Vorlesungen über Partielle und Pfaffsche Differentialgleichungen [10. Aufl.] 978-3-7643-0159-0;978-3-0348-4008-8

Table of contents :
Front Matter ....Pages 1-13
Front Matter ....Pages 15-15
Einführung und Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 17-31
Differentialgleichungen zweiter Ordnung und Integralrelationen (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 32-61
Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typus (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 62-95
Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 96-155
Die Existenz von Lösungen der Beltramischen Differentialgleichung (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 156-173
Probleme vom gemischten Typus (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 174-193
Front Matter ....Pages 195-195
Normalformen und Typus eines linearen Systems (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 197-218
Hyperbolische Systeme (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 219-250
Integralgleichungen und die erste Randwertaufgabe eines elliptischen Systems (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 251-261
Index oder Charakteristik allgemeiner Randwertaufgaben (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 262-275
Randwertaufgaben höherer Charakteristik (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 276-304
Randwertprobleme positiver Charakteristik (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 305-326
Existenzsätze im Großen (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 327-337
Einige Bemerkungen zur numerischen Behandlung der Randwertaufgaben für elliptische Systeme (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 338-365
Systeme vom gemischten Typus; parabolische Anfangskurve (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 366-376
Front Matter ....Pages 377-377
Beispiel einer Pfaffschen Differentialgleichung im R3 (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 379-383
Lineare Mannigfaltigkeiten und Pfaffsche Formen (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 384-395
Integralmannigfaltigkeiten (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 396-421
Existenz von Integralmannigfaltigkeiten (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 422-433
Partielle Differentialgleichungen als Systeme Pfäffscher Gleichungen (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 434-451
Der Integralsatz und seine Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 452-484
Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Rn (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 485-505
Hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Rn (Wolfgang Haack, Wolfgang Wendland)....Pages 506-540
Back Matter ....Pages 541-555

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WOLFGANG HAACK · WOLFGANG WENDLAND VORLESUNGEN ÜBER PARTIELLE UND PFAFFSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

MATHEMATISCHE REIHE BAND 39

LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN

Vorlesungen über Partielle und Pfaffsche Differentialgleichungen von

WOLFGANG HAACK em. o. Professor an der Technischen Universität Berlin

WOLFGANG WENDLAND Priv.-Doz. an der Technischen Universität Berlin

Springer Basel AG

ISBN 978-3-0348-4009-5 ISBN 978-3-0348-4008-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-4008-8

Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten ©Springer Basel AG 1969 Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1969. Softcover reprint of the hardcover Ist edition 1969

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Vorwort

Das vorliegende Buch entstand aus Vorlesungen, die der erstgenannte Verfasser seit 1949 gehalten hat. Es unterscheidet sich von anderen Darstellungen durch eine Verschmelzung von partiellen und Pfaffschen Differentialgleichungen. So werden die partiellen Differentialgleichungen grundsätzlich als Pfaffsche Gleichungen geschrieben. Bei den linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung ist durch die invariante quadratische Form der Charakteristiken eine Polarverwandtschaft gegeben, die jeder linearen Pfaffschen Form im Rn eine konjugierte Form (n-1)-ter Ordnung zuordnet, insbesondere dem Differential dF einer Funktion F die Form dn F. Dieser dn - Operator erweist sich als nützliches Hilfsmittel zur Vereinfachung und Veranschaulichung der Darstellung. Zum Beispiel wird die Beltramische Differentialgleichung durch den Ausdruck [d, dnFJ = 0 gegeben. Der Integralsatz von Gauß-Cartan führt die Differentialgleichung sofort in eine Integralbeziehung über. Die Abschnitte 2.3 bis 2.6 und 21.3 vermitteln einen Einblick in die Vorteile dieser Methode. In Anbetracht dieser sonst nichtgebräuchlichen Darstellung wurden Abschnitte der Vorlesungen von Assistenten ausgearbeitet, um den Studierenden Unterlagen zur Verfügung zu stellen. So ist der Teil II des Buches weitgehend eine Ausarbeitung und Ergänzung des zweitgenannten Verfassers, wie überhaupt der Stoff der Vorlesungen in vieler Hinsicht erweitert wurde. Die vom zweitgenannten Verfasser selbständig hinzugefügten Abschnitte sind durch * gekennzeichnet. Das Gebiet der partiellen Differentialgleichungen und dasjenige der Pfaffschen Formen ist außerordentlich groß und wächst laufend durch neue Forschungsergebnisse. Daher mußte eine Stoffauswahl getroffen werden, die naturgemäß der Verbindung Pfaffscher und partieller Differentialgleichungen angepaßt wurde. Das Buch besteht aus drei verhältnismäßig unabhängigen Teilen. Im Teil I werden nach einer kurzen Einführung und dem Beweis des Satzes von Cauchy-Kowalewski die linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei Variablen behandelt. Wie schon erwähnt, wird in Kap. 2 die Verbindung zu den Pfaffschen Formen her-

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Vorwort

gestellt: es ergeben sich typunabhängige Integralsätze und daraus Eindeutigkeitssätze für die Randwertaufgaben elliptischer und die Anfangsrandwertaufgaben parabolischer Differentialgleichungen. Existenzfragen für die Lösung parabolischer Differentialgleichungen werden nicht behandelt; wir verweisen diesbezüglich auf die Arbeit von H. Lange [143], in der besonders elementare Beweismethoden verwendet werden. Im Kapitel 3 wird für das Cauchy-Problern einer hyperbolischen Differentialgleichung zunächst unter sehr schwachen Voraussetzungen eine stetige Lösung der zugehörigen Valterrasehen Integralgleichung und durch schrittweise Verschärfung der Voraussetzungen eine schwache und schließlich eine zweimal stetig differenzierbare Lösung der Differentialgleichung gewonnen. Kap. 4 beginnt mit der Behandlung der ersten und zweiten Randwertaufgabe einer elliptischen Differentialgleichung mit Laplaceschem Hauptteil mittels Greenscher Funktionen. Durch geeignete Wahl der freien Normierungsfunktion ergibt sich aus der konformen Abbildung des Gebietes auf das Innere des Einheitskreises für die Greensehe Funktion zweiter Art eine Darstellungsformel, die sich von derjenigen erster Art nur noch durch ein Vorzeichen unterscheidet (Gleichung 4.3.11 bzw. 4. 7.24). Im Abschnitt 4.11 wird die Existenz der Lösung der beiden Randwertaufgaben mit Integralgleichungen auf dem Rand nachgewiesen. Kap. 5 enthält einen elementaren Beweis des zweitgenannten Verfassers für die Existenz einer Lösung der Beltramischen Differentialgleichung, der sich auf den Fredholmschen Alternativsatz stützt. Es wird gezeigt, daß diese Lösung eine umkehrbar eindeutige Koordinatentransformation ermittelt, die eine Differentialgleichung mit Beltramischem Hauptteil in eine solche mit Laplaceschem Hauptteil überführt: Kap. 6 bringt eine Einführung in die Probleme vom gemischten Typus.

Teilll ist den linearen Systemen erster Ordnung in zwei Variablen gewidmet. Im Kap. 7 wird zunächst gezeigt, daß ein System von zwei Differentialgleichungen äquivalent mit dem identischen Verschwinden einer linearen Pfaffschen Form ist. Aus dieser Form ergeben sich sofort die (typunabhängige) Normalform, die Greensehen Formeln und das adjungierte System. Das Kapitel schließt mit einer einführenden Betrachtung mehrgliedriger Systeme. Anfangs- und Randwertaufgaben hyperbolischer Systeme werden in Kap. 8 behandelt. Die Kap. 9 bis 14 enthalten die Theorie der Systeme vom elliptischen Typus. Ausgehend von den im Institut des erstgenannten Verfassers entstandenen Arbeiten von G. Hellwig, Joachim und Johannes Nitsche, J. Jaenicke, G. Bruhn werden die Randwertaufgaben beliebiger Charakteristik ausführlich erläutert unter Berücksichtigung der Ergebnisse von L. Bers und I. N.

Vorwort

7

Vekua. Im Gegensatz zu der sehr ausführlichen Darstellung in dem Lehrbuch von Vekua [129] bedienen wir uns nur elementarer Beweismethoden und knüpfen durch die Benutzung der Greensehen Funktionen erster und zweiter Art an die Hilbertsche Betrachtungsweise der Riemann-Hilbertschen Randwertaufgaben an [52]. Wir hoffen, dadurch dieses Gebiet einem größeren Interessentenkreis zugänglich machen zu können. Die Verallgemeinerung des Lösungsbegriffes von I. N. Vekua haben wir nicht aufgenommen. Lediglich im Kap. 13 werden einige einfache Sätze der Funktionalanalysis herangezogen. Kap. 14 behandelt numerische Verfahren. Im Kap. 15 wird die kürzlich von M. Schneider [111] veröffentlichte Lösung des Cauchy-Problems im hyperbolischen Gebiet mit parabolischer Anfangskurve beschrieben. Im Teil III werden nach einigen einfachen Beispielen (Kap. 16) die Pfaffschen Formen im Rn, das äußere Produkt, die äußere Ableitung und insbesondere ihre Beziehung zur ko- bzw. kontravarianten Darstellung linearer Mannigfaltigkeiten erklärt (Kap. 17). Kap. 18 beginnt mit der Formulierung des Pfaffschen Problems und dem Abschließungssatz von Cartan. Anschließend werden integrable lineare Pfaffsche Systeme behandelt und schließlich zwei einfache nicht integrable Beispiele ausführlich erläutert. Im Kap. 19 wird der Aufbau von Integralmannigfaltigkeiten beschrieben und der Existenzsatz von E. Cartan bewiesen. Dazu wird dem Pfaffschen System ein System von partiellen Differentialgleichungen in der Normalform von Cauchy-Kowalewski zugeordnet und gezeigt, daß die Lösung des Cauchy-Problems dieses Kawalewski-Systems Lösung das Pfaffschen Systems ist. Für diesen Nachweis wird im Gegensatz zu E. Cartan nur die zweimal stetige Differenzierbarkeit der Koeffizienten benötigt (Abschnitt 19.4.) Als Anwendung der Theorie der Pfaffschen Gleichungen werden in Kap. 20 die Differentialgleichungen erster Ordnung im Rn und im R 3 sowie Legendre- und kanonische Transformationen untersucht. Schließlich werden die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung und die linearen Systeme, die aus Teil I bzw. Teil II bekannt sind, unter dem Gesichtspunkt der Cartanschen Theorie betrachtet. Kap. 21 beginnt mit dem Integralsatz im Rn und enthält im wesentlichen eine Übertragung der Methoden und Ergebnisse vom R 2 (Kap. 2) auf den Rn. Im Kap. 22 werden die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus in mehr als zwei Variablen besprochen. Das Buch schließt mit einer Einführung in die Hadamardsche Theorie der hyperbolischen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Für wertvolle Anregungen danken wir Herrn G. Bruhn und Herrn H. Lange und mehreren Wissenschaftlern des Instituts. Herrn M.

8

Vorwort

Schneider und Herrn J. Jaenicke danken wir für die Mitarbeit bei den Korrekturen. Dem V erlag und der Druckerei sprechen wir für ihre Mühewaltung und ihr Eingehen auf unsere Wünsche sowie die schöne Ausstattung des Buches aufrichtigen Dank aus. Berlin, im März 1969

w. HAACK w. WENDLAND

9 INHALTSVERZEICHNIS

Teil I

Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei Variablen l. 101 1.2 1.3 1.4 1.5

1.6 20 201 202 203 2.4 2o5 2.6 2. 7 208 3. 3.1 302 3o3 3.4 3o5 3.6 3o 7 3o8 4o 4.1 4o2 4o3 4o4 4.5 4.6 4. 7

Einführung und Existenzsatz von Cauchy- Kawalewski 0000000000000000. 0 Einführung o o o 0 o . 0 . 0 o o o o o 0 o 0 0 o o o 0 o 0 o 0 o 0 . 0 o . 0 o 0 o 0 o 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0.. o 0 o Existenzsatz von Cauchy- Kowalewski für ein System erster Ordnung Fortsetzung: Die Majorantenmethode o . o o o o o o.. o o o o o o o o o o o o o . o . o.. o Fortsetzung: Die Konstruktion von analytischen Majoranten o o o o o o o o . Das Cauchysche Anfangswertproblem für eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung o o o o . o o o o o o o o 0 o 0 o o . o o o o o o o 0 o 0 0 o o o o o . o o o Der allgemeine Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski o o o 0 o. o o. o o o o o Differentialgleichungen zweiter Ordnung und Integralrelationen o 0 0 o o o o. Pfaffsche Differentialformen in zwei Variablen und Pfaffsche Ableitungen Äußeres Produkt und äußere Ableitung o o o o 0 o . o o . o . o . o o . o . o . o o o o . Integralrelationen einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter OrdnJlllg o o o o o o o o... o o o o o o o . o o o o o o o o o . o.. o o o o o o . o o o o o o o o o o o o o o o Der dn·Operator und die Typeneinteilung o o o o o o o o o o o o o . o o o o o o o o o o o o o Die Greensehen Formeln und die adjungierte Differentialgleichung Eindeutigkeitssätze für Differentialgleichungen vom elliptischen und parabolischen Typus und das Energieintegral . o o o o o o o o o o o o o 0 o . o.. o . o Das lVIaximumprinzip o o o o.. o o o o o o o o o o o o o o o . o o o o o o . o o o o o 0 o o o o o . o . Transformation auf Normalform o 0 o o 0 o o o o o 0 o 0 o 0 o 0 0 o 0 0 0 o 0 o . o 0. 0 0 o 0 o Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typus o o o . o o o o o o o o o o o o o o o o Netz der Charakteristiken; Bestimmtheitsgebieto 0 0 0 0 o 0 0 0. 0 0 0. 0 0. o 0 0. Das Cauchysche Anfangswertproblem . o o o o o o o o o o o o. o o o o o o o o o o o o o o o Das Anfangs-Randwertproblem o o o . o o.. o o o o . o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o . o Das charakteristische Anfangswertproblem o o o o o. o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Das Charakteristikenverfahren o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o . o o o o o o Die Riemannsche Methode für das Cauchysche Anfangswertproblem . o Die Lösung des charakteristischen Anfangswertproblems mit der Riemannschen Funktion und eine Symmetrieeigenschaft der Riemannschen Funktion o 0 o o o o o o 0 o 0 o 0 o 0 o 0 0 . 0 o 0 o 0 . 0 o 0 0 0 0 0 0 o 0 0 .. o.. o 0 o 0 0 . Randwertaufgabe für eine hyperbolische Differentialgleichung Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform o o o o o o o o o . o . o o o Formulierung der ersten und zweiten Randwertaufgabe o o o o o o. o o o o. Die Greensehen Funktionen o. o o o o o o o o o o o. o o o o o o. o o o o o o o o o o o o. o. o. Die erste Randwertaufgabe und G1 o o o o o o o o. o. o o. o o o o o o o. o o. o o o o... Die Lösung der Randwertaufgabe für die Poissonsche Differentialgleichung o o o o o o o o . o . o . o . o o o o o • o . o o o o . o . o o . 0 o.. 0 o.. o . o . o . o . . . . . Über die numerische Auswertung der Lösungsformel der ersten Randwertaufgabe ... o. o o. o o o o o o o o o o. o o o o. o o...... o o o o o o o o. o o o o..• o o.• Die erste Randwertaufgabe für die allgemeine Differentialgleichung (4o0o1) 0 0 0 0 0. 0 0. 0. 0 0 0 0 0.• 0 0 0 0 0.•. 0 0 0 0.. 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0. 0... 0. 0. 0. Die zweite Randwertaufgabe für die Poissonsohe Differentialgleichung

17 17 21 23 24 28 29 32 32 35 39 41 44 47 53 59 62 62 66 79 81 83 84 88 90 96 96 97 100 106 112 117 123

lO

Inhul tsvprzpichnis

Die Lösung der zweiten Handwertaufgabe (Fortsetzung von 4.7) Allgemeinere Randwertaufgaben .................................. Zur numerischen Lösung der zweiten Randwertaufgabe im FalleS= 0 Die Behandlung der ersten und zweiten Randwertaufgabe für Llu = 0 mit Integralgleichungen auf~ ........................................ 4-.12 Außenraumaufgaben ........................................... Die Existenz von Lösungen der BeUramischen Differentialgleichung. . . . . . 5. 5.1 Die lokale Transformation auf die Normalform ..................... 5.2 Die Lösung von (5.0.1) und die Transformation auf die Normalform im Großen ....................................................... 5.3 Beweis von Satz 3 in 5.2 ......................................... Probleme vom gemischten Typus .........•....•.........•.......... 6. 6.1 Hyperbolische Probleme mit parabolischem Randteil ................ 6.2 Elliptische Probleme mit parabolischem Randteil .................. 6.a Probleme vom gemischten elliptisch-hyperbolischen Typus . . . . . . . . . .

4-.8 4.9 4-.10 4.11

132 139 139 141 151 156 156 163 167 174 177 182 185

Teil II

Systeme erster Ordnung in zwei Variablen 7. 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7. 7 8. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8. 7 !l.8 8.9 9. 9.1 9.2 9.3 9.4 10. 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

Normalformen und Typus eineslinearen Systems .................... Charakteristiken und Typeneinteilung für ein System .............. Normalform eines hyperbolischen Systems ......................... Die kennzeichnende Linearform eines Systems ...................... Normalform eines linearen Systems ............................... Greensehe Formeln und adjungiertes System ........................ Integralrelationen im festen Gebiet .............................. Mehrgliedrige lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hyperbolische Systeme ...................... ·....: ................... Geschlossen integrierbare Systeme (B = 0 oder A = 0) ..........•.. Existenzsatz für das Cauchy-Problem des Systems in der Normalform Das Cauchy-Problem für das allgemeine hyperbolische System ........ Die Ausbreitung von Unstetigkeiten der Ableitungen der Anfangswerte Das charakteristische Anfangswertproblem ......................... Gemischte Anfangs- und Randwertprobleme ....................... Verallgemeinerung der Eiemannsehen Methode ..................... Beziehungen zur Eiemannsehen Methode für eine hyperbolische Differentialgleichung zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systeme quasilinearer Differentialgleichungen ...................... Integralgleichungen und die erste Randwertaufgabe eines elliptischen Systems ................•.....................................• Die Hilbertsche Normalform und Greensehe Formeln ............... Greensehe Funktionen und Integraldarstellungen ... _,_ ............... Die Existenz der Hilbertschen Greensehen Funktion an ............ Die erste Randwertaufgabe des Systems und der Existenzsatz von G. Hellwig ..................................................... Index oder Charakteristik allgemeiner Randwertaufgaben ........•..... Allgemeine Randvorgaben ....................................... Allgemeine Randwertaufgaben der Charakteristik Null .............. Die Einführung isotroper Parameter und der komplexen Schreibweise Das lineare Integralgleichungssystem der ersten Randwertaufgabe in komplexer Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das inhomogene und das homogene Differentialgleichungssystem ..... Das Nullstellenverhalten der Lösungen eines homogenen elliptischen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197 197 199 202 207 209 213 215 219 220 221 225 227 228 230 2:i7 242 243 251 251 251 253 255 262 262 264 267 269 271 272

l1

Inhaltsverzeichnis 11. Randwertaufgaben höherer Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Die Randwertaufgaben negativer Charakteristik .................... 11.2 Die Lösungsgesamtheit der homogenen Randwertaufgabe negativer Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Die Lösungen der Randwertaufgaben positiver Charakteristik mit Polstellen . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Charakteristik und Nullstellen für die Lösungen eines allgemeinen homogenen Systems .................................................. 11.5 Ein elementarer Beweis des Existenzsatzes für die homogene erste Randwertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Nullstellen der Lösungen am Rande ............................... 11.7 Die Randwertaufgabe mit einer Randschar mit Nullstellen und n-Sprüngen ................................................................ 11.8 Beliebige Sprünge der Randschar ................................. I

11.9 Die Randwertaufgabe der Charakteristik+ 2

276 276 278 284 287 291 297 299 301

.........................

30:3

12. Randwertprobleme positiver Charakteristik ........................... 12.1 Das adjungierte Differentialgleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Die Integralbedingungen für eine stetige Lösung der Randwertaufgabe positiver Charakteristik. Die adjungierte Randwertaufgabe . . . . . . . . . . . 12.3 Darstellung der stetigen Lösung des Randwertproblems positiver Charakteristik mittels "singulärer" Lösw1gen des homogenen adjungierten Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Beweis der Unabhängigkeit der Integralbedingungen und der Existenz einer stetigen Lösung des Randwertproblems positiver Charakteristik .. 12.5 Der Zusammenhang zwischen Systemen von Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus

305 305 308 311 317 322

13. Existenzsätze im Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 13.1 Der Existensatz für die erste Randwertaufgabe eines elliptischen Systems im Großen .................................................... 327 13.2 Ein Beweis für das Ähnlichkeitsprinzip im Großen .................. 332 14. 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.() 14.7 15.

Einige Bemerkungen zur numerischen Behandlung der Randwertaufgaben für elliptische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zurückführung auf Randwertaufgaben der Charakteristik Null ........ Das Integralgleichungssystem und die Abbildungsfunktion ........... Eine numerische Lösungsmethode für das lineare Integralgleichungssystem ........................................................ Beziehungen zwischen Näherungslösungen und "exakten" Lösungen .. Eine numerische Lösungsmethode für die nichtlineare Integralgleichung der homogenen Randwertaufgabe ................................. Näherungslösung und "exakte" Lösung ........................... Ein Differenzenverfahren für die Randwertaufgabe der Charakteristik Null ..................... , ....................................

338 339 341 345 349 357 358 360

Systeme vom gemischten Typus; parabolische Anfangskurve . . . . . . . . . . . . 366 Teil III

Systeme PlaHscher Formen im Rn und partielle Differentialgleichungen 16. 16.1 16.2 16.3

Beispiel einer Pfaffschen Differentialgleichung in drei Variablen ....... Eindimensionale Lösungsmannigfaltigkeiten ...................... Zweidimensionale Lösungsmannigfaltigkeit von (16.0.1) ............. Potential eines Vektorfeldes .....................................

. . . .

379 379 380 383

12

Inhaltsverzeichnis

. . . . . .

384 384 387 391 392 393

Integralmannigfaltigkeilen ....................................... Das Pfaffsche Problem .......................................... Der Abschließungssatz von E. Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integralmannigfaltigkeiten einer integrablen Pfaffschen Gleichung ersten Grades ........................................................ 18.4 Integralmannigfaltigkeiten eines integrablen Pfaffschen Systems ersten Grades ........................................................ 18.5 Beispiel einer Pfaffschen Gleichung ersten Grades im R 4 • • • • • • • • • • • • • 18.6 Pfaffsche Gleichungen zweiten Grades .............................

396 396 399

17. 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5

Lineare Mannigfaltigkeilen und Pfaffsche Formen .................. Lineare .Mannigfaltigkeiten im Rn durch den Nullpunkt ............. Definition und Eigenschaften der Pfaffschen Formen .............. Der Zerlegungssatz von E. Cartan ............................... Äußere Ableitung und der Satz von Poincare ..................... Linearformen als Grundformen, Pfaffsche Ableitung ................

18. 18.1 18.2 18.3

Existenz von Integralmannigfaltigkeilen ............................. Pfaffsche Gleichungen nullten Grades und Anfangspunkte So ......... Pfaffsche Formen ersten Grades und Aufbau einer S1 durch So . . . . . . . Pfaffsche Gleichungen bis zum zweiten Grad und der Aufbau einer 0 2 durch S1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 19.4 Pfaffsche Formen bis zum v+ 1-ten Grad, Aufbau einer Sv+ 1 durch Sv 19. 19.1 19.2 19.3

20. 20.1 20.2 20.3

Partielle Differentialgleichungen als Systeme Pfaffscher Gleichungen ... . Die Differentialgleichung f(x, y, z, Zx, Zy) = 0 ..................... . Legendre-Transformation; kanonische Transformation .............. . Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in n unabhängigen Variablen ..................................................... . 20.4 Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei Variablen .. . 20.5 Lineare Systeme partieller Differentialgleichungen erster Ordnung in zwei unabhängigen Variablen ....................................... . 21.

21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6

Der Integralsatz und seine Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung .......................................... . Integrale über Pfaffsche Formen und der Integralsatz von GaußStokes-Cartan ................................................. . Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung in n Variablen, dn·Operator .................................................. . Integralrelation; Eindeutigkeitssätze ............................. . Formel von Green und adjungierte Differentialgleichungen ......... . Normalformen und Typeneinteilung .............................. . Existenz konjugierter Koordinaten ............................... .

22. Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Rn ............ . 22.1 Singularitätenfunktion und Darstellungsformeln bei Gleichungen mit dem Laplaceschen Hauptteil A ik = (J 1k • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 22.2 Integralgleichungsmethode zur Lösung der Rand vertaufgaben der Potentialgleichung ................................................. . 22.3 Greensehe Funktionen für die Laplace-Gleichung. . ................ . 22.4 Greensehe Funktionen für die Einheitskugel; Poissonsche Formel und Mittelwertformel .............................................. . 22.5 Überführung der Poissonschen Differentialgleichung in die Potentialgleichung .................................................... . 22.6 Die Umformung der ersten Randwertaufgabe mit allgemeinem Hauptteil in eine bilineare Funktionalgleichung ............................ . 22.7 Die Parametrixmethode für die erste Randwertaufgabe mit allgemeinem Hauptteil ..................................................... .

400 405 411 413 422 422 423 425 429 434 434 43\J 442 445 449 452 452 457 464 472 474 480 485 486 489 493 494 497 500 502

Inhaltsverzeichnis 23. Hyperboli8che Differentialgleichungen zweiter Ordnung im R,. ........• 23.1 Integralrelation; Charakteristikenverfahren zur Lösung des CauchyProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Eindeutigkeitssätze für das Cauchy-Problem und das charakteristische Anfangswertproblem; Einflußgebiet ............................... 23.3 Darstellungsformel für die Lösung des Cauchy-Problems der Wellengleichung im R 8 nach Hadamard .................................... 23.4 Geodätische Entfernung zur Metrik da 2 = A,k dx; dxk • • • • • • • • • • • • • • • 23.5 Singuläre Grundlösung für elliptische und hyperbolische Differentialgleichungen ...................................................... 23.6 Darstellungsformel für die Lösung des Cauchy-Problems von [d, d,.U] = 0 im R,.(n = 3+ 2 v) nach Hadamard ................................

13 506 506 5ll

519 525 530 535

I. Tei1: Partielle Differentialgleichungfln zweiter Ordnung in zwei Variablen

17

I. Einführung und Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski

l.l Einführung

In einem Gebiet @ des fünfdimensionalen Raumes Rs mit den Koordinaten x, y, u, p, q sei eine Funktion F(x, y, u, p, q) erklärt. Durch die Gleichung (l.l.l) F(x, y, u, p, q) = 0 ist in @ eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit IDlt bestimmt. Wählt man u, p, q derart als Funktionen der Variablen x, y, daß (I.I.l) erfüllt ist, so bestimmen u(x, y), p(x, y), q(x, y) eine Fläche (Wl2) in der Wl4 in@. Unter der Voraussetzung u E @:1 , p, q E @:0 1> kann man zusätzlich fordern, daß in @ gilt (1.1.2)

du = p(x, y) dx+q(x, y) dy,

das heißt: p und q sollen die partiellen Ableitungen Ux und Uy von u(x, y) sein. Eine Funktion u(x, y), die diese Forderungen erfüllt, heißt Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. F(x, y, u., Ux, Uy) Beispiel: Es sei F

= p+q

=

=

0.

o.

Das Gebiet @ ist der gesamte Rs. Die Gleichung bestimmt eine Hyperebene im R 5 • Jede Fläche u(x, y), p(x, y), q(x, y) = -p(x, y) mit beliebigen Funktionen u und p liegt in der Hyperebene. Die Forderung (1.1.2) führt zu du= p(dx-dy) oder Ux = -Uy. Daraus folgt: Jede Funktion

u

=

cp(x-y) E @:1

des Argumentes (x- y) ist Lösung der partiellen Differentialgleichung Ux+Uy = 0. 1> Mit ~0 wird die Klasse der stetigen, mit ~· die der r mal stetig differenzierbaren Funktionen bezeichnet.

18

l. Einführung und Existenzsatz von Cauehy- Kowalewski

Bei einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung gehen wir aus von einer Funktion F im R 8 mit den Variablen x, y, u, p, q, r, s, t, die in einem Gebiet@ des R 8 erklärt ist und setzen F(x, y, u, p, q, r, s, t)

(1.1.3)

=

0.

Wir suchen eine Fläche im R 8 mit u, p, q, r, s, t als Funktionen der unabhängigen Variablen x, y, die (1.1.3) erfüllen derart, daß die Beziehungen du= p dx+qdy dp = rdx+sdy dq = s dx+t dy

(1.1.4)

erfüllt sind. Hieraus folgt p

= U;x,

q

= Uy;

r=Uxx•

8=Uxy>

t=Uyy•

Die Funktion u(x, y) heißt Lösung der partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1.1.5) In analoger Weise lassen sich partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung erklären. Eine besonders wichtige Klasse bilden die linearen partiellen Differentialgleichungen. Für diese erster Ordnung ist F = a(x, y) p+b(x, y) q+c(x, y) u+f(x, y) = 0

eine in einem zylindrischen Gebiet (x, y) E g, Ip Funktion, und man schreibt (1.1.6)

L(u)

1. I q I, I u I


die lokale Schallgeschwindigkeit, so gilt

Die Koeffizienten werden für a = 0 unstetig. Sind zwei Funktionen F 1 , F 2 der acht Variablen x, y, u, Ux, Uy, v, Vx, Vy gegeben, so bilden

ein System von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung für die Funktionen u(x, y), v(x, y). Man kann eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung formal durch ein System von drei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung ersetzen. Wir deuten in (1.1.3) u, p, q als Funktionen von x, y und erhalten wegen (1.1.4) das System erster Ordnung F(x, y, u, p, q, Px, py, qy) = 0, p-Ux = 0, q-uy = 0.

(1.1.9)

Als Überleitung zum nächsten Abschnitt und zur Einführung in eine typische Problemstellung betrachten wir die Differentialgleichung (1.1.10) I> a 0 und

~sind

Konstanten.

20

l. Einführung und Existenzsatz von Canchy- Kowalewski

Jede Funktion (1.1.11)

?l

(x, y), die sich in der Form u(x, y)

=

rp(x+y) +tp(x-y)

darstellen läßt, ist, sofern die Funktionen tp beziehungsweise 1p bezüglich der Argumente x + y beziehungsweise x- y zweimal stetig differenzierbar sind, Lösung der Differentialgleichung. Man kann nun fragen: Welche zusätzlichen Forderungen können an die Funktion u(x, y) gestellt werden, so daß genau eine Funktion u(x, y) existiert, die (1.1.11) und diese Forderungen erfüllt? Zum Beispiel sollen u(x,y) und Uy (x, y) längs der x-Achse gegebene Werte annehmen. Die sogenannten Anfangsbedingungen lauten dann (1.1.12)

u(x, 0) = / 1 (x),

/1 E ~ 2 ,

Uy(x, 0) = /2(x),

/2

E ~1•

Aus (1.1.11) ergeben sich die beiden Beziehungen (1.1.13)

rp (x) + 1p (x)

= /I (x)

und

rp' (x) -tp' (x)

= /2 (x)

als Bedingungen für die willkürlichen Funktionen rp, tp. Durch Integration der zweiten Gleichung folgt rp(x)-tp(x)

=

J /2('Y/) d'YJ+C, X

a

C

=

rp(a)-tp(a).

In Verbindung mit der ersten Gleichung (1.1.13) erhält man:

= /I(x)+ J /2('YJ) d1J+C, X

2 rp(x)

a

= /I(x)- J/2('Y/) d'Yj-0. X

2tp(x)

a

Damit sind die Funktionen rp, 1p bis auf die Konstanten a, C bestimmt. Eingesetzt in ( 1.1.11) folgt die d' Alembertsche Formel (1.1.14)

2 u(x, y)

= /l(x+y)+/I(x-y)+

x+y

J /2(?]) d'YJ.

x-y

Die Integrationskonstanten haben sich aufgehoben, so daß die Lösung u(x, y) der Anfangswertaufgabe eindeutig ist. Der Einfluß der Anfangs-

werte auf die Lösung ist leicht zu übersehen: Der Wert u im Punkt (x, y) ist gleich dem Mittelwert von /1(91.) und /l('iS) (s. Abb. 1.1.1), vermehrt um das halbe Integral von / 2 über die Strecke 9l 'iS.

21

1.2 Existenzsatz von Cauchy- Kawalewski

1.2 Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski für ein System erster Ordnung Um das Verständnis zu erleichtern, erläutern wir diesen Satz und seinen Beweis an dem Fall von drei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung in zwei unabhängigen Variablen. Es sei also ein System von drei Differentialgleichungen in der Kowalewskischen Normalform, das heißt aufgelöst nach den Ableitungen der gesuchten Funktionen bezüglich einer Variablen gegeben: ~

~1

Vy

,...

= F-.2 (x,

.....

-

~

~

~

~

~

~

......

,...

"'

,..

......

""

-.

....

,...

.....

-.

,..

Zy = F (x, y, z, V, w, z_., Vx, Wx),

(1.2.1)

y, Z, V, W, Zx, Vx, Wx),

,...3

Wy - F (x, y, Z, V, W, Zx, Vx, Wx)·

z, v,

Gesucht sind als Lösungen w einmal stetig differenzierbare Funktionen von x, y, die längs der x-Achse die Anfangswerte annehmen: (l.2.1a)

z(x, 0)

=

zo(x),

v(x, 0) = vo(x),

w(x, 0) = wo(x).

Mit (l.2.1a) sind in jedem Punkt der x-Achse auch die Größen Zx (x, 0), Vx(X, 0), Wx (x, 0) bekannt und durch Einsetzen in (1.2.1) die Ableitungen nach y. Der Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski besagt nun folgendes: Sind die Funktionen z0 , v 0 , w 0 in einer Umgebung von x = 0 und F 1 , F 2 , F 3 in einer Umgebung von x = y = 0, z(O, 0), v(O, 0), w(O, 0), Zx(O, 0), Vx(O, 0), Wx(O, 0) analytisch, so hat das Anfangswertproblem (1.2.1 und 1a) genau eine Lösung z(x, y), die in einer Umgebung von x = y = 0 analytisch ist. Zum Beweis transformieren wir die gesuchten Funktionen derart, daß die Anfangswerte (l.2.1a) gleich Null werden und zy, Vy, wy im Nullpunkt verschwinden: z

=

z-zo(x)-yF 1 (0, 0, zo(O),

v0 (0),

wo(O),

z x(O), v 0

0 x(O),

w0 x(O)),

V= v-vo(x)-yF 2 (0, 0, ... ), w

=

w-wo(x) -y F 3 (0, 0, ... ).

(1.2.2) Hiermit geht das Cauchy-Problem (1.2.1 und 1a) in Zy

(1.2.3)

=

F 1 (x, y, z, V, w, Zx, Vx, Wx),

Vy = F 2 (x, y, Z, V, W, Zx, Vx, Wx), Wy

=

F 3 (x, y,

Z,

v, w, Zx, Vx, w_.)

über. Wenn es eine analytische Lösung gibt, dann lassen sich die

22

l. Einführung und Existenzsatz von Cauchy - Kawalewski

Koeffizienten ihrer Reihenentwicklungen (1.2.4)

L

z=

v

a;k xi yk,

= L

=

w

b;k xi yk,

i,k=O

i,k=O

wegen

L

c;k xi yk

i,k=O

. ()i+k z I t! k! a;k = (ox)i (oy)k o,o

und den entsprechenden Beziehungen für b;k, c;k sukzessive aus (1.2.3) wie folgt berechnen: k = 0: Aus den Anfangsbedingungen erhält man n , an 0

=

(1.2.5)

n ! Cn 0

()nz

oxn

1

0,0

onw I oxn o.o

-

-

= o. =

0'

k = 1: Zur Berechnung von anl• bn~o x und erhalten mit (1.2.5) für an1

n! bno

= ~n~ ux

I

0,0

=

0,

n = 0, 1, 2, ...• Cnt

differenzieren wir (1.2.3) nach

Zy(O, 0) = F 1 (0 ... ) = 0, an= Zxy(O, 0) = F~(O .. . ), ao1

(1.2.6) n!anl

=

=

()n(zy} vxn

-!:>--

I = 0,0

()n Fl vxn

-!:1--

I

0,

n = 2, 3, ... 0

00

und entsprechende Beziehungen für bnt. Cnl· k = 2: Zur Ermittlung von an2, bn2, Cn2 wird (1.2.3) einmal nach y und dann nach x differenziert. Unter Beachtung von (1.2.5) erhalten wir 2!ao2

= Zyy(O,

0) = {F~+F;.zy+F~.. ·Zxy+F~·Vy

+F~"·Vxy+F~·Wy+F~.. ·Wxy}/

0, 0, ... ,0

.

Die Ableitungen von z, v und w können durch (1.2.6) ausgedrückt werden: 2!aoz = Zyy{O, 0) = {F~+F;·F 1 +F!.. ·F!+F~·F 2

+F~.. ·F'f.+F~·F3 +F~.. -F~}

I0, o, ... , 0

0

Genau so ergibt sich durch Differentiation nach x 1!2!a12

=

Zxyy(O, 0) = {F~x+F;x•Zy+F;•Zxy+F;,.x·Zxy+F!.. ·Zxxy + F~x•Vy + F~·Vxy + F~ .. x·Vxy + F~.. ·Vxxy + F~x•Wy + F~·Wxy + F~.. x•Wxy + F~.. ·Wxxy} lo, ... ,o.

Unter Beachtung von (1.2.5) und (1.2.6) können auch die weiteren

23

1.3 Die Majorantenmethode

Koeffizienten an2, bn2 und Cn2 für n = 2, 3, •.. allein durch Fl, F 2, F 3 und deren Ableitungen dargestellt werden. Fahren wir in dieser Weise fort, so erhalten wir beim k-ten Schritt die Koeffizienten ank• bnk• Cnk (n = 0, I, 2, ... ), beim k+ I-ten Schritt dieKoeffizientenank+l• bnk+l• Cnk+l (n= 0, I, 2, ... ) usw .. DieKoeffizienten sind dabei immer Polynome in den F 1 und ihren Ableitungen mit positiven Koeffizienten, die an der Stelle (0, 0) auszuwerten sind. Wenn das Cauchy-Problem (1.2.3) überhaupt eine analytische Lösung besitzt, so können wir mit dem oben beschriebenen Verfahren die Koeffizienten der Potenzreihen (1.2.4) eindeutig berechnen. Deshalb kann es nicht mehr als eine analytische Lösung geben. Zur Berechnung der a 1k, b 1k, Ctk haben wir nur von der Analytizität der rechten Seite und der Anfangswerte Gebrauch gemacht. Zeigen wir anschließend, daß die mit diesen Koeffizienten formal gebildeten Potenzreihen (I. 2.4) in einem geeigneten Kreis x2+ y 2 ..e; b2, $ > 0 gleichmäßig konvergieren, dann haben wir mit (1.2.4) die analytische Lösung konstruiert. Den Konvergenzbeweis erbringen wir mittels der anschließend beschriebenen Majorantenmethode.

1.3 Fortsetzung: Die Majorantenmethode Die Potenzreihen (1.2.4) stellen zum Beispiel dann analytische Funktionen dar, wenn wir in x 2+y2 .".; 82 konvergente "Majoranten" Z(x,y)=

(I.3.I)

L

i,k=O

mit

(1.3.2)

AtkX1 yk,

V=

L

B;kxiyk,

w = 1:

o,kxiyk

i,k=O

i,k=O

Ia;k I .".; A;k. Ib;k I .".; B;k. ICtk I ~ Otk

finden können. y (..t;Y)

Abb. l.l.l

Zur Konstruktion von Majoranten Z, V und W kann man von einer Majorante r:p von F 1 , F 2 und F 3 ausgehen. Die analytische Funktion ""'( t: t: ) ""'"1• · · ., "&

=

""

.t...

;., ... , i 1 =0

cxt1 ••• i1 "1

z:i1

z:ie · · · "s

1. Einführung und Existenzsatz von Cauchy- Kowalewski

24

heißt zu

Fi(~l• · • ·, ~s) =

L

it, •.• ,ia=O

ßf•... i

8

~i

8

L (~1 ) 2 ..,.; R

Majorante im Konvergenzgebiet

2,

· · · ~~·

R

>

0, wenn

i=1

lßf

·I..,.;

lt ... '•

• (lt. lt ••• '•

erfüllt ist. Es gilt der folgende

Billssatz: tP sei Majorante aller drei rechten Seiten F 1 , F 2 , F 3 von {1.2.3). Wenn das Cauchy-Problem (1.3.3)

Zy

=

= tt>(x, y, Z, V, W, Zx, Vx, = V(x, 0) = W(x, 0) = 0

Vy = Wy Z(x, 0)

Wx)

in x 2 + y 2 ..,.; b2 eine analytische Lösuny Z, V und W besitzt, so sind Z, V und W Majoranten der in 1.2. aus (1.2.3) formal yebildeten Potenzreihen (1.2.4). Beweis: Die Koeffizienten A. 1k, Btk undC1k zur Lösung (1.3.3) können mit dem in 1.2 beschriebenen Verfahren berechnet werden. Dabei treten die gleichen Ausdrücke wie zur Berechnung von a,k, b;k und c1k auf, wenn nur F 1 durch tP ersetzt wird. Jeder dieser Ausdrücke ist ein Polynom mit positiven Koeffizienten in den ßf, ... ;8 (bzw. llt;1 ••• ; 1 ) und den bereits berechnenden al-1," bt-1," Ct-1, r· Da alle IX;, •.• io positiv sind, folgt daraus

Ia,k I """ A.;k. Ibtk I ..,.. Btk. ICtk I ..,.; C;k. was der Behauptung entspricht.

1.4 Fortsetzung: Die Konstruktion von analytischen Majoranten Da F 1 , F 2 und F 3 analytisch sind, erfüllen ihre Koeffizienten die Ungleichungen

wobei

M = Max {I F 1 (~t. ... , ~s) 1. 1} i = 1, 2, 3

und

e
(x, y, Z, .. . ) =

(1.4.1)

M

M

in einer Umgebung des Nullpunktes Majorante zu F 1 , F 2 und p3 (Aufgabe) 1>. Setzt man diese Majorantenfunktion 4> auf den rechten Seiten von (1.3.3) ein, so hat man für die drei Funktionen Z, V und W die gleichen Differentialgleichungen mit gleichen Anfangswerten, daher wird Z = V = W. Eine Potenzreihe dieser gemeinsamen Lösung wäre Majorante von z, v und w. Es ist somit noch zu beweisen, daß die Lösung Z des speziellen Anfangswertproblems (1.4.2)

mit (I.4.2a)

Z(x,O)

=

0

in der Umgebung des Nullpunktes eine konvergente Potenzreihe besitzt. Dazu bestimmen wir eine Lösung U von (1.4.2), die nur von der Variablen

~=-e-x+y

(1.4.3) abhängt und für

6M

~

= 0 verschwindet: U(x, y)

=

U(~),

U(O)

Durch Einsetzen in (1.4.2) erhält man für rentialgleichung erster Ordnung

=

U(~)

ü.

die gewöhnliche Diffe-

(1.4.4)

1 ' Fast die gleiche Majorante führte Goursat [32], II S. 392 ein. S. Kowalewski benutzte

26

l. Einführung und Existenzsatz von Cauchy - Kawalewski

Durch Auflösen nach U' folgt (1.4.5)

U'

=

~~ 1 -v 9 -

( 1--~ 6M ) ( 1 - 3-

rl

e

ll'

u

wenn man das negative Vorzeichen der Quadratwurzel wählt. Da U(O) = 0 vorausgesetzt wurde, ist der Radikand in der Umgebung von ~ = 0 positiv; ferner ist U' (0) = 0. Setzt man zur Abkürzung !f(~, U)

8

und

h

= 3,

so hat der Wurzelausdruck in (1.4.5) folgende Reihenentwicklung: -hlf1_q;

V

h2

Bis auf das Absolutglied sind alle Koeffizienten positiv. Auch q;(~, U) hat als Produktzweier geometrischer Reihen nur positive Koeffizienten. Daher hat die Reihenentwicklung der rechten Seite von U' in (1.4.5) nur positive Glieder; das Absolutglied hebt sich fort. Stellt man schließlich die Lösung U(~) als Potenzreihe dar, so sind die Koeffizienten wie oben (Abs. 1.2) Polynome mit positiven Vielfachen der Koeffizienten der soeben diskutierten Reihenentwicklung der rechten Seite von (1.4.5); das heißt, die Reihe der Funktion U(~) hat nur positive Koeffizienten. Die Konvergenz der Reihe U(~) darf als Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung als bekannt vorausgesetzt werden, so daß wir uns auf einen kurzen Hinweis beschränken: Ist U' = f(x, U) analytisch in g und M = Maxf(x, U), so ist die Lösung fJ der Differentialgleichung

Majorante von U. Diese Differentialgleichung hat die Lösung C;;;;;..

0.

27

1.4 Die Konstruktion von analytischen Majoranten

Damit haben wir unser Ziel erreicht: Die Funktion U(e) ist nach (1.4.3) Funktion von x, y

U(x, y) = U ( 6 ~x+y) und Lösung der partiellen Differentialgleichung (1.4.2). Allerdings erfüllt U(x, 0} nicht die Anfangsbedingung (1.4.2a}, sondern U(x, 0} ist eine Reihe mit positiven Koeffizienten, das heißt eine Majorante der Anfangsbedingung (1.4.2a}. Demnach ist U(x, y) Majorante der Reihen von Z, V und W (1.3.3}; diese sind aber Majoranten von z, v und w (1.2.3). Also konvergieren die Reihen (1.2.4) in einer Umgebung des Punktes x = y = 01>. Nachdem der Satz von Cauchy-Kowalewski für das Beispiel von drei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung bewiesen wurde, wollen wir ihn für ein allgemeines System erster Ordnung formulieren:

Satz von Cauchy-Kowalewski für ein System erster Ordnung: Ein System von r partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung für r Funktionen u•, (v = 1, ... , r) von n Veränderlichen xi (i = 1, ... , n) der Form ou• oui.) ; oxn = F· ( x•,. u~', oxk

A., f-l· k

V

u~(xk),

r;

i

=

1, ... , n;

= 1, .... n-1

besitzt in der Umgebung des Punktes xi mit den analytischen Anfangswerten u"(xk, 0} =

= 1, ... ,

= 0 genau eine analytische Lösuug

k = 1, 2, ... , n-1;

wenn die Funktionen F• ( x•,.

u~',

in einer Umgebung des Punktes xi

=

oui.) oxk ou~ (0) 0, u~(O}, -----:;:~­

oxk des n (r + 1 )-dimensionalen Raumes analytisch sind. Der Beweis dieses allgemeinen Satzes verläuft genau so wie derjenige des Beispieles (1.2.1 und 1a) für n = 2, r = 3. Jeder Schritt des Beweises läßt sich für beliebiges r, n ausführen. Wir haben uns auf l) Der hier dargestellte Beweis stammt im wesentlichen von Goursat [32] II S. 374 ff,. Weitere Darstellungen findet man zum Beispiel auch in [23], II, S. 39, [119] IV, S. 317 ff.

28

1. Einführung und Existenzsatz von Cauchy - Kowalewski

das Beispiel beschränkt, weil die konkrete Darstellung der Formeln das Verständnis erleichtert.

Aufgabe: Man zeige, daß lP in einer Umgebung des Nullpunktes Majorante der Funktionen Fi ist. 1.5 Das Cauchysche Anfangswertproblem für eine partielle Differential-

gleichung zweiter Ordnung Gegeben sei eine Differentialgleichung (1.5.1) G(x, y, z, p, q, r, s, t) mit (1.5.2)

p

=

q

Zx,

=

Zy,

r

=

Zx

8.

X•

= =

0

Zx Y•

t

=

Zy y,

sowie die Anfangswerte auf einer Anfangskurve y 0 (x): (1.5.3) zo(x) = z(x, yo(x)),

Po(x)

= p(x, yo(x)),

qo(x)

= q(x, Yo(x}),

die der Streifenbedingung (1.5.4)

z~(x)

= p 0 (x) +q0 (x) y~(x)

genügen. Außerdem sei auf der Anfangskurve die Bedingung (1.5.5) erfüllt. Die Funktionen y 0 , z0 , p 0 und q0 seien in einer Umgebung von x = 0 analytisch. Die Funktion G sei in einer Umgebung von (x = 0, yo (0}, zo(O), po(O), qo(O), ro(O), s0 (0), t 0 (0)) 1> ebenfalls analytisch. Mit Hilfe des Satzes von Cauchy-Kowalewski werden wir den folgenden Satz beweisen:

Satz: Das Anfangswertproblem (1.5.1-5) besitzt in einer Umgebung der Anfangskurve genau eine ana,lytische Lösung z(x, y). Zum Beweis transformieren wir (1.5.1-5) derart, daß die Anfangskurve in die x-Achse übergeht: x = x, y = y-yo(x), = z(x, fJ+yo(x)), p = p+y~q, (1.5.6) q = q, = r+2y~s+y~2 t+y~'q, 8 = s+y~t. t = t.

z

r

(1.5.1) geht in (1.5. 7) ll

G(x, fJ, .. .,t)

=

o

Wegen (1.5.5) ist das Gleichungssystem

G(x, y 0 (x), z0 (x), p 0 (x), q0 (x), r0 (x), s 0 (x), t0 (x)) = 0, r 0 (x) + s0 (x)

y~

(x)

s0 (x) +t0 (x) y~(x)

= Po (x), =

q~(x),

nach r 0 (x), s 0 (x), t 0 (x) auflösbar, woraus r 0 (0), s 0 (0) und t 0 (0) folgen.

1.6 Allgemeiner Existenzsatz von Oauchy- Kowalewski

29

über, und auf der Anfangskurve y = 0 wird aus (1.5.5) {).1 = G,y~2 -G8 y~+G, ~ 0.

Demnach kann (1.5. 7) in einer Umgebung von y = 0 nach t aufgelöst werden, wir erhalten dann das Cauchysche Anfangswertproblem (1.5.8)

t =

z(x,

o)

= zo(x),

F(x, g, z, ß, §, f, 8), ß(x, o) = ßo(x), q(x, o) = qo(x).

Wir suchen z mit (1.5.2) und fassen z, p und q zunächst als gesuchte Funktionen auf. Dann erhalten wir das System (1.5.9)

§;

= F(x, y, z, ß, §, ßx, qx), z; = §, ß; = q~

mit den Cauchyschen Anfangsbedingungen

z(x,

o)

= Zo(x), ß(x, o) = ßo(x), q(x, o) = qo(x).

In 1.2-4 haben wir für ein solches System die Existenz genau einer analytischen Lösung z(x, Y), p(x, Y), q(x, y) bewiesen. Wegen der zwei= q, es bleibt noch = p zu zeigen. Dazu bilden ten Gleichung gilt wir mit (1.5.9) - - =0 0 (-z--p-) = q--p,::,)' X X uy

zi

z;

y konstanten Werte z~(x, y) -p(x, y) = z~(x, 0) -p(x, 0}.

und erhalten die bezüglich

Die rechte Seite verschwindet: denn transformiert man mit (1.5.6) die auf der Anfangskurve gültige Streifenbedingung (1.5.4), so folgt

:x z(x, 0)-p(x, 0) = z~-p0 -y~q0 = Somit gilt

0.

zx-ß = o

für die errechnete Lösung und z(x, Y) erfüllt die Differentialgleichung und die Anfangsbedingungen (1.5.8). Transformiert man z(x, y) wieder zurück mit (1.5.6), so erhält man die gesuchte Lösung z(x, y) von (1.5.1-4). 1.6 Der allgemeine Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski

Im folgenden soll der Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski in seiner allgemeinsten Fassung angegeben werden, qhne auf die Einzelheiten des Beweises näher einzugehen.

30

l. Einführung und Existenzsat:t: von Cauchy - Kawalewski

Betrachtet wird das allgemeine Differentialgleichungssystem beliebiger Ordnung (1.6.1)

o'kuk (fJxl)'t

= fk

( . . fJiui ) x', u•, (fJxl)l, ... (ox")In

mit k = 1' ... ' m; zl + lz + ... + l" = l ",;;: rb zl < rk für die gesuchten Funktionen u 1 , ••. , um von den unabhängigen Variablen x 1 , . . . , x". Wie man sieht, ist in dem System die Variable x 1 gegenüber den anderen ausgezeichnet. Die rechten Seiten dieser Differentialgleichungen enthalten die unabhängigen Veränderlichen xi, die Funktionen ui und deren Ableitungen bis zur Ordnung rk. Die Ableitungen, nach denen das System aufgelöst ist, dürfen auf den rechten Seiten nicht vorkommen. Außerdem werden Cauchysche Anfangsbedingungen in der Gestalt ukix'=O

I

fJuk fJxl

x' =0

= cp~(x 2 ,

.. . , x")

--

k( z fPI X '

••• ' X

=

cp~k-I(x2, .. . , x"),

")

mit

cp~(O, .. . ,

0)

=

0,

'

(1.6.2) f}rk-luk (fJxl)rt-1

I x'=O

k

=

1, ... , m

vorgegeben. Die ~(x 2 , ... , x") müssen in einer Umgebung von x 2 = x 3 = ... = = x" = 0 analytische Funktionen ihrer Variablen x 2 , ••• , x" sein. Entsprechend wird für die rechten Seiten fk des Differentialgleichungssystems (1.6.1) vorausgesetzt, daß sie analytische Funktionen aller ihrer Argumente

in einer Umgebung von

{o, O,

(fJxl)l,

~~~;(ox")In lx'= ... =xn=J

sind. Letztere Werte sind dabei aus den Anfangsvorgaben (1.6.2) zu berechnen. Unter diesen Voraussetzungen gilt der

Satz von Cauchy-Kowalewski:

Es gibt eine Umgebung von x 1 = ... x" = 0, in welcher genau eine analytische Lösung u 1 , . . . , um dl!s Systems (1.6.1) existiert, die die Cauchyschen Anfangsbedingungen (1.6.2) erfüllt.

1.6 Allgemeiner Existenzsatz von Cauchy- Kowalewski

31

Der Beweis kann dadurch erbracht werden, daß man das System (1.6.1) in ähnlicher Weise, wie es in (1.5) für die Differentialgleichung zweiter Ordnung geschehen ist, auf ein System von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung in der Normalform von Cauchy-Kowalewski zurückführt. Für dieses läßt sich dann die in (1.4) bereits formulierte Fassung benutzen. Der Anwendungsbereich des hier zitierten Existenzsatzes ist durch die Forderung nach Analytizität stark eingeschränkt. Wie es sich später zeigen wird, lassen sich Existenz beweise für partielle Differentialgleichungen auch unter schwächeren Voraussetzungen führen, allerdings machen diese Einschränkungen hinsichtlich des sogenannten Typs der Differentialgleichungen notwendig, was bei obigem Existenzsatz ent: fällt.

32

2. Differentialgleichungen zweiter Ordnung und Integralrelationen

2.1 PfaUsehe Differentialformen in zwei Variablen und PfaUsehe Ableitungen Es ist

ro = P(x, y)dx+Q(x, y)dy,

P, Q E

eine lineare Differential- oder Pfaffsche Form in den Variablen x, y, die als kartesische Koordinaten der Ebene gedeutet werden. Durch Nullsetzen der Form OJ=Ü

wird ein Richtungsfeld in der Ebene bestimmt. Die Integration der gewöhnlichen Differentialgleichung ro = 0 ergibt eine Kurvenschar, die Nullinien der Pfaffschen Form. Wenn die Beziehung

(2.1.1) erfüllt ist, gibt es eine Funktion(/) (x, y) derart, daß man ro als ro

=P

dx+Q dy

= r/)x dx+r/)Y dy

schreiben kann; die Form ro heißt dann vollständiges Differential. Demnach sind die Größen dx und dy vollständige Differentiale. Ist x (t), y (t) E ~ 1 für t0 ..;;; t ..;;; t 1 die Parameterdarstellung einer Kurve 0, so heißt

Jro = JP dx + Q dy

(2.1.2)

c

c

das Linienintegral von ro über 0 und wird erklärt durch

f t,

{P(x(t), y(t))

~~ +Q(x(t), y(t))

7t}

dt.

to

Ist 0 eine geschlossene Kurve, die ein Normalgebiet

~ E@ 2 >

Mit ~·(@l) wird die Klasse der in @l r-mal stetig differenzierbaren und mit die Klasse der in @l stetigen Funktionen bezeichnet. @l sei ein Gebiet, das wir im allgemeinen beschränkt und einfach zusammenhängend voraussetzen. Der Rand eines Gebietes wird mit ® und ® U @l mit @}" bezeichnet. 2> Siehe auch Teil III Abs. 21.1. 11

i:0 (@l)

2.1 Pfaffsche Differentialformen in zwei Variablen

33

berandet, so lautet bekanntlich der Gaußsehe Integralsatz

fJ

fw = fP dx+Q dy = (Qx-Py) dx dy. ß: ~ i3' Ist w vollständiges Differential, so verschwindet wegen (2.1.1) dae Linienintegral für jede geschlossene Kurve. Es seien zwei Pfaffsche Formen gegeben (2.1.3)

(2.1.4)

w1

= Pdx+Qdy,

w2

= Pdx+Qdy.

Jede der Formen bestimmt ein Richtungsfeld und durch Integration eine Kurvenschar in der (x, y)-Ebene. Die beiden Formen heißen in einem Gebiet @ der (x, y)-Ebene voneinander unabhängig, wenn in jedem Punkt von@ die Nullrichtungen der beiden Formen voneinander verschieden sind. Die Nullrichtungen sind bestimmt durch w1 = 0 bzw. w2 = 0 oder (2.1.5)

dx dy

Q

bzw.

p

Die Formen w1, w2 sind also voneinander unabhängig, wenn die Determinante von Null verschieden ist:

PQ-QP ,c

(2.1.6)

o.

Betrachten wir jetzt irgendeine Nullinie 0 der ersten Form und bilden längs w1 = 0, beginnend von einem geeigneten Anfangspunkt A bis zu einem variablen Endpunkt Z das Linienintegral z z (2.1.7) t = w2 = Pdx+Qdy, w1 = 0,

f

A

J

A

so ist t eine Größe, die für verschiedene Punkte Z von 0 verschiedene Werte hat. Wir können t als Parameter längs der Kurve 0 wählen, das heißt 0 durch zwei Funktionen x(t), y(t) darstellen. Wegen der willkürlichen unteren Grenze A ist t nur bis auf eine Konstante bestimmt. Wir nennen t den Pfaffschen Parameter der betrachteten Kurve w1 = 0 bezüglich der Form w2. Ist F (x, y) eine Ortsfunktion, so wird F längs der Kurve 0 (w 1 = 0) seine Werte ändern. Längs 0 ist F eine Funktion des Pfaffschen Parameters t. Wir wollen den Differentialquotienten dF Jdt berechnen. Es ist dF F. F. --;]I= xX+ YY· Wegen w1 = 0 ist

34

2. Differentialgleichung en und Integralrelationen

und nach (2.1.7)

dt

= Pdx+Qdy

oder

und daraus i;

=

Q

.

PQ-QP'

1

= Px+QiJ

.

-P

y = PQ-QP.

Daher wird

dF = F = QFx-PFy 11 QP-PQ . dt -

(2.1.8)

Man nennt diesen Ausdruck die Pfaffsche Ableitung von F längs einer Kurve ro1 = 0 bezüglich der Form ro2. In derselben Weise ergibt sich die Ableitung F 1 längs einer Kurve ro2 = 0 bezüglich der Form ro1 • Mit Hilfe der Pfaffschen Ableitungen läßt sich dF in der Form schreiben (2.1.9) Um das zu zeigen, beachten wir die Identität

F1c.o1+Fgc.o2 := Fxdx+Fydy.

(2.1.9a}

Durch Auflösung der Gleichungen (2.1.4) lassen sich die Pfaffschen Formen dx, dy ausdrücken durch ro 1 , ro 2• Man erhält (2.1.9b} Durch Einsetzen in (2.1.9a) folgt

dF

= ( -QFx+P Fy) ro1 + ( QFx-PFy )c.o2 QP-PQ

QP-PQ

als Bestätigung der Formel (2.1.9) mit (2.1.9c)

F _ -QFx+PFy 1 QP-PQ

F _ QFx-PFy 11 QP-PQ

Sind e(x, y), O'(x, y) zwei differenzierbare Funktionen, so ist die Linearkombination (2.1.10) wieder eine Pfaffsche Form ros. Von drei Pfaffschen Formen ro 1, ro 2, ro 3 zweier Veränderlichen läßt sich stets eine als Linearkombinatio n der beiden anderen schreiben. Sind ro1, ro2 voneinander unabhängig, so gibt es zwei Funktionen e. 0' derart, daß eine Gleichung der Form (2.1.10) gilt. ros sei ros = A dx + B dy.

2.2 Äußeres Produkt und äußere Ableitung

35

Dann soll also gelten

A dx+B dy = e(P dx+Q dy)+a(P dx+Q dy) = (eP+a P) dx+(eQ+aQ) dy. Durch Gleichsetzen der Koeffizienten von dx, dy auf beiden Seiten lassen sich (!, a berechnen, wenn (2.1.6) erfüllt ist. Das algebraische Produkt zweier linearer Pfaffscher Formen (2.1.4) gibt eine quadratische Differentialform: (2.1.11) Umgekehrt läßt sich auch jede quadratische Differentialform in dx, dy umschreiben auf eine quadratische Form in zwei unabhängigen Pfaffschen Formen mt, m2. Denkt man sich die quadratische Form in dx, dy gegeben, so hat man lediglich für dx, dy die Ausdrücke (2.1.9b) einzusetzen, um die Form in Wt. m2 zu erhalten. Jede quadratische Form läßt sich also in der Gestalt schreiben:

2.2 Äußeres Produkt und äußere Ableitung Zurückgehend auf Grassmannsehe Überlegungen hat E. Cartan neben dem algebraischen Produkt noch das äußere Produktzweier Pfaffscher Formen m1 , w2 eingeführt, welches durch folgende Gleichungen definiert wird: 1. 2. 3.

(2.2.1)

[mt, m2] = -[m2, mt], ( A Skalarfunktion) [ A Wt, m2] = A [mt, m2], [rot +m2, ma] = [rot, ma] +[m2, ma]

Nach (2.2.1,1.) ist das äußere Produkt alternierend, daher gilt für jede Form w (2.2.1a)

[m, m]

= 0.

(2.2.1,2.) und (2.2.1,3.) geben die Rechenregeln der Multiplikation. Wir wollen als Beispiel das äußere Produkt der Formen m1 , w 2 in der Darstellung (2.1.4) berechnen: [m1, m2] (2.2.2) [mt, m2]

= [P dx+Q dy, P dx+Q dy] = P P[dx, dx]+P Q[dx, dy]+PQ[dy, dx]+Q Q[dy, dy] = (PQ-PQ)[dx, dy].

Nach (2.1.6) folgt sofort: Sind Wt. m2 linear abhängig, so verschwindet ihr äußeres Produkt und umgekehrt. Man nennt den Ausdruck [m 1 , m2]

36

2. Differentialgleichungen und Integralrelationen

auch eine Pfaffsche Form zweiten Grades. Nach (2.2.2) unterscheiden sich die Pfaffschen Formen zweiten Grades in zwei Variablen nur um einen skalaren Faktor. Bisher hatten wir stets zwei unabhängige Variable x, y als gegeben angenommen. Wir wollen jetzt das Verhalten der Pfaffschen Formen und ihrer äußeren Produkte bei Transformationen der unabhängigen Variablen untersuchen. Es seien durch x

= cp(x, y),

neue Variable

fj

= 1p(x, y)

mit

I'Px

'ljJx

cpy 1py

I ;F. 0

x, fj eingeführt; dann ist dx = t:px dx+cpy dy, dy = "Px dx+1py dy.

Die Transformation einer Linearform w läßt sich leicht berechnen. Für das äußere Produkt zweier beliebiger Formen w 1 , w2 beachten wir die Formel (2.2.2). Danach genügt es, das äußere Produkt [dx, dy] zu transformieren, da in dem skalaren Faktor lediglich die neuen Variablen einzusetzen sind. Man erhält unmittelbar (2.2.3)

[dx, dy] = (cpx 1py- cpy 1px) [dx, dy].

Aus der Integralrechnung ist bekannt, daß sich ein Doppelintegral nach (2.2.3) transformiert. Es empfiehlt sich daher, auch bei der Schreibweise des Doppelintegrales die Bezeichnung des äußeren Produktes zu verwenden. Wir schreiben

Jf S(x, y) [dx, dy].

(2.2.4)

\}'

Mit zwei beliebigen Pfaffschen Formen (2.1.4) wird dann wegen (2.2.2) das Doppelintegral

Jf F(x, y)[w1, w2] = Jf F(x, y) (PQ-QP)[dx, dy], \}'

~

so daß man mit beliebigen Pfaffschen Formen überall in derselben Weise Doppelintegrale bilden kann wie mit Differentialen dx, dy.l> Das Differential einer Funktion F (x, y) läßt sich mittels eines Differentialoperators (2.2.5)

d

a

a

= -axd x + -ayd y

schreiben: (2.2.5a) 1>

dF

a

a

= ( fiX dx+Ty dy

Siehe auch Teil III Kap. 21.

)

F

=

aF oF ox dx+ 8y dy.

2.2 Äußeres Produkt und äußere Ableitung

37

Den Operator d kann man als spezielle Pfaffsche Form deuten. (2.2.5a) entspricht der Multiplikation der Pfaffschen Form d mit dem Skalar F. Man kann das äußere Produkt des Operators d mit einer Pfaffschen Form ro 1 erklären durch (2.2.6)

[d, ro1] = [ :x dx+ :y dy, Pdx+Qdy].

Entsprechend der äußeren Multiplikation werden die Koeffizienten "multipliziert", dabei bedeutet das Produkt

~p

ox

die partielle Ablei-

tung Px. Daher wird wegen (2.2.2) (2.2.7) [d, 001] = (Qx-Py} [dx, dy]. Man nennt nach E. Cartan den Ausdruck [d, ro1] die äußere Ableitung der Pfaffschen Form ro1. Nach (2.1.1) und (2.2.7) folgt: Die äußere Ableitung einer vollständig integrablen Form ist Null und umgekehrt. Ist A(x, y) eine Funktion: von x, y, so ist Aro1 eine Pfaffsche Form. Wir wollen die äußere Ableitung berechnen:

[d, Aw1] = [:x dx+ :y dy, APdx+AQdy]

= ((A Q)x- (AP}y)[dx, dy] = {AxQ-AyP+A(Qx-Py}}[dx, dy].

Beachten wir (2.2.5a) und (2.2. 7), so können wir dafür schreiben: (2.2.8) [d, Aw1] = [dA,wi]+A[d,wl]. Ebenso erkennt man die Richtigkeit der Formel (2.2.8a) [d, (erol +aro2)) = [de, WI]+ e[d, WI]+[da, W2]+a[d, 002)• Sind zwei Pfaffsche Formen co 1 , co 2 nach (2.1.4) gegeben, beachtet man ferner (2.2.2), so läßt sich (2.2. 7) auch in der Gestalt schreiben: (2.2.9) mit

[d,

C01]

= q[co1, C02),

[d, C02)

= q[co2, CO!)

(2.2.9a) Die Größen q, q sind Invarianten der Pfaffschen Formen co1, co 2; sie verschwinden, wenn ro 1, co 2 vollständig integrabel sind und umgekehrt. Die äußere Ableitung ist invariant gegen Transformationen der Parameter x, y. Führt man neue Variable x, fj ein, indem man x, y als Funktionen von x, fj deutet: (2.2.10) so sind (2.2.10a)

x = x(x,f}); dx

y

= y(x, f]),

= x:;e dx+x.v dfj,

dy

xx_v, Yx.v E @;0 ,

= Yx dx+y.v dtJ

38

2. Differentialgleichungen und Integralrelationen

vollständig integrable Pfaffsche Formen, so daß nach (2.2, 7) (2.2.10b)

[d, dx]

=

[d, dy]

=

0

ist. Bilden wir gemäß (2.2.8a) die äußere Ableitung [d, w1]

=

[d, Pdx+Qdy],

indem wir dx, dy als die Formen (2. 2.1 Oa) deuten, so ergibt sich wegen (2.2.10b) die Gleichung (2.2. 7). Wir können schreiben [d, w1]

=

[dP, dx]+[dQ, dy].

Die rechte Seite ist gleich

Wir schreiben dies in

x,

j}

um und erhalten

[dP, dx] = [P;edx+P.Y dy, xx dx+x'y dy] = (Px x.Y-P.Y x;e)[dx, dy], [dQ,dy] = [Q;edx+QydiJ,y;edx+y.YdiJ] = (Q;eyy-Q_;;y;e)[dx,dy]. [d, w1] = {(Px.Y+Qy_;;)x-(Pxx+Qy;e)y } [dx, dy].

Die beiden Klammern der rechten Seite sind aber gerade die Koeffizienten der transformierten Form w1 . Die Gleichungen (2.2.9), (2.2.9a) führen zu einer wichtigen Integrabilitätsrelation. Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion F (x, y) gilt bekanntlich F x y = F Y x· Schreiben wir das Differential dF in der Form (2.1.9), so ist (2.2.11) F 1 ist eine Funktion von x, y. Für ihr Differential gilt d(F1 )

=

(F1 ) 1 w

1

+ (F1 ) 2 w2 •

Wir schreiben abgekürzt unter Auslassung der Klammern (F1h

=

F11

und bezeichnen diese Größen als die zweiten Pfaffschen Ableitungen der Funktion F. Dabei ist die Differentiationsreihenfolge in F 12 und F 21 wesentlich. Berechnen wir jetzt (2.2.11), so folgt [d, dF]

=

[dF 1 ,

w 1 ]+F1 [d, w 1]+[dF2 , w 2 ]+F2 [d,

w2]

=

0

oder mit (2.2.9) [d, dF]

=

{(F 12 -q F 1 )-(F21 -ijF2 )} [w 2 , w1]

= 0.

Da [w 2 , w1] ~ 0 vorausgesetzt ist, gilt für die zweiten Pfaffschen Ableitungen einer beliebigen Funktion F (x, y) die Integrabilitätsrelation: (2.2.12)

2.3 Integralrelationen einer linearen Differentialgleichung

39

Sie tritt an Stelle der Schwarzsehen Identität Fxy = Fyx der gewöhnlichen partiellen Ableitungen. Durch Einführung der äußeren Ableitung läßt sich der Gaußsehe Integralsatz (2.1.3) in der Form schreiben: fw = Jf[d,w]. 1>

(2.2.13)

13'

lJ

2.3 Integralrelationen einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung Eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung läßt sich in der Form (2.3.1) (aux+buy}x+(bux+cuy}y+Pux+Quy+Ru+S = 0 schreiben, wenn wie im folgenden immer für die Koeffizienten mindestens (2.3.2) a, b, c E (P(@), P, Q, R, SE ~0 (@), a 2 +b 2 +c2 ~ o vorausgesetzt wird. Wie man durch Ausrechnen der äußeren Ableitung verifiziert, läßt sich (2.3.1) als Pfaffsche Gleichung zweiten Grades schreiben: (2.3.3) [d, {(a Ux+b Uy) dy- (b Ux+cuy} dx}]+ (Pux+Quy+Ru+S)[dx, dy] = 0 Sind P, Q E (P, so kann mit (2.3.3a) R (2.3.3) durch (2.3.4)

= R-Px-Qy

und

w

= Pdy-Qdx

[d, {(a ux+b Uy} dy- (b ux+cuy) dx}] +[d, uw] + (Ru+S)[dx, dy] = 0 ersetzt werden. Ist ~ E @ ein einfach zusammenhängendes Normalgebiet mit stückweise glattem Rand ~, so kann man (2.3.3) und (2.3.4) über ~ integrieren. Durch Anwendung des Satzes (2.2.13) von Gauss-Cartan auf die äußere Ableitung der ersten Ausdrücke folgen die lntegralrelationen: f {(a Ux + b Uy) dy- (b Ux + c Uy) dx}

(2.3.5a)

13'

+ fJ (Pux+Quy+Ru+S)[dx,dy] = 0, lJ

(2.3.5b)

f{(aux+buy) dy-(bux+cuy) dx}+f'Uw 13'

+ Jf (R u+S)[dx, dy] B'

n ~Rand des Normalgebietes

iJ.

13'

= 0.

40

2. Differentialgleichungen und Integralrelationen

Satz 1: Jede Lösung u der Differentialgleichung (2.3.1) genügt in jedem einfach zusammenhängenden Gebiet ~ E @ mit stückweise glattem Rand ~ den Integralrelationen {2.3.5a) und (2.3.5b). In der Relation (2.3.5b) treten keine Ableitungen von u unter dem Doppelintegral auf, dafür müssen aber P, Q differenziert werden. Wir betrachten die unter diesem Integral stehende Pfaffsche Form. Sie läßt sich in etwas anderer Anordnung schreiben als (2.3.6)

ux(a dy- b dx) + Uy (b dy- c dx).

Ist in einem Punkt .):1 E@ eine Fortschreitungsrichtung dy: dx gegeben, so wird dieser durch

ox = a dy-b dx, oy = b dy-c dx (2.3.7) eine neue Fortschreitungsrichtung oy : ox zugeordnet. Die durch .):1 gehenden Richtungen bilden ein Strahlenbüschel; (2.3. 7) ist eine projektive Transformation im StrahlenbüscheL Um die Richtungen zu bestimmen, die bei der Transformation (2.3. 7) in sich übergehen, setzen wir oy : ox = dy : dx und erhalten dy b dy-c dx a dy-b dx dx und durch Ausmultiplizieren: (2.3.8) a dy 2 -2 b dx dy+c dx 2 = 0. Diese quadratische Differentialgleichung erster Ordnung bestimmt in jedem Punkt .):1 die sogenannten charakteristischen Richtungen der partiellen Differentialgleichung (2.3.1). Bei der Zuordnung (2.3.7) werden die charakteristischen Richtungen sich selbst zugeordnet. Aus der projektiven Geometrie ist bekannt, daß zwei zugeordnete Richtungen (2.3. 7) harmonisch zu den Fixrichtungen liegen; das heißt: die Richtung (Jy : ox ist der vierte harmonische Strahl zu dy : dx bezüglich der charakteristischen Richtungen. Nähert sich die Richtung dy : dx einer charakteristischen Richtung (z. B. in Abb. 2.3.1), so nähert sich die Richtung (Jy : ox der gleichen Charakteristik von der anderen Seite.

dX!f

Abb. 2.3.1

2.4 Der d,.-Operator und die Typeneinteilung

4:1

Im folgenden nennen wir die Richtung by : bx konjugiert oder normal bezüglich (2.3.8) zur Richtung dy: dx. Jetzt läßt sich (2.3.6) abgekürzt schreiben als Ux bx+uy by, und man erkennt, daß die Pfaffsche Form (2.3.6) bei gegebenen dy, dx die Ableitung bzw. das Differential von u (x, y) in der konjugierten Richtung darstellt. Wir schreiben abkürzend

d"u

(2.3.9)

=

(aux+buy) dy-(bux+cuy) dx

und erhalten (2.3.3) in der Gestalt

[d, d"u]+(Pux+Quy+Ru+S)[dx, dy] = 0

(2.3.10a) oder (2.3.4)

[d, d"u]+[d, uco]+(Ru+S)[dx, dy]

(2.3.10b)

=

0.

Die Integralrelationen (2.3.5) nehmen damit die Gestalt an (2.3.lla) (2.3.llb)

fd"u+ ß:

fJ (Pux+Quy+Ru+S)[dx, dy] = 0, lY

fd"u+fuco+ JJ (Ru+S)[dx, dy] = 0. ß: ß: lY

Die folgende Behandlung der partiellen Düferentialgleichung zweiter Ordnung stützt sich auf diese Integralrelationen. 2.4 Der d,.-Operator und die Typeneinteilung Wenden wir unszunächstzur Differentialgleichung (2.3.8) der Charakteristiken. Ist in einem Gebiet g c @ die Diskriminante

ac-b 2


Ist v Lösung der adjungierten Differentialgleichung, so gilt nach (2.5.3a) die einfache Integralrelation: (2.5.5)

fud"v-vd"u-uvw 'tJ

= Jf Sv[dx,dy] lJ

Die Integralrelation für ein festes Integrationsgebiet Die soeben aufgesteilten Integralsätze beziehen sich auf jedes beliebige in ® gelegene Normalgebiet. Bei den sogenannten Randwertaufgaben ist dagegen ein festes Gebiet r gegeben, auf dessen Rand f' die Funktion u gewisse Bedingungen erfüllen soll. Wir wollen die Integralsätze so 1> In der Funktionalanalysis wird die Selbstadjungiertheit des Operators (2.3.3) oft anders erklärt, siehe z.B. bei G. Hellwig [47] Kap. IV. 2.

46

2. Differentialgleichungen und Integralrelationen

umformen, daß aus einer Integralrelation über t, rauf das Erfülltsein der partiellen Differentialgleichung geschlossen werden kann. Es sei v(x, y) E fJ?(F) eine beliebige Funktion. Mit (2.3.10b) bilden wir die Gleichung

JJ v{[d, dnu]+[d, uw]+ (R u+S) [dx, dy]} =

(2.5.6)

r

0.

Wird diese Gleichung von einer Funktion u (x, y) E ~2 (F) für jede beliebige Funktion V E ~2 (F) erfüllt, so ist u in r Lösung der partiellen Differentialgleichung (2.3.10b}. Durch Anwendung der Greensehen Formel (2.5.2} gelangt man wie im vorigen Abschnitt (2.5.3a} zu der Formel u{[d, dnv]-[d, vw]+Rv[dx, dy]} (udnv-vdnu-uvw)(2.5.7) r f

f

JJ

=

JJr Sv[dx, dy].

Sieht man von dnu im Randintegral ab, so sind die in (2.5.6) auftretenden Ableitungen von u auf die Funktion v abgewälzt worden. Erfüllt eine Funktion u(x, y) E ~2 (T) n ~1 (F) die Gleichung (2.5.7) für das Gebiet rund für jede beliebige Wahl v(x, y) E ~2 (F}, so kann man von (2.5.7) zurückgehen nach (2.5.6), d. h. dann ist u(x, y) Lösung der partiellen Differentialgleichung. Die Gleichung (2.5. 7) gilt unabhängig vom Typus der gegebenen Differentialgleichung. Wir wollen ihre Bedeutung für eine Differentialgleichung vom elliptischen Typus erläutern: Gesucht wird eine Lösung u(x, y) E ~0 (F) n ~2 (T), die auf .t gegebene Werte u(i') annimmt. Oft gelingt es durch geeignete Wahl von v, (2.5. 7) in eine Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art umzuformen (Abschnitt 4.6 und 5). Die Integrale in (2.5.7) sind dann stetige Funktionen der Parameterkoordinaten eines Punktes. Deshalb wird die Fredholmsche Integralgleichung im Raum der in F stetigen Funktionen gelöst. Aber erst, wenn sich diese stetige Lösung u der Integralgleichung in r sogar als zweimal stetig differenzierbar erweist und (2.5. 7) für jede Funktion v E ~2 (F) erfüllt, ist u auch Lösung der partiellen Differentialgleichung. Die Relation (2.5. 7) ist auch Ausgangspunkt für funktionalanalytische Methoden, die die Randwertaufgabe auf die Lösung einer Funktionalgleichung in einem geeigneten Hilbertschen Funktionenraum zurückführen.

2.6 Eindeutigkeitssätze und Energieintegral

47

2.6 Eindeutigkeitssätze für Differentialgleichungen vom elliptischen und parabolischen Typus und das Energieintegral Sind u1(x, y) und u2(x, y) zwei Lösungen der Differentialgleichung (2.3.10b), so ist die Differenz u = u 1-u 2 Lösung der homogenen Gleichung (2.6.1)

D(u)

= [d,

(dnu+uw)]+Ru[dx, dy]

=

0,

die sich nur durch Zusammenfassung der beiden ersten Glieder und S = 0 von (2.3.10b) unterscheidet. Ist 0,

=

2.) (UxxUyy-U!y)lv

(2.7.4)

0,

a.) Uxylv

oz!;

0,

also

b.) Uxylv

=

0,

und entweder

Uxxlv

Uxxlv

oder Uxxlv

c.) Uxxlv

=

Uyylv

=

Uxylv

=

0,

Uyylv


(.)J);;;,. 0

0, Uxx < 0 im Widerspruch zur Annahme.

Uxx/v

=

Uxylv = 0,

L(u)

=

cuyy

Uyylv < 0

liefert

= C/>(.IJ);;;.. 0

den entsprechenden Widerspruch. Daher ist der Fall 2b) unmöglich. 2) In den Fällen 1) und 2a) gilt nach (2. 7.5)

55

2. 7 Das Maximumprinzip

Dann folgt durch Einsetzen: (2. 7. 7)

=-

a(Uxx Uyy -u;y) \v

(au;y

+ 2 b Uxy Uyy+cu;y)\v +4> Uyy\v·

Die Klammer der rechten Seite enthält eine positiv definite Form in Uxy und Uyy. die wegen Uyy < 0 nicht verschwinden kann. Wegen Uyy < 0 isttl>uyy...:=O. Somit kann u(x, y)\v die Forderung (2.7.3) nicht

erfüllen. Diese Schlußweise versagt im Fall 2c), da die rechte Seite in .)J verschwindet. Der Nachweis, daß auch der Fall 2c) nicht auftreten kann, ist etwas schwieriger. Wir benötigen ihn nicht für die weiteren Überlegungen. b) Das Lemma von E. Hopf

Satz 1 (E. Hopf [54]): Genügt eine in @ stetige und in @ zweimal stetig differenzierbare nicht konstante Funktion u der elliptischen partiellen Differentialgleichung (2.7.8)

L(u)

=

auxx+2bUxy+cuyy+eux+fuy

mit ac-b > 0 und a wert nicht an. 2

>

=

tl>(x,y):::..O

0 in @, so nimmt u in @ seinen Maximal-

Wir führen den Beweis indirekt unq nehmen an, u (x, y) habe einen Maximalwert m in @. Dann existieren ein Punkt .)J E @ und ein abgeschlossener Kreis S'!i c @ vom Radius r > 0 mit .)J als Randpunkt .)J E Sr derart, daß (2. 7.8a)

u(x, y)


0 mit ~a c @. Schließlich gibt es auf der Kurve .)) 1 .)Ja einen Punkt .\)4, dessen Abstand von .)) 3 kleiner oder gleich _.!._ ra ist: 0 2

...:= _.!._

2

ra. Nach Konstruktion ist u (.)) 4 )

existiert um .)) 4 ein Kreis

~eo


1>

Siehe auch W. Walter [132].

3.2 Das Cauchysche Anfangswertproblem

67

Cauchy-Problem: Gesucht ist in b eine Lösung der Differentialgleichung (2.3.3} bzw. (2.3.4}, welche auf a(s) die vorgeschriebenen Anfangswerte

annimmt. Zur Bestimmung von u betrachten wir zunächst Integralrelation (2.3.lla bzw. b) für ein beliebiges Bestimmtheitsgebiet F ~ b. Dabei formen wir das Umlaufintegral

J dnu+ J dnu+ J dnu

fdnu =

r

um, indem w1r ~ lJ als (2.4.1) und (2.4.2}

+

&!8

~:>&

!8~:>

Charakteristik interpretieren1> und nach

Charakteristik

und entlang der -

f dnu = - f k du ~:>&

~:>&

beachten. Dann haben die Integralrelationen (2.3.lla bzw. b) die Gestalt (3.2.la}

f k du+ f k du+ J dnu+ ff {Pux+Quy+Ru+S}[dx, dy] = 0 !8~:>

&!8

&~:>

r

bzw. (3.2.lb}

f k du+ f k du+ f dnu+ f uw+ JJ {(R-Px-Qy} u+S}[dx, dy] = !8~:>

&~:>

r

&!8

r

Da k stetig differenzierbar ist, können die Linienintegrale längs und 2{ lJ partiell integriert werden,

0. ~

.p

f kdu = (ku)il:l- f udk,

58\)

f kdu = &~:>

j8

(ku)\1:>,&

!8~:>

f udk,

&\)

Il Im konkreten Fall steht fest, welcher Charakteristikenschar die Seiten des Bestimmtheitsgebietes angehören. Eine Vertauschung der Vorzeichen verlegt den Vorgang auf die andere Seite der Anfangskurve (s. Abb. 3.2.1 ).

68

3. Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typus

womit die Beziehungen (3.2.1a, b) in die Gleichungen 2kuJ lv

(3.2.2a)

= kul +kuj +

f udk+ f udk- f dnu 'l!v

m mv

'1!

'l!m

- fJ {Pux+Quy+Ru+S}[dx, dy] r

bzw.

2 k UI

v

(3.2.2b)

= k U'l

+ k UI +

&

JU dk + Ju dk- Jdnu

m mv

- f uw-

r

&v

&m

ff {R u+S}[dx, dy] r

übergehen. Wegen b2 -ac > 0 in @ kann man von vornherein die Differentialgleichung so normieren, daß k = 1 in b gilt. Diese N ormierung läßt sich dadurch erreichen, daß die Differentialgleichung (2.3.1) durch k dividiert wird. Man erhält dann aus (3.2.2a,b) (3.2.3a) 2 u(V)

(3.2.3b) 2u(V)

= u(m) +u(~)-

f dnu- Jf {Pux+Q Uy+Ru+S}[dx, dy],

'l!m

r

= u(m)+u(~)- f dnu- ff S[dx, dyJ-f uw- ff Ru[dx, dy].

&m r r r Die Beziehung (3.2.3b) kann als Volterrasche Integralgleichungzweiter Art für die Funktion u(V) gedeutet werden. Der Punkt V habe die Koordinaten ~. 'fJ· Die in (3.2.3b) aus den Vorgaben bekannten Ausdrücke fassen wir zusammen zu (3.2.4a) 2 f(~, TJ)

=

u(m(~, 17)) +u(~(~, ?J))-

f f-tOJ- f v(s) ds- ff S[dx, dy]

&m

'l!m

r

und schreiben mittels eines Parameters A. statt (3.2.3b) (3.2.4)

u(~, 17) = f(~, ?J)+A.{-

V

f uw- VJuw- JJ F( .,

=

= 1 für

0

(P(b+l)-Qa)dt

•(x, y; ~. 'YJ) =- 1n ln [w(x+iy, ~+in)[= Re (- 1n lnw) 2

2

besitzt dann folgende Eigenschaften: a) cf> =Re (- 21nln w) ist in®-{~. 17} harmonisch: [d, dncf>] = 0. b) Da@ in den Einheitskreis übergeht, gilt [w(z, C)l

cf> I

lieh ist

.

J

= 1, folg-

= 0.

zE@

c) Da w@ konform abbildet, besitzt w in z stelle, es gilt

w(z, C) = (z-C) w(z, C)

. zE@

mit

w rf

= C eine einfache Null-

o

für

z E @.

Folglich besitzt cf> in Ceine logarithmische Singularität 1 lnJw(z, C)[ = - 1 ln I 1 Cl _ __!____ ln[w[. cf> = -22n n z2n Wir wissen, daß GI durch die Eigenschaften (4.3.1) eindeutig bestimmt ist. Also ist cf> die Greensehe Funktion GI zu@ mit dem Aufpunkt (~, 17): GI(x, y;

~. 17)

= - 21nln[w(x+iy;

~+i'YJ)[.

Die Existenz der Abbildungsfunktion w(z, C) und damit von GI wird durch den Riemannschen Abbildungssatz ([88] S. 345) gesichert. Eine konstruktive Methode zur Bestimmung von w werden wir in 4.5 kennenlernen (vgl. auch 4.11).

Die Greensehe Funktion GI für den Einheitskreis Eine Abbildungsfunktion des Einheitskreises auf sich, die einen beliebigen Punkt Cdes Kreises in den Nullpunkt des Bildkreises abbildet, ist bekanntlich (4.3.9)

w(z, C)

z-C = ---, 1-zC

denn auf dem Einheitskreis gilt wegen

ww\

= zz=l

zz

= 1

(z-C)(z-t} =(z-C)(z-0 =1. ( 1 -zC)( 1 -zC)z~ (z-C}(z-C) zz

106

4. Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform

Somit lautet die Greensehe Funktion GI für den Einheitskreis mit z = x+iy, C = ~+i'YI

GI (z, C) = - -1I n

(4.3.10)

2n

I 1-z z-'"" I. C

Da die konforme Abbildung einer konformen Abbildung wieder konform ist und wir die Abbildung (4.3.9) des Einheitskreises auf sich kennen, können wir die Greensehe Funktion GI bereits angeben, wenn w(z) irgendeine Abbildungsfunktion einer konformen Abbildung von ® auf den Einheitskreis ist. Mit (4.3.10) und z = x+iy, C =~+in gilt (4.3.11)

GI(z,

C) =-_!___In I w(z) -w(C) 2n

1-w(z)w(C)

I·

4.4 Die Lösung der ersten Randwertaufgabe für die Poissonsche Diffe-

rentialgleichung

Wenn die erste Randwertaufgabe zu (4.2.1) eine Lösung u(x, y) E (P(®) n (P(®) besitzt, so läßt sich diese mittels QI durch (4.3.2) als

f

u(~, 'Y/) = - cp(s) dnG 1 (x(s), y(s); ~, 'YI) + @

fJ S GI[dx, dy] @

darstellen. Die rechte Seite ist eine bei gegebenen cp und S berechenbare Funktion. Man muß untersuchen, ob und unter welchen Voraussetzungen diese Funktion die Differentialgleichung erfüllt und die Randwerte annimmt. Das beantwortet der folgende Satz:

l-

Satz: ® besitze H ölder-stetige Tangente 1). S sei in ® H ölder-stetig und in ® beschränkt ~md cp auf @ stetig vorgegeben. Dann ist die durch (4.4.1)

u(~, rJ)

=

f cp dnG + fJ S G [dx, dy] 1

®

1

für

®

für

cp(s)

(~, rJ) E ® (~(s), rJ(s)) E ®

definierte Funktion Lösung der ersten Randwertaufgabe aus der Klasse ~2 (®)

n ~o( ®).

Beweis: Wir zeigen zuerst, daß das Linienintegral (4.4.2)

U1

(~, 1)) = -

f cp dnGI

@

1> 1J7(t) heißt in t E :t Hölder-stetig, wenn für jeden Punkt t1 E :t die Hölder-Bedingung I IJ! (t1 ) -!p (t 2 ) I """ H I t1 - t2 1"' für alle t 2 E:t mit nur von t1 abhängigen Zahlen H, Ot > 0 erfüllt wird. Ist :t = SE, dann sollen H und Ot auch von t1 unabhängig sein. Entsprechend wird der Begriff der Hölder-Stetigkeit für FWlktionen mehrerer Variabler erklärt. Mit Q;'+"' (:t) wird die Klasse der FWlktionen mit Hölderst.etigen r-ten AbleitWlgen bezeichnet.

107

4.4 Poissonsche Differentialgleichung

in @ harmonisch ist und die Randwerte q; stetig annimmt. Dazu betrachten wir ein beliebiges abgeschlossenes Teilgebiet i)- = ~ c @ und (4.4.3)

ul(~, 71) = -

f q; (s) {G~ y- G~x} ds

(~, 71) E i)-.

für

@

Da @ Hölder-stetig differenzierbar ist, gilt für die Abbildungsfunktion w E I.P(@) ([133]). Demnach sind der Integrand und seine Ableitungen nach ~. 7J bis zur zweiten Ordnung in s E [0, L], (~, 71) E i)- stetig, so daß bei der Differentiation von u 1 nach ~. 7J Differentiations- und Integrationsreihenfolge vertauscht werden können ([119] II S. 240 ff.):

u1H+u1 1717 = - f q; (s) {((G~)H+ (G1)" 11)

y- ((G~)«+ (G~)"") x} ds

@

für

(~,

7)) E i)-

Wegen w(z) ~ w(C) und w E lP(@) n @:2 (i)-} können nach (4.3.11) in GI auch noch die Ableitungen nach ~' 7J mit denen nach x, y vertauscht werden. G} und G~ sind also in (~, 7)) Ei)- harmonisch. Daher verschwindet die rechte Seite, und es ist (4.4.4)

[d, dnul]

=0

lll

i)-.

Da% c @ beliebig gewählt war, muß (4.4.4) überall im offenen Gebiet @gelten. Zur Untersuchung der Randwerte von u 1 werden wir das Vorzeichen von dnGI!@ benötigen. Die Normalenableitung ist nach Kapitel 2.4. die Ableitung von GI in Richtung der äußeren Normalen von @in (x(s), y(s)).

Bei festem Aufpunkt (~, 71) E @ ist GI in @- {(~, 71)} harmonisch, verschwindet auf@ und strebt in(~, 7)) gegen+oo. Auf Grund des Maximum-Prinzips ist also GI > 0 für (x, y) E @. Das bedeutet (4.4.5)

anai[

E@ '7) E @

(x,y) (~.

..,; o.

Die Konstante 1 kann in@ als harmonische Funktion aufgefaßt werden, deshalb liefert Darstellungsformel (4.3.2) die Identität (4.4.6)

1

=-fdnG

1•

@

Multipliziert man (4.4.6) mit dem festen Wert q;(s0 ), so folgt durch Subtraktion aus (4.4.2)

u1(~, 7))-q;(so) = -t(q;(s)-q;(so))dnGI

&

m

(~, 7)) E @.

108

4. Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform

Wählen wir eine positive Zahl s

> 0, dann gibt es zu ihr wegen so daß Jcp(s)-cp(s 0 )J~s für alle s mit Js-sol < o erfüllt wird. Indem wir® in F 1 mit Js-s 0 < o und F 2 mit js-s 0 ~ ozerlegen (s. Abb. 4.4.1), erhalten wir

cpE~0 (@) ein positives

o(s)>O,

j

J

lim

($, '1)-+- (x(so), y(so))

Jul(g, 'Y})- rp(so)l ~ 2 Max Ir! lim dl

JldnG l + slim r,JJdnG J.

r,

1

1

Ahb. 4.4.1

Nun können wir (4.4.5) verwenden und das letzte Integral nach {4.4.6) durch 1 abschätzen und erhalten lim jul(g, 'Y}) -rp(s0 )j ~ 2 M~x lrllim @

J(-dnG

r,

1)

+s.

Wenn (~, 'YJf nahe genug an (x(s 0 ), y(s 0 )) liegt, ist wegen js-s 0 j;;.. o > 0 der Integrand des verbliebenen Integrals stetig, so daß Grenzübergang und Integration vertauscht werden dürfen. Das liefert lim

JdnG

1

r,

==

Jdn(x,yP

r,

1 (x(s),

y(s); x(so), y(so)).

Da G1 (x, y; x(s 0 ), y(s 0 )) für (x, y) ~ (x(s 0 ), y(x 0 )) identisch verschwindet, sind dort auch die ersten Ableitungen G~, G~ identisch Null und das verbliebene Integral verschwindet. Demnach gilt lim

( 0, wobei der Grenzwert von s nicht abhängen kann. Folglich gilt lim Ju1 (g, 'Y})- cp (so) I = 0, woraus die Behauptung lim

(.;, '1)-+- (x(so), y(so))

unmittelbar folgt. Das Flächenintegral (4.4.7)

u 2 (g, 'Y})

=

u1(g, 'YJ)

fJ SG @

=

1 [dx,

rp(so)

dy]

109

4.4 Poissonsche Differentialgleichung

ist wegen der schwachen Singularität von GI und w(z) E ~0 (®) stetig in ®. Aus dem gleichen Grunde und wegen GI j@ = 0 verschwinden auch die Randwerte u 2 1@ = 0 (Aufgabe 1). Es bleibt noch die Erfüllung der Differentialgleichung für u 2 nachzuweisen. Dazu zerlegen wir u 2 in die zwei Summanden

u 2 = 21n

ff

Sin! [dx, dy]+

SZI[dx, dy]

®

®

und beachten, daß mit z = x+iy, C =

1 In liw(z)-w(C) - -ZI z-C

2n

ff

~+i 'YJ

('")I 1 In 11 -W(Z)W I+2n 0, so daß gilt

JKJ..;;:const.r- 1 -",

rl+"'

e~ne

K(x, y; ~. rJ) E @:"(®X®)

und eine weitere Funktion g E @:0 (®).

Funktion

4. Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform

112

Dann gibt es eine Konstante

ß'

0, so daß

>

JJK (x, y; ~. rJ) g (x, y) [dx, dy] E W'( @).

(4.4.12)

0 Hölder-stetig in @X@. Außerdem gibt es eine Konstante 0, so daß dort für (x, y) ~ (~. ?J) die Abschätzungen (4.6.12)

IGII ~o{1+llnrl}. IG~ I+ IG~ I ~ 0 r- 1 , IG~x I+ IG~y I+ IG~y I~ 0 r- 2

gültig sind. (4.6.11) und (4.6.12) lassen sich elementar aus der Darstel-

120

4. Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform

lung (4.3.ll) von G1 herleiten. Sie lassen die Verwendung von Hilfssatz 1 in 4.4 zu: von (4.6.10) muß in®

Eine stetige Lösung u E @:0 (®) Hölder-stetig sein:

mit

u E @;II ( ®)

0




0,

wobei K in ®X® stetig ist. Für Integralgleichungen mit solch schwach singulärem Kern gilt der Fredholmsche Satz. (Von I. Fredholm [27] für eindimensionale schwach singuläre und von H. Poincare [99] für mehrdimensionale schwach singuläre Kerne bewiesen. Siehe zum Beispiel auch [95] S. 34) Dazu betrachtet man neben (4.6.17)

u(~, 'Y}) =

fJ K(x, y; ~, 'T]) ·u(x, y) [dx, dy]+F(~, 'T/) @

noch die ,,transponierte" homogene Integralgleichung (4.6.18)

V(~, 'TJ) =

fJ K(~, rJ; x, y) V(x, y) [dx, dy]. @

4. Die clliptisehe Differentialgleichung in der Normalform

122

Der Fredholmsche Satz kann dann so formuliert werden: l. Die homogene Integralgleichung (4.6.18) besitzt höchstens endlich viele linear wwbhängige "Eigenlösungen" E ~O(QJ). VI, ... , 2. Die homogene Integralgleichung (4.6.17) für F == 0 besitzt die gleiche Anzahl linear unabhängiger "Eigenlösungen" u 1 , ••• , un E ~0 (@) 3. Die inhomogene Integralgleichung (4.6.17) besitzt genau dann Lösungen u E ~ 0 (@), n·enn die Funktion FE ~ 0 (@) die Bedingung

vn

f f F(x, y) V(x, y) [dx, dy] = 0

(4.6.19)

@

für alle Lösungen V E ~0 (@) der homogenen transponierten Integralgleichung (4.6.18) erfüllt. Die Gesamtheit der Lösungen von (4.6.17) läßt sich durch n

(4.6.20)

U

= U * + "L,;

.

CjUl

j=l

darstellen, u* ist irgendeine spezielle Lösung von (4.6.17) und Ct. ••• , Cn sind willkürlich wählbare Konstanten. Wenn die homogene Integralgleichung (4.6.18) nur die triviale Lösung V== 0 besitzt, bedeutet (4.6.19) überhaupt keine Bedingung und (4.6.17) ist immer eindeutig lösbar. Wir werden die im Anfang dieses Abschnittes beschriebenen Beziehungen zwischen den Eigenlösungen vj der adjungierten Differentialgleichung (4.6.5) und den Lösungen des Randwertproblems (4.6.1) auf den Sachverhalt des Fredholmschen Satzes zurückführen. Dazu betrachten wir eine Eigenlösung t,j E ~2 (@) n ~ 0 ( @) von (4. 6. 5 l [d, dnvj]

=-

(R vj- (P vj)x- (Q t·j)y}[dx, dy],

vlil

=

0,

und setzen (4.6.21)

also (4.6.22)

Die Lösung dieser Poissonschen Differentialgleichung mit

vji@ =

0 kön-

nen wir nach Abschnitt 4.4 darstellen durch die Formel (4.6.23) 1>

vj(x, y) =

Für vi E Q:2 (®)

(4.6.13).

ff

Vj(~, 'Y/) GI(x, y; ~, 'Y})[d~, drJ].l>

@

n Q:o(@) folgt diese Formel in der gleichen Weise wie bei

4. 7 Zweite Randwertaufgabe der Poissonschen Gleichung

123

Für vl gilt (4.6.5); setzen wir dort den Ausdruck (4.6.23) ein, so folgt [d, dnvl] = -

Jf Vl(RGI-(PGI)x-(QGI)y)[d~. drJ][dx, dy] @

wegen (4.6.24)

V~

=

fJ p

GHd~. drJ],

@

1'{ =

f f PGHd~. drJ]. @

Daher muß Vi die Integralgleichung erfüllen: Vl(x, y)

=

(4.6.25) - :x ( P(x, y) GI (x, y;

LJ Vl(~, rJ) {R(x, y) GI(x, y; ~. 1)) ~.

1)))- :y ( Q (x, y) GI (x, y;

~. rJJ)} [d~, drJ].

Ein Vergleich mit (4.6.15) zeigt, daß (4.6.25) die homogene transponierte Integralgleichung zu (4.6.10) ist. Für die Integralgleichungen (4.6.10) beziehungsweise (4.6.15) und die transponierte Integralgleichung (4.6.25) gilt der Fredholmsche Satz. Daraus folgt sogar vi E IP(@). Ersetzt man in den Integralbedingungen (4.6.19) des Alternativsatzes F(~, 1)) durch den Ausdruck aus (4.6.15), so lautet die Bedingung für F

Jf FVi[d~, d17] = @

Jf fJ S(x, y)GI(x, y; ~. 1))[dx, dy] Vi(~, r]}[d~, drJ] - ff frpdnGIVi(~, 1J}[d~, d1J] = 0. @

@

@

@

Die Integrale (4.6.23 u. 24) konvergieren wegen (4.6.12) gleichmäßig für (x, y) E ®, so daß die Integrationsreihenfolgen vertauscht werden können. (Siehe etwa bei [119] II, S. 240, oder [92] III, S. 349). Verwendet man (4.6.23 u. 24), so ergeben sich dann die Bedingungen (4.6.8). Beachten wir schließlich, daß wegen (4.6.23) zu verschiedenen Vl verschiedene vi und zu verschiedenen vl auch verschiedene Vi gehören, so ist auch die Zahl der Eigenlösungen ul gleich derjenigen der vl. Damit ist der Existenzsatz bewiesen. Die numerische Lösung der ersten Randwertaufgabe zu (4.6.1) kann mit ähnlichen Methoden wie in 4. 5 mit Hilfe derlntegralgleichung ( 4.6.1 0) durchgeführt werden [141] S. M 6.

4. 7 Die zweite Randwertaufgabe für die Poissonsehe Differentialgleichung Gegeben ist die auf die Normalform transformierte Differentialgleichung (4.7.1) [d, dnu]+S[dx, dy] = 0.

124

4. Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform

Auf® sei (4.7.2) vorgegeben. Da (4.7.1) gilt, folgt für die Randvorgabe die notwendige Verträg' lichkeitsbedingung

(4.7.3)

f cp(s) ds+ Jf S[dx, dy] =

@

0.

@

Allgemein gilt für die Lösung u nach dem Greensehen Satz die Darstellungsformel (4.2.6):

u(e, rJ) = fvcpds-ud,.v+

ff Sv[dx, dy].

@

Da

ul@ nicht bekannt ist, würde diese

Formel die Lösung allein aus cp

und S nur darstellen, wenn man (4. 7.4)

fordern könnte. Wegen der Singularität in 1 2:n;

v = --lnr+Z würde daraus mit (4.2.5a) (4.7.5) also mit (4. 7.4)

folgen. Will man an der Forderung [d, d,.v] = 0 in ® festhalten, so ergibt sich

(4.7.6)

fd,.Z =

@

JJ[d, d,.Z] =

0.

@

Die Bedingung d,.vj@ = 0 ist für eine Greensehe Funktion (4.2.5a) demnach nicht verträglich mit der Differentialgleichung

(4.7.7)

[d, d,.v] = 0

m

®-{(E, 7])}.

Wir wählen deshalb für d,.vl@ verträgliche Randvorgaben, das heißt

4. 7 Zweite Randwertaufgabe der Poissonschen Gleichung

I25

nach (4. 7.5) und (4. 7.6) Randvorgaben mit fdnv = - I.l>

(4.7.8)

®

Dazu sei -w(x+iy)Ja(s)ds+O(.;, rJ). · @

Multipliziert man (4. 7.23) mit dy(s) und integriert über man wegen (4.7.16) wieder die Formel (4.7.22). Von GII wissen wir, daß G11 der Normierungsbedingung fGIIa(s) ds

®,

so erhält

=0

@

genügt. Demnach ist

0

=

fGII(x(s), y(s); .;, 1J)a(s)ds+f V(x(s), y(s); .;, rJ)a(s)ds. @

@

erfüllt. Daraus ergibt sich mit (4. 7.23) und (4. 7.18) für 0 (.;, 'YJ) die Gleichung

0

=-!

f (In Jeiy(s>-w(.;+i 'YJ) J) a(s) ds @

+ .E1n f f (InJeiy(s)_eiy(S'>J)a(s)a(s)dsds+L'O(.;, 1)), @@

aus der 0 (.;, rJ) errechnet werden kann. Trägt man das Ergebnis in

132

4. Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform

(4.7.23} und V in den Ansatz QII = GII+ V ein, so erhält man schließlich für jede Greensehe Funktion QII die Darstellung QII(z,C)

1 lnl(w(z)-w(C))(1-w(z)w(C))I = --

2:n:

+ - 1- J, a(s) ln I(eiy(sJ- w (z)) (eiy(s)- w (C)) Ids

(4. 7.24)

:n:E 'j @

-

:n:~2

f

fa(s)a(s)ln!eiY(•J-eiy(slldsds.

@@

Aus ihr können wir die Symmetrie von G 11 ablesen: (4. 7.25)

= QII(~,

Qll(x, y; ~' ?J)

?}; X,

y).

Im allgemeinen wird man mit der speziellen Greensehen Funktion Qil auskommen. 4.8 Die Lösung der zweiten Randwertaufgabe (Fortsetzung von 4. 7)

Wir hatten gezeigt, daß jede Lösung u der zweiten Randwertaufgabe der Relation (4. 7.11) genügt. Sie lautet (4.8.1)

u

=

fq;G 11 ds+ @

fJ SG

11 [dx,

dy]+E- 1 fu(s)a(s)ds. @

@

Wie bei (4.7.22) erkennt man, daß die mit irgendeiner Konstanten c gebildete Funktion (4.8.1a)

u = fq;G 11 ds+ @

die Bedingung (4.8.2)

c

fJ SGH[dx, dy]+c @

= E- 1 f u(s) a(s) ds @

erfüllt. Dazu multipliziere man (4.8.1a) mit a und integriere über @. Dann beachte man nach Vertauschen der Integrationen die Normierungsbedingung (4. 7.10). Die Konstante c kann also willkürlich vorgegeben werden. Man nennt (4.8.2) "Randnorm" von u. Man kann (4.8.1) auf dem Rand@ auch als Integralgleichung für u auffassen und erhält das gleiche Ergebnis: Die homogene Integralgleichung

4.8 Die Lösung der zweiten Randwertaufgabe

hat die Eigenlösungen

ul@ =

Integralgleichung

133

konst. und ihre transponierte homogene

vl·

@

= E- 1 a

f vds

@

die Eigenlösungen v = konst. a(s). Da aber für die "rechte Seite" m (4.8.1) die Orthogonalitätsbedingung

f { f cp an ds+ fS 8 G

11

@

@

[dx, dy]} a(s) ds = o

@

wegen der Normierungsbedingung (4.7.10) (man vertausche die Integrationen) immer erfüllt ist, besitzt Integralgleichung (4.8.1) immer stetige Randwerte u[@ als Lösung, die aber nur bis auf eine additive Konstante eindeutig sind. Diese Konstante können wir durch eine zusätzliche Vorgabe nachträglich bestimmen, zum Beispiel durch die Vorgabe der "Randnorm" (4.8.2). Wir beweisen nun den

Satz: ~ besitze Hölder-stetige Tangente. Dann ist die durch (4.8.3)

u(~, 'Y))

= fcpG 11 ds+ Jf 8GII[dx, dy]+c @

@

in @definierte Funktion für cp E ~ 0 (@) und 8 E ~~(®),IX> 0, mit (4.8.4)

ftpds+ @

Jf 8[dx, dy] = 0 @

die einzige Lösung u E ~ 0 (@) n~2 (@) des zweiten Randwert-Normproblems, deren Normalableitung als Richtungsableitung auf @existiert und stetiger Grenzwert der Folge von Normalableitungen von u ist, die auf einer von innen gegen @ nebst ihren Tangenten gleichmäßig konvergenten Kurvenfolge gebildet werden. Für Funktionen aus ~2 (@) n ~0 (®), deren Normalableitungen in diesem Sinne existieren, behalten die Greensehen Formeln in Abschnitt 2.5 und alle aus ihnen gefolgerten Eigenschaften ihre [Gültigkeit. Das zweite Randwerl-Normproblem für u besteht dabei aus den Forderungen (4.8.5)

[d, dnu]+8[dx, dy] = 0, E- 1 fu(s)a(s)ds

= c.

@

Wird sogar auf stetig gekrümmtem Rand @ eine Funktion cp E ~1 (@) vorgegeben, so gilt u E ~1 (@) 1). •> Die Voraussetzung rp E ~· ( ®) kann durch die schwä?here Voraussetzung rp E ~"'(@), o: >- 0 auf Hölder-stetig differenzierbarem Rand@ ersetzt werden. Wir

werden an der entsprechenden Stelle des Beweises darauf hinweisen.

1 :~4

4. Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform

\Vir wollen zuerst zeigen, daß es genügt, den Satz 1 für die spezielle Greensehe Funktion QII zu beweisen. Die durch (4.8.3) gegebene Funktion u läßt sich mittels (}n und einer geeigneten Konstanten c ausdrücken durch (4.8.6)

u

=

fiPands+ '-re'"

0

T(x,

y) Re(~ r ei". +I z-re'"

z:

e-iiX. ) [dx, dYJ. -zre-•"

J:Z\-w(~+i 't))j) ( 1 2 ndy-

ds) (lnjeiy(s>-w(x+iy)l)

®

(In

®

-

n~2

ff

1 2 ndy-

"f)

ds)

a(s) a(8) ln jeiy(s)_eiy(i>j dsd8

Ql@

hat sowohl bezüglich (x, y) als auch bezüglich

(~,

1)} eine (4.8.8) ent-

1> Aus dem Satz von Privatoff (119] III, 2, S. 85 folgt die Stetigkeit von {>X af)u in (i auch noch unter den schwächeren Voraussetzungen XE V(®} und® E [1+11.

4.10 Zur numerischen Lösung der zweiten Randwertaufgabe

139

sprechende Gestalt, ist also für GE~"'(@) und @ E ~1+" in ®X® einmal stetig differenzierbar. Deshalb erfüllt jede Greensehe Funktion 0 11 eine (4. 7.19) entsprechende Abschätzung

JG11 J,.,.. C (1 + Jln rJ), JG~J + JG~1 \,.,.. E... r

(4.8.13)

4.9 Allgemeinere Randwertaufgaben Die erste und zweite Randwertaufgabe lassen sich als Spezialfälle eines allgemeineren Randwertproblems auffassen. Die Randvorgaben können in der Form du'®= cp1(s)ds,

(ul® =

oder

l

tp1ds)

d"ulas = cp2(s) ds

geschrieben werden. Beide Randvorgaben müssen für [d, d"u] = 0 den notwendigen Forderungen

genügen. Führt man auf @ die Vektoren a(s) = {coscx(s), sincx(s)}

und

\lU = {ux, Uy}

ein, so enthält die Randforderung a(s)·'VU'@ = Ux coscx(s) +uy sincx(s) = cp(s)

beide Probleme als Spezialfälle. Solche allgemeineren Randwertproblerne werden wir in Teil II ausführlich untersuchen.

4.10 Zur numerischen Lösung der zweiten Randwertaufgabe im Falle S=.O

Zur numerischen Behandlung der zweiten Randwert-Normaufgabe kann wie bei der ersten Randwertaufgabe das Liebmann-Verfahren und Differenzengleichungen o~er auch die Formel (4.8.6) mit einer geeigneten Abbildungsfunktion w nach (4. 7.18) benutzt werden. Für das Differenzenverfahren erhält man wie in Abschnitt 4.3 aus der Mittelwertformel die Differenzengleichungen (4.10.1) u(j, k)

=!

{u(j-1, k)+u(j+l, k)+u(j, k-1)+u(j, k+1)}.

140

4. Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform

Da in diesen Gleichungen die Werte von u auch in den Randpunkten unbekannt sind, müssen zu ihnen noch die Differenzenapproximationen der in den Randpunkten vorgegebenen Normalableitung hinzugefügt werden. Diese zusätzlichen Gleichungen am Rand wollen wir hier nicht explizit aufschreiben. Man findet sie zum Beispiel in [21] S. 322- 325 oder [25] S. 202 ff. Im kontinuierlichen Fall geht (4.10.1) in [d, dnu] = 0 über, und Randvorgaben und die Gleichungen (4.10.1) werden dann wegen f 0 ist der Integrand des letzten Integrals stetig. Wählen wir in (4.11.9) b > 0 klein genug, so schneidet der Kreis vom Radius o um (~ 0 , 'Y]o) die Randkurve @ wegen der stetigen Krümmung genau zweimal (Abb. 4.11.3). Wählt man (;, rJ) nahe genug bei (~0 , rJ0 ),

Abb. 4.11.3

(4.11.10)

dann gilt (4.11.11)

für alle s mit /s-s 0 j

~

b und alle (;, rJ) mit (4.11.10) gleichmäßig

(Abb. 4.11.3). Für (4.11.11) ist dO in (~. rJ) und s stetig, so daß ds Integration und Grenzübergang vertauscht werden können. Somit gilt lim / W(~. r])- W(;0 , rJo)/ ~ 2 A 8 ($, 'I)-+ (~o. 'lo)

+ Da wir

J

1•-•o I>~

8 >

/,u(s)-,u(so)JI

lim

($,'I)-+ (~o.

'lo)

dO(t;,.,)-dO(~o.'lo)j=2A8.

0 beliebig wählen können, während die linke Seite der

4.11 Randwertaufgaben und Integralgleichungen auf@

145

Ungleichung von e nicht abhängt, erhalten wir lim

(~. '1)--+ (~o• '1o)

lW(~, 7))- W(~o. 1)o)l

= 0,

was (4.11.8) entspricht. Nun können wir die Randwerte eines Dipolpotentials berechnen, indem wir in

f ,u dD(~.

'1)

Satz 1 und die Gaußsehe Formel (4.11.4) verwenden. Wir erhalten die sogenannte Sprungrelation für Dipolpotentiale: (4.11.12)

± n fl (so)

für

(~,

tJ) E @I>

(~,

17) ERz-@.

Lassen wir jetzt in der Darstellungsformel (4.11.3) den Aufpunkt (~, tJ) E @ gegen einen Randpunkt (~0 , t)o) streben, so ist das erste Integral auf der rechten Seite in (4.11.3) wegen der schwachen Singularität im R 2 stetig, während für das zweite Integral (4.11.12) verwendet werden muß. Wir erhalten u(s 0 )

= -21n

f

®

®-{(Öo, '1o)}

also (4.11.13)

1

u dD(~o. '1o) + 2 u (so),

1 ln ( 1 ) dnu+2n r s, s 0

1

u(s 0 ) = n

f

u dD(e0 , '1ol +

!f !

®-{(~o.'lo)}

ln

dnu.

®

Bei der zweiten Randwertaufgabe ist dnu!@ vorgegeben. Man kann deshalb (4.11.13) als Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art für die unbekannten Randwerte (4.11.14)

ul@ = u(s)

auffassen. Ihr Kern

K(s, so)=!_ dD(eo.'1o) n ds

ist für ein konvexes Gebiet@ positiv und fürs~ s 0 stetig. Um sein Verhalten in s = s0 zu untersuchen, ersetzen wir in der Umgebung von (~0 , 1)o) den Rand ® durch seinen Krümmungskreis in (~0 , 7)0 ). (Abb. Il

Bei Rändern mit Ecken kommt rechts noch

,u(s0 )(:1:-!J(~0 ,

1'/o)) dazu.

146

4. Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform

4.11.3}. Wegen seiner stetigen Krümmung stimmt der Rand@ mit dem Krümmungskreis bis zu Gliedern zweiter Ordnung von (s-s0)2 überein. s

Mit {} =

Jd{} zunächst lokal und dann in @ konstruieren. Dazu verlangen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit, daß @ im Inneren des Einheitskreises liegt: @ c Sft = {(x, y) Jx 2 +y2 < 1}. An die Koeffizienten a, b, c stellen wir die folgenden Forderungen:

ac-b 2

=1

m

a, b, c E ~2+"(@),

@;

a

> 0.

Außerdem sollen die Koeffizienten zweimal Hölder-stetig differenzierbar in das Äußere von @ derart fortgesetzt werden können, daß (5.0.2a) und

a

= c = 1, ac-b 2

=1

b

=0

für

x2 + y2

;;;..

1

für alle (x, y) giltl>.

Wir wenden uns zunächst der lokalen Transformation zu.

5.1 Die lokale Transformation auf die Normalform (x 0 , y 0 ) sei ein beliebig gewählter Punkt des R 2 • Wir versuchen nun eine Lösung([> von (5.0.1) wenigstens in einem Kreis Sf., = {(x, y) \ (x-x0)2+(y-y0)2 < o2} um (x 0 , y 0) zu bestimmen, die dort ferner (5.0.2) erfüllt. Wir beweisen 1 > Mit anderen Methoden kann die gesuchte Transformationsfunktion t:P E [ 1 +a:(R2 ) sogar für a, b, c, E ["(R2 ) als schwache Lösung von (5.0.1) konstruiert werden. (Siehe bei I.N.Vekua [129] S. 108 und setze dort t:P = Re w, sowie [5] S. 138 u. S. 240) Vgl. auch [152].

157

5.1 Die lokale Transformation auf die Normalform

Satz 1 : Um jeden Punkt (x 0 , y 0 ) E R 2 gibt es einen Kreis SP., vom Radius b > 0 und dort eine Lösung f/> von (5.0.1 ), die in Sf8 eine eineindeutige Transformation U

=

·(x, y)

f/>(x, y),

V=

J

dnf/>

l)

vermittelt.

(xo, Yo)

Lassen wir (x 0 , y 0 ) in @ variieren, so bildet die Menge aller Kreise Sf., eine offene Überdeckung von @. Deshalb können wir nach dem Satz von Heine-Borel bereits mit endlich vielen Punkten (x01 , y 02 ), ••• , (xon. Yon) E @,Kreisen SP.,,, .•. , SP.,n und Funktionen f/>1, ••• , f/>n für@ auskommen. f/>1 liefert die gewünschte Transformation (5.1.1)

Ui

=

f/>j(X, y),

Vi

=

(x, y)

f

dnf/>j

(Xg, Yo)

nur in SP 81 und nicht in @, deshalb heißt diese Transformation auch lokale Transformation. \Venn die Koeffizienten nicht in das Äußere von @ fortgesetzt werden können, bleibt Satz 1 für jeden Punkt (x 0 , y 0 ) E @richtig. Zum Beweis von Satz 1 führen wir zunächst eine reguläre affine Transformation

x = cx(xo, Yo) (x-xo)+ß(xo, yo) (y-yo), Y = ß(xo, Yo) (x- Xo) + Y (xo, Yo) (y- Yo)

(5.1.2)

derart durch, daß die neuen Koeffizienten a(x, y), b(x, y), dn-Üperators in den Koordinaten x, y die Eigenschaften (5.1.3)

a(o, ol = c(o, o) =

1,

b(o, o) = o,

c(x, y) des

ac- b = 1 2

besitzen (Aufgabe 1). Im folgenden wollen Wir nun das "'-Zeichen fortlassen. Nach E. E. Levi [74] (siehe auch [83JI S. 13) führen wir eine der Metrik zu (2.3.8) entsprechende Abstandsfunktion (5.1.4) e(x. y; ~. 'f})

=

1

(c(x, y) (x-~) 2 -2b(x, y) (x-~) (y-n)+a(x, y) (y-'f})2)2

und mit ihr die Singularitätenfunktion (5.1.5)

1

v(x, y; ~. rJ) = - 2 nlne(x, y; ~. rJ),

die sogenannte Parametrixfunktion, ein. Für e undverrechnet man leicht die folgenden Eigenschaften: 1>

Der Integrationsweg von (x0 , y 0 ) nach (x, y) muß in

~.,

verlaufen.

5. Lösungen der Beltramischen Differentialgleichung

lö8

(5.1.6)

( a (x, y)

+ c (x,

Vx =-

y) )- 1 r 2 l

n e2 •4

1

=

Hilfssatz 1: Es gelten mit r

"";;

((x-~)2+(y-1])2)2

e2 (x,

y; ~' 17) ~ ( a (x, y) + c (x, y)) r 2 ,

(2c(x, y) (x-~)-2b(x, y) (y-1])

+ Cx(X- ~) 2 - 2 bx (x- ~) (y-1]) +ax(y-1]) 2 ),

(5.1.7a)

Vy=-

1

2 4 ne·

(-2b(x,y)(x-~)+2a(x,y)(y-1])

+ Cy(X- ~) 2 - 2 by(X- ~) (y -1]) + ay(y -1]) 2), v~ = -2

(5.1. 7b)

v.,

1

ne 2 1

(c(x, y) (x-~)-b(x, y) (y-17)),

= -2 nf} d

-b(x, y) (x-~)+a(x, y) (y-n));

es gibt eine Konstante C, so daß

Jvxl + jvyj ~ C r- 1

(5.l.7c)

jv~j

+ jv.,\ "";; C r-

erfüllt ist. Führt man um

X-~ = e (~,

(~,

für alle r ~ 2 und für alle (x, y) und

1

X,

y) {

1])

17) die elliptischen Koordinaten

(.!!___)' ((acl + 1t I 4c

(5.1.8)

cos rp 1

(.!!___)' ((ac)t -1)

2

4c

1

+signb·

r:p durch

(li, 'I)

1

+signb·

e,

1

1

1J;

(~,

(~)' ((ac)t -1) 4a

ein, so errechnet man in diesen Koordinaten

e,

1 (li, '1)

sinr:p},

\

cosrp}

1

2

,(.;, 'll

rp

(5.1.9)

mit für r

>

0 stetigen Funktionen 0 1 , 0 2 , welche die Ungleichungen j0 1 J~Cr,

JOzj"";;C

für r "";; 2

mit einer Konstanten C erfüllen. 1 ' Der Index (x, y) am d,.-Operator soll bedeuten, daß sich die Differentiationen auf x und y beziehen.

159

5.1 Die lokale Transformation auf die Normalform

Man errechnet aus ( 5.1. 7) außerdem die wichtige Beziehung

e, 1])]

[d, dn(.x,y)v(x, y;

(5.1.10)

= 4

ne4

(

·e ,1] ) 3 0. Die Parametrixfunktion hat also die Eigenschaft, daß die spezielle Kombination der zweiten Ableitungen in (5.1.10) nur die Singularität r- 1 besitzt, während jede zweite Ableitung für sich jeweils wie r- 2 für· r -.. 0 singulär wird. Es gibt also eine Konstante k, so daß die Abschätzung

I[d,

(5.1.10a)

dn(x, y)v] I..;;; k ( 1 +

!)

[dx, dy]

überall für r > 0 erfüllt wird. Das Ausrechnen dieser Beziehungen stellen wir als Aufgabe 2. Für (/> machen wir in einem später geeignet festzulegenden Kreis ~d = = {(x, y) lx 2 +y2 < d 2} (der ~6 enthalten wird) mit Hilfe von v den Potentialansatz (5.1.11)

W(x, y)

=

x+

JJf(e, 17) v(x, y; e, 17) [d~, d?J],

(x, y)

E ~d

St4

mit einer Funktion f E Cf_o:' (id), (X 1 > 0, die so gewählt werden muß, daß (/> die Differentialgleichung erfüllt. Wir müssen also (5.1.11) in (5. 0.1) einsetzen und deshalb zunächst die Ableitungen von (5.1.11) untersuchen. Wegen der schwachen Singularität von v kann (5.1.11) differenziert werden, indem man die Integration mit der Differentiation vertauscht. Man erhält Wx = 1 + f(~, 17) vx(x, y; ~. 1J}[de, d?J], Sl'l (5.1.12) /(~, 1]) Vy(X, y; ~' 1J}[d~, d?J].

JJ

JJ Sl'4

und wegen (5.1.7a u. c) sind Wx und Wy nach Hilfssatz 1 in Abschnitt 4.4 in id Hölder-stetig. Wenn wir auch noch wegen

ff Vx(x,y;~,1])[d~,d1J] ff = --

st.

v.;(x, y;

~. 1J}[d~, d?J]

-ff 4~e2 (cx(x-~)2-2bx(x-~) (y-?J)+ax(Y-?J)2)[d~, f ~. St4

d?J]

St4

v(x, y;

=-

17) d1J

-ff 4 ~{!2 (cx(x-~) 2 -2 bx(x-~) it.

St4

(y-1])

+ax(Y-1)) 2 )[d~, d1]]

5. Lösungen der Beltramischen Differentialgleichung

160

beachten, daß

JJ l'x[d~, d17] in srd stetig differenzierbar ist, können wir

Si'd

für Hölder-stetiges I (5.1.12) nochmals mit Hilfe von Hilfssatz 2 in Abschnitt 4.4 differenzieren. Für I E ~"'· (id) erweist sich die durch (5.1.11) definierte 1!-,unktion cp in srd als zweimal stetig differenzierbar.

Abb. 5.1.1

Um [d, dnC/J] aus (5.1.11) zu berechnen, bilden wir für einen Kreis f. c Sfd vom Radius e > 0 um irgendeinen Punkt (x, fj) E Sfd nach (5.1.12) (Abbildung 5.1.1)

f dnW = f dnX + JJ I(~, 17) f dn(x, y)V (x, y; ~. 17)[d~, d1J].

'· Si' 0 in (x, y) E f. zweimal stetig differenzierbar, so daß wir die Beziehung

JJ [d, dnW] = Jf[d, dnx] fe fs + JJ 1(~, f}) (JJ [d, dn(x, y)V (x, y; ~. ?J)]}[d~, d1J] (5.1.13) r.

Si'.,-i.

+ JJ 1(~, fe

17) (fdn(x,y)v(x, y; ~. 1J))[d~, d1J] fe

erhalten. Für einenfesten Punkt(~, 17) E f. und variable Punkte (x, y) E f. können wir um (~, 17) die Koordinaten e. rp nach (5.1.8) einführen; rp ändert sich von 0 bis 2n undeist nach (5.1.4) durch Max(a+c)·2e

t.

161

5.1 Die lokale Transformation auf die Normalform

beschränkt. Mit (5.1. 9) erhalten wir deshalb fd,.v = -1+X(~, rJ)

(5.1.14)

r.

mit einer stetigen Funktion X, die der Abschätzung

lXI ~ (1 +Max (a+c))0·2 e ~konst·e

(5.1.15)

i.

genügt. In Zukunft kürzen wir ab: (5.1.16)

[d, d,.F] = LfF[dx, dy].

Dann wird aus (5.1.13)

fJ Lf«P[dx, dy] = ff Lfx[dx, dy]- ff 1(~. 'T})[d~, drJ] r. r. r. + f f I(;, rJ) X(;, fJ) [d;, drJ] r. + fJ ( fJ 1(;, f}) Lfcx,y)v(x, y; ~. f}) [d;, drJ]) [dx, dy],

r. ~..-r. nachdem wir im letzten Integral die Integrationsreihenfolge vertauscht haben, was wegen der schwachen Singularität von (5.1.10) erlaubt ist. Nun dividieren wir durch Jf[dx,dy] = ne2 , beachten (5.1.15) und r. führen den Grenzübergang e - 0 durch. Mit Hilfe des Mittelwertsatzes erhalten wir Lf«P (x,

y)

= { Lfx- l(x, y) +

ff 1(~, fJ) Lfcx. y)v (x, y; ~. fJ)[d~, drJJ} I ~

~~

Damit «P die Differentialgleichung (5.0.1) in Sfd erfüllt, ist also so zu bestimmen, daß (5.1.17)

l(x, y) = Lfx+

.

I E ~~~· (id)

JJ1(~, fJ) Lfcx, y)v(x, y; ~. 'T})[d;, drJ]

~..

in Sfd erfüllt wird. 1>Diese Gleichung können wir als Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art für I (x, y) deuten. Ihr Kern ist die Funktion K(x, y; ~. f}) = Lfcx, y)V (x, y; ~. f}),

der nach (5.1.10a) schwach singulär ist. Die Konstante k in (5.1.10a) hängt dabei nicht von d ab. Für (5.1.17) ist demnach der Fredholmsche Satz (Abs. 4.6) verwendbar. Die Norm des Integraloperators in (5.1.17) ist zu d proportional, wählen wir also d klein genug, zum Beispiel (5.1.18)

0 0. Durch Lösung der Integrarlgleichung (5.1.17) können wir also I derart bestimmen, daß die durch (5.1.11) erzeugte Funktion tP(x, y) in S'ed Lösung der Differentialgleichung (5.0.1) ist. Im allgemeinen werden sich für verschiedene d > 0 mit (5.1.18} auch verschiedene I undtP ergeben. Nun müssen wir noch

id zunächst \1\

tP;+tP~ ~ 0

in

Dazu schätzen wir (5.1.17) für alle d > 0 mit (5.1.18} ab: Nennen wir Max (lax!+ Jbyj) = M,

gar~J,ntieren.

so gilt

R1

für alle Lösungen von

1>

(5.1.19} und aus (5.1.17) folgt mit (5.1.18) I

also (5.1.20}

Max -st'd III ~2 Max -Sl'a \1\ + M, Max\1\~2M

"i"a

für jedes 1> Wegen

(5.0.2a) kann hier das Maximum im R 2 bestimmt werden.

163

5.2 Die Transformation auf die Normalform im Großen

Nun verwenden wir (5.1.12) und erhalten mit (5.1.20) $!+(/>;;a.o 1-4M

fJ JvxJ [d~, drJ].

~d

Verwenden wir in dieser Ungleichung (5.l.7c), so können wir für jedes d mit (5.1.18) abschätzen $!+$;;a.o 1-d16MO:n:. Wählen wir also d so, daß d

=

Min{1, (16k:n:)- 1 , (32:n:M0)- 1}

erfüllt wird, dann gilt (5.1.21) Für die Funktionaldeterminante der Transformation U, V gilt dann Ux Vy- VxUy =(/>x(a(/>-"+b(/>y)+(/>y(b(/>x+c(/>y) ;a.o

1 n-.2

n-.2

(a+c)- ('~-'x+'~-'y)

;a.o

2

M

1

( ) ax a+ c

>-

0

R•

in Sfd· Nach einem bekannten Satz über implizite Funktionen gibt es dann einen Kreis Sf6 c Sfd mit b >- 0, in dem die Transformation U, V eineindeutig ist ([92] II, S. 201). Damit ist Satz 1 vollständig bewiesen. 5;2 Die Lösung von (5.0.1) und die Transformation auf die Normalform

im Großen

Um die Transformation (5.2.1)

(x, Y)

U=(/>(x,y),

V=

J

dn(/>

(0, 0)

in@ zu bestimmen, können wir sie wegen (5.0.2a) sogar in der gesamten Ebene berechnen. \Vegen der Forderung der Eineindeutigkeit verlangen wir jetzt, daß U für x 2 + y 2 - oo in x übergeht; wir versuchen, ([J so zu bestimmen, daß (5.2.2)

J$- xJ ~ konst· (x 2 + y 2 ) -

1

2 ,

J$x -11

1

+ J$yJ ~ konst·(x 2 + y 2 ) - 21 >

erfüllt werden. Wenn wir nämlich eine Funktion(/> C: (p (R2 ). mit diesen u Man kann zeigen, daß das Verhalten von im Unendlichen bereits aus der Differentialgleichung und lim I- x I = 0 gefolgert werden kann. Dabei ergibt z2+u2 -...oo

sichfür im Unendlichen in x ü hergehen soll, machen wir für 4> wieder mit Hilfe der Parametrixfunktion v nach (5.1.5) den Potentialansatz (5.2.6)

4>(x, y)

= x+ JJ1(~,

rJ) (v(x, y;

~

~. rJ) +

f IXJ(x, y) ßJ(~, rJ)) [d~, drJ],

1=1

wobei wir aber dieses Mal noch Funktionen lXI, ••• , IXp; ß1. ..• , ßp E (§;3 (R2 ) mit IXJ = ß1 = 0 in R 2 - st'1 hinzunehmen. Zu jeder Wahl solcher Funktionen führt das Einsetzen von 4> in die Differentialgleichung entsprechend (5.1.17) auf eine Integralgleichung für I: (5.2.7)

l(x, y) = Lfx+

fJ 1(~, 17) Lf(x.y)v(x, y; ~. 17) [d~, drJ] Sl'l

Sie geht wegen (5.2.8}

Lf(x,y)v(x, y; ~. 17)

=0

aufgrundvon (5.0.2a) und wegen IXJ (5.2.9}

l(x, y) = Lix

=0

für

=0 in für

x 2 +y 2 ;;..1

x 2 +y 2 ;;;.. 1

über. Es genügt demnach, die Integralgleichungen (5.2. 7) nur im Einheitskreis ~1 zu betrachten. Dort haben wir eine ganze Schar von Integralgleichungen zur Verfügung. Am angenehmsten wäre eine solche unter ihnen, die höchstens eine Lösung besitzt. Dazu zeigen wir in Abschnitt 5.3 Satz 3: Es gibt 2p < oo Funktionen 1X1, ••• , IXp; ßt, ... , ßp E (§;3 (R2 ) mit IXJ = ß1 0 in R 2 - st'1 derart, daß die mit ihnen gebildete Integralgleichung (5.2. 7) höchstens eine stetige Lösung besitzt. Die Bestimmung dieser Funktionen IXJ> ß1 in 5.3 wird leider einige Mühen erfordern, mit denen die hier geschilderte einfache Methode bezahlt werden muß. Auch hier ist der Satz von Fredholm wegen der schwachen Singularität (5.1.1 0) des Integralkernes anwendbar und mit Satz 3 sichert der Fredholmsche Satz für diese Funktionen IXJ> ß1 die eindeutige Existenz einer in ~1 stetigen Lösung I von (5.2. 7). Aufgrund von (5.1.10) und (5.2.9) ergibt sich mit Hilfe von Hilfssatz 1, Abschnitt 4.4, daß I im R 2 Hölder-stetig ist. Die mit dieser !Lösung I nach (5.2.6) erzeugte Funktion 4> erweist sich deshalb wie in 5.1 überall als zweimal stetigdifferenzierbar und erfüllt die Differentialgleichung (5.0.1}. Wir müssen nur noch das Verhalten von 4> im Unendlichen untersuchen. Dazu betrachten wir zunächst

=

fJ [d, dn(x,y)v(x, y; ~. f])]. Sl'l

166

5. Lösungen der Beltramischen Differentialgleichung

Wegen (5.2.8) gilt

wobei wirR;;.. 1 zu jedem Punkt (e, '1)) so groß wählen können, daß ~R liegt. Führen wir um (e, 1)) die elliptischen Polarkoordinaten e. q; nach (5.1.8) ein, so erhalten wir wegen (5.1.9)

{e, 1)) in

Jf[d, d"v] ~B

= -lim B-+O

- 2~{(ln!

Demnach ist mit (4.2.5a)

f

d"v+ ~ d"v SeB

L f

dy-(ln!

t

= 1+ ~

SeB

d"v.

dx}jieB.

d1) = - 1

SeB

fJ[d, dn(x,y)v(x, y; e, '1))]

(5.2.10)

8

d"v = - 21n

SeB

und

~

x,y) =

SrR

Wegen (5.0.2a) gilt auf d"viieB =

ll(~,fj;

=0

für alle {e, 1j).

~.

Daraus folgt für die Lösung f von (5.2. 7)

JJ f(x, y)[dx, dy] = fJ (d, d"(x+ .L cx1(x, y) fJ J(e, rJ)ßJ[de, d11J)] p

~.

~.

~.

J=l

+ fJt(e, ~.

rJ}(fJ[d, dn(x,y)v(x, y; e,

'1/)J)[de, d1J]

Si',

und mit (5.0.2a)

JJf(x, y)[dx, dy] =

{5.2.11)

0.

~.

Wählen wir in (5.2.6) x 2 +y2 ;;.. 4, so ist v = _ _!_In rund mit (5.2.11) 2n gilt l. Mit (5.1.9) und (5.0.2a) wird daraus

fJ (x-;) [d, dnv] = fJ v(x, y; ;, 1}) [d, dnx]+;+

~

Integrale der Gestalt

~

f xdnv. ~

JJv g[dx, dy] haben wir bereits in Si'B

5.1 untersucht

und für Hölder-stetiges g ihre zweimalige stetige Differenzierbarkei t nachgewiesen. Demnach sind alle Integrale auf der rechten Seite in ~R und damit in ~ 1 zweimal stetig differenzierbar. Somit erfüllt K = .Jv auch die Forderungen (5.3. 7b), und Hilfssatz 2 liefert für (5.3.3) ßk E ~2 (~1 ). In allen Überlegungen konnte ~1 durch einen größeren Kreis ersetzt werden, so daß sogar ßk E ~2 (R2) gilt.

172

;). Lösungen der Beltramischen Differentialgleichung

Zu 2) Die lineare Unabhängigkeit der 3/Ik: Wir nehmen einmal an, daß die 3/Ik in St'1 linear abhängig sind. Dann erfüllt eine Linearkombination

in Sf1 die Differentialgleichung

3ß=

(5.3.8)

0

und außerdem die Integralgleichung (5.3.3). Wählen wir

E2+ "12 > 1, so gilt dort

/I(E, rJ)

= fJ /I(x,

y) [d,

in (5.3.3)

dnv]

Ji',

und mit dem Greensehen Satz wegen r

/I(~, 'Y}) =

>

0 sowie (5.3.8)

f (/Idnv-v dnß),

~.

(5.3.9)

für

Außerhalb von Sf1 ist

~ 2 + 'Y} 2 >

1.

ß demnach harmonisch, so daß 3/I = 0

(5.3.10)

im

R2

gilt. Außerdem folgt wegen

f dniJ = Jf [d, dnß] = 0

aus (5.3.9)

Ji',

~.

lim

-'"+'11-+oo

/I(~, 'Y/) = 0.

Dann muß aber wegen (5.3.10) nach dem Maximum-Prinzip iJ im R 2 identisch verschwinden; das bedeutet

die jJ1 müssen linear abhängig sein. Diese Funktionen sind aber linear unabhängig wegen der linearen Unabhängigkeit von ß1 , . . • , ßpo Also sind die Funktionen 3/Ik in St'1 linear unabhängig. Nun können wir zu 3/Ik bekanntlich p Funktionen ~ 1 , mit = 0 für x 2 + y 2 ;;;., 1 derart bestimmen, daß .

a,

(5.3.ll)

Det

((ff 3/Ika1 [dx, dy])} SI',

~

o

••• ,

~PE (I3(R2 )

173

5.3 Beweis von Satz 3 in 5.2

erfüllt ist (zum Beispiel mit dem Orthogonalisierungsverfahren von E. Schmidt). Wir setzen !Xj=P,fij, j=1, ... ,p mit einer Konstanten p,, die wir so groß wählen, daß die Koeffizientendeterminante von (5.3.5) von Null verschieden ist: Det ( ( bkJ-

ff ßk(&J[dx, dy] +[d, dnrxJ]))) SI',

= p,PDet ( (~

( bk 1-

ff

ßk&1[dx, dy])-

SI',

ff

fi1[d,

dJk])) ~ o.

SI',

Mit diesen so gewählten Funktionen rx1, ... , rxp; ß 1, ... , ß, läßt (5.3.5) nur noch die Lösung (5.3.12)

CJ

= fJ h ßJ[dx, dy] = 0,

j

SI',

= 1, .. . ,p

für eine Lösung h von (5.3.1) zu. Wegen (5.3.12) muß h auch der Integralgleichung h(x, y)

=

fJ h(~, 1)) {.J(x,y)v(x, y; ~. 1))-.L &,(x, y)ß,(E, 1))}[d~, d1J] p

Sl't

J=l

in ~1 genügen; das ist die zu (5.3.3) gehörende homogene Integralgleichung, die wegen (5.3.2) und des Fredholmschen Satzes nur die triviale Lösung besitzt. Demnach muß h in ~ 1 identisch verschwinden, h = 0, was wir zeigen wollten.

Aufgabe 1: Man bestimme die affine Transformation (5.1.2) mit (5.1.3). Aufgabe 2: Man beweise die in Hilfssatz 2 aufgeführten Eigenschaften der Parametrixfunktion. Aufgabe 3 : Man führe den Beweis von Satz 2 explizit durch. Aufgabe4: Man zeige, daß man zu (5.3.2a) Funktionen &1, ... , &,; ß1, ... , ß, E (t2(R2) mit&,= ßJ = 0 in R2-~~ zu q > 0 derart bestimmen kann, daß (5.3.2b) erfüllbar wird und ßv •.. , ßp linear unabhängig sind.

174

6. * Probleme vom gemischten Typus

In Abschnitt 2.4 haben wir der Differentialgleichung (6.0.1)

[d, (aux+buy)dy-(bux+cuy)dx]+(Pux+Quy+Ru+S) [dx, dy]

=

0

in jedem Punkt eines betrachteten Gebietes @ einen Typ zugeordnet. ~Wir wollen hier einige Probleme zusammenstellen, die dann auftreten, wenn die Differentialgleichung in der Abschließung @ von @ verschiedenen Typen angehört. Dabei wollen wir auf Beweise meist verzichten und nur einige Anregungen geben, ohne \Vert auf eine vollständige Übersicht zu legen. Wir verweisen dazu auf das Lehrbuch von A. V. Bitsadze [8]. Eine Zusammenstellung vieler Ergebnisse wird von M. M. Smirnow und M. B. Kapilewitsch in den Kapiteln VII und VIII in [2] sowie in der Monographie von M. M. Smirnow [118] gegeben. Wir wollen zunächst den speziellen Fall betrachten, daß (6.0.1) in @mit Ausnahme eines isolierten Punktes, zum Beispiel des Nullpunktes o E @ hyperbolisch ist und daß sich die Charakteristiken in einer U mgebung des parabolischen Punktes o wie Linien cp = konst. und r = konst. von Polarkoordinaten um o verhalten1). Betrachtet man das charakteristische Anfangswertproblem in dem in Abbildung 6.0.1 skizzierten abgeschlossenen Bereich @: 0 < B ~ r ~ rv y

Abb. 6.0.1 Wenn die Koeffizienten des Hauptteiles mit einem gemeinsamen Faktor = - c = p, • 2 x y, b = p, • (y 2 - x 2 ) besitzen, sind die Charakteristiken konzentrische Kreise und alle Geraden durch o. Für den allgemeinen Fall ergeben sich Koeffizientenbedingungen aus den Differentialgleichungen der Charakteristiken (2.4.1) nach L. Eieherbach [7] Kap. IV. l)

p, die Gestalt a

6. Probleme vom gemischten Typus

175

0 =e; rp =e; rp1 mit Vorgaben u(r, 0) E ~1 ([e, r 1]), u(e, rp) = u (e,~O) = konst., so besitzt dieses reguläre charakteristische Anfangswertproblem nach Abschnitt 3.4 unter geeigneten Voraussetzungen an die Koeffizienten genau eineschwacheJ.,ösungu E ~1 (®). Nun kann man fragen: Was geschieht mit der Lösung für e - 0? H. Tolle hat diese Frage mit Hilfe der Integralrelation (Ru+S) [dx, dy], u(dk-w)2ku! = 2ku,-2ku! + ln:q!Bl:! ln:q!Bl:! l1 q m: die (3.4.1) für k ~ 1 entspricht, in [123] für e- 0 untersucht und unter geeigneten Voraussetzungen an die Koeffizienten gezeigt : Für u (x, 0) E ~1 existiert in dem Zwickelgebiet genau eine schwache Lösung u E ~0 (®) mit dem Verhalten· 'f/1 > 0. u(x, y) = u(x, 0) +r'11·hu(r, rp), Die Funktion hu ist für r > 0 und 0 =e; rp =e; rp1 stetig differenzierbar.. Mit endlich vielen Fortsetzungen erhält man damit eine Lösung, die für 0 =e; r =e; r 1 und 0 =e; rp =e; 2 n erklärt ist und für rp - 2 n stetige Grenzwerte besitzt. Diese Grenzwerte werden im allgemeinen nicht mit der Vorgabe u(x, 0) übereinstimmen; im allgemeinen erhält man also keine 2 :n-periodische Lösung (Abb. 6.0.2).

f

fJ

y

Abb. 6.0.2

Man kann deshalb fragen, wann es Lösungen u gibt, deren Werte für rp = 2 n mit den gegebenen Anfangswerten u(r. 0) übereinstimmen, die also in dem punktierten Kreisgebiet 2 :n-periodisch in rp sind? Diese Frage hat M. Schneider in [llO] für ein hyperbolisches System behandelt, das unsere Differentialgleichung als Spezialfall enthältl> =

I> Unsere Differentialgleichung (6.0.1) geht mit den Koeffizienten a = -c = 2xy, b = (y 2 -x 2 ) in ein von M. Schneider betrachtetes System über, wenn man

die

neuen

einführt.

gesuchten

Funktionen

U

=

u, V = u, + 2~ 2 ( + 2 r Q cos tp +P sintp)

176

6. Probleme vom gemischten Typus

(Auf hyperbolische Systeme gehen wir in Kapitel 8 ein). Er betrachtet dazu als Ausgangsproblem die charakteristische Anfangswertaufgabe mit Vorgabenu(r, 0) = u(x, 0) undu(r 11 cp), wobei u(r1 , cp) periodisch vorausgesetzt wird. Die gesuchte periodische Lösung und die Koeffizienten werden in Fourier-Reihen bezüglich cp mit von r abhängigen Koeffizienten entwickelt. M. Schneiders Ergebnis lautet für a = -c = 2xy; b = y 2 -x2 , indem man es auf den vorliegenden Fall umschreibt: Wenn die Bedingung

f

(Pdy-Qdx).:PO

füraller

mit

O 0, die Differentialgleichung ist auf einem Teil des Randes 1:1 c @ parabolisch. 3) a teilt das Gebiet® in zwei Teilgebiete g und g. Betrachtet man die Differentialgleichung jeweils nur in g oder ig, so hat man wieder einen der beiden ersten Fälle vo~ sich. Betrachtet man aber die Differentialgleichung in ganz ® und nimmt an, daß in g der elliptische Fall mit a c- b2 > 0 und in g der hyperbolische Fall mit a c- b2 < 0 vorliegt, so hat man ein Problem vom gemischten elliptisch-hyperbolischen Typus vorliegen. Alle diese Probleme besitzen sehr verschiedene Eigenschaften, je nachdem, ob die parabolische Linie a selbst charakteristisch ist oder nicht. Wir wollen hier ohne Beweis vermerken, daß sich der dn-Operator im Hauptteil der Differentialgleichung (6.0.1) in beiden Fällen auf eine Normalform derart transformieren läßt, daß a in ein Intervall einer Koordinatenachse übergeht. Die Transformation erfolgt ganz entsprechend der Transformation von Systemen auf eine typunabhängige Normalform in Kapitel 15 für Systeme erster Ordnung. Dazu setzt man a 2 + b2 + c2 > 0 in® voraus und erhält (eventuell nur in einem geeigneten a enthaltenden Teilgebiet von®): (e

Ist

1:1

c;/=

o).

selbst charakteristisch, so geht a in die x-Achse über, 0 (x, y)

füry c;/= 0, O(x,O)

=

c;/=

0

0.

Ist a nicht charakteristisch, so geht 1:1 in die y-Achse über, O(x, y) c;/= 0 für x c;/= 0, 0 (0, y) = 0. (Für analytische Koeffizienten a, b, c kann man im ersten Fall sogar 0 = ± ym und im zweiten Fall 0 = ± xm erzwingen. Siehe dazu auch bei A. V. Bitsadze [8] S. 3- 12). Wir wollen uns nun mit einigen speziellen Fragestellungen befassen. 6.1 Hyperbolische Probleme mit parabolischem Randteil Wir wollen uns hier auf hyperbolische Probleme beschränken, bei denen die parabolische Kurve a Trägerin von Anfangsdaten sein soll. Ebensogut könnte man auch Anfangs-Randwertprobleme betrachten, bei denen die Randkurven parabolisch werden. Wir verweisen dazu auf

li8

ß. Probleme vom gemischten Typns

die Untersuchungen von G. Hellwig [49] und die in [2] § 4 genannten Ergebnisse. (6.0.1) sei in@ hyperbolisch, (6.1.1) sowie auf der Anfangskurve a parabolisch: (6.1.2) Je nachdem, ob die ± Charakteristiken die parabolische Kurve einhüllen oder bei Annäherung aus @ mit gemeinsamer Tangente a treffen, unterscheidet man Hüllfall oder Spitzenfall (Abb. 6.1.1).

Spitzenfall

ffü//fa/1

Abb. 6.1.1

Setzt man voraus, daß zu jedem Punkt \13 0 aus @ ein endliches Einflußgebiet r (\ßo): \ßo, \131 , \13 2 bis zur parabolischen Kurve a existiert, so kann man unter geeigneten weiteren Voraussetzungen an die Koeffizienten von der Integralrelation {3.2.2b) für F(\130 ) ausgehen und erhält mit k (\13 1 ) = k {\132 ) = 0 die Beziehung '.ßo

2u(\ß0 ) =

'.ßo

k(~o) {f udk+ f udk} '.13,

(6.1.3)

'.13.

Das ist eine singuläre Valterrasehe Integralgleichung für u, die W. Haack und G. Hellwig in [41], [51] zum Ausgangspunkt ihrer Untersuchungen gemacht haben. Stellt man ein Cauchysches Anfangswertproblem mit Vorgaben auf a: (6.1.4)

ula

= p,,

dnuja

= (ux(aiJ-bx)+uy(biJ-cx))ds = J'ds (s Bogenlänge auf a)

179

6.1 Hyperbolische Probleme

und sucht eine schwache Lösung von (6.0.1), deren Ableitungen Ux und Uy auf a existieren sollen, so ist eine willkürliche Vorgabe von f-l und v in (6.1.4) nur möglich, falls entlang a gilt: (6.1.5) Das bedeutet a 2 + b2 + c2 \a

>

0 und: a darf nicht charakteristisch sein.

Für (6.1.5) kann also nur derSpitzenfall in Frage kommen. Will man das Cauchy-Problem auch im Hüllfall untersuchen, so muß man im allgemeinen auf die Existenz der beiden ersten Ableitungen auf a verzichten; man kann insbesondere nicht immer neben u Ia die Ableitung von in Richtung der euklidischen Normalen zu a vorgeben. (Siehe dazu G. Hellwig [51] und in [2] S. 185 ff.) Wir wollen den Spitzenfall mit a 2 + c2 + b2 > 0 betrachten. Setzen wir voraus, daß k(x, y) senkrecht zu a mit wachsendem Abstand monoton wächst, so folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung

u

(6.1.6)

Wenn eine stetige Lösung u von (6.1.3) existieren soll, welche die Anfangswerte u Ia = f-l annimmt, dann müssen die restlichen Integrale in (6.1.3) die Bedingung (6.1.7) 1Im .

( -1- {

l.ßo--+ \ß 1 E a k (\,ßo)

.

f

F(\ßo)

uw+

ff F(\ßo)

f

\ß,

(Ru+S) [dx, dy]+

vds}) = 0

'.)3,

erfüllen. Zur Untersuchung des Grenzwertes (6.1. 7) wollen wir für den Spitzenfall annehmen, daß das Problem bereits auf die spezielle Gestalt mit a = 1, b = 0, c(x, y) < 0 für x > 0, c(O, y) = 0 transformiertwordenist. Dann ist k = - c und die Charakteristiken durch \,ß0 = (x0 , y0 ) genügen

180

(i. Probleme vom gemisehten Typus

den Integralgleichungen 1)

y+(x; \,ß0 )

f k(~, y+)d~+y0 , X

=

(6.1.8)

f k(~, y-)d~+Yo· X

y-(x; l.ßo) = -

Xo

Sie münden senkrecht in die parabolische Anfangskurve x = 0. In einer Umgebung der y-Achse gilt wegen der Monotonie der Funktion k die Abschätzung (6.1.9)

Trägt man diese Abschätzung in den Ausdruck in (6.1. 7) ein, so erhält man (auf die Ausrechnung wollen wir hier verzichten) llim ( ... )I=E: lim {2x0 Maxlvl+2x0 Maxf,uPI s;ß 0 _..a

~ 0 --+-a

a

a

+2x0 Max fuPf +x~Max [Ru+S!

(6.1.10)

F(\l3o)

+ k(~o)

T('l!o)

I f uQdx- f uQdx I}, 'llo

'.l3o

'll.

'l!.

wenn die Integralgleichung (6.1. 3) nur eine bis zur y- Achse stetige Lösung u besitzt. Verlangt man auch vom letzten Ausdruck, daß er bereits für jede stetige Funktion u verschwindet, so muß man an den Koeffizienten Q eine Forderung stellen, zum Beispiel

f xo

lim k( 1 ) xo-+0 Xo, Y

(6.1.11)

[Q(x, y)fdx = 0.

0

\Venn dagegen bereits die stetige Differenzierbarkeit von u bis zur y-Achse bekannt ist, läßt sich der letzte Ausdruck in (6.1.10) ebenfalls mit (6.1.9) abschätzen, indem für (u Q) bezüglich y der Mittelwertsatz der Differentialrechnung verwendet wird. Man erhält schließlich

k(~o) I

f

'llo

l,l3,

f ~tQdxl =E:X~~:.~!(uQ)y!. '.ßo

uQdx-

l,l3,

Jetzt verschwindet die rechte Seite von (6.1.10) und damit (6.1.7) für Qy E ~ 0 , ohne daß (6.1.11) vorausgesetzt werden muß. Wir erhalten das folgende Ergebnis: I> Damit die Lösung jeder dieser Integralgleichungen eindeutig ist, wird man zum Beispiel ku E (!;0 verlangen.

181

6.1 Hyperbolische Probleme

Jede stetig differenzierbare Lösung u der singulären Integralgleichung (6.1.3) nimmt (für ky, Qy E ~0 ) im Spitzenfall die Anfangswerte u (0, y) stetig an. Unter der Voraussetzung (6.1.11) nimmt jede stetige Lösung u von (6.1.3) (für ky E: ~0) im Spitzenfall die Anfangswerte u (0, y) stetig an. Wir wollen uns hier mit diesen Bemerkungen für den Spitzenfall begnügen. Bezüglich der Lösung von Integralgleichung (6.1.3) und der Annahme der Anfangswerte von dnu auf a verweisen wir auf die Untersuchungen von W. Haack und G. Hellwig in [41], M. H. Protter in [101] und die in [2], [118] angegebenen weiteren Arbeiten sowie auf Kapitel 15 dieses Buches, in dem wir den Spitzenfall für hyperbolische Systeme (welcher den eben skizzierten Fall enthält) ausführlich behandeln werden. Gibt man die Beschränkung auf a 2 + b2 + c2 > 0 und den Spitzenfall auf, so werden die Verhältnisse sofort komplizierter. G. Hellwig hat in [51] die seihstadjungierte hyperbolische Differentialgleichung (6.1.12)

[d, Auxdy+Cuydx-](Du+F)[dx,dy] = 0

für x > 0 mit der parabolischen Anfangskurve x = 0 in einem Rechteck t : 0 ",;; x ",;; r1 ",;; l, s 0 ",;; y ",;; s 1 behandelt. Dort wird für die Koeffizienten in (6.1.12) vorausgesetzt: A (x, y) =

X0

{A 0 (y) + x~ A 1 (x, y)},

C (x, y) = xc{C0 (y) + x"C 1 (x, y)}

mit reellen Zahlen a, cc, c, y und cc > 0, y > 0, c > -1, c-a > -2; A 0 (y), C0 (y) E ~2 ([s 1 , s 2]), A 0 (y), C0 (y) Atxy, Alyy, Clxy, Ctyy E

~0

~

konst. > 0;

A 1 , C1 E ~ 1 (t),

(t).

Mit einer geeigneten Konstanten cp ~ 0 seien x'P·D, x"'·Dy, x"'·F, x"'·Fy E ~ 0 (t) und genügen in t Abschätzungen

mitd>-1, d-a>-2, f-a>-2. G. Hellwig untersucht schwache Lösungen von (6.1.12), die in t stetig und für x > 0 stetig differenzierbar sind, sowie beschränktes "Energieintegral"

Jf

{A u~+C u;+ JDI u 2 }[dx, dy]

r{\ßo)

für jedes Einflußgebiet F(~o) c t besitzen. Er beweist die Existenz der schwachen Lösung u mit Hilfe der singulären Integralgleichung (6.1.3) u. a. in folgenden Fällen, die Hüll- und Spitzenfall enthalten: I) c-a>-1, d-a>-1, f-a>-1

182

ß. Probleme vom gemischten Typus

lim u(x, y) = u0 (y) E (P([8 1 ,

Vorgaben:

8 2 ]),

X-+0

lim 'llx(x, y)

=

X-+0

Il) c- a letzt.

>-

u 1 (y) E (P([8 1, 82]);U

2, a c;;e 0, mindestens eine der Ungleichungen in I) ist ver-

Vorgaben:

lim u(x, y) X--+0

=

u 0 (y) E GP([8 1 , 82]) 1>

Die jeweils erhaltene schwache Lösung ist die einzige, die den Ungleichungen lu-u0 1~x··konst., lux-n1 1~xl-•.konst. (im Falle II setze man u 1 = 0) mit einem e > 0 genügt. Auf weitere Einzelheiten wollen wir hier verzichten, da sie von unserer zugrundegelegten Integralrelation (6.1.3) zu weit fortführen würden. Wir verweisen wieder auf [2] Kapitel VII; § 3 in dem Buch von Bitsadze [8] und die dort angegebenen Arbeiten sowie auf die eingangs zitierte Monographie [118]. 2 > 6.2 Elliptische Probleme mit parabolischem Randteil

Wir wollen jetzt annehmen, daß das parabolische Randstück ein Intervall der x-Achse ist. (Für a 2 + b2 + c2 > 0 bedeutet das wegen der Bemerkung in 6.0 keine Einschränkung.) Der Rand @ möge sich aus a und r wie in Abbildung 6.2.1 skizziert zusammensetzen. Man fragt

Abb. 6.2.1

sich sofort, wieweit die in Kapitel 4 behandelten Randwertaufgaben im Falle eines parabolischen Randstücks a ihren Sinn behalten. Für ausführliche Darstellungen verweisen wir wieder auf [2], [8], [118] sowie die neuere Arbeit von G. Fichera [145] und beschränken uns hier auf einige wenige Erläuterungen. 3 > I) entspricht dem ersten und zweiten Fall, II) dem dritten Fall in [51]. Einige weitere Arbeiten: [45], [102], [122]. a> Einige weitere Arbeiten: [19], [20], [93], [94], [126], [127], [146] bis [149].

1>

2)

183

6.2 Elliptische Probleme

Die erste Frage ist die nach der Eindeutigkeit. Da wir zum Beweis des ersten Eindeutigkeitssatzes in Abschnitt 2.6 sowie zum Beweis des Maximum-Prinzips in Abschnitt 2. 7 jeweils die Elliptizität nur im Innern des Gebietes ® benötigten, behalten beide Eindeutigkeitssätze in 2.6 und 2.7 hier ihre volle Gültigkeit. Wir werden allerdings im Falle eines charakteristischen parabolischen Randstückes a sehen, daß die erste Randwertaufgabe dort nicht immer sinnvoll sein wird. Auch der zweite Eindeutigkeitssatz und Satz 3 aus Abschnitt 2.6 bleiben hier richtig. Allerdings müssen die zugehörigen Randwertaufgaben für charakteristisches a im allgemeinen ebenfalls nicht sinnvoll sein. Für die Eindeutigkeit der zweiten Randwertaufgabe kann außerdem das zweite Lemma von E. Hopf (Aufgabe in Abschnitt 2.7) benutzt werden. Es behält aber auf a nur seine Gültigkeit, falls dnuja eine in das ~~ußere von ® weisende Richtungsableitung ist, das heißt: a darf nicht charakteristisch sein (und a 2 +b 2 +c2 > 0). Für R 0 ist in diesem Fall die Lösung uElP(®)n~ 1 (®) der zweiten Randwertaufgabe zu (6.0.1) bis auf eine additive Konstante eindeutig. Die Methoden bei Existenzuntersuchungen sind sehr verschieden, je nachdem ob a charakteristisch ist oder nicht. Ist a nicht charakteristisch, so kann man für die spezielle Differentialgleichung

=

(6.2.1)

(m > 0)

Grundlösungen bestimmen [125] S. 146 [2] S. 207, die den Funktionen

-1-log~

(4.2.5) und df) (4.2.5a) entsprechen. Mit ihnen kann man die 2n r Methode der Integralgleichungen auf@ aus Abschnitt 4.11 auf (6.2.1) übertragen. Außerdem sind für das spezielle durch a = [0,1] und die "Normalkurve'' 4 I r: ( x-21 )2 +(m+2)2ym+2=4

(y

~

0)

berandete Gebiet ® die Greensehen Funktionen explizit bekannt. Für allgemeinere Randkurven r ergeben sich die Greensehen Funktionen mit Hilfe von Integralgleichungen auf dem Rande [137], [2] S. 210 ff. Wenn die Greensehen Funktionen bekannt sind, gelingt die Übertragung der Überlegungen aus Kapitel 4 auf Gleichung (6.2.1). Wenn dagegen a charakteristisch ist, gibt es :Fälle, in denen die erste Randwertaufgabe nicht mehr sinnvoll ist. Dieses. Problem hat M. W.

184

6. Probleme vom gemisehten Typus

Keldysch in [65] für die Differentialgleichung (6.2.2)

L(n)

=

'llxx+ymuyy+pnx+quy+ru

=0

(m > 0)

für r ~ 0 und in ®reell analytische Koeffizienten p, q, r E ~0 (@) für das in Abbildung 6.2.1 skizzierte Gebiet mit x 0 = 0, x 1 = 1 untersucht. Er zeigte, daß die erste Randwertaufgabe mit stetiger Vorgabe von n/ 41 in den folgenden Fällen eine eindeutige Lösung u E ~ 2 ( ®) n ~o ( ®) besitzt: 1) 2) 3)

4)

mO

für für für

o~x~ o~x~

1, 1,

o~x~1

existiert im allgemeinen keine Lösung der ersten Randwertaufgabe. Dagegen existiert in den letzten drei Fällen eine eindeutige Lösung u E ~2 (@), die für y > 0 auf dem Randteil F vorgegebene Werte stetig annimmt und in ®gleichmäßig beschränkt ist, für y -.. 0 im allgemeinen aber nicht mehr stetig ist. Die Konstruktion der Lösung beruht in allen Fällen auf einer sehr eleganten Idee: Man denke sich die Randwerte auf@ oder r zu einer in @ stetigen Funktion f fortgesetzt. Dann löst man zu jeder Zahl rJ > 0 in dem Gebiet ®'7 = {(x, y) E ® Jy > rJ} eine erste Randwertaufgabe für die Differentialgleichung (6.2.2) mit den Randwerten = f/ . . Ihre @'7 @'7 Lösung u'1 kann mit den Methoden aus Kapitel 4 und 5 bestimmt werden, denn (6.2.2) ist in jedem abgeschlossenen Bereich ®'7 elliptisch. Läßt man nun rJ gegen Null streben, so erhält man eine Funktionenfamilie {u'7}. Wegen r ~ 0 erfüllt jede Funktion der Familie nach dem Maximum-Prinzip die Abschätzung

n[.

Ju'7J ~ Max Jfl @

in

®'7.

Daraus kann man folgern, daß die Familie {u'7} sowie die Familien ihrer ersten und zweiten Ableitungen in jedem festen Teilbereich ~ c ®für alle fJ ~ rJoÜ~) (fJo genügend klein) gleichgradig stetig sind [8] S. 60. Folglich existiert nach dem Satz von Arzela-Ascoli eine Teilfolge der Familie {u'7}, die in (jedem abgeschlossenen Bereich ~ von) ® (gleichmäßig) nebst ihren ersten und zweiten Ableitungen gegen eine Grenz-

185

6.3 Gemischte elliptisch-hyperbolische Probleme

funktion u E ~ 2 (®) konvergiert. Die Grenzfunktion u erfüllt in® Differentialgleichung (6.2.2) und nimmt die Randwerte auf stetig an.

flr

r

Das Verhalten von u für y .- 0 bedarf dagegen noch weiterer Untersuchungen. In den ersten vier Fällen gibt M. W. Keldysch zu jedem Punkt auf a eine "Barriere" an, mit deren Hilfe die stetige Annahme der Randwerte f gezeigt werden kann. ([119], IV, S. 559 ff., [23], II. 310 ff.). In den restlichen Fällen 5) bis 7) gibt er dagegen eine Funktion WE ~ 2 (®) an mit W ~ 0 und L(W) < 0, die für y- 0 gleichmäßig gegen + oo strebt. Jetzt sei u eine in ® gleichmäßig beschränkte Lösung von (6.2.2) mit Randwerten = 0. Dann ist für jede Zahl > 0 die

s.

ulr

s

Funktion s W + u aufgrund des Maximum-Prinzips (erstes Hopfsches Lemma, Satz 1 in Abschnitt 2. 7) in ®nicht negativ:

sW +u~ 0. Daraus folgt u ~ 0. Ebenso ist u- s W in ® nicht positiv für jedes s > 0, daraus folgt ~t ~ 0; zusammen also u 0 in ®. In den letzten drei Fällen ist eine Lösung von (6.2.2) also durch ihre Werte auf r bereits eindeutig bestimmt.

=

6.3 Probleme vom gemischten elliptisch-hyperbolischen Typus Auch hier wollen wir auf die ausführliche Untersuchung dieser Probleme verzichten und verweisen dazu wieder auf die Darstellungen in [2], [8], [118]. 1 ) Da aber Eindeutigkeitssätze häufig die sinnvollen Probleme kennzeichnen, wollen wir einen Eindeutigkeitssatz formulieren. Dazu betrachten wir zunächst die Differentialgleichung (6.3.1) mit a(x, y) a(x, y)

[d, auxdy-uydx]+S[dx, dy] >

Weitere Arbeiten: [36], [56], [70], [117], [138], [139].

186

G. Probleme vom gemischten Typus

Abbildung 6.3.1 skizzierte Gebiet @ = gUg 1 Ug 2 U{(x, O)jxE (x0 ,x1)}. Dabei sind c1 und Ca (-)-Charakteristiken und c2 , c4 ( + )-Charakteristiken. F 1 undF2 seien Kurven, die in den von C1, C2 bzw. Ca, C4begrenzten "Zwickeln" liegen: i; ,;rl:~~-r -a,

(6.3.3)

y

r

sei eine beliebige glatte doppelpunktfreie Kurve durch die Punkte Xo, x1 mit x0 < x 1 , die in y ?o 0 verläuft. Für a setzen wir zunächst voraus: aEI1°(®)nl11 (®-{(x, 0)}).

Abb. 6.3.1

Zu {6.3.1) betrachten wir das Frankl-Problem [26]: u ist aufF U F 1 U F 2 stetig vorgegeben. Die Differenz zweier Lösungen u = u 1 - u 2 E 111 (@) n nl12(@) genügt dann (6.3.1) mit s 0 und verschwindet auf rurl ur2. Die Voraussetzungen an r, Fv F 2 und a werden wir später noch verstärken müssen. Die im folgenden dargestellten Überlegungen entsprechen der von Frau C. Morawetz in [85] entwickelten ab c- Methode. Dort zeigt Frau Morawetz auch, daß die folgenden Untersuchungen unter schwächeren Voraussetzungen über u noch gültig bleibm1. Wir gehen aus von einem Richtungsfeld {~X, ß}, rx, ß E 11° (@) n 111(@-{(x, 0)}), mit dessen Hilfe wir die Richtungsableitung

=

(6.3.4)

u,

=

rxux+ßuy

einführen. Die quadratische Form (2.3.8) definiert nach (2.3.7) das zu {rx, ß} konjugierte Feld {-aß, !X}, mit dessen Hilfe wir die Richtungsableitung (6.3.5)

erklären. Zu

11 1

und u 2 können wir nach Abschnitt 2.2 Pfaffsche Formen

187

6.3 Gemischte elliptisch-hyperbolische Probleme Wv

w 2 für y ~ 0 einführen: w1 =

(6.3.6) W2

Für y

~ 0

1 ß (rxdx+aßdy), rx +a 2 2

1 = rx 2 +aß2 ( -ßdx+rxdy).

schreiben sich mit ihnen

(6.3.7) Zu u und {rx, ß} betrachten wir die Pfaffsche Form

(6.3.8) Q

1

= 2· ((rx Ux+ ß Uy) (a Ux dy -uydx)- ( -a ßux+rx 1ty) (u.Ydx+uydy)) =

1

2 . (u1 dn11-u2du).

Sie ist in @ stetig und für y ~ 0 stetig differenzierbar. Diese Eigenschaften reichen bereits aus, um den Integralsatz von Gauß-Cartan für Q in @ anwenden zu können; es gilt

(6.3.9)

fD

0 erhält. Unter den Voraussetzungen (6.3.20) gilt demnach der Satz: Ist u E (P(@)

n ~P(@) eine Lösung von

[d,a(y)uxdy-uydx]=O

mitu=O

aujrur1ur2,

so folgt u = 0 in @. Die Voraussetzungen an u sind in diesem Satz zu stark. Wie aber eingangs bereits erwähnt, behalten alle Überlegungen ihre Gültigkeit, wenn u schwächeren Voraussetzungen genügt. J

~

x,

Xo

c, =Ij

1/7

X

IJz

Abb. 6.3.3

Lassen wir in Abbildung 6.3.1 Cl mit r l und C4 mit r4 zusammenfallen, so entsteht das GellerstedtscheProblem [29] (Abbildung 6.3.3). Legt man dann noch x 0 in den Nullpunkt, (so verschwindet g1 ) dann entsteht das Tricorni-Problem [124] (Abbildung 6.3.4). Das Tricorni-Problem war

192

6. Probleme vom gemischten Typus

das erste Problem vom gemischten elliptisch-hyperbolischen Typus, für das Existenz und Eindeutigkeit vollständig untersucht wurden. Eine übersichtliche Darstellung findet man auch in dem Buch von Tricorni [125]. Unser Eindeutigkeitssatz bleibt offensichtlich für das Gellerstedtsche und das Tricomi-Problem richtig. Auf Existenzuntersuchungen wollen wir hier verzichten. (Dazu siehe [2], [8], [118], [125]).

r

Abb. 6.3.4

Zum Schluß wollen wir noch ein weiteres Problem formulieren, dessen Lösung noch nicht bekannt ist. Entsprechend dem Randwertproblem im hyperbolischen Bereich in Abschnitt 3.8 betrachten wir zur Differentialgleichung (6.3.22)

für für für

(signy)u:cx+Uyy = 0

y

>

0)

y=O y 0 entsteht dann eine erste Randwertaufgabe der Potentialgleichung, während für y < 0 die Lösung mit dem in Abschnitt 3.8 beschriebenen Verfahren bestimmt werden kann. Zu jeder Wahl von u(x, 0) = f(x) gibt es dann eine Lösung u E ~0 (®) -{A}. V erlangt man dagegen für y = 0 einen stetigen Anschluß der ersten Ableitungen von u, so scheinen dadurch die Werte u(x, 0) bereits festzuliegen. Die Fragen nach Existenz und Eindeutigkeit solcher Lösungen scheinen noch nicht gelöst zu sein. Mit G1 bezeichnen wir die Greensehe Funktion erster Art des elliptischen Teilgebietes @ n {y > 0}, F 2 sei durch y(x) = -h(x) gemäß Abschnitt 3.8 und rp\ als Funktion rp(x) gegeben. r. Die Bedingung für u(x. 0) erhält man aus der Darstellungsformel (6.3.23)

f

B

u(x, y) = - rp d"G 1 r1

f u(x, 0) d"GI

für

y > 0

A

und der Beziehung (3.8.6) im hyperbolischen Gebietsteil

(6.3.24)

+h!) oo (n-1 •{Ux(Xn+l-hn+l• 0) (1 +h~) Dl 11 -hJ

Uy(X, 0) = - 11~1

+ Ux (x" -h,., 0) (1-h~)- 2 rp' (x,.)},

indem man (6.3.23) nach y ableitet und für y-+ 0 (6.3.24) gleichsetzt. Für g(x) = Ux(X, 0)

erhält man dann die Funktional-Integralgleichung

Über ihre Lösung scheint noch nichts bekannt zu sein. Auf eine andere Lösungsmethode weist J. Jaenicke in [59], § 33, hin. Man erhält dabei im Intervall [A, Bl auf der x-Achse eine singuläre Integralgleichung erster Art für u.,(x, 0), über deren Lösung ebenfalls noch nichts bekannt ist.

11. Teil: Systeme erster Ordnung in zwei Variablen

197 7. Normalformen und Typus eines linearen Systems

Ein System von zwei linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung für zwei gesuchte Funktionen u(x, y) und v(x, y) von zwei unabhängigen reellen Variablen sei gegeben durch

(7.0.1)

a 1 ux+a2 uy+b 1 vx+b 2 vy = cu+ev+f = L ,- = L- . a-1 Ux+a-2 Uy+ ·b1 Vx+ b-2 Vy = cu+ev+

Die Koeffizienten a 1 , • • • , f seien Funktionen von x, y. Da!." System wird in einem einfach zusammenhängenden Gebiet ® der x, y-Ebene betrachtet; dort sollen

(7.0.2) sein, sofern später keine weiteren Forderungen gestellt werden.

7.1 Charakteristiken und Typeneinteilung für ein System In diesem Abschnitt werden wir (7.0.1) zunächst als Pfaffsches System schreiben und über eine quadratische Form zur Typeneinteilung der Systeme (7.0.1) gelangen. Aus den Koeffizienten von (7.0.1) bilden wir die Pfaffschen Formen

(7.1.1)

w1 = a 1 dy-a 2 dx, w1 = iil dy- ä 2 dx,

w 2 = b1 dy-b 2 dx, 6)2

= b1dy-b2 dx.

Dann läßt sich (7.0.1), wiP. man sofort nachrechnet, als System von zwei Pfaffschen Gleichungen zweiten Grades schreiben

(7.1.2)

[du, w 1]+fdv, w2] = L(u, v) [dx, dy], [du, w 1J+[dv, w2J = L(u. v) [dx, dyJ.

Bilden wir eine Linearkombination der beiden Gleichungen (7.1.2), indem wir die erste mit it, die zweite mit p, multiplizieren und addieren, so folgt (7.1.3) [du, itw 1+p,w 1]+[dv, itw 2 +p,w 2] = (ÄL+p,L) [dx, dy]. Die Ausdrücke neben du und dv der linken Seite von (7.1.3) sind lineare Pfaffsche Formen, die wir mit Q 1, Q2 bezeichnen wollen:

(7.1.4)

-:-. Xormalformen und T.\TJUS eines linearen SystemR

198

Q 1 • Q 2 bilden je ein Büschel von Linearformen mit den Parametern A, fl· Die Zuordnung der Formen der beiden Büschel durch gleiche A., p-Werte ist eine Projektivität. Q 1 = 0, Q 2 = 0 definieren in jedem Punkt der x, y-Ebene je ein StrahlenbüscheL Die Fixstrahlen der Projektivität erhält man für diejenigen },, p-\Verte, für die Q 1 proportional zu Q 2 ist. das heißt für die gilt [Q 1 , Q 2] = 0. Damit (7.1.4) tatsächlich zwei Strahlenbüschel darstellen, wollen wir vorü hergehend voraussetzen, daß gilt (7.1.5)

A[dx, dy]

=

[ml,

w1]

~

0,

B[dx, dy]

=

[m 2 ,

w2 ]

~

0.

Für das äußere Produkt ergibt sich die quadratische Form m A., fl (7.1.6)

[Ql, Q2]

=

;,2[ml, m2]+A.p([ml, w2]+[wl, m2])+p2[wl, w2]

= {/. 2

G11 + A. fl (G12 + G21l + # 2 G22}[dx, dy].

Die G;k E (~?(®) erklären sich unmittelbar durch Vergleich der beiden Ausdrücke. Im allgemeinen ist G12 ~ G 21 • Im folgenden wird vorausgesetzt, daß in @ gilt :1l (7.1.7)

Die Fixstrahlen der Projektivität, die als charakteristische Richtungen des Systems partieller Differentialgleichungen bezeichnet werden, ergeben sich aus der quadratischen Gleichung in /.: fl für [Q 1 , D 2] = 0. Die Diskriminante (7.l.7a)

führt zur T.vpeneinteilung der Systeme. Ist im Punkt (x. y) a) D(x, y) >- 0, so ist das System im Punkt (x, y) und seiner Umgelmng vom elliptischen Typus: die Nullstellen /.:p von (7.1.6) sind konjugiert komplex; b) D(x, y) = 0, so ist das System im Punkt (x, y) vom parabolischen Typus. (7 .1.6) hat eine doppelte Nullstelle ), : p, der eine reelle Richtung entspricht; c) D(x, y) < 0, so istdas System im Punkt (x, y) undseiner Umgebung vom hyperbolischen Typus. (7 .1.6) hat zwei reelle Nullstellen }_I : pl und }_li : pii, denen je eine Richtung im Büschel entspricht. I) Der hier ausgeschlossene Fall enthält ein System, für das (7.1.10) nur eine charakteristische Richtung hat. (Siehe [23] II, S. 171 ff. Dort heißt dieser Fall hyperbolisch)

7.2 Normalform eines hyperbolischen Systems

199

Im hyperbolischen Fall können wir aus (7.1.4), wenn wir Q 2 bevorzugen, die folgenden zwei Formen bilden (7.1.8} die im Falle (w 2, w 2] ~ 0 (7.1.5) unabhängig sind. Q 1 = 0, QII = 0 bestimmen zwei verschiedene Kurvenscharen, die Charakteristiken des hyperbolischen Systems. Um die Charakteristiken als quadratische Form in dx, dy oder der Linearformen w 2 , w2 darzustellen, beachten wir, daß aus Aw 2 + p, w2 = 0 folgt A:p, = -w 2 :w 2 • Demnach erhält man durch Einsetzen in (7.1.6) (7.1.9} als Differentialgleichung der Charakteristiken in den Formen w2 , w2 • Die Form in dx, dy ergibt sich am einfachsten aus folgender Überlegung: Es soll ein von Null verschiedenes \Vertepaar A: p, derart geben, daß in (7.1.4) Q 1 = Q 2 = 0 ist. Dann muß die Determinante verschwinden: (7.1.10)

I wl 1

w21

w1 w2

=

I al dy- a2 dx,

Iiildy-a/dx,

~1 dy- ~2 dx I = 0. b1 dy-b 2 dx 1

Wie man elementar ausrechnet, ist die Diskriminante dieser quadratischen Form gleich D(x, y) in (7.l.7a}.

7.2 Normalform eines hyperbolischen Systems

Ist das System (7.0.1) in " ro2 ergibt sich aus (7.2.9) sofort ein System in der Normalform (7.2.7). Im parabolischen Fall ist x1 = x2 und mit A.I+x2,ul=O, SOWie

A_ll

=

1'

,ui-rf-0

,ull = 0

wird aus (7.1.3) das entartete System 1 > 1 11

-u"+va. = -G L. Der Fall, daß w1 und analoge Ergebnisse. •> vergleiche Abs. 20.5

w2

nicht identisch verschwinden, liefert ganz

202

7. X ormalformen und Typus eines linearen Systems

Sind w1 und o) 2 nicht identisch Null, und verschwindet w 2 identisch, so liefert (7.1.7)

[w\

w2 ] =

G 12 [dx, dy] ~ 0

1 G12 2 un d wegen D = - kann nur der hyperbolische Fall au f treten. 4

Wegen A = 0 gilt w1 = xw 1 . Mit .?c1+ p,l% = 0, fl 1 ~ 0 sowie fl 11 d$

= 0, Jcii

~

0 und

= ([>~ wl +@ii äJ2

geht (7.1.3) sofort in ein System in der Normalform (7.2. 7) über. Für A = B = 0 unter der Voraussetzung (7.1.7) ist das System also parabolisch oder hyperbolisch.

7.3 Die kennzeichnende Linearform eines Systems Wenn man eine vom Typus des Systems unabhängige Untersuchung durchführen will, kann man nicht von den charakteristischen Formen (7.1.8) ausgehen, da diese nur im hyperbolischen Fall reell und voneinander unabhängig sind. Deshalb bilden wir die Bilinearform von (7.1.6): (7.3.1) Sie ordnet jedem \Vertepaar A1 : fll ein konjugiertes Paar A2 : flz zu. Ist A1 : /ll nicht Lösung der charakteristischen Gleichung (7.1.6), so ist das konjugierte Paar A2 : fl 2 ~ A1 : fl 1. Durch Auflösen nach A2, fl 2 folgt aus (7 .3.1) mit einem freien Proportionalitätsfaktor e (x, y) (7.3.2)

Wir setzen B ~ 0 (7.1.5) voraus und bevorzugen Q 2 mit einem beliebigen nicht charalderistischen ~Wertepaar /, 1, fll· Dann wird die zu (7.3.3)

Q2 =

}. 1 oJ 2 +fl 1 W2

konjugierte Form

!2 2 = Azw 2 +fl2W 2. l)

Unser Ziel ist eine Umformung der Gleichung (7.1.3), die sich mit (7.1.4) auch schreiben läßt als (7.3.4) 1>

(7.:3.:~)

werdc•n.

[du, Ql]+[dv, Q 2]

=

(/.L+flL)[dx, dy].

und (7.:!.:2) kann als projekti\·e Abbildung in einem Punkt gedeutet

203

7.3 Die kennzeichnende Linearform eines Systems

Wir wollen erreichen, daß an Stelle der Form Q 1 die Form Q 2 auftritt. Dazu stellen wir Q 2 als Linearkombination von Ql, Q 2 dar: Q2

= S Ql+T Q2.

Durch äußere Multiplikation mit Q 2 und Q 2 folgen die Gleichungen S[Q2, Ql]

= [Q2,

S[Ql, Q2] + T[Q2, Q2] =

.Q2];

o.

Die Berechnung der äußeren Produkte ist unten in den Formeln (7.3.8a ... d) zusammengestellt. Man erhält

s = eB;

T =

1

"2 e(G21-G12l

und damit (7.3.5) Da Q 2 nach (7.3.2) den Faktor f! enthält, ist die Zuordnung unabhängig von g. Kehren wir zurück zu Gleichung (7.3.4). Durch Einführung neuer Funktionen U. V erreichen wir, daß in (7.3.4) gerade ein Paar konjugierter Formen auftritt. Setzt man (7.3.6)

U=

U,

, _ 1 G21-G12U V B + '

t:-2

dann wird die linke Seite von (7.3.4) [dU, Q 1] +

~

rd 021 ~ 012 U, Q

2

l+ [

d V, Q 2 ]

=

(A L + ,u L )[ dx, dy]

oder

ldU,QI+~ Gzl~Gl2Q 2 l+[dV,Q 2]+U! ldG21~G12,

l

Q2

und nach (7.3.5) (7.3.7)

e~[dU,

Q 2] +[dV, Q 2]

+!

l

U ldG 21 ~G 12 , Q 2

= ('AL+ ,u L) [dx, dy].

Auf der rechten Seite von (7.3.7) werden u, v in L und l durch U, V ersetzt. Außerdem wollen wir [dx, dy] durch [Q 2 , Q 2] ausdrücken, indem wir Q 2 , Q~ als Grundformen wählen. Dazu stellen wir die folgenden Formeln zusammen: Es ist mit beliebigen (7.3.8a)

7. Normalformen und Typus eines linearen Systems

204

mit A2 , p 2 nach (i.3.2), und ferner war Ql = Alwl+J-ttäil.

Dann ergeben sich mit (7.1.5), (7.3.2) und

G(A, p) = G11 A2 + (G12+G21) Ap+G22!12 die äußeren Produkte als

e G (A1, P1l [w 2 , äi 2] = - e B G ().1, P1)[dx, dy], = G(A1, p 1)[dx, dy], [Q 2 1 [Q , .0 ] = (Al A2 G11 + A1 !12 G12 + A2P1 G21 + A2 !12 G22l [dx, dy]

=-

(7.3.8c)

1 , Q 2]

l = 2(G21-G12) (A2f.ll-Alf.12)[dx, dy],

(7.3.8d) [Ql, .02] = ; (G 21 -G 12 ) G(A1, 111) [dx, dy]. Ersetzt man[dx, dy] nach (7.3.8b), so geht (7.3. 7) über in die Gleichung (7.3.9)

[dU, .02] +[dV, _l_ eB

Q 2]

=

-

A1 L + 111 L [.02, Q2] _...!:_ U 2 eBG(Al, P1l

[d G21-B G12'

Q 2]

u

Diese Gleichung gilt für jede Form Q 2 , die nicht charakteristisch ist, da in (7.3.8) A1 , p 1 beliebig gewählt werden können. Zur weiteren Umformung dieser Gleichung sei beachtet, daß

gilt, denn das hinzugefügte Glied läßt das äußere Produkt unverändert. Wegen (7.3.8a) ist

A1L+p1L .Q2 _ A2L+112L Q 2 G (A1, P1l G (Al, P1l =

G(A~, /ll) {(Al 112- A2p1) Lw 2+ P-2P1-A1f.l2 ) Lw 2}

und nach (7.3.8b) (7.3.11) 1l

A1 L+t-tlL .Q2 _ A2L+p2L Q 2 = -e(Lw2-Lw2). G ( A1, 1-t1l

G (A1, 1-t1l

Da Ä1 , p,1 nicht-charakteristisch vorausgesetzt wurde, gilt G ( Ä1 , p,1 )

~

0.

7.3 Die kennzeichnende Linearform eines Systems

205

Damit geht (7.3.9) über in

o= (7.3.12)

/B[dU, .02]+[dV, .Q 2]+ ~ [(Lw 2 -Lwz), .Q2]

+! U [dG21 ~G12, .QZ].

Um weitere Zusammenhänge aufzudecken, müssen wir einige Eigenschaften konjugierter Formen kennenlernen. Nehmen wir vorübergehend D ~ 0 an, so ist auch .02 nicht charakteristisch, und wir können die zu .02 konjugierte Form Q2 berechnen. Sie ergibt sich, indem man in (7.3.2) die Größen A1 , p 1 gegen A2 , p 2 austauscht: (7.3.13)

!Jz

=

e {!

(G21 + G12) A2 + G2 2.U2} W 2-

e{Gu A2 +

! (G12 + G21) P2} äi 2.

A2 , p 2 sind mit A1 , p 1 durch (7.3.2) verbunden. Wir gehen also von der nicht-charakteristischen Fo~m .Q 2 zur konjugierten Form .02 und weiter zur konjugierten Form !12 über. Setzt man die Werte (7.3.2) für A2 , p 2 in (7.3.13) ein, so folgt nach kurzer Rechnung

!Jz = - rl D .Q2 •

(7.3.14)

Nun können wir die Annahme D ~ 0 fallen lassen, denn für D = 0 ist die konjugierte Form zur konjugierten Form die Null-Form. Betrachten wir irgendein Paar konjugierter Formen .Q2 , .02 als Grundformen, so läßt sich eine beliebige Form .Q als Linearkombination

.Q =

w.Q2 + z .Q2

darstellen. Die zu .Q konjugierte Form .Q erhält man wegen (7.3.14) .Q

= W .Q2- ez D Z .Q2 •

indem man .Q 2 und .02 jeweils durch die konjugierten Formen ersetzt. Ferner wird (7.3.15) für D

>

0 ist der quadratische Faktor definit. Sind zwei beliebige

Formen gegeben

.Ql = W1.Q 2 +Z1.02 ,

.Q2 = W2.Q 2+Z2.0 2

und .01, .02 ihre konjugierten, so gilt (7.3.16)

[.Ql, .02]

= (W1 W2+ e2 DZ1Z2) [.Q 2, .02] = -[.01, .Q2]

206

-;, Nonnalfonnen ulHl Typus eines linearen Systl'lllS

und ferner (7.3.17) [t.!1, t.!2]

=

(? 2

D(W1Z2- W2Z1) [.!.?2, f.! 2] =

e2 D[D1,

D 2].

Das Differential einer Funktion C/J läßt sich bezüglich Q 2 • t.! 2 darstellen durch die Pfaffschen Ableitungen:

dcf>

(7.3.18)

= (/>1 D 2 +C/J2 .QZ;

die zu dcf> konjugierte Pfaffsche Form, die im allgemeinen kein vollständiges Differential ist, bezeichnen wir mit dncf>:

dncf>

(7 .3.19)

= C/J1 f.! 2 -

(? 2

D C/J2 Q 2 •

Wir wollen hier eine Beziehung zwischen dcf> und dncf>, die längs einer Charakteristik gilt, einfügen. Es sei zum Beispiel X(x, y) = konst. eine durch den Punkt ,)J gehende Charakteristik; dann gilt längs dieser

denn nach Definition ist eine charakteristische Form zu ihrer konjugierten proportional, aus dX = 0 folgt dnX = 0. Bildet man für eine beliebige Funktion (/> die Formen dcf>, dncf> längs der Charakteristik X = konst., so wird wegen \ '2

• 1

X2 = 2

und daher längs X

=

konst. wegen dX

dC/JIX=konst.

dn(/J I X=konst

= ( C/J1 = (?2 D

=

=

0, dnX

~: (/>2) Q

2

~n

Q"

0

1X=konst.'

x2 ((/>1 - x1 (/>2) X1 .K2

Q21

X=konst.

.

Längs einer Charakteristik X gilt also für jede Funktion(/> E \r1 (7.3.20)

d (/> I n

X=

konst.

= ± y' -

(? 2

D dcf> I

X=

konst.

0

Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns wieder der Transformation des Systems und der Formel (7.3.12) zu. Beachtet man für das erste Glied die Vertauschbarkeit (7.3.16) und (7.3.17), so wird

[dU, f.! 2]

= -[dnU, !.P].

Somit tritt in allen Gliedern von (7.3.12) der Faktor Q 2 auf. Da hier Q 2 eine beliebige Form sein kann, lassen wir den Index weg und erhalten: (7.3.21)

[{- ,/BdnU+dV+

~(Lw 2 -Lw 2 )+! UdG 21 ~G 12 }, Q]

= o.

207

7.4 Normalform eines linearen Systems

Soll die Gleichung für jede Form Q gelten, so muß der Ausdruck in der geschwungenen Klammer identisch verschwinden. \Vir formulieren das Ergebnis in dem

Satz: Erfüllen die Koeffizienten eines linearen Systems (7.0.1) die Voraussetzungen (7.0.2), (7.1.7) mit B ~ 0, ist ferner dnU die zu dU konjugierte Form (7.3.19) bezüglich der charakteristischen quadratischen Form (7.1.6), dann ist das System. (7.0.1) äquivalent mit dem identischen Verschwinden der linearen Differentialform (7.3.22)

- -1- d U+dV+_!_ (L eB n B

w2 -Lw 2 ) +_!_Ud G21 - G12 = o 2 B - '

wo U, V durch (7.3.6) mit u, v zusammenhängen. Wir nennen (7.3.22) die kennzeichnende Linearform des Systems (7.0.1). Der Name scheint gerechtfertigt, da (7.3.22) unmittelbar zu zahlreichen wichtigen Beziehungen führt, die in den nächsten Abschnitten besprochen werden. 7.4 Normalform eines linearen Systems \Vie jede lineare Differentialform kann auch die kennzeichnende Linearform (7.3.22) als Linearkombinationzweier konjugierter Formen Q 2 , !2 2 dargestellt werden. Das Verschwinden der Koeffizienten der Kombination (als Folge von (7.3.22)) führt wieder auf ein System von Differentialgleichungen. Diese Koeffizienten ergeben sich, indem man (7.3.22) äußerlich mit Q 2 beziehungsweise !22 multipliziert. Die Multiplikation mit Q 2 führt auf die Ausgangsgleichung (7.3.9) und mit (7.3.18 u. 19) auf die Differentialgleichung (7.4.1)

_1_ eB

u 1_ V2+

J..1L+!J1L _ _!_u(G21-G12) G (Al, /Jl) 2 B 2

eB

= o.

Durch Multiplikation von (7.3.22) mit !2 2 ergeben sich die äußeren Produkte [dnU, !2 2 ] = e2 D[dU, Q 2 ] nach (7.3.17),

_!_ [(L -z- L 2) Q2] B w w '

[Q2 i"i2J e B ).2G L(Al,+ /J2L ftl) - ' ~.t

= _1_

nach

(

1 ) 7. 3. 1 .

Dann folgt mit (7.3.18 u. 19) sofort (7 .4.2)

eD U V 1 J..2 L + fJ2 L 1 U (G21 - G12) B 2 + 1 + eB G(J..1, tJ1l +2 B 1 = o.

Die Gleichungen (7.4.l.u. 2) gelten bezüglich eines beliebigen konjugierten Formenpaares Q 2 , !2 2 unabhängig vom Typus des Systems;

208

7. Normalformen und Typus eines linearen Systems

sie werden als typunabhängige Normalform eines linearen Systems bezeichnet. Dabei ist e =/= 0 ein freier Normierungsfaktor der konjugierten Form. Außerdem hat man die Freiheit, die Gleichungen (7.0.1) des Systems mit Faktoren zu multiplizieren, zum Beispiel so, daß 1 wird. B Wir wollen durch geeignete Normierung und Wahl von Q 2 aus (7.4.1 u. 2) die sogenannte Hilbertsche Normalform eines elliptischen Systems herleiten. Es sei 1 D>O; (! = (i5" (7.4.3)

=

Dann tritt in (7.4.1 u. 2) in den Ableitungsgliedern der Ausdruck (7.4.4) und ein entsprechender für die zweite Ableitungsrichtung auf. Wählt man nun für Q 2 das Differential einer solchen Funktion e(x, y), die die partielle elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung (7 .4.5) erfüllt, dann ist dng vollständiges Differential einer Funktion

'l'j,

(7.4.5) ist infolge der Normierung (7.4.3) die Beltramische Differentialgleichung der quadratischen Form (7.1.9). Die Frage der Existenz einer Lösung g(x, y) von (7.4.5) wurde in Kap. 5 behandelt. Setzen wir schließlich 1 ,,(7.4.6) ·BrDU=U und A

und beachten, daß die ableitungsfreien Glieder in (7.4.1 u. 2) lineare Ausdrücke in U und V sind, so folgt:

Satz: Mittels einer Lösung der zur charakteristischen quadratischen Differentialform (7.1. 9) des Systems gehörenden Beltramischen Differentialgleichung (7.4.5) läßt sich ein elliptisches System auf die Hilberische Normalform u~- V11 =PU+QV+R, (7.4.7) U11 + v~ =Pu +Q v +R transformieren, wenn die Koeffizienten des Hauptteiles ak, bk, äk, bk E (t2+". a: > 0 sind.

7.5 Greensehe Formeln und adjungiertes System

209

Die Differenzierbarkeitsforderung an die Koeffizienten ist eine Folge der Voraussetzungen für den Existenzbeweis der Lösung der Beltramigleich ung in Kapitel5. Die Voraussetzung B ~ 0 (7.1.5) ist für ein elliptisches System (D > 0) sets erfüllt. Um das zu zeigen, betrachten wir die Darstellung (7.1.10) der quadratischen Form. Wäre B = 0, so wären äi 2 und w2 linear abhängig, zum Beispiel äi 2 = aw 2 , und man könnte (7.1.10) schreiben Diese quadratische Form hat sicher reelle Nullrichtungen, ist also nicht definit. Im elliptischen System sind also stets A ~ 0, B ~ 0. Für den Aufbau der Theorie der elliptischen Systeme in den Kapiteln 9 ff. wird von der Hilbertschen Normalform ausgegangen. 7.5 Greensehe Formeln und adjungiertes System Ausgehend von der kennzeichnenden Linearform (7.3.22) bzw. in (7.3.21) kann man versuchen, die dort auftretenden Ableitungen von U, V auf Q abzuwälzen. Dazu betrachten wir zunächst die beiden ersten Glieder von (7.3.21). Es werden

-P~[dnU,Q]= e~[dU,ll]= [dV, Q]

[a,

= [d,

e~u!!]-u[a, e~Q], VQ]- V[d, Q].

Nach Einsetzen in (7.3.21) erhält man:

[a, (7.5.1)

(e~ Ull+ vtJ)]-u[a, e~!!]- V[d,Q]

+ [{~

(Läi 2 -Lw 2 )+! Ud

021 ~ 012 }, Q] = o.

Das letzte äußere Produkt dieses Ausdruckes ist das gleiche wie in (7.3.21); es ist ein linearer Ausdruck in U, V, dessen Koeffizienten aus (7.0.1) und (7.3.6) folgen. Wir geben den AusdruckL an; L lautet analog. (7.5.2)

' e ) L= (c+ 2 B(G21-G!2) U+eV+f=hU+eV+f.

Dabei ist h zur Abkürzung der ersten Klammer eingeführt. Jetzt wird

210

7. Normalformen und Typus eines linearen Systems

(i.5.1) lautet daher ausführlich geschrieben [ d,

(e ~ u n+ v Q)] = u {[d, e~ n] -[(~ (h w2 _ hro2) +

(7.5.3)

!

d G21 ~ G12 ) ,

Q] }

{[d, Q]- [~ (ewz-ewz), Q]} _ [~ (fw2-i00z), Q]. +V

Diese Pfaffsche Gleichung nennen wir adjungiert zu (7.3.21). Integriert man beide Seiten von (7.5.3) über ein Normalgebiet r, so ergibt sich nach Gauß-Cartan für die linke Seite ein Randintegral über f. Die entstehende Integralrelation enthält keine Ableitungen von U, V; die Ableitungen sind auf Q, fJ abgewälzt. Setzt man im besonderen die willkürliche Form Q nacheinander Q

(7 .5.4)

= d(J>

und dann

Q

= dn lJI

mit f/>(x, y), lJ'(x, y) E {t2 (F), so erhält man die Formeln von Green. Sie gelten für jedes lineare System unabhängig vom Typus, das die Voraussetzungen (7.1.7) und B .= 0 erfüllt. Da die Formeln im folgenden nur für elliptische Systeme in Hilbartscher Normalform benötigt werden, wollen wir sie hier nur für diese explizit ausschreiben. Nehmen wir an, das System (7.0.1) sei in Hilbartscher Normalform gegeben; dann gilt:

a1

= 1,

(7.5.5a)

b2

= -1, ä 2 = 1, b1 = 1, w1 = -dx,

ro1 = dy,

ro 2 = dx,

a2

= b1 = iil = b2 = 0,

w2 = dy,

B

= 1.

Die quadratische Form (7.1.10) wird (7.5.5b)

eine Form Q und ihre konjugierte Form fJ gestatten die Darstellung (7.5.5c)

Q

= 'Adx+JJdy, n =

-JJdx+'Ady,

wenn man e = 1 setzt. Gehen wir mit diesen Werten in (7.5.3) und beachten h = c nach (7.5.2) sowie B = 1, so folgt (7.5.6)

[d, U fJ+ VQ]

= U{[d, fJ]-[(cdy-cdx), .Q]} + V{[d, Q]-(edy-edx), Q]}-[(fdy-idx), Q].

7.5 Greensehe Formeln und adjungiertes System

Setzen wir hier Q

= d" lJf,

dann wird !J

211

= - dlJf und

[(cdy-cdx), d"lJf] = [(cdx+cdy), dlJf].

Entsprechende Beziehungen gelten für die beiden anderen äußeren Produkte. Jetzt ergeben sich sofort die Greensehen Formeln

f- U dlJf+ V d"lJf

(7.5.7a)

1_\:

=

Jf V[d, d"lJf]- [{u (c dx+ cdy) +V (e dx+ edy) + {fdx+ idy)}, dP], 1Y

und mit Q

=

df/>,

!J = d"f/>

(7.5.7b)

f U d"fl>+ V df/> 1_\:

= fJ

U[d, d"f/>]- [{U(cdy-cdx)+ V(edy-edx)+(fdy-idx)}, dfl>].

8'

Ist U, V Lösung des Systems (7.0.1) in Hilbertscher Normalform, so erfüllen U, V die Greensehen Formeln für jedes Funktionspaar f/>, lJf E 1!2 (~) und jedes Normalgebiet ~ c ®. Zum Abschluß dieses Abschnittes erklären wir das zum System (7.0.1) gehörende adjungierte System; es entsteht durch Nullsetzen der Koeffi;;:ienten von U und V auf der rechten Seite von (7.5.3) und lautet daher in allgemeiner Form geschrieben

Das sind zunächst zwei Pfaffsche Gleichungen zweiten Grades. Wählt man zum Beispiel zwei konjugierte Linearformen Q 2 , !J2 als Grundformen, so lassen sich Q, !J als Linearkombinationen nach (7.3.14)

Q

1 = ZQ2+W!J2

eB

und

schreiben. Dann werden [d, Q]

=

(e ~ w,-z:z) [Q2, !J2J+ ... ,

[d. e~ !J] = - e~ {e.zf W:z+Z,}[Q2, !J2]+ ; .. , dabei deuten die Punkte lineare Ausdrücke in Wund Z an. Man erhält also für W und Z ein lineares System mit dem gleichen Hauptteil wie

212

7. Normalformen und Typus eines linearen Systems

das Ausgangssystem (7 .4.1 u. 2). Wir wollen uns darauf beschränken, das adjungierte System eines in der Hilbertschen Normalform vorliegenden elliptischen Systems explizit anzugeben. Hier werden die Pfaffschen Gleichungen (7.5.8} mit (7.5.5a)

[d, .0]-[cdy-cdx, D] und

= o,

[d, D] - [e dy- e dx, D] = 0 D = Zdx+ Wdy,

.Q =- Wdx+Zdy.

Durch Einsetzen und Ausmultiplizieren folgt:

Zy- Wx-(eZ+eW) = 0,

(7.5.9}

Wy+Zx+(cZ+cW) = 0.

Mit Hilfe einer Lösung des adjungierten Systems läßt sich ein lineares System von Differentialgleichungen erster Ordnung auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zurückführen. Wir beschränken uns auf homogene Systeme, in denen I = = 0 sind und formulieren den Satz:

i

Satz: Ist Da Lösung des adjungierten Systems (7.5.8} derart, daß [.Qa, .Da] ,p 0 in einem Gebiet ® gilt, dann sind die Lösungen U und V des homogenen Systems (7.0.1) beziehungsweise (7.3.22) Plaffsche Ableitungen einer Funktion q,: (7.5.10}

dabei ist q, Lösung einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren charakteristische quadratische Form mit derjenigen des Systems übereinstimmt1>. Zum Beweis des Satzes wollen wir das System (7.0.1) und (7.3.21} so normieren, daß B = e = 1 ist. Das bedeutet keine Einschränkung. In (7.5.3} verschwindet die rechte Seite wegen I= i = 0, daher gilt in ® (7.5.11)

[d, U .Da+ V Da]= 0

und rechtfertigt den Ansatz (7.5.10). Für das System (7.0.1} gehen wir von der Form (7.3.21} aus, die ausführlich (mit B = e = 1, I= i = 0) lautet (vergleiche 7.5.2} (7 .5.12)

[ -dnU +dV + U

(h w -hco +! d(G21 -Gu)) + V(e w -eco 2

2

2

2 },

.Q]

=

0.

1l Dieser Satz läßt sich auch auf die Lösungen inhomogener Systeme übertragen. Siehe dazu bei W. Haack [38] Abschnitt III.

213

7.6 Integralrelationen im festen Gebiet

Offenbar ist 0

= [d,

d]

= =

[dV, .Qa]+[dU, .Qa]+ V[d, .Qa]+ U [d, .Qa], [dV -dnU, .Qa]+ V[d, .Qa]+ U[d, .Qa]•

Ersetzen wir die äußeren Ableitungen von .Qa und .Qa durch die Ausdrücke (7.5.8) des adjungierten Systems, so erhalten wir die Gleichung (7.5.12), in der .Q durch .Qa ersetzt ist. Sie ist also lediglich die Integrabilitätsbedingung für (7 .5.10). Setzt man in (7.5.12) .Q = .Qa und beachtet (7.3.17) so folgt: -D[dU, Da]+[dV, .Qa]+ [ U

((hw 2 -hw 2 )

(7.5.13)

+!

d(G21-Gu))

Berechnet man [d, dn] und beachtet (7.5.8), so erhält man mit dn [d, dn]

=

V .Qa- U D.Qa

= -D[dU, .Qa]+[dV, !la]- U[d, D.Qa]+ V[d, !la], = -D[dU, .Qa]+[dV, .Qa]- U[D(e w2 - ew 2 ) +dD, .Qa]

(7.5.14)

Subtrahiert man davon (7.5.13) und setzt V= 1 , U [d, dn]

=

-[ew 2

=

2 , so folgt:

-ew2 , D2Da+,.Qa]

+ [h(o 2 -hw 2 +! d(G21 -G12),

-l!la+,a] -2[dD, .Qa].

Das ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion . Die charakteristische quadratische Form und damit der Typus stimmen mit denjenigen des Systems überein.

7.6 Integralrelationen im festen ()ebiet Bisher wurden aus dem System von Differentialgleichungen (7.0.1) Pfaffsche Formen und aus diesen Integralsätze abgeleitet, die von Lösungen U und V des Systems in der Umgebung jedes Punktes von @ oder bei den Integralsätzen für jedes in @ enthaltene Normalgebiet iJ und seinen Rand i5- gelten. Oft, insbesondere bei Systemen vom ellipti-

214

7. Normalformen und Typus eines linearen Systems

sehen Typus, ist ein festes Gebiet F in @ mit dem Rand T gegeben; gesucht werden Funktionen U und V, die in F Lösungen des Systems sind und auf T gewissen Randbedingungen genügen. Es wird darauf ankommen, die Lösungen U und V des Systems aus Integralbeziehungen über das feste Gebiet F zu kennzeichnen. Integriert man (7.3.21) über r, so folgt

Diese Gleichung gilt für jede Form Q E ~t in @. Daraus folgt leicht die Umkehrung

Satz: Ist die Gleichung (7 .6.1) über dem festen Gebiet r für jede Linearform Q E (f.0 (F) erfüllt, so sind U und V unter den Voraussetzungen (7.0.2), (7.1.7) und B ~ 0 Lösungen des linearen Systems {7.0.1). Dieser Satz bleibt auch dann gültig, wenn man Gleichung {7.6.1) nur für alle Q E ~t (F) verlangt. Zum Beweis ist nur zu zeigen, daß die Linearform (7.3.22), das ist der Faktor von Q im äußeren Produkt (7.6.1), in F identisch verschwindet. Beziehen wir die Formen auf dx, dy, so haben wir folgenden Sachverhalt: Ein Integral mit A(x, y), B(x, y) E Cf.0 (F)

Jj[A(x, y) dx + B (x, y) dy, Q] = r

verschwindet für jedes Q E (f.0 • Wählt man Q

ff A r

2

[dx, dy] = 0,

=

=0

das heißt A

0

A dy, so folgt m

F

und

analog für B. Also folgt aus (7.6.1) die Identität (7.3.22). Läßt man nur Formen Q E (f.t zur Konkurrenz zu, so kann man die stetige Funktion A(x, y) in F nach dem Satz von Weierstrass zu jedem s > 0 derart durch eine Funktion At(x, y) E (f.t (F) approximieren, daß IA- At!""" e in r erfüllt ist. Mit Q = At dy gilt dann

Jf A

2

r

[dx, dy] =

= also

JJr Ä

2

Jf A A r

[dx, dy] +

Jf A(A- A r

Jf A(A- At)[dx, dy], r

[dx, dy] """s

woraus schließlich A 2

1

JJ IAl [dx, dy] = et, r

=0 in r folgt.

1)

[dx, dy]

7. 7 Mehrgliedrige lineare Systeme

215

Setzen wir jetzt voraus Q E (P(F), dann folgt aus (7.6.1) durch formale Rechnung nach (7.5.3)

f

f /B UQ+ VQ- ff u{[d, /BQ] r

Q]} -JJ v {[d, Q]-[~(ew2 -ew2 ), Q]} [~ (h w2-hw2) + ~ dG 21 ~G 12 ,

-

(7.6.2)

ff ~[(tw2-lw2), r

=_

Q].

r

Die linke Seite ist ein linearer Operator für U und V und ein Differentialoperator für Q. Gleichung (7.6.2) entspricht der bilinearen Relation (2.5.3) einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Man kann nun versuchen, durch geeignete Wahl von Q Lösungen U und V der Gleichung (7.6.2) zu gewinnen. Sind diese Lösungen U, V E (P(F) und erfüllen sie (7.6.2) für jede beliebige Form Q, dann gilt (7.6.1), und das Funktionenpaar U, V ist Lösung des Systems.

7. 7 Mehrgliedrige lineare Systeme Bisher wurden nur zwei Gleichungen für zwei Funktionen u, v in zwei unabhängigen Variablen behandelt. Sind n Gleichungen für n Funktionen u 1 ••• un gegeben, (7.7.1)

oui oui . akr-a;;+bkif!Fij = ckiu'+/k = Lk;

j,k=1, ... ,n;

über j wird von 1 bis n summiert; so führt man genau wie in Abschnitt 7.1 n 2 Linearformen ein (7.7.2)

Wkj

= akjdy-bkjdX

und erhält das Pfaffsche System (7.7.3)

k

= 1, ... , n.

Multiplizieren wir die Gleichungen mit ).k, k = 1, ... , n, der Reihe nach und addieren, dann ergibt sich die Gleichung (7.7.4)

[dui, ).kwki]

=

).kLk[dx, dy].

In dem äußeren Produkt der linken Seite stehen die n Linearformen (7.7.5)

j = 1, ... , n.

216

7. Normalformen und Typus eines linearen Systems

Nun stellt sich wieder die Frage: Kann man die Funktionen .A,k so bestimmen, daß alle n Formen für die gleiche Richtung dy : dx verschwinden? Dann müssen die n homogenen Gleichungen .A.krokJ = 0

(7. 7.5a)

eine von Null verschiedene Lösung .A,k haben, das heißt die algebraische Determinante der rokJ muß Null sein (vergleiche (7.1.10)): (7.7.6) Das ist eine Gleichung n-ten Grades in dx, dy, die lediglich eine Verallgemeinerung der Gleichungen (7.1.9 und 10) darstellt. Dien Lösungen dx.: dy., die reell oder konjugiert komplex sein und mehrfach zusammenfallen können, bestimmen in jedem Punkt die charakteristischen Richtungen. Gleichung (7.7.6) ist die Differentialgleichung erster Ordnung n-ten Grades für die charakteristischen Kurven des linearen Systems (7.7.1). Zu jeder Lösung dx.: dy. = a., den Eigenwerten des homogenen Systems (7. 7.5a), gehört ein Eigenvektor .A.~. Die n Linearformen .A.~ rokJ verschwinden für die gleiche Richtung dx. : dy.; sie sind daher proportional zu ein und derselben Form !!. = -dx+a"dy. Es gibt also n Funktionen fl•li derart, daß (7.7.7) für beliebige dx, dy gilt. Durch Einsetzen in (7.7.4) folgt [p.udul, .Q.] = .A.~ Lk[dx, dy].

Führt man neue Funktionen

u. ein durch v =I, ... , n,

(7.7.8)

so erhält man die Normalform des Systems (7.7.9) Setzt man voraus, daß IIP•IJII ~ 0 ist und löst man schließlich (7.7.8) nach ui auf, so wird die rechte Seite von (7. 7.9) ein Ausdruck 2 in U 1 ••• U,. und man kann (7.7.9) schreiben als (7.7.10)

[dU., .Q.] = 2.[dx, dy].

Sind alle Eigenwerte a. und Eigenvektoren .A.: reell und verschieden voneinander, so heißt das System total hyperbolisch. Für n > 2 ist keine quadratische Form ausgezeichnet. Wir ordnen jeder Form .Q. die euklidisch orthogonale D. zu: .Q. = a.dy-dx,

!J. = a.dx+dy,

7. 7 Mehrgliedrige lineare Systeme

217

dann gilt (7.7.11) und aus (7. 7.l 0) folgt die Normalform des total hyperbolischen Systems

1

(7. 7.12)

U,l;s. = l+a;B(U,),

v

= l,

... , n.

Man spricht auch von einem hyperbolischen System, wenn alle a, reell, aber nicht notwendig verschieden sind, aber n linear unabhängige Eigenvektoren A.~ existieren. Die Gleichungen (7. 7.12) bestimmen die Ableitungen der U, in Richtung einer zugehörigen Charakteristik. Wenn ein Eigenwert komplex ist, so existiert wegen der reellen Koeffizienten in (7. 7.I) auch ein konjugiert komplexer Eigenwert. Es gibt somit zwei konjugiert komplexe Formen, die sich schreiben lassen als (7.7.13) Ihr algebraisches Produkt bestimmt die definite quadratische Form (7. 7.14) Die durch (7.7.8) erklärten Funktionen werden konjugiert komplex; wir ändern die Bezeichnung durch

u.r---.. U.+i V., B. r---.. B. + i

B. '

u.r---.. U,-i V.; B. r---.. B.- i B•.

Dann erhält die v-te Gleichung in (7.7.10) die Gestalt

[d( U.+ i V,), (a.+ i

a.) dy-dx] = (B.-H B.) [dx, dy].

Hier müssen Real- und Imaginärteil verschwinden:

[dU., a,dy-dx] -[dV., a.dy] = B.[dx, dy], [dV,, a,dy-dx]+[dU,, a,dy]

= B.[dx, dy].

Wir addieren und subtrahieren beide Gleichungen und setzen

u.+ v. = w., u.- v. = z.,

dannfolgt (7.7.15)

[dW•. a.dy-dx]+[dZ., a,dy] = (B.+B.) [dx, dy], [dZ., a.dy-dx]-[dW., a,dy] = (2.-B,} [dx. dy].

Die Formen

a.dy-dx

und

a.dy

2I8

7. Normalformen und Typus eines linearen Systems

sind konjugiert bezüglich der quadratischen Form (7.7.14) 0 • Bezeichnen wir die Pfaffschen Ableitungen einer Funktion in bezug auf diese Formen durch

und beachten das äußere Produkt [a9dy-dx, a.dy] = -a.[dx, dy],

so ergibt sich aus (7.7.I5) das System partieller Differentialgleichungen in Pfaffschen Ableitungen: W•lll-Z•lß

(7.7.I6)

I ( = -z2.+2.), a.

W. p+Z. p = _;_(2.-fl.). a. 1

1

Die linken Seiten entsprechen der Normalform (Abschnitt 7.4) eines elliptischen Systems. Es bereitet keine Schwierigkeiten, aus (7.7.I5) eine Formel der Art (7.3.2I) herzuleiten. Ein lineares System von n Differentialgleichungen (7. 7.I) mit n verschiedenen Eigenwerten läßt sich stets auf eine Normalform bringen derart, daß den reellen Eigenwerten Gleichungen der Form (7.7.I2), den paarweise konjugierten Eigenwerten Gleichungspaare der Form (7. 7.I6) zugeordnet sind. Mit diesem kurzen Überblick, der alle Sonderfälle unberücksichtigt läßt, wollen wir uns hier begnügen. Total hyperbolische Systeme wurden von G. Hellwig [50], [50a] u.a. [23], [109] untersucht. Kürzlich hat C. Vidic [130] Existenzsätze für Randwertaufgaben zusammengesetzter Systeme mit einer reellen und zwei konjugiert komplexen Charakteristiken behandelt.

ll Lautet eine quadratische Form ww+ w w, so sind bezüglich dieser quadratischen Form die Formenwundwimmer gemäß (7.1.9) und (7.3.1 u. 2) zueinander konjugiert.

219

8. Hyperbolische Systeme

Zum Studium eines hyperbolischen Systems können wir von der Normalform ausgehen. Nach Abschnitt 7.2 bedeutet das: Gegeben sind zwei lineare Formen (8.0.1) mit (8.0.2) die als charakteristische Formen des Systems gedeutet werden. Gegeben sind ferner in Pfaffschen Ableitungen bezüglich ruh ru2 mit d(/J

= W""ru 1 +Wiiru2

zwei Differentialgleichu ngen für die Funktionen U, V (8.0.3) U"" =AU +BV +0, (8.0.4) Vii =AU +BV +0 mit A, B, .. . , 0 E ~0 (®). (Siehe (7.2.7)) Die Charakteristiken bilden in® ein Kurvennetz. Ist etwa f = {x(Ä.), y(Ä.) E ~1} eine Kurve in ®, die nirgends von einer Charakteristik berührt wird: (Ollt-~ 0, (021t ~ 0, so ergibt sich die in Abb. 8.0.1 veranschaulichte Konfiguration.

xz

Abb. 8.0.1 1 > In

Abschnitt 7.2

D1

und D 11•

220

8. Hyperbolische Systeme

Das von einem Stück ~ 1 ~ 2 von f und den Charakteristiken ~ 1 ~ und begrenzte Gebiet heißt das Einflußgebiet des Abschnittes ~ 1 ~2 von f. Längs einer Charakteristik w2 = 0 ist t 1 = w1 der Parameter, nach dem bei der Pfaffschen Ableitung Ua. differenziert wird. Man kann zum Beispiel roh w2 so normieren, daß t 1 beziehungsweise t 2 die Bogenlängen der Charakteristiken werden. Entsprechend ist längs w 1 = 0 t 2 = w 2 • Integriert man (8.0.3) längs ~ 1 ~(w 2 = 0) und (8.0.4) längs ~ 2 ~(w 1 = 0}, so folgt ~2 ~

J

f

(8.0.3a)

U(~)

=

(u, v) und auf der Charakteristik ~ etwa u + 0"11 v vorgegeben, derart, daß

I~u ~:I ~ 0

auf t. Statt der Vorgabe längs der Charakteristik ~ kann man u, v längs der beliebigen Anfangskurve f durch ~h vorgeben und C/>(u, v) längs t wie oben. Hierin ist auch der in der Strömungslehre wichtige Fall enthalten, daß das Verhältnis der Geschwindigkeitskomponenten auf einer Randkurve vorgegeben ist. Es würde zu weit führen, auf alle Fallunterscheidungen einzugehen.

8. 7 Verallgemeinerung der Riemannschen Methode im Abschnitt 7.5 wurde jedem System (7.0.1) ein adjungiertes System zugeordnet. Die Gleichungen (7.5.8) nannten wir die adjungierten Pfaffschen Gleichungen. Dort war Q eine beliebige nicht charakteristische Linearform, D die konjugierte Form. Wenn ein hyperbolisches System in der Normalform (8.0.3 und 4) vorliegt, bereitet es keine Mühe, das adjungierte System von neuem aufzustellen. Es seien W(x, y), Z (x, y) E ~1 (@) zwei beliebige Funktionen und U, V ein Lösungspaar von (8.0.3 und 4); dann ist nach dem Satz von Gauß für ein Normalgebiet r c Das Verfahren ist analog zu demjenigen von Abschnitt 8.2. Auf die Durchführung des Existenzbeweises wollen wir hier verzichten.

tl W. Walter untersucht in [131] solche Integralgleichungen unter schwächeren Voraussetzungen über F, F.

8.9 Systeme quasilinearer Differentialgleichungen

245

b) Linearisierbare homogene Systeme In (8.9.1) seien f = f = 0, a 1 , a 2 , ••• , b1 , b2 Funktionen von u, v und einmal stetig differenzierbar. Dann kann man nach (7.1.1 und 2) das System durch die Pfaffschen Formen zweiten Grades ersetzen: (8.9.2)

[du, a1 dy-a 2 dx]+[dv, b1 dy-b 2 dx] = 0, [du, a 1 dy-a 2 dx]+[dv, b1 dy-b 2 dx] = 0.

Durch einfaches Umordnen der äußeren Produkte ergibt sich (8.9.3)

[dy, (-a 1 du-b 1 dv)]+[dx, (a 2 du+b 2 dv)] = 0, [dy, (-a 1 du-b 1 dv)]+[dx, (a 2 du+b 2 dv)] =

o.

Da die Koeffizienten al, •.. , b2 nur von u, v abhängen, stellt (8.9.3) ein lineares System für zwei Funktionen x(u, v), y(u, v) der unabhängigen Variablen u, v dar. Das quasilineare System wird daher durch Vertauschen der unabhängigen mit den abhängigen Variablen zu einem linearen System. In der u, v-Ebene bilden die Charakteristiken ein festes Kurvennetz. Die Lösbarkeit des Cauchysohen Anfangswertproblems sowie von Anfangsrandwertaufgaben in der u, v-Ebene ist damit sichergestellt. Bei den in den Anwendungen auftretenden Aufgaben sind die Anfangs- beziehungsweise Randbedingungen aber in der x, y-Ebime gegeben. Ihre Übertragung in die u, v-Ebene führt nicht zu den entsprechenden Aufgaben. Beginnen wir mit dem Cauchy-Problem: Längs einer Kurve ~ der x, y-Ebene seien u(s), v(s) gegeben. Dann sind längs~ die Koeffizienten a 1 , •.• , b2 bekannt. u(s), v(s) seien so gewählt, daß das System (8.9.2) hyperbolisch ist längs ~· Damit kennt man längs ~ die Richtungen der Charakteristiken. Ein Cauchy-Problem in der x, y-Ebene liegt nur dann vor, wenn ~in keinem Punkt von einer Charakteristik berührt wird. In der u, v-Ebene kann u(s), v(s) als Anfangskurve ~gedeutet werden, wenn ü 2 + v2 > 0 ist und ~ keine charakteristische Tangente hat. Dann entspricht dem Cauchy-Problem der x, y-Ebene ein Cauchy-Problem der u, v-Ebene. In der Gasdynamik ist oft längs ~ u(s) = konst., v(s) = konst., so daß~ in einen Punkt entartet. Bei Anfangsrandwertaufgaben, wenn etwa längs einer Randkurve t(x(t), y(t)) das Verhältnis u : v gegeben ist, ist in der u, v-Ebene keine Randkurve erklärt. Daher kann man die Linearität des Systems (8.9.3) in der u, v-Ebene nur teilweise ausnutzen (siehe auch [40], [40a], [13]).

246

8. Hyperbolische Systeme

c) Allgemeine quasilineare Systeme Es sei eine Anfangskurve x(s), y(s), u(s), v(s) E ~ 1 im vierdimensionalen (x, y, u, v)-Raum mit x2 + y2 > 0 derart gegeben, dai3 die Diskriminante D(x(s), y(s), u(s), v(s)) < 0 ist. Dann gibt es ein streifenförmiges Gebiet ® längs der Kurve des R 4 , in dem D < 0 und daher das System hyperbolisch ist. Die Anfangswertex(s), y(s), u(s), v(s)seien so gewählt, daß die Kurve~= {(x(s), y(s))} der x, y-Ebene keine charakteristische Tangente besitzt. In ® gelten die Ausführungen des Abschnittes 7.1 und des Anfanges von 7.2. Es gibt zwei unabhängige Pfaffsche Formen (8.9.4) die die Charakteristiken bestimmen. Nach (7.2.2 u. 3) und unter Beachtung der rechten Seiten von (8.9.1) gelten für sie die Beziehungen (8.9.4a) [du+a 1 dv, Q 1] = f[dx, dy],

[du+a 11 dv, Q 11] = i[dx, dy].

In dem durch® bestimmten Gebiet g der x, y-Ebene bilden bei bekannten Funktionen u, v die Charakteristiken ein Kurvennetz, das durch Parameter ~ = konst., 'f) = konst. dargestellt werde. Dann wird Q 1 = rl d~, QII = en drJ. Setzt man in (8.9.4) für J.I, p,I, ;.u, p,n, co2, 6)2 die Ausdrücke aus Abschnitt 7.1 ein, so lassen sich (8.9.4) in der Form schreiben (8.9.5).

QI

=

e 1 d~

= rx1dx+rx2dy,

QII = elld'f) = ~1dx+~2dy.

Wir nehmen an, daß sich x, y, u, v als differenzierbare Funktionen von ~. 'f) darstellen lassen. Um die Rechnungen abzukürzen, wählen wir die freien Normierungsfaktoren von Q 1 und Q 11 vorübergehend so, daß rx 2 = ~ 2 = 1 sind. Zur Bestimmung der Funktionen x(~, rJ), y(;, 'f)) ergeben (8.9.5) zwei partielle Differentialgleichungen. Es ist nämlich dx

=

x~d~+x'ld'f),

dy

=

y~d~+y'ld'f).

Durch Einsetzen in (8.9.5) ergibt sich die erste Gleichung längs Q 1 = 0 (8.9.6) Die zweite Gleichung folgt längs QII = 0. Nach (8.9.5) wird (8.9.6a) Dann folgt sofort für (8.9.4a) u'1+a 1 v'1+f

eu !Xt- !Xt

=

0,

247

8.9 Systeme quasilinearer Differentialgleichungen

Löst man (8.9.5) nach dx auf, so wird dx

1

= - - - (rl d~- e11 drJ) IX!- IX!

also (8.9.6b) und nach Einsetzen in die letzten Gleichungen (8.9.7)

III.) u'l+a1 v'l-fx'l

= 0,

IV.) u +V drJ>) = fJ U[d, dnrJ>]- ~ [dy, drJ>] + B[dx, drJ>],

(9.1.2)

}

r

f (U dP- V dnP) = fJ- V[d, dnP]+~[dx, dP] + B[dy, dP].

r

r

Dabei sind die Differentialoperatoren jetzt erklärt durch

(9.1.3)

drJ>

= rl>x dx +rl>y dy,

dnrl>

= rl>x dy -r!>y dx,

[d, dnrl>] = (rl>x:x+rl>yy)[dx, dy] = LlrJ>[dx, dy].

9.2 Greensehe Funktionen und Integraldarstellungen In Abschnitt 4.2 ff. hatten wir mit Hilfe der Greensehen Funktionen aus dem Greensehen Integralsatz Darstellungsformeln für die Lösungen der Laplaceschen Differentialgleichung LlrJ> = 0 gewonnen. Ebenso werden wir hier versuchen, mit geeigneten Singularitätenfunktionen rJ> und P in (9.1.2) Darstellungsformeln für Lösungen U, V von (9.1.1) zu finden, aus denen eventuell die Existenz gewisser Lösungen des elliptischen Systems und deren Vielfalt geschlossen werden kann.

252

U. Die erste Randwertaufgabe eines elliptischen Systems

Dazu sei

G1 (x, y;

1

1

= -2 ln V

~. r])

n

(x-~)2+

(y- 'r/)2

+Z 1 (x, y;

~. r])

die uns bereits aus Abschnitt 4.3 bekannte Greensehe Funktion erster Art des Gebietes @. Sie erfüllt die Differentialgleichung

=0

[d, dnG 1]

für

(x, y)

~ (~,

r])

und hat die Randwerte

G1 (x, y;

~. 'r/)1

. = 0,

(~, 'r/) E @.

(x, y) E@

Wir wählen nun(/) = G1 und müssen um den Punkt (~, 'r/) einen Kreis ~vom Radius e > 0 bei Verwendung der Formel (9.1.2) ausnehmen und für r das Gebiet ®\~wählen. Wie in Abschnitt 4.2 erhält man dann nach dem Grenzübergange- 0 die Gleichung

U(~, 'r/) = Jf[-2dy+Bdx,dG 1]-fUdnG1 • @

@

Wie oben erhält man mit einer Greensehen Funktion zweiter Art lJI (Siehe Abschnitt 4. 7) eine Darstellungsformel für V:

V(~,

r]) = - ff[2dx+Bdy, dG 11 ]+f UdG 11 +f @

@

= G11

V(sf:~~ds.

@

@

Besitzt das elliptische System (9.1.1) ein Lösungspaar U, V E CP(®) n lt0 (®), so genügt dieses den Integralgleichungen

U(~, 'r/) = (9.2.1)

Jf [ -2 dy+B dx, dG

1] -

@

f U dnG•,

@

f

V(~, 'r/) = - ff[2dx+Bdy, dG 11 ]+f UdG 11 + f;ds @

@

n

@

Vads.

@

Mit der von Hilberteingeführten Greensehen Funktion zweiter Art (}.u, die die Eigenschaften

G11

=-

[d, dnli 11 ] =

1

2n

In

1

-

V(x-~)2+(y-'r})2

+Z11 (x, y;

1 f f -r2[dx, -r 2[dx, dy], dy] @

an?Jnl Die Vektorscharus+ivsl@ hatdie Charakteristik Null, weilsie auf® nicht verschwindet und dort auf der Randschar .)J der Charakteristik Null senkrecht steht. Die eben beschriebene Lösungsmethode ist an den Fall der Charakteristik Null gebunden, denn die Randschar p, q kann für eine Charakteristik n ~ 0 nicht mehr zu einem stetigen und nullstellenfreien Vektorfeld in @ fortgesetzt werden. Das zeigt der folgende topalogische Satz:

Satz: Ist die Charakteristik einer Randschar n ~ 0, so gibt es kein in @ eindeutiges stetiges Vektorfeld .)J ohne N ullstellen, IV I ~ 0, das auf @ in diese Randschar übergeht. Man findet diesen Satz in [1], Bd. 1, S. 467 u. 470. Wirskizzieren einen indirekten Beweis für ein stetig differenzierbares Feld und nehmen an, es gäbe ein in ® stetig differenzierbares, nullstellenfreies eindeutiges Vektorfeld .)J, das auf dem stetig gekrümmten Rand@ in die Rand~ schar .)J = {p, q} der Charakteristik n ~ 0 übergeht. Dann ist in jedem Punkt (x, y) E @auch arg .)J (mod 2 n) eindeutig und differenzierbar. Es sei nun 5 E @ein beliebiger Punkt und f. eine Schar doppelpunktfreier, glatter geschlossener Kurven, die sich von ® = ft für s ...... 0 stetig auf den Punkt 5 = fo zusammenziehen. Da @ einfach zusammenhängend ist, exitiert eine solche Schar. Die Charakteristik von.)) längs einer Kurve I) Auch hier dürfen die Koeffizienten von (10.0.1) wie in Hauptsatz 1 Abs. 9.4 endlich viele beschränkte Unstetigkeiten besitzen. Außerdem können die Voraussetzungen an p, q, zu p, q E G!:"' abgeschwächt werden. (Aufgabe Abs. 10.3).

10.3 Die Einführung der komplexen Schreibweise

267

f. ist nach (IO.l.I} Le

f ds.d (arg tJ) ds•.

f(s) = 2I:n:

Se=O

Wegen der Stetigkeit von _!___ (arg tJ) ist f (s) eine stetige Funktion des ds. Parameters s der Kurvenschar f•. Da aber die Charakteristik nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist f(s) =/(I)= n

für alles und deshalb lim f(s) E-+

0

= n.

Da für s ..... 0 sich die Kurven f. auf den Punkt 5- zusammenziehen, bedeutet n ~ 0 einen Widerspruch gegen die Annahme, daß arg tJ im Punkt 5- eindeutig und tJ in ® differenzierbar ist. I0.3 Die Einführung isotroper Parameter und der komplexen Schreibweise Zur Vereinfachung werden in Übereinstimmung mit neueren Lehrbüchern (zum Beispiel L. Bers [4] und I. N. Vekua [129]) komplexe Funktionen in Abhängigkeit von zwei isotropen Parametern

z=x+iy,

z=x-iy

eingeführt. Für das gegenüber Koordinatentransformationen invariante vollständige Differential einer Funktion

)z (z, ~)-(Reit> )z (z, ~)) +((Relt>)z(z,

~)-(Relt>)z(z, ~))· Z-Zo z-zo}

in z0 existiert und von der Annäherungsrichtung z - z0 unabhängig ist. Folglich gilt in (z0 , Zo)

• l(zo+ L1) IIm ,. =

~-o

~

(lx+ily)i

Ix

. = 1Im

l(zo+i L1) . ,.

~-o

(zo. zo}

=

~~

ol OZ

I (zo. :Zo)

= -

y,

= 0.

Die oben konstruierte Hölder-stetige Funktion überall in ®\h die Differentialgleichung

ol = oz

•1

~

I

erfüllt demnach

o.

Die nochmalige Anwendung des Satzes von Riemann sichert uns dann

ol = oz

o auch

in den Punkten h

n ®,

so daß l(z) also in ®von z allein

regulär analytisch abhängt. Aus (10.6.2) und dem Satz folgt unter anderem, daß die Nullstellen von 11:> in ® isoliert sind1>. u Ein weiterer Beweis mit Hilfe einer Integraldarstellung von IV findet sich bei I. N. Vekua [128] § 10.9. Der Beweis von (10.6.2) ka-'ln auch allein aus der Isoliertheit der Nullstellen von IV, die T. Carleman bewies, erbracht werden, indem man die Existenz- und Eindeutigkeitssätze der nächsten Abschnitte für homogene Randwertaufgaben und hinlänglich kleine Gebiete verwendet.

276

11.

Randwertaufgaben höherer Charakteristik

11.1 Die Randwertaufgaben negativer Charakteristik Wir wollen hier die allgemeine Löflung tu des Problems

atu ai =~tu+ ~w.

(11.1.1)

Re (y tu) I® = mit der Randschar

qJ ( s)

y = rx(s)-iß(s), I'YI

f~

~

0, negativer Charakteristik

L

= ___!_ 2n

- n

ds

~) ß ds
e""

e2iarg(z-z·>.

besitzt demnach in denn Nullstellen von I beschränkte Unstetigkeiten. Trotzdem können wir die Überlegungen aus 10.2. und Hauptsatz 2 auf diesen Fall anwenden, denn nach Hauptsatz 1 in 9.4 existiert eine in ® Hölder-stetige nullstellenfreie Lösung der "ersten Randwertaufgabe" und damit auch von (11.1.3), falls die Koeffizienten von (11.1.3) beschränkte Unstetigkeiten besitzen. Aufdiese weitere Fassung des Hauptsatzes 1 hatten wir in 9.4 ausdrücklich hingewiesen (vgl. auch Abschnitt 11.5). Diese homogene Lösung von (11.1.3) nennen wir Wh· Die auf diese Weise gewonnene Funktion ltJh

=

/(z) Wh

erfüllt dann wegen der Stetigkeit von ltJh überall in ® Differentialgleichung (11.1.1). Wir können diese Ergebnisse zusammenfassen in dem

Satz: Das homogene Randwertproblem der negativen Charakteristik (- n)


A(z,

z),

wobei f(z) ganze rationale Funktion von z allein mit n beliebig wählbaren Nullstellen z. = x.+iy. E @, v = 1, ..• , n ist. ). ist eine ebenfalls beliebig wählbare reelle Konstante. Die Lösung enthält demnach 2 n + 1 frei wählbare reelle Konstanten ). ; x 1 , y 1 , •.. , Xn, Yn· Aus dem Satz können wir sofort noch zwei wichtige Schlußfolgerungen ziehen:

278

ll. Randwertaufgaben höherer Charakteristik

1) Besitzen zwei stetige Lösungen tu 1 und tu 2 des gleichen homogenen Randwertproblems der Charakteristik ( -n) < 0 die gleichen Nullstellen z1 , ••• , Zm so gibt es zwei reelle Zahlen x 1 und x2 , so daß Xt

tu1 =:

X2

tu2

in @ erfüllt ist. 2) Eine stetige Lösung tu des homogenen Randwertproblems der Charakteristik ( -n) < 0 mit n+ 1 verschiedenen Nullstellen in ®, von denen n in@ liegen, muß in@ identisch verschwinden. Zur Lösung der inhomogenen Randwertaufgabe mit cp ~ 0 werden wir ebenfalls mit (11.1.2) eine neue gesuchte Funktion iO einführen. Jetzt muß iO Lösung der Differentialgleichung (11.1.3) mit der inhomogenen Randbedingung der Charakteristik Null Re (l) Wp) /& = cp (s) sein, die wir nach 10.2 auf die entsprechende inhomogene "erste Randwertaufgabe" zurückführen können. Mit der oben eingeführten Funktion Wh zu f(z) und zum homogenen Problem erhalten wir jetzt für die allgemeine Lösung tu die Darstellung tu = f(z) {Ä eiD,.(z, z) + Ulp},l> die ebenfalls die 2 n + 1 frei wählbaren reellen Konstanten Ä; x 1, y 1 , x,., y,. enthält und die gleichen Nullstellen wie f(z) besitzt.

..• ,

11.2* Die Lösungsgesamtheit der homogenen Randwertaufgabe negativer Charakteristik Mit zwei verschiedenen Lösungen tu 1 und tu 2 des homogenen Problems negativer Charakteristik, (11.2.1)

_ otu oz = \}.{tu+~tu,

f

Re(ytu)i&

= 0,

L

Ir!> 0,

21n

d (argy)ds = -n< 0 ds

&=0

ist auch jede Linearkombination tu =

Ät

tul + Ä.2 tu2

mit reellen Linearfaktoren Lösung von (11.2.1). Die allgemeine Lösung von (11.2.1) enthält nach dem Satz in 11.1 (2n+ 1) frei wählbare reelle

.

11 Dabei gehören zu verschiedenen gewählten Nullstellenverteilungen von allgemeinen auch verschiedene Funktionen ffir. und Wp·

f im

11.2 Die Lösungsgesamtheit negativer Charakteristik

279

Konstanten. Man kann deshalb vermuten, daß es (2n+ 1) linearunabhängige Lösungen von (11.2.1) gibt. r Lösungen lt11, .•• , tu, von (11.2.1) heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung

L Aj IVj =0 j=l r

für alle (z, z) E @

mit reellen Linearfaktoren A.1 deren Verschwinden nach sich zieht: j = 1, ... , r.

Wir nehmen zunächst einmal an, daß uns bereits (2n+ 1) linear unabhängige Lösungen IÜ0 , ••• , IÜ2n von (11.2.1) bekannt sind. Kein Paar dieser Funktionen kann die gleichen Nullstellen haben, da bei Vorgabe der Nullstellen nur noch eine Konstante nach Abschnitt 11.1 verfügbar ist. Aber man kann versuchen, wenigstens eine gewisse Übereinstimmung der Nullstellen durch Linearkombinationen der zu erzwingen. Dazu wählen wir zunächst n verschiedene Punkte z1 E @, die dann in den folgenden Überlegungen nicht mehr verändert werden. Sodann verlangen wir von der Linearkombination

w.

(11.2.2)

IUo =

2n ~

L.-

•=1

2n 'A.(0) tu. =

""

L.-

•=1

- ) 'A.(0) ( U. + ~• V. ,

daß sie in den vorgegebenen Punkten Nullstellen besitzt:

ltu 0 (z;, Z;) = 0,

i=1, ... , n.

Das bedeutet für die 2 n + 1 reellen Koeffizienten ').~0> die 2 n linearen Gleichungen

2n

~

L.-

•=O

'A.(0)

-

-

V.(Zj. ZJ) = 0,

j = 1, .. . ,n.

Sie besitzen mindestens eine Lösung 'A~0>, tbei der nicht alle Koeff"lzienten ').~0> verschwinden. Deshalb können wir nach eventueller U mnumerierung der Funktionen immer die Bedingung

w.

').~0) ~ 0

erreichen. Die Funktionen sind dann linear unabhängig, denn ihre lineare Abhängigkeit würde wegen (11.2.2) die lineare Abhängigkeit von füo, fü 1 , ••• , tV 2 n nach sich ziehen. Zu einer festen natürlichen Zahl k, 1 ..,;; k ..,;; n wollen wir

280

ll. Randwertaufgaben höherer Charakteristik

nun solche Linearkombinationen von tih, ... , ii) 2 ,., 2n

tu2k =

(11.2.3) IUzk-1

=

L

•= 1

A~Zk) tü.

2n ,(2k-1)tu. ,t.., A•

~

•=1

und A.~zk-l) auswählen, die (n-1) mit reellen Linearfaktoren gemeinsame Nullstellen z1 ~ zk besitzen. Eine nicht triviale Linearkombination mit Nullstellen in allen z1 , ••• , z,., also auch in Zk, gibt es ja nicht, denn ihre Existenz würde mit Hilfe von Bemerkung 1 in 11.1 auf die lineare Abhängigkeit von tu 0 , 1Ü1> ••• , ffiz,. führen. Wenn tuzk und tuzk- 1 in Zk nicht Null sein können, werden wir dort wenigstens spezielle Funktionswerte zu erreichen versuchen. Verlangen wir tu 2k(zk, zk) = 1, so ergeben sich die 2n linearen Gleichungen A.~2 k>

(11.2.4)

für die 2 n reellen unbekannten Linearfaktoren A.~2k>. Zur Untersuchung der Koeffizientendeterminante dieses linearen Gleichungssystems beachten wirdie lineare Unabhängigkeit von tu 0 , tü 1, ... , 1Üz,.. Die Gleichung 2k

L "• tü. = •=1

"o tuo

mit reellen Linearfaktoren "• zieht sofort das Verschwinden von allen "• nach sich. Es gibt deshalb keine reellen Zahlen "• mit daß etwa die Beziehung

2n

L (".) 2 >

•=1

0, so

2n

L "·W.(Zj, Zj) = •=1

0,

j = 1, .. . ,n

bestehen könnte. Also ist die Koeffizientendeterminante des oben betrachteten Gleichungssystems (11.2.4) nicht Null. Das lineare Gleichungssystem (11.2.4) besitzt demnach genau eine Lösung A.~2 k>, mit welcherdie Funktion tuzk nach (11.2.3) und (11.2.4) die Eigenschaft i = 1, .. . ,n, ltJzk(ZJo ZJ) = ÖJk• besitzt und Lösung von (11.2.1) ist.

11.2 Die Lösungsgesamtheit negativer Charakteristik

281

Auf die gleiche Weise bestimmen wir uns die reellen Linearfaktoren als Lösung von

.1.~2 k- 1)

2n ""

~

•=1

1(2k-1) Arf

u- v (Zj, Zj-) = 0 ,

~(2k-1)

v- .(zJ, z,) _

2n ""

~ •=1

At


hl2k-I(ZJ>

ZJ)

= 0, = OJk.

j, k = 1, ... , n

Z,) = i·Ojk.

erfüllt werden. Diese (2 n+ 1) Funktionen bilden eine Basis des (2 n+ 1) dimensionalen Funktionenraumes der Lösungen der Randwertaufgabe (11.2.1) 1>. Zum Beweis bestimmen wir zunächst nach Abschnitt 11.1 die nicht triviale Lösung ttJ 0 von (11.2.1) mit den vorgeschriebenen Nullstellen ZJ> j = 1, ... , n.

Alsdann wird einer der vorgegebenen Punkte Zk für die folgenden Überlegungen fest gewählt. Zu zk kann man mit den verbliebenen Punkten z1 die regulär analytische Funktion von z allein f(z)

=

rr II

(Z-Zj)

jr Dieser Satz entspricht Satz 4.13 bei I. N. Vekua [129] S. 233, wo er für einen allgemeinen Fall etwas anders bewiesen wird. Ein ähnlicher Satz findet sich bei J. Jaenicke [60] S. 49 für allgemeinere Charakteristik.

11.2 Die Lösungsgesamtheit negativer Charakteristik

283

Dazu lösen wir zunächst die beiden homogenen ersten Randwertaufgaben zu (I1.2.5) Rebal@ = 0, ImtJbldl = 0. Für diese beiden Lösungen kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit nach I0.2 ( Il.2.6)

Im ba I@

>

0

und entsprechend

Re ))b I@

>

0

voraussetzen. Mit ba und ))b bestimmen wir nun nach Il.I die Lösungen bcx und bß mit einer Nullstelle in Zk, bcx(Zk> Zk) = 0,

bß(Zk, Zk) = 0

und den inhomogenen Randvorgaben Re(y/bcx)l@ = -Re(y/ba)l@'

Re(yfbß)l@ = -Re(y/tJb)j@·

Mit sind die beiden Funktionen iü1=/(z)IJ1,

tU2=/(z)tJ2

Lösungen des homogenen Randwertproblems (Il.2.I) mit den Eigenschaften fü1 (z,, Zj) = 0,

fü2 (Zj> ZJ) = 0

für

j ~ k,

j =I, ... , n.

Im Punkte Zk gilt iü1(zk, zk) = f(zk)·ba(zk, Zk) W2(zk, zk)

=

~ 0,

f(zk)·bb(zk, zk) ~ 0,

denn dort sind ba und ))b als Lösungen von ersten Randwertaufgaben nach Hauptsatz I nicht Null und f(zk) ~ 0 nach Konstruktion. Des weiteren gilt dort (Il.2.7)

Refüi(zk, zk)·Imfü2(zk, Zk)-Imfül(Zb zk)·Refü2(zb zk) ~ 0.

Für jede reelle Konstante A. ist nämlich )) = ba + A))b eine Lösung der homogenen Randwertaufgabe

az = -mtJ + (1 T ~)-w,

8))

Re (i) tJ) j 0 = 0 mit nicht verschwindender Randschar

284

11. Randwertaufgaben höherer Charakteristik

der Charakteristik Null, wie aus (11.2.6) folgt. Folglich besitzt b in @keine Nullstelle und es gibt keine reelle Zahl A., mit der f(zk) (ba(Zk. Zk) + ).•bb(Zk, Zk))

=

0

erfüllt sein könnte. Deshalb ist Wt(Zk, zk) W2 (zk. zk)

= I/ (zk) 12 ba (zk,

zk) Üb (zk. zk)

nicht reell, woraus Bedingung (11.2. 7) folgt. Die Bedingung (11.2.7) stellt sicher, daß die linearen Gleichungssysteme tü2(zk, zk)) = 1, + /\2 ,(2k) w- 2 (Zk, Zk - )) = 0 ; Re (A.~2 k-l) f01 (zk, zk) + A~2 k-l) W2 (zk, zk)) = 0, Im (A.~2 k-l) fVt(zk, zk) + Ä~2 k-l) fb2 (zk, zk)) = 1

Re(A.~k>

Wt(Zk, zk)+Ä~k>

Im ( /\,(12k)

- ( _ ) ttJ1 Zk, Zk

eindeutig bestimmte reelle Lösungen ).~2 k>, ).~k> und A.~2 k- 1>, ).~2 k- 1> besitzen. Mit diesen reellen Zahlen sind dann die Funktionen ttJ2 k

:

= Ä~2 k)

+ A~2 k) fb2' ,(2k-1) ttJ- + ,(2k-1) ttJ/\1 1 /\2 2

ttJ 2 k-1 .. --

fb1

Lösungen des homogenen Randwertproblems (11.2.1) mit den Eigenschaften ttl2k (zi> ZJ) = (jl k. ttJ2 k- I(zb ZJ) = i (jl k. Die oben beschriebene Konstrulition kann für jede Zahl k = 1, ... , n durchgeführt werden, so daß wir damit Satz 2 bewiesen haben.

11.3 Die Lösungen der Randwertaufgaben positiver Charakteristik mit Polstellen' Wir wollen versuchen, die Lösungen des homogenen Randwertproblems positiver Charakteristik

(11.3.1)

aw

az

-

_

= mw + )8 w,

f

Re

(lJ w)

J

dl =

o

L

n = 12 :n:

d (arg.p) - ds > 0, -d 8

llJI

=P

o,

s=O

auf ähnlich einfache Weise darzustellen, wie in 11.1 bei negativer Charakteristik. Dazu betrachten wir die komplexe Funktion 1 n 1 g(z)

=/(z) =I\

(z-z;)

11.3 Lösungen positiver Charakteristik mit Polstellen

=

von z allein mit n Polstellen z1 E @, i Charakteristik - n, denn wegen g(z)

=

g(z) _ _ f(z) f(z) = f(z)

285

1, ••. , n. Sie hat auf@ die

I\ n

1 \z-zd2

stimmt g(z) auf@ mit f(z) bis auf einen positiven Faktor überein und f(z) hat, wie wir in Abschnitt 10.1. in Beispiel 6 gesehen haben, die Charakteristik - n. Für die durch tu= g(z) tU

definierte neue gesuchte Funktion tU erhält man dann das homogene Randwertproblem

~~ = mw+(:i:~ ~)ttJ,

(11.3.2)

Re (qJ" g) IU)j@

=0

der Charakteristik Null,

f! L

1 2n

(arg"V+arggj@)ds

= +n-n = 0.

Koeffizient~

~wieder

s=O

Dabei besitzt der neue

= {j g

beschränkte Singu-

laritäten in den Polstellen z1 analog zum entsprechenden Koeffizienten in 11.1. Wie dort schließen wir: Es existiert eine in @ Hölder-stetige nullstellenfreie Lösung (A

von (11.3.2), und tu(z, z)

=

~

0}

Ag(z)ew..

ist eine Lösung der homogenen Randwertaufgabe (11.3.1) positiver Charakteristik n mit n Polstellen z1 E @.

n

Satz 1: Die homogene Randwertaufgabe (11.3.1) positiver Charakteristik 0 hat eine Lösung der Form

>

tu (z, z)

= ). (

11n ·z_1 z,(·) ) etD-'-

i=l

mit n frei wählbaren Polst'!llen z1 E @, i = 1, ••• , n. Jede der bisher besprochenen nichttrivialen Lösungen homogeppr Rand wertaufgaben ganzzahliger Charakteristik n, (in 11.1 w '11" n negativ, in 10.2 Null und in dieRm Abschnitt positiv) besitzt auf dem

286

11. Randwertaufgaben höherer Charakteristik

Rand @ keine Nullstellen: Jtu\1@ ~ 0. Da auf@ die Vektoren m und :p aufeinander senkrecht stehen, besitzt dann ml· die gleiche Charakteristik wie :\). Zu jeder Lösung tu der @

Differentialgleichung (11.3.3)

otu

. --;:;-=vz =

_ mtu + mtu

ohne Nullstellen auf@, tuJ. ~ 0, kann man also immer eine homogene .

@

Randwertaufgabe ganzzahliger Charakteristik stellen. Daraus folgt:

Satz 2 : Die Charakteristik (11.3.4)

n= 2~ f :s L

(argtu)J@ ds

•=O einer Lösung tu der homogenen Differentialgleichung (11. 3. 3), die auf @ weder Nullstellen noch Pole besitzt, gibt die Differenz der Anzahlen von Polstellen und Nullstellen in ® an: (11.3.5) n = Polstellenanzahl - Nullstellenanzahl 1>. Jede solche Lösung kann mit Hilfe einer in ® meromorphen Funktion von z allein durch tu(z, z) = Af(z) etDA(z,-) (11.3.6)

dargestellt werden. Dabei entsprechen sich Pol- bzw. Nullstellen von f(z) und von tu. 2 > Dieser Satz besitzt viel Ähnlichkeit mit dem Satz aus 10.6. Hier im Satz 2 werden auch Lösungen tu berücksichtigt, die in ® Polstellen besitzen. Andererseits durfte tu im Satz in 10.6 auch auf@ Nullstellen besitzen. In dem Satz spielt nur die Charakteristik der Randschar eine Rolle, während die Randwerte von tu weitgehend beliebig sind. Man kann deshalb die Charakteristik der Randschar auch für Lösungen eines homogenen elliptischen Systems mit inhomogener Randvorgabe Re(l)tu)l@ =f(s) untersuchen. Diese Frage hat J. Jaenicke in [62] behandelt. Der Satz ist auch Ausgangspunkt für eine Theori(der Werteverteilung der Lösungen von (11.3.1), die K. Habetha [43] entwickelt hat. '>Mehrfache Null- oder Polstellen sind entsprechend ihrer Vielfachheit zu zählen. 2 > (11.3.6) legt eine Entwicklung von itJ in verallgemeinerte Laurent-Reihen um isolierte Singularitäten nahe. Diese Verallgemeinerung wurde von K. Lohmann (sogar für elliptische Systeme beliebiger Ordnung) in [79] durchgeführt.

287

11.4 Charakteristik und Nullstellen

11.4* Charakteristik und Nullstellen für die Lösungen eines allgemeinen homogenen Systems Zur Übertragung von (11.3.5) auf Lösungspaare u, v eines allgemeinen elliptischen Systems (7.0.1) betrachten wir der Einfachheit halber ein in® stetiges (und damit in ® stetig differenzierbares) Lösungspaar u, v ohne Polstellen und verlangen von den Koeffizienten von (7 .0.1): ai,

aJ,

bi, bi E ~2+"(®),

c, e,

c, e E ~"(®),

D

>

0,

IX>

0

lll

@.

Die folgenden Überlegungen lassen sich auf Paare u, v mit Polen und Koeffizienten c, e, c, e mit endlich vielen beschränkten Unstetigkeiten ohne Schwierigkeiten übertragen. Für u, v gilt der folgende

Index- Satz: Die gemeinsamen Nullstellen des stetigen, nicht identisch verschwindenden Lösungspaares u, v eines homogenen in @ elliptischen Systems (7.0.1) (mit f = f o) können sich in ® nicht häufen. Erfüllt das Lösungspaar außerdem

=

u 2 +v 2 /®

>

0,

so gilt das allgemeine Prinzip vom Argument: (11.4.1)

Anzahl der Nullstellen von u + iv in ® = sign G11 __!_

2n

J:j d arg (u- i v) = -n,

wobei mehrfache Nullstellen entsprechend ihrer Ordnung zu zählen sind. Zunächst beweisen wir die Isoliertheit der Nullstellen von u + i v in ® und nehmen im Gegensatz zur Behauptung an, daß (x 0 , y 0 ) E ® Häufungspunkt der Nullstellen von u + i v ist. Dann ist wegen ( 11.4.2)

~

1

.rn

U = BrDu,

(x0 , y 0 ) E ® auch Häufungspunkt der Nullstellen von () +i V. Um (x 0 , y 0 ) gibt es nach Satz 1 in 5.1 eine lokale Transformation ~' 7J in einem Kreis ~~ c ®von (7.0.1) auf eine Hilbertsche Normalform (11.4.3)

U~-Vt)=

AU+BV,

U 11 +V~=AU+BV.

Da U, V das System (11.4.3) lösen, kann der Mittelpunkt (x0 , y 0 ) von ~~ wegen des "Ähnlichkeitsprinzips" (10.6.2) nicht Häufungspunkt

der Nullstellen von () + i V oder u + i v sein. Demnach können sich die Nullstellen von u + i v nicht in ® häufen.

288

ll. Randwertaufgaben höherer Charakteristik

Zum Beweis des Argument-Prinzips nehmen wir an, daß G11 < 0 giJtl) (7.1.6). Außerdem nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daß B > 0 erfüllt ist. (Im anderen Fall multipliziere man eine der Gleichungen (7.0.1) mit - 1) (7.1.5). Um die Charakteristiken der Randscharen und U - i

u-ivl@

VI@

miteinander zu vergleichen, betrachten wir zu dem reellen Parameter v mit 0 .", v .", 1 die Funktion

n(v)

(11.4.4)

=

1 2 n faarg((1-v+v

u)).

YJ!)u-i (v+v G 1 ~~G21

O:l

Für alle 0 .", v .", 1 folgt aus

wegen

J:

y

(11.4.5)

>

u2+v21@ >

0

0 die Ungleichung

2 (15 ) u ) 2 + ( v+v G122-G (( 1-v+Bv B 21 u ) 1ds

>

0

und umgekehrt.IDemnach ist n(v) in v E [0, 1] stetig. Daabern(v) wegen seiner Definition (11.4.4) nur ganzzahliger Werte fähig ist, muß n(v) = = n(O) = n(1) gelten. Das bedeutet, daß und U - i VI.. die

u-ivl·

O:l

gleiche Charakteristik haben: (11.4. 6) n

= n (0) = 21n 1 j d arg (u -

i v)

= n ( 1) = 21n 1 j d arg (~ U-

@

U, V erfüllen das

I@

·

i V~)· .

@

homogene System

U1-V2=PU+QV, 02+V1=PU+QV.

(11.4.7) Wegen ( 11.4.2),

U2 + V2 1@

des Satzes kann

0 + i V nur

>

0 und des bereits bewiesenen ersten Teiles endlich viele Nullstellen j=1, ... ,N

besitzen. Um jede dieser Nullstellen legen wir eine Kreisscheibe ~i" c @ mit einem so klein gewählten Radius b > 0, daß in jedem Kreis S'rl" eine eineindeutige lokale Transformation von (11.4. 7) auf eine Hilbert1 > Im Falle 0 11 > 0 setze man u* = -u, v* = v. Dann ist Gi 1 = -G 11 und 17l fdarg(u*-iv*) =- ~ fdarg(u-iv). 2 61 01

2

289

11.4 Charakteristik und Nullstellen

sehe Normalform (11.4.3) möglich ist. (Die Existenz dieser lokalen -Transformation ist in 5.1 sichergestellt). N

= @- ( U srJ~)

Für das "gelochte" Gebiet @~

f

(11.4.8)

-1

2:n:_

A) = - 1 d arg (A U- i V

f

2:n:_

®

gilt

J=l

d arg (A U- i VA) +

L-

f

N 1 J=12:n:_

®~

d arg (A U- i VA) .

sri~

und (11.4.9) Verwandeln wir mit Hilfe von N Schnitten@~ in eineinfachzusammenhängendes Gebiet r (Abbildung 11.4.1), so gilt wegen (11.4.9)

f

1 2 :n:

d arg ( 0- i V)

= 21:n:

®.,

f

d arg ( 0- i V)

= m.

r

Wegen (11.4.3) hängt m stetig von der Integrationskurve i' c ®~ ab. Ersetzen wir i' durch eine Folge stetig gekrümmter Kurven y. die

Abb. 11.4.1

einfach zusammenhängende Gebiete y, c r heranden und für V - 00 gleichmäßig gegen i' konvergieren (siehe Abbildung 11.4.1), so gilt lim -21 n

v-.oo

J! d arg ( 0- i

;,.

V) = -21 n

Jl d arg ( 0- i

V) = m.

r

Das stetige Vektorfeld .).J = 0 - i V ist wegen (11.4.9) in y. nullstellenfrei. Folglich muß nach dem topalogischen Satz in 10.2 die Randschar .).J die Charakteristik Null besitzen. Demnach ist m = 0,

I·

Yv

und (11.4.8) geht über in (11.4.10)

1 ! ( A A) N I ! ( A A) 2 :n: jdarg U-i V = -~12 :n: jdarg U-i V. 0

@

J-

0

.lti~

290

ll. Randwertaufgaben höherer Charakteristik

Nun können wir in jedem der Kreisgebiete ~Jß die lokale Transformation der Pfaffschen Normalform (11.4. 7) auf die Hilbertsche Normalform (11.4.3) vornehmen; U, V lösen die Differentialgleichungen {11.4.3) in ~N und es gilt wegen (11.4.9)

{)2+ V21·

o.

>

S!'Jß

Wir können deshalb Satz 2 in 11.3 anwenden, er liefert (11.4.11) 1 2 7t

f

d arg (0- i V)

= n1 = -

(Nullstellenzahl von

0 + i V in ~1 .,),

slj"

wobei mehrfache Nullstellen entsprechend ihrer Ordnung zu zählen sind. Trägt man (11.4.11) mit (11.4.10) in (11.4.6) ein, so ergibt sich mit (11.4.2) N

n =was wegen u 2 + v2

L

j=l

>

(Nullstellenzahl von u+iv in ~Jß),

0 in @., der Behauptung entspricht.

Die Anwendung des Index-Satzes auf die Transformation im Großen in Abschnitt 5.2 In Kapitel 5 hatten wir die zur Transformation einer elliptischen Differentialgleichung beziehungsweise eines Systems auf die Normalform benötigte Lösung ifJ der Beltramischen Differentialgleichung bestimmt. Während im Kleinen die Eineindeutigkeit einer solchen Transformation U

= ifJ,

V

=

(X, y)

J dn([J

(0, 0)

und

ifJ; +ifJ; >

0

nach Abschnitt 5.1 sichergestellt werden konnte, hatten wir die Eigenschaften für die nach Abschnitt 5.2 im Großen bestimmte Lösung ifJ auf den Index-Satz zurückgeführt. Für die Frage der Eineindeutigkeit betrachten wir zu einem beliebig fest gewählten Wertepaar U 0 , V0 die Funktionen Ü = U- U 0 , V = =V- Vo. Sie erfüllen in SfR das elliptische System (5.2.5):

aÜx+bÜy b Ü:x+c Üy+ Yx

-Vy=O, = 0.

11.5 Existenzsatz für die homogene erste Randwertaufgabe

Wegen G11 = -a

0 nach (5.2.4a)

= - 21n fdarg(u-iv) = 21n fdarg(u+iv) = 0. ~B

~B

Also istcf>y+icf>x in iR nullstellenfrei: cf>~+cf>~

>

0 in

iR.

11.5 Ein elementarer Beweis des Existenzsatzes für die homogene erste Randwertaufgabe Die Darstellungsformel (11. 3. 6) gestattet uns einen einfachen Beweis eines Teils des Hauptsatzes I und des Hauptsatzes 2 in genügend kleinem Gebiet. Hier beweisen wir vor allem sogleich die Nullstellenfreiheit des homogenen Lösungspaares unter schwächeren Voraussetzungen an die Koeffizienten als J. Nitsche in [89] und umgehen außerdem durch einen kleinen Kunstgriff die "gebietsunabhängigen" Abschätzungen (9.4.2) von L. Lichtenstein und G. Hellwig [48] für G1, GII. Wir betrachten wieder die Lösung to der homogenen Gleichung (11.5.1) Der Nullpunkt möge in @ liegen, o E @. Um eine Gebietsfolge zu beschreiben, die durch affine Zusammenziehung von @ auf o zustandekommt, führen wir die Koordinatentransformation

z

= Nz,

Z = Nz

durch und legen in Z, Z ein festes Gebiet T fest. Für wachsende N

292

ll. Handwertaufgaben höherer Charakteristik

werden dann die Bilder @N von r in der Z, z-Ebene gegen gezogen. (Abbildung 11.5.1) In Z, Zerhält man aus (11.5.1) die Differentialgleichung

0

zusammen-

m

Btu Btu 1 Q3 -------=-=--=-tu+- tu. az Bz N N N

(11.5.2)

Abb. 11.5.1

Nun betrachten wir eine Lösung der Gestalt tu =f(z)etv = F(Z)etv mit gegebener regulär analytischer Funktion f(z) von z allein. Dann ergibt sich aus (11.5.2)

aw m Q3 ----=- .tu = - tu + az

N

N

_

tu,

aw = -+m Q3 -ew-w. F -;;;- ----=-

(11.5.3)

az

N

N

F

Das ist ein nichtlineares System. Mit den Bezeichnungen

w=u+iv,

IQJI

= H(z, z),

QJF - = e•P. HF

'

m= a+ib

erhält man (11.5.3) reell geschrieben als

Üx-vy =

~

(2a+2H cos(p-2ii)),

uy+iix=

~

(2b+2Hsin(p-2v)).

(11.5.4)

Die rechte Seite dieses nichtlinearen Systems enthält nur noch v. Das nichtlineare System kann man durch eine der beiden äquivalenten Pfaffschen Gleichungen

dü+dnv

= ~

{(a+H ·cos(p- 2 v)) dX + (b +H ·sin(p- 2 v)) dY},

= ~

{(a+H ·cos(p- 2 v)) dY- (b +H ·sin(p- 2 v)) dX}

(11.5.5)

d"ü-dv

293

11.5 Existenzsatz für die homogene erste Randwertaufgabe

ersetzen. Mit Hilfe der Greensehen Funktion GI für das Gebiet den wir den Greensehen Satz f (udGI- vd,.GI) = f (udGl -vd,.Gl) + p

j

r

wen-

f f ([du, dGI] -[dv, d,.GI])

~~

auf das durch eine Kreisscheibe ~ um den Aufpunkt (~, rJ) von GI verkleinerte GebietF\~ an. Nun verfahren wir weiter wie in Abschnitt 10.4, ersetzen zunächst mit der Identität [dv, d,.G 1] = -[d,.v, dGI]

das zweite Doppelintegral, berücksichtigen GI IP = 0 und lassen den Kreis

~

auf den Aufpunkt zusammenschrumpfen. Das Ergebnis lautet -fvd,.G1 p

= v(~,

rJ)+ fJ[du+d,.v, dGIJ. r

In dieser Beziehung können wir im Doppelintegral die erste der Pfaffschen Gleichungen (11.5.5) verwenden und erhalten damit die nichtlineare Integralgleichung für v in F,

v(~, (11.5.6)

rJ) = - fvd,.G 1 +; ff{-(a+Hcos(p-2v)}G~ r r + (b +H sin(p- 2 v)) G~}[dX, dY],

welche nur noch v, dagegen nicht mehr die ebenfalls unbekannte Funktion enthält. Bekanntlich hat das Doppelintegral die Randwerte Null, das Linien(Satz I in 4.4), so daß man zur Lösung integral die Randwerte -

u

vlp

von (11.5.6) für

vjp

noch beliebige Randwerte vorgeben kann. Wir

wollen uns hier auf die speziellen Vorgaben erhalten also die Integralgleichung für

v(~, rJ)

vlp =

0 beschränken. Wir

v:

=; ff{-G~cos(p-2v)+G~sin(p-2v)}H[dX,dY] r

(11.5.7)

+~

ff ( r

-aG~+bG~)[dX, dY].

Der Integraloperator ist zwar nicht linear, bildet aber alle in Funktionen in die durch die Konstante 0 =

~ ~a~ (jaj, jbj, jHj) Ma~ x,

y€ r

ff P wenigstens eine Nullstelle verlangen, also die Gleichung ~=-

Wp (z1, z1) Wh (z1, z1)

fordern. Nach 10.2 ist Wh oF- Oin ®, aberhierverlangen wirjaaußerdem, daß x reell ist. ~ist tatsächlich reell. Das folgt aus der Gleichung Re ("V tU) (zt, zi) = 0, die ja für jede Lösung W gültig ist. Daraus ergibt sich p Uh(zi, z1)+q J\(zl, z1)

=p

Up+q Vp(zl, z1)

= 0,

woraus wegen p 2 +q 2 = J"VJ 2 oF- 0 folgt, daß x reell sein muß. \Vir erhalten also mit diesem speziellen reellen Wert von x genau eine Lösung ~Wh+

Wp,

die in z1 eine Nullstelle besitzt. G. Bruhn zeigt nun noch, daß

unter geeigneten Voraussetzungen an y, rp in@ Hölder-stetig ist. Es gilt demnach

Satz: Die Randwertaufgabe der Charakteristik gabe

Re (y tu)

I@= rp(s), lrl ~ o,

+ ]:_ besitzt für 2

rp(s+L)

jede Vor-

= -rp(s)

genau eine in @ Hölder-stetige Lösung tu. In diesem Falle ist also schon durch die Differentialgleichung und eine Randbedingung die stetige Lösung eindeutig festgelegt.

305

12. Randwertprobleme positiver Charakteristik

Im Abschnitt 11.3 hatten wir Lösungen des Randwertproblems positiver Charakteristik mit Polstellen konstruiert. In diesem Abschnitt sollen nun die Bedingungen untersucht werden, unter denen auch bei positiver Charakteristik der Randvektorschar in ® stetige Lösungen existieren.

12.1 Das adjungierte Differentialgleichungssystem Sei

llJ

in ® eine Lösung der Gleichung ollJ

oz

(12.1.1)

=

-

2l11J + ~ ffi

und entsprechend gemäß (10.3.4) ollJ

Tz=

-

2lw+~w

sowie 5(z, z) E (P(®) n~0 (®) eine beliebige Funktion, dann ist

(12.1.2)

5tudz=Hwdz

ein Paar von Linearformen, für die in jedem Normalgebiet T~® der Gaußsehe Integralsatz gilt. Die Wahl dieser beiden Formen ist naheliegend, denn bei der äußeren Ableitung dieser Formen treten nur die Ableitungen ÖllJ und OIU der

oz

öz

Funktion llJ bzw. llJ auf. Gerade diese Ableitungen sind nach (12.1.1) durch die Differentialgleichungen gegeben. Die äußere Ableitung der Formen enthält also keine partiellen Ableitungen von lU. Mit dem Gaußsehen Satz ergibt sich

f (IV 5dz =F ffi ~ dz) = Jf ((~ IU}z ± (~ W)z)[dz, dz]

r

r

=

Jf (3:;; IV+ 51tl:;; ± ~z ffi ± 3tuz) [dz, dz]

=

frf {(~:;:+~5± ~3) IV± (3z+ 2l3± ~ ~) w}[dz, dz],

r

306

12. Randwertprobleme positiver Charakteristik

da llJ:r die Gleichung (12.1.1) und llJz ihre konjugiert komplexe Gleichung erfüllt. Genügt 5 einem der Differentialgleichungssysteme (12.1.3)

und 3 gemäß (10.3.4) der konjugiert komplexen Gleichung, so verschwindet die rechte Seite und wir erhalten eine der Relationen zwischen den Randwerten von tu und 3:

j 3 tu dz ':f j~ tu dz

= 0.

Ist 5(z, z) eine Lösung der Differentialgleichung (12.1.3) mit dem+Zeichen, so erfüllt ~ = i3

die Differentialgleichung (12.1.3) mit dem -.Zeichen, daher ist die zweite Integralrelation eine Folge der erstPn. Deshalb genügt es, die Zusammenhänge zwischen 3 und tu für nur ein Vorzeichen zu studieren. Wir beschränken uns auf das+ Zeichen, also auf Funktionen 3, die dem Differentialgleichungssystem inF.

(12.1.4)

genügen. Gemäß (10.3.1) erfüllen sie dann auch die konjugiert komplexe Gleichung. (12.1.4) heißt das zu (12.1.1) adjungierte DifferentialgleichungBsyBtem (Abs. 7.5).

Satz : F1lr jede LöBung tu E ~1 ( ®) n ~0 ( ®) der homogenen Differentialgleichung (12.1.1) und jede LöBung 3 E ~1 (F) n~0 (F) der adjungierten Differentialgleichung (12.1.4) gilt in jedem Normalgebiet Fr;;® die Relation fRe(3tudz) = 0.

(12.1.5)

t

Obwohl wir zur Vereinfachung stets das inhomogene System auf ein homogenes zurückgeführt haben, wollen wir hier eine Bemerkung für das inhomogene System einfügen: Es sei das inhomogene System

atu

oz

= m:tu+~w+~

gegeben und tu (z, z) eine Lösung. Wenden wir den Gaußsehen Satz auf die Form (12.1.2) an, so folgt das gleiche adjungierte System (12.1.3), aber die Integralbeziehung am Rande lautet (12.1.6)

f (3 tu dz ':f~ tu dz) = JJ (3~± ~~) [dz, dz].

r

r

12.1 Die adjungierte Differentialgleichung

307

Dabei ist wesentlich, daß die Lösungen 5 des adjungierten Systems von ~.Cf unabhängig sind. Wir haben jedem System von Differentialgleichungen (12.1.1) ein anderes System (12.1.4) als adjungiertes System zugeordnet. Die Integralforderung (12.1.5) führt unmittelbar zu einer Zuordnung von Rand vorgaben von ttJ und &· Es sei z. B. ttJ Lösung von (12.1.1) mit der Randbedingung (12.1. 7)

Re(yttJ)/@

= 0;

15'1

= 1, Charakteristik

15'1

= -n,

die wir in Abschnitt 11.1 untersucht haben. Für diese Funktion ttJ ergibt sich auf@ aus (12.1.7)

= e(8)

Im (y ttJ) dl J

;i

o

und daher wegen Iy I = 1 ttJI

®

= i _1() Y 8

e(8)

= i Y_(!(8) = iye(8). YY

Setzen wir diesen Ausdruck in (12.1.5) ein, so folgt wegen

dz /@

= ei{}(s) d8

(12.1.8) so folgt:

~: I@

ist Einheitsvektor)

= f e (8) Re (ö y i ei(}(•)) d8 = o.

f Re (&tu dz) Setzen wir

(

@

@ .

.

y ~ e•{}(s)

=

i

ye

({}(s)+~) 2

= ij,

fe(8)Re(ßij)d8= 0. @

Da y die Charakteristik ( -n), y also die Charakteristik +n hat und ei{}(s) mit #(8) als Tangentenwinkel der Randkurve die Charakteristik + 1 besitzt (Beispiel 2 in 10.1), muß Char. (ij)

= +n+ 1

sein Wir nennen y (8) und ij (8) zueinander adjungierte Randvektor8charen. Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns dem Randwertproblem positiver Charakteristik zu.

308

12. Randwertprobleme positiver Charakteristik

12.2 Die Integralbedingungen für eine stetige Lösung der Randwertaufgabe positiver Charakteristik. Die adjungierte Randwertaufgabe \Vir betrachten die Randwertaufgabe für 5:

a5

az

(12.2.1) Re

-

-

= -m 3- + IB 5 in ®,

(ficr)/dl =

cp(s)

mit nicht verschwindender Randschar1 fj, für die wir ohne Einschränkung lfil = 1 voraussetzen, mit der positiven Charakteristik

f L

Char. (fj)

=

21:n;

d arg (fj) ds ds

= n+ 1;;;.. 1.

r=O

Wie wir in dem Satz in 12.1 festgestellt haben, muß dann 3- auf® die Integralbedingung f Re (ß\tJ dz)

(12.2.2)

= f RP- ( 5 ~ tu dz)

dl

@

=

fcp(s)Re(5tudz)-Im(fjß)Im(tu7]dz)

=0

@

für jede stetige Lösung tu des homogenen zu (12.2.1) adjungierten Differentialgleichungssystems

(12.2.3) erfüllen. Diese Integralbedingung geht in eine Bedingung für die Randwerte q;(s) über, wenn wir gerade solche Lösungen tu der adjungierten Differentialgleichung auswählen, für welche Im(tu7]dz),. = -Re(ltJi7]dz)j. = 0 ®

,®

erfüllt ist. Beachten wir die Definition (12.1.8) der zu fj adjungierten Randschar y, die sich mit Hilfe von

wegen I7JI

(12.2.4)

=

dz I \dl 1 aus (12.1.8) als

.

=

·~(

)

eiO(s) ds

'}i=~7Je'vs=1]8

; (o+~) !

ergibt, so geht die Randbedingung für tu über in Re 1tJ

rj 41 ds = 0,

12.2 Die Integralbedingungen bei positiver Charakteristik

309

die wegen ds ,e 0 der Bedingung (12.2.5)

äquivalent ist. Die durch (12.2.4) definierte zu fi adjungierte Randschar y der homogenen Randbedingung (12.2.5) besitzt dabei die Charakteristik -n:

I

f

L

Char.(y) =- 21:n;

L

d dsarg(fi)ds+ 21:n;

s=O

=-

n- 1 + 1

d ds1J(s)ds

3=0

=-

n.

Die homogene Randwertaufgabe

atu

oz

(12.2.6)

=

_

2{ tu+~

tu,

Re(tu?}ei(D(sl+-j-))j@ = Re(ytu)J@ = 0 heißt deshalb die zu (12.2.1) adjungierte Randwertaufgabe und umgekehrt. Sie ist in unserem Falle eine Randwertaufgabe negativer oder verschwindender Charakteristik - n =s;; 0 und hat deshalb eine nicht identisch verschwindende Lösung tu, welche 2 n + 1 frei wählbare reelle Konstanten enthält. Die Formeln des vorigen Abschnitts im Anschluß an (12.1.7) gelten auch hier. Aber dort gingen wir von einem gegebenen y(s) aus und berechneten das adjungierte fi, hier ist es umgekehrt. Deshalb wiederholen wir die Rechnung. Auf dem Rand @ist Re(y tu) I@= 0, der Imaginärteil lm(ytu)IQs = e(s);;.; 0 eine Funktion

e der Bogenlänge s.

Demnach ist

und

tul

@

= ie(s). y

Setzen wir diesen Ausdruck in das Randintegral des Satzes in 12.1 ein und beachten dz I@ = eiD(s) ds, so folgt Re(5tudz)l@ =Re ( 5e(s)

ieiD(s)

Y

ds

)

=Re

(5e(s) 11

dann gilt wegen der Randbedingung in (12.2.1) Re(5tudz)l· = Re(5iie(s)ds)l. = cp(s) e(s)ds. ®

@

)

ds,

310

12. Randwertprobleme positiver Charakteristik

Also ergibt (12.1.5) die Bedingung

f Re(cr ttJ dz) = f e(s) cp(s) ds = o

@

@

für die Randvorgaben rp(s). Dieses Ergebnis fassen wir zusammen in dem

Satz: Das Randwertproblem (12. 2.1) der positiven Charakteristik (n+ 1) ~ 1 kann nur dann stetige Lösungen besitzen, wenn die Randvorgaben rp(s) die Integralbedingungen fcp(s) e(s)ds

(12.2. 7)

=

0

@

für jede Wahl der 2 n + 1 reellen Konstanten in der Lösung ttJ des adjungierten homogenen Randwertproblems (12.2.6) mit

erfüllen, wobei y die nach (12.2.4) zu ij adjungierte Randschar ist. Das sind genau (2 n+ 1) linear unabhängige Integralbedingungen. Nach den Sätzen 1 und 2 im Abschnitt 11.2. läßt sich jede Lösung ttJ des Rand wertpro blems Re (y ttJ) I@ = 0 über einer Basis von 2 n + 1 linear unabhängigen Lösungen iU,, r = 0, ... , 2 n darstellen mit 2 n + 1 reellen Konstanten A.,,

w=

2n

.L A., w, . r=O

Setzt man oder

(12.2.8)

so ist im obigen Satz

e=

Im (y ttJ) =

2n

L A, er

r=O

und (12.2.7) geht über in fcp(sJ e(s)ds @

=

2n

.L

r=O

.:1., fcp(sJ e,(sJds @

=o

für jede Wahl von J.,. Das heißt, die Integralbedingung (12.2.7) ist äquivalent den 2 n + 1 Bedingungen (12.2.9)

frp(s) e,(s)ds

=

0

für

r

=

0, ... , 2n.

@

Die Unabhängigkeit dieser Bedingungen und ihr Hinreichen für die Existenz von 3 wird im Abschnitt 12.4 bewiesen.

12.3 Darstellung mittels "singulärer" Lösungen

311

Betrachtet man Randwertaufgabe (12.2.1) für ein inhomogenes System

so lauten die 2n + 1 Integralbedingungen fcp(s) e,(s)ds @

=

ff (Im(~tu,))i[dz, dz]. @

Sie finden Anwendung zum Beispiel in der Schalentheorie ([128], [129]). E. Behlendorff führte sie in [3] auf Bedingungen zwischen den mechanischen Größen zurück. 12.3 Darstellung der stetigen Lösung des Randwertproblems positiver

Charakteristik mittels "singulärer" Lösungen des homogenen adjungierten Systems

Nehmen wir in diesem Abschnitt an, es existiere eine stetige Lösung Randwertaufgabe (12.2.1) mit der positiven Charakteristik n+ 1. Wir bestimmen die adjungierte Randschar tu mit der Charakteristik { -n) und erinnern an das adjungierte System (12.2.3). Im vorigen Abschnitt hatten wir nur stetige Lösungen tu des adjungierten Problems (12.2.3) zugelassen und erkannt, daß die Randfunktion und bildet B in B ab. Die Funktionenmenge ~ = ~b,

llbll...,; 1,

das Bild der Einheitskugel von B, ist gleichgradig beschränkt und nach Hilfssatz 2 in Abschnitt 9.4 in @ gleichgradig Hölder-stetig mit gleichem Hölder-Exponenten ~ > 0. Diese Funktionenmenge ist deshalb kompakt, wie der Satz von Arzela-Ascoli sicherstellt (siehe [119], Teil IV, S. 46}, und st ist demnach ein Vollstetiger linearer Operator. Die inhomogenen Anteile in (13.1.2} sind in @stetige Funktionen, also Elemente von B, wie wir in den Hilfssätzen 1 und 2 in 9.4 zeigten. Folglich gilt für Integralgleichung (13.1.2} der Fredholmsche Alternativsatz, dessen hier benötigte Aussage lautet: Wenn die homogene Integralgleichung in B (13.1.3}

b(C, ~)

= i

Jf {(mb+~iJ) (G!+G!1 )+{2riJ+~ih) (G~-G~1)}[dz, dz] @

=

nur die triviale Lösung b 0 zuläßt, dann besitzt die inhomogene Integralgleichung (13.1.2} genau eine Lösung ro(z, z) E B. Wir wollen nun irgendeine Lösung b der homogenen Integralgleichung (13.1.3} betrachten. Aus den Eigenschaften von G1 und G11 folgt für sie sofort (13.1.4}

Rebl& = 0,

fu(s)(Imbj&)ds = 0. @

cr(s) =-= 0, b

~ wäre in dem komplexen Banach-Raum der komplexwertigen Funktionen nicht linear.

330

13. Existenzsätze im Großen

Mit Hilfe des Satzes in 9.4 folgern wir aus (13.1.3) und der HölderStetigkeit von St: b, daß b in ®\t Hölder-stetig differenzierbar ist und dort die homogene Differentialgleichung

ao

-

_

~ = 5llb+~b

vz

erfüllt. Also besitzt die homogene Lösung b von ( 13.1. 3) nach dem Satz in 10.6 die Gestalt b(z, z)

= f(z) ei8(z,z),

wobei f in @ regulär analytisch und~ in @ Hölder-stetig sowie auf @ reell gewählt werden kann. f(z) ist deshalb in@ ebenfalls Hölder-stetig. Für die Randwerte von f(z) folgt aus (13.1.4) Reoj@

= Re(f(z)ei8j@) = ei8j@·Ref(z)j@ =

0,

also wegen Im~~@= 0 die Beziehung Ref(z)l@ = 0. Folglich ist f(z) eine imaginäre Konstante: f(z) = i·c. Die zweite Randbedingung aus (13.1.4) liefert

f a (s) Im b I· ds = c f a ei81· ds = 0,

@

woraus wegen

@

@

f a(s) e j@ ds 13

>

@

0 für die Konstante c = 0 also b

=0

@

gefolgert werden muß. Demnach gilt

Satz 1: Jede Lösung b(z, z) E B der homogenen Integralgleichung (13.1.3) muß identisch verschwinden. Bemerkung: Dieser Eindeutigkeitssatz gilt nicht für das mit Hilfe der Flächennorm gewonnene Integralgleichungssystem (9.2.2), denn die Bedingung

Jf ·dm b[dx, dy] @

=

C•

Jf uRei8 cos (Im~) [dx, dy]

= 0

@

erzwingt nicht c = 0. (Siehe auch [38], S. 25.) Vermöge Satz 1 können wir den Fredholmschen Alternativsatz für die inhomogene Integralgleichung (13.1.2) verwenden und folgern, daß (13.1.2) zu jeder einer Hölder-stetigen Randfunktion rp(s) zugeordneten analytischen Funktion e (C) und Hölder-stetigen Funktion ~ genau eine in @ stetige Lösung ttJ (z, z) besitzt. Mit Hilfe der Hilfssätze

331

13.1 Der Existenzsatz für die erste Randwertaufgabe

1, 2, 3 und dem Satz aus Abschnitt 9.4 folgt dann für tu aus Integralgleichung (13.1.2), daß tu in ® Hölder-stetig ist und in ®\t das Differentialgleichungssystem (13.1.1) und die dort genannten Randbedingungen erfüllt. Wir erhalten demnach

Satz 2: Jede Randwertaufgabe ( 13.1.1) besitzt unter der zusätzlichen Vorgabe der Randnorm

0° =

1 f ads

@

,( (Imtu)j. a(s)ds

j

mit

a(s);;.. 0,

a(s)

~

0

@

@

genau eine in ® Hölder-stetige Lösung tu mit der vorgegebenen Randnorm00. Nun wollen wir noch die Lösung tun der "homogenen ersten Randwertaufgabe" (13.1.5)

gesondert betrachten. Besitzt eine Lösung WH nicht verschwindende Randnorm 1 ,((Im WH) a(s) ds = Ö0 r!= 0, ads j @ @

f

so ist sie zugleich Lösung der inhomogenen Integralgleichung

WH=i

JJ{(2i WH+~ Wn) (G!+G~1 ) + (5H Wn+ ~WH) (G~-G~1 )}[dz, dZ] +iÖ

0,

@

WH= Sl:Wn+iÖ0. Wegen Ö0 r!= 0 kann sie nicht identisch verschwinden. Mit Hilfe des Satzes im Abschnitt 10.6 erhalten wir für Wn eine Darstellung

Wn = f(z) ei mit reellen Werten ~~-. Folglich gilt nach (13.1.5) ,@

Ref(z)j@ = 0 und f ist imaginäre Konstante,

WH= icei. Aus dieser Darstellung liest man nun ab, daß Wn in ® keine Nullstelle besitzen kann.

332

13. Existenzsätze im Großen

Satz 3:

Jede nichttriviale Lösung IÜn der homogenen ersten Randwertaufgabe > 0 in@. (13.1.5) besitzt in@ keine Nullstelle: Sind Wn und tUn zwei nichttriviale Lösungen der "homogenen ersten Randwertaufgabe" (13.1.5), so ist die Funktion

ltünl

b = Wn- ( f 1 @

1 (Im tUn) a(s) ds) ~WH co

ads ;1' @

ebenfalls Lösung von (13.1.5) mit verschwindender Randnorm:

foa(s)ds = f(Imb)a(s)ds = 0. @

@

Folglich ist b Lösung der homogenen Integralgleichung (13.1.3) und verschwindet nach Satz 1 identisch, die Lösungen WH und tUn sind in B linear abhängig. Damit haben wir bewiesen den Satz 4:

Die Lösungsgesamtheit der homogenen ersten Randwertaufgabe (13.1.5) läßt sich darstellen durch tun=xtVn mit einer nichttrivialen Lösung tUn und beliebigen reellen Konstanten x. Wn besitzt in @ keine N ullstellen. Die Lösungsgesamtheit der inhomogenen ersten'Randwertaufgabe (13.1.1) läßt sich darstellen durch tu= tup+xWn, wobei tup eine Lösung der inhomogenen Randwertaufgabe (13.1.1), tUn nichttriviale Lösung der homogenen Randwertaufgabe (13.1.5) und x beliebig wählbare reelle Konstante ist. DieRücktransformation von tu mit(7.4.6) und (7.3.6) aufdas Lösungspaar u, v des elliptischen Ausgangssystems (7.0.1) liefert dann Hauptsatz 1 aus Abschnitt 9.4 ohne Gebietseinschränkungen. 13.2* Ein Beweis für das Ähnlichkeitsprinzip im Großen In Abschnitt 10.6 bewiesen wir ohne Gebietseinschränkungen, daß zu jeder in @1> Hölder-stetigen Lösung tu des homogenen Systems in Hilbertscher Normalform (13.2.1) 1 > Über

das Gebiet® machen wir hier die gleichen Voraussetzungen wie in 13.1.

13.2 Ein Beweis für das Ähnlichkeitsprinzip

eine in @ Hölder-stetige auf @ reelle Funktion existiert, daß die Funktion

333

w(z, z) = u+ i v derart

f(z) = tu (z, z) e-iöcz, z>

in @ von z allein regulär analytisch abhängt. Nun wollen wir wie in Abschnitt 11.5, aber ohne Einschränkungen der Gebietsgröße, die umgekehrte Frage untersuchen, nämlich eine in @ regulär analytische in @ Hölder-stetige Funktion f(z) beliebig vorgeben und fragen, ob es zu f(z) eine in@ Hölder-stetige auf@ reelie Funktion w(z, z) derart gibt, daß die Funktion tu (z, z)

=

f(z) ·eiö(z, z)

das homogene Differentialgleichungssystem {13.2.1) löst. Wir wollen also den Satz aus Abschnitt 11.5 für N = 1 beweisen. In 11.5 hatten wir bereits gezeigt, daß f6 = u+ i v bekannt ist, falls der Imaginärteil v der nichtlinearen Integralgleichung {13.2.2)

v(e, 'YJ) = 2

ff {-(a+H·cos(p-2v) G! @

+(b+H-sin(p-2v))G~}[dx, dyp>

mitderGreenschenFunktionerster Art GI(e, tionen H = j5ßj,

5ß

'Y};

x, y) genügt. DieFunk-

f(z)) , a = Re 2{, b = Im m

p =arg ( H. f(z)

berechnen sich dabei aus den Koeffizienten mund 5ß in (13.2.1} und der vorgegebenen Funktion f(z). p hat in den Nullstellen von f(z) beschränkte Unstetigkeiten, während 2{ und 5ß in @ beschränkt und abgesehen von endlich vielen Punkten dort Hölder-stetig sein sollen. Die Unstetigkeitsstellen von 5ß mögen so beschaffen sein, daß p auch in ihnen beschränkte Unstetigkeiten besitzt. Die Gesamtheit dieser Unstetigkeitsstellen wird mit t bezeichnet. Der nichtlineare Integraloperator in (13.2.2}, der mit T bezeichnet werden soll,

Tw: = 2

fJ {-(a+H·cos(p-2w)) G!+(b+H ·sin(p -2w)) G~}[dx, dy], @

bildet alle in @ stetigen Funktionen w in stetige Funktionen mit ver1 > L.

Bers [4] verwendet eine etwas andere Integralgleichung mit 21n ln

Ia:+i_y-~;-~'lo\ :t+~y-

-HJ

1

statt G1 , um mit dieser ähnliche Überlegungen durchzuführen.

334

13. Existenzsätze im Großen

schwindenden Randwerten 1 > ab, die durch die Konstante

0

= 4·M~x {Ia!, jl>f,

IHI}·~x

@

@

ff (jG~I + jG;j) [dx, dy] @

gleichgradig beschränkt werden. Wir wählen deshalb als Definitionsbereich von T den Banach-Raum B der in @ reellwertigen stetigen Funktionen mitverschwindenden Rand werten und der Maximum-Norm,

In B ist der Integraloperator T stetig und es gilt

TB~

{tp li!IPII ~ 0} c

B.

Die Bildfunktionen Tw sind nach Hilfssatz 2 aus Abschnitt 9.4 in @ alle gleichgradig Hölder-stetig mit dem gemeinsamen Hölder-Exponenten IX und gemeinsamer Hölder-Konstante. Folglich ist nach dem Satz von ArzeUt-Ascoli (siehe [II9], Teil IV, S. 46) die Bildmenge TB auch in B kompakt; das heißt, jede unendliche Menge von Funktionen Tw enthält eine in @ gleichmäßig konvergente Folge. Die ebenfalls kompakte und zudem konvexe Teilmenge A c B der gleichgradig Hölder-stetigen gleichgradig beschränkten Funktionen

wird demnach von T in sich abgebildet: TA~ TB~

Ac B.

Wir können deshalb für die nichtlineare Integralgleichung (13.2.2) mit T den Schaudersehen Fixpunktsatz verwenden: (siehe z.B. bei Courant-Hilbert [23] II, S. 403 ff.). Wenn der OperatorTeine kompakte konvexe Teilmenge A eines BanachRaumes in sich abbildet, TA~A,

dann besitzt T

e~nen

Fixpunkt

v:

Tv = vEA c B. Wir erhalten demnach

Satz 12): Die nichtlineare Integralgleichung (13.2.2) besitzt eine in stetige Lösung v mit verschwindenden Randwerten v/® = 0. ll 2>

@

Hölder-

Siehe I Abschnitt 4.4, Aufgabe I. Der vorangegangene Beweis dieses Satzes folgte einer Idee von G. Bruhn.

13.2 Ein Beweis für das Ähnlichkeitsprinzip

Nun können wir mit v bis auf die additive der Beziehung (11.5.10)

u eindeutig aus (13.2.3)

u(~, 11 )

Konstante~

335 die Funktion

= ~- 2 Jf {(a+H ·cos (p- 2 v)) G~ @

+ (b +H ·sin(p- 2 v)) G~1 }[dx, dy] bestimmen, wobei G11 (~, 1}; x, y) die zu a;;;.. OJ gehörende aus Abschnitt 4. 7 bekannte Greensehe Funktion zweiter Art bedeutet. Die so konstruierte Funktion fi> = u + i v ist in ® Hölder-stetig und erfüllt nach dem Satz aus Abschnitt 9.4 inl ®\t das Differentialgleichungssystem

Dann erfüllt wegen

of =

oz

0 das Produkt

tu = f(z) et'u Differentialgleichungssystem (13.2.1), das wegen der Stetigkeit der rechten Seite auch in den Nullstellen von f(z) seine Gültigkeit behält. Damit haben wir ohne Gebietseinschränkung bewiesen

Satz 2: Zu jeder in® regulär analytischen und in ® Hölder-stetigen Funletion f(z) existiert eine in® Hölder-stetige Funletion W(z, z) mit reellen Randwerten, so daß die Funktion ro(z, z)

= f(z) etv(z,z)

das homogene Differentialgleichungssystem (13.2.1) löst. Aus der stetigen Differenzierbarkeit von tü in ®\t erhalten wir mit Hilfe des Satzes in Abschnitt 10.6 des weiteren auch ohne Gebietseinschränkungen den folgenden Eindeutigkeits-und Existenzsatz:

Satz 3: Die nichtlineare Integralgleichung (13.2.2) besitzt genau eine in ® Hölder-stetige Lösung v. Zum Beweis betrachten wir zwei Lösungen v1 und v2 von Integralgleichung (13.2.2)

336

13. Existenzsätze im Großen

und die ihnen vermöge (13.2.3) zugeordneten Funktionen u1 und u2 • Von u1 und ii2 können wir durch geeignete Wahl von x ohne Beschränkung der Allgemeinheit in einem festen Randpunkt z0 E @die Beziehung

verlangen. Die mit Hilfe von ü1, v1 konstruierten in Funktionen

® Hölder-stetigen

genügen dann beide in @ \t dem gleichen linearen elliptischen System

Folglich erfüllt auch die Differenz b gene System :

ob

oz

(13.2.4)

-

=

b1 - b2 dieses elliptische homo-

( f(z)) _

= 2lb+ ~ f(z)

tJ hat ü herdies wegen

b I@

l:J.

= eu,_ eUz

die Randeigenschaften (13.2.5)

Im b \®

= 0,

b (z 0 ,

z0 ) =

0.

Wegen (13.2.4) können wir mit Hilfe des Satzes aus Abschnitt 10.6 in der Darstellungsformel b (z, z)

die Funktion 5 mit Im

51@ =

= cp (z) ell(z, z>

0 und cp (z) konstruieren. Für die in @

regulär analytische Funktion cp folgt aus den Randeigenschaften (13.2.5) Im cp I@ woraus sich cp

= 0,

cp (z0 , z0 )

= 0,

=0 und damit =0 in ® ergibt. Demnach gilt b

Daraus erhält man mit der Stetigkeit von 51 (13.2.6)

mit einer festen ganzen Zahl k.

13.2 Ein Beweis für das Ähnlichkeitsprinzip

337

Da aber nach Voraussetzung iit und v2 Integralgleichung (13.2.2) erfüllen, ergibt sich durch Einsetzen von (13.2.6) in die Integrale von (13.2.2)

ih-v2

= 2ff H{(cos(p-2v2 )-cos(p-2v2 -4kn))G~ @

+ (sin(p- 2 v2 -4 k n) -sin(p- 2 v2)) G1}[dx, dy] = 0, also die behauptete Identität von v1 und v2 in @. Demnach wird auch in Satz 2 zu f(z) die Funktion tU durch die Vorgaben Im iU!@ = 0 und IU(z 0 , z0 ) = u 0 für z0 E ® eindeutig festgelegt.

338 14* Einige Bemerkungen zur numerischen Behandlung der Randwertaufgaben für elliptische Systeme

Die allgemeine Randwertaufgabe für ein elliptisches System in Hilbertscher Normalform lautet in komplexer Schreibweise

(14.0.1)

~~ = mw+mw+~, Re(eiTIU)I®

= rp(s).

Die von der Charakteristik der Randschar abhängigen weiteren Bestimmungselemente wurden in den Kapiteln 9 bis 12 ausführlich behandelt, und wir besprechen sie hier nicht noch einmal. Mit ihnen konnte unter Verwendung holamorpher komplexer Funktionen von z die allgemeine Randwertaufgabe (14.0.1) auf die Lösung mehrerer Randwertaufgaben der Charakteristik Null zurückgeführt werden. Diese Randwertaufgaben wollen wir hier nochmals in Abschnitt 14.1 zusammenstellen und dann unsere Überlegungen zur numerischen Behandlung auf die Randwertaufgabe der Charakteristik Null beschränken. Dazu kann zum Beispiel das Integralgleichungssystem (9.2.1) dienen, für dessen Lösung in Abschnitt 14.2 und 14.3 eine Näherungsmethode aufgestellt wird. Die dabei :entstehenden linearen Gleichungssysteme können selbst wieder als Integralgleichungssysteme zweiter Art aufgefaßt werden. Die Normkonvergenz ihrer Integraloperatoren gegen die Integraloperatoren der "exakten" Integraloperatoren wird in Abschnitt 14.4 bewiesen. Dadurch ist die Konvergenz der Näherungslösungen gegen die Lösung der Randwertaufgabe gesichert, und man kann sogar Fehlerabschätzungen gewinnenll. Die homogene erste Randwertaufgabe konnte mit Hilfe der einen nichtlinearen Integralgleichung (11.5. 7) gelöst werden, deren Diskretisierung in Abschnitt 14.5 beschrieben wird. Die Konvergenz ihrer Näherungslösungen sowie ihre Auflösung und Fehlerabschätzungen werden in 14.6 behandelt. I> In [134] wird das Integralgleichungssystem mit Hilfe einer anderen, der sogenannten Quadraturformelmethode behandelt, bei der keine Normkonvergenz der Näherungsoperatoren eintritt. Die Konvergenzfragen werden dort deshalb auf anderem Wege beantwortet.

14.1 Zurückführung auf Charakteristik Null

339

Ein anderer Weg zur Lösung des Differentialgleichungssystems ist die Ersetzung durch Differenzengleichungen. Diese werden in Abschnitt 14.7 aufgestellt. 14.1 Zurückführung auf Randwertaufgaben der Charakteristik Null Zunächst lösen wir, wie in Abschnitt 10.5 erläutert wurde, die spezielle erste Randwertaufgabe für ~,

(14.1.1)

f alm ~ds = 0, ÖJ

=

um mit Hilfe des Ansatzes lU aufgabe

die neue allgemeine Randwert-

b +~für b

ob

-

_

-a-z = mtJ+)Su, =

Re(eiTIJ)j. I@

= rp(s)-Re(eiT~)~.

q;0 (s)

@

mit einem homogenen Differentialgleichungssystem zu erhalten. Wir wollen hier nur den Fall ganzzahliger Charakteristik nochmals beschreiben. Für allgemeinere Charakteristik von (14.0.1) verweisen wir auf die Kapitel 11.7 bis 11.9, in denen wir die allgemeine Aufgabe auf solche ganzzahliger Charakteristik zurückgeführt haben. Wenn die Charakteristik von eir negativ -n ~ 0 ist, so können wir für b n Nullstellen z1 , ••• , Zn E@ willkürlich wählen und erhalten für b die Darstellung n

b

= TI

j=l

Mit der durch eiTt

=

(z-zj)·bdz, z).

IT (z-zj) lz-z·l

·_ 1

}-

I

}

I'

'"

•eiT

\V

erklärten neuen Randschar der Charakteristik Null erhalten wir für b1 die Randwertaufgabe

(14.1.2) Re (bl ei r,)

I· = IPl = @

tpo

1 TIn IZ-Zj I/. •

j=l

@

340

14. Einige Bemerkungen zur numerischen Behandlung

Für lh können wir hier noch die Randnorm flm(their,)ads

= C0

@

vorgeben. Hat eir dagegen positive Charakteristik n > 0, so hat Aufgabe (14.0.1) genau dann eine und nur eine stetige Lösung b, falls cp 0 die (2n-1) Integralbedingungen (12.2.9) erfüllt. Zur Bestimmung von b wählen wir zunächst n Pole z 1 , ••• , Zn E@ (die auch zusammenfallen dürfen) und setzen

Mit der durch eir,

=

IT (zI eir jz-zil Zj)

@

i=l

erklärten neuen Randschar der Charakteristik Null erhalten wir für b1 eine neue Randwertaufgabe der Charakteristik Null. Zu dieser Aufgabe bestimmen wir zunächst eine partikuläre Lösung b1 p von Ob1p _ m m nlhp + ;u

-- -

oz

(

rrn i=l

(Z-Zj))tJ1p, (z- zi) n

(14.1.3)

Re(eiTtblp)l·

@

= Cfl = cpo j=l rr lz-zjil.' @

flm(blpeir,) ads

=0

@

und sodann eine Lösung b1 H der homogenen Randwertaufgabe

Ob~H OZ

= mblH+m(fi j=l

(14.1.3a)

Re(eir,blH)I®

(Z-Zj))JhH, (Z-Zj)

= o,

flm(blHeir,) ads

=

l.

dl

Nach Abschnitt 12.4 haben die 2 n reellen linearen Gleichungen für reelles x j=1, ..• ,n genau dann den Rang I, wenn cp 0 die Bedingungen (12.2.9) erfüllt. Wir können hieraus x bestimmen, und dann ist

14.2 Das Integralgleichnngssystem und die Abbildungsfunktion

341

die gesuchte stetige Lösung von (14.0.1). Bei der numerischen Durchführung dieser Methode empfiehlt sich eine zweimalige Berechnung von b mit zwei verschiedenen Verteilungen der Polstellen z1 E @, um numerische Ungenauigkeiten in der Umgebung der willkürlich gewählten Pole z1 zu vermeiden. Den allgemeinen Fall (14.0.1) können wir demnach immer auf zwei Randwertaufgaben (14.1.1) und (14.1.2) bzw. (14.1.3), (14.1.3a) der Charakteristik Null zurückführen. Wir wollen uns deshalb im folgenden auf die Randwertaufgabe der Charakteristik Null beschränken. Sie lautet reell geschrieben

Ux-Vy= AU+BV+O, Uy+Vx= AU+BV+Ö, (14.1.4)

= rp(s), f (V cos-r+ U sin-r) ads = co. U cos-r(s)- Vsin-r(s)

(-r(O)

= -r(L))

@

-r, rp und a seien auf @ Hölder-stetig. Zur numerischen Lösung dieser Aufgabe kann man nun entweder dieser Aufgabe äquivalente Integralgleichungen (9.2.1) oder (13.2.2) numerisch auswerten oder das Differentialgleichungssystem (14.1.4) selbst durch geeignete Differenzenformeln in Näherungsgleichungen verwandeln. 14.2 Das Integralgleichungssystem und die Abbildungsfunktion Wir setzen nun voraus, daß @ Hölder-stetig gekrümmt und -r, a, rp E I.P(@} vorgegeben sind. Die folgenden Überlegungen lassen sich für @ E ~1+" und -r, a, rp E ~"(@) entsprechend durchführen, erfordern aber stärkere Hilfsmittel, auf die wir hier verzichten wollen. Außerdem nehmen wir an, daß die Abbildungsfunktion w(z) E ~1 (@) der konformen Abbildung geschlossen gegeben ist. Bei konkreten Anwendungen wird w(z) häufig nur als Näherung, zum Beispiel als Polynom nach Abschnitt 4.5 bekannt sein. Den Fehlerbetrachtungen in 14.4 und 14.6 sind dann noch weitere Abschätzungen für den durch die fehlerhafte Abbildung entstandenen Fehler zuzufügen. Mit w(z) stehen dann die Greensehen Funktionen G1 nach (4.3.11) und (}-n nach (4. 7.18) zur Verfügung:

GI= _

__!_lnl 2n

I

w(z)-w(C) 1-w(z) w(t;)

I·

(}-n = _ _!___ ln (w(z) -w(C)) (1-w(z) w{TI) /. 2n

342

l4o. Einige Bemerkungen zur numerischen Behandlung

Mit Hilfe von G1 und {)n können wir nun die Randwertaufgabe (14.1.4) der Charakteristik Null auf die erste Randwertaufgabe zurückführen. Weiter unten werden wir sehen, daß der numerische Aufwand für diese Rückführung nicht erheblich ist, da ähnliche Ausdrücke in den Integralgleichungen ohnehin berechnet werden müssen. Wir führen mit der in @ analytischen Funktion g(C) = -f"r(dGH+idnG1) = e+it

(14.2.1)

@

neue gesuchte Funktionen u, v durch

u+iv = eK(U +i V)

(14.2.2)

ein. Die Funktion g(C) kann man mit Hilfe des in (4.5.5) definierten harmonischen Maßes M(C, s) nach 4.5 und {)n nach 4.10 numerisch gut aus der Beziehung (14.2.3)

g(C) =

fG @

L

11

dr+i('r(O)-

f

M(C, s)dr) = e+it

S=O

berechnen, die sich aus (14.2.1) durch partielle Integration ergibt. Mit den neuen Koeffizienten

! (A B+ (A-B) ! (B- Ä (Ä B)

cos2t+ (A-B) sin2t)

b=

! (A +B +(B-A)

c:os2t+ (Ä + B) sin2t)

c =

(0 cost-0 sint) eQ

c=

(Ö cost +0 sint) eQ

a

=

b= (14.2.4)

ä

+

+

+

cos2t- (Ä + B) sin2t}

=! (Ä-B+(Ä+B)cos2t+(A-B)sin2t)

und iJ = e-P a geht die Randwertaufgabe der Charakteristik Null ( 14.1.4) über in die erste Randwertaufgabe

Ux-Vy = au+bv+c, (14.2.5)

uy+vx

= äu+bv+c, fv iids = @

oo.

14.2 Das Integralgleichungssystem und die Abbildungsfunktion

343

Diese können wir nach Abschnitt 13.1 mit Hilfe des linearen Integralgleichungssystems

u(~, rJ) = Jf((au+bv+c)G~+(äu+bv+c)G~)[dx, dyJ-fcpd,.G 1 @

@

(14.2.6)

v(~, rJ)

= ff (- (a u+ b v + c) G~1 + (ä u+b v+C) Gi!) [dx, dy] @

+ f rp dGn + oo Qj

lösen. Dabei ist G11 die zur Randnorm i1 gehörende Greensehe Funktion zweiter Art. Mit Satz 1 in 13.1 kann man leicht zeigen, daß Integralgleichungssystem (14.2.6) keine reellen Eigenwerte besitzt. Diese Eigenschaft könnte man zur Aufstellung konstruktiver Iterationsverfahren zur Auflösung von (14.2.6) benutzen. (Siehe [14], § 7). Die allgemeine Greensehe Funktion GII kann nach (4. 7.24) mit (}.n dargestellt werden. Die in (14.2.6) vorkommenden Ableitungen ergeben sich dann mit w(z)l@ = eir(s) aus den Beziehungen

ar -iGr-- w'(z) { x

(14.2. 7)

Gil-iGII x

2n

y-

= w'(z~{ 2n

Y

w(') 1-w(z)w(')

WR)

1-w(z) w(')

+ w' (z)

_!._ fads n @

!_

!

+

1

w(z)-w(') 1

w(z) -w(')

(;;e-ir)

}

}

eirdy eir-w(z)

y'

@

Für die Ableitungen von G11 ist ein Linienintegral vom Cauchyschen Typ zu berechnen, das mit (4.8. 7) in

X(z)

= w'(z) f ads

~

@

@

w'(z) f ads @

f (aey~;") (ae-ir) (-d,.G + 2 n dy+idGII~

!_ j ----;;--

1

1

)

@

übergeht. Durch partielle Integration erhalten wir eine (14.2.3) ent-

344

14. Einige Bemerkungen zur numerischen Behandlung

sprechende numerisch zugänglichere Formel

f ae-" -

1 X( z)=-

I

2n.

1

d 8•

fads

- f (a e;;")

y' .•=o

@

@

(14.2.8)

- . 1 I +ae-'"·-j

L

(M(z, s) + i G11 (z, s)) ds 1>.

•=O Die beiden Linienintegrale in (14.2.6) können wir ebenfalls einfach berechnen, indem zuerst (14.2.9) 8(C)

= fq;(idGil-d,.GI) =

L

J (M(C, s)+iG

rp(O)-

•

ermittelt wird; dann gilt (14.2.10)

f

w

11 (C,

s))drp

6=0

rp(i dG 11 -d,.GI) + i C0

= 8(C)-

f :ds

f

@

@

(Im 8) ads+iC0 •

Die numerische Vorarbeit bei der Lösung der Integralgleichungen besteht also in der Berechnung der Linienintegrale (14.2.3, 8 u. 9, 10). Für die späteren Überlegungen benötigen wir Abschätzungen der Beträge der ersten Ableitungen von GI und G11 • Diese lassen sich aus (14.2. 7) gut gewinnen, denn unter Verwendung von Iw (z) I =o;; 1

w(z) -w(C) I I1-w(z)w(C)

und

c

alle z E @, E @ genügen die Ableitungen von GI und schätzungen

IG~I, IG!I, 16~1, IG-!II Iw(z~~~(C) =o;;

1

für

=o;;

an

den Ab-

I·!·

Wegen w (z) E lt1 (@) ist die Funktion

1

1

W(z, C) =

für

z=C

w'(z) (z-C) w(z) -w(C)

für

in z E @,CE@ stetig. Deshalb gibt es eine Konstante

IWI 1> Wegen®

([28]

s.

264).

=I

w'(z) (z-C) w(z) -w(C)

I

y,

so daß

=o;;-

y

E (!;I+« hat die Abbildungsfunktion w die Eigenschaft y E (!;1 + 0. Die Mittelpunkte der Quadrate seien (~i> rJ1 ). Als Quadrat q1 bezeichnen wir die Punktmenge qi

= {(x,

y)

1- ~

~i- x ~ ~ ,


falls q1 ganz in @ liegt. Enthält dagegen q1 ein Randstück positiver Länge von®, so werden wir die Stützstelle auf@ legen, da aus (14.2.6) ja auch die Randwerte von v bestimmt werden sollen. Dazu setzen wir voraus: h > 0 sei mindestens so klein gewählt, daß qj n @ein zusammenhängendes Kurvenstück ist. Wegen der stetigen Krümmung von@ läßt sich diese Voraussetzung immer erreichen. Falls q1 Yi)

abgekürzt. Für die numerische Auswertung bilden wir Gleichungen (14.2.6) nur in den Stützstellen (E, f/) = (E1, fJJ); mit tJ = u + i v können wir (14.2.6) formal auch als tJ = ~b+~

schreiben undmit Hilfe des Mittelwertsatzesdurch das lineare Gleichungssystem für Näherungswerte tJh (j) der Stützwerte tJ (j) ersetzen: n

tJh (j) =

L' g,( (a uh + b v") (r) G~(r, j) + (ii uh + b vh) (r) G~(r, j))

r=l

'"'}

+i g,(- (a uh + b vh) (r) G~I(r, j) + (ii uh +b vh) (r) G~(r, j))

(14.3.1)

+((auh+bvh) (j)p{(j)+(iiuh+bvh) (j)p~(j))

+ i(- (a uh + b vh) (j) p~I (j) + (ii uh + b vh) (j) pp (j)) + ~(j),

j = 1, ... , n. Die Koeffizienten p (j) werden unter Beachtung der Singularitäten der Greensehen Funktionen bestimmt. Zunächst betrachten wir eine innere Stützstelle (xb Yi) E @. Wegen setzen wir

w(C) = w(z) +w'(z) (C-z) +O(JC -zil+")

p}(j)-ip~(j) = _!!:._w'(j) 2n

l

·l-...!_ff-

~

1-w(J) W(J)

1 -[dx, dy]. z-C1

2n

qJ

Real- und Imaginärteil des singulären Integranden _1_ =

z- cj

-i

(X-Xj)

(1: -Xj)2 + (y- YJ)2

(Y-YJ) (x -Xj)Z+ (y-yj)2

sind in qi bezüglich x - x1 bzw. y- y1 ungerade Funktionen, so daß

ff

_[dx, dy]

z-Ci

qJ

l

= O.

l

Die Koeffizienten werden deshalb durch die Gleichungen

h 2 , ( ') • I ( ') I ( ") PI J -~Pz J = - 2n w J {14.3.2)

wm

1-w(j)w(j)

~ . pfi(j)-ip~I(j)=+!!:...w'(j)l 1-W(J) w(J) 2n

für (XJ, YJ) E @ festgesetzt.

'

+,e-2 X(j)l '! uds

14.3 Eine numerische Lösungsmethode

347

Liegt der Aufpunkt (xb y1) auf dem Rand, so müssen die Singularitäten der Randwerte von an berücksichtigt werden, während p~ (j) und p~(j) wegen GI\ds = 0 verschwinden. Für einen Randpunkt gilt w(j)

=

1.

I , so daß sich nach (14.2.i) die singulären Anteile von

W(J) ds

G~- i 0~1

im Aufpunkt verdoppeln. Deshalb ersetzen wir p\1 (j)- ip~1 (j) durch eine Näherung von

s·r

_ _.!:_

j_

n

qJ

n Ql

[dx, dy]

z- C1

+

2h2 w'(j)X(j). 2 n 0' ds

f

Um das Integral elementar auswerten zu können, wird das Randstück @ n q1 durch die Tangente in (x" y1 ) ersetzt. Dadurch wird das Inte-

h

Abb. 14.3.1

grationsgebiet durch ein Polygon berandet. (siehe Abbildung 14.3.1) Zur Auswertung des Integrals benötigen wir die Größen

d~ =

r

+ (; -

(; - Llx

d~ = (; + Llx) + (; 2

r'

Lly

Lly)

2

,

+ Llx) 2 + (; + Lly) 2 ,

tFa =

(;

~=

(; - Llx

r

r'

+ (; + Lly

348

14. Einige Bemerkungen zur numerischen Behandlung

mit denen sich aus den Gleichungen h sinf) 1 =

h

--Llx

2-Lly

cosD 1 =

-~­

dl

2

-~­

dl h

h

sinf) 2 = . {)

Sln

. {)

Sln

-+Llx

2-Lly

2

cos {)2 = - --=-d2 h

-~­

d2 h

-+Lly 3

4

=-

=-

-+Llx 2

2

h

cos {)3 = - ----;-d3 h

2

cos {) 4 = ----;--

-~dc---3-

--Llx

-+Ax

2

---,d,--4 -

d4

die Winkel fh, ... , {) 4 in 0 ~ {)i < 2 n eindeutig bestimmen lassen. Aus x(j) = cosD, y(j) =sinD, ermittelt man den Tangentenwinkel {). Das Polygon kann 3, 4 oder 5 Ecken besitzen, so daß je nach Eckenzahl verschiedene Integrationsergebnisse vorhanden sind. Um alle diese Fälle in einer Formel zusammenzufassen, definieren wir die folgenden Funktionen : für ß ~ IX~ y, 0 ft(IX,

ß, y)

!

=

(1nj

:~:ßiX j+i(ß-IX))

I

I .

siniX -1 ( In . - +~(y-IX) n smy 0

_!_ ( (ß -

/2(1X,ß,y) =

7l

I

IX) + i In cos ß COSIX

)

I)

! ((y-IX)+ilnl:~:~l)

für IX
I

Charakteristik

= ± e K df/>.

Schließlich ergibt sich für die kennzeichnende Pfaffsche Form (7.3.22) des Systems (15.0.9) Damit hat man das Rüstzeug, um Probleme zu untersuchen, die denjenigen von Tricomi, Frankl usw. (Kapitel 6) entsprechen. M. Schneider [1ll] hat kürzlich das Oauchysche Anfangswertproblem für eine parabolische Anfangskurve, die ein hyperbolisches Gebiet abschließt, untersucht. Wir wollen kurz darüber berichten. Das in der Normalform gegebene System sei auf der Kurve f(D = 0) vom parabolischen und in einem angrenzenden Gebiet® vom hyperbolischen Typus. Gegeben seien die Anfangswerte (15.0.10)

U(f)

=

Uo(f),

V(f)

= V 0 (f).

Durch einen Punkt ~ E ® gehen zwei Charakteristiken, von denen wir voraussetzen, daß sie f in den Punkten ~1. ~ 2 schneiden. (Siehe Abb. 15.0.2). Wir integrieren die kennzeichnende Pfaffsche Form (I5.0.9) längs der Charakteristiken ~ 1 ~ und ~ 2 ~·

Abb. 15.0.2

15 Systeme vom gemischten Typus; parabolische Anfangskurve

369

Zur Abkürzung setzen wir (15.0.11)

Ld1J+Lde = Q 3 •

Dann folgt mit (15.0.8) \ß

\ß

\ß

- f K dU+ f dV + f Q3 = S.ßt

\ß,

\ß

f

o;

S.ß·

jß,

\ß

\ß

S.ß.

S.ß.

K dU+

f dV + f Q3 =

o.

Partielle Integration, wegen K(f) = 0, S.ß

- S.ßtf KdU = -(KU)I \ß +(KU)I

jß,

+

\ß

f

UdK

jß,

= -(KU)j + \ß

\ß

f

UdK

jß,

führt zu den Gleichungen

-(KU)

\ß

\ß

I\ß + V($)- V($1) + f u dK + f Q ~

(KU)! +V($)- V($2) \ß

\ß

f

\ßo

3

= 0,

3

= 0.

~

UdK+

\ß

fQ

\ßa

Durch Addition beziehungsweise Subtraktion der beiden Gleichungen ergeben sich die Darstellungsformeln für U, V im Punkt $: (15.0.12a) 2V($) = V($1)+ V($ 2) -

\ß

f

UdK+

\1!1

(15.0.12b)

\ß

f

UdK-

\ßz \ß

1

\ß

3-

\1!1

f \ß

2U($)= Kt$){V($ 2 )-V($ 1 )+1 UdK+

\ß

fQ

fQ

\ß

UdK+1!2 3 -

S.ß.

3,

\ßa

1

f \ß

!23 }·

S.ß.

Läßt man $ in @ variieren, so hat man ein System Volterrascher Integralgleichungen, dessen zweite Gleichung singulär für $ E f ist.

Annahme der Anfangswerte Sind U, V stetige Lösungen von (15.0.12a u. b), dann erkennt man sofort, daß V die Anfangswerte annimmt. Für lim $ - $ 0 E f verschwinden die Integrationswege, also ist lim 2 V($) = 2 V 0 • Zur Unter\1!-\ßo

suchung des Grenzwertes der zweiten Gleichung setzen wir voraus, daß Kin einem Streifen längs f monoton mit dem Abstand von f wächst!>. Dann ist nach dem Mittelwertsatz (wegen K($1 ) = 0) S.ß

f

UdK = UmK($);

Um = Mittelwert zwischen U($) und U($1 ).

jß,

1>

Wegen (15.0.4) erfüllt K diese Monotonieforderung.

370

15. Systeme vom gemischten Typus; parabolische Anfangskurve

Daher folgt (15.0.13) lim 2 U($) = 2 U($ 0 ) +

~ _.. ~oE

fQ JQ jß

jß

r

lim K(1m) { V($2)- V($ 1 ) + .1-'

~->- ~o

3-

~.

3 }.

~.

U nimmt die Anfangswerte nur an, wenn der rechts stehende Grenzwert verschwindet. Zur Bestimmung des Grenzwertes behandeln wir zunächst den Spitzenfall und beachten die Gleichungen (15.0.4) und (15.0.6).

fl(x,y)

Abb. 15.0.3

habe die Koordinaten x, y. Die parabolische Kurve f iällt in die Achse ~ = 0. Die Charakteristiken durch $ sind (s. Abb. 15.0.3) ~

I; •

'YJ+(~, x, y) = y+ (15.0.14)

(15.0.15)

e K (t, 'YJ+(t, x, y)) dt,

X

I;

'YJ-(~, dabei ist

Jl

X,

y) = y-

•

Jt2 eK(t, 'Y}-(t, x, y)) dt, X

•

K = ~2 K(~, 'YJ),

K(~, 'YJ) """'mo

>

o

gesetzt. Die Ordinaten von $2 und $1 ergeben sich für geeigneten abgeschlossenen Gebiet ~ ~ (@ U f) sei

!e!...;;M1,

~ =

0. In einem

!K!...;;Mo.

Dann wird der Abstand $ 2 $ 1 kleiner als 2ll-f0 M 1 !+1 !'YJ-(0, x, y)-'YJ+(o, x, y)j...;;---x2 , V

2+1 und wir erhalten nach dem Mittelwertsatz

0..., !-'...;;I.

Für lim x ...... 0 verschwindet die rechte Seite mit der Ordnung x 1 •

15. Systeme vom gemischten Typus; parabolische Anfangskurve

371

Wir wenden uns zu den Integralgliedern des Grenzwertes in (15.0.13). können wir schreiben als

Q3

Q 3 = A(~, TJ) d~+ Ä(~, TJ) d7J

mit

A, A E ~0 (~).

Es wird \)3

J fJ

_!

X

3

=

\lS1

J (A((~,7J+(~;x,y))+A(~,TJ+(~.x,y))eK~ 2)d~.

, Q~i>]

=

[AQ~·>, Q~~>]

Q(v) Q(jJ)] [Q (v) I + III, li

=

[Q(v) Q{j.l)] I , ~ li

Q(Ä)] [[Q I(v) , Q(jJ)] li , III

(17.2.11)

=

=

•••

dx 1"

[Q~·>, AQ~i>], Q(p)] + [Q(v) III, 11 '

[Q(v) Q{j.l) Q(Ä)] I ,

III •

li ,

Beispiel I): Zwei lineare Formen im R 3 : WI

[wi, wn]

=

A; dx 1,

wn

=

Bj dxj,

i, j

=

1, 2, 3,

= A; Bj[dx1, dxj] = (A 1 B 2 - A 2 B 1 ) [dxl, dx 2 ] + (A2 B 3 - A 3 B2)[dx2 , dx 3] + (A1 B3- A 3 B1)[dxl, dx 3].

Die Koeffizienten sind die kovarianten Bivektoren der durch WI = 0 bzw. w11 = 0 in einem Punkt bestimmten Ebenen, in denen wir

390

17. Lineare i\iannigfaltigkeiten und Pfaffsche Formen

dxi = i;i dt als Koordinaten auffassen. Im R 3 gibt es nur die drei Produkte zweiten Grades

Im Rn sind (:) Ausdrücke zweiten Grades vorhanden: i

i, k

k,


, Qrr> heißen unabhängig, wenn ihr äußeres Produkt nicht Null ist. Beispiel 2): Im Rn seien eine W1. in Parameterdarstellung nach (17.2.2) und außerdem die Pfaffschen Monome ,u-ten Grades Q (!J = II x.;,1 x.~.2 ••• x..i·ll[dld2 u, u , ... , d"J u . \mv

Der Koeffizient ist die Funktionaldeterminante der x 11 , ••• , xi•, sie ist gleich der entsprechenden Komponente des v-Vektors der W1. wie in (17.2.5). Zur Erläuterung betrachten wir den Fall v = 2: x 1 = x 1(u, v), dxi Q< 2>1

\m.

Q( 2 l

= [dx 1, dxk],

= x~du+x~dv, =

[x~du+x~dv, x~du+x~dv]

=

(x~x~-x~x~) [du, dv].

Das sind die Komponenten des kontravarianten Bivektors, der den Tangentialraum der W12 in dem Punkt xj aufspannt. Einem Monom Q(~

B; k (

ox 1 OUA 1

oxk auA• -

ox 1 oxk ) auA• auA,

=

0

Über i, k ist von I bis n und über J.1 , bzw. ~. von I bis v zu summieren.

397

18.1 Das Pfaffsche Problem

auf 3. erfüllt sind. Betrachten wir die Untermannigfaltigkeit für die dua = 0 für a = 3, ... , v ist, so gilt auf dieser Bx 1 Bxk)

Bx 1 Bxk

(18.1.4)

B; k ( Bu1 Bu2 - au2 Bu1

=

32 c 3.,

o.

Die Klammerausdrücke sind die Komponenten des kontravarianten Bivektors des E 2 in einem Punkt der 32 • Eine entsprechende Beziehung besteht für jede 32 c 3•. Allgemein gilt: Eine IDl"cR,. ist Integralmanni!!faltigkeit ~. einer Form f.l-ter Ordnung n(JI.> =

(18.1.5)

:.&

B i 1 ... il' [d X ~~ ,

• • .,

dX 'Jl] ,

wenn im jedem Punkt von 3. die Linearkombinationen der B;1 ••• 1"' mit den kontravarianten Komponenten der f.l-Vektoren jeder 3"'c3. verschwinden: (18.1.6) (Für jede

3. mit

v


I

3.

= 0).

Es genügt daher, Formen p-ten Grades für f.l-dimensionale Mannigfaltigkeiten zu betrachten. Für eine 32 von Q = 0 gilt Gleichung (18.1.4). Wenn man zur Darstellung der 32 andere Parameter ü 1 = = ül(ul, u2), ü2 = ü2(ul, u 2) verwendet, wird die Gleichung (18.1.4) lediglich mit der Funktionaldeterminante multipliziert. Um diese Unabhängigkeit von der Wahl der Parameter zum Ausdruck zu bringen, schreibt man statt partieller Ableitungen Differentiale b1x 1, b2xk und erhält statt (18.1.4) die Bilinearform von Q: B; k ( b1 x 1 b2 xk- b2 x 1 b1xk) = 0.

Ist B;k =-Bk;, so kann man dafür schreiben B11t: b1x 1 b2xk = 0;

ist dagegen B,k+Bkt

~

0, so folgt

(B,It:-Bk;) b1x1 b2xk = 0.

Ganz entsprechend muß für jede

33

einer Form dritten Grades (B 1klsei antisymmetrisch)

die Trilinearform

398

18. Integralmannigfaltigkeiten

verschwinden. Um die Determinanten auszumultiplizieren, verzichtet man auf die "geordnete" Schreibweise und erhält

B; k 1 D1x 1• D2xk • D3 x 1 = 0. Entsprechend erklärt man Multilinearformen. Im allgemeinen setzt man bei einer gegebenen Form Q(J.l) voraus, daß die Koeffizienten B 1k ... , antisymmetrisch sind. Bildet man aber von einer Form, zum Beispiel QC 2 ), die äußere Ableitung

[d, QC 2)] = [dB 1k, dx 1, dxk] = B 1 k. 1 [dx 1, dx 1, dxk], so sind die B 1k • 1 bezüglich l nicht schiefsymmetrisch. Für die Trilinearform ergibt sich

(B;k.r+Bli·k+Bkr.;)blx 1 ·D2xk·b3 x 1 = 0. Man erkennt leicht, daß zu einer Form .u-ten Grades (18.1.5) mit der äußeren Ableitung

[d, Q(J.l)] = B;1 ••• iwr[dx', dx\ ... , dx 1~'] die Multilinearform

(Bik ... st·r+(-l)~'Brik ... s•t+Brri. .. ·s+(-1)~' ... )61x1 D2Xk ... D.ux' = 0 gehört, deren Koeffizienten antisymmetrisch sind. (Die Summe in der Klammer ist über alle zyklischen Vertauschungen der Indizes zu bilden). Jetzt läßt sich das Pfaffsche Problem erläutern: Ein System Pfaffscher Differentialgleichungen entsteht durch Nullsetzen eines Systems Pfaffscher Formen

(18.1.7) ntAr

r

=

. [dxit d ir] 't···'r ' ... , X '

Q~•

lc, = 1, ... , er; r




so ist

Sr

=0

mit

QC~t>

E ~},

I)

auch Integralmannigfaltigkeit von [ d, Q]

=

0.

Die Bedeutung des Satzes liegt in folgendem: Sucht man eine Sr eines Systems .Pfaffscher Gleichungen, so muß auch die äußere Ableitung jeder Gleichung des Systems auf der Sr verschwinden. Folglich kann man ohne Einschränkung der Lösungsmannigfaltigkeiten des Systems die äußere Ableitung jeder Gleichung als neue Gleichung hinzunehmen. Diesen Prozeß nennt man das .Abschließen des Systems. Auf Grund des Satzes von Poincare kann der Prozeß nicht wiederholt werden. Zum Beweis gehen wir aus von der Pfaffschen Form (18.2.1)

Q(l')

= P;

1 ...

;Jdx\ ... , dxi"]

und einer Mannigfaltigkeit (18.2.2) 1> Q

im,= {xi = x(u1 ,

... ,

u')},

!-'+ 1 ",;; r




1)

A;E(~}(®)

1=1

ordnet jedem Punkt x 1 einen En_ 1 zu, in demdieFortschreitungsrichtungen dxi liegen, die (18.3.1) erfüllen. Zu dieser Gleichung müßte nun zur Bestimmung einer Sn-l ihre Abschließung

[d, w]

= 0

18.3 Integrable Pfaffsche Gleichung ersten Grades

401

hinzugenommen werden. Wenn diese zusätzliche Gleichung zweiten Grades gegenüber w = 0 neue Bindungen bewirkt, können wir keinen En-I und auch keine Sn-l mehr erwarten. Soll (18.3.1) eine Sn-l haben, dann muß die Abschließung [d, w] also in irgendeiner Weise von w abhängig sein. Diese Abhängigkeit werden wir nach einigen vorbereitenden Überlegungen untersuchen. Betrachten wir zuerst die Sv die durch einen "regulären" Punkt xb l) gehen. Ohne Einschränkung nehmen wir an, daß An ~ 0 gilt und daß das Koordinatensystem so gewählt wurde, daß xb der o-Punkt ist und der zugeordnete En-l mit der Koordinatenebene Xn = 0 zusammenfällt. Dann läßt sich (18.3.1) in der Form schreiben (18.3.2)

dxn+

n-1

L

akdxk

k=l

Zur Bestimmung einer

=

0,

=

ak{O, .. . , 0)

0.

S1 durch o kann ihre Projektion

(18.3.3)

k=1, ... ,n-1

im En-I gegeben werden. (18.3.2) führt auf die gewöhnliche Differentialgleichung

I

dxn dt

(18.3.4)

=0,

1=0

die eindeutig lösbar ist. Insbesondere kann man als Projektionen der S1 die durch o gehenden Geraden des En-l wählen. Die Richtung einer solchen Geraden wird durch die Komponenten ck eines Einheitsvektors e, das heißt durch den Cosinus der W"inkel mit den Koordinatenachsen ik ck

= cos

4 (e, ik)

= e·ik

festgelegt. Daher sind (18.3.5)

xk(t) = tck,

k=1, ... ,n-1,

xn=O

die Gleichungen der Geraden, die als Projektion der S1 gegeben werden. Wegen

n-1

L

k=l

(ck) 2 = 1 lassen sich die ck z.B. als Funktionen von (n-2)

unabhängigen Parametern al, ... , an- 2 darstellen: (18.3.6)

lc

Die Funktion xn = X(t) der gleichung (18.3.7)

dxn

Tt

n-1

1, ... , n-1.

S1 wird nach (18.3.4) durch die Differential-

=-I ak(c1 t,

.. . , cn-lt, xn)ck,

k=l

11

=

Regulär nennen wir die Punkte, in denen

.

xn(o)

L Ai ~ 0 gilt. •~1

=o

402

18. Integralmannigfaltigkeiten

bestimmt und hängt ab von der Veränderlichen t, den Parametern ck beziehungsweise ck(a1, ... , an- 2) und dem Anfangspunkt. Die Lösung von (18.3. 7) nennen wir (18.3.8)

xn

= X(c 1,

= X(c1(a1,

... , cn- 1, t)

... , an-2), ... , t).

Sie ist eindeutig bestimmt und wegen ak E ~1 existieren die stetigen Ableitungen n

Xt aJ

für

n-1

L (c•t) ~R2 , so daß mit dem Satz von Schwarz x:

11

=

X~aJ

gilt.

•=1

Nimmt man jetzt an, daß neben t auch die ai variabel sind, so wird durch xi(a1, t), l = 1, ... , n-2 nach (18.3.5, 6, 8) eine n-1 dimensionale Fläche bestimmt, die En_ 1 (das heißt xn = 0 im Nullpunkt) als Tangentialraum besitzt. Wir wollen zeigen, daß diese Fläche durch eine Gleichung der Form xn = F(x 1, ... , xn- 1) dargestellt werden kann. Für die Lösung X (18.3.8) errechnet man für jedes T > 0 die Eigenschaft (18.3.9)

x(c1-r, ... , cn-1-r,

denn die für eine feste Zahl

T >

~) =

X(cl, ... , cn-I, t),

0 definierte Funktion

'P(cl, ... , cn-1, t): =X ( c1-r, ... , cn-1-r,

erfüllt mit e =

-Tt

t' -:r)

die gewöhnliche Differentialgleichung

d'P -

dt - T1

d X( 1 de c T, 1 n-1

= -- L:

... '

cn

-1

T,

e

)

(ck-r)ak(c1•e •.. . , cn-1-re, 'P)

T k=1

=-

n-1

L

ck.ak(c1 t, ... ,cn- 1 t, 'P),

k=1

also (18.3.7) und die Anfangsbedingung 'P(O) = 0. Demnach stimmen wegen der eindeutigen Lösbarkeit von (18.3.7) 'P und X überein, was (18.3.9) entspricht. Die n-1 dimensionale Fläche xi(a1, t) kann deshalb n-1 für L (x•) 2 ~ R 2 durch die stetig differenzierbare Beziehung •=1

xn

=

X(xl, x2 ,

.•• ,

xn- 1, 1)

18.3 Integrable Pfaffsche Gleichung ersten Grades

403

beschrieben werden und besitzt damit eine Darstellung, die der Definition einer ID1,._ 1 entspricht. Wenn durch o eine 3,._ 1 von (18.3.1) existieren soll, muß sie mit der soeben konstruierten ID1,._ 1 übereinstimmen, denn sie muß alle Kurven 31 = {x1 = x'(t)} nach (18.3.5) und (18.3.8) enthalten, aus denen wir die ID'ln-1 aufgebaut haben. Wenn durch jeden Punkt in@ eine 3n-1 existiert, dann heißt ro = 0 vollständig integrabel. Der folgende Satz zeigt, daß nicht jede Gleichung (18.3.1) vollständig integrabel ist.

Satz: Eine Pfatfsche Differentialgleichung ro = 0 mit ro E ~1 (@) ist genau dann vollständig integrabel, wenn ro in jedem Punlct von ® einer Gleichung (18.3.10)

[d, ro] = [8, ro]

genügt. Dabei ist e E ~0 (@) eine

geeignet~

Form ersten Grades.

Beweis: Die Formendx1 , .•• , dx"- 1 , ro bildenin der Umgebung eines Punktes aus@, den wir als Nullpunkt o wählen können, ohne Beschränkung der Allgemeinheit für A,. ~ 0 ein vollständiges Formensystem:

[dx1 ,

••• ,

dx"- 1 , ro]

0.

~

Daher läßt sich die Form [d, ro] als Linearkombination der alternierenden Produkte i1




0

408

18. Integralmannigfaltigkeiten

erfüllen das System (18.4.6) sowie die Anfangsbedingungen lfli(O) = 0. . M1t

e = -Tt

g1"1t

. 1 n-r 1 dXl dlf'i = - - = - L (ck·T)·Bk(cl.r: e. ... , cn-r.". T k=1 d(! T dt n-r . r L...' ck Bik (c1 t , .•• , cn-r t , JTrl) -_ "

-

e.

lJII)

k=1

Demnach stimmen Xi und lfll überein, denn (18.4.6) hat genau eine Lösung mit Xi(O) = 0. n-r Also ist die Fläche (18.4. 7) für L (xk) 2 ~ R 2 durch die stetig differenk=1

zierbaren Funktionen xi = Xi(xl, x2 ,

(18.4.9)

••• ,

xn-r, 1)

j = n- r + 1, ... , n,

darstellbar. Diese Darstellung entspricht der Definition einer 9Jln-r in 16.2. Die 9Jln-r (18.4.9) beziehungsweise (18.4. 7) kann für jedes, auch für ein nicht vollständig integrables System (18.4.1) berechnet werden. Wir wollen nun zeigen, daß die 9Jln-r wegen der Integrabilitätsbedingung (18.4.3) sogar eine 3n-r ist. Dazu benutzen wir Darstellung (18.4. 7). Wegen (18.4.4) und (18.4.6) gilt auf der Wln-r n-r-1

(18.4.10)

L

wi\ Wln-r

S1( al, ... ' an-r-1, t) dal

1=1

mit den Koeffizienten (18.4.11)

.

s1 =

) 8ck . n-r (8Xi L: -8ck -t Bi\\lnn_,. -8a1 -

k=1

Wir wollen zeigen, daß wi auf Wln-r verschwinden, also daß S{ identisch verschwinden. Für t = 0 gilt schon (18.4.12)

S{(al, •.. , an-r-t, 0} = 0,

wie aus (18.4.11) mit Hilfe von Xi (ct, ... , cn-r, 0) =

o

folgt. Wir müssen also noch für t "t. 0 das Verschwinden der S{ beweisen. Dazu benötigen wir für Si eine weitere Beziehung, die uns die Integrabilitätsbedingung (18.4.2) liefern soll. Die Si sind wegen (18.4.6) zwar nach t auf Grund des Schwarzsehen Satzes stetig differenzierbar, nach a• jedoch im allgemeinen nicht. Deshalb differenzieren wir in (18.4.2) zunächst nach den Variablen xi und schränken erst nach dem Differenzieren auf Wln-r ein. Diese Methode ist etwas aufwendiger als die in (18.3.13) verwandte, die wir auch hier heranziehen könnten. Jedoch soll hier einmal (18.4.2} direkt verwendet werden. ·

18.4 Integrables Pfaffsches System ersten Grades

409

Aus (I8.4.2) folgt wegen (I8.4.4) die Beziehung n-r

- L

k=l

n

L

[dB{,dx"] =

Tl.k, = Tl.k, im folgenden nicht.

Dabei interessieren die Koeffizienten Aus (I8.4.ll) erhalten wir wegen

ax·

n-r

at

k=l

--' =

die Beziehungen

[8~, roK_),

~=n-r+l

L ckB{

as1_ ~'(ckaB{_taB{ oqk) ot - k=l oa1 ot oa1 '

so daß (I8.4.I3) wegen der Unabhängigkeit von a 1 , ••• , an-r-I, t auf ID1n-r für S1 das lineare homogene System gewöhnlicher Differentialgleichungen

as1

Tt

n

L

~=n-r+l

p,~Si,

j = n- r + J., ... , n

liefert. Die Koeffizienten p,~ sind dabei stetige Funktionen. Wegen der homogenen Anfangsbedingungen (I8.4.I2) erzwingen sie bekanntlich das identische Verschwinden der S1 ([64], S.l 168), was nach (I8.4.IO) roA[

m,._,

= 0

bedeutet. (I8.4.9) stellt demnach die gesuchte Sn-r dar. Diese ist die einzige Sn-" denn die durch (I8.4.5) bestimmten S1 c Sn-r sind eindeutig durch (I8.4.5) und xk(O) = 0 festgelegt. Aufgabe 1 : Man zeige: Die Bedingungen [d, wA] =

r

L [~ro~],

A. = I, ... , r

und

~=1

([d,ro.:l],rol,ro 2 ,

•••

,ro'] = 0,

. A. =I, ... , r

sind äquivalent. Aufgabe 2: Man gebe zu (I8.4.4) eine affine Transformation der x' an, so daß der durch (I8.4.4) bestimmte En-r in 0 in dyn-r-I = ... = dyn = 0 übergeht.

l8o Integralmannigfaltigkeiten

410

Aufgabe 3 : Man bestimme Lösungsmannigfaltigkeiten höchster Dimension zu a)

w1 w2

= -2wydy+2(w-z)dz+(2w+x2)dw = 0, = -xdx-(2wy+y)dy+{2(w-z)+1}dz+{2w+x2+1}dw = 0,

w 1 = (xy+x+w)dx+(y 2 -y+z)dy+(x-y)dw = 0,

b)

w2

= (x 2+x+w)dx+(xy-y+z)dy+(y-x)dz = Oo

Aufgabe 4*: Betrachtet man das Pfaffsche System (18.4.4) zunächst für x1 = x 2 = = xn-r- 1 = 0 und variables xn-r, so bestimmt (18.4.4} mit dx1 = dx 2 = o o o = dxn-r- 1 = 0 eine 31 durch 0

= 0, n- r + 1,

0: x1

j =

0

0

0

0

xn-r-1

0'

0

0

0

,

= 0,

xn-r

= xn-r,

xi

= fi (0,

0

0

0'

0, xn-r},

n, die den Integralgleichungen

fi(O, o o o' 0, xn-•) ,xn-r

J

BL,(O, 0 • o o' 0, ~n-r, fn-r+l(O, o o o' 0, ~n-r), o 0 0' tn) d~n-r,

~n-t"=O

j = n-r+1,

0

0

.,

n

genügt. Betrachtet man diese 31 als Anfangskurve, durch die man für x1 = x2 •.• = xn-r-2 = 0, xn-r = konst. eine 31 mit der Veränderlichen xn-r- 1 legt, so genügt die neue 31 : x1 = 0, ... , xn-r- 2 = 0, xn-r- 1 = = xn-•- 1, xn-r = konst., xl = fl(O, 0, xn-r- 1, xn-r = konst.), j = = n- r + 1, ... , n den Integralgleichungen o

•• ,

fi (0, 0, ... ' 0, xn-r-1, xn-r) = xn-r-1

f

B in-r-1 (0 ,., 0 ,~t:n-r-1 ' xn-r ' tn-r+1(0 , . , 0 ,~t:n-r-1 ' xn-•) ,., tn) dt:n-r-1 Ii

~n-r-t=O

+fl(O, ... , 0, xn-•),

j = n- r + 1, .. 0, n.

Läßt man den Anfangspunkt auf der ersten 31 variieren, so erhält man eine~- Nun kann man einen Punkt dieser~ als Anfangspunkt einer neuen 31 mit der Variablen xn-r- 2 zu (18.4.4) wählen und eine j)R3 konstruieren. Setzt man diese Konstruktion schrittweise fort, so erhält man nach n-r Schritten eine ann-r mitden Unabhängigen x 1 , .•• , xn-r, deren Funktionen fi(x 1, ... , x"-') dem System Volterrascher Integralgleichungen f i(x1 ' ... , xn-r) -n-r x" L Bt(O, ., 0, ~k, xk+1, ., xn-r, tn-r+1(0, .o, ~k, xk+l, ., x"-'), 0' /")d~k k=1

f

~k=O

411

18.5 Beispiel einer Glewhung ersten Grades im R,

genügen. Man beweise für dieses System: I) Es gibt ein Gebiet @ 1 , in welchem dieses System genau eine Lösung 1 , ••• , tn E ~ 1 (® 1 ) besitzt.

r-r+

2) Wenn die Integrabilitätsbedingungen (18.4.2) erfüllt sind, genügen die Lösungsfunktionen r-r+l, ... , tn dem Pfaffschen System (18.4.1). (Anleitung zu 1): [131]). 18.5 Beispiel einer Pfaffschen Gleichung ersten Grades im R4 Zur Einführung in die Theorie Pfaffscher Systeme wollen wir einige einfache Beispiele behandeln. Im R 4 mit den Variablen x, y, z, t sei die spezielle Form ro und ihre äußere Ableitung gegeben:

(18.5.1)

[d, w] = [dz, dx].

ro = zdx+dy+dt;

Wegen [ro, dw] = [dy, dz, dx]+[dt, dz, dx]

(18.5.2)

~

0

ist (18.5.1) nicht vollständig integrabel. Gesucht ist eine der Form

32 ,

die sich in

z = z(x, t)

y = y(x, t),

darstellen läßt. Wir geben zwei Lösungswege dieser Aufgabe an:

a) Lösung ohne Rücksicht auf die Theorie der Pfaffschen Formen Es wird roJ

[d,

roJj

3. 3.

= (z+yx)dx+(y 1 +l)dt = 0, = z1 [dt, dx] = 0.

Daraus folgen die partiellen Differentialgleichungen Zr

= 0,

Yx

= -z,

Yt = -1

und die Lösung

(18.5.3)

z = (~) d~- (t-to). xo

b) Lösung im Hinblick auf die Theorie der Formen Wir bestimmen in einem Punkt für das ro = 0 ist. Es sei

(18.5.4)

~

des R 4 ein Richtungselement Ev

412

18. Integralmannigfaltigkeiten

Jetzt bestimmen wir ein zweites Richtungselement b2 x, ... , b2t, das mit b1 x, ... , b1t ein E 2 erzeugt. Für E 2 muß w = 0 und die Polarform von [d, w] Null sein:

= =

b2 y+z b2 x+ b2 t

(18.5.5)

-

b1 z b2x

b2z

l\X

0, 0.

Das ist ein System von zwei homogenen linearen Gleichungen für die b2 - Größen. Der Rang des Systems ist im allgemeinen gleich 2. Nur wenn die Gleichungen b1z

(18.5.6)

=

=

b1 x

= + b1t

b1 y

und

0

erfüllt sind, reduziert sich der Rang auf I. Man nennt ein E 1 von (18.5.4), für das sich der Rang von ( 18. 5.5) erniedrigt, ein singuläres Richtungselement beziehungsweise einen singulären E 1 • Für singuläre E 1 liefert die Abschließung keine zusätzliche Bedingung; durch jeden singulären E 1 gehen oo 1 Integralelemente E 2 von (18.5.4). Zur Bestimmung einer 02 geht man folgendermaßen vor: Zuerstsuchen wir eine 0v die kein singuläres E 1 enthält; das heißt, wir suchen eine Kurve x(u), y(u), z(u), t(u), die (18.5.4) erfüllt, nicht aber (18.5.6). Wählen wir willkürlich (18.5. 7a)

x

dann folgt für die

=

u,

z

=

= 0 die äußere Ableitung hinzunehmen und erhalten in einer für beliebiges n gültigen Schreibweise das Pfaffsche System : (18.6.6)

B;k[dxi, dxk]

=

0,

B;k. 1[dx 1, dxi, dxk]

=

0.

Es seien b1xi, o2xi unabhängige Lösungen von (18.6.3). Dann soll es eine von b1xi, o2xi unabhängige Richtung dxi geben, die den folgenden Gleichungen genügt: (18.6.7)

B;kllbtxidxkll

= 0,

Bikllb2xidxkll

= 0,

Das sind lineare Gleichungen für die Komponenten des tangentialen Bi- beziehungsweise Trivektors des E 3 • Da dxk = o1 xk und dxk = o2xk Lösungen des Gleichungssystems sind und für ein E 3 ein dritter unabhängiger Vektor dx 1 Lösung sein muß, if;lt für ein E 3 im R 4 nötig, daß das lineare homogene Gleichungssystem mit den Unbekannten dxk drei unabhängige Lösungen, das heißt, den Rang 1 hat. Das ist sicher nicht der Fall, da schon die beiden ersten Gleichungen für D ~ 0 voneinander unabhängig sind. Eine Pfaffsche Gleichung zweiten Grades im R 4 hat für D ~ 0 keine Sa·

416

18. Integralmannigfaltigkeiten

Der Fall D = 0 im R 4 : Verschwindet die Determinante D (18.6.5) nicht nur in den Punkten einer [1(3 , sondern in einer vierdimensionalen Umgebung ()h eines Punktes l,ß, so nennen wir die (inneren) Punkte von Qh wieder "reguläre" Punkte (die Bezeichnung "regulär" bezieht sich stets aufinnere Punkte eines n-dimensionalen Gebietes). Nach (18.6.5a) bedeutet D = 0, daß in ()h die Größen B; k Komponenten eines kovarianten Bivektors sind, das heißt, es gibt zwei Vektoren a;, b;, so daß in % giltl> Bik

Für D

= jja;, bk\1

= 0 ist Q


Q< 2> = B;k[dxi, dxk]

und

=

[a;dxi, bkdxk].

das äußere Produktzweier Linearformen, m1 = a; dxi,

m 2 = bk dxk.

Nach dem Beweis des Zerlegungssatzes (Abschnitt 17.3) folgt: Sind B;k E ~r in Qh, so gibt es eine Umgebung @2 von l,ß, in der a;, bk E ~r sind. Im Falle D = 0 in @2 kann die Pfaffsche Gleichung zweiten Grades (18.6.1) durch eine Linearkombination der beiden Pfaffschen Formen m1 , m2 ersetzt werden: w

Es gibt also

03 ,

=

Al Wl

+ A2 W2 = 0.

= 0 (Abschnitt 18.3) ist.

wenn in @2 [m, dw]

Beispiel: Die Gleichung Q, dQ\ 2>] 0, Rang der Determinante = 4: Ist Punkt eines fünfdimensionalen Gebietes@, in dem (18.6.13)

~

innerer

(18.6.14} identisch verschwindet, so hat das Gleichungssystem (18.6. 7) in @ den Rang 2. Wir sagen, das System hat in "allgemeinen Punkten" den Rang 2. Durch jeden E 2 (regulär erster Stufe) geht ein E 3 • Wir wollen zeigen, daß durch jede reguläre S2 eine Sa geht. Eine 01 dürfen wir beliebig, insbesondere regulär vorgeben. Es sei 01 = {xi = x&(u)}. Eine S2 , die diese 01 als Anfangskurve enthält, sei dargestellt durch zwei Parameter u, v derart, daß v = 0 die Anfangskurve ist: (18.6.15} In jedem Punkt muß

02 die Gleichung (18.6.9} erfüllen, wenn wir

setzen. Das führt zur partiellen Differentialgleichung (18.6.16} Angenommen, es gilt x~ op 0, dann können wir nach x~ auflösen. Werden xl, x 2 , x3 , x 5 als Funktionen beliebig regulär vorgegeben, aber so, daß die Anfangsbedingungen (18.6.15) erfüllt sind, dann ergibt sich für x4 eine partielle Differentialgleichung der Form (18.6.17) die bei analytischer Funktion F nach dem Satz von Cauchy-Kowalewski eine Lösung mit den Anfangswerten xÖ(u) besitztl). 1> Die Gleichung ist linear in xt, xt und daher unter schwächeren Voraussetzungen lösbar, wie wir in Abschnitt 20.1 sehen werden.

420

18. Integralmannigfaltigkeiten

Ganz analog bestimmen wir eine 3 3 , die die soeben gewählte 02 = xi(u, v)} als Anfangs-32 besitzt. Die 3 3 sei dargestellt durch:

= {xi =

(18.6.18)

33

= {xi = xi(u, v, w); xi(u, v, 0) = xi(u, v)}.

Wegen [Q, dQ< 2>] = 0 brauchen wir nur die beiden ersten Gleichungen (18.6. 7) zu erfüllen. Wir setzen wieder ' = 0 erfüllt; das heißt, daß Gleichung (18.6.16), die nur für w = 0 nachgewiesen wurde, identisch in w gilt. Mit den Variablen x1 , x 4 geht (18.6.16) über in den Ausdruck

SI

jW=O

=

0.

Wegen (18.6.14) ist:

B12·s=(}B12,

Ba4·s=eBa4

also gilt

1> Für x 5 könnte man ansetzen x 5 = x 5 (x', x 4, w) mit xs(xl, x', 0) = xj(x', x'); der Ansatz (18.6.21) bedeutet eine spezielle Wahl des Parameters w.

18.6 Pfaffsche Gleichungen zweiten Grades

Wegen S

S

\w=o =

421

0 liefert diese lineare homogene Differentialgleichung

=0. Daher ist die ?ffi

3

(18.6.21) die gesuchte

Ss durch die Anfangs-02·

Der Rang der Matrix B;k sei 2: Wenn der Rang der Matrix kleiner als 4 ist, kann er nicht größer als 2 sein, da der Rang einer schiefsymmetrischen Matrix stets eine gerade Zahl ist. Schon im R 4 zeigte sich, daß in diesem Fall Q< 2 > ein Monom ist. Im Beispiel (18.6.8) hat die Matrix nur den Rang 2, wenn B 12 ·B34 = 0 gilt. Wir wählen B 12 = 0, B 3 , ~ 0 und erhalten Q = [dx 3 , dx 4]. Das Beispiel wird trivial: Jede ,S 4 = = {x;! F(x 3 , x 4 ) = 0} ist Lösung. Eine allgemeine Form zweiten Grades im R 5 läßt sich nach dem Zerlegungssatz von Cartan (Abschnitt 17 .3) mittels vier unabhängiger Linearformen w1 , w 2 , w3 , w 4 auf die Gestalt bringen Qt 2> = B12 [w1, w2]+ B3 4[wa, W4]. Ihre Matrix hat den Rang 4, wenn B12 ·B34 o;e 0 ist. Wenn die Determinante den Rang 2 hat, läßt sich also Q< 2> als Monom schreiben: Q< 2> = [w1, w2].

Wegen

ist stets [Q< 2>, dQ< 2>] = 0. Das Problem ist äquivalent der linearen Pfaffschen Gleichung ersten Grades Aw 1 + Bw 2 = 0; auf eine weitere Diskussion wollen wir verzichten.

422 19. Existenz von lntegralmannigfaltigkeiten

Wir betrachten das allgemeine Pfaffsche System:

Fl.o(x 1 , 0J

(19.0.1)

Q J. 2

;.,

== BÄi i

2 ( 1 2

=

A"'i (X,1

1 X , • • •, X

• •• ,

··.,X

xn) = o,

.?.0

= 1,

... , r 0 ,

n) d X i = 0 ,

n) [d X·i, , d X i = O, 2]

-o_ "• = B~·'I···'•· [dxi• ' ... , d X i,]

=

0,

As = 1, ... , r 5 •

Die Koeffizienten werden dabei antisymmetrisch vorausgesetzt. Zu diesem allgemeinen System versuchen wir Integralmannigfaltigkeiten zu finden, auf denen die Gleichungen ( 19.0.1) erfüllt sind. Da auf einer Integralmannigfaltigkeit auch die Abschließung einer Gleichung nach dem Satz von Cartan (Abschnitt 18.2) erfüllt wird, erweitern wir das System (19.0.1) durch Hinzunahme aller Abschließungsgleichungen. Die Integralmannigfaltigkeiten von ( 19.0.1) werden wir stufenweise aufbauen: Zuerst bestimmen wir einen Anfangspunkt So, der die Gleichungen "nullten" Grades erfüllt. Durch ihn bestimmen wir dann eine Sv auf der die Gleichungen ersten Grades erfüllt sein müssen. Die Gleichungen höheren Grades werden von einer S1 automatisch erfüllt. Durch die S1 wird dann eine S2 bestimmt. Diese muß die Gleichungen bis zum zweiten Grade erfüllen. Wir werden also stufenweise aus einer Integralmannigfaltigkeit S. eine Integralmaimigfaltigkeit S•+1 aufbauen usf. . Man bemerkt schon, daß mit steigenden Stufen die Gleichungszahl stark zunimmt, so daß dieser Prozeß sehr bald abbrechen wird. Dann haben wir eine Integralmannigfaltigkeit "höchster Dimension" bestimmt. 19.1 Pfaffsche Gleichungen nullten Grades und Anfangspunkt So Ein Anfangspunkt So = {xh} = E 0 muß die Gleichungen nullter Stufe (19.1.1)

F"•(x~, ... , x~)

=

0,

).o

= 1, ... , ro

19.2 Formen ersten Grades und Aufbau einer

~ 1 durch~.

423

erfüllen, wenn er auf irgendeiner Integralmannigfaltigkeit liegen soll. Die Gleichungen (19.1.1) bilden eine Einschränkung des Rn· In irgendeinem Punkt des Rn bilden diese Funktionen soviele Einschränkungen wie der Rang s0 der Funktionalmatrix

((a;::·)),

Ao

=

1, ... , ro,

i

=

1, ... , n

beträgt. Der Rang s0 ist abhängig von (x1 , •.• , xn). Wenn s0 in einem betrachteten Punkt den gleichen Wert wie in einer n-dimensionalen Umgebung hat, heißt dieser Punkt regulärer Punkt nu-llter Stufe, im anderen Fall singulärer Punkt nullter Stufe. Wählen wir den Anfangspunkt So von ( 19.1.1) als regulären Punkt nullter Stufe, so gehört zu ihm eine ganze n-dimensionale Umgebung, in der die Funktionen F 1 , • . . , F'-• s0 unabhängige Funktionen sind, so daß die Menge aller So in dieser Umgebung ebenfalls nur aus regulären Punkten nullter Stufe bestehen kann. Setzen wir F'-o E ~ 1 voraus, so gibt es immer reguläre Punkte nullter Stufe; sie bilden eine offene Punktmenge im Rn. 19.2 Pfaffsche Formen ersten Grades und Aufbau einer

S1 durch So

Für die Existenz einer S1 ist die Existenz von E 1 im Anfangspunkt und einer Umgebung notwendig. Ein E 1 = {dx1} erfüllt die Gleichungen ersten Grades, das sind die Abschließungen von den Gleichungen nullten Grades und die in (19.0.1) gegebenen Gleichungen ersten Grades: dFJ.o = F~~dx 1 = 0, ..A. 0 = 1, ... , r0 , (19.2.1) ol• = A:• dx 1 = 0, Der Rang dieses linearen Gleichungssystems für dx 1 sei Sv er ist eine Funktion des betrachteten Punktes (x 1 , . . . , xn) ERn und erfüllt s 1 ~ r0 +r 1 • Wenn s 1 in dem betrachteten Punkt und einer n-dimensionalen euklidischen Umgebung konstant ist, dann heißt der Punkt regulärer Punkt erster Stufe. Andernfalls heißt der Punkt singulärer Punkt erster Stufe. Sind in einem regulären Punkt erster Stufe einige der Gleichungen (19.2.1) voneinander abhängig, dann sind sie wegen des konstanten Ranges s 1 auch in einer n-dimensionalen Umgebung voneinander abhängig, so daß dort einige der Gleichungen (19.2.1) fortgelassen werden können. Nun nehmen wir für die weiteren Überlegungen an, daß der Anfangspunkt E 0 = So = {xb} in Abschnitt 19.1 als regulärer Punkt erster Stufe gewählt worden ist. Damit eine nichttriviale Lösung E 1 = {1\x1}

424

19. Existenz von Integralmannigfaltigkeiten

der Gleichungen ersten Grades (19.2.1) vorhanden ist, verlangen wir 8 1 < n. Für die noch unbekannte 31 machen wir den Ansatz

31 = {xi = xi(u)},

o1xil = x~du, 3.

xi(O)

= x~.

Dann wird aus (19.2.1) das lineare Gleichungssystem für die ersten Ableitungen x~: F~~x~ = 0, (19.2.2) A1' x~ = 0. Es kann nach 8 1 Ableitungen x~, ... , x:• aufgelöst werden; wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit so numerieren, daß gerade nach x!, ... , x~' aufgelöst werden kann: (19.2.3) X s1

_

u -

.m.s1 (x1 ' • • •' ~

...s1 + 1 ' • • • ' ' Xu

x" .

xn)

u •

Da 8 1 in einer n-dimensionalen Umgebung von 3o konstant bleibt, ist die Auflösung (19.2.3) sogar in einer ganzen n-dimensionalen Umgebung gültig, und die Funktionen f/Jl, ... , f/J'1 hängen von x~•+ 1 , ••• , x~ analytisch ab. (x~•+l, ... , x~ dürfen dabei beliebige Werte haben.) Von den restlichen Variablen x 1 , .•• , x" hängen f/J1 , . . . , (/J'1 unter den Voraussetzungen pA., E Q;2 , At• E Q;1 stetig differenzierbar ab. · Wählen wir n- 8 1 Funktionen x••+l(u), ... , xn(u) E Q;1

(19.2.4)

n

und

L

j=s1 +1

und setzen sie in die Funktionen fP\ tionen .. Setzt man diese Funktionen in (19.3.4) ein, so erhält man aus lf'\ ... , ps, neue Funktionen 1{1\ ... , ps•, und aus (19.3.4) wird das Cauchysche Anfangswertproblern x~

== P 1 (x;t, ... , x;'2;

x~, ... , x~' 2 ; u, v),

x;1 (u 0)

'

=

X;11

13.'

(19.3.6) Xui,,( 1l,

0)

=XI, '

I

3,

•

für xi'(u, v), ... , x;'•(n, v). Wenn uns nicht spezielle weitere Eigenschaften des Systems (19.3.6) bekannt sind, steht uns für ein solch allgemeines Problem nur der Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski zur Verfügung. Wir verlangen deshalb, daß die Koeffizienten der Formen (bis zum zweiten Grade) analytische Funktionen sind und die 31 sowie die willkürlichen Funktionen (19.3.5) analytisch gewählt werden. Dann sind lf'\ ... , ps• und damit P\ ... , ps• wegen der Regularität von 3t in einer Umgebung von 31 von allen Variablen analytisch abhängig. Folglich existiert nach dem Satz von Cauchy-Kowalewski (Abschnitt 1.6) genau eine analytische Lösung x;'(u, v), ... , x;'•(u, v) von (19.3.6). Sie bestimmt zusammen mit den Funktionen (19.3.5) eine 9R2 durch 31 • Wir müssen nun zeigen, daß diese Mannigfaltigkeit eine 32 ist. Da auf der 9R2 (19.3.3) erfüllt wird, gilt

r;i•[ Setzen wir

m.

=

0.

"I m, =R'(1t,v)dn+ " Q" (u,v)dv,

w'

1

so liefert ebenfalls (19.3.3) 0

also Q;.'

= A1·x~[

\J.n2, U=konst.

dv

= w"';l.

\J.n,, U=konst.

=

Q;.'dv,

=0. Außerdem gilt wegen (19.3.3) [d,w"•JI

l\m2

= 0,

woraus sich mit dem Satz von Cartan (Abschnitt 18.2), Formel (18.2.4) 0

=

[d,

w"•J[

m,

=

[d,

aR"• (w••l )] = a [dv, du], Im.

v

I> Wenn diese Größen linear abhängig sind, folgt aus (19.3.3) die lineare Abhängigkeit von x~(u, 0) und x!(u, 0), so daß diese beiden Vektoren längs S1 keinen E 2 aufspannen.

19. Existenz von Integralmannigfaltigkeiten

428

also (19.3.7) ergibt. Nach Konstruktion ist

o/'j

9Jl,, v=O

wc21v=O = 01.

= o/''j

wir erhalten die Bedingung

= R;.'(n, O)du =

3,

0,

so daß mit der Differentialgleichung (19.3.7) das identische Verschwinden von RA,, also

folgt. Ganz entsprechend können wir aus der ohnehin erfüllten Gleichung [d, dF~JI ,SJJ Dabei ist v + 1 ~ n- s,.+ 1 voransgesetzt.

1> Geht man von u 1 , ••• , u•, v zu euklidischen Koordinaten über, so werden v + 1 der willkürlichen Funktionen eliminiert. Für die 0v+I ist demnach nur die Wahl von n- s.+l- (v + l) Funktionen von den gewählten euklidischen Koordinaten wesentlich.

434 20. Partielle Differentialgleichungen als Systeme Pfaffscher Gleichungen

Schon an einigen Beispielen sowie im ersten und zweiten Teil wurde gezeigt, daß sich partielle Differentialgleichungen als Systeme Pfaffscher Gleichungen schreiben lassen. Wir wollen in diesem Kapitel die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung aus den Ergebnissen des vorigen Kapitels entwickeln und anschließend partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung und Systeme von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung in zwei unabhängigen Veränderlichen unter neuen Gesichtspunkten betrachten.

20.1 Die Differentialgleichung F(x, y, z, zx, zy)

=0

In einem Gebiet @ des euklidischen Raumes Rg werden Funktionen z = z (x, y) gesucht, die mit ihren partiellen Ableitungen Zx, Zy die gegebene Gleichung

F(x, y, z, Zx, Zy) = 0

(20.1.1)

erfüllen. Die Stetigkeitsforderungen, die an F zu stellen sind, werden sich während unserer Überlegungen ergeben. Nach E. Cartan betrachtet man x, y, z, p = Zx, q = Zy als unabhängige Variable eines R 5 • Gesucht wird im R 5 eine ~2 , die folgenden Gleichungen genügt: (20.1.2a)

F(x, y, z, p, q) = 0,

(20.1.2b)

dz-pdx-qdy = 0.

Dazu kommen durch Abschließung (20.1.2c)

F 2 dz+Fxdx+Fydy+Fpdp+F qdq = 0,

(20.1.2d)

[dp, dx]+[dq, dy] = 0.

Durch die erste Gleichung (20.1.2a) wird eine ffi( 4 im R 5 gegeben. Man sucht ~2 in der ffiC 4 • Die beidenlinearen Gleichungen (20.1.2b u. 2c) werden im allgemeinen den Rang 2 haben. Wir bestimmen die singulären Punkte, für die der Rang gleich 1 ist. Man übersieht sofort, daß für (20.1.3)

Fp = 0,

Fq = 0,

Fx+PFz = 0,

Fy+qF,_ = 0

20.1 Die Differentialgleichung f(x, y, z, z"' z.)

=

0

435

die beiden Gleichungen voneinander abhängig sind. Nehmen wir an, die beiden ersten Gleichungen (20.1.3) sind auflösbar nach p und q, das heißt, es sei (20.l.3a) dann sind dadurch p, q als Funktionen von x, y, z erklärt, die man in (20.l.2a) einsetzen kann. Dadurch erhält man die Funktion (20.1.4)

F(x, y, z, p(x, y, z), q(x, y, z))

= konst.

welche z als Funktion von x, y bestimmt. Die Konstante ist willkürlich. Die dritte und vierte Gleichung (20.1.3) sind daher eine Folge der drei (endlichen) Gleichungen:

Fp = 0,

(20.1.5)

Fq = 0,

P = konst..

Wenn der Rang der Funktionalmatrix dieses Systems gleich 3 ist, wird für jeden Wert der Konstanten eine singuläre 9)(2 im R 5 bestimmt. Die singulären Punkte erster Stufe liegen demnach auf einer Schar von W1 2 im R 5 • Setzt man die Konstante gleich Null, so erfüllt die zugehörige W1 2 die Gleichungen (20.l.2a u. b ), ist also eine S2 • daher gilt: Ist (20.1. 3a) erfüllt und F7, + P'; + P; ~ 0, dann hat die partielle Differentialgleichung (20.1. 2a u. b) beziehungsweise (20.1.1) eine singuläre Lösung die durch Eliminationen bestimmt werden kann. Im folgenden werden die singulären Punkte ausgeschlossen.

sz,

E 1 und S1 durch reguläre Punkte ( P~ + P~ ~ 0)

In einem regulären Punkt ~ gelten für einen E 1 die beiden Gleichungen (20.1.2b u. c). Nehmen wir an Fq ~ 0 (andernfalls könnte man p, q vertauschen), so kann man lhx, ~Jry, Ö1 p willkürlich vorgeben und ö1q, ö1z bestimmen. Ist So = {xo, yo, zo, po, qo} ein regulärer Punkt der W1 4 (P = 0) und sind x

= x(u), y = y(u), p = p(u) mit x(O) = x 0 , y(O) = y 0 , p(O) =Po

beliebig gegebene Funktionen, so führt die Bestimmung der sl durch So auf das System gewöhnlicher Differentialgleichungen dz du

dx

dy

= p du + q du ;

(20.1.6)

Für P E Q:: 2 besitzt das System genau eine Lösung z (u), q (u) mit den Anfangswerten z(O) = Zo, q(O) = qo. ([64], s. 89.) Eineslist durch Vorgabe von So und der Funktionen x, y, p eindeutig bestimmt.

43ß

20. Part idle Differentialgleidumg als Pfaffsehes System

Später wird man die Ergebnisse vom R 5 in den Ausgangsraum Rg zurückübertragen. Dabei wird es wünschenswert, eine S1 durch Vorgabe von x(u), y(u), z(u) festzulegen. Da längs der S1 stets F = 0 ist, gelten die Gleichungen (20.l.i) F(x(u), y(u), z(u); p, q)

dz dx dy --p--q-=0. du du du

= 0,

Wenn in So die Funktionaldeterminante bezüglich p, q nicht verschwindet: (20.l.ia) dann gibt es eine Umgebung von So, in der (20.l.i) nach p, q auflösbar ist, also p(u), q(u) und damit die S1 durch So bestimmt ist.

E 2 und

Sz

durch E1 beziehungsweise S1; singuläre E1

In einem regulären Punkt l.:ß sei eine S1 mit {o 1 x, o1 y, o1z, o1 p, () 1q} gegeben. Aus (20.1.2 b, c, d) erhält man für die Richtungen des E 2 die drei Gleichungen

dz (20.1.8)

-p dx

-qdy

=

0,

(Fx+PFz)dx+(Fy+qFz)dy+Fpdp+Fqdq = 0,

Offenbar ist die erste Gleichung unabhängig von den beiden anderen. Der Rang des Systems kann in einem regulären Punkt des R 5 nur kleiner als 3 sein, wenn die beiden letzten Gleichungen abhängig sind. Setzen wu

so wird der Rang von (20.1.8) gleich zwei, falls die Beziehungen (20.1.9)

x=

Fp,

y = Fq,

z = p Fp+q Fq,

auf der S1 erfüllt sind. Die Gleichung für i folgt aus der ersten Gleichung (20.1.8). Das System (20.1.9) bestimmt in jedem regulären Punkt des R 5 eine singuläre Richtung. Durch Integration des Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen ergeben sich die singulären Kurven. Ist F zweimal stetig differenzierbar, so geht durch jeden regulären Punkt l.:ß des R 5 genau eine singuläre Kurve (auch Mangesehe Kurve genannt). Wählt man als Anfangspunkt l.:ß einen Punkt l.:ß = So auf der sm4 (F = 0), so ist die singuläre Kurve eine Sf und heißt Charakteristik.

20.1 Die Differentialgleiehung f(:r, y, z, z., z.)

=

0

437

Setzen wir voraus, E 1 und 01 seien regulär; das ist sicher der Fall, wenn (20.1.7a) erfüllt ist; so hat (20.1.8) den Rang 3. Daher geht durch jeden regulären E 1 genau ein E 2 • Sind 01 und F analytisch, so geht nach dem Existenzsatz in 19.4 durch 01 genau eine 02 • Um die Voraussetzungen zu reduzieren, beachten wir, daß jeder E 2 eine von der Richtung o1x, o1y, o1z, o1 p, o1q des E 1 verschiedene singuläre Richtung enthält; denn die singuläre Richtung (20.1.9) ist Lösung von (20.1.8) bei regulären o1-Größen. Man kann also jeden E 2 aufspannen durch eine reguläre o1 - Richtung und die singuläre Richtung. Daraus folgt, daß sich eine 02 erzeugen läßt durch die Schar der Charakteristiken, die durch die Punkte einer regulären 01 gehen. Ist 01 stetig differenzierbar und F zweimal stetig differenzierbar, so existiert eine stetig differenzierbare WC2 • Man muß nachweisen, daß umgekehrt diese von den Charakteristiken durch die Punkte einer 01 erzeugte WC2 stets eine 02 ist. Für Analytizität von F und der 01 folgt dies aus dem Existenzsatz (Kapitel 19). Unter den schwächeren Voraussetzungen sind nach Konstruktion auf der WC2 die Gleichungen (20.1.2a, 2c, 2d)l) wegen (20.1.8 u. 9) erfüllt und (20.1.2b) gilt längs der 01 . Dann ist, wie in Kapitel 19 gezeigt wurde, (20.1.2b) auch in der WC2 erfüllt, also die WC2 eine 02 • Fassen wir das Ergebnis zusammen: EsseiFEQ?.DurcheinenregulärenPunkt0omitFI. = O,F;+F:I ~ -S'o

-S'o

0 ist durch beliebige Vorgabe von x (u), y (u), z (u) E GP mit Fpyu- F qXu ~ ,c 0 eine 01 bestimmt. Die Schar der Charakteristiken durch die Punkte der 01 erzeugt die durch 01 gehende 02·

~

Vbertragung in den Rg Die Gleichung einer Ebene im Rg durch einen Punkt x, y, z mit den laufenden Koordinaten X, Y, Z läßt sich schreiben als (20.1.10)

(Z-z)-(X -x)p-(Y -x)q = 0.

Die Größen p, q bestimmen die Stellung der Ebene. Jedem Punkt des R 5 wird eine Ebene im Rg zugeordnet und umgekehrt. Bei der Bestimmung der Integralmannigfaltigkeiten im R 5 treten nur solche Mannigfaltigkeiten auf, in denen die Gleichung (20.1.11)

dz = pdx+qdy,

die "Streifenbedingung" identisch erfüllt ist. Das Bild einer WC 1 desR 5 , für die (20.1.11) erfüllt ist, nennt man einen Streifen im Rg. Er besteht aus der Kurve x(t), y(t), z(t), der Trägerkurve, und durch jeden Punktt lJ

Sie entsprechen den Gleichungen ( 19.4.2).

48~

20. Padielle Differentialgleichung als Pfaffsches System

der Kurve geht eine Ebene p (t), q (t) derart, daß der Tangentenvektor :i:, y, der Kurve in dieser Ebene liegt. Dem Ortsvektor !;(t) ist in jedem Punkt außerdem der Normalenvektor n = {1, -p, -q} angeheftet, der zu t orthogonal ist, so daß die Bezeichnung "Streifen" der Anschauung gerecht wird. Setzt man in (20.l.2a) für x, y, z feste Werte ein, so ergibt sich eine Gleichung für p, q, durch die etwa q als Funktion q(p) erklärt wird. Im Rg erhält man durch den Punkt x, y, z eine einparametrige Schar von Ebenen q = q(p). Diese Ebenen umhüllen (im allgemeinen) einen Kegel mit der Spitze X, y, z, den charakteristischen Kegel. vVir wollen die Mantellinien dieses Kegels bestimmen. Für die Hüllfläche der Ebenenschar gilt

z

(Z-z)-(X -x)p-(Y -y)q(p)

=

0,

(X -x)dp+(Y -y)dq

=

0.

Außerdem ist im festen Punkt x, y, z dF = Fpdp+Fqdq = 0 erfüllt. Demnach gelten mit einem Proportionalitätsfaktor }, die Beziehungen (20.1.12) X -x

= }. Fp,

Y -y

= }. Fq,

(Z -z)

= J..(p Fp+q Fq)·

Die rechten Seiten entsprechen den ersten drei Gleichungen der singulären Kurven (20.1.9) im R 5 und für F = 0 den Charakteristiken.!) Überträgt man die charakteristischen Kurven des R 5 in den R~, so entstehen im Rg die charakteristischen Streifen, deren "Trägerkurve" in jedem Punkt des Rg von einer Erzeugenden des zugehörigen Kegels berührt wird. Jetzt können wir eine 02 im R~ konstruieren, oder exakter, vom R 5 in den Rg übertragen: Durch einen regulären Punkt \,ß 0 = (x 0 , y 0 , z0 ) des Rg mit (F~+F~ ~ 0) legen wir eine beliebige Anfangskurve 21 = (x(u), y (u), z (u) ), die in \,ß 0 (20.1. 7a) erfüllt. Durch jeden Punkt der Anfangskurve geht ein Kegel. Die Hüllflächen dieser Kegel erzeugen längs 21 Streifen mit der Trägerkurve 2(. Bestimmt man in \,ß 0 ein vVertepaar p 0 , q0 , indem man bei Mehrdeutigkeit eines auswählt, so ist der Streifen, der dieses Element enthält, ein regulärer Anfangsstreifen. Dadurch kenntmaninjedemPunkt von 21 die Größen x(u), y(1t), z(u), p(u), q(u) und nach (20.1.9) die charakteristischen Streifen durch die Punkte der Anfangskurve und insbesondere die Funktionen x(s, u), y(s, u), z(s, u) der Trägerkurven der Streifen. Die von diesen Trägerkurven erzeugte Fläche ist die Übertragung der 02 vom R 5 in den R~ und Lösung der l> Der durch (20.1.12) im Punkt x, y, z bestimmte Kegel, für dessen Tangentenebenen F = konst. ist, heißt Mangescher Kegel, für F = 0 charakteristischer Kegel.

20.2 Legendre-Transformation; kanonische Transformation

439

gegebenen Differentialgleichung, denn auf der 32 ist (20.1.11) identisch erfüllt, so daß die Streifenfunktionen p (s, u), q(s, u) zu der so erzeugten 32 gehören.

Quasilineare Differentialgleichung erster Ordnung Wenn die Funktion F(20.l.1 bzw. 2a) linear in p und q ist, also die Gestalt (20.1.13)

F

= A(x,

y, z)+p· B(x, y, z)+q·O(x, y, z)

=

0

hat, dann nennt man die Differentialgleichung quasilinear. Die durch einen festen Punkt~ gehenden Ebenen (p, q) bilden ein Ebenenbüschel, der Hüllkegel entartet in eine Gerade, die Achse des Büschels. Die ersten drei Differentialgleichungen der singulären Kurven (20.1.9) werden in diesem Falle (20.1.14)

i;

= B(x,

y, z),

y = O(x, y, z),

z

= -A(x,

y, z).

Sie sind unabhängig von den Variablen p, q und können daher unabhängig von den beiden übrigen Gleichungen (20.1.9) integriert werden. Die durch eine reguläre Kurve x (u), y (u), z (u) des Rg gehenden Integralkurven von (20.1.14), die Charakteristiken, erzeugen eine 32 • Dazu genügt es, wenn F stetig differenzierbar ist.

Integralkonoid Die Funktion F in (20.1.2a) sei zweimal stetig differenzierbar und nicht linear in p, q, dann wird durch

x = x0 ,

y

=

y0 ,

z = z0 ,

F (x0 , y0 , z0 , p, q)

=

0

im R 5 eine Kurve bestimmt, die (20.1.6) erfüllt und eine reguläre 31 ist, wenn F; + F~ o;e 0 ist. Diese 31 ist Anfangskurve einer 32 • Durch Übertragung in den Rg erhalten wir im Punkt (x0 , y0 , z0 ) einen Kegel, wenn (20.l.3a) erfüllt ist, dessen Tangentenebenen die Anfangselemente der charakteristischen Streifen sind. Die durch den Punkt (x0 , y 0 , z0 ) gehenden Trägerkurven der Streifen erzeugen eine 32 im Rg, die in (x0 , y 0 , z0 ) eine kegelförmige Spitze hat. Diese Integralfläche nennt man das Integralkonoid des Punktes (x0 , y 0 , zo). 2 0. 2 Legendre-Transformation

Bei der Bestimmung einer 32 des Pfaffschen Systems im R 5 (20.l.2a bis 2d) hat man völlige Freiheit in der Wahl der unabhängigen Parameter. Nach der Aufgabenstellung im Rg (20.1.1) sind x, y als unabhängige Parameter gefordert. Aber es kann in manchen Fällen vorteilhaft sein, p, q als unabhängige Variable zu wählen. Eine 32 im R 5 hat dann

440

20. Partielle Diffcrentialgleiclmng als PfaffRehes System

die Darstellung

02 =

(20.2.1)

{x (p, q), y (p, q) z (p, q), p, q}.

Gleichung (20.1.2b) lautet für diese (20.2.2)

02 :

dz = p(xpdp+xqdq)+q(ypdp+yqdq).

Um das Pfaffsche System (20.1.2au. 2b) der neuen Parameterwahl anzupassen, ersetzt man z durch (20.2.3)

Z

Dann wird in der

=

px+qy-z.

02

dZ = xdp +ydq+p(xpdp+xqdq) +q(ypdp +yqdq) -dz

und wegen (20.2.2) dZ

=

xdp+ydq.

Zur Bestimmung der 02 als Funktionen der unabhängigen Variablen p, q läßt sich das Pfaffsche System (20.1.2a bis 2d) ersetzen durch (20.2.4a) (20.2.4b) (20.2.4c) (20.2.4d)

F(x, y, p x+q y-Z, p, q) = - 0 und !; < 0 je ein schlauchähnliches dreidimensionales Gebiet. Nach welcher Seite von g !; >- oder !; < 0 ist, bleibt zunächst noch unbestimmt. Durch eine weitere Fläche !;(xi) = konst. = !;I ~ 0 erhält man ein abgeschlossenes Gebiet dessen Rand i' aus dem "Boden" C = 0, der Fläche WC2 und dem "Dekkel" C = !;1 besteht. (Abbildung 21.3.1 zeigt einen Schnitt). Es sei U(xi) Lösung der homogenen Differentialgleichung (21.3.2), für die (21.3.10) und (21.3.12) erfüllt sind;

r,

(21.3.14)

469

21.3 Integralrelation; Eindeutigkeitssätze

Abb. 21.3.1

Wenden wir Formel (21.3.3) auf das Gebiet r an, so verschwindet das Randintegral am Boden und auf ID'lz. Auf dem Deckel ist nach (21.3.13) dnU = 0. Daher gilt {21.3.15)

f 2[dU, dnU]- U

2

(R +R) [dx 1 , dx 2 , dx 3 ] -

r

f

U2 e =

o.

c-~

Hier wird [dU, dnU];;.. 0, wenn die Differentialgleichung vom parabolisch-elliptischen Typus ist (A 1k r/J.; r/J.k;;.. 0). Die Orientierung der Koordinaten sei so gewählt, daß [dx 1 , dx 2 , dx 3] das positive Volumenelement ist; dann ist das zweite Glied positiv für

(R+R)

(21.3.16a) Für

e

gilt (21.2.4). Bilden wir




1 Ahk1 U .k e; k I at:h; Ol:tk Ol:jr[dX t , d X i] • at: 1

2

Auch im Falle Rang Aik = l können drei linear unabhängige Vektoren zu (21.5.3) bestimmt werden. Jedoch sind dann A 1k a:l a:~ = 0 und

af, a:f, a:f

An a:~ a:~ =

o.

4 76

21. Der Integralsatz uml partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung

denn es ist

i

k

I

e; k 1 rxit !Xt rxi = ehti • rx

-1

.

Die Invarianz des d-Operators ist bekannt. Aus (21.5.5) folgt wegen

e;k1[d, [rok, ro1]] = e;kl[[d, wk], ro 1]-e;k1[rok, [d, ro1]] = e;k1[[d, rok], ro 1] -e;kl[[d, ro 1], wk] = 2 elk 1 [[ d, rok], ro 1] die Formel [d, dnU] =

!

Cfkl (rx .Jir u.Mroi, rok, ro'J

+etk11X

.Jir

u.[[d, rok], ro 1].

Für i ?"= j verschwinden die Summanden der ersten Summe, so daß wir mit

[ · k 1] ( rx A~ir U) 1 r i ro', ro , ro 2eikl

= ( rxA~ ir U. ) i 21 eik [wi, rok, ro1] 1

=

die Beziehung

(rxA 1' u.)i[rol, ro 2 , ro 3]

(21.5.6) [d, dnU] = (rx .A 1' u.)i [ro 1 , ro 2 , ro 3] + rx

A1'

u. e; k 1[[ d, wk], ro1]

erhalten. Die Ableitungen [d, rok] können wir auf[roi, ro1] aufspannen. Wir definieren deshalb Koeffizienten Pk 1 durch

[[d, rok], ro'] = pkl[rol,

002 , 00 a]

und mit ihnen Koeffizienten mit denen

etk1[[d, rok], ro 1] = Q1[ro1, ro 2 , ro 3]

in (21.5.6) eingesetzt werden kann. Berücksichtigt man außerdem rx[rol, ro 2 , ro 3] = [dxl, dx 2 , dx 3 ], so geht mit (21.5.6) die Differentialgleichung (21.2.1) über in (21.5. 7)

(A 1'

u.)i + { A 1' ( Q1 +

~ (rx)i) +rx~ B 1} U. +RU +S =

0.

Mit neuen Bezeichnungen für die Koeffizienten läßt sich die Gleichung (21.5. 7) schreiben als (21.5. 7a)

AU11 +BUu+CU33+EU,+FU1+GU3+RU+S = 0.

21.5 Normalformen und Typeneinteilung

477

Die quadratische Form der Charakteristiken wird (21.5.8) Da D durch homogene lineare Transformationen aus (21.2.13) gewonnen wurde, gelten die bekannten Sätze über die Invarianten quadratischer Formen; die Anzahl 0: der negativen Koeffizienten von (21.5.8) heißt Trägheitsindex, die Anzahl ~ der verschwindenden Koeffizienten Defekt. In einem Punkt l,ß des Gebietes hat die Differentialgleichung 0, elliptischen Typus für ~ für ~ 0, hyperbolischen Typus 1, parabolisch-elliptischen Typus für ~ parabolisch-hyperbolischen Typus für~ = 1, parabolisch-parablischen Typus für ~ = 2.

0:=0 oder 0:= 3, 0: = 1 oder 0:= 2, 0:=0 oder 0:= 2, 0: = 1,

Hat eine Differentialgleichung in allen Punkten eines Gebietes r den gleichen Typus, so lassen sich die freien Normierungsgrößen der rx7 so wählen, daß A, B, C je nur die Werte 0, 1, -1 haben. Dann hat in r der Hauptteil der Differentialgleichung genau die Gestalt der in Abschnitt 21.2 angegebenen Beispiele, lediglich treten jetzt Pfaffsche Ableitungen an Stelle der partiellen Ableitungen. Nachdem in neuerer Zeit partielle Differentialgleichungen vom gemischten Typus für zwei unabhängige Variable eingehend studiert wurden (Kapitel 6), bietet das Verhalten der charakteristischen Konoide in der Umgebung einer "parabolischen Fläche" besonderes Interesse. Zur Veranschaulichung der Situation beginnen wir mit der Betrachtung der charakteristischen E 2 in einem Punkt l,ß, in dem die Differentialgleichung hyperbolischen Typus hat. Dann umhüllen die E 2 einen quadratischen Kegel mit der Spitze in 1,ß (s. Abbildung 21.5.1). Die

Abb. 21.5.1

4 i8

21. Der fnkJgralsatz und partielle Oifferenlialgleichungen zweiter Ordnung

willkürliche Form w 1 wählen wir so, daß die :BJbene w 1 = 0 keine Erzeugende des Kegels (Bicharaktoristik) enthält. Dann liegt der n- Vektor der Ebene w 1 = 0 im Innern des Kegels. Die Ebene w2 = 0 geht durch denn-Vektor, ist im übrigen beliebig; die Ebene w3 = 0 ist die zu w2 = 0 konjugierte Ebene durch den n-Vektor. Bei dieser Anordnung der wi ist A < 0, B, C > 0. Die Größen B fl AI und C /I AI können wir als konjugierte Halbmesser der Schnittellipse in Abbildung 21.5.1 interpretieren. Da auch in Ausartungsfällen ein Polardreikant existiert, können wir annehmen, daß in allen Punkten von@ die wi und die Normalform (21.5.8) gegeben sind. Die Schnittgeraden der Ebenen w2 = w3 = 0 bestimmen ein Richtungsfeld, dessen Integralkurven wir o::-Linien nennen wollen (ihre Tangenten sind die Polaren von w 1 = 0; die Ableitung mit dem Index 1 erfolgt in Richtung o::). \Vir gehen auf der o::-Linie von einem hyperbolischen Punkt l,ß aus und bewegen uns in Richtung eines Punktes 0, in dem A verschwindet und sein Vorzeichen wechseln soll. Wenn IAI abnimmt, vergrößert sich der Öffnungswinkel des Kegels, im Punkt 0 ist A = 0, der Kegel entartet in die Ebene w1 = 0; jenseits von 0 ist A > 0 und die Differentialgleichung vom elliptischen Typus; in 0 ist der Typus parabolisch-elliptisoh.1) vVenn die Ebenen w1 = o die "parabolische Pliiclze" A = 0 berühren. entsteht ein Analogon zum "Hüllfall" im R 2 (Kapitel 6). Ein Analogon zum "8pitzenfall" ergibt sich. wenn B und C mit der gleichen Ordnung verschwinden. Es sei also mit einem gemeinsamen Faktor >!

A


0

in

l,ß.

Die Fläche ;.: = 0 liege in @ und schneide die o::-Linie in ffi. Bewegen wir uns Yon l,ß nach ffi, so geht der Öffnungswinkel des Kegels gegen Null. Das heißt, das durch ffi gehende charakteristische Konoid hat im Punkt ffi eine Spitze höherer Ordnung. Die parabolische Pläche :% = 0 ist also der Ort ron Spitzen höherer Ordnung, in der die Differentialgleichung YOn parabolisch-para,bolischom Typus ist. Jenseits von ist für :% < () die Differentialgleichung elliptisch, für x > 0 hyperbolisch. \Vesentlich anders ist die Situation, wenn man eine parabolische Fläche B = 0 mit Vorzeichenwechsel von B überschreitet. Es sei @5 der Schnittpunkt der rx-Linie durch ~ mit der _Fläche B = 0. Bewegen wir uns von ~ nach ;S, so geht einer der Durchmesser der Schnittellipse des Kegels gegen Null. In ;S entartet der Kegel in eine Doppelebene (die charakteristischen E~ bilden zwei Ebenenbiischel, vgl. parabolisch-hy-

m

IJ Diese Situation tritt bei einer dreidimensionalen stationärPn Gasströmung beim Durchgang durch die Schallgeschwindigkeit auf. Allerdings ist dort die Differentialgleichung quasilinear.

21.i) Xormalformen und Typeneinteilung

perbolischen Fall in Abschnitt 21.2). Jenseits ®sei B < 0: die Differentialgleichung hat wieder hyperbolischen Typus, aber der Kegel schneidet jetzt die Ebene w 1 = 0 in zwei reellen Erzeugenden. Wir haben versucht, den Vorgang in Abbildung 21.5.2 zu veranschaulichen. 8 0, so daß (22.7.3)

erfüllt wird. Für

3

L (xi) 2 ~ 1 geht a;k in die Einheitsmatrix über, und es gilt e = r.

i=l

.

503

22.7 Die Parametrixmethode

Mit e wird wieder eine Parametrixfunktion eingeführt, die aber jetzt in der Umgebung der Einheitskugel Sf1 mit der Greensehen Funktion G1 der Einheitskugel (22.4.4) übereinstimmen soll: I

I

v(x, ~) = 4ne(x, ~)

+r p

(22.7.4)

ac.(x)

ß.m:

1)

•=1

Die Funktionen ac., ßs E Q;3 (R 3 ) mit OCs = ßs

3

= 0 für L (xi) 2 """ I

werden

i=l

später geeignet gewählt. Für die gesuchte Lösung der ersten Randwertaufgabewird nun der Ansatz U (x) =

(22. 7.5)

f (/)(~) v(x; ~)[d~1 , d~2 , d~3] + f t-t(~) dnc~ v(x; ~) @

~.

gemacht. Dabei seien(/) E Q;'"(i1 ) und 1-l E Q;0 (@) zwei Funktionen, die so bestimmt werden müssen, daß U in@ die Differentialgleichung (22.0.I) erfüllt und auf@ die vorgeschriebenen Randwerte Uj@ = rp annimmt. Dazu bildet man zunächst den Grenzwert x- x0 E@ von (22.7.5). Während das Volumenintegral wegen der schwachen Singularität von v stetig in i 1 ist, verhält sich das Randintegral wie das Dipolpotential in Abschnitt 22.2. Mit ähnlichen Überlegungen wie in Kapitel 5 und Abschnitt 22.2 kann man auch hier die (22.1.8) entsprechende Sprungrelation für das Randintegral herleiten. Man erhält die Beziehung t-t(x0 ) = -2

(22.7.6)

f (/)(~) v(x

sr,

-2

0;

f

~)[d~l, d~2, d~3J

t-t(~)dnc~v(x; ~)+2rp(x0 ),

X0

E @.

@-(Xo}

Wenn t-t und(/) diese Gleichung erfüllen, nimmt die in (22.7.5) definierte Funktion die Randwerte Uj@ = rp E Q;0 (@) stetig an. Damit U die Differentialgleichung (22.0.I) erfüllt, setzen wir den Ausdruck (22. 7.5) für U in (22.0.I) ein und erhalten eine weitere Beziehung für(/) und 1-l· Wir kürzen den Operator in (22.0.I) durch E ab: (22.7.7) 11

Für ;

[d, dnF+8FJ+RF[dx 1 , dx 2, dx 3] = EF[dx 1 , dx 2, dx 3]. =

0 ist der zweite Ausdruck durch - 41:n; zu ersetzen.

504

22. Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Rn

:Mit den fortgesetzten Koeffizienten ist E im R 3 erklärt. Dann erhält man nach entsprechenden Überlegungen wie für zwei Dimensionen in Kapitel 5 die Beziehung W (x)

(22.7.8)

=

J(E(x) v (x; ~)) W( ~)[ d~1 , d~2 , d~3] .\1'1

+

J t-t(~)E(x)dn(ö)v(x; ~)-S(x)

für

XE ~1-®. 1 )

Hdl

Wir haben mit (22.7.6) und (22.7.8) ein Integralgleichungssystem zur Bestimmung des Funktionenpaares {W, f-t}, (/) E ~:0(~1 ), t-t E ~0 (@) erhalten. Die Integraloperatoren der ersten Gleichung (22. 7.6) sind

schwach singulär, denn v verhält sich für

~ -... x 0 wie _.!:_r und dnv (x0 , ~)

wie

_.!:_ do. (Beide Eigenschaften müssen natürlich erst nachgewiesen werr

den). Sie sind im zweikomponentigen Funktionenraum {W, t-t} mit den jeweiligen Maximumnormen also vollstetig. Für das Volumenintegral in (22. 7.8) kann man entsprechend den Überlegungen in zwei Dimensionen (Hilfssatz 1, Kapitel 5) ebenfalls ein Verhalten von E(x)v(x;

~)wie_.!:_, r2

also schwache Singularität nachweisen. Dagegen hat dnm E(x) v (x;

~)

ein Verhalten wie _.!:_ do für x -... ~ E @; der durch das Randintegral in r3 (22. 7.8) definierte Operator ist demnach stark singulär auf@. Allerdings erhält man durch zweimalige Iteration der Gleichung (22.7.8) aufgrund ihrer speziellen Gestalt schließlich ein Randintegral, dessen Integrand nur eine Singularität wie _.!:_ do enthält. Die Integralgleichung (22.7. 8) r

ist "regularisiert" worden, die neuen Operatoren sind vollstetig. Die Regularisierung geht auf Giraud [31] zurück, die notwendigen Rechnungen werden bei C. Miranda [83] S. 44 ff. durchgeführt. Für das Integralgleichungssystem (22.7.6) und die zweimal Iterierte von (22. 7.8) gelten nun im zweikomponentigen Funktionenraum {W, t-t} die Fredholmschen Sätze. Unter Benutzung der Eindeutigkeitssätze für die erste Randwertaufgabe für R ,.;; 0 oder R +R ,.;; 0 kann man jetzt auch hier wie in Kapitel 5 die Funktionen !Xs und ßs so wählen, daß das homogene Integralgleichungssystem nur die triviale Lösung {0,0} besitzt. Aufgrund des Fredholmschen Satzes liefert das inhomogene Inte1 > Für x E R 3 - ~ 1 ergibt sich aus der Konstruktion von v und (22. 7 .8) f/J so daß die Integration über ~ 1 im Ansatz (22. 7.5) ausreicht.

=0,

22.7 Die Paramatrixmethode

505

gralgleichungssystem genau ein stetiges Lösungspaar {Cl>, .u}, durch das nach (22.7.5) die gesuchte Lösung U der ersten Randwertaufgabe geliefert wird. Auf die genauere Erläuterung dieser Methode wollen wir hier verzichten; wir verweisen dazu auf B. Pettineo [96], C. Miranda [83] und die dort angegebenen Arbeiten.

506 23. Hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Rn

Im vorigen Kapitel wurde gezeigt, dass sich die Methoden zur Lösung der Randwertaufgaben einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung vom elliptischen Typus weitgehend vom R 2 auf den Rn übertragen lassen. Bei den Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typus ist das nicht der Fall. Wir wollen in diesem Kapitel einen Einblick in die Lösung des Cauchyschen Allfangswertproblems geben. Zur Abkürzung der Rechnungen beschränken wir uns auf die Differentialgleichung

(über die Indizes i 2 < · · · =O

Kegel

Das zweite Integral ist das schon in (23.1.4) auftretende Randintegral, daher geht (23.1.4) in die Näherungsformel über: (23.1.5)

U($) = 2 ~Z

f

Bodenrand

Uds+ nlZ

ff Uz[dx, dy] -Z

2 { ••• }.

Boden

Kennt man also die Größen U, U z in einer Ebene z = Zo· so liefert (23.1.5) die Werte U in der Ebene z = Zo+Z mit einem FehlerZ2 { ••• }. Auf Einzelheiten des Verfahrens wollen wir nicht eingehen. 1> 1> Ein anderes Verfahren zur Berechnung von U entwickeln G. Bruhn und W. Haack in [13].

23.1 Integralrelation; Charakteristikenverfahren

509

Die Bedeutung dieser Betrachtungen liegt darin, daß sie sich auf das Cauchy-Problem einer beliebigen hyperbolischen Differentialgleichung in drei Variablen und in analoger Weise auf n Variable übertragen lassen. Zur Einführung in den Formalismus der Indizes-Rechnung wurde die Übertragung auf den allgemeinen dn-Operator im R 3 durchgeführt. Es sei (23.1.6)

Dem Tensor A 1k wird durch die Gleichungen (Det (A 1k) :;e ü)

(23.1. 7)

ein kovarianter Tensor A 1k zugeordnet. Für eine beliebige Fläche c])(x1) = konst. ist nach (21.2.15) die n-Richtung in einem Fläche:Q-

punkt x 1 bestimmt durch den Vektor (23.1.8)

Multipliziert man diese Gleichung mit Au und summiert über i, so folgt Alii:1 = A 11 A 1k cp·k = c]). 1 •

(23.1.9)

Daraus ergibt sich in jedem Punkt einer Fläche c])(x1) = konst. die im folgenden wichtige Beziehung (23.1.10)

Um Aussagen über die Lösung U gangen, daß das Integral von dnU gebietes verschwindet. Dazu muß beliebigen Fläche berechnen. Es sei c])(x1) = konst.

zu gewinnen, wird davon ausgeüber den Rand@ jedes Normalman den dn-Operator auf einer eine Fläche ID12 durch

bzw.

xi = x 1(u, v)

gegeben. Dann gilt nach (17 .1. 5) (23.1.11)

mit (23.l.lla)

Nach (23.1.6) wird (23.1.12)

dnUI

!li=konst.

= A 1kU.k!

e1 ,.(x~x~-x~x~)[du, dv]

= Atkcp.t U.ke[du, dv] = A 1kP1 U.k[do],

510

23. Hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Rn

wenn~·; die Richtungscosinus (/). 1:

V± (/J~k k=l

der Flächennormalen und

[do] das orientierte Flächenelement sind. Wählt man für (/J = 0 eine charakteristische Fläche, Aik (/)., (/J,k = 0, so fällt die n-Richtung (23.1.8) in die Tangentenebene der Fläche (/J = 0 in Richtung der Bicharakteristik (Abschnitt 21.2). Werden die Parameter u, v so gewählt, daß die Kurven v = konst. die Bicharakteristiken sind, so gilt (A ist ein geeigneter Proportionalitätsfaktor).

(23.1.13)

Daher ergibt sich für dnU auf einer Charakteristik (23.1.14)

d,.UI

Charakteristik

= U.kX~Ae[du, dv] =

aauU

Integriert man über ein charakteristisches.Flächenstück längs der Bicharakteristiken partiell integrieren:

eA.[du, dv]. ~.

so kann man

(23.1.15)

das heißt: das Integral von dnU über ein charakteristisches Flächenstück aus ~ 2 läßt sich durch partielle Integration in ein einfaches und ein Doppelintegral aufspalten, die keine Ableitungen von U enthalten. U(xi) ist hier eine beliebige Funktion aus ~ 1 • Bei dem Gauchyschen Anfangswertproblem der Differentialgleichung (23.1.6) sind U, dnU auf einer "raumartigen" Fläche P = 0 gegeben. Eine Fläche heißt raumartig, wenn sie keine Bicharakteristik berührt. Das durch einen nicht in P = 0 liegenden Punkt ~ gehende charakteristische Konoid möge die Fläche P = 0 in der Randkurve eines einfach zusammenhängenden Gebietes ~ schneiden. (Das ist immer der Fall, wenn ~ hinreichend nahe bei der Fläche P = 0 liegt.) Die Schnittkurve von Konoid und Fläche sei u = u 1 (v) in den Parametern u, V des Konoides. Bezeichnen wir mit die Oberfläche des entstandenen kegelartigen Körpers mit dem Konoidmantel ID1 und dem Boden~.

r

511

23.2 Eindeutigkeitssätze - Einflußgebiet

so gilt für die Lösung U der Differentialgleichung

f dnU = f dnU + f dnU = 0.

r

\JR

j8

Wendet man (23.1.15) an und beachtet, daß die obere Randkurve u 2 in einen Punkt entartet, ergibt sich (23.1.16)

ff

Ua(:ue)[du, dv]+

Konoid

'f

A e U dv-

Bodenrand

ff

dnU = 0.

Boden

Das zweite und dritte Integral enthalten nur die gegebenen Anfangswerte. Wählt man u als euklidische Bogenlänge, gemessen von l.ß, so wird (21.1.13) A2

2

= L

(Aik r/>.;) 2 • An der Spitze 1.ß verhält sich das

k=l

Konoid wie ein Kegel zweiten Grades, daher muß und A• e eine Darstellung der Form

e·A = u·F(u, v)

mit

e in l.ß verschwinden

F(O, v) ~ 0

gestatten. Daher hat das Integral über das Konoid in der Umgebung der Spitze das gleiche Verhalten wie das entsprechende Integral in (23.1.4). Man kann in analoger Weise ein Näherungsverfahren zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems gewinnen. Ein solches Verfahren ist jedoch nur sinnvoll, wenn Existenz, Eindeutigkeit und stetige Abhängigkeit der Lösung des Oauchy-Problems von den Anfangswerten gesichert ist. 23.2 Eindeutigkeitssätze für das Cauchy-Problem und das charakteristische Anfangswertproblem; Einflußgebiet Die Beweise der Eindeutigkeitssätze im Abschnitt 21.3 für elliptische und parabolische Differentialgleichungen beruhten vornehmlich auf der Definitheit der quadratischen Form der Charakteristiken. Im hyperbolischen Fall ist die Form (23.0.2) nicht definit. Nach (21.6.6) läßt sich aber durch Transformationen stets erreichen, daß für die Koeffizienten Aik die Beziehung (23.2.1)

Ank

= _ {)nk

gilt und die quadratische Form der Charakteristiken die Gestalt annimmt (23.2.2)

i,k= 1, ... ,n;

a,

't'

=

1, ... , n-1.

2:J. Hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Rn

512

Die rechte quadratische Form (mit griechischen Indizes) ist stets (positiv) definit. Der Beweis des Eindeutigkeitssatzes wird sich auf dieser Eigenschaft aufbauen. Künftig sollen lateinische Indizes von I bis n, griechische von I bis n- I laufen. Zur Vereinfachung der Darstellung und Erhöhung der Anschaulichkeit beschränken wir uns auf n = 3; die Überlegungen sind aber unmittelbar auf beliebiges n übertragbar. Die Formel (23.l.IO) lautet jetzt (23.2.3) für den dn-Operator folgt (im R 3) (23.2.4) Durch äußere Ableitung erhält man für die Differentialgleichung (23.2.5)

[d, dnU]

= {- U.3.3 + (Aeu U.u).p}[dx 1 , dx 2 , dx3] = 0.

Um zu Integralen mit definiten Integranden (auch Energie-Integrale genannt) zu gelangen, geht man aus von folgendem Ausdruck:

Durch Addition und Subtraktion von (AO"T U.u u.T)·3 ergibt sich, wie man leicht nachrechnet J

= {- (( U.3) 2 + AO"T U.u u.T)·3 + 2 (Ah" u.3 U.y).l + 2(A2T U.3 u.y).2 + (AO"T).3 U.u U.T} [dxl,

dx 2 , dx 3].

r,

Integriert man J über ein Normalgebiet so kann man auf die drei ersten Glieder den Satz von Gauß anwenden und erhält die Integralrelation

-2 A 2 T U. 3 U.y[dx3, dxl]}

=

J(AeT). 3 U.e U.T[d1:

r

1,

dx 2 , dx3].

Der Koeffizient des ersten Gliedes im Randintegral ist eine definite Form. Für wird ein geeignetes Gebiet gewählt. Dazu gehen wir aus von der Fläche x 3 = 0, die als Anfangsfläche des Cauchy-Problems interpretiert wird. In dieser Fläche wählen wir ein einfach zusammenhängendes Gebiet 58(0) in der Ebene x 3 = 0 mit stetig gekrümmtem Rand 58. Nach der Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung gehen durch >8 zwei charakteristische Flächen, da (23.2.3)

r

23.2 Eindeutigkeitssätze - Einflußgebiet

513

quadratisch ist. Wir wählen die innere Fläche bezüglich jS. Schneidet man diese Fläche mit einer Ebene x3 = C, (C > 0), so entsteht ein Körper r, dessen Boden jS(O), dessen Mantel [)( die charakteristische Fläche und dessen Deckel jS (C) ist. Um Selbstverschneidungen des Mantels zu vermeiden, wird C hinreichend klein angenommen. Als einfachstes Beispiel für r kann der Stumpf des charakteristischen Konoides eines Punktes l,ß mit x3 > 0 dienen, der von den Ebenen x 3 = o und x 3 = C begrenzt wird. Das Integral über F setzt sich jetzt zusammen aus den Integralen f

f { } = f { }+ f { }+ mro f { }. ~

m~

Wir wollen zuerst zeigen, daß das Integral über [)( nicht negativ ist. Nach (23.1.12) bis (23.1.14) ist der Ausdruck (23.2.7) auf einer charakteristischen Fläche tJ> (xi) = konst., eine Ableitung von U in Richtung der Bicharakteristik, die wir mit U.c bezeichnen. Nach (23.1.11) können wir das Integral über [)(in (23.2.6) schreiben, nach Multiplikation und Division mit t/>. 3:

f{ } f{(U~3+AerU.eU.r)t1>~3

(23.2.8)

=

~

-2 AerU.etP.rU.3t/>.3}• :. 3 [du, dv].

~

Durch Quadrieren und geeignetes Umordnen von (23.2. 7) folgt ( U.3 t/>.3) 2 - 2 AeT U.e tP.r U.3 t/>.3

=

U~c-

Beachtet man, daß auf der Charakteristik läßt sich das Integral schreiben: (23.2.8a)

f{ } f :. {U~c =

~

3

t/>~3

(AeT U.e t/>.T) 2.

= A aT t/>. at/>. T ist, dann

+ (A er U.e U.T) (A"'" tl> ..< tl>.,J

~

- (AeT U.etP.T) 2 }[du, dv]. Da für jede definite Form die Ungleichung gilt

(AeT U.e u.T) (A-'1' tl> . .< t/>.1')- (AF U.e tP.r) 2 ;:;., 0, ist der Ausdruck in der geschweiften Klammer nicht negativ. Auf der durch lB gewählten "inneren" Charakteristik ist t/>. 3 > 0; eist positiv erklärt; somit ist

514

23. Hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Rn

Wenn man auf der linken Seite von {23.2.6) das Integral über den Mantel \))( vernachlässigt, entsteht eine Ungleichung. Auf dem Deckel 58(C) und dem Bodem 58(0) ist dx 3 = 0. Daher tritt in den Integralen über 58(0) und 58(C) nur das erste Glied der linken Seite von (23.2.6) auf. Die Ungleichung wird verstärkt, wenn man hier noch das nicht negative Glied U~3 vernachlässigt. Wir bilden das restliche Integral für eine beliebige Schnittfläche 58 (x3 ) von r mit x3 = konst. (0 """'x3 """' C) und führen die Abkürzung ein (23.2.9)

,\)(x3 )

=

J Ae~ U.e U.~[dx 1 , dx

2].

58 (x3)

Dann wird nach (23.2.6) unter Beachtung der Orientierung von [dxl, dx2] am Deckel und Boden {23.2.10)

.\) (C) -.\) (0)"""' j(Ae~).a U.e U.~[dx1 , dx 2 , dx 3 ]. r

Um für die rechte Seite eine obere Schranke zu bestimmen, machen wir die Voraussetzung (vergleiche auch (22.0.2): im betrachteten Gebiet ® ::) gelten die Ungleichungen für beliebige Variable ~;:

r

{23.2.11)

2

Ae.u~e~.u;;.,}.

L ~~;

i=l

Dann ist

Mit der Abkürzung

folgt unter Beachtung von {23.2.9) (23.2.12)

c

I J(Ae~).a u.Q U.~[dxl, dx2 , dx3J[ """p f Sj (x3 ) dx3 • r

o

Der Eindeutigkeitssatz des Cauchy-Problems verlangt den Nachweis, daß bei verschwindenden Anfangswerten {23.2.13)

U(xl, x 2 , 0)

= U.;(xl, x2 ,

0)

=

0

die Lösung U in F identisch Null ist. Damit wird Sj {0) = 0; aus {23.2.10) und (23.2.12) ergibt sich die Ungleichung (23.2.14)

S)(C) """p

c

JSj(x3 )dx3. 0

515

23.2 Eindeutigkeitssätze - Einflußgebiet

Um zu zeigen, daß aus dieser Ungleichung SJ(C)

= 0 folgt,

setzt man

t

(23.2.15)

w(t) = fSJ(C)dC 0

und berechnet d dt (e-P'w(t))

= -Pe-P

1

w(t)+e-P1 SJ(t) .";;;-Pe-P1 w(t)+e-P1 Pw(t)

= 0,

indem das letzte Glied nach (23.2.14) ersetzt wird. Durch Integration von 0 bisCerhält man wegen w(O) = 0 die Ungleichung e-PC

w(C) .";;;; 0.

Wegen (23.2.9) ist SJ(C)""" 0, daher auch w(C) """0; die Ungleichung kann daher nur für w (C) = 0 erfüllt werden. Dann folgt aber aus (23.2.14) und (23.2.15) SJ(C) = 0 und daraus wegen (23.2.9)

und wegen der Definitheit (23.2.16)

Aus der Differentialgleichung (23.2.5) und den Anfangswerten ergibt sich auch U.a = 0 und U(xi) 0 m T.

=

Wenn in einem Gebiet ~(0) der Ebene x3 = 0 mit dem Rand 58(0) eine Lösung U E ~2 der Differentialgleichung [d, dnU] = 0 (23.2.5) die Anfangswerte U = 0, dnU = o hat, so ist U o in dem Gebiet r, das von der "nach innen" führenden Charakteristik durch ~(0) begrenzt wird. Das einfachste Gebiet r wird von dem charakteristischen Konoid durch einen Punkt \13(x3 .,t. 0) und seinen Schnitt ~(0) mit der Ebene x3 = 0 begrenzt. Dieses Gebiet heißt das Einflußgebiet des Punktes \13. Bevor wir weitere Folgerungen aus diesem Ergebnis ziehen, wollen wir das sogenannte charakteristische Anfangswertproblem behandeln: Es sei 0 ein Punkt der Ebene x3 = 0 und r das Gebiet, das von dem charakteristischen Konoid 9J1 von 0 und einer Ebene x3 = C> 0 begrenzt wird. Dann versteht man unter dem charakteristischen A nfangswertproblem die Bestimmung einer Lösung U(xi) der Differentialgleichung (23.2.5), die auf dem Mantel 9J1 des Konoides gegebene Werte U[ annimmt. Wir

=

werden zeigen: Wenn

Ulj))l =

o ist,

,j))l

so ist U(xi)

=o in r.

Zum Beweis dieser Behauptung gehen wir von Gleichung (23.2.6) aus, bezogen auf das jetzige Gebiet r. Das Integral über den Mantel 9J1 ist der Ausdruck (23.2.8).

516

23. Hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im R,.

Auf ID? ist nach Vorgabe U = 0, also U.c = 0. Angenommen, U sei in F nicht konstant, U :;i konst., dann bestimmt U = 0 eine Punktmenge, die ID? enthält. Auf ID? als charakteristischem Konoid ist C/> = konst .. Demnach ist U. 1 auf ID? proportional zu C/>. 1, da die beiden kovarianten Vektoren U. 1 und C/>. 1 in Richtung der Normalen von ID? zeigen: u. i = "'C/>.; auf m. (p, = 0 ist dabei möglich.) Daher verschwindet der Integrand von (23.2.8a). In (23.2.10) ist.\) (0) = 0 (Spitze des Konoides), außerdem gilt das Gleichheitszeichen. Die folgenden Schlüsse bleiben gültig bis Gleichung (23.2.16). Dann kann U nur Funktion U(x3 ) allein von x 3 sein. Da die Bicharakteristiken die Ebenen = x 3 = konst. nicht berühren können, folgt aus U.c = o (wegen

Uim

konst. = 0), daß U konstant ist in F, das heißt, U me U

~

=0 in F. Die Annah-

konst. ist widerlegt.

Eindeutigkeitssatz des charakteristischen Anfangswertproblems: Die hyperbolische Differentialgleichung [d, dnU]+S[dxl, dx 2 , dx 3] = 0 kann im , ,Innern'' des Konoides eines Punktes 0 nicht mehr als eine Lösung U E ~ 2 (F) n ~ 1 (F) haben, die die auf dem Mantel ID? des Konoids gegebenen annimmt. Werte U

Im

Der Beweis geschieht indirekt. Seien U 1• u = U 1 - U 11 Lösung von [d, dnU] = 0 mit

un zwei Lösungen, so ist u Im = 0; also u = 0 in r.

Wenden wir uns wieder zum Gauchyschen A nfangswertproblem. Den oben durchgeführten Nachweis für U = 0 in r bei verschwindenden Anfangswerten haben wir zur Vereinfachung nur für die Differentialgleichung [d, dnU] = 0 (23.2.5) geführt. Er läßt sich in analoger Weise ([119] IV Abs. 155) auf die allgemeinere Gleichung [d, dnU + e U] +R U[dx 1 , dx 2 , dx 3] = 0 ausdehnen, wenn dnU die spezielle Form (23.2.4) hat. Dabei wird die Ebene x 3 = 0 als Anfangsebene bevorzugt. Am Ende von Abschnitt 21.6 wurde gezeigt, daß der Hauptteil jeder hyperbolischen Differentialgleichung auf die Gestalt (23.2.5} gebracht werden kann, Dabei durfte eine Funktion ~n = 1Xn(x1) E ~2 willkürlich gewählt werden ((21.6.6) bis (21.6.8}), sofern die Flächen ~n = 1Xn(x1) = = konst. raumartig sind. Wird daher durch lf'(x1) = 0 eine raumartige Fläche gegeben, die sich in eine raumartige Schar lf'(x1) = konat. einordnen läßt mit lfl E ~ 2 , so läßt sich die Transformation mit ~n = lf'(x1) durchführen. (ImR3 mit ~3 = lf'(x1)). Unsere obigen Überlegungen behaltenihre Gültigkeit, wenn einesolcheFläche lf'(x1) = 0 anStelle von x 3 = 0 tritt. Daher gilt der

23.2 Eindeutigkeitssätze - Einflußgebiet

517

Eindeutigkeitssatz für das Cauchysche Anfangswertproblem Gegeben sei die allgemeine Differentialgleichung vom hyperbolischen Typus im R 3 (z. B. (21.2.6)) und ein Gebiet 58(0) in der raumartigen Fläche lJI(xi) = 0, die in eine raumartige Schar lJI(xi) = konst., lJI E ~2 eingeordnet werden kann. Dann kann es in dem Gebiet r über 58(0), das von der inneren Charakteristik durch 58(0) berandet ist, nicht mehr als eine Lösung U E ~ 2 (F) n ~ 1 (F) geben, die auf 58(0) die vorgegebenen Anfangswerte ui und dnui annimmt. jll(O}

j8 (0}

Der Beweis wird in der üblichen Weise indirekt geführt, indem man von zwei Lösungen U 1 , uu ausgeht. Man sieht leicht ein, daß der Eindeutigkeitssatz entsprechend auf den Rn ausgedehnt werden kann. Von grundsätzlicher Bedeutung ist die Frage, ob eine Lösung U E ~ 2 des Anfangswertproblems, wenn sie existiert, stetig von den Anfangswerten abhängt. Mit den Formeln (23.2.6) bis (23.2.15) läßt sich in einem gewissen Sinn eine solche Stetigkeit leicht nachweisen. Es sei am Boden 58 (0) jedes charakteristischen Konoids ro, dessen Spitze in r liegt, (23.2.17)

f

jll(O}

(U~a+A 11 TU. 11 U.T)[dx 1 , dx 2] < e.

Die Formeln (23.2. 7) bis (23.2.15) und die Abschätzungen gelten für jedes ro c r. Wir betrachten irgendein Konoid ro und deuten die Formeln für dieses Gebiet. Dann folgt aus (23.2.10), wenn man Sj(O) < e auf die rechte Seite bringt

S)(C)..;; e+ r

J (A

11

T). 3 U. 11 U.T[dxl, dx 2 , dx 3].

Anstelle von (23.2.14) tritt die Ungleichung /;

(23.2.18)

Sj(C) ..;;e+P J Sj(x 3 )dx3 ; 0

man erhält mit (23.2.15) entsprechend d

dt(e-P 1 w(t)) .,;;e. Nach Integration erhält man wie oben t

e-Ptw(t) = e-Pt jS)(C)dC..;;et. 0

518

23. Hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Rn

Also gilt mit (23.2.18} Sj(t)~e(l+tPePt)

und mit (23.2.9}

J A 11 ~ u.l! u .... [dx 1 , dx 2] ~ e(I +x3 PePx"), 18 (x•)

das heißt, das Integral über jeden Konoidquerschnitt in r ist proportional zu e. Nach der Bemerkung vor Formel (23.2.9) gilt Ungleichung (23.2.10) auch dann, wenn im Integral über den Querschnitt ~(C) das Glied mit ( U. 3 }2 nicht vernachlässigt wird. Fügt man auf der linken Seite von (23.2.10} dieses Glied hinzu, so wird

c

J U~3 [dxl, dx 2]+Sj(C)-e~P JSj(x 3 )dx3 • o IBm Daraus ergibt sich, daß auch das Integral über U~3 für jeden Querschnitt proportional e ist. Die Rechnung wollen wir hier nicht durchführen. Ausführliche Beweise für die stetige Abhängigkeit der Lösung U und nicht nur der Integrale (23.2.17) von den Anfangswerten findet man in zahlreichen Lehrbüchern, zum Beispiel in [119], VI, S. 393 ff. Aus dem Eindeutigkeitssatz des Cauchy-Problems folgen wichtige Eigenschaften der Lösungen hyperbolischer Differentialgleichungen. Unter der Voraussetzung (23.2.1} deutet man bei zahlreichen Anwendungen die Variable xn = t als Zeit und xa, (a = I, ... , n-1} als Koordinaten eines (n-1)-dimensionalen Raumes. Die Anfangsvorgaben für xn = t = 0 definieren den Zustand zu Zeit t = 0; die Lösung U (xa, t) beschreibt den Zustand zur Zeit t. Zur Zeit t = 0 sei ~(0) ein Normalgebiet der xa-Ebene (etwa für n = 3, a = 1,2} in dem U (xa, 0) ~ 0, 0. dnUit=O ~ 0 sind; für {xa} ~ ~(0) seien U(xa, 0) 0, dnUit=O

=

=

Man sagt, im Gebiet ~(0) sei der Ruhezustand gestört. Die Störung breitet sich mit der Zeit aus, und zwar in einem Gebiet f, das von der äußeren charakteristischen Fläche ® durch die Randkurve 5ß (0} des Anfangsgebietes ~(0} begrenzt wird. Das ist unmittelbar einleuchtend: Ist nämlich $ (xa, t) ein Punkt nicht aus f, so hat der Schnitt des Konoides durch $keinen Punkt mit ~(0) gemeinsam, das heißt, U($) wird von der Störung nicht beeinflußt. Die Schnittkurve von® mit der Ebene t = -r > 0 bestimmt die Ausbreitungsfront oder W ellenfront, bis zu der die Störung in der Zeit -r vorgedrungen ist. Nach der Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung wird ® als Hüllfläche der Konoide erzeugt, die durch die Punkte von ~(0) gehen. Daher kann das von der Störung erfaßte Gebiet f als Hüllgebiet der Menge der Ko:Qöide durch die Punkte von ~(0) aufgefaßt werden. Das entsprichteiner Überlagerung der Störungen in den Punkten von ~(0). Projiziert man

23.3 Darstellungsformel für die Lösung der Wellengleichung im R 3

519

die Wellenfronten r: = konst. in die Ebene t = 0, so erhält man eine Kurvenschar. Die Projektion der Bicharakteristiken von lfu bilden eine Transversalenschar dieser Fronten. Die Bogenlänge einer Transversalen zwischen zwei Fronten r:, •+ 1 bestimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Störung. Diese Zusammenhänge bilden die Grundlage für die Untersuchung der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen. Wir verweisen dazu auf das Buch von Courant und Hilbert [23][23a] li. 23.3 Darstellungsformel für die Lösung des Cauchy-Problems der Wellengleichung im Ra nach Hadamard Bei zwei unabhängigen Variablen konnte die Lösung des CauchyProblems einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Hilfe der Riemannschen Funktion dargestellt werden (Abschnitt 3.6). I. Hadamard hat gezeigt, daß auch bei mehr als zwei Variablen mittels einer geeigneten Singularitätenfunktion Darstellungsformeln für die Lösung des Cauchy-Problems gewonnen werden können. Um das Verständnis der Hadamardschen Theorie zu erleichtern, wollen wir zunächst die Wellengleichung als Beispiel behandeln. Die Theorie geht aus von der Greensehen Formel (21.4.3) und verwendet für V eine Funktion V (x 1, ~ 1 ), die für x 1 = ~~ und auf dem charakteristischen Konoid des Punktes ~ 1 singulär ist und im Innern dieses Konoides die adjungierte Differentialgleichung (21.4.4) erfüllt. Die Schwierigkeit entsteht durch das singuläre V erhalten von V auf dem Konoid. Mit dem dn-Operator und der Differentialgleichung (23.3.1)

dnU = U,[dx, dy]- Ux[dy, dt]- Uy[dt, dx],

=

[d, dnU]

(U,,-Uxx-Uyy)[dx, dy, dt]

=

0

seien die Anfangswerte {23.3.1a) U(x, y, 0);

U,(x, y, 0),

dnUJt=o = U,(x, y, O)[dx, dy]

gegeben. Gesucht ist eine Darstellungsformel der Lösung U im Punkt $ = (~, 'YJ, r:). Das Einflußgebiet von$ ist der Kegel (23.3.2) Nach Einführung der Zylinderkoordinaten x-~ =

ecoscp;

wird das Bogenelement des Ra

y -'Y) = e sincp;

t-r: =

(1

520

23. Hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Rn

und der dn-Operator nach (21.5.5), da die Funktionaldeterminante der Transformation gleich e ist: (23.3.3) Bezeichnen wir mit

r

den Ausdruck

(23.3.4) so verschwindet r bei Annäherung an die Kegelspitze quadratisch mit dem Abstand von der Spitze, dagegen linear bei Annäherung an einen von der Spitze verschiedenen Punkt des Kegels. Das folgt daraus, daß die ersten Ableitungen F.; auf dem Kegelmantel von Null verschieden sind, wenn der Punkt nicht in der Spitze liegt. Als Singularitätenfunktion wählen wir (23.3.5)

V(x, y, t, ~'

'Y),

-r) =

1

'T P

1

= .~ .

r a2-

e2

V ist reell für (x, y, t) imlnnerndesKegels. Da (23.3.1) seihstadjungiert ist, soll V bezüglich x, y, t die Differentialgleichung (23.3.1) erfüllen. Man erhält

yr (j

(23.3.6)

V.a = -

(23.3. 7)

dnV = - ,1e - 3 (a[de, dq;]+ e[dq;, da]) rF-

3 ,

und zeigt nach kurzer Rechnung:

Bezeichnen wir das Gebiet, das vom Kegelmantel und der Ebene t = 0 bzw. a = - T berandet wird mit @, so gilt für jedes (Normal-) Teilgebiet g mit g c @ die Greensehe Formel (21.4.3): (23.3.8)

I

=

f U dnV- V dnU = 0

g

für jede Lösung U von (23.3.1). Wir wählen eine Schar von Gebieten g, 6 , die von einem variablen Parameter s und einer (zunächst) festen Zahl o folgendermaßen abhängen: g, 6 sei berandet von dem (23.3.9)

wc.6 :

Kegelmantel e = - (j ( 1 - B) ; Deckel '1), 6 : a = - o; Boden lß,:a = --r.

23.3 Darstellungsformel für die Lösung der Wellengleichung im H3

521

Das Integral I über den Rand g, 6 eines solchen Gebietes ist bei festem o eine Funktion I(s). Es wird sich zeigen, daß I(s) die Gestalt (23.3.10)

I(s)

1

= B+ yß B 1 +B(s)

hat, wo Bund B 1 nicht mehr s enthalten und B(s) mit s ..... 0 verschwindet. Daraus folgt, daß im allgemeinen der Grenzwert lim I(s) nicht endlich ist, also das Integral I divergiert. Für jedes s (23.3.8):

o;C.

0 gilt

Ü. Wählt man statt s einen anderen Parameter, zum Beispiel = A s, so zeigt sich, daß das erste Glied B durch die Transformation nicht geändert wird. Daher muß das Verschwinden von Beine Eigenschaft der Lösung der Differentialgleichung bedeuten. Es wird deshalb darauf ankommen, den Ausdruck B aus I(s) zu bestimmen. Das Integral I über g, 6 besteht aus den drei Integralen

e

(23.3.11)

I=

f

. Für den Boden

~.

von g wird

(23.6.6)

Die Funktionen unter dem Integral sind auf der Anfangsfläche zu nehmen. Da U, dnU auf t/J = 0 gegeben sind, kann man das Integral entsprechend der rechten Seite von (23.6.2) ordnen, wenn U, R, dnU, dnR aus ~·+1 sind. Das kann in analoger Weise wie in (23.3.15) bis (23.3.18) gezeigt werden2>. Der Anteil des Integrales zu B in (23.6.2) ist von e unabhängig, bleibt also für e - 0 ungeändert. Wir kennzeichnen diese Größe durch (23.6. 7)

1>

Man nehme eine Koordinatentransformation x'-~ = f'(F, .V, ... , ,tn-1)

vor, die r als Variable einführt und im Gebiet®-{;} aus ~o;-l ist mit nicht verschwindender Funktionaldeterminante. Dann entwickelt man den Integranden nach Potenzen von r und setzt r = e. 2> In den Koordinaten der Bemerkung 1) hat das Integral die Form A'

1

J ( J F(F, ,tt, ... , ,tn-2)F-(>+t) dr) d.\1 . .. d).n-2.

-''--''0

r-r0

Bei Auswertung geben die unteren Grenzen Ausdrücke, die von e unabhängig sind; im übrigen führt Taylorentwicklung zur Anordnung nach e gemäß (23.6.2).

538

23. Hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im R"

Man bezeichnet diesen Ausdruck als "endlichen Anteil" des für e ..... 0 divergenten Integrals. Das Integral für den Deckel :!l,., entspricht der Formel (23.6.6), wenn 18, durch :!l,., ersetzt wird; dabei ist :!), 6 das Gebiet der Fläche X= 0, das von der Fläche r = e ausgeschnitten wird. Für jeden Wert ö (kürzester Abstand der Fläche X= 0 vom Punkt.;), sei eine raumartige Fläche X (ö) = 0 bekannt. X(xi, ö) = 0 sei eine Flächenschar, die bezüglich xi und ö aus (p+l ist. (j und e sind voneinander unabhängig, aber ö > ye > 0. \Vir halten zunächst ö fest, wählen aber ö so klein, daß wir alle Funktionen in der Fläche X = 0/ nach Ö entwickeln können, zum Beispiel für eine Funktion F(xi) soll auf X(xi, ö) = 0 gelten: F(xi)f

IX(xl, ~)=0

=

F 0 (;i)+öFI(xi, ö).

Wie bei (23.6.6) läßt sich das Integral über :!), 6 gemäß (23.6.2) ordnen. ergibt sich die Anordnung

Dah~r

(23.6.8)

Zuerst bestimmen wir (für festes ö > 0) die von e freien Glieder; sie bleiben beim Grenzübergang e ..... 0 ungeändert; anschließend bilden wir für diese Glieder den Grenzübergang Ö ..... 0. Bei diesem Vorgehen können wir aber von vornherein alle mit dem Faktor Ö behafteten Glieder, die wir bei der Rechnung antreffen, vernachlässigen, da sie bei ö - 0 fortfallen. Wir wollen das Verfahren für n = 3 (das heißt v = 0) durchführen. In (23.6.6) mit :!l,., statt 18, verschwindet das erste Glied für Ö ..... 0, da der Integrationsbereich verschwindet. Es interessiert nur das zweite 3

.

Glied mit r- (•+2). In geodätischen Polarkoordinaten nach (23.4.19a) für beliebiges n ergibt sich J.d

=

f (v+!)

SD e6

U Rr-(·+~) dnr

=2

(v+!)

f

{J1(q:/)

+a J2(q/, a)}

SD,.,

Unter den Voraussetzungen (23.4.13a u. b) verhalten sich die geodätischen Polarkoordinaten im Rs im Punkte wie G, 1), cp in (23.4.14).

23.ö Darstellungsformel nach Hadatnard.

539

Mit dem Ausdruck (23.4.24) für die Funktionaldeterminante folgt wegen v = 0 (23.6.9)

J, 6

=

f UR{®inß+a(®in#P+P+a ll)}[d#,dcp].

'Il,6

Als raumartige Fläche wählen wir (23.6.10)

X(xi, o)

= a Q::oMi- 0 = 0

bzw.

0 a = Q::o51f ·

Für die Schnittkurve der Fläche X= 0 mit. dem Mantel F ergibt sich

= a2 =

s

(23.6.11) Setzen wir für a den Ausdruck (23.6.10) m (23.6.9) ein, entwickeln den Integranden nach b, so wird

r.,]'" "