 em. Demnach 'Ve = ~- - - = 12,5 Schwm· 2150000·2142.48

2,,;

V-981 0,16

.

gungen pro Sekunde oder l'e = 750 pro Minute. Riihrt die Belastung vcn einem Motor her, so wird Olan ihn oicht mit 750 Umdrehungen pro Minute laufen lassen, um Resonanzerscheinungen zu vermeiden. Rann die Umlaufzahl uicht verandert werden, 50 wird mao deo Motor năher an die Auflager bringen J da alsdaun die Durchbiegung unter der Last kleiner und damit die Eigen· schwingungszahl graBer wird.

Ph ysikalische Mechanik.

307

4. Biegungsschwingungen. Befindet sich auf einer biegsamen Welle an irgendeiner Stelle ein Rad vom Gewicht G, dessen Schwerpuukt 5 nicht genau mit der Wcllenachse zusammenfăllt (Fig. 82), 50 wird bei einer Dreh ung der Welle die Zen trifugalkraft die Durchbiegung zu vergraBern suchen. Es ist

G die Zentrifugalkraft C = - w' (e

+ y) •

g

Fig. 82.

Ist die Kraft k erforderlich, um die Welle an der Befestigungsstelle des Rades um 1 cm durchzubicgen, so Durchbiegung um y cm die Kraft k • Y erforderlich. Also ist C = .~ w 2 (e y) = k y .

+

g

Mithin

y =

Wird

w =

so werden die

Gw 2 e

'ik-=-G w 2

1/f

k G

=

1/!.. , 'm

unendlich groB. Da

Ansschlăge

ist zur

l/}m I

gleich der Kreisfrequenz

der ungedămpften Eigenschwingung der elastischen Welle ist, besteht Res o n a n z zwischen der Eigenschwingung und der erzwungcnen Schwingung.

Ie+y

I I

w.

=

d:"b

11IT mheiBt kritischeWinkelgeschwindigkeit,

l 'k

J ___J~ it

mi" ''''

W

tUl(

Fig. 83.

Fig. 84

Da die Durchbiegung unter der Last G im Ruhezustande t = G cm, kann man aueh schreiben k Wk

=

ll~

;

nk

~ 300 i~· min -

1 •

Die kritische Drehzahl ist gleich der Schwingungszahl cines mathematischen Pendels von der Lănge f. Vie Abhăngigkeit der GraBe y e von der Winkelgeschwindigkeit wird durch Fig. 83 dargestellt. Nach Uberschreiten der kritischen Drehzahl lăuft die Welle ruhiger als vorber, y e wird kleiner als sclbs! im Ruhezus!ande. (Dcr rechte Teil der Fig. 83 ist um die wagerechte Achse nach oben umgeklappt.) Die Scheibe stellt sich nach Fig. 84 ein. wk ist Von e unabhăngig. Bei beiderseitig frei aufliegenden, in der 1\I i t tem i t G bel as t e ten Wellen von der Lănge 1 crn ist:

+

+

oder 20·

308

Mechanik. -

Dynamik fester

Kărper.

Ist die Welle beiderseits eingespannt, so ist:

d2 nk = 1,366.106 --,-= oder d = 8,56.10- 4 Vnkl lYGl Bei tiberhăngender Welle mit fliegender Belastuog ist: d2

VGl.

4

nk = 1,708 . 105 --c= uod d = 2,42.10- 3 Vnk1 VGl . lYGl Die kritisehe Drehzahl einer glatteo unbelasteten Welle aus F1uBstahl mit einem spezifischen Gewieht 7.8 uod Elastizitătsmodul E = 2150000 ist 4

al wenn sie beiderseitig frei aufliegt 1,225·10' . d

ni

= - ---p.--

wobei 1 ihre Lănge in cm zwischen den Lagern bedeutet. AuLlerdem gibt es kritische Geschwindigkeiten bOherer Ordnung, deren Werte sind 4 nk' 9 ni' 16 n k usw. bl wenn sie beiderseitig horizontal eingespannt ist:

=

ni

2,777 . 10' . il

t"

und die kritisehen Umdrehungszahlen bOherer Ordnung

2.8 nk' 5.4 nk. 8,9 nk· el wenn sie einseitig

iiberhăngt:

4,364 . 10' . d

= --1"--

nk

und dic kritisehen Umlaufzahlen 6,267 n k

Ordnung

hăherer

17,55

,

lI k ,

34,41 n k •

Fiir Wellen. die mit mehreren Scheiben belastet sind, berechnet man die kritische Drehzahl nach D unkerley aus der Gleichung 1

t

1

0)1

COli

1

1

.=.+.+.+.+ .... ro W, (Ole

wobei

die kritischc Winkelgeschwindigkeit der Welle allein, diejenige der masselos gedachten Wel1e, nur mit der Scheibe 1 belastet, OOj diejenige der masselosen Welle, nur mit der Scheibe 2 belastet, darstellen, u. s. f. Hăufig denkt Ir.an sich das Gewicht der Welle auf die Scheiben verteilt, 50 daLl 00

001

~=O 00

Da

wird. 0)1

=

li:. -

ist, wobei

/1

die Durchbiegung der nur durch Scheibe 1

belasteten Welle unter der Last darstellt,

50

wird (mit

-~ 00"

~=~ +b.g +~+ ... 00% g g oder 00%

=

f , + /.

+ /. + ... g

und

also

= O):

Physikalisehe Meehanik.

309

Die Werte von 11' /. nsw. konnen naeh Abschnitt "Festigkeitslehre" berechnet werden. (Die FormeI von D unkerley ergibt bei auI 2 5tiitzen frei gelagerten Wellen um etwa 4.5 vH zu niedrige Werte). Bei Anordnung von Massen auJ3erhalb der Lager wird die Rechnung nach Dunkerley ungenau. Beispiel: Die kritische Umlaufzahl der Welle nach Fig. 85 ist zu bereehnen. Die Krăfte Go • G1 • G2 usw. stellen die Gewichte der Scheiben dar. einschlieBlich der Gewichte der zugehorigen Wellenstlicke. Es ist

Go =

18.8 kg 175 175 195 641 G5 = 226,4 .. G6 = 23.5 "

G1 = G. = Ga = G. =

Fig. 85.

Es berechnen sich die Durchbiegungen wie Iolgt

10 =

0.000 cm ..

1, = 0.009 1. = 0.017 1. = 0.018 1. = 0.046 f 6 = 0.008 1.

V

=

2;; I =

.. .. .. ..

0.000 .. 0,Q98 cm.

981 = 100 • 0.098 30·100 Die kritische Drehzahl ist n k = - - - - = 960 pro Minute bzw. 1000. wenn man um 4.5 vH erboht. :n; Genauer ist das Verfahren VOn Kull (l.d.V.d.r. 1918,5.249). Kull setzt Oemnach wird

(Ok

=

wobei

und fI' f2 usw. die statischen Ausbiegungen bedeuten. die bei g lei c h zeitigem Auftreten der Lasten Gl • G2 usw. unter diesen entstehen. Die kritische Drehzahl ist also gleich der Schwingungszahl des physischen Pendels. bei dem die Massen Gl' G2 usw. in den Abstănden fI' f2 von der Dreh· achse usw. angebracht sind.

5. Drehschwingungen 1). Eine Welle von der Lănge 1 em und dem Durehmesser d em sei einseitig eingespannt und trage am freicn Ende eine Scheibe vom axialen Trăgheits­ moment J em kg sek 2 (Fig. 86). Wird die Scheibe durch ein ăuJ3eres Moment M um einen Winkel 'P verdreht, so tritt ein elastisches rliekdrehendes Moment k • 'P i} Literatur: AuBer den auf S. 304 genannten \Verken Hans \\.Tydler: Drehsch'wingungen in Kolbenmaschinenanlagen und das Gesetz ihres Ausgleichs. Berlin: Julius Springer. Gilmbel: Z. V. d. 1. 1912. - Siehe auch Du b bel: 01- und GasmaschÎnen. Berlin: Juiius Springer.

Mechanik. -

310

Dynamik fester Klirper.

auf. Wird die Scheibe losgelassen, so erfăhrt sie eine Winkelbeschleunigung nach 2 Jd -2~'

der Gleichung M =

dt

Bringt man an der Scheibe das d'Alembertsche

Moment der Trăgheitskrăfte an, so erhălt man aus den Gleichgewichtsbedingungen 2

,

2. Dynamik. Bearbeitet von Dr.-Ing. M. Krause, Berlin. Die Gleicbungen fiir die Beziebungen bei tropfbar fliissigen Korpern gelten mit ausreichender Genauigkeit auch fiir Gase, solange die Druckunterscbiede so gering sind, daB die aus ihnen folgenden Volumenverănderungen auBer acbt bleiben konnen. Druck

p

Spez. Gewicht

Druckhohe in Fllissigkeitssăule

r

'L

kg/m l

kg/m8

m

kf!,/cm l

kg/cm3

om

kg/mml

kg/mm8

mm

Fiir Zahlenrechnungen beachte man:

= 735,5 mm

=

Quecksilbersiiule = 1 kg/cm l 10000 kg/m2 10 lat = 10 m Wasscrsiiulc (WS) = - - - - m Fliisslgkcltssiiule r (kg/dcm') I at

AusfluB aus offenen

329

GefăBen.

= 1 kg/m = r (kgJdcm mm Fliissigkeitssiule 1 mm Quecksilbersiule = 13,6 kgfm = 0,00136 at = 13,6 mm WS 1 mm Wauersiule

l

l)

B

1 mm Fliisslgkeltssiule =

1m

r

kg/ml

(r

in kg/dcmB)

Fliisslgkeltssăule = lOr (k!/dcml) at = r (::~~mB) kg/m 1m

l

fliisslgkelfssăule

r(kg/m B) _ 1 mm Fliisslgkeitssiule

-

----y(kg/dcml- ) - -

760 mm Quec:ksilbersiule

= 1,033 at = 10330 kg/m' = 10,33 m WS =

10,33 m

r

Fliiulgkelfssăule = I at.

Bei s p iei: In einem lufterfiillten Raume herrscht ein Oherdruck van 2 mm QueckDieser entsprieM einem Druek van 27,2 mm WS ad.... 0,00272 at ader 27,2 kgJm2

silhersăule.

ader, hei einem spe•. Gewiebt der Luft van 1.293 kg/m'. ein.... LuftsAule vO n

I~~~ =21,04 m.

A. AusfluB aus offenen OefiiBen. In einem GefăB vom Querschnitt F, Fig. 4. befinde sich eine FlUssigkeit, welche durch ein am Boden befindliches Loch vom Flăcheninhalt I ausflieBt. Die Hohe des Fliissigkeitsspiegels liber dem Boden sei unverănder­ J lich. F gegeniiber !so groB, daB die Geschwindigkeit des Wassers im Innern des GefăBes vernachlăssigt werden kann. Dann ist die A usfl uBgeschwindigkeit

Der Beiwert rp ist abhângig von der Zăhigkeit der FlUssigkeit und der Form der AusfluSoffnung. f Bei dlinner GefăSwand oder zugeschărften AusfluSkanten ist fUr Wasser rp "'" 0,97. bei ganz kurzer, Fig. 4 gut abgerundeter und geglătteter DUse rp "'" 0,99. Bei anderen Formen der AusfluSoffnung, namentlich bei lăngeren, wird rp kleiner. Die AusfluSmenge in der Zeiteinheit ist

Q=lXrpY2gh·!=ţI-,Y2gh.!. miSt die Einschniirung des Strahles nach Verlassen der Miindung und erreicht den H5chstwert 1 bei gut abgerundeten sehr kurzen DUsen. Bei zugeschărften Diisenrândern wird IX kleiner t\

ţi-

= IX' rp heiSt AusfluSzahl.

t

Die angegebenen Gleichungen gelten auch fUr kleine Offnungen an der Seite des Behălters. II ist dann die Entfernung des Schwerpunktes der AusfluSoffnung vom Wasserspiegel. Die AusfluSzahl ist vom Dnrchmesser d der kreisrunden Offnnng nnd von II abhăngig und hat fUr Offnungen nach Fig. 5 (Poneeletmiindungen) nach Sehneider die auf năehster Seite angegebenen Werte. Fig. 5· Die AusfluBoffnung muS mindestens 5 d von der benachbarten Wand entfernt sein. Der Wasserspiegel muS 50 hoeh liber der AusfluSoffnung liegen, daB Trichter- und Wirbelbildung nieht auftreten. Ferner dUrfen Storungen durch das eintretende Wasser nicht bis zur Miindung gelangen; die Oberflăche muS schaumfrei sein, damit eine genaue Bestimmung des Wertes h moglich wird. Man baut daher senkrechte Zwischenwânde ein (Fig. 6).

330

Meehanik. -

Dynamik fliissiger Korpcr.

ooe

Ausflu'Bkoeffizienten fl fiir Wasser von "mm

d=iOmm

50 80 110

0,6655 0,6595 0,6535 0,6490 0,6455 0,6425 0,6365 0,633 0,630 0,6265 0,6225 0,621 0,620 0,619

140 170 200 260

320

380 500 650 800 900

1000

I I I

15 mm

20mm

0,645 0,640 0,6355 0,6325 0,6295 0,627 0,623 0,620 0,6175 0,615 0,612 0,6105 0,610 0,6095

0,6305 0,6265 0,6235 0,621 0,619 0,6175 0,6145 0,6125 0,6105 0,608 0,6055 0,605 0,605 0,605

nach Sehneider. 30 bis 50 mm 0,620 0,618 0,6165 0,615 0,6135 0,6125 0,611 0,6095 0,608 0,606 0,605 0,605 0,605 0,605

Die Gleiehungen gelten auch, wenn der AusfluB naeh Fig. 6 unter Wasser liegt. h ist dann der Rohenunterschied beider Wasserspiegel. Bei AusfluLl

Q=

nach Fig. 7 ist

t b • h • fI • V2 g h

.

Hierbei ist fl, wenn an den Seiten keine Einschniirung erfalgt, im MittelO,63. GefăBe mit Ponceletmiindungen, Fig. 6, oder Stauwehre llaeh Fig. 7 werden vielfach zur Messung van Wassermengen beniitzt. Beispiel: Rin Gefă6 hat eine Ponceletmtlodung von 5 em Durchmesser, der Wasserspiegel befindet sieh wiihrend der Versnchszeit dauernd 1,2 m ilher der Mtlodung. Bei normaler Bauar! der Miindung ist ,.. = 0,605. Die stiindlich durchflieBende .--1~1l Wassermenge betrăgt demnach: , . m 005' .b-_ ---- .--------, Q=~ .0,605·Y2' 9,81' 1,2. 3600 - 2,063 m'Jh. ~m li,

===-::::---

Ist das spez. Gewicht der Fltlssigkeit 0,9 tJm', so ist das Gewich! der stiindJich durchgeflossenen Menge G=2,063' 0,9 = 1,857t - 1857 kg.

Fig. 6.

:...~~

Fig. 7.

B. AusfluB aus geschlossenen

OefăBen. Befindet sich in einem gescblossenen GefăLl eine Fliissigkeit unler einem Druek von pat (Fig. 8), der im allgemeinen durch ein Gas erzeugt wird (Windkessel), und ist der Abstand des Fliissigkeitsspiegels von der AusfluLloffnung h, so kann man sich zur Bereehnung der ausflieBenden Menge p als dureb eine Fliissig-

keitssăule

von der Robe h' = .1Op entstanden denken. Die

r

gesamte Fliissigkeitshohe, die fiir die AusfluBmenge maBgebend ist. ist also H = h + h'. Demnacb ist: !1

Fig. 8.

=

Ta' demnach wird dQ. stets positiv TI

sein miissen. Es folgt daraus: Dle In einem Krelsproze8 zugefiihrte Wiirmemengo kann nlomals voU· stiindig In Arbeit umgewandelt werden, ein Teil ist stets wleder a1s Wărme. und zwar bei tieferer Temperatur abzufiihren. Ist TI TI' wird aIso die Wărme. wie bel einer Kiiltemaschine. bei tiefer Temperatur zu· uud bei hoher abgefiihrt. so wird T - TI dA.L = ~T-- dQ•

>

negativ, d. h. der Arbeitsbetrag T 2

;;-_?:

1

•

d Q. muB der Maschine zugefiihrt. dle

1

Maschine muB angetrieben werden. Es ist dann T1 - Tt dQ. = dQ. - - - - - dQ. ;

T.

. gro.uer " aIs dQl ' Da -7'-TI - TI stets poslbv, . . wenn T I d QI wtrd

• aussprechen: sa

> T •.

so kann

man den zweiten Hauptsatz auch Wănne kann niemals (durch einen KreisprozeB) ohne Arbeltsauf· wand von elnem kălteren auf elnen wărmeren Kiirper iibertragen werden. In jedem ElementarprozeB ist dQ. dQ.

-f-.- = -1'-;- .

FaBtman dieGroBen auf beiden Seiten der Gleichung aIs Differentiale einer dritten GroBe. der E n tro pi e, auf, 50 kann man sagen. daB die Zunabme an Entropie -ţ@.~ gleich der Abnahme der Entropie d Q. ist. Bei dlesem DifferentialprozeB ist al~o

T.

die .!nderung der Entropie d S = O. Da jeder umkehrbare KreisprozeB aus derartigen elementaren Carnot· prozessen zusammengesetzt gedacht werden kaun, 80 gilt auch

J dS

= Jdf =

konst.

d. h. bel jedem vollstăndig umkehrbaren Krelsproze8 nlmmt die Entropie des arbeitenden Kiirpers nach Durchlaufen des Prozesses wleder denselben Wert an. Da d S =

!!iL. T

kann man den ersten Hauptsatz auch schreiben

T. dS=dU

+ APdV.

Meehanik. - WarmeIehre.

368

6. Striimung von (iasen. a) Bei sehr kieinen Druekun terschieden. Sind bei der Ausstriimung die Ănderungen von Druek und Volumen sehr kiein, so kann wie bei tropfbar fliissigen Kiirpern die Arbeitsflăehe ais ein Reehteek mit dem Inhalt v (Pl - P 2 ) angesehen werden. Es wird c =Y2g. v(P 1

und, mit

V

=

PI

-~;'

-

P 2)

-

P 2 = dP

I

: - liP

1/. 2g· -r- . -'1' kg/m2 gcsctzt,

c= \Vin! II uun WassersăuIc staU

so isl

c=12g~-=4,431

r "'-. y

r~'

Bei ~ vie 1: DlC c, die Duse. Da der Vorgang adiahatisch isI, sn gilt A c~ . A ci t , +;,-,;- = i 2 ( 2g ~c

o C2

ge~etzt

l/~gil ~i~

=

=

werden kall11 , ist

{lg!'

= 91,5

yT,=-;:;; =

k

2g k

~1 p

1 Vl [ 1

-(::)

~~ J .

Die GriiBe i, - i 2 kann dem i-s-Diagramm entnommen werden. Durch Ableitungen gleicher Art, wie auf S. 368 nach Einfuhrung der adiabatischen Arbeit angegeben, wird gefunden:

,

Ck

=

k

1/ 2g k-=t~

1

.1\v , .

Es wird fiir Sattdampf mit x, = 1. a1so k = 1.135:

Pk = 0,5744 P, ;

~ Im

=

199

~I/!'v,

;

Ck

=

323

tip, v, .

Ck

=

333

Vp, v, (P

Fiir HeiBdampf mit k = 1,30

Pk

=

Es ist:

0.546

p, ;

~ Im

=

2111/ P, ;

r v,

in kg/cm 2 ).

ftir Sattdampf v = x • (v" - VI); fiir HeiBdampf

"1 =

~7-,-1(273

+ t,)

-

0.016.

10000 . Pl Die Berechnung der Geschwindigkeit im engsten Querschnitt ergibt bei gebrăuehliehen Verhă1tnissen nahezu die konstanten GriiBen cm = 450 m/sek fiir Sattdampf, = 560 m/sek fiir HeiBdampf. Bei Durehstriimung parallelwandiger Leitvorrichtungen mit ei ner zur Achse senkrechten Miindung werden diese Werte

Thermodynamik.

391

bei noch so weitgehender Druckerniedrigung in der Vorlage nicht liberschritten, da auch dann der Mlindungsdruck nicht unter Pk sinkt. Uber die Verhiiltnisse bei schriig abgeschnittenen DUsen s. Bd. II, S. 377. Wird an den engsten Querschnitt f m eme konisch erweiterte DUse angeschlos· sen, so laBt sich bei entsprechender Erweiterung eine Ausdehnung des Dampfes bis auf jeden Druck in der Vorlage erzielen. Die der AusfluBmlindung der (Laval.) DUse entstromende Dampfmenge edangt bei heute Ublichen Dampfeigenschaften eine Geschwindigkeit von 1100 bis 1200 m/sek. KegelwinkelOl: der DUse etwa 10°. Bei DUsen mit kleinerem Winkel wird die Dampfreibung zu groB, bei DUsen mit groBerem Winkelliegt die Gefahr vor, daB sich der Strahl von der Wandung 10510st. Gv Der AusfluBquerschnitt wird aus der Gleichung = berechnet. Aus Im' t und OI: folgt die Diisenliinge. c Entspricht der Druck in der Vorlage nicht dem der Diisenbemessung zu· grunde gelegten Druck, so ergeben sich Verluste durch VerrlichtungsstoBe, Schlierenbildung, Schallschwingungen und Strahlablenkung. (Hieriiber siehe Stodola, Dampfturbinen, 5. Auflage. Berlin: Julius Springer 1922.) Bei kleinen Druckunterschieden kann in gleicher Weise, wie auf S. 368 fUr Gase angegeben, vorgegangen werden.

t

e) Mischung von (iasen und Diimpfen. Befinden sich in einem Raum mehrere Gasarten, die keine chemische Ein· wirkung aufeinander ausiiben, so geIten fUr nicht zu hohe Driicke nach Dalton folgende Gesetze: 1. Jedes Gas verhiilt sich so, als ob die anderen Gase nicht vorhanden wăren; der Druck, den es ausiibt, sein Teildruck oder Partialdruck, ist so zu berechnen, als ob das Gas allein den ganzen Raum erfUllte. Der Gesamtdruck der Gasmischung ist gleich der Summe der TeildrUcke der einzelnen Gase. Beispiel: In einem BebăIter von 1 m' Inbalt befindeo sich 0,5 kg Sauerstoff, 0,1 kg Wasserstoff und 0,3 kg Stickstofl. Welches ist der Gesamtdruck dOI Mischung, weno ihre Tem· peratur 500 C ist? Rs sind zunăchst dieTeildrficke der einzelnen Case zu bestimmen. Da 1,312 kg Sauerstoff beitSOC uod einem Volumen von t ma denDruck von t at ausftbt, so ist der Druck des Sauerstoffes im vorliegeodeo FaU 0,5 • (273 + 50) 1'0= 1,312(273 + 15) 0.428at, derjenige des Wasserstoffes ist: 0,1·323 = 1,331 at, Pn 0,083·288 derjenige des Stickstoffes ist: 0,3' 323 = 0,298 at. PN= 1.151.288 Der Gesamtdruck 1> = 1'0 -:-+-p'""a-'-+-p'""N-=- 2,017 at.

2. Die Gaskonstante des Gemisches wird bestimmt nach der Gleichung

R= G.R.+G.R.+G.R.+. G.

+ G1 + Ga + ...

Im vorigen Beispiel ist also R = 0,5· 26,5 + 0,1.420 + 0,3' 30,2 0,5 + 0,1 + 0,3 R=71.4.

3. Die spezifische Wiirme des Gemisches ist

G. c' + G. c., + G. c's + '. = _"'--.:.~":'--2':;-''''-:''G-;:;-''-:·'''-'':'''_i

G.

lm vorigen Beispiel ist also c. _ 0,5·0,155

FUr cp gilt Entsprechendes.

+ G. +

a

+ ...

+ 0,1.2,42 + 0,3·0,176 = 0,411. 0,5 + 0,1 + 0,3

Mechanik. - Wiirmelehre.

392

1. Mischung von Luft und Wasserdampf. Befindet sich eine Fliissigkeit in einem mit einem Gase erftillten Raume, so verhiilt sich der Dampf der Fliissigkeit so, als ob das Gas nicht da wăre, vorausgesetzt, daB chemische Einwirkungen nicht auftreten. Der einzige Unterschied gegen das Verhalten im luftleeren Raum ist, daB die Verdampfung (Verdunstung) langsamer vor sich geht. Der Gesamtdruck der feuchten Luft ist gleich dem Teildruck des Wasserdampfes demienigen der Luft. Der Partialdruck des Wasserdampfes kann bei einer bestimmten Temperatur nicht groBer sein als derienige des gesăttigten Dampfes bei dieser Temperatur, der aus Tafel S. 386 zu entnehmen ist_ Luft, die mit Wasserdampf von dieser Maximalspannung gemischt ist, heiBt gesă t ti g t. Ist die Spannung des Wasserdampfes geringer als die Maximalspannung, enthălt also die Luft pro ma weniger g Wasserdampf, als sie ăuBersten Falles, also bei maximaler Dampfspannung, aufnehmen konnte, so heiBt sie ungesăt­ tigt. Ungesattigte Luft kann also noch Feuchtigkeit aufnehmen (der Wasserdampf befindet sich in dem Zustande der Uberhitzung). Die Gewichtsmenge Wasserdampf in g, die 1 m 3 Luft tatsăchlich enthălt, heiBt deren absolu ter Feuch tigkei tsgehalt. Die Gewichtsmenge Wasserdampf in g, die 1 ma Luft bei der maximalen Dampfspannung aufnehmen konnte, heiBt maxim aler Feuchtigkeitsgehalt. Das Verhăltnis des absoluten zum maximalen Feuchtigkeitsgehalt heiBt relative Feuchtigkeit. Die relative Feuchtigkeit wird auch definiert als das Verhăltnis der vorhandenen Dampfspannung zu der maximalen. Ist also der absolute Feuchtigkeitsgehalt r und die wirkliche Teilspannung PD' wăhrend )/ und P' die maximalen Werte darstellen, so ist die relative Feuchtigkeit

+

rp

= ~~ = ;,.

Sie wird gewohnlich,in Prozenten ausgedrlickt.

Entzieht man durch irgendwelche Mittel, ohne die Temperatur und den Gesamtdruck P zu verăndem, der Luft die Feuchtigkeit, so vermindert sich das Volumen von 1 ma auf v L =

P-

'P

P

f... m

3•

Der Rest, der also durch

mp' P

die Feuchtigkeit eingenommen wurde, betrăgt vD = "---. Die Temperatur, auf welche die Luft abgeki.\hlt werden muB, damit der absolute Feuchtigkeitsgehalt zum maximalen werde, heiBt Ta upunkt. Bei Unterschreitung des Taupunktes beginnt der Dampf an der kăltesten Stelle zu kondensieren. Die Gaskonstante feur.hter Luft ist 29,28

R= 1 -

0,377 o gleich Null ist. al50 dq = O, i5t auch

.

ds -_

.!..L T -_ O

'"

s =

oder

konst.,

I

s

d. h. die Entropie bleibt konstant (diese ZuFIR. 28. standsănderung wird daher aueh isentropiscb genannt). Sie wird dargestellt durch eine 2.ur Temperaturaehse parallele Gerade. Die Darstellung dieser beiden Zustandsanderungen ist văllig unabbangig von der Natur des arbeitenden Stoffes, gilt also fiir Dămpfe ebenso wie fiir Gase. p 3. Zustandsiinderung bei konstantem Druek. Da Po = p. wird In --Q = O , a1so p dv dT

ds = cl'

•

-v-

ds=(AR ds = (A R s -

cl' • -f;

=

dT

+cv) 'I;

+a +

So = AR. In -

T

To

Cl'

=AR

Cv

= a

+ cv,

+ bT,

dT b T) . -T- ;

T

+ a . In T + b (T o

- T o)'

S

Warmelehre.

Mechanik.

398

8'

-r I

1

I

I

~

K

Diese Zustandsănderung wird also durch eine logarithmische Linie wiedergegeben (Fig. 29).

4. Zustandsiinderung bel kon· stantem Volumen. Da "o = ". wird

"

In - = O. also Vo

I I I

I

__ 1

5 -

dp dT ds = cv . -p- = cv . -T' 50 =

a 'In I ;

+ b(T -

Tol.

9,..=c"

Auch diese Zustalldsănderullg wird durch eine logarithmische Kurve dar9v=C!J gestellt. die jedoch steiler verlauft (T-r;,J als ilie. welche die Zustandsanderung bei konstantem Druck darstellt (Fig. 29). I s-s \ 1oooE-----O---~ Die Lilliell 5 - 5 0 konstantell (It =Ironst) Druckes und konstallten Volumens Fig. 29. ----+ 8 sind lediglich vom Temperaturverhăltnis abhangig. Die Linien 5=j(T) fiir konstallten Druck unterscheiden sich nur durch verschiedenes 5 0 voneinander. gehen also durch Verschiebullg parallel zur Entropieachse ineinander iiber. Das gleiche gilt fiir die Kurven gleichen Volumens. (Vgl. Fig. 32. S. 399.) 5. Polytropische Zustandsiinderung. Fiir die Zustandsanderung pv m = konst. wird

(T-ToJ

s --

So

m-k T = 2.303 c. - - - log -- •

m

-1

Tu

6. Kreisprozesse.

Reihen sich mehrere Zustandsănderungen so aneinander, daB der arbeitende Kilrper schlieBlich wieder in seinen Anfangszustand zuriickkehrt. fiihrt er T T also einen KreisprozeB aus. so erhălt man auch im Entropie. diagramm einell geschlossenen Linienzug. Da nun die unter der oberen Kurve liegende Flache die gesamte zugefiihrte Wărme ql' die unter der unteren Kurve liegende FIăche die gesamte abFig. 30. Fig_ 31. gefiihrte Wărme q2 darstellt. so miJ3t die von der Kurve eillge· schlossene Flache (Fig. 30) den Betrag q1 - q2 = Al. also die ge\eistete Arbeit (Wărmediagramm). Das Verhăltnis der eingeschlossenen FIăche (q1 - qJ zu der unter der oberen Kurve liegenden FIăche (q1) ergibt den thermischen Wirkungsgrad. Beispiel: Der Carnotsche KreisprozeB setzt sich aus 2 Isothermen uod 2 Adiabaten, alsa zwei horizontalen und zwei vertikalen Linien im Entropiediagramm zusammen, wird also durcb ein Rechteck nacb Fig. 31 dargestellt.

Besonders vorteilhatt ist die Benutzung von Entropietafeln z. B. fiir Luft. in welche die Werte der Entropie bei Zustandsănderungen bei konstantem Volumen und konstantem Druck eingetragen sind. Eine solche Tafell ), bei der auch 1) Entnommen aus: Se h ii 1e: Technische Thermodynamik Bd.

I. Berlin: Julius Springer.

Die Entropie und die

Wănnediagramme.

16004----+---1

Fig. 32.

(Aus SohQle: Techn. Thermodynamik Bd.1.

Berlin: Julius Springer.)

399

Mechanik. -

400

die Verănderlichkeit der spezifischen ist. befindet sich auf S. 399.

Wărmelehre.

Wărme

mit der Temperatur beriicksichtigt

Beispiel: Lult von 100 0 wird aui deu tS.73. Teil ihres Raumes adlabatiseh verdlchtet. Wie hoch steigen Druck und Temperatur I Um die Endtemperatur zu finden, muS man von dem Sehnittpunkt der Kurve '0 mit der Temperaturlinie 100 ' ausgehen. Das ist der Puukt a. Von dlesem geht man senkrecht iu dieHohe.

bis man die Kurve ~ trifft. Diese ist zwaJ oicht eingezro...ichnet, sondern nur die Kurve ~ J 15.73 15 man siebt solort. daS dle gesuehte Kurve ein kleinwenig lioks von :; liegt, und kann ein SUlck· eheu davon einzeiehnen. Die Kurve ~ ,ehneidet sieh mit der Vertikalen dureh a im Punkt. " 15,73 in der Hiihe der Temperatur 780 '. Di.. also i.t di. Endtemperatur. Um den Enddruck zu bestimmen. muS man sich zunăehst uaeh dem Schnittpunkt der Horizontalen dureb den Temperaturpunkt 100' mit der Kurve Po, a\so naeh b begeben; dureh b zieht man eine Vertikale, welche die Horizontale durch n im Punkte r schneidet. Dieser Punkt liegt zwiscben den Kurven 50 Po und 25 Po. Um dle genaue Lage zu finden. verlăngert man die Streeke n r bis zum Sebnitt mit der Kurve 25 Po. also bis •. Dann trăgt man die Strecke r s vom Teilpunkt 25 der oberen Druekskala naeh lioks ab und kommt Bach 44. De. Enddruck ist also 44 Po. Beispiel: Gase von 1700' C dehn.o sich adiabatiseh aui das 3.5fache Volumen aus. Wie tief sinken Temperatur und Druck? Man geht von dem Schnittpunkt der Knrve '0 mit der Horizontalen dureh 1700', also g. au. und zieht di. Vertikale nach unten bis zur Kurve 3,5 "o. Da dlese aber nieht eingezeiehnet ist, muS man auf der unteren Volumenskala die Slreck. 3 bis 3,5 abgreilen, in der Hiihe der Temperatur 1100 von der 3 vo-Kurve nach rechts abtragen und durch den Endpunkt ein Stdckehen der Kurve 3,5'0 einzeiehnen (parallel zur benaehbarlen Kurve 3 "o). ner Schnittpunkt h zeigt an, daS die Temperatur auf 1065' zurdekgegangen isi. Um den Enddruck zu finden, geht man van dem Schn:ttpunkt der Kurve Po mit der Temp('ra~urlinie 1700° senkrecht herunter blS zur Horizontalen dureh h, ..elCo. das Lot in k schneidel. det, daa k auf Po liegt. Oder maD Iinks ab und

gel~ngt zum Punkte 5

to.. und 1;_ .

h liegt zwisehen den Kurven

Mao kann nun entweder den :%0:7~~it?~~~~ Kra!t P in der FIache CD (Fig. 10) wilrde die in , I "', Fig. 11 angegebene Formănderung hervorruien. Soli ~ It - - - i > I lediglich eine Versehiebung der Fl~ehen gegeneinander auftreten, so miIssen die Lăngenanderungen der senkFig. 10. reehlen Fasem gehindert werden: AC' muB verkiirzl, B D' verIăngert werden; das ist nur mOglich, wenn die in Fig. 10 angegebenen Krăfte Q in j 3: ======== u

') Werkstoff-Handbuch Stahl und Eisen, K. 1. Dtisseldorf: Stahleisen m. b. H. 1927.

Aligemeines und Versuchswerte.

421

3. Stauchprobe im allgemeinen nur bei Nietmaterial verwandt. Zylindrische Probestiicke mit H ~ 2 d sollen sich ohne RiBbildung bis auf l/a H zusammenstauchen lassen. Ist Hl die Hohe des gestauchten Korpers, bei der Risse

H-H

eintreten, so gilt ~- ·100 vH als Vergleichsgrol3e. 4. Die Aufdornprobe entspricht dem iiblichen Vorgang des Lochens beim Schmieden. Aus dem Probestiick wird im rotwarmen Zustand ein Loch ausgeschlagen, dessen Durchmesser gleich der doppelten Probenstarke ist, und durch einen Dom mit der Steigung 1 : 10 aufgetrieben, bis Kantend - d risse entstehen. Ais Mal3stab der Erweiterung gilt ~. 100 vH, worin d der urspriingliche Durchmesser und d l der Durchmesser des erweiterten Loches ist . 5. Bei der Polterpro be wird das kreisrund geschnittene Blech im rotgliihenden Zustand in ein halbkugelformiges Gesenk nach Fig. 30 gehammert. Nach der B earbeitung darf das Blech auf der Oberflăche keine Risse oder Aufbllitterungen aufweisen. 6. Bordelprobe. Ein kreisringfOrmiges Blechstiick von etwa 600 mm aul3erem und 140 mm innerem Durchmesser wird rotgliihend gemacht und sein innerer Rand auf einer Polterplatte nach Fig. 31 bis 90° umgehOrdelt. HierFig. 30. bei d iirfen keine Risse oder schadhafte Fig. 31. Stellen auftreten. Rohrenden werden durch eine Polterplatte gesteckt, deren Lochdurchmesser gleich dem auBeren Rohrdurchmcsser ist, und der iiberstehende Rand des Rohres um 90° nach aul3en umgebogen. 7. Lochungsprob e (nicht zu verwechseln mit dem Lochversuch S.418). Mit einem Stempel, dessen Durchmesser gleich der Dicke des zu lochenden Bleches ist, wird das Blech im gliihenden Zustand mehrmals gelocht und dabei untersucht, wie nahe man das Loch an den Rand setzen kann, ohne dal3 das Probestiick aufreiBt. 8. Schw e il3probe fiir Schmiedestiicke, die spater geschweil3t werden sollen. Zwei Probestabe werden ohne Verwendung von Schweil3mitteln in der Hitze iiberlappt geschwei!3t und dann der Probestab im kalten Zustand auf Zug oder Biegung beansprucht. Hierbei darf kein Aufreil3en der Schwei!3naht eintreten; sie mu!3 mindestens 80 vH der Festigkeit des iibri gen Stabes haben.

(J) Kaltproben. 1. Kaltbiege- oder Faltprobe, 2. Kaltstauchprobe und 3. Bordel-

probe unterscheiden sich von den entsprechenden "Varmproben nur durch die Versuchstemperatur. 4. Die Gewind e biegeprobe ist eine Verscharfung der normalen' Kaltbiegeprobe, wobei auf den Probestab ein spitzwinkliges Gewinde geschnitten wird; Neigung zum Einreil3en durch Kerbwirkung erhoht. 5. Hinnndherbiegeprobe. Der Draht· wird zwischen zwei Backen geklemmt und die Anzahl der Biegungen bis zum Bruch bestimmt. Als eine Biegung gilt das Umbiegen aus der senkrechten Lage in die wagerechte und wieder zuriick, das abwechselnd nach beiden Richtungen zu erfolgen hat. 6. Verwindeprobe . Der Drabt wird in einem Apparat an einem Ende durch ' ein Gewicht gleichmal3ig gespannt und an dem anderen mit ciner Handkurbel verbunden. Die Anzahl der Drehungen bis zum Bruch werden gezăhlt.

Mechanik. - Festigkeitslehre.

422

7. Treibprobe. Wichtig zur Beurteilung der Treib-, Zieh- und Bordelungsvon Blechen. Das Probestiick von 90 mm Durchmesser wird in den Versuchsapparat eingespannt und unter Wirkung eines beweglichen Stempeli zu einem Hohlkorper aufgetrieben. Die Durchbiegung im Augenblick des Bruches, Tiefungswert, ist ftir die Beurteilung maBgebend. auBerdem die Beschaffenheit der Oberflache.

făhigkeit

f) Versuchswerte. 1. Stahl und Eisen.

Tafel 1. Elastizitats- und Festigkeitszahlen in kgJcm2 • Elastizi- Gleittatsmall mall fiir Eisensorte

Zug,

proportio-j nalitatsStreck- bzw. greD'r:'.!ug .[ Quetscbgrenze

Druck, m = 1~/3 Biegung G={J "p. a_p E

Sc,hweilleisen II zur Sehnenricbtung

2000000

I 770000 \ I

1800 bis 2600

F1ullstabl, unlegiert

21000001810000 118oobis6000 2000 bis 5000 bis bis und mehr und mehr; 2200000 1_85~~0_000 "E fii< St 37 hărtere Stoffe, gleich 2000, keine ausgefii< St 48 prăgte Streckgleicb 3000 grenze 1_-_ __c__I_ _ __

Federstahl

1800000 [700000 bis bis

3300 bis 4000

~O:~ei ~~~~I 2000000 Krupp

Nicke1stahl (2 bis 3,5 vH Ni) Stahlgu13 -------~

Gulleisen

I 2100000

Tafel III S.423

770000

DruckK

F2' v ZI

=

F~

-;;:~, Z2

=

nnd Fa sind

v2

a 2 ~,

z, =

FIăcheninhalte,

u2

a2'l

nnd

Za

welche von den Kurven

u' v

= -;;: -;;:ţ

begrenzt werden.

zi = :::"/' a

Die Werte

nnd Za wnrden von der Achse B wagerecht nach links, die Werte Z~ nnd Z, von der Achse A senkrecht nach nnten aufgetragen. Die FIăcheninhalte wurden dnrch Auszahlen ermittelt. Es ergaben sich folgende 'Verte:

ZI' Z2

Taschenbuch ftir den Maschinenbau. 5. AniI.

f.

2100,

die Euler·Formel gilt. Fur diesen Wt>-rt ist (O = 2,76 (lnterpohert) nna -::::::: 1200 1400, der Querschnitt i5t aU5reicbeRd.


--:;n- . r2

a

r!

r!

_~ • Pa = 1,7 . ;:,- _ r2 • Pa

sein. Moglich sind nur ') Nach C. Bach:

a

L

Verhăltnisse,

Elastizităt

oder

't

bei denen

k

Pa < -

1,7

ist.

und Festigkeit. 8. Aun. Berlin: Julius Springer 1920.

Taschenbuch fUr den Maschinenbau.

5. Aufl. 1.

32

498

Meehanik. -

Fiir geringe

gilt

Wandstărken

k

>

Ta

=

Festigkeitslehrc.

Pa

bzw.

S

b) Hohlkugeln. Es ist

der innere Radius der Kugel in em, Ta der ăuJ3ere Radius der Kugel in em. 1. Innerer Uberdruck Pi in kgfem2 • Es muJ3 sein: Ti

m+1

> .=

k oder

2m . r + m- r~ m - 2 'j

3

a

--~-c--c---

~-~

- •

Pi =

0,65

r! -

0,4

rt

~~3-3--

~-~

V:,. ~ 0~64lk

.

P'i

3i~~~~-

l'a

~ ri

k

Pi < -'-

Moglieh sind nur Verhă1tnisse, bei denen Fiir geringe

1 > --p .. 2

z =

1

2. ĂuBerer Uberdruck zu erwarten, so muJ3

Pa

3(m -

1)

r· --.!:..

bzw.

S

in kgfem2 • Ist Einknieken der Wandung nicht T~

k ~ ~~-- • - 3 - - 3 2m ra-ri oder

sein. Moglich ist nur Fiir geringe

Pa
a+y

Falls a+y;:O;;b+c

Bemerkungen

d

~.

.... ....

\.n

qQ

"

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5·

";:;;...

~

:::::

512

Die Rcinigung der technischen Gebrauchswasser.

Dia BODlligeD Kesselsleingegenmlt!el sind teils anorganische, teUs organische Stoffe. Von ersteren, die zu teuer sind, werden solche mit rein chemischer Umsetzuugswirkuug empfohlen, wie z. B. oxalsaure uud chromsaure Salze. Andere sollen durch physikalische Einwirkung festen Stein verhuten. Hierher geMren Graphit, Tonerde, Eisenoxyd in Pulverform. Ihre Wirkuug ist uusicher; hei stărkerem Zusatz verschmutzen sie das Kesselinnere. - Die Gegenmittel organischer Herkunft, gerbsăurehaltig, wie z. B. Katechu, oder eiweillhaltig, wie z. B. Leinsamen, sollen au! den Kesselsteinflocken Schutzhullen bilden, so daJl jene nicht aneinander halten kOnnen. Ihre Wirksamkeit ist recht uuterschiedlich. In grOJ3eren Mengen veranlassen sie BiIdung eines leicht festbrennenden Schl.mmes. Au! einige dieser Mittel sind auch Anfressungen der Kesselwănde zuruckgefiihrt worden.

Relnigung von KUhlwiissern. Ungereinigtes Kiihlwasser (fiir Oberflachenkondensatoren, Kiihlmiintel von Gasmaschinen, Kompressoren nsw.) gibt vor allem durch den Gehalt an Karbonaten zur Verschmutzung der Kiihlflachen AnlaB_ Auch an Einbauten im Riickkiihler set zen sich mit der Zeit so starke Krusten an, daB jene dadurch unter Umstiinden zusammenbrechen. Bei Riiekkiihlung werden sich schlieBlicli auch die Sulfate ausscheiden, da das im Kiihler verdunstende Wasser sHindig durch rohes Zusatzwasser ersetzt und so allmahlich der Sattigungsgrad des Kiihlwassers fiir Sulfate erreicht wird. - Diese Vbelstande lassen sich, falls Riiekkiihlung stattfindet, durch Reinigung des Zusatzwassers verhindem, und zwar durch: Kalte Reinigung mit Atzkalk. Dazu groBe Wasserreiniger mit sehr geringen DurchfluBgeschwindigkeiten - etwa 0,1 mm/sek - erforderlich. Kiihlwasser regelmaBig aueh auf Nichtkarbonatharte priifen, und, falIs diese dem Sattigungsgrade 1 ) nahe, einen Tei! des Kiihlwassers ablassen und durch gereinigtes Wasser ersetzen. Kalte Reinigung mit Atzkalk und Soda, angebracht, wenn Kiihlwasser znm Tei! zur Kesselspeisung dienen so11. Ebenfalls groBe Reiniger und Filter erforderlich_ Kalte Reinigung mit Atznatron, Vorziige gegeniiber der mit Atzkalk: auch die Sulfate werden ausgeschieden, femer VberschuB an Atznatron oder an der durch Fa11ung der Karbonathărte entstehenden Soda fiir Kiihlzwecke unbedenklich, was fiir iiberschiissigen Atzkalk nicht zutrifft. Reinigung mit Permutit. Keine auBergewohnlich groBen Reiniger notig, da Einwirkung des Permutites von der Temperatur unabhangig. Impfverfahren nach Baleke - Boeh um_ Durch Zusatz verdiinnter Salzsaure (Impfe) werden die Karbonate in Chloride verwandelt: Ca(HCOaJa + 2 HCI = CaCI. + 2 H,O + 2 CO., Mg(HCOa)a + 2 HCI = MgCl a + 2 HaO + 2 CO2 Die Chloride weisen sehr groBe Loslichkeit auf, auBerdem wird Anreicherung des Kiihlwassers mit Chloriden und Sultaten durch stăndige Abfiihrung eines gerin gen Kiihlwasseranteils (etwa 0,5 vH) vermieden. Menge des Zusatzwassers und der zuflieBenden Impfe wird selbsttătig gercgelt.

Thennische Relnigung. Destillieren des Wassers kommt seit Einfiihrung der mit Oberflăchcnkon(len­ sat oren ausgestatteten Dampfturbinen fiir die Bereitung von Kesselspeisewasser allgemeiner zur Anwendung, und zwar ist es dabei nur erforderlich, das beim Kreislauf durch Kessel, Maschine und Kondensator verlorengehende Wasser 5 bis 15 vH - durch Destil1at zu ersetzen. Das Destillat wird durch Verdampfen oder Verdunsten erhalten. - Die mit - nicht iiberhitztem! - Frischdampf beheizten, als Wărmeaustauscher gebauten Verdampfer arbeiten sehr wirtsehaftlich, seitdem man mehrere Verdampfer liintereinander schaltet, und zwar so, daB die in jedem GefăB erzeugten Dampfe (Briiden) dem folgenden als Heizdampf zustromen und schlieBlich die Briiden aus dem letzten VerdampfgefăB nocli zur Vorwărmung des zu destillierenden 1) Hauptstelle fiir Wărmewirtschaft , Wasserreinigung im Kesselbetrlebe uod Reinigung uud Untersuchung von Kuhlwasser nach K. Se h ro i d: Verlag des V. D. 1. 1921, S.27_

Die WasselTcinigun l(.

5H

Wassel'S benutzt werden (M e hrfa c hverd am pfer). Die biUigere n einslufigen Ausfiibrungen si nd zweckma l3ig, w enn grol3e Abdampfmengen (z. n. von H ammern, Pressen , Speisepumpen 11. a. m.) zum Beheizen des Vcrdampf('rs zur Vcrfiigung stcbcn und hohe Temperatur de, DestilJates erwiinscht ist. lm Aufbau einfacher werden die An lagcn, wenn ein Brii denkompressor angewandt wird, d . i. eine StrabJpumpe, mittels deren der Frischdampf Brlidendăm pfe ansaugt, um sic wiederum als Heizdampl vcrwenden zu kiJnnen. Man kommt dann mit z"'ei Gelăllen aus - Au fiihrungen der Akt.-Ges. Go l zer n, Grimma, und der Akt.-Ges. B a l c k e , Bochum (Fig. 2). Die Verdampferanlage in Fig. 2 berficksicbtigt deu

allgemeinen Grundsatz, da" der Verdampfung cine Enthii\rtung des RobwasserS vorausgehen saH, da sonst du Wirkungsgl'ad d ~l' Verdampicr in folg den Grellzkohlenwasserstoffen oder Paraffinen - und ihren Derivaten C"H('n+1PH, den Alkoholen, gehiiren hierher ungesăt­ tigte Verbindungen, die Ăthylenreihe C.H 2• H oder Olefine und die Acetylenreihe I C n H(2n_

2)'

C

/\, Die aroma tischen Kohlenwasserstoffe H-C C-H enthalten die C-Atome in ringfOrmiger Binii I dUllg, wie z. B. Benzol (s. Fig. 2). Il H H--C C--H ,-/, AuBer dell Homologen der BenzolI I reihe C.H(2n_6)' der Naphthalinreihe H-C-C-H C I I I C. H(2n_12)' der An thrazenreihe C"H(2'_ 18) II H H gehoren u. a. hierher die N aph thene (hydFig. 1. Ăthan Fig. 2. Benzol rierte Benzolabkommlillge) mit der allgeC2 H a. CaHs· meinen Zusammen-setzung Cn H2n> die aber im Gegensatz zu den aliphatischen Kohlenwasserstoffen der Ăthylenreihe (ebenfa!ls C.H 2n ) infolge cler ringfOrmigen Bindung gesattigt sind. ') Berner: Dampfkesselfeuerungen. Z. V. d. 1. 1921, S.171!f.

Die Brenllstofft> und ih,,, technisrhe Vel"wendung.

S20

Je nach der Vorherrschaft kettenfOrmig oder ringfonnig gebundener Kohlenwasserstoffe werden die fliissigen Brennstoffe als aliphatische oder aromatische bezeichnet. Entscheidend hierftir ist der Gehalt an C (e vH) und an H 2 (k vH). Es ist:

c k: 12~2,

fiir aliphatische, aus Homologen der Reihe C"H(2n+2) bestehende, und

k:~51 12 --fUr aromatische, aus Benzol, Naphthalin und Anthrazen bestehende bIe. Aliphatische BrennOle sind: ErdOldestillate, BraunkohlenteerOle, Schieferole und Pflanzenole; aromatische: Steinkohlenteer und seine Destillate, femer Kreosotol. Diese Unterscheidung ist wichtig ftir die Verwendung zu Kraftzwecken. Die offenen Ketten der C-Atome spalten sich namlich beim Verbrennungsvorgang leicht auf nnd erleichtem dadurch den Sauerstoffangriff, so daB die Ziindtemperatur niedrig liegt. Die C-Ringe dagegen zerfallen im allgemeinen erst bei hoheren Temperaturen und brauchen dazu auch mehr Zeit, so daB sie schwerer ziinden. Fur die Verwendung eines Brennăles sind neben dem Heizwert (s. S. 542) folgende Eigenschaften von Bedeutung: Das speziiisehe Gewieht - Leiehtole (Benzin, Leuchtpetroleum, Benzol - 0,7 bis 0,9); Sehwerole (Roherdbl, Teer, Gasal, Benzol - uber 1). Die Zâhfliissigkeit - fur Fortleitung uud Zerstaubung wichtig. Sie wird in Eoglergraden ftir E"ine bestimmte Te-mperatur angegpben, da sie mit zunehmender Erwarmung sinkt.

-c

Ein OI laBt sich fortleiten, wenn seine Zahfliissigkeit nur noch 10° E betragt. Der Stockpunkt - dieTemperatur, bei der ein Ol nicht mehr fliefit, - wichtig fUr die Verwendung bei Kalte. Der Siedepunkt - bei Brenn61en mcht einheitlich. Daher werden Siedekurven aufgestellt nach den Ergebnissen

180 170

x

!

150

/V

150

/ I

1.10

j;

120 170

, I

100 90 ,f0

70 50 500

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I

I

/7'.

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/1/ -- V. ;7 x- -

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-

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I

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I

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einer nach Temperaturstufen fraktioIlÎerteu

Destillation.

Fig. 3 zelgt typische Siedekurven (nach Wa. Ostwald). Kurve I nur bei ziemlich einheitlich

zusammengesetzten oder 'lscharl fraktionierten fi Olen erba,1tlich.

Kurve 2 "fillligeH Siedekurve, wie sie ein guter Kraftstoff aufweisen soII. Siedeverlau! IDoglichst stetig und ohne Sprunge zwischen Grenzen, die mehr als 50 Q nnd weniger als 1 50° auseinanderliegen.

Kurve 3 normal verlaufend. Kurve 4; infolge der stei! ansteige.uden Kurve beim Siedebeginn wird der kalte Motor schlecht anspringen. Da, hochgebogene Kurvenende beweist Ver-

schlechterung dE:'s Oles,

năm1ich

seint>r

10 20 JO '10 SO eo 70 80 SO 10(' "Fluchtigkeit. v v" Kurve 5 zeigt letzteres in erMhtem !ferumernkile lI!aBe. Fig. 3.

Aus den Siedekurven wird die Kennziffer KZ abgeleitet. Sie ist die mittlere Siedetemperatur und dient als MaBstab fiir die Fliichtigkeit des bles. Man erhiilt sie, wenn -die Siedetemperaturen addiert werden, bei denen 5. 15,25 •..•• 85.95 Raumhundertstel iiberdestilliert waren, und die erhaltene Summe durch 10 dividiert.

Die thissigcll Brenllstoftf'.

521

Von den "Temperaturpunkten" ist am wiehtigsten der Ziindpunkt, d. h. diejenige niedrigste Temperatur, bei der ohne Einwirkung einer Flamme die Verbrennung eintritt Ilnd fast augenblieklich verHiuft. Der Ziindpunkt wird stark beeinfluJ3t vom Druek bzw. Dichte der Luft. Weiteres s. Bd. II, S. 171.

Dle Erdiilgruppe: Rohbenzin -)

(-:- 200°)

Rohes ErdOI} nach Tempe:-a.turst ufen destlIlIert N aph th a zu:

_ Gasolin (40 °-,- 80 0)

-- Benzin (80°-:- 2UOO)

Leuchtpetroleum (150°-:- 300°) Gasi:i1 Treiboi

1 _ Wassergasteer J

(250°-:- 330°) Riickstănde

(Masut) (Astatki) (Pacura) (Naphthetiue) Das Erdi:i1 ist nach der heute am meisten anerkannten Theorie von Engler und Răfer durch Zersetzung tierischer Stofie unter LuftabschluJ3 und unter hohem Druck durch dariiber geschiittete Erdmassen entstanden. Rohes Erdol gelangt ais Brennstoff nur dann zur Verwendung, wenn es zur Weiterverarbeitung nicht gecignet ist. Benzin = gasolinc (Amerika), ~~ petrol (Englalld), ,= essence de petrole (Frankreich) tindet ais AutomobiltreibOl trotz geringer Kompressionsfestigkeit weiteste Verwendung. Im allgemeinen ist es aliphatisch, anJ3er Methanhomologen finden sieh meist Benzole und N aphthene. Neben den als Erdăldestillaten gewonnenen, gewohnliehen Benzinen gibt es: Kraekbenzine. Kracken heiJ3t: wasserstoffărmcrc ErdOlbestandteile unter Erwărmung -- und vielfach auch unter Druck - bei Abspaltung von C-Atomen zu zersetzen, also in wasserstoffreichere, leichter siec1ende Kohlenwasserstoffe, Cas und Koks zu zerJegen. Krackbenzine sind im allgemeinen kompressionsfester als gewohnliches Bcnzin, aber vielfaeh iibelrieehend und schwer riiekstandslos verbrennlieh. Gasbenzine, dureh Verfliissigung "feuehten", bei Erdolquellen hervorlretenden Erdgases gewonncn. Nicdrige Siedetempcratur und spez. Gewieht. Fiir gutes Autobenzin solI KZ (s. S. 520) ~ 115 his 120, Ctir Lastwagenbenzin ce 130 und mehr sein. Petroleum wird in geringem Umfange ais Brennstoff fUr Explosionsmotoren benutzt, vereinzelt auch zur Befeuerung von Dampfkesseln der F euers pritzen. Seine hohe obere Siedegrenze von 300° und seine Neigung zum RuBen erschweren seine Verwendung im Motor. Man stellt daher an gutes Motorenpetroleum die Anforderung, daJ3 moglichst vie1e seiner Bestandteile sehon bis etwa 275° absieden. Spezifisehes Gewieht: etwa 0,8; KZ = 200. GastiI (TreiMI. MittelOl, BlauOl, Griiniil) ist der in Dieselmotoren am meisten angewandte Brennstoff. Erdolriickstand. Soweit dic nach dem Absieden des Gasi:iles verbleibenden Riickstănde nicht (auf Schmierol u. a.) weiterverarbeitet werden, dienen sie als Brennstoff fUr Dampfkesselfeuerungen hauptsăehlich auf Schiffen und Lokomo·

522

Die Brennstoffe und ihre tcchnische Verwendullg.

tiven. In Deutschland verhindert ein hoher Einfuhrzoll ihre Verwendung als Heizmittel. Masut ist seines hohen Flammpunktes (bis 140°C) wegen von groBer Feuer. sicherheit, er ist zwar bei gewohnlicher Temperatur ziemlich z1ihe (6 bis 12 Engler. grade bei 20° C), wird aber durch Erwarmen so leichtfliissig (etwas 2 Englergrade bei 80° C), daB er dann leicht zerst1iubt und rauchlos verbrannt werden kann. Spezifisches Gewicht: etwa 0.92.

Dle Stelnkohlenteergruppe. ,---Leichtol-Benzol (u. a. m.) h- 170°)

! I

I-MittelOl---Naphthalin-.TeerOl (als Riickstand) nach : I h- 230°) (u. a. m.) Temperatur- I Steinkohlenstufen 1-- -Schwerol-Naphthalin-Teerol (als Riickstand) teer (+ 270°) (u. a. m.) destiliiert zu: --- AnthrazenOl-(Anthrazen)--TeerOl (als (u. a. m.) Riickstand) (+ 320°) II

I

-Pech. Der Steinkohlenteer entsteht als Nebenerzeugnis bei der Trockendestillation von Steinkohlen sowohl zur Leuchtgasgewinnung als auch zur Kokserzeugung. Er wird zum Tei! in rohem Zustande als Brennstoff benutzt. doch ist dabei das Folgende zu beachten: Zur Verwendung als Heizol ist der Rohteer nur geeignet. wcnn er durch Absetzenlassen oder Zentrifugieren moglichst wasserfrei gemacht ist. Anderen· falls verbrennt er sehr unruhig unter h1iufigem Zucken und Puffen der Flamme. Ferner ist er so z1ihfliissig. daB er zwecks guter Zerst1iubung im Brenner vorzu· warmen i5t. Die Vorwarmtemperatur ist nach Versuchen von Allner fiir die ver· schiedenen Teersorten so hoch zu w1ihlen. daB seine Z1ihfliissigkeit nur noch etwa 3 Englergrade betr1igt. Durch die Vorwarmung wird auch einStocken des Teers und das Absetzen von ausgeschiedenem Naphthalin in den Rohrleitungen verhindert. Als Treibol fiir Dieselmotoren ist der Teer geeignet. dessen Gehalt an freiem Kohlenstoff (durch Zersetzung von Kohlenwasserstoffen entstandener RuB) und an Pech moglichst gering ist. Kohlenstoft· und Pechgehalt hat man durch Zentri. fugieren des Rohteers zu verringem versucht. Der Gasteer zeigt, abgesehen von den durch die Ursprungskohle bedingten Unterschieden, je nach der Bauart des Destillationsofens recht verschiedene Eigen· schaften. Sie werden vor allem durch die Menge der bei der Entgasung der Kohlen zerfallenden Kohlenwasserstoffe beeinfluBt. Diese aher hăngt davon ab, ob die Gase mit der gliihenden Retorfenwandung in Beriihrung kommen oder in der entgasenden Kohle aufsteigen konnen. So verh1ilt sich in bezug auf Z1ihfliissigkeit, Gehalt an Wasser, freiem Kohlenstoff und Riickstand am giinstigsten der Vertikalofenteer, dann folgt der Schr1igofenteer und schlieBlich der Horizontalofenteer. Der Koksofenteer steht in seinen Eigenschaften dem Gasteer aus Vertikal· ofen nahe. Spezifisches Gewicht der Steinkohlenteere: 1.05-;'1.2: Flammpunkt: 40-;' 100° C: Z1ihfliissigkeit: sehr verschieden. Da nach obigem der Rohteer einerseits gewisse Schwierigkeiten fiir seine Verwertung als Brennstoff bietet. andererseits in ihm fiir andere Zwecke sehr wertvolle Stoffe enthalten sind. so wird er zum groBen Tei! weiterverarbeitet. Dabei werden folgende Brennstoffe gewonnen:

nie fli.issigen Brennstoffe,

~23

Benzol. Die Handelsbenzole werden nur in Verpuffungsmotoren verwendet. Dafi.ir eignet sich aber nicht ein en, das nur aus C6H6 besteht, weil es nicht ruBfrei im Motor verbrennt und 5chon bei +6' erstarrt. Auch das 90er Handelsbenzon 1 (90 Raumhundertstel sollen bis 100' C iiberdestillieren), das erst bei _10° bis --12' erstarrt, ist kein geeignetes Automobiltreibo!. Dazu bedarf es noch eines groBcren Gehaltes an hoheren Benzolhomologen - Toluol, Xylol, Cumo!. Durch Mischung dieser Stoffe wird nach den Typvorschriften des Benzolverbandes in Bochum cin Autobenzol hergestellt, das gekcnnzeichnet ist durch KZ = 100. c Seine Elementarzusammensetzung ergibt h: 12 = 1,5 (bei Benzin 2,15). Benzol ist dem Benzin als Kraftstoff i.iberlegen, da es nicht so brisant Vf'Ţ­ J,rennt, hohe Verdichtungen aushălt und daher "klopffester" isi (5. S. 524). Naphthalin kristallisiert aus dem MittelOl und SchwerOl als einheitlicher chemischer Stoff C,oHs aus. Wegen seiner Billigkeit und Feuersicherheit wird es mit Vorteil in Explosionsmotoren angewandt, trotzdem es besondere Einrich· tungen fUr die Verdampfung erforder!. Spezifisches Gewicht: 1.15; Flammpunkt: 80° C; Siedepunkt: 217 0 C; Schmelzpunkt: 73 o C. Teerole nennl man die hochsiedenden Riickstănde aus der Verarbeitung der Mittel-. Schwer- und AnthrazenOle. Sie enthalten bis 12 vH saure Ole. welche die Herstellung feinerer Maschinenteile - Ventile, Di.isen u. a. -. die mit dem OI in Beriihrung kommen, aus Nickellegierungen (z. B. 25 vH Nickelstahl) erfordern. Ferner wird Dichtungsstoff pflanzlicher Herkunft - Gummi, LeinOlkitt u. a. von ihnen angegriffen. Ihr Naphthalingehalt bedingt ferner eine Vorwărmung der Ole. um Verstopfungen in den Rohren und groJ3ere, fi.ir die Verbrennung wert· voile Riickstănde in den Olbehăltern zu vermeiden. Spezifisches Gewicht: 1.0-:-1.1; Flammpunkt: 75-:-85 c. er soli nicbt unter 65° C betragen. Zăhfliissigkeit: bei 20° C 1.38 Englergrade. Beim Absieden sollen mindestens 60 Volumprozente bis 300° C verdampfen. Gehalt an Wasser: 1 vH und darunter; an Schwefel: etwa 0.J";-0.7 vH; an Schmutz: bis 0,2 vH; an Asche, bis 0.05 vH; spezifische Wărme: etwa 0.6. Urteer und seine Destillate. Bei der TieftempeI'atllI\'eI'kokllng (vgl. S. 519), bei der die TeeI'ausbeute etwa doppelt so groB ist wie bei der Leuchtgasgewinnung, werden die frei werdenden Kohlenwasserstoffe nicht zersetzt. Der Tieftemperaturteer ader Urteer ist eine dunkelbraune, Olige l'liissigkeit vom spez. Gew. 0,95 bis 1.06, ans der abdestilliert weI'den kc;nnen: bis 150 C Benzine, bis 220 o Solarol, bis 320' Paraffinăle und Paraffin. Die Urteerbenzine sind gegeniiber Luftsauerstoff unbestăndig und sind daher als Treibăle ohne Bedeutung, im Gegensatz zu den Urteennittell\len, die sirh als Zll'latz Zl1 Treibolen und zn Heizzwecken ei gnen. Q

0

Die Braunkohlenteergruppe. -Benzin _ _o

Rohol ----Solaral

I

Helles ParaffinOl

1- Rohparaffm- -

/Olgasteer Dunkles i / ParaffinOl!-"Fliissige Kohlen· wasserstoffe Schweres Paraffinol

I

Nach BraunTemperaturkohlen·stufen teer destilliert zu:

,

I

. I

I

'

1- Riickstănde 1..

Paraffin

1524

Die Brennstoffe und ihre technische Verwendung.

Der Braunkohlenteer wird als Haupterzeugnis durch Trockendestillation der sehr bitumenreichen Schwelkohlen gewonnen. El' hat den Charakter eines Urteeres, da das Schwelverfahren bei niedrigen Temperaturen bis zu 500° durchgeftihrt wird. Folgende aus ihm hergestellte Brennstoffe haben weitere Verwendungsgebiete gefunden: SolarOl wird als TreiMI fUr Explosionsmotoren gebraucht. Spezifisches Gewicht: etwa 0,83. Flammpunkt: 45";'-50° C. Siedegrenzen: 150";'-270° C. Dunkles Parafflniil wird auch GasOl genannt, weil es zum groBen Teil zur Herstellung des 01- oder Fettgases dient. Sonst eignet es sich noch zur Verbrennung im Dieselmotor. Spezifisches Gewicht: 0.89; Flammpunkt: 100";'-120° C; Siedebeginn: 200";'-250° C. Bei 300° C verdampft 40760 vH. Erstarrungspunkt: 0";'- -5° C. Olgasteer entfălJt bei der Zersetzung der Paraffinole (auch helle Ole werden teilweis verwendet) zu Olgas. Bei der Verdichtung dieses Gases entsteht ein weiterer fliissiger Brennstoff als Nebenerzeugnis, die sogenannten fliissigen KohIenwasserstoffe. Beide finden als Motorhetriebsstoff beschrănkte An· wendung. Schweres Parafflniil wird ebenfalls als TreiMI im Dieselmotor benutzt. Spezifisches Gewicht: 0.91; FIammpunkt: 115";'-125° C; Siedebeginn: 220";'2S0°C. Bei 300° verdampft 10";'-20 vH. Erstarrungspunkt: - 6";'-7°. Zăh. fliissigkeit: 2.0";'-2.C)6 Englergrade. Kre o sot oI, Fr e sol, als Nebenerzeugnisse aus den Braunkohlente = B . G • cP,

•

tl

-

B . cp • • to - B • L • c;• • to - Q

diejpnige Warmemenge dar, die bei der Verbrennung entwickelt wird. Die so fUr 1 kg des Brennstoffes (bei Gasen fUr 1 mS) gefund"ne Wiirmemenge o\> nennt man den Heizwert - Brennwert, absoluten Wiirmeeffekt, Verbrennungs. warme - des Bren nstoffes. Sollte dieser viillig ausgenutzt werden, so waren die Verbrennungserzeugnisse bis auf die Anfangstemperatur to des Brennstoffes abzukiIhlen. Der in ihnen enthaltene Wasserdampf ware dabei niederzuschlagen, da to unterhalb der Ver. dampfungstemperatur liegen wird. Praktisch ist aber nun eine so weitgehende Ausnutzung nicht miiglich. infolgedpssen geht von dem oberen Heizwert 0\>0' bezogen auf Abgase, in denen ihr H 2 0·Gehalt [insgesamt (9 h + w) kg] flUssig geworden ist, die Verdampfungswărme des Wassergehaltes - etwa 600 kcal fUr jedes kg H 2 0 - verloren. Die um diesen Betrag verminderte Verbrennungswărme hei/3t der untere Heizwert O\>U, der also auf Abgase bezogen wird, die ihren Wassergehalt dampffiirmig abfi.ihren. Es ist daher:

O\>U

= 0\>0 -

600(9h

+ w).

Der Heizwert eines Brennstoffes ist gleich der Summe der Wărmemengen, welche die brennbaren Bestandteile - praktisch nur C, H und S - bei der

543

Der Heizwert der Brenn;;tofft'.

Verbrennung entwickeln. Da jedoch diese Elemente in chemischen Bindungen im Brennstoff enthalten sind (wenigstens zum allergroLlten Teil), so kann bei der Losung dieser Verbindungen beim Verbrennungsvorgang entweder Wărme verbraucht oder frei werden. Wieviel das insgesamt ausmacht, entzieht sich der Berechnung. Infolgedessen begntigt man sich bei der Bestimmung des Heizwertes mit der Ann1iberung:

.~ = ~c

+ ~HJ + ~s.

8140 kcal.

1 kg C entwickelt bei der Verbrennung zu CO 2

1 "H2

"

""

" dampffor-

"

28680"

migem H 20 einen (unteren) Heizwert von 1 kg S entwickelt bei der Verbrennnng zn S02

2450 "

Sind in 1 kg eines Brennstoffes: c kg C. h' = (h - 0/8) kg H 2 nnd s kg S fiiI' die Yerbrennung verfUgbar, ;;0 folgt:

+- 29000 h' +- 2500 s - 600 (w +- 9 .Po '-"'" 8100 c +- (29000 +- 9 • 600) h' -1- 2500 s ,,-,8100 c +- 34400 h' +- 2500 s.

.\?u'-) 8100 c

*)

Ftir 1 ma Brenngas ergibt sich:

+ 2560 • h + 8530 c h. + 14190 c. h. + 13470 c. h. + 33840 c

~u '-" 3050 c o

6

ha'

Bestimmen 11iLlt sich der Heizwert durch Verbrennung einer moglichst einwandfreien Durcbschnittsprobe des Brennstoffes im Kalorimeter. Als solches kommt fUr feste und in der Hauptsache auch ftir fltissige Brennstoffe das Berthelot· Mahlersche und fUr Gase das J unckerssche in Anwendung.

Mittelwerte fUr

Feste Brennstoffe. Breonstoff

====

I

He1z"ert fiir 1 kg

~u.

Breonstoff

Heizwert fiir 1 kg

1,1

.[ 2400--3700 I=s='t=em='=k=oh=l=e=:;=:;~-~-. r~~~8~;c~ Saar. . . 1 5000--7800 2000--4200 Torf Braunkohle, deutsche Schlesische 5200--7500 1900--3000 bOhmische 6200-7600 3800--5900 Steinkohlenbrikett Koks. • • 5500-7200 Braunkohlenbrikett. '11 4400--5200 Anthrazit. • • • 7300-8000 Holz

'.1

Fliiulge Brennstoffe.

-.-----

Brenns~~~-

--

-PE~---------~n.t~;·-

---

·I~I H;~;';t I fiir 1 kg

-==--====--~Ii~---

ErdOl. roh Benzin • • Petroleum. Gasol. • • Erdolrtickstaude • Paraffinol. • • • Steinkohlenteer : Horizontalofen.

'1

10000 10200 10500

. I 9 800 . 1 10 000 . . 9 800 1

8200

Steinkohlenteer: Scbragofen • Vertikalofen • Koksofenteer • Benzol, 90 er • Naphthalin TeerOl • • • • Spiritus 95 vH

.11 8400 I

: il

_11

.1\ .i

8500 8500 10000 9600 9000

.! 5800

Die Brennstaffe und ihre techniselw Verwendnng.

544

(iasfiirmlge Brcnnstoffe. II Heizwert li fiir I m'

Brennstoff ---~~~~~

Leuchtgas. Acetylen Koksofengas. Blaugas. Scbwelgas. Gichtgas Generator·Luftgas aus: Steinkohle Koks.

----.11

·I!I '1

• i

."Il, ,

5100 13600 4500 14000 2500 900 1100 900

·i II

Heizwert fur 1 m" O; 760

Brennstoff

~ __ ~~Ic O. 760

Generator.Lnftgas aus: Braunkohle. Holz. Torf Wassergas Mischgas aus: Steinkohle Mondgas Braunkohle Koks

1200 1200 900 2600

:1]

1200 1300 1400 1 100

XI. Die Verbrennungstemperatur. W'ird von den Wărmeverlnsten dnrch Zersetzung von \Vasserdampf und Kohlensăure im Feuerraum abgesehen, so berechnet sieh die Temperatur im "ffenen Feuer (Vcrbrcnnung bei gleichbleibendem Druck) zu:

t .•~c ,

CPB' .

tB

CPB

+ m . Lminkg' CPL' IL + CPB' t B + m· L,uillkg' CPL' tL + '1·.\)1I -+ m . Lminkg . cp, (1 + m . I-minkg • CPa .~ ~

~-~-~.-

Darin bedeuten; CPB' CPL' CpG die spez. \Vărme des Brennstoffes, der Luft und des Rauchgases, tB und tL die Temperatur, mit der der Brcnnstoff bzw. dic Luft in den Feuerraum gelangt, '1 • .\)u den Anteil des unteren Brennstoffheizwertes, der fiir die Erwărmung der Rauchgase von der Anfangstemperatur - d. i. die bei der Zusammenfiihrung von Brennstoff und Luft entstehende Misehtempe· ratur - auf die Feuertemperatnr tt in Frage kommt. Werden Brennstoff und Luft nicht vorgewărmt, so kann ihr urspriinglicher Wărmeinhalt vernaehlăssigt werdcn. Bcriieksichtigt man ferner, daLl '1 davon abhăngt, wieviel van der Brennsubstanz iiberhaupt znr Verbrennung gelangt, also vom \Virkungsgrad 'Il der Feuerung (III = 0,9 bis 0,95)' auLlerdem dadnrch beeinfluLlt wird, daLl ein Teil der Wărme (a = 0,1 bis 0,3) durch Leitung und Strahlung d"DI Feller entzogen wird, so kann man setzen: '11 (1~- a) . .\)U

tt

=

ta

+ ---

~-~~~~---~~--

-1- mLmin kg

a) • cPG Bei DaIIlpfkesselfeuerungen kann geschătzt werden: (1 ffu lnnenfeuerung 25 bis 30 v H ffu Unterfeuerung . . . . . . . • 20 " 25 vH fiir Vorfeuerung. . . . • • . . . '10 " 15 vH Ffu cpG kann als Mittelwert 0,25 eingesetzt werden. Will man cpa aui Grund der Brennstoffanalyse und der Zusammensetzung der Rauchgase berechnen, so ist als obere Temperaturgrenze vorlăufig ein Mittelwert aus nachstehender Tabelle einzusetzen.

Brennstoff Steinkohle Braunkohle Holz und Torf

I

(1

~ H.~;ert~ I

IUDeu

VerbrellDungstewperatur bei

I

Unt"r-

Feuerung

I

Vor-

--~- ~I;E!!~~ ~ !?oo!1f~c=~~l~±!E2500 3000

600-;-. 800 700-;-' 900

700-;-' 900 800-;-'1000

800-;-'1000 900-;-'1100

545

Die Vergasung fester Brennstoffe.

XII. Die Vergasung fester Brennstoffe. J. Vorgiinge im Vergaserofen. E n t g sun a g bedeutet Zerlegung fes ten Brennstoffes in einen gasfiirmigen (Leuchtgas, Schwelgas), fliissigen (Teer) und fes ten (Koks) Brennanteil. Bel der Vergasung soli vor allem der Koks derart in Gasform iibergeiiihrt werden, daB nur der Aschengehalt als Riickstand iibrigbleibt. Der in den Gasgenerator (vgl. Fig 6) aufgegebene Brennstoff wird bei der Abwărtsbewegung zuerst getrocknet, dann entgast und schlieBlich wird der C-Gehalt des Kokses in CO verwandelt (vergast). Im folgenden wird der Betrieb eines nur mit C beschickten Generators, bei dem alle Wărmeverluste vermieden werden sollen, dargestellt.

2. Die ideale Luftgasbereitung. In die Verbrennungszone wird Luft eingeblasen und 50 die Vergasung durcb freien Sauerstof! herbeigeftihrt. LaJ3t man die Ănderung der Wârmetonung mit steigender Temperatur und den vVărme­ aufwand fur die Oberwinduug des aul3eren Druckes bei der Gasentwicklung auJ3er Betracht, so verlauft die Vergasung folgendermaJ3cn: C + 0, = CO" dabei entwickelt +12' 8140 kcal, ca, + C = 2 CO, dazu verbraucht - 38960 kcal Ergebnis aus der Vergasung von 2· 12 kg C: +976bO kcal, - 38960 " 58720 kcal + 2 CO (letztere mit einem Heizwert von: 2· 28· 2440 = 136640 kcal). Daraus folgt, daB in einem verlustJosen Generator 100 kcal gebllnden in C durch Luftvergasung umgesetzt wen]en in: 30 kcal freier und 70 kcal in CO gebundener Warme, unu dabei ein ideales Luftgas entsteht mit 34,7 Raumbundertstel CO und 65,3 vH N 2 , erwarmt auf etwa 1300 0 C. Voraussetzung da fur, daO die Reduktion dps CO 2 tiberhaupt eintritt , ist eine Mindesttemperatur im Vergasungsraum von 450 0 C. Von dieser an steUt sich zwischen dem CO 2 - und dem CO-Gehalt ein Gleichgewichtszustand ein, derart, daB o~r Gehalt an COli mit zunehmeno':-T Temperatur sinkt, bis er sc.hlieBUch, bei AnwC'senheit groBCTf'T, aus cler Verbrennungsluft berstammf'nder N 2 Meng.:-n, von etwa 800° an vollig: verscbwincIet. Fehlt N 2 wie bei der Wassf'rgasbereitung -, so ist das erst von etwa 1000° an der FalI. - Praktisch IăBt sich die gesamte COll-:Menge in CO nicht umsetzen, 50 daO stets CO z (k, Raumhundertstel) neben CO (k,) im Generatorgas vorhanden ist. Zwischen k 2 und k 1 herrscht dic Beziehung: k, = 21 - 0,605 k,. Fur ein wirklich erreichbares k 1max von Fig. 6 ' ). 32 vH folgt daraus k'min = 1,64 vH uud fur kll = 4, was im allgemeinen nicht uberschritten werdell soH, wird k 1 = 28,1. rm letz teren Falle hat das Gas etwa 1 sOOo C. w

3. Die ideale Wassergasbereitung. Fl.ihrt man in einen Generator, der, bisher durch Luft betrieben, in Beharrungszustand gelangte, statt der Luft Wasserdampf ein, so findet dne Vergasung des C durch den in H,p gebundenen 0z statt. Die verwickelten Umsetzungen sind von der Temperatur in dpr Brcnn1) Aus Fuchs: Julius Springer.

Warmetechnik des Gasgenerator- und Dampfkessel-Betriehes.

Taschenbuch fUr den Maschlllenban.

5. Aun. 1.

35

Berlin:

546

Die Brennstoffe und ihre technische Verwendung.

scbicht nnd von Art und Beschaffenheit des Brennstoffes abhangig und lassen sich wie folgt angeben: 1. C +2H,a=Ca,+4H+12. 8140kcal- 4. 28680 kcal = Ca,+4H - 17040 kcal 2. C +H,a = ca +2 H+12 • 2450 kcal - 2.28680 kcal = ca + 2 H - 27960 l 50 bis s = 90 mm mit 2 und 3 mm (d. h. 50, 52, 55, 58, 60 ... ) Dickenstaffelung. Metergewichte von Quadrat- und Rundeisen.

Stărke

-

Il mm

Gewicht G kg/m

.+ '-d~

I I

I

~

~

0,20 0,28 0,38 0,50 0,64 0,79

0,15 0,22 0,30 0,39 0,50 0,62

16 17 18 19 20

0,95 1,13 1,33 1,54 1,77 2,01 2,27 2,54 2,83. 3,14

0,75 0,89 1,04 1,21 1,39 1,58 1,78 2,00 2,23 2,46

21 22 23 U 25 26 27 28 30

3,46 3,80 4,15 4,52 4,91 5,31 5,72 6,15 7,07

5 6 7 8

,

10

II

12 13

14

15

32 33 34 35 36 37 38 40

8,04 8,55 9,07 9,62 10,17 10,75 11,34 12,56

I

Gewicht G

Stărke

2,72 2,98 3,26 3,55 3,85 4,17 4,49 4,83 5,55 6,31 6,71 7,13 7,55 7,99 8,44 8,90 9,86

kgfm

",'Il Ir ~ 1

d mm

0t"

I

I

"d~

Gewicht G kglm

Starke

+~

d mm

--

,\'il r II' '-d-

!

i

~

I

,,,,1

--

13,85 15,20 16,61 18,09 19,63

10,88 11,94 13,05 14,21 15,41

105 110 115 120 125

52 54 56 58 60

21,23 22,89 24,62 26,41 28,26

16,67 17,98 19,33 20,74 22,20

130 135 140 145 150

62 64 66 68 70

30,18 32,15 34,19 36,30 38,47

23,70 25,25 26,86 28,51 30,21

155 160 165 170 175

188,60 200,96 213,72 226,87 240,41

148,12 157,83 167,85 178,18 188,81

72 74 76 78 80

40,69 42,99 45,34 47,76 50,24

31,96 33,76 35,61 37,51 39,46

180 185 190 195 200

254,34 268,66 283,39 298,50 314,00

222,57 234,44 246,61

82 84 86 88 90

52,78 55,39 58,06 60,79 63,59

41,46 43,50 45,60 47,74 49,94

210 220 230 240 250

92 94 96 98 100

66,44 69,36 72,35 75,39 78,50

52,18 54,48 56,82 59,21 61,65

260 270 280 290 300

42 44 46 48 50

I

i

86,55 94,99 103,82 113,04 122,66

I I

I

132,67 143,07 153,86 165,05 176,63

I

I I

I I

I

I

67,97 74,60 81,54 88,78 96,33

349,19 379,94 415,27 452,16 490,63 530,66 572,27 615,44 660,19 706,50

I

104,2 112,36 120,84 129,63 138,72

199,76

211,01

i !

271,89 298,40 326,15 355,13 385,34 416,78 449,46 483,37 518,51 554,88

Das Gewicht von Sechskanteisen ergibt sich aus der obigen Tafel, wenn man als Starke des Sechskantes seinen Durchmesser des eingeschriebenen Kreises zugrunde legt, durch Multiplikation der Werte fiir Rundeisen gleicher Starke mit der Zahl 1,1.

i) Band·, Flach· und Vniversaleisen. Bandeisen1 ): Diinnes Flacheisen bis 6 mm dick und bis 300 mm breit in Bunden oder Rollen. Flacheisen 1), Stabeisen von rechteckig6m Querschnitt, dessen Breite 8 bis 150 mm und dessen Dicke 3 bis 100 mm betragt. Regellangen 3 bis 12 m je nach Dicke. 1) Nach der Uberpreisliste der Stahlwerkverband-A.-Go 1 Dusseldorf.

582

Stoffkunde. -

Die Maschinenbanstoffe.

Uni vers al- (Brei t-) Eiscn1 ), Stabeisen von rechteckigem Quersehnitt, dessen Breite 151 bis 1000 mm nnd dessen Dieke 3 bis 40 mm betragt. Als normale Mindestdicke gilt 1 vH der Breite + 1 mm. Regellangen 3 bis 12 m je nach Dicke.

k) Oenormte Werkzeugstablquerscbnitte. Trapezstahl s. DIN 460. MeiBelstahle mit flaehem und quadratisehem Qnerschnitt s. DIN 767. Schneidstahle mit mndem, quadratischem und rechteekigem Querschnitt s. DIN 770.

1) Oezogener Stabl. Flaehstahl gezogen s. DIN 174. Prazisions-Rundstahl, blank gezogen und poliert, s. DIN 175. Rundstahl, blank gezogen, s. DIN 667 und 668. Seehskantstahl, blank gezogen, s. DIN 176. Vierkantstahl, blank gezogen, s. DIN 178. Flachstahl, gezogen, s. DIN 497, 498 und 500. Hohlflaehstahl, gezogen, DIN 499.

12. Blecbe. Bezeichnnngen nach DIN 1350: Bl8 Blech, 8 mm diek; Bl1000·2000·8 Blechtafel, 1000 mm breit, 2000 mm lang und 8 mm diek; R Bl 5,5/7 Riffelbleeh mit einer Dicke von 5,5 mm im Kern nnd 7 mm insgesamt; Gel Bl8 Gelochtes Bleeh, 8 mm diek; Warz Bl6 Warzenblech, 6 mm dick. Blecharten naeh DIN 1620: Feinbleehe, unter 3 mm diek } MaB- und Gewiehtsa.bweiehungen, naeh DIN 1542 Mittelbleche, 3 bis nnter 5 mm dick 1543 Grobbleehe, 5 mm diek und darliber Glitevorsehriften fiir Eisenbleehe s. DIN 1621, Naeh der Bearbeitung werden untersehieden: Sehwarzbleehe, naeh dem Walzen einer weiteren Bearbeitung nicht nnterzogen; Dekapierte Bleehe, naer. dem Walzen gebeizt und in Kasten geglliht. Auf das erste Beizen kann auch weiteres Auswalzen, noehmaliges Beizen und Kaltnachwalzen folgen, ehe sie gegltiht werden. 2mal dekapiert! So kommen sie als Stanz- und auch als Tiefziehbleche zur Anwendung. Dressierte Bleehe, d. s. 2mal dekapierte Bleehe, die naeh dem Beizen mehrmals kalt gewalzt und dadureh mit besonders glatter Oberflăehe hergestellt werden. Namentlieh als Vernickelungsbleche angewandt.

G1atte Bleche mit Metalliiberziigen. Namentlieh Feinbleehe werden auch mit Oberzligen aus Zinn, Zink oder Blei, femer aus Kupfer, Messing oder Nickel geliefert. Wird das Blech auf beiden Seiten verzinnt, so nennt man es 'illeiBblech. Es, kommt in den Handel: a) in gewohnlichen TafelgroBen von 265 . 380 und 530' 380 mm, 265' 760 und 530' 760 mm, dabei 0,16 bis 1 mm dick; b) als Pontonbleche in Tafeln von 435' 650 mm, dabei 0,42 bis 0,75 mm dick; e) als Meterbleehe in Tafeln von 244 oder 265 oder 325 oder 406· 1000 mm, dabei 0,37 bis 0,58 mm diek; d) als Glanzbleehe in Tafeln von 650' 1300 und 1000' 2000 mm, dabei 0,5 bis 1,37 mm diek. 1) Nach der Uberpreislbte der Stahlwerkverballd-A.-G., Dtisseldorf.

583

Das Eisen.

Nr.d.dtsch. Blechlehre

I

(jewichte verschiedener Metallbleche in t Diclw

mm -_.----

FluL!-

I

stab!

I Kupf& I Messing

------2,358 2,670 ,2,948 3,338 3,443 3,898 4,450 3,930

27 26 25 24

0,300 0,375 0,438 0,500

23 22 21 20 19

0,562 0,625 0,75 0,875 1,000

4,418 4,913 5,895 6,878 7,860

18 17 16 15 14 13

1,125 1,25 1,375 1,500 1,75 2,00

12

Bronze

kg/m 2• Biei

Zink -

-

I Al."miD1um

--------~-~

2,565 3,206 3,745 4,275

2,580 3,225 3,767 4,300

2,160 2,700 3,154 3,600

3,411 4,264 4,980 5,685

0,804 1,005 1,174 1,340

5,000 5,563 6,675 7,788 8,900

4,805 5,344 6,413 7,482 8,550

4,833 5,375 6,450 7,525 8,600

4,047 4,500 5,400 6,300 7,200

6,390 7,106 8,528 9,950 11,370

1,506 1,675 2,010 2,345 2,680

8,843 9,825 10,810 11,790 13,755 15,720

10,013 11,125 12,238 13,350 15,575 17,800

9,620 10,688 11,757 12,825 14,963 17,100

9,675 10,750 11,825 12,900 15,050 17,200

8,100 9,000 9,900 10,800 12,600 14,000

12,792 14,213 15,634 17,055 19,898 22,74

3,015 3,350 3,685 4,020 4,690 5,360

2,25 2,50 2,75 3,00

17,69 19,65 21,62 23,58

20,03 22,25 24,47 26,70

19,24 21,38 23,52 25,65

19,35 21,50 23,65 25,80

16,20 18,00 19,80 21,60

25,58 28,43 31,27 34,11

6,030 6,700 7,370 8,040

8 7 6

5

3,25 3,50 3,75 4,00

25,55 27,51 29,48 31,44

28,93 31,15 33,38 35,60

27,79 29,93 32,06 34,20

27,95 30,10 32,25 34,40

23,40 25,20 27,00 28,80

36,95 39,80 42,64 45,48

8,710 9,380 10,050 10,720

4 3 2 I

4,25 4,50 5,00 5,50

33,41 35,37 39,30 43,25

37,83 40,05 44,50 48,95

36,34 38,48 42,75 47,03

36,55 38,70 43,00 47,30

30,60 32,40 36,00 39,60

48,33 51,17 56,85 62,54

11,390 12,060 13,400 14,740

6 7 8 9 10

47,16 55,02 62,88 70,74 78,60

53,40 62,30 71,20 80,10 89,00

51,30 59,85 68,40 76,95 85,50

51,60 60,20 68,80 77,40 86,00

43,20 50,40 57,60 64,80 72,00

68,22 79,59 90,96 102,33 113,70

16,080 18,76 21,44 24,12 26,80

II

12 13 14 15

86,46 94,32 102,18 110,04 117,90

97,90 106,80 115,70 124,60 133,SO

94,05 102,00 III,IS 119,70 128,25

94,60 103,20 111,80 120,40 129,00

79,20 86,40 93,60 100,80 108,00

125,07 136,44 147,81 IS9,I8 170,55

29,48 32,16 34,84 37,52 40,22

16 17 18 19 20

125,76 133,62 141,48 149,43 157,20

142,40 151,30 160,20 169,10 178,00

136,80 14S,35 153,90 162,45 171,00

137,60 146,20 154,80 163,40 172,00

115,20 122,40 129,60 136,80 144,00

181,92 193,29 204,66 216,03 227,40

42,88 45,56 48,24 50,92 53,60

II

10 9

Bleche fur besondere Verwendung. a) Bleche fiir Belagzwecke und fiir Abdeckungen. Riffelbleche, d. s. Grobbleche, auf deren einer Seite durch Warmwalzen sich kreuzende, meist nach rautenfOrmigem (seltener nach quadratischem) Muster gefonnte, 3h bis 3 mm hohe, 4 bis 6 mm breite Riffeln (Rippen) herausgebildet wurden. Stiickgewicht: bis 1250 kg. Breite: bis 1500mm_ Kerndicke: 4 bis 30 mm. PlattengroBe: bis 10 m 2 • Zum Gewicht des Grobbleches von der Kerndicke t sind C'..:> 5 kgfm 2 als Gewicht der Riffeln zuzuschlagen. MaB- und Gewichtsabweichungen nach DIN 1543. Warzen bleche, in derselben Weise wie Riffelbleche hergestellt, auf einer Seite mit kreisrunden, oben abgeflachten, sI, bis 1,5 mm hohen Warzen versehen. Stiickgewicht: bis 1000 kg. Breite: bis 1400 mm. Lănge: bis 5 m. Kerndicke: 4 bis 24 mm. Gewichtszuschlag fUr die Warzen: 2 h; b = 60 bis 150 mm; h = 20 bis 60 ffiffi; t = 0,75 bis 2 mm; mit Regelbaubreiten von 600 bis 810 mm. Tragerwellblech (Fig. 10): fUr Decken, LaufbUhnen u. a. Welle aus KreisbOgen; b < 2 h; b = 90 bis 100mm; h = 50 bis 100ffiffi; t = 1 bis 2mm; mit Regelbaubreiten von 400 bis 650 mm. Knudson-Wellblech mit besonders hohem Widerstandsmoment.

13. Draht. Walzdraht (warm gewalzt), 4 bis liber 10 mm Durchmesser mit rundem oder eckigem Querschnitt, in Ringen von etwa 50 bis 60 kg geliefert. Gezogener Drah t (kalt gezogen), unter 4 mm Durchmesser. Seine Eigensehaften werden dureh entspreehende Wahl der Stahlsorte, durch meehanisehe und thermische Behandlung, auBerdem durch Metallliberzlige recht versehiedenen Anforderungen angepaBt. DIN 177 enthălt (als Ersatz fUr die frlihere Deutsche Millimeter-DrahtJehre) Angaben liber gezogenen Stahldraht (Eisendraht), aus denen die Zahlentafel S.585 entnommen ist. Uber Stahldr1i.hte fUr Elektrotechnik s. DIN VDE 8203 Stahldr1i.hte zu StahlAluminiumseilen und DIN VDE 8300, °Bl.2 Stahldrahte fUr Fernmelde-Freileitungen.

14. Schutz des Bisens gegen Rosfen laBt sich dadurch herbeifUhren, daB man den Luftsauerstoff, Feuchtigkeit und Săuren entweder dureh moglichst haltbare, dicht abschlieBende Uberzlige (1.) von der Oberflăche des Eisens fernzuhalten oder aber diese Stoffe durch die Einwirkung geeigneter Chemikalien (2.) unschădlich zu machen sucht. 1. Auf die gnt gereinigte Oberflăche des Eisens werden aufgebracht: Metallliberzlige, aus Nickel, Zinn, Zink oder BIei, Bleizinn, Bleiantimon, Messing, Chrom (galvanisch; im Schmelzbade; durch Aufspritzen - Verfahren von

Das Eisen.

585

Stahldrah t. Zulăssige

Durchmesser

mm

0,2 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,31 0,34 0,37 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 1 ) 0,7 0,75 1 ) 0,8 0,85 1) 0,9 0,95 1) 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1 )

Abweichung

Dur~~::;esser mm

±

0,015

±

0,0175

±

0,02

±

0,025

±

0,035

I

I

Gewicht tiir 1000 ro

kg

0,247 0,298 0,326 0,355 0,385 0,417 0,449 0,483 0,592 0,713 0,844 0,986 1,248 1,541 1,865 2,22 2,60 3,02 3,47 3,95 4,45 4,99 5,56 6,17 7,46 8,88 10,42 12,08 13,87

I Zulăssige Durchmesser I Abweichung

vom I Durchmesser

mm

1,6 1,7 1) 1,8 1,9 1) 2 2,2 2,41) 2,5 2,6 1) 2,8 3 1) 3,1 3,4 3,8 4 1) 4,2 4,6 5 5,5 6 6,5 7 7,6 8 1) 8,2 8,8 9 1) 9,4 10

mm

±

I I

0,05 I

0,1

fiir 1000 m

_l __ kg

I

±

Gewicht

I

I II i

15,78 17,82 19,98 22,3 24,7 29,8 35,5 38,5 41,7 48,3 55,5 59,2 71,3 89,0 108,8 130,5 154,1 186,5 222 260 302 356 415 477 545 617 98,5 395 499

Schoop; Zinkliberzlige durch Sherardisieren, d. i. Trommeln der Stlicke mit Zinkstaub bei etwa 120 bis 170 0 C. Andere Verfahren zur Erzeugung einer Schutzschicht, z. B. Parkerisieren, Coslettisieren, Kalorisieren, Alitieren, Chromieren s. Werkstattblicher, herausgeg. v. E. Simon, Heft 9, Berlin: Julius Springer. Schmelzliberzlige durch eingebrannte Emaille. Olanstriche mit dickfllissigen Mineral1:ilen oder mit HarzOlen, z. B. einer Liisung van Kautschuk in Terpentin. Teer- und Asphaltanstriche, die heiJ3 aufgetragen werden. Olfarbenanstriche, und zwar flir den Grundanstrich, am besten Bleimennige mit Leiniilfimis angerieben, danach fUr den Deckanstrich eine dlinnfllissige Farbe aus Fimis, BleiweiJ3, Graphit und Zinkstaub. Femer sind besondere Rostschutzfarben im HandeI, die sich zum Tei! auch bei hiiheren Temperaturen gut bewăhrt haben. Reiner Zemen t, entweder in dlinnem Anstrich, aufgespritzt oder in stărkerer Kruste (Einbettung in Beton). Hierher gehiirt ferner der Schutz vor Rost durch Brlinieren, Inoxydieren und Schwarzfărben. 2. Anstriche mit KaIkmilch, Einlagerung in KaIksteinschIag (zur Bindung schwefliger Săure). Beseitigung der Feuchtigkeit in geschIossenen Răumen durch wasseraufnehmende Stoffe wie konzentrierte SchwefeIsăure, ChIorkaIzium. 1) Diese Durchmesser sind in der deutschen Millimeter-Drahtlehre nicht enthalten.

586

Stoffkunde. -

Die Maschinenhaustoffe.

II. Nichteisenmetalle. 1. Das Kupfer. Rohkupfer enthalt im allgemeinen soviele Verunreinigungen, daB es fur technische Zwecke erst durch Raffination geeignet wird. Diese entweder nur im SchmelzfluB ~ Raffinad· kupfer - oder Vorreinigun1

i,.i~i~l irtm'~-?~-.i? I

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Die Locher werden gelocht, gestanzt oder gebohrt. Lochen ist billig, aber auch schlecht. da das Material leicht leidet. denn vom Loch ausgehend bilden sich leicht Haarrisse, die spăter znm Bruch AnlaB geben konnen. Man bohrt deshalb besser die Locher nach oder reibt sie auto Infolge der Schwăchung durch das Loch bleibt die Beanspruchung im Blech nicht mehr gleichmăBig, sondern nimmt nach dem Lochrand hin zu, was bei der Wahl der zulăssigen Spannung im Blech zu beachten ist (vgl. K utzbach: Z. V. d. 1. 1915. S.851). ZusammengehOrige Teile werden tunlichst gleichzeitig gebohrt. Bei Eisenkonstruktionen wird der Lochrand nur abgegratet, im Kesselbau entsprechend der Schaftausrundung auf d/lO angefrăst. Hierdurch wird das Umlegen der Nietfasern erleichtert; die Hahe des Gleitwiderstandes (s. unten) jedoch nicht beeinfluBt. Bei Dampfkesseln miissen nach obigen Bestimmungen bei einer Festigkeit der Bleche graBer als Kz 4100 die Lacher im zusammengebauten Zustande der Kessel gebohrt werden, ebenso bei graBerer Blechstărke als 27 mm. Werden die Nietlacher schwăcherer Bleche gelocht, so ist ,. (s. S.614) um 0,25 zu erhahen, auBer wenn das Loch bis zu 3/4 • d gelocht und der Rest von 1/4 • d nachgebohrt wird, in welchem Falle statt 0,25 nur 0,1 als Zuschlag zu geben ist. Der Durchmesser der Lacher ist, um die Nieten im gliihenden Zustande bequem einbringen zu kannen, 1 mm graBer als das Niet zu nehmen. Der SchlieBkopf soll in warmem Zustande hergestellt werden. (Nur Eisenniete unter 8 mm Durchmesser und Rupfer. und Messingniete werden kalt eingezogen.) Nietung von Hand (bis 26 mm Nietdurchmesser), mittels Drucklufthămmer oder Nietmaschinen. die durch Druckwasser oder Elektrizităt betătigt werden. In den beiden ersten Făllen geschieht die Ropfbildung durch eine groBere Anzahl Schlăge. wobei die unmittelbar getroffenen Teile des Nietes den stărk­ sten Druck auszuhalten haben, sonach am meisten nachgeben und durch seitliches Umlegen den Kopf bilden, wăhrend der Schaft weniger beeinfluBt wird und seine Form weniger ăndert. Damit nehmen die Fasern die in Fig. 9 angedeutete Lage ein und pressen beim Erkalten die Bleche fest aufeinander, Fig. 4.

=

Dampfkesselvernietungen.

611

was der Schaft ungehindert zulăLlt. Bei der Vernietung mit Nietmasehinen dagegen entsteht der Kopf in ei n e m Arbeitsgang durch ruhenden Druck, wobei der Sehellhammer die unmittelbar an ihm anliegenden Teile an seit· lieher Bewegung hindert, wăhrend die iibrigen seitlieh frei ausweichen konnen. Da der Druek skh aueh auf den Schaft fortpf1anzt, gibt aueh dieser seitlieh naeh, bis er dureh die Bleehe gehindert wird, fiillt mithin das Loeh voll aus, so daLl eiu Au!einanderpressen beim Erkalten nicbt 50 gut vor sieb Fig. 9. Fig. 10. gehen kann wie im ersten Fall. Die Faserriehtung veranschaulicht Fig. 10. Je hoher der Stempeldruek genommen wird, um so mehr wird das weiehe Niet gegen die Loehwandung gepreBt, so daB bei zu hohem Druek das Blech leieht Risse erhălt. Man dari deshalb den Druek nur so hoch wăhlen. wie zur Kopfbildung erforderlich. etwa 6500 bis 8000 kgfcm 2 Nietquersehnitt. Nach den Versuehen von Rudeloff (5. Stahl u. Eisen 1915, S.9(9) ist die Langsspannung in den Nieten bei Handnietung am kleinsten, bei Maschinennietung am groBten; die \Verte nahern sieh jedoch einander mit zunehmender Nietlănge. Sti f t ni e te, bei denen Setzkopf und SchlicBkopf gleiehzeitig in einem Arbeitsgange hergestellt werden, verschieben sieh oft in dem Loeh beim Nieten. Diesen Nachteil sucht das Schuchsche Niet dadurch zu vermeiden. daB der Kopf konisch vorgebildet ist; vergl. Z. d. V. D. 1. 1919, s. 556. Ei n fi u B d e r E r wă r m ung au f S c h it a un d K o P f. Zahlenversuche iiber die dadurch verursachte Verănderung der Festigkeitseigenschaften s. Stahl Il. Eisen 1919, S. 812/813; s. aueh oben erwahnte Versuche von Rudeloff, nach denen die Streckgrenze um etwa 40 vH bei kurzen Nieten mit 1 = 3 • d ab· nehmend bis 22 vH bei langen Nieten mit 1 = 5 • d steigt. Se h 1 i e B zei t '> 3/1, weil von dieser Grenze ab die Spannung in den Nieten annăhemd konstant bleibt.

B. Berechnung der Vernietungen. G roB teN i e t 1 ă n g e . Ein zu langer Niet wiirde schon beim Erkalten leicht reiBen, weshalb man moglichst als Grenze wăhlt: Nietlange zwisehen den Kopfen = 2: Blechstărken < 4· d . Im Notfall kann man sieh dadurch helfen, daB man nur die Enden der Nieten erwărmt, besser verwendet man jedoch in solchen Făllen Schrauben.

1. Dam p fkcsselvcrnl efu ng eno Da bei zu groBer Belastung einer Nietverbindung die Bleche zunăchst das Bestreben haben, aufeinander zu gleiten, so sind sie so zu berechnen, daB dies auf keinen Fall eintritt, d. h. die angreifende Kraft muB kleiner als der Gleit· widerstand zwischen den Blechen sein. Der durch 1 em 2 Nietquerschnitt beim Erkalten hervorgerufene Gleitwiderstand moge mit k n bezeichnet werden, dann hangt die GroBe von k n ab von der Niet1ănge, von der Beschaffenheit und Anzahl der Beriihrungsflăchen, von der Herstellung des SchlieBkopfes und von der Konstruktion und Ausfiihrung (vor allem erhoht Verstemmen der Bleehe und Kopfe den Wert k n ). Es konnen daher. wie es bei den einzelnen Vernietungen unten geschieht, nur Mittelwerte angegeben werden. bei denen man sich ent· sprechend den jeweiligen Verhaltnissen der unteren oder oberen Grenze zu năhern hat. Das Biegungsmoment p. s (Fig. 12) wird dabei vernachHissigt und angenommen, daB clie Bleche ihre urspriingliche Lage beibehalten. Teilweise trifft dics zu, da die Konstruktion die Bleche hierzu zwingt, teilweise nehmen sie mehr oder weniger die Form der Fig. 11 an, weshalb man ihnen in diesen Fiillen gleich von vornherein diese Form zu geben h at. 39*

'II asch incll teile. -

612 Aus d er Bleehcs in

Gleichullg

D2 .,

-4- ' p =

L ăngsrichtung

D

Verniet ungen. folgt dic Beanspr uchung des

:7 • S • (/,

des Kessels (Rundnaht) D D,

= .+ . ~. p,

nnd aus d er Glcichung D • P = 2 • s • (i, die Beanspruchung des BJeches in Ri chtung des Kesselumfanges (Ulngsnaht)

-

p

p

~ (i ,

=

D

2-=-; . P .

Fig. 11 .

Es ist a lso d ie eBanspruchung in Richtnng d er Kesselachse st ets halb so groB wie die in Richtun g des Umlan ges ; sonach betrăgt dic wirkliche Beanspruchung 0,

= (/, . ]11+"-0,5 2 =

1,12 •

0, •

Man beriicksichti gt dies dadurch, daB man die Beanspruchung etwa 10 vH niedriger als iiblich wăhlt.

a) Oberlappungsvernletungen. Diese sind stets einschnittig. Die Nietstarke wahlt man bei ihnen im Mittel

+

d em = s cm 0.8 cm , wenn s die Blechstarke bezeiehnet. (X) Einr e ihige Verni e tung. Die van C. Bach ausgefiihrten Versuehe ergeben hier einen zulassigen Gleitwiderstand k. = 600 bis 700 kg/cm 2 • Die Teilung t (Fig. 12) ergibt sich dadurch. daB der Bleehquersehnitt (/ - d) • s zwischen zwei Nieten den Gleitwiderstand eines Nietes iibertragen sall und auf Zug genau so vieI halten muB wie ein Niet auf Abscheren. Beides stimmt nicht genau, da der Gleitwiderstand weder ganz durch die Strecke (t - li) zu iibertragen ist , noch diese Strecke gleichmăBig beanspruchen kann, und da das Niet infolge des Gleitwiderstandes niemals voll auf Schub ausgenutzt werden kann. Unter Veroachlăssigung dieser Fehler erhalt man somit fiir die Kraft p. die ein Bleehstreifen von der Lange t aufzunehmen imstande ist, die B eziehung: d2 n d2n F ig. 12. 2 .P=2.(I-li) ·s· k,=2' .k.=2· 4 · ' k, = D. t· p,

4

wenn die Lăngsnaht eines Kessels vom Durchmesser D und pat Uberdruek betrachtet wird_ Da der Gleitwiderstand je B eriihrungdlăche nur bei der vorIiegenden Vernietung den tiblich en Wert der zul ăssigen Schubbeanspruchung von k, = 700 kg/cm 2 bei K, bis 3800 erreicht. bei aUen folgenden aber sich als kleiner erweist. geniigt es, wenn die Rechnung lediglich auf Gleitwiderstand durchgefiihrt wird. Da bei einer Belastung von 1000 bis 1800 kg/cm2 Nietquerschnitt das Gleiten eintritt. ist "'->2- bis 3 fach e G leitsicherheit gegen "'" 5 fache fiir Schub vorhanden. Der aus dieser Beziehung sieh ergebende Wert der Teilung ist zu nehmen, sofem er nieht so klcin ist, daB die Nieten nicht mehr unterzubringen sind (t':> 2 • d), und sofem er nicht 50 groB ist, daB ein Verstemmen wirkungslos ist. also t' t S;; t", wobei fiir Verstemmen die Teilung


1 . (Oberdeckungsgrad) TeilungZur Ausflihrung gelangen nur Zahnformen, die aus einer geometriseh einfachen Erzeugung hervorgehen. Es sind dies Z ykloidenzăhne mit kreisformiger Eingrifflinie und E voi v e n ten z ă h n e mit ger ader Eingrifflinie. Satzrăder erhalten Zăhne mit sich deekenden Eingrifflinien, die einen zur Rădermitte verkehrt symmetrischen Verlauf aufweisen. Solche Răder greifen dann in allen GroBen richtig miteinander ein. J. Zykloidenverzahnung (Fig. 3). Die Eingrifflinie besteht aus zwei Kreisen mit den Radien !,lI und !,l2' die in der Rădermitte tangierend an .die Teilkreise RI und Rz gelegt werden. Die Zahnprofile entsprechen den Bahnen des Punktes C. die beim Wălzen der Eingriffkreise auf den TeilFig. 3· kreisen durchlaufen werden. Das Abrollen des auBerhalb liegenden Kreises Iiefert die Kopfflanke als Epizykloide. das Wălzen des innerhalb liegenden Kreises die FuBflanke als H ypozykloide. Bei der zeichnerischen Flankenermittlung werden zunăchst aui den Teil· und Eingriff.

kreisen gleiche Bogenteile entsprechend Fig. 3 eingetragen. Zwei in gleicher Bogenentfernung von C abstehende ~nkte des Te,l- un? Eingriffkreises bilden mit C ein Dreieck. das auf gleicher Grun~hme symmetrlsch ~bertragen wud. Der OIt der ftbertragenen Dreieckspitze ist dann ein

ZyklOldenpunkt; z. B. wu:d der Punkt P aus dem Dreieck C 3'3 dadurch erhalten, daJl man = 3' P und 3'3 = CP macht. Die Eingrifflinie besteht aus den beiden Bogenteilen AC und CE, ihre Gesamtlănge entspricht dem Eingriffbogen, da der Eingriff in der Eingrifflinie mit der TeilriBgeschwindigkeit fortschreitet. Es ist daher die C3

AcE

· 'ffdauer E = - - E mgn C()berdeckungsgrad) I Die GroLle der Eingriffkreise beeinfluBt die Zahnform und ihre Eingriffverhăltnisse. Beim GroLlerwerden des Eingriffkreises năhert sich die FuLlflanke

Stirnrăder

mit geraden

Zăhnen.

707

mehr der radialen Richtung, und es fălIt der FuBansatz schwăcher aus. Die Festigkeit des Zahnes vermindert sich daher mit zunehmenden Halbmessem der Eiugriffkreise, die auch uIlgtinstige Verhăltnisse hinsichtlich Gleiten. Reibung und Abniitzung schaffen. Dagegen fiihrt die VergroJ3erung der Eingriffkreise zu einer Verlăngerung des Eingriffes und zu geringeren Schrăgstellungen des Zahndruckes. Bei diesen ungleichen Beeinflussungen werden die giinstigsten Verhăltnisse erreicht durch eine Bemessung des im Teilkreise R iunenIiegenden Q = l/sR . Eingriffkreises Q von etwa Die iibliche Angabe fiir Zykloidensatzrăder macht die GroJ3e des Eingriffkreises abhăngig vom Teilungsmodul: 11 Q=

Fig. 4.

4

M = 0,875 t .

Fig. 5.

Fig. 4 zeigt die Verzahnung eines Hohlrades, das eine groBere Eingriffdauer aufweist als der Eingriff zweier auJ3enverzahnten Răder; auch schmiegen sich die Profile inniger aneinander. Die Flanken einer Zah nstange (Fig. 5) erhălt man durch das Wălzen der beiden Eingriffkreise auf der TeilriJ3geraden als gemeine Zykloiden. Die FuBflanke wird zur radialen Geraden (Fig. 4), sobald der Durchmesser des Eingriffkreises gleich dem Teilkreishalbmesser ist: 2 Q = R. Dieser FalI trifft nach der Satzrăderbemessung beim 11 zăhnigen Rade ein. Răder kleinster Zăhnezahlen erfordern eine abnormale Bemessung der Zăhne in Hohe und Stărke (Fig. 5). Der Durchmesser des Eingriffkreises wird hier bereits groBer als der Teilkreishalbmesser. Dadurch nimmt die FuJ3kurve einen entgegengesetzten KriimmungsverIauf an, der ZahnfuJ3 wird unterschnitten. Diese Zahnverschwăchung verringert man durch eine kiirzere Bemessung der FuBhOhe und Anordnung einer groBeren Zahnstărke (etwa 0,6 t) im Ritzel. Die notwendige Eingrifflănge sichert man sich durch eine lăngere Kopfhohe. Die Zykloidenzăhne zeigen insofern ein gtinstiges Verhalten, als die Auflage der erhabenen Kopfflăche in der hohlen FuBflăche zu einem innigen Anschmiegen der Zăhne fiihrt, wodurch Kantenpressung und Abniitzung verringert werden. Der VerIauf der Abniitzung iiber die Zahnlănge ist gleichmăBiger als bei Evolventen. Auch ergeben sich bei Satzrăderbemessun!{ leidliche Eingriffverhăltnisse fiir kleine Zăhnezahlen liber 11, Diesen giinstigen Eigenschaften von geringerem Belang stehen jedoch schwer· wiegend.. UnvolIkommenheiten gegeniiber. Zykloidenzăhne erfordern genaues Einhalten des Achsenabstandes; eine geringfiigige Ungenauigkeit bedingt schon fiihlbare UngleichmăJ3igkeiten im Gang. Die Maschinenbearbeitung der Zăhne ist zwar 45*

708

Maschinenteile. --

Zahnrăder.

, li'. \

\

\ \

\\

\

\ \

y; \

\

\

moglich, wird aber wegen der Umstănd­ lichkeit nicht ausgefiihrt. Die Anwendung &. der Zykloidenform beschrănkt sich daher nur auf unbearbeitetl' Zăhne . •• Evolventenverzahnung. Die Eingrifflinie (Fig. 6) ist eine Gerade unter dem Neigungswinkel (90° -IX) gegen die Răder­ mitte. Der Ergănzungswinkel IX wird als Eingriffwinkel des Evolvpntenzahnes bezeirhnpt: flirSatzrăder ist iiblich OI = 15°. Der DIN-Entwurf (1925) fiir die normale Zahnform sieht einen groBeren Eingriffwinkel IX = 20° vor, um das Ausfiihrungsgebiet der Satzrăder auf kleine Zăhne­ zahlen zu erweitern. Die Krelse mit den Radien '"1 = R 1 cOSIX und '"z = Rz cos OI , die in NI und NI die Eingriffgerade beriihren, sind die Grundkreise. Die Zahnflanken erhălt man als Evolventen durch Abwălzen der Eingriffgeraden auf den Grundkreisen. Die Eingriffdauer berechnet man aus dem Abschnitt K J K. der Eingriffgeraden innerhalb der beiden Kopfkreise mit K1 K2 B=---. t cos IX

Fig. 6. Besonders einfach ist die Gestalt dt's Zah nstangenzah nes (Fig. 12); da der Tangierungspunkt am Grundkreise ins Unendliche fălit, geM dit' Evolvente in eine Gerade liber, senkrecht zur Eingriffgeraden. Hohlrâder erhalten konkave Flanken (Fig. 7). Beim Aufzeiehnen der Evolvente isi zunăchst der FuBpunkt F am Crundkreis zu ermiltein (Fig. 8); man lihertrăgt den Abschuitt NC der Eiugriffgeraden im BogenrnaB auf den Grundkreis: &C = Ni. Das Eindrehen des Abschnittes NK der Eingrifflinie nach .. ,., wobei ;;N = CK, liefert den Kopfpunkt k. Da .. der Krllmmungsmittelpunkt der Evolvente isi, kann der Flankenteil in k als Kreisbogen vom Mittelpunkt" eingezeiehuet werden. In gleieher Art _ _-===":ţ=~1==7:-;:2~ ;:'~tt:~ Evolventenverlauf in Zwisehenpunklen

Bei Zăhnezahlen unter 75 liegt der Evolventenfu/3punkt F auJ3erhalb des Fu/3kreises. Der libliche Anschlu/3 der Flanke an den Radboden durch eint' radialE' Gerade (Fig. 6), die mii kleiner Rundung in den Fu/3kreis ijberflihrt wird, liefert schwache FuLlansâtze. Besser ist die Ausfijhrung eines verstârkten Ful3anschi usses (Fig. 8) durch eine verlângerte Epizykloide. die in F tangential an die Evolvente und in Po tangential an den FuLlkreis anschlieLlt. Zur Ermittlung von Po ist zunăchst auf Radmitte der Mittelpunkt n eines Kreises zu ermitteln. der den Ful3kreis in Po bE'riihrt und durch 30 reieht der eingreifende Tei! der ZahnfIanke selbst bei ZahnstangeneiogrifG;ieht mehr bis zum FuBpunkt F der Evolvente (Fig. 9). Die im normalen Kopfspiel 1/6 M vom FuBkreis abstehende Kopfgerade der Zahnstange schneidet in P die Eingriffgerade. Dureh Eindrehen des Punktes P auf das Zahnprofil erhălt mao die FuBIănge C p des Profils, die fiir die Paarung mit allen RadgrăBen bis zur Zahostange geniigt (bei Hohlradanordnung ist eine grăBere Uinge erforderlieh). Der FuBanschluB an den FuBkreis kann daher bereits im Puokte p tangierend, also senkrecht zu der von PC nach p c eingeFig. 9. drehten Geraden ansetzen. Zur Ermittlung des FuBpunktes Po der AnsehluLlkurve ist zunaehst auf Radruitte der Mittelpunkt o eines Kreises aufzusuehen, der den FuBkreis in Po beriihrt und dureh den Eingriffpunkt P geht. Aus o ist an die Eingriffgerade

ar

§fi ry,

ein Beriihrungskreis zu legen und auf seinem Umfange der Bogen ~ = C P einzutragen. Jm weiteren ist der friiher gesehilderte Vorgang einzuhalien. Auf der Eingrifflinie kann sieh eine Eingriffbetătlgung nur innerhalb der Punkte NI und N 2 (Fig. 6), die den Radmittelpunkten zunachst liegcn, vollziehen, da die Futlpunkte der Zahnevolventen in diesen Punkten den Eingriff abschlieBen. Ein ungestiirtes Eingriffverhalten wird erreicht, wenn die von den beiden Kopfkreisen begrenzte Eingriffstrecke KlK. im Bereiche N I N 2 verbleibt. Diese Bedingung besehrankt die Austtihrbarkeit normaler Satzrader (Kopfhiihe h' = M) auf die Zahnezahlen ZI :::> 20 24 26 28 30 bei", = 15°, Zi ~ 13 15 16 17 18 bei", = 20°, fur "'Obersetzungen

~ = ZI

1

2

4

8

00 •

Die Grenzwerte gelten fiir AuLJenrauanordnung; die Hohlradanordnung erfordert băhere Mindestzăhnezahlen.

Maschinenteile. - Zahnrader.

710

Bei kleinerer Zăhnezahl ist im eingreifenden Rade eine Kiirzung der normalen Kopfhohe um die Flanken1ănge Sn (Fig. 11) vorzunehmen, 50 daB der Kopfkreis durch den Grenzpunkt NI des verwendbaren Eingriffgebietes der Eingrifflinie geht (Fig. 10). Die kleinste noch ausfiilirbare Z ă h nes u m m e ei nes Satzrădergetriebes mit geklirzter Kopfhohe betrăgt fiir IX = 15° (ZI Z2) = 24 bei einer Eingriffdauer B = 1,02. Mit der Zăhnezahl des kleinen Rades kann man dabei bis auf ZI = 8 heruntergehen. Da Rader mit Zahnezahlen unter 16 immer in gekiirzte Zahnkopfe eingreifen, ist auch eine Kiirzung der FuBtiefe hf = X~' M zulăssig, wodurch das sonst

+

Fig. 11. Um1chtlge Ausfllhrung.

iibergroLle Kopfspiel herabgemindert wird. Es betragen die auf den Modul M bezogenen Verhăltniswerte der gekiirzten FuBtiefen:

= 8 10 12 14 16 bei", = 15° =0,49 0,61 0,74 0,91 1,12. Durch Einhalten der notwendigen Kopfkiirzungen und der etwaigen FuS. kiirzung, sowie durcb Ausbilden verstarkter FuSanschliisse,lăLlt sich, unbeschadet des Satzrădercharakters, auch fiir kleine Zăhnezablen noch ein halbweg b&friedigendes Eingriffbild schaffen (Fig. 10). Dagegen fiihrt das Festhalten d('T normalen Zalmhohe und des radialen FuSanschlusses zu einer glOb fehlerhaften Ausfiihrung wegen der zu weit vorstehenden Zahnkopfe (Fig. 11). Die Zahn. spitze S des Rades Rz durchlăuft dann in r!:lativer Bewegung (Rad R 1 fest· gehalten, Rad Rz auf Rad R1 abrollend) die Bahn einer verlăngerten Epizykloide, die zum Teil in den FuLl des Rades R 1 eindringt. Da eine den ungehinderten Durchlauf der Zahnspitze ermoglichende Unterschneidung des ZahnfuBes bei eingeformten und formgefrăsten Zăhnen unausfiihrbar ist, kann das SpieBen der Zăhne nur durch Belassen eines reichlichen Flankenspieles verhindert werden. Der Eingriff bleibt tlOtzdem fehler' baft, weil die Zahnspitze S den Eingriff vor· zeitig am radialen FuBe mit stark geăndertem tlbersetzungsverbăltnis be~innt. , Diese aus der feblenden Unterschneidung sicb ergebende Feblerbaftigkeit der Eingriffbetatigung entfăllt bei Zăhnen, die nach dem Wălzverfabren ge. fiir

Z

~f

Stirnrăder

mit geraden

711

Zăhnen.

schnitten slnd. Hier răumt die Spitze S des als Zahnstangenzahn ausgebildeten Schneidwerkzeuges den ZahnfuJ3 geniigend weit aus (Fig. 121, so daJ3 die ein· greifende Zahnspitze im Getriebeeingriff freien Durchgang vorflndet. Bei einer derartigen Untersch neid ung des ZahnfuBes wird jedoch auch ein an den FuJ3punkt der Evolvente anschlieBender Evolventenzahnteil weggenommen. Durch den Entfall des EvolventenfuJ3es wird das Eingriffgebiet der Zahnevol· vente, das sonst bis zum Punkt N der Eingrifflinie reichen wtirde, auf die Strecke MK gekiirzt. Die Lănge der Eingriffminderung betrăgt bei leichten Unter. schneidungen etwa N M = 0,5 P'N . Unterschneidungen des ZahnfuBes stellen sich bei der Bearbeitung nach dem Wălzverfahren fiir ein Kopfspiel von Ils M bei Zăhnezahlen unter 35 (O/: 15 O) und 20 (O/: = 20 O) ein. Durch die auftretende Eingriffminderung ist die Grenze der Ausfiihrbarkeit bei einer Mindestzăhnezahl ZI = 14 (O/: = 15 O) und 11 (O/: =20 O) erreicht, die nur noch eine Eingriffdauer von E= 1,09 aufweist. Die kleinste ausfiihrbare Zăhnesumme ist ZI Z2 = 38 (O/: = 15 0 ) und 27 (O/: = 20 0 ) . Der Vorteil der Evolventellzăhne besteht in der Unempfindlichkeit gegen unrichtigen Achsenabstand. Beim Auseinanderriicken der Răder bleiben das 'UbersetzungsverhaItnis und der richtige Zahnelngriff gewahrt; die Eingriff· gerade folgt tangierend den Grundkreisen. Dabei vergroJ3ert sich das tangen· tiale Flankenspiel etwa um den halben Betrag der Radabriickung. Ein zweiter Vorteilliegt in der Einfachheit der Zahngestaltung, die die Aus· fiihrung erleichtert und einen hoheren Genauigkeitsgrad zu errE'ichen gestattet. Giinstig ftir die Bearbeitung ist nicht aIIeln der Umstand, daB der eingreifende Zahnteil nur einen einzigen FIăchenverlauf von geometrisch einfacher Erzeugung aufweist, sondem auch die ebene Zahnflăche der Evolventenzahnstange. Ihre 'Ubertragung auf das SchneidwerkzE'ug fiihrt zu gpraden Schneidkanten und ein· fachen Bewegungsvorgăngen in den Bearbeitungsmaschinen. Das Anschmiegen der Evolventenzăhne ist wegen der konvexen Zahnform uicht 50 innig wie bei den Zykloiden. Besonders ungiinstige Abniitzungsver. hăltnisse bestehen fUr den am EvolventenfuJ3punkt anschlleBenden FIankenteil, dessen Ausschaltung vom Eingriff bei rasch laufenden Rădern wiinschenswert ist. Die Unvollkommenheit der Evolventenzăhne bei kleinen Zăhnezahlen ver· ursacht die Satzrăderbeschrănkung. Macht man sich jedoch von der Satzrăder· bemessung unabhăngig, 50 gelangt man durch Wahl geeigneter Angaben noch bei den :-f-"=:=r;;,.=;;~~==*:;2b kleinsten Zăhnezahlen zu befriedigenden Aus· fiihrungen. Durch ZahnhOhenverschiebung und VergroJ3erung des Eingriffwinkels el lăJ3t sich das Eingriffbild kleiner Zăhnezahlen wesentlich bessern.

=

+

Bei der AEG Venahnung (Fig. 13) wird unter Beibehaltung des normalen Eingriffwinkels a; - 15° Fig. 13. eine ZahnhBhenverschiebung im Betrage des halben Moduls M vorgenommen. Diese Verschiebung schlie6t Unregelmă6igkeiten aus bel Zilhnezahlen liber 14 und Obersetzungen Ober 1 : 3; gilnstigere Anordnungen ergeben sicb ledoch erst bei Aus· ffihrungen ilber diesen Grenzwerten (1 : 4). Zur Ausgleichung der Verscbiedenheit in den Fu6· stărken wird die Zahustărke am Teilkreis 0,6 t im kleinen und 0,4 t im gro6en Rade gchalten. GleichmăBig giinstige Ausfiihrungsverhăltnisse bei kleinen Zăhnezahlen sind nur mit Sonderverzah n ungen (Abschnitt El zu erreichen, bei denen die Zahnhohenverschiebung und die GroJ3e des Eingriffwinkels den Zăhnezahlen des Getriebes angepaBt sind. S. Triebstockverzahnung. Bei dieser Verzahnung werden die Zăhne des einen Rades durch zylindrische Bolzen ersetzt, deren Mittel im TeiJkreis stehen. Die Eingrifflinie ermittelt man aus dem aIlgemeinen Verzahnungsgesetze; sie stimmt bei der Zahnstange mit der Teilgeraden iiberein. Die Zahnflanke des eingreifenden Rades erhălt man aus der Rollinie (Epizykloide bei einem Trieb· stockrad, Evolvente bei einer Zahnstange), die der Bolzenmittelpunkt beim

Maschinenteile. - Zahnriider.

712

Wiilzen des Triebstockes auf dem Rade durchliiuft. Auf der Rollinie eingezeichnete Bolzenkreise hlillen die Zahnllanke ein. Bolzenstărke d = 1%0 t. Der FuB der Zahnllicke wird durch einen Halbkreis begrenzt und die Kopfhohe so groB bemessen. daB der Eingriffbogen groBer a1s die Teilung wird. was nur bei __ --i einer Ziihnezahl iiber 8 moglich ist. i Wegen des kurzen Eingriffs und der raschen ·î Bolzenabniitzung wird die Verzahnung nur selten angewendet. Be1iebt ist sie bei den Zahnstangen der Schiitzenaufziige (Fig. 14) wegen ihrer Ein· fachheit und der kriiftigen Ausgestaltung der Zahnstange. bestehend aus zwei Flacheisen mit eingenieteten Bolzen. Die Zahnstange fiihrt sich an der Radnabe und einer Stiitzrolle. Die Unge der Bolzen wird bemessen mit 1 = 3.6 d bei guBeisemen Ziihnen. 1 = 1.8 d bei schmiedeeisernen und StahlguB. ziihnen. 6. Zahnrelbung und Abniibung. Durch den Gleiteingriff der Flanken geht bei der Ubertragung von N pferdestiirken eine Leistung verloren von

N r

ţt:n:(~ ± ~)eN,

=

2

ZI

Z2

wobei e = Eingriffdauer und ţt = 0,1 bis 0,25 je nach Schmierung und Fliichenbeschaffenheit der Zăhne (negatives Vorzeichen fiir Hohlriider). Die am Eingriff beteiligte Zahnflăche des Fig. 14. kleinen Rades ist etwa f = EI sin ~. b ZI (~ = Ein· griffwinkel) . Bestimmend fiir den Durchschnlttswert der Flankenabnlitzung ist die auf 1 cm2 Zahnflăche entfallende Reibungsleistung

' A

N r = _ ţt:n:,_(~

f

2sin~

!

ZI

+ _!...)~ . Z2

btz1

Danach ist die Zahnabniit-----/-o~I-------:::-~ zung. die sich bei der Ubertra:..-_- ~/' ,::;:"= -'-.:.-= ' = - - 0 ~,;;;.':'-;:::" - gung einer Leistung N einstellt. __ -,- ,_' :::::-__ , --'- abhaugigvon den HauptgroBen _ / _~__ -I des Rades. also der Zăhnezahl - -, F· 1~ F· ZI' der Zahnbreite b und dem 1It. • Ig. 1 • Raddurchmesser DI. Die Einfiihrung der Umlaufszahlen nI' n 2 und der Leistung I

d

75N=P zltn1__ wandelt den Ausdruck um in

~

T

Der Klammerausdruck

=

60 . 100

[P 900000 sin~ ţt:n:

bZI (nI

P w = -(nI bZI

+ n 2) 1•

+ n 2)

die bestimmenden EinfJuBgroBeu der spezifischen Abnlitzung; Zahlenangaben fiir w dienen als Vergleichswerte fiir iilmliche Getriebeausfiihrungen. Der Zahn erleidet durch die Reibung eine ungleiche Abniitzung; in Fig. 15 ist fiir den Zykloidenzahn und in Fig. 16 fiir den Evolventenzahn durch die Lauge der Schraffen das verauderliche MaB der Einwirkung dargestellt. unter der sich die Abniitzung in den einzelnen Zahnpunkten vollzieht. Der Zykloidenzahn zeigt enthălt

Stirnrăder

mit geraden

Zăhnell.

713

einen gleichmăBigeren Verlauf der Ahntitzung. Besonders groBen Abntitzungen ist beim Evolventenzahn der unmittelbar an den EvolventenfuBpunkt an. schlieBende FuBteiI ausgesetzt. dessen AusschluB vom Eingriff bei sorgfăltigen Ausftihrungen empfehlenswert ist. Durch die ungleiche Abntitzung stellt sich eine Profi1ănderung ein. Damit geht die Richtigkeit des Eingriffes verloren. und der Gang des Getriebes wird un. ruhiger. Noch sterender auf die Ruhe des Ganges wirkt der Umstand ein. daB hei Flankenabntitzung die Kopfkante des eingreifenden Zahnes geniitigt ist. auBerhalb des abgentitzten ZahnteiIs kf (Fig. 17) den Auslauf im ZahnfuB heraus. zuschaben. Diese Frăserwirkung der stumpfen Kopfkante ruft einen stark von der tangentialen Richt ung abweichenden Druck hervor. der die A: Ursache von Erzitterungen der Răder und sogar von Kranz· brtichen werden kann. _ ._. \..._ Zum Arbeitsverlust eines Getriebes tragen die Zahnreibung. ' die Lagerreibung des Zahndruckes und bei Ungenauigkeiten auch ,~ das Schaben der Kopfkanten bei; diese letzteren Einwirkungen . ," iiberragen die Zahnreibung. Beim Einbeziehen aller Verluste FIg. 17. betriigt der Gesam twir k u ngsgrad etwa 1] = 0.92 fiir minder sorgfiiltige Ausfiiilrungen mit unbearbeiteten Ziihnen. 1] = 0.95 fiir bearbeitete Ziihne und zureichende Schmierung. 7. Folgewirkungen von Ausfiihrungsfehlern. Die Zahnriider sind hinsicht· lich der Ruhe des Ganges sehr empfindlich. Geringe Fehler in der Aufstellung und Ausfiihrung zeitigen bereits unerwartet groBe GangunregelmiiBigkeiten. Eine der sterendsten Erscheinungen ist der Kanteneingriff liings der Bogenstiicke k 2 K 2 und k 1 Kl' die sich an die Linie K2Kl des richtigen Fliichen· eingriffs der Zăhne angliedern (Fig. 18). Der treibende ZahnfuB erfaBt hierbei die Zahnkopfkante des zweiten Rades schon vor Beginn des eigentlichen Ein· griffs. wiihrend dariiber hinaus noch die Auf- . I •

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~:~nd~:~re~~:~i~~ ~~~:~:;~.a~::t~e::~:~ ii"~

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~;~/._._.

eingriff geht unter schabender Wirkung der . -' ....~--r·-:·_· ~ Kopfkante vor sich. Diese unerwtinschte Art Ăik ' II der Ein wirkung verursacht nicht nur groBere ' 'i ' Abniitzungen. sondern auch erhebliche Schwan· Fig. 18. kungen des tibersetzungsverhăltnisses. Zur Er· haltung der Gangruhe ist es unbedingt erforderlich. die Moglichkeit eines solchen Eingriffs auszuschlieBen. Der Kanteneingriff stellt sich als Folgeerscheinung iiberall dort ein. wo Un· regelmăBigkeiten im eigentlichen FIăcheneingriff der Zăhne ein Zurtickbleiben oder Vorgehen des getriebenen Rades veranlassen; ihm fălit die Rolle einer aus· gleichenden Betătigung zu. Beim Zuriickbleiben des Rades besorgt der vordere Kanteneingriff die erforderliche Vordrehung; ein Vorgehen wird durch hinteren Kanteneingriff ausgeglichen. Bei Fehlerhaftigkeit erstreckt sich der Eingriffbereich eines Flankenpaares nur auf einen Eingriffbogen gleich der Teilungslănge. der oft nicht ununterbrochen durchlaufen wird. da der Eingriff zwischen zwei benachbarten Zăhnen hin· und herspringen kann. Der trbergang des Eingriffes von Zahn zu Zahn geht unter StoB vor sich. Besonders groBe StoBwerte stellen sich beim Kanteneingriff ein. den man durch Zuriicksetzen der Kopfflanke gegen die theoretisch richtige Form ver· meidet. Vorstehende Kopfkanten fiihren stets zu Kanteneingriff. TeiIungsfehler werden durch verspiitete oder verfriihte Eingriffe iiberwunden. wobei sich weit erheblichere StoBwirkungen einstellen als bei Profilfehlern. Ruhig laufende Răder miissen deshalb mit einem ăuBerst genauen Teilmechanismus bearbeitet werden. Bei GroBleistungsgetrieben wird eine TeiIungsgenauigkeit von etwa 0.01 mm verlangt.

714

Maschinenteile. -

Zahnrăder.

8. Bearbeitung ist vorzunehmen bei Rădern mit einer Umlaufgescbwindigkeit liber 2 m: 1. Mitte1s Scbeibenfrăser. dessen Profil genau der Zabnliicke entspricht. Herstellung in einem Arbeitsgange. Nacb dem Riick1auf des Frăsers wird das Rad um eine Teilung gedrebt. Das Frăserprofil ist bestimmt durcb die Angabe von Teilung und Zăhnezabl ,. Verwendet man einen solchen Frăser zum Ausschneiden einer gr6Beren Zăhnezahl. so wird die Bearbeitung feblerbaft. Gebrauchlicb ist ein 8 teiliger Formfrasersatz in den Abstufungen: Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 • 12-13 14-16 17-20 21-25 26-34 35-54 55-134 135-00 Flir gr811ere Teilungen werden aucb Zwisebennummem geliefer1. Das Formfrasen ist ein viei verwendetes Verfabren, das bei sorgfăltiger Frăserausf!ihrung aucb genaue Erzeugnisse liefert. 2. Durcb Hobeln und StoBen mitte1s Spitzstiebe1s. der an einer Lebre gefiibrt wird. Zabnfliicben fallen riefig aus. Nor bei wenigen Maschinen zurn Ausarbeiten groBer Teilungen in Anwendung. 3. Naeb dem Wălzverfabren. Das WOIkzeug OIbălt eine aIs Zabnf1anke ausgebildete Sehneide und wird dem zu bearbeitenden Rade gegeniiber einer relativen Bewegung unterworfen, die dem Abrollen der dOI Zabnscbneide entsprecbenden RadgrijBe gleiehkommt. Hierbei entstehen glatte Zahnf1ăeben. Das Werkzeug kann ausgebildet wOIden: a) aIs Stirurad (. - 24 beim Fellowverfabren). mit dessen Zahnschneiden die Zabnllicken ausgestoBen werden. b) aIs Scbneckenfrăser. dessen 'Achse um den mittleren Steigungswinkel der Scbnecke schrag zur Radebene eingestellt wird, so daB die Scbraubengănge in die Richtung der Zabnliicken faIlen. Beim Vorschub des Frăsers paraIlei zor Radacbse werden die LIicken ausgeschnitten, sobaId Rad und Fraser zwanglaufig im Obersetzungsverhăltnis angetrieben werden. Mit einem Frăser lassen sich alle Zăhnezablen ausscbneiden, docb sind die Zabuformen nur nabezu richtig. c) aIs mebrzahnige Zabnstange (Verfabren Maag). deren Zahnschneiden die Liicken ausbobeln. Das Verfabren liefert vollstăndig genaue Zăhne und ist auch fUr das Ausarbeiten von Zabnformen mit Profilahr!ickung verwendbar. Der Ersatz der Zabnschneiden durcb eine Scbleifscbeibe gestattet da. Ausscblelfen der Zabnf1ăehen.

B. Stiroriider mit Schraubenziihoen. Der Sehraubenzahn entsteht aus einer gleichmăBigen Verdrehung des Zahnprofils im Breitenverlauf des Rade.; der Sehnitt der Zahnflăehe mit dem TeiiriLlzylinder ist eine Sehraubenlinie vom Steigungswinkel {J (Fig. 20). Der Schraubenzahn steht unter dem Winkel (90 o - (J) sehrăg gegen die Riehtung des geraden Zahnes. Der Sehraubenverlauf der Zăhne eines Getriebes hat in einem Rade rechtsgăngigen, im eingreifenden Rad linksgăngigen Steigungssinn. "'" Die am Teilkreis gemessene Profilverdrehung innerhalb der Zahnbreite b (Fig. 19) ist der Sprung t, = b cot {J • Der Eingriff, der beim geraden Zahn nur auf die Eingriffdauer 8 p der Zahnflanke besehrănkt bleibt, wird beim Schraubenzahn durch den Sprung verlăngert. Es ist die gesamte Eingriffdauer b B=8p

i

+T cot p.

Wăhrend die Auflage gerader Zăhne stets in der ganzen Radbreite vor sich geht, beginnt der Eingriff des Schraubenzahnes in einem Punkte A und verbreitet sich allmăhlich in Linienberlihrung 1, 2, 3 ... (gerade Linien bei Evolventenzăhnen) liber die valle Zahnbreite. bis er schlieLllich in einem Punkte E endet. Das allmăhliche Eintreten der Zăhne in die valle Eingriffbetătigung, sowie der um den Sprung verlăngerte Eingriff sichem den Rădem mit Schrauben. zăhnen einen ruhigeren Gang, als er unter sonst gleichen Umstănden bei geraden Zăhnen zu erwarten ist.

Fig. 19.

mit

Stirnrăder

715

Scbraubenzăbnen.

Das Zabnprofil in der Radebene ist ein schrăger Scbnitt des Scbraubenzabnes. Das eigentlicbe Querschnittsprofil ergibt der Nor malscb ni t t mit einer Ebene, senkrecbt zur Scbraubenlinie des TeilriBzylinders (Fig. 20). Diese Ebene schneidet den TeilriBzylinder in einer Ellipse. deren glOBe Achse a =

-c~- und deren kleine

smfl Achse b = R ist. Ibr Kriimmungskreis im Punkte C ist der Teilkreis des Normal. scbnittes vom Halbmesser R,.

a2

=b

R

= sin2 fl

.

Die Zahnteilung t,. im Normalschnitt. die im Gegensatz zur Stirnteilung taIs Normalteilung bezeichnet wird. betrăgt In = t sinfl. Im Normalschnitt kann somit die Zabngestaltung eines Rades mit Scbraubenzăhnen, dessen BestimmungsgroBen t. z und fl sind, angenăbert ersetzt werden durcb die Verzabnung eines geradzăbni­ gen Rades von den BestimmungsgroBen tn und

zn =

2R"lr

t

n-

Z

= sin 3

fJ .

1

l . -1 ': ~1

Dieser Umstand ermoglicbt die Anwendung der Scbneidwerkzeuge fiir die geraden Zăhne. sobald der Teilungsmodul M des Scbraubenzahnes auf den Nor· malschnitt bezogen wird :

"'"

.L :

I

I

1l,:~~~~~~~~~__~__~~+J i~

Fig. 20.

zM

Der Teilkreishalbmesser R = -----:--;'i kann wegen des Wertes sinfl nicbt in einem 2sm/-, ganzen MaB ausgedriickt werden. Die Zahnhohenbemessung ist: Kopfhobe h' = M. FuBtiefe h" =

7/6

M .

. Angewendet wird ausscblieBlich die Evolventenverzahnung. Bei einem Eingriffwinkel 0(,. im Normalschnitt nimmt die Eingriffebene des Rades einen Neigungswinkel (90 ° - O() gegen die Radmitte ein, bestimmt durcb tg 0(,. tgOi = - - - . sinfl Bei dem Satzrăderwinkel 0(,. = 15 °im Normalschnitt vergroBert sicb daber der Eingriffwinkel OI in der Radebene auf 01= 17°11'30" bei P=60°,

0(=20°45'13" bei P=45°.

Die Mindestzăhnezahl der einwandfreien Zahngestaltunl1 nach der Satzraderbemessung betrăgt z=20 bei {J=60°, z = 12 bei {J = 45°.

716

Maschinenteile. -

Zahnrăder.

Fiir kleinere Zăhnezahlen. bis auf 3. ist Sonderverzahnung (Abschnitt E) durch· zufiihren. Bei der nbertragung einer Umfangskraft P stellt sich durch den schrăg ge· richteten Zahndruck Pn eine Axialkraft p. = PcotfJ ein. deren Abstiitzung in der Lagerung einen Reibungsverlust verursacht. Dieser Umstand lăJ3t nur kleinere Zahnschrăgen (etwa bis 30°) bei einfachen Schraubenzăhnen zu. Frei von einemAxialschub sind doppelte Schraubenzăhne. deren Schraubenverlauf auf den beiden Radhălften entgegengesetzten Steigungssinn aufweist. Ist der Zahnzusammenhang in der Winkelspitze / nicht unterbrochen. so benennt man diese - '. Ausgestaltung als pfeilzăh ne (Fig. 21) Bei gleichzeitiger Auflage der beiden Zahn· hălften heben sich die Axialkomponenten des Zahndruckes gegenseitig auf. was durch eine seJbsttătige Einstellung des Ritzels er· zielt wird. Kleine Ritzel werden durch Aufsetzen auf zwei um 180· versetzte Fedem Fig. 21. verschiebbar gehalten. Besser ist es jedoch. die Einstellbarkeit auf die Ritzelwelle auszudehnen. was durch Anordnung einer IăngsverschiebIichen Kupplung und BeJassen eines geringen axialen SpieJes in den Lagem erreicht wird. Den pfeilzăhnen kommt eine groBe Widerstandsfăhigkeit zu. wenn die Winkelspitze in der Drehrichtung vorangeht. Da bei Fehlerhaftigkeit der Ein· griffbeginn eines Zahnes immer mit StoB einsetzt. so trifft dann eine solche StoBwirkung den pfeilzahn an der Winkelspitze, dem widerstandsfăhigsten Teil des Zahnes. Bei Rădem mit wechselnder Drehrichtung wird der Schrauben· verlauf der Zăhne zweimal gebrochen (Fig. 22). Die Ausfiihrungen der pfeilzăhne zeigen Steigungswinkel von fJ = 60· bis 45· und Zahnbreiten von b = 3 t bis 5 t • Bei sehr hohen Leistungen fiihrt man noch Fig. 22. groBere Zahnbreiten aus.

~

Bearbeilllng. pfeilzăhne ohne Zahnunterbrechung in der Mitte konnen nur mit einem Fingerfrăser ausgearbeitet werden. Da der Frăser die Zahnlllcke in der Winkelspitze ungenfigend weit ausschneidet, muJ3 die ausspringende Lfickenseite durch eine Nachbearbeitung um den Mittelpunkt m (Fig. 21) abgerundet werden, wodurch die Zahnmitte im Bereiche der Aus· nehmungszone Il: der Eingriffbetătigung entzogen wird. AUe iibrigen Bearbeitungsverfahren erfordern einen freien Aus\auf {fir das Schneidwerkzeng, somit eine Zahnunterbrechung in genfigender Weite Il: bei doppelten Schraubenzăbnen. Die Bearbeitung mit geformtem Scheibenfrăser, der in die Richtung des Schraubenverlaufes eingesteUt wird, ist zwar einfach, aber nicht besonders genau, an ..endbar ist diese Bearbeitung wegen ihrer Unrichtigkeit nur bei groBen Zăhnezahlen und Zahnschrăgen unter 30·. Genauere Ergebnisse liefert der SChneckenfrăser, der auch ziemJich allgemein _um Aus· schneiden von genauen und groBen Rădern verwendet wird. Vollstăndig genaue Zăhne werden beim Aushobe1n mit einem Zahnstangenstichel nach dem Wălzverfahren erhalten. Anzuwenden ist dieses Verfahren insbesondere beim Ausschneiden von Ideinen Zăhnezahlen und gro1len Zahuschrăgen, bei denen a1le IIbrigen Bearbeitungen zu ungenaue Ergebnisse liefern.

Anwendung. 1. Wegen der groBen Festigkeit kommen die pfeilzăhne zur Ausfiihrung bei schweren. stoBenden Antrieben. so z. B. bei Pumpen. Winden. Walzwerken usw. . 2. Wegen der groBen Eingriffdauer kann man auf sehr kleine Zăhnezahlen (z = 3) im Ritzel heruntergehen und hiermit groBe Ubersetzungen (t : 30) er· zielen. Solche hoch iibersetzende Getriebe werden beim Antrieb von Elektro· motoren verwendet; sie arbeiten wirtschaftlicher (Wirkungsgrad bis 95 vH er· reichbar) als die Schneckentriebe.

Kegelriider mit geraden Ziihnen.

717

3. Wegen des giinstigen Eingriffverhaltens Iaufen Răder mit doppeIten Schraubenzăhnen noch bei sehr hohen UmIaufgeschwindigkeiten (bis 60 m) mit einem ertrăgIichen Ganggerăusch. Dieser Umstand, im Verein mit der groBen iJbersetzungsfăhigkeit (bis 1 : 16), wird heute in groBem MaBstabe ausgeniitzt beim Bau von GroBzahnradgetrieben fUr die Geschwindigkeitsminderung der Dampfturbinenleistungen.

c.

Kegelrăder mit geraden Zăhnen. Ein KegeIrădertrieb weist zwei Kegelflăchen aut, TeiIriBkegel genannt, die bei der Drehung ohne Gleiten abrollen (Fig. 23). Fiir den Punkt eder gemeinsamen Beriihrungskante oe gilt die Beziehung

R 1 001 = Rz 00 2 • Als Teilkreishalbmesser R 1 Re werden die Halbmesser der griiBten Kreise bezeichnet; die Zahnbreite b wird lăngs der Kegelkante gemessen. Die Kantenwinkel 9'19'2 der TeilriBkegel sind aus der Ubersetzung ; = sin 'Pl = R 1 = ~ = sin 'Pe Re ze und dem Achsenwinkel bestimmt mit

tp = 9'1

kt1l'lJl.Ire.feI

002 001

+ 'Pe

+

~ + cos"i'

~ cos"i' cot 'Pa = z--'e"--.,--__ sm"i' SlD"i' Fiir rechtwinklig sich schneidende Achsen ("i' = 90°) gilt

cot 'Pl =

-'Zl'--c.;--_ _

tg'PI=~' tg'PI=~.

zI '1 Ein Sonderfall (entsprechend der Zahnstange bei Stimrădem) besteht fiir 'PI = 90°; der TeilriBkegel geht in eine Planfliiche iiber. Eine solche Radgestaltung bezeichnet man als Planrad (Fig. 24). I Die Zahnfliichen sind Geradenfl1ichen, iO deren Erzeugende durch die Kegelspitze O I gehen. Die Zăhne werden seitlich durch die i ".~ Mantelfliichen der Ergănzungskegel abgegrenzt, deren Kanten senkrecht auf oe I stehen. I H. Die Zalmflanken werden angenăhert in P'*R~~c-1i>. einer Ebene senkrecht zu oe (Fig. 25) ermittelt. Der DurchstoBpunkt der Radachse in dieser Eben~ wird als der Drehmittelpunkt 0I und die Liinge der Ergănzungskegelkante als Ri Teilkreishalbmesser angesehen:

1- .

RI

Ri=--· cos 'PI Auf Grund dieser Annahme wird die VerzaltFig. 24. nung als StimradverzaltFig. 25. nung durchgefiihrt. Die Teilung entspricht der Umfangsteilung t des Teilkreises RI' und Zaltnhohe wird nach der Satzrăderangabe bemessen.

die

Mascbinenteile. -

718

Zabnrăder.

Die derart ermittelten Flanken tibertragt man in der Ausftihrung aui die MantelfIache des Erganzungskegels. Die ZahnausbiJdung eines Kegelrades von der Zahnezahl '1 und dem Kegelwinkel 'Pl entspricht somit der Zahngestaltung eines Stirnrades von gleicher TeiJung und der Zahnezah!

, '1 '1COS 'Pl

---o

lm Eingriffbild des Getriebes zeigt sich bei V' =90' ein Obersetzungsverhăltnis im quadra tischen Wert der eigenen Obersetzung:

z~ = (~)'_ Z'1

Zi

Bei der Ubertragung einer am mittleren Halbmesser Rm reduzierten Umfangskraft P (Fig. 25) stellt sich wegen des schrăg gerichteten Zahndruckes ein Axialschub p. = P tg IX' sin 'Pl ein, der das Rad auBer Eingriff herauszuschieben trachtet und deshalb in der Lagerung des Getriebes aufgefangen werden muB_ Bearbeltung: 1_ durch einseitiges Ausschneiden der Zalmflăchen mit Scheibenfraser, der Iăngs der Fullkante des Zahnes geftihrt wird_ Wegen der Unverănderlichkeit des Schneidprofiles ist die Bearbeitung ungenau; 2. durch HobeIn mit Spitzstichel, der an einer Lehre gefl!hrt "ird. Zahnflăchen faUen riefig aus; 3. nach dem Abwălzverfahren, das glatte und genaue Zahnfliichen liefert. Das Werkzeug erhălt gerade Schneidkanten entsprechend den geraden Zahnflanken des Planrades bei Evolventenverzahnung. Auf der Bilgrammaschine werden zum Schneiden Hobelmesser, aui der Warrenmaschine Scheibenfrăser verwendet.

D. Kegelriider mit Schraubenziihnen. Die Scbraubenzăhne (Fig. 51) bieten die gleicben Vorteile wie bei Stimradem. Eine deutliche Vorstellung von ibrer Gestaltung erlangt man, wenn

Fig. 26.

Fig. 27.

man den Schraubenverlauf aus dem Eingriff mit dem fiir beide Rader eines Getriebes gemeinsamen Planrade ableitet_ Der Verlauf des Planradzahnes ist in der ebenen TeilriBflache durch eine Leitlinie L bestimmt. Die Aufwicklung der

Sonderverzahnung.

719

Leitlinie auf dem TeilriBkegel ergibt die Schrauben1inie. Iăngs we1cher der Zahn am Rade aufzusetzen ist. Die geometrische Form der Leitlinie hăngt vom Be· arbeitungsverfahren ab. 1. Die Leitlinie ist eine Gerade (Fig. 26) beim AushobeJn der Zăhne nach dem Wălzverfahren auf der BiJgrammaschine. Der Stichelhub wird schrăg gegen die Kegelkante angesetzt. Der Ersatz des Stichels durch eine Schleifscheibe er· moglicht das Schleifen der Zahnflăchen. 2. Die Leitlinie ist ein Kreis (Fig. 27) beim Ausschneiden mit einem um die Achse m drehenden Messerkopf nach dem Wălzverfahren. 3. Die Leitlinie ist eine archimedische Spirale (Fig. 28) beim Frăsen der Zahnliicken mit einem Fingerfrăser. der bei gleichzeitiger Drehung des Rades Iăngs der FuBkante des Zahnes gefiihrt wird. Durch die Zunahme des Steigungs· winkels {J und die Abnahme der Zahnhohe ergibt sich nahezu die notwendige proportionale Verjiingung der Umfangsliickenweite gegen die Kegelspitze. Das EvolventenfrăserprofiJ ist zu entwerfen 00 fiir die NormalteiJung der Zahnmitte ///,1" am Halbmesser R",

/ I / ~i q? ./ 3 31:. v> 9 m) und das gr61lere Rad van Wasserturbinenantrieben in den Radkranz eingesetzte Holzzăhne. Nabe. Meist aufgekeilt. mitunter fiir genau laufende Răder auf konisehem Wellenabsatz mit Sehraubenmutter unter Einlage einer Feder aufgeklemmt. um der Gefahr eines Verziehens durch die Aufkeilung auszu""'Z:L weichen. NabenstărkefiirGuB· eisen ij = 0,4 d 1 em, fiir StahlguB ij = 0,3 d 1 em, \ Nabenlănge L ::> 1,5 d; lange \\\ Naben in der Mitte ausgenommen nach Fig. 42. \\\ \\\ I Zahnkranz. Stărke etwa 1.2t+~3~E=4-+1JJJ] b h 0.5 t; ist dureh Kranzrippen ;;'l ~ 1;1 ezw. a zu verstărken. Bei Kegelrădem /I ist der Kranz entlang der ~ 'it Breite gleich stark zu halten. Fig. 41. Vm das Tonen rasch laufender Răder zu vermeiden, erhălt der hohle Zahnkranz einen AusguB von BIei oder Zement. Filzlagen an beiden Radseiten. durch eine Blechverschalung abgedeckt. dienen dem gleichen Zwecke. Arme. Armzahl i = 4 bis 8, bei geteilten Rădem durch 2 teilbar; bei Holzzăhnen muB die Zăhnezahl ein Vielfaches der Armzahl sein. Der Armquersehnitt wird als Rippenquersehnitt in 1- -, +-, H-, I-Form je naeh Bedarf ausgeflihrt. Die Hauptrippen werden bei gleichbleibender Stărke gegen den Vmfang auf 0,8 der inneren Breite verjlingt. Rippenstărke b1 , etwa gleich der Zahnstărke. Armbreite h 2 = 5 b1 bis 7 b1 • Der Arm ist nur mit einem Teile der Vmfangskraft P im Betrage von etwa t der Armzahl i belastet; unter Vemachlăssigung der Breitrippe wird der Armquerschnitt (Fig.41) auf Biegung berechnet nach

+

+

mr

/1;*t.-

P

_ k blh~

0.25i Y-

bT'

Geteilte Riider (Fig. 42). Teilung diametral auf Armmitte. die Teilnngsfuge

muB in der Zahnl\icke auslaufen. Bei Schraubenzăhnen falgt die Teilungsfuge im Kranz dem Schraubenverlauf. Die Verbindungsschrauben sind moglichst nahe an Kranz und Nabe heranzudrăngen. Bei Rădem, die St1iBen ausgesetzt sind. ist der Halt durch Schrumpfringe zu verstărken. Beim EinzelguB jeder Radhălfte ist eine Bearbeitung der Auflageflăchen und eine Passung in den Schrauben oder in eigenen PaBstiften vorzunehmen. Bei groBen Rădem

Ausflihrung der

737

Răder.

ist das Einformen im vollen Stlicke zweekmăBiger. Die Trennung wird durch Einlegen schmiedeeiserner Platten vorbereitet. Der Zusammenhang beider Hălften bleibt auf einige schmale Spreng· leisten besehrănkt, und das Rad wird dureh Aufsprengen geteilt. Lagerung. Fliegende Anordnung des Rades nur bei kleiner Zahnbreite zulăssig. Um eingriffst6rende Wellendurehbiegungen zu umgehen, bevorzugt man beiderseitige Lagerung unmittelbar neben dem Getriebe. Die Vereinigung aller Lager in einem guBeisernen Radgehiiuse er· moglieht einen genauen Einbau, sehafft staubdichten AbschluB und erleichtert eine ausgiebige Sehmierung des Zahneingriffes. Tauehen der Ziihne in OI nur bis v ~ 12 m/,ek zureichend. Bei ~loBerer Geschwindigkeit Einftihrung eines 01strahles durch Olpumpe erforderlich. Hohlradgetriebe. Ausftihrung zeigt Fig. 42. Fig. 43. Rohhautriider. Rohhautkărper, hergestellt IIUS impriignierten Rohhautseheiben, die unter Einftihrung eines Bindemittels unter hohem Druek zu·

'CS -'-'

~il:'4il

-

Fig. 43.

Fig. 4-\.

_._._-".",,:~

--------

-

Fig. 45.

sammengepreBt werden. Gehalten wird er zwischen Bordseheiben dureh eingesetzte Bolzen (Fig. 44) oder bei kleinem Halbmesser durch eine auf die Nabe aufgesetzte Mutter (Fig. 45). FUr den Drehhalt sind Federn einzulegen.

Fig. 46. Ausfrăsen der Ziihne erst naeh dem Aufsetzen auf den Radkorper. so daB bis zum AuBendurehmesser reichende Bordscheiben mitgefriist werden. Soli die Zahnauflage in solchen Bordseheiben unterbleiben, so sind die Scheiben im vor· hinein mit zurlicktretenden Ziihnen auszustatten. Fig. 46 zeigt einen Kegelradtrieb mit Rohhautzăhnen.

Taschenbuch fUr den Maschinenbau.

S. Alin. 1.

47

Maschiucuteile.

73 8

Riider mit Holzziihnen.

Zahnrăder.

Zahnstărke im Teilkreis 0,4 t Holzkămme mit sehwaeh

0,6 t beim Holzzahn. Die Stiele der

-~ - .-- 00-.

-

..........

... ...

aIt

.-._..-

~ _._._

-----

~

FIg. 47.

beim Eisenzahn. geneigten Seiten-

F ig . 48.

Fig. 49.

miehen werden in die rechteekigen L6cher des Kranzes eingetrieben und der Halt mit Stiften (Fig. 47) oder mit Holzkeilen (Fig . 48) gesichert. Breite der Holzkămme h6chstens 200 mm, bei gr6Lleren Zahnbreiten ~ind mehrerc Kămme nebeneinander einzusetzen (Fig. 49).

Riider

mit

Schraubenziihnen_

Fig. 50: Stirnradgetriebe fUr tJbersetzungen bis 1 : 30, Triebling bis zu 3 Zăhn en ausfUhrbar. Fig. 51: Kegel-

Fig. SO. Auslilhrun ţ der Zahnr3derfabrik vorm: Renk. Augsburg.

Fig. SI.

A usfiihrung der Rader. răder

739

fiir Steuerwellenantrieb. Fig. 52: Dampfturbinengetriebe mit doppelten

Schraubenzăhnen fUr einfache Vbersetzungen bis 1 : 15, fiir groBere Geschwindigkeitsminderungen fiihrt man doppelte Ubersetzung aus. Das Getriebe erhă!t

Fig. 52. Au IUhnmg der Dculscben Werke A.·G. Werll Kicl.

breite Zahntrommeln. Um die Durchbiegung der Ritzelwelle einzuschrănken, sind die Zahnseiten so weit auseinander gelegt, daB ein Mittellager eingebaut

Fig. 53.

Ausftibrung der Zabnraderfabrik vorm. Renk, Augsburg.

werden kann. Freie Einstellbarkeit erlangt dic Ritzclwcllc qurch Einlagerung in Schalen mit gelenkiger Kugelflăchenaufiage. Schneckengetriebe. Die Schnecke wird aus bestem Stahl hergestellt, gehărtet und geschliffen oder besser aus naturhartem Stahl, da beim Hărten die Schnecke Sich verzIeht und lănger wird. Sie wird entweder aus dem Wellenkorper herausgeschnitten oder auf die Welle aufgesetzt. was zwar die Herstellung erleichtert, jedoch zu groBeren Getriebeabmessungen bei gleichem Stei47*

740

Maschin en tcile. -

Zahnrădc r.

Fig. 54.

guugswillkel fiihrt. Radzăhne aus Gulleisen fiir leichte. aus Phosphorbronze fiir schwere Bdastung. Bronzekranz am gulleisernen Radkdrper entweder aufges~hoben und durch eingepallte Schraubenholzen (Fig. 55) gehalten oder aufgeprellt bzw. warm aufgezogen. Bei unterer Einlagerung (Fig. 53) wird die Schnecke im Olbade wirksamer gekiihlt. doch gelangt Schleifstaub wegen der Durchwirbelung des Oles leichter in den Getriebeeingriff. Bei oberer Einlagerung (Fig. 54) sind Schnekkenwelle und ihre Einlagerung leichter Fig. 55 . Fig. 56. zugănglich. Die La. gerschmierung soli unabhăngig von der Fiillung des Oltroges gehalten werden. Die Radnabe ist beiderseits an den Stirnseiten der Lager gut einzupassen. damit der Seitendruck abgestiitzt wird. Der Axialschub der Schneckenwelle wird am besten in einem doppelten Kugelstiitzlager aufgefangen. Orissongetrlebe, geeignet fiir hohe Ubersetzungen (Fig. 56). Das gralle Rad trăgt statt Zăhnen auf Bolzen drehbare Stahlrollen. deren Umfang aullen den T€iU· kreis beriihrt. In den Rollenkranz greift ein als Daumen ausgebildetes Rad ein. Da die Drehung des Rades bei voller Umdrehung des Daumens unter einer Teilung verbleibt, 50 miissen zwei um 180 0 gegeneinander versetzte Daumen. die in zwei nebeneinanderstehende Rollenkrănze eingreifen. angeordnet werden. Das Getriebe ist sehr empfindlicb. kleine Ausfiihrungsfehler verursachen bereits ein arges Ganggerăuscb.

741

Rcibungsrăder.

XII.

Reibungsrăder.

Werden zwei Rader unter Fortfal! der Verzahnung aueinandergedrlickt, 50 kann die Reibung am Umfange des einen Rades zur Mitnahme des anderen benutzt wecden. Es sind demnach samtliche Raderformen als Reibungsciider ausfiihcbac. Die Umfangskcaft dieser Riider ist jedoch nur gering; sie kann durch Anordnung von Keilnuten erh6ht werden. Der Druck auf die Lager und damit Lagerreibung und Abnutzung sind bei Keilrădem kleiner als bei glatteu Riidem. Bei glatten Riidem lă6t sich eine Anderung der Uber· setzung leicbt erzielen, wenn die Lage des einen Rades gegenliber dem anderen geăndert werden kann. DieUmfangs. gescbwindigkeiten stimmen aueh hieI genau nur im Teil· kceis liberein; hierdureh ist - auBer bei glattcn Stimriidern, Fig. 1. bei denen diese Lagenveriinderung nicht moglich ist - stacke Abnutzung bedingt. Die GriiBe der Bertihrungsflăchen ist damit in ciner Richtung stets bescbrankt. VorteiJe gegen Zabnrader: Verbindung ist elastisch; bei Sto6en findet Gleiten aufeinander statt. Nachteil gegenliber Zahnriidem: groBere Beanspruchung der Wel!e infolge des hohen Anpressungsdruckes. Umfangskcaft Beispiele zeigen: Fig. 1 : Stirnrader mit fester Ubersetzung. Die Umfang&' kraft pro em Radbreite wăhlt man hier fiir Graugu6jGraugu6 etwa p = Graugu6jLeder GrauguB/Papier

p

b

= 20 bis 30 kg, = =

15 bis 25 kg, 15 kg.

Raddurehmesser ~ Zapfendurehmesser; fiir dieses Verhăltuis ergibt sieh ein Wirkungsgrad '1 ~ 0,92 fiir Graugu6 auf Graugu6, '1 ~ 0,93 fiir Stahl· guB auf Holz, Leder oder Papier.

r,~

Fig. 2.

~ '"' Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 2 und 3: Răder mit verăDderlieher Ubersetzung, Rad 1 oder 2 treibend; Fig. 4: Weudegetriebe. Bei al!en betrăgt die libertragbace Umfangskcaft

wenn N der Normaldruek, mit dem die Râder aufeinandergepre6t werden. Uber· setzung . rt n2 J=-=-r~ n1

Maschinenteile. -

742 Fig.

5:

Keilrăder.

meist mit

Kettenrăder.

3 bis 5 Rillen ausgefiihrt. Hier gilt p 10 m sind mit RUcksicht auf Zentrifugalkraft tunlichst nur noch geleimte oder genăhte Riemen zu verwenden. y) Ein bau. Riemen bis 100 mm Breite werden nach Fertigstellung der Schlullverbinduag aufgebracht; bei breiteren Riemen empfiehlt sich dieses nicht, sie

Iltltll

-4Bl

~ Fig. 16.

Fig. 17.

Fig. 18.

Fig. 19.

Fig. 20.

werden mittels der Spannvorrichtung, Fig. 21, gespannt, und darauf erst wird die Schlullverbindung hergestellt. Zweckmiiflig baut man zwei Federwagen in die Spannvorrichtung ein, so dall man an ihnen ablesen kann, ob der Riemen mit der richtigen Spannung So aufgelegt ist. ~) Riemenlănge. Bei der Riemenliinge sind zu unterscheiden: stumpfe Lănge - Konstruktionslănge (Fig. 22) und Lăn~e der Bestellung = Konstruktions. lănge 100 bis 300 mm Zugabe fUr die Naht.

+

769

Der Riemen. Die stump!e Riemenlănge betragt beim offp.nen Riemen (siche Anordnunl: des Riementriebes) nach Fig. 22

L = 2 • [A • ,io/X

+ (ti: -

/X) • ,.

+ r 1 • /X]

und beim gekreuzten Riemen (si.. he Anordnllng des Riementriebes) nach Fig. 25

L = 2· [A • sine